Text
                    Б. ЗЕЛЬДОВИЧ, А. Д. МЫШКИС
ЭЛЕМЕНТЫ
ПРИКЛАДНОЙ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 7 2


ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . 7 Глава 1. Некоторые численные методы 11 § 1. Численное интегрирование , 12 § 2 Вычисление сумм при помощи интегралов 17 § 3. Численное решение уравнений 25 Ответы и решения 33 Глава 11. Математическая обработка результатов опыта 36 § 1. Таблицы и разности 36 § 2. Интегрирование и дифференцирование функций, заданных таблично 41 § 3. Подбор формул по данным опыта по .методу наименьших квадратов 45 § 4. Графический способ подбора формул 51 Ответы и решения 58 Глава III. Дополнительные сведения об интегралах и рядах 61 § 1. Несобственные интегралы 61 § 2. Интегрирование быстроменяющихся функций , 69 § 3, Формула Стирлинга . . . • 77 § 4. Интегрирование быстроколеблющихся функций 79 § 5. Числовые ряды 82 § 6 Интегралы, зависящие от параметра 93 Ответы и решения 97 Глава IV. Функции нескольких переменных 100 § 1. Частные производные 100 § 2. Геометрический смысл функции двух переменных 107 § 3. Неявные функции 108 § 4. Радмола1\1па 116 § 5. Огибающая семейства линий 118 § 6. Ряд Тейлора и задачи на экстремум 120 § 7. Кратные интегралы 127 § 8. iMiioroMepHoe пространство и число степеней свободы 137 Ответы и решения 141 Глава V. Функции комплексного переменного 144 § 1. Простейшие свойства комплексных чисел 144 § 2. Сопряженные комплексные числа 147 § 3. Возведение в мнимую степень. Формула Эйлера 150 § 4. Логарифмы и корни , 154 § 5. Описание гармонических колебании с помощью показательной функции от мнимого аргумента 157 § 6. Производная функции комплексного переменного , 164 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 7. Гармонические функции . 166 § 8. Интеграл от функции комплексного переменного . 168 § 9. Вычеты 172 ■ Ответы и решения 180 Глава VI. Дельта-функция Дирака 183 § 1. Дельта-функция Дирака 6(х) 183 § 2. Функция Грина 188 § 3. Функции, связанные с дельта-функцией 193 § 4. Понятие об интеграле Стилтьеса 198 Ответы и решения 199 Глава VII. Дифференциальные уравнения 201 § I. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка 201 § 2. Интегрируемые типы уравнений первого порядка 204 § 3. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 212 § 4. Простейшее линейное неоднородное уравнение второго порядка 217 § 5. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 224 § 6. Устойчивые и неустойчивые решения 230 Ответы и решения ." . . 235 Глава VIII. Дальнейшие сведения о дифференциальных уравнениях 237 § Ь Особые точки 237 § 2. Системы дифференциальных уравнений 239 § 3. Определители и решение линейных систем с постоянными коэффи- коэффициентами 242 § 4. Устойчивость по Ляпунову состояния равновесия 247 § 5. Построение приближенных формул для решения 250 § 6. Адиабатическое изменение решения 258 § 7. Численное решение дифференциальных уравнений 261 § 8. Краевые задачи 269 § 9. Пограничный слой 275 § 10. Подобие явлений 276 Ответы и решения 280 Глава IX. Векторы 282 § 1. Линейные действия над векторами 283 § 2. Скалярное произведение векторов 287 § 3. Производная от вектора 289 § 4. Движение материальной точки 291 § 5. Понятие о тензорах 295 § 6. Многомерное векторное пространство . 300 Ответы и решения 303 Глава X. Теория поля 306 § 1. Введение 306 § 2. Скалярное поле и градиент 307 § 3. Потенциальная энергия и сила 311 § 4. Поле скорости и поток 316 § 5. Электростатическое поле, его потенциал и поток 320 § 6. Примеры 323 § 7. Общее векторное поле и его дивергенция 332 § 8. Дивергенция поля скорости и уравнение неразрывности ..... 336
оглавление 5 . . ■ § 9. Дивергенция электрического поля и уравнение Пуассона , . . . 339 § 10. Вектор площадки и давление 342 . Ответы и решения 346 .Глава XI. Векторное произведение и вращение 349 ' } 1, Векторное произведение векторов 349 § 2. Некоторые приложения к механике 353 § 3. Движение в поле центральных сил ■ . . . 356 § 4. Вращение твердого тела 363 - ' § 5. Симметрические и антисимметрические тензоры 366 § 6. Истинные векторы и псевдовекторы .371 § 7. Ротор векторного поля 373 § 8. Оператор Гамильтона «набла» ..-..■..-....•. 379 - § 9. Потенциальные поля 382 § 10. Ротор поля скорости 386 § 11. Магнитное поле и электрический ток 388 § 12. Электромагнитное поле и уравнения Максвелла 392 ' | 13. Потенциал в многосвязной области 396 Ответы и решения 398 Глава XII. Вариационное исчисление 402 £ 1. Пример перехода от конечного числа степеней свободы к беско- нечному 402 § 2. Функционал 408 § 3. Необходимое условие экстремума 411 >. § 4. Уравнение Эйлера 414 § 5, Всегда ли существует решение поставленной задачи? 419 § 6. Варианты основной задачи 423 §; 7. Условный экстремум для конечного числа степеней свободы . . . 425 8. Условный экстремум в вариационном исчислении 428 9. Задачи на экстремум с ограничениями ....'." 436 10. Вариационные принципы. Принцип Ферма в оптике 438 11. Принцип наименьшего действия 445 § 12. Прямые методы ' 449 Ответы и решения 453 .Лава XIII. Теория вероятностей 459 !-■ § 1. Постановка вопроса 459 •- § 2. Умножение вероятностей 462 * ^ . . § 3. Анализ результатов многих испытаний 467 , ' ': § 4. Энтропия 478 ;Ш'! ; ■ § 5. Радиоактивный распад. Формула Пуассона 483 § 6. Другой вывод распределения Пуассона 487 , е . § 7. Непрерывно распределенные величины 488 'А Z, § 8. Случай весьма большого числа испытаний 493 § 9. Корреляционная зависимость 500 х- '■; "' §10. О распределении простых чисел 505 1 Ответы и решения 511 ' 'Глава XIV. Преобразование Фурье , 516 ?; § I. Введение 516 а "' § 2. Формулы преобразования Фурье 520 , :, • § 3. Причинность и дисперсионные соотношения 527 , ,.£. § 4. Свойства преобразования Фурье 531 § 5. Преобразование колокола и принцип неопределенности 539 § 6. Спектральный анализ периодической функции 544
6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 7. Пространство Гильберта 548 § 8. Модуль и фаза спектральной плотности ' ' 553 Ответы и решения 556 Глава XV. Электронные цифровые вычислительные машины 559 § 1. Моделирующие вычислительные машины 560 § 2. Цифровые вычислительные машины ' 561 § 3. Запись чисел и команд в ЭЦВМ 563 § 4. Программирование ! ! ! 568 § 5. Пользуйтесь ЭЦВМ! [ 574 Ответы и решения 581 Предметный указатель 584
ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга является не систематическим учебником, а скорее, книгой для чтения. На простых примерах, взятых из физики, на различных математических задачах мы старались ввести читателя в круг идей и методов, широко распространенных сейчас в прило- приложениях 1чатематики к физике, технике и некоторым другим областям. Некоторые из этих идей и методов (такие, как применение дельта- функции, принципа суперпозиции, получение асимптотических выра- выражений и т. д.) еще недостаточно освещаются в распространенных математических учебниках для нематематиков, так что здесь наша книга может служить дополнением к этим учебникам. Нашей целью было пояснить основные идеи математических методов и общие закономерности рассматриваемых явлений. Напротив, формальные доказательства, рассмотрение исключений и усложняющих факторов по возможности опущены. Взамен этого мы в некоторых местах старались входить более подробно в физическую картину рассма- рассматриваемых процессов. Предполагается, что читатель владеет основами дифференциаль- дифференциального и интегрального исчисления для функций одной переменной, включая разложение таких функций в степенные ряды, и может применять эти разделы математики к решению физических задач. Достаточно (но не необходимо!), например, знакомство с книгой Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих и ее приложе- приложения к физике», на которую мы будем иногда ссылаться, обозначая ее буквами ВМ (имеется в виду издание 5, «Наука», 1970). Более того, настоящая книга в какой-то степени может рассматриваться как продолжение ВМ. В немногих местах изложение близко книге А. Д. Мышкиса «Лекции по высшей математике», издание 3 («Наука», 1969). Тем не менее настоящая книга является совершенно само- самостоятельной, поскольку от читателя никаких специальных познаний, помимо только что указанных, не потребуется. Содержание книги ясно из прилагаемого оглавления. Ее не обязательно читать подряд: читатель может знакомиться с интере- интересующими его разделами независимо от других разделов и только в явно указываемых случаях из этих других разделов потребуются отдельные сведения. Поэтому для удобства в начале отдельных глав и параграфов указываются сведения из предыдущих глав, знакомство
8 ПРЕДИСЛОВИЕ с которыми необходимо. Нумерация параграфов и формул производится в каждой главе самостоятельно, а при ссылках в пределах одной главы ее номер не указывается. Книга может быть полезна студентам — инженерам, физикам и представителям других специальностей (в том числе, заочникам), начиная, примерно, с середины второго семестра 1-го курса в ка- качестве пособия к изучаемому ими курсу математики. Она пригодна и практику, если он захочет подробней ознакомиться с тем или иным разделом математики, который может понадобиться ему в его работе. Несомненно, что разнородный материал трудно читать активно. Целеустремленная проработка обычно подразумевает читателя, перед которым жизнь поставила в данный момент одну определенную за- задачу. Такой читатель склонен пропускать все, что не относится к его задаче. Возникает общий вопрос: целесообразно ли читать подобную книгу «впрок», не будет ли такое чтение поверхностным, не окажутся лн приведенные в ней советы забытыми вскоре после прочтения? В ответ на это авторы могут высказать два аргумента. Во-первых, мы везде старались давать не только практические рецепты, но и те глубокие общие идеи, из которых эти рецепты возникают. Такие идеи обогащают интеллект читателя, развивают его научный кругозор, дают возможность по-иному взглянуть на окружающий мир и потому задерживаются гораздо прочнее. Второй аргумент относится к психологии памяти. Очень часто бывает так, что хотя Вы не можете воспроизвести прочитанное все подряд, в том порядке, в котором материал Вам преподносился, но этот материал не изгладился из памяти! Отдельные его части могут быть воспроизведены Вами при ассоциативном воспоминании, напри- например, когда Вы сталкиваетесь с задачей, требующей того или иного приема. Даже смутное воспоминание о том, где можно найти этот материал, и то часто оказывается полезным*). Говоря грубо, имеются вещи, понятия и связи, которые мы вспоминаем лишь тогда, когда это нам очень нужно. Вспомните, что сказал по аналогичному поводу мо- монах Варлаам: «Я давно не читывал и худо разбираю, а тут уж раз- разберу, как дело до петли доходит». Итак, читайте нашу книгу и изучайте ее. Но даже если нет воз- возможности изучать ее глубоко, читайте, как детектив, и, может быть, она поможет Вам найти решение трудных задач. Пусть судьба хранит Вас от петли, но не от трудностей. Только решая трудные задачи, человек полностью раскрывает свой талант, свои возможности, только в трудных задачах он дает максимальную отдачу. *) Следуя 3. Фрейду, можно было бы сказать, что забытые теоремы на- находятся в подсознании, где-то рядом с подавленными импульсами раннего детства.
ПРЕДИСЛОВИЕ 9 Мы будем благодарны читателям за любые замечания по содер- содержанию и изложению материала книги. Несомненно, что на отдельных местах книги сказались различные навыки ее авторов, один из кото- которых является физиком, а другой — математиком. Порой мы упорно тянули в разные стороны. Теперь сюда приложит свои усилия еще и читатель, так что все эти усилия будут складываться*). Подобный случай был разобран еще в известной басне Крылова, однако мы надеемся, что у нас результаты будут не столь плачевны. Авторы выражают свою признательность К. А. Семендяеву, который прочитал рукопись книги и сделал ряд ценных заме- замечаний. По истечении четырех лет оказалось необходимым новое, третье издание книги. Этот факт авторы рассматривают как одобрение основного замысла — вооружить читателя практически полезными мето- методами и сведениями, предельно упрощая и облегчая формальные определения и доказательства. Вместе с тем, новое издание налагает и новую ответственность. Поэтому книга была подвергнута тщательному пересмотру (з кото- котором большое участие принял редактор А. А. Овчинников) и добав- добавлены важные разделы. В третьем издании значительно переработаны §§ IX.1, IX.2, расширены §§ Х.9, XIV.4, X1V.7, добавлены §§ III.4, VIII.10, XI.3, XI.5, XIV,8 и небольшая гл. XV. При этом были учтены замечания А. Н. Тихонова, которому авторы выражают свою признательность. Наиболее существенным добавлением является глава XV, посвя- посвященная электронным цифровым .машинам. В ней изложены принципы действия машин и программирования наиболее простых задач. Эта глава не должна заменять специальные учебники для программистов, однако она позволяет понять некоторые общие принципы и специ- специфику численных расчетов. В третьей главе подробнее рассмотрено интегрирование быстро- колеблющихся функций. В главе VIII добавлен параграф о подобии явлений, в котором с физической и математической сторон рас- рассматриваются теория размерности, понятие подобия и автомодель- ности. В главах IX и XI более подробно и четко даны определения вектора и тензора, связь этих понятий с линейными преобразова- преобразованиями. Подробно рассмотрены симметрические и антисимметрнческие тензоры; в частности, описано введение псевдовектора, эквивалент- эквивалентного антисимметричному тензору в трехмерном пространстве. Добав- Добавлены физические задачи о движении точки в поле центральных сил и о вращении твердого тела. Эти задачи были и остаются класси- классическими примерами приложения теории обыкновенных дифференци- дифференциальных уравнений к физике. *) Сложение сил по векторному закону изложено в гл. IX.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ В связи с теорией спектрального разложения рассмотрен вопрос о фазг Фурье-компонент; потеря информации при переходах к спек- спектральной плотности стала привычной, полезно напомнить о том, что, кроме квадрата модуля, колебания характеризуются также фазой. В целом мы надеемся, что добавления, не меняя общей устрем- устремленности и доступности изложения, делают книгу более физической и несколько более современной. Мы отдаем себе отчет в том, что название книги не вполне от- отражает ее содержание; может быть, ее следовало бы назвать как-то иначе. Однако для того, чтобы было ясно, что эта книга является новым изданием предыдущей, основа которой осталась прежней, мы были вынуждены название сохранить. В заключение добавим, что в настоящее время авторы заканчи- заканчивают работу над книгой «Среда из невзанлюдействующих частиц», которая непосредственно примыкает к настоящей книге и составля- составляет первую часть курса математической физики,
ГЛАВА I НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Решение физической задачи, полученное в математических тер- терминах, например в виде комбинации различных функций, производ- производных, интегралов и т. п., нужно уметь «довести до числа», которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различ- различных разделах математики выработаны разнообразные численные ме- методы. В элементарной математике рассматриваются, как правило, лишь методы точного решения поставленных задач — решения урав- уравнений, геометрических построений и т. п. Это является ее слабой стороной, так как такое решение возможно в очень редких случаях (что приводит к резкому сокращению круга рассматриваемых задач), а если и возможно, то часто получается чрезвычайно громоздким. Даже такой сравнительно простой вопрос, как решение об./.их (с произвольными коэффициентами) алгебраических уравнений л-й сте- степени, оказался в рамках элементарной математики при л > 2 непо- непомерно сложным и громоздким, а при л>4 и вовсе неразрешимым. И только систематическое применение методов приближенных вычи- вычислений на основе аппарата высшей математики дало возможность доводить до конца, и притом единообразным способом, решение широкого класса важных для приложений математических задач. Более того, развитие численных методов высшей математики и внед- внедрение современной вычислительной техники привели к тому, что если какая-либо задача достаточно четко сформулирована математически, то (за исключением уж особо сложных случаев) она обязательно будет решена с достаточной для практики точностью. Таким обра- образом, высшая математика дает не только идеи, лежащие в основе анализа физических явлений, но и численные методы, позволяющие довести решение конкретных задач физики и техники до конца. Некоторые из этих методов указываются и в начальном курсе дифференциального и интегрального исчислений: например, простей- простейшие методы вычисления производных и интегралов, вычисление зна- значений функции с помощью рядов и т. п. В этой и в последующих главах (в частности, гл. 11, HI, VI11) мы остановимся на таких ме- методах более подробно. Они не связаны непосредственно один с дру- другим и потому с ними можно знакомиться независимо.
12 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 1 § 1. Численное интегрирование Когда та или иная практическая задача сведена к вычислению определенного интеграла, то можно сказать, что самая трудная часть дела уже позади. Если подынтегральная функция f{x) такова, что можно выразить неопределенный интеграл F{x) при помощи конеч- конечного числа элементарных функций, то величину определенного ин- интеграла принципиально получить нетрудно, пользуясь формулой ь \f{x)dx = F(b)—F(a). При этом придется выполнять ряд арифме- а тических действий для того, чтобы найти значения величин F(b) и F(a). На практике, однако, это может привести к существенным затруднениям, так как для неопределенного интеграла F(x) может получиться очень сложная формула. Указанный способ может оказаться и вовсе непригодным, если (а это случается нередко) не удается получить формулу для неоп- неопределенного интеграла. Иногда рассматриваемый интеграл выражается через неэлементар- неэлементарные, но хорошо изученные функции, для которых составлены под- подробные таблицы (см., в частности, книгу: Е. Янке, Ф. Эмде и Ф. Лет, Специальные функции, «Наука», 1968). К таким функциям относятся, например, \e-x*dx, С — их, C^dx, \e-^dx, Csin^d*, Ccos^dx и т. д. Эти интегралы, не выражающиеся через элементарные функ- функции, даже имеют специальные наименования: интеграл ошибок (см. гл. XIII), интегральный синус и т. д. В других случаях интеграл удается вычислить, разлагая подын- подынтегральную функцию в ряды того или иного вида. Например, для интеграла i , С =) о i sin х о соответствующий неопределенный интеграл не выражается через эле- элементарные функции. Тем не менее, воспользовавшись рядом Тейлора для синуса получаем i С I x2 x*
§ 1] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 13 Вычисляя последовательно члены полученного ряда, мы останавли- останавливаемся, когда достигаем выбранной разумной степени точности. На- Например, при вычислении с точностью до 0,001 достаточно ограни- ограничиться тремя первыми членами ряда, что даст значение /=0,946. Некоторые определенные интегралы удается подсчитать точно с помощью методов теории функций комплексного переменного. Так, например, в § V.9 мы покажем, что 0) Уо х, Рис. 1. Ь-х„ хотя соответствующий неопределенный интеграл не выражается через элементар- элементарные функции. Если и эти методы непригодны, то величину определенного интеграла можно подсчитать численно с помощью формул численного интегрирования, к которым мы сейчас переходим. Простой и вместе с тем хороший способ (который был уже осве- освещен в ВМ, § I. 7) состоит в следующем: промежуток интегрирова- интегрирования разбиваем на несколько малых равных частей. Интеграл по каж- каждому малому промежутку приближенно считаем равным произведению длины промежутка на среднее ариф- jj_ метическое значений подынтеграль- ; J J ' ' ' *~~aL^i н°й Функции в начале и в конце 123 ' промежутка. Этот способ называет- рис 2. ся способом, трапеций, потому что получается такой результат, как если бы в каждом малом промежутке дуга графика у=/{х) заменя- заменялась на ее хорду, а площадь под этой дугой (величина интеграла) заменялась площадью получающейся трапеции с вертикальными осно- основаниями (рис, 1). Соответствующая формула имеет вид (проверьте!) B) где для краткости обозначено f(Xi)=y{. Еще более эффективную формулу можно получить, если кривую y=f(x) на малом интервале заменить параболой, т. е. графиком квадратичной зависимости. Разобьем промежуток интегрирования от х — а до х = Ь на четное число 2/и равных промежутков. Границы промежутков пусть будут хо — а, хг, хг, . . ., хгт = Ь (рис. 2). Длину одного промежутка обозначим через А, так что х1 = х0-\-h, хг = h hк
14 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 1 Рассмотрим \ \ f(x)dx, т. е. вклад в исходный интеграл от первых двух промежутков. Кри« вую_у=/(*) на промежутке от х = хй до х = х2 заменим параболой, проходящей через точки (х0; у0), (х±; у,), (х2; у2); и площадь под кривой приближенно заменим площадью под параболой. Уравнение параболы имеет вид у = тх'2 -\-nx-\-l. Коэффициенты т, п, I опре- определяются из условия, что парабола проходит через три данные точки: У о = тх1 + пхо +1> у1 = тх\-^пх1-^1, уг = тх\-\- пх2-\-1. Однако это приводит к довольно длинным выкладкам. Проще поступить так. Будем искать уравнение параболы в виде у = А (х-хв) (x—xJ + B (x—xB) (x-x2) + C(x—Xl) {x—xt). C) Ясно, что справа в C) стоит многочлен второй степени, так что C) действительно есть .уравнение параболы. Положим в C) л; = л;0, по- получим _уо = С(*<) — ^iH-^o — хг)> или _у0 = С2Л2; полагая в C) х = хх — = xo-\-h, получим _yl=- — Bh2; наконец, полагая в C) л; = л;2 = xB-\-2h, получим y2—2Ah2. Отсюда Площадь под параболой есть + C{x — xl) (x—x2)] dx = A~ hs — B i A»-|- C-| A». (При выполнении интегрирования удобно сделать замену переменной х — xl = s; при этом надо учесть, что хв~х1 — h, x2 = x1 -f-A.) По- Поэтому х2 /(.V) dx « A j hs—В 1 hs + С | h\ л-'о *) Отметим, что совершенно аналогично решается следующая задача: найти многочлен степени л, принимающий заданные значения для л + 1 значений х. Эта интерполяционная задача встречается при подборе эмпирических формул (см. § II. 4), при действиях с функциями, заданными таблично, и т. д.
§ 1] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 15 Пользуясь D), находим Г h E) *4 Xim Таким же способом можно подсчитать \jf{x)dx, ..., ^ f(x)dx. т г Для интеграла по всему промежутку от х = а до л: = 6 получим ь откуда ь ,-i)]. F) где h = ——. Эта формула называется формулой Симпсона. Если переписать формулу E) в виде 1 "°\ flx\dx~ 2 v I Уо + Уг то получим, что формула Симпсона основана на приближенной за- замене среднего значения у функции у (х) на промежутке от хв до ха-\- 1h на j^l^ + fe. G) Формула трапеций дала бы (проверьте!) (8) Для проверки вида формул можно положить у (х) = k = const, откуда и_у = &; тогда обе формулы становятся точными. Из вывода фор- формул следует, что обе формулы G) и (8) являются точными для линейных функций (вида у—рх-]-п), а формула G) — также и для квадратичных функций (вида у =рхг-{- пх-\-1). Интересно отметить, что формула G) на самом деле является точной и для кубических функций (у=рхя~\- + * l k При разбиении промежутка на то же самое число частей фор- формула Симпсона, как правило, значительно точнее формулы трапеций.
16 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 1 Рассмотрим примеры. 1 1. Найтн/^J^. о Разобьем промежуток интегрирования на две части и подсчитаем интеграл по формуле трапеций и по формуле Симпсона. Находим необходимые значения подынтегральной функции л: 0 0,5 1 у 1 0,6667 0,5 Формула трапеций дает H^ +0,6667) = 0,7083. Формула Симпсона дает J_ 6 /=1A+4. 0,6667 +Ю,5) = 0,6944. Так как /=1пA = 1п 2 = 0,6931 (с точностью до четырех о знаков), то формула Симпсона дала ошибку примерно 0,2%, а фор- формула трапеций 2%. 1 2. Найти /= С ln1(V^2X) dx. (Заметим, что С *"* V^-Я dx не берется о в элементарных функциях.) Разбиваем промежуток так же, как и в примере 1, и находим необходимые значения подынтегральной функции х 0 0,5 1 у 0 0,324 0,346 По формуле трапеций получаем /=—■(— |-0,324 ) = 0,248. По формуле Симпсона / = -f @,324-4 + 0,346) = 0,274. Точное значение (с тремя верными знаками) этого интеграла есть 0,272. Поэтому ошибка при подсчете по формуле трапеций составила около 10%, а по формуле Симпсона менее 1%. Преимущество формулы Симпсона особенно сказывается при уве- увеличении числа п интервалов разбиения. Можно показать, что при этом ошибка формулы трапеций убывает обратно пропорционально л2, а ошибка формулы Симпсона — обратно пропорционально л4 (в том случае, если производная третьего порядка от интегрируемой функ- функции остается на интервале интегрирования конечной).
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕГРАЛОВ 17 Приведенные примеры показывают, насколько быстро и просто численные методы позволяют находить интегралы. Часто даже в тех случаях, когда для интеграла можно получить точную формулу, его быстрее и легче найти численным интегрированием. После смерти великого итальянского физика Энрйко Ферми, по- построившего первый урановый котел, были опубликованы странички, из его рабочей тетради. По ходу расчетов надо было вычислить интеграл. Ферми предпочел найти его численно, хотя интеграл можно было выразить через логарифмы и арктангенс. Упражнения 1. Найдите величины следующих интегралов по формуле Симпсона и по фор- формуле трапеций, разбивая промежуток интегрирования на 4 части: 3 2 я С dx (* 2 (* sin х , а) \ -— , б) \ е~х dx, в) \ ——- ах- 1 О О Вычисления ведите в пределах точности логарифмической линейки. Значения показательной функции можно взять, например, из справочника по математике И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева *). 3 (* х dx 2. Найдите \ х , . по формуле Симпсона, разбивая промежуток интегриро- о вания на 4 части. Вычисления ведите с четырьмя знаками после запятой. Для контроля найдите величину этого же интеграла, разбивая промежуток интегри^ рования на 6 частей. 3. Проверьте непосредственно, что формула (8) является точной для много- многочленов первой степени, а формула G)—для многочленов второй степени. Указание. Проверьте сначала точность этих формул для функции у = х, а формулы G) —для функции у = хг. § 2. Вычисление сумм при помощи интегралов Рассмотрим суммы нескольких чисел, образованные по опреде- определенному закону, например, или S9e = V~5 + V'6 + /7 + ... + /99 + /Тбб, или Сумму обозначаем буквой S. Индекс, стоящий внизу у этой буквы, указывает на число членов в сумме. Каждую такую сумму можно *) И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, Справочник по матема- математике, «Наука», 1964.
18 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 1 записать более компактно, если удастся установить связь между величиной отдельного слагаемого в сумме и его номером. Так в пер- первой сумме слагаемое а„ просто равно номеру я, который меняется от 1 до 6, а потому первая сумма равна 6 б -s.= 2*» = 2 п. Иногда бывает удобнее, чтобы номер начинался от нулевого; тогда надо обозначить п — \=т, т. е. л = /»+1, что даст 5 = 2 0 впрочем, здесь вместо т можно вновь писать п или любую другую букву, так как индекс суммирования является «немым», т. е. вели- величина суммы не зависит от его обозначения. (В этом индекс сумми- суммирования аналогичен переменной интегрирования в определенном ин- интеграле; ср. ВМ, § 1,8). Обратите внимание на то, что в последней сумме индекс меняется от 0 до 5, а число слагаемых в соответствии' с этим равно шести. Подобным образом, вторую из выписанных сумм можно записать так: юо _ Soe=2/P- р=5 Однако лучше, чтобы индекс менялся от 1 или от 0; для этого надо обозначить р — 4 = т или р — 5 = я, что даст 96 95 S96 = 2 Vm+4= 2 V tn= 1 п=0 Третья сумма имеет вид 20 = 2-1 +0-, Ill' Мы видим, что ее можно рассматривать как сумму значений функ- функции f (х) = — , когда х принимает значения от х = 1 до х= 3 через 0,1 (этот подход полезен для дальнейшего). И в других случаях часто бывает удобно рассматривать заданную сумму как сумму значений некоторой функции f(x) для х, меняющегося от некоторого х = а до х = Ь с постоянным интервалом Дл: = й. Выписанные суммы не так трудно вычислить, однако, если сумма состоит из большого числа членов, то ее вычисление становится утомительным. К тому же часто приходится сравнивать суммы, со- составленные по одному и тому же закону, но с разным числом чле-
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕГРАЛОВ W нов. В этом случае желательно знать не только величину суммы при некотором конкретном числе ее членов, но и зависимость вели- величины суммы от числа ее членов. Во многих случаях можно приближенно находить суммы при по- помощи интегралов. Вспомним, что изучение определенных интегралов начинают с приближенного представления интеграла в виде суммы конечного числа членов. Затем устанавливают, что точное интегрирование мно- многих функций с помощью неопределенных интегралов не представляет затруднений. Воспользуемся этим для вычисления сумм. Запишем формулу трапеций, дающую приближенное выражение интеграла в виде суммы. Если промежуток интегрирования от х=а до х = Ь разбит на п равных промежутков длиной = h каждый, то /(х) dx « h■ [1 /(а) + /(а + h) + + (л_1)А)+/(а + л где a-}-nh = b. Из этой формулы мы получаем следующее выражение для суммы: <9> Отбрасывая в правой части (9) слагаемое -п"/(#)+ -=-/(&), что оправдано, если ь ~ [ fiv\ rff^l f ln\ J 2 1/F), a т. е. если число членов суммы велико и функция f(x) меняется не слишком быстро, мы получим более грубую формулу: ь f(a) +/(fl + h) +/(а + 2A) + ... +/(&) « 1 J/(*) dx A0) a Если величина Л мала, то можно воспользоваться приближенными формулами 1 a b+—h 1 „ , 1 а - -тг ''
20 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 1 Тогда из (9) получаем ■4-* f{x)dx+~ ИЛН ь+т a~'2 f(x)dx. A!) При выводе формул A0) и A1) мы исходили из формулы (9), а она получена из формулы трапеций, которая является приближенной. Поэтому хотя (9) и A1) точнее формулы A0), они, однако, тоже приближенные, а не точные формулы. При уменьшении величины h и соответствующем увеличении числа членов суммы точность формул возрастает. Применим полученные формулы к вычислению сумм, приведенных в начале параграфа. Для суммы Se = 21, f(x) = x, A=l. По формуле A0) получаем 6 С J xdx =4- л;2!6 = 17,5. J Ошибка составляет 17%. По формуле (9) находим l Наконец, по формуле A1) находим 6.5 0,5 При применении формул (9) и A1) мы получили абсолютно точный результат. Это связано с тем, что в рассматриваемом примере функция f(x) линейная (см. упражнение 3). Для следующей суммы 58в = |/ 5 -f Y 6 + ... + 1^100 получаем, учитывая, что f(x) = \^x, h=\, по формуле A0) 100 2 ... ~ = -| A000 — 5 У) = 659,2.
К 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕГРАЛОВ 21 По формуле (9) находим Su ж 665,3 и по формуле A1) находим SM «665,3. Значение суммы See, вычисленное непосредственно (с точностью до четырех значащих цифр), есть также 665,3. Для последней суммы f(x) = — , h =0,1. Поэтому по формуле A0) получаем По формуле (9) находим S21« 11,66 и по формуле A1) получаем SiXM 11,51. Значение суммы, вычисленное непосредственно, есть Sai= 11,66 (с точностью до двух знаков после запятой). В приведенных примерах формулы (9) и (!!) дают вполне удов- удовлетворительную точность, так что ими и следует пользоваться на практике. Грубая формула A0) может быть полезной для формули- формулировки закона возрастания суммы при неограниченном увеличении числа ее членов. Однако при всех численных расчетах с определен- определенным числом членов суммы надо пользоваться формулой A1), кото- которая не сложнее A0), но значительно точнее*). Во всех рассмотренных нами примерах отдельные слагаемые, входящие в состав суммы, имели одинаковые знаки. Если слагаемые имеют разные знаки, то для вычисления суммы при помощи интеграла надо было бы рассматривать интеграл от функции, меняющей знак несколько раз на промежутке интегрирова- интегрирования. Для таких интегралов формула трапеций дает очень плохие резуль- результаты, Поэтому полученные нами формулы годятся только для сумм, в которых все слагаемые имеют один знак, и неприменимы к сум- суммам, у которых отдельные слагаемые имеют разные знаки. В част- частности, полученные формулы неприменимы к суммам, в которых сла- слагаемые меняют знак через один. Суммы такого рода называются знакочередующимися. Примером знакочередующейся суммы может служить 4 5 + 6 7~+~8 9+10 11 * Как же находить такие суммы? Если члены знакочередующейся суммы убывают (или возрастают) по абсолютной величине, так что абсолютная величина каждого последующего члена меньше (или больше) абсолютной величины пре- предыдущего члена, то можно применить следующий прием. *) Применение формулы A0) связано с очевидной систематической ошибкой, получающейся из-за отбрасывания двух слагаемых при выводе этой формулы. Если все слагаемые одинаковые, т. е. j (х) = А = const, a F—о)//г--=л, то рассматриваемая сумма равна (п + l) А, тогда как формула A0) дает только л А (а формула A1) дает в этом случае точное значение).
22 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. I Объединим попарно соседние положительные и отрицательные члены. После этого задача сводится к вычислению суммы, у кото- которой знаки всех членов одинаковы. Так, например, £ _ 1_±4-±_±4-±—L+ '-l 0)8 ~Т 5 + 6 7 """ 8 * 9 +Т0 11 10 11 у 4-5 ' 6-7 ' 8-9 ' 10-11 ' Будем считать, что исходная знакочередующаяся сумма состоит из четного числа членов. Тогда если она начинается с положитель- положительного члена, то кончается отрицательным. Такую сумму можно за- записать в виде Sn+i = /(«)-/(« + h)+f(a + 2h)— f(a + 3h) + ...—/(&), A2) где положено b=a-\-nh. Разность между двумя соседними членами этой суммы можно записать так: -j\ h Это равенство приближенное, однако оно тем точнее, чем меньше Л*). Сумма A2) принимает вид /■/ / I la \ I J ■£? { hi I /1 Ч\ Применим к правой части формулу A1). Заметим, что в формуле A1) h представляет собой разность между соседними значениями неза- независимой переменной. В формуле A3) эта разность равна a-\-(k + ут) А — — а-\- Ik—^ ) А = 2А. Поэтому, применяя формулу A1), мы должны *) Если обозначать a-\-kh = x и поменять знаки, то последнее равенство можно переписать в виде f(x-{-h)— f (*)» hf [ х-\--к )• Легко оценить его ф Тй точность: в самом деле, по формуле Тейлора )-f(x) = f' Таким образом, разложения различаются, лишь начиная с членов третьего порядка малости в сравнении с /г.
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕГРАЛОВ 23 вместо h взять 2/г; тогда получаем b-\+h ~h-k f f'(x)dx=—\f(x) e+4-й м«-4)-> 2 Применим эту формулу для вычисления суммы 8 4 5 + 6 7 + 8 9+10 11* Здесь = !, e = 4, ft=ll, A=l, поэтому находим Непосредственное суммирование дает ^8 = 0,0968 (ошибка менее 8%). Если знакочередующаяся сумма имеет нечетное число членов, то, начинаясь с члена /(а), она кончается членом f(b) того же знака, что и /{а). В этом случае мы сперва по формуле A4) найдем сумму без последнего члена f(b), а затем добавим этот член: $„,=/(<>)—/(» + *)+/<а+2*)—...+/(»)» Если h малб, то для вычисления fib+-~\ можно ограничиться двумя первыми членами ряда Тейлора: Полагая здесь х=Ь—-j , найдем fib — -^\cvf(b) — т? f (b), &no- лагая л;= Ь-\--^ , найдем /( Ь-\- -^ ) »/(&) -\--к f (b). Поэтому
24 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. I Окончательно сумма для случая нечетного числа членов равна Эта формула не менее точна, чем A4), с помощью которой она по- получена. Рассмотрим примрр: ~ _^ L , 1 Lj__! L j-1_1j- l 9~4 5 + 6 7 + 8 9+10 11+12" По формуле A5) получаем S9 да -д- ( ^-г+пг^ ) — 0,1829, непосред- ствемное суммирование дает ^9 = 0,1801. Ошибка составляет при- примерно 1,5%. Отметим, что величина знакочередующейся суммы, как это видно из формул A4) и A5), имеет тот же порядок, что и отдельные слагаемые. Поэтому добавление одного члена сущест- существенно меняет эту величину. Так, в рассмотренном примере S, почти в два раза больше, чем S3. Отметим существенное различие между знакочередующейся суммой и суммой с членами одного знака. Будем увеличивать число членов суммы так, что первый и последний члены не изменяются и не ме- меняется закон образования суммы. Для этого будем уменьшать раз- различие между соседними членами суммы, т. е. уменьшать величину h. Таким способом можно из суммы l+V + 'T полУчить суммы 1-f- 1,11 1 111!1! I1 + Т7Г + ГД + Пз+---+Т' или 1 + f7oT + TTo2i~--- + 3' Если все члены суммы имеют одинаковый знак, то величина суммы приблизительно пропорциональна числу членов. Это видно, например, из формулы A0). Действительно, перед интегралом в правой части A0) стоит множитель -г, а величина h обратно пропорциональна числу членов суммы. Поэтому в описанном процессе величина суммы неограниченно возрастает имеете с ростом числа членов суммы. В случае знакочередующейся суммы с четным числом слагаемых ее величина при описанном увеличении числа членов приближается к определенному числу, не зависящему от количества членов суммы, а именно, к J^^b\ A6) Это легко усмотреть из формулы A4), так как* при большом числе члено» h будет близко к нулю и потому /(а—у) да/(а), ). Аналогично при нечетном числе слагаемых из
§ 3] ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 25 формулы A5) в пределе получаем другое значение, а именно: S-lto+'M. A7) Заметим, что при малом числе слагаемых, т. е. когда величина h велика, упрощенные формулы A6) и A7) гораздо хуже формул A4) и A5). Рассмотрим пример. Пусть S=\—2 + 3 — 4 =—2. По упро- щенной формуле A6) получаем Sж—-^ (ошибка 25%), а формула A4) дает т. е. точный результат. Выражения для сумм, которые были получены нами, являются приближенными, причем их точность увеличивается, когда соседние члены в сумме становятся более близкими друг к другу, т. е. когда уменьшается величина h. Упражнения 1. Найдите сумму 1 -f- r/^-f- f/'3-{-... -f- \/n, пользуясь формулой (II). Сравните с величинами, найденными непосредственным суммированием для п = 3; 4) 5. 2. Найдите величину суммы 3/3 0 /20' 3. Докажите, что формулы (9) и A1) абсолютно точны, если f (х) — линей- линейная функция; при этом члены суммы образуют арифметическую прогрессию. § 3. Численное решение уравнений В практических вычислениях довольно часто приходится сталки- сталкиваться с численным решением уравнений вида A8) где /—заданная функция. Такие уравнения могут быть алгебраиче- алгебраическими или трансцендентными (т. е. неалгебраическими, например тригонометрическими и т. п.); как те, так и другие иногда называ- называются конечными в отличие, например, от дифференциальных уравнений. Сейчас имеется большое число методов решения различных классов уравнений вида A8). Мы рассмотрим лишь три наиболее универсаль- универсальных метода, широко применяемых и в других отделах математики. Обычно начинают с нахождения грубого, совсем приближенного решения, так называемого нулевого приближения. Если решается физическая задача, то это грубое решение может быть известно из
26 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. I физического смысла задачи. Можно набросать график функции /(х) и получить грубое решение, наметив точку пересечения этого гра- графика с осью х. Допустим, что такое грубое решение х0 нам известно. Обозначим тогда точное решение, нам пока неизвестное, через х= xu-\-h. Поль- Пользуясь формулой Тейлора, получим Л I fly I U\ fty \ I f {у \ _1 / 1 Q\ Но левая часть должна равняться нулю; отбрасывая многоточие, т. е. члены высшего порядка малости, получаем т. е. X /■**/ An " /(*о) Если обозначить правую часть через хг, т. е. B0) то мы получаем «первое приближение» (таким образом, индекс равен номеру приближения). С ним можно проделать то же самое; это даст «второе приближение» '!!'№ и т. д. Так как отбрасывание членов высшего порядка в формуле A9) равносильно замене графика функции f(x) на касательную к нему при jc = jc0, то геометрический смысл рассматриваемого метода состоит в последовательном построении каса- касательных к графику и нахождении точек пересечения этих касательных с осью х (см. рис. 3). Очевидно, что последовательные приближения бы- быстро сходятся к искомому решению, если только нулевое приближение не лежало от него слишком далеко. Этот метод называется методом Ньютона (или методом касательных рис з. в соответствии с его геометрическим смыслом). Удобство этого метода состоит в том, что при его применении приходится только вычис- вычислять значения функции f{x) и ее производной и производить ариф-
§ 3] ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 27 метические действия, что для функции, заданной формулой, не вызывает существенных затруднений. Рассмотрим пример. Пусть надо решить уравнение X3_3*_i=o. B1) Так как левая часть равна —3 при х—\ и равна 1 при х=2, то между х=\ и х = 2 имеется корень уравнения, причем естественно, что этот корень ближе к 2, чем к 1. Поэтому примем хо = 2. Тогда формула B0) даст fe£iY =1,889. Аналогично получаем, вычисляя с тремя знаками после запятой, л:2= 1,879, х3 = 1,879. Таким образом, с данной точностью решение л;= 1,879. Интересно отметить, что в этом примере можно было написать и точное решение уравнения. Уже в XVI веке итальянский матема- математик Кардано опубликовал формулу для решения кубического урав- уравнения которая имеет вид -1 / q М = ]/ —Т+ Т+27 + У -^~У Т + 27- Однако если в эту формулу подставить значения коэффициентов уравнения B1), то мы обнаружим, что под знаком кубических корней стоят мнимые числа 0,5 ± /\' 0,75 и лишь сумма этих корней веще- вещественна. Таким образом, надо еще извлекать корни из мнимых чисел (ср. § V.4), т. е. даже для приведенного простого примера метод Ньютона оказывается гораздо проще применения «точной» формулы. Что же тогда говорить об уравнениях четвертой степени, где точная формула настолько громоздка, что ее не выписывают даже в спра- справочниках! Или об уравнениях выше четвертой степени, а также о подавляющем большинстве трансцендентных уравнений, где «точной» формулы совсем не существует! Для таких уравнений преимущество численных методов особенно очевидно. Метод Ньютона принадлежит к числу итерационных методов (иначе говоря, методов последовательных приближений), в которых некоторый единообразный процесс последовательно повторяется («ите- («итерируется», от латинского «мтерацио» — повторение), в результате *) Общее уравнение третьей степени ауъ-\-by2-\- су-{- d = 0 приводится к та- такому виду с помощью подстановки (/ = *—^-.
28 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. I чего получаются все более точные приближенные решения. В общем виде в применении к уравнению A8) метод итераций выглядит так: уравнение переписывается в равносильной форме Затем выбирается некоторое значение х = х0 в качестве нулевого приближения; последующие приближения вычисляются по формулам х1 = <р(х„), xi = (f(xl), ..., вообще, *„ + 1 = Ф (■*„)• B3) При этом может быть два случая: 1) процесс может сходиться, т. е. последовательные приближения стремятся к некоторому конечному пределу х; в этом случае, пере- переходя в формуле B3) к пределу при п—>оо, видим, что х = х является решением уравнения B2); 2) процесс может расходиться, т. е. конечного предела постро- построенных «приближений» существовать не будет; из этого не следует, что и решения уравнения B2) не существует, просто могло оказаться, что процесс итераций выбран неудачно. Поясним сказанное на простом примере уравнения, которое можно решить без всякой «науки», *=4+1 B4) с очевидным решением х — 2. Если положить хо = О и вычислять с точностью до 0,001, то получим .^=1; лга= 1,5; дг3=1,75; л;, = 1,875; д:5= 1,938; хе= 1,969; jc,= 1,984; xs= 1,992; я, = 1,996; л;10= 1,998; .vu= 1,999; д:12 = 2,000; x~ = 2,000, т. е. процесс практически сошелся. Предел можно найти быстрее, если заметить, что в данном случае разности между последователь- последовательными приближениями образуют геометрическую прогрессию с первым членом а = лг1—х0 и знаменателем ^ = -5 -. Поэтому сумма всей прогрессии, т. е. х—х0, равна а Х[—Xq \Х i -^о) 1 — q . хг—x-i откуда «1—*о—*а В более сложных примерах последовательные разности лишь напо- напоминают геометрическую прогрессию; в этих примерах формула B5)
§ 3] • ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 29 не дает точного решения, но дает возможность «перескочить» через несколько приближений и получить приближенное значение решения, от которого можно вновь начать итерации. (Это метод Эйткена.) Если уравнение B4) разрешить относительно х, стоящего в пра- правой части, т. е. переписать в равносильной форме х = 2х — 2 B6) и начать с ХО = О, то мы получим последовательно хг=—2; л:2=—6; х3 = —14 и т. д., т. е. процесс сходиться не будет. Это можно было предвидеть, заметив, что из B3) вытекает равенство *н+1— *«= Ф (*,<)— Ф (*n-l). т. е. Стало быть, если значения функции ф (х) меняются медленнее, чем значения ее аргумента, то расстояния между последовательиыми приближениями будут все меньше и меньше, а если значения функ- функции ф(лг) меняются быстрее, чем значения ее аргумента, то расстоя- расстояния между последовательными приближениями будут все больше и больше, и процесс разойдется. Так как скорость изменения значений <р (х) по отношению к х равна ф' (х), то мы получаем, что если |q>'(*)|<fc< 1, B7) то процесс итераций сходится и притом тем быстрее, чем меньше k; если же то процесс расходится. Эти неравенства должны выполняться для всех х либо, во всяком случае, вблизи искомого корня х уравне- уравнения B2). Мы видим, что уравнения B4) и B6) полностью равносильны, но порождают различные итерационные процессы. (Чтобы пояснить эту разницу, нет надобности даже переписывать уравнение B4) в виде B6); достаточно заметить, что для получения последующего приближения надо подставлять предыдущее приближение по первому способу — в правую часть уравнения B4), а по второму способу — в левую часть того же уравнения.) И в других случаях уравнение A8) можно переписать в форме B2) многими способами, каждый из ко- которых порождает свой итерационный метод, причем одни из них могут оказаться быстро сходящимися и потому наиболее удобными, другие — медленно сходящимися, а третьи — даже вовсе расходя- расходящимися.
30 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. I Приведенное выше решение уравнения B1) можно теперь понять так: уравнение переписано в равносильной форме хъ—Ъх—\ ХХ после чего применен метод итераций, начиная с значения хо = 2. В общем виде метод Ньютона для уравнения A8) сводится к тому (см. B0) и далее), что это уравнение переписывается в равносильной форме после чего применяется метод итераций. Эта форма могла бы пока- показаться несколько искусственной: хотя и легко показать равносиль- равносильность уравнений A8) и B8), т. е. из A8) вывести B8) я- обратно, но не сразу видно, чем помогает знаменатель /' (лг). Однако легко проверить, что производная от правой части, т. е. /У = 1 ff'-ft'^ff Г ) ■ г- Г ' обращается в нуль при х = х, где х—решение уравнения A8). Значит (см. рассуждения, связанные с оценкой B7)), чем ближе последовательные приближения подходят к х, тем быстрее сходится процесс. Более того, так как при выполнении оценки B7) итерации схо- сходятся не медленнее, чем прогрессия со знаменателем й, то мы получаем, что метод Ньютона сходится быстрее геометрической прогрессии с любым знаменателем!*) Перейдем теперь к описанию метода малого параметра (он же метод возмущений), который," как и метод итераций, представляет собой один из наиболее универсальных методов в прикладной мате- математике. Поясним этот метод на простом примере. Пусть требуется найти решение трансцендентного уравнения г*-1 = 2— х + а B9) *) Скорость этой сходимости легко установить на следующем простом ти- типичном примере. Пусть рассматриваются приближения по способу Ньютона к нулевому корню уравнения х-\-хг = 0. Эти приближения связаны друг с дру- другом соотношением == Хп' 1 + «и 1 г *хп Допустим, что 0 < х0 < 1; тогда мы последовательно получим х0, Х3 < xl < Хо, . . ., Хп Можно показать, что и в общем случае скорость сходимости метода Нью- Ньютона имеет порядок а2" @ < а < 1).
К 3j ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 31 при малых |ос|. Заметим для этого, что при а = 0 можно най- найти простым подбором решение: х=\. Поэтому если решение уравнения B9), зависящее от а, искать разложенным в ряд по сте- степеням а, х = х0 4- аа + Ьо? + сое3 + ..., то, подставляя а=0, получим, что х0 должно равняться 1. Подста- Подставим теперь разложение х=1 + аа + Ьаг + са3 + ... C0) в обе части уравнения B9) и воспользуемся известным разложением показательной функции в ряд Тейлора; это даст (аа-\-Ьа-+ са? + ,. .)а , + ,, i 2! ■ -+ ... =2 — A +aa + ba2 + са3 Раскрыв скобки и удерживая члени до а3, получим \+аа + Ьаг + са3 + ~ а2 + aba3 + ^- а3 + ... = = 1 —аа — Ьа2 — са3— ... 4- а. Приравнивая в обеих частях коэффициенты при одинаковых степе- цях а, получим соотношения а = — а+1, а"- , b откуда последовательно найдем а— 2 , о— 16, с—ig2, .., Подставляя эти значения в C0), получаем искомое решение урав- ния B9) в виде ряда х=^+~2 Тб ~^ТЭ2^~ * * *' хорошо сходящегося при'небольших |а|. В общем случае метод малого параметра применяется следующим образом. Пусть формулировка некоторой задачи, помимо основных неизвестных величин, содержит некоторый параметр а, причем эта задача при а = 0 может быть более или менее легко решена (не- (невозмущенное решение). Тогда решение задачи при а, близких к 0,
32 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 1 во многих случаях можно получить разложенным по степеням а с той или иной степенью точности. При этом первый член разложения, не содержащий а, получается при а = 0, т. е. дает невозмущенное решение. Дальнейшие же члены дают поправки на «возмущение» решения; эти поправки имеют первый, второй и т. д. порядки малости по сравнению с а. Сами члены часто находятся по методу неопре- неопределенных коэффициентов, т. е. коэффициенты при а, а2 и т. д. обозначаются какими-то буквами, которые определяются затем из условий задачи. Метод малого параметра дает хороший результат только при малых |а|; при больших |а| метод может привести к принципиаль- принципиальным ошибкам, так как может получиться, что отбрасываемые (не вы- выписываемые) члены более существенны, чем оставляемые. Таким образом, метод малого параметра дает возможность, исходя из решения некоторых «узловых» задач, получить решение задач, формулировка которых близка к этим «узловым», если, конечно, изменение формулировки не влечет за собой принципиаль- принципиального, качественного изменения решения. Во многих задачах уже вид члена первого порядка малости дает возможность сделать полезные выводы о зависимости решения от параметра при его малом изменении. Метод малого параметра непосредственно связан с методом итераций, что мы продемонстрируем на примере уравнения B9). Прежде всего удобно, чтобы невозмущенное решение было нулевым; это достигается с помощью подстановки х= 1 -\-у, откуда еУ=\—у + а. C2) Для проведения итераций заметим, что если искомый корень у уравнения близок к 0, то уравнение удобно переписать в такой форме у = <р(у), чтобы разложение cp(j) по степеням у не содер- содержало первой степени, а содержало только свободный член, члены с у2, у3 и т. д. В самом деле, тогда разложение ф' (у) не будет содержать свободного члена и потому при у, близких к у, а значит к 0, | ф' (у)| будет принимать малые значения, откуда вытекает схо- сходимость метода итераций. Поэтому в исходном уравнении надо все члены с у в первой степени перенести в левую часть, а все остальные члены — в правую часть, после чего уже проводить итерации. В нашем примере, в уравнении C2), левая часть, т. е. су, в силу формулы Тейлора 2 fl содержит слагаемое у; значит, ее надо записать в пиле еУ = У + (еу—у), причем разложение скобки уже не содержит у в первой степени.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 33 Поэтому взамен C2) пишем у + (еУ-у)=\-у+а, откуда, объединяя члены с у (но не раскрывая скобок!), приходим к уравнению Это уравнение, равносильное C2), уже приспособлено к проведению итераций. После разложения правой части по степеням у получим ,, « У2 У3 У = у—4~ "[г— ••• Теперь можно проводить итерации, начиная с ^0 = 0. Подставляя это значение в правую часть C3), найдем Подставляя у=уг в правую часть C3), получим У* — ~2 16 96 •"■ Мы видим, что первое приближение C4) совпадает с точным реше- решением C1) до членов первого порядка, второе приближение C5)— с точностью до членов второго порядка. Для построения третьего приближения можно подставить в правую часть C3) просто тогда получится разложение, совпадающее с точным до членов третьего порядка включительно, так что при вычислениях можно учитывать только эти члены и т. д. Это дает возможность при вы- вычислении каждой последующей итерации иметь дело лишь с конеч- конечными суммами. Упражнения 1. Примените метод Ньютона к уравнению B1), начиная от значения *о = °"> *о = 1- хз 1 2. Переписав уравнение B1) в форме х=—5—< примените к нему метод о итераций, начиная от значения *0 = 0; 1; 2. 3. Найдите решение уравнения х3-\-ах—1=0 при малых |а| по методу малого параметра. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ § 1 I. По способу трапеций а) 1,12; б) 0,88; в) 1,84. По способу Симпсона а)'1,10; б) 0,88; в) 1,85. 2 Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкио
34 НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 3 2. Разбивая промежуток интегрирования на 4 части, находим \ ■ xdx о = 0,6275. Разбивая промежуток интегрирования на 6 частей, получаем также 3 Xdx =0,6275. ех+1 о 3. Рассмотрим формулу (8) для функции у=х на промежутке от х0 до 2А. Здесь тогда как ' Результаты совпадают, т. е, в данном случае формула является точной- Отсюда вытекает точность формулы (8) и для функции у —ах (а = const), так как а служит общим множителем во всех слагаемых. Записав точное равенство (8) для у = ах и j/ = & (уже проверенное ранее) и сложив левые, а также правые части, получим справедливость равенства (8) и для функции y = ax-\-k. Анало- Аналогично рассматривается равенство G), §2 1. В нашем случае / (х)*ар^х, А=1, а=1, Ь = п, По формуле A1) получаем л + 7а n + 7 ^ f \/lcdx= f или д п = 3 формула дает S3 = 3,34, непосредственно находим S3 = 3,70. Ошибка 11%. Для п = 4 по формуле получаем S4 = 4,93, непосредственно находим 5^ = 5,29. Ошибка 7%. Для п = 5 по формуле S6 = 6,64, непосредственно на- находим S5 = 7,00. Ошибка 5%. 2. По формуле A1) получаем S = 2,39. 3. Пусть / (x) = px-\-k, т. е. сумма имеет вид где b = a-\-nh. Получилась арифметическая прогрессия с первым членом + k и разностью d = ph. Сумма такой прогрессии, как известно, равна
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 35 Применим, например, формулу (9). По этой формуле получаем значение ь 4- Upx + k)dx + \r(pa + k)+~(pb + k) = Ъ—а( а + Ь , Л , Г а+Ь что совпадает с точным значением для суммы. §3 1. При хо = О получаем еще один корень * = —0,347 уравнения B1). При хо=1 применение метода невозможно (знаменатель обращается в нуль). 2. При хо = О и *0=1 получаем сходимость к корню х из упражнения 1. При *0 = 2 процесс итераций расходится. 3. Разложение решения имеет вид
ГЛАВА II МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА В практической работе часто бывает так, что зависимость между переменными величинами — скажем х и у получается в результате опыта, измерений. Обычно в таком случае эта зависимость оказы- оказывается заданной при помощи таблицы, в которой для каждого зна- значения х, при котором проводилось измерение, поставлено соответст- соответствующее, найденное путем измерения значение у. Поэтому мы рас- рассмотрим в этой главе сначала общие правила действий с таблицами, а затем те новые моменты, которые возникают при обработке ре- результатов опытов. § 1. Таблицы и разности Нам очень часто приходится рассматривать функции, заданные с помощью таблицы. Это могут быть математические таблицы, на- например таблицы логарифмов, синусов, квадратов и т. п. Это могут быть физические таблицы, взятые из каких-либо справочников, например таблицы зависимости температуры кипения той или иной жидкости от давления и т. п. Наконец, зависимость между перемен- переменными величинами может получиться в виде не вполне обработанных результатов опыта, измерений. Во всех этих случаях численные зна- значения зависимой переменной задаются с помощью таблицы при опре- определенных численных значениях независимой переменной. Функции, заданные таким образом, могут входить в дальнейшие операции, в частности, может потребоваться эти функции дифференцировать или интегрировать. Могут понадобиться значения функции при про- промежуточных, не выписанных в таблице, значениях независимой пере- переменной (задача интерполяции) или при значениях независимой пере- переменной, лежащих за пределами таблицы (задана экстраполяции) *). Мы будем считать для простоты, что независимая переменная х принимает значения, образующие арифметическую прогрессию, т. е. х = х0, x = x1 = x0 + h, x = x2 = x0 + 2h, ..., x = xn = x0 + nh; эти значения аргумента будем условно называть целыми, a h — назы- *) Слова «интерполяция» и «экстраполяция» происходят от латинских корней «интер» — внутри, «экстра»—снаружи, «полюс»—точка.
