Text
                    Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧ
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
для
НАЧИНАЮЩИХ
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
К ФИЗИКЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1963


517 3 50 ПРИ РЕДАКЦИОННОМ УЧАСТИИ К. А. СЕМЕНДЯЕВА АННОТАЦИЯ Книга «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике», написанная физиком-тео- ретиком академиком Я. Б. Зельдовичем, рассчита- на на школьников старших классов, учащихся тех- никумов и лиц, занимающихся самообразованием, она может быть полезна и студентам 1-го курса вузов и втузов. В книге в наиболее простой, наглядной и до- ступной форме объясняются основные понятия диф- ференциального и интегрального исчисления. Да- лее даются сведения, необходимые для практиче- ского применения высшей математики к задачам физики и техники. На основе высшей математики рассмотрено большое число физических вопросов: радиоактивный распад, ядерная цепная реакция, законы механики, в частности, реактивное движе- ние и космическая скорость, молекулярное движе- ние. Рассмотрены электрические явления и, в част- ности, теория колебаний, лежащая в основе радио- техники. Наряду с математическим исследованием очень подробно изложена физическая сущность рассматриваемых явлений. Зельдович Яков Борисович. Высшая математика для начинающих и ее приложении к физике. М.. Физматгнз. 1963 г., 560.стр. с илл. Редактор С. Б. Норкин. Техн. редактор А. П. Колесникова. Корректор В. В. Кузнецова. Сдано в набор 5/IX 1962 г. Подписано к печати 13/XII 1962 г. Бумага 84X108/32. Фнз. печ. л. 17,5. Условн. печ. л. 28,7. Уч-изд. л. 28.42. Тираж 150 000 экз. T-I506I. Цена книги 95 коп. Заказ № 3344. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, B-7I, Ленинский проспект. 15. ' Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Московского совнархоза. Москва, Ж-54, Балован, 28.
СОДЕ РЖАНИЕ Предисловие 7 Часть I. Функции и графики 11 § 1. Функциональная зависимость 11 § 2. Координаты 14 § 3. Геометрические величины, выраженные через коорди- наты 17 § 4. Графическое изображение функций. Уравнение прямой 22 § 5. Парабола 27 § 6. Кубическая парабола, гипербола, круг 35 § 7. Изменение масштабов кривой 38 § 8. Параметрическое задание кривой 46 Заключение 48 Ответы и решения 49 Часть II. Понятие производной и интеграла 50 § 1. Движение, путь и скорость 50 § 2. Производная функции—предел отношения приращений 57 § 3. Обозначения производной. Производная степенной функции 60 § 4. Приближенное вычисление функции с помощью произ- водной 66 § 5. Касательная к кривой 69 § 6. Рост и убывание, максимум и минимум функций ... 77 § 7. Определение пути по скорости движения и площадь под кривой 82 § 8. Определенный интеграл 89 § 9. Связь между интегралом и производной 96 § 10. Интеграл от производной 98 § 11. Неопределенный интеграл 100 § 12. Свойства интегралов 108 § 13. Средние значения 113 § 14. Различные примеры производных и интегралов . . .118 Заключение 126 Ответы и решения 126 Часть III. Вычисление производных и интегралов 130 § 1. Знак дифференциала. Производная суммы функций . 130 § 2. Производная обратной функции 132 *
4 СОДЕРЖАНИЕ § 3. Сложная функция 134 § 4. Производная произведения функций 137 § 5. Степенная функция 140 § 6. Производные алгебраических функций с постоянными показателями 144 § 7. Показательная функция 143 § 8. Число е 148 § 9. Логарифмы ... 152 § 10. Тригонометрические функции 155 § 11. Обратные тригонометрические функции 160 § 12. Производная функции, заданной неявно 163 § 13. Интеграл. Постановка задачи 166 § 14. Простейшие интегралы 168 § 15. Общие свойства интегралов 169 § 16. Замена переменной в определенном интеграле . . .176 § 17. Ряды 182 § 18. Вычисление значений функций при помощи рядов . 190 § 19. Условие применимости рядов. Геометрическая про- грессия 195 § 20. Бином Ньютона для целых и дробных показателей . . ?03 § 21. Порядок возрастания и убывания функций 206 Ответы и решения 212 Приложение к части III 218 Часть IV. Приложения дифференциального и интегрального исчисления к исследованию функций и геометрии .... 225 § 1. Касательная, нормаль и ряд Тейлора 225 § 2. Кривизна и касающийся круг ; 228 § 3. Исследование максимумов и минимумов функций при помощи второй производной 237 § 4. Исследование графика многочлена третьей степени . 247 § 5. Другие виды максимумов и минимумов. Изломы и разрывы 250 § 6. Эллипс 259 § 7. Вычисление площадей 262 § 8. Средние значения 267 § 9. Длина дуги кривой и кривизна 270 § Ю. Приближенное вычисление длины дуги 273 § 11. Вычисление объемов. Объем и поверхность тела вра- щения ' 279 Отвгты и решения 283 Часть V. Вытекание воды. Радиоактивный распад и деление ядер. Поглощение света 289 § 1. Вытекание воды из сосуда. Постановка задачи . . . 289 § 2. Решение уравнения в случае, когда производная за- висит от искомой функции 293 § 3. Радиоактивный распад 296 | 4. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов 300
СОДЕРЖАНИЕ .5 § 5. Последовательный распад (радиоактивное семейство) 310 § 6. Исследование решения для радиоактивного семейства 314 § 7. Цепная реакция деления ураиа 320 § 8. Размножение нейтронов в большой массе 322 § 9. Вылет нейтронов 325 | 10. Критическая масса 327 §11. Подкритическая и надкритическая масса при непре- рывном источнике нейтронов 331 6 12. Величина критической массы 334 § 13. Поглощение света. Постановка задачи и грубая оценка 335 14. Уравнение поглощения и его решение 338 15. Соотношение между точным и грубым расчетом . . 339 16. Эффективное сечение 341 17. Ослабление потока заряженных частиц—а- и 0-лучей 343 Ответы и решения 346 Часть VI. Механика 347 1. Сила, работа, мощность 347 2. Энергия . . ' 356 3. Равновесие и устойчивость 364 4. Второй закон Ньютона 372 § 5. Импульс силы 374 § 6. Кинетическая энергия 378 § 7. Движение под действием силы, зависящей только от скорости 383 § 8. Движение под действием упругой силы 391 § 9. Колебания 398 § 10. Энергия колебаний. Затухающие колебания .... 405 § 11. Вынужденные колебания и резонанс 410 § 12. О точных и приближенных решениях физических задач 413 § 13. Реактивное движение и формула К- Э. Циолковского 421 § 14. Траектория снаряда 432 § 15. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня . 437 § 16. Колебания подвешенного стержня 446 Ответы и решения 448 Часть VII. Тепловое движение молекул и распределение плот- ности воздуха в атмосфере 458 § 1. Условие равновесия в атмосфере 458 § 2. Связь между плотностью и давлением 460 § 3. Распределение плотности 462 § 4. Молекулярно-кинетическая теория распределения плот- ности 465 § 5. Броуновское движение и распределение молекул по кинетической энергии 470 § 6. Скорости химических реакций 473 § 7. Испарение. Ток эмиссии катода 475 Ответы и решения 479
6 СОДЕРЖАНИЕ Часть VIII. Электрические цепи и колебательные явления в них 480 § 1. Основные понятия и единицы измерения 480 § 2. Разряд емкости через сопротивление 490 § 3. Колебания в цепи емкости с искровым промежутком 494 § 4. Энергия конденсатора 498 § 5. Цепь с индуктивностью 505 § 6. Размыкание цепи с индуктивностью 509 § 7. Энергия индуктивности 513 § 8. Колебательный контур 520 § 9. Затухающие колебания 525 § 10. Случай большого сопротивления 529 § 11. Переменный ток 532 § 12. Средние величины, мощность и сдвиг фазы .... 538 § 13. Колебательный контур в цепи переменного тока. Резонанс напряжений 541 § 14. Параллельное включение индуктивности и емкости. Резонанс токов 545 § 15. Ток смещения и электромагнитная теория света . . . 549 § 16. Нелинейное сопротивление и туннельный диод . . . 551 Ответы и решения 557 Приложение. Латинский алфавит. Греческий алфавит . . 560
ПРЕДИСЛОВИЕ Высшей математикой называют дифференциальное и ин- тегральное исчисление в отличие от алгебры, геометрии и тригонометрии, изучение которых заканчивается в средней школе. Основные понятия высшей математики — производная и интеграл — необходимы для описания физических явлений, для точной формулировки законов природы. Эти основные понятия уже давно стали необходимой частью знаний каждого культурного человека наряду, напри- мер, с пониманием того, что неизвестную величину можно обозначать буквой х и производить с этой буквой алгебраи- ческие действия. Понятия высшей математики необходимы везде, где мы имеем дело с изменяющимися величинами, с функциональной зависимостью одних величин от других. В настоящее время существует большое число учебников высшей математики. Естественно возникает вопрос о том, каково отличие предлагаемой книги от изданных ранее, какие новые цели ставил перед собой автор. Таким общим отличием является иное отношение к читателю. Можно представить себе читателя «упирающегося», требующего точ- ного и строгого доказательства всех положений, которые дает ему автор, выискивающего возражения и исключения. Для такого читателя предмет следует излагать в виде стро- гой и стройной цепи доказательств и теорем, заставляя этого читателя признать правильность теорем. Многие учебники построены именно таким образом. Предлагаемая книга рассчитана на совершенно другого читателя — читателя, который хочет понять, что такое выс- шая математика, и научиться ее применению, т. е. читателя, который не упирается, а сам тянется вперед. Такого чита- теля не надо «подталкивать», с ним можно идти рядом и дружески беседовать.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ Основной упор в книге сделан не на доказательства, а на пояснения при помощи примеров. Сначала на наглядных примерах выяснены смысл наиболее трудных понятий, спо- соб их применения, их полезность и значение. Уже после этого даются более строгие и точные формулировки. Для чтения книги достаточно знания основ алгебры, геометрии и тригонометрии в объеме, значительно меньшем программ средней школы. Поэтому книга вполне доступна для школьников 9—11 классов и для лиц, не имеющих законченного среднего образования. В предлагаемом втором издании книги в первой части даны краткие сведения по графикам функций и аналитиче- ской геометрии. Эта часть в значительной мере повторяет материал, содержащийся в школьных учебниках алгебры. Однако представляется, что читателю будет удобно повто- рить этот материал, не обращаясь к другим книгам. Вторая часть книги целиком посвящена выяснению смысла понятий производной и интеграла и способов их применения. Так же как в начале изучения алгебры учатся составлению уравнений, так и во второй части книги на не- скольких примерах показано, как при помощи понятий высшей математики формулируются соотношения между скоростью движения и пройденным путем, между уравне- нием кривой и ограниченной этой кривой площадью и т. п. Вторая часть требует минимальной подготовки, не выхо- дящей за пределы самых простых понятий алгебры и гео- метрии. Во втором издании в этой части изложение приблизилось к традиционному по сравнению с первым изданием, но по-прежнему отсутствует формальная- теория пределов. Третья часть представляет собой в основном изложение правил дифференцирования и интегрирования и примене- ние этих правил к нахождению производных и интегра- лов от различных функций. В этой части дается техника практической работы с понятиями высшей математики. Следующие части — от четвертой до восьмой включи- тельно— представляют собой простые применения высшей математики. В части четвертой рассматриваются применения к мате- матическим вопросам — нахождение максимума и минимума функций, вычисление площадей и объемов.
ПРЕДИСЛОВИЕ 9 Части пятая — восьмая посвящены применениям высшей математики к физике. Они написаны не как примеры, ил- люстрирующие определенные математические методы, а екорее как главы курса физики. Когда учащемуся известны основы высшей математики, изложение физики можно существенно изменить по сравне- нию с обычным школьным курсом. В этих частях рассмотрены вопросы механики, электри- чества, молекулярного движения, радиоактивного распада. Наряду с решением различных физических задач много внимания уделено физической сущности рассматриваемых явлений и физическим следствиям из полученных формул. Переработка в связи с выпуском второго издания в этих частях сводилась к отдельным исправлениям и дополне- ниям, перечислять которые нет необходимости. Первое издание было выпущено тиражом 75 000 экзем- пляров и быстро разошлось. Выпуск второго издания по- казывает интерес к высшей математике в широких кругах читателей, не имеющих высшего физико-математического или технического образования. Этот круг читателей нуж- дается в учебнике, упрощенном по сравнению с обычными курсами для вузов и втузов. Введение 11-летнего образования должно привести к пересмотру школьных программ и включению элементов высшей математики в курс средней школы при некотором сокращении традиционных курсов арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Предлагаемая книга (с неболь- шими сокращениями) в первых четырех частях дает пред- ставление о желательном объеме курса высшей математики в средней школе: во всяком случае следует дать оба тесно связанных понятия — производную и интеграл. Остальные четыре части показывают, как можно было бы формули- ровать физические законы и разбирать такие явления, как колебания, резонанс и др., если физика читается парал- лельно с высшей математикой. Выпуск второго издания не является доказательством правильности всех методических идей, заложенных в пер- вом издании. При обсуждении книги на секции препода- вателей втузов Московского математического общества и в частном порядке справедливо указывалось на необходи- мость более точной формулировки понятий производной и
10 ПРЕДИСЛОВИЕ интеграла. В связи с этим начало книги было существенно переработано. В создании книги большая роль принадлежит В. Л. Ма- нуйлову, подготовившему рукопись первого издания к пе- чати и составившему упражнения и задачи, а также почти всю четвертую часть, и К. А. Семендяеву, внимательно просмотревшему рукопись и сделавшему много ценных за- мечаний. Пользуюсь случаем выразить искреннюю благо- дарность всем лицам, принимавшим участие в обсуждении первого издания книги, и в особенности Н. А. Дмитриеву, Н. Н. Мейману, Р. С. Гутеру и Л. Я. Цлафу за принци- пиальные критические замечания. С благодарностью приняты и использованы при пере- работке замечания читателей Е. Ф.Давыдова, П. П. Скля- рова, А. Г. Соколова. Практическую помощь в подготовке второго издания оказал X. Г. Цванг. Академик Я- Б. Зельдович
ЧАСТЬ I ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ § 1. Функциональная зависимость В природе, в технике, в математике мы чрезвычайно часто встречаемся с функциональными зависимостями. Функциональная зависимость одной величины (у) от дру- гой (х) означает, что каждому значению х соответствует определенное значение у. Величина х при этом называется независимой перемен- ной, у—функцией этой переменной. Иногда х называют аргументом функции. Приведем несколько примеров из геометрии и физики: 1) Объем шара V является функцией его радиуса г 2) Объем V конуса с данной высотой h зависит от радиуса его основания г 3) Путь г, пройденный свободно падающим телом, за- висит от времени t, протекшего с момента, когда началось падение, г — 8* 4) С»ла тока / по закону Ома зависит от сопротивле- ния проводника R при данной разности потенциалов и i==Jk- 0.1) Можно было бы привести еще множество примеров такого рода.
