А. Д. МЫШКИС
МАТЕМАТИКА
для втузов
СПЕЦИАЛЬНЫЕ КУРСЫ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
е качестее учебного пособия Ьлп студентов
еыеших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
-ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
' МОСКВА' 1 97Г

617
MS6
УДК 510 @22)
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой пособие по специаль-
специальным главам математики для втузов и является естест-
естественным продолжением общего курса математики этого
же автора. Книга содержит следующие главы: тео-
теория поля, теория аналитических функций, опера-
операционное исчисление, линейная алгебра, тензоры, ва-
вариационное исчисление, интегральные уравнения,
обыкновенные дифференциальные уравнения. Изложе-
Изложение проводитси с позиций современной прикладной ма-
математики с максимальным использованием интуиции и
аналогий, со специальным вниманием к качествен-
качественному и количественному описанию фактов.
Книга рассчитана на студентов втузов, преподава-
преподавателей, инженеров и научных работников в области
технических наук.
НЕ БОЛЕЕ »И КНИГИ В (
ОДНИ РУКИ И 2ХВД8Е )
Анатолий Дмитриевич Мышкис
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВТУЗОВ
Специальные курсы
М., 1971 г.. 632 стр. с илл.
Редакторы Н. А. Карпова, Н. Д. Копачевский
Техн. редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Л. Н. Боровика, О. А. Сигал
Сдано в набор 11/ХП 1970 г. Подписано к печати 3/V 1971 г. Бумага
60X90/,». Физ. печ. л. 39.5. Условн. печ. л. 39.5. Уч.-изд. л. 44,44.
Тираж 100 000 экз. Т-06253. Цеиа книги 1 р. 66 к. Заказ 1637.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, М-54, Валовая, 28

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . 7
Глава 1. Теория поля 9
§ 1. Оператор Гамильтона 9
1. Операции первого порядка A0). 2. Правила действий A1). 3. Инте-
Интегральные формулы A2). 4. Операции второго порядка A3). б. Разрывные
поля A4).
§ 2. Специальные типы полей 16
1. Потенциальные поля A6). 2. Безвихревое поле в мпогосвязной области
A7). 3. Соленоидальные поля A9). 4. Примеры B1). 5. Ньютонов потен-
потенциал B3). 6. Построение векторного поля по заданным ротору и диверген-
дивергенции B5).
Глава П. Теория аналитических функций . 27
§ 1. Дифференцирование и отображения 27
1. Производная B7). 2. Условия Коши—Римаиа B8). 3. Сопряженные rap.
моннческие функции B9). 4. Геометрический смысл производной C0).
5. Конформные отображения C1). 6. Линейные отображения C2). 7. Рас-
Расширенная комплексная плоскость C3). 8. Дробно-лпленное отображение
C4). 9. Степенные отображения C7). 10. Многозначные функции н точки
разветвления C9). 11. Отображение и)=-д-( z-j ) D2). 12. Показатель-
ное и связанные с ним отображения D5). 13. Поверхность Римана D7).
14. Приложение к теории плоских полей D8). 15. Примеры E0).
16. Краевые задачи и конформные отображения E2). 17. Общие замеча-
замечания о конформных отображениях E6). 18. Применение метода малого пара-
параметра E8).
§ 2. Интегрирование и степенные ряды . С1
1. Интеграл F1). 2. Интеграл от аналитической функции F2). 3. Ряды
Лораиа F3). 4. Разложение аналитической функции в ряд Лорана F5).
5. Рид Тейлора F7). 6. Аналитические отображения н принципы максимума
G0). 7. Аналитическое продолженке G2). 8. Варианты G4).
§ 3. Особые точки и нули 78
I. Изолированные особые точки G8). 2. Полюс G9). 3. Теорема Коши
о вычетах (81). 4. Применение к несобственным интегралам (83). 5. Ин-
Интегральные формулы Пуассона (91). 6. Поведение функции иа бесконеч-
бесконечности (94). 7. Логарифмические вычеты (95). 8. Теорема Руше (96).
9. Зависимость нулей от параметра (98). 10. Нули многочленов A00).
II. Результант двух многочленов A04). 12. Мероморфные функции A06).
13. Формула Кристоффеля—Шварца A08). 14. Понятие об эллиптических
функциях (III).
§ 4. Асимптотические разложения .* 114
1. Введение A14). 2. Свойства A16). 3. Интеграл типа Фурье A18).
4. Интеграл с параметром в вещественном показателе A22). 5. Метод пере-
перевала A25).

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Операционное исчисление 129
§ I. Общая теория 129
1. Преобразование Лапласа A29). 2. Образы простых функций A30),
3. Основные свойства преобразовавши Лапласа A33). 4. Обратное преобразо-
преобразование Лапласа A36). 5. Разложение прообраза в сумму A39). 6. Численное
определение прообраза A42).
§ 2. Приложения 144
1. Основная идея A44) 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
A45) 3 Разностные и дифференциально-разностные уравнения A49).
4. Интсмральиые и иитегро-дифференциальиые уравнения A50). 5. Уравнения
с частными производными A51).
§ 3. Варианты 155
1. Дискретное преобразование Лапласа A55). 2. Преобразование Фурье рас-
растущих функций A57). 3. Другие интегральные преобразования иа бесконеч-
бесконечном интервале A58). 4. Интегральные преобразования иа конечной
интервале A62).
Глава IV. Лииейиая алгебра 164
§ 1. Сопряженные отображения 165
¦' 1. Прямая сумма A65) 2. Инвариантные подпространства A66). 3. Сопря-
Сопряженные отображения A67). 4 Разложение, связанное с сопряженными отоб-
отображениями A68). 5. Отображение пространства в себя A69). 6. Самосопряжен-
Самосопряженное отображение A70) 7. Экстремальное свойство собственных значений A71).
§ 2. Квадратичные формы ¦ 174
I. Введение A74). 2. Закон инерции квадратичных форм A75). 3. Метод
Якбби и теорема Сильвестра A76). 4. Одновременное приведение двух квадра-
квадратичных форм к диагональному виду A78)
§ 3. Структура .линейного отображения 179
1. Отображение с единственным собственным вектором A79). 2. Отображение
с единственным собственным значением A82). 3. Общий случай A83). 4. Отоб-
Отображение вещественного пространства A86). 5. Применение к вычислению
функций от матриц A88). 6. Другое представление отображения вещественного
пространства A90). 7. Структура перестановочных отображений A91).
§ 4. Некоторые численные методы 192
1. Метод Гаусса A92). 2. Норма матрицы и обусловленность системы A94).
3. Метод улучшения иевязки A96). 4. Спектр симметрической матрицы A97).
б. Метод Якоби A98). 6. Вычисление старшего собственного значения путем
итераций A99). 7. Вычисление последующих собственных значений B01).
8. Матрицы с неотрицательными элементами B02). 9. Метод А. Н. Крылова
B03). 10. Метод малого параметра B04). 11. Метод непрерывного продолже-
продолжения B05).
§ 5. Задачи линейного программирования 207
1. Основная задача B07). 2. Примеры B08). 3. Геометрические замечания
B10). 4 Геометрический смысл основной задачи B12). 5. Стандартный вид
основной задачи B14). 6. Метод последовательного улучшения решения B15).
7". Приложение к матричным играм B19). 8. Варианты B25).
Глава V. Тензоры . . . . , 228
§ 1. Тензорнаи алгебра 229
1. Примеры B29). 2. Евклидовы тензоры, общее определение B31). 3. Действия
над тензорами B32). 4. Тензоры 2-го ранга B34). 5 Примеры из механики
(?,35). 6. Общие аффинные тензоры B37). 7. Аффинные тензоры в евклидовом
пространстве B39). 8. Индефинитные метрические формы B40). 9. Замеча-
Замечание о размерностях B43).
§ 2. Тензорные поля . ' 244
I. Поле евклидова тензора B44). 2. Поступательный перенос вектора в криво-'
линейных координатах B45). 3. Ковариантное дифференцирование B48).
4. Доле на многообразии евклидова пространств* B51). 5. Внутренняя;
геометрия и римаковы пространства B53). ' '

. ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава VI. Вариационное исчисление 257
§ 1. Первая вариация и необходимые условия экстремума 267
I. Примеры задач вариационного исчисления B57). 2. Функционал B59).
3. Функциональные Пространства B61). 4. Вариация функцио-
функционала B64). 5. Уточнение B67). 6. Необходимое условие вкстремума B69).
7. Уравнение Эйлера B70). 8. Примеры B73). 9. Функционалы с производ-
производными высшего порядка B75). 10. Функционалы от нескольких функций B75).
II. Функционалы от функций нескольких переменных B 77). 12. Условные
экстремум с интегральными связями B79). 13. Условный экстремум с конеч-
конечными или дифференциальными связями B82). 14. Задачи, сводящиеся к задач*
Лагранжа B85). 15 Задачи с подвижными концами на плоскости B86).
16. Условия трансверсальности B88), 17. Задачи с подвижными концами
В пространстве B90). 18. Трансверсальность для функций, нескольких пе-
переменных B92). 19. Высвобождающие связи B93). 20. Разрывные задачи B95).
§ 2. Вторая вариация и достаточные условия экстремума 297
1. Вариации высших порядков B97). 2. Условия экстремума в терминах вто-
второй вариации B99). 3. Необходимые условия Лежаидра C00). 4. Квадратич-
Квадратичный функционал C01). 5. Условия Якоби C04). 6. Геодезические линии
C07). 7. Условия сильного экстремума C09). 8. Вариационная теория
собственных значений C11). 9. О существовании минимума C16). 10. Основ-
Основное условие минимума C17). 11. Зависимость собственных значений от функ-
функционала C20).
§ 3. Канонические уравнения и вариационные принципы 323
X. Канонические уравнения C22).—77 Первые интегралы C23). 3. Канониче-
Канонические преобразования C24). 4. Контактные преобразования C26). 5. Теорема
Нётер C28). 6. Случай функций нескольких переменных C30). 7. Уравнение
Гамильтона — Якоби C32). 8. Плоскость Лобачевского C34). 9. Вариацион-
Вариационные принципы C36). 10. Принцип Гамильтона в простейшем случае C38).
П. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы
C40). 12. Принцип Гамильтона для сплошных сред. Струна C43). 13. Стер-
Стержень и пластинка C4S). .14. Общая схема вариационного подхода к фивиче-
сним полям C48). 15. Уравнения движения упругой среди! C51). 16. Дисен-
патнвиые системы C52). 17. Принцип минимума потенциальной виергии C64).
18. Примеры C55). 19. Запас устойчнвостк C57). 20. Вариационные принципы
в конформных отображениях C59).
§ 4. Прямые методы
1. Метод Ритца для квадратичного функционала C61). 2. Применение к реше-
решению краевых задач C66). 3. Метод счетного множества переменных C67).
4. Метод Ритца для функционалов от функций нескольких переменных C69).
5. Метод Трефтца C73). 6. Метод Ритца для собственных значений C74).
7. Метод Ритца для иеквадратичиых фуикцисчалов C76). 8. Метод наимень-
наименьших квадратов C79). 9. Метод Канторовича C80). 10. Метод Эйлера C82).
Глава VII. Интегральные уравнения 384
$ 1. Введение . . 384
1. Примеры C84). 2. Основные классы интегральных уравнений C86). 3. Еще
'••" о пространстве Гильберта C87).
§ 2. Теория Фредгольма 389
1. Уравнения с вырожденными ядрами C89). 2. Общий случай C94). 3. Приг
менеиие бесконечных систем алгебраических уравнении C98). 4. Применение
численного интегрирования D01). 5. Уравнения с малыми ядрами D04).
6. Принцип сжимающих отображений D07). 7. Воамущеине ядра D09).
8. Характер решений D11). 9. Уравнения Вольтерра 2-го рода D13). 10. Урав-'
; веиия со слабой особенностью D14). 11. Уравнения с вполне непрерывными
операторами D16). 12. Уравнении с положительными ядрами D17).
. | 8. Уравнеивя с симметричными ядрами 418
1. Аналогия с конечномерными уравнениями D18). 2. Разложение ядра по
Собственным функциям D19). 3. Следствия D21). 4. Переход от иесимметрич-
вого ядра к симметричному D25). 5. Экстремальное свойство характеристнче-
. Сних чисел D27). б. Уравнения с самосопряженными операторами D30).
§ 4. Некоторые специальные классы уравнений , . . 433
1.('Урав8«П1Я BwrbTepjia 1-городЗ D33"). 2. Уравнения Фредголъма 1-го род*
• симметричным ядром D35). 3. Приятие р некорректных вадачах D37).

G ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Уравнения Фредгольма 1-го рода, общий случай D37). 5. Применение про-
производящих функций D39). 6. Уравнение Вольтерра с разностным ядром D43).
7. Уравнение Фредгольма с разностным ядром на осн D45). 8. Уравнение
Фредгольма с разностным ядром на полуоси D50).
§ 5. Сингулярные интегральные уравнения 454
1. Сингулярные интегралы D66). 2. Формулы обращения D68). 3. Непосред-
Непосредственное применение формул обращения D59). 4. Переход к краевой задаче,
простой пример D61)- 5. Общий замкнутый контур D63). 6. Незамкнутый
контур D67). 7. Приведение к бесконечной системе алгебраических уравнений
D69).
§ 6. Нелинейные интегральные уравнения 471
1. Переход к конечным уравнениям D71). 2 Мечод итераций D73). 3. Метод
малого параметра D75). 4. Применение теории симметричных ядер D76).
5. Применение теории неподвижных точек D78). 6. Вариационные методы
D80). 7. Уравнения с параметром D81). 8. Разветвление решений D82).
Глава VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения 487
§ 1. Линейные уравнения и системы 487
h Общие свойства D87). 2. Периодические системы D91). 3. Уравнение
Хилла D94). 4. Параметрический резонанс D98). 5. Гамильтоновы системы
D99). 6. Неоднородные системы E01). 7. Почти-периоднческие функции F03).
8. Асимптотическое разложение решений прн t ¦* ю E05). 9. Еще об асимпто-
асимптотическом поведении решений E08). 10. Осцилляция решений уравнений второго
порядка <Б11) 11 Системы, зависящие от параметра E14). 12. Точки пово-
поворота E18).
§ 2. Автономные системы 520
1. Общие понятия E20). 2. Предельное поведение траекторий F22). 3. Точки
покоя на плоскости, линейные системы E23). 4. Общий случай E27). Б. Циклы
иа плоскости F30). 6. Вращение векторного поля E33). 7 Точки покоя •
в пространстве E36). 8. Циклы в пространстве F39). 9. Структурно устой-
устойчивые системы E41). 10. Разрывные системы E42). 11. Системы иа м ного-
образнях E45). 12. Системы с интегральным инвариантом E47). 13. Эргодич-
Эргодичность E49).
§ 3. Устойчивость решений 553
1. Введение F53). 2. уравнения первого порядка F65). 3. Метод функций
Ляпунова E56). 4. Устойчивость по первому приближению F60). Б. Особые
случаи E64). 6. Специальные классч механических систем E69). 7. Системы
автоматического регулирования E76). 8, Техническая устойчивость E80)
§ 4. Нелинейные колебания 581
1. Введение (Б81). 2 Свободные колебании автономной консервативной системы
с одной степенью свсбоды F87). 3. Вынужденные колебания системы с малой
нелинейностью, основной случай F92). 4. Особые случаи E94). Б. Субгармо-
Субгармонические колебания E99). 6. Еще о вынужденных колебаниях F00). 7. Авто-
Автоколебания F02). 8. Релаксационные колебания F06). 9 Пограничный слой
F07). 10. Непериодические колебания F10) 11. Асимптотические разложения
по Н. М. Крылову — Н. Н. Боголюбову F15). 12 Системы с дискретным
временем F17).
Литература 621
Алфавитный указатель 626

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой пособие по специальным гла-
главам курса математики для инженерно-технических специальностей
высших учебных заведений, написанное с единых позиций совре-
современной прикладной математики, какими их понимает автор. Книга
предназначается в основном для студентов старших курсов вту-
втузов и инженеров различных специальностей, но она может быть
полезной также физикам и другим специалистам, имеющим дело
с прикладной математикой. Книга основана на курсах лекций, про-
прочитанных автором в разные годы, и рассчитана как на аудиторное
обучение, так и на самообразование.
По стилю изложения книга близка к «Лекциям по высшей мате-
математике» (третье издание, издательство «Наука», 1969 г.; в даль-
дальнейшем будет именоваться «ЛВМ») того же автора и может
рассматриваться как их продолжение, хотя и чиЛется независимо.
Она опирается на общий втузовский курс математики (этим объяс-
объясняется ее название) и имеет целью развить и укрепить отвечающие
современной прикладной математике взгляды на основные математи-
математические понятия и факты, а также облегчить применение матема-
математики к специальным дисциплинам. Значительное внимание обращается
на развитие правильной интуиции и возможно больший показ работа-
работающего аппарата, тогда как формальная полнота формулировок и
доказательств не является самоцелью. (Поэтому хочется специально
подчеркнуть, что эта книга не может обучить доказательству тео-
теорем на уровне «чистой» математики, она имеет совсем другое наз-
назначение.)
По каждому из освещаемых разделов систематически излагается
некоторый необходимый минимум—основные понятия и идеи, представ-
представление об области приложений и т. п. За дальнейшими сведениями и дета-
деталями читатель отсылается к дополнительной литературе, список
которой приведен в конце книги; ссылки на этот список обозна-
обозначаются номерами в квадратных скобках. При выборе этих разделов,
в значительной мере условном, автор в некоторой степени ориенти-
ориентировался на официальную программу 1969 г. спецкурсов математики
для втузов.
Отдельные главы, а в некоторых случаях и более мелкие разделы
книги можно читать более или менее независимо, в соответствии

3 ПРЕДИСЛОВИЕ
с потребностью. Примеры, а также материал, который при первом
чтении можно опустить, напечатаны петитом. Для облегчения чтения
материал, уже освещенный в ЛВМ, в необходимых случаях весьма
кратко напоминается. Этой же, цели должен служить подробный
алфавитный указатель, помещенный в конце книги; с его помощью
легко разыскать разъяснение встретившегося непонятного термина.
В целом стоит отметить, что данная книга написана более сжато,
чем ЛВМ, и не рассчитана на быстрое чтение.
В каждой главе параграфы, в каждом параграфе пункты и фор-
формулы нумеруются подряд, начиная с первого номера. При ссылках
номера текущих главы и параграфа не упоминаются: например, в тек-
тексте § 3 гл. IV выражение «формула B)» означает «формула B)
§ 3 гл. IV», выражение «формула A.2)» означает «формула B)
§ 1 гл. IV», а «формула (Ш.4.2)» означает «формула B) § 4 гл. III».
Содержание i4iinrn ясно из подробного оглавления. Из-за недо-
недостатка места за ее пределами остался ряд важнейших в современ-
современной прикладной математике разделов, таких, как математическая
физика, элементы функционального анализа с приложением к тео-
теории численных методов, дополнительные вопросы теории обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, теории вероятностей (в частности,
теория случайных процессов) и математической статистики и т. д.
Конечно, хорошо бы написать продолжение, содержащее указанные
разделы, но трудно сказать, удастся ли это осуществить...
Первоначальный текст рукописи был переработан на основе заме-
замечаний Р. С. Гутера, Н. Д. Копачевского, М. А. Красносельского,
А. Д. Тюпцова, а также коллектива преподавателей кафедры выс-
высшей математики МИХМ, в частности Г. Л. Лунца и А. Г. Младова;
Всем этим моим товарищам я рад выразить свою глубокую при-
признательность. '---
А. Д. Мышкис
1 октября 1969 г.

Глава I
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Основные понятия теории скалярных и векторных полей (произ-
(производная по направлению и градиент, векторные линии и поток, ди-
дивергенция, циркуляция и ротор) входят в общий курс математики, и
мы будем предполагать, что читатель знает эти понятия. В частно-
частности, достаточно просмотреть ЛВМ, пп. IX.9, XII.1, 2, 4, XVI.21—27;
там же "приведены примеры физических. полей, встречающихся в
реальных исследованиях. Здесь мы продолжим изложение этой тео-
теории. Дальнейшие сведения см., например, в книгах [15, 53].
§ 1. Оператор Гамильтона
Напомним, что со скалярным полем и связывается векторное поле
его градиента
i+j + rzk, A)
где х, у, z—декартовы координаты. Впрочем, градиент- может быть
определен и независимо от выбора системы координат, на основе
понятия производной по направлению; поэтому градиент, как и даль-
дальнейшие рассматриваемые здесь «производные поля», связан с задан*
ным полем инвариантно. С векторным полем А связываются
ное поле его дивергенции -
и векторное поле его ротора
дивергенция также допускает инвариантное определение на основе
понятия потока, а ротор—на основе понятия циркуляции. Диверген-
Дивергенция входит в одну из основных формул векторного анализа—формулу
Остроградского для потока вектора (точнее, векторного поля)через
замкнутую поверхность (а):
§ ^ф ) = l div AdQ; D)
(а) (а) (Q)

10
ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Бдесь (ь2)—область, ограниченная поверхностью (о), а п — направле-
направление внешней нормали к (а), т. е. нормали, идущей нз (Q). Ротор
входит в другую основную формулу—формулу Стокса для цирку-
циркуляции вектора по ваыкнутой ориентированной линии (/,):
§ А • йт ( -* § Л, dL)
rot A. dS;
вдссь r-^.vi-f-j/j+rk—радиус-вектор, т—направление касательной
к (L) в сторону обхода контура, (S) — поверхность^ ограниченная
линией (L) и ориентированная в соответствии с ориентацией (/.)
(см., например, ЛЗМ, п. VII.11).
Для плоских полей все формулы естественно упрощаются.
С векторным полем связываются также векторные линии, запол-
заполняющие всю область, занятую полем, и идущие в каждой своей
точке но направлению поля.
1. Операции первого порядка. Гамильтон заметил, что опера-
операции A)—C) можно более просто записать, если ввести символ
называемый пйбла (от греческого vap"Xa — арфа, форма которой
напоминает значок V). Сам по себе этот символ представляет собой
знак действия над полем, т. е. оператор (по поводу понятия опе-
оператора см., например, ЛВМ, пп. XIV.26 и XV.20). Этот оператор
Гамильтона векторно-дифференциальный и при своем действии обла-
обладает как свойствами вектора, так и свойствами оператора диффе-
дифференцирования.
«Умножение», т. е. действие оператора Гамильтона на скаляр
(точнее, на скалярное поле) и и на вектор А, производится по сле-
следующим естественным правилам:
. д . , д , , д \ . ди , ,ди , . ди
дАх dAv дА,
i j k
дх ду дг
В формулах, содержащих V, этот оператор действует как диф-
дифференциальный только на расположенный за ним множитель; резуль-
результат такого действия дальнейшие множители уже не дифференцирует.
Поэтому следует избегать записи вида yuv, которую более естест-

§ 1, ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 11
венно понимать как (Vh) © = (grad «)¦» = ¦» grad н, но иногда ее пони-
понимают как V (uv) = grad(Hi>), а это, конечно, не одно и то же.
¦Если же в каком-либо выражении за наблой нет множителей, то
оно представляет собой оператор; например,
; + }±
— это скалярный днффенциальный оператор, который может дей-
действовать на скалярное или векторное поле. На основании формулы
для производной по направлению этот оператор можно записать
также в виде А тт-, где /д—направление вектора А. В частности,
для скорости изменения скалярного или векторного поля вдоль
траектории (ЛВМ, п. ХИЛ) получаем выражение
d г, , д
2. Правила действий. При действиях с оператором V надо поль-
пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференциро-
дифференцирования. Например,
(X = const), (8)
так как умножение на скаляр и дифференцирование обладают этим
свойством линейности. В то же время в формуле (8) нельзя было
бы считать % зависящим от точки пространства, т. е. скалярным
полем, так как тогда получилось бы, что мы вынесли переменную
величину за знак производной. Чтобы охватить этот случай, заме-
заметим, что в обычной формуле для производной произведения
(uv)' = u'v + uv' (9)
первое слагаемое получается, если в процессе дифференцирования
считать v постоянным, а второе—если в этом процессе считать и
постоянным (продумайте этот подход, исходя из правила дифферен-
дифференцирования сложной функции). Поэтому дифференцирование (9) можно
выполнить так:
(uv)' = (ucv)' + (uvc)' = ucv' -f- u'vc = uv' 4- u'v,
где индекс с указывает, что при дифференцировании к данной вели-
величине надо относиться как к постоянной; конечно, если величина
стоит вне знака дифференцирования, то индекс с у нее можно снять.
Таким образом,'
grad {uv) ¦= V (uv) = V (ucv) + V (uvc) =
= uyv + vV« = и grad v 4- v grad u.

12 ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
.Покажем еще несколько примеров действия с наблой:
div (иА) = V • (иА\ = V • (»СА) + V • (иА^ =
; A0)
(здесь надо воспользоваться формулой для векторно-векторного про-
произведения (ЛВМ, п. VII. 16), однако расположить множители в таком
порядка, чтобы набла действовала на тот множитель, который счи-
считается переменным)
= A(V-B)—(A-V)B + (B-V)A—B(V-A) =
= AdivB —BdivA + (B-V)A —(A-V)B;
(здесь надо воспользоваться свойствами векторно-скалярного произ-
произведения (ЛВМ, п. VII. 15) н переставить сомножители в нужном
порядке)
VXA) = B-rotA — A-rotB.
Продумайте эти вычисления!
3. Интегральные формулы. Из формулы Остроградского D)
можно получить две другие полезные формулы преобразования по-
поверхностного интеграла в объемный. Для этого положим сначала
в D) A = ai; тогда получим
<р и cos (n, i) do = l
Помножив обе части на I, а затем" проделав то же с полями A =
и А = ик и сложив результаты, получим (проверьте!)
(ст)
= ф gradudQ. A1)
Q) *
Эта формула имеет простой физический смысл. Пусть объем (Q) заполнен
покоящейся жидкостью и под действием поля внешних сил с объемиой плот-;
ностью f в ней образовалось поле давлений и. Тогда grad и = f (докажите это,
рассмотрев силы, действующие на малый кубик со сторонами, параллельными
осям координат), а потому правая часть A1) равна сумме всех объемных сил,
действующих на (Q). В то же время левая часть A1) равна с противополож-
противоположным знаком сумме сил, действующих на поверхность (о). Поэтому равенство
A1)—это необходимое условие равновесия: сумма всех объемных сил должна
быть противоположна сумме всех поверхностных сил, т. е. общая сумма всех
сил равна нулю.
Для вывода другой формулы подставим вместо А в формулу D)
^J—Лук. Так как dlv(i4J—Аук) = ^ —
a (AXl)-«lo=(cl<TXA)-i = (d<TXA)J(.( то формула D) даёт
(J^J
(а) , . (О)

§ 1. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 13
Помножив обе части на 1, а затем прибавив аналогичный выражения
для двух других координат, получим, что
$$ A2)
(a) (Q)
Если обе части каждой из формул D), A1) и A2) разделить
на й, а затем перейти к пределу, когда (Й) стягивается в точку,
мы получим инвариантные, ие связанные с выбором системы коорди-
координат определения величин divA, grad и, rot А соответственно. Срав-
Сравнение получающихся формул с формулами F), E) и (?) приводит
к символической формуле для оператора Гамильтона
(a) {da)
4. Операции второго порядка. После применения дифференциаль-
дифференциальной операции к полю получается новое поле, к которому можно
вновь применять эти операции; повторное применение двух операций
первого порядка, описанных в п. 1, называется дифференциальной
операцией второго порядка. Конечно, не всякие комбинации имеют
смысл; например, не имеет смысла комбинация divdivA, так как.
dlv А образует скалярное поле, от которого уже нельзя брать ди:
вёргёнцию. Мы предоставим читателю убедиться в том, что с по-
помощью комбинации операций grad, div и rot можно получить ровно
пять осмысленных дифференциальных операций второго порядка:
div grad и, rot grad ы, grad div A, div rot A, rot rot A. A3)
Начнем со второй комбинации; ее можно записать в виде V ХG")-
Но для «обычного» вектора а и «обычного» скаляра и всегда
аХ(аи)=О A4)
(почему?). Значит, если вместо а в левую часть подставить его
разложение по декартовым осям и произвести вычисления по фор-
формальным правилам векторной алгебры, то мы получим нуль. Но
вычисление комбинации V X (V") производится по тем же формаль-
формальным правилам, что и A4), только вместо ах, а , а надо взять
д д д о
ч-, j-, ^-. Значит, и здесь получится нуль, т. е. всегда
rot grad и — 0. A5)
Аналогично получаем (проверьте!), что всегда
div rot A = 0. A6)
Это простое свойство, имеет важное следствие. Именно, для любого
поля А можно наряду с векторными линиями рассматривать вихревые
линии, т. е. векторные линии поля rot А. Однако дивергенция любого
векторного поля равна плотности источников векторных линий этого
поля (ЛВМ, п. XVI.23). Поэтому формула A6) говорит, что вихревые ,

14 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
линий не могут иметь ни источников, ни стоков, т. е. они не
могут ни начинаться, ни кончаться.
Первую комбинацию A3) можно записать в виде V- V« = (v- V)« ==
= Уаи, где Va—скалярный дифференциальный оператор второго
порядка
+k
который называется оператором Лапласа {лапласианом) и иногда
обозначается символом Д. Итак,
Рассмотрим, наконец, последнюю комбинацию A3). Пользуясь
формулой для векторно-векторного произведения (ЛВМ, п. VII. 16)
и располагая множители так, чтобы наблы действовали на поле,
получим
rot rot А = V X (V X А) = V (V • А) — (V ¦ V) А = grad div A — V2A. A8)
5. Разрывные поля. Если поле имеет разрывы, то применение
дифференциальных операций к нему требует особого внимания, так
как в результате таких действий могут появиться дельта-функция
н другие обобщенные функции (см. первоначальные сведения о них
в ЛВМ, пп. XIV.25 и 27, XVI. 19). Мы рассмотрим здесь только не-
некоторые виды разрывов, наиболее распространенные в физических
приложениях; систематически подобные вопросы рассмотрены в
книге [30].
Напомним, что если функция f(x) имеет конечный скачок при
х = а, который мы обозначим через [/(а)] = /(a-f-0)—/(а — 0), то
при ее дифференцировании получится
N(x-a), A9)
где q> (x) = f (х) (х Ф а)—обычная, необобщенная функция.
Пусть теперь рассматривается скалярное поле и с конечным
скачком на плоскости х = 0:
О (х < 0),
I, г) (х > 0).
Вычисляя по формуле A) градиент и пользуясь правилом A9),
получим
| 0 (лг < 0),
где <P=jgrad^ (Лг>о)
Обращаем внимание читателя на то, что дельта-слагаемое появ-
появляется только у г-, но не у т- и т-. Грубо говоря, дело в том,

§ 1. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 15
что если находиться на склоне крутого оврага, но двигаться вдоль
оврага, то... (продумайте, что будет).
Если поле и имеет конечный скачок [к] при переходе с внутрен-
внутренней стороны некоторой ориентированной поверхности (S) на внешнюю
сторону, то, пользуясь независимостью градиента от выбора осей
координат) получим, что
[u]6(s)n°, B0)
где <p = grad/ ((л:;у; z)~? {S)), s—длина дуги, отсчитываемая от (S)
в направлении внешней нормали, а п° — единичный вектор этого
направления, своего в каждой точке (S). (Напомним, что «?» озна-
означает «принадлежит», а «~?» — «не принадлежит».) Если в простран-
пространстве введена криволинейная ортогональная система координат Я, [»,
v и E) имеет уравнение к = к0, то вместо 6(s)n° в формуле B0)
надо написать у- б (к—А.0)еъ где /х—коэффициент Ламе (ЛВМ,
п. XVI. 15), а ех—единичный вектор, касательный к координатной
линии L
Аналогичное рассмотрение векторного поля А, имеющего конеч-
конечный скачок [А] на поверхности (S), которое мы предоставляем
читателю, приводит к формуле
uivA = y(x,y,z) + [An]6(s), B1)
где ip = divA ((лг; _у; z)~? E))—обычная (не обобщенная) функция. Так
как выражение вида об (s) можно истолковать как объемную плот-
плотность массы, распределенной по E) с поверхностной плотностью <г,
то из B1) вытекает, что на {S) распределен источник векторных
линий с обильностью [Ап] на единицу площади. (Получите этот
результат непосредственно, рассмотрев поток вектора А через по-
поверхность соответственно выбранного малого цилиндра.) Подобным
образом, rot А = % {х, у, z) + п X [А] б (s).
Рассмотрим теперь поля с точечной особенностью, для опреде-
определенности, в начале координат. Как разъяснялось в ЛВМ, п. XIV.27,
функция, заданная своими значениями в точках пространства и имею-
имеющая интегрируемые особенности, еще не является обобщенной, но
при дифференцировании такой функции может получиться обобщенная
функция. (Там рассматривались функции одного переменного, но тот
же результат справедлив для функций любого числа переменных.)
«Водораздел» между интегрируемыми и неинтегрируемыми функциями
с точечной особенностью проходит по степенным порядкам особен-
особенностей; более точно, если/(лг, у, z) при г —»-0 (г = |г| = |/лга + _у2 + г2)
имеет порядок г~р, то при р < 3 функция / интегрируемая, а при
/>^3—неинтегрируемая (ср. ЛВМ, п. XVI.17). С другой стороны,
легко проверить на простых примерах, что при дифференцировании
порядок степенной особенности повышается на единицу (например,.
(#-5)'=—5х~* и т. п.). Поэтому при применении дифференциальных

16 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Операций первого порядка к полю, имеющему степенную изолиро-
изолированную особенность ниже второго порядка, получается особенность
ниже третьего порядка, т. е. такое применение не требует привле-
привлечения обобщенных функций. *
Значительный интерес представляют изолированные степенные
особенности второго порядка; они играют для изолированных осо-
особенностей в пространстве ту же роль, что конечные скачки для
функций одного переменного. Если в формулах D), A1) и A2) за
(а) принять малую сферу с центром в начале координат, то так как
о = 4яг2, при г—*0 левые части имеют конечные пределы, а потому
подынтегральные функции в правых частях имеют дельта-слагаемые.
Например, если поле А имеет в начале координат изолированную
степенную особенность второго порядка, то div А имеет слагаемое
k Ъ(г) = kЬ {х)Ь (у)б (z), где k = lim -?—|- i^ A¦ йо; другими словами,
'-• Ш (а)
у такого поля в начале координат начинается, k векторных линий
(см. п. 4).
1 Для пространственных полей с особенностью вдоль ¦ некоторой
линии, а также для плоских полей аналогичную роль играют сте-
степенные особенности первого порядка.
\ § 2. Специальные типы полей
1. Потенциальные поля. Векторное поле А называется, потен-
циальным, если оно является градиентом некоторого скалярного
поля, т. е. если
A = gradq>; A)
при этом поле <р называется потенциалом (точнее, скалярным по-
потенциалом) поля А. .
Обращаем внимание читателя на то, что часто потенциал опре-
определяется формулой А = —grad<p(= grad(— <p)). Так введенный по-
потенциал отличается множителем (—1) от того, который мы будем
рассматривать. Иногда для различения этих двух подходов приме-
применяются термины «потенциал» и «потенциальная функция», однако
такая терминология не общепринята. Поэтому при чтении работы,
в которой применяются потенциалы, надо уточнять, в каком из этих
двух смыслов употребляется это понятие.
Так как градиент постоянного скалярного поля и только такого
поля равен, нулю (почему?), то потенциал любого поля, если он
имеется, определен с точностью до произвольного .^постоянного сла-
слагаемого. Подбирая это слагаемое, можно пронормировать потенциал
(т. е. избавиться от этого произвола), например, сделав это значе-
значение равным нулю в некоторой заданной точке. Чаще всего потен-
потенциал нормируют условием равенства нулю иа бесконечности—если
там потенциал- имеет вполне определенное конечное значение.

§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ПОЛЕЙ
17
¦ Далеко не всякое поле является потенциальным. Именно, из A)
и общей формулы A.15) сразу следует, что ,
rotA = 0, B)
т. е. всякое потенциальное поле является безвихревым. С другой
стороны, в ЛВМ, пп, XVI.27 и XIV.24 было показано, что если поле
А задано в односвязной области (G), то условие B) равносильно
независимости интеграла \ А • dr от контура интегрирования, или,
что то же, условию
Adr =
C)
для любого замкнутого контура (L), расположенного в (О). Таким
образом, безвихревое поле, заданное в односвязной области, явля-
является бесциркуляционным. Там же было показано, что нз C) следует,
что выражение А ¦ dr = Axdx + Aydy + Azdz является полным диффе-
дифференциалом. Но равенство Adr = rf<p равносильно A) (почему?), т. е.
всякое бесциркуляционное поле является потенциальным; обратно»
тоже, верно,, что мы предлагаем доказать желающим.
Если А—поле сил, то интеграл \ A-dr равен работе, производимой по-
полем, когда частица, на которую оно действует, проходит линию (L). Поэтому
для такого поля условие C) наиболее наглядно—поле потенциально тогда и
только тогда, когда его работа по любому замкнутому контуру равна нулю.
Итак, в односвязной области условия A), B) и C) равносильны,
т. е. условия потенциальности, отсутствия вихря и отсутствия цир-
циркуляции векторного поля эквива-
эквивалентны.
2. Безвихревое поле в мно-
многосвязной области. Рассмотрим
безвихревое поле А в мно-
госвязиой области (О). В Этом
случае циркуляция вектора А "по
замкнутому контуру- уже не обя-
обязана равняться нулю; из доказа-
доказательства формулы C) вытекает
только, что циркуляция заведомо
равна нулю, если контур внутри
области (G) можно стянуть в
точку. Например, на рис. 1, где
область получается, если из про-
пространства изъять два бесконечных цилиндра (такая область навы-
вается трехсвязной), заведомо равна нулю циркуляция вектора А по
контуру (?).
• - Что касается ' замкнутых контуров, которые нельзя стянуть
в точку, то о- них можно утверждать лишь, что если два контура
Рис. 1.

10 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
(Lt) и (L[) можно путем непрерывной деформации перевести один
в другой, не выходя за пределы области (О), то циркуляции вектора А
по этим контурам одинаковы. Действительно, если соединить эти
контуры линией AD (см. рис. 1) и рассмотреть изображенный пунк-
пунктиром составной контур ABCADEFDA, то его уже можно стянуть
в точку (почему?), откуда
ADE
f f J J J
ABCADEFDA ABCA AD DEFD DA
= ф A-dr + j[ kdr $ ^
(L[) AD <?.,) DA
Но интегралы по соединительной линии взаимно уничтожаются (по-
(почему?) и мы, таким образом, получаем
& А • dr — ф А ¦ dt = 0, т.е. & А • dr = ф А • dr.
(Ч') (il) (Ч') <L«>
В то же время циркуляция по контуру (Z,2) (рис. 1), вообще
говоря, совершенно независима от циркуляции по.(?х). Легко прове-
проверить, что для случая трехсвязной области, изображенной на рис. 1,
циркуляции по контурам (Lt) и (?2) (эти циркуляции мы обозначим
буквами 1\ и Гг) образуют полную систему независимых циркуляции
в том смысле, что циркуляцию по любому другому замкнутому кон-
контуру легко выразить через 1\ и Гг. Например, циркуляция по кои-
туру (Z.s) равна I^ + Tg (для доказательства этого надо деформи-
деформировать A3) так, как это показано пунктиром); циркуляция по (Z.4)
равна Г2—21\ и т. д. Для (&+ 1)-связной области (говорят также —
области порядка связности Л.+ l) число независимых циркуляции
равно k. В самом простом случае, для двухсвязной области (такими
являются пространство, из которого изъят бесконечный круговой
цилиндр, внешность или внутренность тора и т. п.) имеется лишь
одна независимая циркуляция.
Теперь легко понять, что будет, если для безвихревого поля
в миогосвязной области строить потенциал по той же формуле
Ф (М) = J d(p = J А ¦ dr
~М„М "МцМ
("М0М—любая дуга, соединяющая фиксированную точку Мв с те-
текущей точкой М по области), что и в односвязном случае. Соот-
Соотношение A) будет выполнено, однако в данном случае функция
ф (М) (т. е. потенциал) будет, вообще говоря, многозначной. Напри-
Например, если непрерывно продолжать значение функции ф (М) вдоль
линии (Z.j) на рис. 1 и совершить при этом полиый обход этой линии,
то потенциал получит приращение \ A-dr = I\. Тот же результат

§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ПОЛЕЙ 19
получится при обходе контура (L[), а при обходе контура (?г) по-
потенциал получит приращение Г2. По этой причине константы Г1 и Гг
называются также периодами потенциала.
Итак, потенциал безвихревого поля в многосвязной области явля-
является, вообще говоря, многозначной функцией; такое поле с много-
многозначным потенциалом не считается потенциальным. Только в том
частном случае, когда все периоды потенциала равны нулю—дру-
нулю—другими словами, когда поле бесциркуляционное,—потенциал является
однозначным, т. е. поле —потенциальным.
3. Солеиоидальиые поля. Векторное поле А называется солено-
идальным, если оно является ротором некоторого векторного поля,
т. е. если
А = rotO»; D)
при этом поле Ф называется векторным потенциалом поля А.
Векторный потенциал соленоидального поля определен с точностью
до градиента произвольного поля. В самом деле, если Ф1 = Ф ~f- grad i|),
то в силу A.15)
rot Bt = rot В + rot grad \|з = A + 0 = A}
легко проверить и обратное. Пользуясь этим свойством и подбирая
функцию \|> соответствующим образом, можно производить ту или
иную нормировку векторного потенциала. '
Поле, соленоидальнре в некоторой области, не имеет внутри нее
источников векторных линий, так как из D) и общей формулы A.16)
следует, что
div А = 0. E)
Этим и объясняется название «соленоидальное поле», так как ти-
типичным векторным полем, не имеющим источников, является любое
магнитное поле, в частности, поле, возникающее при прохождении
тока через катушку (соленоид).
Проверим теперь, что поле, заданное во всем пространстве и не
имеющее источников векторных линий, соленоидальное. Для этого
будем искать векторный потенциал в специальном виде Ф = Р (х, у, z) i-j-
4~Q(X) У> 2)j, тогда подстановка в D) и приравнивание проекций
дают
— ESL-A ?--А W--EL-A 1&)
дг ~Л*' дг ~ЛЯ дх ду ~А*' (й>
Из первого равенства можно определить Q с точностью до произ-
произвольной функции f(x, у); например, можно положить
Q(x, у, z) = QQ(x, у, z)+f(x, у), где Q0(x, у, *) —
У, 0*С G)

20 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Аивяогйчно из второго равенства F) получим Р(х, у, z) вЯ0 (х,у,х)'+
"f /i(x, у), где fx произвольна. Подставим выражения для Q пР
в третье равенство F), положив /±^0 (нам надо найти какой-
нибудь векторный потенциал, а произвола в выборе / будет доста-
достаточно). Мы получим для нахождения / уравнение
дх ' дх ду *' дх г дх
Однако последняя правая часть не зависит от г, так как
дА дА,__
L(a dQ» дР9\_дА, д (dQ9\ д /дРл\
дг\ * дх Т ду ) дг дх \ дг ) ^ду \ дг )
в 'силу выполнения условия E). Поэтому, обозначив правую часть
х
(8)/через F(x, у), найдем f(x, y) = )F(%, ^)d|, т. е. потенциал Ф
о
полностью построен.
Если поле рассматривается не во всем пространстве, а в некоторой об-
лайтй (G), то возникают трудности с применением формулы G). Более деталь-
детальное исследование этого вопроса, которым мы здесь не будем заниматься, пока-
показывает, что для соленоидальностн всякого векторного поля в (G) без
дивергенции необходимо и достаточно, чтобы любую расположенную в (G)
замкнутую поверхность типа сферы можно было путем непрерывной деформацин
стянуть в точку; не выходя за пределы (G). (Здесь выражение «типа сферы»
означает поверхность, полученную из сферы путем непрерывной деформации;
например, поверхность тора не имеет типа сферы.) Это свойство области назы-
называется ацикличностью в размерности 2, в отлнчие от односвязности, которая
иначе называется ацикличностью в размерности 1. (Примеры: выпуклые области
ацикличны в размерностях 1 н 2; тор (тело)—в размерности 2, но не 1; про-
пространство с изъятым шаром—в размерности 1, но не 2; пространство с изъятым
тором — ни в размерности 1, нн в 2). Можно доказать, что область в трехмерг
ном пространстве ациклична в размерности 1 тогда н только тогда, когда она
ограничена н имеет связную (состоящую из одного куска) границу нлн когда
она не ограничена и все компоненты связности (кускн) ее границы также
йростираются в бесконечность.
Поток соленоидального поля через любую заМкнутую поверхность (о)
равен нулю. Если поле задано всюду внутри (а), то это вытекает
из формулы Остроградского A.4). Чтобы проверить утверждение
в общем случае, разобьем (а) на малые площадки (do) и ориенти-
ориентируем их контуры в соответствии с ориентацией (а). Тогда сумма
циркуляции df вектора Ф по всем этим контурам равна нулю
(почему?). Однако dT = rotn Ф do =» Anda, откуда ф Ando = <р dT = 0,
«п
что и требовалось доказать.
Обратно, если
'.t ' .; FX^10 = 0 для любой замкнутей поверхности (tf) (9)

§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ПОЛЕЙ 21*
в некоторой области (О), то поле А в этой области соленоидальнов.
Из (9) и инвариантного 'определения дивергенции вытекает E^
откуда- с помощью доказанного в следующем за E) абзаце получа-
получается наше утверждение, если (G) совпадает со всем пространством.
Доказательство справедливости утверждения для любой области (О)
более сложное, и мы не будем его проводить.
Теперь понятна роль требования ацикличности в размер ноств 2. Если это
требование выполнено н, кроме того, divA=0 в @), то для любой замкнутой
поверхности (а) в (G) поле А оказывается заданным всюду внутри (а), и потому
к (а) можно првменнть формулу Остроградского, нз которой и вытекает (9).
Однако пусть (G) не ациклична, например (G) получается изъятием нз про^
странства двух шаров, (K,i) и (/Сг), а каждая из замкнутых поверхностей @{)
(i=l, 2) содержит внутрв себя шар (/С,-) и ие содержит точек другого шара.
Тогда нз E), вообще говоря, не вытекают равенства
(о,) (а,)
однако из E) и A0) уже вытекает (9), т. е. поле А будет соленондальным.
В заключение отметим, что поле А может быть одновременно
потенциальным и соленоидальным, т. е. в рассматриваемой области
не иметь нн вихрей, нн источников векторных линий. Тогда А = grad <pj
но так как div A = 0, то должно быть
divgrad<p = O, т. е. (см. п. 1.4) Va<p = O. A1)
Это уравнение называется уравнением Лапласа, а его решения назы-
называются гармоническими функциями (не путать с гармонической, т.«,
синусоидальной зависимостью!). Итак, для того чтобы потенциальное
поле было также и соленоидальным, необходимо, а для поля, задан-
заданного во всем пространстве (или— более общий случай—в области,
ацикличной в размерности 2), и достаточно, чтобы потенциал был
гармоническим.
Уравнение Лапласа встречалось еще в работах Л. Эйлера, ио
название свое получило по имени П. Лапласа, рассмотревшего это
уравнение в своих работах по теории тяготения в 1782 г.
4. Примеры. Рассмотрим центрально-симметричное поле в про-
пространстве, определенное формулой
) A2)
Из определения дивергенции легко получить (ЛВМ, n.XVI.23), что
divA = —|-т(г'/(г)). В частности, центрально-симметричное поле
без источников вне начала координат характеризуется тем, что
/•»/(/•)= const, откуда /(/•) = §-, А-?г. A3)
Это так называемый закон Кулона, названный по имени видного
французского физика Ш. Кулона A736—1806), который впервые

22
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
обнаружил применение этого закона в теории электрических и маг-
магнитных взаимодействий. Поток такого поля через любую сферу с
С
центром в начале координат равен -^ - 4ял2 = 4яС, т. е. не зависит
от г; другими словами, в самом начале координат в данном случае
начинается АпС векторных линий, уходящих на бесконечность. Мы
предоставляем читателю подумать, где начинаются и где заканчи-
заканчиваются (или куда уходят) векторные линии, если /(г) при г —¦¦ О
возрастает медленнее или быстрее, чем г".
Однако точечный источник обильности Q = 4nC имеет плотность
Q6 (г) = Q8 (х) б (у) б (г), т. е. мы приходим к важной формуле
Аналогичное рассмотрение плоского центрально-симметричного
поля вида A2) с r = *i-f-j/j дает, что если вне начала координат
нет источников, то /(г) =—, Q = 2nC,
dlv
= Q6 (х) б (у)).
Получающуюся при этом картину можно истолковать как точечный
источник векторных линий обильности Q на плоскости, либо как
источник, распределенный в пространстве
вдоль оси z с обильностью Q на единицу
длины.
Диполь получается при наложении
источника и стока равной обильности,
расположенных в бесконечной близости
друг от друга. Однако если при этом
обильности источника и стока остаются
конечными, то их поля просто взаимно
уничтожаются. Поэтому указанные обиль-
обильности должны быть бесконечно больши-
большими, причем такими, чтобы произведение
обильности источника на расстояние меж-
между источником и стоком (это произведе-
произведение называется моментом диполя) оставалось конечным. Наряду
с моментом диполь имеет ось, проходящую через источник и сток
в направлении от последнего к первому.
Векторное поле для случая диполя можно получить из рассмот-
рассмотрения рис. 2, где / — ось диполя. При достаточно малом h в любой
точке М будет
Чяг?
Рис. 2.