§ 1} ТАБЛИЦЫ И РАЗНОСТИ 37 вать шагом таблицы. Соответствующие значения функции, помещен- помещенные в таблице, обозначим через у0 =у (х0), у1 =у (xj, ...,yn=y (хп). Приращения переменной х все одинаковые и равны п. Приращения переменной у, вообще говоря, различные. Они называются первыми разностями (более подробно разностями первого порядка) и обозна- обозначаются через так как их естественно сопоставлять полуцелым значениям х, т. е. серединам между соседними «целыми» значениями аргумента: От этих разностей можно опять брать разности, в результате чего получатся вторые разности, определенные вновь для «целых» зна- значений х: б2у,=б^1 + ./, — 6>/„ 6^ = 6^2 + 7,-6^! + ./,, ..., 6а^п_1 = (двойка сверху здесь означает порядок разности, а не показатель степени) и т. д. Приведем в качестве примера отрывок из таблицы десятичных логарифмов с вычисленными разностями, которые умножены на 10й. Таблица 1 ft х Ук \0ЧУк 10ъ62ук 0 10,0 1,00000 ft *k Ук 10&бук 10562{/> 1/2 10,05 432 4 10,4 1,01703 —3 I 10,1 1,00432 —4 9/2 10,45 416 — 1 3/2 10,15 428 0 5 1 1, 0,5 32119 -4 2 10,2 1,00860 4 11/2 10,55 412 — 1 5/2 10,25 424 —1 6 10,6 1,02531 —о 3 10,3 1,01284 —5 13/2 10,65 407 7/2 10,35 419 2 7 10,7 1,02938 *) Иногда разность yk+i—Ук сопоставляется не значению jc = .v^ + i, , а зна- значению х = хк. Тогда она обычно обозначается Аук, т. е. Аук = Ау | К=х ={/fc+i—ук. При таком обозначении, как у нас, т. е. ук+1—Ун = ^Ук + '/Й=='^У\х=х1- + 1/ж' Раз* ности называются центральными.
88 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II У Малость вторых разностей по сравнению с первыми и их почти постоянство (третьи разности имеют уже порядок ошибок округле- округления) в приведенном примере указывают на плавность хода изменения функции, на отсутствие случайных «выпадов» из этого хода. Та- Такая закономерность может проявляться в разностях более высокого порядка и всегда свидетельствует о «правильности» хода измене- изменения функции (ср. упражнение 2). Конечно, если шаг не мал, а также вблизи точек разрыва и т. п., разности могут и не быть малыми, но обычно в них прояв- проявляется та или иная закономер- закономерность. Разности широко применяются при интерполяции. Пусть требует- требуется найти значение у при неко- некотором значении х, заключенном между табличными значениями xk и xk + l. Самый простой способ — Рис. 4. линейная интерполяция — состоит в приближенной замене изучае- изучаемой функции на линейную функцию, причем так, чтобы обе функции О совпадали при х = хк и при АВ = x k+i (рис. 4); геометрически это означает замену дуги ^АВ неизвестного нам графика, показанного на рис. 4 штрихами, на хорду АВ, соединяющую две его извест- известные точки А и В. Обозначим х — xk — s. Так как линейная функция выражается уравнением первой степени, то искомое значение у зависит от 5 по формуле y = a + bs, A) где а и Ъ — некоторые коэффициенты. Из условий при xk и дсл + 1 получаем yk= a, yk+1 = a-\-bh, откуда Выражая отсюда а и Ъ и подставляя в A), получаем окончательно формулу для линейной интерполяции ■чЛ- B) (Выведите эту формулу из подобия треугольников на рис. 4.) Фор- Формулой B) можно пользоваться, если изучаемая функция на интер- интервале от хк до xk+i мало отличается от линейной, т. е. если h до- достаточно малб*). При k = 0 и 5<0 формула B) осуществляет *) Из более точной формулы D) нетрудно вывести, что при малом h ошибка при линейной интерполяции имеет порядок Л2, так как такой порядок имеют вторые разности.
§ 1] ТАБЛИЦЫ И РАЗНОСТИ 39 линейную экстраполяцию рассматриваемой функции в сторону х < лг0, а при k — п— 1 и 5>Л —в сторону х > хп. Конечно, при экстра- экстраполяции нельзя далеко уходить от табличных значений х, так как принятый нами линейный закон изменения функции оправдывается лишь на малом интервале изменения х. Формулу линейной интерполяции B), как и последующие фор- формулы, можно переписать в виде, не содержащем разностей. Под- Подставляя в B) выражение бу i =Ук+1—Ук' получим равносильную 2 формулу Хорошо видно, что при изменении s от 0 до Л коэффициент при ук меняется от 1 до 0, а коэффициент при yk+1 — от 0 до 1; таким образом, при s = 0 получается у =ук, а при s = h получается у =ук+1. Ббльшую точность дает квадратичная интерполяция, при которой изучаемая функция приближенно заменяется на квадратичную функ- функцию, причем так, чтобы обе функции совпадали при х = хк, хк+1 и хк+2 (это в других обозначениях было проделано в § 1.1 при выводе формулы Симпсона). Указанную квадратичную функцию удобно искать в виде y = a + bs + cs(s —h). C) Согласно условию откуда 2 Выражая отсюда с, Ь, с и подставляя в C), получаем формулу Ньютона для квадратичной интерполяции Как и выше, эту формулу можно использовать также для экстра- экстраполяции. Формула D) не совсем симметрична: в ней использованы зна- значения yk, yk+1 и ук+2, тогда как х расположен между xk и xk+1. Если обратить направление оси х и подобным же образом использовать значения yk+1, yk и ук_х, то взамен D) мы получим формулу несимметричную уже в другую сторону. Взяв теперь полусумму
40 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II правых частей формул D) и E), получим симметричную формулу Бесселя у= 1 обладающую высокой точностью. Мы предоставим читателю преоб- преобразовать формулы Ньютона и Бесселя так, чтобы у оказался выра- выраженным непосредственно через «узловые» значения ук, а не через их разности. Подобным образом можно было бы вывести интерполяционные формулы еще более высокой степени. Однако, так как точность экспериментальных данных ограничена, равно как и точность при- применяемых таблиц функций, то обычно применение разностей слишком высокого порядка не оправдано. В большинстве случаев (за исключе- исключением измерений и вычислений, проводимых с особо высокой точностью) бывает достаточно вторых или даже только первых разностей. Если изучаемая функция разрывна, то интерполяцию можно про- проводить только на интервалах, не содержащих точек разрыва; если не обратить на это внимания, то интерполяция может дать совер- совершенно неправильное представление о действительном поведении функции. Так, на рис. 5 показана зависимость внутренней энергии, £ 'Скрытая теплота кипения ^j Скрытая теплота плавления 100 Рис. 5. Рис. 6. которой обладает единица массы воды при нормальном давлении, от температуры*). Эта зависимость имеет разрывы при температурах фазовых переходов, т.е. при замерзании и при испарении воды. Там же пунктиром показан результат квадратичной интерполяции в случае, если выбранные «узловые» точки отвечают различным фазам; видно, что эта интерполяция искажает реальную картину. Аналогичное искажение получается при разрыве производной (т. е. при изломе графика) у изучаемой функции. Так, на рис. 6 пунктиром показан результат линейной интерполяции при наличии «острого» максимума; хорошо видна ошибка, получающаяся вблизи этого максимума. *) Чаще пользуются так называемой энтальпией {теплосодержанием) H = E-{-pV, где р— давление, а V —объем. Теплоемкость при постоянном дав- давлении равна как раз производной от Н по д.
!jg 2] ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 41 Упражнения 1. Пусть i/o= 1.00; ух*= 1,25; уг = 1,65; t/3 = 2,34. Найдите у3/г по формулам Г2). D)> E) и п0 Ф°РмУле Бесселя. ■ 2. Проверьте, что если таблица составлена для многочлена степени п, то ■ разности порядка п постоянны, а разности порядка п-\-\ равны нулю. § 2. Интегрирование и дифференцирование функций, заданных таблично Интегрирование функций, заданных таблично, ничем не замеча- замечательно. Ведь и раньше при численном интегрировании функций, заданных формулами, мы сперва составляли таблицу подынтеграль- подынтегральной функции (см. § 1.1). При вычислении производной функции, заданной таблицей, следует иметь в виду, что лучший способ найти производную у' (х) по двум значениям функции — это взять такие значения справа и слева на равном расстоянии от того значения х, для которого мы хотим под- подсчитать величину производной У Таким образом, если даны значения у для значений х, располо- расположенных через равные промежутки (т. е. в арифметической прогрес- прогрессии), то удобно вычислять производные в серединах промежутков. Другими словами, если значения у были заданы для «целых» зна- значений х (см. § 1), то значения у' будут подсчитаны для «полу- «полуцелых» значений х. По значениям у' можно таким же способом найти производную от у', т. е. у". При этом значения у" получатся снова для целых значений х. Можно выразить j*" непосредственно через у: h ~ y(x + h)-y(x) yjx)-y(x-h) h h _y(x+h)-2y(x h ¥ • Указанные сейчас формулы удобно записать в обозначениях § 1: h k ъ = : это равенство и является обоснованием того, что разность ук+1—ук
42 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II мы относили значению х*=х г . Аналогично Приведем пример (таблица 2)*). Таблица 2 X 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 у 1,6487 1,7333 1,8221 1,9155 2,0138 2,1170 у' 0,846 0,888 0,934 0,983 1,032 и" 0,42 0,46 0,49 0,49 Если нужны значения у' для других х, то их можно получить интерполяцией. В частности, для целых х получаем с помощью ин- интерполяции 1 Ук+1 — 1—Ук\ h ) 2h Таким образом, можно сразу определять значения у' для целых х по значениям у при целых х справа и слева (см. таблицу 3). Таблица 3 X 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 У 1,6487 1,7333 1,8221 1,9155 2,0138 2,П70 У' 0,867 0,911 0,960 1,002 Однако при таком способе мы, во-первых, получим значений производных на одно меньше, чем при первом способе, во-вторых, *) В таблице не выписаны полуцелые значения аргумента.
§ 2] ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 43 мы получаем меньше сведений о поведении производной на концах промежутка. Так, в таблице 2 мы знаем производную при л: = 1,05 (около начала промежутка х=\) и при л:=1,45 (около конца про- промежутка лг= 1,5), а в таблице 3 лишь при л: = 1,1 и при лг= 1,4, т. е. при значениях аргумента, более удаленных от концов проме- промежутка. Наконец, при вычислении значений у' для нецелых (в част- частности, для полуцелых) значений х с помощью интерполяции значе- значения, полученные из таблицы 2, оказываются достовернее значений, полученных из таблицы 3, так как наклон кривой более точно пе- передают маленькие хорды, чем большие. Поэтому первый способ предпочтителен. Очень важные, принципиальные вопросы возникают в связи с ограниченной точностью и ошибками, присущими каждому измерению. При вычислении интеграла каждое отдельное измеренное значе- значение у умножается на величину Ах. Поэтому при увеличении числа отдельных измеренных значений функции у коэффициент, с которым в выражение интеграла входит каждое отдельное значение, умень- уменьшается обратно пропорционально числу промежутков Ах. Следовательно, уменьшается и ошибка в интеграле, происходя- происходящая за счет ошибок при каждом отдельном измерении величины у. При вычислении производной разность двух значений у делится на Ах. Чем меньше промежуток Ах, т. е. чем меньше знаменатель, У 3 2 1 0 1 2 3 ***^ 4- Рис. 7. тем большую ошибку в величину производной вносит данная ошибка в каждом измеренном значении у. Поэтому производная функции, заданной экспериментальными значениями, оказывается известной с меньшей точностью, чем сама эта функция. Разницу между дифференцированием и интегрированием поясним примером. На рис. 7 изображены две кривые — одна нарисована сплошной лини- линией, другая пунктиром. Сплошная кривая — это график функцииу—х—
44 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II — 0,1л:2, пунктирная — график функции yl = x— 0,1л:2+0,5е~8и-3J. Из рисунка видно, что одна кривая заметно отличается от другой лишь в небольшом промежутке изме- изменения X. На рис. X 8 показаны X графики i и I1(x)=\iy1dx{nynK- 0 0 тирная кривая). Мы видим, что отли- отличие между кривыми у (х) и у1 (х) дает небольшую добавку в интеграл /х (х), заметную на графике лишь при х > > 2,8. В целом кривые /(лг)и/г(л;) отличаются мало. На рис. 9 показаны графики про- ■ г изводных у' (х) и у[ (х). Мы видим, что х небольшое изменение функции в малом промежутке вызвало в этом промежутке большие изменения производной. Еще сильнее разнятся вторые производные. Их графики изображены на рис. 10, где масштаб по оси у взят в два раза меньше, чем на рис. 7—9. В случае, когда кривая получена из опыта, небольшое изменение хода кривой на каком-либо промежутке может быть результатом Рис. 8. Рис. 9. ошибки отдельного опыта. Из предыдущего примера видно, что на величине интеграла такие отдельные ошибки сказываются незначи- незначительно, а на величину производной (и особенно высших производных) они влияют сильно. Для того чтобы получить надежные значения производной, нужно сперва подобрать формулу, хорошо описывающую опытные данные, а затем находить производную, пользуясь этой формулой.
§ 3] ПОДБОР ФОРМУЛ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 45 Так как формула строится с учетом всех опытных данных, то значение производной при каждом значении х будет найдено по формуле с учетом всех данных, а не только двух-трех ближайших. О -1 -г -з -4 -5 ■•5 -7 -8 А \ 4 I | I I i 1! и Рис. 10. Поэтому естественно ожидать, что случайные ошибки в отдельных измерениях меньше скажутся на величине производной. Подбор формулы, описывающей результаты опыта, вообще яв- является существенной частью обработки экспериментальных данных. Задаче подбора формулы по данным опыта посвящены два следую- следующих параграфа. Упражнение В условиях упражнения 2 к § 1 подсчитайте значения у' для полуцелых значений х, приняв Дх=Л = 0,5. Проинтерполируйте результат линейно, а также по формулам D) и E) на целые значения х. § 3. Подбор формул по данным опыта по методу наименьших квадратов Подбор формул по экспериментальным данным называют подбором эмпирических формул. На самом деле, конечно, формула тем лучше, чем больше теоретических представлений вложено в нее, чем в мень- меньшей степени она является эмпирической. В действительности нужно сперва задаться видом формулы, а затем, пользуясь результатами
46 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II опыта, определять значения различных постоянных величин, входя- входящих в нее. Перед тем как приступить к подбору формулы, полезно нанести опытные данные на график, после чего на глаз, от руки провести через полученные точки наиболее правдоподобную кривую. При этом сразу выявляются те данные, в которых можно подозревать большие ошибки. Очень важно при проведении кривой, кроме эксперименталь- экспериментальных точек, использовать общие соображения о том, как должна вести себя кривая при значениях аргумента, весьма близких к ну- нулю, при больших значениях аргумента, проходит ли кривая через начало координат, пересекает ли координатные оси, касается ли их и т. п. Итак, пусть эта предварительная работа проделана, выбран вид формулы и нужно определить значения входящих в формулу по- постоянных величин. Как это сделать? Рассмотрим наиболее простой пример. Предположим, что у пропорционально х, т. е. ищем формулу вида у = kx. Задача сводится к определению коэффициента А. Каж- Каждый опыт дает определенное значение k, именно "л == ~S~ > хп где хп, уп—значения величин х,у, полученные в п-м опыте. Индекс п у величины k показывает, что это — значение, соответствующее л-му опыту. Из значений kn можно образовать среднее, положив где р — общее число опытов. Мы получаем формулу у — kx. Отметим, что это — самый простой, но не самый лучший способ выбора величины k. В самом деле, пусть х есть величина, характе- характеризующая условия опыта, которую мы задаем точно, а у есть ре- результат опыта, причем этот результат содержит в себе некоторую ошибку измерения. Допустим, что и при малых и при больших значениях у ошибка измерения А_у примерно одинакова. Тогда ошибка в величине kn, равная —— , тем больше, чем меньше хп. Следова- Следовали тельно, определяя величину k, лучше ориентироваться на опыты с большими хп. Поставим задачу о нахождении того значения k, при котором функция у = kx наилучшим образом соответствует опытным данным. (Смысл нечеткого выражения «наилучшим образом» станет ясен из дальнейшего.) За меру отклонения функции от экспериментальных данных для п-го опыта выберем величину (уп — kxnJ. Почему берется
К 3] ПОДБОР ФОРМУЛ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 47 именно величина (_у„— kxnf, а не уп— kxn? Ясно, что оба знака уклонения kxn от уп нехороши: плохо, если k таково, что yn<kxn, но также нехорошо, если k таково, что уп > kxn. Если бы за меру отклонения мы взяли величину уп — kxn, а затем стали находить сумму отклонений в нескольких опытах, то мы могли бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаков. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что взятая функция y = kx хороша. Если же за меру отклонения взять (уп—kxnJ, то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины (у„ — kxnJ по- положительны. Отметим, что вместо {уп — kxnJ в принципе можно было бы взять \уп — kxn\, (уп — kxnY и т. д. Однако при этом даль- дальнейшие вычисления значительно усложнились бы. В качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией _у = kx возьмем сумму мер отклонений для всех опытов, т. е. Уп-кхп)\ F) я = 1 Метод определения констант, входящих и формулу, из требования, чтобы общее отклонение S было наименьшим, называется методом наименьших квадратов. Заметим, что если одна величинауп—kxn=\0, т. е. при каком-то одном х = хп формула дает ошибку в 10 единиц, то в величину 5 это внесет 100 единиц. С другой стороны, наличие 10 ошибок по 1 единице каждая внесет в S всего 10 единиц. Поэтому ясно, что на величину S сильнее всего влияют самые большие ошибки, а малые ошибки, даже если они встречаются часто, влияют мало. Метод наименьших квадратов нацелен на уменьшение самых боль- больших отклонений. _ Для того чтобы найти k = k, при котором S наименьшее, решим уравнение -тт = 0. Пользуясь F), находим откуда что дает /, л р = ^S 0 п= I 2k £ л,1 /(=1 ^ V 2 п= I п= i 2 . (-*„) = 0, 2 2 - Л^2 —|— . * * -j- Хп G)
48 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II Если в каждом опыте получается точно yn = kxn, то из фор- формулы G) получаем Если для различных опытов величина kn = — различна, то, под- ставляя в G) вместо уп его значение knxn, получим = _ x\+xl + ...+4 W Среди величин klt k2 kp, полученных в различных опытах, есть наибольшая величина /гтах и наименьшая /гт{П. Если заменить в правой части (8) все kn на /гтах, то дробь только возрастет и мы получим =7 , ^max*l + "тпах*2 + • • • + «тах*р , ^ „2 _, „2 _, ~ГЗ —«max- Xi+Xi+...+Хр Совершенно аналогично доказывается, что k > kmin. Таким образом, величина k, найденная из условия минимума S, удовлетворяет неравенствам km\n < k < ктах, т. е. действительно является средней из всех значений kv k2, ..., kp, однако это сред- среднее составляется по более сложному правилу, нежели p В формуле (8) каждая величина kn входит в числитель с мно- множителем х\. Этот множитель называют весом*). Ясно, что чем больше вес х2п, тем сильнее влияет на величину k измерение, соответствующее значению х = хп. Это подтверждает высказанную ранее мысль о том, что измерения с большими хп важнее для правильного определения k. Если нет оснований предполагать, что_у = 0 при лг = О, то наи- наиболее простой является формула у = kx-\-b. В зтом случае также *) Название «вес» происходит от следующей механической аналогии. Пред- Представим себе шкалу, на которой откладываются расстояния klt k% ft и в соответствующих точках шкалы помещаются грузы. Если все эти грузы одинаковые, то центр тяжести такой системы (весом самой шкалы пренебрегаем) — k1 + ki + ...+kp находится в точке шкалы к= ~. Если же в точку k1 поме- поместить груз веса х\, в точку k2—груз веса х\ в точку kp—груз веса х\, то положение центра тяжести дается формулой (8). Таким образом, эта фор- формула соответствует представлению о разной значимости, разном весе различных наблюдений.
§ 3] ПОДБОР ФОРМУЛ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 49 можно применить метод наименьших квадратов. Величина 5 для этого случая дается формулой n-kxn-b)>. (9) Надо выбрать числа k и b так, чтобы величина 5 была наименьшей. Для этого поступим так. Если бы b было уже найдено, то в правой части (9) можно было бы изменять только k, поэтому должно было бы быть *) р д4 п=\ С другой стороны, если бы уже было найдено k, то должно было бы быть Эти два условия дают нам следующую систему уравнений для опре- определения чисел k и Ь: ) A0) л=I п—I р р УП — *]£■*,, —Ьр =0. п=\ п-\ Из системы уравнений A0) нетрудно найти числа k и Ь. С этой целью обозначим для краткости 2 22j 2>«> ri= 21 л= I л= I л=1 п— Тогда систему A0) можно переписать в виде alk+pb = r0. Решая ее, получим к— —, и , и — . pai—a1 ро2 — а! На описанный метод можно смотреть также с иной точки зрения. *) При рассмотрении функции от нескольких переменных производная по одной из этих переменных при зафиксированных остальных обозначается с по- помощью буквы д, а не d (ср., например, ВМ, § П. 12). Подробнее об этом мы поговорим в гл. IV.
50 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II Задавшись формой линейной зависимости у = kx + Ь между рассматриваемыми величинами хну, мы получаем два неиз- неизвестных параметра k и Ь. В результате измерений мы приходим к соотношениям между этими параметрами т. е. к системе из р уравнений с двумя неизвестными. Такая система при р > 2 является переопределенной, так как в принципе достаточно двух уравнений, чтобы найти эти неизвестные. Однако учитывая, что физические величины х ну замеряются с определенной погрешностью, мы получаем, что в случае двух измерений (т. е. при р =• 2) на зна- значения k и Ъ могут существенно влиять случайные ошибки измере- измерений, так что при этом точность результата останется неясной. Поэтому уменьшение чпсла уравнений, содержащих такие случайные факторы, опасно. Напротив, чем больше измерений, т. е. чем в боль- большей степени система переопределена, тем лучше, так как тогда случайные ошибки отдельных измерений погашают друг друга, и решение, найденное по методу наименьших квадратов, становится более достоверным. Не представляет труда обобщить метод наименьших квадратов для случая более сложных зависимостей между величинами х и у. Следует отметить, однако, что метод наименьших квадратов часто приводит к довольно громоздким вычислениям. В случаях, когда искомые параметры входят в участвующие зависимости нелинейно, метод приводит к системе нелинейных уравнений, и вычислительные трудности особенно возрастают. Поэтому в практической работе зачас- зачастую более эффективными оказываются графические методы подбора формул, которые мы рассмотрим в следующем параграфе. Упражнения 1. Подберите формулу вида y = kx методом наименьших квадратов в слу- случае следующих данных опыта: а) X У 0,25 0,40 0,50 0,50 0,75 0,90 1,00 1,28 1,25 1,60 1,50 1,66 1,75 2,02 2,00 2,40
§ 4] ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОДБОРА ФОРМУЛ 51 б) в) X У X У 0, 0, о, 0, 25 16 4 69 0 0 0 1 ,50 ,18 ,8 ,44 0,75 0,80 1,2 2,08 1 0 1 2 ,00 ,60 ,6 ,74 1,25 1,08 2,0 3,52 Нанесите на график в каждом из трех случаев табличные точки и прямую, полученную по методу наименьших квадратов. (Графики стройте на миллиметро- миллиметровой бумаге.) 2, По данным следующей таблицы подберите числа k и Ь для формулы y = kx-\-b методом наименьших квадратов: X У —0 о, ,20 96 0 1 ,20 ,40 0 1 ,40 ,56 0 1 ,60 ,74 0 1 ,70 ,92 0 2 ,80 ,04 3. Пусть даны две точки (%; j/x) и (*21 уЛ Будем по этим данным подби- подбирать числа knb для уравнения прямой у = kx-\-о методом наименьших квадратов. Покажите, что при этом получим абсолютно точный результат, т. е. получится уравнение прямой, проходящей через указанные две точки. § 4. Графический способ подбора формул Напомним, что уравнение прямой линии имеет вид y = kx-\-b, причем числа knb имеют простой геометрический смысл (см., на- например, ВМ, § IV.4): Ъ есть величина отрезка, отсекаемого прямой на оси у, а к есть тангенс угла а наклона прямой к оси х (рис.11). Пусть предполагается, что величины у и х связаны линейно, т. е. у = кх-\-Ь. Нанесем экспериментальные точки на график. На- Наложив на график прозрачную линейку и передвигая ее, нетрудно по- получить такую прямую, к которой экспериментальные точки лежат ближе всего (рис. 12). у Проведя эту прямую, мы определяем из чертежа Ъ и&=-гг. А Большое преимущество графического способа связано с его наглядностью. Если экспериментальные точки ложатся на прямую, за исключением отдельных выпавших точек, то эти точки наглядно
52 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II выделяются и видно, какие точки следует проверить. Если экспери- экспериментальные точки в целом не лежат на прямой, то это также видно из графика. В этом случае зависимость между величинами х,у имеет более сложный вид, нежели y = kx-\-b. Кроме этого, при примене- применении графического способа не нужны сравнительно длинные расчеты, связанные с методом наименьших квадратов, в которые всегда может вкрасться вычислительная ошибка. Прямая линия занимает исклю- у чительное положение в графиче- графическом подборе формул. Никакая х Рис. 11. Рис. 12. другая линия не может быть так просто и вместе с тем так на- надежно проведена по данным точкам. Всякий, кто в практике лабора- лабораторной работы сравнивал определение чисел k и b в уравнении прямой по графику с определением их по методу наименьших квадратов, знает, что различие всегда весьма невелико. Как же подобрать, пользуясь графиком, константы, входящие в формулу, если эта формула имеет более сложный вид, нежели у = kx + b? Рассмотрим пример. Пусть исследуется зависимость между температурой Тпроволоки и силой i постоянного тока, текущего по этой проволоке. Ясно, что изменение направления тока не меняет величины Т, т. е. Т(—/) = = T(i). Поэтому зависимость вида T=ai + b не годится. Будем искать формулу вида Т= ai2 -\-Ь. График функции T(i) есть пара- парабола, а провести на глаз параболу трудно. Поэтому введем новую переменную z = i2, тогда T=az-\-b, так что в координатах z, Tиско- Tискомая зависимость изображается прямой линией. При этом значение температуры Ь=Т0 при отсутствии тока можно считать известным, так что остается определить коэффициент а при г2. При большой силе тока, когда достигаются высокие температуры, сопротивление проволоки нельзя считать постоянным. Поэтому теп- тепловая мощность (количество тепла, выделяющееся в единицу времени), равная W = Ri2, в действительности не просто пропорциональна г2,
§ 4] ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОДБОРА ФОРМУЛ 53 так как меняется R. В уравнении теплового баланса 1 Т \ где а — коэффициент теплоотдачи, а 5 — поверхность проволоки, при больших температурах коэффициент а также непостоянен. Однако равенство температур для токов г и —i по-прежнему имеет место. Поэтому естественно добавить в формулу Т=аР-\-Ь, которая теперь может оказаться неточной, член сг4 (а не сР). Итак, ищем формулу в виде Т= cil-\-ai2-\-b. Заметим, что Т=Ь при г = 0, так что b не отличается от темпе- температуры окружающей среды, а потому известно (см. выше). Перепи- Перепишем формулу так: —^~ = сР + а. Вводя новые переменные л; = г2, у = —^—, получаем д^ = сх-\-а, т. е. х и у связаны линейной зависимостью. Построив график в коор- координатах х, у, легко определить числа сие. Таким образом, общая идея графического метода состоит в том, что надо ввести новые переменные так, чтобы в этих переменных интересующая нас зависимость становилась линейной. Приведем еще несколько примеров. Часто встречается такая зависимость между х и у, когда заве- заведомо известно, что при л;=0 должно быть ^ = 0, но опытные дан- данные на графике не ложатся на прямую. В этом случае может оказаться справедливой формула Разделим все члены на х, получим — = а-\-Ьх. Положив — = 0, по- получаем линейную зависимость z от х Другая формула, которая может оказаться годной для этого случая, это у = ахп. Как определить показатель степени л? Для этого прологарифмируем обе части формулы: Вводя новые переменные z = \gy, t=\gx, получим линейную зави- зависимость Закон радиоактивного распада описывается формулой n = nQe-u>t, где п — число атомов, еще не распавшихся к моменту времени t, п0 — общее число атомов, со — вероятность распада. Логарифмируя обе части формулы, получим = 1п п0 —со/.
54 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II Следовательно, мы получим прямую линию в координатах t, у = \пп. (Подробнее о радиоактивном распаде см. ВМ, § V. 3.) При исследовании зависимости какой-либо величины х от темпе- температуры Т очень часто получается формула вида А х = Ве~кТ. Такая формула получается в тех случаях*), когда дают вклад только те молекулы (или электроны), энергия которых больше величины А; величина k—постоянная Больцмана ( k— 1,4 д) -^; | . град) А 1 Логарифмируя, получим 1пд; = 1п5 Tf * Зависимость стано- становится линейной, если рассматривать величины _у = —и z = \nx, дей- ствительно, z = \nB -т-у. Во всех рассмотренных нами примерах мы после выбора вида формулы вводили новые переменные так, чтобы зависимость между этими новыми переменными была линейной. Может, однако, случиться, что в новых переменных экспериментальные точки не будут ложиться на прямую. Это означает, что вид формулы выбран неудачно, сле- следует подбирать формулу другого вида. Пусть проделан ряд опытов, в которых при значениях аргу- аргумента хг, хг,...,хр получены значения функции уи у2,...,ур. Пусть значения аргумента расположены в порядке возрастания xi < Х2 < • • • <ХР- Определение ожидаемого из опыта значения у при значении х, лежащем внутри исследованного промежутка изме- изменения аргумента (хл < х < х), составляет задачу интерполяции (ср. начало § 1). Интерполяцию легко и просто произвести, если подобрана эмпи- эмпирическая формула. При этом если формула подобрана хорошо, то интерполяция обычно дает хорошие результаты, редко приводит к большим ошибкам. Значительно труднее другая задача: найти, какое значение у следует ожидать из опыта при некотором значе- значении х, лежащем вне исследованного на опыте промежутка изменения аргумента, например при х > хр. Определение такого значения по данным опыта составляет задачу экстраполяции. Решение задачи об экстраполяции в каждом конкретном случае требует глубокого понимания существа изучаемого явления, такую задачу нельзя решать формально, пользуясь подобранной формулой. (Правильно высказалась по этому поводу Кретя Патачкувна в книге «Пи»: «Очень трудно что-либо предвидеть, особенно на будущее».) *) Несколько таких случаев рассмотрено в ВМ, гл. VII.
« 4] ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОДБОРА ФОРМУЛ 55 Например, если по экспериментальным данным подобрана формула вида у = а-\-Ьх-\- сх2-\-рх3, причем она очень хорошо описывает результаты опыта, то, как правило, члены сх2, рх3 вводятся в фор- формулу, чтобы описать отклонение экспериментальных точек от прямой в том промежутке изменения х, где производились измерения. При этом члены сх2 и рх3 обычно носят характер малых поправок к глав- главному члену а-\-Ьх, Если же, пользуясь такой формулой, мы будем производить экстраполяцию у для больших, далеких от исследованных на опыте, значений х, то члены схъ и рх3 начнут играть главную роль, что, однако, может совершенно не соответствовать существу явления. Положение вещей напоминает сказку Андерсена, в которой тень, отделившись от человека, начинает жить самостоятельно, делает карьеру и, наконец, заставляет самого человека служить себе. Если при неограниченном возрастании х величина^ приближается к определенному значению ух, то бывает полезно отыскать это зна- значение. Такая задача называется экстраполяцией на бесконечность. При ее решении часто оказывается целесообразным ввести новую независимую переменную г, которая оставалась бы конечной при х = оо, например z = — . После такого перехода интервал (по z), на который производится экстра- экстраполяция, будет уже конечным. Рассмотрим пример. Пусть в длинном заряде взрыв- взрывчатого вещества с одного конца при помощи капсуля вызвана де- детонация (взрыв), которая начинает распространяться по длине заряда. Рис. 13. Ясно, что при весьма большой длине заряда действие его на какую-либо преграду перестает зави- зависеть от длины заряда. Действительно, когда мы увеличиваем длину достаточно длинного заряда, то мы увеличиваем количество взрыв- взрывчатого вещества, находящегося далеко от преграды, а потому оказы- оказывающего весьма малое действие. Пусть, например, через у обозна- обозначена максимальная толщина стальной стенки, которую разрушает заряд длины х. На графике рис. 13 нанесены опытные данные. Из рисунка видно, что с ростом х величина^ приближается к определен- определенному значению уа. Однако определить по графику это значение^» нельзя. Как же найти его? Предположим, что при больших х формула имеет вид у =ух . Введя новую переменную z = — , получаем У=У& — a-z. Теперь ух соответствует значению z = 0. Построив У 0 C) . 'B) 0) A) F)
56 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. II данные опыта в координатах z, у*), мы можем на глаз определить предполагаемое значение у при z — О (рис. 14). Формула у=ух справедлива лишь для достаточно боль- больших х. При х = — она дает у = 0, а если х < — , то получаем даже у < 0, что совершенно бес- „ смысленно. Поэтому на рис. 14 точки, полученные из опыта, ле- лежат не на прямой, а на кривой, однако в координатах z, у можно ..ft) эту кривую экстраполировать на ' 'z = 0, что соответствует л;=оо. w . sj\ Из физического смысла задачи B) • ясно еще, что должно быть у = 0 i 1 1— — при х = 0. Наиболее простая фор- 2 мула, отражающая оба известных Рис. 14. нам свойства функции у(у = 0 при х = 0 к у неограниченно прибли- приближается к значению ул, если х неограниченно возрастает), имеет вид Как определить, пользуясь экспериментальными данными, постоян- постоянные ух и Ь? Для этого перепишем формулу так: У У**' или У Уф Усе' х ' Поэтому можно надеяться, что если мы будем строить на графике — в зависимости от —, то получим прямую линию и определим — и —. Даже если точки будут плохо ложиться на прямую, то У л Уев все равно экстраполяция по такому графику надежнее, чем по гра- графику рис. 14, так как формула A1) построена с учетом двух (а не одного, как раньше) свойств функции у (х). *) На графиках рис. 13 и 14 точки, соответствующие друг другу, снабжены одинаковыми номерами.
§ 4] ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОДБОРА ФОРМУЛ Упражнения 1. По данным следующей таблицы подберите формулу вида 57 X У 0,5 1,20 1,0 1,10 1,5 2,35 2,0 3,05 2,5 4,40 3,0 5,50 Решите задачу двумя способами: а) методом наименьших квадратов, б) графически. 2. Графическим способом подберите формулу вида результаты опыта таковы: = ax2-^-bx, если X У 0 0 0,5 1,7 1,0 3,1 1,5 3,8 2,0 3,9 2,5 3,8 3,0 3,0 3. По данным таблицы X У 1 0,5 2 1,4 3 2,5 4 4 подберите формулу вида у = Ахь. (Примените графический способ.) 4. Результаты измерений дали следующее: X У .0,5 1,66 1,0 1,58 1,5 1,50 2,0 1,44 2,5 1,37 3,0 1,30 3,5 1,22 4,0 1,17 Кроме того, известно следующее: а) при неограниченном увеличении х величина у приближается к нулю; б) при х = 0 величина у имеет вполне определенное значение. Этим усло- условиям удовлетворяют, например, такие простые формулы: Акх Подберите значения параметров, входящих в эти формулы. Пользуясь форму- формулами, получите значения у при *=1,25; *=3,75; х — — 1; х=—2; х = — 3. Сравните результаты.
58 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. 11 5. Результаты опыта дали следующее: X У 1,0 1,6 1,5 1,7 2,0 2,0 3,0 2,3 4,0 2,4 5,0 2,5 Известно, кроме того, что при неограниченном возрастании х величина у прибли- приближается к некоторому значению ух. Найдите это предельное значение двумя способами: а) подбирая формулу вида у = А-\ ; б) подбирая формулу вида у = ах ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ § 1 1. По формуле B) г/3/г=1,45; по формуле D) г/3/ =1,41; по формуле E) j =1,43; по наиболее точной формуле Бесселя уэ^ =1,42. 2. Если У[ — у\х-х. = х", а Дл: ==Л, то по формуле бинома Ньютона Обозначив Xi-\-hj2=x'., получим — h ( ' ^ А™^" ("' ""'t~ V1~~2J + 2 \) " \xi 2 Раскрыв в правой части скобки, мы видим, что в этом примере разности образуют последовательность значений многочлена степени п— 1. То же будет для функции у=ахп (a = const), так как при образовании разностей коэффи- коэффициент а служит общим множителем. Заметив, что при сложении функций их разности также складываются, мы заключаем, что для любого многочлена степени п разности образуют последовательность значений некоторого много- многочлена степени п. — 1. Значит, вторые разности образуют последовательность значений многочлена степени п—2 и т. д., а п-е разности —последователь- —последовательность значений многочлена нулевой степени, т. е. константы. Поэтому разности (гс-[~1)'г0 порядка в этом случае равны нулю. §2 г/',, =0,50; г/3/2=0,80; у,^=1,38. По линейной интерполяции г/1= 0,65; у'2=\,№. По формуле D) у[ = 0,62. По формуле E) ^=1,06. §3 1. а) у=1,\8х\ б) у=0,78х; в) у=\,75х. 2. у= 1,03л;— 1,19.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 59 3. Уравнение прямой имеет вид y = kx-{-b. Числа k и 6 определяются из условий у=У\ при х=хх и f/=j/2 при х=х2. Получаем систему уравнений «2+6 = У2, / кх.г из которой находим (. Ух — Уу. и ххУ 1 — Х'2У\ /io\ Х\ Х2 Хх Х.г Покажем, что такие же значения k и 6 мы получим, применяя метод наименьших квадратов. В нашем случае Поэтому = —2 [B/i — kxx — 6) хх + (г/2 — fe*2 — 6). 5S dk dS_ db 6=пост = — 2 [(г/1 — ft*i — 6) + (г/2 — кх.г — Ь)\. Приравнивая эти производные нулю, получаем систему уравнений .=0.1 ь=о. / yt — kxx — Ъ-\-у2 — ft; Решая систему, находим те же значения A2). Впрочем, совпадение результатов можно вывести и из того простого сооб- соображения, что через любые две точки можно провести одну прямую линию. §4 1. Для применения метода наименьших квадратов составляем сумму. 6 S=2 iHk~ax\-bf. k=l Действуя дальше обычным способом, находим а = 0,48; 6=1,23, т. е. искомая формула у = 0,48л:2 + 1,23. Для того чтобы решить задачу графически, вводим новую переменную t=x2, тогда </ = а^ + 6. В координатах (t\ у) получаем прямую линию. Нанеся точки (^ — х\\ уь) на график, находим а = 0,49; 6=1,35, т. е. 2. Полагаем — =z, тогда г = ах-\-Ь. Построив точки в координатах (х; г), найдем а = — 1,02, 6 = 4, так что у = — 1,02л:2 + 4л:. 3. В этом случае по осям координат надо откладывать соответственно Igjc н lgj/. Получим Л=0,5; 6=1,5; {/ = 0,5д:1.6.
60 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА [ГЛ. И 4. Графическим способом находим у =. ___, . ._- ; i/= l,74e-°i1Jc. Значе- Значения у, найденные по первой и по второй из этих формул при нескольких указанных значениях, сведены в следующую таблицу: X 1,25 3,75 — 1 —2 -3 Значение и по первой формуле 1,54 1,22 2,01 2,38 2,86 Значение у по второй формуле 1,54 1,20 2,00 2,12 2,35 Смысл последнего расчета состоит в следующем: интерполяция, как упо- упоминалось в тексте, редко приводит к большим ошибкам, в нашем случае обе формулы при л: = 1,25 и при * = 3,75 дают весьма близкие результаты; экстра- экстраполяция, наоборот, мало надежна. Из таблицы видно, что чем дальше отстоит х от табличных, тем сильнее разнятся значения у, полученные по разным фор- формулам. Отметим еще, что при * = —8 первая формула вообще теряет смысл, а при х < — 8 первая формула дает у < 0, а вторая у > 0. 5. а) ^=2,8; б) {/„ = 2,9.
ГЛАВА III ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ § 1. Несобственные интегралы При обычном определении интеграла (см., например, ВМ, § 1.8) считается, что интервал интегрирования конечен и что подынтеграль- подынтегральная функция на нем не обращается в бесконечность. Такие интегралы называются интегралами в собственном смысле или, коротко, собст- собственными. Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется несобственным. Такие интегралы встречаются уже в простых задачах интегрального исчисления (см., например, ВМ, §§ 11.16, Ш.З, VI.2). Здесь мы рассмотрим эти интегралы более подробно. Рассмотрим сначала интеграл вида 00 I=\f(x)dx, A) а где нижний предел а и подынтегральная функция/(лг) при а^лг< оо предполагаются конечными. Такой интеграл является несобственным из-за того, что его верхний предел бесконечен; как говорят, он имеет особенность на верхнем пределе. Допустим, что интеграл A) получился при решении некоторой физической задачи и переменная химеет непосредственный физический смысл (длина, время и т. п.). Тогда реально х изменяется не до бесконечности, а до какого-то очень большого, но конечного предела, который мы обозначим через Л/, т. е. взамен A) надо рассмотреть интеграл N IN=\f(x)dx. B) а Может оказаться, что интеграл B), хотя и зависит от N, но при достаточно больших N практически не меняется. Тогда это зна- значение принимается за значение интеграла A); более точно, тогда
62 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. III принимается да N \f(x)dx= lim [f(x)dx, a W->co a а интеграл A) называется сходящимся. Из этого предела и равенства 00 jV 00 \f(x)dx= ^f(x)dx+ [f{x)dx N видно, что основной вклад в сходящийся интеграл дает его «конечная» («собственная») часть, тогда как вклад особенности при достаточно большом ./V как угодно мал. Другими словами, в случае сходимости интеграла A) можно «реальный» интеграл B) при большом ./V, ко- которое часто бывает точно и не известно, заменять на «предельный» интеграл A), который обычно проще в теоретических исследованиях. Если значение интеграла A) с ростом Лг не «устанавливается», а стремится к бесконечности или колеблется, не имея определенного предела, то интеграл A) называется расходящимся. В этом случае значение интеграла B) при больших N существенно зависит от N и заменить B) на A) нельзя. Тогда может возникнуть вопрос о более детальной характеристике поведения интеграла B) при возрастании N, т, е, о получении асимптотических формул для этого интеграла. (Кстати, такой вопрос возникает и для сходящихся интегралов A), так как установить лишь факт сходимости или расходимости и даже найти численное значение в случае сходимости часто оказывается недостаточным — может понадобиться еще сам закон сходимости.) Из сказанного следует, что факт сходимости или расходимости интеграла A) зависит только от поведения функции /(х) «в особен- особенности интеграла», т. е. при х—>оо. Наиболее часто этот факт рас- Q познается при помощи сравнения f(x) со степенной функцией —р, от которой интеграл легко берется. Рассмотрим интеграл 00 J=^dx (C= const), C) где х0 — любое положительное число (если взять х0 отрицательным, то интеграл будет иметь особенность также и при х = 0, где подын- подынтегральная функция обращается в бесконечность). Этот интеграл легко взять: *0 Здесь приходится различать два случая. Именно, если р>1, то р — 1 > 0, оо^ —оо и последний член в правой части D) равен
S 1] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 63 нулю. Значит, в этом случае интеграл C) сходится. Если же р<1, то ооР'1 = —j—j = 0 и потому последний член в D) равен бесконеч- бесконечности. Значит, в этом случае интеграл C) расходится к бесконеч- бесконечности, т. е. соответствующий интеграл fN, взятый от х0 до N, стре- стремится к бесконечности при возрастании N. Выражение для IN полу- получится, если в правую часть D) подставить N вместо оо (и в других случаях выражение для IN, если соответствующий неопределенный интеграл берется, получается весьма просто). Хорошо видно, что в этом выражении для больших N главным членом при р > 1 будет первый, а при р <1—второй. При р = 1 интеграл C) равен — dx = С In x x =Clnoo — С1плг0=оо, т. е. интеграл также расходится к бесконечности. Итак, интеграл C) сходится при р>1 и расходится при р ^ 1. На основе этого результата мы можем заключить, например, что интеграл СО \—^=dx, E) о у имеющий особенность на верхнем пределе, расходится к бесконеч- бесконечности, так как при больших л: подынтегральная функция 1 асимптотически равна х Напротив, интеграл т. е. в данном случае р = -к --dx G) сходящийся, так как подынтегральная функция асимптотически, при 1 3 х—>-оо, равна , т. е. в данном случае Р = -^ > 1. Интеграл '** dx (8) также сходящийся, так как подынтегральная функция при х-—>оо стремится к нулю быстрее любой степени х. Во всех этих примерах соответствующие неопределенные интегралы не выражаются через
64 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ OB ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. III элементарные функции, так что установить сходимость при помощи вычисления неопределенного интеграла было бы затруднительно. Нетрудно получить асимптотические выражения трех последних интегралов, взятых от 0 до N, при увеличении N. Для расходяще- расходящегося интеграла вида A) применяется следующий прием: подбирается функция /, (дг), от которой интеграл берется просто, причем асимп- асимптотически (при х—*оо) почти равная /(х); тогда в правой части равенства N N N $/(*) <**=$/, (х) dx+ $ [/(*)-/, (х)] dx а а а первый интеграл (главный член) легко исследуется, а второй может оказаться сходящимся при N—► оо или же к нему можно применить тот же прием. Для интеграла E) естественно принять /((л:) = х~2/'3, т. е. написать (9) a N N Здесь мы перешли от \ к J, где а — какое-либо положительное О а число (хотя это в данном примере необязательно), чтобы избежать N несобственного интеграла ^лг~2/3^лг, имеющего особенность на о нижнем пределе. Можно проверить, что последний интеграл в (9) при N—> оо сходящийся и потому при больших N все выражение (9) имеет асимптотическое представление 3 ^/77+С-)-бесконечно малая, где С—некоторая постоянная. Чтобы найти значение постоянной С, надо воспользоваться равенством о v для некоторого N, причем интеграл в правой части подсчитать по одной из формул численного интегрирования.
