Д. ЦВЕТКОВИЧ, М.ДУБ. Х.ЗАХС
СПЕКТРЫ
ГРАФОВ
теория
и применение

Spectra of Graphs
— Theory and Application
by
Dragos M. Cvetkovic
Michael Doob
Horst Sachs
With 44 Figures
m
VEB Deutschei Yerlag der Wissenschaften
Berlin 1980

Д.ЦВЕТКОВИЧ, М. ДУБ, Х.ЗАХС
СПЕКТРЫ
ГРАФОВ
теория
и применение
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук
В. В. СТРОКА
Под редакцией
акад. АН УССР
В. С. КОРОЛЮКА
КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1984

УДК 519J
Спектры графов. Теория и применение / Цветкович Д., Дуб М., Захс X.— Киев !
Наук, думка, 1984.— 384 с.
Монография посвящена спектральной теории графов — новому научному
направлению, находящемуся на стыке теории графов и теории матриц. Изложены
вопросы спектральной теории графов: зависимости между спектральными и
структурными свойствами графов, спектрами и группами автоморфизмов, характеризация
графов посредством их спектров и др. Приведены приложения рассматриваемой
теории, в частности применения ее методов в химии и физике.
Для специалистов по математической кибернетике, теории графов и ее
приложениям.
Ил. 44. Библиогр.: с. 338—372.
Редакция физико-математической литературы
1702070000- 013
Ц М221(04)-84
g) VEB Deatscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980
© Перевод на русский язык и предисловие, издательство «Наукова думка», 1984
2

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРЕВОДУ
В последние десятилетия значительно возросла научная активность в области
дискретной математики, переживающей период интенсивного развития и проникновения в
самые разнообразные области знания. Наиболее ярка это проявилось в одном из ее
разделов — теории графов, обширные возможности приложения которого
обусловлены теоретико-множественными, комбинаторными и топологическими аспекта*
ми, составляющими основу понятия самого графа. Успех применения методов теории
графов можно объяснить также тем, что она представляет собой удобный язык для
формулировки задач, относящихся к весьма широкому кругу научных проблем, и
является эффективным инструментом для их решения.
В теории графов развиты специальные методы для решения различных задач,
но еще мало общих методов, позволяющих единообразно решать целые классы задач.
В качестве источников создания таких достаточно общих методов зачастую
выступают другие ранее сложившиеся области математики. Примером может служить
линейная алгебра, в результате применения которой в теории графов возникло новое
направление — спектральная теория графов, основанная на алгебраических
инвариантах графа — его спектрах. Хотя развиваемые в этой теории методы и не могут
дать ответ на все вопросы, связанные с конкретной характеризацией графа, тем не
менее они позволяют получить лучшие результаты по сравнению с другими
существующими методами.
В книге излагаются наиболее важные вопросы теории спектров графов:
зависимость между спектральными и структурными свойствами графов, спектрами и
группами автоморфизмов; характеризация графов спектрами и др. Приведены приложения
спектральных методов в теории графов, комбинаторике, химии и физике, описаны
химические и физические модели, в которых спектры графов имеют важное
самостоятельное значение.
В последнее время теоретико-графовые (топологические) подходы приобрели
для химии большое значение, что, по мнению специалистов [Tri 2], обусловлено
несколькими причинами: во-первых, результаты, полученные при топологическом
рассмотрении, не всегда могут быть извлечены из прямых численных расчетов; во-вторых,
существует много молекулярных свойств, которые лучше всего поддаются
объяснению с помощью представлений, основанных на понятии связности молекулярного
графа. Повышенный интерес, проявляемый к теории графов, вызван также тем, что
теория молекулярных орбиталей Хюккеля продолжает совершенствоваться и
успешно применяться в химии сопряженных молекул. Анализ теории Хюккеля на языке
теории графов не только открывает новые возможности для наглядной интерпрета-
5

ции, но и позволяет глубже разобраться в структурном обосновании многочисленных
закономерностей, установленных для я-электронных систем.
В связи со сказанным выше данная монография, написанная известными
специалистами, объективно излагающими современное состояние спектральной теории
графов и ее методов, представляется весьма актуальной. Применение этих методов
до сих пор не было подробно освещено в отечественной монографической литературе.
Каждая глава книги содержит много дополнительного материала и упражнений,
которые также должны способствовать развитию у читателя навыков в решении
прикладных задач. Можно надеяться, что настоящее издание будет полезным
как для математиков, интересующихся конкретными прикладными аспектами
спектральной теории графов, так и для всех специалистов, которые хотят получить
представление о современном состоянии и проблемах этой теории.
Мы весьма признательны профессору X. Захсу, приславшему ряд исправлений
и любезно разрешившему добавить в настоящую книгу некоторый дополнительный
Материал. При переводе в гл. 2 и 7 включены три новые задачи, а составляющие
библиографию три списка литературы объединены в один, в который внесены
значительные уточнения и добавления, отражающие публикации последних лет.
Переводчик пользуется случаем выразить искреннюю признательность д-ру
физ.-мат. наук А. Ф. Турбину, замечания которого, сделанные им в процессе
перевода, способствовали улучшению его качества, а также канд. физ.-мат. наук
М. И. Кратко за содержательные советы и Н. М. Спиридоновой за помощь,
оказанную при подготовке рукописи перевода.
В. С. К о р о л ю к, Б. В. Строк

Посвящается Зоре, Джуди и Барбаре
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Весьма любопытен тот факт, что некоторые из основных
результатов, чисто комбинаторных по своему характеру, при
современном уровне знаний, как представляется, не могут быть получены
без обращения к алгебраическим методам, основанным на
рассмотрении собственных значений матриц смежности графов.
К. Ст. Дж. Л. Нэш-Вильяме.
Неисследованные и полуисследо-
ванные территории в теории
графов *
Совершенно очевидно, что в этой богатой области исследований
до сих пор получены лишь результаты, лежащие на поверхности.
А. Дж. Хоффман.
Собственные значения матрицы
смежности графа **
Эта книга написана для математиков, работающих в области теории графов и
комбинаторики, для химиков, интересующихся квантовой химией, и отчасти для физиков
и инженеров-электриков, использующих теорию графов в своей работе. Материал
монографии предполагает лишь незначительное знакомство читателя с теорией
графов и теорией матриц.
Теорию спектров графов можно рассматривать в некотором смысле как попытку
использовать линейную алгебру, включая, в частности, хорошо развитую теорию
матриц, в теории графов и ее приложениях. Однако это вовсе не означает, что теория
спектров графов может быть сведена к теории матриц; напротив, она имеег свои
собственные, свойственные лишь ей черты и специфические методы рассуждений, вполне
позволяющие рассматривать ее как самостоятельную теорию.
Мы убеждены, что книга, подобная данной, должна была появиться. Это
обусловлено тем, что, с одной стороны, стандартные учебники по теории графов лишь
слегка касаются спектров графов (исключение составляет прекрасная монография
Н. Биггса по алгебраической теории графов [Big 5]). С другой стороны, спектрам
графов уделено значительное внимание как в математической литературе, так и в
химической. Результаты разбросаны в различных журналах и других изданиях и,
таким образом, в целом недостаточно известны; по этой причине некоторые результаты
неоднократно переоткрывались (см., например, теоремы 1.2 и 1.3).
Настоящую монографию следует рассматривать не как систематическое
исследование по спектрам графов, а скорее как единообразное изложение результатов этой
теории. Тем не менее хочется надеяться, что книга будет полезна большому кругу
* [Nach, с. 181]: автор говорит о «проблеме определения минимального порядка
регулярного графа с заданными обхватом и валентностью».
** [Hof 9, с. 578].
7

читателей, так как она содержит много информации, обширную библиографию и
приложение с численными данными о спектрах графов.
Следует признать, что некоторые важные темы, относящиеся к спектрам графов,
лишь слабо намечены. Этот недостаток во многом устранен в подготавливаемой
монографии Дж. М. Гёталса, А. Дж. Хоффмана и Дж. Дж. Зайделя по спектрам графов.
Гл. О, 2, 3, 7—9 написал Д. Цветкович, 1, 4, 5 — X. Захс, 6 — М. Дуб.
Приложение составлено Д. Цветковичем и X. Захсом. Кроме того, определенный вклад внес
каждый из авторов и в другие главы, стараясь улучшить текст книги в целом и
унифицировать материал различных глав. Таким образом, авторы несут
коллективную ответственность за всю книгу.
Мы пытались найти стиль изложения, который был бы досгаточно кратким для
столь обширного материала, включаемого в книгу ограниченного объема, и в то же
время доступным для специалистов, желающих ознакомиться с ним с целью
расширения области приложений теории графов.
Мы хотели бы поблагодарить Дж. Дж. Зайделя (Эйндховен) за его ценные
замечания к гл. 6 и части гл. 7 и И. Гутмана (Крагуевац), который помог в написании
гл. 8, в частности, в обработке библиографии по химической литературе.
Благодарим также следующих лиЦ за их помощь в подготовке этой книги: Н. Обрадовича
(Белград), В. Бёрнера, И. Рёрса, Б. Шёнефельда, С. Пеха, К.-Х. Шволова (Ильме-
нау), А. Граоваца (Загреб), Дж. Д. Кешкича, Д. Максимовича, С. К. Симича (Белград),
А. К. Кельманса (Москва), Л. Бабаи (Будапешт), Р. Б. Мэллиона (Оксфорд),
Б. Прайсса, Е. Гушулака (Виннипег), Т. Дж. М. ван ден Хурка и А. М. Дженсон-
ДженсенА(Эйндховен), а также авторов нескольких таблиц, приведенных в
приложении, за разрешение воспроизвести их таблицы в этой книге. Кроме того, благодарим
электротехнический факультет Белградского университета и Математический институт
в Белграде, Университет Манитоба (Виннипег) и Технический институт в Ильменау
за поддержку нашей работы над книгой.
Д. Цветкович благодарит Технологический университет в Эйндховене за
предоставленную ему возможность работы в нем в 1975/76 учебном году, М. Дуб —
Национальный исследовательский совет Канады за оказанную поддержку. И, наконец, мы
благодарны издателям и их сотрудникам, в частности миссис Б. Мэй, за их терпение
и постоянное сотрудничество, а также машинописному бюро и его сотрудникам.
Лето 1978 г.

ГЛАВА О
ВВЕДЕНИЕ
Данная глава предназначена в основном для читателей, не знакомых
с теорией графов, и призвана помочь им войти в тематику настоящей
книги. Здесь приводятся основные определения и результаты,
относящиеся к спектрам графов, некоторые теоретико-графовые понятия, а
также излагаются необходимые факты из теории матриц. Для общего
ознакомления с теорией графов читатель отсылается к книгам [BeCh 2,
Вег 1, Вег 2, BoMu, Deo, Наг 4, Мауе, Noit, Sac 9, Wi,RJ 2], для
химика особый интерес может представить работа [Bala] *, в качестве
обзоров по теории матриц мы рекомендуем книги [Гант и MaMi].
§ 0.1. Что такое спектр графа
и что о нем говорится в этой книге
Под графом G = (X, 41) понимается конечное множество X
(элементы которого называются вершинами) совместно с множеством 41
двухэлементных подмножеств этого X (элементы множества 41
называются ребрами). Аналогично, орграф (ориентированный граф) (X, 41)
определяется как конечное множество X и множество 41
упорядоченных пар элементов множества X, которые называются
ориентированными ребрами или дугами. Множества вершин и ребер графа G иногда
обозначают соответственно через 4/(G) и %{G).
Графы с неориентированными или ориентированными кратными
ребрами называются соответственно мультиграфами или мультиорграфа-
ми. В этих случаях допускается существование петель (петля — это
ребро или дуга, обе вершины которой совпадают). Используемая
терминология совпадает с терминологией Харари [Наг 4], с тем лишь
отличием, что в настоящей книге в мультиграфах (мультиорграфах)
допускается наличие петель. Хотя термином «граф» принято обозначать то,
что в некоторых работах по теории графов называется «конечным
неориентированным графом без петель и кратных ребер» (или, короче,
«обыкновенным графом»), мы ради удобства чтения будем иногда
(когда это не вызовет недоразумений) использовать термин «граф» в более
* Недавно появились также две новые книги по теории Хюккеля: [CoOMJ и
lYat].
9

широком смысле, т. е. будем этим термином обозначать
неориентированные графы, орграфы и даже мультиграфы и мультиорграфы.
Две вершины называются смежными, если они соединены ребром
(дугой). Матрица смежности А мультиграфа (мультиорграфа) G с
множеством вершин {хъ х2, ..., хп) —это квадратная матрица
порядка пу в которой значение ац элемента, расположенного на месте (t, /),
равно числу ребер (дуг), начинающихся в вершине xt и
оканчивающихся в вершине xf. Будем обозначать ее А = (ац) = {ац)1\ иногда
элемент ац будет удобно обозначать через (А)ц. Например, матрица
смежности графа, изображенного на рис. 0.1, имеет вид
/0100
_ / 1 0 1 0
А"I0 1 0 1
\0 0 1 о
Для мультиграфа значение ац равно удвоенному числу петель
(неориентированных), присоединенных к вершине xt *.
Иногда удобно отождествлять мультиграф G с мультиорграфом,
матрица смежности которого такая же, как и у графа G. Объясним это
подробнее: любое неориентированное
• * • • ребро, соединяющее различные
вершила х2 Xj х4 ны, может рассматриваться как пара
рис 0 j дуг, соединяющих те же самые
вершины, но имеющих взаимно
противоположные направления, и наоборот. Аналогично, любые две
«ориентированные петли», присоединенные к одной и той же вершине, можно
заменить одной неориентированной петлей и наоборот.
Мультиграфы (мультиорграфы) G = (X, %) и Н = (У\V)
называются изоморфными, если существует (1,1)-отображение у — q> (х)
X на У такое, что для любой пары вершин х'ух"£ХвН имеется
столько же ребер (дуг), следующих из у' = q> (х) в у" = q> (jt"),
сколько их в G следует из х' в х". Такое (1,1)-отображение ф, сохраняющее
смежность, называется изоморфизмом. Очевидно, G и Н изоморфны
тогда и только тогда, когда их вершины можно обозначить
(занумеровать) так, что соответствующие матрицы смежности будут равны.
Ясно, что отношение изоморфизма является отношением
эквивалентности, разбивающим множество всех мультиграфов (мультиорграфов) на
классы эквивалентности, которые можно рассматривать как
абстрактные мультиграфы (мультиорграфы). Таким образом, изоморфные
мультиграфы (мультиорграфы) представляют один и тот же
абстрактный мультиграф (мультиорграф). Если G и Н изоморфны, будем писать
G ^ Ну если же G и Н рассматриваются как абстрактные мультиграфы
(мультиорграфы), то G = Н.
Определитель квадратной матрицы А обозначается через | А \
или det А.
* В некоторых случаях более удобно полагать, что петля вносит 1 в след
матрицы Л; в таких случаях будем говорить, что петли учитываются однократно.
Ориентированная петля всегда учитывается однократно.
10

Pg(X) =
= X* — 3X2+U
Характеристический многочлен \XI — A | матрицы смежности A
графа G называется характеристическим многочленом графа G и
обозначается через Pg (X). Собственные значения матрицы А (т. е. нули
многочлена | XI — А |) и спектр матрицы А (состоящий из собственных
значений) называются соответственно собственными значениями в
спектром графа G. Если Хи ..., Хп — собственные значения графа G,
то весь спектр обозначается через Sp (G) = 1Хи ..., Хп]. Ясно, что
изоморфные мультиграфы (мультиорграфы) имеют один и тот же спектр.
Собственные значения матрицы А можно определить также как
такие числа X, удовлетворяющие уравнению Ах = Хх, для которых
имеется ненулевой вектор х. Каждый такой вектор х называется
собственным вектором матрицы А (или графа G), соответствующим
собственному значению X.
Для графа G, изображенного на рис. 0.1, имеем
X — 1 0 0
-1 X —I о
0—1 X — 1
0 0—1 л.
8,m-[±gL. ^1±П, j=p., =фЦ.
Спектр полного графа Кп на п ;> 1 вершинах (определение полного
графа приведено на с. 14) состоит из числа п — 1 и п — 1 чисел,
равных —1 (см. § 2.6).
Определения некоторых других типов спектров графа даны в гл. 1.
Спектры графов вошли в математическую литературу начиная с
фундаментальных работ Л. М. Лихтенбаума [Лих 1] (1956 г.) и Л. Кол-
лаца и У. Си ноговица [CoSi 1] (1957 г.). Но химики-теоретики начали
интересоваться спектрами графов еще раньше, после появления работы
Э. Хюккеля [Hiick] в 1931 г., хотя пользовались тогда другой
терминологией.
Перечислим причины проявляемого интереса к спектрам графов.
1. В квантовой химии скелеты некоторых ненасыщенных
углеводородов представляются в виде графов. Энергетические уровни
электронов в такой молекуле в действительности являются собственными
значениями соответствующего графа. Устойчивость молекулы, а
также другие важные химические свойства тесно связаны со спектром
графа и соответствующими собственными векторами (см. гл. 8).
2. В теории графов и комбинаторике имеется много теорем, при
доказательстве которых применяются спектры графов, хотя они и не
встречаются в формулировке теорем. Следовательно, использование
спектров графов играет роль весьма важного метода, который
называется спектральным (см. гл. 7).
3. И наконец, еще один аспект — вычислительный: спектр — ког.
нечная последовательность числовых инвариантов. Исходя из того,
что интересующая нас информация (или ее значительная часть)
содержится в спектре, мы можем вместо графа использовать его спектр,
так как конечную последовательность чисел легко обрабатывать на
11

вычислительной машине. Последнее, разумеется, имеет смысл только
тогда, когда существуют эффективный метод вычисления спектров для
достаточно широкого класса графов и обратный метод —
«декодирование» спектра, т. е. восстановление интересующих нас свойств графа
по его спектру при помощи алгебраических вычислений.
Следует отметить, что химики и физики обычно знают структуру
графа и интересуются его спектром, в то время как специалисты в
области теории графов и комбинаторики в большинстве случаев
предполагают, что спектр графа известен и при этом задаются вопросом о том,
что можно сказать о структуре графа.
Эти вопросы совместно с общей задачей теории графов о
нахождении и исследовании инвариантов графа, а также некоторые другие
весьма интересные факты, стоящие за этой темой, стимулировали
исследование взаимосвязей между спектральными и структурными
свойствами графов. Представляет также интерес характер поведения
собственных значений при некоторых преобразованиях графов, особенно
в тех случаях, когда спектр сложного графа можно выразить в
терминах спектров элементарных графов.
Настоящая монография построена по следующему плану.
В § 0.2 приводятся некоторые общие теоретико-графовые понятия
и обозначения, используемые в книге; § 0.3 содержит необходимые
теоремы из теории матриц; в нем также приводятся некоторые основные
результаты о спектрах графов. В гл. 1 и 3—6 описываются
взаимосвязи между спектральными и структурными свойствами графов. В гл. 2
исследуется связь между спектром графа, построенного из заданных
графов при помощи определенных операций, и спектрами этих
исходных графов. В гл. 7, 8 рассматриваются вопросы применения теории,
развитой в главах 1—6. Гл. 7 посвящена применениям в теории графов
и комбинаторике, гл. 8 — приложениям в химии и физике. Гл. 9
содержит некоторый дополнительный материал, не вписывающийся в
предыдущие главы. В приложении приведены числовые данные,
относящиеся к спектрам графов и соответствующим характеристическим
многочленам. Последний параграф в каждой из глав 1—8 называется
«Другие результаты и задачи» и содержит обзор некоторого
дополнительного материала, в основном в виде упражнений и задач. В § 9.5
приведен список нерешенных задач.
Библиография насчитывает более 650 названий как
математической, так и химической литературы. Хотя авторы считают, что все
основные, с точки зрения тематики настоящей книги, работы
включены в библиографию, они отдают себе отчет в том, что составить полный
список работ по спектрам графов почти невозможно: имеются
тысячи статей по химии, в которых авторы лишь мимоходом ссылаются на
спектры графов, и сотни статей по ассоциативным схемам,
блок-схемам и другим подобным комбинаторным объектам, в которых
упоминаются собственные значения, хотя и не всегда играющие там важную
роль.
12

§ 0.2. Еще несколько теоретико-графовых
понятий и обозначений
Приведем еще несколько теоретико-графовых понятий, часто
применяемых в настоящей книге, а также введем некоторую типовую
систему обозначений и объясним сущность отдельных соглашений,
которые используются в дальнейшем.
Говорят, что граф Н = (У, V) является подграфом графа G =
= (X, 41), если У а X и IF cz 41. Граф Н называется остовным
подграфом или частичным графом графа G, если У = X. Если
множество 4/ состоит из всех тех ребер множества 41, которые соединяют
вершины из множества У, то Н называется порожденным подграфом.
Иногда говорят, что порожденный подграф покрывается своими
вершинами, а частичный подграф покрывается своими ребрами.
Число ребер, инцидентных данной вершине неориентированного
графа, называется степенью или валентностью этой вершины.
Заметим, что неориентированную петлю считают дважды^ и, следовательно,
ее вклад в валентность вершины, к которой она присоединена,
равняется 2. Если все вершины графа имеют одну и ту же валентность,
равную г, то граф называется регулярным степени г.
В орграфах будем проводить различие между полустепенью захода
или задней валентностью и полустепенью исхода или передней
валентностью вершины, указывающих соответственно число дуг, которые
заходят в данную вершину, и число дуг, которые из нее выходят.
Если дуга направлена из вершины х к вершине у, то запись имеет
вид у • х; х и у называются соседними вершинами, причем* является
задним Соседом вершины у, а у — передним соседом вершины х.
Контур длины п (обозначается Сп) — это орграф с множеством
вершин [хъ ..., хп)у у которого дугами являются (xit Xi+\)f i = 1, ...» п —
— 1, и (хП9 хг). Линейный ориентированный граф — это орграф, в
котором полустепени исхода и захода каждой вершины равны 1, т. е.
он состоит из контуров.
Остовный линейный подграф мультиграфа (мультиорграфа) G, т. е.
линейный подграф графа G, содержащий все его вершины, иногда
называют линейным фактором графа G. Линейный фактор мультиграфа
состоит из непересекающихся копий /С2.
Регулярный остовный подграф степени s мультиграфа G
называется фактором (регулярным) степени s, или, короче, s-фактором графа G.
Любая последовательность следующих друг за другом ребер (дуг)
мультиграфа (мультиорграфа в направлении их ориентации)
называется маршрутом. Длина маршрута — это число его ребер (дуг).
Маршрут может содержать одно и то же ребро (дугу) более чем один раз.
Простая цепь Рп длины п — 1, п ^ 2,— это граф, имеющий п
вершин х1у ..., хп и п — 1 ребер, в котором вершины xt и */+ь i = 1, ...
..., п—1, соединены ребром.
Мультиграф (мультиорграф) называется связным (сильно связным),
если любые его две вершины соединены простой цепью (маршрутом).
В противном случае мультиграф называется несвязным и состбит из
двух и более частей, называемых компонентами; две вершины несвяз-
13

ного графа принадлежат различным компонентам, если они не
соединяются никакой простой цепью. Вершина х называется точкой
сочленения, а ребро и — мостом, если при удалении х или и число
компонент увеличивается.
Длина кратчайшей простой цепи между двумя вершинами
называется расстоянием между этими вершинами. Диаметр связного муль-
тиграфа — наибольшее из расстояний между его вершинами.
Простой цикл Сп длины п — это регулярный связный граф степени
2, имеющий п вершин. Рассматривая его как подграф, можно говорить,
что Сг — петля, С2 — пара кратных ребер, С3 — треугольник, С4 —
четырехугольник. Обхват мультиграфа (мультиорграфа) — длина его
кратчайшего простого цикла (контура).
Мультиграф G называется правильно раскрашенным, если его
смежные вершины имеют различные цвета. Граф G является k-раскраши-
ваемым, если его можно правильно раскрасить k цветами.
Хроматическое число % (G) графа G равно kt если G ^-раскрашиваем и не
является (k — 1)-раскрашиваемым. Граф G называется двудольным, если его
хроматическое число равно 1 или 2. Множество вершин двудольного
мультиграфа G можно разбить на две части, например ОС и У, таким
образом, чтобы каждое ребро графа G соединяло вершину из X с
некоторой вершиной из У. Иногда граф G будем обозначать как G =
= (Д?, У; 41), где 4L — множество ребер графа. Если G — связный
граф, имеющий по крайней мере одно ребро, то иС и У не пусты и граф
G определяется однозначно (с точностью до обозначений). Если
вершины обозначены таким образом, что
t// = [Xlf Х2, • • • , Xm}t У == l^m+lt %т+2% • • • » Xm+nfi
то матрица смежности графа G будет иметь вид
-е "У
где В — п X m-матрица, а ВТ — матрица, транспонированная к
матрице В.
Мультиграф называется полу регулярным степеней гъ г2 (возможно
г\ = г2)» если он двудольный, каждая его вершина имеет степень гх
или г2 и каждое ребро соединяет некоторую вершину степени гх с
некоторой вершиной степени г2.
Полный п-вершинный граф Кп — это граф, любые две вершины
которого соединены ребром. Полный двудольный граф с п + т вершинами
обозначается через Ктрп\ Кг,п называется звездой. Полный k-дольный
граф с пг + п2 + ... + nk вершинами обозначается Knltnt nk-
Лес — это граф без циклов, дерево — связный лес.
Дополнением G графа G называется граф, у которого множеством
вершин является множество вершин графа G и две вершины смежны в
G тогда и только тогда, когда они не смежны в графе G. Очевидно,
G = G. Граф, не имеющий ни одного ребра, называется вполне
несвязным; его дополнением является полный граф.
14

Граф подразбиений S (G) графа G получается из G, если каждое
ребро графа G заменить простой цепью длины 2, или, что равносильно,
поместить одну дополнительную вершину на каждом ребре графа G.
Ясно, что S (G) является двудольным графом (X', У\ 11), где X и У —
множества соответственно исходных и дополнительных вершин.
Реберным графом L (G) графа G называется граф, вершинами
которого являются ребра графа G, и две вершины графа L (G) смежны
тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра графа G имеют
общую вершину.
Вершинно-реберная матрица инциденций R мультиграфа G = (X,
%) без петель определяется следующим образом. Пусть
Л = {хъ х2у ... , хп}, Li = [иъ и2, ... , ит).
Тогда R = (Ьц) является п X m-матрицей, где Ъц — 1, если xt
инцидентна щ (т. е. является концевой вершиной ребра uj), и Ъц = 0 в
противном случае. Реберно-вершинная матрица инциденций — это
матрица Дт, транспонированная к матрице R.
Матрица смежности мультиграфа (мультиорграфа) G обозначается
через А = A (G). Матрицей степеней (или валентностей) D
мультиграфа называется диагональная матрица, у которой на (/> *)-месте
находится значение степени vt вершины хь.
Для графа G вершинно-реберная матрица инциденций /?, матрица
степеней D и матрицы смежности графов G, L (G) и S (G) связаны
следующими соотношениями:
A (G) = RRT — D-
A (L (G)) = RTR — 21;
л^°»Чя о)'
Приведенные выше определения и формулы легко обобщаются на
произвольные мультиграфы.
Матрица (0, 1, —1)-инциденций V мультиорграфа G без петель
с множеством вершин хъ х2, ..., хп и множеством дуг иъ и2, ..., ит
определяется следующим образом: V = (tty) — это п X m-матрица, у
которой
Vij= 1, если Uj выходит из х(;
Vij = — 1, если Uj заходит в х{;
Vu = 0 во всех остальных случаях.
В большинстве случаев мы будем пользоваться следующими
типовыми обозначениями: п — число вершин графа, т — число его
ребер или дуг; г — степень регулярного графа, а также его индекс (см.
следующий параграф); / — единичная матрица, 1п — единичная
матрица порядка п; J — квадратная матрица, все элементы которой
равны 1. Матрица, транспонированная к матрице X, обозначается через
Хт, гк X — ранг матрицы X.
15

Символ Кронекера 8ц определяется следующим образом: 8if = 1
и б// = 0, если / Ф i. Запись а \ Ъ означает, что а делит Ь.
Спектр неориентированных мультиграфов состоит из
действительных чисел. В этом случае собственные значения Хъ Х29 ...,Хп
упорядочены таким образом, что Хх = г ^ Х2 ^ ... ^ Хп.
Другие теоретико-графовые понятия и обозначения будут
приводиться в тех местах, где они непосредственно используются.
§ 0.3. Некоторые теоремы теории матриц
и их применение к исследованию спектров графов
Ряд фундаментальных свойств спектров графов (или, в более
общем случае, мультиорграфов) можно установить на основе некоторых
теорем теории матриц. В этом параграфе представлены лишь наиболее
важные матричные теоремы, другие утверждения из теории матриц
приводятся в виде лемм в последующих главах.
Множество собственных векторов, соответствующих собственному
значению X, вместе с нулевым вектором образуют собственное
пространство, соответствующее X. Геометрическая кратность
собственного значения X — это размерность соответствующего ему собственного
пространства. Алгебраической кратностью собственного значения %
называется его кратность как корня соответствующего
характеристического многочлена. Алгебраическая кратность собственного значения
X всегда не меньше его геометрической кратности.
Матрица X называется симметрической, если X1 = X.
Теорема 0.1 (см., например, [MaMi, с. 64]). Геометрическая
кратность собственного значения симметрической матрицы равна его
алгебраической кратности.
В дальнейшем термин «кратность собственного значения» будет
означать алгебраическую кратность. Матрица называется
неотрицательной, если ее элементами являются неотрицательные числа.
Так как матрица смежности мультиграфа (мультиорграфа) G
неотрицательна, то спектр графа G обладает свойствами спектра
неотрицательных матриц. Для этих матриц справедливы следующие
утверждения.
Теорема 0.2 (см.,: например, [Гант, с. 365]). Неотрицательная
матрица всегда имеет неотрицательное собственное значение г такое,
что модули всех ее собственных значений не превосходят числа г. Этому
«максимальному» собственному значению соответствует собственный
вектор с неотрицательными координатами.
Вектор с положительными (неотрицательными) координатами в
дальнейшем будем называть положительным (неотрицательным)
вектором. Матрица А называется разложимой, если имеется матрица пе-
-1 Iх °\
рестановок Р такая, что матрица Р АР имеет вид I v _1, гдеЛС nZ —
квадратные матрицы. В противном случае матрица А называется
неразложимой.
16

Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц
описываются следующей теоремой Фробениуса.
Теорема 0.3 (см., например, [Гант, с. 355J). Неразложимая
неотрицательная матрица А всегда имеет положительное собственное
значение г, которое является простым корнем характеристического
уравнения. Модули всех других собственных значений не превосходят числа г.
«Максимальному* собственному значению г соответствует собственный
положительный вектор. Кроме того, если А имеет h собственных
значений, по модулю равных г, то эти числа все различны между собой и
являются корнями уравнения Хн — гп = 0, и вообще весь спектр [Хг =
— г» ^2»
Хп\ матрицы А, рассматриваемый как система точек в
комплексной %-плоскости, отображается на себя при повороте этой
плоскости на угол 2n/h. Если h > 1, то перестановкой строк с такой
же перестановкой столбцов можно матрицу А привести к следующему
«циклическому» виду:
А =
о
О
О
Ahi
Ап
О
О
О
о ..
А-23 • •
О .
о .
о
о
,. Ah—\,h
О
(0.1)
вдоль главной диагонали здесь стоят квадратные блоки.
При h > 1 матрица А называется импримитивной; число h — ее
индекс импримитивности. В противном случае матрица А
примитивна.
Согласно теореме 0.3 спектр мультиграфа (мультиорграфа) G
лежит в круге | X | ^ г, где г — наибольшее действительное собственное
значение. Это собственное значение называется индексом графа G.
Алгебраическая кратность индекса может быть больше 1. В этом случае
существует соответствующий данному индексу неотрицательный
собственный вектор.
Неразложимость матрицы смежности графа связана со свойством
связности. Матрица смежности сильно связного мультиорграфа
неразложима: мультиорграфа матрица смежности которого
неразложима, сильно связен [DuMe, Sed 1]. В неориентированных мульти-
графах свойство сильной связности сводится просто к связности.
Согласно теореме 0.3 индекс сильно связного мультиорграфа
является простым собственным значением матрицы смежности,
которому соответствует положительный собственный вектор.
Как показывает следующая теорема, в случае симметрической
матрицы смежности справедливо также обратное утверждение.
Теорема 0.4 (см., например, [Гант, с. 377]). Если «максимальное»
собственное значение г неотрицательной матрицы А является простым
и ему соответствуют положительные собственные векторы матриц А
и А , то А — неразложимая матрица.
17

Теорема 0.5 (см., например, [Гант, с. 376]). «Максимальному»
собственному значению г неотрицательной матрицы А соответствует
положительный собственный вектор матрицы А и положительный
собственный вектор матрицы АТ тогда и только тогда, когда
матрица А может быть представлена перестановкой строк и такой же
перестановкой столбцов в квазидиагональном виде А = diag (Аи ..., As),
где Лъ ..., As — неразложимые матрицы, у каждой из которых г —
«максимальное» собственное значение.
Приведем еще несколько теорем из теории матриц,
характеризующих спектральные свойства графов.
Теорема 0.6 (см., например, [Гант, с. 367]). «Максимальное»
собственное значение г' любой главной подматрицы (порядок которой
меньше п) неотрицательной матрицы А (порядка п) не превосходит
«максимального» собственного значения г матрицы А. Если А —
неразложимая матрица, то неравенство г' <С г справедливо всегда. Если
А — разложимая матрица, то по крайней мере для одной главной
подматрицы г' = г.
Теорема 0.7 (см., например, [CoSi 1]). При увеличении любого
элемента неотрицательной матрицы А «максимальное» собственное таче-
кие не уменьшается. Оно строго возрастает, если А
—неразложимая матрица.
Теоремы 0.6 и 0.7 утверждают, что индекс любого подграфа
связного (сильно связного) мультиграфа (мультиорграфа) G меньше
индекса графа G.
Теорема 0.8 (см., например, [MaMi, с. 64]). Все собственные значения
эрмитовой * матрицы являются действительными числами.
Теорема 0.9 (см., например, [Hof 1]). Пусть А — действительная
симметрическая матрица, наибольшим и наименьшим собственными
значениями которой являются г и q соответственно; х — собственный
вектор, соответствующий г: q' — наименьшее собственное значение
главной подматрицы В матрицы А и у — соответствующий ему
собственный вектор. Тогда q' ^ q. При q' = q вектор у ортогонален
проекции вектора х на подпространство, соответствующее главной
подматрице В.
Теорема 0.10 (см., например, [MaMi, с. 119]). Пусть А —эрмитова
матрица с собственными значениями Хи ..., Хп и В — одна из ее
главных подматриц с собственными значениями \il9 ..., \im. Тогда
справедливы неравенства Xn—m+i ^. \ii^.Xl (i = 1, ..., т).
Это — известные неравенства Коши, а само утверждение известно
как теорема о сплетении.
Теорема 0.11 (Симе, см. [HeHi]) **.Пусть А —действительная
симметрическая матрица с собственными значениями %и ..., А„. При
условии, что задано разбиение множества {1,2, ..., п) = Дг (J Д2 (J
U ... (J Дт, | At | = nt > 0, рассмотрим соответствующую блочную
* Комплексная матрица Л = (а^) называется эрмитовой, если А = А, т. е.
** Хемерс[Нает] недавно показал, что свойство сплетения справедливо также
для матриц А и В указанной теоремы.
18

матрицу А = (Ац), у которой блок Ац имеет размеры nt X nf. Если
еи — сумма значений элементов матрицы Ац и В = (ец/п(), т. е.
ец/п( — средняя сумма значений элементов строки матрицы А, то
спектр матрицы В содержится в отрезке lkny кг].
Если предположить, что в каждом блоке Ац (см. теорему 0.11) все
суммы значений элементов строк одинаковы, можно получить даже
более сильное утверждение.
Теорема 0.12 (Хейнсворт [Науп]; Петерсдорф и Захс [PeS 1]) *.
Пусть А — блочная матрица с разбиением на блоки согласно условиям
теоремы 0.11. Пусть, далее, для всех строк блока Ац сумма Ъц
значений элементов строки одинакова и В = (Ьц). Тогда спектр
матрицы В содержится в спектре матрицы А (имеются в виду и кратности
собственных значений).
Квадратные матрицы А и В называются подобными, если
существует невырожденная квадратная матрица Ху преобразующая Л в В,
т. е. такая, что Х~~1АХ = В. Каждая симметрическая матрица и
каждая матрица, все собственные значения которой различны, подобны
диагональной матрице. Если А является матрицей смежности мульти-
графа, то она симметрична и, следовательно, подобна диагональной
матрице D, а именно D = (6,/^).
Обратимся к известной теореме Гамильтона — Кэли, которая
утверждает, что всякая квадратная матрица А удовлетворяет своему
характеристическому уравнению, т. е.
если f(k) = \kI — A\$ то /(4) = О.
Минимальный многочлен т (к) матрицы А — это многочлен т (к) =
= А/1 + ... такой, что: (i) т(А) = О; (и) степень \i многочлена т (к),
удовлетворяющего условию (i)9 является минимальной.
Кроме того, справедливы следующие предложения.
1. Многочлен т (к) однозначно определяется матрицей А.
2. Если F (к) — многочлен, для которого F (А) = О, то т (к) \ F (к)
и, в частности, т (к) \ f (к).
3. Пусть {к(1\ к(2\ ..., k{k)} —множество различных собственных
значений матрицы А и /лх — алгебраическая кратность собственного
значения Я(х). Тогда
f (к) = (к - >i(1))mi (Л - Ь(Т* ... (Л - Ь(V*
и
т (к) = (к - Ь(1))" {к — к{2))"* ... (к — kik))Q\
причем 0 < <7х ^/я* (х = 1, 2, ..., k).
4. Если А подобна диагональной матрице, то все q* равны 1 и
т(к) = (к-ка))(к — к(2)) ... (к — к(к)).
5. Пусть п — порядок матрицы А. Если все собственные значения
матрицы А различны, то
m(k) = f{к) = (к — к<1))(к — к(2)) ... (к — к{п)).
* См. теорему 4.7.
19

Квадратная матрица, минимальный и характеристический
многочлены которой тождественны, называется простой. Таким образом,
предложение 5 утверждает, что квадратная матрица, все собственные
значения которой различны, является простой.
А теперь опишем некоторые основные свойства спектра
неориентированного мультиграфа. Для удобства изложения результаты в
большинстве случаев будут приводиться без доказательств, так как их
можно найти в соответствующих местах в последующих главах.
Матрица смежности неориентированного мультиграфа G является
симметрической и, следовательно, эрмитовой. Поэтому спектр графа G
содержит лишь действительные числа, которые согласно теореме 0.8
принадлежат отрезку [—г, г].
Пусть [Хъ ..., Кп] — спектр мультиграфа. Так как удвоенное число
петель равно следу матрицы смежности, то в случае мультиграфа без
петель tr А = 0, т. е. ix + ... + Кп = 0. Число вершин, разумеется,
равно я, и тогда число ребер т неориентированного графа без петель
1 п
и кратных ребер определяется формулой т = -=r £ Ун (см. § 3.2).
В работе [CoSi 1] утверждается, что для индекса г связного графа
выполняется неравенство 2 cos—-j-y ^ г ^ п — 1. Нижняя граница
достигается в случае, когда граф является простой цепью, верхняя —
при полном графе. Если предположение о связности графа не
принимается во внимание, то для графа без ребер г — 0, в противном случае
г> 1.
Для наименьшего собственного значения q спектра графа G
справедливо неравенство — г^ q^O. Для графа без ребер q = 0, в
противном случае q ^ —1. Это следует из теоремы 0.9, так как подграф /Са
соответствует главной подматрице, наименьшее собственное значение
которой равно —1. Значит, q = —1 тогда и только тогда, когда все
компоненты графа G являются полными графами (теорема 6.4).
Нижняя граница q = —г достигается в случае, когда компонента графа G
с наибольшим индексом является двудольным графом (теорема 3.4).
Резюмирует сказанное выше следующая теорема, описывающая
фундаментальные спектральные свойства неориентированных графов.
Теорема 0.13» Для спектра [klf ... Д„] неориентированного графа G
справедливы следующие утверждения:
1° ^х, ..., Хп — действительные числа и %г+ ••• +Хп = 0;
2° если граф G не содержит ребер, то Ях = ♦ • • = Хп = 0;
3° если граф G содержит по меньшей мере одно ребро, то
1<г</г — 1, (0.2)
— г<</<—1. (0.3)
Верхняя граница в (0.2) достигается тогда и только тогда, когда
G — полный граф, в то время как нижняя граница достижима тогда
и только тогда, когда компонентами графа G являются графы /С2 и,
возможно, Kv Верхняя граница в (0.3) достигается тогда и только
20

тогда, когда компонентами графа G являются полные графы; и иоюняя
граница достигается тогда и только тогда, когда компонента графа G
с максимальным индексом является двудольным графом. Если G —
связный граф, то нижняя граница в (0.2) заменяетсяна2cos " 1 .
Равенство справедливо тогда и только тогда, когда G — простая цепь.
А теперь перечислим некоторые спектральные свойства регулярных
мультиграфов. Индекс мультиграфа равен его степени [CoSi 1]. Легко
видеть, что это утверждение справедливо и для несвязных
мультиграфов, за исключением случая, когда индекс не является простым
собственным значением. Кратность индекса равна числу компонент.
Очевидно, что вектор, у которого все координаты равны 1, является
собственным вектором, соответствующим индексу.
Собственные векторы, соответствующие остальным собственным
значениям, ортогональны этому вектору, т. е. сумма их координат
равна 0.
Дальнейшие спектральные свойства графов могут быть получены
в результате использования того факта, что коэффициенты
характеристического многочлена являются целыми числами. Отсюда следует,
что элементарные симметрические функции и суммы fe-x степеней (k —
натуральное число) собственных значений также являются целыми
числами. Так как старший коэффициент характеристического
многочлена равен 1, то рациональные собственные значения (если только они
существуют) являются целыми числами.

ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
СПЕКТРА ГРАФА
Обыкновенным спектром графа (мультиорграфа) G называют спектр
его матрицы смежности, хотя связь между спектром или
характеристическим многочленом и графом G можно установить и другими
способами. В этой главе описывается общий метод определения
характеристических многочленов (одной или нескольких переменных) и спектров
графа, обсуждаются наиболее важные из общепринятых спектров и
исследуются отношения между ними; кроме того, описывается способ
определения коэффициентов соответствующих характеристических
многочленов непосредственно из цикловидной или древовидной
структуры графа G. Наконец, производящая функция для числа маршрутов
длины k (k= 1, 2, ...), содержащихся в графе G, выражается в
терминах обыкновенного характеристического многочлена. На основании
полученных результатов делаются соответствующие выводы.
§ 1.1. Матрица смежности
и обыкновенный спектр графа
Для того чтобы определить способ описания и исследования
структурных свойств конечного (ориентированного или
неориентированного) графа (мультиграфа) G, по-видимому, целесообразно сначала
рассмотреть матрицу смежности А графа G.
Очевидно, G однозначно определяется матрицей А9 но обратное
утверждение, вообще говоря, не имеет места, так как упорядочение
(нумерация) вершин графа G произвольное: каждому графу G
однозначно соответствует класс Л = Л (G) матриц смежности; две матрицы
смежности А и А' принадлежат одному классу (т. е. определяют один
и тот же граф) тогда и только тогда, когда существует матрица
перестановки Р такая, что А' = Р~~1АР. Таким образом, теорию графов G
можно отождествить с теорией этих матричных классов Л и их
инвариантами. Важными инвариантами класса Л являются
характеристический многочлен Pq (X) = | XI — А\9 А £ Л (G), и спектр Sp (G) =
22

= [Ки L>, ..., Хп], где %t — корни уравнения PG Ск) — 0 (т. е.
собственные значения матрицы А) *
Здесь возникает следующий основной вопрос: как много
информации относительно структуры графа G содержит его спектр и какова
возможность получения этой информации из спектра? Безусловно,
количество информации, содержащейся в спектре, не нужно
переоценивать, так как спектр остается инвариантом не только при
преобразованиях посредством группы перестановок, но и под действием группы
всех ортогональных (и даже всех невырожденных) преобразований.
Таким образом, спектр отражает общие свойства всех тех графов,
матрицы смежности которых преобразуются друг в друга посредством
некоторой невырожденной матрицы. Любая такая матрица,
преобразующая матрицу смежности А графа G в матрицу смежности А'
некоторого графа G', не изоморфного графу G, должна удовлетворять дио-
фантовым условиям, так как все элементы матриц А и А' должны быть
неотрицательными числами. Следовательно, можно ожидать, что
классы изоспектральных ** графов в определенном смысле не слишком
обширны. Изоморфные графы, безусловно, изоспектральны, однако
обратное предположение: два любых изоспектральных графа
изоморфны — неверно . Действительно, очень легко найти изоспектральные
неизоморфные орграфы: например, все орграфы порядка п9 не
содержащие циклов, имеют один и тот же спектр [0, 0, ..., 0] (см. § 1.4,
теорема 1.2).
Существенно отличная ситуация возникает при рассмотрении
только лишь неориентированных графов (мультиграфов); при этом
построение пар изоспектральных неизоморфных графов (мультиграфов)
становится все более и более трудным, если переходить от мультиграфов
к графам и от графов к регулярным графам. Таким образом, можно
ожидать, что особенно эффективным спектральный метод окажется для
класса регулярных графов.
Тем не менее в теории блок-схем показано, что даже среди сильно
регулярных графов (которые образуют узкий подкласс в классе всех
регулярных графов) с достаточно многими вершинами пары
изоспектральных неизоморфных графов *** в действительности не являются
нетипичными (см. гл. 6). Это явление может, с одной стороны,
характеризовать область и границы действия спектрального метода, а с другой —
отражать особенности теории блок-схем, указывая на действительно
существующую тесную связь между этой теорией и спектральным
методом.
* Во избежание недоразумения этот «обыкновенный» спектр иногда будем
называть Р-спектром графа G и обозначать Spp (G).
** Графы, имеющие одинаковый спектр, называются изоспектральными или
коспектральными.
*** Пара изоспектральных неизоморфных графов иногда называется
сокращенно ING-парой (о построении таких пар см. гл. 6).
23

§ 1.2. Общий метод определения
различных типов спектров графа
В этом параграфе описывается несколько других весьма
естественных подходов к спектральному методу, которые при соответствующих
изменениях дают сколь угодно много различных спектров, т. е.
систем числовых инвариантов.
В качестве примера определим обыкновенный спектр Spp (G). Для
этого рассмотрим множество п неопределенных переменных xk,
находящееся в (1, 1)-соответствии с множеством вершин k (k = 1,2, ..., п)
заданного графа (мультиорграфа) G = (X, %). Для всех xk
попытаемся найти числовые значения xl, не все равные нулю и такие, что для
каждой вершины / соответствующее число #? пропорционально сумме
s? всех тех х\, которые соответствуют соседним (передним) вершинам
вершины / (т. е. таких, для которых отношение s? : х° одинаково для
всех i). Иными словами, xl должны удовлетворять (не тривиальным
образом) системе однородных линейных уравнений
Лх,= Е*Л (i € Л?) * (1.1)
k-i
с подходящим образом выбранным X. Если G — мультиграф (мультиор-
граф), то при рассмотрении xk кратность щн смежности k • i
учитывается точно aik раз как член суммы в правой части (1.1). Очевидно,
система (1.1) может быть задана в более компактном виде:
Хх = Ах% (1.2)
где А = (dik) — матрица смежности графа G, а ж — вектор-столбец
с элементами xk (k^X). Необходимым и достаточным условием
существования нетривиального решения системы (1.1), или (1.2) является
\Х1 — A\ = PG(X) = 0;
следовательно, возможные коэффициенты пропорциональности X
совпадают с собственными значениями графа G.
Преимущество этого способа рассуждения заключается в том, что
он является более интуитивным, поскольку координаты собственного
вектора можно непосредственно интерпретировать как «веса»
соответствующих вершин. Несколько ниже мы убедимся в непосредственной
эффективности спектра, проявляющейся при использовании уравнений
(1.1) как для исследования самого графа, так и особенно при
одновременном рассмотрении его собственных векторов, что весьма полезно
в ряде исследований и доказательств.
Некоторые приложения обусловливают необходимость
определения веса х\ вершин так, чтобы х* было пропорционально не сумме
(как это было выше), а среднему значению всех тех x*kf которые
соответствуют соседним (передним) вершинам вершины i, т. е. требуется,
* Запись k • i означает, что k является сосед ной (передней) вершиной
вершины i\ iy в свою очередь, является соседней (задней) вершиной вершины k.
24

чтобы xl удовлетворяли системе уравнений
**-4гЕ*» atX)*. (1.3)
Эту систему уравнений (1.3) можно записать в виде
%Dx = Ax, (1.4)
откуда немедленно следует равенство
\%D — Л| = 0,
являющееся необходимым и достаточным условием существования
нетривиального решения системы (1.3), или (1.4). Таким образом, в
качестве модифицированного характеристического многочлена можно
ввести многочлен
Qe(b)=jbY\bD-A\ = Xn + qi%n-l+ ... +qn ■ (1.5)
с соответствующим ему спектром
SpQ (G) = [Xlt Х,2, *.., Xn]Q. (1.6)
Заметим, что
QG (X) = | и — D~~lA | = | М — АЮГ1 |. <1.5)'
Пусть Du = {bikVdi) и A* = D4t(D-lA)D-1/t. Тогда
и
QG(X) = \XI-A*\.
Для неориентированного мультиграфа G матрица А* является
симметрической и, следовательно, Spq (G) — действительный спектр.
В (1.5) D входит мультипликативно; но его можно ввести и
аддитивно: полагая
IXi = dtxt + Ц xk = S (Xi + xk)
k-i k*i
получаем характеристический многочлен
Ra(X) = \M — D — A\ = Xn + г^""1 +
с соответствующим спектром
sPr (G) = [Xl9 %2У ... , %n\R
(ср. Лихтенбаум [Лих 2], Ваховский [Вах 1]).
(*€#),
••• +г„
(1.7)
(1.8)
(1.9)
* Здесь d, означает степень (полустепень исхода) или валентность (переднюю
валентность) вершины i, т. е. число дуг, выходящих из вершины i; при этом
предполагается, что dt > 0. Диагональная матрица D = (bikdi) называется матрицей сте*
пеней (выходящих степеней) или валентностей (передних валентностей) графа G.
25

Зайдель [LiSe] определил модифицированную матрицу смежности
S = (sik) для обыкновенных графов следующим образом:
— 1, если i и k смежны
{1фк\ (1.10)
1, если / и k не смежны.
Ясно, что} fsu = 0„~ ■>[
L S = J — / — 2Л, (1.11)
где J — квадратная матрица, значения всех элементов которой
равны 1 *.
Система линейных уравнений, характеристический многочлен и
спектр, соответствующие матрице 5, имеют вид
Я*,= Е SfkXk (i£0C); (1.12)
SG(X) = \M — S\ = \M — J+ I + 2А\ =
^Г + s^-1 + ... +s„; (1.13)
Sps(G) = lK К ..., ^Ь (1.14)
Следует упомянуть еще два спектра, полученные из матрицы пол-
ных проводимостей ** С = D — А. Некоторые авторы (У. Андерсон
и Морли [АпМо], Фидлер [Fie 1]) рассматривали многочлен
CQ(X) = \M—C\ = \M — D+A\ = Kn + cX~l+ ••• +сп (1.15)
с соответствующим ему спектром
Spc(G) = [K, К ..., Кк (1.16)
(применяя при этом, конечно, другие обозначения). Кельманс [Kel 1]
ввел многочлен
Bl(G) = ±-\U + C\ (1.17)
степени п— 1; ясно, что
Bl(G) = ±=^Cc(-X),
так что для спектра Кельманса нет необходимости вводить
специальные обозначения.
Все рассмотренные до сих пор спектры *** можно найти в
литературе; мы еще возвратимся к ним в следующем параграфе.
* Очевидно, если S — матрица Зайделя графа G, то S — матрица Зайделя
графа G (дополнения графа G), и тогда S — —S.
** Термин «матрица полных проводимостей» заимствован из теории
электрических сетей: любой мультиграф G может рассматриваться как некоторый граф,
соответствующий специальной электрической сети, у которой проводимость
(электропроводимость) ветвей равна 1.
*** Следовало бы, конечно, еще упомянуть о «многочлене расстояний» и
соответствующем ему спектре (см. § 9.2).
26

Заметим, что все приведенные спектры могут быть получены из
системы линейных уравнений, коэффициенты которых связаны с
локальными структурными свойствами рассматриваемого графа. Однако
идея получения системы числовых инвариантов с помощью условий
разрешимости для системы уравнений, связанных с графом и
зависящих от некоторых параметров, вовсе не ограничивается
использованием указанных линейных уравнений. Наиболее естественный путь
обобщения метода заключается, например, в переходе к системе
квадратичных уравнений вида
U2 = !>,** (*€#); (1.18)
при этом предполагается, что кратности смежностей учитываются при
суммировании по всем тем парам различных ребер (дуг), для которых
вершина i является начальной. В терминах матрицы смежности А =
= (Ом) система уравнений (1.18) может быть представлена в виде
Xxt = 2j aifdikXfXk + 2j 0 ]Xf (i = 1, 2, ... , n). (1.19)
(Правые части выражений (1.18) и (1.19) являются не чем иным, как
элементарными симметрическими функциями второго порядка от всех
xkt соответствующих соседним (передним) вершинам вершины I с
учетом кратностей их смежностей.)
Множество всех значений X, для которых (1.18) и (1.19) имеют
решения, состоит из всех нулей результанта Re? (X) системы (1.18),
поэтому многочлен Rg (к) и система корней уравнения Rg (А,) = 0
(условие совместности) могут рассматриваться как характеристический
многочлен «квадратичного происхождения» и соответствующий ему
«квадратичный» спектр.
Вместо системы квадратичных уравнений можно рассматривать
систему кубических (биквадратичных и др.) уравнений, и если G —
нерегулярный граф, можно систему однородных уравнений, зависящих от
более чем одного параметра (один параметр для каждой степени, см.
следующий параграф) связать с графом G, получив таким образом
характеристический многочлен, зависящий от нескольких переменных.
Можно связать с графом G и соответствующим образом выбранные
функциональные уравнения (краевая задача, система интегральных
уравнений и т. д.) *, в результате чего получим также и спектры с
бесконечным множеством собственных значений; возможности связи
спектра с графами весьма многообразны.
Было бы весьма желательно выяснить некоторые
дополнительные сведения о связях между различными типами спектров, и
особенно о той роли, которую играет среди них линейный спектр.
По-видимому, вполне возможно выделить некоторую конечную систему
подходящих спектров графа G, которая бы полностью его характеризовала.
* Первый шаг в этом направлении был сделан в работе [PeS 1] (заметим, что
формулы (3) и (6) в [PeS 1] неверны; они должны быть заменены приведенной выше
формулой (1.19)). См. также [Sac 15].
27

Будучи интересными сами по себе, данные проблемы достаточно
трудны *, и, поскольку в настоящее время могут быть упомянуты
лишь немногие результаты, в этой книге, как и отмечалось выше, мы
ограничимся исследованиями, относящимися к линейным спектрам.
§ 1.3. Некоторые замечания
о рассматриваемых спектрах
Все наиболее употребительные спектры перечислены в
предыдущем параграфе. Следует все же отметить, что каждый из них может
быть получен из одного источника — спектра Зайделя, играющего в
некотором смысле исключительную роль. Положим
FG(Xf (а) = |М + ц/> — А\.
Тогда
PG(X) = \XI-A\=FG(Xt 0);
Qg(X)^1^v\XD-A\ = -^-^(0, X);
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
RG(X) = \XI — D — A\=FG(X, -1);
CG(X) = \XI-D + A\ = (-l)nFG(-Xt 1).
Что касается спектра Зайделя, то можно лишь утверждать, что
SG(X) = |XI- S\ = (- 1)я • 2nFG. (- -Ц^- , о) =
- (- \)п . 2nPG. (--НГ-), (Ь25)
где G* означает «обобщенный граф» со взвешенными смежностями,
«матрицей смежности» которого является матрица А — W.
Замечание. Многочлен FG (X, \i) можно рассматривать как
характеристический, зависящий от двух переменных. Однако, безусловно,,
он не является единственным способом введения характеристического
многочлена, зависящего от нескольких переменных: если, например,
G — нерегулярный граф с s различными степенями (полустепенями
исхода) vlf v2, ..., v$t мы вводим параметр Х0, соответствующий каждой
вершине i со степенью (полустепенью исхода) dt = va (о = 1, 2, ...
...,s). Пусть X(i) означает параметр, соответствующий вершине / (т. е.
Х(1) — Х0у где а удовлетворяет условию dt = vG), и
Л =
к<»
i(2)
О
о
xin)
(1.26)
* Применение вычислительной техники к результантам систем нелинейных
алгебраических уравнений фактически ничего не дает, поскольку порядки
результирующих многочленов, как правило, превосходят все разумные размеры (даже в
простых случаях).
28

тогда можно обобщить Рг, (к) = \%1 — А\ на
Р'а(К К ..-, К) = \Л-А\.
Посредством подстановки
А,0 = I -f pva (а = 1, 2, ... , s),
или
A,W = A, + Hdf (t = 1, 2 п)
из (1.27) снова получаем многочлен
Fв (К ц) = Ра (X + |л«х. А, + \w2, ... , Х + \ivs),
(1.27>
(1.28>
(1.29)
который имеет место также и в регулярном случае.
Разумеется, исследование этих обобщенных характеристических
многочленов является интересной, хотя, возможно, и трудной
задачей, но в данной книге этим вопросам не уделяется внимание (см.
также § 4.5).
Возвратимся к формулам (1.21) — (1.25) и предположим, что G —
регулярный граф (мультиграф) некоторой степени г. Покажем, что а
этом случае четыре спектра Spp, SpQ *, *Sp#, Spc эквивалентны, т. е.
содержат одинаковое количество информации о структуре графа G>
и что «почти то же самое» верно и для спектра Sps. Это вполне
очевидно в первых четырех случаях: поскольку D = rl, имеем
M + liD = (X + r\i)I
и, следовательно,
FG (К \х) = FG(X + ф, 0) = PG (X + Ф). (1.30>
Поэтому согласно (1.22) — (1.24)
и из
получаем
QaQ) = -prPa(rk);
Ra(X) = Pa(X-r);
c6(X) = (-i)npe(-x + r),
SpP{G) = [Xlt Хг, ..... Я„]**
Spq(G) = [^,^-, ....-*=-];
SPR(0) = [K + r, K + r, .... К + г);
Spc{G) = [r — Xn, r — Xn-u .... r — Хг].
(1.31>
(1.32)
(1.33)
(1-31')
(1.32')
(1.33')
В случае спектра Зайделя посредством обычных вычислений с
использованием собственных векторов находим
sa(k) = (- lr. г *t|t+27" р° {--4т1)* (L34>
* Здесь предполагается, что г > 0.
** Заметим, что Кх = г (см. § 0.3).
29<

собственными значениями матрицы S являются — 2А,п+2-/ — 1 (/ =
= 2, 3, ..., п) и, кроме того, п — 2г—1 (см. также § 6.5, лемма 6.6).
Если G — регулярный граф степени г, то, как легко проверить,
л?° = (1, 1, ..., 1)т является собственным вектором матрицы
смежности Л, соответствующим собственному значению г, и, поскольку
координаты собственного вектора х° положительны, из теоремы 0.3
следует, что г является максимальным собственным значением,
содержащимся в Р-спектре графа G.
Следует заметить, что имеется еще один важный класс мультигра-
фов, для которых спектры SpP (G) и SpQ (G) эквивалентны, а именно
класс полурегулярных мультиграфов положительных степеней.
(Напомним: мультиграф G называется полу регулярным степеней ги г2, если
он является двудольным, имеющим представление G = (Xlt Хг\ %),
\ &\ I == ^i» I Х21 = ^2» ni + п2 == п* и каждая его вершина х £ Хх
имеет валентность гъ а х £ Х2 — валентность г2.) В этом случае
непосредственные вычисления показывают, что вектор
х° = (|/3[, VT2f ... f V^n)1 (с d, = г или dt = г2)
является собственным вектором матрицы смежности графа G,
соответствующим собственному значению У ггг2, и, поскольку все координаты
вектора х° положительны, из теоремы 0.3 снова следует, что У ггг2 —
максимальное собственное значение. Напомним, что максимальное
собственное значение называется индексом графа G, обозначаемым
через р. Согласно (1.5)"
QG(X)= \М — А*\ =hl — -L-A
= ^|?cp/-^| = --Lpc(p?L).
Таким образом, доказана
Теорема 1.1 (Рунге [Rung]). Пусть G — либо регулярный граф
положительной степени г, либо полу регулярный положительных
степеней rlt r2 и р — индекс графа G. Тогда соответственно р = г или р =
= Уггг2 и в обоих случаях
QG(M = 4-^(p^
р
Заметим, что связный мультиграф G является регулярным или по-
лурегулярным положительных степеней тогда и только тогда, когда
реберный граф графа G регулярен.
§ 1.4. Коэффициенты многочлена Рс (&)
В этом и следующих двух параграфах выясняется вопрос о том,
каким структурным свойствам графа G соответствуют коэффициенты
многочленов Pq (^), Q? Ш и Qg (^).
Пусть G — произвольный мультиграф (мультиорграф) и
Рв(к)=*Кп + а1Ьп-1+ ••• +ап
30

— его характеристический многочлен. Несколькими авторами * было
отмечено, что значения коэффициентов а{ могут быть легко
вычислены, если известно множество всех ориентированных циклов графа G,
рассматриваемого как орграф. Обратная задача — получение
структурных свойств графа G (например, характеризуемых контурами,
содержащимися в G) из значений at — намного более трудна; мы
вернемся к этой проблеме в § 3.1.
Следующую теорему иногда называют «теоремой о коэффициентах
для орграфов».
Теорема 1.2 (Милич [Mili],3axc[Sac2, Sac 3], Шпиальтер [Spia] *).
Пусть
PG(X) = \M — A\ = Xn + aX~l+ ••• +ап
— характеристический многочлен произвольного ориентированного
мультиграфа G. Тогда
а{= S (-1)P(L> (i=l, 2, .... я), (1.35)
где t£t — множество всех линейных ориентированных подграфов L
графа G с точно i вершинами; р (L) означает число компонент графа L
(т. е. число контуров, из которых составлен граф L).
Этому утверждению можно придать следующую форму:
коэффициент at зависит только от множества всех линейных
ориентированных подграфов L графа G, имеющих в точности i вершин;
вклад графа Leat равен +1, если L состоит из четного числа контуров,
и —1, если L состоит из нечетного числа контуров.
Неориентированный мультиграф G можно тем не менее
рассматривать как мультиорграф G' (см. § 0.1, с. 10), при этом каждому ребру
графа G, не являющемуся петлей, соответствует контур длины 2 в
графе G' и каждому простому циклу графа G соответствует пара контуров
в G', ориентированных в противоположных направлениях. Теорему
1,2 теперь можно переформулировать для мультиграфов следующим
образом.
Теорема 1.3 (Захс [Sac 2, Sac 3], Шпиальтер [Spia] *). Пусть
PG(X) = \M — A\ = Xn + aX~l+ ••• +ап
— характеристический многочлен произвольного неориентированного
мультиграфа G. «Элементарной фигурой» назовем: а) граф К2 или б)
любой граф Cq, q^\ (в том числе и петлю, для которой q — \);
«базисной фигурой» U назовем любой граф, все компоненты которого
являются элементарными фигурами. Если р (U) и с (U) — число
компонент и число простых циклов, содержащихся в U, а 411 означает
множество всех базисных фигур, содержащихся в G и имеющих точно i
вершин, то
<*i= S (- lf(C/) • 2с((/) (1 = 1,2,..., п). (1.36)
См. примечание об истории теоремы о коэффициентах (с. 35).
31

Этой теореме можно придать следующий вид.
Определим «вклад» Ь элементарной фигуры Е как Ь(К2) = — 1,
b (CQ) = (— l)g+l • 2 и вклад базисной фигуры U как b(U) = П Ь (Е).
ECU
Тогда
(-1)4= 2 b(U). (1.37)
U£Wt
Доказательство теоремы 1.2. Рассмотрим сначала
свободный член
ап = Ра(0) = (-1Г\А\ = (-1)п\а1к\. i
Из формулы для определителя следует, что
Р
а„ = S (~ 1)п+/</" в«,ои, • • • Я*., (1-38)
"анов:
"V
где суммирование ведется по всем перестановкам
/1 2
Vi '2
/ (Р) означает, как обычно, знак перестановки Р. Ради простоты
сначала предположим, что здесь нет кратных дуг, так что ащ = 0 или
aik = 1 для всех i, k. Член
оР = (— 1) flu^a, ... Onin
•суммы (1.38) отличен от нуля тогда и только тогда, когда все дуги (1,
*"i)» (2, '2)» •••» (л, in) содержатся в графе G. Перестановка Р может быть
представлена как произведение
P = (h\...)(...) ... (...)
непересекающихся циклов *.
Очевидно, что если Sp Ф О, то каждый цикл перестановки Р
соответствует циклу в G, поэтому Р в этом случае соответствует прямая
сумма непересекающихся циклов, содержащих все вершины графа G,
т. е. линейный ориентированный подграф L £ (£п. Наоборот,
каждому линейному ориентированному подграфу L £ (£п здесь
соответствуют перестановка Р и член Sp = ±1, причем знак зависит лишь от
числа е (L) четных контуров (т. е. контуров четной длины) подграфа L:
sP = (-ir+e(L).
Ясно, что
n + e(L) = p(L)(mod2)
и отсюда
= £Sp= 2 (~ifL\ (i.39)
Р L£<?n
* Заметим, что / (Р) == е (Р) (mod 2), где е {Р) — число четных циклов среди
всех циклов в циклическом представлении перестановки Р, данном выше.
32

Покажем теперь, что выражение (1.39) справедливо даже при Щк>
> 1. Для этого рассмотрим множество всех различных
ориентированных подграфов L £ ££п, связывающих п вершин графа G в строгом
соответствии с циклами фиксированной перестановки Р = (1^...) (...)...
... (...). Ясно, что это множество для каждого k может быть
определено посредством произвольного выбора дуги, следующей из вершины k
к вершине ih9 всевозможными допустимыми способами. Так как для
фиксированного k имеется точно йык возможных способов выбора
дуги, то общее число подграфов оказывается равным aufi2h...Oni .
Таким образом, общий вклад всех таких подграфов в сумму 2 (—l)p(L)
равен (—\)п+пр) auflu%...amn.
Суммирование по всем перестановкам Р подтверждает
справедливость (1.39) в общем случае.
Для завершения доказательства теоремы 1.2 предположим, что 1 ^
^ / ^ п (для фиксированного i). Хорошо известно, что (—1)* а, равно
сумме всех главных миноров (подопределителей) порядка * матрицы А.
Заметим, что здесь имеется (1, 1)-соответствие между множеством таких
миноров и множеством всех порожденных подграфов графа G,
содержащих точно i вершин. Применяя полученный выше результат к каж-
дому из ( . I миноров и суммируя, завершаем доказательство
теоремы 1.2.
Замечание. Если вместо определителя рассматривать перманент
матрицы А
per А = Yi a>uxa2it ... anl
Р п
то посредством аналогичных рассуждений получается следующая
простая формула:
per 4 = числу ориентированных линейных факторов * графа G; (1.40)
в случае неориентированных мультиграфов
регЛ= У 2«и\ (1.41)
Перманентным многочленом произвольной квадратной матрицы А
порядка п назовем многочлен
per (XI + А) = V + аХ~1 + ... + ап.
В этом случае имеет место следующая теорема, аналогичная
теоремам 1.2 и 1.3.
Теорема 1.2°. Пусть
Ра (X) = per (U + А) « %п + аХ~Х + • • • + а*
* Ориентированный линейный фактор мультиграфа (мультиорграфа) G — »то
линейный ориентированный подграф, содержащий все вершины графа G.
2 3-476
33

— перманентный многочлен, соответствующий произвольному
(ориентированному) мультиграфу G с матрицей смежности А. Тогда
а] = числу линейных ориентированных подграфов графа G,
содержащих точно i вершин (i = 1, 2, ..., пт). (1.35°)
Теорема 1.3°. Если
P°G(X) = per{M +А) = 'кп + aX~l + .-• +а°п
— перманентный многочлен, соответствующий произвольному
неориентированному мультиграфу G с матрицей смежности А, то
Jf = J 2т (t = l, 2, , п). (1.36°)
Теоремы 1.2 и 1.2° могут быть сразу же распространены на орграфы
со взвешенными смежностями.
Предположим, что смежность k • i имеет некоторый вес а/Ии4 =
= ((Ни) — соответствующая обобщенная матрица смежности. Тогда
теоремы 1.2 и 1.2° по-прежнему справедливы, но вместо (1.35) и (1.35°)
выполняются соответственно соотношения
fli = S (~ 1)P<L) П (L) (I = 1, 2, ... , п) (1.35)'
aj= 2 П(1) (/=1, 2, ..., л); (1.350)1
U(L) означает произведение весов всех дуг, принадлежащих графу L.
Если G — неориентированный граф со взвешенными смежностями,
а I/ — базисная фигура, содержащаяся в G, то
П(£/)= П (w(u)fu;U\
u£E(U)
где Е (U) — множество ребер фигуры [/, ш (и) — вес ребра а, а
11, если и содержится в некотором простом
цикле фигуры U,
2 в других случаях.
Так как U содержит точно 2C{U) линейных ориентированных
подграфов L, имеющих один и тот же вес П (L) = П ((/), то (1.35)' принимает
простой вид
я*= £ (—l)p{U)2c{U)U(U). (1.35Г
При i — п из (1.35)' получаем простую формулу для вычисления
определителя произвольной квадратной матрицы Л, рассматриваемой
* Можно предполагать, что каждой паре iy k соответствует одна дуга, идущая из
i в &, и aik — вес этой дуги (возможно, равный нулю).
34

в качестве обобщенной матрицы смежности орграфа О:
\A\ = (-l)n J (-\fL)Tl(L) (1.42)
(заметим, что ££п — множество всех ориентированных линейных
факторов L графа G).
Если, в частности, А является матрицей смежности мультиорграфа
или мультиграфа, (1.42) преобразуется соответственно в
\А\ = (—1)п 2 (— lfL) (1.42)'
или
И1 = (-1)" 2 (-lfU)2c(U). (1.42)'
Формула (1.42) может рассматриваться как интуитивная форма
вычисления определителя. Теория определителей, как было замечено
Цветковичем [Cve 15], основывается на этом наблюдении.
Замечание (к истории теоремы о коэффициентах). Рассматриваемый
подход имеет не только чисто теоретический интерес. Так, по крайней
мере еще в двух областях определители связывались с графами: з
электронике — кибернетике (теория графов потоков в сетях) и в химии
(квантовая химия, теория орбиталей простых молекул).
По-видимому, формула (1.42) была впервые приведена Коутсом
ICoat] (1959) в связи с рассмотрением графов потоков *, поэтому ее
иногда называют формулой Коутса (простое доказательство дано Ди-
зоэром [Deso] (I960)). Харари [Наг 2] (1962) рассматривал случаи,
когда А является матрицей смежности графа или орграфа. Весьма
близко к формуле (1.42) подошли еще до Коутса и другие авторы:
Кёниг [Коп 1] (1916), [Коп 2] (1936), см. также Мюир [Mui 2] и
примечание в этой работе на с. 260, касающееся правила Коши определения
знака слагаемого в разложении определителя.
Для некоторых небольших значений i коэффициенты а{
характеристического многочлена неориентированного графа G были уже найдены
Коулсоном [Сои 2] (1949) и Сэмуэлем [Sam 1] (1949) (см. также [Sam 2])
в связи с теорией молекулярных орбиталей и независимо — Коллацом
и Синоговицом в их фундаментальной работе [CoSi 1] (1957) ** о
спектрах графа. Коулсон [Сои 2], однако, не использует понятия «базисная
фигура», а выражает коэффициенты с помощью числа всех возможных
подграфов графа G с данным числом вершин. В этой связи следует
отметить также работы Хайльброннера [Hei 1] (1953) и [Hei 2] (1954),
который указал способ получения характеристического многочлена
* О применении теоретико-графового подхода к исследованию потоков
сигналов см. фундаментальные работы Шеннона [Shan] (1942; эта работа в течение
нескольких лет оставалась незамеченной) и Мэзона [Mas 1] (1953), [Mas 2] (1956); о
приложениях см. Лоренс [Lore] (1964). Для доказательств см. также работы Эша [Ach]
(1959) и А. Натана [Nath] (1961). Подробное рассмотрение можно найти в книге Чена
[Chen] (1971).
** Эта статья была подготовлена еще во время второй мировой войны
(см. [CoSi 2]).
2*
35

с помощью интуитивных «графических* рекуррентных процедур для
случая специальных графов, возникающих в теории молекулярных ор-
биталей.
По-видимому, наиболее общий вариант теоремы о коэффициентах
был впервые опубликован Захсом [Sac 3] (1964) (см. также [Sac 21
(1963)) и почти в то же самое время Шпиальтером [Spial (1964) в
терминологии применительно к химическим приложениям и Миличем [MiliJ
(1964) в терминах теории графов потоков. Позже она переоткрывалась
несколько раз: Понстейном [Pons] (1966), Тернером [Turn] (1968),
Беце [Беце] (1968), Мовшовицем [Mow 5] (1972), Хозойя [Hos 2] (1972),
Кларком [Clar] (1972); для деревьев она была получена Ловасом и
Пеликаном [LoPe] (1973). Статья Тернера содержит несколько более
общую теорему, относящуюся к коэффициентам обобщенного
характеристическою многочлена
Px{\) = d%(A — U)9
где d% — матричная функция, обобщающая определитель и перманент:
dx (А) =* 2 X (Р) aWlflaf ... ащп,
суммирование производится по всем перестановкам
р-(!2 -");
\h h . -. tj
% (Р) означает некоторый характер, определенный на симметрической
группе (fn всех рассматриваемых перестановок Р.
Некоторые простые следствия из теорем 1.2 и 1.3.
Предложение 1.1. Число линейных подграфов с точно q
ребрами, содержащихся в неориентированном лесе Я, равно (—1)%?.
Неориентированный линейный фактор существует тогда и только
тогда, когда апФ0. В этом случае п четно и, очевидно, не может
быть более одного линейного фактора: ап = (—1)п/2.
Предложение 1.2. Число ориентированных линейных
факторов, содержащихся в мультиорграфе G, не меньше \ ап |.
Общая задача о том, какую информацию относительно простых
циклов (или контуров), содержащихся в некотором мультиграфе
(мультиорграфе) G можно получить из коэффициентов at заданного
характеристического многочлена Pg (А,), будет рассмотрена в § 3.1—3.3.
§ 1.5. Коэффициенты многочлена Со (А»)
Коэффициенты ct многочлена
Са(К) = \М — С| = Г + с1Кп~~х + ... +сп (1.43)
выразим в терминах «древовидной» структуры мультиграфа G
(напомним, что С = D — А = (btjdi — a{j) — матрица полных проводимос-
тей графа G; см. § 1.2).
Пусть М — любая квадратная матрица со строками rlf г2, ..., гп
и столбцами съ с2, ..., сл, Л =» {1, 2, ..., п) и у, = \\ъ /2, ..., \ч\ с=
86

с: Jf; пусть, далее, М^ означает квадратную матрицу, полученную
из М в результате вычеркивания строк rh% r/f, ..., г, и столбцов
ci%y CU> •••» clq- Для удобства пишем Mt вместо М^л и т. д.; как
обычно, определитель пустой матрицы (случай %> = Я) полагается
равным 1.
Пусть G— произвольный мультиграф на п вершинах 1, 2, ..., п
и р Ф 0; обозначим через Gp мультиграф, полученный из G посредством
отождествления (соединения) вершин jlf /2, ..., jQ, вследствие чего
множество {jlf /2, ..., jq) заменяется одной новой вершиной i (в результате
этого процесса могут образоваться кратные ребра и петли); очевидно,
Gt = G2 = ... = Gn = G.
Следующая хорошо известная важная теорема связывает число
остовных деревьев мультиграфа с матрицей полных проводимостей.
Матричная теорема о деревьях.* Если G — мультиграф с
вершинами 1, 2, ..., п и t (G) обозначает число остовных деревьев,
содержащихся в G, * * то
t(G) = \Cj\, (1.44)
где С = D — А — матрица полных проводимостей графа G, a / £
£{1,2, ...,п}.
Следствие. Если $> cz N, $> Ф 0, то
t(Gy) = \Cf\. (1.45)
Доказательство следствия. Пусть С — матрица полных
проводимостей графа G^, тогда С, = Су и согласно матричной
теореме о деревьях / (Gp) = | С, \ = | Су |.
В дальнейшем будем полагать, что t (G0) = 0 и поэтому (1.45)
справедливо для каждого р а N (заметим, что | С0 | = | С | = 0).
Теперь уже можно вычислить коэффициенты с( многочлена Cq (к) =
= | %1 — С\. Так как (—\)1с{ равно сумме всех главных миноров
порядка / матрицы С, то
cn_* = (-l)"-* S 1^| (Ь0,1 п), (1.46)
при этом согласно следствию матричной теоремы о деревьях | Ср \ =*
= t(Gy).
Таким образом, доказана
Теорема 1.4 (Кельманс [Кел 31). Пусть
CG (к) = |W — С| = сХ + с^"-1 + ... +сп (с0=1),
* Эта теорема была доказана Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом [BrSSTI
(1940), Трентом [TrenJ (1954) и др.; элементарное доказательство дано Хученройтером
[Huts] (1967). Некоторые авторы полагают, что она неявно содержалась и в
классической работе Кирхгофа [Kircj (1847) (более подробно об этом сказано в гл. 5 работы
[Моо 2]).
** Число / (G) иногда называют сложностью графа G. Простая формула для
определения сложности двудольного графа получена Рунге (см. § 1.9, п. 12).
37

где G — произвольный мультиграф, а С = D — А — его матрица
полных проводимостей. Тогда
** = (-!/ Е HG,) (1 = 0,1 п). (1.47)
Пусть лес F имеет k компонент Tt с щ вершинами (i = 1, 2, ..., k)
ну (F) = n1n2...nk. Согласно [KeCh] (см. там формулу (2.14) на с. 203)
ct может быть выражено в следующем виде:
** = (-!)' £ У(Р) (t = 0, 1, ..., я-1), с„ = 0, (1.47)'
где 3\ — множество всех остовных лесов графа G с точно k
компонентами.
Теорема для мультиорграфов со взвешенными смежностями,
обобщающая теорему 1.4, доказана Фидлером и Седлачеком [FiSe].
Замечание. Для i = п — 1 (1.47) дает
сп^ = (- l)*"1 t t (Gj) = (- 1Г"1 nt (G).
Следовательно,
Пусть \xlt \x2i ... , \xn (в некоторой последовательности) —
собственные значения матрицы С. Так как сп = | А — D | = 0, то отсюда
следует, что 0£Spc(G). Пусть, далее \хп = 0. Тогда (—l)n~~l cn-i =»
*■ П fit- и из (i) получаем
(»•) *(0)=4-"|*'-
Если граф G связен, то / (G) > 0, т. е. \it Ф 0 для г = 1, 2, ...
...,я— 1. Этим самым доказано
Предложение 1.3. Если G — связный мультиграф, то
t(G) = ±Y\ii,
причем (х пробегает все отличные от нуля собственные значения
матрицы С = D — А.
Этот результат может быть выражен в терминах многочлена Cq (К)
или многочлена Кельманса Bl (G) (см. (1.17), § 1.2) в следующем
'виде:
(ш) t(G)= ^f"1 Сс(0)=4"В°П(С)'
Если G — регулярный граф степени г, то, используя формулы (1.33)
и (1.33)', из (0, (и) и (lit) (заметим, что Хг = г) получаем
38

Предложение 1.4 (Хученройтер [Hutsl). Для любого
регулярного мулыпиграфа G степени г
*(0)=4й('-^)=4-Ра {Г)'
где Xt — обыкновенные собственные значения мультиграфа О.
Добавляя соответствующее (легко определимое) число петель,
любой мультиграф G с максимальной валентностью г можно
преобразовать в регулярный мультиграф G* степени г. Так как этот процесс не
приводит к изменению числа остовных деревьев, предложение 1.4
может быть применено к произвольному мультиграфу G при условии, что
в качестве Xt следует брать собственные значения графа G', а не
графа G. Это замечание, принадлежащее Уоллеру ([Wal 1], [Wal 2],
[Wal 3], см. также [Mai 2]), эквивалентно предложению 1.3.
(См. также § 1.9, пп. 10, 11.)
§ 1.6. Коэффициенты многочлена Qq (X)
Коэффициенты многочлена Qq (X) могут быть определены с помощью
приемов, весьма сходных с методом, применявшимся ранее при
доказательстве предыдущих теорем. (Напомним, что
QG(V = j]7T\bD-A\ = q0Xn + q1Xn-l+ ... + qn (q0 = 1);
см. также § 1.2.)
Пусть G — произвольный мультиграф без изолированных вершин*
Преобразуем Qg (X) в многочлен от X — 1:
QG(X) = \XI — D~lA\ = \(X — l)I + D~l(D — Л)| =
= \(X-l)I + DTlC\=*j0(\-l)n + ^(Х-1)п~1 + ... +qn,
где qt равно сумме всех главных миноров порядка I матрицы П~хО.
Соответственно
q^k = ^S | (D~lC)f\ (k = 0, 1, ... , n)
\?\=k
при
1(»Ч%1 = 1^);С;|^-П;Т.
Последнее равенство вытекает из следствия матричной теоремы о
деревьях (см. § 1.5). В случае ^ = Jf полагаем П dt = 1. Поэтому
qn-k= 2j —j=j—J- (^ = 0»1 ")5
39

а так как qn-k — J] (М (— l);~*<7n-/> то при k-=n — i
н**
Таким образом, доказана
Теорема 1.5 (Рунге [Rung]). Пусть
(1о(*-) = 1щ-\М>-А\ = д0кп + дХ~1+ ••• + <?„ (?о=1),
где G — произвольный мулыпиграф без изолированных вершин. Тогда
<(б«)
(1.48)
1Я-/ еж у
«te полагается t(G0) = O и П d/= 1.
^Теорема 1.5 обобщена Рунге [Rung] на графы и орграфы со
взвешенными смежностями.
Замечание. Для того чтобы коэффициенты многочлена Qq (А,)
получить лишь на основании цикловидной структуры графа G, напомним,
4то
Qq(X) = \M-A*\, где Л*
\ Vdfdk J
(см. (1.5Г, § 1.2).
Применив формулу (1.35)" (§ 1.4) к A*t сразу же получим
с
П<0)~ П (ущ) —TTW
где % (U), V (U) — множества ребер и вершин базисной фигуры U
соответственно. Таким образом, доказана
Теорема 1.5а. При предположениях теоремы L5
«'-.Z'-'^-fr*-- (U8a)
U&ti
hC<y-(U)
40

§ 1.7. Формула, связывающая цикловидную
и древовидную структуры регулярного
или полурегулярного мультиграфа
Между структурной теорией графов и линейной алгеброй
существует тесная связь, проявляющаяся в том, что, во-первых, наиболее
важный общий инвариант линейной алгебры — определитель
(выражаемый непосредственно через свои элементы) может быть представлен
в комбинаторной форме, которая интерпретируется в терминах цикло-
видной структуры графа (орграфа) со взвешенными смежностями. Во-
вторых, классическая матричная теорема о деревьях (§ 1.5) наиболее
простым способом связывает структуру графа с определителем,
построенным по его матрице полной проводимости. Обе эти связи
используются спектральной теорией: теоремы о коэффициентах для Pg (к)
(теоремы 1.2, 1.3) основаны на первой из них, а теоремы о
коэффициентах для Cg (к) (теорема 1.4) и Qg (к) (теорема 1.5) — на второй.
Особый интерес представляют графы G, обладающие тем свойством,
что многочлены Pg (к) и Cg (к) или Qg (к) могут быть преобразованы
друг в друга. В этом случае коэффициенты можно выразить в терминах
как цикловидной, так и древовидной структуры графа G, связывая
таким образом друг с другом базисные структурные элементы —
контуры (или простые циклы) и деревья.
Согласно теореме 1.1 для любого регулярного или
полурегулярного мультиграфа G положительной степени г (или соответственно
степеней ги г2)
<ЫЬ) = -4гМр*), (1.49)
Р
где р — индекс (равный максимальному Р-собственному значению),
причем р = г для регулярного и р = Yru г2 Для полурегулярного
графов. Из (1.49) выводим
р'?/ = в« (*= 1» 2, ... , п)
и, применяя теоремы 1.3 и 1.5, получаем следующие теоремы.
Теорема 1.6 (Рунге [Rung]). Пусть G— регулярный мультиграф
положительной степени г на п вершинах 1, 2, ..., п. Тогда
(_ D'+/-V+/-» 2 t(G<?) (t = 0, 1, ..., At), (1.50)
еде для i = 0 сумма в левой части полагается равной 1.
Теорема 1.6а (Рунге [Rung]). Пусть G = (Я?, У; %) — полурегу-
лярный мультиграф, все вершины х £ X = {1, 2, ..., пх) которого
имеют валентность /\ > 0, а все вершины у £ У ~ [пх + 1, пг + 2, ...
-siU
41

, щ + п2 = п) —валентность г2 > 0. Тогда для нечетных i^JT
S ( i-)(_1)' 2 W(G,) = 0, (1.51)
=n-i \n lJ <z<- кг
а для четных i £ N
£ (_ \)PW 2ciU) =
i . • '
= 2 ( i.V~1)t+/^ 2 rJ+'^rT+'^tiQ,), (1.52)
где в последних суммах в (1.51) н (1.52) /г = | *jt? fl &\> /2 = 12/0
П*1 (/i + /2 = /).
Замечание 1. Для регулярных мультиграфов положительной
степени г можно использовать соотношение
C0(k) = (-\)nPQ( — k+r) (1.33)
(см. § 1.3) вместо (1.49), приравнивая соответствующие коэффициенты
и применяя теоремы 1.3 и 1.4 (вместо теоремы 1.5). Соотношения,
связывающие коэффициенты а{ многочлена Pa (к) и Cj многочлена Cg (к),
имеют вид
at = (- 1)' 2 L - /V*'"^'' С-0.1 л) (1.53)
с а0 = с0 = 1; используя (1.36) (теорема 1.3) и (1.47) (теорема 1.4),
снова приходим к теореме 1.6.
Обращая (1.53), получаем
^ = (-1)' V ( * У^папЧ (i = 0,lf .... л), (1.53)*
а (1.36) и (1.47) теперь дают следующую систему уравнений,
эквивалентную (1.50):
2 <(о,)- j( М/+/-п 2 (-Dp<t,)2e(№ (i=o,i Я),
(1.50)'
где для / =5 л лоследнюю сумму следует полагать равной 1.
Для I = п— 1 из (1.50)' получаем новую формулу для числа ос-
товных деревьев, содержащихся в регулярном мультиграфе, а именно
п
t (G) = -Ь S /'•'"' 2 (- 1)Р<£/) 2e(U) (1.54)
(см. также предложение 1.4).
42

Замечание 2. Общая формула, связывающая цикловидную и
древовидную структуры любого мультиграфа, содержится в теоремах 1.5
и 1.5а: из (1.48) и (1.48а), умножая на Udit получаем следующее
утверждение.
Теорема 1.7. Пусть G = (X, 41) — произвольный мультиграф без
изолированных вершин, где X = Ж = {1, 2, ..., п). Тогда
V (_ 1)Р<"> 2*« п аь -
(i= 1,2, ..., n), где V (U)—множество вершин базисной фигуры
U; здесь полагается £(G0) = 0 и П^=1,
Теоремы 1.6 и 1.6а получаются из теоремы 1.7 как частные случаи,
но в общем случае значение теоремы 1.7 ограничивается тем, что члены,
зависящие от валентностей dh или dh не могут быть исключены.
§ 1.8. О числе маршрутов *
Пусть А —матрица смежности мультиорграфа G с вершинами I,
2, ..., п. Если наряду со спектром графа G известны также собственные
векторы матрицы Л, то, разумеется, о структуре графа G можно
утверждать больше, чем если бы этой информации не было. Более того, муль-
тиорграф G с симметрической матрицей смежности, в частности
мультиграф, полностью определяется собственными значениями и
собственными векторами. Так, если vl9 v2t ..., vn — полная система взаимно
ортогональных нормированных собственных векторов матрицы Л,
соответствующих спектру [klt X2f ..., AJ, V = (vlt v2f ..., vn) = (юц) иЛ =
= (Sijki), то, как известно, V — ортогональная матрица (т. е. V~l =
= VT) и
A = VAVT. (1.55)
• Поскольку граф G определяется матрицей А, то доказана
Теорема 1.8. Мультиграф полностью определяется собственными
значениями и собственными векторами.
И Таким образом, любую задачу для мультиграфа можно
рассматривать в терминах спектров и собственных векторов. (Например, алгоритм
определения изоморфизма двух графов, основанный на теореме 1.8,
предложен в работе [Kuhn].) С этой точки зрения ниже исследуется
задача о числе маршрутов данной длины в мультиграфе (мультиоргра-
фе) G. (Напомним: маршрут длины ti^t О — это последовательность
дуг uxu2...ukf в которой начальная вершина дуги щ+х совпадает с
концевой вершиной дуги uh j = 1, 2, ..., k — 1, при этом допускаются
* В этом параграфе термин сспектр» всегда означает tP-спектр». ;
43

повторения и петли.) Другие задачи, относящиеся к собственным
векторам, будут рассмотрены в § 3.5.
Теорема 1.9. Пусть А — матрица смежности мультиорграфа G
с вершинами 1, 2, ..., п и Ak = (ajf); пусть, далее, Nk (i, j) означает
число маршрутов длины k, начинающихся в вершине i и оканчивающих-
ся в вершине /. Тогда
ЛМ'./") = *!? (* = 0, 1,2, ...). (1.56)
Заметим, что для k = О (1.56) согласуется с обозначением N0 (*, /) =
Пусть теперь G означает мультиграф и V = (vtj) —ортогональная
матрица собственных векторов матрицы Л, как описано выше. Тогда
согласно (1.55)
п
af = £ ViyvX. (1.57)
Число всех маршрутов длины k в графе G
Nk = %Nk (t, j) = S < = S (t v,S Я*.
l.i l.j v==l V=1 /
Таким образом, доказана
Теорема 1.10 *. Общее число маршрутов длины k в мультиграфе G
Nk = £Cvti (£ = 0, 1,2, ...), (1.58)
v=l
где С
В следующей теореме производящая функция чисел Nk
представлена в терминах характеристических многочленов графа G и его
дополнения G.
Теорема 1.11 (Цветкович [Cve 8]). Пусть G — граф с дополнением
оо
G и He(t) = S Nktk — производящая функция чисел Nk маршрутов
длины k в графе G(k = 0, 1, 2, ...). Тогда ё
how = Ц(- ir-^-рлш 1\- (L59)
Доказательство. Пусть М — невырожденная квадратная
матрица порядка п9 {М} — матрица, образованная минорами порядка
п — 1 так, что {М}Т = | М | ДГ"1. Пусть, далее, sum {М} означает
сумму всех элементов матрицы М и J — квадратная матрица, значения
* Часть этой теоремы была доказана Цветковичем [Cve 9) другим способом. Он
же доказал эту теорему и в настоящем виде, когда готовилась рукопись книги;
теорема была также частично использована в работе [CvS 1]. Другое доказательство
дано Харари и Швенком [HaS Ц.
44

всех элементов которой равны 1. Тогда для произвольного числа х
| М + xJ | = | М | + х sum {И}, (1.60)
что может быть доказано непосредственными вычислениями. Далее,
согласно теореме 1.9 Nk = sum Akut поскольку
f A*t* = (/ — МГ1 = |/ — tAГ1 {/ — M} (|f1<(maxА,,Г'),
получаем
£ sum Л¥ = f #/ = | / — M Г1 sum {/ — tA),
т. e.
Д«(0- 7/1^' . (1-61)
Из равенства (1.60), полагая М = I — £4 и jc = f, находим
sum{/-M} = -j-(|(* + 1)/ + а|-|/-М|), (1.62)
где .4 = «/ — / — А — матрица смежности дополнения G графа G;
подставляя (1.62) в (1.61), получаем
#0(0 = т-
(-!)"■
i+Li-i
±>-А
— 1
(1.63)
Ясно, что из (1.63) следует (1.59), что и доказывает теорему.
Теорема 1.11 доказана в работе [Cve 8] другим методом. Кастелейн
IKas 2] нашел выражение производящей функции числа маршрутов
между двумя фиксированными вершинами графа.
Производящая функция Hg (t) используется в § 2.2. Числа
маршрутов в графах некоторых специальных видов определены в § 7.5.
Пусть {\il9 \i2f ..., |im} —множество различных собственных
значений мультиграфа G. Формулу (1.58) можно представить в виде
Nk~D#.t + Dj4+ •-. +Dml£ (^ = 0,1,2, ...), (164)
где Du D2,..., Dm — неотрицательные числа, однозначно определяемые
графом G; некоторые из них (но не все) могут равняться нулю. В
частности, при k = 0 равенство
Сг + С%+ ... +Cn~D1 + D%+ .- +Dm = N0 = n (1.65)
определяется из (1.58) и (1.64).
Цветкович [Cve 9] дал следующее
Определение. Множество всех тех собственных значений fi/, для
которых в (1.64) D/=^ 0, называется главной частью спектра
мультиграфа О.
Ясно, что для регулярного мультиграфа степени г на п вершинах
Nk =» nrk\ следовательно, у регулярных мультиграфов (и только у
45

них) главная часть спектра состоит лишь из индекса. В этом случае
к ^
У Nkln = г, что позволяет рассматривать yNkln в общем случае как
некоторый аналог среднего значения валентности, зависящий, вообще
говоря, от k. Из этого вытекает такое
Определение. Пусть G — мультиграф и d = d(G) = lim YNkln =
k
= lim yNk (будет показано, что предел существует). Тогда d назы-
вается динамическим средним валентности вершин графа G.
Ясно, что Nk = О (d*) (fe-> оо).
Теорема 1.12 (Цветкович [Cve 9]). Для мультиграфа G
динамическое среднее d (G) равно индексу графа G.
Теорема 1.12 вместе с существованием d следует из теоремы 1.10 и
того факта, что среди собственных векторов, соответствующих
индексу графа G, существует неотрицательный.
Применение этой теоремы в химии описано в работе [CvG 4].
Приведем без доказательства следующий результат.
Теорема 1.13 (Харари, Швенк [HaS 1]). Для мультиграфа G
эквивалентны утверждения:
1) М — главная часть спектра;
2) М является минимальным множеством собственных значений,
линейная оболочка собственных векторов которых содержит вектор
О, 1, ..., 1)т;
3) М — множество тех собственных значений, которые имеют
собственный вектор, не ортогональный к (1, 1, ..., 1)т.
Для доказательства можно воспользоваться теоремой 1.10.
§ 1.9. Другие результаты и задачи
1. Пусть G — мультиграф (мультиорграф) с множеством вершин
{1, 2, ..., п) и Nk (/, /) означает число маршрутов длины k в графе G,
ведущих из i в /. Если хюц — соответствующая производящая функция
оо
(т. е. хюц =£ Nk(i,j)tk) и W=(wt,)t то W = {I — tAfl.
(Кастелейн [Kas 2])
2. Пусть К — множество наибольших собственных значений всех
графов и т= (У~5 + 1)/2 (отношение золотого сечения). Пусть,
далее, рл, п = 1, 2, ..., — положительный корень многочлена
Рп(х) = хп+1-(1+х + х*+ ... +яГ1)
и ап = p„/f + P7Vs. Тогда 2 = аг < а2 < • • • являются предельными
точками множества IR, меньшими, чем
%и + х^и = lim ап.
л-*-foe
(Хоффман [Hof 13])
46

3. Если орграф G содержит по крайней мере один контур, то индекс
графа G не менее 1; в противном случае все собственные значения
орграфа G равны нулю.
(Седлачек [Sed 1])
4. Пусть G — орграф с вершинами 1, ..., п. Для заданных вершин
i и / (i Ф /) остовный подграф графа G, в котором: 1) точно одна дуга
начинается и ни одна не оканчивается в вершине i; 2) точно одна дуга
оканчивается и ни одна не начинается в вершине /; 3) степень исхода
и степень захода всех остальных вершин равны 1, называется
соединением из i в j и обозначается С (i ->■ /). Для i = / вершина i является
изолированной вершиной соединения С (i -► t), в то время как все
другие вершины обладают свойством 3.
С квадратной матрицей А = (ац)1 будем ассоциировать
взвешенный орграф Da, определенный следующим образом: п вершин орграфа
Da занумерованы числами 1, 2,..., п и для каждой упорядоченной пары
вершин i9 j существует дуга в орграфе Da, ведущая из i в /, вес которой
равен ац.
Весом остовного линейного подграфа L называется произведение
W = W (L) весов его дуг. Число контуров, содержащихся в линейном
подграфе L, обозначим с (L); ^ означает множество всех остовных
линейных подграфов L орграфа Da. Вес W (С (i ->• /)) и число контуров
с (С (i ->■ /)) соединения С (i ->■ /) определяются аналогично. Тогда
алгебраическое дополнение Ац элемента ац выражается формулой
А/ —(—d11"1 s {-\)c{C{i^w (с а ->/)),
где суммирование ведется по всем соединениям С (*-> /) из i к /
орграфа DA.
Рассмотрим далее следующую систему линейных алгебраических
уравнений:
п
£ aijXj = fc< (t= 1, .•• , п).
С этой системой ассоциируется орграф D с вершинами 0, 1,2, ..., п,
в котором вершины 1, 2, ..., п индуцируют орграф Da,
соответствующий матрице А = (а*/)?, и в котором существует дополнительная
дуга из вершины 0 к вершине i, имеющая вес — bt (для каждой i £ {1,
2, ..., п}). Тогда
С<0-»/) (1—\ „\
*' 2 {-\)C(L)W(L) U~ if ••• э П)'
где суммирование в верхней сумме ведется по всем соединениям С (0 ->•
->■ /) в D.
(Коэтес [Coat])
5* Пусть G — орграф, соответствующий квадратной матрицей
порядка п (см. п. 4), и Мц — кофактор i9 /-элемента характеристической
47

матрицы XI — А. Тогда
причем суммирование во второй сумме ведется по всем соединениям
Ck (i -*• /) из i к /» которые имеют точно k вершин.
(Понстейн [Pons])
6. Некоторые замечания относительно Q-спектра мультиграфа.
Если G — мультиграф без изолированных вершин, содержащий
компоненты Gl9 G2, ..., Gk, то ясно, что
k
QG(K) = U QQ(K). (1.66)
Для мультиграфа G, содержащего изолированные вершины, многочлен
Qg может быть определен следующим образом:
1) если Р — точечный граф*, имеющий точно одну вершину и
не содержащий ребер, то принимается
Qp(X) = X—l; (1.67)
2) если G — любой мультиграф, содержащий компоненты Gl9 G2, ...
...,£*, то
Qo(A,) = riQo£(*)t
что согласуется с (1.66).
Если G — мультиграф без изолированных вершин, то согласно
(1.5)' и (1.6)' (§ 1.2)
Q0(k) = \M — А\ = \М — А*\, (1.68)
где
Если G — точечный граф Р, то полагают А* — А = (1), что
согласуется с (1.67).
Матрица А* — симметрическая, А — стохастическая, поэтому все
Q-собственные значения графа G — действительные числа и
существует одно наибольшее, равное 1.
Q-спектр имеет много свойств, аналогичных свойствам Р-спектров,
которые здесь не перечисляются. Приведем лишь несколько
примеров.
Число компонент графа G равно кратности Q-собственного
значения 1 графа G.
Мультиграф G без изолированных вершин является двудольным
тогда и только тогда, когда Qg (—А,) = Qg (А,).
* В ряде монографий используется термин «тривиальный граф» (см., например,
fHar 4J). — Прим. перев.
48

Связный (не точечный) мультиграф G, является двудольным тогда
и только тогда, когда Qc, (—1) = 0.
Пусть G — мультиграф и kG означает мультиграф, полученный
из G замещением каждого ребра k кратными ребрами. Пусть, далее,
A (G) — матрица смежности графа G и т. д. Легко заметить, что
A (kG) = kA (G), но Л* (kG) = A* (G), A (kG) = A (G). Таким
образом, G, однозначно определяемый матрицей Л, не может быть
определен матрицей А* или А. Мультиграфы G и kG обладают одинаковыми
Q-спектрами. Это замечание, безусловно, не имеет смысла при
рассмотрении графов.
7. Пусть G — мультиграф без изолированных вершин и i1 = (a}f)
(Z = 1, 2, ...). Тогда ац равно вероятности достижения вершины /
в случайном пути длины /, начинающемся в вершине i.
8. Пусть G = («3?, 11) — граф с т ребрами, п неизолированными
вершинами и Q-спектром SpQ (G) = [Хи Я2, ..., Xn]Q. Тогда
Следствие. Если G — регулярный граф положительной степени
г или полурегулярный граф положительных степеней гъ г2 и
р — его индекс (т. е. р = г или р = Уг^ соответственно), то
™ = 4-Р21] & 0-69>
z v=l
Задача. Является ли условие (1.69) достаточным для регулярного
или полурегулярного графа G?
(Рунге [Rung])
9. Определитель матрицы смежности А мультиграфа G можно
представить в терминах древовидной структуры графа G формулой
|Л| = (-1)Л1!(-1)У £ (П dMifi,).
f=i /с л/ УСУ /
(Рунге [Rung))
10. Пусть G — мультиграф, содержащий п вершин с
положительными валентностями dlt ..., dn. Тогда сложность графа G определяется
по формуле
где m и А,С — соответственно число ребер и Q-собственное значение
графа G.
(Рунге [Rung], [RuSal; см. также [Sac 12])
11. Пусть G = (X, У; %) — двудольный мультиграф без
изолированных вершин, X = {xlt ..., хт}, У = {xm+i, ..., Хт+п}', пусть»
далее, V и W — матрицы валентностей множеств соответственно X
4»

и У такие, что матрица смежности А и матрица валентностей D графа
G имеют вид
О В\ (V о
Фс (X) =
A==W o)*D = \o wt
(В является п X m-матрицей). Положим
V~lB = М, W^B1 = Ш%
q>G(X) = \U — MM\, y*G(X) = \XI — MM\9
где / — единичная матрица порядка т или п соответственно. Тогда
в силу известной теоремы из теории матриц
X фс (X) = X сро (X),
Пусть теперь
|фс(^), если п^т,
[фс(^), если /г^/л.
Тогда степень многочлена фс (X) равна min (m, /г).
Заметим, что фс (Я) инвариантен при перестановке вершин
множеств X и У. Многочлен фс (X) связан с Qg (X) формулой
так что существенная информация, содержащаяся в Qg (А,), уже
содержится в фс (А,). Таким образом, для двудольных мультиграфов
более удобно использовать фс (X) (или соответствующий ф-спектр),
чем Qg (X) (или Q-спектр). Например, в терминах ф-спектра сложность
графа G определяется по формуле
,(С) = 1211Ш_П(1-м = 2-^-П(1-и
где / — число ребер графа G, k = min (m, п), а А* — ф-собственное
значение графа G. В случае полного двудольного графа Кт.п
последняя формула принимает вид известного выражения
t(Km,n) = mn-1nm-1
(см. [FiSe] и § 7.6, с. 232).
(Рунге [Rung], [RuSa], [Sac 12])
12. Пусть G = (X, У; U) — двудольный мультиграф без
изолированных вершин. В принятой выше системе обозначений (п. 11)
сложность графа G вычисляется по формуле
t (G) = | W 11 (V - BW-lB\ | = | V11 (W - BTV~]B), |,
где /, / — произвольные числа из множеств соответственно {1, 2, ...
..., т) и {1, 2, ..., п). (Напомним, что М( — матрица, полученная из
квадратной матрицы М в результате удаления j-й строки и 1-го
столбца.)
(Рунге [Rung], [RuSa], [Sac 12])
50

13. Рассмотрение п. 11 может быть взято в качестве отправной
точки для развития спектральной теории гиперграфов. Любой гиперграф
Я можно представить его графом инциденций (графом Леви) G =
= L (Я), который является двудольным графом без изолированных
вершин; обратно: каждый связный двудольный граф G с более чем одной
вершиной однозначно определяется парой связных гиперграфов Я, Я„
являющихся взаимно двойственными (так что G — это граф инциденций
как графа Я, так и графа Я). Таким образом, ср-спектр связного
гиперграфа Я можно получить как ф-спектр графа L (Я), преимущества
определения которого заключается в существовании инварианта при
двойственности.
Некоторые другие результаты по различным спектрам, связанные
с гиперграфами и производными от них графами, содержатся в работе
[Rung].
14. Уравновешенную неполную блок-схему (ВIB-схему *) можно
рассматривать как специальный гиперграф Я; при этом множествам
и блокам блок-схемы В отвечают вершины и гиперребра гиперграфа Я
соответственно. Таким образом, сложность t блок-схемы В может быть
определена как число остовных деревьев графа инциденций,
соответствующего гиперграфу Я. Оказывается, что сложность t = t (В)
полностью определяется параметрами v9 b9 г, k, X блок-схемы В:
t{B) = kb-v+\v-xvv-\
(Рунге [Rung]; см. также [RuSa])
15. Показать, что отношение между характеристическим
многочленом Pg (Я) графа G и характеристическим многочленом Sg (к) матрицы
смежности Зайделя S графа G можно записать в виде
Р m - (-1)" s0(-2X-p
где Hq (t) — производящая функция чисел маршрутов в G.
(Цветкович [Cve 18]}
16. Пусть Мп (X) — множество слов I = (хг, ..., хп)9 i = /п-* Ху
длины п9 заданных на алфавите X = {0, 1, 2, ..., к— 1}, /„ =
= {1, 2, ..., п}9 а <Я1п (X) = [i\t£Mn(X)9 хцфхц+Ху xg£i; q =
s=e 1, 2, ..., п— 1}. Пусть, далее,
9Я? = {(/, т) | / = <*!, х29 . •., хп), m = <*2, ... , хП9 а)9
а£Х, 1,т£Мп(Х)}
и
WlT = {(/?, г) \р = (х19 х29 ..., хп)9 г = (х29 .. •, хп, а),
абХ| р9г£Жп(Х)}.
* Определение В IB-схемы см. в § 6.2, с. 174.
51

Очевидна что \Mn(X)\ = k\ \<3RJX)\ = k(k— \)n~\ |9И?| = *я+|,
|90^2)* | = k (k — 1)". Рассмотрим ориентированные графы G*f„ =»
= (Mn (X), ЭЛ<2)) и GU = (9ЯП (X), 9Я<2)'), у которых Мп (X) и <тп (X) -
множества вершин, a 90^2) и ^2)* — множества дуг соответственно.
Легко видеть, что Gk.n — известный граф Гуда — де Брёйна, a Gltn —
граф Гуда —де Брёйна с ограничениями. Показать, что соотношение
между характеристическим многочленом Pnk (X) графа G*,„ и
характеристическим многочленом Р • (X) графа G*ktn может быть за-
писано в виде
pQkn(X) = {№-"&+i)}-kPG. (X).
(Строк 1Стр 1J)

ГЛАВА 2
ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ
И РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЕ СПЕКТРЫ
В этой главе описываются некоторые способы определения спектров и
(или) характеристических многочленов ориентированных и
неориентированных графов (мультиграфов), полученных из более простых
графов. В большинстве случаев все сводится к следующей схеме: даны
графы Gl9 ..., Gn (п = 1, 2, ...) и известны их спектры; требуется
определить я-арную операцию на множестве этих графов, в результате
которой получается граф G. Теоремы этой главы описывают
соотношения между спектрами графов Gu ..., G„ и спектром графа G. В
частности, в некоторых важных случаях спектр графа G определяется
через спектры графов 0lf ..., G„.
В конце этой главы, в § 2.6, развитая теория используется для
получения спектров и (или) характеристических многочленов некоторых
специальных классов графов.
§ 2.1. Многочлен графа
Пусть Gt = (X, %х) и G2 = (X, %2) — графы * с одним и тем же
множеством вершин X = {х19 ..., *„}, где cUl и Ч12 — множества
ребер этих графов. Объединение Gx |J G2 графов Gx и G2 есть граф G =
= (X, %), где % = %х (J %2. Легко понять, что каждое ребро из
Ч1Х отличается от любого ребра из %2, даже если рассматриваемые
ребра соединяют одну и ту же пару вершин. Если Аи А2 и А — матрицы
смежности графов Glf G2 и Gx U G2 соответственно, то А= Ах + А2.
Однако Gx U G2 зависит не только от Gt и G2, но и от нумерации
вершин этих графов. Таким образом, спектр графа Gx [} G2 в общем
случае не определяется спектрами графов Gt и G2. Некоторую
информацию о спектре объединения графов можно получить из следующей
теоремы общей теории матриц.
Теорема 2.1 (неравенства Куранта — Вейля; см., например,
[Hof 11]). Пусть К (X), ..., К (X) (Кг (X) > Х2 (X) > ... > \п (X)) -
собственные значения действительной симметрической матрицы X.
Если А и В — действительные симметрические матрицы порядка п
* Рассматриваемые в этом параграфе графы в действительности являются муль-
тиграфами (мультиорграфами), при этом допускается наличие петель (см. введение).
53

и С — А + В, то
А,+ж (С)< h+i (А) + Xf+l (В),
^_, (С) > Ь„_, (Л) + Кч (в)>
где 0 <; t, /, f + / + 1 ^ л. В частности,
h(C)<h(A) + K(B).
Произведение Gx • G2 (его следует отличать от произведения Gx X
X G2, определенного в § 2.5) указанных выше графов Gx и G2 есть граф,
имеющий столько же ориентированных ребер, идущих из вершины xt
в вершину xf (xtt xf £ Cfc), сколько имеется пар ребер (u't и") со
следующим свойством: и £ 41 ъ и" £ Ч12> и' начинается в вершине xh
доканчивается в xj, при этом и" начинается
в той вершине, в которой и'
оканчивается. Легко видеть, что матрица
смежности этого произведения А = Аг • Л2.
Как и в случае объединения,
произведение Gx • G2 зависит от нумерации
вершин графов Gx и G2.
Следующая теорема общей теории
матриц позволяет в некоторых частных
случаях определить спектры
объединения и произведения.
Теорема 2.2 (см., например, [MaMi,
с. 25]). Пусть А и В — квадратные
матрицы порядка п над полем комплексных
чисел и как А, так и В перестановочны с
коммутатором АВ — В А. Если f (Klt Х2) —
многочлен от переменных XltX2 с комплексными коэффициентами, то
существует упорядочение характеристических чисел а{, $t (i = 1, ..., п)
матриц А и В, такое, что величины f (а,, |3£) (i = 1, ..., п) являются
характеристическими числами матрицы f (Л, В).
Объединение и произведение графов являются ассоциативными
операциями, и можно определить относительно них степени этих
операций. я-Кратное объединение графа G с самим собой (нумерация
вершин в каждой копии графа G остается неизменной) будет обозначаться
nGy а его я-кратное произведение — G". Если А — матрица смежности
графа G, то матрицами смежности графов nG и Gn являются пА и Ап
соответственно. Операцию nG назовем умножением графа на число,
а операцию Gn — степенью графа.
Определим теперь более общую унарную операцию, дающую в
частных случаях nG и Gn. •
Пусть G — граф с матрицей смежности А и Р (х) — многочлен от
х такой, что все элементы матрицы Р (А) — неотрицательные целые
числа. Тогда многочлен Р (G) графа G определим как многочлен такого
графа, матрица смежности которого равна Р (А). Если Р (х) = а^Р +
+ ai*"-1 + ... + ап (а, 6 {0, 1, 2, ...}, / = 0, 1, ..., п), то
Р (G) = a0Gn U (hGr1 U • • • U ап&9
П~Т
Рис. 2.1.
54

где G° — граф, матрица смежности которого является единичной
матрицей соответствующего порядка.
Очевидно, справедлива
Теорема 2.3. Если спектр графа G содержит числа Хъ ..., Я„, то
спектр графа Р (G) содержит числа Р (А^), ..., Р (Хп).
Случай Р (х) = х? приводит к уже ранее определенной степени
графа. В самом деле, Gn — граф с тем же множеством вершин, что и
граф G, в котором ребер, ведущих из вершины х( в xh столько же,
сколько маршрутов длины п между вершинами xt и х} в графе G.
В частном случае, когда Р (х) = х + h (h — положительное число),
строить граф Р (G) можно, добавляя h однократно учитываемых петель
к каждой вершине графа G. Собственные значения многочлена Р (G)
больше на h соответствующих собственных значений графа G.
—*
Многочлен контура Сп (рис. 2.1) также представляет интерес.
Матрица смежности этого графа является следующей квадратной
матрицей порядка п:
-С '"Л
Отсюда сразу же видно, что
для k = 0, 1, ..., п—1. Таким образом, матрица смежности графа
Р (С„), где Р (х) = а0 + ахх + • • • + ая—l**"""1, является циркулянтом *
с первой строкой (а0, аъ ..., a„-i).
В частности, Сп = Сп \j С"""1, где Сп — простой цикл и Сп —
контур на п вершинах.
Из теории матриц известно (см., например, [MaMi, с. 25]), что
собственными значениями матрицы А являются Xf = еп = е, (/ =
= 1, ..., п\ i = У — 1). (Используя формулу (1.35), получаем \%1 —
— А | = Кп — 1.) Следовательно, собственными значениями простого
цикла Са являются %f = е, + е"""1 = 2 cos / (/ = 1, ..., п). У графа
Р (Сп) собственными значениями будут величины %} = Р (е7), / =
= 1, ..., п (известный результат в теории циркулянтов).
§ 2.2. Спектр дополнения, прямой суммы
и полного произведения графов
В этом параграфе рассматриваются три взаимно связанных
операции над графами**: унарная — дополнение графа и две бинарных —
прямая сумма и полное произведение графов.
* Циркулянтом называется матрица, у которой каждая строка получается из
строки, стоящей над ней, в результате циклического сдвига на одну позицию
вправо.— Прим. перев.
** Все рассматриваемые в этом параграфе графы являются «обыкновенными»,
т. е. неориентированными графами без петель и кратных ребер.
55

Дополнение G графа G есть граф с тем же множеством вершин, и две
различные вершины в графе G смежны тогда и только тогда, когда они
не смежны в графе G. ^ ..^..
Прямая сумма Gx + G2 графов Gx = (Хъ Ux) и G2 = (Л?2, tt2)
(Хг П «Э?2 = 0) является графом G = (Л?, Z£), для которого X =
Полное произведение Gt V G2 графов Gx и G2 есть граф, полученный
из Gx + G2 в результате соединения каждой вершины графа Gx с
каждой вершиной графа G2.
Эти сумма и произведение графов были рассмотрены в работе
[Зык 1]. В соответствии с ней граф называется элементарным, если он
связен и не может быть представлен в виде полного произведения двух
непересекающихся графов. К сожалению, как показано в работе
[Зык 2, с. 508], класс элементарных графов весьма велик. Тем не
менее многие графы могут быть образованы из весьма узкого класса
элементарных графов посредством операций + и V (см. § 2.6 и 7.6).
В последующем обсуждении будет использовано фактически
очевидное соотношение
G7^G2 = G1 + G2. (2.1)
Заметим, что как прямая сумма, так и V-произведение являются
коммутативными и ассоциативными операциями. Ниже показано, что
характеристический многочлен и некоторые другие матричные
функции графов могут быть найдены в определенных случаях на основе
этих функций элементарных графов.
Начнем с характеристических многочленов.
Рассмотрим прежде всего прямую сумму графов Gx и G2. Пусть At —
матрица смежности графа Gt (i = 1, 2). Матрица смежности А графа
Gx + G2 имеет вид
т. е. А = Ах + А2 и знак + означает прямую сумму матриц.
Из разложения Лапласа для определителя легко устанавливается
следующая теорема.
Теорема 2.4.
Каждый граф есть прямая сумма его компонент. Если Gb ..., Gs —
компоненты графа G, то
Ра(к) = РоЛЬ) ••• РоЛЬ)- (2.3)
Эта формула, как замечено Седлачеком [Sed 1], справедлива и в том
случае, когда G — произвольный (ориентированный) граф (мульти-
граф), a Gb ..., Gs — его сильные компоненты (сильно связные
компоненты). Рассмотрим определитель | XI — А\. Из формулы (1.42) для
56