12 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Гч. i Характерно, что в природе и в технике в большинстве случаев интересующая нас величина (функция) зависит от нескольких величин. Так, например, в последнем примере сила тока зависит от двух величин: от разности потенциа- лов и и от сопротивления проводника R. Объем конуса зависит от его высоты ft и от радиуса основания г. Считая заданными и постоянными все величины, кроме одной, мы изучаем зависимость функции от одной пере- менной; в данной книге мы в основном ограничиваемся функциями одной переменной. Так, например, взяв данную аккумуляторную батарею с определенной разностью потенциалов и, будем менять сопротивление проводника R и измерять силу тока /; в такой постановке опыта сила тока зависит только от сопротивления, величину и в формуле A.1) следует рас- сматривать как постоянный коэффициент. В математике функциональная зависимость чаще всего задается формулами, например, у = 3х' — х* — х, A.2) В этих формулах очевидно, что мы имеем дело с функ- циями одной переменной и формула дает способ вычисле- ния значений функции при каждом заданном значении независимой переменной. Зная формулу, дающую зависимость у от х, легко со- ставить таблицу значений у для нескольких произвольно заданных значений х. Составим, например, такую таблицу для третьей функ- ции из A.2). В верхней строке даны выбранные нами зна- чения х, в нижней строке под каждым данным х дано соответствующее значение у. У- X = Зх' — х* — X — 3 — 87 2 — 26 1 — 3 0 0 т 1 1 а б л и 2 18 ца 1 3 69
§ .1] ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 13 Понятно, что по данной формуле можно составить и более подробную таблицу, задавая, например, значения х = 0; 0,1; 0,2; ... и т. д. Таким образом, формула «сильнее» любой таблицы. Формула содержит не только те сведения, которые позволяют составить данную таблицу, но позволяет также найти значения функции при значе- ниях независимой переменной, не содержащихся в данной таблице. С другой стороны, таблица удобнее, так как с ее помощью можно быстрее найти значение у при дан- ном х — если это х есть в таблице,— поскольку вычисле- ния по формуле уже были проделаны при составлении таблицы. В природе и в технике, когда уже установлен закон интересующего нас явления, этот закон выражается фор- мулой. Однако бывает и такое положение, когда теории явления нет и физик (или химик, биолог, техник) может дать только результаты проделанных им опытов — зависи- мость исследуемой величины от величины, задаваемой при постановке опыта. Так обстоит дело, например, при иссле- довании зависимости сопротивления проводника от его температуры. В этом случае функциональная зависимость может быть задана только в виде таблицы, содержащей результаты опыта. Из опыта известно, что для данного проводника (из данного материала, данного сечения и данной длины) электрическое сопротивление зависит от температуры про- водника. При каждом значении температуры Т проводник имеет определенное сопротивление R, так что можно гово- рить о функциональной зависимости R от Т, о том, что сопротивление R есть функция температуры Т. Проводя измерения, можно найти значения R при раз- личных Т и таким образом найти зависимость R (Т); при этом результатом опытов является таблица, в которой даны значения R при различных Т, например: Таблица 2 Т (градусы Цельсия) R (омы) 0° 112,0 25° 118,4 50° 124,6 75° 130,3 100° 135,2
14 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ [Ч. 1 Если нас интересуют значения R при других темпера- турах, не входящих в таблицу, то в принципе нужны дополнительные измерения, так как точная формула, даю- щая зависимость R(T), неизвестна. Практически можно подобрать приближенную формулу, которая хорошо согла* совалась бы с опытом при тех температурах, при которых приведены измерения; возьмем, например, формулу R = 112,0 -f 0,2727* — 0,0004Т* и составим таблицу по этой формуле: Таблица 3 т R (по формуле) 0 112,0 25 118,55 50 124,6 75 130,15 100 135,2 Формула дает значения R, очень близкие к опыту, при тех температурах, при которых проделаны измерения; поэтому законно предположение, что и при промежуточ* ных температурах (например, при \0я или при 80я и 90°) формула также правильно описывает функциональную зависимость R (Т). Однако пользование формулой за пре- делами исследованного интервала (например, при —200°С или -f-500° С) может привести к ошибкам, поскольку нет оснований для того, чтобы R(T) выражалось квадратным трехчленом. Такие формулы, полученные не из теории, а подбором, называют эмпирическими (т. е. опытными, основанными на опыте). § 2. Координаты Для наглядного изображения функциональной зависи» мости с помощью рисунка (графика) пользуются коорди- натами. Проведем на плоскости две перпендикулярные прямые. Горизонтальная прямая называется «ось х» (ось икс) или, иначе, «ось абсцисс»; вертикальная прямая — «ось у» (ось игреков) или «ось ординат». Точка пересечения
2] КООРДИНАТЫ 15 У С О в Рис. 1. прямых называется «начало координат» (точка О на рис. 1). Обычно представляют себе, что плоскость, на которой проведены оси х и у, не лежит на столе, а поставлена перед читателем вертикально, как стена, против которой Вы сидите. При этом стрелка на оси х показывает слева направо, а стрелка на оси у — снизу вверх. Определенная пара значений х и у, например х = 2, t/ = 4, изображается на графике одной точкой (точка А). Положение этой точки определяется следующими усло- виями: перпендикуляр АВ, опущенный из точки А на ось х, отсекает на этой оси отрезок ОВ, равный двум единицам длины; отрезок ОВ от начала координат О до основания перпендикуляра В считается положи- тельным и соответствует положительно- му значению х, когда точка В лежит правее точки О. Перпендикуляр АС, опущенный из точки А на ось у, отсекает на оси отре- зок ОС, длина которого равна 4. На оси у положительные значения у соответству- ют основанию перпендикуляра С, ле- жащему выше начала координат О. Принято положитель- ное направление оси отмечать стрелкой и около нее ставить букву, обозначающую название оси. Представляя себе, что плоскость вертикальна, говорят «чем больше у, тем выше лежит точка», отрицательные у лежат ниже положи- тельных. Практически удобно находить точки и строить графики с помощью миллиметровой бумаги, на которой уже заранее проведена сетка перпендикуляров. Важный практический совет заключается в том, что надо приучаться сразу ставить на чертеже точку А, соответствующую заданным значениям хну. Не следует ставить на чертеже точки В и С и проводить пунктирные линии (перпендикуляры) АВ и АС: всю эту работу следует проводить в уме и не загромождать чертеж лишними ли- ниями и обозначениями. Отрицательные значения х отсчитываются влево от О, отрицательные значения у отсчитываются вниз от О. На рис. 2 приведено несколько примеров точек, для которых хну разного знака. Читатель должен проследить, согла-
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ сен ли он с тем, как поставлены эти точки, и, таким образом, проверить, полностью ли он понял предыдущее. Точки на рис. 2 следующие: А: х — 2, у — 4; D: Е: х = —2, = 3; F: х = — 1, у = — У D(-2.3J 9 Координаты точек иногда указывают сокращенно, в скоб- ках после названия точки, при- чем на первом месте ставится значение х (абсцисса точки), на втором месте — значение у (ор- дината точки). Для перечислен- ных четырех точек A, D, E, F такие обозначения приведены на рис. 2. Оси координат делят пло- скость рисунка на четыре ча- сти— четверти; четверти перену- мерованы на рис. 3. В каждой четверти х и у имеют опреде- ленный знак: в I четверти х>0, г/>0, т. е. х я у положительны; во II четверти х<0, у>0, т. е. х отрицателен, у положителен; в III четверти х<0, у<0, т. е. х иг/ отрицательны; в IV четверти д:>0, о ¦—А ?C.-2} Рис- 2- У ш у\ К(-ЗО) G@.3l 0@.0) 4B01 ш-п Рис. 3. Рис. 4. у<0, т. е. х положителен, у отрицателен. Знаки х и у в каждой четверти показаны также на рис. 3. Сравните их со знаками координат точек A, D, E, F на рис. 2. Если для точки G (рис. 4) задано, что лс = О, то такая точка лежит на оси у, при этом как раз перпендикуляр
§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 17 из G на ось х совпадает с осью у. Значит, основание перпендикуляра совпадает с началом координат О, так что расстояние от основания перпендикуляра до начала координат равно нулю, поэтому и можно сказать, что равна нулю абсцисса точки G, лежащей на оси у. Если для точки F задано, что у = 0, то такая точка лежит на оси х; при этом перпендикуляр из точки F, опущенный на ось у, совпадает с осью х, а его основание—с началом координат О. Примеры таких точек показаны на рис. 4: G(* = 0, у=3), F(x = 2, y = 0), Н(х = 0, у = —1), К(х = —3, у = 0). Наконец, точка, у которой х = 0, у=0, есть не что иное, как начало координат О. Выше мы специально советовали не наносить на чер- теж основания перпендикуляров, т. е. поступать не так, как это было сделано на рис. 1 и 2. На рис. 1 необходимо было поставить точку А(х=2, у = 4), точки В я С были вспомогательными, служили только для построения точки А; они были по- лезны, когда мы только делали первый шаг, впервые определяли понятие координат. Потом следует научиться прямо ставить точку А: если на чертеже нанесены точки В и С, то можно принять их за заданные точки, можно подумать, что нам было задано построить три точки: А B, 4), В B, 0) и С @, 4). Читатель должен потренироваться в том, чтобы быстро ставить на графике любые точки, с положительными, отрицательными и нулевыми значениями лт и у, а также быстро называть хотя бы приближенно, но с правильными знаками х и у для точки, поставленной на чертеже. § 3. Геометрические величины, выраженные через координаты Задание двух чисел — значений х и у — определяет положение точки на плоскости. Поэтому и все геометри- ческие величины, относящиеся к этой точке, можно выра- зить через координаты точки.
18 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ [Ч. I Я/я.!/} Найдем расстояние г точки А с координатами х и у от начала координат, т. е. длину отрезка г прямой ОА, соединяющей начало координат О с точкой А (рис. 5), а также угол а (а — «альфа» — первая буква греческого алфавита) *) между прямой ОА и осью абсцисс. Проводим вспомогательные линии АВ и АС. Длина ОВ равна х, длина АВ равна длине ОС, т. е. равна у. Из пря- моугольного треугольника ОАВ по тео- реме Пифагора Рис. б. Далее по определению тангенса угла имеем: Так, например, пусть дс=2, у=3 (рис. 5). Тогда г = 1/13^=3,6, Заметим, что угол а всегда отсчитывается от положитель- ного направления оси х, поэтому, например, если у = 2, О Рис. 6. Рис. 7. лг = — 2 (рис 6), то угол а— тупой, tga=-^-r = —1, a=135°. ~~ *) Греческий алфавит и названия греческих букв даны в конце книги, на стр. 560.
§ 31 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 19 У Когда точка лежит ниже оси х, то принято отсчиты- вать угол а вниз от оси, считая при этом а отрицатель- ным. На рис. 7 показаны два примера: точка А(х = 2, у = — 2), для нееа = — 45°, и точка В(х = — 3, у =— 3), для нее угол а =—135°. Таким образом, угол а для любой точки лежит в пределах от — 180° до -f- 180q. Легко решить и обратную задачу: пусть дано, что точка А находится на заданном расстоянии г от начала координат О и отрезок ОА образует угол а с осью х (под- разумевается — с положительной, правой частью оси х). Требуется найти координаты точки А. Гля- дя на рис. 5, получим: х = г cos a, y = r sin а. Эти формулы правильны без ис- ключений, для любых положи- тельных и отрицательных углов а, правильно дают знаки хну в любой четверти. Перейдем к задачам с дву- мя точками, А, и Аг; коорди- наты первой точки обозначим хх, уг, координаты второй точки хг, уг (рис. 8). Найдем расстояние гхг между этими точками и угол а12 между отрезком АхАг и осью л:*). Удобно провести через точку Ах прямую, параллель- ную оси х, а через точку Аг — прямую, параллельную оси у, на рис. 8 они проведены пунктиром, а точка их пересечения обозначена В. При этом в треугольнике АхАгВ а Рис. 8. *) Значки снизу у букв называются индексами. По-латынн индекс значит «указатель». Их ие надо путать с показателями. Чи- тается такое выражение: х1 — икс-однн, Аг — а-два. Одинаковые буквы с разными индексами ((/„, ух, у%, уа, уь) применяют вместо разных букв, для того чтобы показать, что речь идет о похожих (но в то же время разных) величинах. Так, например хх и хг—обе эти величины откладываются по оси х, обе являются «иксами», абсциссами. В то же время оии относятся к разным точкам. Величины, обозначаемые разными буквами, но с одинаковым индексом, относятся к одной и той же точке: А1—обозначение некоторой точки, х, —ее абсцисса, ух — ее ордината. Иногда ставят и два индекса, например г12 (читать: эр-один-два, а не эр-двенадцать) — расстояние между точкой первой (A) и второй (At).
20 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ [Ч. I отрезок AtB равен хг—л^, отрезок АгВ равен у,—ух. Все построение треугольника AxAtB подобно построению рис. 5. . По теореме Пифагора получим: C.1) Угол а12 находится из условия __ Ух — Читатель должен убедиться, что формулы правильны при любых знаках всех четырех величин х,, уи xt, уг и при любых соотношениях xx>xt или х\ < xv У\ > Уг или Т v У\ Уг УхУг Так, например, на рис. 9 по- казан случай дс, < 0, х2> 0, коорди- наты А, (^ = — 2, *Л = 1). х Ах{хг=^2>у у2=3). В этом случае длина отрезка АХВ равна сумме абсолютных величин*) |;е1| = 2, |д:,| = 3. Но это как раз и соответствует общей формуле АгВ = хг — xt = 3 — ( — 2) = 3 + 2 = 5. Следовательно, правильны и выражения для rlt и tga,,. Рассмотрим теперь задачи, относящиеся к трем точкам: Л,, At, Аг. Как выяснить без построения, путем вычисле- ния по значениям координат точек, лежат ли эти три точки на одной прямой? Очевидно, что когда угол а,2 отрезка А^Аг с осью х равен углу ais отрезка А,Аг с осью х, то это значит, что отрезки АХАЯ и Л,Л, лежат на одной прямой. На рис. 10 показан случай, когда ais > aIt, точка Л, лежит выше продолжения прямой AtAt, но из этого же рисунка видно, что если бы a,s было равно а12, •> Прямые черточки заменяют слова «абсолютная величина». Таким образом, для положительной величины этот знак ничего не меняет, |3| = 3, | 0,1 1=0,1. Отрицательная величина, поставленная между прямыми черточками, равна положительной величине, получающейся умножением данной величины на —1; так, например, |—3\=3, )—0,1 |г=0,1. Иначе говорят иногда «модуль:»: |—3| — это модуль минус трех равен плюс трем.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 21 то точка At лежала бы на прямой, продолжающей отре- зок АХАХ. Из выражения тангенса угла C.1) следует, что при aia = als между координатами точек имеет место соотно- шение Ух — У\ У г — Уу ,о оч z ~—„ „ • \°-^) *» — х\ хг — х\ Без применения тригонометрии можно сказать, что условие C.2) — это условие подобия двух прямоугольных треугольников, AtA2B и АхАгС. Подобие треугольников приводит к равенству угла при вершине Ах. У'1 О о Рис. 10. Рис. 11. Соотношение C.2) применимо и в том случае, когда точка Л, лежит между точками Аг и А, (рис. 11): если три точки лежат на одной прямой, то из подобия AxAtB и j4,j43C следует пропорция C.2). В примере, показанном на рис. 11, х%—хх < 0, уг — ух<0, но отношение их поло- жительно и равно отношению двух положительных вели- чин х2—хх и уг — ух. Упражнения 1. Нанести точки A; 1); A; —1); ( — 1; —1); ( — 1; 1). 2. Нанести точки A; 5); E; 1); ( — 1; 5); ( — 5; 1); ( — 1; —5); (-5; -1); A; -5); E; -1). 3. Нанести точки @; 4); @; — 4); D; 0); ( — 4; 0). 4. Найти расстояние от начала координат и угол а для точек A; 1); B; -2); (-3; - 3); ( - 4; 4). 5. Найти расстояние между парами точек: Л,A, 1), АгA, — 1); А, (\, 1), А,( — 1. -1); Л, B, 4),. ЛгD, 2); Ах(-Ъ -4), АА-4, -2).