§1] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 65 Аналогично исследуется асимптотическое поведение интегралов G) и (8). Для сходящегося интеграла часто оказывается полезным преобразование N оо оо J / (*) dx = J / (х) dx — J f(x) dx. а а N Для интеграла G) получаем J ЛГ со со С dx Г 1 , г. 2 « \ — \ —f=- dx= D— J Vx3+ 1 J Vx» 0 N где постоянную D, равную значению интеграла G), можно подсчи- подсчитать, как С в предыдущем абзаце. К интегралу (8) применяем интегрирование по частям: N оо оо оо -* dx= \ е~х dx—\ е~*^dx = E-\- %J ■ N Постоянная Е, т. е. значение интеграла (8), как мы увидим в § IV.7, равна V л/2. В качестве другого примера рассмотрим несобственный интеграл ^ A0) о В данном случае интеграл по конечному промежутку N siuxdx=—cosx0=l — cos N. A1) о При возрастании N значение cosN колеблется и не имеет опре- определенного предела. Значит, интеграл A0) расходящийся, причем «ко- «колебательным» способом. Легко проверить, что введение под знак интеграла A0) затухаю- затухающего множителя е~а*(а= const>0) приводит к сходящемуся интегралу 00 J e~aXsiux dx. о 3 Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкио
66 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. Ш Можно доказать, что сходится и интеграл более общего вида 00 \ f(x) sinxdx, о где /(х)—любая убывающая функция, стремящаяся к нулю при х—>-оо. Несобственные интегралы отличного от A) вида рассматриваются аналогично A). Например, пусть дан интеграл ь A2) \f{x)dx, для которого пределы интегрирования конечны, но подынтегральная функция при х—у а обращается в бесконечность, т. е. интеграл имеет особенность при х = а. Тогда особенность «отрезают», т. е. рассматривают взамен A2) интеграл ь \ f(x)dx, A3) а+8 где е — малое положительное число. Если при достаточно малом е интеграл A3) практически перестает зависеть от е, то интеграл A2) называют сходящимся и полагают ь \f{x)dx : lim \ f(x)dx. E- 0/,4-P. В этом случае от интеграла A3) (который часто появляется при решении физической задачи, так как все физические величины ко- конечны) можно перейти к более простому интегралу A2), т. е.вкладом особенности в интеграл A2) можно пренебречь. Если же интеграл A3) при малых е существенно зависит от е, т. е. при 8—>0 он не имеет конечного предела, а стремится к бесконечности или колеблется, не имея определенного предела, то интеграл A2) называется расходя- расходящимся; в этом случае переходить от A3) к A2) нельзя. Факт сходимости или расходимости несобственного интеграла вида A2) обычно устанавливают, сравнивая подынтегральную функ- Q цию f(x) со степенной функцией -. ^, также равной бесконечно- х-а)Р' сти при х=а и легко интегрируемой. Мы предоставляем читателю проверить, что несобственный интеграл ь ^)Pdx (С-const) A4) сходится при р<1 и расходится при
§ 1] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 67 Рассмотрим для примера задачу об истечении жидкости из ци- цилиндрического сосуда, в дне которого проделано отверстие площади а (рис. 15). Высота h уровня жидкости зависит от времени t, т. е. h—h{t). Если жидкость не вязкая и силами поверхностного натя- натяжения можно пренебречь, то скорость v истечения жидкости из со- сосуда с достаточной точностью описывается за- законом Торричелли ~-dh Поэтому объем, вытекший за время dt, равен avdt — a V2ghdt. С другой стороны, тот же объем равен — Sdh (надо учесть, что h убывает и потому dh < 0). Приравнивая оба выражения, получим, что Рис. т. е. dt= * ^й Чтобы получить полное время истечения, надо произвести интегри- интегрирование: ~~ " s т S_ Г dh _ S hVi о __S ,/Я ~~ а Кгг \ К^ ~~ a Y%g l Н~ о V g ' J "о" Реально истечение происходит не до h — 0, а до h = e, где е — некоторая величина, сравнимая с шероховатостями дна или с тол- толщиной смачивающей пленки, т. е. формулу A5) надо было бы пи- писать в виде Т= ——Г н dh A6) Однако так как несобственный интеграл A5) получился сходящимся (это показали вычисления A5), да к тому же рассматриваемый ин- теграл—это интеграл вида A4) при Р = -к ) , то интеграл A6) можно заменить на A5). Как видим, в данном примере е нам не было точно известно, но оно и несущественно, так как для сходящегося инте- интеграла важно только знать, что е малб. При численном интегрировании (ср. § 1.1) несобственные инте- интегралы требуют особенного внимания. Часто заданный интеграл пред- представляют в виде суммы собственного, полученного исключением интервала около особенности из интервала интегрирования, и несоб- несобственного, взятого по интервалу около особенности. Первый находят
68 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. III численно, а во втором применяется разложение в какой-либо ряд или просто подынтегральная функция приближенно заменяется на какую-либо другую функцию (например, степенную), от которой я интеграл взять легко. В качестве примера вычислим I —F^=z. Здесь J К sin* о подынтегральная функция неограниченно возрастает при приближе- приближении л: к 0 и при приближении х к я. Разобьем промежуток инте- интегрирования на три части: от 0 до -g-, от -g- до -^- и от -^- до я. В первом промежутке можно считать, что siuxmx, так как х не- невелико. Поэтому я/6 я/6 / J Vsinx В третьем промежутке, т. е. при — < х < я, воспользуемся фор- формулой sin;e = sin(:n; — х), и так как величина я—х мала, то sin (я—х) « я—х. Окончательно в этом промежутке sin х л; я—х. Получаем г ) J 5л 0 dx / sin* Г ^х 11/ " j y"n"-^* -\ л х 5я 6 я 5я 6 Интеграл по среднему промежутку подсчитаем по формуле Симпсона, разбивая этот промежуток на две части. Получим dx ^-[1,41+4.1 + 1,41] = 2,38. 6 *) Для большей точности здесь можно применить разложение в ряд dx Г \ fs\nx\-W2 f I / х2 х1 \ -1 / 2 Однако прм применяемой степени точности вычислений поправка ничтожна (по- (получится 1,46); полезным является только то, что мы узнаем о степевш досто- достоверности полученного результата.
fi 2] ИНТЕГРИРОВАНИЕ БЫСТРОМЕНЯЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ 69 Следовательно, f^==« 1,45 + 2,38 + 1,45 = 5,28. J у sin х о Точное значение этого интеграла (с двумя десятичными знаками) есть 5,25. Упражнение я/2 Г / Г dx Вычислите интеграл I а,. , проводя вычисления в пределах точно- J i/ sin* о * ста логарифмической линейки. § 2. Интегрирование быстроменяющихся функций При численном интегрировании полезно уметь заранее оценить порядок величины интеграла. Из геометрического смысла интеграла ъ l=\y{x)dx а сразу вытекает очевидная оценка ъ где Утя* — наибольшее значение подынтегральной функции у(х) на промежутке интегрирования. Если эта функция положительна и мало меняется на промежутке интегрирования, то можно принять у жутах, «Ц>-а) A7) (эта оценка уже встречалась в ВМ, § 11.16). Отметим сразу же, что оценкой A7), как и дальнейшими оцен- оценками этого параграфа, неудобно пользоваться для знакопеременных функций у (х). В этом случае промежуток интегрирования можно разбить на несколько частей так, чтобы внутри каждого из полу- полученных промежутков у (х) сохраняла знак, после чего оценить ин- интегралы по этим промежуткам. Однако суммарная оценка будет удовлетворительной, только если вклад интегралов одного знака существенно превосходит вклад интегралов противоположного знака. Поэтому мы впредь в этом параграфе будем считать подынте- подынтегральную функцию положительной на интервале интегрирования. Если функция у (х) на промежутке интегрирования, оставаясь положительной, очень быстро убывает, а Ъ сравнительно велико, то оценка A7) может привести к большим ошибкам. В самом деле,
70 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. III пользуясь оценкой A7), мы заменяем функцию ее максимальным значением. Однако если функция изменяется быстро, то ее значения близки к максимальному только в малой части области интегриро- ь вания. В качестве примера рассмотрим /= ^ е~х dx(b > 0). Макси- о мальное значение подынтегральная функция на промежутке интегри- интегрирования получает при ;е=0; это максимальное значение равно 1. Оценка A7) дает / яг Ь. Однако в данном примере для интеграла легко получить точную формулу: 7=1—е~ь. Составим таблицу за- зависимости точного значения величины / от Ь: Ъ 0 0,1 0,2 0,5 1 2 3 5 10 / 0 0,095 0,18 0,39 0,63 0,86 0,95 0,993 0,99996 Из таблицы видно, что пока Ъ малб (при этом функция в области интегрирования изменяется мало), оценка A7) неплоха. Однако если b велико, то приближение IжЪ становится очень плохим. Пусть функция у(х) на всем промежутке интегрирования быстро убывает. Тогда максимальное значение функции достигается на левом конце промежутка, т. е. при л; = а. (Отметим, что отсюда не следует равен- равенства ^ =у'(а) = 0; см. рис. 16.) их х—а Так как для быстрозатухающей функ- ь ции у {х) интеграл /= \ ydx не может а существенно изменяться при увеличении Ь, то грубая оценка интеграла / не должна включать Ь, мы как бы пола- полагаем Ь=оо. Естественно считать, что в этом случае интеграл приближенно равен произведению ymayi = =у(а) на некоторую не зависящую от b длину Дл: промежутка интегрирования. Эта длина при заданном у(а) должна быть тем меньше, чем быстрее убывает функция, т. е. чем больше |у'(а)|- Величину Дл; такой же размерности, что и х, можно построить, исходя из величин у (а) и |.у'(а)|, единственным способом Ах=ТуЩ\т> где т — безразлерный коэффициент пропорциональности. После этого получаем 'Х=\„' (п\'\т- A8) Если функция у (х) возрастает на промежутке интегрирования, то она достигает максимума на правом конце промежутка, т. е. при
К 2] ИНТЕГРИРОВАНИЕ БЫСТРОМЕНЯЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ 71 х = £>. В этом случае формула A8) принимает вид Типичным примером быстроменяющейся функции может служить показательная функция у = Се~кх (С > 0; k > 0). Выберем значение т в формуле A8) из- условия, чтобы формула A8) была абсолютно точна для Так как y = Ce~kx, y' = — kCe~kx, то y(a)=Ce~ka, = kCe~ka, поэтому формула A8) дает СЧ~-ка Се-ка т . , 1=т — = т = _ у {а). Точное значение рассматриваемого интеграла есть = —y е~кх Сравнивая результаты, получаем — y(a) = -j-y (а), откуда /и=1. По- Поэтому формула A8) принимает вид Эта формула в случае бесконечного промежутка для быстроменяю- быстроменяющихся функций другого вида, а также в случае конечного проме- промежутка, вообще говоря, не является точной, однако дает неплохие результаты. Для того чтобы выяснить наглядный геометрический смысл оцен- оценки A9), поступим следующим образом. Проведем к кривой у—у{х) касательную в точке А (рис. 16) и найдем длину отрезка AJSI. Уравнение касательной есть у—у(а)=у'(а)(х — а); полагая в нем д|=0, получим точку пересечения касательной с осью х. Это дает х=а—^тт\, или, замечая, что у' (а) < 0, так как у (х) — убываю- убывающая функция, получаем х =■ a -f-. , .. Поэтому ... , у (а) ц(а) . А.М=а + . ,. ;.. — а= . у, ;. . = Длг. 1 \У (а)\ \У (а)\ Оценка интеграла по формуле A9) соответствует замене площади под кривой у =у (лг) площадью прямоугольника, изображенного на рис. 16.
72 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ OB ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [гЛ. Ш Пример. Найдем по формуле A9) C^jj. Здесь у = \, у' = = ~ТГ, поэтому 4 §■«4 = 0,125. 00 Точное значение этого интеграла есть /=Г —= L J дсв 7х7 = 0,143. Ошибка составляет 13°/0. Часто встречается другой вид интегралов, у которых подынте- подынтегральная функция^ (х) достигает максимума при х = хт где-то внутри у, промежутка интегрирования (рис. 17, а). При этом в точке максимума у' (х) = 0. Можно разбить интеграл на два интег- интеграла от а до хт и от хт до Ъ. Тогда в каждом из них подынтегральная функция достигает максимума на краю промежутка. Может показаться, что задача сведена к предыдущей. В дей- действительности это не так, разбиение интеграла на два ничего не дает, так как при х = хт все равно у'=0 и оценка A9) неприменима. Значит, это действительно новый случай и надо по-другому выделять из всего проме- промежутка интегрирования необходимую его часть Ах. Идея заключается в том, что в этом случае величина Ах определяется значением / (хт), т. е. определяется величиной кривизны в точке максимума. Из чертежа ясно, что чем круче кривая, тем меньше следует брать A*. Раз- Размерность второй производной совпадает с размерностью величины —?. Поэтому величина той же размерности, что и Ллг, получается 6) а 0 1 b Рис. 17. из величин у(хт) и у" (хт) так: Ax = l *). (Мы пишем *) К выражению такого вида для Ах мы можем прийти еще так: разложим у{х) в ряд Тейлора вблизи максимума, т. е. по степеням х—хт< и возьмем два первых члена, которые не обращаются в нуль. Получим у(х)=у(,хту\- + ~2 (Х—ХтJ-У"(хт). Найдем значение разности х—хт=Ах, при которой об- обращается в нуль это приближенное выражение для у(х):
§ 2] ИНТЕГРИРОВАНИЕ БЫСТРОМЕНЯЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ 73 |/(*Л> а не У"(хт)> потому что/'(*,„)< 0, так как прн х = хт функция у(х) имеет максимум.) Величина / есть безразмерный коэф- коэффициент. Для интеграла получаем оценку B0) Значение коэффициента / определим из условия, чтобы формула B0) была абсолютно точна для \ ydx, где ) = Се-кх\ А>0, C>0. (График функции у = Се~кх2 для случая С=3, 6 = 0,5 изображен на рис. 17, б.) В этом случае хт = 0, у (хт) = С, у" (хт) = — 2Ck. По формуле B0) находим Чтобы найти точное значение интеграла \ Ce~kx dxy выполним — со в нем замену переменной по формуле z = xV k, dz = УЪ dx. По- лучнм „-г2 A J — СО e~zidz. 00 Величина интеграла \ e~z dz может быть найдена точно; в § IV.7 — со мы покажем, что этот интеграл равен ]/л. Поэтому Сравнивая эту формулу с B1), находим откуда т~ У У"{хт)" У \У"{хт)\ Соответственно приближенное значение для / получается равным
74 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [гЛ. III откуда 1=\ 2л. Формула B0) принимает вид Таким образом, для двух типов быстроменяющихся функций мы получили две формулы A9) и B2), причем коэффициенты в этих формулах подобраны так, что формулы точны для интегралов по бесконечному промежутку от типичных функций: формула A9) точна 00 + СО для \Ce-kxdx, а формула B2) — для \ Се~кх* dx. При другом вы- а -оо боре типичных функций формулы содержали бы другие коэффициенты. Определим, например, значение коэффициента / из условия, чтобы + «) формула B0) была точна для /= I ^ dx, С > 0, k > 0. [ Чи- -00 татель легко убедится сам, что функция у = . ,, имеет максимум 1 ~~г~ RX" , = 0.) Так кшу = г^л, f = 2Ck^rj^k, то B0) дает ^ 1С 2Ck~ Для того чтобы вычислить интеграл 'точно, положим Уkx = z, dz—V kdx, тогда С Г + 00 dz Cn 1С Поэтому г__- = ^"_ , откуда / = л]/ 2. В этом случае мы получаем формулу /«„/да У \У (Хт)\ Однако предпочтение отдается именно формулам A9) и B2). Причина этого заключается в следующем. Оказывается, что если получать быстроменяющиеся функции путем возведения в степень п какой-либо данной функции / (х), для которой \/(х) \ < f(xm) при х=£хт, то при достаточно больших п относительная погрешность формул A9) и B2) становится как угодно малой. Поясним сказанное двумя примерами. 1. Будем интегрировать последовательные степени функции u = -rj— в пределах от лг = О до лг=оо. Для этого обозначим и„= =и" = ■; это — быстроменяющиеся функции первого типа
§ 2] ИНТЕГРИРОВАНИЕ БЫСТРОМЕНЯЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ 75 с максимумом на краю, причем чем больше показатель степени л, тем круче спадает функция ип при увеличении х от 0. Найдем /(п> = X J о \п ПРИ помощи формулы A9). о Так как Ыд = 1, то |и^@)| = я, а потому приближенное значение этого интеграла есть /(*> =1 прибл п • Точное значение рассматриваемого интеграла есть ее dx 1 1 О га — 1 ' Отношение /(п) . прибл П—1 Так как дробь тем ближе к единице, чем больше л, то при весьма больших л получаем прибл /(л) точн 1, что и утверждалось. При выборе в формуле A8) тф\ значение т осталось бы в правой части последней формулы, т. е. при больших п мы получили бы систематическую ошибку. 2.Пустьг = т——j, причем —оо<д:<оо. Образуем быстро- меняющиеся функции zn = zn= .. а.п. Это функции второго типа, с максимумом внутри области (в данном случае A:m = 0). Найдем С dx приближенно величину /<">= \ ___—_( пользуясь формулой B2). — <ю Получим /Прибл = 1/ — • Интеграл Iw можно вычислить точно, при этом он оказывается равным ,(п) 1-3-5.. .Bга — 3) „.. ■*) Докажите это, интегрируя равенство х V 2га —3 2га—2
76 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. 111 Отношение /пр)ибл = 2-4-6.,.Bгг-2) 4"чн /™ 1-3-5...Bл-3)* Подсчитаем значения правой части B3) для нескольких значений л. При л=2 получаем 0,797, При л = 4 получаем 0,904; при л = 6 получаем 0,938; при л = 8 получаем 0,962; наконец, при л = 10 получаем 0,978. Таким образом, при увеличении л значение правой части в формуле B3) приближается к 1 *). Перейдем к общему случаю. Рассмотрим у = [f(x)]n, где функция f(x) > 0 имеет единственную точку максимума. Пусть \n/(x) — (f (х), тогда f(x) = e? u>. Поэтому у = e"f <*>. B4) ь Величина интеграла I=Kydx определяется главным образом а значениями подынтегральной функции в той области, где_у не слишком сильно отличается от своего максимального значения. Ясно, что у достигает максимума одновременно с ф (х), т, е, при одном и том же значении х = хт. Для того чтобы у уменьшилось в е раз по сравнению с утак, нужно, чтобы Лф(д;) было на единицу меньше, чем пц>(хт), т, е, чтобы было Лф (х) = пц> (хт) — 1, откуда ф (*) = ф (Xj— 1. Чем больше л, тем меньше ф (л:) отличается от ф (хт). Поэтому чем больше л, тем точнее замена ф (л:) первыми двумя не равными нулю членами ее разложения в ряд Тейлора, Записав два члена разложения, получим ц>(х) = ц>(хт)-\-(х—хт) ф' (хт) (для функции, имеющей максимум на границе) либо ф (л:) = ф (хт) + у (х—хтJ ф" (хт) (для функции, имеющей максимум внутри промежутка), В первом случае, пользуясь формулой B4), находим у = е«Ф (*m) + « (x-xm)<f' {хт)—-Де-Ь (лг-лгт)) где положено А = еп<о <*»•>, Ь = — лф' (хт) = п | ф' (хт)\. Во втором случае получаем где положено с = — -i-лф" (хт) = -^ л |ф" (хт)\. Таким образом, функция у (х) может быть приближенно заменена либо функцией, для которой абсолютно точна формула A9), либо *) Более строго это можно доказать с помощью формулы Стирлинга (см. упражнение к § 3).
§ 3] ФОРМУЛА СТИРЛИНГА 77 функцией, для которой абсолютно точна формула B2), притом эта замена тем точнее, чем больше п. Будем предполагать для простоты, что хт = 0. Тогда для построения быстроменяющейся функции можно было бы от /(х) перейти не к [/(х)]", а к /(пх). Однако при таком переходе обе части формулы A9) или соответственно B2) просто делятся на я, т. е. относительная ошибка обеих формул не меняется. Это связано с тем, что при указанном переходе относительная доля вклада в интеграл больших и малых значений функции /(х) сохраняется неизменной (тогда как при переходе от /(х) к [/(л:)]" доля малых значений с ростом п стремится к нулю). В заключение упомянем о книге А. Б. Мигдала и Bj П. Край- нова «Приближенные методы квантовой механики» (Физматгиз, 1966), в которой приведен ряд методов оценок интегралов и других мате- математических выражений. Упражнения 00 1. Найдите величину интеграла /= \ х , разбив его на сумму двух ин- 0 3 00 С х dx С х dx тегралов: ^=\-] -+ \ х. Первый интеграл вычислите по формуле о з Симпсона, а второй по формулам настоящего параграфа. Вычисления ведите в пределах точности логарифмической линейки. со 2. Найдите величину интеграла /= \ У xe~xd dx, разбив его на сумму двух о а оо интегралов: /= \ Y~xe~xZ dx-\-[ У~ хе-х* dx, и находя первый интеграл по О а формулам § 1.1, а второй —по формулам § 2. Рассмотрите случаи а=1; 2. Вычисления ведите с тремя знаками после запятой. 00 3. Оцените величину интеграла \e~*2dx, рассмотренного на стр. 65. N § 3. Формула Стирлинга В качестве интересного примера применения формул § 2 мы сейчас получим удобную формулу для приближенного вычисления величины п\—п(п — 1)(я — 2) ... 3-2-1 при больших значениях п. Эта формула будет очень полезна при изучении теории вероятностей. С помощью интегрирования по частям легко установить (см., например,
78 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. III ВМ, § Ш.З), что при целом положительном л справедливо ра- равенство Оценим этот интеграл по способу предыдущего параграфа. В нашем случае у = хпе~х, у' =(пхп~1 — х")е~х. Приравнивая нулю первую производную, получим два значения: х = 0 и х-—п. Нетрудно убедиться, что при лг = л функция у (х) имеет максимум, Рис. 18. а при лг=О она равна нулю. (На рис. 18 изображены графики функции у = хпе~х для л = 3 и л = 4.) Итак, для вычисления интег рала нужно рассматривать область максимума х — п функции, т. е« пользоваться формулой B2). Найдем /', получим у" = [л(л— \)хп~2 — 2/глг"-1 +хп] е~х. Сле- Следовательно, у" (л) = — п"-1е~п — ( — ) . Поэтому Итак, (п) | Эта формула называется формулой Стирлинга. Ее относительная погрешность стремится к нулю с ростом л (это вытекает из рас-
§ 4] ИНТЕГРИРОВАНИЕ БЫСТРОКОЛЕБЛЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ 79 суждений в § 2, если представить хпе~х как л" ( — е~ j J, однако даже при малых л она дает очень хорошие результаты, например: л=1; л! = 1, 1/л("гУ = 0,92, ошибка 8%; » 4%; » 2,7%; л = 4; л! = 24, /bit f тУ = 23'5» » 2'1%: » 1,7%. л = 2; л!-2, /4л (у)'= 1,92, л=:3; л! =6, л = 5; л! = 120, /Юя f |-Y = 118, Упражнение Докажите, что отношение B3) при п -> оо стремится к 1. Указание. Домножьте числитель и знаменатель дроби на ее числитель. § 4. Интегрирование быстроколеблющихся функций При изучении быстро осциллирующих воздействий на физические системы приходится рассматривать интегралы от быстроколеблющихся функций, т. е. функций, которые на конечном интервале интегриро- интегрирования много раз меняют знак. Такие интегралы имеют свои спе- специфические особенности. Пусть надо вычислить ин- интеграл ь F(x)dx, B5) ас где график функции F(x) имеет вид, изображенный на рис. 19. Будем сначала считать со — часто- Рис. 19. ту колебаний — постоянной, а амп- амплитуду меняющейся по закону y=f{x); другими словами, будем считать, что интеграл B5) имеет вид = \i/(x)sm(d)XJra)dx, B6) где со велико. Из рис. 19 ясно, что при большом со интеграл B6) мал, так как его положительная часть почти нейтрализуется отрицательной. Для
80 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. 111 более точной оценки произведем интегрирование по частям, что даст ь /= JL [/(a)cos((oa+a)—f(b)cos(ab+a)]+^/'(x)cos(ax + a)dx. B7) а Полученный интеграл имеет вид B6), а потому весь последний член при большом а имеет порядок малости выше, чем 1/со. Отбрасывая этот член, получаем приближенную формулу /ж -^ [/(a) cos (aa +a) — /(b) cos (ab + a)]. B8) Этот результат можно выразить и через подынтегральную функцию F(x) исходного интеграла B5): так как F' (х) = /' (х) sin (ах -f- а) -f- а/ (х) cos (ах -f- а) ж а/ (х) cos (ax -f- а), то можно написать также I^-L[F'(a)-F' (b)] = -±F' (х)^ B9) Для дальнейшего уточнения можно в правой части B7) произ- произвести еще одно интегрирование по частям; после отбрасывания полу- полученного интеграла мы придем к приближенной формуле / « — [/(a) cos (аа-f-а) —f(b) cos (ab-\- a)] -f- + -^{Г (b)s\n(ab + a)—f (a)sm(aa + a)]. C0) Здесь также можно написать формулу, аналогичную B9). Для этого надо из выражений для F' (х) и F'" (х) вычислить f(x) cos (солг-|-а) и —/' (х) sin (ax + а) с точностью до членов порядка —у и резуль- результат подставить в C0). Пропуская выкладки, которые мы предостав- предоставляем читателю, напишем окончательную формулу: Эта формула, как и C0), верна с точностью до членов порядка —j-. По описанной схеме можно производить и дальнейшее уточнение асимптотических формул для /; однако получающиеся формулы будут все более громоздкими и все менее удобными для практического применения. На практике чаще всего пользуются формулами B8) или B9). Интересно, что во всех этих формулах участвуют значе- значения функций / или F и их производных только на концах интервала интегрирования; впрочем, это находится в согласии с полученными в § 1.2 приближенными формулами для знакочередующихся сумы.
§ 41 ИНТЕГРИРОВАНИЕ БЫСТРОКОЛЕБЛЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ 81 (Отметим, что в предыдущих формулах надо было считать, что функция f(x) и ее производные рассматриваемых порядков внутри интервала интегрирования непрерывны. Если /(х) имеет там конечный скачок при х=с, то надо перейти к сумме интегралов от а до с и от с до Ь, после чего к каждому из этих интегралов применить указанные преобразования, в результате чего точка # = с даст свой вклад в асимптотические формулы. Особенно существен этот вклад в важном случае, когда а = —оо, b — оо и f(x) при лг=±оо обра- обращается в нуль вместе со всеми своими производными, так как тогда правые части формул B8) и C0) равны нулю. Более глубоко этот вопрос будет освещен в § XIV.4.) ъ Рассмотрим в качестве примера интеграл /= \ е~х sin axdx. Его точное значение равно — t 8 (sin co6 -)- со cos co6). Формула B8) дает приближенное значение , = — A—e-bcosco6); формула B9)—значение /B9) = —г [со — е ~ ь (со cos (nb—sin соб)]. Обе приближенные формулы имеют погрешность порядка 1/со2. Рассмотрим теперь случай, когда быстроколеблющаяся функция F(x) под знаком интеграла B5) имеет график, как на рис. 20, т. е. меняет как свою амплитуду, так и частоту. В этом случае интеграл B5) ча- часто бывает возможно записать в виде ь sin (cocp (х) + a) dx, C1) Рис. 20. гдеф(лг)—возрастающая (ноуже не с постоянной скоростью!) функция. Интеграл C1) можно привести к виду B6) с помощью замены переменной интегрирования ф(лг) = 5. Если обозначить через x — g(s) обратную функцию, мы получим /= \ f{g{s))g'{s) sin (as + a) ds.
Применение приближенной формулы B8) дает 82 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. Ill иближенной формул )) S' (s) cos (cos + a)] j j(a) =-^[^cos^w+a>]|L C2) (при этом мы воспользовались формулой g/ {s) — \/(f' (x) для произ- производной обратной функции). Если q>(x)=sx, то формула C2) пере- переходит в B8). Видоизмененная формула B9), которую мы предлагаем вывести читателю, приобретает вид . F'(x) Упражнения а 1. Примените формулы B8), B9) и C0) к интегралу \ - а rfx. — а 2. Напишите аналог формулы C0) для интеграла C1). 2 Г* si п сих 3. Вычислите интеграл /= \ d*- при со = 1 и со= 10 по приближен- приближенным формулам B8), B9) и C0). Сравните полученные значения с точными, найденными по таблицам интегрального синуса. § 5. Числовые ряды Числовым рядом называется «бесконечная сумма» чисел аг + а2 + а3+...-гал + а„+1+ ...*). C3) Конечно, это не совсем «настоящая» сумма, так как реально можно сложить лишь конечное количество чисел, это — сумма «с особенно- особенностью», аналогичной особенности для несобственных интегралов, рас- рассмотренных в § 1. Поэтому и подход к понятию суммы ряда C3) аналогичен тому, который был применен в § 1. Именно, сначала особенность как бы отрезают, т. е. рассматривают частные суммы ряда C3) S1 = a1, Si = a1 + a2, S3 = a1-\-a.z + a3, ..., Sn=a1 + al + a3+...+an. C4) Если теперь увеличивать л, т. е. «исчерпывать особенность», и сле- следить за поведением частной суммы C4), то могут представиться два случая: 1) частная сумма может приближаться к определенному конеч- конечному пределу б1, так что для больших п она практически просто *) Такие ряды встречались в ВМ, начиная с § 11.17. Здесь мы рассмотрим эти ряды более систематично. В этом параграфе используются результаты § 1.2.
§ 5] числовые ряды 83 равна S. В этом случае ряд C3) называется сходящимся, а сумма его полагается равной б1. Таким образом, в случае сходимости можно от частной суммы с большим номером переходить к полной сумме ряда и обратно, т. е. вклад особенности в полную сумму ряда не является существенным, он как угодно мал при большом я; 2) частная сумма может стремиться к бесконечности или может колебаться, не имея определенного предела. В этом случае ряд C3) называется расходящимся. Простейший пример сходящегося ряда дает сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии ?+...+cuF-1 + cur+...(\q\<l). C5) В данном примере, как известно, и так как при больших п степенью q" можно пренебречь, то в пре- пределе получаем сумму ряда C5) Ряд 1 + 1 + 1 + ... —это пример ряда, расходящегося к бесконеч- бесконечности, а ряд 1 —1 + 1 —1 + 1 —1 + ...—это пример ряда, расхо- расходящегося «колебательным образом», так как его частные суммы последовательно равны 1, 0, 1, 0, 1, ... и не имеют определенного предела. Так как у сходящегося ряда частные суммы с большими номе- номерами почти одинаковы, то его члены с большими номерами почти равны нулю; более точно: если ряд C3) сходится, то его «общий член» ап с возрастанием номера стремится к нулю. Однако и у рас- расходящегося ряда общий член может стремиться к нулю: например, так будет для расходящегося ряда , 1 ^^ ,_J 1 То, что этот ряд расходится, можно показать так: £п = + +>++++ л y уу7ТУ у = ]/п s-oo.) Следовательно, только по этому признаку нельзя установить сходимость ряда. Тем не менее, если зависимость общего члена ап от номера п нам известна и имеет не очень слож- сложный вид, то сходимость или расходимость ряда C3) обычно бывает нетрудно установить на основании других признаков, которые мы вскоре укажем. Если же такой простой зависимости установить не
84 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ ГЛ. III удается, то просто вычисляют члены один за другим, и если они выходят за пределы принятой точности вычисления, причем нет основания ожидать, что дальнейшие члены дадут в сумму сущест- существенный вклад, то все дальнейшие члены отбрасывают, ряд объявляют сходящимся, а его сумму равной частной сумме вычисленных членов. Первый признак сходимости ряда C3), так называемый признак 'Даламбера, основан на аналогии с суммой бесконечной геометриче- геометрической прогрессии C5). Для «чистой» прогрессии C5) отношение каж- каждого последующего члена к предыдущему есть величина постоянная (равная знаменателю q прогрессии). Допустим теперь, что для ряда C3) отношение последующего члена к предыдущему уже не постоянно, но стремится к некоторому пределу q с возрастанием номера. Тогда для больших я это отношение приблизительно равно q и, как и ряд C5), ряд C3) сходится, если | ^ j = lim -^±i <^\) рЯд C3) расходится, если \q\ > 1. И только если |^|=1, то по признаку Даламбера нельзя установить, сходится ли ряд C3), так что приходится применять другие признаки. Рассмотрим, например, ряд — 4- — 4- — 4- 4-—4- Применяя признак Даламбера, найдем Таким образом, при |а|<1 ряд C6) сходится со скоростью гео- геометрической прогрессии, а при |а|>1—расходится; при а — ±\ признак Даламбера к ряду C6) неприменим. Рассмотрим теперь более сильный интегральный признак Коши, применимый к ряду с положительными членами. Допустим, что известно выражение общего члена ап ряда C3) в виде функции от номера я, т. е. а„=/(я), причем функция /(я) положительна и убывает с ростом я. Тогда в силу формулы A.9) в качестве при- приближенного значения для частной суммы C4) можно принять C7)
§ 5] числовые ряды 85 Таким образом, если интеграл C8) \f{x)dx сходится, то правая часть C7) при п—>■ оо остается конечной, т. е. ряд C3) сходится. Если же интеграл C8) расходится к бесконечно- бесконечности, то и ряд C3) расходится. Рассмотрим, например, ряд Tr+i+h+---+h+-- C9) который получается из ряда C6) при а—\, когда признак Далам- бера не действует. Чтобы применить интегральный признак Коши, надо рассмотреть интеграл 00 Cdx J хР' 1 Этот интеграл был рассмотрен в § 1 (формула C)), где мы пока, зали, что он сходится при р>1 и расходится при /?<!1. Значит, и ряд C9) сходится при р>1 и расходится при р<!1. В част- частности, при р = 1 получаем так называемый гармонический ряд 1+т+т+•••+£+• "в0°- Что касается рядов с членами произвольного знака, то здесь ча- часто применяется признак Лейбница, согласно которому ряд al—a2 + a3—at + ai — ae+... D0) (все а,- считаются положительными, так что знаки двух соседних слагаемых противоположны) сходит- сходится, если ^? 8 В самом деле, если на некоторой ; вспомогательной оси изобразить Рис. 21. (рис. 21) частные суммы ряда C2), то из условия D1) вытекает, что переход от St к 52, от 52 к S3, от S3 к St и т. д. имеет вид затухающих колебаний, т. е. эти част- частные суммы стремятся к определенному пределу. Таким образом, например, ряд 1 2p~^~ZP iJ5 сходится при любом р > 0.
86 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [гЛ. Ш Если, как в предыдущем признаке, члены ряда D0) имеют вид /(л), то приближенное значение его суммы можно подсчитать по методам § 1.2. О способах уточнения этого значения будет сказано ниже. Сходящиеся ряды с членами произвольного знака (не обязательно знакочередующиеся, как D0)), бывают двух типов: 1) может оказаться, что сходятся как «положительная часть» исходного ряда (т. е. ряд, составленный из одних положительных членов исходного ряда), так и его «отрицательная часть». Тогда исходный ряд называется абсолютно сходящимся, так как сходится и ряд, составленный из абсолютных величин его членов; 2) может оказаться, что и положительная и отрицательная части исходного ряда расходятся к бесконечности, но сам ряд сходится из-за компенсации этих бесконечностей. Такой ряд называется не- неабсолютно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Например, вспоминая о ряде C9), мы заключаем, что ряд D2) при р>1 абсолютно сходящийся, а при 0<р^1 неабсолютно сходящийся. Со сходящимися рядами можно производить такие же действия, как и с конечными суммами, так как практически сумма сходящегося ряда просто равна его частной сумме с достаточно большим номе- номером. Не совсем очевидное осложнение возникает при перестановке членов сходящегося ряда. Именно, на сумме абсолютно сходящегося ряда такая перестановка не сказывается, но неабсолютно сходящийся ряд может после перестановки членов изменить свою сумму или даже стать расходящимся, так как такая перестановка может изме- изменить или даже нарушить «компенсацию бесконечностей», о которой было сказано выше. Рассмотрим, например, сходящийся ряд 1-У¥+7Т рТ+ТТ~ТТ+>" D3) и переставим в нем члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный: ! г J! , J i J! , J4- -1 l—4- Частная сумма S3n с номером Зя этого ряда состоит из группы по- по3n ложительных слагаемых и группы отрицательных слагаемых 11!
§ 5] числовые ряды 87 Но первая сумма превосходит ~  -/—т I -./—77 Г ,/—~ Г • • •  -шГл —^ Г ,/--— > V~2 ' /1 ' /6 и потому общая сумма о . 1,1 1 ' * I * I I ' I ' ^ ~ -./ :—~ \ • • • "Г -.Гп г ~Г~ ~г-рг- \ • 1^2 В силу оценки A.11) правая часть приближенно равна ► оо. Итак, 'из двух рядов D3) и D4), различающихся лишь порядком членов,- первый сходится, а второй расходится к бесконечности. Если мы хотим, как это часто делают на практике, заменить сумму ряда на частную сумму нескольких его первых членов, то для этого ряд должен не просто сходиться, а быстро сходиться, чтобы, взяв небольшое число членов, мы почти исчерпали полную сумму, получив ее с хорошей точностью. Для медленно сходящихся рядов (ими, в частности, обычно оказываются неабсолютно сходя- сходящиеся ряды) приходится остаток ряда не отбрасывать, а оценивать по методам § 1.2. Как для сходящихся, так и для расходящихся рядов бывает су- существенно найти асимптотический закон изменения частной суммы в процессе увеличения ее номера. Это можно сделать с помощью методов § 1.2, т. е. с помощью применения формул A.9), A.11), A.14) или A.15), хотя при этом получается определенная ошибка. Ограничимся для простоты рядами с положительными членами. Обычно частная сумма ряда имеет вид где число членов возрастает за счет увеличения п, а величина /: остается неизменной. Так, например, из суммы S^I+y+T получается сумма
88 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. III ИЛИ В таком случае, как правило, абсолютная величина ошибки не уменьшается с увеличением числа членов суммы. Рассмотрим примеры. 1. 5„ = 1 + 53 + оЗ+ • • • Ч—г • Согласно (Ml) получим $п ~ \ ~^ — 2 г. По формуле A.9) находим 2 S ~ С —4- — 4- — — 1 5 -4--1 -— 1 5 2/t—1 Известно, что при неограниченном увеличении п значение Sn не- неограниченно приближается к числу £ = -£-« 1,665. (Здесь мы не доказываем этого факта.) Для весьма больших п формула A.11) дает ^„ = 2 (ошибка 20%), формула A.9) дает 6^=1,5 (ошибка 10%). Отметим, что в этом случае легко уточнить расчет. Причина довольно значительной ошибки заключается в том, что первые члены суммы изменяются быстро, следовательно, на промежутке интегри- интегрирования, соответствующем расстоянию между двумя последователь- последовательными членами суммы, функция f(x) изменяется слишком неравно- неравномерно, а поэтому формула трапеций, на которой был основан вывод формул A.9) и A.11), дает плохой результат. Поэтому можно найти сумму нескольких первых членов непосред- непосредственным сложением, а к оставшейся сумме применить приближенные формулы. В нашем примере найдем сначала сумму первых трех членов непосредственно: 1 ' ■ « «" • ~ -ц =1,361. Пусть По формуле A.11) находим 6^_3 « 0,286 г-, по формуле A.9) находим S'n_3 & 0,281 ^т~ • Поэтому 6'„« 1,647 Ц-
§ 5] числовые ряды 89 по A.11) и о 1 ело 2n —I 5„ да 1,642 53Г- по A.9). При неограниченном увеличении п формула A.11) дает 5й 1,647, формула A.9.) дает 5^1,642. В каждом случае ошибка меньше 2%. 2. Рассмотрим сумму убывающей геометрической прогрессии S1+ + i++^ где z>l. Точная формула, как известно, такова: 1-4 — ' <> _ г" _ г"-1 откуда при неограниченном росте п находим 5 = -г. По фор- формуле A.11) получаем 1 1 1 #- I •- ~~ 1пг При неограниченном росте п находим 5«^~-. Из приведенной ниже таблицы видно, что при z, близком к единице, обе формулы дают близкие результаты: г 1,2 1,5 2,0 3,0 6,0 20,0 —5-г 6,00 3,00 2,00 1,5 1,20 1,05 V-- 6,00 3,01 2,04 1,57 1,36 1,49 In z Если же z^>\, то соседние члены прогрессии сильно отличаются и поэтому приближенная формула дает плохие результаты. В некоторых случаях сумма может неограниченно возрастать при увеличении числа членов, несмотря на то, что члены суммы неогра- неограниченно уменьшаются (это случаи расходимости соответствующих бесконечных рядов). Рассмотрим примеры.
90 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. III По формуле A.11) получаем 1 2 V X I 2 П 1 1 2 1 2 9 l/ — *• 1/ 1 Л+ 2 ' /" 1 По формуле A.9) получаем При больших п получаем из A.11) ~я—1,41, а из A.9) 5n«2V л—1,50. (При этом мы отбрасываем член, про- пропорциональный —==- . J Более точная формула (она получается непосредственным сложе- сложением нескольких первых членов) такова: л- 1,466. 2. Во многих вопросах встречается сумма При больших п, пользуясь формулой A.11), находим Snm\nn-\- + In 2 = In n + 0,69, а пользуясь A.9), находим Sn да In /; + 0,50. Предел разности 5П — 1пл при неограниченном увеличении п обозна- обозначается буквой С и называется постоянной Эйлера. Таким образом, можно написать формулу 5'п = 1п п-\- С + а„, где ап —* 0 при л—»-оо. Поэтому асимптотически точная формула имеет вид Sn та 1п п-{- С. Мы получили весьма грубые приближенные значения для постоянной Эйлера, однако при помощи формул A.9) и (Ы1) можно получить более точное значение С, суммируя непосредственно несколько первых членов. Оказывается, что С = 0,5772... Теперь рассмотрим суммы, члены которых растут с увеличением п. Величина такой суммы неограниченно возрастает с увеличением числа членов, т. е. с ростом п. При увеличении п возможны два случая. 1. Ошибка приближенных формул A.9) и A.11) с увеличением п уменьшается (по абсолютной величине) или хотя и увеличивается, но медленнее, чем сама сумма, так что относительная ошибка умень- уменьшается. Этот случай получается, если члены суммы возрастают мед- медленнее геометрической прогрессии, например, как степени.
§ 5] числовые ряды 91 2. Относительная ошибка (а тем более и абсолютная) с увели- увеличением п не уменьшается. Второй случай получается тогда, когда члены суммы возрастают в геометрической прогрессии, т. е. когда сумма имеет вид Sn = а -\- -\-ау -\-ауг-{-ау3-{- . .. -j-qy", где |_у|>1, а также если члены суммы растут быстрее прогрессии, например Sп=у-{-у*-{-ув-{-.. .+у"г. В этом случае последний член составляет основную часть всей суммы. Например, для случая суммы Sn =y +yi +у* + ... +уп* мы приводим с таблицу значений величины —^- при у = 2: и 1 2 3 4 5 2п"~ 2 16 512 65 536 33 500 000 Sn 2 18 530 66 066 33 600 000 S>1 I 1,12 1,03 1,01 1,003 2" Из таблицы видно, что при больших п величина всей суммы практически определяется величиной одного последнего члена. Аналогичная картина имеет место и для возрастающей геометри- геометрической прогрессии. Действительно, в формуле Sn=\+z+...+z = (И>1) пренебрежем единицей по сравнению с zn, тогда получим Поэтому "\ ж ——: г- = г- = const гп-\ zn-1{z—l) г — 1 (при достаточно больших п). Значит, в этом случае доля вклада последнего члена приближается к постоянному числу, а при больших \z\ эта доля близка к 1, Ясно, что в этом случае нет надобности в формулах суммирования. Действительно, для того чтобы получить величину суммы с хорошей степенью точности, достаточно найти сумму нескольких последних членов. Формулы суммирования полезны тогда, когда отношение суммы к последнему члену возрастает с увеличением п. Тогда формула дает возможность сократить вычисления при больших п. При этом всегда осуществляется случай 1, т.е. относительная ошибка формул A.9) и A.11) обязательно уменьшается. Приведем пример. Из элементарной алгебры известна формула и3 , п1 , п
92 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. Ш Применим к сумме Sn приближенную формулу A.11). Получим _ и3 и2 п ""Т + Т + Т* Абсолютная ошибка равна S'n—$п = ~\2 и» следовательно, растет с увеличением п. Относительная ошибка Sn-Sn _ п _ п 1 Она быстро уменьшается с увеличением л. Рассмотрим сумму (р> — 1). Применив формулу A.10), мы получим Таким образом, при больших п справедлива простая, хотя и грубая формула Упражнения 1. Уточните значение постоянной Эйлера С (см. стр. 90), найдя непосред- непосредственно сумму пяти первых членов, десяти первых членов. 2. Пусть дана сумма Sn = «i + «2+...+«« такая, что 0 < и1 < и2 < и3 < ... < ип. Образуем сумму Ясно, что члены этой суммы убывают. Как ведет себя с„ с увеличением п, если Sn есть возрастающая сумма первого типа; второго типа? *) В случае, когда р — целое положительное, элементарная алгебра позво- позволяет написать точную формулу для Sjf* (в частности, мы пользовались такой формулой для р = 2). Однако при больших р формулы становятся громоздкими, поэтому приведенная грубая формула может оказаться полезной и для целых положительных р.
§ 6] ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 93 § 6. Интегралы, зависящие от параметра Рассмотрим интеграл вида ь I=\f{x,X)dx, D5) где под знак интеграла, помимо переменной интегрирования х, вхо- входит параметр (произвольная постоянная) %, т.е. величина, которая в процессе интегрирования считается постоянной, но вообще может принимать различные значения. Тогда и результат интегрирования, вообще говоря, зависит от X, т.е. 1=1 (к). Такие интегралы часто встречаются в приложениях, когда интегрируемая функция включает в себя какие-либо массы, размеры и т. п., которые в процессе интег- интегрирования являются постоянными. Приведем простые примеры: E> —1). При рассмотрении собственных интегралов имеют место те же свойства, что и при рассмотрении конечных сумм функций. Так, мы знаем, что производная от суммы функций равна сумме производных. Подобным образом производная от интеграла D5) по параметру равна dl С df(x, X) . интегралу от производной по этому параметру: -jr= \ \«—-ах; а здесь под знаком интеграла стоит производная от функции /(х, X), по X, взятая при фиксированном х. Аналогичное правило выполняется при интегрировании по параметру: Р ь /Р \ $/(*,)<&=$( $/(*, X)dXjdx. а а \а ' Для проверки этих простых правил надо было бы выписать их для интегральных сумм, а затем перейти в пределе от сумм к интегра- интегралам, однако мы не станем здесь этим подробно заниматься. Для несобственных интегралов, зависящих от параметров, могут возникнуть осложнения, связанные прежде всего с возможностью их расходимости. Наиболее просто обстоят дела для «правильно сходящихся» несобственных интегралов; так, интеграл вида \)dx, D6)
94 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. III где сама функция / конечна, называется правильно сходящимся, если он мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от параметра, т.е. если |/(лг, ^) мер, интеграл , где J F(x)dx < оо. Напри- а правильно сходящийся, так как sin Хх 1 Г 1 , —г . \ —~-ах = х2 ' J xJ оо. Свойства правильно сходящихся интегралов такие же, как собствен- собственных интегралов*). При изучении неправильно сходящихся, а также расходящихся интегралов вида D0) часто поступают следующим образом: отрезают особенность, т. е. переходят к собственному интегралу N после чего рассматривают асимптотическое поведение этого интеграла при ./V—*■ оо. Этим бывает возможно оправдать действия над несоб- несобственными и даже расходящимися интегралами. Очень важно, что результат выполнения различных действий — вычитания, дифференцирования по параметру и т.д.— над расходя- расходящимися интегралами может оказаться конечной величиной, в част- частности, может выражаться через сходящиеся интегралы (может слу- случиться и обратное). Рассмотрим, например, расходящийся интеграл После дифференцирования по параметру мы приходим к сходящемуся интегралу d/ a I *). Здесь требование правильной сходимости можно заменить на несколько менее ограничительное требование равномерной сходимости, которое означает что max их J N 0. JV->oo
§ 6] ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 95 Чтобы разобраться в смысле полученного равенства, отрежем осо- особенность, что даст N = \n(N+%)—\nX. х=0 Дифференцируя, получим dIN dX ' x • dIN dX — Y, т. е. мы при- Если теперь N—уоо, то IN(k)—±oo, a ходим к полученному выше результату. Аналогичный смысл (про- (проверьте!) имеет равенство о Поясним еще на примере осложнение, которое может получиться для неправильно сходящихся интегралов. Рассмотрим интеграл sin Хх dx. Можно проверить (см. упражнение 2), что при 1=1 он сходится и равен Y- Отсюда с помощью под- подстановки Хлг = 5 при % > О сразу следует, что r\ jN(A), малое Н Л JH(A), большое N 2 Рис. 22. В то же время при Х = 0 полу- получается /=0, а при X, < 0, вынося — 1 за знак интеграла, получаем, что /= —я/2. Итак, в данном при- примере I (к) при ?v = 0 имеет скачок. Это может показаться стран- странным, так как при малом изменении % подынтегральная функция меняется как угодно мало. Однако малое изменение подынтегральной функции на бесконечном интервале может привести к немалому изме- изменению интеграла! На рис. 22 показаны разрывный график /(%) и *) Начиная с пятидесятых годов XX века физики, развивая квантовую электродинамику, широко пользуются несовершенной теорией, которая содер- содержит расходящиеся интегралы; при этом вычисляют величины типа производ- производных и разностей этих интегралов. Такие величины оказываются конечными и великолепно согласуются с опытом, который является высшим критерием истины.
96 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. Ill графики ° -'п Хх , —— dx о при различных N. Хотя эти последние и не имеют разрыва, но при »г Я. Л большом N переход от •—к к -^ совершается на малом интервале X, причем чем больше ./V, тем этот интервал меньше. В пределе, при N= со, этот переход осуществляется на бесконечно малом интервале X, т. е. появляется разрыв. К функциям 00 0D sin Хх , д1 С , . dx и -~г- — \ cos Xx dx (в других обозначениях) мы еще вернемся в § VI.3 в связи с теорией разрывных функций и в § XIV.2 в связи с преобразованием Фурье. При рассмотрении рядов, члены которых зависят от параметра, возникают в точности те же вопросы, что и при рассмотрении несобственных интегралов, зависящих от параметра. Получающиеся здесь свойства совершенно аналогичны, и потому мы не будем их здесь приводить. Упражнения 0D 1. Исходя из интеграла \ е~^ dx(k > 0), получите с помощью дифферен- о 0D цнрования по параметру при Я = 1 значение интеграла \xne~xdx (ср. § 3), U 0D \ а с помощъю интегрирования по параметру — значение интеграла \ dx о (отметим, что в последнем примере неопределенный иитеграл не выражается через элементарные функции). со 2. Исходя из интеграла V е~кх sin x dx(k > 0), интегрируя по параметру (I в пределах от а до р1, а затем полагая E—>.оо, получите формулу re-«!iE£rf;t = JL_arctga (a > 0). D7) J x 2 и (Значение этого интеграла при <х = 0 упоминалось в тексте.)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ § 1 Непосредственно применять способ трапеций или Симпсона нельзя, тпк как подынтегральная функция обращается в бесконечность при х = 0. Поэтому разобьем промежуток интегрирования на два: от х=0 до * = -V » от х — ~с~ до х = ^ . При 0<д:<-^- справедливо соотношение sin л х, поэтому 2 Г Л* Интеграл /2= I - ,-——■. подсчитаем по формуле Симпсона. Разбив промежу- л 6 ток на две части, получим /2 « 1,13. Отсюда я ■z \ dx и 0,98 + 1,13=2,11. « ^/sin д: §2. 1. Значение первого из этих интегралов было получено (см. задачу 2 упраж- 00 иеиий к § I. 1). Найдем \ ■ х,. • Подынтегральная функция есть j (х) = з i поэтому /' (х)=—. х, 11J* • Так как /' C) ф 0, то применяем фор- фор= х ,, i поэтому / (х)=—. х, 11J мулу A9). Получаем ^0,63+0,23 = 0,86. з о Отметим для сравнения, что точное значение искомого интеграла (с двумя зна- знаками после запятой) есть 0,82. 2. 0,67; 0,59. (Точнее значение с тремя знаками после запятой есть 0,612.) 3. Здесь у = е~х2, у'=—2хе~х\ а = Л'; по формуле A9) получаем, что как и было указано на стр. 65. §3 Рассматривая дробь D после указанного преобразования равна [2-4-6...Bя—2)]j {2"-1-l-2-3...(n—l)]i 22"~a [(« —I)!K l/"Snl-2-3-4...Bn — 3)Bя — 2)= УшBп — 2)\ = l^Hn B/i —2I 4 Я. Б. Зельдович, Л. Д. Мышкпс
98 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ И РЯДАХ [ГЛ. III Применяя формулу Стирлиига, получаем при больших п 2Л Aп — 2) ( 9\2л-2 1= ] _ 22"-2 2я (га— 1) (п— IJ"-2 е-'2"-^ §4 2. 2sincoa . . 4a cos соя . . 4a cos сод ; У'+ 2 A+a2J' (so)~"'B8>~co2 A+a2K \Ф ( 3. При co=l точное значение / = si2co—si со = 0,66; приближенные значе- значения: /B8)=0,75, /B9)=0,13, /C0) = l,36; как видим, точность совершенно не- неудовлетворительная. При со= 10 точное значение / = — 0,110, приближенные значения: /(гв) = — 0,104, /B9) =—0,115, /(зо>=—0,112, точность порядка нескольких процентов. §5 — — 1 1 1 1. Sn = S5 + Sn_3, rfleSn_5 = -g- + y+...+—. Примеияя формулу A.9), п получим Sn_6 « \ ——-р5 + 9~~ In « —In 6+0,083. Так как 6 S6 = l+y + | + | + y-2,283, те Sn« ln«—1п6+0,083 + 2,283=1п«+0,575, откуда С = 0,575. Суммируя 10 первых членов, получим С=0,576. 2. В первом случае ап иеограиичеиио увеличивается при неограниченном увеличении п, во втором случае а„ иеограиичеиио приближается к 1. §6 1. Имеем CD fe-xxdx=eJ±L" =1 ^>в)- D8) о Этот интеграл правильно сходится иа любом промежутке а<А<Р, где О < a < P < оо, так как иа таком промежутке е~кх <е~аХ, а \ е ах dx < оо. о
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 99 Дифференцируя по параметру X, получаем последовательно — xf e~^ dx=(—l)(—2) l~3;...; С (_ х)п е-\х dx=(—\)(—2)...(—«) K- о Полагая Х = 1 и сокращая на (—1)", получаем x"e~x dx = n\. о Интегрируя формулу D8) по параметру от 1 до %, получаем '■ dx = In X. в \i 2. Интеграл вычисляется элементарно, с помощью неопределенного интеграла. Как и в задаче 1, интеграл правильно сходится на любом интервале ?P (О < а < Р < оо). Интегрируя по X от а до р, получаем I (e-ax_e-p*)iiH dx = *) х — arctg a. Переходя к пределу при р—>. оо, получаем отсюда формулу D7). При а=0 эта формула дает Следует отметить( что формула D7) выведена нами при а > 0 и справедливость ее при <х = 0 требует специальиого обосиоваиия, иа котором мы здесь не будем останавливаться.