§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ПОЛЕЙ
23
где т — момент диполя. (Этот прием, посредством которого мы
нашли поле A4), годится не только для поля A3), но для любого
исходного поля.) Упрощая правую часть A4), получим (проверьте!)
т
1 dr 3r dr
т
Аналогичное рассмотрение диполя для плоского поля дает результат
Если для простоты считать ось / совпадающей с осью х, то поле
в декартовых координатах приобретает вид
m
" 2я (jfi
Интегрирование уравнения -г- — -т~
Лх Ау
линий дает
для векторных
(проверьте!) хг -\-уг — Су. Векторные линии для плоского диполя
изображены на рис. 3.
5. Ньютонов потенциал. Легко
проверить, что поле A2) имеет потен-
потенциал <р(г)= \ f(r)dr. В частности, ку-
лоново поле A3) имеет потенциал
С Q
= -.—, где Q—обильность
г 4пг ' ^
источника векторных линий, располо-
расположенного в точке г = 0. Пусть теперь
источник векторных линий безвихре-
безвихревого поля А распределен в простран-
пространстве с объемной плотностью /(г) =
—f(x,y, z). Такой источник можно полу-
получить в результате наложения беско-
бесконечно малых источников, каждый из
которых расположен в некоторой точке
(х<>\Уо', го) и имеет обильность f(r0)dQ0 (dQ9 = dxod,yodzo), и потому
потенциал в точке с радиусом-вектором г равен
Рис. 3.
Суммируя эти потенциалы, получаем потенциал поля А
/ (хп, у<» г0)
dx0dyodz0, A5)

24 "" гл. ». теория ноля
где интеграл распространен по всему пространству или, что равно-
равносильно, по объему, занятому источником, т. е. где /ФО. Выражение
A5) называется ньютоновым потенциалом с плотностью /.
Приведенный вывод формулы A5)—это стандартный пример применения
функции влияния (ЛВМ, пп. XIV.26 и XVI. 19): переход от плотности
источников безвихревого векториого поля к его потенциалу является линейным
оператором с функцией влияния—-.—j г, где г0 и г—радиусы-векторы
4Я|Г — Го |
точек воздействий и наблюдения.
Полученный результат имеет простой физический смысл. Точечный заряд q,
помещенный в начале координат, порождает в вакууме электрическое поле
E=ft-jTe, где коэффициент k определяется выбором системы единиц. Это поле
имеет в начале координат источник векторных линий обильности Q=4jift?
и потенциал — k —. Таким образом, A5) представляет собой потенциал электри-
электрического поля, порожденного зарядами, распределенными в пространстве
с объемной плотностью j-г / (г). Аналогичный результат, но с противополож-
противоположным знаком, получается для гравитационного поля, порожденного распреде-
распределенными в пространстве массами.
Если функция / принимает конечные значения и фииитиа (т. е. вне
некоторой конечной области тождественно равна нулю), как мы будем
для простоты считать, то интеграл A5) имеет единственную особен-
особенность при г„ = г; однако после перехода к сферическим координатам
с центром в точке (х; у; г) и эта особенность пропадает. (Если же
какое-либо нз этих двух условий не выполнено, то надо еще забо-
заботиться о сходимости интеграла; например, для сходимости интеграла
на бесконечности достаточно, чтобы \/(х, у, z)\ при г—¦• со убывала
быстрее г~г (почему?).)
Полученный результат допускает также следующую трактовку.
Так как /(r) = div А (г) = div grad ф (г) = V2<p(n- 1- 4), то ньютонов
потенциал A5) представляет собой решение трехмерного уравнения
Пуассона (выведенного С. Пуассоном в 1813 г.)
v2q>=/(*, у, г), A6)
которое является неоднородным вариантом уравнения Лапласа A1).'
В предположениях предыдущего абзаца легко проверить, что ф(г)—<-0
при г—>-оо; можно показать (но мы здесь иа этом не будем оста-
останавливаться), что при таком условии на бесконечности уравнение A6)
имеет лишь одни решение-, т. е. то, которое дается интегралом A5).
Существенность условия на бесконечности видна уже в случае /гзО, так
как если этого условии не ставить, то наряду с «основным» решением фаз О
появляются не только решения ф = const, не играющие роли в теории потен-
потенциала, ио также и «нетривиальные* решения вида <р = ах-\-Ьу-\-сг—потенциалы
диполей, расположенных на бесконечности,— и решения с. еще большей
РОСТЬЮ роста. ..:••.•:•;''•.-. у ¦¦;

§ 2. СПЕЦИЛЛЬНЫВ ТИПЫ ПОЛКИ 25
Аналогичное рассмотрение плоских полей приводит взамен A5)
к логарифмическому потенциалу *
= Ш V<*<>¦ Уд1п У(х-хо)Л + (Уг-Уо
который удовлетворяет двумерному уравнений Пуассона. Если функ-
функция / фнннтна и принимает конечные значения, то при г—>¦ оо этот
потенциал обращается, вообще говоря, в бесконечность; однако
производные от него стремятся к нулю. Йтим условием решение
уравнения Пуассона определяется с точностью до произвольного-
постоянного слагаемого.
6. Построение векторного поля по заданным ротору и дивер-
дивергенции. При исследовании общих векторных (полей возникает задача
(см. конец этого пункта) о построении векторнрго поля Ф, если заданы
rotO=A(r), divO = a(f). A7).
Мы будем рассматривать поля, заданные во всем пространстве,,
и считать поля А и а финитными или достаточно быстро стремя-
стремящимися к нулю при г—*ою; кроме того, должно выполняться необ-
необходимое условие divA = 0 (п. 3). Оказывается, что эта задача при
дополнительном естественном требовании
Ф(г) — 0 A8)
г -* <*>
имеет одно и только одно решение.
. Для построения решения возьмем ротор от обеих частей первого
уравнения A7) и воспользуемся формулой A.18), получим
72<I> = graddivO—rot rot Ф = grad a—rotA. A9)
Так как правая часть задана, то получаем уравнение Пуассона
вида A6), но уже для векторного поля; однако так как можно пе-
рейтн к проекциям этого поля, то решение Ф(г) уравнения A9) все
равно получится в виде ньютонова потенциала (продумайте!) и будет
удовлетворять требованию A8).
Чтобы проверить, что поле Ф, найденное из уравнения A9)»
удовлетворяет уравнениям A7), перепишем A9) в виде
grad(dn^—a) == rot (rot Ф— А). B0)
Взяв дивергенцию от обеих частей, получим, что У2^гуФ—а) = 0,
откуда из условия стремления к нулю при г —»¦ с» получаем, что
<11уф—а=0, т. е. второе уравнение A7). Если же взять ротор от
обеих частей B0), воспользоваться формулой AД8) и учесть,:что
div{rot4D—А) = 0—divA = 0, то аналогично получим выполнение1
первого уравнения A7).

26 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Построенное решение единственно. В самом деле, разность двух
полей, удовлетворяющих уравнениям B0), удовлетворяет аналогичным
однородным уравнениям (т. е. с А = 0, а^О), и наше утверждение
вытекает из A9) (почему?).
Из доказанного, в частности, следует возможность представления
любого финитного (или достаточно быстро исчезающего на беско-
бесконечности) поля А в виде суммы потенциального и соленоидального
полей:
B1)
при дополнительных условиях div<D = 0, <р |«, = 0, Ф|„ = 0 такое
представление однозначко.
В самом деле, взяв дивергенцию от обеих частей B1), получим
Y2<p = divA, откуда при условии ф^^О находим ф единственным
способом. После этого, записав условия для Ф в виде
rotO = А—gradф, div® = 0, Ф|„о = 0,
мы можем применить доказанный выше результат, т. е. и Ф опреде-
определяется единственным образом. Отметим, что в силу A9) уравнение
для Ф имеет вид
^»ф = grad 0—rot (A—grad ф) = —rot A,
т. е. Ф, как и ф, получается в виде ньютонова потенциала.

Глава II
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В этой главе мы будем систематически исследовать комплексные
функции от комплексного переменного. При этом будут предпола-
предполагаться известными основные свойства комплексных чисел, включая
простейшие алгебраические и трансцендентные действия над ними,
а также понятие о степенных рядах с комплексными членами (см.,
например, ЛВМ, § VIII. 1, пп. VIII.8 и 11, XVII. 14). Сейчас теория
аналитических функций представляет собой значительно разработан-
разработанную дисциплину, имеющую большое количество приложений. Неко-
Некоторые разделы этой теории, например теория конформных отображе-
отображений, непосредственно применяются к изучению плоских полей. Еще
обширнее применения теории аналитических функций к исследованию
сложных интегралов, рядов, уравнений и т. д., появляющихся в раз-
разнообразных приложениях аналитических методов математики.
Мы сможем здесь осветить лишь некоторые общие положения
и отдельные специальные важные для приложений вопросы; система-
систематическое изложение теории и приложений аналитических функций
можно найти, в частности, в книгах [66, 74, 83, 92, 102, 104, 107,
120, 121].
§ 1. Дифференцирование и отображения
1. Производная. Пусть на всей плоскости комплексного пере-
переменного z илн на некоторой ее области задана (однозначная) функция
w=f(z), принимающая комплексные значения. Мы уже упоминали
в ЛВМ, п. VIII.11, что производная от такой функции определяется
по обычной формуле
§=/'(*)= Нш ?= «ш
"z Дг -> о Аг Дг -+ о Аг
где предел должен быть вполне определенным при произвольном
стремлении Az к нулю. При этом остаются в силе все основные
свойства производной и формулы дифференцирования, выведенные
для функций от вещественного переменного.
Функция, непрерывная в некоторой области и имеющая в каждой
ее точке конечную производную, называется аналитической в этой
области. Грубо говоря, требование аналитичности функции f(z) озна-
означает не только то, что она не должна иметь точек и линий разрыва,

28 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
но также и то, что при вычислении значений /{г) над z должны
производиться действия (алгебраические, образование суммы ряда
и другие предельные операции) как над комплексным агрегатом, без
расчленения z на вещественную и мнимую части. Такой является,
например, функция w = zz, хотя ее и можно, обозначив z = x + iy,
представить в виде w = x%-\-i2xy—у2. В отличие от этого, такие
величины,, как, например, s — x2—iy% или t — z*=x—iy, являются
функциями от z, так как, зная значение z, можно найти соответ-
соответствующие значения х = Re z, у = Im z, а с их помощью найти s nt;
однако эти функции не аналитические, так как выражения 5 {х, у)
и t (x, у) нельзя «свернуть» в алгебраические или аналитические
выражения вида s{z) и t(z).
Отметим, что с точки зрения приведенного определения такую
функцию, как, например, \/z, нельзя считать аналитической на всей
плоскости г. Эта функция аналитическая в области, полученной
выбрасыванием из плоскости z точки 7 = 0, в которой непрерывность,
а потому и аналитичность нарушаются. Такая точка называется
особой точкой аналитической функции. Иногда употребляется другая
терминология: функция \fz называется аналитической во всей пло-
плоскости z, регулярной при z=?Q и имеющей особенность (особую
точку) при 7=0.
2. Условия Кош и — Римана. Пусть задана функция
•=/(*). B)
Обозначим
т. e. z=x-\-iy, w =
Тогда, если заданы х и у, то получается и z, откуда в силу B)
определяется w, а потому и и v; таким образом,
и = н(лг, у), v = v(x, у). C)
Обратно, задание функций C) полиостью определяет функцию B),
Итак, задание комплексной функции B) от комплексного аргумента•
равносильно заданию двух вещественных функций C) от двух ве-
вещественных аргументов каждая. Проверьте, например, что равенство
w = e' равносильно системе из двух равенств
« = e*cos_y, v**e*smy. D)
Если требовать, чтобы функция B) была аналитической, то функ-
функции C) будут удовлетворять определенным соотношениям, которые
мы сейчас выведем. Заметим, что в силу C)
Аи d (а + iv) _ (и + iv)x dx+ (u + tv)'y dy ._.
dz ^dlx+iy) dx + idy ' yf
Так как dz — dx+idy произвольно, то между dx и dy может быть
произвольное отношение /. Разделив числитель и знаменатель правой

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ 29
части E) u&'dy и поделив затем числитель иа знаменатель, получим
., (u + i
>)x-\
_ __
Для существования единой производной A) необходимо н достаточно,
чтобы полученное выражение не зависело от t, т. е. чтобы {u-\-iv)'y —
— i(u -\-lv)'x = 0 или, что равносильно, и'у -f- ivy — iu'x—v'x. Прирав-
Приравнивая вещественные и мнимые части, получаем условия Коши—Римана
ди ди ди ди ,?.
Fx = dy' дх==~ду' ()
необходимые и достаточные для аналитичности функции B). (Про-
(Проверьте выполнение этих равенств для функций D).)
Равенствам F) можно придать более компактный вид. Пусть из
некоторой точки плоскости х, у выходят направления пит, причем л
получается из т поворотом на 90° против часовой стрелки. Тогда,
вычисляя производную по направлению (ЛВМ, п. XII. 1) и пользуясь
равенствами F), получим (проверьте!)
|- cos [(«?*) + 90°] + g cos [яСх) =
л ди ._.
G)
= Fx cos (ю, лг) + ц sin (m, x) =
ди , л . , ди , л . ди
cos(/»>r)+cos(wy)
Обратно, равенства F) легко получить из G) (как?).
3. Сопряженные гармонические функции. Из уравнений F) можно
исключить функцию v. Для этого продифференцируем первое ра-
равенство по х, а второе—по у; тогда средние члены окажутся
равными (почему?) и, приравнивая крайние члены, получим
д*и
"ду~*
Таким образом (ср. п. 1.2.3), функция и (х, у) гармоническая. Мы
предоставляем читателю проверить, исключая из уравнений F) функ-
функцию н, что и функция v(x, у) гармоническая. Две гармонические
функции, удовлетворяющие уравнениям Коши — Римана, называются
сопряженными. Итак, вещественная и мнимая части аналитической
функции являются сопряженными гармоническими функциями.
Из двух сопряженных гармонических функций приходится различать
Первую и вторую. Проверьте, что если поменять нумерацию этих функций,
то для сохранения сопряженности одну из иих надо помножить иа —1.
' Для ^любой заданной гармонической функции можно-построить
сопряженную гармоническую функцию. Пусть, например, задана

30 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ническая функция v(x, у); тогда уравнения F), из которых надо
найти функцию и(х, у), можно совместно записать в виде
ди . ди . до до ,л*
du = rj- dx 4- •*- dy = -к- dx—з-dy. (8)
дх ' ду у ду дх J s '
Получилась задача о построении функции по ее полному дифферен-
дифференциалу, которая была рассмотрена в ЛВМ, п. XIV.24. Условие ее
разрешимости для правой части (8) равносильно требованию гармо-
гармоничности функции v (проверьте!), так что задача действительно
разрешима; решение определяется формулой
(*; у) <*; у)
и(х'У)~ \ du-\- const = \ ( 5- dx—-^-dy) 4- const
J J \oy ox * j
<*.; 2/0) <*<,; y<,)
и определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Если область, в которой осуществляется построение, многосвязная,
то построенная функция и может получиться многозначной; тогда
при обходе вокруг «пустот» области она будет получать постоянные
приращения (ср. п. 1.2.2).
4. Геометрический смысл производной. Мы уже упоминали в
ЛВМ, п. VIII.11, что функция B) определяет отображение плоско-
плоскости г (или некоторой ее области, если значения z берутся только
из этой области) в плоскость w, это отображение можно записать
и в вещественном виде C). Если функция B) однозначная (а мы
позже увидим, что в теории аналитических функций приходится
рассматривать и многозначные функции, ио это всегда будет огова-
оговариваться), то и отображение будет однозначным, т. е. каждой точке г
будет отвечать единственная точка w. Если для разных г не может
получиться одно и то же w, другими словами, если функция, обрат-
обратная к B), однозначная, то отображение B) называется однолистным',
это значит, что при отображении B) плоскость z покрывает плос-
плоскость w только один раз. (В противном случае отображение называется
многолистным — оно может быть двулистным, трехлистным и т. д.,
даже бесконечнолистным.) Однозначное однолистное отображение
иначе называется взаимно однозначным (ср. ЛВМ, п. XI. 13). Такие
отображения наиболее наглядны, так как каждому z отвечает ровно
одно w, а каждому w—ровно одно z. При этом все время имеются
в виду либо полные плоскости г и w, либо некоторые области
в этих плоскостях.
Если функция B) аналитическая, то и соответствующее отображе-
отображение называется аналитическим. Рассмотрим вид этого отображения
в малой окрестности некоторой фиксированной точки z0, предполагая
дополнительно, что
(9)

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ 31
Обозначив
z—zo = AZj wo=f{zo), w—wo = Aw, \/'(zo)\ = ko, arg/'Be) = a0,
получим с точностью до малых высшего порядка
dw=f (za) Лг, т. е. | Ли;| = ko\ h.z j, Arg Ли; = Arg Лг + аи.
Значит, если представить себе плоскости z и w совмещенными, то
каждый малый вектор Ля с вершиной в точке z0 при отображении
будет перенесен вершиной в w0, растянут в k0 раз и повернут на.
угол <х0. Поэтому и вся малая окрестность точки z0 при рассматри-
рассматриваемом отображении испытает, с ¦ точностью до малых высшего
порядка, поступательный перенос, всестороннее рас-
растяжение и поворот, причем значения модуля и аргумента
производной в точке z0 служат соответственно коэффициентом рас-
растяжения и углом поворота.
Итак, если в некоторой области (G) плоскости z будет f {г)фО,
то образ каждой малой фигуры, расположенной в (G), будет, с точ-
точностью до малых высшего порядка, геометрически подобен прооб-
прообразу; в частности, мы видим, что при аналитическом отображении
малый круг переходит снова в круг (а не в эллипс, как для общих
отображений (ЛВМ, п. XI.14)), а углы между пересекающимися
линиями сохраняются. Из доказанного вытекает также, что при
аналитическом отображении ориентация плоскости сохраняется, т. е.
если обходить малый замкнутый контур плоскости z в некотором
направлении, то и образ будет обходиться в том же направлении.
Можно доказать, что и обратно, если некоторое отображение плос-
плоскости сохраняет подобие бесконечно малых фигур (или даже только
углы между пересекающимися линиями) и ориентацию плоскости,
то это отображение аналитическое.
Из свойства сохранения углов вытекает, в частности, что линии
и (х, у) = Сг и v (х, у) = С2 плоскости х, у образуют два взаимно орто-
ортогональных семейства линий (почему?). Это дает возможность, зада-
задаваясь различными аналитическими функциями f(z), получать разно-
разнообразные ортогональные системы координат на плоскости (примеры
см. ниже). Выведите эту ортогональность также из равенства G).
В отдельных точках, в которых условие (9) нарушается, вид
отображения B) будет иной, мы его рассмотрим в п. 2.6. Однако
если f[z) =? const, то наличие таких отдельных особых точек не
нарушает наших общих выводов о характере аналитического отобра-
отображения.
5. Конформные отображения. Взаимно однозначное отоб-
отображение некоторой плоской области, при котором сохраняются подо-
подобие бесконечно малых фигур и ориентация плоскости, называется
конформным; если подобие сохраняется, но ориентация меняется на
противоположную, то отображение называется антиконформным (гово-
(говорят также о конформных отображениях 1-го и соответственно 2-го

32 ГЛ. II. ТЕОРИЯ, АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
рода). Из п. 4 вытекает, что для конформности отображения,
осуществляемого функцией B), необходимо и достаточно, чтобы эта
функция и обратная к ней в рассматриваемой области были одно-
„ dz f dw\-1
значными и аналитическими. Так как -г-~ ("jr )» т0 условие ана-
аналитичности обратной функции равносильно условию f(z) Ф 0.
При конформном отображении сохраняется подобие лишь бес-
бесконечно малых фигур, тогда как форма конечных фигур может
существенно измениться. Например, квадрат
ABCD плоскости z, разбитый на 16 квадрати-
квадратиков, может отобразиться на показанную на
рис. 4 криволинейную фигуру A'B'C'D' с пря-
прямыми углами на плоскости w. Дело в том, что
хотя каждый малый участок плоскости z при
отображении испытывает всестороннее растяже-
растяжение и поворот, но для разных участков коэф-
коэффициенты растяжения и углы поворота раз-
различны, что и приводит к такому искажению.
Теперь легко разобраться в формуле анти-
антиконформного отображения плоскости z в пло-
плоскость w. Если совершить дополнительно зер-
Рис. 4. кальное отображение w1—w*1 то получим кон-
конформное отображение (почему?), т. е. w1=f(z).
Отсюда получаем, что w = \f(z)]*, где f(z) — аналитическая функция.
Конформные отображения широко применяются в теории плоских
полей. Ниже мы приведем ряд примеров таких отображений.
6. Линейные отображения. Линейные отображения определяются
формулой
A0)
где а и Ъ — заданные комплексные числа. Это самый простой класс
отображений. Так как -т— = а = const, то все малые участки плос-
плоскости испытывают одинаковое растяжение в \а\ раз и одинаковый
поворот на угол arg а. Значит, и вся плоскость z испытает равномер-
равномерное всестороннее растяжение в \а\ раз и поворот на угол arg а.
Если считать плоскости z и w совмещенными и Ъ = 0, то при отоб»
ражении точка z = 0 остается на" месте; если же Ь^О, то непод-
неподвижная точка определяется из уравнения nz-\- b = z.
Таким образом, линейное конформное отображение является линей-
линейным и в смысле общей теории отображений (ЛВМ, п. XI.6). Отметим
тут же, что общее линейное отображение плоскости не обязано быть
конформным: так, растяжение вдоль одной оси и сдвиг меняют углы
и потому не конформные. ¦ . ,
Частные случаи: если а = «'а, где а вещественное, то отобра-
отображение A0) представляет собой поворот плоскости на угол а; напри-

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ
33
мёр,, если a = i = e ~^—это поворот на 90° в положительном на-
направлении. Если а—вещественное, а> 0, то отображение A0)—это
всестороннее растяжение, в а раз. Если е = 1, т. е. w*=z-\-b, то
отображение сводится к поступательному переносу плоскости на
вектор Ь.
7. Расширенная комплексная плоскость. Перед рассмотрением
дальнейших примеров сделаем несколько общих замечаний. В тео-
теории аналитических функций принято считать, что кроме обычных,
конечных точек комплексной плоскости z имеется еще одна несоб-
несобственная, иначе, бесконечно уда-
удаленная точка z—oc, служащая
пределом . любой последователь-
последовательности конечных точек zlt zit
za, ... , для которой \zn\ -т- оо.
Комплексная плоскость с добав-
добавленной к'ней бесконечно удален-
удаленной точкой называется расши-
расширенной комплексной плоскостью.
Чтобы понять, на что похожа
расширенная* комплексная пло-
плоскость, допустим, что комплексной
плоскости касается некоторая
сфера {S) и все точки этой плоскости проектнруются на сферу с по-
помощью лучей, проведенных через точку Р? (S), противоположную точке
касания О (рис. 5). Этим проектированием определяется взаимно одно-
однозначное отображение комплексной плоскости на сферу E) с выброшен-
выброшенной точкой Р, которой не соответствует никакая конечная точка плоско-
плоскости. Однако если последовательность А, В, С,... точек плоскости
произвольным образом уходит в бесконечность, то последовательность
А', В', С,... соответствующих точек [S) стремится к Р (почему?).
Поэтому естественно к плоскости добавить бесконечно удаленную
точку; считая, что она при этом соответствии отвечает самой точке Р.
Расширенная плоскость взаимно однозначно отображается на полную
сферу, причем видно, что как само отображение, так и обратное
к нему являются непрерывными (отображение / называется непре-
непрерывным, если изх—>¦ х0 всегда вытекает, что f (х)—>¦ f (х0)). Заметим,
что бесконечно удаленная точка, подобно нулевой точке, не имеет
определенного аргумента. Окрестностью точки z = oo естественно
считать часть плоскости z, внешнюю по отношению к какой-либо
замкнутой линии (продумайте это!).
Если между двумя множествами возможно установить взаимно однознач-
однозначное непрерыввое в обе сторовы соответствие, то эти мвожества называются
гомгомбрфными, или топологически эквивалентными. Дело в том, что имеется
специальный отдел математики—топология (от греческого «топос»—место, «ло-
«логос»—слово, наука),—изучающий наиболее глубокие геометрические свойства
2 А. Д. Мышквс
I НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В

$4 ГЛ. Н. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
множеств, многообразий, пространств, именно, свойства, сохраняющиеся при
гомеоморфизмах (взаимно однозначных непрерывных а обе стороны отображе-
отображениях). Поэтому с точки зрения топологии гомеоморфные множества являются
эквивалентными: все топологические свойства, которые имеют место в одном
из них, имеют место и в другом. Например, с точки зрения топологии окруж-
окружность, эллипс или многоугольник эквивалентны между собой, но не эквива-
эквивалентны отрезку или кругу. Вывод, сделанный в предыдущем абзаце, можно
сформулировать так: расширенная комплексная плоскость топологически экви-
эквивалентна сфере.
Таким образом, символ оо имеет два различных смысла: «веще-
«вещественная» и «комплексная» бесконечности. Обычно из контекста
бывает ясно, какой из них имеется в виду, однако в сомнительных
случаях не мешает делать объяснения по этому поводу.
8. Дробно-линейное отображение. Оно определяется формулой
где а, Ь, с, d — заданные комплексные числа. Рассмотрим сначала
частный случай:
где k > 0. Переходя к модулю и аргументу, получим
\®>\-=-щ, Argw=—Argz. A3)
Допустим сначала для простоты, что аргумент не менялся бы,
т. е.. рассмотрим отображение s = s(z), для которого.
Если считать плоскости z и s совмещенными, то из второго равенства
вытекает, что каждый луч с вершиной в начале координат преобра-
преобразуется в себя (почему?). Но как? Из первого равенства A4) мы
видим, что при |z| = A будет и \s =k; при |г|< Сбудет |s|>As,
причем, во сколько раз меньше г\, во столько раз больше \s\,
так что при | z | —>¦ 0 будет 151 —* оо; при | z \ > k картина аналогичная.
На рис. 6 показаны образы нескольких точек, причем соответствующие
друг Другу точки снабжены одинаковыми индексами. Полезно обратить
внимание на то, что из |s|=-j—р вытекает |z|=-j—р, другими сло-
словами, прообраз переходит в образ, а образ—в прообраз. (Иначе говоря,
рассматриваемое отображение плоскости в себя само себе обратно;
такие отображения называются инволюциями.) Все точки окружности
|.г| = ? отображаются в себя, т. е. остаются на месте; концентриче-
концентрические окружности радиуса < k переходят в окружности радиуса > k
и обратно (рис. 6). Точки 0 и оо переходят друг в друга.
Отображение A4) называется инверсией или зеркальным отра-
отражением плоскости г относительно окружности [х\ = к, а точки, пере-

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ
35
ходящие друг в друга при инверсии, называются симметричными
относительно этой окружности. Последнее название объясняется', в
частности, тем, что в малой окрестности любой точки инвариантной
окружности это отображение, с точностью до малых высшего по-
порядка, представляет собой обычное зер-
зеркальное отражение. (Можно проверить,
что если на рис. 5 считать, что точка О —
это начало координат, а сфера (S) имеет
радиус As/2, то отображение A4), пере-
перенесенное на эту сферу, индуцирует зер-
зеркальное отражение сферы (S) относи-
относительно плоскости, проходящей через центр
этой сферы параллельно плоскости z.)
Докажем следующее важное круговое
свойство инверсии: при инверсии все окру-
окружности, а также прямые преобразуются
в окружности или в прямые (причем окруж-
окружность, равно как и прямая, может преоб-
разоваться либо в окружность, либо в
прямую). Для этого заметим, что уравнения всех окружностей и пря-
прямых плоскости лг, у можно представить в единой форме
а(х*+у*) + $х + уу + 6 = 0, A5)
так как при а=^=0 получаются окружности (почему?), а при а = 0 —
прямые. Если обозначить z = x-{-iy, s=p-\-iq, то отображение A4)
определяет формулы (выведите их!)
рис
„ .
У
Подставляя эти формулы в A5), получим после преобразований
уравнение линии-образа (проверьте!)
Так как k = const, то это уравнение снова имеет внд A5), только с
другими коэффициентами. Значит, получается окружность или прямая.
(Докажите, что прямая получится тогда и только тогда, когда ис-
исходная окружность или прямая проходили через начало координат.)
Отображение A3) получается из A4) с помощью добавочного
отображения |w| = |s|, Argis» = —Args, т. е. w — s*. Значит, отобра-
отображение A3) представляет собой комбинацию инверсии и зеркального
отражения плоскости относительно вещественной оси. Так как
функция A2) аналитична всюду, кроме точки z = 0, то она осуще-
осуществляет конформное отображение плоскости z с выброшенной этой
точкой на себя. Впрочем, его же можно рассматривать как конформное
отображение расширенной плоскости на себя. Что касается инверсии,
то она представляет собой антиконформное отображение (п. 5).
2*

36 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Перейдем теперь к общему дробио-лйиейному отображению A1).
Преобразовав правую часть по формуле
мы видим, что w можно получить из z с помощью последовательных
преобразований:
C ' r '
Если изображать все переменные z, s, t, да на одной плоскости, то
получается, что рассматриваемое отображение представляет собой
последовательную комбинацию поступательного переноса, инверсии
с зеркальным отражением н линейного отображения (п. 6). Так как
все эти отображения обладают круговым свойством, то этим свойством
обладает и общее дробно-линейное отображение. Отсюда же видно,
что такое отображение переводит точки, симметричные относительно
окружности или прямой, в точки, симметричные относительно образа
этой линии.
Выражая из A1) z через да, проверяем, что отображение, обратное
к дробно-линейному, ' само является дробно-линейным, хотя у>ке,
в отличие от A2), .вообще говоря, не совпадает с прямым отображе-
отображением, т. е. не является инволюцией. Аналогично можно проверить,
что результат последовательного выполнения дробно-линейных отобра-
отображений снова является дробно-лииейцым отображением.
В правой части A1) имеется четыре комплексных параметра; но
так как при умножении их на общий множитель функция A1) не ме-
меняется, то прн выборе этой функции, имеется не четыре, а только
три комплексных степени свободы (илн шесть вещественных, так
как одна комплексная степень свободы равносильна двум вещественным;
по поводу степеней свободы см. ЛВМ, п. Х.2). Поэтому при таком
выборе надо поставить три комплексных условия; например, можно
выбрать какие-либо три значения z и задать соответствующие им
(различные!) значения да; тогда можно проверить, что отображение A1)
определится однозначно.
Потребуем, например, чтобы при отображении A1) точки г=0, 1, да пере-
перешли соотиетствеино в точки и>= — I, —i, 1. Подставляя эти значения в A1),
получим, что должны иметь место равенства
Ь_ а+Ь а .. „
c+d с
Выражая все параметры через какой-нибудь один и подставляя в A1), находим
требуемое отображение ,
ш=-?^- ¦¦'¦¦ A6)

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ
37
(проверьте!). В силу кругового свойства при этом отображении окружность,
проходящая черев три. заданные точки г, т.е.. вещественная ось, переходи»
в окружность, проходящую через соответствующие точки ш, т. е, единичную
окружность |о)| = 1. А в силу сохранения ориентации верхняя полуплоскость
Rez>0 отображается на единичный круг \ш\ < 1. (Продумайте! А на что
отображается нижняя прлуплоскость? См. рис. 7.)
Рис. 7.
Отображение A6) не едииствеиное конформное отображение верхней полу-
полуплоскости на единичный круг, так как в качестве образов тех же точек г=0,
), оо можно было задать три любые точки единичной окружности, следующие
друг за другом при ее обходе в положительном направлении. Поэтому совокуп-
совокупность таких отображений имеет три вещественных илн, что то же, полторы
комплексных степени свободы. Можно показать, что общий вид такого отображе-
отображения ш=е1а ¦
— п*'
где а—любое вещественное, а р—любое комплексное числа.
причем Im p > 0. • .
9. Степенные отображения. Они определяются формулой
w = z\ A7)
где k—-заданное вещественное число. Рассмотрим сначала частный
случай
• = *». A8)
Переходя к модулю и аргументу, получим
Допустим сначала для простоты, что модуль не менялся бы, т. е.
рассмотрим отображение s — s(z), для которого
Каждая точка при отображении поворачивается вокруг начала ко-
координат (почему?), причем точки, имевшие до отображения одина-
одинаковый аргумент, т. е. лежащие на одном луче с вершиной в начале
координат, перейдут в точки, также имеющие одинаковый аргумент,
причем в два раза больший (рис. 8). Таким образом, любой такой

88
ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
¦¦ . . : . ¦ . i ¦¦ '¦-:¦:.¦¦ ,.л ' '¦
Рис. 8.
луч при отображении поворачивается вокруг своей вершины, как
твердый стержень. Если теперь рассматривать всевозможные такие
лучи, то получается такая картина, как будто приоткрытый веер
из стержней, соединенных в начале координат шарниром, при отображе-
отображении равномерно раскрывается в два раза
шире. Чтобы при этом веер не перекрыл
сам себя, нужно, чтобы он в исходном со-
состоянии— т. е. прообраз — занимал угол,
не больший 180°.
Вернемся к отображению A9). По срав-
сравнению с отображением B0) здесь допол-
дополнительно происходит следующее: точки,
для которых |.г|<1, приближаются к
началу координат, так как для них
\w\ = |z|2 < \s\ = \г\; тонки :же, для ко-
которых \z\ > 1, удаляются от него. Таким
образом, при отображении точки сколь-
скользят вдоль поворачивающихся лучей. Одна-
Однако на общую картину это не влияет, и
мы получаем, таким образом^ что функ-
функция A8) осуществляет конформное отоб-
ражение угла размера а<я;с вершиной
в начале координат на угол размера 2 а. КонформностЬ/Нарушается
в самбм начале координат, где -т- = 2.г|г=о = О (ср. п. 5); впрочем,
это ясно и из того, что угол с вершиной в точке z = 0 при
отображении увеличивается в два раза.
Если в предыдущем абзаце положить а = л, то требуется неко-
некоторое уточнение: именно, отображаемую область нужно считать
открытой, т. е. ее границу к ней не причислять. Тогда и область-
образ будет открытой, и мы получаем отображение, показанное
на рис. 9, где область-прообраз и область-образ заштрихованы;
не причисленная к ним граница показана пунктиром, изображены
еще некоторые линии до и после отображения. Мы виднм, что
функция A8) осуществляет конформное отображение открытой пра-
правой полуплоскости z (т. е. полуплоскости Re z > 0) на плоскость w
с изъятой полуосью г> = 0, —оо<и^0, или, как говорят иначе,
на плоскость с разрезом вдоль указанной полуоси. Если бы мы
рассматривали отображение замкнутой полуплоскости, то на границе
после отображення произошло бы перекрытие (почему?), т. е. отобра-
отображение потеряло бы однолистность (п. 4).
Угол размера п в плоскости г не обязательно выбирать в поло-
положении, показанном на рис. 9. Проверьте, например, что та же функция
A8) осуществляет конформное отображение открытой верхней (а также
нижней) полуплоскости z на плоскость w с разрезом вдоль вещест-
вещественной положительной полуоси.

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ
39
Если рассматривать функцию A8) на всей плоскости г,- то
плоскость та» окажется покрытой дважды (почему?). Значит, это
отображение однозначное, но двулистное (п. 4). Из рис. 9 видно,
что если точка г совершит полный оборот вокруг точки z = 0,
то соответствующая точка та» совершит два полных оборота вокруг
точки да = 0. .
Аналогичный характер имеет функция A7) при любом ?>1.
Она осуществляет конформное отображение открытого угла раз-
размера 2 л/k с вершиной в начале координат на плоскость w с разрезом
Рис. 9.
вдоль некоторого луча с вершиной в начале координат. Отметим,
что если k не целое, то это утверждение нуждается в уточнении,
так как тогда функция A7) неоднозначна (почему?). Это делается
так: для какого-нибудь конкретного z выбирают одно из значений zh
(чаще всего при z — \ принимают та»=1), а для прочих z эти
значения продолжаются по непрерывности (ср. п. 10). Если k целое,
а функцию A7) рассматривать на всей плоскости z, то соответ-
соответствующее отображение будет А-листным.
Если 0<?<1, то функция A7) осуществляет конформное
отображение плоскости z с разрезом вдоль луча с вершиной в на-
начале координат на открытый угол размера 2nk с вершиной в начале
координат плоскости та». Случай k < 0 мы предоставляем разобрать
читателю.
10. Многозначные функции и точки разветвления. Рассмотрим
подробнее функцию A7) при k — \j2, т. е. w — \^z. Это функция
двузначная. (Отметим распространенную ошибку: по аналогии с ве-
вещественными радикалами записывают эти два значения в виде
wt = -\-yz и w2 = —Vz, забывая, что нет никакого «арифметиче-
«арифметического» значения корня из комплексного числа, и потому все равно

40
ГЛ. 11. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
надо уточнять, что такое V^z; подобным образом, без специального
уточнения значений корней нельзя писать У—z = i]fz и т. п.) Так,
при 2 = 1 она принимает два значения: и> = 1 и —1. Остановимся
на' каком-то одном, например w = 1, и будем, меняя z, непрерывно
продолжать значение |/г. Пусть, например, точка z проходит еди-
единичную окружность в положительном направлении, принимая положения
zv z2,
(рис. 10). Так как
= -g- Argz, то соответст-
соответствующая точка w пойдет в два раза медленнее^ и когда точка z
Рнс. 10.
совершит полный оборот вокруг начала координат, придя в поло-
положение г4 = га = \, точка w совершит только полоборота и придет
в положение wi = — 1. Таким образом, исходя из одного значения
Vz |z=i = 1 и непрерывно его продолжая, мы по необходимости при-
приходим к другому значению Vz\z=i=t— 1. Если теперь точка z
совершит еще один обход вокруг начала координат, показанный на
рис. 10 пунктиром, то соответствующая точка w пройдет еще пол-
полоборота н придет к исходному значению та>8 —доо = 1.
Ясно, что аналогичная картина будет прн любом обходе вокруг
начала координат плоскости г, не обязательно по окружности.
Разобранный пример, который является типичным, указывает на
принципиальное различие многозначных функций комплексного пере-
переменного и вещественного переменного. Для многозначной функции
вещественного переменного можно естественно ввести ее однозначные
ветви (см., например, ЛВМ, п. I. 20): так, под Yx всегда понимается
«арифметическая ветвь» двузначной функции dbVx. В отличие от это-
этого, значения многозначной функции комплексного переменного, как
правило, настолько неразрывно связаны друг с Другом, что непре-
непрерывно переходят одно в другое, когда независимая переменная
совершает оборот вокруг определённых точек, называемых точками,

§ 1'.' ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ 4Н
разветвления {ветвления) заданной функции. Для двузначной функции
w=tfz такой точкой в силу предыдущего является z — О. Впрочем,
точку z — oo также принято считать точкой разветвления этой
функции, так как «совершить оборот вокруг бесконечности»—это
значит обойти окружность большого радиуса с центром в конечной
точке (рис. 5), а при этом, как и выше, значения Ух. непрерывно
перейдут одно в другое.
Поэтому, для того чтобы можно было говорить о непрерывных
однозначных ветвях многозначной функции f{z) порознь, нужно
каким-то способом воспрепятствовать тому, чтобы точка Z могла
совершать обороты вокруг точек разветвления этой функции. Для
этого обычно в плоскости г проводят разрезы (ср. п. 9), соединяющие
точки разветвления, причем так, что если точке z запрещено пере-
пересекать эти разрезы, то Значения f(z) не могут переходить одно
в другое. Например, если на рис. 9 поменять наименования плоскостей,
то иа плоскости z (на рис. 9 правой) будет как раз разрез, соеди-
соединяющий точки разветвления z = 0 н г = оо. В плоскости с таким
разрезом можно определить однозначную ветвь функции w — У z,
принимающую при г = \ значение w—\; эта ветвь осуществляет
показанное на рис. 9 коиформное отображение этой плоскости с раз-
разрезом на правую полуплоскость w. Другая ветвь, для которой
w[zmi — —1, осуществляет отображение плоскости z с тем же
разрезом на левую полуплоскость w. Каждая из этих ветвей имеет
разрез линией своего разрыва, так как на разных берегах этого
разреза ветвь принимает разные предельные значения, т. е. имеет
конечный скачок. Так, из рис. 9 видно, что на разных берегах разреза
в точке г=—1 изображенная там ветвь принимает предельные
значения w= —/ (на нижнем) и I (на верхнем берегу).
Аналогичным образом функция w=yz, где я — 2, 3, 4, ...,
является л-значнрй и имеет точки разветвления z = 0 и z — oo, при
обходе вокруг которых значения функции сменяют друг друга. После
я-Кратного обхода вокруг точки разветвления все значения функции
приходят к своим исходным; такая точка называется точкой разветв-
разветвления порядка я. Функция w=zmln, где я = 2, 3, 4, ..., a m —
целое число, не имеющее общих делителей с я, также имеет две
точки разветвления 2 = 0 и 2 = оо порядка я. Таким образом, чем
больше знаменатель, тем больше значений у функции и тем Выше
порядок точки разветвления. Функция w = zk = ek tnг, где k ирра-
иррациональное, является бесконечнозначной, и при обходе вокруг
точек разветвления 2 = 0 или z = oo эти значения сменяют друг
друга, никогда не возвращаясь к исходному. Такие точки разветв-
разветвления называются логарифмическими, иначе точками разветвления
бесконечного порядка.
:Наличие точек разветвления является характерным свойством
многозначной аналитической функции* Конечно, такая функция, как,

42 ' гл. п. тЬо^ия аналитических функций
например, w = ]fz2 — ± г, не имеет точек разветвления, но ее ветви
•w — z и w=—z не переходят друг в друга при своем продолже-
продолжении, т. е. она является не единой многозначной функцией, а скорее, '
в каком-то смысле объединением двух однозначных. Подобным обра-
образом, если, скажем, функция w = \^z рассматривается в малой окрест-
окрестности точки z0^=0, оо, то две ее ветви не сменяют одна другую
и тоже не составляют единой многозначной функции. Однако можно
доказать, что если многозначная функция задана в односвязной.
области (в частности, быть может, на всей плоскости) и ее значения
могут сменять друг друга при непрерывном продолжении по замкну-
замкнутому контуру, то такая функция обязательно имеет в этой области
хотя бы одну точку разветвления. (Подумайте, какова здесь роль
требования односвязности области.)
Для функций, заданных простыми формулами, точки разветвления обычно
распознаются по обращению в нуль или в бесконечность выражений, стоящих
под знаком раднкала (точки конечного порядка) или логарифма (логарифмиче-
(логарифмические точки). Рассмотрим, например, функцию
ш = >^гг=4: B1)
Это двузначная функция с точками разветвления, определяемыми из уравнения
г2 — 4=0, откуда г12=± 2. Так как ее можно записать в виде u>=J^z—2x
xVz+2, то если г обойдет по маленькой окружности вокруг точки ,.2i=2,
а потому z—2—вокруг нуля, первый множитель перейдет к новому значению,
а второй останется, каким был, т. е. вся функция B1) сменит значение. После
вторичного обхода оба множители, а потому и вся функцвя, вернутся к исход-
исходному значению; таким образом, точка zt и аналогично точка г2 являются для
функции B1) точками разветвления второго порядка. Точка z=oo, хотя и обра-
обращает подкоренное выражение в бесконечность, не является для функции B1)
точкой разветвления. В самом деле, эту функцию можно представить в виде
Если г обходит большую окружность, то оба множителя, а потому и вся функ-
функция возвращаются к своим исходным значениям (почему?). Значит, в окрест-
окрестности бесконечности здесь имеются две не связанные друг с другом ветви.
Мы предоставляем читателю проверить, что функция Уг-\- у/г—1 шести-
шестизначная и имеет точки разветвления г=0 второго перядка, 2=1 третьего
порядка и г=ос шестого порядка.
П. Отображение «>==—( z-\-—). Отображение ¦ ..
к> = 4(г + -М (с>°) " B2)
применяется в гидро- и аэродинамике и часто связывается с именем Н. Е. Жу-
Жуковского, который периым стал широко пользриаться методами теории анали-
аналитических функций в этих дисциплинах.

§ 1. днФФЕРЕнцироалние и отображения 43
Введем в плоскости z=x-\-iy полярные координаты, так что *=pcos<p,
p^p'sirt fcp, т. е'. 2=pe/?. Тогда 'в силу B2) # ¦ . •
потому
cos
B3)
При p=const > 1 и <p, меняющемся от 0 до 2л, мы получаем параметрические
уравнения эллипса (см., например, ЛВМ, (П.26)) с полуосями
-
Таким образом, окружность р = const > 1 плоскости г функцией B2) взаимно
'МЖУ///,Ш.
Рис. П.
однозначно отображается на эллипс B3) плоскости w (рис.11) Половина рас-
расстояния между его фокусами по известной формуле из аналити еской reof етрия
(ЛВМ, п. НЛО) равна
-тУ ('•+•+?)-('¦-•+?)-'
Таким образом, параметр отображения B2) получает геометрическое истолкование.
Если теперь рассматривать всевозможные р > 1, то в плоскости w полу-
получится семейство эллипсов (рис. 11), причем так как с ие зависит от р, то все
эти эллипсы имеют одинаковые фокусы. При р—>• оо будет и а—»¦ оо, Ь—»- оо
(причем а—Ь—>-0), а при р—*-1+0 будет а—>-е+0, Ь—>+(). Мы видим
(рис. 11^, что функция B2) осуществляет конформное отображение внешней по
отношению к единичной окружности части плоскости г на плоскость w с раз-
разрезов Вдоль отрезка :— С, с вещественной оси-. Сама единичная окружность

44
ГЛ, И. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ. ФУНКЦИЙ
явулиетно отображается иа разрез, причем в точках г==±1» где-г-=-
0, конформность отображения нарушается (впрочем, это ясно и из
A—~з )
11) М
С
X
рис. 11). Мы предоставляем читателю проверить, что открытый единичный круг
плоскости z функцией B2) отображается на плоскость, да,с тем. же разрезом
(причем О —j- оо). Поэтому функция B2), рассматриваемая на всей плоскости г,
осуществляет двулистное отображение ее на плоскость, ад обратное отображение
двузначное с точками разветвления второго порядка'й;='^ с.'"' '"'
Рис. 12.
Рис. 13.
Рис. 14.
Комбинация простых конформных отображений дает возможность значи-
значительно расширить класс отображаемых областей. Рассмотрим в качестве" примера
задачу об отображении области, показанной иа рис. 12, на полуплоскость
Rew>0. Обращая отображение B2) При с=1 и изменяя обозначения, полу-
получаем, что функция
отображает заданную область.на область, показанную на рис. 13, при этом мы
пользуемся однозначной ветвью кория, положительной при вещественных г > 1.
Нетрудно проверить, далее, что дробно-линейное отображение
преобразует область рис.
вершить отображение w-
что функция
13 на угол Re q > 0, Im q < 0; теперь остается cb-
= iq*. Комбинируя полученные формулы, получаем,
B4)
дает решение поставленной задачи.
Полученный результат можно применить для приближенного отображения
области, показанной на рис. 14, на полуплоскость; эта область представляет
собой полуплоскость Re г > 0 с некоторым числом разрезов, примыкающих
к оси у не слишком близко друг к другу и ие слишком уклоняющихся от от-
отрезков у — const. Для этого, заменим приближенно, один из разрезов иа отрезок
0=6, 0 < х < а (рис.. 14), и совершим отображение гх=Ф (—: (г — ib) J , где

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ
45'
Ф(г)—функция B4). Тогда из заданной области мы получим полуплоскость
Re ij > 0 с разрезами того же типа, что раньше, но число их будет уже на
одни меньше. Затем заменяем приближенно один из полученных разрезов) на
отрезок Ух=Ь1у 0 < xt < alt совершаем отображение 22=ф(— (гх—ibj) J
и т. д., пока все разрезы не распрямятся.
12. Показательное н связанные с ним отображении. Рассмотрим
функцию
w = e*.
Положив z = x-\-iy, получим
w = e*e'y, т.е. \w\ = e*, Aigw=y + 2kn. B5)
Если у — const, —со < х < со, то Argw = const, 0<|да|<со;
таким образом, прямая у — const взаимно однозначно отображается
ШШ'ЯЖШ
77/////
ycon$
V/V/Ш.У.
Рис. 15.
на луч с вершиной в начале координат плоскости w (рис. 15). Если
рассматривать такие прямые при различных у, получится семейство
лучей с общей вершиной. Для заполнения такими лучами всей пло-
плоскости w нужно, чтобы определяющий их полярный угол изменился
на 2я, например, чтобы —я<_у<я, как на рис. 15. Таким обра-
образом, функция B5) осуществляет конформное отображение открытой
полосы ширины 2я, параллельной вещественной оси, на плоскость w
с разрезом вдоль луча с вершиной в начале координат (на рис. 15 —
вдоль вещественной отрицательной полуоси).
При этом отображении прямые х = const переходят в окружности
| w\¦ = е* = const, т. е. декартова координатная сетка плоскости z
переходит в полярную сетку плоскости да. При х^ — со будет
w—»-р, так что левый «конец» полосы переходит в общее начало

46
ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ 4>УНКЦИЙ
лучей — начало координат, тогда как правый «конец» — в бесконечно
удаленную точку плоскости w.
Если рассматривать отображение B5) иа всей плоскости z, то'
каждая горизонтальная полоса ширины 2я отобразится на всю пло-
плоскость w, так что в результате эта плоскость будет покрыта бес-
бесконечное •шсло раз, т. е. отображение B5) является бесконечно-
листным. Соответственно обратное отображение z = Lnw является
бесконечнозначным и имеет точки разветвления а/ = 0 и w — oo бес-
бесконечного порядка: если w описывает обороты в положительном
направлении вокруг начала координат, то Ln«> вновь и вновь полу-
получает приращения по 2ш, никогда не возвращаясь к исходному зна-
значению. Если на плоскости w провести разрез, соединяющий точки
Рис. 16.
разветвления, то можно говорить об однозначных ветвях логарнфми-.
ческой функции; так, на рис. 15 показано конформное отображение
плоскости w с разрезом вдоль вещественной отрицательной полуоси
на полосу —оо<л;<оо, —я<_у<я, осуществляемое главной
ветвью логарифма, z = lna/ = ln \w\-\-iargw. (Напомним, что под
arg понимается главное значение аргумента, —it <
С показательным отображением непосредственно связаны некоторые другие.
Так, отображение
tt>=chz=
можно получить с помощью двух отображений
Первое отображает (см. рис. 15) полуполосу 0 < х < оо, —я < у <,я иа об-
область | s | > 1, разрезанную вдоль интервала s"=0, — оо < s' < — 1 (s—s'-^is").
Второе отображаег эту область на плоскость ш, разрезанную вдоль интервала
—1, 1 вещественной оси (рис. 11); а так как при этом интервал s"=»0,
— оо < s' < — 1 переходит в интервал о=0, — оо<и< — 1, то в итоге пло-
плоскость w получается с разрезом вдоль интервала 0=0, —to < и < 1. Итоговое
конформное отображение показано на рис. 16, причем соответствующие друг

§ 1, ди<КФерандиРОВАниЕ и отображения 47
другу гранкчные точки отображаемых областей имеют одинаковые индексы.
Мы предоставляем читателю исследовать характер отображения a>=chz иа
всей плоскости w.
Аналогичными свойствами обладают отображения
a>=cosz = chit, a>=sln z— cos (-*—z
. 1 . . , . . ( , ni\
tt)==shz=-r-Slll IZ= — I СП I Z+-g- I .
На этом мы заканчиваем рассмотрение простейших конформных
отображений; один важный общий класс отображений будет рассмот-
рассмотрен в п. ЗЛЗ. Дальнейшие сведения об этих, а также о других
элементарных конформных отображениях см. в книгах, указанных
на стр.'27. Специально конформным отображениям посвящена книга
[51], содержащая, в частности, каталог таких отображений.
13. Поверхность Римана. Понятие поверхности Римана оказывается полез-
полезным при.рассмотрении многозначных аналитических функций. Вернемся к рас-
рассмотрению двузначной функции ш="|Лг (п, 10) и представим себе два нало-
наложенных Друг на друга экземпляра пло--
скости г с разрезом вдоль полуося
у=0, — оо<х<0. Будем считать,
что точка г может произвольно пере^
мещаться по любому из этих экзем-
экземпляров плоскости (листов) и может так-
также пресекать разрез, однако при каждом
таком пересечении она переходит с одного
листа на другой. Другими словами,
листы следует представить себе как бы
склеенными так, что верхний берег пер-
первого листа приклеивается к -нижнему бе-
берегу второго, а нижний берег первого — Р 17
к верхнему второго. Это склеивание
условно показано на рис. 17; условность
состоит в том, что при попытке изготовления такой конструкции, например,
из бумаги возникнет линия самопересечения, показанная на ркс. 17 бледно.
Однако мы уже имели много случаев убедиться в том, что в математике
поверхность (как и любое многообразие) вовсе не обязательно представлять себе
изготовленной из бумаги и вложенной в трехмерное физическое пространство.
Поэтому ничто нам не мешает считать, что вдоль бывшего разреза верхний
берег первого листа смыкается с нижним берегом только второго, но не
¦ первого листа, а верхний берег второго листа—с нижним берегом только
первого, но не второго листа; тогда никакой линии самопересечения, конечно,
не будет. Полученная при этом поверхность (S) и называется поверхностью Ри-
Римана (или римановой поверхностью), отвечающей функции w=yrz.
Рассмотрим теперь функцию, равную одной из ветвей У г, о которых
говорилось в п. 10, на одном листе построенной поверхности и дру-
другой из ветвей Yz на другом листе. Эта функции будет однозначной и непре-
непрерывной на (S), так как в п. 10 при переходе через разрез ветви непрерывно
сменяли одна другую, а теперь эта смена обеспечивается тем, что при пере-
переходе через бывший разрез точка одновременно переходит с одного бывшего
листа (S) на другой (продумайте это!). На рис. 17 хорошо видно, что если
точка г'обходит вокруг начала координат О, то функция y^z .приходит к ис-
исходному значению лишь после двух, таких обходов. Отображение w=zY~z,

.48 ГЛ. II; , ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ •УНКЦЯЙ
. а потому и z—w1 является взаимно однозначным отображением, рнмановой
поверхности (S) переменкой г иа плоскость ш. .. . ..,'...
Аналогично трехзначная функция у/г является однозначной и непрерыв-
непрерывной? на сиоей римаиовой поверхности, которая конструируется из трех экземп-
экземпляров плоскости z с такими же разрезами, как выше, если их приклеить в
циклическом порядке, т. е. верхний берег первого листа подклеить к нижнему
второго, верхний второго—к ниянщму третьего и, наконец, верхний третьего —
к нижнему первого. Бескоиечнозначная функция Lnr требует для этой же
цели бесконечного числа таких же экземпляров плоскости z, которые подклеи-
подклеиваются друг к другу s виде последовательности, бесконечной в обе стороны."
Подобная конструкция возможна для любой многозначной функции f (х).
Чтобы построить римаиову поверхность, отвечающую этой функции., надо
взять столько экземпляров плоскости г, сколько значений принимает функция
при каждом г (это число одно и то же для всех г, за исключением точек
разветвления); затем надо пронести разрезы, дающие возможность выделить
все однозначные ветви этой функции, после чего вдоль разрезон подклеить
один листы к другим в соответствии с тем, как сменяют друг друга ветви при
п«реходе через эти разрезы. На своей римаиовой поверхности функция / (г)
является однозначной, и при переходе через бывшие разрезы, теперь заклеен-
заклеенные, она уже не испытывает скачка, как ее однозначные ветви.
Если функция w—g (г) однозначная и аналитическая во всей плоскости г
(за исключением, быть может, отдельных точек разрыва)) ио миоголистная, то
она осуществляет взаимно однозиачиое отображение плоскости г на риманову
поверхность, отвечающую обратной функции g~ (w) к g (z). Это отображение
будет конформным, за исключением точек разрыва функции g(z) и точек раз-
разрыва и точек разветвления функции g~ (ш). Если функция g{z) миогрзначвая
и многолистиая, то. она осуществляет взаимно однозначное отображение своей
римановой поверхности иа римаиову поверхность обратной функции.
В п. 7 мы уже говорили о том, что комплексная плоскость, дополненная
бесконечно удаленной точкой, топологически эквивалентна сфере. Можно дока-
доказать, что аналогичным .образом расширеивая римаиова поверхность, отвечаю-
отвечающая конечнозиачной функции, топологически эквивалентна сфере, либо сфере
с ручкой (что топологически то .же—тору), либо сфере с двумя ручками (т. е.
поверхности кренделя) и т. д. По числу этих ручек можно классифицировать
римаиовы поверхности. Строение римановых поверхностей, отвечающих беско-
нечиозначиым функциям, может быть значительно более сложным. (Но ие
обязательно! Например, из п. 12 следует, что римаиова поверхность, отве-
отвечающая функции Lnz, гомеоморфиа плоскости.)
14. Приложение к теории плоских полей. Пусть в некоторой
плоской области (G) плоскости х, у задано векторное поле А, не
имеющее ни вихрей, ни источников векторных линий, т. е. для ко-
которого
rot А = 0, divA = O. B6)
Такое поле может иметь различный физический смысл, однако для
простоты и единообразия его можно трактовать как поле скоростей
плоскопараллельного потока идеальной (т. е. без вязкости, и которая
всегда порождает вихри) несжимаемой жидкости,,
В п. 1.2.3 мы видели, что поле, обладающее свойствами B6),
является градиентом гармонической функции ц>(х, у). Согласно п. 3
для этой функции можно построить сопряженную гармоническую
функцию ty(x, у), называемую функцией тока; при этом величина

•§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ
49
и> = ф-|-/ф, называемая Комплексным потенциалом поля А, является
аналитической функцией переменной z = x-\-ly. . ':
Выясним смысл производной -т- . Так как в силу п. 2 ее можно
вычислять, приняв dz = dx, то
dw
rfF~ Ш Ш~1ду~л* 1Лу
(во втором переходе мы использовали второе из равенств Коши—
Римана F), а в третьем—определение градиента). Поэтому, если в
какой-либо точке z изобразить комплексное значение (-?•) / не -^1J
вектором, мы как раз получим вектор поля А в этой точке (почему?).
Из этого, в частности, следует, что даже если аналитическая
dw
функция w получится многозначной, то ее производная -т- должна
быть однозначной, так что любые две однозначные ветви функции
w(z) отличаются друг от друга на
постоянное слагаемое. Обратно, любая
аналитическая функция да (z) = <р + Zip
с однозначной производной ~ служит
комплексным потенциалом плоского по-
поля А, удовлетворяющего условиям B6).
Таким образом, рассмотрение плоских
полей, удовлетворяющих условиям B6),
сводится к рассмотрению различных
аналитических- функций, что, конечно,
гораздо проще.
. Рассмотрим линию, уровня функции
тока, т.е. линию ty(x,y) — const. Так
как в любой точке М эта линия в си-
силу п. А ортогональна проходящей через М линии <р = const, а вектор
А = grad ф также ортогонален этой линии (ЛВМ, п. XII.4), то вектор А
.в точке М касается линии гр = const (рис. 18). Но так как М—любая
точка, то линии ijj = const—это как раз векторные линии поля А;
в частности, для поля скоростей:—это линии тока, чем и объяс-
объясняется название «функция тока».
Из формулы G) вытекает еще следующее. Соединим какие-либо
точки М, и Mt любой линией (/) (рис. 18). Тогда
к
Рнс. 18.
С)
т. е. приращение функции тока вдоль любой линии (I) равно потоку
поля через (/) слева направо по направлению движения вдоль (/).

