У. ТАТТ
ТЕОРИЯ ГРАФОВ

CHAN-CARLO ROTA, Editor
ENCYCLOPEDIA OF MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS
Volume 21
Section: Combinatorics
Gian-Carlo Rota, Section Editor
Graph Theory
W. T. Tutte
Faculty of Mathematics
University of Waterloo
Waterloo, Ontario, Canada
Foreword by
Crispin St. J. A. Nash-Wiiiiams
The University of Reading
Л
1964
Addisott-Westey Publishing Compaqr
Advanced Book Program
Menlo Park, California
Rcadmg, Massachusetts • London • Amsterdam • Doft Milk. Ontario • Sydney • Tokyo

У. Татт
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Перевод с английского
Г. П. Гаврилова
Москва «Мир» 1988

ББК 22.17
Т23
УДК 519.17
Татт У.
Т23 Теория графов: Пер. с англ.—М.: Мир, 1988.-
ISBN 5-03-001001-7
424 с,ил.
Монография крупного канадского математика, содержащая перспективные
методы и конструкции современной теории графов (связность, факторизация,
раскраска, планарность и др.). Многие результаты принадлежат автору, активно
работающему в области комбинаторной теории. Книга вышла в известной серии
«Энциклопедия математики и ее приложений», ряд томов которой издан на
русском языке в издательствах «Мир» и «Наука».
Для математиков различных специальностей, инженеров-исследователей,
аспирантов и студентов, специализирующихся в области дискретной математики.
1702070000—461
041(01)—88
-88, ч. 1
ББК 22.17
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001001-7 (русск.)
ISBN 0-521-30241-2 (англ.)
© Cambridge University Press 1984.
This book originally published
in the English language by
Cambridge University Press of
Cambridge, England.
© перевод на русский язык,
«Мир*, 1988

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Автора книги Уильяма Т. Татта представлять нет
необходимости: его яркие, насыщенные своеобразными идеями
исследования комбинаторных проблем известны многим математикам —
геометрам, специалистам по дискретной математике,
алгебраистам. Его известные монографии по связности графов и теории
матроидов продолжают оказывать существенное влияние на
молодых исследователей, занимающихся комбинаторной
математикой.
Данная книга тоже создавалась с целью оказания
действенной помощи начинающим самостоятельные изыскания
математикам. В ней доходчиво и с высоким методическим мастерством
освещается ряд важных направлений современной теории
графов. Делается это с необходимой степенью детализации и
строгости, но без стремления «объять необъятное». Тщательно
отобраны и библиографические ссылки: указываются только те
работы, которые либо являются непосредственными источниками
излагаемых результатов, либо тесно переплетаются с
излагаемым материалом. Мы не считали нужным пополнять
библиографию, так как не хотели нарушать авторский замысел. Те из
читателей, которых интересует более широкая панорама теории
графов, могут обратиться к обзорам, появившимся за последние
семь — восемь лет в «Итогах науки и техники» (см., например,
т. 16, 18, 21, 23 в серии «Теория вероятностей. Математическая
статистика. Теоретическая кибернетика» (М.: ВИНИТИ, 1979,
1981, 1983, 1985)).
Ряд сведений исторического характера содержится в
«Предисловии» К. Нэш-Вильямса, во введении и в замечаниях
автора, помещенных в конце глав. О содержании книги
достаточно подробно говорится во введении, да и сама она
находится в руках читателя, поэтому здесь нет необходимости
останавливаться на ее содержании.
Книгу можно использовать (об этом говорится и во
введении) как справочное руководство по современной теории
графов. Она предназначена для математиков различных
специализаций, а также для научных работников, инженеров-исследо-

6 От переводчика
вателей, аспирантов и студентов, интересующихся и
занимающихся дискретной математикой.
В заключение хотелось бы отметить, что большую помощь
при переводе мне оказали А. Э. Русова (гл. V, VI, X и XI),
Д. Г. Мещанинов (гл. IX) и С. А. Лавренченко (гл. X и XI),
которым я искренне признателен.
Г. П. Гаврилов

ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ
Математика состоит главным образом из фактов, которые
можно представить и описать подобно любому явлению
природы. Эти факты, сформулированные явно в виде теорем или
скрытые внутри доказательств, составляют основную часть
приложений математики и, вероятно, переживут все изменения
математических вкусов и интересов.
Цель настоящей Энциклопедии — постараться осветить все
области математики. Непременным требованием к автору
является ясность изложения материала, доступность для
неспециалистов, а также наличие подробной библиографии. Тома
Энциклопедии объединяются в серии, которые соответствуют
различным областям современной математики; порядок выхода
книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и
серий будет по мере надобности пересматриваться.
Мы надеемся, что наше предприятие будет способствовать
.еще более широкому применению математики там, где без нее
нельзя обойтись, и сделает возможным ее применение в тех
областях, где она могла бы быть полезной, но куда еще не
проникла ввиду недостатка информации.
Джан-Карло Рота
Мы рады открыть Комбинаторную серию Энциклопедии.
Профессор Татт, один из основателей современной теории
графов, представляет здесь жемчужины этого предмета, богатого
глубокими результатами, в томе, который долгое время будет
оставаться определяющим.

ПРЕДИСЛОВИЕ
То, что автором тома, посвященного теории графов, в
серии «Энциклопедия математики и ее приложений», стал
ученый, чей вклад в эту теорию является по мнению многих
непревзойденным, одновременно и закономерность, и большая
удача. В.манере изложения и в содержании книги проявляется
влияние собственных работ проф. Татта и аромат его
собственного подхода к предмету, аромат, хорошо знакомый тем, кто
слушал его превосходно составленные лекции по разным
вопросам и рад увидеть теперь многое из ранее слышанного
представленным в долговременной форме и доступным для более
широкой аудитории.
В этой монографии освещается много центральных тем,
которые можно рассчитывать найти в книге по теории графов —
например, теорема Менгера и потоки в сетях, проблема
восстановления, матричная теорема о деревьях, теория факторов (или
паросочетаний) для графов (созданная в значительной степени
самим профессором Таттом), хроматические многочлены,
теорема Брукса, теорема Гринберга, планарные графы, теорема
Куратовского. Но это ни в коем случае не «еще одна книга по
теории графов», ибо излагаемый материал связывается в
единое целое глубоко индивидуальным подходом профессора Татта.
Кроме того, самые обычные темы преподносятся с некоторыми
«приятными сюрпризами», такими, как принадлежащая автору
изящная теория разложения графов на трехсвязные 3-блоки
(кроме монографии [5], ее ни в какой книге не найдешь),
интересный, замечательный подход к электрическим цепям и —
быть может, самое примечательное — классификационная
теорема для замкнутых поверхностей: Обычно эту теорему
относят к топологии, но проф. Татт демонстрирует нам, что она
отлично подходит для работы по теории графов —
комбинаторная по своей сущности природа рассуждений здесь,
действительно, на месте.
Из сказанного ясно, что в этой книге найдется много
полезного для любого читателя, интересующегося теорией
графов. В ней собрано вместе несколько важных тем,
почерпнутых из быстро разрастающейся литературы по данному
предмету, причем она ни в коей мере не дублирует описательные

Предисловие 9
работы, имеющиеся в настоящее время. Она обеспечит также
превосходную базу для понимания ряда более специальных
тем, включая многое из собственных результатов проф. Татта,
например, его обширную теорию перечисления планарных
объектов и хроматические многочлены карт, его теорему о гамиль-
тоновых циклах в четырехсвязных планарных графах, гипотезу
о 5-потоке (см. разд. IX. 4) и описание взаимосвязи между
матроидами и графами (см. разд. VIII. 11). Привлечение
миноров создает предпосылки для исследования (среди многих
других объектов и проблем) гипотезы о полном
квазиупорядочении множества графов посредством отношения быть минором
(см. замечание 1 в разд. П. 7). Поиски, ведущиеся в этом
направлении Сеймором и Робертсоном (бывшим студентом проф.
Татта), по-видимому, обещают интересные результаты.
Некоторые из указанных (и других) тем могут дать обширный
материал для следующего тома, если профессор Татт или кто-либо,
тесно связанный с ним в идейном плане, решит написать такую
книгу.
Во введении профессор Татт говорит о своих первых
встречах с теорией графов, в частности, когда он учился в
Кембридже. Это не может не вызвать и у меня собственных
юношеских воспоминаний. В разговорах математиков,
занимавшихся теорией графов, излюбленной была тема о том, что впервые
привлекло их внимание к теории графов. Я лично отвечал:
«Ничего не привлекало — я ее сам придумал!» Иначе говоря, когда
я, еще студентом, стал заниматься научной работой (тоже в
Кембридже), то чувствовал, что должна существовать ветвь
математики, изучающая объекты такого рода, а если ее нет, то
я должен ее создать. (Упоминания о бинарных отношениях в
курсах алгебры, возможно, способствовали укреплению этой
мысли.) Насколько мало было известно о положении в теории
графов в те времена, видно из такого факта: мне
потребовалось несколько недель, чтобы установить, что я не являюсь
первооткрывателем в этой области, и услышать об одном
существующем руководстве по данному предмету, а именно, о
монографии Кёнига «Теория ориентированных и
неориентированных графов» (Konig D. Theorie der endlichen und unendlichen
Graphen. — Leipzig: Acad. Verl. M. В. H., 1936),
опубликованной восемнадцатью годами раньше, в 1936 г. После книги
Кёнига я ознакомился с несколькими доступными в то время
научными статьями по графам и провел много часов в
библиотеке, изучая работу проф. Татта о факторах графов, щедро
вооружившись цветными карандашами (особенно, конечно,
красными и синими), чтобы рисовать диаграммы,
стимулирующие воображение. Советую читателю поступить аналогичным
образом, когда он дойдет до гл. VII, если, конечно, он гораздо

10 Предисловие
раньше не убедился, как это важно при изучении данной или
любой другой книги по теории графов.
В ранний период моей научной деятельности занятие
теорией графов было редкостью и считалось болезненной
одержимостью. Такой человек не мог надеяться встретить «себе
подобного» среди своих коллег, а чтобы найти такового в своей
стране, должен был затратить массу усилий: он просто'не
рассчитывал установить научные контакты с другими
математиками иначе, как через публикуемые работы. Фактически по
этому предмету не было никаких лекционных курсов, ни для
аспирантов, ни хотя бы для старшекурсников. Некоторым
математикам казалось даже сомнительным, что теория графов
вообще является достойным разделом математики. Сомнения,
по-видимому, основывались на отсутствии в ней хорошо
развитых методов, а также на недостаточной ее
унифицированности и на том, что она казалась состоящей в основном из
решений разрозненных задач, не связанных тесно ни друг с
другом, ни с остальной математикой.
Тем не менее, справедливости ради, я должен сказать, что
кроме охваченных такими сомнениями математиков были и
другие, которые, по-видимому, симпатизировали теории графов
и интересовались ею. Не последним среди них (в то время,
когда я стал преподавать в университете) был тогдашний
декан факультета профессор Э. М. Райт (ныне — сэр Эдвард
Райт), научные изыскания которого в более поздние годы
приобрели явно выраженный теоретико-графовый уклон.
Если бы кто-то в те годы предсказал то последующее
бурное развитие теории графов и других областей комбинаторики,
которое стало наиболее яркой страницей в жизни тех из нас,
кто прошел через это, я подумал бы, что он едва ли не
сумасшедший. Писатели-фантасты прекрасно продемонстрировали
нам, что истина часто представляется более странной, чем
выдумка. Показалось бы нелепым предсказание, что такие
фамилии, как Дирак, Харари и Татт (в ту пору для меня просто
лишенные смысла криптограммы, предваряющие научные
статьи) довольно скоро станут фамилиями хорошо знакомых
мне лично математиков, что теория графов «перенесет» меня
через Атлантику, чтобы связать с Департаментом
комбинаторики и оптимизации, где в течение нескольких лет мы с проф.
Таттом занимаем соседние кабинеты, что конференций по
комбинаторике будет проводиться больше, чем в состоянии
посетить один человек, и что литература по комбинаторике
достигнет теперешних размеров, что будет выходить по меньшей мере
шесть журналов (а может быть, и больше — все зависит от
того, как считать), посвященных полностью комбинаторике.

Предисловие 11
Первым из них появился Journal of Combinatorial Theory.
Его главным редактором в течение многих лет был проф. Татт
(и только совсем недавно, в связи с увеличением объема
материала, произошло разделение и Татт теперь — главный
редактор половины журнала). Редактор данной Энциклопедии,
проф. Дж.-К. Рота, был одним из его организаторов, которым
журнал обязан своим возникновением. Бланш Декарт поведала
мне тогда, что она выбрала название журнала как анаграмму
следующего словосочетания: OUR FOE JIAN-CARLO ROTA
BIMONTHLY1).
Несмотря на это возрастающее признание комбинаторики
(включая теорию графов) как части математики, следы
полемики о ее значении все еще сохраняются.. Во введении к книге
[1] Л. Ловас очень правильно реагирует на эту полемику,
указывая на увеличивающееся многообразие методов и
унифицирующую теорию, приобретаемые данной ветвью математики.
Тем не менее, несколько дальнейших замечаний могут
оказаться уместными. Как считает другой мой бывший коллега
Дж. Шихан [4], могут существовать довольно важные разделы
комбинаторики, которые невозможно заключить ни в какие
унифицирующие рамки. Есть, несомненно, удовлетворение от
решения просто формулируемой, естественной в своей
постановке, но «строптивой», неподдающейся задачи, даже если
найденное решение представляется, по крайней мере в настоящее
время, стоящим особняком. Если (как иногда, кажется,
считают) теорема может быть важна только в том случае, когда
она полезна при доказательстве или разъяснении других
теорем, то следует далее поинтересоваться, чем важны эти другие
теоремы, а это может повлечь reductio ad absurdum. Разве для
того, чтобы доказать, что некая ветвь математики интересна,
обязательно демонстрировать ее полное подобие другим
ветвям математики? А может быть, доля привлекательности
математики— в разнообразии ее направлений?!
С другой стороны, не вызывает сомнений, что
взаимодействие идей, возникших в различных разделах математики, и
тщательно разработанные, успешно применяемые методы
принадлежат к числу тех черт математики, которые составляют
значительную долю ее очарования. Более того, в математике
часто проявляется тенденция к объединению ее областей и
созданию хорошо развитой техники. Поэтому можно вполне
уверенно предположить (несмотря на мое предостережение
1) Наш враг двухмесячник Джана-Карло Роты. (Название* журнала
Journal of Combinatorial Theory получается из приведенного словосочетания
подходящей перестановкой букв. Кстати, замечу, что Blanche Descartes —
псевдоним У. Т. Татта. — Прим. перев.
VkOAfto ?

12 Предисловие
относительно предсказания будущего), что достигшая зрелости
теория графов будет и дальше развивать свои своеобразные
методы и что большинство из ее результатов будут еще теснее
переплетаться и между собой, и с остальной математикой.
Возможно, что данная книга сыграет значительную роль в создании
для теории графов прочного теоретического и технического
основания.
То немногое, что я мог сказать о некоторых аспектах
современного состояния теории графов и огромном влиянии на
нее профессора Татта, я уже опубликовал (см. соответственно
[3] и [2]). Это обстоятельство и сжатость срока, надеюсь,
извиняют меня за сравнительно короткое предисловие, состоящее
в основном из случайных воспоминаний и размышлений,
которые, возможно, никого, кроме меня, не интересуют. Может
статься, что какой-нибудь будущий историк математики найдет
здесь несколько полезных для него крупиц информации. А я
не хочу дольше задерживать внимание читателя, перед
которым все богатство книги.
/С. Ст. Дж. А. Нэш-Вильямс
Литература
[1] Lovasz L. Combinatorial problems and exercises.— Amsterdam: North-
Holland Publishing Company, 1979.
[2] Nash-Williams C. St. J. A. A note on some of Professor Tutte's
mathematical work. — Graph theory and related topics, Proceedings of the
conference held in honor of Professor W. T. Tutte on the occasion of his
sixtieth birthday, University of Waterloo, July 5—9, 1977. Ed. by J. A. Bondy
and U. S. R. Murty. — New York: Academic Press, 1979, XXV—XXVIII.
[3] Nash-Williams С St. J. A. A glance at graph theory. Parts I, II. —Bull.
Lond. Math. Soc. 14 (1982), 177—212, 294—328.
[4] Sheehan J. Review of graph theory: An introductory course by B. Bol-
lobas. —Bull. Lond. Math. Soc. 12 (1980), 388—390.
[5] Tutte W. T. Cennectivity in graphs. — Toronto: Univ. of Toronto Press,
1966.

ВВЕДЕНИЕ
С элементами теории графов автор познакомился в начале
тридцатых годов, когда учился в средней школе, при чтении
известной книги Роуза Болла [5]. Именно тогда он узнал об
эйлеровых путях (см. в нашей книге разд. VI. 3), о раскраске
карт (двойственная проблематика излагается в разд. IX. 3), о
факторах графов (см. разд. VII. 6) и о тейтовой раскраске (см.
разд. IX. 5).
Будучи студентом последнего курса в Кембридже, автор
примкнул к Р. Л. Бруксу, К. А. Б. Смиту и А. Г. Стоуну
в исследовании проблемы разрезания квадрата на попарно
различные квадраты [3], которой те увлекались. Вскоре
потребовалось более широкое привлечение теории графов. «Диаграммы
Смита» связали эту проблему с изучением трехсвязных пла-
нарных графов (см. разд. XI. 7) и с законами Кирхгофа для
электрических цепей (см. разд. VI.5), теория роторов (см.
замечания в гл. VI) связала ее с симметрией графов (см.
разд. 1.2), а понятие сложности графа (см. разд. II. 2) — с
теорией функций на графах, удовлетворяющих простым
рекуррентным соотношениям (см. разд. IX. 1).
Подробно обо всем этом говорится в комментариях,
содержащихся в книге [4]. И в этом одна из причин, почему в
настоящей книге я не касаюсь задачи квадрирования
прямоугольников и аналогичной задачи триангулирования
треугольников. А кроме того, я мыслю себе данную книгу как работу
по чистой теории графов, без привлечения
теоретико-множественной топологии или элементарной геометрии.
В Кембридже я познакомился с рядом работ по теории
графов. Прочитал доказательство теоремы Петерсена (см.
разд. VII. 6), данное Саинт-Лагё, разыскал классические статьи
Хэсслера Уитни, опубликованные в 1931-33 гг., и
замечательную книгу Денеша Кёнига — первую монографию, целиком
посвященную теории графов. Мое пребывание в Кембридже
совпало с появлением теоремы Смита (см. разд. IX. 5 и [7]) и
теоремы Брукса (см. разд. IX. 3 и [2]). Стоуновское открытие
флексагонов произошло несколько позже1).
*) А именно в 1939 г.; о флексагонах см. Гарднер М. Математические
головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971, гл. 1. — Прим. перев.

14 Введение
Я размышлял над этими результатами в течение 45 лет и
теперь рискнул представить некоторые из них в данной работе.
Эта книга является попыткой создать такое справочное
руководство по теории графов, которое мне хотелось иметь в 1936—
40 гг. В электротехнике важно бывает знать, существует ли
связь между двумя выводами электрической цепи и что
произойдет, если удалить какой-либо электрический элемент цепи.
В гл. I описывается теоретико-графовый подход к таким
явлениям. Глава II посвящена вопросам, относящимся к
стягиванию ребер в графах, или, как иногда говорят,
закорачиванию цепей. В гл. IV излагается теория трехсвязности, а
находящаяся на полпути к ней теория двусвязности представлена
в гл. III. Глава V о проблеме восстановления с квадрированием
квадратов и прямоугольников связана не так уж прямо. К этой
проблеме я пришел, применяя специальный метод
восстановления рекуррентных формул для некоторых упоминавшихся выше
рекурсивных функций на графах [11].
В гл. VI рассматриваются орграфы и обобщенная теория
законов Кирхгофа. Она возникла из исследований задачи о
триангулировании треугольников, проведенных четырьмя
студентами-старшекурсниками. Нас иногда упрекали за то, что
наша математическая теория зиждется на физических законах.
Мы, конечно, оправдывались, говоря, что для нас законы
Кирхгофа являются.всего-навсего аксиомами некой чисто
математической системы, и были рады, что можем особо подчеркнуть это,
введя обобщенные законы, описывающие такой вид
электричества, который не встретишь ни на суше, ни на море.
Глава VII основана на статье Саинт-Лагё—были только
восполнены некоторые пробелы и проведены некоторые
обобщения. В гл. VIII речь идет о циклах, кограницах и
обобщениях потоков Кирхгофа. В ней предпринята попытка описать
некоторые разделы теории графов алгебраическими средствами;
основная часть материала, содержащаяся здесь, взята из моей
докторской диссертации [9].
Глава IX посвящена рекуррентным соотношениям для
функций на графах и возникла из моей статьи, опубликованной в
1947 г. [8]. В этой главе рассматриваются дихромат и
хроматические, дихроматические и потоковые многочлены — все то,
что можно отнести к теории раскраски карт и двойственной ей
теории раскраски вершин.
В рассмотрениях, приводимых в гл. I — IX, имеется одно
важное упущение. Оно касается теории планарности. Графы,
представляющие интерес в связи с задачами квадрирования
прямоугольников и триангулирования треугольников, все
являются планарными. Поэтому в гл. X осуществляется
необходимая подготовительная работа для введения понятия планар-

Введение 15
ности на базе общей теории карт на поверхностях, причем,
поскольку требуется сделать это на чисто теоретико-графовой
основе, карты в гл. X определяются с помощью чисто
комбинаторных аксиом, а поверхности вводятся как классы карт.
Материал данной главы является соответствующей адаптацией
классической теории X. Р. Браханы [1]. Планарные карты
определяются как карты с эйлеровой характеристикой 2.
В гл. XI излагается теория планарности. Устанавливаются
теоремы двойственности для числа остовных деревьев и
дихромата, а также комбинаторный вариант теоремы Жордана.
Приводятся несколько признаков планарности и непланарности
графов и среди них — критерии Маклейна и Понтрягина — Ку-
ратовского. Эта глава возникла из моей статьи «Как
нарисовать граф», опубликованной в 1963 г., однако в
действительности ничего здесь не рисуется, ибо рисованием занимается
элементарная геометрия, а не теории графов.
Пользуясь представившимся случаем, хочу выразить свою
признательность Бруксу, Смиту и Стоуну, без миссионерского
энтузиазма которых я сейчас писал бы на какую-нибудь иную
тему.
Литература
[1] Brahana Н. R. Systems of circuits on two-dimensional manifolds.—
Ann. Math. (2)23 (1921), 144—168.
[2] Brooks R. L. On colouring the nodes of a network. — Proc. Cambridge
Phil. Soc. 37 (1941), 194—197.
[3] Brooks R. L., Smith С. А. В., Stone A. H., Tutte W. T. The dissection
of rectangles into squares. — Duke Math. J. 7 (1940), 312—340.
[4] McCarthy D., Stanton R. G. (eds). Selected papers of W. T. Tutte. — The
Charles Babbage Research Centre, St. Pierre, Manitoba, Canada, 1979.
[5] Rouse Ball W. W. Mathematical recreations and essays. The 12th edition
(Univ. of Toronto Press, 1974) is co-authored by H. S. M. Coxeter.
[Имеется перевод: Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и
развлечения.— М.: Мир, 1986.]
[6] Sainte-Lague М. A. Les reseaux (ou graphes). — Memorial des Sciences
Mathematiques, Fasc. XVIII, Paris, 1926.
[7] Tutte W. T. On Hamiltonian circuits. —J. Lond. Math. Soc. 21 (1946),
99—101.
[8] Tutte W. T. A ring in graph theory. — Proc. Cambridge Phil. Soc. 43
(1947), 26—40.
[9] Tutte W. T. An algebraic theory of graphs. Thesis, Cambridge, 1948.
[10] Tutte W. T. How to draw a graph. — Proc. Lond. Math. Soc. 13, № 52
(1963), 743—767.
[11] Tutte W. T. On dichromatic polynomials. — J. Comb. Theory, 2 (1967),
301—320.

Глава I
ГРАФЫ И ПОДГРАФЫ
/./. Определения
В настоящем разделе дается формальное определение графа
и вводится основополагающая терминология теории графов.
Приводятся примеры графов и некоторые простые теоремы.
Граф G определяется множеством вершин V{G),
множеством ребер E(G) и отношением инцидентности, которое
каждому ребру сопоставляет одну или две вершины, называемые
его концами.
В нашей книге рассматриваются только конечные графы,
т. е. графы, у которых множества V(G) и E(G) конечные.
Книга о бесконечных графах была бы гораздо интереснее. Но
и теория конечных графов настолько обширна, что в
однотомном издании ее во всей полноте не охватишь. Слово «граф»
будет использоваться для обозначения конечного графа (если
явно не оговаривается иное толкование этого термина).
Терминология теории графов все еще не стандартизирована.
Некоторые авторы предпочитают терминам «вершица» и
«ребро» термины «точка» и «линия». Однако употребление таких
терминов может создать неудобства в задачах, в которые
входят одновременно графы и геометрические или топологические
структуры. В ряде старых статей можно встретить термины
«ветвь» (вместо «ребро») и «узел» (вместо «вершина»).
Ребро называется звеном, если у него два конца, и петлей,
если конец один. Однако мы обычно будем полагать, что
каждое ребро имеет два конца (которые в случае петли
совпадают). Говорят, что концы ребра соединены данным ребром
или являются смежными. Аналогично будем говорить, что
вершина соединена или смежна сама с собой в том и только в том
случае, если она инцидентна некоторой петле. Два или более
звеньев, имеющие одинаковые пары концов, образуют кратное
соединение и называются кратными ребрами. Граф без петель
и кратных ребер называется простым.
В теории графов существует много задач, в которых
рассматриваются только простые графы. Поэтому некоторые
авторы используют термин «граф» именно для простых графов.
Если же исследуемые структуры могут содержать петли и
(или) кратные ребра, то их они называют «псевдографами»,
«мультиграфами» и т. п.

/. 1. Определения 17
Примеры графов найти несложно. Возьмем ребра и вершины
выпуклого многогранника Р в качестве соответственно ребер
и вершин графа G. Концами любого ребра графа G будут те
вершины, которые являются концами этого ребра в
геометрическом смысле. Граф G назовем графом многогранника Р.
Карту дорог тоже можно толковать как граф: перекрестки
и развилки дорог являются вершинами, а ребрами будут
участки дорог между соседними перекрестками и развилками и
каждый петлеобразный участок (т. е. участок, начинающийся
и оканчивающийся в одном и том же месте). Электрическая
цепь также дает пример графа: ребрами являются
электрические элементы цепи, а вершинами — их клеммы.
Нетрудно заметить графовую структуру и в генеалогических
таблицах, и в программах, составленных для вычислительных
машин. Тот, кто исполнен веры в теорию графов, увидит графы
в математике повсюду, ибо большая часть математики может
быть описана на языке бинарных отношений. А что такое
бинарное отношение, как не граф?
Наиболее привычным представлением графа является его
геометрическое изображение на бумаге (в виде так называемой
диаграммы). Вершины на диаграмме изображаются точками.
Звено с концами х и у изображается отрезком прямой (или
дугой кривой), соединяющим точки, изображающие концы х
и у, причем ни одна из других точек-вершин не должна
принадлежать этому отрезку. Петля с концом х изображается как
дуга кривой, начинающаяся и заканчивающаяся в точке х и не
проходящая ни через одну из других точек-вершин.
При таком изображении графа дуги-ребра (отрезки-ребра)
могут пересекаться в точках, отличных от точек-вершин.
Обычно эти пересечения ребер игнорируются как ничего не
интерпретирующие в структуре исходного графа. Но если нас
интересует наименьшее допустимое число «реберных пересечений»
при изображении графа, то возникают весьма тонкие и
сложные проблемы. (См. [8], с. 122—123.)
Приведем некоторые примеры графов. На рис. I. 1.1
изображен граф куба, а на рис. I. 1.2 нарисован граф с петлями
и кратными ребрами.
Ряд графов простой структуры заслуживает, как нам
кажется, специальных названий. Для некоторых целей полезно
ввести в рассмотрение нуль-граф (или пустой граф), который
не имеет ни ребер, ни вершин. Граф-вершина содержит только
одну вершину и не имеет ребер (рис. 1.1.3(i)). Граф-петля
состоит из единственной петли и ее одного конца (рис. I. 1.3(H)),
а граф-звено состоит из единственного звена и двух его концов
(рис. I. 1.3(iii)).
Пусть п — целое неотрицательное число; п-кликой назы-

18 Гл. I. Графы и подграфы
(t)TJ
■8^-6
Рис. I. 1.1.
Рис. I. 1.2.
(i) (<«)
Рис. I. 1.3.
(in)
Рис. I. 1.4.
(in)
а0
А|
А2
ifl2
ГО
Рис. 1.1.5

/. 1. Определения 19
Рис. I. 1.6.
вается граф без петель и кратных ребер, имеющий ровно п
вершин и п(п—1)/2 ребер, в котором каждая пара вершин
смежна. Таким образом, я-клики являются простыми графами.
Очевидно, что нуль-графы являются 0-кликами,
графы-вершины являются 1-кликами, а графы-звенья — 2-кликами. На
рис. I. 1.4 (i) — (Hi) показаны 3-клики, 4-клики и 5-клики
соответственно.
Предположим теперь, что п — целое положительное число;
п-цепью называется граф с п ребрами и п + 1 вершинами,
обладающий следующим свойством: его ребрам можно приписать
номера от 1 до я, а вершинам — от 0 до п таким образом, чтобы
концами ребра Л/ были вершины1) a/_i и а/ (/ = 1, ..., п).
1-цепи являются графами-звеньями. На рис. I. 1.5(i) — (Hi)
показаны 2-цепь, 3-цепь и 4-цепь соответственно.
Пусть п — целое положительное число. Тогда п-циклом
называется граф с п вершинами и п ребрами, обладающий
следующим свойством: его вершинам и ребрам можно приписать
номера от 1 до п таким образом, чтобы концами ребра Л/ были
вершины2) а/ и a/+i (/=1, ..., я и полагаем ап+\=а\).
1-циклы являются графами-петлями, а 3-циклы — 3-кликами.
На рис. I. 1.6(i) — (iii) изображены 2-цикл, 3-цикл и 4-цикл
соответственно.
Когда нет необходимости указывать значение числа я, то
я-клики, я-цепи и я-циклы можно называть просто кликами,
цепями и циклами соответственно. В двух последних
определениях число я называется длиной цепи или цикла.
Определим теперь валентность val(G, х) вершины х в графе
G. Это число ребер, инцидентных вершине х, причем петля счи-
1) Такую нумерацию вершин и ребер м-цепи в дальнейшем будем
называть естественной. — Прим. перев.
2) Такую нумерацию вершин и ребер я-цикла в дальнейшем будем на-
зывать естественной. — Прим. перев.

20 Гл. I. Графы и подграфы
тается дважды. Ясно, что
Z val(G, *) = 2|£(G)|. (I. 1.1.)
х е= V (G)
Здесь и в дальнейшем мы обозначаем мощность множества S
(т. е. число элементов в нем) через \S\. Из соотношения
(I. 1.1) вытекает следующая теорема.
Теорема 1.1. Во всяком графе число вершин нечетной
валентности четно.
(Это один из старейших и широко известных результатов
теории графов.)
Термин «валентность» навеян химическими аналогиями.
Многие авторы используют для этого понятия термин «степень».
Вершина нулевой валентности называется изолированной.
Например, изолированной является единственная вершина
графа-вершины. Вершину валентности 1 удобно называть
одновалентной (или висячей, или концевой), валентности 2 —
двухвалентной и т. д. Единственная вершина графа-петли
двухвалентна, а обе вершины графа-звена являются одновалентными.
Каждая вершина цикла двухвалентна; каждая вершина п-клики
имеет валентность, равную п— 1.
Рассмотрим n-цепь. Предположим, что ее вершины и ребра
занумерованы так, как указало в определении n-цепи. Ясно, что
при такой нумерации вершины ао и ап одновалентны, а любая
другая вершина двухвалентна. Одновалентные вершины цепи
обычно называют ее концами. Остальные, двухвалентные,
вершины называют внутренними вершинами цепи.
Граф, в котором каждая вершина я-валентна, называется
однородным (или регулярным) графом валентности п. Таким
образом, всякий цикл есть однородный граф валентности 2.
Если m — целое положительное число, то m-клика является
однородным графом валентности m—1. Однородные
трехвалентные графы представляют особый интерес и их называют
кубическими графами.
1.2. Изоморфизм
Предположим, что даны два графа, являющиеся графами
большого и малого кубов. Мы можем считать, что эти графы
не имеют существенных различий, и говорить, что у них одна
и та же структура или что каждый из них есть копия другого.
Это означает, что оба графа могут быть представлены одной и
той же диаграммой. Для придания большей определенности
этим высказываниям мы введем понятие изоморфизма графов.

1.2. Изоморфизм 21
Пусть G и Я— графы, / — взаимно однозначное
отображение множества V(G) на множество V(H) и g— взаимно
однозначное отображение E(G) на Е(Н). Обозначим через 0
упорядоченную пару (/, g). Будем говорить, что 0 есть изоморфное
отображение (короче, изоморфизм) графа G на граф Я, если
выполняется следующее условие: вершина х инцидентна ребру
А в графе G тогда и только тогда, когда вершина fx
инцидентна ребру gA в графе Я.
Если такой изоморфизм 0 существует, то будем говорить,
что графы G и Я изоморфны. Ясно, что в этом случае
\V(G)\ = \V(H)\ и \E(G)\ = \E(H)\.
Мы можем рассматривать 0 как операцию, преобразующую
граф G в граф Я, и в соответствии с этим писать QG=H.
Удобно также писать Qv = fv и 0Л = gA (для каждой
вершины v и каждого ребра А графа G). Очевидно, что
изоморфные графы G и Я могут быть представлены одной и той же
диаграммой. При этом отрезок, представляющий ребро А графа
G, или точку, представляющую вершину х графа G, можно
интерпретировать как представления ребра 0Л или вершины
Qx графа Я.
Возможен случай, когда графы G и Я совпадают.
Изоморфное отображение графа G на себя называется его
автоморфизмом. Всякий граф G имеет тождественный (или тривиальный)
автоморфизм /, такой, что Ix = х для каждого ребра х и
каждой вершины х из С
Отношение изоморфизма между графами рефлексивно, ибо
у любого графа существует тождественный автоморфизм. Оно,
кроме того, симметрично: если 0=(/, g) — изоморфизм графа
G на граф Я, то существует обратный изоморфизм 0-1 =
= (f~l,g~l) графа Я на граф G. Наконец, отношение
изоморфизма между графами является транзитивным: если Q—{f,g) —
изоморфизм графа G на Я и ф = (/i,gi)—изоморфизм графа Я
на /С, то существует изоморфизм ф0 = (/i/, gig) графа G на
граф /С. Здесь f{f является отображением, получающимся при
последовательном применении отображений / и /i (сначала
применяется отображение /, а затем — отображение /i).
Аналогично толкуется и запись ф0 — вначале применяется
отображение 0, а потом — отображение ф. Легко проверяется, что так
определенное умножение изоморфизмов обладает свойством
ассоциативности.
Итак, отношение изоморфизма между графами является
отношением эквивалентности. Следовательно, оно разбивает класс
всех графов на непустые и попарно непересекающиеся
подклассы, называемые классами изоморфизма или классами
изоморфных графов. Два произвольных графа принадлежат одному и

22 Гл. I. Графы и подграфы
тому же классу изоморфизма тогда и только тогда, когда они
изоморфны друг другу.
Чистая теория графов интересуется такими свойствами
графов, которые инвариантны относительно изоморфизма
(например, числом вершин в графе или числом петель, или числом
звеньев, или числом вершин данной валентности). Для
специалиста по теории графов естественно отождествлять
изоморфные графы. Так как все графы-звенья изоморфны друг другу,
он говорит о графе-звене так, как будто существует один граф-
звено. Аналогично обстоит дело с нуль-графом,
графом-вершиной и графом куба. При использовании такого языка речь на
самом деле идет о классах изоморфизма (называемых также
абстрактными графами).
Утверждение о том, что все нуль-графы изоморфны,
является соглашением, а не теоремой. Его можно обосновать с
помощью следующего постулата: для любых двух пустых
множеств S и Т существует единственное взаимно однозначное
отображение множества S на множество Т. Автор помнит, как
его учили, что существует только одно пустое множество. Те,
кто придерживается этой мистической доктрины, должны
полагать, что существует только один нуль-граф — единственный
член соответствующего класса изоморфизма.
При формулировке комбинаторных определений нуль-граф
обычно рассматривают отдельно.
Теорема 1.2. Пусть G и Я— простые графы, a f— взаимно
однозначное отображение множества V{G) на У (Я),
обладающее следующим свойством: две различные вершины х и у графа
G смежны тогда и только тогда, когда смежны их образы fx
и fy в графе Н. При этих условиях существует однозначно
определенное взаимно однозначное отображение g множества
E(G) на множество £(Я), такое, что (f,g) является
изоморфизмом графа G на граф Н.
Доказательство. Пусть А — произвольное ребро из G. Оно
имеет различные концы х и у, ибо граф G простой.
Следовательно, в графе Н существует однозначно определенное ребро
А' с концами fx и fy. Таким образом, взаимно однозначное g
можно определить формулой gA=A' (для каждого ребра А
графа G). Очевидно, что (/, g) является изоморфизмом графа
G на граф Я. Обратно, если отображение g таково, что пара
(/, g) есть изоморфизм графа G на граф Я, то g должно
удовлетворять соотношению gA =Af. D
При рассмотрении простых графов изоморфизм между ними
часто определяют как взаимно однозначное соответствие между
множествами их вершин, сохраняющее отношение смежности.

/. 2. Изоморфизм 23
Такое определение изоморфизма можно толковать как
следствие теоремы I. 2.
Пусть п — неотрицательное целое число, a G и
Я—некоторые я-клики. Они являются простыми графами. " Существует
взаимно однозначное отображение f множества V(G) на
множество V(Я), и любое такое отображение сохраняет
отношение смежности (в силу определения n-клики). Следовательно»
по теореме 1.2 G и Я изоморфны.
Пусть теперь п — положительное целое число, a G и
Я—некоторые n-цепи. Пусть а0, аг, ..., ап и Ь0, &ь ..., Ьп —
естественные нумерации вершин в цепях G и Я соответственно.
Взаимно однозначное отображение / множества V(G) на
множество V(H), определяемое соотношениями fa}- = Ь\ для / =
= 0,1, ..., я, очевидно, удовлетворяет условию теоремы 1.2.
Следовательно, цепи G и Я изоморфны.
Аналогичные рассуждения позволяют доказать, что если
п — целое число, большее 2, то любые два n-цикла изоморфны.
На случай п = 1 и п =2 этот результат распространяется
тривиальным образом. Но так как 1-цикл и 2-цикл не являются
простыми графами, то теорема 1.2 для этих графов
неприменима. Если G и Я суть 2-циклы (как показано на рис. I. 1.6(i)),
то всякое взаимно однозначное отображение множества V(G)
на множество V{H) можно «скомбинировать» с любым взаимно
однозначным отображением множества E(G) на множество
Е(Н) и получить изоморфизм графа G на граф Я.
Автоморфизмы графа G образуют группу A(G), если в
качестве групповой операции рассматривать ассоциативное
умножение изоморфизмов, определенное выше. Единицей группы
A(G) является тождественный автоморфизм. Обращением
автоморфизма 0 в группе A(G) является обратный изоморфизм
б-1, определенный ранее. Произведение ф0 изоморфизмов ф и 0
определялось нами только для случая, когда 0 было
«отображением на» некоторый граф G, а ф — «отображением из» того
же самого графа. Но при рассмотрении автоморфизмов это
ограничение всегда выполняется. Группу A(G) будем
называть группой автоморфизмов графа G.
Другие математические структуры имеют свои теории
изоморфизма. Так, две группы Р и Q называются изоморфными,
если существует взаимно однозначное отображение / группы Р
на группу Q, такое, что / и /_1 сохраняют групповые
произведения. Обратим внимание на следующую теорему.
Теорема 1.3. Изоморфные графы имеют изоморфные группы
автоморфизмов.
Доказательство. Пусть 0 — изоморфизм графа G на граф Я.
Тогда, если \ — элемент группы А (Я), то изоморфизм 0_1£9

24 Гл. I. Графы и подграфы
есть элемент группы A(G). Аналогично, если ц принадлежит
A(G), то 0Т10-1 принадлежит А(Н). Таким образом, имеем
взаимно однозначное соответствие ri-^Or]©-1 между группами
A(G) и А(Н). Оно, очевидно, сохраняет произведения. D
Мы можем теперь утверждать, что группа автоморфизмов
графа, рассматриваемая как абстрактная группа, инвариантна
относительно изоморфизма графов. Таким образом, ее изучение
является законной областью деятельности специалистов по
чистой теории графов.
Изучим группы автоморфизмов тех графов, которые были
определены выше. Для нуль-графа, графа-вершины и графа-
петли существует только тривиальный автоморфизм.
Следовательно, группа автоморфизмов каждого из этих графов
«тривиальна», т. е. состоит только из единичного элемента.
Рассмотрим теперь n-клику G при п > 0. Опираясь на
теорему I. 2, заключаем, что всякая перестановка п вершин
однозначно определяет соответствующий автоморфизм графа G.
Таким образом, группа A(G) изоморфна группе всех
подстановок на множестве из п элементов.
Рассмотрим n-цепь G с концамих и у. Пусть а0)аи .., ап —
естественная нумерация ее вершин, а А\, А2, ..., Ап — ребер.
Предположим, что а0 = х и ап = у. Можно указать еще одну
естественную нумерацию, называемую обращением первой и
получаемую изменением порядка следования вершин и ребер в
первоначальных последовательностях на противоположный.
Применяя для новой нумерации такие же обозначения, как и
для исходной, можем написать: ао = у, ап = х. Из
ограничений на валентности вершин цепи вытекает, что естественная
последовательность (нумерация) задается однозначно
указанием начальной вершины а0. В самом деле, если задана
вершина ао, то ребро А\ находится однозначным образом как
ребро, инцидентное вершине а0; затем однозначно
определяется вершина а\ как другой конец ребра А\\ далее, если
п> 1, то ребро А2 есть другое ребро, инцидентное вершине аи
и т. д. Очевидно, что любой автоморфизм цепи G однозначно
задается упорядоченной парой ее естественных нумераций:
первый член пары отображается на второй. Отсюда следует, что
группа A(G) имеет в точности два элемента, скажем / и 0.
Нетривиальный автоморфизм 0 переставляет два конца цепи G;
это приводит к изменению нумерации вершин цепи на
обратную.
Рассмотрим п-цикл G при п>1. Возьмем какую-либо
естественную нумерацию аь аг, ..., ап и Ль А2, ..., Ап его
вершин и ребер. Очевидно, что существует автоморфизм 0,
увеличивающий каждый индекс на 1. (Сложение и вычитание для

/. 3. Подграфы 25
индексов рассматривается по модулю п.) Существует также
автоморфизм ф, обращающий исходную последовательность
вершин и исходную циклическую последовательность ребер.
Используя степени автоморфизма 0 и их комбинации с
автоморфизмом ф, легко показать, что можно построить
естественную нумерацию цикла G, в которой вершина а\ является
произвольной заданной вершиной, а ребро А\ — произвольным
заданным ребром, инцидентным вершине а\. Но, как следует из
ограничений на валентности вершин, всякая естественная
нумерация на цикле G однозначно определяется заданием
вершины ах и ребра А\. Как и в случае с цепями, можно
утверждать, что автоморфизм цикла однозначно задается указанием
упорядоченной пары естественных нумераций цикла. Отсюда
вытекает, что группа A(G) содержит ровно 2п элементов,
которые можно записать в таком виде:
/, е, е2, ..., е"-1, Ф, eq>, е2Ф, ..., ея-у
В действительности группа A(G) является диэдральной
группой порядка 2/г и ее образующие Э и ф удовлетворяют
определяющим соотношениям 0" = /, ф =/ и 6ф = ср0"1.
1.3. Подграфы
Построение теории графов мы можем начать с замечания о
том, что одни графы содержат другие. Граф Я, содержащийся
в графе G, называется подграфом графа G. Мы будем
пользоваться следующим точным определением.
Говорят, что граф Я является подграфом графа G, если
V(H)<=V(G), E(H)<=E(G)
и каждое ребро графа Я имеет в графе G те же концы, что
и в графе Я. При выполнении этих условий мы будем также
говорить, что граф Я содержится в G.
Согласно данному определению, граф G является
подграфом самого себя. Остальные подграфы графа G называются его
собственными подграфами. Можно сказать также, что они
строго содержатся в графе G. Запись Н <= G означает, что Я
-является подграфом графа G. Если же Я — собственный
подграф графа G, то применяют запись Hcz G. Соответствующие
обозначения мы используем и для конечных множеств. Так,
S <=Т означает, что S есть подмножество множества Г, а запись
S сиТ указывает на то, что 5 — собственное подмножество
множества Т.
Приведенное выше формальное определение позволяет дать
следующее правилф построения подграфов.

26 Гл. I. Графы и подграфы
Правило 1.4. Пусть G — граф, Р — подмножество из V(G)
и Q — подмножество из E(G). Необходимым и достаточным
условием для существования в графе G такого подграфа Н, что
V(H)= Р и E(H)=Q, является условие, что концы каждого
элемента подмножества Q содержатся в подмножестве Р.
Это условие, очевидно, выполняется, если P=V(G). При
таком Р подграф Н будем называть остовным подграфом графа
G. Если у остовного подграфа графа G множество ребер есть
S, то мы будем обозначать его символом G : 5. Остовные
подграфы графа G, являющиеся циклами, называются его гамиль-
тоновыми циклами, а те, которые являются однородными
одновалентными графами,— его l-факторами. Эти типы остовных
подграфов весьма часто встречаются в теоретико-графовой
литературе.
Если 5 — произвольное подмножество ребер графа G, то
через /(5) обозначим подмножество всех вершин v графа G,
таких, что v инцидентна хотя бы одному ребру из 5. Согласно
правилу 1.4, существует подграф Н графа G, такой,что V(H) =
= /(5) и E(H) = S. Назовем подграф Н ограничением графа
G на S и будем обозначать его через G-5. Отметим
специально, что в подграфе G-S отсутствуют изолированные
вершины. В частности, подграф G-E(G) получается из графа G
удалением всех изолированных вершин.
Если U — произвольное подмножество вершин графа G, то
через /(£/) обозначим подмножество всех ребер графа G, оба
конца которых принадлежат U. В силу правила I. 4 существует
подграф Н графа G, такой, что
V(H) = U и E(H) = J(U).
Назовем подграф Н порожденным подграфом графа G (или,
точнее, подграфом, порожденным множеством U) и будем
применять обозначение G[U].
Каждый граф G содержит пустой подграф, который мы
будем обозначать символом 0. Этот пустой подграф является
одновременно и ограничением графа G, и его порожденным
подграфом, но он не является остовным подграфом никакого
графа G, кроме нуль-графа.
Пусть Н и К — подграфы графа G, не обязательно
различные. В силу правила 1.4 существует подграф L графа G,
такой, что
V(L) = V(H)[}V(K) и E(L) = E(H)[}E(K).
Назовем его объединением подграфов Н и К « будем
обозначать через Н\}К. Согласно правилу 1.4, существует также
подграф М графа G, удовлетворяющий условиям
V(M) = V(H)(]V(K) и Е(М) = Е(Н)()Е(К).

Л 5. Подграфы 27
Его мы будем называть пересечением подграфов Я и К и
обозначать символом Н[\К. Объединения и пересечения подграфов
подчиняются по понятным причинам алгебраическим правилам,
аналогичным тем, которые справедливы для объединений и
пересечений конечных множеств. Например,
(H\}K)[\L = (H[\L)\}(K[\L). (1.3.1)
Подграфы Я и К графа G называются непересекающимися,
если они не имеют ни общих ребер, ни общих вершин. Условие,
что подграфы Я и К непересекающиеся, можно записать так:
Н[]К = 0. Аналогичная символическая запись существует и
для условия, что граф G не является пустым: 0сС.
Следующая теорема легко получается из определения
подграфа.
Теорема 1.5. Всякий подграф произвольного подграфа графа
G является подграфом графа G.
Мы можем пойти и дальше. Любой остовный подграф
произвольного остовного подграфа графа G является остовным
подграфом графа G; всякое ограничение произвольного
ограничения графа G является также ограничением графа G;
каждый порожденный подграф порожденного подграфа графа G
является порожденным подграфом графа G.
В заключение данного раздела рассмотрим одно понятие,
связывающее подграфы двух изоморфных графов. Пусть 0 =
= (f>g)—изоморфизм графа G на граф Я.
Если 5 — некоторое подмножество множества V(G), то f
отображает S на подмножество /5 множества У (Я), состоящее
из всех образов элементов подмножества 5 при отображении /.
Можно обозначать /5 через 05. Отображение f-S является
ограничением (или сужением) отображения f на множество 5, т. е.
это взаимно однозначное отображение множества S на /S,
согласованное с / на каждом элементе из 5 (иными словами,
образы каждого элемента из 5 при отображениях f-S и f
совпадают). Аналогично, если Т — подмножество множества E(G),
то g отображает Т на подмножество gT из Е(Н).
Подмножество gT можно также обозначать через 0Г. Отображение g-T
является ограничением отображения g на множество Т. Оно
взаимно однозначно отображает Т на gT.
Пусть L — произвольный подграф графа G. Тогда
существует подграф U графа Я, такой, что
V(U) = fV(L) и E(L') = gE(L).
Мы можем писать V = 0L и говорить, что 0 отображает
подграф L на подграф Z/. Таким образом, 0 есть взаимно
однозначное соответствие L-*QL между подграфами графа G и под-

28 Гл. I. Графы и подграфы
графами графа Я. Кроме того, для каждого подграфа L
существует изоморфизм (f-V(L), g-E(L)) подграфа L на подграф
0L. Этот изоморфизм мы обозначим через 0-L и назовем
ограничением изоморфизма 0 на подграф L.
Определим структурное свойство (или структурную
характеристику) графа как свойство (характеристику), инвариантное
относительно изоморфизмов. Проведенное выше обсуждение
показывает, что если Я— фиксированный граф, то число
подграфов любого графа G, изоморфных графу Я, является
структурной характеристикой графа G. Эта характеристика будет
использована нами в гл. V, посвященной проблеме
восстановления графов.
1.4. Соединяющие вершины
Подграф соединяется с остальной частью графа в так
называемых «соединяющих вершинах». В настоящем разделе мы
дадим формальное определение таких вершин, введем
соответствующие обозначения и докажем несколько теорем.
Пусть Я — подграф графа G. Его вершина называется
соединяющей вершиной (для Я) в графе G, если она инцидентна
некоторому ребру графа G, не принадлежащему Я.
Множество всех соединяющих вершин для подграфа Я в графе G
будем обозначать через W(G,H), а их число — через w(G,H).
Очевидно, что w (G, G) = w(Gt 0) = О.
Нам понадобится несколько утверждений о связи
соединяющих вершин для подграфов Я и К с соединяющими
вершинами для объединения и пересечения этих подграфов.
Некоторые простые положения содержатся в следующей теореме.
Теорема 1.6. Пусть Я и К — подграфы графа G. Тогда
каждая соединяющая вершина для Н\] К и для Я [\К является
соединяющей хотя бы для одного из подграфов Я, К. С другой
стороны, всякая соединяющая вершина для подграфа Н
является соединяющей хотя бы для одного из подграфов Н{] К,
Н[\К.
Доказательство. Пусть v — соединяющая вершина для Н[) К.
Тогда v инцидентна некоторому ребру А из G, не
принадлежащему ни Я, ни К. Следовательно, v является соединяющей
вершиной для того из подграфов Я и /С, которому она
принадлежит (может быть, и для обоих).
Далее, пусть v — соединяющая вершина для Н[)К. Как
следует из определения, v инцидентна некоторому ребру А графа
G, которое может принадлежать не более чем одному из
подграфов Я и К. Значит, v — соединяющая вершина для того
из них, которому не принадлежит ребро А.

/. 4. Соединяющие вершины 29
Пусть, наконец, v — соединяющая вершина для подграфа Я
или подграфа /С, например для Я. Следовательно, она
инцидентна некоторому ребру А графа G, не содержащемуся в
Е(Н). Если А не принадлежит и множеству Е(/С), то вершина
v соединяющая для подграфа Н[)К. Если же ребро А
принадлежит Е(К), то вершина v принадлежит подграфу Н[\К и
является для него соединяющей. □
Пусть Я и К — подграфы графа G; через Q(G;H,K)
обозначим множество всех вершин х из G, которые содержатся
и в W(G,H), и в W{G,K), но не принадлежат W{G,H[)K).
Вершины х из множества Q(G;H,K) можно охарактеризовать
и иначе: каждая из них инцидентна какому-либо ребру из Я,
не принадлежащему подграфу /С, а также какому-нибудь ребру
из КУ не принадлежащему подграфу Я, но не инцидентна ни
одному из ребер графа G, не содержащихся ни в Я, ни в К.
Полагаем
g(G; Я, K) = \Q(G; Я, К)\.
В дальнейшем нам понадобится следующая теорема.
Теорема 1.7. Пусть Я и К — подграфы графа G. Тогда
w(G, H[)K) + w(G, Hf)K) = w(G, H) + w(G, K)-q{G\ Я, К).
(1.4.1)
Доказательство. Рассмотрим произвольную вершину х из
G. Можно предположить, что она принадлежит W{G> Н\]К)
или W(G, Н[\К)> так как в противном случае (в силу теоремы
1.6) она не вносила бы вклад ни в одну из частей
соотношения (1.4.1).
Предположим сначала, что вершина х принадлежит
W(GyH\] К). Тогда она инцидентна некоторому ребру Л из G,
не принадлежащему ни Я, ни К. Если х содержится в подграфе
Н[]Ку то она содержится в каждом из подграфов Я и К и
является соединяющей вершиной для всех четырех подграфов
Я, /С, ЯU К и ЯП К. Но тогда она не принадлежит множеству
Q(G; Я, /С), а потому в каждую часть соотношения (1.4.1)
вносит вклад, равный 2. Если х не содержится в подграфе ЯП К,
то мы можем считать без ограничения общности, что она
принадлежит Я, но не принадлежит К. Тогда она содержится в
множестве W(G,H) и, кроме того, не входит в множество
Q{G; Я, К). Значит, ее вклад в каждую часть соотношения
(1.4.1) равен 1.
Осталось рассмотреть случай, когда вершина х
принадлежит множеству W(Gf Н []К)у но не принадлежит W(G> Н[}К).

30 Гл. I. Графы и подграфы
В этом случае вершина х содержится (в силу теоремы 1.6)
хотя бы в одном из множеств W(G, Я), W(G> К). Но если она
принадлежит обоим этим множествам, то она входит и в
множество Q(G; Я, К). Следовательно, ее вклад в каждую из
частей соотношения (1.4.1) будет равен 1 (в каждом из трех
возможных подслучаев). □
Сформулируем еще одну (очевидную) теорему.
Теорема 1.8. Пусть К— подграф произвольного подграфа Я
графа G. Тогда каждая соединяющая вершина для К в
подграфе Я является соединяющей для Кие графе G. Кроме того,
любая соединяющая вершина для К в графе G является
соединяющей либо для К в подграфе Я, либо для Я в графе G.
Дальнейшие результаты о соединяющих вершинах можно
найти в работе [9].
Пусть Я — подграф графа G. Из правила 1.4 следует, что
существует подграф Яс графа G, удовлетворяющий условиям
Е (Яс) = £ (G) - £ (Я) и V (Яс) = (V (G) - V (Я)) U W (G, Я).
Назовем подграф Яс расширенным дополнением подграфа Я
в графе G. Очевидно, что Gc=0 и 0е = G. Рассмотрим еще
один пример. Пусть Я — граф-вершина, определяемый
вершиной х графа G. Если х—изолированная вершина в G, то
подграф Яс получается из графа G удалением этой вершины.
А если х не является изолированной вершиной в G, то Яс = G.
Теорема 1.9. Соединяющие вершины для подграфа Яс
исчерпываются всеми теми соединяющими вершинами подграфа Я,
которые не являются изолированными в Я.
Доказательство. Пусть х — соединяющая вершина для
подграфа Яс. Она инцидентна некоторому ребру из Я и, значит,
принадлежит Я. Принимая во внимание определение подграфа
Яс, заключаем, что х — соединяющая вершина для Я. Ясно, что
она не является изолированной вершиной в Я.
С другой стороны, если х — соединяющая вершина для Я,
то она содержится в подграфе Яс и будет соединяющей
вершиной для него тогда и только тогда, когда она не является
изолированной вершиной в Я. □
Следствие 1.10. Никакая соединяющая вершина для
подграфа Яс не является изолированной в нем.

/. 4. Соединяющие вершины 31
Рис. 1.4.1. Рис. 1.4.2.
Рассмотрим теперь расширенное дополнение подграфа Яс
в графе G, т. е. подграф Ясс. Очевидно, что Е(НСС) = Е(Н) и
V (Ясс) = {V (G) - {(V (G) - V (Я)) U W (G, Я)}} U W (G, Яс) =
= {(V (G) - W (G, Я)) - (У (G) - К (Я))} U W (G, Яс) =
= (У(Я)-Г(0, H))[)W(G, Яс).
Из этих соотношений и теоремы I. 9 вытекает
Теорема 1.11. Подграф Ясс получается из подграфа Я
удалением всех соединяющих вершин, являющихся
изолированными в Я.
Следствие 1.12. Если ни одна соединяющая вершина для Я
не является в нем изолированной, то Ясс = Я.
Пара {Я, К} подграфов графа G называется
комплементарной, если каждый из подграфов Я и К является
расширенным дополнением другого в графе G. В силу следствий I. 10 и
I. 12 комплементарной парой подграфов графа G будет всякая
пара вида {Н\НС}, где подграф Я не имеет соединяющих
вершин, которые являлись бы в нем изолированными. В частности,
каков бы ни был подграф Я графа G, пара {Яс, Ясс}
комплементарна.
Если {Я, К)—комплементарная пара подграфов графа G,
то в силу теоремы 1.9 W(G, Я)= W(G, К). Будем называть
множество W(G, Я) связывающим множеством
комплементарной пары, а число элементов в нем (т. е. w{G,H))—числом
сращивания этой пары. На рис. 1.4.1 и 1.4.2 показаны
комплементарные пары подграфов с числами сращивания, равными
соответственно 1 и 2.

32 Гл. I. Графы и подграфы
I. 5. Компоненты и связность
Подграф Н графа G будем называть обособленным в G,
если в нем нет вершин, являющихся соединяющими для него
в графе G. Таким образом, и сам граф G, и его пустой
подграф — обособленные подграфы в G.
Теорема 1.13. Если Н и К— обособленные подграфы в G,
тоН[}КиН[\К также являются обособленными подграфами
в G.
Это утверждение следует из теоремы 1.6.
Теорема 1.14. Если Н — обособленный подграф графа G, то
его. расширенное дополнение Нс в графе G есть обособленный
подграф в G. Кроме того, Нс не пересекается с Н и Нсс = Н.
Первая часть теоремы I. 14 является следствием теоремы 1.9.
Тот факт, что Яс и Я не пересекаются, непосредственно
вытекает из определения расширенного дополнения подграфа.
Наконец, соотношение Ясс = Н получается из теоремы I. 11.
Теорема I. 15. Обособленный подграф обособленного
подграфа графа G является обособленным подграфом графа G.
Доказательство следует из теоремы 1.8.
Компонентой графа G называется всякий минимальный
непустой обособленный подграф графа G, т. е. непустой
обособленный подграф графа G, не содержащий никакого другого
непустого обособленного подграфа графа G. Из этого
определения и конечности графа G вытекает
Теорема 1.16. Если Н—непустой обособленный подграф
графа G, то существует компонента С графа G, такая, что
Теорема 1.17. Разные компоненты графа G не пересекаются.
Доказательство. Пусть Н и К— разные компоненты графа
G. Предположим, что их пересечение непусто. Тогда в силу
теоремы I. 13 оно будет непустым обособленным подграфом графа
G. Принимая во внимание свойство минимальности компонент,
получаем Н П К = Я = /С, что противоречит условию теоремы. □
Теорема 1.18. Пусть х — произвольное ребро или
произвольная вершина графа G. Тогда х принадлежит одной и только
одной компоненте графа G.
Доказательство. Ясно, что х принадлежит самому графу G,
т. е. непустому обособленному подграфу G графа G. В силу

/. 5. Компоненты и связность 33
конечности графа G найдется непустой обособленный подграф
Я графа G, содержащий х и такой, что никакой его
собственный подграф не является непустым обособленным подграфом
графа G, содержащим х.
Предположим, что Я не является компонентой графа G.
Тогда в нем лежит непустой обособленный подграф К графа G>
которому х не принадлежит. Пусть К! — пересечение подграфа
Я с расширенным дополнением Кс подграфа К в графе G. Тогда
К' — собственный подграф в Я, содержащий х. Кроме того,
в силу теорем I. 13 и I. 14 К! является обособленным в G. Но
это противоречит определению подграфа Я.
Мы установили, что х принадлежит некоторой компоненте
Я графа G. Согласно теореме I. 17, другой компоненте графа
G х принадлежать не может. □
Теорема 1.19. Пусть х — изолированная вершина графа G.
Тогда соответствующий ей граф-вершина является
компонентой графа G.
Для доказательства достаточно заметить, что граф-вершина
есть обособленный непустой подграф графа G и что он не имеет
непустых собственных подграфов.
Число компонент графа G обозначим через po(G); в
терминологии алгебраической топологии это есть «число Бетти
размерности нуль графа G».
Если G — нуль-граф, то po(G) = 0, так как компоненты
являются непустыми подграфами. Если G — непустой граф, то
в силу теоремы 1.18 p0(G)>0. Если p0(G)=l, то G
называется связным графом; если же p0(G)> 1, то G называют
несвязным графом.
Из этих определений следует, что только нуль-граф не
является ни связным, ни несвязным.
Теорема 1.20. Если граф G не имеет ребер, то p0(G) =
= \V(G)\.
Это утверждение вытекает из теорем I. 17 и I. 19.
Число po(G) относится к структурным свойствам графа G.
Это вытекает из замечаний об изоморфизме, приведенных в
конце разд. I. 3, и того факта, что, каков бы ни был подграф L
графа G, изоморфизм 0 отображает множество W(G,L) на
W(H,QL). В действительности большинство из свойств графов,
рассматриваемых в этой книге, являются структурными и
допускают определение с использованием лишь отношения
инцидентности. Нам нет надобности затрагивать «структурность»
основательнее. Достаточно указать при случае свойство,
которое не является структурным.

34 Гл. I. Графы и подграфы
Приведем несколько примеров связных графов. Любая
непустая клика является связным графом, ибо из определения
клики следует, что в ней не существует непустого собственного
подграфа, который был бы обособленным.
Рассмотрим я-цепь G. Пусть а0, #i, ..., ап— некоторая
естественная нумерация ее вершин. Предположим, что С —
компонента графа G, содержащая вершину a$. (Существование
такой компоненты вытекает из теоремы I. 18.) Если в G имеются
вершины, не принадлежащие С, то пусть а/ — одна из них
(с наименьшим возможным индексом). Но тогда вершина а/_ь
инцидентная ребру Л/, является соединяющей вершиной для С
в G, что невозможно. Значит, С содержит все вершины цепи G,
а потому p0(G)= 1 (в силу теоремы I. 17).
Рассмотрим теперь n-цикл. Предположим, что а\, а2, ...
..., ап — некоторая естественная нумерация его вершин. Пусть
С — компонента, содержащая вершину а,\. Далее можно
применить рассуждения, аналогичные проведенным в случае п-цепи.
Итак, каждая цепь и каждый цикл являются связными
графами.
Установим несколько общих теорем о связных графах и
подграфах.
Теорема 1.21. Граф G связен тогда и только тогда, когда
он непуст и не содержит непустых собственных обособленных
подграфов.
Доказательство. Если в G есть обособленный непустой
собственный подграф, то G имеет хотя бы две компоненты (в силу
теорем 1.16 и 1.18). Проверим достаточность: граф G
является минимальным непустым обособленным подграфом самого
себя, т. е. представляет собой компоненту; единственность ее
вытекает из теоремы I. 17. □
Теорема 1.22. Каждая компонента графа G является
связным графом.
Доказательство. Пусть С—компонента графа G. По
теореме I. 18 в ней существует некоторая компонента D, которая
(см. теорему I. 15) должна быть обособленным подграфом
графа G. Но тогда D = С и р0{С)= 1 в силу минимальности
компоненты С. О
Теорема 1.23. Пусть Н — подграф графа G. Тогда Н
является компонентой графа G в том и только том случае, если он
одновременно и обособлен в G, и связен.
Доказательство. Если подграф Н является компонентой
в G, то утверждение очевидно (см. теорему 1.22). Обратно,

/. 5. Компоненты и связность. 35
если подграф Я является одновременно и обособленным в G,
и связным, то он — минимальный непустой обособленный
подграф графа G в силу теорем 1.8 и 1.21. (Из теоремы 1.8
выводим, что подграф Я обособлен в самом себе, так как он
обособлен в G.) П
Теорема 1.24. Пусть Я— связный подграф графа G. Тогда
существует единственная компонента С графа G, такая, что
H<=C.
Доказательство. Пусть х — вершина подграфа Я. По
теореме I. 18 существует компонента С графа G, содержащая х.
Пересечение С[\Н, очевидно, непусто.
Предположим, что С (] Я — собственный подграф в Я. В силу
теоремы 1.21 CflH не является обособленным в Я. Значит,
найдется вершина и в С[\Н, инцидентная некоторому ребру А
из Я, не принадлежащему С. Но тогда и— соединяющая
вершина для С в G, что невозможно.
Таким образом, СПЯ совпадает с Я, а потому Н ^ С. □
Теорема, 1.25. Пусть связные подграфы Я и К графа G
имеют непустое пересечение. Тогда подграф Н[) К связен.
Доказательство. В силу теоремы 1.24 подграфы Я и К cd-
держатся в компонентах С и D соответственно подграфа Н[)К.
Используя теорему I. 17, заключаем, что C = D. Следовательно,
C = H[)Knpo(H[)K)=L □
В заключение данного раздела рассмотрим две характери-
зационные георемы.
Теорема 1.26. Граф G является цепью тогда и только тогда,
когда он связен и две вершины у него одновалентные, а
остальные, если они есть, двухвалентные.
Доказательство. Предположим, что G — цепь. Тогда (как
мы видели выше в данном разделе) G — связный граф, и (см.
разд. I. 1) он имеет только вершины указанного типа.
Обратно, пусть G — граф, удовлетворяющий трем
перечисленным в теореме условиям. Обозначим одну из
одновалентных вершин через а$. Пусть А\ — то единственное ребро в G,
которое инцидентно вершине а0. Обозначим другой конец ребра
А\ через а\ и рассмотрим второе ребро (ребро Л2),
инцидентное вершине а\ (если оно есть); затем берем второй конец
ребра А2 — вершину аг, и т. д. Очевидно, что при описанном
процессе ни одно ребро не может повториться до тех пор, пока
не повторится какая-нибудь вершина, а повторение вершины
означало бы, что ее можно «повторить» и еще раз. Но тогда
мы приходим к противоречию с ограничениями на валентности

36 Гл. I. Графы и подграфы
вершин. Таким образом, последовательность вершин повторений
иметь не будет, а значит, она «оборвется» на каком-то
конечном шаге, причем на одновалентной вершине (скажем, ап).
Построенные последовательности а0, аь ..., а„и Ль А2, • • • > Ап
являются, очевидно, естественными нумерациями вершин и
ребер некоторой n-цепи L, представляющей собой подграф графа
G. Но цепь L есть обособленный подграф графа G, так как
валентность каждой ее вершины, рассматриваемая в L, совпадает
с валентностью этой вершины в самом графе G. Следовательно,
G = L (по теореме I. 21). □
Теорема 1.27. Граф G является циклом тогда и только тогда>
когда он — связный однородный граф валентности 2.
Доказательство. Предположим сначала, что G является
циклом. Как мы видели выше в данном разделе, G есть связный
граф, а из разд. I. 1 следует, что G — однородный граф
валентности 2.
Обратно, пусть G — связный однородный граф валентности 2.
Возьмем какую-нибудь его вершину и обозначим ее через а\.
Пусть А\ — некоторое ребро, инцидентное а\. Обозначим
другой конец ребра А\ через а2 и рассмотрим второе ребро (ребро
Л2), инцидентное вершине а2\ затем обозначим через а3 второй
конец ребра А2 и т. д. до тех пор, пока не повторится
некоторое ребро или некоторая вершина. Очевидно, что первое
повторение случится для вершины, и в силу ограничений на
валентности вершин должно получиться ап+\ = а\ (если А\ — петля,
то п=1). Очевидно, что последовательности а,\, a2t ... t ап и
Аи А2у ..., Ап являются естественными нумерациями
некоторого я-цикла /, содержащегося в G. Цикл / — обособленный
подграф графа G, так как валентности его вершин в нем и в
самом графе G совпадают. Следовательно, на основании
теоремы 1.21 G = J. □
1.6. Удаление ребра
В этом разделе мы займемся исследованием операции
удаления ребра А из графа G, в результате применения которой
получается остовный подграф G : (E(G) — {А}), обозначаемый
также более простым символом Ga- Излагаемая теория
базируется на следующем утверждении.
Предложение 1.28. Пусть А —ребро графа G и С —
компонента графа G, содержащая ребро А. Тогда компонентами
подграфа Ga являются все компоненты графа G, отличные от С,
а также компоненты подграфа Са- Кроме того, каждая
компонента подграфа Са содержит хотя бы один из концов ребра А.

/. 6. Удаление ребра 37
Доказательство. Очевидно, что компоненты графа G,
отличные от С, и компоненты подграфа Са являются обособленными
подграфами в Ga, содержащими в совокупности все вершины
подграфа Ga. Следовательно, в силу теорем 1.23 и 1.7 все
они — компоненты подграфа Ga- Кроме того, если бы в
подграфе Са имелась компонента Д не содержащая конца ребра Л,
то она была бы обособленным подграфом графа G. А это
противоречит минимальности С. □
Имеются две возможности: либо в Са ровно две компоненты
и каждая из них содержит по одному концу ребра Л, либо
Са — связный подграф. В первом случае ребро А будем
называть перешейком графа G, а компоненты подграфа Са —
торцевыми графами ребра А в графе G.
Из предложения 1.28 непосредственно вытекает
Теорема I. 29. Пусть А — ребро графа G. Если оно не является
перешейком этого графа, то р0 (G'A) = р0 (G). Если же А —
перешеек графа G, то р0 (G'A) = р0 (G) + 1.
Единственное ребро графа-звена является в нем
перешейком. Далее можно убедиться и в том, что в любой цепи
каждое ребро является в ней перешейком. Обратим внимание
также на следующее утверждение.
Теорема 1.30. Пусть х — одновалентная вершина графа G и
А — инцидентное ей ребро. Пусть, далее, С — компонента графа
G, содержащая х и А. Тогда А является перешейком графа G
и один из торцевых графов ребра А есть граф-вершина X,
определяемый вершиной х. Другой торцевой граф ребра А
получается из С удалением х и А.
Доказательство. В силу теоремы I. 19 X есть компонента
подграфа С а- Так как х — одновалентная вершина, то ребро А
является звеном и его второй конец у не принадлежит X.
Следовательно, А — перешеек графа G и X — один из торцевых
графов ребра А. Второй торцевой граф ребра А должен быть
расширенным дополнением подграфа X в Са- П
Теорема 1.31. Цикл не имеет перешейков.
Доказательство. Это утверждение можно непосредственно
вывести из определений цепи и цикла. Очевидно, что, удаляя
из цикла ребро, мы получаем либо граф-вершину, либо цепь,
т. е. в обоих случаях — связный граф.
В другом доказательстве используется теорема I. 1.
Предположим, что ребро А есть перешеек цикла С. Пусть Н — ка-

38 Гл. I. Графы и подграфы
кой-либо торцевой граф ребра Л в цикле С и х— тот
(единственный) конец ребра Л, который принадлежит Н. Далее, так
как в С каждая вершина двухвалентна, то в Н вершина х имеет
валентность 1, а любая другая вершина — валентность 2. Но
в силу теоремы I. 1 это невозможно. □
Всякий перешеек," как следует из определения, является
обязательно, звеном. Для перешейков справедлива следующая
теорема о наследственности.
Теорема 1.32. Если А — перешеек графа G и Н — подграф
графа G, содержащий ребро Л, то А — перешеек и в И.
Доказательство. Предположим, что ребро Л не является
перешейком в Я. Тогда оба его конца лежат в одной и той
же компоненте D подграфа На. Но D — связный подграф в G'a
и, значит, содержится в некоторой компоненте С подграфа G'a
(см. теорему I. 24). Следовательно, оба конца ребра Л
принадлежат одной и той же компоненте подграфа G'a. Это
противоречит тому, что Л — перешеек в G. □
Граф, в котором каждое ребро является перешейком,
называется лесом. Связный лес называется деревом. Таким образом,
в силу теоремы I. 32 каждая компонента леса есть дерево.
Заметим, что нуль-граф является лесом, но не деревом; он
представляет собой лес, не содержащий деревьев. Следующая
теорема является более общим приложением теоремы I. 32:
Теорема 1.33. Всякий подграф леса является лесом.
Цикломатическое число графа G обозначается через P\{G)
и определяется с помощью следующего соотношения:
Pi(G) = \E(G)\-\V(G)\ + Po(G). (1-6.1)
Это число называют также числом Бетти размерности 1.
Теорема I. 34. Пусть А — ребро графа G. Если оно является
перешейком в G, то р{ (G^) = р{ (G), а если не является, то
Pl(G'A) = Pl(G)-l.
(Утверждение следует из соотношения (1.6.1) и
теоремы 1.29.)
Теорема 1.35. Цикломатическое число графа G
неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда G — лес.
Доказательство. Предположим сначала, что в G нет ребер.
Тогда pi(G) = 0 (в силу соотношения (1.6.1) и теоремы 1.20).
Очевидцо, что «безреберный» граф является лесом.