разложения определителя видно, что элементы определителя | XI —
— А\, соответствующие ребрам, не принадлежащим контурам, не
влияют на значение определителя. Следовательно, можно удалить из
графа G все ребра, не являющиеся частью контура, не изменяя при
этом значения определителя. Но после этого матрица смежности
графа G (в соответствии с подходящей нумерацией вершин) принимает вид
прямой суммы матриц смежности сильно связных компонент графа G,
и поэтому можно снова применять разложение Лапласа.
Сказанное выше можно использовать как основу
теоретико-графового подхода для полного сокращения матрицы при определении ее
собственных значений [Наг 1].
Изучим теперь связь между характеристическим многочленом
графам характеристическим многочленом его дополнения. Необходимые
соотношения можно получить, рассмотрев производящую функцию
Hg (t) чисел маршрутов (1.59).
В соответствии с (1.58) производящей функцией Hg (t) чисел Nk
маршрутов длины k в неориентированном графе G является
Н-оо п п -f*°°
Ha(t) = £/*£ сХ = У; с* £ tkxka =
*=0 а=1 а=1 k=Q
= 2т=7Г- (т<(тах{МГ')- (2-4)
а=1
Рассмотрим функцию
а=1 а а
Р (_ц_1)
♦ (а)-(-I)" %Q(U) -■ (2.5)
С помощью (1.59) и (2.5) получаем
♦ w-i+J.ft(-i.)-i + E-ir§t--sJ
(Х—1
(и)
(и)
(2.6)
где #х (и) и Нг (и) — многочлены от и\ корни многочлена Н% (и) —
все простые.
Пусть Х0 — собственное значение графа G кратности р (/? ^ 2).
Тогда PG(u)=*(u — X0)pQ(u), где Q(A,o)#0. Из (2.5) и (2.6) находим
Поскольку все корни многочлена Яа (а) простые, многочлен Р§ (—а—1)
должен содержать множитель (и — Х0)д, где q ^ р — 1. Отсюда
следует, что Р$ (и) содержит множитель (и + Х0 -f I)*7. Таким
образом, если G содержит собственное значение Х0 кратности р (р ^ 2),
то его дополнение G имеет собственное значение —Х0 — 1 кратности
q(q>p — 1).
57

Заметим, что q не может быть больше р + 1. В самом деле, пусть
q > р + 1, т. е. граф Н = G содержит —Х0— 1 в качестве
собственного значения, кратность которого больше р + 1. Если применить
предыдущее утверждение к графу //, то можно заключить, что граф
Н = G содержит —(—Х0— 1) — 1 = Х0 в качестве собственного
значения с кратностью, большей р + 1 — 1 = /?, что приводит к
противоречию. Значит, q ^ р + 1.
Резюмируем приведенные утверждения в следующей теореме.
Теорема 2.5 (Цветкович [Cve 9]). Если спектр графа G содержит
собственное значение К0 кратности р> 1, то спектр дополнительного
графа G содержит собственное значение — Х0 — 1 кратности q, где
р — \ <?</? + 1.
Если G — регулярный граф, то многочлен Pq (К) может быть
представлен посредством многочлена Pg (X) (и наоборот).
Теорема 2.6 (Захс [Sac 1]). Пусть G — регулярный граф степени г
на п вершинах; тогда
Pg (X) = (- 1)я k^lt+V Р°(-Ь- 0, (2.7)
другими словами, если спектр графа G содержит Хх = г, Х29 ..., Хп, то
спектр графа G содержит п — 1 — г, —К2 — 1, ..., —Хп — 1.
Доказательство. Так как маршрут может начинаться с
любой из п вершин графа G и может быть продолжен из произвольной
вершины точно г способами, то число Nk маршрутов длины k в графе
G равно Nk = nrk. Следовательно, для производящей функции Hg (О
имеем
k=o k=Q i—n у Г J
Тогда согласно (1.59)
(_1)"—v / _i
(4-)
1— rt
Полагая в приведенном выше равенстве j-— = Ji, получаем (2.7).
Эта теорема первоначально была доказана посредством
рассмотрения собственных векторов [Sac 1]. В этой же работе было доказано, что
собственный вектор х, соответствующий собственному значению Xt
(i = 2, ..., л) графа G, является также собственным вектором,
соответствующим собственному значению —Xt — 1 графа 73.
Перейдем к рассмотрению полного произведения графов. Очевидно,
для производящей функции Hg (t) справедливо соотношение //g^g, (0 =»
58

a= HGt (t) + Hq, (t). В силу (1.59) и (2.2) это соотношение принимает вид
i г. i —
1
t
(-1У
ti-И,
Gt+G.,
i=\
(-1)"'
(-+-)
■,(-i-)
".(4-)
— 1
— 1
Поскольку Gx + G2 = Gx V G2, то, полагая
1 = X и
подставляя Gb G2 вместо Glf G2 (или Gif G2 вместо Gb G2), получаем
следующую теорему.
Теорема 2.7 (Цветкович [Cve 9]). Для характеристического
многочлена у -произведения графов имеет место соотношение
Рала. (X) = (- 1)"' Pat (X) РЛ (- * - 1) + (- 1 >"' Рс» <*> х
(2.8)
с2
X Р8| (- X - 1) - (- l)"'*"' P5i (- Я, - 1) Рд2 (- Я - 1).
Если Gx и G2 — регулярные графы, то теоремы 2.7 и 2.6 дают
следующий результат.
Теорема 2.8 (Финк, Громан [FiGr]). Характеристический
многочлен полного произведения регулярных графов Gx и G2 определяется
соотношением
ралаш (*) = /!!^^а) К* - гх) (X - г2) - /1Л]. (2.9)
Пусть G£ (i = 1, ..., k) — регулярный граф степени rt на п£
вершинах, характеристический многочлен Pg1 (X) которого известен. Граф
Gx V G2 является регулярным графом тогда и только тогда, когда гх +
+ п2 — r2 + ni (регулярность графов Glf G2 является, очевидно,
необходимым условием). Если гх + п2 = г2 + /гх, то граф Gx V G2
является регулярным графом степени г(1) = гх + п2 = г2 + пх на я(1) =
= пх + п2 вершинах. Следовательно, пх — гх = п2 — г2 = я(1) — г(1).
Если Gi V G2 — регулярный граф, то многочлен
Ром (Я) = (Л - Л (Л + п<" - г<») ^^ , (2.10)
определенный с помощью (2.9), может быть использован для
определения многочлена PiG^G^G, (X). Так как необходимым условием
того, что граф (Gj V G2) V G3 регулярен (на я(2) вершинах степени
г<2)), является соотношение я(1) — г0* = /г3 — г3 = я(2> — г(2), то из
(2.9) и (2.10) получаем
P(GtVGt)VG> (ty = (^
г(2))х
,0V
X(Jt + n<n—ru,)(Jt + nw —rw)
(2)
(2К PQtQ)PG,(b)PGtQ)
Продолжая эти рассуждения, приходим к следующей теореме.
59

Со (к) =
Теорема 2.9 (Финк, Громан [FiGr]) *. Пусть Glf ..., Gk
—регулярные графы; пусть, далее, G{ — граф степени rt на nt вершинах (I =
= 1, ..., k) и при этом выполняется соотношение л, — тЛ = п2 — г2 =
= ... = пк — rk = 5. Тогда граф G = Gx V G2 V ... V Gk имеет
п = пх + п2 + ... + nk вершин и является регулярным графом
степени г = п — S, для которого
fc Д pG (X)
PG(b) = (l-r)(l + n-r)k-inirL—. (2.11)
Рассмотрим теперь несколько других матричных функций, которые
могут быть связаны с графами. Пусть Cg (k) = | А7 — D + А | (см.
§ 1.2, формулу (1.15) и § 1.3, формулу (1.24)). Выведем функцию Cg (А)
для прямой суммы, полного произведения и дополнения графа. Если
G = GA + G2, то
| Я/, — Dx + Аг О I
О XI2-D2 + A2\>
где Ль Л2 — матрицы смежности, a Dlf D2 — матрицы валентностей
графов Gj и G2 (см. примечание на с. 26). Следовательно,
CGl+of (Я) = CCl (Я) CGf (?i). (2.12)
Для дополнительного графа G графа G на л вершинах имеем
C?i (X) = | Я/ — ((л — 1) / — />) + «/ — / — А | =
= | (X — я) / + Я — 4 + J |. (2.13)
Если к первой строке определителя прибавить все остальные строки,
то каждое значение первой строки будет равным X. Вынося этот
множитель за определитель и вычитая первую строку из всех остальных
строк, получаем
Cd(X) = b-\((%-n)I + D-Ay\, (2.14)
где ((X — п) I + D — А)1 — матрица, полученная из (X— п) I +
+ D — А в результате замены всех элементов первой строки
числами, равными 1.
Рассмотрим теперь определитель
\(Х - П) 1 + D - А\ = (— l)n CG(n-X). (2.15)
Если к первой строке прибавить все другие строки определителя, то
значения элементов первой строки будут равны X — п. Следовательно,
| (X — п) I + D — А | = (X — п) | ((X — п) I + D — А)' |. (2.16)
Согласно (2.14) — (2.16) имеем
Сд(Х) = (- l)n x^-Cg (п — Х). (2.17)
* Теоремы 2.8 и 2.9 также следуют из теоремы 2.10. Заметим, что для многих
приложений использование С-спектра является более целесообразным, чем Р-спект-
ра, так как он допускает более общие формулировки не только для регулярных, но
и для произвольных мультиграфов.
во

Следующая формула для многочлена Cg полного произведения
G = Gi V G2 графов Gx и G2, которые имеют aix и п2 (пх + п2 = п)
вершин соответственно, определяется посредством (2.1), (2.12) и (2.17):
Село. (Л) = С§-^ (Я) = (- 1)" -^ С5^ (я - X) -
= (Х-V-*,) C0,^-"8)Ca,^-^). (2.18>
Если для графа G на « вершинах ввести функцию (см. (1.17)>
вио) = 1~?-СсЛ-Ь),
формулы (2.17), (2.12) и (2.18) принимают следующий вид.
Теорема 2.10 (Кельманс [Кел 1]).
fl3l(G) = (-l Г1 51^,(0); (2.19>
Bl*+n* (Gt + G2) = К • fl? (Gi) • flj' (G2); (2.20>
fix1+,b (Gx v G2) = (X + Wl + n2) В£н, (GJ ВЙи. (G2). (2.21)
§ 2.3. Процедуры сведения для вычисления
характеристического многочлена
Рассмотрим четыре процедуры сведения, которые в некоторых
случаях дают возможность определять характеристические многочлены
посредством простых вычислений.
1. Пусть хх — вершина степени 1 в графе G, а х2 — вершина,
смежная с вершиной Xi. Кроме того, пусть дг — порожденный подграф
графа G, полученный в результате удаления вершины хг из G. Если
удалить вершины хх и x2f то получается порожденный подграф G2.
Теорема 2.11 (см. [Hei 1, HaKMR]).
Ра(Ь) = Ь-РаЛЬ)-Раш&)- (2-22>
Доказательство очевидно.
Посредством итерации формулы (2.22) можно легко определить
характеристический многочлен дерева.
2. Пусть G — граф, полученный в результате соединения ребром
вершины х графа Gx с вершиной у графа G2. Пусть, далее, Gi (G2) —
порожденный подграф графа Gx (Ga), полученный в результате
удаления вершины х (у) из графа Gx (Ga).
Теорема 2.12 (Хайльброннер [Hei И).
Pg (Я) = Pat (Я) Раш (*) - PG (*) PQ' <*>• <2'23>
61

Доказательство этой теоремы основано на использовании
теоремы Лапласа при разложении определителя
Ра(Х) =
xini
0
0
— 1 0
-Аг
О
... 0
0
|0 0 ... 0 -
О
Xlnt — А%
-1
0
0
где Аи А2 — матрицы смежности, пи п% — числа вершин графов Gt
и G2 соответственно.
Теоремы 2.11 и 2.12 были обобщены Гутманом [Gut 8].
3. Пусть Н — граф, полученный из графа G с множеством вершин
{xlf х2, ..., хп) следующим образом: (I) к каждой вершине xt графа G
добавляется множество V'i k новых вершин (изолированных); (ii) xt
соединяется ребром с каждой из k вершин множества Vt (i = 1, 2, ...
-.., п).
Теорема 2.13.
(2.24)
/>я(Я) =
оказательство.
Рн(Х) =
и —
— I
— I
— I
= ХпкРа[X
Имеем
А —I
XI
О
О
-*■)■
— / ...
О ...
XI ...
О ...
— I
О
О
XI
В этой матрице k + 1 строк (и столбцов); А — матрица смежности
графа G; I — единичная матрица порядка п, а О — нулевая матрица
того же порядка. Для X Ф 0 можно умножить строки (состоящие из
блочных матриц) с номерами 2, 3, ..., k + 1 на MX и затем прибавить их
к первой строке. Тогда
Рн(Х)
— I XI о
— I О XI
\ —I О О ... Х1\
используя разложение Лапласа, получаем (2.24). Для X = 0, естест-
€2

венно, выполняется Рн (0) = Hm XnkPG (h — kJX), поэтому
_ ((- D\
"I о,
я1 ' ' л если£>1.
4. Пусть G — граф с множеством вершин {xlt ...,хп}; Gt (i = 1,...
..., п) — подграф, порожденный вершинами множества <3?\{х(}.
Теорема 2.14 (Кларк [Clar]).
Ро(Л.) = ЕРо.(Я). (2.25>
Доказательство. В результате построчного
дифференцирования многочлена Ра (к) = I Я/„ — А | получаем
Ро (X) = £ | (М„ - Л), | = £ | М„_, - A)t | = S fy <*).
/=1 1=1 *=1 *
Следствие. Если все подграфы Gt (i = 1,..., п) изоморфны
некоторому графу Н, то P'g (I) = пРн (К).
Формула, весьма близкая к (2.25) и связывающая С-многочлен1
Cg (Jt) графа G с С-многочленами всех тех графов, которые получаются
из G посредством удаления одного ребра, приводится в работе [KeChJ
(лемма 2.4).
Спектры некоторых других композиций графов рассматриваются
в химии (см., например, [Hei 1, Hei 2], а также §6.1 настоящей книги).
§ 2.4. Реберные и тотальные графы
В этом параграфе определяются характеристические многочлены
реберных графов регулярных и некоторых других графов и
рассматривается несколько операций над графами, аналогичных построение
реберных графов.
Реберный граф L (G) неориентированного графа G без петель и
кратных ребер есть граф, множеству вершин которого поставлено во
взаимно-однозначное соответствие множество ребер графа G; две
вершины графа L (G) смежны тогда и только тогда, когда
соответствующие им ребра в G имеют общую вершину.
В дальнейшем при доказательстве нескольких теорем
используется следующая лемма из общей теории матриц.
Лемма 2.1 (см., например, [МаМП, с. 24). Если А — т X
п-матрица, а Рх (k) означает характеристический многочлен квадратной
матрицы X, то
1ПРАА^%)==ГРА^А{%)' <2'26>
Пусть А и В — матрицы смежности графов G и L (G)
соответственно, п X m-Матрица инциденций вершин и ребер графа G обозначается-
R% a D означает матрицу валентностей графа G. Как известно (см.
6$

§0.2, с. 15), справедливы соотношения -
RR* =Л + D; (2.27)
RTR = В + 21. (2.28)
На основе (2.26) из них следует, что
| XI _ в — 2/1 = Хт"п \XI — A — D\,
т. е.
Рцо) (Я — 2) = Хт~п\X1 — A — D\. (2.29)
Для регулярных графов степени г D = г! и из (2.29) получаем
следующую теорему.
Теорема 2Л5 (Захс [Sac 8]). Если G — регулярный граф степени г
на п вершинах и т (= -у пг) ребрах, то справедливо соотношение
Рцв) (X) = (X + 2)т~п Р0(Х-г + 2). (2.30)
В работах [Вах 1 и Кел 3] приведены аналогичные соотношения
для характеристических многочленов матриц D -f А и D — А (т. е.
для многочленов Rg (X) и С<? (X); см. § 1.2).
Покажем, что соотношение между Рв (X) и Рцв) (X) может быть
установлено не только для регулярных, но и для некоторых других
графов.
Напомним, что мультиграф G называется полурегулярным
степеней rlt г2, если он может быть представлен как двудольный граф G =
= (Хи Хг\ %) с | Л?! I = пг и | Х2 I = п1% пх + п% = л, в котором
каждая вершина x$Xt имеет степень rt (i = 1, 2).
Теорема 2.16 (Цветкович [Cve 9]). Если G — полу регулярный
мультиграф с лх > пъ то
Рцв) (X) = (X + 2f У{--?±-у-п,pGfl/sjjg pG(-1^53, (2.31)
где .а{ = Я, — г{ + 2 (/ = 1, 2) и р = л^ — лг — п^
(Заметим, что с помощью теорем 1.1, 2.15 и 2.16 0,цв) (Я») может
•быть также выражен в терминах Qg (X), если граф является
регулярным или полурегулярным положительных степеней.)
Доказательство. Воспользуемся следующим
результатом из теории матриц.
Лемма 2.2 (см., например, [Гант, с. 591). Если М — невырожденная
квадратная матрица, то
\М N\
\р Q\~\M\\Q-PBrlN\.
Для доказательства теоремы воспользуемся равенством
{Х-Г1)1п, -КТ
«4
К (k-r,)ln,

где К — п2 X я,-матрица. Согласно лемме 2.2
в (X - rj*-* • | (Я - /-i) (X - г2) /„, - КК11 =
= (* - 'i)"'""22 Яит ((^ - >Ч) (* - г,)). (2.32)
Характеристический многочлен Рккт (К) матрицы ОГт может быть
выражен в терминах характеристического многочлена матрицы
смежности А. Далее,
AJ° КЛ #(*** °
\к о)' [о ккт
Согласно лемме 2.1 Рктк(Х) =ХП1~ПгРккт(к). А так как РЛ2(Я) =
= ^КТК ^ ^кк1 ^ и собственные значения матрицы А2 являются
квадратами собственных значений матрицы Л, т. е. РА2 (к2) =
= (-\r^PA(k)PA(-X)t то
.(Я.)
рккт W = |/ l^r- = К(~ 1)П1+^-^Рл (П) Рл (-VI).
(2.33)
Комбинируя выражения (2.29), (2.32) и (2.33), получаем (2.31).
Это и завершает доказательство теоремы.
Определим теперь характеристический многочлен при некоторых
других унарных операциях над графами.
Граф подразбиений S (G) графа G есть граф, полученный в
результате введения одной новой вершины на каждом ребре графа G.
Как отмечено во введении, подразбиение графа является
двудольным графом, матрица смежности которого имеет вид
Согласно лемме 2.2 и формуле (2.27) для регулярного графа G имеем
Х1„ -Ят1
Р*а> (Я)
m
— в
ип
= г
я/.
я ~Г_дТ
= Г-" • |ХЧп- ДДТ | = Xm~n • |%Чп-A-rln\= %т-пР°№ — г).
Таким образом, доказана
Теорема 2.17 (Цветкович [Cve 17]). Если G — регулярный граф
степени гсп вершинами и т\= -н- пг) ребрами, то
PsiO (Я) - Г-*Ре (X2 - г). (2.34)
Пусть R (G) — граф, полученный из графа G в результате
добавления к каждому ребру графа G новой вершины и соединения ее с конце-
Я Ч 470 65

выми вершинами соответствующего ей ребра. Матрица смежности
графа R (G) имеет вид
Теорема 2.18 (Цветкович [Cve 17]). Если G — регулярный граф
степени гсп вершинами и m (= ~пг) ребрами, то
PRiG) (Л) = Г"" (I + 1)" PG (-£fr) •
Доказательство.
(2.35)
Рща> (*) =
—я и.-л
= г
ип
R~tR1
= г
WT„-il--f (4 + г/„)
:Г-"(Ь+1)"Ро(-£^),
Далее, пусть Q (G) — граф, полученный из графа G в результате
введения одной новой вершины на каждом ребре графа G и соединения
ребрами тех пар этих новых вершин, которые находятся на смежных
ребрах графа G. Тогда матрица смежности такого графа Q (G)
имеет вид
В Лтх
R О,
Рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к следующей
теореме.
Теорема 2.19 (Цветкович [Cve 17]). Если G — граф с п вершинами
и т ребрами, то
Pq(G) (к) = Хп~т (X + \)т Рт (-£fp) • (2.36)
Следствие. Если G
(2.30) следует, что
Рт (*) :
регулярный граф степени г, то из (2.36) и
(Х+1)тРв(
Я2-
Перейдем к исследованию тотальных графов.
Тотальный граф Т (G) графа G есть такой граф, множеством вершин
которого является объединение множества вершин и множества ребер
графа G и две вершины которого смежны тогда и только тогда, когда
соответствующие элементы графа G смежны или инцидентны.
Легко заметить, что посредством соответствующей нумерации
вершин матрицу смежности графа Т (G) можно представить в виде
(A R\
Ят В
66

Если G ->- регулярный граф степени г с п вершинами и т ребрами, то
РшМ
\Х1 + rl — RW
I -ят
(X + ^I — RR1
— R
XI+ 21 — RTR
— R
— (X + r+l)RT + RTRRT (X + 2)I
(X + r)I-RRT + T^T(-(l + r + l)RT + RTRRT) О
— (^ + г + 1) Ят + RTRRT (X + 2) /
= (Л- + 2)"
XI—А +
Х + 2
(A + rI)(A-(X+l)I)
= (X + 2)m-n\A2 — (2X — r + 3)A + {X2 — (r—2)X—r)I\ =
(X + 2)т~пП (if — (21 — г + З)Xt + Х2 — (г — 2)Х — г) =
t=i
= (X + 2)т-п П (X2 — (2Xt + г — 2) X + X? + (г — 3) Xt — г)у
где Xt (I = 1, ..., п) — собственные значения матрицы Л.
Таким образом, справедлива
Теорема 2.20 (Цветкович [Cve 13]). Если G— регулярный граф
степени г(г>1) с п вершинами и т ребрами, то T(G) имеет
т — п собственных значений, равных —2, и 2п собственных
значении i-(2Xt + r-2± V4X( + г2 + 4) (i=l, ..., n).
В последующих определениях будут рассматриваться лишь связные
графы. Заметим, что —г ^ Xt ^ г (i = 1, ..., п).
Рассмотрим функции
h (*) = -f (2* + r - 2 + У4х + г2 + 4),
1
М*) = -у (2x + r-2-V4x + r* + 4).
Обе возрастают на отрезке [—г, г] для г Ф 2. Для г > 2 первая из них
отображает этот отрезок на отрезок [—2, 2г], а вторая — на отрезок
[—г, г — 2]. Таким образом, собственные значения графа Т (G) лежат
на отрезке [—г, 2г\ (это выполняется также для г = 1). Наибольшее
собственное значение, естественно, равно 2г. Собственное значение
г — 2 всегда появляется в спектре. Наименьшее собственное значение
равно —г тогда и только тогда, когда G — двудольный граф.
Кратность собственного значения —2 графа Т (G) равна m — п -f р_г +
+ р__1, где рк — кратность собственного значения X графа G, а
г>2.
В случае г = 2 функция /2 (х) имеет минимум при х = —7/4.
Поскольку /а (—7/4) = —9/4» т0 наименьшее собственное значение
графа Т (G) больше —9/4. Равенство не может иметь места, так как любое
з*
67

собственное значение графа не может быть рациональным нецелым
числОхМ. Но так как собственные значения связного регулярного графа
степени 2 с п вершинами равны 2 cos — i (i = 1, 2, ..., я), то
существует граф G, для которого наименьшее собственное значение графа Т (G)
сколь угодно близко к нижней границе —9/4.
Случай г = 1 совсем простой: G имеет собственные значения 1,
—1, а Т (G) имеет собственные значения 2, —1, —1.
§ 2.5. NEP-сумма и булевы функции
В этом параграфе рассматриваются различные я-арные операции,
определенные на множестве конечных неориентированных графов без
петель и кратных ребер; множеством вершин результирующего графа
будет прямое произведение множеств вершин тех графов, над
которыми эта операция производится. При рассмотрении некоторых классов
графов могут быть определены также и другие операции, например
такие известные, как произведение, сумма и р-сумма графов [Вег 1,
с. 23 и 53]. Дадим определение этих операций.
Пусть даны два графа: Gx = (Х1У Ч1Х) иб2 = (Х2, 112).
Произведением G± X G2 и суммой Gx + G2 этих графов являются
соответственно графы (Х> 41) и (X, Ъь), где X = Хх х Х29 а множества % и V'
определены следующим образом.
Пусть (х1у х2) £ Ху (уг> у2) £ X. Вершины (х19 х2) и (у1у у2) смежны
в произведении G± X G2 тогда и только тогда, когда (хи у±) £ %х и
(*2» У2) 6 ^2» и смежны в сумме G± + G2 тогда и только тогда, когда
или хг = уг и (х2У у2) £ U2y или (хи уг) ^iHX2 = у2.
р-Сумма графов Gu ..., Gn есть граф, множеством вершин которого
является прямое произведение множеств вершин графов Gl9 ..., Gn.
Если xt и yt — вершины графов Gt (i — 1, ..., я), то вершины (хи ...
..., хп) и (у1У ..., уп) р-суммы G смежны тогда и только тогда, когда
точно р из п пар (xt, yt) (i = 1, ..., п) являются парами смежных
вершин в соответствующих графах Gt и xt = yt у оставшихся п — р пар.
Поэтому при р = п имеем произведение п графов, а при р = 1 —
сумму п графов.
Понятие р-суммы под разными названиями и ее исследования
содержатся в нескольких статьях. Так, например, произведение двух
графов называется просто произведением [Вег 1, с. 23], декартовым
произведением [Sabi], кронекеровым произведением [Weic], конъющией
[HaWi], кардинальным произведением [Culi, Mill], а-произведением
[TeYa] и т. д. Что касается суммы графов, то в разных работах она
также называлась по-разному.
В работе [Варв] определена более общая операция, которую
назовем расширенной р-суммой или ^-суммой графов Glt G2, ..., Gn.
Множество вершин расширенной р-суммы равно множеству вершин р-
суммы. Множество ребер расширенной р-суммы является
объединением множеств ребер р-суммы графов Gb G2, ..., Gni где р принимает
все значения из данного подмножества р множества {1, ..., п). Если
$> = {1, ..., л}, то получается операция, известная под названием
«сильное произведение графов».
68

В работе [CvLl] определены неполная р-сумма и неполная
расширенная р-сумма графов. Так как первая из этих операций является
частным случаем второй, рассмотрим только последнюю. Определение
неполной расширенной р-суммы, сокращенно названной NEP-суммой *,
в первоначальном варианте описано в работе [Cve 9].
Пусть В— множество п-ок (Рг, ..., Р„), составленных из 0 и 1,
которое не содержит п-ку (0, ..., 0).
Определение 1. NEР-сумма с базисом В графов Gu ..., Gn есть граф,
множеством вершин которого является прямое произведение множеств
вершин графов Gl9 ..., Gn и у которого две вершины (х1У ..., хп) и (уи ...
..., уп) смежны тогда и только тогда, когда имеется я-ка (Рь ..., рп) в
3$ такая, что равенство xt = у1 справедливо только тогда, когда р£ =
= 0, и х{ смежна с yt в Gt только тогда, когда Pt- = 1.
Если В состоит лишь из я-ок, содержащих точно р единиц, то
операция называется неполной р-суммой. Полная р-сумма, или просто
р-сумма, получается тогда, когда В состоит из всевозможных п-ок
с точно р-единицами. Если $> = {]\, ..., jk] а {1, ..., я}, то операция
представляет собой ^-сумму при условии, что В состоит из всех я-ок,
имеющих ji единиц, i = 1, 2, ..., k.
Представляют интерес рассмотренные в работе [TeYa] частные
случаи NEP-суммы со следующими базами:
{(1, 1)}, {(0, 1), (1, 0)}, {(0, 1), (1, 0), (1, 1)}, {(1, 0)}, {(1, 1), (1, 0)}.
Эти операции введены в [TeYa] под такими названиями: а-произведе-
ние, ^-произведение, ^-произведение, ^-полупроизведение, у-полупроиз-
ведение. Первые три из представленных операций согласно введенной
в этой книге терминологии являются соответственно произведением,
суммой и сильным произведением графов.
Обратим внимание также на булевы операции над графами.
Определение этих операций дадим в соответствии с работой [Cve 5]
(в [HaWi] рассмотрено другое определение).
Определение 2. Пусть даны графы Gt = (Xh 1Lt) (i = 1, ... , я),
где Xt и 11 с — соответствующие множества вершин и ребер. Если
f{Pi> •••» Рп) — произвольная булева функция (/:{0, 1}п-^{0, 1}),
то булева функция G = f(Glt ..., Gn) графов Glt ..., Gn есть граф
G = (X, 11), где X = Хг х • • • X Xnf а 11 определено следующим
образом: для любых двух вершин (хъ ..., хп) и (уъ ..., уп) графа G
булевы переменные ръ ..., рп определены так, что для каждого i
pt = 1 тогда и только тогда, когда хс и yt смежны в Gt\ вершины
(хъ ..., хп) и (уъ ..., уп) смежны в G тогда и только тогда, когда
для каждого I хьФуь и f(pl9 ..., рп) = 1.
Множество п-ок, для которых булева функция f(px, ..., рп)
принимает значение, равное 1, обозначим &. Используем также
обозначения P = (Pi, ..., PJ и (иногда) p(s).
* В оригинале «nepotpuna prosirena p-suma» (серб.-хорв.) и «non-complete ех-
tendet p-sum» (англ.).— Прим. перев.
69

Определение 3. NEP-сумма с базисом Si графов Glf ..., Gn
соответствует булевой функции f(Gl9 ..., Gn) (f(pi, ..., рп)фО),
если $ = £*\{(0, ..., 0)}.
Матрицы смежности рассмотренных выше операций над графами
выражаются в терминах матриц смежности графов, над которыми эти
операции выполняются посредством кронекерова умножения матриц,
обозначаемого через ®. Свойства кронекерова произведения матриц
приводятся ниже при последующих рассмотрениях.
Кронекерово произведение А ® В матриц А = {ац)т,п и В =
= (bij)p,g есть тр х n^-матрица, полученная из матрицы А в
результате замены каждого элемента ац блоком ацВ, Таким образом,
значениями элементов матрицы А 0 В являются все mnpq возможные
произведения элементов матрицы А на элементы матрицы В,
Известны следующие соотношения (см., например, [MaMi,
с. 18 и 81):
\х(А ®B) = tr4 -trll; (2.38)
(А ® В) • (С ® D) = (AC) ® (BD). (2.39)
Равенство (2.38) справедливо в случае, если А и В — квадратные
матрицы, а (2.39) — в случае, если существуют произведения АС и BD.
Кронекерово произведение является, кроме того, ассоциативной
операцией.
Используя форму (2.39), по индукции получаем
(А, ® ... ®Ап)-(Вх® ... ® Вп) ... (Мх® ... ® Мп) =
= (АхВг ... Мх) ® ... ® (АпВп ... Мп). (2.40)
Как отмечено в работе [Culi], матрица смежности произведения Gx X
X G2 графов Gx и G2 равна кронекерову произведению Ах 0 Л2 матриц
смежности Лх и Ла графов Gx и G2. В [АЬег] определена матрица
смежности суммы Cwx + G2\ она имеет вид Аг 0 12 + /х ® Л2, где/х, /2 —
единичные матрицы тех же порядков, что и Аи А2 соответственно.
В [HaWi] перечислены матрицы смежности ряда бинарных
операций над графами.
Пусть х и у — вершины произвольного графа G с матрицей
смежности Л, тогда через (А)ку обозначим элемент матрицы Л, находящийся
на пересечении строки, соответствующей х, и столбца,
соответствующего у.
Матрица смежности р-суммы графов определена в работе [Cve 2].
Следующий общий результат относительно матриц смежности NEP-
суммы взят из работы [Cve 9].
Теорема 2.21 (Цветкович [Cve 9]). NEP-сумма G с базисом Si
графов Glt..., Gn> матрицами смежности которых являются
соответственно Аъ ..., Ant имеет следующую матрицу смежности:
А= Е А^ ® ... ®Апп. (2.41)
Доказательство. Пусть в каждом из графов Gu ..., Gn
вершины упорядочены (помечены). Упорядочим лексикографически
70

вершины графа G (которые представлены упорядоченными я-ками
вершин графов Glf ..., Gn) и согласно этому упорядочению образуем
матрицу Л. В силу свойств кронекерова произведения матриц
значениями элементов матрицы А являются
(^)е* хп)лу, ,„) = 2 (АЪххух ••• А^ (2-42>
п п №% пп
На основании лексикографического упорядочения
(Ahx *„>•<*« V = 1
тогда и только тогда, когда существует р £ В с
О
(А')зд = 1 для *= 1, 2, ... , /г.
Это означает в точности, что xt и yt- смежны в Gh если |3, = I,
и xt = */t-, если Р; = 0 (т. е. At 1 = /), что и завершает доказательства
теоремы.
Теперь матрица смежности р-суммы получается при условии,
если 9$ содержит все я-ки с р значениями, равными 1. Далее в частных
случаях рассматриваются произведение графов для п = 2, р = 2 и
сумма графов для я = 2, р = 1.
Следующая теорема устанавливает матрицу смежности булевой
функции графов.
Теорема 2.22 (Цветкович [Cve 5]). Матрица смежности булевой
функции G = / (Glf ..., Gn) графов Glt ..., G„, имеющих матрицы
смежности Аи ..., Л„, дается формулой
А = J Л[Р1]® ... ®Л1Ч (2.43)
где для матриц At полагается А\{] = Ah Л[0] = Ah причем Аь —
матрица смежности дополнения Gt графа Gt-.
Доказательство. Если 3 — пустое множество, т. е.
если / (Pi, ..., Р„) всегда равно нулю, то граф G не имеет ребер, и поэтому
соответствующая матрица смежности является нулевой и результат
согласуется с формулой (2.43).
Рассмотрим далее случай, когда 3 — непустое множество. Как
и в теореме 2.21, произведем лексикографическое упорядочение и
выясним, когда элемент (А\Хх х ), (Ух у > равен 1. В этом случае равенство
достигается тогда и только тогда, когда есть некоторое f$(jiF такое,
ГО -1
что (Ai 1)х.у.= I для i= 1, 2, ..., п. Это в точности означает, что
xt и yt смежны, если р, = 1, и не равны и не смежны, если (3, = О,
что, в свою очередь, является определением смежности в булевой
функции графов.
Это и завершает доказательство теоремы.
Следующие две теоремы (см. [Cve 5, Cve 9]) описывают соотношения
между спектрами NEP-суммы или булевой функции и спектрами
графов, над которыми производятся операции. Для булевой функции
71

соотношения определены только в случае, когда Glt ..., Gn являются
регулярными графами.
Теорема 2.23 (Цветкович [Cve 9]). Пусть Gt (i = 1, 2, ..., п) — граф
с пс вершинами иХц, ..., Х1п. — спектр графа Gt. Тогда спектр NEP-
суммы с базисом 3$ графов Glf ..., Gn состоит из всех возможных
значений Л;,,...^, где
Л,, f = £ ХЪ\ ... Л& (2.44)
п эед§
(h= 1» 2 nk; k = 1, 2, ... , я).
Доказательство*. Слагаемые выражения (2.44) обозначим
Вх, ..., Б^, где <7= |$|; порядок слагаемых произвольный. Каждому
Р = (Pi, ..., Р„) из 35 соответствует слагаемое Bs. Положим Rs =
=*Ьи\ - ъОа. Ясно, что
1 п
В\' • • ■ Bqq = А\- (£>••• чу Лп ,
/# ... /# = Ли, ... к?п,
где 1Т — сумма чисел sl9 ..., sqt являющихся показателями степени
тех слагаемых Bs в выражении Б*1 • • -Б^, которые содержат Аг.
Следовательно, Л = Вх + • • • + Bq. Слагаемые Bs перестановочны по
отношению к матричному умножению, поэтому
(в1+ ... +*?/= s «, *'.., by ... $
- 2 ТГ^ТТ4!' ® ••• ®A'n (h+ ■■■ +sg = k). (2.45)
Кроме того,
tr(Bx+ ... +B/= 2 _^L_tr(iti' ® ... ®Л>) =
slt...,sQ x *
= 2j с i ... sj 2jM« • • • 2j Ц,
°1
* Приводимое доказательство потребуется в дальнейшем. Формулировка
следующего краткого доказательства получена М. Дубом.
Так как матрица смежности Ai графа Gt нормальна, то существуют векторы Хц
такие, что А^ц = ЬцХц (i — 1, 2, ..., п\ j = 1, 2, ..., ty). Рассмотрим вектор х =
*= a?w ® ... ® #п/ . Применяя свойство (2.40) к уравнению (2.41), получаем
Ах = Л, 7 а?, что дает лх • п2»»»п^ собственных значений, и, следовательно,
все возможные значения определены.
72

= 2 X s,.;. s, *fr. • • • ц, =
= £ £ „, " , *!'-#. (2-46)
Таким образом,
tr(Z*1 + ... +В/= £ («i+ ••• +R,)k (*=L 2, ...),
что доказывает теорему.
Отметим несколько частных случаев теоремы.
Если X\it (i1= 1, ..., /Их) а Л», (*2 = 1» • •» mz) — собственные
значения графов G± и G2 соответственно, то:
1° произведение G1^G2 имеет собственные значения Хц.А»2и
(*!= 1, ..., mx; i2 = 1, ..., т2);
2° сумма Gt + G2 имеет собственные значения XUl + fat, (*i =
= 1, ..., тх; /2= 1, ..., т2);
3° сильное произведение графов Gt и G2 имеет собственные
значения ХиМг + ^и+къ, (4 = 1, ..., тг; i2 = l, ..., т2).
Результат, относящийся к произведению графов, был приведен
в работе [Mow 2]; однако определение собственных значений
произведения Ах ® А2 в терминах собственных значений матриц Л, и 42
хорошо известно в теории матриц (см., например, [MaMi, с. 24]).
Интересующихся результатами относительно суммирования графов мы
отсылаем к работе [Ruth], в которой получен спектр матрицы Аг ®
® /2 + /х ® А2 без явного использования понятия суммы графов.
Результаты, относящиеся к произведениям графов, могут быть
несколько детализированы для двудольного произведения графа на
п
себя («двудольного квадрата») G°G. Пусть Pg (Ц = П (к — Xt). По-
4=1
скольку G о G = /(2 х G, а спектром графа К2 является {1, —1}, та
PGoG(X) = U (Л-^)П (Х + ^) = (—1)яР0(Х)Ро(-Х),
что установлено в работе [Sac 7].
Заметим, что согласно (2.44) спектр р-суммы равен множеству всех
значений элементарной симметрической функции порядка р от
переменных %ц19 ..., Кт .
Перейдем к определению спектра булевой функции графов для
случая, когда каждый сомножитель регулярен. Пусть Gt —
регулярный граф степени rt с nt вершинами и спектром {Хц = rh Xi2i ..., Xin.}.
Тогда согласно теореме 2.6 спектр графа G( содержит значения nt —
— ft— 1 = П£ — %а— 1, —Xf2 — 1, ..., —hnt—1; положим Хц =
= nt — %n — 1, %ц = — Xtf — 1 (/_= 2, ..., nt). Далее, матрицы
смежности At и At графов Gt и G{ имеют одинаковые множества
собственных векторов, т. е. существуют векторы Хц такие, что А{хц »
= кцХц и Арц = ХцХц (см. [Sac 1]).
73

Теорема 2.24 (Цветкович [Cve 51). Пусть Gt-, i = 1, ..., я,
—регулярный граф степени rt с ni вершинами и спектром, равным {\\ =
= riy Л,#. ..., Кп^у и пусть хц, xi2> ..., xin —система независимых
собственных векторов, соответствующих спектру. Тогда спектр
булевой функции G = f (Gb ..., Gn) состоит в точности из всех
возможных чисел A/tf.„,f , где Jc-/] = %ih Х\)] = %ih
К~ап= S MP,*1 ...Я^1 (2.47)
и #tl t : = л^-, ® • • • ® д?п, является собственным вектором графа
Gr соответствующим собственному значению Aitt„j .
Доказательство. Согласно предыдущему и в соответствии
со свойствами кронекерова произведения матриц имеем
= S (4м <8> • • • <8> А[У) (xUi <g> ... ® aw) =
= £ (4э,1*и,) ® • • • ® (аУхы) =
ре^ "
= £ (М?,1*..,) ® • • • ® А1^) =
ре^"
= f £ *i?.*' ... А.1Я (*„, ® • • • ® хт) = Л,, , • а*, in,
что и доказывает теорему.
Известны также некоторые другие операции над графами,
связанные с NEP-суммой и булевой функцией.
Рассмотрим лексикографическое произведение графов. Множеством
вершин лексикографического произведения (или композиции) Gx [G2]
графов G± и G2, как и в рассмотренных выше случаях, является прямое
произведение множеств вершин графов Gx и G2; вершины (xlf уг) и (x2t
у2) смежны в Gx [G2] тогда и только тогда, когда вершины хг и х2
смежны в Gx или л^ = х2 и вершины г/х и у2 смежны в G2. В [HaWi]
отмечено, что матрица смежности графа Gx [G2] имеет вид (Ах 0 J2) + (1г 0
0 Л2), где Аг и А2 — матрицы смежности графов Gx и G2; J2 —
квадратная матрица, порядок которой равен порядку матрицы А2, а
значения всех элементов равны единице; 1г — единичная матрица того
же порядка, что и матрица А±.
ь Приведем без доказательства следующий результат.
■;:::: Пусть Хи ...» Хп (kt ^ Х2 ^ ... ^ кп) — собственные значения
графа Gu а ць ..., \хт (|я, ^ \х2 ^ ... ^ |nw) — собственные значения
регулярного графа G2. Тогда спектр графа дг IG2] состоит из чисел Кхт +
4- \хи ..., \пт + \лхи чисел jx2, \i3, ..., \im, кратности которых равны п.
* • •
74

Различные суммы и произведения графов, их спектры и
сложности рассматривались также в работах [Far 1, FaW 1, FaW 2, Gom 1,
Kers, Soka]. В последней статье исследовалось прямое произведение,
которое обобщает как NEP-сумму и булеву функцию, так и
лексикографическое произведение.
§ 2.6. Определение характеристических многочленов
и спектров графов некоторых специальных типов
Характеристические многочлены и спектры некоторых графов
определяются ниже с помощью результатов, описанных в данной главе.
Ряд результатов настоящего параграфа хорошо известен в теории
матриц, но здесь они будут получены на основании развиваемой в
монографии теории.
Г. Для графа Gen вершинами без ребер (или петель)
характеристический многочлен Pg (к) = кп, т. е. спектр, состоит из п чисел,
равных 0.
2°. Полный граф Кп с п вершинами является дополнением
приведенного выше графа; для него с помощью (2.7) получаем Рк (к) = (к —
— п + 1) (Я» + 1)л~\ т. е. спектр графа Кп состоит из числа п — \ и
п — 1 чисел, равных —1.
3°. Если G — регулярный граф степени 1, каждая компонента
которого изоморфна /С2, то согласно 2° Р^г (к) = к2 — 1 и,
следовательно, на основании (2.2) имеет место соотношение Pg (к) = (к2 — 1)*,
если G содержит 2k вершин.
4°. Переходя к дополнительному графу графа из п. 3°, находим
характеристический многочлен регулярного графа Н степени п — 2 с
п = 2k вершинами в виде Рн (к) = (к — 2k + 2) . kk • (к + 2)k~\
Этот граф иногда обозначается через СР (k) (граф «приема гостей»).
5°. Для полного двудольного графа КПх,пг справедливо соотношение
Knttn3 = Gi V G2, где Gt и G2 — графы, содержащие соответственно пъ
и п2 изолированных вершин. Так как Pqx (к) = кПг и Раг(к) = кп\ то
согласно (2.9) РКп^(к) = (к2 — п1п2)кП1+п*~2, т. е. спектр графа Knt,n*
состоит из чисел j/ пгп2, — \^пхп2 и пх -f п2 — 2 чисел, равных нулю.
Если п1 = п, а я2=1, то получается звезда с п+l вершинами*
характеристическим многочленом которой является РКп г (к) = (к2 —
-п)кп-\
6°. Как уже было определено в § 2.1, спектр простого цикла Сп со-
2я
стоит из чисел 2 cos— i(i = 1, ..., п). Легко заметить, что
справедливо соотношение
Рсп(Я) = 2(г„(А)_1)==
[л/2] , , v
= -2+S (-1)*-^х( k Jr-2* = 2cos(narccos4)-2,
:75

где
Тп М = 2 (- 1)* ^hr ( k ) 2"-2*-V-2ft = cos (п arccos х)
— многочлен Чебышева первого рода.
7°. С помощью теоремы 2.14 из предыдущих результатов можно
вывести характеристический многочлен и спектр простой цепи Рп с п
вершинами. Все подграфы простого цикла Сп, порожденные п—1
вершинами, изоморфны простой цепи Рп-ь Следовательно,
РР , (К) = — Р'с Ш- Воспользовавшись многочленом Чебышева
второго рода
тт / \ sin [(п + 1) arccosх]
получим
я,.<ч-«М4)- !<-■)'(" 7 "У"
Отсюда сразу следует, что спектр простой цепи Рп состоит из чисел
2cos n+i l (i==z !» •••» n)-
8°. Полный многодольный граф Knlt ..,nk> где пг = п2 = ... =
= nk = nlk (п — число вершин), является дополнительным графом
прямой суммы k полных графов, каждый из которых имеет nlk вершин.
Применяя теорему 2.6, получаем
Ркп/к n/k (Я) = Г~* (X + nlk -п)(% + nlk)k~\
Если числа пъ ..., nk не все одинаковы, то характеристический
многочлен графа Кп, nk может быть определен посредством производящей
функции для чисел маршрутов. Так как Knt,....nk является прямой
суммой полных графов Glf ..., Gk с nlf ..., nk вершинами
соответственно, то
Р (X) = (Х+ l)n~k П (Я - п,- + 1). (2.48)
^л,.. ..nk /==1
Формулу (1.59) также можно записать в виде
АР-(-*,-!)
/>*(*) = (- 1)" G. . (2.49)
Мт)+Х
Воспользовавшись производящей функцией Hg (t), определенной в
примере 3 § 7.5 (с. 224), на основании (2.48) и (2.49) получаем
Ч, ч <*> •- *"-* (1 - | тЙг) П <* + «,). (2-50)
76

или
м1Г...,п
n—i
(2.51)
где St (i — 1, ..., k) — элементарная симметрическая функция
степени i чисел nl9 ..., nk и S0 = 1 [Cve 9, HaKMR].
9°. Можно получить интересные графы, если рассмотреть сумму
двух простых цепей, сумму простого пути и простого цикла или
сумму двух простых циклов.
Сумма двух простых цепей, имеющих тип вершин, является
графом в виде прямоугольной решетки размера т хп (рис. 2.2). Согласно
теореме 2.23 спектр этого графа со- п
стоит из всех чисел вида t л ,
2 cos -
■ i + 2 cos -
m+ 1
(i= 1, ... , m; / =
Сумму простого цикла
•1
n+l
1 Я).
Ст и простой
цепи Рп дает граф, аналогичный
решетке на цилиндре, который может
быть получен из графа,
изображенного на рис. 2.2 (с т + 1 вершинами
вместо /п), посредством
отождествления вершин первой строки с
соответствующими вершинами последней
строки. Спектр этого графа состоит
из чисел
2cos-^-(+2cosT^r/ (i =
/77 <
Т Т т
т т Т
• ■ У Т
1 I *
1- j
1.
Рис. 2.2.
т; /=1,
п).
Сумма двух простых циклов является графом вида прямоугольной
решетки на торе.
Рассмотрим круговой тор. Окружности тора, проходящие в
плоскости, перпендикулярной к его оси, называются горизонтальными.
Вертикальные окружности определяются при разрезе тора
полуплоскостью, проходящей через его ось. Система некоторых
горизонтальных и вертикальных окружностей образует на торе прямоугольную
решетку. Вершинами графа G такой прямоугольной решетки служат
точки пересечения горизонтальных и вертикальных окружностей. Две
вершины, непосредственно соединенные дугой одной из окружностей,
считаются смежными.
Спектр описанной тороидальной решетки состоит из чисел
cos 1 + 2 cos « / (t = 1,
m:
/ = i,
n).
Если вместо суммы рассматривать сильное произведение, то
получается граф, соответствующий видоизмененной прямоугольной
решетке, в которой каждому «квадрату» принадлежат также его
«диагонали».. В этом случае спектр тоже легко определяется.
77

10°. Граф G k-мерной (конечной) решетки есть граф, вершинами
которого являются все Л-тки чисел 1, ..., м и у которого две Л-тки
смежны тогда и только тогда, когда они отличаются точно одной
координатой. При м = 2 граф G сводится к графу k-мерного единичного куба.
При k = 2 граф G представляет граф L (Кп.п)- При k = 3 получаем
кубический решетчатый граф, спектральные характеристики
которого рассмотрены в § 6.4. Граф G, очевидно, может быть представлен как
сумма Gx+ ... + Gk полных графов (G/ ^ /Сп, /= 1, ...,&)• В
действительности сумма k графов является NEP-суммой, базис которой
содержит все &-тки чисел 0,1, в которых появляется точно одна единица.
Согласно теореме 2.23 спектр суммы состоит из чисел X\it + ... + A,#fe,
где Xji — собственное значение графа Gf. Так как спектр графа Кп
известен, то легко установить, что спектр графа G состоит из всех
чисел Kf = п (k — /) — k (j = 0, 1, ..., k) с кратностями pf = L j (м —
11°. Лестница Мёбиуса Mn представляет собой граф с 2м
вершинами 1, 2, ..., 2м, в котором смежны следующие пары вершин:
(t, 1+ 1), t = l, 2, ..., 2м-1;
(1, 2п);
(i, t + n), i = 1, 2, ... , п.
Легко заметить, что Мп = Сгп (J ^2П U С*п , т. е. матрица смежности
графа Мп является циркулянтом порядка 2м, значения элементов
первой строки которого равны нулю, за исключением значений второго,
(м + 1)-го и (2м)-го столбцов, которые равны единице.
Таким образом, спектр графа Мп состоит из чисел
2я/ , 2я/ t 2я/ i
\, = е2п +(е2п )п + (е2п )*-', / = 1,. , 2«,
т. е.
^ = 2cos^-/ + (-iy, /=1, ..., 2м.
12°. Естественным образом возникают графы в теории кодов,
исправляющих ошибки [Cve 3]. Один из таких графов обозначим через
Gnbi. Вершинам этого графа поставлено во взаимно-однозначное
соответствие множество всех м-ок (х19 ..., хп), xf = 1, ..., ft, /= 1, ..., м.
Две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им
м-ки различаются не менее чем одной и не более чем 2/ координатами.
Граф Gnbi равен ^-сумме м-копий полного графа Кь, где %> = {1,...
..., 21]. Как уже было доказано, собственными значениями графа Кь
являются Хх = Ь — 1, Х2 = Х3 = ... = Хь = —1.
Пусть J] %t ... Xia — симметрическая функция, равная сумме
всех возможных произведений fc-множителей переменных Xilt ..., Xt ж
причем каждый из индексов ilf ..., in принимает любое из значений
78

1, ..., b. Согласно теореме 2.23 спектр графа Gnbi
Л< - §Ч + 2>.Ч, + ■ • • + „„£,,К ■ ■ ■ Ч,- (2-52)
Это выражение симметрично относительно переменных \, ..., A,fft,
следовательно, значение спектра Л/, 1п определяется лишь тем, какое
число величин Xit, ..., Xi равно —1 и сколько из них равно Ь— 1.
Обозначим через Af (/ = 0, 1, ..., п) те значения Л^ ,п, для
которых / величин Xit,... Д/ равны —1 им — / этих величин равны Ь — 1.
Тогда алгебраической кратностью собственного значения Af являет-
ся р, =(j?) (b-l)1.
Завершим изложение рассмотрением для / = 1. В этом случае
Ait,...iin = ^, + • ' • + hin + htha + ^,/Л'з + • • • + ^in-i^in-
Для Af получаем
К+ '•• +bin = f{-l) + {n-f)(b-\) = nb-bf-n.
Кроме того, среди произведений Xi(l Xia имеется ( 9 J произведений
со значением (—1) • (—1)=1,/(л — /) произведений со значением
(п~ А
(— 1) • (6 — 1) = 1 — b и I 9 ] произведений со значением (Ь — I)2.
Следовательно,
A/ = n6-6/-Ai + (Q + f(n-/)(l--6) + (Al~f)(^l)2 =
= -у^2 lTbf(2nb-2n-b + 4) + (b-l)n +
+ ^n{n-\){b-\f. (2.53)
В отдельных случаях величины Л^ с различными индексами могут
быть равны. Максимальное значение Л0 = (Ь — 1) п + ( ) (Ь — I)2 всегда
простое и равно порядку графа Gnbi.
В общем случае значение симметрической функции 2 *"а " * *
• • • Xlak равно коэффициенту при члене (— 1)V1"* в многочлене
...?..4--^=(-,,*S0Ut-,-)"-6»*-№-
79
т. е.

Таким образом, спектр графа йпы определяется формулой
2/ п—k
^s<-'>«i(!)(„:*i,>-*>*-w <"«>
(/ = О, 1, ..., п), где pf = ( - \{b— l)f —кратность величины Ah
§ 2.7. Другие результаты и задачи
1. Доказать, что соотношение (2.7) справедливо тогда и только
тогда, когда G — регулярный граф.
(Цветкович [Cve 9])
2. Если спектр графа Gx содержит собственное значение X с
кратностью р (р > 1), то спектр полного произведения Gx V G2 гРа"
>г о 1 л—7 п фа Gt с произвольным графом G2
, ш т ♦ # # 9 , содержит К в качестве собствен-
•7 ного значения с кратностью q ^
77 >Р — 1.
>» f -f # # # я77 <^* (Цветкович [Cve 9])
м/# # * *^* **' ^сли ^ — регулярный граф
*V7 степени г с п вершинами и собст-
рис 2 3 венными значениями ^ = гД2» • ••
..., Яп, то [Nos 1]
г — п < Л, < я — 2 — г, / = 2, 3, ... , п. (2.55)
Доказательство. Согласно теореме 2.6 собственными
значениями графа G являются —Kt — 1 (i = 2, 3, ..., п) и п — 1 — г
(степень графа G). Таким образом,
— (п— 1 — г)^ —Я,— 1<л — 1— г,
откуда следует (2.55).
Заметим, что для г > (п — 1)/2 длина интервала (г — я, я — 2 —
— г) меньше длины интервала (—г, г).
4. Спектр графа Zn (рис. 2.3), имеющего п + 2 вершин, состоит из
2i JL j
чисел 2 cos 2rlT 2ЗХ> * ^ 0» 1» •••> п> и числа 0. Спектр графа Wnf
имеющего я + 4 вершин, является объединением спектра простого цикла
С4 и простой цепи Рп (обратить внимание на кратность собственных
значений).
(См. [CoSi 1, GuT 7, CvGT 31)
5. Если Gitk — граф, полученный в результате введения k — 1
новых вершин на каждом ребре звезды Ки, и Hk — граф,
полученный из k копий графа /Ci,2 и изолированной вершины х в результате
соединения ребрами вершины х со всеми вершинами степени 1
указанных графов, то [CoSi 1]
PHk(K) = <S>tl(№*-2kW)9
80

где Фк — характеристический многочлен простой цепи Pk с k
вершинами, определенный в § 2.6. Первый результат был обобщен в
работе [MoW 5].
6. Пусть х — вершина графа G. Подграф графа G, полученный в
результате удаления вершины х из графа G, обозначим Н. Пусть,
далее, G„ — граф, полученный из G и простой цепи Рп с п вершинами
посредством соединения ребром вершины х с вершинами степени 1
простой цепи Рп. И, наконец, пусть гп — наибольшее собственное
значение графа Gn. Кроме того, будем предполагать, что lim гл> 2. Тог-
да lim гп равен наибольшему положительному корню выражения
П-*-\-оо
^{Х + |Я^=1) PG (X) - Рн (X).
(Хоффман [Hof 131)
7. Доказать, что лестница Мёбиуса Мп, п s 1 (mod 2), может быть
представлена как NEP-сумма с базисом 3$ = {(0, 1), (1, 1)} графов
Сп и К2-
8. Применяя теорему 2.12 к простой цепи Рт доказать, что для
многочлена Чебышева второго рода Un (х) справедливо соотношение
Un (х) = Uk (х) Un-k (х) - Uk^x (х) Un-k-i (*), £ = 1, ...,л-1.
9. Пусть uv — ребро, концевыми точками которого являются
вершины и и v. Пусть, далее, для графа G G (и) и G (uv) означают
множества всех простых циклов Z, содержащих соответственно и и uv.
Тогда
PG (X) = XPg-v (X) - V PG_„_„, (X) - 2 V pG_T(Z) (x)f
u'-v Z^£(v)
Pg (X) = Pa-*, (X) - Pq-u-v (X)-2 £ Pg-^Z) (X),
Z£fi<uv)
где G — V (Z) — граф, полученный из G в результате удаления
вершин, принадлежащих Z (в первой сумме первой формулы
суммирование производится по всем вершинам и\ смежным с вершиной с/).
(Швенк [Schw 31)
10. Доказать или опровергнуть, что минимум наименьшего
собственного значения графа Кпх nk (пг + ... + nk = п) достигается при
п— ь + 1
+ 1, п% =
п-
+ 1, Л, = /14= ... =Л*= 1,
если п ^ 3k — 4, и при nY = п — k + 1, /г2 = п3 = ... = nfe = 1,
если п ^ 3k — 4.
(Дуб)
11. Пусть 6г — множество всех графов, индекс которых не более 2.
В работе [CvG 3] определен спектр каждого графа из &. Все
собственные значения имеют вид 2 cos — я, где р и q — целые числа (q Ф 0)>
и обратно — каждое число этого вида является собственным
значением графа из У.
81

X
12. Если G — граф с индексом р = \1% то р ^ 2 (р < 2) тогда и
только тогда, когда каждая компонента графа G является подграфом
Собственным подграфом) одного из графов, изображенных на рис. 2.4,
индексы которых равны 2.
(Смит lSm,J])
13. Среди всех связных графов с п вершинами простая цепь имеет
наименьший индекс, который равен 2 cos , t (см. п. 7° в § 2.6).
(Коллац [Col 1] (см. также [CoSi 11); Ловас и Пеликан [LoPe])
14. Внутренняя простая цепь графа G представляет собой
последовательность различных вершин хи ..., хк (за исключением, возможно,
xi — xk)> причем для степеней
d (xt) вершин справедливы соот-
•i • ношения d (хг) ^ 3, d (х2) =
\ , ♦—♦—\ = ... = d (Xk-\) = 2 (кромек Ф
S ^ ф 2), d (xk) ^ 3; вершина х(
смежна с вершиной xi+\, i =
^ = 1, ..., k—\. Пусть GXiy —
• • ••?••• граф, полученный в результате
* введения новой вершины на
ребре (а:, у) графа G и г (G)
означает индекс графа G. Если (х, у) —
ребро внутренней простой цепи
графа G и Сф№п (см. рис. 2.3),
Рис. 2.4. то г (Gx,y) < г (G).
(Хоффман, Смит [HoSm])
15. Пусть G — связный граф, ff (G)—множество всех графов,
топологически эквивалентных графу G, и Gt —- граф из S (G) с
наименьшим числом вершин; г (Я) означает индекс графа Я. Определим
rT (G) = inf г (Я), rT (G) = sup г (Я).
Г. Если граф Gj имеет одну вершину, то г7 (G) = 0, если две, то
rT (G) = 2; если Gt — треугольник, то rT (G) = 2. Для любого
другого графа Gt rT(G) = в0 + 1/©о» где в0 — наименьший корень
уравнения | D (0) — А | = О, А — матрица смежности графа Gt, а
D (0)—диагональная матрица с в + 1/0 для вершин степени,
большей 1, и 0 — для вершин степени 1. Если же нет вершин степени
I, тог'(G) = r(GT).
2°. Если Gt имеет одну вершину, то rT (G) = 0; если две, то гт (G) =
= 1; если Gt — треугольник, то гт (G) = 2. Во всех других случаях
rT(G) = max(av? + оГч%
где а = -j- (d (i) — 2 + V d% (i) — 4f (i)), d (i) — степень вершины i$
f(i) — число вершин степени 1, смежных с вершиной / в Gt.
(Хоффман, Смит [HoSm])
16. Пусть А = (aijfx — матрица смежности графа G; Gl9 ..., Gn —
регулярные графы степеней соответственно rlf ..., гп, имеющие mlf ...
82

..., тп вершин. Далее, пусть Н — граф, полученный из Gu ..., Gn в
результате соединения каждой вершины графа Gt с каждой вершиной
графа Gj всякий раз, когда ац = 1. Спектр графа Н содержит все
собственные значения всех графов Glf ..., Gn> за исключением rlf ..., гп.
Остальные п собственных значений графа Н являются собственными
значениями матрицы В = (&*/)?, где Ъц = ai\ml + г^ц. Это
доказано в работе [FaW 1], в которой описывается операция над графами,
названная локальным соединением. Если все графы Glf ..., Gn
изоморфны графу F, то получается лексикографическое произведение G IF]
графов G и F. При G = Кп получается упР0ИЗВеДение графов Glt ...
..., Gn [Schw 3]. Заметим, что в этом случае матрица В является
матрицей смежности переднего делителя графа Н (см. гл. 4).

ГЛАВА 3
СВЯЗИ МЕЖДУ СПЕКТРАЛЬНЫМИ
И СТРУКТУРНЫМИ СВОЙСТВАМИ ГРАФОВ
В этой главе описывается лишь часть известных связей между спектром
и структурой графов (мультиграфов, орграфов и мультиорграфов),
представляющих в сущности основную тему книги; их можно
встретить и в остальных главах.
Хорошо известно, что некоторые структурные свойства не
определяются однозначно спектром, тем не менее даже в таких случаях
можно, используя спектр, уточнить область изменения этих свойств.
В данной главе содержится много неравенств и для различных
численных характеристик (хроматического числа, диаметра и т. д.).
Во всех приведенных ниже теоремах предполагается, что заданы
либо спектр, либо собственные векторы матрицы смежности графа,
либо то и другое вместе и указан некоторый класс, к которому
принадлежит граф. Если задан спектр графа, предполагается, что известен его
характеристический многочлен, и наоборот. Предполагается также,
что рассматриваемые алгебраические и численные задачи имеют
решения. В некоторых случаях класс графов, к которому принадлежит
граф с заданным спектром, может быть определен с помощью спектра.
В дальнейшем, как обычно, будем полагать, что А — матрица
смежности,
Ра(Ь) = \М — А\ = Хп + аХ,-1+ •-. +ап (3.1)
— характеристический многочлен, a [Xlf ..., Хп] — спектр графа G.
§ 3.1. Орграфы
С самого начала будем предполагать, что в рассматриваемых
орграфах допускаются кратные ориентированные ребра и петли. Прежде
чем формулировать некоторые теоремы, отметим несколько простых
результатов.
Число вершин орграфа G равно степени п его характеристического
многочлена, т. е. числу собственных значений орграфа G. Число
ориентированных петель равно следу матрицы смежности — сумме Х± +
+ ... + К> т- е- величине —аг. Если все вершины орграфа G имеют
одно и то же число петель, то характеристический многочлен Рн (h)
$4

орграфа Я, получающегося из G в результате удаления всех его петель,
полностью определяется многочленом Ра (к): если каждая вершина
орграфа G имеет точно h ориентированных петель, то h = —ajn и
Ри (Ц = Ра (X + Л).
Если G — орграф без петель, то ни одна пара вершин орграфа G
не соединена двумя противоположно ориентированными ребрами
тогда и только тогда, когда а2 = 0. Этот результат можно легко
объяснить при рассмотрении всех главных миноров второго порядка
матрицы смежности.
Непосредственно из теоремы 1.2 следует: орграф G не содержит
контуров тогда и только тогда, когда все коэффициенты at (i = 1, ...
..., п) равны 0, т. е. тогда и только тогда, когда спектр орграфа G не
содержит отличных от нуля собственных значений (Седлачек [Sed 1]).
Согласно теореме 1.2 число замкнутых маршрутов заданной длины
k в орграфе G может быть определено посредством спектра орграфа G;
п
это число равно tr Ak = ]£ %kt.
Применяя теорему Гамильтона — Кэли, из характеристического
многочлена (3.1) выводим следующее соотношение:
An+k + aiAn+k~l + • - - + anAk = О (k = 0, 1, ...). (3.2)
При помощи теоремы 1.9 из (3.2) можно получить некоторую
информацию относительно структуры орграфа.
А теперь сформулируем несколько теорем о цикловидной
структуре орграфа G без кратных ребер. Отдельные утверждения
приводятся в дальнейшем как частные случаи этих теорем.
Длина g (G) кратчайшего контура в орграфе G (если только он
существует) называется обхватом орграфа G. Если G не имеет контуров,
то g (G) — +оо. Очевидно, каждый линейный ориентированный
подграф орграфа G с менее чем 2g вершинами, где g = g (G), необходимо
является контуром. Из теоремы 1.2 выводим
ы- £ (-i)c(L) = - S 1 <*<зд.
Таким образом, —at является числом контуров длины t,
содержащихся в G.
Теорема 3.1 (Захс [Sac 3]). Пусть G — орграф с
характеристическим многочленом (3.1) и g (G) = g. Пусть, далее, i ^ min (2g— 1, п).
Тогда число циклов длины i, содержащихся в G, равно —а£. Обхват g
орграфа G равен наименьшему индексу I, для которого at Ф 0.
Этот результат обобщается и на тот случай, когда можно
определить число контуров длины i для некоторого i>2g — 1. Введем
новое понятие: d-обхват орграфа. Для произвольного целого числа d >
> 1 d-обхват gd (G) орграфа G определяется как длина кратчайшего
контура среди тех контуров, длины которых не делятся на d. Если же
таких контуров нет, то gd (G) = +оо.
Теорема 3.2 (Захс [Sac 3]). Если G — орграф с
характеристическим многочленом (3.1), g (G) = gf gd (G) = gd и, кроме того, i ^
85

^ min (g + gd — 1, я), i ф 0 (mod d), mo «шсло контуров длины i,
содержащихся в G, равно —at; d-обхват gd орграфа G равен
наименьшему индексу, не делящемуся на d, для которого at фО.
Замечание. Если g не делится на d, то, очевидно, gd = gu теорема
3.2 утверждает меньше, чем теорема 3.1. В противном случае, когда d
является множителем в g, разумеется, gd > g. Если же gd > g + 1,
теорема 3.2 дает новую информацию, которую нельзя получить из
теоремы 3.1.
Пример. Пусть g = 9, g9 = 15, gs = 20. Теорема 3.1 дает числа
контуров длины с для с^ 17. При d = 9 теорема 3.2 дает эти числа
дополнительно для с = 19, 20, 21, 22, 23, а при d = 3 — также и для
с = 25, 26, 28.
При d = 2 получаем
Следствие. Длина g2 кратчайшего контура нечетной длины в G
равна индексу первого отличного от нуля коэффициента среди аъ а3>
а5, ...; число кратчайших контуров нечетной длины равно —agt.
Доказательство теоремы 3.2. Пусть i ^ min (g +
+ Sd — 1» п)> i Ф® (mod d). Тогда каждый линейный
ориентированный подграф вСс/ вершинами необходимо является контуром. Как и
в приведенных выше рассуждениях,
в,- S (-i)c(L) = - 2 1.
L**l CiCG
что и завершает доказательство.
Из следствия теоремы 3.2 можно легко вывести следующую
теорему.
Теорема 3.3 (Захс [Sac 3]). Орграф G не имеет контуров нечетной
длины тогда и только тогда, когда его характеристический моногочлен
имеет вид
PG (К) = Г + аХ~* + ajTA + • • • = W • Q (Я1),
где Q — многочлен, а р = 0 при четном п и р = 1 в других случаях.
Нетрудно доказать также такую теорему.
Теорема 3.4. Сильно связный орграф G с наибольшим собственным
значением г не имеет контуров нечетной длины тогда и только тогда,
когда —г также является собственным значением орграфа G.
Доказательство. Если G не имеет контуров нечетной
длины, то тогда согласно теореме 3.3 —г также является собственным
значением графа G.
Обратно, если —г принадлежит спектру орграфа G, то матрица
смежности орграфа G импримитивна. В этом случае согласно теореме
0.3 индекс импримитивности п может быть лишь четным числом и
существует матрица перестановки Р такая, что РАР~1 имеет бид (0.1).
А так как h — четное, то G, очевидно, не содержит контуров нечетной
длины, что и доказывает теорему.
Орграф G назовем циклически k-дольным, если множество его
вершин X может быть разбито на непустые взаимно непересекающиеся
множества Хи ..., Xk таким образом, что если (*, у) (х £ $i, У € ^/) —
86

дуга орграфа G, то / — i = 1 (mod k). Заметим, что циклически k-
дольный орграф является также циклически /-дольным, если k
делится на /. Матрица смежности циклически Л-дольного орграфа имеет вид
(0.1). Следуя [DuMe], можно сформулировать такую теорему.
Теорема 3.5. Характеристический многочлен циклически k-дольно-
го орграфа G имеет вид
PG(X) = XP .Q(X% (3.3)
где Q — нормализованный многочлен, Q (0) Ф 0, ар —
неотрицательное целое число.
Если G — сильно связный орграф, характеристический многочлен
которого имеет вид (3.3), то G — циклически k-дольный орграф.
Следующая теорема взята непосредственно из теории матриц (см.,
например, [Гант], с. 362).
Теорема 3.6. Пусть dT, ..., *С a dt, ..., dt — полустепени
соответственно захода и исхода вершин орграфа G. Тогда для индекса г
орграфа G справедливы следующие неравенства:
min dr < г ^ max dT\ (3.4)
min dt ^ r ^ max df. (3.5)
Если G сильно связен, то равенство в правой или левой части
неравенства (3.4) (или (3.5)) справедливо тогда и только тогда, когда все
величины dr, ..., cfc (или dt, ..., dt) равны.
Теорема 3.7 (Хоффман, Мак-Эндрю [НоМс]). Для орграфа G с
матрицей смежности А справедливы следующие утверждения:
1) существует многочлен Р (х) такой, что равенство
J = P(A) (3.6)
имеет место тогда и только тогда, когда граф G сильно связен и
регулярен;
2) единственным многочленом Р (х) наименьшей степени, для
которого выполняется (3.6), является nS (x)/S (d), где (х — d) S (х) —
минимальный многочлен матрицы A, a d — степень орграфа G;
3) если Р (х) — многочлен наименьшей степени, для которого
выполняется (3.6), то степень орграфа G является наибольшим
действительным корнем уравнения Р (х) = п.
Доказател ьство. Предположим, что (3.6) справедливо.
Пусть t, / — различные вершины орграфа G. На основании (3.6)
существует некоторое целое число k такое, что значение (t, /)-элемента
матрицы Ak положительно, т. е. имеется некоторый маршрут длины k
из i в у. Таким образом, G — сильно связный орграф. Далее, из (3.6)
следует, что J перестановочна с А. Пусть eti df — полустепени исхода
и захода вершины i и вершины / соответственно. Теперь значением
(t, /)-элемента матрицы AJ является еь a df — значение (t, /)-элемента
матрицы J А. Поэтому е{ = d, для всех i и / и орграф G регулярен, т. е.
все строчные и столбцовые суммы матрицы А равны (при этом не
требуется, чтобы матрица А была симметрической).
87

Для доказательства обратного утверждения предположим, что
орграф G сильно связен и регулярен. Из свойства регулярности графа
следует, что и = (1, 1, ..., 1)т — собственный вектор как матрицы Л,
так и матрицы Лт, соответствующий собственному значению d.
Поэтому, если кратность d больше единицы, то ему должен соответствовать
по крайней мере еще один собственный вектор. Однако из-за сильной
связности и является единственным собственным вектором,
соответствующим d. Отсюда следует, что если R (х) — минимальный
многочлен матрицы Л, a S (х) = R (х)1(х — d), то S (d) Ф 0. Тогда
О = R (А) = (А — dl) S (А). (3.7)
Если о — нулевой вектор, то, поскольку R (A) v — о для всех
векторов v, из (3.7) следует, что
(A — dI)S(A)v = o,
поэтому S (A) v = аи для некоторого а.
Пусть (и, v) — скалярное произведение векторов и и г. Если и
и v таковы, что (v, и) = 0, то (Akv, и) = (v, (A )ku) = dk (v, и) = 0
для каждого k и, таким образом, (S (A) v9 и) = 0. Поэтому 0 =
= (S (А) у, и) = (aw, и) = па, т. е. a = 0.
Таким образом, S (A) v = о для всех v таких, что (v, и) — 0; далее,
S (А) и = S (d) и. Следовательно, nS (A)/S (d) = J, т. е. (3.6)
выполняется для
pW = -sW"SW' (3'8)
Это завершает доказательство утверждения 1; часть 2 следует кз того,
что степень многочлена (3.8) меньше степени минимального
многочлена матрицы А. Чтобы доказать 3, заметим, что А — неотрицательная
матрица, все строчные и столбцовые суммы которой равны d. Таким
образом, все собственные значения матрицы А по абсолютной величине
не больше d. Корни многочлена Р (х) являются собственными
значениями матрицы Л, и, следовательно, для действительного х > d | Р (л:) |
является возрастающей функцией по х. Из (3.8) следует, что Р (d) =
= п, и поэтому, поскольку Р (х) — действительный многочлен,
Р (х) > п для х > d.
Это завершает доказательство теоремы 3.7.
Заметим, что многочлен (3.8) называется соответствующим
орграфу G, и будем говорить, что орграф G соответствует многочлену (3.8).
Некоторые нерегулярные графы могут иметь многочлены с
подобными свойствами [Bri 1].
§ 3.2. Графы
Если мультиграф Н имеет симметрическую матрицу смежности А
с четными значениями диагональных элементов, то матрицу А можно
интерпретировать как матрицу смежности неориентированного графа
(мультиграфа) G. В этом смысле к графам могут быть применены
результаты § 3.1.
88

Собственные значения графа являются действительными числами,
которые можно упорядочить таким образом, чтобы последовательность
Xlf ... Дп была убывающей. В дальнейшем всегда будет использоваться
указанное соглашение.
Далее рассматриваются только неориентированные графы без
кратных ребер и петель.
Следующая теорема может быть доказана с привлечением
рассуждений непосредственно из теории матриц.
Теорема 3.8 (Коллац, Синоговиц [CoSi 1]). Если d — среднее
значение валентности, а г — наибольшее собственное значение графа G,
то
d<r, (3.9)
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда граф G
регулярен.
Доказательство. Поскольку, как известно, матрица
смежности А = (aiifl графа G эрмитова, то задача нахождения
максимального значения отношения Релея
п п
S S аих<х1
R = ±±!=l (ЗЛО)
1=1
(х( — произвольные действительные числа, не равные одновременно
нулю) имеет решение R = г. Максимум достигается тогда и только
тогда, когда xt (i = 1, ..., п) являются координатами собственного
вектора матрицы А, соответствующего г.
Если в (3.10) положить xL = 1 (I = 1, ..., n)t то
п i=i
п
где di = Yi аи — валентность вершины i. Таким образом, 3—частное
значение отношения Релея, что доказывает (3.9).
Для регулярных графов равенство в выражении (3.9) достигается,
так как в этом случае наибольшее собственное значение графа G
совпадает с его степенью. Обратно, пусть справедливо равенство (3.9).
Тогда значения х{ = 1 (i = 1, ..., п) образуют собственный вектор
п
матрицы А, соответствующий г, и из $] ацх^ = rxt (i = 1, ..., п) сле-
/«I
п
дует d{ = $] ац = r (i = 1, ..., п). Поэтому граф G регулярен. Это и
/=i
завершает доказательство теоремы.
Применяя к графам теорему 3.6 и используя теорему 3.8, получаем
неравенства
"max»
89

где dmin и dmax — соответственно минимальное и максимальное
значения валентностей в G.
Рассмотрим еще несколько предложений, устанавливающих связь
между коэффициентами аь многочлена Pg (к) и некоторыми
структурными свойствами графа G. Благодаря отсутствию петель всегда аг = 0.
Число замкнутых маршрутов длины 2 равно, очевидно, удвоенному
числу ребер /л, поэтому т = -~- 2 ^- Аналогичным образом может
быть найдена и формула t = -А- 2 ^ для числа / треугольников. Из
теоремы 1.3 получается т = —а2и / = —х~аз- Согласно этой же
теореме коэффициент я4 равен числу пар несмежных ребер без удвоенного
числа простых циклов С4 длины 4, содержащихся в G. Аналогичным
образом находим, что коэффициент аъ равен удвоенному числу фигур,
состоящих из треугольника и ребра (они не имеют общих элементов)
без удвоенного числа простых циклов С5 длины 5. Этот результат
приведен в работе [CoSi 1].
Интересный результат для коэффициентов характеристического
многочлена можно получить из формулы (1.36). Для / = п 1-факторы
графа G представляют один тип базисных фигур. Вклад 1-фактора в
ап равен либо 1, либо —1, в то время как вклад других базисных
фигур составляет четное число. Следовательно, число 1-факторов
графа G сравнимо с ап по модулю 2. Если ап нечетное, то существует по
крайней мере один 1-фактор.
Если G — лес, то, очевидно, число 1-факторов равно | ап |; ап =
= (—1)"/2, если имеется 1-фактор, и ап = 0 в противном случае *.
Для доказательства следующей теоремы потребуется простая
лемма, которую приведем без доказательства. Как лемма 3.1, так и
теорема 3.9 будут использоваться в § 7.7.
Лемма З.Ь Пусть alt ..., ak — действительные числа иг, s (г —
четное, г < s) — неотрицательные целые числа. Тогда для а > О
справедлива следующая импликация:
Равгнство с правой стороны импликации имеет место тогда и только
тогда, когда абсолютное значение точно одного из кванторов alt ...
..., ak равно а, а все остальные кванторы равны нулю. Из строгого
неравенства с левой стороны следует строгое неравенство с правой
стороны импликации.
Теорема 3.9 (Нозаль [Nos 1]). Если \%и ..., %п] —спектр графа G,
то из неравенства
X2i>Xl + ti+ ••• +Ji„ (3.11)
следует, что G содержит по крайней мере один треугольник.
* Из (1.35) следует: число ориентированных 1-факторов (линейных
направленных подграфов с п вершинами) любого орграфа G не меньше \ап\.
90

Доказательство. Согласно лемме (3.1) из (3.11) получаем
<tf.
Тогда число треугольников
t = Т Х* + *6~ £ *' ^ "6" ^ ~"б"
t=2
>о,
что и завершает доказательство.
п
Так как 2 ^ = 2т, где /л — число ребер графа G, то справедливо
«=1
Следствие. Если кг > }Лп, mo G содержит по крайней мере
один треугольник.
Следствие теоремы 3.2 может быть переформулировано для
неориентированных графов следующим образом. Наряду с графом G
рассмотрим орграф Я, который имеет такую же матрицу смежности, как
и G. Каждому кратчайшему простому циклу нечетной длины графа G
соответствует в точности два кратчайших цикла нечетной длины (с
противоположной ориентацией) орграфа Я, и, следовательно, число
кратчайших простых циклов нечетной длины графа G равно половине
числа кратчайших контуров нечетной длины Я. Таким образом,
доказана
Теорема 3.10 * (Захс [Sac 3]). Пусть G — граф с
характеристическим многочленом (3.1). Тогда длина f кратчайшего простого цикла
нечетной длины в G равна индексу первого не равного нулю
коэффициента среди аъ а3, а5, ... Число кратчайших простых циклов нечетной
длины равно —о" af-
Из этой теоремы немедленно следует
Теорема 3.11 *. Граф, содержащий по крайней мере одно ребро,
является двудольным тогда и только тогда, когда его спектр,
рассматриваемый как множество точек действительной оси, симметричен по
отношению к нулевой точке.
Теорема 3.11 является одной из наиболее известных теорем,
устанавливающих очевидную тесную связь между структурой и спектром
графов. По-видимому, важность этой теоремы впервые была
отмечена в химической литературе Коулсоном и Рашбруком fCoRu] (химики
обычно называют ее «теоремой парности»). Полностью эта теорема
была доказана Захсом [Sac 7] в форме теоремы 3.3.
Интересно отметить, что теорема 3.11 неоднократно
переоткрывалась. Различные варианты можно найти в работах [CoSi 1, Hof 3, Cve 1,
CoLo, Rou 1, Mari, Sac 3].
Характеризация связного двудольного графа возможна также с
помощью теоремы 3.4.
Теоремы 3.10 и 3.11 справедливы также для мультиграфов.
91

Рассмотрим задачу определения обхвата графа. Как и в случае
орграфа, обхват графа G — это длина кратчайшего из простых циклов
этого графа.
Если попытаться сформулировать теорему для графов, подобную
теореме 3.1, то возникнут следующие трудности. Наряду с графом G
рассмотрим орграф Я, который имеет ту же матрицу смежности, что и
G. Если граф G содержит по крайней мере одно ребро, то g (Я) = 2,
тогда как g (G) при этом может быть сколь угодно большим. Поэтому
обхваты графов G и Я не связаны друг с другом. Однако легко
убедиться вот в чем. При i < g (G) базисная фигура существует лишь для
четного i — 2q и каждая базисная фигура Uiq состоит из q несмежных
ребер, так что р (U2q) — que (£/2?) = 0. Следовательно,
( 0 для нечетного /
где Ьд — число базисных фигур, состоящих в точности из q
несмежных ребер.
Для i — g (G) базисные фигуры могут быть либо фигурами
описанного выше вида (состоящими из несмежных ребер и лишь для
четных /), либо это могут быть простые циклы длины g (G). Во втором
случае вклад каждой такой базисной фигуры в а{ равен —2. Если
J at для нечетных i,
йс ~~\at — (— 1)д bq для i = 2q,
то at = 0 для i < g (G) и — ag(G) равно удвоенному числу простых
циклов длины g(G).
Итак, получен следующий результат.
Теорема 3.12 (Захс [Sac 3]). Пусть G — граф (мультиграф) с
характеристическим многочленом (3.1) и bq — число базисных фигур,
состоящих из q несмежных ребер. Пусть, далее,
at для нечетных i
ui \ai — (—\)qbq для i=2q.
Тогда g (G) равен индексу первого отличного от нуля числа среди аъ
а2У ..., а число простых циклов длины g (G) равно —к %G).
(Для регулярных графов см. также теоремы 3.26 и 3.27.)
Так как матрица смежности А графа является симметрической,
можно на основе спектра определить ее минимальный многочлен.
Если, как известно, (Я(1), ..., Х{т)) — множество всех различных
собственных значений матрицы А, то соответствующий минимальный многочлен
Ф(А,) = (А,— Xil)) ... (X — 1{т)).
Пусть ф (к) = Хт + 61Jim""1 + • • • + bm. Тогда справедливо
соотношение
Am+k + bxAm+k"x + • • • + bmAm = 0 (k = 0, 1, ...). (3.12)
92

Используя его, можно доказать следующую теорему ([Nos 1, Cve 9];
см. также, например, [MaMi, с. 123]).
Теорема 3.13. Если связный граф G имеет точно т различных
собственных значений, то его диаметр D удовлетворяет неравенству D ^
</л— 1.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна.
Тогда для некоторого связного графа G имеем D = s ^ т. Из опре-
(Ь)
деления диаметра следует, что для некоторых t и / элементы ссц из
i-й строки и /-го столбца матрицы Ak (k = 1, 2, ...) равны нулю при
k < s, тогда как af/ = 0.
Положим в (3.12) k = s — т. Используя определенное таким
образом соотношение, из aft ф 0 (k = 1, ..., s— 1) выводим af/ = 0,
что противоречит предположению.
Это и завершает доказательство теоремы.
Число внутренней устойчивости a (G) графа G определяется как
наибольшее число вершин, которые могут быть выбраны в G таким
образом, что ни одна пара из них не соединена ребром в G.
Теорема 3.14 (Цветкович [Cve 9, Cve 12]). Число внутренней
устойчивости a (G) графа G удовлетворяет неравенству
a (G)^p0 +mm (р-, р+)9 (3.13)
где р__, р0, р+ — соответственно числа собственных значений графа G,
меньших нуля, равных нулю и больших нуля. Существуют графы, для
которых в (3.13) имеет место равенство.
Доказательство. Пусть s = р0 + min (/?__, р+).
Предположим, что существует граф G, для которого a (G) > s. Тогда
существует порожденный подграф графа G с a (G) вершинами, не содержащий
ребер. Отсюда следует, что главная подматрица порядка a (G) матрицы
смежности графа G является нулевой матрицей. А так как все
собственные значения нулевой матрицы равны нулю, то теорема 0.10 для
собственных значений Хи ..., Хп графа G дает неравенства
К > 0, Xn-a(G)+i < 0 (i = 1, . .. , a (G)).
Однако это противоречит предположению a (G) > s. Поэтому (3.13)
справедливо.
Равенство в (3.13) имеет место, например, для полных графов. Это
и завершает доказательство теоремы 3.14.
Частный случай данного результата отмечен в работе 1Вах 1]. В
этой сгатье рассматриваются матрицы смежности несколько иного
строения.
Теорема 3.15 (см. [Cve 9, Cve 12, AmHa, Hof 16]). Пусть pZ\t /?_i
и pt.\ означают числа собственных значений графа G, которые меньше
—1, равны —1 и больше —1; X* означает наименьшее собственное
значение, большее —1. Пусть, далее, р = р~\ + р-\ + 1 и s = min (р,
pti + р-\, г+ 1), где г — индекс (максимальное собственное
значение) графа G, и
|0, если Х*^р — 1,
~~ \ 1, если Х*>р— 1.
93

Если К (G) означает максимальное число вершин в полном подграфе
графа G, то
( s, если s<P,
/C(G)< (3.14)
v ' ^ I s — а, если s = p.
Существуют графы, для которых равенство в (3.14) достигается.
Доказательство. Если G содержит полный подграф с k
вершинами, то из теоремы 0.10, как и при доказательстве теоремы 3.14,
получаются следующие неравенства:
K-k+l ^k — 1 ^ Хх = г,
Л„_^< — 1 <Я, (i = 2,..., k).
Наибольшее значение k, удовлетворяющее этим неравенствам, дается
выражением в правой части неравенства (3.14). Равенство в (3.14)
достигается, например, для полных многодольных графов. Это и
завершает доказательство теоремы 3.15.
В статье [Лих 1] автор наряду с другими вопросами исследует
связь между спектром графа и наибольшим числом вершин в полном
подграфе. Доказательство результатов, приведенных в этой работе,
насколько нам известно, еще не публиковалось.
А теперь обсудим соотношение между спектром графа и его
хроматическим числом. Представляется удивительным, что некоторая
информация о хроматическом числе — величине, определение которой
в общем случае сопряжено со значительными трудностями,— может
быть получена на основе спектра. Для отдельных специальных
классов графов хроматическое число может быть даже точно вычислено из
спектра, например для бихроматических графов (см. теорему 3.11),
для регулярных графов степени п — 3, где п — число вершин (см.
§ 3.6). Однако в большинстве случаев удается получить лишь
некоторые неравенства для хроматического числа. Вообще говоря, эти
неравенства довольно грубы, но для каждого из них можно указать графы,
для которых неравенство дает хорошую (верхнюю или нижнюю)
оценку хроматического числа. Поэтому все известные оценки могут быть
применены к данному графу, а затем из них следует выбрать
наилучшую.
В общем случае хроматическое число не определяется спектром.
Более того, Хоффман доказал, что в определенном смысле имеется
существенное несоответствие между спектром и хроматическим числом
графа (см. § 6.1).
Перейдем к изложению некоторых теорем, относящихся к
рассматриваемой теме. Начнем с теоремы, принадлежащей Уилфу.
Теорема 3.16 (Уилф [Wil 2]). Пусть X (G) — хроматическое число,
а г — индекс (равный максимальному собственному значению)
связного графа G. Тогда
X(G)<r + 1. (3.15)
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда G — полный граф
или простой цикл нечетной длины.
94

Доказательство. Пусть dm\n (Я) и dmax (Я) означают
наименьшую и наибольшую степень вершины в графе Я и пусть Х± (Я) —
индекс графа Я. Поскольку X (G) — хроматическое число графа G,,
то существует порожденный подграф Я графа G, для которого
dmin (Я ^ X (G) — 1. Из теорем 0.6 и 3.8 получаем
Хг (G) > ^ (Я) > dmin (Я) > X (G) - 1, (3.16)
а, значит, и (3.15). Пусть в (3.15), а следовательно, и в (3.16) имеет
место равенство. Тогда из Хг (G) = Хг (Я) следует G = Н, так как G
связен. Далее, Хх (G) = dmin (G), откуда следует по теореме 3.8, что G
регулярен. Значит, X (G) = 1 + г = 1 + dmax (G). Из известной
теоремы Брукса (см., например, [Sac 9]) следует теперь, что G — либо
полный граф, либо простой цикл нечетной длины. Это и завершает
доказательство.
Прежде чем перейти к обобщению этой теоремы, введем несколько
определений.
Граф G называется k-вырожденным для некоторого целого
неотрицательного kt если dmin (Я) ^ k для каждого порожденного подграфа
Я графа G. Число вершинного разбиения pk (G) графа G есть наименьшее
число множеств, на которые может быть разбито множество вершин
графа G так, что каждое такое множество при этом порождает
^-вырожденный подграф графа G. Так как 0-вырожденные графы — это
в точности вполне несвязные графы, то р0 (G) — хроматическое число
графа G. рх (G) называется вершинной древесностью графа G,
поскольку 1-вырожденные графы являются лесами.
Можно доказать (см. [LiWh]), что каждый граф G содержит
порожденный подграф Я с dmin (Я) ^ (k + 1) (pk (G) — 1). На этой основе
совершенно аналогично тому, как это было сделано в предыдущем
случае, может быть доказана следующая теорема [Lick] (для частного
случая k = 1 см. также [Mite]).
Теорема 3.17 (Лик [Lick]). Для любого графа G с индексом г и любо-
го неотрицательного целого k
Pk(G)^l + [T^rr\.
Для доказательства следующей теоремы приведем без
доказательства лемму; как лемма, так и теорема доказаны в работе [Hof 16].
Лемма 3.2. Пусть А — действительная симметрическая
матрица порядка п и 9Х U ... \)9t (t^ 2) — разбиение множества (1, ...
..., п) на непустые подмножества. Akk означает подматрицу
матрицы А с индексами строк и столбцов из (f\. Тогда, если 0 ^ ik ^ | ifk |,.
k= 1, ..., U
t—\ t
llt+lt+.. .+, +1 (А) + £ Хп_1+1 (А) < s V1 (л**)> <317>
где Xt (X)t i = 1, 2, ..., — собственные значения матрицы X в
убывающем порядке.
Теорема 3.18 (Хоффман [Hof 16]). Если г(гф0) и q — наибольшее
и наименьшее собственные значения графа G, то его хроматическое*
95

число X (G) удовлетворяет неравенству
Х(°)>-=7+1- (3.18)
Доказательство. Пусть X (G) = t и вершины графа G
помечены числами 1, ..., п. Тогда существует разбиение 6^i U ••• U
U Vt такое, что каждый подграф графа G, порожденный
подмножеством i?h не содержит ребер. При ik = 0 (k = 1, ..., /) из (3.17) для
собственных значений Хг = г, А,2, ..., Хп = ^ графа G получаем
г+ ЦХя^+1<0. (3.19)
*-i
Так как $] Xn-i+i^{t — l)q, то (3.18) следует из (3.19). Это и за-
*=1
вершает доказательство теоремы.
Заметим, что из (3.19) можно получить больше информации о
хроматическом числе, чем из (3.18). Действительно, (3.19) дает границу
X(G)>1 +mmU\K + t *n^+i<oJ.
Из следующей теоремы нижняя граница для хроматического числа
получается иной.
Теорема 3.19 (Цветкович [Cve 111). Если G — граф с п вершинами,
индексом г и хроматическим числом X (G), то
Доказательство. Рассмотрим хроматический многочлен
^-полного графа Knt,...nk, который задан посредством (2.50) или (2.51).
Многочлен (2.50) имеет единственный положительный корень —
простой. Действительно, как видно из теоремы 6.7, полные многодольные
графы являются именно такими связными графами с простым
положительным собственным значением. Значит, для х > 0 Ркп ...>/7 (х) ^ 0
тогда и только тогда, когда х ^ Xv
Теперь рассмотрим значения
к
YaTTIT^ ^>°> £"< = "• (3.20)
Предположим, что nt могут принимать положительные действительные
значения. Тогда (3.20) достигает своего наибольшего значения, когда
все nt равны. Действительно, если п{ Ф nh то, предполагая, что щ =
= П} = ^ (ni + п/) и не изменяя всех других значений, приходим к
выводу, что сумма (3.20) является возрастающей. Для частного
значения X = -^— п сумма (3.20) равна 1 тогда, когда щ равны. Поэтому,
когда nt — положительные целые числа, то выражение (2.50) неотри-
93

цательно и, следовательно,
Л^-^п. (3.21)
Здесь равенство справедливо лишь в случае, когда граф регулярен.
Таким образом, доказан следующий результат.
Лемма 3.3. Индекс г графа КП1 пь удовлетворяет неравенству
k '
г^—Z— п> где п = $] ni-
(Спектры некоторых А-полных графов приводятся в приложении.)
Если X (G) = fe, то множество вершин графа G может быть
разбито на k непустых подмножеств таким образом, что порожденный
одним из этих подмножеств подграф не содержит ребер. Если
упомянутые подмножества содержат nl9 ..., nk (пх + ... + /zfe = п) вершин
соответственно, то, добавляя новые ребра к графу G, можно получить
КП1 п.. Известно (см. теорему 0.7), что индекс графа не уменьшается
при добавлении новых ребер к графу. Следовательно, индекс графа G
не больше индекса графа КПх „л. Поэтому г^-^-я, откуда
следует k ^ "зт" • Тем самым теорема доказана.
Следующая теорема Хоффмана и Хоувза устанавливает
существование другого вида верхней границы для хроматического числа.
Теорема 3.20 (Хоффман, Хоувз [НоНо]). Если т (G) — число
собственных значений графа G, не больших —1, то существует функция
f такая, что X (G) ^ f (т (G)).
Доказательство. Пусть е = е (G) — наибольшее число
такое, что G содержит 2е-множество вершин 1, ..., е, Г, ..., е' со
смежными i и Г (i = 1, ..., е) и несмежными другими парами вершин. Пусть,
далее, К (G) — максимальное число вершин в полном подграфе графа
G. Используя теорему 0.10, несложно получить неравенства К (G) ^
^ 1 + т (G), е (G) ^ т (G) (см. также теорему 3.15). Следовательно,
нужно доказать лишь, что значение X (G) ограничено некоторой
функцией, зависящей от К (G) и е (G). Установим это по индукции по К (G).
Если К (G) = 1, то X (G) = 1. Пусть для заданного графа G Gt (Gy),
i — 1, ..., е,— подграф графа G, порожденный множеством вершин,
смежных с вершиной i (i'). Так как К (Gt), К (Gy) < К (G) и е (Gt),
е (Gy) ^ е (G), то предположение индукции может быть применено и к
G( (Gy). Однако множество вершин графа G, не содержащееся в Gt или
в Gy, порождает подграф без ребер. Этого факта достаточно для
завершения доказательства теоремы.
В работе [Hof 16] было высказано предположение о том, что / (т (G)) =
= 1 + т (G). Однако, как отмечено в [НоНо], оно неверно, в чем
легко убедиться на примере С7 — дополнения простого цикла длины 7.
В [АтНа] отмечалось, что неравенство X (G) ^ р + 1, где р —
число неположительных собственных значений графа G, вероятно, может
быть справедливым. Можно показать, что справедливо по крайней
мере одно из неравенств X (G) ^ rk (G), X (G) ^ rk (G), где rk (G) —
4 3-476
97

ранг матрицы смежности графа G fNuf 21. В силу этого и некоторых
других фактов можно предположить, что X (G) ^ rk (G) справедливо
для всех графов, кроме Knt при этом равенство имеет место тогда и
только тогда, когда неизолированные вершины графа G образуют
полный многодольный граф [Nuf].
Другие границы для хроматического числа будут даны в § 3.3 и 3.6.
А теперь приведем некоторые границы для величин, связанных
с подразбиением ребер графа G. Пусть б (G) — наименьшее целое
число к, для которого существует разбиение
ill U ••■ U^ = ^, *, П*/ = 0
(I, /= 1, 2, ..., к; 1Ф1) (3.22)
множества % ребер графа G такое, что подграф Gt- графа G,
порожденный подмножеством §£, является полным графом для любого i = 1,...
..., k. Пусть е (G) — наименьшее целое число к такое, что
выполняется соотношение (3.22) и каждый G{ является полным многодольным
графом. Далее, пусть О (G) — наименьшее целое число к такое, что
вновь выполняется соотношение (3.22) и каждый Gt является полным
двудольным графом.
Теорема 3.21 (Хоффман [Hof 111). Если %ъ ..., кп — собственные
значения графа G, а р+у /?_, р — числа собственных соответственно
положительных, отрицательных и отличных от первых двух на —1
или О значений, то
/1 + 6(G)\
e(G)>/>+, 0(G)>/?__, 6(G) >-*,„, ^ 2 j>/>.
Эта теорема была доказана с помощью неравенств Куранта — Вейля
(см. теорему 2.1) и используется при доказательстве нескольких лемм,
содержащихся в § 3.6.
Что касается величин б (G) и е (G), то они, как показано в работе
[Hof 111, в определенном смысле существенно не связаны со спектром
графа, в отличие от величины О (G), которая связана со спектром
графа G более сильно.
§ 3.3. Регулярные графы
Многочисленные теоремы из теории регулярных графов не
справедливы для нерегулярных графов. Естественно, все теоремы,
содержащиеся в § 3.2, справедливы также для регулярных графов.
Начнем изложение с проблемы: каким образом с помощью спектра
графа можно решить вопрос о том, является ли заданный граф
регулярным или нет?
Теорема 3.22. Пусть Хг = г, Я2, ..., Хп — спектр графа G, а г —
его индекс. Граф G регулярен степени г тогда и только тогда, когда
4- 2 X? = г. (3.23)
98

Доказательство. Так как среднее значение d степени вер-
- 9 1 п
шины в G определяется формулой d = = — £ $ {т — число
п п i==l
ребер), то теорема 3.22 является следствием теоремы 3.8.
Эта теорема неявно содержится в работе [CoSi 1J (см. также [Cve 7]).
Ее можно легко распространить на случай, когда допускается
существование петель у некоторых вершин графа G. Если G содержит кратные
ребра или петли, то для установления регулярности может быть
использована теорема 3.33. Очевидна
Теорема 3.23. Число компонент регулярного графа равно кратности
его индекса.
Теоремы 3.22 и 3.23 в дальнейшем неоднократно используются.
Во многих теоремах от графа G требуется, чтобы он был либо
регулярным, либо регулярным и связным. Эти условия могут быть заменены
следующими: 1) спектр графа G удовлетворяет (3.23), 2) спектр графа G
удовлетворяет (3.23) и г является простым собственным значением.
Таким образом, в подобных теоремах предположения, относящиеся к
общей структуре графа, имеют, по-видимому, «неспектральный»
характер.
Теорема 3.24 (Финк [Fine]). Если z — число простых циклов С2
длины 2 в регулярном мультиграфе G степени г с п вершинами без петель,
то 4г = —2а2 — пг, где а2 — коэффициент при Хп~2 в
характеристическом многочлене мультиграфа G.
Доказательство. Пусть ац — элемент матрицы
смежности. Тогда
0| п п
I ц\ _ 1 VV 2
«</
ац • 0
2
i=i /=1
Если гц — число простых циклов С2, содержащих вершины i и /, то
4z = 4 • -~- £ S 3/ = £ 2 (ац — ац) = — 2а2 — пг.
Следствие. G не имеет кратных ребер тогда и только тогда,
когда 2а2 = —пг.
Поскольку минимальный многочлен для графов может быть
определен из спектра, то теорема 3.7 принимает теперь следующий вид.
Теорема 3.25 (Хоффман [Hof 3]). Для графа G с матрицей
смежности А существует многочлен Р (х) такой, что Р (А) = J тогда и
только тогда, когда G регулярен и связен. В этом случае
р( п(х-№) ... (х-№>)
rw (г-Л<2>) ... (,-*<">) '
где п — число вершин, г — индекс, А,(1) = /-, Х{2\ ..., Х{т) —все
различные собственные значения графа G.
4* 99

Эта важная теорема представляет большие возможности для
исследования структуры графов посредством спектров и поэтому
неоднократно используется в дальнейшем.
Перейдем к исследованию цикловидной структуры регулярных
графов, применяя при этом теорему 3.12 и результаты из работы [Sac 4].
Рассмотрим регулярный граф G. Согласно этой работе для
регулярного графа число bq (см. теорему 3.12) для q < g (G) может быть
выражено через q, число вершин п и степень г графа G. Так как пи г могут
быть определены из характеристического многочлена графа G, то
немедленно может быть получена
Теорема 3.26 (Захс [Sac 3]). Обхват g и число простых циклов
длины g регулярного графа G определяются посредством соответствующего
характеристического многочлена Pg (А,).
Теперь можно обобщить в целом теорему 3.12 на случай
регулярных графов, для чего снова воспользуемся результатом из [Sac 4].
Рассмотрим базисные фигуры Ut с i (g ^ i < 2g) вершинами,
содержащимися в G. Пусть U°i — базисные фигуры, не содержащие простых
циклов (т. е. содержащие в качестве компонент только графы /С2) и
Аь — их число. Тогда, очевидно, для нечетного i не существует
базисных фигур U°t. Для i = 2q At = bq (число bq определено в теореме
3.12), и вкладом фигуры £/? в соответствующий коэффициент (—\)1 а{
характеристического многочлена графа G является (—\)я = (—1)1/2.
Далее, рассмотрим те базисные фигуры £/?, которые содержат простой
цикл длины с. Ясно, что g^. с^. i и UCi содержит точно один простой
цикл, так как по предположению число I вершин фигуры \J\ меньше 2g.
Не принадлежащие этому циклу i — с вершин принадлежат (i — с)12
графам /С2; таким образом, с= i (mod 2). Вклад базисной фигуры \}\
в (—l)ldi согласно теореме 1.3 равен
1-е i+c
(—1) 2 (— l)c+1 -2 = 2 •(— 1) 2 .
Последняя формула справедлива также и в случае с = t, когда \]\
преобразуется в простой цикл длины i.
Определим число В\ различных базисных фигур U\ для каждого с
при g^c^i,i^c (mod 2). Пусть G имеет точно Dc простых циклов
Сс (/ = 1, ..., Dc) длины с. Если с = i9 то В] = Dti если жес< /, то
возникает такая ситуация.
Пусть Gc — подграф графа G, порожденный вершинами, не
принадлежащими простому циклу С'с. Тогда число базисных фигур Uciy
которые содержат фиксированный простой цикл С'с, очевидно, равно
числу E{tC лесов в GjCi содержащих точно (1 — с)/2 графов К2 в качестве
компонент. Согласно работе [Sac 4] число Е\щС зависит лишь от t, п,
г и с, но не зависит ни от /, ни от особенностей структуры графа G.
Следовательно, можно опустить верхний индекс / и, так как числа п и г
могут быть определены непосредственно из Pg (Я), предположить, что
100

числа EltC также выражаются через Pg (А,). Итак, для с < / имеем
°с
B°i = 2j EitG= EitCDc.
/=i
Если b (U\) — вклад базисной фигуры U{ в соответствующий
коэффициент (—\)1 at многочлена Pg (А,), то получаем
(-1)4= *>(£/?)+ S Sb(^) + Sb(t/{),
откуда для четных i
0. = (_1)Ч,< + S (-1)'+^2^,сРс-20„ (3.24)
c=0(mod2)
а для нечетных i
at = 2 (— I)"5" 2£,lCDe - 2D,. (3.25)
c=i(mod2)
Эти формулы справедливы при i <2g.
Последовательная рекуррентная процедура позволяет легко
разрешить уравнения (3.24) и (3.25) относительно Dt. Если, например,
g — четное число, то, используя теорему 3.12, из (3.25)
последовательно получаем
Dg+\ = «"flg+i.
а из (3.24) находим
Dg+2 = 2" (а2+2 ~~ 2^*+2. А)»
где согласно теореме 3.26 Dg — известное число простых циклов
длины g; далее, из (3.25) имеем
Аг+з = g" (а£+3 ~~ 2£,g+3.g+i°g+0
и т. д. Числа а/, определенные в теореме 3.12, могут быть определены,
как уже указывалось, через г, п и a/f т. е. посредством Рс (Я).
Таким образом, доказана
Теорема 3.27 (Захс [Sac 3]). Если G — регулярный граф с обхватом
g и характеристическим многочленом (3.1), h^.n —
неотрицательное целое число, не большее 2g — 1, то число простых циклов длины h,
содержащихся в G, определяется посредством максимального корня г
и первых h коэффициентов аи а2, ..., ah характеристического
многочлена графа G.
Следующая теорема устанавливает спектральные свойства
самодополнительных графов. Граф G называется самодополнительным,
если он изоморфен своему дополнению G. Самодополнительные графы
впервые исследовались Рингелем [Ring] и Захсом [Sac 1] (см. также
101

{Clap, Rea П). Если G — регулярный самодополнительный граф, то
он связен и имеет п = 4k + 1 вершин и степень г = 2k [Ring, Sac П.
Предположим, что п > 1, т. е. k ^ 1. Согласно теореме 2.6
ръ{%) = рв(к) = - „+7Л-1 р°(-ь- о,
или
Pgfr) PG(-K-\)
X — 2k ~~ — Я — 1 — 2/г *
Если %1 (i = 2, 3, ..., 4k + 1) —собственные значения графа G,
отличные от индекса Хх (т. е. Х{ Ф г = 2£), то
4АЦ-1 4£+1 4£+1
П (Я — Xt) = П (— Я — 1 — A,t) = П (I + 1 + К,).
i=2 i=2 /=2
Здесь каждому собственному значению A,t- Ф 2k соответствует другое
собственное значение Xf = —\- — 1, где Xj Ф Х{, так как в противном
случае Xt = —V2, что невозможно, поскольку Xt является
алгебраическим числом. Таким образом, Xi+i > —V2, а А,;. = Vh-* < —XU
для i = 1, 2, ..., 2fe и
Ь,+1 + U+2-i = - 1 (f = 1, 2, ... , 2fe), (3.26)
откуда вытекает
Теорема 3.28 (Захс [Sac 11). Характеристический многочлен
регулярного самодополнительного графа имеет вид
PG(X) = (X — 2k) П (% — Xi)(K + hi + l) = (X — 2k) П (Х* + Х — яс),
1=2 i=\
где ас = Х2Ш + Xt+\.
Заметим, что эта теорема также следует из теоремы 2.10 (см. также
примечание на с. 60).
Из формулы (3.26) находим Х2 < 2k — 1, так как в противном
случае мы бы получили невыполнимое соотношение X^k+{ ^ — (2k — 1) —
— 1 = —г (заметим, что самодополнительный граф с п > 4 не может
быть двудольным, поэтому L^+i > —П см. теорему 3.11).
Утверждение, обратное теореме 3.28, не имеет места, так как
существуют связные регулярные графы с 4k + 1 вершинами,
характеристический многочлен которых определяется теоремой 3.28 и
которые при этом не являются самодополнительными. Такие графы
упоминаются в гл. 6 (см. примеры пар коспектральных графов, состоящих из
графа G и его дополнения G).
Утверждение, подобное теореме 3.28, можно сформулировать и для
нерегулярных самодополнительных графов. В качестве простого
следствия теоремы 2.5 получаем следующее утверждение [Cve 8, Cve 9].
Пусть G — самодополнительный граф. Тогда каждому
собственному значению Xt кратности р > 1 графа G (если только такое
собственное значение существует) соответствует другое собственное
значение Xj, кратность которого g удовлетворяет неравенству р — 1 ^ q ^
«с: р + 1, где Хс + Xj = —1.
102

Рассмотрим некоторые теоремы, тесно связанные с понятием у-
произведения графов, введенным в § 2.2. Граф называется ^-простым,
если он не может быть представлен как у-произведение двух графов.
Теорема 3.29 (Финк, Громан [FiGr]). Если G — регулярный связный
граф степени г с п вершинами, то его можно представить как
^-произведение р + 1 (р ^ 0) у-простых графов тогда и только тогда,
когда г — п является р-кратным собственным значением графа G.
Доказательство. G можно представить как у-произве-
дение р + 1 у-простых множителей тогда и только тогда, когда G
имеет р + 1 компонент. Согласно теореме 3.23 этот случай возникает
тогда и только тогда, когда р + 1-кратным собственным значением
графа G с индексом г = п — г — 1 является число п — г — 1. В силу
теоремы 2.6 последнее утверждение эквивалентно утверждению о том,
что г — п является /7-кратным собственным значением графа G. Это и
завершает доказательство теоремы.
Данная теорема дает возможность вычислить нижнюю и верхнюю
границы для хроматического числа X (G) регулярного графа G,
который не является у-простым. Сначала рассмотрим нижнюю границу.
Очевидно, X (G, у G2) = X (Gx) + X (G2). Поэтому
X (G) > fe, (3.27)
если G может быть представлен как у-произведение k у-простых
множителей.
Пусть G — связный регулярный граф степени г с п вершинами,
п > г + 1 (полные графы в связи с этим исключаются, но это
ограничение не является существенным). Кратность собственного значения X
графа G обозначим рк. Пусть рг-п + 1 = & > 1. Согласно теореме
3.29 G может быть представлен как V-произведение k у-простых
графов, например Gv (v = 1, 2, ..., k). Каждый граф Gv регулярен со
степенью rv, и число п его вершин удовлетворяет уравнению nv — rv =
— п — г (см. § 2.2, с. 59). Предположим, что среди k у-простых
множителей графа G имеется точно тх монохроматических, т. е. вполне
несвязных графов. Для таких множителей Gv X (Gv) = 1, а для
других k — тг множителей Gv X (Gv) ^ 2. Поэтому
X (G) > тх + 2 (k — щ) = 2k— mv (3.28)
Предположим далее, что точно т2 множителей Gv — бихроматические,
т. е. двудольные графы положительной степени rv, и т = 2тг + т2.
Тогда
X (G) > тг + 2т2 + 3 (k — т1 — т2) =3k—m. (3.29)
Таким образом, всякая верхняя граница для тх или т в силу (3.28)
или (3.29) автоматически дает нижнюю границу для X (G) (возможно,
тривиальную).
Прежде чем привести метод нахождения верхней границы для тг
или т, введем два определения.
1°. Если [А,ь Х'2> ..., А,^] — спектр графа G', то семейство [X'2f
Я3, ..., Х'п>] называется укороченным спектром графа G'.
2° Если #\, ^2, ... , #\—подсемейства конечного семейства &0 и
р0 (е) — кратность (еозможно, равная нулю), с которой элемент е
103

содержится в & о (а = 0, 1,..., s), то З'ъ #"2,..., .9\ называются неза-
S
висимыми в ^0, если только }] ра (е) ^ /?0 (е) для каждого элемен-
та е семейства #"0.
Теперь согласно теореме 2.9 укороченные спектры у-простых
множителей Gv графа G составляют семейство независимых подсемейств
спектра графа G. Оценивая условия, которым должен удовлетворять
спектр вполне несвязных и регулярных двудольных графов, можно
сравнительно легко получить верхнюю границу для тг и т.
Предположим, что G* — вполне несвязный у-простой множитель
графа G. Тогда г* = 0 и п* = п — г. Укороченный спектр графа G
состоит из п — г — 1 > 0 чисел, равных нулю, поэтому нуль
содержится в спектре графа G с кратностью, не меньшей пгг (п — г — 1).
Таким образом, р0^ тх(п — г — 1) и, следовательно,
тл*£\ £*-
1
(3.30)
неравенство (3.30) тривиально, если т1 = 0. Напомним, что k =
— рг-п + 1- Тогда из (3.28) выводим
X (G) > 2/7,_п + 2
Ро
1
(3.31)
Лучшую оценку можно получить, рассмотрев возможные бихромати-
ческие у-простые множители. Обозначим через 95 множество
регулярных двудольных у-простых множителей графа G с положительными
степенями. В этом случае | 95 \ = т2. Для каждого Gv 6 95 rv^y/zv
(заметим, что регулярный двудольный граф положительной степени
имеет четное число вершин); более того, rv^ ~o~nv—1» так как
регулярный двудольный графи' сг'=уЯ; является полным двудольным
графом и, следовательно, не является у-простым. Из указанного выше
неравенства и соотношения nv — rv = п — г следует rv ^ п — г —- 2.
Произвольное подсемейство if = [\ily |л2, ... , \incp-\] спектра гра-
фа G может быть укороченным спектром регулярного двудольного у-
простого графа Gv £ 95 некоторой степени r< = i > 0 только тогда,
когда оно удовлетворяет следующим условиям.
A. п — г + 1 ^ Пер = п — г + i ^ 2 (п — г — 1).
Б. П/р — четное число.
B. — 1'я<!*/<* (/= 1, 2, ... , Пу—1).
Г. Семейство У \] Щ = [i, \лъ ц2, ... , fAr^e-i] симметрично по
отношению к нулевой точке действительной оси (jli и —\л в У \] [I) имеют
одну и ту же кратность).
Д. S V*=i(n — r).
Эти условия очевидны или являются непосредственными
следствиями теорем 3.11, 2.9, 3.22.
104

Для случаев I = 1 и I = 2 могут быть сформулированы более
сильные условия, чем те, которым должно удовлетворять if.
Случай 1 = 1. При этом компонентами графа Gv являются
только полные графы /С2.
Е\ П(о = п — г + 1 ^> 4 (так как К% не является у-простым).
Ж', (f содержит число 1 с кратностью ~Ynif— ' — 2 и
число—1 с кратностью -тт^а» = """"^— и не с°ДеРжит Других
чисел.
Случай i = 2. Компонентами графа Gv являются только
простые циклы четной длины / ^ 4. Характеристический многочлен
имеет вид
М?с)= П UL-2cos^L), (3.32)
где Ф может быть любым разбиением числа п — г + 2 на четные
числа w ^ 4, а а пробегает все элементы разбиения (см. конец § 2.1).
Е". П(л = п — г + 2 ^ 6 (так как простой цикл длины 4 не
является у-простым).
Ж", if U {2} совпадает с семейством корней уравнения /^ (К) =*
= 0 (см. (3.32)) для некоторого разбиения SP числа я — г + 2 на
четные числа w ^ 4.
Заметим, что условия В—Д — это следствия соответственно
условий Е', Ж' или Е\ Ж".
Пусть теперь S — семейство из иг + Щ ^ k независимых подсемейств
if спектра графа G, среди которых элементом в точности иг семейств
является только нуль с кратностью п — г — 1, а каждое из остальных
и2 семейств удовлетворяет указанным выше условиям для некоторого
г, такое семейство S будем называть допустимым. Имеется, в
частности, допустимое семейство S = S* (с щ = щ, и2 = г/г), которое
совпадает с семейством укороченного спектра всех моно- и бихромати-
ческих V-простых множителей графа G, поэтому щ = mlf ul = m2f
2и\ + ul = т. Следовательно, максимальное значение М
выражения 2их + иъ взятое по всем допустимым S, является верхней
границей для т и, таким образом, X (G) ^ 3k — М.
Краус и Цветкович [КгС 1] заметили, что все подлежащие
выполнению условия (в частности, условие независимости) могут быть
представлены в виде линейных неравенств, поэтому М может быть
получено как решение следующей задачи целочисленного линейного
программирования.
Пусть ifx — семейство, образованное только нулем с кратностью
п — г — 1. Определим множество [(f2, v3, ..., iff) всех различных
(не обязательно независимых) подсемейств if спектра графа G,
удовлетворяющих для некоторого i указанным выше условиям. Пусть,
далее, спектр графа G содержит различные собственные значения *Х(/)
(i = 1, 2, ..., d) с кратностями pt (рг + р% + ... + pd = п)9 а рц —
кратность в if i собственного значения А,(0. Если if, появляется в
105

точности Xf раз как элемент допустимого семейства S, то, принимая
i
во внимание указанное выше замечание, имеем хг = иъ }] х, = и2 и
/=2
х,>0 (/ = 1. 2 /); (3.33)
1] *,<*; (3.34)
S Л/*/<л 0" = 1, 2 d); (3.35)
последнее неравенство эквивалентно независимости семейств У
семейства S как подсемейств спектра графа G. Поскольку 2ut + и2 =
= 2хл + Yj */» то ясно, что максимальное значение выражения 2хх +
1
+ S */, где АГу — целые числа, удовлетворяющие условиям (3.33) —
(3.35), равно максимальному значению М выражения 2их + иг.
Итак, доказана
Теорема 3.30 (Краус, Цветкович [KjC И). Если при сделанных выше
f
предположениях М — максимальное значение выражения 2хЛ + $] хп
где Xj (j = 1 2,..., /) — целые числа, удовлетворяющие условиям (3.33) —
(3.35), то
X(G)>3fe — М, где k = pr-n+\. (3.36)
Более грубые (но легко вычислимые) нижние границы получены
Финком [Fine] и затем Краусом и Цветковичем [КгС 1].
Перейдем теперь к определению верхней границы для
хроматического числа регулярного графа, не являющегося у-простым. Пусть,
как и раньше, G — связный регулярный граф степени г с п вершинами
и собственное значение г — п входит в спектр графа G с кратностью
k — 1 ^ 0. Тогда у-простые множители графа G являются
регулярными графами Gv степени rv с nv вершинами, где rv = г— п + nv (v =
= 1, ..., k). Согласно известной теореме Брукса (см., например, [Sac9)l
X(Gv)<rv+l (v=l, .... k), (3.37)
и поэтому
k k
X (G)< S (^ + 1) = S rv + fe = fe (r + 1) — (* — 1) n. (3.38)
v=l v=l
Эта граница может быть улучшена. Равенство в (3.37) достигается
только в следующих четырех случаях: 1) rv = 0; 2) rv = 1; 3) rv = 2 и Gv
содержит компоненты с нечетным числом ребер; 4) rv ^ 3 и Gv
содержит в качестве компоненты полный граф с rv + 1 вершинами. Если
s — число графов Gv, удовлетворяющих одному из этих условий, то
k
* (G) ^ Е 'v + s.
106