ГЛАВА IV ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ До сих пор мы рассматривали только функции одной независимой переменной; функции нескольких переменных встречались у нас только эпизодически (см., например, ВМ, § 11,12). Теория функций, зависящих от нескольких независимых переменных, содержит много новых моментов. При этом почти все принципиально новые положе- положения проявляются уже на примере функции двух переменных: z=f(x,y). Для простоты мы будем, как правило, рассматривать именно этот случай. Само понятие функции двух переменных достаточно просто: вели- величина z задается какой-то формулой или таблицей так, что каждой паре значений х и у соответствует определенное значение z. § 1. Частные производные В случае функции одной переменной g—g(x) малое изменение dx переменной х приводило к малому изменению функции g, причем g (х + dx) — g (x) = g1 (x) dx. В этой формуле, правая часть которой обозначается через dg, мы пренебрегаем членами порядка (dx)*, так как dx есть весьма малая величина. В случае функции двух переменных изменение функции происходит в результате изменения обеих переменных х и у и равно f(x + dx, y + dy)—f(x,y). Покажем *), что это изменение состоит из двух частей, причем одна часть пропорциональна dx, а другая пропорциональна dy, т. е. f(x + dx, y + dy)—f(x,y) = adx + bdy. A) При этом мы пренебрегаем членами порядка (dxJ, (dy)-, dx-dy, так кмк dx и dy — весьма малые величины. *) Здесь мы с некоторыми изменениями повторяем рассуждение § 11.12 ВМ.
§ 1] ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 101 Запишем левую часть A) так: f(x + dx, y + dy)—f(x,y) = f( , y + dy) — ,y)+f(x+dx,y)—f(x,y). Рассмотрим разность двух последних членов f(x-\-dx, у)—f(x, у). При каждом конкретном, закрепленном у эта разность, с точностью до членов порядка (dxJ, есть дифференциал функции, зависящей только от х: дх dx, где , у) обозначает производную функции f(x, у), вычислен- «ую в предположении, что у постоянно. Такая производная назы- называется частной производной функции f(x,y) no x при постоянном у; ее можно обозначить и так: f'x(x,y). Аналогично, с точностью до членов порядка (dyJ, где f(x + dx, df(x+dx,y) x+dx dy, dy x+dx есть частная производная по у при постоян- постоянном первом аргументе, равном x-\-dx. Ясно, что величина df(x + dx,y) ду x+dx дЦх, у) ду L тем меньше, чем меньше dx, точнее, df(x+dx,y) ду x+dx df(x,y)\ _ ду -adx, где величина а ограничена. Левая часть A) при указанных упроще- упрощениях равна df(x,y) дх df (x, у) ду -\-adx\ dy — _df(x,y) дх Окончательно, учитывая, что членом adxdy можно пренебречь, получаем, что с точностью до величин порядка (dxJ, (dyJ и dxdy левая часть A) равна сумме, которая обозначается через df и назы- называется полным дифференциалом функции /: df= df(x,y) дх df(x,y) dy. B) Из сравнения с A) находим
102 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV Если по смыслу ясно, какая величина считается постоянной при вычислении частной производной, то ее не указывают и вместо -^- пишут короче: -~. Однако поскольку в задаче в целом перемен- переменными являются и х и у, то производную пишем с круглыми д, чтобы отличить ее от обычной производной*). Из сказанного следует, что величину —- следует находить так, как будто бы у в выражении df f(x, у) не изменяется. Точно так же ^- находим, считая, что изме- изменяется только у, а х остается постоянной. Например, если C) то -J- = 2ху3 -\- еу, J- = Зх2у2 -\- хеУ. ОХ иу Чтобы представить формулу B) более наглядно, рассмотрим «плоскость независимых переменных», т. е, плоскость х, у. Каждая точка М на этой плоскости имеет И f df Sf . определенные координаты х, у и дх^ду У потому этой точке отвечает оп- определенное значение функции f(x, у); можно считать, что функ- функция в каждой точке плоскости принимает определенное значе- значение. Если мы дадим малое при- приращение только переменной х, или только у, или обеим сразу, j то мы получим на плоскости х, у точки малого прямоугольника Рис, 23. MNPQ, изображенного в увели- увеличенном размере иа рис. 23. Внут- Внутри прямоугольника обозначены координаты его вершии, а вие его выписаны значения функции (с отброшенными малыми второго по- порядка) в соответствующих вершинах; под / понимается значение f(*,y)- Формула, аналогичная B), справедлива для любого числа неза- независимых переменных, а ие только для двух, например df(x, у, z, и) = = -^-dx-\- -j- dy-\--J- dz-\--l-du. При этом -J- вычисляется в предполо- *) В формуле — (ekx) = kekx мы также, по существу, имеем дело с част- частной производной, вычисленной при постоянном k. Однако здесь иет надобности употреблять знак частной производной, потому что k оставалось постоянным в ходе всего рассмотрения задачи.
§ 1] ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 103 df жении, что у, z, и постоянные, -£- вычисляется в предположении, что х, z, и постоянные, и т. д. Покажем на примере, что величина частной производной сущест- существенно зависит от того, как выбраны другие, закрепленные леремен- Сср2 о2 ные. Из физики известно, что энергия конденсатора ^7=^~=='^"> где q=C(f, здесь С-—емкость конденсатора, ср — разность потен- потенциалов на его обкладках и q — количество электричества, т. е. dW заряд. Рассматривая зависимость IF= и7(С, ср), получим -т-=г ф2 \j7 gyp — -^ =-т=г-. Рассматривая зависимость W= W(C, q), получим ^r— 92 W „ dW\ dW = -2Ci = - —• П0ЭТ0МУ dcl = --d До сих пор мы считали переменные хну изменяющимися со- совершенно независимо одна от другой. Пусть теперь они сами зави- зависят от некоторой переменной t, т. е. x=x(t), y = y(t). D) Эти равенства «параметрически» задают на плоскости х, у некото- некоторую линию, причем параметром служит t (см., например, ВМ, § IV.8). Параметр t может иметь различный физический смысл, однако удоб- удобнее всего его рассматривать как время, т. е. считать, что рассмат- рассматривается траектория точки, движущейся в плоскости х, у. Тогда z=f(x, y)=f(x(t), y(t)), так что в действительности z есть функ- функция одной переменной t, только заданная сложным образом. Найдем ее производную -г (полную производную вдоль линии D)) *). Так как из B) и D) получаем . dz , . dz , дг dx ,, , dz dy ,, fdz dx . dz dy dz = lTxdx + Tydy = ¥x*dt+d-yitdt=[rT + -7 TO dz _dz dx , dz dy Tt~~dxTt~T"dy~dl' В частности, если z = f(x, у), где у = у(х), то ^ = ^ + ^^- -г- видим, что значение -г- полной производной вдоль линии при дан- данных х, у зависит не только от вида функции /, но и от -~ , т. е. от наклона линии в данной точке к оси х. Обе последние формулы легко понять с помощью рис. 23. Если точка за время dt перешла из положения М в Р вдоль пунктирной *) Советуем читателю повторить вывод формулы для производной сложной функции одной переменной (см., например, ВМ, § 11.3).
104 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV линии, то скорость изменения функции равна dx + dy df _fadx + dj}dy _dfdx , df dy dt~ dt ~ dx dt ' dy dt ' Для получения второй формулы надо df относить не к dt, а к dx. Рассмотрим для примера случай, когда некоторая величина и, например давление или температура в потоке газа, определена в каждый момент времени t в каждой точке (*; у; z) пространства. Тогда эта величина и будет функцией четырех переменных х, у, z, t, т. е. и = и(х, у, z, t). Пусть, далее, задан закон движения x = x(t), y — y(t), z = z(t) некоторой частицы Ж. Если рассматривать значение и в Ж по мере движения, то это значение будет представлять со- собой сложную функцию времени: u = u(x(t), y(t), z(t), t). Скорость изменения этого значения и, т. е. скорость изменения величины и «вдоль траектории», равна, в силу формулы для произ- производной сложной функции, du dudx.dudy.dudz.du ._. Если величина и не зависит явно от t (тогда говорят, что «поле и стационарное»), то ^- = 0, и справа остаются только первые три слагаемых; таким образом, они дают скорость изменения и, полу- полученную только за счет перехода точки М вдоль траектории от одних значений и к другим (например, если и—температура, то за счет перехода из менее нагретой части пространства в более нагретую и т. п.). Эта скорость называется переносной (конвективной). Пос- Последнее слагаемое дает скорость изменения поля в неподвижной точке, полученную из-за нестационарности поля; эта скорость назы- называется местной (локальной). В общем случае действуют оба указан- указанных фактора, и скорость изменения поля вдоль траектории склады- складывается из переносной и местной скоростей изменения поля. Вернемся к случаю функции z — f(x, у) от двух независимых переменных. Ясно, что частные производные ^- и -г- этой функции сами зависят от х и у. Поэтому можно находить их частные произ- производные. Эти частные производные называются частными производными второго порядка, их частные производные — частными производными третьего порядка и т. д. Можно образовать следующие частные про- производные второго порядка: d f dz\ d fdz\ d Idz\ d (dz\ dx \dx) ' Ъ~у \d~xj ' Tx \Ty) ' dy \dy) '
§ 1] ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 105 или, в других zxxz обозначениях, d4 „ d4 OX* OX Oy zyx d4 dydx ' zyy d4 di/'- „ д-z дЧ Производные ^—г- и , . называются смешанными. ^ дхду дудх Так, в примере C) Ту хеУ) = хеУ) = дЧ дЧ Мы видим, что в этом примере ,,=,,, т. е. смешанные про- производные не зависят от того, в каком порядке производится диффе- дифференцирование. Покажем, что и в общем случае смешанные производные равны. Для этого заметим, что согласно определению производной (см. § II.2) дЧ дхду х=хо~ ду\дх] \х=х„' У=Уо У = Уо dz дх dz (с любой точностью), если только k достаточно мало*). Томно так'же _f(xo + h, yo + k) — f(xo—h, ур + k) dz дх dz_ дх 2А _f(xo+h, yo—k)—f(xo—h, yo — Подставляя эти выражения в формулу для смешанной производной, получим _f(xo + hl yo + k)—f(xo—h, дхду o — k)—f(xo—h, yo — k) Ahk F) Теперь таким же образом получим, что dz ~д~у дЧ дудх д [dz х-х0 дх \dyj \х= x=xo __ 11 = Уо ^1 dy\x=x0-h У=Уо 2/г У=Уо *) Точная формулировка: производная есть предел, к которому стремятся правая часть при к, стремящемся к нулю. Аналогичные формулировки отно- относятся к следующим формулам.
106 где dz dz ду ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ч f(*0 x=xo+h У=Уо x-xa-h У-Уо Окончательно находим ду дх Ц=Уо Ч + h, yo + k) — f(xo + h, y0 Ahk Сравнивая F) и G), видим, дЧ дудх _д -ft) ЧТО х=ха 2k o + k) — f(xu— 2k f(xo — h, yo-f дЧ ~~ дхду x=x0 , h, yo—k) f • k fix Ahk [r h, yQ-k У-Уа У=Уо а так как точка (х0; у0) совершенно произвольная, то эти производ- производные равны при всех значениях х и у. Подобным образом для производных любого порядка от функции любого числа переменных существенно только то, сколько раз по какой переменной производится дифференцирование, но не то, в ка- каком порядке это делается. Чтобы лучше уяснить смысл смешанной производной, найдите в плоскости независимых переменных те четыре точки, к кото- которым относятся значения функции, входящие в правые части фор- формул F) и G). Сравните F) и G) с аналогичными выражениями дЧ d2 ДЛЯ -5-7 И 3-5 дх1 Э(/2 1. z = *2 Упражнения тт - dz , , dz Найдите ^- при x=l, y= 1 и — при х = 2, у = 0,5. Найдите частные производные следующих функций: 2. z = e~(-t2+Jf2). 3. z=xey-\-yex. 4. z—xs\n у. 5. z = sin (лу). 6. z = Yx* -f уа. Найдите полные производные следующих функций: 9. z = a:3 + 3a:i/2, * = k у='е~К 10. Найдите *, если z = ln(.v+<^), i/=a;2. 11. Для всех функций задач 2—6 проверьте равенство дх ду ду дх '
§ 2] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 107 § 2. Геометрический смысл функции двух переменных Функцию двух переменных z = f(x, у) удобно представлять себе геометрически как уравнение поверхности z = f(x, у), где г есть высота, ахи у — координаты точки в горизонтальной плоскости (рис. 24). Однако изображать на плоском рисунке поверхность трудно. Поэтому для того, чтобы представить функцию двух пере- переменных графически, можно построить серию кривых, представляю- представляющих собой сечения поверхности £=/(х, у) плоскостями, параллель- параллельными плоскости xOz. Такие плоскости перпендикулярны оси у; на X [Рис. 24. Рис. 25. каждой плоскости координата у имеет постоянное значение. Пересе- Пересечение данной плоскости с поверхностью z=f(x, у) дает кривую z=/(x, у— const). Для наглядности удобно нанести несколько та- таких кривых на одном чертеже в координатах х, z. При этом мы получим семейство кривых. Например, на рис. 25 построено не- несколько кривых такого семейства для полусферы г = У 16—х2—у2. Около каждой кривой должно быть надписано значение у = уп, ко- которому соответствует эта кривая. Если дано семейство кривых, со- дг ответствующих у = const в плоскости х, z, то производная j- гео- dz метрически означает, так же как -т- в случае одной переменной, dz тангенс угла наклона касательной к оси х. Производную j- можно найти, составляя отношение г"+1 '—г" w; при этом нужны две со- Уп+1 — Уп седние кривые. Понятно, что функцию z=f(x, у) можно изобразить графически так же, если строить графики зависимости г (у) для х= const в плоскости у, z. Принципиально другой способ описания функции z = /(x, у) по- получается, если построить сечения поверхности z=/(x, у) горизон- горизонтальными плоскостями z — const, а затем нанести полученные кри- кривые (так называемые линии уровня) на плоскость х, у. Этот способ
108 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV применяется на географических картах для изображения рельефа местности. На рис. 26 показан пример такого изображения для функции z — x*" — у2. Каждая кривая соответствует определенному постоянному значению z. Рис. 26. Рис. 27. Как находить производные на графике такого типа? Часть гра- графика показана в увеличенном масштабе на рис. 27. Ясно, что если линии уровня проведены достаточно густо, то с любой точностью dz _zn+1— zn dz _zn+l—zn дх хь—ха ' ду Ус—Уа Чем ближе одна к другой расположены линии с различными значе- значениями z, тем больше частные производные. (Предполагается, что эти линии проведены через равные промежутки по z.) Упражнения Постройте семейство кривых, соответствующих у = const, для следующих функций: 1. z = xy. 2. z = x"-—yK 3. z= У ; 4. Постройте семейство кривых, соответствующих z = const, для функции г=&— у1. § 3. Неявные функции Применение понятий теории функций нескольких переменных часто оказывается полезным и при исследовании функций одного переменного. (Это применение было показано уже в ВМ, § 11.12, однако сейчас мы остановимся на нем более подробно.) Такая функция обычно задается с помощью «явной» формулы, например у = ахг или у = Ьеах и т. п., в которой непосредственно указано, как надо вычислять значение у, отвечающее данному х. Такие фор- формулы наиболее приспособлены к выполнению математических действий.
§ 3] НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 109 Другой возможный способ задания зависимости у от х—так на- называемое неявное задание, при помощи зависимости например или /(*, у) = 0, с3 + ;/3 + Заху = 0 х + у)я — ЬЦх — у) = 0 (8) (9) A0) и т. д. В этом случае для нахождения у при данном х необходимо ре- решить относительно у уравнение (8). Решение уравнения иногда имеет вид гораздо более сложный, чем формула (8). Так, в приведенном примере (9) Часто решение вообще не может быть написано в виде формулы и уравнение (8) можно решать только численно. Тем не менее и здесь бывают случаи, когда для исследования рассматриваемой функциональной зависимости достаточно привлекать только функции одного переменного. Именно так будет в случае, когда уравнение решено или легко решается относительно х, т. е. когда его можно записать в виде Х = Ч>(У), A1) а также в случае, когда уравнение можно разрешить в «парамет- «параметрической форме», о которой будет сказано немного позже. Так, в примере (9) у выражается через х весьма сложно, но легко можно найти х = ■ Ъау Тогда, задаваясь различными значениями у, легко найти соот- соответствующие значения х. Результат можно записать в виде табли- таблицы и изобразить на графике в координатах х, у. (Для случая а = 1, Таблица 4 У —4,0 -3,0 -2,0 -1.5 — 1,0 * 1 -5,08 —2,66 —0,83 —0,084 —0.67 1 -0,5 —0,25 0,25 0,5 1,0 X 1,91 3,98 —4,02 —2,02' — 1,33 У 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 X -1,42 -1,83. —2,48' —3,34 —5,58
по ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV с =1,44 см. таблицу 4 и график рис. 28.) Построив кривую, мы можем найти у по заданному х. Для этого (рис. 28) проводим вертикаль, соответствующую нужному х, и находим интересующее нас значение у*). Если имеется таблица значений х для некото- некоторых значений у, то величину у, со- соответствующую значению х, не име- имеющемуся в таблице, можно найти хотя бы с помощью линейной интер- интерполяции (ср. § II.1). д\ 2 3 Для этого по таблице отыскива- -3 -2 -1 \ : /^—J— л ем две пары чисел (г/х, xj и (у2, х,) такие, что хх < х < х2. Будем счи- считать, что при изменении х от xt до хг график функции мало отли- отличается от прямой линии y = kx-\-b. Рис. 28. Числа k и Ъ легко определить, поль- пользуясь тем, что у = уг при х — хх и у = у2 при х = хг. Действительно, y1=^kx1-\-b, y2 = kx2-{-b. Отсю- х. Уч—Ух и хгУ\—х\Уч. т-т да k = ——— , Ъ = -^ — . Поэтому Х — X Х — Х 1, — Значения у для всех х, расположенных между х1 и хг, можно под- подсчитать по полученной формуле. Эта формула для у тем точнее, чем ближе числа хг и хг, а также уг и у2, т. е. чем ближе одна к другой расположены точки в таблице. Как в таком случае найти производную -^? Для этого нет на- надобности решать уравнение и находить y = f(x). Если функция за- задана в виде х = <р(у), то dx = -jdy, откуда dy_ 1 _ 1 их dcp ф' (у)' Единственный недостаток этого выражения заключается в том, что производная получается заданной как функция у. Поэтому если нужно найти -~ при данном х, то нам сперва придется находить у, соответствующее данному х, а уже после этого подставлять *) Из рис. 28 видно, что некоторым значениям х соответствует одно значе- значение у, некоторым значениям х соответствуют три значения у, а одному значе- значению х соответствуют два значения у. Это объясняется тем, что уравнение третьей степени может иметь один, два или три вещественных различных корня (если корней два, то одни из них двойной, он соответствует касанию прямой х= = const и кривой).
§ 3] НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 111 найденное у в выражение dy 1 dx ф' (у)' На первый взгляд может показаться, что проще определять про- производную численно, как в § II.2. Действительно, если мы умеем определять у при данном х, то мы можем найти еще и у (х-\- Ьх), соответствующее величине лг+Дл;, после чего приближенное зна- значение производной определяем хотя бы по формуле Ьх В действительности такой способ гораздо хуже: в этом случае нам пришлось бы находить у для двух различных значений х, т. е. два раза решать уравнение A1). При этом величину у надо определять с высокой степенью точности, потому что нам нужна разность близ- близких значений у и малая ошибка в каждом из у дает большую от- относительную ошибку в их разности. В выражении для производной в знаменателе стоит малая величина Дл: и поэтому даже малая ошибка в числителе может привести к большой ошибке в произ- производной. Следовательно, лучше пользоваться формулой dy_ 1 dx" ф'(у) ' Отметим, что формула для второй производной имеет более сложный вид. Не следует думать, что d?y _ 1 __ 1 dx'1 dbc_ й2ф * It? 1ф В самом деле, эта формула неправильна даже по размерности: имеет размерность yjx2, а и ная формула получается так: имеет размерность yjx2, а и-з-у- имеет размерность у2[х. Правиль- Правильd*x _=_ _ _.= \_ 4>"(y) _ dx* dx \dx) dx dy \dxj ф' (у) dy Vф' (у) <Py _ d (dy\ _dy d (dy\ _ 1 df I \_ Ф"(у) dy- ь —" " a 1 4 I 4 alii ^^^™ ■>* ■ 1 "'41 ^^^^" Г f / \ 1 *> ^^^^^ '— "" " )у [ф (y)lJ Vdy\ Легко проверить размерность этого выражения: она такая же, как размерность отношения ■л:г/ =-^, что и должно быть. (х/у) х При рассмотрении неявной функциональной зависимости (8) может представиться более общий случай, когда обе переменные х и у оказывается возможным выразить в виде функции одной и той же вспомогательной переменной t, т. е. c = x(t), \ f=y(t). J Л" = у
112 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV Так, если в примере A0) обозначить x+y = t, A2) то из A0) получаем х—у = Р/Ь2, откуда, привлекая A2), находим л 2 * 2Ь°- ' Такой способ задания функции называется параметрическим, а переменная t называется параметром. Этот способ может полу- получиться и без связи с зависимостями вида (8); он рассматривается в началах курса высшей математики (см., например, ВМ, §§ II.3, IV.8, VI. 14). Там же показывается, как находить производную от dx такой функции: запишем dx в виде dx = -rr dt = x (t) dt, аналогично Найдем вторую производную -т-|. Для этого воспользуемся соотношением dz__dz_ dt__dz_^Ji_ dx~ dt ' dx~ dt ' dx' It Поэтому у' (t)' dx* dx \dxj dx \ x' (t) J dt \x' (t) j dx ' откуда d?y 1 d (y'(t)\_ y"(t) y'(t)x"(t) dx* x'{t) dt\x'(t)J \x'{t)Y [x'@P ' где штрихи обозначают производные по t. В общем случае неявного задания функция /(х, у) может быть такой, что уравнение (8) не разрешимо ни в форме A1), ни в пара- параметрической форме. Рассмотрим, например, зависимость у от х, за- заданную при помощи формулы УЧ-ху + х5 — 7 = 0. A3) (Геометрически эта формула задает кривую в плоскости х, у.) По- Получить отсюда выражение у=/(х) невозможно. Чтобы найти про- производную -j-, приравняем производные от обеих частей равенства A3), считая в нем у функцией от х, у = у(х), определенной из этого равенства. При таком истолковании оно является тождеством и потому допускает дифференцирование:
§ 3] НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 113 Отсюда находим у dx Подчеркнем, что в правой части х и у не являются независимыми, а связаны друг с другом соотношением A3), так что независимая переменная только одна. Для того чтобы найти у' при данном х н-адо, численно решая A3), найти у при данном х и подставить это у в A4). Перейдем теперь к общему случаю неявной функции нескольких, например двух, переменных. Если z задано как функция от х и у, то, решая уравнение z=f(x,y) относительно х, можно получить зависимость х от у и z: х = <р(у, z), а решая уравнение z=f(x, у) относительно^, можно найти y = ty(x, z). Однако независимо от того, решили мы или нет уравнение z = /(x, у) относительно х, это уравнение дает зависи- зависимость величины х от величин у и z, т. е. определяет х как функ- функцию у и z. Такое задание функции х называется неявным. Производные ^- и ^- можно найти, и не выражая х в явном виде. Покажем, как это сделать. Из соотношения z=/(x, у) находим =idx+idy' откуда dx=[lr) dz— -з- \дх] \ду dz кдх] * С другой стороны, если x = q>(y, z), то A5) Сравнивая выражения A5) и A6), находим дх дг у дх\ ду\г 1 dz дх > и dz ду dz dx A7) A8) Формула A7) представляется вполне естественной. В формуле A8) есть удивительный знак минус. Убедимся в справедливости этой формулы еще из геометрических соображений. Рассмотрим рис. 26 и 27. На этих рисунках нанесены кривые дх z = const, так что у есть взятая обычным образом производная -г- вдоль этих кривых. Поэтому дх dx f,— хс dy~ Уь—
114 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV Замечая, что yb=ya, xc = xa, находим дх _хь—ха ду г Уа — Ус' Вспоминая значения -^ и ^ , находим, что дг j дг Xf,—ха I j ду I дх ~ ус—у а ~ Формулу A8) можно записать так: - дг Замечая, что -г- дх ду дх ду 1ду дг X . dz г дх у , получаем дг 'ду дх X г дг \х дх ^ •£ =-1. Послед- няя формула, как и формула A8), показывает, что в отличие от слу- случая сложной функции одного переменного здесь нельзя сокращать дх, ду, dz в числителе и знаменателе. Дело заключается в том, что три частные производные в этой формуле вычисляются в различных условиях (при постоянном z первая, при постоянном х вторая и при постоянном у третья). BW В § 1 мы видели, что значение частной производной ^тг зависит С/О от того, какой аргумент считается постоянным при ее вычислении. Уже это показывает, что с dW и дС нельзя обращаться как с чис- числами и сокращать их с dW и дС в других формулах, не глядя на то, при каких условиях вычисляются соответствующие частные про- производные. Покажем вычисление производных от неявных функций на примере. Пусть г = хг -\-px-\-y2 -\-qy-\- kxy. Найдем производные ^- и ^-. Для того чтобы выразить х через у и z, нужно решить квадратное уравнение. В этом нет принципиаль- принципиальных трудностей, однако получится громоздкое выражение с корнями. Так как -^ = 2x-\-p-\-ky, -^-=2y-\-q-\-kx, то по формулам A7) и дх A8) находим ду дх дг' дх ду' 2y+q + kx тт л дх дх Для того чтобы определить значения ^- и ^- при конкретных дан- данных у и z, надо знать численное значение х при этих у и z, но можно не иметь аналитического выражения x = ty(y, z). Ясно, что найти численно решение уравнения z = f(x, у) относительно х при определенных значениях у и z гораздо проще, чем построить общую формулу д; = я|)(_у, z). Кроме того, в случае уравнения выше чет-
§ 3] НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 115 вертой степени, а также в случае, когда в уравнение входят транс- трансцендентные функции, построение общей формулы зачастую оказы- оказывается невозможным. Наиболее общим способом неявного задания функции двух пе- переменных является задание ее с помощью соотношения вида F(x, у, z) = 0. Мы представляем читателю, дифференцируя это соотношение, получить выражения для частных производных ^, -^ и т. д. и применить результат к рассмотренному выше соотноше- соотношению z=f(x, у), переписав его в виде z—f(x, y)=0. Изложенные приемы удобно применять и в случае функции одного переменного, заданной неявно, с помощью уравнения вида (8). Для этого надо рассмотреть функцию двух переменных z = /(x, у), дру- другими словами, рассмотреть соотношение (8) как уравнение нулевой, т. е. отвечающей значению /=0, линии уровня функции z — f(x, у). Тем самым задача о вычислении -~ сводится к только что разоб- ил ранной задаче о вычислении —■ ОХ г = const обозначить г = уъ -\-xy-\-x5. Тогда по формуле A8) . Так, в примере A3) надо их дх __dz\ jdz_ _ у+Бх* т. е. мы еновь приходим к формуле A4). Упражнения 1. Найти -j- и -т-| для следующих функций, заданных параметрически: a) x—y(i У = Р + *; 6)x = 2sin3^, y = 2cos3t; в) x = cost + i slnt, y=sin t — t cost. 2. x = s\ut, y = cos2t. Найти -f при *=-=-. CtX £• 3. z = x3-\-y3-\-xy. HaiiTH -^- , ^- при у = 0, 2=1. 4. г = хь+хуг + уЬ. Найти ■£, щ. 5. x2 + y2 — 4x— 10г/=— 4. Найти ^. 6. х*у+ху*—х*у2—1=0. Найти ^|.
116 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV § 4. Радиолампа Интересным примером функции двух переменных является сила тока у, проходящего через анод лампы с тремя электродами (рис. 29). На поток электронов, попадающих на анод, влияют потенциал сетки «с и потенциал самого анода (катод заземлен, так что его потенциал равен нулю). Таким образом, мы имеем дело с функцией двух переменных J=j(uc, иА). На графике принято изображать семейство кривых в коорди- натах Ис, ] с постоянными •" А значениями Ид на каждой кри- кривой. На рис. 30 приведен пример такого семейства кри- кривых для лампы 6С1Ж. Ток J дан в миллиамперах, напря- напряжения Ис и Ид —в вольтах. -16 -12 -в ик, вольты -4- Рис. 29. Рис. 30. Производная с "а пропорциональна тангенсу угла наклона каса- касательных к кривым рис. 30. Фактически в довольно большом про- промежутке изменения Ис эти кривые мало отличаются от прямых. Наклон их в этом промежутке называется крутизной характери- характеристики лампы и обозначается через S, так что «Ь*=о— . Вели- Величину 5 выражают в миллиамперах на вольт. Образуем -т^— . Обратная ей величина, т. е. 1 диА г> _ «с «с носит название внутреннего сопротивления лампы. Смысл этого названия легко понять: если бы в схеме вместо лампы стояло
§ 4] РАДИОЛАМПА 117 постоянное сопротивление Rv то по закону Ома/=-^-, откуда dj _ 1 диА Rj, ' пли 1 диА Когда ток выражен в миллиамперах, а потенциал — в вольтах, то R получается в кнлоомах. Наконец, для характеристики лампы важ- диА нейшее значение имеет величина ^— . Это — безразмерная отрица- отрицали, тельная величина. Число ц = —5— г диг i называется коэффициентом усиления лампы. Согласно формуле A8) (S ' диг «А \ди1 "с/ Найдем соотношение между изменением потенциала на сетке и изменением потенциала анода. Рассматривая Ид как функцию пере- переменных uq и j, находим ди "с ди. duc, откуда i = Rdj—\iduc. Если поддерживать все время анодный ток постоянным, то dj=O и, следовательно, duA = —\iditc. Таким образом, изменение потенциала на аноде в ц раз больше изменения потенциала на сетке. Поэтому можно сказать, что лампа в (д, раз увеличивает, усиливает изменение напряжения на сетке. Отсюда и название для ц — коэффициент усиления. Соотношение ■— = —ц относится к идеальному случаю, когда ток J не изменяется. В действительности изменение цс, как прави- правило, вызывает некоторое изменение тока; при этом изменение ид оказывается меньше, чем в случае /= const. Рассмотрим схему рис. 29, где в цепь анода последовательно включено сопротивление г и подано постоянное напряжение и0. Тогда по закону Ома ^=J(u^' "с), где в правой части стоит функция, рассмотренная в начале параг- параграфа. Возьмем полный дифференциал от правой и от левой частей этого равенства (считая и0, г постоянными) 1 , dj , , dj dudUA +
118 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV ИЛИ откуда S-Rr , ; dU с = — Из этой формулы видно, что в схеме рис. 29 абсолютная величина отношения —^- меньше ц, так как Г п < 1. Если r^> R, то ток j почти постоянен и -т-^ весьма близко к и. Однако для того чтобы аис ~ пропускать данный ток через большое сопротивление г, необходи- необходимо высокое напряжение ис. При этом на сопротивлении г бесполезно превращается в тепло значительная электрическая мощность. Ока- Оказывается, что во всех случаях, кроме задачи усиления постоянного или медленно меняющегося напряжения, выгоднее вместо сопротив- сопротивления г ставить катушку индуктивности. Факты, изложенные в этом параграфе, показывают, что точная математическая формулировка законов работы лампы связана с функ- функциями двух переменных, а основные величины, характеризующие лампу, — это частные производные. Упражнение С помощью рис. 30 найти значения S, R и ц для лампы 6С1Ж. § 5. Огибающая семейства линии В качестве другого приме-pa применения частных производных рассмотрим задачу о разыскании огибающей однопараметрического семейства линий. Разберем эту задачу на типичном примере. Рассмотрим совокупность траекторий снарядов, выпущенных из одной точки (из начала координат) с одной и той же начальной скоростью v0, но под различными углами ср, которые могут прини- принимать значения от 0 до 180" (рис. 31). Каждая траектория представляет собой кривую в плоскости х, у, т. е. характеризуется определенной зависимостью у (х). Выпи- Выписав зависимости х = х(() и у =у (t), без учета сопротивления воз- воздуха, и исключая из них t, легко найти (см., например, ВМ, § VI.14) зависимость у от х: A9) х\ 2оо cos2 ф При каждом конкретном значении ср получается определенная кривая. Рассматривая различные значения параметра ср, мы получим семей- семейство кривых. Мы можем считать, что высота траектории снаряда у
§ 5] ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ЛИНИЙ 119 есть функция двух переменных: горизонтального расстояния х и угла бросания ф, т. е. у=у(х, ф). Тогда отдельные траектории дают зависимость у от х при постоянном ф. (Семейство траекторий изо- изображено на рис. 31.) Рассматривая семейство траекторий, легко за- заметить, что траектории заполняют одну часть плоскости х, у, а в другую часть плоскости они не попадают. Таким образом, есть не- поражаемая зона, в которую при данной начальной скорости снаря- снаряда нельзя попасть ни при каком угле бросания. s\ x Рис. 31. Постараемся определить границу зоны поражения. (Эта граница нанесена пунктиром на рис. 31.) Каждая точка границы является одновременно точкой на какой-то траектории, потому что иначе гра- границы нельзя было бы достичь. Отметим, что на части границы, ко- которая изображена на рис. 31, каждая точка является точкой траек- траектории, соответствующей углу бросания ф ^ 45°. (Можно показать, что при ф = 45° достигается наибольшая дальность бросания. Траек- Траектории, которые соответствуют ф < 45°, соприкасаются,— как это бу- будет видно из дальнейшего,— с границей зоны поражения ниже оси х. Эта часть границы представляет практический интерес, если стрель- стрельба ведется по цели, расположенной ниже орудия.) Вместе с тем траектория не может пересекать границу, а должна касаться ее. Если бы траектория пересекла границу, то она вышла бы за пре- пределы границы, а это противоречит тому, что граница отделяет пора- поражаемую зону от непоражаемой. Граница области, заполненной семейством кривых, касающихся этой границы, носит название огибающей семейства кривых. Найдем уравнение огибающей семейства траекторий. Для этого проведем вертикальную линию ААг и найдем ту точку В, в которой эта вер- вертикальная линия пересекается огибающей. Проводя вертикальную линию, мы взяли определенное значение х. Точка В соответствует наибольшей высоте у, на которой может находиться снаряд, проле- пролетая горизонтальное расстояние х при каком бы то ни было угле бросания ф. Поэтому надо найти максимум у (ф) при данном
120 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV закрепленном х. Мы получаем условие ду(х, д<р X = 0. B0) Условие B0) дает нам уравнение, связывающее между собой х и ф. Для каждого значения х есть свое значение ср, определяемое из уравнения B0), так что получаем ср = ср (х). Подставляя cp = cp(x) в уравнение семейства A9), найдем уравнение огибающей. Проделаем необходимые выкладки. Для удобства введем вместо переменной ср переменную 6 = tgcp. Замечая, что по известной фор- формуле тригонометрии —^— = tg3cp-f-1 = 62-f- 1, перепишем уравнение A9) в виде 2 Наконец, вводя обозначение — = / (величина /, как будет видно из B2), есть максимальная горизонтальная дальность стрельбы), получим откуда Условие B0)*) дает б = —. Подставляя это значение в B1), полу- получим уравнение огибающей y = i~£- B2) Советуем читателю проделать весь вывод, не переходя к перемен- переменной 9. Упражнение Снаряд вылетает из орудия со скоростью t>0=100 м/сек. Можно ли из этого орудия поразить цель, находящуюся на горизонтальном удалении 500 м от орудия на высоте 300 м; на высоте 500 л? § 6. Ряд Тейлора и задачи на экстремум Степенной ряд Тейлора, хорошо известный для функций одного переменного, оказывается полезным и для функций нескольких пе- переменных. Напомним (см., например, ВМ, § 11.17), что для функций *) При замене переменной по формуле ф = ф@) получаем ^д=^г ' ~^> ду , ди „ ду п ду . что, -и Ф -г- . Однако условие за = 0 совпадает с условием — = 0. ОО Оф ОО Оф
§ 6] РЯД ТЕЙЛОРА И ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 121 одного переменного этот ряд имеет вид !^(x-a) + f-^(x-ar+f-^r(x-a)>+... B3) Рассмотрим теперь функцию f(x, у) двух переменных. Пусть х близок к постоянному значению а, а у— к постоянному значению Ь. Тогда наиболее грубая приближенная формула, формула «нулевого приближения», не учитывающая изменения х к у, имеет вид f(x,y)=f(a, Ь). Более точная формула «первого приближения», учитывающая члены первого порядка малости, такова: Дх,У)=/(<*, b) + A(x—a) + B{y—b), B4) где А и В— некоторые числовые коэффициенты. Чтобы их найти, возьмем частные производные от обеих частей равенства B4) по х: /х(х,у) = А (первое и третье слагаемые в правой части B4) не зависят от х, и потому их частные производные по х равны нулю). Так как коэффициент А должен быть постоянным, то отсюда получаем A=f'x{a, Ь). Подобным образом, дифференцируя B4) по у, находим В = /'у(а, Ь), т. е. B4) на самом деле имеет вид x(a, b)(x—a)+f'y{a, b)(y-b). B5) (Выведите эту формулу непосредственно из результатов § 1.) Еще более точная формула «второго приближения», учитываю- учитывающая также и члены второго порядка малости, имеет вид f(x, у)=/(а, Ъ) + [А(х—а) -bV],. B6) где А, В, С, D, Е—некоторые числовые коэффициенты. Чтобы их найти, вычислим частные производные первого и второго порядков: f'y(x, y) = B /;; (*, у) = 2с, /;.; (х, У) = /;; (х, у) = д г;у (х, у) = 2Е. Полагая в этих равенствах дг = а, у=Ь, получим А=/'х(а, Ь), В=/[,(а, Ь), С=±/'хх(а, b), D = f^(a, b), E = \ru'y(a, b). Подставляя эти значения в B6), получаем окончательно формулу
122 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. IV. \У х второго приближения /(*, У)=/(а, Ь) + [/'х(а, b)(x—a)+f'y(a, b)(y—b)] + + ^[f'A(a, b)(x-ay + 2f'xy(a,b)(x—a)(y—b)+fyy(a,b)(y—by*]. B7) Хотя мы выводили эту формулу независимо от B5), но мы видим, что в правой части получилась та же линейная часть, что в B5), и, кроме того, появились поправки второго порядка малости. Мы предоставляем читателю вывести аналогичным образом формулу третьего приближения (впрочем,эта формула применяется редко); в ней к правой части B7) добавятся еще поправки третьего порядка малости. (Для контроля примем, что функция / не зависит от у; тогда в правых частях B5) и B7) все ( ( sy/// частные производные, в которых V ^/s// участвует дифференцирование по у, отпадут, и мы получим частные сум- суммы ряда B3) для функции одного переменного.) Как и для функций одного пе- переменного, формулами B5) и B7) наиболее удобно пользоваться, если \х—а\ и \у—b | очень малы; если же эти разности велики, то формулы перестают быть справед- справедливыми и могут привести к ошибочным выводам. Соответствующие формулы для функций от более чем двух независимых переменных имеют аналогичный вид, и мы не станем на них останавливаться. Полученные формулы можно применить, в частности, для иссле- исследования точек экстремума функции f(x, у). Допустим, что эта функ- функция имеет экстремум (максимум или минимум) при х = а, у = Ь. Примерное расположение линий уровня функции / в плоскости аргу- аргументов вблизи точки М экстремума показано на рис. 32. Тогда ясно, что если положить у=Ь, а изменять только х, то получаю- получающаяся функция /{х, Ь) от одного переменного х имеет при х=а экстремум. Геометрически это означает, что если следовать вдоль прямой, изображенной на рис. 32 штрихами, то в точке М мы бу- будем иметь экстремум. Но тогда, как известно из дифференциаль- дифференциального исчисления функций одного переменного, производная в точке экстремума должна равняться нулю = 0. ■■а Здесь в квадратных скобках стоит производная по х при зафикси- зафиксированном значении у = Ь, т. е. это—частная производная по х. Рис. 32.
§ 6] РЯД ТЕЙЛОРА И ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 123 Аналогично рассматривается случай зафиксированного х = а и из- изменяющегося у. Мы приходим к необходимым условиям экстрему.ма функции двух переменных: /;(а, Ь) = 0, /у (а, Ь) = 0. B8) (Аналогичным рассуждением мы пользовались в § II.3 при рассмот- рассмотрении метода наименьших квадратов.) Как известно, для функции f(x) одного переменного необходимое условие /' (а) = О экстремума является «почти достаточным»: напри- например, если /" (а) =£= О, то в точке х=а обязательно будет экстремум — максимум при /" (а) < 0, минимум при /*(а)>0. Можно было бы ожидать, что и для функции двух переменных при выполнении условия B8) экстремум в точке (а; Ь) обязательно будет, если в ней частные производные второго порядка отличны от нуля. Но это не так: достаточное условие оказывается более сложным. Рассмотрим сначала примеры. Пусть z = f(x, у) = Условие B8) дает 2.*: = О, 2у = 0, т. е. точкой, «подозреваемой» на экстремум, служит начало координат. И в самом деле, здесь в на- начале координат будет минимум, так как там z — О, а в остальных точках z > 0. Что касается частных производных второго порядка, то в данном примере они постоянны, причем/;,=2, /;,=о, /;,=2. по- добным образом легко проверить, что функция z = Ax2 + Суг B9) имеет при Л>0, С>0 в начале координат минимум, а при А < 0, С < 0 — максимум. Совершенно новая картина бу- будет, если в выражении B9) А и С разных знаков, например, если рас- рассматривается функция = x2—у2 Рис. 33. Соответствующие линии уровня показаны на рис. 33, причем часть плоскости, где z > 0, на рисунке заштрихована; маленькие стрелочки указывают направление понижения уровня, т. е. для географической карты — направление стока воды. При _у = 0 получаем z = x2, т. е. от начала координат вдоль оси х функция в обе стороны возрастает, а в самбм начале имеет минимум. Если же х — 0, то z=—у2, т. е. вдоль оси у функция в обе стороны убывает, а в самбм начале имеет максимум. Если рассмотреть другие прямые, проходящие через на- начало координат, то вдоль одних из них функция имеет в начале
124 ' ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV максимум, а вдоль других — минимум. Такой случай называется ми- нимакс, и здесь экстремума в начале координат не будет, хотя необходимые условия B8) выполняются и частные производные вто- второго порядка не все равны нулю. В география минимакс—это седло- седловина, которая наблюдается, например, в точке перевала через гор- горный хребет; другой пример—это просто седло. Так, на седло, отвечающее рис. 33, можно сесть, свесив ноги вдоль оси у и глядя вдоль оси х; при этом спереди и сзади, вдоль оси х, седло под- поднимается. Аналогичный минимакс имеет место для функции z = xy в начале координат; соответствующая картина линий уровня изображена на рис. 26. (Где на рис. 6 z > 0 и где z < О?) Рассмотрим теперь общий случай. Если выполнены необходимые условия B8), то формула B7) приобретает вид fix, y)=f(a, b) + ±[/;x(a, b)(x-a)> + a, b)(x-a){y-b)-\-fyB(a, b)(y-b)*]. C0) Конечно, при выводе этой формулы мы пренебрегаем членами третьего порядка малости, но при исследовании экстремума нужно находиться вблизи значений х = а, у = Ь, а там эти члены менее существенны, чем выписанные члены второго порядка малости. Обозначим для краткости /;х(а, Ь) = А, /;у(а, b)=B, fyy(a,b) = C, х—а = 1, у—Ь=ц. Тогда формула C0) показывает, что все зависит от поведения квад- квадратичной формы, (т. е. однородного многочлена второй степени) Р{%, ц) = А1?-\-2ВЪ>ц-\-Сц2, так как приближенно, вблизи значений х = а, y = b, f(x, y)—f(a, Ь)-\--~Р(Ь„ ц). Если она положительна при всех £, т] (например, имеет вид £2 + ту2), то f(x, у)>/(а, b) вблизи точки (а; Ь) и тем самым в этой точке функция / имеет ми- минимум. Если эта форма отрицательна, то функция / в точке (а; Ь) имеет максимум. Если же эта форма может принимать значения обоих знаков (например, имеет вид £2 — ту2), то в точке (а; Ь) будет минимакс, т. е. экстремума не будет. Как же узнать но коэффициентам А, В, С, какой из этих слу- случаев имеет место? Для этого напишем Р F, Ц) = rf [А (|J + 251 + С] = if (At* + 2Bt + С), C1) где через t мы обозначили %/т]. Из элементарной математики известно, что если дискриминант В% — ЛС>0, C2)
§ 6] РЯД ТЕЙЛОРА И ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 125 то многочлен, стоящий в скобках имеет два вещественных нуля, при переходе через которые он меняет знак. Значит, это — случай мини- макса. Если же В2 — АС<0, C3) то указанный многочлен имеет мнимые нули и потому знака не ме- меняет (многочлен может изменить знак, только пройдя через нуль). Значит, это — случай экстремума. Чтобы узнать, какой именно знак имеет правая часть C1), положим ^ = 0. Мы видим, что есл-и дополнительно к C3) будет - С > 0, то правая часть C1) поло- положительна при всех t и потому в силу предыду- предыдущего абзаца функция / имеет в точке {а; Ь) ми- минимум. Если же допол- дополнительно к C3) будет С < 0, то функция / имеет максимум. (Про- (Проверьте выполнение всех этих условий на разо- разобранных выше примерах.) Точки минимакса имеют большое значение при решении важного класса задач, который мы продемонстрируем на наглядном примере. Пусть в холмистой местности, линии уровня которой показаны на рис. 34, расположены две деревни А и Б, и пусть требуется сое- соединить их дорогой. Это можно сделать многими способами, и не- несколько вариантов показано на рис. 34 пунктиром. (Там же в не- нескольких точках указано направление стока воды, чтобы наглядней представить рельеф.) Следуя по любой дороге (/) из А в В, нам приходится сначала набирать высоту до точки, показанной на рис. 34, после чего начинается спуск. Если такой набор высоты вызывает трудности, то естественно потребовать, чтобы он был минимально возможным. Для более точной формулировки этого требования обо- обозначим через z (М) высоту местности в любой точке М плана. Тогда упомянутый набор высоты вдоль линии (/) равен max z(M)— z (A), М на (I) где под max z (M) понимается наибольшее значение высоты z вдоль М на @ линии (/). Но значение z (А) для всех сравниваемых линийЪдинаково; таким образом, требуется среди всех линий (/), соединяющих А с В, найти линию, вдоль которой max z (М) минимален, т. е. линию, реа~- М на @ лизующую min max z(M). Ясно, что искомая линия должна пройти "че- U> М на (.') рез точку перевала С, которая как раз и является точкой минимакса
126 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ, IV для функции z(M). Правда, имеется еще одна точка перевала D, но она лежит выше и поэтому менее выгодна. (Проверьте, что если линии уровня на рис. 34 проведены через 100 м, то проме- промежуточный набор высоты вдоль изображенных дорог соответственно равен 500, 600, 300, 200 и 400 м.) На различии между случаями C2) и C3) основана классификация точек произвольной поверхности в пространстве. Пусть задана не- некоторая поверхность (S) и N—любая ее точка. Выберем систему координат так, чтобы оси х и у были параллельны касательной пло- плоскости (Р) к (S) в точке N. Тогда вблизи N поверхность (S) можно представить уравнением z = f(x, у), причем в точке N в силу выбора осей выполняются равенства B8), где a, b — значения координат х, у.в точке N, так что N=(a; b; f(a, b)). При этом в зависимости от того, выполняется ли неравенство C3) или C2), точка N назы- называется эллиптической или гиперболической точкой поверхности (S). В первом случае поверхность (S) вблизи N выпукла и расположена по одну сторону от (Р). Во втором случае поверхность (S) вблизи N имеет седлообразный характер и расположена по обе стороны от (Р); касательная плоскость (Р) пересекает (S) по двум линиям, пересекающимся в точке N. Можно доказать, что условия C2) и C3) не нарушаются при повороте осей координат в пространстве. Поэтому если уравнение поверхности (S) задано в виде z=f(x, у), то для выяснения типа какой-нибудь точки этой поверхности нет надобности выбирать новые оси координат, чтобы удовлетворить условию B8), Надо просто проверить выполнение условия C2) или C3) в исходной системе координат х, у, z. Бывают поверхности, например сфера, эллипсоид, параболоид вращения и т. д., у которых все точки эллиптические; такие по- поверхности выпуклы в целом. Бывают поверхности, например поверх- поверхность с уравнением z = x*—у%, отвечающая рис. 33, у которых все точки гиперболические. Однако бывают и поверхности, обладаю- обладающие точками обоих типов; такой является, например, поверхность тора, т. е. бублика идеальной формы. В этом случае куски, запол- заполненные эллиптическими точками, от кусков, заполненных гиперболи- гиперболическими точками, отделяются линиями, в точках которых В2 — ЛС = 0; такие точки называются параболическими. На торе это точки, в ко- которых касательная плоскость перпендикулярна оси тора, они запол- заполняют две окружности. (Подумайте, где находятся линии параболи- параболических точек на поверхности Вашего тела.) Впрочем бывают и поверхности, например цилиндрические или конические, сплошь заполненные параболическими точками. Ясно, что тип точки поверхности не меняется при любом пере- перемещении этой поверхности в пространстве, т. е. указанная класси- классификация точек поверхности является геометрически инвариантной. В отличие от этого понятие самой высокой и-ли самой низкой точки
§ 7] КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 127 поверхности, существенное при изучении экстремумов, не является инвариантно связанным с самой поверхностью, так как при пово- повороте поверхности ее самая высокая точка перестает быть таковой. Аналогичным образом точки графика (Z) функции у = <р(х), отвечающие ее экстремальным значения»», не связаны с линией инвариантно (в отличие, например, от точек перегиба этой линии). Не инвариантны в этом смысле также точки линии с уравнением /(х, 3') = 0, в которых гг = 0 или -^=оо. Наши рассмотрения можно применить к исследованию строения линии (L) с уравнением f(x, у) = 0 на плоскости х, у в окрестности некоторой точки N(а; Ь) этой линии. Для этого полезно рассмотреть вспомогательную поверхность (S) с уравнением z=f(x, у), так что (L) получается в результате пересечения (S) с плоскостью (P):z = 0. При этом линия (L) оказывается включенной в семейство линий с уравнением /(х, у) = С при различных значениях С, т. е. линий уровня функции /, получающихся в результате пересечения (S) плоскостями z = C, параллельными (Р). Если f'x(a, b)=/=0 или f'y (a, b) =7^ 0 — тогда N называется обыкновенной точкой линии (L),— то (Р) не касается (S) в точке (а; Ь; 0), а потому (L) вблизи N имеет вид гладкой дуги. Если же fx{a, b)=fy(a, b) = 0, то N на- называется особой точкой линии (L) и тогда (L) состоит из точек, общих для поверхности (S) и плоскости (Р), касательной к (S). Из предыдущего вытекает, что если выполнено неравенство C3), то N является изолированной точкой линии (L), т. е. в некоторой окрест- окрестности Л/ нет других точек линии (L). Если выполнено неравенство C2), то N является точкой самопересечения линии (L), т. е. в некоторой окрестности N линия (L) состоит из двух дуг, пересекающихся в N. Если же В — ЛС=0, то строение линии (L) в окрестности N может быть существенно сложнее. (В качестве примера постройте с по- помощью перехода к полярным координатам линии х2—_у2 = {х*-\-у*)% и х% -\-у% = (лг2+_у2J; чем является начало координат для каждой из них?) Упражнение Исследуйте на экстремум функции: а) Их, у) = х2—ху+у2 — 2х + Ау~ 1; б) /(*, у) = х°*+3ху—2у+2; в) fix, у, г) = § 7. Кратные интегралы Начнем с примера. Рассмотрим тело (Q), плотность р г/сл!3 ко- которого известна, но неоднородна, т. е. в разных точках различна, и предположим, что нам требуется подсчитать массу m этого тела. Аналогичная задача для линейного распределения массы, как известно, решается с помощью обычных интегралов: если масса распределена
128 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV вдоль отрезка a, b с линейной плотностью а г/см, то ь т = J а (х) dx. а Пространственный случай исследуется совершенно аналогично линейному. Для этого разобьем мысленно (Q) на объеычики (AQJ, (ДЙ2), . .., (ДЙ„) и выберем в каждом по одной точке, соответ- соответственно Мх, М2, ..., М„ (рис. 35, где картину надо представлять себе пространственной; нумерация объемчиков производится в произ- произвольном порядке). Если объемчики достаточно малые, то в каждом из них плотность можно считать по- постоянной. Тогда массу т^о^ первого объемчика можно подсчитать как произ- произведение плотности на численное значение объема, т. е. р(Мг)кпг, масса второго объемчика находится аналогично и т. д. В целом получаем + ... 4- (Щ) Ло1 где под Дь2й понимается численное зна- значение объема (AQft) (в см3). Это равенство—приближенное, так как плотность внутри объемчиков все же не постоянная; однако оно тем точнее, чем мельче разбиение, и в пределе, при безграничном измельчении рассматриваемого раз- разбиения, получаем точное равенство = lim 2 Р C4) Рассуждая аналогичным образом, можно заключить, что если в теле (Q) распределен заряд с плотностью о, то сам заряд q мож- можно подсчитать по формуле 2 k— I C5) при таком же смысле обозначений. Единообразие формул C4) и C5) дает основание для общего определения понятия объемного интеграла. Пусть задана конечная часть пространства или, как говорят иначе, конечная область (Q) и на ней (т. е. в каждой ее точке М) задана функция u = f(M), принимающая конечные значения. (В на- нашем первом примере областью служило тело (О), а функцией—его
§ 7] КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 129 плотность, которая в каждой точке принимает свое значение.) Тогда для составления интегральной суммы область (Q) разбивается на объемчики (AQi), (AQ2), ..., (AQJ и в каждом произвольно вы- выбирается точка соответственно Mlt M2, ...,Мп. Затем составляется сумма C6) где иод AQft понимается численное значение объемчика Зта интегральная сумма обладает высокой степенью произвола: ее значение зависит как от способа разбиения области (Q) на объем- объемчики (АИ/;), так и от выбора точек Mk внутри каждого объемчика. Однако при измельчении разбиения области (Q) произвол в состав- составлении суммы почти не влияет на значение этой суммы и в пределе совсем не сказывается. Предел интегральной суммы при бесконечном измельчении разбиения области (Q) называется интегралом (объем- (объемным) от функции / по области (Q): \ udQ = ^ f(M) dQ = lim J} /(Щ AQft. C7) B) B) 4=1 Таким образом, формулы C4) и C5) можно записать таю /»<q)= ) pdQ, g(Q) = ) adQ. B) B) Произведение р dQ, отвечающее бесконечно малому объему («элементу объема») (dQ), называется элементом (дифференциалом) массы и обозначается dm=pdQ, C8) где р — это плотность в какой-либо из точек (dQ). При составлении этого выражения можно отбрасывать малые высшего порядка (полу- (получающиеся из-за того, что плотность даже в малом объеме переменна), так что оно оказывается прямо пропорциональным объему dQ. Сум- Суммируя все элементы C8) по объему (Q), получаем полную массу = \ dm= j p dQ. B) B) Основные свойства объемных интегралов аналогичны соответ- соответствующим свойствам «простых» интегралов. Интеграл от суммы равен сумме интегралов, т. е. S (u1±u2)dQ= ^ u^Q± ^ B) B) B) Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкио
130 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. $ CudQ = C $ udQ (C= const). (Q) (О) При любом разбиении области (Q) на части, скажем, (Qt) и (Q2), будет \ = \ и (О) B,) Интеграл от единицы равен объему области интегрирования, т. е. dQ=Q. (О) Если рассматриваемые переменные размерны, то размерность интеграла равна произведению размерности интегрируемой величины на размерность объема: L(Q) где квадратными скобками обозначена размерность величины. Пример: [р] =г-см~3; [J" p dQ] = г-см~3-см3 = г= [да]. Среднее значение («среднее интегральное», «среднее арифмети- арифметическое») функции и(М) по области (Q) вводится как постоянная и, интеграл от которой по области (Q) равен интегралу от функции и по этой области. Таким образом, (Q) (Q) откуда udQ =uQ и и =■ Как и для «простых» интегралов, выводится, что min ц ^ц ^тах и. (Q) B) В начале этого параграфа мы рассматривали понятие плотности как непосредственно ясное и выразили через плотность массу с по- помощью интегрирования. Обратно, можно исходить из массы и выра- выразить через нее плотность. Для этого надо составить отношение массы, отвечающей малой области (AQ), к объему этой области. Это отношение есть средняя плотность в области (AQ); чтобы получить плотность в некоторой точке М, надо заставить (AQ) безгранично
§ 7] КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 131 стягиваться к этой точке и взять предел указанного отношения р (М) = lim 'А ) = -^ . C9) (Дй) -> М ЛЬ2 "ir! Этот процесс аналогичен дифференцированию. Если учитывать дискретное, молекулярное строение вещества, то в формуле C9) объем (AQ) нельзя даже мысленно безгранично стягивать в точку. Взамен этой формулы надо написать где (ДО)—«практически бесконечно малая область», содержащая точку М, т. е. область, достаточно малая по сравнению с разме- размерами макроскопических тел и в то же время достаточно большая по сравнению с молекулярными размерами. Здесь мы как бы пере- переходим от дискретной картины материального тела к его непрерывной модели, плотность которой получается в результате осреднения, т. е. вычисления средней плотности исходной картины по объемам указанных «практически бесконечно малых» размеров. Впредь при рассмотрении сплошной среды мы будем, отвлекаясь от дискретного строения материи, считать, что такой переход к не- непрерывной модели среды и ее плотности уже совершен. Может оказаться, что одно из измерений части пространства, занятой массой или зарядом, значительно меньше двух других изме- измерений (например, толщина значительно меньше длины и ширины); тогда можно принять, что масса или заряд распределены по повер- поверхности. Аналогично, если два из измерений этой части значитель- значительно меньше третьего, то можно принять, что масса или заряд рас- распределены по линии. В этом случае формулы C4) и C5) остаются в силе, если под плотностью понимать поверхностную (т. е. отне- отнесенную к единице площади) или линейную (т. е. отнесенную к еди- единице длины) плотность, а под AQft понимать соответственно площадь или длину частички (AQj). В общем случае говорят, что Дйк есть мера области (AQft), понимая под этим объем, площадь или длину в зависимости от того, рассматриваются объемные, поверхностные или линейные области. Определение интеграла по поверхности (плоской или кривой), а также интеграла по линии дается совершенно аналогично интег- интегралу по объему, т. е. по формуле C7); конечно, при этом взамен объема частички надо взять ее площадь или длину. Объемные и поверхностные интегралы называются кратными по причинам, кото- которые будут ясны позже, причем поверхностные интегралы называются двойными, а объемные — тройными. Интеграл по линии называется криволинейным интегралом. Свойства у всех этих интегралов также совершенно аналогичные; они будут широко применяться в нашем курсе при изложении теории векторного лоля £гл. X и XI).