22 функции и графики [ч. i 6. Выяснить, лежат ли на одной прямой тройки точек: Л, @, 0), АгB, 3), .4,D,6); Л, @, 0), Лг B, 3), Л, ( - 2, -3); А, @. 0), ЛгB. 3), Л,(-2, 3). 7. Выписать координаты вершин квадрата со стороной а, если диагонали квадрата совпадают с осями хну. 8. Выписать координаты вершин правильного шестиугольника со стороной а, если одна из его диагоналей совпадает с осью х, а центр лежит в начале координат. 9. а) Выписать координаты вершин равностороннего треугольника со стороной а, с основанием, лежащим на оси х, н вершиной противо- лежащего угла на оси у. б) То же для случая, когда основание лежит на оси х и вершина одного из углов совпадает с началом координат. 10. Дана точка Ах с координатами xlt у.. Выписать координаты точки Ait расположенной симметрично Ах относительно оси х; то же для Аа, расположенной симметрично Лг относительно осн у; то же для Av расположенной симметрично Ах относительно начала коор- динат. § 4. Графическое изображение функций. Уравнение прямой В § 2 было показано, как каждой паре значений х, у соответствует определенная точка в плоскости. Если задано, что у есть определенная функция х, то это значит, что каждому значению х отвечает определен- ное значение у; следовательно, задаваясь многими различ- ными значениями х, мы найдем различные соответствую- щие им у, и эти пары значений дадут много точек на плоскости. Если увеличивать число отдельных значений х, беря их все более близкими между собой, то, в конце концов, точки сливаются в сплошную кривую. Эта кривая называется графиком функции. В действительности- обычно достаточно нанести на график несколько точек, а проме- жуточные точки и весь график функций можно получить, соединяя плавной линией нанесенные точки. Однако для того чтобы при этом не сделать грубых ошибок, нужно иметь общее представление о виде кривых, изображающих различные функции. Мы начнем с изучения нескольких типичных и наиболее важных функций. Рассмотрим так называемую линейную зависимость Пусть, например,
§ 4] ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 23 Построим несколько точек, для которых х и у даиы в таблице: Таблица 4 X У 0 1 1 3 2 5 3 7 Нанесем эти точки на график (рис. 12). Бросается в глаза, что эти точки лежат на одной пря- мой. В таком случае, проводя эту пря- У, мую линию (отсюда название «линей- ная зависимость», «линейная функция»), получим полный график функции, для любого х соответствующая точка (х, у) лежит на прямой. Как доказать для любой функции вида y = kx-\-b при любых k и Ь, что все точки ее графика лежат на одной прямой? Для этого проверим, что усло- вие, выведенное в конце § 3, выполняет- ся для любой тройки точек графика. В самом деле, рассмотрим две точ- ки А(хх,ух) и В(х2,у2), координаты которых удовлетворяют уравнению у = kx -\- Ь. Тогда Уг — Ух = кхг -f- Ъ — (kxx -J- Ь) = k (лг2 — jc,), откуда Уш — jfi А V Рис. 12. Отношение оказалось не зависящим от х1 и xt. Следо- вательно, и для любой другой пары точек графика, и в частности для пары точек A(xt, yx) и С(х3, у3), получим также Значит, для любых трех точек графика A(xt, yj, (хг, у2) и С(хг, уа) имеет место соотношение Уг — i/i _ Уз — Ух
24 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ [Ч. I т. е. любые три точки лежат на одной прямой, а следо- вательно, все точки графика функции у = kx -f- 6 лежат на одной прямой. Значит, графиком функции 1/ = &лг-|-6 является прямая линия. Уравнение у = kx -f- 6 называют уравнением прямой. Коэффициент k определяет угол между прямой и осью х. Подставляя в уравнение х = 0, получим у = Ь. Значит, одна из точек прямой — это точка (О, 6); эта точка лежит на оси у на высоте 6 над началом координат (если 6 < О, то точка лежит под началом координат). Таким образом, 6 есть ордината точки пересечения прямой с осью у, | 6 | — длина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат (на рис. 12, 6=1). Для того чтобы построить прямую, соответствующую данному уравнению, не нужно вычислять координаты боль- шого числа точек и наносить их на график: ясно, что если построены две точки, то тем самым полностью определена прямая, проходящая через эти две точки. Можно, например, всегда брать две точки: при лг=О, у = Ь и при х—\, y = b-{-k, и приводить прямую по этим точкам. Можно в качестве второй точки брать точку пересечения прямой с осью лг (* = *„, у = 0). Из условия y=ikxo-irb = O найдем хо = -^ . Полезно так поупражняться в построении графиков, чтобы сразу, с одного взгляда на уравнение, примерно представлять себе ход и положение соответствующей линии. Для линейной функции, графиком которой является прямая линия, это совсем легко. Ведь на самом деле ход прямой зависит только от двух величин k и 6, входящих в уравнение прямой. Таким образом, нужно разобрать не так уж много вариантов: k может быть положительно или отрицательно, k может быть большим или малым по абсо- лютной величине (больше 1 или меньше 1), Ъ может быть положительным или отрицательным. Покажем, как проводится такое исследование. Начнем со случая 6=0, т. е. с уравнения y = kx. Соответствующая прямая, очевидно, проходит через начало координат, т. е. через точку х=0, у = 0. На рис. 13 по- казано несколько прямых с различными k: k = Q, 1; k=l; k= 10; k = — 0,1; k = —1; fe = —10. Значения k обо-
§ 4] ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 25 W *=/ значены на обоих концах каждой прямой. Проверьте пра- вильность проведения каждой прямой, и тогда Вы убеди- тесь в правильности сле- дующих общих выводов: 1) если k > 0, то пря- мая лежит в I и III четверти, если k < 0, пря- мая лежит во II и IV четверти. 2) При k= 1, со- гласно предыдущему, прямая лежит в I и III четверти. Часть прямой, лежащая в I четверти, образует угол а =Ч45° с осью х, т. е. делит по- полам угол между осью х и осью у; напомним, что под словами «угол с осью х» подразумевается угол с положительным направле- нием оси х, показанным стрелкой. Продолжение прямой, лежащее в III четверти, образует с осью х угол сс = — 135° (на рис. 13 углы не показаны). 3) При k = — 1 часть прямой, лежащая во 11 четверти, образует угол а= 135° с осью х, а продолжение прямой в IV четверти — угол а = — 45°. 4) Если |fe|<^l, прямая идет полого, т. е. идет ближе к оси х, чем к оси у< и тем более полого, чем меньше \k\. Если |fe|^>l, прямая идет круто, ближе к оси t/, чем к оси х, тем круче, чем боль- ше \k\. Теперь, когда это усво- ено, разберем общий случай прямой с Ь, отличным от нуля. Пусть на графике нарисо- вана прямая с 6 = 0, напри- рис 14. меР У== 0,5л: (Рис- 14). Чем отличаются от нее прямые с 6=7^=0, но с тем же k, т. е., например, прямая у = = 0,5лг-{-2? Для удобства будем обозначать г/0 = 0,5д;
26 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ [Ч. I и г/2 —0,5*-}-2 *). При каждом данном х уг на две едини- цы больше уп. Значит, точки прямой ух получатся из точек прямой у0 с тем же х путем подъема на две единицы. Зна- чит, прямая уг параллельна прямой уа и лежит выше нее на две единицы. Очевидно, что такое правило справедливо при любом Ъ (если 6<^0, то прямая лежит ниже начала координат, ниже соответствующей прямой y — kx). Усвоив, как идут прямые с уравнениями y=kx при различных k, мы теперь легко представим себе общий ход прямой y = kx-\-b с любыми k и Ь. Упражнения для тренировки даны в конце параграфа. Величину k в уравнении у = kx -f- b называют угловым коэффициентом прямой; короче и нагляднее можно на- звать k «крутизной прямой», так как от этой величины зависит наклон прямой. В частном случае fe = O полу- чается уравнение у = Ь (подразумевается у = Ь при любых значениях х), чему соответствует горизонтальная прямая, крутизна которой равна нулю. Можно представить себе пешехода, идущего по прямой слева направо, в сторону возрастающих значений х. Если &^>0, то пешеход поднимается в гору (крутизна положительная), если k <^ О, пешеход идет под гору (отрицательная крутизна). Величина k дает отношение изменения функции к из- менению ее аргумента: в самом деле, Ьхг + Ь — (kxx -\- Ь) __ ^ хг — хх хг — х, Такое отношение мы уже вычисляли выше, когда доказы- вали, что линейная функция на графике изображается прямой линией. В дальнейшем в общем случае произвольной функции мы будем рассматривать величину ¦ *' — У(х\) ^ равную Х2 Х1 тангенсу угла между отрезком, соединяющим две точки xi> y(xi) и *». У (хг)> и осью абсцисс. Линейная функция отличается тем, что для нее такая величина одинакова *) Здесь мы пользуемся индексами несколько иначе, чем раньше. у0 относится к целой прямой, это не ордината определенной точки, а ордината произвольной точки на прямой с данным Аи й = 0; уг — это ордината произвольной точки на прямой с данным Аи Ь = 2, т. е. уа это ие число, а функция х, г/0 (х), и соответственно уг есть Уг (х)> Другая функция х.
§ 5] ПАРАБОЛА 27 для любой пары точек, не зависит ни от хг, ни от хх, поэтому и получается, что все точки у линейной функции лежат на одной прямой. Упражнения Построить прямые: у = Зх, у—Ъх-\-2, у = Ъх—1, у = 2— ж, у = 2 — 0,5*. у = — х — 3. § 5. Парабола Рассмотрим функции =\ с различными значениями а. Так, например, при а составим таблицу: Таблица 5 X у = * — 2 j + 1 0 0 + 1 + 1 + 2 + 4 Какие общие свойства этой функции? ^0 >0 при х и толь- 1) Всегда у^>0, как при х>0, так и Значит, кривая вся расположена выше оси ко в начале координат соприка- сается с осью х. У 2) Наименьшее значение (ми- нимум) у достигается при д; = 0. Минимум у равен 0. На гра- фике минимум изображается наиболее низкой точкой кривой. 3) При двух одинаковых по абсолютной величине и проти- воположных по знаку значе- ниях х получаются одинаковые как по знаку, так и по величи- не значения у. Значит, кривая симметрична относительно оси у. Кривая показана на рис. 15. Такая кривая называется параболой (при любом значении а). q Рис. 15.
28 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ [Ч. I При любом положительном а уравнение у = ахг имеет те же свойства, которые указаны выше для t/ = je*. Что будет, если а<^0? Рассмотрим пример а = — 2, у = — 2х*. Составляем таблицу: Таблица 6 X У — 2 — 8 — 1 — 2 0 0 1 — 2 2 — 8 Кривая показана на рис. 16 (масштаб рис. 16 более мел- кий, чем рис. 15). Свойства этой кри- вой: 1) при любых х у<^0. Кривая вся лежит ниже оси х и касается оси х в начале координат; 2) функция у достигает наиболь- шего значения — максимума — при х = 0. Этот максимум равен у = 0. Напомним, что отрицательные вели- чины меньше нуля, так что самое большое (максимальное) значение у среди приведенных в таблице есть как раз у = 0. На графике макси- мум изображается верхней точкой кривой; 3) кривая симметрична относительно оси у, ¦ так же как и в случае положительного а. Рассмотрим теперь сходное уравнение Возьмем пример: а=1, п = 3. X у = (х-г)* -2 25 — 1 16 0 9 1 4 2 1 Т 3 0 а б л и 4 1 ц a 7 5 4
§5] ПАРАБОЛА 29 f{x)=x\ f( — x) = x\ О Кривая изображена на рис. 17. Это — та же парабола, что и на рис. 15, но сдвинутая вправо на три единицы по оси х. Это простое обстоятельство обычно с трудом усваивается. Если дана функция y = f(x) и мы сравниваем с ней другую функцию y = f{x — п), то второй график смещен относительно первого вправо на п единиц. При этом подразумевается, что в обоих случаях / — это одна и та же функция; в нашем примере знак / означает возведение в квадрат аргумента, т. е. той величины, которая стоит в скобках под знаком функции: fy-fx-Sf Почему график сме- щается вправо? Пото- му, что если в случае yx = f (x) некоторое зна- чение / (дс0) достигалось при определенном значении х = ха, то теперь, в случае yt = f(x — n), то же самое значение f(xa) достигается тогда, когда становится равной ха величина, стоящая под знаком функции в выражении y2=f(x — п), т. е. при х — п = ха; но отсюда следует x=xa-jrn, что и соответ- ствует смещению вправо (х = ха-\- п вместо * = *„). Сравните две таблицы: таблицу г/ = дсг и таблицу у = (х — 3)г. Значение г/ = 0 достигается в первом случае при дс = О, во втором случае при х = 3, т. е. в точке, сдвинутой вправо на три единицы. Точно так же и. вся кривая рис. 17 сдвинута вправо по сравнению с кривой рис. 15. Хотя эти соображения и очень элементарны, но весьма важно их твердо усвоить, не просто выучить, а осознать. У многих учащихся первое побуждение — ответить, что при замене у = х* нау = (х — 3)* кривая сместится влево, раз из величины х вычли 3. Надо не пожалеть времени на подробный разбор примеров. Рис. 17.