А теперь выведем верхнюю границу для s. С целью упрощения
анализа предположим, что п — г — четное число. В этом случае графы
Gv, удовлетворяющие условию 2, исключаются из рассмотрения, так
как они должны иметь четное число вершин, равное п — г + 1; в
действительности же число п — г + 1 является нечетным.
Как указывалось раньше, число графов Gv, удовлетворяющих
условию 1, не больше [р0/(п — г — 1)].
Граф (?v, удовлетворяющий условию 3, не может быть связным,
так как чиоло его вершин nv = п — г + 2 четное. Это означает, что
характеристический многочлен графа Gv содержит множитель-(А, — 2)2.
Поэтому согласно теореме 2.9 характеристический многочлен графа G
содержит множитель X — 2, появление которого обязано графу Gv.
Таким образом, число таких графов Cv не больше р2.
Соответственно каждому графу Gv, удовлетворяющему условию 4,
в характеристическом многочлене графа G появляется множитель
(к + 1)Гд\ Так как rv > 3, то число таких графов Cv не больше [/?__i/3L
В итоге пол у чг ем j
s ^ [Ро/(п - г — 1)] + ft + [(О 3]
и, следовательно,
X(G)^kr-(k-\)n + [р0/(п _ г — 1)] + Л + [GO/3]. (3.39)
Принимая во внимание соотношения (3.38) и (3.39), можно сформули-
рон : гь следующую теорему.
Теорема 3.31 (Финк [Fink]). Пусть G — связный регулярный граф
степени г с п вершинами, где п — г — четное число, и р\ — кратность
собствзнного значения X в Р-спектре графа G. Тогда для
хроматического числа X (G) графа G справедливо следующее неравенство:
1 (G)< г + min (рг-п + 1, [Ро/(п - г - 1)] + ft + [p_J3]) -
— (n — r) /?,_„.
Если п — г — нечетное число, то необходим более сложный
анализ. По-видимому, должна быть решена задача целочисленного
линейного программирования, подобная изложенной выше (см.
теорему 3.30).
§ 3.4. Некоторые замечания
о сильно регулярных графах
Пусть х и у — две произвольные различные вершины графа и
Д (а:, у) означает число вершин, смежных с вершиной как х, так и у.
Регулярный (но не полный) граф G положительный степени г
называется сильно регулярным, если существуют неотрицательные целые
числа е и / такие, что Д (х, у) = е для каждой пары смежных вершин х, у
и Д (ху у) = / для каждой пары различных несмежных вершин х, у
графа G.
Понятие сильно регулярного графа введено Боузом [Bos 1] (1963)
и уже имеется обширная литература об этом типе графов (см. § 7.2
и 7.3).
107

Из теоремы 1.9 немедленно следует, что регулярный (ноне полный)
граф G степени г > 0 является сильно регулярным тогда и только
тогда, когда существуют неотрицательные целые числа е и / такие, что
матрица смежности А = (ац) графа G удовлетворяет соотношению
А2 = (e-f)A + fJ + (r-f)I. (3.40)
Теорема 3.32 (Шрикханде, Бхагавандас [ShBh]). Регулярный
связный граф G степени г является сильно регулярным тогда и только
тогда, когда он имеет в точности три различных собственных
значения Х(1) = г, Х{2\ Х(3). Если G сильно регулярен, то
е = г + Х{2)Х{3) + Х{2) + Х{3) и f = г + Х{2)Х{3).
Доказательство. Пусть G — сильно регулярный граф.
Собственные значения его не все одинаковы, так как если бы это было
не так, все они равнялись бы нулю, что противоречит предположению
о том, что граф G имеет ребро. Спектр графа G также не может иметь
в точности два различных собственных значения, так как тогда G имел
бы по крайней мере одно ребро и согласно теореме 3.13 его диаметр
был бы равен 1, что противоречит предположению о том, что G не
является полным графом. Так как для G справедливо соотношение (3.40),
то минимальный многочлен матрицы смежности А графа G имеет
степень 3. Таким образом, G имеет в точности три различных собственных
значения.
Пусть теперь G имеет в точности три различных собственных
значения Х{1) = г, Х{2\ Х{3). Тогда, очевидно, г > 0, G не является полным
графом и согласно теореме 3.25 справедливо соотношение
аА2 + ЬА + с! =J {аф 0), (3.41)
где Х{2) и Х(3) — корни уравнения аХ2 + ЬХ + с = 0. Сравнивая
диагональные элементы левой и правой частей (3.41), получаем уравнение
аг + с = 1 или с — 1 — аг. Если вершины i и / смежны, т. е. если
ац = 1, из (3.41) следует, что число маршрутов длины 2 между i и /
равно (1 — Ь)/а. Если i и / различны и несмежны, то соответствующим
числом таких маршрутов является 1/а. Следовательно, граф G сильно
регулярен. Сопоставляя (3.41) и (3.40), получаем е = г + Х{2) +
+ Х(3) + Х(2)Х(3) и / = г + Х(2)Х(3). Это и завершает доказательство.
§ 3.5. Собственные векторы
В гл. 1 было показано, что структуру графа (мультиграфа) G
удобно исследовать с помощью как его собственных значений, так и
собственных векторов матрицы смежности этого графа. В данном параграфе
эти вопросы рассматриваются несколько подробнее.
Иногда ценная информация о графе (мультиграфе) может быть
получена только с помощью его собственных векторов. Один из таких
результатов устанавливает
Теорема 3.33. Мультиграф G регулярен тогда и только тогда,
когда его матрица смежности имеет собственный вектор, все координаты
которого равны 1.
108

Эта теорема является следствием известной теоремы из теории
матриц (см., например, [MaMi, с. 133])
В работе [Вег, с. 131] отмечен следующий результат Уэя [Wei].
Если Nk (i) — число маршрутов длины k, начинающихся в вершине
i связного графа G с вершинами 1, 2,..., п, и sk(i) — Nk(i) X
iп i—i
X X iVfe (/) , то при k -* оо вектор (sk (1), sk (2), ..., sk (n))T
L/=i J
стремится к собственному вектору, соответствующему индексу
графа G.
Вопрос о том, является ли заданный мультиграф связным, может
быть решен с помощью теоремы 0.4, которая вместе с теоремой 0.3
позволяет получить следующее утверждение.
Теорема 3.34. Мультиграф является связным тогда и только
тогда, когда его индекс — простое собственное значение с
положительным собственным вектором.
Теорема 0.5 может быть сформулирована также в терминах теории
графов таким образом.
Теорема 3.35. Если индекс мультиграфа имеет кратность р и в
собственном пространстве имеется соответствующий ему
положительный собственный вектор, то граф G имеет в точности р
компонент.
Представляют интерес, в частности, собственные векторы
реберного графа L (G) связного регулярного мультиграфа степени* г. Пусть
G имеет п вершин и т ребер. Соотношение
Put» (V) - (|i + 2)m-nPG (и - г + 2), (2.30)
связывающее спектры графов G и L (G), уже приводилось в теореме
2.15. Это соотношение устанавливает (1, 1)-соответствие между
множеством собственных значений X Ф —г графа G и \х Ф —2 графа L (G)i
если X Ф —г — р-кратное собственное значение графа** G, то \i =
= X -f- r — 2 Ф —2 — /7-кратное собственное значение графа L (G);
если \i Ф —2 — /?-кратное собственное значение графа L (G), то X =
= [I — г + 2 Ф —г — /7-кратное собственное значение графа G.
Поэтому будем обозначать через (Xt \i) пару соответствующих
собственных значений, если X Ф —г — собственное значение графа G, a jli Ф
Ф —2 — собственное значение графа L (G) и X + г = |ы + 2.
Собственное пространство, соответствующее собственному
значению X графа G или собственному значению \х графа L (G), обозначим
соответственно через X (X) или Y (\х). Тогда справедлива
* Реберный граф! (G) мультиграфа G с ребрами 1, 2, ..., т — эго мультиграф
с вершинами 1, 2, ..., т и матрицей смежности В = (blk)t причем для i=£ k blk =0,
если ребра i, k графа G не имеют общей вершины; blk = 1, если i, k — обычные ребра
(т. е. не петли), имеющие в точности одну общую вершину; bik = 2, если i, k —
обычные ребра, обе вершины которых являются общими, или одно из них — обычное
ребро, а второе — петля, имеющая вершину, общую с ребром; bik = 4, если i, k — оба
петли, присоединенные к одной вершине; кроме того, Ьи = 0, если i — обычное
ребро, Ьи = 2, если i — петля.
** Напомним, что X = —г — собственное значение (с кратностью 1) графа G
тогда и только тогда, когда G — двудольный граф (см. теорему 3.4).
109

Теорема 3.36 (Захс [Sac 8]). Пусть G — связный регулярный пульты
граф степени г сп вершинами и т ребрами; (К ц) — пара
соответствующих собственных значений графов G и L (G), а В означает п X
т-матрицу инциденций графа G. Тогда В1 отображает собственное
пространство X (к) на собственное пространство Y (jli), a В отображает
Y (fx) на X (К).
Доказательство. Пусть, как и в § 2.4, Л и В означают
матрицы смежности графов G и L (G) соответственно.
1. Пусть х £ X (к), х Ф о, и у = В^х. Тогда в силу соотношения
(2.27) (см. § 2.4)
By = ВВТх =- (Л + В)х = (А + г1)х = (Х + г)хфо
и, значит, у Ф о. Используя (2.28) и еще раз (2.27), получаем
By = (RTB — 2I)y = ВтВВтх — 2y = BT(X + r)x — 2y =
= (X + r — 2)y = \iy9
поэтому у£У(ц>), т. е. из х£Х(Х)у хфо, следует В1х£Y((li),
2. Аналогичным образом можно показать, что из ^£Y(jli), уфо,
следует Ву£Х(Х), Вуфо.
3. Если y£Y(±1), то существует единственное х£Х(к) такое, что
RTx = у, а именно
X = г-тг Яг/.
4. Если а?(=Х(А,), то существует единственное у£4(\i) такое, что
Дг/ = х, а именно
* = Т+ТД*'
Теорема 3.36 доказана
Замечание. Отображения В и /?т, рассмотренные в теореме 3.36,
можно задать более интуитивно: все матрицы й, Л, б и собственные
векторы а?, у связаны с фиксированной нумерацией соответственно
вершин и ребер. Например, координата х{ собственного вектора х
матрицы А соответствует вершине vit поэтому можно писать х (vt) вместо
xi4 или совсем опускать нижний индекс, либо просто писать х (v) для
координаты вектора ху соответствующей вершине v, и у (и) для
координаты вектора у, соответствующей ребру и.
Пусть a, b означает пару вершин или ребер или одно из них
означает вершину, а второе — ребро, и пусть символ 2 означает, что для
а- Ь
фиксированного Ъ суммирование ведется по множеству всех а, которые
смежны с Ь или инцидентны Ь. Тогда у = Втх эквивалентно у (и) =
= 2* (v) для каждого ребра и\ х = By эквивалентно х (v) = ^у(и)
V-U U-V
для каждой вершины v.
Ниже исследуются собственные векторы х графа G и у графа L (G),
соответствующие значениям —г и —2.
110

Теорема 3.37. Связный мультиграф G является двудольным тогда
и только тогда, когда система уравнений
2* (10 = 0 (3.42)
для каждого ребра и мультиграфа G, эквивалентная R х = о, имеет
единственное нетривиальное решение. Если, в частности, G —
двудольный регулярный мультиграф степени г, то решение системы
(3.42) равно собственному вектору, соответствующему значению Хп =
Простое доказательство этого результата предоставляется
читателю.
Теорема 3.38 (Дуб [Doo 2, Doo 8]; для регулярных мультиграфов
см. Захс [Sac 8]). Если G — любой связный мультиграф, то у является
собственным вектором графа L (G), соответствующим собственному
значению —2, тогда и только тогда, когда 2 f/ (и) = 0 для каждой
вершины v мультиграфа G, что эквивалентно Ry = о.
Доказательство содержится в доказательстве теоремы
6.11 (§ 6.3).
Следствие из теоремы 3.38. Если у — собственный вектор графа
т
L (G), соответствующий собственному значению —2, то V yt — О,
1=1
т. е. собственное пространство Y (—2) ортогонально вектору (1, 1, ...
..., 1)т. Следовательно, у реберных графов собственное значение —2
никогда не принадлежит главной части спектра.
Заметим, что у регулярного мультиграфа каждый собственный
вектор, который не соответствует индексу, ортогонален вектору (1,
1, -., 1)Т.
Напомним, что регулярный остовный подмультиграф (степени
s) регулярного мультиграфа G называется фактором (s-фактором)
мультиграфа G.
Покажем, что между факторами мультиграфа G и собственными
векторами графа L (G) существует интересное соотношение.
Остовный подмультиграф G' мультиграфа G может быть
представлен вектором с — (си с2У ..., ст)Т с cf = 1, если /-е ребро мультиграфа
G принадлежит G', и Cj = 0 в противном случае; с называется
характеристическим вектором подмультиграфа G' (относительно G).
Пусть G — связный регулярный мультиграф степени г. Согласно
теореме 2.15 наибольшим собственным значением графа L (G)
является 2г — 2, а наименьшее собственное значение не меньше —2. Пусть
{у1* У2* •••» Ур) — максимальное множество линейно независимых
собственных векторов, соответствующих собственным значениям графа
L (G), которые больше —2 и меньше 2г — 2. Легко заметить, что р =
= п — 2, если G — двудольный мультиграф, и р = п — 1 в
противном случае; если п > 2, то р > 0. т X /7-Матрицу со столбцами г/1,
у2, ..., ур обозначим М.
Следующая теорема дает метод исследования существования s-фак-
торов графа G в тех случаях, когда М известно.
111

Теорема 3.39 (Захс Sac 8, Sac 14]). Пусть G— связный
регулярный мультиграф степени г с п вершинами и т ребрами. Вектор z с т
координатами является характеристическим вектором s-фактора
мультиграфа G тогда и только тогда, когда он удовлетворяет
следующим условиям:
\)-£ sn координат вектора z равны 1, а остальные координаты
равны нулю;
2) M1z = о.
Доказательство. 1. Пусть z — характеристический
вектор s-фактора Gs мультиграфа G. Тогда справедливость первого
условия очевидна. Для того чтобы вывести второе условие, рассмотрим
вектор у = rz — sy°, где у° — вектор, все координаты которого равны 1
(заметим, что у° является собственным вектором, соответствующим
индексу 2г — 2 графа L (G)). Тогда yf = г — s, если /-е ребро
принадлежит фактору Gs, и yj = —s в противном случае. Далее,
Е У (и) = s (Г - S) + (Г - S) (- S) = О
для каждой вершины v мультиграфа G (или кратко Ну = о). Согласно
теореме 3.38 это означает, что у — собственный вектор,
соответствующий собственному значению —2 графа L (G), поэтому у ортогонален
векторам #\ #2,..., у?. Так как у° обладает тем же свойством, то вектор
z = — (у + sy°) также ортогонален каждому из векторов у1, уг>..., ур.
Следовательно, MTz = о.
2. Пусть теперь первое и второе условия справедливы для вектора
z с т координатами. Кроме того, пусть у = rz —sy*. Тогда
(y*f у) = г • -у sn — sm = г • -j-sn — s«ym = 0
и для каждого вектора у* (i = 1, 2, ..., р)
(У1, У) = г(у*9 z) — s(y*t у°> = 0.
Поэтому у ортогонален векторам у°, у1, ..., у? и, следовательно,
является собственным вектором, соответствующим собственному значению
—2 графа L (G). Согласно теореме 3.38 2 У (и) = 0 для каждой верши-
U-V
ны v мультиграфа G. А так как координатами вектора у являются г —
— s или —s, то из последнего уравнения следует, что у (и) = г — s
в точности для s ребер, инцидентных вершине v, и у (и) = —s для
остальных г — s ребер. Те ребра и, для которых у (и) = г —s (это
именно те ребра, для которых г (и) = 1), образуют s-фактор мультиграфа G.
Это и завершает доказательство теоремы.
Следствие из теоремы 3.39. Если вектор zc т координатами, q из
которых равны 1, а остальные т — q равны 0, удовлетворяет условию
MTz = о, то 2q = 0 (mod п) и z является характеристическим
вектором s-фактора с s = 2q/n.
Доказательство следствия предоставляется читателю.
112

Если *2/ — подмножество множества *11 ребер графа G, то V
порождает регулярный фактор тогда и только тогда, когда
S У'(и) = 0 (1, 2, ..., р).
Пусть Sp — векторное пространство, порожденное векторами у1*
у2, ..., ур. Ясно, что каждый вектор пространства Sp является
решением следующей системы однородных линейных уравнений:
£ у (и) = О,
где °\} пробегает все подмножества множества %, которые порождают
регулярный фактор. Поэтому ранг матрицы коэффициентов этой
системы не больше т — р, а строки матрицы являются именно
характеристическими векторами регулярных факторов графа G.
Следовательно, число линейно независимых характеристических векторов
регулярных факторов не больше т — р. Итак, назвав множество регулярных
факторов независимым (зависимым), если соответствующие
характеристические векторы линейно независимы (зависимы), получим
следующий результат.
Теорема 3.40 (Захс [Sac 8, Sac 14]). Число независимых регулярных
факторов связного регулярного мультиграфа G степени г с п
вершинами и т ребрами не больше, чем
I-<j-rn — п + 2, если G — двудольный мультиграф,
1
-к-гп — п + 1 в противном случае*.
Более того, Захс [Sac 8] непосредственным построением доказал,
что эта граница достигается для каждых я, г при пг = 0 (mod 2) на
некотором мультиграфе (при четном п в обоих случаях, а при нечетном
п, естественно, только на недвудольных мультиграфах).
Дальнейшие результаты, относящиеся к собственным векторам
мультиграфов, можно найти в § 5.1, 5.2, 6.3.
Замечание (X. Захс). Многие установленные выше результаты для
регулярных мультиграфов могут быть обобщены на произвольные
мультиграфы, если вместо обыкновенных спектров (Р-спектров)
использовать Q-спектры и соответствующие собственные векторы (Q-соб-
ственные векторы; напомним, что х называется Q-собственным
вектором, соответствующим Q-собственному значению %, если ж^оижи^
удовлетворяют уравнению Ах — XDx).
Легко доказать справедливость следующих предложений.
Пусть G — связный мультиграф. Тогда
Г все Q-собственные значения %t действительны и удовлетворяют
неравенству —1 ^ %t ^ 1;
2° максимальное (^-собственное значение Хг (Q-индекс) есть простое
собственное значение, равное единице;
♦Заметим, что -^-т — л + 1 = m — я + 1— дипломатическое число
мультиграфа G.
113

3° Q-собственным вектором, соответствующим А,,, является (1,
1, .., 1);
4° два любых Q-собственных вектора х, х', соответствующих
различным Q-собственным значениям, ортогональны в следующем смысле:
3?Dx' = 0;
5° следующие утверждения эквивалентны: (i) G — двудольный муль-
тиграф; (и) Q-спектр мультиграфа G симметричен относительно
нулевой точки действительной оси; (Ш) —1 — Q-собственное значение
(обязательно простое);
6° если G — двудольный мультиграф, то Q-собственный вектор х,
соответствующий Хп = —1, удовлетворяет уравнению xl + xk = 0
для каждой пары i, k смежных вершин.
В дальнейшем будем предполагать, что G — произвольный связный
мультиграф о. п^ \ вершинами и т ^ 1 ребрами.
Введем теперь две «модифицированные матрицы инциденций»:
R° = D-R и iS° = -i-flT. (3.43)
Обе матрицы являются стохастическими относительно своих строк,
и поэтому
A0 = R°S° и B° = S0R° (3.44)
являются «модифицированными матрицами смежности»*. Ясно, что
А° = iD~{RRl =-^D-l(A + D)=± (D-lA + I) (3.45)
и
В0 = -i- RTD~lR = B0T. (3.46)
Определим характеристические многочлены **
fGit) = \tI-A°\9 gG(t) = \tI-B°\
с соответствующими спектрами
С помощью (3.44) находим
tmfG(t) = fgG(t)\ (3.47)
отсюда, а также на основании (3.46) заключаем, что все собственные
значения А,?, \i° являются действительными числами.
* Заметим, что определения матриц R°, S°, A°t В° могут быть обобщены на
гиперграфы сй° = D^~lR и S° = D~lRT, где Dv — матрица валентностей множества
вершин, a De — матрица валентностей множества ребер (гиперребер). Эти
определения являются основой для теории модифицированного «Q-спекшра гиперграфа» и в
то же время объясняют кажущуюся асимметрию в определениях матриц i?°, S°,
приведенных выше (см. формулу (3.43), а также § 1.9, пп. И, 13).
** Рунге [Rung], исследуя гиперграфы, применял подобные многочлены к/с (t)
*gG (0;см. § 1.9, пп. 11, 13.
114

Из (3.45) следует, что D [А = 2А° — /, поэтому
(+1
Qe (0 = | /I — В~ХА | = \П — 2А° + 11 = 2п
= 2% (-Ц±) .
Таким образом, если [^ь А,а, ..., A,„IQ — Q-спектр графа G, то
^ = A+_L, Я,. = 2ХГ — 1 (/==1, 2, ..., л). (3.48)
Вместе с (3.47) и (3 48) предложение Г дает
0<^< 1 (i= 1, 2, ... , л),
0<iv<1 (/=1, 2, ...,/п) (3.49)
и предложение 5° (ш) может быть переформулировано следующим
образом: G — двудольный мультиграф тогда и только тогда, когда
Х°п — 0. Простая кратность, сохраняющая (1,1)-соответствие между
множествами всех ненулевых (т. е. положительных) собственных
значений Х° матрицы А° и собственных значений \i° матрицы В°,
определяется формулой (3.47), а именно Х° — \i°.
Если X — собственное значение графа G и X (X) —
соответствующее собственное пространство, то ясно, что собственное пространство
Х° (Х°) собственного значения Х° = (X + 1)/2 матрицы А° совпадает
с X (X):
Х°(Г) = Х(?с),
Обозначим собственное пространство собственного значения \х°
матрицы В° через Y° (|li0). Тогда справедлива следующая теорема,
аналогичная теореме 3.36,
Теорема 3.36'. Пусть Х° = |li0 > 0 — соответствующие собственные
значения матриц Л°, В° и X = 2Х° — 1 — соответствующее Q-собст-
венное значение, большее —1. Тогда S° отображает собственное
пространство X (X) = Х° (Х°) на собственное пространство У° (\х°), а
R° отображает \° (\i°) на Х° (Х°) = X (X).
Теорема 3.38 имеет следующий аналог.
Теорема 3.38'. у0 Является собственным вектором матрицы В°у
соответствующим собственному значению \i° = 0, тогда и только
тогда, когда В°у° = о.
Определим обобщенный фактор произвольного мультиграфа G =
= (X, %) следующим образом. Пусть валентности a (v) вершин v £
gX имеют наибольший общий делитель, равный б, причем 0< а ^
<; б. Остовный подграф G' = (Ху %') мультиграфа G называется а-
фактором, если для каждой вершины v £ X отношение валентности
d' (v) в G' к d (v) в G одно и то же и равно а/б, т. е. если
d' (v) = -тг-d(v) для каждой вершины v^X.
Нетривиальный а-фактор может существовать, разумеется, только
при б > 1.
115

Пусть {а?1, а?2, ..., хр) — максимальное множество линейно
независимых Q-собственных векторов, соответствующих Q-собственным
значениям мультиграфа G, которые больше —1 и меньше 1. Ясно, что
р — п — 2, если G — двудольный мультиграф, и р = п — 1 в
противном случае. Обозначим п X р-матрицу со столбцами х' через Е и
положим М° = 2S°E = RTE\ тогда согласно теореме 3.36х р столбцов
уы матрицы М° образуют максимальное множество линейно
независимых собственных векторов, соответствующих положительным
собственным значениям \х° матрицы В°, которые меньше 1. Следующая теорема
может быть доказана аналогично теореме 3.39, обобщением которой
она является.
Теорема 3.39'. Если G — связный мультиграф с m ^ 1 ребрами,
то вектор z с т координатами является характеристическим
вектором о-фактора графа G тогда и только тогда, когда он удовлетворяет
•следующим условиям: Г -тг- т координат вектора z равны 1, а
остальные координаты вектора z равны 0; 2° M°Tz = о.
Из этой теоремы вытекает следствие, аналогичное следствию из
теоремы 3.39.
Связи между обобщенными факторами графа (мультиграфа) и
собственными векторами его реберного графа становятся вполне
очевидными при переходе к гиперграфам (см. также примечание на с. 114).
§ 3.6. Другие результаты и задачи
1. Если р и р — индексы графов G и G и G имеет п вершин, то,
используя теорему 3.8 и соотношение (7.29), легко получить
следующие неравенства:
п — 1 < р + р^У2(п — 1).
Левая сторона неравенства обращается в равенство тогда и только
тогда, когда G регулярен.
(Нозаль [Nos 11; Амин, Хакими [АтНа])
2. Доказать, что А,х ^ Kdmax, где X, = р — индекс графа, a dmdX —
его максимальная валентность.
(Нозаль [Nos 11; Ловас, Пеликан [LoPe])
3. Пусть G — регулярный граф степени г сп вершинами. Показать,
что для числа t (G) остовных деревьев графа G справедлива формула
f(G) = -bj£-Pg(-r-l).
4. Если G — связный граф, не являющийся ни деревом, ни
простым циклом, то р>tv* + т-1/«э где р — индекс графа, а т = -у х
Х</5+1).
(Хоффман [Hof 131)
5. Показать, что среди всех деревьев с п вершинами звезда имеет
наименьший индекс.
116

6. Каждый замкнутый маршрут в графе G можно представить как
последовательность вершин, через которые он проходит, например,
хи х2, ..., хп9 хг. Маршруты х1У х2, ..., xk-U *ь *i и х2у xSf ..., xk, xl9
х2 различны, так как первый начинается в хи а второй — в х2, но
считаются циклически эквивалентными: два замкнутых маршрута
называются циклически эквивалентными, если один из них получается из
другого смещением начального отрезка в конец маршрута. Пусть
Ck (Ф — число классов циклически эквивалентных замкнутых
маршрутов длины k в G. Тогда
где Ф(&) — функция Эйлера, а Хи ...Д„ — собственные значения
графа G. Существует простая формула также для числа классов
замкнутых маршрутов в графе, эквивалентных относительно диэдральной
группы.
(Харари, Швенк [HaS 1])
7. Если А — матрица смежности графа Gen вершинами, $> с {1,
2, ..., п) и Ар определено так же, как в § 1.5 (с. 37), то число гамильто-
новых циклов в графе G определяется формулой
_L £(_!)> £ MA",.
(Лихтенбаум [Лих 4, Лих 5])
8. Пусть р_, р09 р+ означают числа собственных значений графа
G, которые соответственно меньше нуля, равны нулю и больше нуля.
Тогда хроматическое число % (G) графа G удовлетворяет неравенству
X(G)>—-г—^ г ,
где п — число вершин графа G. Это неравенство является точным;
равенство достигается, например, на полных графах.
(Цветкови ч [Cve 11 ])
9. Пусть G — регулярный граф степени г = п — 3 с п (л ^ 3)
вершинами. Положим
(— 1Г (К + п — 2)~1 (\ — 2)Р-(—К—1) = Хп + агХп-1 + • • •
..< +a„ = (X-2)m^ + 2)m-'cp(M,
где ф (2) Ф 0 и ф (—2) Ф 0. Тогда хроматическое число X (G) графа G
определяется формулой
X (G) = -у (п + т2 — т^с + а3).
(Финк [Fine])
10. Показать, что хроматическое число X (G) определяется через
спектр графа G, если его индекс р меньше 3. Если G связен, то это
утверждение справедливо также для р = 3.
(Цветкович [Cve 9])
117

11. Пусть для заданного k я, Ь, с, d, е означают числа собственных
значений X в спектре графа G, которые удовлетворяют соотношениям
соответственно А,< — k + 1, X = — k + 1, — k + 1 < X < 1, X = 1,
X > 1. Пусть, далее, s — наименьшее из натуральных чисел k (k> 1),
для которых справедливо неравенство
min (b + с + k (d + е), k {а + Ь) + (k — 1) (с + d)) > п.
Тогда X (G) > s.
_ (Цветкович [Cve 12])
12. Пусть X (G) — хроматическое число дополнения G графа G.
Если G — неполный граф, то
X(G)> ""^^ ,
где л — число вершин графа G, а А,ь А,2 — два первых наибольших
собственных значения графа G.
(Хоффман [Hof 16])
13. Пусть a (G) — наименьшее число подмножеств, на которые
может быть разбито множество вершин графа G так, что подграф,
порожденный любым из подмножеств, является или полным или вполне
несвязным графом. Если k — положительное целое число, a G
имеет собственные значения Хи ..., Хп, то существуют функции Лк и Зэк
такие, что
о (G) < Лк (Х2 - й.п-а+1), о (G) < 53Л (Xk - Хп).
(Хоффман, Хоувз [НоНо])
14. Если °U (G) — множество вершин графа G и if cz V (G), то
G(j означает подграф графа G, порожденный множеством тех вершин
графа G, каждая из которых смежна со всеми вершинами в У. Пусть
X* (G) — наименьшее собственное значение графа G, a k (Н) означает
число клик * графа Я. Тогда: 1° существует функция / такая, что если
х б V (G), то
k(G{x})<^f(X*(G));
2° существует функция g такая, что если x^lf (G), то \{i\i несмежна
сх, | V (G{x'i}) | > g (Я* (G))} | < g (Я* (G)).
(Хоффман [Hof 15])
15. Доказать, что (—1, 1, 0)-спектр Зайделя (см. § 1.2)
самодополнительного графа симметричен относительно нулевой точки.
16. Пусть R —гматрица инциденций связного мультиграфа G,
имеющего п вершин. Тогда
in—1, если G — двудольный граф,
rk R = {
{ п в противном случае,
(Захс [Sac 8], ван Нуффелен [Nuf 1])
17. Если ребра ии иъ ..., и2к образуют замкнутый маршрут четной
длины в регулярном мультиграфе G и у — собственный вектор графа
* Число клик графа G — это хроматическое число дополнения G графа G.
118

L (G), не соответствующий собственному значению —2, то
2k
£(-1 )'{/(«<) = о.
(Захс [Sac 81)
IS. Если G — граф с собственными значениями Xl9 ..., %п и е (G),
^ (G), б (G) — величины, определенные в теореме 3.21, то
е (G) = 1 тогда и только тогда, когда Х2 ^ 0;
Ф (G) = 1 тогда и только тогда, когда Хп-.\ ^ 0;
б (G) = 1 тогда и только тогда, когда Х2 ^ 0, а А,„ = — 1.
(Хоффман [Hof 111)
19. Пусть G — граф, а гт (G) — наименьшее целое число k такое,
что справедливо (3.22), и каждый подграф Gt является полным s-доль-
ным графом a s <; т. Тогда
Ет (G) > р-. ,
где /?_ — число отрицательных собственных значений графа G.
(Мальбашки, частное сообщение)
20. fe-Разбиение графа представляет собой разбиение множества
€го вершин на k непересекающихся подмножеств, содержащих ти
тъ ..., тк вершин соответственно, причем тх ^ т2 ^ ... ^ mk.
Пусть G — граф с матрицей смежности A, a U — любая
диагональная матрица такая, что сумма всех элементов матрицы А + U равна
нулю; пусть, далее, \il9 \i2, .*., \ik (Mi ^ Ш ^ ••• ^ Mfc) — *
наибольших собственных значений матрицы А + U. Если задано
какое-нибудь fe-разбиение а графа G, то число Еа ребер графа G, две вершины
каждого из которых принадлежат различным подмножествам
разбиения а, удовлетворяет соотношению
Сумма в правой части является вогнутой функцией матрицы U.
(Донат, Хоффман [DoHo], см. также [Fie 31)
21. Собственные значения и собственные векторы матрицы С =
= D — A (D — матрица валентностей графа) использовались
Холлом [На, Kl в задаче минимизации суммарной длины ребер графа,
который укладывается на плоскости.
22. Отношение на множестве вершин графа G, обозначаемое через
~, определим следующим образом! х ~ у, если для любого z Ф х, у
вершина z смежна либо g обеими вершинами х, у, либо не смежна ни
с одной из них. Число е (G) определенных таким образом классов
эквивалентности неопределяется спектром графа G (см. рис.6 .1). Однако
Хоффман [Hof 171 доказал, что числом (G) ограничено сверху и снизу
некоторыми функциями числа собственных значений графа G, не
содержащихся в интервале l-g" [V~5 — l), l).
119

23. Пусть G — регулярный граф степени г с п вершинами, a Gt —
порожденный подграф графа G, имеющий п± вершин, средняя степень
которых равна гг. Тогда
п п^ J ^ п г
Это неравенство получено в [BuCSl при помощи теоремы 0.11. При
гг = 0 и гг = пх — 1 устанавливаем следующие неравенства для
мощностей a (G) и К (G) соответственно внутренне устойчивого множества
вершин и множества полных подграфов регулярного графа Gi
где К2 и Хп — второе наибольшее и наименьшее собственные значения
графа G. Первую оценку получил Хоффман (не опубликовано). Наряду
с a (G) X (G) ^ п это дает границу из теоремы 3.18 в случае
регулярных графов. Аналогичным образом второе неравенство дает границу для
числа клик (см. п. 12). Задавая гг по-иному, можно получить
границы для некоторых других характеристик графа. Неравенство для
a (G) в случае сильно регулярных графов приведено в работе [Del 1].
Оно может быть обобщено и на нерегулярные графы.
(Хемерс [Нает])
24. Другие границы для К (G), определенные в теореме 3.15,
могут быть получены тем же способом, но при этом следует использовать
матрицу смежности Зайделя вместо матрицы (0, 1)-смежности.
Например, Гёталс и Зайдель [GoS 4] получили неравенство К (G) ^ min (1 —
— Р2» M-i» Ш>)» где G — граф, матрица смежности Зайделя которого
имеет лишь два различных собственных значения р1э р2 (р1 > р2)
с кратностями \хг и \х2 соответственно. Обобщить этот результат на
произвольные графы, а в случае регулярных графов выразить его на
языке собственных значений матрицы (0, 1)-смежности.
25. Если D{ (i = 3, 4, 5) — числа простых циклов длины i в
регулярном графе степени г, а af (j = 0, 1, ..., п) — коэффициенты
соответствующего характеристического многочлена, то
D3 = 2"а*>
1 2
D4 = — (a2 + 2ra2 — a2 — 2a4),
D6 = -y (a3a2 + 3ra3 — 3a3 — ab).
26. Если Xlf ..., Xn — собственные значения регулярного графа, то
число D4 простых циклов длины 4 в G определяется формулой

ГЛАВА 4
ДЕЛИТЕЛЬ ГРАФА
В данной главе приведены определения различных понятий делителя
мультиграфа (мультиорграфа) и показано, каким образом делитель
связан, с одной стороны, со структурными свойствами, в частности
свойствами симметрии (обобщенными), а с другой — со спектральными
свойствами графа. Кроме того, иллюстрируется использование делителя
при разложении характеристического многочлена на множители и
развивается специальная «геометрическая» процедура факторизации,
оказывающаяся во многих случаях весьма эффективной.
§ 4.1. Понятие делителя
Начнем с интуитивного определения (см. работы [FiSa, PeS 1, ReSc,
Sac 7, Sac 10, Sac 16]). Пусть G — связный мультиорграф и D = (<1ц) —
квадратная матрица порядка т, все числа йц которой являются
неотрицательными целыми числами. Будем говорить, что G имеет D-
допустимую раскраску, если каждая его вершина окрашена в один из
1, 2, ..., т возможных цветов таким образом, что для каждого цвета /
из каждой вершины цвета i исходит в точности di} дуг,
оканчивающихся в вершинах цвета /.
Матрица D определяет мультиорграф D, для которого D является
матрицей смежности. Очевидно, что D имеет D-допустимую раскраску:
чтобы убедиться в этом, достаточно лишь считать номер вершины ее
цветом. Для уверенности в том, что в любой D-допустимой раскраске
использованы все т красок, будем к тому же предполагать (без
существенной потери общности), что мультиорграф D сильно связен.
Если представить себе, что раскрашенный мультиорграф G
является лабиринтом, в котором мы заблудились и нам видны лишь цвета
вершин, в которых мы находимся, и цвета их передних ближайших
соседей, то мы никогда не сможем выяснить, находимся ли мы в G
или в D.
Любая D-допустимая раскраска мультиорграфа G определяет
отображение его (множества вершин мультиорграфа G) на D
(множество вершин мультиорграфа D), которое сохраняет переднюю
окрестность; в частности, вершина мультиорграфа G и ее образ в D
имеют одинаковую переднюю валентность./
121

Определение 4.1. Еслиб имеет D-допустимую раскраску, то будем
говорить, что D является передним делителем мулыпиорграфа G, и
обозначать это как D \f G (в данном случае термин «фактор» был бы
более подходящим, однако он уже использован для другого понятия).
D называется задним делителем мультиорграфа G (D \r G), если D1 \f G1
(транспонированный или обратный орграф GT получается из G
изменением направления всех его дуг на противоположное); будем
говорить, что D является делителем мультиорграфа G и писать D|G,
если существует раскраска вершин мультиорграфа G, которая
одновременно является D-допустимой для G и От-допустимой для GT.
D называется собственным делителем (передним, задним)
мультиорграфа G, если D — его делитель (передний, задний) и имеет меньше
вершин, чем G.
Некоторые очевидные следствия.
Предложение 4.1. Из D\G следует D \fG и D \rG.
Предложение 4.2. Для неориентированных графов
утверждения D |/ G, D \r G и D | G эквивалентны.
Предложение 4.3. Если D\G, a G имеет симметрическую
матрицу смежности, то матрица смежности мультиорграфа D
также является симметрической.
Предложение 4.4. Каждое из отношений |/, \Г и | является
отношением предпорядка; например, для \ имеем
1) G|G;
2) из F\G и G\H следует F\H;
3) из G\H и H\G следует, что G и Н изоморфны.
Примеры. Рассмотрим следующие графы правильных
многогранников, каждый из которых правильно изображен на сфере: а) граф С
куба, б) граф О октаэдра, в) граф / икосаэдра, г) граф D додекаэдра.
При проектировании из центра сферы диаметрально
противоположные точки отождествляются и поэтому полученные образы, вложенные
в проективную плоскость, изоморфны соответственно: а) графу К*
тетраэдра; б) мультиграфу Къ\ две из трех вершин которого соединены
в точности двумя ребрами; в) /Сб; г) графу Петерсена Р. Это означает,
что
/CJC, AfMO, /С6|/, P\D.
Разумеется, существуют и другие возможности получения делителей
(передних делителей). Например, граф /<23), состоящий из двух
вершин, соединенных в точности тремя ребрами, является делителем
графа С (в действительности свойство иметь К{2] в качестве делителя для
множества связных мультиграфов G эквивалентно тому, что G —
двудольный кубический граф). Простым примером мультиорграфа —
переднего делителя графа — является следующий: G — простая цепь
длины 2, a D состоит из вершин х и у, двух дуг из х в у и одной дуги из
у в х.
122

§ 4.2. Делитель и покрытие
Если D и G — неориентированные мультиграфы и D | G, то в
комбинаторном смысле D гомоморфен и локально гомеоморфен образу муль-
тиграфа G при любом отображении, определяемом некоторой D-до-
пустимой раскраской этого G. Если, в частности, D и G —
обыкновенные графы, то это очевидным образом верно и в топологическом смысле,
когда D и G рассматриваются как линейные комплексы;
утверждение остается верным даже тогда, когда допускаются кратные ребра
и петли, однако этот случай нуждается в доказательстве с
использованием теорем факторизации (см. [Sac 16]). Приведенный результат
может быть описан в следующих двух формулировках.
Теорема 4.1 (Захс [Sac 16]). Пусть D и G — неориентированные
мультиграфы и D | G. Тогда
а) мультиграф G, рассматриваемый как линейный комплекс,
является неразветвленным покрытием мулътиграфа D;
б) при дополнительном предположении о том, что ребра
мулътиграфа D имеют попарно различные цвета, например съ с2, ...,сл,
существует раскраска ребер мулътиграфа G красками си с2, ..., ck
такая, что каждая вершина инцидентна в точности стольким
ребрам цвета сх, х = 1, 2, ..., fe, как и ее образ в D.
Если G — мультиорграф, а п (G) и k (G) — числа его вершин и дуг
соответственно, то справедлива
Теорема 4.2 (Захс [Sac 7]). Пусть D и G — произвольные мулъти-
орграфы, для которых D\G. Тогда п (D) | п (G), k (D) \ k (G) и каждая
вершина мулътиорграфа D является образом в точности п (G)In(D)
вершин мулътиорграфа G.
Построение общих кратных и теоремы о наименьшем общем
кратном и наибольшем общем делителе мультиграфов содержатся в
работе [Sac 16]. Дополнительную информацию относительно делителей
и покрытий можно найти, например, в работах [Big 5, гл. 19; Far 2,
Gard, Wal 4, Wal 5] (более полный перечень ссылок содержится в
[Wal 5]).
§ 4.3. Обобщение понятия делителя
Иногда удобно оперировать более общим понятием делителя,
соответствующим понятию некоторого «разветвленного покрытия». Мы
дадим определение лишь обобщенного делителя для мультиграфов;
понятия передних и задних делителей для мультиорграфов могут быть
обобщены аналогичным образом.
Определение 4.2. Пусть D и G — связные мультиграфы; D имеет
матрицу смежности (dt-/) порядка т. Рассмотрим множество всех
возможных раскрасок С вершин графа G красками 1, 2, ..., т. Если
х — произвольная вершина графа G, то ji-валентность вершины х при
раскраске С, обозначаемой vc:ii (*), определим как общее число ребер
(петли учитываются дважды), которые связывают х с вершинами
цвета |л. Будем говорить, что D есть обобщенный делитель графа G (и
писать D IG), если существует раскраска С0 со следующими свойствами:
123

для каждого цвета i и каждой вершины х графа G, окрашенной в цвет
I, а также для каждой пары красок /, k (1 < i, /, k < /л)
(t) 0co:/ (*) = °, если du = 0;
(") yC0:/ (*) : 0c(l:* (*) = dlj : di/e» если Л/ + dik > 0
(т. е. для каждой вершины цвета i отношения /-валентности к й-валент-
ности, 1 ^ /, k ^ т, у графов G и D одинаковы).
§ 4.4. Свойства симметрии и делители графов
Перестановка Р, действующая на множестве вершин мультиоргра-
фа G, называется автоморфизмом мультиорграфа G, если она
сохраняет смежность. Если Р представлена матрицей перестановки (также
обозначенной Р), то Р является автоморфизмом тогда и только тогда,
когда Р~1АР = А, где А — матрица смежности мультиорграфа G.
Автоморфизмы мультиорграфа G образуют группу Г = Г (G),
называемую группой автоморфизмов
мультиорграфа G, в терминах которой
выражаются симметрии этого G
относительно перестановок вершин.
Связь между группой
автоморфизмов и делителями графа G
устанавливается следующей теоремой
(о подходе с точки зрения теории
представлений см. в § 5.3).
Теорема 4.3 (см. [PeS И). Пусть
G — сильно связный мультиор-
граф, который имеет нетривиальную группу автоморфизмов Г с
нетривиальной подгруппой 2 (возможно 2 = Г), и пусть А = {Qlf
Q2, ..., Qs) — система орбит, на которые подгруппой 2 разбито
множество вершин мультиорграфа G. Число дуг, исходящих из любой
вершины орбиты Qt и оканчивающихся в вершинах орбиты Qjf зависит
только от i и /; обозначим это число через di} (i, j = 1, 2, ..., s). Тогда
мультиорграф Dv с вершинами 1, 2, ..., s и матрицей смежности (dly)
является собственным передним делителем мультиорграфа G: Ds |/ G.
Доказательство следует немедленно: все вершины
орбиты йа окрашиваются в цвет о (о = 1,2, ..., s).
Если Р — произвольный нетривиальный автоморфизм
мультиорграфа G, то в качестве подгруппы 2 можно взять циклическую
группу, порожденную этим Р: орбиты Qa являются в точности циклами
перестановки Р.
Теперь предположим, что 2' является подгруппой группы 2.
Тогда при условиях теоремы 4.3 орбиты Й^, порожденные подгруппой
2', являются подмножествами орбит Ql9 Q2, ..., £2S. Рассмотрим Dv/
с вершинами a' = Г, 2', ..., s'. Вершине а' будем приписывать цвет a
всякий раз, когда QC' есть подмножество орбиты fla- Такая
раскраска мультиорграфа D%> является D2-допустимой, так как при любых
фиксированных а и т (а, т = 1,2, ..., s) в D^ для каждой вершины х
Рис. 4.1.
124

[JJJ
[2,61
цвета а существует в точности столько же дуг, исходящих из х и
оканчивающихся в вершинах у', у", ... цвета т, сколько имеется дуг в Ds,
исходящих из образа вершины х и оканчивающихся в общем образе
вершин у\ у\ ...
Итак, доказан
следующий результат.
Теорема 4.4 (Петерс-
дорф, 3axc(PeSll). Пусть
при предположениях
теоремы 4.3 2' — подгруппа
группы 2. Тогда
Dz\fDz-\fG.
С помощью теоремы 4.4
получаем результат типа
соответствия Галуа:
Если Г (G) = Г =э 2 =э
zd 2' zd • • • zd / (/ — /тюж-
дественная группа), то
Dr\fDz\fDv\f •••
Пример. Пусть G — граф, изображенный на рис. 4.1. Тогда Г (G) =
= {(1), (17) (26) (35), (13) (57) (48), (15) (26) (37) (48)} с орбитами
12,61
15.71
[4,61
[1,3,5,71
[3,7]
Рис. 4.2.
Gi = U. 3, 5, 7}
Подгруп ПЫ 2dii 2j2, 2j3,
(35), Р2 = (13) (57) (48),
Q.
*-##.
tf
=Д*Дй/
Рис. 4.3.
., - {2, 6}, Q3 = {4, 8}.
порожденные перестановками Р1 = (17) (26)
Р3 — (15) (26) (37) (48) соответственно, имеют
системы орбит
Л1 = {{4}, {8}, {1, 7}, {2, 6}, {3, 5}},
Л2 = {{2}, {6}, {1, 3}, {5, 7}, {4, 8}},
* А, = {{1, 5}, {2, 6}, {3, 7}, {4,8}},
которые дают передние делители DXt D2, D&
(рис. 4.2). Таким образом, Dr |/ D{ \f G (i =
= 1,2,3).
Заметим, что начиная с Dr можно найти еще два делителя, а
именно D' и D" (рис. 4.3), которые не могут быть получены
непосредственно из группы Г (G) и ее подгрупп. Итак, в конечном счете имеем
D"|,D'|/Drl/D,|,G (t = l, 2, 3).
Часто встречаются передние делители (и даже делители), которые
нельзя соотнести орбитам некоторой подгруппы группы
автоморфизмов; поэтому существование нетривиального (переднего или заднего)
делителя можно интерпретировать как вид обобщенной симметрии,
которая включает перестановочную симметрию, но, вообще говоря,
слабее ее (см. также [Schw 3, с. 159—160]).
125

§ 4.5. Основная лемма о делителе и спектре
Сначала рассмотрим случай, когда мультиграфы F и G являются
связными. Пусть G имеет вершины Vu V2, ..., Vn. Предположим, что
F|G, так что G имеет F-допустимую раскраску. Пусть, далее, х° =
= (х°\, x2i ..., х°т)т — собственный вектор, а Х°— соответствующее
собственное значение задачи
Ь*< = Е** (t=l, 2, ... ,m) (4.1)
(или кратко \х = Fa?), определенной на F, так что
Гх; = £*; (/= 1, 2, ... , m). (4.2)
Если «пересадить» каждое значение xt из вершины i в F на все
вершины цвета t в G , то получим вектор у° = (*/i, #2, .-, У«)Т с у/ = я? для
всех /, для которых вершина Vf мультиграфа G имеет цвет i. В силу
(4.2) отсюда следует, что
Ь°Ур = И </? (Р= К 2» - . л),
где ^ • Р означает смежность вершин Vq и Ур в G. А это значит, что
*/° является собственным вектором задачи
куР = Ц yQ (р= 1, 2, ... , л)
<7-Р
{или кратко Ху = Ау), определенной на G, с соответствующим
собственным значением Х°. Таким образом, собственное значение Х,°
мультиграфа F является также собственным значением мультиграфа G.
Если Х° как собственное значение мультиграфа F (т. е.
симметрической матрицы F) имеет кратность \i, то существует система S из \х
линейно независимых собственных векторов а?°, соответствующих А,°;
ясно, что линейная независимость сохраняется при «пересадке» из F
в G, и, таким образом, мы получаем из S систему из \х линейно
независимых собственных векторов у° мультиграфа G, каждый из которых
соответствует Х°. Отсюда следует, что Х° как собственное значение
мультиграфа G имеет кратность по крайней мере \i. Этим самым доказано
(как частный случай теоремы 4.7) следующее утверждение.
Теорема 4.5.* Пусть Fu G — связные мультиграфы и F|G.
Тогда
Рр(Ь)\Ро(Ь).
Замечание. Аналогичными рассуждениями можно легко доказать,
что F\G влечет также QF (к) | QG (X) RF (К) \ RG (X) и CF (А) \ CG (А,),
однако это следует и из более общей теоремы 4.7.
Теперь рассмотрим общий случай.
Будем говорить, что задача на собственные значения д, связанная
с мультиорграфами, имеет локальный характер, если она состоит из
системы уравнений (одно для каждой вершины), в которой t-e
уравнение вполне определимо посредством передней окрестности t'-й вершины
* [Sac 7]; весьма вероятно, что это простое' рассуждение часто неявно использо-
еэлось в теории матриц.
126

(т. е. содержит только те неопределенные xjy которые принадлежат г
или ее передним соседям: / = i или / • i); таким образом, задачи на
собственные значения
to* = 2** (*£#)» 0-1>
k-i
to/ = -r2^ (*£#). (ьз>
to£ = S(x,+ х,) (£еa?) (i.7>
k-i
И
tot- = х(*,—**) (tea?),
fe.i
приводящие к многочленам PG (A,), QG (A,), RG (к) и С<? (А,)
соответственно, и задача (1.18) имеют локальный характер (поэтому сюда
относится также задача
fe-f
с соответствующим многочленом
Ро(К К .- , Х8) = |А-Л|, (1.27>
см. § 1.3). Что же касается задачи на собственные значения
to, = £ s^** ('£#), (1.12)
приводящей к многочлену Зайделя SG (к), то она таковой не является.
В дальнейшем собственные числа и характеристические многочлены
задачи на собственные значения Е будут называться Е-собственными
значениями и Е*многочленами соответственно.
Для спектров, соответствующих задаче на собственные значения
локального характера, справедлива общая
Теорема 4.6 (Петерсдорф, Захс [PeS 1]). Пусть F и G—
произвольные мультиорграфы, для которых выполняется F \f G; тогда для
любой задачи на собственные значения Е локального характера каждое
^-собственное значение Х° мультиорграфа F является также
^-собственным значением мультиорграфа G.
Для доказательства лишь заметим, что в силу локального
характера задачи Е применимы приведенные выше аргументы о «пересадке»
(однако в этом случае мы не можем ничего утверждать относительно
кратности Х° как Е-собственного значения графа G). В частности*
теорема 4.6 справедлива для Р-, Q-, R- и С-собственных значений.
Однако в этих случаях можно показать, что из предположения F\f G
на самом деле следует £> (к) | EG (к)> где Е означает любое из Р, Q,
R или С. Докажем даже более сильный результат.
Теорема 4.7 (основная лемма, Петерсдорф, Захс [PeS 1] *). Пусть
F и G — произвольные мультиорграфы, для которых F \f G. Тогда
p°f(K К ..., K)\p°g(K К ..., К). (4.3)
* В работе [PeS 1] (теорема 9) рассмотрен только случай обыкновенного
многочлена Ра (А,) (т. е. Я-х = А,2 = ... — Xs = X). Относительно общих теорем о блочных
матрицах см. также [Gard] (теорема 2), [Науп] и теорему 0.12 на с. 19 этой книги).
127

(Напомним из § 1.3:
Pg(K К .- Д5) = |Л-Л|.) (1.27)
Доказательство. Будем следовать элементарному
доказательству, приведенному в работе [PeS 1]. Пусть матрицей смежности
мультиорграфа F является F = (Ьц) (i>j = 1, 2, ..., т) и предположим,
что G имеет п вершин. Из F \f G следует, что G имеет F-допустимую
раскраску красками 1, 2, ..., т. Обозначим класс Еершин
мультиорграфа G, которые имеют цвет i, через G\ (i = 1, 2, ..., m). Из каждого
класса G{ произвольным образом выберем вершину, например V(, и
занумеруем оставшиеся вершины V мультиорграфа G от т + 1 до п
таким образом, чтобы из i < k ^ т и из Ур £ #, \ {V,}, VQ £ Gk\
\ {Vk} следовало p<q. Обозначим матрицу смежности
мультиорграфа G, соответствующую этой разметке, через G = (gpq) (/?, q = 1,
2, ..., я). Матрица А = Л (G), определенная посредством (1.26),
имеет вид
A(G) = (Xip)6DQ)=(^
A(F)
О'
Л'"
где Х0) = АЯ (t = 1, 2, ..., m), всякий раз, когда вершина V; имеет
цвет t.
Рассмотрим определитель
\G-A(G)\=(-l)nP0G(K X2t ... , Я5).
Если к &-му столбцу, k — 1, 2, ..., m, прибавить все другие столбцы,
соответствующие вершинам цвета &, то
IG — Л (G) | =
Вы
fu-
и
/ml
/u-
/ц-
/21
L
/ml
/ml
чита*
-*(1)f12
/22—я,
/m2 •*
-*(1)/12
"X°,fM (2, "
/22—^
/;2-x(2'..
/m2 **
/m2
i t-ю строку, t =
/lm
/2m
/mm
/lm
/lm
/2m
/2m
' /mm
/mm
= 1,2,
gl,m+l
^2,m-hl
>(m) ГУ
■ Л gm,m+l
gm+l,m
•
•
•
- Я(т) ".
У(т) rr
' Л» g>7.m-H
.., m, из все
-ь<"
Smn
gm+l,n
8n
\(m)
128

вующих вершинам цвета t, в конечном счете получаем
F — A(F) В
О С —А'
|G-A(G)| =
= |F-A(F)|.|C-A'|, (4.4)
где В и С — матрицы с целочисленными значениями элементов;
таким образом,
Pg(K> К* ••• » ^s) = Pf(K> К* ••• » К) ' g(K> К> — » ^s)
с некоторым многочленом g с целочисленными коэффициентами, что
и доказывает теорему.
Замечание. Может показаться, что теорема 4.6 с учетом теоремы
4.7 может быть заменена более сильным утверждением, состоящим в
том, что для каждой «разумным образом» определенной задачи на
собственные значения Е локального характера (с одной или более
переменными Яст), связанной с мультиорграфами, Е*многочлен переднего
делителя F графа G делит Е-многочлен графа G. Однако это еще не
доказано даже для случая квадратичной задачи (1.18).
Для обобщенных делителей (см. § 4.3) имеем следующий результат.
Теорема 4.8. Пусть F uG — произвольные мулыпиграфы (или муль-
тиорграфы), для которых F\G (или F \fG). Тогда QF (X) |Q<? (К).
Доказательство совершенно аналогично доказательству
теоремы 4.7.
§ 4.6. Факторизация характеристического
многочлена с помощью делителя
Возвратимся к доказательству теоремы 4.7, предположив, что все
переменные совпадают: Хг = Х2 = ... = ks = X. Теперь из (4.4)
следует
\M — G\ = \M — F\ .\М — С\9
где / — единичная матрица соответствующего порядка и, значит,
Ра(К)=РР(К) .\М — С\. (4.5)
Все элементы матрицы С = {сц) целочисленны, но, возможно,
отрицательны. Матрицу С можно интерпретировать как матрицу
смежности обобщенного мультиорграфа С, который может иметь положи-
тельные дуги веса 1 и отрицательные дуги веса —1 (поэтому если Сц <
< 0, то имеется в точности | Сц\ отрицательных дуг из вершины i в
вершину /). Такие обобщенные мультиорграфы с положительными и
(или) отрицательными дугами назовем s-графами (графы, снабженные
знаками). При подобной интерпретации (4.5) принимает вид
PQ(k) = PF(}.).Pc(b). (4.6)
Оказывается, что мультиорграф С в общем случае не определяется
с помощью F и G (и присвоенной раскраски), но зависит от множества
выбранных вершин Vu V2, ..., Vm, которые представляют классы
красок. Ясно, что для данных F и G процедура, описанная в
доказательстве теоремы 4.7, дает лишь конечное множество G — С (F, G) s-графов
5 3-476
129

С, которые на основании (4.6) все коспектральны. Будем называть
каждый из них копередним делителем, или, короче, коделителем муль-
тиорграфа F (по отношению к G).
Заметим, что вся теория, развитая до сих пор, может быть без
труда обобщена на класс s-графов (предоставляем это сделать читателю).
Поэтому если начать с некоторых s-графа G и s-графа F (последний
является передним делителем мультиорграфа G), то получим классе (F,
G) коделителей С, которые снова все оказываются s-графами.
Возможно, даже удастся найти новый s-граф F\ являющийся собственным
передним делителем мультиорграфа F или одного из его коделителей
С, что позволит продолжить процесс факторизации. Например, если
F' \f С, то из (4.6) получаем
Ра (Я) = Pf (Я) - Рс (X) = РР (X) . РР. (X) . Рс. (X),
где С — некоторый коделитель графа F' по отношению к С, и т. д.*
Конечно, довольно скоро становятся видимыми границы метода:
поскольку оба многочлена Рр (X) = Хт + ... и Рс (X) = Хп~~т + ...
равенства (4.6) имеют целые коэффициенты, процесс факторизации
прекращается тогда, когда все найденные множители становятся
неприводимыми многочленами. Эта естественная граница действительно
достижима, что видно из рис. 4.5 на примере графа икосаэдра.
Однако весьма сомнительно, что она достижима всегда.
Рэмпель и Шволов [ReSc] перевели процедуру определения
коделителей данного переднего делителя F графа G с матричного языка,
на котором она представлена в доказательстве теоремы 4.7, на язык
непомеченных графов, сформулировав интуитивный алгоритм,
начинающийся с F-допустимой раскраски графа G = (X, %) и системы
Л = {Vlf V2, ..., Vm) представителей классов красок и
заканчивающийся на F и соответствующем коделителе С. Алгоритм состоит из
следующих шагов (см. рис. 4.4, на котором отрицательные дуги
изображены штриховыми линиями).
Шаг 1. Зафиксируем одну из F-допустимых раскрасок с
классами красок 6Ъ Съ ..., Gm графа G (существование такой раскраски
следует из того, что F\fG).
Шаг 2. Из каждого С\ произвольным образом выберем вершину
(назовем ее Vt и пометим звездочкой,на рис. 4.4 и 4.5 VL обозначена i*)
иположим Л = {Vu V2l_..., Vm}y Gt = 6\ \ [Vi) (i = 1, 2, ..., m),
Л = d U Ct U ... U Gm = X \ Л.
Ш а г 3. Удалим все дуги, которые исходят из Л и оканчиваются
в Л.
Шаг 4. Рассмотрим множество if всех дуг, исходящих из Л и
оканчивающихся в Л- Пусть и — любая дуга множества У, идущая,
скажем, из Vt £ Л к V £ 6V Заменим и множеством из \ Gt \ дуг, со-
* Иногда оказывается, что коделитель С не связен и состоит, скажем, из компо-
k
нент Cv С2, ..., Ck. В этом случае Рс (А,) = Т\РС (Я), и можно пытаться
проделке
жить факторизацию с помощью переднего делителя любого из s-графов Сх.
130

стоящим из (i) одной дуги из Vt к Vk, которая положительна, если и
положительна, и отрицательна, если и отрицательна, и (и) одной
дуги для каждой вершины множества G\, которая идет из этой
вершины к V и отрицательна, если и положительна, и положительна,
если и отрицательна.
Всякий раз, когда появляется пара кратных дуг, одна из которых
положительна, а вторая отрицательна, обе они удаляются. Так
следует поступить со всеми дугами множества &.
F В £ г F 2 °
Шаги /и 2 Шаг J Шаг 4
или
h & о %&
F G £ 2 Ь 2 с
Шаги 1и2 Шаг 3 Шаг 4
рр(Л)*=Л2-1 Рс(Л)=Рсг(Л) = Л%Л2+/
Рв(Л)*=(Л2-7)(Л*+Х2+В.
Рис. 4.4.
Алгоритм заканчивается на паре непересекающихся s-графов: один
из них — граф с множеством вершин Л, изоморфный графу F, а
второй — граф с множеством вершин Л, изоморфный некоторому коде-
лителю С графа F.
На рис. 4.5 приведена полная факторизация графа / икосаэдра:
здесь процедура заканчивается на s-графах Glt G2, ..., G9, которые
имеют неприводимые характеристические многочлены, а именно А,2 — 5,
X + 5 и X + 1 соответственно; поэтому
9
Pj (X) = П ра, (X) = (X2 — 5)3 (X — 5) (X + I)5.
Замечание 1. Коллац и Синоговиц [CoSi 1] и Хайльброннер [Hei 3]
описали специальные геометрические методы разложения на
множители характеристического многочлена «симметрического» графа (т. е.
графа с автоморфизмом а порядка 2). В работе [ReSc] показано, что
б* 131

эти методы эквивалентны
факторизации G посредством
переднего делителя F,
полученного из а при рассмотрении
орбит автоморфизма а как
классов красок (§ 4.4,
теорема 4.3); такой подход
применяется и в методе Мак-Клел-
ланда [МсС 21, являющегося
разновидностью процедуры
Хайльброннера [Hei 31.
Замечание 2. Существуют
преобразования,
определенные на классе s-графов G,
которые не изменяют
характер и сти ческого многочлен а
PG (к)у например:
транспонирование т: GT,
транспонированный граф
графа G, представляет собой s-
граф, полученный из G в
результате изменения
направления всех его дуг на
противоположное (матрица смежности
А заменяется
транспонированной матрицей Ат)\
«переключение» Sx по произвольной вершине х графа G: Gs* есть
s-граф, полученный из G заменой на противоположный знака каждой
дуги (но не петли), которая инцидентна х (в матрице смежности А
строка и столбец, соответствующие х9 умножаются на —1).
Часто такие преобразования удобнее выполнять до факторизации.
Заметим, что в случае (i) это просто приводит к факторизации
посредством заднего делителя: если, например, F|rG, то FT|/GT и
PfQ.) = Ргт(Ь)\Рпт(Ь) = Ро(Ь).
0G7 0GS
Рис. 4.5.
§ 4.7. Структура — делитель — спектр
В § 4.4 было показано, что из симметрии мультиорграфа G следует
существование соответствующих передних делителей, и это вновь
отражается в спектре мультиорграфа G: он должен содержать спектры
этих передних делителей (§ 4.5, теорема 4.7). Наряду с этими симмет-
риями граф (мультиорграф) может иметь и другие структурные
свойства, из которых следует существование специального переднего
делителя или которые эквивалентны существованию такого делителя;
многие из этих свойств в некотором смысле «подобны» свойствам
симметрии, выражаемым на языке группы автоморфизмов.
Рассмотрим, например, множество {Du D2, ..., De} всех сильно
связных мультиорграфов на двух вершинах, все передние валентности
132

которых равны 3 (рис. 4.6); если G — кубический мультиорграф, то
Dt\fG означает существование Drдопустимой раскраски графа G, ос-,
новываясь на которой легко проверить приводимое ниже
предложение 4.5.
Сначала определим следующие свойства.
Ег: G разлагается на линейный фактор * L и квадратичный фактор
Q, простые циклы (компоненты) которого могут быть раскрашены в
два цвета таким образом, чтобы каждое ребро фактора L соединяло
различные по окраске простые циклы фактора Q;
Е2: G разлагается на квадратичный фактор Q и линейный фактор
L, ребра которого можно раскрасить в два цвета таким образом,
чтобы каждое ребро фактора Q было ^^ ^-*^ zrx /—ч ^-*-^^с\
смежно с двумя различно окрашен- (OClZ^Q/ vjCZ^©1
ными ребрами фактора L; ^^ J7 ^^ ^-^V^^/^-^
Е3: G — двудольный граф; / В4
ЕА, Еъ: G содержит множество
непересекающихся копий деревьев
соответственно Г4 или Тъ
(изображенных на рис. 4.7),
покрывающих все вершины графа G;
Ев: G имеет п = 10& вершин,
которые можно разбить на два клас-
са Л и Я, | Л | = 4k и | Я | = 6£,
где Si покрывает в G регулярный
подграф степени 1.
Предложение 4.5. Dt |/G, Рис
i = 1, 2,..., 6, тогда и только
тогда, когда G обладает свойством Et. Спектрами графов D( являются
Spp(D,) = {3, р,},
где рх = 1, р2 = — 1, р3 = — 3, р4 = 0, р6 = —1, рв = — 2. Отсюда
заключаем: если граф G обладает свойством Eif то р* — одно из
его собственных значений (г =1,2, ... , 6).
Несколько обобщим это утверждение. Пусть Т, 7", V — деревья;
будем говорить, что граф G имеет Т-покрытие {или (Т', Т')-покры-
mue), если G содержит множество & непересекающихся копий дерева
Т (или 7", Т"), которые все вместе покрывают все вершины графа G
(и где в случае (Т", Г^-покрытия if является объединением двух
непересекающихся множеств У, if" всех деревьев из У' и &*%
изоморфных соответственно V или Т"\ при этом каждое ребро графа G,
не покрытое ни одним деревом, соединяет дерево из &' с деревом
из £Г).
Ясно, что линейный фактор регулярного графа есть /(2-покрытие,
поэтому понятие Г-покрытия в некотором смысле обобщает понятие
линейного фактора.
* Заметим, что линейный или квадратичный фактор регулярного графа G
представляет собой частичный граф графа G, являющийся регулярным графом степени 1
или 2 соответственно. ' " i
133

< В этой терминологии перечисленные выше свойства Еъ ..., Еь
означают следующее:
Е2: G имеет (К2, /С2)-П0КРытие^
Е3: G имеет {Къ /(^-покрытие;
ЕА: G имеет ^-покрытие;
с Eb:G имеет Гб-покрытие;
Еъ:0 имеет (/Ci, /С2)-покрытие.
Определение. Симметрическим деревом Т = Т?,т степени г (q = 1
или 9 = 2; г ^ 3, т ^ 0) называется дерево со следующими
свойствами:
1) каждая вершина дерева Т имеет валентность 1 или г;
2) Г имеет центральный элемент с, который является вершиной,
если 9=1» или ребром, если q = 2; расстояние между с и каждой
вершиной валентности 1 равно m (рис. 4.7 и 4.8).
ИЛ Ф=&
7=7* 7«77 f' гг
Рис. 4.7. Рис. 4.8.
' В работе [FiSa] исследованы Т- и (Т", 7")-покрытия регулярных
графов степени г, где Г или 7", Г" соответственно — симметрические
деревья степени г. Оказалось, что свойство графа обладать таким
покрытием эквивалентно существованию специального переднего
делителя; поэтому необходимое условие для G иметь Т- или (7", Г")-покрытие
может быть сформулировано в терминах спектра графа G. В
частности, в случае Тг,т-покрытия спектр соответствующего переднего
делителя может быть вычислен в явном виде.
\ Если связный граф G, являющийся регулярным степени г, имеет
Т2г,т'ПОкрытие, то каждое из чисел
2V7^\cos1^-T (И = 1, 2, ... , т)
(все различны) содержится в Spp (G).
«■ Иногда случается, что G может быть покрыт симметрическими
деревьями (с фиксированными параметрами) более чем одним способом;
это указывает на то, что собственные значения соответствующего
делителя (не равные г) появятся в спектре графа G с кратностью, большей 1.
Замечание. Как было отмечено выше, линейный фактор является
"/^-покрытием, т. е. Гг2,0-покрытием. Однако в этом случае
приведенное выше утверждение не имеет места.
134

§ 4.8. Другие результаты и задачи
1. В качестве примера использования понятия делителя в теории
кодирования* опишем в общих чертах элементарное доказательстве
теоремы Ллойда, принадлежащее Цветковичу и ван Линту [CvLi].
Сначала введем некоторые понятия. Рассмотрим множество 3
различных символов, которое назовем алфавитом. Элементы множества
&п будем называть словами длины п. В 9Гп определено расстояние Хэм-
минга d:
d(x, y) = \{i\Xi^yh 1<*'<л}|.
Подмножество G множества &а называется совершенным е-кодом,
если шары
9Ac)-- = (x£?n\d(x9 с)^е),
где с пробегает С, образуют разбиение множества <Fn.
В 1957 г. Ллойд [Lloy] доказал одно сильное необходимое условие
существования двоичного (т. е. Ъ = 2) совершенного е-кода; после
1972 г. несколько авторов (см. [Bass, Del 1, Lens, а также Big 3, Sm,
D 2]) доказали, что результат, который обычно называется теоремой
Ллойда, справедлив для всех &.
Теорема Ллойда. Если существует совершенный е-код длины п
над алфавитом из Ь символов, то е нулей xf многочлена
являются различными положительными целыми числами, меньшими
или равными п.
Набросок доказательства. Из известных
результатов следует, что нули xf многочлена г|)т& (х) все различны и не равны
0; остается только показать, что х} £ {1, 2, ..., п).
Предположим, что G — совершенный е-код; определим
расстояние d (х, G) элемента х из G как
d(x, G): =min {d(x9 c)\c^G)
и обозначим
Gi: = {x^Fn\d(xf G) = i] (i= 1, 2, ... , e).
Ясно, что множества Gt образуют разбиение пространства &п.
Рассмотрим теперь сумму G п копий графа Кь- согласно п. 10 § 2.6
различными собственными значениями графа G являются числа
Xf = b(n — /) — n = bn — п — bj (/ = 0, 1, ... , п).
Вершины графа G можно представлять как элементы пространства &*9
тогда разбиение G0t Glt ..., Ge определяет передний делитель Н
* Общие понятия теории кодирования можно найти, в частности, в работе [Lint)
(теорема Ллойда на с. 111).
135

графа G с матрицей смежности
{о п(Ь— 1)
I Ь —2 (n—l)(b—l)
2 2(6 — 2)
О
(я _ 2) (6-1)
е — 1 (е— 1)(Ь—2) (п — е+ 1)(Ь— 1)|
е л (Ь— 1) — е
Поскольку спектр графа Н содержится в спектре графа G, каждое из
е + 1 собственных значений \kt графа Я, т. е. каждый из нулей
многочлена Рн (|ut) = | |xZ — В |, равен одному из чисел Kf:
Pi*=bn — n — bjh /,е{0, 1, ... , п).
•то значит, что каждый корень хь уравнения
Рн (bn — n — Ьх) = О
равен одному из чисел 0, 1, ..., я. Вычисляя определитель | (Ь — п —
r^ bx) I — В \ (см. [Big 3] или [CvLi]), можно показать, что
Рн (Ьп — п — Ьх) = е\ • х • ^епЪ (х),
откуда заключаем, что ^епь(х) имеет е различных нулей xh где
х}£{1, 2, ... , л}. Это и доказывает теорему.
2. Показать, что главная часть спектра графа G (см. § 1.8)
содержится в спектре любого переднего делителя этого графа.
(Цветкович [Cve 18])
3. Предположим, что регулярный граф G степени г с п вершинами
имеет два непересекающихся независимых множества (fl9 if%9 каждое
из которых состоит из m вершин; кроме того, выполняется следующее:
1) каждая вершина множества if\ смежна в точности с k
вершинами множества if j (i, / = 1, 2; i Ф /);
2) каждая вершина, не принадлежащая (ft U if ^ смежна в
точности с s вершинами каждого из множеств ifx, (f2 (в этом случае
говорят, что G имеет двойное пг-свойспгво). Показать, что (п — 2m) s =
= m (г — k) и что G имеет собственные значения k — 2s и —k.
(Зайдель, частное сообщение)
4. Пусть EPtq = Eq,p — свойство мультиграфа G, состоящее в
следующем: множество вершин X графа G может быть разбито на два не-
186

пересекающихся непустых множества Хр% Хд9 которые порождают
подграфы Gp, GQ графа G — регулярные графы степеней р, q
соответственно. Ясно, что G имеет свойство E0t0 тогда и только тогда, когда
G — двудольный граф; поэтому свойство EPtQ в некотором отношении
обобщает двудольность.
Теперь предположим, что G—связный регулярный граф степени г.
При г = 3 необходимо рассмотреть все возможные комбинации из /?, q
(р, q = О, 1, 2), и тогда получится шесть свойств, являющихся в
точности свойствами Еъ Е2, ..., Ев, рассмотренными в §4.7.
Свойство EPtg эквивалентно свойству графа G иметь специальный
передний делитель, а именно мультиорграф с матрицей смежности
( р г — р\
I _ J. Поэтому из EPtQ следует, что р + q — г £ Spp (G).
(Финк, Захс [FiSa])
5. Пусть G — связный регулярный граф степени г. Если G имеет
(Г'.о, ГгЛ)-покрытие, то {—г, 0}czSpP(G);
■••(Tj.1, Г^2)-покрытие, то { — г, -J/7, О, У?) a SpP(G);
• • - (Г^о, Т2гЛ)-покрытие, то {1 — г, \) a SpP (G);
• • • (7%, Г2гЛ)-покрытие, то {4" (Х ~ r ~ Vr% + 2r — 3),
-^(\-r + Vr* + 2r-Z)}czSpp{G)-
•••(rU Г?,2)-покрытие, то {—г, — ]/г — 1, Vr— l}aSpP(G).
В первом, втором и пятом случаях G — двудольный граф (на это
указывает то, что —г £ SpP (G)).
(Финк, Захс [FiSa])
6. Если G — произвольный связный мультиграф, то следующие
четыре утверждения эквивалентны:
1) G — двудольный граф;
2) K2\G;
3) -l£SpQ(G);
4) SpQ (G) симметричен относительно нулевой точки
действительной оси.
7. Найти передние делители, которые в пределах множества всех
связных мультиграфов характеризовали бы множества мультиграфов,
являющихся: а) регулярными степени г; б) полурегулярными
степеней г, s (г, s > 0); использовать эти делители для факторизации
соответственно /Сг+1 и Kr,s посредством алгоритма Рэмпеля — Шволова
и выполнить необходимую процедуру для полного ^-дольного графа
*\пх,пг nk-
8. Существуют графы без нетривиальных автоморфизмов, которые
имеют нетривиальный передний делитель. Пусть, например, G —
любой кубический граф, который не имеет автоморфизма, отличного от
тождественного, и G' означает его «граф подразбиения», полученный
из G в результате подразбиения каждого из его ребер посредством
137

добавления вершин валентности 2; ясно, что G' также не имеет
нетривиального автоморфизма. Однако С, являющийся полурегулярным
степеней 2 и 3, имеет нетривиальный передний делитель, а именно муль-
тиорграф с матрицей смежности (^ z\.
9. Пусть G — связный мультиграф с п вершинами; произведение
С X К2 (см. § 2.5) является двудольным графом; С означает
компоненту произведения G X /С2. Тогда компонента С изоморфна G, если G —
двудольный граф, и С = G X /С2 в противном случае. В обоих случаях
0\С и
Рсхк2(^) = (-1Г^(Я)-Рс(-Я).
Верной несколько более общее утверждение. Если G и Н — связные
мультиграфы без изолированных вершин и по крайней мере один из
них не является двудольным, то G X Н связен; если же и G и Н
являются двудольными графами, то G X Н распадается в точности на две
компоненты, также являющиеся двудольными графами. Пусть С
означает компоненту графа G X Я, тогда G \С, Н \ С и согласно
теореме 4.8
QgMIQgxhW и Qh(X)\Qgxh^);
если G и Н — оба двудольные графы, то
Qg(^)\Qgxh(K) и Qh(X)\Qgxh(^).

ГЛАВА 5
СПЕКТР И ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ
Полученные результаты и используемые при этом методы, позволяю*
щие выяснить связь спектра графа (орграфа, мультиграфа, мультио-
графа) с его симметриями, выраженными в терминах группы
автоморфизмов Г, многочисленны и разнообразны. Поэтому приведем здесь
лишь основные результаты и методы общей теории и опишем главные
пути ее развития.
Начнем с непосредственных исследований, касающихся в основном
простых собственных значений, а затем перейдем к эффективным
методам теории линейных представлений конечных групп
(предполагается, что читатель знаком с основными понятиями теории
представлений). Ниже будет показано, что существует большое различие в том,
рассматривается ли Г как конкретная группа перестановок или просто
как абстрактная группа; в частности, будет отмечено, что для любого
семейства конечных абстрактных групп уъ у2, ..., yk всегда
существует k попарно неизоморфных коспектр ал ьных графов Gl9 G2, ..., Gk так
ких, что уь — группа автоморфизмов графа Gt (i = 1, 2, ..., k) (Ба-
баи; см. § 5.4 настоящей монографии).
В этой главе, однако, не обсуждается вопрос о том, как эти
результаты могут быть использованы для построения семейств
неизоморфных коспектральных графов (за исключением нескольких
замечаний в § 5.4 и 5.5), поскольку данная проблема рассматривается а
гл. 6.
Общий обзор читатель может найти в прекрасной книге Биггса
[Big 5].
§ 5.1. Симметрия и простые собственные значения
В этом параграфе с помощью элементарных методов
устанавливаются некоторые замечательные соотношения между спектром Spp (G)
графа (мультиграфа) G и его группой автоморфизмов Г = Г (G). >
Группа Г реализуется множеством всех матриц перестановок Р,
которые коммутируют с матрицей смежности А графа G (см. § 4.4): :
Р£Г&РА=АР. (5J)
В дальнейшем буква Р будет использована для обозначения как
матриц перестановок, так и самих перестановок. Если же группа
т

автоморфизмов рассматривается как абстрактная, то ее элементы
будем обозначать малыми буквами у, р и т. д.
Пусть для произвольного мультиграфа G с нетривиальной группой
автоморфизмов Г х означает собственный вектор матрицы Л,
соответствующий собственному значению %, и Р £ Г; тогда из Ах = Хх следует
А • Рх = РАх = РХх = ХРх.
Это означает, что наряду с х все векторы Рх (для Р £ Г) также
являются собственными векторами графа G. Если векторы х и Рх
оказываются линейно независимыми (что соответствует в некотором смысле
«общему» случаю), то кратность пг значения X должна быть больше 1.
В дальнейшем это замечание будет иметь важное значение.
A. Пусть G — мультиграф и X — его простое собственное значение,
которому соответствует действительный собственный вектор х =
■= (хъ #2» •••» хп)Т- Тогда для любого Р £ Г (G) собственные векторы х
и Рх линейно независимы, т. е. существует действительное число ц
такое, что Рх = \ix. Пусть С — некоторый цикл перестановки Р\
предположим, не нарушая общности, что С = (1, 2, .... t) и частичный
вектор х' = (хъ х2, ..., xt)T собственного вектора х —ненулевой. Из
Рх = \ix следует
Сх' = \хх\ (5.2)
откуда С1х' = х' = \хгх'. Это означает, что \хг = 1, а значит,
f|i= 1, если t нечетное,
Рх = jjuz, где { (5.3)
1ц = ± 1, если t четное.
Из (5.2) следует:
0) если t нечетное, то хг = х2 = • • • = Xt—\ — xt\ если t четное,
то хг = х2 = • • • = xt—\ = xt или хг = —х2 = • • • = xt—\ = —xt.
B. Пусть собственные значения графа G все различны, тогда
Рх1 = |It4^, [1( = ± 1,
и, следовательно, Р2#' = а?' для всех Р £ Г и всех собственных
векторов х{ матрицы А. Это означает, что все пространство, натянутое на
собственные векторы, инвариантно относительно Р2, следовательно,
Р2 = /. Этим самым доказано первое простое утверждение.
Теорема 5.1 (Мовшовиц [Mow 3]; Петерсдорф, Захс [PeS 21). Если
собственные значения мультиграфа все различны, то все его
нетривиальные автоморфизмы Р являются инволюциями, т. е.
Р£Г=>Р2 = 1.
Отсюда, в частности, следует, что Г — абелева группа.
C. Возвратимся к пункту А. Рассмотрим Г как группу
перестановок, действующую на множестве вершин графа G. Для каждой пары
рершин i, /, содержащихся в одной и той же орбите группы Г,
существует перестановка Р £ Г; которая имеет цикл, содержащий как /, так
и /. Таким образом, из (i) получаем:
00 для любой орбиты Q группы Г и для каждой пары вершин i.
140

/ £ Q соответствующие координаты xit xf собственного вектора х
удовлетворяют равенствам х{ = xf или xt = —xf (возможно, xi = xf = 0).
Ясно, что все вершины, принадлежащие одной орбите, имеют одну
и ту же валентность.
D. Предположим, что G связен, а Г — транзитивная группа;
тогда G — регулярный граф некоторой степени г, являющейся простым
собственным значением графа G с соответствующим собственным
вектором / = (1, 1, ..., 1)т. Пусть X Ф т. Из (и) следует, что
l*il = l*il= -•• =|*„|>0; (5.4)
можно предположить, что xt = ±1. Поскольку х и у
перпендикулярны, получаем
*i + х2 + • • • + хп = 0.
В силу (5.4) это возможно лишь в случае, когда п четное и число
положительных координат собственного вектора х равно числу его
отрицательных координат.
Если п = 2т, то существует в точности т вершин i с х{ = 1 и в
точности т вершин k с xk = —1 (if k £ {1, 2, ..., 2m}). Среди г вершин,
соседних с i, для которых х1 = 1, имеется определенное число вершин
Г, скажем #, с Хе = 1, а для оставшихся г — ^ соседей k' вершины I
имеем Xk> = —1. Из уравнения Xxt = 2*/ (эквивалентного Хх — Ах)
получаем X • 1 = ^ • 1 + (г — q) (—1), т. е. X = 2q — г, и,
следовательно, доказана
Теорема 5.2. (Петерсдорф, Захс [PeS 21). Если G — связный
регулярный мультиграф степени г на п вершинах, который имеет
транзитивную группу автоморфизмов, и, далее, X — простое собственное
значение графа G, то X = г, если п нечетное, X = 2q — г, q £ {0, 1,...
..., л}, если п четное.
E. Для случая п = 2т рассуждения могут быть продолжены
следующим образом.
1. Положим Д?+ = {i | xt = +1}, Х~~ = {k |xk = —1} и рассмотрим
порожденные подграфы G4", GT и частичный графи* графа G,
покрываемые множествами Д?+, Х~ и множеством ребер, связывающих
<3?+ с 0С~ соответственно. Ясно, что G* и G являются
непересекающимися регулярными подграфами степени г+ = г— = q на т
вершинах каждый, тогда как G* — регулярный двудольный граф на 2т
вершинах степени г* = г — q. Если / — число ребер графа G+, то
перечислением полуребер получаем 21 — mq\ следовательно, если т
нечетное, то q должно быть четным, например, q = 2ft, и можно
заключить, что X имеет вид 2q — г = 4А — г.
2. Положим, что кроме X имеется еще некоторое другое простое
собственное значение X Ф г. Пусть х = (xlf х2, ..., хп)Т, х{ = ±1,—
собственный вектор, соответствующий X, Так же, как это было сделано
для X и х9 снова определим для Хпх соответствующие множества «3?+,
141

X и графы G+, G , G* со степенями г+ = г" = <7, г* = г — q
соответственно. Посредством х и х множество вершин X графа G
разбивается на четыре непересекающиеся множества
Х~+: = Х-(]Х+, Х—:=Х-(\Х-.
Ни одно из этих множеств не является пустым, так как в противном
случае Х+ = #+ Х~ = Х~ или Х+ = Х~, Х~ = #+ т. е.
х = х или а? = — ж, откуда следовало бы, что X = X.
Для PgT(G) согласно (5.3) Рх — ±х\ это означает, что
перестановка Р отображает или Х+ на Х+ и Д?~ на X", или 3?~h на
Х~ и и£?~~ на «3?+. Соответствующий аналог имеет место и для
кЛ/ , ел/
Пусть igot?"1""1", /€#?+~\ Так как группа Г транзитивна, то
существует перестановка Р' такая, что Р' (i) = /; ясно, что Р'
отображает Х+ на себя и переставляет иР+ и X , поэтому она
переставляет Х^ и и!?+"". Отсюда следует, что | Х++ \ = | Х+~ | и,
значит, т = I #+1 = | #++ U Х+" | = | #++1 + | #+-1 должно быть
четным.
3. Ограничиваясь рассмотрением одних лишь графов (без петель и
кратных ребер), получаем еще одно условие, которому должно
удовлетворять простое собственное значение X Ф г: если G — граф, то G+,
G~~ и G* — также графы и, следовательно, их степени должны
удовлетворять условиям г+ = г~ = q <^ т — 1, г* = г — q ^. т. Тогда
г — n = r — 2т<2<7 — г = ?с < 2/л — 2 — г = л — г — 2*.
На основании теоремы 5.2 — г ^ А, ^ г — 2, поэтому
max (—г, г — п)^Я^min (г — 2, я — г — 2),
Объединяя эти результаты, получаем следующее утверждение.
Теорема 5.3 (Захс, Штибиц [SaSt]). Пусть G — связный
регулярный мулыпиграф степени г с п = 2т вершинами, группа
автоморфизмов которого транзитивна.
1. Если т нечетное, то G имеет самое большее два простых
собственных значения, а именно Хг = г и, возможно, еще одно вида
X = 4h-r, ftg{0, 1,2, ... , U^-l}**.
* Неравенство г — я <^ X ^ п — г— 2 в действительности справедливо для
каждого собственного значения X Ф г любого регулярного графа G степени г
(см. § 2.7, п. 3).
** Совсем недавно Захс и Штибиц [SaSt] получили следующий более общий
результат: если G — связный мулыпиграф с п вершинами, группа автоморфизмов Г
которого транзитивна, и п = 2дт, где т — нечетное целое число (q £ {0? 1, 2, ...})»
142

2. Если G — граф и X — его простое собственное значение, то X =
= г или
max {—г, г — п)^ X^min (г, п — г) — 2.
Заметим, что последнее неравенство более ограничительно, чем
неравенство —г ^.Х^. г — 2, которое следует из теоремы 5.2 тогда и
только тогда, когда г > т.
Другие результаты по спектрам графов с транзитивной группой
автоморфизмов и, главным образом, по спектрам графов Кэли,
выраженных на языке характеров группы, содержатся в пп. 5 и 6 § 5.5 (см.
также п. 10 § 5.5).
Приведем без доказательства следующее утверждение, касающееся
мультиграфов, допускающих циклическую перестановку.
Теорема 5.4 (Захс [Sac 1]). Пусть G — связный регулярный мульти-
граф степени г с п вершинами, группа автоморфизмов которого
содержит циклическую перестановку. Тогда
РоМ = П(Ы*))Ч
где fd (X) = Xud -f ... — многочлен с целочисленными коэффициентами,
неприводимый над полем рациональных чисел. Степени ud многочлена
fd (X) и показатели степени vd удовлетворяют условию udvd = <р (d),
где ф (N) — функция Эйлера (равна числу неотрицательных целых
чисел, меньших N и взаимно простых с N). Кроме того, fx (X) = X — г,
vx = 1 и если п четное, то и v2 = 1; для d > 2 vd — четное число.
Нули многочлена fd (X) являются действительными суммами г d-x
корней из единицы (последнее утверждение приведено также в работах
iDjok, Loval).
О приложениях теоремы 5.4 см. § 7.1, теорему 7.2.
F. Будем называть графи = (X, %) слабо симметрическим, если
его группа автоморфизмов Г действует транзитивно или на множестве
вершин, или на множестве ребер графа G, т. е. если для любой пары
ребер (i, /), (k, I) £% группа Г содержит перестановку Р' такую, что
Р' (i) = k, Р' (/') = /, или перестановку Р", для которой Р" (i) = /,
Р" (/) = fo гРаФ G называется симметрическим, если слово «или» в
действительности может быть заменено словом «и».
то G имеет самое большее 2? простых собственных значений. Граница достигается
мультиграфами Gq, определяемыми следующим образом: G0 состоит из изолированной
вершины; если Aq — матрица смежности мультиграфа Gq, то матрицей смежности
мультиграфа Gg.l является
А -(2А" М
А«+1 ~ [ I 2А„) •
Заметим, 4ioGq — двудольный регулярный мультиграфс2<7 вершинами степени rq =
= 2^ — 1; Gq превращается в граф ^-мерного куба при замене всех кратных ребер
одиночными; Gq имеет равноотстоящий спектр [rq, rq — 2, rq — 4, ..., —rq].
В [SaSt] определена также другая (лучшая) верхняя граница для числа
собственных значений, зависящая от Г и являющаяся в то же время нижней границей для
числа рациональных собственных значений (с учетом их кратностей).
143

Теорема 5.5 (см. Биггс [Big 5] *, а также Смит [Sm, Л) Пусть G —
связный слабо симметрический граф степени г иХ — простое
собственное значение графа G. Тогда X = г, если G не является двудольным,
и К = г или X = —г, если G — двудольный граф.
При доказательстве будем пользоваться принятой выше системой
обозначений (см. п. Е). Согласно теореме 5.2 утверждение справедливо
при нечетном п. Пусть п = 2/л; предположим, что X Ф г и рассмотрим
множества вершин Х+ и Х~. Так как X Ф г, то q < г\ следовательно,
степень г* = г — q графа G* положительна. Предположим, что q >
> 0; тогда существуют три различные вершины il9 i2 £ «3?+ и k £ Х~
такие, что ребра (i1% i2) и (iu k) принадлежат G. В силу высказанного
предположения существует перестановка Р £ Г такая, что
(а) Р (1г) = ilf Р (1Ш) = k или (б) Р (ix) = k, Р (i2) = i,;
согласно (5.3) Рх = \ix с \i = ±1 и, следовательно,
в случае (а) */, = \ixtt и х^ = \ixk;
в случае (б) **, = \xxk и *,-в = [ix^.
В обоих случаях лг^х*, = Xitxkt что является противоречием,
поскольку xit = *t-8 == 1, X/j = —1. Отсюда заключаем, что # = 0, а это
означает, что G = G*, т. е. G — двудольный граф и X = 2q— г =— г.
Этим самым теорема доказана.
Относительно теоремы об орграфах, обобщающей теорему 5.5, см.
работу [SaSt].
G. Обратимся теперь к общему случаю (не налагая ограничений
на Г, но всегда предполагая, что X — простое собственное значение) и
продолжим исследования, начатые в п. С. Пусть Г имеет орбиты Qlt
Q2, ..., Qs. Согласно (ii) каждой орбите Qa соответствует
неотрицательное число уа такое, что х( = уа или xt = —уа всякий раз, когда
вершина i принадлежит орбите Qa. Пусть га — общая валентность всех
вершин орбиты Qa. Будем называть числа г19 г2, ..., rs орбитными
валентностями графа G. Из каждой орбиты Qa выберем произвольную
вершину / = ia и предположим, что среди соседних вершин /
вершины i0t принадлежащих орбите QT, имеется в точности аОТ вершин с
Xj = Ух и, если уТ Ф 0, в точности &от вершин с xf = —ух\ при уТ =
-= 0 будем полагать &ат = 0 (а, т = 1, 2, ..., s). Тогда xi(J = гау0 с
га = ±1, следовательно,
Хеауа = Xxia = £ X/ = Е (Оат — &ат) Ут (а = 1, 2, .. .,s), (5.5)
* В работе [Big 5] предполагается, что G — симметрический граф, однако для
доказательства это не имеет значения. Легко показать, что любой связный регулярный
слабо симметрический граф нечетной степени является симметрическим (см. Tut-
te W. Т. Connectivity in Graphs. Toronto: Univ. Toronto press; London: Oxford univ.
press, 1966, p. 59—60). Согласно устному сообщению Биггса (август, 1978), Холт
(Оксфорд) нашел связный регулярный граф степени 4 на 27 вершинах, который
является слабо симметрическим, но не симметрическим.
144

где
s
S (Яат + box) = Го, аат>0, &ах > О (а, Т = 1, 2, . . . , S). (5.6)
т=1
Полагая da : = аот — Ьах, (5.5) можно переписать в виде
S
Цо = £ 8<Д,хУа (a = 1, 2, ... , s). (5.5)'
х=1
Числа Ост, bax, dax удовлетворяют соотношениям
S
S (аат + &ах) = ^0, ^ат = Лат — &ах, (5.7)
т=1
а'от > 0, &ат > 0 (а, т = 1, 2, ... , s).
Ясно, что эта система имеет лишь конечное число решений, которые
можно легко перечислить; наряду с решением (aaT, &aT, dax) имеется
также решение с d'ox = —dax (а фиксировано, т = 1, 2, ..., s). Таким
образом, можно в (5.5)' опустить множитель еа и утверждать, что у#
и X удовлетворяют системе уравнений с целочисленными
коэффициентами
%Уо = £ datf/x, (5.8)
х=1
или, кратко, если положить D := (daT),
Ху = Zty. (5.8)'
Следовательно, | %1 — D | = 0. Этим самым доказана
Теорема 5.6 (Петерсдорф, Захс [PeS 2]). Пусть G — мультиграф
с орбитными валентностями г1У г2, ..., rs и % — простое собственное
значение графа G. Тогда X удовлетворяет уравнению
порядка s с целочисленными коэффициентами, где D = (do%) —
решение * системы (5.7). Множество всех решений системы (5.7) конечно
и зависит лишь от орбитных валентностей графа G.
Для заданных положительных чисел ги г2, ..., rs обозначим через
Угигъ г множество всех собственных значений всех матриц D,
которые являются решениями системы (5.7). Это конечное множество
может содержать множество всех простых собственных значений муль-
тиграфа G с орбитными валентностями rlf г2, ..., rs.
Множество &rx,rtt ;ч было исследовано Краусом и Цветковичем
[КгС2], которые, кроме других результатов, получили следующее:
1) все целые числа &, | k | ^ max (rl9 г2, ... , rs), содержатся в
Vrur%t.... rs; 2) если l£ifrurz, ...v то и -^^V!l...,,s и 3) для
(ru r2) = 0> 2)» О» 3)» (2, 2), (2, 3), (3, 3) каждому числу а, содер-
* Мы говорим, что (daT)—решение системы (5.7), если найдутся целые числа
аат, bQ% такие, что 3s2 чисел аат, &ах, dax удовлетворяют (5.7).
145

жащемуся в £^r„r2, соответствует по крайней мере один граф (петли
допускаются) * с орбитными валентностями гъ г2, для которого а —
'€го простое собственное значение. Кроме того, в [КгС2] перечислены
все множества &Гг,гг (1^гь г2^Ъ), наибольшим из которых
является 6^5,4 = 6%.5 с 203 числами (см. приложение, табл. 7). Например,
#з,з = {О, ±1; ±2, ±3, ±1/3, ±V% ±1 ±V% ±^±Т У^\
<см. также [Pete, PeS 2]).
Н. Следующая теорема будет доказана в § 5.2 (с. 151).
Теорема 5.7 (Петерсдорф, Захс [PeS 2]). Если G — мультиграф и
перестановка Р, Р £ Г (G), состоит в точности из а (Р) нечетных и
Р (Р) четных циклов, то G имеет самое большее а (Р) + 2|3 (Р) простых
собственных значений.
Замечание L Если G имеет п вершин и все его собственные
значения различны, то из теоремы 5.7 следует, что а (Р) + 2|3 (Р) ^ п
для каждой перестановки Р £ Г (G). Это возможно лишь в случае,
когда каждый нечетный цикл имеет длину 1, а каждый четный — длину 2,
т. е. если Р2 = /, что в точности соответствует содержанию
теоремы 5.1.
Замечание 2. Результаты данного параграфа уже показывают, что,
вообще говоря, мультиграф G с «богатой» группой автоморфизмов Г
имеет лишь незначительное число различных собственных значений.
Можно было бы ожидать, что верно также и обратное утверждение.
Действительно, если G имеет лишь два различных собственных
значения (случай только одного собственного значения тривиален), то
группа Г является наиболее богатой из возможных — симметрической.
Однако среди сильно регулярных графов, которые имеют в точности три
различных собственных значения (см. теорему 3.32, § 3.4),
обнаруживаются также и сильно регулярные графы с тривиальной группой
автоморфизмов (в частности, Паулюс [Paul] в качестве примера
построил такой граф на 26 вершинах).
§ 5.2. Спектр и представления группы автоморфизмов
Воспользуемся теперь теорией линейного представления конечных
групп, являющейся эффективным средством установления многих
соотношений между спектром мультиграфа (мультиорграфа) и его
группой автоморфизмов. Будем исходить из того, что читатель знаком с
основными понятиями и теоремами теории представлений (из многих
существующих превосходных учебников и монографий по теории
представлений и ее приложениям укажем лишь на следующие: [Boer,
CuRe, HaL, Scho, Wign, Бефо, Найм1).
Напомним, что прямая сумма (диагональная сумма блоков) М± +
+ М2 + ... + Ms квадратных матриц Ми М2, ..., Ms определяется
* Недавно Шульц (fSchu]) установил, что для каждого а^3з существует
обыкновенный граф с орбитными валентностями гг = г3 = 3, для которого а — его
простое собственное значение.
146

как квадратная матрица вида
Г мг ° ~1
М2
L.0 MsJ
ЕСЛИ М! = М2 = • • • =Mai= Nly Mfll-H = ^at+2 = • • • = *f e,+af =
= N2t ..., Ms_fl/+1 = Ms-a,+2 = • • • =MS = Nh то будем писать
Заметим, что в этих обозначениях а ° N = Ia(g) N, что не следует
смешивать с aN.
Если семейство Л квадратных матриц является представлением
абстрактной группы 7» то матрица R £ Л, представляющая элемент
р £ V» обозначается как R (/?); если у = {/?1э р2, ..., /?g}, то $ =
= {Я1э Д2, ..., Rg}t где Я, = Я (Pi).
Имеется несколько матриц блочно-диагонального вида, подобных *
рассматриваемым матрицам и играющих роль в последующих
исследованиях. Перечислим их.
1. Пусть Jm (X) означает жорданову матрицу порядка т е
параметром X, которая является квадратной матрицей (кц) с hu = h22 =
= ... = hmm = X, h21 = h32 = ... = ftm.w-1 = 1 и htf = 0, если i ф\у
j + 1. Любая квадратная матрица порядка п может быть приведена
к своему каноническому виду (жордановой нормальной форме)
J = J (А) = Jmi (Х*{) + Jm, (ti) + • • • + Jmq (К), (5.9)
где т1 + гп2 + ... + mq = п, а X* — собственные значения матрицы
А (не обязательно различные).
2. Если А является симметрической матрицей (например,
матрицей смежности мультиграфа) или матрицей перестановки, то она
подобна диагональной матрице
АТ = X(l)lmt + X{2)Im, + .. - + Х^1т$у (5.10).
где Х{а) — различные собственные значения матрицы А с
кратностью ma.
3. Если Л — представление группы у матрицами порядка я, та
существует невырожденная матрица U, которая одновременно
преобразует все матрицы R (р), р £ у, в блочно-диагональные матрицы вида
Ru(p) = ai о Я(1) (р) +a2oR(2>(p)+ ... +ako Rik) (р); (5.11>
* Квадратная матрица В называется подобной матрице А> если существует
невырожденная квадратная матрица 7\ которая преобразует А в В, т. е. такая, что
Т~~ХАТ = В или AT =■ ТВ, Мы иногда пишем Ат : = Т~~ХАТ% что не следует
смешивать с обозначением транспонированной матрицы А' матрицы А.
147

семействами ЛЫ) = {Rm (p)\ p £ у} являются k неэквивалентных
неприводимых представлений группы у; в этом случае мы
говорим, что Я™ — неприводимая компонента представления Л с
кратностью ах (заметим, что о* = 0 означает, что Л не имеет
неприводимых компонент, эквивалентных Л{у,\ поэтому в (5.11) члены
Юк о R(yi) (р) с а* = 0 могут быть опущены). Вместо (5.11) запишем
№~al*&l) + aa.&* + ... +ak°®k) (5.11)'
я назовем это разложение вполне приведенной формой представления
Л. Здесь k — число классов сопряженных элементов в у\ порядок лх
матрицы Д(х) (р) равен порядку семейства Л{у) (т. е. размерности
соответствующего инвариантного подпространства пространства S") и
агпг + а2п2+ ... +aknk = n;
кроме того,
я? + п\ + ... + п\ = g9
где g — порядок группы V-
4. Если Г — представление группы у матрицами перестановок Р,
то строки и столбцы всех Р можно упорядочить таким образом, что
каждой орбите представления Г будет соответствовать блок, порядок
которого равен размеру орбиты. В этом случае будем говорить, что Г
является разделенной на орбиты формой.
Пусть G — мультиграф с матрицей смежности А и группой
автоморфизмов Г *; безусловно, Г является точным представлением Л
соответствующей абстрактной группы у Тогда существуют две
невырожденные матрицы Г, U такие, что Т преобразует Л в ее
диагональную форму (5 10), a U преобразует Г = Л во вполне приведенную
форму (5.11)'. Возникает вопрос: что произойдет, если: (i) Т применить
к Л и (ii) U применить к А?
(0 Положим Т~хR (р) Т = RT (р) и {RT (р)\р£у} = ЛТ. Каждая
матрица RT (р) перестановочна с Т~ХАТ = АТ = X(l)Imi + X(2)lmt + • • •
• • + A,(s)/m , и простые выкладки показывают, что R (р) также
имеет блочно-диагональную форму, а именно:
RT (Р) = «1 (Р) + h(P)+ • • • + «* (Р). (5.12)
где R0 (р) — квадратная матрица порядка та; таким образом,
ЯТ = Л, + Л2+ -•• + Я„ (5.12)'
где Ла = {Ro(p)\p(zy} — представление группы v степени яга.
* Заметим, что рассмотрение и результаты этого параграфа остаются
справедливыми при замене группы Г любой ее подгруппой.
148

(и) Положим IT1AU = AU. Каждая матрица U^R (р) U = RU (p)
axоR{{) (p) + a2о /Г° (p) + ... +ako Д(Л) (p) перестановочна
U
R (p) - A = Л -В (p).
Записав A*J в блочной форме в соответствии с блочной формой матрицы
Ru (р) и выполнив поблочное умножение, видим, что Л67 также имеет
блочно-диагональную форму, что является простым следствием леммы
Шура (см., например, работу [Воег, с. 20—21]). При этом находим k
блоков размера анпн (и = 1, 2,..., k) или меньше, если блоки размера
нуль (которые в действительности не появляются) не учитывать:
AU = Аг + А2+ ... +Ak. (5.13)
При чисто теоретическом решении проблемы математик часто
исходит из того, что собственные значения графа известны; поэтому прежде
всего он задается вопросом: каким образом по спектру графа узнать
о его структурных свойствах, в частности об автоморфизмах? Химик
же обычно знает молекулу и ее симметрии (т. е. граф и его
автоморфизмы) и его интересует информация о возможных энергетических
уровнях (т. е. собственных значениях). Таким образом, математик
находится в ситуации, когда (i) предпочтительнее (и), а химик — в
противоположной (однако считать это утверждение вполне правильным
трудно).
Начнем со случая (/). Для каждого а £ {1, 2, ..., s} существует
невырожденная матрица Va порядка та, которая преобразует Л0 в ее
вполне приведенную форму
Тогда V = Vx + V2 + • • • +VS преобразует Я в ее вполне
приведенную форму
яту = $> + .№+••-+&>.
Применение V к А1 ничего не изменяет:
Геометрически это означает, что неприводимые инвариантные
подпространства пространства S" являются подпространствами собственных
пространств матрицы А. Отсюда можно сделать два вывода.
1. Собственные значения могут быть собраны в ах + а2 + ... + ак
семейств 8ха (х = 1, 2, ..., k\ а = 1, 2, ..., а*; при ах = 0 §ха не
существует), соответствующих неприводимым представлениям; при
этом £ха содержит в точности /zx одинаковых собственных значений
(и это тоже важно для химика!). Поэтому не может быть более чем
149

аг + а2 + ... + ak различных собственных значений. Определение а*
(зависящее от Г, но не от у) является стандартной задачей теории
представлений, которая может быть решена с использованием характера
представления Г (см. ниже).
2. Собственные пространства матрицы А размерностей mlf т2,..., ms
являются левоинвариантными относительно членов формы ЛТУ. Так
как Л — точное представление группы yt это означает, что у является
некоторой подгруппой группы со (пг^ © со (т2) © ... © со (ms) (или
изоморфной ей), где со (т) означает абстрактную вещественную
ортогональную группу размерности пг.
Таким образом, доказана
Теорема 5.8 (Бабаи [Bab 2].) *. Пусть G — мультиграф, имеющий s
различных собственных значений с соответствующими кратностями
ml9 т2, ..., ms. Тогда абстрактная группа автоморфизмов у мультигра-
фа G есть подгруппа группы со (тг) © со (т2) © ... © со (ms), где
со (т) означает вещественную ортогональную группу размерности т.
Теперь теорема 5.1 является простым следствием теоремы 5.8.
Чтобы показать это, обозначим через ^ циклическую группу порядка
q; заметим, что со (1) = g2. При предположениях теоремы 5.1 все
собственные значения различны, т. е. s = п,тг = т2 = ... = тп = 1, и мы
заключаем, что у — подгруппа группы £", поэтому р2 = 1 для каждого
р £ v» чт0 и требовалось доказать (см. также § 5.5, п. 3).
До сих пор рассматривались лишь неориентированные графы,
однако все рассмотрения этого параграфа остаются в силе также и для
любого мультиорграфа, матрица смежности которого подобна
диагональной. Разумеется, тогда в теореме 5.8 вещественные ортогональные
группы со (та) должны быть заменены унитарными группами и (т0)
размерности ma**, а теорема 5.1 будет неверна для орграфов (ср. с
теоремой 5.9).
При обобщении результатов на случай произвольного мультиорграфа
возникают трудности, связанные с необходимостью рассмотрения жор-
дановой нормальной формы матрицы смежности, которая, вообще
говоря, не является диагональной матрицей. Это в отдельных случаях
значительно усложняет доказательство.
Сформулируем некоторые результаты для орграфов (мультиор-
графов).
Предположим, что G — любой мультиорграф, собственные значения
которого все различны. Тогда матрица смежности А графа G подобна
диагональной матрице (Х±) + (Х2) + ... + (^л)» и поскольку тг =
= т2 = ... = тп = 1, то заключаем, что все неприводимые
компоненты группы Г (G) имеют степень 1. Это означает, что группа Г (G)
является абелевой. Таким образом доказано следующее утверждение.
* Совсем недавно близкий к этому результату получил Годсил [Gods].
** Здесь мы отсылаем читателя к хорошо известному результату о том, что
всякая конечная подгруппа группы CL (л, С) (группа всех линейных отображений
л-мерного векторного пространства над полем комплексных чисел на себя)
эквивалентна подгруппе унитарной группы и (п) (см., например, Серр. Ж.-Р. Линейные
представления конечных групп.— М. : Мир, 1970.— 131 с, § 1.3).
150

Теорема 5.9 (Чао [Chao]). Если собственные значения произвольного
мультиорграфа G все различны, то группа автоморфизмов Г (G) является
абелевой.
Этот результат был обобщен Мовшовицем и еще раз Бабаи.
Теорема 5.10 (Мовшовиц [Mow 4]). Если матрица смежности А
орграфа G — простая над полем $ (т. е. если ее минимальный и
характеристический многочлены тождественны), то Г (G) — абелева.
Приведем здесь первоначальное доказательство, данное
Мовшовицем: поскольку А — простая матрица, то централизатор матрицы А
является кольцом многочленов от А над 3 *. Поэтому всякая
перестановка Р £ Г (G) представляет собой многочлен от А, откуда следует
Теорема 5.11 (Бабаи [Bab 2]). Если любая жорданова матрица
встречается не более одного раза в канонической форме матрицы смежности
мультиорграфа G, то Г (G) — абелева.
Эта теорема является непосредственным следствием результата
Бабаи, обобщающего теорему 5.8. Приведем его без доказательства.
Теорема 5.12 (Бабаи [Bab 2]). Пусть
J (А) = kx о Jmi (Xl) + k2 о Jm% (Х2) + ... + kp о Jmp (Хр)
— каноническая форма матрицы смежности мультиорграфа
G (k1m1 + k2m2 + • • • + kpmp = n; пары (mh Xj) различны для
различных значений j, однако возможно, что mi = m, или Х[ = X] при
i=fcj). Тогда Г(G) изоморфна подгруппе группы и (fex) © и(k2) © •••
• • • ® и (kp), где и (k) означает k-мерную унитарную группу.
Для доказательства теоремы 5.11 лишь заметим, что
согласно предположению &, = k2 = ... = kD = 1 и и (1) — абелева
группа.
Возвратимся теперь к мультиграфам и приведем пропущенное
доказательство.
Доказательство теоремы 5.7. Пусть Р £ Г (G) и
перестановка Р имеет в точности а нечетных и р четных циклов. Будем
рассматривать Р как матрицу смежности орграфа Р°. Ясно, что
характеристический многочлен матрицы Р представляет собой
произведение характеристических многочленов циклов орграфа Р°. Так как
характеристический многочлен цикла длины / есть X1— 1, то
единственными действительными собственными значениями матрицы Р
являются 1 с кратностью а + р и —1 с кратностью р, если |3 > 0;
значит, Р имеет в точности а + 2р действительных собственных
значений. Теперь пусть Т — действительная ортогональная матрица,
преобразующая А в ее диагональную форму (5.10). Тогда Т преобразует
группу Г (G), рассматриваемую как представление Л группы v, в блоч-
но-диагональную форму (5.12)'; в частности, так как Р = R (р), то
согласно (5.12)
Т~ХРТ = R1(p) + it2(p)+ ... +BS (р),
* См., например, Супруненко Д. А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матри
цы.—-Минск : Наука и техника, 1966.— 103 с.
151

где RG (р) — действительная матрица порядка та. Предположим, что
G имеет в точности t простых собственных значений. Тогда в точности /
чисел т0 равны 1; следовательно, в точности / матриц RG (р) имеют
порядок 1. Таким образом, Г""1 РТ имеет по крайней мере
/действительных собственных значений. А так как наряду с Р также и
Т~~1РТ имеет в точности ос + 2(3 действительных собственных
значений, то отсюда заключаем, что t^. а+ 2|3, что и доказывает теорему.
Обратимся теперь к случаю (а) (с. 149). Пусть G — мультиграф.
Формула (5.13) показывает, что если известно, каким образом получить
вполне приведенную форму (5.11)' группы Г (G) (рассматриваемой как
точное представление Л группы у), т. е. если известно преобразование
U, то можно свести задачу вычисления собственных значений матрицы
А к нескольким аналогичным задачам меньшей размерности (т. е.
частично факторизовать характеристический многочлен мультиграфа G).
Попытаемся кратко изобразить процедуру, часто используемую
химиками и физиками *.
Пусть G — произвольный мультиграф на п вершинах с матрицей
смежности А и абстрактной группой автоморфизмов 7 = [Pi> Ръ •••
..., /7g}, точным представлением которой является Л = Г (G) = {Р19
^2» •••» ^g}» Pi — матрицы перестановок, коммутирующие с А. Все эти
матрицы можно расматривать как операторы, действующие в
n-мерном пространстве Sn с его естественным базисом, состоящим из
единичных векторов ely е2, ..., еп. Задача заключается в нахождении базиса,
в котором Л имеет свою вполне приведенную форму (5.11)'; в этом
базисе матрица А будет тогда иметь блочно-диагональную форму
Аи = Аг + А%+ ... +Аку (5.13)
где блок А* — квадратная матрица порядка ахях, п* — степень
неприводимого представления Л{У) группы v, я* —кратность
представления Л<У,) как неприводимой составляющей представления Л (см. (5.11)').
Пусть Л' = {R' (р) | р £ V} — любое представление группы у.
Характер %1 = У* (pi: Л') элемента pt в представлении Л'
определяется как след матрицы R' (pt):
5G=trfl'(A) = S (R'(pt))th
а характер X' = X (Л') представления Л' определяется как вектор:
х'== (ЭСь %2, • • • , %g)-
Характером неприводимого представления Л{ю группы у является
х (#<*>) = х<*> = (хГ\ хГ хГ);
* Химики предпочитают говорить о группе симметрии молекулы, а не о группе
автоморфизмов соответствующего графа. Уайлд, Келлер и Гюнтард [WiKG]
объяснили, что на самом деле группа автоморфизмов лежит в основе этой процедуры.
152

/?х обычно означает единичный элемент группы у, а Л1 — тривиальное
(или вполне симметричное) неприводимое представление с Ril\p) =
= (1) для каждого/? £ у; поэтому X* является просто степенью
представления Л{н\ Х1х) = А1Х (х = 1, 2, ..., k) и
Xln = l (*= 1,2 «г).
Для многих групп составлены таблицы характеров их неприводимых
представлений *. Ясно, что два любых элемента группы у,
принадлежащих одному и тому же классу сопряженных элементов, имеют один
и тот же характер (в любом фиксированном представлении), так как
матрицы, представляющие эти элементы, подобны. Таким образом,
в таблицы характеров обычно включается по одному представителю
каждого из k классов сопряженных элементов. В предположении, что
{Рх = 1, р2, ..., рь) является множеством таких представителей,
таблица характеров представляет собой квадратную схему вида
V
gfi)
5?<2>
.
•
й<*>
Pi
Х*11
xf>
.
*
v(*>
p%
x£°
42)
.
•
xik)
Pk
~ф
u2)
•
•
d*
Для наших целей, однако, более удобно использовать полную таблицу
характеров с g столбцами р19 р2, ..., pg. Заметим, что если у — абелева
группа, то k = g и, следовательно, таблица характеров для абелевых
групп всегда является полной. Строки таблицы (полной)
ортогональны:
txfV'= £•«*,» (x,|i=l,2,...,ft). (5.14)
По отношению к новому базису, который мы ищем, Л имеет вполне
приведенную форму
/ = ^0^+020^+ ••• +ako&k). (5.11)'
Поскольку X (Л) не зависит от специального базиса, то
X (Я) = X (ЯР) = (3d, X,, •. • , X*)- (5.15)
* Данная процедура может быть эффективно использована для решения
практических задач только при наличии таблиц характеров. Поэтому Хайльброннер
[Hei 3] и Мак-Клелланд [МсС 2] развили методы факторизации характеристического
многочлена, позволяющие обойтись без таких таблиц, однако эти методы могут быть
применены лишь к мультиграфам с весьма специальными свойствами симметрии
(см. § 4.6, замечание 1). Используя теоретико-групповые подходы (представления,
характеры), Хайльброннер [Hei 2] получил выражения для собственных значений
графов некоторых частных типов.
153

Числа Xit с одной стороны, выражаются через G и могут быть легко
определены посредством простой проверки: %{ = tr Р( — число
вершин, неподвижных при действии автоморфизма Pt; с другой стороны,
из (5.11)' и (5.15) следует
Х^ЦонХ?0 (t=l,2, ...,g). (5.16)
Обращая (5.14), из (5.16) получаем
ак = 4-Е $*'Ъ (*= 1,2, ..., £). (5.17)
Заметим, что
аг^^-txi (5Л8)
всегда положительно, так как Xf ^ 0 и не все Х£ могут быть нулями
(например, Хх = п), т. е. в (5.11)' всегда имеется тривиальное
неприводимое представление Л{{). В действительности^ имеет простой смысл:
согласно теореме Бернсайда (см., например, [Big 2, с. 5]) аг равно числу
орбит группы Г.
Новый базис может быть получен следующим образом. Для любого
неприводимого представления Л* с д* Ф О образуем векторы
vP^tfflPfi, ('=1.2 п). (5.19)
Среди этих векторов выделим яхА1х независимых (такие векторы всегда
существуют). Выполним этот процесс для каждого 3Z{yi) с ах Ф 0.
Полученное таким образом множество всех векторов есть новый базис
(который, вообще говоря, определяется не единственным образом).
Собственные векторы матрицы Л, принадлежащие блоку Ах в (5.13)
(ах ф 0), должны находиться в пространстве, натянутом на векторы
»|х) (i = 1, 2, ..., я). Следовательно, эти собственные векторы имеют
вид
S с*Г = S с, t хГРЛ (5.20)
t=i i=i /=i
с подходящим образом подобранными числами ct. Как будет
продемонстрировано ниже на простом примере, подстановка данного
выражения в систему уравнений для собственных векторов графа G
приведет к упрощению системы.
12 3
Пример. Рассмотрим граф G = т т т . Его группа
автоморфизмов является циклической группой порядка 2:
7 = (Л. ft} с /?2 = ft = l.
154