50
ГД. U. ТЕОРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Теперь легко понять смысл возможной многозначности функции
w (г), которая может представиться, только если область (О) неод-
носвязна (ср. п. 1.2.2). Пусть точка z обходит в положительном
направлении замкнутый контур (L), внутри которого расположена
«полость» (D) области (О) (рис. 19); эта
полость может, в частности, состоять из
единственной точки.. Тогда приращение
Д?ф = TD функции <р равно (п. 1.2.2) цир-
циркуляции поля А по (?); а в силу преды-
предыдущего абзаца приращение ALty = QD
. функции гр равно потоку поля А через
(L) в направлении изнутри.наружу; прира-
приращение же ALw = А^ + /Ajr_4jj = TD -f- iQjy,
Итак, многозначность функции w сви-
свидетельствует о наличии в полостях обла-
¦-•' Рис. 19. сти (О) источников циркуляции или ис-
;.''-•¦•¦-¦¦¦•'• точников векторных линий поля А. (За-
(Заметим, что внутри (О) таких* источников в силу условий B6) не
может быть.)
Пусть область (G) конечносвязна, например, А-связна B^ k <oo);
это значит, что у нее имеется k— 1 полостей (Z>x), :(D8), ... , (?>fc-1).
Выберем в (^замкнутый контур (S), охватывающий, всё эти поло-
полости, и будем проходить его в отрицательном направлении.
Тогда в приращений AsW — FaB-j-iQa, величину Г» естественно
трактовать как циркуляцию поля, порождаемую на бесконечности,
a Q»—как обильность источника векторных линий на бесконечности.
Легко проверить (продумайте это!), что :
rOl+TDl+..'
Если область (G) конечная, то роль бесконечности играет внеш-
внешняя компонента связности (т. е. связный кусок) границы (О). Если
область (О) бесконечная и имеет некоторые из компонент связности
границы бесконечными (например, граница полосы, из которой вырезан
круг, имеет две бесконечные и одну конечную компоненты связности),
то при рассмотрении Г„ и QM такие компоненты причисляются к
бесконечно удаленной точке.
Подчеркнем в заключение, что. функция w(z) аналитична виутри
(О) (или, что то же, в открытой области (О)). В отдельных точках
границы (О) аналитичность может нарушаться.
15. Примеры. Рассмотрим комплексный потенциал
B7)

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ И ОТОБРАЖЕНИЯ
51
где Г — вещественное число. Приравнивая ч|? = Im тю постоянной,
получим линии тока 1п|г| = const, т. е. окружности )"л?j = const
(рис. 20). Функция B7) аналитична в двусвязной области z =й= О
и при обходе вокруг точки z = 0 J^w = -^- -2я = Г. Таким образом,
в этой точке порождается циркуляция Г (на рнс. 20 показан слу-
случай Г > О). Точка z = 0 для потенциала B7) называется вихревой
точкой, а соответствующее поле А называется элементарным вихрем;
так как
dw _ Г 1 _ Г 1 _ Г — у—ix
dz ~2ni г ~2ш x+iy ~~ 2п хг-\-у* *
то в силу п. 14
Любопытно, что поле элементарного вихря при z=j*=O является без-
безвихревым; если трактовать А как поле скоростей плоскопараллель-
плоскопараллельного потока жидкости (тогда естественно говорить о вихревой оси
Рис 20.
Рис. 21.
х—у = 0), то малые объемы жидкости испытывают поступательный
перенос и деформационные движения (подробнее об этом см. в п. V.I.5.),
тогда как угловые скорости равны нулю.
Если рассматривать поле во всей плоскости х, у, включая точку г=0,
то рассуждая аналогично п. 1.2.4, получим, что
divA=0, rotA=rd(*N(i/)k,
так что первое из условий B6) не выполняется. Значит, для применения рас-
рассмотрений п. 14 точку х=у—0 необходимо исключить.
Аналогичное рассмотрение комплексного потенциала
1 w — ~Lnz (Q вещественное)
'2я
B9)
приводит к точечному источнику, показанному на рис.21 при<?>0
и уж€ рассмотренному в п. 1.2.4.

52
ГЛ. И. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Из потенциалов B7) и B9) можно получить другие распростра-
распространенные поля. Так, диполь (п. 1.2.4), расположенный в точке я = 0
с осью х и моментом М имеет комплексный потенциал
—M/h
-«¦•¦г. C0)
Если источник поля распределен вдоль некоторой линии (L) с Ли-
Линейной плотностью 9— ?(?)> гДе ?€(?)> то соответствующее поле
называется простым слоем и имеет потенциал
()
где |rf?| равно элементу длины дуги (I). Результат аналогичных
распределений вихря B7) вдоль линии называется вихревой линией,
а диполя C0) с осью по нормали к линии — двойным слоем. Мы пре-
предоставляем читателю вывести формулы
для соответствующих комплексных по-
потенциалов
Рис. 22.
2п J *-t "*•
. ¦ . (t) .
Рассмотрим еще простой пример потен-
потенциала
ш=*гя=*я—уг+i2xy.
C1)
Линии тока имеют вид гипербол jcy=const (рис. 22); векторные линии обра-
образуют седло (ЛВМ, п. XV.7). Чтобы иайти ваправление поля вдоль этих ли-
линий, достаточно построить вектор поля в какой-либо одной неособой точке,
Тогда в остальных точках это направление можно продолжить по непрерыв-
непрерывности (в близких точках и направления поля близкя). Так как, например.
(S)'L-«•!«-*
то направления будут такими, как показано иа рис. 22 (проверьте!).
Любое поле можно рассматривать не на всей плоскости г, а на некоторой
ее области. Если рассматривать поле с потенциалом C1) лишь в квадранте
*S=0, у^О, то.таким, в частности, будет поле скоростей идеальной жидкости,
обтекающей изнутри прямой угол.
16. Краевые задачи и конформные отображения. В п. 14 мы видели, что
пря построении в заданной плоской области (G) поля А, удовлетворяющего усло-
условиям B6), имеется высокая степень произвола: это поле может иметь в. каче-
качестве комплексного потенциала любую (вообще говоря, многозначную) анали-
аналитическую в (G) функцию си (г) с однозначной производной. Поэтому если из
таких полей надо выбрать какое-либо одно, вполне определенное, то должны
быть указаны дополнительные условяя, обеспечивающие разрешимость задачи

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ 63
и единственность решения. Обычно эти условия имеют вид некоторого скаляр-
скалярного краевого условия, т, е. равенства, связывающего проекции искомого поля
(н, быть может, нх производные) вкаждой точке границы (S) области (б).
(Поэтому краевое условие имеет здесь вид функционального равенства, т. е.
равенства, связывающего функции, а не числового, как в ЛВМ, п. XV.16.)
В такую краевую задачу (т. е. задачу о построении поля при заданных кра-
краевых условиях) может входить также несколько числовых равенств.
Пусть, например, область (G) конечна (тогда краевая задача называется
внутренней), и. односвязна, а поле. А истолковывается как поле скоростей
идеальной жидкости. Тогда из физических соображений естественно, что это
поле однозначно определяется, если в каждой точке M?(S) задать интенсив-
интенсивность потока, протекающего через (S) в этой точке, т. е. задать функцию -•
Ап\м^В(М) (A*€(S)), . C2)
где в качестве п для определенности берется направление внешней нормали.
При этом должно выполняться условие
^Q C3)
(S)
(почему?). Можно доказать н математически, без всякой ссылки на физику,
что задача о построении поля А, удовлетворяющего уравнениям B6) н краевому
условию C2), прн необходимом соотношении C3) имеет ровно одно решение.
Если область (G) конечна, но 6-связна (*3г2), то вокруг ее полостей
могут возникнуть циркуляционные движения (см. п. 14); поэтому должны
быть дополнительно заданы значения
fxdL=Tj (/==1, 2, .... ft-1)
(Lj)
для замкнутых контуров (L{), (L2), ... , (L^-i), каждый из которых содержит
внутри себя только одну из полостей области (G). Если область (G) получает-
получается выбрасыванием из плоскости одной или нескольких конечных областей
(тогда краеиая задача называется внешней), то опять-таки из физических
соображений следует, что дополнительно надо задать значение А» поля на беско-
бесконечности («скорость набегающего потока жидкости»). Это условие также можно
оправдать математически. Отметим, что при математическом уточнении надо
потребовать, чтобы поле не имело на (S) особенностей типа диполей (п. 15)
или более высокого порядка.
Имеется н много других типов ираевых условий. Подробно различные
краевые задачи исследуются в теории уравнений математической фнзнкн, здесь
мы приведем только некоторые простые соображения, непосредственно примы-
примыкающие к материалу этой главы.
Остановимся для определенности на внешней краевой задаче о построение
плоского поля А, удовлетворяющего вне некоторого замкнутого контура (S)
условиям B6), а также краевому и добавочным условиям
А„\($>=*=0, А» задано, ш A^dL = T (задано). C4)
(t)
Решение можно истолковать как поле скоростей идеальной жидкости, набега-
набегающей со скоростью Аоо на непроницаемый контур (S), которое имеет заданную
циркуляцию Г по некоторому контуру (/,), охватывающему (S) (рнс. 23).
Будем искать комплексный потенциал а) (г) поля А (п. 14); тогда условия C4)
можно переписать в виде

54
ГЛ. Н. ТЕОРИЯ. АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(продувайте!).. Первое из этих условий—функциональное—можно записать в
так: ^ зэ 0, т. е. Ira w tm const, вся (S) принадлежит одной нз линий
тока, что очевидно и из физических соображений.
Основная-идея метод» решения поставленной краевой задачи, основанного
на применении конформных отображений, состоит в следующем. Пусть, нам
удалось осуществить конформное
отображение ?=/ (z) области (G),
внешней по отношению к (S), на об-
область (Я) плоскости ?, внешнюю
по отношению и некоторой замкну-
замкнутой линии (Т). При этом отображе-
отображении точки линии (S) отвечают точ^
кам линии (Т), а точка z=oo отве-
отвечает точке ?=оо. Пусть линия (Т)
оказалась настолько простой, что
в области (Я) мы можем решить
аналогичную краевую задачу о по-
построении аналитической-функции
о) (?), удовлетворяющей условиям
Im <в I = const,
Рнс. 23.
=Ь,
C6)
постоянной Ъ будет вскоре уточнено, а под (Л) понимается какой-
(ff), охватывающий (Т). «внесем» з (Я)
где значение постоя
либо контур в (Н), охватывающий (Т). «Снесем» значения' ш с точек (Я) в соот-
соответствующие точки @),т. е. положим О) (г)=to (Hz)). Тогда нетрудно проверить
(проделайте это!), что эта функция аналитичная внутри (G) и удовлетворяет
первому и третьему из условий C5). Кроме того, . >.
.,...¦ dz
значит, и второе из условий C5) будет удовлетворено, если в C6) положить
Рассмотрим пример. Пусть (S)—это окружность |z| = i?j а вещественно;
С f Z /? \
Г=0. В силу п. 11 функция %,=-к\-пЛ ) осуществляет конформное от-
-. \ ^ ^ J
ображение области (G), внешней по отношению к (S), на область (Я), внешней
по отношению к отрезку (Г) с концами ? = —с а ?=с. Для такой области крае-
2aR 2aR
вая задача C6) с 6=
j7"
= имеет простое решение <в= С (проверь-
с , с
/ () ,
Ttt). Снося эти значения в (G), получим решение в плоскости z
— потенциал бесциркуляционного обтекання окружности. Отсюда легко найти
и потенциал циркуляционного обтекания окружности
Г
г )
(проверьте!). Снося этот потенциал в различные области, можно получить ре-
решение задачи C5) для различных контуров (S).
К внутренним краевым задачам конформное отображение применяется со-
совершенно аналогично.

§ !. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ
55
• Конформные отображения применяются также к интересному н пока' не-
недостаточно изученному классу краевых задач, в которых граница области (С)
заранее полностью или частично не задана; такие краевые задачи иногда на-
называют обратными. Покажем для примера схему решения одной из таких за-
задач, именно плоской задачи о свободном истечении струи невесомой идеальной
жидкости. Пусть истечение происходит, как на рис. 24, причем твердые стеики,
показанные жирно, заданы; а свободная поверхность ае струи заранее неиз-
неизвестна. Точки Ь, с, d, e находятся на бесконечности; таким образом, точка
z=oo янляется двойной точкой границы (G): в далеких точках сосуда имеется
источник, а в далеких точках струи—сток жидкости.
На не заданном заранее участке границы должно-быть поставлено доба-
добавочное граничное условие. В рассматриваемой задаче условием, добавочным
к А„ = 0 (А— вектор скорости), является равенство 4=const, которое легко
Л
Рис. 24.
Рис. 25.
вытекает из закона сохранения энергии. Для построения линии ее и комплекс-
комплексного потенциала w (г) поля А рассмотрим отображение области (G) в плоскость ?,
определяемое формулой ?=oi' (г). Вспомнив смысл этой производной (п. 14), а
также граничные условия для поля А, получим, что при этом отображении
образом области (G) служит четверть-круга, т. е. область (Я) с известной
границей (см. рис. 25, где указаны также точки, отвечающие обозначенным
точкам контура (G)). Действительно, при таком отображении отрезок cd пере-
переходит н отрезок вещественной оси c'd', включая нулевую точку (почему?), так
как на cd будет Ах > О,
А =0.
а отрезок Ьа—в отрезок мнимой оси Ь'а'
в силу граничных условий 'ЛЛ=0, Ау < 0.
Задача о построении поля B6) в (Я), удовлетворяющего граничному усло-
условию /4„=0 и имеющего источник обильности Q в с' и сток в d', легко решается
с помощью конформного отображения (Я) иа область более простого иида, иа
чем мы не будем здесь останавливаться. Оказывается, что соответствующий
20 / С R \
комплексный потенциал ш(?) равен Ln (-^ р-J ; снося его в ^.по-
^.получим потенциал oi=(o(? (г)) исходной задачи. Но ?=-г-, т. е. мы прнходим
к равенству hi=<d (-з-) . представляющему собой дифференциальиое уравнение
относительно функции w (г), так что еще надо решить это уравнение (в Этом
и проявилась специфика обратной задачи), и только после этого мы получим
искомый потенциал. Зиая его, уже легко получить линию ае как линию юна,
. проходящую через заданную точку о. Вычисления, которые мы предоставляем
желающим, приводят к уравнению линии ее:

56 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
где А,—ширина струи иа выходе, а параметр t меняется отОдо я/2. Переход
20
к пределу при t —* л/2 дает значение km~ho—-^k ширины струи на беско-
бесконечности. Нр A«R==Q (почему?), откуда #=тр (l+-r-J, Параметры Ло aQ
остаются произвольными. ¦ .
17. Общие замечания о конформных отображениях. Здесь мы
приведем без доказательства некоторые общие сведения о конформ-
конформных отображениях. Доказательства этих фактов, которые полезно
иметь в виду, порой довольно сложны; их можно найти в литературе,
указанной в начале главы. .
Прежде всего возникает вопрос о принципиальной возможности т-
иезависимо от технического осуществления—конформного отобра-
отображения произвольной области (О) на любую другую область (Н). Бу^
дем впредь считать эти области открытыми и не содержащими беско-
бесконечно удаленной точки. Б. Рнман в 1851 г. доказал, что если каж-
каждая из областей (G), (Н) одноевязна и не совпадает со всей плоскостью,
то такое отображение всегда возможно. При выборе этого отображения
имеется три вещественные степени свободы. В частно-
частности, если задать образ в (Я) одной из точек (О) (это два вещест-
вещественных условия) и угол поворота малой окрестности этой точки (еще
одно условие), то отображение определено однозначно. Для этой
же цели можно задать образы одной внутренней и одной граничной
точек (G), нлн трех граничных точек (О) (в последнем случае образы
на границе (Я) должны располагаться в том же порядке, что про-
прообразы на границе (G)).
Для многосвязных областей дело обстоит сложнее. Прежде всего,
области различного порядка связности (п. 1.2.2) конформно (и даже
вообще гомеоморфно—см. п. 7) отобразить друг на друга невоз-
невозможно; в частности, одиосвязиую область (О) никогда нельзя кон-
конформно отобразить на неодносвязную область (Я). Впрочем, последнее
легко понять: если отображение возможно и (S)—замнутый контур
в (Я), окружающий какую-либо из полостей (Я), a (Z.)—соответст-
(Z.)—соответствующий E) контур в (G), то, стягивая (?) в точку и следя за со-
соответствующим изменением E), мы приходим к противоречию (про-
(продумайте это!).
Но и области одинакового порядка связности далеко не всегда
можно конформно отобразить одна на другую. Например, можно до-
доказать, что каждую двухсвязную область, отличную от плоскости
с выколотой точкой, можно конформно отобразить на кольцо /?0 <
<|г|<1, где 0<1#0<1 и число/?0 определено однозначно, т.е.
кольца с разными Ro друг на друга конформно отобразить нельзя.
Для областей высшего порядка связности картина еще сложнее, и
мы не будем ее здесь рассматривать.
При конформном отображении открытой области (О)на открытую
область (Я) граничные, точки 9тих областей также находятся во

§ IV
и
57"
взаимно однозначном соответствии. (Это выражают также словами:
конформное отображение (б) на (//) можно продолжить до гомеоморф
физма соответствующих замкнутых областей.) При этом надо иметь
в виду, что граничная точка, к которой имеются существенно раз:
личные пути подхода из области (точнее—пути, не деформируемые
один в другой в пределах области в достаточно малой окрестности
этой точки), Называется кратной точкой границы, т. ё. считается за
несколько точек в зависимости от числа таких путей. Например, дли
односвязной области, показанной на рис. 26 и имеющей вид беско-"
неЧной полосы с крестообразным разрезом, граничные точки полосы,
за исключением точек z = oo и z = a, имеют кратность I, т. е. яв-
являются простыми; точка г = 6о и все точки разреза, за исключением
центра креста, имеют кратность 2; центр креста имеет кратность 4.
На рис. 26 пунктиром показано, в ка-
каком порядке ;граничные точки этой
области отображаются на точки окруж-
окружности, если сама область конформно
отображается на круг; в частности,
центру креста отвечают четыре раз-
различные точки окружности.
Отображение сохраняет - конформ-
конформность и на границе областей, за исклю-
исключением Отдельных точек. Именно, пусть
а—некоторая точка границы (G), а
а' — соответствующая точка границы (Я); будем считать обе точки
конечными. Тогда, если в а и а' граница без излома и имеет конеч-
конечную кривизну (последнее требование можно существенно ослабить),
то отображение в этнх точках конформно. Если же область (О) обра-
образует вблизи точки а угол а, а область (Я) вблизи а'—угол а\ то
конформное отображение (О)—-*(Я) имеет вблизи а с точностью до
малых высшего порядка вид ^=a' + C(z—а)а'/а (ср. п. 9; заме-
заметим, что второе слагаемое в некоторых случаях имеет добавочный
множитель типа [Ln(z—а)Р), так что при аФа' конформность
отображения в точке а наверняка нарушается.
Иногда применяется следующее простое правило симметрии при
конформном отображении. Допустим, что граница области (О) содер-
содержит прямолинейный участок ab и что вся область (О) расположена
по одну сторону от прямой (/), служащей продолжением этого уча-
участка; область (Я) обладает теми же свойствами для участка а'Ь' и
прямой (/'). Пусть при конформном отображении ?=/(z) области (G)
на область (Я) указанные участки соответствуют один другому.
Произведем «удвоение» области (О), присоединив к ней ее зеркаль-
зеркальный образ относительно (/), а также интервал ab (см; рис. 27, на
котором исходная область (G) заштрихована). Обозначи» лолучениую
«двойную»1 область через (б) и осуществим аналогичное' удвоение
Рис, 26.

58 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
области (Я) до (#). Теперь легко расширить (продолжить) отображе-
отображение / до конформного отображения (б) на (И): для этого надо, если z
находится в (G) или иа границе (О), считать f(z) таким же, как до
удвоения, а если zx и z2 симметричны относительно (/) (рис. 27),
считать, что /BХ) и /(г2) симметричны относительно (/'). Мы пре-
предоставляем читателю проверить, что так
определенное отображение конформно в
зеркальном образе (О), а потому н во
всем (G).
Подобное продолжение конформного.
отображения на основе симметрии можно
осуществлять и через дугу окружности
(п. 8). Оказывается, что аналогичное
продолжение можно производить через
дугу без особых точек любой линии,
рнс 27. если предварительно с помощью добавоч-
добавочного конформного отображения «распря-
«распрямить» эту дугу; однако в общем случае указать более широкие
области, на которые продолжается отображение, бывает , весьма
трудно (а продолжение нелинейного отображения на всю плоскость
заведомо невозможно).
Ряд результатов получен различными авторами в проблеме изучения за-
зависимости конформного отображения от изменения границы отображаемой об-
области. Эти результаты в некоторых случаях дают возможность получить раз-
различные характеристики отображения области со сложной границей, заключив
последнюю между двумя простыми границами, для которых отображение легко
выписывается. Мы ограничимся для примера лишь формулировкой принципа
Линделёфа, относящегося к изменению конформного отображения области на
круг при ее уменьшении (см. ниже), отослав интересующихся за доказатель-
доказательствами, дальнейшими результатами н их приложениями к книге [66].
Итак, допустим, что одиосвязная область (G) с границей (S) целиком со-
содержится в конечной одиосвязиой области (Н) Ф (G) с границей. (Т), и пусть
функция X (z) отображает конформно (G) на единичный круг, а г|> (г)—область (Я)
на тот же круг, причем 0?(G), % @) = ob @) = 0. Тогда оказывается, что при
любом г, 0</-<1, замкнутый контур \%(г)\=г расположен строго внутри
(без соприкосновений!) замкнутого контура | ф (г) \ = г; | X' @) | > | ф' @) |; если
(S) и (Т) имеют до крайней мере одну общую точку г„, то | X' (г0) I < | ф' (г„) |;
если (S) и (Т) имеют полярные уравнения соответственно р = а(ф) и р = Р(ф)
с однозначными правыми частями, причем Р (фо)—а(<ро)=тах !Р(<Р)—а(фI.
то а (ф0) | х' (а (<Ро) Л) IS* Р (Фо) IФ' (Р (<Ро) *'?-) |-
Полезно иметь в виду также, что влияние изменения границы отображае-
отображаемой области на небольшом участке при удалении от этого участка быстро за-
затухает.
18. Применение метода малого параметра. Так как в реальных
вычислениях точно отобразить конформно друг на друга удается лишь
области сравнительно простого вида, то разработан п,елый ряд ме-
методов приближенного конформного отображения, пригодных, для более
широких классов областей. Эти методы описаны в книгах [66] и осо-

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ОТОБРАЖЕНИЯ 59
бенно [44, 51, 84, 116]. Здесь мы рассмотрим только применение
метода малого параметра (ЛВМ, п. V.5) для конформного отобра-
отображения на круг области, близкой к кругу. Полученный результат
можно применить к более общей задаче о конформном отображении
мало измененной области (О) на область (Я), если (G) и (Н) имеют
сравнительно простой вид. В самом деле, пусть функцииg(z) и h(z)
осуществляют конформное отображение областей (G) и (Н) соответ-
соответственно на единичный круг, а область (GJ получена из (О) малым
изменением контура. Тогда область g(Gt) близка к единичному кругу
(почему?). Если функция fl осуществляет отображение этой области
на единичный круг, то функция h~ (ft {g(z))), где черточкой обозна-
обозначена обратная функция, осуществляет конформное отображение (Gx)
на (Н):
Нам потребуется простая лемма.
Лемма. Для того чтобы функция, разложенная в комплексный ряд Фурье
(ЛВМ, п. XVII.26)
•¦' • /<*>=»¦ 2 с*еМ' <37>
п = — а> . '
имела постоянный модуль, необходимо и достаточно, чтобы
2 сЬп+Р=0 (Р=1. 2, 3, ...); C8)
л= — «
при выполнении этого условия
2 \с„\з. C9)
Для доказательства нужно помножить равенство C7) на сопряженное
п т
1/@1а=
2
п. т т, р
2m+ 2 (St
щ РФО \ т
откуда вытекают условия C8) при р Ф 0 я равенство C9). Однако
2сяся-р=('2с'»сп+;Л* (проверьте!), так что у с ловя я C8) достаточно потре-
потребовать лишь при р > 0. Лемма доказана.
Перейдем теперь к применению метода малого параметра. Пусть область (G)
ограничена замкнутым контуром с уравнением
г=е"-г-а Jj dnM, D0)
n=-«
где ос—вещественный, малый параметр, а множятелем при нем стоит произ-
произвольная перяодяческая функция с периодом 2л, что требуется для замкнутости
контура. Пря а=0 область (GJ Представляет собой единичный круг, так что

60 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
можно исходить из тождественного отображения ?=z. Следуя методу малого
параметра, примем, что'приа Ф 0искомое отображение области (<?а) иа круг(Я) .
имеет вид " ' ' ¦'¦'•
4-e^Ti «+'... D1)
Для нормировки отображения примем, что, как и при о=0,
Здесь четыре вещественных равенства (почему?), тогда как конформное отобра-
жевие в силу п. 17 нормируется тремя. Поэтому введем дополнительную«тепень
свободы, не фиксируя заранее радиус R круга (Я): |?| < #.' ¦ • ¦
Будем искать все функции g/(г) в виде сумм степенных рядов. Тогда из
формул D1) и D2) вытекает, что у этих рядов свободные н ^инейные члены
должны отсутствовать, т. е. получаем : ¦ ' ч
Задача состоит в том, чтобы найтн все коэффициенты ад.
Так иак граница области (G) должна перейти в окружность |И=/?;\то
функция от t, получающаяся в результате подстановки выражения D0) в пра»
вую часть D3), т. е. •
2 2
ft=2 L n=-» J ' ¦¦-¦
должна иметь постоянный модуль R. Значит, можно воспользоваться доказан-
доказанной выше леммой, имея в виду, что все коэффициенты с„, которые можно
получить с помощью перегруппировки членов в выражении D4), представляют
собой ряды по степеням а; поэтому каждое из равенств C8) порождает целую
серию соотношений-, полученных приравниванием нулю коэффициентов при
каждой степени а. Выпишем начальные члены разложений коэффициентов с„:
cn=adn4-..-(n<0); c1 = l+arf1-(-...; cn=a(dn+aln)+...(/i^2). D5)
Подставляя эти разложения в C8) и выписывая коэффициенты при а, получим
(проверьте!) {dp+l-\-alt p+i)+dt-p=Q, откуда
«i*=-<**-<?-* (А=2, 3, 4, ...). D6)
Для получения коэффициентов ац, надо было бы продолжить разложения D5)
до членов с а1, а в разложениях C8) выписать коэффициент при аа, что мы
предоставляем читателю, Заметим также, что нз C8) н D5) вытекает начало
разложения для R*:
#»= 1+2 Re <*!«-(¦¦... D7)
Если бы мы хотели получить отображение области (Ga) на круг единичного
радиуса, то следовало бы функцию D3) разделить на найденное значение R,
Линейную часть полученного результата можно представить также,в ин-
интегральной форме, которая иногда оказывается предпочтительнее. Для этого
построим соответствующую функцию влияния (ЛВМ, п. XIV.26); но так как
задача о построении конформного отображения нелинейна, то надо воспользо-
воспользоваться замечанием, сделанным в конце указанного пункта, т. е. иайти про-
пронормированный результат малого влияния. Поэтому допустим сначала, что

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
61
полярное , уравнение .контура области (йр) имеет вид р==1-f Р6 (ф—ф,)
@<ф<2я), где | Р'I <^ 1, а 6—дельта-функция. Это же уравнение можно
записать в виде z=elf-{-P& (ф—щ) е1?, откуда, сравнивая с D0), полагаем
<=ф, а=Р, dn=r^— ea~n)ifo (проверьте!). Будем считать, что .(//)-^единич-
.(//)-^единичный круг, для чего функцию D3) разделим на значение R из D7); учитывая
формулу D6), получаем функцию влияния для возмущения отображающей
функции
G{z; ф„)^г lim w(\~z)~ I™ тИ U-^S (dk+dt-k)zk+ ... X
V L *=2 - J
(»ро*ерьте!). Отсюда по общей методике применения функции влияния, если
контур отображаемой области имеет полярное уравнение р=1+р(<р), где
| р (<р) | <^ 1, то отображение, с точностью до малых высшего порядка, имеет вид
2л 2л . ,„_/„_
Г» ¦ 1С.'
ш=г+\ 0(г; ф0) р (^й j
Г»
\
0
'¦/-. По поводу дальнейших результатов в этом направлении (в частности, для
областей иного вида), а также их приложений см. [66].
§ 2. Интегрирование и степенные ряды
1; Интеграл. Пусть в комплексной плоскости г задана ориенти-
ориентированная линия (L), а в ее точках заданы значения некоторой функ-
функции /(г). Тогда определение интеграла
A)
дается совершенно аналогично тому, как
для криволинейного интеграла по коор-
координате (ЛВМ, п. XIV.23), причем смысл
обозначений показан на рис. 28. Если
линия (I) имеет конечную длину, а функ- Рнс зд
цня /(г) в точках z?{L) принимает ко-
конечные значения, то и интеграл A) имеет определенное конечное
комплексное значение. Если же хотя бы одно из этих условий не
выполняется, то интеграл J f(z)dz несобственный, и вопрос о его
(t)
сходимости решается аналогично тому, как это делается для веще-
вещественных интегралов.

62 ГЛ. П. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Интеграл A) легко сводится к вещественным криволинейным ин-
интегралам. Для этого обозначим f{z) = u(z)-\- iv{z), z — x-\-iy; тогда
B)
Поэтому интеграл A) обладает теми же простыми общими свойствами,
что и криволинейные интегралы по координатам. Отметим, в част-
частности, что прн перемене ориентации линии (?) интеграл A) умно-
умножается на —1.
Если для функции f{z) удается найти первообразную F{z), то
для вычисления интеграла A) можно воспользоваться формулой
Ньют он а—Лейбница
где символ в правой части означает приращение функции F(z),
когда точка z проходит линию (?) в соответствии с ее ориентацией.
Если прн этом функция F(z) получится многозначной (а функция
f(z) подразумевается однозначной), то надо начать от какого-либо
одного ее значения, а затем следить за его непрерывным изменением.
Учитывая, что модуль суммы не превосходит суммы модулей,
a \dz\ = dL (элементу длины), получим оценки интеграла
, C)
где под ?, как обычно, понимается длина линии (?).
2. Интеграл от аналитической функции. Пусть функция f(z)
однозначная и аналитическая во всех точках некоторой открытой
области (О). Тогда для интегралов в правой части B) выполнено
необходимое условие независимости интеграла от контура интегри-
интегрирования. В самом деле, для интеграла \ (Pdx-\-Qdy) это условие
имеет внд rr-==-r-^ (ЛВМ, п. XIV.24); оно же означает, что поле
А = Pi + Qi безвихревое. Если это условие применить к интегралам
в правой части B), то получатся как раз соотношения Коши—Ри-
мана A.6) (проверьте!), которые для аналитической функции выпол-
выполняются.
Применяя к интегралам B) результаты пп. 1.2.1,2, непосредственно
получаем следующие утверждения.
Если область (О) односеязная, то интеграл
г
D)
'**
при фиксированной zt зависит только от z, но не зависит от кон-
\f{z)dz

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 63
тура интегрирования, расположенного в (G); этот интеграл представ-
представляет собой первообразную к f(z). Имеет место равенство
)dz = Q E)
для любого замкнутого контура (L) в (G).
Если область (О) не односвязная, то интеграл D) представляет
собой, вообще говоря, бесконечнозначную функцию z, различные ветвн
которой отличаются друг от друга на постоянное влагаемое и Слу-
Служат первообразными к f{z). Равенство E) гарантируется для зам-
замкнутых контурдв, внутренность которых целиком принадлежа (G).
Для 'остальных Замкнутых контуров (?) можно утверждать только,
что интеграл (pf(z)dz остается неизменным, если контур (L) не-
прерывно деформировать, не выводя его в процессе деформации
за пределы, (Q). (Это верно н для разомкнутых контуров, если
в .процессе деформации контура не менять его концы.). . , .:
В. частности, мы вндим, что если функция f(z) однозначная и
аналитическая, всюду внутри замкнутого контура (L) и на нем, то
имеет Mecjo формула E). Это важное предложение называют теоре-
теоремой Коми.
Отметим, что под словами «аналитичность на контуре» обычно понимается,
«аналитичность в некоторой полоске, содержащей этот коитур». В теореме
Коши и в других аналогичных предложениях достаточно требовать аналитич-
аналитичность функции строго внутри контура, а на самом контуре требовать только,
чтобы функция сохраняла непрерывность.
Подчеркнём еще раз, что здесь н всюду в дальнейшем мы рас-
рассматриваем интегралы только от однозначных функций, о чем мы
не будем впредь постоянно упоминать. Если подынтегральная функ-
функция по первоначальному определению многозначная, то мы будем
пользоваться ее определенной ветвью н считать, что контур инте-
интегрирования не пересекает разрезы. В более сложных вычислениях
иногда приходится от этого условия отказываться; тогда нужно
тщательно указывать, какие именно значения подынтегральной функ-
функции имеются в виду,, а возможность применения интегральных теорем
требует каждый раз специального исследования.
,3. Ряды Лораиа. Ряды Лорана, названные по имени французского
математика П. Лор&на A813—1854), широко применяются в теории
аналитических функций. Эти ряды являются обобщением степенных
и имеют общий вид
Таким образом, по сравнению с обычными степенными рядами здесь
допускаются также степени с целыми отрицательными показателями.

64 ГЛ. 11. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Поэтому ряд Лорана, вообще говоря, бесконечен в обе стороны,
хотя в частных случаях он может быть конечным в одну или даже
в обе стороны. Ряды '
co + clZ + c2z»+... и ?=3 + ^« + ?^+-... G)
называются соответственно регулярной (иначе правильной) и сингу-
сингулярной (главной) частями ряда F).
Первый ряд G)—это обычный степенной ряд, а потому он схо-.
дится в некотором круге ]z|</?a (ЛВМ, п. XVII.14). Второй ряд
G)—это степенной ряд относительно —, а потому он сходится'
в некоторой области —
< р, т. e. | z | > — = /?j. Чтобы сходились
оба ряда G), должно быть Rt < | z\ < /?a. В случае R1<.Ri, а только
он и представляет интерес, это условие опре-
определяет в плоскости z кольцо (К) (рис. 29),.,в
точках которого и сходится ряд F). Он может
сходиться также в некоторых точках окружно-
окружностей | z | = R1 и | z | = /?2, тогда как при | г \ .< Rx
и |z{>/?2 ряд F) расходится. Рис. 29 отно-
относится к случаю, когда /?j > 0, Rt < oo; поду-
подумайте, что будет, если одно нли оба из этих
условий нарушаются.
В силу предыдущего абзаца на ряды вида
Рис. 29. F) естественно распространяются свойства
обычных степенных рядов (ЛВМ, п. XVII. 11).
В частности, если обозначить сумму ряда F) в (Л') через /(г), то
формулу
/(*)-= 2 V*. *€(*), (8)
, *=«
глтхно почленно дифференцировать любое число раз, а потому сум-
сумма ряда Лорана представляет собой в кольце его сходимости анали-
аналитическую функцию. При почленном интегрировании ряда F) возникает
осложнение, так как при с_1^0 получается сумма
(9)
ряда Лорана и многозначной логарифмической функции. Поэтому,
если проинтегрировать формулу (8) по замкнутому контуру [L), обхо-
обходящему по (К) внутреннюю окружность один раз в положительном на-
направлении .(рис!. 29), и воспользоваться формулой Ньютона—Лейбница,
мы получим
§f{z)dz^Fi<z)\(L) = 0-\-c_i.2ni. A0)

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 65
Все члены в правой части (9), кроме последнего, представляют со-
собой однозначные функции и потому при обходе замкнутого контура
не получают приращения.
Ряд Лорана может иметь также вид
00
2 cft(z—ze)*;
тогда он будет сходиться в некотором кольце с центром в точке Яо.
Такие ряды встречались уже в работах Л. Эйлера 1748 г.
4. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. В п. 3
мы показали, что сумма ряда Лорана представляет собой аналити-
аналитическую функцию в кольце его сходимости. Сейчас мы проверим,
что и, обратно, функция f(z), однозначная и аналитическая в неко-
некотором кольце (К), разлагается в нем в ряд Лорана
оо
где zt—центр кольца; эта важная теорема была доказана П. Лора-
Лораном в 1843 г.
При доказательстве для простоты записи будем считать, что центр кольца
находится в точке z=0, т. е. кольцо определено неравенствами Rt < \г\ <Rit
где 0<Ri<Ri<ao. Положим z=pelv, где р постоянно, Ri < р < R%.
Тогда величина / (peh) будет функцией от ср, периодической с периодом 2л
(почему?). Разложим ее в комплексный ряд Фурье (ЛВМ, п. XVII.26)
Ч A2)
коэффициенты которого, зависящие от зафиксированного р, onpv-деляютси фор-
формулой
Л 2л
Чтобы уточнить эту зависимость, продифференцируем обе части по р, учиты-
учитывая, что р входит под знак интеграла как параметр (ЛВМ, п. XIV.20):
2я 2я
! [ ] l
о о
Проинтегрируем теперь полученный интеграл по частям, положив e~l/if=u,
откуда du——e~lk4kd<f, o = — f (pety (проверьте!).
Это дает
2я
3 А. Д. Мышкно

66
ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Внеинтегральный член равен нулю (почему?), и, сравнивая результат с A3),
приходим к дифференциальному уравнению
rfCft k „ dCk .dp „ . .
~д§~~ск, откуда -^=ft-f. cft(P)=cftpft
(проверьте!). Подставляя этот результат в A2) и A3), получаем разложение
00 00 00
справедливое для всех z <; (К). Итак, утверждение предыдущего
абзаца доказано.
Чтобы получить формулу для коэффициентов ck, поменяем в пра-
правой части A1) обозначение индекса суммирования к на / и затем
поделим обе части иа {г—zo)k+1; это даст
f{z)(z-zo)-"-l= 2 ci {z-za)l-*-\ A4)
/ = — оо
Теперь проинтегрируем обе части по какому-либо замкнутому кон-
контуру (L), обходящему по (К) точку zt один раз в положительном
направлении. При этом надо воспользоваться тем, что для любого
целого т Ф—1 будет ф (z—zo)mdz=O, тогда как ф (z—zu)~xdz—2ni
(почему?). Поэтому после интегрирования правой части A4) останется
только член с l = k, и мы получим d)f(z)(z—zu)~k~1dz = ck-2ni,
откуда
(*-о.
Формула (И) может оказаться справедливой и за пределами
кольца (К). Пусть, например, это кольцо иа рис. 30 заштриховано,
а функция f(z) аналитична на всей пло-
плоскости z, за исключением точек и линии
разрыва, отмеченных на рис. 30 звездоч-
звездочками. Тогда в концентрическом с (К)
кольце между окружностями (SJ и (S2)
(рис. 30) все предыдущие рассуждения
пригодны, и потому формула A4) и здесь
справедлива. Как будет показано в п. 5,
еще далее расширять кольцо сходимости
нельзя, т. е. внутри (SJ и снаружи от'
(S2) ряд A4) расходится. Таким образом,
окружности, ограничивающие область
справедливости разложения аналитиче-
аналитической функции в ряд Лорана, должны «сидеть» на точках или линиях
разрыва этой функции. Подчеркнем, что в ряд Лорана можно разлагать
только однозначную функцию. Конечно, можно проводить разложение
Рис. 30.