132 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV Кратные интегралы вычисляются с помощью обычных интегралов. Рассмотрим, например, двойной интеграл /= J udQ, B) распространенный по области (Q) в плоскости. Чтобы перейти к обыч- обычным интегралам, надо на этой плоскости ввести координаты, напри- например декартовы координаты х, у (рис. 36). Тогда функцию и мож- можно рассматривать как функцию от х, у, т. е. получим /= [ и(х, y)dU. B) Так как при определении интег- интеграла разбиение области (Q) можно выбирать произвольно, то возь- возьмем разбиение прямыми х = const n_y = const, которое и отвечает интегрированию в декартовых ко- кобй Рис. 36. 11 ■ » ординатах. Тогда все частички (ДО) будут представлять собой пря- прямоугольники со сторонами dx и dy, так что dQ =dxdy, т. е. (Ь) Здесь написаны два знака интеграла, так как суммирование естест- естественно проводить в два этапа: например, сначала провести суммиро- суммирование по всем прямоугольникам из какого-либо столбца, отвечаю- отвечающего некоторому фиксированному х, а затем просуммировать резуль- результаты по всем х. Первое суммирование даст 5 ( и(х, y)dxdy = l ] u(x,y)dy)dx, где у~у1(х) и у=уг{х) (см. рис. 36) — координаты нижней и верх- верхней точек области (Q) при данном х. После второго суммирования получим окончательно Ь ,Уг (X) \ и(х, y)dy)dx или, как чаще пишут, у, (х) u(x, y)dy. D0)
§ 7] КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 133 Итак, вычисление двойного интеграла сводится к двукратному обычному интегрированию. Сначала надо вычислить внутренний интеграл J u(x, y)dy. у, W После интегрирования и подстановки пределов получится результат, вообще говоря, зависящий от х (так как х в процессе этого интег- интегрирования считается постоянным), т. е. получится некоторая функ- функция /(х). Ее надо проинтегрировать по х, что даст окончательный результат: l=\/(x)dx. Можно было производить интегрирование в другом порядке: первое (внутреннее) по х, а второе (внешнее) по у. Результат полу- получится тот же, хотя при практическом вычислении один способ может оказаться более трудным, а другой—более легким. Наиболее просто расставлять пределы интегрирования, если об- область (Q) представляет собой прямоугольник со сторонами, парал- параллельными осям координат: тогда не только пределы внешнего ин- интеграла, но и пределы внутреннего интеграла будут постоянными. Если же, кроме того, подынтегральная функция представляет собой произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зави- зависящую только от у, то и весь двойной интеграл можно разложить в произведение двух обычных («однократных») интегралов ь d \dx\[f{x)q{y)]dy = id \ й Ь (\)\\ D1) Вычислим для примера массу плоской пластинки, изображен- изображенной на рис. 37, поверхностная плотность которой изменяется по закону D2) где а, Р — некоторые постоянные коэффициенты. Такой закон полу- получится, если пластинка однородная, но снизу ограничена координат- координатной плоскостью х, у, а сверху — другой плоскостью с уравнением z~ h-\-ax-\- P_y, скошенной относительно первой. Тогда поверхност- поверхностная плотность в любой точке (л;; у) получится в результате умно- умножения плотности материала пластинки р0 на высоту z пластинки
134 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV в данной точке, т. е. мы приходим к формуле D2). (Заодно мы видим, что массу, распределенную по плоскости, можно получить просто в результате проектирования на эту плоскость массы, рас- распределенной по объему.) Согласно формуле D0) получим т adQ = а Ь , y)dxdy=\jdx\jpo(h + ax + $у) dy. Внутреннее интегрирование производится по у при зафиксированных х, т. е. вдоль параллельных отрезков, по- казанных на рис. 37. Вычислим внутрен- внутренний интеграл: а х Рис. 37. = р0 Теперь остается этот результат, зависящий от х, проинтегрировать по х: т a a У dx = Физический смысл проведенных вычислений состоит в том, что мы как бы проектируем пластинку на ось х, в результате чего полу- получается масса, распределенная по линии, именно материальный отре- отрезок с линейной плотностью y)dy (это — внутренний интеграл). При этом хорошо виден смысл линей- линейной плотности: это—масса пластинки, приходящаяся на единицу длины, так что на интервал от х до x-\-dx приходится масса пла- пластинки dm = т (х) dx. Интегрируя этот результат по отрезку оси х, получаем массу пластинки. (Проверьте найденное выражение для массы, произведя интегрирование в противоположном порядке—сна- порядке—сначала по х, затем по у, а также разложив выражение D2) на три
§ 7] КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 135 слагаемых и применив к каждому из соответствующих интегралов формулу D1)). Допустим теперь, что пластинка имеет треугольный вид, изобра- изображенный на рис. 38, а поверхностная плотность ее изменяется по У h и 0 U'-x yffflllJI У=0 х 4 <т II а х О Рис. 38. Рис. 39. тому же закону D2). При этом внутреннее интегрирование произво- производится при фиксированном х по у от_у = 0 до у=^Ьх[а (см. рис. 38). Поэтому вычисления идут так: а Ьх/а m=\jdx Для контроля произведем интегрирование в другом порядке. Если внутреннее интегрирование проводить по х при фиксиро- фиксированном у, то пределами интегрирования будут служить (рис. 39) х = ау/Ь и х = а, откуда = \dy \ О ау/Ь а б2 аа2 б3 Ва б3 \ ab Получился тот же результат. Аналогично вычисляются интегралы и другого вида. Всегда нужно выразить dQ через дифференциалы координат, расставить пределы в соответствии с этими координатами, а затем вычислять получающиеся интегралы по обычным правилам интегрального ис- исчисления. При этом интегралы по площади получаются двукратными, а интегралы по объему — трехкратными, с тремя знаками интеграла.
136 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV Если после перехода к координатам подынтегральная функция окажется не зависящей от одной из координат, то интегрирование по этой координате выполняется тривиально, и мы сразу переходим от двойного интеграла к однократному, а от тройного — к двойному или даже к однократному. Например, площадь фигуры (Q), изобра- изображенной на рис. 36, можно найти как двойной интеграл от единицы (см. свойства интеграла): Q= J dQ=\\dxdy. Ш> Ш) Для перехода к однократному интегралу расставим пределы Ь у, (х) Ь U = J dx \ dy=\\yi (х) —у, (х)] их. а у, U) а Мы пришли к формуле очевидной, если вспомнить геометрический смысл определенного интеграла. Подобным образом при вычислении объема мы можем от тройного интеграла немедленно перейти к двой- двойному. Мы, в сущности, это и делали, когда вычисляли массу пластинки. В качестве примера приложения двой- двойных интегралов вычислим интеграл «-S Рис. 40. о котором говорилось в § III.2. Для этого надо рассмотреть вспомогательный инте- интеграл /= где (Q) — полная плоскость х, у. Расставляя пределы в координатах х, у, когда dQ=dxdy, получим, учитывая формулу D1), /= $ dx■ — 00 —00 = I dx I е~х*е-Уг dy = —00 ■*- QO = \ е-*г dx — OJ — 00 С другой стороны, тот же интеграл /можно вычислить с помощью полярных координат р, ф. Тогда плоскость (Q) более естественно разбивать на частички с помощью окружностей р = const и лучей ф = const. Площадь полученных частичек (на рис. 40 изображена одна из них) равна, как это видно из рис. 40, dQ. = p dtp dp. Так
§ .8] МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО И ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОВОДЫ 137 как л:2 -\-у* "=* Р21 т0 получаем (продумайте расстановку пределов) »л » 2л <ю (Я) 0 0 0 0 :ф 2Л .-pJ О Приравнивая найденные результаты, получаем, что 2д • j = я. т. е. Упражнения 1. Вычислите интеграл от функции xs\nxy по прямоугольнику 0<*<;!, О < у < п. 2. Вычислите среднее значение функции и = ехУ в квадрате 1 Указание. Для второго интегрирования проведите разложение подын- подынтегральной функции в ряд Тейлора. 1 1 3. Вычислите интеграл / = \ dx \ еУг dy. о х Указание. Измените порядок интегрирования. § 8. Многомерное пространство и число степеней свободы Подобно тому как для функции двух переменных мы в § 2 рас- рассматривали «плоскость аргументов», так и для функции трех переменных можно рассматривать «пространство аргументов». Эти понятия очень наглядны, поэтому желательно сохранить представ- представление о пространстве аргументов и для случая функций любого числа независимых переменных, даже большего трех. Это делается следующим образом. Пусть, например, рассматривается функция четырех переменных u=f(x, у, z, t). Тогда условно говорят, что каждый набор значений х, у, z, t определяет «точку» в «четырех- «четырехмерном пространстве аргументов» х, у, z, t. Такой точке и такому пространству не дается наглядного геометрического истолкования. Строго говоря, точка — это не что иное, как набор значений х, у, z, t, а пространство—совокупность всевозможных таких наборов. Так, набор (—3; 0; 2; 1,3) — это одна такая точка, набор @; 0; 0; 0) — другая точка («начало координат») и т. п. Теперь можно гово- говорить, что функция / определена во всем четырехмерном простран- пространстве х, у, z, t или в его части («области»). Для функции z—f(x, у) двух переменных «пространство аргумен- аргументов» представляет собой плоскость х, у, а пространство аргумен- аргументов и функции, в котором расположен график функции, — обычное
138 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV трехмерное пространство х, у, z; в этом случае графиком служит двумерная поверхность в трехмерном пространстве. Подобно этому «график» функции u=f(x, у, z, t) уже требует пятимерного про- пространства аргументов и функции х, у, z, t, и: для нахождения то- точек этого графика надо придавать х, у, z, t произвольные значения и находить соответствующие значения и. Например, проверьте, что график функции u = xz— 2уН проходит через точки A; 1; 2; 0; 2), (—1; 2; 0; —2; 16) и т. д. Таким образом, зависимость и=/(х, у, z, t) определяет четырехмерную поверхность в пятимер- пятимерном пространстве. С этой терминологией непосредственно связано понятие числа степеней свободы. Известно, что положение точки в (обычном) пространстве можно охарактеризовать декартовыми координатами х, у, z. Имеются и другие системы координат, но для всех них общим является то, что положение точки в пространстве опреде- определяется тремя координатами (тогда как положение точки на пло- плоскости определяется двумя координатами, а на линии — одной). Этот факт выражают словами: при выборе точки в физическом простран- пространстве или, что то же, при движении точки в пространстве имеется три степени свободы. При выборе точки на плоскости, а также на любой поверхности, имеется две степени свободы, а на линии — одна. Другими словами, пространство трехмерно, тогда как поверхности двумерны, а линии одномерны. В общем случае понятие о числе степеней свободы вводится так. Пусть имеется некоторая совокупность объектов (в предыдущем при- примере— совокупность всех точек в пространстве), каждый из которых может быть охарактеризован указанием численных значений некото- некоторых непрерывных параметров (в предыдущем примере — координат). Пусть эти параметры являются: 1) независимыми, т. е. могут принимать произвольные значения: например, если зафиксировать все параметры, кроме одного, то этот один можно еще произвольно менять, быть может, в некоторых пределах; 2) существенными, т. е. при любом изменении параметров рас- рассматриваемый объект фактически меняется. Тогда, если таких пара- параметров k, то говорят, что при выборе объекта из рассматриваемой совокупности имеется k степеней свободы, а сама совокупность называется (обобщенным) k-мерным пространством или k-мерным многообразием. Сами параметры называются (обобщенными) коорди- координатами в этом пространстве; как и в случае обычных координат в обычном пространстве, их можно выбирать различными способами, как это окажется удобнее в том или ином исследовании. Таким образом, многомерное пространство получает конкретное истолко- истолкование. Например, в физике систематически рассматривается совокупность «событий», каждое из которых характеризуется ответами иа вопросы
§8] МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО И ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 139 «где»? и «когда»? На первый вопрос можно ответить указанием декартовых координат х, у, z, а на второй—указанием момента времени t. Эти параметры независимы (их можно произвольно ме- менять) и существенны (при их изменении событие заменяется на дру- другое событие). Таким образом, пространство событий—четырехмер- событий—четырехмерное, и обобщенными координатами в нем могут служить л-, у, z, t. В качестве другого примера рассмотрим последовательность (систему) зубчатых колес, из которых каждое последующее зацеплено с предыдущим. Здесь имеется всего лишь одна степень свободы, причем за обобщенную координату можно принять угол поворота первого колеса, так как задание этого угла полностью определяет положение и остальных колес. (Сколько степеней свободы было бы, если бы колеса не были зацеплены?) Подсчитаем, сколько степеней свободы имеет отрезок данной длины / при движении на плоскости. Каждый такой отрезок полно- полностью определяется координатами (лг1; _yt) и (лг2; _у.2) его концов; эти координаты можно принять за параметры, определяющие положение отрезка. Эти параметры, очевидно, существенные, однако они не являются независимыми, а связаны соотношением (почему?). Таким образом, только три параметра можно считать независимыми, а четвертый выражается через них из этого соотно- соотношения. Значит, отрезок данной длины при движении на плоскости имеет три степени свободы. В общем случае, если параметров п и они существенные, но связаны т независимыми уравнениями (т. е. такими уравнениями, из которых ни одно не вытекает из остальных), то п — т параметров можно принять за независимые, а остальные т будут через них выражаться, т. е. будет п — т степеней свободы. Подсчитаем, наконец, число степеней свободы при выборе беско- бесконечной прямой на плоскости. Можно рассуждать так: выберем про- произвольно две точки А и В на плоскости (каждая имеет по две координаты) и проведем через них прямую Р, которая будет опре- определяться, таким образом, четырьмя параметрами. Так как эти пара- параметры независимые, то, казалось бы, получается четыре степени свободы. Однако такое рассуждение неверно, так как при изменении этих параметров (координат) точки А и В будут, правда, меняться, но прямая Р может при этом оставаться неизменной; значит, требо- требование существенности параметров не выполняется. Так как прямая Р не меняется, если точка А скользит по ней (одна степень свободы) или точка В скользит по ней (еще одна степень свободы), то при нашем подсчете получилось две лишних степени свободы и на самом деле число степеней свободы равно 4 — 2 = 2. За независимые и сущест- существенные параметры можно взять, например, коэффициенты k и b в уравнении y = kx-[-b; правда, прямые, параллельные оси у, не
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ, IV описываются такими уравнениями, но эти особые случаи не могут сказаться при подсчете числа степеней свободы. Число степеней свободы бесконечной прямой в плоскости оказа- оказалось равным числу степеней свободы точки на плоскости, Таким образом, прямые на плоскости можно сопоставить точкам на этой или другой плоскости. Наиболее удобно это сделать так: последнее уравнение разделить на Ь и записать его в виде ах -\- $у = 1, D3) после чего прямой с этим уравнением сопоставить точку с коорди- координатами (а; Р), При этом естественно рассмотреть две плоскости: с координатами х, у и с координатами а, |3 (рис. 41), Так, прямой Рис. 41. A)у = 2*4-1, т. е. —2х-\-у=\, отвечает точка V плоскости а, |3 с координатами (— 2; 1). Эта же формула D3) сопоставляет точке (х; у) первой плоскости прямую с уравнением D3) второй плоскости; например, точке AfB; —1) отвечает прямая (т') с уравнением 2а—Р=1| точке N(\; 3) — прямая (п') с уравнением ос-|-3|3=1 (см. рис, 41). Нетрудно доказать и в общем виде, что если в пер- первой плоскости некоторая прямая (/) проходит через какую-то точку N, то во второй плоскости прямая (п'), соответствующая точке N, пройдет через точку L', отвечающую прямой (/). Тем самым из любого утверждения, относящегося к произвольной комбинации точек и пря- прямых на плоскости, вытекает «двойственное» утверждение,, в котором прямые заменены точками, а точки — прямыми. Имеется специальная область геометрии — так называемая «проективная» геометрия, в ко- которой детально изучаются подобные утверждения, а также и соот- соотношение двойственности. Следует заметить, что уравнения прямых, проходящих через начало координат, нельзя записать в виде D3), т. е. таким прямым не соответствуют при указанном способе соот- соответствия никакие точки, а самому началу координат не соответствует никакая прямая. Поэтому в проективной геометрии вводятся «беско-
ОТбЕТЫ И РЕШЕНИЯ 141 нечно удаленные точки» и «бесконечно удаленная прямая» плоско- плоскости, после чего указанное соответствие уже не имеет исключений. Мы не будем здесь останавливаться на этом. Упражнение Сколько степеней свободы имеет при движении в пространстве; а) отрезок данной длины? б) треугольник с заданными сторонами, т, е, «жесткий» треугольник? в) абсолютно твердое тело с закрепленной точкой? г) свободное абсолютно твердое тело? § 1 дг о дг ^-=2х, поэтому ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ = 1. 7 f*£_dz dx ' dt~dx ' dt ' ду _ dx Замечая, что -r, dt 1. Семейство прямых, проходящих через начало координат. 2. г — хг—с2, семейство парабол (рис. 42). 3. Семейство гипербол, расположенных в верхней полуплоскости (рис. 43). 4. Семейство гипербол (рис. 33). §3 _,, | о &У d (dy\_ аЧ^-Тх [TxJ- dD/ + 2) dx it+ 2) dt 1 dt Л dt dr.
142 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. IV Заметим, что -^=—, поэтому "г=2> так что -т-|=8- dx Рис. 42. Рис. 43. 2. -р= — 4 sin/; значение /, соответствующее значению х = -^-, получается 1 ^~ я dw из уравнения -2"=sin/. Отсюда '=-g-'. j- = — 4 • -^-= — 2. Другое зна- чение t = 2n — V Дает т- = 2. 6 djc 3. ^= дг 1 . Полагая у = 0, г—\ в формуле </=л:3-{- ', получим *8=1, откуда *=1. Поэтому 1 дх 3 ' г=1 3 " г=1 5л: 5л:4+ (/2 ^■ду- dx~ у— 5" d(/ _ 2хуг — у* — 4xsy dx~x*-\-4xy»—2x2y' §4 S = 4,5 миллиампер/вольт; R = 6.7 килоол; [i = 30. §5 2 Так как / = ——, то в интересующем нас случае / — 1020. Уравнение оги- Сающей имеет вид у=510 — и х—^№ м находим (/=390 м. Следова- Следова9040" тельно, цель на высоте 300 м поразить можно, а на высоте 500 м нельзя.
ОТВЕТЬ! И РЕШЕНИЯ 143 §6 Функция имеет: а) минимум в точке *=0, у=—2; б) минимакс в точке 2 4 =-г-, (/=—д-; в) минимакс в точке * = 0, (/=0, г=1. §7 I л 0 0 1. \ dx \ л; sin *!/ dy = \ dx (— cos xy) о = \ A— Отметим, что при интегрировании в другом порядке (сначала по х, потом по у) пришлось бы применить интегрирование по частям. 2. Так как площадь квадрата равна 1, то i i о о ехУ\ - J у=0 0 х , л:2 , л:» , л:1 Т + Т + ^ + 24 + + + + 3. Во внутреннем интеграле интегрирование по у проводится от </=* до {/=1; поэтому весь двойной интеграл распространен по треугольнику, пока- показанному на рис. 44. Меняя порядок интегрирова- интегрирования, получим фУ I U /= \ dy \ еУг dx- о и е11 2 =6—^-=0,859. Рис. 44. Интересно, что в данном примере интегрирование в исходном порядке нельзя было выполнить с по- помощью элементарных функций, а после перемены порядка интегрирование совершенно элементарно. § 8 а) 5; б) 6; в) 3; г) 6.
ГЛАВА V ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Простейшие свойства комплексных чисел В курсе алгебры вводится мнимая единица, которая обозначается через /. Эта величина определяется условием /2 = —1. Величины вида x-\-iy (где х и у вещественные числа) назы- называются комплексными числами. Они получаются прежде всего при решении алгебраических уравнений: уже сама мнимая единица, оче- очевидно, есть корень квадратного уравнения хг ——1. Если говорить только о вещественных корнях, то квадратное уравнение в зависимости от его коэффициентов либо имеет два корня, либо не имеет ни одного. Если же рассматривать все корни, вещественные и мнимые, то квадратное уравнение имеет всегда два корня. Точно так же уравнение третьей степени имеет всегда три корня и т. д. Таким образом, рассмотрение комплексных чисел позволяет установить общую теорему о числе корней алгебраического уравнения. При этом мы производим алгебраические действия с комплексными величинами. Рассматривая более сложные функции комплексных величин (например, возведение в комплексную степень), удается получить много важных и красивых результатов. Целый ряд соотношений между вещественными величинами удобно получать, используя по пути комплексные величины*). Именно поэтому комплекс- комплексные величины так важны для физики и других естественных наук, несмотря на то, что любое измерение, результат любого опыта вы- выражаются вещественным числом. Напомним некоторые свойства комплексных чисел, известные из школьного курса алгебры. Комплексное число z=x-^-iy можно изображать точкой на пло- плоскости (рис. 45). При этом по оси абсцисс откладывают величину х (т. е. вещественную часть), а по оси ординат — величину у (она на- называется мнимой частью числа z\ иногда мнимой частью числа z называют все произведение iy, что может показаться более естест- естественным, однако оказывается, что удобнее придерживаться именно дан- *) Выдающийся французский математик Ж. Адамар A865—1963) сказал: «Наиболее короткий и наилучший путь между двумя истинами в вещественной области часто проходит через мнимую область».
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 145 ного выше определения.) Каждому z отвечает определенная точка плоскости. Вместо того чтобы говорить о точке z, можно говорить о векторе*) z, т. е. о направленном отрезке, начало которого совпадает с началом координат, а конец—с точкой z. Положение точки на плоскости можно характеризовать ее расстоянием от начала коорди- координат г и углом ф между вектором z и осью х, т. е. можно говорить о длине вектора z (она называется модулем комплексного числа и обозначается \z\) и о направлении вектора z, которое характери- характеризуется углом ф. Угол ф называется аргументом комплексного числа. Он отсчитывается от положительной части оси х против часовой стрелки. Для вещественного положитель- положительного числа ф = 0, для чисто мнимого числа У л . п.. Зя. Ф = -*■ (например, для числа 2«) или ф = -у „ (например, для числа —2/). Как видно из рис. 45, x = r cosq>, y — rsinq>, так что можно выразить z через г и ф: X Я! Запись z = r (cos ф -f- / sin ф) называется тригонометрической формой комплексного числа. Отметим еще, что, зная х и у, нетрудно (см. рис. 45) найти ли ф по формулам Алгебраические действия с комплексными числами производятся по обычным правилам алгебры с учетом соотношения /а= — 1. По- Полезно остановиться на геометрической картине алгебраических дей- действий. При сложении двух чисел z1 = xl-{-iyl и гг = х2-{-гуг: •* = •*!-+- Z2 = (•*, -Н *г) + ' (Уг +Уг)- Легко убедиться, что на плоскости число z изображается вектором, который получается из векторов zl и z2 путем сложения по правилу параллелограмма, т. е. так же, как получается, например, равно- равнодействующая двух сил (рис. 46). Произведение комплексного числа z на положительное вещест- вещественное число k, Zy — kz, представляет собой вектор, направленный туда же, куда направлен вектор z, но его модуль (длина) равен kr, где г — модуль числа z. Если же k — отрицательное вещественное чи- число, то вектор kz имеет модуль \k\r, но направлен противоположно вектору z. Легко построить также произведение zy кодчплексного числа z — x-\-iy на мнимую единицу /. Именно, zx = i(x-\-iy)=—y-\-ix. *) Подробно теория векторов будет излагаться в гл. IX. Здесь нам доста- достаточны простейшие сведения о них, известные из школьного курса физики.
146 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V Из чертежа (рис. 47, где мы для наглядности вместо х, у употре- употребили соответственно буквы а, Ь) легко убедиться, что вектор z перпендикулярен вектору z. Он повернут относительно вектора z на прямой угол в направлении против часовой стрелки. Модуль zy равен модулю z. -ь о <г Рис. 46. рис. 47. Произведение комплексных чисел находится по простой формуле = (х^—у^) + i (х1Уг +ylxt). В алгебре очень просто доказывают (проделайте это!), используя формулы для синуса и косинуса суммы, что если то i = ri (cos «Pi + i sin ф^, гг = гг (cos ф2 + « sin ф2), z = г,гг = г,гг [cos (ф1 + фз) + / sin (ф1 + ф2)], так что при перемножении комплексных чисел их модули перемно- перемножаются, а аргументы складываются. Мы получим этот результат другим путем в § 3. Отметим в заключение, что комплексные числа нельзя соединять друг с другом знаком неравенства: одно комплексное число не может быть больше или меньше другого. Могло бы показаться естествен- естественным считать Zy > z2, если |Zj | > |гг |, т. е. сравнивать комплексные числа по их модулям. Но тогда бы пришлось считать, например, —3>—1, т. е. мы вступили бы в противоречие со сравнением вещественных чисел. Упражнение Запишите в тригонометрической форме числа 1—i; 3-f-4i; _2i; _3; 1; О
§ 2] СОПРЯЖЕННЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА . 147 § 2. Сопряженные комплексные числа Два комплексных числа, отличающихся только знаком мнимой части, называются сопряженными. Будем число, сопряженное к комп- комплексному числу z, обозначать через z*. Тогда если z = x-\-iy, то z* = x — iy. В частности, для вещественных чисел и только для них справедливо соотношение А* —А, так как в этом случае мнимая часть равна нулю. Для чисто мнимых чисел (т. е. чисел с равной нулю вещественной частью) и только для них справедливо соотно- соотношение А* = — А. Пусть даны два комплексных числа z1=x1-\- iyx и z2 — x2 -\- iy2. Сложив их, мы получим Образуем теперь сумму сопряженных чисел )—i (у1 +уг). Мы получили комплексное число, являющееся сопряженным по от- отношению к сумме г1-\-гг. Таким образом, если zi-\-zi = w, то г\-\-z\=w*y т. е. если слагаемые в сумме заменить на сопряженные, то и сумма заме- заменится на сопряженную. Покажем, что аналогичное свойство справедливо и для произ- произведения комплексных чисел, т. е. если zxz% = w, то z\z\ = w*. A) Действительно, Сравнивая два последних равенства, мы убеждаемся в справедли- справедливости A). Полагая в A) гг = гг, получим, что если z\ = w, то (z{J =w*, т. е. при возведении в квадрат сопряженных чисел результаты также получаются сопряженными. Ясно, что это справедливо для любых целых положительных степеней. В самом деле, пусть, например, z3 = w. Запишем это так: z%z = w. Согласно A) отсюда следует, что (z2)*z* — w*, но (z2)*=(z*J, так что (z*K = w*. Итак, из равен- равенства z3 — w следует (z*)a = w*. * Нетрудно установить, что если — = w, то ~-=w* (см. упраж- г2 г2 нение 1). Объединяя все эти результаты, мы получаем следующее общее положение. Пусть над комплексными числами zlt z2, ..., zn произведено некоторое число арифметических действий (сложений, умножений, делений, возведений в целую степень), причем результат оказался
148 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V равным w. Тогда если эти же действия (и в этом же порядке) про- произвести над числами z\, г\, .. ., г*, то результат будет равен w*. Другими словами, если в равенстве, содержащем комплексные числа, все комплексные числа заменить сопряженными, то опять получим верно? равенство. Можно показать, что это правило остается спра- справедливым и для неарифметических действий (извлечение корня, лога- логарифмирование и т. д.). Отсюда следует, что любое соотношение между комплексными числами остается справедливым, если мы всюду в нем заменим / на —/, так как при этом мы просто переходим от равенства комплексных чисел к равенству сопряженных комплексных чисел. Таким образом, числа / и —/, по существу, неразличимы*). (Впрочем, сказанное, конечно, не означает, что 2 + 3/ = 2— 3/1) Рассмотрим квадратное уравнение с вещественными коэффици- коэффициентами + c = 0. B) Пусть zo = xo-\-iy0 — корень этого уравнения. Тогда Заменяя в этом равенстве все числа на сопряженные и вспоминая, что а*=а, b* = b, с* = с, так как а, Ь, с — вещественные числа, получим т. е. z* также есть корень этого квадратного уравнения. Следова- Следовательно, если квадратное уравнение с вещественными коэффициен- коэффициентами имеет мнимые (т. е. невещественные**)) корни, то эти корни — сопряженные комплексные числа. Этот факт, впрочем, сразу же сле- следует из формулы для корней квадратного уравнения. Уравнение B) имеет корни — Ь± z zi, % — 2а # Корни получаются мнимые, если Ьг— 4ас < 0, причем ь • УГ4ас—ь'2 ь ■ У*ас Z + ' Z 1 Zt ~~ 2а+ ' 2а ' Z* ~ 2а 1 2а т. е. это — сопряженные комплексные числа. Ценность изложенного здесь приема состоит в том, что он годится не только для квадратного уравнения, но и для уравнения *) К этому результату можно придти прямо, если заметить, что (—/J =—1, как и !2 =—1: отсюда и следует, что —i и / имеют одинаковые свойства. **) Не следует путать понятия мнимый (т. е. невещественный) и чисто мнимый (т. е. с равной нулю вещественной частью).
§ 2] . СОПРЯЖЕННЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 149 любой степени. Действительно, пусть уравнение 1г + ап = 0 C) с вещественными коэффициентами а0, аг, ..., ап имеет мнимый корень z0 = х0 -\- iy0. Тогда Заменяя в этом равенстве все числа на сопряженные и учиты- учитывая, что а*0 = а0, aj = a,, ..., а"п = ап, получим = 0* = 0. Поэтому г*0 = х0— iy0 также есть корень уравнения C). Следова- Следовательно, у вещественного многочлена (т. е. многочлена с вещест- вещественными коэффициентами) мнимые корни могут встречаться только сопряженными парами: если есть корень xo-^-iyo, то есть и корень Из сказанного, в частности, вытекает, что вещественный мно- многочлен может.иметь лишь четное число мнимых корней. В высшей алгебре доказывается, что многочлен степени л имеет ровно п корней. Поэтому вещественный многочлен нечетной степени обяза- обязательно имеет хотя бы один вещественный корень. (Докажите это иначе, рассмотрев поведение графика многочлена Р(х) нечетной степени при больших \х\.) Многочлен четной степени может и не иметь вещественных корней. Из школьного курса алгебры известно, что если уравнение C) им-еет корни гх, гг, ..., zn, то многочлен, стоящий слева в C), разлагается на множители следующим образом: aozn + alz"-1+ ...+an^lz-\-an = a0(z — zl)(z~zi)...(z — zn). D) Поэтому если xo-\-iyo есть корень многочлена, то в разложение этого многочлена на множители входит комплексный множитель (z — х0 — iy0). Так как в этом случае многочлен также имеет корень х0 — /у„, то в его разложение входит множитель (z — xo-\-iyo). Чтобы в записи D) не иметь дела с мнимыми числами", эти два множителя удобно объединить в один (z — х0 - iy0) (z — xo + iy0) = z* — 2xoz + xl +yl Вместо двух множителей с мнимыми коэффициентами мы получаем один множитель с вещественными коэффициентами, но со второй степенью переменного z. Таким образом, из основной теоремы алгебры (правда, мы ее не доказали, а приняли на веру) следует, что любой вещественный многочлен раскладывается на веществен- вещественные множители, содержащие переменную z в первой и второй сте- степенях— но не в более высокой степени.
ISO ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V Упражнения 1. Покажите, что если — = w, то -—= ш*. г2 г2 2. Найдите все корни многочлена г*-— 6г3 + 11 г2 — 2г—10, если известно, что один из его корней равен 2 — i. 3. Покажите, что г** = г. 4. Пусть z=x-\-iy. Найдите г-г*. § 3. Возведение в мнимую степень. Формула Эйлера Перейдем к важнейшему вопросу о том, что означает возведение в мнимую степень. Как подойти к этому вопросу? Проследим, как в алгебре решался более простой вопрос об отрицательных и дробных степенях. Не- Непосредственно и наглядно дается только определение целых поло- положительных степеней: а1=а, a2 = fl-a, as = a-a-a, ..., а" = а-а ... а. п раз На примере целых положительных степеней устанавливаются пра- правила: — = ап~т (если я "> т), (ап\т = апт ат \ у п \ / Далее считают, что эти правила остаются справедливыми для любых показателей степени, а не только для целых и положитель- положительных. Отсюда следует определение того, что собой представ- представляют дробные и отрицательные степени. Например, из формулы n ап ] =ап =аг=а следует, что а" есть число, которое, бу- дучи возведено в степень л, дает а, т. е. ап есть у а. Точно так же получается а° — 1, а~п = —. Определить таким путем, что представляет собой а', не удается. Попробуем это сделать с помощью того, что мы знаем о производ- производной показательной функции, т. е. с помощью средств высшей мате- математики. Наиболее просто и удобно, без лишних коэффициентов, выглядят формулы дифференцирования для е', ekt: If-6' If-6' dt Эти формулы и являются исходными для определения возведения *) Именно условие, чтобы формулы имели такой простой вид, и опреде- определяет число е (см.1 например, ВМ, § II.8).
§ 3] ВОЗВЕДЕНИЕ В МНИМУЮ СТЕПЕНЬ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 151 в мнимую степень: dt dz Положим en — z{t), тогда -r = iz. Соотношение между z и dz пока- dt зано на рис. 48. Так как dz = izdt, то, при вещественных t и dt, dz перпендикулярно z. Значит, изменение z = elt при увеличении t на величину dt геометрически сводится к повороту вектора z на угол dcp. Из рисунка видно, что так как dz перпендикулярно z, то У х Рис. 48. X dq> равно отношению длины отрезка dz (равной г dt) к длине отрезка z (равной г). Поэтому dq> = dt. Конечно, при этом углы (ф, dq> и т. д.) должны быть выражены в естественных единицах, т. е. радианах, а не градусах. При ^ = 0 будет еп \t=o = e° = \, т. е. z @) есть горизонтальный вектор, длина которого равна единице. Поскольку изменению t на dt соответствует поворот вектора z на dq> = dt, то изменению t от 0 до данного значения t1 соответствует поворот на угол ф = ^х. Таким образом, 2 = e'? есть вектор, получающийся из г@) = 1 поворотом на угол ф. Положим z = e'f = x-\-iy. Из рис. 49 ясно, что х= 1 • cos ф = cos ф, у = 1 -sin ф = sin ф. Поэтому е'т= cos ф + г эшф. E) Это — формула Эйлера. Легко проверить, что при этом — (е'ч) = ie'f. Действительно, d ■ d . d — (e'f) = -г- (cos ш) + 1 т- (sin cp) = —sinm-t- i cos a> = d<X> d<X> "^ аф * * = it sin ф -\- i cos ф = i (cos ф + i sin ф) = ie'f. Формула Эйлера была получена другим способом в ВМ, § 11.18, на основе разложения ее левой и правой частей в ряд Тейлора. Но само определение функций е'', ekt в ВМ было основано на выра- выражении производной от экспоненциальной функции; значит в прин- принципе оба доказательства имеют одну и ту же основу.
152 ■ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V С помощью формулы Эйлера произвольное комплексное число z с модулем г и аргументом ф можно записать так: z = г (cos ф +г sin ф) — re1?. Запись г = ге"Р называется показательной формой комплексного числа. При этом правило сложения аргументов при умножении комплексных чисел становится простым следствием сложения показателей при умножении степеней. В самом деле, пусть zi = r1eiv^ z2 = гге1<9г. Тогда z = z^z% = r^'fi • r^'f' = rtr3 • б''*' + <p«) = ге'ч, где /- = /y2, ф = Ф! + ф2. Из формулы Эйлера легко получить формулы для синуса и косинуса суммы. Действительно, e'«P+1l') = cos (ф + i]>) + i sin С другой стороны, (cos if + i sin г|)) = cosiJj — 51Пф sinifH-/ E1Пф cos г|)+ cos ф sin tj;). Сравнивая вещественные и мнимые части в двух выражениях для е'(<р+1|')) получаем cos (ф + г|)) = cos ф cos г|)—sin ф sin ijj, sin (ф -\- г|)) = sin ф cos г|) -\- sin ty cos ф. Конечно, в этом простом случае мы получили хорошо известные формулы, которые легко доказываются в тригонометрии без приме- применения комплексных чисел. Однако если нужно выразить, например, cos 5tp и вт5ф через соэф и втф, то применение формулы Эйлера практически удобнее обычных тригонометрических преобразований. Делается это так: (е'ф N =■. e{t<f = cos 5ф + i sin 5ф. С другой стороны, e'f = cos ф + i sin ф, поэтому (e't)b = (cos ф + / sin фN = = со5*ф + ^б cos* фэшф— 10 cos3 ф sin* ф — ПО cos2ф sin3 ф4- -\- 5 cos ф sin4 ф -\- i sin5 ф *). (Мы выполнили возведение в степень по формуле бинома Ньютона.) *) Заменив в этом рассуждении показатель 5 на любое целое число п, мы придем к тождеству (cos <p+i: sin (p)" = cos /г<р—[- i: sin /г<р, называемому фор- формулой Муавра,
§ 3] ВОЗВЕДЕНИЕ В МНИМУЮ СТЕПЕНЬ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 153 Сравнивая вещественные и мнимые части, находим СО5 5ф= СО55ф— 10 COS3 W Sin2 ф4-5 СОЭф 5Ш4ф, sin 5ф —• sin° ф —10 sin3 ф cos2 ф + 5 sin ф cos* ф. Приведем еще один пример применения формулы Эйлера. Пусть требуется найти \ еах cos bx dx. Рассмотрим равенство , F) ~- a + ib ' "' где C = C1-\-iCi. Заметим, что по формуле Эйлера Г e(e+ ib) х dx= [ eax cos bx dx-\-i [ eax sin bx dx. Чтобы отделить в правой части F) вещественную часть от мнимой, проделаем следующие преобразования: е(а+ ib)x =, eaxeibx = gax (cos bx + ; sin bx)t 1 a—ib a . b a -f ib (a - Перемножая, получаем, что частное в правой части F) равно -Хгтг (а cos bx-{-b sin bx) + i , ц (a sin bx — b cos bx). Равенство F) принимает вид V eax cos bx dx -f i \ eax sin &лс d# = = '2 . ,a (acos bx-\-bsin&лс) + i .а , ..j (asinfac — & cos&лс) + С. Сравнивая вещественные и мнимые части, находим i sin bx) r г w> с—6 cos Ьд-) „ Упражнения 1. Запишите в показательной форме следующие числа: a) l+i; b) I —i; в) —1; г) 3i. 2. Пользуясь формулой Эйлера, найдите: а) A+0": б) 3. Выразите соэЗф, sin 4ф через sin ср и cos 4. Докажите формулы
154 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V § 4. Логарифмы и корни Замечательно, что при мнимых показателях показательная функ- функция становится периодической. В самом деле, из формулы Эйлера следует, что e2l"'=cos 2л+zsin 2л= 1, поэтому еш+м = епегк1'=еп, т. е. функция z(t)=eli имеет период 2л. Периодические свойства степени проступают уже на следующих простых примерах: 1. (-1H=1; (—1I = —1; (—1)»=1; (—1K = —1; ...; ( 2. /°=1; i1 = i; г» = — Из этих примеров мы заключаем, что (— 1)^ как функция g имеет период 2, a is как функция 5 имеет период 4. Покажем, что периодичность этих функций есть следствие перио- периодичности функции e!t. Действительно, пользуясь формулой Эйлера, запишем —1 в показательной форме; получим —1 = еп1. Поэтому (—\)£=е'п£, где g—любое число. Определим период функции е'ж£ при вещественном g. Если G—ее период, то eh<L^+G)= el%%. Для этого должно быть ei%G=\, откуда nG = 2n, G—-2. Аналогично я га us ~2~ ~2" ~2~ i=e , поэтому is=e . Период функции е равен 4. Периодичность показательной функции приводит к интересным следствиям для логарифма. Логарифмом комплексного числа z на- называется такое комплексное число w, что ew~-z. Пусть z = re'f. Запишем число г в виде г — е*>, где р есть ло- логарифм (натуральный) положительного числа г. Тогда г = ер+/?, поэтому w = In z = р -\- щ = 1п г -\- /ф. Но мы уже знаем, что е2я*'=1, если k — целое число; поэтому мы можем написать г=е*+'*+**к1, откуда In z = ]п/" + *'(ф + 2/гл). Таким образом, логарифм комплексного числа имеет бесчислен- бесчисленное множество значений. Это положение похоже на соотношение между тригонометрическими и обратными тригонометрическими функ- функциями. Например, так как tgcp имеет период, равный п, т. е. tg (ф -\- кл) = tg ф, если k—целое, то Arctgjc имеет бесчисленное множество значений. Действительно, если ф — arctg лс—одно из зна- значений арктангенса, то и ц>-\-кл также есть значение арктангенса (k — целое). Периодичность показательной функции приводит к важным след- следствиям и при извлечении корня, т. е. при возведении в дробную степень.
§ 4] логарифмы и корни 155 Пусть z = rel'f; как мы видели, можно написать z = ге"*+ inkl. Тогда где через с обозначено rnelnt*. Если п целое, то ег**п'=1, поэтому получается лишь одно значение гп, именно число с. Таким образом, возведение в целую степень есть действие однозначное. Положение меняется, если п дробное, п = — , где р и q > 0 — взаимно простые (не имеющие общих делителей, кроме единицы) целые числа. Тогда гг%и.т МОжет быть отличным от 1 и по формуле G) мы получаем новые значения zn, отличные от с. При этом можно доказать, что общее число различных значений zn равно q. Рассмотрим пример. Найдем все значения I1/. = £/i. Так как \=е2кк!, то 1'/, — е 3 . Положив в последнем равенстве /z = 0, по- получим 11/» = 1, положив /z—1, получим 2Я1 1V _ ~Г _ 2л . . 2л 1_ у^З 1 ' — е — cos -у + г sm 3 — -^ -\-1 -^— , положив /г = 2, получим 4Ж Т 4л ... 4л 1 .уз = е = cos -g- +1 sin -g- =—-g- — г -^-g— Таким образом, мы получили три значения j/ 1. (Проверьте с помощью непосредственного возведения в степень, что ( —2"±i-^-j =1.) Легко убедиться, что, полагая k = 3,4, ... или k = — 1, —2, ..., мы не получим новых значений корня. Если п — целое число, то корни уравнения х" = 1 суть п чисел вида , где /z = 0, 1, 2, ..., л — 1. При этом, подставляя k — Q, получим ^O = cos0 + i sin 0 = 1, т. е. общеизвестное значение. На плоскости числа xk изображаются точками, расположенными в вершинах правильного л-угольника, вписанного в круг радиуса 1. Действительно, модуль любого из )/ , 2 fen , . ,2 fen , / cos^ f-sin =1| аргумент числа х0 равен нулю, а при увеличении k на единицу аргумент увеличивается на —.На рис. 50 показаны корни уравнения хъ = \.