30 функции и графики Теперь можно сформулировать общие правила: 1) Кривая у—а(х — tif имеет в качестве оси сим- метрии вертикальную прямую х = п. 2) Эта кривая при а>0 лежит выше оси х и имеет минимум у = 0 при х — п. При а<0 кривая лежит ниже оси х и имеет максимум у = 0 при х = п. Наконец, есть еще одно видоизменение уравнения, которое не меняет формы кривой: рассмотрим функцию у = а{х — п)*-\-т. Очевидно, что соответствующая кривая отличается от предыдущей (без т) только сдвигом по вертикали на ве- личину т. Положение оси сим- метрии кривой не изменяется} при а^>0 функция имеет Рис. 18. Рис. 19. минимум при х = п и значение функции в минимуме равно у = т (вместе со всей кривой на величину т сместился и минимум). При а«<0 точка х = п, у = т есть точка максимума. Приведем два примера!. х = (х — 3)* + 2 (рис. 18), у = — (х — 3)*-f2 (рис 19). Ось симметрии на обоих рисунках проведена пунктиром. Точка минимума на рис. 18 и точка максимума на рис. 19 лежат на пересечении кривой и пунктирной оси симметрии. Итак, функция представляет собой параболу с осью симметрии
§ 5] ПАРАБОЛА 31 и минимумом у (если а^>0) в точке х = п, у = щ. При а<ГО та же точка представляет собой максимум у. t{a графике минимальное (в переводе на русский — на- именьшее) значение у соответствует точке кривой, располо- женной ниже всех других точек, т. е. точке кривой, у которой у меньше, чем у других точек. Максимум функции у(х) (наибольшее значение функции) на графике соответст- вует точке, расположенной выше других точек. Вместо того, чтобы говорить о точке на графике, соответствующей минимуму или максимуму функции, мы кратко называем эту точку точкой минимума или максимума на кривой. Раскрывая скобки у выражений у = а(х— пJ-\-т, запишем: у = ах* — 2апх ~\- an* -\- т. Это выражение есть полино_м__второй- степени. Обычный способ записи самого"'общего"полинома второй степени у = а1хх-\-Ьх-\-с. Выбирая подходящие значения а, п, т. в предыдущем выражении, можно всегда сделать его тождественным с последним выражением. Для этого сравним соответственно члены с Xх, с х и без х: ахх* = ах*; — 2апх = Ьх; ап2 -\-т=с. Из первого выражения следует ах =а. Из второго — 2ап= Ь; п=—~- . ьг Из третьего an*-j-m = c; т = с—ап2=с — ^ . Следовательно, можно написать тождество С помощью графика параболы можно разобраться в решении квадратного уравнения и в различных случаях, которые при этом возникают. К решению квадратного уравнения ах*-\-Ьх-{-с = 0 можно подойти так: рассмотрим всю кривую
32 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ и найдем точки пересечения этой кривой с осью л:. В этих точках у = 0, следовательно, значения х, соответствующие точкам пересечения, это и есть корни квадратного уравнения. Но мы знаем, что кривая у = ах* -j- Ъх -j- с есть пара- бола. Нам известно, что у этой параболы есть ось симмет- Ь ^ рии — вертикаль х = — ^ , что при а^>0 парабола имеет точку минимума на оси и высота этого минимума равна У = с — ^- (мы смотрим на вторую часть последней формулы, имеющую привычный вид а (х — тг)г -j- m). «Рога» пара- болы при а ^> 0 обращены вверх. Ясно, что если минимум лежит выше оси х, то парабо- ла нигде не пересекает ось х (рис.20, кривая /). Значит, при а>0, ¦г>о квадратное уравнение не име- ет вещественных корней *). Рнс. 20. Если же минимум лежит ниже оси х, а рога параболы поднимаются вверх, то обязательно парабола в двух точ- ках пересечет ось х; точки эти симметрично расположены относительно линии jc = n = — ^~ (кривая 2 рис. 20). Значит, при уравнение имеет два корня хх и xv показанных на рис. 20. Наконец, возможен и промежуточный случай, когда па- рабола касается оси х (кривая 3 рис. 20). Этот случай достигается при *) На графике откладываются только вещественные х и у, поэтому комплексные и мнимые корнн ие соответствуют никаким точкам пе- ресечения на графике. *
К 5] • ПАРАБОЛА 33 Если постепенно переходить от кривой 2 к кривой 3, поднимая параболу, то, очевидно, два корня дс, и хг будут сближаться, пока они не сольются в момент касания. По- этому в случае с — 4а = 0 говорят не об одном корне, а о двух равных (слившихся) корнях уравнения. Таким же способом рассматривается случай а <^0, когда кривая имеет максимум, а рога ее обращены вниз. Пред- лагаем читателю самому нарисовать кривые и проверить, что при: с—4^с<С0 —нет вещественных корней, ^>0 —два вещественных корня. с — — =0 —касание, два равных корня. Обычная формула корней квадратного уравнения — Aac t1-* ~2~R Уравнение имеет два вещественных корня в том случае, если можно извлечь \^Ьг — 4ас, т. е. если Ьг — 4а Запишем это выражение так: Условие Ь1 — 4ас^>0 выполняется в двух случаях: 2) а<0, С-?>0. Это и есть те два случая существования двух корней, которые были получены выше из рассмотрения кривых у = ах* -j- bx -j- с. Заметим, наконец, что в зависимости от знака коэф- фициента а при х* в уравнении параболы кривая распо- ложена выпуклостью вниз (при а > 0) или выпуклостью 2 Я. Б. Зельдович
34 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ О вверх (при а<0). Это свойство не зависит от значений и знаков Ъ и с в уравнении параболы у = ах* -j- bx -f- с. Точное определение выпуклости такое: возьмем на кри- вой две точки Л (л:,, ух) и В (х„ у„) и проведем через них прямую. Если часть кривой, расположенная между этими точками, лежит ниже пря- \ I/ мой, то говорят, что кривая \ /в обращена выпуклостью вниз. \ /1\ Если часть кривой, располо- ^ м*'' женная между точками, лежит выше прямой, говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх. Выпуклость параболы лег- ко увидеть наглядно из чер- тежа, но можно определить ее и с помощью алгебры. Для этого возьмем произвольные хх и а:,. Им соответствуют точки на параболе А(хх, у^ — = ах\-\- bxx -f-с) и В (хк, ул = ах\-\- Ьхг-\-с). Найдем ко- ординаты точки М, лежащей на середине отрезка пря- мой АВ. Можно показать геометрически, что если отрез- ки AM и MB равны (рис. 21), то координаты точки М(хт, ут) суть средние арифметические координат А и В х *i+*t „ Ух+Ух хт <f "т 2 '- Найдем теперь координаты точки N (хп, уп), лежащей на параболе при хп==хт==^-^~*. Подставляя х„ = *' „ * ¦ в уравнение, найдем уп. Читатель может убедиться, что Рнс. 21. Остальные члены с Ь и с сокращаются. Величина ( -^—Ч положительна при любых xt, хг. Следовательно, при а>0, Уп<у„ — точка на параболе ниже соответствующей (с тем же х) точки на прямой, па- рабола выпукла книзу.
§.61 КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА, ГИПЕРБОЛА, КРУГ 35 § в. Кубическая парабола, гипербола, круг Рассмотрим коротко еще несколько примеров кривых, изображающих простые функции. На рис. 22 изображена кривая, построенная по формуле у = х*-{-х. Эта кривая отличается тем, что на любом ее участке при увеличении х увеличивается также у: кривая идет так, что при передвижении слева направо линия поднимается. Кривая не имеет, ни максимума, ни минимума. Ясно, что та- кая кривая пересекает ось абсцисс только один раз, при 3 х = 0. На следующем рис. 23 изоб- у=х *х разкеда кривая, построенная по формуле у = х'-Х. F.1) Как видно из графика, на этой кривой есть два участка, где У1 X Рис. 22. Рис. 23. у возрастает с увеличением х — при отрицательных х< —0,57 и при положительных х> +0,57. Между ними на отрезке —0,57 <х< -{-0,57 функция убывающая, с ростом х величина у убывает. Функция имеет максимум при х = —0,57, у = -\- 0,38. Слово «максимум» не озна- чает в данном случае, что у = 0,38 есть вообще наиболь- шее возможное значение у, заданного выражением F.1). Очевидио, что при больших положительных значениях х величина у принимает сколь угодно большие значения.
36 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Чем же выделяется точка максимума (х =— 0,57, у = + 0,38)? Как видно из графика, в этой точке у больше, чем в соседних точках. Точка максимума отделяет участок, где функция является ра- стущей (слева от максиму- ма), от участка, где функ- ция убывает (справа от мак- симума). В точке je = -j-0,57, у = — 0,38 функция имеет минимум. На рис. 24 приведено еще два примера кривых, изображающих многочлен третьей степени. Кубиче- ское уравнение, получен- ное приравниванием нулю многочлена, в случае верх- ней кривой имеет одно ве- щественное решение, х = = 0,48, а в случае нижней кривой — три корня хх = 1, xt = 2, лг,=3. Легко убе- диться, что кубическое уравнение всегда имеет не менее одного веществен- ного корня: для этого чи- тателю предлагается поду- мать о ходе кривой у = = ах* -\- Ьхг -\-cx-\-d при очень больших по абсолютной величине положительных и отрицательных значениях х. Далее, читателю предлагается самому построить кривые у=х* и у = — х*. На рис. 25 изображена кривая Рис 24. называемая гиперболой. Особенность этой кривой заклю- чается в том, что при х малом отрицательном у есть отрицательная величина, по модулю (т. е. по абсолютной
§ 6] КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА, ГИПЕРВОЛА, КРУГ 37 величине) очень большая, а при малом положительном х у есть очень большая положительная величина — см. табл. 8. X У — 1 1 — 0.1 — 10 — 0,01 — 100 — 0,001 — 1000 0.001 1000 0,01 100 Т а бл 0,1 10 и ца 8 1 1 Поэтому говорят, что значение у при х = 0 есть ± оо, т. е. плюс бесконечность или минус бесконечность, в за- висимости от того, с какой сторо- ны мы подходим к х = 0. Как видно из рис. 25, кривая состоит из двух ветвей, при х < 0 и при х > 0, не соединенных меж- ду собой. До сих пор мы задавали у как функцию х и строили соответству- ющую кривую. Теперь на примере круга решим обратную задачу: за- дадим кривую и найдем, какой функциональной зависимости у от х соответствует эта кривая. Рассмотрим круг радиуса г с центром в начале координат. Точки круга находятся на расстоянии г от начала координат. По теореме Пифа- гора это значит, что У о К — Рис. 25. Если выразить явно у как функцию х, получим: Когда мы рассматриваем круг как график функции у(х)г то из графика видно, что функция неоднозначна: при' каждом значении х (при |д:|<г) есть две точки на кри- вой— на верхней и на нижней полуокружности. Этим двум точкам соответствуют два знака квадратного корня. Функции у = -\-\/Ггг—хг соответствует верхняя полу- окружность, функции у = — ]/"г* — ^соответствует ниж- няя полуокружность.
38 функции и графики Гч. i Составим теперь уравнение круга с центром в точке (а, 6). Поступим формально: мы знаем, что если заменить в выражении функции х на х— а, то график функции смещается на а единиц вправо. Значит, есть уравнение круга, смещенного вправо на а единиц, т. е. с центром в точке (х = а, у=0) на оси х. Далее, если ко всем значениям у добавить одну и ту же величину Ъ, то весь график поднимется на b единиц *). Значит, искомое уравнение круга с центром в точке (а, 6) у=±У(х— а)* + г*-И. В данном случае проще было вывести уравнение непосредственно геометрически из выражения расстояния между точками (х, у) и (а, 6) г* = (х — а)г-\-(у — Ь)\ Мы нарочно поступили более формально для того, чтобы еще на одном примере показать, как замена х на х — а иг/ на (/ — Ь сдвигает кривую. § 7. Изменение масштабов кривой Из предыдущего параграфа мы знаем, как надо изме- нить уравнение кривой, чтобы кривая сместилась, т. е. чтобы произошел параллельный перенос кривой. При за- мене х на х-\-а в выражении, связывающем у и .х, соот- ветствующая кривая смещается на а единиц влево, при замене «/на у-\-Ь кривая смещается на Ь единиц вниз. Для того чтобы сместить кривую на g единиц вправо, надо заменить х на х — g, чтобы поднять кривую на h единиц вверх, надо заменить у иа у — А. Уравнение круга радиуса г с центром в начале коорди- нат хх-\-у* = г*. Уравнение круга такого же радиуса *' Можно было бы и здесь сказать, что график поднимается на Ь единиц, когда у заменяют на у — Ь, так что получится: что равносильно уравнению в тексте.
§ 7] ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБОВ КРИВОЙ 39 с центром в точке xc = g, yc = h, т. е. смещенного на g единиц вправо и на А единиц вверх (исходное положе- ние— центр в начале), есть Для произвольной кривой, уравнение которой записано в виде y = f(x), для смещения вправо на g и вверх на h единиц напишем: y — h = f(x — g) или y = h-{-f(x— g). Для кривой, уравнение которой записано в виде F (х, у) = = 0, для такого же переноса надо заменить уравнение на Fix — gy y — h) = O. Теперь поставим вопрос: как изменить уравнение кри- вой, чтобы увеличить в С раз *) все вертикальные размеры? Очевидно, надо вместо уравнения ya = f (х) взять урав- нение y1=Cf(x), тогда при том же х величина ух в С раз больше, чем прежде, т. е. в С раз больше уа. В качестве примера вспомним уравнения прямых, про- ходящих через начало координат. Уравнение прямой, про- ходящей под углом 45° в I четверти, $/„ = *• Уравнение соответствует прямой, идущей более круто, у которой при заданном х ордината больше в 10 раз (см. рис. 13). Закон перехода от yt — f(x) к y1=Cf(x) можно запи- сать и так: в. уравнении кривой yo=f(x) заменяем уа на -^-, т. е. пишем -^- = f(x). Тогда зависимость ух от х характеризуется тем, что кривая ух (х) вытянута в С раз по вертикали по сравнению с кривой уа(х). На первый взгляд кажется, что не стоит тратить слов на две разные формулировки, тождественность которых •) В дальнейшем для простоты изложения будем полагать, что С>1; ведь увеличить в 2 раза какую-нибудь величину — это значит умножить ее на 2, но увеличить в 0,3 раза значит умножить на 0,3, т. е. в действительности уменьшить.
40 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ [ч. -^ настолько очевидна, «Что в лоб, что по лбу». Но вторая формулировка с заменойyt на -^-удобна для случая, когда кривая задана уравнением, не разрешенным относительно у, т. е. уравнением вида F(x, y) = 0. Так, например, уравнение ок- ружности радиуса 1 удобно запи- сать в виде Как написать уравнение кри- вой, вытянутой в 3 раза по верти- кали (рис. 26, кривая, обозначен- ная ух(х))? По правилу, которое мы толь- ко что сформулировали, для этого в уравнении окружности заменим уа на -^-. Получим: <¦+(*)'¦ 1=0. Эта кривая называется «эллип- сом». Она обладает замечательными геометрическими свойствами и по- дробно рассматривается в § 6 части IV. В данном примере уравнения легко решаются: и наглядно видно, что г/, = Зг/0 при равных х. Но пра- вило, что замена у на ~?- приводит к вытягиванию кри- вой в С раз по вертикали, справедливо и для кривых, заданных таким сложным уравнением F(x, y) = Q, которое не решается алгебраически относительно у, например,
§ л ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБОВ КРИВОЙ 41 Формулировка о замене у на — легко переносится и С* на координату х. При замене ха на ^ в уравнении кри- вой кривая растягивается по оси х в С раз, т. е. при рав- ном у значение хх в С раз больше значения д:0. Начнем не с доказательства, а с примеров: у=х, и у = ^=0,1*, (см. рис. 13). Первая прямая идет под углом 45° к оси х, вторая идет более полого. Второй пример: '—1=0, (^ 1=0. Первое уравнение соответствует окружности радиуса 1, второе уравнение — это уравнение кривой, вытянутой по оси х в 2 раза. В самом деле, легко убедиться, что, например, пересечение кри- вой с осью х происходит в точках Х?= ± 2 (рис. 27). Для доказательства мож- но уравнение решить относи- тельно х: если y = f(xn), -2\ -А о Х'Хо(У) 1/ J2 х Рис. 27. =f^-J, то, решая, получим: где ф есть функция, как говорят, обратная функции f. Важно то, что в верхней строчке f это одна и та же функция в формулах с х9 и с хх. Поэтому ер тоже одина- ковое для ха и хх. Переписывая второе равенство
42 функции и графики [ч. i получим: что и соответствует формулировке: при замене х -на -gr кривая растягивается в С раз по оси х. Приведем пример: Функцией, обратной степени, является логарифм Как быть, если в уравнении у =f(x) производится замена х на kx? Для того чтобы воспользоваться сформулирован- ным выше правилом, вспомним правило деления на дробь: умножение на k — это то же самое, что деление на -г- « » Значит, -?- играет роль величины С из предыдущих формул. Если, например, Л=^", то -^- = 2, т. е. С = 2; зна- чит, замена хя на 0,5jc, есть замена х0 на ^ и приводит к растяжению кривой по оси х в 2 раза. Если fe = 3, то-т-=-к-, т. е. С = -^-. Таким образом, замена х на Ъх, есть замена л: на у Что это значит гео- метрически? До сих пор мы рассматривали только случай положи- тельных и больших единицы значений С, С~^> 1, и форму- лировали результат так: при замене у—>--?- в уравнении кривой кривая в С раз растягивается по высоте, при замене х—> -?- кривая в С раз растягивается в горизонтальном направлении.