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 67
в такой ряд и однозначной ветви многозначной функции; тогда на
граничную окружность могут попасть и точки разветвления, через
которые проходят линии разрыва разлагаемой ветви.
Ряд Лорана для заданной функции существенно зависит от выбора коль-
кольца, в котором производвтся разложение. Например, функция /(«)=——т +
1 '
+ -—„ аналитична на всей плоскости г, за исключением точек г=— 1 и
z—/
г=2. Пользуясь формулой A— а)-1=1 + а+а2 + .. .(\ а\ < 1), легко полу-
получить три разложения:
Z*
(проверьте!).
б. Ряд Тейлора. Пусть дано, что функция f(z) однозначная и
аналитическая в круге \z — zo|</?, за исключением, быть может,
его центра z — z0, вблизи которого она ограничена. Тогда в «кольце»
О < \z—zQ | < R справедливо разложение A1) с коэффициентами A5).
Примем за (L) окружность \z—zo| = p—>-0 и воспользуемся оценкой
C), получим
i , ^- 1
Мы видим, что для k < О при р—>-0 правая часть стремится к нулю;
но левая часть не зависит от р, а потому она просто равна нулю.
Итак, в приведенных предположениях ряд Лорана не содержит син-
сингулярной части, а потому превращается в обычный степенной ряд
Тейлора. (Напомним, что всякий степенной ряд есть ряд Тейлора
для своей суммы, см. ЛВМ, п. XVII. 13.)
Из сказанного вытекает, в частности, что однозначная аналити-
аналитическая функция в некоторой окрестности любой своей обыкновенной
(т. е. ие особой) точки разлагается в ряд Тейлора. Этот на первый
взгляд мало интересный результат влечет за собой целый ряд след-
следствий. Так, мы видели в ЛВМ, п. XVII. 14, что сумма степенного
ряда имеет непрерывные производные всех порядков. Поэтому (п е р-
вое следствие) и функция, аналитическая в некоторой области,
имеет в ней непрерывные производные всех порядков — факт довольно
удивительный, так как при определении аналитичности в п. 1.1 мы
требовали наличие производной только первого порядка.
Вот второе следствие. Пусть функция f(z) аналитична
в некоторой области (О) и f(z)^0 в некоторой области (Н), содер-
содержащейся в (G); тогда и /(z)s=0 всюду в (G). В самом деле, пусть
3*

68 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
8JQ не так и некоторая линия (L) ограничивает область, в которой
f(z) 5= 0 (рис. 31). Тогда в этой области и все производные /*"> (z)^0,
а в силу их непрерывности оии равны нулю и на (L). Но тогда,
взяв любую точку a?(L) и разлагая /(.г) по степеням z—а, мы
получим, что/(/) = 0 и всюду в некоторой окрестности точки а,
вопреки предположению, т. е. следствие доказано.
Третье следствие. Пусть функция f(z) ф 0 аналитична и
/(с) = 0; тогда говорят, что точка z = с является нулем функции f(z).
Разложение этой функции по степеням z—с
не может иметь все коэффициенты нулевыми
(почему?), т. е. оно начинается с некото-
некоторого члена cn(z — с)". Показатель п назы-
называется кратностью (порядком) рассматривае-
рассматриваемого нуля (это то же, что кратность корня
z =о с уравнения f(z) =¦ 0, см. ЛВМ, п. VIII.8);
в частности, если п—\, то нуль называется
р „ простым, в противном случае — кратным.
Таким образом, мы. видим, что однозначная
аналитическая функция /(г)фО имеет все
нули конечного и притом целого порядка. Нули нецелого или беско-
бесконечного порядков могут появиться только' в точках разветвления
многозначной функции (например, z3/a, г1/г).
Полезно обратить внимание на то, что для вещественных фуикцяй вещест-
вещественного переменного, обладающих производными (даже любого порядка),
ин одно из перечисленных свойств, вообще говоря, ие имеет места. (Проду-
(Продумайте это!)
Можно проверить также утверждение, сделанное в предпоследнем
абзаце п. 4 о кольце сходимости. Для этого надо применить только
что доказанное второе следствие к разности между левой и правой
частями формулы A1). Так как эта разность равна нулю в области,
заштрихованной на рис. 30, то она равна нулю и всюду, где ряд
A1) сходится, а функция f(z) аналитична (почему?). Если бы ряд
сходился в более широком кольце, чем показано на рис. 30, то так
как сумма этого ряда в своем кольце сходимости" не имеет особых
точек, и функция f(z) ие имела бы там особых точек, вопреки пред-
предположению. Значит, утверждение доказано.
Из этого утверждения вытекает, в частности, важный вывод о
радиусе сходимости ряда Тейлора прн разложении однозначной ана-
аналитической функции f(z) по степеням z — с, где с—любая обыкно1
венная точка этой функции: этот радиус равен расстоянию от с до
ближайшей особой точки функции f(z). (Напомним, что если прово-
проводится разложение однозначной ветви многозначной функции, то к
числу особых точек надо отнести и точки разветвлении.) В част-
частности, если функция f{z) при конечных z не имеет особых точек—
такая аналитическая функция называется целой,— то радиус сходи-

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
69
мостн равен бесконечности. Этот вывод дает возможность находить
раднус сходимости ряда Тейлора, не исследуя остаточного члена
этого ряда.
Вычислим, например, радиус сходимости разложения функции
th ?h_E.
¦ ~~chz ~
A6)
по степеням z. Так как числитель и знаменатель—целые функции, то частное
будет однозначной аналитической функцией для всех г, за исключением тех,
прн которых знаменатель равен нулю. Значит, функция A6) имеет особые точки
при
z=-yt+Jbrt (ft=0, ±1, ±2, ...)
(проверьте!). Ближайшими к точке г=0 являются ± -=- i, значит, радиус схо-
я
димости рассматриваемого разложения равен -к-.
Рис. 32.
Рис. 33.
Интересно, что если считать независимую переменную вещественной, т. е.
рассматривать разложение функции th x по степеням х, то коэффициенты ряда,
а потому и радиус сходимости будут такими же, как и для комплексного слу-
случая, т. е. интервалом сходимости будет —
-^-. Это может показатьсн
я
странным, так как точки х=±-д- ие являются особыми для функции th*,
и потому непонятно, что препятствует ряду сходиться на большем интервале.
Положение разъясняется при переходе к комплексному переменному: мнимые
особые точки z=± -^-i определили круг сходимости, а указанный интервал
получилси в результате пересечения этого круга с осью х (рис. 32). Так мни-
мнимые особые точки повлияли иа чисто вещественное явление.
Из доказанного выше первого следствия вытекает иногда применяемое об-
обращение теоремы Коши из п. 2, называемое теоремой Морерй: если функция
{(г) непрерывна в открытой области (G) и для любого контура (L) в (G) имеегА
место формула E), то эта функция аполитична в (G). В самом деле, тогда
интеграл D) не зависит от контура интегрирования, а при зафиксированном г0
г
зависит только от г, т. е. \ / (г) йг=Ф (г). Но тогда Ф' (z) = / (г), т. е. Ф (г) —

70 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
аналитическая функция. Так как оиа имеет производные верх порядков, то в
/(г)=Ф'(г) имеет производную, т. е. аиалитична.
Из теореыы Морера вытекает, в частности, что если область (G) разделена
линией (&) на части (G{) и (G2) (рис. 33) и иа (Gx) задана аналитическая
функция fx (г), а на (Ga) — аналитическая функция /2(z), причем эти функции
имеют иа (S) одинаковые и притом непрерывные предельные значения, то
«составная» функция
hi') <«€(Gi)).
будет аналитической в (G). В самом деле, эта функция, очевидно, непрерыв-
непрерывная, а формула D) для контуров вида abed (рис. 33) вытекает из равенства
J f(z)dz = J f(z)dz+ J /(г)<1г« j /a(z)rfz+ J f^dz.
abeda abepa apeda abepa apeda
Таким образом, аналитическая функция может иметь линию разрыва, ио
ие «линию излома», вдоль которой сама функция была бы непрерывна, но ее
производная претерпевала бы разрыв. Другими словами, непрерывных кусоч-
кусочно-аналитических функций не бывает.
Предоставляем читателю доказать другое следствие из теоремы Морера:
если последовательность функций, аналитических в открытой области (G),
равномерно сходится (определение этого дается, как в ЛВМ, п. XVI 1.8), той
предельная функция аналитична в (G).
6. Аналитические отображении и принципы максимума.
Пусть функция w=f{z) аналитична в некоторой открытой области (G).
Мы уже говорили в п. 1.4, что тогда отображение z—> w называется
аналитическим, и если в некоторой точке zt g (G) будет /' (zo)^=O,
то отображение малой окрестности точки z0, с точностью до малых
высшего порядка, сводится к поступательному переносу, всесторон-
всестороннему растяжению и повороту. Но что будет, если /' (zt) = 0, однако
f(z) ф. const? Тогда в ряде Тейлора по степеням z — z0 линейный
член отсутствует, и потому этот ряд имеет внд
f(z) = f(zo) + cn(z—zo)n + высшие степени (л>2), A7)
где в правой части выписан первый после постоянного член ряда с
коэффициентом, отличным от нуля. Значит, с точностью до малых
высшего порядка, w—wo = cn{z—zo)n, т. е. малая окрестность
точки zu испытывает л-листное отображение (п раз покрывает ок-
окрестность точки w0), описанное в п. 1.9; умножение на сп добавляет
всестороннее растяжение и поворот этой окрестности, от чего кар-
картина отображения принципиально не меняется. Ясно, что при этом
отображение z—*-w не может быть взаимно однозначным.
Из сказанного вытекают различные полезные следствия. Так, из
формулы A7), справедливой и при п = \ (т. е. при /' (z0) Ф 0), видно,
что в малой окрестности точки zt значение wo='f(zo) принимается
только при z = z0, а в остальных точках этой окрестности будет

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
71
Отсюда, в свою очередь, получается следующее. Пусть функция /()^
аналнтнчна в некоторой конечной замкнутой области (Л'); это, по определению,
означает, что она аналитична в некоторой открытой области (G), содержащей (К).
Тогда f(z) может иметь е (К) лишь конечное число нулей. В самом деле, в
противном случав можно воспользоваться доказываемой в университетских
курсах математического анализа и наглядно очевидной теоремой Больцано —
Вейерштрасса, согласно которой из всякого бесконечного ограниченного множе-
множества точек евклидова пространства можно выделить сходящуюся последова-
последовательность точек. Но предел последовательности нулей функции будет нулем
той же функции, и мы приходим к противоречию с утверждением предыдущего
абзаца (продумайте это!).
Если функция f (г) аиалнтнчна на всей плоскости г, то она может иметь
бесконечное число нулей: например, такой будет f (г)=sin z. Но так как в
каждом конечном круге она имеет лишь конечное число нулей, то, выбирая
расширяющуюся последовательность кругов, в пределе исчерпывающую плос-
плоскость, мы получим, что все нули такой функции f (г) можно расположить в
последовательность гх, г2, гз, ¦¦•> уходящую на бесконечность.
Применяя доказанное к- разности двух функций, получаем, например,
такое усиление второго следствия из п. 5: если две функции аполитичны в
некоторой области (G) и совпадают в ней на дуге какой-либо линии, то они
совпадают в (G) тождественно. Между прочим, отсюда вытекает простое дока-
доказательство возможности перехода от. вещественных тождеств к комплексным,
о которой мы упоминали в ЛВМ, п. VIII.4. Как доказать, например, что
sin2 г== 1 — cos2 г? Левая и правая части представляют собой аналитические
функции г, совпадающие при вещественных г, т. е. на прямой Im г=0. Значит,
они совпадают и при всех г.
Пусть функция f(z) ф. const аналнтична в некоторой окрестности
точки za. Тогда маленький круг (Kz) с центром z0 отображается
Рис. 34.
функцией f(z) на маленький круг (Kw) с центром в f{z0) (с поправ-
поправками высшего порядка малости) (рис. 34). Выберем в (Kw) вблизи
и»0|
(Kz).
Эта точка w бу-
буТаким образом,
|[
то0 какую-либо точку то, для которой |то|>
дет служить образом некоторой точки z z
в любой близости от zt можно найти точку г, для которой
>|/(го)|, и потому |/B)| не может иметь г0 точкой максимума
(продумайте это!).
Отсюда получаем такое следствие. Пусть функция f{z) ана-
аналитична в некоторой конечной замкнутой области (К). Тогда |/(г)[,
как вещественная непрерывная функция, принимает на (К)

72 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
наибольшее значение (ЛВМ, п. IX.4). Из доказанного выте-
вытекает, что это значение достигается обязательно на границе (К).
Аналогично проверяется, что и Re/(г) не может иметь г„ точкой экстре-
экстремума (продумайте!). Отсюда легко вывести, что функция, непрерывная в конеч-
конечной замкнутой области и гармоническая во всех ее внутренних точках, дости-
достигает наибольшего и наименьшего значений на границе этой области.
Утверждения, подобные тем, которые были доказаны в двух по-
последних абзацах, носят название принципов максимума.
7. Аналитическое продолжение. Пусть функция f (г) аналитична в области
(G), a g(z)— в области (D), причем (G) и (D) имеют общую область (Н)
(рис. 35), в которой f (z) = gB). Тогда «составная» функция
будет, очевидно, аналитической в «составной» области (Gx), состоящей из всех
точек (G) и (D). (В силу п. 5 для этого достаточно даже, чтобы (G) и (D)
примыкали друг к другу по линии, на которой обе функции имеют одинако-
одинаковые и притом непрерывные предельные значения.)
Эта функция fi (г) называется аналитическим
продолжением каждой из функций f (г) и g(z).
Такое продолжение получается обычно, если
имеются две формулы, задающие аналитические
функции и пригодные для различных областей г,
которые имеют общую часть, где обе формулы
дают одинаковый результат.
Функция ^ (г) в свою очередь может быть
аналитически продолжена на еще более широкую
р «с область и т. д. Теоретически говоря, после всевоз-
можных таких продолжений мы приходим к пол-
полной, т. е. уже далее не продолжаемой аналити-
аналитической функции F (г). Эта функция F (г) определяется функцией f (г)
однозначно, так как из п. 6 легко следует, что если вдоль какого-либо кон-
контура (L) плоскости г, начинающегося в (G), функцию / (г) возможно аналити-
аналитически продолжить, то только одним способом. Однако если такой контур (Z.)
при своем продолжении вновь попадет в (О) (рис. 35), то совсем не обяза-
обязательно, чтобы мы вернулись к значениям f (г). Другими словами, даже если
исходная функция была однозначной, то результат ее аналитического продол-
продолжения может оказаться многозначной (даже бесконечнозначной) функцией.
Так как аналитическое продолжение осуществляется всегда через некото-
некоторую дугу на границе области определения функции, то непродолжаемость
аналитической функции обычно распознается по тому, что эта функция опре-
определена на всей комплексной плоскости, без разрезов, хотя и может иметь на
ней особые точки, в частности точки разветвления.
Приведем примеры. Сумма ряда
сходящегося при |г| < 1, представляет собой функцию, аналитическую в этом
круге. Но там эта сумма равна
4
а последнее выражение представляет функцию, аналитическую во всей пло-
плоскости г, за исключением точки 2=1. Значит, аналитическим продолжением

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 73
функции S (г) служит полная аналитическая функция F (г). Говорят также,
что F (г) является расширением функции S (г), a S (г)—сужением функщи. F (г).
Подобным образом бесконечнозиачная функция Ln A +«) представляет
Z* Z3
собой полное аналитическое продолжение суммы ряда г—д" + "о—•••> С1Годя-
? О
щегося в том же круге | г | < 1.
Интеграл, определяющий гамма-функцню (ЛВМ, п. XIV. 17)
Г (р) » С е-*х*-1 dx= С exp [~х+(р— 1) In x] Jx, A8)
о о -
как нетрудно проверить, сходится не только для вещественных, но и для мни-
мнимых р, если Rep>0. Так как правила дифференцирования интеграла по
параметру (ЛВМ, § XIV.5) непосредственно распространяются и на комплекс-
комплексные значения параметра, то интеграл A8) имеет производную по р и потому
представляет аналитическую функцию от р в полуплоскости Re p > 0. Как и
для вещественных р, легко проверяется, что в этой полуплоскости Г(|1)
= рГ(р). Поэтому функция
определенная и аналитическая в полуплоскости Rep > —1 (почему?), за исклю-
исключением особой точки при р=0, в первой полуплоскости совпадает с Г(р);
таким образом, Гг (р) представляет собой аналитическое продолжение фу акции
Г (р) с первой полуплоскости на вторую. Аналогичным образом фуйЯция
Г3 (р) = г *"~*~ представляет собой аналитическое продолжение функции
1\(р) на еще более широкую полуплоскость Rep >—2. Продолжая таким
образом, мы получаем полную гамма-функцию, которая также обозначается
через Г (р) и представляет собой однозначную аналитическую функцию на всей
плоскости р, за исключением особых точек р=0, —1, —2, ... Тождество
' Г (р+1) — рГ (р) выполняется на всей плоскости р.
Один из общих способов аналитического продолжения основан на правиле
симметрии (п.1.16). Из этого правила следует, например, что если граница
области определения аналитической функции / (г) содержит отрезок вещест-
вещественной оси и на этом отрезке функция / (г) принимает вещественные значения,
то формула f(z*) = [f (г)]* осуществляет аналитическое продолжение функции
f (г) через этот отрезок.
Для аналитического продолжения функции, заданной разложением в сте-
степенной ряд, может оказаться полезным следующее преобразование Эйлера.
Допустим, что требуется продолжить функцию
причем функция g(z), разложение которой вокруг точки г=0 имеет вид
.| B0)
известна на всей плоскости г (т.е. g(z) уже продолжена на всю плоскость г).
Чтобы выразить / (г) через g (г), умьожим обе части B0) на у0 и вычтем из
A9), получим
f-Yog=(Yi-Yo)CiZ + (Ya-Yo)C2Za + (Y>-Yo)C3Z3 + --. B1)
Теперь продифференцируем обе части B0), умножим результат на (Vi—Yo) z=
= Ayjjz и вычтем из B1), получим
/ - Yog - AYo*g'=(Ya - 2yt + Yo) c>za + (Ys - 3Yi + 2Yo) V3 +... B2)

74 ГЛ. П. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Теперь продифференцируем B0) еще раз, умножим результат иа -^(Уг —
+Y0)za= —Д2у0га и вычтем из B2) н т.д. Можно показать, что подмеченная
закономерность будет проявляться и дальше, н в пределе мы приходим к раз-
разложению
f(z)=yog(z)+-^zg'(z)+^zy'(z) + ..., B3)
справедливому 0 некоторой окрестности точки г=0, если коэффициенты у„
не растут при п —>¦ со по абсолютной величине слишком быстро (допускается
рост ие выше экспоненциального). Однако правая часть B3) может оказаться
аналитической далеко за пределами круга сходимости ряда A9) н, таким
образом, дать аналитическое продолжение функции f (г).
Так, допустим, что уп представляет собой многочлен от п некоторой сте-
степени ft. Тогда Ду„ есть многочлен от п степени k—1 (почему?) и т. Д., а
потому ряд и правой части B3) обрывается, и мы получаем конечное пред-
представление суммы ряда A9) через функцию g (г), т. е. функция / (г) оказывается
продолженной на всю плоскость г.
Другой полезный частный случай получится, если положить
Тогда со=1, сх=—yy > с»~ о\ и Т'Д1> и из №) и $3) получим фор-
формулу
(проверьте!). Результат особенно прост, если взять р = \.
Возьмем, например, р=1; у„=—XT' ^огда с помоЩью последователь-
ного вычисления разностей легко проверить, чтоД*у„=т— —'
и (— 1)к
откуда получаем AgVo = \,t > т- е-
Ряд в левой части сходится при | г \ < 1 (это разложение функции
по степеням г). Ряд в правой части сходится при
z
< 1, т. е.
\x+iy\*< \х-{-{у-{-\ |а нлн х>—-к-. Значит, формула B4) осуществляет
аналитическое продолжение ряда, стоящего н левой части, иа полуплоскость
Re*> —j.
8. Варианты. Аналитические функции вещественного переменного. Если
у функции и>=/ (х) незаннсимая деремеиная х по своему смыслу вещественна,

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
75
X
Рис. 36.
то принятое в п. 1.1 определение аналитичности неприемлемо. В этом случае,
исходя из результатов п. 5, говорят, что функция аполитична на интервале
а < х < Ь, если для любого х0 из этого интервала она разлагается в ряд Тей-
Тейлора по степеням х—х0, сходящийся в некоторой окрестности х0. Чтобы
установить связь этого определения с определением п. 1.1, подставим мысленно
в тейлоровское разложение функции f(x) вместо вещественного х комплексное
г; тогда получится функция f (г), аналитическая в некотором круге с центром
х0 и принимающая заданные' значения при г=х. Если проделать это для раз-
разных х0, мы получим функцию /(г), аналитическую в смысле п. 1.1 в некоторой
области (плоскости г), содержащей интервал а, Ь вещественной оси (рис. 36)
н совпадающей при z=* с исходной функцией f (х). "(Подумайте, почему прн
определении f (г) при разных
х0 мы не можем получить tj
противоречие.) Итак, поль-
пользуясь терминологией п. 7,
можно сказать, что анали-
аналитическая функция веществен-
вещественного переменного допускает
расширение (аналитическое
продолжение) до аналитиче-
аналитической функции комплексного
переменного и, обратно,
первая является сужением
второй.
Аналитические функции
нескольких переменных. Бу-
Будем говорить для простоты записи о функциях двух переменных. Функция
f (zi> га) двух комплексных переменных г1( г2, определенная в некоторой откры-
открытой области (G) двумерного комплексного числового пространства Z2 (ЛВМ, п
VII. 20), называется аналитической в этой области, если в некоторой окре-
окрестности любой точки (z10; г20) 6 (б) эта функция разлагается в двойной ряд
Тейлора (ЛВМ, п. XVII.17) по степеням (zt—г10), (гг—z20). Подобным обра-
образом определяетси и понятие аналитической функции двух вещественных пе-
переменных.
(Обращаем внимание читателя на недоразумения, которые иногда возни-
возникают нз-за неточной терминологии. Например, рассмотрим функцию w=y—х*
для вещественных х, у. Это аналитическая функция, равная нулю на
линии у=*а, но не тождественно равная нулю. Может показаться, что это
противоречит свойствам аналитических функций, доказанным в п. 6. Но на
самом деле ничего страшного нет: дело в том, что рассматриваемая функция
аиалитична как функция вещественных (или даже комплексных!) переменных
х, у, но не аиалитична как функция переменного z~x-\-iy.)
Если f (xlt *2)—аналитическая функция вещественных переменных хх, х%,
то она аналитична и по каждому из этих переменных в отдельности, т.е. при
зафиксированном другом. (Впрочем, обратное тоже верно, за исключением
специально построенных примеров, не имеющих практического значения.)
Более того, если имеется любая аналитическая линия (L)\ x1 = <f1(t), x3 = y2(t)
(это значит, что функции q>t и ф2 аиалитнчны), проходящая по области, где
функции / аиалитична, то и сложная функция /((pt (t), <p2 (t)) аналитическая.
Из этого свойства, которое выводится нз возможности подстановки ряда в ряд
(ЛВМ, п. XVII.12), вытекает, например, что если малая дуга линии (L) содер-
содержится в каком-либо множестве уровня функции /, то и вся линия (L) содер-
содержится в этом множестве (почему?).
Иногда приходится рассматривать неявные аналитические функции. Пусть,
например, рассматривается уравнение
B5)

76 ГЛ. II, ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
причем функция f аналитичиа и выполняются условия
f(cv C2)=0, ftt(ct, с2)ф0 B6)
(второе известно как условие существования неявной функции, ср. ЛВМ,
п. IX. 13). Тогда можно доказать, что в достаточной близости от точки (сг\ са)
уравнение B5) может быть (и притом однозначно) разрешено относительно z2;
кроме того, получающаяся функция za (zt) также является аналитической, т. е.
разлагается в ряд Тейлора по степеням г1—сг. Это разложение можно найти
либо с помощью последовательного дифференцирования равенства B5), в koto-
kotoром считается га = гг(г1), и вычисления производных
либо с по-
1
мощью непосредственного применения метода неопределенных коэффициентов.
Отсюда, в частности, видно, что если аналитическая функция I является веще-
вещественной, т. е. принимает при вещественных значениях аргументов сама веще-
вещественные значения, а также числа с1; с2 вещественные, то и аналитическая
функция za (zt) вещественна.
Если не предполагать второго условия B6), то положение осложняется,
но в случае двух независимых переменных может быть без труда разобрано
до конца. Будем для простоты предполагать, что Cj—са = 0 (в противном слу-
случае надо предварительно ввести новые переменные гк-=^гк—с/,), и рассмотрим
разложение функции / по степеням г1г г2, перенумеровав в каком-либо порядке
все его фактически присутствующие, т. е. с не равными нулю коэффициентами
члены:
B7)
где все dj Ф 0, все т./, и пк—целые Гэ=О. Уже самые простые примеры, как
f=z1-\-z\— za и т.п., показывают, что в общем случае решения уравнения
B5) в виде ряда по целым степеням г1 может и не существовать. Однако те
же примеры подсказывают, что можно пытаться построить решение в виде
суммы ряда более общего вида
оо оо „
га= 2 oksk, где sq'= ги т.е. za= "У, akZig' B8)
k=\ ft=1
(q' целое > 0), называемого рядом Пюизд. Можно доказать (иа чем мы здесь
ие будем останавливаться), что это и есть решение уравнения B5) в самом
общем случае.
Особенно просто—и часто вполне достаточно—найти главный, т.е. первый
фактически присутствующий член в разложении B8). В самом деле, если
z2 = AsP-\-... (многоточием обозначены члены высшего порядка малости), где
Zi — sV, то из B7) получаем
¦'.., B9)
Так как сумма этих степеней должна равняться нулю (почему?), то все члены
должны взаимно уничтожиться; в частности, в выражении B9) должно быть
по крайней мере два главных члена (с наименьшими степенями s), так как
главные члены не могут «погаситься» членами высшего порядка малости. Но
dkA"k Ф 0, н потому мы приходим к выводу: целые числа рЗэ 1, q^ 1 должны
быть такими, чтобы среди сумм pn^-j-qm/, (k—l, 2, 3, .. .) было по крайней
мере две одинаковых, тогда как исе остальные были бы большими. Если таквв
р, q найдены, то коэффициент пр должеи удовлетворять алгебраическому урав-
уравнению при естественном смысле обозначений
п). C0)

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
77
В конкретных примерах можно действовать следующим образом. Отметим
на плоскости с координатами т, п все наборы показателей, фигурирующие
в разложении B7); так, на рис. 37 показана картина, отвечающая функции
(проверьте!). Из первого условия B6) вытекает, что начало координат не отме-
отмечено (другими словами, в. разложении B7) отсутствует свободный член){
кроме того, всегда можно предпола-
предполагать, что на каждой из осей т, п п
имеется по крайней мере одна отме-
отмеченная точка, так как в противном
случае уравнение B5) можно сокра- й-
тить иа степень гх или га. Если теперь
некоторая прямая проходит по край- J
ней мере через две отмеченные точки Ч'
и отделиет остальные от начала ко- с
ординат, то, записав ее уравнение в
виде pn-\-qm — const, мы получим
как раз искомые р, q (их следует
брать минимально возможными, т. е.
без общих делителей), после чего из
уравнении C0) можно найти соответ-
соответствующий коэффициент А"к. (Отрез- .
ки таких прямых образуют ломаную, " \а \ j "Чс т
называемую диаграммой Ньютона; на
рис. 37 она показана сплошными ли- Рнс. 37.
ниями.) Так, мы предоставим чита-
читателю проверить с помощью рис. 37, что для уравнения B5) с функцией C1)
возможные главные члены решений имеют вид
\
VS,
\
\
\
к
)
22!,
za=—tt=-
za = —-7—-
), где s» = zt (для прямой аа);
(ДЛЯ ПриМОЙ ЬЬ)\
где sa=z1 (для прямой ее).
Первые три формулы в случае комплексного zt образуют единую трехзначную
функцию z2= j/ —г-i, аналогично две последние можно записать в виде za=
-л/А.
У 2
_?к.. Такое кажущееся увеличение числа решений возникает всегда при
q>\, так как из п. 5 легко вытекает, что если одна ветвь многозначной функ-
функции удовлетворяет уравнению вида B5), то и все остальные ветви—тоже.
Впрочем, если, как это часто бывает, считать гх вещественным, то под s надо
понимать какую-либо определенную ветвь многозначной функции; тогда все
найденные семь решений следует считать различными.
Прн построении дальнейших членов разложения B8) надо иметь в виду,
что значение q' в формуле B8) может либо равняться найденному для глав-
главного члена значению q, либо же иметь добавочный неизвестный заранее цело-
целочисленный множитель. Поэтому в уравнении B5) надо сделать замену z1 = s4,
Zi=sP (А+г3) и перейти к уравнению для zs(s). Если для преобразованного
уравнения выполнено условие существования неявной функции, т. е. в соот-
соответствующей диаграмме Ньютона точка @; 1) будет отмеченной, то г3 будет
получено в виде ряда по целым степеням s, откуда, в частности, q' = q. Если
же это условие не выполнено, то надо вновь искать возможные главные члены
разложения z8 (s), т.е. положить z3=/l1sjt+..., s=sj', после чего совершить

78 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
эамену переменных s=s**, zs=s^» (А1-)-г4) и т. д. В реальных примерах после
одной-двух таких замен мы приходим к случаю, когда выполнено второе усло-
условие B6), и потому можно далее применить хотя бы метод неопределенных
коэффициентов. В более полных курсах (см., например, [19, 58, 131[) показы-
показывается, что общее число решений уравнения B5) с одним и тем же главным
членом АьР равно кратности А как корня уравнения C0). Отсюда, в частности,
вытекает, что общее число решений za (гх) уравнения B5) вблизи начала коор-
координат равно наименьшему из показателей степени в разложении /'@, га). Если
для всех главных членов этих решений уравнения C0) имеют только простые
корни, как в примере C1), то после первой же из описанных замен условие
существования неявной функции начинает удовлетворяться.
В приложениях часто бывает, что все участвующие величины должны быть
вещественными. Тогда общее число решений уравнения B5) может оказаться
меньшим, чем указано в предыдущем абзаце, так как вещественное уравнение
может иметь несколько пар мнимых сопряженных решений (ЛВМ, п. VIII.8),
которые теперь приходится отбросить. Так, в примере C!) получается пять
решений при гх>0 и три—при гу<0. (Легко понять, что если в случае про-
простых корней уравнения C0) старший коэффициент получится вещественным, то
и дальнейшие, а с ними и все решение также будут вещественными.) Если
уравнение B5) содержит некоторый параметр, то при переходе его через
некоторые значения число вещественных решений может скачком измениться;
такие значения часто играют в прикладных задачах важную роль.
§ 3. Особые точки и нули
1. Изолированные особые точки. В этом параграфе мы будем
рассматривать только изолированные особые точки однозначных ана-
аналитических функций; при этом особая точка называется изолирован-
изолированной, если в некоторой ее окрестности аналитичность функции нару-
нарушается только в одной этой точке. Из первого абзаца п. 2.5 выте-
вытекает, что в такой точке функция обязательно становится неогра-
неограниченной (хотя и не всегда обращается в бесконечность, см. п. 2).
Отметим сразу, что иногда говорят об устранимых особых точках,
которые пропадают после правильного определения значений функции
в этих точках (ср. ЛВМ, п. III..13): например, функция не опре-
определена при z — О, т. е. формально имеет там как бы особую точку;
= 1(так как lim -—= 1 ), то особой
г=0 V г-0 г' J
точки не остается. Впредь мы будем считать такие неопределенности
устраненными, т. е. не будем считать их за особые точки.
Итак, пусть однозначная аналитическая функция f(z) имеет при
z = а изолированную особую точку. Тогда из п. 2.4 вытекает, что в
некоторой окрестности точки а эту функцию можно представить
в виде суммы ряда Лорана
се
-i-c1{z — a)+ct{z—a)* + ;.; A)
sin г
но если положить

§ 8. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 79
Этот ряд сходится во всей окрестности, за исключением, конечно,
самой точки а. Наружной границей области сходимости ряда служит
окружность с центром в а, проходящая через ближайшую к а дру-
другую особую точку функции f{z) (к которым причисляются и точки
разветвления, если f(z) представляет собой однозначную ветвь мно-
многозначной функции). Если особых точек, кроме а, нет, то ряд A)
сходится на всей плоскости z при гфа.
Чаще всего оказывается, что в сингулярной части разложения
A) содержится лишь конечное число чл-енов, т.е. это раз-
разложение имеет первый член (хотя может не иметь последнего). Такая
особая точка называется полюсом. Если же в разложении A) при-
присутствует бесконечное число членов с отрицательными
показателями, то z = а называется существенно особой точкой функ-
функции /(г).
Коэффициент c_t разложения A) называется вычетом функции
f(z) в ее особой точке z = a я обозначается Выч/(г), или по-фран-
г=а
цузски Resf(z). Важность этого коэффициента при вычислении
г-а
интегралов ясна из п. 2.3.
Разложение многозначной аналитической функции / (г) в окрестности своей
точки разветвления г=а имеет более сложный вид. Так, если это точка раз-
разветвления конечного порядка п, то, обозначив г—а=?п, получим, что если ?
| опишет маленькую окружность с центром ? = 0, то г обойдет п раз вокруг
точки а, и потому f (г) вернется к исходному значению. Значит, /(г) представ-
представляет собой однозначную аналитическую функцию ? и потому разлагается
в ряд Лорана
/(«)= 2 с*С*= 2 ck(z-afn. B)
к=-» к=-«
Последний ряд B) по целым степеням величины (г—а)х/п иногда называют
рядом Лорана—Пюизб; все п значений функции получатся, если придавать в нем
этой величине ее п возможных значений.
2. Полюс. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности ее
полюса имеет вид
B-
если при этом с_„^0, то говорят, что этот полюс имеет порядок
(кратность) п. Таким образом, полюс может быть простой (если п — 1)
или кратный (порядка 2, 3 и т. д.). Для полюса порядка п в разло-
разложении C) член CZ."\n ПРИ г -"*¦а является главным (в каком смыс-
смысле?), т. е. при z —*- а величина f(z) бесконечно большая, эквивалентная
•.—^г—; если принять за эталон, то это величина порядка л
(ср. ЛВМ, п. III.11). Мы видим, в частности, что в своем полюсе
функция обязательно обращается в бесконечность,

80 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Довольно часто лолюсы появляются при рассмотрении отношения
двух аналитических функций, для которых точка а является обыкно-
обыкновенной (не особой), однако h(a) = 0. Если при этом g(a)^Q, то f{z)
имеет при z — а полюс, причем такого тюрядка, каков порядок
нуля у h (г) (п. 2.5). Если же и g(a) = 0, причем g(z) имеет
при z=?a нуль порядка р, a h(z) — нуль порядка q>p, то f(z)
имеет при z = а полюс порядка д—р (что будет при ^7
Все эти утверждения легко получаются, если разложить q (г) и h (г)
в ряды по степеням г—а, затем вынести из числителя и знаменателя наиболь-
наибольшие возможные степени и поделить ряд иа ряд, как это описано в ЛВМ,
п. XVII.12.
Легко проверить, что если какая-либо однозначная аналитическая функция
(ие обязательно первоначально заданная в виде D)) имеет при z —>¦ а рост
не выше конечного порядка по сравнению с ———, т. е. если /(z) =
= ol- — j, то функция ?(г) = (г—a)" f (г) уже не имеет при г=а осо-
особенности, и потому особая точка г = а для f (г) может быть только полюсом.
Этим и объясняется распространенность полюсов.
Вычет функции особенно просто вычислить в полюсе периого
порядка. В самом деле, если
то (z — a)/B) = c_1 + c0B— a)+c,{z — аJ+ ..., и потому
Выч f{z) = с_х = Mm [{z — a)f(z)].
г=а г-+а
В частности, для функции D), если g(a)=?bQ, Л(а) = 0, Н'(а)ф0
(последнее как раз и означает, что в знаменателе стоит нуль
первого порядка), получаем v
Выч
Здесь мы применили правило Лопиталя (ЛВМ, п' IV. 13), которое,
как можно убедиться, имеет место и для аналитических функций
комплексного переменного. (Вывод этого иа основе формулы Тей-
Тейлора мы предоставляем желающим.)
Для общего случая полюса порядка п из C) получаем
Если продифференцировать обе части п—1 раз, получим
[{z — a)"f(z)Yn~1)=:(n— l)!c_!+ члены, содержащие положительные
степени z — а (проверьте!). Отсюда, переходя к пределу при z—*a,

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 81
выводим требуемую формулу
= с_1 = ?--ЦяИт [(z-a)»f{z)y»-». F)
?Ц
При ее применении порядок я полюса должен, быть предварительно
найден, как это было описано выше. Формула F) справедлива н в
случае, когда порядок полюса меньше я (но не больше я), так как
в предыдущем рассуждении с_„ могло равняться нулю.
Поведение функции f(z) в окрестности своей существенно особой точки
г=а значительно сложнее. Мы видели, что значения f(z) при г —»¦ а не огра-
ивчены степенной функцией ни с каким показателем; тем не менее оказывается,
что они не являются и бесконечно большими! В самом деле, задав любое
комплексное число k, легко доказать, что функция —j-г—j— не может быть
/(г)—к
ограничеииой в окрестности точки а (в противном случае надо воспользоваться
разложением этой функции в ряд Тейлора; продумайте это!). Но это значит,
что функция /(г) вблизи а принимает значения, как угодно близкие к k, при-
причем для любого к. Эту любопытную теорему доказал в 1868 г. русский матема-
математик Ю. В. Сохоцкий A842—1929). Из нее вытекает, что существенно особую
точку никак нельзя считать просто полюсом бесконечного порядка!
Примером существенно особой точки может служить точка г=0 для
функции
Подумайте о характере изменения этой функции при различных способах
приближения г к нулю.
Формулы типа F) для существенно особых точек уже непригодны. Впрочем,
если удалось получить разложение в окрестности этой точки в ряд Лорана,
то вычет сразу получается; так, из формулы
G) следует, что Выче'/г^К
(LI
. 3. Теорема Коши о вычетах. Вычеты
имеют важное применение к вычислению
интегралов по замкнутому контуру вида
)f(z)dz.
Пусть функция f(z) однозначная и ана-
аналитическая всюду на (L) и всюду внутри Рис. 38.
(?), за исключением конечного числа~точек
zv Zz,...,zN, расположенных внутри (L); контур (L) ориентирован в
положительном направлении. Разобьем область, ограниченную этим
контуром извне, на ./V частей так, чтобы внутри каждой из них
имелась лишь одна особая точка (см. рис. 38, где принято N= 3),
и ориентируем контур (Lk) каждой из этих частей в положитель-
положительном направлении. Тогда
§ Y*§z> I8)

82 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
так как в правой части интегралы по пунктирным линиям взаимно
уничтожаются (почему?). Теперь продеформируем каждый контур
(Lk) в маленькую окружность с центром в гк (на рис. 38 это пока-
показано для k = \); как указано в п. 2.2, при этой деформации инте-
интегралы не меняются. Для маленькой окружности действует разложе-
разложение f(z) вокруг zk в ряд Лорана, и потому в силу B.10)
= 2nt-C-l (для этого ряда) = 2я/-Выч/(,г).
z=zk
Подставляя в (8), получаем теорему Коши о вычетах
N
f{z)dz =2я1 ^ ВичДг). (9)
Подчеркнем, что в правой части суммирование распространяется
на все особые точки функции f(z), расположенные внутри (L).
Если таких точек нет, то интеграл равен нулю, так как сумма без
слагаемых равна нулю; таким образом, теорема Коши из п. 2.2
представляет собой частный случай общей теоремы (9).
Бывает, что мы заранее не знаем, является ли некоторая точка
особой; например, там может оказаться устранимая особенность.
Тогда, применяя формулу (9), надо эту точку включить в число
точек zk, имея в виду, конечно, что вычет функции в неособой
конечной точке всегда полагается равным нулю. При этом формулы
E) и F) остаются в силе.
Теорема Коши о вычетах дает возможность получать точные
значения рассматриваемых интегралов, минуя вычисление соответст-
соответствующих неопределенных интегралов, которые могут оказаться гро-
громоздкими или вовсе не берущимися в конечном виде. Поэтому при-
применение этой теоремы часто оказывается весьма полезным в анали-
аналитических исследованиях. Отметим, что она может применяться и к
вычислению вещественных интегралов с помощью их искусственного
сведения к комплексным.
Приведем простой пример. Пусть надо вычислить интеграл
2Я
/
J a
о
J +b cos t+c sin t ' A0)
о
при условии 62+с2 < а2, равносильном требованию, чтобы знаменатель - ие
обращался в нуль. Переходя с помощью формул Эйлера от тригонометрических
функций к показательным и выполняя подстановку elt=z, получим (проверьте!)
i=c9 (bi+c)z*+2iaz + (bi-c) dz-
где (L)—единичная окружность, ориентированная в положительном направле-
направлении. Подынтегральная функция имеет два простых полюса, из которых вну-

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 83
три (L) находится только одни:
а— Уа2—Fа+с2)
~ ЩГ
Отсюда по формулам (9) и E) получаем окончательно
2я
/=
Yd?— (
Здесь существенным было то, что интеграл A0) взят по периоду подынте-
подынтегральной функции: в других пределах контур (L) мог получиться незамкнутым,
и тогда формулу (9) применить было бы нельзя.
Из теоремы Коши о вычетах вытекает, в частности, интеграль-
интегральная формула Коши, дающая представление аналитической функции
внутри замкнутого контура через ее значения иа этом контуре.
Для вывода этой формулы рассмотрим интеграл
а-.
где функция /(z) однозначная и аналитическая всюду внутри кон-
контура (Z.) и на нем, а точка z0 находится внутри (L). Тогда подынте-
подынтегральная функция, т. е. ¦, имеет внутри (L) ровно одну особую
точку — простой полюс z = za с вычетом /(z0) (почему?). Значит,
по теореме Коши интеграл A1) равен 2nif(z0), откуда и получается
интегральная формула Коши
(Чему равна правая часть, если точка z0 находится вне
¦ Если продифференцировать обе части A2) по параметру га, получаются
формулы
§10Ь f^b
которые иногда применяются для оценки производных.
4. Применение к несобственным интегралам. Теорема Коши
о вычетах широко применяется при вычислении несобственных инте-
интегралов, причем при таких применениях довольно часто приходится
проявлять высокое аналитическое искусство. Мы здесь укажем лишь
простые результаты в этом направлении; дальнейшие сведения можно
найти в указанных выше общих курсах (см., в частности, [66])
и в специальной литературе.
Рассмотрим сходящийся несобственный интеграл общего вида
00
/= 5

84
ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(U
предполагая, что функция / определена не только для вещественных,
но и для мнимых значений аргумента так, что f(z) является одно-
однозначной аналитической функцией в полуплоскости imz^O, за исклю-
исключением конечного числа особых то-
точек гг, г2, ..., zN, причем все
Im.zft>0. Непосредственно приме-
применить теорему о вычетах к интегралу
A3) нельзя, так как нет замкнуто-
замкнутого контура; поэтому производится
искусственное «замыкание» контура
с помощью некоторой последова-
последовательности дуг (Z-j), (Z.2), (L3), ...
(рнс. 39). Тогда каждая дуга (Ln)
вместе с отрезком ап, Ьп оси х,
на который она опирается, образует
замкнутый контур (?„)'. Пусть для данной функции f(z) дуги (/.„)
удалось подобрать так, что
1°. ап —*¦ —со, Ьп—*¦ со при Л —»¦ со;
2°. Для достаточно больших-л все особые точки zlt z2, ..., zpj
расположены внутри (?„)';
3°. J f(z) dz—+0 при л —*¦ со.
Тогда интеграл A3) легко вычислить. В самом деле, для достаточно
больших п в силу теоремы о- вычетах н условия 2°
Рис 39
\Ax)dx+
Выч/(г); A4)
Если теперь п—t-co, то первое слагаемое в средней части по усло-
условию 1° стремится к /, а второе по условию 3°—к нулю, так что
в пределе получаем
Выч/(г).
A5)
Для некоторых классов интегралов A3). последовательность
дуг (Z.J с требуемыми свойствами оказывается нетрудно подобрать.
Так будет, в частности, если f(z) в верхней полуплоскости при
z —»¦ со стремится к нулю быстрее, чем l]z, т. е.
со, Imz>0)
A6)
(по поводу этого обозначения см. ЛВМ, п. III. 11). В самом деле,
тогда в качестве (?„) можно взять просто полуокружность радиуса л
с центром в точке 2 = 0; тогда условие 3° (первые два условия
очевидны) сразу следует из оценки B.3).

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ
Пример. Вычислим для вещественных ш^О, р>0 интеграл
1
-j- eiuiX dx
, р > 0),
85
A7)
встречающийся в физике. (Интересно, что соответствующий неопределенный
интеграл не выражается через элементарные функции.) Здесь при z = x-\-iy,
У 2s 0,
1
1
й-«>У\
1
-Of '
(г ->¦ oo),
т. е. условие A6) выполнено. Значит, по формуле A5),
~ 2pi ~~ p '
' = 2ni Выч
Если функция / (г) имеет также некоторое число вещественных изолиро-
изолированных особых точек хъ xit ..., хм, то интеграл A3) является сингулярным
(ЛВМ, п. XIV.19). Однако легко проверить, что если сингулярные части
лорановскях разложений функции /(г) вокруг этнх точек содержат лишь нечет-
нечетные степени, то интеграл A3) обладает главным значением, причем взамен
формулы A5) получается
• N м
v. р. V f(x)dx = 2ni 2 Выч / (г) + то" 2 Выч / (г).
A8)
2
*=1 2 =
В самом деле, пусть для простоты М=1; выберем вместо контуров, показан-
показанных на рнс. 39, контуры с добавочной полуокружностью (уп) радиуса е„, произ-
произвольно стремящегося к нулю при п -»• оо
(рис. 40). Тогда в средней частя A4) ^
вместо первого слагаемого будет стоять
С f(x)dx+ С/(г) dz+ С f(x)dx.
ал (V») xi+en
Однако средний интеграл в приведенных
предположениях при п -* оо стремится
к —я* Выч /(г) (почему?). Отсюда и вы-
2 = Ж,
текает формула A8), из которой видно,
что особые точки, расположенные на
оси интегрирования, дают в интеграл половинный вклад. (Проверьте, что если
*! —полюс и в сингулярной части его лорановского разложения имеется
по крайней мере одна четная степень, то интеграл A3) главным значением не
обладает.)
Оказывается, что для интегралов, обобщающих A7),
Рис. 40.
С / (х) е'шХ dx (ш > 0)
A9)
условие A6), поставленное для применимости описанного метода, можно сущест-

86 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
венно ослабить, заменив его на следующее:
/ (г) ->- 0 (г -+ оо, Im г> 0). B0)
(В частности, в качестве / (х) можно взять любую правильную рациональную
дробь, не имеющую вещественных полюсов; в этом случае при вычислении
интеграла A9) единственная возможная трудность состоит в вычислении нулей
знаменателя.) И в этом случае соответствующий интеграл по «верхней» полу-
полуокружности
радиуса R с центром в точке z=0 стремится к нулю при R ~»-оо, Для дока-
доказательства надо положить z = Rel9 и применить первую оценку B.3):
я
|/# I < \ If (Re'f)\ | ехр (ta>R cos ф—со/? sin ф) |
о
я
= R \ 11 (Relf) I ехР (—<°^ s'n ф) ^ф ^
о
я
<max |f (z)|-/?\ exp (—со/? sin ф) cfcp.
Так как первый множитель в правой части в силу условия B0) стремится к
нулю при R —I- оэ, то достаточно проверить, что второй при этом остается огра-
ограниченным. Однако
R\
в
Я
exp (—
= 2# \ ехр (—a>R — ф)
о ф
2
ехр (—со/?— ф) Лр( B1)
О
в последнем переходе использовано неравенство
которое легко вытекает из рассмотрения графика синуса. Но правая часть B1)
меньше, чем
00
ехр .— со/? — ф ) d<f=—=const,
о ^ п ' w
откуда и вытекает наше утверждение 1ц —»- 0 при условии B0); этоутвержде-
ние называется леммой Жордана. (Так же называется легко выводимое из
доказанного утверждение
О «о>0) {22)

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 87
при условии f(z)-*O (z~»-oo, Rez<0), где (Af/j)—«левая» полуокружность
радиуса R с центром в точке z=0.)
Отметим, что сходимость (вообще говоря, неабсолютная!) интеграла A9)
при условии B0) доказывается так же, как это было сделано в ЛВМ,
00
S1
— sin х dx.
X
Если функция / (г) имеет при Im z > 0 бесконечную последовательность
особых точек, уходящую на бесконечность, то при применении описанного
метода R не может произвольно возрастать, а должно пробегать некоторую
последовательность Rlt Rit R3,...—t-oo. Как видно из проведенного доказа-
доказательства, и выполнение условия B0) можно было требовать лишь на полуок-
полуокружностях (Lr), т. е. сформулировать его так:
max | / (Rneh)\ -+ 0,
0<ф<Я п-юо
тогда как поведение (Ьц) между этими полуокружностями несущественно.
После применения теоремы о вычетах и перехода к пределу при л-»-оо,
интеграл A9) получится равным сумме бесконечного ряда; аналогичное заме-
замечание относится и к формуле A5).
Иногда контур интегрирования для интеграла, содержащего параметр,
приходится замыкать для различных значений этого параметра по-разному.
Так, в физике встречаются интегралы вида
/=$/(«) «*»**. B3) о
где функция f (г) однозначная и аналитиче- ' j[ /?\ /^\
екая на всей плоскости г, за исключением
конечного числа особых точек, среди кото- О
рых могут быть и вещественные (на рис. 41
особые точки отмечены), причем f (г) —>¦ 0;
контур (L) идет вдоль вещественной' оси, ИС-
но обходит расположенные на ней особые
точки сверху или снизу; ш ф 0 вещественное. Для вычисления интеграла B3)
при ш > 0 надо замкнуть (L) большой верхней полуокружностью, что в силу
леммы Жордана даст
/ = 2я» 2 Выч U (z) e'wZ\ (ш > 0),
верх 2==2»
где сумма распространена на все особые точки г$ функции /(г), расположен-
расположенные выше (L) (в том числе лежащие на оси х и обходимые снизу). При ш < О
надо замкнуть (L) большой нижней полуокружностью и учесть, что тогда
замкнутый контур будет проходиться в отрицательном направлении; это даст
/= —2га 5] Выч U (г)е'ш*] (ш < 0).
Особенного внимания требуют манипуляции с многозначными функциями,
которые иногда появляются после аналитического продолжения подынтеграль-
подынтегральной функции. Рассмотрим в качестве примера вещественный интеграл
00
J / (х) х"-1 dx @<a< 1), B4)
0

88
ГЛ. И. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
где функция f(x) допускает продолжение на всю плоскость z=x-\-iy до функ-
функции / (г), однозначной и аналитической всюду, за исключением точек zlt z2,...,z,y,
не лежащих на полуоси 0<х < оо. Для вычисления этого интеграла рассмот-
рассмотрим вспомогательный комплексный интеграл
= J
B5)
где замкнутый контур (SRr), показанный на рис. 42, состоит из двух окруж-
окружностей радиусов R и г и отрезка /•<*<#, проходимого дважды в проти-
противоположных направлениях и изображенного для наглядности на рис. 42 дваж-
дважды. Так как подынтегральная функция в B5) многозначна, то надо еще
уточнить, какой ветвью мы пользуемся.
Поэтому проведем разрез вдоль полуоси
О < х < оо (он контуром (S#r) не пере-
пересекается, что очень важно!) и условимся
Рис. 42.
пользоваться ветвью функции га~1, равной ха~х на его верхнем берегу.
Тогда на нижнем берегу эта ветвь равна e2*'«»-i> Xе (почему?), так что
два интеграла по отрезку г<д:<У? не уничтожаются взаимно, как это было
бы для однозначной подынтегральной функции; это и дает возможность
вычислить интеграл B4). При достаточно малом г и достаточно большом R имеем
(Cr)
-|-A
B6)
J
(CT)
Однако \ / (г) г"-1 dz —> 0 (почему?); значит, если
(C)
[ Дг)гв-»& ->¦ 0,
«4,
то, переходя в B6) к пределу при г -+• О, R -* оо, получаем, что интеграл B4)
сходится и равен правой части B6), деленной на 1— e2*/<e-i>.
Если дополнительно дано, что функция f (x) четная или нечетная, т. е.
^(—jt)s=e/(x), Где 8=1 либо 8= — 1, то можно воспользоваться контуром,
показанным на рис. 43. Это привело бы к аналогичному результату с дели-
делителем ^

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 89
, Применяя полученный результат, находим, в частности, при 0 < а < 1
(проверьте!)
J 1+ДГ 1 е2м (а-1)г__1 \1-|-г/ 1 eW(a-l) sin JM '
Однако в силу формул J1BM,-(XIV.73) и (XIV.70) этот же интеграл равен
В (а, 1—а)=Г(а)ГA—а). Приравнивая результаты, а затем пользуясь тео-
теоремой п. 2.6 о совпадении двух аналитических функций, приходим к инте-
интересному тождеству для гамма-функции
Г(г)ГA— г) = ——, B7)
' ' sm яг v '
справедливому для любого комплексного г. Из него, в частности, следует,
tyro функция Г (г) совсем не имеет нулей, а при г = —п (л=0, 1, 2,...) имеет
(—1)"
простой полюс с вычетом -—~— (почему?).
Подобно B4) рассматриваются интегралы вида
-1
где функция f (г) однозначная аналитическая на всей плоскости г, за исклю-
исключением конечного числа точек, не лежащих на интервале интегрирования, а
на бесконечности удовлетворяет условию A6). (Для этого нужно выбрать в
качестве контура интегрирования совокупность двух эллипсов с эксцентри-
эксцентриситетом е-* О и е-*• 1 и полюсами г=±1.) Докажите, что этот интеграл
равен
_^1__ V Выч Г (±=±Y f (г)] , B8)
где сумма распространяется на все особые точки функции / (г), а в качестве
степени берется ее однозначная вне интервала интегрирования ветвь, равная
единице при г=оо. (Если условие A6) не выполняется, то в правой части B8)
в сумму должен войти также вычет при г=оо; см. по этому поводу п. 6.)
Для других типов интегралов применяются другие способы «замы-
«замыкания» контура интегрирования; именно в выборе такого «замыка-
«замыкания» и состоит главная хитрость этой теории.
С вычислением несобственных интегралов непосредственно свя-
связано вычисление сумм рядов вида
s= 2 /(*>•
где функция f(z)— однозначная аналитическая на всей плоскости г,
за исключением изолированных особых точек z^^O, ±1, ±2,...;
прочие предположения будут указаны далее. Для этого рассмотрим
вспомогательный интеграл
/„= S ctg(ju)/(z)rfz, B9)

90
ГЛ. И. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
распространенный по контуру, показанному на рио, 44, Допустим,
что на (Ln) нет особых точек функции f(z) й
<Ln)
Тогда и fn —> 0, так как на совокупности контуров функция ctgJts
ограничена. Однако по теореме Коши о вычетах этот интеграл равен
[л "I
У , —/(w)+Zj Выч c\g(Az)f(z) ,
*—« П I z=zi J
где вторая сумма взята по всем особым точкам функции f(z), попав-
фуц f(),
шим внутрь (Z.J. Переходя к
пределу при п—*оо, полу-
получаем отсюда, что
со
*=-»
-il-I
), C0)
Рис. 44.
где сумма в правой части
распространена по всем особым
точкам функции f(z) в пло-
плоскости z. При этом требуется
дополнительно, чтобы, если таких точек бесконечное число, ряд в
правой чаСти был сходящимся.
Если среди особых точек функции /(г) были целые вещественные точки,
то из этого же рассуждения следует, что формула C0) остается справедливой,
если из суммы в левой части исключить все такие точки.
Пример.
1
2
1 У —
(* Ф 0)
" вы
-т К [(i-T
Рассматривая взамен B9) интеграл J sin (яг)<h> Л6ГК° В ТСХ Ж6
(i)
(in)
положениях доказать еще формулу
ft=- о»
ы,4йЦ
=2j sin (яг)

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 91
б. Интегральные формулы Пуассона. Это формулы, дающие
выражения для гармонической функции б полуплоскости или б круге
через значения этой функции на границе области. Для вывода первой
формулы рассмотрим интеграл
/W [^+щ-г^щ] d*
где функция f(z) аналитическая в полуплоскости
|/B)| = о(|2|) (z^oo, Imz >0).
Тогда для всей подынтегральной функции выполнено условие A6)
(почему?). Вычисляя интеграл C1), как описано в п. 4, получаем
2nz/(? + rn). Отсюда, производя сложение б квадратной скобке,
приходим к формуле
Отделяя вещественную часть, получаем формулу Пуассона
которая дает представление гармонической функции в верхней полу-
полуплоскости через граничные значения этой функции.
Взяв в квадратных скобках в C1) сумму дробей вместо их раз-
разности, мы аналогичным образом получаем формулы (проверьте!)
(Л>0), C2)
L Г (*-ё)«(*,0)
посредством которых каждая из двух сопряженных гармонических
функций выражается через граничные значения другой. Для справед-
справедливости этих формул достаточно, чтобы
|/@)| = оA) (т. е. /(г)-*0) (г-юо, Imz>0).
Впрочем, из леммы Жордана следует, что если f{z)=fl{z)eiu>z
(со > 0), то достаточно, чтобы \f1(z)\ = o( \z\) (а для справедли-
справедливости C1)—чтобы \/г(г)\ = о(\г\2)).