/. 6. Удаление ребра 39
Далее предположим, что граф G есть лес и в нем
содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из G ребра до тех пор,
пока не получим безреберного графа Н. При удалении каждого
ребра цикломатическое число не меняется (см. теоремы I. 32 и
1.34). Следовательно, pi(G) = р\(Н) = 0.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф G не является
лесом. Тогда в G содержится ребро Л, не являющееся
перешейком. Удаляя его из G, мы уменьшим цикломатическое
число на 1 (см. теорему 1.34). Если результирующий граф не
будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После
нескольких таких шагов (обозначим их число через п) мы
получаем лес F. Очевидно, что п — положительное число, и мы
имеем р{ (G) = п + р\ (F) = n>0. О
Остовным деревом (или остовом) графа G называется
всякий остовный подграф графа G, являющийся деревом. Об остов-
ных деревьях мы много будем говорить в последующих главах,
здесь же докажем только одну теорему о них.
Теорема 1.36. Граф G имеет остов тогда и только тогда,
когда он связен.
Доказательство. Связность графа G, в котором есть остов,
вытекает из теоремы 1.24. Обратно, пусть G — связный граф.
Будем по одному удалять из него ребра, не являющиеся
перешейками, до тех пор, пока это возможно. Получим остовный
подграф Н графа G, который к тому же будет лесом и (в силу
теоремы 1.29) связным графом. Значит, Н — остов графа G. П
Примерами деревьев являются граф-вершина и граф-звено.
Ранее мы убедились в том, что каждое ребро цепи есть
перешеек. Поэтому (в силу теоремы 1.26) мы можем утверждать,
что каждая цепь является деревом.
Укажем теперь два довольно очевидных свойства деревьев.
Теорема 1.37. Если Т — дерево, то \ V(T) \ = \Е(Т) | + 1.
Доказательство. Имеем ро(Т)—1. По теореме 1.35 pi(T) =
= 0. Остается применить соотношение (1.6.1). □
Теорема 1.38. Пусть А—ребро дерева Т. Тогда торцевые
графы ребра А в дереве Т являются деревьями.
Утверждение следует из теоремы I. 33.
Из теоремы I. 37 вытекает, что среди деревьев только граф-
вершина не содержит ребер и имеет единственную вершину. Он
является также (в силу теоремы I. 19) единственным деревом,
содержащим изолированную вершину.

40 Гл. I. Графы и подграфы
Дальнейшие свойства деревьев можно вывести из
некоторой модификации соотношения (I. 1.1). Вычитая из обеих
частей формулы (1.1.1) величину 2|F(G)| и используя
соотношение (1.6.1), получаем такой результат:
Теорема 1.39. Если G — произвольный граф, то
£ (val (G, х) - 2) = 2 (р, (G) - р0 (G)). (1.6.2)
xe=V(G)
Теорема 1.40. Если Т — произвольное дерево, отличное от
графа-вершины, то в нем содержится не менее двух
одновалентных вершин. Если дерево Т имеет ровно две
одновалентные вершины, то оно является цепью.
Доказательство. Если граф Т — дерево, то для него правая
часть соотношения (1.6.2) равна —2. Так как у Т нет
изолированных вершин, то из (1.6.2) вытекает, что в нем содержатся
хотя бы две одновалентные вершины, а если их в точности две,
то каждая другая вершина двухвалентна. Остается применить
теорему 1.26. □
Следующая теорема легко выводится непосредственно из
определения цепи. Однако мы докажем ее, чтобы
поупражняться, с помощью теоремы I. 39.
Теорема 1.41. Всякая цепь является деревом. Пусть А —
ребро цепи L и концами этого ребра являются вершины х и у.
Пусть Н—торцевой граф ребра А в цепи L, содержащий х.
Если х — конец цепи L, то Н — граф-вершина, определяемый х\
в противном случае Н является цепью, один конец которой со-
впадает с х, а другой — с концом цепи L.
Доказательство. Если граф L — цепь, то для него левая
часть формулы (I. 6.2) обращается (в —2 и, кроме того, по
теореме 1.26 p0(L)=l. Значит, р\(Ь) = 0 (см. соотношение
(1.6.2)) и в силу теоремы 1.35 L является лесом. Учитывая
связность цепи L, заключаем, что она является деревом.
Если х — конец цепи L, то достаточно воспользоваться
теоремой 1.30. В противном случае х — одновалентная вершина
графа Н, а любая другая его вершина имеет в Н такую же
валентность, как и в графе L. Но Я является деревом (см.
теорему 1.38); поэтому (на основании теоремы 1.40) в нем есть
еще хотя бы одна одновалентная вершина. Такая вершина
может быть только концом цепи L. Граф Н может содержать
лишь один конец цепи L; другой конец цепи должен
принадлежать второму торцевому графу ребра А (в силу сображе-
ний, аналогичных высказанным). Следовательно, Н есть де-

/. 6. Удаление ребра 41
рево, имеющее в точности две одновалентные вершины.
Остается применить теорему I. 40. □
Следствие 1.42. Если А—ребро цепи L, то два конца цепи
L принадлежат разным торцевым графам ребра А в цепи L.
В заключение данного раздела приведем несколько теорем,
относящихся к таким ситуациям, когда цепи и циклы
выступают в роли подграфов.
Теорема 1.43. Пусть х и у— разные вершины графа G. Для
того чтобы некоторый подграф графа G был цепью с концами
х и у, необходимо и достаточно, чтобы х и у принадлежали
одной и той же компоненте С графа G. Эта цепь тогда является
подграфом графа С.
Доказательство. Предположим сначала, что такая цепь L
существует. На основании теорем 1.24 и 1.26 она содержится
в некоторой компоненте С графа G, и обе вершины х и у
принадлежат С.
Обратно, пусть х и у лежат в одной и той же компоненте
С графа G. По теореме I. 36 в С имеется остовное дерево.
Следовательно, мы вправе утверждать, что в С существует
подграф Г, являющийся деревом и содержащий вершины х и у.
Можно считать, что Т — подграф с наименьшим числом ребер,
удовлетворяющий этим условиям (требование минимальности).
Предположим, что в Т есть одновалентная вершина г, отличная
от х и у. Пусть А — ребро в Г, инцидентное г. Тогда один из
торцевых графов ребра А в дереве Т является деревом,
содержащим обе вершины х и у (в силу теорем 1.30 и 1.38). Но
это противоречит требованию минимальности дерева Т. Далее,
применяя теорему I. 40, заключаем, что Т есть цепь с
одновалентными вершинами х и у. О
Теорема 1.44. Пусть х и у — разные вершины дерева Т.
Тогда в нем содержится в точности одна цепь с концами х и у.
Доказательство. Существование одной такой цепи следует
из теоремы 1.43. Предположим, что найдутся две такие цепи
L\ и Li. Без ограничения общности можно считать, что в цепи
L2 есть ребро Л, не принадлежащее цепи L\. Пусть концами А
являются вершины и и v. Мы можем выбрать обозначения так,
чтобы один торцевой граф ребра А в цепи L2 (пусть это будет
граф Н) содержал вершины и и ху а другой (граф К) —
вершины v и у (см. следствие 1.42). Может случиться, что и—х
или v = у. В силу теоремы 1.24 существуют компоненты В, С
и D подграфа 7^, содержащие соответственно графы Я, К и
L\. Но тогда по теореме I. 17 получаем, что В = D — С. Зна-

42 Гл. I. Графы и подграфы
чит, ребро А не является перешейком графа Т. Это, однако,
невозможно. D
Теорема 1.45. Пусть А— ребро графа G. Для того чтобы
некоторый подграф графа G имел цикл, содержащий ребро Л,
необходимо и достаточно, чтобы ребро А не было перешейком
в графе G.
Доказательство. Предположим, что граф G содержит цикл
/С, которому принадлежит ребро А. Если А — перешеек в G,
то в силу теоремы I. 32 он является перешейком и в /С. Значит,
А (по теореме 1.31) не может быть перешейком в G.
Обратно, пусть ребро А не является перешейком графа G,
т. е. два его конца х и у лежат в одной и той же компоненте С
подграфа G'a. Если х = у, то ребро А определяет в графе G
1-цикл, и теорема (для этого случая) установлена. Если же
хфу, то в подграфе Ga существует цепь L с концами х и у
(см. теорему 1.43). Добавляя к цепи L ребро Л, мы получим
(в силу теоремы 1.25) связный подграф К графа G,
содержащий ребро Л и являющийся однородным графом валентности 2.
Следовательно, на основании теоремы 1.27 К есть цикл. □
Основываясь на теореме 1.45, мы можем охарактеризовать
лес как граф без циклов, а дерево — как связный граф без
циклов. Исходя из теорем 1.34 и 1.35, мы можем толковать
цикломатическое число графа G, т. е. величину pi(G), как
наименьшее число ребер, удаление которых из графа G
разрывает в нем каждый цикл.
/. 7. Перечни неизоморфных связных графов
Процедура присоединения отростка к графу Н состоит в
добавлении одной новой вершины v и одного нового звена Л,
соединяющего v с некоторой вершиной х из Н. Если G — граф,
полученный после выполнения описанной операции, то отросток
является, очевидно, графом-звеном G-{A}, и мы поэтому будем
говорить, что отросток присоединяется к Н в вершине х (или
к вершине х графа Н).
Если Н—связный граф, то и граф G будет связным (см.
теорему 1.25). Каков бы ни был граф Я, всегда p0(G)= р0(Н)
(в силу предложения 1.28 и теоремы 1.30), а значит, pl(G) =
= р\(Н) согласно соотношению (1.6.1). Отсюда следует, что
если граф Н является деревом, то деревом будет также граф
G. С другой стороны, если Т — дерево, отличное от
графа-вершины, то у него имеется одновалентная вершина (в силу
теоремы 1.40), и, следовательно, на основании теорем 1.30 и 1.38

/. 7. Перечни неизоморфных связных графов 43
дерево Т может быть построено из некоторого меньшего дерева
присоединением отростка к подходящей вершине.
Очевидно, что, присоединяя отросток к заданной вершине
х данного графа G, мы получим только один, с точностью до
изоморфизма, новый граф.
Применим высказанные положения для построения полного
перечня Ln попарно неизоморфных деревьев с п ребрами.
Начинаем с L0 и строим последовательно L\, L2, Lz и т. д.
Очевидно, что в Lq входит только граф-вершина. При п > 0 в
перечень Ln войдут следующие графы: сначала к каждой
вершине каждого графа из перечня Ln-\ присоединяем отросток,
затем полученную совокупность графов «очищаем» от
повторений (оставляя из изоморфных графов только один). Легко
видеть, что наиболее трудоемкой частью этого процесса является
распознавание изоморфных графов. Описанную процедуру
можно несколько упростить, учитывая следующее
обстоятельство: если в графе S из перечня Ln-\ какие-либо две вершины
эквивалентны относительно некоторого автоморфизма этого
графа, то операцию присоединения отростка достаточно
применять лишь к одной из них.
Существует всего один способ присоединения отростка к
графу-вершине. Следовательно, в перечне L\ только один
элемент— это граф-звено. Так как граф-звено имеет автоморфизм,
переставляющий его концы, то при построении L2 достаточно
применить операцию присоединения отростка лишь для одного
конца. Значит, в перечне L2 только один граф — это 2-цепь.
К 2-цепи отросток можно присоединить либо в концевой
вершине, либо во внутренней. Следовательно, в перечне Lz
содержатся два графа; они показаны на рис. 1.7.1. Первый из них —
3-цепь, второй называется 3-звездой. Граф называется п-звез-
дой (где п — целое неотрицательное число), если он имеет
п-\- 1 вершин а0, #i, ..., ап и п ребер Аи А2, ..., Ап и
концами каждого ребра Л/ являются вершины а0 и а/. Очевидно,
что для каждого фиксированного п все n-звезды являются
изоморфными графами. Граф-вершина есть 0-звезда, граф-звено —
1-звезда и 2-цепь — 2-звезда.
Из перечня L3 можно получить перечень L4, изображенный
на рис. 1.7.2. В него входят 4-цепь, 4-звезда и еще одно
дерево, которое можно построить, присоединяя отросток либо к
внутренней вершине 3-цепи, либо к одновалентной вершине
3-звезды. Для каждого перечня Ln следует выяснять, нет ли
в нем изоморфных графов. Для L\ это делается легко, ибо
у содержащихся в нем трех графов максимальные валентности
вершин разные.
Следующий шаг приводит нас к перечню L5, показанному
на рис. 1.7.3. Выявлять изоморфные графы с каждым шагом

44 Гл. I. Графы и подграфы
Рис. 1.7.1. Перечень L3.
Рис. I. 7.2. Перечень L4.
Рис. I. 7.3. Перечень L5.
становится труднее. В перечне L$ два графа имеют по четыре
одновалентных вершины. Но эти графы не изоморфны, ибо в
одном из них есть четырехвалентная вершина, а в другом
такой вершины нет. В этом перечне содержатся, кроме того, два
графа, имеющие по три одновалентные вершины, по две
двухвалентные и по одной трехвалентной. Эти графы также не
изоморфны, потому что в одном из них есть вершина, смежная
с двумя одновалентными вершинами, а в другом такой
вершины нет.

/. 7. Перечни неизоморфных связных графов 45
— О
Рис. I. 7.4. Перечень М2.
А/Ао-
а е
Рис. I. 7.5. Перечень Мъ.
Обозначим через Мп полный перечень попарно
неизоморфных не имеющих петель связных графов с п ребрами. Ясно,
что Ln содержится в Мп. Всякий граф из перечня Мт не
принадлежащий перечню Ln, имеет некоторое ребро Л, не
являющееся перешейком. Значит, такой граф можно построить из
некоторого графа Я, входящего в перечень Мп~и путем
присоединения звена, т. е. соединяя новым ребром А какие-то две
различные вершины графа Я. Очевидно, что, соединяя ребром в
заданном графе две заданные вершины, мы получим только
один, с точностью до изоморфизма, новый граф. С другой
стороны, если граф построен из некоторого графа,
принадлежащего перечню Мп-и с помощью операции присоединения звена,
то этот (новый) граф является в силу теоремы 1.25 связным
графом без петель, содержащим п ребер.
Легко видеть, что перечень М0 состоит лишь из
графа-вершины. Так как у этого графа нет двух различных вершин,
которые можно было бы соединить новым звеном, то Mi = L\.
Далее, мы можем соединить два конца графа-звена новым
ребром, а поэтому перечень М2 содержит два графа — 2-цепь и
2-цикл (см. рис. 1.7.4).
Из 2-цепи с помощью операции присоединения звена можно
построить два графа, входящих в перечень Л13. Один из них —
3-цикл. Еще один граф, называемый 3-звенником, получается
присоединением звена к 2-циклу. Граф называется п-звенником,
где п — целое положительное число, если он содержит две
вершины и п звеньев, соединяющих эти вершины. Таким образом,
1-звенник — это граф-звено, а 2-звенник — 2-цикл. Для каждого
фиксированного п все я-звенники изоморфны.
Через Nn обозначим полный перечень попарно
неизоморфных связных графов с п ребрами (с петлями и без петель).

46 Гл. I. Графы и подграфы
М > f-
~о~ (X.
е^ сю о>
Рис. I. 7.6. Перечень Л14.
— о
Рис. I. 7.7. Перечень Л^.
— o.Q-g
Рис. I. 7.8. Перечень N2.
При построении этих перечней можно пользоваться следующим
правилом: всякий граф из Nn, не принадлежащий перечню Мп,
получается из подходящего графа перечня Nn-\ с помощью
операции присоединения новой петли к некоторой вершине.
Присоединяя петлю к графу-вершине, получаем граф-петлю.
Значит, перечень N\ состоит из двух графов — графа-звена и
графа-петли (см. рис. 1.7.7).
Перечень N2, показанный на рис. 1.7.8, получается из М2
добавлением графов, строящихся из элементов перечня N\ с
помощью операции присоединения петли к вершине. Следующий
шаг дает нам перечень Л^3, изображенный на рис. I. 7.9.
Эти перечни приводят нас к ряду важных
перечислительных задач теории графов. Сколько существует деревьев с п
ребрами? Сколько графов в перечнях Мп и Nnf Такие задачи
рассматриваются в рамках общей теории перечисления, связан-

/. 8. Мосты 47
Рис. I. 7.9. Перечень Ыг.
ной с именем Д. Пойа. Однако это направление теории
графов, как и многие другие ее направления, в нашей книге не
затрагиваются. Интересующихся такими вопросами мы
отсылаем к работе [8].
1.8. Мосты
Здесь мы займемся обобщением теории обособленных
подграфов, представленной в разд. 1.5. Рассмотрим некоторый
граф G и какой-либо его фиксированный подграф /. Подграф
Н графа G назовем J-обособленным в G, если все
соединяющие вершины подграфа Н принадлежат подграфу /. Таким
образом, если / — пустой подграф графа G, то /-обособленные
подграфы — это просто обособленные подграфы графа G. Наше
первое утверждение обобщает теоремы I. 13 и I. 14.
Теорема 1.46. Объединение и пересечение любых двух
J-обособленных подграфов графа G являются J -обособленными
подграфами. Расширенное дополнение J-обособленного
подграфа G является J-обособленным подграфом.
Это утверждение вытекает из теорем 1.6 и 1.9.
Мостом относительно подграфа J в графе G (или, короче,
J-мостом в G) называется подграф В графа G,
удовлетворяющий следующим трем условиям:
(i) В не является подграфом подграфа /,
(ii) В есть J-обособленный подграф в G,

48 Гл. I. Графы и подграфы
(iii) не существует собственного подграфа в В,
удовлетворяющего условиям (i) и (и).
Условие (iii) можно сформулировать иначе: подграф В
является минимальным подграфом графа G, обладающим
свойствами (i) и (и). Из условия (i) следует, что В— непустой
подграф. Понятие моста обобщает понятие компоненты. В
самом деле, если /— пустой подграф графа G, то всякий /-мост
в графе G является компонентой этого графа. Мосты
относительно / в работе [9] называются «компонентами по
модулю /».
Теорема 1.47. Мост В относительно подграфа J в графе G
не имеет ребер, принадлежащих подграфу J.
Доказательство. Предположим, что А — ребро из В,
содержащееся в /. Тогда подграф Вл удовлетворяет условиям (i)
и (и), что противоречит свойству минимальности моста В. О
Теорема 1.48. Пусть В есть J-мост в графе G. Если вершина
х принадлежит одновременно В и /, то она инцидентна хотя
бы одному ребру из В.
Доказательство. Если х — вершина, изолированная в В, то
пусть В\ — подграф графа G, порожденный множеством вершин
подграфа В, за исключением вершины х. Тогда В\
удовлетворяет условиям (i) и (И), что противоречит свойству
минимальности моста В. □
Вершина, общая для В и /, не обязана быть соединяющей
вершиной для В. Но если она не является соединяющей для В,
то в силу теоремы 1.47 она — изолированная вершина в /.
Рассмотрим произвольный /-мост В в графе G. Вершины,
общие для В и /, будем называть наружными вершинами
моста В. Всякое ребро моста В, инцидентное некоторой
наружной вершине х этого моста, назовем J-пограничным к х. Если
такое ребро инцидентно еще какой-либо вершине у,
принадлежащей В, но не содержащейся в 7, то мы будем называть его
J-пограничным из у к х. Из правила I. 4 следует, что в В
существует подграф N(B), получаемый после удаления из В всех
наружных вершин и /-пограничных ребер. Этот подграф
назовем ядром моста В.
Теорема 1.49. Если А—ребро графа G, не принадлежащее
J, оба конца которого содержатся в /, то подграф G-{A}
(являющийся графом-звеном или графом-петлей) будет J-mo-
стом в G.

/. 8. Мосты 49
Утверждение непосредственно вытекает из рассмотрения
условий (i) — (iii).
Мосты указанного в теореме I. 49 вида называются
вырожденными. Очевидно, что вырожденный мост имеет пустое ядро.
Теорема 1.50. Пусть С—компонента порожденного
подграфа G[V{G)— V(J)] графа G. Пусть подграф В графа G
получается из С добавлением всех звеньев из G, у которых
один конец принадлежит С, а другой принадлежит J
(добавляется и конец звена, содержащийся в /). Тогда В —
невырожденный J-мост графа G и С является его ядром.
Доказательство. Выполнение условий (i) и (ii) вытекает
непосредственно из определения подграфа В. Предположим,
что В не является /-мостом в G. Тогда он не будет
удовлетворять условию (Hi), а значит, в нем найдется собственный
подграф Я, обладающий свойствами (i) и (ii). В силу условия (i)
подграф ЯП С непустой. Кроме того, Н[\С есть собственный
подграф графа С, ибо в противном случае подграф Я содержал
бы каждое ребро и каждую вершину подграфа В.
Применяя теорему 1.21 к С, заключаем, что найдется
вершина х подграфа ЯП С, инцидентная некоторому ребру А из
С, не принадлежащему подграфу Я. Но тогда х —
соединяющая вершина для Я, не содержащаяся в /. Это противоречит
определению подграфа Я. Таким образом, В является
/-мостом в G. Из построения В видно, что это невырожденный
мост и что С — его ядро. □
Теорема 1.51. Пересечение любых двух различных J-мостов
графа G содержится в J. Мосты относительно J в графе G
могут иметь только такое строение, которое указано в теоремах
1.49 и I. 50. Всякое ребро графа G, не принадлежащее /, или
всякая вершина графа G, не принадлежащая /, содержится
ровно в одном J-мосте графа G.
Доказательство. Предположим, что Я и К—различные
/-мосты в G и что подграф Я П К не содержится в /. Тогда,
согласно теореме I. 46 и свойству минимальности подграфов Я
и/С, Н = Н()К = К. Мы пришли к противоречию.
Для завершения доказательства достаточно лишь заметить,
что множество всех мостов, описанных в теоремах 1.49 и 1.50,
содержит в совокупности все ребра и все вершины графа G,
не принадлежащие /. □
Из теоремы I. 25 вытекает
Следствие 1.52. Каждый J-мост в графе G является связным
подграфом.

50 Гл. I. Графы и подграфы
Рис. 1.8.1.
На рис. 1.8.1 изображены мосты в графе G относительно
цикла /, причем /-пограничные ребра мостов показаны
пунктиром. Мосты В\ и В2 вырожденные, остальные три моста £3,
В± и В5 невырожденные.
Две следующие теоремы теперь довольно очевидны. Однако
они удобны для приложений.
Теорема 1.53. Пусть Н — произвольный связный подграф
графа G, не пересекающийся с подграфом J. Тогда Н
содержится в ядре некоторого невырожденного J-моста В графа G.
Утверждение вытекает из теорем 1.24 и 1.50.
Теорема 1.54. Пусть В — невырожденный J-мост в графе G
и S — произвольное множество наружных вершин моста В.
Пусть, далее, Н — подграф графа G, получаемый из ядра N(B)
добавлением всех вершин, принадлежащих 5, и таких ребер из
В, которые являются J -пограничными к вершинам множества
S. Тогда Н — связный подграф.
Здесь, возможно, следует заметить, что ядро N {В) есть
связный подграф (в силу теорем 1.50 и 1.51). Тем самым
теорема будет обоснована для случая пустого множества 5.
Пусть, далее, 5 непусто. Тогда в силу теоремы 1.48 и того
факта, что В не содержит вырожденных мостов (см.
теорему 1.51), каждая вершина, из множества 5 инцидентна
одному из добавленных ребер. Остается применить теорему 1.25.
Следствие 1.52, очевидно, является частным случаем
теоремы I. 54.
Перейдем теперь к рассмотрению двух теорем,
образующих в совокупности аналог теоремы 1.43. Будем говорить, что
цепь L, содержащаяся в графе G, уклоняется от подграфа /,
если в ней нет ни ребер, ни внутренних вершин,
принадлежащих /.

/. 8. Мосты 51
Теорема 1.55. Пусть L — цепь в графе G, уклоняющаяся
от подграфа J. Тогда L является подграфом некоторого J-моста
В графа G.
Доказательство. Если L есть 1-цепь, то на основании
теоремы 1.51 ее ребро принадлежит некоторому мосту В и,
следовательно, L<=zB. Значит, можно предположить, что L есть
я-цепь ип>1. Удалим из L те ее концы, которые
принадлежат / (вместе с инцидентными этим концам ребрами). В силу
теорем 1.26 и 1.30 получившийся подграф будет связным и
непересекающимся с подграфом /. Кроме того, по теореме 1.53
он содержится в ядре некоторого невырожденного /-моста
графа G. Следовательно, принимая во внимание условие (и),
получаем L s В. □
Теорема 1.56. Пусть х и у — две различные вершины J-моста
В графа G. Тогда существует цепь L с концами х и у,
являющаяся подграфом графа В и уклоняющаяся от подграфа J.
Доказательство. Если мост В вырожденный, то он должен
быть в данном случае графом-звеном. Тогда, очевидно, Ь=В.
Предположим теперь, что мост В невырожденный. Пусть Н —
подграф, полученный из В после удаления каждой наружной
вершины, отличной от х и у, вместе с инцидентными ей
ребрами. Очевидно, что Н содержит вершины х и у и в силу
теоремы 1.54 является связным графом. Значит, на основании
теоремы 1.43 в Я существует цепь L с концами х и у. Из
определения подграфа Н следует, что цепь L уклоняется от /. □
Иногда приходится иметь дело с мостами графа G
относительно двух различных подграфов J и К. В такой ситуации
может оказаться полезной
Теорема 1.57. Пусть J и К— подграфы графа G. Пусть,
далее, В есть J-мост графа G, не содержащий ребер из К и
такой, что каждая вершина из В, принадлежащая К,
принадлежит J. Тогда В является подграфом некоторого К-моста В'
графа G. Если, дополнительно, каждая вершина из В, лежащая
в J, принадлежит /С, то В' = В.
Доказательство. Если В — вырожденный мост, то первая
часть утверждения следует из теоремы 1.51, а вторая — из
теоремы I. 49.
Пусть теперь В — невырожденный мост. Воспользуемся
теоремой 1.54, взяв в качестве 5 подмножество таких вершин из
В, которые принадлежат /, но не принадлежат /С. В силу
теорем 1.53 и 1.54 соответствующий подграф Н графа G
содержится в ядре некоторого /(-моста В' графа G. Принимая во
внимание условие (п), заключаем, что мосту В' принадлежат

52 Гл. I. Графы и подграфы
все /-пограничные ребра моста В, а значит, В' содержит В.
Если подмножество вершин моста В, лежащих в подграфе /С,
совпадает с подмножеством вершин из В, принадлежащих /,
то для моста В относительно подграфа К выполняются условия
(i) и (и). Учитывая свойство минимальности моста В',
получаем В' = В. □
L9. Замечания
1.9.1. Историческая справка
Годом рождения теории графов считают 1736 год, когда
Эйлер решил задачу о кёнигсбергских мостах. Обзор
достижений теории графов за два столетия можно найти в книге [4].
1.9.2. Замечания, касающиеся литературы
Исторически первым руководством по теории графов
явилась книга венгерского математика Денеша Кёнига. Ее
появлению предшествовал важный цикл работ Хэсслера Уитни,
опубликованных в 1931 — 1933 гг. Собранные вместе они составили бы
превосходное руководство, если бы в нем нуждались в то время
в Англии. Даже до 1931 г. некоторые сведения о теории
графов можно было почерпнуть из полупопулярной книги
«Математические эссе и развлечения», о которой шла речь во
введении. Некоторые из книг, встречающиеся в настоящее время
в библиографических ссылках, указаны ниже — см. [1], [2],
[5] и [7].
1.9.3. Группа автоморфизмов
Много работ посвящено изучению графов, обладающих
высокой степенью симметрии, т. е. графов, у которых порядок
группы автоморфизмов не меньше числа ребер. (См. [3], [6]
и [9].)
Упражнения
1. Показать, что в графе Томсена (см. разд. IV. 2) все
цепи длины 3 являются эквивалентными, т. е. любая из них
может быть преобразована в другую с помощью подходящего
автоморфизма этого графа. Эквивалентны ли в этом графе все
цепи длины 4?
2. Построить граф, у которого группа автоморфизмов
состоит из трех элементов. Найти самый простой граф без пе-

Литература 53
тель и кратных ребер, имеющий только тривиальный
автоморфизм.
3. Доказать следующую формулу для множеств
соединяющих вершин:
W(G, H) = W(K, H(]K)\J{V(H)(]W(G9 HUК)}.
Здесь Н и К — произвольные подграфы графа G.
Литература
[11 Berg.e С. Graphes et hypergraphes.— Paris: Dunod, 1970.
[2] Berge C. Graphs and hypergraphs (translated into English by E. Minie-
ka). — New York, Methuen, London: Wiley, 1973.
3] Biggs N. L. Algebraic graph theory. — Cambridge University Press, 1974.
4] Biggs N. L., Lloyd E. K., Wilson R. J. Graph theory, 1736—1936. —
Oxford: Clarendon Press, 1976.
[5] Bondy J. A., Murty U. S. R. Graph theory with applications. — New York:
American Elsevier, 1976.
[6] Coxeter H. S. M. Self-dual configurations and regular graphs. — Bull.
Amer. Math. Soc. 56 (1950), 413—455.
[7] Harary F. Graph Theory. — Mass.: Addison-Wesley, Reading, 1969.
[Имеется перевод: Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973.]
[8] Harary F., Palmer Е. М. Graphical enumeration. — New York — London:
Academic Press, 1973. [Имеется перевод: Харари Ф., Палмер Э.
Перечисление графов. — М.: Мир, 1977.]
[9] Tutte W. Т. Connectivity in graphs. — Toronto: Univ. of Toronto Press,
1966.

Глава II
СЖАТИЯ И ТЕОРЕМА МЕНГЕРА
//. /. Сжатия
В гл. I мы строили теорию графов, базирующуюся на
отношении включения одних графов в другие. Допустимо сказать,
что в настоящей главе мы продолжаем строить эту теорию, но
только более широко толкуя термин «включение».
Пусть G— некоторый граф, а 5 и Т — взаимно
дополнительные подмножества множества E(G). Рассмотрим остовный
подграф G : S графа G. Существует граф Я, вершинами которого
являются компоненты подграфа G : 5, а ребрами — элементы
подмножества Т и при этом выполняется следующее условие
(или правило) инцидентности: если А — ребро из Г, то его
концами в графе Н являются компоненты подграфа G: 5,
которые содержат хотя бы один конец ребра А в графе G. Граф
Н называется сжатием (или сужением) графа G на
подмножество Т и обозначается символом G X Т. Мы будем говорить
также, что граф Н получен из G сжатием (или стягиванием)
подмножества S.
Указанное выше правило инцидентности гарантирует нам,
что, как и должно быть, каждое ребро из Т имеет в графе
G X Т не менее одного конца и не более двух. Однако следует
заметить, что оба конца звена из подмножества Т (лежащие
в G) могут содержаться в одной и той же компоненте подграфа
G : 5, и тогда такое ребро из Т будет звеном в G, и петлей в
G X Т. С другой стороны, петля графа G, принадлежащая Г,
остается петлей и в подграфе G X Т.
На нижней диаграмме рис. II. 1.1 изображено сжатие G X Т
графа G на подмножество Т. На верхней диаграмме этого
рисунка сплошными линиями показан подграф G: 5, а
пунктирными— ребра из Т. Вершины графа GXT (на нижней
диаграмме) изображены точками. Буквами Л, В, ..., F на верхней
диаграмме обозначены компоненты подграфа G : 5, а на
нижней— соответствующие вершины графа G X Т.
Так как вершины графа G X Т сами являются графами, то
можно говорить о вершинах и ребрах, принадлежащих
вершинам графа G X Т. В данном разделе такая терминология,
пожалуй, даже необходима. Однако часто бывает удобно
заменять эти вершины другими, для которых не определена вну-

//. /. Сжатия 55
f N *'
1 V
\ ^vK
в ^ ^
'*-
У 1 x \
" ! ^--ac
1 ^ / \
i / i / \
Рис. II. 1.1.
^y
E
тренняя структура, например некоторыми из вершин графа G.
В связи с этим мы введем понятие вершинного изоморфизма.
Графы Н и К называются вершинно изоморфными, если
существует такой изоморфизм 0=(/, g) графа Я на граф /С, что
отображение g множества Е(Н) на множество Е(К) является
тождественным, т. е. у графов Н и К множества ребер
совпадают, но вершины могут быть разными. Вершины графов Н и
/С, сопоставляемые друг другу при отображении /, инцидентны
одним и тем же ребрам этих графов. Будем говорить, что 0 —
вершинный изоморфизм графа Н на граф К. Заметим, что
вершинный изоморфизм графов является отношением
эквивалентности.
В формуле вида (1.3.1) знак равенства означает
идентичность графов из обеих ее частей. Другими словами,
соответствующие графы имеют одни и те же вершины, ребра и
одинаковые отношения инцидентности. Для записи вершинного
изоморфизма будем применять знак =v, а обычного
изоморфизма— знак ^.
Приведем пример вершинного изоморфизма. Пусть S —
пустое множество. Тогда граф G : S не имеет ребер, а его
компонентами являются графы-вершины, содержащиеся в G (см.
теорему 1.19). Следовательно, существует вершинный изоморфизм
0 графа G X Т на G. Он отображает каждый граф-вершину
из G в соответствующую вершину графа G. Строя формальную
теорию графов, мы не будем отождествлять граф-вершину

56 Гл. II. Сжатия и теорема Менгера
с соответствующей вершиной, хотя на практике в теории
графов различие между ними может не быть важным. В
рассматриваемом нами примере мы можем сказать, что графы G и
G X Т являются по существу одним и тем же графом. Но
значительно точнее будет звучать здесь утверждение, что эти
графы эквивалентны относительно вершинного изоморфизма
(а именно изоморфизма 0). Отметим следующий факт: для
всякого графа G
GXE(G)=VG. (II. 1.1)
Вернемся к общему случаю подмножеств 5 и Г и
рассмотрим взаимосвязь между подграфами графа G X Т и графа G.
Будем говорить, что подграф Я графа G согласуется с 5, если
каждая компонента графа G : S либо является подграфом в Я,
либо не пересекается с Я.
Пусть К — произвольный подграф графа G X Т. Его
вершины суть компоненты графа G : 5. В силу правила I. 4
существует подграф fsK графа G, вершинами которого являются
вершины, принадлежащие вершинам подграфа /С, а ребрами —
ребра из вершин подграфа К и ребра этого подграфа.
Очевидно, что подграф fsK однозначно определяется подграфом К
и что разным подграфам К из G X Т соответствуют разные
подграфы fsK графа G. Мы можем, следовательно,
рассматривать символ fs как представление взаимно однозначного
отображения множества X подграфов графа G X Т на некоторое
множество У подграфов графа G. Заметим, кроме того, что
каждый подграф из У согласуется с 5.
Обратно, рассмотрим произвольный подграф Я графа G,
согласующийся с множеством 5. Компонентами графа Я: (5 П
(]Е(Н)) являются компоненты графа G: 5, которые
содержатся в Я (см. теорему 1.23). Следовательно, НХ(Т [)Е(Н))
есть некий подграф К из G X Т, и при этом, очевидно,
подграф fsK совпадает с подграфом Я. Таким образом, можно
отождествить множество У с множеством всех подграфов графа
G, согласующихся с 5. Кроме того, мы можем написать
fsKXE(K) = K. (П. 1.2)
Это отношение отражает ту общую взаимосвязь, которая
существует между подграфами К из G X Т и подграфами fsK
из G, согласующимися с множеством S. Суммируя полученные
результаты, приходим к следующему утверждению.
Теорема 11.1. Пусть S и Т — взаимно дополнительные
подмножества из E(G). Тогда существует взаимно однозначное
отображение fs множества X подграфов графа GXT на
множество У подграфов графа G, согласующихся с S.
Отображение fs определяется так: если К^ Х,то fsK есть подграф графа

//. /. Сжатия 57
G, задаваемый ребрами и вершинами, принадлежащими
вершинам графа К, и ребрами самого графа К. Отображение fs
удовлетворяет соотношению (II. 1.2).
Теорема II. 2. Отображение fs сохраняет отношение строгого
включения подграфов, т. е. если К и L принадлежат X и К cz L,
то fsK cz fsL.
Теорема П. 2 вытекает непосредственно из определения
отображения fs. Следующее утверждение касается соединяющих
вершин.
Теорема II. 3. Предположим, что К и L принадлежат X и
K<=lL. Вершина х из К содержится в W(L,K) тогда и только
тогда, когда некоторая вершина хг из компоненты х графа
G : К принадлежит множеству W(fsL, fsK).
Доказательство. Вершина х из К принадлежит W(L, К)
тогда и только тогда, когда она инцидентна (в К) некоторому
ребру А из E(L)— Е(К), т. е. тогда и только тогда, когда
некоторая вершина х' из компонентыхподграфа G:S инцидентна
(в G) ребру А из E(L)— Е(К). Но всякое ребро из E(L) —
— Е(К)> инцидентное х' (в G), можно также толковать как
ребро из E(fsL) — E(fsK), инцидентное той же вершине х'
в графе G. Действительно, ребра из подграфа G : 5,
инцидентные х' в графе G, являются ребрами из х, а значит, ребрами
подграфа fsK. Следовательно, х содержится в W(L, К) тогда
и только тогда, когда некоторая вершина xf из компоненты х
графа G: 5 инцидентна в графе G какому-либо ребру А из
E(fsL) — E(fsK), т. е. тогда и только тогда, когда такая
вершина х' принадлежит множеству W(fsL,fsK). □
Пусть L — произвольный граф из X. Из теоремы II. 3
вытекает, что fs отображает множество подграфов графа L,
обособленных в L, на множество подграфов графа fsL,
обособленных в fsL и согласующихся с 5. Но в силу теоремы 1.24
всякий подграф графа fsL, обособленный в fsL, согласуется с 5.
Поэтому, используя теорему П. 2, приходим к следующему
утверждению.
Теорема II. 4. Если L — произвольный граф из X, то fs
отображает его компоненты на компоненты графа fsL.
Полагая в этой теореме L = GXT, получаем такой
результат:
Теорема II.5. Если Т — подмножество из E(G), то
pQ(GXT) = Po(G).
(II. 1.3)

58 Гл. II. Сжатия и теорема Менгера
Теорема II. 6. Подграфы сжатий графа G являются
сжатиями подграфов графа G.
Доказательство. Всякий подграф произвольного сжатия
графа G можно взять в качестве графа /С, входящего в правую
часть соотношения (П. 1.2). Левая часть формулы (П. 1.2)
показывает, что рассматриваемый подграф можно понимать и
как сжатие подграфа графа G.
Обратно, пусть Н — произвольный подграф графа G, а
HXU— сжатие этого подграфа. Пусть Q — дополнение
подмножества U в множестве Е(Н). В силу теоремы 1.23
компонентами подграфа Н: Q являются все компоненты подграфа
G : Q, содержащиеся в Н. Отсюда следует, что #Х U есть
подграф сжатия GX{E{G)—Q) графа G. □
Теорема II. 7. Пусть U^T^E(G). Тогда
(GXT)XU=VGXU. (П. 1.4)
Доказательство. Пусть дополнениями подмножеств Т и U
в множестве Е (G) будут соответственно подмножества 5 и R.
Вершины из (G XT)XU являются компонентами подграфа
(GXT) : (T—U). Это остовный подграф К графа GXT, и f8
отображает его на остовный подграф fsK графа G, который
определяется ребрами и вершинами компонент подграфа G: S
и ребрами из подмножества Т — U = R — S. Значит, fsK = G : R.
В силу теоремы II. 4 fs индуцирует взаимно однозначное
отображение / вершин графа (GXT)XU на компоненты графа
G : /?, т. е. на вершины графа GXU-
Пусть А — произвольное ребро из (/, а х и у — его концы,
лежащие в (GXT)XU- Эти концы являются компонентами
графа (G X Т): (Т — U) и содержат соответственно концы х'
и у' ребра А в графе G X Т. Но х' и у' — компоненты графа
G : S и содержат соответственно концы х" и у" ребра А в графе
G. Из определения отображения f8 следует, что вершины х" и
г/" принадлежат соответственно подграфам fsx и fsyt
являющимся компонентами графа G : R. Значит, fsx и fsy — концы
ребра А в графе GXU- Поэтому (f,Iu)—вершинный
изоморфизм графа (GXT)X U на граф GX^ где 1ц —
тождественное отображение U на себя. □
Подграф сжатия графа G называется минором графа G.
Таким образом, всякое сжатие графа G является минором этого
графа и, с точностью до вершинного изоморфизма, всякий
подграф графа G является минором графа G. Из соотношения
(II. 1.1) вытекает, что миноры удовлетворяют следующему
простому правилу.

//. 2. Стягивание ребра 59
Правило II.8. Минор минора графа G является, с точностью
до вершинного изоморфизма, минором графа G.
Доказательство. Минор минора графа G есть подграф
сжатия некоторого подграфа какого-то сжатия графа G.
Следовательно, по теореме II. 6 он является подграфом какого-нибудь
подграфа, содержащегося в подходящем сжатии некоторого
сжатия графа G, а потому (в силу теорем 1.5 и П. 7) вершинно
изоморфен подходящему подграфу некоторого сжатия
графа G. О
Если игнорировать различие между вершинно изоморфными
графами, то можно заметить некоторую симметрию между
подграфами и Сжатиями. Относительно этой симметрии теорема
П. 7 соответствует теореме 1.5, а теорема П. 6 — самой себе.
Эти симметрии несут в себе первые намеки на существование
некой достаточно богатой теории «двойственности» графовых
объектов. Позднее мы попытаемся дать строгое определение
двойственности. А пока будем использовать это понятие на
содержательном уровне, не уточняя его смысла. Мы будем
применять его в таких ситуациях, когда нам будет казаться,
что имеет место некая симметрия, касающаяся подграфов и
сжатий. Таким образом, можно сказать, что теорема П. 7
двойственна теореме 1.5, а теорема П. 6 самодвойственна.
«Подграф» и «сжатие» являются двойственными понятиями, а
«минор»— самодвойственным. Удобно рассматривать «петлю» и
«перешеек» как двойственные понятия. Пытаясь найти понятие,
двойственное понятию «вершина», мы сталкиваемся с
существенными трудностями.
II. 2. Стягивание ребра
Пусть Л— ребро графа G. Применим теорию, развитую
в разд. П. 1, для случая, когда 5 = {Л} и Т = E(G) — {А}.
Обозначим сжатие GX(£"(G) — {А}) через Ga и будем говорить,
что этот граф получен из графа G стягиванием ребра А. Из
теоремы П. 5 вытекает, что
Po(G'a) = Po(G)- (П. 2.1)
Пусть х — вершина графа G. Если она инцидентна ребру Л,
то мы будем обозначать граф G{A}, являющийся
графом-петлей или графом-звеном, символом х". Если же вершина х не
инцидентна ребру Л, то символом х" будет обозначаться граф-
вершина в G, соответствующий вершине х. При таких
обозначениях компонентами графа G:{A} будут графы х", где х е
е V(G). Эти компоненты являются вершинами графа Ga-
Подграф G{A} мы будем называть А-вершиной графа Ga и
обозначать через va- Будем говорить, что вершина х графа G и

60 Гл. П. Сжатия и теорема Менгера
X
/
/
i
А
"--
—/у
■~--\
---
\е
\
--""
"—^й
вершина х" графа бд эквива-
лентны, если х не инцидентна
ребру Л в графе G. Когда
различать граф-вершину и
соответствующую ему вершину
надобности нет, то говорят, что х и х" —
это одна и та же вершина.
Отображение fs будем теперь
записывать как fA. Оно
отображает множество X подграфов
графа Ga на множество Y
подграфов графа G, согласующихся
с {Л}. Заметим, что для
принадлежности подграфа Н
графа G множеству Y
необходимо, чтобы выполнялось одно из
двух условий: либо он содержит
ребро Л, либо в нем нет ни
одной вершины, инцидентной
ребру А. Если К — произволь-
р п . ный подграф из X, то мы можем
переформулировать определение
подграфа JaK следующим
образом: вершинами его являются все такие вершины х
из G, для которых х"'е V(K), а ребрами — все ребра из К и,
быть может, ребро Л, причем ребро Л принадлежит fAK тогда
и только тогда, когда va^V(K). Можем добавить еще, что,
как следует из определения графа бл, ребро из К с концами х
и у в G имеет в К концы х" и у".
На рис. II. 2.1 показаны графы G и G"A в случае, когда
Л — звено графа G. Изображены также цикл K = a"b"c"d"e"vA
графа Ga и соответствующий граф fAK в G. Ребра, не
принадлежащие К или fAK, показаны пунктиром.
Приведем два замечания об отображении fA,
сформулировав их в виде теорем.
Теорема II. 9. Пусть К — подграф графа G% содержащий vA.
Тогда
(!аЮа = К. (II. 2.2)
Это следует из соотношения (II. 1.2).
Теорема 11.10. Пусть К — подграф графа Ga> не
содержащий vA. Тогда соответствие х-+х" между множествами V (G)
и V (Ga) индуцирует вершинный изоморфизм подграфа fAK на
подграф К-

//. 2. Стягивание ребра 61
А теперь перейдем к некоторым теоремам и примерам о
стягивании ребер.
Теорема 11.11. Если А —петля графа G, то соответствие
х -> х" между множествами V (G) и V (Ga) является взаимно
однозначным отображением „на" и индуцирует вершинный
изоморфизм графа G'a на граф G%
Сформулированное утверждение вытекает немедленно из
определений. Учитывая эту теорему, мы обычно считаем, что
стягиваемое ребро является звеном. Стягивание петель можно
естественным образом связать с операцией удаления петель.
Теорема II. 12. Если А —звено графа G, то
Pl(G%) = Pl(G). (П. 2.3)
Но если А — петля в G, то
Pl(GZ) = Pl(G)-l. (П. 2.4)
Доказательство. В силу соотношений (П. 2.1) и (1.6.1)
Pl(G)- Pl(G';) = i -{\v (G)\-\v (G';)\).
Эта разность равна 0 или 1 в зависимости от того, является
ребро А звеном или петлей в графе G. □
Теорема 11.13. Пусть А—звено графа G с концами х и у.
Тогда
val (G% vA) = val (G, x) + val (G, y) - 2. (II. 2.5)
Но если z — вершина графа G, не инцидентная ребру Л, то
N val (G% г") = val (G, z). (II. 2.6)
Теорема II. 13 вытекает непосредственно из определений.
Мы применим ее при доказательстве двух следующих теорем-
примеров.
Теорема II. 14. Если G есть п-цикл, где п> 1, и А —ребро
в G, то Ga есть (п— \)-цикл.
Доказательство. Из соотношения (II. 2.1) и теоремы 1.27
вытекает, что Ga — связный граф. В силу теоремы 11.13 он
является однородным графом валентности 2. Следовательно
(см. теорему 1.27), это цикл. □
Теорема 11.15. Если G есть п-цепь, где п>\у и А —ребро
в G, то Ga есть (п— \)-цепь.

62 Гл. II. Сжатия и теорема Менгера
Доказательство. Из соотношения (II. 2.1) и теоремы 1.26
следует, что граф G'a связен. Его вершины двухвалентны, за
исключением двух вершин, соответствующих концам цепи G при
отображении х->х", а эти две вершины одновалентны (см.
теорему 11.13). Значит, в силу теоремы 1.26 граф G'a есть цепь. □
Перейдем к рассмотрению нескольких теорем, связанных
с подграфами графа G'a и соответствующими подграфами графа G#
Теорема 11.16. Пусть А —звено графа G и К —подграф
графа G'a. Тогда *
Ро(ГаК) = Ро(К), (П. 2.7)
РЛ!аЮ = рЛК). (П. 2.8)
Доказательство. Можно считать, что va содержится в К>
ибо в противном случае доказываемая теорема является
следствием теоремы 11.10. Соотношение (П. 2.7) вытекает из
соотношений (П. 2.1) и (П. 2.2), а соотношение (П. 2.8)—из
(П.2.3) и (П.2.2). □
Теорема 11.17. Пусть А —звено графа G. Тогда fA
индуцирует взаимно однозначное отображение множества Х0 остовных
подграфов графа G'a на множество Y0 остовных подграфов графа Gy
которые содержат ребро А.
Доказательство. Предположим, что К ^ Х0. Тогда f АК есть
остовный подграф графа G и содержит оба конца ребра А
(в графе G). Так как этот подграф согласуется с множеством {А}>
то в силу теоремы II. 1 он должен содержать ребро А.
Следовательно, fAK ^ Y0.
Обратно, рассмотрим подграф Н из Y0. Он согласуется с
множеством {А} и потому на основании теоремы II. 1 имеет вид
fAK, где К — некоторый подграф графа G'a. Но тогда К ^ Х0>
ибо иначе подграф fAK не был бы остовным подграфом
графа G. □
Определим T(G) как число остовных деревьев (или остовов)
графа1) G. Из теоремы 1.36 следует, что Т (G) отлично от нуля
тогда и только тогда, когда граф G связен. Далее, в силу
теоремы I. 35 дерево можно определить как граф Я,
удовлетворяющий следующим двум условиям: р0(Н)=1 и р{(Н) = 0.
Принимая во внимание теоремы 11.16 и 11.17, заключаем, что
остовы графа G'a взаимно однозначно соответствуют остовам
графа G, которые содержат ребро А. Можно еще добавить, что
остовы графа G, не содержащие ребра Л, являются остовами
!) Иногда это число называют сложностью графа G. — Прим. перев.

//. 2. Стягивание ребра 63
графа G'a. Таким образом, имеем следующую (рекуррентную)
теорему.
Теорема II. 18. Пусть А —звено в G. Тогда
T(G) = T(Ga) + T(Ga). (П. 2.9)
Теорема 11.19. Через Q(G;i,j) обозначим число таких остов-
ных подграфов Н графа G, что р0(Н)= /, р1(Я) = /. Если А —
произвольное звено графа G, то для любых целых
неотрицательных чисел i и j справедливо равенство
Q(G; i, j) = Q(G'A\ i, }) + Q{Ga\ i, /). (II. 2.10)
Доказательство этой теоремы абсолютно аналогично
доказательству теоремы II. 18. Приведем обобщение теоремы II. 19,
которое будет использоваться в дальнейшем. Через
R{G\iotiui2, ...) обозначим число остовных подграфов графа
G, у которых в точности /о компонент с цикломатическим
числом, равным 0, i{ компонент с цикломатическим числом 1 и т. д.
Теорема 11.20. Если А — звено графа G, то
R(G; /0, iv /2, ...) = R(G'A\ /0, lv /2, ...) + R(G% /0, /,, /2, ...),
(II.2.11)
где /о, i\, *2, ... — произвольная последовательность целых
неотрицательных чисел, сумма членов которой конечна.
Доказательство. Если К — остовный подграф графа G'a, то
он соответствует той же самой последовательности (/0, il9 i2, ...),
что и граф fAK (см. теоремы II. 4 и II. 16). Используя теорему
II. 17, получаем, что множество остовных подграфов графа G2,
соответствующих данной последовательности, находится во
взаимно однозначном соответствии с множеством остовных
подграфов графа G, которые отвечают той же самой
последовательности и содержат ребро А. Кроме того, остовные подграфы
графа G, соответствующие этой последовательности, но не
содержащие ребра Л, являются остовными подграфами графа
Ga. □
Мы должны пояснить, почему теорема 11.20 называется
обобщением теоремы II. 19. Для этого нам понадобится
следующая вспомогательная теорема.
Теорема 11.21. Цикломатическое число графа равно сумме
цикломатических чисел его компонент.
Доказательство. Пусть G —граф с компонентами Gb GL>, ...
..., Gm. Для каждой компоненты Gy- имеем (см. соотношение

64 Гл. //. Сжатия и теорема Менгера
(I. 6.1)) р, (G,) = | Е (G,) \-\V (G,) | + 1. Значит,
m
Zpi(GJ) = \E{G)\-\V(G)\ + p0{G) = pi(G)
/=i
в силу (I. 6.1). □
Из теоремы 11.21 легко можно вывести, что Q(G; г, 5) есть
сумма чисел R(G; /0, i\, h> • • •)> Для которых выполняются
равенства zlij = r и 2]/// = 5. Значит, теорема 11.19 является
следствием теоремы 11.20 (если учесть теорему 11.21). Поэтому
теорему 11.20 можно с полным основанием называть
обобщением теоремы II. 19.
Материал данного раздела содержит несколько очевидных
проявлений двойственности. Совершенно ясно, что операции
удаления и стягивания ребра следует рассматривать как
двойственные операции и что теоремы 11.18, 11.19 и 11.20
выглядят, как самодвойственные утверждения. Самодвойственность
в них на самом деле не является абсолютной, ибо «звено» —
несамодвойственное понятие. Для получения истинно
самодвойственных теорем следует заменить понятие «звено» понятием
«ребро, не являющееся ни петлей, ни перешейком». В
получающейся теории двойственности теоремы II. 18 и II. 19 mutatis
mutandis будут действительно самодвойственными. Но
теорема 11.20 самодвойственной не будет, ибо для понятия
«компонента» двойственного нет.
//. 3. Соединяющие вершины
Некоторые общие теоремы о графах можно доказать
индукцией по числу ребер. Обычно в таком доказательстве
существенным является следующий шаг: берется некоторое звено А
графа G и предполагается, что теорема верна для подграфов
Ga и Ga, содержащих меньше ребер, чем граф G. Затем из
этого предположения пытаются вывести справедливость
теоремы для графа G.
В силу сказанного желательно полнее изучить взаимосвязи
между подграфами графов G, Ga и Ga. Кое-что в этом
направлении было сделано в гл. I и предыдущем разделе. Сейчас мы
продолжим исследование указанной тематики, установив ряд
теорем о соединяющих вершинах.
Теорема 11.22. Пусть А — произвольное звено графа G, а
Н — произвольный подграф графа Ga- Тогда справедливо одно
из следующих трех утверждений:
(i) w(G'A, H) = w(G, Я),

//. 3. Соединяющие вершины 65
(ii) w (G, Я U (G • {А})) < w (G, Я) и оба /аж^а ребра А
в графе G принадлежат V (Я),
(iii) w (Ga, ft) = w(G, Я) — 1 и в точности один конец х
ребра А (в графе G) содержится в V (Я); кроме того, вершина х
инцидентна в графе G помимо А только ребрам подграфа Я,
Доказательство. Вершина из Я инцидентна, за исключением
ребра Л, одним и тем же ребрам в графах G и G'a.
Следовательно, каждая соединяющая вершина для Я в графе G'a будет
соединяющей для Я и в графе G. Рассмотрим вершину х из Я,
которая не является соединяющей для Я в Ga- Она будет
соединяющей для Я в G тогда и только тогда, когда она инцидентна
ребру А.
Предположим, что (i) не выполняется. Тогда в силу
приведенных рассуждений некоторый конец х ребра А (в графе G)
будет вершиной подграфа Я, инцидентной в графе G (кроме
ребра А) только ребрам из Я.
Если и другой конец у ребра А лежит в Я, то, добавляя А
к Я, получаем подграф Hi = H[)(G- {А}) графа G.
Присоединение ребра А к графу Я превращает вершину ху а возможно,
и вершину */, в вершины, не являющиеся соединяющими. При
этом все другие соединяющие вершины остаются таковыми и
новых соединяющих вершин не возникает. Таким образом,
утверждение (ii) справедливо.
Далее, пусть у не принадлежит У (Я). Тогда только х будет
соединяющей вершиной для Я в G, не являющейся
соединяющей для Я в графе Ga- Значит, утверждение (iii) верно. □
Теорема 11.23. Пусть А — звено графа G, а К — подграф
графа Ga- Тогда справедливо одно из следующих двух
утверждений:
(i) w{G"A, K) = w(G, fAK),
(ii) w(G'a, K) = w{G, fAK)~^> вершина vA принадлежит К
и оба конца ребра А являются соединяющими вершинами для
fAK в графе G.
Эта теорема вытекает из теоремы II. 3, если положить
L = Gl
В следующей теореме рассматриваются оба графа Ga и G'a.
Теорема 11.24. Пусть А — звено графа GyH — подграф графа Ga
и К — подграф графа G'a. Тогда справедливо одно из следующих
четырех утверждений:
(i) w(G'A, H) = w(G, Я),
(ii) w{G% K) = w(G, fAK)9

66 Гл. II. Сжатия и теорема Менгера
(iii) w(G9 H[JfAK) + w(G, H[\fAK)<w(G9 H) + w(G9 fAK),
(iv) w(G9 H U (G • {A})) < w (G, H) и оба конца ребра А
в графе G лежат в V (Я).
Доказательство. Предположим, что утверждения (i), (ii)
и (iv) неверны. Действуя так же, как при доказательстве
теоремы 11.22, устанавливаем, что в множестве V(H) содержится
только один конец х ребра А. Кроме того, вершина х
инцидентна в G, кроме Л, только ребрам подграфа Я. Используя
теорему 11.23, заключаем, что х — соединяющая вершина для
JaK в G. Следовательно, х инцидентна ребру А из fAKt не
принадлежащему множеству £(Я), а также инцидентна
некоторому ребру из Я, не содержащемуся в E(fAK)9n не инцидентна
никакому ребру графа G, лежащему вне множеств Е(Н) и
E(fAK). Таким образом, применяя обозначения из разд. 1.4,
получаем, что х принадлежит множеству Q(G\ HtfAK) и число
q(G\ Я,/л/С) отлично от 0. Утверждение (iii) вытекает теперь
из теоремы 1.7. □
II. 4. Числа разделения
В данном разделе мы проведем подготовительную работу
для доказательства теоремы Менгера. Пусть G — некоторый
граф, а Р и Q — фиксированные непересекающиеся
подмножества из E(G).
Два подграфа графа G называются реберно
непересекающимися, если они не имеют общих ребер. Упорядоченная пара
(Я, К) реберно непересекающихся подграфов графа G
называется разрезающей (или разделяющей, или отделяющей)
парой для подмножеств Р и Q в графе G, если
Р <=£(#), Q^E{K) и H\)K = G. (II.4.1)
По меньшей мере одна такая разрезающая пара (для
подмножеств Р и Q) существует всегда; например, (G:P>
G:(E(G)-P)).
Порядком разрезающей пары (Я, К) для подмножеств Р и
Q называется число \V(H ()К)\, т. е. число вершин,
содержащихся одновременно в Я и К. Обычно говорят, что вершины из
V(H[\K) разделяют (или отделяют) подмножества Р и Q в G.
Теорема II. 25. Пусть (Я, К) — разрезающая пара для
подмножеств Р и Q в графе G. Тогда пары (Я, Яс) и (/С°, К)
также являются разрезающими для Р и Q в графе G. Кроме
того, V(H[\HC) = W (G, H)<=V(H[\K)uV (Дс П К) = W{G, К) £=
£ V (Я П Я).
Доказательство. В силу соотношений (II. 4.1) всякая
соединяющая вершина для подграфа Я (или подграфа К) принад-

//. 4. Числа разделения 67
лежит этому подграфу и инцидентна некоторому ребру,
содержащемуся в другом из рассматриваемых подграфов.
Следовательно, W{Gy Я) и W{G, К) являются подмножествами
множества V{H[\K). Оставшаяся часть утверждения вытекает из
определений, приведенных в разд. I. 4. □
Через X(G;P,Q) обозначим наименьшее число вершин б
графе G, необходимое, чтобы разделить подмножества Р и Q
в G. Таким образом,
MG; Р, Q)= mini У (ЯП/01, (И. 4.2)
(Я, К)
где минимум берется по всем разрезающим парам (Я, К) для
подмножеств Р и Q из G. В силу симметричности вхождения
Р и Q в данное определение
MG; Р> Q) = b(G; Q, Р). (II. 4.3)
Число X(G;P,Q) назовем числом разделения (или, точнее,
числом реберного разделения) подмножеств Р и Q в графе G.
Разрезающая пара для подмножеств Р и Q, порядок которой
равен X(G; P,Q), будет называться минимальной.
Теорема 11.26. Пусть m — число вершин, общих для
подграфов G-P и G-Q. Тогда
т<Я(0; Р, Q)<min{|y(G.P)|, \V(G-Q)\].
Доказательство. Какова бы ни была разрезающая пара
(Я, К) для подмножеств Риф, общие для подграфов G-P
и G-Q вершины содержатся в V(ЯП К). Поэтому левое
неравенство следует из соотношения (II. 4.2). Для завершения
доказательства достаточно заметить, что пары (G-P, (G-P)c) и
((G-Q)c, G-Q) разрезающие для подмножеств Р и Q в G. □
Теорема 11.27. Пусть (Я, К) — минимальная разрезающая
пара для подмножеств Р и Q в графе G. Тогда W(G, Н) =
= W(G, К)= V{H[\K) иу значит, (Я, К)—комплементарная
пара подграфов из G с числом сращивания X(G; P,Q).
Доказательство. В силу теоремы 11.25 пара (HtHc)
является разрезающей для подмножеств Р и Q и V{H [\НС) =
= W{GyH)<=V{H[\K). Следовательно, учитывая
минимальность пары (Я,/С), имеем W(G> Я)= V(H[\ К). Аналогично
обосновывается равенство W(G, /()= V{H{\ К). Оставшаяся
часть теоремы вытекает из определений, приведенных
в разд. I. 4. □
Теорема II. 28. X (G; Р, Q) = min w (G, Я), где минимум берется
н
по всем таким подграфам Я графа G, у которых множество ре-

68 Гл. II. Сжатия и теорема Менгера
бер Е{Н) содержит подмножество Р и не пересекается с
подмножеством Q.
Доказательство. Обозначим minoy(G, Я) через |ы. Если Я—-
н
подграф из G, то (//, Яс) — разрезающая пара для
подмножеств Р и Q и ее порядок равен w(G, Я) по теореме 11.25.
Значит, \x^l(G; Р, Q) (в силу соотношения (II. 4.2)). Обратно,
пусть (Я, К) — минимальная разрезающая пара для
подмножеств Р и Q. Тогда (на основании теоремы 11.27) w(G, Н) =
— X(G; Р, Q) и, следовательно, \x^l(G\ Р, Q). П
Оставшиеся теоремы данного раздела касаются числа
разделения для графов G, G'a и G'a.
Теорема 11.29. Пусть А—звено графа G, не
принадлежащее ни Р, ни Q. Тогда
A(G; Р, Q) — 1(Ga; Р, Q) = 0 или 1.
Доказательство. Пусть (Я, К) — минимальная разрезающая
пара для подмножеств Р и Q в G. Предположим, что А не
содержится в Е(Н). По теореме 11.22 w(Ga, H)<w(G9 Я).
Действительно, используя теорему 11.28 и учитывая
минимальность пары (Я, К), заключаем, что утверждение (и) из теоремы
11.22 не выполняется. Значит, в силу теоремы 11.28
X(Ga; Р, Q)<l(G; Р, Q).
Если А принадлежит £(Я), то достаточно повторить
проведенные рассуждения, заменив Р на Q, Я—на К и
воспользовавшись соотношением (II. 4.3). Получим такое же неравенство.
Теперь предположим, что (L, М) — минимальная
разрезающая пара для подмножеств Р и Q в графе G\. По теореме II. 27
1{G'a; Р, Q) = w{G'a, L). Если оба конца ребра А из G
содержатся в L, то очевидно, что
w (Ga, L) = w (G, L U (G • {Л})) > Я (G; P, Q).
В оставшемся случае, применив теорему 11.22, получаем
w(G'a9 L)>w(G> L)—\. Значит, в любом из рассмотренных
случаев, воспользовавшись теоремой 11.28, приходим к
заключению, что l(G'A; Р, Q)>l(G; Р, Q) — 1. □
Теорема И. 30. Пусть А—звено графа G, не
принадлежащее ни Р, ни Q. Тогда
MG; Р, Q)-1(Ga; Р, Q) = 0 или 1.
Доказательство. Пусть (Я, Д") — минимальная разрезающая
пара для подмножеств Р и Q в G. Тогда на основании тео-

//. 4. Числа разделения 69
ремы II. 27 X (G; Р, Q) = w (G, Я) = ад (G, /С). Предположим,
что А принадлежит Е(Н). Тогда Я согласуется с {Л}.
Следовательно, в G'a найдется подграф L, такой, что fAL — H.
Заметим, что L, подобно Я, содержит все ребра из Р, но не содержит
ни одного ребра из Q. В силу теоремы 11.23 ад(бл, £)^
<ад(С fAL) = l(G; Р, Q). Значит (по теореме 11.28),
Я(0л; Р, Q)<MG; Л Q).
Если же ребро А не принадлежит Е(Н), то в проведенных
выше рассуждениях нужно только заменить Р на Q и Я на /С.
Используя соотношение (II. 4.3), приходим к тому же
неравенству.
Пусть теперь (L, М) — минимальная разрезающая пара для
подмножеств Р и Q в графе G^. Тогда X(Ga\ Р, Q) = oy(G'i, ^)>
см. теорему 11.27. Применяя теорему II. 23, получаем w(G% L)^
^zw(G, fAL)—l. Следовательно, в силу теоремы 11.28
*.(Ga; Р, Q)>k(G; Р, Q)-l. П
Теорема II. 31. Пусть А — звено графа G, не принадлежащее
ни Р, ни Q. Тогда одно из чисел I (G'a\ Р, Q), Я (G'a, Р, Q) /?а#ло
MG; Л Q).
Доказательство. Предположим противное. Пусть (Я, Я^ —
минимальная разрезающая пара для подмножеств Р и Q
в графе Ga и (Л", /Ci) — минимальная разрезающая пара для
подмножеств Р и Q в графе G'a- Используя теоремы 11.29 и
II. 30, имеем
w(G'A, H) = w{Ga, K) = x(g'a; Р, Q) =
= Я (Сл; P,Q) = k (G; Р, Q) - 1. (II. 4.4)
Заметим, что оба конца ребра А из G не могут лежать
в Я, так как иначе в силу теоремы 11.28 w(GfAy Я) =
= w(G, Я U(G • {Л})) > l(G; Р, Q). А это противоречит
соотношению (II. 4.4). Из теорем 11.22 и 11.23 теперь выводим, что
w(G, H) = w(G, fAK) = b(G; Р, Q). (II. 4.5)
Далее применим теорему 11.24. Как следует из
проведенных рассмотрений, утверждения (i), (ii) и (iv) этой теоремы
в нашей ситуации не верны. Значит, должно быть справедливо
утверждение (Hi). Но тогда (в силу соотношений (II. 4.5))
либо w(G,H(]fAK), либо w(G,H[}fAK) меньше,чем X(G;P,Q)9
что невозможно (см. теорему 11.28). □
Нам видится оттенок двойственности в теоремах 11.29 и
11.30 и самодвойственности — в теореме 11.31.

70 Гл. П. Сжатия и теорема Менгера
II. 5. Теорема Менгера
Существует много равноценных способов обоснования
теоремы Менгера. Мы начнем с такого ее варианта, который нам
кажется наиболее легко доказуемым с помощью теории,
развитой в разд. II. 4.
Теорема 11.32. Пусть Р и Q — непересекающиеся
подмножества множества E(G). Тогда существует подграф Н графа
С, удовлетворяющий следующим условиям:
(i) Н не содержит ребер из подмножеств Р и Q;
(ii) pQ(H)=K(G;P,Q);
(Hi) в каждой компоненте подграфа Н имеется хотя бы
одна вершина из G-P и хотя бы одна вершина из G-Q.
Доказательство. Пусть М — множество вершин, общих для
G-P и G-Q. Применим индукцию по числу звеньев графа G,
не принадлежащих ни Р, ни Q (обозначим это число через п).
Если п = 0, то разрезающая пара (G-P, (G-P)c) для
подмножеств Р и Q в графе G удовлетворяет соотношению
F((G.P)n(G.P)c) = M.
Применяя теорему 11.26, получаем k(G; Р, Q) = |7W|. В
качестве подграфа Н можно взять подграф графа G, не
содержащий ребер, с множеством вершин, равным М. Выполнение
условий (i) — (iii) вытекает из теоремы 1.20.
Допустим теперь в качестве предположения индукции, что
теорема верна для n<q, где q — целое положительное число,
и рассмотрим n = q. Выберем в G звено Л, не принадлежащее
ни Р, ни Q. Может случиться, что 1(G'a', Р, Q) = l(G; Р, Q).
Тогда в силу предположения индукции найдется подграф Н
графа G'a, удовлетворяющий в Ga всем трем условиям теоремы.
Ясно, что этот подграф удовлетворяет указанным условиям
и в графе G.
В оставшемся случае Я (G5; Р, Q) = Я (G; Р, Q) согласно
теореме 11.31. В Ga найдется подграф К, удовлетворяющий
в Ga всем трем условиям. Но тогда этим трем условиям в G
удовлетворяет и граф fAK (см. теорему II. 4).
Шаг индукции обоснован. □
Мы покажем сейчас, что теорема 11.32 устанавливает
«наилучший из возможных» результатов.
Теорема П. 33. Пусть Р и Q — непересекающиеся
подмножества из E(G). Пусть Н — подграф графа G, не содержащий
ребер из Р и Q и такой, что каждая его компонента имеет не-

//. 5. Теорема Менгера 71
пустое пересечение с графами G-P и G-Q. Тогда р0(Н)^.
Доказательство. Пусть (/С, L)—разрезающая пара для
подмножеств Р и Q в графе G и С — компонента подграфа Я.
Тогда С ПК и C[\L — непустые подграфы в С и их
объединение равно С. В силу теоремы 1.21 они не могут быть
непересекающимися. Следовательно, К и L имеют общую вершину в
каждой компоненте подграфа Я и, значит, ро(Н) ^ | V(K(] L) |.
Так как все сказанное справедливо для всякой пары (/(, L), то
истинность теоремы вытекает из соотношения (II. 4.2). □
Наш следующий вариант теоремы Менгера базируется на
понятии соединения, которое вводится для пар
непересекающихся подмножеств множества E(G). Существуют два вида
соединений. Соединение первого рода (или вершинное
соединение) представляет собой граф-вершину, содержащийся
одновременно в подграфах G-P и G-Q. Соединение второго рода
(или цепное соединение) — это цепь в графе G, один конец
которой принадлежит только подграфу G-P, а другой — только
подграфу G-Q, причем подграфы G-P и G-Q не содержат
ребер и внутренних вершин данной цепи.
Теорема 11.34. Пусть Р и Q — непересекающиеся
подмножества из E(G). Тогда наибольшее число попарно
непересекающихся соединений между подмножествами Р и Q в графе G
равно X(G\ P,Q).
Доказательство. Рассмотрим подграф Я, описанный в
теореме 11.32. Пусть его компонентами будут графы С\, С2, ...
..., Ст, где m = fk(G\ P,Q). Заменим (по определенному
правилу) каждую компоненту С/ содержащимся в ней соединением
Г/. Если в С/ существует вершина х, принадлежащая
одновременно G-P и G-Q, то в качестве Т} возьмем граф-вершину,
соответствующий х. В противном случае мы можем найти в силу
теоремы 1.43 цепь L в С/, один конец которой лежит в G-P,
а другой — в G-Q. Если у L есть внутренняя вершина,
принадлежащая G-P или G-Q, то L содержит в качестве
собственного подграфа другую цепь, удовлетворяющую перечисленным
условиям (это следует из определения цепи или из
теоремы 1.43). Значит, цепь L можно выбрать так, чтобы она
являлась соединением между подмножествами Р и Q.
Таким образом, мы имеем X(G;P,Q) попарно
непересекающихся соединений между Р и Q. По теореме 11.33 это число —
наибольшее возможное. □
Обычная форма теоремы Менгера использует понятие
внутренне непересекающихся цепей. Пусть L\, L2, ..., Lk — неко-

72 Гл. П. Сжатия и теорема Менгера
торое множество цепей графа G.
Эти цепи называются внутренне
непересекающимися, если ни одно
ребро и ни одна внутренняя
вершина какой-либо из них не
принадлежат другой цепи
рассматриваемого множества. Заметим, что две
или более внутренне
непересекающиеся цепи могут иметь одни и те
же пары концов. Обычный вариант
теоремы Менгера звучит так.
Теорема 11.35. Пусть р и q —
разные несмежные вершины графа
G. Пусть X — наименьшее число
вершин, которые необходимы,
чтобы разделить вершины р и q в графе G. Тогда в графе G
существует ровно X внутренне непересекающихся цепей, концами
которых являются вершины р и q.
Для того чтобы связать это утверждение с теоремой II. 34,
рассмотрим следующие два подмножества ребер Р и Q. В Р
содержатся все ребра графа G, инцидентные вершине р, а в
Q — все ребра, инцидентные q. Число X будем понимать как
наименьшее число вершин, которые в совокупности разделяют
подмножества Р и Q в графе G, т. е. как величину X(G\P,Q).
В силу теоремы II. 34 имеется X попарно непересекающихся
соединений Т\, Т2, ..., Т% между подмножествами Р и Q.
Превращаем каждое соединение Т} в цепь L/ с концами р и q, для
чего присоединяем вершину р с помощью ребра Л/ и вершину
q с помощью ребра В}- к соответствующим вершинам или
концам соединения Г/ (см.,рис. П. 5.1). Получаем X внутренне
непересекающихся цепей L] с концами р и q. Из теоремы II. 34
следует, что большего количества таких цепей получить нельзя.
Из каждой цепи в графе G с концами р и q мы можем
построить соединение между подмножествами Р и Q, удаляя из
нее два конца с инцидентными им ребрами.
Практическая ценность теоремы Менгера существенно
ограничивается трудностями, связанными с нахождением величины
X(G;P,Q). Я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы я в своих исследованиях использовал ее, исключая
чрезвычайно простые и не представляющие существенного интереса
ситуации. Понятия, входящие/в теорему Менгера и ее аналоги,
весьма важны в теории транспортных сетей. В рамках этой
теории теорема Менгера обычно заменяется некоей
конструкцией, дающей одновременно максимальное множество
внутренне непересекающихся цепей с концами р и q и минимальную
Рис. II. 5.1.