§. 7] ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБОВ КРИВОЙ 43 Если С положительно, но меньше единицы, что соответствует k^> 1, то при замене у —<- ^- вертикаль- ные размеры изменяются в С раз; но так как С<4, то изменение в С раз теперь представляет собой сжатие; так, например, при С = 0,5 изменение размера в С раз озна- чает умножение высоты на 0,5, т. е. уменьшение ее вдвое. sin3x Рис. 28. То же самое относится и к замене х на-^-: такая замена приводит к сжатию кривой. Приведем еще один пример. На рис. 28 представлены две кривые У второй кривой горизонтальные размеры меньше вЗ раза. Зависимость y = sinx — периодическая: придс = 2я=6,3 (что соответствует углу 360" в градусном измерении) синус имеет такое же значение, как и при л: = 0. добавление 2л к любому углу не меняет значения синуса. Функция у = = sin3x тоже периодическая, но у нее период меньше в 3 раза: достаточно, чтобы х изменилось на -у = 2,1 ра- диана, тогда Зх (тот угол, синус которого мы откладываем по оси ординат) меняется на 2я и sin3x возвращается к тому же значению, Продумайте на этом примере общее утверждение, что замена х на kx в уравнении кривой приводит к тому, что все горизонтальные размеры умножаются иа -^ . В данном
44 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ К примере k = 3, горизонтальные размеры и, в частности, рас- стояние по оси х между точками, где у = 0, умножаются на -q-, т. е. уменьшаются в 3 раза. Для периодической функции при замене х на kx в k раз уменьшается период, зато в k раз увеличивается частота, т. е. число периодов на единице длины. Как ни просты, «арифметичны» эти соображения, на- чинающие (к которым адресована эта книга) в них часто ошибаются. Рассмотрим, наконец, что будет при замене у на -^~ или х на ^- при отрицательном С. Можно провести такую замену в два приема: напишем С== —\-Ь, где Ъ положи- тельно, и сделаем две замены ff-x,-yho о х *° ь —\.ь ь • Первая операция — замена ул на j-, где Ь > 0, — уже разбиралась, она приводит к из- менению вертикальных размеров в b раз. Остается рассмотреть, к чему приводит изменение зна- ка у, т. е. замена у на —у. Для отдельных точек этот во- прос уже рассматривался в § 1. Приводим для кривых ответ без доказательства: изменение знака у приводит к отражению кривой в оси х, изменение знака х приводит к отражению в оси у. Возьмем пример: F (х, ^) = (х — 3)* —{— («/ — 5)* — 4 = 0. Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке с координатами х = 3, у = 5. На рис. 29 приведены кривые Рис. 29. F(— x, t/) = ( — F( — x, — у) = ( — — 5у-~ 4 = 0, — у — 5У — 4 = 0.
§ 7J ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБОВ КРИВОЙ 45 Как видно из формул, знак F во всех случаях пред- ставляет собой одну и ту же функцию (проследите за этим внимательно, рассматривая первую часть формул). Просле- дите, что происходит с кривой (окружностью) при замене л; на —х, у на —у и одновременной замене х—*¦ — х, у—> — у. Ясное понимание изложенных правил позволит Вам, построив и разобрав одну какую-то кривую, y = f{x) или F(x, y) = 0, представить себе, как идут кривые для всех сходных функ- ций с любыми значениями четырех постоянных а, Ь, сх, сх. Упражнения 1. Построить кривые Х1 + ? - 1 = 0. <*±*1* + (У ~ ^ — 1 = 0, (х3) + {у + 5?—1=0, зная, что *• + »•-1=0 представляет собой уравнение окружности. При построении кривых рекомендуется на чертеже ставить центр, верхнюю и нижнюю точки, крайнюю правую и крайнюю левую точки, а затем соединять эти точки плавной кривой от руки. 2. Построить кривую y = alnx подробно, взяв, например, х от — л до +я с интервалом 0,25л. Подразумевается, что х — угол выражен в радианной мере, поэтому удобно брать определенные доля я, так как тогда углы, выраженные в градусах, будут целыми: 0,25л =45°; 0,5л = 90° и т. д. Можно воспользоваться таблицами в конце части III, где дан синус в зависимости от угла, выраженного в радианной мере. По оси абсцисс во всех случаях откладывать х в радианах. Построить кривые: а) у = 2 sin x; б) y=sinO,5x; в) y = г) # = Указание. Воспользоваться тригонометрическим тождеством сое* = eta д) y = Y"
46 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ [Ч. е) y=cos»x = -l + lco ж) y=sln»x=l —-i-il Все эти кривые от а) до ж) построить, передвигая, растягивая или сжимая кривую ^ = sinx. 3. Построить по точкам кривые: или в симметричном виде у* — х* -f-1 = 0, задаваясь х от — 5 до -4-5 с интервалом 0,5. Если у получается мнимым, при соответст- вующих х кривой нет; б) у =2 ± У(л:-1L- 1; в) y=±Vxx+l. Указание. Преобразовав к виду х* — у* -\- 1 = О, заметить, что в) получается из а) перестановкой хну. г) 4 Указание. Записать уравнение в виде н получить кривую, передвигая н сжимая кривую а). § 8. Параметрическое задание кривой Пусть каждая из величин х и у задана как функция времени t, т. е. заданы две функции x(t) и у it), на- пример: Эти зависимости можно изобразить графически в виде двух кривых, откладывая на одном чертеже по оси абсцисс t, а по оси ординат х, а на другом чертеже по оси абсцисс t, а по оси ординат у. Но возможна и другая постановка вопроса: представим себе, что х и у — это координаты точки, каждому значению t отвечает определенное положение точки; спрашивается, какую кривую опишет точка в плоскости х, у при изме- нении /?
§- 87 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВОЙ 47 Для ответа на этот вопрос можно из двух уравнений, дающих x=^x(t) и y=y(t), исключить величину t; тогда мы получим выражение, в которое будут входить только у я х, т. е. либо у — у(х), либо F (х, у) = 0. После этого будем строить кривую, как обычно, задаваясь раз- личными х и находя соответствующие у. Так, в приведенном примере найдем: хх -j- у* = cos*/ -f sin* / = 1; #= ± |Л — JC* ИЛИ д;*-{-у»— 1=0, так что в плоскости х, у кривая представляет собой ок- ружность. Однако часто даже сравнительно простые выражения x(t) и y(t) приводят при попытке исключения t к таким сложным формулам, что нет смысла этим заниматься. Так, например, если то для исключения t нужно решать уравнение четвертой степени, что приводит к очень громоздким выражениям. Между тем построить кривую в плоскости х, у можно, не исключая /: достаточно задаваться различными значе- ниями t, для каждого из них находить х и у. Приводим такую таблицу для первого примера. Таблица 9 t x=cos t у = sin t 0 1 0 я т 0.7 0,7 я ~2 0 1 Зя 4 — 0.7 0,7 я — 1 0 5л 4 — 0.7 — 0.7 Зп 2 0 1 7л 4 0.7 -0.7 2л 1 0 Очевидно, брать t больше 2я нет надобности, значения х и у будут повторяться. Теперь с помощью этой таблицы строим точки кривой. При этом мы пользуемся только
48 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ [Ч. I значениями х и у. Те значения t. при которых эти х и у вычислены, при построении точек не используются. «Мавр сделал свое дело, мавр может уйти». Такой способ задания кривой, или, что то же самое, функциональной зависимости у (х), называется параметри- ческим, а величина t называется параметром. Упражнения 1. Построить кривую, заданную уравнением x = cost, y — sin2t. То же для ' *=cos/, y = sin3t. Укааание. Так как sin3f меняется быстро, нужно брать зна- чения t достаточно часто, например: 0; 0,1; 0,2; . . . 2. Задача-шутка: построить кривые а) * = cos3/, y = sia3t; б) х = cos Ef -f-1), у = sin Et + 1). 3. Нешуточная задача: построить кривую * = cos/, y=cos (t + ~p )- 4. Построить кривую x = cost, у = cost. (Это — прямая {/=zx, ио не вся прямая, а только ее отрезок от х= — 1, у = —1 до *= 4- 1. У= -М-) б. Построить кривую, по которой движется точка А, лежащая на окружности диска радиусом 1 см, катящегося по оси х со скоро- стью 1 см/сек. В начальный момент центр круга Q лежит на оси у, а рассматриваемая точка А — в начале координат. Через время t координаты центра Q<(tf, 1), круг повернулся на угол —t радиан. Кривая называется циклоидой. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Мы ограничиваемся здесь лишь малыми сведениями из аналитической геометрии — учения о графиках функций и о применении координат и алгебраических методов к геометрическим вопросам. Не прибегая к высшей математике, можно получить еще много интересных и поучительных результатов, относя-
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 49 щихся к графикам функций и к уравнениям кривых с определенными геометрическими свойствами. Однако, по нашему мнению, лучше перейти к понятиям производной и интеграла и уже потом снова вернуться к вопросам геометрии в части IV книги. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ §§2иЗ. 4. r=V~2, а = 45°; г=2У~2, а= -45°; г==ЗУХ а= — 135°; r=4V. а=135°. 5. 2; 2 У~2\ 2У~2; 2VT. 6. /1,@, 0), Л,B, 3), Л, D, 6) лежат на одной прямой; Д @, 0), AtB, 3), /1,( — 2. —3) лежат на одной прямой; /4, @, 0), АгB, 3), А,( — 2, 3) не лежат на одной прямой. 7. @, ); ( ¦ 0); }а_ аУГ) (а_ аУ*\(а аУ Ъ \ V 2 ' 2 У 1 ' ;> V 2 ' 2/^2' 2 )' 9. а) Два случая: (~|, о), (|. q), (о, Ц1); ( - ± , о) . ^-J-, о), ^0, — ~^-)- б) Четыре случая: @, 0), (а, 0), (f- eJrI): @- °>- (а> 0)- (т- -Чг 10. ^,(х,, —г/,), /1,( — ж,, г/,), Л4(— ж,, — 1Л). § 8. 5. Указание. Параметрические уравнения кривой х = t — sin t, у = 1 — cos t.
ЧАСТЬ П ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА § 1. Движение, путь и скорость Рассмотрим поступательное движение тела вдоль неко- торой прямой линии; расстояние определенной точки тела от определенной точки на этой прямой обозначим 2, при- чем в,одну сторону это расстояние будем считать положи- тельным, а в другую — отрицательным. Пусть, например, прямая, вдоль которой движется тело, расположена верти- кально, точки выше О соответствуют положительным г, точки ниже О — отрицательным г. При движении координата z зависит от времени (мы будем сокращенно говорить: «координата г» вместо «рассто- яние определенной точки тела от определенной точки на прямой»). Движение тела определяется зависимостью г от времени t, т. е. заданием функции z(t). Зная функцию г (t), можно найти положение тела в любой момент времени. Функцию г (t) можно изобразить графически, отклады- вая по оси абсцисс время (ось /), а по оси ординат—ве- личину г, характеризующую положение тела. При равномерном движении с постоянной скоростью v путь s, пройденный за время t, равен произведению s = vt. Обозначим г0 координату тела в момент * = 0. Путь, пройденный за время t, равен разности г (/) — га. Значит, 2@ = Следовательно, при равномерном движении зависимость координаты от времени дается линейной функцией. График зависимости z (/) при равномерном движении представляет собой прямую линию на координатной плоскости, у кото- рой по оси абсцисс (горизонтальной) отложено время t, a по оси ординат (вертикальной) отложена координата 2.