Так как у — абелева группа, то k = g = 2, пх =f п2 = 1. Таблица
(полная) характеров группы v имеет вид
У I Pi Р%
*1>
1 1
1 —1
В силу (5.17) ^ = ^-(1 • 3+ 1 • 1) = 2, at=-g-(l • 3+ (— 1) х
X 1) = 1. Из выражения (5.19) находим
х = 1: г}0 = 1 . е1 + 1 • ez = ег + е3,
vP = 1 • *2 + 1 • е2 - 2e2t
4° = 1 • е3 + 1 • ei = ei + вз = ^1°;
х = 2: i?{2) = 1 • вх + (— 1) • е3 = ех — е,,
42) = 1 • е2 + (- 1) • е2 = О,
i^ = 1 • *з + (— 1) • *i = — *i + *s = — ^
Таким образом, для х = 1 получаем два (axnx = 2) независимых век-
topa, а именно i?i!) и Рг0. Отсюда согласно (5.20) два собственных
вектора графа G имеют вид
сг (*i + е3) + съЧ = Cyex + с2е2 + схе3. (5.21)
Для х = 2 имеем лишь а2п2 = 1 независимый вектор, а именно
i?{2) = ех — е3. Следовательно, ех — е3 яляется собственным вектором
графа G.
Случай х = 1. Подставляя (5.21) в задачу о собственных значениях
Ах = tar?, находим
ГО 1 0\/с, /сЛ /с2\ /A^N
1 0 1 C|UC|I [2сг =
^0 1 0/W W W \*^
Таким образом, остается система только из двух независимых
уравнений с2 = Кс19 2сх = Яс2, или, что равносильно,
[0
(5.22)
о)у=ч^
2 0,
поэтому собственные значения X равны ± У 2.
Случай х = 2. Здесь задача сводится лишь к одному
независимому уравнению, а именно X = 0.
Замечание. Вершины 1 и 3 принадлежат одной орбите группы Г.
Таким образом, если применить к матрице описанную выше при
доказательстве теоремы 4.7 (см. § 4.5) процедуру, т. е. если прибавить
третий столбец к первому и вычесть первую строку из третьей, то
155

получится матрица
г ч
\0 С)9
где матрица F порядка 2 есть матрица смежности переднего
делителя графа G, индуцированного орбитами группы Г (орбиты
рассматриваются как классы красок). Действительно, получаем F =
Это та же матрица, что и в (5.22). Можно показать, что и в общем
случае матрица Ах в (5.13) подобна матрице смежности переднего делителя
графа G, индуцированного орбитами группы Г (см. следующий
параграф).
§ 5.3. Передний делитель, индуцированный
подгруппой группы автоморфизмов
Пусть G — произвольный сильно связный * мультиорграф с
нетривиальной группой автоморфизмов Г и 2 — любая нетривиальная
подгруппа группы Г (возможно, 2 = Г). Воспользуемся
результатами § 4.4 (теорема 4.3) и § 4.5 (доказательство теоремы 4.7) для
разложения подгруппы 2, рассматриваемой в качестве точного
представления Л подгруппы а абстрактной группы автоморфизмов 7, на
неприводимые компоненты.
Пусть подгруппа 2 имеет орбиты Qlf Q2> •••» ^m- Согласно теореме
4.3 2 определяет передний делитель F = Ds мультиорграфа G,
вершины которого соответствуют орбитам. Назовем F передним делителем,
индуцированным 2 (орбитами подгруппы 2).
Напомним из доказательства теоремы 4.7, каким образом из
матрицы смежности мультиорграфа G могут быть определены матрицы
смежности делителя F и его коделителей С относительно G.
Из каждой орбиты Q^ произвольным образом выберем вершину,
обозначим ее Vt и занумеруем оставшиеся вершины V мультиорграфа
Gот т + 1 до п таким образом, чтобы из i < к ^ т и Vp £ Qt \ {Vt}9
У о £ ®k \ {У k) следовало р <Lq. Матрицу смежности мультиор
графи G, соответствующую этой нумерации вершин, обозначим G = (gpq).
Для k = 1,2, ..., т прибавим к &-му столбцу все другие столбцы,
соответствующие вершинам орбиты Qk, и для i = 1,2, ..., т вычтем мо
строку из всех остальных строк, соответствующих вершинам
орбиты Qj. В результате выполнения всех указанных преобразований
получим матрицу
IF В\
м-\о с)> (5-23>
где F — матрица смежности делителя F9 а С — матрица смежности ко-
делителя делителя F, которая соответствует специально выбранным
представителям Vlt V2, ..., Vm.
* Сильная связность мультиорграфа G, безусловно, не является существенным
ограничением.
156

Покажем, что процедуре суммирования столбцов и вычитания строк
может быть придана форма преобразования матрицы G некоторой
матрицей Q такой, что
М = GQ = Q"lGQ. (5.24)
С этой целью определим квадратные матрицы
Ерд = (6fA,k;»lf2 п (р, q = 1, 2, ... , п; р ф д)
и заметим, что
(l + Epq)-l = I-Epg.
Умножение справа произвольной матрицы с п столбцами на / + Epq>
эквивалентно прибавлению р-то столбца к ^-му столбцу, а умножение
слева произвольной матрицы с п строками на / — Epq = (/ + Epq)~~l
эквивалентно вычитанию q-й строки из р-й. Заметим, что / ± Еря и
/ ± Ers перестановочны, если г Ф q и эф р.
Таким образом, при переходе от G к М суммирование столбцов
эквивалентно умножению справа матрицы G на матрицу
m
Q = П П (J + Epi)
(заметим, что все множители перестановочны, поскольку индексы р и i
удовлетворяют условию i ^ m < р) и, аналогично, вычитание строк
эквивалентно умножению слева матрицы GQ на @~"\ что доказывает
(5.24).
Матрица Q преобразует каждую матрицу Р = R (р) £ 2 в матрицу
вида
fl9(p) = ^-,B(p)^ = (/J д,((^) (5.25>
с некоторыми матрицами Y (/?), R (р). Это сразу становится очевидным,
если строки и столбцы упорядочить таким образом, чтобы все матрицы
перестановок подгруппы 2 оказались представленными в разделенной
орбитами форме:
pi ___ p(D Г р(2) Г . . . Г р<т>
Суммирование столбцов тогда означает, что в каждом блоке Р(0 все
столбцы, отличные от первого, прибавляются к первому, в результате
чего в первом столбце значения всех элементов становятся равными 1,
а последующее вычитание строк означает, что в каждом блоке первая
строка вычитается из всех других, так что в конечном результате в
блоках все значения элементов первого столбца, за исключением первого
элемента, будут равны 0, а первый равен 1. Последующая
перегруппировка строк и столбцов в соответствии с указанной нумерацией и
приводит матрицу к виду (5.25).
Заметим, что {Вт (р) | р £ о] — точное представление
подгруппы а.
157

Согласно теореме Машке (см., напримор, [Воег, с. 44—45])
существует матрица
tJ1" z
которая одновременно преобразует все матрицы R4(p) в блочно-диаго-
«альную матрицу
RQT (р) = r~lRQ (р) Т = (^ д^) = /,„ 4- R' (Р). (5.26)
Поскольку число m орбит группы Г равно кратности ах
тривиального неприводимого представления Л{{) как компоненты
предоставления Л (см. замечание, следующее после (5.18)), нам удалось
выделить тривиальные компоненты из представления Л:
где Я' = {R (р) | р £ а} — точное представление подгруппы а без
тривиальных компонент. Матрицы R' (р) являются действительными
и могут быть (без знания Т) вычислены из 2 посредством простых
суммирований и вычитаний (очевидно, результирующими значениями
элементов матриц являются 0, +1 или —1).
Выясним, насколько эффективно преобразование Т
применительно к М. Заметим, что
т~1==[о /„-J*
Используя (5.23) и (5.24), получаем
GQT = T-iMT 1^ ^
сЯ = FZ + В — ZC. Покажем, что Я в действительности является
нулевой матрицей.
Все матрицы Р £ 2 перестановочны с G, следовательно, все матрицы
п W \0 R'(p)
«"-£ "У
перестановочны с
//„ О UF H\_fF H\flm О
\0 R'(p))\0 с)-\0 С)\0 R'{p))
для всех р £ а. Выполнив поблочное умножение и приравняв
соответствующие блоки, получим
Н = Н • R' (р) для всех р £ а; (5.27)
R'(p).C = C • R' (р) для всех р g а. (5.28)
Запомним пока (5.28) и воспользуемся ниже (5.27).
158

Положим X : = (Ow, Я) (Г~г, где От — квадратная нулевая
матрица порядка т ((Omt Н) — матрица с т строками и п столбцами)-
Тогда
X • Р = (От9 Н) Q~lPQQ-1 = (Qm9 Н) RQ (р) Q~l =
= (On9 Н) ('* l^ Q-1 = (On9 HR' (р)) Q-1 = (От9 Н) Q~l = Ху
т. е.
ХР = X для всех Р € 2,
и, следовательно, два любых столбца матрицы X, принадлежащих од-
ной и той же орбите группы 2, равны. Это означает, что
V __ /-.1^2 ~>т ,*.1~.1 -.1^2-2 ~2 <гт<гт ут\
и\. — 1 «А/ **/ • • • (Л/ , iA/ «А/ • • • «А/ <Л/ «А/ • ••«£/ • ••«£/ «А/ • • • «А/ ^ ,
где а?' — вектор-столбцы. (От, Н) = ЛГ(> получается из ЛГ
посредством прибавления"^-го столбца матрицы X (для £ = 1,2,..., т) ко всем:
другим столбцам, принадлежащим орбите Qk. Таким образом,
(C/^j, Jtl) — \М**' *2*^ • • • iffiX у X X , • » X X X • • • X , , , X X • • . X ) у
причем tk = | Q* | ^ 1 (fe = 1, 2, ..., m). Отсюда заключаем, что
Я — нулевая матрица, что и требовалось доказать. Полученные выше
результаты можно сформулировать в виде следующего общего
утверждения:
если G — сильно связный мультиорграф с нетривиальной группой
автоморфизмов Г и 2 — любая нетривиальная подгруппа группы F
(возможно, 2 = Г), то существует матрица W = QT, которая
одновременно
а) преобразует представление Л = 2 абстрактной группы а к виду
где Л' — точное представление подгруппы а без тривиальных
компонент, и
б) преобразует матрицу смежности G мультиорграфа G к
соответствующему виду
GW = F + C9
где F — матрица смежности переднего делителя мультиорграфа Gr
индуцированного подгруппой 2, а С — матрица смежности одного и&
его коделителей.
Матрицы R (р) £ JZ', значениями элементов которых являются
лишь 0, +1 и —1, могут быть легко (без вычисления W) получены из.
R (р) = Р £ 2; все они перестановочны с С (см. (5.28)).
§ 5.4. Коспектральные графы с заданными (различными)
группами автоморфизмов
Исходя из предыдущих результатов, можно было бы прийти к
выводу, что группа (абстрактная) автоморфизмов графа определяется еп>
спектром, но это не всегда верно. Напротив, Бабаи показал, что в
159*

некотором смысле спектр и абстрактная группа автоморфизмов графа не
имеют «почти ничего общего» друг с другом; Остроумным построением,
использующим идею Швенка [Schw 1] (см. § 6.1, следствие из теоремы
6.3), он установил следующую теорему (приводится без доказательства).
Теорема 5.13 (Бабаи [Bab 2, Bab 3]). Для любого конечного семейства
конечных (абстрактных, не обязательно различных) групп уъ y2l •••» Y#
существуют попарно неизоморфные конечные графы GltG2,..., G# такие,
что группа автоморфизмов графа Gt изоморфна группе ylt i = 1,2, ...
..., N и спектры всех графов G{ совпадают.
Это утверждение может быть обобщено и на моноиды
эндоморфизмов [Bab 2].
Основной результат работы [Bab 2] содержит утверждение о том,
что любая категория конечных алгебраических систем данного конечного
типа изоморфна полной подкатегории категории конечных графов
таких, что графы, соответствующие алгебраическим системам, имеющим
общее основное множество, коспектральны.
О других результатах, относящихся к коспектральным графам и
соответствующим группам автоморфизмов, см. § 5.5, п. п. 7, 8.
§ 5.5. Другие результаты и задачи
1. Если характеристический многочлен графа О приводим над полем
рациональных чисел, то группа Г (G) тривиальна (для доказательства
следует использовать теоремы 4.3 и 4.5).
(Мовшовиц [Mow 4])
2. Пусть G — граф, который имеет по крайней мере три вершины и
собственные значения которого различны. Тогда группа Г (G) нетран-
зитивна (для доказательства использовать теорему 5.2).
(Мовшовиц [Mow 1], см. также [EITu])
3. Пусть ЧТ означает группу кватернионов. 1. Если абстрактная
группа атоморфизмов у мультиграфа G содержит Ч? в качестве
подгруппы, то G имеет собственное значение кратности \х ^ 4. 2. Существует
граф G со следующими свойствами: (i) кратности всех его собственных
значений меньше или равны 4, (ii) у = ЧГ.
(Бабаи, частное сообщение)
4. Если G — орграф на п вершинах, матрица смежности которого
является циркулянтом с неповторяющимися собственными значениями,
то группа Г (G) изоморфна циклической группе £„ порядка п.
(Элспас, Тернер [EITu])
5. Ловас доказал, что определение спектра графа с транзитивной
группой автоморфизмов может быть сведено к такой же задаче для
некоторого графа Кэли *, и нашел формулы для определенных степенных
сумм собственных значений, из которых он вывел следующие правила
вычисления собственных значений.
Пусть G — граф на п вершинах с транзитивной группой
автоморфизмов; обозначим -ту группу или любую ее транзитивную подгруппу
через Г = {Ри Р2, ..., Pg}, точное представление абстрактной груп-
* Об определении графа Кэли см. п. 6 настоящего параграфа.
160

пы у = {Ри Л. .... Pg}- Пусть п„ и 1™ = (ХГ, Х5Г\ ..., X™) (* = 1.
2, ..., k) — соответственно степени и характеры неприводимых
представлений Л{к) группы у.
Обозначим через wim число путей длины т, связывающих вершину
с ее образом при Pt £ Г, и положим
S £1
Fy. (x) =
1
/X,rtx—1
Lnx-2
0
1
V
0
K-l)!
• 4 •
1
л:
1!
/xl
(и = 1, 2, ..., &). Запишем каждый корень уравнения
F* (х) - О
яхраз, х = 1,2,..., &. Удалим из этой последовательности g
п
нулей. Оставшиеся числа являются собственными значениями графа G.
Если 7 — абелева группа, то k = g = п и лх = 1, х = 1, 2, ..., к,
поэтому приведенные выше правила значительно упрощают
рассмотрение: получаем по одному собственному значению для каждого
неприводимого представления Л{К\ а именно
\(Ю
S
ХГ (х = 1, 2, ..., л),
где / — любая фиксированная вершина графа G (сумма берется по
всем i, для которых образ вершины / при Р1 смежен с /).
Показать, что для абелевых групп Х|х) являются корнями из единицы
и сравнить результат с теоремой 5.4 (§ 5.1).
(Ловас [Lova])
6. Бабаи удалось упростить формулу Ловаса для степенных сумм
собственных значений графов Кэли, упоминавшихся в п. 5.
Пусть 7 — конечная группа с множеством образующих 6 таких,
что 8 = б"1, 1 g 8. Граф KsauG = G (7, 6) с множеством вершин 7
определяется следующим образом: вершины р и q связаны ребром тогда
и только тогда, когда p~lq £ 8 (заметим, что наряду с p~lq £ 8 и q-lp £
£8)*. Ясно, что левое регулярное представление перестановками
* Условие 6 = б-1 является гарантией того, что G (у, 6) — неориентированный
граф; необходимость в нем отпадает, если допускаются орграфы Кэли: в орграфе
Кэли G = G (у, 8) дуга, направленная из вершины р к вершине q, существует тогда и
только тогда, когда q*~lp £ 6. Все другие утверждения п> 6 остаются неизменными
в 3-47G
161

группы 7 (которое транзитивно) является подгруппой группы
автоморфизмов графа G.
Продолжим систему обозначений п. 5. Характер перестановки
р £ у в представлении J}{7i) обозначим через Х(х). Бабаи доказал
следующее утверждение:
собственные значения графа Кэли G = G (у, 8) могут быть
объединены в семейства <DXV (v = 1,2, ..., ях; х = 1,2, ..., k) такие, что
(О Ф*у содержит в точности пя собственных значений, которые все
равны; если общую величину этих собственных значений обозначить
через hxv, то
(И) Jixi + ?4> + • • • + ?4Х = J Х(х) (/^f ... Pl)
(х = 1,2,..., &) для всякого натурального числа t.
Используя эту формулу для /=1, 2, ..., пк, можно получить
многочлен степени ях с корнями A*i, А,х2, ..., ХхПуГ
Если группа у —абелева, то пн= 1, х= 1, 2, ... , Л, и (»")
приводится к виду
^ = SxWW (х-1,2 л),
что эквивалентно формуле из п. 5.
(Бабаи [Bab 1])
7. Для любого положительного целого числа k и любого из
следующих типов связности: (i) слабая, но не односторонняя, (И)
односторонняя, но не сильная, (Ш) сильная, но не симметрическая, (iv)
симметрическая существует k неизоморфных коспектр ал ьных орграфов с
заданной группой автоморфизмов.
(Кришнамурти, Партасарати [КгР 2])
8. Пусть р означает простое, а к — любое положительное целое
число. Для р > 64& существует k неизоморфных коспектральных графов
Кэли группы диэдра Dp.
(Бабаи [Bab 1])
9. Пусть G — граф на п вершинах с матрицей смежности А и
группой автоморфизмов Г и а (А) означает множество различных
собственных значений матрицы А. Если X £ а (А) имеет кратность т (К), то
положим, что {zt | i = 1, 2, ..., т (к)} — ортонормированный базис
собственного пространства матрицы Л, соответствующий собственному
значению %. Далее, пусть Zx — п X т (X)- матрица с z{ в качестве t-ro
столбца и А\ = Z%l\. Тогда, как известно,
А,€а(<4)
А\ = Аи А%А\х = А^Ах = О для X, ц £ а (A)t X=£\i.
Годсил обозначил i-ю строку матрицы Z\ через w% (i) и назвал ее весо-
162

вым вектором по X вершины i графа G. Так как AZ^ = XZ%, то
Xw%, (i) = £ w% (/).
/•*
Теорема. Пусть G — регулярный граф степени г с Г, действующей
транзитивно как на его вершинах, так и на ребрах; % — собственное
значение такое, что весовые векторы графа G по % различны. Тогда: (i)
если G содержит клику на с вершинах, то т (%) ^ с — 1, а если т (к) =
= с — 1, то X = —г/(с — 1); (и) если G — связный граф и т (X) =
= 2, то г = 2, т. е. G является простым циклом.
(Годсил [Gods])
б*

ГЛАВА б
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ГРАФОВ
ПОСРЕДСТВОМ ИХ СПЕКТРОВ
В данной главе рассматриваются различные варианты следующей
задачи: по заданному спектру или некоторым спектральным
характеристикам графа определить все графы из данного класса, имеющие тот
же спектр или те же заданные спектральные характеристики. Таким
образом исследуется возможность идентификации графа.
В предыдущих главах в большинстве случаев, в отличие от данной
главы, описывались процедуры, позволяющие определять
особенности структурных свойств графа на основании его спектра. Так как граф,
вообще говоря, не характеризуется своим спектром, то в § 6.1
приводятся некоторые семейства неизоморфных коспектральных графов.
В последующих параграфах описывается несколько случаев, в которых
спектральная характеризация графов возможна.
§ 6.1. Некоторые семейства неизоморфных
коспектральных графов
Одно время полагали, что неизоморфные графы имеют различные
спектры [GtiPr, Наг 2], пока Коллац и Синоговиц [CoSi 1] не показали,
что графы, изображенные на рис. 6.1, коспектральны (изоспектраль-
ны). Пару изоспектральных неизоморфных графов называют иногда
PING *.
В этом параграфе рассматриваются известные построения
неизоморфных коспектральных графов. Это важно по следующим причинам.
(/) Из семейства неизоморфных коспектральных графов
посредством изучения свойств, изменяющихся внутри семейства, можно
определить те из них, которые не зависят от спектра. Из рис. 6.1, например,
видно, что графы с различным набором степеней могут иметь
одинаковые спектры.
(ii) Определив свойства, которые должны быть постоянными для
всех графов в коспектральном семействе, и затем изменяя их, можно
построить такое семейство графов, в котором никакие два графа не имеют
одинаковых спектров. Степень регулярного графа или фактически сама
регулярность является одним из таких свойств.
Среди всех графов с четырьмя и менее вершинами нет ни одной
пары графов с одинаковыми спектрами. Однако среди графов с пятью
* В дальнейшем пары таких графов будем называть ING-парами.— Прим.
персе.
164

вершинами уже имеется пара коспектральных графов, как это видно
из рис. 6.2. Таким образом, связность графа в общем не определяется
его спектром.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
Пара связных коспектральные г рафов на шести вершинах
существует — рис. 6.3 [Вак 2]. Их общим характеристическим многочленом
является
№ _ 7А,4 - 4Х3 + 7А/2 + 4А, — 1.
Хоффман и Рэй-Чоудхури
[HoR 2] указали пару
неизоморфных регулярных связных
коспектральных графов с 12 вершинами,
которые представлены на рис. 6.4
(вершины с одинаковой пометкой
отождествляются). Первый из этих
графов — плоский, а второй —
неплоский. Общим для указанных
графов спектром является
[4, 2, 2, 2, 0, 0, 0,-2,-2, -2,-2,-2].
Найдены две коспектральные пары графов с 16 вершинами [Hof 3,
Shr 2] и коспектральные четверки с 28 вершинами [Sei 2], а также
множество из 91 коспектрального графа с 35 вершинами [BuS 2]. Все эти
графы регулярны и связны.
Рис. 6.3.
Рис. 6.4.
Построены также 7 регулярных графов с 25 вершинами такие, что
каждый из них коспектрален по отношению к своему дополнительному
графу, но неизоморфен ему. Все 14 графов коспектральны; они имеют
12, 2 и —3 в качестве собственных значений с кратностями
соответственно 1, 12 и 12 [Paul]. Пары нерегулярных дополнительных
коспектральных, но неизоморфных графов были найдены также в работе [GoM 2].
Кроме того, имеется три пары коспектральных графов среди всех
кубических графов с 14 вершинами и пара коспектральных кубических
графов на 20 вершинах [BuCCS, BuCvJ.
165

Для построения более общих коспектральных семейств
воспользуемся примерами, приведенными на рис. 6.1 и 6.2. Пусть G —
произвольный граф и Gk — прямая сумма к копий первого из графов,
изображенных на рис. 6.1, п — k копий второго графа этого же рисунка
и графа G. Тогда семейство графов [Gk \ к = 1,2, ..., п) коспектраль-
яо и каждый граф в этом семействе содержит копию графа G. Это
семейство может быть построено сколь угодно большим.
Полный двудольный граф Кт%п имеет ± Vmn (простое собственное
значение) и 0 в качестве собственного значения с кратностью т + п —
— 2. Пусть г — любое положительное целое число и d — делитель
числа г. Определим Gd как граф, состоящий из прямой суммы графа Kd,r/d
иг+ 1 — d — rid изолированных вершин. Тогда семейство [Gd\d —
делитель г) является коспектральным.
В действительности существуют также и произвольно большие
семейства регулярных связных графов, что подтверждается следующим
результатом.
Теорема 6.1 (Хоффман [Mow 5]). Для всякого положительного целого
числа п найдется целое число N такое, что для любого т ^ N
существуют п неизоморфных коспектральных регулярных связных графов с т
вершинами каждый.
Доказательство. Пусть N = 12м + 4, Gx и G2 — два
графа, приведенных на рис. 6.4, a Gt — регулярный граф степени 4 с t
вершинами, / = 5, 6, ..., 16. Если т ^ N, то т = \2k + t, где k ^>
^ п — 1 и 5^/^16. Пусть Ht — прямая сумма графа G,, i копий
графа Gjl и k — i копий графа G2. Ясно, что Hi являются регулярными
несвязными, но коспектральными графами для i = 0, ..., k. Если в
соответствии с теоремой 2.6 Ht — дополнение графа #t-, то {Ht \ i =
= 1, ..., k) является семейством регулярных связных коспектральных
графов.
В действительности теорема 6.1 может быть обобщена так, чтобы
каждый член коспектрального семейства содержал заданный граф.
Теорема 6.2. Пусть задан граф G. Тогда для каждого целого числа п
найдется целое число N такое, что для любого m ^ N существует п
неизоморфных коспектральных регулярных связных графов, каждый из
которых имеет т вершин и содержит G (в качестве порожденного
подграфа).
Доказательство. Рассмотрим граф, являющийся
дополнением графа G. Его можно вложить в регулярный граф Я степени^,
если d больше степени любой вершины графа G [Hof 71. Графы Hiy
построенные в процессе доказательства теоремы 6.1, являются
регулярными графами степени т — 5. Выберем такое достаточно большое Ny
чтобы N — 5 было больше максимальной степени дополнения графа G
« больше N — 5, где N — граница из теоремы 6.1^ Затем определим
граф Gt как прямую суммутрафов Ht и Н. Ясно, что G( — коспектраль-
ные неизоморфные регулярные связные графы, каждый из которых
содержит граф G. Следовательно, доказательство завершено.
Пусть даны графы Gx и G2c vl^V (Gx) w v2^cU (G2V, сращение
графов Gx и G2 no t>! и v2 образуется посредством отождествления vx и t>a
166

и обозначается через Gx • G2. Иными словами, *№ (G1 • G2) = V (Gj) l>
U ^ (^2) U {^*} — {^ъ ^2}» и Две вершины смежны в Gx • G2, если они
смежны либо в Gb либо в G2, и вершина v* соединена ребром с теми
вершинами, которые смежны с^в графе Gx или смежны су2в графе G2.
На языке матрицы смежности, обозначенной через A (G), это означает,
что
A(Gt.GJ=\
^(Gi-fli)
Л (О,
где г — вектор недиагональных элементов строки, соответствующей vt
в матрице Л (G^, as — вектор недиагональных элементов строки,
соответствующей v2 в матрице A (G2). Если для графа Gen вершинами
ф (G) : = (— 1)пРа (I) и В = A (G1 . G2) — М, то
0(G1.G2) = detB= J (-l)sgnafii,
a€a„
a(l)
Btu
mnh
где a„ — симметрическая группа порядка п.
-# » # • i ■ » ф
V2
уг
Рис. 6.5.
Рис. 6.6.
Рассмотрим перестановки следующих типов: (0 a (1) = 1 или
a (1) = /, где / — столбец, соответствующий матрице A (Gx — v±)p
и (И) о (1) = 1 или a (1) = /, где / — столбец, соответствующий
матрице A (G2 — v2). Так как четыре верхних левых блока являются проста
матрицей A (G^, то в случае (г) вкладом перестановок в Ф (Gx • G2)
будет Ф (GJ Ф (G2 — v2). Аналогичным образом в случае (И) вкладом
167

Перестановок в Ф (G1 • G2) будет Ф (Сх— vt) Ф (G2). Те перестановки,
для которых о (1) = 1, учитываются дважды и вносят вклад
—ХФ (Gx — vx) Ф (G2 — у2). Таким образом,
Ф (G1 • G2) = Ф (d) Ф (G2 - оя) + Ф (Gx - 0l) Ф (G2) +
+ №(G1 — v1)0(G2 — vJ
и становится очевидным следующее утверждение.
Лемма 6.1. Если графы G2 и G2 коспектральны и при этом графы
G2 — v2 и G'2 — v-2 также коспектральны, то таковы же графы Gx • G2
и Gx • G2.
Швейк [Schw И использовал лемму 6.1 для построения большого
семейства коспектральных деревьев. Он обнаружил, что два дерева,
изображенных на рис. 6.5,
удовлетворяют положениям леммы 6.1.
> бершин В частности, G2 £ё G2 и
Ф(G2 — v2)=Ф(G2 — v2) =
= ХЦ№ — 2) (Я4 — 4Я2 + 2).
бершин Пусть теперь Gx — произвольный
заданный граф с vx £ V (GJ. Из
Рис. 6.7. " Gxn п копий графа G2 образуем
новый граф посредством
отождествления вершины vx графа Gx и всех вершин v2 в копиях графа G2. Идея
заключается в удалении одной копии графа G2, присоединенной в
результате сращения в v2f и последующей замене удаленной копии графом
G2, присоединенным в v2. Согласно лемме 6.1 новый и прежний графы
коспектральны.
В результате итерации, заменяя граф G2 графом G2t получаем
семейство коспектральных графов с п + 1 членами.
Теорема 6А3Й Для заданных графа G и целого числа п существует ко-
спектральное семейство {G{ \ i = 1, ..., п) такое, что каждый граф Gt
содержит копию графа G и все имеющиеся в Gt простые циклы
содержатся также и в графе G.
Следствие (Швенк [Schw 1]). Существует произвольно большое
семейство коспектральных деревьев.
Швенк также показал, что при достаточно большом числе вершин
вероятность того, что дерево содержит подграф, изоморфный графу G2,
который может быть заменен графом G2i стремится к 1. Следовательно,
при достаточно большом числе вершин вероятность того, что дерево
характеризуется своим спектром, стремится к 0.
Имеются также и другие методы построения коспектральных
графов. Если Gx, G2, G3 и G4 — произвольные графы, то, согласно [ZiTRl,
графы, приведенные на рис. 6.6, коспектральны. Доказательство
основывается на теореме 2.12.
Мовшовиц [Mow 5] показал, что для любого неотрицательного
целого числа k деревья, изображенные на рис. 6.7, коспектральны. В слу-
Вершин
вершин
168

чае k = 0. это приводит к паре оригинальных коспектральных графов
Коллаца и Синоговица, изображенных на рис. 6.1.
Другие коспектральные графы могут быть образованы посредством
суммирования графов.
Пусть заданы граф G, коспектральные графы Glf G2, а также сумма
Hk, являющаяся результатом суммирования следующих слагаемых:
одного графа G, k копий графа Gx и п — k копий графа G2. Тогда
{Hk | k = 0, 1, ..., п) — семейство коспектральных графов, каждый
из которых содержит G. Суммированием графов могут быть образованы
коспектральные семейства и с другими специальными ограничениями
[Doo 7]. Коспектральные графы можно построить также при помощи
NEP-суммы (см. теорему 2.23).
Так как хроматические числа графов, изображенных на рис. 6.12
(см. ниже), различны, то в общем случае хроматическое число графа
не определяется его спектром. Более того, Хоффман [Hof 11] построил
пары изоспектральных неизоморфных графов, у которых один граф
является 3-хроматическим, а другой — (2* + 1)-хроматическим, где
k — заданное неотрицательное целое число. «$
В работе [CvG 3] приведена процедура, с помощью которой могут
быть определены все графы, коспектральные заданному графу G при
условии, что наибольшее собственное значение графа G не больше 2.
Результаты рассмотрения семейств коспектральных графов с
различными группами автоморфизмов уже были изложены в § 5.4.
Дополнительные сведения о коспектральных графах можно найти
в работах [Bab 1, Bab 2, Bab 3, ВаНа, BeJa, Bruc, BuCS, Cha 2, Cook,
Cve 7, Cve 9, Djok, Doo 6, Doo 10, EdGG, Fish, Gut 8, GoM 2, Наг 2,
HaKMR, Herl, Her 2, HeEl, Hof 1, KrP 1, KrP 2, LiSe, Meye, RATZ,
Pons, Sei 1, Sei 3, Sei 4, Sei 6, StMa, Turn 2, Ke5]. См. также § 6.2,
6.5, 8.4, гл. 9 и приложение.
§ 6.2. Характеризация графа с помощью его спектра
В предыдущем параграфе приведены семейства коспектральных
графов. Может создаться впечатление, что весьма немногие графы
могут быть охарактеризованы своими спектрами. Однако ниже будет
показано, что это не так. В самом деле, иногда достаточно
незначительной информации относительно спектра графа, чтобы
охарактеризовать его. Вначале рассмотрим графы с малым числом различных
собственных значений. Для этого понадобится следующее утверждение.
Лемма 6.2. Пусть G — регулярный связный граф с п вершинами*
if — его спектр, V — множество различных собственных значениц
спектра (/. Положим \ V | ^ 4. Тогда эквивалентны следующие
утверждения: (i) Н конспектрален G; (И) Н — регулярный связный граф с п
вершинами, у которого V — множество его различных собственна
значений.
Доказательство.
(i) => (и) Из того что G регулярен и на основании теорем 3.22 и
"3.23 следует, что граф Я также регулярен. А так как его максимальное
собственное значение простое, то Н связен.
169

(ii) => (i) Пусть Xx > X2 > X3 > X± — различные собственные
значения с кратностями соответственно тъ т2, тн и т4. Тогда:
(а) тх = 1, так как граф связен;
(б) т1 + т2 + т3 + т4 = я (я — число вершин);
<в) тЛ + т2Х2 + т3^3 + ^4^4 = 0;
(г) тгХ2\ + т2Х\ + ^з^з + т4^4 = п%ъ так как граф регулярен.
Уравнения (а) — (г) однозначно определяют тъ т2, т3, т4, и,
следовательно, спектр известен. В сущности, рассуждения в случае | & \ <
<; 4 аналогичны.
Предположим, что спектр графа G, матрицей смежности которого
является матрица Л, состоит из собственного значения X с кратностью /л.
Тогда вследствие того, что tvA = 0, должно выполняться X = 0. А так
.как минимальный многочлен имеет вид т (х) = х — X, то необходимо,
чтобы А = О, а это значит, что G состоит из т изолированных вершин.
Если G имеет два различных собственных значения Х1 > 7^ с
кратностями /лх и т2, то минимальный многочлен имеет вид т (х) = (х —
— Хг) (х — Х2) и А2 — (Xt + Х2)А + ХХХ21 = О. Поскольку * а$ =
= —Я^2 для всех Л, то G является регулярным графом степени —XLX2.
А так как степень больше собственного значения, то Х2 — —1. Далее,
если две вершины несмежны, то они не соединены простой цепью
длины 2. Следовательно, G — прямая сумма тг полных графов порядка
К+ 1.
Теорема 6.4 (Дуб [Doo 3]). Граф G имеет единственное собственное
значение тогда и только тогда, когда он является вполне несвязным.
Граф G имеет два различных собственных значения Хг>Х2с
кратностями тх и т2 тогда и только тогда, когда он является прямой суммой тг
полных графов порядка Хг + 1. В этом случае Х2 = —1 и т2 = т{Хх.
В частности, полные графы и графы без ребер характеризуются
своими спектрами.
В случае трех различных собственных значений ситуация
усложняется. Предположим, что G — двудольный граф, имеющий три
различных собственных значения Хг > Х2 > Х3 с кратностями соответственно
гаь т2, т3. В этом случае из теоремы 3.11 следует, что Хг = —Ji3, т± =
= т3, Х2 = 0 и согласно теореме 3.13 диаметр каждой связной
компоненты равен 2 или меньше. Поэтому каждая связная компонента
является полным двудольным графом или изолированной вершиной.
Теорема 6.5 (Дуб [Doo 3[). Пусть G — двудольный граф с
собственными значениями Xt>X2> X3i кратности которых соответственно
равны тъ т2, т3. Тогда Х3 = —Хъ Х2 = 0, т3 = тх и G есть прямая
сумма тх полных двудольных графов #r.,s., где г^ — Х\> i — 1, ..., т1,
и Щ — S (ri + Si — 2) изолированных вершин.
Следствие. Если G удовлетворяет условиям теоремы 6.5 и Х\ = р,
где р — простое число, то G характеризуется своим спектром.
* Вновь обратимся к системе обозначений, принятой в § 1.8 (теорема 1.9): А =»
- (аи), Aq = (a<f) и т. д.
170

Поскольку спектром прямой суммы двух графов является
объединение спектров этих графов, то граф с тремя различными собственными?
значениями представляет собой либо прямую сумму полных графов
различных порядков, либо прямую сумму графов с тремя различными
собственными значениями. Поэтому без потери общности можно
полагать, что граф связен.
Согласно теореме 3.22 любой граф, коспектра л ьный регулярному
графу, также регулярен. Поэтому при рассмотрении семейства
регулярных графов необходимо лишь установить существование среди них
коспектральных «напарников». Регулярный граф, который имеет в
качестве различных собственных значений г > Х2 > Х3> согласно теореме
3.25 удовлетворяет уравнению
А* - (Х2 + Х3)А + Х2Х31 = ('-^Н'-^з) j
где г — степень графа, an — число вершин. Напомним читателю, что
такие графы являются сильно регулярными (см. гл. 3).
Из теоремы 6.4 следует, что G — ни полный граф, ни дополнение
полного графа, поэтому существует две смежных вершины и две несмеж-
ных. Теперь а{Ц = г, аии — 0 и, таким образом,
Л2 - (Х2 + Х3) А + Х2Х31 = (г + Х2Х3) J.
Следовательно, для двух несмежных вершина*/^ г + Х2Х3, а для двух
смежных ctij = г + А^з + ^2 + ^з- Отсюда заключаем, что Х2Х3 ш
^2 + ^з — целые числа. Наконец, так как для пары несмежных вер^
шин 1 ^ с$ ^ г, а для пары смежных вершин 0 ^ afj ^ г — 1, то
—(г — 1) ^ Х2Х3 <0 и —г ^ Х2 + Х3 ^ г — 2. Достижимы ли эти
границы? Рассмотрим сначала случай, когда для элементов спектра
графа G имеет место Х2Х3 = 0. Тогда различными собственными
значениями будут г, 0 и Х3. Поскольку Х2 + Х3 — целое число, пусть Х3 =
= —т. Следовательно, число вершин равно г + ти согласно теореме
2.6 собственными значениями дополнения графа G являются т — 1 w
—1. Отсюда на основании теоремы 6.4 заключаем, что G — дополнение
г/т + 1 полных графов и, следовательно, G — полный многодольный
граф.
Теорема 6.6 (Дуб [Doo 3]). Регулярный граф G имеет собственные
значения г, 0 иХ3 тогда и только тогда, когда дополнение графа G
является прямой суммой —г!Х3 + 1 полных графов порядка —Х3~
Следствие (Финк [Fine]). Регулярные полные многодольные графы
характеризуются своими спектрами.
Кельманс [Кел 3, Кел 5] доказал более общую теорему о том, что?
любой полный многодольный граф характеризуется своим С-спектром*
Дж. Смит [Sm, J] обобщил теорему 6.6 следующим образом. '
Теорема 6.7 (Дж. Смит [Sm, J]). Граф имеет в точности одно
положительное собственное значение тогда и только тогда, когда егб
неизолированные вершины образуют полный многодольный граф.
Доказательство. Изолированные вершины можно
проигнорировать. Если граф G не является полным многодольным графом,,
то он содержит порожденный подграф, изображенный на рис 6.8, а*
171

так как отношение несмежности вершин графа С должно быть
нетранзитивным. Кроме х в G нет изолированных вершин. Отсюда можно
заключить, что граф Gсодержи! по крайней мере один из графов,
приведенных на рис. 6.8, б—г, в качестве порожденного подграфа. Все
эти графы имеют по два положительных собственных значения, и И
согласно теореме 0.10 имеет по крайней мере два значения.
Характеристический многочлен полного многодольного графа задается
формулой (2.51). Принимая во внимание знаки его коэффициентов, видим,
что этот многочлен имеет в точности одно положительное собственное
значение. Это и завершает доказательство теоремы.
Мальбашки заметил, что если граф G имеет в точности одно
положительное собственное значение, то неизолированные вершины графа G
образуют полный ^-дольный граф с k = 1 + /?-, где /?— — число
отрицательных собственных значений графа G.
• х
а
Рис. 6.8.
-$
Полные многодольные графы, вообще говоря, не характеризуются
своими спектрами. Например, графы ТГюлз и #9,9,2 4- 4Л\
представляют ING-napy. Существует бесконечно много ING-nap подобного типа.
Продолжим анализ спектральных свойств регулярных графов,
имеющих три различных собственных значения. Положим к2 + Ji3 =
= —г. Тогда из теоремы 3.25 для любой пары смежных вершин
выполняется а?/ + г — г + Х2Х3, так что Х2ХН ^ 0. Отсюда с помощью
границ произведения собственных значений находим, что Х2Х3 = 0 и из
теоремы 6.6 заключаем, что G — полный многодольный граф, а так как
К3 = —г, то G — полный двудольный граф.
Если Х2 + К3 = г — 2, то число вершин равно г/(г + ХгХ2) + 1,
а так как ХХХ2 ^ — (г — 1), то должно выполняться г ^ п — 1.
Следовательно, G — полный граф; но поскольку полный граф имеет лишь
два различных собственных значения, то эта граница никаким графом
не достигается. Таким образом, Х2 + Х3 ^ г — 3 и данная граница
достигается на простом цикле длины 5.
Регулярный граф степени г с диаметром d может иметь самое
большее 1 + г + г (г — 1) + ... + г (г — l)d вершин. Граф, на котором
достигается эта граница, называется графом Мура с диаметром d.
Возвращаясь к исследованию спектральных свойств, положим
к2%3 = —(г — 1). Из теоремы 3.25 следует, что если две вершины
несмежны, то существует в точности одна соединяющая их простая цепь
длины 2. Отсюда заключаем, что число вершин равно 1 + г + г (г —
_1)=1+г2и граф должен быть графом Мура с диаметром 2. В силу
Теоремы 3.25 должно выполняться %2%3 = —1. Таким образом, А2 +
'+ А — (г —- 1) I = J, Р (х) = х2 + х — (г — 1) — многочлен графа
172

и его собственными значениями являются г и два корня многочлена
Р (х). Следовательно, Х2 + Х3 = —1, Х2 — Х3 = (4г — 3)Vs и для
соответствующих кратностей выполняется т2 + т3 = г2 и т2Х2 +
+ т3А,3 = —г\ поэтому г (г — 2) = (т2 — т3) (4г — 3)Vs. Если
(4г — 3)v* не является целым числом, то т2 = т3 и г = 0 или г = 2.
Если (4г — 3)1/з — целое число, то (4г — 3),/г = 2/ + 1 и 2t + 1 делит
число
16г (г — 2) = 4г (4г — 8) = [(2/ + I)2 + 3] [(2/ + I)2 — 5] =
= (2/ + 1) [(2/ + I)3 + 8 (2/ + 1)] - 15.
Следовательно, 2t + 1 делит 15, так что t = О, 1,2 или /=7иг =
— 1, 3, 7 или г — 57. Случаи г = 0иг= 1 невозможны, поэтому
значениями степени г являются 2, 3, 7 или 57. Если г — 2, то единственным
графом с пятью вершинами будет цикл. Если г = 3, то единственным
графом на десяти вершинах таким, что А2 + А — 21 = J, будет граф
Петерсена. Если г = 7, то существует единственный граф этого типа —
Хоффмана — Синглтона *, который указан в работе [HoSi]. Для
случая г = 57 существование таких графов неизвестно. Графы, для матриц
смежности которых выполняется А2 + А — (г — 1) / = J, являются
в точности графами Мура с диаметром 2; впервые они были
исследованы Хоффманом и Синглтоном [HoSi], но несмотря на затраченные на
протяжении восемнадцати лет усилия случай г — 57 еще не решен.
Ниже приведены собственные значения графов для каждого из
рассмотренных случаев.
г
2
3
7
57
К
1
2
7
К
4" <-1-1Т>
—2
—3
—8
тх
1
1
1
1
т2
2
5
28
1729
т%
2
; 1
4
21
1520
* Зайдель осуществил геометрическую реализацию графа Хоффмана —
Синглтона HS посредством проективной геометрии PG (3, 2). Эта геометрия может быть
определена следующим образом: PG (3, 2) имеет в качестве точек 15 четверок X = (xlt
х2у х3, лг4), где Х( принимают значения 0 или 1, но не все xt одновременно равны 0.
Множество {0, 1} рассматривается как двухэлементное поле; суммирование четверок
определено, как обычно, покоординатно. Для любых двух точек Хх и Х2 прямая,
проходящая через Хг и Х2, содержит три точки: ХЛу Х2 и Хх + Х2, поэтому существует
35 прямых и каждая точка инцидентна в точности 7 прямым. Зададим три неколлине-
арные точки: Хъ Х2 и Хя. Плоскость, проходящая через Х1% Х2 и Х8. содержит 7
точек: Хь Х2, Х8, Хг + Х2, Хх + Х3, Х2 + Х3 и Хх + Х2 + Х3. Продолжим
реализацию графов HS методом Зайделя: 72 + 1 = 50 вершин графа HS соответствуют
точкам и прямым проективной геометрии PG (3, 2). Теперь возможно отождествление
35 прямых проективной геометрии PG (3, 2) с 35 тройками из 7-множества такое,
что две прямые пересекаются в PG (3, 2) тогда и только тогда, когда они как тройки
пересекаются в точности по одному элементу. В этом построении две вершины в
графе смежны, если они соответствуют двум прямым, которые как тройки не имеют
общих элементов, или если они соответствуют инцидентным точке и прямой.
173

Другие различные свойства графов, относящиеся к случаю г = 57,
описываются в работах [Dam 1, Bait, BeLo, Free, BoDoJ.
Теорема 6.8 (Хоффман, Синглтон [HoSi], обобщена Дубом). Если
G — регулярный граф с различными собственными значениями г > Х2 >
> Ji3 и Кк3 = —(г — I), то G — граф Мура с диаметром 2. Такие
графы существуют для г = 2, 3, 7 и, возможно, г — 57.
Только связные двудольные графы с тремя различными
собственными значениями являются полными двудольными. Существует, однако,
много двудольных графов с четырьмя различными собственными
значениями и, в отличие от случая трех собственных значений, не все эти
графы характеризуются своими спектрами. Прежде чем перейти к
построению некоторых из них — уравновешенных неполных блок-схем
(BIB-схем),— дадим их определение. BIB-схема состоит из v
элементов и Ь подмножеств этих элементов, называемых блоками, такими, что:
(i) каждый элемент содержится в г блоках, (И) каждый блок содержит k
элементов и (ш) каждая пара элементов одновременно содержится в к*
блоках. Целые числа (и, &, г, kt к*) называются параметрами схемы
(обычно параметр к* В IB-схемы просто обозначается через к9 однако
мы будем писать к* с целью избежания недоразумений с обозначением
собственных значений).
В частном случае г = k схема называется симметричной.
Существует обширная литература по теории блок-схем и их построению. Обзор
можно найти в работе [На, М]. Если задана BIB-схема, то ее граф
строится следующим образом: Ь + v вершин графа соответствуют блокам
и элементам схемы, при этом две вершины смежны тогда и только
тогда, когда одна из них соответствует блоку, а другая — элементу,
содержащемуся в этом блоке. Ясно, что граф является двудольным,
причем каждая его вершина имеет степень г или k в зависимости от
того, соответствует ли она элементу или блоку. Вычисление спектров
этих графов не представляет трудности, если только определена
матрица инциденций схемы. Это (0,1)-матрица размера v X ft, строки
которой соответствуют элементам, а столбцы — блокам схемы. Значение
элемента матрицы равно 1 тогда и только тогда, когда элемент схемы,
соответствующий строке, содержится в блоке, соответствующем
столбцу. Непосредственно из определений схемы следует, что для
матрицы инциденций В справедливы равенства ВВТ = (г — к*) I + к* J
и J В — kJt из которых вытекают два основных соотношения между
параметрами схемы: vr = bk и к* (v — 1) = г (k — 1). Первое следует
из vrJvxb = Jv (BJb) = (JVB) Jb = bkJvXbf второе — из подробного
вычисления для JBBTJ. Заметим, что матрица смежности графа BIB-
схемы имеет вид
(О В\
A«b-[gr oh
где В — матрица инциденций схемы. Следовательно, A2 (G) = ВВТ +
+ ВТВ.
Так как ВгВ = (г — к*) / + ^*^ и ВТВ имеют одинаковые
ненулевые собственные значения, то собственными значениями матрицы
174

A2 (G) являются rk с кратностью 2, г — к* с кратностью 2 (v — 1) и О
с кратностью Ь— и. Таким образом, собственные значения двудольного
графа G таковы: ±(rk)1/z, dz(r — А,*)1/з и 0 с кратностями
соответственно 1, v — 1 и Ъ — v.
Интересно отметить, что параметры схемы полностью определяют
спектр ее графа. Следовательно, две неизоморфные схемы с
одинаковыми параметрами определяют два коспектральных неизоморфных
графа и существует коспектральное семейство неизоморфных графов на 125
вершинах, которое содержит 163,929, 929, 318 и 400 членов [Wi, RM].
По этой причине говорят, что граф BIB-схемы характеризуется
посредством своего спектра, если граф с таким спектром является графом
BIB-схемы с такими же параметрами.
Как было отмечено, параметры схемы определяют спектр графа.
А при каких обстоятельствах верно обратное утверждение: если
задан граф с собственными значениями BIB-схемы, то является ли он
в действительности графом BIB-схемы с подходящими параметрами?
На этот вопрос можно ответить утвердительно для симметричных
схем. В самом деле, предположим, что для положительных целых чисел
k и %* существует граф с ±k в качестве простых собственных значений
и с собственными значениями ±(k — k*)v% кратность каждого из
которых равна v — 1. Из теорем 3.22 и 3.11 следует, что этот граф
является регулярным и двудольным. Значит, A2 (G) = В1 В + ВВТ, где
ВВТ имеет в качестве собственных значений k2 и k — X* с кратностями
соответственно 1 и v — 1. ВВТ и J перестановочны и, следовательно,
имеют общее множество собственных векторов; отсюда заключаем,
что
(ВВ1 — X*J) х = (k — Я,*) х для всех векторов х.
Таким образом, ВВ1 = X*J + (k — к*) 1 и В — матрица инциденций
подходящим образом подобранной BIB-схемы.
Теорема 6.9. Граф симметричной схемы характеризуется своим
спектром (в определенном выше смысле).
Существуют и другие графы, характеризующиеся своими
спектрами. Так может быть охарактеризован и любой регулярный граф с п
вершинами степени 0, 1,2, п — 3, п — 2 или п — 1. В силу теорем 2.6
и 6.4 случаи графов степени 0, 1, п — 2ип — 1 являются нетрудными.
Если граф регулярен степени 2, то он является прямой суммой простых
циклов. Ближайшим значением к наибольшему собственному значению
простого цикла на п вершинах является 2 cos—. Следовательно, из
значения, ближайшего к наибольшему собственному значению графа G,
может быть определено число вершин в наибольшем простом цикле.
Удалив эту связную компоненту из графа и повторив приведенные
выше рассуждения, можно определить порядки оставшихся простых
циклов. Таким образом, графы степени 2 определяются своими спектрами;
на основании теоремы 2.6 графы степени п — 3 также определяются
своими спектрами.
175

В литературе появились сведения и о нескольких других семействах
графов, которые могут быть охарактеризованы своими спектрами.
Используемые при этом методы все более усложняются; некоторые из
них будут описаны в следующем параграфе.
Приведем несколько иную спектральную характеризацию
некоторых орграфов (доказательство заимствовано из работы [EITu].
Теорема 6.10 (Элспас, Тернер [EITu]). Если Ж — множество всех
орграфов (или графов) с п (п — простое число) вершинами, матрицы
смежности которых — циркулянты (такие орграфы являются много-
членами контура, см. § 2.1), то неизоморфные орграфы из Ж имеют
различные спектры.
Доказательство. Пусть А и В — матрицы смежности двух
орграфов из Ж, Покажем, что если Ли В имеют одни и те же
собственные значения, то существует матрица перестановки Р вида Р = (Stf,./)?
такая,что В = Р~1АР. где 8kj — символ Кронекера, а — целое число,
l^q^n— l,aqi должно рассматриваться по модулю п. Заметим,
что доказательство сохраняется, если А и В — произвольные
циркулянты простого порядка, п > 2, элементы которых являются
рациональными числами.
Пусть я0, alf ..., ап—\ и b0, Ьи ..., Ьп-\ — элементы первых строк
матриц А и В и
(=0 t=0
Тогда, как известно, собственные значения матриц Л и В определяются
соответственно таким образом:
а* = fa (©*), _
Р* = Мо>*), ' ' "•' '
где со — любой первообразный корень степени п из 1. По
предположению множества элементов ak и $k совпадают. В частности, ах = jJ^
для некоторого целого числам == 0, 1, ..., п — 1. В действительности
можно допустить, что q Ф 0, так как если п — 1 > 1 (как ранее
предполагалось), то замещение произвольного первообразного корня со
любым из других п — 2 первообразных корней со2, со3, ..., со""-1
приведет к перестановке элементов аь i — 1, ..., п — 1. В результате <хг
будет заменено на ссс, что равносильно собственному значению $д> с
qf Ф 0. Поэтому без потери общности можно считать, что q Ф 0. Далее,
равенство ах = $д означает, что
F(co) = 0,
где F (х) — 2а(х1 — 26txQl(mo6 п) — рациональный многочлен степени
меньше п. Следовательно, минимальный многочлен (минимальная
функция) от со над рациональными числами делит F (х). Этот
минимальный многочлен является круговым многочленом порядка п, который
в случае, когда п — простое число, как известно, имеет вид
Ч>п(х) = х"-{ + ••• +X+L
176

Однако ф„ (со*) = 0 для k = 1, ..., п — 1, так что и F (со*) = 0 для
&= 1, ..., п— 1. Тем самым доказано, что
ak = 2atco*' = 2&У^ = р*„ /г = 1, .. . , п — 1
(здесь повсюду индексы взяты по модулю п).
Поскольку q и п — взаимно простые, индекс kq пробегает
ненулевые вычеты по модулю я, когда k принимает значения 1, ..., п — 1.
Так как полные множества из п собственных значений тождественны и
ak спарено с Pfe (k = 1, ..., п — 1) с помощью приведенного выше
соотношения, то и а0 = Ро- Другими словами, ak = %k для k = 0, 1, ...
..., п •— 1.
Значения элементов af циркулянта А могут быть вычислены через
собственные значения:
1 п~~{
Я/ = — Ц оь^-*'.
Полагая / = ^', находим
s О
Соотношение ^ = а^, эквивалентно матричному соотношению В =
= РЛРТ = РАР~~\ гдеР — матрица перестановки, (i, /)-элементом
которой является 6^,/. Это завершает доказательство.
Частные случаи данной теоремы, относящиеся к графам, были
доказаны Тернером [Turn 1].
§ 6.3. Характеризация и другие спектральные свойства
реберных графов
Реберные графы, уже рассматривавшиеся в § 2.4, представляют
значительный интерес с точки зрения их спектральных
свойств. Одним из таких свойств, впервые замеченным Хоффма-
ном [Hof 6], является нижняя граница собственных значений.
Если R — матрица инциденций графа G, то RTR = 2/ + A (L (G) ;
а так как RTR — положительно полуопределенная матрица, то все
собственные значения матрицы A (L (G)) ограничены снизу числом —2»
Пусть X (G) — наименьшее собственное значение графа; тогда
X (L (G)) ^ —2. Когда эта граница достигается? Если A (L (G))
действует на вектор х, то координаты соответствуют вершинам графа L (G),
которые, в свою очередь, соответствуют ребрам графа G. Заметим, что
для любой вершины в G сумма координат, соответствующих ребрам,
инциндентным этой вершине, равна нулю тогда и только тогда, когда
Rx = о, откуда следует Л (L (G)) х — —2х. Будем считать х
принадлежащим ядру* матрицы Д, если Rx = о. Таким образом, достаточным
(и, как будет показано, необходимым) условием для X (L (G)) = —2
* Ядро матрицы А называется гакже нуль-пространством этой матрицы А.—
Прим» перев.
177

является следующее: ядро матрицы R содержит ненулевой вектор.
Пусть G содержит замкнутый маршрут четной длины, являющийся
последовательностью ребер elt е2> ..., £2т, тогда вектор х может быть
построен, если положить значение координаты, соответствующей eit
равным (—1)' и нулю — для всех остальных координат (если ребро
появляется в маршруте более одного раза, то соответствующая ему
координата равна сумме значений тех et> которые равны этому ребру).
Построенный таким образом вектор принадлежит ядру матрицы Я,
и если он ненулевой, то A, (L (G)) = —2. Если же некоторая связная
компонента содержит два нечетных простых цикла, то четный
замкнутый маршрут может быть найден в результате рассмотрения ребер
в круговой последовательности первого простого цикла в направлении
(если нужно) ко второму простому циклу, затем второго простого
цикла и, наконец, в обратном направлении вдоль пути к первому простому
циклу. Затем снова может быть построен ненулевой вектор,
принадлежащий ядру матрицы Я. Таким образом, если граф G содержит четный
простой цикл или если связная компонента содержит два нечетных
простых цикла, то X (L (G)) = —2. Это условие является как
необходимым, так и достаточным, в чем можно убедиться, доказав следующее:
а) то, что х принадлежит ядру матрицы Я, эквивалентно RTRx = о;
б) ненулевой вектор, принадлежащий ядру матрицы Я, существует
тогда и только тогда, когда G содержит четный простой цикл или два
нечетных простых цикла содержатся в одной связной компоненте. Для
«а» положим RTRx = о. Тогда xTRTRx = о, так что Rx = о. Для
«б» пусть х — ненулевой вектор, принадлежащий ядру матрицы Я.
Рассмотрим подграф, определяемый ребрами, соответствующими
ненулевым координатам, и пусть G — одна из связных компонент этого
подграфа. Если х — сужение вектора ж на координаты, соответствующие
ребрам компоненты G, a R — матрица инциденций этой компоненты,
то Rx = о и сумма координат, соответствующих ребрам,
инцидентным любой вершине компоненты G, равна 0. Так как все координаты х
ненулевые, то G не имеет вершин степени 1 и, в частности, не является
деревом. Если G содержит четный простой цикл или два нечетных
простых цикла, то ожидаемый вывод подтверждается. Если же G содержит
в точности один простой цикл и этот цикл нечетный, то, поскольку не
существует вершин степени 1, G является нечетным простым циклом.
Если еъ е29..., e<m+\ — упорядоченная последовательность ребер
простого цикла и xl9 ..., Х2т+\ — соответствующие координаты вектора х,
то xt = —*/+1, i = 1, ..., 2m, и хх = —*2m+i. Отсюда следуете = о,
что противоречит сделанному выше предположению. Таким образом,
доказано следующее утверждение.
Теорема 6.11 (Дуб [Doo 2, Doo 8]). Для любого графа G %(L (G)) >
^ —2. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда G содержит
четный простой цикл или два нечетных простых цикла содержатся в
одной связной компоненте.
В действительности циклическая структура графа G может быть ис-
178

пользована для определения базиса собственных векторов собственного
подпространства, соответствующего собственному значению —2. В
частности, кратность этого собственного значения есть число независимых
четных замкнутых маршрутов графа G. Дальнейшие подробности
относительно этого построения можно найти в работе [Doo 8].
Для любого графа G было показано, что X (L (G)) ^ —2. Является
ли это характеризацией реберных графов? Ответ отрицателен для
к (К\,з) = — КЗ и X (Кил) = —2. А при рассмотрении одних
регулярных графов? Ответ по-прежнему отрицателен для графа Петерсена;
для графа, коспектрального, но не изоморфного графу L (/(4,4); для трех
графов, коспектральных, но не изоморфных треугольному графу Т (8)
и одному из графов, приведенных на рис. 6.4, не являющихся
реберными графами, но у которых наименьшее собственное значение равно
—2 (определения и некоторые другие подробности содержатся на с. 183,
в частности, см. теоремы 6.18 и 6.16). Если определить Н (п) как
регулярный граф на 2п вершинах, степень которых равна 2п — 2, то в этом
случае, поскольку Н (п) — полный многодольный граф, из теоремы
6.6 следует, что его различными собственными значениями являются
2п — 2, 0 и —2. Так как две несмежные вершины могут быть взаимно
смежны самое большее с четырьмя другими вершинами в реберном
графе, то Н (п) не является реберным графом при п > 3.
Следующая важная теорема утверждает, что если степень достаточно
велика, то любой регулярный граф, минимальное собственное значение
которого не меньше —2, либо является реберным графом либо содержит
связную компоненту, изоморфную Я (п).
Теорема 6.12 (Хоффман, Рэй-Чоудхури [HoR 3]). Пусть Я —
регулярный связный граф степени, большей 16, и X (Я) ^ —2. Тогда для
некоторых п uG либо Н = Н (п), либо Я = L (G).
Эта граница для степени — лучшая из возможных, так как граф
Шлёфли (определение см. на с. 195, см. также теорему 6.29), не
являющийся реберным графом, имеет минимальное собственное значение,
равное —2, и в то же время является связным регулярным графом
степени 16.
Подобный результат для нерегулярных графов приводится в
следующей теореме Рэй-Чоудхури [Ray 1] (d (G) означает минимальную
степень вершин графа, а а (и, v) — число вершин, смежных с и и
несмежных с v).
Теорема 6.13 (Рэй-Чоудхури [Ray 1]). Если G — такой граф, что:
(i) d (G) > 45, (И) а (и, v)>2 для любой пары смежных вершин и
(ш) X (G) ^ — 2, то G — реберный граф.
Идея сравнительно сложного доказательства теорем 6.12 и 6.13
заключается в том, что нужно сперва охарактеризовать реберный граф
с помощью некоторых подграфов, определяющих структуру графа
посредством клик *, а затем доказать, что если наименьшее собственное
значение графа равно —2, то другие подграфы, отличные от указанных,
появляться не могут. Приведем здесь лишь часть доказательства,
чтобы показать содержательную направленность этих теорем. Чита-
* Клика графа — это его любой максимальный полный подграф.— Прим. перев.
17»

теля, заинтересованного в более глубоком понимании этих вопросов,
отсылаем к работам Хоффмана и Рэй-Чоудхури.
Прежде всего следует заметить, что на основании локальных свойств
графа можно установить, является ли он реберным или нет. (В самом
деле, Байнеке [Bein] показал, что граф не является реберным тогда
и только тогда, когда в нем встречается хотя бы один из девяти
запрещенных порожденных подграфов с не более чем шестью вершинами.)
Если v — вершина графа G, то Gv будет означать подграф, порожденный
вершинами графа G, смежными с вершиной v. Заметим, что сама
вершина v не принадлежит G0. Будем говорить, что v содержится в паре мос-
тиковых клик Сх (v) и С2 (v)f если две клики (т. е. полные подграфы
Cl (v) и С2 (v) удовлетворяют следующим условиям:
(О С, (о) {]Ct(v) = {v};
(ii) множество вершин подграфа Gu — это в точности множество
Cx(v) U C%(v)-{v}\
(Hi) множество ребер подграфа G0 может быть разбито на ребра,
принадлежащие Cl (v), ребра, принадлежащие С2 (v)9 и множество
независимых (взаимно несмежных) ребер.
Если G = L (Я) для некоторого Я, то каждая вершина v графа G
содержится в паре мостиковых клик, а именно: вершины,
соответствующие ребрам графа Я, соединены с одной из концевых вершин ребра v
графа Я (если рассматривать вершину v графа G как ребро графа Я).
Обратно: если при предположениях теоремы 6.12 или теоремы 6.13
каждая вершина графа G содержится в паре мостиковых клик, то G =
= L (Я) для некоторого Я. Это следует из того, что множество всех
мостиковых клик обладает следующими свойствами:
(О | С с (v) П С, (и) | < 1 или Ct (v) - С, (u)t i, /=1,2;
(ii) каждая вершина v содержится в точности в двух мостиковых
кликах, т. е. в Сг (v) и С2 (v)\
(Hi) вершинами, смежными с вершиной v, являются в точности
Cx(v) [}C2(v)-{v].
Вершины графа Я в этом случае соответствуют мостиковым кликам
с двумя смежными вершинами тогда и только тогда, когда они имеют
непустое пересечение. Таким образом, доказательство теоремы 6.12
или 6.13 можно провести локально, т. е. необходимо лишь показать,
что каждая вершина содержится в паре мостиковых клик.
Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что некоторые
подграфы не могут встречаться в графе с наименьшим собственным
значением, равным —2. Для этого понадобится следующее_утверждение.
Лемма 6.3 (Хоффман, Рэй-Чоудхури [HoR 2]). Если G
—порожденный подграф графа G, к (G) = X (G), х — собственный вектор подграфа
G, соответствующий собственному значению X (G), их образован из х
посредством добавления координат, равных нулю, то х — собственный
вектор графа G, соответствующий собственному значению, равному
К (G).
Доказательство. Поскольку A (G) — действительная
симметрическая матрица, то любой ненулевой вектор z может быть пред-
180

ставлен в виде суммы собственных векторов. Таким образом,
z t(l)z >М0);
собственный
1)т есть
равенство имеет место тогда и только тогда, когда z
вектор, соответствующий собственному значению к (G).
Исходя из предположений леммы, рассмотрим векторы х и х. Так
как || х || = (х || и хтА (G) х = х A (G) х, то х должен быть
собственным вектором матрицы A(G), соответствующим собственному
значению А, (G). Кроме того, если G регулярен, то вектор (1, 1, .
собственный вектор,
ортогональный х и, следовательно, сумма
координат вектора х должна быть
равна нулю. Таким образом, доказана
Теорема 6.14 (Хоффман, Рэй-
Чоудхури [HoR 2]. Если G — по-
-2 J
1111-1-1 -2\ -
/ /
Рис. 6.9.
рожденный подграф регулярного графа G, к (G) = X (G) и х —
собственный вектор подграфа G, соответствующий собственному значению,
равному k (G), то: (i) сумма координат вектора х равна нулю; {И) если
v£V(G) — V* (G), то сумма координат вектора х, соответствующих
вершинам в G, смежным с v, равна нулю.
При последующем рассмотрении числовая
метка вершины будет указывать координату
вектора ху соответствующую этой вершине. Не-
обозначенной вершиной будет вершина v из
п. (И) теоремы 6.14. На основании пп. (i) и (И)
графы, приведенные соответственно на рис. 6.9
и 6.13 не могут встречаться как порожденные
подграфы регулярного графа с наименьшим
собственным значением, равным —2.
Из рис. 6.9 видно, что /G,4 не может быть порожденным подграфом
регулярного графа с наименьшим собственным значением, равным —2.
Возникает вопрос: как изменятся свойства графа /См, если к нему
прибавить одно дополнительное ребро, т. е. может ли граф, изображенный
на рис. 6.11, быть порожденным подграфом регулярного графа с
наименьшим собственным значением, равным—2? Так как этот граф
имеет наименьшее собственное значение, которое строго больше —2, то тео-
Рис. 6.11.
181

рема 6.14, на первый взгляд, кажется здесь неприменимой. Тем не менее
продолжим рассмотрение. Пусть v0 — вершина степени 4, vx и v2 —
вершины степени 2, v3 и v4—вершины степени 1, как показано на
рис. 6.11. Так как граф регулярен, a vl9 v2 и v4 смежны с v0, но не
с v3, то вершины t>6, ve и v7 должны быть смежны с v3i но не с v0. Если v&
смежна в точности с одной из вершин vu v2i v4 или с двумя вершинами —
v1 и v2, то подграф, изоморфный первому из графов, приведенных на
рис. 6.9, является порожденным, что невозможно. Если vb смежна с v2
и t>4, то подграф, изоморфный второму из графов, приведенных на
рис. 6.10, является порожденным. Следовательно, vb не смежна ни с
одной из вершин v0, vlf v2i v4. Те же рассуждения верны и для ve и v7.
Если две из вершин t>5, ve, v7 несмежны, то подграф, изоморфный
третьему графу, изображенному на рис. 6.10, является порожденным и
поэтому t>6, ve, v7 порождают клику. Из тех же рассуждений следует, что
существуют три вершины — t>8, v9 и v10i смежные с v4, но не с v0. Эти три
Еершины также порождают клику, но ни одна из них не смежна с v0,
vlf v2 или v3. Предположим, что ни одна из вершин vbi v6i v7 не смежна ни
с одной из вершин у8, v9, v10. Тогда две из этих вершин вместе с v0, vu ...
..., t>4 образуют подграф, изоморфный второму из графов, приведенных
на рис. 6.9. Следовательно, vi9 ..., v10 должны порождать клику. Но
тогда v3, ..., v9 порождают подграф, изоморфный четвертому из графов,
приведенных на рис. 6.10. Таким образом, исходный граф,
изображенный на рис. 6.11, невозможен.
Теперь попытаемся рассмотреть в качестве возможного подграфа
граф /Ci,3- Он действительно появляется в качестве порожденного
подграфа в графе Петерсена; в графе, коспектральном, но не изоморфном
графу L (Кал) *; в трех графах, коспектральных, но не изоморфных
треугольному графу Т (8) **, и в одном из графов, изображенных на
рис. 6.4. Однако предположения теоремы 6.12 исключают из
рассмотрения регулярные графы малой степени и по этой причине не существует
подграфа, изоморфного графу К\,ъ- Исключая возможные подграфы
с % (G) > —2 указанным выше способом, можно достичь того, чтобы
каждая вершина содержалась в паре мостиковых клик. Именно этот
метод использовал Рэй-Чоудхури для завершения доказательства
теоремы 6.13.
Предположим, что G — связный регулярный граф такой, что
G = L (Я). Не умаляя общности, можно также предположить, что Н
не имеет изолированных вершин и поэтому связен. Поскольку G
регулярен, то сумма степеней двух смежных вершин в Н постоянна.
Поэтому если вершина иг графа Н имеет степень гг и смежна с вершиной
степени г2, то каждая вершина, расстояние от которой до иг четно,
имеет степень ги а каждая вершина, расстояние от которой до иг
нечетно, имеет степень г2. Если гг = г2, то граф регулярен. При г, Ф г2
вершины графа могут быть разбиты на два подмножества таким
образом, что две вершины, принадлежащие одному подмножеству, имеют
одинаковую степень и каждое ребро соединяет вершины, принадлежа-
* См. с. 184, теорему 6.18.
** См. ниже теорему 6.16.
182

щие различным подмножествам. Такой граф, у которого пг и п2 —
мощности двух подмножеств, а гг и г2 — степени вершин этих
подмножеств, называется полурегулярным с параметрами (nl9 п2, rl9 г2).
В частности, граф В IB-схемы является полурегулярным графом с
параметрами (и, &, г, k).
Теорема 6.15 (Рэй-Чоудхури [Ray 1]). Пусть Я — связный
регулярный граф степени г> 9 и спектры графов G и L (Я) одинаковы. Тогда
G = L (Я'), где: (i) либо W регулярен степени г; (и) либо Я' полу
регулярен с параметрами (пи п2, гъ r2)f где гх + г2 = 2п.
Доказательство. Так как Я регулярен, то 2г — 2 является
доминирующим собственным значением графа L (Я) и % (L (Я)) ^ —2.
Следовательно, на основании теоремы 6.12 G является либо реберным
графом, либо графом Я (п) для некоторого п. Но в силу следствия из
теоремы 6.6 последний случай невозможен, поэтому G = L (Я') для
некоторого Я'. Поскольку L (Я) регулярен, то G должен иметь ту же
степень. Это и завершает доказательство теоремы.
Заметим, что условия (i) и (И) в данном утверждении не являются
независимыми. Однако, рассматривая кратность собственного значения
—2 в L (Я), можно установить следующие результаты.
Следствие. Если Я иН' регулярны, a L (Я) и L (Ях) коспектральны,
то Я и Я' коспектральны. В частности, Я является двудольным
графом тогда и только тогда, когда Я' двудолен.
Треугольный граф Т (п) может быть определен как граф Т (п) s
^ L (/(„). Собственными значениями треугольного графа являются
2п — 4, п — 4 и —2. Поэтому если п > 10 и спектр графа G такой же,
как графа Т (я), из теоремы 6.12 следует, что G = L (Я). В силу
теоремы 3.32 две несмежные вершины графа G взаимно смежны с четырьмя
другими вершинами и, следовательно, Я — клика и Т (п)
характеризуется своим спектром при п > 10. В случаях, если п = 1, 2, 3, 4, как
легко заметить, Т (п) характеризуется своим спектром; при п = 5, 6,
7, 9, 10 Т (п) также характеризуется своим спектром, что было
показано Хоффманом [Hof 2] для всех п Ф 8 с помощью рассуждений, в
которых теорема 6.12 не использовалась. Ченг [Cha 2] и Зайден [Seid]
показали, что существуют в точности три исключительных графа, ко-
спектральных графу Т (8) (они будут построены в § 6.5). Следовательно,
доказана
Теорема 6.16. Треугольный граф Т (п) характеризуется своим
спектром, если п Ф 8. При п = 8 существуют в точности три
исключительных графа.
С учетом результатов теоремы 3.32 следующая теорема
эквивалентна теореме 6.16.
Теорема 6.17. Если п Ф 8, то G ^ L (Кп) тогда и только тогда,
когда: (i) G имеет I*1) вершин,1 (ii) G — регулярный граф степени 2(п —
— 2); (Ш) каждая пара несмежных вершин взаимно смежна с четырьмя
другими вершинами; (iv) каждая пара смежных вершин взаимно смежна
сп — 2 другими вершинами.
Рассмотрим теперь реберный граф регулярного полного
двудольного графа. Поскольку L (Кп,п) = Кп + /Сл, то собственными значениями
183

этого графа являются числа 2п — 2, п — 2 и —2. Предположим,
что G и L (Кп,п) коспектральны и п > 9. Тогда в силу теоремы 6.12
G = L (Я) и из теоремы 6.15 следует, что Я регулярен или
полурегулярен. В первом случае на основании следствия из теоремы 6.15 Я и Кп,п
коспектральны и из теоремы 6.5 следует, что Я s Кп,п- Во втором
случае в силу теоремы 3.32 каждая пара несмежных вершин взаимно
смежна с двумя вершинами и поэтому Я — полный двудольный граф. Если
Я нерегулярен, то L (Я) имеет четыре различных собственных
значения. Отсюда следует, что Я регулярен и снова Я ^ Кп,п- Таким
образом, L (Кп,п) характеризуется своим спектром, если п > 9. Шрикхан-
де [Shr 2] дал полностью независимое доказательство (в том числе и для
п = 5 -г- 9), утверждающее, что в этих случаях L (Кп,п)
характеризуется своим спектром. При п = 4 имеется в точности один
контрпример. Можно легко показать, что при п = 1, 2, 3 ЦКп,п) также
характеризуется своим спектром.
Теорема 6.18. (Шрикханде [Shr 2]). Если п Ф 4, то L (Кп,п)
характеризуется своим спектром; при п = 4 имеется в точности один
исключительный граф.
Эта теорема будет доказана в § 6.4.
Так как L {Кп,п) сильно регулярен, то теорема 6.18 может быть
переформулирована аналогично теореме 6.17. В действительности имеет
место более общая теорема.
Теорема 6.19 (Хоффмзн [Hof 4],Мун[Моо 11). Еслит и пне равные,
то G = L (Кт,п) тогда и только тогда, когда: (i) G имеет тп вершин;
(ii) G — регулярный граф степени т + п — 2; (ш) каждая пара
несмежных вершин взаимно смежна с двумя другими вершинами; (iv)
каждая пара смежных вершин взаимно смежна cm — 2 или п — 2
другими вершинами.
Матрица Адамара порядка п — это матрица, элементами которой
являются 1 и —1 и такая, что любые две ее строки ортогональны.
Порядок матрицы Адамара всегда равен 1, 2 или числу, кратному 4.
Симметрическая матрица Адамара с постоянной диагональю имеет порядок,
равный всегда 1, 2 или 4/2 для некоторого целого числа t. Построение
матриц Адамара потребовало значительных усилий. Обзор результатов
можно найти в работе В. Уоллиса, А. Стрита и Дж. Уоллиса [WaSW].
Следующее обобщение теоремы 6.19 встречается независимо в
работах Дуба [Doo 4] и Цветковича [Cve 9].
Теорема 6.20* (Дуб [Doo 4], Цветкович [Cve 9]). Пусть G^
S L (Кт,п), гп + п > 18. Если {т, п) Ф {2t2 + /, 2t2 — t) и
существует симметрическая матрица Адамара с постоянной диагональю порядка
4/2, то граф G характеризуется своим спектром.
Доказательство. Идея доказательства заключается в
следующем. Поскольку L (Кт,п) = Кт + Kni то различными
собственными значениями этого графа являются т + п — 2, т — 2, п — 2и
—2. Поэтому из теоремы 6.12 следует, что если G и L (Кт,п)
коспектральны, то G = L (Я) для некоторого графа Я. Если Я нерегулярен,
* Более новый результат допускает ограничение {т, п) =тЦ6, 3} взамен т + л>
> 18. В последнем случае существует единственный коспектральный «напарник»
(см. замечание относительно корневых систем в конце настоящего параграфа).
184

то он является по л у регулярным графом с параметрами (пъ п2, rlf г2)$
г2 < гх. Если R — матрица инциденций графа Я, то гх — собственное
значение матрицы /?йт, и поэтому гг — 2 является собственным
значением графа L (Я). Отсюда следует, что {гь г2] = {т, п) и Я s
^ /Стл. Если же Я регулярен, то его собственными значениями
являются -j (т + п), ± -j (т — л), а если он двудолен, то — у (т + л).
Но если Я двудолен, то кратности т — 2 и л — 2 собственных чисел
(т — п)12 и —(т + п)/2 должны совпадать. Следовательно,
собственными значениями Я являются ±т и 0; отсюда в силу теоремы 6.5 Я =
= Кт,т- Таким образом, новый коспектральный граф может возникнуть
лишь в единственном случае, когда Я регулярен и не двудолен и имеет
собственные значения -у (т + п) и ± -к (т — п).
Пусть t = -н- (т + п) — степень графа Я. Тогда т = 2t2 + t, п =
= 2t2 — t и число вершин графа Я разно \t% — 1. Обозначим матрицу С
через С = J — 2А (Я) и образуем С посредством добавления одной
дополнительной строки и столбца с одинаковыми элементами, равными
1. Си есть требуемая матрица Адамара. Кроме того, если процедура
начиналась с симметрической матрицы Адамара с постоянной
диагональю, то при умножении подходящих строк и столбцов на —1
получается матрица Адамара, у которой последние строка и столбец содержат
одинаковые элементы, равные 1. Рассуждая в обратном порядке,
получаем граф, не изоморфный графу L (Кт,п)> но коспектральный ему,
и, следовательно, доказательство теоремы завершено.
Известно [Doo 4], что если т = 2, п = 2 или \т — п | = 1, то
L (Кт,п) характеризуется своим спектром.
Определение реберного графа BIB-схемы было дано в § 6.2. Для
симметричной схемы с параметрами (и, fe, A,*), k > 9, собственными
значениями реберного графа являются 2k — 2, k — 2, ± (k — X*)1/» и
—2. Следовательно, если G коспектрален этому графу, то G ^ L (Я)
для некоторого Я. Если Я регулярен, то в силу следствия из теоремы
6.15 и теоремы 6.9 Я — это граф BIB-схемы с параметрами (и, &, А,*).
Если Я нерегулярен, то он полурегулярен с параметрами (nlf п2, ги г2),
^i < г2. Отсюда следует, что гг — собственное значение графа L (Я),
и поскольку гг + r2 = 2fe, то собственными значениями графа L (Я)
являются rL + гг — 2, гг — 2, г2 — 2 и —2. Если В — матрица
инциденций графа Я, то (ВВ1^- rj) + (ВТВ — г21) = А (Я)2.
Следовательно, А (Я) имеет ± \/"ггг2 и 0 в качестве своих различных собствен*
ных значений, а так как Я связен, то он должен быть полным
двудольным графом. Число вершин в L (Krt,r2) равно ггг2 и не равно vk. Таким
образом, для k > 9 реберный граф симметричной BIB-схемы
характеризуется посредством сьоего спектра. Хоффман и Рэй-Чоудхури
[HoR 2] независимо доказали, что это верно и для k ^ 9 с единственным
исключением (и, &, А,*) = (4, 3, 2), проиллюстрированным на рис. 6.4.
Теорема 6.21. Реберный граф симметричной BIB-схемы
характеризуется своим спектром, если (v, k, А,*) ф (4, 3, 2). Для (v, k, А,*) =
= (4,3, 2) существует в точности один исключительный граф.
185

(Заметим еще раз, что, вообще говоря, существуют BIB-схемы с
неизоморфными, но коспектральными реберными графами.)
Следствие (Хоффман [Hof 5]). Реберный граф проективной
плоскости характеризуется посредством своего спектра.
Что можно утверждать относительно реберного графа
несимметричной BIB-схемы? Поскольку Кт,п — граф тривиальной BIB-схемы с
параметрами (т, п, я, /л, л), то применима теорема 6.20. В случае, когда
X* = 1, результат получается более интересным.
Теорема 6,22 * (ДубШоо 9]). Если г + k > 18, то реберный граф
BIB-схемы с параметрами (v, b, г, fe, 1) характеризуется своим
спектром.
Непосредственным выводом из этой теоремы является
утверждение о том, что реберный граф конечной аффинной плоскости порядка
п > 8 характеризуется своим спектром. Для меньших значений
решение задачи независимо получено Хоффманом и Рэй-Чоудхури [HoR 1].
Следствие. Реберный граф конечной аффинной плоскости всегда
характеризуется своим спектром.
Остался невыясненным вопрос о том, в какой степени теоремы 6.21
и 6.22 могут быть распространены на другие BIB-схемы. Известно, что
реберный граф графа Петерсена и граф BIB-схемы с параметрами (vf ft,
г, k, А,*) = (6, 10, 5, 3, 2) имеют коспектр ал ьные реберные графы.
Есть основания предполагать, что если реберный граф BIB-схемы не
характеризуется своим спектром, то параметры схемы должны иметь
вид (vt Ь9 г, ft, X*) = ((л + 1) (2п + 1), (п + 1) (2п + 3), т (2л + 3),
т (2/г + 1), 2т2 + т (т — 1)/я), где т и п — положительные целые
числа такие, что т ^ п + 1. Заметим, что в приведенном выше
примере т = п = 1, а для исключительных графов, соответствующих
теореме 6.20, t = т = п + 1. Кроме того, из справедливости данного
предположения следует, что для любого Х*0 > 2 существует не более
одного множества параметров (у, &, г, k, Х*0), для которых реберный
граф BIB-схемы не характеризуется своим спектром.
После того как этот параграф был написан, Камерон, Гёталс, Зай-
дель и Шулт [CaGSSJ развили новый геометрический метод для
выявления спектральных характеризаций графов с X (G) ^ —2. Основная
идея метода заключается в следующем: если А — матрица смежности
графа G с X (G) ^ —2, то А + 21 — положительно полуопределенная
матрица такая, что А + 21 — ММТ для некоторой матрицы М.
Строки матрицы М рассматриваются как векторы с длинами, равными }/29
а скалярное произведение любых двух из них равно 0 или 1.
Следовательно, прямые, соединяющие строки матрицы М (рассматриваемые
теперь как точки в \Rn) и начало координат, должны взаимно
пересекаться под углом 60 или 90°. Обратно, пусть заданы прямые в (R",
которые взаимно пересекаются в начале координат под углом 60 или 90^;
тогда если векторы, образованные по этим прямым, имеют длину 1/2,
а скалярное произведение равно 0 или 1, то, считая векторы строками
* Более новый результат позволяет снять ограничение г + k > 18. См.
замечание относительно корневых систем в конце настоящего параграфа.
186

матрицы М и A (G) = ММ1 — 21, получаем граф с % (G) ^ — 2. Число
способов получения таких прямых, как утверждает теория корневых
систем [Cart, Wybo], конечно. Корневые системы c/Zrt 1, 0п, &8,
представляющие в действительности максимальные системы прямых,
пересекающихся под углом 60 или 90° в соответствующем евклидовом
пространстве, описываются таким образом. Пусть {elf ..., еп) —
ортонормированный базис пространства \Rn. Тогда А,г-\ — множество
из -jn(n — О прямых, проходящих через начало координат и векторы
et — ejy i Ф j, {/, /} £i {1, ..., п), а 0п — множество из п (п — 1)
прямых, проходящих через начало координат и векторы ± et ± ef9 i Ф /,
{it /} Ш {1, ..., п). §8 состоит из 84 прямых в К9, которые проходят
через начало координат и векторы -=• S ен — (ei + е.- + ek), U, j, k) ^
^ {1, ..., 9}, плюс 36 прямых в Л%. Все графы с X (G) ^> — 2 можно
построить с помощью некоторых подмножеств этих корневых систем
и отбора векторов вдоль прямых с длиной |/2, скалярное произведение
любых двух из которых равно 0 или 1. Оказывается, графы,
возникающие из корневой системы c/Z„_i, являются в точности реберными
графами двудольных графов, в то время как графы, возникающие из фп,
являются в точности обобщенными реберными графами *. Все другие
графы с % (G) ^ —2 должны строиться из %ъ (множества из 120 прямых),
и, следовательно, Камерон, Гёталс, Зайдель и Шулт свели проблему
описания таких графов к конкретной, хотя и трудной, задаче. Они
также показали, что связный граф, не являющийся обобщенным
реберным графом и для которого X (G) ^ —2, может иметь самое большее 36
вершин, тогда как любой такой граф, являющийся регулярным, может
иметь самое большее 28 вершин. Все регулярные графы этого типа
известны [BuCS]. Существует в точности 187 таких графов, не
являющихся реберными или графами «приема гостей»; 68 из них коспектральны
реберным графам.
Из работы по корневым системам становится понятным, почему
диаграммы Дынкина (объект, изучаемый в связи с корневыми системами
в алгебрах Ли) включают в себя те графы, максимальное собственное
значение которых не превышает 2 (эти графы описаны в § 2.7).
Такие графы также возникают при изучении дискретных групп,
порождаемых отражениями точек гиперплоскостями в \Rn [Сохе].
* Регулярный граф на 2k вершинах степени 2k —2 называют графом «приема
гостей» (в оригинале «cocktail party graph» —прим. перев.) и обозначают СР (k). Пусть
G — граф на вершинах 1, ..., я, a alt ..., ап — неотрицательные целые числа.
Обобщенный реберный граф L (G; av ..., ап) графа G есть граф, полученный из графов
L (G), СР (ах) СР (ап), в котором для каждого / все вершины графа СР (а,-)
соединены ребрами с той вершиной в L (G), которая соответствует ребру графа G,
инцидентному вершине /. Если все aj являются нулями, то обобщенный реберный граф
сводится к реберному графу-
187

§ 6.4. Метрически регулярные графы
Ассоциативная схема с т классами состоит из множества п объектов
и т симметричных отношений, называемых ассоциациями, такими, что:
(i) каждая пара элементов удовлетворяет в точности одному
отношению;
(и) для каждого объекта х число nt (х) объектов, находящихся в /-и
ассоциации с х, не зависит от выбора х\
(ш) если х и у находятся в /-й ассоциации, то число /?},* (х> у)
объектов, одновременно состоящих с х в /-й ассоциации и с у в k-и
ассоциации, не зависит от выбора i'-й ассоциации х и у.
Ассоциативные схемы были впервые введены Боузом и Шимамото
[BoSh]; обзор по классификации * можно найти у Рагхаварао [Ragh]
или Дембовски [Demb]. Числа v, nt (х), P),k (х, у), i, /, k = 1, ..., п,
называются параметрами ассоциативной схемы.
Для графа с диаметром D можно определить D ассоциативных
классов, считая, что х и у находятся в k-и ассоциации, если d (х, у) = /г,
где d (х, у) — расстояние от вершины х до вершины у. В случае, когда
эти ассоциативные классы приводят к ассоциативной схеме, граф
называется метрически регулярным.
Приведем примеры метрически регулярных графов.
1. Решетчатые графы характеристики п. Вершинами графа
являются целочисленные m-ки (х19 ..., xm)t 1 ^ х( ^ п. Две вершины
смежны, если как т-ки они отличаются в точности одной координатой.
Таким образом, две вершины находятся в fe-й ассоциации, если они
отличаются в точности k координатами. я-Мерный куб является частным
случаем решетчатого графа.
2. Биномиальные графы ** характеристики п. Вершинами графа
являются 1п ) m-подмножеств я-множества. Две вершины смежны, если
их пересечение имеет мощность т — 1. Поэтому две вершины находятся
в k-й ассоциации, если их пересечение имеет мощность т — k.
3. Сильно регулярные графы. По определению эти графы порождают
2-классные ассоциативные схемы. Так как сильно регулярные графы
обладают интересными спектральными свойствами, то вполне
естественно исследовать спектральные свойства метрически регулярных
графов.
Сначала определим (0, 1)-матрицы Л0, ..., Ат следующим
образом: А0 = / и (Л/)/,* = 1 тогда и только тогда, когда вершины / и k
находятся в i-й ассоциации. Расширим определение параметров
естественным образом так, чтобы р)>0 (х, у) = 8ц и p\k (х, у) = я,- (х) б/*, где
б// — б-символ Кронекера. Из непосредственных вычислений следует,
что A :Ak — ^] р) kA{ и, значит, любая пара матриц в линейной обо-
t=0
* О приложениях ассоциативных схем в теории кодирования и комбинаторике
см., например, работу Слоэна [SloaJ.— Прим. перев.
** В оригинале «binomial coefficient graphs».— Прим. перев.
188

лочке этих At перестановочна. Туда входят как сами матрицы А{г
т
так и их сумма J = £ At. Далее, поскольку Аь линейно независи-
1=0
мы, то они образуют базис коммутативной алгебры, порожденный
указанными At. Обозначим Pk = (р),к), 0<л, /, k^.m. Собственные
значения сильно регулярного графа определяются его параметрами.
Как показывает следующая теорема, собственные значения
метрически регулярного графа также определяются параметрами своего графа.
Теорема 6.23 (Боуз, Месснер [ВоМе]). Различные собственные зна-
т т
чения матриц J] rtAt и $] rtPt совпадают. В частности, различные
собственные значения метрически регулярного графа те же, что и у Рг.
Доказательство. Найдем число последовательностей вершин
(х, и, vf у) таких, что d (х, и) = kt d (и, v) = /, d (vf у) = i и d (xf у) =
= s. Если r = d(x, v)f то число таких последовательностей равна
т
S PikpSr,i\ ПРИ г = d(ut у) числом таких последовательностей будет
г=0
т
Yi РиРьг- Воспользовавшись равенством этих двух сумм, с помощью
г=0
т
непосредственных вычислений получаем PfPk == У] p)tkPi- Так как эта
t=0
формула представляет собой в точности формулу для AjAk, то если
т т т
А = У> rLAh Р = X rtPt и q (х) — многочлен, то из q (А) = V s^t-
i=\ /=1 i=0
т
следует q (Р) = J] spi. Поэтому если т (х) — минимальный многочлен
1=0
матрицы Л, то т (Р) = 0 и каждое из различных собственных значений
матрицы Р является собственным значением матрицы А. Из
аналогичных рассуждений следует, что каждое из различных собственных
значений матрицы А является также и собственным значением матрицы Р.
Поскольку собственные значения метрически регулярного графа
определяются его параметрами, то граф, параметры которого те же,
что и у метрически регулярного графа, будет иметь такие же
собственные значения. Для графов с диаметром более 3 обратное утверждение
неверно, так как существует граф, коспектральный m-мерному кубу
Qm, который не является метрически регулярным для всех т ^ 4.
Однако, если диаметр меньше 3, то легко заметить, что граф с
собственными значениями метрически регулярного графа также метрически
регулярен с теми же параметрами. Если граф имеет различные
собственные значения, совпадающие с собственными значениями метрически
регулярного графа с диаметром 3, то в силу леммы 6.2 эти графы ко-
спектральны. Неизвестно, следует ли отсюда, что этот граф является,
метрически регулярным, но есть веские основания считать, что это так.
Решетчатый и биномиальный графы (характеристики которых п.
и диаметры 3) интенсивно исследовались в основном в связи с их
спектральной характеризацией. Первый из них называется кубическим-
18»

решетчатым, а второй — графом тетраэдра. Рассмотрим решетчатый
граф подробнее.
Кубический решетчатый граф имеет интересную спектральную ха-
рактеризацию, описанную Ласкаром [Las 1] и Айгнером [Aign]. Пусть
А (*» У) — число вершин, смежных с вершинами х и у. Как показали
эти авторы, для п Ф 4 граф является кубическим решетчатым графом
характеристики п тогда и только тогда, когда он обладает следующими
свойствами:
(Ьх) число вершин равно я3;
(Ь2) граф является связным и регулярным степени 3(п— 1);
(Ъ3) если d (х, у) = 1, то А (х, у) — п — 2;
(Ь4) если d (х, у) = 2, то А (х, у) = 2;
(Ь5) если d (х, у) = 2, то имеется п — 1 вершин z таких, что
d (х, г) = 1 и d (у, г) = 3.
Кроме того, Айгнер показал, что для п = 4 существует в точности
один исключительный граф.
Спектр кубического графа характеристики п определить легко,
поскольку он изоморфен Кп + Кп + Кп. Поэтому его собственными
значениями являются Зп — 3, 2п — 3, п — 3 и —3 с кратностями
соответственно 1, 3 (п — 1), 3 (п — I)2 и (п — I)3. Следовательно, в силу
леммы 6.2 граф имеет спектр кубического решетчатого графа тогда и
только тогда, когда он регулярен, связен, имеет г? вершин и Ъп — 3,
2п — 3, /г — 3 и —3 в качестве различных собственных значений. Это
приводит к следующему утверждению.
Теорема 6.24 (Ласкар [Las 2], Цветкович [Cve 7]). Для всех пф\
граф G является кубическим решетчатым графом характеристики п
тогда и только тогда, когда G обладает следующими свойствами:
(PJ число вершин равно я3;
(Р2) G регулярен и связен;
(Р3) п2 (х) = 3 (п — I)2 для всех х;
(Р4) различными собственными значениями графа являются Зп — 3,
2п — 3, п — 3 и —3.
Для доказательства этой теоремы докажем лемму 6.4. В первой
части доказательства этой леммы будет показано, что если для G
выполняются условия (Рх), (Р2) и (Р4), то из (Ьх) — (Ь4) следует (Ьб). Во второй
части доказывается, что если для G выполняются (Рх), (Р2) и (Р4), то
(Р3) имеет место тогда и только тогда, когда справедливы (Ь3) и (Ь4). Это
и завершит доказательство теоремы 6.24.
Лемма 6.4. Пусть G — граф, удовлетворяющий условиям (Pj), (Р2)
и (Р4); тогда: (i) если G удовлетворяет (Ь3) и (Ь4), то G удовлетворяет
(b5); (ii) G удовлетворяет (Ь3) и (Ь4) тогда и только тогда, когда G
удовлетворяет (Р3).
Доказательство, (i) Из многочлена графа G следует, что
Л3 —3 (п — 3) А2 + (2я2— 18л+27) А + (6п2 — 27п + 27) / = 6J.
Если поэтому d(x, у) = 2, то ctl\ = 2 и из приведенного выше
уравнения получаем ctl\ = 6 (п — 2). Следовательно, существует 6 (п — 2)
190

простых цепей вида (х> v, w> у). А так как согласно предположению G
обладает свойством (Ь3), то для каждой вершины v, смежной с у,
имеется п — 2 возможностей выбора до, и поскольку х и у несмежны, то
существует две таких вершины v. Это приводит к 2 (п — 2) простым
цепям; в оставшихся 4 (п — 2) простых цепях v и у несмежны. Каждая
вершина vt смежная с х и удовлетворяющая d (v, у) = 2, определяет
две простые цепи, для которых справедливо свойство (Ь4); поэтому
имеется 2 (п — 2) вершин, смежных с х таких, что d (v, у) = 2. Согласна
(Ь4) существует две вершины, смежные с ху для которых d (v, у) = 1.
Следовательно, оставшиеся вершины, смежные с х, удовлетворяют
свойству (Ь5) и таких вершин имеется 3 (п — 1) — 2 (п — 2) — 2 =
= л — 1.
(и) Сначала предположим, что G удовлетворяет условиям и
свойствам (Рх), (Р2), (Р4), (Ь3) и (Ь4). Для заданной вершины рассмотрим все
простые цепи (х, до, у) длины 2. Общее число таких простых цепей
равно d2 = 9 (п — I)2. Если же d (xf у) = 0, т. е. х = у, то существует
d = 3 (п — 1) таких простых цепей. Если d(xt у) = 1, то (х, до, у, х) —
замкнутый маршрут длины 3. Из рассмотрения диагональных
элементов в матричном уравнении, полученном из многочлена графа, следует,,
что число таких замкнутых маршрутов равно 3 (п — 1) (п — 2).
Следовательно, для оставшихся 9 (п — I)2 — 3 (п — 1) — 3 (п — 1) (п —
— 2) = 6 (п — I)2 простых цепей d (х, у) = 2. Для каждой вершины у
в силу (Ь4) существует две простые цепи (xf до, у), так что число таких у,
т. е. п2 (х), равно 3 (п — I)2.
Обратно, предположим, что для G выполняются условия (Рх) -f-
-г-(Р4). Если х и у смежны, то Д(л;, у) является в точности числом
замкнутых маршрутов (х, и, у, х) длины 3 и $] А (х9 у) = aS =
= 3(п—1) (п — 2). Следовательно, средним числом по всем у,
смежным с х, является Дх = п — 2. Как и прежде, имеется 6 (я—I)2
простых цепей (х, до, у), для_которых d(x, у) = 2, и поэтому на
основании (Р3) среднее значение Д2 = 2. Обозначим через г (i) и s (i)
соответственно мощности множеств {у \ d (х, у) = 2, А (х, у) = i) и {у \ d (х, у) =
= 1, Д(*, у) = 1). Тогда 2'(0(i' —2) = 0=Es(0(f —л + 2) »
г (1) = Yi г (0 (i — 2), s (п — 3) = У] s (i) (i — n + 2). Введем вспо-
могательную матрицу С = (сц):
С = -i- (А2 — (п — 4) А — 3 (п — 1) /).
Из многочлена графа следует, что а$ = 3(п—\){п — 2). После
умножения матричного уравнения на А получаем а^ — 3 (п — 1) (п2 +
+ Зп— 3). Прямые вычисления дают (С2)ц = 3п(п—1), так что
п* п3
2 с2ц = 3п{п— 1). Кроме того, 2 ct-, = (CJ)« = Зя (я — 1). Следова-
тельно, С обладает тем свойством, что сумма элементов любой строки
191

равна сумме квадратов этих элементов. А так как
-я- А (х, у), если d (*, у) = 2,
Сху
— (Д (х, у) — п + 4), если d(*, у) = 1,
О в других случаях,
то отсюда следует, что
2 г (о -f- + 2s (о '""г"1"4 =2^ = 2 4, =
Используя это и полученные ранее равенства, включающие г (i) и s (i),
после некоторых упрощений получаем
2 r(0(i—l)(i —2)+ 2 s(0(f —л + 2)(1 —я + 3) = 0.
Так как каждый член является неотрицательным числом, то г (i) = О
для i Ф 1,2 и s (t) = 0 для i Ф п — 2, п — 3. Таким образом,
г (1) = г (2) (2 — 2) = 0 ns (n — 3) = s(n—2)(n — 2 — n + 2) = 0.
Следовательно, А (х, у) = 2, если d (х, у) = 2, и А (х, у) = п — 2,
если d (х, у) = 1. Теорема 6.24 доказана.
Выше было показано, что кубический решетчатый граф почти
характеризуется своим спектром при п Ф 4. Это означает, что если G имеет
-спектр кубического решетчатого графа и для него справедливы (Р3) или
(Ь3) и (Ь4), то G изоморфен кубическому решетчатому графу. Можно
ли эти условия ослабить? Как утверждает следующая теорема, ответ
положителен.
Теорема 6.25. Если п Ф \, G удовлетворяет условиям (Рх) Ч- (Р3)
и выполняется (bi): при d (х, у) = 2 А(х, у) Ф 1, то G изоморфен
кубическому решетчатому графу характеристики п.
Доказательство. Следуя Цветковичу [Cve 7], полагаем
т = min {А (х, у) :d(x, у) = 1}
и пусть i и / — пара вершин, на которых достигается минимум.
Тогда а{ц = Y^afkauj. Разбивая это выражение на три слагаемых, соот-
k
ветствующих вершинам &, для которых d (i, k) равно 0, 1 или 2,
имеем а{/} ^ 3 (п — 1) + т2 + 2 (Зп — 4 — т). С другой стороны, а?}
можно оценить, воспользовавшись равенством
А* _ 3 (п — 3) А2 + (2п2 —18п + 27)Л + (6п2 — 27п + 27)1 = 6J.
Результатом этих оценок является неравенство т^ п — 2.
Поэтому элементы матрицы С, определенной при доказательстве леммы 6.4,
таковы, что сху = 0, если d (х, у) = 0 или d (х, у) = 3, и сху ^ I в
других случаях. Следовательно, сху ^ 4 и, как было показано ранее,
192

2сХу = %cly. Таким образом, С есть (0, 1)-матрица и сху = 1, если
d (*, У) = 1 или d (х, у) = 2; последнее эквивалентно свойствам (Ь3)
и (Ь4), поэтому G изоморфен кубическому решетчатому графу
характеристики п.
При более подробном анализе суммы графов можно доказать
интересное утверждение о спектральных свойствах кубического
решетчатого графа. Граф G называется простым, если из G ^ Gx + G2
следует, что либо G,, либо G2 является графом, содержащим единственную
вершину. Кубический решетчатый граф, конечно, не является простым,
так как он изоморфен Кп + L {Кп,п)-
Теорема 6.26. Предположим, что п Ф 4, G удовлетворяет условиям
(Рх), (Р2), (Р4) и не является простым графом. Тогда G изоморфен
кубическому решетчатому графу характеристики п.
Доказател ьство. Пусть G ^= G± + G2. Поскольку G
регулярен, то Gx и G2 также должны быть регулярными. Если G± и G2 —
неполные графы, то X (G) = X (G±) + X (G2) ^ — (1 + 1^5) < —3
(см. § 6.6, п. 7), что невозможно. Не уменьшая общности, положим
(?! s Кт- Тогда X (G2) = —2. Пусть d — степень графа G2, а А, —
собственное значение, X Ф d, X Ф —2. Тогда d + т — 1 > d — 1 > Л, —
— 1 > —2 — 1 — собственные значения графа Gx + G2, равные
соответственно Зп — 3, 2м — 3, п — 3 и —3. Отсюда следует, что т = п,
d = 2п — 2и X = п — 2. Следовательно, на основании теоремы 6.18,
G2^L(Kn,n) и G^Kn + L(Kn.n).
Независимое доказательство теоремы 6.18 следует из теоремы 6.24.
Лемма 6.5. Предположим, что G и L (Кп,п) коспектральны.
Тогда G + Кп коспектрален кубическому решетчатому графу
характеристики п и обладает тем свойством, что п2 (х) = 3 (п — I)2.
Доказательство. Если (vlt v2) и (ul9 и2) — две вершины в
Gj + G2, то расстояние между ними равно сумме расстояний между
щ и vx в Gx и и2 и v2 в G2. Поскольку G и L (Кп,п) коспектр альны, то
пг (х) = 2м — 2 и п2 (х) = (п — I)2. Следовательно, для графа G 4- Кп
п2 (х) = (я — I)2 4- (2м — 2) (п — 1) = 3 (п — I)2.
Теорема 6.27 (Кук [Cook]). Если п Ф 4, то L (Кп.п)
характеризуется своим спектром. При п — 4 исключительным графом в характе-
ризации Айгнера является G + У(4, где G — граф, коспектральный
графу L (/С4.4).
Из анализа графа тетраэдра, аналогично предыдущему анализу
кубического решетчатого графа, следует
Теорема 6.28 (Боуз, Ласкар [BoLa]). Граф G изоморфен графу
тетраэдра, если п > 16 и удовлетворяются следующие условия:
(Pj) число вершин графа равно 1*1);
(Р2) G регулярен и связен;
з
(Р3) п2 (х) = — (п — 3) (п — 4) для всех х;
(Р4) различными собственными значениями графа G являются
Зл — 9, 2я — 9, л — 7 и —3.
7 3-476
193

Таким образом, кубический решетчатый графи граф тетраэдра
характеризуются своими спектрами при единственном дополнительном
предположении относительно п2 (х). Есть основания считать (но это не
доказано), что условие, касающееся п2 (х)> можно опустить *.
До настоящего времени сравнительно мало известно и о метрически
регулярных графах с диаметром более 3. Дельсарт [Del 4] исследовал
ассоциативные схемы с точки зрения теории графов, уделив при этом
особое внимание метрически регулярным графам, в частности,
транзитивным по расстоянию графам (см. § 7.2).
§ 6.5. Матрица (—1, 1, 0)-смежности
и переключение Зайделя
Определение матрицы (—1, 1, 0)-смежности (или матрицы Зайделя)
было дано в гл. 1 (см. § 1.2, формулы (1.10) — (Ы4)). Если S —
матрица (—1, 1, 0)-смежности, а А—обычная матрица смежности, то
S = J — 2А — /.В случае регулярного графа Л, S и J
перестановочны; следовательно, они могут быть совместно приведены к
диагональному виду и имеют общее множество собственных векторов, что
позволяет сформулировать следующее утверждение.
Лемма 6.6. Если G — регулярный связный граф с п вершинами и
собственными значениями Хг = г > А,2 ^ ^3 ^ ••• ^ К* то
собственными значениями матрицы S являются п — 2г—1, —2А,2—1,
—2А,3 — 1, -.., —2К — 1 (см. § 1.3, формулу (1.34)).
Следствие. Два регулярных связных графа одинаковой степени ко-
спектральны тогда и только тогда, когда их матрицы (—1, \у0)-смеж-
ности коспектральны.
Если U — диагональная матрица со значениями ±1 на диагонали,
то USU подобна S и, следовательно, коспектр ал ьна ей. Если с1/1 —
множество вершин графа G, соответствующих тем диагональным
элементам, которые равны —1, a *Z/2 — дополнительное множество вершин,
то USU — матрица (—1, 1, 0)-смежности такого графа, у которого
две вершины в CU1 или две вершины в V*2 смежны тогда и только
тогда, когда они смежны в G, в то время как вершина в Vx и вершина в *Z/2
смежны тогда и только тогда, когда они несмежны в G. Другими
словами, смежности между вершинами из ^i и clf2 переключаются, в то
время как смежности внутри V1 и внутри Vs2 остаются без изменения. Этот
процесс образования коспектральных графов на основе матрицы (—1,
1, 0)-смежности был введен Зайделем и называется переключением
Зайделя (см. [LiSe]). В силу следствия из леммы 6.6 в результате
переключения связного регулярного графа на другой связный регулярный
граф такой же степени получается пара (не обязательно неизоморфных)
коспектральных графов. Следующие примеры, принадлежащие Зай-
делю [Sei 2], относятся к исключительным графам,
рассматривавшимся в § 6.3.
* Согласно частному сообщению, Гёталс и Зайдель это предположение доказали
(см. также [Roll]).
194

Пример 1. Реберный граф L (Кп,п) характеризуется своим спектром
только при пф \. Если же п = 4, то пусть G = L (Кал) и ^i равняется
восьмерке вершин, которые порождают простой цикл длины 8. При
переключении относительно с1/1 получается коспектральный граф.
Как было показано в лемме 6.5 и теореме 6.27, таким образом
получается исключительный граф для кубического решетчатого графа.
Пример 2. Треугольный граф Т (п) характеризуется своим
спектром, если только п Ф 8. Пусть cUk1 — четверка вершин, причем
никакие две из них не соединены ребром; Ъ[ — восьмерка вершин,
которая порождает простой цикл длины 5 и простой цикл длины 3; Vl —
восьмерка вершин, порождающая простой цикл длины 8. Тогда
переключение треугольного графа Т (8) относительно %tlf Vl и V"! дает
три исключительных графа, коспектральных графу Т (8).
Переключение Зайделя вводит естественным образом отношение
эквивалентности на множестве графов, в котором два графа Gx и G2
эквивалентны тогда и только тогда, когда Gx может быть переключен
на G2 относительно некоторого подмножества своих вершин. Классы
эквивалентности переключаемых по Зайделю графов с числом вершин
до 7 приведены в приложении.
Теорема 6.12 утверждает, что если X (G) = —2, a G — связный
регулярный граф степени более чем 16, то либо G — реберный граф,
либо G = Н (К). Зайдель [Sei 2] распространил этот результат на графы
с тремя различными собственными значениями, проанализировав
матрицу (—1, 1, 0)-смежности.
Граф Клебша может быть определен как граф, вершинами которого
являются 16 прямых на поверхности Клебша четвертого порядка;
любая пара вершин при этом смежна тогда и только тогда, когда
соответствующие им прямые не пересекаются. Вершины графа Шлёфли
соответствуют 27 прямым на общей поверхности третьего порядка; при
этом две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие
им прямые не пересекаются.
Теорема 6.29. Единственными графами G с тремя различными
собственными значениями и X (G) = —2 являются графы Н (п), L (Кп,п)
и исключительный граф при п = 4; граф Т (п) и три исключительных
графа при п = 8; граф Петерсена, граф Клебша и граф Шлёфли.
Эта теорема интересна также с теоретико-групповой точки зрения.
Группа перестановок с рангом транзитивности 3 обладает тем
свойством, что стабилизатор любой точки х имеет три орбиты, которые могут
быть обозначены через {х}, Г (х) и Д (х). Пусть группа действует на
множестве с четным числом вершин и Д (х) — единственная орбита
четной мощности. Тогда определим граф следующим образом:
множеством вершин является множество, на котором действует группа, и
вершина х смежна с вершиной у, если только у £ Г (х). Построенный таким
образом граф называется графом ранга 3 и является сильно
регулярным. Такие графы с наименьшим собственным значением, равным —2,
были описаны в работе [Sim 31. Интересно отметить результат Ашба-
хера [Asch], который показал, что возможным графом Мура с г — 57
не может быть граф ранга 3, несмотря на то что графы Мура сг =
7*
195

= 2,3,7 все являются графами ранга 3. Дальнейшие результаты,
относящиеся к графам ранга 3, содержатся в работах [HeHi, Hig 4,
Hig 5, Hig 6, Sim 1, Sim 2].
§ 6.6. Другие результаты и задачи
1. А. Используя графы Kd,rid, показать, что существует
семейство из девяти коспектральных графов на 245 вершинах.
Б. Используя коспектральную пару, приведенную на рис. 6.2,
образовать семейство из 50 коспектральных графов на 245 вершинах.
В. Основываясь на 91 коспектральном сильно регулярном графе
на 35 вершинах, построенных Буссемакером и Зайделем [BuS 2], по-
м - /90 + А
казать, что если п = 35/, то существует семейство из I до ) коспек*
тральных графов. Используя это, построить 1010 коспектральных
графов на 245 вершинах каждый.
2. Воспользовавшись равенством для 0(GX • G2) на с. 168,
показать, что характеристическим многочленом обоих графов,
изображенных на рис. 6.7, является X3k+* [W — (3k + 7)№ + (2k + 3) (k + 3)].
3. Для регулярного графа с различными собственными значениями
К> К> ^з справедливо неравенство
0>(К+ l)(ba+l)>-bi+l.
На каких графах достигаются эти границы?
4. Если G имеет Х1>Х2>Х3 различных собственных значений и
К + ^з = г — 3, то G ^ С5.
5. А. Регулярный граф G имеет ±1 и ±г в качестве различных
собственных значений тогда и только тогда, когда каждая связная
компонента изоморфна графу /(r+i r+i с удаленным 1-фактором.
(Дуб [Doo 3])
Б. G является регулярным двудольным графом с четырьмя
различными собственными значениями тогда и только тогда, когда G — граф
симметричной В IB-схемы.
6. Пусть R — матрица инциденций графа G. Доказать, что Rx =о
тогда и только тогда, когда сумма координат вектора а?,
соответствующих ребрам, инцидентным любой заданной вершине, равна 0. RTRx =
= о тогда и только тогда, когда соответствующие суммы для любой
пары смежных вершин при сложении дают нуль.
7. Если G — регулярный, но не полный граф, то к (G) ^ j" х
x(l+VW).
8. Регуляр-ный граф содержит граф GVf равный паре
непересекающихся клик для каждой вершины v тогда и только тогда, когда G =
= L (Я), где Я не содержит простых циклов длины 3 или G
изоморфен К3. Вопрос: что можно утверждать относительно нерегулярных
графов?
9. Если при выполнении условий теорем 6.12 или 6.13 каждая
вершина графа G содержится в единственной паре мостиковых клик, то
G — реберный граф.
(Рэй-Чоудхури [Ray 1])
196

10. Если вершина v0 смежна с вершинами vlt v2 и v3t то каждая
вершина, смежная с v0t либо не смежна ни с одной вершиной, либо
смежна с одной, двумя или тремя из вершин vl9 v2, v3. Используя этот факт,
показать, что граф, удовлетворяющий условиям теоремы 6.12, не
может содержать К\,з в качестве подграфа.
11. Если G коспектрален L {Каа), то либо Gv является прямой
суммой двух копий графа К3 и G s L (/(4,4), либо Gv ^ С6 и G —
единственный исключительный граф. Применить этот результат к примеру i
метода переключения Зайделя.
12. В первоначальной формулировке теоремы 6.19 условие (iu)
было заменено на (iv'): nfT') пар смежных вершин взаимно смежны
с т — 2 другими вершинами, в то время как т ((*) вершин взаимно
смежны с п — 2 другими вершинами. Используя матричное уравнение
(т — п) В = Л2 — (п — 4) А — (т + п — 4) / — 2J, показать, что
условия (iv) и (до') эквивалентны.
13. L (АГз.б) характеризуется своим спектром.
(Дуб [Doo 1])
14. Если у полурегулярного графа Н п2> пъ то пх — 2 —
собственное значение графа L (Я).
(Цветкович [Cve 9])
15. Привести пример двух полурегулярных графов с различными
параметрами, реберные графы которых имеют одинаковые множества
различных собственных значений; кроме того, показать, что если
реберные графы двух полурегулярных графов коспектральны, то эти
два полурегулярных графа имеют одинаковые параметры.
16. Если Я полурегулярен, гх и г2 несравнимы по модулю 2, а
L (Я) и L (Я') коспектральны, то Я' полурегулярен.
17. Метрически регулярный граф с диаметром т имеет т + 1
различных собственных значений.
18. Для любого графа G G +/С4 + /С4 не характеризуется своим
спектром.
19. Используя теорему 6.18, показать, что L (/Сз.з) является
самодополнительным графом.
20. Пусть Qm — граф m-мерного единичного куба (о его спектре
см. § 2.6). Для т = 1, 2, 3 граф Qm характеризуется своим спектром.
Для т ^ 4 всегда существует граф, который неизоморфен, но
коспектрален Qm.
(Хоффман [Hof 3], Дуб (не опубликовано))
21. Пусть для любого положительного целого числа п Gn означает
граф, вершинами которого являются все упорядоченные пары (t, у)
вычетов по модулю п и ребра направлены из (t, /) к (i, j + 1) и (/ + 1,
/) для всех /, /. Пусть, далее, Рп (х) — многочлен графа Gn (см.
теорему 3.7). Если п = 2, 4 или является нечетным простым числом, а Я —■
граф с п2 вершинами, принадлежащими Рп (х), то Я изоморфен Gn.
(Хоффман, Мак-Эндрю [НоМс!)
22. Если связный регулярный граф имеет три различных
собственных значения, то число вершин может быть определено из этих
197

-собственных значений. Однако для графов с четырьмя различными
собственными значениями это невозможно.
(Дуб [Doo 3])
23. Приведенные на рис. 6.12 три графа взаимно неизоморфны,
однако имеют один и тот же характеристический многочлен
Х?_ идо—10Х4+ 16Jc3 + 16Я2.
(Харари, Кинг, Мовшовиц, Рид [HaKMR])
D+ 1
Рис. 6.12.
24. Пусть 7\ и Т2 — деревья. Если Тх и Т2 коспектральны, то
L (7\) и L (Т2) имеют одинаковые числа вершин и ребер.
(Мовшовиц [Mov 5])
25. Показать, что число множеств из трех взаимно несмежных
вершин дерева Т определяется спектром этого дерева.
26. Если G — граф с диаметром D, то — 2 ^ X (L (G)) ^ — 2 cos х
где X (L (G)) — наименьшее собственное значение
реберного графа L (G). Более того, эти
границы неулучшаемы.
(Дуб IDoo 2], [Doo 8])
27. ГрафСт \Кп\ (определение
лексикографического произведения
дано в § 2.5) характеризуется
своим спектром для всех нечетных m
и четных m ^ 8. Есть основания
считать, что характеризация возможна также и для остальных
значений т.
(Хайдеманн [Heyd])
28. Пусть S — матрица смежности Зайделя графа G с четным
числом вершин. Тогда у (S2 — /) — целочисленная матрица, a S —
невырожденная. Если G имеет 2k + 1 вершин, то ранг матрицы S равен
по крайней мере 2k.
(Гиббс [Gib 2])
29. Пусть G — связный регулярный граф с п вершинами степени
Рис. 6.13.
198

г. Если различными собственными значениями являются А,х — г, Л,2, ...
..., Xif то (г — Х2) (г — Х3) ... (г — Xt) — целое число, делящееся на п.
I (Цветкович [Cve 16])
30. Различными собственными значениями регулярного графа
являются числа ±г и ±\i тогда и только тогда, когда его каждая связная
компонента изоморфна графу симметричной BIB-схемы с параметрами
31. Показать, что два графа, приведенные на рис. 6.4, переключа-
тельно эквивалентны.
32. Для всех графов в классе переключательно эквивалентных
графов с четным числом вершин разбиение этого числа на число
вершин с четной и число вершин с нечетной степенями одно и то же. Оба
графа, изображенных на рис. 6.13, имеют спектр Зайделя ±]/17'„
±V5, ±V~5, ±1, однако они не являются переключательно
эквивалентными, так как их разбиения различны.
(Зайдель [Sei 6])
33. Если G — регулярный граф степени р ^ 13, наименьшее
собственное значение которого равно —2, то G не содержит К\,ъ в
качестве порожденного подграфа. Этот результат неулучшаем в том смысле*
что число 13 не может быть уменьшено.
(Хоффман, Рэй-Чоудхури [HoR 31)
34. Найти наименьшее целое число я, для которого существуют
два коспектральных неизоморфных регулярных графа с п вершинами.