//. 5. Теорема Менгера 73
разрезающую пару для подмножеств Р и Q. На каждом шаге
этой конструкции, исходя из некоторого множества X,
содержащего k попарно непересекающихся соединений между
подмножествами Р и Q, либо доказывают максимальность X, либо
строят из него множество, содержащее k + 1 таких соединений.
Мы видоизменим теорему 11.34, чтобы приспособить ее для
применения к неполным множествам соединений и
последующего их пополнения. Пусть задано множество X попарно
непересекающихся соединений между подмножествами Р и Q; его
Р-базой называется множество Х(Р) всех вершин, являющихся
концами соединений из X и принадлежащих подграфу G-P.
Аналогично определяется Q-база X(Q) множества X.
Видоизменение теоремы II. 34 звучит так.
Теорема 11.36. Пусть Р и Q — непересекающиеся
подмножества из E(G). Пусть X — множество попарно
непересекающихся соединений между Р и Q с Р-базой Х(Р). Тогда
существует множество У, состоящее из X = X(G\ Р, Q) попарно
непересекающихся соединений между Р и Q, такое, что Р-база
Y(P) содержит Х(Р).
Множество У предпочтительней называть пополнением, а не
замещением множества X, ибо не все «следы» множества X
исчезают при формировании множества У. Исходная Р-база
остается как часть новой Р-базы.
Мы можем доказать теорему 11.36, повторив с
незначительными изменениями доказательство теоремы 11.32. При п = О
ничего менять не надо, так как база Х(Р) является просто
подмножеством множества М.
Далее выбираем ребро А и предполагаем, что теорема
справедлива для подграфов G'a и G% Надо доказать ее
истинность для графа G. Здесь допустимо считать множество X
максимальным в том смысле, что среди соединений между
подмножествами Р и Q не существует таких, которые не
пересекаются ни с одним соединением, входящим в X. Можно также
предположить, что множество X содержит меньше, чем X,
элементов, так как иначе нечего было бы доказывать.
Максимальность множества X гарантирует отсутствие у графов G-P и
G-Q общих вершин, не принадлежащих базам Х(Р) и X(Q).
Занумеруем элементы множества X следующим образом:
Ти Т2, ..., 7V, где ii < X.
Выберем ребро Л, инцидентное некоторой вершине и
подмножества Q и не принадлежащее базе X(Q). Это сделать
можно, ибо в противном случае у членов разрезающей пары
((G-Q)c, G-Q) для подмножеств Р и Q в графе G общими
были бы только вершины множества X(Q), что противоречит
соотношению (П. 4.2).

74 Гл. II. Сжатия и теорема Менгера
Рис. II. 5.2.
Другой конец v ребра А либо содержится в каком-то
соединении Г/, либо не принадлежит ни одному из соединений
Ти ..., 7^. Если v не лежит в Г/, то полагаем S/ = Г/. Если
у является вершиной х\ из Г/, лежащей в Р, то в качестве 5/
берем соответствующий х}- граф-вершину; в оставшемся случае
в качестве S/ берем цепь в соединении Г/, концами которой
являются вершины х}- и у. На рис. II. 5.2 приведен пример, в
котором v есть вершина из Т\.
Может случиться, что X(G'a\ Р, Q) = X(G; Р, Q). Тогда
справедливость теоремы для графа G вытекает из ее истинности
для подграфа G'a (с заданным множеством X попарно
непересекающихся соединений между подмножествами Р и Q).
В оставшемся случае в силу теоремы 11.31 X(G'a; Р, Q) =
= X (G; Р, Q). Каждой вершине w из G сопоставим вершину w"
из Ga так же, как это делалось в разд. II. 2. Отображение
w-+w" преобразует множество подграфов S/ графа G в
множество X", состоящее из \х попарно непересекающихся
соединений между подмножествами Р и Q в графе Ga. Кроме того,
оно индуцирует взаимно однозначное отображение Р-базы X (Р)
на Р-базу X" (Р) множества X" в графе Ga. Так как мы
предположили ранее, что теорема истинна для графа G% то
приходим к следующему заключению: существует множество Y",
состоящее из Я попарно непересекающихся соединений между
подмножествами Р и Q в графе Ga и имеющее Р-базу Y" (Р),
содержащую Р-базу ^(Р) множества X".
В графе G^ существует подграф /С, компоненты которого
являются элементами множества Y". Так же как в
доказательстве теоремы II. 32, заключаем, что подграф fAK графа G имеет X
компонент, каждая из которых пересекается с подграфами G • Р
и G • Q. В подграфе G • Р содержится только по одной вершине
из каждой компоненты подграфа fAK. Кроме того, отображение
w->w" индуцирует взаимно однозначное соответствие между

//. 6. Теорема Холла 75
множеством W вершин подграфа fAK, лежащих в подграфе
G • Р, и множеством Y" (Р). Отсюда следует, что X (Р) есть
подмножество из W.
Ограничим теперь каждую компоненту подграфа fAK на
некоторое соединение между подмножествами Р hiQ, как это
делалось при доказательстве теоремы 11.34. Получаем
множество У, состоящее из X попарно непересекающихся соединений
между подмножествами Р и Q, у которого Р-база совпадает
с W и содержит Р-базу Х(Р). Шаг индукции обоснован. □
11.6. Теорема Холла
В еще одном варианте теоремы Менгера рассматриваются
два подмножества U и V множества V{G) и ищется
максимальное число попарно непересекающихся соединений между
U и V. В этом случае «соединением» может быть и
граф-вершина в G, соответствующий вершине, принадлежащей
одновременно подмножествам U и V. Кроме того, соединением
является цепь в графе G, один конец которой лежит в U и не
принадлежит У, а другой содержится в У и не входит в U,
причем внутренние вершины цепи (если они есть) не
принадлежат ни одному из подмножеств U и V.
Разрезающей парой для подмножеств U и V в графе G
назовем всякую упорядоченную пару (Я, К) реберно
непересекающихся подграфов Я и К из G, удовлетворяющих
следующим условиям:
U<=V(H), V<=V(K) и H\)K = G. (II. 6.1)
Числом вершинного разделения подмножеств [/иУв графе
G будем называть число jbi(G;f/, У), определяемое
соотношением
II (G; *Л 10=min|V(tffltf)l, (И-6.2)
(Я, /С)
где минимум берется по всем разрезающим парам (Я, К) для
подмножеств [/ и V в графе G.
Мы могли бы развить теорию, подобную той, которая была
изложена в разд. II. 4, взяв вместо соотношений (П. 4.1) и
(II. 4.2) соотношения (П. 6.1) и (П. 6.2). Однако в ней прямые
прикладные возможности теорем о соединяющих вершинах
были бы весьма невысокими.
Существует простой прием, позволяющий «увязать» старую
теорию с новой. В каждой вершине и из подмножества U
добавим новую петлю BU{U), а в каждой вершине v из V — новую
петлю BV(V). Если вершина х принадлежит одновременно U и
У, то в ней появятся две различные новые петли BX(U) и

76 Гл. II. Сжатия и теорема Менгера
Рис. II. 6.1.
BX(V). Добавление всех
указанных петель превращает
граф G в новый граф Gb
Пусть Р — множество петель
Bu(U)y где и пробегает все
вершины из [/, a Q —
соответствующее множество петель Bv (V).
Описанная конструкция
иллюстрируется рис. II. 6.1 с (/ =
= {ии и2у и3} и V = {vu t>2, v3}.
Разрезающую пару (#, К) для подмножеств U и V в графе
G можно теперь рассматривать как разрезающую пару для
подмножеств Р и Q в графе d; при этом подграфы Н и К
в графе G\ надо, естественно, «пополнить» петлями из
подмножеств Р и Q соответственно. Наоборот, если
(H\9Ki)—разрезающая пара для подмножеств Р и Q в графе Gi, то, удаляя
из подграфов Н{ и /G петли, входящие в Р и Q, приходим к
разрезающей паре для подмножеств U и V в графе G. Таким
образом, показано, что
ix (G; £/, y) = MGi; Л Q). ("-6-3)
Множество попарно непересекающихся соединений между
подмножествами U и V в графе G совпадает с множеством
попарно непересекающихся соединений между подмножествами Р
и Q в графе Gi. Применяя теорему II. 34 к графу Gi, получаем
следующее утверждение о графе G.
Теорема 11.37. Если U и V—подмножества множества
V(G), то максимальное число попарно непересекающихся
соединений между U и V в графе G равно [x(G; U, V).
2-разбиением графа G называется упорядоченная пара
([/, V) взаимно дополнительных подмножеств из F(G), таких,
что у каждого ребра графа G один конец лежит в
подмножестве [/, а другой — в подмножестве V. Граф называется
двудольным, если он обладает 2-разбиением. Очевидно, что у
двудольного графа петель быть не должно. Займемся
приложениями теоремы II. 37 к двудольным графам. Мы будем иметь
дело с 1-факторами (соответствующее определение см. в
разд. 1.3).
Частичный \-фактор F графа G представляет собой
однородный подграф (графа G) валентности 1. Очевидно, что
компоненты такого подграфа F должны быть графами-звеньями.
Если V(F)= V(G), то будем говорить, что F есть \-фактор
графа G.
Пусть граф G имеет 2-разбиение ([/, V) и F — частичный
1-фактор графа G. Назовем U-дефицитом этого фактора F

//. 6. Теорема Холла 77
число 8u{F) всех таких вершин из подмножества [/, которые
не инцидентны ни одному ребру фактора F; V-дефицит 8v(F)
фактора F определяется аналогично.
Теорема 11.38. Пусть (U,V) есть 2-разбиение графа G и
п — целое положительное число. Для отсутствия у графа G
частичного {-фактора с U-дефицитом, меньшим п, необходимо
и достаточно, чтобы в U нашлось подмножество S,
удовлетворяющее условию, что число тех вершин подмножества V,
которые смежны хотя бы с одной вершиной из S, меньше \S\— п.
Доказательство. Из теоремы II. 37 вытекает, что максимально
возможное число ребер в частичном 1-факторе графа G равно
\x(G; U, V). Пусть (Я, К) — разрезающая пара для
подмножеств U и V в графе G, такая, что | V (Я f| К) \ = |ы (G; £/, V).
Пусть Хи — множество вершин из U, принадлежащих /С, и Xv—
множество вершин из V, содержащихся в Я. Тогда
\Xu\ + \Xv\ = \V(HnK)\ = \i(G; U, V).
Значит, для всякого частичного 1-фактора F графа G
справедливы неравенства 6U(F)'^\U \ — \x(G] (У, X) и 6U(F)'^\U\ —
— \Xu\ — \Xv\. Положим S = U — Хи. Вершина из S может быть
смежной только с какими-то вершинами из Xv, так как любое
инцидентное ей ребро принадлежит Я. Следовательно, вершины
из S смежны в совокупности самое большее с | Xv \ вершинами,
а значит, они смежны не более чем с \S\ — 6и(Р) вершинами,
принадлежащими V. Отсюда вытекает, что если 6и (F) > п для
всякого F, то вершины из S смежны (в совокупности) с менее
чем \S\-n вершинами из V.
Обратно, предположим, что в U есть подмножество 5,
состоящее из вершин, смежных в совокупности ровно с k
вершинами из V, причем &<|S|—п. Тогда каждый частичный 1-фак-
тор F графа G содержит не более k ребер, инцидентных
вершинам из 5. Следовательно, 8u{F) > п. □
Если в графе G есть 1-фактор, то очевидно, что
подмножества U и V содержат одинаковое число элементов. Этот
результат можно рассматривать как следствие теоремы II. 38: надо
положить в ней п = 1 и применить ее к двум 2-разбиениям
(£/, V) и (V, U). Дальнейшее использование теоремы 11.38
приводит нас к следующему утверждению.
Теорема 11.39. Пусть (U>V) есть 2-разбиение графа G. Для
существования у G 1-фактора необходимо, чтобы \U\ = \V\.
А в этом случае граф G имеет l-фактор тогда и только тогда,
когда в V не существует подмножества 5, состоящего из
вершин, смежных в совокупности с менее чем \ 51 вершинами из V..

78 Гл. II. Сжатия и теорема Менгера
Теорема 11.39 известна как теорема Холла. Она впервые
была опубликована в 1935 году в работе Ф. Холла [1]. Мен-
гер свою теорему опубликовал в 1927 году (см. [2]).
Задачу, связанную с теоремой 11.38, часто называют
задачей о назначениях. При этом элементы множества U
называют «претендентами», а множества V — «должностями» или
«видами работ». Наличие в графе G ребра между
соответствующими вершинами указывает на то, что данный
претендент может быть назначен на данную должность. Частичный
1-фактор графа G с максимально возможным числом ребер
дает вариант назначения наибольшего числа претендентов на
должности, соответствующие их квалификации.
II. 7. Замечания
И. 7.1. Миноры
Для каждого графа G существует наименьшее число п =
= n(G)> такое, что некоторый минор графа G является п-кли-
кой. Это число представляет интерес в связи с знаменитой
гипотезой Хадвигера, утверждающей, что вершины графа G, не
имеющего петель, можно раскрасить в не более чем n(G)
цветов. (См. разд. IX. 3.)
Другой хорошо известной гипотезой, связанной с минорами,
является следующая: пусть 5 — произвольное бесконечное
множество графов; тогда в нем найдется такое конечное
подмножество Ту что каждый граф из 5 содержит минор, изоморфный
некоторому графу из Т. Для кубических графов это так
называемая гипотеза Краскала.
II. 7.2. Рекуррентные формулы
Существует много интересных функций на графах,
удовлетворяющих формулам, подобным (II.2.9), (II.2. 10) и
(П. 2.11). Некоторые из таких функций будут рассматриваться
в гл. IX.
II. 7.3. Теорема Менгера
Указанную теорему можно обосновывать с помощью
методов теории транспортных сетей (см. разд. VI. 7). Было
предложено много доказательств этой теоремы; возникшая здесь
ситуация— это что-то вроде состязания по поиску наиболее
короткого доказательства (см. [3]).

Литература 79
Упражнения
1. Показать, что в графе куба есть минор, являющийся
4-кликой. Существует теорема, утверждающая, что такой
минор содержится и в графах всех выпуклых многогранников.
Убедиться в справедливости этой теоремы в некоторых простых
случаях.
2. Используя соотношение (П. 2.9) и теорему 1.36, найти
число остовов у 4-клики.
3. Показать, что в графе выпуклого многогранника любые
две несмежные вершины разделяются, самое меньшее, тремя
другими вершинами.
4. Показать, что каждый двудольный кубический граф
имеет 1-фактор.
5. Дать формальное доказательство того факта, что любые
две различные вершины цикла соединяются двумя и только
двумя цепями, причем эти цепи внутренне непересекающиеся.
6. Какие графы можно преобразовать посредством
стягивания одного ребра в: (i) граф куба, (и) граф октаэдра?
Литература
[1] Hall Ph. On representatives of subsets. —J. Lond. Math. Soc. 10 (1935),
26—30.
[2] Menger K. Zur allgemeinen Kurventheorie. — Fund. Math. 10 (1927),
96-115.
[3] Nash-Williams С St. J. A., Tutte W. T. More proofs of Menger's Theorem.
J. Graph Theory 1 (1977), 13—17.

Глава III
ДВУСВЯЗНОСТЬ
///. /. Разделимые и двусвязные графы
Как следует из теоремы 1.21, непустой собственный
подграф связного графа G содержит хотя бы одну соединяющую
вершину. В настоящей главе излагаются элементы теории
таких подграфов графа G, у которых существует в точности одна
соединяющая вершина.
Назовем {-разделением связного графа G упорядоченную
пару (Я, К) его подграфов, содержащих хотя бы по одному
ребру и таких, что Н[)К= G и Н[\К есть граф-вершина.
Вершина из Н[\К называется точкой сочленения (или
разделяющей вершиной) рассматриваемого 1-разделения.
Связный граф называется разделимым или неразделимым
в зависимости от того, имеет он или не имеет 1-разделение.
Всякий несвязный граф удобно считать разделимым. Пустой
граф мы не будем относить ни к разделимым, ни к
неразделимым. Термин «2-связный» (или «двусвязный») используется
как синоним термина «неразделимый».
Из данного определения следует, что связный граф,
содержащий не более одного ребра, обязательно двусвязен. Значит,
двусвязны графы-вершины, графы-петли и графы-звенья.
Теорема III. 1. Пусть G — связный граф и (Я, К)—его
{-разделение с точкой сочленения v. Тогда подграфы Н и К
связны и в каждом из них вершина v является соединяющей.
Доказательство. Если Я — несвязный граф, то в нем
найдется компонента С, не содержащая вершину v. Очевидно, что
С есть обособленный собственный подграф графа G. Это
противоречит теореме 1.21. Значит, Я — связный граф. Аналогично
устанавливается связность и подграфа /С.
Отсюда выводим, что вершина v не является изолированной
ни в Я, ни в К. Так как подграфы Я и К не имеют общих
ребер, то вершина v является соединяющей в каждом из них.
Другой соединяющей вершины у подграфов Я и К быть
не может, иначе она содержалась бы в графе Н()К, что
невозможно. □
Рассмотрим произвольное 1-разделение (Я, К) связного
графа G. Используя терминологию разд. 1.4, можно сказать

///. 1. Разделимые и двусвязные графы 81
(на основании теоремы III. 1), что подграфы Я и К
составляют комплементарную пару подграфов графа G с числом
сращивания, равным 1.
Теорема III.2. Пусть G — связный граф и Я— его
собственный подграф, имеющий не более одной соединяющей вершины
и содержащий либо ребро, либо вершину, которая не является
соединяющей. Тогдй пара (Я, Яс) будет 1-разделением графа G.
Доказательство. Как следует из определения подграфа Яс,
объединение подграфов Я и Яс совпадает с G. Эти подграфы
не имеют общих ребер, а общими вершинами у них являются
лишь соединяющие вершины подграфа Я. Далее, подграф Я
как непустой собственный подграф связного графа имеет хотя
бы одну соединяющую вершину. Значит, в силу условия
теоремы у него в точности одна такая вершина, скажем v. И
следовательно, пересечение подграфов Я и Яс есть граф-вершина,
соответствующий вершине v.
Остается показать, что в каждом из подграфов Я и Яс
содержится хотя бы по одному ребру. Если бы в Я ребер не
было, то в силу условия теоремы в нем нашлась бы вершина
х, отличная от v и не принадлежащая Яс. Далее, если бы ребра
отсутствовали в подграфе Яс, то в нем содержалась бы
вершина у, не входящая в Я, так как иначе подграф Я не был бы
собственным подграфом графа G. Таким образом, либо х,
либо у была бы изолированной вершиной в графе G. Это
противоречит связности графа G. □
Теорема III.3. Двусвязным графом, содержащим петли,
является только граф-петля. Двусвязным графом, содержащим
перешеек, является только граф-звено.
Доказательство. Пусть А — ребро связного графа G.
Предположим сначала, что А — петля. Если G-{A}—собственный
подграф графа G, то в силу теоремы III. 2 G является
разделимым графом (с Я = G- {А}). Значит, если G — двусвязный
граф, то он должен быть графом-петлей G- {А}.
Теперь предположим, что А — перешеек графа G. Если G не
является графом-звеном, то некоторый торцевой граф Я ребра
А в графе G отличен от графа-вершины. Но тогда пара (Я, Яс)
будет 1-разделением графа G (по теореме III. 2). □
Теорема III.4. Пусть G — связный граф, имеющий
{-разделение (Я, К) с точкой сочленения v. Пусть J — подграф графа
G, являющийся либо циклом с ребром, принадлежащим
множеству Е(Н), либо цепью, оба конца которой лежат в
множестве V{H). Тогда J <= Я.

82 Гл. III. Двусвязность
Доказательство. Напомним, что циклы и цепи являются
связными графами. Заметим также, что если J[]K содержит
вершину х, отличную от v, то х должна иметь валентность 2
и в / П ^С, и в /.
Предположим сначала, что v не принадлежит / f| /С. Тогда,
как следует из предыдущих рассмотрений, J [\К является
собственным обособленным подграфом связного графа /. Значит,
/ П К— пустой граф и /^Я.
В оставшемся случае вершина v принадлежит графу / f| К.
Ее валентность в / П К не больше 2. Если она равна 2, то J{]K
является непустым обособленным собственным подграфом
связного графа /, что невозможно. Далее, в силу теоремы I. 1
валентность вершины v в / П К отлична от 1. Но если эта
валентность равна 0, то граф J [\Н является непустым обособленным
подграфом связного графа /, а значит, совпадает с /.
Следовательно, / ^ Я. □
Теорема III.5. Каждый цикл двусвязен.
Доказательство. Предположим, что некоторый цикл G имеет
1-разделение (Я, К). Тогда в G существует ребро,
принадлежащее подграфу Я, и, значит, по теореме III. 4 G ^ Я. Но
это невозможно, иба у G должно быть также ребро,
содержащееся в подграфе /С. □
Две следующие теоремы важны для приложений
результатов из разд. 1.8 и II. 5.
Теорема III. 6. 'Пусть G — двусвязный граф и Я—непустой
его подграф, не являющийся графом-вершиной. Если В
является Н-мостом в графе G, то в Я содержатся хотя бы. две
вершины из В.
Доказательство. Предположим, что в Я содержится не
более одной вершины из В. Обращаясь к определению моста,
данному в разд. 1.8, видим, что Я принадлежат все
соединяющие вершины моста В. Следовательно, В имеет не более одной
соединяющей вершины. Далее, так как В не является
подграфом в Я, то в В содержится либо некоторое ребро, либо
некоторая вершина, не являющаяся соединяющей. Но тогда в
силу теоремы III. 2 граф G разделимый. Это противоречит
условию теоремы. □
Теорема III. 7. Пусть G — двусвязный графу а Р и Q —
непустые непересекающиеся подмножества из E(G). Тогда
MG;P,Q)^2.
Доказательство. Предположим, что X(G; Р, Q) < 2. Из
теоремы 11.28 следует, что существует подграф Я графа G, имею-

///. 2. Построение двусвязных графов 83
щий не более одной соединяющей вершины и такой, что
множество Е(Н) содержит подмножество Р и не пересекается с
подмножеством Q. Применяя теорему III. 2, заключаем, что
граф G разделимый. Это противоречит условию теоремы. □
III. 2. Построение двусвязных графов
В данном разделе будет продолжена работа, начатая в
разд. 1.7. Мы покажем, как можно построить полный перечень
попарно неизоморфных двусвязных графов с заданным числом
ребер. Начнем с теорем, демонстрирующих, как можно
получать некоторые двусвязные графы из двусвязных графов с
меньшим числом ребер.
Теорема III.8. Пусть G — связный граф, имеющий
{-разделение (Я, К) с точкой сочленения v. Пусть J — двусвязный
подграф графа G, содержащий либо ребро из Я, либо вершину,
отличую от v и принадлежащую Я. Тогда J ^ Я.
Доказательство. Так как граф J (] К является собственным
подграфом графа J, то в / (] К не должно быть соединяющей
вершины графа /, отличной от v. Следовательно, по теореме
III. 2 в графе J (]К нет ни ребер, ни вершин, отличных от v. □
Теорема III. 9. Пусть Я и К — двусвязные подграфы графа
С, имеющие либо общее ребро, либо две различные общие
вершины. Тогда граф Н[) К двусвязен.
Доказательство. Связность графа Н[) К следует из
теоремы 1.25. Предположим, что он не является двусвязным. Тогда
он имеет 1-разделение (L, М) с точкой сочленения v. Можно
считать, что именно подграф L содержит общее для
подграфов Я и К ребро или общую для них вершину, отличную
от v. Но тогда в силу теоремы III. 8 Н[)К^Ь, что
невозможно, так как в М есть ребро из Я U /С, не принадлежащее
L. □
Теорема III. 10. Пусть Я — двусвязный подграф графа G и
N—цепь из G, оба конца которой лежат в Я. Тогда подграф
H[)N двусвязен.
Доказательство. В силу теоремы 1.25 подграф H[)N
связен. Предположим, что он не является двусвязным. Тогда он
имеет 1-разделение (L, М). На основании теоремы III. 8 можно
считать, что Я ^ L. Применяя теорему III. 4, заключаем, что
N^L. Значит, H[)N^L. Мы получили противоречие. □

84 Гл. III. Двусвязность
Теорема III. 11. Пусть G — двусвязный граф, содержащий
хотя бы два ребра. Тогда G можно представить в виде
объединения двусвязного подграфа Я графа G и цепи L из G, такой,
что она уклоняется от Я, но оба ее конца лежат в Я.
Доказательство. Каждое ребро А из G определяет
двусвязный собственный подграф G{A) графа G. Следовательно,
можно утверждать, что существует двусвязный собственный
подграф Я графа G, имеющий максимально возможное число
ребер (скажем, п). Очевидно, что п > 0. Так как Я—
собственный подграф в G, то в силу теоремы 1.51 в графе G
найдется Я-мост В. Этот мост имеет в Я две различные вершины
х и у (см. теорему III. 6). На основании теоремы 1.56
заключаем, что эти вершины являются концами некоторой цепи L
в 5, уклоняющейся от Я.
По теореме III. 10 подграф Н[) L графа G двусвязен. Но он
имеет больше чем п ребер, а потому не может быть
собственным подграфом графа G. Значит, он совпадает с С. D
Применим теперь конструкцию, в которой граф G строится
из графа Я с помощью подсоединения к нему цепи L. Концы
цепи L являются вершинами в Я, но ее ребра и внутренние
вершины в Я не входят. В результирующем графе G граф Я
будет подграфом, a L — цепью, уклоняющейся от Я. Будем
говорить, что граф G построен из графа Я присоединением
цепи L.
Из теоремы III. 10 вытекает, что, присоединяя цепь к дву-
связному графу Я, мы всегда получаем двусвязный граф.
Кроме того, из теоремы III. 11 следует, что каждый двусвязный
граф, содержащий хотя бы два ребра, может быть построен
указанным присоединением цепи к некоторому подходящему
меньшему двусвязному графу.
Пусть Ln обозначает полный перечень попарно
неизоморфных двусвязных графов с п ребрами. Перечень Lo состоит,
очевидно, только из графа-вершины, а перечень L\ — из графа-
петли и графа-звена. Если т>1 и перечни L0, L\, •••> Lm-\
известны, то можно построить перечень Lm- Для этого надо
всевозможными попарно неизоморфными способами
присоединить подходящие цепи к графам из перечней L0, Li, ..., Lm-u
а затем из получившейся совкупности графов выделить
максимальное множество попарно неизоморфных графов. Перечень
L0 можно не брать, так как присоединить цепь к
одновершинному графу невозможно.
В качестве примера построим все графы из перечня L2,
присоединяя 1-цепь всеми возможными способами к графам из
перечня L\. Это означает на самом деле, что надо присоединить

///. 2. Построение двусвязных графов 85
Ф
Рис. III. 2.1. Перечень L3.
□ 0>(Ф
Рис. III. 2.2. Перечень L4.
ОСЛО
Рис. III. 2.3. Перечень L5.
1-цепь к графу-звену только одним возможным способом.
Следовательно, в перечне L2 содержится лишь один граф, а именно
2-цикл.
Для получения перечня L3 надо присоединить 2-цепи к
графам из L\ и 1-цепи к графам из L% Нетрудно видеть, что
в L3 содержатся только два графа — 3-цикл и 3-звенник (см.
рис. III.2.1).
Для построения перечня L\ надо присоединить 3-цепи к
графам из Lu 2-цепи — к графам из Li и 1-цепи — к графам из L3.
Результирующий перечень показан на рис. III. 2.2. Перечни L$
и L& приведены соответственно на рис. III. 2.3 и III. 2.4.
Перечень связных разделимых графов с п ребрами можно
получить из перечня Мп, рассматривавшегося в разд. I. 7,
удаляя графы, входящие в перечень Ln из настоящего раздела.
В качестве примера на рис. III. 2.5 показаны все связные
разделимые графы с четырьмя ребрами.

86 . Гл. III. Двусвязность
iOi
Рис. III. 2.4. Перечень L6.
-• •
• •
схз
Рис. III. 2.5. Связные разделимые
графы с 4 ребрами.

///. 3. Блоки 87
III.3. Блоки
Блоком в графе G называется максимальный двусвязный
подграф графа G, т. е. двусвязный подграф графа G, не
содержащийся ни в каком другом таком подграфе.
Теорема III. 12. Пусть Н—двусвязный подграф графа G.
Тогда Н содержится в некотором блоке графа G. Более того,
если подграф Н отличен от графа-вершины, то он содержится
ровно в одном блоке графа G.
Доказательство. Первая часть теоремы вытекает из
конечности графа G. Для доказательства второй части
предположим, что Н содержится в двух блоках В{ и В2- Так как Н не
является графом-вершиной, то в силу теоремы III. 9
объединение В\ U Вч является двусвязным подграфом. Но тогда, учитывая
максимальность блоков В\ и В2, имеем В{ [} В2 = В\ = В2. О
Теорема III. 13. Пусть G — произвольный граф. Тогда
каждое его ребро и каждая его вершина принадлежат некоторому
блоку графа G. Более того, каждое ребро принадлежит
только одному блоку графа G.
Доказательство. Так как граф-вершина, граф-петля и граф-
звено— двусвязные графы, то утверждение следует из
теоремы III. 12. □
Теорема III. 14. Блоки графа G являются блоками его
компонент.
Доказательство. Блок графа G, будучи связным подграфом,
содержится в некоторой компоненте С графа G (см. теорему
1.24) и, очевидно, является блоком этой компоненты. Обратно,
блок компоненты С графа G должен быть блоком графа G,
ибо всякий двусвязный подграф графа G, содержащий этот
блок, должен быть подграфом данной компоненты (см.
теорему 1.24). □
Из теоремы следует, что в дальнейших рассмотрениях,
относящихся к теории блоков, можно без потери общности
ограничиться случаем связных графов.
Теорема III. 15. Двусвязный граф имеет в точности один
блок — это сам рассматриваемый граф. Разделимый граф
содержит не менее двух блоков.
Доказательство. Справедливость первой части утверждения
вытекает из определения понятия блока. Справедливость
второй части следует из теоремы III. 13, ибо каждый блок
разделимого графа G должен быть его собственным подграфом. □

88 Гл. III. Двусвязность
Теорема III. 16. Пусть G — связный граф, не являющийся
графом-вершиной. Тогда каждый блок графа G содержит хотя
бы одно ребро.
Доказательство. Пусть В — блок графа G. Если в В нет
ребер, то он должен быть (так как он связен)
графом-вершиной. Пусть его вершиной будет х. По условию теоремы вершина
х инцидентна некоторому ребру А графа G. В силу
теоремы III. 13 в графе G существует блок В\ содержащий ребро А.
Но тогда блок В является собственным подграфом блока В\
что противоречит определению блока. □
Теорема III. 17. Если А — петля или перешеек в графе G, то
подграф G-{A} является блоком графа G.
Доказательство. Из теоремы III. 13 вытекает, что ребро А
принадлежит некоторому блоку В графа G. Но тогда в силу
теоремы 1.32 А есть либо петля, либо перешеек блока В.
Значит, В является графом-петлей или графом-звеном (см.
теорему III. 3), т. е. В = G-{A}. □
Теорема III. 18. Пусть А\ и А2 — разные ребра графа G. Они
принадлежат одному блоку графа G тогда и только тогда,
когда оба они содержатся в некотором цикле графа G. (См.
[2]-)
Доказательство. Предположим, что А{ и А2 — ребра цикла Q
в графе G. Тогда Q есть подграф некоторого блока В графа G
(см. теоремы III. 5 и III. 12).
Обратно, пусть ребра А{ и А2 принадлежат блоку В графа G.
В силу теоремы III. 7 Х(В\ {A{}t {Л2})>2. По теореме 11.34
в блоке В найдутся два непересекающихся соединения Т{ и Т2
между {А{} и {А2}. Предположим, что конец х{ ребра А{
содержится в Т{> а конец х2 — в Т2 и аналогично конец ух ребра
А2 принадлежит Ти а конец у2 — соединению Т2. Может
случиться, что либо х{ = у{у либо х2 = у2. Взяв объединение
подграфов Т{ и Т2 и присоединяя к нему ребра А{ и Аъ получим
однородный граф Q валентности 2. В силу теоремы 1.25 граф Q
является связным. Значит, он есть цикл в блоке В и графе G
(см. теорему 1.27). □
В оставшейся части данного раздела изучается взаимосвязь
между блоками связного графа G и его точками сочленения,
т. е. точками сочленения 1-разделений графа G.
Теорема III. 19. Пусть G — связный граф и v — точка
сочленения графа G, соответствующая некоторому 1-разделению
(Ht К). Тогда v принадлежит не менее чем двум разным бло-

///. 3. Блоки 89
кам графа G, причем по крайней мере один из этих блоков
содержится в Н и по крайней мере один из них содержится в К.
Доказательство. Вершина v инцидентна некоторому ребру
Ля из Я и некоторому ребру Ак из К (см. теорему III. 1).
В силу теоремы III. 13 эти ребра принадлежат соответственно
блокам Вн и Вк графа G. Но по теореме III. 8 Вн ^ Я и
Вк <= К. П
Теорема III.20. Пусть G —связный графу В — блок в G и
х — вершина из В. Пусть Н — та компонента подграфа
G:(E(G)— Е(В))У которая содержит вершину х. Тогда либо Н
есть граф-вершина, либо (Н,НС) есть 1-разделение графа G,
причем в последнем случае х является точкой сочленения
{-разделения (Я, Яс).
Доказательство. Сначала установим, что в Я нет вершин из
В, отличных от х. В самом деле, если у принадлежит Я и В и
отлична от х, то в Я существует (см. теорему 1.43) цепь L
с концами х и у. Тогда подграф В [} L графа G (на основании
теоремы III. 10) двусвязен, что невозможно (в силу
максимальности блока В).
Предположим, что компонента Я не является
графом-вершиной. Тогда по теореме III. 16 каждый из подграфов Я и В,
будучи связным графом, содержит ребро, инцидентное вершине
х. Следовательно, х — соединяющая вершина для Я.
Используя результат предыдущего абзаца, заключаем, что х —
единственная соединяющая вершина в Я. Применяя далее
теорему III. 2, получаем, что пара (Н,НС) есть 1-разделение графа
G. Наконец, из теоремы III. 1 следует, что х — точка
сочленения этого 1-разделения. □
Теорема III.21. Пусть В — блок связного графа G. Тогда
всякая точка сочленения графа G, содержащаяся в В, является
соединяющей вершиной для В. Эти точки сочленения можно
охарактеризовать как вершины, в которых блок В «встречает»
другие блоки графа G.
Доказательство. Пусть х — точка сочленения графа G,
принадлежащая В. Тогда в силу теоремы III. 19 в вершине х блок
В встречает другой блок графа G.
Пусть, далее, у — произвольная вершина, в которой блок В
встречает другой блок Вг графа G. Так как граф G содержит
более одного блока, то он не является графом-вершиной.
Используя теорему III. 16 и связность блока, получаем, что в
блоке В' есть ребро, инцидентное вершине у. Следовательно, у —
соединяющая вершина для В.

90 Гл. III. Двусвязность
Наконец, пусть z — произвольная соединяющая вершина для
В. Тогда компонента Я подграфа G:(E(G) — Е(В)),
содержащая г, не является графом-вершиной, а значит, в силу
теоремы III. 20, вершина z есть точка сочленения графа G. □
Теорема III. 22. Пусть G — связный граф и (Я, К)—1-раз-
деление графа G с точкой сочленения х. Тогда всякий блок
графа G является блоком одного из подграфов Я или /С. Кроме
того, всякая точка сочленения графа G является точкой
сочленения хотя бы одного из подграфов Я и К или совпадает с
точкой к.
Доказательство. По теореме III. 8 любой блок графа G
содержится либо в Я, либо в К и, следовательно, должен быть
блоком в Я или в /С. В силу теорем III. 13 и III. 16 подграфы
Я и К никаких других блоков не имеют. Применяя
теорему III. 21, получаем, что всякая точка сочленения графа G,
отличная от вершины лг, является точкой сочленения в Я или
К. □
Взаимосвязь между блоками и точками сочленения связного
графа G можно отразить с помощью так называемого графа
блоков и точек сочленения графа G (обозначение Blk(G)). Это
граф без петель и кратных ребер, имеющий 2-разбиение (£/, V)\
вершины из подмножества U являются образами блоков графа
G при некотором взаимно однозначном отображении f, а
вершины из V являются образами точек сочленения графа G при
некотором взаимно однозначном отображении g. Вершина fB
из U смежна с вершиной gx из V тогда и только тогда, когда
блок В содержит точку сочленения х (в графе G).
Если G — граф-вершина, то граф Blk(G) тоже будет
графом-вершиной (эта единственная вершина лежит в
подмножестве U).
На рис. III. 3.1 изображены связный разделимый граф G и
его граф блоков и точек сочленения Blk(G). Блоки графа G
обозначены большими буквами, а точки сочленения — малыми.
В разд. 1.3 мы определили объединение и пересечение двух
подграфов Я и К графа G. Эти определения легко
обобщаются на случай трех и большего числа подграфов. Объединением
подграфов Ни Я2, ..., Hk графа G называется подграф графа
G, который образован ребрами и вершинами, принадлежащими
этим k подграфам (берутся каждое ребро и каждая вершина,
содержащиеся хотя бы в одном подграфе Я/). Пересечение
подграфов Яь Я2, ..., Hk — это подграф графа G, который
образован ребрами и вершинами, содержащимися в каждом
подграфе Я/ (/ = 1, ..., k). Подграфы Я/ могут не все быть
разными. Сейчас мы воспользуемся данными обобщениями.

III.3. Блоки 91
G Blk(G)
Рис. III. 3.1.
Теорема III.23. Если G — связный графу то граф Blk(G)
является деревом.
Доказательство. Предположим сначала, что Blk(G)—
несвязный граф. Пусть С — одна из его компонент. Обозначим
через Я объединение всех тех блоков графа G, которые
соответствуют вершинам подмножества [/, лежащим в С. Пусть
К — объединение всех остальных блоков графа G. В силу
теоремы III. 19 всякая компонента графа Blk(G) содержит
вершину из подмножества U. Следовательно, каждому из
подграфов Я и К графа G принадлежит хотя бы одно ребро (см.
теорему III. 16). Более того, каждое ребро графа G содержится
точно в одном из подграфов Я и К (см. теорему III. 13). Из
связности графа G следует, что подграф Я имеет
соединяющую вершину х9 которая должна принадлежать одновременно
некоторому блоку в подграфе Я и некоторому блоку в
подграфе /С. Но тогда вершина gx графа Blk(G) смежна с какой-
нибудь вершиной из U, лежащей в С, и с некоторой вершиной
из U, не принадлежащей С. Это противоречит тому, что С —
обособленный подграф в Blk(G).
Предположим теперь, что не каждое ребро в графе Blk(G)
является перешейком. Тогда по теореме 1.45 в Blk(G)
существует цикл. Так как в графе Blk(G) нет ни петель, ни
кратных ребер, то в G найдутся п различных блоков Ви В2, ...
..., Вп (я^2) ип различных точек сочленения xi,x2, ..., хп>
удовлетворяющих условию, что для каждого / (/= 1, ..., п)
вершина х}- является общей для блоков B/_i и В]у где В0 = Вп.
Пусть Н—объединение всех блоков В/, отличных от блока В\.
Используя теорему 1.25 (возможно, несколько раз), получаем,
что Н—связный подграф графа G. В силу теоремы 1.43 в Я
существует цепь L с концами х\ и хп. Но тогда В\ [) L является
двусвязным подграфом графа G, содержащим В\ в качестве

92 Гл. III. Двусвязность
собственного подграфа (см. теоремы III. 13 и III. 14). Это
противоречит максимальности блока В\.
Итак, мы можем утверждать, что граф Blk(G) является
связным лесом, т. е. деревом. □
Теперь к блокам можно применить результаты из теории
деревьев. Например, концевым блоком связного графа G назовем
такой его блок, который содержит ровно одну точку
сочленения графа G; тогда концевым блокам графа G соответствуют
одновалентные вершины из подмножества U в графе Blk(G).
Так как валентность каждой вершины из подмножества V в
графе Blk(G) не меньше 2, то, применяя теоремы III. 19 и 1.40,
получаем такую теорему:
Теорема III.24. Если G — связный разделимый граф, то он
содержит хотя бы два концевых блока.
III. 4. Ответвления
Пусть G — связный граф, х — вершина в нем и X — граф-
вершина, соответствующий х. Ответвлением в вершине х в
графе G называется Х-мост в G.
Теорема III.25. Ответвление в вершине х в графе G
является связным графом, отличным от графа-вершины и
содержащим вершину х.
Доказательство. Пусть U — ответвление в вершине х в
графе G. Если бы U было несвязным подграфом или не содержало
х, то в нем нашлась бы компонента С, которой х не
принадлежала бы. Так как только х может быть соединяющей
вершиной для U в G (см. определение моста), то компонента С
должна быть обособленным подграфом графа G. Но это
невозможно из-за связности графа G.
Значит, мы можем утверждать, что ответвление U является
связным подграфом, содержащим вершину х. Оно не может
быть подграфом графа-вершины X (в силу определения моста)
и, следовательно, отлично от графа-вершины. □
Из доказанной теоремы следует, что в графе-вершине
ответвлений нет. В остальных случаях всегда существует хотя
бы одно ответвление (см. теорему 1.51). Если ответвление у
графа G только одно, то (на основании теоремы 1.51) оно
совпадает с G. Для случая двух или большего числа ответвлений
справедливо следующее утверждение.

///. 4. Ответвления 93
Теорема III.26. Если у графа G в вершине х существуют
хотя бы два ответвления и U — одно из них, то пара (U,UC)
является 1-разделением графа G с точкой сочленения х.
Утверждение вытекает из теорем III. 2 и III. 25.
Займемся установлением взаимосвязи между ответвлениями
и блоками графов.
Теорема III.27. Пусть U — ответвление в вершине х в графе
G. Тогда в G существует единственный блок В, содержащийся
в U и содержащий х.
Доказательство. В силу теоремы III. 25 ответвление U имеет
ребро Л, инцидентное х. Это ребро принадлежит блоку В графа
G, содержащему вершину х (см. теорему III. 13). Но тогда
блок В содержится в U. В самом деле, если U — единственное
ответвление в вершине х, то указанный факт вытекает из того,
что U = G, а в противном случае он следует из теорем III. 26
и III. 8.
Если В — единственный блок графа G, содержащий х, то
теорема, очевидно, справедлива. Поэтому предположим, что в
G существует еще один такой блок В\ Тогда х инцидентна
некоторому ребру Л графа G, принадлежащему блоку В' и не
принадлежащему блоку В (см. теорему III. 13). Следовательно,
компонента Н подграфа G:(E{G)— Е(В)), содержащая х,
отлична от графа-вершины. Используя теорему III. 20,
устанавливаем, что пара (#, #с) является 1-разделением графа G
с точкой сочленения х. Из определения подграфа Н вытекает,
что все ребра подграфа Яс, инцидентные вершине х,
принадлежат множеству Е(В).
Далее, Яс есть Х-обособленный подграф в G. В силу
теорем III. 1 и 1.46 подграф HC[\U является Х-обособленным в G.
Но HC[]U не может быть подграфом графа X, так как в нем
содержатся все ребра блока В, инцидентные вершине х.
Принимая во внимание «мостовую минимальность» ответвления [/,
получаем включение U ^ Яс. Следовательно, все ребра из [/,
инцидентные х, содержатся в В. Но А не является таким
ребром; значит, В' не содержится в U. О
Теорема III.28. Пусть G — связный граф, отличный от
графа-вершины. Тогда его блоки являются блоками его
ответвлений в вершине х. Всякая точка сочленения графа G,
отличная от х, является точкой сочленения некоторого его
ответвления в вершине х. Сама вершина х не является точкой
сочленения никакого ответвления в графе G в вершине х.
Доказательство. Пусть В — блок графа G. В блоке В
содержится ребро Л, и оно принадлежит некоторому ответвлению U

94 Гл. III. Двусвязность
в вершине х в графе G (см. теорему 1.51). Значит,в силу
теоремы III. 8 и того факта, что 0 = G, если U — единственное
ответвление в вершине х, то Bg U. Принимая во внимание
минимальность блока В в графе G, получаем, что В должен
быть блоком и в U. Тем самым все блоки всех ответвлений
в вершине х в графе G нами выявлены (см. теорему III. 13).
Утверждения о точках сочленения теперь выводятся из
теорем III. 21 и III. 27. □
Теоремы III. 27 и III. 28 показывают, что между множеством
ответвлений в вершине х в графе G и множеством блоков
графа G, содержащих х, существует взаимно однозначное
соответствие. Каждое такое ответвление содержит ровно один
такой блок и, наоборот, каждый такой блок содержится
только в одном таком ответвлении. Из теоремы III. 21 следует, что
в вершине х существуют два или более ответвлений тогда и
только тогда, когда она является точкой сочленения графа G.
Изложенные результаты представляют особый интерес в
том случае, когда граф G является деревом. Тогда его блоки
представляют собой графы-звенья, определяемые
соответствующими ребрами графа G (см. теорему III. 17). Число
ответвлений в вершине х равно val(G,*), и каждое ребро, инцидентное
х, содержится только в одном из этих ответвлений. Каждое
ответвление в вершине х в дереве G, будучи связным лесом,
само является деревом (см. теоремы III. 25 и 1.33). Если U —
ответвление в вершине х в дереве G, то х — одна из висячих
вершин в U и, кроме того, единственная соединяющая
вершина для U. Всякая другая вершина в U инцидентна такому
же числу ребер в £/, как и в графе G, и валентности у нее в U
и G одинаковые. Из теоремы 1.40 следует, что ответвление U
должно содержать по меньшей мере одну одновалентную
вершину дерева G, отличную от х. •
В частности, дерево G может быть цепью L с концами у и
z и внутренней вершиной х. Тогда в L существуют ровно два
ответвления в вершине х. Из проведенных выше рассмотрений
и теоремы 1.40 вытекает, что одно из этих ответвлений есть
цепь Lx\y с концами х и у, а другое — цепь Lxz с концами х
и г. Пересечением этих ответвлений является граф-вершина
X, а объединением — все дерево G (см. теорему 1.51). Будем
говорить, что вершина х разбивает цепь L на две цепи Lxy и
Lxz. Это разбиение цепи L нетрудно, конечно, описать с
помощью ее естественной нумерации, которая рассматривалась
в разд. I. 2.
В качестве примера связного разделимого графа G, не
являющегося деревом, можно взять граф, представленный
первой диаграммой на рис. III. 3.1. У этого графа в вершине Ъ

III.5. Удаление и стягивание ребра 95
существуют три ответвления. Одно из них состоит из блоков
А и В, другое — из блоков С и D, а третье—из блоков Е и F.
Из двух ответвлений в вершине а одно является графом-петлей
G- {А}, а второе — объединением всех остальных блоков.
///. 5. Удаление и стягивание ребра
Пусть G — связный граф. Нам удастся представить его
в виде нити блоков, если мы сможем для некоторого целого
числа k ^ 2 указать такую нумерацию блоков В\, B2l ..., Bk
графа G и такую нумерацию его точек сочленения v\, v2y ...
..., Vk-u что будет выполняться следующее условие: точка
сочленения V,- принадлежит только блокам В} и В}+\ (/=1, ...
..., k—1). Очевидно, что связный граф G представим в виде
нити блоков тогда и только тогда, когда соответствующий ему
граф Blk(G) является цепью.
В рассмотренной выше нити блоков концевыми являются
только два блока В\ и Bk. Выберем в В\ вершину х, отличную
от v\9 и в Bk вершину у, отличную от Vk-u и добавим к графу
G новое ребро-звено А с концами х и у. Будем говорить, что
ребро А замыкает данную нить блоков.
Теорема III.29. Пусть граф К образован замыканием нити
блоков некоторым новым звеном А. Тогда К — двусвязный
граф.
Доказательство. Воспользуемся введенными выше
обозначениями и будем считать, кроме того, что х = v0 и y = vk. Из
теоремы 1.43 следует, что в каждом блоке В} существует цепь
Lj с концами Vj-\ и v\. Применяя несколько раз теорему 1.25,
приходим к заключению, что объединение цепей L/ является
связным подграфом L, представляющим собой (в силу
теоремы 1.26) цепь с концами х и у. После присоединения к ней
звена А получается цикл С (см. теоремы 1.27 и 1.43), который
в каждом блоке В/ графа G имеет по одному ребру.
Следовательно, на основании теорем III. 5 и III. 9 граф К является
двусвязным. □
Теорема II 1.30. Пусть G — двусвязный граф, содержащий
хотя бы два ребра, и А — некоторое ребро этого графа. Тогда
подграф G'a либо является двусязным, либо представляет
собой нить блоков, из которой граф G получается путем
замыкания ее ребром А.
Доказательство. В силу теоремы III. 3 подграф Ga является
связным и ребро А есть звено графа G. Предположим, что

96 Гл. III. Двусвязность
Ga не двусвязен. Тогда по теореме III. 15 он содержит не менее
двух блоков. Пусть В — концевой блок подграфа GA. В этом
блоке найдется вершина, отличная от его точки сочленения
и являющаяся концом ребра А в графе G (ибо в противном
случае на основании теоремы III. 2 пара (В, Вс) была бы 1-раз-
делением графа G). Применяя теорему III. 24, заключаем, что
подграф Ga имеет в точности два концевых блока, каждый из
которых содержит по одному концу ребра А и эти вершины
(концы ребра А) не являются точками сочленения подграфа Ga.
Следовательно, граф B\k(GA) есть цепь, ибо он является
деревом, имеющим только две висячие вершины (см. теоремы III. 23
и 1.40). Отсюда выводим, что Ga — нить блоков, замыкая
которую ребром Л, мы получаем граф G. □
Установим теперь соответствующее утверждение для графа
Ga. Мы используем обозначения из разд. II. 2.
Теорема III. 31. Пусть А — ребро двусвязного графа G. Тогда
либо граф Ga является двусвязным, либо он имеет только одну
точку сочленения и эта точка — вершина vA. В последнем
случае ребро А есть звено графа G и для каждого блока В графа Ga
подграф fAB графа G двусвязен.
Доказательство. Граф Ga связен в силу теоремы II. 5.
Предположим, что он не двусвязен. Тогда в нем существуют не
менее двух блоков (см. теорему III. 15) и хотя бы одна точка
сочленения (см. теорему III. 21). Применяя теорему III. 16,
получаем, что в Ga содержится не менее двух ребер. Из теоремы
III. 3 следует, что ребро А является звеном графа G.
Предположим, что в графе Ga есть точка сочленения х и
она отлична от вершины vA. Тогда существует 1-разделение
(Я, К) графа Ga с точкой сочленения х, и можно считать, что
вершина vA принадлежит подграфу Н. Используя теорему II. 3,
заключаем, что подграф fAK графа G имеет только одну
соединяющую вершину. Однако в силу теоремы III. 2 и двусвяз-
ности графа G это невозможно. Так как у графа GA есть хотя
бы одна точка сочленения, то из сказанного выше вытекает,
что ею является только вершина vA.
Рассмотрим теперь произвольный блок В графа GA.
Единственной соединяющей вершиной для В является va.
Следовательно, в подграфе ]аВ графа G соединяющими вершинами
могут быть только концы х и у ребра А. Предположим, что
подграф fAB не двусвязен. Тогда он имеет 1-разделение {Н,К)
с некоторой точкой сочленения г, и можно считать, что ребро А

///. 6. Замечания 97
содержится в подграфе Я. При этих условиях вершина z будет
единственной соединяющей вершиной для Л" в графе G, что
невозможно в силу двусвязности графа G. □
Теорема III. 32. Пусть А — ребро двусвязного графа G. Тогда
либо граф Ga двусвязен, либо граф G есть объединение двух
или большего числа двусвязных графов Ни Нъ ..., Hkt удов-
летворяющих условию, что каждый из них содержит хотя бы
два ребра и пересечение любых двух из этих графов является
графом-звеном G • {А}.
Этот результат следует из теоремы III. 31. Графами Ht
являются графы /лВ, такие, что В — блоки графа Ga.
Теорема IH.33. Пусть G — двусвязный графу имеющий не
менее двух ребер, и А — некоторое ребро из G. Тогда хотя бы
один из графов Ga или Ga является двусвязным.
Доказательство. В силу теоремы III. 3 ребро А есть звено
графа G. Пусть х и у — концы этого ребра. Предположим, что
оба графа Ga и Ga не двусвязны. По теореме III. 30 в графе
Ga не существует блока, содержащего обе вершины х и у.
Обращаясь к теореме III. 32, видим, что каждый из графов
(Н()а связен (в силу теоремы III. 3). Значит, вершины х и у
являются концами цепи L{ в графе (Нх)а и цепи L2 в графе
(Н2)а (см. теорему 1.43). Эти две цепи внутренне
непересекающиеся и их объединение является циклом (на основании
теорем 1.27 и 1.43). Из теорем III. 5 и III. 12 следует, что
указанный цикл содержится в некотором блоке графа Ga и обе
вершины х и у принадлежат этому блоку. Мы пришли к
противоречию. D
III. 6. Замечания
III. 6.1. Двусвязность и планарность
Свойство двусвязности, или неразделимости, представляет
особый интерес в связи с исследованием планарных графов.
Если связный граф изображен на двумерной сфере, то точки
сферы, не принадлежащие нарисованному графу, распадаются
на конечное число топологических дисков. В случае когда граф
двусвязен, каждый из этих дисков ограничен некоторым циклом
графа. Это предложение является топологической теоремой,
а соответствующий ему комбинаторный результат приведен в
гл. XI (см. теорему XI. 22). Одна из классических статей Уитни
называется «Неразделимые и планарные графы» (см. [2]).

98 Гл. III. Двусвязность
Упражнения
1. Пусть a, b и с — три различные вершины двусвязного
графа G. Показать, что (i) в графе G существует цепь с
концами Ь и с, не содержащая вершину а, (и) в графе G
существует цепь с концами b и с, содержащая вершину а.
2. Пусть у связного графа G число блоков равно N, а число
точек сочленения равно г. Пусть m — число ответвлений в 1-й
точке сочленения. Доказать формулу Харари N — 2 ni + г = 1
(см. [1]).
3. Пусть х и у — различные точки сочленения связного
графа G, причем у принадлежит ответвлению U в вершине х в
графе G. Описать ответвления в вершине у в графе G с
помощью ответвлений в вершине х в графе G и ответвлений в
вершине у в графе U.
Литература
[1] Harary F. An elementary theorem on graphs. — Amer. Math. Monthly 66
(1959), 405—407.
[2] Whitney H. Nonseparable and planar graphs. — Trans. Amer. Math. Soc.
34 (1932), 339—362.

Глава IV
ТРЕХСВЯЗНОСТЬ
IV. 1. т-связность
Понятие двусвязности, изучавшееся в гл. III, можно
обобщить следующм образом.
Пусть G — связный граф и п — произвольное целое
положительное число; п-разделением графа G называется
упорядоченная пара (Я, К) реберно непересекающихся подграфов графа G„
удовлетворяющих следующим трем условиям:
(i) H[}K=G;
(ii) Н и К имеют ровно п общих вершин;
(iii) в каждом из подграфов Н и К содержится не менее
п ребер.
Будем говорить, что граф G является m-связным, где т —
целое положительное число, если он не имеет я-разделений для
п < т. Таким образом, говоря, что граф G 1-связен, мы просто
утверждаем, что он является связным графом. Введенное нами
понятие m-связности согласуется с понятием двусвязности из
гл. III.
Широко известны иные варианты данного выше
определения. Предположим, например, что условие (iii) заменено
следующим:
(iii)' в каждом из подграфов Я и К содержится вершина,,
не принадлежащая другому из них.
Пару (Я,/С), удовлетворяющую условиям (i), (ii) и (iii)',.
будем называть вершинным п-разделением графа G. Будем
говорить, что граф G является вершинно m-связным, если он не
имеет вершинных я-разделений для п < т.
Еще один вариант определения связности получается при
замене.условия (iii) на такое:
(iii)" каждый из подграфов Н и К содержит цикл.
Соответствующая пара подграфов (Я, К) в этом случае
называется циклическим п-разделением графа G, а новый вид
m-связности называют циклической т-связностью.
В нашей книге мы обычно будем иметь дело с
п-разделением и m-связностью, определяемыми условиями (i) — (iii), но
иногда будут затрагиваться и два других вида m-связности.
Заметим, что большинство авторов m-связностью называют
вершинную m-связность. Наша m-связность имеет то преимуще-

100 Гл. IV. Трехсвязность
ство, что ее можно обобщать самодвойственным образом на
матроиды.
Для начала познакомимся с двумя теоремами-примерами.
Теорема IV.1. Пусть G — связный граф, имеющий такой
цикл С, что \Е(С) | ^ \E(G) |/2. Тогда пара (С, Сс) является
п-разделением графа G для некоторого п^\Е(С)\.
Доказательство. Число п общих вершин у подграфов С и
Сс не превосходит | V(C) \ = \Е(С) \. Из условия теоремы
вытекает, что в каждом из подграфов С и Сс ребер не меньше, чем
|£(С)|. Следовательно, условия (i) — (iii) из определения
м-разделения будут выполнены, если положить Я = С и
к = &. и
Следствие IV. 2. Двусвязный граф, содержащий не менее
двух ребер, петель не имеет. Трехсвязный граф, содержащий не
менее четырех ребер, является простым графом.
Очевидно, что первая часть этого следствия содержится в
теореме III. 3.
Теорема IV. 3. Пусть G — связный граф, отличный от графа-
вершины, и х — такая его вершина, что val(G, х) ^ \E(G) |/2.
Пусть Н — подграф графа G, определяемый вершиной х,
инцидентными ей ребрами и другими концами этих ребер. Тогда
пара (Н, Нс) является п-разделением графа G для некоторого
целого положительного п ^ val(G, х).
Доказательство. Заметим, что в силу связности графа G
val(G,*) > 0. Пусть п — число общих вершин в Я и Нс.
Допуская возможность наличия в G петель, можем написать
l<|£(#)|<val(G, х). (IV. 1.1)
Значит, принимая во внимание условие теоремы, получаем,
что каждый из подграфов Н и Нс имеет хотя бы одно ребро.
Из связности графа G вытекает, что у Н и Нс есть хотя бы одна
общая вершина. Следовательно, п > 0.
Далее, п не может превосходить \Е(Н) \. Поэтому, учитывая
соотношение (IV. 1.1) и условие теоремы, заключаем, что п не
может превосходить и |£(ЯС)|. Значит, выполнения условий
(i) — (iii) можно достичь, полагая К = Нс. О
Теорема IV. 4. Если в трехсвязном графе существуют четыре
ребра, то у него не меньше шести ребер и не меньше четырех
вершин.
Доказательство. Из следствия IV. 2 вытекает, что такой
граф не имеет петель и кратных ребер. Значит, в нем более трех

IV. 1. т-связность 101
вершин. В силу теоремы IV. 3 валентность каждой вершины
этого графа не меньше 3. Следовательно (см. соотношение
(I. 1.1)), в этом графе не меньше шести ребер. □
Пусть k — такое наибольшее число, что граф G является
^-связным. Это число k будем называть связностью графа G
и обозначать символом x(G). Если такого числа для графа G
не существует, то мы будем говорить, что связность графа G
бесконечна (и писать x(G) = оо). Очевидно, что связный граф G
является m-связным для всякого целого положительного числа
га, не превосходящего его связности x(G). Опишем все графы,
имеющие бесконечную связность. Можно использовать
следующее утверждение.
Теорема IV. 5. Пусть G есть k-связный граф, содержащий не
более 2k— 1 ребер. Тогда x(G) = оо.
Справедливость теоремы вытекает из весьма очевидного
замечания: условие (Hi), входящее в определение п-разделения,
ни для какого п ^ k выполняться не может. Описание графов
с бесконечной связностью дано в следующей теореме. При этом
нуль-графы не рассматриваются, так как они несвязны, а
потому определение й-связности к ним не применимо.
Теорема IV. 6. Графы с бесконечной связностью являются
двусвязными графами, имеющими не более трех ребер. Таким
образом, полный перечень таких графов состоит из
графа-вершины, графа-петли, графа-звена, 2-цикла, 3-цикла и 3-звенника.
Доказательство. Шесть перечисленных графов являются
двусвязными и в каждом из них не более трех ребер (см.
разд. III. 2). В силу теоремы IV. 5 все они имеют бесконечную
связность.
Предположим, что G — еще какой-то граф с бесконечной
связностью. В нем должно быть не менее четырех ребер. Кроме
того, он не имеет ни петель, ни кратных ребер (см.
следствие IV. 2), содержит не менее четырех вершин (см.
теорему IV. 4), и валентность каждой вершины не меньше 3.
Выберем вершину х с минимальной валентностью. Пусть эта
валентность равна Ь. Рассмотрим подграф Н, который
получается из G после удаления вершины х и инцидентных ей ребер.
У подграфа Н не менее трех вершин, и валентность каждой
вершины не меньше Ь—1. Принимая во внимание соотношение
(1.1.1), заключаем, что в подграфе Н не менее чем 3(6—1)/2
ребер. Так как 6^3, то указанное число ребер не меньше Ь.
Следовательно (на основании теоремы IV. 3), граф G, самое

102 Гл. IV. Трехсвязность
большее, 6-связен. Это противоречит предположению о его
бесконечной связности. □
В заключение настоящего раздела рассмотрим несколько
теорем, связанных с операциями удаления и стягивания
(вершин и ребер графа).
Теорема IV. 7. Пусть G — связный граф с конечной
связностью к и А—ребро в G, не являющееся перешейком. Тогда
k(g'a)>k- 1.
Доказательство. Так как Ga— связный граф, то величина
к (Ga) определена. Предположим, что k(g'a) <к— 1. Тогда
существует n-разделение (Я, К) графа Ga с я^х—- 2. Если оба
конца ребра А лежат в подграфе Я или в подграфе /С, то мы
можем получить /г-разделение графа G, присоединяя А к Я или
К соответственно. Но это невозможно. Значит, один конец
ребра А (скажем, х) должен содержаться в Я и не
принадлежать КУ а другой (вершина у)— содержаться в К> но не
входить в Я.
Каждый из подграфов Я и К имеет не менее п ребер. Если
бы в них было по п ребер, то в силу теоремы IV. 5 связность
графа G была бы бесконечной. Это противоречит условию
теоремы. Следовательно, мы можем предположить (без
ограничения общности), что \Е(К) | > п.
Присоединим к подграфу Я ребро А и вершину у. Получим
граф Яь Очевидно, что пара (НиК) является (п + 1)-разделе-
нием графа G. Это противоречит условию теоремы. □
Иногда связность графа при удалении ребра не
уменьшается. Очевидные примеры таких графов возникают, когда
граф содержит одну петлю или одно кратное соединение. Если
m-связность определить так, как мы определили вершинную
m-связность, то петли и кратные ребра можно во внимание не
принимать и рассматриваемый граф считать простым. В этом
случае обычно делаются специальные оговорки о связности
п-клик и о таком упорядочении удаляемых ребер, чтобы на
всяком шаге связность «текущего» графа уменьшалась. Но при
нашем определении связности возможность ее неуменьшения
после удаления ребер допускается.
Теорема IV. 8. Пусть А — ребро связного графа G, имеющего
конечную связность к. Тогда k(Ga)7^k— 1.

IV. 1. т-связность 103
Доказательство. В силу соотношении (II. 2.1) граф Ga
связен. Значит, величина к (Ga) определена. Предположим, что
k(Ga) <к— 1. Тогда существует я-разделение (Я, К) графа Ga
с п^.к — 2. Взяв наименьшее из таких значений п, мы
гарантируем выполнение следующего условия: п общих вершин
подграфов Я и К являются для каждого из них соединяющими
вершинами в графе Ga. При ином п возможна, например, такая
ситуация, когда общая для Я и К вершина будет
изолированной в подграфе Я, и тогда ее можно было бы удалить из Я,
оставив в /С. Если подграф fAH имеет ровно п соединяющих
вершин в G, то пара (1аН, (}аН)с) будет n-разделением графа G.
Но это невозможно. Применяя далее теорему 11.23, получаем,
что подграф fAH (и, аналогично, подграф fAK) содержит в
точности п -|- 1 соединяющиих вершин в G и две из них являются
концами х и у ребра Л.
Каждый из подграфов Я и К имеет не менее п ребер. Если
в каждом из этих подграфов ровно п ребер, то связность
графа G в силу теоремы IV. 5 бесконечна. Это противоречит
условию теоремы. Значит, мы можем считать без ограничения
общности, что \Е(К) | > п.
Но тогда пара (fAH, (fAH)c) есть (п + 1)-разделение
графа G, что противоречит условию теоремы. П
Теорема IV. 9. Пусть G — связный граф, содержащий не
менее двух вершин, и х — какая-то его вершина, не являющаяся
точкой сочленения в G. Пусть Я — подграф, получающийся из
G после удаления вершины х и инцидентных ей ребер. Тогда
х(Я)>х(С)—1.
Доказательство. Очевидно, что подграф Я связен, ибо в
противном случае вершина х была бы точкой сочленения в G.
Следовательно, величина х(Я) определена. Предположим, что
k(H)<Cx>(G)—1. Тогда Я имеет n-разделение (L, М) при
каком-нибудь n^x(G) — 2. Если бы в множестве V(L)—V(M)
не было вершины, соединенной некоторым ребром из G с
вершиной х, то пара (L,LC) была бы га-разделением графа G для
какого-нибудь га ^ п. Это противоречит условию теоремы.
Значит, в множестве V(L)—V(M) и, аналогично, в множестве
V(M)—V(L) существуют вершины, соединенные ребрами из G
с вершиной х. Пусть L\ — подграф графа G, получающийся из
подграфа L присоединением вершины х и ребер, соединяющих х
с вершинами из множества V{L)—V{M). Тогда пара (Ll9 I?)
есть га-разделение графа G при некотором га ^ п + 1. Это
противоречит условию теоремы. П

104 Гл. IV. Трехсвязность
IV. 2. Некоторые конструкции
для трехсвязных графов
Теперь мы займемся изложением теории трехсвязных
графов. Для начала покажем, что в случае простых графов
безразлично, говорим ли мы о трехсвязности или о вершинной
трехсвязности.
Теорема IV. 10. Пусть G — простой связный граф. Тогда
любое l-разделение графа G является его вершинным
{-разделением. Кроме того, если граф G двусвязен, то всякое его
2-разделение является вершинным 2-разделением. Следовательно,
граф G двусвязен тогда и только тогда, когда он вершинно
двусвязен, и трехсвязен тогда и только тогда, когда он вершинно
трехсвяз$н.
Доказательство. Пусть (Н,К) есть 1-разделение графа G.
Каждый из подграфов Я и К содержит хотя бы одно ребро.
Следовательно, учитывая отсутствие в графе G петель,
получаем, что каждый из подграфов Я и Л" имеет вершину, не
принадлежащую другому из них.
Обратно, пусть (Я, К) есть вершинное 1-разделение графа G.
Каждый из подграфов Я и К содержит вершину, не входящую
в другой из них. Значит, в силу связности этих подграфов в
каждом из них существует ребро.
Тем самым первая часть теоремы доказана.
Докажем теперь, что граф G двусвязен тогда и только
тогда, когда он вершинно двусвязен. Здесь можно предполагать,
что граф G двусвязен.
Пусть (Я, К) — некоторое 2-разделение графа G. Каждый из
подграфов Я и К имеет не менее двух ребер. Так как в G
кратных ребер нет, эти два ребра не могут оба соединять две
общие вершины графов Я и К. Значит, в Я существует вершина,
не принадлежащая /С, и, аналогично, в К содержится вершина,
не входящая в Я.
Обратно, пусть (Я, К) — вершинное 2-разделение графа G.
Тогда в Я есть вершина h, не принадлежащая /С, и в К
существует вершина k, не входящая в Я. В силу двусвязности
графа G валентности вершин h и k не менее 2. Следовательно,
в каждом из подграфов Я и К содержится не менее двух
ребер. □
Принимая во внимание следствие IV. 2, можно утверждать,
что предположение об отсутствии в графе петель и кратных
ребер, содержащееся в теореме IV. 10, является очень слабым
ограничением.