§ 1] ДВИЖЕНИЕ, ПУТЬ И СКОРОСТЬ 51 При неравномерном движении зависимость z{t) выра- жается более сложными формулами и соответствующий график представляет собой ту или иную кривую. Разберем подробно следующую задачу: задана функция z(t), т. е. зависимость координаты тела от времени, нужно найти скорость движения тела v. В общем случае нерав- номерного движения ско- рость не остается посто- янной, она меняется с течением времени. Зна- чит, скорость v есть так- же функция времени v(_t), и задача заклю- чается в том, чтобы вы- разить v {t) через извест- ную функцию z(t). Эту задачу мы сперва будем решать даже не алгебраически, а с по- мощью арифметики, для рис> до того, чтобы лучше осво- иться с новыми понятиями, которые появляются в связи с задачей. В частном случае равномерного движения (с постоянной скоростью) все просто. Скорость определяется как путь, пройденный за единицу времени. Так как скорость посто- янна, то безразлично, какой именно участок пути и какой промежуток времени выбран для определения скорости. Приведем пример. Пусть 2 = 54-3*. причем г выражено в сантиметрах, t — в секундах (рис. 30). Составим таблицу. Таблица 1 2, 24 го 16 12 в 0 • 1 2 3 < / III у t 5 6 t t сек г см 0 5 1 8 2 11 3 14
52 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Вычислим скорость за первую секунду: пройденный путь равен z(l) — z@) = 8 — 5 = 3 см, скорость равна L^. = 3 см/сек. Такой же результат получится, если вычислить скорость за третью секунду: zC) —zB)=14—11 = = 3 см, 0 = 3 см[сек. Если вычислить скорость по пути,пройденному за 2 се- кунды, например от t=1 до t = 3, получится тот же результат: пройденный путь zC)—z(l) = 14—8 = 6 см, промежуток 3 — 1=2 сек, 6 СМ о ' 3 С времени скорость Рассмотрим теперь другой пример: пусть движение тела задано формулой -5Г. A.1) Соответствующий график дан на рис. 31. Составим также таблицу. Таблица 2 t сек г см 0 2 1 17 2 22 3 17 В этом случае движения с переменной скоростью путь, пройденный за каждую секунду A7 — 2 = 15 см за первую секунду, 22 —17 = 5 см за вторую секунду и т. д.), дает, очевидно, среднюю скорость в течение секунды. Если скорость (средняя) изменилась от 15 см\сек в течение пер-
§ 1] ДВИЖЕНИЕ, ПУТЬ И СКОРОСТЬ 53 вой секунды до 5 см/сек в течение второй секунды, то, значит, скорость менялась и в самом промежутке времени от /=0 до 7 = 1 сек во время первой секунды. Скорость в момент t = 1 уже не та, что скорость в мо- мент / = 0, поэтому, когда путь, пройденный за время от / = 0 до /=1 сек, делим на время прохождения этого пути A сек), то полученную величину A5 см'сек) мы на- зываем средней скоростью за промежуток времени от / = 0 до / = 1. Как же найти мгновенную скорость? Скорость меняется постепенно, -поэтому чем меньше промежуток времени, в течение которого производится измерение пройденного пути, тем меньше успеет измениться скорость, тем ближе будет средняя скорость к ее мгновен- ному значению. Вычислим для примера мгновенную скорость в момент / = 1. Попробуем подсчитать среднюю скорость за 0,2 сек, т. е. за время от / = 1 до /=1,2, потом за 0,1 сек (от / = 1 до / = 1,1), за 0,01 сек (от / = 1 до / = 1,01). t г сек см 1 17 1 17 Т а б л .01 ,0995 1 17 и ца ,1 .95 1 18 2а ,2 ,8 Табл. 2 для этого слишком груба, и мы вычислим нужные значения г по формуле A.1); они приведены в табл. 2а. Интересующие нас средние скорости равны соответст- венно: за. от 1 до 1,1 „= за , от 1 до 1,01- „_"L~-pJ7-e.ee?. Закономерность видна чрезвычайно ясно: чем меньше промежуток времени, тем ближе значение скорости к
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II 10 см/сек. Значит, можно предположить, что мгновенная скорость в момент t = \ равна именно 10 см\сек. Найдем еще мгновенную скорость в момент времени 7 = 1,5. Нужные значения z приведены в табл. 26. Поль- зуясь ими, получим: за. от 1,5 до 1,7 за t от 1,5 до 1,6 за t от 1,5 до 1,51 -20'75 =4,95 с-^ . СвК Естественно считать, что мгновенная скорость в момент / = 1,5 равна 5 см\сек. Таблица 26 t 2 1.5 20,75 1,51 20,7995 1.6 21,2 1,7 21,55 Мы видим, что в различные моменты времени t мгно- венная скорость v имеет различные значения. Поэтому мгновенная скорость есть функция времени t: Для определения мгновенной скорости в момент t=l можно было и по-другому выбирать промежуток времени: 0,2 сек от 0,8 до 1 сек; 0,1 сек от 0,9 до 1 сек; 0,01 сек от 0,99 до 1 сек. Поступая совершенно так же (табл. 2в), Таблица 2в t 2 0 14 ,8 ,8 0 15 .9 .95 0 16, ,99 8995 1.0 17
% \] ДВИЖЕНИЕ, ПУТЬ И СКОРОСТЬ 55 найдем, что средние скорости соответственно равны: за. от 0,8 до 1 о = !Ц^ за t от 0,9 до 1 за * от 0,99 до 1 v = l?- "¦"*«= ю,05 Снова мы убеждаемся в том, что чем короче промежу- ток времени, тем ближе скорость к 10 см.\сек, убеждаемся в правильности догадки, что мгновенная скорость в момент t = \ равна 10 см/сек. Внимательный читатель, может быть, уже догадался, что лучше выбирать для расчета промежутки времени так, чтобы интересующий нас момент t = \ был в середине промежутка. Пользуясь табл. 2а и 2в, получим: за t от 0.8 «о 1.2 в_!Ь^!_ю?. за /ОТ 0.9 до 1,1 » = "*%"¦» - 10g , за < от 0.99 до 1,01 р^^«*>5-16,8995^, В этом случае мы сразу получаем правильный ответ! Что же, значит, не надо заботиться о том, чтобы брать промежуток времени поменьше? Нет, такой вывод был бы неправилен. Точное равенство средней скорости за какой-то промежуток (например, t от 0,8 до 1,2) мгновенному зна- чению в середине промежутка (при 7=1) есть специаль- ное свойство движения по формуле вида A.2), когда z есть квадратный трехчлен *). В других случаях такого точного равенства может и не быть. Разберем еще пример. Пусть тело движется по закону z = *\ A.2) График — см. рис. 32. Составим таблицу (табл. 3) так, чтобы в ней были все данные для вычисления мгновенной скорости в момент /= 1. Для средних скоростей по разным *) Случай так называемого равноускоренного или равнозамедлен- иого движения.
56 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II промежуткам дадим сразу таблички, опуская арифметиче- ские действия. Из табл. За, 36, За видно, что мгновенная скорость в момент t = 1 равна 3 смjсек. Таблица 3 t Z 0 0 0,8 0,512 0,9 0,729 0,99 0,9703 1 1 1,01 1 ,0303 1.1 1,331 1,2 1,727 Таблица За Таблица 36 Таблица За Промежуток t от 1 1 1 До 1.2 1.1 1 ,01 Ско- рость 3,64 3,31 3,0301 Промежуток t от 0,8 0,9 0,99 До 1 1 1 Ско- рость 2.44 2,71 2,9701 Промежуток t от 0.8 0,9 0,99 До 1,2 1.1 1,01 Ско- рость 3,04 3,01 3,0001 к ДИМ, г в 7 6 5 4 3 2 I этому значению v = 3 см/сек мы неизменно прихо- как бы мы ни выбирали промежуток времени (от t = 1 до большего времени или от меньшего времени до t = \, или так, чтобы t = 1 было в середине промежутка). Расчет с t = 1 в се- редине при равном промежутке времени точнее; получаются значе- ния, более близкие к 3. Но и в этом случае, чем -точнее мы хотим по- дойти к истинному значению t> = 3, тем меньше надо брать про- межуток. Однако считать такой способ обязательным нет оснований: выбирая промежуток от t = 1 до большего и уменьшая его, тоже можно получить любую точность. Так, например, в промежутке от 0,5 w i,5 2fl t5~t Рис. 32. рр ру =1 до /=1,000001 скорость равна 3,000003000001.
§ 2) ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ ПРИРАЩЕНИЙ 57 Упражнения 1. Найти мгновенную скорость в момент f = 0, t=l, t — 2 в движении, заданном формулой A.1). По этим данным построить график зависимости мгновенной скорости от времени. 2. То же для движения по формуле A.2). 3. Рассмотреть движение, заданное формулой г= — . Найти мгновенную скорость в моменты t = \, t=2, t = 3. Обратить внима- ние на знак скорости. § 2. Производная функции — предел отношения приращений В предыдущем параграфе в связи с задачей о мгно- венной скорости мы пришли к рассмотрению отношений вида при очень близких между собой значениях tt и ?,. Выражение «очень близкие» является неопределенным, нестрогим. Точная формулировка такова: необходимо найти предел, к которому стремится отношение z(/,) 2 n при tx, стремящемся к /г. Удобно переменить обозначения: назовем tl = t, tt = = t-{-At, так что разность /, — *,, т. е. промежуток вре- мени, обозначена Д/. Подобно этому обозначим Дг раз- ность В этих обозначениях средняя скорость vcp в интервале Д/ от / до t -\- Д/ равна Отметим, что Д — это не множитель, а знак, заменяющий слово «приращение», так что сокращать Д в числителе и знаменателе дроби нельзя»
53 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч, И Сам знак Д — это прописная буква «дельта» греческого алфавита, так что Д* читается «дельта тэ», Дг — «дельта зет»; часто читают At— «приращение времени», Дг — «приращение пути». В формуле B.2) величины At и Az зависимы: можно выбрать любой промежуток времени At, но после того, как промежуток времени At, стоящий в знаменателе, выбран, подразумевается, что Дг в числителе не любой отрезок пути, а именно тот, который соответствует про- межутку времени At. В формуле B.1) это было очевидно из самого написания аргументов функции z(tt), z(tt) в числителе, формула B.2) есть просто другая запись фор- мулы B.1). Интересующая нас величина мгновенной скорости v(t) в момент t есть предел отношения -^ при At, стремящемся к нулю. Очевидно, стремление At к нулю равносильно стремлению t2 к /,, поскольку At — tt — tt. Приведенная формулировка записывается так: Буквы lim (начальные буквы латинского слова limes — лимес — предел) обозначают «предел»; внизу записано, о ка- ком именно пределе идет речь — при At, стремящемся к нулю, стрелка заменяет слово «стремится», в скобках ука- зана та величина -т-т-, предел которой ищется. Что значит «предел», «стремление к пределу»? Те ариф- метические расчеты, которые мы производили в предыду- щем параграфе, как раз и служили наглядным пояснением этих понятий. В самом деле, из этих расчетов следует, например, что для функции z=?2-\-20t— Ы* при t=\ и различных Д/ соответствующее отношение меняется так: д/ Дг Д/ 0,2 9 0,1 9,5 0,01 9,95 (см. вычисления скорости, следующие за табл. 2а).
§ 2] ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ ПРИРАЩЕНИЙ 59 Из этой таблицы был сделан вывод, который мы теперь запишем так: при t=\ lira -?f = Ю- сек На численном примере было выяснено, что к тому же пределу мы приходим и в том случае, когда по другому выбираем /х и tx. Так, в примере, которому соответствует табл. 2в, /, все время одно и то же и равно tx = \, a f, мы берем чсе ближе к /г, так что - вычисляется величина - ~ д/ * ~—- • Предел, к которому стремится эта вели- чина, тоже равен мгновенной скорости в момент t = \, и, как видно из численного примера, при таком расчете получился такой же предел, lira -^- = 10-^-. д*-». о л' сек Итак, отношение At tt— t, стремится к определенному пределу, когда At = tt — tt стремится к нулю; при At, стремящемся к нулю, /, и tl неограниченно сближаются между собой, и общую их величину мы обозначаем (когда At—>-0) tt = tl = t. Предел отношения, т. е. мгновенная скорость v, есть определенная функция t, "«о' Так, например, если рассмотреть первое упражнение § 1 и найти (путем уменьшения промежутка времени) мгновенную скорость при t = 0, получим v = 20 см\сек, а при t = 2 о = 0 (напомним, что при ? = 1 с; =10 см/сек). Почему при вычислении скорости по заданной формуле z(t) приходится проводить такой длинный расчет, находить- Дг для различных Д/ и затем только находить предел lim ~- ? Нельзя ли сразу взять значение Д/ = 0? При этом мы получили бы Az = 0, так как At = tt — tlt и если tt = tx, то и z(ti)=z(tl) и Az = z(tt)—z(*x) = 0. Значит, при таком бездумном способе действий мы получили
60 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II бы -д^-=-о"! т- е- не получили бы никакого определенного ответа. При вычислении скорости вся суть заключается в том, чтобы брать малые At и соответствующие им малые Аг. При этом получается каждый раз вполне определенное отношение -^-; когда At уменьшается, стремится к нулю, то Дг уменьшается приблизительно пропорционально вели- чине At, а поэтому отношение остается приблизительно постоянным. Отношение -—- стремится к определенному пределу при стремлении At к нулю. Величина этого предела — мгновенная скорость v (t) в случае движения или в общем случае производная функции z(t) — зависит от вида функции z{t) и от значе- ния переменной t. В следующем параграфе мы проведем алгебраически вычисление производной нескольких простей- ших функций и для них найдем точное значение предела, т. е. производной, которую до сих пор мы находили опытным путем, как бы на ощупь. § 3. Обозначения производной. Производная степенной функции Предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю прираще- ния независимой переменной имеет первостепенное значение и для высшей математики и для ее приложений: выше мы видели, например, что такое важнейшее понятие, как мгновенная скорость движения, находится именное помощью предела такого отношения. Поэтому предел этого отношения имеет специальное название: «производная функция» или, короче, «производная». Первое название связано с тем, что если z есть функция t, z{t), то и предел отношения lim -j— = v также есть функция (другая) v (/) перемен- ной t — зависит от значения t, к которому стремятся tx и /,, или, как иначе говорят, v зависит от значения t, «при котором берется производная z». Для производной имеются специальные обозначения.