ГЛАВА 7
СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ ГРАФОВ
И КОМБИНАТОРИКЕ
В гл. 1 и 3—6 были описаны связи между спектральными и
структурными свойствами графов. В настоящей главе эти результаты
используются для доказательства некоторых теорем неспектрального
характера, причем это делается по такой схеме: с помощью предположения
А теоремы, не содержащего никакого утверждения о спектрах,
устанавливается класс графов, для которого необходимо доказать
некоторые факты В, также не имеющие ничего общего со спектром. Для этого
с помощью А определяется спектр или некоторые спектральные
свойства этих графов и затем из спектра определяются факты В. Такая
достаточно общая схема может быть названа спектральными методами
в теории графов.
§ 7.1. Существование и несуществование
некоторых комбинаторных объектов
' Существование различного рода комбинаторных объектов может
быть исследовано (по крайней мере в принципе) с помощью спектров
графа. Предположим, что рассматриваемый объект существует;
поставим ему в соответствие некоторый граф (иногда таким объектом
является также граф). Из свойств комбинаторного объекта находят
спектр поставленного ему в соответствие графа. И наконец, находят
граф, которому соответствует этот спектр, или опровергают его
(графа) существование, что в итоге является ответом на вопрос,
существует или нет первоначальный объект.
Если мы хотим таким образом доказать существование
определенного объекта, то это означает, что необходимо решить достаточно
трудную задачу на существование графа с заданным спектром. К
сожалению, неизвестно, как решить данную задачу в общем случае, не
прибегая к рассмотрению всех графов с заданным числом вершин и
проверке на совпадение спектра любого из этих графов с заданным
спектром. Конечно, в частных случаях можно получить решение. Например,
в работе [GvG 3] решена задача для спектров, состоящих из чисел, не
больших 2. В случае некоторых особенных графов можно использовать
теэремы о спектрах графа для получения максимально возможной ин-
200

формации о структуре графа, а затем продолжить построение с
помощью неспектральйых методов. Несколько примеров решения задач
приведено в работе [BuCv].
Задача на существование графа с заданным спектром может
рассматриваться в качестве основной и весьма сложной задачи теория
спектров графов, предполагающей проведение обширных
исследований. Так, одна из основных задач в теории блок-схем — задача на
существование блок-схемы с заданными параметрами — может быть
сведена к упомянутой задаче, если использовать некоторые теоремы
из гл. 6, обеспечивающие спектральную характеризацию блок-схем.
Теорема 6.9 может быть переформулирована следующим образом:
симметричная BIB-схема с параметрами v, k, А, существует тогда и
только тогда, когда существует граф со спектром, состоящим из
собственных значений k, (k — А,)1/*, —(k — А)1/*, —k с кратностями
соответственно 1, v — 1, v — 1, 1.
Теорема 6.21 также может быть сформулирована подобным образом
[Ray 2].
Следует заметить, что для доказательства существования блок-схем
могут быть использованы и многие другие способы, однако
доказательства нередко бывают очень трудны даже в частных случаях.
Доказательство существования графа с заданным спектром
сводится по существу к его построению. Такое построение, использующее
теорию спектров графа, начинается с построения графов с
известными спектрами, а затем выполняются некоторые графовые операции
над ними (они описаны в гл. 2) с целью получения графа с желаемым
спектром. Хотя от этой идеи многого ожидать нельзя, все же в частных
случаях построение нужного графа может быть завершено. В
следующих разделах описывается несколько примеров такого рода.
Если необходимо доказать несуществование определенного объекта,
то скорее всего это можно сделать спектральными методами при
условии, разумеется, что такой объект действительно не существует.
В данном случае нет необходимости знать объект в целом, как это было
в задаче на существование; достаточнэ вывести из спектра некоторые
структурные детали, противоречащие предположенным свойствам
рассматриваемого объекта или ведущие к логическому противоречию.
Например, несуществование кубических графов, имеющих
определенный целочисленный спектр, было доказано подсчетом числа Ь4
простых циклов длины 4 (с использованием теоремы 3.27) и установлением
того, что полученные значения для D4 отрицательны [BuCv].
Стандартный прием в этой области состоит в следующем: начинают
с множества различных собственных значений и затем, используя след
матрицы смежности, вычисляют соответствующие кратности. Иногда
полученные кратности оказываются неположительными числами, и
это, конечно, означает, что такой граф не существует. В теории графов
и комбинаторике имеется много тонких доказательств подобных теорем
о несуществовании. В предыдущих главах уже приводились
некоторые из них. Прекрасным примером является исследование
существования графов Мура (см. гл. 6). В гл. 4 с помощью понятия делителя
было доказано несуществование определенных совершенных кодов (тео-
^1

рема Ллойда) и определенных покрытий графов деревьями. В
следующем параграфе подробно исследовано существование сильно
регулярных графов. А сейчас приведем несколько примеров доказательств
теорем несуществования. (Доказательство следующей теоремы взято
«з оригинальной работы.)
Теорема 7.1 (Браун [Brow]). Не существует регулярных графов
степени г, имеющих г2 + 2 вершин и обхват, равный 5.
Замечание. Захс [Sac 13] доказал существование регулярных
графов степени г и обхватом g для всех г, g^ 2. Пусть f (г, g) означает
наименьшее целое число л, для которого существует регулярный граф
степени г и обхватом g. Эрдёш и Захс [ErSa] доказали, что
r2 + l<f (г, 5)<4(г — 1)(г2 — г+ 1).
Равенство слева имеет место только для г = 2, 3, 7 и, возможно, для
57; граница достигается на графах Мура, которые были описаны в
гл. 6. Теорема 7.1 утверждает, что / (г, 5) Ф г2 + 2.
Доказательство теоремы. Предположим, что G —
регулярный граф степени г. Рассмотрим все простые цепи длины 2,
начинающиеся в некоторой вершине v\ их концевыми вершинами, за
исключением v, являются г (г — 1) вершин, а концевыми вершинами
цепей длины 1 из вершины v являются г вершин. Никакие две из этих
г2 вершин не могут совпадать, если G имеет обхват 5. Предположим
далее, что G имеет п — г2 + 2 вершин. Тогда в G существует в
точности одна вершина, расстояние к которой от v более 2; для любой
вершины v будем обозначать такую вершину через и*. Ясно, что (у*)* = v.
Таким образом, получено матричное уравнение
A* + A — (r—l)I = J —В,
где J — п X я-матрица, все элементы которой равны 1, а В —
симметрическая матрица перестановок с нулями на главной диагонали.
Соответствующей перенумерацией вершин графа G можно так
упорядочить строки и столбцы матрицы В, что В будет прямой суммой матриц
/V i.). Отсюда, в частности, следует, что п — четное число, так что
г = 0 (mod 2). J — В — / — матрица смежности регулярного графа
степени п — 2 с п вершинами, для которой соответствующий спектр был
определен в § 2.6. Следовательно, J — В имеет собственные значения
п— 1,1, —1с кратностями 1, п/2 и л/2 — 1 соответственно. Любой
собственный вектор матрицы А, имеющей собственное значение k,
должен быть также собственным вектором матрицы J — Be собственным
значением № + k — (г — 1). Так как А — действительная
симметрическая матрица, то она должна иметь я/2 собственных значений, равных
k и удовлетворяющих условию
k* + k — (г— 1) = 1, т. е. k = (— l±s)/2,
где s = J/Чг 4- 1 » и /г/2 — 1 собственных значений, равных k и
удовлетворяющих условию
k*+k — {r—l) = — l, т. е. k = (— 1 ± /)/2,
202

где t = j/Чг — 7 . Потребуем также от г, чтобы след матрицы А был
равен нулю. Рассмотрим четыре случая.
Случай 1: s и / — рациональные, следовательно, целые числа.
Имеется только два нечетных положительных целых числа, квадраты
которых отличаются на 8, — это 1 и 3; поэтому г = 2. Но тогда G был бы
шестиугольником с обхватом 6, а не 5.
Случай 2: s и t — иррациональные числа. Сначала предположим*
что s и t линейно зависимы над полем рациональных чисел. Тогда s*
и /2 должны иметь одну и ту же свободную от квадратов часть а,
которая должна делить их разность, равную 8. По предположению а > 1;
однако а не может быть четным, поскольку s2 и /2 нечетны. Поэтому
s и / должны быть линейно независимыми. Но тогда собственные
значения (—1 ± s)/2 должны были бы быть спаренными, как и
собственные значения (—1 ± /)/2, что невозможно, так как из двух чисел /г/2
и п/2 — 1 только одно является нечетным.
Случай 3: s — иррациональное, t — рациональное число. Поскольку
t — нечетное целое число, то —1 ± / — четное; поэтому сумма
собственных значений (—1 ± s)/2 является целым числом. Эти
собственные значения спарены, так что их сумма равна —/г/4. Но из того, что
4|/г следует, что г2 == 2 (mod 4), что невозможно.
Случай 4: s — рациональное, t — иррациональное число.
Собственные значения (—1 ± /)/2 должны быть спарены и их сумма поэтому
равна (—1/2) (п/2 — 1). Предположим, что кратность собственного
значения (—1 + s)/2 есть т. Тогда след матрицы А равен
О = г + т (— 1 + s)/2 + (л/2 — т) (— 1 — s)/2 + (— V2) (л/2—1 ).
Так как п = г2 + 2 и г — (s2 — 1)/4, то для s получаем уравнение
пятой степени
ss + 2s4 — 2s3 — 20s2 + (33 — 64m) s + 50 = 0.
Любое положительное рациональное решение s должно находиться
среди целочисленных делителей числа 50, а именно 1, 2, 5, 10, 25, 50^
Из них только 3 дают решения:
s = 1, s = 5, s = 25;
т=1, т = 12, т = 6565;
г = 0, г = 6, /- = 156.
Случай s = 1, очевидно, не представляет интереса: он дает граф с
бесконечным обхватом. Случаи s = 5 и s = 25 исключаем в силу
следующих доводов. Поскольку обхват графа G равен 5, то он не может
содержать ни одного треугольника. Следовательно, Az имеет лишь
нули на главной диагонали. Собственные значения матрицы Аъ
являются кубами собственных чисел матрицы А. Тогда можно наложить на
собственные значения матрицы А дополнительное условие,
заключающееся в том, чтобы сумма их кубов равнялась нулю. Ни один из
оставшихся случаев не удовлетворяет этому условию.
Это и завершает доказательство теоремы 7.1.
Теорема 7.2 (Захс [Sac 1]). Пусть р и q — простые числа, р s= q =з
ss 3 (mod 4) и s — положительное целое число. Не существует
циклических самодополнительных графов с п= р2' или сп=- pq вершинами.
203

Идея доказательства заключается в следующем. Предположим,
•что граф G, определенный условиями теоремы, существует. Тогда в
качестве матрицы смежности можно взять циклическую матрицу и под
—*■
«С подразумевать многочлен контура Сп (см. § 2.1). При этом
собственными значениями графа G являются суммы корней п-й степени из 1.
Рассматривая первообразные корни из 1 в случае п = p2s> делаем
еывод, что характеристический многочлен графа Сможет быть фактори-
зован в виде
рв(X) = L-±(n- 1)\ П (gpa(*))V,
гДе Sd (^) — неприводимый нормализованный многочлен * некоторой
степени udt udvd = <р (d), <р (d) — число первообразных корней d-й
степени из 1 (ср. § 5.1, теорема 5.4). Можно показать, что этот
многочлен не имеет той формы, которую требует теорема 3.28.
Подобные рассуждения справедливы также и в случае п = pq.
В литературе имеется много других доказательств
несуществования; упомянем здесь некоторые из них.
Синглтон [Sin 1, Sin 2] исследовал существование регулярных
графов степени г, диаметром d и обхватом g = 2d на п = 2 [(г — l)d—
— IV(г — 2) вершинах. Для d Ф 2, 3, 4, 6 такие графы не
существуют. Для d = 2 имеется лишь один граф для каждого г. Для d = 3 и
d = 4 имеется один граф для каждой конечной проективной геометрии
с г точками на прямых размерности 2 и 3 соответственно.
Гевирц [Gew 1, Gew 2] рассмотрел вопросы существования связных
графов диаметром rf> 1 и обхватом g = 2d, для любой пары вершин
которых, удаленных друг от друга на расстояние d, существует /
различных простых цепей длины d, связывающих их. Доказано, что
такие графы регулярны. Если d = 2, a t Ф 2, 4, 6, то существует лишь
конечное число графов с частным значением /.
Фейт и Хигман [FeHi] исследовали существование определенных
геометрических структур, названных обобщенными
многоугольниками. На языке графов невырожденный обобщенный многоугольник — это
связный двудольный граф G диаметром d и обхватом g = 2d. Пусть
G полурегулярен со степенями вершин гг и г2. Если гг = г2, то d = 2,
3, 4, 6. Если гг Ф r2f то возможны дополнительные значения d: 8 и 12.
Некоторые подобные задачи рассматривались Пэйном [Рауп]. Для
регулярного двудольного графа с п = 2v вершинами степени г = s +
+ 1 и обхватом g = 2k, удовлетворяющего неравенству v ^> v0 = 1 +
+ s + s2 + ... + s _1, равенство выполняется тогда и только тогда,
когда такой граф является невырожденным обобщенным
многоугольником. Для i>3n s^>3 v Ф v0 + 1.
Уилф [Wil 1] с помощью собственных значений доказал так
называемую теорему дружбы, которая утверждает следующее:
предположим, что на приеме п гостей каждая пара гостей имеет в точности
* Нормализованным называется многочлен, старший коэффициент которого
равен + 1.— Прим. перев.
204

одного общего друга; тогда на приеме имеется лицо (лидер), которое
знает каждого. Рассмотрим геометрическую структуру, в которой
точками являются участники приема, а линиями — множества / (х), где
/ (х) — множество друзей гостя х. При предположении, что лидер не
существует, можно показать, что эта геометрическая структура
является проективной плоскостью (определения и элементарные свойства
можно найти в работе [На, М]). Рассмотрим теперь граф, в котором
вершинами являются гости, и две из них смежны, если они знают друг
друга. Тогда такой граф является сильно регулярным степени т + 1
(где т — порядок плоскости), имеет /л2 + т + 1 вершин и каждая
пара вершин имеет в точности одну общую смежную вершину.
Несуществование этого графа было доказано способом, описанным в
следующем параграфе.
Скала [Skal] ослабил условия теоремы дружбы таким образом:
два друга не имеют общего друга. Множество друзей теперь является
графом, в котором каждая пара вершин имеет самое большее одну
общую смежную вершину. Если такой граф регулярен, то получается
граф Мура. Некоторые необходимые условия существования множества
друзей в нерегулярном случае были даны в работе [Skal] в терминах
неприводимости многочленов (см. также [Pars]).
§ 7.2. Сильно регулярные и транзитивные
по расстоянию графы
Сильно регулярные графы определены в § 3.4. Теория сильно
регулярных графов разработана Боузом [Bos 1] в связи с так называемыми
частичными геометриями и ассоциативными схемами с двумя классами
(см. § 6.4). Почти одновременно Хигман [Hig 1] также нашел эти
графы при изучении групп перестановок ранга 3. В действительности
сильно регулярные графы эквивалентны ассоциативным схемам с
двумя классами. Пусть G — сильно регулярный граф степени г, в котором
каждая пара смежных вершин имеет е общих смежных вершин, а
каждая пара несмежных вершин имеет f общих соседей. Теперь 2-клас-
сную ассоциативную схему можно поставить в соответствие графу G,
отправляясь от вершин графа G и относя две вершины к первому или
второму классу в зависимости от того, смежны они или нет.
Величины г, е, f будем называть параметрами сильно регулярного
графа.
Основной задачей в области сильно регулярных графов является
задача определения их существования. Мы опишем лишь те части общей
задачи существования, которые связаны с собственными значениями.
Общий обзор по сильно регулярным графам можно найти в работе [Huba].
Заметим, что сильно регулярные графы стали пристальным объектом
исследований для специалистов в области теории групп после того как
было обнаружено, что некоторые интересные группы (в особенности
простые) получаются как группы автоморфизмов этих графов [Huba,
HiSi, Hest].
Обозначим через d (х, у) расстояние между вершинами х и у.
Говорят, что связный граф ,G является транзитивным по расстоянию,
205

если для любых вершин х, у, и, v, для которых d (х, у) = d (и, v)t
существует автоморфизм графа G, переводящий х в и и у в v.
Разумеется, транзитивный по расстоянию граф регулярен. Заметим, что
транзитивный по расстоянию граф с диаметром 2 сильно регулярен.
Существуют сильно регулярные графы, которые не являются
транзитивными по расстоянию. Например, Паулюс [Paul] нашел сильно
регулярный граф на 26 вершинах, группа автоморфизмов которого
тривиальна.
Транзитивный по расстоянию граф есть частный случай
метрически регулярных графов, т. е. он эквивалентен ассоциативной схеме.
В самом деле, транзитивный по расстоянию граф G диаметром d
соответствует ассоциативной схеме с d классами, которая может быть
построена посредством отнесения двух вершин графа G к i-й ассоциации,
если расстояние между ними равно i.
Транзитивные по расстоянию графы исследовались Биггсом и
другими авторами [Big 1 — Big 7, BiSm, SmD 1, SmD 2]. Хотя основная
теория содержится в работе Боуза по ассоциативным схемам и Хиг-
мана по когерентным конфигурациям (обобщение ассоциативных схем)
[ВоМе, Hig 1, Hig 2, Hig 3], результаты Биггса более удобны для
приложений, в особенности потому, что многие теоремы существования,
упомянутые в предыдущем параграфе, могут быть-доказаны на их
основе. Связанные с этим вопросы будут объяснены после описания
процедур исследования существования сильно регулярных графов.
Как было доказано ранее (теорема 3.32), сильно регулярные графы
имеют в точности три различных собственных значения; параметры г,
е, f и собственные значения А,(1) > Х{2) > А,(3) связаны соотношениями
г = ДО), е = № + № + № + АЯАЯ, / = № + АЯАЯ,
или
Х«) = г, *<ад =^-(e-f± V(e-fr-4(f-r)).
Различные собственные значения определяются параметрами и
наоборот, следовательно, собственные значения могут быть
использованы также в качестве параметров графа для классификации сильно
регулярных графов.
Заметим, что дополнение сильно регулярного графа также сильно
регулярно.
Если заданы параметры г, е, /, то можно определить число вершин
п и кратности pt собственных значений A,(i) (i = 1, 2, 3). Сильно
регулярный граф, за исключением прямой суммы полных графов, связен,
поэтому рх = 1. Теперь можно записать
1 +Р2 + Рз = п; (7.1)
г + р2№ + РзХ(3) = 0; (7.2)
г2 + р2(Щ2+Р3(№)2 = пг. (7.3)
Последнее условие означает, что граф регулярен (см. теорему 3.22).
Числа л, р% и р3 могут быть легко вычислены.
206

Выражая %i2) и Х(3) в (7.2) как функции от е и /, получаем
(Рш - Л) Vie -fr-4(f-r)+2r + (e- f) (р2 + р3) = 0. (7.4)
Далее имеются следующие возможности.
1. (е — /)2 — 4 (/ — г) не является квадратом целого числа.
Поэтому р2 = р3 и из (7.4) получаем р2 = р3 = r/(f — е). Поскольку р29
р3 — положительные целые числа, то / — е>0 и (/ — е)\г.
Докажем, что f — е — 1. Из (7.1) находим п = 1 + 2-7-^— и затем из
/ е
(7.3) определяем соотношение г = 1 — (f — ё) + 2//(/ — ё). Если / —
— е ^ 2, то г ^ 1 — 2 + f = f — 1, что невозможно. Следовательно,
/ — е = 1, р2 = р3 = г и я = 1 + 2г. Далее, г = 2f и я = 4/ + 1.
2. Выражение (е — f)2 — 4 (/ — г) есть квадрат целого числа,
например s. Тогда р2 и р3 не должны быть равными. Исключая п и р3
из уравнений (7.1) — (7.3), получаем
P2=--^r((r-i+f-e)(s + f-e)-2fy
4 Таким образом, доказана
Теорема 7.3 (Коннор, Клатворт [Cod], Хигман [Hig 1]). Если
сильно регулярный граф G с параметрами г, е, f существует, то
Г r = 2f, е = f — \ (и G имеет 4/ + 1 вершин) или
2° (е — /)2 — 4 (/ — г) = s2 для некоторого положительного целого
s и выражение
-S-((r-l+f-e)(s + f-e)-2f)
является положительным целым числом.
Заметим, что иногда сильно регулярный граф удовлетворяет обоим
условиям теоремы 7.3 (например, п = 25, г = 12, е = 5, / = 6
[Paul]). В случае 2° собственные значения являются целыми числами.
Сильно регулярные графы могут быть описаны также в терминах
матрицы (—1, 1, 0)-смежности. С учетом соотношений между
собственными значениями матриц (0, 1)- и (—1, 1, 0)-смежности вторая
матрица имеет собственные значения р0 = п — 1 _ 2r, Pl = 1 — 2Я(3),
о, = — 1 — 2Я<2>. Легко видеть, что в случае 1 последней теоремы
собственными значениями являются 0 и ±}/"я. В случае 2° рх и р2 —
нечетные целые числа. Однако иногда р0 совпадает с рх или р2.
Следовательно, на языке матриц (—1, 1, 0)-смежности сильно регулярный граф
имеет два или три различных собственных значения (полные и вполне
несвязные графы имеют два различных собственных значения).
Совпадение р0 либо с рх либо с р2 означает, что сильно регулярный
граф имеет определенные дополнительные регулярные свойства.
Надлежащее объяснение этому будет дано в следующем параграфе. Сразу
же обратим внимание на то, что если S имеет два различных
собственных значения, рх и р2, то (S — pj) X (S — р21) = 0. В случае же трех
различных собственных значений согласно теореме 3.25 имеем (S —
— pj) (S — р2/) = (п — 1 + рхр2) J с п — 1 + рхр2 ф 0. Первое
207

уравнение остается справедливым даже при замене S на DSD, в то
время как справедливость второго уравнения при этом нарушается
(D — диагональная матрица, значения диагональных элементов
которой равны ±1). Это означает, что переключить сильно регулярный
граф в другой сильно регулярный граф можно лишь в случае двух
различных собственных значений.
Пусть р (ху у) — число вершин, смежных с х и не смежных с у.
Граф называется сильным, если он не является полным или вполне
несвязным и если р (х, у) + р (у, х) зависит лишь от того, смежны ли
х и у или нет. Понятие сильного графа есть обобщение понятия сильно
регулярного графа, так как каждый сильно регулярный граф
является сильным. Ясно, что граф сильно регулярен тогда и только тогда,
когда он сильный и регулярный. Сильные графы были введены Зайде-
лем [Sei 2].
Теорема 7.4. Граф G с матрицей смежности Зайделя S является
сильным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих
условий:
Г S имеет три различных собственных значения (р0 простое) и G
(сильно) регулярен;
2° S имеет два различных собственных значения и G не является
полным или вполне несвязным,
В обоих случаях соответствующие собственные значения рх, р2 и
значения а, р слагаемых сумм р (х, у) + р (у, х) для смежных и
несмежных пар вершин соответственно связаны соотношениями 2а =
= -(Pi - 1) (Р. — 1) и 2р = -(Pl + 1) (р2 + 1).
Доказател ьство этой теоремы основано на том факте, что
для элементов sf/ матрицы S2 выполняются равенства
S(2) = \п— !. если *' = /.
11 \n — 2 — 2(p(xh Xj) + p(xh Xi)), если 1Ф\
(х^ Xj представляют вершины графа), в чем можно легко убедиться
посредством прямых вычислений.
Если G сильно регулярен, то
S* = (п — 1) / + (п — 2) J — а (J — S) — р (J + S)
и
S* — (а — Р) S — (п — 1) / = (п — 2 — а — р) J.
Таким образом, S имеет два или три различных собственных
значения в зависимости от того, равно или не равно нулю п — 2 — а — р.
Во втором случае G должен быть регулярным (и, конечно, сильно
регулярным), так как вектор, все координаты которого равны 1, есть
собственный вектор матрицы S. Соотношения между а, Р и р1э р2 могут
быть получены с помощью того факта, что рх и р2 являются корнями
уравнения р2 — (а — Р) р — (п — 1) = 0.
Возвращаясь к сильно связным графам, отметим, что
необходимые условия существования в теореме 7.3 являются весьма
ограничительными. В статье [АрЛР] содержится перечень возможных парамет-
208

ров множеств сильно регулярных графов на 300 вершинах и меньше,
которые были получены в результате поиска с помощью ЭВМ,
основанного на ограничениях теоремы 7.3. Хестенес (частное сообщение)
вычислил множество параметров для графов с числом вершин до 900
включительно.
Все сильно регулярные графы с числом вершин до 28 известны
[Розе, АрЛР]. Простые циклы С,, С5 и граф Петерсена относятся к группе
сильно связных графов с малым числом вершин. Для некоторых
множеств параметров существует много неизоморфных (но, безусловно,
коспектральных) сильно регулярных графов (см. § 6.1). Более того,
иногда такие сильно регулярные графы не являются взаимно
эквивалентными по переключению и принадлежат к различным
переключательным классам. Буссемакер и Зайдель [Bus 2] установили 91 класс
сильно регулярных коспектральных графов на 35 вершинах.
Существует бесконечно много сильно регулярных графов.
Простейшими из них являются полные двудольные графы Кп,п> их реберные
графы L (Кп,п)> реберные графы полных графов L (Кп) и регулярные
графы Н (п) = СР (п) на 2п вершинах степени 2п — 2, иногда
называемые «графами приема гостей» (см. с. 187).
Нетривиальные примеры сильно регулярных графов были
построены в большинстве случаев с помощью неспектральных методов. В
качестве отправной точки для построения использовались некоторые
комбинаторные объекты, такие как проективные плоскости и
проективные геометрии, блок-схемы, системы троек Штейнера, латинские
квадраты, матрицы Адамара и т. п. Описание этих построений не
входит в задачу настоящей книги и поэтому в § 7.8 будет рассмотрено лишь
несколько примеров.
Опишем спектральное построение. Граф Хоффмана — Синглтона
G, встречавшийся уже в § 6.2, является сильно регулярным графом
с собственными значениями 7, 2, —3 и кратностями соответственно
1, 28, 21. Согласно теореме 2.15 его реберный граф L (G) имеет
собственные значения 12, 7, 2, —2 с кратностями соответственно 1, 28,
21, 125. Пусть В —матрица смежности графа L (G). Поскольку
обхват G равен 5, то в точности одна простая цепь длины 2 связывает
любые две вершины в L (G), расстояние между которыми равно 2.
Поэтому А = В2 — 5В — 12/ есть (0, 1)-матрица, Собственными
значениями матрицы А являются 72, 2,—18 с кратностями 1, 153, 21
соответственно. Следовательно, А — матрица смежности сильно
регулярного графа на 175 вершинах (см. также § 7.8, п. 15).
Другие сведения о сильно регулярных графах можно найти в
книгах [Big 5, CaLi] и обзорных статьях [Huba, Sei 3, Sei 4, Hig 4, Hig 7].
Возвратимся к транзитивным по расстоянию графам. Вновь
найдем некоторые необходимые условия существования таких графов в
терминах кратностей собственных значений.
Вместо множества параметров рассмотрим матрицу пересечения
В = Р\9 где матрица Рг связана с соответствующей ассоциативной
схемой и определена в § 6.4. (*, /)-Значения элементов (£, / = 0, 1, ...
..., d) матрицы В равны числу вершин, которые удалены на расстояние
i от х и смежны с у при условии, что расстояние между х и у равно /.
209

Следовательно, В является тридиагональной матрицей вида
1 О |
ai ь2
с2 . • I
bd |
( О cdL_x ad )
где d — диаметр графа. Элементы матрицы В являются, безусловно,
неотрицательными целыми числами, при этом элементы, находящиеся
над главной диагональю и под ней, положительны, так как граф
связен. Суммы по столбцам все одинаковы, поскольку граф регулярен.
Транспонированная матрица матрицы пересечения в
действительности определяет передний делитель графа (см. гл. 4).
Для того чтобы уменьшить пространство, занимаемое матрицей
В, условно запишем ее как 3 X (d + 1)-матрицу:
(* 1 Ь2 ... bd-i bd
О аг а2 ... ad-X ad
kx Сх С2 ... Cd-\ *
Матрица В, представленная в таком виде, называется таблицей
пересечения графа. Если G — транзитивный по расстоянию граф с
матрицей пересечения В, то из В может быть вычислен полный спектр.
Часть этого утверждения следует из теоремы 6.23. Общий метод
вычисления кратностей собственных значений в ассоциативных схемах
дан Боузом и Месснером [ВоМе], однако в частном случае
транзитивных по расстоянию графов мы имеем следующий изящный результат.
Теорема 7.5 (Биггс [Big 1, Big 2]). Если В — матрица пересечения
транзитивного по расстоянию графа G диаметром d г/ А,0 = г, Klt ...
..., Xd — собственные значения матрицы В с собственными векторами
и0 = (1, klf k2, ..., kd)T и щ = (и,о, ..., Uid), i = 1, ..., d,
соответственно, то спектр графа G состоит из собственных значений Х0 = г,
Klt ..., %d с кратностями
*-(§*/)( 2 4-)" f**-1)-
Если существует граф G, то согласно теореме 7.5 величины kv ..., kd
и pl9 ..., pd должны быть положительными целыми числами. Если
данная тридиагональная матрица В удовлетворяет всем указанным
необходимым условиям для существования графа G (и, в частности, двум
последним), то она называется допустимой.
О
210

Конечно, если матрица допустима, то это еще не означает, что
существует соответствующий транзитивный по расстоянию граф. В
любом частном случае необходимы дополнительные исследования.
Используя описанный метод, Биггс и Смит [BiSm] доказали, что
существует в точности 12 регулярных связных графов порядка 3,
которые являются транзитивными по расстоянию.
§ 7.3. Равноугольные прямые и два-графы
Рассмотрим некоторые приложения спектров графов в геометрии.
В гл. 6 было показано, каким образом множество векторов, углы
между которыми принимают лишь два возможных значения, могут быть
ассоциированы с графом. Это может быть осуществлено посредством
интерпретации матрицы А — A,min/ (А — матрица смежности графа,
^min —ее наименьшее собственное значение) как матрицы Грама
множества векторов в евклидовом пространстве соответствующей
размерности. Если проделать то же самое для матрицы Зайделя S графа, то
можно получить множество прямых, углы между которыми
одинаковы. Если в гл. 6 геометрические средства применялись для
доказательства теорем, касающихся собственных значений графов, то в
настоящей главе собственные значения будем использовать в исследованиях
геометрических объектов.
Зайдель и другие [LiSe, LeS 2] изучали системы равноугольных
прямых. Первоначально задача заключалась в нахождении
максимального числа равноугольных прямых в евклидовом пространстве.
Оказалось, что множество таких прямых эквивалентно классам
эквивалентности графов при переключении (см. § 6.5), а также некоторым
однородным гиперграфам, которые называются два-графами.
Множество прямых в евклидовом г-мерном пространстве \Rr — это
множество равноугольных прямых, если только угол между каждой парой
прямых один и тот же.
Например, шесть прямых, связывающих антиподальные пары
вершин регулярного икосаэдра, равноугольны. Значение общего угла
равно arccos 1/J/1).
Далее мы в основном следуем работе Зайделя [Sei 4].
Лемма 7.1. Для каждого множества неортогональных
равноугольных прямых существует ассоциированный с ним переключательный
класс графов.
Доказательство. Рассмотрим, не уменьшая общности, п
равноугольных прямых в пространстве \Rr с углом 0 ^ ф<ул,
проходящих через начало координат. Каждая прямая представлена
направляющим единичным вектором pf в одном из двух направлений, i =
»= 1, 2, ..., п. Скалярное произведение любых таких векторов р{ и ph
* Ф /э удовлетворяет условиям
(Pt> Р/> = ± cos <р, 0<cos<p<;i.
211

Знак зависит от того, является ли угол между pt и pf острым или
тупым. Рассмотрим следующие матрицы порядка п:
(1 ± cos ф\
*'•
± COS ф 1 /
/О ± 1\
S = —— (Р — /) =
COS ф v ' \ • I •
\±i о /
В качестве матрицы S следует взять матрицу смежности Зайделя для
графа на п вершинах. Если любой вектор pt заменить его
противоположным —pit то i-я строка и i-n столбец в S окажутся умноженными
на —1, следовательно, граф будет переключен относительно i-й
вершины. Так как замена любого подмножества векторовplf ..., рп
противоположными векторами дает произвольный граф в переключательном
классе, то утверждение доказано.
Говорят, что множество прямых есть множество зависимых прямых,
если соответствующие направляющие единичные векторы зависимы.
Теорема 7.6 (Линт, Зайдель [LiSe]). Существует
взаимно-однозначное соответствие между переключательными классами графов на п
вершинах и зависимыми множествами п равноугольных прямых.
Доказательство. Согласно лемме 7.1 для каждого
множества п равноугольных прямых в (Rr, я > г, существует
ассоциированный с ним переключательный класс графов на п вершинах. Класс
вполне несвязного графа соответствует множеству п совмещенных
прямых.
Обратно, пусть S — матрица смежности произвольного графа на
п > 1 вершинах и — а — наименьшее собственное значение матрицы S.
Из теоремы 0.10 имеем а ^> 1. Наименьшее собственное значение
матрицы S + а/ есть 0. Поэтому Р := / + SaT1 — особенная
симметрическая положительная полуопределенная матрица с диагональю /.
Следовательно, Р — матрица Грама зависимого множества п
единичных векторов, скалярное произведение которых равно ±:сГ~\ Они дают
п зависимых равноугольных прямых, совпадающих при а = 1.
Соответствующий переключательный класс содержит граф, с которого мы
начинали.
Это завершает доказательство теоремы.
Возвратимся к два-графам. Они были введены Хигманом (не
опубликовано) и исследовались в работах [Тау 1, Тау 2].
Множество мощности k будем называть ^-множеством.
Пусть X означает конечное множество, а Х{3) — множество всех
3-подмножеств множества X. Рассмотрим множество Дс= X® 3-под-
множеств множества X', элементы которого будем называть
тройками.
Определение?.1. Два-граф (X', А) есть пара, состоящая из
множества вершин X и множества троек Д с: 3?(3) и такая, что каждое
212

4-подмножество множества X содержит четное число троек
множества Д.
Для произвольного х £ X множество троек А любого два-графа
(X, Д) определяется его тройками, содержащими х. Действительно,
{х1У хъ х3) £ Д всякий раз, когда нечетное число оставшихся 3-под-
множеств множества {xf xlf хъ х3>) принадлежит множеству Д.
Теорема 7.7. Для заданного п существует взаимно-однозначное
соответствие между два-графами и переключательными классами
графов на п вершинах.
Доказательство. Пусть (X, Ш) — произвольный граф.
Легко заметить, что множество Д 3-подмножеств множества X,
которое имеет нечетное число ребер, инвариантно при переключении
графа (X, 8). Рассматривая все возможные графы на четырех вершинах
(см. приложение), видим, что у этих графов число порожденных
подграфов на трех вершинах, имеющих нечетное число ребер, четно.
Отсюда следует, что (X, Д) — два-граф. Обратно, пусть (X, Д) —
произвольный два-граф. Выберем любую вершину х £ X и разобьем
X \ {х} на два произвольных непересекающихся множества Хг и
<3?2. Пусть $ содержит следующие пары:
{х, хг) для всех хЛ^Хх\
{хъ х\) для всех хъ Х\^ХХ с {х, хъ *!}£Д;
{х2У х2) для всех х2У x2(zX2 с {х, х2у х2}^^;
{хъ х2) для Есех хг^Хъ х2^Х2 с {*, хъ х2) % Д.
Следовательно, с (X, Д) мы связали класс графов (X, §). Согласно
построению множество 3-подмножеств множества X, имеющее
нечетное число ребер из (X, 8), снова есть Д. Можно показать, что класс
графов (X, 8) представляет собой класс эквивалентности графов при
переключении, к тому же различные переключательные классы дают
различные два-графы. Это завершает доказательство теоремы.
Согласно двум последним теоремам существует
взаимно-однозначное соответствие между два-графами на п вершинах и зависимым
множеством п равноугольных прямых.
Меллоуз и Слоэн [MaSl] установили, что число переключательных
классов на п вершинах (или число два-графов на п вершинах) равно
числу эйлеровых графов (степени всех вершин четные) на п вершинах.
Однако не существует взаимно-однозначного соответствия между
множеством эйлеровых графов на п вершинах и множеством
переключательных классов графов на п вершинах, если п — четное число. Так,
некоторые переключательные классы содержат более одного
эйлерова графа, в то время как другие не содержат ни одного эйлерова
графа. Как доказал Зайдель [Sei 6], для нечетного п такое
соответствие существует. Это означает, в частности, что можно найти все
графы с нечетным числом вершин, начав именно с эйлеровых графов
и переключая их всеми возможными способами.
Спектр два-графа может быть определен как общий спектр графов
в соответствующем переключательном классе графов.
213

Определение 7.2. Два-граф (X. А) называется регулярным, если
каждая пара элементов множества 00 содержится в одном и том же
числе а троек множества А.
Теорема 7.8. Два-граф является регулярным тогда и только тогда,
когда он имеет в точности два различных собственных значения.
Параметры и собственные значения связаны зависимостями
п=1— PiP2, fl = — ~2"(Pi+ l)(Pi+ О-
Доказательство. С учетом теоремы 7.7 условие
регулярности эквивалентно выражению
а== p(uf v) + p(v9 и)=п — 2 — р(х, у)—р{у, х)
для всех смежных [ху у) и всех несмежных [и, v) любого графа в
соответствующем переключательном классе. В терминах собственных
значений из теоремы 7.4 получаем
а = - 4-(Pi + 1) (р2 + 1) = п-2 + ± (Pi- О (Р,- 1),
откуда п — 1 + Р1Р2 = 0. Теорема доказана.
Теорема 7.9. Пусть р — собственное значение два-графа на п
вершинах с кратностью п — /?. Тогда р2 ^ р (п — \)1(п — /?), причем
равенство имеет место тогда и только тогда, когда два-граф
регулярен.
Доказательство. Для матрицы (—1, 1, 0)-смежности Зай-
деля графа на п вершинах имеем tr S = 0 и tr S2 = п (п — 1). Пусть
теперь S — матрица смежности произвольного графа в
соответствующем переключательном классе, а р1э р2, ..., рр — ее собственные
значения, отличные от р. Тогда
2 Р< = —(я —/ОР. Е Р* = п(п— 1) — (п — Р)р\
откуда следует
£ (P/-P/)2 = 2Al(/7(Al-l)-p2(Al~/7))>0.
В случае равенства все р£ должны быть равны и два-граф имеет в
точности два различных собственных значения; следовательно, он
регулярен.
За дальнейшими деталями мы отсылаем читателя к прекрасному
обзору по два-графам и смежным вопросам [Sei 4].
Теперь вновь возвратимся к первоначальной задаче определения
максимального числа равноугольных прямых в евклидовом
пространстве.
Множества п равноугольных прямых в евклидовом пространстве
\Rr размерности г могут быть интерпретированы как множества п
равноотстоящих точек в эллиптическом пространстве £г~~1 размерности
г— 1. В сущности, это и было началом данной проблематики (см.
[LiSe]).
214

Матрица Грама Р скалярного произведения векторов р1У ..., рп
в [Rr имеет порядок я, является симметрической положительной
полуопределенной с rk Р^ г и, следовательно, имеет наименьшее
собственное значение 0 с кратностью \х ^ п — г.
Наименьшее собственное значение матрицы S — это —1/cos ср с
\i ^ п — г. Значит, число п равноугольных прямых в \Rr достаточно
велико, если можно найти граф, у матрицы смежности S которого
минимальное собственное значение имеет большую кратность (см. [LiSe]).
Интересующихся вопросами максимального числа равноугольных
прямых в [Rr мы отсылаем к работе [LeS 2].
Приведем здесь лишь несколько результатов, касающихся данной
задачи.
Теорема 7.10 (Нойман [LeS 2]). Если \Rr содержит v равноугольных
прямых с углом arccos а и v > 2г, то 1/а — нечетное целое.
Доказательство. Пусть G — матрица Грама множества
v единичных векторов в \Rr со взаимными скалярными произведениями
±а. Тогда S = (1/а) (G — /) имеет наименьшее собственное значение
—1/а с кратностью /я, где т ^ v — г. Так как S — целочисленная
матрица, то —1/а — алгебраическое число и каждое число,
алгебраически сопряженное с ним, также является собственным значением
матрицы S с кратностью т. Если v > 2г, то т > у и, и 5, будучи v X v-
матрицей, не может иметь более одного собственного значения с
кратностью т. Поэтому —1/а — рациональное и, значит, целое число.
Число —1/а также не может быть четным, так как в этом случае
матрица (0, 1)-смежности соответствующего графа имела бы
рациональное собственное значение, не являющееся целым числом, что
невозможно.
Это завершает доказательство.
Пусть па (г) — максимальное число прямых в евклидовом г-мер-
ном пространстве \Rr таких, что угол, образованный каждой парой
прямых, равен arccos а (а > 0), и пусть п (г) = max па (г). Теорему
а
7.9 можно использовать для получения верхней границы для па(г).
Положим в этой теореме р = —1/а. Тогда р равно размерности г
соответствующего пространства \Rr. Решая неравенство в теореме 7.9
относительно п, приходим к следующей теореме.
Теорема 7.11 (ван Линт, Зайдель [LiSe]). При г < 1/а2
/ ч ^ 'О — а2)
если выполняется равенство, то два-граф, определяемый множеством
равноугольных прямых, регулярен (т. е. графы в соответствующем
переключательном классе являются сильными).
Эта теорема показывает, почему сильно регулярные графы (и в
особенности те, матрица смежности Зайделя которых имеет лишь два
собственных значения) важны при изучении множеств равноугольных
прямых.
215

Согласно [LeS2] имеем п (3) = п (4) = 6, п (5) = 10, п (6) = 16,
п (7) = п (8) = ... = п (13) = 28, п (15) = 36 и т. д.
Значение для п (14) неизвестно. Например, 10 равноугольных
прямых в [R5 могут быть определены из графа Петерсена, матрица
смежности Зайделя которого имеет собственные значения 3 и —3,
кратности в обоих случаях равны 5.
Проблема равноугольных прямых является весьма трудной
задачей и далека от решения в общем случае.
§ 7.4. Связность и двудольность
некоторых произведений графов
Вейчсел [Weic] обнаружил интересный факт, состоящий в том, что
произведение двух связных графов может быть несвязным графом.
Такой пример приведен на рис. 7.1.
Подобные случаи встречаются в NEP-сумме (частным случаем
которой является произведение), в булевых функциях и в многочленах
графов (определения и
спектральные свойства указанных операций
X • е • =: S \/ \> приведены в гл. 2).
В настоящем параграфе
исследуются условия, при которых граф,
рис# 7.1. получаемый в результате
выполнения некоторых операций над
заданными графами, будет связным. Так как в случае NEP-суммы эта
проблема естественным образом связана с вопросом, является ли
результирующий граф двудольным, то будет рассмотрена также задача двудоль-
ности NEP-суммы.
Вопросы связности указанных операций над графами
исследуются с использованием теорем 3.34 и 3.35.
Рассмотрим NEP-сумму графов Gl9 ..., Gn, каждый из которых
содержит по крайней мере одно ребро. Поэтому индексы г19 ..., гп графов
положительны. Анализируя выражение (2.44), видим, что индекс
NEP-суммы может быть определен из (2.44), если положить ix = i2 =
= ... = in = 1, т. е. согласно принятому соглашению Хр. = Хц = rf
(j = 1, ..., п). Таким образом, для индекса г NEP-суммы имеем
Г"А' -.И*-* (>0)- (7-5)
Будем рассматривать лишь NEP-суммы с базисом $}, для которых в
УЗ для каждого / (/ = 1, ..., п) существует по крайней мере одна п-ка
(Pi» •••* Рл) с Р/ = 1- Обозначим это условие через (/>). Из него следует,
что индекс г NEP-суммы существенно зависит от каждого rf.
Если Gl9 ..., Gn — связные графы, то положительные собственные
векторы х19 ..., хп соответствуют индексам г19 ..., гп. Легко проверить
(см. также теоремы 2.23 и 2.24), что собственный вектор х = х± ® ... 0
® хп соответствует индексу г NEP-суммы. Таким образом, х также
является положительным вектором.
21(6

Из теоремы 3.35 следует, что число компонент NEP-суммы равно
кратности индекса г. Следовательно, необходимо выяснить,
равняется ли Ait i индексу г для некоторой п-ш (ilt ..., in)9 отличной от
(1, ..., 1). Для этого необходимо, чтобы по крайней мере для одного/
(/ = 1, ..., п) выполнялось | %ji | = | Xf\ | = Гу. Так как Glt ..., Gn—
связные графы, то их индексы являются простыми собственными
значениями и приведенное выше равенство может выполняться лишь при
условии, что Xj; = —Гу. Таким образом, из теоремы 3.4 следует, что
Gy — двудольный граф.
Итак, возможная несвязность NEP-суммы связных графов, каждый
из которых содержит по крайней мере одно ребро, появляется как
следствие двудольности этих графов. Однако двудольность не всегда
является причиной несвязности. Структура рассматриваемой NEP-
суммы также оказывает некоторое влияние.
В результате последующего анализа мы убедимся в том, что
ожидаемые п-ки индексов ilf ..., in должны быть такими, чтобы для каждого
nj ф 1 граф G был двудольным, т. е. чтобы Х]Ч. = —rf и чтобы каждое
слагаемое в (2.44) содержало четное число величин Хц (ty Ф 1).
Для того чтобы сформулировать теорему с точными условиями для
связности (а затем также и для двудольности) NEP-суммы, дадим
следующее определение.
Определение 7.3. Функция нескольких переменных называется
четной (нечетной) относительно заданного непустого подмножества
переменных, если она не изменяет своего значения (изменяет лишь
знак), когда все переменные из этого подмножества одновременно
меняют знак. Функция является четной (нечетной), если существует
по крайней мере одно непустое подмножество переменных,
относительно которых она четна (нечетна).
На основании предыдущих результатов мы пришли к следующей
теореме.
Теорема 7.12 (Цветкович [Cve 9]). Пусть Glf ..., Gn — связные
графы, каждый из которых содержит по- крайней мере одно ребро.
Предположим также, что G*t, ..., Gt ({ilf ..., is) cz {1, ..., n}) —
двудольные графы. Тогда NEP*-сумма графов Glt ..., Gn с базисом S3,
удовлетворяющая условию (D), является связным графом тогда и только
тогда, когда функция
не является четной относительно любого непустого подмножества
множества {xit, ..., Xi}. В случае несвязности число компонент равно
кратности индекса NEP-суммы.
Следующая теорема уточняет предыдущую.
Теорема 7.13 (Цветкович [Cve 2, Cve 9]). Если Gx, ..., Gn — связные
графы, каждый из которых содержит по крайней мере две вершины,
то р-сумма этих графов является связным графом тогда и только
тогда, если выполняется одно из следующих условий:
Г р = п и самое большее один из графов — двудольный;
217

2° р — нечетное число, меньшее п;
3° р — четное число, меньшее п, и по крайней мере один из графов
Gly ..., Gn не является двудольным; если р равно пив точности 1(1 > 1)
графов среди Glt ..., Gn являются двудольными, то р-сумма имеет 2/~~1
компонент; если р — четное число, меньшее п, и все графы Glt ..., Gn
являются двудольными, то р-сумма имеет две компоненты.
В работе [Weic] доказано, что произведение двух связных графов
есть связный граф тогда и только тогда, когда по крайней мере один
из графов (т. е. множителей) не является двудольным (см. также § 4.8,
п. 9 настоящей книги). Произведение связных графов Gl9 ..., Gn имеет
в точности q компонент, где
| 1 при S>rt— 1,
12"-S-1 при s^n— 1,
если в точности s графов среди Gl9 ..., Gn не являются двудольными
[McAnl.
Сумма связных графов есть связный граф [Sabi].
Теорема 7.13 является объединением и обобщением этих частных
результатов.
В статьях [McAn, НаТг, HaWi, Brua, Mill, Aber, Reid, Визи]
исследовались вопросы связности графов, получающихся в результате
некоторых бинарных операций над графами. Связность исследовалась
этими авторами непосредственно путем доказательства существования
цепи между двумя произвольными вершинами рассматриваемого
графа.
Продолжим исследования рассмотрением связности булевой
функции. Прежде докажем лемму.
Лемма 7.2. Произвольная булева функция G = / (Gb ..., Gn)
регулярных графов Gu ..., Gn есть регулярный граф.
Доказательство. Согласно (2.47) индекс г графа G
определяется формулой
'-Л| '-^'-^-„g/.»''-^. <")
где полагается г/1] = rh rf] = rf = т}- — 1 — гу (i = 1,..., п), г7- —
индекс графа G;-. Собственный вектор v = v± ® ... ® vnf где vl9 ..., vn —
собственные векторы индексов г19 ..., гп графов Gl9 ..., Gn,
соответствует индексу г. Поскольку Gl9 ..., Gn —регулярные графы, то все
координаты векторов I?!, ..., vn равны 1, и поэтому вектор v также обладает
этим свойством. Далее из теоремы 3.33 следует доказательство
утверждения леммы.
В случае регулярных графов кратность индекса равна числу
компонент графа. Таким образом, булева функция будет связным графом
тогда и только тогда, когда собственное значение (7.7) простое.
Следовательно, как и в случае теоремы 7.12, необходимо исследовать, дает
ли выражение (2.47) значение (7.7) для некоторой n-ки (il9 ..., in) Ф
Ф (1, ..., 1) или нет.
Рассмотрим прежде случай, когда для всех /' = 1, ..., п среди л-ок
множества 3 существует одна, для которой р;- = 1, и другая, для ко-
218

торой Ру = 0. Обозначим это условие через (Е). Кроме того, в (2.47)
существуют два члена, один из которых содержит Хц.9 а другой — Хц .
Введем также ограничение, состоящее в том, что Gl9 ..., Gn —
связные графы, содержащие по крайней мере одно ребро и не являющиеся
полными графами.
Для того чтобы получить (7.7) из (2.47) для п-ки (119 ..., in)9
необходимо, чтобы индексы il9 ..., in можно было выбрать такими, чтобы
выполнялись равенства | Х^. | = | Xj\ | ( = rj) и | Xji | = | Хц |( =
= rrij — 1 — rf) для каждого / = 1, ..., п. Так как Gf — связный граф,
то реализация этого первого условия возможна только в случае, если
принять Х^. = —rf. Согласно теореме 3.4 собственное значение —г}-
может содержаться в спектре графа G7- тогда и только тогда, когда G} —
двудольный граф. Далее, если Хц. = —Гу, то в силу теоремы 2.6
kji. = г}- — 1 и второе из приведенных выше условий выполняется,
если Гу — 1 = rrij — 1 — Гу, т. е. когда т;- = 2гу. Можно легко
показать, что в этом случае Gf — полный двудольный граф.
Таким образом, для несвязности булевой функции при
рассмотренных условиях необходимо, чтобы какой-нибудь из графов Gl9 ..., Gn
был двуполным (граф G называется двуполным, если он является
полным двудольным графом). Однако двуполнота не всегда является
причиной несвязности. Определенное влияние оказывает также структура
рассматриваемой булевой функции.
Пусть графы Git9 ..., GJs ({jl9 ..., /s} cz {1, ..., n}) — двуполные.
В этом случае собственное значение (7.7) будет кратным корнем, если
существует непустое подмножество множества
{*>/V/V • • • » Ч''/j
такое, что каждое слагаемое в (2.47) содержит четное число величин
из этого подмножества. Теперь мы видим, что величины Xji. не
играют никакой роли. Поэтому вместо (2.47) рассмотрим функцию
У, Х^ . . . xln. /7 Q\
Этим самым доказана
Теорема 7.14 (Цветкович [Cve 5, Cve 9]). Пусть Gl9 ..., Gn
—регулярные связные графы, каждый из которых содержит по крайней
мере одно ребро. Предположим также, что ни один из графов Gl9 ...
..., Gnne является полным. Далее, пусть графыG/,, ..., Gjs ({jl9..., /s} cz
cz {1, ..., n}) —двуполные. Булева функция G — f (Gl9 ..., Gn)9
удовлетворяющая условию (E), является связным графом тогда и только
тогда, когда не существует непустого подмножества переменных
xJl9 ..., Xj, относительно которых функция (7.8) является четной.
Пример 1. В случае дизъюнкции двух графов & = {(1, 0), (0, 1),
(1, 1)}, а функция (7.8) имеет вид хх + х2 + х±х2. Эта функция
удовлетворяет условию (Е) и не является четной. Следовательно,
дизъюнкция регулярных связных графов, не являющихся полными и каждый
из которых содержит по меньшей мере одно ребро, представляет
собой связный граф.
219

Пример 2. Рассмотрим отрицание разделительной дизъюнкции.
Здесь 3 = {(1, 1), (0, 0)} и (7.8) имеет вид хгх2 + 1. Эта функция
четна относительно {xlf х2) и / (Glf G2) является несвязным графом,
если Gi и G2 — двуполные графы. Интересен следующий факт:
произведение двуполных (вообще говоря, двудольных) графов есть
несвязный граф (см. с. 218) / (Gi, G2), несмотря на то, что он содержит все
ребра произведения Gx X G2, а также некоторые другие. Заметим, что
Gx X G2 является NEP-суммой, соответствующей f (Gb G2) (см. § 2.5,
определение 3 на с. 70).
Мы видим, что в общем связность NEP-суммы, соответствующей
булевой функции, так же зависит от четности функции (7.8), как и
связность булевой функции. Таким образом, справедлива
Теорема 7.15 (Цветкович [Cve 9]). При условиях теоремы 7.14 граф
булевой функции и соответствующая ему NEP-сумма либо оба связны,
либо оба несвязны.
Связность булевой функции в достаточно общем случае может быть
описана теоремой в терминах множества Ж (теорема 7.16),
образованного из 5^ посредством следующих операций.
Г Если для некоторого / (/ = 1, ..., п) все n-ки из 3 имеют
единицы в /-й координате, a G,- является связным двудольным графом,
то такие же единицы остаются и в я-ка.х множества Ж. Если же граф
не обладает этим свойством, то указанные единицы заменяются
нулями.
2° Если для некоторого / (/ = 1, ..., п) все п-ки из 3 имеют нули
в n-й координате, а дополнение G, графа G, является связным
двудольным графом, то все такие нули заменяются единицами. Если же G, не
обладает указанным выше свойством, то нули остаются на /-х местах
во всех я-ках множества Ж.
3° Если для некоторого / (/ = 1, ..., п) по крайней мере одна п-ка
из & имеет единицу в /-й координате и если хотя бы одна n-ка имеет
нуль в этой координате, то: а) в соответствующих л-ках множества Ж
ничего не изменяется в /-й координате, если Gf — двуполный граф;
б) единицы заменяются нулями и наоборот, если Gf имеет две
компоненты с одинаковым числом вершин, каждая из которых
представляет полный граф; в) во всех п-ках в множестве Ж мы помещаем нули,
если не выполняется ни один из предыдущих случаев.
Теорема 7.16 (Цветкович [Cve 9]). Если Gu ..., Gn — регулярные
неполные графы, каждый из которых содержит по крайней мере одно
ребро, то булева функция f (Gu ..., Gn) является связным графом тогда
и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1° если для некоторого j (j = 1, ..., п) все я-ки из 3 содержат
единицы в \-й координате, то граф Gf связен;
2° если для некоторого j (j = 1, ..., п) все п-ки из 3 содержат
нули в /-й координате, то граф Gf V-простой;
3° функция V хь 9 9 9 ХК _ нечетная.
Заметим, что все свойства графов Gu ..., G„, определяющие
связность булевой функции, могут быть получены с помощью их спектров
(см. гл. 3).
220

Исследуем вопрос связности многочлена связного графа. В
качестве примера рассмотрим квадрат графа, определенного в § 2Л. Пусть
G — неориентированный связный граф без петель и кратных ребер и
а1у ..., %п (ki ^ Х2 ^ ... ^ Хп) — его собственные значения. Кроме
того, пусть G содержит па крайней мере одно ребро. Тогда %г > 0 и ему
соответствует положительный собственный вектор х.
Граф G2 имеет собственные значения Х2и ..., %*• Вектор х является
также собственным вектором, соответствующим %$. На основании
теоремы 3.35 G2 будет несвязным графом тогда и только тогда, когда
кратность собственного значения Х* больше 1. Это возможно только при
7?\ = %2п, т. е. %п = —кг. Тогда на основании теоремы 3.4 G — двудоль
ный граф.
Таким образом, справедлива
Теорема 7.17. Граф G2 неориентированного связного графа G без-
петель, кратных ребер и по крайней мере с двумя вершинами связен
тогда и только тогда, когда G не является двудольным. Если G —
двудольный граф, то G2 содержит в точности две компоненты.
Заметим, что данная теорема будет справедлива даже в случае,
если определение квадрата графа видоизменить следующим образом:
«квадрат» G{2} описанного выше графа G есть неориентированный граф
без петель и кратных ребер с тем же множеством вершин, что у G, и в
котором различные вершины смежны тогда и только тогда, когда
между ними в G имеется по крайней мере одна простая цепь
длины 2.
Введем теперь условия, при которых NEP-сумма связного графа
является двудольным графом.
Все компоненты NEP-суммы связных графов имеют один и тот же
индекс г. Поэтому число компонент такой NEP-суммы равно кратности
ее индекса. NEP-сумма является двудольным графом, если,
естественно, все ее компоненты таковы. Тогда согласно теореме 3.4 каждая
компонента должна содержать в своем спектре число —г. Так как нет
компонент, содержащих в спектре число —г с кратностью больше 1,
то отсюда следует, что необходимым и достаточным условием для дву-
дольности NEP-суммы является следующее: г и —г имеют одинаковые
кратности в спектре NEP-суммы.
Из (2.44) видно, что число —г может существовать в спектре NEP-
суммы только тогда, когда некоторые из графов являются
двудольными и если существуют такие подмножества переменных хъ ..., хПУ
относительно которых функция (7.6) нечетная. На основании
приведенных выше фактов мы получаем следующее утверждение.
Теорема 7.18. (Цветкович [Cve 9]). Пусть Gu ..., Gn — связные
графы, каждый из которых содержит по крайней мере одно ребро. Пред-
положим также, что G,,, ..., G/ ({in ..., is] а {1, ..., п}) —
двудольные графы. Тогда NEP-сумма с базисом 3$ графов Glt ..., G„,
удовлетворяющая условию (/>), является двудольной тогда и только тогда,,
когда число непустых подмножеств множества И = {xilf ..., xi }у
относительно которых функция (7.6) четна, на единицу меньше числа
тех подмножеств, относительно которых она нечетна.
221

Эта теорема является основой для доказательства следующей
теоремы, дающей точные условия, при которых р-сумма является
двудольным графом.
Теорема 7.19 (Цветкович [Cve 2, Cve 9]). Если Glt ..., Gn — связные
графы, каждый из которых содержит по крайней мере две вершины,
то р-сумма этих графов является двудольным графом тогда и только
тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
Г р = п и по крайней мере один из графов Glt ..., Gn —
двудольный;
2° р — нечетное число, меньшее п, и все графы Glt ..., Gn являются
двудольными.
Доказательство. Пусть р = п. Тогда функция (7.6)
имеет вид х19 ..., хп. Если И — 0 (см. теорему 7.18), тор-сумма не
является двудольной. Пусть ££ содержит / (/ > 1) элементов. Тогда функция
xlt ..., хп четна относительно в точности I \ + ( ) + ... = 2/_1 — 1
непустых подмножеств множества ££ и нечетна относительно в точности
+ ... = 2 _1 таких подмножеств. На основании теоремы 7.18
С.)+ (з)
р-сумма двудольна.
Пусть р — нечетное число, меньшее п. Тогда функция (7.6) не
будет четной (теорема 7.13), но только относительно множества всех
переменных. Если бы она была нечетной относительно собственного
подмножества переменных, то среди слагаемых в (7.6) существовало бы
слагаемое, содержащее четное число переменных из того же
подмножества, что противоречит предположению о нечетности функции (7.6).
Таким образом, для двудольности р-суммы в этом случае необходимо
(и достаточно), чтобы все графы Gb ..., Gn были двудольными.
Наконец, если р — четное и меньше п, то, рассуждая аналогично
предыдущему, видим, что функция (7.6) не может быть нечетной.
Это завершает доказательство теоремы.
§ 7.5. Определение числа маршрутов
В § 1.8 было доказано, что число маршрутов в графе связано с его
спектром. Производящая функция Hg (t) для числа маршрутов
определяется через характеристические многочлены графа и его дополнения.
Перейдем теперь к нахождению указанной производящей функции
для графов, получаемых при выполнении над ними некоторых
операций. (G' — граф, получаемый из G добавлением к каждой вершине
графа G одной (учитываемой однократно) петли.)
Теорема 7.20 (Цветкович [Cve 81). Для производящей функции
Hg (t) числа маршрутов в графе G справедливы следующие формулы:
^•(о = 14^-^(т^г); (7.9)
"а
t +
г)
"г(,,= '♦■-«.(--пН ' ™
222

Яе,+е,(0 = Яе,(9+Яв,(/);
l-t*HGi(t)HGi(t)
HalVat (t) =
Доказательство. Согласно (1.59) имеем
(7.11)
(7.12)
He. (t)
(-1)"
(-1)"
-A-l ( Г
л/-л
+ i
p,M--i
^1-7
A+I
— 1
— 1
1
1
\-t W-t)
X
(-!)»■
Р/-Л f-
l
//(1—0
( </(l - 0
— 1
Т=ГНо\ l
^r).
что доказывает (7.9). Формула (7.10) может быть проверена
непосредственно, если воспользоваться формулой (1.59) и аналогичной ей
формулой
flg(0 = -f
(-D
„ Pe[-(t+W\
p-G(l/t)
1
Соотношение (7.11) очевидно. Для доказательства соотношения (7.12)
используются формулы (2.1), (7.10) и (7.11):
нс„с, (о = яга (о - ,+1!:й;
0,+G,
(-</(< + !))
я5((-//р+1)) + яг1(-</(/+1))
' Ч- 1 - * [Hgt {.- W + 1)) + Н^ <- Щ + 1))]
Из (7.10) получаем
"о
'+»
(t+l)HG(t)
1 + tHa (0
(7.13)
(7.14)
Используя (7.14), из (7.13) получаем (7.12). Это и завершает
доказательство.
Следовательно, на основании этой теоремы можно определить
производящую функцию для любого графа, если известны производящие
функции для элементарных графов (см. § 2.2).
22а

Пример 1. Регулярный граф степени г сп вершинами имеет,
очевидно, Nk = nrk путей длины k и, следовательно,
н°«) = ~%пгЧк = т^тг (1г|<4-)-
При г = п — 1 получаются полные графы, а при г = О — графы,
состоящие лишь из изолированных вершин. Для графа, который
имеет только одну вершину и не имеет ребер и петель, производящая
функция имеет вид #<? (/) = 1.
Пример 2. Двуполный граф может быть представлен как V-произ-
«едение графов Gx и G2, содержащих только изолированные вершины.
В этом случае Hgx (t) = пи Hg? (t) = п2 и на основании (7.12) для дву-
яолного графа получаем
н а\ — ni + n2 + ^nxn2t
Пример 3. Рассмотрим /г-полный граф Knt nk* Для которого
k
нк (0 = У -1—/' iw .
Кп% nk W Zj 1— (ni — \)t
* /--=1
так как Knx nk — прямая сумма полных графов с пи ..., nk
вершинами соответственно. На основании (7.10) получаем
k
£ m/d+ntt)
Як*, (0-—^Ч .
Теперь рассмотрим неполную расширенную р-сумму графов.
Матрица смежности А для NEP-суммы с базисом Зо графов Glf...
..., Gn, матрицами смежности которых являются соответственно Аи ...
..., АПУ выражается соотношением (2.41). Далее, воспользуемся
также соотношением (2.45). Из определения кронекерова произведения
матриц может быть легко доказано следующее соотношение:
sum (X ® У) = sum X sum У, (7.15)
где X иУ — две произвольные матрицы, a sum X означает сумму всех
элементов матрицы X. На основании (2.45) и (7.15)
sum А* = £ «t kl «t sum Ai ' • • sum Kn>
т. e.
"*= £ -iJ^T<-4. (7-16)
.где Nk означает число маршрутов длины k в NEP-сумме, a Nk (i ■=
= 1, ..., n) — число маршрутов длины k в графе Gt.
224

Число маршрутов в графе всегда может быть представлено в виде
выражения (1.58). Пусть формула
Н^ЯСпЛ^ (/= 1 /г) (7.17)
V
справедлива для С/. В этом случае (7.17) принимает вид
s» SQ li Ы
= S cUl---cnln 2 —JL—^...^ = J cUl...cmnx
где jRb ..., ^ имеют тот же смысл, что и в доказательстве
теоремы 2.23. Следовательно, мы пришли к следующему результату.
Теорема 7.21 (Цветкович [Cve 4, Cve 9]). Пусть #£ = 2 Сц. tf£. (/ =
= 1,..., п) означает число маршрутов длины k в графе G;. Тогда
N ЕР-сумма с базисом 95 графов Gl9..., Gn содержит
маршрутов длины k.
Несколько лучший результат получен в работе [Cve 14].
Опишем теперь некоторые комбинаторные задачи, связанные с
определением числа маршрутов в графе (см. также § 8.3).
Г. Перестановка fe-ro класса с повторением элементов из
множества X = {х19 ..., хп) является произвольной упорядоченной ^-кой (хи ...
..., xik), где if £ {1, ..., п) (/ = 1, ..., k). Число таких перестановок с
повторением элементов Vkn = nk.
В процессе образования перестановок с повторениями возможно
введение некоторых ограничений. Рассмотрим эти перестановки с
ограничениями следующего типа.
Пусть Xt (i = 'l, ..., п) — семейство подмножеств множества X.
Пара (xit xf) называется допустимой тогда и только тогда, когда х,- £
£ XL. Квадратная матрица А = (ац)1, где ац = 1, если (xit xf) —
допустимая пара, и ац = О в противном случае, называется матрицей
допустимых пар. Матрица ограничений А получается из Л в
результате взаимной замены 0 и 1.
А-перестановкой с повторениями k-го класса называется ^-тка (xiiy ...
..., Xik)f где Xt. 6 Xij__{ (j = 2, ..., k). В работе [Cve 8] определено
число Vn (А) Л-перестановок с повторениями fe-ro класса из множества
с п элементами. Свяжем эту задачу с задачей определения числа
маршрутов в графе. Если А интерпретируется как матрица смежности
орграфа G с вершинами хи ..., хПУ то легко показать, что число Vkn (А)
равно числу маршрутов длины k — 1 в G.
8 3-476
225

Теорема 7.22 (Цветкович [Cve 81). Функция
Р-Л-1/0
является производящей функцией для чисел Vkn (А) А-перестановок k-го
класса с повторениями, при этом справедливо соотношение Vn (А) =
= \ G<*> (0), й = 1, 2,... При k = 0 7°п(А)= 1.
Доказательство* Очевидным образом имеем
G{t) = l+tHa(t)t (7.18)
где Hg (t) — производящая функция чисел маршрутов в орграфе G,
матрицей смежности которого является А. Подобно тому, как это
было при доказательстве теоремы 1.11, получаем
sum {/ — tA\
HG (t) =
|/-M|
sum {/ — tA) = -~ (| / + t(J — A) | — | / — tA |).
Комбинируя (7.19) и (7.20), находим
1 Г p-j(-w
HG{t)=±Y-\)n. *
Pa (W
]•
(7.19)
(7.20)
(7.21)
где, естественно, A = J — А. Далее при доказательстве теоремы
используются выражения (7.18) и (7.21).
2°. Определим число маршрутов длины k в простой цепи Рп с п
вершинами. Матрица смежности цепи Рп такова:
">'
1 0 1
о
1
В § 2.6 было показано, что собственными значениями такой
матрицы являются Xt = 2 cos
n+l
■ (i = 1,..., n). Легко убедиться в том,
что
и.= l/" 2 sin */я (/=1,..., п) являются координата-
11 У п+ 1 п-\- \
ми нормализованного собственного вектора uj9 соответствующего
собственному значению Xt (см. [CoSi 1]). Используя (1.58), для числа Nkn
маршрутов длины k в Рп получаем выражение
2*+' П^'^ 21—1
COS''
21-
■ Я.
(7.22)
226

Этот результат используется для решения следующих трех задач,
встречающихся в литературе.
(О В [Доче] решена такая задача: определить число Nkn всех
возможных линий в плоскости, состоящих из отрезков длиной ]/2 и с
направляющими коэффициентами ±1; прямые начинаются в одной из
точек (0, 0), (0, 1), ..., (0, k — 1) и, не выходя из прямоугольника 0 ^
^х^д, 0^ у ^ k — 1, оканчиваются в точках (я, 0), (п> 1), ...
..., (л, й-1).
Данная задача представляет интерес в некоторых вопросах теории
функциональных пространств. Решением ее является выражение
(7.22).
(и) Один из результатов в работе [Cve 6] утверждает: число Nkn
способов, с помощью которых король
(шахматная фигура) может
сделать серию из k ходов на
одномерной шахматной доске (рис. 7.2) опре-
• ••
деляется формулой (7.22). Это ста- рис. 7.2.
новится очевидным, если
использовать понятие графа передвижений шахматного короля на заданной
шахматной доске. Вершины такого графа соответствуют квадратам
шахматной доски, и две вершины смежны тогда и только тогда, когда
король может перейти из одного квадрата в другой за один ход. В
рассматриваемом случае соответствующим графом является простая
цепь Рп.
Для некоторых шахматных фигур графы их передвижений на
двумерных и более высокого порядка досках могут быть выражены в
форме NEP-суммы (или применением некоторых других подобных
операций) графов их передвижений на одномерных досках. Так, в работе
[Aber] упоминается, что граф ходов ладьи на двумерной квадратной
доске равен сумме двух одинаковых графов ходов ладьи на одномерной
доске (об этом говорится в [Aber] для случая, когда ладья
передвигается лишь на смежные квадраты, однако очевидно, что это
справедливо также и в общем случае).
В работе [Cve 6] были рассмотрены передвижения короля на
двумерной квадратной доске. Из этого рассмотрения следует, что все то,
что было сказано для ладьи, справедливо также для короля, но в этом
случае сумму графов следует заменить сильным произведением графов
{NEP-суммой с базисом, содержащим все возможные я-ки).
Если ладья передвигается только на смежные квадраты, то граф,
соответствующий ее передвижениям на одномерной доске, не
отличается от графа передвижения короля на такой же доске. Число
маршрутов длины k выражается формулой (7.22). Таким образом, на
основании теоремы 7.21 число способов указанных передвижений ладьи (если
она ходит на смежный квадрат, т. е. король делает серию из k ходов
на s-мерной шахматной доске типа /it X ... X /ij определяется
выражением
Nk = £ cUl • • • csit (XUl + ... + ц)\ (7 23)
8*
227

или
Nk= S (пС,Л(п(Л/£ +l)-lY, ty=l,..., Л/ (/=l,...,s),
f* w=i / \/=i ;
(7.24)
где
n 2 , о 2t/ — 1 я « 0 2/, — 1
Си,- ^+rctg2-тггггт • 4 =2cosnf+г n-
В [Cve 6] получен результат, представляющий собой частный
случай выражения (7.24): s = 2, пг = п2 = пу что соответствует
передвижениям короля на п X я-доске.
(ш) Число я-ок (аъ ..., ап) неотрицательных целых положительных
чисел, для которых выполняются | щ+\ — at | = 1 (i = 1, ..., п — 1)
и некоторые другие дополнительные условия, было определено в
работе [Саг 1]. Эти результаты могут быть связаны с приведенной выше
задачей (см. [CvS 1J).
3°. В [МоАЫ рассмотрены сочетания из элементов множества {1,...
..., п) с ограниченными разностями и размахом. Для сочетания р-то
класса [xlt ...,*„}, 1 ^ хг < ... < хр ^ я, разности определены через
dj = Х}+\ — Xjy / = 1, ..., р — 1, а размах — через d = хр — хг.
В работе определено число сочетаний, удовлетворяющих ограничениям
k ^ dj^. k\ / = 1, ..., р — 1, I ^. п — d ^ /'. Специальные случаи
этих сочетаний с обобщением в другом направлении могут быть
исследованы с помощью предложенной выше процедуры.
Рассмотрим сочетания р-го класса с повторениями, для которых
dj £ М (/ = 1, ..., р), М а {1, ..., п) и наибольший элемент m из М
удовлетворяет условию рпг <С 2я. Число таких сочетаний (будем
называть их ./^-сочетаниями) может быть установлено посредством
рассмотрения графа G с вершинами х1у ..., хп, в котором для каждой пары
индексов (t, /) ребро (ориентированное) направлено из вершины хь
в вершину Xj тогда и только тогда, когда (i — /) (mod п) £ М. Кроме
того, у каждой вершины G есть петля. Каждому из рассматриваемых
сочетаний соответствует в точности р замкнутых маршрутов длины р.
Не соответствуют ни одному из сочетаний только те замкнутые
маршруты, которые из-за существования петель не покидают вершину,
из которой они начинаются. Число таких замкнутых маршрутов
равно я. Согласно теореме 1.9 число замкнутых маршрутов длины k
равно следу fe-й степени матрицы смежности. Если {Хи ..., Хп) — спектр
графа G, то число рассматриваемых сочетаний, за исключением
некоторых тривиальных случаев, равно
т (£»—)•
Туэро [Тиег] определил спектры графов описанного вида.
Следующая теорема принадлежит Краусу.
Пусть М = [ml9..., mu}. Рассмотренный выше орграф G может быть
228

представлен в виде G = P(Cn)f где Р(х) = 1 + ]g xm*. Собственными
значениями графа G являются (см. § 2.1) kt = Р [е п Jt / = 1,..., л.
Далее находим
^ fU.,x № _ v _
где 2 означает суммирование по всем элементам множества
$ = |(/о. Л. • • •. ь) 2 /* = р) >
I | Ar=0 J
/о» А» •••» /и — неотрицательные целые числа. Тогда
м-
я, если J] mkjk делится на п,
(О в других случаях.
Таким образом, приходим к следующему результату.
Теорема 7.23. Число М-сочетаний равно
где
*' = (/о. Ь • • •. /д) 2 /а = />} . Л £ тЛ-
I U=0 J *=1
4°. Асимптотическое перечисление некоторых типов перестановок
конечного множества может быть сведено к определению числа
маршрутов в подходящим образом выбранном графе. Рассмотрим
перестановки л множества {1,2, ..., п), в которых позиции элементов
после перестановки ограничены следующими неравенствами:
| я (i) — i К &, i = 1, 2,..., п.
Обозначим такие ограничения через Rik)\ N (R(/f), п) — число
перестановок этого типа. Дадим объяснение метода перечисления
перестановок при ограничениях R(k\ следуя работе [Lehm] (метод предложен
Блэквеллом).
Предположим, что п намного больше, чем fe, так как п стремится
к бесконечности. Рассмотрим частного вида перестановку
( ' 2 ••' h~l ), (7.25)
\л(1) я (2) ... я (А — I))
229

где k<h<Ln. Теперь выберем значение для п (ft). Выбор зависит от
R(Ar) и уже выбранных значений для л (ft — 1), л (ft — 2), ..., я (ft —
— k). В некоторых случаях выбор значения я (ft) может быть
вынужденным, из-за того, что определенные значения еще не были выбраны.
Следовательно, имеется определенное число позиций неполной (или
частично полной) перестановки. В качестве этих позиций можно взять
вершины орграфа G. Направленное ребро из i к / существует тогда и
только тогда, когда имеется значение я (я), которое, начинаясь у
неполной перестановки в позиции /, дает позицию /. Величина
lim N(R{k\ n)l/n = \i(Rik))
равна наибольшему собственному значению графа G, т. е.
динамическому среднему валентностей вершин графа G(cm. § 1.8), так как
каждый маршрут длины т в G соответствует способу продолжения
неполной перестановки длины ft до длины ft + гп. В [Lehm] число \i (R{k))
названо индексом подвижности ограничений R(*\
Рассмотрим, например, ограничения R(1). Неполная
перестановка (7.25) имеет четыре варианта неполноты: 1) ни ft — 1, ни ft не
использовано во второй строке; 2) использовано ft — 1, но не
использовано ft; 3) использовано ft, но не ft — 1; 4) использованы и ft и ft — 1.
В случае 1 единственно возможным выбором является я (ft) = ft —
— 1 и получается новая неполная перестановка. Продолжив эти
рассуждения, получим матрицу смежности графа G
/1 0 0 0\
[О 1 1 01
А~\ 0 1 о о I •
\0 0 0 1/
Характеристическим многочленом графа G является (X2 — X — 1) (X —
— I)2 и, следовательно,
,(R<.)) = _L±V1_.
§ 7.6. Олределение числа остовных деревьев
Спектральный метод определения числа остовных деревьев t (G)
графа G основан на предложениях 1.3 и 1.4 (§ 1.5). С помощью этого
метода могут быть получены почти все известные результаты в дан-
рой области теории графов (см., например, [Моо 2]).
Прежде всего опишем возможности применения предложения 1.4.
Спектры и характеристические многочлены нескольких регулярных
графов были определены в § 2.6. Для этих графов предложение 1.4
сразу же дает число остовных деревьев.
1°. Для полного графа Кп с п вершинами имеем
t(Kn) = n"->
230

(известная формула Кэли).
2°. Для регулярного графа G с п = 2k вершинами степени п — 2
(граф приема гостей) t(G) = 22k~2 (k— \)kkk~2.
3°. Так как РКпп (X) = (Я2 — п2) №~\ то
ЦКп.п) = п**-*.
4°. В § 2.6 дано определение графа G ^-мерной решетки и вычислен
его спектр. С помощью предложения 1.4 получаем (см. [Cve 10])
/(G) = n^-'flP<n-1)/.
5°. Спектр лестницы Мёбиуса Мп также определен в § 2.6.
Воспользовавшись этим спектром (см. [Моо 2]), находим
t(Мп) = 4г'0' (3 -2cos-£--(- 1)').
6°. Рассмотрим сумму G* = G + /С2 произвольного графа G и
полного графа /С2 на двух вершинах. Спектр графа /С2 содержит
числа 1, —1. Если Х19 ..., Хп —собственные значения заданного графа G,
то собственными значениями графа G* являются Хг + 1, ..., %п + 1,
^— 1, ..., Хп — 1, т. е.
Po*(K) = PQ(K—l)Pa(K+l).
Если G — регулярный граф степени г с п вершинами, то G* будет
регулярным графом степени г + 1 с 2п вершинами. Предложение
1.4 в этом случае дает
t(G*) = 4г Pg* с + V = i Рс ^Рс(г +2) = 4-'(G>Pc(r + 2>-
Для простого цикла Сп длины п очевидно, что t (Сп) = п.
Поскольку Рсп (X) = 2 (Тп (Я/2) — 1), где Тп (х) — многочлен Чебышева
первого рода, то (см. [Cve 10])
t(Cmn) = nTn(2)-n.
Граф С*п содержит все вершины и ребра призмы с п гранями.
7°. Характеристический многочлен Р * (X) графа Гуда — де
°k,n
Брёйна с ограничениями Gl,n можно получить из соотношения,
приведенного в § 1.9, п. 16 (см. также работу [КрСт]). Поскольку
то
ра. (Я) = я***-»»-1-* (* + I)*"1 (Я, — * + 1)
k.n
и, следовательно,
t (Gl,n) = kk~* (k — i)ft(ft-i)"-)-ft-«+i>
231

где t (G*ktn) — число остовных деревьев, входящих в каждую вершину
(выходящих из каждой вершины) графа Гуда — де Брёйна с
ограничениями.
Используя спектральный метод, можно также доказать некоторые
теоремы относительно числа / (G) (см. также § 7.7).
Теорема 7.24» Если G — регулярный граф степени г с п вершинами
и т ребрами, то
t (L (G)) = 2m-n+lrm-*-11 (G).
Доказательство. L (G) — регулярный граф степени 2г —
— 2. На основании предложения 1.4 и соотношения (2.30) имеем
/(L (G)) = JLPL{G) (2г - 2) = -L{ JL [(X + 2Г-пPG(l-r +
+ 2)]1 = -£- (2гГ-* -^- = 2—+V—»-1t (G),
что доказывает теорему.
Этот результат был получен в работе [Кел 2] посредством
применения функции Bl (G). В [Кел 3], кроме того, определены аналогичные
соотношения для графов S (G) и R (G) (определения см. в § 2.4).
Используя функцию Bl (G), можно получить, например,
следующие результаты.
1°. Легко убедиться в том, что 5[(/С1) = 1. Так как Кп — прямая
сумма п графов /Сь_то _из (2.20) заключаем, что В£(/Сп) = А/1"1.
Далее имеем КП1,п2 = КпУКп2 и, применяя (2.21), получаем
Bll+n> {Knvn2) = (Я + пг + п2) (X + Л1)».-1 (А. + /ц)*-',
что вместе с предложением 1.3 дает
Заметим, что если пх = п2, то получается такой же результат, как и
приведенный выше (см. также § 1.9, п. 11).
2°. Пусть G — граф, полученный из Кп в результате удаления т
(2т <[ п) несмежных ребер (см. [Моо 2]). Очевидно, G = тК2 + (п —
— 2т) Къ гДеэ например, kH означает прямую сумму k графов Н.
Поскольку
Bl(K2) = -BU+2)(K2) = X + 2f
то
Bl(G) = Xn-rn-l('k + 2)rn.
Отсюда находим
Bl (G) = (Я, + п)»-"-' (Х + п- 2Г,
t(G) = n«-2(l-*-)m.
232

3°. Если G — граф, полученный из Кп в результате удаления /*
ребер, смежных с одной и той же вершиной (см. [Моо 2]), то G —
= КРл + (п — р — I) К\. Из п. Г получим выражение для B{+1 (KPti)
и затем с помощью формул (2.20), (2.19) и предложения 1.3 —
выражение
4°. Согласно результатам § 2.6 и формулам (1.17), (1.33)
*HQ =-f-W"^-) - !) •
где Тп (х) — многочлен Чебышева первого рода. Если G (см. [Моо 21)—
граф, полученный из Кп в результате удаления всех ребер
простого цикла длины m (m ^ /г), то
G = Ст + (п - т) Кг и Bl (G) = Г"т5Г (Ст).
Отсюда следует
В1 (G) = 2 (Я + п)"-"1-1 {Тт (Х + п~2 ) - (- I)"1) ,
t (G) = 2л»-"-2 (Тт [Jt^~) ~ (- l)m)
5°. Аналогичным образом получаем число остовных деревьев в
графе G пирамиды с п гранями (см. [Моо 2, Rohl]). Очевидно, G =
= СпУКи откуда
вгю = 2^+;,+ 1)(^(^)-1)У
/(G) = 2(r„(-|-)-l)
(относительно обобщений см. работы [BoFS, JoJo, Wal 3]).
6°. Определим функцию Bl (Рп) простой цепи Рп на п вершинах,
исходя из результата, содержащегося в [Mui 1]. Для определителя а (х)
порядка п справедливо следующее разложение:
1+* 1. О
1. х.
а(х): = \ \ J
О
х
Л
1 + х
Ar=l Ч
■ 2 cos
п. J
Легко заметить, что
a(x) = (x + 2)Un-l(x/2)9
(7.26)
233

w т г , ч ^in Un + 1) arccos x] TT ^
где c/n (x) = L лГх ' = многочлен Чебышева второго рода.
Далее находим
YT
Bl(Pn)=i-
\ + к
— 1.
о
1.
2 + Ь,
2 + Х
— 1
О
•Х—1
1+к
^ (-1)" „.(-Х-9)
На основании выражения (7.26) и используя тот факт, что Un{—х) =
= (— 1)" Un (х), получаем
1 + 2
вирп) = и^[Ц^
Пусть G (см. [Моо 2]) — граф, полученный из Кп в результате
удаления ребер, составляющих простую цепь на s вершинах. Тогда
U= Ps+ (n — s)Ki и
Bl (G) = (Х + Air-t/s-, (Х + П~2 ) ,
t(G) = n"-s-il/iel (JLzl)
Общий алгоритм получения С-спектра (и наряду с этим сложное-
tn) графа G, составленного посредством операций + и V из
одновершинных графов, приведен в работах [Кел 1, Кел 2] (см. также [KeChI).
§ 7.7. Экстремальные задачи
В теории графов экстремальные задачи часто возникают в связи
с необходимостью определения границ для численной характеристики
графа как функций некоторых других численных характеристик;
при этом используются дополнительные условия, которым должен
удовлетворять граф. При решении таких задач возможно применение
спектров графов. Приведем типичный пример, следуя работе [Wil 2]
(в гл. 3 приведены границы для некоторых численных характеристик
как функции собственных значений).
Определим верхнюю границу для хроматического числа графа,
имеющего п вершин и т ребер.
Если граф G содержит п вершин и т ребер, то его спектр
содержит п собственных значений %ъ ..., ХП9 для которых справедливы
следующие соотношения!
*i +... + *»= 0; (7.27)
■*? +
+ К = 2т.
(7.28)
234

Определяя максимальное значение функции р = Хг при условиях
(7.27) и (7.28), находим
^<]/"2m(l--i-). (7.29)
Тогда теорема 3.14 дает следующую границу для хроматического
числа X (G) графа G:
X(G)<1 + Y2m(l — 4*)- (7-30)
Равенство в (7.30) имеет место в случае, когда G — полный граф или
граф без р-ебер. Эта граница не является лучшей из возможных; такие
границы для X (G) при некоторых условиях приведены в работе [ЕрКо].
Тем не менее спектральные методы, как показывают следующие
теоремы, могут представлять некоторый интерес в различных
областях теории графов.
Теорема 7.25 (Туран [Tura]). Граф Gen вершинами и более чем
[п2/4] ребрами содержит по крайней мере один треугольник.
Единственными графами без треугольников, имеющими п вершин и [л2/4]
ребер, являются только графы Ki i для п = 21 и /G+i / для п = 21 +
+ 1.
Доказательство. Согласно теореме 3.8 для наибольшего соб-
От
ственного значения Хг графа G справедливо соотношение Кг ^ —^—, где
т — число ребер графа G. Если т > ~- (^ -~- ), получаем j/~m >
>-^-, —^- = (— Ym )Ут>У^т и ^> У^т. С помощью
следствия теоремы 3.9 заключаем, что G содержит по крайней мере один
треугольник.
Если п = 2/, т = /2 и G не имеет треугольников, то согласно
теореме 3.8 %г ^ 1У а согласно следствию из теоремы 3.9 Хх ^ /. Сле-
п
довательно, Кг = I и £ ^: = /2. Поскольку G не имеет треугольни-
п
= /3. Используя лемму 3.1, получаем
ков, то £ А,? = 0 и j Я?
Я2 = А,3 = ... = A^-i = 0 и Хп = — /.На основании теоремы 6.6 де-»
лаем вывод, что G — граф /С/,/.
Теперь предположим, что п = 21 +J, т = I2 + I и G не имеет
треугольников. Тогда среднее значение d степеней вершин в G равно
—2V ' ' . G не содержит ни одной вершины, у которых степень
меньше /, так как при удалении такой вершины появился бы граф в
21 вершинами, более чем I2 ребрами и не содержащий треугольников.
Поскольку d < / + 1, то в G существует вершина степени /. Удалив
эту вершину, получим граф без треугольников, имеющий 21 вершин
235

и Р ребер. Этим графом должен быть Kij. Поэтому ясно, чтоб являет*
-ся графом /0+1,/. Это завершает доказательство.
, Теорема 7.26. Если граф G имеет 2п вершин и п2 + р ребер, то
юн не содержит меньше чем -^- + -|—Ь -£-$- треугольников.
Доказательство. Согласно теореме 3.8
<• kl>li!? + PL=n+JL.
1 ^ 2я ' п
2п 2п
Поскольку J] Я£- = 2 (п2 + /?), то £] Х{ ^.п2. Воспользовавшись лем-
^ пг и для числа треугольников в гра-
«=1 *=2
2я
«мой 3.1, находим
*фе G получаем
'•-4-^+is/?>4(»+-f)J-i»"-^+-S- + ^-
Это завершает доказательство.
Доказательства этих двух теорем приведены в соответствии с
работой [Nos 1].
Теперь установим нижнюю и верхнюю границы для числа остовных
деревьев регулярного графа. Задача нахождения этой границы
приведена 3'fSfsd 2).
Теорема 7.217 (Ноз&ль [Nos И). Если G — регулярный граф степени
гсп вершинами !г ^ -к (л — 2); п > 2L то для числа t (G) остовных
деревьев графа G справедливы следующие неравенства:
(i^if-W^f^-V
-2*
Доказательство. Пусть А,х = г, ..., А,„ — собственные
значения графа G. В § 2.7 было показано, что %t ^ п — 2 — г (i = 2,
3, ..., я). На основании неравенств (2.55) получаем
* (G)= ^ iW-*,)> 4- П(2г + 2-Я) = (2r + 2n~nY V-*.
Верхняя граница следует из соотношения между геометрическим и
арифметическим средними чисел г — А,2, г — А,3, ..., г — %п. Это
завершает доказательство теоремы (см. также [Grim]).
; * Заметим, что неравенство справа следует также из более общего неравенства,
доказанного в работе [Кел 3J. Кроме того, для произвольного графа G
1 t(G)^nn-2(\—2/n)mf
где т — число ребер графа G (Кельманс, частное сообщение, сентябрь 1979 г.).
236

§ 7.8. Другие результаты и задачи
1. Все регулярные графы степени г с п вершинами, для которых
п > 2г, являются V-простыми (см. [FiGr]).
Доказательство. Если такой граф не является V-простым,
то число г — п должно принадлежать его спектру (см. теорему 3.29).
Однако отсюда следует, что г — п ^ — г, и тогда п ^ 2г, что
противоречит предположению.
2. Определим все регулярные графы G, которые, не будучи
V-простыми, принадлежат множеству реберных графов (см. [Cve 9]).
Во-первых, G связен. Согласно теореме 6.11 для наименьшего собственного
значения q графа G q^ —2. Таким образом, G не является V-простым
тогда и только тогда, когда г — п = —1 или г — п = —2. В первом
случае г = п — 1, т. е. G — полный граф с п > 1. Во втором случае
число п должно быть четным и тогда G не принадлежит множеству
реберных графов для п > 6. Следовательно, G может быть (за
исключением полных графов) простым циклом длины 4 и регулярным
графом степени 4 с шестью вершинами, Я (3) ^ L (/С4) (определение
графа Н (п) ем. в § 6.3).
3. Доказать, что полный многодольный граф G не может быть
представлен как произведение графов [Cve 2].
4. В [BeChl] упоминается следующий результат (доказательство
можно найти в работе [BeCN]): тотальный граф G графа Кп изоморфен
реберному графу Кп+\. Доказать это утверждение с помощью спектров
графа [Cve 13]. Кроме того, используя спектры графов, можно решить
«графовое уравнение»
T(G) = L(H) (7.31)
(G является регулярным графом), т. е. найти все пары графов (G, Я)
(связных), удовлетворяющие (7.31) [Cve 13]. Неспектральными
методами графовое уравнение (7.31) полностью решено в работе [CveS 2].
. 5. Графовое уравнение L (G) = G± + G2 имеет только такие
нетривиальные связанные решения:
G = Кт,п, G, = /Cm, G2 = Кп (т, п = 1, 2,...).
Доказательство. Пусть q, qlt q2 — наименьшие собственные
значения графов G, Glf G2. Ясно, что q = qx + q2. На основании
теоремы 6.11 имеем q ^ —2, а согласно теореме 0.13 для нетривиальных
графов Gx, G2 справедливы неравенства qlf q2 ^ —1. Отсюда следует,
что q = —2, qx = q2 = —1. Тогда согласно теореме 0.13 G± и G2
являются полными графами Кт и Кп и, значит, G является графом Кт,п-
(Дуб [Doo 11])
6. Адам [Adam] предложил следующую задачу: пусть М = {klt ...
..., km) — подмножество множества {1, ..., п) и Gn (kly ..., km) —
орграф с вершинами xlf ..., xnf в котором дуга следует из xt к xf тогда и
только тогда, когда существует элемент kt множества JUL такой, что
kt =з / — i (mod я). Достаточным условием изоморфизма двух таких
графов Gn (ku ..., kn) и Gn (k\t ..., kn) является существование числа
г (0 < г < я), простого относительно п, и перестановки а множества
237

{1, ..., п} такой, что k] = rka(t) (mod п) для 1 ^ / ^ m. Является ли
это достаточное условие также необходимым?
Используя теорему 6.10, Элспас и Тернер доказали, что это
предположение верно, если число вершин простое [ElTu]. Тот же
результат подобным образом был доказан Джоковичем [Djokl. В [ElTu]
приведены некоторые контрпримеры к предположению Адама, из которых
возникла новая задача, а именно: в каких случаях, за исключением п,
являющегося простым числом, данное предположение верно? В этой
же работе было показано, что данное предположение справедливо для
графов, имеющих неповторяющиеся собственные значения. Некоторые
достаточные условия для приведенного предположения даны в
[Djokl
Другие подобные задачи рассматривались в работе [Bab 1].
7. В § 3.2 было замечено, что det А = k (mod 2), где k — число
факторов в графе G, а А — матрица смежности графа G. Если k—
четное число, то det А = 0 (mod 2). Следовательно, векторы строк
матрицы Л при сложении по модулю 2 должны быть линейно зависимы.
Переводя это условие на матрицу смежности на языке теории графов,
получаем следующий результат [Lit И: граф G имеет четное число
факторов тогда и только тогда, когда существует непустое
подмножество if множества вершин графа G такое, что каждая вершина графа
G смежна с четным числом вершин подмножества У.
8. Седлачек [Sed 2] ставит такую задачу: существует ли граф G
такой, что сам граф и его дополнение, не являясь изоморфными,
имеют одинаковые числа остовных деревьев? Теперь на этот вопрос
можно ответить положительно. В гл. 6 приведены примеры
неизоморфных, но имеющих один и тот же епектр графов G и G. Поскольку число
остовных деревьев определяется с помощью спектра регулярных
графов, то получаем желаемый результат.
9. Пусть #п,т — множество графов, дополнения которых
содержат п вершин и т (т ^ п/2) ребер. G £ &п,т имеет наибольшее число
остовных деревьев среди всех графов из &п,т тогда и только тогда,
когда G = тКъ + (я — 2m) Ki- Соответствующим «минимальным»
графом является Ki,m + (п — т — 1) Кг- Другие относящиеся сюда
результаты получены с помощью функции В\, (G). Известны также
некоторые неравенства для числа остовных деревьев.
(Кельманс, Челноков [KeChl)
10. Показать, что граф квадратной решетки на поверхности тора,
описанный в § 2.6, имеет
тп j т—1 п—1
1 П П sin2 -2L + sin2-^-) , (t, /) ф (0, 0),
тп м /==0 [ т ^ п ) ' v ' "r v "
остовных деревьев.
(Цветкович [Cve 10])
11. Определим графы G и Н следующим образом. Множество
вершин графа G представляет собой объединение т (т ^ 3) попарно
непересекающихся подмножеств &и 6%, ..., 6^, каждое из которых
содержит п вершин. Каждая вершина подмножества 9\ смежна с каждой
238

вершиной подмножества ^/_1 и каждой вершиной подмножества Gi+U
где индекс берется по модулю т; других смежностей не существует.
2п вершин и п (п — 3) ребер графа Н реализуются посредством
соответственно вершин и внутренних диагоналей призмы с п гранями.
Найти числа остовных деревьев графов G и Н.
(Цветкович [Cve 10])
12. Показать, что графы Платоновых тел имеют следующие
сложности: / = 24 (тетраэдр); t = 27 • 3 (куб и октаэдр); t = 29 • З4 • 53
(икосаэдр и додекаэдр).
13. В качестве иллюстрации теоремы 3.27 рассмотрим ее
приложение к графам Р — 5-клетка и Q — 6-клетка (рис. 7.3). Р — это граф
Петерсена; Q — граф Хивуда,
который можно реализовать на
поверхности S тора без пересечений
ребер: Q делит S на семь
шестиугольных граней, любые две из
которых имеют в точности одно общее
граничное ребро.
Для регулярных графов степе- ** q
ни 3 с достаточно большим обхва- рИс. 7.3.
том числа Ес+2,с и £с+4,с,
определенные в доказательстве теоремы 3.27, удовлетворяют следующим
соотношениям:
Ec+2tC = т — 2с, Ес+4,с = -J- (т2 — (5 + 4с) т + 4с2 + 12с)),
где т — число ребер. Для тех же графов первыми значениями чисел
bQ являются:
Ьг = т9 Ь2 = -^- m (т — 5), b3 = -^- т (т2 — 15т + 58),
bi = -L.m(m* — 30m2 + 307m — 1086),
Ьъ = _*_ т (т4 — 50т3 + 995т2 — 8330т + 28 334)
(см. [Sac 5]).
Характеристический многочлен графа Р имеет следующие
коэффициенты (см. приложение, табл. 3):
аг = 0, а2 = — 15, а3 = 0, а4 = 75, аь = — 24, а6 = — 165, а7 =
= 120, а8 = 120, а9 = — 160, а10 = 48.
Так как m = —а2 = 15, получаем Ъг = 15, Ъ2 = 75, h3 — 145,
64 = 90 и ах = а2 = аг = а4 = 0, аб = — 24. Пусть Dt — число
простых циклов длины i. Согласно теореме 3.26 g = 5 и D5 = 12. На
основании (3.24) и (3.25) имеем
Ц, = - х (fle + 6з) = Ю, D7 = — -g- (fl7 - 2£7,5А>) = 0,
239

D8 = 2" a* + T b* + £8'6°б e 15»
D9 = 2" a9 — ^9,5 + £"9,7^7 = 20.
Полученные для графов P результаты гсредставим в таком виде:
/123456789
Dt 0 0 0 0 12 10 0 15 20
Характеристическим многочленом графа Q (см. приложение,
табл. 4) является
Ра (X) = ^14 — 2U12 + 168Я10 — 700Я8 + 1680Я6 — 2352Я4 + 1792Я2 —
— 576.
Аналогично предыдущему для графов Q получены следующие
результаты:
i 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ,13
Dt 0 0 0 0 0 28 0 21 0 84 0 ? О
(Захс [Sac 3])
14. Ранжировка 'участников кругового турнира может быть
произведена посредством собственного вектора, соответствующего
наибольшему положительному собственному значению подходящим
образом выбранного мультиорграфа. Если участниками турнира
являются игроки 1, 2, ..., п, то строим мультиорграфб с вершинами 1, 2,...
..., п, в котором для каждой пары игроков имеется в точности две
дуги, связывающие вершины i и /: 1) обе дуги направлены из i в / (из /
в 0, если i побеждает / (/ побеждает i)\ 2) одна дуга направлена из i
в / и другая — из / в /, если игра оканчивается вничью. Кроме того,
в каждой вершине графа G добавляется петля. Тогда число Nki
маршрутов длины k, начинающихся в вершине t, может быть принято за
силу порядка k игрока i. Относительная сила порядка k может быть
определена как
Есть основания считать, что действительная относительная сила
игрока выражается через lim S&. Как отмечено в § 3.5, вектор (S^,...
&-►+°°
..., Skn) стремится к собственному вектору, соответствующему
наибольшему положительному собственному значению графа G.
(Уэй [Wei, Вег 1])
15. Проверить, являются ли сильно регулярными следующие
графы:
Г NEP-сумма трех копий графа /С4 с базисом $ = {(1, 1, 0),
(1. 0, 1), (0, 1, 1)};
2° NEP-сумма четырех копий графа Кз с базисом, содержащим все
четверки с тремя единицами;
3° NEP-сумма пяти копий графа /С2 с базисом, содержащим все
пятерки с четырьмя единицами.
240

16. Для заданного р2 имеется лишь конечное множество возможных
pi таких, что существует регулярный два-граф со спектром {рь р2}.
Для р2 = —3 единственными возможностями для регулярного графа
являются следующие:
Pl= 1, 3, 5, 9, 21,
л = 4, 10, 16, 28, 64.
Для р2 = —5 имеем
Рх=1, 3, 5, 7, 15,19,25, 35, 55, 115,
п = 6, 16, 26, 36, 76, 96, 126, 176, 276,576.
(Зайдель [Sei 41)
17. Пусть (X, Д) —регулярный два-граф на п вершинах с
параметром а и спектром {рь р2}. Его дополнение (X, Х{3) \ А) является
регулярным два-графом с параметром п —2 —а и спектром {—р2,.
-Pii-
(Зайдель [Sei 4])
18. Собственные значения pi и р2 непустого и неполного
регулярного два-графа являются нечетными целыми числами, если рх + р2 Ф
Ф0.
(Зайдель [Sei 4])
19. Пусть (X, Д) —регулярный два-граф со спектром {рь р2} и
(X, &) — любой граф из его переключательного класса, имеющий
изолированную вершину х^Х. Тогда (X \ {*}, &) —сильно
регулярный граф с собственными значениями р0 = Pi + P2» Pi» Рг-
(Зайдель [Sei 4])
20. Система троек Штейнера порядка п состоит из -g- п (п—
^неупорядоченных троек из п символов таких, что каждая
неупорядоченная пара символов встречается точно в одной тройке. Известно, что
система троек Штейнера существует для всехп =s 1,3 (mod 6).
Определим граф Штейнера как граф, вершинами которого являются
тройки из системы троек Штейнера и в котором две вершины смежны
тогда и только тогда, когда соответствующие тройки имеют один общий
символ. Показать, что для п ^ 9 графы Штейнера сильно регулярны.
(Зайдель [Sei 31)
21. Латинский квадрат порядка п может быть определен как
множество из п2 упорядоченных троек из п символов такое, что для каждой
пары координат всякая упорядоченная пара символов встречается в
точности один раз. Вершинами графа латинского квадрата являются
указанные тройки, причем любые две из них смежны тогда и только
тогда, когда они имеют один общий символ. Показать, что для п ^ 3
все графы латинских квадратов сильно регулярны.
(Зайдель [Sei 3])
22. Пусть G — сильно регулярный граф се = /. Показать,
используя спектры, что /(2 X G — граф симметричной блок-схемы.
241

_ 23. Некоторые границы для собственных значений (—1, 1)-матриц
приведены в работах [Hof 20, Hof 21].
24. С-собственными значениями графа G — Gx + G2 являются
суммы С-собственных значений графов Gt и G2, которые позволяют
вычислить сложность t (G) с помощью предложения 1.3. Таким образом, на-
г рлмер, может быть вычислена сложность графа квадратной решетки,
о котором шла речь в § 2.6 (с. 77).
(Креверас [Kjew])
25. Если п — положительное целое число и N — k {k — l)n~ ,
то цикл аь ..., un, at Ф а1+ь i = 1, 2, ..., N — 1, йх Ф а#,
составленный из k символов, называется последовательностью де Брёйна с
ограничениями (полным циклом), если подпоследовательности
a^+i ... сц^-п-и *=1, 2, ..., N,
состоят из всех возможных N — k (k — I)""""1 упорядоченных
последовательностей bx ... bn из k символов. Используя спектр графа Гуда —
де Брёйна (см. определение в § 1.9, п. 16), показать, что для всякого
положительного целого числа п существует точно kk~~2 (k — l)|/(*~~n х
(k — i)-(n+*-2> последовательностей де Брёйна с ограничениями,
составленных из k символов.
(Строк [Стр 2]; Кратко, Строк [КрСт])
26. Пусть С — случайный орграф с множеством вершин V, | V \ —
— п, с равными вероятностями выбираемый из класса 9Л (гь ..., zm)
орграфов, состоящих из непересекающихся наборов простых контуров,
длины которых zlf ..., zm\ S — случайное разбиение, с равными
вероятностями выбираемое из класса 9t (sb ..., sr) разбиений множества V,
Vx U V2 U ... U Vr = V, Vt П V, = 0 для всех I Фи\Уь\= si9
i = 1, 2, ..., г. Пусть, далее, » = & (С, S), С £ <ЗЛ (zlf ..., гт), S £
€ У1 (sb ..., sr),— случайный (С, 5)-орграф, получающийся в
результате отождествления вершин орграфа С, принадлежащих одному и
тому же блоку разбиения S; G — эйлеров орграф порядка г, полусту-
г
пень исхода t-й вершины которого равна st- = $] &/ (&*/ — число дуг в
/=i
о, идущих из вершины t в вершину /), е (G) — число эйлеровых
контуров в G.
Используя спектральный метод, показать, что если С выбирается
из класса 9Л(п), a S^^lfa, ..., sr), где st-= &, i= 1, 2, ..., r(r =
= kn, k£N), то вероятность того, что в результате отождествления
вершин орграфа С, принадлежащих одному и тому же блоку
разбиения S, получится граф Гуда —де Брёйна Gk,n (см. § 1.9, п. 16), равна:
P{<& = Gktn} = k\2kn{kn+x\rx.
Аналогично для графов Гуда — де Брёйна с ограничениями G*ktn
<Cg^(M), S£9t* (sx, ..., sr), где st=k — 1, i = 1, 2, ..., rt при
r=k(k— l)"""1) имеем
P {» = Cm) = **~2 (ft - l)!2^""1 {(<* - 1)! (ft - \)n+*-l}-\
242

где с= k(k—- 1).
Приведенные утверждения следуют из более общего результата:
если С £ <ЭЛ (?!, ..., zj, S £ 9? (sx, ..., sr), a G = G (X, У) —
определенный выше эйлеров орграф порядка г, то
Р {<& = G} = (я!)-1 П s,! f 2 П Zfe (Gf) f fl fce/ (/)ll ');
суммирование производится по всем разбиениям орграфа G(X, Y) =
= U G,(X,, У/), I ^ I = г,, Y, Л У, = 0 при /gfc /, где G,(X,, Г,), / =
= 1, 2, ..., /и, — эйлеров орграф.
(Строк [Стр 2]>

ГЛАВА 8
ПРИЛОЖЕНИЯ В ХИМИИ И ФИЗИКЕ
В гл. 7 спектры графов применялись для доказательства многих
теорем, не содержащих каких-либо утверждений относительно самих
спектров.
В настоящей главе описываются приложения, в которых спектры
имеют важное самостоятельное значение (так, собственные значения
графа интерпретируются и как энергетические уровни электрона в
молекуле и как возможные частоты звучания колеблющейся мембраны).
Кроме того, приводится несколько теорем типа рассмотренных в
предыдущих главах.
Описание самих химических и физических моделей, при котором
применяются спектры графов, в данной книге не детализируется, так
как она носит математический характер. Читатели, желающие более
глубоко ознакомиться с некоторыми фактами из химии или физики,
отсылаются к соответствующей литературе. Что касается теории Хюк-
келя, то она излагается * главным образом в соответствии с работой
iMcWSl.
§ 8.1. Теория Хюккеля
Согласно квантовой теории свойства микрообъектов (электронов,
атомов, молекул) в стационарном состоянии описываются волновыми
функциями "ЧР, являющимися решениями уравнения Шредингера
^ а.
НЧ? = £^Р, в котором Н — энергетический оператор, а Е — энергия
/ч
рассматриваемого объекта. Энергетический оператор Н для частицы,
называемый также оператором Гамильтона или гамильтонианом,
имеет вид
л h2 I д2 , д2 . д2 \ , т// ч
где Й — постоянная Планка, т — масса частицы, а V (х, у> z) —
потенциальная энергия частицы, зависящая от пространственных
координат. Комплексная функция W также зависит от координат дс, г/, г, а
величина ЧЧ? = | "ЧР |2 представляет собой плотность вероятности:
* Современное состояние вопросов, относящихся к теории Хюккеля, освещено
также в обзоре Тринайстича [Tri 2]. Изложение идей «химической топологии» можно
найти в книге Дмитриева [Дми 2].— Прим. перев.
244

I Y |2 dx — вероятность нахождения данной частицы в элементарном
объеме dx.
Для системы п частиц оператор Гамильтона принимает вид
°2 i °2 i °2 \ i т/ / \
э"Т "Т" "ту "г "ТТ I "т~ ^ l*i> Уъ zi> — > #л> Ул» 2л)»
где xf, yf, г£ — координаты, a mt — масса t-й частицы. Более точное
описание требует рассмотрения релятивистских эффектов и введения
в уравнение координат спина, однако в настоящей книге эти вопросы
не затрагиваются.
Для сложных многоэлектронных систем (таких, как молекулы)
уравнение Шредингера, как правило, не может быть решено в
замкнутой форме и поэтому ищутся при- н
ближенные решения. Так, для не- |
которого ряда соединений углерода ^\
и водорода, например сопряжен- Н—-С С—С—Н
ных углеводородов, ситуация за- ,. 1 1! Д и
ключается в следующем. м ^Сг
Валентность углерода равна 4, i
т. е. атом углерода образует связь ц
с ближайшими соседними атомами рис 8 {
в молекуле, используя для этого
4 электрона. В данном ряду, указанных выше соединений 3 из этих
электронов (называемых о-электронами, потому что они
симметричны относительно отображения в плоскости молекулы) образуют
локализованные связи с другими атомами углерода и атомами водорода
(валентность водорода равна 1). Четвертый электрон (который
антисимметричен относительно отражения в плоскости молекулы и
называется п-электроном) может образовать связи с л-электронами других
атомов углерода, так что в обычном графическом представлении
молекулы (т. е. в виде структурной формулы) между некоторыми атомами
углерода могут иметь место двойные связи (рис. 8.1). Согласно
квантовой теории эти л-электроны не локализуются в отдельных атомах
углерода (или в связях между двумя атомами углерода), как это
происходит в случае а-электронов, а делокализуются по всему скелету
молекулы, образованному углерод-углеродными а-связями атомов
углерода. Скелет молекулы может быть представлен естественным
образом с помощью неориентированного графа без петель и кратных ребер,
как показано на рис. 8.1.
Вершины графа, связанного с заданной молекулой, находятся во
взаимно-однозначном соответствии с атомами углерода
углеводородной системы. Две вершины в графе смежны тогда и только тогда,
когда между соответствующими атомами углерода существует а-электрон-
ная связь.
Пусть молекула имеет п атомов углерода и Xf {] = 1,...,л)
—волновая функция, описывающая р-электрон * /-го атома углерода,
* Электрон изолированного атома углерода, становящийся электроном я-сим-
метрии, когда этот атом принадлежит сопряженной молекуле, в орбитали
обозначается через 2р (подробности см. в работе [McWSJ).
245

рассматриваемого вначале изолированно от других атомов в молекуле.
Функции Ху называются (2рг)-атомными орбиталями. Пусть Wt
(i = 1, ..., п) —волновые функции, описывающие полную я-электрон-
ную систему в молекуле и продолжающиеся на весь скелет молекулы,
образованный атомами углерода (так называемые молекулярные орби-
тали).
Обычным приближением, применяемым в квантовой химии,
является метод ЛКАО-МО (линейная комбинация татомные орбитали —
молекулярная орбиталь»). В этом приближении молекулярные
орбитали должны иметь вид
V, = |ОД (/=1, ..., п),
причем коэффициенты dt должны быть выбраны так, чтобы энергия
л-электрона
достигала своего минимального значения (интегрирование в
приведенном выше выражении производится по всем координатам и всему
пространству). Начиная с условий
-ЩГ = ° 0"= 1» •••> л),
переходим к характеристическому уравнению, или, как оно еще
часто называется в химической литературе, секулярному уравнению
det(ff — fiS) = 0,
где Я = {htjfx и S = (stjfl с Нц = J Х/ЯХ/dx и sif = { x^/dx.
Собственные значения приведенной выше задачи представляют
собой возможные значения для энергии я-электронов, а координаты
соответствующих собственных векторов определяют молекулярные
орбитали, характеризуемые этими энергиями (дальнейшие подробности
можно найти, например, в работе [McWS]).
Для сопряженных углеводородов обычно используются следующие
приближения:
Я = а/ + Р4, S = I + oA,
где А — матрица смежности графа, представляющего собой скелет,
который образован связями атомов углерода, составляющих заданную
сопряженную систему *; / — единичная матрица, а а, р, а —
константы, которые принимаются известными. Эти приближения образуют
основу так называемой теории Хюккеля ([Htick] является пионерской
работой Хюккеля в этой области).
Спектр соответствующего графа, несомненно, порождает простые
алгебраические соотношения для множества возможных энергетиче-
* Атом водорода в подобных графических моделях сопряженных систем не при*
нимается во внимание.— Прим. перев.
246

ских уровней я-электрона. Если X — собственное значение из спектра
рассматриваемого молекулярного графа, а £ — энергия
соответствующей молекулярной орбитали, то
— Х = (а — Е)/ф — Ео).
Таким образом, задача определения значений энергий
молекулярных орбиталей сводится к определению спектра соответствующего
молекулярного графа. Поскольку Я и А перестановочны, то —
аналогично — они имеют одинаковые собственные векторы и поэтому
весовые коэффициенты атомных орбиталей в заданной молекулярной
орбитали просто являются координатами соответствующих собственных
векторов матрицы А.
Хотя введенные выше приближения весьма грубы и им трудно
придать строгое теоретическое обоснование, однако они согласуются с
экспериментальными данными и результаты, получаемые с их помощью,
часто лучше тех, которые дает метод вычислений, требующий меньше
приближений (см., например, [HeSc]).
Несмотря на то что существующая связь между теорией Хюккеля
и теорией спектров графа была подмечена еще в работе [GiiPr] (см.
также [CvG 11), длительное время она не получала должной оценки.
Совсем недавно группа химиков и физиков (при участии математиков)
исследовала эту связь в ряде работ (см. статьи Гутмана).
Приведем краткий перечень соответствующих терминов из химии
и физики и теории графов:
граф сопряженный углеводород, сопряженный по-
лиен, ароматический углеводород (т. е.
скелет их а-электронных углерод-углеродных
связей)
вершина атом углерода
ребро связь
степень вершины, валентность валентность
матрица смежности топологическая матрица, матрица Хюккеля
характеристическое уравнение секулярное уравнение
двудольный граф алыпернантный углеводород
цикл с N вершинами [Щ-аннулен
Таким образом, теория спектров графов имеет красивое
приложение в химии. Графы, представляющие интерес в химии (т. е.
молекулярные графы, рассматриваемые в теории сопряженных
углеводородов), принадлежат к достаточно ограниченному классу графов.
Назовем некоторые из этих классов. Все рассматриваемые графы являются
связными плоскими графами, у которых максимальная степень
вершины равна 3. К тому же в большинстве случаев молекулярные графы
должны быть такими, чтобы их можно было представить в плоскости
следующим образом! все ребра должны быть приблизительно
одинаковой длины, а угол, образованный двумя ребрами с общей вершиной,
должен составлять около 2л/3. Отсюда видно, почему треугольники
в химических графах редки, в то время как простые циклы, длина
которых больше или равна 4, появляются чаще. Регулярные графы,
однако, возникают весьма редко, и, следовательно, многие теоремы,
справедливые для регулярных графов, не находят особых применений в
247

элементарной молекулярной теории орбиталей. Тем не менее,
множество графов, представляющих интерес в этом смысле, достаточно["вели-
ко, что позволяет изложить многие нетривиальные задачи на языке
теории графов.
Основной проблемой теории Хюккеля является определение
собственных значений и собственных векторов графа, описывающего
связи атомов в заданной сопряженной системе, а также вычисление на
основе этих величин других неизвестных, представляющих интерес
в химии. Следовательно, заслуживают внимания любые методы опре^
деления спектров графов (численные, а также другие, позволяющие
получать формулы для собственных значений как функции некоторых
параметров графа). На практике химики используют счетно-решаю-
ег
q<G2) = 2
N
Рис. 8.3.
щие устройства, обширные таблицы спектров графов (см. приложение),
а также вычисления вручную, при которых важную роль играет вопрос
факторизации характеристических многочленов с применением групп
симметрии (автоморфизмов) рассматриваемого графа (см. гл. 5).
В работе [GrGTZ] теорема 1.3 была использована для вывода всех
важных фактов, известных в теории Хюккеля, с помощью
формального теоретико-графового подхода. Теорема 3.11 играет в химии важную
роль; химики называют ее теоремой парности Коулсона и Рашбрука.
Ниже рассматриваются некоторые интересные математические
задачи, связанные с теорией Хюккеля.
1°. В работе [CoSi 1] Коллац и Синоговиц поставили задачу харак-
теризации всех графов, в спектре которых содержится нуль. Этот
вопрос представляет значительный интерес в химии, потому что, как
было показано в [Long], наличие нуля в спектре двудольного графа
(соответствующего альтернантному углеводороду) указывает на
химическую неустойчивость молекулы, представляемой таким графом.
Кроме того, данный вопрос интересен также для неальтернантных
углеводородов (недвудольных графов), однако непосредственная связь
указанного свойства графа с химической устойчивостью молекулы в
этом случае не так проста.
Упомянутая задача до настоящего времени полностью не решена, но
известны некоторые частные результаты [CvGT 1, CvG 1]. Мы
рассмотрим только двудольные графы, хотя некоторые из подробно
рассматриваемых ниже теорем могут быть обобщены и на случай
недвудольных графов [CvGT 6]
Пусть г] (G) — алгебраическая кратность собственного значения О
в спектре графа G (двудольного). Задача заключается в выявлении
связи между строением графа и числом ц (G). По-видимому, эта связь
может быть выражена множеством правил, с помощью которых можно
248