92 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Г / (х)
Рассматривая сингулярный интеграл \ I dS,, как указано в п. 4, мы,
J % 5
аналогично C2), приходим к формулам
C3)
CO OD
Иногда атнм формулам придают другой вид: заметив, что v. р. \ г=0> п0-
J x S
лучаем
C4)
и (х, 0)-ц (I, 0) .
Эти интегралы при л: = | регулярны, а при х— ± оо сингулярны (почему?).
Выбирая различные конкретные функции f (г), можно получить с помощью
формул C3) и C4) значения многих интересных интегралов. Например, поло-
положив [(г) = е1г, | = 0, из первой формулы C3) получаем значение интеграла
f sin*
— со
Аналогичные формулы рассматриваются при интегрировании по
окружности. Для этого надо взамен C1) исходить из интеграла
dz' C5)
взятого по окружности z — ae^ @^ф^2я), где ? = ге'* (г < а),
а функция f(z) предполагается аналитической всюду при |z|^a;
.точки Z и а2/?* симметричны относительно окружности |г| = а
(п. 1.8). Так как интеграл C5) равен 2л//(?), то, воспользовавшись
простым преобразованием
у [a2 —2ar cos (у —
получаем
(проверьте все эти вычисления!). Здесь также можно отделить веще-
вещественную часть и получить формулу, дающую представление гармо-
гармонической функции в круге через ее значения на окружности.

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ
Положив в C6) г = 0, получаем интересную формулу
2Я
93
C7)
т. е. значение аналитической (а потому и гармонической) функции
в центре круга равно ее среднему значению на окружности.
Взяв в C5) сумму дробей вместо разности и воспользовавшись
формулой C7), получаем формулу
из которой легко получить формулы, аналогичные C2).
Мы предоставляем читателю, исходя яз интеграла ф {. d\
формулы C7), доказать, что
2Я
/ («и») = f @)-± v. p. J / («'*) ctg 5LZ^ (bp,
а отсюда вывести формулы
(r = а) и
о
2Я
м(а,0)=м@)+— v. p. J о (а, <р) ctg
9L_-
о
2Я
)=о@) —— v. p.
C8)
г 2Я 2Я-в \
( Отметим, что при 0=0 здесь надо считать, что v. р. \ = lim \ . ]
V 0J е^ + ° 8 /
Например, положив /(г) = гп (л=1, 2, 3, ...), т. е. M = p"cosnd,
w=p"sinnO, и положив о=1, мы получаем полезные формулы
2Я
— v. р. \ si
i-^—^ф =
о
2Я
-д— v. р. \ соз/гф-ctg 2-^—?^ф=—sin nb.
о
_ , ф—О з!пф + в1пО „
Воспользовавшись тождеством ctg ?—?—= ¦!—' -г-, перейдя к интег-
2 cos ф—cos v
рированию от —я до я и применяя правило интегрирования четных и нечет-
нечетных функций, мы можем переписать предыдущие соотношения в виде
я я
sin/гО (' sin пир sin у ,
v \ — з-аф=—ncos
J фф cos О
о о
(я= 1,2,3, ...)¦
я я
С cos лф , sin/гО (' sin пир s
v. р. \ —тг^ф = я—:—г-, v. р. \ —
F J cos ф—cos О у sin О v J cos ф —c

94 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Положив при выводе л.=0, мы получаем, что первая группа формул верна
и при я = 0. Эти формулы нам понадобятся в п. VI 1.5.7.
6. Поведение функции на бесконечности. Пусть функция f(z)
однозначная и аналитическая в окрестности точки z = oo, т. е. для
всех достаточно больших \г\. Тогда из п. 2.4 вытекает, что она
допускает в этой окрестности разложение в ряд Лорана B.8)!
«=-00
(Впрочем, можно применять и более общее разложение B.11).) Нали-
Наличие особой точки при z= оо и ее тнп, по определению, распознаются
так: надо сделать замену z = y, после чего посмотреть, что будет
у полученной функции при ? = 0. Поэтому полюс при z*=oo будет,
если в соответствующем разложении B8) присутствует конечное
число (причем не менее одной) степеней с положительными
показателями, а существенно особая точка будет, если таких степе-
степеней бесконечное число. Если же f(z) ограничена на бесконечности,
то из первого абзаца п. 2.5 (примененного после перехода от z к ?)
вытекает, что в разложении B.8) нет положительных показателей,
откуда, в частности, вытекает, что /(оо) имеет определенное конеч-
конечное значение; тогда говорят, что функция f(z) аналитична в точке
z= оо.
Из последнего утверждения вытекает, в частности, теорема Коши—Лиу-
вилля: если функция f (z) однозначна, аналитична и ограничена на всей пло-
плоскости г, то она постоянная. В самом деле, в силу принципа максимума
модуля из п. 2.6 для любого R>Q
max |/(«)-/(«) | = max |/(«)-/(со) |;
если теперь R—> оо, то правая, а потому и левая части стремятся к нулю,
откуда и получается теорема.
Из нее в свою очередь следует, что если /(г) однозначна и аналитична.на
всей плоскости г, за исключением особых точек, которые при конечных г и при
г=оо могут быть только полюсами, то /(г)—рациональная функция (обратное
утверждение мы предоставляем читателю). В самом деле, прежде всего, из
сформулированных требований вытекает, что особых точек может быть только
конечное число: в противном случае из теоремы Больцано—Вейерштрасса
(п. 2.6) следовало бы наличие неизолированной особой точки при конечном г
или при г=оо. Установив это, выпишем разложение /(г) около каждой из ее
особых точек в ряд Лорана и составим сумму g(z) всех сингулярных частей
этих рядов (отметим, что в разложении вокруг точки г=оо сингулярной
является сумма степеней с положительными показателями степени).
Если особые точки могут быть только полюсами, то Есе эти сингулярные
части состоят из конечного числа членов, и потому функция g(z) рациональ-
рациональная. С другой стороны, нетрудно проверить, что разность f\z)—g(z) ограни-
ограничена на всей плоскости г (продумайте это!), и потому по теореме Лиувилля
есть константа; отсюда и вытекает утверждение, сделанное в начале этого
абзаца.

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 95
В частности, однозначная аналитическая функция, не имеющая конечных
особых точек и с полюсом на бесконечности, есть целая рациональная функция
(полином). Можно проверить, что алгебраические иррациональные функции
всегда обладают точками разветвления. Таким образом, среди однозначных
аналитических функций, обладающих конечным числом особых точек на всей
плоскости г, существенными особыми точками (конечными или бесконечно
удаленной) обладают трансцендентные функции и только оии,
Вычетом функции f(z) в точке z = oo называется число —с_и
составленное для разложения B.8) в окрестности этой точки.
(Обратите внимание на то, что этот вычет может быть отличен от
нуля и для функции, аналитической в точке z = oo!) Докажем теперь,
что сумма всех вычетов однозначной аналитической функции, имею-
имеющей на всей плоскости z конечное число особых точек, равна нулю.
В самом деле, пусть окружность |z| = /?, ориентированная в поло-
положительном направлении, содержит внутри себя все конечные особые
точки zv <г2, ...,% функции f(z). Тогда по теореме о вычетах
z = 2niS\ Вич/(г).
С другой стороны, написав разложение B.8) в окрестности точки
г = оо, получим, что тот же интеграл равен 2л1с_1= — 2ш'Выч/(,г).
Приравнивая результаты и сокращая на 2я/, получаем сформулиро-
сформулированное выше утверждение, которое иногда немного сокращает труд
по вычислению вычетов.
7. Логарифмические вычеты. Пусть функция f(z) однозначная
и аналитическая в окрестности некоторой (конечной) точки z0, за
исключением, быть может, самой этой точки, в которой f(z) имеет
либо нуль, либо полюс. Тогда функция -т^Т имеет ПРИ z — zu кэ°-
лированную особенность и ее вычет
^Tlt <39)
по определению называется логарифмическим вычетом функции f(z)
в точке z0 (название объясняется тем, что -j- = (Ln/)'j.
Если f(z) имеет в точке z0 нуль (полюс) порядка п, то лога-
логарифмический вычет C9) равен п (соответственно —л). В самом деле,
в обоих случаях можно написать
= (z-z0Y g(z),
где v = /z в случае нуля и v= —п в случае полюса, а функция g(z)
аналитинна в точке z0, причем g(zo)^O (продумайте это!). Отсюда
Г (г) =
, f(z)

96
ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
и, подсчитывая вычет этой функции по формуле E), получаем
Rum Г (Z). Vg(Zo) + (Zo-Zo)g'(Zo)
z=l /W ~ g(zo) + (zo-zo)g'(zo) V)
что и требовалось доказать.
Из теоремы Коши о вычетах (9), примененной к /'//, и доказан-
доказанного сейчас предложения вытекает теорема о логарифмиче-
логарифмических вычетах. Пусть функция /(г)—однозначная, аналитическая
и отличная от нуля всюду на замкнутом положительно ориентирован'
ном контуре (L) и всюду внутри него, за исключением, быть может,
конечного числа нулей и полюсов, расположенных внутри (L). Тогда
имеет место формула
§!^ P), D0)
где N и Р—общее число нулей, соответственно полюсов, располо-
расположенных внутри (L), причем каждый нуль и каждый полюс учитыва-
учитываются со своей кратностью (простой нуль или простой полюс счи-
считаются за один, двойной — за два и т. д.).
Так как левая часть формулы D0) равна
(буквами Аа, обозначено приращение, когда точка х проходит кон-
контур (L)), то из D0) получаем
В правой части здесь стоит число оборотов, которые совершает
точка f(z) в положительном направлении
вокруг начала координат, когда точка z
проходит контур (L). Форма D1) теоремы о
логарифмических вычетах называется прин-
принципом аргумента.
Заметим, что в формулировке этого принци-
принципа требование аналитичности функции / (г) на
самом контуре (L) (другими словами, в некото-
некоторой полоске, содержащей этот контур) можно
Рис. 45. ослабить: достаточно требовать, чтобы функция/(г)
оставалась на йем непрерывной и была отлична
от нуля. Для доказательства можно, например, применить формулу D1) к
контуру (?'), аппроксимирующему (L) изнутри (рис. 45), после чего перейти н
пределу при (V) —h (L).
8. Теорема Руше. Пусть функции f(z) и g(z)—однозначные
и аналитические всюду внутри замкнутого контура (L) и на нем, при-
причем на (L) имеет место строгое неравенство \ g(z)\ < |/(г)| Тд

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 97
внутри (L) функции f(z) и f{z) + g(z) имеют одно и то же число
нулей (здесь и далее каждый нуль считается со своей кратностью).
Для доказательства этой теоремы Рушё применим принцип аргумента
к функции /a(z) = /{z) + ag(z), где а—вещественный параметр,
O^a^l. Если точка г проходит (L) в положительном направлении,
то точка fa(z) описывает ориентирован-
ориентированный замкнутый контур (Ма), обходящий
Na раз вокруг начала координат (см.
рис. 46, на котором Ма==3). В силу фор-
формулы D1), где в данном случае Р=Ь,
Na 'как раз равно числу нулей функции
/a(z) внутри (L). Если а изменится мало,
то и контур (Ма) изменится мало, а i Ч_Ч>4_—-^?M )
потому число оборотов Nt останется *¦ ^~г7 «J
неизменным (продумайте это!). Опасным
мог бы быть только случай, если бы
контур (Ма) при некотором а прошел ис'
„через начало координат, т. е. для некоторого z?(L) было бы
/,(z)~=/(z)+ «?•(*) = 0;
/но тогда |/(z)| = a|?-(z)|<;|g-(z)|, вопреки условию теоремы, т. е.
.'Описанный случай невозможен. Значит, Na остается постоянным
во всем диапазоне изменения а, откуда, в частности, получаем
JVO = NX, т. е. утверждение теоремы.
В этом доказательстве, которое мы советуем тщательно продумать, при-
применены сразу два метода, распространенных в современных теоретических
исследованиях по прикладной математике. Прежде всего, это метод искусствен-
искусственного введения параметра (ведь в исходной формулировке не было никакого
параметра), который применяется для непрерывного перехода от одного из двух
заданных объектов к другому. Во-вторых, это метод непрерывного продолжения
по параметру: для доказательства справедливости какого-либо свойства (в дан-
данном примере—равенства Na=NB) в конечном интервале изменения пара-
параметра убеждаются, что оно выполняется в некоторой точке интервала и что
в малой окрестности каждой точки интервала оно либо всюду выполнено,
либо всюду не выполнено. Это простое рассуждение позволяет переходить
от утверждений локального (по параметру) характера к соответствующим утверж-
утверждениям тотального характера.
Среди следствий из теоремы Руше отметим «основную теорему
алгебры», упомянутую уже в ЛВМ, п. VIII.8, которую мы докажем
здесь в усиленной формулировке: всякий многочлен степени п
имеет ровно п комплексных нулей. Для доказательства нужно при-
принять f{z) = aoz", g(z) = alzn~1-{-a2z"~2Jr ... +ап, обозначить че-
через (L) окружность |z| = /? с любым достаточно большим R и непо-
непосредственно применить теорему Руше, что мы предоставим сделать
читателю.
4 А. Л. Мышкиа

98 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
9. Зависимость нулей от параметра. Пусть/a(z)=/(z; a)—це-
a)—целая функция переменного z, т. е. однозначная аналитическая функция
на всей плоскости z, зависящая также от некоторого параметра а.
(Аналогично можно рассмотреть функцию с любой областью анали-
аналитичности, даже зависящей от а.) Пусть в любой конечной части
плоскости эта функция зависит от а непрерывно в смысле равномер-
равномерного уклонения, т. е. при выбранном а и малом Да равномерное
уклонение /а+ла (z) от Д(г) будет малым. Тогда оказывается, что
нули функции fa(z), т. е. корни уравнения
/а(*) = 0 D2)
зависят от а непрерывно; доказательство и подробное описание этого
свойства сейчас последуют.
Допустим сначала, что z—простой, т. е. не кратный корень уравнения D2)
при некотором значении а, причем /-(z)^0, a (L)—любая фиксированная
достаточво малая окружность с центром в г. Тогда из утнерждения второго
абзаца п. 2.6 следует, что f~ (г) Ф 0 на (L), а потому и min | f~(z) |= h > 0.
a 1 *
Если теперь Да достаточно мало, то в силу условия теоремы разность
¦ - (г)—/-(г) будет на (L) по модулю меньше фиксированного числа h.
Но тогда из теоремы Руше, в которой указанную разность надо принять
за g(z), вытекает, что функция f- (г) имеет, как и f~(z), внутри (I) ровво
один простой нуль, т. е. при малом изменении а корень г уравнения D2)
изменился как угодно мало.
Если теперь г—корень кратности k, то аналогичное рассуждение показы-
показывает, что при малом изменении а из z возникает какое-то количество корней
уравнения D2), расположенных вблизи г, сумма кратностей которых равна k.
Таким образом, может либо сохраниться один корень кратности k, либо вза-
взамен г появиться k простых корней, либо же получиться какой-нибудь промежу-
промежуточный случай. Этим еще раз подтверждается, что корень кратности k есте-
естественно считать за k совпавших друг с другом корней, которые при изменении
параметра могут полностью или частично разойтись.
Не следует думать, что доказанное сейчас утверждение является
чем-то само собой разумеющимся. Если пользоваться только веще-
вещественными числами, то оно, вообще говори, оказывается несправед-
несправедливым. Например, если в уравнении х* + а = 0 вещественный пара-
параметр а, возрастая, проходит через нуль и становится положительным,
то тогда пришлось бы сказать, что два корня ± У —а совпали,
после чего исчезли. Лишь привлечение совокупвости комплексных
чисел, достаточно полной для решения уравнений, позволяет полу-
получить доказанное выше утверждение, которое можно трактовать как
устойчивость корней уравнения относительно изменения самого этого
уравнения.
Если параметр а вещественный, то в силу доказанного корни
уравнения D2) будут при непрерывном изменении а описывать неко-

сс>0
§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 99
торые непрерывные линии в плоскости г. (При этом мы впредь остав-
оставляем в стороне более сложный случай, когда при некоторых из
рассматриваемых значений а будет /Л(г)е^0.) Отметим некоторую
специфику, возникающую при продолжении этих линий: если, напри-
например, два простых корня z1 (а) и гг(а) при некотором значении а = а0
сольются в одни двойной корень, а затем вновь разойдутся, то, как
правило, в принципе невозможно распознать, какой именно корень
пошел по одному пути, а какой — по другому; так что нумерацию
корней после а0 приходится осуществлять заново. Так, поведение
корней в примере предыдущего абзаца
показано на рис. 47. Корни в момент их
слияния 'при а = 0 теряют индивидуаль-
индивидуальность, и сказать, какой именно из них
после этого пошел вверх, а какой вниз, ±л z=z=Q
невозможно. —<^—».'
При продолжении корней уравнения
D2) может оказаться, что при каком-либо
конечном а = ос0 один или несколько из сс>0
корней уйдут на бесконечность и таким
образом пропадут, так как мы здесь рас-
рассматриваем только конечные корни; при рвс 47.
переходе а через а0 эти корни вернутся
из бесконечности. За счет этого общее число корней на плоскости
при отдельных значениях параметра может понижаться, что не про-
противоречит доказанной выше устойчивости этих корней.
Из всего сказанного вытекает следующее правило для подсчета
числа корней уравнения D2) в заданной области (О) плоскости г.
Допустим сначала, что эта область конечная и при некотором зна-
значении а0 известно число N этих корней в (О). Тогда если при
любом а из рассматриваемого диапазона на границе (Г) корней нет,
то при каждом таком а число корней в (G) равно N (почему?).
Если при каком-то а на (Г) имеются один или несколько корней,
то, установив, входят ли эти корни при изменении а внутрь (О)
или, наоборот, выходят из (О), мы определяем, насколько изменится
число корней при переходе а через а. Если область (О) бесконеч-
бесконечная, то при этом исследовании надо иметь в виду также возмож-
возможность ухода корней, расположенных внутри (G), на бесконечность
и прихода из нее; здесь иногда помогает рассмотрение асимптоти-
асимптотического выражения для' функции / при z —*• оо.
Важным частным случаем является тот, когда аналитическая
функция f{z) является вещественной, т. е. принимает при вещест-
вещественных z вещественные значения. Тейлоровское разложение ее по степе-
степеням z—z0 должно иметь при вещественных ^вещественные коэффи-
коэффициенты, а потому при мнимых сопряженных z функция принимает
сопряженные значения, т. е. /(г*) = [/(г)]* (продумайте это, исходя из
4*

100 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
свойств сопряженных чисел, ЛВМ, п. VIII.3). Отсюда следует, что
если /(с) = 0, то /(с*) = 0, если /'(с) = 0, то и /'(с*) = 0 (так как
производная от вещественной аналитической функции будет снова
вещественной), и т. д. Итак, вещественная аналитическая функция
вместе с мнимым нулем всегда обладает соприженным нулем, причем
той же кратности. (Ср. аналогичное рассуждение для многочленов
в ЛВМ, п. VIII.8.)
Отсюда, в частности, вытекает, что если левая часть уравнения
D2) — вещественная аналитическая функция, то его простые веще-
вещественные корни не могут при изменении параметра «самостоятельно»
сойти с вещественной оси, они обязаны в момент схода слиться
в кратный корень (см. рис. 47).
Численное построение линий г^ (а) можно осуществить по способу непре-
непрерывного продолжения, который будет описан во второй половине и. IV.4.11,
перейдя предварительно от комплексного уравнения D2) к системе двух веще-
вещественных уравнений относительно Re г и Im z. В момент слияния корней
соответствующая свстема дифференциальных уравнений вырождается; поэтому
непосредственно после такого слияния лучше воспользоваться разложением
корней по степеням приращения параметра (п. 2.8), а уже продолжать эти
разложения, решая дифференциальные уравнения. По расположению поля
направлений можно выяснить и характер указанного выше пересечения траек-
траекториями корней контура (Г).
10. Нули многочленов. Применим соображения п. 9 к исследо-
исследованию-зависимости от вещественного параметра а нулей многочлена
P. (z) = а„ (а) z" + a1(a)zn-1 + ...+ а„ (а), D3)
коэффициенты которого непрерывно зависят от а. Как было пока-
показано в конце п. 8, при ао(а)=^=О имеется ровно п таких нулей,
zx (a), zt (а),... ,zn (а), среди которых, впрочем, могут быть и сов-
совпадающие. При изменении а эти нули опишут п траекторий (с ого-
оговоркой п. 9 о произволе в нумерации этих траекторий после их
встречи).
Если при каком-то значении а = а степень многочлена D3) по-
понижается на k^l, т. е. если ав (а) = а^а) = ... = ак^1 (а) = 0,
ак(а)-ф0, то в этот момент остается лишь п—k нулей; это означает,
что при данном значении параметра а ровно k траекторий ушло на
бесконечность. Если при переходе через а станет вновь а„ (а) Ф 0,
то это значит, что траектории возвратились из бесконечности.
Допустим, что аь(а)Ф0 при всех рассматриваемых значениях а-
и что нас интересует чнсло^(а) нулей многочлена D3) в правой
полуплоскости, т. е. в области Re2>0, причем для некоторого
значения а = а0 это значение NB известно. (Такая задача естест-
естественно возникает в вопросах устойчивости, см. ЛВМ, п. XV.22.) Для
простоты будем считать коэффициенты многочлена D3) веществен-
вещественными, хотя аналогично рассматривается и случай комплексных коэф-
коэффициентов.

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 101
Так как нули меняются непрерывно и не могут уйти на беско-
бесконечность или прийти оттуда, то N(a) может измениться лишь при
значении а = а, для которого по крайней мере один нуль z попа-
попадет на границу области, т. е. будет Re2 = 0. Обозначим z = iy
(у вещественное); тогда, подставляя в D3) и отделяя веществен-
вещественную часть от мнимой, получим два равенства
«о(«) У" — а*Й У"-* + а^ («) }-*—.... =0
и . D4)
«i(«) У"-1—а3(а)у"-3 + аъ(а) у"-* — ...=0,
которые оба должны выполняться. Исключая из них у, мы прихо-
приходим к соотношению между коэффициентами; оно и определяет зна-
значения а, при которых число N(a) может измениться. При этом,
если найдены значения а, у, удовлетворяющие обоим равенствам D4),
то при переходе возрастающего а через а значение N(a) увели-
увеличится или уменьшится на единицу за счет прохода нуля через iy
в зависимости от того, будет ли
жч" eta ~ ^ dPJdz
положительным или отрицательным.
a=a, z=iy
D5)
Если поляном содержит несколько вещественных параметров, например
<хх, <х2, ..., ад, то аналогичным образом можно выделить в А-мерном простран-
пространстве параметров области, которым отвечает то или иное зиачение N (alt a8,..., ад);
такое разбиение пространства параметров называется D-разбиением, оно наи-
наиболее наглядно при k=l или 2. Области D-разбиения отделены друг от друга
(ft — 1)-мерными поверхностями, уравнения которых получаются из требования
наличия у полинома чисто мнимого нуля. (Напомним, что число 0 мы относим к
чисто мнимым числам.) Аналогично определяется D-разбиение для любой целой
функции, содержащей параметры, однако при этом в пространстве параметров
могут добавиться поверхности, для которых нули с Rez > 0 уходят в бесконеч-
бесконечность. В последние годы появился ряд работ, в которых осуществляется
?)-разбиеиие для различных классов полиномов и квазиполиномов, т. е. функ-
функций вида
m
2а*г"*Л* (все nftSs0 целые). D6)
Особенно важен случай, когда все нули полинома имеют отри-
отрицательную вещественную часть, т. е. находятся в левой полуплос-
полуплоскости. Такой полином называется устойчивым (почему?) или гурви-
цевым по имени немецкого математика А. Гурвица A859—1919),
доказавшего в 1895 г. следующую теорему, которую мы здесь при-
приведем без доказательства (см., например, [133]). Для устойчивости
полинома
/>(*) = aQz» + a1z»-l+...+an_1z + an (a0 > 0) D7)

102 ГЛ. П. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
с вещественными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы
при всех k=\, 2,. .., п было
-1 "l  ••• ft-3
a_fc ai-k a6-ft ••• a2ft-fc
где все коэффициенты ayC_/<0 или у> л надо положить равными
нулю. Этот критерий Гурвица очень удобен для полиномов невысо-
невысоких степеней.
Полезно иметь в виду также следующее простое необходимое
условие: у устойчивого полинома D7) с вещественными коэффициентами
все они {коэффициенты) положительные. Это сразу вытекает из воз-
возможности разложить вещественный полином на вещественные линей-
линейные и квадратичные множители (ЛВМ, п. VIII.8); если же исходный
полином устойчивый, то эти множители будут иметь положительные
коэффициенты (почему?) и, раскрывая скобки, приходим к сформу-
сформулированному необходимому условию. Подчеркнем, что оно является
достаточным лишь при л=1 и я = 2 (проверьте!). Однако можно
доказать, что если оно выполнено и Ап_1 > О, Д„_3 > 0 и т. д.
(через один), то многочлен D7) устойчивый; это несколько облег-
облегчает проверку условий Гурвица.
Общая проблема определения числа нулей с положительной веще-
вещественной частью у заданной целой функции называется проблемой
Рйуса — Гурвица. Если для полинома D7) все определители Дх,
Д2, ..., Д„ отличны от нуля, то, как показал Гурвиц, искомое
число нулей равно числу перемен знака в ряду чисел 1, Д1(
Аа Аз А„
Дх' Д2' •••' AB_X-
Рассмотрим, например, полином г3+Згг + Зг+а с вещественным пара-
параметром а. Применение уравнений D4) приводит к значениям (проверьте!)
а=0 и 9, которые и осуществляют D-разбиение оси а иа три части. Про-
Проверка знака выражения D5), которую мы предоставляем читателю, показывает,
что при переходе через <х=0 число N нулей с положительной вещественной
частью убывает на единицу, а при переходе через а=9—возрастает на два.
Так как при а=1,таких нулей нет (почему?), то получаем, что N=\ при
— oo<a<0, JV = O при 0 < а < 9 (это интервал устойчивости рассматри-
рассматриваемого полинома) и JV = 2 при 9<а<оо. (Получите этот же результат из
признака Гурвица.)
Другой способ решения проблемы Рауса — Гурвица основан на
непосредственном применении принципа аргумента п. 7. Мы опишем
этот способ применительно к многочленам
хотя он распространяется и на многие другие классы функций.
Допустим, что многочлен P(z) не имеет нулей на мнимой оси и

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ
103
имеет неизвестное нам число N нулей в правой полуплоскости.
Тогда в силу принципа аргумента при достаточно большом R образом
замкнутой линии {LR), показанной на рнс. 48, а, служит замкнутая ли-
линия (?'?), схематически показанная на рнс. 48, б и N раз обходящая
вокруг начала координат; другими словами, ^- Аа) ArgP(z) = N.
Однако в силу асимптотического выражения Р (z) ~ aBzn, пригодного
для больших | z |, соответ-
соответствующее приращение вдоль
полуокружности таково:
Д Arg P(z) ж шт. Поэтому,
если обозначить
-«<</<¦» ArgP(iy),
D8)
то получаем, что
D9)
-R
(Подумайте, откуда здесь а)
V
Рис. 48.
знак минус; проверьте, что
на рис. 48, б принято N= 4,
3 \
п = 5, (х = — ~2'1 Ф°РмУла D9) и дает решение проблемы, причем
значение \i из D8) можно подсчитать с помощью ЭЦЕМ (для больших \у |
удобно заменить у на т) = —, чтобы т)—s-О), либо путем ориен-
ориентировочного построения от рукн лннни (М') (рнс. 48, б) по точкам
после вычисления необходимых значений P(iy).
В частности, полагая Af—О, мы получаем [i = /z/2—необходимое
и достаточное условие устойчивости многочлена, которое иногда
называется критерием А. В. Михайлова.
Если полином P(z) устойчивый и у пробегает вещественные
значения от —оо до оо, то ArgP(iy) монотонно (почему?) возрастает
на ял. Поэтому точка P(iy) пересекает вещественную, а также
мнимую оси по п раз каждую (быть может, один раз в пределе,
при .у—*-±оо). Но это означает, что если разложить
P(iy) = Q(y) + iR(y), E0)
где Q, R—вещественные многочлены, то нули этих многочленов
будут вещественными, простыми и перемежающимися (между двумя
соседними нулями одного многочлена лежит ровно один нуль другого).
Обратно, если после разложения E0) нули многочленов Q, R обла-
обладают указанными свойствами (а их нетрудно проверить с помощью
вычисления на ЭЦВМ), то нули многочлена Р(г) находятся либо

104 ГЛ. II. ТЕОРИЯ. АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
все в левой полуплоскости, либо все в правой, а в какой именно —
легко узнать, выяснив с помощью вычисления, в какую сторону
закручивается точка P(iy). (Докажите это обратное утверждение,
разобрав на основании сведений о нулях, как ведет себя точка P(iy)
при возрастании у от —оо до оо.)
11. Результант двух многочленов. В связи с материалом п. 10 остановимся
на вопросе, который встречается в различных разделах математики. Допустим,
что заданы два многочлена Р (г) и Q (г). Как исключить г из системы двух
уравнений
Р(г) = 0, Q(z) = O, E1)
другими словами, каково условие на коэффициенты этих многочленов, необхо-
необходимое и достаточное для наличия у уравнений E1) по крайней мере одного
общего решения? (Продумайте равносильность этих двух формулировок.)
Для простоты изложения мы примем, что многочлен Р(г) имеет третью, а
Q (г) — вторую степени, т. е. уравнения E1) имеют вид
авг3+а1г2+а2г+а3=0, Ьогг+М+г>2 = 0; E2)
впрочем, из результата будет ясен ответ и для любых степеней. Допустим,
что уравнения E2) имеют общее решение г=г0 и умножим результат под-
подстановки г0 в первое уравнение на г0, а результат подстановки г0 во второе
уравнение—на г* и г0. Получатся равенства
=0,-
0
bo
0
0
«1
b,
bo
0
=0. E3)
= 0,
= 0;
их можно рассматривать как систему из пяти алгебраических однородных
уравнений первой степени относительно пяти величин: г*, г», ..., 1. Посколь-
Поскольку эти величины не все равны нулю, то определитель системы должен равняться
нулю (ЛВМ, п. VI.6):
и, о, О
ау аг а3
6а О О
6, Ь, О
ь0 ьх ьг
Этот определитель, который аналогичным образом составляется и для много-
многочленов Я (г) и Q (г) других степеней (его порядок равен сумме степеней
многочленов Р и Q), называется результйнтом этих многочленов. Мы сейчас
проверили, что равенство E3) необходимо для наличия у уравнений E2)
общего конечного кория. Если имеется общий бесконечный корень, т. е. если
ao = bo = Q (см. п. 10), то ясно, что E3) все равно выполняется. Можно про-,
верить, что равенство результанта нулю является не только необходимым, но
и достаточным для наличия у двух многочленов общего конечного или бесконеч-
бесконечного нуля.(см., например, [62]).
Результант многочленов Р (г) и Р' (г) называется дискриминантом много-
многочлена Я (г). Равенство дискриминанта нулю необходимо и достаточно для
наличия у Р (г) кратного или бесконечного нуля (почему?). (Составьте дискри-
дискриминант многочлена аг*-\-Ьг-\-с; в чем отличие от дискриминанта, известного
из школьного курса?)

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 105
С помощью составления результанта возможно, во всяком случае в прин-
принципе, перейти от системы уравнений
где Р и Q—многочлены, к алгебраическому уравнению D(Z!)=0 с одним
неизвестным; впрочем, в конкретных примерах это может привести к непрео-
непреодолимо громоздким выкладкам. Аналогично применяется результант к построе-
построению решения системы уравнений
Р(ги г», г3)=0, Q (гь га, г3)=0
в окрестности точки г1 = г2 = г3 = 0 с помощью диаграммы Ньютона (п. 2.8)
для получающегося уравнения D(zI,z2) = 0.
12. Мероморфные функции. Однозначная аналитическая функция, задан-
заданная на всей плоскости г и имеющая при конечных z из особых точек только
полюсы, называется меромбрфной функцией. Так как в каждой конечной части
плоскости такая функция может иметь лишь конечное число полюсов (почему?),
то если всех полюсов бесконечное число, они накапливаются к бесконечно удален-
удаленной точке, которая будет в этом случае неизолированной особой
точкой. Типичным примером мероморфной функции служит tgz с полюса-
полюсами при г = ——\-кп (fe = 0, ±1, ±2, ...) и неизолированной особой точкой
при z = oo.
Если мероморфная функция / (г) имеет лишь конечное число полюсов, то,
составив сумму s (z) сингулярных частей соответствующих лорановских разло-
разложений во всех полюсах, мы получаем представление / (z)=s (z)-\-[f (г)—s(z)|
функции / (z) в виде суммы рациональной и целой функций. Оказывается, что
аналогичное представление возможно для широкого класса мероморфиых функ-
функций с бесконечным числом полюсов, однако при этом is (z) будет, естественно,
суммой бесконечного ряда из рациональных функций. Мы приведем здесь
лишь самую простую теорему в этом направлении.
Пусть для мероморфной функции f (г) с бесконечным числом полюсов воз-
возможно подобрать последовательность замкнутых контуров (Lx), (Ц), ...
,.. , (Ln), ..., каждый из которых содержится внутри следующего, причем
1°. min \г\ —»¦ оо, т. е. контуры уходят на бесконечность.
z6(Ln) п ->• «о
2°. Ltt = O (min | г |), т. е. длина контура имеет не более высокий поря-
док, чем минимальное его расстояние от начала координат, и
3°. sup max | / (г) \ < оо (под sup понимается верхняя граница, см. ЛВМ,
п i€(Ln)
п. IV. 19), т. е. функции f (г) на совокупности всех контуров ограничена.
Тогда имеет место представление
f (?) = 2 is« (z)-s« (г«I+f (z°)- E4>
л = 1
где sa{z)—сумма сингулярных частей лорановских разложений функции f (г)
у всех ее полюсов, расположенных между (in_x) и (Ln) (при п—\ расположенных
внутри (Lj)), а г0—любая неособая точка функции /(г). При этом ряд E4)
сходится равномерно в каждой конечной части плоскости г.
Для доказательства зафиксируем неособые точки г0, г и рассмотрим вспо-
вспомогательную функцию от ?:
Она имеет полюсы ? = г с вычетом / (г), ? = г0 с вычетом —/ (z0) (почему?) и,

106
ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
кроме того, все те же полюсы Е, = гъ г2, га, ..., что и функция /(?). Приме-
л
нение формулы F) к каждому сингулярному слагаемому вида
ложении / (?) показывает (проверьте!), что
(Ъ-чУ
в раз-
раз?=**
>.
J
где ff. (г)—сингулярная часть разложения функции в точке г=г^. Поэтому
в силу теоремы Коши о вычетах
Г \ N
(Ly) \ ° « = 1
Если теперь N-*», то из формулы E5), оценки B.3) и условия теоремы
следует, что левая часть стремится к нулю, причем для переменного г равно-
равномерно в каждой конечной части плоскости г.
:ч Отсюда и вытекает утверждение теоремы.
^ Применим доказанную теорему к функции
/(z) = tgz, приняв го=О и выбрав за (Lj), (L2),...
квадраты, один из которых изображен на рис. 49.
Так как
ит.
-/да
тс
|tg(x±mn)| =
tg х ± i th nn
i th ля tg*
Рис. 49.
- V+WnnWx -* l + th*ntg-;c < C°nSt
(проверьте!), то условие 3° теоремы выполнено,
прочие же условия очевидны. Но функция \gz имеет полюсы при г = -^.+ ^п
с сингулярной частью— г—[-^-+йя ] (проверьте!); поэтому формула
E4) дает
OD
— 1 1 1
-Е Ы
*=-«>
E6)
Если здесь объединить члены с &=0 и с k= — \, члены с k=\ и с ?ь=— 2
и т. д. (строго говоря, так и надо было делать по формуле E4)), то получим
tgz= —2г
1
=о
Если в формуле E6) произвести суммирование сначала от ?=—п до k = n,
а затем перейти к пределу при я-*- оо, то легко проверить, что сумма вторых
слагаемых стремится к нулю, т. е.
tgz=v. р.
Лж
к--»
E7)

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ 107
со я
где по определению V. р. У] =lim У] (ср. ЛВМ, п. XIV.19). Ряд E7)
расходящийся, и сумма его берется в смысле главного значения.
Интегрирование формулы E7) от 0 до г и потенцирование полученного
результата приводит к еще одной интересной формуле
C0S2 = V. p. I]
fc = — со
CO
где бесконечное произведение JJ и его главное значение определяются ана-
аналогично тому, как это делается для бесконечного ряда.
Для некоторых других целых функций / (г) разложение в бесконечное
произведение удается получить, проводя аналогичные манипуляции с разло-
Г (г)
жеиием мероморфиои функции ' в ряд. Так, можно проверить (мы ие ста-
Г" (г)
нем здесь этого доказывать), что мероморфная функция _, ' удовлетворяет
приведенным выше условиям теоремы о разложении E4), и потому, приняв
го=1, получаем (проверьте!)
Г|
Этот результат обычно преобразуют к следующему виду, обозначив
со ел
Г'(г)
=—Э:
СО
Г(г> - -,
л=1
Интегрирование от 1 до г дает
00
2(^у). E9)
л = 1
Полагая г=2, получаем
п
N
л=1
lim [ У,——lnJV—1
N N
lim fY-L-lnJv)- lim ln^±^= lim

108 ГЛ. 11. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
т. е. это та самая постоянная Эйлера, которая была введена в ЛВМ, п. XVII.1.
Подставляя в E9) выражение
ft — I
(проверьте!) и потенцируя, получаем требуемое разложение
Г" (г)
Логарифмическая производная fo (г) = _ , определенная формулой E8),
а также ее производные
СО 00
/1 = 0 /2 = 0
применяются при вычислении сумм числовых рядои вида
со
Р(п)
где Р и Q — многочлены, причем знаменатель имеет все нули вещественные
и его степень по крайней мере на 2 превышает степень числителя. Для этого
Р (г)
надо отношение _ ' разложить на простейшие рациональные дроби (ЛВМ,
п. VIП. 10), после чего воспользоваться формулами F0) и E8). Отметим простую
формулу . .
(докажите ее!), которая дает возможность ограничиться таблицами значений
typ (х) только на интервале длины 1.
13. Формула Кристоффеля — Шварца. Сначала отметим важное применение
принципа аргумента п. 7 к конформным отображениям. Пусть в некоторой
открытой односвязной конечной области (G) задана аналитическая функция
w—f(z), непрерывная вплоть до границы (Г) этой области. Пусть при этом
образом (Г) служит граница (?>) открытой конечной области (Н) плоскости w,
причем если точка w совершает один обход (Г) в положительном направлении,
то соответствующая точка w совершает один обход (D) в положительном
направлении (взаимная однозначность заранее не предполагается). Тогда функ-
функция f (г) осуществляет конформное отображение области (G) на (//). Для
доказательстиа применим формулу D1) к функции f (г)—ш0, где w0—любая
точка (Н); из этой формулы получаем, что иа w0 отображается ровно одна
точка z (? (G). Аналогично, если ы*0 находится во внешней области к (D), то
иа мH ие отображается ни одни точка (G). Отсюда с помощью результатов
первого абзаца п. 2.6 и вытекает высказанное утверждение о конформности.
Доказанное утверждение позволяет при проверке конформности отображе-
отображения ограничиться рассмотрением его свойств только на границе области. Это
утверждение легко распространяется и иа неограниченные области (с помощью
аппроксимации их конечными), если под положительным направлением обхода
контура такой области понимать 'raitoe направление, при котором эта область
остается слева.

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ
109
Рассмотрим теперь в верхней полуплоскости 1тг > 0 функцию
Z
F1)
где С Ф О, С-1 — произвольные комплексные постоянные, Im г0 > 0, все аь, щ —
произвольные вещественные постоянные, причем ах< аг< ... <ап, все
|afe| < I, 2aft=2. Подынтегральную функцию можно считать в верхней
к
полуплоскости однозначной, если положить (?—aft)"* =ехр [(ак— 1) In (?—aft)|
(п. 1.12). Поэтому функция F1) осуществляет аналитическое отображение
верхней полуплоскости (G) плоскости г на некоторую область (Н) плоскости ш;
вид этой области сейчас будет выяснен.
Так как
dw _ _a ,_a \-Оп
dz "
то при изменении г вдоль вещественной оси—границы области (G)—аргумент
dw
— остается постоянным, т. е. до изменяется вдоль прямолинейного отрезка
Рис. 50.
(п.1.4), пока г не переходит через одну из точек ад. При таком переходе
dw
Arg(z—ад) возрастает иа —я, а потому Arg-j на а^я, т. е. точка w иачи-
нает следовать вдоль нового направления, составляющего угол а^я с преды-
предыдущим (рис. 50). Таким образом, ось * отображается на я-угольиик.с вер-
вершинами а'и аь, ..., а'„. (Точка г=оо, 1тг^0, как мы предоставим дока-
доказать читателю на основе равенства 2 щ=2, отображается иа одну из точек
отрезка a'na'i.) Если этот я-угольник получится без «внутренних» самопере-
самопересечений (рис. 51), то из теоремы, доказанной в начале этого пункта, вытекает, что
функция F1) осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости г
на внутренность указанного п-угольника. Проверьте, что таких самопересечений
наверняка не будет, если все а* > 0 или если п < 4. Формула F1) назы-
называется формулой Кристоффеля—Шеарца.
Справедливо и обратное утверждение, которое мы здесь ие будем доказы?
вать: если в плоскости w задан n-угольиик, то параметры в формуле F1)
всегда можно подобрать так, чтобы получить отображение именно на этот

по
ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
я-угольиик; однако иа практике этот подбор может оказаться далеко ие прос-
простым. Впрочем, читатель может легко проверить (хотя это служит только под-
подтверждением, но не доказательством сформулированного обратного утвержде-
утверждения), что число таких существенных действительных параметров как раз на 3
превосходит число параметров при задании п-угольиика, в соответствии с тремя
степенями свободы при отображении полуплоскости на себя (п. 1.16). Эта сво-
свобода дает возможность, в частности, произвольно задать три из значений а^,
МОЖНО
МОЖНО
Рис. 51.
НЕЛЬЗЯ
а разыскивать лишь остальные. Особенно часто полагают а„ = оо; для этого
надо в формуле F1) вместо С написать С (—а„)ап, а затем совершить переход
к пределу при ап—>¦ оо, откуда видно, что при а„ = оо последний множитель
в подынтегральной функции надо просто устранить.
Рис. 52.
Рис. 53.
Если какое-либо из ак в формуле F1) будет Э= 1 (но обязательно <3),
то интеграл при г=ак расходится, т. е. соответствующая вершина «много-
«многоугольника» уйдет на бесконечность. Поворот направления обхода контура
в этой вершине, как и ранее, равен а^я. Проверьте, например, что «четырех-
«четырехугольнику» рис. 52 отвечают значения щ=.—, а^=—^-, &a=-w > а4=—<г'
Пусть, например, требуется конформно отобразить верхнюю полупло-
полуплоскость г на «четырехугольник» (Я), показанный иа рис. 53. Здесь 0^=03=1,

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ I I I
—-а > а4=—у! примем а! = —1, а2=0, а4=оо, тогда формула F1) дает
2С /Г ds- С ds
F2)
(При вычислении последнего интеграла мы воспользовались логарифмом, более
удобным при действиях с комплексными величинами, чем арктангенс.) При
дальнейших преобразованиях требуется добавочное внимание в связи с приме-
применением многозначных функций. Так как г меняетси в верхней полуплоскости,
то в качестве области изменения s можно принять первый либо третий квад-
квадрант; примем впредь для определенности первый. Чтобы уточнить ветви лога-
логарифма, воспользуемся условием / (о2)=а2, т. е. f@)=0:
2С / 1 1
I _Ln(-l)- I Ln(-1
Выражая отсюда Сх и подставляя в F2), получим
1 L У^^^^Л F3)
причем то же условие а>@)=0 показывает, что надо выбрать ветви логарифма,
удовлетворяющие условию Lnl=0. Легко проверить, что если s изменяется
в первом квадранте, то дроби, стоящие под знаком логарифма в F3), описы-
описывают нижнюю и соответственно верхнюю половины единичного круга; поэтому
при Imz > 0 надо пользоватьси главной ветвью логарифма (продумайте это!).
Далее, чтобы область (Я) получилась правильно повернутой, необходимо,
чтобы -г- при вещественном г > 0 было вещественным; отсюда в силу первого
равенства F2) вытекает, что и С вещественно. Наконец, остается условие
оу (оо)=1 +1. Подставляя s=oo в F3) и учитывая сделанное выше замечание
об областях изменения дробей, стоящих под знаком Ln, получаем
fl1
Подставляя эти значения в F3), получаем окончательно
1тг>0.
1—S 1—S
¦ Советуем читателю внимательно продумать приведенные рассуждения.
Беспечное обращение с многозначными функциями может привести к прямым
ошибкам в ответе.
14. Понятие об эллиптических функциях. Интеграл F1), как правило, не
выражается через элементарные функции. В частности, при отображении
полуплоскости на внутренность прямоугольника получается эллиптический
интеграл; напомним (ЛВМ, п. XIII.11), что в общем случае эллиптическими
называются интегралы вида
J R (х, /P(F)) dx, F4)

112 ГЛ. П. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
где R — рациональная функция от своих двух аргументов, а Р (х) — многочлен
третьей или четвертой степени. Хотя при выполнении определенных равенств,
связывающих коэффициенты, интеграл F4) выражается через элементарные
функции (тогда он называется псевдоэллиптическим), но, как правило, рас-
рассчитывать на это не приходится. Можно показать (см., например, [6]), что
интеграл F4) с помощью элементарных преобразований всегда можно предста-
представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов вида
Г , dt С /l-W^ С
J VA-I«)A-*V)' J У I-'1 ' J
dt
где k и / — постоянные; это нормальные эллиптические интегралы Лежандра
соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода. Однако не следует слишком надеяться
на эти преобразования: как правило, они громоздки, а интегралы 3-го рода
весьма неудобны в обращении и даже не затабулированы. Поэтому на прак-
практике, если интеграл F4) не сводится как-то просто к интегралам Ьго или
2-го рода, то лучше воспользоваться приближенным или численным интегрк-
рованием.
Совершим в первых двух интегралах F5) подстановку f=sin q> и перей-
перейдем, чтобы избавиться от произвольных постоянных, к определенным интегра-
интегралам с нулевым нижним и переменным верхним пределамн. Мы получим функции,
имеющие специальные обозначения:
Величины ф н k называются соответственно' амплитудой н модулем эткх
эллиптических интегралов; в большинстве приложений эти величины вещест-
венны. Такие интегралы прн 0<Ф<-5- , 0<:/t<l подробно затабулированы;
для других значений (р надо воспользоваться четностью н периодичностью
подынтегральной функции, а случай k > 1 сводится к k < 1 с помощью под-
подстановки fesinij)=sjnijI (проверьте, считая интегралы вещественными!).
Особенно часто применяются полные эллиптические интегралы
К (k)=F (-?.*). Е »)=Е (?, ft) »
Например, мы предоставляем читателю вывести, исходя из канонического
уравнения эллипса и общей формулы длины дуги, что длина эллипса с боль-
большой полуосью а и эксцентриситетом е равна АаЕ (е); отсюда И происходит
название «эллиптический интеграл»,
Вернемся к первому интегралу F5), причем будем теперь считать незави-
независимую переменную комплексной. Сравнивая с формулой F1), получаем, что
функция
$ (О < А < 1) F6)
(в которой однозначная иетвь подынтегральной функции выбрана так, что она
равна единице прн ?=0) осуществляет конформное отображение верхней полу-
полуплоскости z на внутренность прямоугольника плоскости w; прн этом в вер-
вершины прямоугольника переходят точки г=±1 и г=±тг~- При г=±1

§ 3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И НУЛИ
получаем w=± К (к), а при z=± 1/fe будет
ИЗ
i = ± *(*)+'
1-***»)]
= ±
1
J [(i-T2)(i-
= ±
(проверьте!). Это н есть вершины упомянутого прямоугольника.
Поэтому обратная к F6) функция, которая обозначается г=впш (подроб- •
нее, sn (ю, k)) и называется эллиптическим синусом, осуществляет конформное
отображенне внутренностн указанного прямоугольника на верхнюю полупло-
полуплоскость г. Пользуясь правилом симметрии (п. 1.16), несложно показать (см.,
Рис. 54.
например, [66])> что функцию sn w можно продолжить с этого прямоугольника
на всю плоскость w, после чего получится однозначная мероморфная функция
с простыми полюсами в точках w=iK (k')-\-2mK (k)-\-2inK (k1), где т и л —
любые пелые числа. Она обладает интересным свойством
sn{w+4mK(k) + 2inK(k'))^snw (т, я = 0, ±1, ±2, ...),
т. е. имеет два независимых периода 4К {k) и 2iK (k'). Функции комплексного
переменного, обладающие таким свойством, называются двоякопериодическими.
Эллиптический синус называется также синусом амплитуды. (Это назва-
название объясняется тем, что если в интеграле F6) совершить, как выше, подста-
подстановку z = sin<p, то ф—верхний предел полученного интеграла—принято назы-
называть его амплитудой, т. е. амплитудой для w.) Аналогично вводятся функции
косинус амплитуды en w=yi—sn2 ai и дельта амплитуды dn и>= У1—k'2sin*w,
нормированные условием равенства единице при «i = 0. Можно показать, что
эти функции также мероморфные и двоякэпериодические. Между функциями
sn w, сп ю и dn w, введенными Якоби, имеются многочисленные соотношения.
Отметим, что для вещественных w эти функции принимают вещественные зна-
значения, причем периодичны; нх графики при некотором k показаны на рнс. 54
В частности, sn х = sin <p (х), где <р(х)—функция, обратная к возрастающей
функции x(y) = F(y, k).
Имеется ряд других эллиптических функций, тесно связанных с описан-
описанными здесь. Свойства этих функций можно иайти в [6] и в различных курсах
специальных функций.