IV. 2. Некоторые конструкции для трехсвязных графов 105
Перейдем к рассмотрению некоторых конструкций,
позволяющих строить трехсвязные графы из таких же графов с
меньшим числом ребер. Сначала рассмотрим операцию
присоединения звена, описанную в следующей теореме.
Теорема IV. 11. Пусть х и у— несмежные вершины трехсвяз-
ного графа Я. Присоединяя к Н звено А с концами х и у,
получаем новый граф G. Он является трехсвязным.
Доказательство. В силу теоремы III. 10 граф G двусвязен.
Предположим, что он не является трехсвязным. Тогда он имеет
2-разделение (L, М) и можно считать, что ребро А
принадлежит L. Отсюда выводим, что в Я не менее трех ребер, и, значит
(на основании следствия IV. 2), в нем отсутствуют петли. Но
подграф L должен содержать ровно два ребра, поскольку в
противном случае пара (La, М) была бы либо парой взаимно
дополнительных обособленных подграфов графа Я, либо
1-разделением графа Я, либо его 2-разделением. Однако все это
противоречит трехсвязности графа Я.
По условию теоремы пары концов у двух ребер подграфа L
не совпадают. Значит, в L должна содержаться вершина х, не
принадлежащая М. Но тогда х может быть инцидентна только
одному ребру графа Я, что противоречит трехсвязности Я
(см. теорему IV. 3). □
Следующая операция представляет собой один из вариантов
обращения операции стягивания ребра. Мы назовем ее
вершинным расщеплением. Пусть х — вершина простого графа Я.
Заменим х двумя новыми вершинами х\ и х2. Каждое ребро из
Я, соединяющее х с другой вершиной у, заменяется либо
ребром, соединяющим у с х\, либо ребром, соединяющим у с х2,
либо двумя ребрами, соединяющими у с х\ и х2. Кроме того,
присоединяется новое звено А с концами х\ и х2. Если каждое
ребро, инцидентное вершине х, заменяется только одним ребром,
то имеем операцию вершинного расщепления без удвоения
ребер. Следующие три теоремы содержат описания свойств
графов, получаемых в результате применения операции вершинного
расщепления. Введенная операция проиллюстрирована на
рис. IV. 2.1.
Теорема IV. 12. Если граф G получен из простого связного
графа Я путем расщепления вершины х, то он является
простым и связным.
Доказательство. Очевидно, что с точностью до вершинного
изоморфизма граф Ga содержит граф Я в качестве остовного
подграфа. Значит, Ga — связный граф, а потому (в силу соот-

106 Гл. IV. Трехсвязность
Рис. IV. 2.1.
ношения (П. 2.1)) связным является и граф G. Далее, для
установления того, что граф G простой, достаточно отметить, что
новыми ребрами в G (по сравнению с графом Я) являются
ребра, инцидентные вершинам х\ и/или х2у и, как следует из
определения операции вершинного расщепления, это ребра-
звенья, имеющие различные пары концов. □
Теорема IV. 13. Пусть граф G получен из простого
двусвязного графа Я путем расщепления вершины х. Пусть валентности
новых вершин х\ и х2 в графе G не меньше 2. Тогда граф G
двусвязен.
Доказательство. Из теоремы IV. 12 вытекает, что граф G
прост и связен. Предположим, что он не является двусвязным.
Тогда в силу теоремы IV. 10 он имеет вершинное 1-разделение
(L, М), и можно считать, что новое ребро Л, соединяющее
вершины х\ и х2, принадлежит L. Вершина и, общая для L и Му
может быть или не быть инцидентной ребру А.
В L есть вершина /, не принадлежащая М, а в М содержится
вершина га, не входящая в L. Учитывая связность графа G,
получаем, что каждая из этих вершин инцидентна какому-либо
ребру из G. Так как валентности вершин х\ и х2 не меньше 2,
то каждая из вершин / и га инцидентна в графе G некоторому
ребру из Н. Пусть М" — подграф графа Я, определяемый
ребрами и вершинами графа М, но вершина и при этом заменена
на х, если и есть х\ или х2. Тогда М" является собственным
подграфом графа Я, содержащим хотя бы одно ребро и не
более одной соединяющей вершины. Применяя теорему III. 2,
получаем, что Я — разделимый граф. Это противоречит условию
теоремы. Таким образом, граф G двусвязен. □
Теорема IV. 14. Пусть граф G получен из простого трех-
связного графа Я путем расщепления вершины х. Пусть
валентности новых вершин х\ и х2 в графе G не меньше 3. Тогда
граф G трехсвязен.
Доказательство. Из теоремы IV. 13 следует, что граф G
прост и двусвязен. Предположим, что он не является трехсвяз-

IV. 2. Некоторые конструкции для трехсвязных графов 107
ным. В силу теоремы IV. 10 он имеет вершинное 2-разделение
(L, М), и можно считать, что новое ребро Л, соединяющее
вершины х\ и *2, принадлежит L. Пусть и и w — общие вершины
для L и М.
В L существует вершина /, не входящая в М, а в М есть
вершина га, не принадлежащая L. На основании теоремы IV. 3
каждая из этих вершин инцидентна хотя бы двум ребрам
графа G. Так как валентности вершин х\ и х2 не меньше 3, то
каждая из вершин / и га инцидентна в G не менее чем двум
ребрам из Я. Пусть М" — подграф графа Я, определяемый
ребрами и вершинами из М, причем вершина и или w заменена
на х, если она инцидентна ребру А. В том случае когда ребро А
соединяет вершины и и w, эти две вершины графа М в
подграфе М" отождествляются. Нетрудно видеть, что подграф М"
содержит хотя бы два ребра и что таким же свойством
обладает его расширенное дополнение — подграф (М")с — в графе Я.
Но М" и (М")с имеют не более двух общих вершин, причем это
либо вершины и и w, либо вершины, на которые и и w были
заменены. Это означает, что пара (М", (М")с) является либо
1-разделением, либо 2-разделением графа Я. Пришли к
противоречию с условием теоремы. □
В качестве примеров трехсвязных графов мы пока что
можем привести только те шесть графов, которые были
перечислены в теореме IV. 6 и имеют бесконечную связность. Операция
присоединения звена ни к одному из них не применима.
Операция вершинного расщепления с учетом условия трехвалентности
применима только к 3-циклу и дает в результате 4-клику.
Опираясь на этот факт, мы можем утверждать, что 4-клика является
трехсвязным графом. Однако этот результат есть часть
следующего более общего предложения.
Теорема IV. 15. Для каждого целого положительного п п-кли-
ка является трехсвязным графом.
Доказательство. Цусть G — некоторая /г-клика. Принимая во
внимание теорему IV. 6, можем положить п ^ 4. В разд. 1.5
было сказано, что такой граф G обязательно связен. Если он не
является трехсвязным, то в силу теоремы IV. 10 он имеет
вершинное 6-разделение (L,М), где 6=1 или Ь = 2. В L есть
вершина /, не принадлежащая М, а в М существует вершина т,
не содержащаяся в L. Так как G — клика, то вершины / и m
соединены некоторым ребром А. Это ребро должно
принадлежать либо L, либо М. Значит, вершины / и та содержатся обе
и в L, и в М. Получили противоречие. □
Следующую конструкцию можно назвать «арисоединение
звена с аодразбиением». Операция аодразбиения ребра А

108 Гл. IV. Трехсвязность
Н G
Рис. IV. 2.2.
с концами х и у в графе Н состоит в добавлении новой вер-
щины z и замене ребра А двумя ребрами — ребром А\ с
концами х и z и ребром Л2 с концами у и z (см. рис. IV. 2.2). Будем
говорить, что результирующий граф G получается из графа Н
подразбиением ребра А вершиной z.
Заметим, что, подразбивая петлю, мы получаем 2-цикл.
Значит, применяя операцию подразбиения дважды к каждому
ребру графа, мы можем всякий граф преобразовать в простой.
Операцию подразбиения ребра в простом графе можно описать
как операцию вершинного расщепления. Продемонстрируем это
на примере для графов, изображенных на рис. IV. 2.2.
Подразбиение ребра А можно получить, расщепляя вершину х (здесь
все следует рассматривать с точностью до вершинного
изоморфизма). Две «новые» вершины — это х и z.
Принимая во внимание определения цепи и цикла, можем
сформулировать следующие правила. При подразбиении ребра
д-цепи получается (п + 1)-цепь с теми же концами. При
подразбиении ребра n-цикла получается (п + 1)-цикл.
Имеются две разновидности операции присоединения звена
с подразбиением. В первой рассматриваются звено А и
вершина /, не инцидентная ему. Такая операция представлена в
следующей теореме.
Теорема IV. 16. Пусть Н — трехсвязный граф, содержащий
не менее четырех ребер. Пусть А — звено в Н и t — вершина
в Н, не инцидентная А. Пусть граф G построен из Н путем
подразбиения ребра А вершиной z с последующим присоединением
нового звена В с концами t и z. Тогда G — трехсвязный граф.
Доказательство. Сначала заметим, что в силу теоремы IV. 3
валентность каждой вершины графа Н не меньше 3. Пусть
концами ребра А в графе Н будут вершины х и у. Процедура
построения графа G показана на рис. IV. 2.3. Звена С с концами
х и t в графе Н может и не быть. Возможность существования
такого звена указывается на рисунке пунктирной линией.
Если звено С в Н имеется, то граф G можно получить из
графа Н расщеплением вершины х. При проведении этой
операции ребро С заменяется двумя звеньями: одно —
обозначаемое через С — соединяет t с х, а другое — звено В — соединяет
t с z. Требование трехвалентности, очевидно, выполняется.
Значит, в этом случае граф G трехсвязен (см. теорему IV. 14).

IV. 2. Некоторые конструкции для трехсвязных графов 109
X
\
Ч >г
К
*
н
Рис. IV. 2.3.
ж
В оставшемся случае у графа Н нет звена, соединяющего t
с х. Присоединим звено D с этими концами. Результирующий
граф Н\ является трехсвязным (по теореме IV. 11). Граф G
можно получить из #ь расщепляя вершину х, — надо заменить
звено D новым звеном с концами t и г. Применяя теорему IV. 14,
получаем, что граф G трехсвязен. □
Описанная выше операция присоединения ребра с
подразбиением важна в связи с так называемой теорией колес. Колесо
порядка п (обозначение Wn) получается из n-цикла Сп путем
добавления одной новой вершины h и соединения ее с каждой
вершиной цикла Сп посредством одного нового звена. Вершина
h называется втулкой колеса Wn, цикл Сп — ободом колеса,
а новые ребра называют спицами. Заметим, что 4-клика может
рассматриваться как колесо порядка 3 (надо просто одну из
вершин клики выбрать в качестве втулки). Второй слева граф,
изображенный на рис. III. 2.2, является колесом порядка 2. На
рис. IV. 2.4 представлены колеса W\, W2, ..., W$.
Теорема IV. 17. При п^З колесо Wn является трехсвязным
графом.

ПО Гл. IV. Трехсвязность
Доказательство. Применим индукцию по п. При п = 3
колесо Wn есть 4-клика и, значит (в силу теоремы IV. 15),
является трехсвязным графом. Предположим, что утверждение
справедливо для всех n<iq, где q— целое число, большее 3, и
рассмотрим случай, когда п = q.
По предположению индукции Wq-\ есть трехсвязный граф.
В нем не меньше шести ребер. Применим операцию
подразбиения к некоторому ребру А из обода колеса; пусть z— новая
вершина. Обод колеса \Vq-x преобразуется в ^-цикл. Для
получения колеса Wq надо к построенному графу присоединить
новое звено, соединяющее вершину z с вершиной, которая была
втулкой у графа Wq-\. Таким образом, колесо Wq построено из
колеса Wq-\ с помощью операции, описанной в теореме IV. 16.
Следовательно, Wq является трехсвязным графом. Шаг
индукции обоснован. □
Перейдем ко второй разновидности операции присоединения
ребра с подразбиением. Она описывается в следующей теореме.
Теорема IV. 18. Пусть Я— трехсвязный граф, содержащий
не менее четырех ребер. Пусть А и В — разные ребра из Я.
Пусть они подразбиты новыми вершинами zA и zB
соответственно^ а затем эти вершины соединены новым звеном С. Тогда
результирующий граф G является трехсвязным.
Доказательство. Граф Я, очевидно, простой, и валентность
каждой его вершины не меньше 3 (см. теорему IV. 3 и
следствие IV. 2). Процедура построения графа G показана на
рис. IV. 2.5. Сначала из графа Я строится граф Нх: ребро А
подразбивается вершиной zAj а затем zA соединяется звеном
с тем концом ребра В, который не инцидентен в Я ребру А.
Граф Я] трехсвязен по теореме IV. 16. Граф G можно теперь
получить из Яь расщепляя вершину и. Применяя теорему IV. 14,
заключаем, что G — трехсвязный граф. □
Вторая разновидность операции присоединения звена с
подразбиением представляет интерес при исследовании кубиче-

IV. 2. Некоторые конструкции для трехсвязных графов 111
И G
Рис. IV. 2.6.
ских графов. На рис. IV. 2.6 приведен пример, в котором А и В
являются звеньями 4-клики, не имеющими общих концов.
Результирующий граф называют графом Томсена.
Граф Томсена является примером полного двудольного
графа. Из определения этого графа следует, что он не содержит
петель и кратных ребер (т. е. является простым) и имеет 2-раз-
биение (£/, V). Более того, каждая вершина из U соединена
с каждой вершиной из V единственным звеном. Если \U\= г и
|l/| = s, то соответствующий полный двудольный граф (или,
точнее, его класс изоморфизма) обозначается через Kr, s. Граф
Томсена — это граф /С3)з. «Наружные» ребра графа G = Кз,з,
изображенного на рис. IV. 2.6, определяют 6-цикл; вершины из
подмножеств U и V в этом цикле чередуются друг с другом.
Построение графа Кг,г из графа Я, проиллюстрированное на
рис. IV. 2.6, показывает, что граф /С3,з трехсвязен.
Так как граф Томсена простой, то всякий его автоморфизм
однозначно задается соответствующей подстановкой на
множестве его вершин (см. теорему 1.2). Каждый автоморфизм,
преобразующий подмножества U и V в себя, можно представить
в виде комбинации подходящих подстановок, определенных
отдельно на подмножествах U и V. Всякий автоморфизм,
переставляющий U и V, можно представить в виде комбинации
взаимно однозначного отображения U на V и взаимно
однозначного отображения V на U. Никаких иных возможностей
нет. Поэтому мы можем заключить, что группа автоморфизмов
графа /С3)з состоит из 72 элементов.
Очевидно, что граф Кг,г кубический и в нем нет циклов,
содержащих меньше четырех ребер. Можно показать, что
/v3,3—наименьший по числу ребер граф, обладающий этими
свойствами. В действительности граф /С3)з является
единственным графом с девятью ребрами, не имеющим циклов длины
меньше четырех.
Рассмотрим еще одну конструкцию, которая применяется к
трехсвязным графам, содержащим не менее четырех ребер. Мы
видели, что эти графы простые и что валентности их вершин
не меньше 3. Вводимую операцию назовем трансформацией

112 Гл. IV. Трехсвязность
d с d с
Рис. IV. 2.7.
вершины в цикл. Пусть v — вершина графа Я, имеющая
валентность Ь. Пусть Sv — множество тех Ь ребер из Я, которые
инцидентны v. Заменим вершину v я-циклом С, добавляя для этого
новые ребра и вершины (здесь З^п^б). Кроме того,
каждое ребро из множества Sv сделаем инцидентным некоторой
вершине цикла С (вместо бывшей инцидентности с
вершиной v). Указанная инцидентность ребер из множества Sv и
вершин цикла С задается произвольным образом; надо лишь
соблюсти следующее условие: каждая вершина цикла С должна
быть инцидентна хотя бы одному ребру из Sv. Это ограничение
гарантирует нам, что в результирующем простом графе G
валентность каждой вершины (в графе G) не меньше 3. На
рис. IV. 2.7 проиллюстрировано применение введенной
операции к 4-клике и 4-колесу.
В этих двух примерах результирующие графы G можно
также построить из исходных графов Я с помощью операции
присоединения звена с подразбиением (точнее, второй ее
разновидности). Более сложный пример показан на рис. IV. 2.8;
здесь втулка 5-колеса трансформируется в 5-цикл.
Результирующий граф, изображенный на этом рисунке, известен под
названием графа Петерсена.
Теорема IV. 19. Пусть v — вершина трехсвязного графа Я,
имеющего хотя бы четыре ребра. Пусть граф G получен из Я
путем трансформации вершины v в цикл С, содержащий не
менее трех ребер. Тогда G — трехсвязный граф.
Доказательство. Пусть п — число вершин в цикле С.
Рассмотрим сначала случай, когда п равно 3 (т. е. наименьшему

IV. 2. Некоторые конструкции для трехсвязных графов 113
Рис. IV. 2.8.
возможному значению). Если валентность Ь вершины v в графе
Н также равна 3, то операция трансформации вершины v
в цикл С может быть осуществлена с использованием только
операции присоединения звена с подразбиением, как это
продемонстрировано в первом примере на рис. IV. 2.7. Применяя
теорему IV. 18, заключаем, что граф G трехсвязен.
Предположим теперь, что b > 3. Обозначим вершины цикла
С через а\у #2 и аъ- Пусть 7\— подмножество тех ребер из Sv,
которые инцидентны вершине at (/ = 1,2,3). Мы можем
выбрать индексы таким образом, чтобы в подмножестве Т\
содержалось не менее двух ребер. Расщепим вершину v в графе Н
так, чтобы одна новая вершина v\ была инцидентна только
новому ребру А и одному ребру из Гь а другая новая вершина
v2 была инцидентна лишь ребру А и ребрам из Г2 и Г3. В силу
теоремы IV. 14 результирующий граф Н\ является трехсвязным.
При этом, очевидно, валентность каждой вершины в Н\ будет
не меньше 3. Граф G теперь можно получить из графа Н\
путем расщепления вершины и2: надо ребро А заменить двумя
ребрами из цикла С. Трехсвязность графа G вытекает из
теоремы IV. 14.
Итак, мы доказали справедливость теоремы для п = 3.
Предположим теперь (предположение индукции), что теорема верна
для всех пу меньших некоторого целого числа q > 3, и
рассмотрим п = q.
Нам нужно трансформировать вершину v в ^-Дикл Cq.
Возьмем какую-либо естественную нумерацию аи а2, ..., aq вершин
цикла Cq, и пусть Аь Аъ ..., Aq — соответствующая ей
нумерация ребер этого цикла. Обозначим через Tt подмножество
тех ребер из Sv, которые будут сделаны инцидентными вершине
at (I ^.i^q). Сначала осуществим трансформацию вершины v
в (q — 1)-цикл Cq_x. Можно считать, что аи аъ ..., aq_x и Аи
А2, ..., Aq_x — естественные нумерации цикла Cq_{. Для

114 Гл. IV. Трехсвязность
Рис. IV. 2.9.
i^q — 2 делаем ребра из Т{ инцидентными вершине а{. Ребра
из подмножеств Tq_x и Tq делаем инцидентными вершине aq_x.
Получаем граф Hq_x. По предположению индукции он трехсвя-
зен. Требующийся нам граф G можно получить из графа Hq_x
расщеплением вершины aq_x: новое звено обозначаем через Aq;
оно соединяет две новые вершины aq_x и aq\ вершина aq_x
инцидентна ребрам Aq_u Aq и всем ребрам из подмножества
Tq_i\ новая вершина aq инцидентна ребрам Аь Aq и всем
ребрам из Tq. (Описанная здесь процедура проиллюстрирована
для случая q = b на рис. IV. 2.9.) В силу теоремы IV. 14 граф G
трехсвязен. Шаг индукции обоснован. □
Эта теорема позволяет легко установить трехсвязность
графа Петерсена. Мы можем определить этот граф не с
помощью его диаграммы, а более формально: он строится из
объединения двух непересекающихся 5-циклов аха^аъа^аъ и
Ъ\ЪъЬфчЬ\ путем добавления пяти новых звеньев, соединяющих
вершины cti и bt для каждого i = 1, ..., 5.
Отметим некоторое сходство между графами Томсена и
Петерсена. Обхватом графа G, не являющегося лесом, называется
наименьшее целое число п, такое, что в графе G содержится
n-цикл. Не приводя полного доказательства, отметим, что граф
Томсена есть простейший кубический граф с обхватом 4. Здесь
слово «простейший» эквивалентно словосочетанию «с
наименьшим числом ребер». Можно показать, что граф Петерсена
является простейшим кубическим графом с обхватом 5.
Граф Петерсена тесно связан с одним из правильных
многогранников — додекаэдром: если отождествить диаметрально

IV. 3. 3-блоки 115
противоположные точки на поверхности додекаэдра, то
получающийся при этом граф (составленный из «геометрических»
ребер и вершин) будет графом Петерсена. Этот факт говорит
о большой симметрии графа Петерсена. И действительно,
можно показать, что группа автоморфизмов этого графа содержит
120 элементов.
IV. 3. 3-блоки
В разд. III. 3 мы занимались задачей о разложении
связного графа на максимальные двусвязные подграфы, которые
называли блоками. В настоящем разделе мы будем
рассматривать нечто похожее для двусвязных графов — их разложение на
так называемые 3-блоки. Заметим, что 3-блоки вообще-то не
являются подграфами разлагаемого графа. 3-блок должен быть
либо трехсвязным графом, либо n-циклом (п ^3),либо п-звен-
ником (здесь тоже п ^ 3).
Исходный граф G может быть трехсвязным. Тогда мы
будем говорить, что он содержит ровно один 3-блок, который
совпадает с самим графом G.
В противном случае граф G имеет 2-разделение (Я,/С),
и в силу теоремы III. 3 у него не менее четырех ребер и
отсутствуют петли. Две общие вершины у графов Я и К мы будем
называть подвесками рассматриваемого 2-разделения.
Некоторые основные свойства 2-разделений графа G отражены в
следующих теоремах.
Теорема IV. 20. Пусть двусвязный граф G является
объединением двух реберно непересекающихся подграфов Н и К>
имеющих ровно две общие вершины b и с. Пусть каждый из
подграфов Н и К содержит хотя бы одно ребро. Тогда Н и К —
связные графы.
Доказательство. Предположим, что граф Н несвязен. Тогда
либо существует компонента С графа Я, которой не
принадлежат вершины b я Су либо найдется компонента D в Я,
содержащая хотя бы одно ребро и ровно одну из вершин Ьу с.
В первом случае компонента С является обособленным
непустым собственным подграфом графа G. Это противоречит
теореме 1.21. Во втором случае в силу теоремы III. 2 граф G
должен быть разделимым. Мы пришли к противоречию с условием
доказываемой теоремы. Следовательно, граф Я связен.
Аналогично устанавливается й связность графа /С. □
Теорема IV. 21. Пусть (Я, К) есть 2-разделение двусвязного
графа G и вершины b и с — подвески этого 2-разделения. Пусть

116 Гл. IV. Трехсвязность
графы #i и К\ получены соответственно из графов Н и К путем
присоединения нового ребра А с концами Ъ и с. Тогда графы
Н\ и К\ двусвязны.
Доказательство. В силу теорем IV. 20 и 1.25 графы Н\ и К\
являются связными. Предположим, что граф Н\ разделимый,
и пусть (L, М)—его 1-разделение с точкой сочленения v.
Можно считать, что ребро А содержится в подграфе М. Тогда L
будет непустым собственным подграфом графа G, и вершина и
будет в нем единственной соединяющей вершиной. Отсюда
(на основании теоремы III. 2) получаем, что граф G
разделимый. Это противоречит условию доказываемой теоремы.
Значит, граф #i является двусвязным. Аналогично обосновывается
двусвязность графа К\. □
Удобно говорить, что граф Н\ из теоремы IV. 21 получен из
графа G заменой подграфа К эквивалентным ребром А.
«Эквивалентность» здесь понимается в том смысле, что концами
ребра А являются подвески 2-разделения (Я, /С).
Двусвязные графы, не являющиеся трехсвязными, мы
делим на три типа в соответствии со свойствами «отмеченного»
ребра А. Тип I состоит из таких графов G, у которых имеется
не менее двух G- {Л}-мостов. Тип II содержит только такие
графы G, у которых ровно один G-{v4}-moct и он является
разделимым графом. К типу III относятся все остальные
двусвязные (но не трехсвязные) графы G; в каждом из них
содержится только один мост и этот мост является двусвязным
графом.
Во всех этих случаях обозначим концы ребра А через b и с,
В силу теоремы III.6 вершины b и с у 0-{Л}-моста В в графе
G должны быть соединяющими. Кроме того, мост В должен
быть связным графом, содержащим хотя бы одно ребро (см.
следствие 1.52). Если мост В имеет лишь одно ребро, то он не
может быть единственным G- {А}-мостом в графе G (см.
теорему 1.51). Значит, такие мосты могут встретиться только у
графов типа I. Мосты графов типов II и III совпадают с
подграфами GA.
Будем называть 2-разделение (Я, К) графа G А-максималь-
ным, если А — ребро подграфа Я и не существует такого
другого 2-разделения (Яг, К') графа G, что ребро А содержится
в подграфе Яг и К является подграфом графа К''. Очевидно,
что никакие два различных 2-разделения (Я, К) графа G не
могут иметь одинаковые подграфы /С, поскольку подграф К
в паре (Я, К) однозначно определяет множество ребер
подграфа Я, а значит, в силу связности Я и сам подграф Я (см.
теорему IV. 20). Таким образом, требование «К является
подграфом графа /С7» из данного выше определения можно заме-

IV. 3. 3-блоки 117
нить на следующее: «К есть собственный подграф графа К'».
Отсюда легко получаем, что если (L, М)—произвольное 2-раз-
деление графа G с ребром Л в подграфе L, то существует
Л-максимальное 2-разделение (Я, К) графа G, такое, что М
является подграфом графа /С Нам понадобится следующая
теорема об Л-максимальных 2-разделениях.
Теорема IV. 22. Пусть G — дву] связный граф типа III и А —
ребро этого графа. Пусть (Н\,К\) и (Я2,/(2)—различные
А-максимальные 2-разделения графа G. Тогда подграфы К\ и
/С2 реберно непересекающиеся и любая общая вершина в них
является подвеской в каждом из указанных 2-разделений.
Более того, двух общих подвесок в этих 2-разделениях быть не
должно.
Доказательство. Рассмотрим четыре пересечения Н\ {] Я2,
Н{ П Яг, HzftKi и К\{\ %2- Очевидно, что никакие два из них
не имеют общих ребер и что объединение всех четырех
пересечений дает граф G. Первое пересечение содержит хотя бы одно
ребро, ибо ему принадлежит ребро А. Если в Н\ П Къ ребер нет,
то все ребра из /С2 содержатся в /Сь а значит, /C2^/(i> так как
/С2 — связный граф (по теореме IV. 20). Мы пришли к
противоречию с предположением о том, что заданные 2-разделения
Л-максимальны и различны. Следовательно, Н\[\К2 и по
аналогичным причинам Я2 П К\ содержат хотя бы по одному ребру.
Покажем, что в К\{]К2 нет ни одного ребра. Предположим,
что это не так, и проанализируем следствия из сделанного
предположения.
Применяя теорему III. 2, получаем, что у каждого из
четырех пересечений есть хотя бы две соединяющие вершины
(в графе G). Более того, таких вершин в каждом из них ровно
две. Действительно, в противном случае на основании
теоремы I. 7 в одном из четырех объединений Н\ \] /Сь Нх \] /С2,
Я2 U К\ и Я2 U /С2 имелось бы меньше двух соединяющих
вершин. Но тогда в силу теоремы III. 2 граф G был бы
разделимым (противоречие с условием теоремы). Далее, используя
теорему IV. 20, заключаем, что каждое из четырех
рассматриваемых нами пересечений является связным графом.
Пересечение Н\(]Н2 должно быть графом-звеном G-{A}y
так как иначе оно, будучи связным графом, содержало бы не
менее двух ребер и тогда пара (Н\ П Я2, К\ U Яг) была бы
2-разделением графа G (см. теорему 1.7). Однако это
невозможно в силу Л-максимальности заданных 2-разделений и их
несовпадения.
Займемся рассмотрением соединяющих вершин,
принадлежащих четырем нашим пересечениям. Если какая-либо вершина

118 Гл. IV. Трехсвязность
/-"" ~~"^-ч является общей для двух из этих
Х^ д / у\ пересечений, то она в силу их
^^ [ ?2 у^ч i связности будет соединяющей
v н nK2 z4 вершиной в каждом из них.
ч^^ ' ^^^ И, конечно, всякая соединяю-
^ щая вершина, содержащаяся в
Рис. IV. 3.1. Подграф яь каком-то из четырех
пересечений, обязательно принадлежит
двум пересечениям. Более того, если вершина является общей
для двух пересечений, то она должна принадлежать
одновременно либо #i и /Сь либо #2 и /С2- Следовательно, она должна
быть подвеской в (НиК\) или (#2,/(2).
Обозначим подвески из (#;,/(;) через xi и yt (/=1,2).
Можно утверждать, что каждое пересечение содержит ровно
две различные вершины из совокупности {х\,х2,уиу2}. Более
того, эти две вершины являются соединяющими для данного
пересечения и только в них оно может «встретиться» с
любым другим из четырех пересечений.
Соединяющими вершинами графа Н\ f| Я2, который
совпадает с G-{A}, должны быть два конца ребра А. Мы можем
выбрать обозначения так, чтобы один из концов ребра А был
обозначен через х\. Тогда другой конец ребра А не может
быть вершиной у\. Действительно, в противном случае
существовало бы не менее двух G- {Л}-мостов и один из них был бы
подграфом графа Ки а другой содержал бы ребро из Н\[)К2.
Отсюда следовало бы, что G — граф типа I. Это противоречит
условию теоремы. Выбирая подходящим образом дальнейшие
обозначения, мы можем добиться того, чтобы второй конец
ребра А был обозначен через х2. Мы заодно показали, что х2
отличен от х\ и у\. По аналогичным соображениям х\ отличен
от у2. Но возможность того, что у\ = у2, пока еще не
исключена.
Рассмотрим далее подграф Нх с двумя его соединяющими
вершинами х\ и у\. Пересечение НХ[\Н2 состоит из ребра А
и двух его концов х\ и >х2. Более того, х2 отличен от х\ и у\
(см. рис. IV. 3.1). Из сказанного выше следует, что х2 не
является вершиной подграфа К\ и аналогично что х\ не
принадлежит подграфу /С2. Вершина у\ содержится в подграфе
Н\ П K2l так как она принадлежит #i и не входит в Н\ П Н2.
Пересечение Н\ {] К2 содержит и вершину х2, так как ее
валентность в графе G отлична от 1 (см. теорему III. 3). Отсюда
следует, что двумя соединяющими вершинами в Hi()K2
являются вершины х2 и у\. Аналогично устанавливается, что х\ и
у2 — соединяющие вершины для подграфа Н2 П /Сь
Из проведенных рассмотрений видно, что ни хи ни х2 не
могут быть вершинами графа К\ П %2- Следовательно, соеди-

IV. 3. 3-блоки 119
няющими вершинами указанного
пересечения являются ух и y2l которые
(теперь это очевидно) должны быть
различными. Таким образом, мы
приходим к заключению, что граф G имеет |д [////\к\С\*г
вид, показанный на рис. IV. 3.2.
Граф В = Ga разделимый и имеет
(хотя бы) два 1-разделения (/Сь Hi (]
П /Сг) и (/С2, #2 П К\) с точками сочле- * н,пк2
нения ух и у2 соответственно. Это
означает, что G — граф типа II. Пришли Рис. IV. 3.2.
к противоречию с условием теоремы.
Итак, мы можем теперь утверждать, что в графе К\ П Кг
ребер нет. Используя теорему IV. 20, получаем, что К\ ^ Я2 и
К2<^Н\. Значит, всякая вершина, общая для К\ и /С2>
принадлежит также графам Н\ и Я2, т. е. она является общей
подвеской двух заданных 2-разделений.
Осталось только доказать, что у исходных 2-разделений не
могут быть общими обе подвески. Предположим, что подвески
у 2-разделений являются общими. Обозначим их через х и у.
Если они — концы ребра Л, то в графе G есть хотя бы два
G-{v4}-MOCTa, причем один из мостов содержится в /Сь а
другой— в /С2. Но тогда граф G будет графом типа I, что
противоречит условию теоремы. В оставшемся случае граф Н\ П Я2
имеет хотя бы два ребра, инцидентных тому концу ребра Ау
который отличен от х и у. Следовательно, пара (Н{ П Н2г
К\ U К2) будет 2-разделением графа G. Это противоречит
Л-максимальности исходных 2-разделений и их несовпадению.
Доказательство теоремы завершено. □
Вернемся к рассмотрению двусвязных графов G, не
являющихся трехсвязными, таких, что у них выделено некоторое
ребро Л. Назовем это ребро перемычкой.
Введем понятие Л-мажорантных 2-разделений. Пусть
{(Я/, Kt)}—некоторая совокупность 2-разделений графа
G (/ = 1, ..., т). Будем называть их А-мажорантными, если
они удовлетворяют следующим условиям:
(i) ребро А содержится во всех Hi (/=1, ..., m);
(ii) если гф], то подграфы Ki и К/ реберно
непересекающиеся и общие вершины в них являются общими подвесками
2-разделений (HiyKi) и (Я/,/Су).
Если эти условия выполнены, то пересечение всех
подграфов Hi обозначим через /.
Теорема IV.23. Если выполняются условия (i) и (ii), то
ребро графа G принадлежит J тогда и только тогда, когда
оно не принадлежит ни одному из подграфов Ki (/ = 1, ..., m).

120 Гл. IV. Трехсвязность
Кроме того, J содержит подвески всех А-мажорантных 2-раз-
делений.
Доказательство. Первая часть утверждения вытекает из
условия (и) и определения подграфа /. Далее в силу условия
(ii) Hi содержит Kj для всякого / ф I. Следовательно,
подвески всех Л-мажорантных 2-разделений принадлежат
каждому подграфу Hi. □
Теорема IV.24. Если выполняются условия (i) и (ii), то
каждое ребро и каждая вершина графа G, не входящие в /,
содержатся ровно в одном из подграфов Ki.
Доказательство. Для каждого такого ребра (или каждой
такой вершины) найдется подграф Я/, которому это ребро
(или эта вершина) не принадлежит. Значит, оно
(соответственно она) содержится в подграфе /С/. В два подграфа Кц ребро
(вершина) входить не может в силу условия (ii). П
В том случае когда выполняются условия (i) и (ii),удобно
ввести га новых ребер, называемых виртуальными ребрами
графа G. Мы обозначим их через Ль Л2, . •> Лт и будем
считать, что концы ребра Л/ являются подвесками 2-разделения
(Я,, Ki), i = 1, 2, ..., га. Присоединяя эти ребра к подграфу /,
получим граф Z), называемый ведущим 3-блоком графа G
относительно ребра Л. Ребро Л будем называть перемычкой
графа D, а виртуальные ребра Л, — отдушинами графа D. Граф
Ki назовем оттоком из D через отдушину Л/. Присоединяя
ребро А^ к подграфу Ki как «наружное» ребро, мы получаем
граф F(Ai), который будем называть замкнутым оттоком из D
через Ai. В силу теоремы IV. 21 граф F(Ai) является двусвяз-
ным. Ребро Ai примем в графе F(Ai) за перемычку.
Дадим полное описание Л-мажорантных 2-разделений для
графов каждого из трех введенных выше типов.
Пусть G — граф типа I. Перенумеруем его G- {А}-мосты:
Ви В2, ..., Bk (k^2). Применяя теорему III. 6, заключаем,
что концы Ь и с ребра Л являются соединяющими вершинами
в каждом мосте Bt. Далее в силу теоремы IV. 20 любой мост
Bi есть связный граф, а на основании теоремы I. 48 в Bi{
существуют хотя бы одно ребро, инцидентное 6, и хотя бы одно
ребро, инцидентное с. Таким образом, мост Bi может быть
графом-звеном или графом, содержащим не менее двух ребер.
Может случиться, что каждый мост В/ (i = 1,2, ..., k)
является графом-звеном. Тогда G есть (k + 1)-звенник, и мы
говорим, что граф G совпадает со своим ведущим 3-блоком D.
В этом случае Л-мажорантных 2-разделений нет и граф D
отдушин не имеет.

IV. 3. 3-блоки 121
Рис. IV. 3.3.
В оставшемся случае мы можем считать, что мостами,
отличными от графов-звеньев, являются Вь В2, ..., BSl где 1 ^Г
^ s ^ k. Поскольку любой такой мост Bt содержит не менее
двух ребер, он является вторым членом некоторого 2-разделе-
ния (Hi, Bi) графа G и при этом ребро Л принадлежит #,.
Условия (i) и (И) определения Л-мажорантности, очевидно,
выполняются, и мы можем рассматривать совокупность {(Hi, В/)},
1 ^ i ^ s, 2-разделений графа G как совокупность Л-мажо-
рантных 2-разделений.
Пусть Аь — виртуальное ребро для пары (Нh Bt), 1^/^5.
Если / > 5, то в качестве ребра Л/ берем ребро моста Bf.
Ведущим 3-блоком D графа G является (k + 1)-звенник с
вершинами Ъ и си ребрами Л, Ль Л2, ..., Ak. Ребра Ль Л2, ..., As-
представляют собой отдушины графа D. Описанная нами
конструкция проиллюстрирована на рис. IV. 3.3; виртуальные ребра
изображены пунктирными линиями.
Пусть теперь G — граф типа II. Единственный G • {Л}-мост
В = Ga является разделимым графом. Из теоремы III. 30
следует, что мост В представляет собой нить блоков, замкнутую
звеном Л. Перенумеруем блоки и точки сочленения моста В
естественным образом: Bi, В2, ..., Bk> vuv2, ..., vk-\ (k^2),
и v{ принадлежит только блокам Bl и Bi+l (/=1, ..., k — 1).
Рассмотрим теперь (&+1)-Цикл D с вершинами 6, с, vx
^2> • ••> vk-\ и ребрами Л, Ль Л2, ..., Ak. Ребро Л в цикле D
инцидентно вершинам Ь и с, ребро Ах — вершинам Ъ и vu ребра

122 Гл. IV. Iрехсвязность
Ak — вершинам vk_x и с, а ребро Аь (при 2^/^/^ — 1) —
вершинам Vt_i и vt.
Может случиться, что каждый блок В/ является графом-
звеном. Тогда граф G идентичен (k + 1)-циклу D. В таком
случае мы говорим, что граф G (т. е. D) совпадает со своим
ведущим 3-блоком. В этой ситуации Л-мажорантных 2-разделе-
ний нет и граф D отдушин не имеет.
Если двусвязный граф В/ отличен от графа-звена и не
содержит петель, то в нем должно быть хотя бы два ребра. Он
является тогда вторым членом 2-разделения (Я/, В/) графа G
и при этом ребро Л принадлежит Я/. Условия (i) и (и)
определения Л-мажорантности, очевидно, выполняются, и мы
можем рассматривать совокупность {(Я,, В,)} 2-разделений
графа G как совокупность Л-мажорантных 2-разделений. Пусть
Л4 — виртуальное ребро такого 2-разделения. Если В/ — граф-
звено, то в качестве Л/ берем ребро графа В/. Ведущим
3-блоком графа G относительно ребра Л будет цикл D. Виртуальные
ребра Л/ являются его отдушинами. Описанная нами
конструкция проиллюстрирована на рис. IV. 3.4; виртуальные ребра
изображены пунктирными линиями.
Если граф G относится к типу III, то в качестве
Л-мажорантных 2-разделений берутся Л-максимальные 2-разделения,
рассмотренные в теореме IV. 22. Выполнимость условий (i) и
(ii) очевидна.
Теорема IV. 25. Если G — граф типа III, то его ведущий
3-блок является трехсвязным графом, содержащим не менее
шести ребер.
Доказательство. Если имеется только одно Л-максимальное
2-разделение графа /, содержащее два ребра из G, то
существует лишь одно виртуальное ребро. Его и надо добавить для
получения графа D. Если таких 2-разделений не меньше двух,
то граф D содержит ребро Л и хотя бы два виртуальных ребра.
Более того, поскольку граф G не является трехсвязным, у него
есть (хотя бы одно) 2-разделение. Значит, ведущий 3-блок D
должен содержать не менее трех ребер.
Применяя несколько раз теорему IV. 21, получаем, что граф
D является двусвязным. Если у D ровно три ребра, то, как
следует из результатов разд. III. 2, имеются только две
возможности: либо D есть 3-цикл, либо — 3-звенник. Но тогда
очевидно, что G — граф типа I или П. Это противоречит условию
доказываемой теоремы. Значит, у графа D не менее четырех
ребер.
Предположим, что граф D не является трехсвязным. Тогда
он имеет 2-разделение (L, М), и можно считать, что ребро Л

IV. 3. 3-блоки 123
Рис. IV. 3.4.
принадлежит L. Подвески этого 2-разделения обозначим через
х и у. В качестве подграфа U графа G возьмем объединение
подграфа LflJ с подграфами /С/, соответствующими
виртуальным ребрам Aj графа D в L. Аналогично строится подграф М'
(из подграфа М). Используя теоремы IV. 23 и IV. 24, получаем,,
что U и М' — реберно непересекающиеся подграфы графа G,
содержащие не менее чем по два ребра, и что их объединение
совпадает с графом G. Кроме того, общими вершинами у них
являются только х и у. Следовательно, (Z/, М') есть 2-разде-
ление графа G и ребро А принадлежит Z/. Далее, существует
Л-максимальное 2-разделение (//', М") графа G, такое, что
М' ^ М". Поскольку М" = Kj для некоторого /, то подграф М
может иметь только одно ребро и именно то, которое
соответствует виртуальному ребру Л/. Мы пришли к противоречию с
тем, что (L, М) есть 2-разделение графа D.
Итак, мы можем теперь утверждать, что граф D трехсвязеп
и содержит не менее четырех ребер. Применяя теорему IV. 4,
заключаем, что ребер в нем не меньше шести. □
На рис. IV. 3.5 продемонстрировано выделение ведущего
3-блока графа G для случая графа типа III.
Полное множество 3-блоков графа G относительно ребра А
получается следующим образом: сначала выделяется ведущий

124 Гл. IV. Трехсвязность
Рис. IV. 3.5.
3-блок графа G, затем выделяются ведущие 3-блоки графов
F(Ai), потом — ведущие 3-блоки замкнутых оттоков из графов
F(Ai) и т. д.
Для обоснования корректности этой процедуры можно
применить следующее утверждение.
Теорема IV. 26. Пусть А— перемычка двусвязного графа G,
не являющегося трехсвязным графом. Пусть D — ведущий
3-блок графа G относительно ребра Л, и пусть F(Ai)—
замкнутый отток из графа D через отдушину At. Тогда в F(Ai) ребер
меньше, чем в графе G.
Доказательство. Для всех трех типов графов G в ведущем
3-блоке D есть хотя бы два ребра, отличные от At. Если одно
из них — виртуальное ребро Л/, то найдется подграф К} графа
G, содержащий не менее двух ребер, не входящих в F{Ai) (см.
теорему IV. 24). Значит, граф G всегда имеет по меньшей мере
два ребра, не принадлежащих F{Ai). С другой стороны, все
ребра из F(Ai), кроме ребра Л,, содержатся в G. □
Процедуру нахождения 3-блоков графа G относительно
ребра Л можно описать на более формальном уровне.
Проделаем это. Поочередно для каждого целого неотрицательного п
составляются два перечня: Ln и Мп. Перечень Lo пустой, а М0
состоит из одного элемента — графа G. В общем случае
перечень Ln состоит из всех 3-блоков, выявленных на п + 1 шагах
процедуры, а Мп—из трехсвязных графов, удовлетворяющих
условию, что в каждом из них не менее трех ребер и одно из
них выделено в качестве перемычки этого графа. Если пара

IV. 3. 3-блоки 125
(LS,MS) уже имеется, то пара (Ls+i>iWs+i) строится следующим
образом: Ls+i состоит из элементов перечня Ls и ведущих
3-блоков тех графов, которые содержатся в перечне Ms\
перечень Ms+i состоит из замкнутых оттоков ведущих 3-блоков всех
тех графов, которые принадлежат перечню Ms. В силу
теоремы IV. 26 эта процедура должна привести в конце концов
к пустому перечню Mt. Начиная с этого значения индекса, пары
перечней стабилизируются. Следовательно, полным перечнем
3-блоков графа G относительно ребра А является перечень Lt.
На каждом шаге описанного процесса нам, возможно, надо
будет вводить виртуальные ребра. Это должны быть всегда
разные новые ребра, т. е. никакие два из 3-блоков не должны
давать общую отдушину. Все эти виртуальные ребра можно
называть виртуальными ребрами графа G относительно ребра А.
Выбранное множество виртуальных ребер графа G можно,
конечно, заменить другим множеством, задав подходящее
взаимно однозначное соответствие между ними. Поэтому, когда
мы говорим о «данных» 3-блоках или виртуальных ребрах
графа G относительно ребра Л, мы допускаем возможность такой
замены.
При доказательстве теорем о 3-блоках (берущихся
относительно ребра А) мы можем использовать рекурсивную (или,
иначе, индуктивную) природу введенного нами определения,
ибо из него следует, что 3-блоками графа G относительно ребра
А являются ведущий 3-блок D и 3-блоки замкнутых оттоков
из D (в каждом оттоке, не являющемся трехсвязным графом,
выбирается своя перемычка). Поскольку любые два из этих
замкнутых оттоков общих ребер не имеют (см. теоремы IV. 23
и IV. 24) и всякое виртуальное ребро вводится только один
раз, то, применяя индукцию, получаем, что никакой 3-блок
в приведенной выше классификации дважды не появляется.
Следующее утверждение легко устанавливается с помощью
индукции.
Теорема IV. 27. Каждое ребро графа G принадлежит в
точности одному 3-блоку графа G относительно ребра А. Каждое
виртуальное ребро графа G относительно ребра А встречается
в двух 3-блоках — в одном как отдушина, а в другом как
перемычка.
На рис. IV. 3.6 приведено полное разложение графа F{A\),
изображенного на рис. IV. 3.4, на 3-блоки относительно ребра
А. Каждая перемычка помечена крестиком. Аналогичное
разложение для графа F(A^) (см. рис. IV. 3.4) дано на рис. IV. 3.7.
Принимая во внимание теорему IV. 27, мы можем считать
3-блоки графа G, взятые относительно ребра Л, вершинами не-

126 Гл. IV. Трехсвязность
Рис. IV. 3.6. 3-блоки графа F(Ai).
которого графа Blk3(G, А).
В качестве ребер в нем
берем виртуальные ребра
графа G. Концами
произвольного ребра £,
принадлежащего графу Blk3(G, А)у
будут два 3-блока графа G,
в одном из которых ребро
Е является- перемычкой, а
в другом — отдушиной.
Если Л — ребро трехсвязного
графа G, то граф Blk3(G,
А) есть по определению
граф-вершина, в котором
вершина совпадает с G. То
же самое будет и в случаях, когда G является n-циклом или п-
звенником (п ^ 4).
Используя рис. IV. 3.6 и IV. 3.7, легко построить граф
Blk3(G,v4) для графа G, изображенного на рис. IV. 3.4.
Результирующий (ориентированный) граф приведен на рис. IV. 3.8.
Стрелка на каждом ребре исходит из 3-блока, в котором
соответствующее виртуальное ребро представляет собой отдушину>
и входит в тот 3-блок, в котором оно является перемычкой.
Данная диаграмма наводит на мысль о справедливости
общего утверждения, что граф Blks(G,v4) всегда является
деревом. В качестве подготовительного этапа для доказательства
этого утверждения дополним рассмотренные в разд. 1.6
результаты о деревьях следующим предложением.
Теорема IV. 28. Пусть граф Н есть объединение двух
деревьев Т и U, пересечение которых является деревом. Тогда
Н — дерево.
Доказательство. В силу теоремы 1.25 граф Н связен.
Используя соотношение (1.6.1), легко проверить, что
Px(H) = px(T) + Px(U)-px(T[\U).
Отсюда следует, что Н является связным лесом. Остается
применить теорему 1.35. □
Теорема IV. 29. Пусть А—ребро двусвязного графа G. Тогда
граф Blk3(G,;4) является деревом.
Доказательство. Пусть через пА обозначается число 3-бло-
ков графа G относительно ребра А. Если Па = 1, то
утверждение очевидно, так как Blk3(G,v4) в этом случае будет графом-
вершиной.

IV. 3. 3-блоки 127
Рис. IV. 3.7. 3-блоки F(AS).
Применяем индукцию по пА.
Предположим, что теорема
справедлива для пА < q, где q —
целое положительное число не
меньшее 2, и рассмотрим пА = q.
Пусть 3-блок D графа G имеет
отдушины Аи А2у ..., As, где
5^1. Пусть F(Ai)—замкнутый
отток из D через Л*.
Используя наше рекурсивное
определение 3-блоков и теоремы IV. 23 и IV. 24, заключаем, что
графы Blks(F(Ai),Ai) являются попарно непересекающимися
подграфами графа B\kz(G,A) и он строится из их объединения
путем добавления вершины D и ребер А\, А2, ..., As,
соединяющих D с ведущими 3-блоками оттоков F(Ai). По
предположению индукции каждый граф Blk3(/7(^f), At) представляет собой
дерево. Следовательно, в силу теоремы IV. 28 граф Blk3(G, А)
тоже является деревом. □
В заключение данного раздела приведем некоторое
дополнение к теореме IV. 27.
Теорема IV. 30. Пусть А—ребро двусвязного графа G. Пусть
х — вершина графа G, принадлежащая двум разным ^-блокам
Dr и DSy взятым относительно ребра А. Тогда х является в G
концом каждого ребра, которое принадлежит единственной
цепи в дереве В1к3(б,Л) {см. теорему 1.44), соединяющей Dr
с Ds.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями из теоремы
IV. 29 и снова применим индукцию по пА. Для Па = 1
истинность утверждения очевидна. Если же Па = q> то рассмотрим
следующие три случая.
j\
М.
D
Г5
I*
*D„
D7 DB
-^ • •» *Z.
*2 F(A2)
Рис. IV. 3.8. Blk3 (G, A)

128 Гл. IV. Трехсвязность
Случай I. Dr = D, a Ds есть 3-блок некоторого замкнутого
оттока F(At).
Из определения ведущего 3-блока следует, что общими
вершинами для D и F(Ai) являются только подвески
соответствующего Л-мажорантного 2-разделения, т. е. концы ребра Л, (см.
теорему IV. 23). Значит, вершина х является концом ребра Л/,
а также вершиной 3-блока D и ведущего 3-блока Dt из F(Ai)9
которые в дереве В1к3(0,Л) соединяются ребром At. Если Ds
есть Di, то утверждение доказано. Если же 3-блок Ds отличен
от Dty то используем предположение индукции: вершина х
является в графе G концом каждого ребра, принадлежащего цепи
в дереве В1к3(/7(Л/), Л/), соединяющей Di с Ds.
Случай II. Dr и Ds являются 3-блоками разных замкнутых
оттоков F(Ai) и F(Aj) соответственно.
В этом случае вершина х будет в графе G общим концом
ребер Ai и Л/ (см. условие (ii) в определении Л-мажорантных
2-разделений). Значит, она является вершиной 3-блока D. Но
поскольку в дереве В1к3(б,Л) цепь, соединяющую Dr с Ds,
можно рассматривать как объединение цепей, соединяющих D
с Dr и DSy то истинность доказываемого утверждения вытекает
из уже разобранного случая I.
Случай III. Оставшийся случай.
Теперь Dr и Ds являются 3-блоками одного и того же
замкнутого оттока F(Ai).
Надо воспользоваться предположением индукции,
согласно которому утверждение справедливо для дерева
Blk*(F(Ai)9Ai). а
В следующем разделе будет приведен ряд других свойств
графов В1к3((/,Л). Наиболее важным результатом является,
пожалуй, утверждение о независимости графа В1кз(б,Л) от
выбора ребра Л.
IV. 4. Расслоения
«Расслоения», о которых идет речь в настоящем разделе,
могут быть определены либо с использованием зафиксированного
ребра, либо в некоторой «абсолютной манере», не опирающейся
на понятие ребра. Поэтому расслоения можно применять для
доказательства независимости графа В1кз(С, Л) от выбора
ребра Л. (См. [4].)
Пусть (Я, К) есть 2-разделение двусвязного графа G с
подвесками х и у. Будем говорить, что подграф Н (или К) есть
разветвление в (Я, К) (или относительно вершин х и */), если
он является объединением двух реберно непересекающихся
подграфов графа G, содержащих хотя бы по одному ребру и
имеющих в качестве общих вершин только х и у. Графом подвесок

IV. 4. Расслоения 129
2-разделения (Я, К) будем называть подграф X графа G, не
имеющий ребер и состоящий только из подвесок х и у.
Упомянутые в определении разветвления реберно непересекающиеся
подграфы являются, очевидно, объединениями Х-мостов в Я
(или в /С).
Назовем 2-разделение (Я, К) расслоением графа G, если
хотя бы один из подграфов Я и К неразделим и хотя бы один
из них не является разветвлением в (Я, К).
Теорема IV. 31. Пусть (Я, К) есть 2-разделение двусвязного
графа G. Если подграф Я (или К) является разветвлением в
(Я,/С), то он двусвязен.
Доказательство. Пусть подграф Н\ построен из Я добавле-
ниегл нового ребра Л, концы которого совпадают с подвесками
2-разделения (Я, К). Тогда в силу теоремы IV. 21 HY двусвя-
зен. Предположим, что Я — разветвление в (Я, К). Используя
теорему II. 3, заключаем, что подграф {Нх)а разделим и точкой
сочленения в нем является вершина vA. Значит, подграф {Hi)'a>
т. е. Я, двусвязен (см. теорему III. 33). □
Теперь приведем несколько утверждений о свойствах 2-раз-
делений двусвязных графов, не являющихся трехсвязными.
Будем считать, что некоторое ребро Л графа G выделено в
качестве перемычки, и через D будем обозначать ведущий 3-блок
графа G относительно ребра Л. Будем дополнительно
предполагать, что ребро А лежит в подграфе Я.
Теорема IV. 32. Пусть К не является подграфом никакого
оттока из D. Тогда D — либо многозвенник1), либо цикл и
всякий отток из D или содержится целиком в /С, или реберно не
пересекается с К.
Доказательство. Пусть х и у — подвески 2-разделения
(Я, К). .Перенумеруем Л-мажорантные 2-разделения графа G:
(НиК\), ..., (Hk,Kk). Пусть Л/ — отдушина 3-блока D,
соответствующая оттоку Ki, и F{Ai) — замкнутый отток через Л/.
Сначала предположим, что G является графом типа III
относительно ребра Л. Тогда существует Л-максимальное, а
значит, Л-мажорантное 2-разделение (Я', К') графа G, такое, что
К^К'. Это противоречит условию теоремы. Следовательно,
G есть граф типа I или типа II, т. е. D — либо многозвенник,
либо цикл.
Будем говорить, что подграф Ki разрушается подграфом К,
если К содержит ребро из /С/, но в Ki есть ребро, не принадле-
!) Здесь и далее термин «многозвенник» используется нами как
собирательный термин для всех /г-звенников (п^\). — Прим. перев.

130 Гл. IV. Трехсвязность
жащее /0 Если Ki разрушается /С, то подграф K(]Ki имеет не
менее двух соединяющих вершин в F(At) (см. теорему IV. 21).
Это соединяющие вершины подграфа К в графе G. Значит,
они могут быть только вершинами х и у.
Предположим, что G — граф типа I. Сначала рассмотрим
случай, когда некоторый подграф /О разрушается подграфом /С,
т. е. когда вершины х и у содержатся в /G. Из сделанного
предположения вытекает, что в подграфе К есть ребро,
содержащееся в некотором G- {А}-мосте В, отличном от Ki. Если В
является оттоком /С/, разрушаемым подграфом /С, то вершины х
и у должны быть общими вершинами графов Ki и /С/, т. е.
двумя концами ребра А (см. рис. IV. 3.3). Если же мост В не
является разрушаемым подграфом /(/, то он либо совпадает с
каким-то подграфом /Су, либо есть граф-звено, содержащийся
в D. В каждом из этих случаев мост В представляет собой
подграф графа К, а значит, концы ребра А являются
соединяющими вершинами для К в графе G, т. е. они совпадают с х и у.
Но если х и у — концы ребра Л, то подграф Ki является
разветвлением в (Я/, Ki) — он представим в виде объединения
непустых подграфов KOKi и Н[)Ki. Но это несовместимо с
определением графа типа I. Следовательно, оттока, разрушаемого
подграфом /С, не существует.
Предположим теперь,-что G — граф типа П. Сначала
рассмотрим случай, когда некоторый подграф Ki разрушается
подграфом К. Из сделанного предположения вытекает, что в К
найдется ребро, принадлежащее некоторому блоку В графа Ga,
отличному от подграфа Ki. Такой блок В не может быть
оттоком в Д разрушаемым подграфом /С, ибо два различных блока
в нити Ga имеют не более одной общей вершины (см.
рис. IV. 3.4). Значит, блок В есть либо неразрушаемый отток,
либо граф-звено, содержащийся в D. В каждом из этих
случаев блок В содержится в К. Но если в подграфе К имеется
хотя бы один блок из нити Ga, отличный от Ki, то в графе G
найдутся не менее трех соединяющих вершин для К и хотя бы
одна соединяющая вершина для /С, не принадлежащая
подграфу Ki. Это, однако, невозможно. Следовательно, оттока Ки
разрушаемого подграфом К, нет. □
Следующая теорема относится к тем же самым графам, но
содержит дальнейшие подробности о них.
Теорема IV. 33. Пусть граф К из теоремы IV. 32 является
объединением двух реберно непересекающихся подграфов L и
М, каждый из которых содержит хотя бы одно ребро и имеет
ровно две соединяющие вершины в графе G. Если выполняются
условия теоремы IV. 32, то каждый отток из D либо содержится

IV. 4. Расслоения 131
в L, либо содержится в М, либо
реберно не пересекается ни с L,
ни с М. Кроме того, D является
многозвенником, если у
подграфов L и М пары соединяющих
вершин одинаковые, и является
циклом в ином случае.
Доказательство. Предположим, что некоторый отток Kt из
D содержит ребро подграфа L и ребро, не принадлежащее L.
Тогда L a Ki. В самом деле, если в L только одно ребро, то
включение очевидно; в противном случае надо воспользоваться
теоремой IV. 32, положив в ней К равным L. Далее, применяя
теорему IV. 32, заключаем, что Ki содержится в К. Отсюда
вытекает, что в Ki существует ребро, принадлежащее М, и ребро,
не входящее в М. Значит, как и в случае с L, М с: Ki. Таким
образом, получаем, что К есть подграф графа Ki. Это
противоречит условию теоремы IV. 32.
Итак, каждый отток Ki из D либо содержится в L, либо
реберно не пересекается с ним. Аналогичное утверждение
справедливо для М. Тем самым первая часть теоремы
доказана.
Предположим, что у L и М одна и та же пара соединяющих
вершин (относительно графа G). Тогда эти вершины совпадают
с вершинами х и у, которые являются соединяющими для К-
Значит, в силу теоремы IV. 31 граф К двусвязен. Если G —
граф типа II, то К содержится в некотором блоке подграфа Gf
т. е. (см. теорему IV. 20) в некотором блоке какого-то оттока
из D. Однако это противоречит условию теоремы IV. 32.
Поскольку G не может быть графом типа III (см. доказательство
теоремы IV. 32), то остается единственная возможность: G —
граф типа I; следовательно, D является многозвенником.
Осталось рассмотреть случай, когда пары соединяющих
вершин у подграфов L и М не совпадают. В этом случае
подграфы L и М содержат одну общую соединяющую вершину
(скажем, г), ибо граф К связен (см. теорему IV. 20). Отсюда
следует, что К имеет 1-разделение (L,M) с точкой сочленения z
(см. теорему III. 2). Поскольку соединяющими вершинами для
К являются х и у и граф G двусвязен, то можно считать, что
соединяющими вершинами для L будут вершины х и 2, а для
М — вершины у и z (см. рис. IV.4.1).
Пусть X — граф подвесок 2-разделения (Я, К). Тогда К
есть Х-мост в G, ибо в силу теоремы IV. 31 К не является
разветвлением в {Н К). Используя теорему 1.57, заключаем, что
подграф К содержится в некотором б-{Л}-мосте в G.
Следовательно, G не является графом типа I (см. условие теоре-
L М
Рис. IV. 4.1.

132 Гл. IV. Трехсвязность
мы IV. 32). Но тогда G должен быть графом типа II, a D —
циклом. П
В связи с двумя последними теоремами напомним (см.
раздел IV. 3), что ведущий 3-блок D является многозвенником,
циклом или трехсвязным графом, содержащим не менее шести
ребер, если G есть граф типа I, II или III соответственно.
В последнем из этих трех случаев граф D в силу теорем IV. 1
и IV. 3 не является ни многозвенником, ни циклом. В двух
первых случаях D имеет хотя бы три ребра.
Перейдем к установлению ряда теорем, относящихся к
описанию строения графа Blk3(G, А). Следующее определение
является достаточно удобным. Пусть С есть 3-блок графа G
относительно ребра А. Объединяя С со всеми оттоками из него и
удаляя перемычку и все отдушины, получаем граф, называемый
насыщением графа С. Если же перемычку оставить, то
получим замкнутое насыщение графа С. Очевидно, что замкнутое
насыщение ведущего 3-блока D графа G совпадает с G. В
любом ином случае перемычка 3-блока С является отдушиной
некоторого другого 3-блока С графа G (взятого относительно
того же ребра А). Поэтому насыщение 3-блока С будет оттоком
из С через эту отдушину. Насыщение 3-блока С мы будем
обозначать символом Кс, а его замкнутое насыщение —
символом Fc-
Теорема IV. 34. Пусть С — произвольный 3-блок графа G
относительно ребра А и L — произвольный подграф,
принадлежащий насыщению Кс. Тогда соединяющие вершины подграфа L
в графах Fc и G одни и те же.
Доказательство. Если C = D, то доказывать нечего. В
противном случае Кс будет оттоком из какого-то другого 3-блока
С относительно ребра А. Всякая соединяющая вершина для L
в Fcf является соединяющей вершиной либо для L в Кс> либо
для Кс в Fcr (см. теорему 1.8). Однако вершины последнего
типа, будучи в Fc инцидентными перемычке 3-блока С,
являются соединяющими для L в Fc. Тем самым мы установили,
что соединяющие вершины подграфа L в графах Fc и Fc одни
Hv те же. Повторяя проведенные рассуждения, получаем
требуемый результат. □
Займемся снова изучением 2-разделений (Я, К) графа G.
Теорема IV. 35. Пусть К — собственный подграф насыщения
Кс некоторого 3-блока С относительно ребра А в графе G.
Тогда К есть второй член пары (Н',К), являющейся 2-разде-
лением замкнутого насыщения Fc 3-блока С с подвесками х и у.

IV. 4. Расслоения 133
Доказательство. В силу теоремы IV. 34 К есть подграф
графа Fc, а х и у— соединяющие вершины для К в Fc.
Расширенным дополнением подграфа К в Fc является подграф Я',
имеющий хотя бы два ребра, причем одно из них представляет
собой перемычку 3-блока С. □
Определим А-носитель 2-разделения (Я, К) (или, короче,
для (Я, К)). Это 3-блок С графа G относительно ребра Л,
такой, что К является собственным подграфом насыщения Кс
3-блока С и каждый отток из С либо содержится в /С, либо ре-
берно не пересекается с /С.
Теорема IV. 36. У 2-разделения (Я, К) ровно один А-носитель.
Доказательство. Воспользуемся перечнями Ьп и Мп,
рассмотренными в разд. IV. 3. Нетрудно видеть, что элементы
перечней Мп являются замкнутыми насыщениями 3-блоков
графа G относительно ребра А. Для данного п в перечне Мп
найдется, самое большее, один граф, содержащий К в качестве
своего подграфа (см. теорему IV. 24). С другой стороны, К есть
собственный подграф одного вполне определенного графа G из
перечня М0. Следовательно, существует такое наибольшее
целое число q, что К является собственным подграфом некоторого
графа Fq из перечня Mq. Для каждого целого /, такого, что
О ^ i ^ q, в перечне Mi есть единственный граф Fi,
содержащий К в качестве собственного подграфа. Более того, если
i < qy то граф Fi+\ должен быть замкнутым оттоком из вполне
определенного ведущего 3-блока d графа Ft.
Из определения Л-носителя следует, что Л-носитель
2-разделения (Я, К) должен быть ведущим 3-блоком Ct некоторого
графа Fi. Приведенные выше рассуждения показывают, что
таковым может быть только граф Fq. Применяя теоремы IV. 32
и IV. 35, заключаем, что граф Fq и в самом деле является Л-но-
сителем 2-разделения (Я, К). □
В двух следующих теоремах представлены некоторые
свойства Л-носителей.
Теорема IV.37. Если Я — разветвление в (Я,/С), то
А-носитель 2-разделения (Я, К) является многозвенником.
Доказательство. Пусть X — граф подвесок 2-разделения
(Я, К). В подграфе Я мы можем найти два Х-моста L и М,
такие, что ребро Л принадлежит М. Может случиться, что в М
содержится только одно ребро Л. Тогда концами ребра Л будут
вершины х и у, а значит, G есть граф типа I и D является
многозвенником. Кроме того, каждый отток из D есть Х-мост в Н
или К (см. теорему 1.46). Таким образом, D является Л-носите-
лем 2-разделения (Я,/С).

134 Гл. IV. Трехсвязность
Рис. IV. 4.2.
В оставшемся случае Х-мост М
содержит хотя бы два ребра и существует
2-разделение (//',/(') графа G, такое, что
К' = K\)L. Подвесками этого 2-разделе-
ния являются вершины х и у. Пусть С
есть Л-носитель 2-разделения (#', К').
Может случиться, что К' будет оттоком
из С через некоторую отдушину Е. Тогда
концами ребра Е будут вершины х и у,
а потому ведущий 3-блок С замкнутого
оттока через Е должен быть многозвен-
ником и Л-носителем для (Я, К)—см.
приведенные выше рассуждения при
рассмотрении 3-блока D (в первом случае). Наконец, в
оставшемся подслучае применение теоремы IV. 33 позволяет заключить,
что С есть многозвенник и Л-носитель для (Я, /С). □
Теорема IV.38. Если Я — разделимый граф, то А-носитель
2-разделения (Я, К) является циклом.
Доказательство. В силу теорем IV. 21 и III. 30 Я является
нитью блоков, которую можно замкнуть ребром, соединяющим
вершины х и у. Выберем в этой нити блок L, содержащий одну
из вершин х или у, но не содержащий ребро Л, и блок М, в
который входит ребро Л. Можно считать, что вершина х
принадлежит блоку L. Тогда L не содержит вершину у.
Может случиться, что в М имеется только одно ребро Л.
Тогда Л будет перешейком графа Я (см. теоремы 1.45 и III. 5)
и, так как граф G двусвязен, торцевые графы ребра Л содержат
вершины х я у (обозначим эти графы через Нх и Ну
соответственно). Граф Нх не является графом-вершиной и в силу
теоремы III. 8 содержит блок L.
Нетрудно видеть, что граф Ga является разделимым и имеет
1-разделение (Нх, Ну\] К) с точкой сочленения х. Если граф
Ну не является графом-вершиной, то граф Ga также имеет
1-разделение {Нуу Нх\]К) с точкой сочленения у (см. рис. IV. 4.2).
Таким образом, G есть граф типа II, a D является циклом.
Кроме того, в силу теоремы III. 22 каждый отток из D
представляет собой блок одного из графов Нх, Ну или /(.
Следовательно, D есть Л-носитель для (Я, /С).
В оставшемся случае блок М имеет не менее двух ребер
и существует 2-разделение (Я', К') графа G, такое, что К' =
= K\]L. Легко видеть, что у графа К' есть 1-разделение (/С,L)
с точкой сочленения х. Подвесками 2-разделения (Я7, К')
являются вершина у и точка сочленения z графа Я,
принадлежащая блоку L. Пусть С есть Л-носитель для (Я7, К'\.

IV. 4. Расслоения 135
Может случиться, что К' является оттоком из С через
некоторую отдушину Е. Тогда ведущий 3-блок С замкнутого
оттока через Е должен быть циклом и Л-носителем для {Н,К) —
см. приведенные выше рассуждения при рассмотрении 3-блока D
(в первом случае). В оставшемся подслучае, применяя
теорему IV. 33, получаем, что С является циклом и Л-носителем для
(Н,К). □
Теорема IV. 39. Пара (Я, К) является расслоением графа G
тогда и только тогда, когда К есть отток из некоторого 3-блока
С графа G относительно ребра А.
Доказательство. Предположим, что К удовлетворяет
условию теоремы. Тогда С есть Л-носитель для (Я,К). Если Я —
разветвление в (Я,/С), то в силу теоремы IV. 37 С является
многозвенником. Это означает, что Fc есть граф типа I
относительно его перемычки. Следовательно, К не будет
разветвлением относительно вершин х п у. Если Я — разделимый граф,
то С есть цикл (см. теорему IV. 38). Но тогда Fc — граф
типа II, а его отток К — двусвязный граф. Таким образом, в
каждом из возможных случаев пара (Я, К) является1
расслоением графа G.
Обратно, предположим, что (Я, К) — расслоение графа G.
Если К не будет оттоком из 3-блока С, являющегося
Л-носителем для (Я,/С), то в силу теорем IV. 32 и IV. 35 С должен
быть многозвенником или циклом.
Сначала предположим, что С — многозвенник. Тогда К
будет объединением не менее чем двух Fc- {Е}-мостов, где Е —
перемычка графа С. Но поскольку К — собственный подграф
графа Key то он не может быть объединением всех таких мостов.
Концы перемычки Е являются соединяющими вершинами для/С,
а значит, они совпадают с х и у. Следовательно, по
теореме IV. 34 подграфы Я и К будут разветвлениями в (Я, К). Это
противоречит нашему предположению, что пара (Я, К) есть
расслоение графа G.
Пусть теперь С является циклом с перемычкой £. Тогда К
будет объединением не менее чем двух, но не всех, блоков
графа {Fc)e. Значит, К — разделимый гра.ф. Блоки, входящие
в К> должны образовывать нить блоков в графе (Fc)e, так как
у К только две соединяющие вершины. Поэтому мы можем
утверждать, что граф {Fc)e есть объединение графа К с двумя
такими графами Кх и Ку, что общей вершиной у К и Кх
является только вершина х, а у К и Ку — только у, причем Кх и
Ку не являются графами-вершинами и концы Ъ и с ребра Е
принадлежат соответственно Кх и Ку (см. рис. IV. 4.3).

136 Гл. IV. Трехсвязность
Таким образом, на основании
теоремы IV.34 граф (Fc)e есть
подграф графа G, имеющий те же
самые соединяющие вершины Ь и
^ к с. Отсюда вытекает, что Я —
разделимый граф, содержащий хотя бы
одну из вершин Ь или с в качестве
точки сочленения. Это
противоречит нашему предположению о том,
что (Я, К) является расслоением
графа G.
Итак, мы можем утверждать,
что если (Я, К) — расслоение
графа G, то К является оттоком из Л-носителя С в (Я,
К). □
Теорему IV. 39 можно сформулировать иначе: существует
взаимно однозначное соответствие между множеством
расслоений графа G и множеством его виртуальных ребер относительно
ребра Л. Виртуальное ребро Л/ является отдушиной только
одного 3-блока С графа G относительно ребра Л. Отток К из С
через Ац совпадает со вторым членом расслоения (Я,/С),
соответствующего ребру Л/. Если в некоторых рассмотрениях пара
(Я, К) является расслоением графа G, то подграфы Я и К
будем называть крыльями этого расслоения. Через F(K) будет
обозначаться замкнутый отток из Л-носителя,
соответствующего оттоку /С.
Значение отмеченного выше соответствия состоит в том, что
оно устанавливает независимость расслоения графа G от
выбора перемычки. Мы вправе сказать теперь, что для
фиксированного расслоения при любом выборе перемычки получается
одно и то же множество виртуальных ребер. Перейдем к
доказательству независимости от выбора перемычки множества
3-блоков данного графа и структуры дерева Blk3(G,Л).
Теорема IV. 40. Пусть (НиК\) и (Я2, /Сг) — различные
расслоения графа G. Тогда произвольное крыло расслоения
(Н\,К\) является собственным подграфом подходящего крыла
расслоения (Я2, Кг)-
Доказательство. Воспользуемся обозначениями из разд. IV. 3.
Можем считать, что при произвольно выбранной перемычке Л
граф F (К\) принадлежит перечню Мп a F (TQ — перечню Ms,
причем г ^5. Применяя теорему IV. 24 (как это делалось при
доказательстве теоремы IV. 36), получаем, что в перечне Мг
существует только один граф (обозначим его ^(/(г)), содержа-

IV. 4. Расслоения 137
щий /С2 в качестве своего подграфа. Если К2 = Ки то г < 5 и
/С2 есть собственный подграф графа К\ (см. теорему IV. 26).
В оставшемся случае графы F (К\) и F(K2) являются
разными членами перечня Мг. Используя теорему IV. 24,
заключаем, что /^2 —подграф графа Нх. Более того, /G есть
собственный подграф графа Я\, ибо г должно быть больше 0, а
значит А принадлежит Нь но не содержится в /Сг. Таким
образом, /С2 — собственный подграф графа Нх. □
Рассмотрим три разных расслоения (Hif Кд графа G (/=1,
2, 3). Может случиться, что Wx cz Wz cz W2, где Wt — некоторое
крыло в (#j, Ki). Если эти включения выполняются, то будем
говорить, что расслоение (Я3, Кг) лежит между (Нь К\) и (Я2, /С2).
Два разных расслоения будут называться смежными, если не
существует третьего расслоения, лежащего между ними.
Заметим, что это определение смежности не зависит от выбора
перемычки. Однако смежность можно описать и на языке 3-бло-
ков относительно зафиксированной перемычки Л.
Теорема IV. 41. Пусть (Н\УК\) и (Я2,/(2)— разные
расслоения графа G. Пусть А — произвольное ребро графа G. (Будем
считать, что А принадлежит подграфам Hi и Я2.) Расслоения
(Н\уК\) и (Я2,/С2) смежны тогда и только тогда, когда
выполняется одно из следующих двух условий:
(i) К\ и /(2— разные оттоки из некоторого 3-блока С
графа G относительно ребра Л;
(и) один из графов К\ и /С2 является насыщением
некоторого 3-блока С графа G относительно ребра Л, а другой —
оттоком из С.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями из теоремы
IV. 40 и будем считать, что К2 есть крыло расслоения (Я2, К2)
графа G (см. теорему IV. 39).
Сначала предположим, что К2 = К\. Если 5 > г + 1, то
некоторое расслоение (Я", К"), где F (К") е Мг+Ь лежит между
(Нь К\) и (Я2, /С2), а значит, ни одно из условий (i) и (п)
выполняться не может. Поэтому предположим, что s = r + 1; тогда
будет иметь место условие (П). Если теперь некоторое
расслоение (Я", К") лежит между (Нь К\) и (Я2, /С2) и ребро А
содержится в Я", то возможны только две цепочки включений:
K2c=-K"czK\ и K\CzK" с=/(2. Но граф F{К") должен
принадлежать некоторому перечню Mt. Поэтому указанные
включения приводят нас к следующим неравенствам: г + 1 > t > г.
Значит, два заданных расслоения являются смежными.
В оставшемся случае подграфы К\ и /С2 разные. Если
подграф К2 отличен от /(2, то ни одно из условий (i) и (И) не вы-

138 Гл. IV. Трехсвязность
полняется. С другой стороны, (Я2, К**) лежит между (Яь К\)
и (Я2, Д^)- Значит, /С2 cz K2CZ #j. Поэтому предположим, что
К2 = К2-
Если К\ и К2 являются оттоками из разных 3-блоков графа G
относительно ребра Л, то они содержатся в разных, графах
F[Ki) и F (К2) соответственно, принадлежащих перечню Мг_!.
Тогда ни одно из условий (i) и (ii) не выполняется. С другой
стороны, существует расслоение {Н\, К\)> лежащее между
(Hl9 Ki) и (Я2, 7Q, т. е. /d cz/сГ cz Я2.
Остается рассмотреть подслучай, когда /Gj и /С2 являются
оттоками из одного и того же 3-блока С относительно ребра Л.
В этом подслучае графы К\ и К2 содержатся в одном и том же
члене F(К) перечня Мг_ь где К— насыщение графа С.
Следовательно, условие (i) выполняется. Если некоторое расслоение
(Я", К") лежит между (Ни К\) и (Я2, ЛГ2), то оно должно иметь
такое крыло W'\ что либо Кх cz W" а Я2, либо К2 d U^^ cz Яь
Подграфы, входящие в эти цепочки включений, можно
заменить их расширенными дополнениями, обратив при этом
знаки включения. Значит, выбирая соответствующим образом
обозначения, можно добиться, чтобы выполнялись включения
К\ с: К!' с: Я2 и чтобы ребро А принадлежало графу Я". Граф
К" должен входить в некоторый перечень Mt. Поэтому
указанные включения приводят к неравенству t < г. Поскольку член
перечня Mt, содержащий Ки содержит и насыщение графа С,
то этому члену в качестве подграфа принадлежит граф /G2.
Мы пришли к противоречию с тем, что W с: Я2. Следовательно,
и в этом подслучае два исходных расслоения должны быть
смежными. □
Если v — вершина графа N, то ее бондом назовем
множество всех звеньев графа N, инцидентных v. Очевидно, что в
дереве никакие две разные вершины не могут иметь совпадающие
бонды, за исключением того случая, когда дерево является
графом-звеном. Займемся рассмотрением бондов в дереве
В1к3(0,Л).
Теорема IV.42. Бонды дерева Blk3(G, А) не зависят от вы-
бора ребра А.
Доказательство. Из теоремы IV. 41 следует, что в дереве
Blk3(G, А) ребра произвольного бонда 5 должны
соответствовать парам смежных расслоений графа G. Рассмотрим
виртуальное ребро At графа G, соответствующее расслоению (Hi9Ki).
Это ребро содержится в двух 3-блоках С\ и С2 графа G,
взятых относительно ребра Л, причем в С\ ребро Л,- является отду-

IV. 4. Расслоения 139
шиной, а в С2 — перемычкой. В дереве Blk3(G,Л) концами
ребра Ai служат 3-блоки С\ и С2. В силу теоремы IV. 41
расслоения, смежные с (Я/,/G), соответствуют отличным от Ai
звеньям из бондов вершин С\ и С2 в дереве Blk3(G, А). Кроме
того, любые два из рассматриваемых расслоений являются
смежными тогда и только тогда, когда они соответствуют
звеньям, принадлежащим одному и тому же из этих двух
бондов.
Из проведенных рассмотрений следует, что для нахождения
бондов дерева Blk3(G, Л), содержащих ребро Л/, можно
обойтись без рассмотрения ребра Л. Нужно иметь только
расслоения графа G и отношение смежности между ними. □
Теорема IV.43. Пусть S — бонд дерева В1к3(б,Л),
соответствующий его вершине С. Занумеруем звенья из S следующим
образом: Ль Л2, ..., Ак. Расслоение графа G,
соответствующее ребру Ai (i = 1, ..., k)t можно представить в виде ([Д, Wi)
для каждого i так, чтобы никакие два из крыльев Wi не имели
общих ребер и общих вершин помимо общих подвесок
соответствующих расслоений. Более того, если k ^ 2, то указанным
условием крылья Wi определяются однозначно.
Если & ^ 2, то 3-блок С получается из пересечения всех
крыльев Wi{ присоединением звеньев,входящих в Б.Если k = \,
то С получается из U\ или W\ присоединением звена из S.
Доказательство. Пусть {Hi, Ki)—расслоение,
соответствующее ребру Л/, и ребро Л принадлежит Hi. Крыло Wi совпадает
с Hi или Ki в зависимости от того, является ребро Ai
перемычкой или отдушиной в С. Принимая во внимание определение
3-блока относительно ребра Л, данное в разд. IV. 3, заключаем,
что крылья Wi удовлетворяют требуемому условию. Более того,
С является именно таким графом, о котором идет речь в
формулировке теоремы.
Предположим, что k^2. Пусть Ai и Л/ — два разных звена
из 5, причем Ai соответствует расслоению (//*, /С»), а Л/ —
расслоению (Я/, К/). Здесь мы не предполагаем, что ребро Л
принадлежит графам Hi и Я/. В силу теоремы IV. 40 можно
считать, что Ki является собственным подграфом графа /С/. Тогда
в каждом из графов Я/ и Kj должно найтись ребро,
принадлежащее графу Hi. Значит, необходимо положить Wi = Ki. О
Теорема IV.44. Пусть дерево В1к3(б,Л) не является
графом-звеном и S — его бонд, которому соответствует 3-блок С
графа G относительно ребра А. Если не принимать во
внимание расположение перемычки в С, то граф С будет одним и
тем же при любом выборе ребра А.