будет (после конечного числа шагов) определить ч\ (G). Однако это
не простая задача. Например, ц (G) не определяется множеством
степеней вершин графа G (рис. 8.2). Для некоторых классов двудольных
графов спектр известен и, следовательно, известно число ц (G) (см.
§ 2.6).
Для четных простых циклов C2i ц(С21) = 1 + (— 1) > а для
простой цепи Рп кратность ц(Рп) = -^-(l — (— 1)").
Граф G с 2N + 2 вершинами, изображенный на рис. 8.3, имеет
следующие собственные значения:
1, ^1 и 4-(±l±]/9 + 8coSli), /=l,...,tf,
при этом должны быть рассмотрены все четыре сочетания знаков
([Сои 1, Hei 3, Ruth]. Таким образом, ч\ (G) = 0.
Для некоторых специальных классов двудольных графов имеется
возможность относительно легко установить связь между строением
графа G и числом ц (G). Для деревьев задача решается следующей
теоремой [CvG 1].
Теорема 8.1. Если q — максимальное число взаимно несмежных
ребер дерева G, имеющего п вершин, то r\ (G) = п — 2q.
Эта теорема является прямым следствием утверждения,
касающегося коэффициентов характеристического многочлена матрицы
смежности дерева (см. предложение 1.1, а также теорему 8.14).
Рассматриваемая задача может быть сведена к другой задаче,
имеющей решение в частных случаях.
Ясно, что вершины двудольного графа можно занумеровать так,
чтобы матрица смежности имела вид
л = (*т о) <8Л>
(на главной диагонали находятся квадратные нулевые матрицы).
Матрица В есть «матрица инциденций» между двумя множествами X и У
вершин двудольного графа G = (X, У; 4L) (U — множество ребер).
Теорема 8.2. Для двудольного графа Gen вершинами и матрицей
инциденций В ц (G) = п — 2гк В.
Эта простая теорема была доказана в работе [Long].
Так как для G = (X, У\ U) vkB^m'm(\X\f \У\), то из
теоремы 8.2 вытекает
Следствие. r](G)> max (| Х\, \ У \) — min( | Х\, \У \).
Если число вершин п нечетное, то | X \ Ф \ У | и т) (G) > 0.
Таким образом, необходимым условием устойчивости молекулы (т. е.
отсутствия нулей в спектре) является то, что она должна иметь четное
число атомов.
В дальнейшем рассмотрении будем использовать следующее
замечание. Квадрат * G{2} графа G есть граф, определенный на том же
множестве вершин, что и G, и обладающий следующим свойством: две
* См. § 7.4, с. 221; в § 2.1 дано иное определение квадрата графа.
249

вершины в G*2> смежны тогда и только тогда, когда в G существует
по крайней мере одна простая цепь длины 2, соединяющая эти две
вершины.
Следует отметить, что квадрат связного графа G — (X, У\ 41)
имеет две компоненты, соответствующие множествам X и У (см. § 7.4,
с. 221, в частности, теорему 7.17).
Теорема 8.3. Пусть G = (X, У; U) с \ X | = nlt \ У \ = п2 —
связный двудольный граф и Н — компонента графа G{2\
соответствующая множеству X. Если все вершины множества У имеют степень
2, то
\п2 — пг + 2, если Н — двудольный граф,
\л2 — пх в других случаях.
Согласно теореме 8.2 доказательство этой теоремы (которая
упоминалась в работе [CvG 1]) сводится к определению ранга матрицы В.
Способом, аналогичным доказательству теоремы 4 в [Sac 8] (см. § 3.6,
п. 16), можно легко доказать, что гк В — пх — 1, если Н —
двудольный граф, и гк В = пг в противном случае.
Следствие. Пусть G — граф, имеющий п вершин и т ребер, и
S (G) — его граф подразбиения (см. § 0.2). Тогда т| (S (G)) = т — п +
+ 2, если G двудолен, и ц (S (G)) = т — п в других случаях.
Следующие три теоремы [CvG 1, CvGT 1] дают возможность в
частных случаях свести задачу определения т] (G) для некоторых графов к
такой же задаче для более простых графов.
Теорема 8.4 (Цветкович, Гутман [CvG 1]). Пусть Gx =
«(Я?!, Уг; Ut) и G2 = (X21 У2\ 1£2), где \Хх\^пъ 13/х | = «я,
пг^.п2 и t](G1) = m2 — nv Если граф G получен из Gx и G2
произвольным соединением вершин из а?, с вершинами из У2 (илиХ2), то
справедливо соотношение ч\ (G) = r\ (Gx) + Л (G2).
Доказательство. Пусть В19 В2, В — матрицы инциден-
ций графов Gl9 G2, G. Можно предположить, что
где Вг — пг X я2-матрица, О — нулевая матрица, а М —
произвольная матрица со значениями элементов из множества {0, 1}.
Из ц (Gj) = п2 — пх имеем гк Вх = пх; таким образом, Вг
содержит пг линейно независимых столбцов. Поэтому каждый столбец
матрицы М может быть представлен как линейная комбинация упомянутых
выше столбцов матрицы Вх. Следовательно, матрица В с помощью
операций, не изменяющих ранга, может быть приведена к виду
откуда гк В = гк Вх -f~ гк В2 и теорема 8.2 в этом случае дает т) (G) =
И Л{Од + Ъ(02).
250

Следствие 1. Если двудольный граф G содержит вершину степени 1,
а порожденный подграф Я графа G получен в результате удаления как
этой, так и смежных с ней вершин, то справедливо соотношение
Л (G) = Л (Я).
Это следствие доказывается таким образом. Рассмотрим в качестве
Gx полный граф на двух вершинах и в качестве G2 — граф Я. Подобный
способ удаления вершин и > # «__* ч
вЯ
ребер из графа согласно
[Вах 2] называется
демонтажем графа. В этой же
работе описываются
некоторые особенности такой
процедуры.
Следствие 2. Пусть Gx
и G2 — двудольные графы.
Если т] (Gx) = 0, а граф G
получен в результате
соединения ребром произвольной
вершины графа Gx с
произвольной вершиной графа G2,
то справедливо
соотношение г] (G) = т] (G2).
Пример 1 (рис. 8.4).
Теорема 8.5 (Цветкович, Гутман, Тринайстич [CvGT 1]). Значение
кратности r\ (G) двудольного графа G не изменится, если в нем простую
цепь с четырьмя вершинами валентности 2 заменить ребром (рис. 8.5).
= 1+1+0—2
Рис. 8.4.
«СГЛМ*-*)
Рис. 8.5. Рис. 8.6.
Доказательство. Матрица В, содержащаяся в матрице (8.1)
в этом случае имеет вид
Б =
Следовательно,
(1
1
о
0
•
[о
1
0
1
0
•
0
0
1
0
с
0 ... 0
0 ... 0
1»
1
!
1
| В"
1
1
гкВ = 2 + гк
1 \Ъ
сТВ"
откуда, используя теорему 8.2, можно доказать теорему 8.5.
251

Теорема 8.6 (Цветкович, Гутман, Тринайстич [CvGT 11). Значение
кратности т] (G) двудольного графа G не изменится, если удалить из
него две вершины и четыре ребра простого цикла длины 4 так, как это
показано на рис. 8.6.
-<(пКЬ
Рис. 8.7.
Доказательство подобно предыдущему и основывается
на том факте, что
1!
гк В = гк \
О ... О
Ь
В"
-1+H.I4&,.
. 0| | ,
где В и последняя матрица являются матрицами инциденций
прежнего графа и соответственно графа, получившегося в результате при-
менения процедуры сведения.
Пример 2 (рис. 8.7).
Некоторые задачи, подобные описанным выше, рассматриваются
в § 8.2 (см. также работы [Zivk, CvGT 5, CvGT 6]). Следует
отметить, что следствие 1 из теоремы 8.4, а также теоремы 8.5 и 8.6
справедливы и в том случае, когда G не является двудольным графом [Gut
10, CvGT 61.
2°. Значительный интерес в теории Хюккеля представляет
величина, являющаяся суммой энергий всех электронов в молекуле, т. е.
так называемая полная п-электронная энергия Еп. Электроны
заселяют те молекулярные орбитали, которые соответствуют наибольшим
собственным значениям (принцип максимума энергии). Но согласно
принципу Паули орбиталь может быть заполнена самое большее
двумя электронами. Следовательно, для молекулы с п атомами (п —
число четное) можно определить полную л-электронную энергию как *
л/2
Ел = 2 2j hi-
* Следует отметить, что справедливость этого рассуждения зависит от того,
верен ли принцип заполнения Паули, требующий, чтобы все молекулярные орбитали бы-
252

Для двудольного графа вследствие симметрии спектра можно за*
писать
1=1
За исключением некоторых неравенств и эмпирических правил и фор»
мул, другие результаты относительно зависимости полной я-электрон-
ной энергии от структуры графа неизвестны. Установим теперь верх-
нюю и нижнюю границы для Ел.
Теорема 8.7 (Мак-Клелланд [МсС 1]). Пусть G — двудольный граф
с п вершинами, т ребрами, матрицей смежности А и полной п-элек-
тронной энергией Ел. Тогда справедливо следующее соотношение:
Vim + п(п — 1) | det А \2/п < Ея^УШп. (8.2)
Доказательство. Верхняя граница получается из хорошо
известного неравенства
п
с использованием соотношения V] kf = 2m. С помощью неравенства
между алгебраическим и геометрическим средним находим
Теперь, используя соотношения
П|Х,| = |(1еМ|
i=i
и
получаем нижнюю границу, что и завершает доказательство теоремы.
Смысл определителя det А для двудольных графов будет раскрыт
в следующем параграфе.
Последняя теорема показывает, что полная л-электронная энергия
зависит в некоторой степени от числа вершин и ребер. Однако
существует много графов с одним и тем же числом вершин и одинаковым
числом ребер, но имеющих различную энергию. Результаты
наблюдений показали, что при простых циклах длины 4s + 2, являющихся
границами граней в плоских графах, энергия увеличивается, в то
время как при таких же циклах длины 4s она уменьшается. Эти эмпири-
ли заняты парой электронов. Однако это не всегда так: принцип заполнения иногда?
приводит к орбиталям, занятым одиночным электроном.
25а

ческие правила объясняются в статье Гутмана и Тринайстича IGuT 10].
Некоторые приближенные формулы для Ел приведены в работах (СтТ1,
СтТ 2, GuT 1, GuTW, WiGT, HoHG, GrGT 1, GrGT 2, Gut 11].
Улучшенные границы Мак-Клелланда для Ел приведены в работе
[Gut 2]. Опыт химиков показывает, что среди всех деревьев с
фиксированным числом вершин простая цепь имеет максимальное значение
полной л-электронной энергии. Доказано это утверждение было лишь
недавно [Gut 9, Gut 12] *.
3°. Пусть Сц (/ = 1, ..., п) — координаты собственного вектора,
соответствующего собственному значению Xit и g( — число электронов
в t-й молекулярной орбитали. Матрица Р = (рц)1, где
п
А/ = S ekCkiCkj,
k=i
называется матрицей зарядов и порядков связей Коулсона или матрицей
плотности. Если индексы i и / соответствуют двум смежным вершинам,
то порядок связи рц весьма близок к расстоянию между двумя
соответствующими атомами. Величина рц представляет заряд я-электрона t-ro
атома. Если вершины i и / не смежны, то величина рц в физическом
значении менее важна; она может быть связана с устойчивостью
некоторых молекулярных систем.
Для двудольных графов с п вершинами (п четное) можно записать **
Рц = 2 2j CkiCkf.
k=\
Снова возникает задача: каким образом Р зависит от структуры
графа?
Для двудольных графов (X, У; 41) с | X \ = \ У \ матрица Р
имеет вид
(см. [HeSt]), где У — единичная матрица, a R — матрица, которая
может быть вычислена из матрицы смежности [Ha,G, CoRu].
Кроме того, можно показать, что
£я = 2 %рг$,
(r.s)
где суммирование проводится по всем ребрам (г, s) рассматриваемого
графа.
§ 8.2. Графы, связанные с бензоидными углеводородами
Пусть Н — двудольный орграф. Я не содержит контуров нечетной
длины и любой остовный линейный ориентированный подграф
орграфа Я, если только он существует, также не содержит контуров
нечетной длины.
* О дальнейших ссылках см. /. Gutman. Total pi-electron energy and molecular
topology (bibliography).—MATCH, 1978, N 4, p. 195—200.
** См. примечание на с. 252.
254

Пусть вершины орграфа Я обычным образом раскрашены в два
цвета. Необходимым условием существования остовного линейного
ориентированного подграфа Я является следующее: Я должен содержать
одинаковое число вершин каждого цвета. В дальнейшем обычно
будут рассматриваться такие двудольные орграфы (или графы) с п =
= 2v вершинами, v из которых окрашены, скажем, в красный цвет и
v остальных — в синий. Будем говорить, что такой орграф (или граф)
имеет v + v вершин.
Остовный ориентированный подграф орграфа Я, в котором в
точности одна дуга начинается в каждой красной (синей) вершине и в
точности одна дуга оканчивается в каждой синей (красной) вершине,
называется красным (синим) разделением.
Каждый остовный линейный ориентированный подграф орграфа
Я единственным образом может быть представлен как объединение
одного красного и одного синего разделения. И обратно: объединение
одного красного и одного синего разделения дает остовный линейный
ориентированный подграф орграфа Я [GuT 6].
Если sx — число красных, a s2 — число синих разделений в Я, та
согласно предыдущему число остовных линейных ориентированных
подграфов орграфа Я равно s^. Из формулы (1.40) получаем
следующее соотношение для перманента матрицы смежности А орграфа Я:
per А = s^. (8.3)
Пусть G двудольный граф (неориентированный) с п = v + v
вершинами. Регулярный остовный подграф графа G степени 1 называется
l-фактором (или просто фактором) графа G. Число факторов будем
обозначать через k.
Орграф Я, полученный из G при замене каждого ребра графа G
двумя ориентированными ребрами противоположной ориентации
между одной и той же парой вершин, может быть поставлен в соответствие
G. Очевидно, каждому фактору графа G соответствуют в точности одно
красное и в точности одно синее разделения в Я. Поэтому sx = s2 —
= k. Так как матрицы смежности графов G и Я равны, то формула (8.3)
принимает вид
per А = k2. (8.4)
Эта формула хорошо известна (см., например, Юге]); обобщение ее
для недвудольных графов было дано в работе [CvGT 21.
Пусть в орграфе Н красные вершины занумерованы числами 1,...
..., v, а синие — числами v + 1, ..., 2v. Красное разделение орграфа
Я может быть представлено как перестановка jl9 ...,/v чисел v + 1,...
..., 2v (/у, ..., /v означают синие вершины, являющиеся концами дуг,
начинающихся в красных вершинах 1, ...,v). Подобным образом синее
разделение может быть представлено перестановкой il9..., /v чисел 1,...
..., v.
Рассмотрим остовный линейный ориентированный подграф
орграфа Я, полученный в результате объединения красного /х, ..., /v и
синего ilt ..., j'v разделений. Знак члена в разложении определителя det А
(см. (1.42)'), соответствующего рассматриваемому линейному ориен~
255

тированному подграфу, может быть определен на основании числа
инверсий в перестановке
/i» • • •» /v, *i, ...» iv. (8.5)
Ясно, что числа /lf ..., /v образуют с числами il9 ..., iv v2 инверсий.
Если /и/ — числа инверсий соответственно в перестановках /1э ..., /v
л t\, ..., /v, то число инверсий в перестановке (8.5) равно i + / + v2.
Тогда знаком члена в разложении определителя det Л,
соответствующего рассматриваемому линейному ориентированному подграфу,
является (—l)f'+''+v, так как v2 и v сравнимы по модулю 2. Величины
(—I)1 и (—1)' будем называть четностью соответственно синего и
красного разделений.
Пусть К — фактор графа G, a R и В — соответствующие красное
и синее разделения в Н. Пусть, далее, par X — четность разделения
X. Легко показать, что par R = par В. Четность par К фактора К
определяется соотношением
par К = par R = par В.
Лемма 8.1. Для двудольного графа G с п = v + v вершинами и
матрицей смежности А
deM = (-l)v J (_ 1)^>2с(1/), (8.6)
с/сс
где г ((/) = г — число простых циклов длины 4s (s = 1, 2, ...), а с ([/) —
обцее «^^ло простых циклов всех типов, содержащихся в U; подграф U
пробегает все остальные базисные фигуры графа G.
Доказательство. Для того чтобы из (1.42)" установить
(8.6), необходимо (и достаточно) доказать, что (—l)2v+p(t/) = (—i)v+'<^
т. е. что р (U) = v + г (U) (mod 2) для каждой базисной фигуры U.
Пусть для отдельной базисной фигуры U q (U) = q — общее число
простых циклов длин 4s + 2 (s = 1, 2, ...) и графов /С2 в £/, a 4/t- + 2
(i = 0, 1, ..., q) — числа вершин, содержащихся в этих простых
циклах и графах /С2. Если 4st- (i = 1, ..., г) являются длинами других
простых циклов в Uу то
S («< + 2) + S ^i = 2v;
■=i i=i
2 2 ** + q + 2 S st = v;
i=l t=l
<7 = v (mod 2).
Поскольку p(U) = q(U) +r(U)f то p (£/) s v + r (U) (mod 2), что и
нужно было доказать.
Следует отметить, что соответствующая формула для двудольного
орграфа Н имеет вид
deM = (-l)v £ (-1)'(L), (8.7)
£.СЯ
256

где суммирование проводится по всем остовным линейным
ориентированным подграфам L орграфа Я с г (L), равным числу контуров
длины 4s в L (s = 1, 2, ...)
Теорема 8.8 (Граовац, Гутман, Тринайстич, Живкович [GrGTZ]).
В двудольном графе G два фактора, К\ и К2> являются факторами
с одинаковой четностью тогда и только тогда, когда объединение
множеств ребер факторов К\ и /С2 образует четное число простых
циклов длины 4s (s = 1,2, ...).
Доказательство. Вместе с факторами К\ и /С2 рассмотрим
соответствующие красное и синее разделения Rlt R2 и Ви В2. Пусть
par /?j = par /Ci = (— 1)' и par B2 = par K2 = (—!)'• Знак члена в
разложении определителя det Л, соответствующего линейному
подграфу Rx U 52, равен (—l)f+/+v. Сопоставляя это с (8.7), видим, что
i + j = г (/?! U В2) (mod 2). Таким образом, К\ и К2 обладают
одинаковой четностью тогда и только тогда, когда число контуров длины
4s (s = 1, 2, ...) в линейном подграфе R± [} В2 является четным. Отсюда
сразу же следует утверждение теоремы.
Согласно этой теореме свойство двух факторов «обладать
одинаковой четностью» не зависит ни от разметки вершин, ни от выбора красок
при раскрашивании графа. Это бинарное отношение является
отношением эквивалентности и естественным образом индуцирует разбиение
множества факторов на два класса эквивалентности. Однако четность
фактора зависит от разметки вершин, в чем можно убедиться на
примерах.
Пусть &_|- и k— — числа факторов соответственно с положительной
и отрицательной четностью в двудольном графе G с v + v вершинами,
матрицей смежности которого является матрица А.
Теорема 8.9 (Дьюар, Лонге-Хиггинс [DeLo]).
det Л = (— l)v (k+ — k-f.
Доказательство. Как уже было установлено, (—1)г(/^иВ/) =
= par R{ par Bj. Поэтому (8.7) принимает вид
det Л = (— l)v I] 2(_l)f«^B/)e
k к
= (- Dv t par Rt • t par Bf = (- l)v (k+ - kJ)\
Значение определителя матрицы смежности, разумеется, не зависит
от разметки вершин — факт, который снова подтверждается этой
формулой.
В предыдущем параграфе была рассмотрена задача определения
числа т] (G) для двудольного графа G. Покажем, что число ц тесно
связано с числом факторов £, содержащихся в G и его подграфах.
Если граф G не содержит фактора, т. е. если k = О (k+ = £_ = 0),
то из последней теоремы следует, что det А = 0, т. е. r\ (G) > 0.
Результатом этого замечания является
Теорема 8.10 (Лонге-Хиггинс [Long]). Если G— двудольный
связный граф с т] (G) = 0, то G имеет фактор.
9 3-476
257

Если, однако, ИфО, то равенство r\ (G) — О не всегда справедливо,
так как согласно теореме 8.9 возможен случай, когда k+ = &_ (Ф 0),
a det А = 0.
Теперь определим класс графов (будем называть его классом Л),
в котором для каждого G справедлива импликация k Ф 0 =£> r\ (G) --
= 0. Этот классе графов, весьма важных для химии, определим таким
образом, чтобы все факторы графа, принадлежащего построенному
классу, имели одинаковую четность (скажем, положительную). Тогда
£_ = 0, fe+ = k и det А = (—l)v£2.
Прежде чем переходить к определению класса Л, введем понятия,
которые понадобятся в последующем рассмотрении. Граф, вложенный
в плоскость таким образом, что ни одна пара его ребер не пересекается,
называется плоским. Граф называется планарным, если он изоморфен
некоторому плоскому графу. Плоский граф делит плоскость на одну
бесконечную область и несколько конечных. Конечные области будем
называть гранями. Вершины графа, расположенные на границе
бесконечной области, называются периферийными.
Для того чтобы определить класс сД, рассмотрим сначала плоские
графы без мостов и точек сочленения, которые могут быть
представлены в плоскости (без пересечения ребер) так, что каждая граница
грани будет простым циклом длины 4s + 2 (s £ Ж) *. В дальнейшем
будем всегда предполагать, что эти графы вложены в плоскость
указанным образом.
Описанные выше графы и все деревья принадлежат классу Л.
Все другие графы класса Л получаются из указанных выше графов
при применении конечного числа следующих двух операций:
1° два графа из Л соединяются ребром между двумя
периферийными вершинами этих графов так, что образуется мост;
2° две периферийные вершины различных графов (или различных
копий одного и того же графа) из Л отождествляются так, что
образовавшаяся в результате отождествления вершина служит точкой
сочленения.
Из способа построения видно, что графы, принадлежащие классу
Л, являются связными двудольными плоскими **, причем каждая
граница грани графа есть простой цикл длины 4s + 2 (s £ К).
Лемма 8.2 (Цветкович, Гутман, Тринайстич [CvGT 4]). Пусть
G £ Л. Тогда внутри каждого простого цикла длины 4s (s £ J\f) графа
G имеется нечетное число вершин, а внутри каждого простого цикла
длины 4s + 2 (s £ J\f) — четное.
Доказательство. Пусть С — простой цикл графа G.
Рассмотрим подграф G' графа G, порожденный вершинами, лежащими
внутри простого цикла С или на С. Подграф G' не содержит мостов и
точек сочленения и, естественно, все его грани ограничены простыми
циклами. Пусть G' имеет п вершин, т ребер и f (f = т — п + 1)
граней фь ф2, ..., ф/. Пусть, далее, df = 4s; + 2 (s; £ J\f\j = 1, ..., f) —
* JT= {1, 2, 3,...}.
** Следует отметить, что хотя атомы некоторой молекулы никоим образом не
лежат в плоскости, тем не менее структура таких молекул может быть-представлена
плоским графом, как это было определено выше.
258

длина простого цикла, ограничивающего грань <p7, ad — длина цикла
С. Тогда
f.
d + £ dt = 2m.
f
Если s = £ S/, to d + 4s + 2/ = 2m. На основании теоремы Эйлера
для плоских графов имеем f = т — п+ 1,ч что вместе с последним
соотношением дает d + 4s = 2 (я — 1), или я — d = 2s + 1 — d/2.
Так как п — d — число вершин внутри простого цикла, то из этого
соотношения сразу же получается утверждение леммы.
Лемма 8.3 (Цветкович, Гутман, Тринайстич [CvGT 4]). Пусть G £
£ А. В графе G нет базисной фигуры, вмещающей все вершины графа G
и содержащей простой цикл длины 4s (s £ N).
Доказательство. Допустим противоположное, т. е. что
существует остовная базисная фигура, по крайней мере с одним
простым циклом длины 4s. Вершины, находящиеся внутри такого простого
цикла, оказываются покрытыми элементарными фигурами, т. е.
простыми циклами четной длины или графами /С2, и, следовательно, их
число четное. Но это противоречит лемме 8.2.
Теорема 8.11 (Цветкович, Гутман, Тринайстич [CvGT 4]). Пусть
G £ А. Тогда все факторы графа G обладают одинаковой четностью.
Эта теорема является прямым следствием теоремы 8.8 и леммы
8.3, если вспомнить, что объединение множеств ребер двух факторов
графа G образует базисную фигуру этого графа G.
На основании предыдущего получаем следующую теорему.
Теорема 8.12. Пусть G — двудольный граф cv + v вершинами, k
факторами и матрицей смежности А, принадлежащей классу А.
Тогда:
Г det Л = (— l)vfe2;
2° det Л = (— l)v -per Л;
3° г] (G) == 0 тогда и только тогда, когда k > 0.
Вследствие важности соотношения между числом факторов и
спектром графа из класса Л представим его в виде отдельной теоремы.
Теорема 8.13. Пусть G £А. Число факторов графа G равно
произведению всех неотрицательных собственных значений этого графа.
Доказательство. Если G — двудольный граф, имеющий
пх + п2 (пх Ф п2) вершин, то, разумеется, k = 0; но тогда согласно
следствию из теоремы 8.2 число 0 принадлежит спектру графа G.
В случае, когда пг = пъ теорема 8.13 немедленно следует из теорем 8.12
и 3.11.
Другие соотношения между числом факторов и спектрами графа
будут описаны в следующем параграфе.
В работе [CvGT 4] рассмотрен подкласс 3$ класса А. Граф G
принадлежит $ если он удовлетворяет следующим условиям:
1° G$A\
2° степень всех вершин графа G не больше 3;
9*
259

3° границы любых двух граней в G имеют самое большее одно
общее ребро.
Значение класса 3$ в химии велико, поскольку графы из 9$
представляют молекулы бензоидных углеводородов.
Согласно теореме 8.12 вопрос устойчивости бензоидных
углеводородов (т^е. исследование того, выполняется ли г| (G) = 0 или нет)
сводится к доказательству существования по крайней мере одного фактора в
соответствующем графе. Для большего числа молекул существование
фактора может быть легко установлено непосредственной проверкой.
(Следует отметить, что химики весьма искусны в таких проверках!)
При рассмотрении лишь тех графов из $, которые не содержат
простого цикла длины 4s, s = 1,2, ... (безотносительно к тому,
является ли он границей грани или нет), устанавливается более узкий
класс, который будем обозначать через G. Этот класс содержит все
графы, соответствующие бензоидным углеводородам с
конденсированными кольцами (например, нафталин, фенантрен), неконденсирован-
ными (например, бензол, бифенил, стирол) и ациклическим
углеводородам (например, этилен, бутадиен). Можно показать [CvGT 4J, что
классу 6 принадлежат те графы из класса SS, у которых каждая
вершина является периферийной. Оба класса, 35 и G, обладают
интересными теоретико-графовыми свойствами, и можно надеяться, что по
крайней мере некоторые из них обусловливают довольно
специфическое химическое поведение ароматических углеводородов.
Согласно определению класса С произвольный граф из этого
класса не содержит никакой базисной фигуры (с произвольным числом
вершин) с простыми циклами длины 4s (s = 1, 2, ...). Поэтому (см.
(1.36) и (8.7)) все члены (слагаемые) в выражении для коэффициента
ak характеристического многочлена имеют один и тот же знак и,
значит, акфЬ тогда и только тогда, когда имеется по крайней мере
одна базисная фигура с k вершинами. Однако из существования такой
фигуры следует существование линейного подграфа с таким же числом
вершин (так как каждый фактор базисной фигуры является линейным
подграфом) и, наоборот, существование линейного подграфа
обусловливает существование базисной фигуры, поскольку линейный подграф
сам является базисной фигурой. Следует отметить, что эти
рассуждения справедливы не только для класса G, но также для всех
двудольных графов, не содержащих простых циклов длины 4s (s = 1, 2, ...).
На основании изложенного можно сформулировать следующую
теорему, частным случаем которой является теорема 8.1 из § 8.1.
Теорема 8.14 (Цветкович, Гутман, Тринайстич [CvGT 4]). Если
двудольный граф Gen вершинами не содержит никаких простых
циклов длины 4s (s = 1,2, ...), то г| (G) = п — 2q, где q — максимальное
число взаимно несмежных ребер в G.
§ 8.3. Задача о димерах
Спектры графов или спектры некоторых матриц, весьма близких
к матрицам смежности, встречаются в ряде задач статистической
физики (см., например, работы [Kas 2, Mont, Perc]). Приведем подробное
260

описание так называемой задачи о дилерах, связанной с
исследованием термодинамических свойств системы двухатомных молекул (ди^
меров), адсорбированных на поверхности кристалла.
Наиболее благоприятные точки для адсорбции атомов на
поверхности кристалла образуют двухмерную решетку, и димер может
занять две соседние точки. Задача о димерах состоит в подсчете всех
способов, которыми они могут быть размещены на решетке без
перекрывания, причем любая точка решетки должна быть занята. Эта задача
эквивалентна задаче перечисления всех способов, которыми
шахматная доска размерности п X п (п — четное число) может быть покрыта
-к п2 костями домино так, чтобы каждая кость покрывала два соседних
квадрата шахматной доски и при этом все квадраты были покрыты.
Граф можно ассоциировать с заданной адсорбционной
поверхностью. Вершины графа представляют точки, являющиеся наиболее
благоприятными для адсорбции. Две вершины смежны тогда и только
тогда, когд! соответствующие точки могут быть заняты димером.
Размещенные таким способом на поверхности димеры определяют фактор
в соответствующем графе и наоборот. Таким образом, задача о димерах
сводится к задаче определения числа факторов в графе.
Поскольку все подлежащие рассмотрению графы являются двуг
дольными, можно применить формулу (8.4). Однако удобный способ
вычисления перманента матрицы неизвестен, что вызывает
значительные трудности.
С целью преодоления этих трудностей разработано несколько
методов, в основу которых положена следующая идея. Умножим элементы
матрицы смежности А = (ац)1 на подходящие числа ац и обозначим
новую матрицу через Л* = (ацац). Можно доказать, что числа ац
могут быть выбраны такими, что per Л = det Л*. Умножение
элементов матрицы А на ац может привести к тому, что только некоторые
единицы из А изменяют свои знаки. В частности, Кастелейн [Kas 1J
показал, что матрицу А планарного графа можно преобразовать в косо-
симметрическую матрицу Л* такую, что per Л = det Л*. Недавно
Литл [Lit 2] распространил результат Кастелейна на непланарные
графы. Разумеется, в случае графов, принадлежащих классу Л (см.
предыдущий параграф), необходимость в таких процедурах отпадает, и
можно непосредственно заменить перманент определителем матрицы
смежности и затем вычислить последний посредством спектров графа (см.
теорему 8.12).
Теперь перечислим размещения димеров, являющихся факторами
квадратной решетки вида т X я, т. е. графа Gmtn = Рт + Рп (см.
рис. 2.2); для этого используем один из многих возможных вариантов
(см., например, [Регс]) преобразования перманента в определитель.
Рассмотрим граф Gmtn квадратной решетки, изображенный на рис. 2.2.
В соответствии с описываемой ситуацией граф Gm,n содержит
горизонтальные и вертикальные ребра. Пусть Ят,/г означает орграф,
полученный из GmtTl в результате замены каждого ребра соответствующей парой
ориентированных ребер взаимно противоположной ориентации.
Ориентированные ребра орграфа Нт>п также могут быть горизонтальными
261

или вертикальными. Пусть Ат,п — матрица смежности графа Gm%n%
т. е. и орграфа #m,n. Тогда
£2 = per4m,„= £ 1, det4m,n= £ (- 1)'(L)>
L(^Hmtn L(^Hmtn
где & — число факторов (суммирование проводится по всем
линейным остовным подграфам L орграфа #m,„).
Следующая лемма приводится без доказательства (см., например,
[Регс]).
Лемма 8.4. Для каждого линейного остовного подграфа L орграфа
где i — У— 1, a h(L) — число горизонтальных ребер в линейном
остовном подграфе L.
На основании этой леммы можно легко доказать следующую
теорему (см., например, [Регс]).
Теорема 8.15. Число k факторов определяется по формуле
k* = det(Am®In + Um®AJ9
где As — матрица смежности простой цепи на s вершинах.
Доказательство. Согласно теореме 2.21 Ат,п = Ат ® /п +
+ 1т ® Ап. Единицы в Ат ® 1п соответствуют вертикальным, а
в 1т ® Ап — горизонтальным ребрам графа Gm,n или Нт>п.
Матрица
А*т,п = Ат®1п + Пт ® Ап
отличается от АщП тем, что единицы, соответствующие
горизонтальным ребрам, умножены на L Согласно лемме 8.4
per Amtn = det А*т,п,
что завершает доказательство теоремы.
Собственными значениями матрицы Ат,п являются
2cos m+i / + 2cos n+l l (/ = *» • • •» ^ * = *» • • • > л)
(см. § 2.6). Основываясь на доказательстве теоремы 2.23 (с. 72), легко
заметить, что матрица АщП имеет собственные значения
2 cos т^х j + 21 cos п*^х I (/ = 1, ..., т\ I = 1, ..., п).
Итак,
т п
*2 = ПП(2 cos —5-т / + 2 i cos —5-r- l).
=1 *= i m + я + 1 /
Если m и я — оба нечетные, то k = 0. Не умаляя общности, допустим,
что m — четное число. Тогда
m/2 п
*,=г"ПШсо5,^-''+сю,^тт')-
262

Для квадратной решетки вида п X п с п = 2, 4, 6, 8 k = 2, 36, 6728,
12 988816 соответственно. Здесь последнее число равно 24 • 9012, а
это и есть число способов, которыми может быть покрыта шахматная
доска вида 8 X 8 32 костями домино.
Кроме того,
k~ е л (т-^+оо, м->+ оо),
где G — постоянная Каталана.
Имеется и другой, совершенно
отличный подход к задаче о димерах — так
называемый метод передаточной матрицы.
ятт Расположение димера на кадратной
решетке может быть детализировано с по-
Рис. 8.8.
Рис. 8.9.
мощью типов димера у каждой вершины: В (вверх), Н (вниз), Л
(влево), П (вправо). Тогда с учетом модели столбец вершин графа
Gmtn можно представить m-кой символов В, Н, Л, П. Например,
столбец из восьми вершин, изображенный на рис. 8.8, представляется
восьмеркой (Н, В, П, Л, Н, В, П, П).
Следует отметить, что число m-ок, представляющих все возможные
столбцы вершин в размещениях димера, равно числу маршрутов
длины т — 1 в графе, приведенном на рис. 8.9, начинающихся в
вершинах Н, Л, П и оканчивающихся в вершинах В, Л, П. Такие m-ки
будем называть допустимыми.
Рассмотрим граф F, вершинами которого являются все
допустимые m-ки символов В, Н, Л, П, а ребра определены следующим
образом. Для каждой пары допустимых m-ок хи у дуга идет из х в у тогда
и только тогда, когда в т-кех символ П находится в точности в той же
позиции, что и символ Л в m-ке у. Таким образом, если дуга идет из х
в у у то столбец, представленный через у, может быть расположен
непосредственно справа от столбца, представленного через х в димерном
покрытии графа Gm>n.
Пусть if (££) — множество m-ок, не содержащих символа Л (П).
Каждая m-ка из if может быть первой (слева) в димерном покрытии
графа Gmtn. Ясно, что & есть множество возможных последних m-ок
в димерном покрытии.
263

Легко заметить, что число расположений димеров в Gm>n равно
числу маршрутов длины п — 1 в f, начинающихся в вершине из б* и
оканчивающихся в вершине из Й.
Если вместо графа Gm,n (= Рт + Рп) рассматривать граф Рт +
+ Сп, то число димерных покрытий будет равно числу замкнутых
маршрутов длины п в графе F.
Подобные выводы справедливы и для квадратной решетки на
торе, представляемой графом Ст + Сп. В этом случае вместо графа F
следует рассматривать граф £, вершинами которого являются всет-ки,
порожденные замкнутыми маршрутами длины т в графе,
изображенном на рис. 8.9. Ребра графа Е определяются таким же способом, как
и графа F.
В случае графа Ст + Сп (так же, как и для Рт + Сп) можно
упростить граф Е следующим образом: рассмотрим множество У всех /л-ок
(вершин) из Е, имеющих заданное расположение символа П.
Множество w может быть заменено единственной вершиной w так, чтобы все
ребра, начинающиеся (оканчивающиеся) в W, теперь начинались
(оканчивались) в w. После выполнения таких замен для каждого из
размещений символа П получим вершину графа £*. Не представляет
трудностей убедиться в том, что число замкнутых маршрутов заданной
длины в Е и Е* равны.
Матрица смежности Т графа £* называется передаточной
матрицей и определяется (см., например, [Регс]) формулой
т т
Т= П^ + Я^П^,
/=1 /=i
О о\ /о о
рде
#ы-ы = i2®h® ••• ®/2® ({ о) ®Ii о) ® /а® •;* ®72»
i — 1 раз т — i — 1 раз
1 = 1, ..., т\
/О 0\ /О 0\
Я1Я,|Я+1 = 11 п)®/2® --- ®h®[^ J;
т — 2 раз
/О 1\
Vj = h ® h ® • • • ® h ® I j о) ® /2 ® """ ® /а» / = U • • •» т;
/ — 1 раз /п — / раз
/s — единичная матрица порядка s.
Пусть г — максимальное собственное значение матрицы Т. Тогда
для больших п справедливо следующее асимптотическое соотношение
для k — числа факторов (т. е. димерных покрытий) графа Ст + Сп:
k ~ сгп (я->-{-оо),
где с — положительное число. Можно доказать [Регс], что
k ~ e"Wn (т -> + оо, п -+• + оо).
264

Объясним метод передаточной матрицы на простом примере. Мы
видели, что число факторов графа играет важную роль в химии. В
работе [CvG 2] рассматривалась задача определения числа факторов в
некоторых графах. Объясним эти результаты другим способом.
Рассмотрим такие графы, которые могут быть представлены как
последовательность простых циклов (С(1), C*2), ..., С{п)) четной длины*
причем два смежных простых цикла С(0, Cf+l имеют в точности одно
общее ребро et и не более чем две общие вершины (рис. 8.10).
Концевые точки et связаны в точности двумя простыми (непересекающимися)?
цепями с концевыми точками ei+\. Числа ребер, содержащихся в этих
простых цепях, имеют одинаковую четность, так как C(f+1) имеет
четную длину. Если указанные
ч 1сла ребер четные, то будем
говорить, что простым
циклом C(f+1) является цикл типа
а; в противном случае он
будет циклом типа р.
В качестве графа
рассмотрим непосредственно цикл
С(1). Он имеет два фактора, так
как ребро ег — общее для С(1)
и С{) — может занимать два
положения: либо
принадлежать указанному фактору
(положение а), либо не
принадлежать ему (положение
Ь). Теперь рассмотрим граф
(С(1), С(2)), где С(2) — простой цикл типа а. Если ребро ех занимает
положение а, то ребро е2 может находиться как в положении а, так и в
положении Ь\ если же ребро ег занимает положение 6, то ребро е2
может занять только положение Ь (рис. 8.11 и 8.12).
Ясно, что если простые циклы С(2\ ..., С(п) являются циклами
типа а, то число факторов kn в графе (С(1), С<2), ..., С{п)) равно числу
маршрутов длины п — 1 в графе Glf показанному на рис. 8.13. Очевидно*
kn = п + 1. В случае, когда простые циклы С(2), .,., С{п) —это цик*
лы типа Р, роль графа Gx играет граф G2, приведенный на рис. 8.13k
Матрицами смежности графов Gx и G2 являются следующие:
\/
Рис. 8.10.
Тг =
Т2 =
В описанных выше случаях перечисления факторов они могут быть
интерпретированы как передаточные матрицы.
Характеристическим многочленом матрицы Т2 является А2—А,~
1, и для чисел маршрутов Nn графа G2 мы получаем соотношения
Nn+2 =* Nn+i +Nn [п =» 0, 1, ...).
265

Поскольку N0 = 2 и N± = 3, то Nn = fn+3f где fn — n-e число
Фибоначчи (последовательностью Фибоначчи называется
последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...). Таким образом, число kn факторов в графе,
состоящем из п простых циклов типа р (тип первого и п-го простых
циклов роли не играют), определяется как kn = fn+2-
Рис. 8.11. Рис. 8.12.
В графе, в котором простые циклы С(1), С(2), ..., С{п) являются
циклами различных типов, число kn факторов равно сумме всех элементов
матрицы
т~т1шт{, ... т1а,
где для / = 2, 3, ..., п if=l или if = 2 в зависимости от того,
является ли С(/) простым циклом соответственно типа а или р.
В качестве примера рассмотрим граф с п = 2v + 1 простыми
циклами, типы которых образуют последовательность а, р, а, Р, а, ..., а, р,
а. Теперь Т = (T2T1)V, и число факторов равно числу маршрутов дли-
лы v в мультиграфе G* с матрицей смежности
Очевидно, G* = G2-G1 (см. § 2.1). Производящая функция числа
маршрутов в графе G* равна __ 'Т ^ (см. § 1.8).
Графы Е, £*, Gl9 G2 и G* могут быть названы передаточными. Из
-приведенных примеров видно, что с каждой последовательностью
графов Gn (п = 1,2, ...) «периодической» структуры можно ассоциировать
передаточный граф Gt так, чтобы число факторов в Gn равнялось
числу маршрутов длины п (или другой длины, возможно, при дополни-
266

тельных условиях, которым должны удовлетворять маршруты).
Примеры из химии показывают, что периодическая структура не
обязательно означает изоморфизм «повторяющихся» частей. Важно только,
чтобы передаточная матрица между смежными частями была одной и
той же.
Метод передаточной матрицы применим не только к перечислению
факторов, но и к другим задачам о покрытиях. Так, в работе [Cve 9}
описана в общих чертах задача размещения королей на шахматной
доске и предложен метод передаточной матри- ^_^ _^
цы. Этот метод может быть также приме- j ,^\ > ф jL
нен при перечислении покрытий шахматной vJ/£ G j\y
доски посредством полимино. т
Как показывают приведенные ниже
примеры, спектры передаточных графов в
некоторых задачах могут играть важную
роль.
Пусть Gb G2, ..., Gs, ... —
последовательность графов с «периодической»
структурой, принадлежащих классу Л (см. пре- 02
дыдущий параграф), a Gt —соответствую- рис# § 13.
щий передаточный граф. Далее, Asy ks, ns—
соответственно матрица смежности, число факторов и число вершин
графа Gs. В выражении для нижней границы полной л-электронной
энергии графа Gs (см. теорему 8.7) появляется величина (det As)2/ns„
Если lim — = р, то согласно теореме 8.12
°Нт | det As \2/ns = lim kl/n* = lim (cX\)l/ns = X\/Pf (8.8)
поскольку при s-> +00 ks ~ cX\, где %г — наибольшее собственное
значение графа Gr, а с — положительное число. Для достаточно
больших s нижнюю границу в теореме 8.7 можно заменить на
V2rn + п{п— \)Х\/Р.
К перечислению факторов (т. е. размещений димеров) могут быть
сведены и некоторые другие задачи. Наиболее известной среди них
является знаменитая задача Изинга, возникшая в теории
ферромагнетизма (см., например, [Mont, Kas 2,]).
Проблема блуждания по графу имеет значение для физики не
только в связи с задачей перечисления факторов. Решение ряда других
задач также может быть сведено к вычислению числа различного род»
маршрутов в решетчатом графе; задачи о случайных блужданиях и
блужданиях без самопересечения (см. [Mont, Kas 2, Регс]) — два
характерных примера таких задач. Некоторые другие задачи, намечен-
ные в общих чертах в § 8.4, также близки к обсуждаемым.
§ 8.4. Колебания мембраны
В приближенных численных решениях некоторых
дифференциальных уравнений в частных производных графы и их спектры возникаю?
совершенно естественно. Рассмотрим, например, дифференииально*
267

уравнение в частных производных
д2г
дх2 +
дЧ
ду2
д2
+ lz = 0
(8.9)
(и2 и-
или Дг + Xz = 0; Д = -j-g + -g-g- — оператор Лапласа , где
неизвестная функция z = z (ху у) удовлетворяет краевому условию z (х, у) = 0
на простой замкнутой кривой Г, лежащей в плоскости ху. Известно,
что уравнение (8.9) имеет решение только для бесконечной
последовательности А,х ^ к2 ^ ... ^ %п ^ ... дискретных значений X, которые
называются собственными значениями уравнения. Последовательность
собственных значений называется спектром уравнения; каждому соб-
i
Ф-
Рис. 8.14.
ственному значению здесь соответствует одно или несколько решений
уравнения ^8.9), называемых собственными функциями.
При приближенном определении функции z рассматриваются
значения только для множества точек (хь уь)у образующих регулярную
(квадратную, треугольную, шестиугольную) решетку в плоскости ху.
Соответствующий граф (бесконечный) естественным образом может
бить ассоциирован с этой решеткой. Точки (xiy ус) являются
вершинами графа, а ребра связывают пары точек кратчайшим путем. Точки
(или вершины), лежащие внутри кривой Г, называются внутренними
точками (или вершинами), а другие точки (вершины) решетки
(соответствующего решетчатого графа) называются внешними.
Пусть Zi = z (xiy yt). Учитывая краевое условие, можно принять,
что zt = 0 для всех внешних точек.
В случае квадратной решетки (рис. 8.14) пусть z0 = z (х0, у0), где
<(*о> Уо) — фиксированная точка решетки, и zx = z (х0 + А, у0), z2 =
<*= z (х0 — А, у0), z3 =; z (х0, у0 + A),, Zt = z (х0, у0 — И) — значения
функции г для соседних точек (мы предполагаем, что точки решетки
<леждт дал прямых, параллельных координатным осям, и что
расстояние между любой парой соседних точек равно А). Значение выражения
д2г д2г
•у-2- + -^т в точке (х0, Уо) может быть аппроксимировано обычным
/^бразом дасредством. выражения
268

Тогда (8.9) принимает вид
-£.- (zi + z2 + *з + z4 — 4z0) + fo0 = О,
(4 — Ml2) 20 = 2Х + 22 + 23 + 24.
Далее, пусть внутренние точки помечены числами 1, 2, ..., п.
Принимая v = 4 — ЯЛ2 и записывая уравнения, соответствующие
последнему уравнению, для всех внутренних точек решетки (xiyyt),i = 1,...
..., я, получаем
^=£г/ (1=1, ..., л), (8.10)
где суммирование проводится по всем индексам /, соответствующим
внутренним точкам (Xj, у,), соседним с точкой (xh yt).
Нет необходимости во включении некоторой внешней точки,
соседней с точкой (xiy yt), в сумму (8.10), поскольку значение функции
для этой точки равно нулю. Пусть G — подграф решетчатого графа,
порожденный внутренними вершинами. Если интерпетировать v как
собственное значение подграфа G, а (ги ..., zn)T — как соотретствую-
щий собственный вектор, то уравнение (8.10) определит задачу на
собственные значения для G. Подграф G будет называться в этом случае
мембранным графом.
Если viy i = 1, ..., л, является собственным значением подграфа
G, то приближенное собственное значение уравнения (8.9)
определяется по формуле
л * 4 — Vi
Соответствующий собственный вектор подграфа G представляет собой
приближенное решение уравнения (8.9). Следует отметить, что А,*,
i = 1, ..., я, — приближенные значения не обязательно первых п
собственных значений Х1у ... Д„ уравнения (8.9), а некоторых
собственных значений V, ..., Xt .
Для треугольных и шестиугольных решеток (см. рис. 8.14)
приближенные выражения для Дг в точке (х0, у0) имеют соответственно вид
-§? ^ + г2 + 2з + h + *5 + 26 —6г0)
и
4? (2i + 22 + Ч — Зг0).
Получаем снова выражение (8.10), однако теперь связь между
собственными значениями подграфа G и уравнения (8.9) дается форму-
„, 2 6 V' * 4 3 V*
лами соответственно h = -g т^1 и Xf = -3-—W^ "
Описанные процедуры приближенного решения
дифференциальных уравнений в частных производных часто используются при реше;
нии технических за!дач (см., на примере работу [Col 1]). Так, теоремы,
269

связывающие спектры графа с группой его автоморфизмов^ (см. гл. 5
и особенно процедуры для факторизации характеристических
многочленов), играют важную роль в практических вычислениях [CoSi 1,
Col 1].
Наиболее интересной задачей, которую можно решить с помощью
описанной процедуры, является задача о колебании мембраны, хотя
существуют и другие задачи такого рода, например задача о
колебании воздуха в пространстве (см. [CoSi 1, Col 1, Кае, Ruth]). Эти
задачи побудили авторов работы [CoSi 1] использовать спектры графов.
Если колеблющаяся мембрана Q зафиксирована на границе Г, то
ее перемещение F (х, у, t) в направлении, перпендикулярном к ее
плоскости, является функцией координат х, у и времени t и
удовлетворяет волновому уравнению
d2F 2 / d2F , d*F \ /с 11ч
где с—постоянная, зависящая от физических свойств мембраны и
натяжения, при котором она удерживается. Значительный интерес
для этой задачи представляют решения вида F (х, у, t) = z (х9у)^.
Подставив это выражение в (8.11), получим
'■(Х,У) = ^(^^.+д^А). (8.12)
Полагая X = -^ > приводим (8.12) к (8.9).
Кац [Кае] предложил задачу об определении формы мембраны (т. е.
кривой Г) по известному спектру соответствующего
дифференциального уравнения в частных производных (8.9). Его статья называется
«Можно ли услышать форму барабана?» Дело в том, что человеческое
ухо «слышит» спектр (частоты звуков, порождаемых мембраной,
непосредственно связаны с собственными значениями уравнения).
Вместо спектра рассматривалась производящая функция для сумм степеней
собственных значений (или моментов собственных значений)
G (0 = 2 <гЧ
co'z
n=i
Кац показал, что
где | Q | — площадь мембраны, a L — длина ее границы. Далее, для
мембраны с гладкой границей следующим членом в асимптотическом
соотношении (8.13) является + -g- (С — Я), где С — число отдельных
компонент мембраны (мембрана может быть несвязной), а Я — число
отверстий в ней (не требуется, чтобы граничная кривая Г была простой
кривой). Каким образом получить из спектра дальнейшую
информацию н, в частности, можно ли действительно определить кривую Г
из G (t) — неизвестно.
270

Фишер [Fish] рассмотрел дискретный аналог задачи Каца. В его
модели мембрана состоит из множества атомов, которые в состоянии
равновесия лежат на вершинах регулярного решетчатого графа,
вложенного в плоскость. Каждый атом оказывает влияние на ближайшие
соседние атомы посредством упругих сил. Предположим, что все
атомы имеют одинаковую массу и все состояния пары атомов обладают
одинаковой интенсивностью упругих сил взаимодействия. Если zt (t)
и Zj (t) — перемещения соседних атомов i и / за время /, то упругая
сила, стремящаяся сократить относительное перемещение между
этими атомами, определяется выражением
{К — постоянная, характеризующая упругие свойства мембраны).
Уравнение движения k-то атома имеет вид
*f!lgrL = -tfE(z*(0-S/(0). (8.Н)
i'k
где m — масса атома; суммирование проводится по всем ближайшим
соседям / k-то атома. Для вершин / решетчатого графа, в которой
отсутствует атом мембраны, имеем Zj (t) = 0 (как и прежде, такие
вершины называются внешними). В этой дискретной модели площадь | Q
мембраны Q пропорциональна числу п атомов (внутренних вершин)*
а длина границы L пропорциональна числу В ребер решетчатого графа,
которые связывают внешние и внутренние вершины. Итак, | Q | = an
и L = ЬВ, где а и Ъ — некоторые постоянные.
Рассмотрим вновь чисто гармонические колебания и примем
zk (0 = z&mt (где i = V—1). Подставив это выражение в уравнение
(8.14) для каждого атома £, получим задачу на собственные значения
графа (8.10). Таким образом, решение дискретной модели Фишера
эквивалентно приближенному решению непрерывной модели.
В работе [Fish] было показано, что то же количество
информации, которое может быть получено из спектра в непрерывной
модели, может быть также получено и из спектра соответствующего
графа в дискретной модели. Как и в непрерывном случае, можно
п
рассматривать моменты Mk = J] X* (& = 1, 2, ...) собственных зна-
v=l
чений Хъ ..., Хп мембранного графа и соответствующую производя-
п
щую функцию G (0 = 2 е v*-
v=l
Естественно, знание моментов M0tMlf ..., Мп эквивалентно
согласно формуле Ньютона знанию характеристического многочлена
мембранного графа, т. е. знанию соответствующего спектра.
Очевидно, что М0 = nf Мг = 0 и М2 = гп — В, где г — степень
соответствующего решетчатого графа (г = 6, 4, 3 для треугольной,
квадратной и шестиугольной решетки соответственно). Третий момент
равен нулю для квадратной и шестиугольной решеток (поскольку
соответствующие графы являются двудольными),, а для треугольной
271

решетки согласно [Fish]
Л13треуг - 12л — ЗВ + 6 (С - Я),
где, как и прежде, С — число компонент мембранного графа, г Н —
число отверстий в мембране (т. е. число компонент подграфа
решетчатого графа, порожденного внешними вершинами, минус 1).
На основании изложенного получаем следующие формулы:
| Q | = аМ0;
L = b(rM0 — M2)t
С — Н = -g- М3 -М2 + М0 (для треугольной решетки).
Выражения для МГадр и Mlpeyr приведены в работе [Fish].
Подобные соотношения, включающие моменты более высокого порядка,
можно найти в [BeJa].
Некоторые формулы для
моментов, которые также
применимы к рассматриваемым
графам, приведены в [GuT 1,
GuT 51.
Из сказанного следует,
что для отдельных классов
плоских графов их спектры
могут давать определенную
информацию о некоторых деталях относительно вложения графов в
плоскость, хотя в общем случае задача о планарности графа (т. е.
является ли он плоским или нет) не может быть решена лишь
рассмотрением его спектра (см. § 6.1).
Фишер [Fish] также рассмотрел задачу о том, можно ли «услышать»
форму мембраны. Этот вопрос, естественно, сводится к вопросу об
определении графа спектром единственным образом. Как известно,
ответ отрицателен, и поэтому Фишер был вынужден налагать
дополнительное условие; такой граф (будучи порожденным подграфом
регулярного решетчатого графа и, следовательно, плоским) должен быть
также двусвязным. Но Бэйкер [Вак 2] нашел ING-napy, состоящую
из двух двусвязных порожденных подграфов треугольного
решетчатого графа (рис. 8.15), что вместе с выводами § 6.1 показывает, что в
случае дискретной модели «форму барабана можно услышать не всегда».
Замечание (X. Захс). Задача приближенного решения
дифференциального уравнения в частных производных (8.9), в частности
задача о колебаниях мембраны, в действительности является отправным
пунктом фундаментальной статьи Коллаца и Синоговица [CoSi] (1957),
и рассмотрение колебаний конечной мембраны явилось практической
задачей, с которой, в сущности, и началась теория спектров графов.
Предположение о том, что G является частью плоской решетки, может
быть опущено. Вполне комбинаторная мембрана или барабан есть
произвольный граф G с одинаковым упругим напряжением в каждом
из его ребер (считается, что все вершины графа имеют «массу» 1, а
ясе ребра — «длину» 1).
ш
272

Можно предполагать следующее.
1. G— подграф такого графа Я, каждая вершина которого,
принадлежащая графу G, имеет валентность г и каждая вершина графа
//, не принадлежащая графу G, удерживается на нулевом уровне.
Тогда, заменяя в (8.9) Д-оператор, применяемый к вершине > графа
G, суммой Yi (2/ — zi) — 2 zf — rzi> мы снова приходим к уравнению
/•' /•<•
(8.10), а именно vz{ = £ z; (i = 1, 2, ..., я), причем v == г — Я,
ы
или, короче, vz = 4z, что приводит к условию совместности Pg (v) =
= | v/ — A | = 0.
2. Граф G по существу может рассматриваться как конечное
пространство без какой-либо границы; тогда из (8.9) получаем уравнение
А*! + 2(г7 —z,) = taf —dA + £*, = 0 (/= 1, 2, ..., л), (8.15)
где d£ — валентность вершины i". Используя матрицу валентности D
и матрицу смежности Л, уравнению (8.15) можно придать краткую
форму
Xz — Dz + Az = Xz — Cz = o (8.15)'
(С = D — А — матрица полных проводимостей, см. § 2.1, с. 26),
являющуюся конечным матричным аналогом Д-оператора.
Таким образом, многочлен Со (к) = \ М — С \ оказывается
естественным понятием теории графов и ее приложений, имеющим,
возможно, даже большее значение, чем то, которое подразумевалось до
сих пор.
Наконец, третья версия мембранного графа (а именно с массой mt
вершины i, пропорциональной валентности dt вершины i) приводит
к уравнению
^ = 4-2*, (*=1. 2, .... п)9 (8.16)
"' /•/
эквивалентному уравнению
XDz = Az
с соответствующим условием совместности
Итак, рассматривая волновое уравнение или его варианты, можно
естественным образом прийти к некоторым понятиям спектра графа.
В то же время задача о колебании мембраны обусловливает
появление понятия делителя. Рассмотрим граф G и делитель D графа G как
колеблющейся мембраны. Так как упругие силы, связанные с
вершиной, непосредственно влияют только на положение соседей этой
вершины (см, уравнения (8.10), (8.15), (8.16), а также § 1.2, уравнения
(1.1), (1.3), (1.7), (1.15)), то ясно, что если D может колебаться с
некоторой частотой, то с такой же частотой колеблется и G; другими ело*
вами, каждое собственное значение делителя D (с кратностью т^в jq
(8.16)'
273

же время является собственным значением графа G (с кратностью,
большей или равной га). Это относится к каждому из рассмотренных
спектров, за исключением спектра Зайделя (в этом случае
предполагается, что каждая вершина находится в непосредственном упругом
контакте со всеми другими вершинами; см. § 1.2, уравнение (1.12))^
поэтому из
D\G следует Fd(^)|Fc(^),
где под F понимается любая из букв С, Р, Q, R (см. § 1.2).
§ 8.5. Другие результаты и задачи
1. Если G — дерево с г вершинами степени 1 и s вершинами,
смежными с вершинами степени 1, то г — s^ г] (G) ^ г — 1.
(Дж. Смит [Sm, Л; Нозаль [Nos 11)
2Щ Пусть У — подмножество множества вершин графа G, а ххи х2—
вершины, не принадлежащие У и смежные с каждой вершиной из У
и только с ними (хх и х2 могут быть смежными). Тогда спектр графа G
содержит число —1, если х\ и х2 смежны, и число нуль, если хх и х2
несмежны. Случай, когда У содержит две несмежные вершины и хг
и х2 несмежны, имеет важное значение в химии .
(Ваховский [Вах 1]), Гутман [Gut 1])
3. Если a (G) > /2/2, где a (G) — число внутренней устойчивости,
г п — число вершин графа, то г] (G) > 0 [Вах 1]. Это утверждение
непосредственно следует из теоремы 3.14. Частный случай отмечается в
работе [Rou 2]: если % (G) = 3 (X (G) — хроматическое число графа
G) и при этом одним цветом окрашено больше вершин, чем двумя
другими цветами, взятыми вместе, то т] (G) > 0.
4. Пусть Т — дерево, а Г — v — лес, полученный в результате
удаления вершины v из Т\ г] (Т) = 0 тогда и только тогда, когда лес
Т — v имеет в точности одну компоненту с нечетным числом вершин.
(Гутман, частное сообщение)
5. Определим двудольный граф G = G (га; л1э ..., nk) следующим
образом: G содержит простой цикл С2т, вершины которого помечены
как Г, 1, 2х, 2, ..., m', т; вершина Г смежна с вершинами п1$ ..., пк
k
простого цикла С2т. Если v = 1 — (—1)т + (— 1)т£ (— 1)"', ТО
(0 при v=5^0,
rj(G(m; nl9 ..., nk)) = L A
1 v v * *" 12 при v = 0.
(Цветкович, Гутман [CvG 1])
6« Пусть G — граф с n вершинами и матрицей смежности Л, ранг
которой г (г — п — т] (G)). Предположим, что существует
последовательность Л = (D„, Z)„_i, ..., D0) с Dn = | A | и D0 = 1, где D/_i —
главный минор матрицы, удовлетворяющий условиям Dr=£Q и
Z)/_i + D/ > 0 для j = 2, 3, ..., г — 1. Тогда число отрицательных
собственных значений графа G равно числу изменений знака в Л. .
(Гутман [Gut 4, Gyt 6])
274

7. Если А — матрица смежности двудольного графа G и
существует матрица Л""1, то
где £+ и k^ определены в § 8.2, a kfj, kjj являются аналогичными
величинами для графа, полученного из G удалением вершин i и /. Знак
элемента (А~~1)ц довольно сложным образом зависит от структуры
графа и вершин /, / (но, безусловно, не зависит от нумерации вершин).
(Цветкович, Гутман, Тринайстич [CvGT 4])
8. Пусть А — матрица смежности двудольного графа G, не
содержащего простого цикла длины 4т и существует матрица Л""1. Тогда
d(i,j)-l k .
rt = (-D 2 -f.
где k и kij — числа факторов в G и в подграфе графа G, полученном в
результате удаления вершин i и / соответственно; d (i9 j) — длина
произвольной простой цепи Р, связывающей вершины i и / и обладающей
тем свойством, что граф G — Р (полученный в результате удаления
всех вершин простой цепи Р из G) содержит по крайней мере одну
базисную фигуру, покрывающую все вершины G — Р.
(Хайльброннер [Hei 4]; Цветкович, Гутман, Тринайстич [CvGT 4])
п
9. Неравенства (8.2) могут быть улучшены. Пусть Ея = J] | Х{ |.
Тогда для произвольного графа
D<2awz — £л<(л— l)Di
для двудольного графа
2D^2nm — El < (п — 2) D,
где D = 2т — п\/г\А \2\ другие величины определены как прежде.
(Гутман [Gut 2])
10* Пусть G — подграф шестиугольного решетчатого графа,
который является двусвязным (каждая вершина его имеет валентность
2 или 3) и таким, что границы всех его граней — простые циклы
длины 6. Тогда справедливы следующие соотношения!
2л — лр = 4Я + 2, т + п — np = 5R+ 1, Г = 2(7?— 1),
где п9 т, R и пр — соответственно числа вершин, ребер, граней и
периферийных вершин, а Г — число вершин степени 3. Все эти величины
могут быть вычислены по спектру графа. Более того,
£ti«6(7« — п + пр— 1).
(Гутман [Gut 51)
275

11 Пусть G — двудольный граф без простых циклов длины 4s и
т] (G) = 1; G имеет вершины 1, 2, ..., п и (Clf С2, ..., Сп)т —
собственный вектор, соответствующий собственному значению 0. Пусть также
граф G — р имеет kp факторов (р = 1, 2, ..., п). Тогда | Ср \ kQ =
= I cq | *,.
(Дьюар, Лонге-Хиггинс [DeLo], см. также Цветкович, Гутман, Три-
найстич [CvGT 4])
12. Если А — матрица смежности графа, Хъ ..., Хп —
соответствующие собственные значения и при этом U — такая матрица, что
UAV~l = (Kfiif), то, полагая А' = Vх (| %t \ Ьц) U, получаем
АР = А + А\ Р2 = 2Р
при Яп/2 ^ 0 ^ Яп/2+1 (я четное) или при К(П+\)/2 = 0 (я нечетное);
матрица плотности Р определена в § 8.1, с. 254.
(Рюденберг [Rued], [McWS])
13. Многочлен Qg (^) = т-^-р | hD — А | был использован и
исследован Боттемой еще в 1935 г. в статье [Bott], касающейся случайных
блужданий в связном графе G. При предположении, что для каждой
вершины / все ребра, инцидентные /, обладают одинаковой
вероятностью быть выбранными при определенном шаге блуждания,
начинающегося в /, он доказал следующее утверждение.
Если G не является двудольным графом, то вероятность достижения
фиксированной вершины k в блуждании длины /, начинающемся в
фиксированной вершине i, стремится при I -> оо к пределу, который
не зависит от i и пропорционален валентности вершины k.
Если G = («3?, У\ 41) — двудольный граф и принимаются во
внимание только те блуждания, которые начинаются в вершинах
множества X и имеют четную (нечетную) длину, то аналогичное
утверждение справедливо для всех k £ X (или к £ У).
Эти результаты могут быть распространены на мультиграфы и
графы со взвешенными смежностями.
(Боттема [Bott])

ГЛАВА 9
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
§ 9.1. Собственные значения и вложения
Характер изменения наименьшего собственного значения графа при
вложениях рассматривался в ряде статей Хоффмана и других авторов
([Hof 6, Hof 7, Hof 10, Hof 14, Hof 17, HoOs, How 1, How 2, Doo 101).
Несмотря на то что уже получены некоторые важные результаты, в целом
вопрос все еще остается неясным. В связи с этим представим в сжатой
форме задачи и результаты по этой проблематике и осветим некоторые
смежные вопросы.
Если G — порожденный подграф графа Я, то будем писать G cz Я.
Пусть Hr означает регулярный граф, а HRc — регулярный связный
граф; d (F)t diam (F) и X {F) — соответственно наименьшая степень
вершины, диаметр и наименьшее собственное значение графа F. Хофф-
ман [Hof 6, Hof 7] определил следующие инварианты графа G:
XR(G) = sup {b(HR)\GczHR};
|i(G)= lim sup {X(H)\G си H, d(H)>d);
MG)= Hm sup{X(HR)\GczHR, d(HR)>d}.
Дуб [Doo 10] определил величину
*R(G)=> lim sup {X (HRC)\G cz HRC, diam (HRC) > dt d(HRC)>d).
d-*>-\-oo
(Доказательство конечности пределов приведено ниже.)
Полученные Хоффманом и Дубом величины выражают
определенные связи между спектральными и структурными свойствами графов,
Например, если Н — регулярный граф, для которого X (Н) > XR (G),
то Я не может содержать G в качестве порожденного подграфа. Если
G с: Я, то ясно, что X (G) ^ X (Я) (см. теорему 0.10). Введение
указанных выше инвариантов графа связано с необходимостью объяснить,
насколько могут быть близки X (Я) и X (G) при некоторых
ограничениях на Я. К сожалению, относительно величин XRt |i, \iR и kr почти
ничего неизвестно.
Прежде всего, приведем следующее неравенство, принадлежащее
.Карпу (см. [Hof 7]):
Vr(G)>X(G)-1.
277

Дуб [Dool показал, что
x*(G)>MG) —2.
Всеете с этим неравенством была доказана
Теорема. Если G — граф (не обязательно связный), а тип—
произвольные положительные целые числа, то существуют графы Нъ ...
..., Нп такие, что:
(i) Нъ ..., Нп взаимно неизоморфны;
(и) Hlf ..., Нп — регулярные связные графы;
(ш) все Hlt ..., Нп имеют один и тот же спектр;
(iv) G — порожденный подграф графа Hh i = 1, ..., п\
(v) d (Нх) = d (Я2) = ... = d (Нп) > т и diam (Нх) = diam (Я2) =
= ... = diam (Нп) > т.
Хоффман [Hof 7] охарактеризовал все графы G, для которых
fi* (G) = -2.
Задача определения \xR (G) в общем случае представляется
весьма трудной. Задача определения XR (G), по-видимому, еще труднее.
В простейшем случае, когда G — регулярный граф, kR (G) = X (G).
Однако для нерегулярных графов XR (G) известно только для G =
= /Ci.2 и G = ЛГьз: Я* (/Ci.2) = 2cos i? и lR (/ft*) = — 2 (см. [Hoi
7]). Достаточное условие для XR (G) < A, (G), основанное на
теореме 0.9, также приведено в работе [Hof 7] *. Лишь немногим больше
известно относительно \i (G). Хоффман и Островский [HoOs]
получили следующий результат.
Пусть G — граф с п вершинами и матрицей смежности А, Г —
множество п-строчных (0, 1)-матриц С, у каждой из которых сумма
элементов каждой строки положительна, но при удалении любого из
ее столбцов перестает быть таковой. Тогда если \ (X) означает
наименьшее собственное значение квадратной матрицы X, то \i (G) =
= max I (А — ССТ).
Набросок доказательства этого утверждения можно найти в
работах [Hof 6, Hof 7, Hof 9]. Несколько следствий из него обсуждалось
в работе [Hof 7], при этом была найдена величина \х (Ki.n)-
Следующий шаг в данном направлении был сделан также Хоф-
фманом [Hof 10], который доказал, что ji(G)> — 1 — j/2 тогда и
только тогда, когда G = L (Gn; аъ ..., ап) для некоторых Gn
и аи ..., ап (об определении обобщенного реберного графа
£(Gn; аъ ..., ап) см. § 6.3). Этот результат является следствием
приведенной ниже теоремы [Hof 18].
Пусть Я£[—1—1/"2, —1]. Тогда существует функция d(X)
с такими свойствами:
1° если — 2<Я< — 1, Ji,(G)>Jc, d{G)^d(K)y то Я(0) = —1
и G — прямая сумма некоторых полных графов; обратно: если граф
G является прямой суммой полных графов и имеет по крайней
мере одно ребро, то X(G) = — 1;
* В работе [DoCv] Я^ (G) определено для широкого класса нерегулярных
графов и, в частности, для всех реберных графов.
278

2° если — 1- V2<X^ — 29X(H)>Kd(H)^d(X),moX(H)^
^ — 2 и H = L(Gn; аъ ..., ал) для некоторого графа Gn и
некоторых неотрицательных чисел аи ..., ап; обратно: если Н =
= L(Gn; а19 ..., ап), то Х(Н)^ — 2.
Знание нижней границы для X (G) оказывается чрезвычайно
полезным при доказательстве некоторых структурных свойств графа, что,
в свою очередь, приводит к необходимости полного исследования его
инвариантов (см. § 6.3). Поэтому Хоффман [Hof 10] предложил
следующие две задачи.
Задача 1. Пусть # — бесконечное множество графов. Существует
ли X такое, что
Jc(G)>Jc для всех G€$? (9.1)
Охарактеризовать те множества $, для которых справедливо (9.1).
Задача 2'. Пусть X задано. Необходимо определить &{Х) —
множество всех графов G таких, что X (G) !> X, и охарактеризовать $ (X).
Задача 2. Пусть $ (d) — множество всех графов G таких, что
d (G) ^ d. Найти множество графов $* таких, что $* с $ (Ji) и для
некоторых d(X) имеет место %{Х) П &(d(X))cz$*.
Задача 2' слишком трудна, в то время как задача 2 — ее более
слабый вариант. Приведенные выше теоремы связаны с задачей 2.
Решение задачи 1 дано Хоффманом [Hof 10] в виде следующей теоремы.
Пусть # — бесконечное множество графов. Тогда верны или
ложны следующие утверждения относительно $:
(i) существует число X такое, что для всех G £ # X(G) ^X;
(и) существует положительное целое число I такое, что для
всех G£& K\,i ^ G и Ht g G, где Ht означает граф на 2t + 1
вершинах, 2t из которых образуют граф /G*, а оставшаяся вершина
смежна в точности с t вершинами из этих 2t вершин;
(ш) существует положительное целое число q такое, что для каждо-
го G£$ имеются графы GuHcG[)G=H, причем степень каждой
вершины графа G — самое большее q, а Н содержит семейство полных
подграфов /С1, /С2, ... с такими свойствами: (а) каждое ребро графа Н
содержится по крайней мере в одном подграфе К1; (б) каждая вершина
графа Н содержится самое большее в q полных подграфах /С1, /С2, ...;
(в) | V (К) U V (К1) \^ядля1ф /.
Доказательство этой теоремы приведено в работе [Hoi 14].
Данная теорема использовалась Хоувзом [How 1] для характери-
зации множеств $ графов, для которых существует равномерная по
всем G £ # верхняя граница на Х2 (G), где Х± (G) ^ Х2 (G) ^ ... —
собственные значения графа G. Краткое изложение этих результатов
можно найти в [Hof 2].
Определим
\i2(G)= lim int{X2{H)\GczH, d{H)>d}*.
б/-*-}-оо
Хоффман [Hof 17] получил следующий результат.
* Xi (X) и Х{ (Н) означают i-e наибольшие собственные значения соответственно
матрицы X и графа Я.
279

Пусть G — граф с п вершинами и матрицей смежности А и Г —
множество всех (О, \)-матриц С с п строками и по крайней мере двумя
столбцами такими, что сумма элементов каждой строки
положительна, а если С имеет более чем два столбца, то при удалении
любого из них нарушается свойство матрицы обладать положительными
суммами элементов строк. Тогда
\i2 (G) = min Х± (А — С (J — 7)"1 Ст).
§ 9.2. Характеристический многочлен
матрицы расстояний
Так называемые характеристические многочлены матриц
расстояний и соответствующие спектры были рассмотрены в работах [GrP 1,
GrP 2, НоМС].
Пусть G — связный граф, вершины которого перенумерованы
числами 1, ..., п. Расстояние йц между вершинами I и / в G, как обычно,
определяется минимальным числом ребер в любой из простых цепей
между i и /. Матрица D (G) = D = (df/)7 называется матрицей
расстояний графа G, а соответствующий характеристический многочлен —
характеристическим многочленом матрицы расстояний графа G.
Общая формула характеристического многочлена матрицы
расстояний простой цепи, а также таблицы характеристических многочленов
матриц расстояний некоторых графов приведены в работе [НоМС].
В [GrP 2 и НоМС] установлено, что определитель матрицы расстояний
дерева зависит лишь от числа вершин, т. е. не зависит от структуры
дерева. Для дерева Теп вершинами имеем
| В (Т) | = (— If-1 (л — 1) 2"~2. (9.2)
В работах [GrP 1, GrP 2] характеристические многочлены матриц
расстояний связываются со следующей задачей вложения.
Пусть if = {0, 1, *}, a d — функция из if X if в множество
неотрицательных целых чисел, определенная посредством соотношений
(1, если {s, s'} = {0, 1},
d (s, s') = \ Л
v 10 в противном случае.
Эта функция может быть продолжена до отображения произведения
ifn X ifn в множество неотрицательных целых чисел следующим
образом:
п
d((s! s„), (s;, ..., s;))= Sd(st, s'k).
Задача состоит в том, чтобы для заданного связного графа G найти
наименьшее целое число N (G), для которого существует отображение
А из множества вершин графа G в (fN{G) такое, что йц = d (А (/), А (/))
для всех пар вершин i и / в G. Получен следующий результат.
Пусть п+ ип^ — числа положительных и отрицательных
собственных значений матрицы расстояний D для графа G. Тогда N (G) ^
280

^ max (я+» nJ). Кроме того, число N (G) определено для полных
графов, простых циклов и деревьев.
Недавно Грэхем, Хоффман и Хозойя [GrHHJ доказали, что
определитель матрицы расстояний любого сильно связного орграфа G
зависит лишь от блоков * орграфа G и не зависит от того, как эти
блоки связаны между собой. Они получили формулы
г
cofO(G) = nCoffi(Gl),
'=' (9.3)
Г
D(G) = ZDiGjUcofDiGi),
1=1 }Ф1
где Gu ..., Gr — блоки орграфа G, a cof X означает (для любой
квадратной матрицы X) сумму алгебраических дополнений матрицы X.
Формулы (9.3) являются обобщением формулы (9.2). В этом легко
убедиться, если заменить в дереве каждое ребро двумя
ориентированными ребрами взаимно противоположной направленности и затем
применить (9.3) к полученному орграфу.
Другие обобщения формулы (9.2) даны в работах [EdGG, GrLo],
где также исследованы коэффициенты at характеристического
многочлена матрицы расстояний дерева (напомним, что ап = (—1)" | D (G) |).
В [EdGG] доказано, что
ая_, = 2"-3 (2nNKt - 2NKu2 - 4),
где Nh — число порожденных графов, изоморфных Я и содержащихся
в рассматриваемом дереве. В этой работе приведены также
соответствующие выражения для коэффициентов а„_2 и а„_з и
сформулировано утверждение относительно общего вида коэффициентов
характеристического многочлена матрицы расстояний. Это утверждение,
состоящее в том, что аь может быть выражено через линейную
комбинацию чисел Nh для различных Я, было подтверждено в работе [GrLo].
Вопрос о том, определяется ли граф однозначно
характеристическим многочленом матрицы расстояний, обсуждался также в [EdGG и
GrLo].
Если G — метрически регулярный граф (как определено в § 6.4)
с матрицами смежности порожденной ассоциативной схемы А0 = /,
А19 ..., Ат, то очевидно, что
т
D(G)= S kAk.
Следовательно, если двум графам соответствуют ассоциативные схемы
с одинаковыми параметрами, то на основании теоремы 6.23 их матрицы
расстояний должны быть коспектральными. Однако до сих пор не
найдено ни одной пары деревьев с одинаковыми характеристическими
многочленами матриц расстояний, но есть надежда, что по крайней мере
для деревьев спектр матрицы расстояний определяет граф **.
* Две дуги орграфа считаются принадлежащими одному и тому же блоку тогда
и только тогда, когда в орграфе существует контур, содержащий обе дуги.
** Это предположение недавно было опровергнуто Мак-Кэем [МсКа].
281

§ 9.3. Алгебраическая связность графа
В § 1.2 С-спектр Spc (G) графа G был определен как спектр
матрицы С (G) = С = D — А. Коэффициенты соответствующего
характеристического многочлена Cq (к) были интерпретированы в § 1.5 на
языке древовидной структуры графа G. Обратим теперь внимание на
Spc (G) = [Xlt ..., Хп]с. Матрицу С можно представить в виде С =
= VVTt где V — вершинно-реберная матрица (0, 1, —1)-инциденций
орграфа, полученного из G ориентированием каждого ребра графа G
произвольным образом. Следовательно, С — симметрическая
особенная (так как все суммы элементов строк равны нулю) и положительно
полуопределенная матрица. Другими словами, ее собственные
значения неотрицательны и наименьшее из них всегда равно нулю. Второе
минимальное С-собственное значение Хп^{ будем обозначать через
a (G). Эта величина во многом определяет свойства вершинной или
реберной связности * и согласно Фидлеру [Fie 1] называется
алгебраической связностью графа. Опишем ее некоторые свойства.
Матрица (п — 1) / — С неотрицательна и имеет одинаковые
строчные суммы. Следовательно, кратность наибольшего собственного
значения равна числу компонент графа G (см. теорему 3.23). Это означает,
что a (G) = 0 тогда и только тогда, когда G несвязен.
Если Glf G2 — непересекающиеся по ребрам графы на одном и том
же множестве вершин, то a (Gx |J G2) ^ a (Gx) + a (G2). Другими
словами, введение в граф новых ребер не уменьшает алгебраической
связности. Чтобы доказать это свойство, рассмотрим множество ж я-мер-
ных векторов, в которых сумма координат равна нулю. Имеем
a (G, iJ Go) = min (хТС (Gx) х + хтС (G2) х) >
> min хтС (Gx) х + min xTC (G2) x = a (Gt) + a (G2).
х£Ж х£Ж
Легко убедиться в том, что а (С) + k — собственное значение
матрицы С (G' v Gk)f гДе Gk — любой граф на k вершинах (см. (2.18)).
Если G' — порожденный подграф графа G на п + k вершинах, то G
можно рассматривать как остовный подграф графа G' v Gk для
некоторого Gk. Поэтому a (G) <! a (G v Gk) ^ a (С) + k. Предположим
далее, что G имеет вершинную связность k и Gk — множество разреза **
для G. Тогда G' несвязен, а (С) = 0 и a (G) ^ /г.
Фидлер [Fie 1] доказал неравенство
a(G)>2<?(l — cos-JM,
где е — реберная связность графа G, а также другие родственные
неравенства подобного типа и описал способ построения множества разреза
* Граф G /г-вершинно (реберно) связен, если k — наименьшее число вершин
(ребер), при удалении которых граф становится несвязным или состоит из
изолированной вершины.
** Множество вершин (ребер), в результате удаления которых граф становится
несвязным, называется множеством разреза.
282

в графе G с помощью собственного вектора матрицы С,
соответствующего a (G). В работе [Fie 2] понятие алгебраической связности
распространено на графы с положительно взвешенными ребрами. Некоторые
из этих результатов были получены также У. Андерсоном и Морли
[АпМо].
Предположение о том, что a (G) является весьма полезным для
описания «формы» графа, было подтверждено исследованием кубических
графов с помощью ЭВМ [BuCCS] (см. табл. 3 в приложении).
§ 9.4. Целочисленные графы
Граф называется целочисленным, если все его собственные значения
целочисленны. Харари и Швенк [HaS 2, Наг 3] поставили задачу ха-
рактеризации целочисленности графов. Эта задача, по-видимому,
весьма трудна, и пока что получены лишь отдельные частные результаты.
Некоторые операции над графами, которые в применении к
целочисленным графам вновь приводят к целочисленным графам, описаны в
работе [HaS 2]. Доказано, что множество регулярных связных
целочисленных графов фиксированной степени конечно [Cve 16]. Буссема-
кер и Цветкович [Cve 16, BuCv] нашли все кубические связные
целочисленные графы (всего 13). Перечислим их: /(4; /Сз,з; граф Петерсена;
кубический граф; С6; 8-клетка Татта; граф на 10 вершинах, полученный
из Кз,з выделением пары несмежных вершин и заменой каждой из них
треугольником; реберный граф графа подразбиений /С4; граф Дезар-
га; граф, коспектральный графу Дезарга; двудольный граф на 12
вершинах; 6-угольная призма; двудольный граф на 24 вершинах с
обхватом 6. Такие же результаты независимо получены Швенком [Schw
6], но его построения более просты. Кроме того, имеется в точности 7
связных целочисленных графов, степени вершин которых не выше 3 и
не все при этом равны 3 [CvGT 3].
§ 9.5. Некоторые нерешенные задачи
1., Определить графы с различными собственными значениями
[HaS 2].
2* Установить спектральные свойства деревьев, плоских графов
и турниров [Wi, RJ].
3. Пусть г — индекс, ad — среднее значение степеней вершин
графа. Величина б = г — d может рассматриваться как мера
отклонения от регулярности. Найти лучшую возможную верхнюю границу
для б как функцию числа вершин п. Для п ^ 5 лучшей границей
является Уп — 1—2(1 — \1п)\ она достигается на графе Кп-\\
[CoSi 1].
4» Найти наилучшую возможную нижнюю границу для
собственных значений графов с п вершинами.
5. Найти связь между теорией цепей Маркова и теорией спектров
графов.
6. Определить класс орграфов (мультиграфов) с
действительными собственными значениями.
283

7. Найти граф G, для которого уравнение Pg М = 0 не может
быть решено в радикалах (Гутман).
8. Определить, какие результаты теории спектров графов
распространяются на гиперграфы (относительно числа остовных деревьев
см. [RuSa]; об общем подходе см. [Rung]).
9. Пусть X = {xlf ..., хп) —множество вершин графа G, Gt—
подграф графа G, порожденный множеством X \ {xt}. Верно ли, что
для п > 2 характеристический многочлен Pg (к) графа G однозначно
определяется совокупностью характеристических многочленов Pg. (X)
(i = 1, ..., п) [CuCv]? Хорошо известная гипотеза Улама состоит в том,
что для п > 2 граф может быть восстановлен по набору графов Gt
(i = 1, .... п). Эта гипотеза подтверждена в работе [GuCv] для
регулярных и некоторых других классов графов. В [Tut 1] доказано, что
многочлен Pq (^) может быть восстановлен по набору графов Gt. На
самом деле это означает, что возможные контрпримеры к гипотезе
Улама следует искать в классе коспектр ал ьных графов. Относительно
некоторых других задач подобного рода см. [Pouz, Tut 2]. Отметим,
в частности, что Р^ (X) также восстанавливаем по набору графов Gt.
Если принять во внимание п. 15 § 1.9 (с. 51), то можно утверждать,
что спектр Зайделя также восстанавливаем по тому же набору.
Естественной гипотезой тогда является следующая: если два графа
имеют одинаковые наборы подграфов, полученных в результате удаления
вершин, то они переключательно эквивалентны.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ СПЕКТРОВ ГРАФОВ
Приведенные ниже таблицы содержат численные данные о характеристических много
членах, спектрах и других характеристиках, аналитические выражения которых для
определенных классов графов содержатся в § 2.6. Прокомментируем эти таблицы.
Таблица 1 взята из работы [CoSi 1]; ее точность проверена с помощью ЭВМ.
Характеристические многочлены PG (к) факторизуются на неприводимые
множители над полем рациональных чисел. Для фиксированного п графы упорядочены
по убыванию индекса.
Таблица 2. Работы [MiKH и MoW 5] содержат таблицы характеристических
.многочленов PG (X) деревьев для п ^ 10. При сравнении этих таблиц различие
между ними не было обнаружено. Табл. 2, приведенная здесь, взята из работы [WoW 5],
в которой деревья упорядочены так, что их многочлены следуют в
лексикографическом порядке; для п = 2, 3, ..., 9 собственные значения взяты из [Nos 1], для п = 10'
они вычислены Максимовичем, который внес некоторые исправления и для других
данных таблицы, приведенной в [Nos 1]. Характеристические многочлены для
деревьев с 2, 3, ..., 8 вершинами даны также в [CoSi 1].
Среди деревьев с менее чем 8 вершинами не существует ING-nap и имеется в
точности одна ING-napa на 8 вершинах и в точности пять ING-nap на 9 и четыре на 10
вершинах.
Таблица 3 содержит коэффициенты характеристических многочленов PG (к)
и спектры всех связных кубических графов 6 с числом вершин вплоть до 12.
Целочисленные собственные значения приведены точно, нецелые — с точностью до двух
десятичных знаков.
19 связных кубических графов с 10 вершинами приведены, в частности, в работах.
[BuS 1, Imri]. 85 связных кубических графов с 12 вершинами, помещенных в
настоящей таблице, найдены Чобельжичем, который с помощью ЭВМ вычислил также
соответствующие характеристические многочлены и спектры. Недавно получено 86
кубических связных графов с 12 вершинами [ПеПе]! Сравнивая свои результаты с
результатами работы [ПеПе], Чобельжич установил, что среди 86 графов, приведенных
в этой работе, имеется два изоморфных» а именно графы № 35 и 41 (в графах № 24 и
26 обнаружены некоторые технические ошибки). Наконец, Зайдель и Буссемакер
([BuCCS] и частное сообщение) с помощью ЭВМ воспроизвели все кубические графы
с числом вершин вплоть до 14. Они подтвердили число 85. Имеется в точности 540
кубических графов с 14 вершинами, 509 из которых являются связными.
Задача перечисления кубических графов рассматривалась и другими авторами,,
однако в настоящей книге мы не будем вдаваться в подробности этого вопроса.
Табл. 3 содержит также граф Петерсена (граф 3.26).
В недавно вышедшей статье Буссемакера, Чобельжича, Цьетковича и Зайдел»
[BuCCS] приводятся все 621 связных кубических графа с не более чем 14 вершинами,
а также их характеристические многочлены, спектры, числа простых циклов длив
3, 4, ..., 14, диаметры, связности, порядки групп автоморфизмов и заключения
относительно планарности. Последовательность собственных значений дана в невозрас-
тающем порядке, и для фиксированного числа вершин графы упорядочены лексико-
28&

графически по отношению к этим последовательностям. Среди всех кубических
графов с менее чем 14 вершинами ING-nap нет, а среди всех связных кубических графов
с 14 вершинами есть в точности три ING-пары. Авторы отмечают, что заслуживает
внимания связь между вторым наибольшим собственным значением и связностью
графа и что лексикографический порядок раскрывает строгое соответствие между
спектром и «формой» (описываемой в терминах диаметра, обхвата, связности и т. д.)
графа (регулярного), которому, однако, все еще недостает точной формулировки.
Таким образом, упомянутая статья содержит обширный материал для дальнейших
исследований в спектральной теории графов (регулярных).
Таблица 4 составлена частично на основе данных, взятых из работы [CoSi 1],
и частично — по материалам Крауса и Симича.
Все 49 графов и мультиграфов этой таблицы обладают некоторыми свойствами
симметрии, для 36 из них группа автоморфизмов имеет только одну или две орбиты.
Графы 4.42 и 4.46 являются самодополнительными.
Графы пяти Платоновых тел (регулярные полиэдры) содержатся в табл. 3 (3.1 —
тетраэдра; 3.7 — куба) и в табл. 4 (4.20 — додекаэдра; 4.37 — октаэдра; 4.49 —
икосаэдра).
Девять запрещенных подграфов в известной характеризации реберных графов
«о Байнеке [Bein] приведены в табл. 1 (1.8, 1.11, 1.17) и в табл. 4 (4.23, 4.24, 4.25,
4.33, 4.35, 4.36).
Таблица 5 составлена Симичем и опубликована в работе [Cve 11].
Характеристический многочлен графа Кп i% п может быть записан в виде (см. § 2.6)
ркЩ1 IkM-v-*(tf-j^).
Данные для каждой группы графов приводятся для фиксированных kn п. Граф
Кп тП определяется разбиением числа п на числа nlt ..., nk (например,
З2!8означает 3, 3, 1, 1, 1). Затем приводятся коэффициенты bt (i = 2, ..., k) и, наконец, в порядке
k
убывания — приближенные значения корней уравнения Xk — ^Ь{Кк~~1 — 0. Таблица
1=2
включает, естественно, полные графы Кп с п — 2, ..., 10 вершинами.
Таблицы 6.1—6.4 содержат некоторые графы, представляющие интерес
в химии, данные для этих таблиц взяты из работы [Hei 1].
Таблица 7. Как было доказано в § 5.1, все простые собственные значения
графа, группа автоморфизмов которого имеет /орбитсrlt г2» --ч rt в качестве степеней
вершин этих орбит, являются элементами конечного множества £РГ г г . В таблице
представлены множества Cfrr (rlt r2= 1, 2, ..., 5).
Разумеется, (fT r = (fr и на основании результатов § 5.1 из А,£фгг
следует — X^(fr г . Поэтому для каждой пары значений rit г2 приводятся в
возрастающем порядке только неотрицательные числа, содержащиеся в Cfr г (первый
столбец). Для нецелых чисел Х^(^гг второй и третий столбцы дают соответственно
коэффициенты р и q уравнения второго порядка X2 + рк -\- q = 0, которому
удовлетворяет X. Таблица приведена в работе [КгС 2].
Таблицы 8.1 и 8.2, взятые из [LiSe], связаны с операцией переключения Зай-
деля, описанной в § 6.5. Каждый класс эквивалентности представлен одним графом
из этого класса. В табл. 8.1 классы располагаются согласно частичному
упорядочению по включению. Это означает, что класс, представленный графом G, включает
каждый из классов, содержащих подграф G. Для каждого класса указано число
включений. Кроме того, приводятся приближенные значения собственных значений.
Два класса являются дополнительными, если они содержат в качестве представителей
дополнительные графы. Указаны самодополнительные классы. Для графов с 7
вершинами имеется 54 класса, являющихся попарно дополнительными. Половина этих
классов приведена в табл. 8.2.
В различных источниках опубликовано несколько других таблиц, содержащих
численные данные относительно спектров графов и аналогичных характеристик.
Прежде всего отметим полный каталог характеристических многочленов графов с
семью вершинами [King], включающий также несвязные графы. Далее упомянем две
286

обширные книги таблиц [Cost, StBr], в которых приводятся численные значения для
спектров, собственных векторов и некоторых других величин (представляющих
интерес в химии в связи с полной л-электронной энергией, порядком связей и т. д.) для
большого числа графов, связанных с наиболее важными химическими соединениями.
Рассматриваются также гетеромолекулы, т. е. графы, матрица смежности которых
имеет некоторые ненулевые элементы на главной диагонали.
Статьи [HoDKP, HoDKT, HoDT, HoKZ, TiH 1, TiH 2, TiH 3, ZaM 1,
ZaM 2, ZaM 3, ZaMK 1, ZaMK2, ZaPa] содержат таблицы аналогичного характера.
Некоторые из графов, рассматриваемых в них, имеются также в работах fCoSt, StBr].
Отдельные таблицы из приводимых ниже можно найти в работе fHei 1]. Они
также содержат характеристические многочлены для определенных классов графов,
представляющих интерес в химии.
В [MiKH и КаМН] опубликованы таблицы характеристических многочленов и
так называемых топологических индексов * графов. Работа [MiKH] была упомянута
в связи с табл. 2. [КаМН] имеет отношение к моно- и бициклическим графам с числом
вершин до восьми, в которых степени вершин не превышают 4. Среди
рассматриваемых графов имеется 13 ING-nap.
В работе [CoSi 1] приводится таблица характеристических многочленов других
различных графов. Большинство из них включено в табл. 4 настоящего приложения.
В работе [Col 1] содержатся характеристические многочлены и спектры всех
связных подграфов с числом вершин до шести графа Рт + Рп (см. 2.6). Все эти
графы включены в приведенные ниже таблицы.
В [Wal 1] вычислены собственные значения матрицы А — D + (п —1) I (А —
матрица смежности, D — матрица валентностей) для всех графов с числом вершин
до пяти.
Перечень всех связных графов с числом вершин до пяти вместе с их
характеристическим ^и "минимальным многочленами (над полем Галуа GF~(2)) дан в работе
[MoW 6].
Наконец, таблицы характеристических многочленов матриц расстояний
(см. § 9.2) для некоторых графов содержатся в работах [НоМС, EdGG].
Численные данные по спектрам или характеристическим многочленам отдельных
графов можно найти также и в других математических, химических и физических
статьях. О данных относительно графов, содержащихся в некоторых ING-napax,
см. § 6.1.
* Топологический индекс графа G [Hos 1] определяется как число регулярных
подграфов степени 1, содержащихся в G. В деревьях топологический индекс равен
сумме абсолютных значений коэффициентов характеристического
многочлена.Топологический индекс графа, соответствующий естественным образом (т. е. не так, как в
теории Хюккеля) молекуле насыщенного углеводорода, связан с точкой кипения и
другими термодинамическими свойствами рассматриваемого соединения. Вообще говоря,,
с увеличением топологического индекса точка кипения возрастает. Этот факт
установлен эмпирически [HoS 1].
287

10 Таблица 1. Характеристические многочлены и спектры связных графов с п вершинами, 2 i^ п < 5
п
2
3
4
5
j
Граф
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
Характеристический многочлен Pq (к)
Я2 —1 =(Я— 1)(Я+1)
Яз_ЗА — 2 =(Я^2)(Я+1)а
X,3 — 2Х = (Я2 — 2) Я
Я4 — 6Х2 — 8Я — 3 = (Я — 3) (Я + I)3
Я4 — 5Я2 — 4Я = (Я2 — Я — 4) (Я + 1) Я
| я4 — 4Я2 — 2Я + 1 = (Я» — Я2 — ЗЯ + 1) (Я + 1)
X4 — 4Я2 = (Я — 2) Я2 (Я + 2)
Я4 — 3>w2 = (Я2 — 3) Я2
Я* —ЗЯ2 +1 =(Я2 — Я— 1)(Х2 + Я— 1)
Я5 — ЮЯ3 — 20Я2 — 15Х — 4 = (Я — 4) (Я + I)4
Яь — 9Я3 — 14Я2 — 6Я = (Я2 — 2Я — 6) X (Я + I)2
Я* — 8Х3 - ЮЯ2 — Я + 2 = (Я3 — 2Я2 — 5Я + 2) (Я + I)2
Я& — 8Х3 — 8Х2 = (Я2 —2Я — 4) Я2 (Я + 2)
Я* — 7Х3 — 8Я2 + 2 = (Я3 — 2Я2 — 4Я + 2) (Я, + I)2
Я6—7Я3—6Я2 = (Я — 3)Я2(Я + 1)(Я + 2)
Я5 — 7Я3 — 6Я2 + ЗЯ + 2 = (Я3 — X2—5Я — 2) аа + Х 41)
Я5 - 7Я3 - 4Яа + 2Х = (Я3 - ^-6* -f 2) Я (Я + 1)
№ — §*а -#2 -f 2Я = (Я4 — 6Я2 — 4Я + 2) Я
Я5 — 6Я3 — 4Я2 + ЗЯ + 2 = (Я4 —Я3—5Я2 + Я + 2) (Я+ 1)
Спектр
А,, | Я,2 J Х,3
1
2
1,4142
3
2,5616
2,17011
2
1,7321
1,6180
4
3,6458
3,3234
3,2361
3,0861
3
2,9354
2,8558
2,6855
2,6412
—1
— 1
0
—1
0
0,311
0
0
0,6180
—1
0
0,3579
0
0,4280
0
0,6180
0,3216
0,3349
0,7237
i —1
— 1,4142
—1
— 1
— 1
0
0
—0,6180
—1
—1
—1
0
—1
6
- 0,4626
0
0
—0,5892
К
— 1
— 1,5616
— 1,4812
—2
— 1,7321
— 1,6180
—1
—1
— 1
— 1,2361
— 1
—1
— 1,4728
—1
— 1,2713
—1
К
— 1
— 1,6458
— 1,6813
—2
-1,5141
—2
— 1,6180
—2,1774
— 1,7491
-1,7757

1.20 a5-6*,s-4*,« + 5X + 4
1.21 \\й-$&-»&?+4Х
1.22 Х> — 6Л3
1.23 К> — 5Я3 — 2А2 + 2Я
1.24 Я5 — 5Я3 — 2Х2 + ЗХ
1.25 Я6 — 5Я3 — 2Я2 + 4Я + 2
1.26 Я6 —5Х3 + 2Я
1.27 Яь — 5Х3 + 5Я —2
1.28 Я5 —4Я3
1.29 X6 — 4Я3 + 2Я
1.30 Я,5 —4Я3 + ЗЯ
= (А,* — Я. — 4) (X — 1)(Х+ I)2
: (X3 — 2Х2 — 2Я + 2) Я (Я + 2)
:(Хз_ Х2_ 4Я + 2ft (£ lf<)
; (Я2 - X — 3) (X2 + X - 1}*
:(Яз_471 — 2) (Я— 1)(Я+1)
: (Я4 — 5Х2 + 2) Я
.(к— 2)(Я2 + Я — I)2
: (А, — 2) Я3 (X + 2)
: (Я4 — 4Я2 + 2) Я
(X2 — 3)(Х— 1)М^ + 1)
2,5616
2,4812
2,4495
2,3429
2,3028
2,2143
2,1358
2
2
1,8478
1,7321
1
0,6889
0
0,4707
0,6130.
1
0,6622
0,6180
0
0,7654
1
—1
0
0
0
©
—0,5392
0
0,6180
0
0
0
— 1 F 1
— 1,1701
0
—1
— 1,3028
—1
—0,6622
— 1,6180
0
—0,7654
— 1
— 1,5616
—2
—2,4495
— 1,8136
— 1,6180
.-1,6751
—2,1358
-1,6180
—2
-1,8478
— 1,7321
_А„М
/./ 1.2 1.3
1Л 1.5 1.6
1.7 1.8
1.9
1.10
1.11
120 1.21
X >~ „
1.2В 1.29
1.30

Таблица 2. Характеристические многочлены и спектры всех деревьев на п
вершинах, 2 ^ п < 10
п
?
3
4
5

Дерево
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Коэффициенты
<*а
а4 ав а8
— 1
-2
—3
—3
—4
—4
—4
0
1
0
2
3
Спектр *
К
К *»
К
1
1,414
1,732
1,618
! 2
1,848
1,732
0
0,618
0
0,765
1
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
0
0
О
О
—1
—1
2,236
2,074
2
1,902
1,932
1,802
О
0,835
1
1,176
1
1,247
О
О
О
О
0,518
0,445
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
—6
-6
—6
—6
—6
—6
—6
—6
—6
—6
—6
О
4
6
7
7
8
8
9
9
9
10
О
О
О
О
—2
О
—2
—2
—3
—4
—4
2,449
2,288
2,175
2,101
2,136
2
2,053
1,932
1,970
2
1,848
О
0Д74
1,126
1,259
1
1,414
1,209
1,414
1,286
1
1,414
О
О
О
О
0,662
О
0,570
0,518
0,684
1
0,765
2.25
2.26
2.27
—7 0 0 0
—7 5 0 0
—7 8 0 0
2,646 0 0 0
2,488 0,899 О О
2,358 1,199 О О
* Приводятся лишь собственные значения Xt, Я.,. ..., Ь[п/2]» поскольку для двудольного
графа с п вершинами справедливо равенство Х^ f-^-1 te ~~ Ч'*
290

>~ X
• • • • • «г • • • • Г >
2.1 2.2 2.3 2Л 2.5
2.6
2.7
х>
2.8 2.9
х >
• •
2.12 4
2.70
2.77
• • • ^ • #
2.13
х >
Х- X
« •
г /4
2.75
_« »
г.» *
2.76
2.17
2.W 2.2Q 2.27
-т • • •
2.22
2.2Ь
2.25
2.26
2.27
10*
291

Продолжение табл. 2
8
9

Дерево
2.28
2.29 |
2.30
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
2.37
2.38
2.39
2.40
2.41
2.42
2.43
2.44
2.45
2.46
2.47
2.48
2.49
2.50
2.51
2.52
2.53
2.54
2.55
Коэффициенты
«2
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
—7
-7
—8
—8
—8
—8
—8
—8
—8
—8
Д«
9
9
9
11
11
11
12
12
12
12
13
13
13
13
13
14
14
14
14
15
0
6
10
11
11
12
14
14
"*
0
0
—3
0
-3
—4
—3
—4
—5
-7
—4
-5
-6
-7
-7
-7
—8
—8
—9
— 10
0
0
0
0
—4
0
0
—4
а»
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
Спектр *
к
2,303
2,303
2,334
2,149
2,206
2,222
2,112
2,136
2,157
2,189
2
2,042
2,074
2,101
2,095
1,950
2
1,989
2,029
1,879
2,828
2,676
2,540
2,497
2,524
2,449
2,327
2,376
К
1,303
1,303
1
1,543
1,338
1,240
1,496
1,414
1,314
1
1,618
1,520
1,414
1,259
1,356
1,564
1,414
1,486
1,321
1,532
0
0,915
1,245
1,328
1
1,414
1,608
1,414
*.
0
0
0,742
0
0,587
0,726
0,548
0,662
0,789
1
0,618
0,720
0,835
1
0,738
0,868
1
0,813
1
1
0
0
0
0
0,792
0
0
0,595
К
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,457
0
0
0
0
0,477
0
0
0,416
0,373
0,347
0
0
0
0
0
0
0
0
292

2.28
« ф #
2.29
2.31
2.32
2.33
2М
2.35
2.3S
2Л5
2А7
2А8
2.46
-• •-
2AQ
• '■'■• •
4—*
г^
2.53
2.54
2.55
293

Продолжение табл. 2
,
Ln
s
■ ■
>
i
\
\

Дерево
——___
2.56
2.57
2.58
2.59
2.60
2.61
2.62
2.63
2.64
2.65
2.66
2.67
2.68
2.69
2.70
2.71
2.72
2.73
2.74
2.75
2.76
2.77
2.78
2.79
2.80
2.81
2.82
2.83
Коэффициенты
<*i
—8
—8
—8
—8
—8
—8
—8
—8
-8
—8
—8
—8
—8
—8
—8
—8
—8
—8
—8
-8
-8
—8
—8
-8
—8
-8
—8
—8
«4
14
15
15
15
15
15
16
16
17
17
17
17
17
17
17
17
18
18
18
18
18
18
18
18
19
19
19
19
<*e
—6
0
—4
—6
—7
— 10
—6
—8
—6
—7
—8
—9
—10
—10
—11
-12
— 10
— 10
-12
—12
-12
-12
—14
-16
-12
-13
—13
—M
fl* i
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
2
2
3
5
0
0
2
2
bi
2,397
2,236
2,307
2,334
2,347
2,376
2,255
2,288
2,136
2,168
2,194
2,216
2,236
2,236
2,247
2,264
2,117
2,117
2,175
2,175
2,165
2,165
2,206
2,236
2
2,061
2,036
2,084
Сггект» *
ь.
1,267
1,732
1,536
1,414
1,333
1
1,558
1,414
1,732
1,662
1,590
1,512
1,414
1,414
1,414
1,279
1,640
1,640
1,414
1,414
1,528
1,528
1,338
1
1,732
1,598
1,691
1,572
К
0,807
0
0,565
0,742
0,845
1
0,697
0,874
0,662
0,735
0,811
0,895
1
1
0,802
1
0,911
0,911
1,126
1,126
0,854
0,854
1
1
1
1,095
0,884
1
К
0
0
0
0
0
0,595
0
0
0
0
0
0
0
0
0,555
0,488
0
0
0
0
0,501
0,501
0,587
1
0
0
0,465
0,432
294

2.82
295

Продолжение табл. 2
п
9
10
-;

Дерево
2.84
2.85
2.86
2.87
2.88
2.89
2.90
2.91
2.92
2.93
2.94
2.95
2.96
2.97
2.98
2.99
2.100
2.101
2.Ю2
2.103
2.104
2.105
2.106
2.107
2.108
2Л09
2.110
2.111
Коэффициенты
а2 а* Д« . ач я10
—8 19 —14 2
—8 19 -14 3
—8 19 —15 2
—8 19 —15 3
—8 19 —16 4
—8 20 —16 2
—8 20 —17 3
—8 20 —17 4
—8 20 —18 4
—8 20 —18 5
—8 21 —20 5
—9 0 0.00
—9 7 0 0 0
—9 12 0 0 0
—9 13 0 0
—9 13 —5 0 0
—9 15 0 0 0
—9 16 0 0 0
—9 17 0 0 0
-9 17 —5 0 0
—9 17 -8 0 0
—9 18 —5 0 0
-9 18 —9 0 0
-9 18 -13 3 0
—9 19 0 0 0
—9 19 —8 0 0
—9 19 —9 0 0
—9 20 —8 0 0
Спектр *
Хх Л2 Л3 л4 л§
2.084 1.572 1 0.432
2.074 1.618 0,835 0.618
2.119 1.414 1.159 0.4Q7
2.112 1.496 1 0,548
2.136 1.414 1 0.662
1.962 1,663 1.111 0.390
2.015 1.548 1.ПЗ 0.486
2 1,618 Г 0,618
2,053 1.414 1.209 0,570
2.042 1.520 1 0.720
1,902 1.618 1,176 0.618
3 0 0 0.0
2.853 0.927 0 0 0
2,715 1,276 0 0 0
2.682 1.344 0 0 0
2,705 1 0,827 0 0
2,606 1,486 0 0 0
2,562 1,562 0 0 0
2,511 1.642 0 0 0
2,550 1,461 0,600 0 0
2.571 1,288 0,854 0 0
2,499 1,557 0,575 0 0
2,532 1,347 0,879 0 0
2,558 1 1 0,677 0
2,370 1.839 0 0 0
2,470 1.529 0,749 0 0
2,479 1,477 0,819 0 0
2.404 1.646 0,715 0 0
296

2.109 *
29?

Продолжение табл. 2
п
10
}
1

Дерево
2Л12
2.113
2.114
2.115
2.116
2.117
2.118
2.119
2.120
2.121
2.122
2.123
2.124
2.125
2.126
2.127
2.128
2.129
2.130
2.131
2.132
2.133
2.134
2.135
2.136
2.137
2.138
2.139
Коэффициенты
а*
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
-9
-9
-9
—9
-9
—9
—9
<*4
20
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
23
23
23
23
23
23
23
ав
— 12
—8
—9
—9
—11
—12
—12
—13
— 14
-15
—17
—9
— 11
—13
-15
—16
— 16
—17
—17
—19
—22
—14
—15
—16
—17
—17
—18
—19
«8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
4
0
0
0
0
0
3
3
4
5
9
0
0
0
0
3
4
4
<*to
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—1
0
0
0
0
0
0
0 |
Спектр *
к
2,450
2,315
2,334
2,334
2,367
2,381
2,381
2,394
2,407
2,412
2,433
2,199
2,265
2,309
2,343
2,358
2,350
2,365
2,362
2,387
2,414
2,205
2,236
2,262
2,283
2,271
2,288
2,307
К
1,414
1,780
1,732
1,732
1,631
1,574
1,574
1,506
1,414
1,457
1,296
1,912
1,789
1,673
1,531
1,414
1,552
1,469
1,508
1,350
1
1,804
1,732
1,657
1,569
1,664
1,618
1,536
К
1
0,686
0,742
0,742
0,859
0,925
0,925
1
1,099
0,849
1
0,714
0,818
0,934
1,080
1,199
0,883
1
0,826
1
1
0,941
1
1,067
1,151
0,904
0,874
1
Х4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,580
0,634
0
0
0
0
0
0,538
0,498
0,680
0,694
1
0
0
0
0
0,507
0,618
0,565
*2_
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,414
0
0
0
0
0
0
0
298

2JJ5
• ф-
2.119
НС-^ХГЭК
z.m
299

Продолжение табл. 2
п
10
j

Дерево
2.140
2.141
2.142
2.143
2.144
2.145
2.146
2.147
2.148
2.149
2.150
2.151
2.152
2.153
2.154
2.155
2.156
2.157
2.158
1
2.159
2.160
2.161
а2
—9
-9
—9
-9
—9
—9
-9
-9
—9
-9
—9
—9
-9
-9
-9
—9
-9
—9
—9
—9
—9
—9
Коэфф
««
23
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24-
24
25
25
ициенты
Яв
-20
— 17
— 18
—18
—19
-19
—19
—20
—20
-20
-20
—21
-21
—21
-22
-22
-23
—23
—24
-25
-21
-22
«8
4
0
0
3
0
3
4
0
3
4
5
3
4
5
5
6
6
7
9
9
0
3
«ю 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—1
0
„ о
0
Спектр *
к
2,324
2 Л 29
2,175
2,147
2,209
2,189
2,181
2,236
2,220
2,214
2,208
2,246
2,241
2,236
2,260
2,255
2,276
2,272
2,285
2,303
2,101
2,119
К
1,414
1,830
1,732
1,820
1,629
1,732
1,760
1,414
1,642
1,675
1,705
1,526
1,578
1,618
1,507
1,558
1,414
1,492
1,453
1,303
1,732
1,732
К
1,147
1,059
1,126
0,919
1,212
1
0,899
1,414
1,089
1
0,861
1,205
1,107
1
1,135
1
1,186
1
1
1
1,259
1,159
к
0,530
0
0
0,482
0
0,457
0,579
0
0,436
0,539
0,690
0,419
0,511
0,618
0,579
0,697
0,642
0,780
0,688
1
0
0,407
К
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,438
.0
0
0
300

>
2.140 • •
2.142 * >•
>
2./4Г
-• • #-
-# •-
2.746* >•
2.J48 * %
2.145 * • 1 • А
2.147* %
<
2.150* N
п
• • •-
2.154* ^
~зк
£tf£# * >»
>
-• f •-
<
2.151 * %
2.155* *
2.157% * N>
2.159
301

Продолжение табл. 2
п
10

Дерево
2.162
2.163
2.164
2.165
2.166
2.167
2.168
2.169
2.170
2.171
2.172
2.173
2.174
2.175
J.176
2.177
2.178
2.179
2.180
2.181
2.182
2.183
Коэффициенты
а*
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
-9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
—9
<*4
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
26
36
26
26
26
26
26
26
«в
-22
-23
-23
—23
—24
—24
—24
—24
—25
—25
—25
—26
—26
-28
-25
—26
-26
-26
-27
-27
—27
—27
л.
4
4
5
6
4
5
6
7
7
8
9
8
10
12
4
5
6
7
7
8
8
9
Of
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—1
0
—1
—1
0
0
0
0
0
0
0
0
Спектр *
*»
2,107
2,154
2,145
2,136
2,189
2,182
2,175
2,168
2,200
2,194
2,189
2,222
2,212
2,250
2
2,070
2,053
2,031
2,101
2,089
2,089
2,074
К
1,772
1,650
1,694
1,732
1,414
1,561
1,618
1,662
1,584
1,590
1,618
1,414
1,546
1,352
1,802
1,669
1,732
1,788
1,618
1,681
1,681
1,782
ь.
1,086
1,188
1,103
1
1,414
1,232
1,126
1
1,163
1
1
1,240
1
1
1,247
1,297
1,209
1,119
1,259
1,149
1,149
1
*4
0,493
0,474
0,558
0,662
0,457
0,533
0,618
0,735
0,674
0,818
0,618
0,726
0,751
1
0,445
0,499
0,570
0,651
0,618
0,701
0,701
0,835
К
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,457
0
0,389
0,329
0
0
0
0
0
0
0
0
302

2.183
303

Продолжение табл. 2
п
10
г

Дерево
2.184
2.185
2.186
2.187
2.188
2.189
2.190
2.191
2.192
2.193
2.194
2.195
2.196
2.197
2.198
2.199
2.200
Коэффициенты i
а*
—9
—9
-9
—9
—9
—9
—9
—9
> -9
—9
—9
—9
—9
1" ""9
—9
-9
—9
а*
26
26
26
26
26
26
26
26
26
27
27
27
27
27
27
27
28
<*в
—27
—28
—28
-28
-28
—28
—29
—29
—30
-30
—31
—31
—31
—32
—32
-32
-35
а»
10
8
9
9
10
11
11
11
13
9
11
И
12
12
13
14
15
а ю
— 1
0
0 1
0
—1
—1
0
—1
—1
0
0
—1
—1
0
—1
—1
—1
Спектр *
К
2,061
2,136
2,127
2,127
&П9
щ 2,109
2,149
2,151
*170
1,970
2,024
' 2,029
2,007
?;074
2,064
2,049
1,919
>.
1,764
1,414*
1,576
1,576
1,618
1,672
1,543
1,505
1,481
1,732
1,655
1,618
1,707
1,414
1,557
1,647
1,683
_*>
1
1,414
1,197
1,197
1,159
1
1
1,221
1
1,286
1,234
1,321
1,190
1,414
1,268
1
1,310
_К
0,694
0,662
0,747
0,747
0,618
0,794
1
0,699
1
0,684
0,803
0,618
0,729
0,835
0,779
1
0,831
К
0,396
0
0
0
0,407
0,357
0
0,362
0,311
0
0
0,373
0,337
0
0,315
0,296
0,285
304

» •—»
I i 2.187 • *^ . >»
rx: „■' '' <
2.J88 i 4
£ДО
X _ ™>
/^ 2.197 /
2A9*
2>Ш
• •
• • •
-• • > • • • • . •
305

Таблица 3. Характеристические многочлены и спектры связных кубических
графов с п вершинами (п = 4, 6, 8, 10, 12)
п
4
6
8
10
Граф
| 3.1
3.2
Коэффициенты
U alt аг< .... ап
| 1 0 —6 —8 —3
1 0 —9 —4 12 0 0
3.3 10—90000
3.4
3.5
3.6
3.7
1 3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19 |
3.20
Спектр [Я,!, Я.в, ...» "к
| 3 —1 -1 -1
1 3 1 0 0 —2 —2
3 0 0 0 0—3
1 0 —12 0 34 —16 —20 16 —3 | 3 1 1 0,41 0,41 —1 —2,41 —2,41
1 1 о —12 —4 38 16 —36 —12 9
1 о —12 —2 36 0 —31 12 0
1 0 —12 0 30 0 —28 0 9
1 о —12 —8 38 48 —12 —40
—15
1 0 —15 0 65 0 —105 0 55 —9
1 0 —15 0 69 —12 —117 36 59
—12 —9
1 о —15 —4 73 28 —141 —52
99 16 —21
1 0 —15 0 71 —16 —133 64 76
48 0
1 о —15 —2 71 8 —132 —2 91
—8 —12
1 0 —15 0 65 —4 —85 —20 35
20 3
1 о —15 —4 69 32 —105 —64
23 20 3
1 о —15 —4 75 24 —157 —36
144 16 —48
1 о —15 —2 67 12 —96 —22 35
12 0 1
1 о —15 —6 75 48 —144 —114
75 68 12 1
1 0 —15 2 69 12 —116 —24 54
26 3
1 0 —15 0 63 0 —85 0 36 0 0
3 1,73 1 0,41 —1 —1 —1,73
—2,41
3 1,56 0,61 0,61 0 —1,61 —1,61
—2,56
3 111—1—1 —1 —3
3 2,23 1 —1 —1 —1 —1 —2,23
3 1,61 1,61 0,61 0,61 —0,61 —0,61
—1,61 —1,61 —3
3 1,61 1,30 1 0,61 —0,38 —0,61
—1,61 —2,30 —2,61
3 1,93 1,61 0,61 0,61 —0,61 —1,46
— 1,61 —1,61 —2,47
3 1,56 1110—1—2—2 —2,56
3 1,87 1,26 1 0,51 —0,34 —1,18
—1,53 —2 —2,59
3 1,161 1,61 1 —0,38 —0,38—0,61
—0,61 —2,61 —2,61
3 2,11 1,61 0,61 —0,25 —0,38
—0,61 —1,61 —1,86 —2,61
3 2 111—1—1—2—2—2
2 2,07 1,30 0,80 0 —0,42 —0,55
—1,29 —2,24 —2,66
3 1,87 1,87 1 —0,34 —0,34 —1,53
— 1,53 —2 —2
3 1.90 1,24 1,24 —0,19 —0,44
—0,44 —1,80 —1,80 —2,70
3 2 110 0—1—1—2—3
306

3.2
3.3
3.4
3.6
3.7
3.8
3.10
3.7/
3.IZ
3J4
3.15
3.W
3.18
3.19
J.W

Продолжение табл. 3
п
10
12
Граф
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26*
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
Коэффициенты / Спектр [Ьи X, XJ
1, alt о2, .... ап J п
1 о —15 —8 71 64 —101 —104
44 48 0
1 о —15 —4 71 28 —121 —48
64 24 0
1 о —15 —6 69 48 —96 —76 30
26 3
1 о —15 —4 63 36 —61 —56
— 12 0 0
1 о —15 —8 71 68 —93 —132
—36 0 0
1 0 —15 0 75 —24 —165 120
120 —160 48
1 0 —15 —8 63 64 —37 —56
—12 0 0
1 0 —18 0 105 0 —228 —24 180
16 —48 0 0
1 0 —18 0 109 —8 —264 40 220
—32 —48 0 0
1 0 —18 0 109 —4 —272 4 284
8 —96 0 0
1 о —18 —4 113 48 —308 —188
348 264 —112 —96 0
1 0 —18 0 111 —10 —286 54
277 —54 —63 0 0
1 0 —18 —2 113 16 —307 —42
354 36 —135 0 0
1 0 —18 —2 113 20 —315 —78
410 120 —227 —60 36
1 о —18 —6 117 72 —339 —306
414 532 —99 —324 —108
1 0 —18 0 111 —8 —292 40 327
—56 —138 24 9
3 2,56 110—1—1 —1,56 —2
—2
3 2,14 1,28 1 0 —0,36 —1 -1,60
—2 —2,45
3 2,43 1,24 0,72 —0,14 —0,44 —1
— 1,53 —1,80 —2,48
1 3 2,41 1,34 0 0 —0,41 —0.52 —1
—2 —2,81
3 2,41 1,73 0 0 —0,41 —1 —1,73
—2 —2
3 11111—2—2—2—2
3 2,77 1 0 0 —0,28 —1 —1 —2
—2,48
3 2 2 0,73 0,73 0 0—1—1 —1
—2,73 —2,73
3 2 1,81 1 0,73 0 0 —0,47 —1
_2 —2,34 —2,73
3 2 1,56 1,41 0,73 0 0—1 —1
—1,41 —2,56 —2,73
3 2 2 1,41 0,73 0 —1 —1 —1
— 1,41 —2 —2,73
3 1,96 1,57 1,36 0,74 0 0 —0,43
— 1,19 —2,12 —2,21 —2,67
3 2,05 1,73 1,30 0,76 0 0—1
— 1,23 —1,73 —2,30 —2,58
3 2 1,69 1,30 1 0,32 —1 —1
—1 —1,32 —2,30 —2,69
3 2 2 1,30 1,30 —1 —1 —1 —1
—1 —2,30 —2,30
3 1,90 1,73 1 I 0,41 —0,19 —1
_1 —1,73 —2,41 —2,70
* Граф Петерсена.