156 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. На примере простейшего уравнения степени п(п — целое поле жительное) хп=1 мы убедились, что общее число вещественны и мнимых корней равно п. В действительности (здесь мы не сможе дать доказательства этой теоремы) любое алгебраическое уравнена степени п имеет п комплексных корней, причем некоторые из ни: могут быть вещественными, так как всегда считается, что вещест! венные числа — это частный случай комплексных. Число различны) корней может оказаться меньшим п, так как корни могут совпадав друг с другом («кратные корни»). На пример, уравнение четвертой степей! Рис. 50. имеет трехкратный корень хг 3,э=1 и простой корень xt = —1, а всего четыре корня. В заключение этого параграфа про- проследим, как в процессе усложнения ма- математических действий развивается по- понятие числа. Исходным является класс (совокупность) целых положительных (натуральных) чисел. Если пользовать- пользоваться только такими числами, то всег- всегда выполнимо сложение, так как ре- результат сложения двух натуральных чисел есть снова натуральное число, но н-е всегда выполнимо вычитание. Для того чтобы вы- вычитание было всегда возможным, приходится рассматривать целые отрицательные числа и нуль. Рассмотрим следующую пару действий — умножение и деление. Результат умножения двух целых чисел есть целое число, однако действие деления целых чисел не всегда выполнимо в целых числах. Для того чтобы всегда было выполнимо деление, нужно ввести но- новые числа — дроби. Целые и дробные числа вместе составляют класс рациональных чисел. Но хорошо известно, что пределом последо- последовательности рациональных чисел может служить число не рациональ- рациональное, т. е. иррациональное (они подразделяются на «алгебраические» и «трансцендентные», на чем мы здесь не будем останавливаться). Рациональные и иррациональные числа вместе образуют класс веще- вещественных чисел, в котором операция предельного перехода всегда выполнима. Однако в последнем классе не всегда выполнимы алге- алгебраические действия: например, можно извлекать корни любой сте- степени из положительных чисел, но нельзя извлекать корни четных степеней (в частности, квадратные) из отрицательных чисел. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа стано- становится возможным только с введением комплексных чисел. Замеча- Замечательно, что введение комплексных чисел является последним расширением числовой системы. Действительно, если мы располагаем
§ 5] ОПИСАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 157 комплексными числами, то мы можем извлекать корни любой степени не. только из отрицательных, но и из любых комплексных чисел. Результатами являются некоторые комплексные числа. Однако в математике имеются и другие действия, выполнить которые не- невозможно, если ограничиваться лишь вещественными числами. Так, при возведении положительного числа в любую вещественную сте- степень получается всегда положительное число, так что нет логариф- логарифмов отрицательных чисел. Еще одна невыполнимая операция — не существует вещественного числа ф такого, например, что cos ф = 2. Возникает вопрос: может быть, для того чтобы находить логарифмы отрицательных чисел, потребуется введение какой-то новой «мнимой единицы», отличной от i, которую мы ввели, чтобы иметь возмож- возможность извлекать корни четной степени из отрицательных чисел? Не потребуется ли для решения уравнения соэф = 2 еще какой-то, третьей «мнимой единицы»? Оказывается, что это не так: с введе- дением комплексных чисел мы получаем возможность находить ло- логарифмы как отрицательных, так и комплексных чисел (см. выше), решать уравнения вида соэф = 6, где k — любое число (см. ниже, упражнение 4), и т. д. Таким образом, любые действия над комп- комплексными числами выполнимы, в результате этих действий опять получаются комплексные числа, так что введения каких-то новых чисел больше не требуется. Упражнения 1. Найдите логарифмы следующих чисел: а) —1; б) I; в) — i; г) 1 + /. 2. Найдите все значения j/ —1. 3. Найдите все значения £/ 1. В задачах 2 и 3 получите значения корней и в тригонометрической и в ал- алгебраической формах. Проверьте найденные значения корней возведением в Соответствующую степень по формуле бинома Ньютона. 4. Решите уравнение cosq> = 2. Укажите все решения. 5. Укажите все решения уравнения sinq> = 2. Указание. В задачах 4—5 воспользуйтесь формулами, выражающими синус и косинус через показательную функцию. (См. упражнение 4 к § 3.) § 5. Описание гармонических колебаний с помощью показательной функции от мнимого аргумента Зная, что показательная функция периодична для мнимых пока- показателей, можно пользоваться ею при решении задач на колебания из механики и теории электрических цепей. Рассмотрим, например, гармонические колебания (т. е. колебания, происходящие по синусоидальному закону) электрического тока в цепи, при которых сила тока изменяется по закону (8)
158 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V здесь j0 — амплитуда колебаний (наибольшая сила тока), со—частота и а—начальная фаза (значение фазы, т. е. u>t~\-a, при ^ = 0). Оказывается удобным наряду с (8) ввести понятие комплексной си- силы тока: у=_/„«/«<■>+■>, (9) для которой «настоящая» сила тока (8) служит мнимой частью, так как в силу формулы Эйлера E) (ш'+"> = /0 cos (at a) + ij0 sin И + а). Комплексная сила тока (9) изображается в комплексной плоскости вектором (рис. 51) длины Jo, образующим с положительным направ- направлением вещественной оси угол со^-|-а; таким образом, этот вектор при t — 0 имеет наклон а, а при увеличении / равномерно вращается с угловой ско- скоростью со. Сила тока (8) получается в результате проектирования конца век- вектора J на мнимую ось. (Если бы сила тока изменялась, взамен (8), по закону J — Jo cos (M^ + a)i то она была бы веще- вещественной частью комплексной силы то- тока (9) и получалась в результате про- проектирования J на вещественную ось.) Выражение (9) представляет собой пример комплексной функции от вещественной независимой переменной. В общем случае любую такую функцию можно записать в форме где g(t) и h (t) — обычные вещественные функции от вещественной независимой переменной. Такие комплексные функции обладают следующими очевидными свойствами: если комплексные функции складываются, то их вещественные и мнимые части также складываются; если комплексная функция умножается на вещественную посто- постоянную или вещественную функцию, то вещественная и мнимая части получают тот же множитель; если комплексную функцию продифференцировать или проинте- проинтегрировать, то над ее вещественной и мнимой частями произведутся те же действия. Эти свойства дают возможность, вместо того чтобы производить указанные действия над вещественной или мнимой частью, осущест- осуществить эти действия над всей комплексной функцией, а от результата взять вещественную или соответственно мнимую часть. Замечательно, что такой переход к комплексным величинам с обратным переходом к требуемым вещественным величинам может оказаться проще и на-
§ 5] ОПИСАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 159 гляднее, чем непосредственные действия над вещественными вели- величинами. Рассмотрим, например, наложение колебаний, происходящих с одинаковой частотой. Пусть надо сложить токи j = j\ sin (со* -f ax) 4-Л sin (со* 4- а»)- Мы видели, что соответствующие комплексные токи Jx и У2 изобра- изображаются в плоскости комплексного переменного векторами, равно- равномерно вращающимися с угловой ско- скоростью со. А в § 1 мы показали, что такие векторы складываются по правилу параллелограмма. Значит, и суммарный комплексный ток J будет равномерно вращаться с угловой скоростью со, т. е. его можно записать в виде (9), где _/„ и а легко получить геометрически. На рис. 52 показано положение вращаю- вращающегося параллелограмма в момент * = 0, которое только и нужно для определения _/0 и а. Эти параметры можно получить с помощью геометри- геометрического построения, как на рис. 52, но можно найти и аналитически. Для нахождения /0 можно применить теорему косинусов к треуголь- треугольнику ОАВ, что дает Л = ОВг = АОг 4- АВг — 2АО ■ АВ cos (АоГаВ) = Для нахождения а заметим, что проекции вектора У|*»| и« оси координат равны соответственно откуда tga = /, sin a,+/2 si /i cos < 2 cos a2 Аналогичные результаты получаются при наложении любого числа колебаний, происходящих с одинаковой частотой. В то же время ясно, что при наложении колебаний, происходящих с разной частотой, суммарный ток будет иметь сложный вид и уже не будет изменяться по гармоническому закону. Еще более наглядным является дифференцирование комплексного тока. Из (9) получаем ^. = yoe'(<D'+«>to = /(a/. A0) В силу § 1 такое умножение сводится к растяжению вектора J в со раз и повороту его на 90° против часовой стрелки. Значит,
160 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. dJ вектор -тг также равномерно вращается со скоростью со. Аналогичн отбрасывая произвольную постоянную, получаем J 16) ш A т. е. этот вектор получается из J сжатием в со раз и поворот его на 90° в отрицательном направлении. Положение этих векторо в момент ^=0 показано на рис. (на так называемой фазовой диа грамме). Эти результаты можно приме нить к расчету колебаний в электри- электрическом контуре, содержащем любые, комбинации сопротивлений, индуктив1 ——*" ностей и емкостей. При этом исполь- используется показанная на рис. 54 связь между падением напряжения на эле- элементе цепи и силой тока в нем. (Соответствующие формулы выводятся в курсах теории электричества; см. также ВМ, § VIH.1.) Кроме того, применяются законы Кирхгофа, согласно которым алгебраическая сумма всех токов, подходящих к любой точке цепи, равна нулю; \ Рис. 53. Сопротивление Индуктибность Емкость R Рис. 54. алгебраическая сумма падений напряжений на любой последователь- последовательности элементов, образующих замкнутую цепь, равна нулю. Об этих законах приходится вспоминать для сложных разветвленных це- цепей, так как для простых цепей они ничего не дают сверх очевидных исход- исходных соотношений. Рассмотрим, например,/?, /.-цепь, по- ■'" казанную на рис. 55, к которой подклю- ^ч^с чеи источник напряжения, изменяющегося Т по гармоническому закону | | Ф = ф0 sin(co^-f- P). A2) Рис. 55. При этом в цепи возникает ток, меняющийся по гармоническому закону (8), однако у'о и а нам заранее не известны. Приравнивая ф сумме падений напряжений на /? и L на основе формул рис. 54,
§ 5] ОПИСАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 161 получаем (здесь мы в неявной форме пользуемся обоими законами Кирхгофа) 3 Переходя к комплексному току (9) и комплексному напряжению Ф = фое''(т'+Р>, получаем Ш+1^- = Ф A3) или, пользуясь A0), Q>, A4) откуда / ф Мы видим, что индуктивность L можно истолковать как некое со- сопротивление, численно равное /со/.; это значение называется кажу- кажущимся сопротивлением, или импедансом, элемента L. Теперь остается от последнего выражения взять мнимую часть, чтобы получить искомую силу тока. Однако еще проще записать коэффициент Д0** ё показательной форме joe'at что сразу даст искомые значения /0 и а. Отсюда видим, что R + i (здесь мы пользуемся тем, что аргумент arg комплексного числа не меняется при умножении этого числа на вещественное положитель- положительное число). Следовательно, фаза тока в R, /.-цепи запаздывает по сравнению с фазой источника напряжения, что, конечно, объясняется наличием индуктивности. Искомую силу тока можно получить и с помощью геометричес- геометрического построения, показанного на рис. 56. Допустим на минуту, что нам был задан ток (8), тогда как напряжение A2) является искомым. Тогда нетрудно построить вектор J\t = a=joe'a, а с ним и взаимно перпендикулярные векторы RJ\t~0 и i(oLJ\i=a. Но в силу равен- равенства A4) вектор ф |<=0 = <рое'Р служит диагональю прямоугольника, построенного на двух последних векторах, т. е. и последний вектор легко построить. Вернемся теперь к исходной задаче об отыскании тока по напря- напряжению. Изобразим вектор ф|<жо =;<рое'Э внешнего комплексного напря- напряжения в момент ^ = 0 (его модуль ф0 и-аргумент р нам заданы). 6 Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкис
162 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V Этот вектор должен служить диагональю прямоугольника, построен- построенного на векторах RJ\t=0 и i(x>LJ\t-0, однако вектор J\t=a нам не дан и является искомым. Но этот прямоугольник подобен прямоуголь- прямоугольнику, построенному на векторах R и /coZ. (меньший прямоугольник на рис. 56). Значит, нужно проделать следующее: построить этот последний прямоугольник; затем подобно увеличить или уменьшить его так, чтобы его диагональ стала равной ср0; затем повернуть его Рис. 57. так, чтобы его диагональ совпала с вектором Ф|<=0, тогда он при- примет положение большого прямоугольника рис. 56; наконец, сторону RJ\t~o разделить на R, что даст J\t=a. Рассмотрим еще L, С-цепь, показанную на рис. 57. Здесь взамен A3) получаем откуда, пользуясь A0) и A1), находим, что т. е. j — . Ф \ wC A5) (Таким образом, кажущимся сопротивлением, или импедансом, емко- емкости служит величина -^. J Здесь возможны различные случаи. Если частота со внешнего источника напряжения достаточно велика, более точно, если со2 >• ттч , то скобка, стоящая в знаменателе, по- -1-2- ложительна. Представив —i = e 8 , мы можем записать
£ 5] ОПИСАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 163 Таким образом, в цепи устанавливается ток в амплитудой /о 7 I и фазой, запаздывающей на 90° по сравнению с источником напря- напряжения. Если частота со мала, т. е. со2 < т^, то аналогично прове- проверяется, что фаза устанавливающегося тока на 90° опережает фазу внешнего напряжения. Особый интерес представляет промежуточный случай, когда т. в. и решение A5) непригодно, так как в правой части появляется нуль в знаменателе. В этом случае при любых /0 и а выражение (9) удов- удовлетворяет соотношению . J iL ( „ 1 т. е. в цепи без внешнего источника напряжений (накоротко замкну- замкнутой) возможны незатухающие гармонические колебания по закону (8). Такие колебания, происходящие при отсутствии внешнего воздейст* вия, называются собственными, или свободными. Таким образом, если частота внешнего напряжения удовлетворяет соотношению A6), то она равна частоте собственных незатухающих колебаний в цепи. Из физики известно, что при этих условиях возникает резонанс и взамен периодических, гармонических колебаний, которые мы здесь только и рассматриваем, возникают колебания с возрастающей ампли- амплитудой. Случай резонанса будет разобран в гл. VII. Следует отметить, что с помощью описанного метода можно получить только ток, который устанавливается в цепи по прошествии некоторого «переходного периода». Переходный процесс описывается также по методам гл. VII. Упражнения 1. Рассмотрите цепь, в которой последовательно включены сопротивле- сопротивление R, индуктивность L и емкость С. Что будет в частном случае, когда LC 2. Рассмотрите цепь, в которой сопротивление R, и индуктивность L вклю- чены параллельно.
164 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРеМЕННОГО [ГЛ. V § 6. Производная функции комплексного переменного Переменная то— f(z) называется функцией комплексного числа г, если каждому значению z отвечает определенное значение f(z). Так как z = x~\-iy, где х — вещественная часть, у— мни.мая часть, то задание z означает задание двух вещественных чисел х и у. При этом f{z) = u{x, y)-\- lv (х, у), где и(х,у) и v (x, у) — вещественные функции. Каждому z соответствуют определенные х и у, а значит, определенные и и v и, следовательно, определенная величина f(z). Однако мы будем теперь рассматривать как функцию f (z) не всякое выражение и [х, у)-\-iv(x, у), а лишь такую величину, которая зави- зависит от z по таким формулам, как, например, f(z) = 1 -\-z2, f(z)=z, f(z) = ez, /(z) — sinz и т.д. Эти формулы могут содержать алгеб- алгебраические действия над z или неалгебраические, но такие, которые можно выразить с помощью степенных рядов Тейлора от z, напри- например, ez, sin z и т. д. Таким образом, мы рассматриваем формулы, в которые входит именно z, но не его вещественная или мнимая часть в отдельности. (С этой точки зрения, например, z* — x — iy или \z не рассматри- рассматриваются здесь как функции z, хотя, зная z, легко найти z* и \z\.) При таком определении f{z) у всех функций f(z) есть одно общее свойство: по обычным правилам дифференцирования функций можно найти производную Функция f(z), имеющая производную, называется аналитической функцией, Мы, следовательно, рассматриваем только аналитические функции. Для функций, заданных простыми формулами, вычисление произ- производных ничуть не сложнее, чем для функций от вещественного переменного. Рассмотрим, например, функцию w = z2. Придавая z приращение Az, получим приращение функции Aw = (z+ АгJ — z2 = 2z Az + (Azf, откуда, переходя к дифференциалам и отбрасывая малые высшего порядка (по модулю), получаем dw = 2zdz, % = 2z, т. е. ±g) Как видим, при этих вычислениях несущественно, принимает незави- независимая переменная комплексные или только вещественные значения. Однако в общем случае комплексной переменной существование производной совсем не так очевидно и просто, как в случае вещест- вещественной переменной, В самом деле, z = x-\-ly n можно дать прираще- приращение dz, меняя х и у одновременно; dz—dx-\-idy\ можно дать при-
Щ 6] ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 165 щ ращение dz, меняя только х; dz = dx; а можно, меняя только у: $° {Jz=idy. Если производная f (z) существует, то это означает, что - при различных способах изменения z соответствующие изменения / -. таковы, что j- при этом одинаковы. Запишем f(z) в виде /(z) = u (x, y)-\-iv(x, у). Пусть изменяется только х, тогда dz = dx и df дх ди , .dv 1 , , 1_ 1 , ■<-" • dz ~~ dx ~~ дх дх' "Если же изменяется только у, то dz=idy, поэтому ',..-,. df _d~ydy _\d~y + l dy)dy _ 1 ди dv _ . ди dv '- ' dz i dy i dy i ду ду ду ду ' Приравнивая два выражения для производной, полученных раз- "*'.. личными способами, находим ди . dv _ . dtx . dv_ dx"j~ldx'~~ld~y~jrdy'' а значит, ди _dv ди ди .._ Ш~ду' Ъ~х~~ду~- U ' Щ, Эти формулы называются условиями Коши — Римана. Итак, у анали- J* тической функции f(z) вещественная и мнимая части связаны опре- определенными соотношениями. Рассмотрим пример. Пусть ,| / (z) = z2 = (х + iyf = х2 —у2 + i • 2ху. Здесь и = хг—уг, v = 2xy, V ■' dJL==fo==2x - = — — = 2v дх ду ' дх ду *' Таким образом, условия Коши — Римана A7) выполняются. Рассмотрим пример противоположного характера. Пусть f(z) = !;„ =z* = x—iy, где z=x~\-iy. Выше мы отмечали, что хотя такая /(г) "У и может быть в каком-то смысле названа функцией от г (каждому z отвечает вполне определенное z*), но это не аналитическая функ- '■■ ция. Действительно, в этом случае и = х, v=—у, поэтому ■ *-1 ^-0- — = 0 --—1- .- дх~'' дх~ ' ду ' ду~ первое из условий Коши — Римана не выполнено. Упражнение ; Проверьте условие Коши —Римана для функции /(г)=г'.
1 66 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V § 7. Гармонические функции Вернемся к аналитическим функциям. Возьмем производные по х от первого равенства A7) и по у от второго равенства A7). По- Получим дги __ дго дЪ _ dht_ Ш ~~ дхду ' дхду ~ ~ ду2 ' откуда д*и д*и „ + о Аналогично, дифференцируя первое равенство A7) по у, а второе по х, получим 7м + ут=0- ^Равнение 08) называется уравнением Лапласа. Задаваясь различными f(z), можно получить различные решен-ия этого уравнения, которые называются также гармонически- гармоническими функциями. Итак, в качестве вещественной и мнимой частей аналитической функции могут быть взяты не какие угодно функции и(х, у) и v(x, у), а только гармонические функции. Кроме того, эти функции должны быть связаны друг с другом соотношениями A7); такие функции называются сопряженными гармоническими функциями. Можно проверить, что если одна из двух сопряженных функций уже выб- выбрана, то в силу этих соотношений вторая определена полностью, с точностью до произвольного постоянного слагаемого. В самом деле, пусть функция v выбрана и соотношениям A7) удовлетворяют , ~ ди, ди« „ две функции: и = и1 и и — и2. Тогда -~ = -^ . так как обе эти про- изводные равны ^-. Поэтому *—^ = 0, т. е. и1 — иг не зависит от х. Аналогично получаем, что ~ — 0> т' е' разность^—к, не зависит и от у, а потому является постоянной. Уравнение Лапласа имеет большое значение в математической физике. Например, электростатический потенциал в пространстве между длинными проводниками, вытянутыми перпендикулярно плос- плоскости х, у, является функцией только х, у и удовлетворяет уравне- уравнению A8). В тех точках плоскости х, у, где она протыкается провод- проводниками, уравнение Лапласа для потенциала нарушается. В частности, там, где плоскость пересекает проводник, сечение которого имеет бесконечно малый диаметр, потенциал имеет особенность (обращается в бесконечность). Таким образом, более точно надо сказать, что потенциал является гармонической функцией в той части плоскости, где нет зарядов. Подробнее об этом будет сказано в § Х.5. Связь между и и v имеет простой геометрический смысл, Дейст- Действительно, построим линию и (х, у) = const. Так как ^-dx-\- ■£■ dy = 0, ох оу
§ 7] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 167 то тангенс угла наклона этой линии к оси х равен U=const ди jdu dxl ду' Подобным образом тангенс угла наклона линии v(x, у) = const к оси х равен dy dv I ду & 2 ~ dx o=const ~~ dxldy' Пользуясь условиями Коши — Римана, получаем _ди \ди tga2- ду1 A9) Мы получили условие перпендикулярности касательных к линиям и (х, у) = const и v (х, у) = = const*). Таким образом, взяв любую аналитическую функ- функцию f(z) = a(x,y)-\- iv(x,y), мы получим два семейства кривых, пересекающихся в каждой точке под прямым углом. Для приведенного выше примера f(z) = z2 эти кривые показаны на рис. 58. Еслии— электростатиче- электростатический потенциал, то а (х,у) = const — это линии постоян- постоянного потенциала, av(x,y) = const — линии напряженно- напряженности («силовые линии») поля; в каждой точке линия на- _ _„ Рис. 58. пряженности направлена по нормали к линии и (х, у) = const, проходящей через эту точку. Упражнения 1. Пусть / (г) = и (х, у) + iv (х, у). Зная, что и {х, у)=х-\-х'2—у'*, опреде- определите v(x,y), если известно, что /@) = 0. 2. Известно, что v (х, у) = — 2ху, /@)=1. Определите и (х, у). *) Для перпендикулярности должно быть а.2 = а1 ± 90°, т. е. tga.i = tg(a1 ± 90°) = —ctga!=—t-^-. Это и есть условие A9).
168 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [гл. v § 8. Интеграл от функции комплексного переменного Дадим определение интеграла от комплексной функции f(z). Возьмем две точки —начальную zm4 и конечную гкт — на плоскости и соединим их какой-нибудь линией (/) (рис. 59). Разобьем эту линию на р малых участков и граничные точки занумеруем так: Составим сумму B0) где точка \j произвольно выбрана на участке линии"(/) между 2,-_i и Zj. Обращаем внимание читателя на то, что значения функ- функции f(lj) и величины Zy—Zi-1 — это комплексные числа, поэтому Рис. 59. •кон. У\ Рис. 60. прн составлении суммы B0) мы производим действия с комплексными числами, и результат, т. е. величина S,— также комплексное число. Интегралом мы будем называть сумму 5 при условии, что ли- линии (/) разбита на столь мелкие участки, что дальнейшее их раз- размельчение практически не изменяет величину суммы 5(более точно, предел суммы при бесконечном размельчении этой линии). Интеграл будем обозначать так: кон /= $ f(z)dz. Из определения следует, что интеграл множится на —1 при изме- изменении направления интегрирования. Действительно, при перемене направления все разности Zj — Z\—x, а потому и сумма B0) множатся на —1. Возникает следующий вопрос. Ясно, что точки zm4 и zKOfi можно соединить различными способами (рис. 60). При этом, составляя сумму B0) для различных линий, соединяющих точки г„ач и zKoa, мы будем иметь дело с различными значениями /(£/) и Zj — £/_]..
ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 169 ■'< Зависит ли интеграл / от выбора пути или он зависит только от ^начальной (гнач) и конечной (zKon) точек? Оказывается, что если f(z) — аналитическая функция и если ..■ в области, ограниченной различными путями, f{z) нигде не обра- .'.- щается в бесконечность, то интеграл не зависит от выбора пути*). :" Для доказательства обозначим замкнутый контур zm4AzK0HBzH!t4 буквой (/,), а интеграл (pf(z)dz буквой / (символом ф обозначает- обозначается интеграл по замкнутому контуру). Так как - \ f{z)dz = гнач кон Az f(z)dz- J f(z)dz, г Вг нач кон П) то достаточно проверить, что 1=0. Обратно, если интегралы от f(z) no контурам zm4AzKm и zHa4BzKm равны, то 1=0. Значит, неза- независимость интеграла аналитической функции от пути интегрирования равносильна следую- следующему утверждению, известному под наз- названием теоремы Коши: интеграл, взятый по замкнутому контуру от функции, аналитиче- аналитической всюду внутри этого контура и на нем, равен нулю. Для доказательства теоремы Коши ра- разобьем часть плоскости, ограниченную замк- замкнутым контуром (L), на маленькие квадра- тнкн с контурами (Lk) и будем каждый из этих контуров проходить против стрелки часов, т. е. в том же направлении, в котором обходится (L). (На рис. 61 показан один из контуров.) Тогда (L) к (L,;) так как в правой части все интегралы, взятые по внутренним сто- сторонам квадратиков, взаимно уничтожаются. Если внутри (Lk) выбрать какую-либо точку zk, то на (Lk) будет Рис. 61. z~zk то есть =/'(*, а, *) Кроме условия, чтобы /(г) не обращалось в бесконечность, нужно еще, чтобы f (г) была однозначной функцией, пли, во всяком случае, чтобы при переходе от одного пути к другому мы все время пользовались одной ветвью функции / (г) (см. конец этого параграфа).
170 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V где а — бесконечно малая, имеющая порядок длины h стороны квадратика. Отсюда §f{z)dz = § [f(zk)+f (zk)(z-zk) + a(z-zk)]dz. (L,,) (Lk) Интеграл от первых двух слагаемых берется легко и, так как инте- интегрирование производится по замкнутому контуру, равен нулю. Зна- Значит, остается лишь интеграл от третьего слагаемого, который имеет порядок А3, так как длина контура интегрирования имеет порядок h и множитель z — zk имеет тот же порядок. Но в правой части вы- выражения B1) число слагаемых в сумме имеет порядок р-, и тем са- самым вся сумма имеет порядок h. Значит, при бесконечном измель- измельчении квадратиков, когда h —»- 0, правая часть стремится к нулю; но она должна равняться постоянной левой части, т. е. эта посто- постоянная равна нулю, что и требовалось доказать. Позже мы сможем с помощью методов векторного анализа дать другое доказательство этой важной теоремы (см. упражнение 2 к § XI.7). г Таким образом, величина \ f(z)dz при закрепленном zHa4 за- нач висит только от конечной точки z пути, т. е. является функцией 2 от г. Обозначим эту функцию через Ф (z), тогда \ f{z) dz = г нач Найдем производную этой функции z + dz г z+dz \ j(z)dz- ^ j(z)dz ^ f(z)dz Q>(z) гначгнач г dz ~ dz ~~ dz dz Рассмотрим \ f(z)dz. Так как числа z и z~\-dz весьма близки, а 2 /(г) — непрерывная функция, то при изменении z в этих пределах f(z) z + dz i:e успеваетзаметноизмениться. Поэтому j f(z)dz&f(z)(z + dz—z) — z =f(z)dz, причем это равенство можно сделать сколь угодно точ- точным за счет уменьшения dz. Следовательно, dO (г) _ / (г) dz dz dz ■=/(г). B2) Формула B2) показывает, что зависимость между подынтеграль- подынтегральной функцией f{z) и интегралом Ф (z) остается такой же, как и в случае функции вещественного переменного.
S 8] ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 171 Покажем еще, что сохраняется обычная формула для вычисления интеграла кон * = <D (*«„,,)—Ф(*„.ч), B3) где Ф (z)— любая функция, удовлетворяющая соотношению B2). 2 Действительно, теперь уже \ f(z) dz = Ф (z)JrC, где С—посто- 2 нач янная. Полагая в этом равенстве 2 = гиач, получим 0 = Ф(,гнач) + С, г откуда С=—Ф(гнач). Поэтому $ f(z)dz=Q>(z)—<3>(zaa4). нч Положив здесь z = zK0H, мы получим B3). Формулы B2) и B3) показывают, что все правила нахождения интегралов, известные для обычных, вещественных интегралов (см., например, ВМ, гл. II), применимы и к интегралам от комплексных функций. В теории аналитических функций часто встречаются многознач- многозначные функции. Рассмотрим, например, функцию w = Y~z. В § 4 мы показали, что эта функция имеет два значения: если z = re"?, то ф ,,— (— = V re 2, -/ ф \ —ч —+я | re \ 2 J. Если выбрать какое-либо одно значение, как говорят, одну ветвь этой функции, то мы столкнемся со следующим интересным свой- свойством. Пусть z обойдет точку z = 0 в положительном направлении*) и подойдет к исходному положению. Тогда к ф прибавится 2л, а потому значение w1 перейдет в , ф+ 2Я подобным образом w% перейдет при этом в Уге\ г )=Уге *-е™' = Уге i-\=wv Таким образом, две ветви функции чю=Уz при обходе точки 2 = 0 непрерывно переходят одна в другую, а если обойти точку г = 0 два раза, то мы вернемся к исходной ветви. Точка z = z0, при обходе которой одна ветвь многозначной функ- функции сменяет другую, называется точкой ветвления. Таким образом, , *) Мы считаем направление обхода положительным, если точка г = 0 при °ходе все время остается слева.
172 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V для функции w — ]>^z точка 2 = 0 служит точкой ветвления второго порядка (так как здесь имеются две ветви). Другой точкой ветвле- ветвления для этой функции принято считать «бесконечную точку» 2=оо. В точке ветвления могут чередоваться и более двух ветвей: например, функция чй^^У z имеет л ветвей, которые непрерывно сменяют одна другую в круговом порядке при обходе точки ветвления 2 = 0. Другой важный пример многозначной функции дает функция w = \nz. В § 4 мы видели, что эта функция имеет бесконечное число значений: wk = In г-j- i (cp-J- 2Ал) (k — 0, ±1, ±2,...). Если точ- точка z обходит начало координат и к ср прибавляется 2я, то зна- значение w0 переходит в wlt значение w1 — в w2 н т. д. Если опять обходить начало, то мы будем переходить к новым и новым ветвям и никогда не вернемся к исходной ветви. Такая точка ветвления называется точкой ветвления бесконечного порядка. Чтобы можно было рассматривать одну ветвь независимо от дру- другой, нужно каким-то способом запретить точке z обходить точки ветвления рассматриваемой функции. Обычно для этого< в плоскости проводятся одна или несколько линий, «разрезов», соединяющих точки ветвления, и эти разрезы запрещается пересекать. Например, при рассмотрении функции w=l^z можно провести разрез вдоль вещественной положительной полуоси от точки 2 = 0 до бесконеч- бесконечности. Если точка z меняется произвольно в плоскости вне .этого разреза, то она не может обойти точку ветвления 2 = 0 и потому одна ветвь не может сменить другую. После проведения такого раз- разреза каждая ветвь может считаться однозначной аналитической функцией (хотя вдоль разреза ветвь имеет разрыв, она на разных «берегах» разреза принимает различные значения); в частности, к такой ветви можно применить теорему Коши. Впредь мы будем в качестве подынтегральных функций рассмат- рассматривать только однозначные аналитические функции. Впрочем, в § 9 мы увидим, что это не спасет нас от необходимости рассматривать неоднозначные функции, появляющиеся в результате интегрирования. Упражнение Найдите интегралы по верхней и нижней полуокружностям с центром в точке 2 = 0, идущим из z = —1 в 2=1, от функций: а) г2; б) —, в) Y z (для ветви, равной i при г= — 1). Объясните совпадение результатов в случае а) и несовпадение в случаях б) и в). § 9. Вычеты Итак, если интеграл не зависит от пути, то интеграл по замк- замкнутому контуру равен пулю. Выше говорилось, что интеграл не зависит от пути, если подынтегральная функция не обращается
§ 9] ВЫЧЕТЫ 173 в бесконечность. Рассмотрим пример, в котором функция обращается в бесконечность. 'dz подынтегральная Пусть /= ф—. Здесь f(z) = — обращается в бесконечность при О Z Z 2 = 0. Вычислим интеграл по замкнутому пути, обходящему в поло- положительном направлении (т. е. против хода стрелки часов) точку 2 — 0, например по окружности (С) радиуса г с центром в начале координат (рис. 62). На такой окружности z = re'f, где г — радиус окружности, а переменная ср изменяется от 0 до 2л. Тогда dz = re''H dq Интеграл по замк- © нутому кругу оказался не равным нулю. " ^ ' Мы знаем, что \— = \пг. Неравенство Xdz нулю интеграла ф — по замкнутому конту- контуру находится в замечательном соответствии с неоднозначностью функции \nz. Рассмот- 2 рим пример /= \ — , Идя от z = 1 к z = 2 по кратчайшему пути (рис. 63, а), найдем . /= 1п 2— In 1 = In 2 = 0,69. Выбрав более длинный путь: сначала един круг вокруг начала координат, а потом к цели (рис. 63,6), получим /1 = 2га"+ 0,69. Если сделать п оборотов вокруг начала координат, то получим /п =2лг-л + 0,69. х Рис. 62. Рис. 63. В § 4 мы выяснили, что, действительно, величины 2л: -п + 0,69 при всех целых п служат логарифмами чи£,ла 2, так как егп('п=\. Таким образом, неоднозначность логарифма есть результат возмож- возможности разного выбора пути, с разным числом обходов вокруг точки 2 = 0, где — обращается в бесконечность. Величина интеграла зависит от того, сколько раз и в каком направлении мы сделали обход вокруг начала координат, но не
174 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V зависит от того, по какому пути производился этот обход. Докажем последнее утверждение. Для этого постараемся найти /Л = Ф— по какому-нибудь пути ABA (рис. 64, а). Рассмотрим интеграл/0=Ф—^ по пути, изображенному на рис. 64, б. Этот путь состоит из пути ABA, двух близких прямых АС и СА и окружности радиуса ОС Рис. 64. с центром в начале координат. /0 = 0, так как это — интеграл по замкнутому контуру, внутри которого — нигде не обращается в бес- бесконечность. Интеграл /0 слагается из /А, двух взаимно уничтожающихся А С интегралов \ — и \— и интеграла по окружности радиуса ОС. Так С А как по окружности интегрирование происходит в направлении, про- противоположном направлению отсчета углов, то соответствующий ин- интеграл равен —2ш. Поэтому /0 = 0 = /л—2ш или IA = 2ni, т. е. величина 1А совпадает с величиной интеграла по окружности любого радиуса. Аналогичными способами удается сводить интегралы по неудоб- неудобным для расчета линиям к интегралам по маленьким окружностям вокруг точек, обращающих подынтегральную функцию в бесконеч- бесконечность. При этом не следует думать, что интеграл обязательно ока- окажется отличным от нуля. Например, у интеграла §±' (да = 2, 3,4, ...) B4) подынтегральная функция имеет особенность (обращается в беско- бесконечность) при z = 0. Однако этот интеграл равен нулю по любому замкнутому контуру, как не охватывающему, так и охватывающему эту точку (но не проходящему через нее!). В самом деле, в данном г - т +1 примере неопределенный интеграл равен —-j- С, т, е. представ-
§ 9] вычеты 175 ^игет собой однозначную функцию; а приращение однозначной функ- функции по замкнутому контуру равно нулю. (Почему?) Интеграл B4) по окружности \z\=r при любом т можно под- подсчитать также следующим образом. Положим г = ге'Ч", тогда после простых преобразований интеграл примет вид 2Я lrl~m С е<A-т)ф^ф О Непосредственное вычисление показывает, что он равен нулю при любом целом т^ф\. Случай нецелого т мы исключили, так как тогда подынтегральная функция неоднозначна. Рассмотрим еще один пример. Пусть надо вычислить интеграл § cos г . ,пг-у —^rdz B5) по замкнутому контуру, обходящему в положительном направлении начало координат z = 0, которое в этом примере является особой точкой для подынтегральной функции, так как там эта функция обращается в бесконечность. Вспомнив разложение функции cosz вокруг точки г==0 в сте- степенной ряд Тейлора, cosz = 1_|l + £t_£i+..M можем написать cos г _ 1 1 г_ г3 ~¥~~zs 2!г+41 6!+### В этом примере при z-+0 подынтегральная функция стремится к бесконечности со скоростью j—pj-; такая особая точка называется полюсом третьего порядка. Чтобы вычислить интеграл B5), произведем почленное интегри- интегрирование ряда B6). Неопределенный интеграл от любого члена, кроме второго, даст однозначную функцию (степень с целым показателем), и потому соответствующий интеграл по замкнутому контуру равен нулю. (В частности, равен нулю интеграл от первого, главного члена разложения B6),) Что касается интеграла от второго члена, то в силу предыдущего он равен —7«—* Значит, в этом примере и весь интеграл B5) равен —ш. Рассмотрим теперь полюс общего вида. Если (однозначная!) функ- функция/^) имеет в некоторой точке z = a полюс порядка п, то вокруг
176 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V этой точки она разлагается в так называемый ряд Лорана + Cl(z-a) + c2(z — a)*+... B7) по целым положительным и отрицательным степеням z — а, начиная с я-й степени. Пусть требуется вычислить интеграл ff(z)dz B8) по контуру, обходящему точку z — a в положительном направлении и не содержащему, кроме этой точки, внутри себя других особых точек. Как было сказано, от заданного интеграла можно перейти к интегралу по маленькой окружности с центром в точке а, а вблизи этой точки можно пользоваться разложением B7). Аналогично по- последнему примеру, после интегрирования по замкнутому контуру интегралы от всех членов окажутся равными нулю, за исключением Ф ■£=+- dz = '2nic_1. Этому значению равен и весь интеграл B8). Коэффициент с_, при (— 1)-й степени z— а в разложении Лорана имеет специальное название: вычет функции f(z) в точке с; таким образом, интеграл B8) равен 2шВыч2=0/(г). B9) Пусть теперь требуется вычислить ин- интеграл вида B8) по некоторому контуру (Z.) (рис. 65), причем подынтегральная функция /(z)является однозначной и аналитической всюду на контуре (L) и внутри него, за исклю- ' ~ чением некоторого числа особых точек. (На Рис 65 рис. 65 имеются три такие точки: а,, а2 и а3.) Проведем вспомогательные линии (на рис. 65 они показаны пунктиром) так, чтобы область, огра- ограниченная контуром (L), разбилась на части, в каждой из кото- которых расположено по одной особой точке. Обозначим контуры этих частей, проходимые в положительном направлении, через B.Д (Z.2) и (£3)- Тогда легко проверить, что §f{z)dz+§f{z)dz, Щ (L.) d2) <£,) так как в правой части интегралы, взятые по вспомогательным ли- линиям, взаимно уничтожаются. Каждый из контуров (Z.x), (Z.2), (L3) содержит внутри себя только одну особую точку, поэтому каждый из интегралов в правой части C0) вычисляется по формуле B9), и
§ 9] вычеты 177 мы получаем § f{z) dz = 2гоВыч2=а,/B) + 2л/Вычг=а2/(г) а) = 2л/ [BH42= а) C1) Итак, интеграл B8) равен произведению 2л/ на сумму вычетов подынтегральной функции во всех особых точках, расположенных внутри контура интегрирования. Покажем, как вычисляется вычет для наиболее важного случая полюса первого порядка. Такой полюс обычно получается, если подынтегральная функция f(z) представляет собой отношение двух конечных функций: f(z)=g(z)jfi(z), причем в некоторой точке z=a числитель отличен от нуля, а знаменатель имеет нуль первого по- порядка, т. е. разложение знаменателя по степеням z — а начинается с члена первой степени. Записав разложение числителя и знаменателя в ряд Тейлора вокруг точки z — a, получим ' (а) (г -а) (г-ау-+ Вблизи точки z=a правую часть можно заменить на ■ ,, _ ч • Поэтому вычет, т. е. коэффициент при (z — а), в данном случае равен Вычг=а/(г)=|^. C2) Рассмотрим пример. Пусть требуется ' ^ч вычислить интеграл ^ dz, Рис 66 -Л где (L) — окружность радиуса 2 с центром в начале координат (рис. 66). В этом при- примере неопределенный интеграл не выра- выражается через элементарные функции; однако интеграл по замкнутому контуру мы найдем без труда! Для этого заметим, что подынтеграль- подынтегральная функция имеет особенности там, где ее знаменатель обращается в нуль, т. е. при z—\ и z = kn (k— любое целое). Из этих точек, изображенных на рис. 66, внутрь (L) попадают только две: z = Q и z=\. Поэтому в силу формулы C1) Так как в каждой из этих точек знаменатель имеет нуль первого порядка, а числитель отличен от нуля, то мы имеем два полюса
178 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V первого порядка и вычеты в них можно подсчитать по формуле C2). В данном примере g(z)—-z-\-\, h(z) = (z—l)smz, h' (z) — sin z -f (z—ljcos.?, откуда $$ Подставляя в C3), получаем Теория вычетов применяется также при вычислении некоторых вещественных интегралов с помощью искусственного сведения их к комплексным. Рассмотрим, например, интеграл 00 Р = j COS (ИХ Здесь неопределенный интеграл также не выражается через элемен- элементарные функции, так что вычисление /t по стандартному методу невозможно. Для вычисления /t заметим сначала, что smwx как интеграл от любой нечетной подынтегральной функции в сим- симметричных относительно нуля пределах. Из C4) и C5) следует, что 00 Г J т 00 <'"x j Г cos ax-\-i sin ax , . ,„г. ^* = 1 —r—dx = /i- C6) Рассмотрим теперь вспомогательный интеграл где контур (Z.^) состоит из полуокружности и ее диаметра, изобра- изображенных на рис. 67. Так как подынтегральная функция имеет полю- полюсы первого порядка в точках z=±t, из которых внутри {LR) со- содержится только одна, то по формулам C1) и C2) получаем IR = 2л/ Вычг=<- 1 +z2 2( С другой стороны, интеграл C7) можно представить в виде суммы интеграла по отрезку вещественной оси, равного R \ m*dx> C8)
§ 9] ВЫЧЕТЫ 179 и интеграла по полуокружности, которую мы обозначим через (L'R). Оценим этот последний интеграл. Из определения интеграла легко вывести оценку \f{z)dz ; max \f(z) |-длину (L)\ I -R Рис. 67. поэтому \ ^-—r.dz <max i-^pfj-л/?. C9) iLR) <L«> Представив z = * + (y и заметив, что _y ^ 0 на (L'R), получим на (L'R), что | е'И2| = |е<и<*+'</) | = \eiax \ \ е-аУ\ = е~аУ ^. 1. С другой сто- стороны, на (L'R) имеем (при больших R=\z\). Значит, правая, а с ней и левая части C9) при R—>оо стремятся к нулю как -^ R = ^-. Подводя итог, мы видим, что/л = ле~ш можно представить в виде суммы интеграла C8) (который в пределе, при R—к», стремится к C6), т. е. к /t) и интеграла по (L'R), стремящегося к нулю. Пе- Переходя к пределу при R—>■ оо, получаем, что /j^^e", т. е. 1 COS (ОХ , -г—.—г, dx = 1 -\-х1 D0) Последняя формула совершенно неочевидна, и ее получение без привлечения комплексных чисел весьма затруднительно и требует боль- большого искусства. При помощи свойств интегралов от комплексных функ- функций удается находить многие интегралы такого рода от вещественных функций стандартными приемами, требующими лишь аккуратности. На практике рассмотренный интеграл получается в задаче о воз- возбуждении колебаний в системе с собственной частотой и при дей- действии силы, меняющейся со временем но закону /(/) = у-т—^ . Полу- Полученный результат дает закон уменьшения амплитуды возбуждаемых колебаний при увеличении собственной частоты о) системы (см. § VII.5). На формулу D0) интересно взглянуть с точки зрения резуль- результатов § III.4. Это как раз случай, когда функция f(x) = - j об- обращается в нуль вместе со всеми производными на концах х=-^оо интервала интегрирования. Так как все эти производные не имеют разрывов, то из § III.4 следует, что интеграл /х(со) при со^оо стремится к нулю быстрее любой отрицательной степени и; одна- однако точную скорость этого стремления нам удалось получить, только
180 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V применяя теорию вычетов, Мерой негладкости функции f(x), опре- определяющей эту скорость, здесь служит расстояние от полюса этой функции, продолженной в комплексную плоскость, до мнимой оси. Конечно, короткий параграф не мог, к сожалению, научить чи- читателя пользоваться техникой интегрирования комплексных функ- функций; но мы надеемся, что он все же помог читателю ощутить кра- красоту теории функций комплексного переменного, Упражнения 1. Вычислите интеграл ф -j—: по окружности (L) радиуса 4 с центром в точке 3(. 00 2. Вычислите интеграл \ 6 . — 00 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ■isin-д-); 3 (cos л+('sin л); 1 (cosO+< sinO); 0(cos ф + i'sin ф) (ф—любое). §2. z 1. Если — =w. то гг = г4о), откуда z*l = (z2w)* = z*w*, т. е. ау*=—1. 2. Так как второй корень равен 2-j-t, то левая часть должна делиться иа |г —B—(')] 1г — B+01 = г3—4г + 5. Произведя деление и решив остающееся квадратное уравнение, находим z3i = l±}^3. 3. Если z = x-\-iy, то z*=x — iy=x-\-i(—y), а г** —x — i (—y) = x-j-iy=z. 4. zz* = *2 + #2 = | г Г2. Интересно, что вещественность произведения гг* можно доказать и не переходя к вещественной и мнимой частям, на основании свойств сопряженных чисел: (zz*)*=z*z** = z*z = zz*. а число, равное своему сопряженному, обязательно вещественное. (— _ -(— i §3. _ (— ■ _( _ 1. a) l + ( = Vr2e 4 ; б) I — t = |А2е 4 = >^2е 4 ; в) — 1 =е'*; г) Ы = Ъе 2 . 2. а) Прежде всего запишем число 1-j-i в показательной форме, получим 1+ i = }^2 е'4, отсюда A+015 = 1^2е 4 J =(ул2I«.е4' =28.е'*к = = 23 = 256; б) —1, 3. cos Зф = соз3 ф —3cos (psin3 ф; sin 4ф=4соз:| ф sin ф —4cos фзш3 ф.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 181 4. В формуле Эйлера e''? = cos ф + i sin ф заменим ф на —ф, получим е-ip = cos ф — I sin ф. Складывая эти две формулы почленно, получим ^'т-(-е~'? = 2 cos ф, откуда cos ф = 0 —-. Почленным вычитанием получим вторую формулу. § 4. \ 2 у \ 2 г) 1 " ' " ' 2. Так как —1 =cos л + £ sin и, то общий вид чисел х^ таких, что х\ = — 1, есть __ л + 2/гл . л + 2/гл.,_0 . Поэтому _ _л . . ^t __ j_ . vT _co 5л . . 5л 1 .1^3" 4. На основании упражнения 4 к § 3 приходим к уравнению -^ =2. Отсюда после легких преобразований получаем ea'f — 4e£v-f-1=0. Это—квадратное уравнение относительно e'f; решая его, находим е'ч> = 2± у^З Отсюда 1ф = 1п B± \r3)-\-2kni (ft —любое целое). Деля на i и заметив, что 21^3" = и ПОТОМУ In B—1^3) =—In B+|^3), получаем оконча- З 2—1^3 = y= 2+ УЗ _ тельный ответ: ф= ±1п B + у'З ) *' + 2£л = ± 1,ЗШ-\-2кк. Все эти решения мнимые. 5. Аналогично находим ф= ±1п B+ У 3 ) / + -^- + 2£л. § 5. 1 J ^^*. Таким образом, получаются те же формулы что для разобранного в тексте случая R,L-nenu, однако вместо coL надо под- подставить coL ^. В частном случае, когда со2 = —-, будет o)L ^=0, т. е. индуктивность и емкость как бы взаимно уничтожаются. 2- •/=(^ + -^:)фо^''иI-Отсюда /„= ]/^ + -q-8q0-e = P + ГС — -^ при том же смысле обозначений, что в тексте.
182 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. V §6. f(z) = (x + iyK = x3-\-i3x2y—Зхуг — iy3, откуда и=х3—Зху2, и = 3хгу—у3; дх ду я дх ду " §7- ^ 1. Из условия и=х-{-х2—у2 находим -^-—\-\-2х. Пользуясь первым из условий Коши—Римана, получаем -з-=1 +2*. Для того, чтобы отсюда найти v, достаточно проинтегрировать это равенство по у, считая х постоянным. Получим ( У) Теперь находим -r-=2y-f-cp' (*). Но согласно второму из условий Коши—Римана ОХ -^=-—— Так как —= — 2у, то получаем 2у+ф' (х) = 2у, откуда ф'(*) = 0, т. е. |р(л)зС, где С—постоянная. Следовательно, v(x, y)=y-\-2xy-\-C. Для определения С воспользуемся условием /@)=0, оно означает, что и=0, v = 0 при х = 0, у = 0. Итак, v = 0 при х=0, у = 0, поэтому С = 0, ( 2 ( y) y + y 2. и(х, у) = §8. 2 2 2 2 а) -, -; б) — м, ni; в) -5- A + 0> "о" (~'+0 (сначала пишется ре- результат для верхней полуокружности, потом для нижней). В случае а) под- подынтегральная функция аналитична всюду и потому интеграл не зависит от пути интегрирования. В случае б) подынтегральная функция обращается при г = 0 в бесконечность, а в случае в) она имеет там точку ветвления. §9. 1. Подынтегральная функция имеет внутри (L) два полюса первого поряд- порядка: г1=0, г2 = 2ш. Поэтому интеграл равен 2п/ 2. Подобно примеру C4), рассматриваемый интеграл равен интегралу от функции / (г) == , 6 по контуру (L#) рис. 67 при большом R. Но f (г) имеет i/~ 1 1^3~ 1 внутри (LR) три простых полюса: 2j =-£-+1 у , г2=/, г3= ^—'"'"г"' Поэтому интеграл равен В этом примере неопределенный интеграл выражается через элементарные функции, однако приведенный способ вычисления гораздо проще. *) Так как при интегрировании х постоянно, то роль постоянной интегри- интегрирования может играть любая функция ф, зависящая только от одного пере- переменного X.
ГЛАВА VI ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА *) § 1. Дельта-функция Дирака 6 (jc) Возьмем функцию у=Ф1(х) имеющую максимум при х = 0, быстроубывающую в обе стороны от х — 0, и притом такую, что j (х) dx=\. Эти условия отнюдь не определяют вид функции Ф1 (х); можно придумать много функций, удовлетворяющих всем поставленным выше требованиям, например: Ф1(*) = -7^е-"**). B) Числовой множитель обеспечивает равенство интеграла единице. Графики этих функций приведены на рис. 68. Произведем над линией -2 у = Ф1 (х) следующее преобразование: увеличим ее высоту в т раз и одновременно уменьшим ее ширину во столько же раз. Напомним *) Эта глава, хотя и написана независимо, непосредственно перекликается с Добавлением к ВМ. + 00 **) Можно доказать, что \ е~х2с1х=У~л, см. § IV.7,
184 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА [ГЛ. VI (см., например, ВМ, § IV.7), что если увеличить высоту линии у = Фх(х) в т раз, то ее уравнение приобретает вид у = тФ1(х), а если уменьшить ширину в т раз, то уравнение станет таким: у — Ф1 (тх). Значит, после обоих преобразований уравнение кривой будет у = Фт(х) = тФ1(тх), Например, из A) получим фт(х) — =—т—-.—р. Ясно, что площадь, заключенная между графиком и осью х, при растяжении кверху увеличится в т раз, а при сжатии с боков уменьшится во столько же раз, т. е. в конечном счете останется без изменения. Впрочем, это легко доказать и с помощью интегрирования после замены переменной интегрирования mx = s: \фт(х)йх = \ тФ1(тх)с1х= [ Фх(тх) d(mx) = — 00 — 00 — 00 00 00 х(*)й$ = \фх(х)йх. Какой вид имеет преобразованная функция при очень больших т, или, выражаясь точнее, в пределе, при неограниченном возрастании т? При любом фиксированном х=£0 величина у = тФг(тх) будет неограниченно приближаться к нулю при неограниченном росте т, потому что уменьшение Фх {тх) при увеличении от происходит быстрее, чем рост множителя т. Для этого надо, чтобы Ф, (х) при х —<- + ос стремилась к нулю быстрее, чем — (это и означает, что функция быстроубывающая *)). Так, например, в выражении фт(х) = —г—— - при данном лг=^О и при достаточно большом т будет (mx)'z%>\ t 1 и, следовательно, Фт (х) да 2~г = г> т> е> неограниченно убы- вает при возрастании т. Еще быстрее убывает при росте т вели- величина Фт(х), полученная из формулы B). Действительно, в этом случае Фт(х) ==- e~imx) , а известно, что показательная функция у л с отрицательным показателем убывает быстрее любой степени т (см., например, ВМ, § 11.21). Пусть теперь х = 0. Тогда Фг (тх) = Ф1 @) постоянна при любом т, а поэтому Фт @) = тФг @) неограниченно увеличивается с ростом т. Следовательно, неограниченно увеличивая т, мы получаем функ- функцию со следующими свойствами: 1) функция равна нулю при всех х < 0 и при всех х > 0; 2) функция бесконечна при х—0; *) Такая скорость убывания автоматически следует из сходимости ин- интеграла (см. § III.1).
§ 1] ЛЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА б (X) 185 3) интеграл от этой функции, взятый в пределах от —с» до -j-oo, равен 1. Функция, обладающая этими свойствами, называется дельта-функ- дельта-функцией Дирака и обозначается через 6 (#)*). Функция 6 (дг) необычайно удобна и широко применяется сейчас в физике. Мы пришли к понятию б(л'), рассматривая обычные хорошо известные функции и преобразуя их определенным образом. Замеча- Замечательно, однако, что для применения б (х) достаточно знать три ее свойства, которые мы перечислили выше, и совершенно не требуется /11 1 „2 знать, из какой именно функции (—=—т—^, или е~х , или еще какой-нибудь) получена функция Ь(х). Грубо говоря, дельта-функ- дельта-функция — это функция, принимающая на узком участке большие значе- значения, причем эти значения согласованы с шириной участка так, что выполняется условие 3). (Отсюда следует, в частности, что раз- размерность [б (л:)] = 1/[л:].) Из свойств б (х) следует основное соотношение /= \b(x)f(x)dx=f{0). C) В самом деле, b(x) = Q при всех х=£0, поэтому + оо +г /= \b{x)f{x)dx= \b{x)f{x)dx, - оо -е где е — малая величина. В последнем интеграле промежуток интегри- интегрирования мал (его длина равна 2е), поэтому на нем f(x) «/@), следовательно, /= J b(x)f(x)dx= J 6{x)f{0)dx = f{0) J b{x)dx = -e - e -e + CD = /@) J 6{x)dx=*f@). — t» Итак, формула (З) следует из трех свойств Ь(х). Справедливо и об- обратное утверждение: если определить б (х) как функцию, для которой выполняется соотношение C) при любой f(x), то отсюда следуют все три свойства б (х). Не останавливаясь на детальном доказатель- доказательстве этого факта, покажем, например, что из C) следует первое свойство: б(л:) = 0 при х=£0. *) Поль Адриан Морис Дирак, именем которого названа функция, круп- крупнейший английский физик-теоретик, предсказавший в 1929 году существование античастиц — позитрона, антипротона и других, которые позже были открыты экспериментально.