140 Гл. IV. Трехсвязность
Доказательство. При \S\ ^ 2 утверждение вытекает из
теоремы IV. 43. Предположим, что |5|=1. В обозначениях
теоремы IV. 43 С есть либо U\9 либо W\. Из условия
доказываемой теоремы следует, что 'у графа G существует второе
расслоение и некоторое крыло этого расслоения является
собственным подграфом в U\ или в W\. Значит, независимо от выбора
ребра А граф С должен быть другим членом пары (U\9W\). □
Исключенный из этого рассмотрения случай, когда дерево
Blk3(G,/4) является графом-звеном, тривиален: существует
только одно расслоение (f/, W) и два 3-блока получаются из
U и W присоединением виртуального ребра, т. е. конструкция
не зависит от выбора ребра А.
Принимая во внимание это замечание, мы можем
сформулировать теорему IV. 44 иначе: граф G имеет одни и те же
3-блоки относительно каждого ребра, если различие между
перемычкой и отдушинами в них игнорируется. Теперь мы
можем говорить просто о 3-блоках графа G, а не о 3-блоках
относительно некоторой конкретной перемычки Л, и вместо
Blk3(G, А) писать Blk3(G), называя этот граф деревом
^-блоков графа G. В данном разделе мы предполагали, что
рассматриваемые графы G имеют 2-разделения. Если G — трехсвязный
граф, то в качестве его единственного 3-блока надо взять сам
этот граф, так что Blk3(G) будет графом-вершиной.
В заключение этого раздела докажем теорему о строении
дерева Blk3(G).
-Теорема IV.45. Пусть С и С — два 3-блока графа
G,являющиеся смежными вершинами в дереве Blk3(G). Тогда они не
могут одновременно быть ни многозвенниками, ни циклами.
Доказательство. Можно считать, что относительно
некоторой перемычки А граф С является ведущим 3-блоком
замкнутого оттока из С. Этот замкнутый отток должен быть
замкнутым насыщениемFc графа С. Пусть Е и Е' — перемычки в С
и С соответственно.
Предположим, что С — многозвенник. Тогда Fc — граф
типа I относительно £, у ребер Е и Е' одинаковые пары
концов и отток К с не является разветвлением относительно этих
концов. Значит, Fc не может быть графом типа I относительно
ребра £", а поэтому 3-15лок С не является многозвенником.
Предположим теперь, что С — цикл. Тогда Fc — граф типа II
относительно Е и отток Кс двусвязен. Следовательно, Fa не
является графом типа II относительно Е', а значит, 3-блок С —
не цикл. П

IV. 5. Удаление и стягивание ребер 141
IV. 5. Удаление и стягивание ребер
В этом разделе графы G предполагаются трехсвязными
и содержащими не менее шести ребер (см. теорему IV. 4).
Множество {Л, В, С}, состоящее из трех ребер графа G, будем
называть треугольником, если оно есть множество ребер
некоторого 3-цикла, содержащегося в G. Аналогично, будем называть
это множество триадой, если оно является бондом какой-либо
тривалентной вершины графа G. Из теорем IV. 1 и IV. 3
вытекает
Теорема IV. 46. Если ребро А принадлежит некоторому
треугольнику графа G, то граф Ga не трехсвязен. Если А
содержится в какой-либо триаде графа G, то граф Ga не трехсвязен.
Пусть А — ребро графа G с концами Ь и с. Приступим
к подробному разбору того случая, когда подграф Ga не
является трехсвязным. Заметим сначала, что (в силу теоремы IV. 7)
граф Ga двусвязен. Используя метод, описанный в разд. IV. 3,
мы можем разложить граф Ga на его 3-блоки.
Рассмотрим оконечный 3-блок графа Ga, т. е. 3-блок,
соответствующий висячей вершине дерева В1к3(Ол). Он имеет
только одно виртуальное ребро Е, а в графе G у него не менее
двух ребер. Пусть / — подграф графа G, получаемый из этого
оконечного 3-блока после удаления ребра Е. Поскольку / не
может быть членом никакого 2-разделения графа G, то у
ребра А существует такой конец, который принадлежит графу /
и отличен от концов ребра Е.
Из теоремы 1.40 следует, что в дереве Blk3(G^) не менее
двух висячих вершин. Значит, их должно быть ровно две — по
одной для каждого конца ребра Л, а потому дерево Blk3(G^)
является цепью (см. теорему 1.40). Полученные результаты
можно сформулировать так: граф Ga является нитью, состоящей
из Ъ-блоков и замкнутой ребром А.
Используя свойства цепей, получаем, что 3-блоки и
виртуальные ребра можно занумеровать естественным образом:
Си С2, ..., Cn+i и Аи Аъ ..., Ап (я>1). При этом ребро Аь
содержится только в 3-блоках Ct и Ci+X. Мы можем выбрать
обозначения так, чтобы вершина Ь принадлежала 3-блоку Си
а вершина с — 3-блоку Сп+Х. Обозначим концы ребра At через
a(i, 1) и a(i, 2). Иногда бывает удобно считать, что а(0, 1) =
= а(0, 2) = Ь и а(п+ 1, 1) = а(п+ 1, 2) = с.
Через Jt обозначим подграф графа G, который получается
из Сь после удаления всех содержащихся в нем виртуальных

142 Гл. IV. Трехсвязность
Рис. IV. 5.1.
ребер. Назовем Jt сегментом графа Ga\ i-ft сегмент «считается»
от вершины 6, а (п + 2 — /)-й — от вершины с.
На рис. IV. 5.1 изображен граф, в котором 3-блоки С\ и
Сз являются циклами, а С4 является 3-звенником.
Используя терминологию из разд. П. 5, можем сказать, что
вершины b и с разделяются концами ребра Л/. Следовательно,
в графе Ga существует не более двух внутренне
непересекающихся цепей с концами Ь и с (см. теорему 11.35). С другой
стороны, на основании теорем II. 35 и III. 7 заключаем, что
хотя бы одна пара таких внутренне непересекающихся цепей
найдется.
Теорема IV. 47. Если граф Ga не является трехсвязным, то
в нем наибольшее число внутренне непересекающихся цепей,
соединяющих вершины Ь и с, равно 2.
Пожалуй, следует отметить явно, что в силу теоремы IV. 1
в графе GA не существует ребра, соединяющего вершины Ъ и с.
Пусть Fx и F2 —-две внутренне непересекающиеся цепи
графа Ga, соединяющие вершины Ь и с. Их объединение есть
цикл F. Назовем его А-костяком графа G. Цепи F\ и F2 будем
называть краями этого костяка. Очевидно, что у каждого
виртуального ребра Ai один конец лежит в F\, а другой — в F2.
Если Л-костяк F уже имеется, то мы можем так выбрать
обозначения, чтобы конец a(i, j) лежал в Fj (/ = 1, 2).
Поперечиной костяка F называется цепь графа G'A,
уклоняющаяся от F и такая, что один ее конец лежит в Fu но не
принадлежит F2, а другой содержится в F2, но не входит
в F\. Назовем Л-костяк F дважды пересеченным, если он имеет
две непересекающиеся поперечины.
Виртуальное ребро Аь соответствует такому расслоению
(V'., W\) графа G'A> в котором U. есть объединение сегментов J\
для k^if a Mt — объединение сегментов Jk для k > /. Из двух
ответвлений цепи Ff в вершине a(i, j) одно является цепью
в Ut с концами Ь и а(/, у), а другое —цепью ъ Wь z концами

IV. 5. Удаление и стягивание ребер 143
a(i, j) и с (см. разд. III. 4). Ни одно из этих ответвлений не
содержит другого конца ребра At.
Предположим, что l^.i<n. Может случиться, что a(i, /) =
= а (/ + 1, /) для некоторого /. Тогда ответвление цепи Fj
в вершине a(i, j) содержится в Wi+\. Значит, пересечение
графов Jt и Ff будет графом-вершиной, определяемым вершиной
а (/, /). В таком случае будем говорить, что Jt ущемляется на Fj.
На рис. IV. 5.1 в качестве костяка F можно взять внешнюю
границу графа G'A; F{ будет верхней цепью, a F2 — нижней.
Тогда С4 ущемляется на обеих цепях F{ и F2* Для оконечных
3-блоков Сх иСп+{ такое положение дел невозможно, поскольку
вершины Ь и с не инцидентны ни одному виртуальному ребру
графа G'A. Предположим теперь, что вершины а(/, /) и a(i + 1, /)
не совпадают. Пересечение Jt с Fj представляет собой цепь
L(/, /) с концами а(/, /) и а(/ + 1, /). В этом можно
удостовериться, взяв сначала ответвление L цепи Fj в вершине а(/, /),
лежащее в графе Wh а затем ответвление графа L в вершине
а(/ + 1, /), не содержащееся в Wi+i. Сформулированное сейчас
утверждение распространяется и на случаи, когда / = 0 или
i = n. В самом деле, пересечение графов J{ и Fj является
ответвлением цепи Fy в вершине а(1, /), включающим вершину 6,
а пересечение графов Jn+\ и Fj представляет собой
ответвление цепи Fj в вершине а (п> /), содержащее вершину с. В
каждом из рассмотренных случаев пересечение графов Jt и Fj
будем обозначать символом F(i9 j) и называть бордюром
сегмента Jt в (или относительно) цепи Fj. Заметим, что в силу
теоремы 1.26 цепь Fj является объединением бордюров /г -+- 1
сегментов графа GfA, причем бордюры берутся относительно
цепи Fj.
Теорема IV.48. Если С\ — цикл, то он является 3-циклом и,
два его ребра, инцидентные вершине Ь> образуют с ребром А
триаду в графе G.
Доказательство. Если С\ имеет вершину, отличную от Ь,
я(1> 1) и а (1,2), то она должна быть в G двухвалентной
вершиной. Это противоречит теореме IV. 3. Остается учесть еще,
что вершина Ь не инцидентна ребру А\. □
Дополним теорему IV. 48 следующим простым
утверждением.
Теорема IV. 49. 'Если в цепи Fj только два ребра, то они
с ребром А образуют в графе G треугольник.

144 Гл. IV. Трехсвязность
Нетрудно видеть, что цепь Fj должна иметь ребро в ]\ и
ребро в Jn+\. Если в ней только два ребра, то все другие
сегменты ущемляются на Fj. Значит, их бордюры в цепи Fj
совпадают с единственной внутренней вершиной этой цепи.
Теорема IV. 50. Пусть L есть 2-цепь в графе G'A с концами Ь
и с. Тогда в графе G существует А-костяк, у которого один из
краев совпадает с L.
Доказательство. Рассмотрим произвольный Л-костяк F
графа G, имеющий края F\ и F2. Мы можем выбрать
обозначения так, чтобы край F\ не содержал внутреннюю вершину цепи
L. Тогда F\ и L внутренне не пересекаются и образуют
требуемый Л-костяк. □
Теорема IV. 51. Если С,- не является циклом, то Jt содержит
поперечину некоторого А-костяка F графа G.
Доказательство. Пусть Ht — объединение бордюров сегмента
h в цепях F\ и F2. Граф /// не может совпадать с /;, так как
иначе 3-блок Сь был бы циклом. Значит, в Л существует
Яг-мост.
В сегменте /, найдется #,-мост В9 содержащий вершины р
и q9 удовлетворяющие следующему условию: вершина р
является соединяющей в F(i9 1), но не в F(i9 2), а вершина q
соединяющая в F(i92)9 но не в F(i, 1). Если бы такого моста не
существовало, то объединение одного из бордюров F(i9 1) или
F(i92) с теми мостами, все соединяющие вершины которых
принадлежат этому бордюру, было бы членом некоторого 1-
или 2-разделения графа G. Применяя теорему 1.56, получаем,
что нужная поперечина расположена в мосте В и ее концами
являются вершины р и q. □
Теорема IV. 52. Пусть граф G'A не является трехсвязным.
Если F есть А-костяк графа G с краями F{ и F2, причем F2
является 2-цепью с ребрами X и F, то либо ребро А
принадлежит триаде графа G, либо граф G'x трехсвязен.
Доказательство. Предположим, что ребро Л не содержится
в триаде графа G. Тогда в силу теоремы IV. 48 ни С\9 ни C„+i
не являются циклами. Пусть х — внутренняя вершина цепи F2.
Мы можем выбрать обозначения так (обратив, если нужно,
нумерации), чтобы ребро X было инцидентно вершине Ь (см.
рис. IV. 5.2).
Так как 3-блок Сх не является ни циклом, ни многозвен-
ником, то (см. разд. IV. 3) он является трехсвязным графом
и имеет не менее шести ребер. Значит, граф (С{)'х, подобно
графу G'A9 двусвязен. Применяя теоремы 11.35 и III. 7, полу-

IV. 5. Удаление и стягивание ребер 145
Рис. IV. 5.2.
чаем, что в графе {Сх)'х существуют две внутренне
непересекающиеся цепи Nx и N2 с концами b и х. Но вершины b и х
соединяются в графе G еще и 2-цепью Л/"3, состоящей из
ребер Y и А. Поэтому, если ни Nv ни N2 не содержат ребро Л.,
то Nv N2 и Nz являются внутренне непересекающимися
цепями в G'x с концами b и с. Следовательно, Gx — трехсвязный
граф (см. теорему IV. 47).
В оставшемся случае мы можем предположить, что ребро Ах
принадлежит цепи N2 (как показано на рис. IV. 5.2).
Используя теорему IV. 51, заключаем, что поперечина Т костяка F
лежит в сегменте Jn+\. Одним концом поперечины Т должна
быть вершина х9 а другим — вершина и из бордюра F(n-\- 1, 1),
отличная от вершины с. Если и есть а(1, 1), то берем в
качестве графа S граф-вершину, соответствующий вершине а(1, 1).
В противном случае рассматриваем ответвление L цепи F
в вершине а(1,1), включающее вершину с> и полагаем S
равным ответвлению графа L в вершине иу содержащему
вершину а(1, 1) (и, значит, не содержащему с). В каждом из этих
двух случаев объединение графов S, Т и графа,
получающегося из N'2 после удаления ребра Av является цепью N2
в графе G'x, соединяющей вершины b и х. Цепи N{9 N2 и N3
в графе Gx внутренне не пересекаются. Значит, в силу
теоремы IV. 47 граф Gx трехсвязен. □
Теперь обратим внимание на тот случай, когда 2-разделе-
ние есть у графа G"A, но может отсутствовать у графа G'A.
Теорема IV. 53. Пусть А — ребро графа G, и пусть граф GA
не является трехсвязным. Тогда граф G'A есть объединение двух

146 Гл. IV. Трехсвязность
реберно непересекающихся связных подграфов Н и К, имеющих
ровно три общие вершины, причем две из них — концы b и с
ребра А в графе G.
Доказательство. В силу теоремы IV. 8 у графа G"A
существует 2-разделение (Р, Q). Следовательно, граф G есть
объединение двух подграфов fAP и fAQ, у которых А — единственное
общее ребро. Их общие вершины соответствуют подвескам
из (Я, Q). Значит, число общих вершин у fAP и fAQ не больше 3,
причем если таких вершин ровно три, то две из них являются
концами b и с ребра А.
Пусть H = (fAP)'A и K = (fAQ)'A. Графы Я и К реберно не
пересекаются, в каждом из них не меньше двух ребер, и граф
Я\)К есть G'A> Поскольку граф G трехсвязен, то всякая
компонента любого из графов Я и /С, содержащая хотя бы одно
ребро, должна иметь в графе G не менее двух соединяющих
вершин, а всякая компонента с более чем одним ребром — не
менее трех таких вершин. Следовательно, графы Я и К
связные и у них ровно три общие вершины 6, с и d, причем b и с
являются концами ребра А в графе G. □
Теорема IV. 54. Предположим, что ни один из графов GA
и GA не является трехсвязным и что ребро А не содержится ни
в каком треугольнике графа G. Если графы Я и К такие же,
как в теореме IV. 53, и общими вершинами у них являются
вершины bt с и d, то не существует А-костяка графа G,
содержащегося в Я или К. Кроме того, в G есть А-костяк F, не со-
держащий вершину d и такой, что один из его краев —
обозначим его F\ — лежит в Я, а второй (Т^) лежит в К. Этот
А-костяк не является дважды пересеченным.
Доказательство. Из теоремы I. 43 следует, что в Я найдется
цепь с концами b и с. Предположим, что все такие цепи
содержат вершину d. Тогда d есть точка сочленения 1-разделения
(ЯЬЯ2) графа Я (ибо, удаляя d из Я вместе с инцидентными
ей ребрами, мы получим граф, у которого вершины Ь я с
принадлежат разным компонентам). Значит, у каждого из
подграфов Hi и Н2 только по две соединяющие вершины в графе G —
у одного b и d, а у другого end. Принимая во внимание
связность графа Я и трехсвязность графа G, заключаем, что
каждый из подграфов Н{ и Я2 является графом-звеном. Но тогда
они вместе с ребром А образуют в графе G треугольник. Это
противоречит условию доказываемой теоремы.
Итак, мы установили, что в графе Я имеется цепь F\ с
концами b и ct не содержащая вершину d. Подобная цепь
существует и в графе /С. Обозначим ее через Ft. Объединение

IV. 5. Удаление и стягивание ребер 147
цепей F\ и F2 есть искомый Л-костяк F. Применяя
теорему 11.34 к множествам ребер из F\ и, F2, получаем, что F не
является дважды пересеченным. (Так как (Я, К) —
разрезающая пара, то Я (G'A\ Р, Q) < 3.)
Для завершения доказательства достаточно установить, что
никакой Л-костяк графа G не содержится в Я. Предполагая
противное, видим, что два края такого костяка вместе с
указанной выше цепью F2 являются тремя внутренне
непересекающимися цепями в графе G'A, соединяющими вершины Ъ и с. Это
противоречит теореме IV. 47. □
Ребро Л трехсвязного графа G будем называть
существенным, если ни один из графов GA и GA не является трехсвяз*
ным.
Теорема IV. 55^ Если А — существенное ребро графа G, то
оно принадлежит либо некоторому его треугольнику, либо
некоторой его триаде.
Доказательство. Предположим, что Л не содержится ни в
каком треугольнике графа G. Пусть графы Я, К и F такие же,
как в теоремах IV. 53 и IV. 54. Тогда вершина d не инцидентна
никакому виртуальному ребру графа GA. Следовательно, d
принадлежит только одному какому-то сегменту Ji (см.
конструкцию, описанную в разд. IV. 3, или теорему IV. 30). Мы можем
выбрать обозначения так (обратив, если нужно, нумерации),
что указанный сегмент Л будет отличен от J\. Но тогда у
графов J\[\H и J\ П К общей вершиной будет только 6, а значит,
/i не может содержать поперечину костяка F. Таким образом,
Сх является циклом (см. теорему IV. 51) и ребро Л
принадлежит некоторой триаде графа G (см. теорему IV. 48). □
Теорема IV. 56. Пусть А — существенное ребро графа G и
Ь — трехвалентная вершина в G, инцидентная в графе GA
ребрам X и Y. Тогда либо А принадлежит некоторому
треугольнику графа G, либо граф G"x трехсвязен.
Доказательство. Пусть графы Я, К и F такие же, как в
теоремах IV. 53 и IV. 54. Можно считать, что ребра X и Y
принадлежат соответственно F\ и F% Пусть х и у — концы ребер X и
У соответственно, отличные от Ь. Предположим, что ребро Л не
содержится ни в каком треугольнике графа G и что граф G"x
не является трехсвязным.
Удалив из Fx и F2 вершину Ь и ребра 1и F, мы получим
соответственно цепи Lx и L2. Цепь Lx соединяет вершины хис,
а цепь L2 — вершины у и с. Удаляя 6, X и Y из G'A, получаем

148 Гл. IV. Трехсвязность
Рис. IV. 5.3.
граф Gb, содержащий Lx и L2. В силу теорем IV.45 и IV. 51
существует сегмент Jh в котором лежит некоторая поперечина
костяка F, принадлежащая графу Gb. С другой стороны, на
основании теоремы IV. 54 в F не может быть двух
непересекающихся поперечин. Применяя теорему 11.34 к множествам
ребер цепей Lx и L2 в Gb, заключаем, что граф Gb является
объединением двух реберно непересекающихся подграфов Н'
и К', таких, что Lx s Н\ L2 ^ К' и у Н' и К кроме вершины с
есть еще только одна общая вершина t (см. рис. IV. 5.3).
Рассмотрим граф G'x. В силу теоремы IV. 3 он не трехсвя-
зен. Но тогда (см. теорему IV. 54) в графе G существует
Х-костяк Vу не являющийся дважды пересеченным. Пусть V\
и V2 — края костяка У, причем ребро А лежит в V\, а ребро
У—в V2. Ответвление R цепи V{ в вершине с, содержащее
вершину х, должно быть подграфом графа #' (ибо #' имеет
только две соединяющие вершины t и с в графе G^-), и, кроме
того, вершина t должна принадлежать цепи V2. Аналогично
ответвление S цепи V2 в вершине t9 содержащее вершину х,
должно быть подграфом графа Н'.
С помощью рассуждений, подобных проведенным в
теореме IV. 51, мы сейчас покажем, что костяк V имеет в графе Н'
поперечину 7\, не проходящую через вершину с. Предположим
сначала, что R[}S = Н'. Тогда R есть 1-цепь (так как иначе
в графе G нашлась бы двухвалентная вершина, что
противоречит теореме IV. 3). Следовательно, ребро А принадлежит
некоторому треугольнику графа G. Пришли к противоречию с
сделанным выше предположением. В оставшемся случае в гра-

IV. 6. Теорема о колесе 149
фе ЯА есть хотя бы один (/?|J5)-moct. У графа G не может
быть 2-разделения<лишь в том случае, когда в графе Н'
существует (/?U5)-moct В, у которого не все соединяющие вершины
лежат в R и не все они принадлежат 5. Если одна из
соединяющих вершин моста В будет внутренней вершиной графа
Ry то требуемая поперечина Т\ найдется (см. теорему 1.56).
Предположим теперь, что не существует такого моста В, у
которого имелась бы соединяющая вершина в /?, отличная от
вершин х и с. Тогда, поскольку G не может быть 1-цепью,
объединение R со всеми теми (R [) S)-мостами в графе Я', у
которых все соединяющие вершины лежат в /?, будет одним из
членов некоторого 2-разделения графа G с подвесками х и с. Но
это невозможно.
Далее, в графе К' существует цепь, не пересекающаяся с Гь
у которой один конец лежит в Уь но не принадлежит V2, а
другой конец находится в У2, но не содержится в V\. Такой
цепью является, например, L2. Кратчайшая из цепей,
удовлетворяющих этим условиям, есть поперечина Т2 костяка V.
Действительно, если бы некоторая внутренняя вершина и из Т2
принадлежала У, то мы могли бы заменить цепь Г2 одним из
ее ответвлений в вершине и, так как и отлична от вершин b
и х (общих вершин цепей VY и У2). Итак, мы показали, что
костяк V является дважды пересеченным. Это противоречит
тому, что было установлено выше. □
В следующем разделе полученные нами сейчас результаты
будут применены к таким графам, у которых все ребра
существенные.
IV. 6. Теорема о колесе
Пусть G — трехсвязный граф, содержащий не менее шести
ребер.
Теорема IV. 57. Для того чтобы каждое ребро графа G было
существенным, необходимо и достаточно выполнения
следующего условия: каждое ребро графа G принадлежит
одновременно и некоторому треугольнику графа G, и некоторой его
триаде.
Доказательство. Достаточность следует из теоремы IV. 46.
Для доказательства необходимости предположим, что каждое
ребро существенное. Тогда, применяя теорему IV. 55,
заключаем, что каждое ребро содержится либо в каком-нибудь
треугольнике графа G, либо в какой-то его триаде. Далее,
всякое ребро, принадлежащее некоторому треугольнику, находится

150 Гл. IV. Трехсвязность
о, также и в некоторой триаде
(в силу теоремы IV. 52) и
любое ребро, содержащееся в
какой-нибудь триаде,
принадлежит и некоторому
треугольнику (в силу
теоремы IV.56). □
Теорема IV. 58 (теорема о
Рис. IV.6.1. колесе). Для того чтобы
каждое ребро графа было
существенным, необходимо и достаточно, чтобы он был колесом не
ниже третьего порядка.
Доказательство. Достаточность следует из теоремы IV. 57.
Для доказательства необходимости предположим, что каждое
ребро существенное, и применим теорему IV. 57. Сначала
заметим, что G имеет 3-цикл С и что каждое ребро из С инцидентно
некоторой трехвалентной вершине. Обозначим вершины цикла
С через /i, а\ и а2, причем будем считать, что а\ и а2—
трехвалентные вершины в G. Ребро, соединяющее вершины h и аи
обозначим через 5ь соединяющее h с а2— через 52 и
соединяющее а\ с а2— через А\. Так как по предположению
вершина а2 трехвалентна, то она инцидентна еще третьему ребру
Л2. Пусть а3— другой конец ребра Л2. Поскольку в графе G
нет ни петель, ни кратных ребер, то вершина а3 отлична от
вершин аь а2 и h. Далее, так как ребро Л2 принадлежит
треугольнику, то существует ребро S3, соединяющее вершину а3
с вершиной h или а\ (см. рис. IV. 6.1).
Пусть подграф Н будет ограничением графа G на множество
ребер {Ль Л2, 5ь 52, 53}. Если ребро S3 инцидентно вершине аь
то у подграфа Н будут только две соединяющие вершины а3 и
h. Тогда в силу трехсвязности графа G подграф Яс, т. е.
расширенное дополнение графа Я, должен быть графом-звеном.
Отсюда следует, что G есть 4-клика, т. е. колесо порядка 3.
Теперь можем предположить, что ребро 53 соединяет вершины
а3 и h. Если h — трехвалентная вершина в G, то применимы
рассуждения, приведенные выше; соединяющими вершинами у
подграфа Н будут а\ и а3. Предположим теперь, что
val(G,A)>4.
Мы можем утверждать, что в графе G существуют цепь
L и не принадлежащая ей вершина /i, удовлетворяющие
следующим условиям:
(i) в L не менее двух ребер,
(И) каждая внутренняя вершина цепи L трехвалентна в G,
(iii) каждая вершина цепи L смежна с h в графе G,
(iv) val(G,A)>4.

IV. 6. Теорема о колесе 151
Рис. IV. 6.2.
Такие L и h мы уже построили. Цепь L у нас является 2-цепью
с ребрами А\ и Л2- Однако может оказаться, что указанным
четырем условиям удовлетворяют цепи большей длины. Выберем
такие L и Л, удовлетворяющие перечисленным условиям, чтобы
цепь L содержала максимально возможное число ребер.
Последовательности вершин и ребер цепи L будем
записывать в виде (audi, ..., ап) и (А\, А2, ..., Ап-\), п^З. Пусть
5/ —ребро графа G, соединяющее вершины h и ау- (1 ^/^/г),
— см. рис. IV. 6.2.
Поскольку Sn — триада, то вершина ап должна быть
трехвалентной. Значит, ап соединяется новым ребром Ап с некоторой
вершиной ап+\ графа G, отличной от вершин ап-\ и h.
Предположим, что ап+1 не содержится в L. Так как ребро Ап
принадлежит какому-нибудь треугольнику в G, то найдется ребро
Sn+i графа G, соединяющее вершину ап+\ либо с ап-и либо с h.
Но в силу трехвалентности вершины ап-\ ребро Sn+\ не
инцидентно ей. Следовательно, оно соединяет вершины ап+\ и h. Это
означает, что мы можем заменить L более длинной цепью,
добавив ребро Ап и вершину ап+\9 и новая цепь будет
удовлетворять всем четырем указанным выше условиям. Мы пришли
к противоречию с максимальностью цепи L. Значит, вершина
ап+\ должна принадлежать L. Но ребро Ап не может быть
инцидентно никакой внутренней вершине в L согласно условию
(и). Следовательно, вершины ап+\ и а\ совпадают. Далее, так
как ребро Si принадлежит некоторой триаде, то вершина а\
трехвалентна в G, т. е. она инцидентна только ребрам Si,
Ах и Ап.
Ребра А; и S/, 1 ^ / ^ п, вместе с инцидентными им
вершинами образуют колесо порядка п\ оно является подграфом
графа G, который не имеет соединяющих вершин, отличных от h.
Так как граф G трехсвязный, то указанное колесо должно
совпадать с ним. □

152 Гл. IV. Трехсвязность
В связи с теоремой о колесе напомним, что все колеса не
ниже третьего порядка являются трехсвязными графами (см.
теорему IV. 17).
Применяя теорему о колесе, заключаем, что всякий трехсвяз-
ный граф, имеющий не менее шести ребер и не являющийся
колесом, можно получить из некоторого трехсвязного графа,
содержащего на одно ребро меньше, либо с помощью операции
присоединения звена, либо используя операцию расщепления
вершины (см. разд. IV. 2, теоремы IV. 11 и IV. 14). Этот
результат может оказаться полезным при построении каталогов трех-
связных графов. И он действительно был весьма успешно
применен в случае планарных графов [2].
Начиная строить каталог трехсвязных графов, следует иметь
в виду, что в силу теоремы IV. 4 трехсвязных графов с пятью
ребрами не существует. Единственным трехсвязным графом
с шестью ребрами является колесо порядка 3, называемое также
4-кликой. Поскольку к колесу W$ невозможно применить ни
операцию присоединения ребра, ни операцию расщепления
вершины (без дублирования ребер) — см. теоремы IV. 11 и IV. 14,—
то мы приходим к выводу, что трехсвязных графов с семью
ребрами нет, а с восемью имеется только один — колесо порядка 4.
Далее нетрудно выявить все трехсвязиые графы с 9 ребрами
(их ровно три). Один из них является графом треугольной 2-пи-
рамиды; он получается из колеса №4 с помощью операции
присоединения звена. Два других графа — граф Томсена и граф
треугольной призмы — строятся из W* путем расщепления его
втулки. Главная трудность при построении каталога состоит в
обнаружении изоморфных графов.
IV. 7. Замечания
IV. 7.1. Трехсвязность и планарность
В теории планарных графов связность x(G) представляет
интерес как инвариант преобразования двойственности (см.
теорему XI. 1). Все шесть непустых графов с бесконечной связностью
являются планарными. Используя теорему XI. 4, можно
показать, что всякий другой планарный граф имеет связность, не
превосходящую 3. Теорема Стейница утверждает, что планар-
ные графы связности 3 совпадают с точностью до изоморфизма
с графами выпуклых многогранников [1].
IV. 7.2. 2-изоморфизм
Два неизоморфных графа могут иметь одинаковые
множества 3-блоков. В терминологии Уитни такие графы называются
2-изоморфными [5].

Литература 153
Упражнения
1. Чему равна связность графа октаэдра?
2. Граф G имеет такое 2-разбиение ([/, У), что каждая
вершина из U соединена ровно одним ребром с каждой вершиной
из V. Найти связность, вершинную связность и циклическую
связность графа G для случаев, когда 4 ^ | U\ ^ | V |.
3. Используя операции, введенные в разд. IV. 2, показать,
что графы куба и додекаэдра являются трехсвязными.
4. Каково множество 3-блоков у тэта-графа? (Определение
дано перед теоремой XI. 32.)
5. Пусть граф G такой же, как ё упр. 2, и | U\ = 2, а | V | = 3.
Найти 3-блоки и расслоения графа G.
6. Дать описание висячих вершин дерева Blk3(G) на языке
строения графа G.
7. Показать, как можно преобразовать граф куба в колесо,
используя только такие удаления и стягивания ребер, которые
сохраняют трехсвязность.
Литература
[1] Barnette D. W., Grunbaum В. On Steinitz' Theorem concerning convex
3-polytopes and on some properties of planar graphs. — In: The many
facets of graph theory. — Berlin: Springer, 1969, 27—40.
[2] Duijvertijn A. J. W. Thesis, Eindthoven. — Philips Res. Reports 17 (1962),
523—613.
[3] Tutte W. T. A theory of 3-connected graphs. — Konink. Nederl. Akad.
van W. Proc. 64 (1961), 441—455.
[4] Tutte W. T. Connectivity in graphs. Ch. 11. — Toronto, Univ. of Toronto
Press, 1966.
[5] Whitney H*. 2-isomorphic graphs. — Amer. J. Math. 55 (1933), 245—254.

Глава V
ВОССТАНОВЛЕНИЕ
V. 1. Проблема восстановления
Существует немало глубоких и трудных проблем, связанных
с изоморфизмом графов, и наиболее известная из них —
проблема восстановления.
Пусть вершины графа G занумерованы следующим образом:
v\, V2, ..., Vk> Через G/ обозначим граф, получающийся из G
после удаления вершины vj и инцидентных ей ребер. Все k
подграфов Gj графа G будем называть примарными.
С\ (гипотеза о восстановлении). Если заданы классы
изоморфизма всех k примарных подграфов графа G, то при k ^ 3
класс изоморфизма графа G определяется однозначно.
Допускается и такая ситуация, когда среди графов G/
имеются изоморфные. В гипотезе предполагается, что каждый класс
изоморфизма задается вместе со своей кратностью
(указывающей число примарных подграфов G/, соответствующих этому
классу изоморфизма). К моменту написания данной книги
гипотеза о восстановлении оставалась недоказанной.
Ограничение на k (что k должно быть не меньше 3)
обосновывается легко. Если k= 1, то единственным примарным
подграфом графа G будет пустой граф, который не несет никакой
информации о числе петель в графе G. Если k = 2, то в каждом
из двух примарных подграфов графа G содержится только по
одной вершине, а потому нам ничего не известно о числе звеньев
в графе G. Таким образом, действительно нужно предположить,
что |K(G)|>3.
Если некоторое свойство или характеристику графа G можно
выявить, рассматривая классы изоморфизма всех его
примарных подграфов G/, то оно (она) называется восстанавливаемым
(восстанавливаемой), а графы, обладающие этим свойством или
характеристикой, называются распознаваемыми. Примером
восстанавливаемой характеристики является число вершин в графе.
Это число на единицу больше числа вершин в каждом примар-
ном подграфе данного графа и совпадает с числом заданных
классов изоморфизма.
Через a(G) и p(G) обозначим соответственно число петель
и число звеньев графа G.

V. 1. Проблема восстановления 155
Теорема V. 1. Числа a(G) и f$(G) являются
восстанавливаемыми характеристиками графа G.
Доказательство. Каждая петля графа G содержится ровно
в k—1 подграфах G/, а каждое звеко — ровно в k — 2
подграфах. Следовательно,
(ft-l)a(G)=Ia(G;), (V. 1.1)
(£-2)f>(G)=EP(G/). (V.1.2)
Нет ничего странного в том, что о вершине Vj графа G мы
говорим как о чем-то известном. Ведь это вершина,
соответствующая /-му из имеющихся у нас классов изоморфизма. □
Через ay(G) и P/(G) обозначим соответственно число петель
и число звеньев графа G, инцидентных вершине Vj.
Теорема V.2. Числа ay(G) и P/(G) являются
восстанавливаемыми характеристиками графа G. Следовательно, val(G, Vj) —
восстанавливаемая характеристика.
Доказательство. Так как ау (G) = а (G) — а (G/) и ру (G) =
= Р (G) — р (Gy), то val (G, vj) = 2ау (G) + ру (G) — см. теорему V. 1
и разд. 1.1. □
Следствие V. 3. Однородные графы распознаваемы.
Пусть M(G) — наибольшая, a m(G) — наименьшая из
валентностей вершин графа G. Оба этих числа восстанавливаемы (см.
теорему V. 2).
Дополним теорему V. 2 следующим очевидным
предложением.
Предложение V. 4. Пусть Hj — элемент из класса
изоморфизма графа Giy а 0 — изоморфизм {(неизвестный) графа Нt на
граф G/. Пусть х — произвольная вершина из Ht и rf (х) — число
звеньев графа G, соединяющих Qx с vf. Тогда
M(G)-va}(HJy х) > rj(x)^m{G)- val (Яу, х). (V. 1.3)
Граф G называется восстанавливаемым, если
восстанавливаем его класс изоморфизма, т. е. если этот класс удовлетворяет
гипотезе о восстановлении.
Теорема V. 5. Если G — однородный граф, то он
восстанавливаем.
Доказательство. Пусть граф Я/ такой же, как в
предложении V. 4. В силу теоремы V. 2 и следствия V. 3 граф G распоз-

156 Гл. V. Восстановление
наваем как однородный граф и валентность его вершин val(G)
легко определяется. Так как M(G) и m(G) равны val(G), то,
используя соотношения (V. 1.3), находим rj(x). Далее, граф G',
изоморфный графу G, строится из Н\ путем добавления новой
вершины w9 соединения ее с каждой вершиной х из Н\ ровно
г\(х) новыми звеньями и проведением в этой вершине a\(G)
петель. □
Теорема V. 6. Числа Po(G) и P\(G) восстанавливаемы.
Доказательство. Предположим, что, используя теоремы V. 1
и V. 2, мы установили для некоторого / справедливость
равенства (3(G) = P(G/). Тогда некоторая компонента графа G
должна состоять из вершины v-} и всех инцидентных ей петель, а все
другие компоненты должны совпадать с соответствующими
компонентами графа G/. Следовательно, в этом случае po(G)
находится из формулы
Po(G) = Po(G/)+l. (V. 1.4)
В оставшемся случае, каковы бы ни были подграф Gy- и
компонента графа G, у них существует общая вершина.
Пусть Gj — некоторая компонента, содержащая вершину vjy и
Н) — граф, получаемый из Су- после удаления всех петель.
Очевидно, что Hj — связный граф и что р0 (G) ^ р0 (Gj), причем
равенство имеет место тогда и только тогда, когда Vj не
является точкой сочленения графа Н,-.
Если граф Йу разделим, то у него найдется концевой блок В.
Этот блок содержит не менее двух вершин, и только одна из
его вершин является точкой сочленения в Hf (см.
теоремы III. 16 и III. 24). Значит, в каждом из возможных
случаев у графа Нj есть вершина, отличная от точки сочленения.
Таким образом, p0{G) определяется из соотношения
p0(G) = minpo(Gy). (V. 1.5)
Восстанавливаемость числа p\{G) следует теперь из
соотношения (1.6.1) и рассмотрений, проведенных в настоящем
разделе. □
Так как дерево можно характеризовать как граф, у которого
p0(G)= 1 и p\(G) = 0, то мы получаем
Следствие V. 7. Деревья распознаваемы.
Теорема V. 8. Двусвязные графы распознаваемы.

V. 2. Теория и практика 157
Доказательство. Распознаваемость связных графов следует
из теоремы V. 6. Мы можем выяснить также, есть ли у графа G
петли (см. теорему V. 1). Если петли имеются, то граф,
естественно, будет разделимым. Поэтому можно считать, что граф G
является связным и не содержит петель. Если бы у G
существовала точка сочленения, то хотя бы один из графов G/ был
несвязным. Однако, если G — двусвязный граф, то в силу
теоремы IV. 9 каждый подграф G/ связен. □
Приведенную последовательность теорем можно было бы
продолжить. Мы могли бы доказать, например, что трехсвязные
графы распознаваемы (такие графы двусв^зны и ни один из
подграфов G/ у них не имеет ни 2-цикла, ни 1-разделения). Мы
могли бы, пополнив рассуждения, приведенные в теореме V. 6,
показать, что несвязные графы тоже восстанавливаемы. В
теореме П. Дж. Келли утверждается восстанавливаемость деревьев;
существует также несколько более поздних вариантов этого
результата [1, 3].
В следующих разделах будут установлены теоремы,
касающиеся графов общего вида. Заметим, однако, что одна из них
влечет за собой в частном случае восстанавливаемость
несвязных графов.
V.2. Теория и практика
В теории восстановления существуют, пожалуй, две
основные задачи. Первая из них — это, естественно, теоретическое
обоснование гипотезы о восстановлении, а вторая — поиски
хорошего алгоритма, позволяющего по заданным классам
изоморфизма либо находить граф (или графы), примарные подграфы
которого (или которых) лежат в этих классах, либо
устанавливать несуществование таких графов. Следуя Дж. Эдмондсу, мы
можем условиться считать хорошими такие алгоритмы,
сложность которых, измеряемая требуемым для их реализации
машинным временем, растет как полином от числа вершин, но не
как экспонента или что-нибудь еще более быстро растущее.
Таким образом, например, программа, требующая просмотра всех
графов с заданным числом вершин, может быть, и не длинна,
и не сложна, но хорошей не является.
Приводимый ниже алгоритм нахождения компоненты графа
G, содержащей заданную вершину v, следует признать
хорошим. Записываем сначала вершину v> затем множество Si всех
вершин, смежных с v, затем множество S2 всех тех еще не
рассмотренных вершин, которые смежны с вершинами из Si, и т. д.
до тех пор, пока не придем к пустому множеству Sn\ на этом
шаге процесс заканчивается. Порожденный подграф Н графа G,

158 Гл. V. Восстановление
определяемый выписанными вершинами, является, очевидно,
обособленным подграфом в G. Значит, в силу теоремы 1.25
подграф Я связен и, следовательно, является искомой компонентой
графа G по теореме 1.23.
Алгоритм нахождения компонент можно использовать для
построения Я-мостов графа G, применяя метод, описанный в
теоремах 1.49, 1.50 и 1.51. Точки сочленения и 1-разделения
графа G можно найти путем выявления мостов,
соответствующих графам-вершинам, содержащимся в G (см. разд. III. 4).
Следовательно, мы можем выяснить, является ли граф G дву-
связным. Если он двусвязен, то можно получить его 2-разделе-
ния, рассматривая мосты относительно таких его подграфов,
у которых нет ребер и только по две вершины. Таким образом,
мы можем узнать, является ли граф G трехсвязным. Если он
не трехсвязем, то список его 2-разделений позволяет разложить
его на 3-блоки (используя методы из разд. IV. 3).
Восстановление связано с рассмотрением классов
изоморфизма. Занимаясь задачами восстановления, мы неизбежно
приходим к проблеме изоморфизма, состоящей в выяснении того,
изоморфны или нет два заданных графа. Автор не очень сведущ
в алгоритмической тематике, но он знает, что хорошего
алгоритма для проблемы изоморфизма пока неизвестно, и
предполагает, что такого алгоритма вообще не существует.
Это, однако, не означает, что проблема изоморфизма
обязательно сложна и в частных случаях. Для заданных двух
графов G и Я обычно бывает возможно разбить множества их
вершин на более мелкие подмножества таким образом, чтобы
любой изоморфизм графа G на граф Я отображал каждое из
полученных подмножеств множества V(G) на соответствующее
подмножество множества V(Я). Мы можем предполагать,
естественно, что | V(G) | = | V(H) |. Сначала разбиваем V{G) и
V{H) в соответствии с валентностями вершин. Имея такие
разбиения, можно осуществить более тонкое подразбиение,
например, классифицируя вершины произвольного подмножества в
соответствии с числом вершин, смежных с ними и содержащимися
в других подмножествах. Читатель может найти, без сомнения,
и другие схемы разбиения. Мы надеемся, что с помощью таких
разбиений проблему изоморфизма в каждом конкретном случае
можно свести к задаче приемлемых размеров или даже сделать
ее вполне тривиальной.
Сложные случаи проблемы изоморфизма возникают,
по-видимому, тогда, когда число различных валентностей чрезвычайно
мало, в частности, если граф G однородный. В то же время,
как следует из теоремы V. 5, задача восстановления для
однородных графов является тривиальной. Оптимист может
ухватиться за этот факт, отстаивая мнение о существовании хоро-

V. 3. Лемма Келли 159
шего алгоритма восстановления: возможно, что всякий раз,
когда проблема изоморфизма становится сложной, ее удается
обойти.
По крайней мере существует возможность дать алгоритм
восстановления, который будет работать в тех ситуациях, когда
возникающая проблема изоморфизма может быть решена.
Задаются графы #i и Я2, изоморфные соответственно графам G\
и G2. Для применения алгоритма нужно найти все изоморфизмы
примарного подграфа Н\ на примарный подграф графа Я2.
Каждый из них указывает способ, как могут перекрываться
подграфы G\ и G<i в графе G и, тем самым, устанавливает
возможное строение графа G. Полученные выводы должны учитываться
при рассмотрении других графов G/. Как бы оптимист ни
хвалил этот алгоритм, но никакого ключа к обоснованию гипотезы
о восстановлении в этой процедуре не предлагается.
Изложенные рассуждения показывают, что на современном
этапе поисков доказательства гипотезы о восстановлении нет
также оснований рассчитывать, что такое доказательство даст,
кроме того, хороший алгоритм. Поэтому в следующих разделах
будут рассмотрены такие свойства графов, которые являются
восстанавливаемыми, но, по всей вероятности, не выявляются
с помощью хороших алгоритмов.
V.3. Лемма Келли
Если Я и К — графы, то через у(НуК) будем обозначать
число подграфов графа Я, изоморфных графу /О Кажется
неправдоподобным существование хорошего алгоритма,
позволяющего находить число у. Однако с чисто теоретической точки
зрения мы вправе предположить, что это число известно, если
описаны классы изоморфизма графов Я и /С.
Теорема V. 9 (лемма Келли). Число у (G, К) является
восстанавливаемой характеристикой графа G, если граф К
удовлетворяет условию | V {К) I Ф I V (G) |.
Доказательство. Если у К вершин больше, чем у графа G,
то, очевидно, у (G, К) = 0. Следовательно, можно считать, что
\V(K)\<\V(G)\.
Подграф графа G, изоморфный графу ЛГ, встречается как
подграф ровно в | V (G) | — | V (К) I примарных подграфах Gy.
Значит, y(G, К) можно найти из формулы
(W(G)\-\V(K)\)y(G9 /C)=£y(G/, Ю- (V.3L1)

160 Гл. V. Восстановление
Теорему V. 1 можно толковать как частный случай леммы
Келли, а именно, случай, когда К есть граф-петля или граф-
звено.
Выясним, какую информацию можно получить в случае,
когда \V(K)\ = \V(G)\.
Рассмотрим набор
S = (HU Я2, ..., Hh\ (V.3.2)
состоящий из h (Л>1) графов Ht. Реализацией набора S
в графе К назовем такой набор (К\, ^2> •••> Кн) из h
подграфов графа К, что Hj^Kj для каждого у. Носителем этой
реализации является подграф графа /С, представляющий собой
объединение всех h подграфов /С/. Если / — произвольный
подграф из К, то через б(/, S) обозначим число реализаций
набора S в графе К с носителем /. Очевидно, что
П Y (G, #у) = Е Y (G, К) б (К, S), (V. 3.3)
где символ (К) означает, что суммирование ведется по полному
множеству попарно неизоморфных подграфов К графа G.
Справедливость этого соотношения обосновывается легко: в левой
и правой частях выписано общее число реализаций набора S
в графе G. □
Теорема V. 10. Пусть S — набор из двух или большего числа
графов, в каждом из которых вершин меньше, чем в G. Тогда
Zy(G,K)6(K,S)
(К)
восстанавливаема. Здесь суммирование ведется по полному
множеству попарно неизоморфных подграфов К графа G, таких, что
\V(K)\ = \V(G)\.
Это утверждение следует из соотношения (V.-3.3), ибо в силу
леммы Келли произведение, расположенное в левой части
формулы (V. 3.3), является восстанавливаемым, а значит, таким же
свойством обладает и вклад в сумму, стоящую справа, тех
графов К, для которых выполняется неравенство |V(/C)|<
<\V(G)\.
Рассмотрим некоторые частные случаи теоремы V. 10.
Сначала предположим, что йабор S удовлетворяет условию
Л\У(Н,)\ = \У(0)\.
/
Если К есть носитель реализации набора S в графе G,
имеющий | V (G) | вершин, то он может быть только несвязным
подграфом графа G, состоящим из h компонент К\, К%> •••> Kh>

V. 3. Лемма Келли 161
таких, что /С/ = Яу, /=1, 2, ..., h. Следовательно, класс
изоморфизма графа К определяется однозначно. Если подграфы Я у
вводятся как компоненты несвязного графа Я, то граф К
изоморфен Я. В сумме из теоремы V. 10 существует только один
ненулевой член у (G, К)?>{К, S). Кроме того, число б (/С, S)
можно подсчитать. Пусть Сь С2, ..., Ст — все классы
изоморфизма, соответствующие графам из набора S, и ct — число тех
графов из S (и компонент из /С), которые принадлежат Ct.
Тогда
т
&(K,S) = JI(Ci\). (V.3.4)
i = \
Таким образом, число y(Q,K) можно найти. Мы установили
следующее утверждение.
Теорема V. 11. Если Я — такой несвязный граф, что
\V(H)\ = \V(G)\, то число y(Gt Я) является
восстанавливаемой характеристикой графа G.
Теорема V. 12. Несвязные графы восстанавливаемы.
Доказательство. Если граф G несвязный, то, как следует из
теоремы V. 6, мы можем найти число компонент в нем и
распознать тем самым его несвязность. Взяв любой граф Я с таким
же числом ребер, вершин и компонент, как у графа G, мы
можем (в принципе) восстановить y{GyH). Если графы G и Я
изоморфны, то y(GyH)=\. В противном случае y(G,H)=0.
Значит, граф G восстанавливаем с помощью перебора всех таких
графов Я. П
Теорема V. 13. Теорема V. 10 остается справедливой и в том
случае, когда графы К предполагаются связными.
Доказательство. Вклад, вносимый в сумму, указаннную в
теореме V. 10, несвязными графами /С, является
восстанавливаемой характеристикой (см. теорему V. 11). □
Для дальнейших приложений теоремы V. 10 нам понадобится
следующее утверждение (оно является дополнением к теории,
изложенной в разд. III. 3).
Теорема V. 14. Пусть связный граф Я представим в виде
объединения h различных двусвязных подграфов Яь Я2, ...
..., Hhy каждый из которых содержит хотя бы одно ребро. При
этом условии подграфы Н} являются блоками графа Я тогда и
только тогда, когда
Е|К(Я/)| = |К(Я)| + Л-1. (V.3.5)

162 Гл. V. Восстановление
Доказательство. Если Я/ — блоки графа Я, то соотношение
(V. 3.5) следует из того факта, что граф В1к(Я) является
деревом (см. теоремы I. 37 и III. 23).
Обратно, предположим, что (V. 3.5) справедливо. Через Rj
обозначим объединение подграфов Я/, таких, что i ^ /.
Поскольку граф Я связен, то индексы у подграфов Яу можно
выбрать таким образом, чтобы при 1 ^ / < h подграф Я/+1 имел
хотя бы одну общую вершину с графом Rj. Тогда каждый из
графов Rj будет связным. Кроме того, из (V. 3.5) следует, что
Я/+1 и Rj имеют только одну общую вершину. Применяя
несколько раз теорему III. 22, получаем, что для каждого /
блоками графа Rj являются подграфы Яь Я2, ..., Я/. □
Предположим теперь, что в наборе S (см. (V. 3.2)) каждый
граф Я/ двусвязен и содержит меньше вершин, чем граф G.
Предположим далее, что графы Я/ удовлетворяют соотношению
(V. 3.5). Тогда, если К является связным носителем реализации
набора S в графе G, то он должен быть таким разделимым
графом, у которого блоки совпадают, с точностью до
изоморфизма, с графами из набора 5 (см. теорему V. 14). Формула
(V. 3.4) остается справедливой и для каждого такого графа К
дает одно и то же значение величины б(/С,5). Из теоремы V. 13
получаем, что 2 у (G, К), взятая по всем таким связным
графам /С, у которых блоки являются, с точностью до
изоморфизма, элементами набора 5, восстанавливаема. Иной путь
получения этого результата дает следующее утверждение.
Теорема V. 15. Число остовных связных подграфов К графа
G, любой из которых имеет в каждом классе изоморфизма
заданное число блоков, но не имеет остовных блоков, есть
восстанавливаемая характеристика графа G.
Если остовный связный подграф К графа G имеет остовный
блок, то всякий другой блок в К должен быть графом-петлей.
Требование отсутствия остовного блока исключает, в частности,
случай, когда К является двусвязным графом.
Теорема V. 16. Графы, не имеющие остовных блоков,
распознаваемы. Для каждого такого графа число блоков,
содержащихся в любом заданном классе изоморфизма, является
восстанавливаемой характеристикой.
Доказательство. Первая часть утверждения следует из
теорем V. 1 и V. 8. При доказательстве второй части можно
считать, что граф G связен (см. теорему V. 12) и что в нем нет
остовных блоков.
Рассмотрим какой-либо перечень U блоков графа G,
содержащий из каждого класса изоморфизма определенное число

V. 4. Реберное восстановление 16?
графов. Этот перечень нужен для нахождения числа ребер и
вершин в графе G. Из теоремы V. 15 вытекает, что число n(U)
связных остовных подграфов графа G с множеством блоков II
является восстанавливаемой характеристикой. Очевидно, что
n(U)= 1, если U есть-действительно перечень блоков графа G,
и n(U)=0 в ином случае. Таким образом, перечень блоков
графа G восстанавливаем. □
Теорема V. 17. Теорема V. 10 остается справедливой и в том
случае, когда в каждом из графов К есть остовный блок.
Доказательство. Заметим, что если у графа К есть остовный
блок, то К — связный граф. Значит, для рассматриваемых в
данной теореме графов выполняется условие из теоремы V. 13.
Поэтому для обоснования сформулированного утверждения
достаточно принять во внимание тот факт, что вклад, вносимый
в сумму из теоремы V. 10 связными графами /С, не имеющими
остовных блоков, является восстанавливаемой характеристикой
(в силу теоремы V. 15 и замечания о б (К> 5), сделанного перед
ней). П
Результаты настоящего раздела можно применить для
доказательства восстанавливаемости некоторых хорошо известных
характеристик и свойств графов, например хроматических и
характеристических полиномов графов. В свое время утверждения
о восстанавливаемости этих характеристик казались
поразительными. Сейчас же мы можем получить их как простые
следствия из леммы Келли (см. [4]).
V. 4. Реберное восстановление
Пусть G — граф с занумерованными ребрами А\, Л2, ..., Л*.
Через Gj обозначим подграф графа G, получающийся после
удаления из G ребра Л/.
С2 (гипотеза о реберном восстановлении). Если заданы
классы изоморфизма всех k подграфов Gj, то при k ^ 4 класс
изоморфизма графа G определяется однозначно.
Причина, по которой введено ограничение на k (а именно,
fe^4), ясна из рис. V. 4.1. На нем изображены два графа G
и Я, такие, что, удаляя из них произвольное ребро, мы
получаем, с точностью до изоморфизма, один и тот же подграф.
Теорию, подобную представленной в предыдущем разделе,
можно развить и для гипотезы С2, которая, как и гипотеза Сь
остается все еще недоказанной. Аналог леммы Келли
утверждает, что число собственных остовных подграфов графа G, при-

164 Гл. V. Восстановление
Рис. V.4.I.
надлежащих любому заданному классу изоморфизма, может
быть найдено с помощью классов изоморфизма подграфов G/.
Мы можем сформулировать этот факт иначе, сказав, что число
указанных подграфов является реберно восстанавливаемым.
Кажется, что приведенный результат позволяет получать
чрезвычайно большой объем информации о графе G, но до сих пор
еще не выяснено, достаточно ли этой информации для
установления структуры графа G.
V. 5. Замечания
V. 5.1. Обобщения
Было бы удобно иметь обобщенную гипотезу о
восстановлении с тем, чтобы вершинное и реберное восстановления были ее
частными случаями. Опишем одну возможность. Структуру на
конечном множестве 5 можно определить, например, задав для
каждого подмножества Г из 5 целое неотрицательное число
п(Т). Имея такую структуру / на S и беря элемент xgS, мы
можем определить структуру Jx на множестве S—{*},
сопоставляя каждому подмножеству Т из 5 — {х} то число п(Т),
которое было приписано Т в структуре /.
Изоморфизм структур определяется очевидным образом.
Теперь мы можем спросить: «Если заданы классы изоморфизма
структур Jx, где х пробегает S, и известно значение величины
n(S), то однозначно ли определяется класс изоморфизма
структуры /?» Соответствующая гипотеза о восстановлении
утверждает, что если все рассматриваемые в данной ситуации
структуры удовлетворяют определенным условиям, то ответ на
поставленный вопрос будет утвердительным. Например, если S —
множество вершин графа G, а п(Т) — число его ребер, оба
конца которых принадлежат Г, то приведенный выше вопрос
порождает обычную гипотезу о восстановлении для графов,
рассмотренную нами ранее. Для нетривиальных случаев
информация о значении величины n(S) будет тогда избыточной согласно
теореме V. 1. Однако, если такая информация предполагается,

Литература 165
то контрпримера для случая двух вершин уже не будет. Для
гипотезы о реберном восстановлении множество S должно быть
множеством ребер графа G, а п(Т) — числом вершин,
инцидентных ребрам, содержащимся в Т.
Мы зашли бы слишком далеко, если бы сформулировали
гипотезу о восстановлении для произвольных структур,
поскольку такая гипотеза порождает гипотезу о восстановлении для
матроидов, а эта последняя опровергается нетривиальными
контрпримерами, приводимыми в работе [2]. Однако, возможно,
что нам удастся выделить такой класс структур, включающий
ге структуры, которые интересны с точки зрения теории
графов, что для него гипотеза о восстановлении будет
представляться достаточно правдоподобной.
Упражнения
1. Описать примарные подграфы 5-цепи, 5-цикла и 5-колеса.
В каждом из этих случаев доказать, что имеющееся множество
примарных подграфов может быть построено из одного графа
(удалением ребер).
2. Можно ли восстановить каждый граф из упр. 1, если
имеется по одному примарному подграфу из каждого класса
изоморфизма?
3. Можно ли построить хороший алгоритм для
восстановления несвязных графов, использующий компоненты примарных
подграфов?
Литература
[1] Bondy J. A. On Kelly's congruence theorem for trees. — Proc. Cambridge
Phil. Soc. 65 (1969), 387—397.
[2] Brylawski T. On the nonreconstructibility of combinatorial geometries. —
J. Comb. Theory (B), 19 (1975), 72—76.
[3] Kelly P. J. A congruence theorem for trees. — Pacific J. Math. 7 (1957),
961—968.
[4] Kocay W. L. An extension of Kelly's Lemme to spanning subgraphs. —
Congressus Numerantium 31 (1981), 109—120.

Глава VI
ОРГРАФЫ И ПУТИ
VI. 1. Орграфы
Ориентированный граф, короче орграф, Г — нечто вроде
графа. Он определяется множеством У (Г), элементы которого
называются вершинами, множеством W(T), элементы которого
называются ориентированными ребрами или дугами, и двумя
отношениями инцидентности. Эти отношения сопоставляют
каждой дуге D вершину t(D), называемую ее началом, и вершину
h(D), называемую ее концом. В этой книге мы будем всегда
предполагать, что множества V(Г) и W(T) конечные.
Будем говорить, что дуга D ориентирована из вершины t(D)
в вершину1) h(D). У дуги-петли начало и конец совпадают,
а у дуги-звена они разные. Полувалентностью захода вершины
х орграфа Г (обозначение inv(.r, х)) называется число дуг
орграфа Г, для которых вершина х является концом.
Полувалентность исхода вершины х орграфа Г (обозначение outv(I\x)) —
это число дуг орграфа Г, для которых х является началом.
Орграф Г будем называть эйлеровым, если у каждой его вершины
полувалентность захода равна полувалентностй исхода.
Из приведенных определений вытекает следующая формула:
Z inv(r, х)= Е outv(I\ x)=\W(T)\. (VI. 1.1)
хеК(Г) хеК(Г)
Каждому орграфу Г соответствует неориентированный граф
U(Г), получаемый из Г после удаления ориентации на всех
дугах. Граф U(T) будем называть фундаментом орграфа Г.
Пусть Г и А — орграфы. Орграф А называется
ориентированным подграфом или орподграфом орграфа Г, если У(А)^
^ V(T), W(A)^ W(T) и каждая дуга из.А имеет в нем те же
начало и конец, что и в орграфе Г. Очевидно, что существует
взаимно однозначное соответствие между орподграфами
орграфа Г и подграфами графа [/(Г), при котором каждому орпод-
графу А орграфа Г соответствует его фундамент, т. е. подграф
[/(А) графа [/(Г).
Предположим, что у нас есть дерево Т с выделенной вершиной
г. Мы можем построить орграф Г, полагая V(T)=V(T), W(T) =
1) Или: ... выходит (исходит) из t(D) и входит (заходит) в h(D).—
Прим. перев.

VI. 1. Орграфы 167
= Е(Т) и определяя ориентацию ребер по следующему
правилу: если торцевыми графами ребра Л в дереве Т (см.
разд. 1.6) являются графы Н и К и вершина г содержится
в /С, то ребро Л ориентируется из конца, принадлежащего
графу /С, в конец, содержащийся в графе Я. Так определенный
орграф Г называется деревом, растущим из г (или выходящим
деревом), а вершина г — его корнем.
Теорема VI. 1. Пусть Г — выходящее дерево с корнем г.
Тогда г не может быть концом никакой дуги из Г, а всякая
другая вершина является концом только одной дуги орграфа Г.
Доказательство. Из определения выходящего дерева
следует, что граф U (Г) является деревом Т. Пусть v —
произвольная вершина орграфа Г. Мы можем перенумеровать все ребра
дерева Г, инцидентные вершине v, каким-либо образом: Ль
Л2, •-., Ak, и в соответствии с этой нумерацией приписать
номера ответвлениям дерева Т в вершине v: Yi, У2, ..., Yk
(ребро Ai принадлежит ответвлению У,)—см. разд. III. 4. Здесь
мы предполагаем, что в Т есть хотя бы одно ребро (в
противном случае утверждение очевидно). Один из торцевых графов
ребра At в дереве Т является объединением всех тех
ответвлений У/ в вершине v> которые отличны от Yi (если такие
ответвления существуют), или представляет собой граф-вершину,
определяемый вершиной v (если таких ответвлений нет). Другой
торцевой граф получается из Yi удалением вершины v и
ребра Ai.
Предположим, что v — это г. Из приведенных выше
рассмотрений и определения выходящего дерева следует, что
вершина г является в Г началом каждого из k ребер Aj. Значит,
она является началом каждой инцидентной ей дуги в орграфе
Г. В оставшемся случае вершина г принадлежит только одному
ответвлению У/, скажем У*. Тогда вершина v будет концом
ребра Ak и началом всякого другого ребра Л/. □
На рис. VI. 1.1 представлены три выходящих дерева. Здесь
(и в дальнейшем) орграфы изображаются в виде
«ориентированных диаграмм», получающихся из диаграмм,
соответствующих фундаментам рассматриваемых орграфов,
приписыванием стрелок всем ребрам, причем стрелка на каждом ребре
направлена из его начала в его конец.
Каждое из деревьев, показанных на этом рисунке, растет
из вершины, помеченной буквой г.
Теорема VI. 2. Пусть Г — такой орграф, что его фундамент
U (Г) представляет собой дерево и никакая вершина в Г не

168 Гл. VI. Орграфы и пути
Рис. VI. 1.1. Растущие деревья.
является концом более чем одной дуги. Тогда орграф Г есть
дерево, растущее из некоторой вершины г.
Доказательство. Так как граф £/(Г) является деревом, то
число вершин в орграфе Г на единицу больше числа дуг в нем
(см. теорему 1.37). Значит, в орграфе Г существует вершина г,
не являющаяся концом никакой дуги, а всякая другая вершина
должна быть концом только одной дуги.
Рассмотрим произвольную дугу А орграфа Г. Пусть ее
торцевыми графами в дереве U{T) = T будут графы Я и /С,
причем г содержится в К. Предположим, что вершина,
инцидентная дуге А и принадлежащая графу /С, является концом этой
дуги в орграфе Г. Тогда число вершин графа К должно
превосходить число ребер в нем на 2. Значит, в силу теоремы I. 31
граф К будет несвязным. Это противоречит тому, что К есть
компонента графа Т'А. Следовательно, конец дуги А лежит в Я.
D
Теорема VI. 3. Пусть Г — дерево, растущее из вершины г.
Пусть А — дуга из Г с торцевыми графами Н и К в графе U(T)
и г принадлежит /С Тогда ориентированный подграф орграфа
Г, соответствующий графу Я, является деревом, растущим из
той вершины, инцидентной дуге А, которая лежит в И, а
соответствующий графу К — деревом, растущим из г.
Это утверждение вытекает непосредственно из теоремы VI. 2,
если учесть (см. теорему 1.38), что графы Я и К являются
деревьями.
Для обращения орграфа Г надо переопределить отношения
инцидентности так,, чтобы начало и конец каждой дуги
поменялись местами. Если Г — дерево, растущее из г, то обратный
к нему орграф называется деревом, врастающим в г (или
входящим деревом). Теория входящих деревьев идентична теории
выходящих деревьев — надо только «начала» и «концы» дуг
поменять местами.

VI. 1. Орграфы 169
Спариванием орграфа Г называется отображение 6
множества W(T) на себя, удовлетворяющее следующим трем
условиям:
(i) для каждой дуги Де^(Г) дуга 0Л отлична от Л;
(и) 0(0А) = Л при всякой дуге А из №(Г);
(iii) для каждой дуги Де^(Г) начало и конец ее является
соответственно концом и началом дуги 0Л.
Спаривание имеется не у каждого орграфа. Орграф Г и
какое-либо его спаривание 0 образуют спаренный орграф (Г, 0).
Спаренному орграфу (Г, 0) естественным образом соответствует
эквивалентный граф G, множество вершин которого совпадает
с множеством вершин орграфа Г, а множество ребер находится
во взаимно однозначном соответствии с множеством
неупорядоченных пар, состоящих из дуг орграфа Г и образующих
орбиты подстановки 0. Концами произвольного ребра графа G
являются начало и конец любой дуги из соответствующей
этому ребру пары.
Известна и «обратная конструкция», позволяющая по
заданному графу G строить эквивалентный спаренный орграф
(Г, 0). Каждому ребру Е графа G сопоставляются два
различных элемента: £+ и Е~, называемые дугами, ассоциированными
с Е. Разным ребрам графа G сопоставляются разные дуги. Один
конец ребра Е является началом дуги £+ и концом дуги Е~,
а другой конец ребра Е является началом дуги Е~ и концом
дуги Е+. Полученный объект представляет собой спаренный
орграф (Г, 0), причем множество вершин орграфа Г совпадает
с множеством вершин графа G, множество дуг орграфа Г
состоит из дуг, ассоциированных с ребрами графа G, а
спаривание 0 есть подстановка на №(Г), меняющая местами дуги Е+
и Е- (по всем ребрам Е графа G).
Мы будем использовать установленное нами соответствие
между графами и эквивалентными спаренными орграфами для
вывода теорем о графах из теорем об орграфах. При этом
совсем не обязательно каждый раз заново исходить из
определения эквивалентного спаренного орграфа. Можно, что мы и
будем делать, на каждом ребре Е рассматриваемого графа G
задавать пару противоположных ориентации, определяя тем
самым две дуги Е+ и Е~, ассоциированные с £ (о которых
говорилось выше). Это дает нам орграф Г и спаривание 0. Мы
назовем орграф Г эквивалентным орграфом графа G, а 0 —
спариванием, сопоставленным графу G. Эти два объекта (Г и 0)
вместе образуют эквивалентный спаренный орграф (Г, 0),
соответствующий графу G. Дуги орграфа Г можно называть
дугами графа G, а концы и начала этих дуг в орграфе Г можно
так же называть и в графе G.