3. 21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26.
3.27
'3.28
3.29
3.30
3.3J
3.32
3.33
3.3и
3.35
3.36
309

Продолжение табл. 3
п
12
Граф
3.37
3.38
3.39
3.40
3.41
3.42
3.43
3.44
3.45
3.46
3.47
3.48
3.49
3.50
3.51
3.52
3.53
Коэффициенты
1. «i. <*г ап
1 о —18 —4 115 44 —328 —164
419 244 —198 —120 9
1 0 —18 0 115 —16 —328 104
387 —176 —102 24 9
1 0 —18 —8 111 96 —268 —336
207 416 30 —168 —63
1 0 —18 0 111 —8 —292 40 323
—48 —118 0 9
1 о —18 —4 115 40 —320 —128
375 136 —154 —36 9
1 0 —18 —4 113 40 —304 —116
360 128 —152 —48 0
1 0 —18 0 113 —12 —312 76
368 —128 —136 48 0
1 0 —18 —2 115 12 —327 —12
413 —16 —193 18 9
1 0 —18 0 113 —10 —314 54
386 —76 —179 30 9
1 0 —18 —2 113 18 —313 —56
390 74 —184 —36 9
1 0 —18 —4 109 44 —256 —128
188 64 —48 0 0
1 0 —18 —2 115 10 —325 10
397 —76 —148 48 0
1 о —18 —2 111 18 —285 —50
277 40 —48 0 0
1 0 —18 —4 ИЗ 44 —300 —152
300 160 —48 0 0
1 о —18 —2 107 18 —237 —42
153 0 0 0 0
1 0 —18 8 117 96 —316 —384
240 512 192 0 0
1 0 —18 0 105 —8 —216 40 96
0 0 0 0
Спектр |Л„ %г, .... Хя1
3 2,13 1,73 1,35 1 0,06 —1 —1
—1 —1,73 —1,94 —2,61
3 1,73 1,48 1,48 1 0,41 —0,31
—0,31 —1,73 2,17 2,17 —2,41
3 2,64 1,73 11—1—1 —1 —1
—1 —1,73 —2,64
3 1,96 1,57 1,18 1 0,29 —0,39
—0,47 —1,36 —1,66 —2,38 —2,72
3 2,08 1,96 1,18 0,75 0,16 —0,39
—1—1,36-1,79 —2,20 —2,38
3 2,39 1,41 1,22 1 0 —0,30 —1
—1,41 -1,71 —2 —2,59
3 1,93 1,41 1,32 1 0,35 0 —0,77
— 1,41 —2 —2,15 —2,67
3 2,06 1,60 1,19 1 0,29 —0,18 —1
—1,29 -2,09 —2,19 —2,39
3 1,81 1,53 1,30 1,13 0,34 —0,16
—1 —1,11 —1,87 —2,30 —2,67
3 2,09 1,58 1,23 1,07 0,14 —0,37
—1 —1,26 —1,65 —2,14 —2,70
3 2,34 2 0,73 0,47 0 0—1—1
—1,81 —2 —2,73
3 2,12 1,50 1,34 0,67 0,38 0 —0,82
— 1,66 —2 —2,18 —2,36
3 2,12 1,76 1,34 0,38 0 0 —0,56
—1,48 —1,66 —2,18 —2,71
3 2,06 2 1,41 0,22 0 0—1 —1,41
—1,65 —2 —2,63
3 2,33 1,81 0,87 0 0 0 0 —1,34
—1,52 —2,53 —2,63
3 2 2 2 0 0—1—1—1—2—2
—2
3 2,32 1,56 1 0 0 0 0 —0,64 —8
—2,56 —2,68
310

3.37
3.38
3.41
3.42
3A5 3.46
3.49
3.50
3.39
3.40
3.43
3.44
Ф
3.47
3.4в
Ф
3.51
3.52
3.53
311

Продолжение табл. 3
п
12
Граф
3.54
3.55
3.56
3.57
3.58
3.59
3.60
3.61
3.62
3.63
3.64
3.65
З.бб
3.67
3.68
3.69
3.70
Коэффициенты
1. ait а2, ... ап
1 0 —18 0 113 —12 —308 68
| 340 —88 —96. 0 0,я
1 0 —18 0 109 —8 —260 32 192
0 0 0 0
1 0 —18 0 113 —16 —304 112
304 —192 0 0 0
1 о —18 —2 111 20—291 —64
317 72 -121 —18 9
1 о —18 —4 115 40 —320 —128
371 136 —126 —12 9
1 о —18 —10 113 120 —263
—434 90 468 209 —48 —36
1 0 —18 —6 117 68 —335 —262
398 392 —127—192 —36
1 0 —18 —6 115 68 —311 —248
317 308 —57 —66 9
1 0 —18 —2 109 20 —267 —58
250 40 —75 0 0
1 0—18—4 113 38 —294 —98
290 44 —95 —6 9
1 о —18 —2 111 16 —287 —32
309 20 —117 6 9
1 о —18 —2 111 14 —281 —18
269 —4 —60 0 0
1 0 —18 0 107 —6 —246 26 201
— 14 —39 0 0
1 0 —18 —4 111 46 —282 —154
257 142 —39 0 0
1 0 —18 —2 109 20 —267 —62
254 60 —63 0 0
1 о —18 —4 115 38 —322 —ПО
401 122 —179 —48 0
1 о —18 —4 113 42 —302 —134
334 140 —123 —30 9
Спектр [Л.,, А2 Xft)
3 1,81 1,56 1,41 1 0 0 —0,47
-г 1,41 —2 —2,34 —2,56 . ^ .
3 2 1,56 1,56 0 0 0 0—1—2
—2,56 —2,56
3 2 1,56 1 10 0 0—2—2—2
—2,56
3 2,12 1,76 1,22 0,69 0,23 —0,39
. — 1 —1 —1,78 —2,06 —2,78
3 2,17 1,73 1,48 0,41 0,31 ^-0,31
— 1 —1,48 —1,73 —2,17 —2,41
3 2,61 2 1,30 0,38 —1 —1 —1 —1
— 1 —2 —2,30
3 2,11 2 1,30 1 —0,25 —1 —1—1
—1,86 —2 —2,30
3 2,27 1,89 1,43 0,42 0,13 —1 —1
— 1 —1,66—2,14 —2,36
3 2,23 1,79 1 0,61 0 0—1-1
—1,61 —2,23 —2,79
3 2,26 1,94 0,80 0,61 0,37 —0,43
—0,55 —1,61 —1,78 —2,24 —2,36
3 2,27 1,43 1,32 0,54 0,42 -0,27
—1 —1 —1,90 —2,14 -^2,69
3 2,26 1,60 1,16 0,59 0 0 —0,53
— 1,30 —2 —2,20 —2,59
3 2,22 1,44 1,24 0,56 0 0 -0,48
— 1 —1,70 -2,52 —2,75
3 2,22 1,95 1,24 0,20 0 0—1
-1,33 —1,70 —1,82 —2,75
2 2,27 1,59 1,30 0,44 0 0—1—1
— 1,55 —2,30 —2,76
3 2,30 1,50 1,16 1,09 0 —0,26 —1
—1,47 -1,78 —2,19 —2,35
3 2,28 1,74 1,24 0,61 0,19 -0,42
—1 —1,37 —1,61 —2,07 —2,60
312

3.54
3.55
3.56
3.57
3.58
3.59
3.60
3.6 J
3.62
3.63
3M
3.65
3.66
3.67
3.68
3.69
3.70
313

Продолжение табл. 3
п
12
1 раф
3.71
3.72
3.73
3.74
3.75
3.76
3.77
3.78
3.79
3.80
3.81
3.82
3.83
3.84
3.85
3.86
3.87
Коэффициенты
1. «1. at ап
1 о —18 —6 111 68 —275 —220
257 236 —61 —54 9
1 о —18 -4 117 38 —346 —118
482 148 —283 —66 45
1 0 —18 0 117 —18 —354 126
486 —272 —207 162 —27
1 0 —18 2 115 14 333 26
453 12 —256 0 36
1 о —18 —6 113 64 —295 —202
334 252 —135 —108 0
1 о —18 —4 109 40 —260 —100
248 72 —72 0 0
1 о —18 —4 111 42 —278 —126
261 102 —63 0 0
1 о —18 —4 ИЗ 38 —298 —102
326 88 —119 —6 9
1 о —18 —2 109 16 —263 —26
234 4 —39 0 0
1 0 —18 0 109 0 —288 0 340 0
—144 0 0
1 о —18 —6 113 64 —291 -198
294 204 —83 —48 0
1 0 —18 0 111 0 —316 0 447
—306 0 81
1 0 —18 0 115 —12 —340 76 479
—148 —282 84 45
1 0 —18 0 117 —16 —360 112
532 —256 —304 192 0
1 о —18 —4 107 48 —248 —152
219 144 —70 —36 9
1 о —18 —8 115 92 —300 —332
263 420 30 —108 —27
1 о —18 —6 115 66 —309 —226
309 244 —68 —48 0
Спектр Ult Я,,, .... XnJ
3 2,55 1,63 1,25 0,47 0,15 —1 —1
—1 —1,47 —1,96 —2,63
3 2,19 1,53 1,30 L06 0,34 —0,69
_1 —1,45 —1,87 —2,10 —2,30
3 1,53 1,53 1,30 1,30 0,34 0,34 —I
—1,87 1,87 —2,30 —2,30
3 2,08 1,41 1,24 1,15 0,45 —0,44
—1 —1,41 —1,80 —2,10 -2,58
3 2,56 1,30 1,30 10—1—1 -1
—1,56 —2,30 —2,30
3 2,54 1,41 1,18 0,49 0 0—1
—1,33 —1,41 —2,25 —2,64
3 2,37 1,76 1,15 0,37 0 0—1
—1,31 -1,53 —2,20 —2,61
3 2,38 1,53 1,30 0,47 0,34 —0,30
—1 —1,21 —1,87 —2,30 —2,34
3 2,36 1,50 1,19 0,46 0 0 -0,45
—1,33 —1,76 —2,24 —2,71
3 2 1,41 1,41 10 0—1 —1,41
—1,41 —2 —3
3 2,51 1,64 1,22 0,61 0 —0,43 —I
—1,44 —1,61 —2,10 —2,39
3 1,73 1,73 111—1—1—1
—1,73 —1,73 —3
3 1,73 1,48 1,21 1 1 —0,31 —1
—1,53 —1,73 —2,17 —2,67
3 1,56 1,41 1,41 1 1 0 —1,41
— 1,41 _2 —2 —2,56
3 2,51 1,65 1 0,57 0,21 —1 —1
—1 —1 —2,08 —2,86
3 2,51 1,73 1,48 0,57 —0,31 —1
—1 _i —1,73 —2,08 —2,17
3 2,27 2 1,24 0,51 0 —0,44 —1
—1,45 —1,80 —2 2,33
314

3.71
3.72
3.7J
3.74
3.75
3.76
3.77
3.78
3.79
3.80
3.81
3.82
3.83
3.84 3.85
3.86
3.87

Продолжение табл. 3
п
12
Граф
&S8
3.89
3.90
3.91
3.92
3.93
3.94
3.95
3.96
3.97
г 3.98
3.99
3.100
3.101
3.102
3.103
3.104
Коэффициенты
Ь &и <*г ап
1 0 —18 0 105 0 —236 0 180 0
0 0 0
1 о —18 —2 111 18 —293 —42
333 44 —120 -36 0 1
1 I
1 о —18 —4 117 36 —344 —96
468 80 —240 0 0
1 0 —18 —8 111 88 —260 —264
199 232 —42 —48 9
1 о —18 —8 113 92 —276 -312
188 300 16 —48 0
1 0 —18 —6 111 60 —271 -152
273 124 —97 -18 9
1 о —18 —4 111 36 —276 —76
279 44 —106 0 9
1 о —18 —4 109 40 —256 —100
216 56 —60 0 0
1 0 —18 —8 ИЗ 88 —280 —280
244 296 —36 —72 0
1 о —18 —4 105 44 —228 —104
184 72 —36 С 0
1 0 —18 —4 109 36 —256 —64
228 16 —48 Q 0
1 0 —18 —6 109 68 —247 —198
146 88 —39 0 0 ,
1 о —18 —2 103 18 —201 —26
105 0 0 0 0
1 0 —18 —6 111 62 —265 —166
213 92 —60 0 0
1 0 —18 0 97 0 —144 0 0 0 0 0
0
1 о —18 —8 111 92 —252 —292
119 180 —34 —36 9
1 о —18 —8 113 88 —272 —272
176 192 0 0 0
Спектр [klt htt ... kni
3 2,23 1,41 1,41 0 0 0 0 —1,41
— 1,41 —2,23 —3
3 2,27 1,24 1,24 1,15 0 —0,44
—0,44 —1,62 —1,80 —1,80 —2,80
3 2,23 1,41 1,41 1 0 0 —1,41
—1,41 —2 —2 —2,23
3 2,70 1,73 1 0,41 0,19 —1 —1
—1 —1,73 —1,90 —2,41
3 2,52 2 1,11 0,36 0 —1 -1 —1
—1,65 —2 —2,34
3 2,66 1,36 1,19 0,49 0,29 —0,40
—1 —1,29 —1,76 —2,19 —2,34
3 2,51 1,48 1 0,57 0,41 —0,31 —1
—1 —2,08 —2,17 —2,41
3 2,50 1,67 0,86 0,53 0 0 —1 —1
—1,75 —2,21 —2,62
3 2,65 1,67 1,21 0,53 0 —1 -1
—1 —1,86 —2 —2,21
3 2,65 1,27 1,21 0,31 0 0—1—1
— 1,70 —1,86 —2,89
3 2,58 1,41 1 0,54 0 0 —0,54
—1,41 —2 —2 —2,58
3 2,50 2,01 0,61 0,37 0 0—1
—1,39 —1,61 —1,83 —2,68 v -
3 2,57 1,49 0,81 0 0 0 0—1
—1,65 —2,38 —2,83
3 2,57 1,80 0,81 0,44 0 0—1
—1,24 —2 —2 —2,38
3 2,56 1,56 0 0 0 0 0 0 -1,56
—2,56 —3
3 2,51 2,17 0,57 0,41 0,31 —1 —1
_1 —1,48 —2,08 —2,41
3 2,56 2 1 0 0 0—1 —1,56 —2 —2
—2
316

3.88 3.89 3.90 3.9J
3.92 3.93 3.94 3.95
о О О О
3.1Q0 3.101 3.102 3.103
О
a. W4
817

Продолжение табл. 3
п
12
Граф
3.105
3.106
3.107
3.108
3.109
3.110
3.111
3.112
Коэффициенты
1, аи at, ..„ ап
1 0 —18 0 105 0 —232 0 144 0
0 0 0
1 0 —18 —6 105 60 —211 -122
146 52 —39 0 0
1 0 —18 —4 101 36—176—40 84
0 0 0 0
1 о —18 —8 109 84 —240 —220
172 168 0 0 0
1 о —18 —10 109 112 —223
—326 58 196 9 —36 0
1 о —18 —2 117 12 —355 —18 :
534 8 —387 0 108
1 о —18 —4 105 44 —216 —104
96 0 0 0 0
1 0 —18 —12 111 144 —216
—480 —117 256 138 —36 —27
Спек*р |>t. л., кп)
3 2 2 10 0 0 0—1—2—2—3
3 2,82 1,43 0,61 0,56 0 0—1—1
—1,61 2,18 —2,62
3 2,81 1,24 0,73 0 0 0 0—1 —1,67
—2,39 —2,73
3 2,81 1,41 1,24 0 0 0—1 —1,41
—1,67 —2 —2,39
3 2,83 1,90 0,61 0,50 0 —1 —1
_1 —1,61 —1,88 —2,35
3 2 1,30 1,30 11—1—1 —1 —2
—2,30 —2,30
3 2,56 1,84 0,50 0 0 0 0 —1,50
—1,56 —2 —2,84
3 2,51 2,51 0,57 0,57 —1-1—1
—1 —1 —2,08 -2,08
318

0 0 0
3.1 05 3.106 3.107 3.108
® 0 О 0
3.109 3.110 3.111 3.112

Таблица 4. Характеристические многочлены и спектры различных графов
и мультиграфов
п
Граф
Коэффициенты 1, ах, аг, ...* а
Спектр [Ки Х„ .... \п)
Простые циклы
6
7
8
л
4.1
4.2
4.3
4.4
1 0
—6090—4
1 0 —7 0 14 0 —7 —2
1 0 —8 0 20 0 —16 0 0
<** =
0 для нечетных i < п
—2 для нечетных i = п
(_irJL (" — -»)
т \ т — 1 /
для i = 2т < п
2[(—1)т—1] для 1 = 2/я = л
| 2 1 1 —1 —1 —2
2 1,247 1,247 —0,445 -0,445
—1,802 -1,802
2 УI V2 0 0 — /2" — V2
—2
о 2л/
2 cos ——, / = 1, .,., п
п
Некоторые кубические мультиграфы
Призмы
10
12
со
л\
«**
4.5
4.6
4.7
| 1 0 —15 0 65 —4 —85 —20 35
20 3
1 0 —18 0 105 0 —232 0 144 0
0 0 0
3 1 ±-(\+Vb) ±-(\+УТ)
~(-3 + Vb) -i-(-3 + j/5~)
-i-(l_K5) -2-(\-Vb)
3 2 2 10 0 0 0—1 —2-2—3
^- = 1 + 2 cos —£—
« t i о 2ш
h+i = — 1 + 2 cos -j-
*=1, 2, .... k
5?
Кубические мультиграфы
2
4
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
1 0 9
1 —4 3
1 0 —10 0 9
1—2—7 8 12
1—694 -12
| 3 —3
1 3 {
| 3 1 —1 —3
| 3 2 —1 —2
| 3 2 2 —1
320

о о
4.1
4.2
4.3
•с*
4.4
4.5
4.6
4.6 4.9
сю
2п
• • •
1 2 >*
л+/
4.7
/7+2
/7+J
4.70
О
4.1!
л>
4.72
11 3-476
321

Продолжение табл. 4
п
6
Граф
4.13
4.14
4.15
4.16
8 | 4.17
10
4.18
.Коэффициенты 1, alt at, .... а
1 0 —13 0 36 0 0
1 0 —11 —4 27 12 —9
1 0 —13 —8 44 48 0
1 _2 —8 10 15 0 0
1 0 —18 0 105 0 —232 0 144
1 0 —21 —12 156 168 —420
—672 % 512 192
Спектр [А,». Л8 Кп\
3 2 0 0—2—3
3 У~3 -1 +VJ -1 -/3 л
-1 -VI
3-j-(i + VTT)0
-i-(l — VT7") —2 -2
з утг 0 0 —1 —/5
3 2 2 1—1—2—2—3
з \+VJ \+УТ i l—УК
1 — /3" —2 —2 —2 —2
Наименьший кубический граф с обхватом б
14
4.19
1 0 —21 0 168 0 —700 0 1680 О
—2352 0 1792 0 —576
Граф додекаэдра *
20 I 4.20а I 1 0 —30 0 375 —24 —2540 480
3 VJ У2 У 2 У 2 У2 У2
— уТ —1/7 — уТ — УТ
— У2 — уТГ —з
з yw ук УК 1 1 1 1
4.206
10 095 —3760 —23 502 14 400
28 905 —27 000 —11 400 20 000
—6000 0 0 0 0
1 о 0 0 0 —2 —2 —2 —2 — УК
-УК -УК
Некоторые другие графы
6
| 4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
10—9—896—4
1 0 —10 —12 5 12 4
1 0 —8 —4 12 4 —5
1 о —11 —16 3 16 7
10—9—8 10 12 3
10—7070—1
10—7—2840
10—80400
3,236 0,618 0,618 —1,236 —1,618
—1,618
3,562 1 —0,562 —1 —1 —2
2,791 1 0,618 —1 —1,618 —1,791
3,828 1 —1 —1 —1 —1,828
1 3,182 1,247 —0,445 —0,594 —1,588
—1,802
2,414 1 0,414 —0,414 —1 —2,414
2,504 1,264 0 —0,577 —1 —2,191
2,732 0,732 0 0 —0,732 —2,732
• Граф додекаэдра: Ра (X) = (Я — 3) (М — 5)« (Я — 1)» 1* &. + 2)«.
322

ф~ф
4.13
4.14
4.15
Ф—О
4.16
4.17
4.18
(л =14)
4.19
4.20 а
4.20b
<и>
4.21 4.22
f t т
i i I
4.23 4.24
to v
4.25 4.25
4.27
4.28
323

Продолжение табл. 4
п
6
7
8
9
12
Граф
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34 |
4.35
4.36
4.37*
4.38
4.39
4.40
4.41
4.42
4.43
4.44
4.45
4.46
4.47
4.48
4.49а
*
*
1 ю
о
Коэффициенты 1, at, аг а
1 0 —8 —4 12 8 0
1 0 —10 —8980
1 0 —7 —4 11 12 3
10—6—284 —1
1 0 —9 —10 5 10 3
10—6—260—1
10—7—474—1
10—9—898—1
1 0 —12 —16 0 0 0
1 0 —8 —2 15 8 —2 0
1 0 —10 0 25 0 —16 0 0
1 0 —12 —8 36 32 —32 —32 0
1 0 —8 0 14 0 —8 0 1
1 0 —14 —16 21 40 16 0 0
1 0—10 0 27 —8 —22 16 —3
1 0 —9 —2 24 8 —19 —4 5
1 0 —10 0 23 0 —10 0 1
1 0 —14 —12 31 20 —26 —4 5
1 о —12 —2 36 0 —27 0 0 0
1 0 —12 0 40 0 —48 0 16 0 0
0 0
1 0 —30 —40 255 576 —580
—2640 —1425 3200 5250 3000 625
Спектр [Kt, / 2 XnJ
2,732 1,414 0 —0,732 —1,414—2
3,372 1 0—1 —1 —2,372
2,414 1,732 —0,414 —1 —1 —1,732
2,228 1,360 0,186 —I —1 —1,775
3,354 1 —0,476 —1 -1 —1,877
2,414 0,618 0,618 —0,414 —1,618
-1,618
2,709 1 0,194 —1 —1 —1,903
3,223 1 0,112 —1 —1,527 — 1,8ЭЭ
4 0 0 0—2—2
2,378 1,779 0,187 0 —1 —1,150
—2,195
2,562 1,562 10 0—1 —1,562
—2,562
3,236 1,414 1,414 0—1,236 -1,414
—1,414 —2
2,414 1 1 0,414 —0,414 —1 —1
—2,414
4 1,562 0 0—1—1 —1 —2,562
2,618 1,303 0,618 0,618 0,382
— 1,618 —1,618 —2,303
2,359 1,816 0,676 0,618 -0,871 —1
— 1,618 —1,980
2,618 1,618 0,618 0,382 —0,382 >
—0,618 -1,618 —2,618
3,846 1,068 0,618 0,618 —0,505
— 1,618 —1,618 —2,410
3 1,303 1,303 0 0 0—1 —2,303
—2,303
2,732 1,414 1,414 0,732 0 0 0 0 .
—0,732 —1,414 —1,414 —2,732
5 2,236 2,236 2,236 —1 —1 —1 —1
— 1 —2,236 —2,236 —2,236
* Граф октаэдра: PG (К) = (К — 4) X* (К -f 2)8.
** Граф икосаэдра: PG (К) = (К — 5) (Л8 — 5)* (К + 1)ь.
324

<о>
4.29
4.30
4.32
4.33 4.34
4.36
IV,
>
4.
—•<
37
\ •
4.3в
4.40 4.4/
4.42
мэш
4.UU
4.45
ф ф •
• ф ф •
* ' Ф
X
4.31
4.35
4.39
4.43
&о
4.4S. Ы7
tt.ua
иЛ9а 4.49 Ь
325

Таблица 5. Характеристические многочлены и ненулевые собственные значения
графов Кп (пг + ... + щ = я) для 2 ^ к ^ я < 10
1» ...» ^
к = 2, я = 2
1»
& = 2, я = 3
2 1
v
Д; = 2, Л=4
3 1
2а
Л = 2, я = 5
4 1
3 2
Л = 2, я = 6
5 1
4 2
3»
Л = 2, я = 7
6 1
5 2
4 3
к = 2, я = 8
7 1
6 2
5 3
4?
1
1
2
1,41
3
1,73
4
2
4
2
6
2,45
5
2,24
8
2,83
9
3
6
2,45
10
3,16
12
3,46
7
2,65
12
3,46
15
3,87
16
4
—1
—1,41
— 1,73
—2
—2
—2,45
—2,24
—2,83
—3
—2,45
-3,16
—3,46
—2,65
—3,46
—3,87
—4
к = 2, я = 9
8 1
7 2
6 3
5 4
/с = 2, я = 10
9 1
8 2
-7 3
6 4
52
А: = 3, я = 3
I3
А: = 3, я = 4
2 I2
/с = 3, я = 5
3 I2
22 1
к = 3, я = 6
4 I2
3 2 1
2*
8
2,83
14
3,74
18
4,24
20
4,47
9
3
16
4
21
4,58
24
4,90
25
5
3
2
5
2,56
7
3
8
3,24
9
3,37
11
3,77
12
4
—2,83
—3,74
—4,24
—4,47
—3
—4
—4,58
—4,90
—5
2
—1
4
—1
6
1
8
—1,24
8
—1
12
—1,28
16
—2
— 1
—1,56
—2
—2
—2,37
—2,48
—2
326

Продолжение табл. 5
А=3, л = 7
5 I2
4 2 1
З2 1
3 22
к = 3, п = 8
6 I2
5 2 1
4 3 1
4 22
З2 2
А: = 3, л =9
7 I2
6 2 1
Л = 4, /1 = 4
И
Л = 4, л = 5
2 I3
к = 4, /1 = 6
3 I3
22 J2
fc = 4, л = 7
4 I3
3 2
28 1
11
3,70
14
4,22
15
4,37
16
4,61
13
4
17
4,62
19
4,89
20
5,12
21
5,27
15
4,27
20
4,98
I2
10
—1
16
— 1,30
18
—1,37
24
—2
12
—1
20
— 1,31
24
-1,41
32
—2
36
—2,27
14
1
24
— 1,31
6
3
9
3,65
12
4,16
13
4,37
15
4,61
17
4,96
18
5,16
—2,70
—2,92
—3
—2,61
—3
—3,31
-3,48
—3,12
—3
—3,27
—3,67
8
—1
14
—1
20
—1
24
—1
26
-1
34
-1
40
к =
5
5
42
4
З3
к =
8
7
6
6
5
5
42
4
-1,16
: 3, П = 9
3 1
22
1
3 2
3, л= 10
I2
2 1
3 1
2*
4 1
3 2
2
З2
3
^-1
6
—1
9
—1
12
—1,37
12
—1
18
—1,44
24
—2
23
5,35
24
5,58
24
5,46
26
5,85
27
6
17
4,53
23
5,32
27
5,77
28
6
29
5,97
31
6,36
32
6,47
33
6,62
—
—
—
—
—
30
— 1,43
40
—2
32
—1,46
48
—2,34
54
—3
16
—1
28
—1,32
36
—1,45
48
—2
40
—1,49
60
—2,36
64
—2,47
72
—3
1
1,65
21,6
2
2,61
2,52
2
—3,92
—3,58
—4
—3,61
—3
—3,53
—4
—4,32
—4
—4,48
—4
—4
—3,62
•
327

Продолжение табл. 5
**=4, n = 8
$ I3
4 2 1»
3* l2
3 22 1
2*
18
5
21
5,46
22
5,61
23
5,81
24
6
32
—1
44
—1
48
—1
56
—1,18
64
—2
15
—1
24
—1,46
27
—1,61
36
—2
48
—2
—3
—3
—3
—2,63
—2
fc = 4, n = 9
6 l3
6 2 1
4 3
4 22
3a 2
23 1
21
5,36
2 25
5,91
I2 27
6,16
I 28
6,36
I 29
6,50
30
6,69
38
—1
54
—1
62
—1
72
—1,19
78
-1,21
88
—2
18
—1
30
—1,47
36
—1,67
48
—2
54
—2,30
72
—2
—3,36
—3,44
—3,49
—3,18
—3
-2,69
?-4т
6 2
5 3
5 22
4e 12
4 3
4 23
3» 1
З2 22
10
la
I2
1
2 1
24
5,69
29
6,33
32
6,66
33
6,86
33
6,77
35
7,11
36
7,29
36
7,24
37
7,42
44
—1
64
—1
76
—1
88
—1,19
80
—1
100
— 1,21
112
—2
108
— 1,24
120
—2
21
—1
36
—1,48
45
—1,71
60
—2
48
—1,77
72
—2,37
96
—2
81
—3
108
—2,42
—3,69
—3,85
—3,96
—3,67
—4
—3,53
—3,29
—3
—3
к = 5, n = 5
l6 10 20 15 4
4 —1 —1 -1 —1
328

Продолжение табл. б
к = 5, /1 = 6
2 I4
к = 5, /г = 7
3 I4
22 13
к = 5, л = 8
4 I4
3 2 I3
2з 12
Л = 5, /1 = 9
5 I4
4 2 Is
32 13
3 22 12
24 1
к= 5, п= 10
6 I4
5 2 I3
4 3 I3
4 22 12
З2 2 1а
3 23 1
2*
Л = 6, /г = 6
Iе
14
4,70
18
5,27
19
5,46
22
5,77
24
6,09
25
6,27
26
6,22
29
6,64
30
6,77
31
6,95
32
7,12
30
6,62
34
7,13
36
7,37
37
7,54
38
7,67
39
7,84
40
8
15
5
32
—1
44
— 1
50
—1
56
—1
68
— 1
76
—1
68
— 1
86
—1
92
—1
102
— 1
112
—1,12
80
—1
104
—1
116
—1
128
— 1
136
—1
148
— 1,13
160
—2
40
—1
27
— 1
39
—1
48
—1
51
—1
69
—1
84
— 1,27
63
—1
90
—1
99
—1
120
—1,31
144
—2
75
—1
111
—1
129
—1
156
—1,32
171
—1,35
204
—2
240
—2
45
—1
8
—1
12
— 1
16
— 1,46
16
— 1
24
— 1,55
32
—2
20
— 1
32
— 1,57
36
— 1,77
48
—2
64
—2
24
—1
40
— 1,58
48
— 1,86
64
—2
72
—2,32
96
—2
128
—2
24 5
—1 —1
—1,70
—2,27
—2
—2,77
-2,55
—2
—3,22
—3,07
—3
—2,64
—2
—3,62
—3,56
—3,51
—3,23
—3
—2,7а
—2
—1
329