186 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА [ГЛ. VJ Действительно, из формулы C) ясно, что величина интеграла не зависит от поведения функции f(x) при хфО, а зависит только от /@). Это означает, что f(x) входит под знак интеграла с мно- множителем, равным нулю при х=^=0, т.е. б(л;) = О при х=?*=0. Заметим, что б (х — а) отлично от нуля (и притом бесконечно) только при х—а. Рассуждая, как при выводе формулы C), получаем формулу + « J S(x-a)f(x)dx = f(a). D) Отметим еще некоторые интересные формулы для дельта-функции. Прежде всего Ь(ах)=~б(х) (а = const фО). В самом деле, функция | а | б (ах) удовлетворяет всем трем свойствам, определяющим дельта-функцию. Чуть-чуть менее очевидное третье свойство проверяется с помощью подстановки ax = xt так: а>0; *\j\a\b(ax)dx = $ b(ax)adx = ~ 00 — 00 — 00 00 00 а < 0; \\а\Ь (ах) dx = — ^ б (ах) adx = — 00 — 00 — 00 00 = - J 6^)^= J Еще одно свойство: если ф (х) обращается в нуль лишь при х = х0. Это свойство следует из предыдущего, так как вблизи х = х0 с точностью до малых выс- высшего порядка можно написать ф (X) = ф (Хо) -f ф' (Хо) (Х—Хо) = ф' (Хо) (Х—Хо). Наконец, что сразу вытекает из равенства функции б (х—а) нулю при х=^=а. С помощью б-функции чрезвычайно удобно записывать многие физические соотношения. Рассмотрим, например, тонкий стержень, на котором в нескольких отдельных местах помещены грузы. Пусть размеры грузов весьма малы по сравнению с длиной стержня, а их массы того же порядка, что и масса стержня. Тогда при решении задач (определение полной массы, определение положения равновесия
§ 1] дельта-функция дирлка 8 (х) 187 и т. п.) приходится рассматривать и массы грузов (их называют сосредоточенными массами) и массу стержня (распределенная масса). Пусть плотность стержня есть рр (х) *). Тогда масса стержня, начало которого помещено в начало координат, а конец в точку х-=1, 1 равна /»р= <\ipv(x)dx. о Пусть в точке х = а стержня находится груз та. Тогда полная масса стержня и груза равна С помощью б-функции можно представить сосредоточенную массу как массу, распределенную с плотностью рс (х) = та8 (х — а). Дей- Действительно, последняя формула означает, что плотность отлична от нуля лишь в малой окрестности точки х = а, причем 5 рс (х) dx = та \ б (х—a) dx — та. о о Таким образом, введя функцию рс (х), мы можем сосредоточенную массу записать в форме, которая по виду совпадает с формой записи для распределенной массы. Положим теперь р (х) = рр (х) + рс (х) = рр (х) + таЬ (х—а). Тогда полная масса равна т — ^ р (х) dx. о Таким образом, полную массу можно не писать как сумму членов разного вида; она записывается при помощи интеграла, т. е. так же, как распределенная масса. Различный характер распределенной и сосредоточенной масс сказывается лишь на виде функции р(х). Благодаря этому мы можем единообразно записывать все те соотно- соотношения, которые были нами получены раньше лишь для распределен- распределенной массы. Так, например, масса, находящаяся между точками х = Ь и х=с с стержня, равна \jp(x)dx. Никаких оговорок о том, что Ъ > а, или ь Ъ < а и т. п. не требуется: функция р (х) содержит б (х—а), а *) Индексы «р» и «с» будут обозначать «распределенный» и «сосредото- «сосредоточенный».
188 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА [ГЛ. VI интегрирование функции б (х—а) автоматически добавит к массе стер- стержня массу груза, если только груз расположен между точками х~ь и х = с. Точно так же положение центра тяжести стержня дается форму- хр(х) dx лой хс = ~ , независимо от того, имеется на стержне сосре- \pMdx о доточенная масса или нет. " Случай нескольких сосредоточенных масс рассматривается бук- буквально так же. Рассмотрим еще пример. В механике наряду с действием сил, плавно изменяющихся с течением времени, приходится рассматривать резкий удар, столкновение тел. При ударе на тело действует крат- кратковременная, но очень большая сила. В большинстве случаев деталь- детальное изучение зависимости силы от времени на протяжении короткого момента, в течение которого длится удар, не представляет интереса (см., например, ВМ, § VI.5). Достаточно знать импульс силы, т.е. I =[Fdt. Тогда силу при ударе можно записать так: F(t) = Iyx X б (t — ty), где ty — момент удара, /у — импульс удара. Эта запись показывает, что сила отлична от нуля лишь в момент удара, а импульс этой силы равен /у. Отметим в заключение, что дельта-функция рассматривается лишь для вещественных значений независимой переменной. Упражнения OD 1. Вычислите \ х2Ь(х—3) dx. — OD 2. Упростите выражения: а) (х2 + 3N(х + 5); б) 6Bх—8); в) Ь(хг+х—2). § 2. Функция Грина Рассмотрим сначала пример. Пусть тонкая гибкая нить длины / натянута вдоль оси х постоянной силой F. В системе, изображенной на рис. 69, такое натяжение осуществляется при помощи блока и груза. Пусть на нить действует перпендикулярно оси х сила, рас- распределенная с плотностью /(х), т.е. на малый участок нити между точками х и x-\-dx действует сила f(x)dx, а на всю нить действует сила \/(x)dx. Найдем форму у (х), которую при этом примет нить;
§ 2] ФУНКЦИЯ ГРИНА 189 здесь функция у (х)— это отклонение той точки нити, которая в пер- первоначальном состоянии находилась в точке х оси х. Мы будем считать, что натяжение F нити гораздо больше всей силы, действующей на нить, так что отклонение нити мало. Тогда можно пользоваться законом линейности, согласно которому при наложении нескольких нагрузок соответствующие прогибы также складываются. Допустим сначала, что приложенная нагрузка имеет специальный вид, а именно, представляет собой единичную сосредоточенную If Ш Рис. 69. Рис. 70. нагрузку, приложенную в некоторой точке воздействия % оси х, и обозначим через y = G(x; £) соответствующий прогиб в любой точке наблюдения х (рис. 70). Эта функция G(x; £) называется функцией влияния или функцией Грина (по имени английского математика Дж. Грина A793—1841)) рассматриваемой задачи. Мы сейчас покажем, что если она известна, то легко найти прогиб и от воздействия произвольной нагрузки с плотностью /(х). В самом деле, рассмотрим нагрузку, приходящуюся на участок оси от точки | до точки £,-\-dc,. Эта нагрузка равна f{^)d\\ поэтому прогиб от нее в точке х равен G(x; £)/(£) d£, так как из закона линейности вытекает, что если внешнюю нагрузку умножить на посто- постоянный множитель, то и прогиб умножится на тот же множитель. Складывая такие бесконечно малые прогибы от всех элементов нагрузки от £ = 0 до £ = /, получаем суммарный прогиб (см. рис. 69) E) В рассматриваемом примере нетрудно выписать функцию G(x; £) в явном виде. В самом деле, найдем составляющие сил натяжения нити вдоль оси у. Слева от точки | она равна (см. рис. 70) — /7sincc= —F -?■ , 6 где z — отклонение точки |, нам заранее не заданное; отметим, что при этом выводе мы воспользовались малостью отклонений и поэтому
190 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА [ГЛ. VI при подсчете синуса заменили гипотенузу треугольника на его боль- больший катет. Аналогично получаем составляющую силы натяжения справа от g Если под действием заданной силы нить находится в равновесии, то это означает, что сумма всех сил, действующих на нить, т. е. сумма сил натяжения и заданной силы, равна нулю. Поэтому равна нулю и сумма составляющих этих сил по оси у. Так как в нашем случае заданная сила равна 1 и действует вдоль оси у, то на основании предыдущего получаем f откуда находим z = ■ . Если г известно, то отклонение любой точки нити найти легко, пользуясь тем, что нить имеет форму лома- ломаной. Получим y(x)=Zj, если х<1, y(x)=zjEj> если х>1, Подставляя сюда найденное значение г и вспоминая, что форма отклонения при единичной сосредоточенной нагрузке дает функцию Грина, получаем в данной задаче Г -jj-xil — t), если х<%, G(x; Ъ)=\ 7 { tt%v—x)> если х>1- Найденное выражение для функции Грина можно подставить в формулу E) для прогиба от произвольной нагрузки. Так как G(x; I) при \<х и при | > х записывается с помощью различных формул, то интеграл разбиваем на два: 1-х Fl Тот же результат можно получить, выписав дифференциальное уравнение для функции у (х) и решив его. Однако замечательно, что нам удалось найти решение задачи, даже не выписывая самого дифференциального уравнения. Нам достаточно было знать, что дей- действует закон линейности.
§ 2] ФУНКЦИЯ ГРИНА 191 Перейдем теперь к общей схеме построения функции влияния. Пусть внешнее воздействие на какой-либо объект описывается функ- функцией /(лг) (а ^ лг ^ Ь; в приведенном примере это и была функция /(лг)), а результат этого воздействия — функцией F(x) (в приведен- приведенном примере это была функция h{x)). Можно себе представить, что каждой заданной функции/отвечает новая функция F, т. е. получается, что каждая функция / по какому-то определенному закону преобра- преобразуется в новую функцию F. Такой закон преобразования функций- прообразов в функции-образы в математике называется оператором. Например, хорошо известен оператор дифференцирования D, дейст- действующий по закону D/=/', т. е. D (sin лг) = cos лг, D (лг3) = Злг2 и т. д. Здесь s'mx — прообраз, который преобразуется оператором D в образ соэлг и т. д. Понятие оператора аналогично понятию функции, но если функция давала закон преобразования чисел (значений независимой переменной) в числа (значения зависимой переменной), то оператор преобразует функции в функции. Обозначим оператор перехода от функции внешнего воздействия /(лг) к функции-«отклику» F(х) через L, так что F=Lf. Мы пред- предположим, что действует закон линейности или принцип суперпозии: при сложении внешних воздействий их результаты также складываются; этот закон часто выполняется с достаточной точностью, когда внеш- внешние воздействия не слишком велики. Его можно записать в форме F) Оператор, обладающий таким свойством, называется линейным. (Проверьте, что, например, оператор дифференцирования является линейным.) Из этого свойства можно вывести, что при умножении внешнего воздействия на константу его результат умножится на ту же константу, т. е. L(Cf) = CLf (C= const). G) Мы не будем этого доказывать. (Попробуйте это обосновать, считая сначала С целым положительным, затем полагая С = — (л=2, 3, 4, ...), далее полагая С = —, где m и п — целые положительные, затем для С—0 и, наконец, считая С отрицательным.) В примере, разобранном в начале этого параграфа, мы под О (лг; £) понимали результат воздействия единичной силы, сосредо- сосредоточенной в некоторой точке £, т. е., другими словами (см. § 1), распределенной с плотностью б (лг—£). Так и в общем случае мы обозначим через О(лг; £) результат внешнего воздействия, описы- описываемого дельта-функцией с особенностью в некоторой фиксированной точке £, т. е. функцией б (лг — £). Таким образом,
192 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА [ГЛ. VI Как же с помощью этой функции Грина О{х; £) выразить резуль- результат преобразования любой заданной функции/(лг)? Для этого предста- представим функцию / в виде суммы «столбчатых» функций (рис. 71), каждая из которых сосредоточена лишь в одной точке \, а вне бесконечно малой окрестности этой точки она равна нулю. Поэтому такая столб- столбчатая функция пропорциональна дельта-функции б (лг—£), а так как интеграл от столбчатой функции равен f (%) d\, то она просто равна [/(|) dl,\б (лг—£). Таким образом, мы получаем представление У-ffx) А mi У \~— b fti) Рис. 71. Строго говоря, при бесконечно ма- малых d\ здесь надо писать не знак суммы, а знак интеграла, так что это, по существу, формула D) в другой записи; однако закон линей- линейности для сумм в пределе перено- переносится и на интегралы. Каждая столбчатая функция в силу свойства G) преобразуется в 41/F) <$] (*-£)] = = \f(l)d\\L[b(x-l)]=f(%)G(x;l)dl. Поэтому сумма таких функций в силу свойства F) преобразуется в [2 If it) dl] б (лг- D] = ^ L б (х-Щ = О(лг; При бесконечно малых dl, эта сумма является интегралом, т. е. окон- окончательно ъ F(лг) = L [у (лг)] = j &(х; с,) f (б) dc, (8) а (сравните с формулой E)). Функцию влияния можно в более простых случаях подсчитать теоретически, как в разобранном выше примере, а в более сложных задачах определить экспериментально, произведя необходимые замеры, например измеряя деформацию системы под действием сосредото- сосредоточенной силы. При этом возможность применения принципа суперпо- суперпозиции или, как говорят, линейность рассматриваемой системы либо следует из общетеоретических принципов, либо также может быть проверена экспериментально. После того как функция Грина найдена и линейность системы установлена, решение задами пишется по фор- формуле (8) для любого внешнего воздействия /.
§ 3] ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЕЙ 193 Таким образом,, иногда даже самые общие представления о свой- свойствах физических систем указывают путь решения конкретных задач. Отметим в заключение, что функции-образы Lf не обязаны быть определенными на том же интервале, что функции-прообразы /; более того, независимые переменные х и £ в формуле (8) могут иметь разный физический смысл. Независимая переменная | может играть роль времени; тогда функция влияния описывает результат воздей- воздействия «единичного импульса», подействовавшего в момент |. Упражнение Напишите функцию влияния для операторов: a) Lf = 2f (х); б) Lf = s\n x-f (х); в) Lf = f(x+l); г) Lf = f(x% § 3. Функции, связанные с дельта-функцией При помощи б-функции легко записываются некоторые другие функции, имеющие большое значение. Важным примером может слу- служить единичная функция е(х) (другое обозначение Ф(х)): е(лг)= (9) Ясно, что при х < 0 получаем е(лг) = О, а при х > 0 получаем е(лг)=1. Таким образом, е (х)—это разрывная функция, испытываю- испытывающая скачок при лг=О. Ее график («ступенька») изображен на рис. 72, \У / Рис. 72. О Рис. 73. она получается при внезапном подключении какого-либо постоянного воздействия, например, напряжения в электрическую цепь (при этом независимая переменная играет роль времени). Равенство (9) можно получить также с помощью приближенных представлений дельта-функции. В § 1 мы видели, что одним из таких представлений служит функция — т-гт—г2 при большом т. Однако л С1 \ т , 1 - т-г-.—^ dx = — arctg mx Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкио
194 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА [ГЛ. VI 6) График этого интеграла при те=1 и т = 5 показан на рис. 73. В пределе, при т—► оо, из интеграла получаем е (х), т. е. приходим к равенству (9). Тот же результат можно получить с помощью столбчатой функ- функции, график которой изображен на 'рис. 74, а (из нее также в пре- пределе, при N—I- оо, получается дельта-функция). График интеграла от нее показан на рис. 74, б. В пределе, при N—>-оо, и здесь по- получаем равенство (9). Равенство (9) можно продемон- продемонстрировать на следующем физи- физическом примере. Рассмотрим прямо- ' ' " *fc линейное движение массы т под действием переменной силы F(t), направленной вдоль этой же прямой. Записав выражение второго закона Ньютона и проведя интегрирование, получим равенство (см., например, ~——~ ВМ, § VI.4) 1/N i А Цв-Я f/ff Рис. 74. v(t) 4J dt (мы приняли, что начальная ско- скорость при t = —оо равна нулю). Пусть сила имеет характер удара: = Lb{t — ty) (см. конец § 1). Интегрируя, получим т. е. скорость v равна нулю до удара и равна — после удара. Вернемся к математике. Если продифференцировать равенство (9), то получится, что е'(х) = 6(х). A0) Это равенство также можно показать на только что разобранных примерах. Так, в качестве приближенного представления функции е (х) можно взять функцию, изображенную на рис. 74, б, производная которой показана на рис. 74, а; в пределе, при N—>■ оо, мы приходим к равенству A0). Мы в нашем изложении исходили из дельта-функции и пришли к единичной функции с помощью интегрирования. Можно было пойти и по обратному пути: исходить из функции е (х) и получить функцию б (лг) с помощью дифференцирования. Таким образом, дельта-функция
ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЕЙ 195 ррлучается при дифференцировании разрывной функции е (лг). Подобно 'этому при дифференцировании любой разрывной функции появляются дельта-слагаемые. Рассмотрим, например, функцию/(лг), заданную двумя формулами: г3, если 0<лг< 1, га+2, если1<лг<оо. Г \ График этой функции, имеющий разрыв при лг=1, показан жирными линиями на рис. 75. Было бы ошибоч- ошибочно приравнять /'(х) просто функции ср(х), полученной дифференцированием обеих формул: 6х*, если 0 < лг < 1, 2лг, если 1 < лг < оо. (И) В самом деле, если мы проинтегрируем по- последнюю функцию, например, от значения х = 0, то мы получим при 0 < лг < 1: ^ ф i при х > 1: ] ф (х) dx = ^ Ф (х) dx -\- Рис. 75. ! : = ^ 3x2dx ■ о 2х dx =-- х3 Таким образом, получается не f(x), а непрерывная функция fx (x), график которой при х > 1 показан на рис. 75 пунктиром. Чтобы из fx (x) получить f(x), надо к первой функции прибавить «ступеньку» с разрывом при х= 1, равным разрыву функции f(x), т. е. равным /A+0)—/A— 0) = A3 + 2)— Р = 2*). Таким образом, f{x)—f1(x)-\-2e{x—1), откуда окончательно /' (*)=/; (*) + 2в' (х— 1) = Ф (х) 4- 26 (х— 1), где ф (х) задана формулами A1). С функцией е (х) тесно связана функция sign *■**), которую можно определить так: sign*=-nrf *) Запись /A—0)—это условное, но удобное обозначение для предела значения /A_е) При е—^0(е>0); аналогично расшифровывается запись **) sign—первые буквы латинского слова signum (знак).
196 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА [ГЛ. VI Она раена —1 при х < О и -\-\ при х > 0; таким'образом, она-по- она-показывает знак числа х. Легко убедиться в правильности соотношении sign.xr= 2е [х) — 1. Г(ри интегрировании функции е (х) получается уже непрерывная функция, график которой изображен на рис. 76, так как ( х х при х < 0 равен ^ 0 dx = 0, _[e(x)dxl ^при лг>0 равен ^ 0 dx-\-] \ dx = x. (Проверьте, что эта функция равна ■■- ' ' . Дельта-функцию можно не только интегрировать, но и диффе- дифференцировать; ее производная б' (лг) имеет еще более «острую» осо- особенность, чем б (лг), причем при- принимает значения обоих знаков. Так, если исходить из приближенного представления функции б (лг) в виде Рис. 76. -0,47т' Рис. 77. т у^е <ш*)* ПРИ большом т (см. § 1), то мы получаем приближенное представление б' (лг) в виде функции график которой показан на рис. 77. Эта функция принимает экст- экстремальные значения при х = ± —L- = ■+- ^-, равные по абсо- /~2~ лютной величине у —те2 = 0,47те2. (Проверьте.) Эти значения про- пропорциональны уже те2, а не т, как при представлении функции б (лг). Можно исходить из приближенного представления функции б (лг) в виде треугольника, показанного на рис. 78, а, при большом /И;
ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЕЙ 197 >гда функция б'(лг) будет приближенно представлена графиком, по- поданным на рис. 78, б. Если б-функция описывает плотность единичного заряда, распо- расположенного в начале координат (ср. § 1), то б'(лг) описывает плот- рость «диполя», расположенного там же. Такой диполь получается, |»сли разместить заряды q и —q соответственно в точках лг = О и i=l, а затем, оставляя p = ql (мо- ,,•,. (цент диполя) без изменения, устре- устремить / к нулю, a q к бесконечности ак что в пределе получатся два рав- равных бесконечно больших заряда про- -4М* Рис. 78. тивоположного знака на бесконечно близком расстоянии. До пе- перехода к пределу плотность заряда имеет вид поэтому после перехода к пределу при / -*■ 0 плотность заряда равна рЬ' (лг). с Интегралы с участием б'(лг) вычисляются с помощью интегриро- tвания по частям: f{x)V{x—a)dx A2) Дельта-функцию можно рассматривать также на плоскости и в престранстве. Например, в пространстве под функцией б (лг, у, z) надо понимать функцию, равную нулю всюду вне начала координат @; 0; 0), равную бесконечности в начале и притом такую, что интеграл от нее по всему пространству равен единице. Легко проверить, что этим уёлёвиям, в частности, удовлетворяет функция > ., 6(лг, з', г) = Ь(х)Ь(у)Ь(г).
198 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА [ГЛ. VI Таким образом, массу т, сосредоточенную в точке (а; Ь; с), мЪжмо рассматривать как массу, распределенную в пространстве с плот- плотностью р(х, у, z) = m6(x—aN(y—-b)S(z — c). Упражнения 1. Найдите \х\'; \х\". 2. Найдите |Д'+еТ/ J • 3. Убедитесь в справедливости формулы A2) непосредственно,, воспользо- воспользовавшись разложением функции f (х) в ряд по степеням х—а и приближенным представлением функции б' (х) в виде, показанном на рис. 78, б. § 4, Понятие об интеграле Стилтьеса С дельта-функцией непосредственно связано одно полезное рас- расширение понятия интеграла. Рассмотрим сначала пример. Пусть на отрезке (/) оси х с концами a, b расположена некоторая масса т и требуется определить силу, с которой эта масса притягивает еди- единичную точечную массу т0, расположенную в точке х — с, левее (/), той же оси. Ответ очень простой. Так как по закону Ньютона масса dm, расположенная в точке х, притягивает т0 с силой dF=xr-^—rj (здесь коэффициент пропорциональности к — так назы- v* — с) ваемая гравитационная постоянная), то общая сила равна "г*». A3) (х — с)> v ' (I) Ф Если масса т распределена вдоль (/) так, что она в каждой точке х имеет конечную плотность р = р(лг), то dm = p(x)dx и от интеграла A3) можно перейти к обычному интегралу кт \ ' dx. 0 J {x — су а Однако, как было указано в § 1, масса т может содержать часть, сосредоточенную в отдельных точках. Тогда интеграл A3) можно понимать как интеграл по мере т. Под этим понимается, что каждой части (Д/) отрезка (/) (в том числе, и каждой точке этого отрезка) отвечает его «мера» (в данном примере масса) т(А1), причем выполняется закон сложения: мера целого равна сумме мер частей. Интеграл по мере (он также называется интегралом Стилтьеса) в общем .случае имеет вид p A4) (е)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 199 -равен, по определению, пределу lim S/(*/)H СЧ)> Доставленному ft точности по тому же правилу, как для обычного ^интеграла (см., например, ВМ, § 1.8), однако взамен длины частей ^Д/,-) основного интервала (/) берется их мера [л(Д/(). Если в ка- качестве меры взять обычную длину, то мы приходим к обычному определению интеграла, т. е. интеграл Стилтьеса является обобще- обобщением этого обычного интеграла*). ■'Если заданная мера имеет конечную плотность р = --^, то от ин- интеграла Стилтьеса A4) можно перейти к обычному интегралу ь ' [f{x)d»=\f(x)p(x)dx. A5) (О а Если же имеются точки с отличной от нуля мерой, то, как мы ви- видели в § 1, плотность р (л:) будет иметь дельтообразные слагаемые. Допуская такие слагаемые, мы можем совершить переход A5) и в атом случае. Упражнение Часто мера на оси х задается с помощью вспомогательной функции g (x) по правилу: мера интервала <x<;cs£E равна g(|5 +0)— g{a — 0) (или просто Ф)— £(<*)• если функция g (x) непрерывная). Тогда вместо интеграла A4) пишут \ f(x)dg(x), а формула A5) приобретает вид \ / (х) dg (х) = \ / (x)g'(x)dx. V) (О о 11 1 Найдите \ х3 d (x2); f s\nxde(x); С cosxde(x). о -1 -о ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ § 1 1. 32 = 9. 2. а) [(-5J+3] б (х + 5) = 286 (х + 5); б) 6 Bх — 8) = 6 B (л:-4))=1 6(х-4); в) многочлен Р(х)=х2-\-х—2 имеет нули xt=\, хг~—2, причем ^'(^^=3, Р'(х2) = -3. Отсюда6(л:г+^-2) = 1б(^-1) + -1-б(^ + 2). § 2 а) 26 (х-!); 6)smx-6(;e-E):=sing-6(x-|); в) 6(х-£ + 1); г) 6(^-1) = *) Чтобы отличать обычный интеграл от интеграла Стилтьеса, его иногда называют интегралом Римина.
200 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА [ГЛ. VI §3 1. sign*; 26(х). 2. Vl+e; l oo a . 2M 3. С f(xN'(x—a)dxx { f(xLM*dx— { f(xLM2dxv — oo 1 a f „ a + T, г г J J Переходя к пределу при М —>■ oo, получаем точное равенство A2). §4
ГЛАВА VII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Простейшие дифференциальные уравнения, возникающие при рас- рассмотрении различных физических процессов, например вытекания воды из сосуда, радиоактивного распада, движения материальной точки, решаются уже в основах интегрального исчисления (см., на- например, ВМ, гл. V, VI и VII). Здесь мы познакомим читателя с не- некоторыми общими понятиями, относящимися к дифференциальным уравнениям, и рассмотрим отдельные классы уравнений, которые нетрудно решить. Некоторые дальнейшие сведения о дифференциаль- дифференциальных уравнениях содержатся в следующей главе. Дифференциальные уравнения с одной независимой переменной называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если независимых переменных две или больше, то в дифференциальное уравнение входят частные производные по этим переменным. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями с частными производными. В этой и следующей главах мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Нам потребуются ре- результаты §§ VI. 1—2 и формула Эйлера из § V.3. § 1. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка Дифференциальным уравнением первого порядка называется соот- соотношение вида где у— неизвестная функция х. В дальнейшем мы будем считать это уравнение разрешенным относительно производной, т. е. имею- имеющим вид %=/(*, у)- A) Оказывается, что, даже не отыскивая решения у (х) аналитически,
202 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.| VII в виде формулы, можно составить представление об общей картине этих решений на основе геометрического смысла уравнения A). В этом параграфе мы рассмотрим, как это делается. Вспомним геометрический смысл производной -j- . В плоскости х, у для кривой у=у(х) величина ~ равна тангенсу угла наклона ка- каУ\ Уа 0 V* хп сательной к кривой. Следовательно, зная dy зависимость -j- от переменных х, у, вы- выраженную уравнением A), можно найти направление касательной к кривой, яв- являющейся графиком решения A), причем это направление можно определить для любой точки плоскости. Отметим, что график решения дифференциального уравнения называется интегральной ли- Рис. 79. х нией этого уравнения. Направление касательной можно по- показать на чертеже, проведя через лю- любую данную точку (х; у) маленький отрезок прямой под углом t>, удовлетворяющим условию tg-&—f(x, у)*). Так, например, пусть jf = А+.У21 тогда f(x, y)=x2+y2. Составим таблицу: X — 1 ] — 1 0 0 у — 1 0 1 1 0 2 1 2 1 0 X 0 1 1 1 У 1 — 1 0 1 dx 1 2 1 2 На рис. 80 показаны направления касательных в каждой из де- девяти точек, приведенных в таблице. Если на чертеже увеличивать число точек, в которых проведено направление касательной, то на глаз видно, как вырисовывается совокупность кривых, удовлетво- удовлетворяющих дифференциальному уравнению. (См. рис. 81, соответствую- *) При построении нет надобности находить угол ft и строить его. Гораздо быстрее найти нужное направление, откладывая по оси х отрезок длины 1, а по сси у отрезок длины -j(=(gu (рис. 79).
§1Г ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 203 щий уравнению -^=лг2+>'2-) Ясно, что уравнение имеет бесконеч- бесконечное количество интегральных линий и через каждую точку (лг0; у0) плоскости проходит одна такая линия. Таким образом, чтобы выде- выделить из всех решений уравнения A) какое-то одно определенное частное (т. е. конкретное) решение, надо задать дополнительное условие: при некотором лг = лг0 задано значение у=у0. B) Это условие называется начальным условием, так как если незави- независимой переменной служит время, то условие B) означает задание искомой функции в начальный момент времени. У '-1 1 I / // г I Рис. 80. Рис. 81. Хотя в начальном условии B) задаются два параметра х0 и у0, но на самом деле при выборе частного решения уравнения A) имеется лишь одна степень свободы. Действительно, точка (х0; у0) может перемещаться вдоль определяемой ею интегральной линии, отчего эта линия, конечно, не меняется. При таком перемещении имеется одна степень свободы, которая, таким образом, для выбора инте- интегральной линии является лишней, т. е. на самом деле при таком выборе имеется 2—1 = 1 степень свободы (см. аналогичное рассуж- рассуждение в § IV.8). Чтобы указать существенный параметр при этом выборе, можно зафиксировать х0 и провести вертикальную прямую х = х0, тогда различные интегральные кривые пересекут ее на раз- различной высоте. Это означает, что различные кривые соответствуют различным значениям у (хо)= у0. Для того чтобы провести большое количество отрезков, дающих направление касательной, удобно воспользоваться следующим при- приемом. Построим на чертеже линии f(x, y) = C для нескольких зна- значений постоянной С. В каждой точке такой линии, согласно A), ве- величина tg 0 постоянна и равна С. Таким образом, все интересующие
204 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII нас отрезки, показывающие направление касательной*) в любой точке линии f(x, у) = С, параллельны. Линии f(x, y) = C называются изоклинами. В частности, линия f(x, у) = 0 называется изоклиной нулей; в каждой точке этой линии касательная к интегральным кривым уравнения A) горизонтальна. Линия, в точках которой касательные вертикальны, называется изо- изоклиной бесконечностей. Например, для уравнения -г = _ _ ■ изо- изоклина бесконечностей есть прямая х—_у=1. На рис. 81 наглядно видно, что интегральные кривые не пере- пересекаются одна с другой, во всяком случае под ненулевым углом. Действительно, уравнение A) показывает, что при данных х и у есть только одно определенное значение величины -т- , т. е. через дан- данную точку кривая может проходить только под одним определенным наклоном. Более подробное исследование показывает, что различные интегральные кривые не могут и соприкасаться друг с другом в ка- какой-либо точке, если в ней правая часть уравнения A) и ее част- частная производная по у принимают конечные значения. Таким обра- образом, условие B) действительно определяет единственное решение уравнения A). Упражнения 1. Найдите изоклины уравнения ~ = х2 -\-у2. 2. Найдите уравнение геометрического места точек перегиба интегральных кривых общего уравнения A); уравнения -¥=х2-\-у2. § 2. Интегрируемые типы уравнений первого порядка Рассмотрим несколько видов дифференциальных уравнений, ре- решения которых получить нетрудно. I. Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида f = <p (у).у (*)**). C) В этом уравнении правая часть <р(у) -i|) (x) есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от у, а другая только от х. *) Следует помнить, что речь идет о касательных к интегральным линиям дифференциального уравнения -г=1 {х, у), а не о касательных к самой ли- линии f(x, y) = C. **) Уравнения такого вида встречаются, например, в задаче о радиоактивном распаде и в задаче о вытекании воды из сосуда (см. ВМ, гл. V).
§ 2] ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 205 Перепишем уравнение так: ■Н-: = гЬ (х) dx. ф@ vv ' Проинтегрируем правую и левую части последнего равенства: (мы пишем лишь одну произвольную постоянную, так как обе по- постоянные, получающиеся при вычислении интегралов, можно объ- объединить в одну). Из этого общего решения уравнения C) получаем его частные решения, придавая С всевозможные значения. Мы ви- видим, что в общем решении уравнения A) присутствует одна произ- произвольная постоянная, что находится в соответствии с наличием одной степени свободы при выборе частного решения (§ 1). Если дополнительно задано начальное условие B), то легко найти С. Для этого запишем для краткости формулу D) в виде Полагая здесь лг = лг„, у = у0, получим Ф0>.) =¥(*„) +С, откуда С = Ф(уо)-У(хо) и окончательно т. е. Найденное частное решение можно также записать в виде {jiL L{x)dx. J ф (у) J Y Уч х„ Непосредственно ясно, что это решение удовлетворяет условию B). Выполнив фактически интегрирование, получим искомое решение. II. Лииейиые однородные уравнения. Линейным однородным уравнением первого порядка называется уравнение ! = /(*)>-. E) Оно представляет собой частный случай уравнения C), но мы оста- останавливаемся на нем особо из-за его большой важности. Проводя в E) разделение переменных и интегрируя, получим X j=/(x)dx,
206' ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII в правой части мы записали произвольную постоянную в форме In С для удобства дальнейших выкладок. Отсюда находим у X / f (Jt) dx У=Сеа , F) где а — какое-либо фиксированное значение х. Формула F) дает общее решение уравнения E). Обозначим для краткости X / ! (х) dx у1 (х) = е« . G) Так как эта функция получается из F) при С=\, то она пред- представляет собой частное решение уравнения E). Формулу F) можно записать в виде У = Су,(х). (8) Легко и непосредственно проверить, что если ух (х) представляет собой какое-то частное решение уравнения E), то и функция (8) при любом постоянном С также удовлетворяет уравнению E): dx j \ > j\ j \ > J dx dx dx Таким образом, чтобы получить общее решение уравнения E), надо взять какое-либо одно его частное решение и умножить это частное решение на произвольную постоянную. Полагая, в частно- частности, С=0, мы видим, что одно из частных решений уравнения E) представляет собой тождественный нуль; конечно, это нулевое ре- решение непригодно для построения общего решения. 111. Лииейиые неоднородные уравнения. Линейное неоднородное уравнение первого порядка имеет вид %=f{x)y + g(x)*). (9) Будем искать то решение уравнения (9), которое обращается в нуль при некотором значении лг = лг0. При зафиксированной функции f(x) это решение у (х) определяется выбором функции g(x), т. е; g (x) можно истолковывать как некое внешнее воздействие, а у(х) — как *) Такое уравнение встречается, например, в задаче о радиоактивном се- семействе (см. ВД1, гл. V). В этой задаче независимой переменной л: служит время, а функцией у—количество данного радиоактивного вещества в системе, так что искомое решение у (х) описывает закон изменения этого количества во времени. Коэффициент f (х) равен отрицательной постоянной, абсолютная величина ко- которой представляет собой вероятность распада данного вещества в единицу времени, а свободный член g(x) равен скорости ввода этого вещества в рас- рассматриваемую систему.
§ 2] ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 207 его результат (другими словами, закон, по которому функции g(x) сопоставляется решение у(х), является оператором, см. § VI.2), Легко проверить, что при этом имеет место принцип суперпозиции, т. е. если функции g(x) складываются, то и соответствующие ре- решения складываются. В самом деле, если причем у1(х0) = 0, у2(х0) = 0, то функция у—-ух (х) -\-уг (лт) удовлет- удовлетворяет уравнению и условию у(х0) = 0 (почему?). На основании § VI.2 решение уравнения (9) можно получить с помощью построения соответствующей функции влияния G(x; £), которая служит решением уравнения %=/(х)у + 8(х-1) A0) при любом фиксированном \. Будем считать, что \ > х0; тогда при •^о < х <С I уравнение A0) превращается в E), т. е. решение имеет вид (8), но так как ищется решение, для которого у (х0) = 0, то С—0, т. е. у (х) 53 0. Если, далее, проинтегрировать уравнение A0) от х=\ — 0 до лг = | + О, то мы получим 1+0 1+0 У(Ъ + 0)—у&-0)= J f(x)ydx+ J l-o (так как решение у остается конечным, то интеграл от первого сла- слагаемого в правой части A0) по бесконечно малому промежутку бе- бесконечно мал и им можно пренебречь). Но согласно только что до- доказанному у (^ — 0) = 0; отсюда \. (И) Однако при х > Ъ, уравнение A0) также превращается в E) и по- потому имеет решение (8); условие A1) дает т.е. Итак, в данной задаче функция Грина имеет вид С 0 (хо<х<1), График функции G(x; .£) при фиксированном | показан на рис. 82 жирной линией, имеющей разрыв при * = £.
208 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ : [ГЛ. VII Теперь можно написать искомое решение уравнения (9) при лю- любой функции g{x) на основе соответствующим образом преобразо- преобразованной общей формулы (VI.8): ; Ъ) g(t)d%+§ G(x; l 0 где функция yt (x) дается формулой G). Аналогично можно прове- проверить, что та же окончательная формула A2) справедлива и при х < х0. Отметим, что в се правой части можно вынести _у, (лг) (но не ул (£)!) из-под знака интеграла. У Особенно часто пользуются последней формулой при лго = —оо, что физически наиболее естественно. Тогда решение A2) обладает тем' свойством, что если функция g(x) тождественно равна нулю до некоторого х, то и решение тождест- £, х венно равно нулю до этого х. Таким обра- образом, в этом случае формула A2) дает в Рис 82. каком-то смысле «чистый» результат воз- воздействия функции g(x). Формула A2) дает частное решение уравнения (9) — именно то, которое при лг = лг0 обращается в нуль. Чтобы получить общее ре- решение уравнения (9), заметим, что разность двух любых решений этого уравнения удовлетворяет соответствующему однородному урав- уравнению E): если то (почему?). Значит, эта разность должна иметь вид (8), где С про- произвольно. Итак, общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму какого-либо его частного решения и об- общего решения соответствующего однородного уравнения. Выбирая в качестве этого частного решения найденное нами решение A2), получаем общее решение уравнения (9) в форме
2J» ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 209 интересует частное решение, удовлетворяющее условию B), к подставляя в A3) х = х0, находим " * = <> + <:,, (*.), т. е. С = "окончательно получаем искомое решение К тем же результатам можно прийти другим путем, с помощью лее быстрого, но искусственного способа «вариации произвольной "стоянной». Выдающийся французский математик и механик Ла- ~анж предложил, исходя из формулы (8), искать решение уравне- "Я (9) в форме "-'•'■ У = и(х)у1(х), A4) fce к (лг)— некоторая неизвестная функция, а ух(х) имеет прежний 5лысл G). Подставляя A4) в (9), получаем ,о так как у1 представляет собой решение однородного уравнения, ) первые слагаемые слева и справа взаимно уничтожаются, и мы ^лучаем откуда «' = . последнем интеграле мы заменили обозначение переменной инте- рирования на |, чтобы отличить его от верхнего предела). Под- .гавляя полученный результат в A4), приходим к формуле A3). IV. Простые случаи линейных уравнений. Имеются случаи, когда №шение линейного уравнения выглядит особенно просто. Так будет, ч частности, если коэффициент /(лг) постоянный: J f(x)?=p = const. Тогда однородное уравнение E) имеет вид и общее решение у = СеР*, A5) "то можно получить из формул G) и (8), приняв для простоты а = 0, но легко получить и непосредственно с помощью разделения пере- переменных или простой подстановкой.
210 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII Соответствующее неоднородное уравнение особенно просто ре- решается, если свободный член, т. е. g(x), представляет собой по- постоянную или экспоненту (показательную функцию). Рассмотрим сначала уравнение fx=py + A (Л-const). ■ A6) Как мы знаем, для получения его общего решения надо найти ка- какое-либо его частное решение, а затем сложить результат с общим решением A5) соответствующего однородного уравнения. Однако частное решение уравнения A6) легко разыскать вформе.у = 5 = const. Подставляя в A6), получаем , т. е. В = — — . Итак, общее решение уравнения A6) имеет вид Рассмотрим теперь уравнение d£=py+Ae><x. A7) Производная от показательной функции пропорциональна самой функции; поэтому естественно искать частное решение уравнения A7) в форме у = Ве"х, A8) так как тогда после подстановки в A7) все члены будут подобными, и возникает надежда добиться равенства с помощью подбора В. Проделаем это: Bkekx —рВекх + Ае"х. д Отсюда легко находим 5 = г ■ Подставляя в A8), получаем част- к — р ное решение уравнения A7), а после добавления общего решения соответствующего однородного уравнения — общее решение уравне- уравнения A7): y = re * k — p где С—произвольная постоянная. Полученное решение, очевидно, непригодно, если k — p. В этом особом случае решение уравнения A7) найдем с помощью общей формулы A3), заметив, что в рассматриваемом случае частное ре- решение _yt (лг) однородного уравнения равно е?х. Получим, приняв для
g,2]- ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 211 простоты х0 = О, • X X . у= Гe—Aertdl + CePx = AePx {dl + CeP* = АхеРх+ СеР*. A9) J eP- J о о Итак, для k=p в частном решении при экспоненте появляется до- дополнительный множитель х. Общее неоднородное уравнение решается с помощью функции Грина, которая в данном случае имеет особенно простой вид ( О (лг0 < х < £), G(x; £)= еР1 = ери^) g ^ еРг- Общее решение в силу формулы A3) имеет вид Рассмотренными здесь уравнениями не исчерпываются типы урав- уравнений, решения которых могут быть записаны в виде точных фор- формул, содержащих элементарные функции и интегралы от них. В курсах дифференциальных уравнений можно найти еще несколько таких типов; наиболее полно они рассмотрены в книге Э. Камке «Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям», «Наука», 1971. Упражнения Найдите решения следующих дифференциальных уравнений, удовлетворяю- удовлетворяющие указанным начальным данным. \.-~=2ху, у—\ при х = 0. 2.^=У-, у=\ при *=1. их х р 3. ^- = е-У, у=\ при х = 0. dx 4. j- = — , у=\ при х = 0. dx у 5- j-x=— У + ех, у = — при х=\. 6. ^=-2(/ + 4д;, у= — 2 при лг = 7. Jx + y = cosx, y = -£ при х = 0.
212 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V[i § 3. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение второго порядка содержит вторую производную от искомой функции; его общий вид таков: dy dly\ n х, v, -г , -Л =0. ' ' ' dx dx2 j Если это уравнение зависит от искомой функции и ее производных линейно (зависимость от х может быть любой), то оно называется линейным. Таким образом, линейное уравнение второго порядки имеет общий вид Мы рассмотрим наиболее важный частный случай, когда коэф- коэффициенты а, Ь, с при искомой функции и ее производных являются постоянными. Такое уравнение встречается в задачах о механиче- механических и электрических колебаниях (см., например, ВМ, гл. VI и VIII), причем в этих задачах независимой переменной служит время t. Мы остановимся на рассмотрении механических колебаний простей- простейшего осциллятора; тогда уравнение имеет вид * mQ + hft+ky=f(t), B0) где у— отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, ш — ее масса, h — коэффициент трения (считается, что сила трения пропорциональна скорости), k—коэффициент упругости восстанав- восстанавливающей силы (эта сила принимается пропорциональной отклонению) и f{t) — внешняя сила*). Рассмотрим сначала уравнение свободных колебаний; оно име- имеет вид и называется линейным однородным уравнением. Его свойства во многом аналогичны свойствам линейного однородного уравнения первого порядка, разобранным в § 2. Так, легко проверить, что если у1(() — какое-либо частное решение уравнения B1), то и Cy1{t), где С—любая постоянная, также служит решением того же уравнения. В частности, при С=0 получаем тождественно нулевое решение уравнения B1). Кроме того, легко проверить, что если .У»-(О и Уг @ — Два частных решения уравнения B1), то их сумма *) При этом нам придется частично повторить результаты из гл. VI ВМ, однако здесь изложение будет более полным и будет проводиться с более общих позиций.
3] ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 213 р = _у1 (/) -Н^а (/) также служит решением того же уравнения (про- 1ерьте, подставив эту сумму в B1)!). Из сказанного следует, что если найдены два частных решения ~x(t) и у.г(() уравнения B1), то их линейная комбинация t), ' B2) j-де С, и С2 — произвольные постоянные, также служит решением того же уравнения. Но общее решение дифференциального уравне- уравнения второго порядка получается в результате двух интегрирований ■потому содержит в себе две произвольные постоянные. Значит, выражение B2) служит общим решением уравнения B1). Конечно, при этом yt (t) и уг (t) не должны быть пропорциональными, так как ■«ели yi(t) = kyl(t), то СхУ, @ + СгУг @ = (Сх + Ctk)y, (/) = Су, (t), [.т. е., по существу, здесь имеется только одна произвольная по- постоянная (не выполнено условие существенности параметров, ср. « IV.8). ;: Как же найти два «независимых» решения уравнения B1)? Эйлер, основываясь на свойстве пропорциональности экспоненты своим про- ь-изводным, предложил искать частные решения в виде У=е", B3) где р— некоторая постоянная, которую нужно определить. Так как ■йри таком выборе -^=ре"', ^=Р2ер11 то после подстановки в B1) и сокращения на е>>' получаем для определения р квадратное урав- уравнение (так называемое характеристическое уравнение) '■-' mp* + hp-\~k=0. B4) - Как известно из алгебры, при решении квадратного уравнения могут представиться различные случаи в зависимости от знака . дискриминанта ' Если трение велико, точнее, если А2 > 4mk, то уравнение B4) - имеет вещественные корни _ —h± Y¥— Pi, 2— чт Обозначим их pt =—а, р2=—Ь, так как они оба отрицательные. Тогда на основе B2) и B3) получаем общее решение уравнения B1) в виде y = Cle-at + C,e-t>t, B5) где С, и С2—некоторые постоянные. Таким образом, при большом
214 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Vlj трении отклонение точки от положения равновесия с возрастанием * стремится к нулю по экспоненциальному закону, без колебаний. Если трение мало, точнее, если А2 < Атк, то уравнение B4) имеет мнимые сопряженные корни h f k hl где обозначено у — ~—, со= 1/ -г—5. Имея в виду B3), пол\- чаем общее решение B2) v — р p—yt+imt i /"> p-y<-iu>t р~т' 1С о'ш? _1- ^° «"'и') /Of?\ Множители etu>t и е~'1иЛ, как выяснено в § V.4, являются периоди ческими функциями. Их период равен Т=—-. Поэтому со есть кру- круговая частота колебаний. Множитель е~т* характеризует скорость затухания колебаний. Выражение B6) будет решением уравнения B1) при любых постоянных Сх и С2. Для того чтобы получить ве- вещественное решение, возьмем любое C1=-^-retf и положим С2 = = -1/•<;-'¥= С*. Тогда y = e-it (^-ге^еш+^ге-^е-!шЛ =1.ге~^ [е1 ы+^ + е'1' {шг+^]. Воспользуемся формулой Эйлера. Получим V =-»-ге~т* [cos (со^4" ф) 4- ^sl'n (ft>^4" ф) 4" cos (cot 4"ф) — — / sin (cor 4- ф)] = re~il cos (cot 4~ Ф). Решение у = re~f{ cos (со^+ф) — вещественное, оно содержит две произвольные постоянные г и ср. Иногда его записывают в ином виде, раскрыв косинус суммы: у = re~f' (cosсо?1 cos cp — sin со/ sin ф) = = (г cos ф) е~1* cos со/+ (— г sin<$) e~i' sin at — = Cje~T; cosco/4-C2e~Tf sinco/, где через Сх и С, обозначены соответствующие множители в скоб- скобках (они не равны Сх и С2 в формуле B6)!). Здесь хорошо видны вещественные независимые решения уравнения B1) (см. формулу B2)). Обычно эк/г переход к вещественному решению проводят быст- быстрее, исходя из следующих соображений. Если в левую часть урав- уравнения B1) подставить комплексную функцию от вещественного аргумента / и произвести все действия, то в силу указанных в § V.5 свойств таких функций те же действия пропзведутся над вещест- вещественной, а также над мнимой частями этой функции. Поэтому если
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 215 после выполнения этих действий над комплексной функцией полу- получится нуль, то и после выполнения действий над вещественной частью этой функции получится нуль, то же и над мнимой. Таким образом, если имеется комплексное решение B3) уравнения B1), то вещественная и мнимая части решения также являются решениями уравнения B1). Отметим, что последнее утверждение справедливо для любого линейного однородного уравнения (т. е. уравнения, в которое у и его производные входят линейно, причем в уравнении нет члена, не содержащего ни у, ни какой-нибудь его производной) с веществен- вещественными коэффициентами. Если же у или его производные входят в уравнение нелинейно, то это утверждение неверно. Поэтому, например, если квадратное уравнение имеет два мнимых корня, то веществен- вещественная и мнимая части корней не являются в отдельности корнями этого уравнения. Итак, когда трение мало, колебания затухают по экспоненциаль- экспоненциальному закону. Особое значение имеет случай, когда трение отсутст- отсутствует, т. е. А=-0. В этом случае характеристическое уравнение B4) приобретает вид откуда Px,z = ±i У ~- Решение дифференциального уравнения имеет вид у = С1еш-\-Сге~ш = г cos (со/4-ф). где со •= 1/ ~ , B7) т. е. в рассматриваемой системе происходят незатухающие гармони- гармонические колебания с произвольными амплитудой и начальной фазой и вполне определенной частотой со= 1/ —. Интересно проследить за поведением полной энергии системы. Нетрудно показать (см., например, ВМ, § VI. 10), что эта энергия имеет выражение + [[) +* B8) причем в npnnofi части первое слагаемое равно кинетической, а вто- второе— поте-.;;:;; мной энергии осциллятора. Подставив сюда форму- формулу B7) .■■ля решения, получим Е = -н- пко-r'2 sin2 (со/ + ф) + у kr- cos2 (со/ + ср) == — kr2. Таким образом, в случае /г = 0 полная энергия остается постоянной и в процессе колебаний происходит только «перекачка» кинетиче- кинетической энер!ни в потенциальную и обратно.