170 Гл. VI. Орграфы и пути
При изображении графа G в виде диаграммы дуги Е+ и Е~
соответствуют двум возможным ориентациям ребра Е. Даже
для петли существуют две различимые ориентации— мы так
и будем предполагать. Ребро, соответствующее дуге D графа
G, является просто тем ребром графа G, с которым
ассоциирована дуга D. Дуги Е+ и Е^9 ассоциированные с ребром Е,
называют противоположно ориентированными (или, коротко,
противоположными). Дуга, противоположная дуге D, часто
обозначается символом Z)-1.
Если Я— подграф графа G, то мы, естественно, считаем»
что дуги, ассоциированные с ребром Е в подграфе Я, совпа-
падают с соответствующими дугами из G. Поэтому можно
говорить, что эквивалентный орграф Тн для подграфа Я является
орподграфом орграфа Г и что спаривание 0Я, сопоставленное
подграфу Я, есть ограничение спаривания 0 на множество дуг
подграфа Я.
Ориентантом (или ориентированной формой) графа G
называется произвольный остовный орподграф орграфа Г,
содержащий ровно по одной дуге, ассоциированной с каждым ребром
графа G. Как и в случае с подграфами, прилагательное
«остовный» указывает на то, что в соответствующий орподграф
входят все вершины орграфа Г. Очевидно, что если А — ориентант
графа G, то графы [/(А) и G можно отождествить. Более точно,
существует изоморфизм графа [/(А) на граф G, отображающий
каждую вершину в себя и каждое ребро из £/(Л), т. е.
каждую дугу из А, в то же самое ребро, но рассматриваемое как
ребро графа G.
Мы завершим этот раздел описанием некоторых простых
соответствий между графами и орграфами.
Теорема VI. 4. Пусть Т — дерево и г—его вершина. Тогда Т
имеет ровно один ориентант, являющийся деревом, растущим
из г, и ровно один ориентант, являющийся деревом,
врастающим в г.
Доказательство. Так как петель в дереве Т нет, то
однозначность выбора ориентации на каждом его ребре следует
непосредственно из определения выходящих и входящих
деревьев. □
Теорема VI. 5. Пусть G — граф и г — его вершина. Тогда
существует взаимно однозначное соответствие между остовами
графа G и остовными выходящими из г (или входящими в г)
деревьями эквивалентного орграфа Г, причем каждое такое
дерево является ориентантом подходящего остова графа G.
Доказательство. Пусть S — произвольное остовное
выходящее из г (или входящее в г) дерево орграфа Г. Пусть Т —

VI. 2. Пути 171
тот единственный остов в G, для которого S является ориен-
тантом. Тогда U[S) есть дерево (в силу определения
выходящих и входящих деревьев), а значит, Т — остов графа G.
Обратно, если Т — остов графа G, то в силу теоремы VI. 4
существует единственный ориентант остова Г, являющийся
выходящим из г (или входящим в г) деревом. Этот ориентант и
есть нужное нам остовное дерево орграфа Г. □
VI. 2. Пути
Невырожденным путем в орграфе Г называется
произвольная последовательность
P = [D{, D2, ..., Dn), (VI. 2.1)
где /1^1 и Dj — дуги орграфа Г, не обязательно различные,
удовлетворяющие условию, что конец дуги D/ является
началом дуги D/+i, 1 ^ / < п. Начало дуги D/ называется /-й
вершиной пути Р. Конец дуги Dn называется последней или
(n-f- 1)-й вершиной пути Р. Первая и последняя вершины пути
Р, т. е. начало дуги D\ и конец дуги Dn, называют
соответственно началом [истоком) и концом [стоком) пути Р. Число п
называется длиной пути Р и обозначается через s[P).
Удобно также рассматривать и специальные вырожденные
пути в Г. С каждой вершиной v из Г связывается
единственный вырожденный путь, обозначаемый через Pv\ дуг в этом
пути нет, длина его равна нулю, началом и концом пути Pv
является вершина v.
Итак, путь может быть либо вырожденным, либо
невырожденным. В любом из этих случаев мы говорим, что путь
ориентирован из своего начала в свой конец.
Рассмотрим два пути Р и Q в Г. Если конец пути Р
является началом пути Q, то путь PQ в Г представляет собой
последовательность дуг/в которой сначала выписаны (в
прежнем порядке) дуги пути Р, а затем (также в первоначальном
порядке) выписаны дуги пути Q. Если Р (или
Q)—вырожденный путь, то путь PQ совпадает с Q (соответственно с Р). Путь
PQ мы называем произведением путей Р и Q (именно в таком
порядке). Если конец пути Р не совпадает с началом пути Q,
то произведение PQ не определено. В случае когда
произведение PQ определено,
s[PQ) = s[P) + s[Q). (VI. 2.2)
Кроме того, началом пути PQ является начало пути Р, а
концом — конец пути Q.

172, Гл. VI. Орграфы и пути
Легко проверить, что умножение путей есть ассоциативная,
но, вообще говоря, некоммутативная операция. Когда мы
пишем соотношение P(QR) = (PQ)R, выражающее свойство
ассоциативности операции умножения путей, то предполагаем, что
все входящие в него произведения определены, т. е. что конец
пути Р совпадает с началом пути Q, а конец пути Q совпадает
с началом пути R. Ассоциативные произведения трех или
большего числа сомножителей, взятых в определенном порядке,
можно записывать без скобок (и это не приведет к
двусмысленности). Мы можем говорить о произведении Р\Р2 ... Рт
путей Pf (1^/^га); при этом предполагается, что конец
пути Р/ совпадает с началом пути Р/+1 (1 ^ / < га). Это
произведение является путем, получающимся в результате
последовательного выписывания всех дуг пути Pi (в их прежнем
порядке) , затем — всех дуг пути Р2 (также в первоначальном
порядке) и т. д. Началом пути PiP2 ... Рт является начало
пути Рь а концом — конец пути Рт.
Пусть vk есть k-я вершина пути Р, задаваемого
последовательностью (VI. 2.1), k=\, ..., п. Если 1^/<7^я+1» то
символом P[i, /] мы обозначаем путь (Dh Di+l, ..., Df_{),
началом которого является вершина vi9 а концом — вершина Vj.
Назовем этот путь частью (или подпутем) пути Р, идущей из
/-й вершины в /-ю. Через Р [/, /] обозначается вырожденный
путь, соответствующий /-й вершине.
Пусть /0, 1Ь i2, ..., iq (q^2) — такие целые числа, что
1 = h ^ h ^ h ^ • • • ^ iq = п + 1 • Тогда можно написать
/>=U/Ч'/,'Ун!;
сомножители перемножаются здесь в порядке возрастания /.
Мы будем называть эту формулу разложением пути Р,
порождаемым набором (i'i, /2> • • •, iq-\) • Если q = 2, то Р =
= P[l, i\]P[iu п + 1], и мы можем сказать, что это
разложение порождается числом i\.
Определим теперь несколько специальных типов путей.
Путь Р, задаваемый последовательностью (VI. 2.1), называется
замкнутым, если его начало и конец совпадают. Таким
образом, любой вырожденный путь является замкнутым. Путь Р
будем называть дугово простым, если в нем нет повторяющихся
дуг. Путь Р назовем источниково простым (соответственно сто-
ково простым), если в нем никакая вершина не встречается
несколько раз (не менее двух) в качестве начала
(соответственно конца) каких-либо дуг. Путь называется простым, если
он одновременно источниково и стоково простой.

VI. 2. Пути 173
Источниково простой или стоково простой путь обязательно
будет дугово простым. Если источниково простой путь не
является простым, то его конец должен быть концом двух его
дуг. Вырожденные пути будем считать простыми.
Невырожденный простой замкнутый путь называется круговым путем.
Если у невырожденного простого пути начало и конец
различные, то он называется линейным путем.
Орграф Г(Р), соответствующий невырожденному пути Р
в орграфе Г, определяется как орподграф орграфа Г,
содержащий только те дуги, которые принадлежат пути Р, и только
те вершины, которые являются началами и концами этих дуг.
Если путь Р вырожденный и Р = PVl то мы считаем, что орграф
Г (Ра) состоит из одной вершины v и не имеет дуг. Орграф,
соответствующий круговому пути, называется
ориентированным циклом (или орциклом), а соответствующий линейному
пути, имеющему начало х и конец у, — ориентированной цепью
(или орцепью) из х в у.
Фундамент U(P) пути Р в орграфе -Г — это фундамент
орграфа Г(Р), соответствующего пути Р. Если путь Р задан
последовательностью (VI. 2.1) и является линейным с началом
х и концом у у то фундамент U (Р) представляет собой цепь
в графе U (Г) у имеющую концы х и у. Действительно, он
удовлетворяет определению цепи, если (v\9V29 ..., vn+\) считать
заданной последовательностью вершин, а путь Р — заданной
последовательностью ребер. Если же путь Р круговой, то его
фундамент U(P) является циклом. Тогда мы можем
рассматривать (v\9 V2, • • •, vn) как естественную нумерацию вершин
в цикле U (Р) и Р как последовательность ребер. В том случае,
когда Р — линейный путь, из теоремы VI. 2 следует, что орграф
Г (Я) есть дерево, растущее из начала пути Р и врастающее
в конец пути Р.
Теорема VI. 6. Если Р — путь в орграфе Г, то граф U(P)
связен.
Доказательство. Можно считать, что путь Р
невырожденный, ибо в противном случае утверждение очевидно. Пусть Р
задан последовательностью (VI. 2.1). Предположим, что граф
U(P) несвязен. Рассмотрим в нем какую-либо компоненту С,
не содержащую конца пути Р. Пусть k — такое наибольшее
целое число, что k-я вершина пути Р принадлежит компоненте С.
Тогда начало дуги Dk лежит в С, а ее конец в С не
содержится. Значит, С не является обособленным подграфом графа
U(P). Это противоречит определению компоненты. □
Как и в случае графов, запись Т\ ^ Г2 будет означать, что
орграф Г\ является орподграфом орграфа Г2. Если, кроме того,

174 Гл. VI. Орграфы и пути
орграф Pi отличен от Гг, то мы будем говорить, что Ti —
собственный орподграф орграфа Г2, и применять запись Т\ с
сГ2.
Теорема VI. 7. Пусть х и у — различные вершины орграфа
Г. Если в Г существует какой-либо путь Q из х в у, то в Г
найдется линейный путь Р, идущий из х в у. Более того, путь
Р можно выбрать так, чтобы Г(Р)^Г((2) и s(P)^s(Q),
причем равенство будет иметь место только в том случае, если
путь Q линейный.
Доказательство. Если путь Q не является линейным, то
в нем имеются либо повторяющиеся начала дуг, либо
повторяющиеся концы. Следовательно, Q = Р\Р2Рг, где Р2—
замкнутый невырожденный путь. Но тогда Р1Р3 есть путь в Г из х
в у, такой, что T(P\Pz)^T(Q) и s(PiP3) < s(Q). Если путь
PiP3 нелинейный, то описанный процесс повторяем до тех пор,
пока не получим линейный путь Р из х в у. Очевидно, что
s(P)< s(Q). Если Q — линейный путь, то полагаем P = Q. О
Теорема VI.8. Пусть Г — дерево, растущее из г, и v —
произвольная вершина дерева Г. Тогда в Г существует ровно один
путь Prvy идущий из г в и, и он является либо вырожденным,
либо линейным. Более того, всякий путь в Г есть часть
некоторого пути Prv-
Доказательство. Используя определение выходящего дерева,
заключаем, что (/+ 1)_я вершина произвольного пути Р в
дереве Г однозначно определяет /-ю дугу этого пути (/ = 1,2,...).
Значит, Р полностью определяется заданием своего начала и
конца (см. теорему VI. 1). Применяя теорему VI. 7, получаем,
что путь Р либо линейный, либо вырожденный.
Пусть X—множество всех вершин дерева Г, для каждой
из которых в Г существует путь, идущий из г в эту вершину.
Если Н — подграф графа £/(Г), порожденный множеством X,
то в силу теорем VI. 6 и 1.25 Н есть связный граф.
Предположим, что в U(Г) найдется ребро D, один конец которого
(конец а) принадлежит X, а другой конец (назовем его Ь) не
принадлежит. Тогда (см. теорему 1.24) какой-то один
торцевой граф ребра D в графе U(T) содержит подграф Н и,
следовательно, содержит вершины а й г. Принимая во внимание
определение выходящего дерева, получаем, что в орграфе Г
a=t(D) и b = h(D). Это противоречит определению графа Н
(ибо Pra{D) есть путь из г в Ь). Значит, в силу связности
графа [/(Г) имеем H=U(T) (см. теорему 1.21), а потому
v содержится в X и путь Prv существует.

VI. 2. Пути 175
Пусть Р — произвольный путь в Г, идущий, например, из
и в v. Используя приведенные выше результаты, заключаем,
что произведение РгиР совпадает с путем Prv. □
При внимательном рассмотрении графа, изображенного на
рис. IV. 3.8, возникает естественный вопрос, не является ли
дерево Blk3(G, Л), введенное в разд. IV. 3, деревом, растущим
из ведущего 3-блока графа G. Очевидно, что всякое
виртуальное ребро At представляет собой дугу дерева Blk3(G, Л),
причем At является отдушиной для начала этой дуги и
перемычкой для ее конца.
Для орграфов вводятся несколько видов связности. Орграф
Г называется сильно связным (или сильным), если для всякой
упорядоченной пары (л:, у) его вершин в Г существует путь,
идущий из х в у. Если же для любой такой пары мы можем
гарантировать существование только одного из двух путей —
либо пз х в у> либо из у в xt — то орграф Г называется
односторонне связным (или односторонним). Орграф Г будем
называть слабо связным (или слабым), если его фундамент
U(Г)—связный граф. Очевидно, что выходящее дерево (с
корнем г) является слабо связным орграфом, который, вообще
говоря, может не быть ни односторонне связным, ни, тем более,
сильно связным (так как если г не является висячей
вершиной, то никакие две одновалентные вершины в графе U (Г)
нельзя соединить путем, лежащим в Г, и, кроме того, не
существует пути, идущего из произвольной вершины v, отличной
от г, в корень г). Далее, легко видеть, что орцикл является
сильным орграфом, а орцепь — односторонним, но не сильным
орграфом.
Рассмотрим граф G и эквивалентный ему орграф Г вместе
со спариванием 0. Пути в орграфе Г будем называть также
путями в графе G. Путь в G назовем реберно простым, если
он не содержит двух дуг, ассоциированных с одним и тем же
ребром графа G. Таким образом, реберно простой путь
является обязательно дугово простым. Если Р — невырожденный путь
в G, то через G(P) обозначается граф, получающийся из графа
G ограничением его на множество ребер, соответствующих
дугам пути Р. Граф G(Pv), соответствующий вырожденному пути
Pv, представляет собой граф-вершину, определяемый вершиной
v. В каждом из рассмотренных случаев граф G(P) получается
из орграфа Г(Р) в результате замены дуг теми ребрами, с
которыми эти дуги ассоциированы. Если в орграфе Г(Р)
содержится ровно по одной дуге, ассоциированной с каждым ребром
из G(P), то Г(Р) является ориентантом графа G(P).
Из определений цепи и цикла вытекают следующие
утверждения.

176 Гл. VI. Орграфы и пути
Теорема VI. 9. Подграф Н графа G является цепью с
концами х и у тогда и только тогда, когда Н= G(P)y где Р —
линейный путь в G, идущий из х в у.
Теорема VI. 10. Подграф Н графа G является циклом тогда
и только тогда, когда Н = G{P)y где Р — реберно простой
круговой путь в G.
Требование, накладываемое на путь Р в теореме VI. 10 и
состоящее в том, чтобы Р был реберно простым путем, являет-
сй избыточным во всех случаях, кроме случая, когда s(P) = 2.
Две дуги D и D^1, ассоциированные с произвольным звеном
графа G, определяют круговой путь (DyD~l)y который не
является реберно простым. Следовательно, граф такого пути
будет не циклом, а графом-звеном.
Теорема VI. 11. Если Р — путь в G, то граф G(P) связен.
Это утверждение можно обосновать так же, как
теорему VI. 6, но только нужно заменить U(P) на G(P).
Теорема VI. 12. Если G — связный граф, то эквивалентный
ему орграф Г является сильно связным.
Эта теорема вытекает из теорем VI. 9 и 1.43.
По заданному пути Р в графе G, идущему из л: в у, мы
можем построить путь Р-1 (в графе G), который выходит из у
и заходит в л:, — нужно просто ребра пути Р записать в
обратном порядке и поменять ориентацию каждого ребра на
противоположную. Будем говорить, что путь Р~х есть обращение
пути Р. Легко видеть, что операция обращения
(инвертирования) пути удовлетворяет следующим условиям:
(p-iyl = Pt (PQ)-l=Q-lP~l. (VI. 2.3)
Мы будем часто использовать следующую комбинацию
теорем VI. 9 и 1.43.
Теорема VI. 13. Две различные вершины х и у графа G
принадлежат одной и той же его компоненте тогда и только тогда,
когда в G существует линейный путь, идущий из х в у.
VI. 3. Теорема BEST
Понятие эйлерова орграфа было определено в разд. VI. 1.
Граф называется эйлеровым, если валентность каждой его
вершины четная. Эйлеров путь в орграфе Г — это такой замкнутый
дугово простой путь Р, что Г(Р) = Г. Эйлеровым путем в графе

VI. 3. Теорема BEST 177
G называется замкнутый реберно простой путь Р, такой, что
G(P)=G. Таким образом, эйлеровы пути в графе G являются
эйлеровыми путями ориентантов графа G.
Теорема VI. 14. Если орграф Г содержит эйлеров путь Р,
то Г является сильно связным и эйлеровым орграфом.
Доказательство. Пусть х и у — различные вершины в Г. Мы
можем выбрать обозначения так, чтобы Р = P{P2Pz> где Р2—
путь из а: в у. Но тогда P3Pi/ будет путем из у в х.
Следовательно, Г — сильно связный орграф.
Нетрудно видеть, что число дуг в пути Р, у которых
вершина v является концом, равно числу дуг в Р, у которых v
является началом. Значит, inv(I\ u) = outv(r, у), т. е. орграф Г
эйлеров. □
Теорема VI. 15. Если в графе G существует эйлеров путь Р,
то G является связным и эйлеровым графом.
Доказательство. Связность графа G следует из теоремы
VI. 11. Далее, путь Р является эйлеровым путем в ориентанте
А графа G. Значит, А — эйлеров орграф (см. теорему VI. 14)
и val(G, y) = inv(A, u) + outv(A, v) = 2 inv(A, v) для каждой
вершины v графа G. Таким образом, G — эйлеров граф. □
Теоремы VI. 14 и VI. 15 можно обратить. Обращение
теоремы VI. 14 является основной теоремой данного раздела.
Обращение теоремы VI. 15 было установлено Эйлером в статье
[6], которая явилась первой работой по теории графов.
Теорема VI. 16. Пусть G — эйлеров графу содержащий хотя
бы одно ребро. Тогда подграф G-E(G) является объединением
реберно непересекающихся циклов.
Доказательство. Если компонента С графа G содержит
ребро, то она не является деревом (см. теорему 1.40). Значит,
в графе G существует цикл J\ (см. теорему 1.45). Граф Gi,
получаемый из графа Gi после удаления ребер, принадлежащих
циклу /ь является эйлеровым. Если в G\ содержится хотя бы
одно ребро, то в нем найдется цикл /2. Продолжая эту
процедуру, мы получим последовательность /i, /2, ..., Jk реберно
непересекающихся циклов графа G, объединение которых
совпадает с подграфом G-E(G). □
Теорема VI. 17. Каждый эйлеров граф имеет эйлеров
ориентант.
Доказательство. Можно считать, что в графе G есть хотя
бы одно ребро, так как в противном случае утверждение
очевидно. Рассмотрим последовательность циклов //, построенных

178 Гл. VI. Орграфы, и пути
в теореме VI. 16. Каждый из них является графом некоторого
реберно простого кругового пути Р/ в графе G (см.
теорему VI. 10). Дуги всех этих круговых путей определяют
эйлеров ориентант графа G. □
Теорема VI. 18. Пусть Г — орграф и г — какая-то его
вершина. Если для каждой вершины орграфа Г, отличной от г,
в нем существует путь, идущий из г в эту вершину, то орграф
Г имеет растущее из г остовное дерево.
Доказательство. Будем говорить, что последовательность
S=(vo,v\, ..., Vk) различных вершин орграфа Г обладает
свойством Р, если vo = г и для каждой вершины vj из 5
найдется дуга Df орграфа Г, такая, что h(Dj)=Vj и t{Dj)=Vi>
причем / < /. Предположим, что мы имеем такую
последовательность 5 и что некоторая вершина и из Г не принадлежит
ей. Из условия теоремы следует, что в Г существует путь,
идущий из г в и. Этот путь должен содержать дугу D#n, у
которой конец h(Dk+\) не принадлежит 5, а начало t(Dk+\)
принадлежит. Присоединяя вершину h(Dk+\) в качестве новой
вершины Vk+i к последовательности 5, получаем
последовательность S\ состоящую из k + 2 различных вершин орграфа Г и
также обладающую свойством Р.
Начиная с S =(г) и повторяя описанную выше процедуру
подходящее число раз, мы построим последовательность Z =
z=(v0yViy ..., Vn), обладающую свойством Р и включающую
все вершины орграфа Г. Соответствующие дуги Di, D2, ..., Dn
определяют остовный ориентированный подграф А орграфа Г.
Кроме того, граф £/(Д) связен (см. теорему 1.25) и является
деревом (см. соотношение (1.6.1)). Следовательно, в силу
теоремы VI. 2 орграф А представляет собой дерево, растущее из
вершины г. П
Теорема VI. 19. Пусть г — некоторая вершина орграфа Г и
Р — эйлеров путь в нем, идущий из г в г. Для каждой
вершины х из Г, отличной от г, обозначим через Dx первую по
порядку дугу пути Р, концом которой является х. Тогда дуги
Dx являются дугами растущего из г остовного дерева А
орграфа Г.
Доказательство. Рассмотрим последовательность Z вершин
орграфа Г, в которой первой вершиной является г, а остальные
вершины — концы дуг Dx, идущие в порядке их следования в
пути Р. Тогда, очевидно, Z содержит все вершины орграфа Г,
обладающие свойством Р (см. доказательство теоремы VI. 18).
Значит, как и в упомянутом доказательстве, дуги Dx
определяют нужное нам дерево. □

VI. 3. Теорема BEST 179
Рассмотренное остовное дерево А назовем остаточным
деревом эйлерова пути Р.
Пусть Г —эйлеров орграф, г — его вершина и А
—растущее из г остовное дерево орграфа Г. Занумеруем вершины
орграфа Г так: vQ = г, vb ..., vq. Пусть inv (vjy T)=outv {vJy Y)=nJl
/ = 0, 1, ..., q. Для 'каждой вершины vf зададим некоторое
упорядочение всех ni дуг, входящих в нее, причем если 1Ф0,
то последней в этом упорядочении будет дуга,
принадлежащая дереву А. Число N всех способов такого упорядочения
дуг орграфа Г равно
N = n0U(nj-\)l. (VI. 3.1)
Построим теперь последовательность R = (DU Z)2, ^з, •••)
дуг орграфа Г по следующему правилу. Дуга D\ является
первой дугой при заданном упорядочении дуг, входящих в
вершину г. Если дуги Db ..., Dj уже выбраны, то дуга D/+1
выбирается так, чтобы она была первой из еще невыбранных дуг
(если такие дуги существуют) при заданном упорядочении дуг,
входящих в вершину t(D/). Заметим, что если вершина t(Dj)
отлична от г, то дуга Dj+\ обязательно найдется, ибо на
каждом текущем шаге построения последовательности /?, вплоть до
выбора дуги D/, число тех дуг из /?, которые выходят из
вершины t(D), на единицу больше числа дуг из /?, входящих в
t(D), а орграф Г эйлеров. Из наших рассмотрений следует,
что последним элементом в R будет дуга Dm с началом г,
что все дуги в R разные и что в R содержится каждая дуга,
инцидентная вершине г. Последовательность R не является
путем в Г, так как начала и концы дуг в ней идут в
«неправильном» порядке. Но она, однако, образует путь в орграфе,
обратном орграфу Г.
Будем говорить, что вершина х орграфа Г является
насыщенной, если все инцидентные ей дуги содержатся в
последовательности R\ в противном случае вершину х будем называть
ненасыщенной. Предположим, что существует хотя бы одна
ненасыщенная вершина. Тогда в дереве А найдется
кратчайший путь 5, начинающийся в г и кончающийся в
ненасыщенной вершине t (см. теорему VI. 8). Рассматривая подпути из 5
с началом в вершине г, видим, что в 5 все вершины, кроме
последней (вершины t), насыщенные. Из правила построения
последовательности R вытекает, что последняя дуга пути 5 в
R не содержится. Значит, в 5 предпоследняя вершина
ненасыщенная. Пришли к противоречию. Следовательно, в орграфе Г
каждая вершина насыщенная. Беря дуги из R в обратном
порядке, получаем эйлеров путь в орграфе Г, идущий из г в г и
содержащий А в качестве остаточного дерева.

180 Гл. VI. Орграфы и пути
Для каждого набора упорядочений дуг описанное
построение дает единственный эйлеров путь, и разные наборы
упорядочений порождают разные эйлеровы пути. С другой стороны,
для произвольно заданного эйлерова пути Р с остаточным
деревом А можно указать набор упорядочений дуг,
определяющий этот путь, — упорядочение дуг, входящих в каждую
вершину орграфа Г, должно быть обратным к тому порядку, в
котором эти дуги встречаются в пути Р. Тем самым доказана
следующая теорема.
Теорема VI. 20. Пусть г—вершина эйлерова орграфа Г и
Д — остовное дерево в Г, растущее из г. Тогда число эйлеровых
путей в Г, идущих из г в г и содержащих А в качестве
остаточного дерева, задается соотношением (VI. 3.1).
Теорема VI. 21. Если г — произвольная вершина сильно
связного эйлерова орграфа Г, то в Г существует хотя бы один
эйлеров путь, идущий из г в г.
Это утверждение является обращением теоремы VI. 14 и
следует из теорем VI. 18 и VI. 20.
Для произвольного орграфа Г, эйлерова или нет, через
ТГ(Т) обозначим число остовных деревьев в Г, выходящих из
вершины г, а через ТГ(Г)—число остовных деревьев в Г,
входящих в г.
Используя теорему VI. 20, можем записать число эйлеровых
путей в эйлеровом орграфе Г, идущих из г в г, в виде Л^ГГ(Г).
Более изящное выражение можно получить, вводя понятие
эйлерова контура.
Контуром в орграфе Г- называется произвольная
циклическая последовательность С, состоящая из разных дуг орграфа
Г, удовлетворяющих условию, что конец каждой дуги D из С
является началом дуги D\ идущей в С за дугой D. Контур
называется эйлеровым, если в нем содержатся все дуги из Г.
Пусть Г — эйлеров орграф, в котором нет вершин с
нулевыми полувалентностями исхода (и в котором множество V(Г)
непусто). Тогда из каждого эйлерова пути Р в Г можно
получить эйлеров контур, в котором первая дуга из Р следует за
последней дугой этого пути. Обратно, если в Г задан эйлеров
контур С и дуга D, то в Г существует единственный эйлеров
путь Р, начинающийся с дуги D, идущий по дугам контура С
в направлении их ориентации и заканчивающийся дугой,
которая в С предшествует дуге D. Будем говорить, что такой путь
принадлежит контуру С. Очевидно, что число различных
эйлеровых путей, принадлежащих контуру С и выходящих из
вершины г, равно полувалентности исхода последней. Из
сказанного выше следует, что каждый эйлеров путь в Г принадлежит

VI. 3. Теорема BEST 181
некоторому эйлерову контуру. Применяя теорему VI. 20,
приходим к следующему утверждению.
Теорема VI. 22. Пусть г — произвольная вершина эйлерова
орграфа Г, не имеющего вершин с нулевыми
полувалентностями исхода. Через С (Г) обозначим число эйлеровых контуров
в Г. Тогда {в обозначениях из соотношения (VI. 3.1))
С (Г) = П (л/-1)1 Г (Г). (VI. 3.2)
/ = 0
Теорема VI. 23. Если Г — непустой эйлеров орграф, то
существует целое число Г (Г), равное ТГ(Г) и ТГ{Т) для каждой
его вершины г.
Доказательство. Сначала предположим, что некоторая
вершина г из Г имеет нулевую полувалентность исхода (а значит,
и нулевую полувалентность захода). Если в Г есть еще какая-
то вершина, то в нем не может быть ни одного
ориентированного остовного дерева. Следовательно, Г(Г) = 0 и утверждение
очевидно. Если же в Г нет вершин, отличных от г, то Г(Г)= 1
и утверждение опять-таки справедливо. В оставшемся случае
воспользуемся формулой (VI. 3.2). Ее левая часть от г не
зависит; поэтому ГГ(Г) имеет одно и то же значение для каждой
вершины г. Далее, так как эйлеровы контуры орграфа, обратного
к Г, получаются из соответствующих контуров орграфа Г
обращением ориентации дуг и порядка их следования, то, применяя
формулу (VI. 3.2) к Г и к его обратному, получаем ГГ(Г) =
= ГГ(Г) для всякой вершины г. □
Величину Г (Г) назовем древесной сложностью (или просто
сложностью) орграфа Г. Теорему VI. 22 можно
переформулировать теперь следующим образом:
Теорема VI. 24. Пусть Г — непустой эйлеров орграф, не
имеющий вершин с нулевыми полу валентностями исхода. Пусть
vq, V], ..., vq — все вершины орграфа Г и полу валентность
исхода вершины Vj равна п\ (/ = 0, 1, ..., п). Тогда
С(Г) = П(л/--1)!Г(Г). (VI. 3.3)
/=о
Данный результат известен как теорема BEST. В этой
аббревиатуре буквы В и Е «означают» соответственно де Брёй-
на (N. G. de Bruijn) и ван Ардене-Эренфест (Т. van Aardenne-
Ehrenfest), которые опубликовали приведенную теорему в 1951 г.
(см. [1]). Буквы S и Т указывают на Смита (С. А. В. Smith) и
Татта (W. Т. Tutte), получивших частный случай этого утвер-

182 Гл. VI. Орграфы и пути
ждения (для я/=2) в 1941 г. (см. [11]). Перечисленные имена
связаны также с матричной теоремой о деревьях, которая дает
формулу, для величины Г (Г).
Нам осталось доказать обращение теоремы VI. 14.
Теорема VI. 25. В любом связном эйлеровом графе G
существует хотя бы один эйлеров путь.
Доказательство. В нетривиальном случае у графа G
существует ребро, а значит, в силу теорем VI. 10 и VI. 16 имеются
цикл и реберно простой круговой путь. Следовательно, в G
есть реберно простой замкнутый путь Р наибольшей длины
s(P). Пусть граф Н получается из G после удаления тех
ребер, которые соответствуют дугам пути Р. Если возможно, то
выберем компоненту С графа Я, содержащую хотя бы одно
ребро.
В силу связности графа G в С найдется вершина и,
инцидентная некоторой дуге пути Р. Очевидно, что С — эйлеров
граф, а потому (на основании теоремы VI. 16) в С существует
реберно простой круговой путь /, идущий из и в и. Поскольку
путь Р можно представить в виде QR, где Q — путь,
оканчивающийся в вершине и, то QJR является реберно простым
замкнутым путем в графе G, имеющим длину, большую, чем
s(P). Полученное противоречие говорит о том, что в графе Н
ребер нет. Следовательно, Р есть эйлеров путь в графе G. □
Объединение теорем VI. 14 и VI. 25 называют теоремой
Эйлера.
VIA. Матричная теорема о деревьях
Теория, представленная в этом разделе, базируется на
следующей характеризации выходящих деревьев.
Теорема VI. 26. Пусть г — вершина орграфа Г, а А— его
остовный орподграф. Для того чтобы орподграф А был
деревом, растущим, из г, необходимо и достаточно выполнения
следующих условий: круговые пути в А отсутствуют и
полувалентность захода вершины г в орподграфе А равна нулю, а любой
другой вершины равна 1.
Доказательство. Пусть А — остовное дерево орграфа Г,
растущее из г. Тогда, применяя теоремы VI. 1 и VI. 8, получаем,
что А действительно удовлетворяет указанным условиям.
Обратно, пусть А является остовным орподграфом орграфа
Г, удовлетворяющим перечисленным условиям. Пусть v —
произвольная вершина в Г, отличная от г. Строим последователь-

VI. 4. Матричная теорема о деревьях 183
ность (D\,D2, • ••) дуг орграфа А так, чтобы v = h(D\) и
t(Dj-i) = h(D})y />1. Если эта последовательность может
быть «дотянута до» вершины г в том смысле, что началом
некоторой дуги Dk в ней будет вершина г, то, обращая порядок
дуг в последовательности (DbD2, •••, Dk)y получаем путь в А,
идущий из г в v. Если же за | V(T) | шагов «дотянуть» до
вершины г не удалось, то в построенной последовательности
должна найтись дуга Dky у которой начало совпадает с
началом некоторой предшествующей дуги D/. Пусть Dk — первая
по порядку дуга рассматриваемой последовательности,
обладающая описанным свойством. Тогда путь (Dk,Dk-\, ..., £/+i)
является круговым путем в А, что невозможно.
Из теорем VI. 6 и 1.25 следует, что граф £/(Д) связен, а из
приведенных выше условий вытекает равенство | V(Л) | ==
= |№(Д)|+1. Значит, [/(А)—дерево. Применяя теорему VI.2,
заключаем, что А есть остовное дерево орграфа Г, растущее
из г. О
Пусть Г — непустой орграф. Каждой его дуге D можно
сопоставить проводимость c(D). Обычно мы будем считать, что
c(D) — действительная или комплексная величина. Используя
алгебраический язык, мы можем определить c{D) как
независимую переменную над кольцом целых чисел. Если А — орпод-
граф орграфа Г, то через П(А) будем обозначать произведение
проводимостей всех дуг из А. Если в А дуг нет, то полагаем
П(А)=1.
Пусть v\, V2, ..., vn — перенумерованные каким-либо
образом вершины орграфа Г. Матрицей Кирхгофа орграфа Г
называется пХ ^-матрица К (Г), определяемая следующим
образом: i-й диагональный элемент ku равен сумме проводимостей
всех дуг-звеньев, входящих в вершину vt\ элемент кц9 стоящий
на пересечении i-й строки и /-го столбца (при /=#=/), равен
взятой со знаком минус сумме проводимостей всех дуг орграфа
Г, выходящих из вершины v\ и входящих в вершину vt.
Очевидно, что при построении матрицы К (Г) дуги-петли не
рассматриваются. Из приведенного определения непосредственно
следует, что
2>// = 0 (VI. 4.1)
и
det /С (Г) = 0. (VI. 4.2)
Если г — вершина орграфа Г, то через Кг (Г) будем
обозначать подматрицу матрицы К (Г), получающуюся из нее после
вычеркивания столбца и строки, соответствующих этой
вершине г. Положим r = vn, и выясним, как разлагается det Kr (Т).

184 Гл. VI. Орграфы и пути
Если п> 1, то из свойств определителей следует, что •
det Кг (П = Е N(a,b, ..., s) kiak2b ... k{n-x)s, (VI. 4.3)
(a, b s)
где (a, b, ..., 5) — произвольная перестановка множества
{1,2, ..., n—1} и N(a,b> ..., s) равно 1 или —1 в
зависимости от того, четной или нечетной является перестановка
(а, 6, ..., s). Произведение kiak2b ... k(n-i)S назовем
инициальным произведением данного разложения. Всякое такое
произведение строится из п—1 членов матрицы /Сг(Г), взятых по
одному из каждой ее строки и каждого ее столбца.
Любое инициальное произведение можно записать в виде
PQ> где Р — произведение сомножителей ku, являющихся
диагональными элементами матрицы /СГ(Г), а Q — произведение
остальных (недиагональных) элементов. Если в произведение
Q входит хотя бы| один сомножитель, то оно единственным
образом может быть разложено на так называемые циклы.
Цикл представляет собой произведение вида ka$k$yky6 ...
... fe^vfeva, где индексы а, р, ..., jli, v — все разные. Для
произвольного инициального произведения X через q(X) и #о№
обозначим соответственно число всех циклов и число циклов
четной длины, содержащихся в X. Легко устанавливается, что
коэффициент N{a,b, ..., 5), стоящий перед X, равен 1 или —1
в зависимости от того, четно или нечетно число <7oW-
Предположим, что каждый элемент кц записан через
проводимости и что det Кг (Г) представлен в виде линейной
комбинации произведений проводимостей. Тогда
det Кг (П = Z N (А) II (А), (VI. 4.4)
л
где А — произвольный остовный орподграф орграфа Г, а N(A) —
соответствующая подграфу А целочисленная величина,
значение которой мы должны найти.
Если величина jV(A) отлична от нуля, то произведение П(Д)
соответствует одному или нескольким инициальным
произведениям X. Это значит, что произведение П(А) можно получить,
беря ровно по одной проводимости из каждого сомножителя kij,
принадлежащего произведению X. Для осуществимости такой
ситуации полувалентность захода вершины г в подграфе А
должна быть равна нулю, а любой другой вершины — единице.
Значит, мы можем считать, что суммирование в соотношении
(VI. 4.4) ведется только по таким остовным орподграфам А.
Если П(А) соответствует в указанном выше смысле
инициальному произведению X, то мы будем говорить, что П(А)
порождается X.

VI. 4. Матричная теорема о деревьях 185
Через Xq обозначим инициальное произведение, равное
произведению диагональных элементов из Кг (Г). Покажем, что
всякое П(А), входящее в соотношение (VI. 4.4), может быть
порождено Xq. Если П(А) порождается каким-либо другим Х>
то проводимости, взятые из произвольного цикла произведения
X, должны соответствовать дугам некоторого кругового пути
в орграфе А. Применяя теорему VI. 26, получаем, что если
А — дерево, растущее из г, то П(А) порождается только Х0.
Отсюда следует, что N(A)=l.
В оставшемся случае А содержит хотя бы один круговой
путь. Значит, П(А) может быть порождено таким и только
таким инициальным произведением X, в котором каждый цикл
соответствует какому-либо круговому пути в А. Круговые пути
в орграфе А определяют / различных контуров (t > 0) с
попарно непересекающимися множествами вершин. Тем самым
определяется множество Г, состоящее из t таких циклов, что
П(А) может быть порождено произведением X тогда и только
тогда, когда циклы из X образуют подмножество множества Т.
В частности, X может совпадать с Х0. Предположим, что в
таком X содержится / циклов. Поскольку проводимости,
берущиеся из недиагональных элементов матрицы' Кг (Г), имеют
знак минус, то вклад, вносимый произведением X в
коэффициент N(A) из соотношения (VI.4.4), равен (—l)j. Принимая
во внимание, что существует только одно X, у которого циклы
являются произвольными заданными ■/ элементами из Г, имеем
лад) = £р.)(-1У = (1-1)< = о.
Таким образом, мы приходим к заключению, что соотношение
(VI. 4.4) остается справедливым и тогда, когда в качестве А
берутся лишь остовные деревья орграфа Г, растущие из г, а
каждое N(А) полагается равным 1.
Выясним теперь, не влияет ли на величину det КГ{Т)
выбор нумерации вершин орграфа Г. При новой нумерации
вершин в каждой матрице К (Г) и Кг (Г) произойдет только
перестановка строк и такая же перестановка столбцов. Значит,
определители этих матриц не изменятся, а следовательно,
истинность соотношения (VI. 4.4) в его новой форме, когда
суммирование ведется по остовным деревьям, растущим из г,
действительно не зависит от того, совпадет г с vn или нет. Суммируя
полученные результаты, приходим к следующему утверждению.
Теорема VI. 27 (матричная теорема о деревьях). Если г —
вершина орграфа Г и матрица К (Г) построена для произвольна

186 Гл. VI. Орграфы и пути
выбранной нумерации вершин, то
det/Cr(r)=Zn(A), (VI. 4.5)
л
где суммирование ведется по всем остовным деревьям А орграфа
Г, растущим из г.
Если говорить точнее, то мы доказали эту теорему только
для случая п > 1. Однако мы можем распространить ее и на
случай п = 1, положив определитель ОХО-матрицы равным 1.
Посмотрим, каков будет результат, когда каждая
проводимость c(D) равна 1. Матричная теорема о деревьях утверждает,
что
Tr(T) = detKrP). (VI. 4.6)
Далее, применяя эту формулу к орграфу Г', являющемуся
обращением орграфа Г, получаем
Tr(T) = detKr(Tf). (VI. 4.7)
Таким образом, числа ГГ(Г) и ТГ{Т) можно найти, вычисляя
определители.
Между матрицами К (Г) и /С(Г') даже в случае
произвольных проводимостей существует весьма большое сходство.
Первая из них может отличаться от матрицы, транспонированной
ко второй, только диагональными элементами. В матрице К (Г)
диагональные элементы выбираются так, чтобы суммы
элементов, стоящих в любой строке матрицы, были равны нулю (см.
соотношение (VI. 4.1)). У матрицы, транспонированной к
матрице /С(Г'), должны быть равны нулю суммы элементов,
стоящих в произвольном столбце. Матрица К (Г) совпадает с
матрицей,, транспонированной к матрице /С(Г'), тогда и только
тогда, когда проводимости дуг орграфа Г удовлетворяют
следующему условию: для каждой вершины vi сумма
проводимостей дуг-звеньев, входящих в vi, равна сумме проводимостей
дуг звеньев, выходящих из vi.
В случае единичных проводимостей у всех дуг орграфа Г
сформулированное условие выполняется только тогда, когда
орграф Г эйлеров. В такой ситуации из соотношений (VI. 4.6) и
(VI. 4.7) следует, что ТГ{Т)= ТГ{Г). На самом деле из формул
(VI. 4.6) и (VI. 4.7) и элементарных свойств определителей
легко выводится вся теорема VI. 23. Такое доказательство
теоремы VI. 23 приведено, например, в работе [12]. Объединяя
матричную теорему о деревьях с теоремой VI. 23, получаем
следующее утверждение.
Теорема VI. 28. Пусть Г — непустой эйлеров орграф. Тогда
его древесную сложность Г (Г) можно найти, используя
следующую процедуру: сначала строится матрица Кирхгофа К (Г)

VI. 4. Матричная теорема о деревьях 187
с единичными проводимостями дуг, затем из нее удаляются
произвольная строка и столбец с таким же номером и,
наконец, вычисляется определитель получившейся матрицы.
Разовьем соответствующую теорию и для графов.
Сопоставим каждому ребру А непустого графа G проводимость с (А).
Пусть v{, и2>---> vn — занумерованные каким-либо образом
вершины графа G. Матрица Кирхгофа K{G) графа G
определяется так: /-й диагональный элемент kit равен сумме прово-
димостей всех звеньев, инцидентных вершине vt; элемент kijt
стоящий на пересечении /-й строки и /-го столбца (/ Ф у), равен
взятой со знаком минус сумме проводимостей всех ребер,
соединяющих вершины vi и V]. Очевидно, что матрица K{G)
симметрическая. Кроме того,
2>*/ = 0, 2>*/ = 0 (VI. 4.8)
у i
и
dettf(G) = 0. (VI. 4.9)
Для произвольной вершины г графа G через Kr{G) будем
обозначать подматрицу матрицы K(G), получающуюся после
удаления строки и столбца, соответствующих вершине г.
Рассмотрим граф G совместно с эквивалентным ему
орграфом Г. Каждой дуге орграфа Г, ассоциированной с ребром А
графа G, припишем проводимость с (А). Тогда матрицы K(G)
и К (Г) совпадут.
Если Н — подграф графа G, то через П(#) обозначим
произведение проводимостей всех ребер из Я. Объединяя
теоремы VI. 5 и VI. 27, получаем следующее утверждение.
Теорема VI. 29 (матричная теорема о деревьях для случая
графов). Если г — вершина графа G и матрица K{G) построена
для произвольно выбранной нумерации вершин, то
det/Cr(G)=£lI(r), (VI. 4.10)
т
где суммирование ведется по всем остовам Т графа G. Таким
образом, для единичных проводимостей det/Cr(G) = T(G). (См.
разд. II. 2.)
Следующий результат представляет собой знаменитую
теорему Кэли [5].
Теорема VI. 30. Если G — некоторая п-клика, где п^2, то
T(G) = nn~2. (VI. 4.11)
Доказательство. В матрице Kr(G) каждый диагональный
элемент равен п—1, а каждый недиагональный элемент есть

188 Гл. VI. Орграфы и пути
•—1. Вычитая первую строку из всех остальных, а затем деля
каждую из л — 2 строк, кроме первой, на число я, приходим
к матрице М, имеющей следующее строение: первая ее строка
совпадает с первой строкой матрицы Kr(G), а в каждой из
остальных строк первый элемент равен —1, диагональный равен
1, а любой другой — нулю. Прибавив к первой строке матрицы
М все остальные строки, получаем матрицу, определитель
которой равен 1. □
VI. 5. Законы Кирхгофа
Снова будем рассматривать непустые орграфы с
приписанными их дугам проводимостями. Орподграфы графа Д,
соответствующие компонентам графа £/(Д), будем называть
компонентами орграфа Д. Орграф Д называется кратным растущим
(или кратным выходящим) деревом, если каждая его
компонента является растущим из некоторой вершины деревом. Если
число компонент равно 2 или 3, то мы будем говорить о
двойном или тройном дереве.
Будут использоваться обозначения, аналогичные
следующему:
S = (abc, defg, К //, • •., уг). (VI. 5.1)
Здесь в угловых скобках расположены разделенные запятыми
группы букв. Если число таких групп равно k, то S означает
«развернутую» сумму произведений П(Д),составленных из про-
водимостей и взятых по всем остовным й-кратным растущим
деревьям Д орграфа Г. Буквы, содержащиеся в угловых
скобках, обозначают вершины орграфа Г. Такое дерево Д вносит
вклад в сумму 5 тогда и только тогда, когда его компоненты
можно упорядочить так, чтобы при q = U . ••> k q-я
компонента включала все вершины, входящие в q-ю группу букв из
5, и являлась деревом, растущим из вершины, обозначенной
первой буквой данной группы. Мы обычно будем
интересоваться лишь двумя простыми случаями — такими, как <а, 6> и
(ах, Ьу). В первом из них 5 является суммой произведений,
составленных из проводимостей и взятых по всем остовным
двойным деревьям орграфа Г, растущим из а и Ъ. Во втором
случае 5 определяется абсолютно аналогично, но только
компонента двойного дерева, растущая из вершины а, должна
содержать вершину Ху а растущая из Ъ должна включать
вершину у.
Опишем теперь некоторые правила оперирования с
символами 5, задаваемыми выражениями вида (VI. 5.1).

VI. 5. Законы Кирхгофа 189
Теорема VI. 31. Если в S некоторая вершина v содержится
в двух различных группах букв, то S = 0. Если в S какая-либо
вершина w входит не менее двух раз в некоторую группу букв,
то все вхождения буквы w в эту группу, кроме первого, можно
удалить и значение S при этом не изменится.
Теорема VI. 32. Пусть v — произвольная вершина орграфа
Г. Через Sj(v) обозначим выражение, которое получается из S
после добавления буквы v в качестве последней буквы \-й
группы букв. Тогда
S=tsf(v). (VI. 5.2)
/=i
Оба этих утверждения следуют немедленно из введенного
определения и того факта (для теоремы VI. 32), что вершина v
принадлежит какой-нибудь компоненте каждого остовного ор-
подграфа орграфа Г.
Для произвольных вершин а, b, х и у орграфа Г положим
[ab, ху] = (ах, by) — (ay, Ьх). (VI. 5.3)
Эту величину будем называть транспедансом орграфа Г. Транс-
педанс выражения [ab,ab] называется импедансом. Из
теоремы VI. 31 и соотношения (VI. 5.3) вытекают следующие
тождества:
[аа, ху] = [ab, хх] = 0, (VI. 5.4)
[ab, ху] = — [Ьа, ху] = — [ab, ух], (VI. 5.5)
[ab, ab] = (a, b). (VI. 5.6)
Применяя теорему VI. 32, получаем
(ах, b) = (axy, b) + (ax, by)
и
(ay, b) = {axy, Ь) + (ау, Ьх).
Значит, выражение (VI. 5.3) можно переписать так:
[ab, ху] = (ах, b) — (ay, Ь). (VI. 5.7)
Теорема VI.33 (второй закон Кирхгофа). Транспедансы
орграфа Г удовлетворяют условию транзитивности:
[ab, ху] + [ab, yz] = [ab, xz]. (VI. 5.8)
Утверждение следует из соотношения (VI. 5.7).
Теорема VI.34 (первый закон Кирхгофа). Транспедансы
орграфа Г удовлетворяют следующему тождеству.
Е [ab, t (D) у] с (D) = (а) б (Ь, у) - (Ь) б (а, у), (VI. 5.9)
D

190 Гл. VI. Орграфы и пути
Рис. VI. 5.1.
где суммирование ведется по всем таким дугам D орграфа Г,
для которых h(D) = у.
Здесь <а> и <6> — символы типа (VI. 5.1). «Вкладчиками»
символа <а> являются остовные деревья орграфа Г, растущие
из вершины а. Выражение Ь{Ьуу) равно 1, если b = у, и равно
0 в противном случае. Из тождества (VI. 5.4) следует, что
вклад, вносимый в сумму всякой дугой-петлей, равен 0.
Доказательство теоремы VI. 34. Можно считать, что афЬу
так как в противном случае справедливость соотношения
(VI. 5.9) очевидна.
Принимая во внимание формулу (VI. 5.3), мы можем
записать левую часть выражения (VI. 5.9) в виде разности Р — Q,
где
P=Z(at (D), by) с (D), Q = £ (ay, bt (£>)) с (D). (VI. 5.10)
D D
Сначала рассмотрим случай, когда у = Ь. В силу
теоремы VI. 31 левая часть соотношения (VI. 5.9) равна
P=Z(at(D), b)c(D).
D
Если к двойному дереву А, вносящему вклад в {at(D)>b}) мы
присоединим дугу D (см. рис. VI. 5.1), то получим остовное
дерево орграфа Г, растущее из вершины а (см. теоремы VI. 2 и
VI. 28). Обратно, если мы имеем такое остовное дерево, то в
нем существует только одна дуга, входящая в вершину b
(в силу теоремы VI. 26), и удаление из него дуги D дает де-
ревоА, вносящее вклад в (at(D),b}. Таким образом, в данном
случае левая часть соотношения (VI. 5.9) равна <а>.
Для обоснования доказываемого утверждения в случае
у = а достаточно в приведенных рассуждениях а и b поменять

VI. 5. Законы Кирхгофа 191
Рис. VI. 5.2.
местами, ибо, как следует из определения символа 5,
(ш/, bt(D)) = (bt(D), ay).
В этом случае левая часть соотношения (VI. 5.9) равна —Q =
В оставшемся случае у отлично от а и Ь. Всякое дерево 7\
вносящее вклад в (at(D),by}, имеет две компоненты — одна
из них (компонента X) растет из вершины а и содержит
вершину t{D)> а другая (компонента У) растет из b и содержит у.
В У существует только одна дуга £, входящая в вершину у.
Удаляя Е из У, мы «разбиваем» У на два дерева — одно,
дерево Уь растет из b и включает вершину t(E), другое, дерево
У2, растет из у (см. теорему VI. 3). Если теперь присоединить
дугу D, то деревья 1и У2 соединятся в одно дерево, растущее
из а и содержащее у (см. рис. VI. 5.2). Итак, мы
преобразовали вкладчика Т во вкладчика Г', вносящего вклад в
<ar/,bt(E)), т. е., иными словами, «вкладчика Т в сумму Р»
трансформировали во «вкладчика Т7 в сумму Q».
Аналогичным образом можно преобразовать вкладчиков в сумму Q во
вкладчиков в сумму Р. Нами установлено тем самым
существование такого взаимно однозначного соответствия между
вкладчиками в Р и вкладчиками в Q, при котором соответствующие
друг другу двойные деревья вносят одинаковые вклады в Р и
Q. Следовательно, в рассматриваемом случае левая часть
выражения (VI. 5.9) равна Р — Q = 0. Теорема доказана. □
Теоремы VI. 33 и VI. 34 — это не совсем законы Кирхгофа для
обычных электрических цепей, хотя мы надеемся вскоре
представить эти теоремы как их простое обобщение. Тем не менеэ
сейчас удобно ввести некоторую «электрическую»
терминологию.
Будем говорить, что вершины а и b орграфа Г выбраны в
качестве полюсов, соответственно положительного и отрица-

192 Гл. VI. Орграфы и пути
тельного (здесь афЬ). Из теоремы VI. 33 следует, что при
таком выборе полюсов с каждой вершиной х мы можем
связать некоторый потенциал V(x) так, чтобы
[ab,xy] = V(x)-V(y) (VI. 5.11)
для любых вершин х, у из Г. Потенциал можно задать
произвольно только в одной вершине из каждой компоненты
орграфа. В остальных вершинах потенциалы определяются
однозначно соответствующими транспедансами (в силу (VI. 5.11)).
При заданных полюсах мы можем толковать транспеданс
[ab,xy] как падение напряжения между х и у (точнее, от х к у).
При фиксированных полюсах а и Ь ток в дуге D
определяется следующим выражением:
[ab, t{D)h{D)]c{D).
Если D — дуга-петля, то ток в ней равен 0. Первый закон
гласит: сумма токов во всех дугах, входящих в любую заданную
вершину х, отличную от а и 6, равна 0. Соответствующая
сумма в вершине а равна —<&>, а в вершине b равна <а>. Для
«выравнивания токов» в этих вершинах мы будем говорить, что
ток <6> втекает в орграф Г через вершину а и ток <а>
вытекает из Г через вершину Ь. Заметим, что ток, втекающий в Г
через а, вообще говоря, не равен току, вытекающему через Ь\
это является отклонением от обычных законов электрических
цепей.
Известно некоторое обобщение матричной теоремы о
деревьях, позволяющее выразить транспедансы через
определители. Из (VI. 5.9), учитывая соотношение (VI. 5.11), получаем
следующие линейные уравнения для потенциалов:
£ (V (t (D)) - V (у)) с (D) = (а) б (Ь, у) - (Ь) б (а, у).
D
Запишем их в обозначениях из разд. VI. 4:
ZkiiV(vj) = (b)6(a1 Vi)-(a)6(b1 Vl), i=l, 2, ...,n. (VI. 5.12)
Для упрощения рассмотрений положим a = v\ и Ь = vn.
Кроме того, мы можем сразу же понизить число неизвестных,
полагая V(vn) = 0, и отбросить п-е уравнение. Получаем
систему из п—1 линейных уравнений с п—1 неизвестными
потенциалами. Ее матрицей является матрица /Сь(Г). Данная
система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
det Кь{Т)ф 0. Это условие выполняется (см. теорему VI. 27),
если в Г существует остовное дерево, растущее из b (вне
зависимости от того, какие взяты проводимости — произвольные
или единичные). Следовательно,-указанное условие будет иметь

VI. 5. Законы Кирхгофа 193
Рис. VI. 5.3.
Рис. VI. 5.4.
место, если в Г существуют пути, идущие из вершины Ь в
любую другую вершину (см. теорему VI. 18). По правилу
Крамера V{vi) при 1фп равно алгебраическому дополнению
элемента ku в матрице Кь{Т).
Рассмотрим, например, орграф, изображенный на рис. VI. 5.3.
В качестве полюсов а и Ъ возьмем соответственно вершины 1
и 4; проводимости всех дуг единичные. Тогда
К(Т) =
(а)=
1 О О
-1 2 0
-1 -1 2
г 1 0 0
— 1-1
— 1 10 0
-1-1 2 0
L 0-1-1 2-
теорему о деревьях, нахсъ
= 4, ф) =
1 0 0
-1 1 0
-1
-1 2
= 2.
Так как <6> отлично от нуля, то потенциалы можно вычислить
по правилу, сформулированному выше. Имеем
V(a) =
V(v3) =
1 0
-1 2
— 1 1
-1 -
1
= 2,
V(v2) = -
V (b) = 0.
-1
-1
= 2,
Транспедансы при выбранных полюсах можно найти,
используя формулу (VI. 5.11). Для такого простого орграфа
справедливость соотношений (VI. 5.3) и матричной теоремы о
деревьях проверяется непосредственно. Соответствующее
распределение токов в заданном орграфе показано на рис. VI. 5.4.
Здесь через вершину а = v\ втекает ток, величина которого
равна 2, а через вершину b = v\ вытекает ток величины 4. При
рассмотрении токов, приведенных на рис. VI. 5.4, естественно
возникает желание их все разделить на общий множитель 2.

194 Гл. VI. Орграфы и пути
Токи, которые мы определяли выше (при выбранных полюсах),
часто называют токами, образующими полный поток из
полюса а в полюс Ь. Если все эти {полные) токи умножаются на
одну и ту же константу, то получается некоторый поток из а
в Ь. При этом произведение каждого полного тока на взятую
константу называют током результирующего потока. В том
случае, когда полные токи являются целыми числами, деление
каждого из них на их наибольший общий делитель дает
редуцированный поток из а в Ь.
Пусть Г — эйлеров орграф с единичными проводимостями.
Если древесная сложность Г (Г) отлична от нуля, то
соответствующая система линейных уравнений (VI. 5.12) имеет
единственное решение при любом выборе полюсов. Более того, ток,
втекающий через положительный полюс, равен току,
вытекающему через отрицательный полюс (см. теорему VI. 23).
Заметим, что древесная сложность Г (Г) отлична от 0 тогда и только
тогда, когда орграф Г сильно связен (см. теоремы VI. 14, VI. 18
и VI. 20). Существует несколько интересных взаимосвязей
между полными потоками в орграфе Г и в обратном к нему
орграфе Г'. В силу теоремы VI. 23 Т(Г') = Т(Г). Так как
матрица /С(Г') является транспонированной к матрице /С(Г), то
импедансы [ab, ab] у орграфов Г иГ совпадают.
Займемся построением аналогичной теории для графов.
Пусть каждому ребру А графа G сопоставлена проводимость
с (А). Пусть v\, ..., vn — каким-либо образом
перенумерованные вершины графа G. Символ 5 вида (VI. 5.1), содержащий k
групп букв, будет теперь означать сумму произведений прово-
димостей, взятых по всем таким остовным подграфам графа G,
которые состоят ровно из k компонент. Такой подграф вносит
вклад в сумму 5 тогда и только тогда, когда его компоненты
можно упорядочить так, чтобы q-я компонента включала все
вершины из q-и группы букв, входящей в 5 (q = 1, ..., k).
Рассмотрим эквивалентный орграф Г графа G. Каждой дуге
орграфа Г, ассоциированной с ребром А графа G, припишем
проводимость с (А) — как в разд. VI. 4. Связь между теориями
для орграфов Г и графов G устанавливается следующей
теоремой.
Теорема VI. 35. Значения символа S вида (VI. 5.1) для
орграфа Г и графа G совпадают.
Доказательство. Вкладчиками в 5 для орграфа Г являются
ориентанты вкладчиков в 5 для графа G. При этом всякие два
соответствующих друг другу вкладчика (для Гиб) имеют
совпадающие произведения проводимостей. Более того, у
любого вкладчика в 5 для графа G существует единственный

VI. 5. Законы Кирхгофа 195
ориентант, являющийся вкладчиком в 5 для орграфа Г (см.
теорему VI. 4). □
Теперь мы можем определить транспедансы и потенциалы
для графа G/оии такие же, как у орграфа Г. Мы уже видели,
что матрицы Кирхгофа у графа G и орграфа Г одинаковые.
Одна и та же у них и алгебра, базирующаяся на
соответствующих символах 5. Различны только интерпретации этих
символов.
Можно считать, что две дуги, ассоциированные с ребром А
графа G, определяют на sfoM ребре две противоположные
ориентации. При заданных полюсах ток, текущий по ребру в
одном направлении, является отрицательным по отношению к
току, текущему в противоположном направлении (см.
соотношение (VI. 5.5) и определение тока). Теорема VI. 34 теперь
превращается в обычный первый закон Кирхгофа. Она гласит:
сумма токов по всем ребрам, инцидентным произвольной
вершине х графа G, отличной от полюса, равна нулю. Очевидно,
что символ (и) имеет одно и то же значение для всякой
вершины и графа G. Следовательно, в силу теоремы VI. 34 ток,
втекающий в G через положительный полюс, равен току,
вытекающему из G через отрицательный полюс.
Приведем теперь несколько теорем о транспедансах для
графов, которые на орграфы, вообще говоря, не переносятся.
Теорема VI. 36. В случае графов символ S, определяемый
формулой (VI. 5.1), не меняет своего значения при перестановке
букв в любой его группе.
Справедливость этого утверждения следует из определения
символа 5 для графа: первая буква в любой группе букв уже
не рассматривается как корень растущего дерева.
Теорема VI. 37. Транспедансы графа удовлетворяют
следующему тождеству:
[ab, ху] = [ху, аЬ]. (VI. 5.13)
Утверждение вытекает из формулы (VI. 5.3) и
теоремы VI. 36.
Теорема VI. 38. Транспедансы графа удовлетворяют
следующему тождеству:
2 [ab, ху] = [ау, ау] + [Ьх, Ьх] — [ах, ах] — [by, by]. (VI. 5.14)
Доказательство. Используя теоремы VI. 33 и VI. 37,
приходим к равенству
[ab\ Ьх] = [ab, ba] + [ab, ах],
[ab, Ьх] = [ах, Ьх] + [xb, Ьх].

196 Гл. VI. Орграфы и пути
Складывая эти равенства и учитывая соотношение (VI. 5.5),
получаем
2 [ab, bx] = [ab, ах] + [ах, bx] — [ab, ab] — [bx, Ьх].
Применяя еще раз теоремы VI. 33 и VI. 37, имеем
2 [ab, bx] = [ах, ах] — [ab, ab] — [bx, bx]. (VI. 5.15)
Заменив здесь х на у, вычтем из левой и правой частей
получившегося равенства соответственно левую и правую части
формулы (VI. 5.15). После этого нужно воспользоваться
теоремой VI. 33. □
Мы видим, что транспедансы графа можно выразить через
его импедансы, а значит (см. формулу (VI. 5.6)), через
соответствующие ему символы вида <и, и>.
VI. 6. Отождествление вершин
Пусть S ={а\, а2, ..., ak}—подмножество из k различных
вершин орграфа Г (k>\). Мы можем построить новый
орграф Г", отождествляя между собой все элементы из 5.
Орграф Г' состоит по определению из тех же самых дуг,
которые содержатся в орграфе Г, и из тех же самых вершин, кроме
вершин, входящих в 5 и заменяемых на одну новую вершину а.
У каждой дуги в орграфе Г' начало и конец такие же, как
в орграфе Г, кроме тех начал и концов, которые принадлежат
5, — они заменяются на вершину а.
Если А — остовный орподграф орграфа Г, то после
отождествления вершин, образующих множество 5, получается
остовный орподграф ДЛ орграфа Г'.
Предположим, что А есть ^-кратное растущее дерево, у
которого каждая компонента содержит ровно одну вершину из 5
и растет именно из этой вершины. Тогда в силу теоремы IV. 28
граф £/(Д') является деревом. Следовательно, на основании
теоремы VI. 2 орграф А' есть дерево, растущее из вершины а.
Обратно, если А'— такое растущее дерево, то из соотношения
(1.6.1) вытекает, что граф £/(Д) имеет не менее k компонент,
причем каждая из них обязательно содержит вершину из 5,
так как в противном случае она (компонента) являлась бы
компонентой в графе U(A'). Значит, граф £/(Д) состоит ровно
из k компонент и в каждой из них — в точности одна вершина
из 5. Используя формулу (1.6.1), заключаем, что U(A) — лес
и в нем k деревьев. Следовательно, в силу теоремы VI. 2
каждая компонента орграфа А является деревом, растущим из
соответствующей вершины множества 5.

VI. 6. Отождествление вершин 197
Пусть всякая дуга D имеет в орграфе Г' такую же
проводимость c(D), как и в орграфе Г. Тогда приведенный только
что результат можно выразить с помощью формулы
(аиа2, ..., ak) = (a)\ (VI. 6.1)
где штрих указывает на то, что символ относится к орграфу Г'.
Продвинем теорию, развитую в разд. VI. 5, несколько
дальше. Пусть K(i> j) — матрица, получающаяся из К (Г)
вычеркиванием i-й строки и /-го столбца, K(ij, lm) — матрица,
получающаяся из Л" (Г) после удаления i-й и /-й строк (i Ф /) и
/-го и m-го столбцов (I ф ш) и т. д. Тогда
detK(i, j) = (-l)iH(vi). (VI. 6.2)
В самом деле, при / = i это утверждение совпадает с
теоремой VI. 27. Если же j ф i, то прибавим к j-му столбцу
матрицы K{i,j), т. е. к столбцу, соответствующему вершине vi, все
остальные ее столбцы. Получится матрица, у которой вместо
стоявших раньше элементов kSi будут стоять (в силу равенства
(VI. 4.1)) величины —kSj. Совершая в этой матрице \i — /|—1
«последовательных» перестановок соседних столбцов, мы
можем преобразовать ее в матрицу K(i,i). Для получения
соотношения (VI. 6.2) теперь достаточно применить теорему VI. 27.
При решении системы (VI. 5.12) допустимо считать, что
V(vn) = Q. Значит, в силу соотношения (VI.5.11) [v{vn, vtvn]
является алгебраическим дополнением элемента ku матрицы
/Сь (Г), т. е. матрицы %(п,п). Итак, если i ф п, то
[v\vn, vtvn] = (- 1)'+1 det/Г (1 я, in). (VI. 6.3)
Эта формула может быть обобщена так:
[vivn, i>,i>,] = (- l)n+iH+ldetK(ln, ij), (VI. 6.4)
где i < /. При / = п соотношение (VI. 6.4) просто совпадает
с (VI. 6.3). Если же j ф п, то формулу (VI. 6.4) можно
доказать следующим образом. К последнему столбцу матрицы
K(ln,ij) прибавим все остальные ее столбцы. Получится
матрица, у которой вместо стоявших раньше элементов ksn будут
стоять (в силу равенства (VI. 4.1)) величины —kSi—kSj.
Значит,
det К (In, ij) = — det At — det Af,
где матрица At (матрица Aj) строится из матрицы К (In, ij)
заменой каждого элемента ksn в последнем столбце на
соответствующий элемент ksi (на элемент ksf). Переставляя подхо-

198 Гл. VI. Орграфы и пути
дящим образом столбцы, находим, что
det Л, = (— l)""" det/Г (In, jn),
det Л/ = (— 1)Л+/+1 det/C(ln, in).
Отсюда следует, что
(-\)n+i+f+ldetK(ln,ij) =
= (- 1)'det/С (In, jn) + {- 1)/+1 detain, in) =
= — [vxvn, v}vn] + [v{vn, vtvn] =
(см. соотношения (VI. 6.3) и (VI. 5.8)).
Таким образом, формула (VI. 6.4) доказана. Мы можем
распространить ее на случай, когда i>j, вводя символ o{p,q)y
где р и q — различные целые числа. Полагаем c(p,q) = 0 при
р <q и а(р, q)= 1 при р> q. Обобщение формулы (VI. 6.4)
достигается путем прибавления величины o(i,j) к показателю
степени у —1. Можно предложить более широкое обобщение
формул (VI. 6.3) и (VI. 6.4):
[vgvh, vtv,] = (- 1)а det K{gK lj), (VI. 6.5)
где ёФК i Ф j и
a = g + h + i + j + o(g,h) + o(i,j). (VI.6.6)
Для обоснования этого соотношения заметим, что при
изменении индексов у двух последовательных вершин может, самое
большее, измениться только знак в обеих частях формулы
(VI. 6.5). Значит, соотношение (VI. 6.5) вытекает из (VI. 6.4).
Соотношение (VI. 6.5) можно сформулировать так:
величина [vgvh, vtVj] равна умноженному на (— 1)Л+/
алгебраическому дополнению элемента kgi матрицы K(h,j), или (как
пишут в некоторых статьях): транспеданс равен алгебраическому
дополнению элемента kgi в алгебраическом дополнении
элемента kh} матрицы К(Т).
Поскольку транспедансы можно выразить через
определители, то.мы вправе ожидать, что некоторые взаимосвязи между
ними описываются с использованием тождеств для
определителей. Рассмотрим, например, матрицу Ks{T), получающуюся
из К(Т) вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих
вершинам, входящим в 5. Применяя соотношение (VI. 6.1) и
матричную теорему о деревьях, получаем
det Ks (Г) = <аь а2, ..., ak) = (а)'. (VI. 6.7)

VI. 6. Отождествление вершин 199
Матрица Л$(Г) есть подматрица матрицы КГ{Т)> где r = ak.
Если (г) отлично от нуля, то det^Cs(r) можно выразить через
(г) и алгебраические дополнения матрицы Л"Г(Г)> используя
теорему Якоби о минорах присоединенной матрицы:
det Ks (Г) = (r)~k+2 det М, (VI. 6.8)
где М — такая {k — 1) X (k — 1)-матрица, у которой (/, /)-элемент
равен [atak, а}ак] для любых i и /.
Рассмотрим граф G, в котором каждому ребру А приписана
проводимость с (А). Пусть Г — эквивалентный орграф графа G
и каждой дуге в Г сопоставлена проводимость, равная
проводимости соответствующего ей ребра из G. Мы можем построить
новый граф G\ отождествляя все вершины а,- из 5 и обозначая
эту новую вершину через а. По определению граф G' состоит
из тех же самых ребер, которые содержатся в графе G, и из тех
же самых вершин, кроме вершин, входящих в 5 и заменяемых
на вершину а. Концы каждого ребра в графе G' такие же, как
в графе G, кроме тех концов, которые принадлежат 5, — они
заменяются на вершину а. Ясно, что эквивалентным орграфом
графа G' является орграф Г'. Теперь можно воспользоваться
теоремой VI. 35. Она утверждает, например, что формула
(VI. 6.1), хотя и выведена как соотношение, отражающее
взаимосвязь между орграфами Г и Г', может быть
интерпретирована как соотношение между графами G и G'. Поскольку
матрицы Кирхгофа у Г и G одинаковые, то формулы (VI. 6.7) и
(VI. 6.8) мы можем рассматривать и как относящиеся к
графам G и G'.
Объединяя формулу (VI. 6.8) с теоремой VI. 38, получаем
утверждение, справедливое для графов, но, вообще говоря,
неверное для орграфов:
Теорема VI. 39. Пусть G — связный граф и G' строится из
G отождествлением всех вершин, принадлежащих множеству
S ={аи а2, ..., ak}y k ^ 3, которые дают новую вершину а.
Обозначим ak через г. Произведение (a}\r}k~2 можно выразить
в виде многочлена от символов {at, а/> (1 ^ i <. j ^ k) с
коэффициентами, являющимися целыми числами и не
зависящими от структуры графа G.
Здесь <г> отлично от нуля (в силу связности графа G — см.
теорему 1.36). Значит, можно воспользоваться формулами
(VI. 6.7) и (VI. 6.8). Так как в теореме VI. 39 рассматривается
полиномиальное тождество относительно проводимостей, то ее
нетрудно распространить и на случай, когда <г> = 0.

200 Гл. VI. Орграфы и пути
При единичных проводимостях <г> равно T(G) и <а'> равно
T(G'). В силу соотношения (VI.6.1) величина (aifaj} есть
древесная сложность графа, получаемого из G при
отождествлении вершин at и а/.
VI. 7. Теория транспортных сетей
Пусть х и у — различные вершины орграфа Г. Всякое
множество X дугово простых путей в орграфе Г, идущих из х в у
и попарно не пересекающихся по дугам, называется связкой
путей из х в у орграфа Г. Число \Х\, равное количеству путей
в связке X, назовем ее мощностью.
В данном разделе мы рассмотрим задачу о нахождении
в орграфе Г связки путей из х в у максимально возможной
мощности. Для дальнейшего удобно ввести ряд определений.
Орграфом Г(Х) связки X называется орподграф орграфа Г,
состоящий из дуг всех путей, содержащихся в X, и всех
вершин, инцидентных этим дугам. Очевидно, что Г(Х) является
обьединением всех орграфов, соответствующих путям из X.
Если v — вершина из Г(Х), отличная от х и у, то ее
полувалентности исхода и захода в орграфе Т(Х) одинаковые. Эту
величину мы будем называть интенсивностью связки X в
вершине v. Если вершина у из Г не принадлежит Г(Х), то мы
будем говорить, что интенсивность связки X в вершине v равна
нулю. Если все пути, входящие в X, являются линейными, то
интенсивность связки X в вершине v равна, очевидно, числу
путей в X, проходящих через эту вершину. Мы будем называть
связку X ротативной, если в орграфе Г(Х) существует
ориентированный цикл. В противном случае связка X будет
называться ирротативной.
Теорема VI. 40. Если связка X ирротативна, то каждый путь
в ней является линейным.
Доказательство. Предположим, что некоторый путь Р
в связке X нелинейный. Тогда в нем найдется невырожденный
замкнутый подпуть, имеющий наименьшую длину, т. е.
являющийся круговым путем и, следовательно, определяющий орцикл
в орграфе Т(Х). П
Теорема VI. 41. Если орграф Г (X) содержит
ориентированный 2-цикл А, то в орграфе Г существует связка X' путей из х
в у, такая, что \Х'\ = \Х\ и орграф Т{ХГ) получается из
орграфа Г(Х) удалением двух дуг, образующих 2-цикл А.
Доказательство. Пусть D\ — дуга 2-цикла А, началом
которой является вершина и, а концом — вершина v. Пусть D2 —

V.I. 7. Теория транспортных сетей 201
т О, s«
Рис. VI. 7.1.
дуга из А, противоположная дуге D\ (см. рис. VI. 7.1). Через
Pi обозначим путь из связки X, проходящий по дуге Dt (i =
= 1,2). Пути Pi и Р2 мы можем следующим образом
разложить на подпути:
Pi = Ri(Dl)Su P2 = R2(D2)S2.
Искомая связка X' получается из связки X заменой пути Рг
на путь R\S2, а пути Р2 — на путь R2S{. П
Назовем связку X путей из х в у орграфа Г приводимой,
если в Г существует другая связка X' путей из х в у, такая,
что \Х'\ = \Х\, Г {X') £Г(1) и число дуг в Г (X') меньше, чем
в Г (X). Замена в этом случае связки X на связку X' будет
называться редукцией (связки X).
Теорема VI. 42. Если связка X ротативна, то она является
приводимой.
Доказательство. Предположим сначала, что в Г{Х)
найдется дуга-петля D. Тогда в X есть путь Р, такой, что Р =
= /?(D)S. Очевидно, что X можно редуцировать, заменяя Р
на RS.
Предположим теперь, что в Г(Х) есть ориентированный
2-цикл. Тогда возможность применения редукции к X вытекает
из теоремы VI. 41. Итак, мы можем считать, что в Г(Х) нет ни
1-циклов, ни 2-циклов. Значит, в нем найдется
ориентированный д-цикл А с п ^ 3.
Выберем в А некоторую дугу D. Пусть Р — путь из X,
проходящий по D. Можно предположить, что дуга D является
первой по порядку дугой цикла А, встречающейся в пути Р при
движении по нему от х к у (изменив, возможно, выбор дуги D).
В цикле А есть некоторый круговой эйлеров путь Q = (Db D2,...
..., Dn) с D\=D. Обозначим конец дуги Dk через Vk, k = l,
2, ..., п. Путь Р можно представить в виде RP\, где подпути
R и Р\ удовлетворяют следующему условию: конечной
вершиной подпути R является вершина vn, а первой дугой в подпути
Pi является дуга D = D\ (см. рис. VI. 7.2).