114 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 4. Асимптотические разложения
Мы уже упоминали об асимптотических разложениях в ЛВМ,
п. XVII.19. Сейчас они широко применяются в прикладной матема-
математике в качестве эффективного аппарата как для вывода приближен-
приближенных формул в «околопредельных» ситуациях, так и для вычислений.
Теория асимптотических разложений непосредственно связана с теорией
аналитических функций (хотя многие результаты первой имеют чисто
вещественный характер) и иногда, даже при анализе прикладных за-
задач, требует проведения сложных и тонких математических рассуж-
рассуждений. Здесь мы приведем лишь некоторые общие сведения об асимпто-
асимптотических разложениях, отослав читателя за дальнейшими сведениями
к книгам [52, 139, 16].
1. Введение. Как уже говорилось, функция f(x), по определению,
допускает при х ~* оо асимптотическое разложение
если для любого /2 = 0, 1, 2, ... имеет место представление
«. + -?+...+-jg- + o(^) (при лг^оо). B)
( Если сравнить эту формулу с формулой следующего приближения,
то видно, что остаточный член можно записать также в виде
О (-^+1) ¦ ) При этом вовсе не требуется обязательно, чтобы ряд,
стоящий в правой части A), сходился в обычном смысле к Дх)
и даже чтобы он вообще сходился к какой-либо функции; так, в ЛВМ,
п. XVII.19, получено разложение
1
X
1 1! , 2! 3! , . . ...
+ _r___+...(*_>oo), C)
хотя ряд, стоящий в правой части, расходится при любом х. Так,
частные суммы ряда последовательно равны:
при х = 2 . .
0,50; 0,25; 0,50; 0,125; 0,875; ...|
при х = 5
0,200; 0,160; 0,176; 0,166; 0,174; 0,166; 0,176; 0,163; 0,183; .. :i
при лг= 10
0,10 000; 0,09000? 0,09200; 0,09140; 0,09164; 0,09152; 0,09159;
0,09154; 0,09158; 0,09155; 0,09158; 0,09154; 0,09159;...
Интересно, что из вывода формулы C) легко понять (продумайте это!),
что при любом фиксированном х > 0 остаточный член при переходе

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 115
от каждого п к следующему меняет знак. В этом случае, самом
удобном для вычислений, точное значение разлагаемой величины заклю-
заключено между любыми двумя последовательными частными суммами ряда,
что дает возможность получить двустороннюю оценку этого значения.
Так, в разобранном примере
0,25 </B) < 0,50; 0,166</E) < 0,174;
0,09155 < /A0) < 0,09158,
т. е. можно принять /B) = 0,4; /E) = 0,170; /A0) = 0,09156. Мы
видим, что с ростом х точность результата повышается.
Если двустороннюю оценку получить не удается, то иногда, имея
выражение для остаточного члена в виде интеграла и т. п., оказы-
оказывается возможным получить его оценку и тем самым получить пред-
представление о точности результата. Но и если точная оценка остаточ-
остаточного члена неизвестна, то, вычисляя последовательные частные суммы,
удается получить приближенное значение разлагаемой величины
и правдоподобную оценку ошибки, так как обычно, когда частные
суммы ряда отчетливо сближаются (а значение х не слишком мало),
они оказываются приближенно равными этой величине, а ошибка — по
порядку равной первому из отброшенных членов.
Применяются также разложения вида
+ + г+ • • • ) >
D)
f(x)~g(x) («0 +1Г + • • • + -рг+ • • •
и т. п. Смысл этих формул аналогичен смыслу формулы A).
При рассмотрении асимптотического разложения однозначной ана-
аналитической функции
f{z)~a9+± + %+. .. + %+... E)
должно быть указано, какие способы удаления z на бесконечность
допускаются. Если формула E) справедлива при произвольном способе
z-+oo, то нетрудно показать (попробуйте!), что в правой части E)
ctqht разложение в ряд Лорана функции f(z) на бесконечности
(п. 3.6) и равенство E) является не асимптотическим, а точным.
Более содержательная теория получается, если требовать, чтобы
равенство E) имело место, только когда г—»-оо, оставаясь внутри
некоторого заданного угла, другими словами, если аргумент г удо-
удовлетворяет некоторому заданному неравенству вида a^Arg^^p.
(В частности, если a = j3 = 0, мы получаем разложение A).) Довольно
типичной является следующая картина: задается неравенство
a<Arg2<C, а формула

116 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
имеет место при г -*¦ оо в любом «строго внутреннем» угле
a'^Argz^P', т. е. а < а'<!{}'< р. Интересно, что тогда в раз-
разных углах, не имеющих общих лучей, одна и та же функция f{z)
может иметь различные асимптотические разложения; это явление
называется явлением Стокса.
2. Свойства. Мы будем для простоты говорить о разложениях
вида A) при лг-э-оо; аналогичные свойства имеют место и для раз-
f (х\
ложеиий D); первое, кстати, можно переписать в виде . ,' ~ а0 -{-
+—+..., т. е. свести к A); второе сводится к A) подстановкой
хР—у.
Прежде всего заметим, что далеко не каждая функция, даже
конечная при х-+ оо, допускает разложение A); например, такое раз-
разложение невозможно для f(x) = s\nx, х~р (р > О не целое), пх
и т. п. С другой стороны, легко доказать, что если разложение
все же возможно, то его коэффициенты определены однозначно,
т. е. у одной и той же функции не может быть двух различных
разложений вида A). В самом деле, если кроме A) имеет место фор-
формула f{x)~a'0-\—--{- ... и л^О—наименьший номер, для которого
а„фа'п, то наряду с B) можно написать, что
и, вычитая, мы приходим к противоречию (продумайте!). Этим свой-
свойством, в частности, объясняется оговорка об общих лучах, сделан-
сделанная в последней фразе п. 1.
В то же время две различные функции могут иметь одинаковое
разложение A). В самом деле, функция, стремящаяся к нулю при
х -*¦ оо быстрее любой степени х (например, е~х), имеет тождественно
нулевое разложение (почему?). Значит, добавление такой функции
к левой части A) не меняет правой части. Таким образом, по задан-
заданному разложению разлагаемая функция определяется лишь с точ-
точностью до слагаемого указанного типа; однако в конкретных за-
задачах эта небольшая неопределенность обычно оказывается несуще;
ственной. ч
Переходим к действиям над разложениями A). Исходя из форму-
формулы B), легко проверить, что такие разложения можно почленно скла-
складывать, умножать на число (при умножении на функцию надо перейти
к первому разложению D)). Аналогично проверяется, что разложения A)
можно перемножать по правилу умножения многочленов, а также
делить столбиком или по методу неопределенных коэффициентов

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 117
(ЛВМ, п. XVII.12), если у знаменателя коэффициент а0ф0. Возмож-
Возможно асимптотическое разложение функции F(/(x)) с помощью подста-
подстановки ряда в ряд, если F(y) разлагается в ряд Тейлора по степеням
у — а0; аналогично для Ftf^x), /2(x) /*(¦*))•
Асимптотическое равенство A) можно почленно интегрировать,
что дает
^a1\nx~b,—af—g,—gf- •••» F)
где b0 — некоторая постоянная, зависящая от х0^.оо. Для доказа-
доказательства перенесем в формуле B) первые два слагаемых правой
части в левую и проинтегрируем результат от х до оо , заметив, что
ю
эт0
00
Поменяв с обеих сторон знаки и добавив I \f(s)—а0 ds=
00 »
= fO(-j-)ds = const, получаем F) (проверьте!).
Из доказанного нетрудно вывести, что равенство A) можно и по-
почленно дифференцировать, т. е.
ги~-3»?-?-.... о
если известно, что функция /' (х) допускает асимптотическое разло-
разложение. (Попробуйте доказать это, исходя из разложения функции f (x)
и проверив с помощью интегрирования, что оно обязательно имеет
вид G).)
Если отказаться от последнего условия, то возможно построить искусственные
примеры, в которых дифференцирование асимптотического равенства оказы-
оказывается незаконным. Однако в примерах, представляющих практический интерес,
такая ситуация не возникает. Отчасти это объясняется тем, что для разложе-
разложений E), сходящихся внутри угла а < Argz < Р (в смысле, указанном в конце
п. 1), возможно доказать, что почленное дифференцирование законно всегда,
причем получающаяся формула асимптотич-на в том же смысле, что исходная.
А в реальных примерах асимптотическая формула, справедливая при х ->¦ оо,
обычно справедлива и в некотором угле | Arg г \ < е.
Отметим, что в более сложных задачах иногда удается получить не полное
разложение вида A), а только формулу тИпа B) при' фиксированном я. Даже

118 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
и такие формулы, хотя бы при п=0, а тем более при больших п, могут ока-
оказаться очень полезными.
При рассмотрении асимптотических разложений функций от нескольких
аргументов надо иметь в виду, что такие разложения могут оказаться различ-
различными для различных соотношений между аргументами. Пусть, например,
дана функция
Х ' -'- 1 ' * - *-, (8)
/v ' *' у ' х+у
причем х ->¦ оо, у-+¦ оо. Тогда если х и у одного порядка, y=kx, то разложе-
разложение имеет вид
Г(х, их)—— ,
где k=y/x заключено между положительными постоянными и, в частности,
может быть само постоянным. Если у второго порядка по сравнению с х,
т. е. y=kx2, то
В (8) возможно положить i/=oo, что даст
f(*> со)==Т*~Ш<>+5Тхп~--' >
с другой стороны, положить х=оо в (8) невозможно.
Из-за того, что соотношение между аргументами недостаточно уточнялось,
не раз возникали недоразумения.
3. Интеграл типа Фурье. Рассмотрим интеграл
ъ
'(v) = $/(*)«'»*<**, (9)
а
предполагая, что функция 'fix) имеет непрерывные производные всех
порядков на конечном интервале a^jc^b; такие интегралы часто
появляются в теории интегрального преобразования Фурье (ЛВМ,
§ XVII. 5). Легко получить полное асимптотическое разложение
интеграла (9) при вещественном v -> ±оо. Для этого произведем
интегрирование по частям несколько раз, например, два раза,
дифференцируя функцию f(x):
ь
1
(MX ehx \\ь i
/мтг-/' &w) L+Ы
Видно прежде всего, что /(v)->-0 при v -*¦ ± оо; а так как послед-
последний интеграл в A0) того же типа, что (9), т. е. и он стремится

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 119
к нулю прн v-*-±oo, то, проводя дальнейшее интегрирование по
частям, получаем при естественном смысле обозначений
?/<»-» (в)-в''ь??/("'1>(&) (И)
л=1 л=1
(проверьте!).
Эта же формула верна н если а=—оо (тогда первая сумма
обращается в нуль), либо если Ь=оо (тогда вторая сумма обра-
обращается в нуль), если интеграл (9) абсолютно сходится.
В самом деле, для «хороших» функций ц>(х) из сходимости интеграла
со <ю
V \<p(x)\dx вытекает, что <р(оо)=0 и что \ |<р' (д:) | djc <оо, а последнее дает
а а
возможность перейти и к дальнейшим производным. Последнее неравенство
гарантируется, например, если <р (х) имеет конечное число интервалов монотон-
Р
ности, так как на каждом таком интервале \ |<р' (х) \ йх=\ <р ф)— ф (а) |.
а
Однако в общем случае утверждения первой фразы этого абзаца допускают
построение искусственных противоречащих примеров: первому утверждению
. / , 2+sin х \
противоречит функция вида дгехр \ехт——^ с очень тонкими «столби-
Ч d /
ками», уходящими на бесконечность, а второму—функции с бесконечно учаща-
учащающимися колебаниями, например —|- sin х2 (продумайте эти примеры!).
Мы не будем здесь принимать во внимание эти искусственные примеры и потому
не будем делать соответствующие оговорки; более полные формулировки со
всеми оговорками интересующийся читатель может найти в указанной лите-
литературе.
Отсюда, в частности, получается нывод об асимптотическом
поведении фурье-образа заданной абсолютно интегрируемой при
— оо <.* < оо функции /(х). Допустим, что для некоторого целого
/м^О все ее производные порядка <^т непрерывны, тогда как
/ш{х) имеет по крайней мере один разрыв, причем 1-го рода. Тогда,
разбивая интеграл
на части, отвечающие участкам непрерывности /(Я1) (х), н проводя
интегрирование по частям т-\-\ раз, как было описано выше, полу-
получаем, что / (k) -*¦ 0 при k -*- ±°о со скоростью \k\~lm+1). (Ср. при-
пример, разобранный в конце п. XVII.32 ЛВМ.) Если же у f(x) непре-
непрерывны производные всех порядков при —оо<лг<оо, то / (k) ->¦ О
при k-^-±oo быстрее любой отрицательной степени.
Рассмотрим еще случай, когда в интеграле (8) пределы интегри-.
рования конечны, но подынтегральная функция на одном из этих'

120 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
пределов обращается в бесконечность. Пусть, например, интеграл
имеет вид
ь
{x—a)'-1f(x)ei*xdx, A2)
а
где 0<а< 1 (это нужно для сходимости интеграла), а /(х) такая
же, как в интеграле (9), причем /(а)фО (в противном случае надо
сначала несколько раз произвести интегрирование по частям). Мы огра-
ограничимся выводом лишь главного члена асимптотического разложения
интеграла A2) при v -*¦ оо. Для этого представим сначала /(v) в виде
ь . ь
/(v)= ^ (х—а)"-1 f {a) ehxdx + Ux—a)"f (x)~f ^ ehxdx.
a a
Так как во втором интеграле подынтегральная функция уже непре-
непрерывна, то с помощью интегрирования по частям легко доказать,
что он равен О( —) . В первом же интеграле замена х = а~\— дает
vF — a) vF —о)
/(а) С if«-1v1-«e'<Ive'i^ = /(a)e'e»v-'1 Г t"'1 elt dt.
о о
CD
Последний интеграл при v—юо стремится к интегралу \i*~1etidt,
о
который, как можно показать, равен е'1»/* Г(а).
Для доказательства надо рассмотреть ин-
интеграл
д
ехр[/г + (а—I) In z\dz
.)
по замкнутому контуру, показанному на рнс. 55,
в комплексной плоскости z = t-\-is. По теореме
\ р
Коши п. 2.2 У=0. Прн р—»-0 * R —>оо со-
рнс gg ответствующне интегралы по дугам окружно-
окружностей стремятся к нулю в силу оценки B.3)
я леммы Жордана п. 3.4. Поэтому в пределе получаем
00 О
С expl« + («— \)lnt]dt = — ^ exp[i-is+(a— l)lnis]ids =
о •
= i J e~s е' <я-1)я/« s«-i ds = e'ia/a r (a)_
6
Подводя итог, получаем окончательно
(v—> оо) A3)

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 121
(продумайте!) Нетрудно показать, что вместо o(v~") здесь можно
написать O(v-1). По поводу дальнейших членов разложения см. [52].
Полученные результаты можно применить к более общему инте-
интегралу
ь
с непрерывными функциями /, ф и ф'. Если ф' (х) > 0 (
то можно сделать замену ф(лг)=_у> в СИЛУ которбй
Ф(Ь)
S (>')^^, A4)
Ф(
= S
где под ф~ понимается функция, обратная к ф (т. е. д: = ф~ (у)).
Получился интеграл типа (9), для которого можно пользоваться раз-
разложением A1). Ограничиваясь первым членом, получим при v—>¦ ± оо
[*'"/(q>- (у)) ф
(проверьте!).
Та же формула получается, если ф' (х) < 0 (а ^ х ^ Ь). Если
же q> (jc) имеет при а ^ х ^ й по крайней мере одну стационарную
точку, то формула принципиально меняется; мы сейчас покажем,
что старший член асимптотического разложения Ix (v) определяется по-
поведением функций/и ф именно в этих точках. Для этого заметим прежде
всего, что с помощью разбиения интервала интегрировавия на части
можно перейти к случаю, когда на таком интервале (концы которого
мы опять обозначим через а, Ь) имеется лишь одна стационарная
точка функции ф(лг), причем в конце интервала. Мы предположим
для определенности, что ф'(а) = 0, ф' (х) > 0 (а <*<;&), ф"(а)>0;
прочие случаи разбираются аналогично. Тогда замена у = ф (х) вблизи
точки х = а, с точностью до малых высшего порядка, имеет вид
с—а)%, откуда
i—
Поэтому интеграл A4) имеет тип A2), и формула A3) дает
1Х М =
И здесь вместо о (-т=\ на самом деле можно поставить О( —|.

122 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
4. Интеграл с параметром в вещественном показателе. Перей-
Перейдем теперь к интегралам вида
ь
(v-*oo) A5)
с вещественными непрерывными функциями / и ср. Естественно, что
при большом v наиболее существенными оказываются те х, при
которых ф(д:) достигает наибольшего на интервале а^.х^.Ь зна-
значения (продумайте это!). Как и в конце п. 3, можно считать, что
такое значение х только одно и притом в конце интервала интегри-
интегрирования. Пусть для определенности ф(а)>ф(л;) (а < x^ib), причем
(f(x) — ср(а)~— k(x — a)« (k,a>0,x->-a + 0) A6)
и /{а)фО. Заменяя, подобно п. 2, в интеграле A5) f(x) на /(а),
а ф(д;) на его выражение из A6), получим при v->-oo
= \kv(x—a)a =
Законность указанных замен вытекает из того, что при любом е > О
ь ь
\ f(x)e^x)dx\s^\,\f(x)\dx-ex.p[v max ф(*)],
a+e a a+e«*<(>
т. е. получается выражение значительно меньшее, чем правая часть A7),
a+e
а потому основной вклад в интеграл A5) дает \ . Эту законность
а
можно обосновать и с помощью более тщательного математического
анализа, проведенного в специальной литературе. Если <р (х) дости-
достигает наибольшего значения при х = Ь, причем <р (х) — фF)^
~ — k{b—xf'ix-^-b—0), то в правой части A7) надо заменить а на Ь.
Если наибольшее значение достигается во внутренней точке с интер-
интервала интегрирования, причем ф(*) — ф(с)~ — k\x—с|а(х-*¦ с), то
с помощью разбиения интеграла на два получаем, что в правой
части A7), где вместо а надо поставить с, появится добавочный
множитель 2.

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 123
В качестве примера рассмотрим асимптотическое поведение гамма-
функции
Т(р) = ]е-ххР-Чх=^ехр{р [—~+?ly-\nx] ) dx
при р -*¦ оо. Так как квадратная скобка принимает максимальное зна-
значение при х=р — 1 (почему?), то сделаем предварительную замену
переменной х = (р— 1)/, чтобы зафиксировать аочку максимума.
Получится
о
Обозначив (f(t)=— t+lnt, получим, что ф'A) = 0, ф" A) =—1,
т. е. ф(^) — фA)~—s- (t — IJ (/-»-1), а потому по соответственно
измененной формуле A7) получаем
(Обратите внимание, что (р — 1)^ при р -*¦ оо эквивалентно не рР,
как это может сначала показаться, а р"'*.) Эту важную формулу
иногда записывают также в виде
— лч-JL
~|/2ял 2 е~п (л-»-оо) A8)
н называют формулой Стирлинга по имени шотландского матема-
математика Д. Стирлинга A692—1770), получившего в 1730 г. асимпто-
асимптотическое разложение для In (я!) (это был первый случай применения
асимптотически сходящегося ряда), из которого сразу следует фор-
формула A8). В 1812 г. Лаплас получил более полную формулу
из которой, в частности, видно, что формула A8) имеет относитель-
относительную погрешность я* т^-, тогда как добавление в правой части мно-
1,1 1
жителя 1 -f тд- понижает эту погрешность до
В некоторых случаях удается применить описанный метод .к интегралам
более общего вида, чем A5), у которых функции / и ф зависят, кроме х, также

124 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
от v. Покажем это иа примере интеграла
00
Кч(а)=-? \ exp(vx—achx)dx @<a=const, v-* 00),
— OS
играющего важную роль в теории функций Бесселя. Так как показатель дости-
достигает максимума при значении x=arsh—, зависящем от v, то для нормировки
v
совершим замену x=arsh \-t, что даст (проверьте!)
С
J
ехР
Получился интеграл типа A5), у которого, однако, функция / зависит также
от V. Но характер этой функции при большом v (продумайте его!) дает воз-
возможность применить описанную методику и к интегралу A9), что дает при v-*oo
2rV2/ \2
Покажем еще, как находить дальнейшие члены асимптотического разло-
разложения A7), считая для простоты а=0, ф(а)=0, а=1, k=\ (этих условий
легко добиться с помощью простых замен). Пусть вблизи л:=0 имеют место
разложения
00
ft=l
ФМ=-дс+2**«Э* A < Pi < Ра < Рз <-..
Сделав в интеграле A5) замену vx—s, получим
/ (V)= С v-(a'+1)sa' e~* fax + У. aft
0J L * = 2
Если разложить экспоненту в ряд Маклорена, раскрыть скобки (в том числе
квадратные скобки в B0)) и привести подобные члены, мы получим выражен
ние вида
/(v)=fv-(a' + I)sa'e-s(a1+|]Cftv-V*s«*)ds> . B1)
о Ч *=2 '
где

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 125
(Чтобы фактически получить разложение B1), можно задаться показателем
степени v, до которого будет производиться асимптотическое разложение,
и все появляющиеся при вычислениях члены с высшими степенями отбра-
отбрасывать; см. примеры в ЛВМ, п. XVI 1.12. Можно также, совершив в пре-
преобразуемом произведении квадратной скобки и экспоненты в B0), равном
/ (—j ( — | 1ехр<ф1—\ -\ >, замену s — tk, после которой все показа-
показатели при t станут целыми, применить разложение по t в ряд Маклореиа.)
Интеграл B1) надо разбить нк сумму, в каждом слагаемом заменить верхний
предел иа оо, что не влияет на асимптотическое разложение (почему?); это
даст окончательно
»
ft = 2
б. Метод перевала. Функция f(x) в пп. 3 и 4 могла принимать
и комплексные значения; это не сказывается на полученных там
асимптотических формулах. Однако если q>(x) принимает комплекс-
комплексные значения, то положение существенно осложняется, так как точка
хл, в которой | eVI?U) j, т. е. ev Re<p(*>, принимает наибольшее значение,
не обязана быть стационарной для 1тф(*), т. е. вблизи х0 значе-
значения evtPU) могут сильно осциллировать и потому взаимно уничто-
уничтожаться, не давая главный вклад
в асимптотическое выражение для
интеграла. Поэтому при вычислении
асимптотического выражения для /А—ifflS-gfet'C^ У„ "*
комплексного интеграла
[ B2)
нельзя просто записать контур (I) Рис. 56.
в параметрическом виде z = z(t),
перейти к переменной интегрирования t и затем автоматически при-
применить результаты пп. 3 и 4. Однако если / и <р—однозначные
аналитические функции, то можно предварительно воспользоваться
вытекающей из п. 2.2 возможностью деформировать контур (L) без
изменения значения интеграла B2).
Допустим, что контур (L) удалось подобрать таким, чтобы он
прошел через точку z0, в которой ф'(гг0) = 0, причем |е?1г>| дости-
достигает в z0 наибольшего на (L) значения. Схема окрестности точки z0
при условии <р" {гд)фО показана на рис. 56, где заштрихована область
| е«>(г> | > | е«><го> j, т. е. Re ф (z) > Re ф (zt), и пунктиром показана
линия lm ф (г) = Im ф (г0). При построении этой области надо пред-
представить ф(г) вблизи z0 в виде ф(г) = ф (г0)-f-ф i!* (г—го)*-\-...,
а затем записать: z = x-\-iy, ф" (г0) = о -j- ib; тогда последнее нера-
неравенстве, с точностью до членов высшего порядка, можно пере-
переписать в виде Re {(a -f ib) [{x—xt) -f / (y —уо)]г) > 0, т. e. a (x—x0J—
2Ь()( ) ( )*0 (Продумайте эту схему и

126 ГЛ. II. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
постройте аналогичную схему для случая ср" (zo) = 0.) Мы будем пред-
предполагать, что контур (L), проходя через «перевал» г0, переходит
в окрестности этой точки из «ложбины» /, т. е. одной из областей,
где Re ср (г) < Re ср (г0), в другую «ложбину» //; поэтому метод полу-
получения асимптотической формулы на основе деформации исходного
контура интегрирования в контур, обладающий описанным свойством,
называется методом перевала.
Деформируем малый участок контура (L), показанного на рис. 56
жирно, так, чтобы после деформации часть контура прошла через
перевал по линии Im ф (г)=1тф (z0). (В силу п. 1.4 эта линия
в каждой своей точке направлена, если идти от z0, по вектору
— grad Re ф (z), а потому и по вектору — grad | e<?U) |; поэтому упо-
упомянутое сейчас деформирование называется методом наибыстрейшего
спуска.) Если дугу z1zozt (рис. 56) представить в параметрическом
виде z — z{t) {a^.t^.b), то соответствующую часть интеграла B2)
можно представить в виде
\f(z(t)) Z' (t) eV[Req><z<O) + t lmq>(z<O)I<ft = e*vlmq><zo) ^ д (t)ev<tiWdt, B3)
a a
где обозначено /x@ = f(z (t)) z' (t), ц>1^) = Яец> (z(t)). К последнему
интегралу можно при вещественном v -*¦ оо применить методику
п. 4, а в ряде случаев получить и его полное асимптотическое раз-
разложение. Оно и будет служить разложением интеграла B2), так как
аналогично п. 4 можно доказать, что интеграл по (L) с выброшен-
выброшенной дугой zxzuz^ при v -*¦ оо будет значительно меньше каждого
члена этого разложения.
Ограничимся случаем ф"(гй)=?0, /(го)^=О и найдем первый член
разложения интеграла B2) при v -*¦ оо. Так как в окрестности z0
будет ф(г) = ф(го) + У—^{г—го)г-\-..., а вдоль дуги z^zuz% меняется
только Re ф (z) и притом убывает от .?„, то параметр t можно ввести
по формуле ф (z) = (f(zo) — t\ откуда z = zo+ у ф-^*+>--> где
для корня берется то из двух значений, при котором точка z пере-
переходит из ложбины / в ложбину //, когда /, возрастая, переходит
через нуль. Применяя к правой части B3) соответственно изменен-
измененную формулу A7), получим
. 2 Ш Г ф <v*<0)( _?|a v )-'/2 =

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
127
Можно доказать, что это асимптотическое равенство допускает следую-
следующее уточнение:
в котором указан порядок ошибки. Эта формула справедлива и в случае
/(»о)=О.
В качестве примера рассмотрим выражение
B5)
где (L)—какой-либо замкнутый контур, обходящий вокруг точки z—ц в поло-
положительном направлении; можно показать, что Рп —это те самые многочлены
Лежандра, о которых говорилось в ЛВМ,
п. XVI 1.20.. Будем считать, что ц — по-
постоянное вещественное число, причем
||i| < 1, так что можно обозначить ц=
=cos 0; где 0 < 0 < я.
Если контур (L) выбрать симметрич-
симметричным относительно оси х и обозначить
интеграл в B4) по Верхней половине
через A-\-iB, то интеграл по нижней
половине будет равен —(А — iB) =
=—A-\-iB (почему?),а весь интеграл будет
равен 2/В; значит, при интегрировании
можно ограничиться верхней половиной
контура, а от результата взять мнимую
часть. Представим интеграл в виде B2), _
1 , . т 2^—1 Рис. 57.
где /(z) = , v=n, ф(г)=Ьп ,
причем надо взять какую-либо однозначную ветвь этой функции, имеющей
точки разветвления при г=1, — 1, [г. Так как
то |e'fBr>| имеет точки перевала (т. е. точки, где ф'(г)=0) при г=ц ±
± ур*—1 =cosO± ]/cos2e— 1 =е±|9. Легко проверить, что линия
Re cp (z) = Re ф (ей) состоит из двух окружностей с центрами в точках ± 1, про-
проходящих через точку перевала гй=е!'1 (рис. 57). Так как ф" (го) = (('е" sin 0)~'
(проверьте!), то формула B4) дает асимптотическое представление при п -> оо
i
e«-cosO
-SL 1«й sin о
е2И-' VI.
e^-cosQ J ]
Так как выписанный радикал должен иметь отрицательную вещественную
часть (почему?), то он равен 1/ — sin в е'(Зя/4+б/г). уПрОщая, получим
окончательно при п -*¦ оо
/?^е'Cл/4+9/2>

128
ГЛ. 11. ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Из доказательства видно, что это асимптотическое равенство расшифро-
расшифровывается как
а не I/ :—rT sin I яй+тг + т" I I l+o I — J ) (продумайте разницу!).
Подобное уточнение относится и к другим случаям, когда главный член асимп-
асимптотического выражения имеет нули.'
Рассмотрим еще пример:
„ix sin г — ivz
dz,
B6)
(L)
где х > 0 и v—вещественные параметры, a (L) — про-'
извольный контур, «идущий от оо i в ft — оо I»
(рис. 58), т. е, имеющий асимптоты лс—О и х—п.
Нетрудно проверить, что интеграл B6) сходящийся
(причем с весьма большой скоростью) и не зависит от
конкретного выбора линии (L). Функция Я^( (х) на-
называется функцией Хйнкеля 1-го рода; можно пока-
показать, что она равна Jv(x)-\-iYv(x), где J и У— функ-
функции Бесселя (ЛВМ, п. XV.26).
Рассмотрим поведение функции B6) при постоянном v и х -* оо. Для этого
в формуле B6) надо заменить v на х, после чего обозначить / (г)=е~'*г,
<р(г) = 1 sin г. Точкой перевала служит г=—, и применение формулы B4),
которое мы предоставляем читателю, дает
Рис. 58.
Отсюда, в частности, получаются и асимптотические формулы для функций
Бесселя при х -*¦ оо
B8)
(см. графики в ЛВМ, рнс. 299).

Г л а в а Ш
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Операционное исчисление, созданное в конце прошлого века анг-
английским физиком О. Хевисайдом A850 —1925) без достаточного обо-
обоснования, было позже обосновано на базе теории аналитических функ-
функций. Оно непосредственно связано с теорией преобразования Фурье,
краткие сведения о которой приведены в ЛВМ, § XVIF.5; его поэто-
поэтому полезно (но ие обязательно!) читателю просмотреть. Сейчас опера-
. ционное исчисление широко применяется в прикладной математике, в
технической физике и в инженерных дисциплинах, по нему имеется
целый ряд руководств; укажем, в частности, книги [34, 36, 47, 50,
54, 75], а также соответствующие главы книг [3, 66, 102] и других.
§ 1. Общая теория
1. Преобразование Лапласа. Операционное исчисление основа-
основано на так называемом преобразовании Лапласа. Пусть задана (вообще
говоря, комплексная) функция f(t) вещественного аргумента t,
0^*<оо. Ее лаплас-образом называется функция
f(p) =
от комплексного переменного р. Формула A) и определяет преоб-
преобразование Лапласа, т. е. оператор (ЛВМ, п. XIV.26) специального
вида, для которого функция f(t) является прообразом (оригиналом),
а функция F(p)—образом (изображением). Эту связь между прооб-
прообразом и образом мы будем в этой главе записывать так: f(t)—*-F(p),
имея в виду всегда преобразование Лапласа; применяются также
йапиеи f(t)==F(p) и другие.
2\, Так как интеграл A) несобственный (ЛВМ, § XIV.4), то для его
^сходимости нужно принять некоторые меры предосторожности. Мы
.Сбудем считать, что функция f(t) конечна при конечных t (доста-
(достаточно Требовать абсолютную интегрируемость), а при t—*oo либо
остается конечной, либо, если растет по модулю, то не быстрее экспо-
экспоненты.' В общем случае можно написать
B)
5 А. Д. Мышкпе

t30: ГЛ. III. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
где Мг и,.se — иекрторые постоянные. Функции, растущие при i-*¦, оо
быстрее экспоненты, конечно, имеются, например ' е*'г однако, прак-.
тнческое значение их пока весьма невелико; таким образом, огра-
ограничение B) не является обременительным.
Если предстазить p — s-\-ir, то легко проверить, что при усло-
условии B) и при s > s0 интеграл A) абсолютно сходится, в самом деле,
тогда
:':...'.: \,е-р' fit)| = \*-«e-Mf[t)| = е—1/@1 <Me- (*-•.>.',. C).,
я интеграл от затухающей экспоненты сходится. Таким образом,
функция F(p) определена, во всяком случае, в полуплоскости
Rep>s0. В этом состоит существенное отличие преобразования
Лапласа от преобразования Фурье: там требовалось, чтобы преоб-
преобразуемая функция обращалась в нуль ¦ на бесконечности, а здесь
добавление гасящего множителя e~st позволяет преобразовывать функ-
функции, экспоненциально растущие на бесконечности.
,Для разных прообразов значения $в, вообще говоря, различны.
Поэтому если в рассмотрении участвует несколько прообразов, то
можно просто считать, что значение Rep достаточно велико, не
уточняя, насколько именно, если этого ие требуется.
Можно проверить, что при Rep > s9 интеграл A), зависящий отр
как от параметра, имеет производную по р, которая вычисляется
по"',известному правилу Лейбница (ЛВМ, § XIV.5; то, что теперь
параметр комплексный, не играет при этом никакой роли). .",",
Для этого достаточно заметить, что если р меняется в малой окрестности
какрго-.либо значения, то для всех таких р можно провести единую оценку
вида C), подставив вместо s наименьшее значение из этой окрестности; зна-
значит, интеграл A), а также и интеграл, полученный после дифференцирования
по р, сходятся в этой окрестности правильно (ЛВМ, п. XIV. 21), чем и обо-
обосновывается'законность дифференцировании. '
Итак, F(p) в полуплоскости Rep > s0 является однозначной ана- •
литической функцией.
Из формулы A) видно, что если складываются прообразы, то
складываются и образы; если прообраз умножить на константу, то
и образ умножится на ту же константу. Другими словами, преоб-
преобразование Лапласа представляет собой линейный оператор. Как было
указано в ЛВМ, п. XVII.33, отсюда вытекает, что если прообраз,
а потому и образ зависят от некоторого параметра X, то производ-
производная' Ш параметру от прообраза Преобразуется в производную по .
параметру от образа. '
2. Образы простых функций. 1. Образ экспоненты вычисляем
непосредственно:
eat Т ~* .. ., ««-'+** I" 1 I
— р + а I — р + а р — а'

§ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ iSi
н? верхнем пределе получается нуль, так как в п. 1 мы видели, что
Rep можно считать достаточно большой, а «-« = 0. "¦
В частности, полагая а = 0, видим, что
¦1-.-L ' ¦ ¦¦ ¦¦ ¦ ¦
,¦ ¦ . р'
2. В левую и правую части D) а входит как параметр; произ-
производя дифференцирование по параметру (см. конец п. 1), получим
В частности,
Эта формула легко обобщается на любые вещественные л >• — 1
(это неравенство нужно для интегрируемости прообраза при t = 0):
(см. ЛВМ, п. XIV. 17). При замене переменной ннтегрирования можно было
считать р > 0 вещественным; однако образ, являющийся аналитической функ-
функцией и равный правой части F) при вещественных р, должен равняться ей
и _ при мнимых р (позему?).
3. Если в формуле D) считать а = а-f ф комплексным, то получали
Отсюда легко вывести, что образом Рг (р) первого слагаемого
в леиой части служит первое слагаемое Фх(р) в праиой части,1
аналогично со вторыми слагаемыми F2(p) и Ф2(/>). >
, В самом деле, в силу линейности преобразования Лапласа образом левой
части служит F1(py+iF,{p), так что F1(p)+iFi(p)^Q>l(p)-Jt-iOi(p). Но
все выписанные функции принимают при вещественных р вещественные
значения (почему?), так что при вещественных р получаем -Рг{р)=Ф\{рУ^
/7а:(р)=фа (р);/ однако аналитические функции, совпадающие при вещест-
вещественных р, совпадают тождественно (ем. п. 11.2.6), что и требовалось до-
доказать.
•"Итак, получаем ¦-..-'¦
6 COS р^ > -?-.... —
(d^~" ОС J^ —I— D^
e«'sin
-H—
(р—

132
ГЛ. III. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. Пусть /(/) периодична с периодом Т > 0; тогда ее oi5pa3
можнб вычислить по формуле (проверьте!) '
(U+-I) Т
J
2
n=0
«=о
*"*/(*) Л Ч «7 + * = '1
= \ e~i*f(x)dx
л=0
5. Образ дельта-функции 8(t) (ЛВМ, п. XIV.25). Так как Инте-
Интегрирование в A) начинается от значения t=О, где сосредоточена
вся особенность дельта-функции, то требуется уточнить, какая часть
этой особенности интегрируется. Будем считать, ,что особенность
интегрируется лолностыо, т. е. в условной записи, нижним пределом
интегрирования служит — 0 (или, что то же, вместо S (t) берется
b(t—0)). Тогда получим
+ 0 »
С e-Pf8{t)dt+ С <?-/¦'6
-o +o
+o
=¦1. (8)
—0
Соберем полученные формулы перехода, которые в приложениях
встречаются наще. всего, в маленькую таблицу:
1
tn
gat
(aeat
««' COS P<
««' sin p/
6@
1
p—a
p—tt
P

1
КОЛОХЗА '¦ .
О<ЖОР*СА 1 § l* опция теория 133
В каждом курсе операционного исчисления имеются таблицы,
: по которым можно найти образы, а также прообразы разнообразных
функций. Наиболее полные таблицы имеются в книгах [35, 37].
3. Основные свойства преобразования Лаиласа. 1. Пусть
f(t)—*-F(p). Тогда при постоянном ft>0
» -»4-
(проверьте выкладки!).
2. Пусть /(О—«-^(/О- Тогда при постоянном т
о . . »
-х о
о
e-r*f(t) dt.
—г
Полученный результат имеет особенно простой вид, если г > 0 и
/(*)== О при t <0: тогда получаем
В такой форме этот результат называется теоремой запаздывания,
так как независимая переменная t в операционном исчислении обычно
трактуется как время, а тогда f(t—x) означает тот же закон во
времени, что f(t), но включенный на т позже.
3. Пусть f(t)—>F(p). Тогда при любом постоянном комплексном с
ect f(t) —* $ e-f* ectf{t) dt=^ <?-«*-<•> *f{t) dt = F{p—c).
: 0 0
Этот результат называется теоремой смещения.
4. Пусть'/@—*F(p). Тогда при помощи интегрирования по ча-
частям получаем
о
I ОС-
— f/(/)e~"(— P)dt*=pF{p)-?-f\,-\-b). (9)
<5=0 О Г
J
КОЛОХ2А

134 гл. ш. операционное исчисление
Результат подстановки верхнего предела равен нулю, так как /(/).
если и растет, то не быстрее экспоненты, а в п. 1 мы видели, что
вещественную часть р можно считать как угодно большой. В правой
части мы написали /( + 0), так как функция /(/), вообще говоря,
мОжет при t = 0 иметь скачок.
Повторяя дифференцирования, получим
Г W**[f V)]'-+p\pFW-f{ + 0)]-f ¦{+<>)= ¦
=р*р (р) —рД+о) -/ (+о).
вообще
Особенно простой вид приобретает формула (9), если /(-)-0)±=@,;
тогда f'(t)—>-pF(p); аналогичное замечание относится к формулам
для последующих производных.
Возможна следующая трактовка формулы (9), полезная для выяснения
сути дела. Будем считать, что преобразуемые функця и /(/)" определены на
всей оси t (ие только при <SsO) и /(f)sO при t < 0; кроме того, пусть в
основной формуле A) нижним пределом служит—оо или, что равносильно,
—0. Тогда формула (9) всегда имеет вид /' (t) —>• pF (р). Однако если
/(+0).^0 (и; конечно), то /'(<)' имеет б-слагаемое /( + 0N@ (ЛВМ,
п. XIV. 25). Если на минуту обозначить через [/' (<)] функцию /' (t) с отбро-
отброшенным этим слагаемым, то :
PF (р) — /' @ = W @1+/ (+ 0) S @-
Отсюда в силу примера 5 п. 2 (где теперь ие нужно уточнять, какая часть
особенности дельта-функции янтегрируется) получаем, что образом функции
V С)] — а это по существу и есть функция, рассмотренная в формуле (9),—
служит pF (р) — /(+0). При рассмотрении /"(/) появится функция б'(<)
(ЛВМ, п. XIV. 27) и т. д. Если не бояться этих функций, то картина в целом
упрощаете и, хотя некоторые из излагаемых в дальнейшем фактов приходится
продумать заново.
Впрочем, мы далее ие будем пользоваться такой трактовкой.
Мы предоставляем читателю доказать, что если f(t)—*-F{p),re
. A0)
5. Дифференцируя обе части формулы A) по р, получаем (про-
(проверьте!)
Отсюда, если функция -^- конечна или хотя бы абсолютно инте-
интегрируема при ? —0 и если на минуту обозначить ее образ через Ф{р),
*^-*-Ф'и»), т. е.
Ф'(Р)=— F(P), и потому Ф(р)=— ^F(p)dp.

§ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Но так как из A) видно, что образ любой функции при веществен-
вещественном р = -f со обращается в нуль, то получаем окончательно
¦
6. Сверткой двух функций /х (t), /a (t), заданных при 0 ^ t < оо*
называется новая функция от t, определенная формулой
t .
@<*<оо). .A2)
(Следует иметь в виду, что значение этой функции при любом i > О
зависит от значений свертываемых функций на всем интервале 0 ^ т.^/,
так что точнее было бы писать не /i(tf)*/2@> a (Л*/а)@; однако
это практически не очень удобно.)
Если в правой части A2) совершить замену переменной x=t — Tlt
то получим (проверьте!), что '..'
Можно было бы проверить, что и прочие обычные свойства умно-
умножения выполняются и для свертывания; впрочем, это будет вскоре
ясно из других соображений.
В качестве примера свернем t2 с t:
о -
Пусть теперь Д \t) -+F1(p), /a (t) -± F^ip); тогда
)
/ f
Л @#/. (О — J *-* ( J/i (T)/a(^-
О V)
=5S
о о
Переставляя порядок интегрирования (см. ЛВМ, п. XVI.9), получим
>.••<
d)d^=^ о») ^ о»)-

136 ГЛ. 111. ОПЕРАЦИОННОЕ «СЧИСЛЕНИЕ
' Таким образом, при свертывании прообразов образы перемножаются.
Этим свойства умножения распространяются на свертывание, например
формула A3) после перехода к образам означает обычную переста-
перестановочность умножения. Из этой же связи между свертыванием и
умножением и из формулы (8) видно, что дельта-функция прн сверты-
свертывании играет ту же роль, что тождественная единица при умножении,
т. е. свертывание с дельта-функцией оставляет любую функцию
неизменной; впрочем, это легко проверить непосредственно.
Исходя из формул п. 2 и применяя доказанные здесь свойства,
можно получить большое число формул перехода от прообразов к
образам, однако мы не будем здесь этим заниматься.
4. Обратное преобразование Лапласа^ Напомним формулы для
прямого и обратного преобразований Фурье (ЛВМ, (XVII.138) и
(XVIU41)):
ю
— и
справедливые для любой абсолютно интегрируемой функции ф(/).
Чтобы их применить к преобразованию A), обозначим p =
" \ 0 (t < 0),
где s фиксировано и достаточно велико (должно быть «> s0, где
st входит в оценку B)). Тогда
о » .
= — С ф (/) e~lrtdt-f — Сф (/) e~lrtdt =
-oo О
00
-i r2n/@e~s'e-'v'd/= {e~<s+irUf(t)dt = F(s + ir). A6)
(Теперь видно, что обозначение A5) понадобилось, чтобы записать
интеграл A) в виде первого интеграла A4).) Поэтому из второй
формулы A4) вытекает, что
Из первой строки A7) получаем, что при / > О
со - ¦
= г J t»*l»F(8 + lr)dr. ; A8)
Когда г меняется от —-ор.до оо, значение psss^f.ir проходит в
комплексной плоскости прямую, параллельную мнимой оси; мы будем

. § 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 137.
условно писать, что р меняется от «— too до s-\-Loo. Принтом
dp = ldr, так что из A8) получаем .
4 ePtF(p)dp ^>0)-
Это и есть формула обращения для преобразования Лапласа.
Обратите внимание на то, что в правой части s—произвольное
постоянное достаточно большое число. Проведенное доказательство
показывает, что результат интегрирования не зависит от конкрет-
конкретного выбора такого s. (Докажите это независимо с помощью теоремы
Коши п. II.2.2, выведя сначала из B) оценку
\F(s + ir)\<-~ (s>s0).)
ft
Из второй формулы A7) видно, что при t <0 правая часть A9)
равна нулю. Отсюда на основе аналогичного свойства для преобра-
преобразования Фурье (см. ЛВМ, конец п. XV11.32) заключаем, что при
^ = 0 правая часть A9) равна х\х /( + 0). Из доказанного вытекает
также важный вывод, что не только образ по прообразу, иол про-
прообраз по образу восстанавливаются однозначно, т. е. оператор,
определенный формулой A), является взаимно однозначным.
Отметим, что интеграл A9) может получиться расходящимся при
p=s ±,/00. Специальное исследование показывает, что тогда его надо понимать:
в -смысле главного значения (ЛВМ, п. XIV. 19). :
Как известно, для преобразования Фурье имеет место равенство Парсе-
валя (ЛВМ, конец п. XVII.33). Для рассмотренных функций <р и <р оно
приобретает вид (проверьте!) . ¦
ев до
2я J | / @1« е~™* dt =* J \F (s+ir) |t dr (s 3s «,)
0 ' -o>
и в такой форме иногда применяется.
Иногда приходится исходить из образа, т. е. из F (р), и находить соответ-
соответствующую фунхцию /.(<)• ПРИ этом возникает вопрос, кахие функции F (р) могут
служить образами. Мы видели, что функция F (р) должна быть, аналитической ,
в каждой полуплоскости Rep^s (s > s0). Кроме того, из A) и B) можно
без особого труда вывести, что если f (t)—обычная (не обобщенная, т. е. ие
типа б (t)) функция, то * этой полуплоскости F (р) -»-0 при | р \ -* оо. Оказы-
ваетси, что этих условий в основном и достаточно, чтобы функция F (р) могла
служить образом при преобразовании Лапласа. В самом деле, предположим
ов
дополнительно, что V \F (s-\-ir)\ dr < <п (это условие можно значительно
— to
ослабить), и определим фуихцию / (t) при t > 0 формулой A9). Однако при
t < 0 интеграл A9) равен нулю. (Дли доказательства этого надо обозначить
< = —(о, p=s—z, перейти, хак это делалось в п. П.3.4, от интегрирования
по прямой к : иитегрированпЬ) по левой' полуокружности плоскости г и вЪс-
пользоватьея леммой Жордана (II.3.22).) Значит, можно перейти к формула»

гл. in. Операционное исчисление
<17), а оттуда с помощью A5) и A4)—к последнему равенству (Щ, которое
и означает, что F (р)-^-это лаплас-образ функции /.(/). , ,,
Рассмотрим в качестве примера фуикцию
нормированную условием V~p\p=i==l- Из A9) получаем прообраз
s + tao _ ¦¦ "¦¦¦•¦!
B0)
B1)
Для вычисления этого интеграла применим теорию интегрирования аналити-
аналитических функций (it. П.3.4). Если плоскость р раз-
разрезать вдоль иещестиеииой отрицательной полуоси,
то подынтегральную, фуикцию можно считать одно-
однозначной (почему?). Пусть интеграл берется сначала
по контуру, показанному на рис. 59, где кривыми
линиями служат окружности радиусов R -* оо и
р-*-0. Тогда интеграл по участку I в силу B1)
стремится к 2я( f(t). Интегралы по участкам II н VI
в силу леммы Жордана (И.3.22) (и которой надо
положить w=f, г=р—s и заметить, что в ией и
качестве (М#) можно было взять лишь часть указан-
указанной там полуокружности)- стремятся к нулю. Интег-
Интеграл по участку IV' стремится к—2ж" (докажите
это, разложив экспоненты под знаком интеграла в
ряды). На участках/// и V, где p==™i»j_& <ё< оо,
будет соответственно y'^Wi ^% и У*/» ±='— Y^
(продумайте!), сумма соответствующих интегралов стремится к
Рис. 59.
Но интеграл по всему контуру равен нулю; поэтому, переходя к пределу,,
получаем, сокращая иа 2i:
B2)
Чтобы вычислить интеграл / (t) в левой части, продифференцируем его по
параметру t: •
dl
dt
= - Г е-«Ып
4=1
VI
xdx?

,,....§ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 139
Если раскрыть квадратные скобки и разбить интеграл на два, то первый
берется и равен нулю (проверьте), тогда как второй равен *
B3)
(I \2
ж— — j в показателе к интегралу B3) осу-
осуществляется, как в конце стр. 600 ЛВМ, либо с помощью применения тео-
теоремы Коши п. П.2.2.) Но так'как /(оо)=0, то
Поэтому из B2) получаем
1/2 VT
Г
(см. это обозначение в, ЛВМ, п. XIV.12). Это и есть прообраз функции B0).
Пользуясь свойством 4 из п. 3, получаем также
Мы предоставляем читателю доказать в качестве упражнения, что
5. Разложение прообраза в сумму. В п. 1 мы видели, что
функция F{p) однозначнаи и аналитическая в полуплоскости Rep > se.
Во многих случаях (см., например, п. 2) эта функция и во всей плос-
плоскости рявлиется однозначной аналитической, за исключением отдель-
отдельных изолированных особых точек. Конечно, это, вообще говоря, не
обязательно, так как функция F(p) прн своем продолжении на* всю
плоскость р может иметь и точки разветвления (п. II.1.10), как
в примере B0). Однако мы сейчас предположим, что функция F(p)
однозначна во всей плоскости р.
Допустим дополнительно, что F(p) имеет конечное число
особых точек р„ pt, ..., р„ и стремится к нулю при произволь-
произвольном (а.не только для Rep^s, как раньше) стремлении р-* оо.
Тогда интеграл A9) можно вычислить на основе теории вычетов,
как это описано в п. И.3.4, с помощью леммы Жордаиа A1.3.22).