§ 3] • ОБОЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 61 Один способ обозначения dz .. Az При этом величина -^- (читается: «де — зет по де — тэ») рассматривается не как дробь, а просто как сокращенная запись предела, стоящего справа. Величина -?г записана в форме дроби для того, чтобы напоминать, что эта вели- чина получена из дроби -А- путем перехода к пределу. Другое обозначение производной — с помощью штриха, v = z'(t), или, например, для функции у (х) В механике иногда производные по времени обозначают точкой сверху, -^-=х, но мы такими обозначениями пользоваться не будем. Иногда вместо знака функции подставляют ее выраже- ние: так, например, если z = at* ~\-b, то можно писать dz d(at*-i-b) . ,t i u\r вместо -дт- прямо \ ^—- или (at -\- о) . Найдем алгебраически производную от функции Для этого составим отношение b.t At Раскроем в числителе скобки: + ДО' — *' = *" 4- 2/ • А* + (М)г — Г = 2/ • A/ -f (ДО2- Составим отношение Az 2 Al Теперь легко найти предел: очевидно, что если вели- чина представляет собой сумму слагаемого, не зависящего
62 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II от Д^ (в данном случае 2t), и самого Д/, то при стремле- нии Д/ к нулю останется просто слагаемое, не зависящее от At: *=*-?>=» Ига -?г = lira Bf-fc-AQ = 2/. dt dt if^0 At ^^/ ^ Рассмотрим еще пример: Az = (/ +А/I—*•=*•+ 3*'Д В этих примерах предел можно было легко найти, так как при вычислении отношения -~ величина Д/ со- кращалась. Рассмотрим более сложный пример! J_. Z t ' J. \2f-f Al t ' At At Можно ли пренебречь величиной At в первой дроби, в выражении , . ., когда мы перейдем к пределу? Нет, потому что еще не проведено сокращение с величиной Д/ в знаменателе. Заменяя , на -г при малом At, мы совершаем малую ошибку в одном из слагаемых числителя дроби -дх • Однако у этой дроби малы и числитель и знаменатель, если мало At. Поэтому малая ошибка в чи- слителе недопустима. Покажем правильный способ действия: А 1 1 * —(/4- At) At + At t *(/-!-Af) t(t-t-At)' Аг 1 At t{t-\-At)' Теперь можно найти предел (производную), опуская
§ 3] ОБОЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 63 в знаменателе, * 44) ,. r dt lim Г \ 1=_J- L <(<h-aoJ ? • На этих примерах можно увидеть очень важное, основное свойство предела. При уменьшении величины At разность между значением отношения -гт- и пределом этого отно- шения (равным производной) lim —-==—. можно сделать, как говорится, «сколь угодно малой», т. е. меньше любого заданного числа. Поясним это примером. Для z=—, j? _ _ dt i* ' &t t Возьмем, например, t = 2, -уг = —0,25. Можно ли выбрать такое Д?, чтобы -дт- отличалось от своего предела меньше чем на 0,0025? Это значит, что Д^ нужно выбрать так, чтобы -—¦ лежало в пределах между — 0,25 + + 0,0025 = —0,2475 и — 0,25 — 0,0025 = — 0,2525. Под- ставляя выражение -^- при t = 2, найдем, что At должно быть по абсолютной величине меньше 0,02. Точно так же обстоит дело и для других функций: стремление к пределу при Д/—»-0 означает возможность выбора Д/, при котором достигается любая степень при- ближения к пределу. Особенно просто находится производная в частном слу- чае z=/: очевидно, при этом &z = At, -д|- = 1 — отно- шение равно 1 для любых (больших и малых) Д^, а зна- чит, и в пределе. Итак, z=a='« dt dt l' Наконец, постоянную величину z=C тоже можно рассматривать как частный случай функции, но в этом
64 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II случае, очевидно, Дг = 0 при любых Д*, следовательно, имеет место Если функцию умножить на постоянный множитель, то на такой, же множитель умножится и ее производная, например о,а. dz _dCf) dt' о 9t M В общем виде, если то ±. = Очевидно также, что производная суммы двух функций равна сумме .производных этих двух функций: Используя оба эти правила, получим, что производная суммы нескольких функций, взятых с постоянными (но, вообще говоря, различными) коэффициентами, равна сумме производных этих функций с теми же коэффициен- тами: dt —а dt r° dt -\~c dt ¦ Каждое из этих правил легко доказать, составляя Az = z(t-{-At) — z(t); эти правила, которые справедливы для -?- при любом Д/, справедливы и для предела, т. е. для *L. Теперь легко найти производную от многочлена. Пред- варительно выпишем рядом все найденные выше произ- водные: В § 1 мы рассматривали 2@ = 2-^-20^ —
§ 3] ОБОЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 65 Найдем: = 20— юг. Легко убедиться, что значение скорости при ^=1, о=10; которое мы нашли численно, получается из фор- мулы. Точно так же и для функции z*=t* мы нашли численно -д~ = 3 при *=1, что согласуется с формулой -sr=3t • Техника нахождения производных (или, как говорят иначе, дифференцирования функций) подробно изложена в начале следующей части. Забегая вперед, можно отметить, что дифференцирова- ние функций, заданных формулами, оказывается сравни- тельно простым и легким делом, более легким, например, чем решение алгебраических уравнений. Формулы для производных никогда не получаются более сложными (более сложного типа), чем формулы для самих функций; так, например, если функция является многочленом у = а + Ьх + сх* + lx* + fx\ то производная ее тоже является многочленом (это относится к многочленам любой степени). Если функ- ция является алгебраической дробью, то и производная является дробью. Если функция содержит корни или дробные степени, то и производная содержит их. Произ- водные от тригонометрических функций также являются тригонометрическими функциями. А в некоторых случаях, например для логарифмической функции, производная оказывается функцией даже более простого типа (в данном случае алгебраической дробью). Для нахождения производных не надо остроумия или выдумки, задача всегда решается аккуратным, последо- вательным применением простых правил, которые будут изложены в части III. 3 Я. В. Зельдович
66 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. Ц Производные различных более сложных функций рас- сматриваются в следующей части книги. Ввиду важности данного параграфа повторим основные выводы. 1) Производная функция определяется как предел от- ношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независи- мой переменной! dy ,. ¦37= hm 2) Мгновенная скорость движения тела равна произ- водной координаты тела по времени. По аналогии говорят, что производная ~ дает скорость изменения функции у при изменении переменной (аргумента) х и в тех случаях, когда х не является временем, а у не является координатой. Упражнения 1. Найти алгебраически производную функций: a) z = /* н б) г = ta, задаваясь ty = t ~- , ^» = ^~(~"o~J пРи этом момент t, для которого находится производная, при любом t лежит в середине промежутка времени от tx до tt (см. численные расчеты в конце § 1). Найти производные для функций: 2. у = х*. 3. у=(х + \)г. 4. У = ^хт- S. у = а + ^ . Указание к задаче 6. Умножить числитель и 8'наменатель выражения на сумму Ух -f- A* + У^сГ jr § 4. Приближенное вычисление функции с помощью производной __ йг Производная -^ определяется как предел отношения приращений —¦ при Д?—>¦ 0. При Д/ не равном нулю отношение приращений -дг не равно производной -тг , но
§ 4] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ 67 это отношение приближенно равно -^ и приближение тем лучше, чем меньше Д/. Поэтому приближенно напишем *): -Ti^4t=z'^ Лг = ^-Д/ = г'(/)Д/. D.1) Отсюда найдем и приближенное значение функции г (/ -f- ДО Обратите внимание на то, что в формуле D.2) первый знак равенства точный по определению Дг, второй — при- ближенный. Вернемся к обозначениям tt=t-{-At, t1 = t, которыми мы пользовались раньше. Получим: Таким образом, при малой разности tt — tlt т. е. при tt близком к tt, функция z (tt) может быть выражена при- ближенной формулой, в которую входят значение функ- ции г(/г) и ее производной z' (tx) при t = it. Отметим, что в эту формулу tt входит в первой степени или, как говорят еще, линейно. Приведем пример. Пусть 2 = *' и нас интересуют зна- чения z при / близком к 1. Выберем tx = \, тогда z(tx)=^t\=l, г'(?1) = 3/? = 3 и приближенная формула имеет вид *(^t) = /:=S!14-3(f1—l) = 3/t —2. •) Утверждение, что приближенное равенство Az = г (х -f- Ьх) — г (х) я= г' (х) Дли становится точным в пределе при Дх—»¦ 0, нуждается в разъяснении. При Лх—>-0, очевидно, и Дг—>¦ 0. Поэтому приближенное равенство гД^:а-Дд« при Ах—>-0 становится точным прн любом а, так как это равенство даст 0 = 0. Но мы утверждаем больше: при конечном Ах из Дг=г=2' (х) Ах следует, что -z-^- =аг' (х). Мы утверждаем, что и это следствие из приближенного равенства Дг =а= z'(х) Дх тоже ста- новится точным в пределе прн Ах—>-0. Это следует из определения производной г' (х).
68 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Й ИНТЕГРАЛА [Ч. II Сравним точное и приближенное выражения. Таблица 4 3/, — 2 1 1 1 1 1 I .01 ,0303 .03 1 1 I ,02 ,0612 ,06 1 1 1 .05 ,1576 .15 1 1 1 ,1 ,3310 ,30 1 3 2 ,5 ,375 ,50 2 8 4. 0 Приведем еще пример z=\/rt. Найдем значения функ- ции при t близком к 4. В этом случае zD) = }/~4 = 2. Производная z' (/) =—j= (см. упражнение 6 к § 3). Поэтому г' D)= —-—= -у и приближенная формула имеет вид 24-0,25(/t —4)= 1 + 0,25/,. Сравним и в этом случае приближенное и точное вы- ражения. Таблица 4а УХ 1+0,25*, 4 2 2 5 2,24 2,25 6 2,45 2,50 7 2,65 ' 2,75 8 2,83 3,0 9 3 3,25 Представим себе, что At есть промежуток времени, г'{t) — мгновенная скорость, Дг — приращение пути, т. е. путь, пройденный за время А/. Формула Az = z'(t)At D.4) означает, что путь равен произведению мгновенной ско- рости на промежуток времени. Но ведь мгновенная ско-
§5] КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 69 рость сама меняется со временем. Поэтому D.4) верно лишь в том случае, когда мгновенная скорость не успела заметно измениться за время Д/. Следовательно, чем быстрее меняется величина z' (t), тем меньше Д/ можно брать в формуле D.4). И наоборот, чем медленнее меняется z' (t), тем больше можно брать At, т. е. величина прира- щения Д/, для которого формула D.4) дает еще малую ошибку, зависит от скорости изменения производной на промежутке Д/. Рассмотренные примеры подтверждают этот вывод. В первом примере при изменении /от 1 до 2 (Д/=1) производная z'(/) = 3/* изменяется от 3 до 12 (т. е. в 4 раза). Во втором примере при изменении / от 4 до 9 производная z'(t) = —у=. изменяется от 0,25 до 0,167 (т. е. примерно на 30°/0). Поэтому во втором случае фор- мула Дает хороший результат при больших значениях Д/. Подробно вопрос о границах применения формулы (при заданной требуемой точности) и о возможности ее уточне- ния разобран в последних параграфах третьей части. Все сказанное в равной мере относится и к положи- тельным и к отрицательным приращениям; пример с от- рицательными приращениями дан в упражнениях. Упражнения 1. Найти A,2)*, A,1)*, A,05)*, A.01J, пользуясь формулой D.3). Сравнить полученные результаты с точными. 2. Для функции г (t) = 2 -\-20t—5<* найти при помощи произ- водной z(l,l), гA,05), г@,98). Сравнить с точными значениями. Указание. В последнем случае взять t=\, ht = —0,02. § 5. Касательная к кривой С помощью производной можно решить важную задачу аналитической геометрии — задачу о нахождении касатель- ной к кривой, заданной уравнением y — f(x). Координаты точ- ки касания А считаются заданными: х = х0, y=ya = f (xt). Найти касательную — это значит найти ее уравнение. Очевидно, что уравнение касательной — это уравнение прямой, проходящей через точку касания. Уравнение лю- бой прямой, проходящей через заданную точку A (xt, yt).
70 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II а,уа) можно написать в виде Для того чтобы найти уравнение касательной, остается опреде- лить величину k—угло- вой коэффициент каса- тельной (ее «крутизну»). Для этого сперва найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А, В рассматриваемой кри- вой (рис. 33); такую пря- мую называют секущей. Когда эти две точки "? кривой сближаются, то прямая приближается к Рис- 33. касательной. На рис. 33 показаны две секущие через точки А и В и через А и В', причем В' лежит ближе к Л по сравнению с В. Чем ближе вторая точка к точке А, тем ближе секу- щая к касательной. Поэтому угловой коэффициент каса- тельной равен пределу, к которому стремится угловой коэффициент секущей при стремлении к нулю расстоя- i ния между двумя точками пе- ресечения секущей с кривой. Угловой коэффициент се- кущей легко выразить через значения функции в точках пересечения. Возьмем в качестве одной из точек пересечения секущей с кривой точку А(хп, у0), в Рис< 34> которой мы хотим провести 0 я касательную к кривой, коор- динаты второй точки пересе- чения В обозначим лг,, ух. Так как эти точки лежат на кривой, уравнение кото- рой есть y = f(x), то у0 =/(*,) и y1=f(x1). Как видно
§ 5] КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ из рис. 34, угловой коэффициент секущей kc равен С О V* V V* Напомним, что выражение углового коэффициента прямой, проходящей через две данные точки, рассматрива- лось раньше, в §§ 3 и 4 части, I. Чтобы получить угловой коэффициент касательной в точке х=хп, нужно брать точку В все ближе к А т. е. нужно, чтобы хх стремилось к ха. Следовательно, угловой коэффициент касательной k равен пределу kc при xt, стремящемся к ха: Обозначим Ах разность ху—ха, xl = xa-\-Ax и соот- ветственно Af=/(*,) —/(*.)=/(*. +Л*) —f(*,). В этих обозначениях угловые коэффициенты секущей kc и касательной k выразятся формулами Следовательно, угловой коэффициент касательной есть производная функции / (х) Мы знаем, что производная функции f(x) сама является функцией х. Так как мы искали угловой коэффициент касательной в точке А(ха, уа), то при вычислении предела ~ мы считали закрепленным значение х = ха. Поэтому в окончательной формуле и стоит /' (д;0), значение производ- ной при х = ха. Рассмотрим пример параболы, у = хх, т. е. /(дс) = дг*. Составим уравнение касательной в точке х0 = 2, ?/« = /(*«) = 4. Мы знаем производную
72 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Следовательно, в интересующей нас точке угловой коэф- фициент касательной Уравнение касательной У — У„=^(х — х0), — 4 = 4(х— 2), у = 4х — 4. Без помощи производных трудно провести касательную к кривой, заданной уравнением y=f(x): нужно вычислить большое число точек кривой, с помощью лекала провести кривую по этим точкам и потом на глаз приставлять ли- нейку к кривой в заданной точке, внимательно следя за тем, чтобы не пересечь кривую вблизи точки касания. С помощью производных мы находим уравнение касатель- ной, по этому уравнению находим две точки, лежащие на прямой, заданной этим уравнением, и проводим прямую (касательную) с помощью линейки по этим двум точкам. В качестве одной точки естественно взять саму точку ка- сания А(ха, уа), вторую точку С на прямой можно взять далеко от А, тогда с большой точностью определится наклон и положение касательной как прямой, проходящей через две точки Л и С. Так, например, выше мы нашли урав- нение прямой, касающейся параболы у=х* в точке ха = 2, уа = 4. Это урав- нение имеет вид у = 4х — 4. Найдем ко- ординаты двух точек на этой прямой: при х = 2 найдем у = 4-2—4 = 4; это есть сама точка ' касания А B, 4), ее ко- ординаты можно было и не вычислять, касательная обязана пройти через нее. В качестве второй точки (С) выберем точку пересечения касательной с осью у: положим х = 0, найдем у = — 4, так что С @, —4) (рис. 35). Отметим любопытное обстоятельство: при х = 0, у = — уа точка С пересечения касательной с осью у лежит ниже оси х на столько же, на сколько сама точка касания ле- жит выше оси х. Это не случайно, такое правило спра- ведливо для всех касательных к квадратичным параболам Рис. 35.