202 Гл. VI. Орграфы и пути .
Рис. VI. 7.2.
Предположим, что вершина
t(Di) в Р± встречается
несколько раз. Тогда Р = RTP2) где под-
пути R и Р2 таковы, что вершина
t(Di) служит концом подпути
R и началом подпути Р2, а
дуга Di содержится в подпути Т.
Следовательно, связку X
можно редуцировать, заменяя Р
на RP2. В дальнейшем считаем,
что вершина t{Dx) в Рх
встречается только один раз.
Отсюда, в частности, вытекает,
что дуга Dn в путь Рх не
входит.
Существует наибольшее
целое г, такое, что г < п и vr есть
вершина из Рх. Очевидно, что ни одна из дуг Dr, Dr+u •••
..., Dn не может содержаться в Р{, а значит, и в Р. Тогда
Р\ = ^2$, где подпуть S выходит из вершины vr.
Добавим к орграфу Г новые дуги £V+u £V+2, ••., Еп (их
п — г штук), руководствуясь следующим правилом: началом и
концом дуги Е} являются соответственно конец и начало дуги
Dj9 j = r-\-l, г -\- 2, ..., п. Получившийся орграф обозначим
через Т{. Преобразуем связку X в связку Хх в орграфе Ти
заменяя путь Р на путь R(En, Еп-\, ..., Er+i)S. Применяя
п — г раз теорему VI. 41, строим из Хх в орграфе Т{ связку
Х\ такую, что |Z/| = |Z1 | = |Z| и орграф Ti(X') получается из
орграфа Т{ (Xi) удалением всех дуг Dj и Ef, где / = г + 1,
г + 2, ..., п. Но тогда, очевидно, X' будет связкой путей из
х ъ у ъ орграфе Г. Значит, связка X может' быть
редуцирована. □
Применяя теорему VI. 42 несколько раз, легко выводим
следующее утверждение.
Теорема VI. 43. Если X—произвольная связка путей из х
в у в орграфе Г, то в нем существует ирротативная связка
путей из х в уу такая, что \ X' | = | X \ и Г (Xf) ^ Г (X).
Рассмотрим теперь задачу о нахождении связки путей из
х в у, имеющей максимально возможную мощность. Сначала,
однако, займемся обобщениями. На множестве вершин орграфа
Г зададим функцию [, которая каждой вершине v сопоставляет
неотрицательное целое число f(v), называемое ее пропускной
способностью. Будем искать такую связку X путей в орграфе Г,

VI. 7.. Теория транспортных сетей 203
чтобы полувалентность исхода каждой вершины v в орграфе
Т(Х) не превосходила величины f{v). Связки,
удовлетворяющие этому условию, будем называть \-ограниченными.
Разрезом орграфа Г между вершинами х и у называется
любая упорядоченная пара {UXyU]y), состоящая из взаимно
дополнительных подмножеств множества V(T), таких, что
х е Ux и у е иу. Пусть и — произвольная вершина из Ux.
Через $(и) будем обозначать число всех дуг орграфа Г,
выходящих из и и входящих в вершины, принадлежащие
подмножеству Uу. Если P(w)>0, то вершину и будем называть стоком
подмножества Ux> Пропускная способность разреза (UXl Uy)
обозначается через C(UX, Uy) и определяется следующим
соотношением:
C(Ux,Uy)= S mintf(a), р(и)). (VI. 7.1)
Теорема VI.44. Если (UXlUy) — разрез орграфа Г между
вершинами х и у и X — произвольная f-ограниченная связка
путей из х в у, то \X\^C(UX) Uy).
Доказательство. Каждый путь из X должен иметь хотя бы
одну дугу с началом в Ux и концом в Uy. Но среди $(и) дуг,
выходящих из вершины и е Ux и входящих в вершины
подмножества Uy, путям из X принадлежат не более чем f(u)
ДУГ. □
Предположим теперь, что в орграфе Г найдется
/-ограниченная связка X путей из х в у, имеющая мощность k. Мы
допускаем, что k может быть равно нулю. В силу теоремы VI. 43
можно считать, что связка X ирротативна. Тогда по
теореме VI. 40 каждый путь из X является линейным.
Удобно представить орграф Г как ориентант некоторого
графа G. Граф G строится из Г посредством замены каждой
дуги D на ребро AD с теми же самыми инцидентными
вершинами. Эквивалентный орграф графа G обозначим через Л. Для
каждого ребра AD из графа G возьмем в орграфе Л ту из двух
дуг, ассоциированных с ADl которая соответствует дуге D
орграфа Г. Другая дуга может быть обозначена через D~{
(см. разд. VI. 1); она в Г не содержится.
Рассмотрим все дугово простые пути Q в Л, которые
выходят из вершины х и удовлетворяют следующим условиям:
(i) в Q нет дугу принадлежащих орграфу Г(Х);
(ii) в Q не существует двух дуг, содержащихся в Г и
имеющих одинаковые начала;
(ш) если дуга D пути Q не входит в Г, то дуга D~l
принадлежит орграфу Т(Х)\

204 Гл. VI. Орграфы и пути
(iv) если дуга D пути Q содержится в Г, то либо она в Q
следует непосредственно за дугой, не входящей в Г, либо полу-
валентность исхода ее начала и в орграфе Т(Х) меньше f(u).
Семейство всех таких путей Q обозначим через J(x). В J(x)
содержится, в частности, вырожденный путь в вершине х.
Рассмотрим случай, когда в J(x) существует путь Q,
идущий из х в у. В силу условия (i) мы можем присоединить Q
к X. Получим в орграфе Л связку Х\ путей из х в у, имеющую
мощность k + 1. Если и — произвольная вершина орграфа
А(Х\) связки Хи то на основании условия (и)
полувалентность исхода вершины и в орграфе А{Х\) не превосходит f(u) +
+ 1. Кроме того, если полувалентность исхода равна /(:/)+1,
то какая-то одна дуга D пути Q, заходящая в вершину и, не
принадлежит орграфу Г (в силу условия (iv)). Значит (см.
условие (iii)), дуга D~l является одной из дуг орграфа Т(Х)У
выходящих из вершины и.
Применяя теорему VI. 41 ко всем таким парам (Д D-1), у
которых обе дуги содержатся в А(Х\), получаем (в силу
условия (Ш)), что в орграфе Г связка Хг путей из х в у имеет
мощность k-\-\. Кроме того, связка X' является
/-ограниченной»
Займемся рассмотрением оставшегося случая: в J(x) нет
путей, идущих из х в у. Возьмем в качестве Ux множество всех
таких вершин v из Г, для которых в J(x) существуют пути,
идущие из х в v. Множество U,y определяем как дополнение
подмножества Ux в V(T). Тогда x^Ux, y^Uy и (UXyUy) —
разрез орграфа Г между вершинами х и у.
Если путь Q из J(x) представим в виде Q1Q2, то ясно, что
подпуть Qi удовлетворяет приведенным выше условиям (i) —
(iv), а значит, принадлежит J(x). Следовательно, каждая
вершина любого из путей, содержащихся в J(x), должна входить
в Ux.
Вершину v орграфа Т(Х) назовем насыщенной, если ее
полувалентность исхода в Г(Х) равна f(v). Сток и подмножества
Ux называется заполненным, если каждая дуга орграфа Г,
выходящая из и и входящая в £7^, принадлежит некоторому пути
из связки X. Следующие три теоремы устанавливают
взаимосвязь между разрезом (Ux, Uy) и путями, содержащимися в
связке X.
Теорема VI. 45. ^Пусть Р — произвольный путь из X. Тогда
в Р существует ровно одна дуга DP с началом в Ux и концом
в Uу. Кроме того, если путь Р представим в виде Pi(DP)P2, то
все вершины подпути Р\ принадлежат Ux, а все вершины под-
пути Р2 содержатся в Uy.

VI. 7. Теория транспортных сетей 205
Доказательство. В качестве DP берем первую по порядку
дугу пути Р, у которой конец принадлежит подмножеству Uy.
Ее начало должно содержаться в Ux. Путь Р представим в
виде Pi(DP)P2, причем все вершины подпути Pi принадлежат
их.
Предположим, что в подпути Р2 есть вершина,
содержащаяся в Ux. Тогда у некоторой дуги Е из Р2 начало лежит в
подмножестве Uy, а конец — в подмножестве Ux. В семействе
J(x) существует путь Q, идущий из х в h(E). Значит, в J(х)
имеется путь Q(£-1), идущий из х в t(E). Это противоречит
выбору подмножества Ux.
Таким образом, все вершины подпути Р2 принадлежат Uy- □
Теорема VI. 46. Пусть и— произвольный незаполненный сток
подмножества Ux. Через у (и) обозначим число дуг орграфа
Г(Х), выходящих из и и входящих в Uy. Справедливо
равенство у{и)= f(u).
Доказательство. Поскольку сток и является незаполненным,
то в орграфе Г существует дуга D, не принадлежащая орграфу
Г (X) и такая, что i (D) = и и h (D) е Uy.
Предположим, что вершина и ненасыщенная. В семействе
J(x) имеется путь Q, идущий из х в и. Мы можем считать, что
в Q нет дуги, выходящей из и (так как в противном случае
можно было заменить Q на подходящий его подпуть).
Добавляя к пути Q дугу Z), получаем путь Q(D), содержащийся
в J(x) и идущий из х в h(D). Это противоречит выбору
подмножества Ux. Значит, и является насыщенной вершиной.
Предположим далее, что y{u)<Cf{u). Поскольку вершина и
насыщенная, то в связке X существует путь Р, содержащий
дугу Di, такую, что t(D\)=u и h(D\)^ Ux. Возьмем в
семействе J(х) путь Q, идущий из х в h(D\).
Допустим, что путь Q содержит дугу Е орграфа Г,
выходящую из и. Тогда Q представим в виде Q\Q2, причем дуга Е
принадлежит подпути Q2. В силу приведенного выше условия
(iv) подпуть Qi является невырожденным и его последняя
дуга не входит в Г. Но тогда путь Q\{D) содержится в J (х) и
идет из х в h(D). Пришли к противоречию. Значит, можно
считать теперь, что у пути Q таких дуг, как £, нет.
Рассмотрим путь Q(D^\ D). Он принадлежит J (х) и
входит в вершину h(D). Это противоречит выбору подмножества
Ux. Следовательно, у (u)7^f (и). Поскольку связка X является
[-ограниченной, y(u) = f (и). □
Теорема VI. 47. \X\ = C{UX9Uy).

206 Гл. VI. Орграфы и пути
Доказательство. Из соотношения (VI. 7.1) и теоремы VI. 46
следует, что C(UXlUy) есть число таких дуг из Г(Х), начала
которых содержатся в Ux, а концы — в £А,, т. е. (см.
теорему VI. 45) это число совпадает с \Х\. □
Теорема VI.48 (теорема о максимальном потоке и
минимальном разрезе). Пусть f — произвольная целочисленная
функция пропускных способностей вершин орграфа Г. Наибольшая
из мощностей ^-ограниченных связок путей в орграфе Г,
идущих из х в у, равна наименьшей из-пропускных способностей
разрезов между вершинами х и у.
. Доказательство. Пусть X — произвольная /-ограниченная
связка путей из х в у в орграфе Г. Как было показано выше,
мы можем, не меняя мощности связки X, редуцировать ее к
ирротативной связке. Если соответствующее семейство путей
J(x) содержит путь из х в у, то из связки X можно построить
в орграфе Г связку Хг путей из х в у, имеющую большую
мощность.
Начиная с тривиальной связки путей из х в у, имеющей
мощность нуль, будем выполнять описанную выше процедуру
до тех пор, пока не придем к ирротативной связке X, такой,
что в соответствующем семействе J(x) не существует путей,
идущих из х в у. Пусть мощность связки X равна k. Выбирая
подмножества Ux и Цу, как указывалось выше, получаем в
орграфе Г разрез (£/*, Uy) между вершинами х и у, имеющий
пропускную способность, равную k (см. теорему VI. 47).
Используя теорему VI. 44, видим, что эта величина k является
одновременно и минимально возможной пропускной
способностью разрезов между вершинами х и у, и максимально
возможной мощностью /-ограниченных связок путей, идущих из
х в у. □
Мы можем утверждать, что приведенное доказательство
является конструктивным. Оно дает способ построения
конкретной /-ограниченной связки путей из х в у> имеющей
наибольшую мощность. Значительно труднее задача нахождения
семейства путей J(x). Но искать все пути, принадлежащие J(x),
необходимости нет. Достаточно для возможно большего числа
вершин v найти в семействе J(x) только по одному пути,
идущему из х в v. Сделав это для некоторой совокупности вершин,
мы можем затем либо распространить такое построение на
другие вершины, либо описать подмножество Ux, используя
аргументацию, базирующуюся на теоремах VI. 45 и VI. 46.
Обычно в теореме о максимальном потоке и минимальном
разрезе речь идет не о связках путей, а о потоках в орграфах
(сетях). Такую форму этой теоремы мы рассмотрим позднее

VI. 7. Теория транспортных сетей 207
(в разд. VIII. 9) в связи с теорией алгебраических 0- и 1-цепей
и установим ее эквивалентность теореме VI. 48 (см. также [7]
и [8]).
В двух следующих теоремах выделены некоторые частные
случаи развитой нами теории.
Теорема VI. 49. Пусть х и у— различные вершины орграфа
Г. Максимально возможная мощность связок путей в орграфе
Г, идущих из х в у, равна наименьшему целому числу k,
такому, что для некоторого разреза (Ux, Uy) между вершинами х
и у в орграфе Г число дуг из Г с началом в Ux и концом в Uy
равно k.
Для доказательства этого утверждения достаточно выбрать
пропускную способность каждой вершины так, чтобы она была
не меньше полувалентности исхода этой вершины в орграфе Г,
а затем применить теорему VI. 48.
Множество линейных путей в орграфе Г, идущих из х в у,
называется внутренне непересекающимся, если у любых двух
путей, содержащихся в нем, нет ни общих дуг, ни общих
вершин, отличных от х и у.
Теорема VI.50 (теорема Менгера для орграфов). Пусть х и
у —различные вершины орграфа Г и в Г не существует дуги,
идущей из х в у. Тогда наибольшее число попарно внутренне
непересекающихся линейных путей в орграфе Г, идущих из х
в у, равно наименьшему целому числу k, такому, что для
некоторого разреза (Ux, Uy) между вершинами х и у в орграфе Г
число стоков подмножества Ux равно k и вершина х стоком для
Ux не является.
Доказательство. Для всякой вершины v, отличной от х и у,
положим f(v)=L Но для вершин х и у пропускную
способность выберем так, чтобы она была не меньше полувалентности
исхода этой вершины в орграфе Г. Из теоремы VI. 48 следует,
что если h — наибольшая мощность /-ограниченных связок
путей в орграфе Г, идущих из х в у, то в Г существует разрез
(Ux, Uу) между вершинами х и у, имеющий пропускную
способность h, и таких разрезов, обладающих меньшей пропускной
способностью, нет. Применяя теорему VI. 43, получаем, что в Г
найдется ирротативная /-ограниченная связка X путей из х в
у, мощность которой равна h. В силу теоремы VI. 40 все пути
в X линейные.
Пусть Т — подмножество множества Uy, состоящее из всех
вершин t, которые являются концами дуг орграфа Г,
выходящих из вершины х. Из условия доказываемой теоремы следует,

208 Гл. VI. Орграфы и пути
что вершина у подмножеству Т не принадлежит.
Перебрасывая подмножество Т из множества Uy в множество Ux> мы
пропускную способность разреза не увеличим, ибо пропускная
способность каждой вершины, содержащейся в Г, равна 1.
Пропускная способность разреза, естественно, и не уменьшится.
Значит, разрез (UXl Uy) можно выбрать так, чтобы вершина х
не была стоком множества Ux. Следовательно, h = k.
Из определения связки путей непосредственно вытекает, что
никакие два пути в X общих дуг не имеют. Нет среди них
благодаря специальному выбору функции / и двух путей с общими
вершинами, отличными от х и у. Для завершения
доказательства теоремы надо вспомнить определение величины h. О
Следует заметить, что теорему Менгера для графов,
которая рассматривалась в разд. II. 5 (см. теорему 11.36), можно
доказать, применяя теорему VI. 50 к эквивалентному орграфу
подходящего графа G (см. теорему VI. 9).
VI. 8. Замечания
VI. 8.1. Замечания, касающиеся литературы
Большинство книг по теории графов уделяет некоторое
внимание и орграфам. Одной из монографий, посвященных в
основном ориентированным графам, является книга [9].
VI. 8.2. Альтернированные карты
Существует интересная теория планарных эйлеровых
орграфов. Если такой орграф изобразить специальным образом —
чтобы дуги, входящие в произвольную вершину, и дуги,
выходящие из нее, чередовались, то получится так называемая
«альтернированная карта». Альтернированные карты разбиваются
на множество троек подобно тому, как неориентированные
планарные карты образуют двойственные пары.
Соответствующая теория представлена в работах [12] и [4].
Альтернированные карты, входящие в одну и ту же тройку, имеют
одинаковую древесную сложность.
В работе [12] рассматривается задача о триангулировании
треугольников. В ней показано, что строение одной из
подходящих триангуляции можно описать с помощью некоторой
альтернированной карты и системы уравнений Кирхгофа для
соответствующего этой карте орграфа.

Литература 209
VI. 8.3. Законы Кирхгофа для орграфов
Выкладки, аналогичные проведенным для орграфа,
изображенного на рис. VI. 5.3, но относящиеся к другим орграфам,
можно найти в работе [14]. Дальнейшее развитие теории
законов Кирхгофа для орграфов представлено в статье [13].
VI. 8.4. Роторы
Теорема VI. 39 появилась впервые в работе [2], разд. 7.2.
Правда, доказательство этой теоремы предлагалось провести
читателю, а в работе был рассмотрен только частный ее
случай. Довольно.простые рассуждения показывают, что если
«ротор» в графе «обратить», то древесная сложность при этом не
изменится. Ротором графа называется такой его подграф,
который обладает осевой симметрией и у которого все
соединяющие вершины эквивалентны относительно этой симметрии.
«Обращение» ротора состоит в замене его зеркальным отражением.
Теория роторов представлена в работах [2], [3] и [13].
Упражнения
1. Построить эйлеров ориентант для графа октаэдра. Найти
эйлеровы контуры результирующего орграфа и рассмотреть
соответствующие растущие деревья.
2. Используя матричную теорему о деревьях, найти
древесную сложность орграфа из упр. 1. Убедиться в справедливости
полученного результата, изобразив соответствующие растущие
деревья этого орграфа.
3. Используя матричную теорему о деревьях, найти число
остовов 4-клики и 5-колеса.
4. Найти общую формулу для древесной сложности колеса
с п спицами. (См. [10].)
5. В орграфе из упр. 1 каждой вершине сопоставим
единичную пропускную способность. Указать несколько
/-ограниченных связок путей, идущих из какой-либо вершины в другую.
Литература
[1] van Aardenne-Ehrenfest Т., de Bruijn N. G. Circuits and trees in oriented
linear graphs. — Simon Stevin 28 (1951), 203—217.
[2] Brooks R. L., Smith С. А. В., Stone A. H., Tutte W. T. The dissection
of rectangles into squares. — Duke Math. J. 7 (1940), 312—340.
[3] Brooks R. L., Smith С. А. В., Stone A. H., Tutte W. T. A simple perfect
square. — Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 50 (1947), 1300—1301.
[4] Brooks R. L., Smith С. А. В., Stone A. H., Tutte W. T. Leaky electricity
and trianguleted triangles. — Phillips Res. Reports 30 (1975), 205—219.

210 Гл. VI. Орграфы и пути
[5] Cayley A. A theorem on trees. — Quart. J. Pure. Appl. Math. 23 (1889),
376—378.
[6] Euler L. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. — Comment,
Academiae Sci. Imp. Petropolitanae 8, 1736 (Opera omnia (1), vol. 7,
1766, 1—10.)
[7] Ford L. R., Fulkerson D. R. Maximal flow through a network. — Canad.
J. Math. 8 (1956), 399—404.
[8] Ford L. R., Fulkerson D. R. Flows in networks. — Princeton Univ. Press,
1962. [Имеется перевод: Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в се-
тях. — М.: Мир, 1966.]
[9] Harary F., Norman R. Z., Cartwright D. Structural models: an
introduction to the theory of directed graphs. — New York: Wiley, 1965.
[10] Sedlacek J. Lucas numbers in graph theory. (Czech. English summary.) -r-
Mathematics (Geometry and Graph Theory) (Czech.), Ill—115. —
Prague: Univ. Karlova, 1970.
[11] Smith С. А. В., Tutte W. T. On unicursal paths in a network of
degree 4. —Amer Math. Monthly 48 (1941), 233—237.
[12] Tutte W. T. The dissection ef equilateral triangles into equilateral
triangles. — Proc. Cambridge Phil. Soc. 44 (1948), 463—482.
[13] Tutte W. T. The rotor effect with generalized electrical flows. — Ars Com-
binatoria 1 (1976), 3—31.
[14] Tutte W. T. Dissections into equilateral triangles. — In: The
Mathematical Gardner, D. A. Klarner, ed. Wadsworth International, Belmont,
California, 1981, 127—139. [Имеется перевод: Татт У. Т. Разбиения на
равносторонние треугольники. — В кн.: Математический цветник (сост. и
ред. Д. А. Кларнер). —М.: Мир, 1983, с. 161 — 180.]

Глава VII
ЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ ПУТИ
VII. 1. Кур сальность дуг и ребер
В первой части этой главы мы рассматриваем граф G вместе
с заданным разбиением его множества ребер E(G) на взаимно
дополнительные подмножества Е\ и Е2. Элементы
подмножества Е\ будем называть синими ребрами, а элементы из Е2—
красными ребрами. Каждой дуге эквивалентного орграфа Г
мы приписываем такой же цвет, какой имеет соответствующее
ей ребро графа G.
Путь Р в графе G называется чередующимся, если любые
две смежные дуги в Р окрашены в разные цвета. Все
вырожденные пути, а также все пути длины 1 будем считать
чередующимися.
Пусть г — фиксированная вершина графа G. Рассмотрим в
графе G семейство J (г) всех реберно простых чередующихся
путей Р, таких, что они выходят из вершины г и первая дуга
в каждом из них, если она есть, красная. Мы ищем
необходимое и достаточное условие существования в J (г) пути,
идущего из г в другую заданную вершину s, которое выражалось
бы в терминах структурных свойств графа G и раскраски его
ребер. Во второй части данной главы мы применим это
условие для построения теории факторизации графов.
Заметим, что если произведение путей Р\Р2 принадлежит
семейству /(г), то первый сомножитель Р\ также содержится
в /(г).
Сначала, ориентируясь на семейство /(г), установим
классификацию дуг и ребер графа G. Дугу будем называть кур-
сальной, если она принадлежит некоторому пути из J {г); в
противном случае дуга будет называться нонкуреальной. Ребро
йазывается нонкурсальным, уникурсальным или бикурсальным
в зависимости от того, сколько курсальных дуг ассоциировано
с ним — нуль, одна или две.
Теорема VII. 1. Если ребро А является петлей графа G, то
оно либо нонку реальное, либо бикурсальное.
Доказательство. У двух дуг, ассоциированных с
ребром-петлей А, начала и концы совпадают. Значит, если одна из этих
дуг содержится в некотором пути из. семейства J {г), то мы

212 Гл. VII. Чередующиеся пути
можем заменить ее в указанном пути на другую
ассоциированную с ребром А дугу и получим новый путь, входящий в
семейство J(г). □
Заметим, что уникурсальное ребро является обязательно
звеном (т. е. его концы х и у различные). Следовательно,
каждая дуга, ассоциированная с таким ребром А, однозначно
определяется своими началом и концом. Если у ассоциированной
с ребром А курсальной дуги началом является вершина х, а
концом — вершина у, то мы будем говорить, что
А—уникурсальное ребро из х и в у.
Теорема VII. 2. Если А и В— уникурсальные ребра в
вершину v, то они имеют одинаковый цвет. Если v = г, то
уникурсальное ребро в вершину v синее.
Доказательство. Предположим, что ребра А и В разных
цветов. Меняя местами, если нужно, обозначения этих двух
ребер, можно утверждать, что в семействе J (г) существует
путь Р, оканчивающийся в вершине v, последняя дуга
которого ассоциирована с ребром А и который не содержит дуг,
ассоциированных с ребром В. Но тогда путь P(D), где D —
нонкурсальная дуга, ассоциированная с В, принадлежит
семейству J {г). Мы пришли к противоречию.
Для доказательства второй части теоремы предположим,
что некоторое ребро С, уникурсальное в г, красное. Тогда
соответствующая ему нонкурсальная дуга определяет путь длины
1 из семейства J {г). Получили противоречие. □
Вершина v графа G называется бикуреальной, если она
инцидентна некоторому бикурсальному ребру. Вершина v
называется нонкуреальной, если она отлична от г и каждое
инцидентное ей ребро нонкурсальное. В оставшемся случае
вершина v называется уникурсальной. Таким образом, если
вершина г не инцидентна бикурсальному ребру, то она является
уникурсальной. Всякая другая вершина уникурсальна только
в том случае, когда она инцидентна какому-нибудь уникурсаль-
ному ребру и не инцидентна ни одному бикурсальному ребру.
Если вершина v отлична от г и в семействе J (г) есть .путь
Р, содержащий дугу D, выходящую из у, то в Р должна
существовать дуга, непосредственно предшествующая дуге D (и,
значит, заходящая в вершину v). Таким образом, справедливо
следующее утверждение.
Теорема VII.3. Если v — уникурсальная вершина, то либо
v = г, либо некоторое ребро уникурсально в v.
Уникурсальная вершина v называется синим пунктом, если
либо v = г, либо существует синее ребро, уникурсальное в v.

VII. 2. Бжу реальные подграфы 213
Она называется красным пунктом, если некоторое красное
ребро уникурсально в и. В силу теоремы VII. 3 каждая уни-
курсальная вершина является либо синим пунктом, либо
красным, а по теореме VII. 2 никакая уникурсальная вершина не
может быть одновременно и синим пунктом, и красным.
Множество всех уникурсальных вершин графа G будем обозначать
через (/, подмножество всех синих пунктов — через U\, а
подмножество всех красных пунктов — через U2. Синий цвет будем
считать «цветом 1», а красный — «цветом 2».
Теорема VII.4. Пусть вершина v из подмножества Ui
инцидентна ребру А, цвет которого отличен от i. Тогда А—уникур-
сальное ребро из v.
Доказательство. Если v = г, то 1=1, а значит, ребро А
красное. Дуга, ассоциированная с ребром А и выходящая из г,
определяет в семействе J (г) путь длины 1. Следовательно, А
должно быть уникурсальным ребром из v.
В оставшемся случае вершина v отлична от г. В силу
теоремы VII. 3 в J (г) существует путь Р, содержащий дугу D,
заходящую в вершину v. Беря такой путь Р, имеющий
наименьшую длину, мы тем самым добьемся того, что дуга D будет
последней дугой выбранного пути, причем единственной дугой
в нем, заходящей в вершину v. Ясно, что дуга D имеет цвет iy
так как уе Ui. Значит, если D' — дуга, ассоциированная с
ребром А и выходящая из вершины и, то путь P{D') содержится
в семействе J (г). Следовательно, А — уникурсальное ребро
ИЗ V. □
Теорема VII.5. Пусть вершина v из Ui инцидентна ребру А
цвета L Тогда ребро А либо нонкурсально, либо
уникурсально в V.
Доказательство. Предположим, что теорема для ребра А не
верна. Тогда А должно быть уникурсальным из v. Пусть D —
курсальная дуга этого ребра. В J (г) существует путь Р,
содержащий дугу D. Поскольку ребро А имеет цвет i, то дуга D
не может быть первой дугой пути Р. Пусть D' — дуга,
непосредственно предшествующая дуге D и ассоциированная с
некоторым ребром В. Тогда цвет ребра В отличен от /. Более
того, ребро В, не являясь бикурсальным, обязательно должно
быть уникурсальным в v. Однако это противоречит
теореме VII. 4. □
VII. 2. Бикурсальные подграфы
Бикурсальные ребра и вершины графа G определяют в нем
некоторый подграф W. Назовем его бикурсальным подграфом
графа G (относительно семейства J (г)). Из определения бикур-

214 Гл. VII. Чередующиеся пути
сальной вершины следует, что подграф W является
ограничением графа G.
Пусть К—произвольная компонента подграфа W.
Поскольку каждая дуга в К является курсальной, то в семействе J (г)
существует путь, конец которого лежит в компоненте К. Среди
таких путей выберем путь наименьшей длины. Обозначим его
через Р и назовем путем, проникающим в компоненту К.
Последнюю вершину пути Р будем называть входом в
компоненту К и обозначать через е.
Если вершина г принадлежит компоненте /С, то Р должен
быть вырожденным путем в вершине г. Значит, е = г.
Если г не содержится в /С, то последняя дуга пути Р
является проникающей в К дугой De и соответствующее ей ребро
Ае графа G есть ребро, проникающее в компоненту /С
Следовательно, путь Р представим в виде произведения R(De), где
подпуть R не имеет в компоненте К ни ребер, ни вершин.
Заметим, что ребро Ае в К не содержится. В самом деле, одним
его концом является вершина е, принадлежащая /С, а
другим — вершина t, представляющая собой конец подпути R и,
значит, не лежащая в /С. Из сказанного вытекает, что ребро
Ае бикурсальным быть не может. Оно должно быть уникур-
сальным в е.
Если путь Р вырожденный, то полагаем i(K)= 1. В
противном случае i(K) считаем равным 1 или 2 в зависимости от
того, синим или красным является проникающее в К ребро Ае.
Через J(K,e) обозначим семейство всех реберно простых
чередующихся путей Q, которые выходят из вершины е,
целиком лежат в компоненте /Сив каждом из которых первая
дуга, если она есть, имеет цвет, отличный от i(K). Очевидно,
что для каждого такого пути Q путь PQ определен и
содержится в семействе J (г). Заметим также, что если произведение
путей Q1Q2 принадлежит семейству J(K>e), то в нем лежит и
путь Qi.
Теорема VII.6. Пусть Q — невырожденный путь из ]{К,е),
оканчивающийся вершиной v и дугой D, ассоциированной с
ребром Л, лежащим в компоненте К. Пусть, кроме того, некоторое
ребро В графа G, инцидентное вершине и, либо нонкурсалъно,
либо уникурсально в v. Тогда оно либо является проникающим
в компоненту К, либо имеет такой же цвет, как и ребро А.
Доказательство. Предположим, что ребро В не является
проникающим в К и его цвет отличен от цвета ребра А. Пусть
Dr — дуга, ассоциированная с В и выходящая из v. Тогда
путь PQ(D') принадлежит J (г), что противоречит выбору
ребра В. □

VII. 2. Бикуреальные подграфы 215
Теорема VII. 7. Компонента К содержит хотя бы одно ребро,
инцидентное вершине е и имеющее цвет, отличный от i(K).
Доказательство. Нам уже известно, что в К существует
ребро, инцидентное вершине е. Предположим, что все такие
ребра имеют цвет i(/C). Пусть А — одно из них. Рассмотрим
дугу D, ассоциированную с Л и выходящую из е. Она
принадлежит некоторому пути 5 семейства J (г) и не является первой
дугой в 5, так как ее цвет есть i(K). Значит, в пути 5
содержится дуга D', непосредственно предшествующая дуге D.
Концом дуги Df является вершина е. Дуге D' в графе G
соответствует ребро В, цвет которого отличен от i(K).
Следовательно, ребро В либо бикурсально, либо уникурсально в е. Но
первая из этих возможностей противоречит нашему
предположению о цвете ребер, инцидентных вершине е, а вторая —
теореме VII. 2. □
Теорема VII.8. Пусть Q — путь из семейства J(K,e)y
заходящий в' вершину v. Тогда в К существуют красное и синее
ребра, инцидентные вершине v.
Доказательство. Предположим, что все ребра в /С,
инцидентные вершине и, имеют один и тот же цвет /. Пусть А — то
из них, которое соответствует последней дуге D пути Q. Дуга
D~x принадлежит некоторому пути 5 из семейства J (г) и в 5
есть дуга D\ непосредственно предшествующая дуге D~l. (Если
v = г, то v = е.) Ребро В графа G, соответствующее дуге D'y
инцидентно вершине v и имеет цвет, отличный от /. Значит, оно
либо бикурсально, либо уникурсально в v. Первая возможность
влечет за собой принадлежность ребра В компоненте /С, что
противоречит нашему предположению о дуге D'. А вторая
возможность исключается в силу теоремы VII. 6. □
Теорема VII. 9. Если дуга D из компоненты К принадлежит
какому-либо пути Q из семейства J(K,e), то и дуга D~l
содержится в некотором пути из J (К,е).
Доказательство. Пусть дуге D соответствует ребро А из /С.
Можно считать, что D — последняя дуга пути Q. Если А —
петля, то дугу D в Q можно заменить дугой D~l. Получится
путь из ](К,е), содержащий D-1. Предположим теперь, что
А — звено с концами х и у и что D — дуга из х в у (см.
рис. VII. 2.1 и VII. 2.2).
В J (г) существует путь 5, у которого D~l является
последней дугой. Если 5 целиком лежит в /С, то обязательно е = г,
i(K)=h а значит, 5 принадлежит семейству ]{К,е). Поэтому
можно считать, что в 5 имеются дуги, не содержащиеся в К.
Пусть D\ — последняя из таких дуг. Очевидно, что вершина
h{D\) находится в компоненте К. Более того, путь 5 можно

216 Гл. VII. Чередующиеся пути
Рис. VII. 2.1
Рис. VII. 2.2.
представить в виде произведения S\(D\)S2, где 52 — путь в К
с последней дугой D~l. Ребро Ль соответствующее дуге D\,
является уникурсальным в h(D\).
Предположим, что h(D\)=e. Если е = г, то D\ — синяя
дуга, а в противном случае цвет ее совпадает с цветом дуги,
проникающей в компоненту К (см. теорему VII. 2). В каждом
из этих двух случаев подпуть S2 принадлежит семейству
J(K,e)f а значит, теорема справедлива. Предположим теперь,
что вершина h(D\) отлична от е.
В пути Q существует первая дуга D2, такая, что либо £)2,
либо ДГ1 содержится в S2 (поскольку D принадлежит пути Q,
a D~l — подпути 52). Разложим Q в произведение Qi(£2)Q2,
а 52 — в произведение 53(£2)54 или ЗзСДГ^б^. Если для
52 осуществимо первое разложение, то путем из J(K> е),
содержащим дугу D~\ является произведение Q1(D2)54(cm. рис.
VII. 2.1). Предположим, что для 52 имеет место второе раз-

VII. 2. Бикурсальные подграфы 217
ложение. Тогда путь Q\ (D2)Ss1 (А-1) принадлежит семейству
J (г). Однако это невозможно, так как ребро А{ уникурсально
в h (А) (см. рис. VII. 2.2). □
Теорема VII. 10. Каждая дуга компоненты К принадлежит
некоторому пути из семейства /(/С, е).
Доказательство. Из теоремы VII. 9 следует, что мы можем
разбить множество Е(К) на два взаимно дополнительных
подмножества X и У таким образом, чтобы каждая дуга,
ассоциированная с произвольным ребром из X, принадлежала
некоторому пути из семейства J (К> е) и чтобы никакая дуга,
ассоциированная с ребром из У, не содержалась ни в каком пути
из /(/С, е).
Применяя теорему VII. 7, заключаем, что подмножество X
непустое.
Предположим, что подмножество У также непусто. Из
связности компоненты К вытекает существование вершины и,
инцидентной- какому-либо ребру из X и какому-нибудь ребру из У.
В семействе J(K>e) найдется путь из е в и, такой, что его
последняя дуга ассоциирована с ребром, принадлежащим
подмножеству X (и, естественно, инцидентным вершине v).
Поскольку ни один из таких путей не может быть продолжен по
ребру из подмножества У„ инцидентному вершине и, то мы
приходим к выводу, что все ребра компоненты /С, инцидентные
вершине и, имеют один и тот же цвет. Следовательно, в силу
теоремы VII. 8 v = е. Используя теорему VII. 7, получаем, что
в К не существует ни одного ребра, инцидентного вершине е
и имеющего цвет /(/С). Значит, все ребра из /С, инцидентные
вершине v = е, содержатся в подмножестве X. Но это
противоречит выбору вершины v.
Таким образом, подмножество У пустое. □
Пусть Я—подграф графа G. Соединяющим ребром для
подграфа Я называется ребро графа G, не принадлежащее Я,
но инцидентное хотя бы одной вершине из Я. Таким образом,
концы соединяющих ребер для подграфа Я, содержащиеся в
нем, являются соединяющими вершинами этого подграфа. Если
Я— порожденный подграф графа G, то каждое ребро,
являющееся соединяющим для Я, представляет собой звено, один
конец которого содержится в V(H)y а другой — в V(G)—V(H).
Теорема^ VII. 11. Пусть К— произвольная компонента би-
куреального подграфа W графа G. Тогда К есть порожденный
подграф графа G. Кроме того, всякое соединяющее ребро для
К либо является проникающим в компоненту КУ либо уникур-
сальным из своего конца, содержащегося в К.

218 Гл. VII. Чередующиеся пути
Доказательство. Пусть А — произвольное ребро из E(G) —
— Е(К), у которого один конец (обозначим его через х)
принадлежит К и которое не является проникающим в /С. Ребру
А соответствует дуга D, заходящая в х. Очевидно, что А не
бикурсально, так как иначе бы оно содержалось в К.
Используя теорему VII. 10, получаем, что в семействе /(/С, е)
существует невырожденный путь из е в х, последняя дуга D'
которого ассоциирована с некоторым ребром компоненты /С,
инцидентным х. Если ребро А не уникурсально из х, то в силу
теорем VII. 1, VII. 2 и VII. 3 х = е и цвет ребра А отличен от
i(K). Но тогда в J (г) есть путь P(D_1), такой, что подпуть Р
является проникающим в /С Следовательно, ребро А должно
быть уникурсальным из х. Пришли к противоречию.
Нам уже известно, что ребро А не является петлей (см.
теорему VII. 1). Остается показать, что оба конца х и у звена
А не могут одновременно лежать в К. Если бы х и у
принадлежали /С, то из приведенных выше рассуждений следовало бы,
что ребро А уникурсально одновременно из х и у. А это
невозможно.
В заключение заметим, что ребро, проникающее в /С, если
оно есть, является (в силу данного выше определения) звеном,
только один конец е которого лежит в /С. □
Из теоремы VII. 11 вытекает, что мы не обладаем свободой
выбора ребра и дуги, проникающих в компоненту К. Если г
содержится в /С, то дуги, проникающей в /С, нет и каждое
соединяющее ребро для компоненты К уникурсально из своего
конца, принадлежащего /С. Если же г в К не входит, то все
соединяющие ребра для /С, кроме одного, уникурсальные из
тех своих концов, которые лежат в /С. А одно
«исключительное» ребро является проникающим в К и уникурсальным в свой
конец, содержащийся в К-
Теорема VII. 12. Валентность каждой вершины,
принадлежащей компоненте К бикурсального подграфа W, не меньше 2
(в компоненте К).
Доказательство. Для вершины, отличной от е, утверждение
вытекает из теоремы VII. 8.
Вход е инцидентен реб.ру А из компоненты /С,
соответствующему некоторой дуге Д выходящей из е. В силу теоремы VII. 10
дуга D~l содержится в каком-нибудь пути Q из семейства
J(K>e). Если начало дуги D~l совпадает с е, то валентность
вершины е относительно компоненты К не меньше 2. В
оставшемся случае дуга D~l отлична от первой дуги пути Q. Пусть
В — ребро из /С, соответствующее первой дуге пути Q. Ребро В
инцидентно вершине е и не совпадает с ребром Л, так как
путь Q реберно простой. D

VII. 3. Бикурсальные секции 219
VII. 3. Бикурсальные секции
Будем продолжать развивать теорию, представленную
в разд. VII. 2. Через Z обозначим множество всех таких ребер
графа G, не принадлежащих бикурсальному подграфу W, у
каждого из которых оба конца содержатся в W.
Из теоремы VII. 11 следует, что если /IgZ, то концы х и у
ребра А лежат в разных компонентах подграфа W (скажем,
хе К\ и(/е /С2)• Кроме того, в силу все той же теоремы VII. 11
ребро А является уникурсальным, например, из х в у и
проникающим в одну из этих компонент (при наших
предположениях— в компоненту /С2).
Добавляя все ребра из Z в подграф W, получаем
порожденный подграф W графа G. Компоненты подграфа W
называются бикурсальными секциями графа G относительно семейства
J (г).
Пусть В— произвольная бикурсальная секция графа G. Ее
конституэнтой называется всякая содержащаяся в ней
компонента подграфа W. Очевидно, что бикурсальная секция В
получается из объединения своих конституэнт добавлением
ребер, образующих некоторое подмножество ZB множества Z.
Обозначим через т(В) число конституэнт секции В. Оно
отлично от нуля.
Теорема VII. 13. У секции В существует хотя бы одна
конституэнта, для которой нет проникающего в нее ребра,
принадлежащего подмножеству Zb-
Доказательство. Пусть К—конституэнта секции В,
имеющая наименьший по длине проникающий в нее путь Р. Если
s(P) = 0, то утверждение очевидно: компонента К содержит
вершину л и не имеет проникающих в нее ребер. В оставшемся
случае последняя дуга пути Р выходит из вершины, не
принадлежащей секции В. Значит, ребро, проникающее в /С, в ZB не
содержится. □
Поскольку каждое ребро из ZB является проникающим
лишь в одну конституэнту секции В, то
\ZB\<m(B). (VII. 3.1)
Теорема VII. 14. У бикурсальной секции только одна
конституэнта не имеет проникающего в нее ребра, принадлежащего
ZB. Кроме того, каждое ребро из Zb является перешейком
секции В.
Доказательство. Рассмотрим объединение всех конституэнт
секции В. Оно является графом, состоящим из т(В) компо-

220 Гл. VII. Чередующиеся пути
нент. Будем присоединять к нему по одному ребру из ZB. Число
компонент на каждом шаге будет уменьшаться не более чем
на единицу (см. теорему 1.29), а осуществив последний шаг,
мы получим связный граф (т. е. только одну компоненту).
Следовательно, используя неравенство (VII. 3.1), имеем
\ZB\ = m(B)-\. (VII. 3.2)
Первая часть теоремы доказана. Далее, из теоремы 1.29
вытекает, что ребро, присоединяемое последним в описанном выше
процессе, должно быть в секции В перешейком. Остается
принять во внимание, что ребра из ZB можно присоединять в
произвольном порядке. □
Теорема VII. 15. Пусть В— бикурсальная секция графа G.
Каждое соединяющее ребро для В, кроме, быть может, одного,
является уникурсальным из своего конца, принадлежащего В,
в некоторую уникурсальную вершину графа G.
Исключительный случай имеет место тогда и только тогда, когда г не
содержится в В. Соответствующее данному случаю соединяющее
ребро уникурсально из некоторой уникурсальной вершины
графа G в конец этого ребра, лежащий в секции В.
Доказательство. Пусть А — произвольное соединяющее ребро
для В. Поскольку W— порожденный подграф графа G, то
один конец ребра А (обозначим его через х) находится в В,
а другой (конец у) в В не содержится. Но в силу
теоремы VII. 11 ребро А уникурсальное. Следовательно, у есть уни-
курсальная вершина графа G (в противном случае ребро А
принадлежало бы множеству Z, а значит, и секции В).
Если ребро А уникурсальное в х, то на основании
теоремы VII. 11 оно является проникающим ребром в ту
единственную конституэнту секции В, которая не имеет
проникающих ребер, принадлежащих подмножеству Zb- Следовательно,
если г не содержится в В, то существует только одно такое
ребро А\ если же г находится в В, то таких ребер нет. □
В случае когда г не принадлежит В, ребро, которое является
единственным уникурсальным в вершину из В, естественно
называть ребром, проникающим в В, а курсальную дугу,
ассоциированную с ним, — дугой, проникающей в В.
Вернемся снова к множеству U всех уникурсальных
вершин графа G. Подграф G[U] графа G назовем уникурсальным.
Компоненты -порожденного подграфа G[V(G)—U] являются
ядрами G[U] -мостов в графе G. Среди них есть бикурсальные
секции графа G (см. теорему VII. 15); все остальные
компоненты подграфа G[l(G)— U] состоят из нонкурсальных ребер

VI 1.4. Чередующиеся барьеры 221
и вершин и мы будем называть их нонкурсальными секциями
графа G. Любое соединяющее ребро каждой такой секции нон-
курсально и один его конец лежит в множестве U.
VII. 4. Чередующиеся барьеры
В этом разделе будет доказана теорема о чередующемся
соединении, о которой говорилось в разд. VII. 1. Полезно
обобщить определение подмножеств U\ и U2. Будем теперь
считать, что это произвольные непересекающиеся подмножества
множества V(G), и упорядоченную пару (Uu U2) будем
обозначать буквой %.
Подмножество (/, являющееся объединением U\ и U2l
называется множеством внутренних вершин пары %. Дополнение
подмножества U в множестве V(G) назовем множеством
внешних вершин пары %• Подграф, порождаемый подмножеством
V(G)— (/, называется внешним графом пары %. Компоненты
этого графа будем называть компонентами пары %.
Пусть М — некоторая компонента пары % и А —
соединяющее ребро для М. Один конец этого ребра (обозначим его
через х (А)) лежит в М, а другой (конец у (А))—в U. Назовем
ребро А проникающим в М относительно пары %, если А —
красное ребро и вершина у(А) принадлежит U\ либо если А —
синее ребро и вершина у (А) содержится в U2.
Пару х назовем чередующимся барьером графа G с центром
г, если выполняются следующие три условия:
(i) если г е (/, то г е U\\
(ii) если каждый конец ребра Л, принадлежащего графу G,
содержится в (/, то один из них лежит в U\, а другой — в 1)2\
(Hi) всякая компонента пары % имеет не более одного
проникающего в нее ребра, а компонента пары %, содержащая г,
таких ребер не имеет.
Компонента чередующегося барьера %, имеющего центр л,
называется достижимой, если она либо содержит г, либо
обладает проникающим ребром. В противном случае компонента
называется недостижимой. Таким образом, соединяющие ребра
для недостижимой компоненты М удовлетворяют следующему
условию: у каждого красного соединяющего ребра один из
концов принадлежит подмножеству U2y а у каждого синего —
подмножеству U\.
Теорема VII. 16. Пусть ^=(U\,U2), где подмножества Ui
такие же, как в разд. VII. 1. Тогда % есть чередующийся барьер

222 Гл. VII. Чередующиеся пути
графа G с центром г. Достижимые компоненты пары %
являются бикурсальными секциями графа G (относительно г).
Доказательство. Условие (i), очевидно, справедливо (см.
определения из разд. VII. 1). Для доказательства выполнения
условия (ii) заметим сначала, что ребро А должно быть уни-
курсальным, а значит, оно не является петлей (см.
теорему VII. 1). Истинность условия теперь следует из теорем VII. 4
и VII. 5.
Принимая во внимание теорему VII. 15 и определение
подграфа W\ заключаем, что бикурсальные секции являются
компонентами пары %, удовлетворяющими условию (iii). Очевидно^
что все они — достижимые компоненты (см. теорему VII. 15).
У всякой другой компоненты М пары % все вершины нонкур-
сальные. Следовательно, и все соединяющие ребра для М нон-
курсальные. Каждое такое ребро инцидентно некоторой
внутренней вершине, имеющей тот же цвет, что и данное ребро
(см. теорему VII. 4). Таким образом, компонента М
удовлетворяет условию (iii) и, значит, является недостижимой. □
Чередующиеся барьеры, описываемые теоремой VII. 16,
будем называть курсальными барьерами с центром г.
Теорема VII. 17. Пусть %=(U\y U2)—чередующийся барьер
графа G с центром г. Пусть s — вершина из некоторой
недостижимой компоненты М, содержащейся в %. Тогда в семействе
J (г) не существует пути из г в s.
Доказательство. Предположим, что в J (г) есть путь Р,
идущий из г в 5. Дугу D пути Р назовем нерегулярной, если она
исходит из внутренней вершины барьера %, имеющей такой же
цвет, как и дуга D. Это значит, что вершина~7(£)) содержится
в U\ или U2 в зависимости от того, синей или красной является
дуга D. Например, первой дугой пути Р будет обязательно
такая дуга, конец которой принадлежит М, и эта дуга должна
быть нерегулярной (в силу недостижимости компоненты М).
Пусть D — первая по порядку нерегулярная дуга в Р. Она
отлична от первой дуги пути Р, ибо Р содержится в J (г). Пусть
D' — дуга пути Р, непосредственно предшествующая дуге D.
Предположим, что вершина t(D') внутренняя. Тогда в силу
условия (ii) ее цвет отличен от цвета вершины t(D). Но так
как Р — чередующийся путь, то дуги D и D' имеют разный
цвет. Следовательно, дуга D' нерегулярна. Это противоречит
выбору дуги D.
В оставшемся случае t(D') принадлежит некоторой
компоненте N барьера %. Кроме того, Dr является дугой,
ассоциированной с ребром Л, проникающим в N. Значит, N — достижи-

VII. 5. f -факторы и j-барьеры 223
мая компонента, и она не содержит г (см. условие (Hi)).
Далее, в пути Р имеется первая по порядку дуга D", конец
которой лежит в N. Эта дуга предшествует в Р обеим дугам D
и Dr. Поскольку дуга D" не является ассоциированной с ребром
А, проникающим в N, то она должна быть нерегулярной в Р.
Это противоречит выбору дуги D. □
Теорема VII. 18 (теорема о чередующемся соединении).
Пусть г и s — различные вершины графа G. Семейство J (г)
не имеет путей, идущих из г в s, тогда и только тогда, когда
в графе G существует чередующийся барьер с центром г,' одна
из недостижимых компонент которого содержит вершину s.
Доказательство. Предположим, что в J {г) нет путей,
идущих из г в 5. Пусть %— курсальный барьер с центром г.
Вершина 5 является нонкурсальной относительно J(г) и,
следовательно, принадлежит некоторой нонкурсальной секции, а
значит, и какой-то недостижимой компоненте барьера %.
Обратно, предположим, что граф G содержит
чередующийся барьер % с центром г и вершина 5 лежит в некоторой
недостижимой компоненте этого барьера. Тогда в силу
теоремы VII. 17 в J (г) не существует путей из г в s. □
Вершина чередующегося барьера графа G называется
достижимой, если она не содержится ни в какой недостижимой
компоненте этого барьера. Рассмотрим курсальный барьер с
центром г. Его достижимые вершины образуют совокупность
таких вершин, до которых можно дойти из вершины г по
путям, принадлежащим семейству J (г). В силу теоремы VII. 17
все эти вершины являются достижимыми и относительно
любого другого чередующегося барьера графа G с тем же самым
центром г. Следовательно, курсальный барьер минимален
относительно числа достижимых вершин.
VII. 5. f-факторы и j-барьеры
Сейчас мы займемся приложениями теории чередующихся
барьеров. Рассмотрим граф G и функцию /, которая каждой
вершине х графа G сопоставляет целое число f(x), такое, что
О < / (х) < val (G, х). (VII. 5.1)
Остовный подграф F графа G называется f-ограниченным, если
val {F, х) < / (х)
(VII. 5.2)

224 Гл. VII. Чередующиеся пути
для всякой вершины xg V(G). Для такого подграфа F мы
полагаем
6 (F, х) = /(*)- val (F, х)у (VII. 5.3)
6(Л= Z 6(F(jc)). (VII. 5.4)
х €= К (G)
Заметим, что величина 6(F, х) всегда неотрицательна.
Будем говорить, что вершина х является насыщенной (или яеяа-
сыщенной) относительно Fy если 6(.F, х) = 0 (соответственно
6(F9x)>0).
Величину 8(F) назовем дефицитом подграфа F. Если
дефицит равен нулю, т. е. каждая вершина из G является
насыщенной относительно F, то подграф F будет называться f-факто-
ром графа G. В иной терминологии /-ограниченные остовные
подграфы называют /-паросочетаниями, а /-факторы —
совершенными /-паросочетаниями.
Дальнейшие наши шаги направлены на поиск необходимых
и достаточных условий существования /-фактора в графе G.
Одно довольно тривиальное необходимое условие мы
сформулируем сейчас.
Теорема VII. 19. Если граф G имеет f-фактор, то
£ f(x) = 0 (mod 2). (VII. 5.5)
х е= V (G)
Для доказательства этого утверждения достаточно
применить соотношение (I. 1.1) к /-фактору F.
На множестве V{G) удобно ввести новую функцию /':
Г (х) = val (G, х) - f (х). (VII. 5.6)
Очевидно, что неравенства (VII. 5.1) выполняются и для
функции /'. Каждому /-фактору F графа G однозначно соответствует
/'-фактор Ff, ребрами которого являются все ребра графа G,
не принадлежащие /-фактору F. Соответствие F -*- F' задает
один из видов двойственности в теории факторизации графов.
Приведем теперь весьма простую теорему о .факторах.
Теорема VII.20. Если G — связный эйлеров граф и f(x) =
= (l/2)val(G, х) для каждой вершины х, то граф G имеет
f-фактор тогда и только тогда, когда число \E(G)\ четное.
Доказательство. Если \E(G)\ нечетно, то /-фактора быть не
может (на основании теоремы VII. 19 и соотношения (1.1.1)).
Далее, по теореме VI. 25 в графе G существует эйлеров путь Р.
Если j£(G)| четно, то возьмем в Р каждое второе (т. е.
четное) ребро. Получим множество ребер /-фактора F. □
Иногда в графе G удается выявить специальные
образования, называемые f-барьерами, которые позволяют получить

VII. 5. f -факторы и j-барьеры 225
нижнюю оценку дефицита /-ограниченных остовных подграфов.
Для введения понятия /-барьера воспользуемся следующими
определениями.
Пусть У—подмножество из V(G) и х— вершина графа G.
Если х не содержится в У, то через А,(У, х) обозначим число
всех звеньев из G, соединяющих вершину х с вершинами из У.
Если х принадлежит У, то А,(У, х) будет обозначать сумму
числа звеньев из G, соединяющих х со всеми другими
вершинами подмножества У, и удвоенного числа петель, инцидентных
вершине х. Если X и У—непересекающиеся подмножества из
V(G), то через Х(Х, У) обозначим число звеньев графа G, у
каждого из которых один конец лежит в Л', а другой — в У.
Понятие /-барьера похоже на понятие чередующегося
барьера, введенное в разд. VII. 4. Пусть
B=(SyT)—упорядоченная пара непересекающихся подмножеств из V(G).
Положим U=V(G) — (5U71)- Множество U порождает подграф
G[U] графа G, называемый внешним графом пары В. Все
компоненты этого внешнего графа будем называть компонентами
пары В. Разделим эти компоненты на четные и нечетные.
Пусть К—произвольная компонента пары В. Положим
/(*)= Z f(b) + b(V(K),T) (VII. 5.7)
b^V(K)
и будем называть компоненту К четной или нечетной в
зависимости от того, четным или нечетным является число J (К).
Число нечетных компонент пары В обозначим через h(B).
Положим
6(B) = h(B)- £ f(s)- Z f'(t) + *>(S,T) (VII. 5.8)
S€=S t<=T
и назовем величину 8(B) дефицитом пары В. Пару В будем
называть f-барьером, если 6(j3)> 0.
Теорема VII.21. Если у графа G есть f-барьер, то у него нет
^-факторов.
Доказательство. Предположим, что у G имеются и /-фактор
F и/-барьер В = (5, Т).
Пусть К—нечетная компонента /-барьера В. Ясно, что
число звеньев /-фактора F, соединяющих вершины из К с
вершинами, не принадлежащими /С, сравнимо по модулю 2 с
Е fix),
X €= V (К)
а значит, оно отлично от Х(У(/С), Т) (см. соотношение VII. 5.7).
Таким образом, либо существует ребро из F, соединяющее
некоторую вершину, содержащуюся в V(K), с вершиной, входя-

226 Гл. VII. Чередующиеся пути
щей в 5, либо найдется*ребро, не принадлежащее F и
соединяющее какую-нибудь вершину из V (К) с вершиной из Г. Пусть
первая из этих возможностей выполняется для а нечетных
компонент барьера В, а вторая возможность — для Ъ. Тогда
a + b>h{B). (VII. 5.9)
Если m — число ребер из F, у каждого из которых один
конец лежит в 5, а другой — в Г, то
£ f(s)^a + m. (VII. 5.10)
se=S
Число ребер /-фактора F с одним концом в [/, а другим
в Г не превосходит величину А,(Г, (У)—Ъ. Наконец, удвоенное
число петель, инцидентных вершинам из Г, не больше суммы
чисел X(T,t), взятой по всем t, содержащимся в Т.
Следовательно,
m> S f(t)-X(T,U)- Z b{T,t) + b =
= 6+ S /(*)- S val(G, t) + X(S, T),
т. e.
m>6- £ /'(*) +MS. Л. (VII. 5.11)
Из соотношений (VII. 5.9), (VII. 5.10) и (VII. 5.11) получаем
0>A(B)- S f(s)- Е ПО + MS, Г), 0>6(Я).
Это противоречит тому, что В есть /-барьер. □
В заключение данного раздела приведем две несложные
теоремы об /-барьерах.
Теорема VII. 22. Если B=(S,T)—произвольная
упорядоченная пара непересекающихся подмножеств из V(G), то
б(Я)= Z /(*) (mod 2). (VIL5.12)
xe=V{G)
Доказательство. Используя соотношения (VII. 5.7) и
(VII. 5.8), получаем
в (В)- I f(u) + k(T9U)+ Z f(s)+ Z f(t) +
+ Z val (G, t) + K(S, T) =
t e= Г
^ S /(*)+ I val (G, *) +MS U tf, Г) (mod 2). □

VII. 6. Теорема об f -факторе 227
В силу теоремы VII. 19 мы обычно имеем дело со случаем,
когда функция / четно суммирующая, т. е. когда сумма,
стоящая в правой части соотношения (VII. 5.12), является четной.
И тот факт, что величина 6(B) в этом случае четная, очень
часто бывает полезным.
Приведем ряд замечаний о двойственности функций / и /\
Обозначим через h"(B) и 6'(В) функции, получаемые из h(B)
и 8(B) соответственно при замене в них функции / на /'.
Вместо пары В будет пара В' = (Г, 5).
Теорема VII.23. Если К—нечетная компонента пары В =
= (5, Т) относительно функции /, то К будет также нечетной
компонентой пары B'=(T,S) относительно /'.
Доказательство. Пары В и В' имеют одно и то же
множество U. Следовательно, если К является компонентой пары Ву
•то она будет компонентой и пары В'. Пусть величина J''(К)
определяется аналогично величине J (К) (из соотношения
(VII. 5.7)), но с заменой / на /', S— на Г и Г — на 5. Тогда
(см. (VII. 5.7))
/(*)- £ val(G,ft) + £ f'(b) + b(V(K),T)em
b<=V{K) b<=V(K)
= X(V(K),S[]T)+ E f'(b) + X(V(K),T) =
b^V(K)
= Я (V (К), S)+ £ Г (b) = У (К) (mod 2), □
b e V (K)
Поскольку (f')'=ft то для каждой упорядоченной пары
B = (SyT) непересекающихся подмножеств из V(G)
выполняются равенства
Л' (В') = h (В), 6' (В') = б (В). (VII. 5.13)
VII. 6. Теорема об f-факторе
Алгоритм поиска /-фактора в графе G можно описать
следующим образом: найдя какой-либо /-ограниченный остовный
подграф F графа G, будем пытаться преобразовать его в
другой такой же подграф, имеющий меньшее число
ненасыщенных вершин. Повторяя этот процесс, мы надеемся довести
число таких вершин до нуля.
В качестве начального остовного подграфа F можно
выбрать подграф, не содержащий ни одного ребра. Предположим,
что на некотором шаге применения алгоритма мы получили
/-ограниченный остовный подграф F и стараемся улучшить
его. Ребра, принадлежащие подграфу F, назовем синими, а все

228 Гл. VII. Чередующиеся пути
остальные ребра из G будем называть красными. Будем
использовать терминологию из теории чередующихся путей.
Выберем ненасыщенную вершину г подграфа F (если он не
является /-фактором) и рассмотрим семейство J (г)
чередующихся путей, выходящих из г. Предположим, что какой-то путь
Р из этого семейства заходит в некоторую ненасыщенную
вершину 5, отличную от г. Удалим из F все синие ребра,
принадлежащие пути Р, и присоединим к F все красные ребра,
содержащиеся в Р. Тем самым подграф F будет преобразован в
новый остовный подграф F\ графа G. Очевидно, что подграф F\
является /-ограниченным и удовлетворяет следующим
условиям:
6{Fl9r) = 6{F9r)-l, (VII. 6.1)
6(Fus) = 6(F,s)±l, (VII. 6.2)
б(Л,0 = б(Л0, (VII. 6.3)
если t отлична от г и 5.
При переходе от F к F\ число ненасыщенных вершин не
увеличивается, а величина 6(F,r) уменьшается. Такое
положение дел мы расцениваем как требуемое улучшение.
Если подходящего пути Р нет, то каждая уникурсальная и
бикурсальная вершина графа G, отличная от г, будет
насыщенной относительно F. Но и в этом случае может
существовать одна возможность получения нужного нам улучшения, а
именно если вершина г бикурсальна и 6(F, г) ^2. Тогда г
будет входом в некоторую бикурсальную компоненту /С
Используя теоремы VII. 7 и VII. 10, заключаем, что в семействе J (К, г)
существует невырожденный замкнутый путь Q, у которого
первая и последняя дуги красные. Удаляя из подграфа F все
синие ребра, принадлежащие пути Q, и присоединяя к F все
красные ребра, содержащиеся в Q, мы получаем новый
остовный подграф F2 графа G. Этот подграф является
/-ограниченным и удовлетворяет таким условиям:
в (F2, г) = в (F, г) - 2, (VII. 6.4)
б (F2y t) = 6 (F, t) = 0, если t ф г. (VII. 6.5)
Мы снова добились улучшения подграфа F, ибо величина
S(F,r) уменьшилась, а число ненасыщенных вершин не
возросло. Оказывается, что если какое-либо улучшение приводит
к уменьшению величины 8(F,r) до нуля, то при этом число
ненасыщенных вершин обязательно понизится.
Рассмотрим случай, когда никакое улучшение не возможно.
Тогда вершина г является ненасыщенной относительно Fy но
всякая другая уникурсальная или бикурсальная относительно
J (г) вершина насыщенна. Кроме того, если г—бикурсальная

VII. 6. Теорема об [-факторе 229
вершина, то мы можем иметь только соотношение б (У7, г)=1.
Удобно писать о(г) = 0 или о(г)=\ в зависимости от того,
уникурсальной или бикурсальной является вершина г. Через 5
и Т обозначим множества уникурсальных вершин,
соответственно красных и синих. Положим B=(S> Т). Пусть а — число
бикурсальных секций с красными проникающими ребрами, а
b — с синими.
Бикурсальные секции являются компонентами пары В.
Покажем, что они нечетные. Пусть К—бикурсальная секция.
Предположим сначала, что она имеет проникающее ребро.
Тогда число синих соединяющих ребер для К либо больше
X(V(K)y Т), либо меньше в зависимости от того, является
проникающее ребро синим или красным. Это следует из
теоремы VII. 15. Поскольку F насыщает каждую вершину из /С,
то число J (К) нечетное. Предположим теперь, что у К
проникающего ребра нет, а значит, вершина г содержится в К- Тогда
число синих соединяющих ребер для К равно X(V(K)> Т).
Следовательно, 6(F, г)=\ и г — единственная ненасыщенная
вершина в /С. Снова J (К) является нечетным числом. Итак,
h(B)^a + b + o(r). (VII. 6.6)
Пусть m — число синих ребер, у каждого из которых один
конец лежит в 5, а другой — в Т. Всякое синее ребро,
инцидентное какой-нибудь вершине из 5, является уникурсальным
либо в некоторую вершину из 7\ либо в некоторую вершину,
содержащуюся в какой-то бикурсальной секции К (см.
теоремы VII. 4 и VII. 5). В последнем случае рассматриваемое
ребро будет проникающим в К. Кроме того, каждая вершина
из 5 является насыщенной относительно F (так как если г —
уникурсальная вершина, то она синяя по определению). Мы
пришли к следующему соотношению:
Z f(s) = m + b. (VII. 6.7)
Аналогично, все красные ребра, инцидентные вершинам из
Г и не являющиеся проникающими в бикурсальные секции,
уникурсальные в соответствующие вершины из 5.
Следовательно, число синих ребер, у каждого из которых один конец
находится в Г, а другой — в U=V(G) — (SU^b равно
Л(7\ U)— а. Таким образом,
m= Z val(F, t)- Z b(T,t)-(k(T9U)-a) =
= £ f(t)-l+a(r) + a- Z val(G,t) + K(S,T),
t(=T t<=T

230 Гл. VII. Чередующиеся пути
т. е.
w = fl-l+or(r)- E/'(0 + MS. Л- (VII.6.8)
Используя формулу (VII. 6.7), получаем
l=a + b + a(r)- £ f(s)- Z //(0 + A(S,r).
Из соотношений (VII. 5.8) и (VII. 6.6) следует, что б(В)^К
Значит, В является /-барьером.
Итак, предложенный алгоритм либо приводит к /-барьеру»
либо позволяет улучшить подграф Т7. Если у графа G /-барьера
нет, то мы можем, не вводя никаких новых ненасыщенных
вершин, снизить дефицит вершины г до нуля. Затем то же самое
можно сделать для другой ненасыщенной вершины и т. д., до
тех пор, пока не будут исчерпаны все такие вершины. Тогда
мы получим /-фактор. Теперь мы можем утверждать, что у
графа G есть либо /-фактор, либо /-барьер. Объединяя этот
результат с теоремой VII. 21, приходим к следующему
утверждению.
Теорема VII.24 (теорема об /-факторе). Для заданной
функции /, удовлетворяющей неравенствам (VII. 5.1), у графа G
существует либо только f-фактор, либо только f-барьер [12].
При решении задач часто бывает полезно применять
теорему VII. 24 вместе с дополнительной информацией о
семействе /-барьеров графа G (при этом, естественно,
предполагается, что /-барьеры у этого графа существуют). Например,,
один из /-барьеров можно считать курсальным барьером
(правомочность этого предположения следует из приведенных выше
рассмотрений, относящихся к алгоритму поиска /-фактора).
Еще один пример. Можно отобрать только максимальные
/-барьеры, т. е. имеющие максимально возможный дефицит.
Такие барьеры обладают рядом специфических свойств, которые
можно легко извлечь из следующих далее теорем.
Пусть j3=(S, Т)—произвольная упорядоченная пара
непересекающихся подмножеств из V(G). Положим U=V(G) —
— (S[)T). Если х — вершина из 5 или Г, то через \i(x) будем
обозначать число нечетных компонент К пары В, таких, что
в G существует ребро, инцидентное х и с концом в компоненте
К. Посмотрим, что происходит при присоединении вершины х
к подмножеству (/, осуществляемом посредством замены пары
В новой упорядоченной парой fii, совпадающей с (S — {х}> Т)
или (5,7 — {*})• Очевидно, что \х(х) нечетных компонент пары
В войдут в одну компоненту L пары В\, содержащую
вершину х. Положим ц(х) = 0 или г\{х)= 1 в зависимости от того»

VII. 6. Теорема об f -факторе 231
четной или нечетной является эта компонента L. Другие
компоненты пары Ву отличные от четных компонент, вошедших
в L, станут компонентами пары Вх без изменения четности.
Из сказанного и определения величины 6(B) вытекают
следующие утверждения.
Теорема VII. 25. Если х е 5, то
6(B)-6(Bl) = [i(x)-f(x) + k(Ti x)-riW.
Теорема VII.26. Если хеГ, то
6(В)-6(В{) = 11(х)-Г(х) + Х(5,х)-ч(х).
Эти два результата являются отражением двойственности
между / и /'. Принимая во внимание теорему VII. 22, мы
можем охарактеризовать ц(х) как величину, которая равна 0 или
1 и делает правую часть каждого из рассматриваемых
соотношений четной. В обоих случаях правые части не отрицательны,
если В — максимальный /-барьер, и не положительны, если
максимальным /-барьером является В\. Если справа в
указанных соотношениях стоит нуль и какая-нибудь из пар В или Si
есть максимальный /-барьер, то и другая пара должна быть
максимальным/-барьером. Одним из приложений теорем VII. 25
и VII. 26 является следующее утверждение.
Теорема VII.27. Если у графа G есть f-барьер, то у него
существует и максимальный f-барьер B=(S,T)f такой, что
f(x)^2 для х(=Т и f(x)^l для x<£S.
Доказательство. Пусть В =(5, Т)— максимальный /-барьер
графа G с возможно меньшим числом вершин лс, не
удовлетворяющих указанным выше условиям.
Предположим, что для некоторого х^Т выполняется
неравенство/^)^ 1.Тогда f (х) ^ val(G, х)—1.Таккак val(G,x)^
^ [i(x) + i(S, х)у то правая часть соотношения из
теоремы VII. 26 не положительна. Следовательно, В\ также
является максимальным /-барьером, что противоречит
определению пары В.
Будем теперь считать, что f(t)^2 для каждого t eJ.
Предположим, что при некотором х^ U выполняется равенство
f(x) = 0. Добавим х к S. При этом пара В преобразуется в
новую упорядоченную пару В2. Применим теорему VII. 25,
полагая, что все выражения, находящиеся в правой части
равенства, представлены «в терминах» пары В2. Тогда левая часть
будет иметь вид б(Вг) — б (В). Поскольку правая часть
полученного соотношения неотрицательна, то пара В2 является
максимальным /-барьером графа G. Это противоречит определению

232 Гл. VII. Чередующиеся пути
пары В. Итак, мы установили, что пара В удовлетворяет
сформулированным условиям. □
Особый интерес представляет случай, когда f(x)=l для
всякой вершины х. Тогда /-фактор называют l-фактором. Пусть
5 — подмножество из V(G). Через h(S) обозначим число всех
компонент подграфа G[V(G)—S] с нечетным числом вершин.
Теорема VII. 28 (теорема об 1-факторе). Граф G либо
содержит l-фактор, либо имеет подмножество S из V(G), такое»
что |5j</i(5), причем эти свойства не могут выполняться
одновременно [11].
Доказательство. Из теоремы об /-факторе следует, что граф
G имеет либо 1-фактор, либо /-барьер В =(5, Г), но не то и
другое одновременно. (Здесь f(x)=l для всех х.) Если
существует /-барьер В, то мы можем считать в силу теоремы VII. 27,
что Т — пустое подмножество. Тогда всякая нечетная
компонента /-барьера В содержит нечетное число вершин. Используя
определение величины 6(5), получаем, что |5|<;/i(5).
Обратно, если для некоторого 5 выполняется неравенство |S|<
</i(5), то очевидно, что пара (5,0) есть /-барьер графа G. П
Следует заметить, что если функция / не является четно
суммирующей, то пара (0,0) представляет собой /-барьер. Мы
уже видели, что в этом случае /-фактора нет.
В заключение данного раздела приведем одну классическую
теорему о факторе [10].
Теорема' VII.29 (теорема Петерсена). Пусть G — связный
кубический графу у которого перешейков либо нет, либо все
они принадлежат одной цепи. Тогда у G существует 1-фактор.
Доказательство. Из соотношения (I. 1.1) следует, что
число вершин у графа G четное. Значит, функция / является нуль-
суммирующей (как в соотношении (VII. 5.5)).
Предположим, что у графа G 1-фактора нет. Тогда в силу
теоремы VII. 28 в множестве V(G) существует подмножество
S, такое, что |5|</i(5). Поскольку число |F(G)| четное, то
разность h(S) —15| также четная. Следовательно,
A(S)>|S| + 2. (VII. 6.9)
Рассмотрим нечетные компоненты К подграфа G[V(G)—S].
Очевидно, что числа A,(V(/C),S) нечетные. Предположим, что
у а компонент К эти числа равны 1 и у b — не меньше 3. Тогда
h(S)=a + b.
Пусть m — число ребер графа G, у каждого из которых один
конец принадлежит подмножеству 5, а другой содержится в

VII. 7. Подграфы с наименьшим дефицитом 233
какой-либо нечетной компоненте подграфа G[V(G)— S]. Из
приведенных выше определений и рассмотрений с учетом
трехвалентное™ графа G получаем
3|S|>m>a + 3fc = 3/i(S)-2a>3|S| + 6-2a.
Значит, а^З.
Итак, у графа G есть три различных перешейка: Ль А2 и
Л3, и торцевые графы этих перешейков — это Ки К2 и Къ
соответственно — являются различными нечетными компонентами
подграфа G[V(G)—S]. Если все перешейки графа G
принадлежат одной цепи L графа G, то каждый из графов Ки %2 и
Кг должен содержать конец цепи L, что, очевидно, невозможно
(см. теоремы 1.41 и 1.24). □
VII. 7. Подграфы с наименьшим дефицитом
Пусть G и / будут такими, как в разд. VII. 5. Даже если у G
нет /-фактора, можно попытаться найти минимально
возможный дефицит для /-ограниченного остовного подграфа графа G.
Введем такое обозначение:
*(/)= I fix). (VII. 7.1)
х е V (G)
Справедлива следующая
Теорема VII. 30. Пусть F — произвольный /-ограниченный
остовный подграф графа G. Тогда 6(F) сравнимо по модулю 2
с a(f).
Это утверждение вытекает из формулы (VII. 7.1) и
соотношения (I. 1.1), примененного к подграфу F.
Пусть k — целое положительное число, сравнимое с сг(/) по
модулю 2. Попытаемся найти условие, обеспечивающее
существование в графе G такого остовного подграфа F, что 8(F)^
^ k. Для достижения этого построим из графа G специальный
граф Я.
Возьмем целое положительное число m ^ /г/2 и еще одно
целое положительное число q, которое не меньше, чем f(x),
при всяком х^ V(G). Для построения графа Я добавим к G
новую вершину w и соединим ее с каждой вершиной графа G q
новыми звеньями. Кроме того, в самой вершине w проведем m
петель. Положим f(w)=k. Очевидно, что получившаяся
функция / является четно суммирующей для графа Я.
Теорема VII.31. Граф G тогда и только тогда имеет
^ограниченный остовный подграф F с S(F)^ /г, когда у графа Я су-
ществует f-фактор.