ГЛ. III. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Это дает (проверьте!)
f(t) = -2^- 2я/ 2 Выч [e*F(p)] = 2 Выч К F(p)}. B6)
В частности, все указанные требования на функцию ^(jp) выпол-
выполнены, если она представляет собой правильную рациональную дробь
(почему?). Особенно простой получается формула, если
t(P)~ Q(P)' -
где многочлен Q(p) имеет все нули р,, ра,...,р„ простые и его
степень п выше степени многочлена Р(р). Тогда для вычисления
вычетов можно пользоваться формулой (II.3.5), н мы получаем
Если F (р) имеет бесконечное количество изолированных особых точек
Pi, р2 то из теоремы Больцано—Вейерштрасса (п. П.2.6) легко вывести,
что Pk t—*• °°- Тогда, конечно,- условие F (р) —> 0 не может выполняться
я -* оо р -* оо
(почему?), однако бывают случаи, когда оно выполняется на некоторой после-
последовательности левых полуокружностей с центром в точке p=s, радиусы
которых неограниченно возрастают. В таких случаях, рассуждая, как в п. II.3.4,
получаем представление f (t) в виде суммы бесконечного ряда, аналогичного B6).
Имеется еще один важный случай, когда прообраз функции
F(p) оказывается возможным разложить в ряд простого вида: так
Гудет, если она оказывается аналитической в точке р = оо (п. Н.З.'б).
В самом деле, тогда в окрестности этой точки имеет место раз-
разложение
%)=2^», B7)
*=»
причем так как F(oo)=0 (почему?), то с„ = 0, т. е. суммирование на
самом деле производится от А=1. В силу E) отдельный член
ряда B7) имеет прообраз с_ь7г—-ттт, а так как прообраз суммы ра-
вен сумме прообразов, то получаем
B8)
(Здесь мы воспользовались законом линейности для бесконечного
числа слагаемых, что требует обоснования; однако более подробное
исследование, которого мы не будем проводить, показывает, что
тут все в порядке.)

§ 1,. общая творяя 141
Приведем пример. Пусть • . , ¦ . : ' "•
где радикал считается' положительным для вещественных р > 0. Эта функция
при продолжении иа всю плоскость р становится двузначной, но если
ограничиться только окрестностью точки р=оо, то рассматриваемая ветвь
функции F (р) однозначна и имеет разложеиие по формуле бинома Ньютона
Р
Раскрыв скобки и воспользовавшись формулой B8), получим прообраз
. 1 <2 , 1-3 t* 1-3-5 <•
1 + +
1-2-3-4
Произведя сокращение, получим после простых преобразований
+
Но это как раз разложеиие функции Бесселя J»(t) (ЛВМ, (XV.173)), которая,
таким образом, и служит прообразом функции B9).
Отметим, что лаплас-образ, т. е. функция вида A), далеко не всегда
имеет разложеиие вида B7); однако оиа, как правило, имеет асимптотическое
разложеиие (п. II.4.1) аналогичного вида, действующее' при Rep^*s>s0,
\р\—>-оо. Это доказывается, как в п. Н.4.3; -например, если f(t) допускает
при малых t разложеиие в ряд Тейлора
Т, 001
*=0
то с помощью последовательного интегрирования по частям интеграла A)
легко получить разложеиие (проделайте это!)
¦Д Я*> @)
ПР) - 2 -рИТГ • C0
4=0
Обратно, по этому разложению легко восстановить ряд C0) (т. е, значении
f(t) при малых /),_ ио никак не всю функцию f(t), так как произвольное
изменение ее значений при конечных и больших t инкак не сказывается иа
разложении C1).
В частности, из C1) мы видим, что
р -*¦ m .; ¦
Легк» < доказать и обратную формулу при $0 < 0:
C2)

142 ГЛ. 111. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В сзмом деле, •
и
(В W
«/. @) + $ «""/' @ * г* Н0)+\ /' (/) Я=/ (*)•
с, " ° j
Отметим интересное приложение формулы C2). Применим сначала свойстио
A0) к формуле A1), это даст
О р
отсюда в силу C2) получаем, изменяя обозначения т иа /, q на р:
\Up.diJF{p)dp.
0 0
Эта формула дает возможность легко вычислить миогие интегралы, для .кото-
.которых неопределенные не выражаются через элементарные функции. Например,
из второй формулы G) при а=—\<0 получаем
Имеются методы более детального изучения поведения /(/) при /—>- а>.
Приведем без доказательства, в ¦частности, такой результат. Пусть функция
F (р) при своем продолжении в полуплоскость Rep<s0 имеет одну особую
точку ро с наибольшей вещестиениой частью (т. е. F(p)—однозначная анали-
аналитическая функция в полуплоскости Rep>Reр0, за исключением точки р0);
Лусть в окрестности р0 функция F(p) имеет разложение
2
где все %ь иещестиенны- и Хй<1к1< ...—> оо. Пусть в формуле обраще-
обращения A9) от интегрирования по прямой оказывается возможным перейти
к интегрироианию по пути, показанному на рис. 60. Тогда при / —>¦ оо имеет
место асимптотическое разложение
*=о
понимаемое в естественном смысле (п. II.4.1). Если наибольшую веществен-
вещественную часть имеет несколько особых точек функции F (р), то. соответствующие
разложения C3) надо сложить.
в. Численное определение ирообраза. Формулу обращения A9) или равно-
равносильную ей формулу A8) можно использовать для численного определения

. § 1. ОЭЩДЯ ТЕ9РИЯ . ,
¦1.43
прообраза / (t) по заданному образу F (р), применяя численное интегрирова-
интегрирование (ЛВМ, п. XIV.13), в результате которого f (t) окажется приближенно
представленной в виде произведения e5i на сумму ряда Фурье. Однако из-
известно (ЛВМ, п. XVI 1.25), что такой ряд сходится тем быстрее, чем разла-
разлагаемая функция «глаже», т. е. имеет больше непрерывных производных. Раз-
Разрывы у функции f (t) и у ее производных легко выявляются по виду F (р):
например, если /(/0+0)—/(/0—0)=А ?^ 0 (t0 > 0), то
легко проверить, что F (р) содержит слагаемое вида V
е~'оР i , X
я ¦, аналогично выявляются разрывы f'(t) и т. д. >
p,, ...
Поэтому 'за счет' выделения из F(p) таких слагаемых
возможно добиться того, что прообраз оставшейся
функции уже достаточно гладок. Потеря гладкости на
всей оси t может произойти. также из-за того, что инте-
интеграл A8), как мы видели, вообще говоря, имеет скачок
при /=0. Здесь также можно улучшить картину за счет
выделения из F (р) «опасных» слагаемых с известными
прообразами: так, если /(+0) конечно и1 не равно нулю,
то F (р) при р —»• оо (Re p велико) имеет главный член
вида—(с=/(+0))ит. д. в соответствии с F). Кроме
того, если f (+0)=0 (т. е. (pF (р)) ^ _ „=0), a f (+0) Рис. 60.
конечно (т. е. (paf (р))\ р_и конечно), то можно продол-
продолжить интеграл A8) с вынесенным множителем est нечетным образом с полуоси
• - ¦ Л на полуось / < 0, т. е. рассмотреть функцию
Т{t) =
e'rtF (s¦•+ir) dr ~ J e"Mp (s+l>)dr
J
00
=— est \ si
sin rt-F(s+ir) dr.
Тогда f (t) и / (t) не имеют разрывов при t=0.
Депустим, что такое продолжение осуществлено, и воспользуемся фор-
формулой трапеций с узлами л = —я, где Т > 0—некоторое фиксированное число,
а п=0, ±1, ±2, ... Мы получим приближенное представление7@. а потому
и / @, при t > 0 в виде произведения экспоненты на сумму ряда Фурье
(проверьте!):
Конечно, при этом Т должно быть выбрано заметно-большим тех значений f,
для которых нам требуется зиать f (t).
Приведем еще одии способ числениого построения прообраза, основанный
иа использовании .значений F (р) при вещественных р. Будем считать, что
s, < 0 (этого всегда можно добиться с помощью применения теоремы смеще-
смещения) и что /(-fOj=O 1см. выше). Пусть при некотором вещественном q >9
известны значение
: {«'=0, 1, ...).

144 ГЛ.- Ill, .ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Совершим в интеграле A) замеиу переменной «-*'=cos. О и обозначим
при этом / @)=7( Y )=0. Эта замена дает (проверьте!)
я/2
qbn= С (cos G)s" sin */(*)<**•
о
Ясно, что задачи о построении функций /(*) и /D) равносильны.
Будем считать функцию / (ft) продолженной нечетным образом че
точку,д=0 и четным—через точку d=— f т. е. J[-r—Ф)™7 ("о"!
Тогда эта функции будет 2л-периодичиой, и ее можно разложить в ряд Фурье:
7(*)=2cnsinBn+l)d C5)
(продумайте!); в частности, эта формула справедлива при (XfleS-jj-. Под-
Подставив C5) в C4), после несложных выкладок получим для коэффициентов с„'
треугольную систему уравнений
42
=^— qblt
4*
+ 5са + с,=— qbit
вз которой и находим коэффициенты с„, дающие возможность получить зна-
значения функции /"(#) по формуле C5).
Заодно мы получили утверждение, представляющее теоретический интерес:
функция f (t), а потому и F (р), полностью определяется значениями F,(p,J
для последовательности вещественных значений рп —<¦ со, образующих арифме-
арифметическую прогрессию.
§ 2. Приложения
1; Осиовнаи идея.. Допустим, что некоторый процесс описы-
описывается функциями времени х (t), у (t), ..., которые и являются
искомыми. На математическом изыке это обычно означает, что
между этими, а также некоторыми заданными функциями составля-
составляются уравнения, которые требуется решить. Однако часто оказы-
ваетси, что уравнения, связывающие образы искомых функций, зна-
значительно проще и нх значительно легче решить, чем уравнения
для исходных функций-прообразои. (Например, в п.1.3 мы видели,'

§2. приложения 145
что если неизвестная функция дифференцируется, то ее образ мно-
множится на р, а если она интегрируется, то ее образ делится на р,
так что действия над образами значительно проще, чем над прооб-
прообразами.) Тогда от уравнений для прообразов мы переходим к урав-
уравнениям для образов, решая, находим образы искомых функций,
а затем уже возвращаемся к прообразам.
Конечно, далеко не любые уравнений удается решить таким
способом. Прежде всего, требуется, чтобы уравнения были линей-
линейными или могли быть легко преобразованы в линейные. Жела-
Желательно, чтобы коэффициенты были постоянными, в противном случае
положение, как правило, существенно осложняется. Однако если
эти условия выполнены, то операционный метод, т. е. переход от
прообразов к образам, часто значительно облегчает отыскание .тре-
.требуемых функций .времени. Такой метод опирается на разработанную
систему правил и формул перехода, которые и составляют опера-
операционное исчисление; преобразование Лапласа обычно используется
лишь для установления этих правил и основных формул, но'для их
приложения оно уже не требуется.
Может получиться, что в сложном исследовании участвует целав
цепочка подобных рассуждений, так что найденные функции времени
используются для отыскания еще каких-то функций и т. д. В таких
случаях оказывается полезным проводить все исследование в обра-
образах и лишь на самом последнем этапе перейти к прообразам функ-
функций, которые в конечном счете и требуются.
Приведем несколько примеров такого приложения.
' 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Линейные диф-
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, а также
системы таких уравнений (ЛВМ, пп. XV. 17, 18, 21) составляют
наиболее обширную область приложения операционного исчисления.
Пусть, например, требуется решить уравнение
при начальном условии
*@) = а, *'@) = р. B)
Совершая над обеими частями уравнения A) преобразование Лапласа
и пользуясь свойством линейности (сумма переходит в сумму, см.
п. 1.1) и свойством 4 нз п. 1.3, получаем
а{р*Х—ар — р) + Ь(рХ—а) + сХ=F(p) (Х
где под Х(р) понимается лаплас-образ искомой функции x(i), а под
F(p)—образ заданной функции f(t). Мы видим, что относительно
X получилось алгебраическое уравнение первой степени. Решая его,
.получаем
p (8)

146
ГЛ. Ш. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
т, е.
ар^+Ьр+с
D)
f(t)
система
x(t)
(Обратите внимание, что в знаменателе получился характеристиче-
характеристический многочлен уравнения A), см. ЛВМ, п. XV. 17; так будет всегда,)
Если x(t)—гне окончательная искомая функция, а предназначается
для использования, скажем, в качестве правой части некоторого
другого уравнения вида A), то можно
считать, что задача уже решена: ведь
в формуле вида D) используется не
сама правая часть, а именно ее образ.
Если же x(t)—окончательная искомая
функция, то надо еще от формулы D)
перейти к прообразу по методам
пп. 1.4, 1.5; при этом вычеты в формуле A.28) будут браться по
нулям характеристического многочлена (почему?), а также но осо-
особым точкам функции F(p).
Таким образом, при решении дифференциального уравнения
операционным методом начальные условия учитываются с самого
начала процесса решения, что очень удобно. Вычисления приоб-
приобретают наиболее простой вид, если начальные условия B) нулевые:
тгогда просто
Рис. 61.
где D{p)—характеристический многочлен, a Z(p) = ^j- называется
передаточной функцией. Как известно (см., например, ЛВМ, конец
Рис. 62.
п. XV. 18), во многих случаях f[t) в уравнении A) можно тракто-
трактовать как внешнее воздействие на какую-либо физическую систему,
которая определяется коэффициентами в левой части, a x(t)—как
отклик системы на это воздействие (иначе, f(t)—входная, a x(t)~—
выходная функция; см. рис. 61). Таким образом, в случае нулевых
начальных условий образ отклика получается из образа воздействия
простым умножением на передаточную функцию. Это делает особенно
удобным рассмотрение в- лаплас-образах' агрегатов, в которых вы-
выходная функция для некоторой системы служит входной функцией
для следующей и т. д. (рис. 62).

¦ § 2. Приложений 147
Если начальные условия не - нулевые, то формулу D) можно
записать в виде '
т. е. к отклику добавляется слагаемое, определяемое свойствами
системы и начальными данными, ио не зависящее от внешнего воз-
воздействия. , .-¦.-. >¦
Нетрудно понять, каков смысл прообраза г @ передаточной фувкции.
Так как Z(p) в E) получается из X (р) при F (р)=з1, то из примера 5 и. 1.2
вытекает, что г (/) представляет собой отклик системы на внешнее воздейст-
воздействие b(t), т. е. на единичный импульс, подействовавший на нее в начальвый
момент времени, если система перед этим покоилась. Это можно понять и из
других соображений: непосредственно после импульса внешнее воздействие
прекращается, т. е. как бы /(/)ssO, йо система приобретает начальные усло-
условия х(+0)=0; х' (+0)=— (см. аналогичные рассуждении в ЛВМ, конец
п. XV.16); но тогда из D) получается, что X (p)=Z{p). -'¦ ' ¦
На основе свойства 6 из п. 1.3 формула E) в прообразах имеет вид
...
F)
В такой форме решение можно получить из общих соображений, связанных
с построением функции влияния (ЛВМ, п. XIV.26), Функция влиянии здесь
имеет вид г (t—т), а не z(t, т) (как в общем случае), так как рассматри-
рассматриваемая система ие только линейная, ио и автономная (не меняет своих свойств
С течением времени), так что при сдвиге-воздейстиия во времени соответст-
соответствующий отклик сдвигается на столько же, не меняя своей формы.
< .Саму передаточную функцию Z (р) ¦ можно еще трактоиать следующим
образом. Допустим, что при фиксированном комплексном р внешнее воздей-
воздействие имеет вид / (/)=е^*. Тогда уравнение A) имеет в качестве одного из
своих частных .решений *(f)=j—— eP<=Z (p)ePf (если только D(p) ф 0, т. е.
если отсутствует резонаиё). В частности, если p = iw чисто мнимое, то речь
идет о коэффициенте усиления гармонического внешнего воздействия; тогда
Z (ш) называется частотной характеристикой рассматриваемой физической
системы. .При этом, если система устойчивая, т. е. если свободные колебании
в ней затухают (это значит, что Z (р) имеет полюсы только при Re p < 0),
то при внешнем воздействии eiwt и при любых начальных условиях соответ-
соответствующее решение (т. е. отклик) е ростом t приближается к Z (ш) elat с 9кс-
поиеициальиой скоростью. > , .
, Иногда предпочитают рассматривать, результат z1(t) воздействия 8а си-
систему ие импульсной, а единичной функции /(/)=!. Тогда, при нулевых
начальных услбвиих из E) получаем
Z1(p)=Z(p)-~, т. е. Z(p).=i/»Zi(p), .
откуда при любой функции /(/) из. E) следует, что . . . .. ,....,.

143 гл. ш. операционное исчисление
Возвращаясь к прообразам, получаем тогда
Of
Эту формулу легко получить и из F), заметив, .что г(/)=?i@-
Операционный метод можно применить ие только к начальной, но и к
краевым задачам (ЛВМ, п. XV. 16), хотя для них вычисления получаются
более громоздкими. Пусть, например, требуется решить уравнение A) для
0</<а,при краевых условиях *@)=а, х(Т)=у. Будем считать решение
продолженным с этого отрезка иа всю полуось-0<<< оо и обозначим через
р неизвестное значение «'(О). Тогда, совершая над A) преобразование
Лапласа, мы можем перейти к формуле D), в которой E—пока неизвестный
параметр. Переходи к прообразам, получаем для решения выражение вида
х=фA; Р), после чего E находим из второго краевого условия <р(Т; Р)=у.
Приведем еще пример решения дифференциального уравнения с перемен-
переменными коэффициентами
t"+' + t0. G)
Обозначим х' @)=а, х @) = р. Переходя к лаплас-образам и используя свойства
4 в 5 из п. 1.3, получим уравиение
т. е.
Таким образом, для Х(р) получилось обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение 1-го порядка. Решая его, находим
*(/>)=
откуда
x(t)=CJ0(t)
(см. A.29)). Уравнение G)—это частный случай уравнения Бесселя (см. ЛВМ
(XV. 167) при р=0>). Получилось только одно решение, так как другое при
<=0 бесконечно, а потому к нему нельзя применить свойство 4 из п. 1.3.
Если рассматривается не одиночное уравнение вида A), а система
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами, то после перехода к лаплас-образам получаем матричное урав-
уравнение вида (по поводу подобных уравнений см. ЛВМ, п. XI.3)
D(p)X(p) = F(p), (8)
где D(p)—характеристическая Матрица, Х(р)—столбец из образов
искомых функций, F{p)—столбец из образов заданных функций
(для нулевых начальных данных это столбец из образов неоднородных
члейов системы, а для ненулевых- начальных данных надо внести
поправку иа эти данные, как в уравнении C)). Решая уравиение (8),
получаем
где Z(p) = [D(p)]~l—передаточная матрица. По правилу построения
обратной матрицы (ЛВМ, п. Х1.3) ее элементы- будут иметь в зна-

- § 2. приложения . 149
менателе характеристический многочлен detD(p), поэтому при пере-
переходе к прообразам придется брать вычеты по нулям этого много-
многочлена, т. е. по корням характеристического уравнения.
3. Разностные и дифференциально-разностные уравнения.
О разностных уравнениях для функций мы упоминали в ЛВМ (конец
п. XVII.16). Пусть, например, рассматривается уравнение
, ax(t) + bx(t—h) + cx(t—k)=f(t) @</<oo); (9)
где 0 < А < А. В качестве начального условия" можно задать x{t)
при —А^* < 0. Тогда в принципе возможно применить следующий
метод шагов: пока t меняется от 0 до А, второе и третье слагаемые
в левой части (9) заданы (почему?), т. е. можно иайти решение
x{t) при 0^Г< А; затем считаем, что t меняется от А до 2А; тогда
x(t—h) и x(t—k) уже найдены (почему?), и из (9) можно иайти
x(t) при А^^<2А и т. д. Этот метод удобен как численный даже
для нелинейных и неавтономных случаев, но для исследования решения
он не очень хорош.
Для линейных автономных систем возможно применить операцион-
операционный метод.-Для этого применим к обеим частям (9) преобразование
Лапласа, воспользовавшись свойством 2 из п. 1.3; получим
ч~РкХ+
о
-fee"'* \е~Р*x(t)dt — F{p), A0)
-*
откуда Легко иайти Х(/>) (заметим, что в интегральных членах зна-
значения x\t) берутся при t < 0, т. е. эти значения, заданы в силу
начального условия). Как и в п. 1, наиболее прост случай нулевого
начального условия: тогда из A0) получаем опять формулу вида E),
где 'передаточная функция имеет вид
Полюсы этой функции, по которым будут браться вычеты, срав-
сравнительно просто определить, если А и k соизмеримы (имеют рацио-
рациональное отношение), т. е. А = дат, А—йт, где т и л—целые; тогда
для нахождения нулей знаменателя надо решить алгебраическое
уравнение
после чего положить р = -г- — Ln и. В несоизмеримом случае приходится
численно решать трансцендентное характеристическое уравнение.

150 ГЛ. III. ОПЕРАЦИОННОЕ «СЧИСЛЕНИЕ
Диалогично исследуются дифференциально-разностные уравнения,; напри-
например, вида - .
«'@+te@+«'('-*i)+«M/-A,)=/@ ' @<<<оо), A2)
где Л4 > 0, Аа > 0. В качестве начального условия можно задать х (t) при
— А<< < 0, где h—большее из. чисел hlt Ла; кроме того, задается значение
х(-\-0), которое не обязано совпадать с х(—0). И здесь можно применить
метод шагов, причем размер каждого шага равен меньшему из чисел Aj, h.2.
Мы предоставляем читателю получить лаплас-образ решения и передаточную
функцию
Z (р) = (ар+Ь + ере - Ър+de - h*P) -».
Нахождение ее полюсов сводится к вычислению нулей квазиполинома
(см. (I I.3.46)).
. Обращаем внимание читателя на то, что при решении начальной задачи
для уравнения вида A2) в этом уравнении обязательно должен присутствовать
член со старшей Производной при наибольшем зиаченнн аргумента: например,
в уравнение A2) нельзя было бы добавить членя" {t —h{). В нротивном случае
можно доказать, что характеристический квазиполином обязательно будет
иметь нули с как угодно большой вещественной частью, что не дает возмож-
возможности построить решение операционным методом (почему?).
4. Интегральные и пптегро-дифференцнальные ураввеипя. Опера-
Операционный метод можно применить и ко многим интегральным уравне-
уравнениям, а также интегро-дифференциальным уравнениям (в которые
искомая функция входит как под знак интеграла, так и под знак
производной). Здесь мы не будем излагать теорию таких уравнений,
а прйнедем два простых примера.
1. Рассмотрим интегральное уравнение
где / и g—заданные функции, а х—искомая. Применяя свойство
6 из п. 1.3, получим X(p)G{p)=zF(p), т. е.
Впрочем, здесь еще надо проверить, что правая часть может служить
лаплас-образом (п. 1.4), а это далеко не при любых функциях / и в будет
так, ибо правая часть может не стремиться к нулю прн Rep^s, |pf—»-oo.
Интересно, что операционным методом могут быть, в виде исклю-
исключения, решены даже некоторые нелинейные интегральные урав-
уравнения специального вида. Например, уравнение
О . '
после перехода к образам принимает нид X*{p) — F(p), откуда
УЛ т.. д. • : ".,.'' .. ..

§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ 151
2. Рассмотрим интегро-дифференцнальное уравнение
x'{t)+lx(x)g(t~x)dx=/(t) @</<оо),
о
где дополнительно задано Jc( + 0) = a. Переход к образам дает
p '
откуда легко найти
В данном случае условие стремления правой части к нулю выполнено
(почему?), так что мы действительно получили лаплас-образ решения.
5. Уравнения с частными производными. Уравнения с частными
произиодными уже встречались в ЛВМ, пп. XVII.31 и 34. Теория
таких уравнений весьма обширна, и мы также не будем ее здесь
касаться^ а только приведем пример применения операционного
исчисления к решению так называемого уравнения теплопроводности
ди д2ы
a
В курсах уравнений математической физики доказывается, что этому
уравнению удовлетворяет температура u = u(t, x) в момент времени
t в точке х прямолинейного стержня, если тепло подается или отво-
отводится только через его концы. Коэффициент температуропроводности
а определяется только материалом стержня.
Рассмотрим сначала случай, когда стержень бесконечен, т. е.
— оо<дг<оо, причем будем считать заданным распределение темпе-
температур в нем в начальный момент времени:
в 11=0 = ф (*) (заданоI. A5)
Таким образом, математическая задача состоит в решении уравне-
уравнения A4) при заданном начальном условии A5). Для решения этой
задачи совершим преобразование Лапласа над обеими частями урав-
уравнения A4), считая х параметром, т. е. u(t, x)~>¦ ?/(/>, x). Применяя
правило дифференцирования по параметру (см. конец п. 1.1) и фор-
формулу A.9), получим ¦" ¦•.:.-....:•
А это уравнение при любом фиксированном р представляет собой
обыкновенное дифференциальное уравнение, которое можно
переписать в виде
gp?/=-<p(*). , A6)
В этом и состоит идея применения преобразования Лаплас!а:
оно превращает одну из независимых переменных (по которой

152 . ГЛ. III. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
производится преобразование) в параметр, понижая тем самым число
этих переменных на единицу. Естественно, что чем меньше незави-
независимых переменных, тем, вообще говоря, уравнение проще; в част-
частности, если их было две, то после перехода к лаплас-образам остается
одна независимая переменная, т. е. получается обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение, что и произошло в рассматриваемом примере.
Вернемся к решению уравнения A6), причем сначала будем счи-
считать, что ф(х) = б (х) (дельта-функции). Тогда прилг^ОуравнениеA6)
.является однородным и потому имеет решение
при этом величины Ct н С, при х < О и х > 0, вообще говоря,
различны и, кроме того, могут зависеть от р (они постоянны только
по х). Условимся при больших Rep под 1/ — понимать ветвь, ко-
которая при вещественных р > 0 принимает положительные значения.
Тогда из условия обращения Ui(p, х) в нуль при р —>¦ оо (как лю-
любого лаплас-образа), получаем, что . .¦¦.-'
^ A7)
Однако, интегрируя (.16) при <$(х) = Ь{х) от —0 до -}-0 два раза,
приходим к равенствам
т
Отсюда получаем, что в A7) Cl-=Ci = —у=- (проверьте!), т. е.
2 у ар •
'*' (х^О), A8)
Однако правая часть A8) получается нз правой части табличной
формулы A.25) заменой р на — р с последующим умножением на
^kj-. Поэтому из формулы A.25) и свойства 1 п. 1.3 вытекает, что
прообразом функции A8) служит (проверьте!)
*УЩ.
J
»¦, ,
A9)

§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ - .¦;
Если теперь ф(л:) = 6 (*—?), то в'силу инвариантности уравне*
ния A4) относительно сдвигов по х и соответствующее решение
аолучнтся из A9) заменой х на х—\. Отсюда, если ф(дг) произ-
произвольна, то, применяя принцип суперпозиции (ЛВМ, п. XIV.26),
получим окончательное решение задачи :
полученное впервые Пуассоном иным методом.
Рассмотрим еще одну задачу для уравнения A4), именно задачу
о разогреве полубесконечного стержня с конца, лричем допустим,
что закон изменения температуры на этом конце известен, а в на-
начальный момент времени стержень не разогрет. Задача математи-
математически сводится к решению уравнения A4) для O^t < ос*, 0-^х < оо
при начальном условии
. «Ь=. = 0 ,@<*<оо)
и граничном условии
и|*=в = ф(') (задано). B0)
Совершая преобразование Лапласа по t над уравнением A4) и усло-
условием B0), получим
Решение этой задачи дает, подобно A7), . ¦ :
U(p, х)=*Ф(р)е-ум'ах. B1)
Так как прообразом функции е~^^ах, согласно A.24), служит
2УпЧ V 2У5г*
то в силу свойства 6 п. 1.3 прообразом функции B1) служит.
И ((, X) =—^=г Г (t — Т)-»/а в~*'/4О (<-т) ф (Т) dx
о
Это и есть решение поставленной задачи. •
Как видим, при применении операционного метода приходитея
пользоваться не только основными свойствами преобразования Лап-
Лапласа, но также разнообразнымн формулами перехода от конкретных
прообразов к образам и обратно. • .
Приведем еще пример решения, приводящего к сумме бесконеч-
бесконечного ряда. Именно, рассмотрим задачу о разогреве конечного стержня.

154 ГЛ. III. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Будем решать уравнение A4) при 0 <*<;/, 0 <;/<«» мри началь-
ном условии "'' '"; ;
(стержень не был разогрет) и граничных условиях
оо) B2)
(на левом конце поддерживается постоянная температура иа, a ira
правом—нулевая температура). Совершая преобразование Лапласа
над уравнением A4) и условиями B2), получаем ; ........
U\ =&, U\ =0.
Решение этой краевой задачи при любом значении параметра р,
которое мы предоставляем читателю, имеет вид .,
^shV ?(l-*)
~F
shV a
При фиксированном х эта функция однозначная (почему?) и анали-
аналитическая на всей плоскости/?, за исключением точкиpt = 6.» течек,
определяемых нз уравнения
Г T' =
^./ = 0, откуда еГ T' = i, 2 y^Z I = 2Ая/,
ак*я* .. л п .
Рк=> рГ. (ft==1' 2, ...)•:
В этих точках функция U имеет полюсы первого порядка. Поль-
Пользуясь формулой A.26) (но для бесконечного числа членов) и фор-
формулой (II.3.5), получаем
u{t, *) = «„
oft» я8'
*=i
ft=i
Интересно отметить, что будет после установления процесса,
т. е. при t—»-оо. Из предельной формулы A.32) вытекает, ч.то
и(оо, х)=ш[Ри(р, х))= нш а/
р-в р-»« ,
Впрочем, этот же результат вытекает и из формулы B3), описы-
описывающей переходный процесс.

.. .§3. варианты 155
В.,заключение отметим, что операционное, исчисление имеет и
разнообразные интересные математические приложения к вычисле-
вычислению определенных интегралов, установлению различных формул,
связывающих специальные функции, и т. д.; см., например, [3, 37].
•., , § 3. Варианты
. Помимо интегральных преобразований Фурье н Лапласа, имеется целый
ряд других аналогичных преобразований, приспособленных для решения раз-
различных классов задач. Это приложение проводится по схеме § 2: поставлен-
поставленная задача формулируется в терминах образов искомых функций, и если она.
окажется достаточно простой, то решается, после чего выполняется обратное
преобразование. Здесь мы кратко укажем иа некоторые из этих преобразова-
преобразований, отослав интересующегося читателя к дальнейшей литературе.
1. Дискретное преобразование- Лапласа. В теории импульсных систем
широко' применяется дискретное преобразование Лапласа, которое ставит в со-
соответствие последовательности чисел хв, хи х2, ...—ее мы будем сокращенно
обозначать {х„\—функцию X (р) от комплексного переменного p=s-j-i/-по
формуле
п=о
Если х„ при я—>- оо остается ограниченным или растет по модулю ие быст-
быстрее экспоненты', то функция X (р) аиалитична при достаточно больших s и
2я-тгериодична по г. Легка Доказать формулы преобразовании
{1, 0, 0, ...}-* 1; {I, 1, 1, ...)
„_. . B)
Iе ' еР—еа'
(k=@, 1, 2, ...) я т. д. Свойства этого преобразования напоминают свойства
из я, 1.3; они подробно изложены в книгах [130, 34]. Отметим, например,
такое: .:•,¦¦;'¦¦¦ • ¦
C)
Дискретное преобразование Лапласа можно првменить, в частности, к ре-
решению линейных разностных числовых уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами (ЛВМ, п. XVH.16). Пусть, например, надо решить уравнение (ЛВМ,
(XVII.68))
.. = ..-,.- «** + P"*«+i + Y*»+i>=0 (n=0, 1, 2, ...), D)
если ха и xv заданы. Совершая дискретное преобразование Лапласа над всеми
членами уравнения D) и применяя линейность и свойство C), получаем
аХ
откуда

156 ГЛ. Ш. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Теперь надо либо разложить эту рациональную относительно е? функцию иа
сумму простейших (ЛВМ, и. VIU.10) и воспользоваться формулами B) (запи-
(записав их в, виде
JFL_.t_e-«{e«}_{e-«I о,б, ...'}¦
и т. п. для кратных знаменателей), либо воспользоваться формулой обра-
обращения. .. . . . ,
Формула обращения преобразования A), записанного в виде
где. считается, что ж„=0 при п < О, сразу вытекает из формулы для коэф-.
фициеитов комплексного ряда Фурье (ЛВМ, п. XVH26); . "
откуда
•+/Я
• - Х»=Ш 1 X<,P)e"PdP (я^О.1,2,...), F)
где sг— любое достаточно большое число.. Из доказательства видно также, что
при л =—1, —2, ... интеграл F) равен нулю.
Иногда пользуются несколько более простым г-преобразованием, кото-
которое получается из преобразования A) простой заменой еР=г. Обозиачвм
г-образ последовательности {«„} через X (г); тогда
*M«=XW=JV4 G)
Так как Rep должно быть.велико, a Imp произвольно, то ряд G) сходится
для любых г с достаточно большим \г\, т. е. представляет собой разложение
в ряд Лорана па бесконечности функции Х(г), аналитической в точке г—«о
(п. И.3.6). Соответственно просто изменятся формулы B) (иапрвмер, {*"} —*¦
-г* ——-г . и т. п. | и свойства. Формулу обращепия F). можно переписать
в виде
Ф -idz (n=0,. 1, ...),
где R достаточно велико, а окружность \z\=R ориентирована в положитель-
положительном направлении. К вычислению этого интеграла можно нримевить теорию
вычетов (продумайте'это для првмера E)). ¦ . . ... .
В заключение отметим, что дискретное преобразрваиве Лапласа последо-
последовательности {*„} —это ве что иное, как обычное преобразование Лапласа uw
пульсной функции -, ' .-....- .....'-¦'.! ¦ '
(проверьте!).

§ 3. ВАРИАЙТЫ 1ST
S. Преобразование Фурье растущих функций. Применение преобразования
Фурье бывает затруднено тем, что преобразуемая функция должна быть абсолютно
интегрируемой и потому должна иа бесконечности обращаться в нуль. Рас-
Рассмотрение фурье-образа как аналитической функции позволяет устранить это
затруднение. Пусть сначала
.. .. ¦.,/(*) и? О(-op <*<*„), \ Цх) К Me** (х„<х<<х>); (8)
будем в формуле преобразовании Фурье Ч
'«-i I
f(x)e-lk*dx ' (9)
считать' ft- комплексным. Тогда легко, проверить, что f(k) будет, аналитической
функцией k, во всяком случае, при 1mA <—а. Обозначив Ш=р, f(k)=F(p);
мы (при дсо5=О) приходим к преобразованию Лапласа A.1), так что все рас-
рассмотренные выше свойства преобразования Лапласа легко переформулировать
и на преобразование (9). В частности, формула обращения имеет вид
да+is
f(x)*= J J(k)e'»xdk (Im* = s<—a).
-x+ls
Если функция f(x) растет и при х—*¦ — оо, то можно применить следую-
следующий прием. Пусть
- |f(*)|<Sf»e«+* @<*<оо),
Положим . ...-.-
0 (-«><*<<)), . . . f f(x) (-»<*<0),
@ <*<«), 'w\
Тогда нх фурье-образы f+ (k) и /_ (k) будут аналитическими функциями ft,
первая при lm k <—а+, а вторая—при Imfe>—а_. Формула обращения
имеет вид N
J 1-(k)e?**dk, A0)
где s+ <—a+, s_ >—a_.
Легко проверить, что если в оценке Щ М заменить на функцию М (х)
со сходящимся интегралом, то при Imft<—а интеграл (9) будет правильно
сходящимся (ЛВМ, n.'XlV.2l), а потому функция f(k) непрерывна в замкнутой
полуплоскости 1тА<—а, включая граничную прямую. Аналогично формули-
формулируются свойства непрерывности функций f+ и ?_. В частности, если функ-
функция f(x) абсолютно интегрируема, то можно принять a+=a_=0, и полу-
получается такая картина: функции f+ (k) аналитична в нижней полуплоскости
fe я непрерывна на граничной вещественной оси (ио может в точках этой оси
потерять аналитичность-); функция f_ (k) аиалятичиа в верхней полуплоскости
и также непрерывна на вещественной оси, ио уже «с другой стороны», а на
санбй Ьси f+ (А)-ь7- <*)==/(*)• (Последнее видно, если в равенстве A0) пе-
перейти к пределу лри s+-^ 0, s_—»-0.)
Покажем применение введенных понятий к выводу формулы Пуассона для
суммы ряда
5= 2 '*"> <Р>°>-

t'58 гл. ш. операцнйнн'Ье исчисление
где f (jt) (—00 < х < оо Wнепрерывная суммируемая фушшвя. Для этого будем
исходить из формулы A0), в которой s+ н s_ —любые положительные числа.
Подставим х—рп и произведем суммирование по п от —ао до ею. Но первый
интеграл, равный /+ (х), обращается в нуль при л < 0,. так что суммировать
достаточно по п^О; аналогичным свойством обладает второй внтеграл,-а, по-
потому ¦
до » +/s+ -оо «o + fs_
/_(fe)(l — е^*)-МА. A1)
. . i .-.....¦
_
Примем для простоты, что функция¦( (х) прн х—>¦ ±<х> стремится к нулю
с экспоненциальной скоростью. (На самом деле оказывается, что это предпо-
предположение можно сиять.) Тогда можно принять s+ > 0, s_ < 0 и контур пер-
первого интеграла в правой части A1) замкнуть большой полуокружностью снизу,
а второго интеграла—сверху. Интегралы по полуокружностям стремятся к
нулю и, применяя теорему Коши о вычетах, находим
Полученная формула
применяется в теоретических исследованиях и в вычислениях. [ Доиажите ее
•также е помощью формулы' \ fg* dx=2n \]g*dk, вытекающей вз равенства
Парсеваля, ЛВМ, п. XVII.33, подобрав соответствующую функцию g(x) в вос-
воспользовавшись формулой
3. Другие интегральные преобразования на бесконечном интервале. .Каж-
.Каждое интегральное преобразование определяется (с точностью до обозначений)
формулой вида
b
¦ - " ¦ ' <12)
где К(р, t)—ядро, которое и определяет преобразование: так, для преобра-
преобразования Фурье
для преобразовании Лапласа
а=0, 6=оо, /((р, <)=е~",

...... §3., варианты 1S9
длд косинус- и,синустпреобразоваиий Фурье (ЛВМ, п. XVII.32) а==0, Ь=оо,
а К (р, t) соответственно равно — cos pt и — sin pt.
Остальные'интегральные преобразования так или иначе связаны с преоб-
преобразованием' Фурье. Так, рассмотрим преобразование Меллина
03)
о
где р=s-\-ir—комплексная переменная. Замена переменной по формуле
<=е~* показывает (проверьте!), что при фиксированном s функция F(s-\-ir)
служит фурье-образом функции 2ne~Sxf(e~x). Отсюда по формуле обращения
для преобразования Фурье
¦ : ¦ . . . во
2яе -**/ (е - *) = [ F (s -f- ir) е"~х dr,
— OB
откуда получаем формулу обращения для преобразования A3)
s + leo
Мы предоставляем читателю продумать, какой должна быть функция f (t), чтобы
ее преобразование A3) имело смысл в некоторой области плоскости р, и каким
должно быть s в формуле A4). Различные свойства и приложения преобра- '
зования Меллииа, как и других интегральных преобразований, содержатся
в книгах [36, 113].
Преобразование Гильберта широко применяется в теории- сингулярных
интегральных уравнений (§ VI 1.5). Допустим, что функция /(/) вещественна
и абсолютно интегрируема на всей оси t; f(a)—ее фурье-образ; функции.
7(ю) и' F (if)'Определены формулами . ' ' ' '
"> 2'- F @=-2 Im ! «*¦>'Да>) d». A5)
> < О), . J
Заметив, что вещественность функции f (t) равносильна свойству ее фурье-
образа
(докажите это!), получаем, что
2Re J е><»*?((й) da>= J eMf (ш
*) <te>=±f(t).

160 ГЛ. Ш. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Мы получили, что фурье-прообразом функции /(со) служит
А 00
-f Иго|=-j[/(t)-iF(t)),
j
-w 0 0
т. е.
"Поэтому при ю > 0
21m ? e'm< ? (a>) du>=2 lm С «/"* tf (a>
Из второй формулы A5), переставляя порядок интегрирования, получаем
00 * 00
=—2Im
О — оо
ш N
1 ,
-»oo
J
8
Л ЛГ-»<в J t —<
Разбивая последний иитеграл иа три:
* . A7)
где б>0—малое фиксированное число, получаем, что при N—> со из-за
частой осцилляции косинуса 1-й и 3-й Интегралы стремятся соответственно и
t-e
1GU и [Ж*
т— < J т—f
/+8
(формально это можно доказать с помощью замены N (т—t)=s). Что касается
среднего интеграла A7^, .то разлагая / (т) в ряд по степеням t—t, получаем,
что он стремится к нулю ири г—>-0. Вспомнив определение главного значе-
значения (v. р.) сингулярного интеграла (ЛВМ. п. XIV. 19), получаем окончательно

§ 3. ВАРИАНТЫ 161
Подобным образом, из формулы A6) приходим к формуле
Эти дне формулы, справедливые в силу их линейности и для комплексных
функций от вещественного аргумента, и определяют преобразование Гильберта
и обратное к нему. (Докажите, что при этом преобразовании sin t —> cos t;
см. но этому новоду также формулы A1.3.33).)
Некоторые из интегральных преобразований выводятся вз формул крат-
кратного преобразования Фурье для функций нескольких неременных. Приведем,
вапример, формулы для двойного преобразования Фурье:
(*. y)dxdy, A8)
1
<2я]
OD
GO
f
— OD
GO
GO
С
— GO
A9)
Эти формулы получаются просто с помощью последовательного выполнения
преобразования Фурье по каждой из независимых переменных. Аналогично
выглядят формулы для любого числа независимых неремеиных.
Допустим теперь, что функция / (х, у) после перехода к полярным координа-
координатам р, ф оказывается ие зависящей от <р, т. е. /=/ (р). Тогда, переходя к поляр-
полярным координатам a, if в плоскости ?, г|, нерепишем правую часть A8) в виде
се 2Л
—LjfpdpC e~f (осоа*.рсоаф+а sin *
О О
В силу периодичности косинуса внутренний интеграл равен
(см. ЛВМ, п. XVII.24). Мы видим, что функция A8) также оказывается ра-
диальио-симметричной, т. е. F=F(o), где
B0)
Аналогичным образом формула A9) дает
се
/ (р)=2я jj Jo (op) F (с) с do, B1)
о
Формулы B0) и B1) определяют преобразование Ханкеля и его обращение.
Обычно они пишутся без коэффициентов перед интегралами, так как 2nF (a)
6 А. Д. Мышквс

162 ГЛ. III. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
можно вновь обозначить через F(a). Преобразованием Ханкеля называется
также преобразование, которое получится, если для любого фиксированного
п—0, 1, 2, ... принять f=f(p)ela4. Проверьте, что тогда F=F(о)е/|И|, где
f (р) и F (о) связаны формулами ¦ <
F (or) = ¦—¦ J Jn (orp) f(f>)pdo, f (р)=2л*« J /„ (op) F (a)
о о
Свойства преобразования Ханкеля и формулы преобразования конкретных
функций можно получать либо непосредственно, либо возвращаясь к преобра-
преобразованию Фурье A8), A9), так как
/(р)=/ (yV2-f-(/2), F(p)=F (W+*l2)*
ч . .
4. Интегральные преобразования на' конечном интервале. Применяются
также интегральные преобразования на конечном интервале—обычно с теми
же ядрами, что были указаны выше, но с конечными а и Ь в формуле A2)
Свойства н приложения таких преобразований указаны в гл. VI книги [113].
Мы остановимся здесь для примера на конечном синус-преобразованин Фурье
B2)
будем эту связь между функциями f(f) я F (р) обозначать, как и раньше,
знаком / @ —> F (р). Верхний предел интегрирования может быть и другим:
проверьте, что если
I
Ф (р) = $ sin pt-f (t) dt,
о
то
Если функция f (t) в формуле B2) абсолютно интегрируема при 0</<я,
то функция F (р) аналитична на всей плоскости р, т. е. является целой функ-
функцией. Формулу для разложения / (I) в ряд Фурье по синусам
/(o=26*sinW'
k=i
где
можно записать в виде
B3)
и трактовать как формулу обращения преобразования B2).

§ S. ВАРИАНТЫ 163
¦Обозначим образ функции f"(t) через FA(p); тогда
я я .•¦¦..-.
Fa(p)= J sinpt.r(i)dt=sinpt-r (Q |"=0 -Р J cos pi. f'(t)dt =
О О
п
= sin яр/' {л)-р cos pt-f (t) |я=о -p* J sinp/-/ @ dt=»
0
=_ p*F (p)+sIn яр-/' (я)-р cos яр-/ (n)+4>t @); B4)
при этом /' (л) понимается как f (я—0) и т. п.
Другие свойства преобразования B2) можно либо доказать непосред-
непосредственно, либо же заметив, что F (р) в формуле B2) представляет собой обыч-
обычное синус-преобразование Фурье функции
:«); ;¦
этот подход возможен н к другим интегральным преобразованиям на конеч-
конечном интервале.
Свойства преобразований можно, как и в § 2, применить к решению раз-
различных уравнений. Пусть, например, требуется решить уравнение B.14) для
0< / < оо, 0<x<:rc, если задано начальное условие B.15) (для <)<.*< я)
и граничные условии
«U=o=t(O. «lx=j=X(O (заданы, 0</< оо).
Совершим над и (t, х) ' преобразование типа B2) по х, т. е. обозначим
u(t, х)—»• U (/, р), считая / параметром. Тогда в силу формул B4) и B.14)
получим
BU ди
-тг=—ар2и-\-ain лр-v- —pcos np-XtO + P^v)» B5)
ot Ox x=n
тогда как начальное условие даст
я
<26)
Имея в ниду применение формулы обращения B3), положим в B5) р раниым
любому целому k=\, 2, 3, ... Тогда второй член в правой части B5) выпа-
выпадет, и мы получим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение пер-
первого порядка, которое при начальном условии B6) имеет решение
(проверьте!). Теперь искомое решение u(t, x) получается с помощью формулы
обращения типа B3):
00
u(t,x) = —2^V(t, tysinfe*.
6*

Г л а в а IV
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Язык, «психология» и методы линейной алгебры все более ши-
широко применяются в современной прикладной математике. Линейная
алгебра предоставляет естественный аппарат для единообразного
изучения различных линейных физических и математических процес-
процессов, часто подсказывает само направление исследования. С помощью
методов линейной алгебры изучаются и нелинейные задачи на основе
линеаризации; многие нелинейные методы испытываются на линейных
моделях. По этой причине элементы линейной алгебры в последние
годы введены в общий курс математики для втузов. Мы будем
предполагать знание этих элементов в том или ином объеме (опре-
(определители и системы линейных алгебраических уравнений, ма-
матрицы и квадратичные формы, линейные пространства и линейные
отображения); в частности, достаточно просмотреть ЛВМ, §§ VI. 1,2,
VII.1—3,6, XI.1—3, включая мелкий шрифт.
Однако более сложные приложения требуют более глубокого
изучения линейных отображений, квадратичных форм и других объек-
объектов линейной алгебры. Поэтому здесь будут изложены дополнительные
сведения из линейной алгебры, как углубляющие указанные эле-
элементы, так и принципиально новые. Дальнейший материал можно
найти, например, в книгах [28, 118, 134].
Напомним, что линейным пространством называется совокупность (R)
некоторых объектов, над которыми можно выполнять линейные
действия — сложение нх друг с другом и умножение их на числа,—
причем эти действия должны удовлетворять некоторым естественным
требованиям, аксиомам линейного пространства. В зависимости от
того, допускается умножение только на вещественные или на любые
комплексные числа, (/?) называется линейным пространством над
полем вещественных или над полем комплексных чисел или, короче,
вещественным или комплексным линейным пространством. Мы будем
рассматривать только конечномерные пространства; в я-мерном про-
пространстве (/?) любая совокупность из л линейно независимых векторов .
(элементов) называется базисом и каждый элемент X (Е (Щ (€ — знак
принадлежности) однозначно разлагается по базисным векторам.
Линейное пространство называется евклидовым, если в нем вве-
введено понятие скалярного произведения, удовлетворяющее определен-
определенным естественным аксиомам; евклидово пространство также может
быть вещественным или комплексным. Основной пример л-мерного

§ 1. СОПРЯЖЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 165
евклидова пространства—это совокупность всех «-мерных числовых
векторов, т. е. столбцевых матриц высоты п, причем скалярное про-
произведение определено по правилу:
(х, y) = xiyl+...+xnyn
(в вещественном случае),
I*
(в комплексном случае),
где звездочкой обозначается комплексно сопряжейное число. (Мы бу-
будем в этой главе обозначать числовые векторы прямым полужирным
шрифтом, в отличие от элементов произвольного линейного простран-
пространства, для которых будет применяться полужирный курсив.) В обоих
случаях годится формула х-у=(х, у)=у*х, где звездочкой обозначается
переход к сопряженной матрице, получающейся из исходной матри-
матрицы с помощью ее транспонирования и для матриц с комплексными
элементами замены этих элементов на комплексно сопряженные.
Другие л-мерные линейные или евклидовы пространства в опре-
определенном смысле равносильны (изоморфны) этому. В евклидовом
пространстве можно говорить об ортогональности (перпендикулярно-
(перпендикулярности) векторов, о норме (длине) вектора и о евклидовых базисах,
составленных из попарно ортогональных нормированных векторов.
Одним из центральных является понятие линейного отображения
у = Ах (х ? (R), У € (S)) линейного пространства (/?) в линейное про-
пространство (S); при этом х пробегает все (/?) и требуется, чтобы
A(.xr + x2)~ AjCj + AjCj, a (Xjc) = % Ах. Совокупность A (R) всех
образов, на которую отображается (/?), не обязана совпадать с (S),
а представляет собой, вообще говоря, некоторое (линейное) под-
подпространство (S). (Обратите внимание иа различие терминов *ото-
бражение в» и «.отображение на», т. е. заведомо на все.) Если
в (/?) и в (S) выбраны базисы, то каждый вектор x?(R) (соответ-
(соответственно у(Е (S)) полностью характеризуется набором х (соответст-
(соответственно у) своих координат, и имеет место соотношение у = Ах, где
А—матрица отображения А в выбранных базисах.
§ 1. Сопряженные отображения
1. Прямая сумма. Пусть у пространства (R) указаны какие-то
его подпространства (/?j), (/?г), ..., (Rm), причем размерность подпро-
подпространства (Rk) равна лл^0. Тогда говорят, что (R) разложено в
прямую сумму этих подпространств, если каждый вектор х € (R)
можно представить и притом единственным способом в виде
х=xt + х2+... + хт, где х1 € (/?!>, х2 € (#*), • - •, *„ € (RJ. A)
Например, в трехмерном пространстве применяется как разложевие век-
вектора по трем осям (это значит, что /п=3, п1=п2=п3 = 1), так и разложение
по оси и не параллельной ей плоскости (этозначит, что/п=2, «!=!, па=2).