216 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII Если трение имеется, то полная энергия системы убывает, рас- рассеивается (переходит в тепло, которое в дифференциальном урав- уравнении не учитывается). Действительно, дифференцируя формулу B8> и используя дифференциальное уравнение B1), найдем производная отрицательна, следовательно, Е убывает. В реальных задачах нас интересует не общее решение, а вполне определенное частное решение. Так как в общем решении ■ диффе- дифференциал ького уравнения второго порядка имеются две произвольные постоянные (т. е. две степени свободы), то для выбора частного решения требуется задать два дополнительных соотношения, с по- помощью которых и находим значения этих произвольных постоян- постоянных. Обычно в качестве таких дополнительных условий задаются так называемые начальные условия, а именно, при некотором зна- значении независимой переменной задаются значения искомой функции и ее производной. Для уравнения B1) начальные условия состоят в задании зна- значений :,о=»., B9) т, е. начального отклонения и начальной скорости колеблющейся точки. Из физических соображений ясно, что эти условия полностью определяют процесс колебаний. Это легко доказать и .математи- .математически. Рассмотрим, например, случай большого трения, когда общее решение имеет вид B5). Дифференцируя это решение и подставляя t — t0, на основании B9) получим — Су ae~at°—C2be~bt° = v0, откуда- находим для Су и Сг вполне определенные значения Г c Ч~ Ь-а е > Ч - a_b e ■ Подставив эти значения в B5), получим искомое частное решение, удовлетворяющее условиям B9): bye + v0 I t s b—a ~ c b—a a—b be-a(.t-t0)_ae-b{t-ta) e-a(t-ta)—e-bif-ta) Формула C0) дает возможность рассмотреть еще не разобранный промежуточный случай, когда A2 = 4mk и потому характеристическое уравнение B4) имеет совпадающие корни pli2=—а. Тогда реше-
§ 4] ПРОСТЕЙШЕЕ ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ 217 ние B5) не является общим, так как Сге~аг -\- C2e~at = (Cl-{-C2) e~ai~ = Ce~at, т. е. здесь, по существу, имеется лишь одна степень сво- свободы, а не две, как требуется. Если в формуле C0) совершить переход к пределу при b—>-а, то, воспользовавшись правилом Ло- питаля (см., например, ВМ, § П.21), получим в пределе решение =Уое-° «-Ui + {ayo+Vo) {t_to) е-а ,/-/„>. C1) Мы видим, что здесь в решении появляется член вида te~at. При возрастании t этот член стремится к нулю, так как показательная функция стремится к нулю быстрее, чем любая степень t стремится к бесконечности (см. там же). Таким образом, и в данном случае происходит затухание без колебаний. Если заметить, что начальные условия произвольны, и перегруп- перегруппировать слагаемые в правой части C1), то можно записать общее решение уравнения B1) в данном промежуточном случае в виде Упражнения Найдите решения следующих дифференциальных уравнений, удовлетворяю- удовлетворяющие указанным начальным данным: 0, у = 0, у'=-2 при /=■£. 2. 4у"—8у' + 5у = 0, у = 0, y'=-j ПРИ '= 3. 4. 5. 6. у"—у=о. у"+4у' + 4у = 0. У = 2, У == 4 У = Ъ, У' у' у' у' = 3 = —2 = й =3 при при при при / = 0. / = 0. / = 1. / = 0. § 4. Простейшее линейное неоднородное уравнение второго порядка Перейдем к рассмотрению уравнения вынужденных колебаний B0). Прежде всего надо заметить, что рассуждения § 2 о связи решений неоднородного уравнения с решениями соответствующего однород- однородного уравнения остаются здесь в силе; поэтому общее решение уравнения B0) имеет вид y=Y (x) + €,у, (х) -f C,y., (х), где Y(x) — некоторое его частное решение, а С1у1 (лг) + Сгуг (лг) — общее решение соответствующего однородного уравнения B1). Частное решение уравнения B0) можно подобно § 2 построить с помощью функции Грина. Рассмотрим сначала самый простой слу- случай, когда /г = А = О, т. е. когда уравнение B0) имеет вид $ C2)
218 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII это означает, что тело движется под действием силы, зависимость которой от времени задана. Найдем решение, удовлетворяющее ну- нулевым начальным условиям: -О, v-dt /=/. = 0*). C3) Как и в § 2 (см. начало раздела III), убеждаемся, что решение у (t) полностью определяется заданием функции f(t), причем имеет место принцип суперпозиции. Значит, на основании общей методики § VI.2 можно построить функцию Грина, решив уравнение m^ = b{t—x) C4) при любом зафиксированном т и начальных условиях C3). Будем считать для определенности, что t > t0. Тогда в промежутке от tg до т правая часть уравнения C4) равна нулю, а потому при нуле- нулевых условиях C3) и решение равно нулю. Проинтегрировав урав- уравнение C4) от т—0 до т+О**), получим dy 4 _dy т+о dt т-0 и du Но в силу только что доказанного -^ т-0 1 1 =0, откуда Ч, =-• C5) dt т + О т Мы видим, что при t = -z производная -~| имеет конечный разрыв (конечный скачок); поэтому сама функция у (t) при t — j разрыва не имеет, т. е. .у|т+о=.Нт-о=О. C6) d'}u Однако при ^>т уравнение C4) имеет вид т~ = 0, т. е. с-~ = 0, и нам нужно найти решение этого уравнения при началь- начальных условиях C5) и C6). Нетрудно непосредственно проверить, что всем этим требованиям удовлетворяет функция у = — (t—т). Итак, мы получаем функцию Грина для рассматриваемой задами { 0 (to<t<T), *) Здесь можно принять /0=—со, что во многих задачах наиболее фи- физически естественно (ср. § 2). Мы, однако, оставляем произвольнее t0 для пе- перехода к дальнейшемI, так как при /0 = — со неудобно задавать ненулевые начальные условия. **) См. это обозначение в сноске на стр. 195.
i § 4] ПРОСТЕЙШЕЕ ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ 219 (То, что эта непрерывная функция с «изломом»-при t — x удовлет- удовлетворяет уравнению C4), вытекает также из рассмотрений § VI.3; см. рис. 76, где изображена функция, вторая производная которой равна 8 (лг).) В силу общей формулы (VI.8), примененной к данному слу- случаю, получаем искомое решение уравнения C2) при начальных усло- условиях C3): C8) Вывод формулы для решения закончен, и желающие могут сразу перейти к § 5, где разбирается общее уравнение вынужденных ко- колебаний. Однако мы здесь сделаем еще несколько замечаний по по- поводу разбираемого здесь частного случая. Функцию Грина C7), а с ней и формулу C8) можно получить и непосредственно из физических соображений. В самом деле, урав- уравнение C4), определяющее функцию Грина, означает, что на тело, которое в начальный момент находилось в начале координат и было неподвижным, в момент т подействовала мгновенная сила с единич- единичным импульсом (см. конец § VI.1). Но после действия кратковре- кратковременной силы тело движется с постоянной скоростью, равной отно- отношению импульса силы к массе тела (см., например, ВМ, § VI.5), т. е. в данном случае ■—-. Поэтому y(t), т. е. пройденный путь, выражается как раз по формулам C7). Формулу C8) можно получить и без упоминания о функции Грина, хотя, по существу, тем же методом. Для этого достаточно мысленно представить силу / на промежутке от t0 до t как после- последовательность кратковременных сил, каждая из которых действует на некотором промежутке от т до т+Л и потому имеет импульс f(x)dx. Если бы действовала только эта кратковременная сила, то тело набрало бы скорость ——- и к моменту t прошло бы путь ^~r). C9) Однако в силу линейности уравнения C2) имеет место принцип суперпозиции, другими словами, принцип сложения движений, согласно которому при наложении нескольких сил законы движения также складываются. Поэтому результаты C9) надо сложить по всем т от t0 до t, т. е. мы приходим к формуле C8). Выведем теперь формулу C8) совсем иным путем, с помощью двукратного интегрирования формулы C2). Первое интегрирование
220 дает ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Г,Ч. V1J или, с учетом второго условия C3), ' (t) = \f(t)dt. ту' (t) = В этой формуле переменная интегрирования обозначена той же бук- буквой /, что и верхний предел. Обычно такие обозначения не приводят к недоразумениям; однако сейчас нам удобнее применить более аккуратное обозначение D0) t ч 0 'I d F) \ и I I t0 t t, ny'(t) = \/(x)dx, Рис. 83. в котором строго различается переменная интегрирования т от верхнего предела t: скорость тела в момент времени t зависит от значений силы во все предыдущие моменты т, т. е. зависит.от /(т), где т принимает все значения от t0 до t. (Такое различение совершенно необходимо в формуле C8), где в подынтег- подынтегральное выражение входит разность t—т.) Вновь интегрируя формулу D0), получаем с учетом первого условия C3) ту (t) = Получился двукратный интеграл (ср. § IV.7), в котором переменная /j внешнего интегрирования меняется от /„ до t, а при каждом t1 переменная т внутреннего интегрирования меняется от т=/0 до x=t1. Таким образом, интегрирование производится по треуголь- треугольнику (а), показанному на рис. 83. Однако, как известно, двойной интеграл можно вычислять и в противоположном порядке, сначала по tv а затем по т. Тогда интегрирование по tl будет произво- производиться при фиксированном т от t1—x до fx = t (см. рис. 83), а внешнее интегрирование по т—от t0 до t\ в результате получаем (О) Но из-под знака внутреннего интеграла можно вынести /(т), не
§ 4] ПРОСТЕЙШЕЕ ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ 221 зависящее от переменной интегрирования tlt так что t t t ту (О- J dx/(x) J dt,= \ dx-/(x) (t—t), и мы приходим к формуле C8). Проверим, что формула C8) действительно дает решение постав- поставленной задачи; это будет также полезным упражнением на диффе- дифференцирование. Мы будем исходить из двух формул. Первая J D1) [f{s\ t) ds) = ^ Ft (s; t)ds (a, £ = const) D2) (производная интеграла по верхнему пределу) хорошо известна из интегрального исчисления, вторая формула d_ dt (производная интеграла по параметру) была указана в § Ш.6. Но как найти производную от правой части C8), куда t входит и в качестве предела интегрирования и в качестве параметра под знак интеграла? Для этого надо взять сумму двух слагаемых, одно из которых получается в результате дифференцирования интеграла C8) при зафиксированном t под знаком интеграла, .а другое — при зафикси- зафиксированном t в верхнем пределе (ср., например, ВМ, § П.4). Диффе- Дифференцирование производится по формулам D1) и D2): t t dt D3) При вторичном дифференцировании пользуемся формулой D1), т. е. dt* m J y '• Отсюда вытекает, что уравнение C2) удовлетворяется. Справедли- Справедливость условий C3) получится, если в формулах C8) и D3) поло- положить t = t0. В качестве примера найдем закон движения тела, на которое действует сила, пропорциональная времени, протекшему с начала движения. В этом случае f(t) = a(t — ^0), поэтому /(х) = а(т—10). Получаем /_/ \У — *«? а »' 2 т 3 ~ 6т
222 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ' [ГЛ. VII Мы решили задачу с нулевыми начальными данными. Это — самая важная часть дела, так как если мы умеем решать задачу с нуле- нулевыми начальными данными, то решение задачи с произвольными начальными данными _у=_у0, г> = г>0 при t*=t0 не представляет труда. Действительно, пусть d2u -^Г =/('), У=Уо, v = v0 при t=t0. Тогда где ya)(t) есть решение задачи с нулевыми начальными дан- данными: -о, а _уB) (t) есть решение задачи без силы (Читатель легко проверит, что _у = у1>-|-У2) является решением поставленной задачи.) Функцию _у12) @ найти просто, yl2)(t) = = г>о(*—*о)+Уо, поэтому Исследуем решение C8), отвечающее нулевым начальным усло- условиям, приняв для простоты t0 = —оо. Для этого запишем его так: Так как t не есть переменная интегрирования, то ее можно вынести за знак интеграла, поэтому Эту формулу на основании D3) можно переписать так: t
§ 4] ПРОСТЕЙШЕЕ ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНР.НИР. 223 Вынесем v(t) за скобку, получим y{t)=v{t)-{t—% где положено t t xf (т) dx J т/ (т) с(т ; -"■Г ,a,@ = 4-i/(x)dt. т v(t) J / (т) Л Записанные таким образом формулы особенно удобны, если сила по прошествии некоторого промежутка времени перестает действо- действовать. Для моментов времени t после окончания действия силы интегралы <>\ t t \т/(т) dx и \/(т) йт не зависят от t. Уве- — да — со личение t в этих интегралах приводит только к увеличению той части области О интегрирования, где подынтегральная функ- S" ция равна нулю. После окончания действия силы тело движется с постоянной скоростью ■» = г>кон, при этом величина 9 = 9КОН также постоянна. Поэтому график y(t) после окончания действия силы есть прямая линия 'km. Рис. 84. Величина 9КОН есть абсцисса точки пересечения этой прямой с осью t (рис. 84). Физический смысл величины 0КОН таков: если тело начнет движение в момент времени ^ = со скоростью v—vK0W то оно будет двигаться по тому же закону, по которому фактически дви- движется тело после окончания действия силы. Упражнения Найдите решения следующих дифференциальных уравнений, удовлетворяю- удовлетворяющие указанным начальным данным: 2. ^ = 1, *@) = -2. 3. i?l = sin/. *@) = 0, ) = 0. 4. di* (— эо) = 0,
224 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. VII § 5. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Функцию Грина можно применить и к общему уравнению B0), описывающему движение упруго закрепленного тела под действием внешней силы, зависящей только от времени, при наличии трения, пропорционального скорости. Как и в § 4, будем искать решение при нулевых начальных условиях C3). Для построения функции Грина нужно подобно § 4 (см. уравнение C4)) решить уравнение m^ + h^ + ky^bit-T) D4) при начальных условиях C3). Считая t > t0, получаем, что y(t)^sO при t0 < t < т, а интегрируя D4) от t = -z — 0 до / = т+0, прихо- приходим к тем же условиям C5) и C6), так как интегралы от конечных второго и третьего слагаемых в D4) равны нулю. Таким образом, при ^>т требуется найти решение однородного уравнения B1) при начальных условиях C5) и C6). Исходя из общего решения уравне- уравнения B1) у = С^' + СгС'', где рх и />2 — корни характеристического уравнения B4), и рассуж- рассуждая подобно кониу § 3, получаем искомое решение ' m(Pi-Pi) т{Рг—Р\) ™ (Pi—/>■>) это решение пригодно как для малого, так и для большого трения. Итак, получаем функцию Грина { 0 \h<t< т), G(t; т)= j _i TePllt-i)_ePtti-in (X < t < ос). (Эта функция, как и в условиях § 4, непрерывна, но имеет при t = j излом.) Отсюда подобно C8) получаем решение уравнения B0) при нулевых начальных условиях C3) */т. D5) , р2) J Как и в § 1 (раздел IV), при внешней нагрузке особенно про- простого вида решение уравнения B0) можно найти без всякой функ- функции Грина. Так будет, если f{t) = const, т. е. если рассматривается уравнение 5^=л (=const)- D6)
§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 225 Нетрудно разыскать частное решение вида у = В = const. Подстав- Подставляя в D6), получим 0-\-0+kB = A, т. е. В = ~. Учитывая замечание, сделанное в начале § 4, получаем общее ре- решение уравнения D6) .y = JJ-+C1eP.'+C9eP«', _ D7) где Сг и С2—произвольные постоянные, определяемые из началь- начальных условий. В § 3 мы видели, что решение однородного уравне- уравнения B1) при возрастании t стремится к нулю, так как р1 и р,— либо отрицательные вещественные, либо- мнимые с отрицательной вещественной частью; таким образом, из D7) получаем при больших t _у = 4- D8) Этот результат ясен и физически. При постоянной внешней силе и при наличии трения колебания затухают и по прошествии «пере- «переходного процесса», определяемого начальными условиями, тело остановится в положении-, где сила упругости ky (взятая с обратным знаком) будет равна внешней силе А; отсюда н получаем D8). Это стационарное положение уже не зависит от начальных условий. Простым является и решение уравнения т~Ж + к ~k + ky = Aeit. {щ В этом случае легко найти частное решение вида у = Ве^. Под- Подставляя, получаем mBq2e'>t-\-liBqe4t+kBe4t~Ae'>t, т. е. В=—г—у—— , tlXCf ' -у- flCj ~~|— к откуда искомое частное решение имеет вид E0) Это решение непригодно, если q является корнем характеристиче- характеристического уравнения B4), так как тогда знаменатель обращается в нуль. Подобно § 2 можно, исходя из общей формулы D5), показать, что в этом особом случае уравнение D9) имеет частное решение вида Btegt. Рассмотрим, наконец, решение уравнения W5+Alf +ky = Asinat. E1) Здесь можно воспользоваться тем, что в силу формулы Эйлера пра- правая часть является мнимой частью функции Ae!mt. Значит, 8 Я. Б. Зельдович, А: Д. Мышкно
226 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII достаточно решить уравнение а у полученного решения взять мнимую часть (см. аналогичные рассуждения в § V.5). На основании E0) получаем комплексное решение =3 е = т (iw)~-\-hio)-{-k к—тсо'2-)- iha> A\(k — ты1)— thai] = T J Отсюда легко выделить мнимую часть, т. е. частное решение урав- уравнения E1) у = —, ,., ,,.,., \{k — /wco2)sinuj^ — ha cos соЛ. E2) Чтобы получить общее решение уравнения E1), надо к найденному частному решению E2) добавить общее решение соответствующего однородного уравнения. Но так как каждое из решений однород- однородного уравнения при возрастании t стремится к нулю, то после переходного процесса тело начинает колебаться по гармоническому закону E2), не зависящему от начальных условий. Это стационар- стационарное решение можно было найти и по методам § V.5. Остановимся особо на случае, когда трение отсутствует, т. е. уравнение B0) заменяется на m^ + ky=f(t). E3) В этом случае характеристическое уравнение имеет корни рь 2 =+гсо0, где й)»= — частота свободных колебаний системы, т. е. колебаний без внеш- внешней силы. Формула D5), преобразованная по формуле Эйлера, дает решение при нулевых начальных условиях C3) 1 у =—J— Г \еш° <'~x> — е-"°° <'~х> ]/(x)dx = J m-2i(o0 J l и \ i I (Проверьте с помощью дифференцирования, что правая часть дей- действительно удовлетворяет уравнению E3) и начальным условиям C3).)
§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 227 Пользуясь формулой sin соо (t — т) = sin u>ot • cos <вот — sin со0х- cos coot, перепишем решение в виде i t y(t)= — sin (o0t • J/(х) cos соо т dx — — cos су • ] /(т) sin con x dr. h U Если по истечении некоторого промежутка времени tx действие силы f(t) прекращается, то интегралы в этой формуле перестают зависеть от времени при t > tx и решение принимает вид у (t) = acos(>Ht-\-bsinaj, если t > tlt где к fi) cos а = \ /(т) sin conxrfx, b= \ fix) t U Таким образом, если первоначально тело покоилось, затем в тече- течение некоторого времени на него действовала внешняя сила f(t), то но окончании действия силы тело будет совершать свободные коле- колебания с частотой <в0 и амплитудой "j,/aa_j_^a_ Формулу E4) можно записать иначе, введя «комплексное откло- отклонение от положения равновесия» t t w(t) = (VM<'-T>/(x)dx o J U U для которого вещественное отклонение y(t) служит мнимой частью. Если t0 — начальный момент действия силы, то формулу можно пе- переписать в виде w (t) = ■ так как при этом преобразовании к интегралу добавляется часть, равная нулю. Если сила действует только до некоторого момента ti времени, то, начиная с этого момента, можно написать 00 ^ 1 //.1 т f / \ f 1/Л t / С Г" \ @0) (этот интеграл фактически распространен по интервалу от t = t0 до t=f1). Получается гармоническое колебание с частотой соо и амплитудой 8*
228 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII Подобные интегралы (так называемые «интегралы Фурье») мы будем рассматривать в гл. XIV. Ксли вынуждающая сила имеет вид f(t) = A sinco^, то можно найти частное решение уравнения по формуле E2), которая при от- отсутствии трения, т. е. при /г = 0, упрощается и приобретает вид А А у= sinco^ =——- — sin co^. E6) k — ты2 т(щ—со ) На это колебание, происходящее с частотой со вынуждающей силы, накладывается свободное колебание с собственной частотой соо, за- зависящее от начальных условий и при отсутствии трения не зату- затухающее. Особо интересен случай, когда синусоидальная цнешняя сила действует на осциллятор без трения при нулевых начальных усло- условиях. Тогда решение находится по формуле E4) и, приняв для простоты t0 =0, получим i • \ sin co0 (t — т) A sincoxrfx = A P 1 = —] y[cos(coT—co0(^ —t)) — cos(cot + co0(^ —t))] dx = 0 A ["sin (cot — (oo (t — т)) sin((oT + coo(i—т))"|' _ [ co-{-(oo со —coo Jt=o _ A fsincoi sinwt sin(—wot) , sina>ot 1 __ "~ 2mcoo [ш + Шо ш — шо Ш + Шо со —ш0 J ~ Sin ^"^ sin Пусть частота со вынуждающей силы близка к собственной ча- частоте со0 осциллятора. Преобразуя правую часть E7) по формуле А А ;(sin °V — sincoOH ; rsincoj = —teo)v ° '~ mcoo((o + (o0) ° ,—; г; ((o + (oo)(co 2Л . coo —со и заменяя приближенно а»0 + со на 2со0, получим — А . со—соо , Л sin s ^ cos с^ | 2 ) — coo) 2 2тщ Наиболее интересно первое, главное слагаемое. Его можно запи- записать в виде M(t) cos ojot, где M(t) = —со0) 2
§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 229 и истолковать как гармоническое колебание с частотой соо и мед- медленно изменяющейся амплитудой. Эта амплитуда меняется от 0 до А Мо = max | М (I) | = тсо0 |со— ( E8) с периодом 2я со— со,, Такие колебания называются биениями, их график изображен на рис. 85. Они получаются в результате интерференции вынужденного Рис. 85. E6) и свободного колебаний из-за близости их по амплитуде и ча- частоте (см. формулу E7)). Мы видим, что как время раскачки при биениях, так и амплитуда биений обратно пропорциональны j со — соо|, т. е. разности частот свободных колебаний и вынуждающей силы. Если осциллятор обладает малым трением, то процесс колебаний также начнется с биений, однако по прошествии достаточного времени свободное колебание затухнет и останется только вынуж- вынужденное колебание E2). Его амплитуда равна" при очень малом h А (k—тсо2J-ЬЛ2со2 А А A \k — тоУ2 т | соо — со | (соо + со) оо (со — соо) Сравнивая с формулой E8), мы видим, что амплитуда вынужденных колебаний равна половине амплитуды биений. Таким образом, гра- график колебаний имеет вид, показанный на рис. 86. Интервал времени, на котором биения переходят в чисто гармонические колебания, является переходным периодом, а сам этот процесс — переходным продессом. Если осциллятор без трения, то в особом случае, когда <в = соо, т. е. частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой, формула E6) непригодна; напомним, что это тот самый случай, ко- который был нами пропущен в конце § V.5. Воспользуемся общей
230 ДИФФЕРЕИЦИЛЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. VII формулой E4), приняв для простоты ^„ = 0: у = — \ sin соо (/ — т)- A sincu0T<fr = о '-2т) 2т — 2со„ — т cos ■п sin (£>J — 77- i cos со„ 2mco0 ° 2m ° Первое из полученных слагаемых представляет собой свободное гармоническое колебание и присутствует только из-за необходимости удовлетворить нулевым граничным условиям. В отличие от этого Рис. 86. второе слагаемое представляет собой колебание, амплитуда которого с течением времени стремится к бесконечности по линейному закону. В этом и состоит очень важное явление резонанса, который полу- получается, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Упражнения Найдите решения следующих дифференциальных уравнений, удовлетворяю- удовлетворяющие указанным начальным данным: 1. у" — у=\, </ = 0, (/'=0 при / = 0. 2. y" + y = t, i/=i, i/' = 0 при / = 0. § 6. Устойчивые и неустойчивые решения Начнем с самого простого уравнения -£- = ау (а = const), E9) причем переменную t будем истолковывать как время. Его общее ре- решение легко получить: y = Ceat, F0)
§ 6] УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ РЕШЕНИИ 231 где С—произвольная постоянная, определяемая из начального условия У(*о)=Уо- Подставляя в F0), находим уо = Сеа'«, т. е. С=уое-°<° и окончательно у=уоеа«-'°К F1) В частности, при у0 = 0 получаем нулевое решение у = 0. Однако допустим теперь, что начальное значение у0, которое мы считали равным нулю, на самом деле оказалось хотя и малым, но отличным от нуля. Как будет вести себя тогда решение с течением времени, т. е. с возрастанием О Будет ли такое возмущенное реше- решение приближаться к невозмущенному нулевому решению или уда- удаляться от него? Ответ на эти вопросы существенно зависит от знака коэффи- коэффициента а. Если а < 0, то формула F1) сразу показывает, что при увеличении t решения безгранично приближаются к нулю, так что при больших t они практически становятся просто равными нулю. В такой ситуации невозмущенное решение называется асимптоти- асимптотически устойчивым относительно изменения (возмущения) начального условия или асимптотически устойчивым по Ляпунову по имени выдаю- выдающегося русского математика и механика А. М. Ляпунова A857— 1918), который впервые начал систематически изучать понятие устой- устойчивости процессов. Совсем иная картина будет в случае а > 0. Здесь при уаф§ и при возрастании t решение по абсолютной величине безгранично увеличивается, т. е. становится не малым, даже есл;. у0 было как угодно малым. Здесь невозмущенное решение называется неустой- неустойчивым. Уравнение E9) при а > 0 получается, например, при рассмот- рассмотрении размножения бактерий в питательной среде, причем у означает массу бактерий в единице объема, а а— это интенсивность размно- размножения. Ясно, что если бактерий в начальный момент совершенно не было, то и с течением времени они не появятся. Однако эта картина неустойчива в том смысле, что сознательное или случайное внесение в среду как угодно малого количества бактерий приводит с течением времени к мощному загрязнению среды бактериями. « Интересен промежуточный случай а — О. Здесь решения будут просто постоянными и потому при малом начальном отклонении воз- возмущенного решения от невозмущенного первое будет и при возра- возрастании t близким ко второму, хотя и не будет к нему асимптоти- асимптотически (при t—>- оо) приближаться. Такая картина называется не- неасимптотической устойчивостью невозмущенного решения. Рассмотрим теперь более общее уравнение
232 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII Нетрудно найти все стационарные решения, т. е. решения вида у = const. Для этого надо в F2) положить у=у = const, что даст f(y) = 0. F3) Таким образом, стационарные решения уравнения F2)—это пули функции /(у), стоящей в правой части. Остановимся на одном та- таком решении у=у и выясним, будет ли оно устойчивым. Допустим сначала, что функция /(у) является убывающей, во всяком случае, в некоторой близости значения у=у; тогда если у переходит через значение у, то /(у) переходит от положительных значений к отрицательным. В этом случае примерная картина поля s / У У. \ 0 \ \ / \ \ Лп\ t * / 0 / —■—^ / У / t Рис. 87. Рис. 88. направлений, определенного уравнением F2) (ср. § 1), показана на рис. 87; при построении этого поля надо учесть, что изоклины для уравнения F2) имеют вид у = const (почему?), т. е. представляют собой прямые, параллельные оси t (они также показаны на рис. 87). На рис. 84 жирными линиями показаны интегральная прямая у=у, изображающая невозмущенное стационарное решение, и несколько других интегральных линий, получающихся при изменении началь- начального условия. Ясно, что если у0 мало отличается от у (например, в пределах рисунка), то возмущенное решение мало отличается от невозмущенного и при возрастании t, а при t—»■ с» асимптотически к нему приближается. Таким образом, в данном случае иевозмущен- ное решение асимптотически устойчиво. Пусть теперь /(у) возрастает от отрицательных значений к по- положительным, когда у переходит через значение у. Соответствую- Соответствующая картина показана на рис. 88. Ясно, что как бы ни было у0 близким к у (но не равным у]), соответствующее решение у (t) с возрастанием t уйдет от невозмущенного решения на конечное, не малое расстояние. Это значит, что в данном случае невозмущен- невозмущенное стационарное решение неустойчиво. (Проверьте, что полученные ранее признаки устойчивости и неустойчивости для уравнения E9)
« 61 устойчивые и неустойчивые решения 233 можно получить как следствие общих признаков, указанных дли уравнения F2).) Полученные сейчас признаки можно вывести иным способом, не опираясь на геометрическую картину. Разложим правую часть F2) в степенной ряд около значения у—у; тогда в силу условия F3) постоянного члена в разложении не будет и мы получим то есть Щ^1 =/'Су)(у~У)+..., F4) где многоточием обозначены члены высшего порядка малости. Под- Подчеркнем, что при выяснении устойчивости по Ляпунову изучается поведение возмущенных решений, мало отличающихся от невозму щенного, т. е. рассматриваются лишь малые значения у—у. Поэтому в правой части уравнения F4) основную роль играет выписанный, линейный член. Отбрасывая члены высшего порядка малости, полу- получаем уравнение вида E9), в котором а=/'(у). Применяя резуль- результаты, полученные выше для уравнения E9), находим, что при /'(^)<0 решение у—у = 0, т. е.у=у, асимптотически устойчиво; если же f (у) > 0, то решение у—у неустойчиво. Однако в первом случае функция /(у) убывает (во всяком случае, около значения дг=_у), а во втором — возрастает, так что мы приходим к тем же выводам, которые были получены из геометрических соображений. В особом случае, когда /'{у)—а — 0, для уравнения E9) имеет место неасимптотпческая устойчивость, т. е. решения, близкие к не- невозмущенному, не стремятся к нему, но и не уходят от него; тогда для полного уравнения 'F4) начинают играть существенную роль члены высшего порядка малости, которые в одном примере могут направить возмущенные решения к невозмущенному, а в другом — увести их на значительное расстояние. Мы не будем разбирать этот особый случай. В качестве примера рассмотрим тепловой режим в некоторой объеме, если в нем происходит химическая реакция, связанная с вы- выделением тепла, и в то же время тепло отводится в окружающее пространство. Так как скорость реакции зависит от температуры Т в данном объеме (мы будем рассматривать среднюю температуру в данный момент времени t), то и скорость Q выделения тепла при реакции зависит от Т, Q = Q(T), Примем эту зависимость такой, как показано на рис. 89. Кроме того, примем, что скорость отвода тепла в окружающее пространство равна а(Т—То), где а — коэффи- коэффициент пропорциональности, а То — температура окружающей среды. Тогда при постоянной теплоемкости с рассматриваемого объема
234 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. VII дифференциальное уравнение процесса приобретает вид F5) В силу сказанного выше стационарное состояние, при котором тем- температура в процессе реакции остается постоянной, возможно при тех Т, для которых правая часть обращается в нуль, т. е. график Q(T) пересекается с графиком а (Т—То) (см. рис. 89). Мы видим, что если окружающая температура Т„ достаточно велика (на рис. 89 при Т0=Т0), то стационарное состояние невозможно, подача тепла будет все время больше его отвода, и объем будет все время разогреваться. Если же эта температура мала (на рис. 89 при То = То) ,то мыслимы два стационарных состояния, с темпера- температурой 7\ или Т2. Вблизи значения 7\ правая частьF5) переходит от положи- положительных значений к отрицательным, т. е. убывает. Мы видели ранее, что такое состояние является устойчивым. Это видно и из рис. 89, так как если температура Т опустится ниже 7,, то выделяться при реакции будет больше тепла, чем отводиться, т. е. объем будет разогреваться, а если Т поднимется выше Тг, то тепла будет от- отводиться больше, чем выделяться, и объем будет остывать. Анало- Аналогично проверяем, что стационарная температура Т2 будет неустой- неустойчивой. Таким образом, при То= Тд развитие процесса зависит от начальной температуры следующим образом: если она была менее Т2, то с течением времени температура стремится к стационарному зна- значению 7\, если же начальная температура была более Т2, то тем- температура будет катастрофически нарастать. Эти соображения были положены в основу теории теплового взрыва лауреатом Нобелевской премии Н. Н. Семеновым в 1927 г; Перейдем теперь к уравнению свободных колебаний Рис. 89. = 0 (m, h, k >0) с общим решением у = B1) F6) где pt и р2 — корни характеристического уравнения B4), а С, и С2— произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. Это уравнение имеет стационарное решение _у = 0. В § 3 уы видели, что все остальные решения при возрастании t стремятся к пулю (колебательным или неколебательиым образом) и, таким образом,
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 235 указанное стационарное решение является асимптотически устойчи- устойчивым. При отсутствии трения, т. е. при /г = 0, мы видели, что решения периодичны; поэтому при малых начальном отклонении и начальной скорости решение будет малым и с возрастанием t, но не будет стремиться к нулю. Значит, при отсутствии трения стационарное решение будет устойчивым, но не асимптотически. С помощью специально подобранных схем возможно построить системы с одной степенью свободы, описываемые уравнением B1) (где у представляет собой отклонение системы от стационар- стационарного состояния), для которых h < О пли k < 0. Такие системы можно истолковать как системы с отрицательным трением пли с отрицательной упругостью. (См., например, описание работы тун- туннельного диода в ВМ, § VIII.16, при которой систему можно ис- истолковать как осциллятор с отрицательным трением.) Легко проверить, что у всех таких систем стационарное решение _у = 0 неустойчиво. Б самом деле, из алгебры известны свойства корней/^ ир2 квадрат- квадратного уравнения B4): h k Из первого равенства видно, что если h < 0, то либо по крайней мере один корень вещественный положительный, либо же корни мнимые сопряженные с положительной вещественной частью. Из второго равенства видно, что если k < 0, то корни разного знака и потому среди них имеется один положительный. Таким образом, во всех этих случаях среди корней имеется по крайней мере один либо вещественный положительный, либо мнимый с положительной вещественной частью. Пусть р1—этот корень. Тогда первое слагае- слагаемое в правой части F6) имеет вид С^"'' (р, > 0) либо Clea+l<0)f=Clen(cos<iit + и потому при как угодно малом Сх (т. е. при как угодно малых начальных данных) при возрастании t оно стремится к бесконечности. Это и означает неустойчивость стационарного решения. Упражнение Найдите стационарные решения уравнения -ту = г/3 — 4г/ и выясните их устойчивость. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ § I 1. Окружности хг-\-у''-=С с центре* в начале координат. 2. В точках перегиба должно быть у" = 0. В силу уравнения (I) и фор- формулы для производной сложной функции (§ IV. I) получаем y" — (f(x, i/))' = = f'x(x, y) + f'y(x, у) у' = f'x + f'yl-Значит, искомое уравнение имеет вид/i-f-/^/=0. Для уравнения ~- = х2-(~у'2 получаем х-{-у (х2-{-у2) — 0.
28() ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII § 2. ех i е 2. у = х. 6. г/ = 2д;— 1— е~2х. 3. i/=ln (*+е). 7. i/ = e-*+-9-(i 4. (/= /1+а;2. § 3 1. i/ = 2cos/. 4. t/ 2. i/=^-e4'sin2/. 5. y = (t— \)eK 3. y^&t + e*. 6. i/ = E/ + l)e-2f. §4 1. * = —3(/ —2)+l=—3/ + 7. 2. ^ = ^--2. 3. x = 2t — sin/. 4. д^= f (/ — § 5 2. j/ = /-f-cos/ —sin/. §6 j/ = ± 2 (неустойчивые), j/ = 0 (устойчивое).
ГЛАВА VIII ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Эта глава является непосредственным продолжением предыдущей и существенно на нее опирается. § 1. Особые точки В § VIM мы установили, что интегральные линии уравнения -г- = /(х, у) не пересекаются между собой. Однако из этого правила есть важное исключение. Действительно, может оказаться, что при не- некоторых значениях х и у функция f(x, у) не имеет определенного значения. Например, /(х, у) = — не имеет определенного значения при х = 0, у = 0. Точка плоскости, в которой /(х, у) теряет смысл, называется особой точкой дифференциального уравнения -г-= f(x,y). Через особую точку может проходить несколько интегральных кри- кривых. Если /(х, у) имеет вид отношения двух функций простого вида (например, двух многочленов), f(x, у) =, , ' У\. то координаты ц>(х, у) особой точки находятся из системы уравнений Ф (х, у) = 0, \ !( ) 0 / Рассмотрим несколько примеров особых точек, принадлежащих к наиболее часто встречающимся в приложениях типам. 1. -г- = — . Решением этого уравнения является функция у =Сл; при любом постоянном С. Совокупность интегральных линий пред- представляет собой все прямые линии, проходящие через начало коор- координат (рис. 90). Таким образом, интегральные линии пересекаются в особой точке х — 0, _у = 0.
238 ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [ ГЛ. VIII 2 — = —, Решением является у = Сх2. Интегральные кривые — ' dx х J параболы с вершиной в начале координат. В этом случае все интегральные кривые касаются между собой в особой точке х = 0, у = 0 (рис. 91). Рис. 90. Рис. 91. ведут В рассмотренных примерах все интегральные линии проходят через особую точку, имея там определенное направление. Такая особая точка называется узлом. 3. Бывают особые точки, вблизи которых интегральные кривые себя иначе. Пусть ~ =——. Интегральные линии имеют уравнение х_у=С. При С=0 получаем х = 0 или _у = 0 — две прямые, прохо- проходящие через начало координат. При С фО интегральные кривые — гипер- гиперболы. Итак, две интегральные линии проходят через особую точку х = 0, у =0, остальные не проходят через нее. Особая точка такого типа назы- называется седлом (рис. 92). 4. Интегральными кривыми урав- dy х нения —- = являются окружно- окружности х24-.У2 = С. В этом случае интег- интегРис. 92. ральные кривые окружают особую точку, но через саму особую точку не проходит ни одна интег- интегральная кривая (рис. 93), Особая точка такого типа называется центром. 5. При интегрировании уравнения —- = ^ с особой точкой их х—у в начале координат удобно перейти к полярным координатам р, ср
§ 2] СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 239 по формулам x = pcoscp, _y = psincp, откуда dx = cos ф • dp — р sin ф dcp, йу — sin ф • dp -f- p cos ф d<p. После подстановки в уравнение и приведения подобных членов получим (проверьте!) dp = pckp, откуда -£ = rfcp и р = Се'?. Прида- Придавая С всевозможные значения, получим семейство спиралей, накру- накручивающихся на начало координат (рис. 94). Особая точка такого типа называется фокусом. Рис. 93. Рис. 94. В приведенных примерах легко установить характер поведения интегральных кривых вблизи особой точки, так как легко решить дифференциальные уравнения. В более сложных случаях можно со- составить примерное представление о характере особой точки, вычер- вычерчивая изоклины. Более эффективные способы исследования особых точек лежат за пределами нашей книги. Применение этих способов показывает, в частности, что при выполнении условия (р'х^>y=^=(f'y\|з* особая точка обязательно принадлежит к одному из разобранных типов. Упражнение ., dy dy Определите характер особой точки для уравнений -р=— ; -f- = dx dx~ dx' § 2. Системы дифференциальных уравнений До сих пор мы считали, что нам дано одно дифференциальное уравнение, из которого нужно найти одну искомую функцию. Бывает, что неизвестных функций больше одной, например две: y(x)nz(x). Тогда и дифференциальных уравнений должно быть два. Если это — уравнения первого порядка (разрешенные относительно производных
240 ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [ГЛ. VIII от искомых функций), то они имеют общий вид dz , , ^ = ф (JC, у, Z) т. е. мы получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка. От одного уравнения второго порядка с одной искомой функцией легко перейти к равносильной системе из двух уравнений первого порядка с двумя искомыми функциями. Для этого надо рассматривать ■— как дополнительную неизвестную функцию. Обозначая ее через г, получим йу _ йгу _ d /dy\ _dz dlc~ Z' !x*~Tx [dxj ~dx ' Поэтому вместо уравнения B) можно написать равносильную систему — = г (х, у, z). Аналогично уравнение третьего порядка 'У' dx' Л?) можно заменить равносильной системой трех уравнений первого порядка. Для этого надо положить dy _ d~zy dz d Тогда получаем систему dx Z> dx* dx ~ dx dz Подобным образом от уравнения любого порядка и даже от си- системы уравнений любого порядка легко перейти к системе первого порядка. Обратно, можно проверить, что от системы п уравнений первого порядка с п искомыми функциями можно перейти к одному
§ 2] систнмы диффцрннцилльных уравнений 241 уравнению порядка п с одной искомой функцией. Поэтому общее решение такой системы получается в результате п интегрирова- интегрирований и, таким образом, содержит п произвольных постоянных. Зада- Задания п начальных условий (при некотором значении х задаются зна- значения всех искомых функций) как раз достаточно, чтобы найти значения этих постоянных и, таким образом, получить частное решение. Будем рассматривать для простоты систему из двух уравнений первого порядка вида A). Иногда удается, даже не решив систему, найти соотношение, связывающее компоненты (т. е. у (х) и z (х)) любого ее частного решения. Такое соотношение име- имеет вид Н(х, у, г; С) = 0 C) (причем С—постоянная, которая меняется от решения к решению) и называется первым интегралом этой системы уравнений. Знание первого интеграла дает возможность понизить число уравнений в системе на единицу, т. е. перейти к одному уравнению первого порядка с одной искомой функцией. Для этого можно из C) выра- выразить z через все остальное и подставить результат в первое урав- уравнение A); тогда получится одно уравнение первого порядка с одной искомой функцией у(х). Если это уравнение проинтегрировать, т.е. найти у (х), то z (х) можно будет найти без интегрирований из ра- равенства C). Аналогичным образом знание двух независимых первых интегра- интегралов (т. е. таких, что ни один из них не является следствием другого) Нх (х, у, z; Сх) = О, 1 Н2 (х, у, z; С2) = 0 / дает общее решение системы A), записанное в неявной форме. Для системы из п уравнений первого порядка общее решение получается из п независимых первых интегралов. В некоторых случаях первые интегралы подсказываются физи- физическими соображениями, чаще всего теми или иными законами со- сохранения. Например, запишем уравнение одномерных упругих ли- линейных колебаний без трения (см. § VII.3) (Рх в форме системы первого порядка dx dv В § VII.3 мы уже упоминали о выражении для полной энергии ко- колеблющейся точки £ — 2 -+- 2 . (О)
242 ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [ГЛ. VIII При свободных колебаниях без трения энергия должна сохраняться. И действительно, в силу D) dE dv , , dx , . , „ dT= mvj-t + kXj-t=—kxv + kxv = O (это—математическое доказательство закона сохранения энергии в данном примере). Таким образом, £= const для любого решения системы D), т. е. формула E), в которой Е играет роль произвольной постоянной С, служит первым интегралом системы D). Подчеркнем в заключение, что, как видно из предыдущего, наиболее естественно рассматривать системы, в которых число урав- уравнений равно числу неизвестных функций; такие системы принято называть замкнутыми. Если уравнений меньше, чем искомых функций, то система называется незамкнутой (недоопределенной); чаще всего незамкнутость системы свидетельствует о том, что просто не все необходимые соотношения выписаны. Если уравнений больше, чем неизвестных функций, то система называется переопределенной; переопределенность системы обычно свидетельствует либо о ее зависимости (т. е. о том, что некоторые из уравнений являются следствиями остальных и потому излишни), либо об ошибке при ее составлении. Упражнение Рассмотрите систему уравнений dz Умножив первое уравнение на у и второе на г, а затем сложив результаты, найдите первый интеграл системы. Какие можно сделать из него выводы о поведении частных решений при х—у ±оо? § 3. Определители и решение линейных систем с постоянными коэффициентами Прежде чем п.ерейти к дальнейшему, рассмотрим понятие опре- определителя, играющее большую роль при решении и исследовании систем линейных уравнений различного вида. Начнем с системы двух алгебраических уравнений первой степени с двумя неиз- неизвестными Решая ее (что мы предоставим сделать читателю), получим ответ diV-M Ма~ Мг a1b.1~b1a, ' y Mi —Ma ' Выражение a^b2 — 1\а^ называется определителем (детерминантом)
§ 3| ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 243 второго порядка и записывается в виде a1b1 (8) где вертикальные черточки — знак определителя. С помощью этого обозначения формулы G) можно переписать в виде х = d.262 albl а2 6.2 ) У о, dx аг d2 а, 6, о2 £>2 (9) Покажем на примере вычисление определителя: ° ~\ =0-1-(-3).2 = 0 + 6 = 6 Аналогичное решение системы уравнений c2z = A0) приводит к формулам х = d, 6, cj d2 6 2 c2 з з ^"з fl, 6, С! flg Ь3 C3 1 У = 0] di о» d2 a3 d3 o, 6, o26.2 o3 63 c» c2 c3 c, c2 c3 5* ! * °3 fl, a 2 «3 6. d. 62 d2 63 d3 6,c, 62 c2 63 c3 где в числителях и знаменателях стоят определители третьего по- порядка, вычисляемые по формуле аг A2) Формулы A1) совершенно аналогичны формулам (9). В знамена- знаменателе стоит один и тот же определитель, составленный из коэффи- коэффициентов при неизвестных (так называемый определитель системы). В числителе же для каждой из неизвестных стоит определитель, полученный из определителя системы подстановкой столбца свобод- свободных членов вместо столбца коэффициентов при данной неизвестной. Определитель третьего порядка можно выразить через опреде- определители второго порядка. Для этого надо преобразовать выражение
244 ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [ГЛ. VII ( A2) и воспользоваться обозначением (8): a, ft, с, , — сгЬ3) — bx (а.1с3 — сга3 Ьз сз с, (аф3 — Ьга3) = — а, Ьг сг -ь, аг с2 аз с3 а3 Ь3 A3) По этой формуле можно вычислять значение определителя. Например, 1 — 1 3 0 1 1 — 2 1 О 2 = 1 1 1 L  2 — 0 — 1 3 2 2 + (-2) — 1 3 1 1 = 1A.2-1.1)—2 (-1-1-1-3) =-3+8 = 9-1. Оказывается, что формулы, аналогичные (9) и A1), справедливы для систем, состоящих из любого числа уравнений первой степени, если число неизвестных равно числу уравнений. При этом детерми- детерминанты (определители) четвертого порядка определяются по анало- аналогии с формулой A3): аг аз at bi Ьг Ьз К с2 сз di dt d3 d, _ b., c, d., " a Z b °c a 4 4 4 1 nt c2 rf2 a" °c d 4 4 4 аг at bi bs bt d2 d3 dt — d, аг b^ сг a3 Ь-л c3 at b4 ct (надо как следует продумать структуру выражения, стоящего в пра- ной части). Определители пятого порядка выражаются через опре- определители четвертого порядка и т. д. В формулах (9) и A1) подразумевается, что определитель сис- системы, стоящий в знаменателях, не равен нулю. В этом случае сама система F) и соответственно A0) имеют вполне определенное един- единственное решение; конечно, под решением такой системы понима- понимается набор значений всех неизвестных. Иногда встречаются системы с определителем, равным нулю; их свойства совсем иные. Рассмотрим для простоты систему F). Если ее определитель равен нулю,
§ 3] ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 245 ТО т. е. левые части системы пропорциональны. Например, система может иметь вид 2х + 3y = du \ 8x+\2y=--d2. j V ' Ясно, что при произвольном выборе правых частей система несов- несовместна, противоречива (не имеет ни одного решения). И только если правые части находятся в той же пропорции, что и левые (в дан- данном примере rf2 = 4rf,), то одно из уравнений является следствием другого и потому может быть отброшено. Но тогда останется одно уравнение с двумя неизвестными вида которое имеет бесконечное количество решений; например, можно придать х любое значение и найти соответствующее у. Оказывается, что рассмотренная картина является типичной. Именно, если определитель системы равен нулю, то между левыми частями системы имеется определенное соотношение. Если такое же соот- соотношение справедливо для правых частей, то система имеет беско- бесконечное количество решений; в противном случае нет ни одного решения. Важным частным случаем является система п линейных однород- однородных (т. е. без свободных членов) уравнений с п неизвестными. Например, в случае л=3 система имеет вид -f- с„г = 0, Такая система, конечно, имеет нулевое («тривиальное», т. е. неин- неинтересное) решение x=y = z = 0. Часто бывает важно выяснить, имеются ли другие (ненулевые) решения. На основании предыдуще- предыдущего легко дать ответ на этот вопрос. Если определитель системы не равен нулю, то имеется только одно решение, а значит, нену- ненулевых решений нет. Если же он равен нулю, то система имеет бес- бесконечное количество ненулевых решений, так как несовместной в данном случае она быть не может. Чтобы найти эти решения,.одно из уравнений системы отбрасывается, подобно тому как это было сделано для системы A4). Применим полученные результаты к решению системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи- коэффициентами.
246 ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [ГЛ. VIII Рассмотрим, например, систему -j- = a,y-\-b.z, t L (l5) в которой все коэффициенты ал, blt a2> Ьг постоянны. Ее частные решения ищут в виде у = кеРх, z = \x,ePx, A6) где К, ц, р— пока неизвестные постоянные. Подстановка в A5) дает после сокращения на е?" и переноса всех членов в одну сторону K ' Эти равенства можно рассматривать как систему из двух алгеб- алгебраических однородных уравнений первой степени с двумя неизвест- неизвестными К, \i. Чтобы она имела ненулевое решение, а только такое решение в силу A6) нас интересует, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю: al—p bl а2 Ьг—р = 0. A8) Это—характеристическое уравнение для системы A5), из которого мы находим возможные значения для р. Его можно переписать, «раскрыв» определитель, в виде (проверьте!). Мы видим, что уравнение A8) имеет вторую степень относительно р; поэтому оно имеет два корня plt рг. Если эти корни различные, то можно любой из них (pk) подставить в систему A7), найти какое-либо ненулевое решение Kk, \ак и по формуле A6) получить соответст- соответствующее решение у(х), z (x) системы A5). Так как величины Кк, цк определены с точностью до произвольного общего множителя, то умножим решение, отвечающее корню plt на произвольную постоян- постоянную Cj, а решение, отвечающее корню рг, на С2 и сложим резуль- результаты. Мы получим общее решение системы A5) Здесь произвольные постоянные С1 и С2 можно найти, например, даны дополнительно начальные условия, имеющие для системы A5) вид: при х — х0 заданы у ~уа и г — гй.
§ 4] устойчивость по Ляпунову состояния равновесия 247 Если корни уравнения A7) мнимые, то решение можно либо оставить в форме A9), либо записать в вещественной форме, подобно § VII,3. Если р1=р2, то у и z получаются в виде комбинации функ- функций еР'Х и хеР'Х (ср. § VII.3). Упражнения 1. Исследуйте разрешимость системы алгебраических уравнений при различных а, Ь. 2. Найдите общее решение системы — = Ах — у, -%-= — 6лг+ Зу. at Ut § 4. Устойчивость по Ляпунову состояния равновесия Понятие устойчивости как способности того или иного объекта, состояния или процесса сопротивляться неучитываемым заранее внешним воздействиям появилось еще в античной науке и сейчас занимает одно из центральных мест в физике и технике. Сущест- Существуют различные конкретные реализации этого общего понятия в за- зависимости от типа рассматриваемого объекта, характера внешних воздействий и т. д. Здесь мы рассмотрим понятие устойчивости по Ляпунову, одно из наиболее важных, уже освещенное на простых примерах в § VII.6. Пусть состояние некоторого объекта описывается конечным числом параметров, для простоты двумя параметрами х, у, так что измене- изменение этого объекта во времени задается двумя функциями x = x(t), y=-.y(t) (t — время). Пусть закон этого изменения имеет вид системы дифференциальных уравнений B0) с заданными правыми частями, не содержащими явно независимой переменной t. Последнее условие означает, что дифференциальный закон развития процесса не меняется с течением времени; такие процессы называются автономными. (Автономные системы появляются, в частности, когда уравнения охватывают все тела, участвующие в задаче, так как законы природы неизменны во времени.) Пусть состояние равновесия рассматриваемого объекта (когда он не меняется с течением времени) описывается постоянными значе- значениями х — хй, у = у0; тогда эта система постоянных, рассматривае- рассматриваемых как функции времени, также должна удовлетворять системе B0). Из непосредственной подстановки в B0) следует, что для этого необходимо и достаточно, чтобы одновременно P(*v >'o) = O, Q(x0< yo) = O. B1)
248 ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [ГЛ. VIII Пусть в некоторый момент tg объект под влиянием каких-то при- причин вышел из состояния равновесия, т. е. параметры х, у стали равными х — х0-j- Ахд, у = уо-\- Ау0. Тогда для выяснения дальней- дальнейшего изменения рассматриваемого объекта надо решить систему уравнений B0) при начальных условиях; Исследуемое состояние равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если 'после малого отклонения от этого состояния объект продолжает оставаться вблизи от него в продолжение всего даль- дальнейшего времени. Другими словами, при малых Дл;0, Ау0 для реше- решения системы B0) при начальных условиях B2) разности Ax = x(t)—х0, Ay=y(t)—у0 должны быть малыми при всех t > t0. Для выяснения того, будет ли иметь место устойчивость, под- подставим в систему B0) что даст d (Ax) — = Р ixo -\- Ах, у„-\- Ау) = (РхH Ах -\- (РуH Ау -\- d(L) J" B3) й-Ш = Q (х0 н- Д*. у0 + Ау) = (Qx\ Ах + (Q'yH Ay+..., где обозначено (Р'хH = Рх(х0, у0) и т. п. Здесь при преобразовании правых частей мы воспользовались формулой Тейлора (§ IV.6) и формулами B1); многоточиями обозначень'1 члены выше первого порядка малости. Так как при выяснении устойчивости рассматриваются лишь ма- малые Ах, Ау, то в правых частях системы B3) основную роль играют выписанные, линейные члены (ср. аналогичное рассуждение в § VII.6). Поэтому заменим систему B3) на укороченную систему (систему первого приближения), отбросив члены высшего порядка малости: B4) Система B4)—это линейная система с постоянными коэффициен- коэффициентами, которая решается по методу § 3. Согласно формуле A9) (где, правда, были применены иные обозначения) решение системы B4) получается как комбинация функций вица е?г, где р удовлетворяет характеристическому уравнению (Р'х)о-Р (Р'уH (Q'x)o (Q'yU- = 0. B5)
§ 4] УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 249 При этом малым Ах0, Ау0 отвечают малые значения произволь- произвольных постоянных С\, С; и поэтому все дело в поведении функции ept при возрастании t. Так как р может быть и мнимым, p = r-\-is, а тогда ePf = ert (cos st + i sin st), B6) то нарастание или затухание возмущения определяется знаком />, если р вещественное, и знаком г, если р мнимое: если этот знак плюс, то возмущение нарастает, а если минус, то затухает. Мы приходим к следующим выводам. Если все корни характеристиче- характеристического уравнения B5) имеют отрицательную вещественную часть (в частности, они могут быть вещественными отрицательными), то рассматриваемое состояние равновесия (л;0; уд) устойчиво по Ляпу- Ляпунову. Кроме того, тогда при малых Ах0, Ду0 будет x(t) —>-хд, у (t)—*у0 при t—i-oo; такая устойчивость, как мы указывали в § VII.6, называется асимптотической. Если же среди корней урав- уравнения B5) имеется по крайней мере один с положительной вещест- вещественной частью, то рассматриваемое состояние равновесия неустой- неустойчиво по Ляпунову. Эти результаты мы вывели для системы B4), но согласно ска- сказанному выше те же утверждения справедливы для полной системы B3). Отметим, что наличие двойного корня у уравнения B5) не нарушает наших утверждений, так как хотя тогда в решении появляется t в качестве множителя, но экспонента ept при р < О стремится к нулю быстрее, чем t к бесконечности. Оба полученных вывода не охватывают случая, когда среди корней уравнения B5) нет корней с положительной вещественной частью, но имеется по крайней мере один с нулевой вещественной частью. Тогда в общем решении системы B4) появляются функции вида eisl = cos st -f- i sin st, \ eist | = 1 или е°'=1, т. е. получается, будто бы рассматриваемый объект колеблется (или остается неподвижным) около состояния равновесия, не стремясь к нему. Но тогда из-за неограниченности времени начинают влиять отброшенные члены высшего порядка малости, которые могут нару- нарушить устойчивость. Итак, в рассматриваемом особом случае по кор- корням уравнения B5) нельзя заключить об устойчивости или неустой- неустойчивости состояния равновесия; чтобы это сделать, надо привлечь какие-либо дополнительные соображения, например привлечь даль- дальнейшие члены разложений B3). Мы не будем проводить такое исследование, отметим лишь, что малые возмущения здесь будут нарастать или затухать значительно медленнее, так как время изме- изменения такого возмущения' в заданное число (например, в г) раз будет обратно пропорциональным этому возмущению или даже иметь еще более высокий порядок.
250 ДЛЛ1.НЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [ГЛ. VIII Упражнение Найдите состояния равновесия для системы dx и исследуйте их устойчивость § 5. Построение приближенных формул для решения Методы построения приближенных формул для решения диффе- дифференциального уравнения во многом аналогичны описанным в § 1.4 методам решения «конечных» уравнений. Мы будем для простоты рассматривать уравнения первого порядка, хотя те же методы естественно переносятся на уравнения любого порядка и на системы уравнений. Начнем с метода итераций. Пусть рассматривается дифферен- дифференциальное уравнение первого порядка с заданным начальным условием B7) Если взять интегралы от обеих частей уравнения, получим >, y(s))ds*), Xq Xq т. е. X у (х) =у0 -{- С / (s, у (s)) ds. B8) Уравнение B8) равносильно сразу обоим равенствам B7), так как после его дифференцирования получается первое равенство, а после подстановки х = хд — второе. Уравнение B8) является интегральным уравнением, так как в нем неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Поскольку оно включает в себя не только первое, нб и второе равенства B7), то оно имеет лишь единствен- *) Мы часто применяем обозначения вида \ ф (х) dx, однако в данном слу- чае нужно применять более аккуратную запись, различая верхний предел и переменную интегрирования (ср. ВМ, § 1.14).
§ 5] построение приближенных формул для решкния 251 ное решение, а не бесконечно