234 Гл. VII. Чередующиеся пути
Доказательство. Предположим сначала, что у Я есть
/-фактор F\. Число звеньев в Fi, соединяющих вершину w с
вершинами из G, не превосходит k. Удаляя из F\ вершину w и
инцидентные ей ребра, получим /-ограниченный остовный подграф
F графа G, такой, что 8(F)^Z k.
Предположим теперь, что у графа G есть /-ограниченный
остовный подграф F с 8(F)^k. Соответствующий
/-ограниченный остовный подграф F2 графа Я строится следующим
образом. Сначала к F присоединяем вершину w, а затем для
каждой вершины х£ V(G) ровно 6(F, х) ребер, содержащихся в Н
и соединяющих х с w. Результирующий остовный подграф F2
графа Я насыщает каждую вершину из G. Кроме того,
принимая во внимание формулу (VII. 7.1) и специальный выбор
числа k, заключаем, что число 6(F2iw) четное. Значит,
присоединяя некоторое число петель (быть может, равное нулю) в
вершине w графа Я, подграф F2 легко преобразовать в /-фактор F\
графа Я. □
Теорема VII. 32. Пусть k — произвольное целое
положительное число, сравнимое с а(/) по модулю 2. Тогда у графа G
существует либо только ^ограниченный остовный подграф F с
8(F)^ k, либо только f-барьер В с 6(В)> k.
Доказательство. Предположим сначала, что в G
соответствующего подграфа F нет. Тогда в силу теоремы VII. 31
описанный выше граф Я /-фактора не имеет. Значит, у Я
существует /-барьер B = (S, Т) (см. теорему VII. 24). Из всех
/-барьеров графа Я выберем некоторый /-барьер В, руководствуясь
следующими правилами:
(i) если возможно, вершина w должна находиться в 5;
(п) если вершина w принадлежать S не может, то она
должна содержаться, если это возможно, в подмножестве U =
= V(G) — (5U71); и тогда по данному правилу f-барьер В
должен выбираться так, чтобы величина \Т\ была минимально
возможной.
Предположим сначала, что ни одно из сформулированных
правил реализовать невозможно, т. е. w е Т. Посмотрим, что
происходит при добавлении вершины w к подмножеству U, в
результате чего пара В заменяется другой упорядоченной
парой В\. Применяем теорему VII. 26 к графу Я, учитывая, что
/' (x) = val(H, x)-f(x).
Поскольку у вершины w имеется m петель, уа1(Я, х) не
меньше, чем f(w)-\- K(S, w)+ [i(w). Значит, правая часть
соотношения из теоремы VII. 26 неположительна и поэтому В\ —
еще один /-барьер графа Я. Это противоречит нашему
предположению.

VII. 8. Двудольный случай 235
Предположим теперь, что w е U. Выясним, что будет при
добавлении к U вершины / из Т. Очевидно, что В имеет теперь
только одну компоненту. Следовательно, в Б не более одной
нечетной компоненты. Поэтому h(B)^ 1 и (л(/)^ 1. Далее
val(G,t)>q + k(S9t)>f(t) + k(S9t).
Значит, правая часть формулы из теоремы VII. 26 не
положительна (в силу нашей характеризации величины ц(х)), а
поэтому добавление /к U означает замену пары В другим
/-барьером графа Я. Однако это невозможно, ибо В выбирается в
соответствии с правилом (и). Следовательно, остается одна
возможность— подмножество Т является пустым. Но тогда,
поскольку h(B)^Zlf из (VII.5.8) вытекает равенство 6(J3)=1,
которое . (см. теорему VII. 22) выполняться не может, так как
/— четно суммирующая функция для графа Я.
Теперь мы вправе утверждать, что oigS. Удаляя w из S,
получаем /-барьер В{ = (S — {w}> Т) графа G, такой, что
6(Bl)>ki ибо Я(5, Т) и НПО. t^T, при переходе от Я к G
уменьшаются на одну и ту же величину. □
Объединение теорем VII. 27 и VII. 32 можно сформулировать
в минимаксной форме: минимально возможный дефицит для
/-ограниченного остовного подграфа графа G равен
максимально возможному дефициту для упорядоченной пары (5, Т)
непересекающихся подмножеств множества V(G). В этой связи
заметим, что 6(5, Т) ^ 0, если подмножества 5 и Т пустые.
Теорему VII. 32 можно применять и тогда, когда f(x)=l
для любой вершины х. В этом случае предпочтительно говорить
не об /-ограниченности, а об 1-ограниченности. Из
теоремы VII. 27 следует, что необходимо рассматривать только
такие /-барьеры, у которых подмножество Т пустое. Получаемый
при этом результат называют обобщением Бержа теоремы об
1-факторе (см. [1]).
Теорема VII. 33. Пусть k — целое положительное число,
сравнимое по модулю 2 с | V(G) \. Тогда граф G имеет либо только
l-ограниченный остовный подграф F с b(F)^k, либо только
подмножество S множества V(G), такое, что h(S)>\S\-\- k.
VII. 8. Двудольный случай
В этом разделе мы будем предполагать, что граф G имеет
2-разбиение (£/, V). Через 2(£/) и соответственно 2(К) будем
обозначать сумму значений f(x) по;всемл:<= U и соответственно
по всем jcgI/. Функцию / будем называть сбалансированной,
если 2(£/)= 2(10.

236 Гл. VII. Чередующиеся пути
Теорема VII.34. Если у графа G есть f-фактор, то
/—сбалансированная функция.
Это утверждение вытекает из того очевидного факта, что
каждая сумма 2(U) и 2(V) равна числу ребер, содержащихся
в /-факторе.
Пусть B=(SfT)—произвольная упорядоченная пара
непересекающихся подмножеств из V(G). В двудольном случае
вместо 6(B) удобнее рассматривать более простую функцию
9(B) = X(S,T)- Z f(s)- £ ПО- (VII. 8.1)
Очевидно, что
р (и, V) = 2 (V) - 2 (U). (VII. 8.2)
Из (VII. 8.1) легко выводятся следующие два соотношения:
р (5 - {s}, Т) = р (S, Г) + / (s) - X (Г, 5), (VII. 8.3)
р (5, Т - {/}) = р (5, Т) - / (t) + X(V (G) - 5, О, (VII. 8.4)
где 5 и / — произвольные вершины из подмножеств S к Т
соответственно.
Эти два равенства могут выполняться и для недвудольного
графа.
Теорема VII.35. Пусть /—сбалансированная функция. Тогда
граф G имеет либо только f-фактор, либо только
упорядоченную пару B=(S, Г), такую, что S^U, T^V и р(£)>0.
Доказательство. Предположим сначала, что G имеет
указанную в условии теоремы пару B = (SfT). Если у графа G был
бы /-фактор F, то, полагая, что число ребер из F, соединяющих
подмножества S и Г, равно т, мы получили бы, что
S f(s)>m> Z (f(t)-MU-S,t)) =
s eS t <eeT .
= b(s,T)- S ПО
t^T
и, значит, p(£)<;0. Это противоречит сделанному нами
предположению.
Будем считать теперь, что в графе G не существует пары Ву
указанной в условии теоремы. Применяя алгоритм из разд. VII. 6,
мы придем в конце концов к /-ограниченному остовному
подграфу F графа G, не допускающему дальнейшего улучшения.
Предположим, что F не имеет /-фактора. Тогда, так как / —

VII. 8. Двудольный случай 237
сбалансированная функция, то в У найдется вершина г, не
являющаяся насыщенной относительно F. Рассмотрим
семейство путей J (г) — см. разд. VII. 6. У каждого невырожденного
пути Р из J (г) первая дуга красная, и ее конец лежит в U.
Вторая дуга, если она есть, синяя, и ее конец содержится в V.
Третья дуга опять красная с концом, принадлежащим U, и т.д.
Значит, бикурсальных ребер нет. Более того, если S и Т —
подмножества уникурсальных вершин, состоящие соответственно
из красных и синих пунктов, то 5 ^ U и Т ^ V. Рассуждая так
же, как в разд. VII. 6, приходим к следующему соотношению:
l=a + b + a(r)- £ f(s)- Z f'(t) + k(S,T).
s e= 5 /еГ
Ho a-\-b + o(r) есть число бикурсальных секций, и, значит,
в данном случае оно равно нулю. Поэтому р(В) = 1. Таким
образом, В удовлетворяет условиям доказываемой теоремы, т. е.
мы пришли к противоречию с принятым выше
предположением. □
Рассмотрим случай, когда f(x)= 1 для любой вершины х.
Если существует некоторая пара В = (5, Т) с р(В)>0, то
(в силу соотношения (VII. 8.4)) найдется пара,
удовлетворяющая условию, что в подмножестве Т нет ни одной вершины,
смежной с какой-либо вершиной, не принадлежащей 5. Тем
самым из доказательства теоремы VII. 35 извлекается еще одно
обоснование теоремы Холла (см. теорему 11.39).
Задачи, относящиеся к /-ограниченным остовным подграфам
общего вида, могут быть сведены к задачам об /-факторах.
Предположим, например, что мы ищем условие существования
в двудольном графе G /-ограниченного остовного подграфа F
с (/-дефицитом, не превосходящим некоторого целого
положительного числа k. Здесь под U-дефицитом 6(F, U) понимается
сумма величин 6(F, х)у взятая по всем вершинам х из U.
Можно считать, что 2 (U) ^ 2(V)+ k, так как иначе
соответствующего подграфа F не существует.
Из графа G строим новый граф Н: присоединяем новые
вершины и* и v* соответственно к U и V; затем достаточно
большим числом ребер соединяем вершину и* с каждой вершиной
из У и вершиной и*, а вершину и* — с каждой вершиной из (/;
далее полагаем f(v*)=k и выбираем значение f(u*) таким,
чтобы функция / была сбалансированной в Н. Если указанные
выше «достаточно большие числа» превышают определенный
уровень, то можно утверждать, что граф G имеет подграф F
требуемого вида тогда и только тогда, когда у графа Н
существует/-фактор (см. [13]).

238 Гл. VII. Чередующиеся пути
VII. 9. Теорема Эрдёша — Галлаи
Будем рассматривать разбиения (/i, /2, ..., fp) целого
положительного числа 2q на р частей. Считаем, что U^h • • • ^ U-
Такое разбиение Р называется строго графическим (или,
короче, графическим), если существует простой граф G с р
вершинами v\, v2> ..., vPf такими, что валентность вершины vi
равна ft (/ = 1,2, ..., р). Эрдёш и Галлаи установили
следующий результат (см. [3]):
Теорема VII.36. Разбиение Р является графическим тогда
и только тогда, когда
Zfi<r(r-l)+ t min {г, ft) (VII. 9.1)
для каждого целого числа г, удовлетворяющего неравенствам
1 <g г ^ р— 1.
Чтобы применить методы, изложенные в данной главе,
рассмотрим р-клику К с занумерованными вершинами v\, v2> ...
..., vp. Положим f(vj) = fj для каждой вершины vj. Очевидно,
что разбиение Р является графическим тогда и только тогда,
когда у К есть /-фактор.
Предположим, что соотношение (VII. 9.1) для некоторого г
не выполняется. Тогда в качестве Т возьмем множество {v{i ...
..., vr}> а в качестве 5 — подмножество из {vr+u •••, ^Л»
состоящее из всех таких вершин х, что / (х) < г.
Полагая, как обычно, U = V (G) — (SU Г), имеем;
£ /W> £ *.(T,t)+ I f(s) + r-\u\ =
= Z val{K,t)-X(S,T)+ £ f(s).
te=T se=S
Значит, 6(5, T)> О, а потому в силу теоремы VII. 24 f-фактора
у К нет и, следовательно, разбиение Р графическим не является.
Обратно, пусть разбиение Р не графическое. Тогда у К
найдется f-барьер B = (S,T). Так как К — клика, то h(B)^ 1 для
всякого такого В. Значит, величина \i(x) из теорем VII.25 и
VII. 26 равна либо 0, либо 1. Выберем В таким, чтобы его
дефицит был максимально возможным. Полагая \Т\ = г и
применяя теорему VII. 25, получаем
|i (х) - f (х) + X (7\ х) - л (х) > О, (VII. 9.2)
если xg5, и
[i(x)-f (х) + к(Т,х)-ц (х) < О, (VII. 9.3)

VII. 10. Замечания 239
если x^U. Следовательно, в первом случае /(х)^г, а во
втором f(x)^r. Здесь учитывалась четность левых частей
выписанных соотношений (так что, если f (х) = Х(Ту х) = г, то
\х(х) = ц(х) = 0 или 1). Далее
th> Е f(t)>
i = l ttET
>b(S,T)+ E f(s)+ E val(K,t)-b(S,T)
(в силу соотношения (VII. 5.8)), а поэтому
tft> E f(s) + r(r-l) + r\U\ = r(r-l)+ t mto{r,ft).
1 = 1 s<=S i = r+l
Таким образом, если разбиение Р не является графическим, то
неравенство (VII. 9.1) для некоторого г не выполняется. □
VII. 10. Замечания
VII. 10.1. Курсальность вершин и ребер
Теория, изложенная в первых четырех разделах данной
главы, может быть обобщена на любое число цветов (красок).
Подробно об этом говорится в статье автора, опубликованной
в журнале «Combinatorica» (см. [13]).
VII. 10.2. Алгоритмы
Известен хороший алгоритм, который позволяет находить
1- и f-факторы либо доказывать их несуществование (см. [2]).
VII. 10.3. Пфаффианы
Пусть G — граф без петель, ребрам которого приписаны
проводимости (как в разд. VI. 4), а вершинам — номера:
vu v2i ..., vn. Сопоставим графу G квадратную матрицу [иц],
где Uij — взятая со знаком плюс или минус сумма проводимо-
стей всех ребер, соединяющих вершины vi и v\. Знаки перед
этими суммами выберем так, чтобы иц = —щи т. е. чтобы
матрица [uij] была кососимметрической. При четных п
определитель матрицы [uij] является квадратом некоторого многочлена
Р от заданных проводимостей и называемого пфаффианом
матрицы [uij]. Этот пфаффиан можно определить и явно:
Р = S WijUklUmn • • • "rs,

240 Гл. VII. Чередующиеся пути
где / < /, k < / и т. д., причем / < & < m < ... < г и
(/, /, &, /, ..., г, s) есть перестановка соответствующего
подмножества множества {1,2, ...,%}. Коэффициент е равен 1 или
— 1 в зависимости от того, четна или нечетна указанная
перестановка. Можно показать, что слагаемые пфаффиана Р,
являющиеся произведениями п/2 различных проводимостей,
взаимно однозначно соответствуют 1-факторам графа G (у одних
слагаемых коэффициент положительный, а у других —
отрицательный).
Теория 1-факторов, представленная в работе [11],
базируется на свойствах пфаффианов. В статье [9] Монселл
показал, что использование пфаффианов можно заменить простыми
теоретико-графовыми рассуждениями. Позднее Кастелейн
установил, что для планарных графов с единичными проводимо-
стями знаки перед слагаемыми можно подобрать так, чтобы
значение пфаффиана совпадало с числом 1-факторов графа.
Используя этот результат, он нашел число 1-факторов
некоторых планарных графов, представляющих интерес для физики
(см. [7]). Его метод можно распространить и на кое-какие не-
планарные графы (см. [5], [6] и [8]).
Упражнения
1. Пусть ребра у графа куба имеют красный и синий цвет.
Выбрав вершину г, расклассифицировать относительно нее
ребра на уникурсальные, бикурсальные и нонкурсальные.
2. Взяв какой-либо 9-цикл в графе Петерсена и считая
ребра этого цикла синими, а остальные ребра графа — красными,
найти чередующийся невырожденный путь, начинающийся и
оканчивающийся в вершине г, не принадлежащей выбранному
9-циклу. Используя этот путь, заменить дополнение 9-цикла на
1-фактор.
3. Выяснить непосредственно, являются ли графическими
следующие наборы целых чисел: (3, 2, 2, 1) и (5, 5, 4, 2, 2, 2).
Сравнить эти результаты с теми, которые получаются с
помощью теоремы Эрдёша — Галлаи.
4. Показать, что всякий 4-связный 5-однородный1) граф
с четным числом вершин имеет 1-фактор.
Литература
[1] Berge С. Graphes et hypergraphes (p. 154). —Paris: Dunod, 1970.
[2] Edmonds J. Paths, trees and flowers. — Canad. J. Math. 17 (1965),
449—467.
*) To есть валентность каждой вершины равна 5. — Прим. перев.

Литература 241
[3] Erdos P., Gallai Т. Graphs with prescribed valencies. — Mat. Lapok 11
(I960), 264—274 (Hungarian).
[4] Gallai T. Neuer Beweiss eines Tutte'schens Satzes. — Magyar Tud. Akad.
Mat. Kutato Int. Kozl. 8 (1963), 135—139.
[5] Gibson P. M. The Pfaffian and 1-factors of graphs. — Trans. New York
Akad. Sci. (2) 34 (1972), 52—57.
[6] Gibson P. M. The Pfaffian and 1-Factors of Graphs — II. — In: Graph
theory and applications. — Berlin: Springer, 1972, 89—98.
[7] Kasteleyn P. Dimer statistics and phase transitions. — J. Math. Phys.,
1963, 287—293.
[8] Little C. H. C. An Extension of Kasteleyn's Method of Enumerating the
1-Factors of Planar Graphs. — Combinatorial Mathematics. — Berlinr
Springer, 1974.
[9] Maunsell F. G. A note on Tutte's paper «The factorization of linear
graphs».—J. Lond. Math. Soc. 27 (1952), 127—128.
[10] Petersen J. Die Theorie der regularen Graphs— Acta Math. 15 (1891),
193—220.
[11] Tutte W. T. The factorization of linear graphs.—J. Lond. Math. Soc.
22 (1947), 107—111.
12] Tutte W. T. The factors of graphs. — Canad. J. Math. 4 (1952), 314—328.
13] Tutte W. T. Graph factors. —Combinatorica 1 (1981), 79—97.

Глава VIII
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
VIII. /. Группы цепей
В этой главе мы применим к теории графов язык и методы
линейной алгебры. Мы исходим из конечного множества 5,
элементы которого назовем клетками, и коммутативного кольца R,
содержащего единичный элемент. Нулевой и единичный
элементы кольца R будем обозначать через 0 и 1 соответственно.
В наших приложениях множество 5 будет либо множеством
вершин, либо множеством ребер некоторого графа.
Цепью в S над кольцом R называется произвольное
отображение / множества 5 в R. Если xeS, то элемент f(x) кольца
R будем называть коэффициентом при х в f. Если множество
5 непустое, то существуют нулевая и единичная цепи в S.
У первой все коэффициенты — нули, а у второй — единицы.
Если 5 — пустое множество, то мы говорим, что существует
только одна цепь в 5 над кольцом R, и называем ее нулевой
цепью.
Если / — цепь в 5 над кольцом R и К е R, то через Kf
обозначается цепь-в„SLm&a /?, .называемая произведением f на К и
определяемая следующим правилом: коэффициент Щ) (х) при
х в kf равен K-f(x) для каждого х е 5. Если f\ и f2— цепи в S
над R, то сумма /i + f2 представляет собой цепь в 5 над R,
определяемую следующим правилом: коэффициент (f\ +
+ f2)(x) при х в /i + f2 есть f\(x)+f2(x) для всякого xeS.
Так определенное сложение естественным образом
распространяется на число слагаемых, большее двух, и удовлетворяет
законам коммутативности и ассоциативности. Кроме того,
умножение на элементы из R дистрибутивно относительно сложения.
Разность f\ — f2 определяется как сумма вида /i+(—l)f2.
Рассмотрим некоторую непустую совокупность F={f\,f2, ...
..., /„} цепей в 5 над кольцом R. В F могут встречаться и
одинаковые цепи. Предположим, что некоторая цепь f в S над R
удовлетворяет соотношению
/= £ V/ = ^i/i + W2 + • • • + KL, (VHi. 1.1)
где Xj — элементы из R. Тогда мы будем говорить, что /
представлена в виде линейной комбинации цепей из F с коэффи-

VIII. 1. Группы цепей 243
циентами Kj. Если нулевая цепь может быть представлена как
линейная комбинация цепей из Т7, где не все коэффициенты
равны нулю, то говорят, что элементы (или цепи) из F линейно
зависимы. Это будет, например, в том случае, когда одна из
цепей, входящих в F, нулевая или когда в F имеются
одинаковые цепи. Если нулевая цепь не представима в виде такой
линейной комбинации, то элементы совокупности F называются
линейно независимыми. В этом случае все они разные и
отличны от нулевой цепи.
Носителем цепи f в S над R (обозначение Sp(f)) называется
множество всех тех xeS, для которых f(x)¥=0. Если / и g—
две цепи, удовлетворяющие включению Sp(g)^ Sp(f), то мы
будем говорить, что / окаймляет g (или g окаймляется /).Если,
кроме того, Sp(g) строго содержится в Sp (/), то мы скажем,
что / строго окаймляет g (или g строго окаймляется f).
Группой цепей множества S над кольцом R называется
непустое множество N цепей в 5 над R, замкнутое относительно
сложения цепей и относительно умножения их на элементы из
R. Рассматривая произведение произвольной цепи из N на
нуль кольца R, заключаем, что группе N принадлежит
нулевая цепь. Далее, вместе со всякой цепью /, входящей в группу
N, в ней должна содержаться цепь —f = (—1)/,
удовлетворяющая равенству / + (—/) = 0. (Здесь и дальше символ 0
используется для обозначения нулевой цепи.) Справедливо более
общее утверждение: любая линейная комбинация элементов из
группы N является элементом этой группы.
Элементарной цепью группы N называется ненулевая цепь
из N, не являющаяся строго окаймляющей ни для какой
другой цепи из N.
Теорема VIII. 1. Если цепь f из группы N имеет такой же
носитель, как и некоторая элементарная цепь g из N, то f —
элементарная цепь.
Это утверждение вытекает из определения элементарной
цепи.
Теорема VIII. 2. Каждая ненулевая цепь из группы N
окаймляет некоторую элементарную цепь из N.
Доказательство. Среди ненулевых цепей группы N,
окаймляемых цепью /, находится сама цепь f. Выберем из них цепь
с минимальным носителем. Она и является элементарной. □
Клеточной базой группы N называется такое подмножество
D множества 5, которое пересекается с носителем каждой
ненулевой цепи из N и является минимальным подмножеством
с этим свойством.

244 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
Теорема VIII. 3. Каждая группа цепей N множества S над
кольцом R имеет хотя бы одну клеточную базу.
Доказательство. Пусть F—класс всех подмножеств Т
множества 5, которые пересекаются с носителем каждой
ненулевой цепи из N. Очевидно, что F—непустой класс, так как в
него входит само множество 5. Выберем в F минимально
возможное подмножество D. Оно и является клеточной базой
группы N. □
Теорема VIII. 4. Пусть D — клеточная база группы цепей N
множества S над кольцом R. Пусть х— произвольная клетка из
D. Тогда существует элементарная цепь g из N, такая, что
Sp(g) пересекается с D только по х.
Доказательство. В силу минимальности D найдется
ненулевая цепь / в группе N, такая, что Sp(/) не пересекается с
D — {х}. На основании теоремы VIII. 2 цепь / окаймляет
некоторую элементарную цепь g. Носитель цепи g должен
пересекаться с D. Они могут пересекаться только по элементу х. □
Рассмотрим произвольное подмножество Т из 5. Если f —
какая-то цепь в 5 над /?, то ее ограничение f-T на
подмножество Т определяется как цепь в Т над Ry у которой
коэффициент при каждой клетке хеГ совпадает с коэффициентом
при той же клетке в /. Очевидно, что если N — произвольная
группа цепей множества 5 над кольцом R, то ограничения на Т
всех цепей из N образуют группу цепей подмножества Т над
кольцом R, которая будет обозначаться через N-T и называться
редукцией группы N на подмножество Т. Нетрудно видеть
также, что ограничения на Т всех тех цепей / из N, для
которых Sp(/)^7\ образуют специальную группу цепей
подмножества Т над кольцом R. Эту группу мы обозначим через N X 7*
и назовем сжатием группы N на подмножество Т. Из
приведенных определений вытекают следующие соотношения (здесь
[/gfgS):
(N -T)U = N'Uy (VIII. 1.2)
{NXT)XU = NXU9 (VIII. 1.3)
(NXT)'U = (N-(S-(T- U))) X U. (VIII. 1.4)
Последнее из них, возможно, менее очевидно, чем два других.
Для его доказательства достаточно заметить, что множества,
стоящие в нем слева и справа, состоят из ограничений на U
всех тех цепей из N, у которых носители не пересекаются
cS — T.
Группу цепей вида (NXT) • U будем называть минором
группы N. Очевидно, что группы NXT и N • Т являются

VIII. 1. Группы цепей 245
соответственно минорами (N X Г) • Г и (N X S) • Т группы N.
Сама группа N есть свой же минор вида (N X S) • 5. Кроме
того, в силу соотношения (VIII. 1.4) каждый минор группы N
можно записать как (iVJ)XU.
Теорема VIII. 5. Минор минора группы N является минором
группы N.
Это утверждение следует из соотношений (VIII. 1.2),
(VIII. 1.3) и (VIII. 1.4). Ср. с доказательством теоремы II. 8. П
Если fug — цепи в 5 над У?, то их скалярное произведение
(f'g) определяется следующей формулой:
(/•*)= Е f(x)g(x). (VIII. 1.6)
Справедливы тождества
(f-g) = (g-f), (VIII. 1.6)
М/•£) = (*/•£), (VIII. 1.7)
(/ + *)•* = (/•/») + (£• Л). (VIII. 1.8)
Если (f-g) = 0, то цепи f и g называются ортогональными.
Пусть N—произвольная группа цепей множества 5 над
кольцом /?, a N* — множество всех тех цепей в 5 над R,
которые ортогональны каждой цепи из N. Очевидно, что нулевая
цепь принадлежит N*. Используя соотношения (VIII. 1.6),
(VIII. 1.7) и (VIII. 1.8), заключаем, что N* есть группа цепей
множества 5 над кольцом R.
Теорема VIII. 6. Если N —группа цепей множества S над
кольцом R, то N ^ N** и N* = N***.
Доказательство. Каждая цепь из N ортогональна любой
цепи из АГ, а значит, принадлежит N**. Таким образом, N^N**.
Аналогично устанавливается включение N*^N***. С другой
стороны, каждая цепь из N*** ортогональна всякой цепи из
N**f а следовательно, и любой цепи из N (ибо N^N**).
Поэтому N***<=N*. □
Если N** = N, то группа N* называется двойственной (к)
группе N. Тогда и сама группа N двойственна группе N*.
Применяя теорему VIII.6, получаем, что группы N* и N**
двойственны друг другу. Здесь мы как раз встретились с той
„алгебраической двойственностью", которая указана в
названии настоящей главы.
Теорема VIII. 7. Если Т s 5, то (N -T)* = N*XT.

246 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
Доказательство. Рассмотрим произвольную цепь f в Т над
R, принадлежащую группе (N-T)*. Пусть /i — такая цепь в 5
над R, что fl-T = f и коэффициенты при всех х, не входящих
в Ту равны нулю. Тогда fx ортогональна всякой цепи из N, а
значит, f^N*XT.
Обратно, если цепь f содержится в N* X Т9 то она является
ограничением на Т некоторой описанной выше цепи f\ из N*.
Следовательно, / ортогональна ограничению на Т каждой цепи
из N, т. е. f<=(N-T)*. □
VIII. 2. Примитивные цепи
Через Rr обозначим множество всех обратимых элементов
из Ry т. е. элементов, имеющих обратные.
Теорема VIII.8. Произведение обратимого элемента X и
ненулевого элемента (л, принадлежащих R, является ненулевым
элементом.
В самом деле, если предположить, что Я^х = 0, то \i =
= (Я~1я)[х = Я~1(Я[х) = 0. □
Теорема VIII. 9. Произведение двух обратимых элементов К
и (л из R есть обратимый элемент.
Для А,|л обратным является элемент k~l\r-1. П
Пусть N — произвольная группа цепей множества 5 над
кольцом R. Цепь из N называется примитивной, если она
является элементарной цепью в N и все ее коэффициенты
принадлежат R'.
Если цепь / может быть получена из цепи g умножением
на ненулевой элемент кольца /?, то мы будем называть ее
цепью, кратной цепи g.
Теорема* VIII. 10. Пусть g — примитивная цепь группы N.
Цепь f группы N кратна цепи g тогда и только тогда, когда
Sp(f)=Sp(£).
Доказательство. Если (л — ненулевой элемент из R, то,
очевидно, \ig — ненулевая цепь группы 7V с носителем, равным
Sp (g) (см. теорему VIII. 8).
Обратно, пусть Sp(/) = Sp(g). Выберем х в Sp (g) и
положим v = f (х) (g (х))~1. Тогда носитель цепи f — vg содержится
в множестве Sp(g) — {х}. Следовательно, f = vg, так как g —
элементарная цепь. D
Теорема VIII. 11. Пусть g — примитивная цепь из N и х —
клетка из Sp(g). Тогда произведение цепи g на любой элемент

VIII. 2. Примитивные цепи 247
из R' является примитивной цепью из N. В одной из таких
цепей коэффициент при х есть 1.
Доказательство. Указанное произведение есть элементарная
цепь группы N (в силу теорем VIII. 1 и VIII. 8). На основании
теоремы VIII. 9 заключаем, что все такие цепи являются
примитивными. Остается воспользоваться тем, что (g(x))~l—
обратимый элемент кольца R. □
Клеточная база D группы N называется примитивной, если
для всякого igD в Л/ найдется примитивная цепь g, такая,
что D П Sp (£) = {*}. В силу теоремы VIII. 11 цепь g можно
выбрать так, чтобы g(x)=l. Обозначим эту цепь через g(Dfx).
Очевидно, что цепь g(D,x) определяется однозначно. В самом
деле, если бы существовало две таких цепи, то носитель их
разности не пересекался бы с D.
Множество цепей {giD.x)}, где х пробегает все Д назовем
базой цепей, соответствующей примитивной клеточной базе D,
и будем обозначать ее через B(D).
Теорема VIII. 12. Пусть D — примитивная клеточная база
группы N. Тогда элементы базы цепей B(D) линейно
независимы. Более того, каждая цепь из N представима единственным
образом в виде линейной комбинации элементов из B(D).
Доказательство. Предположим, что
Z *>xg(D,x) = 0,
где Кх е R. Тогда коэффициент, стоящий в указанной сумме
при х, равен %х. Значит, %х = 0 для каждого х. Этим
обоснована первая часть теоремы.
Пусть теперь f—произвольная цепь из N. Носитель цепи
/- Z f(x)g{D,x)
X €= D
не пересекается с Д и, следовательно, эта цепь нулевая.
Таким образом,
/= S f(x)g(D,x), (VIII. 2.1)
X €= D
т. е. цепь / представлена в виде линейной комбинации
элементов из B(D).
Предположим, что существует еще одно такое
представление цепи f:
f= Z H*g(A х).
JceD

248 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
Тогда
£ (\ix-f(x))g(D9x) = 0
х (= D
и, значит, \хх = f(x) (как было установлено выше). Итак,
представление (VIII. 2.1) для цепи / единственное. П
Следствие VIII. 13. Если носитель цепи f из группы N
пересекается с D только по одной клетке х> то цепь f кратна цепи
g(D,x).
Теорема VIII. 14 (теорема о замене). Пусть D —
примитивная клеточная база группы Ny а х — клетка из D. Пусть у —
клетка из Sp(g(D, х))у отличная от х. Тогда множество D\ =
= (D—{*})U{#} является клеточной базой группы N.
Доказательство. Из следствия VIII. 13 вытекает, что
ненулевыми цепями группы N, носители которых не пересекаются
с множеством D—{х}, являются только цепи, кратные цепи
g(D,x). Следовательно, носитель каждой ненулевой цепи из N
пересекается с £)ь т. е. множество D\ удовлетворяет первому
условию из определения клеточной базы. Остается доказать
минимальность D\.
Заметим, что носитель цепи g(Df х) не пересекается с Dx —
— {у}> т. е. с D — {х}. Далее, пусть z<=D — {x}, g(Dix) = h
и g(Df z) = k. Поскольку цепи h и k примитивные, то можно
построить цепь
f = k-k(y)(h(y))~lh.
Она отлична от нулевой цепи и удовлетворяет условию f(z)= 1.
Носитель цепи f не содержит у и не пересекается с D\—{z}.
Таким образом, можно утверждать, что не существует
собственного подмножества множества D\, пересекающегося с
носителем любой ненулевой цепи из N. П
Операция построения базы D\ из примитивной базы D
называется заменой (или операцией замены). Если база D\ будет
также примитивной, то операцию замены можно применить
еще раз и получить третью клеточную базу D2.
Теорема VIII. 15. Пусть все клеточные базы группы N
являются примитивными. Пусть D и Е — какие-то две из них.
Тогда базу D можно преобразовать в базу Е посредством
конечного числа замен.
Доказательство. Рассмотрим класс клеточных баз группы
N, состоящий из базы D и всех баз, которые можно построить
посредством конечного числа замен из базы D. Выберем в этом
классе базу D'\ имеющую наибольшее число общих элементов

VIII. 2. Примитивные цепи 249
с базой Е. Если Dr д£, то в силу свойства минимальности
D' = Е. В оставшемся случае база Dr содержит клетку х, не
принадлежащую базе Е. Тогда носитель цепи g(D\ х)
пересекается с £ по некоторой клетке у, не входящей в D'. Применяя
теорему о замене, заключаем, что множество (Dr—{*})U{#}
является клеточной базой группы N. Это противоречит выбору
базы D'. U
Теорема VIII. 16. Пусть все клеточные базы группы N
примитивные. Пусть g — элементарная цепь из N. Тогда N имеет
такую клеточную базу Д что цепь g кратна некоторой цепи
из B(D).
Доказательство. Выберем клеточную базу D группы N,
имеющую наименьшее число общих элементов с Sp (g). (Хотя
бы один такой элемент должен существовать.) Пусть х ^ D [\
DSp(g). Предположим, что в Sp(g(D, х)) есть клетка у, не
входящая в Sp (g). Тогда (D — {х}) (J {и} будет клеточной
базой группы N (в силу теоремы о замене). Это противоречит
выбору базы D. Таким образом, Sp (g{D, х)) ^ Sp (g). Но
поскольку g — элементарная цепь, то Sp (g(D, х)) = Sp (g).
Остается применить следствие VIII. 13. □
Группа цепей N называется примитивной, если каждая
входящая в нее элементарная цепь кратна некоторой
примитивной цепи.
Теорема VIII. 17. Группа N примитивна тогда и только тогда*
когда каждая ее клеточная база примитивна.
Доказательство. Пусть N — примитивная группа и D —
какая-либо ее клеточная база. В силу теоремы VIII. 4 для
всякого x^D существует элементарная цепь g из N,
удовлетворяющая условию D П Sp(g) = {jc}. Поскольку каждая такая
цепь g кратна некоторой примитивной цепи из N, то база D
является примитивной.
Обратно, предположим, что всякая клеточная база группы
N примитивна. Тогда на основании теоремы VIII. 16 группа N
является примитивной. □
Теорема VIII. 18. Если N— примитивная группа, то
каждая ненулевая цепь из N может быть представлена в виде
суммы цепей, кратных подходящим примитивным цепям,
окаймляемым цепью \.
Доказательство. Если возможно, то пусть f—ненулевая цепь
из Nf для которой теорема не верна. Выберем / так, чтобы
число |Sp(/!)| было минимально возможным. В силу тео-

250 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
ремы VIII. 2 цепь / окаймляет некоторую примитивную цепь g
из N. Если х — какая-либо клетка из Sp(g), то мы можем
считать (на основании теоремы VIII. 11), что g(x)=l. Положим
b = f-f(x)-g. (VIII. 2.2)
Тогда Sp(/i) является собственным подмножеством в Sp(g),
ибо x^Sp(h). Значит, при таком выборе цепи f теорема
справедлива для цепи ft. Используя теорему VIII. 2.2, заключаем,
что доказываемая теорема верна и для цепи f. Это
противоречит нашему предположению. П
Если N — примитивная группа, то существует такое число
r(N), что каждая клеточная база группы N и каждая
соответствующая база цепей имеют ровно r(N) элементов. Это
следует из теорем VIII. 15 и VIII. 17. Число r(N) будем называть
рангом группы N. Из данного определения вытекает, что
0<r(tf)<|S|. (VIII. 2.3)
Теорема VIII. 19. Если группа N примитивна, то и каждый
ее минор примитивен.
Доказательство. Рассмотрим элементарную цепь g из N X Т,
где T^S. Существует цепь gx из N, такая, что Sp(g1)= Sp(g)
и g = g\- Т. В силу теоремы VIII. 18 цепь gx окаймляет
некоторую примитивную цепь h{ из N. Ограничение hx • Т является
такой цепью ft из N X Т, что Sp(ft) ^ Sp(g) и все ненулевые
коэффициенты в h принадлежат R'. Кроме того, h — ненулевая
цепь. Поскольку g — элементарная цепь в N X Т, то Sp(ft) =
= 5р (g). Значит, h — элементарная цепь в N X Т и,
следовательно, примитивна в N X Т (см. теорему VIII. 1). Используя
теорему VIII. 10, заключаем, что цепь g кратна цепи Л.
Рассмотрим теперь элементарную цепь g из N-T.
Существует цепь gi из N, такая, что g\-T = g. Применяя
теорему VIII. 18, получаем, что в N-T найдется ненулевая цепь ft,
у которой все ненулевые коэффициенты принадлежат /?', а
носитель содержится в Sp(g). Как и в случае с NXT, цепь g
кратна примитивной цепи ft из N-T.
Если U ^ Т ^ S, то из приведенных результатов следует, что
(Ny^T)-U — примитивная группа. □
Теорема VIII. 20. Пусть N — примитивная группа, Т и U —
взаимно дополнительные подмножества из S, a D\ и D^ —
клеточные базы в N X 71 и N-U соответственно. Тогда D = D\(] D2
является клеточной базой группы N.
Доказательство. Пусть f — произвольная ненулевая цепь
группы N. Если цепь f-U ненулевая, то Sp(f) пересекается с

VIII. 2. Примитивные цепи 251
D2, а значит, и с D. Если f-U—нулевая цепь, то f-T —
ненулевая цепь из Ny^T. Следовательно, Sp(f) пересекается с D\
и D. Таким образом, D пересекается с носителем каждой
ненулевой цепи группы N.
Возьмем x£fl. Если i£Db то в B(D\) содержится цепь
из группы Ny^Ty носитель которой не пересекается с D\—{х}.
Она соответствует ненулевой цепи из N, носитель которой не
пересекается с D—{х}. Если хб D2, то в N существует
ненулевая цепь /, такая, что Sp(f) не пересекается с D2—{х}.
Вычитая из / цепи группы N, соответствующие подходящим кратным
элементов из N*XT, содержащихся в B(D\), мы можем
преобразовать / в ненулевую цепь из N, носитель которой не
пересекается с D—{х}. Отсюда следует, что в D нет собственного
подмножества, пересекающегося с носителем каждой
ненулевой цепи из группы N. Значит, D есть клеточная база группы
N. О
Теорема VIII. 21. Пусть N — примитивная группа и D —
подмножество множества S, состоящее из r(N) элементов,
обладающих следующим свойством: если хеД то существует цепь
f из N, такая, что D f] Sp (/) = {jc}. Тогда D является клеточной
базой группы N.
Доказательство. Очевидно, что D — клеточная база, причем
единственная, в группе N-D. В силу теоремы VIII. 3 в группе
yVX(S — D) существует клеточная база D''. Множество D[]Dr
является клеточной базой группы N (см. теорему VIII. 20).
Поскольку каждая клеточная база группы N имеет ровно r(N)
элементов, то Df должно быть пустым множеством. Значит,.
D — клеточная база группы N. □
Теорема VIII. 22. Если группа N примитивна, то и группа
N* примитивна. Кроме того, клеточные базы группы N*
являются дополнениями в множестве S клеточных баз группы N.
Доказательство. Пусть D — клеточная база группы N, а
D* — ее дополнение в S. Для каждого у е D* определим цепь
g(D*,y) в множестве S над кольцом /?, руководствуясь
следующим правилом: коэффициент при у равен 1, а при любом
другом элементе из D*—нулю; если жехЕЙ, то коэффициент
при х в цепи g(D*,y) равен взятому со знаком минус
коэффициенту при у в цепи g(D, х).
Очевидно, что каждая цепь g(D*,y) ортогональна всякой
цепи из B(D), а значит, и любой цепи группы N (см.
теорему VIII. 12). Следовательно, цепи вида g(D*,y)
принадлежат группе N*.
Далее, носитель произвольной ненулевой цепи из группы N*
пересекается с D*, ибо в противном случае эта цепь не была бы

252 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
ортогональна каждой цепи из B(D). Значит, D* является
клеточной базой группы N*.
Легко видеть, что все ненулевые коэффициенты в g(D*,y)
принадлежат R'. В силу теоремы VIII. 2 цепь g(D*yy) при
всяком у окаймляет некоторую элементарную цепь g из группы
N*. Поскольку Sp(g) пересекается с D* (как было показано
выше), то коэффициент g(y) отличен от нуля. Рассмотрим
цепь
h = g{y)g{D\y)-g
из N*. Она является нулевой, ибо ее носитель не пересекается
с D*. Так как g — элементарная цепь, то g(D*yy) является
элементарной, а значит, примитивной цепью группы N* (см.
теорему VIII. 8). Таким образом, дополнение всякой клеточной
базы группы N есть примитивная клеточная база группы N*.
Рассмотрим теперь произвольную клеточную базу Е группы
N*. Пусть D — клеточная база группы N, имеющая наименьшее
число общих элементов с Е. Если возможно, то выберем в
D[\E какую-нибудь клетку х. Тогда в Sp(g(D, х)) найдется
клетка у, не входящая ни в D, ни в Е (в противном случае
цепь g(D,x) была бы не ортогональна цепи f из N*, носитель
которой пересекается с Е только по одному элементу х, — см.
теорему VIII. 21). Используя теорему о замене, получаем, что
множество {D—{*})U{#} является клеточной базой группы N.
Это противоречит выбору D. Таким образом, D и Е не
пересекаются. Значит, Е есть подмножество из клеточной базы D*
группы N*, а поэтому в силу свойства минимальности
клеточных баз Е = D*.
Для завершения доказательства остается установить, что
группа N* примитивна. Это следует из теоремы VIII. 17. □
Теорема VIII. 23. Если группа N примитивна, то N** = N,
т. е. N и N* двойственны друг другу.
Доказательство. Пусть D — клеточная база группы N. Она
является клеточной базой и группы N** (см. теорему VIII. 22).
При заданном xgD цепи g{D,x) в двух примитивных группах
N и N** должны быть идентичными, так как в противном
случае их разность была бы цепью из Af**, носитель которой не
пересекается с D (см. теорему VIII. 6). Применяя теорему VIII. 12,
заключаем, что цепи в группах N и N** одни и те же. □
Теорема VIII. 24. Если N — примитивная группа и Т ^S, то
(N -T)* = N*XT и (NX Т)* = N* -Т.
Доказательство. Первое соотношение установлено в
теореме VIII. 7. Применяя его к N*f получаем (N*-T)* = N X ?\

VIII. 3. Регулярные группы цепей 253
что эквивалентно второму соотношению (в силу теорем VIII. 19,
VIII.22 и VIII.23). □
В заключение данного раздела приведем два тождества,
связанные с рангами групп и справедливые для любых
примитивных групп цепей:
r(N) = r(NXT) + r(N-(S-T)), T<=S; (VIII. 2.4)
\S\ = r(N) + r(N*). (VIII. 2.5)
Эти тождества вытекают из теорем VIII. 20 и VIII. 22
соответственно.
Заметим также, что из теоремы VIII. 24 выводится
следующее утверждение: если N — примитивная группа цепей, то
миноры группы N* двойственны минорам группы N.
VIII. 3. Регулярные группы цепей
В этом разделе через / обозначается кольцо целых чисел,
а через 1п — кольцо вычетов по модулю п, где п — целое
положительное число. Заметим, что у кольца / только два
обратимых элемента, а именно 1 и —1. Регулярной группой цепей
называется примитивная группа цепей над кольцом / (см. [1]).
Пусть / и g— две цепи в 5 над /. Будем говорить, что цепь
f согласуется с цепью g, если Sp(/)^Sp(g) и для каждого
x^Sp(f) числа f(x) и g(x) одного знака. Для цепей в 5 над
кольцом / справедливы следующие два легко устанавливаемых
утверждения.
Теорема VIII.25. Если f согласуется с g, a g— с hy то f
согласуется с h.
Теорема VIII.26. Если Sp(/)^ Sp(g) и коэффициенты цепи f
принадлежат множеству {0,1,—1}, то цепь g — f
согласуется с g.
Такое ограничение на коэффициенты выполняется,
например, в случае, когда f является примитивной цепью
регулярной группы цепей.
Теорема VIII.27. Пусть N— регулярная группа цепей
множества S. Тогда в N для каждой ненулевой цепи существует
примитивная цепь, согласующаяся с ней.
Доказательство. Если возможно, то выберем f так, чтобы
теорема для этой цепи была не верна и чтобы число |Sp(0|
было минимально возможным. Пусть x^Sp(f). В силу
теорем VIII. 11 и VIII. 18 цепь f окаймляет некоторую примитив-

254 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
ную цепь g из N9 такую, что g(x)= 1. Полагаем число а
равным 1 или —1 в зависимости от того, положителен или
отрицателен коэффициент f(x). Рассмотрим цепь h\ = f — eg (из N),
Она согласуется с / (в силу теоремы VIII. 26). Очевидно, что
\hi(x) | < \f(x) |. Если Sp(h\)= Sp(f), то' рассмотрим цепь
h,2 = h\ — og, и т. д. Каждая из цепей Ль й2, Лз, • • • согласуется
с f (см. теоремы VIII. 5 и VIII. 26). После не более чем f(x)
шагов мы придем к цепи Лг, носитель которой является
собственным подмножеством множества Sp(f).
Если hr = 0, то цепь f кратна цепи og, причем получается
из og умножением на целое положительное число. Значит, для
цепи / теорема верна. Это противоречит выбору цепи /. В
оставшемся случае в группе N найдется примитивная цепь ky
согласующаяся с цепью hr (в силу выбора цепи f)y а следовательно,
и с цепью / (см. теорему VIII. 25). Снова пришли к
противоречию. □
Теорема VIII. 28. Пусть N— регулярная группа цепей
множества S. Тогда любая ненулевая цепь f из N может быть
представлена в виде суммы примитивных цепей из N,
согласующихся с f.
Доказательство. Для всякой цепи q из N через M(q)
обозначим сумму абсолютных значений ее коэффициентов.
Если возможно, выберем цепь / так, чтобы теорема для нее
была не верна и чтобы число M(f) было минимально
возможным. В силу теоремы VIII. 27 существует примитивная цепь gy
согласующаяся с цепью /. Цепь f — g согласуется с / (см.
теорему VIII.26) uM(f — g)<M(f).
В силу выбора цепи / цепь / — g либо представима в виде
суммы примитивных цепей из N, согласующихся с / — g, а
значит, и с f, либо является нулевой цепью. Но f = (f — g)+ g.
Следовательно, для цепи / теорема верна. Это противоречит
выбору цепи f. □
Пусть п — целое положительное число, не меньшее 2. Пусть
/ — цепь в 5 над /. Приведение цепи f по модулю п состоит
в замене каждого ее коэффициента соответствующим классом
вычетов по модулю п. В результате получается цепь fn в
множестве 5 над кольцом 1п. Эту цепь мы будем называть вычет-
ной цепью по модулю п цепи f.
Если N— группа цепей множества 5 над кольцом /, то,
заменяя каждую цепь из N ее вычетной цепью по модулю п,
мы получим цепи из группы цепей Nn множества 5 над
кольцом 1п. Группа Nn называется вычетной группой цепей по
модулю п группы N. Данная цепь из группы Nn может
соответствовать бесконечному множеству цепей группы N.

VIII. 3. Регулярные группы цепей 255
Теорема VII. 29. Пусть N — регулярная группа и q — цепь из
Nn- Тогда в N существует цепь ff удовлетворяющая следующим
двум условиям:
(i) цепь q является вычетной цепью по модулю п цепи f\
(ii) каждый коэффициент цепи f меньше по абсолютной
величине числа п.
Доказательство. Существование в N цепи /,
удовлетворяющей условию (i), следует непосредственно из определения
группы Nn. Для каждой такой цепи / через Z(f) обозначим число
клеток из Sp(f), при которых коэффициенты в f не меньше по
абсолютной величине числа п. Если Z(f) = 0, то доказывать
нечего. Поэтому предположим, что в Sp(f) существует клетка
х, удовлетворяющая неравенству \f(x) | ^ п.
В силу теоремы VIII. 28 в группе TV найдется примитивная
цепь gy согласующаяся с / и такая, что хб Sp(g). Рассмотрим
цепь f\ = f — ng (из группы N). Цепь q является вычетной
цепью по модулю п и для цепи f\. Если f(y) = 09 то fi(y)=0.
Кроме того, если 0 < \f(y) | < п, то \fi(y)\ либо равно |/(#)|,
либо равно п — \f(y)\y и, значит, в любом из этих случаев
выполняются неравенства 0 < \f\(y) | < п. Но |/i (х) \ = \f(x) \ — п.
Следовательно, при замене f на fi условие (i) остается
справедливым, ни один новый коэффициент с абсолютной величиной,
большей или равной п, не появляется и абсолютная величина
числа f(x) уменьшается на п. Повторяя указанную процедуру
достаточное число раз, мы можем добиться того, чтобы Z(/) = 0.
При этом условие (i) будет выполняться на каждом шаге
процедуры. □
При изучении регулярных групп цепей заданного множества
удобно бывает использовать матрицы. Предположим, что 5 —
непустое множество, N—группа цепей этого множества и
r(N)>0. Пусть (хих2у ..., xs) — упорядоченный набор,
состоящий из всех 5 клеток множества 5 (все Xi разные). Для
всякой цепи / в множестве 5 над кольцом / определим ее
представляющий вектор
V(f) = (f(Xl),f(x2),..., f(xs)).
В предыдущих рассмотрениях, используя произвольное
кольцо R (см. разд. VIII. 1), мы не предполагали у читателя
никаких предварительных знаний, относящихся к теории линейной
зависимости. Однако при оперировании с кольцом /, особенно,
если оно рассматривается как вложенное в поле рациональных
или поле действительных чисел, теория линейной зависимости
должна быть хорошо знакома читателю. В частности, в случае
регулярной группы N величину r(N) можно истолковать как

256 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
наибольшее число линейно независимых цепей этой группы
(см. теорему VIII. 12).
Рассмотрим матрицу М, состоящую из r(N) строк и 5
столбцов. Пусть ее строки будут представляющими векторами
каких-то цепей группы N. Если они линейно независимы, то
назовем матрицу М представляющей матрицей (для) группы N.
Пусть D — произвольная клеточная база группы N. В
качестве строк представляющей матрицы М группы N можно взять
представляющие векторы r(N) цепей из базы B(D). Строки в
М можно упорядочить так, чтобы столбцы матрицы,
соответствующие клеткам из D, образовывали единичную подматрицу
порядка r(N). Такую матрицу М будем называть стандартной
представляющей матрицей группы N относительно клеточной
базы D.
Если М — представляющая матрица группы N и Т —
произвольное подмножество из 5, то через М(Т) будем обозначать
подматрицу матрицы М9 состоящую из столбцов,
соответствующих элементам подмножества Т.
Теорема VIII. 30. Пусть М — стандартная представляющая
матрица группы N относительно клеточной базы D. Пусть Т —
произвольное подмножество множества 5, состоящее из r(N)
клеток. Тогда det М(Т)= ±1, если Т — клеточная база группы
Ny и det М(Т) = 0 в противном случае.
Доказательство. Пусть Т—произвольная клеточная база
группы N и М\ — стандартная представляющая матрица
группы N относительно Т. В силу теоремы VIII. 12 существует
целочисленная квадратная матрица Q порядка r(N), такая, что
QM\ = М. Рассматривая единичную матрицу МХ(Т),
заключаем, что Q = M(T). Затем, рассматривая матрицу M(D),
получаем det(QAfi(£>))= 1. Следовательно, det Q, т. е. detM(T),
равен +1 или —1.
Предположим теперь, что Т не является клеточной базой.
Если подмножество Т пересекается с носителем каждой
ненулевой цепи из Ny то в нем существует минимальное
собственное подмножество Т\у обладающее этим свойством. Но тогда 7\
есть клеточная база группы N, имеющая меньше чем r(N)
элементов, а это невозможно. Отсюда следует, что в N есть цепь
/, носитель которой с Т не пересекается. В силу теоремы VIII. 12
представляющий вектор цепи f является линейной комбинацией
строк матрицы М. Значит, строки матрицы М(Т) линейно,
зависимы, а потому detAf(r)=0. □
Теорема VIII. 31. Пусть М\ — произвольная представляющая
матрица группы N и Т — произвольное подмножество
множества S, состоящее из r(N) клеток. Тогда существует целое по-

VIII. 4. Циклы 257
ложительное число т\, удовлетворяющее следующему условию:
detMi(r)= ±mi, если Т—клеточная база группы N, и
detMi(r) = 0 в противном случае.
Доказательство. Пусть D — клеточная база группы N, а
М — стандартная представляющая матрица относительно D.
В силу теоремы VIII. 12 существует целочисленная квадратная
матрица Q, такая, что QM = M\. Так как строки матрицы М\
линейно независимы, то det Q ф 0. Возьмем rai=|detQ|.
Остается учесть, что М\ (Т)= QM(T) для каждого 7\ и
применить теорему VIII. 30. □
VIII. 4. Циклы
Пусть G — граф, a Q — один из его ориентантов. Если D —
дуга из Q, то соответствующее ей ребро графа G будет
обозначаться через D'. Множество всех дуг ориентанта Q будем
обозначать символом 5. Если T^Sf то Тг есть множество всех ребер
графа G, соответствующих дугам из Т. В частности, S' = E(G).
Для каждой дуги D из й и любой вершины v графа G
определим число инцидентности r\(DjV), руководствуясь
следующим правилом: если ребро D' — петля или не инцидентно
вершине V, то r](D, и) = 0; в противном случае, т. е. если D' —
звено графа G, полагаем r\(Dfv)= 1 или —1 в зависимости от
гого, является вершина v концом или началом дуги D.
Цепь в 5 над кольцом R в смысле разд. VIII. 1 будет
называться Х-цепью ориентанта Q над кольцом R. Цепь в множестве
V(G) над R назовем 0-цепью ориентанта Q над кольцом R (или
0-цепью графа G над кольцом R).
Пусть /—произвольная 1-цепь ориентанта Q над кольцом
R. Ее границей df называется 0-цепь графа G, определяемая
следующим правилом: для каждой вершины v
(df)(v)= £ i\{D,v)f{D). (VIII. 4.1)
DgS
Таким образом, если величину f(D) толковать как «ток»
(или «поток») в дуге Д то (df) (v) можно интерпретировать
как разность между полным (суммарным) током в дугах,
заходящих в вершину и, и полным током в дугах, выходящих из
v, или, проще говоря, как чистый ток в вершине v при ориен-
танте Q.
Из формулы (VIII. 4.1) вытекают следующие очевидные
тождества:
d(kf) = k-df9 (VIII. 4.2)
d{f + g) = df + dg; (VIII. 4.3)

258 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
А>А.
Qt^l
А,/|
о/
А8\~1
°7^-^1
7 °б
Рис. VIII. 4.1.
Аз
|\
-1/
^Аб
\°3
\а4
V4
-•Аз
°5
здесь f и g— произвольные 1-цепи
ориентанта Q над кольцом R и ^g /?.
Если / есть 1-цепь ориентанта Q
над .кольцом /? и df = О, то /
называется циклом ориентанта Q над R.
Циклом, например, является нулевая
цепь в S над R. Используя
соотношения (VIII. 4.2) и (VIII. 4.3), легко
установить, что множество всех
циклов ориентанта Q над кольцом R
является подгруппой группы цепей в S
над R. Эта подгруппа обозначается
через Г(й, /?), или, короче, через Г,
и называется группой циклов
ориентанта £1 относительно кольца R.
Дадим теоретико-графовое толкование элементарных цепей
группы Г и ее клеточных баз. Это лучше сделать на языке
графа G, а не на языке ориентанта Q. В самом деле, замена
ориентанта графа G, например переход от ориентанта Q к
ориентанту Qu существенных изменений в результаты не
вносит, так как при этом просто в некотором подмножестве U из
5 каждая дуга D замещается противоположной дугой £Н,
а значит, число инцидентности r\(D, и), соответствующее любой
такой дуге, заменяется на r\(D~\v)y т. е. на —r\(Dyv).
Следовательно, каждая дуга из U замещается противоположной как
клетка рассматриваемой группы цепей, а это влечет за собой
умножение соответствующих коэффициентов во всех цепях из
Г на —1. Будем говорить, что группа Г(йь7?) строится из
группы T(£2,R) переориентацией подмножества ребер U'.
Иногда в кольце R выполняется соотношение 1=—1
(например, если R = I2). В этом случае изменение ориентации не
приводит к изменению коэффициентов и нет необходимости
устанавливать различие между противоположными дугами, а
также между любой дугой и соответствующим ей ребром графа
G. Цепи в 5 мы можем рассматривать тогда как цепи в E(G)
и говорить о 0-цепях, 1-цепях и циклах «графа G», не ссылаясь
при этом ни на какой конкретный ориентант.
Рассмотрим n-цикл С графа G (здесь цикл понимается, как
в разд. 1.1). Для каждого ребра Л/ соответствующую ему дугу
из множества 5 обозначим через £>/. На рис. VIII. 4.1
изображен 7-цикл; ориентация ребер указана стрелками
(каждая стрелка идет из начала соответствующей дуги в ее
конец).
Определим цепь рс в 5, руководствуясь следующим
правилом: если дуга D из множества 5 не соответствует никакому
ребру в цикле С, то полагаем pc{D) = Q\ если D = D/, т. е.

VIII. 4. Циклы 259
соответствует ребру Af цикла С, то рс(А) = 1 или —1 в
зависимости от того, является вершина а}- концом или началом
дуги Dj. На рис. VIII. 4.1 эти коэффициенты указаны внутри
цикла. При л=1, т. е. ко1;да А\ — петля, цепь рс является,
очевидно, циклом ориентанта й. Если п> 1, то
Л(Д/,а/)РсФ/)=1. (VIII. 4.4)
Л(Д/,а/-1)РсФ/) = --1. (VIII.4.5)
Из этих соотношений и формулы (VIII. 4.1) вытекает, что
дрс = 0. Суммируя полученные результаты, приходим к
следующему утверждению.
Теорема VIII.32. Для каждого цикла С графа G цепь рс
является ненулевым циклом ориентанта Q над кольцом R.
Коэффициенты этой цепи принадлежат множеству {0,1,—1},
а ее носитель состоит из дуг цикла С, принадлежащих
множеству S.
Заметим, что при обращении дуг цикла Т (т. е. при
изменении их ориентации) новая цепь рс получается из «старой»
умножением на —1.
Теорема VIII.33. Пусть f — произвольная ненулевая цепь из
группы Г(й, R). Тогда существует цикл С графа G, такой, что
цепь рс окаймляется цепью f.
Доказательство. Валентность каждой вершины v в подграфе
G-Sp(f) не меньше 2, так как в противном случае (df) (v) было
бы отлично от нуля. Значит, в силу теоремы 1.39 pi(G-Sp(/))>
>> 0. Используя теоремы 1.35 и 1.45, заключаем, что в
подграфе G-Sp(f) существует цикл С. Но тогда С есть цикл графа
G и, следовательно, цепь рс окаймляется цепью /. □
Теорема VIII. 34. Цець f из группы Г(й, R) является
элементарной тогда и только тогда, когда f = opc> где
С—некоторый цикл графа G, а а — ненулевой элемент кольца R.
Доказательство. Пусть / = орс. Предположим, что цепь / не
является элементарной. В силу теоремы VIII. 33 в графе G
существует цикл U, такой, что цепьр^ строго окаймляется цепью
рс- Отсюда следует, что цикл U является обособленным
собственным подграфом цикла С. Это противоречит связности
цикла С (см. теорему 1.27).
Обратно, предположим, что цепь / элементарная. В силу
теоремы VIII. 33 в графе G существует цикл С, такой, что цепь рс
окаймляется цепью /.Поскольку цепь / элементарна,то Sp(/) =
= Sp(/?c). Следовательно, цепь рс элементарна, а значит, и

260 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
примитивна (см. теорему VIII. 32). Остается воспользоваться
теоремой VIII. 10). □
Теорема VIII.35. Группа T(Q,R) является примитивной
группой цепей.
Доказательство. Из теоремы VIII. 34 следует, что всякая
элементарная цепь f из Г(й,/?) пред ставима в виде орс, где
С — подходящий цикл графа G. Но в силу теоремы VIII. 32
цепь рс является примитивной. □
Цепи рс будем называть элементарными циклами ориен-
танта Q.
Костяком графа G назовем его остовный подграф, у
которого пересечение с каждой компонентой Н графа G является
деревом (и, естественно, остовом компоненты Н).
Теорема VIII. 36. Подмножество Т из S является клеточной
базой группы T(QyR) тогда и только тогда, когда подграф
G :(Sf — Т') есть костяк графа G.
Доказательство. Предположим, что подграф F=G:(S/—
— Т') является костяком графа G. Он не содержит циклов.
Следовательно, в силу теоремы VIII. 33 носитель каждой
ненулевой цепи из Г(й,/?) пересекается с Т. Пусть D — какая-либо
дуга из Г и Л —ее конец, a t — начало. Если D соответствует
петле в G, то на основании теоремы VIII. 34 дуга D образует
носитель элементарной цепи из T(Q,R). В оставшемся случае
h и t являются различными вершинами компоненты Н графа
G, а значит, в подграфе F [\Н они соединены некоторой цепью
L (см. теорему 1.44). Добавляя ребро, соответствующее дуге
D, к цепи L, получаем цикл С, такой, что Sp(pc) пересекается
с Т только по D. Следовательно, подмножество Т является
клеточной базой группы Г(й,/?).
Обратно, пусть Т — клеточная база группы Г(й, R).
Рассмотрим подграф F=G:(S/—ТА). В силу теоремы VIII. 32
циклов в F нет. Предположим, что у него существуют две или
более компонент, содержащихся в некоторой компоненте Н
графа G. Тогда в V(H) найдутся непустые взаимно
дополнительные подмножества U и W, соединяющиеся друг с другом
только звеньями из Т. Поскольку Н — связный граф, то хотя
бы одно такое звено А имеется. Значит, в силу теорем VIII. 4
и VIII. 34 существует цикл С графа G, удовлетворяющий
условию Е(С)[\ Т' ={А}. Так как С — связный граф, то он целиком
лежит в Н. Цепь, являющаяся дополнением ребра А в цикле
С, представляет собой связный граф, а поэтому в ней
содержится ребро, соединяющее подмножества U и W, которое не
принадлежит Т. Пришли к противоречию. Следовательно, пе-

VIII. 5. Кограницы 261
ресечение подграфа F с каждой компонентой графа G является
связным графом, не имеющим циклов, т. е. F есть костяк
графа G. □
Заметим, что если граф G связен, то число всех клеточных
баз группы Г(й,/?) равно древесной сложности графа G.
Теорема VIII.37. Ранг группы Г(й, R) равен p\{G).
Доказательство. Пусть Т — произвольная клеточная база
группы Г(й, R) (см. теорему VIII. 3). Если Н — какая-либо
компонента графа <?, то число ребер из Я, не принадлежащих
множеству Т', равно |К(#)|—1 (см. теоремы VIII. 36 и 1.37).
Значит, используя формулу (1.6.1), получаем
\sr-r\ = \V(G)\-Po(G)
r(T) = \r\ = \E(G)\-\V(G)\ + P*(G) = Px(G). П
VIII. 5. Кограницы
Пусть g есть 0-цепь графа G (и ориентанта Q) над
кольцом R. Ее кограницей Sg называется 1-цепь ориентанта Q над
кольцом /?, определяемая следующей формулой:
(bg)(D)= S 4(D,v)g(v), (VIII.5.1)
v<=V(G)
где D — произвольная дуга из Q. Эта формула аналогична
формуле (VIII. 4.1). Ее можно записать в более простой форме:
(bg) (D) = g(h (D)) -g(t (D)), (VIII. 5.2)
где h(D) и t(D) — соответственно конец и начало дуги D.
Из формулы (VIII. 5.1) вытекают следующие очевидные
тождества:
6(Xg) = X-6g, (VIII. 5.3)
b(g + h) = bg+6h, (VIII. 5.4)
где g и h — произвольные 0-цепи ориентанта Q над кольцом R
и А, е R. Заметим, что кограница нулевой 0-цепи есть нулевая
1-цепь.
Используя соотношения (VIII. 5.3) и (VIII. 5.4), легко
установить, что множество всех кограниц 0-цепей ориентанта Q над
кольцом R является подгруппой группы цепей в 5 над R. Эта
подгруппа обозначается через Д(й,/?), или, короче, через Д,
и называется группой кограниц ориентанта Q относительно
кольца R.

262 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
Как и для группы циклов, замена ориентанта является
простейшей операцией над группой кограниц: переход от йк новому
ориентанту Qj состоит в переориентировании подходящего
подмножества из E(G).
Займемся изучением элементарных цепей и клеточных баз
группы Д(й,/?).
Пусть множество вершин графа G разбито на взаимно
дополнительные подмножества X и У. Через J(Xy У) обозначим
множество всех ребер графа G, у каждого из которых один
конец лежит в X, а другой — в У.
Если граф G и порожденные подграфы G[X] и G[Y] связны,
то множество J(X, У) называется бондом (или минимальным
разрезом, или сечением) графа G. Подграфы G[X] и G[Y]
называются торцевыми графами этого бонда. Из приведенного
определения следует, что бонд ](Х, У) должен быть непустым
множеством. Если граф G несвязен, то его бонд определим как
бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек
графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка
являются торцевыми графами соответствующего бонда.
Теорема VIII.38. Пусть X и У—взаимно дополнительные
подмножества из V{G) и множество J(Xy У) непусто. Тогда
существует бонд В графа G, такой, что В ^ J(X, У).
Доказательство. Из всех пар (Х0, У0) взаимно
дополнительных подмножеств множества V (G), удовлетворяющих условию
0 cz / (Х0, У0) s / {Ху У), выберем такую пару, чтобы величина
|/(Х0, У0) | была минимально возможной.
Предположим, что граф G связен. Если подграф G [Х0]
несвязен, то его компоненты обозначим через /Сь ^С2» ••■> Кт
(т> 1). Из связности графа G следует, что каждое
множество / (V (К[)> V (G) — V (Kt)) является непустым собственным
подмножеством множества J(X0lY0). Это противоречит выбору
множества J(X0yY0). Значит, подграф G [Х0] и, аналогично,
подграф G[Y0] связны. Таким образом, J (Х0, У0) является
бондом В.
Если граф G несвязен, то пусть Н — какая-либо его
компонента, включающая ребро из J(Xy У). Используя
приведенные выше рассуждения, заключаем, что множество / (X [\V (Я),
У П V (#)) содержит бонд В компоненты Н. Но тогда В
является также бондом графа G. □
Для заданного разбиения (X, У) множества V (G) можно
определить 0-цепь g ориентанта Q, положив g(x) = 0, если
х^Ху и g(x)=ly если xeF. Тогда Sp (6g) = J(X1 У). Кроме
того, ненулевые коэффициенты кограницы 6g являются
элементами подмножества {1, — 1} кольца R. Если J(X> У) — бонд

VIII. 5. Кограницы 263
Рис. VIII. 5.1.
графа G, то кограницу 8g будем также обозначать через Цв,
где B = J(X, У).
Теорема VIII.39. Если f — ненулевая цепь из Д(й,/?), то
найдется бонд В графа G, такой, что qB окаймляется цепью f.
Доказательство. Очевидно, что существует 0-цепь g с
кограницей 6g = f. Поскольку / — ненулевая цепь, то в 5 имеется
дуга D с концом h и началом ty удовлетворяющая условию
g(h)^g(t) (см- соотношение (VIII. 5.2)). Пусть X —
множество всех таких вершин х графа G, что g(x) = g(h).
Подмножество остальных вершин графа G обозначим через У. Легко
видеть, что подмножество J(X, У) непусто и содержится в
Sp(f). Применяя теорему VIII. 38, заключаем, что в J(Xy У)
существует подмножество Ву являющееся бондом графа G.
Значит, кограница qB окаймляется цепью /. □
Теорема VIII.40. Ненулевая цепь группы A(QyR)
элементарна тогда и только тогда, когда она представима в виде а^в,
где В — некоторый бонд графа G, а а — ненулевой элемент
кольца R.
Доказательство. Пусть цепь / есть oqB. Если она не
элементарна, то в бонде В должен строго содержаться другой
бонд В' (см. теоремы VIII. 38 и VIII. 39). Однако это
невозможно, так как иначе компонента Н графа G, включающая
ребра бонда В, является графом, состоящим из двух
непересекающихся подграфов Н[Х] и Я [У], соединенных ребрами из
В, причем один конец каждого такого ребра лежит в X, а
другой— в У (см. рис. VIII. 5.1).

264 Гл. VIII. Алгебраическая двойственность
Если из Я удалить ребра, принадлежащие произвольному
собственному подмножеству бонда В, то новый граф будет
связным ( всилу теоремы 1.25). Значит, никакое собственное
подмножество В' бонда В не может быть бондом графа G.
Обратно, предположим, что цепь f элементарна. По
теореме VIII. 39 в графе G существует бонд В, такой, что Цв
окаймляется цепью f. Поскольку f — элементарная цепь, то
Sp(/)= Sp(qB). Но цепь qB тоже элементарна. Следовательно,
она (в силу доказанного выше результата)—примитивная цепь.
Значит, на основании теоремы VIII. 10 цепь / представима
в виде oqe- П
Мы показали, кроме того, что каждая элементарная цепь
группы Д(й,/?) кратна подходящей примитивной цепи. Тем
самым установлено следующее утверждение.
Следствие VIII.41. Группа A(QyR) является примитивной
группой цепей.
Теорема VIII.42. Группы T(£l>R) и А(й, R) являются
двойственными друг другу группами цепей.
Доказательство. Пусть / и g — соответственно 1-цепь и
0-цепь ориентанта Q над кольцом R. Тогда, используя
формулы (VIII. 1.5) и (VIII. 5.1), получаем
(/•«*)= I (f(D) I i\(D,x)g(x)) =
De5 xe-V(G)
= I (*(*) I i\(D,x)f(D)).
x<=V(G) DeeS
Для ортогональности l-цепи f кограницам всех 0-цепей
необходимо и достаточно, чтобы
£ i\(D,x)f(D) = 0
D<=S
для каждой вершины х. Но это означает, что цепь f является
циклом ориентанта Q, т. е. что она принадлежит группе
Г(0,К).
Отсюда следует, что
(A(Q, /?))* = Г (Q, R). (VIII. 5.5)
Поскольку обе группы цепей, входящие в это соотношение,
являются примитивными (см. теорему VIII. 35 и следствие
VIII. 41), то, используя теорему VIII. 23, получаем
Г(0, /?))* = Л (Q, R). (VIII. 5.6)
Теорема доказана. П

VI