Продолжение табл. 5
Jc = в, я =
2 I5
if х= 6, я =
3. I5
2* 1*
Ар = 6, я =
4 1б
3 2
2» И
к = 6, я =
5 1б
4 2
З2 И
3 22
2* I2
Л = 7, я =
1»
/р== 7, п =
2 I6
|р= 7, я =
3 - Iе
2я 1б
к = 7, я =
4 - - I6
~- - --
7
8
9
10
7
8
9
: 10
—
— -
И
И
I3
21
6
27
6,77
33
7,42
.34
7,58
39 -
8
__, „.-от..
20
5,74
25
6,36
26
6,53
30
6,90
32
7,19
33
7,36
35
7,39
38
7,78
39
7,90
40
8,06
41
8,22
70
—1
100
—1
130
—1
140
—1
160
—1
„—_„_
60
—1
80
-1
88
—1
100
—1
116
— 1
126
—1
120
—1
144
—1
152
— 1
164
—1
176
—I
105
—1
165
—1
225
—1
225
—1
285
—1
....—^_,
75
—1
105
—1
123
—1
135
—1
171
—1
198
—1
165
—1
219
—1
237
— 1
273
— 1
312
—1,22
84
—1
144
—1
204
—1
244
—1
264;
—1
~~~^-,——
44
—1
64
—1
80
—1
84
— 1
116
—1
144
— 1,36
104
—1
152
—1
168
—1
208
—1,40
256
—2
35
—1
65
—1
95
— 1
120
—1
125
—1
-..._.. .„„ „,
10
—1
15
—1
20
—1,53
20
—1
30
— 1,62
40
—2
25
—1
40
—1,64
45
— 1,90
60
—2
80
—2
6
—1
12
—1
18
—1
24
— 1,58
24
—1
—-
—1,74
—2,36
—2
—2,90
—2,57
—2
—3,39
-3,14
—3
—2,66
—2
—1
—1,77
—2,42
—2
—3
-
330

Продолжение табл. 5
к = 7, л = 10
3 2 1б
23 I4
к = 8, /г = 8
I8 28
7
Л = 8, /г = 9
2 I7 35
7.80
Л = 8, /г = 10
3 I7 42
8.48
22 Iе 43
8.62
Л = 9, /г = 9
I9 36 168
8 —1
к = 9; /г = 10
41
8.27
42
8.42
112
—1
154
—1
196
— 1
208
— 1
378
—1
2 I8 44 224 546
8,82 —1
—1
к = 10, л = 10
I10 45 240 630
9 —1
—1
180
—1
192
—1
210
—1
315
— 1
420
—1
465
—1
504
—1
784
—1
1008
—1
345
—1
387
—1
224
—1
364
—1
504
—1
585
—1
420
—1
700
—1
1050
—1
344
—1
408
—1
140
—1
245
—1
350
—1
425
—1
216
—1
384
—1
720
—1
175
—1
220
—1,42
48
— 1
90
—1
132
— 1
168
—1
63
—1
119
—1
315
—1
36
-1,67
48
—2
7
—1
14
—1
21
—1
28
—1.62
8
—1
16
— 1
80
—1
—2.60
—2
—1
—1.80
—2.48
—2
—1
—1,82
9
_ 1 —1

Таблица 6.1. Характеристические многочлены графов G(Cb; Ps)f состоящих из простого цикла Сь и простой цепи Ps,
1 < s < 7, с одной общей вершиной
; G(C„ Ps)
4(св. Л)
<f(C6* PJ
6(Сб, Р3)
(?(Сб, Р4)
<?(С6> PJ
0(С„ Р6)
0(Сб, Р7)
12
1
11
1
0
ю
1
0
—12
9
1
0
—11
0
8
1
0
— 10
0
53
7
1
0
—9
0
43
—2
6
1
0
—8
0
34
—2
— 106
5
0
—7
0
26
—2
—72
12
4
—6
0
19
—2
-46
10
94
*
0
13
—2
—27
8
48
—20
2
8
—2
— 14
6
21
— 12
—29
1
-2
—6
4
7
-6
—8
8
0
— 1
2
1
-2
—1
2
1
Таблица 6.2. Характеристические многочлены графов G(C6, Ps), состоя дсч из простого цикла Св и простой цепи PSf
lj < £ ^ 7, с одной общей вершиной
G(C„ />s)
G(C6> /\)
б(Св> Р2)
G(C., Р3)
G (С6, Р4)
G(C6, Рб)
G(C6, Р6)
О (С„ Р7)
13
1
12
1
0
11
1
0
— 13
10
1
0
— 12
0
9
1
0
—11
0 '
64
8
1
0
— 10
0
53
0
7
1
о
—9
0
43
0
-151
6
0
—8
0
34
0
—108
0
5
—7
0
26
0
—74
0
178
4
0
19
0
—48
0
104
0
з
13
0
—29
0
56
0
—98
2
0
—16
0
27
0
—42
0
i
—7
0
11
0
— 15
0
19
0
0
4
0
—4
0
4
0

^Таблица 6.3. Характеристические многочлены графов G (C7f Ps), состоящих из простого цикла С7 и простой цепи Ps;
< 1^ «^ 7, с одной общей вершиной
к . » 1—1
I G(C7. Ps)
8 S
9
1
jCtfVPJ-
JG(C7, P2)
JG (Ст. P3)
J5(C7, P4)
C(C7,;PB)
p(C7i P6)
;0(C7, p7)
14
1
13
1
0
12
1
0
— 14
и
1
0
-13
0
10
1
0
—12
0
76
9
1
0
—11
0
64
0
8
1
0
-10
0
53
0
—202
7
0
—9
0
43
0
—149
—2
6
—8
0
34
0
— 106
—2
272
5
0
26
0
—72
—2
166
12
4
19
0
-46
—2
94
10
—172
3
0
—27
—2
48
8
—78
—20
2
— 13
—2
21
6
—30
— 12
40
l
—2
8
4
—9
—6
10
8
0
1
2
—1
—2
i
2
—1
Таблица 6.4. Характеристические многочлены графов G(CS, Сг), состоящих из двух простых циклов Cs и С,
5^s^r^7, с одним обшим ребром
Ь(С5, Q ) , ,
& (С§, С6)
Ь(Сб, ££_
0(С6, С6)
G(C6, С7)
G (С7, С7) "
12
1
11
1
0
10
1
1
0
— 13
9
1
0
0
— 12
0
8
1
0
—11
—11
0
62
7
0
—10
0
0
51
0
6
—9
0
41
41
0
— 134
5
0
32
—2
0
—95
—4
4
24
—2
—61
-65
—2
129
3
—4
-39
6
0
76
16
2
-20
6
31
43
6
-45
1
8
15
—2
0
—20
—12
0
0
—4
—4
—9
—4
0

Таблица 7. Простые собственные значения графов, группа автоморфизмов
которых имеет две орбиты порядков г1э г2, 1 ^ г2 ^ гх ^ 5
г1 = 3,
0,000
0,414
1,000
1,561
1,732
2,000
2,236
2,414
2,561
3,000
гх=4,
6,000
0,302
0,381
0,618
0,732
1,000
1,302
1,414
1,618
2,000
2,302
2,618
2,732
3,000
3,302
4,000
гг = 4,
0,000
0,561
0,585
0,732
1,000
1,236
1,414
1,561
2,000
2,561
2,732
2,828
3,000
3,236
3,414
3,561
4,000
га = 3
2
1
0
0
—2
—1
г2=1
3
—3
1
—2
1
0
—1
—1
—3
—2
—3
г2 = 2
3
—4
2
2
0
1
—1
—2
0
—2
—4
—3
—1
—4
—3
—5
—1
—4
—1
1
—1
—2
—3
—2
—1
—3
1
—2
—1
—2
2
—2
—4
—2
—4
—4
—2
—8
—4
2
—2
г1=4,
0,000
0,267
0,302
0,381
0,414
0,561
0,585
0,618
0,732
0,791
1,000
1,236
1,302
1,381
1,414
1,449
1,561
1,618
1,645
1,732
1,791
2,000
2,192
2,302
2,372
2,414
2,449
2,541
2,561
2,618
2,645
2,732
2,791
3,000
3,192
3,236
3,302
3,372
3,414
3,449
3,464
3,541
3,561
3,618
3,645
3,732
3,791
4,000
г2 = 3
—4
3
—3
2
3
—4
1
2
3
2
1
—5
0
2
1
—1
2
0
1
1
—1
1
—2
0
1
—1
—3
0
—2
—1
—1
—2
—3
—1
—4
—2
0
—1
—3
—5
—2
—4
—3
1
—1
1
—1
—2
2
—1
—2
—3
—4
—3
5
—2
—5
—4
—1
—6
—3
—5
—7
—3
—8
—1
—6
—9
—4
1
1
—7
—2
—5
—7
—4
—1
—8
2
—5
-12
—9
—2
5
—6
1
—3
г1 = 3,
0,000
0,381
0,414
0,618
0,732
1,000
1,302
1,414
1,561
1,618
1,732
2,000
2,302
2,414
2,449
2,561
2,618
2,732
3,000
г2 = 2
—3
2
1
2
1
0
1
—1
0
—1
—2
0
—1
-3
—2
1
—1
—1
—2
—3
—2
—4
—1
—3
—3
—1
—6
—4
1
—2
г* = 2, г2 = 1
0,000
0,618 1
1,000
1,414 0
1,618 —1
2,000
гх = 2, г2 = 2
0,000
1,000
1,414 0
2,000
г,= 1
0,000
0,414
1,000
1,732
2,000
2,414
3,000
2 —
-2 —
334

Продолжение табл. 7
14 = 4,
0,000
0,561
0,585
0,732
1,000
1,236
1,414
1,561
1,645
2,000
2,372
2,561
2,732
2,828
3,000
3,162
3,236
3,372
3,414
3,561
3,645
4,000
г2 = 4
3
—4
2
2
0
1
2
1
—1
—2
0
0
—2
—1
—4
—3
—2
—2
2
—2
—4
—2
—4
—6
—8
—4
—2
—6
—10
—4
—8
2
—2
—6
ri = 5;
0,000
0,236
0,267
0,414
0,561
1,000
1,561
1,732
2,000
2,236
2,414
2,561
3,000
3,561
3,732
4,000
4,236
5,000
r2=l
4
—4
2
3
1
0
0
—2
—1
—3
—4
—4
—1
1
—1
—2
—4
—3
—5
— 1
—4
—2
1
—1
rt = 5,
0,000
0,267
0,302
0,381
0,414
0,449
г2 = 2
—4
3
—3
2
4
1
—1
1
—1
—2
rj = 5,
0,585
0,618
0,697
0,732
0,791
1,000
1,192
1,302
1,381
1,414
1,449
1,561
1,618
1,645
1,732
1,791
2,000
2,236
2,302
2,372
2,414
2,449
2,561
2,618
2,732
2,791
3,000
3,162
3,302
3,372
3,414
3,449
3,618
3,645
3,732
3,791
4,000
4,192
4,302
4,449
5,000
га = 2
—4
1
—5
2
3
а
1
—5
0
2
1
—1
2
0
1
0
—1
1
—2
0
—1
—3
—2
—1
0
—3
—1
—4
—2
—5
—2
—4
—3
—3
—5
—4
2
—1
3
—2
—3
—5
—3
5
—2
—5
—4
—1
—6
—3
—5
—5
—3
—8
—1
—6
—4
1
—2
—5
—10
—1
—8
2
-5
5
—6
1
—3
—5
3
—2
rt = 5,
0,000
0,236
0,267
0,414
0,438
0,561
0,645
г2 = 3
4
—4
2
—5
3
4
—1
1
—1
2
—2
—3
гх =5,
1,000
1,372
1,449
1,561
1,585
1,732
1,828
2,000
2,162
2,236
2,372
2,414
2,561
2,645
2,701
3,000
3,372
3,449
3,561
3,701
3,732
3,828
3,872
4,000
4,162
4,236
4,372
4,414
4,561
4,645
5,000
г2 = 3
3
2
1
—6
0
2
2
0
1
—2
—1
0
1
— 1
—2
—3
—1
—4
—2
0
—2
—4
—3
—6
—5
—4
—6
—5
—4
7
—3
—7
—9
—5
—8.
—1
—4
—7
— 10
•
—8
—5
—2
—10
1
—7
—15
—9
—1
—6
7
2
—3
г^ = 5,
0,000
0,208
0,236
0,267
0,302
0,381
0,414
0,438
0,449
0,561
0,585
0,618
0,645
0,697
0,732
0,791
0,828
г2 = 4
—5
4
—4
3
—3
2
—5
4
3
—4
1
4
—5
2
3
4
—1
—1
—1
2
—2
—2
2
—1
—3
3
—2
—3
—4
335

r1 = 51
1,000
1,192
1,236
1,267
1,302
1,372
1,381
1,414
1,449
1,541
1,561
1.585
1,618
1,645
1,701
1,732
1,791
1,828
2,000
2,162
2,192
2,236
2,302
2,316
2,372
2,381
2,414
2,449
2,464
2,541
2,561
2,605
2,618
2,645
2,701
2,732
2,791
2,854
3,000
3,140
3,162
3,192
3,236
3,302
3,316
3,372
3,405
3,414
3,449
3,464
3,531
3,541
3,561
3,605
3,618
3,645
3,701
г2=4
3
2
—6
1
3
-5
0
2
3
1
—6
—1
2
3
0
1
2
2
1
0
—1
2
1
—7
—2
0
2
1
— 1
2
—3
0
1
—2
— 1
1
1
0
—1
—2
—3
0
—1
I
—4
—2
0
1
— 1
—3
0
—5
—2
—1
—5
—4
6
—3
—6
5
—2
—5
—7
—4
7
—1
—6
—8
—3
—5
—7
—9
—7
—5
—3
—Ю
—8
И
—1
—6
-И
—9
—4
-12
1
—7
-10
—2
—5
—11
—13
—10
—7
—4
— 1
— 11
—8
-15
2
-5
— 12
— 16
—9
—2
— 13
5
—6
—10
^i = 5,
3,732
3,791
3,828
3,854
4,000
4,140
4,162
4,192
4,236
4,302
4,316
4,372
4,405
4,414
4,449
4,464
4,472
4,531
4,541
4,561
4,605
4,618
4,645
4,701
4,732
4,791
4,828
5,000
г2 = 4
—4
—3
—2
— 1
—1
—2
—3
—4
—5
—2
—3
—1
—6
—4
—2
0
-1
—3
-5
—2
—7
—4
—3
—6
—5
—4
1
—3
—7
—11
-13
—9
—5
—1
3
—10
—6
-15
7
—2
—11
-20
—16
—7
2
—12
11
—3
—8
6
1
—4
Продолжение табл. 7
fi = 5, г2 = 5
0,000
0,236 4 —1
0,267 —4 1
0,414 2 —1
0,438 —5 2
0,561 3 —2
0,645 4 —3
1,000
1,372 3 —6
1,449 2 —5
1,561 1 —4
1,585 —6 7
1,701 3 —8
1,732 0 —3
1,828 2 —7
2,000
2,162 2 —9
2,236 о —5
2,372 1 —8
2,414 _2 —1
2,464 2 —И
2,561 —1 ^-4
2,645 0 __7
2,701 1 —10
3,000
3,274 1 —14
3,372 —1 —8
3,449 —2 —5
3,561 —3 —2
3,605 0 —13
3,701 —1 —10
3,732 —4 1
3,828 —2 —7
3,872 0 —15
4,000
4,123 0 --17
4,162 —2 —9
4,236 —4 —1
4,274 —1 —14
4,372 —3 —6
4,414 —6 7
4,464 —2 —11
4,561 —5 2
4,645 —4 —3
4,701 —3 —8
5,000
336

Таблица 8.1. Классы эквивалентных относительно переключения Зайделя
графов с п вершинами, 2 < п < 6
-/ -2,45-2,75-2,60-3 -3 -2,24-3,61-3 -3,39 -3 -3,83 -3,49 -4,06-4,45 -5
-1 Ч -/ -2,24-1,83-1 -2,24-1 -2,37-1,59-3 -1 -2,24-1,69-1 7
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -2,24-1 -1 -1 1 -1 -0,11 1 1 1
-1 -/ -J 0,11 J -1 2,24 1 1 1 111// /
-1 J 1,69 2,24 1 3 2,24 1 2,37 1,59 7 /,83 2,24 1 / /
5 4,45 4,06 3,49 3,83 3 2,24 3,61 3 3,39 3 3 2,60 2,75 2,45 /
Таблица 8.2. Классы эквивалентных относительно переключения Зайделя
графов с семью вершинами
/ 2 3 4 5 6 7 8 9 /0 /1 12 13 /4
© © @© ® @.@ @ © © © © @ ©
-/ -2,53 -2,90 -3 -3 -3,77-3,40 -2,83 -3 -3,64 -2,78 -3,27 -3 -3,83
-1 -1 Ч -2 Ч -/ 4,88-2,24-3 -1,60-2,46-/ -2,59-1,63
Ч Ч Ч -/ -/ -/ -/ -/ -7,37-1 -1 -1 -7 -1
Ч Ч -1 -1 -/ -/ -/ -/ / -/ -/ -/ -/ -/
Ч -1-11-1// 0,75 / / 0,29-/ / 1,48
Ч / 1,74 1 2 J /,70 2,24 / 1,76 2,49 3 2,40 1,83
6 5,53 5,16 5 "5 4,77 4,58 4,68 4,37 4,48 4,46 4,27 4,19 4,14
20 21 22 23 24 25 26 27
©©©(£)©
15 16 77 /8 19
-4,12-3,52-3,50-3 -3^9-3,63-3 -2,70-3,49-3,53-3 -2,60-3
-1 -2,24-3 -2,30-2,24 -2,54 -2,49-2,24 -2,44-3 -2,24 -2,60 -3
-/ -1,58-1 Ч -1 -1 -1,83-2,24-1,51-1,22-2,24-2 -2
7 0,09 1 -1-1 -0,02-0,29-1 -0,11 1 -0,56 0,17 7
17 1 0,2/ /,29 7 7 2,24 /,36 7 2,24 0,17 7
1 2,24 7,62 3 2,24 2,33 2,78 2924 2,60 2,32 2,24 3,49 3
4,72 4,07 3,89 4,08 4,10 3,86 3,83 3,70 3,60 3,43 3,56 3,49 3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Аберт (Aberth О.)
[Aber] On the sum of graphs.— Rev. Frang. Rech. Operat., 1964, 8, p. 353—358.
(2.5; 7.4; 7.5)
Адам (Addm A,)
[Adam] Research problems 2—10.— J. Combin. Theory, 1967, 2, p. 393. (7.8)
Auxapa (Aihara J.)
[Aiha] General rules for constiucting Huckel molecular orbital characteristic
polynomials.— J. Amer. Chem. Soc, 1976, 98, p. 6840—6844.
Айгнер (Aigner M.)
[Aign] The uniqueness of the cubic lattice graph.— J. Combin. Theory, 1969, 6,
p. 282—297. (6.4)
Амин, Хакими (Amin А. Т., Hakimi S. L.)
[AmHa] Upper bounds on the order of a clique of a graph.— SIAM J. Appl. Math.,
1972, 22, p. 569—573. (3.2; 3.6)
Андерсон У., Морли (Anderson, Jr., W. N., Morley T. D.)
[AnMo] Eigenvalues of the Laplacian of a graph.— Univ. of Maryland Techn. Rpt
TR-71-45, 1971. (2.1; 9.3)
Андерсон С. (Anderson S. S.)
* [Ande] Graph Theory and Finite Combinatorics.— Chicago : Markham Publ. Co.,
1970.
Арлазаров В. Л., Леман А. А., Розенфельд М. 3.
* [АрЛР] Построение и исследование на ЭВМ графов с 25, 26 и 29 вершинами.— М. :
Ин-т проблем упр. Препринт, 1975.— 60 с. (7.2)
Ахарья (Acharya В. D.)
[Acha] Spectral criterion for cycle balance in networks.— J. Graph Theory, 1980,
4, p. 1-11.
Ахарья, Джил, Патвардхан (Acharya В. D., Gill M. /C., Patwardhan G. A.)
[AcGP] Quasicospectral graphs and digraphs (Work carried out under Government
of India Department of Science and Technology Research Project, N
HCS/DST (409) 76.— 27 p.
Ашбахер (Aschbacher M.)
[Asch] The non-existence of rank three permutation groups of degree 3250 and sub-
degree 57.—J. Algebra, 1971, 19, p. 538—540. (6.5)
Бабаи (Babai L.)
[Bab 1] Spectra of Cayley graphs.— J. Combin. Theory, 1979, B27, p. 180—189.
(5.5; 6.1; 7.8)
[Bab 2] Automorphism group and category of cospectral graphs.— Acta Math. Acad.
Sci. Hung., 1978, 31, p. 295—306. (5.2; 5.4; 6.1)
[Bab 3] Kospektrale Graphen mit vorgegebenen Automorphismengruppen.— Wiss.
Z. TH Ilmenau, 1981, 27, N 4, S. 31—37. (5.4; 6.1)
[Bab 4] On the isomorphism problem.— Preprint appended to Proc. 1977 FCT-Con-
ference, Poznan — Korlik, Poland, Sept. 19—23, 1977.
[Bab 5] Isomorphism testing and symmetry of graphs.— Combinatorics 79. Pt I.
Amsterdam e. a., 1980, p. 101—109.
338

Байнеке (Beineke L.)
IBein) Characterization of derived graphs.—J. Combin. Theory, 1970, 9, p. 129—
135. (6.3; Прил.)
Балабан (Balaban A. T.)
* [Bala] (ed. A. T. Balaban) Chemical Applications of Graph Theory.— London —
New York — San Francisco : Acad, press, 1976. (0)
Балабан, Xapapu (Balaban А, Т., Horary F.)
[BaHa] The characteiistic polynomial does not uniquely determine the topology of
a molecule.—J. Chem. Doc, 1971, 11, p. 258—259. (6.1)
Банаи, И mo (Bannai E., I to T.)
[Bait 1] On finite Moore graphs.—J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 1973, 20, p. 191—208.
(6.2)
[3alt 2J On the spectra of certain distance-regular graphs.—J. Combin. Theory, 1979,
B27, N 3, p. 274—293.
Барнабей, Брини (Barnabei M., Brini A.)
[BaBrJ Some properties of characteristic polynomials and applications to T-latti-
ces.— Discrete Math., 1980, 31, p. 261—270.
Бассалыго Л. A.
[Басе] Обобщение теоремы Ллойда на случай произвольного алфавита.— Пробл.
управления и теории информации, 1973, 2, № 2, с. 133—137. (4.8)
Бекер, Хемерс (Beker Н., Haemers W.)
[ВеНа] 2-designs having an intersection number k — я.— J. Combin. Theory, 1980,
A28, p. 64—81.
Белоногое В. А., Фомин A. H.
* [БеФо] Матричные представления в теории конечных групп.— М. : Наука,
1976.— 126 с. (5.2)
Бенсон (Benson С. Т.)
[Bens] Minimal regular graphs of girth eight and twelve.— Canad. J. Math», 1966,
18, p. 1091—1094.
Бенсон, Джекобе (Benson С. Т., Jacobs J. В.)
[BeJa] On hearing the shape of combinatorial drums.— J. Combin. Theory, 1972,
B13, p. 170—178. (6.1; 8.4)
Бенсон, Лодзи (Benson С. Т., Lose у N. E.)
[BeLo] On a graph of Hoffman and Singleton.— J. Combin. Theory, 1971, Bll,
p. 67—79. (6.2)
Берж (Berge C.)
* [Ber 1] Theorie des Graphes et ses Applications.—Paris : Dunod, 1958. [Имеется
перевод : Теория графов и ее применение. Пер. с франц.—М. : ИЛ, 1962.—
320 с] (0; 25; 3.5; 7.8)
* [Вег 2] Graphes et Hypergraphes.— Paris : Dunod, 1970. (0)
Берлекэмп, Линт ван, Зайдель (Berlekamp £. R., Lint van У. H., Seidel /. J.)
* [BeLS] A strongly regular graph derived frpm the perfect ternary Golay code.— In:
A. syrvey of combinatorial theory (ed. J. N. Srivastava, F. Harary,
С R. Rao, G.-C. Rota, S. S. Shrikhande).— Amsterdam — London — New
York : North-Holland Publ. Co., 1973, p. 25—30.
Бехзад, Чартрэнд (Behzad M., Chartrand G.)
[BeCh 1] An introduction to total graphs.— In: Theory of graphs (ed. P. Rosensti-
ehl).— Paris / Gorldon and Breach; New York : Dunod, 1967, p. 31—33.
* [BeCh 2] Introduction to the Theory of Graphs.— Boston : Allyn and Bacon Inc.,
1971. (0)
Бехзад, Чартрэнд, Нордхауз (Behzag M., Chartrand G., Nordhaus E. A.)
[BeCN] Triangles in line graphs and total graphs.— Indian J. Math., 1968, 10, N 2,
p. 109—120. (7.8)
Беце A.
[Беце] О коэффициентах характеристического полинома графа.— Латв. мат.
ежегодник (Рига), 1968, № 3, с. 75—80. (1.4)
Бёрнер (Boerner Н.)
* [Boer] Darstellungen von Gruppen mit Berucksichtigung der Bedurfnisse der mo-
dernen Physik.— Berlin — Gottingen — Heidelberg : Springer-Verlag,
1955; Representations of Grours.— Amsterdam : North-Holland Publ. Co.,
1963. (5,2; 5.3)
339

Биггс (Biggs N. L.)
[Big 1] Intersection matrices for linear graphs.— In: Combinatorial mathematics
and its applications (ed. D. J. A. Welsh).— London — New York : Acad,
press, 1971, p. 15—23. (7.2)
* [Big 2J Finite groups of automorphisms.— Cambridge Univ. press, 1971. (5.2; 7.2)
[Big 3] Perfect codes in graphs.— J. Combin. Theory, 1973, B15, p. 289-296.
(4.8; 7.2)
[Big 4] Three remarkable graphs.— Canad. J. Math., 1973, 25, p. 397—411. (7.2)
* [Big 5] Algebraic graph theory.— Cambridge Univ. press, 1974.
(Пред.; 4.2; 5; 5.1; 7.2)
[Big 6] Perfect codes and distance-transitive graphs.— In: Combinatories. Proc.
Brit. Comb. Conf. 1973. Cambridge, 1974, p. 1—8. (7.2)
[Big 7J Designs, factors and codes in graphs.— Quart. J. Math. Oxford, 1975, 26,
(2), p. 113—119. (7.2)
[Big 8] Chromatic and thermodynamic limits.— J. Phys. A : Math. Gen., 1975, 8,
N 10, p. LI 10—LI 12.
[Big 9J Automorphic graphs and the Krein condition.— Geom. dedic, 1976, 5, N 1,
p. 117—127.
[Big 10] Coloring square lattice graphs.— Bull. London Math. Soc, 1977, 9, N 1,
p. 54—56.
[Big 11] Girth, valency and excess.— Linear Algebra and Appl., 1980, 31, p. 55—59.
Биггс, Ито (Biggs N. L., Ho T.)
[Bilt] Graphs with even girth and small excess.— Math. Proc. Cambridge Phil.
Soc, 1980, 88, N 1, p. 1—10.
Биггс, Мередит (Biggs N., Meredith G. H. J.)
[BiMe] A theorem on planar partitions.— In: Proc. V Brit. Comb. Conf., Aberdeen
1975 (ed. С St. J. A. Nash-Williams and J. Sheehan).— Winnipeg : Utili-
tasMath. Publ. Inc., 1976, p. 73—78.
Биггс, Смит (Biggs N.f Smith D. H.)
[BiSm] On trivalent graphs.— Bull. London Math. Soc, 1971, 3, p. 155—158. (7.2)
Билек, Кадура (Bilek О., Kadura P.)
[BiKa] On the tight binding eigenvalues of finite S. С and F. С. С. crystallites with
(100) surfaces.— Phys. Stat. Sol. (b), 1978, 85, p. 225—231.
Бонди, Mypmu (Bondy J. A., Murty U. S. R.)
* [BoMu] Graph theory with applications.— New York : American Elsevier Publ.
Co., Inc., 1976. (0)
Бонди, Хеммингер (Bondy J. A., Hemminger R. L.)
[BoHe] Graph reconstruction — A survey.— J. Graph Theory, 1977, 1, N 3, p. 227—
268.
Боттема (Bottema O.)
[Bott] Uber die Irrfahrt in einem StraPennetz.—Math. Z., 1935, 39, p. 137—145.
(8.5)
Боуз H., Фейк, Сан (Bose N. К., Feick R., Sun F. K.
[BoFSJ General solution to the spanning tree enumeration problem in multigraph
wheels.— IEEE Trans. Circuit Theory, 1973, 20, p. 69—70. (7.6)
Боуз P. (Bow R. C.)
[Bos 1] Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs.—
Pacif. J. Math., 1963, 13, p. 389—419. (3.4: 7.2)
[Bos 2] Graphs and designs.— In: Finite geometric Structures and their
applications.— Roma : Edizioni Cremoneze, 1973, p. 1 — 104.
Боуз P., Доулинг (Bose R. C.f Dowling T. A.)
[BoDo] A generalization of Moore graphs of diameter two.—J. Combin. Theory,
1971, Bll, p. 213—276. (6.2)
Боуз P., Ласкар (Bose R. C.t Laskar R.)
[BoLa] Eigenvalues of the adjacency matrix of tetrahedral graphs.— Inst. Statist,
mimeo series 571. Univ. of North Carolina, 1968; —Aequationes Math.,
1970, 4, p. 37—43. (6.4)
Боуз P., Месснер (Bose R. C.t Messner D. M.)
[BoMeJ On linear associative algebias corresponding to association schemes of
partially balanced designs.— Ann. Math. Statist., 1959, 30, p. 21—36.
: J (6.4; 7.2)
340

Боуз Р., Шимамото (Bose R. С, Shimamoto Т.)
[BoSh] Classification and analysis of partially balanced incomplete block designs with
two associate classes.— J. Amer. Stat. Assn., 1952, 47, p. 151 —184. (6.4)
Боуз Р.,Шрикханде (Bose R.C., Shrikhande S. S.)
[BoShr] Graphs in which each pair of vertices is adjacent to the same number d of
other vertices.— Studia Sci. Math. Hung., 1970, 5, p. 181—195.
Бочвар Д. А., Станкевич И. В.
[БоС 1] Уровни энергии некоторых макромолекул с системой сопряженных
двойных и тройных связей.— Журн. структур, химии, 1967, 8, с. 943—949.
[БоС 2] Качественный анализ топологической матрицы и правило Хюккеля 4я +
+ 2. I.—Журн. структур, химии, 1969, 10, с. 680—685.
[БоС 3] Качественный анализ топологической матрицы и правило Хюккеля 4я +
+-2. II. Некоторые углеводородные системы.—Журн. структур, химии,
1971, 12, с. 142—146.
[БоС 4] Качественный анализ топологической матрицы и правило Хюккеля 4я +
+ 2. III. Сопряженные системы с большим дефицитом я-электронов.—
Журн. структур, химии, 1972, 13, с. 1123—1127.
Браун (Brown W.)
[Brow] On the non-existence of a type of regular graphs of girth 5.— Canad. J. Math.,
1967, 19, p. 644—648. (7.1)
Б pay эр, Джентри (Brauer A., Gentry J. C.)
[BrGe] Some remarks on tournament matrices.— Linear Algebra and Appl., 1972,
5, p. 311—318.
Бриджес (Bridges W. G.)
[Bri 1] The polynomial of a non-regular digraph.— Pacif. J. Math., 1971, 38,
p. 325—341. (3.1)
[Bri 2] A class of normal (O.l)-matrices.— Canad. J. Math., 1973, 25, p. 621—626.
Бриджес, Мена (Bridges W. G., Mena R. A.)
[BrM 1J Rational circulants with rational spectra and cyclic strongly regular graphs.—
Ars combinatoria, 1979, 8, p. 143—161.
[BrM 2] Rational G-matrices with rational eingenvalues.— J. Combin. Theory, 1982,
A32, p. 264—280.
Бриджес, Шрикханде (Bridges W. G., Shrikhande M. S.)
[BrShJ Special partially balanced incomplete block designs and associated graphs.—
Discrete Math., 1974, 9, p. 1—18.
Брилявский, Оксли (Brylawski Т., Oxley J.)
[BrOx] Several identities for the characteristic polynomial of a combinatorial
geometry.— Discrete Math., 1980, 31, N 2, p. 161—170.
Бруальди (Brualdi R.)
[BruaJ Kronecker product of fully indecomposible matrices and of ultra strong di-
giaphs.—J. Combin. Theory, 1967, 2, p. 135—139. * (7.4)
Брук (Bruck R. H.)
[Bruc] Finite nets, II. Uniqueness and imbedding.— Pacif. J. Math., 1963, 13,
p. 421—457. (6.1)
Брукс, Смит, Стоун, Tamm (Brooks R. L.t Smith С. А. В., Stone A. H., Tutte W. T.)
[BrSST] The dissection of rectangles into squares.— Duke Math., J., 1940, 7, p. 312—
340. (1.5)
Бумиллер (Bumiller C.)
[BumiJ On rank three graphs with a large eigenvalue.— Discrete Math., 1978, 23,
p. 183—187.
Буссемакер, Зайдель (Bussemaker F. C, Seidel J. J.)
[BuS 1] Cubical graphs of order 2n < 10.— TH Eindhoven, Onderafdeling der Wis-
kunde, Notitie N 10, September 1968. (Прил.)
, [Bu3 2] Svmmetric Hadamard matrices of order 36.— Techn. Univ. Eindhoven. Rpt
70-WSK-02.—Ann. N. Y. Acad. Sci., 1970, 175, p. 66—79. (6.1; 6.6; 7.2)
Буссемакер, Матон, Зайдель (Bussemaker F. С, Mathon R. A., Seidel J. J.)
• [BuMS] Tables of two-graphs.— Lecture. Notes Math., 1981, 885, p. 70—112.
буссемакер, Цветкович (Bussemaker F. C, Cvetkovid D. M.)
[BuCv] There are exactly 13 connected, cubic, integral graphs.— Univ. Beograd
. Publ. Elektrotehn. Fak., Ser. Mat. Fiz., 1976, N 544—576, p. 43—48.
(6.1; 7.1; 9.4)
341

Буссемакер, Цветкович, Зайдель (Bussemaker F. С, Cvetkovid D. М., Seidel J. J.)
[BuCSJ Graphs related to exceptional root systems.— Combinatorics. Amsterdam —
Oxford —New York, 1978, 1, p. 185—191. (3.6; 6.1; 6.3)
Буссемакер, Чобельжич, Цветкович, Зайдель (Bussemaker F. С, Gobeljid S.,
Cvetkovid D. M., Seidel J. J.)
[BuCCSl Computer investigation of cubic graphs.— Techn. Univ, Eindhoven. Т. H.—
Rpt 76-WSK-01; Cubic graphs on <;14 vertices.— J. Combin. Theory, 1977,
B23, p. 234—235. (6.1; 9.3; Прил.)
Бхагавандас, Шрикханде (Bhagawandas, Shrikhande S. S.)
[BhShJ Seidel-equivalence of strongly regular graphs.— Indian J. Statist., 1968, A30,
p. 359—368.
Байкер (Baker G. A.)
[Bak 1J Drum shapes and isospectral graphs.— BNL 10088. Brookhaven National
Laboratory, Long Island — New York, 1966.
[Bak 2] Drum shapes and isospectral graphs.— J. Math. Phys., 1966, 7, p. 2238—
2242. (6.1; 8.4)
Варвак Л. П.
[Варв] Узагальнення поняття р-суми грабив.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1968,
№ 11, с. 965—968. (2.5)
Ватанабе (Watanabe М.)
[Wat Ц On the characteristic polynomial of a multigraph.— Math. Rep. Toyama
Univ., 1979, 2, p. 87—94.
[Wat 2] Note on integral trees.—Math. Rep. Toyama Univ., 1979, 2, p. 95—100.
Ваховский E. B.
[Bax lj О характеристических числах матриц соседства для неособенных графов.—
Сиб. мат. журн., 1965, 6, с. 44—49. (1.2; 2.4; 3.2; 8.5)
[Вах 2] Об одном способе демонтажа графа.— Сиб. мат. журн., 1968, 9, с. 255—
263. (8.1)
Вейчсел (Weichsel Я. М.)
[WeicJ The Kronecker product of graphs.— Proc. Amer. Math. Soc, 1962, 13,
p. 47—52. (2.5; 7.4)
Вигнер (Wigner E. P.)
* [WignJ Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spe*
ctra.— New York — London : Acad, press., 1959. [Имеется перевод: Теория
групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров.
Пер. с англ.— М. : ИЛ, 1961.—443 d (5.2)
Визит В. Г.
[Визи] Декартово произведение графов.— Вычисл. системы (Новосибирск), 1963,
9, с. 30—43. (7.4)
Гантмахер Ф. Я.
* [Гант] Теория матриц.—М. : Наука, 1966.— 576 с. (0; 0.3; 1.4; 2.4; 3.1)
Гардинер (Gardiner А.)
[Card 1] Antipodal covering of graphs.— J. Combin. Theory, 1974, B16, p. 255—273.
(4.2; 4.5)
[Gard 2] The classification of symmetric graphs.— Berichte der Mathematisch-Sta-
tistischen Sektion im Forschungszentrum Graz, 1978, N 100—105, Bericht
N 102, p. 1—33.
Гевирц (Gewirtz A.)
[Gew 1] Graphs with maximal even girth. Thesis.— City Univ. of New York, 1967.
(7.1)
[Gew 2] Graphs with maximal even girth.— Canad. J. Math., 1969, 21, p. 915—934.
(7.1)
Гёталс, Зайдель (Goethals J. M., Seidel У. J.)
[GoS 1] Orthogonal matrices with zero diagonal.— Canad. J. Math., 1967, 19,
p. 1001—1010.
[GoS 2) Quasisymmetiic block designs.— Inr Combinatorial structures and their
applications (ed. R. Guy, H. Hanani, N. Sauer, J. Schonheim).— New
York — London — Paris : Gordon and Breach, Sci. Publ. Inc., 1970,
p. 111—116.
[GoS 31 Strongly regular graphs derived fromr .combinatorial designs.—Canad.
J. Math., 1970, 22, p. 597—614.
842

[GoS 4] The regular two-graph on 276 vertices.— Discrete Math., 1975, 12, p. 143—
158. (3.6)
Гиббс (Gibbs R. A.)
[Gib 1) Self-Complementary graphs : Their structural properties and adjacency
matrices.— Ph. D. Thesis. Michigan St. Univ., 1970.
[Gib 2] Self-complementary graphs.—J. Combin. Theory, 1974, B16, p. 106—123.
(6.6)
Гинзбург Б. Д.
[Гинз] О числе внутренней устойчивости графов.— Сообщ. АН ГрузССР, 1977,
86, с. 289—292.
Годсил (Godsil С. D.)
[God 1] Graphs, groups and poly topes.— In: Combinatorial mathematics (J-ecture
Notes in Mathematics, 686, ed. D. A. Holton, J. Seberry). Berlin —
Heidelberg—New York : Springer-Verlag, 1978, p. 157—164. (5.2; 5.5)
[God 2] Hermite polynomials and a duality relation for matchings polynomials.—
Combinatorica, 1981, 1, p. 257—262.
[God 3] Matching behaviour is asymptotically normal.— Combinatorica, 1981, 1,
d. 369—376.
[God 4| Some graphs with characteristic polynomials which are not solvable by
radicals.— Preprint, Inst, fur Mathematik und Angewandte Geometrie,
Montanuniversitat Leoben, Austria.— 6 p.
[God 5] Spectra of trees.— Preprint, Inst, fur Mathematik und Angewandte
Geometrie, Montanuniversitat Leoben, Austria.— 15 p.
[God 6] Eigenvalues of graphs and digraphs.— Preprint, Inst, fur Mathematik und
Angewandte Geometrie, Montanuniversitat Leoben, Austria.— 12 p.
Годсил, Гутман (Godsil CD,, Gutman I.)
[GoGu 1] On the matching polynomial of a graph.— Math. Res. Rep. Univ. of
Melbourne, 1978, N 35.
[GoGu 2] On the theory of the matching polynomials.—J. Graph Theory, 1981, 5,
p. 137—144.
[GoGu 3] On the matching polynomial of a graph.— In: Algebraic methods in graph
Theory. Vol. 1 (Coll. Math. Soc. Ja. Bolyai 25). Ed. L. Lovasz and
V. T. Sos.— Amsteidam : North-Holland Publ. Co., 1981, p. 241—249.
Годсил, Мак-Кэй (Godsil С, McKay В.)
[GoM 1], Products of graphs and their spectra.— In: Combinatorial mathematics IV
(Lecture Notes in Mathematics, 560, ed. L. R. A. Casse, W. D. Wallis).
Berlin — Heidelberg — New York : Springer-Verlag, 1976, p. 61—72. (2.5)
[GoM 2] Some computational results on the spectra of graphs.— In: Combinatorial
matematics IV (Lecture Notes in Mathematics, 560, ed. L. R. A. Casse,
W. D. Wallis). Berlin — Heidelberg — New York : Springer-Verlag, 1976,
p. 73—92. (5.2; 6.1)
[GoM 3] A new graph product and its spectrum.— Bull. Austral. Math. Soc, 1978,
18, p. 21—28.
[GoM 4] Feasibility conditions for the existence of walkregular graphs.— Linear
Algebra and Appl., 1980, 30, p. 51—61.
[GoM 5] Spectral conditions for the reconstructibility of a graph.— J. Combin.
Theory, 1981, B30, p. 285—289.
Годсил, Холтон, Мак-Кэй (Godsil С, Holton D. A., McKay B.)
[GoHM] The spectrum of a graph.— In: Combinatorial mathematics V (Lecture
Notes in Mathematics, 622, ed. С. H. С Little). Berlin — Heidelberg — New
York: Springer-Verlag, 1977, p. 91—117.
Гондран, Мину (Gondran M., Minoux M.)
[GoMi 1] Valeurs propres et vecteurs propres dans les semimodulas et leur
interpretation en theorie des graphes.— Bull. Dir. etud. rech. Ser. C, 1977, N 2,
p. 25—41.
[GoMi 2] Valeurs propres et vecteurs propres en theorie des graphes.— In: Problemes
Combinatories et Theorie des Graphes, Colloque International C. N. R. S.,
N 260, Orsay, 9—13 Juillet 1976, С N. R. S. Publ. 1978 (ed. J. C. Ber-
mond, J.-C. Fournier, M. Las Vergnas, D. Sotteau), p. 181—183.
[GoMi 3] Eigenvalues and eigenvectors in semimodules and their interpretation in
graph theory.— Surv. Math. Program. Proc. 9th Intern. Math. Program.
Symp. (Budapest, 1976), 1979, 2, p. 333—348.
34a

Граовац, Гутман (Graovac A., Gutman I.)
[GrGu] The determinant of the adjacency matrix of the graph of a conjugated
molecule.—Croat. Chem. Acta., 1978, 51, p. 133—140.
Граовац, Гутман, Тринайстич (Graovac A., Gutman I., Trinajstid N.)
[GrGT 11 On the Coulson integral formula for total я-electron energy.—Chem. Phys.
Lett., 1975, 35, p. 555—577. (8.1)
[GrGT 2] A linear relationship between the total я-electron energy and the
characteristic polynomial.—Chem. Phys. Lett, 1976, 37, p. 471—474. (8.1)
* [GrGT 3] Topological approach to the chemistry of conjugated molecules.— Berlin —
Heidelberg — New York : Springen-Verlag, 1977.
Граовац, Гутман, Тинайстич, Живкович (Graovac A., Gutman I., Trinajstid N., Ziv-
kovid T.)
[GrGTZ] Graph theory and molecular orbitals. Applications of Sachs theorem.— The-
or. Chim. Acta, 1972, 26, p. 67-78. (8.2)
Граовац, Полянский, Тринайстич, Тютюлков (Graovac A., Polansky О. Е.,
Trinajstid N., Tyutyulkov N.)
[GrPTT] Graph theory in chemistry. II. Graph-theoretical description of heteroconju-
gated molecules.— Z. Naturforsch., 1975, 30a, p. 1696—1699.
Граовац, Тринайстич (Graovac A., Trinajstid N.)
[GrT 1] Mobius molecules and graphs.— Croat. Chem. Acta, 1975, 47, p. 95—104.
[GrT 2] Graphical description of Mobius molecules.— J. Mol. Struct., 1976, 30,
p. 416—420.
Гримметт (Grimmett G. R.)
[GrimJ An upper bound for the number of spanning trees of a graph.— Discrete Math.,
1976, 16, p. 323—324. (7.7)
Гринвелл, Хемминджер, Клерлейн (Greenwell D. L., Hemminger R. L., Klerlein J.)
[GrHKJ Forbidden subgraphs.— In: Proc. 4th South-Eastern Conf. on
Combinatorics, Graph Theory and Computing. Florida Atlantic Univ., 1972, p. 389—394.
Грэхем, Jloeac (Graham R. L.t Lovdsz L.)
[GrLo 1] Distance matrices of trees.— Stanford Univ., STAN-CS-75-497, 1975. (9.2)
[GrLo 2] Distance matrix polynomials of trees.— In: Theory and applications of
graphs. Proc. Intern. Conf. Western Michigan Univ., Kalamazzo, Mich.,
1976. Springer Lecture Notes Math., 642, Berlin (1978), p. 186—190.
[GrLo 3] Distance matrix polynomials of trees.— In: Problemes Combinatoires et
Theorie des Graphes, Colloque International С N. R. S., N 260, Orsay, 9—13
Juillet 1976, С N. R. S. Publ. 1978 (ed. J.-C. Bermond, J.— С Fournier,
M. Las Vergnas, D. Sotteau), p. 189—190.
[GrLo 4] Distance matrix polynomials of trees.—Adv. Math., 1978, 29, N 1, p. 60—88.
Грэхем, Поллак (Graham R. L>, Pollak H. 0.)
[GrP 1] On the adressing problem for loop switching.— Bell Syst. Tech. J., 1971,
50, p. 2495—2519. (9.2)
[GrP 2] On embedding graphs in squashed cubes.— In: Graph theory and
applications (Lecture Notes in Mathematics, 303, ed. Y. Alavi, D. R. Lick,
A. T. White). Berlin — Heidelberg — New York : Springer-Verlag, 1972,
p. 99—110. (9.2)
Грэхем, Хоффман, Хозойя (Graham R. L., Hoffman A. J., Hosoya H.)
[GrHH] On the distance matrix of a directed graph.— J. Graph Theory, 1977, 1,
p. 85—88. (9.2)
Гутман (Gutman I.)
[Gut 1] Teorija grafova i molekularne orbitale.— Master thesis, Univ. of Zagreb,
1972. (8.5)
[Gut 2] Bounds for total я-electron energy.—Chem. Phys. Lett., 1974, 24, p. 283—
285. (8.1; 8.5)
[Gut 3] Estimating the я-electron energy of very large conjugated systems.— Natur-
wissenschaften, 1974, 61, p. 216—217.
[Gut 4] On the number of antibonding MO's in conjugated hydrocarbons.— Chem.
Phys. Lett., 1974, 26, p. 85—88. (8.5)
[Gut 5] Some topological properties of benzenoid systems.— Croat. Chem. Acta, 1974,
46, p. 209—215. (8.5)
[Gut 6] An algorithm for the enumeration of bonding and antibonding MO's in
conjugated hydrocarbons.— Chem. Phys. Lett., 1976, 37, p. 475—477. (8.5)
344

[Gut 7] Huckel molecular orbital energies for [01 paracyclophanes — a test for the
validity of the perimeter rule.— Bull. Soc. Chim. Beograd, 1976, 41,
p. 69—74.
[Gut 8] Generalizations of a recurrence relation for the characteristic polynomials
of trees.— Publ. Inst. Math. (Beograd), 1977, 21 (35), p. 75—80. (2.3; 6.1)
[Gut 9] Partial ordering of forests according to their characteristic polynomial.—
In: Combinatorics. Vol. 1. (Coll. Math. Soc. Ja. Bolyai, 18). Ed. A. Hajnal
and V. Sos. Amsterdam — Oxford — New York : North-Holland Publ. Co.,
1978, p. 429—436. (8.1)
[Gut 10] Investigation of topological properties of conjugated hydrocarbons. Thesis.
Univ. of Zagreb, 1973. (8.1)
[Gut 11] A class of approximate topological formulas for total я-electron energy.— J.
Chem., Phys., 1977, 66, p. 1652—1655. (8.1)
[Gut 12] Acyclic systems with extremal Huckel я-electron energy.— Theor. Chim.
Acta, 1977, 45, p. 79—87. (8.1)
[Gut 13] The acyclic polynomial of a graph.— Publ. Inst. Math. (Beograd), 1977,
22 (36), p. 63—69.
[Gut 14] Bounds for total л-electron energy of polymethines.— Chem. Phys. Lett.,
1977, 50, N 3, p. 488—490.
[Gut 15] Topological properties of benzenoid systems.— Theor. Chim. Acta (Berlin),
1977, 45, p. 309—315.
[Gut 16] The energy of a graph.— Berichte der Mathematisch-Statistischen Sektion
im Forschungszentrum Graz, 1978, N 100—105, Bericht N 103, p. 1—22.
[Gut 17] Contribution to the problem of the spectra of compound graphs.— Publ. Inst.
Math. (Beograd), 1978, 24 (38), p. 53—60.
[Gut 18] On polymethine graphs.— MATCH, 1979, 5, p. 161—176.
[Gut 19] Characteristic and matching polynomials of some compound graphs.— Publ.
Inst. Math., 1980, 27, p. 61—66.
[Gut 20] Bounds for the smallest positive eigenvalue of a bipartite molecular graph.—
MATCH, 1981, 11, p. 75—86.
Гутман, Граовац (Gutman I., Graovac A.)
[GuGr] On structural factors causing stability differences between conjugated
isomers.—Croat. Chem. Acta, 1977, 49, p. 453—459.
Гутман, Полянский (Gutman I., Polansky О. E.)
[GuPo] Cyclic conjugation and the Huckel molecular orbital model.— Theor. Chim.
Acta (Berlin), 1981, 60, p. 203—226.
Гутман, Рандич, Тринайстич (Gutman I., Randic M., Trinajstid N.)
[GuRT] Kekule structures and topology. III. On inseparability of Kekule
structures.— Rev. Roumaine Chim., 1978, 23, p. 3P°— 395.
Гутман, Рущич, Тринайстич, Уилкокс (Gutman I., Ruscid В., Trinajstid N., Wilcox,
Jr., C. F.)
[GuRTW] Graph theory and molecular orbitals, XII. Acvclic polyenes.— J. Chem.,
Phys., 1975, 62, p. 3399—3405.
Гутман, Тринайстич (Gutman I., Trinajstid N.)
[GuT 1] Graph theory and molecular orbitals. Total л-electron energy of alternant
hydrocarbons.—Chem. Phys. Lett., 1972, 17, p. 535—538. (8.1: 8.4)
[GuT 2] A graph-theoretical classification of conjugated hydrocarbons.— Natu.wis-
senschaften, 1973, 60, p. 475.
[GuT 3] Graph theory and molecular orbitals. IV. Further applications of Sachs
formula.—Croat. Chem. Acta, 1973, 45, p. 423—429.
[GuT 4] Graph theory and molecular orbitals.— In: Topics in current chemistry
(Fortschritte der chemischen Forschung).— Berlin — Heidelberg — New
York : Springer-Verlag, 1973, 42, p. 49—93.
[GuT 5] Graph theory and molecular orbitals. The loop rule.— Chem. Phys. Lett.,
1973, 20, p. 257—260. (8.4)
[GuT 6] Graph theory and molecular orbitals. VIII. Kekule structures and
permutations.—Croat. Chem. Acta, 1973, 45, p. 539—545 (8.2)
[GuT 7] Violation of the Dewar-Longuet-Higgins conjecture.— Z. Naturforsch., 1974,
29a, p. 1238. (2.7)
[GuT 8] Graph spectral theory of conjugated molecules.—Croat. Chem. Acta, 1975,
47, p. 507—533.
345

[GuT9] On the parity of Kekule structures.— Croat. Chem. Acta, 1975, 47, p. 35—
39.
[GuT 10] Graph theory and molecular orbitals. XV. The Huckel rule.— J. Chem.
Phys., 1976, 64, p. 4921—4925. (8.1)
[GuT 11] Graph theory and molecular orbitals. XVI. On я-electron charge
distribution.— Croat. Chem. Acta, 1976, 48, p. 19—24.
V
Гутман, Тринайстич, Живкович (Gutman /., Trinajstid N., Zivkovid T).
[GuTi] Graph theory and molecular orbitals. VI. A discussion of non-alternant
hydrocarbons.— Tetrahedron, 1973, 29, p. 3449—3454.
Гутман, Тринайстич, Уилкокс (Gutman /., Trinajstit N., Wilcox, Jr., С F.)
[GuTW] Graph theory and molecular orbitals. X. The number of Kekule structures
and the thermodynamic stability of conjugated systems.— Tetrahedron, 1975,
31, p. 143—146.
Гутман, Цветкович (Gutman I., Cvetkovid D. M.)
[GuCv 1] The reconstruction problem for characteristic polynomials of graphs.— Univ.
Beograd Publ. Elektrotehn. Fak., Ser. Mat. Fiz., 1975, N 498—541, p. 45—
48. (9.5)
[GuCv 2] Relations between graphs and special functions.— Collection of Scientific
Papers of the Faculty of Science. Kragujevac, 1980, 1, p. 101—119.
Гюнтард, Примас (Gunthard Hs. H., Primas H.)
[GuPr] Zusammenhand von Graph en theorie und MO-Theorie von Molekeln mit Sys-
temen konjugierter Bindungen.— Helv. Chim. Acta, 1956, 39, p. 1645—1653.
(6.1; 8.1)
Д'амато (D'Amato S. S.)
[D'Am 1] Eigenvalues of graphs with twofold symmetry.—Mol. Phys., 1979, 37#
[D'Am 2] Eigenvalues of graphs with threefold symmetry (в печати).
Дамбит Я- Я-
[Дамб] Свойства некоторых полиномов матриц циклов и разрезов графа.— Латв.
мат. ежегодник (Рига), 1968, № 4, с. 59—71.
Далмедж, Мендельсон (Dulmage A. L., Mendelsohn N. S.)
[DuMeJ Graphs and matrices.— In: Graph theory and theoretical physics (ed. F. Ha-
rary). London — New York : Acad, press, 1967, p. 167—227 (0.3; 3.1)
Дамерелл (Darnerell R. M.)
[Dam 1] On Moore graphs.— Proc. Cambridge Phil. Soc., 1973, 74, p. 227—236.
(6.2)
[Dam 2] Orthogonal transformations of distance — regular graphs.— A lecture given
at the Conference on Finite Geometries and Designs, Brighton, 1975.
Деэоэр (Desoer C. A.)
[DeSo] The optimum formula for the gain of a flow-graph or a simple derivation of
Coates formula.— Proc. IRE, 1960, 48, p. 883—889.
Дельсарт (Delsarte P.)
[Del 1] An algebraic approach to the association schemes of coding theory.— Philips
Res. Repts Suppl., 1973, 10. [Имеется перевод: Дельсарт Ф.
Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования. Пер. с англ.— М. :
Мир, 1976.— 134 с] (3.6; 4.8)
[Del 2] Association schemes in certain lattices.—MBLE Res. Lab., Rpt 241,
Brussels, 1974.
[Del 3] Association schemes and /-designs in regular semilattices.— J. Combin.
Theory, 1976, A20, p. 230—243.
[Del 4] The association schemes of coding theory.— In: Combinatorics (ed M. Hall,
Jr., J. H. van Lint). Pt 1. Math. Centre Tracts, Amsterdam, 1974, 65,
p. 139—157. (6.4)
[Del 5] Regular schemes over a finite abelian group.— Geom. dedic, 1979, 8, N 4,
p. 477—490.
Дельсарт, Гёталс, Зайдель (Delsarte P., Goethals J. M., Seidel J. J.)
[DeGS 1] Orthogonal matrices with zero diagonal. II.— Canad. J. Math., 1971, 23,
p. 816—832.
[DeGS 2] Spherical codes and designs.— Geom. dedic, 1977, 6, p. 363—388.
Дембовский (Dembowski P.)
* [Demb] Finite Geometries.— Berlin — Heidelberg — New York : Springer-Verlag,
1968. (6.4)
346

Део (Deo N.)
* [Deo] Graph theory with applications to engineering and computer science.—
Prentice-Hall, Engelwood Cliffs, N. J., 1974. (0)
Джеймс (James L. 0.)
[Jame] A combinatorial proof that the Moore (7, 2) graph is unique.— Utilitas Math.,
1974, 5, p. 79—84.
Джил (Gill M. /CO
[Gil 1] A note concerning Acharya's conjecture on a spectral measure of structural
balance in a social system.— Preprint, Mehta Res. Inst., Allahabad, India.—
12 p.
[Gil 2] A graph theoretical recurrence formula for computing the characteristic
polynomial of a matrix.— Preprint, Mehta Res. Inst"., Allahabad, India.—
12 p.
Джил, Ахарья (Gill M. /C., Acharya B. D.)
[GiAcJ A recurrence formula for computing the characteristic polynomial of a sig-
raph.— J. Combinatorics, Information and System Sciences, 1980,
5, N 1, p. 68-72.
Джокович (Djokovit D. Z.)
[DjokJ Isomorphism problem for a special class of graphs.— Acta Math. Acad. Sci.
Hung., 1970, 21, p. 267—270. (5.1; 6.1; 7.8)
Джон (John P. W. M.)
[John] Statistical designs and analysis of experiments.— New York : Macmillan
Сотр., 1971.
Джонсон Д., Джонсон Дж. (Johnson D. Е., Johnson J. R.)
[JoJo] Comment on «General solution to the spanning tree enumeration problem
in multigraph wheels».— IEEE Trans. Circuit Theory, 1973, 20, p. 454—455.
(7.6)
Джонсон К., Лейгтон (Johnson С. R., Leighton F. T.)
[JoLe] An efficient linear algebraic algorithm for the determination of isomorphism
in pairs of undirected graphs.— J. Res. NBS, A. Mat. Sci., 1976, 80B, N 4,
p. 447—483.
Джонсон К., Ньюмэн (Johnson С. R., Newman M.)
[JoNe] A note on cospectral graphs.— J. Combin. Theory, 1980, B28, N 1, p. 96—103.
Джоунс (Jones 0.)
[Jone] Contentment in graph theory : covering graphs with cliques.— Proc. Kon.
Ned. Akad. Wetensch., 1977, A80, p. 406—424.
Диксон (Dixon W. T.)
[Dixo] Some new theorems and methods for establishing the relationship between
the symmetry of a molecular orbital and its energy.— J. С S. Faraday II,
1978, 74, p. 511—520.
Диниц, Кельманс, Зайцев (Dinic E. A., Kelmans А. К , Zaitsev M. A.)
[DiKZ] Nonisomorphic trees with the same Г-polynomial.— Inform. Process. Lett.,
1977, 6, N 3, p. 73—76.
Дмитриев И. С.
[Дми 1] Симметрия в мире молекул.— Ленинград : Химия, 1976.— 146 с.
[Дми 2] Молекулы без химических связей (очерки о «химической топологии»).—
Ленинград : Химия, 1980.— 158 с.
Дмитриев И. С, Семенов С. Г.
[ДмСе] Квантовая химия — ее прошлое и настоящее.— М..: Атом из дат, 1980.—
160 с.
Донат, Хоффман (Donath W. Е., Hoffman A. J.)
[DoHo] Lower bounds for the partitioning of graphs.— IBM J. Res. Develop., 1973,
17, p. 420—425. (3.6)
Дочев К.
[Доче] Върху решението на едно диференчно уравнение и свързаната с него
задача от комбинаториката.— Физ. мат. спис. Българ. Акад. наук, 1963,
6(39), с. 284—287. (7.5)
Дуб (Doob М.)
[Doo 1] On characterizing a line graph by the spectrum of its adjacency matrix.—
Ph. D. Thesis. City Univ. of New York, 1969.
(6.6)
347

[Doo 2) A geometrical interpretation of the least eigenvalue of a line graph.— In:
Proc. 2nd Conf. on Comb. Math, and Appl., Chapel Hill, N. C, 1970, p. 126—
135. (3.5; 6.3; 6.6)
[Doo 3] Graphs with a small number of distinct eigenvalues.— Ann. N. Y. Acad.
Sci., 1970, 175, N 1, p. 104—110. (3.5; 6.2; 6.6)
[Doo 4] On characterizing certain graphs with four eigenvalues by their spectra.—
Linear Algebra and Appl., 1970, 3, p. 461—482. (6.3)
[Doo 5] On the spectral characterization of the line graph of a BIBD.— In: Proc. 2nd
Louisiana Conf. on Combinatorics, Graph Theory and Computing, 1970.
p. 225—234.
[Doo 6] On the spectral characterization of the line graph of a BIBD, II.— In: Proc.
Manitoba Conf. Numer. Math.,, Univ. of Manitoba, 1971, p. 117—126. (6.1)
[Doo 71 On graph products and association schemes.— Utilitas Math., 1972, 1,
p. 291—302. (6.1)
[Doo 8] An interrelation between line graphs, eigenvalues, and matroids.— J. Combin.
Theory, 1973, B15, p. 40—50. (6.3; 6.6)
[Doo 9J A spectral characterization of the line graph of a BIBD with К = 1.— Linear
Algebra and Appl., 1975, 12, p. 11—20. Г6.3)
[Doo 10J Eigenvalues of a graph and its imbeddings.— J. Combin. Theory, 1974, B17,
p, 244—248. (6.1; 9.П
[Doo 11] A note on prime graphs.— Utilitas Math., 1976, 9, p. 297—300. (7.5)
[Doo 12J On imbedding a graph in an isospectral family.— In: Proc. 2nd Manitoba
Conf. Numer. Math., Winnipeg, Man. (1972), 1973, p. 137—142.
[Doo 13J A note on eigenvalues of a line graph.— In: Proc. Conf. on Algebraic Aspects
of Combinatorics, Toronto (1975); Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1975,
p. 209—211.
[Doo 14J Some asymptotic spectral properties of a graph.— In: Proc. 3rd Manitoba
Conf. Numer. Math., Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1974, p. 160.
[Doo 15J Graphs with a small number of distinct eingenvalues. II (в печати).
[Doo 16J Seidel switching and cospectral graphs with four distinct eigenvalues.— Ann.
N. Y. Acad. Sci., 1979, 319, p. 164—168.
[Doo 17] A surpising property of the least eigenvalue of a graph.— Linear Algebra and
Appl., 1982, 46, p. 1—7.
Дуб, ЦветкЬвич (Doob M.., Cvetkovit D. M.)
[DoCvl On spectral characterizations and embeddings of graphs.— Linear Algebra
and Appl., 1979, 27, p. 17—26.
Дьюар, Лонге-Хиггинс (Dewar M. S. J., Longuet-Higgins H. C.)
[DeLol The correspondence between the resonance and molecular orbital theories.—
Proc. Roy. Soc. (London), 1952, A214, p. 482—493. (8.2; 8.5)
Дядюша Г. Г., Качковский А. Д.
[ДяКа] Применение графов к теории основности концевых групп полимесиновых
красителей.— Теоретич. и эксперим. химия, 1979, 15, с. 152—161.
Ейнбу (Einbu J. М.)
[Einb] The enumeration of bit-sequences that satisfy local criteria.— Publ. Inst.
Math. (Beograd), 1980, 27, p. 51—56.
Ершов А. П., Кожухин Г. A.
[ЕрКо] Об оценках хроматического числа связных графов.— Докл. АН СССР,
1962, 142, с. 270—273. (7.7)
Ессер, Харари (Esser F.f Harary F.)
[EsHa] On the spectrum of a complete multipartite graph.— Eur. J. Combinatorics,
1980, 1, p. 211—218.
Живкович (Zivkovid T.)
[2ivk] Calculation of the non-bonding molecular orbitals in the Huckel theory.—
Croat. Chem. Acta, 1972, 44, p. 351—364. (8.1)
Живкович, Тринайстич, Рандич (Zivkovid T.t Trinajsttd N.f Randit M.)
[2iTR] On conjugated molecules with identical topological spectra.— Mol. Phys.,
1975, 30, p. 517—533. (6.1)
Заградник, Михл (Zahradnik R., Michl J.)
[ZaM 1] Tables of quantum chemical data. IV. Molecular orbitals of hydrocarbons
348

of the pentalene, azulene and heptalene series.— Coll. Chech. Chem., Comm.,
1965, 30, p. 3173—3188. (Прил.)
[ZaM 2] Tables of quantum chemical data, V. Molecular orbitals of pericondensed
tricyclic hydrocarbons.— Coll. Chech. Chem. Comm., 1965, 30, p. 3529—
3536. (Прил.У
[ZaM 3] Tables of quantum chemical data. VII. Molecular orbitals of indacene —
like and some peri — condensed tetracyclic hydrocarbons.— Coll, Chech.
Chem. Comm., 1965, 30, p. 3550—3560. (Прил.)
Заградник, Михл, Коутецки (Zahradnik R., Michl J., Kouteckj) J.)
[ZaMK 1] Tables of quantum chemical data, II. Energy characteristics of some
nonalternant hydrocarbons.—Coll. Chech. Chem. Comm., 1964, 29,
p. 1933—1944. . (Прил.>
[ZaMK 2] Tables of quantum chemical data. III. Molecular orbitals of some f luoran-
thene — like hydrocarbons, cyclopentadienil, and some of its benzo and
naphto derivatives.—Coll. Chech. Chem. Comm., 1964, 29, p. 3184—32Ю.
(Прил.)
Заградник, Парканый (Zahradnik R., Parkanyi C.)
[ZaPa] Tables of quantum chemical data. VI. Energy characteristics of some
alternant hydrocarbons.—Coll. Chech. Chem. Comm., 1965, 30, p. 3536-3549.
(Прил.)
Зайдель (Seidel J. J.)
[Sei 1] Strongly regular graphs of L2-type and of triangular type.— Indag. Maht.,
1967, 29, N 2, p. 188—196. (6.1)
[Sei 2] Strongly regular graphs with (—1, 1, 0) adjacency matrix having eigenvalue
3.— Linear Algebra and Appl., 1968, 1, p. 281—298. (6.1; 6.5; 7.2; 7.8)
[Sei 3] Strongly regular graphs.— In: Recent Progress in Combinatorics (ed. W. T.
Tutte).— New York — London : Acad, press, 1969, p. 185—198.
(6.1; 7.2; 7.8)
[Sei 4] A survey of two-graphs.— In: Teorie Combinatorie (Coll. Int. Roma, 1973),
t. I. Ace. Naz. Lincei, Roma (1976), Atti dei Convegni Lincei, 1976, 17,
p. 481—511. (6 1; 7.2; 7.3; 7.8)
[Sei 5] On two-graphs and Shult's characterization of symplectic and orthogonal
geometries over GF(2).— Technische Hogeschool Eindhoven, TH-Rpt
73-WSK-0.2, p. 1—25.
[Sei 6] Graphs and two-graphs.— In: 5th South-Eastern Conf. Combinatorics, Graph
Theory, Computing. Boca Raton. Flo., (1974), Utilitas Math., Winnipeg,
1974, p. 125—143. (6.1; 6.6; 7.3)
[Sei 7] Metric problems in elliptic geometry.— In: The geometry of metric and li-:
near spaces; Proc. Conf. metric geometry, East Lansing, 1974 (Lecture
Notes in Mathematics, 490, ed. L. M. Kelly). Berlin — Heidelberg — New
York : Springer-Verlag, 1975, p. 32—43.
[Sei 81 Quasiregular two-distance sets.— Indag. Math., 1969, 31, N 1, p. 64—70.
[Sei 9] Strongly regular graphs.— London Math. Soc. Lect. Note Ser., 1979, N 38,
p. 157—180.
[Sei 10] Graphs and two-distance sets.— Lecture Notes Math., 1981, 884, p. 90—98.
Зайдель, Тейлор (Seidel J. J., Taylor D. E.)
[SeiT] Two-graphs, a second survey.— In: Algebraic methods in graph theory. Vol.
2. Amsterdam; Budapest, 1981, p. 684—711.
Зайден (Seiden E.)
[Seid] On a geometrical method of construction of partially balanced designs witrr
two associate classes.— Ann. Math. Statist., 1961, 32, p. 1177—1180. (6.3)
Заславский (Zaslavsky T.)
[Zasl] The geometry of root systems and signet graphs.— Amev. Math, Monthly,
1981, 88, N 2, p. 88—105.
За у эр (Sauer N.)
[SaueJ Extremaleigenschaften regularer Graphen geeebener Taillenweite. I. II.—
Sitzungsberichte Osterr. Akad. Wiss., Math. Nat. Kl., Abt. II, 1967, 176,
§ 9 43
Захс (Sachs H.)
~ [S ic 1 ] Ober selbstkomplemeniare Graphen.—Publ. Math. Debrecen, 1962, 9,
S. 270—288. (2.2; 2.5; 3.3; 4.5; 5.1; 7.1)
34»

[Sac 2] Ober die Anzahlen von Baumen, Waldern und Kreisen gegebenen Typs in
gegebenen Graphen.— Habilitationsschrift Univ. Halle, Math.-Nat. Fak.,
1963. (1.4)
(Sac 3] Beziehungen zwischen den in einem Graphen enthaltenen Kreisen und sei-
nem charakteristischen Polynom.— Publ. Math. Debrecen, 1964, 11,
S. 119—134. (1.4; 3.1; 3.2; 3.3; 7.8)
{Sac 4] Abzahlung von Waldern eines gegebenen Typs in reguiaren und biregularen
Graphen. I.— Publ. Math. Debrecen, 1964, 11, S. 74—84. (3.3)
[Sac 5J Abzahlung von Waldern eines gegebenen Typs in reguiaren und biregularen
Gpaphen. II.— Publ. Math. Debrecen, 1965, 12, S. 7—24. (7.8)
[Sac 6] Bemerkung zur Konstruktion zyklischer selbstkomplementarer gerichteter
Graphen.— Wiss. Z. TH Ilmenau, 1965 11, S. 161—162.
[Sac 7] Ober Teiler, Faktoren und charakteristische Polynome von Graphen. Teil
I.—Wiss. Z. TH Ilmenau, 1966, 12, S. 7—12. (2.5; 3.2; 4.1; 4.2)
[Sac 8] Ober Teiler, Faktoren und charakteristische Polynome von Graphen. Teil
II.— Wiss. Z. TH Ilmenau, 1967, 13, S. 405—412. (2.4; 3.5; 3.6; 8.1)
* [Sac 9] Einfuhrung in die Theorie der endlichen Graphen. Teil I.— Teubner Verlag-
sgesellschaft, Leipzig, 1970. (0; 3.2; 3.3)
[Sac 10J Struktur und Spektrum von Graphen.—Mitteil. Math. Ges. DDR, 1973,
Heft 23, S. 119—132. (4.1)
[Sac 111 Ein Beitrag zur Theorie der Graphenspektren.— XVIII Intern. Wiss. Koll.
TH Ilmenau, 1973, Reihe A2, S. 59—60.
[Sac 12] On the number of spanning trees.— In: Proc. 5th Brit. Combinatorial Conf.,
Aberdeen 1975 (ed. C. St. J. A. Nash-Williams and J. Sheehan). Winnipeg,
1976, p. 529—535. (1.9)
ISac 13J Regular graphs with given girth and restricted circuits.—J. London Math.
Soc, 1963, 38, p. 423—429. (7.1)
tSac 14] On a theorem connecting the factors of a regular graph with the eigenvectors
of its line graph.— In: Combinatorics. Vol. 2. (Coll. Math. Soc. JLa. Bolyai,
18). Ed. A. Hajnal and V. Sos. Amsterdam — Oxford — New York : North-
Holland Publ. Co., 1978, p. 947—957. (3.5)
(Sac 15J Ober einige graphentheoretisch — kombinatorische Problemkreise.— In:
Beitrage zur Graphentheorie und deren Anwendungen, vorgetragen auf dem
Intern. Koll. Oberhof (DDR, April 1977). Math. Ges. DDR / TH Ilmenau,
1977, S. 201—217. (1.2)
[Sac 16J Simultane Oberlagerungen gegebener Graphen.— Publ. Math. Inst. Hung.
Acad. Sci. (Budapest), 1964, 9, Ser. A, S. 415—427. (4.1; 4.2)
Захс, Шпшбиц (Sachs H., Stiebitz M.)
[SaSt 1J Automorphism group and spectrum of a graph.— In: Algebra-ic methods in
graph theory. Vol. 2. Amsterdam; Budapest, 1981, p. 657—670. (5.1)
[SaSt 2] Konstruktion schlichter transitiver Graphen mit maximaler Anzahl ein-
facher Eigenwerte.—Math. Nachr., 1981, 100, S. 145—150.
Зефиров H. С, Трач С. С, Чижов О. С.
[ЗеТЧ] Каркасные и полициклические соединения. Молекулярный дизайн на
основе принципа изоморфного замещения. «Органическая химия» (Итоги
науки и техники).— М. : ВИНИТИ, 1979.— 88 с.
Зыков А. А.
[Зык 1J О некоторых свойствах линейных комплексов.— Мат. сб., 1949, 24, №2,
с. 163—188. (2.2)
* [Зык 2J Теория конечных графов. Т. 1.— Новосибирск : Наука, 1969.— 544 с.
(2.2)
Имрих (Imrich W.)
[ImriJ ZehnpunKtige kubische Graphen.— Aequationes Math., 1971, 6, N 1, S. 6—
10. (Прил.)
Кавасаки, Мицушани, Хозойя (Kawasaki К., Mizutani К., Hosoya Н.)
[КаМН] Tables of non-adjacent numbers, characteristic polynomials and topological
indices. II. Mono- and bicyclic graphs.— Nutur. Sci. Rept. Ochanumizu
Univ., 1971, 22, N2, p. 181—214. (Прил.)
Камерон (Cameron P. J.)
[Came] Partial quadrangles.—Quart. J. Math. Oxford, 1975, 26(2), p. 61 —
73.
350

Камерон, Тёталс, Зайдель (Cameron P. J., Goethah J. M.t Seidel J. J.)
fCaGS] Strongly regular graphs having strongly regular subconstituents.— J.
Algebra, 1978, 55, p. 257—280.
Камерон, Гёталс, Зайдель, Шулт (Cameron P. J., Goethah J. M., Seidel J. J.,
Shult E. E.)
[CaGSS] Line graphs, root systems and elliptic geometry.— J. Algebra, 1976, 43,
p. 305—327. (6.3>
Камерон, Линтван (Cameron P. J., Lint J. H. van)
* [CaLiJ Graph theory, coding theory and block designs.— London Math. Soc. Lect.
Note Ser. 19. Cambridge Univ. press, Cambridge — London — New York —
Melbourne, 1975. [Имеется перевод: Камерон П., Дж. ван Линт. Теория
графов, теория кодирования и блок-схемы. Пер. с англ.— М. : Наука,
1980.— 140 с).
Камерон, Зайдель (Cameron P. J., Seidel J.J.)
[CaSeJ Quadratic forms over GF (2).— Indag. Math., 1973, 35, N 1, p. 1—8.
Карлиц (Carlitz L.)
[Carlj Enumeration of certain types of sequences.— Math. Nachr., 1971, 49,
p. 125—147. (7.5>
Картер (Carter R. W.)
* [Cart] Simple Groups of Lie Type.— John Wiley and Sons, Interscience, Chichester,
1972. (6.3)
Kapmecu Ф.
* [Карт] Введение в конечные геометрии. Пер. с англ.— М. ; Наука, 1980.— 320 с.
Кастелейн (Kasteleyn P. W.)
[Kas 1] Dimer statistics and phase transitions.— J. Math. Phys., 1963, 4, p. 287—
293. (8.3)
[Kas 2] Graph theory and crystal physics.— In: Graph theory and theoretical
physics (ed. F. Harary).— London — New York : Acad, press, 1967, p. 43—110.
(1.8; 1.9; 8.3>
Кац (Kac M.)
[Kac] Can one hear the shape of a drum? — Amer. Math. Monthly, 1966, 73,
April, Pt II, p. 1—23. (8.4>
Кельманс A. K- (Kelmans A. K.)
[Кел 1] О-числе деревьев графа. I.— Автоматика и телемеханика, Ш65, № 2(*
с. 2194—2204. (1.2; 2.2; 7.6>
[Кел 2] О числе деревьев графа. II.— Автоматика и телемеханика, 1966, № 2,
с. 56—65. (7.6>
[Кел 3] О свойствах характеристического многочлена графа.— В кн.:
Кибернетику — на службу коммунизму.— Москва — Ленинград : Энергия, 1967,
с. 27—41. (1.5; 2.4; 7.6; 7.7)
[Кел 4] Графы с одинаковым числом путей длины два между смежными и
несмежными парами вершин.— В кн.: Вопросы кибернетики.— Москва: 1973,
с. 70—75.
[Кел 5] О «разрешающей способности» характеристического многочлена матрицы
проводимости графа (1964, не опубликовано). (6.1}
[Кел 6] Comparisons of graphs by their number of spanning trees.— Discrete Math.,
1976, 16, p. 241—261.
Кельманс, Челноков (Kelmans А. К., Chelnokov V. M.)
[KeCh] A certain polynomial of a graph and graphs with an extremal number of
trees.—J. Combin. Theory, 1974, B16, p. 197—214; Erratum — J. Combin.
Theory, 1978, B24, p. 375. (1.5; 2.3; 7.6; 7.8>
Кёниг (Konig D.)
[Kon 1] Uber Graphen und ihre Anwendungen auf Deter mi nantentheorie und Mengen-
lehre.—Math. Ann., 1916, 77, S. 453—465. (1.4>
* [Kon 2] Theorie der endlichen und unendlichen Graphen.— Leipzig : Akad. Ver-
lagsges., 1936. (1.4>
Кершберг (Kerschberg L.)
[Kers] The characteristic polynomial of graph products.— In: 7th Ann. Asilomar
Conf. Circuits, Syst., Comput.; Pacif. Grove, 1973, Western Periodicals
Сотр., North Hollywood, 1974, p. 476—481. (2.5>
351

Кинг К. (King С.)
[Kin, С] Characteristic polynomials of7-node graphs.— Sci. Rept., Univ. of West
Indies CC6 (AFORS project 1026—66). Kingston, 1967; (Прил.)
Кинг P. (King R. B.)
[Kin.RJ Symmetry factoring of the characteristic equations of graphs corresponding
to polyhedra.— Teor. Chim. Acta (Berlin), 1977, 44, p. 223—243.
Кинг P., Руврэй (King R. В., Rouvray D. H.)
[KiRoJ Chemical applications of group theory and topology. VII. A graph theoretical
interpretation of the bounding topology in polyhedrad boranes, carboranes,
and metal clusters.— J. Amer. Chem. Soc, 1977, 99, p. 7834—7840.
Кирхгоф (Kirchhoff G.)
[KircJ Ober die Auflosung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung
der linearen Verteilung galvanischer Strome gefuhrt wfrd.— Ann. Phys.
Chem., 1847, 72, S. 497—508. (1.5)
Кларк (Clarke F. H.)
[ClarJ A graph polynomial and its applications.— Discrete Math., 1972, 3, p. 305—
313. (1.4; 2.3)
Клафэм (Clapham C. R. J.)
[Clap] Triangles in self — complementary graphs.— J. Combin. Theory, 1973,
B15, p. 74—76. , (3.3)
V
Кноп, Тринайстич, Живкович (Knop J. V., Trinajstid N., Zivkovid T.)
[KnTZ] A graphical study of positional isomers containing bivalent sulphur.— Coll.
Chech. Chem. Comm., 1974, 39, p. 2431—2448.
Коксетер (Coxeter H. S. M.)
* [Cox lj Regular Polytopes.— London : Methuen, 1948. (6.3)
[Cox 2J The product of the generators of a finite group generated by reflections.—
Duke Math. J., 1951, 18, p. 765—782.
Колгуд, Читгопшр (Kaulgud M. К., Chitgopkar V. H.)
[KaChJ Polynomial matrix methods for the calculation of я-electron energies for
linear conjugated polymers.—С J. S. Faraday II, 1977, 73, p. 1385—1395.
Коллац (Collatz L.)
* [Col lj Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen.— Akad. Verlagsges. Ge-
est und Portig KG, Leipzig, 1963. (2.7; 8.4; Прил.)
[Col 2] Einige Beziehungen zwischen Graphen, Geometrie und Kombinatorik.— In:
Numerische Methoden bei graph en theoretischen und kombinatorischen Prob-
lemen (ed. L. Collatz, G. Mein^rdus, H. Werner). Basel — Stuttgart : Birk-
hauser, 1975, S. 27—56.
Коллац, Синоговиц (Collatz L., Sinogowitz U.)
[CcSi I] Spektren endlicher Grafen.— Abh. Math. Sefn. Univ. Hamburg, 1957, 21,
S. 63—77. (0.1; 0.3; 1.4; 2.7; 3.2; 3.3; 4.6; 6.1; 7.5; 8.1; 8.4; 9.5; Прил.)
[CoSi 21 Spektren endlicher Grafen.— Fiat Revs of German Sci. 1939—1946, Pure
Mathematics, pt II, S. 251—252. (1.4)
Коннор (Connor W. S.)
[Conn] The uniqueness of the triangular association scheme.— Ann. Math. Statist.,
1958, 29, p. 262—266.
Коннор, Клатворт (Connor W. S., Clatworthy W. H.)
[CoCl] Some theorems for partially balaced designs.— Ann. Math. Statist., 1954,
25, p. 100—112. (7.2)
Конт де Поли ле (Le Conte De Poly C.)
[Contl Graphes d'amitie et plans en blocs symetriques.— Math. Sci. Humaines,
1975, 51, p. 25—33, 87.
Коулсон (Coulson C. A.)
[Cou lj Exited electronic levels in conjugated molecules.— Proc. Phys. Soc, 1948,
60, p. 257—269. (8.1)
[Cou 2] Notes on the secular determinant in molecular orbital theory.— Proc.
Cambridge Phil. Soc, 1949, 46, p. 202—205. (1.4)
Коулсон, Джекобе (Coulson С. A,, Jacobs J.)
[CoJa] Conjugation across a single bond.— J. Chem. Soc, 1949, p. 2805—2812.
Хоулсон, Лонге-Хиггинс (Coulson С. A., Longuet-Higgins H. C.)
[CoLoJ The structure of conjugated systems. II: Unsaturated hydrocarbons and their
352

heteroderivatives.— Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A, 1947, 192, p. 16—32.
(3.2)
Коулсон, Рашбрук (Coulson С. A., Rushbrooke G. S.)
[CoRuJ Note on the method of molecular orbitals.— Proc. Cambridge Phil. Soc,
1940, 36, p. 193—200. (3.2; 8.1)
Коулсон, Штрейтвизер (Coulson С. A., Streitwieser A.)
* [CoStJ Dictionary of я-Electron Calculations.— San Francisco : Pergamon press
Inc., 1965. (Прил.)
Кбэтес (Coates С. L.)
[Coat] Flow — graph solutions of linear algebraic equations.— IRE Trans. Circuit
Theory CT-6, 1959, p. 170—187. (1.4; 1.9)
Кратко M. И., Строк В. В.
[KpCrJ Последовательности де Брёйна с ограничениями.— В кн.: Вопросы
кибернетики. Комбинаторный анализ и теория графов. М. : Изд. АН СССР,
1980, с. 80—84. ' (7.6; 7.8)
К раус, Цветкович (Kraus L. L., Cvetkovit D. М.)
fKrC 1J Evaluation of a lower bound for the chromatic number of the complete
product of graphs.— Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak., Ser. Mat. Fiz.,
1971, N 357—380, p. 63—68. (3.3)
[KrC 2] Tables of simple eigenvalues of some graphs whose automorphism group has
two orbits.— Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak., Ser. Mat. Fiz., 1972,
N 381—409, p. 89—95. (5.1; Прил.)
Креверас (Kr ewer as G.)
[KrewJ Complexite et cirucits euleriens dans les sommes tensorielles de graphes. —
J. Combin. Theory, 1978, B24, p. 202—212. (7.8)
Крискуоло, Куок, Мовшовиц, Topmopa (Criscuolo G., Kwok C.-M.t Mowshowitz, Л.,
Tortora R.)
[CrKMT] The group and the minimal polynomial of a graph.— J. Combin. Theory,
1980, B29, p. 293—302.
Кришнамурти, riapmacapamy^(Krishnamoorthy V., Parthasarathy /C. R.)
[KrP 1J A note on поп-isomorphic cospectral digraphs.— J. Combin. Theory,
1974, B17, p. 39—40. (6.1)
[KrP 2J Cospectral graphs and digraphs with given automorphism group.— J. Corn-
bin. Theory, 1975, B19, p. 204—213. (5.5; 6.1)
Куич, 3at/эр (Kuich W., Sauer N.)
[KuSaJ On the existence of certain minimal regular n-systems with given girth.— In:
Proof techniques in graph theory (ed. F. Harary).— New York — London :
Acad, press, 1969, p. 93—101.
Кук (Cook C. R.)
[Cook] A note on the exceptional graph of the cubic lattice graph characterization.—
J. Combin. Theory, 1973, B14, p. 132—136. (6.1; 6.4)
Кун (Kuhn W. W.)
[Kuhn] Graph isomorphism using vertex adjacency matrix.— In: Proc. 25th summer
meeting of Can. Math. Congress, Lakehead Univ., Tunder Bay, Ont., 1971,
p. 471—476. (1.8)
Купер (Cooper C. D. H.)
[Coop] On the maximum eigenvalue of a reducible поп — negative real matrix.—
Math. Z., 1973, 131, p. 213—217.
Кэртис, Райнер (Curtis С. W., Reiner I.)
* [CuRe] Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras.— Inter-
science Publ., John Wiley and Sons, New York — London, 1962. [Имеется
перевод: Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и
ассоциативных алгебр. Пер. с англ.— М. : Наука, 1969.— 668 с] (5.2)
Ласкар (Laskar R.)
[Las 1] A characterization of cubic lattice graphs.— J. Combin. Theory, 1967, 3,
p. 386—401. (6.4)
[Las 2] Eigenvalues of the adjacency matrix of the cubic lattice graph.— Pacif. J.
-~— Math., 1969, 29, p. 623—629. (6.4)
Либлер (Liebler R. A.)
[Lieb] On the uniqueness of the tetrahedral association scheme.— J. Combin. The-
ъ~- ory, 1977, B22, p. 246—262.
12 3-476
353

Лемер (Lehmer D. H.)
[Lehm] Permutations with strongly restricted displacements.— In: Combinatorial
theory and its applications. II (ed. P. Erdos, A. Renyi, V. T. Sos). Bolyai
Janos Mat. Tarsulat.— Amsterdam — London; Budapest : North-Holland.
Publ. Co., 1970, p. 755—770. (7.5)
Лемменс, Зайдель (Lemmens P. W. H., Seidel J. J.)
[LeS 1] Equi-isoclinic subspaces of euclidean spaces.— Indag. Math., 1973, 35, N 2,
p. 98—107.
[LeS 2] Equiangular lines.— J. Algebra, 1973, 24, p. 494—512. (7.3)
Ленстра (Lenstra H. W.)
[Lens] Two theorems on perfect codes.— Discrete Math., 1972, 3, p. 125—132.
(4.8)
Лик (Lick D. R.)
[Lick] A class of pcint partition numbers.— In: Recent trends in graph theory
(Lecture Notes in Mathematics, 186, ed. M. Capoblanco, J. B. Frechen.
M. Krolik). Berlin — Heidelberg — New York : Springer-Verlag, 1971,
p. 184—190. (3.2)
Лик, Уайт (LickD. R., White A. T.)
[LiWh) /(-degenerate graphs.— Canad. J. Math., 1970, 22, p. 1082—1096. (3.2)
Линт ван (Lint J. H. van)
* [Lint] Coding theory (Lecture Notes in Mathematics, 201). Berlin — Heidelberg —
New York : Springer-Verlag, 1971. (4.8)
Линт ван, Зайдель (Lint J. H. van, Seidel J.J.)
[LiSe] Equilateral point sets in elliptic geometry.— Proc. Nederl. Acad. Wetensch.,
1966, A69, p. 335—348. (1.2; 6.1; 6.5; 7.3; Прил.)
Литтл (Little С. H. С.)
[Lit 1] The parity of the number of 1-factors of a graph.— Discrete Math.. 1972, 2,
p. 179—181 (7.8)
[Lit 2] Kasteleyn's theorem and arbitrary graphs.— Canad. J. Math., 1973, 25,
p. 758—764. (8.3)
Лихтенбаум Л. M.
[Лих 1] Характеристические числа неособенного графа.— В кн.: Тр. Ill Всесоюз.
мат. съезда, 1956, том 1, с. 135—136. (0.1; 3.2)
[Лих 2] Теорема двойственности для неособенных графов.— Успехи мат. наук,
1958, 13, № 5, с. 185—190. (1.2)
[Лих 3) Следы степеней матриц соседства вершин и ребер неособенного графа.—
Изв. вузов. Математика, 1959, №5, с. 154—163.
[Лих 4] Новые теоремы о графах.— Сиб. мат. журн., 1962, №3, с. 561—568. (3.6)
[Лих 5] О гамильтоновых циклах связного графа.— Кибернетика, 1968, № 4,
с. 72—75. (3.6)
Ллойд (Lloyd S. Р.)
[Lloy] Binary block coding.— Bell Syst. Tech. J., 1957, 36, p. 517—535. (4.8)
Ловас (Lovdsz L.)
[Lov 1] Spectra of graphs with transitive groups.— Periodica Math. Hung., 1975,
6 (2), p. 191—195. (5.1; 5.5)
[Lov 2] On the Shannon capacity of a graph.— IEEE Trans. Inform. Theory, 1979,
25, p. 1—7.
Ловас, Пеликан (Lovdsz L., Pelikdn J.)
[LoPe] On the eigenvalues of trees.— Periodica Math. Hung., 1973, 3 (1—2),
p. 175—182. (1.4; 2.7; 3.6)
Лонге-Хиггинс (Longuet-HigginsH. С.)
[Long] Resonance structures and MO in unsaturated hydrocarbons.— J. Chem. Phys.,
1950, 18, p. 265—274. (8.1; 8.2)
Лоренс (Lorens C. S.)
* [Lore] Flowgraphs.—McGraw-Hill, New York, 1964. (1.4)
Лэм, Линт ван (Lam С. W. H., Lint J. H. van)
[LaLi] Directed graphs with unique paths of fixed length.— J. Combin. Theory,
1978, B24, p. 331—337.
Мак-Клелланд (McClelland B. J.)
[McC 1J Properties of the latent roots of a matrix : The estimation of я-electron
energies.—J. Chem. Phys., 1971, 54, p. 640—643. (8.1)
854

[McC 2] Graphical method for factorizing secular determinants of Huckel
molecular orbital theory.—J. С S. Faraday II, 1974, 70, p. 1453—1456.
(4.6; 5.2)
Мак-Кэй (McKay B. D.)
[McK 1] On the spectral characterization of trees.— Ars Combinatoria, 1977, 3,
p. 219—232. (9.2)
[McK 2] Transitive graphs with fewer than twenty vertices.— Math. Сотр., 1979,
33, N 147, p. 1101—1121.
[McK 3] The expected eigenvalue distribution of a random regular labelled graph.—
Math. Res. Rep. Univ. Melbourne, 1979, N 2.— 15 p.
Мак-Уини, Сатклифф (McWeeny R., Sutcliffe В. T.)
* [McWS] Methods of molecular quantum mechanics.— London — New York : Acad.
press, 1969. (8; 8.1; 8.5)
Мак-Эндрю (McAndrew M. H.)
[McAn] On the product of directed graphs.— Proc. Amer. Math. Soc, 1963, 14,
p. 600—606. (7.4)
Маримонт (Marimont R. B.)
[Mari] System connectivity and matrix properties.— Bull. Math. Biophys., 1969,
31, p. 255—274. (3.2)
Маркус M., Минк (Marcus M., Mine H.)
* [MaMi] A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities.— Allyn and Bacon,
Inc., Boston, 1964. [Имеется перевод: Маркус M., Минк X. Обзор по
теории матриц и матричных неравенств.— М. : Наука, 1979.— 232 с]
Маркус P. (Marcus R. А.)
[Marc] Additivity of heats of combustion, LCAO resonance energies and bond
orders of conformal sets of conjugated compounds.— J. Chem. Phys., 1965,
43, p. 2643—2654.
Мартин, Эйхингер (Martin J. E., Eichinger В. E.)
[MaEi] Distribution functions for Gaussian molecules, I. Stars and random regular
nets.— J. Chem. Phys., 1979, 69 (10), p. 4588—4594.
Мартинова M. K.
[Март] Върху m-мерния решетъчен граф с характеристика п.— Годишн. Висш.
техн. учебни завед. мат., 1973, 8, с. 155—163.
Маршалл (Marshall С.)
* [Mars] Applied Graph Theory.— Interscience.— New York — London — Sydney —
Toronto : John Wiley and Sons, 1971.
Масуяма (Masuyama M.)
[Masu] A test for graph isomorphism.— Repts. Statist. Appl. Res. Union Jap. Sci.
Eng., 1973, 20, N 2, p. 41—64.
Матон (Mathon R.)
[Math] 3-class association schemes.— In: Proc. Conf. on Algebraic Aspects of Comb.,
1975 (ed. D. Corneil, E. Mendelsohn), Utilitas Math., Winnipeg, 1975,
p. 123—155.
Мейеда (Mayeda W.)
* [Maye] Graph theory. Interscience.— New York — London — Sydney —
Toronto : John Wiley and Sons, 1972. (0)
Мейер (Meyer J. F.)
[Meye] Algebraic isomorphism invariants for graphs of automata.— In: Graph theory
and computing (ed. R. С Read). New York — London : Acad, press, 1972,
p. 123—152. (6.1)
Мендельсон (Mendelsohn N. S.)
[Men 1] Structure of good graphs and related graphs (не опубликовано).
[Men 2] Directed graphs with the unique path property.— In: Combinatorial theory
and its applications. II (ed. P. Erdos, A. Renyi, V. T. Sos). Bolyai Janos
Mat. Tarsulat.— Amsterdam — London; Budapest : North-Holland Publ.
Co., 1970, p. 783-^799.
Мизутани, Кавасаки, Хозойя (Mizutani К., Kawasaki К., Hosoya H.)
[MiKH] Tables of non-adjacent numbers, characteristic polynomials and topological
indiced. I. Tree graphs.— Natur. Sci. Rept. Ochanumizu Univ., 1971, 22,
N. 1, p. 39—58. (Прил.)
Милич (Milit M.)
12*
355

[MiliJ Flow-graph evaluation of the characteristic polynomial of a matrix.— IEEE
Trans. Circuit Theory CT-11, 1964, p. 423—424. (1.4)
Миллер (Miller D. J.)
[Mill] The categorical product of graphs.— Canad. J. Math., 1968, 20, p. 1511—
1521. (2.5; 7.4)
Митчем (Mitchem J.)
[Mite] On extremal partitions of 'graphs.— Thesis. Michigan, 1970. (3.2)
Мовшовиц (Mowshowitz A.)
[Mow 1] Entropy and complexity of graphs.— Univ. Michigan Techn. Rept., August
1967. (5.5)
[Mow 2] Entropy and complexity of graphs. III. Graphs with prescribed information
content.— Bull. Math. Biophys. 1968, 30, p. 387—414. (2.5; 5.5)
[Mow 3] The group of a graph whose adjacency matrix has all distinct eigenvalues.—
In: Proof techniques in graph theory (ed. F. Harary).— New York —
London : Acad, press, 1969, p. 109—110. (5.1)
[Mow 4] Graphs, groups and matrices.— In: Proc. Canad. Math. Congr., 1971, p. 509—
522. (5.2; 5.5)
[Mow 5] The characteristic polynominal of a graph.— J. Combin. Theory, 1972, B12,
p. 177—193. (1.4; 2.7; 6.1; 6.6; Прил.)
[Mow 6] The adjacency matrix and the group of a graph.— In: New Directions in the
Theory of Graphs (ed. F. Harary).— New. Vork — London : Acad, press,
1973, p. 129—148 (5.2; Прил.)
Мозер, Лбрамсон (Moser W. О. J., Abramson M.)
[MoAb] Enumeration of combinations with restricted differences and cospan.— J.
Combin. Theory, 1969, 7, p. 162—170. (7.5)
Монтролл (Montroil E. W.)
[Mont] Lattice statistics.— In: Applied combinatorial mathematics (ed. E. E. Be-
ckenbach). Interscience, John Wiley and Sons, New York — London —
Sydney, 1964, p. 96—143 [Имеется перевод: Монтролл Э. В. Статистика
решеток.— В кн.: Прикладная комбинаторная математика.— М. : Мир, 1968.—
с. 9—60]. (8.3)
Мун (Moon J. W.)
[Moo 1] On the line graph of the complete bigraph.— Ann. Math. Statist., 1963, 34,
p. 664—667. (6.3)
* [Moo 2] Counting Labelled Trees.— Canad. Math. Monographs No. 1, Canad. Math.
Congress, 1970. (1.5; 7.6)
Мун, Пуллмэн (Moon J. W., Pullman N.J.)
[MoPu] On generalized tournament matrices.— SIAM Rev., 1970, 12, p. 384—399.
Мэзон (Mason S. J.)
[Mas 1] Feedback theory — some properties of signal flow graphs.— Proc. IRE,
1953, 41, p. 1144—1156. (1,4)
[Mas 2] Feedback theory — further properties of signal flow graphs.— Proc. IRE,
1956, 44, p. 920—926. (1.4)
Мэллион (Mallion R. B.)
[Mai 1] Some graph — theoretical aspects of simple ring current calculations on
conjugated systems.— Proc. Roy. Soc. (London), 1975, A341, p. 429—
449.
[Mai 2] On the number of spanning trees in a molecular graph.— Chem. Phys. Lett.,
1975, 36, p. 170—174. (1.5)
[Mai 3] An analytical illustration of the relevance of molecular topology to the Auf-
bau process (Manuscript for Transmission to : Proc. Roy. Soc. London,
Section A; April 1981, 23 p.).
Мэллион, Руврэй (Mallion R. В., Rouvray D. H.)
[MaRo] Molecular topology and the Aufbau principle.—MoL Phys., 1978, 36,
p. 125—138.
Мэллион, Швенк, Тринайстич (Mallion R. В., Schwenk A. J., Trinajstit N.)
[MaSt 1] A graphical study of heteroconjugated molecules.— Croat. Chem. Acta,
1974, 46, p. 171 — 182.
[MaST 2] On the characteristic polynomial of a rooted graph.— In: Recent advances
in graph theory (ed M. Fiedler). Academia Praha, 1975, p. 345—350.
Мэллион, Тринайстич, Швенк (Mallion R. В., Trinajstit N., Schwenk A. J.)
356

[MaTS] Graph theory in chemistry — generalization of Sachs formula.— Z. NaturV
forsch., 1974, 29a, p. 1481—1484.
Мэллоуз, Слоун (Mallows CD., Shane N.J.)
[MaSI] Two-graphs, switching classes and Euler graphs are equal in number.— SIAM
J. Appl. Math. 1975, 28, p. 876—880. (7.3)
Mtoup (Muir T.)
* [Mui 1] History of the Theory of Determinants. IV. London, 1923. (7.6)
* [Mui 21 The Theory of Determinants in the Historical Order of Development. I.—
New York : Dover Publ. Inc., I960. (1.4)
Наймарк M. A.
* [Найм] Теория представлений групп.— М. : Наука, 1976.— 559 с. (5.2)
Натан (Nathan А.)
[Nath] Л proof of the topological rules of signal — flowgraph analysis.— Proc.
IEEE (London), 1961, 109C, p. 83—85. (1.4)
Нозаль (Nosal E.)
[Nos 1] Eigenvalues of Graphs.— Masterthesis. Univ. of Galgary, 1970t
(2.7; 3.2; 3.6; 7.7; 8.5; Прил.)
[Nos 2] On the number of spanning trees of finite graphs.— Univ. of Calgary. Res.
paper, 1970, N 95.
Ноймайер (Neumaier A.)
[Neumj Strongly regular graphs with smallest eigenvalue — m.— Arch. Math., 1979r
33, N 4, p. 392—400.
Hopdxayc (Nordhaus E. A.) v
[Nord] A class of strongly regular graphs.— In: Proof techniques in graph theory
(ed. F. Harary). New York — London : Acad, press, 1969, p. 119—123.
Нолтемайер (Noltemeier H.)
* [NoltJ Graphentheorie mit Algorithmen und Anwendungen.— Berlin — New York :
Walter de Gruyter., 1976. (0)
Нуффелен ван (Nuffelen van C.)
[Nuf 1] On the rank of the incidence matrix of a graph.— Cahiers Centre Etud. Rech.
Oper. (Bruxelles), 1973, 15, p. 363—365. (3.6)
[Nuf 2] A bound for the chromatic number of a graph.— Amer. Math. Monthly, 1976,
83, p. 265—266. (3.2)
[Nuf 3] On the rank of the adjacency matrix.— In: Problemes Combinatoires et
Theorie des Graphes, Colloque International С N. R. S., N 200, Orsay, 9—r
13 Juillet 1976, С N. R. S. Publ. 1978 (ed. J.-C. Bermond, J.-C. Fournier,
M. Las Vergnas, D. Sotteau), p. 321—322.
Нэш-Вильямс (Nash-Williams С St. J. A.)
[N2sh] Unexplored and semiexplored territories in graph theory.— In: New
Directions in the Theory of Graphs (ed. F. Harary). New York — London : Acad,
press, 1973, p. 149—186. (Пред.)
Огасавара (Ogasawara M.)
[Ogas] A necessary condition for the existence of regular and symmetrical PBIB
designs of Tm type.— Inst. Statist, mimeo series, 418, Chapel Hill, 1965.
Ope (Ore 0.)
* [Ore] Theory of Graphs.— Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 38, Providence, 1962.
[Имеется перевод: Ope О. Теория графов. Пер. с англ.— М. : Наука,
1968.—352 с]. (8.2)
Парсонс (Parsons Т. D.)
[Pars] Ramsey graphs and block designs, I.— Trans. Amer. Math. Soc, 1975, 209,
p. 33—44. (7.1)
Паттерсон, Уильяме (Patterson H. D., Williams R. E.)
[PaWi] Some theoretical results on general block designs.— In: Proc. V. Brit. Comb.
Conf., 1975 (ed. С St. J. A.Nash-Williams, J. Sheehan), Utilitas Math.,
Winnipeg, 1976, p. 489—496.
Паулюс (Paulus A. J. L.)
[Paul] Conference matrices and graphs of order 26.— Technische Hogeschool
Eindhoven, Т. H. Rpt 73-WSK-06. (5.1; 6.1; 7.2)
Пейн (Payne S. E.)
[Payn] On the non-existence of a class of configurations which are nearly
generalized n-gons.— J. Combin. Theory, 1972, A12, p. 268—282. (7.1)
357

Леркус (Percus J. К.)
* [Perc] Combinatorial Methods.— Berlin — Heidelberg — New York : Springer-
Verlag, 1971. (8.3)
Летерсдорф (Petersdorf M.)
IPete] Ober zusammenhange zwischen Automcrphismengruppe, Eigenwerten und
yorderen Teilern eines Graphen und deren Verwendung zur Interpretation
und Losung gewisser Probleme der Analysis und Algebra.— Dissertation
TH Ilmenan, 1969. (5.1)
Летерсдорф, Захс (Petersdorf M., Sachs H.)
(PeS lj Ober Spektrum, Automorphismengruppe und Teiler eines Graphen.— Wiss.
Z. TH Ilmenau, 1969, 15, S. 123—128. (0.3; 1.2; 4.1; 4.4; 4.5)
{PeS 21 Spektrum und Automorphismengruppe eines Graphen.— In:
Combinatorial Theory and Its Applications. Ill (ed. P. Erdos, A. Renyi, V. T. Sos).
Bolyai Janos Mat. Tarsulat, Amsterdam — London : Budapest / North-
Holland Publ. Co., 1970, p. 891—907. (5.2)
йетренюк Л. П., Петренюк А. Я.
[ПеПе] О конструктивном перечислении 12-вершинных кубических графов.—
В кн.: Комбинаторный анализ, вып. 3.— М. : Изд-во Моск. ун-та, 1974,
с. 72—82. (Прил.)
Полянский, Гутман (Polansky О. Е., Gutman I.)
[PoGuJ On the calculation of the largest eigenvalue of molecular graph.— MATCH,
1979, 5, p. 149—159.
Понстейн (Ponstein J.)
[Pons] Self-avoiding paths and the adjacency matrix of a graph.— SI AM J. Appl.
Math., 1966, 14, p. 600—609. (1.4; 1.9; 6.1)
Порку (Рогси L.)
{Pore] Sul radoppio di un grafo.— Instituto Lombardo (Rend. Sci.), 1976, Al 10,
p. 453—480.
Лузе (Pouzet M.)
[Рои Ц Note sur le probleme de Ulam.— J. Combin. Theory, 1979, B27, p. 231—
236. (9.5)
, IPou 2J Quelques remargues sur les resultats de Tutte concernant le ргоЫёте de
Ulam (в печати).
Рагхаварао (Raghavarao D.)
* [RaghJ Construction and Combinatorial Problems in the Design of Experiments.—
New York : John Wiley arid Sons, 1971. (6.4)
Райэер (Ryser H. J.)
[RyseJ A generalization ef the matrix equation A2 = /.— Linear Algebra and Appl.,
1970, 3, p. 451—460.
рандич, Тринайстич, Живкович (Randit M., Trinajstid N., Zivkovit T.)
[RaTZl On molecular graphs having identical spectra.— J. С S. Faraday II, 1976,
72, p. 244—256. (6.1)
Рейд (Reid К. B.)
[Reid] Connectivity in products of graphs.—SIAM Rev., 1970, 18, p. 645—651.
(7.4)
Ригби, Мэллион (Rigby M. J., Mallion R. B.)
; [RiMal On the eigenvalues and eigenvectors of certain finite, vertex—weighted,
bipartite graphs.— J. Combin. Theory, 1979, B27, N 2, p. 122—129.
Ригби, Мэллион, Дэй (Rigby M. J'., Mallion R. В., Day A. C.)
[RiMD] Comment on a graph-theoretical description of heteroconjugated molecules.—
Chem. Phys. Lett., 1977, 51, N 1, p. 178—182.
Ригби, Мэллион, Уоллер (Rigby M. J., Mallion R. В., Waller D. A.)
, iRiMWJ On the Quest for an isomorphism invariant which characterises finite
chemical graphs.— Chem. Phys. Lett., 1978, 59, N 2, p. 316—320.
Pud (Read R. C.)
[Rea lj On the number of self — complementary graphs and digraphs.— J. London
t; Math. Soc, 1963, 38, p. 99—104. (3.3)
[Rea 2] Teaching graph theory to a computer.— In: Recent progress in
combinatorics (ed. W. T. Tutte). New York — London : Acad, press, 1969, p. 161—173.
Pud, Корнейл (Read R. C, Corneil D. G.)
358

[ReCoJ The graph isomorphism'disease.— J. Graph Theory, 1977, 1, N 4, p. 339-~
363.
Рингель (Ringel G.)
[Ring] Selbskompelementare Graphen.— Arch. Math., 1963, 14, p. 354—368. (3.3)
Роберте, Браун (Roberts F. S.f Brown T. A.)
[RoBrJ Signed digraphs and the energy crisis.— Amer. Math. Monthly, 1975, 82,
p. 577—594.
Розенфельд M. 3.
[Розе] О построении и свойствах некоторых классов сильно регулярных
графов.— Успехи мат. наук, 1973, 28, № 3, с. 197—198. (7.2)
Ролланд (Rolland Р. Т.)
[Roll] On the uniqueness of the tetrahedral association scheme.— Ph. D. Thesis.
City Univ. of New York, 1976.
Рохличкова (Rohlickova I.)
[RohlJ Poznamka о poctu koster jednoho typu grafu.— In: Matematika (Geometrie
a Teorie Grafu). Univ. Karlova, Praha, 1970, p. 117—120. (7.6)
Руврэ (Rouvray D. H.)
[Rou 1J Les valeurs propres des molecules qui possedent un graph biparti.— С R.
Acad. Sci. Paris, Ser. C, 1972, 274, p. 1561—1563. (3.2)
[Rou 2J Les valeurs propres des molecules qui possedent un graph tripartiw.— С R.
Acad. Sci. Paris, Ser. C, 1972, 275, p. 657—659. (8.5)
Рунге (Runge F.)
[Rung] Beitrage zur Theorie der Spektren von Graphen und Hypergraphen.—
Dissertation, TH Ilmenau, 1976. (1.3; 1.6; 1.7; 1.9; 3.5; 9.5>
Рунге, Захс (Runge F., Sachs H.)
[RuSaJ Berechnung der Anzahl der Geruste von Graphen und Hypergraphen mittels
deren Spektren.—Mathematica Balkanica, 1974, 4, S. 529—536. (1.9; 9.5)
Рутерфорд (Rutherford D. E )
[RuthJ Some continuant determinants arising in physics and chemistry.— Proc.
Roy. Soc. (Edinburgh), 1947, A62, p. 229—236. (2.5; 8.1; 8.4)
Рэй-Чоудхури (Ray-Chaudhuri D. K.)
[Ray 1]'Characterization of line graphs.— J. Combin. Theory, 1967, 3, p. 201—214»
(6.3; 6.G)
[Ray 2J On some connections between graph theory and experimental desings and
some recent existence results.— In: Graph theory and its applications (ed.
B. Harris).— New York — London : Acad, press, 1970, p. 149—166. (7.1)
Рэмпель, Шволов (Rempel J., Schwolow K.— #.)
[ReScJ Ein Verfahren zur Faktorisierung des charakteristischen Polynoms eines
Graphen.— Wiss. Z. TH Ilmenau, 1977, 23, N 4, S. 25—39. (4.1; 4.6)
Сабидусси (Sabidussi G.)
[Sabi] Graph multiplication.—Math. Z., 1960, 72, p. 446—457. (2.5; 7.4)
Седлачек (Sedlacek J.)
[Sed 1] О incidencnich orientovanych grafu.— Casoris Pest. Mat., 1959, 84, p. 303—
316 П 9* 2 2* 3.1)
[Sed 2J О kostrach konechych grafu.—Casopis Pest. Mat., 1966, 91, p. '221— 227.
[Sed 3J Lucasova cisla v teorii grafu.— In: Matematika (Geometrie a Teorie Grafu).
Univ. Karlova, Praha, 1970, p. 111—115.
Симе (Sims С. С.)
[Sim 1J Graphs and finite permutation groups.— Math. Z., 1967, 95, p. 76—86.
(6.5)
[Sim 2] Graphs and finite permutation groups. II.—Math. Z., 1968, 103, p. 276—
281. (6.5)
[Sim 3] On graphs with rank 3 automorphism group (не опубликовано). (6.5)
Синглтон (Singleton R.)
Sin 1] Regular graphs of even girth.— Thesis. Princeton, 1963. (7.1)
Sin 21 On minimal graphs of maximal even girth.— J. Combin. Theory, 1966, 1,
p. 306—332. ~ (7.1)
Сингмастер (Singmaster D.)
[Sing 1] The eigenvalues of the icosahedron and dodecahedron.— Notic. Amer. Math.
Soc, 1972, 19, A-750.
359

[Sing 2] The eigenvalues of the n-dimensional octahedron.— Notic. Amer. Math. Soc,
1972, 19, A—684.
{Sing 3] The eigenvalues of the л-dimensional octahedron and of complete л-partite
graphs (не опубликовано).
Ъкала (Skala Я. L.)
[Skal] A variation of the friendship theorem.—SIAM J. Appl. Math., 1972, 23,
p. 214—220. (7.1)
Слоун (Shane N. J. A.)
[SloaJ An introduction to association schemes and coding theory.— In: Theoiy and
( application of special functions (ed. R. A. Askey). New York — San
Francisco — London : Acad, press, 1975, p. 225—260.
Смит, Д. (Smith D. H.)
[Sm, D 1J On tetravalent graphs.— J. London Math. Soc, 1973, 6, p. 659—G62. (7.2)
[Sm, D 2] An improved version of Lloyd's theorem.— Discrete Math., 1976, 15,
p. 175—184. (4.8; 7.2)
Смит Дж. (Smith J. H.)
[Sm,J 1] Some properties of the spectrum of a graph.— In: Combinatorial
structures and their applications (ed. R. Guy, H. Hanani, N. Sauer, J. Schon-
heim).— New York — London — Paris : Gordon and Breach, Sci. Publ.,
Inc., 1970, p. 403—406. (2.7; 5.1; 6.2; 8.5)
fSm,J 2] Symmetry and multiple eigenvalues of graphs.— Glas. Mat., Ser. Ill, 1977,
12, N 1, p. 3—8.
Смит M. (Smith M. S.)
, [Sm, M] On rank 3 permutation groups.— J. Algebra, 1975, 33, p. 22—42.
Станкевич И. В.
. [Стан] Энергия я-электронов в макромолекулах с системой сопряженных двойных
связей. I. Обобщенные линейные системы.— Журн. физ. химии, 1969, 43,
с. 549—555.
Степанов Н. Ф., Татевский В. М.
[СтТ 1] Обоснование разложения энергии я-электронов по связям в простейшем
варианте метода молекулярных орбит.— Журн. структур, химии, 1961, 2,
с. 204—208. (8.1)
[СтТ 2] Приближенный расчет Jt-электронной энергии ароматических
конденсированных молекул в варианте Хюккеля. Метод МОЛКАО. Журн.
структур, химии, 1961, 2, с. 452—455. (8.1)
Строк В. В.
[Стр 1] Спектры графов некоторых классов последовательностей.— В кн.: Все-
союз. алгебраич. симпоз. Тез. докл. В 2-х ч. Гомель : Изд. АН СССР—
; АН БССР, 1975.— Ч. 2, с. 452. (1.9)
ifCrp 2] О законе распределения случайных матриц некоторых специальных ти-
у пов.— В кн.: Аналитические методы в теории вероятностей. Киев : Наук.
1 думка, 1979, с. 141—146. (7.8)
Стюартсон, Мехтер (Stewartson К., Maechter R. Т.)
/ [StMa] On hearing the shape of a drum: further results.— Proc. Cambridge Phil.
Soc., 1971, 69, p. 353—363. (6.1)
(2убботин В. Ф., Стекольщик Р. Б.
[СуСт 1] Спектр преобразования Кокстера и регулярность представлений графов.—
Тр. мат. ф-та ВГУ (Воронеж), 1975, вып. 16, с. 62—65.
[СуСт2] Жорданова форма преобразования Кокстера и применения к
представлениям конечных графов.— Функцион. анализ и его приложения, 1978, 12,
вып. 1, с. 84—85.
Сэмуэль (Samuel I.)
, [Sam 1] Resolution d'un determinant seculaire par la methode des polygones.— С R.
). Acad. Sci. Paris, 1949, 229, p. 1236—1237. (1.4)
(Sam 2] Methode des polygones, procede d'etude graphique des determinants.— Ap-
, plications aux problemes de chimie theorique. Thesis, Univ. Paris, 1958.
(1.4)
Тан У-чин, Кян Юан-сун (Tang Au-Chin, Kiang Yuan-Sun)
v[TaKi U Graph theory of molecular orbitals.— Sci. Sinica, 1976, 19, N 2, p. 207—226.
4TaKi 2] Graph theory of molecular orbitals, II: Symmetrical analysis and
calculations of MO coefficients.— Sci. Sinica, 1977, 20, p. 595—612.
360

Tamm (Tutte W. Т.)
[Tut 1] The reconstruction problem in graph theory.— Brit. Polymer J., September
1977, p. 180—183. (9.5)
[Tut 2] All the king's horses (A guide to reconstruction).— f n: Graph theory and
related topics (Proc. Conf. held in honour of W. T. Tutte on the occasion of
his sixtieth birthday. Univ. Waterloo, July 5—9, 1977, ed. J. A. Bondy and
U. S. R. Murty). New York : Acad, press, 1979, p. 15—33. t(9.5>
Тейлор (Taylor D. E.)
[Tay 1] Some topics in the theory of finite groups.— Ph. D. Thesis. Univ. Oxford,
1971. (7.3)
[Tay 2] Regular 2-graphs.— Proc. London Math. Soc, 1977, 35, p. 257—274. (7.3)
Тервиллигер (Terwilliger P.)
[Ter] Eigenvalue multiplicities of highly symmetric graphs.— Discrete Math.,
1982, 41, p. 295—302.
Тех, Яп (Teh //. H., Yap H. D.)
[TeYa] Some construction problems of homogeneous graphs.— Bull. Math. Soc. Na-
nyang Univ., 1964, с 164—196. (2.5)
Тернер (Turner J.)
[Turn 1] Point-svmmetric graphs with a prime number of points.— J. Combin.
Theory, 1967, 3, p. 136—145. (6.2)
[Turn 2] Generalized matrix functions and the graph isomorphism problem.— SIAM
J. Appl. Math., 1968, 16, p. 520—526. (1.4; 6.1)
Тиц, Хохманн (Titz M., Hochmartn P.)
[TiH 1] Tables of quantum chemical data, IX. Energy characteristics of some ben-
zenoid hydrocarbons.— Coll. Chech. Chem. Comm., 1966, 31, p. 4168—
4172. (Прил.)
[TiH 2] Tables of quantum chemical data, XII. Energy characteristics of some ben-
zoderivatives of acenaphthylene, fluorenthene and azulene.— Coll. Checih.
Chem. Comm., 1967, 32, p. 2343—2345. (Прил.)
[TiH 3] Tables of quantum chemical data, XIII. Energy characteiistics of some ben-
zenoderivatives of fulvene and heptafulvene.— Coll. Chech. Chem. Comm.,
1967, 32, p. 3028—3030. (Прил.)
Тоида (Toida S.)
[Toid] A note on Adam's conjecture.— J. Combin. Theory, 1977, B23, p. 239—246.
Торгашев (Torgasev A.)
[Tor] On infinite graphs with three and four non — zero eigenvalues.— Bull, de
TAcademie Serbe des Sciences et des Arts (Classe des Sciences mathematiqu:,
es et naturelles, Sciences mathematiques), 1981, 18, N 11, p. 39—48.
Трент (Trent H. M.)
[Tren] A note on the enumeration and listing of all possible trees in a connected
linear graph.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1954, 40, p. 1004—1007. (1.5)
Тринайстич (Trinajstid N.)
[Tri 1] Computing the characteristic polynomial of a conjugated system usin the
Sachs theorem.— Croat. Chem. Acta, 1977, 49 (4), p. 593—633.
[Tri 2J Huckel theory and topology.— In: Semiempirical methods of electronic
structure calculations. Pt A : Techniques, Modern Theoretical Chemistry,;
vol. 7, Plenum press, New York, 1977 (ed. G. J. Segal), p. 1—27. [Имеется»
перевод: Тринайстич H. Теория Хюккеля и топология.— В кн.:
Полуэмпирические методы расчета электронной структуры. Т. 1. Пер. с англ.—
М. : Мир, 1980, с. 13—46.]
Туран (Тигйп Р.)
[Tura] Egy grafelmeleti szels6ertekfeladatr61.— Mat. Fiz. Lapok, 1941, 48;
p. 436—452. (7.7>
Туэро (Tuero M.)
[Tuer] A contribution to the theory of cyclic graphs.— Matrix Tensor Quart., 1961,
11, p. 74—80. (7.5)
Уайбурн (Wybourne B. G.)
* [Wybo] Classical groups for physicists. New York : John Wiley and Sons, 1974. (6.3>
Уайлд, Келлер, Гюншард (Wild V., Keller J., Gunthard Hs. H.)
[WiKG] Symmetry properties of the Huckel matrix.— Theor. Chim. Acta, 1969, 14f
p. 383—395. (5.2)
861

Уилкокс, Гутман, Тринайстич (Wilcox, Jr., С. F., Gutman I., Trinajstid N.)
[WiGT] Graph theory and molecular orbitals. XI. Aromatic substitution.—
Tetrahedron, 1975, 31, p. 147—152. (8.1)
Уилсон P. Дж. (Wilson R. J.)
|Wi, RJ 1] On the adjacency matrix of a graph.— In: Combinatorics (Proc. Conf. Comb.
Math., Math. Inst., Oxford, 1972, ed. D. J. A. Welsh, D. R. Woodall). The
institute of mathematics and its applications, Southend-on-Sea, 1972,
p. 295—321. (9.5)
*[Wi, RJ 2] Introduction to Graph Theory.— Oliver and Boyd, Edinburgh, 1972.
(Имеется перевод : Уилсон P. Введение в теорию графов. Пер. с англ.— М. :
Мир, 1977.—208 с] (0)
fWi, RJ 3] Graph theory and chemistry.— In: Combinatorics. Vol. 2. (Coll. Math. Soc.
Ja. Bolyai, 18). Ed. A. Hajnal and V. Sos.— Amsterdam — Oxford — New
York : North-Holland Publ. Co., 1978, p. 1147—1164.
Уилсон P. M. (Wilson R. M.)
[Wi, RM] Nonisomorphic Steiner triple systems.—Math. Z., 1974, 135, p. 303—313.
(6.1)
Уилф (Wilf H. S.)
IWil 1] The friendship theorem.— In: Combinatorial mathematics and its
applications (ed. D. J. A. Welsh).— New York — London : Acad, press, 1971,
p. 307—309 (7.1)
IWil 2] The eigenvalues of a graph and its chFomatic number.— J. London Math.
Soc, 1967, 42, p. 330—332. (3.2; 7.7)
Уоллер (Waller D. A.)
[Wal 1] Eigenvalues of graphs and operations.— In: Combinatorics. Proc. Brit.
Comb. Conf. London Math. Soc. Lecture Notes, 1973, 13, p. 177—183.
(1.5; 2.7;Прил.)
[Wal 2] Regular eigenvalues of graphs and enumeration of spanning trees.— In: Teo-
< . , rie Combinatorie (Coll. Int. Roma, 1973), t. I, Ace. Naz. Lincei, Roma, 1976.
Atti dei Convegni Lincei, 1976, 17, p. 313—320. (1.5)
IWal 3] General solution to the spanning tree enumeration problem in arbitrary mul-
tigraph joins.— IEEE Circuits and Systems CAS-23, 1976, p. 467—469.
(1.5; 7.6)
IWal 4] Double covers of graphs.— Bull. Austral. Math. Soc, 1976, 14, p. 233—248.
(4.2)
[Wal 5] Quotient structures in Graph Theory.— Graph Theory Newsletter, 1977, 6,
N 4, p. 12—18. (4.2)
Уоллис В., Стрит, Уоллис Дж. (Wallis W. D.t Street A. P., Wallis J. S.)
* [WaSW] Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices (Lecture
Notes in Mathematics 292).— Berlin — Heidelberg — New York : Sprin-
ger-Verlag, 1972. (6.3)
Уэй (Wei Т. H.)
[Wei] The algrebraic foundations of ranking theory.— Thesis. Cambridge, 1952.
(3.5; 7.8)
Фабиан Хартманн (Fabian J., Hartmann H.)
[FaHa] д-electronic structure of polymethines.— J. Mol. Struct., 1975, 27, p. 67—78.
Фарзан (Farzan M.)
[Farz 1] Matrix Methods in Graph Theory.— Univ. of Wales thesis, Swansea, 1974.
(2.5)
{Farz 2] Automorphisms of double covers of a graph.— In: Problemes Combinatoires
et Theorie des Graphes. Coll. Int. С N. R. S., N 260, Orsay 1976. С N. R. S.
Publ. 1978 (ed. J.-C. Bermond, J.-C. Fournier, M. Las Vergnas, D. Sotteau),
p. 137—138. (4.2)
Фарзан, Уоллер (Farzan M., Waller D. A.)
[FaW 1] Local joins and lexicographic products of graphs.— Bull. Iranian Math. Soc,
1974, 1 (2), p. 1—17. (2.5)
[FaW 2] Kronecker products and local joins of graphs.— Canad. J. Math., 1977, 29,
p. 255—269. (2.5)
фаррелл (Far re 11 E. J.)
IFar 1] On a general class of graph polynomials.— J. Combin. Theory, 1979, B26,
p, Ш—122.
362

[Far 2] Introduction to matcning polynomials.— J. Combin. Theory, 1979^ B27*
p. 75—86.
[Far 3] On a class of polynomials obtained from the circuits in a graph and its
application to characteristic polynomials of graphs.— Discrete Math. 1979, 25,
p. 12i—133.
[Far 4] A note on the circuit polynomial and characteristic polynomials of wheels
and ladders.— Discrete Math., 1982, 39, p. 31.
Фейт, Хигман (Feit W., Higman G.)
[FeHi] The non-existence of certain generalized polygons.— J. Algebra, 1964, I,
p. 114—131. " (7.1>
Фидлер (Fiedler M.)
[Fie 1] Algebraic connectivity of graphs.— Czech. Math. J., 1973, 23 (98>,
p. 298—305. (1.2; 9.3)
[Fie 2] Algebraische Zusammenhangszahl der Graphen und ihre numerische Bedeu-
tung.— In: Numerische Methoden bei graphentheoretischen und kombina-
torischen Problemen (ed. L. Collatz, G. Meinardus, H. Werner).— Basel —
Stuttgart, Birkhauser, 1975, S. 69—85. (9.3)
[Fie 3] An algebraic approach to connectivity of graphs.— In: Recent Advances
in Graph Theory (ed. M. Fiedler). Academia Praha, 1975, p. 193—196. (3.6)
[Fie 4] A property of eigenvectors of non — negative symmetric matrices and its
application to graph theory.— Czech. Math. J., 1975, 25 (100), p. 619—633.
[Fie 5] Eigenvectors of acyclic matrices.— Czech. Math. J., 1975, 25 (100), p. 607—
618.
Фидлер, Сед лачек (Fiedler M., Sedldcek J.)
[FiSe] О w-basich orientovanych grafu.— Casopis Pest. Mat., 1958, 83, p. 214—225.
(1.5; 1.9)
Финк (Finck H.-J.)
[Fin 1] Vollstandiges Produkt, chromatische Zahl und charakteristisches Polynom
regularer Graphen. II.—Wiss. Z. TH Ilmenau, 1965, 11, S. 81—87.
(3.3; 3.6; 6f2)
[Fin 2] Das Spektrum eines Graphen und seine Anwendung in der Chemie.—
Rostock. Math. Kolloq., 1979, N 11, S. 47—58.
Финк, Громанн (Finck H.-J., Grofimann G.)
[FiGr] Vollstandiges Produkt, chromatische Zahl und charakteristisches Polynom
regularer Graphen. I.—Wiss. Z. TH Ilmenau, 1965, 11, S. 1—3.
• (2.2; 3.3; 718)
Финк, Захс (Finck H.-J., Sachs H.)
[FiSa] Ober Beziehungen zwischen Struktur und Spektrum regularer Gfaphen.—
Wiss. Z. TH-Ilmenau, 1973, 19, S. 83—99. (4,1; 4.7; 4.8)
Фишер (Fisher M.)
[Fish] On hearing the shape of a drum.— J. Combin. Theory, 1966, 1, p. 105—125.
(6.1; 8.4)
Форсмэн (Forsman W. C.)
[Fors] Graph, theory and polymer dynamics.— J. Chem. Phys., 1976, 65^
p. 4111—4115.
Фрид, Смит (Fried M., Smith J. H.)
[FrSml Primitive groups, Moore graphs, and rational curves.— Mich. J;,Math., 1972,
19, p. 341—346.
Фридман (Freedman H. D.)
[Free] On the impossibility of certain Moore graphs.— J* Combin. Theory, 197IV
B10, p. 245—252. (6.2>
Фюреди, Комлоз (Furedi Z., Komlos J.)
[FuKo] The eigenvalues of random symmetric matrices.^-Combinatorica, 1981, 1»
p. 233—241. , • ,,
Хайдеманн (Heydemann M. C.)
[Hey 1] Spectral characterization of some graphs.— J. Combin. Theory, 1978, R25,
p. 307—312. . . , . (6.6)
[Hey 2] Caracterisation spectrale du joint d'un cycle par un stable.— In: Problemes
Combinatories et Theorie des Graphes. Colloque International С N; Rv S.:;
N 260, Orsay, 9—13 Juillet 1976, C\ N. R. S. Publ. 1978 (ed. J.-C. Bermond,
J.-C. Fournier, M. Las Yergnas, D. Sotteau), p. 225—227, • о
363

Хайльброннер (Heilbronner Е.)
[Hei 1] Das Kompositions-Prinzip: Eine anschauliche Methode zur elektronen
theoretiscnen Behandlung nicht oder niedrig symmetrischer Molekeln im
Rahmen der MO-Theorie.— Helv. Chim. Acta, 1953, 36, S. 170—188.
(1.4;2.3Прил.)
(Hei 2] Die Eigenwerte von LCAO—Mo's in homologen Reihen.— Helv. Chim.
Acta, 1954, 37, S. 921—935. (1.4; 2.3; 5.2; 6.3; 8.1)
tHei 3] Ein graphisches Verfahren zur Faktorisierung der Sakulardeterminante aro-
matischer Ringsysteme im Rahmen der LCAO-MO-Theorie.— Helv. Chim.
Acta, 1954, 37, S. 913—921. (4.6; 5.2)
(Hei 4] Ober einen graphentheoretischen Zusammenhang zwischen dem Huckelschel
MO-Verfahren und dem Formalismus der Resonanztheorie.— Helv. Chim.
Acta, 1962, 45, S. 1722—1725. (8.5)
[Hei 5] Some comments on cospectral graphs.— MATCH, 1979, 5, p. 105—133.
■Хайльброннер, Штрауб (Heilbronner E.t Straub P. A.)
* [HeSt] Huckel molecular orbitals.— Berlin — Heidelberg — New York : Sprin-
ger-Verlag, 1966. (8.1)
Хайльманн, Либ (Heilmann О. J., Lieb E. H.)
[HeLi] Theory of monomer-dimer systems.— Commun. Math. Phys., 1972, 25,
p. 190—232.
Хайцрих (Heinrich P.)
[Hein \] Eine Beziehung zwischen den Weg-Kreis-Systemen in einem gerichteten
Graphen und den Unterdeterminanten seiner charakteristischen Matrix.—
Math. Nachr., 1979, 93, S. 7—20.
[Hein 2] Ober die Jordansche Normalform der Adjazenzmatrix fur spezielle Klassen
gerichteter Graphen.— Preprint : Bergakademie Freiberg, 1978.
Ханибурн (Honeybourne C. L.)
[Hon 1] Topological aspects of odd graphs and their relevance to radical spin
densities.—J. С S. Faraday II, 1975, 71, p. 1343—1351.
[Hon 2] Graph theory and free radicals. Validation of a recent assertion and its
relation to the pairing theorem.— J. С S. Faraday II, 1976, 72, p. 34—39.
Xapapu (Horary F.)
[Har 1) A graph theoretic method for the complete reduction of a matrix with a view
toward finding its eigenvalues.— J. Math. Phys., 1959, 38, p. 104—111.
(2.2)
[Har 2] The determinant of the adjacency matrix of a graph.— SI AM Rev., 1962, 4,
p. 202—210. (1.4; 6.1)
[Har 3] Four difficult unsolved problems in graph theory.— In: Recent Advances
in Graph Theory (ed. M. Fiedler).. Academia Praha, 1975, p. 249—256. (9.4)
* [Har 4] Graph Theory.— Addison-Wesley Publ. Сотр., Reading, Mass.— Menlo
Park, Cal,— London — Don Mills, Ontario, 1969. [Имеется
перевод : Харари Ф. Теория графов. Пер. с англ.— М. : Мир, 1973.— 300 с]
(0; 0.1)
Харари, Кинг, Мовиювиц, Рид (Horary F., King С, Mowshowitz A., Read R. С.)
[HaKMR] Cospectral graphs and digraphs.—Bull. London Math. Soc, 1971, 3,
p. 321—328. (2.3; 2.6; 6.1; 6.6)
Xapapu, Tpaym (Horary F., Trauth, Jr., С. A.)
[HaTr] Connectedness of product of two directed graphs.— SI AM J. Appl. Math.
1966, 14, p. 250—254. (7.4)
Xapapu, Уилкокс (Horary F-, Wilcox G. W.)
[HaWi] Boolean operations on graphs.—Math. Scand., 1967, 20, p. 41—51.
(2.5; 7.4)
Xapapu, Швенк (Harary F., Schwenk A. J.)
IHaS 1] The spectral approach to determining the number of walks in a graph.— Pa-
cif. J. Math., 1979, 80, p. 443—449. (1.8; 3.6)
. IHaS 2] Which graphs have integral spectra? — In: Graphs and combinatorics
(Lecture Notes in Mathematics 406, ed. R. Bari, F. Harary).— Berlin —
Heidelberg—New York : Springer-Verlag, 1974, p. 45—51. (9.4; 9.5)
Хауптман. (Hauptmann W.)
« [Haup] Koharente Konfigurationen, quasiaffine Raume und distanz-regulare
Graphen.— Mitt. Math. Sem. Giessen, 1980, N 144.— 83 S.
364

Хейнсворт (Haynsworth Е. V.)
[Hayn] Applications of a theorem on partitioned matrices.— J. Res. Nat. Burean
Stand., 1959, 62B, p. 73—78. (0.3; 4.5)
Хемерс (Haemers W.)
[Hae 1] Partitioning and eigenvalues.— Eindhoven University of Technology,
Memorandum 1976—11; revised version : A generalization of the Higman-Sims
technigue.— Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., 1978, A81 (4), p. 445—447. (0.3)
[Hae 2] An upper bound for the Shannon capacity of a graph.— In: Algebraic
methods in graph theory. Vol. 1. Amsterdam; Budapest, 1981, p. 267—272.
(Hae 31 Eigenvalues methods.—Math. Centre Tracts, 106 (1979), 1979, p. 15—38.
[Hae 4] On some problem of Lovasz concerning the Shannon capacity of a graph.—
IEEE Trans. Inform. Theory, 1979, 25, p. 231—232.
[Hae 5] Eigenvalue techniques in desing and graph theory.— Math. Centre Tracts,
1980, N 121.— 102 p.
Хемерс, Рус (Haemers W., Roos C.)
[HaRo] An inequality for generalized hexagons.— Geom. dedic. (в печати).
Херндон (Herndon W. С.)
[Her 1] Isospectral molecules.—Tetrahedron Lett., 1974, N 8, p. 671—674. (6.1)
[Her 2] The characteristic polynomial does not uniquely determine molecular
topology.—J. Chem. Doc, 1974, 14, p. 150—151. (6.1)
Херндон, Еллзи (Herndon W. C, Ellzey, Jr., M. L.)
[HeEl] Isospectral graphs and molecules.— Tetrahedron, 1975, 31, p. 99—107. (6.1)
Хесс, Шаад (Hess B. A., Schaad L. J.)
[HeSc] Huckel molecular orbital л-resonance energies. A new approach.— J. Amer.
Amer. Chem. Soc, 1971, 93, p. 305—310. (8.1)
Хестенес (Hestenes M. D.)
[Hest] On the use of graphs in group theory.— In: New directions in the theory of
graphs (ed. F. Harary). New York — London : Acad, press, 1973, p. 97—128.
(7.2)
Хестенес Хигман (Hestenes M. D., Higman D. G.)
[HeHi] Rank 3 groups and strongly regular graphs.— In: Computers in algebra and
number Theory. SIAM — AMS Proc. Vol. IV. Providence 1971, p. 141—159.
(0.3; 6.5)
Хигман (Higman D. G.)
[Hig 1] Finite permutation groups of rank 3.— Math. Z., 1964, 86, p. 145—156.
(7.2)
[Hig 2] Intersection matrices for finite permutation groups.— J. Algebra, 1967, 6,
p. 22—42. (7.2)
[Hig 3] Coherent configurations. I.— Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1970, 44,
p. 1—26. (7.2)
(Hig 4] A survey of some questions and results about rank 3 permutation groups.—
In: Actes Congres Intern. Math., 1970, 1, p. 361—365. (6.5; 7.2)
[Hig 5] Characterization of rank 3 permutation groups by subdegrees. I.— Arch.
Math., 1970, 21, p. 151—156. (6.5)
[Hig 6] Characterization of rank 3 permutation groups by subdegrees. II.— Arch.
Math., 1970, 21, p. 353—361. (6.5)
[Hig 7] Partial geometries, generalized quadrangles, and strongly regular graphs.—
In: Atti Conv. Geom. Comb, e Appl., Perugia, 1970 (1st. Mat., Univ.
Perugia, 1971), p. 263—293. (7.2)
Хигман, Симе (Higman D. G., Sims С. C.)
[HiSi] A simple group of order 44, 353,000.— Math. Z., 1968, 105, p. 110—113.
(7.2)
Хидео, Такенака (Hideo H., Takenaka Y.)
[HiTa] On the spectrum of a graph.— Keio Engrg. Rep., 1978, 31, N 9, p. 99—105.
Хоэойя (Hosoya H.)
[Hos 1] Topological index. A newly proposed quantity characterizing the
topological nature of structural isomeres of saturated hydrocarbons.— Bull. Chem.,
Soc. Japan, 1971, 44, p. 2332—2339. (Прил.)
(Hos 2] Graphical enumeration of the coefficients of the secular polynomial of the
Huckel molecular orbital.— Theor. Chim. Acta, 1972, 25, p. 215—222.
(1.4)
365

IHos 3] Topological index and Fibonacci numbers with relation to chemistry.—
Fibonacci Quart., 1973, 11, N 3, p. 255—266.
Хозойя, My раками, Komox (Hosoya H., Murakami M., Cotoh M.)
[HoMC] Distance polynomial and characterization of a graph.— Natur. Sci. Rept.
Ochanumizu Univ., 1973, 24, N 1, p. 27—34. (9.2; Прил.)
Хозойя, Хозой, Гутман (Hosoya Н., Hosoi К., Gut man I.)
[HoHG] A topological index for the total л-electron energy. Proof of a generalized Huc-
kel rule for an arbitrary network.— Theor. Chim. Acta, 1975, 38, p. 37—47.
(8.1)
Холл Г. (Hall G. G.)
[Ha, G 1] The bond orders of alternant hydrocarbon molecules.— Proc. Roy. Soc.
(London), 1955, A229, p. 251—259. (8.1)
[Ha, G 2] On the eigenvalues of molecular graphs.— Mol. Phvs., 1977, 33, N 2,
p. 551—557.
Холл К. (Hall К. M.)
[На, К] r-dimension quadratic placement algorithm.— Manag. Sci., 1970, 17, N 3,
p. 219—229. (3.6)
Холл Л. (Hall L. H.)
* [Ha, L] Group Theory and Symmetry in Chemistry.— McGraw-Hill, New York,
1969. (5.2)
Холл M. (Hall M., Jr.)
* [Ha, M] Combinatorial Theory.— Blaisdell Publ. Сотр., Waltham — Toronto —
London, 1967. [Имеется перевод: ХоллМ. Комбинаторика. Пер. с англ.—
М. :Мир, 1970.—424 с] (6.2; 7.1)
Хоувз (Howes L.)
[How 1] On subdominantly bounded graphs.— Thesis. City Univ. of New York, 1970.
(9.1)
[How 2] On subdominantly bounded graphs — summary of results.— In: Recent
trends in graph theory (Lecture Notes in Mathematics, 186, ed. M. Capoblan-
co, J. B. Freohen, M. Krolik). Berlin — Heidelberg — New York : Sprin-
ger-Verlag, 1971, p. 181—183. (9.1)
Хоффман (Hoffman A. J.)
[Hof 1] On the exceptional case in a characterization of the arcs of a complete
graph.— IBM J. Res. Develop., 1960, 4, p. 487—496. (0.3; 6.1)
[Hof 2] On the uniqueness of the triangular association scheme.— Ann. Math.
Statist., 1960, 31, p. 492—497.
[Hof 3] On the polynomial of a graph.— Amer. Math. Monthly, 1963, 70, p. 30—36.
(3.2; 3.3; 6.1; 6.6)
[Hof 4] On the line graph of the complete bipartite graph.— Ann. Math. Statist.,
1964, 35, p. 883—885. (6.3)
[Hof 5] On the line graph of a projective plane.— Proc. Amer. Math. Soc, 1965,
16, p. 297—302. (6.3)
[Hof 6] Some recent results on spectral properties of graphs.— In: Beitrage zur
Graphentheorie (ed. H. Sachs. H.-J. Voss, H. Walther). Int. Koll. Mane-
bach, 1967, Leipzig, 1968, p. 75—80. (6.3; 9.1)
[Hof 7] The change in the least eigenvalue of the adjacency matrix of a graph under
imbedding.— SIAM J. Appl. Math., 1969, 17, p. 664—671. (6.1; 9.1)
[Hof 8] The eigenvalues of the adjacency matrix of a graph.— Research note N. С
689, Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, New York, 1967.
[Hof 9] The eigenvalues of the adjacency matrix of a graph.— In: Combinatorial
mathematics and its applications (ed. R. С Bose, T. A. Dowling), The Univ.
of North Carolina press, Chapel Hill, 1969, p. 578—584. (Пред., 1.9; 9.1)
[Hof 10] —1 — }^2? — In: Combinatorial Structures and Their Applications (ed.
R. Guy, H. Hanani, N. Sauer, J. Schonheim). New — York — London —
Paris: Gordon and Breach, Sci. Publ., Inc., 1970, p. 173—176 (9.1)
[Hof 11] Eigenvalues and partitionings of the edges of a graph.— Linear Algebra and
Appl., 1972, 5, p. 137—146. (2.1; 3.2; 3.6; 6.1)
[Hof 12] Graphs and eigenvalues.— 3rd South-Eastern Conf. on Combinatorics, Graph
Theory and Computing, 1972, Florida Atlanlic Univ., Bosa Raton, Florida.
[Hof 13J On limit points of spectral radii of non-negative symmetric integral
matrices.— In: Graph theory and applications (Lecture Notes in Mathematics,
366

303, ed. Y. Alavi, D. R. Lick, A. T. White).— Berlin — Heidelberg — New
York : Springer-Verlag, 1972, p. 165—172. (2.7; 3.6)
(Hof 14] On spectrally bounded graphs.— In: A survey of combinatorial theory (ed.
J. N. Srivastava, F. Harary, C. R. Rao, G.-C. Rota, S. S. Shkrikhande).—
Amsterdam — London — New York : North-Holland Publ. Co., 1973,
p. 277—283. (9.1)
(Hof 15J On vertices near a vertex of a graph.— In: Studies in Pure Mathematics.
Papers Presented to Richard Rado (ed. L. Mirski), London, 1971, p. 131 —
136. (3.6)
[Hof 16J On eigenvalues and colorings of graphs.— In: Graph theory and its
applications (ed. B. Harris). New York — London : Acad, press, 1970, p. 79—91.
(3.1; 3.6)
[Hof 17J Applications of Ramsey style theorems to eigenvalues of graphs.— In:
Combinatorics (ed. M. Hall, Jr., J. H. van Lint). Pt 2. Math. Centre Tracts,
Amsterdam. 1974, N 56, p. 43—57. __ (3.6; 9.1)
(Hof 18] On graphs whose least eigenvalue exceeds —1 — Yl2.— Linear Algebra and
Appl., 1977, 16, p. 153—165. (9.1)
[Hof 19] Eigenvalues of graphs.— In: Studies in graph theory. I, II (ed. D. R. Ful-
kerson), M. A. A., 1975, p. 225—245.
[Hof 20] On spectrally bounded signed graphs.— In: Trans. 21th Conf. of Army
Mathematics, U. S. Army Research Office, Durham (Abstract), p. 1—5. (7.8)
[Hof 21J On eigenvalues of symmetric (+1, —1) matrices.— Isr. J. Math., 1974, 17,
p. 69—75. (7.8)
[Hof 22] On limit points of the least eigenvalue of a graph.— Ars Combinatoria, 1977,
3, p. 3—14.
[Hof 23] Spectral functions of graphs.— In: Proc. Intern. Congr. Math. Vancouver
(1974), 1975, 2, S. 1, p. 461—463.
[Hof 24] On signed graphs and gramians.— Georn. Dedic, 1977, 6, N 4, p. 445—470.
Хоффман, Джемил (Hoffman A. J., Jamil B. A.)
[HoJa] On the line graph of the complete tripartite graph.— Linear und Multilinear
Algebra, 1977, 5, p. 19—25.
Хоффман, Джоф (Hoffman A. J., Joffe P.)
[HoJo] Nearest s-matrices of given rank and the Ramsey problem for eigenvalues
of bipartite s-graphs.— In: Problemes Combinatoires et Theorie des Grap-
hes. Colloque International С N. R. S., N 260, Orsay 1976. С N. R. S. Publ.
1978 (ed. J.-C. Bermond, J.-C. Fournier, M. Las Vergnas, D. Sotteau),
p. 237—240.
Хоффман, Мак-Эндрю (Hoffman A. J'., McAndrew M. H.)
[HoMc] The polynomial of a directed graph.— Proc. Amer. Math. Soc, 1965, 16,
p. 303—309. (3.1; 6.6)
Хоффман, Островский (Hoffman A. J., Ostrowski A. M.)
[HoOs] On the least eigenvalue of a graph of large minimum valence containing a
given graph (не опубликовано) (9.1)
Хоффман, Рэй-Чоудхури (Hoffman A. J., Ray-Chaudhuri D. К.)
[HoR 1] On the line graph of a finite affine plane.— Canad. J. Math., 1965, 17,
p. 687—694. (6.3)
[HoR 2] On the line graph of a symmetric balanced incomplete block design.— Trans.
Amer. Math. Soc, 1965, 116, N 4, p. 238—252. (6.1; 6.3)
[HoR 3] On a spectral characterization of regular line graphs (не опубликовано).
(6.3; 6.6)
Хоффман, Синглтон (Hoffman A. J., Singleton R. R.)
[HoSi] On Moore graphs with diameteres 2 and 3.— IBM J. Res. Develop., 1960,
4, p. 497—504. (6.2)
Хоффман, Смит (Hoffman A. J., Smith J, H.)
[HoSm] On the spectral radii of topologically equivalent graphs.— In: Recent
advances in graph theory (ed. M. Fiedler), Academia Praha, 1975, p. 273—281.
(2.7)
Хоффман, Хоувз (Hoffman A. J., Howes L.)
[HoHo] On eigenvalues and colorings of graphs. II.— Ann. New York Acad. Sci.,
1970, 175, N 1, p. 238—242. (3.2; 3.6)
Хохманн, Дубский, Кваснишка, Тиц (Hochmann P., Dubsky J., Kvdsnicka V., Titz M.)
367

HoDKT] Tablesof quantum chemical data. X. Energy characteristics of some polyenic
hydrocarbons.— Coll. Chech. Chem. Comm., 1966, 31, p. 4172—4175. (Прил.)
\Хохманн, Дубский, Коутецкий, Паршный (Hochmann P., Dubsky J., Koutecky J.,
P&rk&nyi C.)
[HoDKP] Tables of quantum chemical data. VIII. Energy characteristics of some ben-
zenoid hydrocarbons.— Coll. Chech. Chem. Comm., 1965, 30, p. 3560—3565.
(Прил.)
Хохманн, Дубский, Тиц (Hochmann P., Dubsky J. Titz M.)
[HoDTJ Tables of quantum chemical data. XI. Energy characteristics of some non —
alternant hydrocarbon molecules and ions.— Coll. Chech. Chem. Comm.,
1967, 32, p. 1260—1264. (Прил.)
Хохманн, Коутецкий, Заградник (Hochmann P., Koutecky J., Zahradnik R.)
[HoKZ] Tables of quantum chemical data. I. Molecular orbitals of some benzenoid
hydrocarbons and benzo derivatives of fluoranthene.— Coll. Chech. Chem.
Comm., 1962, 27, p. 3053—3075. (Прил.)
Хученройтер (Hutschenreuther H.)
[Huts] Einfacher Beweis des Matrix-Gerust-Satzes der Netzwerktheorie.— Wiss.
Z. TH Ilmenau, 1967, 13, S. 403—404. (1.5)
Хюбо (Hubaut X. L.)
[Huba] Strongly regular graphs.— Discrete Math., 1975, 13, p. 357—381. (7.2)
Хюккель (Huckel E.)
iHuckJ Quantentheoretische Beitrage zum Benzolproblem.— Z. Phys., 1931, 70,
p. 204—286. (8.1)
Цветкович (Cvetkovit D. M.)
[Cve lj Bihromaticnost i spektar grafa.— Mat. biblioteka (Beograd), 1969, N 41,
p. 193—194. (3.2)
[Cve 2) Connectedness of the p-sum of graphs.— Univ. Beograd Publ. Elektrotehn.
Fak., Ser. Mat. Fiz., 1969, N 274—301, p. 96—99. (2.5; 7.4)
[Cve 3] Spectrum of the graph of «-tuples.— Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak.,
Ser. Mat. Fiz., 1969, N 274—301, p. 91—96. (2.6)
[Cve 4] A note on paths in the p-sum of graphs.— Univ. Beograd Publ. Elektotehn.
Fak., Ser. Mat. Fiz., 1970, N 302—319, p. 49—51. (7.5)
[Cve 5] The Boolean operations on graphs — spectrum and connectedness. V. Kon-
gres mat., fiz. i astr. na Jugoslavia, Ohrid, 1970; Zbornik na trudovite,
torn I, Skopje, 1973, p. 115—119. (2.5; 2.7)
[Cve 6] Die Zahl der Wege eines Grafen.— Glasnik Mat., Ser. Ill, 1970, 5 (25),
S. 205—210. (7.5)
[Cve 7] New characterizations of the cubic lattice graph.— Publ. Inst. Math.
(Beograd), 1970, 10 (24), p. 195—198. (3.3; 6.1; 6.4)
[Cve 8] The generating function for variations with restrictions and paths of the graph
and self-complementary graphs.— Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak.,
Ser. Mat. Fiz., 1970, N 320—328, p. 27—34. (1.8; 3.3; 7.5)
[Cve 9] Graphs and their spectra (Thesis).— Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak.,
Ser. Mat. Fiz., 1971, N 354—356, p. 1—50. (1.8; 2.2; 2.4; 2.5; 2.6; 3.2; 3.3;
3.6; 6.1; 6.3; 6.6; 7.4; 7.5; 7.8; 8.3)
[Cve 10] The spectral method for determining the number of trees.— Publ. Inst.
Math. (Beograd), 1971, 11 (25), p. 135—141. (7.5; 7.8)
[Cve 11] Chromatic number and the spectrum of a graph.— Publ. Inst. Math.
(Beograd), 1972, 14 (28), p. 25—38. (3.2; 3.6; Прил.)
[Cve 12] Inequalities obtained on the basis of the spectrum of the graph.— Studia
Sci. Math. Hung., 1973, 8, p. 433—436. (3.2; 3.6)
[Cve 13] Spectrum of the total graph of a graph.— Publ. Inst. Math. (Beograd), 1973,
16 (30), p. 49—52. (2.4; 7.8)
[Cve 14] On a graph theory problem of M. Koman.— Casopis Pest. Mat., 1973, 98,
p. 233—236. (7.5)
[Cve 15] The determinant concept defined by means of graph theory.— Mat. Vesnik,
1975, 12 (27), p. 333—336.
[Cve 16] Cubic integral graphs.— Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak., Ser. Mat.
Fiz., 1975, N 498—451, p. 107—113. (6.6; 7.1; 9.4)
[Cve 17] Spectra of graphs formed by some unary operations.— Publ. Inst. Math.
(Beograd), 1975, 19 (33), p. 37—41. (2.4)
368

ICve 18] The main part of the spectrum, divisors and switching of graphs.— Publ.
Inst. Math. (Beograd), 1978, 23 (37), p. 31—38. (4.8)
[Cve 19] Some possible directions in further investigations of graph spectra.— In:
Algebraic methods in graph theory. Vol. 1. Amsterdam; Budapest, 1981,
p. 47—67.
[Cve 20] Some topics from the theory of graph spectra.— Berichte der Mathematisch-
Statistischen Sektion im Forschungszentrum Graz, 1978, N 100—105, Bericht
N 101, p. 1—5.
[Cve 21] A note on constructions of graphs by means of their spectra.— Publ. Inst.
Math., (Beograd), 1980, 27, p. 27—30.
Цветкович, Гутман (Cvetkovid D. M., Gut man I.)
[CvG 1] The algebraic multiplicity of the number zero in the spectrum of a bipartite
graph.—Mat. Vesnik, 1972, 9 (24), p. 141—150. (8.1; 8.5)
[CvG 2] Kekule structure and topology. II. Cata-condensed systems.— Croat. Chem.
Acta, 1974, 46, p. 15—23. (8.3)
[CvG 3] On spectral structure of graphs having the maximal eigenvalue not greater
than two.— Publ. Inst. Math. (Beograd), 1975, 18 (32), p. 39—45.
(2.7; 6.1; 7.1)
[CvG 4] Note on branchign.—Croat. Chem. Acta, 1977, 49, p. 115—121. (1.8)
[CvG 5] A new spectral method for determining the number of spanning trees.— Publ.
Inst. Math. (Beograd), 1981, 29, p. 49—52.
Цветкович, Гутман, Симич (Cvetkovid D. M., Gutman I., Simit 5. /C.)
[CvGS] On self pseudo-inverse graphs.— Univ. Beograd Publ. Electrotehn. Fak.,
Ser. Mat. Fiz., 1978, N 602—633, p. 111—117.
Цветкович, Гутман, Тринайстич (Cvetkovid D. M., Gutman I.» Trinajstid N.)
[CvGT 1] Graph theory and molecular orbitals. II.— Croat. Chem. Acta, 1972, 44,
p. 365—374. (8.1; 8.2)
[CvGT 2] Kekule structures and topology.— Chem. Phys. Lett., 1972, 16,
p. 614—616. (8.2)
[CvGT 3] Conjugated molecules having integral graph spectra.— Chem. Phys.,
Lett., 1974, 29, p. 65—68. (2.7; 9.4)
[CvGT 4] Graph theory and molecular orbitals. VII. The role of resonance
structures.— J. Chem. Phys., 1974, 61, p. 2700—2706. (8.2; 8.5)
[CvGT 5] Graph theory and molecular orbitals. iX. On the stability of cata-conden-
sed hydrocarbons.—Theor. Chim. Acta, 1974, 34, p. 129—136.^ (8.1)
[CvGT 6] Graphical studies on the relations between the structure and reactivity of
conjugated systems : The role of non-bonding molecular orbitals.— J. Mol.
Struct., 1975, 28, p. 289—303. (8.1)
Цветкович, Дуб, Симич (Cvetkovid D. M., Doob M., Simid S. K.)
[CvDS 1] Some results on generalized line graphs.— Math. Rept. Acad. Sci. Can.,
1980, 2, N 3, p. 147—151.
[CvDS 2] Generalized line graphs.— J. Graph Theory, 1981, 5, N 4, p. 385—399.
Цветкович, Линтван (Cvetkovid D. M., Lint J. H. van)
[CvLi] An elementary proof of Llovd's theorem.— Proc. Kon. Nederl. Acad. We-
tensch., Ser. A, 1977, 80 (i), p. 6—10. (4.8)
Цветкович, Лушич (Cvetkovid D. M., Lucid R. P.)
[CvL 1] A new generalization of the concept of the p-sum of graphs.— Univ. Be*
ograd Publ. Elektrotehn. Fak., Ser. Mat. Fiz., 1970, N 302—319, p. 67—71.
(2.5)
[CvL 2] Ober die Zerlegung eines Graphen in ein Produkt von Graphen.— XVIII
Intern. Wiss. Roll. TH Ilmenau, 1973. Reine, A2, S. 57—58. (7.8)
Цветкович, Милич (Cvetkovid D. M., Milid M.)
* [CvMi] Teorija grafova i njene primene.— Beograd : Univerzitet u Beogradu, 1971.
Цветкович, Симич (Cvetkovid D. M., Simid S. K.)
[CvS 1] On enumeration of certain type of sequences.— Univ. Beograd Publ.
Elektrotehn. Fak., Ser. Mat. Fiz., 1973, N 412—460, p. 159—164. (1.8; 7.5)
[CvS 2J Graph equations for line graphs and total graphs.— Discrete Math., 1975,
13, p. 315—320. (7.8)
[CvS 3] Graph equations.— In: Beitrage zur Graphentheorie und deren Anwendun-
gen, vorgetragen auf dem Internat. Koll. Oberhof (DDR), 10. bis 16. April
1977, p. 40—56.
369

[CvS 4] A bibliography of graph equations,— J. Graph Theory, 1979, 3, p. 311—324.
Чао (Chao C.-Y.)
[ChaoJ A note on the eigenvalues of a graph.— J. Combin. Theory, 1971, BIO,
p. 301—302. (5.2)
Чен (Chen W.-K.)
* [Chen] Applied Graph Theory. Graphs and Electrical Networks.— North-Holland
Publ. Co., Amsterdam — London — New York, 1971; Amsterdam — New
York —Oxford, 1976. (1.4)
Ченг (Chang L. C.)
[Cha 1J The uniqueness and non-uniqueness of the triangular association scheme.—
Sci. Rec, 1959, 3, p. 604—613.
[Cha 2] Association schemes of partially balanced block designs with parameters
v = 28, n± = 12, n2 = 15 and f2u = 4.— Sci. Res., 1960, 4, p. 12—18.
(6.1; 6.3)
Чцлик (Culik K.)
[Culi] Zur Theorie der Graphen.— Casoris Pest. Mat., 1958, 83, S. 133—155. (2.5)
Швенк (Schwenk A. J.)
[Schw 1] Almost all trees are cospectral.— In: New directions in the theory of graphs
(ed. F. Harary).— New York — London : Acad, press, 1973, p. 275—307.
(5.4; 6.1)
[Schw 2] The spectrum of a graph.— Doctoral Dissertation. Univ. of Michigan, 1973.
{Schw 3J Computing the characteristic polynomial of a graph.— In: Graphs and
combinatorics (Lecture Notes in Mathematics, 406, ed. R. Bari and F. Harary).—
Berlin — Heidelberg — New York : Springer-Verlag, 1974, p. 153—172.
(2.7; 4.4)
{Schw 4] On moments and coefficients in spectral graph theory.— 1975 Winter Meeting
A. M. S., Washington D. С. (в печати).
fSchw 5] New derivations of spectral bounds for the chromatic number (abstract).—
Graph Theory Newsletter, 1975, 5, N 1, p. 77.
{Schw 6] Exactly thirteen connected cubic graphs have integral spectra.— In: Theory
and applications of graphs. Proc. Kalamazoo, 1976 (ed. Y. Alavi, D. Lick).—
Berlin — Heidelberg — New York : Springer-Verlag, 1978, p. 516—533. (9.4)
{Schw 7] Spectral reconstruction problems — Ann. N. Y. Acad. Sci., 1979, 328,
p. 183—189.
Швенк, Херндон, Еллзи (Schwenk A. J., Herndon W. C, Ellzey, Jr., M. L.)
[ScHE] The construction of cospectral composite graphs.— Ann. N. Y., Acad. Sci.,
1979, 319, p. 490—496.
Швенк, Уилсон (Schwenk A. J., Wilson R.)
[SchN] On the eigenvalues of a graph.— In: Selected topics in graph theory (eds.
L. Beineke and R. Wilson).— New York : Acad, press, 1979.
Шеннон (Shannon С. E.)
[Shan] The theory and design of linear differential equation machines.— OSRD
Rept. 411, Sec. D-2 (Fire Control), U. S. National Defense Research
Committee, 1942. (1.4)
Шонланд (Schonland D. S.) ' '
* fScho] Molecular symmetry. An introduction to group theory and its uses in
chemistry.— D. van Nostrand Сотр., Ltd., London, 1965. (5.2)
Шокаровский (Sokarovski R.)
[Soka] A generalized direct product of graphs.— Publ. Inst. Math. (Beograd), 1977,
22 (36), p. 267—269. (2.5)
Шпиалыпер (Spialter L.)
[Spia] The atom connectivity matrix characteristic polynomial (ACMCP) and its
physicogeometric (topological) significance.— J. Chem. Doc, 1964, 4,
p. 269—274. (1.4)
Шрийвер (Schrijver A.)
[Sch 1] Association schemes and Shannon capacity: Eberlein polynomials and Er-
dos-Ko-Rado theorem.— In: Algebraic methods in graph theory. Vol. 2.
Amsterdam; Budapest, 1981, p. 671—688.
[Sch 2] A comparison of the Delsarte and Lovasz bounds.— IEEE Trans. Inform.
Theory, 1979, 25, N 4, p. 425—429.
370

Шрикханде М. (Shrikhande М. S.)
[ShrM] Strongly regular graphs and group divisible designs.— Pacif. J Math., 1974,
54, N 2, p. 199—208.
Шрикханде С. (Shrikhande S. S.)
[Shr 1] On a characterization of the triangular association scheme.—Ann. Math.
Statist., 1959, 30, p. 39—47.
[Shr 2] The uniqueness of the L2 association scheme.— Ann. Math. Statist., 1959r
30, p. 781—798. (6.1; 6.3)
Шрикханде С, Бхагавандас (Shrikhande S. S., Bhagawandas)
[ShBh] Duals of incomplete block designs.— J. Indian Stat. Assoc, 1965, 3, p. 30—
37. (3.4)
Шрикханде С, Рагхаварао (Shrikhande S, S.f Raghavarao D.)
[ShRa] Affine a-resolvable incomplete block designs.— In: Contributions to
statistics. Calcutta, 1964, p. 471—480.
Штрайтвизер, Браумэн (Streitwieser A., Brauman J.I.)
* [StBr] Supplemental tables of molecular orbital calculations. I, II.— Oxford —
London — Edinburgh — New York — Paris — Frankfurt : Pergamon press,
1965. (При л.)
Шульц (Schulz M.)
[Schu 1] Automorphismen und gigenwerte von Graphen.— Diplomarbeit, Humboldt.
Univ. Berlin, Sektion Mathematik, 1979, See also : Discrete Math., 1980,
31, p. 221—222.
[Schu 2] An example of a cubic graph with two orbits and simple eigenvalue 3.—
Discrete Math., 1980, 31, p. 221—222.
Эдельберг, Гэри, Грэхем (EdelbergM., Garey M. R., Graham R. L.)
[EdGG] On the distance matrix of a tree.— Discrete Math., 1976, 14, p. 23—39.
(6.1; 9.2; Прил.)
Эйхингер (^'whinger В. g.)
[Eich] Elasticity theory. I. Distribution functions for perfect phantom networks.—
Macromolecules, 1972, 5, N 4, p. 496—503.
Эйхингер, Мартин (Qchinger В- E., Margin J. E.)
[EiMa] Distribution functions for Gaussian molecules, II. Reduction of the Kirc-
hhoff matrix for large molecules.— J. Chem. Phys., 1978, 69 (10), p. 4595—
4599.
Элспас, Тернер (Elspas В., Turner J.)
[EITu] Graphs with circulant adjacency martices.— J. Combin. Theory, 1970, 9,
p. 297—307. (5.5; 6.2; 7.8)
Эрдеш, Захс (Erdos P., Sachs H.)
[ErSa] Regulare Graphen gegebener Taillenweite mit minimaler Knotenzahl.—
Wiss. Z. Univ. Halle, 1963, 12, S. 251—257. (7.1)
Эш (Ash R. B.)
[Ash] Topology and the solution of linear systems.— J. Franklin Inst., 1959, 268,
p. 453—463. (1.4)
Юан Хонг (Yuan Hong)
[Yuan] An eigenvector condition for reconstructibility.— J. Combin. Theory, 1982,
B32, p. 353—354.
Юхас (Juhas F.)
[Juh 1] On the spectrum of a random graph.— In: Algebraic methods in graph
theory. Vol. I (Coll. Math. Soc. Ja. Bolyai 25). Ed L. Lovasz and V. T. Sos.—
Amsterdam : North-Holland Publ. Co., 1981, p. 313—316.
[Juh 2] On the asymptotic behaviour of the spectra of non-symmetric random (0,1)
matrices.— Discrete Math., 1982, 41, p. 161—165.
Юхас, Маюс (Juhasz F., Mdlyusz K.)
[JuMa] Problems of cluster analysis from the viewpoint of numerical analysis.— In:
Proc. Conf. Numer. Methods. Keszthely, 1977.
Ямамото, Фуджии, Хамада (Yamamoto S.t Fujii Y'., Hamada N.)
[YaFH] Composition of some series of association algebras.— J. Sci. Hiroshima
Univ. (A—I), 1965, 29, p. 181—215.
Яп (Yap H. P.)
[Yap] The characteristic polynomial of the adjacency matrix of a multi-digraph.—*
Nanta Math., 1975, 8, N 1, p. 41—46.
371

1С омментяпий*
Работы [Cve 19, Cve 20, GoHM, НеЗ, Неб, Sei 9, SchW, SeiT, Wi,RG3] содержат
обзоры недавно полученных результатов. Коспектральные графы встречаются в
работах (DiKZ, GoM 3, Gut 17, Hein 1, Hein 2, JoNe, Schw7, ScHE]. В работах [Bab 4,
Bab 5, RiMW, JoLe, ReCoJ рассмотрена зависимость изоморфизма графов от их
собственных значений. Вопросы применения теории спектров в задачах восстановления
графов обсуждаются в работах [ВоНе, Cve 19, GoM 5, Роге, Schw 7]. Зависимость
между многочленом паросочетаний и характеристическим многочленом графа
исследуется в работах [Far 2, GoGu, Gut 13, HeliJ.
Ловас [Lov 2J развил метод собственных значений для определения так
называемой шенноновской емкости графа и решил давно поставленную Шенноном задачу
(см., например, [Вег 1J), показав, в частности, что емкость графа С5 равна "^5.
Дальнейшие рассмотрения вопросов, связанных с работой [Lov 2], содержатся в [Нае 2,
Нае 4, Sch 1, Sch 2]**.
Все графы, наименьшее собственное значение которых больше —2, определены
в [DoCvJ. Характеризация обобщенных реберных графов исключительными
подграфами дана в [CvDS 1, CvDS 2]. В работах [Cve 19, CvGS, CvS 3, CvS 4] исследуется
зависимость между графовыми уравнениями и собственными значениями.
Собственные значения и группы автоморфизмов графов изучаются в работах [D\Am 1, D'Am 2,
Dixo, KinR, McK 2, SaSt 1, Schu, SmJ 2J, жорданова нормальная форма матрицы
смежности орграфа — в [Hein 1, Hein 2J. Приложения спектров графов в физике и
химии, отличные от описанных в гл. 2, можно найти в работах [Eich, EiMa, Fors,
MaEiJ, таблицы — в [McK 2J. Особым вниманием химиков пользуются следующие две
недавно вышедшие книги по теории Хюккеля:
Coulson С. A., O'Leary В., Mallion R. В., Huckel theory for organic chemists.—
London — New York — San Francisco : Acad, press, 1978;
Yates K., Huckel. molecular orbital theory.— London — New York — San
Francisco : Acad, prees, 1979.
Содержащиеся в списке литературы книги отмечены звездочкой (*). Числа в
конце выходных данных работы указывают параграфы настоящей книги, в которых
упоминается эта работа; «Пред.» означает предисловие, «Прил.» — приложение.
* Здесь комментируются только те работы, которые ранее содержались в
дополнительном списке литературы, добавленном при корректуре оригинального
издания.— Прим. перев. 1
** Недавно вышли в свет следующие переводы относящихся к данному
вопросу работ:
Ловас Л, О шенноновской емкости графа.— Кибернет. сб., 1983, вып. 19, с. 5—
22. (Перевод работы [Lov 2].)
Схрейвер А. Сравнение границ Дельсарта иЛоваса. —Там же, с. 23—24.
(Перевод работы [Sch 2J.)
Мак-Элис Р., Родемич Е., Рамсей Г. Граница Ловаса и некоторые
обобщения.—Там же, с. 35—55. (Перевод работы McEliece R. J., Rodemich Е. R., Rum-
sey, Jr., H.C. The Lovasz bound and some generalizations.—Journal of Combinatorics,
Information and System Sciences, 1978, 3, N 3, p. 134—152.—Прим. перев.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А ®В 70
a (G) 282
a (G) 93
B£(G) 26
CG (к) 26
cof X 281
СЯ(А!) 187
d (F) 277
diam (F) 277
т] (G) 248
£я 252
*М 136
/"с ft. И) 28
ФС (А,) 50
Г, v 139
G1 + G2 68
Gj + G2 56
G, • G2 54
GiV^a 56
GiUG2 53
Gx X G2 68
GiIGJ 74
Г (G) 124
#G (0 44
Я (л) 179
Jmft) 147
у RIG) 277
л (F) 277
L (G) 15
^(G) 277
|i (G) 277
Ц2 (G) 279
Цд (G) 277
par X 256
per Л 33
PG(k) 11
PgW 33
P*G(h,K K) 29
PG (3, 2) 173
Q(G) 66
QG W 25
R 130 , 147
fl(G) 65
«o ft) 25
rkX 15
Л (/7) 147
S (G) 15
Sc (A,) 26
Sp(G) 11
5pc(G) 26
Spp (G) 23
5pQ (G) 25
S/^ (G) 25
Sps (G) 26
sum M 44
* (G) 37
T (G) 66
Г(n) 183
X (G) 14
X(/?:^), X(^) 152

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адам (Adam А . ) 237 , 238
Айгнер (Aigner М . ) 190 , 193
Амин (Amin А . Т . ) 116
Андерсон (Anderson Jr . , W . N . ) 26 , 283
Ашбахер (Aschbacher M . ) 195
Бабаи (Babai L . ) 139 , 150 , 151 , 160 —
162
Байнеке (Beineke L . W . ) 180 , 286
Бернсайд (Burnside W . ) 154
Беце (Весе A . ) 36
Биггс (Biggs N . L . ) 139 , 144 , 206 , 210
Блэквелл (Blackwell D . ) 229
Боттема (Bottema O . ) 276
Боуз (Bose R . C . ) 107 , 188 , 189 , 193 ,
205 , 210
Браун (Brown W . G . ) 202
Брукс (Brooks R . L . ) 37
Буссемакер (Bussemaker F . C . ) 196 ,
209 , 283 , 285
Бхагавандас (Bhagawandas) 108
Бэйкер (Baker G . ) 272
Ваховский E . B . 25 , 274
Вейчсел (Weichsel P . M . ) 216
Гевирц (Gewiriz A . ) 204
Гёталс (Goethals J . M . ) 8 , 120 . 186 , 194
Гиббс (Gibbs R . A . ) 198
Годсил (Godsil C . D . ) 150 , 163
Граовац (Graovac A . ) 257
Громан (Grohmann G . ) 59 , 60
Грэхем (Graham R . L . ) 281
Гутман (Gutman I . ) 62 , 247 , 250 — 252 ,
254 , 257 — 260 , 274 — 276
Гюнтард (Gunthard Hs . H . ) 152
Дезоэр (Desoer С . A . ) 35
Дельсарт (Delsarte P . ) 194
Дембовский (Dembowski P . ) 188
Джокович (Djokovic D . 2 . ) 238
Донат (Donath W . E . ) 119
Дуб (Doob M . ) 8 , 72 , 81 , 111 , 170 , 171 ,
174 , 178 , 184 , 186 , 196 — 198 , 237 ,
277 , 278
Дьюар (Dewar M . S . J . ) 257 , 276
Живкович (Zivkovic T . ) 257
Зайдель (Seidel J . J . ) 8 , 26 , 50 , 120 ,
136 , 173 , 186 , 187 , 194 — 196 , 199 ,
208 , 209 , 211 — 213 , 215 , 241 , 286
Зайден (Seiden E . ) 183
Захс (Sachs H . ) 8 , 19 , 31 , 36 , 58 , 64 ,
85 , 86 , 91 , 92 , 100 — 102 , 110 , 112 ,
113 , 119 , 121 , 123 , 125 , 127 , 137 ,
140 — 146 , 202 , 203 , 239
Камерон (Cameron P . J . ) 186 , 187
Карп (Karp R . M . ) 277
Кастелейн (Kasteleyn P . W . ) 45 , 36 ,
260 , 261
Кац (Kac M . ) 270
Келлер (Keller J . ) 152
Кельманс A . K . 8 , 26 , 37 , 61 , 171 , 236 ,
238
Кёниг (Konig D . ) 35
Кинг (King C . ) 198
Кирхгоф (Kirchhoff G . ) 37
Кларк (Clarke F . H . ) 36 , 63
Клатворт . (Clatworthy W . H . ) 207
Коллац (Collatz L . ) 35
Коннор (Connor W . S . ) 207
Коулсон (Coulson C . A . ) 35
Коэтес (Coates C . L . ) 35
Кратко M . И . 231 , 242
Kpayc (Kraus L . L . ) 105 , 106 , 145 ,
228 , 286
Креварас (Kreweras G . ) 242
Кришнамурти (Knshnamoorthy V . ) 162
Кук (Cook С R . ) 193
Ласкар (Laskar R . ) 190 , 193
Лик (Lick D . R . ) 195
Линт ван (Lint J . H . van) 135 , 212 , 215
Литл (Little H . С . H . ) 261
Лихтенбаум Л . M . 11 , 25 , 117
Ллойд (Lloyd S . P . ) 135
Ловас (Lovasz L . ) 36 , 82 , 116 , 160 , 161
Лонге-Хиггинс (Longuet-Higgins H . C . )
257 , 276
Лоренс (Lorens С S . ) 35
374

Максимович (Maksimovie D . ) 285
Мальбашки (Malbaski D . Т . ) 119 , 172
Мак-Клелланд (McClelland В . J . )
132 , 153 , 253 , 254
Мак-Кэй (McKay В . ) 281
Мак-Эндрю (McAndrewM . H . ) 87 , 197
Машке (Maschke Н . ) 158
Месснер (Messner D . М . ) 189 , 210
Милич (Milic М . ) 31 , 36
Мовшовиц (Mowshowitz А . ) 36 , 140 ,
151 , 160 , 168 , 198
Морли (Morley Т . D . ) 26 , 283
Мун (Moon J . W . ) 184
Мэзон (Mason S . J . ) 35
Мэллоуз (Mallows С . L . ) 213
Мюир (Muir Т . ) 35
Натан (Nathan A . ) 35
Нозаль (Nosal E . ) 116 , 236 , 274
Нойман (Neumann P . M . ) 215
Нуффелен ван (Nuffelen С . van) 118
Нэш-Вильяме (Nash-Williams С . St .
J . A . ) 7
Островский (Ostrowski A . M . ) 278
Партасарати (Parthasarathy K . R . ) 162
Паули (Pauli W . ) 252
Паулюс (Paulus A . J . H . ) 146 , 206
Пеликан (Pelikan J . ) 36 , 82 , 116
Петерсдорф (Petersdorf M . ) 19 , 125 ,
127 , 140 , 141 , 145 , 146
Понстейн (Ponstein J . ) 36 , 48
Пэйн (Payne S . E . ) 204
Рагхаварао (Raghavarao D . ) 188
Рашбрук (Rushbrooke G . S . ) 248
Рид (Read R . C . ) 198
Рингель (Ringel G . ) 101 , 102
Ролланд (Rolland P . T . ) 194
Рунге (Runge F . ) 30 , 37 , 40 , 41 , 49 — 51 ,
114
Рэй-Чоудхури (Ray-Chaudhuri D . K . )
165 , 179 — 181 , 183 , 185 , 186 , 196 ,
199
Рэмпель (Rempel J . ) 130 , 137
Рюденберг (Ruedenberg K . ) 276
Седлачек (Sedlacek J . ) 38 , 56 , 85 , 238
Cepp (Serre J . -Ф . ) 150
Симич (Simic S . K . ) 286
Симе (Sims С . C . ) 18
Синглтон (Singleton R . R . ) 173 , 174 ,
204
Синоговиц (Sinogowitz U . ) 11 , 35 , 89 ,
131 , 164 , 169 , 248 , 272
Скала (Skala H . L . ) 205
Слоэн (Sloane N . J . ) 213
Смит Д . (Smith D . H . ) 206
Смит Дж . (Smith J . H . ) 82 , 144 , 171 ,
274
Смит К . (Smith С . А . В . ) 37
Стоун (Stone A . H . ) 37
Стрит (Street A . P . ) 184
Строк В . В . 52 , 231 , 242 , 243
Супруненко Д . А . 151
Сэмуэль (Samuel I . ) 35
Татт (Tutte W . Т . ) 37 , 144 , 283
Тернер (Turner J . ) 36 , 160 , 176 , 177 ,
238
Трент (Trent Н . М . ) 37
Тринайстич (Trinajstic N . ) 250 — 252 ,
254 , 257 — 260 , 275 , 276
Туран (Turan Р . ) 235
Туэро (Tuero М . ) 228
Тышкевич Р . И . 151
Уайлд (Wild U . ) 152
Уилф (Wilf Н . S . ) 94 , 204
Улам (Ulam S . ) 284
Уоллер (Waller D . А . ) 39
Уоллис В . (Wallis W . D . ) 184
Уоллис Дж . (Wallig J . S . ) 184
Уэй (Wei Т . Н . ) 109 , 240
Фейт (Feit W . ) 204
Фидлер (Fiedler М . ) 26 , 38 , 282 , 283
Финк (Finck H . -J . ) 59 , 99 , 103 , 106 ,
107 , 117 , 137
Фишер (Fisher М . Е . ) 271 , 272
Фробениус (Frobenius F . G . ) 17
Хайдеман (Heydemann М . С . ) 198
Хайльброннер (Heilbronner Е . ) 35 , 61 ,
131 , 132 , 153 , 275
Хакими (Hakimi S . L . ) 116
Харари (Harary F . ) 35 , 44 , 46 , 117 ,
198 , 283
Хейнсворт (Haynsworth Е . V . ) 19
Хемерс (Haemers W . ) 18 , 120
Хестенес (Hestenes М . D . ) 209
Хигман (Higman D . G . ) 205 — 207 , 212
Хозойя (Hosoya Н . ) 36 , 281
Холл (Hall К . М . ) 119
Холт (Holt D . ) 144
Хоффман (Hoffman A . J . ) 7 , 8 , 46 , 81 ,
82 , 87 , 94 — 99 , 116 , 118 — 120 , 165 ,
166 , 169 , 173 , 174 , 177 , 179 — 181 ,
183 — 186 , 197 , 199 , 277 — 280
Хоувз (Howes L . ) 97 , 118 , 279
Хученройтер (Hutschenreuther Н . ) 37 ,
39
Хюккель (Huckel Е . ) 11 , 244 , 246 — 248
Цветкович (Cvetkovic D . М . ) 8 , 35 , 44 ,
46 , 51 , 58 , 59 , 64 — 67 , 70 — 72 , 74 ,
80 , 93 , 96 , 105 , 106 , 117 , 118 , 135 ,
136 , 145 , 184 , 190 , 192 , 197 , 199 ,
217 , 219 — 222 , 225 — 226 , 238 , 239 ,
250 — 252 , 258 — 260 , 274 , 276 , 283 ,
285
375

Чао (Chao C . -Y . ) 151
Челноков В . М . 238
Чен (Chen W . -K . ) 35
Ченг (Chang L . С . ) 183
Чобельжич (Cobeljic S . ) 285
Швенк (Schwenk A . J . ) 44 , 46 , 81 , 117 ,
160 , 168 , 283
Шволов (Schwolow К . -Н . ) 130 , 137
Шеннон (Shannon С . Е . ) 35
Шимамото (Shimamoto Т . ) 188
Шпиальтер (Spialter L . ) 31 , 36
Шрикханде (Shrikhande S . S . ) 108 , 184
Штибиц (Stiebitz М . ) 142
Шулт (Shult Е . Е . ) 186 , 187
Шульц (Schulz М . ) 146
Элспас (Elspas В . ) 160 , 176 , 238
Эрдёш (Erdos Р . ) 202
Эш (Ash R . В . ) 35

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Страницы , на которых приведены
определения терминов , выделены
жирным шрифтом . Для некоторых общих ,
часто используемых в книге понятий ,
указаны лишь те страницы (помеченные
звездочкой (*)) , на которых они
определены .
Алфавит 51 , 135
Аннулен 247
Ассоциативная схема 188 , 205 , 206 ,
209 , 210 , 281
Базис NEP-суммы 69 *
Бензол 260
Бифенил 260
Блок орграфа 281
Блок-схема уравновешенная
неполная 51 , 174 / 175 , 201 , 209
Булева функция графов 68 — 75
Бутадиен 260
Валентность вершины 13 *
передняя (задняя) 13 *
Вектор характеристический 111 , 116
Вершина 9 *
— периферийная 258
— соседняя 13 *
передняя (задняя) 13 *
Вершинная древесность 95
Вершинное покрытие подграфа 13 *
Вершины смежные 10 *
Вес вектора по X 163
Вес дуги (ребра , подграфа) 34 , 47 ,
129 , 276 , 283
Волновая функция 244 , 245
Волновое уравнение 270 , 273
Вполне приведенная форма
представления 148 , 151 , 153
Гамильтониан (оператор) 244
Гармоническое колебание 271
Гиперграф 51 , 114 , 284
Гипотеза Улама 284
Главная часть спектра 45 , 111 , 136
Грань 258
Граф 9 *
— биномиальный характеристики п
188
— вполне несвязный 14 , 103 , 118 ,
170 , 208
— Гуда — де Брёйна ( с
ограничениями) 52 , 231 , 242
— двудольный 14 *
полный 14 , 50 , 75 , 137 , 166 ,
170 — 174 , 184 , 209 , 219 , 220 , 224
— двуполный 219
— Дезарга 283
— единичного куба 78
— икосаэдра 130 , 131 , 239 , 286
— инциденций 51
— Клебша 195
— куба 239 , 283 , 286
— Кэли 143 , 160 , 161 , 162
— ^-вырожденный 95
— ^-раскрашиваемый 14
— Леви 51
— линейный ориентированный 13 *
— мембранный 269 , 271
— метрически регулярный 180 , 181 ,
194 , 197 , 206 , 281
— многодольный полный (&-дольный ,
6-полный) 14 , 76 , 98 , 119 137 , 171 ,
172 , 179 , 224 , 237
— молекулярный 247
— Мура 172 , 173 , 195 , 201 , 205
— несвязный 13 *
— обыкновенный 9 *
— ориентированный 9*
— Петерсена 173 , 179 , 182 , 186 , 195 ,
209 , 216 , 239 , 283
— планарный 258 , 261 , 272
— плоский 258 , 259 , 283
— подразбиений 15 , 65 , 137
— полный 11 , 14* , 75 , 94 , 118 , 170 —
172 , 196 , 208 , 219 , 220 , 224 , 230 ,
235 , 237 , 278
— полурегулярный 14 , 30 , 41 , 49 ,
64 , 137 , 183 — 185 , 197 , 204
— правильно раскрашенный 14
— передаточный 266
— приема гостей 75 , 187 , 209 , 231
— простой 193
377

— ранга 3 , 195
— реберный 15 , 30 , 63 , 109 , 111 , 177 —
— 187 , 195 , 196 , 209 , 237 , 286
обобщенный 187 , 278
— регулярный 13*
— решетчатый 78 , 231 , 268 — 272 , 275
кубический 190 , 192 — 195
характеристики п 188 , 189
— самодополнительный 101 , 102 , 118 ,
286
— связный 13*
— сильно регулярный 107 , 120 , 146 ,
171 , 184 , 188 , 196 , 202 , 205 — 209 ,
215 , 240 , 241
связный 13 *
—- сильный 208 , 215
— симметрический 143
— слабо симметрический 143
— тетраэдра 190 , 193
— тотальный 66 , 67 , 237
— транзитивный по расстоянию 194 ,
205 , 206 , 209 , 210
— треугольный 179 , 183 , 195
— Хивуда 239
— Хоффмана — Синглтона 173 , 209
— целочисленный 283
— циклически ^-дольный 86 , 87
— частичный 13 *
— Шлёфли 179 , 195
— Штейнера 241
— эйлеров 213
— у-простой 103 , 104 , 220 , 237
Графы изоморфные 10 *
— изоспектральные'(см . графы коспек-
тральные)
— коспектральные 23 , 130 , 139 , 159 ,
160 , 162 , 164 — 169 , 171 , 175 , 179 —
189 , 193 — 198 , 209 , 283 , 284
— правильных многогранников 122
Группа автоморфизмов 124 , 125 , 139 —
163 , 169 , 206 , 248 , 285 , 286
транзитивная 141 — 143 , 160 , 162
— диэдральная 162
— кватернионов 160
— ортогональная 150
— симметрии 248
— симметрии молекулы 152
— унитарная 150 , 151
Два-граф 211 , 212 — 214
— регулярный 214 , 215 , 241
Делитель (передний , задний) 121 — 138 ,
156 — 159 , 201 , 210 , 273
— обобщенный 123
— собственный 122
Демонтаж графа 251
Дерево 14 , 61 , 116 , 133 , 134 , 178 , 202 ,
249 , 254 / 258 , 274 , 281 — 285
— остовное 37 , 39 , 42 , 51 , 230 — 233 ,
236 , 238 , 284
— симметрическое 134
Деревья коспектральные 168 , 198
Диаметр графа 14 , 93 , 170 — 174 , 188 ,
189 , 197 , 198 , 204 — 206 , 210 , 285
Димер 260 — 267
Динамическое среднее валентностей 46 ,
230
Длина контура , маршрута , простого
пути и простого цикла 14 *
Додекаэдр 239 , 286
Дополнение графа 14 *
Дуга 9 *
Жорданова нормальная форма 147 , 150
Задача Изинга 267
— локального характера 126 — 129
Звезда 14 , 75 , 116
Изоморфизм 10 *
Индекс графа 17 *
— импримитивности 17
— подвижности 230
— топологический 287
Квадрат графа 221 , 249
Квадратная решетка на торе 77 , 238
Классы переключательно
эквивалентных графов 199 , 209 — 215 , 241 , 286
Когерентная конфигурация 206
Код совершенный 135 , 201
Коделитель 130 , 131 , 156
Коды , исправляющие ошибки 78
Комбинаторная мембрана 272
Комплекс линейный 123
Композиция графов 74
Компонента графа 13 *
сильная 56
Контур 13 *
Конъюнкция 68
Корневая система 186 , 187
Кратность собственного значения
(алгебраическая , геометрическая) 16 *
Куб единичный «-мерный 188 , 189 , 197
Латинский квадрат (граф) 209 , 241
Лемма Шура 149
Лес 14 , 36 , 95 , 274
Лестница Мёбиуса 78 , 81 , 231
Линейное представление конечной
группы 139 , 146 — 162
Маршрут 13 *
Маршруты циклически эквивалентные
117
Матрица Адамара 184 , 209
— валентностей 15 *
— Грама 211 — 215
— допустимых пар 225
— жорданова 147 *
— зарядов и порядков связей Коул-
сона 254
— инциденций (вершино-реберная , ре-
берновершинная) 15 , 118 , 282
378

модифицированная 114
— ограничений 225
— передаточная 263 , 264 — 266
— пересечения 209
— плотности 254
— полных проводимостей 26 , 36 — 41
— примитивная (импримитивная) 17 *
— простая 20
— разложимая (неразложимая) 16 *
— расстояний 280 , 281
— смежности 10 *
Зайделя 26 , 51 , 120 , 194 , 198 ,
208 , 211 , 215 , 216
— степеней 15 *
— топологическая 247
— Хюккеля 247
— эрмитова 18
— (0 , 1 , —1)-инциденций 15 , 282
— (—1 , 1 , 0)-смежности 26 , 194 , 207 ,
208 , 214
Матрицы подобные 19
Метод Л К АО—МО 246
Многочлен круговой 176
— минимальный 19 , 87 , 92 , 99 , 151 ,
170 , 189
— перманентный 33 *
— характеристический 11 *
матрицы расстояний 280 , 281 ,
287
— Чебышева 76 , 81 , 231 — 234
Множество разреза 282
— внутренней устойчивости 120
Мост 14 , 258
Мультиграф 9 *
Мультиорграф 9 *
— обобщенный 129 *
Нафталин 260
Неполная расширенная /7-сумма (см .
NEP-сумма)
Неприводимая компонента
представления 148 *
Неравенство Коши 18
— Куранта — Вейля 53 , 98
Нормальная форма жорданова 147
Обобщенный многоугольник 204
Обхват графа 14 , 85 , 92 , 101 , 202 — 204 ,
209 , 283 , 286
Объединение графов 53
Октаэдр 239 , 286
Оператор Лапласа 268
Орбита 124 , 125 , 140 , 144 , 148 , 154 —
157 , 195 , 286
Орбиталь (атомная , молекулярная) 246 ,
252 , 254
Орбитная валентность 144 , 145
Орграф 9 *
— со взвешенными валентностями 34 ,
40 , 47
Пара мости ковы х клик 180 , 196
Перманент 33 , 255 , 261
Петля 9*
— , учитываемая однократно 10 , 222
Покрытие неразветвленное 123
Пол у степень захода 13 *
— исхода 13 *
Переключение Зайделя 194 , 197 , 286
«Переключение» Sx 132
Постоянная Каталана 263
— Планка 244
Плоскость аффинная 186
— проективная 186 , 204 , 205
Принцип заполнения 252
— Паули 252
Проективная геометрия 173
Подграф 13 *
— запрещенный 286
— линейный (неориентированный) 36 ,
257
ориентированный 32 , 34
порожденный 13 *
Произведение графов 54 , 216 — 220
декартово 68
кардинальное 68
кронекерово 68
лексикографическое 74 , 198
полное 55 , 56 , 59
сильное 68 , 73 , 227
— матриц кронекерово 70 , 71 , 224
Производящая функция числа
маршрутов 44 , 226 , 267
Прямые зависимые 211 — 216
— равноугольные 211 — 216
Подграф остовный 13 *
линейный 13 , 47 , 254 — 256 , 262
Полная л-электронная энергия 252 —
— 254 , 267 , 287
Разделенная на орбиты форма
представления 148 , 157 я
Разделение (синее , красное) 255 — 257
Раскраска D-допустимая 121 , 126 , 128 ,
133
Расстояние 14 *
— Хэмминга 135
Реберное покрытие подграфа 13 *
Ребра кратные 9 *
Ребро 9 * *>
— ориентированное 9 *
Решетка двумерная 261 , 263 , 264 ,
268 , 271 , 272
Связность алгебраическая 282
— вершинная 282 , 285 , 286
— реберная 282 , 285 , 286
Секулярное уравнение 246 , 247
Система троек Штейнера 209 , 241
Сложность графа 37 , 50 , 51
Случайное блуждание 276
Собственное значение графа 11
379

простое 17 , 140 — 146 , 170 , 175 ,
217 , 286
Собственный вектор графа 11 *
Совершенный г-код 135
Соединение из i в / 47
Сопряженный полиен 247
Спектр графа 11 *
— Зайделя 26 — 29
— укороченный 103
Сращение графов 166 — 168
Степень вершины 13 *
— графа 54
Стирол 260
Сумма графов 68 , 73 , 77 , 169 , 218 , 227
прямая 55 , 56 , 60 , 61 , 166 , 170 ,
171 , 175 , 197 , 206 , 224 , 232 , 278
— матриц блочно-диагональная 146
прямая 146 *
Схема ассоциативная 188 , 205 , 206 ,
209 , 210 , 281
— симметричная 174 , 175 , 185 , 196 ,
199 , 201 , 241
Таблица пересечения графа 210
Тела Платоновы 239 , 286
Теорема Брукса 95 , 106
— дружбы 204
— Кэли — Гамильтона 19 , 85
— Ллойда 135 , 202
— о сплетении 18
— парности 91
Коулсона — Рашбрука 248
— Эйлера 259
Теория кодирования 135
— молекулярных орбиталей
(элементарная) 248
— Хюккеля 244 — 254 , 287
Тетраэдр 239 , 286
Точка кипения 287
— сочленения 14 *
Транспонирование 132
Треугольник 14 *
Турнир 240 , 283
— круговой 240
Углеводороды ациклические 260
— альтернантные 247 , 248
— бензоидные 254 , 260
— насыщенные 287
— с конденсированными (неконден-
сированными) кольцами 260
— сопряженные (ароматические) 245 —
— 247 , 260
Умножение графа на целое число 54
Уравнение Шредингера 244 — 245
Фактор (1-фактор) 255 — 262 , 265 — 267 ,
275
— квадратичный 133
— линейный 13 , 33 , 35 , 36 , 133 — 134
— обобщенный 115
— регулярный степени s 13 , 111 — 113
Фенантрин 260
Фигура (базисная , элементарная) 31 ,
92 , 100 , 101 , 256 , 259 , 260 , 275
Форма матрицы каноническая 147 , 151
Формула Кэли 231
— Ньютона 271
Характер 152
Химическая устойчивость 248 , 260
Ход короля (шахм . ) 227 , 228
— ладьи (шахм . ) 227 , 228
Цепь Маркова 283
— простая 13 *
— внутренняя 82
Цикл гамильтонов 117
— простой 14 *
Циркулянт 55 , 160
Четность разделенная (фактор) 256 —
— 259
Четырехугольник 14
Числа Фибоначчи 266
Число вершинного разбиения 95
— внутренней устойчивости 93 , 274
— клик 118 , 120
— хроматическое 14 , 94 — 96 , 103 , 106 ,
— 107 , 117 , 169 , 234 , 274
— цикломатическое 113
Шахматная доска 227
Этилен 260
А-перестановка с повторениями
элементов 225
В1В-схема 51 , 174 / 175 , 183 , 185 , 186 ,
196 , 199 , 201
— симметричная (см . схема
симметричная)
d-обхват 85
£Ьмногочлен 127
Эгсобственное значение 127
ING-napa 23 , 164 , 168 , 172 , 285 — 287
^"-сумма графов 68 , 78
^-сочетание 228 , 229
m-свойство двойное 136
NEP-сумма 69 , 69 — 75 , 81 , 169 , 216 —
221 , 224 , 227 , 240
л-угольная пирамида 233
— призма 231 , 239 , 283
Р-спектр 23 *
р-сумма графов 68 , 73 , 217 , 218 , 221 ,
222
неполная 69
расширенная 69
р-электрон , 245
я-электрон 245 , 247 , 254
Q-спектр 25 , 113 — 115
— гиперграфа 114
380

s-граф 129 , 132
s-фактор 13 , 90 , 111 , 112 , 116 , 255
Т-покрытие 133
(Г , Г")-1Юкрытие 133 , 134 , 137
а-произведение 68
Р-пол у произведение 68
В-произведение 68
7-полупроизведение 68
7-произведение 68
Д-оператор 268 , 273
у-произведение 56 , 59 , 103 , 224
о-фактор 115
а-электрон 245 , 247
8-клетка 283

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к переводу 5
Предисловие авторов 7
Глава 0. Введение 9
§ 0.1. Что такое спектр графа и что о нем говорится в этой книге 9
§ 0.2. Еще несколько теоретико-графовых понятий и обозначений 13
§ 0.3. Некоторые теоремы теории матриц и их применение к исследованию
спектров графов 16
Глава 1. Основные свойства спектра графа 22
§ 1.1. Матрица смежности и обыкновенный спектр графа 22
§ 1.2. Общий метод определения различных типов спектров графа 24
§ 1.3. Некоторые замечания о рассматриваемых спектрах 28
§ 1.4. Коэффициенты многочлена PQ (к) 30
§ 1.5. Коэффициенты многочлена CG (X) 36
§ 1.6. Коэффициенты многочлена QG (К) 39
§ 1.7. Формула, связывающая цикловидную и древовидную структуры
регулярного или полурегулярного мультиграфа 41
§ 1.8. О числе маршрутов 43
§ 1.9. Другие результаты и задачи 46
Глава 2. Операции над графами и результирующие спектры 53
§2.1. Многочлен графа 53
§ 2.2. Спектр дополнения, прямой суммы и полного произведения графов ... 55
$ 2.3. Процедуры сведения для вычисления характеристического многочлена 61
| 2.4. Реберные и тотальные графы 63
§ 2.5. NEP-сумма и булевы функции 68
§ 2.6. Определение характеристических многочленов и спектров графов
некоторых специальных типов 75
§ 2.7. Другие результаты и задачи 80
Глава 3. Связи между спектральными и структурными свойствами графов 84
§ 3.1. Орграфы 84
§ 3.2. Графы 88
§ 3.3. Регулярные графы 98
§ 3.4. Некоторые замечания о сильно регулярных графах 107
§ 3.5. Собственные векторы 108
J 3.6. Другие результаты и задачи 116
382

Глава 4. Делитель графа 121
§4.1. Понятие делителя 121
§ 4.2. Делитель и покрытие 123
§ 4.3. Обобщение понятия делителя 123
§ 4.4. Свойства симметрии и делители графов 124
§ 4.5. Основная лемма о делителе и спектре 126
§ 4.6. Факторизация характеристического многочлена с помощью делителя 129
§ 4.7. Структура—делитель — спектр 132
§ 4.8. Другие результаты и задачи 135
Глава 5. Спектр и группа автоморфизмов 139
§5.1. Симметрия и простые собственные значения 139
§ 5.2. Спектр и представления группы автоморфизмов 146
§ 5.3. Передний делитель, индуцированный подгруппой группы автоморфизмов 156
§ 5.4. Коспектральные графы с заданными (различными) группами
автоморфизмов 159
§ 5.5. Другие результаты и задачи 160
Глава 6. Характеризация графов посредством их спектров 164
§6.1. Некоторые семейства неизоморфных коспектральных графов .... 164
§ 6.2. Характеризация графа с помощью его спектра 169
§ 6.3. Характеризация и другие спектральные свойства реберных графов 177
§ 6.4. Метрически регулярные графы 188
§ 6.5. Матрица (—1, 1, 0)-смежности и переключение Зайделя 194
§ 6.6. Другие результаты и задачи 196
Глава 7. Спектральные методы в теории графов и комбинаторике 200
§7.1. Существование и несуществование некоторых комбинаторных объектов 200
§ 7.2. Сильно регулярные и транзитивные по расстоянию графы 205
§ 7.3. Равноугольные прямые и два-графы 211
§ 7.4. Связность и двудольность некоторых произведений графов 216
§ 7.5. Определение числа маршрутов 222
§ 7.6. Определение числа остовных деревьев 230
§ 7.7. Экстремальные задачи 234
§ 7.8. Другие результаты и задачи 237
Глава 8. Приложения в химии и физике 244
§8.1. Теория Хюккеля 244
§ 8.2. Графы, связанные с бензоидными углеводородами 254
§ 8.3. Задача о димерах 260
§ 8.4. Колебания мембраны 267
§ 8.5. Другие результаты и задачи 274
Глаза 9. Некоторые дополнительные результаты 277
§9.1. Собственные значения и вложения 277
§ 9.2. Характеристический многочлен матрицы расстояний 280
§ 9.3. Алгебраическая связность графа 282
§ 9.4. Целочисленные графы 283
§ 9.5. Некоторые нерешенные задачи 283
Приложение. Таблицы спектров графов 285
Список литературы 338
Указатель обозначений 373
Именной указатель 374
Предметный указатель 377

ДРАГОШ ЦВЕТКОВИЧ
МАЙКЛ ДУБ
ХОРСТ ЗАХС
СПЕКТРЫ ГРАФОВ
ТЕОРИЯ И ПРИМЕНЕНИЕ
Редактор
С. Д. Кош и с
Оформление художника
Л. Я. Вишневского
Художественный редактор
И. П. Антонюк
Технический редактор
Я. А. Ратнер
Корректоры
Э. М< Киянская,
Р. С. Коган
Информ. бланк № 5201
Сдано в набор 15.04.83. Подп. в печ. 02.12.83.
Формат 60х90/|6. Бум. тип. № 1. Лит. гарн. Вые. печ.
Усл. печ. л. 24,0. Усл. кр.-отт. 24,0. Уч.-изд. л. 24,57.
Тираж 1250 экз. Заказ 3-476. Цена 4 р.
Издательство «Наукова думка».
252601, Киев-4 ,ул. Репина, 3.
Отпечатано с матриц Головного предприятия РПО
«Полиграфкнига» на книжной фабрике «Коммунист»,
310012, Харьков-12, Энгельса, 11.