ТЛ. IV. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Легко проверить свойства разложения в "прямую сумму:
1. Любая совокупность ненулевых векторов ak € (/?*) (k = 1, 2,..., m)
линейно независима. В самом деле, если, например, а1 = ааа+...
- • • + Vе»,. т0> обозначив хх = av хг = — сса2,..., хт = — уат, полу-
получим, 'ЧТО
=0 = 0+0+... +0,
а это противоречит (так как жх =5*= 0) единственности представления
вектвра О в виде A).
2. лх+й8 + ... +ят = л. В самом деле, если в каждом прост-
пространстве (Rk) выбрать базис из nk векторов, то совокупность веек
этих векторов при всех k = \, 2, ..., т образует базис (R) (про-
(продумайте, почему).
Ми предоставляем читателю проверить, что и обратно, если
у Щ) даны подпространства (/?х), (/?г), ..., (Rm) и выполнено первое
свойство, то совокупность (R) векторов х вида A) представляет
содой подпространство пространства (R) и разлагается в прямую
сумму своих подпространств (/?х), (R2), ...,(/?„). Если к тому же
выполнено второе свойство, то (/?) = (/?).
2. Инвариантные подпространства. Пусть задано отображение А
пространства (R) в себя. Подпространство (Rt) пространства (R) на-
называется инвариантным (относительно отображения А), если это
отображение переводит (/?х) в себя, т. е. если для всех х € (RJ
будет Ax^(Rl). При этом мы будем впредь исключать тривиальный
случай, когда (/?х) нульмерно, т. е. состоит только из нуль-вектора.
Пусть, например, рассматривается вращение трехмерного пространства
вокруг «екоторой оси. Тогда совокупность векторов, параллельных этой оси,
образует одномерное инвариантное подпространство; совокупность векторов,
перпендикулярных этой осн, образует двумерное инвариантное подпростран-
подпространство; совокупность всех векторов образует трехмерное инвариантное подпростран-
подпространство (так как каждое пространство можно считать подпространством самого
себя). Другой пример: совокупность собственных векторов, отвечающих задан-
заданному собственному значению отображения А, представляет собой инвариант-
инвариантное подпространство (почему?).
Пусть пространство (/?) разлагается в прямую сумму инвари-
инвариантных подпространств (Rk) размерности пк (й=1, 2, ...,/»).
Выберем в (R) базис /х, /а, ...,/„ так, чтобы первые пх его век-
векторов содержались в (/?х), следующие пг — в (/?а) и т. д. В таком
базисе матрица А отображения А имеет характерную структуру.
В самом деле, вспомните, что /-й столбец матрицы А — это столбец
из координат вектора А/у в выбранном базисе. Значит, при/= 1, 2, ...
..., пг только первые пх элементов у этих столбцов могут быть
отличными от нуля (почему?); при /=п1-{-\, лх + 2, ..., nt-\-nt
могут быть отличными от нуля только элементы с такими же номе-
номерами и т. д. Мы получаем (продумайте это1), что матрица А имеет

§ 1. СОПРЯЖЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1167
следующий вид (в условной записи):
А-1 •. 1; B)
\ А»/
по диагонали разместились квадратные матрицы Ах, Аг, ..., Ат
соответственно порядков nv n2, ..., пт) а все прочие элементы
равны нулю. Матрица вида B) называется квазидиагональной с на-
набором порядков (лх, п2, ..., пт). Например, матрицы
квазидиагоиальные, с наборами порядков A, 1, 1), A, 2), C) соот-
соответственно (впрочем, первой матрице можно также приписать набор
порядков A, 2), B, 1) или C)).
Обратно, если в некотором базисе матрица отображения А имеет
вид B), то подпространство (/?х), натянутое на первые пх базисных
векторов (т. е. составленное из всех линейных комбинаций этих век-
векторов), подпространство (/?2), натянутое на следующие п2 базисных
векторов, и т. д.—все инвариантны. Из A) получаем
A* =.Ajcx + Адсг + • ¦ • + Ажга.
Таким образом, если выяснить, как действует отображение А в каж-
каждом подпространстве (Rk) (т. е. какова структура матриц Ак), то мы
получим и структуру всего отображения А: оно сводится к незави-
независимому действию над компонентами вектора в инвариантных прямы*
слагаемых (/?х), (R2), ..., (Rm).
3. Сопряженные отображения. Пусть даны евклидовы комп-
комплексные пространства (R), (S) (для вещественных пространств все
рассмотрения совершенно аналогичны) и дано линейное отображение А
пространства (/?) в (S); коротко это записывают так: (R)—»•(.$) или
А:(/?)—>(S) (не путать с переходом к пределу!). Тогда линейное
отображение В:E)—>-(/?) называется сопряженным к А, если
(Ах, y)(S) ¦= (х, By)iR) для всех * € {R), У € (S)', ¦ C)
здесь индекс указывает, в каком нроетранетве берется скалярное
произведение. Севряженное к А отображение обозначается буквой А?.
Подчерняем, еще раз, что если А ото&ражает (R) » (S), то А* ого-
бражает fS) #(/?). ..:¦-.,
Выберем в (/?) евклидов базис рх, р2, ...,рп, а в E)—евклидов,
базис qv q2, ..., Щт. Пусть в этих базисах А будет иметь матрицу

168 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНАЯ. АЛГЕБРА
А, а В—матрицу В. Тогда легко проверить, что для справедливости
соотношения C) необходимо и достаточно, чтобы В=А*; другими
словами, в евклидовых базисах сопряженные отображения имеют со-
сопряженные матрицы, и обратно. В самом деле, в силу правила пост-
построения матрицы отображения в заданных базисах (см., например, ЛВМ,
п. XI.6), элементами матрицы А служат числа aJk = (Apk, qj) (/=1,
2, ..., п; k=\, 2, ..., /я), а элементами матрицы В—числа (Bqk,
Pj). Отсюда в силу C) получаем b/k = (Bqk, pf) = (Ap/t qk)* = a*kl, т. е.
n m
B = A*. Обратно, если B=A*, JC = 2 arPr> 3'=2Pj9j' t0 левая
r=\ s=T
часть (З) равна 2arP*afr> a правая часть равна 2arPJ^s =
г. s г, s
-2ХР*^.
Г, S
Из доказанного вытекает, что для всякого отображения имеется
сопряженное и притом только одно (именно, .отображение с сопря-
сопряженной матрицей); сопряженное к сопряженному отображению есть
исходное отображение, т. е. А** = А, отображения А* и А взаимно
сопряженные.
Если (?) = (/?) и А* = А, то отображение А называется самосо-
самосопряженным. В евклидовом базисе ему отвечает матрица А = А*, т. е.
aik==atfi такая матрица называется самосопряженной или эрмитовой
по имени французского математика Ш. Эрмита A822—1901). Для ве-
вещественных матриц самосопряженность равносильна симметричности.
Геометрические примеры сопряженных отображений легко получить с по-
помощью транспонирования соответствующей матрицы. Пусть, например, мы
рассматриваем отображения вещественной плоскости в себя; тогда растяжение
вдоль оси, всестороннее растяжение, зеркальное отражение, проектирование
на прямую—это самосопряженные отображения. Поворот ва угол асопряжен
с поворотом на угол—а, а сдвиг вдоль некоторой осн сопряжен с аналогичным
сдвигом вдоль перпендикулярной оси.
4. Разложение, связанное с сопряженными отображениями.
Прямое разложение (п. 1) евклидова пространства называется ортого-
ортогональным, если векторы из различных прямых слагаемых обязательно
ортогональны друг другу. Например, трехмерное пространство можно
представить в виде ортогональной прямой суммы плоскости и пер-
перпендикулярной ей прямой. Для любого подпространства (Rt) прост-
пространства (/?) можно указать и притом единственным способом орто-
ортогональное дополнение, т. е. подпространство (R2), образующее вме-
вместе с (/?х) ортогональное прямое разложение (/?): для этого нужно*
взять совокупность всех векторов из (/?), каждый из которых орто-
ортогонален (/?j), т. е. всем векторам из (/?j). Отметим, в частности,
что О и (/?) служат ортогональными дополнениями друг друга.
Пусть дано линейное отображение А пространства (/?) в прост-
пространство (S). Совокупность всех векторов x?(R), для которых Ах —О,
называется ядром этого отображеиия, это ядро обозначается А~1(О);

§ 1. СОПРЯЖЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 169
совокупность всех векторов вида А* (х ? (/?)) называется образом
при отображении А; он обозначается А (/?). Мы предоставим чита-
читателю проверить, что А(О) представляет собой линейное подпро-
подпространство {/?), a A (R)—линейное подпространство {S), причем раз-
размерность А (/?) равна рангу матрицы отображения А при произвольно
выбранных базисах в (/?) и (S).
Пусть теперь пространства (/?) и (S) евклидовы. Тогда (R) раз-
разлагается в ортогональную прямую сумму своих подпространств А (О)
и A* (S).
В самом деле, легко проверить ортогональность этих подпространств: если
Х\?А-1(О), Х2?А* (S),to по определению Ах1=О, х%—А*у(у?(8)) и всилу
формулы C) (хи x2)iR)—(x1, A*y)iR) = (Ax1,y)iSy={0, y)iS)=0. Остается про-
проверить, что каждый вектор x?(R) можно представить в виде суммы .«,-{-х2,
где Хх^А*1 (О), jc2?A*(S). Обозначим через ха проекцию вектора х на под-
подпространство A*(S); тогда (х—хг, х')<#)=0 для любого вектора x'?A*(S).
Другими словами, (х—xit А*у)^=0 для любого,у?E). В силу C) получаем,
что (А{х—хг), y)tSi=Q, а так как у произвольно, то А (ж—д;г)=0. Значит,
х—x\=X\?h~x @), т. е. справедливость ортогонального разложения доказана.
Так как отображения А и А* взаимно сопряженные, то, применяя
доказанное утверждение к А*, мы получим, что и (S) разлагается
в ортогональную прямую сумму своих подпространств А* @) и
A (R). Другими словами, уравнение Ах = Ь при заданном Ь ? {S) имеет
по крайней мере одно решение х € {R) тогда и только тогда, когда Ь
ортогонально А* (О), т. е. ортогонально всем линейно независимым
решениям уравнения А*у = О {у ? {$))¦ Оказывается, что это свойство
имеет место и для целого ряда классов линейных уравнений в бес-
бесконечномерных пространствах.
Из доказанного ортогонального разложения вытекает, в частно-
частности, что
dim А  @) + dim A* (S) = dim (/?), dim A*  @) -f dim A (#) = dim (S),
где буквами dim обозначается размерность, от французского
dimension. Кроме того, если ввести в (R) н (S) евклидовы базисы,
то видно, что всегда dim А (/?) = dim A* (S) (у сопряженных матриц
ранги одинаковы!). Отсюда вытекает, что dim А (О)—dim A* @)=
= dim(/?)—dim {S). В частности, если (R) — (S), т. е. рассматри-
рассматривается отображение пространства в себя, то dim A @) = dim A*~x{0),
т. е. число линейно независимых решений уравнения кх = 0 равно
аналогичному числу для уравнения к*у = 0.
б. Отображение пространства в себя. Если (/?) = (S), то можно
говорить о собственных значениях и собственных векторах отобра-
отображения А, а также А*. Легко доказать, что если Я служит собст-
собственным значением отображения А, то К* служит собственным зна-
значением отображения А*, причем той же кратности. В самом деле,
после выбора в (/?) евклидова базиса соответствующие характери-
характеристические уравнения det(A—XI) = 0 и det(A*—Я1) = 0 получаются

170 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
одно из другого заменой всех коэффициентов на их сопряженные
значения, и потому наше утверждение вытекает из свойств сопря-
сопряженных комплексных чисел (ЛВМ, пп. VIII.3 и 8).
Докажем следующее свойство ортогональности: если р и Я—соб-
Я—собственный вектор и соответствующее собственное значение для ото-
отображения A, a q и \i — для отображения А*, причем Я=^=ц*, то
{р, Я) = 0. Это вытекает из сравнения правого и левого членов
в цепочке равенств
Ь{Р, Я) = &Р, Я) = {Ьр, Я) = (Р, A*q) = (p, \iq) = \i*(p, q).
Отсюда вытекает такое следствие. Пусть все собственные зна-
значения klf Яг, ..., Я„ отображения А простые (различные) и plt pt,.
..., р„ — соответствующие ненулевые собственные векторы; как из-
известно, они обязательно линейно независимы (ЛВМ, п. XI.4) и по-
потому могут быть приняты за базис в (/?). Мы видели, что Я? , Х%,, ...
..., К%—собственные значения отображения А*; пусть qlt q2, ...
... ,qn—соответствующие ненулевые собственные векторы. Тогда эти
два базиса (R) биортогональны друг другу, т. е.
D)
При j азложении любого вектора по заданному базису знание биор-
тогонального базиса позволяет просто вычислить коэффициенты раз-
разложения: в самом деле, умножив равенство
скалярно на qk и воспользовавшись формулой D), получим
(*. **) = «*(/»*. Ян), т- е- а* = ^^) (* = 1' 2' ••" ")•
Ортогональный базис—это базис, биортогональный сам с собой.
Для каждого базиса ръ р2, ..., р„, независимо от его происхождения,
можно построить биортогональный базис qlt q2< •••.flm который определяется
однозначно с точностью до скалярных множителей. В самом деле, qx надо
взять,ортогональным к (п—1)-мерному подпространству, натянутому на р3,...
.... р„, и т. п.; проверьте, что такие векторы <7/будут линейно независимыми,
т. е. будут на самом деле образовывать базис. В /г-нериом евклидовом прост-
пространстве нетрудно ввести понятие векторного произведения [хг,х2, ..... хп-^,
обладающего свойствами, аналогичными свойствам обычного векторного про-
произведения двух векторов в трехмерном пространстве. Тогда можно просто по-
положить q1 =\р2, р3, ..., р„] и т. п.
6. Самосопряженное отображение. Пусть А—самосопряженное
отображение пространства (/?) в себя; это значит, что А* = А, т. е.
(А*, у) = {х, Ау) для всех х, у €(#). E)
Напомним, что для этого необходимо и достаточно, чтобы матрица А
отображения А в любом евклидовом базисе была эрмитово^, т. е.
чтобы А* = А.

§ 1. СОПРЯЖЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 171
Все собственные значения самосопряженного отображения веще-
вещественны: В самом деле, если кх^ = \хх (х1=^О), то, подставляя
в E) х=у = хг, получим после сокращения на (хг, ху) = | ж, |2 Ф О,
что Х = Х*, откуда н следует наше утверждение.
Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству для
отображения А также является инвариантным. В самом деле, пусть
(/^—инвариантное подпространство (/?), a (R2)— ортогональное до-
дополнение к (/?j). Возьмем любой вектор х € (R2); надо доказать, что
и kx?(R2), т. е. кх ортогонален любому вектору J>€(/?i). Однако
это вытекает из E), так как ky g {Rt).
Отсюда вытекает важное следствие: в (R) можно выбрать евкли-
евклидов базис из собственных векторов заданного самосопряженного ото-
отображения А. В самом деле, выберем сначала какой-нибудь собст-
собственный вектор /j, притом единичной длины. Тогда в силу доказан-
доказанного (я — 1)-мерное подпространство E) всех векторов, ортогональ-
ортогональных /1( будет инвариантным. Значит, можно рассматривать А только
на (S), Это будет самосопряженное отображение E) в себя; выберем
какой-нибудь собственный вектор 1г этого отображения, затем рас-
рассмотрим (л—2)-мерное подпространство всех векторов из (S), орто-
ортогональных /2, и т. д. Продолжая таким образом, мы построим иско-
искомый базис.
Это следствие можно сформулировать на чисто матричном языке.
Как известно, при переходе от одного декартова базиса к другому
матрица отображения преобразуется по формуле А' = Н~ХАН, где
матрица перехода Н удовлетворяет соотношениям
= НН*=1, т.е. H* = H-»;
такие матрицы Н называются унитарными (вещественные унитарные
матрицы называются ортогональными). Таким образом, мы получаем,
что для каждой эрмитовой матрицы А можно подобрать такую уни-
унитарную матрицу Н, что матрица Н-1АН будет диагональной с соб-
собственными' значениями, матрицы А на главной диагонали.
На основании доказанной вещественности собственных значений
получаем, что следствия, приведенные в последних двух абзацах,
справедливы и для самосопряженного отображения вещественного
евклидова пространства в себя, а также для вещественных симмет-
симметричных матриц.
7. Экстремальное свойство собственных значений. Пусть А —
самосопряженное отображение вещественного пространства (R) в себя.
Поставим каждому вектору X в соответствие значение (кх, X), полу-
получим числовую функцию, заданную на (/?). Рассмотрим значения этой
функции на единичной сфере этого пространства, т.е. на (л—1)-мер-
ном многообразии (S) векторов, удовлетворяющих соотношению
|х|=. Тогда собственные векторы отображения А — это векторы,
в которых функция {кх, X) принимает стационарные значения на (S),
а сами эти значения равны соответствующим собственным значениям.

172 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕВРА
В частности, наибольшее и наименьшее собственные значения равны
соответственно наибольшему и наименьшему значениям функции
(Ах, X) на (S), тогда как на собственных векторах, которым отве-
отвечают промежуточные собственные значения, эта функция имеет ми-
нимакс.
Для доказательства введем в (/?) евклидов базис из собственных
векторов 1г, /2, ..., /„ отображения А, тогда каждый вектор x?(R)
можно разложить по этому базису: X = хх1х -(- хг1% -f-... -f xata. Рас-
Рассматриваемая функция запишется в виде
(A*, x) = k1xl + kixl + ...+knx*n==f(xi, *„.._.., *„),
где Kv К2, ..., Кп—собственные значения отображения А, а урав-
уравнение сферы (S) примет вид
Таким образом, мы пришли к обычной задаче иа условный экстремум
(ЛВМ, п. ХИЛО). Для отыскания условных стационарных значений
пользуемся методом Лагранжа:
^L(f-M)^2Xkxk-2lixk = 0 (*=1, 2, .... я), F)
где буквой ц обозначен множитель Лагранжа. Так как все хк не могут
равняться нулю, то из F) получаем, что какая-нибудь из разностей
Хь — \л равна нулю, например, при k = j. Но тогда из F) видим, что
все координаты xk, для которых kk=?kj, должны равняться нулю;
а этим условием и определяются собственные векторы, которым
отвечает собственное значение Ау (почему?).
Утверждение о максимальном (и аналогично о минимальном)
собственном значении сразу получается, если считать все Лл зану-
занумерованными в порядке Я.Х^Я.2^.. ,^Я„ и представить
(А*, Х) = К1 (*? + *?+ . • • +*»—
(продумайте это!). Отметим, что если собственное значение %t
является «/-кратным, где </^2, то максимум функции (Ах, X) в /,
является нестрогим, так как она принимает постоянное значение Ях
на всем (й—1)-мерном пересечении (S) с подпространством, натя-
натянутым на векторы /х, /2, ..., 1Л.
На рис. 63 показана возможная картина линий уровня функции
(Ajr, x) на единичной сфере в трехмерном пространстве с отмечен-
отмеченными направлениями убывания функции. При этом рнс. 63, а иллю-
иллюстрирует случай Я,1>Я.2>Я.,, а рис. 63, б—случай А,1 = Я.а>Я,8
(продумайте эти рисунки!).
Доказанные свойства справедливы и для самосопряженного отображения
комплексного евклидова пространства (R) в себя. Прн этом полезно иметь
в виду следующее свойство: отображение А такого пространства (R) в себя

§ 1. СОПРЯЖЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
173
является самосопряженным тогда и только тогда, когда функция (Ад-, х) при-
принимает в (R) только вещественные значения. В самом деле, для самосопря-
самосопряженного А имеем (Аде, *)• = (*, Адс)=(Алс, х), т.е. (Аде, *) вещественно; при
этом в базисе из собственных векторов будет (Ах, х) = Х1\х1 |2+А.2|дс2|2-|-..-
...+%п\хП\\ \x\t=\x1\*+\xt\t+...+\xn\* (проверьте!), откуда и выте-
вытекают упомянутые свойства. Обратно, легко проверить, что любое отображение
А можно представить в виде Ax + tA,, где А1=—-^—, А2=—^. само
сопряженные отображения; поэтому если значения (Ах, x) = (&iX, х) + ((А2ж, *)
вещественны, то (А2ле, *)=^0, откуда А2лезз0 (почему?), т.е. А=АЬ А=А*.
а)
Рнс. 63.
Иногда взамен функции (Ал:, X) (X 6 (•?)) рассматривают функцию
cp(jr) = l—'—f на всем пространстве (R) (кроме вектора х=0, в кото-
\Х, X) ¦ '
ром функция ф имеет разрыв). Так как функция ср постоянна иа
каждой прямой, проходящей через начало координат, то доказанные
выше стационарные и экстремальные свойства собственных значений
можно сформулировать и в терминах функции qp.
Эти экстремальные свойства применяются для оценок и прибли-
приближенного вычисления наибольшего и наименьшего собственных зна-
значений и приближенного вычисления соответствующих собственных
векторов для заданного самосопряженного отображения или для
заданной симметрической матрицы с помощью численного решения
задачи на экстремум функции нескольких переменных. Этот метод
предложил выдающийся английский физик Дж. Рэлей A842—1919).
Для вычисления второго по величине собственного значения К2
и соответствующего собственного вектора /, можно воспользоваться
тем, что, как видно из предыдущего, Х2 равно максимуму функции
ф (х) на подпространстве векторов, удовлетворяющих условию
(д;, /1)'= 0. Для вычисления Я,8 надо воспользоваться двумя условиями
(X,Л) = 0> (Х,.1,) = 0"н т.д.

174 ГЛ. IV.'ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
При вычнслевнн н особенно нсследовавнн собствевных зваченнй иногда
пользуются также следующей теоремой Р. Куранта, которая дает выражение
для каждого собствевного значевня, не связавное с построевнем предшест-
предшествующих ему собственвых векторов:
л*= min f max (Ад:, х)~\ (*=! л). G)
Г max (А*, *)"| (*=1 л).
1х, а,) = ...=<*, <п_,)=0
L 1*1=1 J
Здесь максимум при выбравных векторах аъ ..., «д_! берется по совокуп-
востн ортогональвых им всем векторов еднвнчвой длины, а затем берется
наимевьшее значение этого максимума, зависящего от выбора совокупвостн
векторов at a*-i. для всевозможных таких совокупвостей.
В самом деле, прн заданвых аь ..., a^~i среди векторов вида -х =
=ei'i+-••+«*'* обязательво найдется по крайней мере одвн, удовлетво-
удовлетворяющий условиям (л:, ai)=.. .=(jc, o*-i)=0, |л:| = 1 (почему?); во для вего
(Ajc, *)=X1a»+...4-^fta|^A.ft; значит, и вся правая часть G) ве меньше Х^.
Но еслв выбрать ax=/i e*-i = '*-i> TO выражение в квадратвых скоб-
скобках G) равво Хк (проверьте!), а потому н вся п'равая часть G) равва Хд.
§ 2. Квадратичные формы
1. Введение. Формой от нескольких переменных в алгебре назы-
называют однородный многочлен от этих переменных; в соответствии со
степенью этого многочлена форма может быть линейной, квадратич-
квадратичной, третьей степени и т. д. Здесь мы будем рассматривать квадра-
квадратичные формы с вещестненными коэффициентами от нещественных
переменных. Как известно из вводного курса линейной алгебры,
квадратичную форму F от переменных х1г х2, ..., х„ можно запи-
записать в виде F=x*Ax, где х—столбец из этих переменных, а А—
симметрнческан матрица задавной формы. При линейной замене пере-
переменных по формуле х = Нх' форма преобразуется по формуле
/=-=х'*А'х', где А' = Н*АН (ЛВМ, п. XI.11).
Из результатов п. 1.6 вытекает, что всегда можно подобрать
такую ортогональную матрицу Н, что матрица А' будет диагональ-
диагональной, т. е. в новых переменных квадратичная форма будет иметь вид
F=
где Kv К2, ..., %п—собственные значения всходной матрицы А.
Такая квадратичнан форма, без попарных произведений переменных,
также называется диагональной.
Если все собственные значения матрицы А положительны, форма
F называется положительно определенной, если все Xk < О,— отри-
отрицательно определенной; те н другие формы называются дёфинйт-'
ными; для них характерно то, что они равны нулю только при
х1 = хг= ... =хп = 0 {почему?). Если имеются кк = 0, форма F
называется вырожденной; для этого необходимо и достаточно, чтобы
detA = O. Из A) видно, что вырожденная форма после соответст-
соответствующей линейной замены становится функцией менее чем п пере-
переменных.

§ 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 175
Описанное приведение квадратичной формы к диагональному
виду A) имеет простой геометрический смысл. Уравнение F(xt, х2, . ..
..., хп) = 1 определяет в вещественном числовом пространстве- Ен
многообразие {Щ размерности л—1, которое естественно называть
поверхностью второго порядка; при этом, так как F{—хг, —х2, . ..
..., —xn)=E=F(xx, x2, ..., хп), то (М) имеет центр симметрии
в начале координат О. Замена переменных по формуле х = Нх'
с ортогональной матрицей Н означает поворот осе.й координат вокруг
О (ЛВМ, п. XI.9); значит, производится такой поворот осей, после
которого уравнение поверхности (М) примет вид
X1x? + Xlx'* + ...+Xnx? = h B)
называемый каноническим (вспомните канонические уравнения линий
и поверхностей второго порядка). Из уравнения B) видно, что
оси х[, х'г, ..., х'п служат осями симметрии поверхности (S), они
называются ее главными осями; поэтому и описанное преобразо-
преобразование квадратичной формы называется приведением ее к главным
осям.
Если форма F была невырожденной, то может получиться л-f-l
тип поверхностей, в зависимости от числа положительных и отри-
отрицательных из чисел Xk. В частности, если все Xk > 0, получается
эллипсоид с полуосями ¦ г—' (почему?), если все Кк < 0, получается
мнимая поверхность; в остальных случаях получаются гиперболоиды
различных типов. (Что будет, если форма F вырожденная?)
В заключение скажем об эрмитовых квадратичных формах вида
F= z*Az с эрмитовой (п. 1.3) матрицей А и комплексным столбцом г.
Так как F* = F (почему?), то такая форма принимает только веще-
вещественные значения. После соответствующего унитарного преобразо-
преобразования z = Hz' (п. 1.6) получаем
2. Закон инерции квадратичных форм. Вернемся к веществен-
вещественным квадратичным формам F=x*Ax. Такую форму можно привести
к диагональному виду многими различными способами, не требуя
ортогональности приводящей матрицы Н (см., например, п. 3). При
этом коэффициенты при квадратах неизвестных в диагональном виде
отнюдь не являются инвариантами. Однако количества положитель-
положительных, нулевых и отрицательных этих коэффициентов не зависят от
способа приведения квадратичной формы к диагональному виду; этот
факт называется эаконом инерции квадратичных форм. Набор этих
количеств называется сигнатурой заданной формы, только сигнатура
и является инвариантом формы при ее произвольных преобразованиях.
Для доказательства закона инерции допустим, что форма F при-
приведена к диагональному виду двумя способами: х = Н'х' и х = Н"х",

176 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Приравнивая результаты, получим
К*?+№? + ...+№**К*?+ №?+ •••+*>&• C)
Мы докажем только, что количества положительных коэффициентов
слева и справа одинаковы; тогда, поменяв знаки, получим как след-
следствие, что и количества отрицательных коэффициентов одинаковы,
а из этих двух фактов вытекает, что и количества нулевых коэф-
коэффициентов одинаковы.
Допустим, что в левой части формулы C) положительны коэф-
коэффициенты Х[, Х'г, ..,, Х'к, а в правой—коэффициенты X"lt XI, ...,. А,*»,
причем, для определенности, k" > k'. Приравняем
xi = 0, xt = 0, ..., х'ь> = 0, х"ь»+1 = 0, д:^«+2 = 0, ..., х"п — 0.
Если сюда подставить выражения всех х) и х) через хъ хг, ..., ха,
то мы получим относительно последних систему линейных однород-
однородных уравнений, причем уравнений будет k'-\-(n—k") < n, а неиз-
неизвестных п. Такая система обязательно имеет по крайней мере одно
ненулевое решение (почему?). Найдя соответствующие значения всех
х) и x"j и подставив их в C), получим, что левая часть ^0, а пра-
правая > 0 (продумайте это!). Полученное противоречие и доказывает
Закон инерции.
3. Метод Якббн и теорема Сильвестра. Здесь мы опишем пред-
предложенный К. Якбби метод приведения вещественной квадратичной
формы /?==х*Ах к диагональному виду, ие требующий решения
алгебраических уравнений. При этом предполагается, что главные
миноры матрицы А, т. е. мииоры, примыкающие к ее левому верхнему
углу,
"а ан ••• ат
¦a-* Une • • • «п„
все отличны от нуля.
Предлагаемое преобразование имеет треугольный вид
'г + «18*8 + • • • + ащХ'п,
и должно привести к тождеству
2 auxixJ^p1x'11+p2x'i1+...+р^. E)
Неизвестные коэффициенты ctJy- и р,- можно иайти по этапам. Положим

§ 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 177
сначала в формулах D) и E) х'2 = х'л= ...—х*„ = 0, получим
откуда р1 = а11 = А1. Положим затем в D) и E) х'3¦= х\ = ...
... — х'п = 0, получим
= x~haX Х Х
Подставив первые две формулы.в третью и приравняв коэффициент
при x[x't нулю, получим уравнение для нахождения а1г
откуда можно получить а12, так как по условию а1х ф 0. Применяя
к соотношениям F) формулу А' = Н*АН и заметив, что в данном
случае detH = detH*= 1, получим после перехода к определителям
li
= Д2, откуда р2 = -4.
Полагая далее х\ = х'ъ = ... = х'„ = 0 и приравнивая коэффициенты
при х[х'3 и х'2х'3 нулю, получим систему из двух уравнений первой
степени для нахождения а13 и с^з, так как а1а уже найдено. Можно
показать, что определитель этой системы равен Д2, и так как по
условию Д2 Ф 0, то возможно найти а18, а23. Из формулы преобра-
преобразования "матрицы квадратичной формы получаем, что
/У>Л = Д3, откуда Р* = -ц-
Продолжая далее таким же образом, мы получим требуемое преоб-
преобразование, приводящее исходную форму к диагональному виду
Следствие. Если все Дйф0, то форма х*Ах имеет сигна-
сигнатуру (п — s, 0, s), где s — число перемен знака в последовательности
1, Лх> Д2, ..., А„. В самом деле, это число как раз равно числу
отрицательных коэффициентов в формуле G). А так как нулевые
коэффициенты по условию отсутствуют, то остальные п — s коэф-
коэффициентов положительные.
Теорема Сильвестра (Д. Сильвестр, 1814—1897, англий-
английский математик). Для положительной определенности формы х*Ах
необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А
были положительны. В самом деле, если все &кф0, то утвержде-
утверждение вытекает из предыдущего абзаца. Пусть теперь некоторый ми-
иор ДА = 0; это значит, что сумма 2 aijXtXj как квадратичная

178 ГЛ: IV. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
форма от д:1> xt, ..., xk является вырожденной, а потому навер-
наверняка можно подобрать ненулевую (нетривиальную) комбннацию значе-
значений x1 = b1, xt = bt, ..., xk = bk, обращающую эту форму в нуль.
Но тогда исходная форма прн ненулевой комбинации значений
xl = b1, ..., xk = bk, хк+1 = 0, ..., хп = 0 обращается в нуль
и потому не может быть дефинитной. Теорема доказана. Отметим,
что она оказывается справедливой и для эрмитовых квадратичных
форм (п. 1).
4. Одиовремеииое приведение двух квадратичиых форм к диа-
диагональному виду. Пусть заданы две вещественные квадратичные
формы /г=х*Ах и G=x*Bx, из которых первая положительно опре-
определенная. Тогда существует единое вещественное преобразование
х = Нх', приводящее первую форму к сумме квадратов, а вторую—
к диагональному виду.
В самом деле, осуществим сначала преобразование х —Ку, при-
приводящее форму F к диагональному виду ргу\ +р*у| + • • • +РпУп-
Тогда все рк > 0, и потому можно осуществить преобразование
р/У)-у): т- е- л=у^Уь л=у%у* •••'•Уя=Yt; у'ю Ko"
ротко y = Ly', приводящее F к виду
В реаультате обоих этих преобразований из G получается форма
O=y'*L*K*BKLy' = y'*B'y', где B'=-L*K*BKL (B'* = B'). Осущест-
Осуществим теперь приведение формы у'*В'уг к диагональному виду с по-
помощью ортогонального преобразования у' = Н'х'. Получим
окончательно
x = KLH'x' = Hx', где H = KLH';
форма О станет диагональной по выбору Н', а форма F перейдет
в х'*х' = дг'х2 -f- х'гг ¦+¦... + *в* (почему?). Утверждение доказано.
Нетрудно установить, какие получатся коэффициенты у формы О.
В самом деле, нз равенств Н*АН = 1, H*BH = diag (gv g2, ..., gn)
вытекает, что
(почему?). Значит, диагональные коэффициенты gj—это корни урав-
уравнения det(^A—В) = 0 или, так как *.А — В = — A(A-1B— Kl), это
собственные значения матрицы А-1В. Заодно мы видим, что при
сделанных предположениях матрица A-1B, хотя, вообще говоря, не
симметрическая, должна иметь все собственные значения вещест-
вещественные.
Это утверждение имеет важное применение в теории колебаний.
Пусть некоторая автономная (т. е. не меняющая своих параметров
со временем) система с конечным числом степеней свободы и обоб-
обобщенными координатами qlt qt, ..., qn обладает потенциальной энер-

§ 3. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 179
гией U=U{q1,q2, ...,qn) и находится вблизи состояния равновесия
qx = 0, q\ = 0, ..., qn = 0. Тогда можно показать, что, с точностью
до малых выше второго порядка, кинетическая и потенциальная
энергии системы имеют вид квадратичных форм
причем первая форма будет положительно определенной. Если со-
совершить линейную замену обобщенных координат по формуле
q = Hq', то q = Hq\ т. е. форма Т преобразуется так же, как если
бы точек над координатами не было. Пользуясь доказанным утверж-
утверждением, мы получаем, что можно перейти к обобщенным координа-
координатам q[, <7s> • • •. q'm B которых кинетическая и потенциальная энер-
энергии имеют вид
1
(9)
Эти координаты называются нормальными координатами системы.
Из выражения (9) можно вывести, что если все |ift > 0 (т. е. форма U
в (8) была положительно определенной), то рассматриваемое поло-
положение равновесия устойчивое, если же имеется \ik < 0, то это по-
положение неустойчивое.
§ 3. Структура линейного отображения
Рассмотрим линейное отображение А комплексного линейного
л-мерного пространства (/?) в себя. В элементах линейной алгебры
(ЛВМ, пп. XI.4,8) доказывается, что если это отображение имеет л
различных собственных значений, то каждому из этих значений Kh
отвечает один линейно независимый собственный вектор lk. В базисе
из собственных векторов матрица отображения имеет диагональный
вид diag^j, л-,, ..., Я„), т. е. координаты векторов преобразуются
по формулам
Ух = ^1#ц У г — ^a*2> • • • 1 У а—
где штрихом обозначены координаты в указанном базисе. Таким об-
образом, отображение А сводится к комбинации растяжения в Xt раз
в направлении lv растяжения в Х2 раз в направлении /2 и т.д.
Однако если характеристическое уравнение для собственных
значений имеет кратные корни, то отображение А имеет, вообще
говоря, более сложную структуру. Цель этого параграфа состоит
в описании этой структуры.
1. Отображение с единственным собственным вектором. За-
Заметим прежде всего, что отображение А имеет в силу основной
теоремы алгебры по крайней мере одно собственное значение, которому

180 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
отвечает d-мерное (d^l) подпространство собственных векто-
векторов. В этом пункте мы будем считать, что собственное значение
только одно и </=1, т. е. собственный вектор определен с точ-
точностью до скалярного множителя однозначно. Будем считать сна-
сначала, что к = 0, т. е. собственные векторы определяются равен-
равенством Ajr = 0.
Нам понадобится следующая простая лемма: если отображе-
отображение А имеет только нулевое собственное значение и для некоторых
x?{R) и k = 0, 1, 2, ... элементы х, кх, А2*, ..., АкХ линейно
зависимы, то ккХ — 0.
Доказательство. Пусть х Ф О, и пусть, присоединяя к х последо-
последовательно векторы Аде, Аалг мы обнаружим, что векторы х, Ах,' А2ж, ...
..., к1~хх еще линейно независимы, а векторы х, Ах, А*х А1~1х, А1х
уже линейно зависимы (/<?). Тогда А1х линейно выражается через преды-
предыдущие векторы (почему?), т. е. выполняется соотношение вида
Atx+a1At-*x+... +at.1Ax+alx=0, A)
где alt .... в/_1, at— некоторые скаляры. Как известно из алгебры, мно-
многочлен
можно разложить на линейные множители
Р(г)=B-г1)(г-2а)...B-г/) B)
(см. ЛВМ, п. VIII.8). Поэтому в силу A) получим
(A-21I)(A-22I)...(A-2/I)jc=0, C)
где I—тождественное отображение. Обозначим (А—гг1).. .(А—гг1) х через у,
тогда у ф-0 (почему?). Из C) получим
(А—г11)у=О, т. е. Aj»=2j>.
Значит, гх—собственное значение, т. е., по предположению 2i=0. Но так как
в разложении B) сомножители можно переставлять, то и г2—... =г(=0,
т. е. Я(г) = г', откуда а,= ... =za[^1=a[=Q, и из A) получаем, что А1х=0,
но тогда и А*ж=А*-'АОс=0. Лемма доказана.
Будем теперь для простоты считать, что л = 3, т. е. что ос-
основное пространство (R), в котором действует отображение А,
трехмерно. По предположению, подпространство {St) собственных
векторов одномерно. Выберем такой вектор xo€Ej) (? — знак
непринадлежности); могут представиться два случая.
1. Пусть кгХоф0. Обозначим тогда 11 = Х9,1г = кхЛ, 1ъ — к^ха.
В силу доказанной леммы эти векторы линейно независимы и по-
потому образуют базис в (/?). Так как At1 = li, AB=(8. А(8 = 0
(последнее вытекает из той же леммы, так как А/, = А3лгв), то мат-
матрица отображения в выбранном базисе имеет вид

§ 3. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 181
Вектор /8 собственный, т. е. натянутое на него подпространство
совпадает с (S^. Легко проверить (проделайте это!), что двумер-
двумерное подпространство (?2), натянутое на векторы /а н /8, опреде-
определяется соотношением А2х = 0.
2. Пусть А2х0 = 0. Обозначим через у0 Ф 0 какой-либо собствен-
собственный вектор и выберем любой вектор хг € (/?) вне двумерного под-
подпространства, натянутого на х0 и у0. Тогда АгхгФО, так как
в противном случае можно написать (проверьте!):.
А (А*о) = 0, Ах0 = оув (а Ф 0); А (А хх) = О,
А фх0—ах1) = $ау0 - сфу0 = О, $Х0 - ахг = уу0, jr, - ? х0 - ?
и мы-пришли бы к противоречию. Итак, если обозначить lt = xu
1г = Ах1г /3 = A2jt1, то мы возвращаемся к случаю 1.
Мы предполагали, что собственное значение X равно нулю.
Чтобы рассмотреть общий случай, достаточно воспользоваться про-
простым свойством: х является собственным вектором отображения А,
отвечающим собственному, значению X, в том и только том слу-
случае, если он является собственным вектором отображения А—eel,
отвечающим собственному значению X—а. В самом деле, равенства
Ах = Хх и (А—al)x — (X—<х)х равносильны.
Поэтому если отображение А имеет собственное значение X, то
отображение At = A —M имеет нулевое собственное значение, и мы
приходим к исследованному случаю. Выберем для отображения Ах
векторы /j, lt, 1Я, как описано выше. Тогда в терминах отображе-
отображения А получим (А — %1I1 = 1г и т. д., т. е.
Af; «Mj + Z,. AJ2 = M2-M3, А/8 = Х/3, D)
а потому матрица отображения А в таком базисе имеет вид
/Я. 0 0\
А'-М*.О1 E)
До 1 X)
Такая матрица называется жордановой клеткой по имени француз-
французского математика К. Жордйна A838—1922); для других л она
имеет вид:
д.
Векторы* lv /2, связанные соотношениями D) (и аналогичными соот-
соотношениями при других л) называются присоединенными к собствен-
собственному вектору /,. Подпространства (SJ, (St) и (St) = (/?), натянутые

182 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
соответственно на векторы /3; /2 и /s; llt la и 13, определяются
соотношениями (A—kl)x = O; (A — XlJx = O; (A — UKx = 0.
2. Отображение с единственным собственным значением. Будем
опять для простоты считать, что л = 3, а собственное значение
равно нулю. Случай, когда подпространство (S) собственных векторов
одномерно, был разобран в п. 1. Пусть теперь (S) двумерно; выбе-
выберем произвольно /, € (S) (h € (#)) и обозначим /2 == А1г. Тогда /2 ? (S)
(в противном случае кЧг^0и в силу леммы п. 1 векторы /„ /2
н А/2 можно принять за базис с теми же свойствами, что в п. 1,
а это противоречит двумерности (S)); выберем произвольно 13 ? (S),
h$h- Тогда векторы llt /2, 1Ъ составляют базис (/?), причем
Для произвольного собственного значения мы получаем в этом
случае аналогично п. 1
Таким образом, векторы /2 и 13 собственные, а вектор /t присоеди-
присоединен к 1а; в выбранном базисе отображение имеет матрицу
Д О 0
А' = ( 1 К О
V0 0
Получилась квазидиагональная матрица (п. 1.2), составленнаи из
жордановых клеток второго и первого порядков. Соотношения
(А — %\)х = 0 и (А — %\ух = О определяют соответственно (S) и (R).
Наконец, в случае, когда (S) трехмерно, т. е. (S) — (/?), можно
выбрать базис llt /2, /3 произвольно, и матрица будет иметь вид
Л О О
А' = @ Я. О
\0 0
Получается диагональная матрица, т. е. квазидиагональная матрица
из трех жордановых клеток первого порядка. Все векторы (/?) удо-
удовлетворяют соотношению (А — К1)х = 0.
Оказывается, что аналогичный результат имеет место при любой
размерности р пространства (/?), если отображение А имеет един-
единственное собственное значение к. Именно, после соответствующего
выбора базиса lv /2, ..., 1р матрица А' этого отображения при-
приобретает квазидиагональный вид, составленный нз жордановых клеток
некоторых порядков рг, рг, ..., pd, где рх +рг +•••+/><*=/>> причем
в каждой клетке на диагонали стоит К. Таким образом, векторы
/х, 12, ...,/„_, будут присоединенными к собственному вектору 1р>,
векторы lpilx, lpi+,, .... tPl+p,-t—K собственному вектору lpi+"pt
и т. д. При этом d-мерное подпространство (Sx), натянутое на век-

§ 3. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 183
торы lpi, lPi+p,, ..., lpt+Pt+...+pd — lp,—это как раз подпро-
подпространство собственных векторов, т. е. решений уравнения (А—Щх=О.
Подпространство («У2), натянутое на все собственные векторы и на
присоединенные векторы, непосредственно предшествующие собствен-
собственным,— это подпространство решений уравнения (А — АЛJ х — Ои т. д.
Обозначим через dk размерность подпространства (Sk) (d1 = d).
Прн переходе от (St) к (S2) размерность увеличилась на d2—йг.
Но она должна увеличиться на количество добавленных присоеди-
присоединенных векторов, т. е. на количество жордановьГх клеток, порядок
которых больше единицы (почему?). Значит, количество клеток, по-
порядок которых равен единице, равно йх — (di — d1) = 2d1 — d2. Анало-
Аналогично получаем, что количество клеток, порядок которых равен двум,
равно (d2—dt) — (d3—di) — 2di — dt—dg и т. д. (Проверьте, что
сумма полученных выражений равна числу dt всех клеток.)
3. Общий случай. Пусть задано произвольное линейное отобра-
отображение А линейного комплексного л-мерного пространства (/?) в .себя.
Вектор x?(R) называется корневым вектором этого отображения,
отвечающим значению X, если (А — %\)hx = 0 для некоторого А = 1,
2, 3, ... Легко проверить следующие свойства.
1. Совокупность (/?') всех корневых векторов, отвечающих задан-
заданному значению X, образует инвариантное подпространство (/?). В самом
деле, если хг и лс2—два таких вектора, т. е. (А — Х1)*>х1 = 0,
(А — M)*J лс2 = 0, а х = ах1 + рлс2 и, для определенности,
№к 0
M)J лс2 = 0, а х = ах1 + рлс2 , x^v
то (А — №)кхх — 0 (почему?), т. е. и х такой вектор. Значит, (/?')
есть подпространство (/?). Его инвариантность вытекает из равенства
(A — M)*(Ajt) = A[(A—M)*jc] (продумайте это!).
2. (/?') имеет ненулевую размерность тогда и только тогда, когда
X есть собственное значение отображения А. В самом деле, если
К—собственное значение, то (/?'), во всяком случае, содержит соот-
соответствующее подпространство собственных векторов (для них
(А — М)х = О). Обратно, пусть (/?') имеет ненулевую размерность,
т. е. для заданного Я- имеется по крайней мере один корневой век-
вектор хф-О. Пусть k — наименьший показатель, для которого
(А—АЛ)*лс = О. Обозначив (А—XI)* х — у, получим, что уфО,
(А—%1)у==0, т. е. Я-—собственное значение отображения А.
В соответствии с этим свойством будем рассматривать только
корневые векторы, отвечающие собственным значениям отображения А.
Обозначим- все различные собственные значения через Ки
Я-2, ..., "Кт, а соответствующие подпространства корневых векто-
ров-через (/?J, (/?,), ..., (/?„).
3. (R) разлагается в прямую сумму подпространств корневых
векторов (RJ, (R2), ..., (Rm).
Доказательство этого громоздко и будет проведено по этапам.
Докажем сначала теорему Гамильтона — Кэли: пусть Р(Я-) =
— det (А — XI) — характеристический многочлен какой-либо матрицы А;
тогда Р (А) = 0. Другими словами, каждая квадратная матрица

184 ' ГЛ. IV. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Для доказатель-
доказательства обозначим через Q (X) транспонированную матрицу из алгебраи-
алгебраических дополнении к А—XI; обе они—полиномиальные матрицы,
т. е. их элементами служат многочлены от X. Тогда
(A-XI)Q(X) = P(X)I F)
(почему?). С другой стороны, легко проверить, что любой многочлен
вида Р(и)—P(v) делится нацело на и—v, т. е. Р (и)—Р(г>) =
^э(а—1>)Ф (и, v), где Ф—некоторый многочлен от двух переменных.
Отсюда и из F) получаем (продумайте эти вычисления с матрицами!)
Р (А) - Р (Я.1) + (А—ЯЛ) Ф (А, XI) =
.-Р(ХI + (А—XI) Ф (А, XI) = (A—XI)[Q(X)+<p(A, XI)] =
= А[О(Х) + Ф(А, XI)]—Х[О(Х) + Ф(А, XI)].
Но последняя квадратная скобка должна тождественно (по X) рав-
равняться нулю, так как в противном случае ее элемент, содержащий
X в наивысшей степени, остался бы с X и во всей правой части
(почему?), а в левую часть X не входит. Эти и доказывает теорему
Гамильтона—Кэли.
При доказательстве свойства 3 для простоты будем считать, что отобра-
отображение А имеет лишь, два различных собствениых зиачения А^, Я^, и обозначим
через Р(М характеристический многочлен этого отображения (т. е. матрицы А
в любом оазисе, так как известно, что этот многочлен не зависит от выбора
базиса). Тогда Р (X.) == (X.j—X.)»i (X.g—Х.)п>. Будем временно под (/?/) понимать
подпространство векторов, для которых (А—\jl)ni х=О.
Разложив для дальнейшего рациональную функцию 1/Р (к) на простейшие
рациональные дрсбя 1-го типа (ЛВМ, п. VIII.10), а затем умножив обе части
разложения иа Р (X), мы придем к тождеству вида
1 a Dt (X) (JL-aJ-. + D, (X) (Х-X,)».,
где Dj(%)—некоторые многочлены; отсюда
I^D1(A)(A-X1I)«. + Di(A)(A-XiI)«.. G)
В силу G) для любого вектора х можно написать
х=D2 (А) (А—X-jjI)". х + Dt (A) (A— ^I)"! x. (8)
Однако из теоремы Гамильтона—Кэли следует, что первое слагаемое в правой
части принадлежит {Rj), а второе—{R2) (почему?). Значит, разложение по
этим подпространствам возможно. Чтобы доказать его единственность, допус-
допустим, что
Применяя к обеим частям отображение Dx (А) (А—Xjl)"! и пользуясь тожде-
тождеством G) и определением пространств (Rj), получим
O=D1 (А) (А-М)л. хг=х2-О2 (А) (А-Х,1)»» *,=*!;
аналогично х^=0. Итак, разложение (R) в прямую сумму (Rt) и (R2) доказано.
Осталось проверить, что временное определение (Rj) равносильно исход-
исходному, т. е. если (А—Х.11)*ж=0 при каком-нибудь к, то и (А—X^I)"! x=O.

§ 3. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 185
Но, применив достаточное число раз левую часть G) к левоф части (8), а пра-
правую—к правой и пользуясь теоремой Гамильтона—Кэли, получим в таком
случае x=[Ds(A)]r(A—Л21)а*г х, откуда и следует наше утверждение. Итак,
свойство 3 полностью доказано.
В силу свойств 1—3 и п. 2 вопрос о строении отображения А
в (R) сводится к аналогичному вопросу для каждого из подпро-
подпространств {Rj). А этот последний решается на основе свойства
4. Отображение А имеет в подпространстве (RJ) единственное
собственное значение Ау. В самом деле, нустн x?{Rj), хфО,
Ax = AJC. По определению {Rj) будет (А — Ayl)*jc=0. Если в левой
части раскрыть скобки и воспользоваться тем, что Ajc=ajc, A*JC =
= A (Ajc) = А (кх) = ААж, A3jc = a3jc и т. д., то получим (проверьте!)
(А—к/)кХ—О, откуда А = Ау.
Теперь из результатов пп. 1.2 и 2 вытекает, что после выбора
в каждом из подпространств (Rj) соответствующего базиса из соб-
собственных и присоединенных векторов матрица отображения А примет,
квазидиагональный вид, составленный из жордановых клеток. Матрица
такой формы называется нормальной или жордановой. При этом у
каждой клетки иа главной диагонали стоит одно из собственных
значений отображения А, а каждому собственному значению отвечает
столько клеток, сколько ему отвечает линейно независимых собст-
собственных векторов. Порядки (размеры) клеток определяются, как опи-
описано в конце п. 2, т. е. по размерностям подпространств векторов,
удовлетворяющих при данном у соотношениям (А—"kj\)x = O,
(А—%jl)ax = O и т. д. Порядок, в котором жордаиовы клетки сле-
следуют друг за другом, несуществен, так как, если изменить порядок
нумерации инвариантных подпространств, то и «маленькие» матрицы,
из которых составлена квазндиагоиальная матрица, соответственно
переставляются.
Полученный результат можно сформулировать на чисто матричном
языке. Рассмотрим любую комплексную квадратную матрицу А по-
порядка я. Ее дтожно истолковать как матрицу некоторого отображе-
отображения А комплексного л-мерного линейного пространства с как-то
выбранным базисом. При переходе к новому базису матрица отобра-
отображения преобразуется по формуле А' = Н~1АН (ЛВМ, п. XI.7), где
Н г—невырожденная матрица перехода. Таким образом,