§ 5J КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 73 с уравнением (/=шса. В самом деле, если касательная про- ведена в точке А(ха, t/o=flutj), то ее уравнение есть У — У о = 2аха (х — ха), и при дг = О получаем: Таким образом, касательная проходит через точки А(ха, уа = ах1) и С @, у = — уа = — axl). При построении кривой по точкам трудно точно про- вести кривую, если вычислено мало точек. С помощью про- изводных можно заранее провести касательные к кривой в этих точках; после этого легче и точнее можно про- вести саму кривую. Наглядно ясно, что в точках максимума и минимума кривой касательная горизонтальна. Уравнение горизонталь- ной прямой ?/ = const, угловой коэффициент горизонталь- ной прямой k = 0. В точках максимума и минимума кри- вой, следовательно, равна нулю производная функции y = f(x), графиком которой является кривая (подробно об этом в следующем параграфе). Таким образом, с помощью условия /'(*) = О можно находить координату х точек ми- нимумов и максимумов кривой; координату у при этом легко найти, подставляя х в уравнение кривой. Очевидно, что, зная координаты точек максимума и минимума, можно точнее провести саму кривую. Полезно в порядке упражнения, нарисовав от руки кривую у (х), хотя бы приблизительно, но быстро провести кривую у' (х), обращая внимание на знак у' (х) и на точки, где у' (х) обращается в нуль. Такой пример показан на рис. 36, а (график у {х)) и 36, б (график производной!/' (х)). Точки обращения в нуль самой функции у (х) для про- изводной у (х) ничем не замечательны. Если кривую у(х) поднять параллельно самой себе (верхняя кривая, рис. 36, а), то кривая у' (х) от этого никак не изменится: при парал- лельном переносе все наклоны остаются одинаковыми, на- пример, при х = х0 касательные к кривой у(х) (точка А) и к смещенной кривой (точка В) параллельны, углы оди- наковы. Этот результат соответствует свойству производ- ных: прибавление к функции константы (соответствующее
74 понятие производной и Интеграла 1ч. н параллельному переносу по вертикали на графике) не ме- няет производной. Можно заниматься и другой математической игрой: нари- совав от руки график производной, приблизительно постро- ить график функции. При этом нужно произвольно задать одну точку (хп, у (*„)) и от нее вести кривую вверх или вниз (в соответствии со знаком производной). В заключение заметим, что до сих пор предполагалось равенство масштабов по оси у и по оси х, т. е. что одна в) Рис. 36. единица измерения х и одна единица измерения у выра- жаются на графике отрезками равной длины. Тогда дей- ствительно 1%,а=%* При построении графиков часто пользуются разными масштабами, в особенности когда у и х суть величины разной размерности. Пусть, например, у есть путь, а х — время и откладывается график положения тела в зависи- мости от времени у(х). По оси ординат (у) будем откла- дывать у в масштабе 1 м пути= 1 см на чертеже. По оси абсцисс (я) будем откладывать время в масштабе 1 сек времени =1 см. на чертеже. Тогда действительно скорость движения v, выраженная в метрах в секунду и равная производной ¦—, равна tg а, тангенсу угла касательной на графике. Но если мы выберем другой масштаб для шкалы х,
§ 5] касательная к кривой 75 например 1 сек = / см = 5 см на чертеже, то получим: te а =-*? —L *Z = 1 *И. — JL „ _fl /d / d* 5 <*х—Ъ сек' В общем случае, если одна единица х на чертеже от- кладывается в масштабе / см, а одна единица у отклады- вается в масштабе п см, то Когда г/ и jc — именованные (размерные) величины, на- пример, у— метры, х — секунды или у — килограммы, х — месяцы (зависимость веса ребенка от времени), произ- ¦ du du водная -# тоже имеет размерность: в первом случае -~ = v — это скорость движения, размерность —, во втором случае^ — это скорость увеличения веса, кг\месяц. Тригонометрическая функция tga безразмерна (она равна отношению длин двух отрезков). Поэтому и не мо- жет быть простого равенства tg a = ~-, так как в нем ле- вая часть и правая часть имеют разные размерности. Мас- штабные множители 2илв формуле tg a = -^- • ^ как раз и делают равенство правильным с точки зрения размер- ности. Так, во втором примере/ имеет размерность см/месяц A см на графике на 1 месяц возраста), п имеет размер- ность см!кг A см на графике на 1 кг веса), так что -у • ^ безразмерно. В формуле п (— ( см \ \ месяц ) месяц все размерности сокращаются. Об этом следует помнить при сравнении производной и наклона кривой.
76 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Упражнения пределах от х = — 1,5 до в точках х = — 1, х = О, 1. Построить график у = ха -J- 1 в х = 2,5 н провести к нему касательные х=1,х==2. 2. То же для функции у = х* — Ъх*. — 1 < х < 3,5, касатель- ные при х = —1, 0, 3. Найти точки с горизонтальной касательной. 3. Найти точки с горизонтальной касательной для кривой у =х* — х -f- 1. Построить кривую при — 2 < х < 2. Указание. Упражнения 1—3 желательно выполнять на мил- лиметровке п крупном масштабе. 4. Построить кривую у' (х) для функции у(х), заданной рис. 37. У 2 О -1 -2 5 6 Рис. 37. -12 х Указание. Сперва перерисовать рис. 37 на чистый лист и там же строить у'(х), чтобы не лишать удовольствия следующего читателя. 5. Провести кривую у (х) через точку х= 5, у = 0 для кривой у' (х), заданной рис. 38. Под каким углом у (х) пересекает ось ординат? Под каким углом у(х) пересекает ось абсцисс при х = 5? У' 2 1 0 -1 -2 а> i м 1 2 Л ' \ ' ' 'л ' ' J » X 4 5 6 7\в 9/iQ Рис. 38. Указание. То же, что и к упражнению 4. 6. Составить уравнения касательных к кривой у=ха в точках « = 0,5 и х=1. Найти точки пересечения касательных с осями х и у. 7. Найти общее правило для точек Пересечения с осями каса- тельных к кривым y = axx, y = bxa.
§ 6] РОСТ И УБЫВАНИЕ, МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ 77 § 6. Рост и убывание, максимум и минимум функций Пусть нам задана зависимость какой-нибудь физиче- ской величины, например температуры, от времени. Итак, z — это температура, t — время, и дана формула для функции z(t). Как определить, растет или падает температура в данный момент /? Как определить, в ка- кой момент температура достигает максимума или минимума? Не зная производных, ответ на первый вопрос нужно искать численно: иайти температуру в данный момент t, затем взять какой-то следующий момент tt и посмотреть, выросла температура или упала? Очевидно, что такой спо- соб ненадежен: если z(tj и больше чем z(t), то ведь не исключено, что в момент t температура падала, вскоре (после /, но до г,) достигла минимума, а уже после этого стала расти и к моменту tt стала выше z{t). С помощью производных вопрос решается точно: надо найти производную -4. Если -r=z' (t) при заданном t есть положительная величина, то z(t) есть растущая функция: при увеличении t на малую величину Д^ температура изменится на малую величину Az = z'(t)-At (как было выяснено раньше, чем меньше At, тем точнее это равен- ство). Мы рассматриваем Д/ > О — увеличение времени. Если z'(t)>0, Д/>0, то и Дг>0, т. е. с течением вре- мени температура растет. Если z' (t) < О, At > 0, то Дг < О, т. е. температура в следующий момент z (t-\-At) будет ниже температуры z(t) в данный момент. Таким образом, положительная производная указывает на то, что функция является растущей, а отрицательная производная — на то, что функция падающая. Выражения «растущая функция» и «падающая функ- ция» применяются не только к зависимости от времени, но и к любой функции у(х); при этом растущей функцией называется такая, у которой у увеличивается при увели- чении независимой переменной х. Производная ^ как раз и дает скорость роста, т. е. отношение изменения у к изменению х. Отрицательная скорость роста означает падение, уменьшение у при уве- du I du\ личении х, и если ^<0. то ( — j-) есть скорость падения.
78 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Выражение «величина у имеет большую отрицательную производную по хъ обозначает, что у быстро падает с уве- личением х. Положительная производная-^ означает, что у растет с ростом х. Физики и математики, в особенности будущие физики и математики, только что узнавшие, что такое производ- ная, часто применяют это понятие и в повседневной жизни: «производная от моего настроения по времени положи- тельна» — вместо «мое настроение улучшается». Решите задачу-шутку: какой знак имеет производная от настроения по расстоянию до кресла зубного врача? Настроение ухудшается, «уменьшается», становится «отри- цательным» по мере уменьшения расстояния, значит, про- изводная положительна. Может быть, писатели будут сетовать на засорение языка, но на самом деле такое вольное шуточное употреб- ление математических понятий — это хорошая тренировка для будущих серьезных применений. Есть функции, имеющие один и тот же знак производ- ной при любых значениях переменной: таким свойством об- ладает, например, линейная функция y = kx-\-b, у кото- рой -ж. = к — постоянная величина. Позже мы увидим, что у показательной функции у = ах производная имеет по- стоянный знак (хотя и не постоянна по величине) при лю- бых х. Однако постоянный знак производной, конечно, совершенно не обязателен; знак производной данной функ- ции может быть различным при различных значениях не- зависимой переменной. Представим себе функцию у (х), производная которой у' {х) положительна при х<ха и отрицательна при х > дг0: кратко, у'(х)>0, х<хп) у'(х)<0, х>ха. Что можно сказать о такой функции? Начнем с х < ха. При увеличении х до хп. у будет расти; при дальнейшем увеличении х у падает. Отсюда вывод: при х = хп функ- ция у(х) имеет максимум. Рассмотрим противоположный случай: у' (х) <0, х<ха; у' (х) > 0, х > х9. Рассуждая таким же способом, придем к выводу, что в этом случае при х — хп у{х) имеет минимум.
§ 6J РОСТ И УБЫВАНИЕ, МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ 79 Если функция у (х) задана формулой, которой соответ- ствует плавная кривая, так что и у' (х) плавно изменя- ется при изменении х, то разный знак у' (х) при х < ха и х> х„ в обоих случаях обозначает, что при х=-хп #(л;0) = 0. Таким образом, приравнивая нулю производную, мы можем найти те значения независимой переменной, при которых функция имеет максимум или минимум. Об исключениях из этого правила для негладких кривых поговорим позже, в части IV. Приведем численный пример. В § 1 части I была со- ставлена таблица функции у = Ъх*— х* — х, см. стр. 12. Судя по этой таблице, можно было бы думать, что функ- ция является растущей при всех значениях х, так как каж- дое увеличение х на единицу вызывало увеличением/. Составим производную Взяв дг = О, получим у' @) = —1<0. Значит, при х = 0 функция — падающая; это опровергает предположение, что функция везде растущая, полученное из рассмотрения таб- лицы. Приравняем у' (х) нулю. Решая уравнение 9хг — 2х— 1=0, найдем два корня: ^ = —0,24; хг = + 0.46. Составим более подробную таблицу, ные точки максимума и минимума. включая найден- Таблица 5 X У — 2 — 26 — 1 — 3 — 0,30 + 0,129 — 0,24 + 0,140 — 0,18 + 0,131 X У 0 0 0,40 — 0,372 0,46 — 0,381 0,52 — 0,370 1 2 + 18
80 понятие производной и интеграла [ч. п Мы видим, что, действительно, на участке от х==— 0,24 до * = 4-0,46 функция у падает от +0,14 до —0,38. Сравнение значений у (—0,24) с соседними у (—0,30) и у(—0,18) подтверждает, что при * = —0,24 у достигает максимума, соседние у меньше. Здесь же мы видим, что слово максимум надо понимать не в смысле наибольшего из всех возможных вообще зна- чений у. В самом деле, в точке максимума у{—0,24) = -[-0,14, а при х=\ у=\, при х = 2 у = -\г\8, при х= 10 # = 269, и т. д., при неограниченном увеличении х у также неограниченно растет. Чем же отличается най- денная нами точка максимума*) хтях = — 0,24, # = 0,14? Отличие ее в том, что при близких соседних значениях х, как больших #max, так и меньших хтлх у меньше, чем Утах = У (Хтах)- Эта ОСОбеННОСТЬ Хтлх НЭГЛЯДНО ВИДНЭ в таблице (сравните у(—0,30), у (—0,24) и у (—0,18)). Такие же соображения относятся и к минимуму: при *mln = 0,46 #min = — 0,381; при больших по абсолют- ной величине отрицательных х у неограниченно умень- шается и становится меньше утщ., но xmin, Утш отличается тем, что ymin меньше значении у при х, близких к хт\п- Условие равенства нулю производной дает возможность найти именно такие максимумы и минимумы. Определение максимумов и минимумов арифметическим путем, вычислением и сравнением значений функции при различных значениях аргумента, является во много раз более трудоемким и менее точным. Высшая математика является не только замечательным идейным достижением. Практические, конкретные вычислительные задачи также гораздо легче решаются методами высшей математики. Остановимся в заключение данного параграфа на вопросе о том, как отличить максимум от минимума, когда мы пользуемся условием у'(х) = 0. Это условие вы- полняется и в максимуме и в минимуме, разница же за- ключается в знаке у' (х) при х<ха и при х>ха. Как определить знак у' (х) при х, близком к ха, не вы- числяя непосредственно у' для других значений х? В первом *) Значок max при х — сокращение латинского слова maximum — максимум, читается: «икс — макс» или «икс — максимум»; значок min — minimum — минимум.
§ 6J РОСТ И УБЫВАНИЕ, МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ 8} случае мы видели, что функция у (х) имеет максимум, когда у'(х)>0 при х<ха и у'(х)<0 при х>хп. Следова- тельно, в этом случае производная у' (х) сама представ- ляет собой падающую функцию: по мере роста х про- изводная, которая сначала была положительной (прилс<х0), обращается в нуль (при х = ха) и, продолжая падать, ста- новится отрицательной при дох,. Но мы уже знаем, как отличить падающую функцию: ее производная отрицательна. Следовательно, в первом случае при том значении х = хтгх, при котором у имеет максимум, у' (ха) = 0, а производная от производной отрицательна. Такая величина—производ- ная от производной,— которую можно по общим правилам трехэтажно записать ЧУ J\dx) Ах dx ' имеет свое название — «вторая производная». Ее обозна- чают также у" {х) или ~г. Итак, условие максимума у'(х) = О, у"(х)<0. Таким же способом можно проверить, что при том ху для которого у'(х) = 0, у"(х)>0, функция у (х) имеет минимум. Обратимся к примеру, рассмотренному выше, у = 3х'— х1— х, у' = 9х* — 2х—1. Взяв производную от у', найдем: у"=\8х — 2. При х = — 0,24 #' = 0, у" = — 6,3<0, и действитель- но, дг = — 0,24, е/ = 0,14 есть максимум. При х = ~\-0,4& у' =0, #" = +6,3>0, ПрИ х = о,46 у = — 0,38, у имеет минимум. Упражнения Найти значения х, при которых достигается максимум или ми- нимум нижеследующих функций. В каждом случае выяснить, имеем ли мы дело с минимумом нли с максимумом. В функциях, в которые
82 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II входит постоянная, заданная буквой а, дать ответ для а > 0 н для а < 0. \.у = ахх. 2. у=х-\ . 3.у=х-\~—. 4. # = xs —х. Дь X § 7. Определение пути по скорости движения и площадь под кривой Задача об определении мгновенной скорости движения v (t) по заданной зависимости положения тела от времени z{t) привела нас к понятию производной Обратная задача заключается в определении положения тела и пути, пройденного телом за данный отрезок време- ни, когда задана мгновенная скорость v (/) как функция времени. Эта задача приводит ко второму важнейшему понятию высшей математики — понятию интеграла. Условимся об удобных обозначениях. Рассматриваем путь, пройденный за время от /, до tt. Чтобы не писать индексов, назовем начало рассматриваемого промежутка времени одной буквой п («эн»—начало), t1 = n, и конец этого промежутка k («ка» — конец), tx = k. Пройденный путь обозначим z(n, k). Запомним, что когда в скобках под знаком функции г стоят две величины п и k, то z(n, k) есть длина пути, пройденного за время от п до k, тогда как z (t) с одной величиной в скобках есть положение (координата) тела в заданный момент t. Между этими величинами есть простая связь: z(k) = z(n) + z(n, k), \ г(п, k) = z(k) — z(n). I U- > Путь, пройденный за время от п до k, равен разности координаты в конце рассматриваемого промежутка вре- мени z(k) и в начале этого промежутка z (n). Теперь обратимся к вычислению z (n, k). В простейшем случае, если скорость постоянна р(*) = const = »„ G.2)
§ 7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПУТИ ПО СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ 83 пройденный путь, очевидно, равен просто произведению времени движения на скорость г(п, k) = (k — n)va. G.3) Если воспользоваться графиком зависимости скорости от времени, то на таком графике постоянной скорости соот- ветствует горизонтальная прямая (рис. 39). Пройденный путь, очевидно, равен за- штрихованной площади, по- тому что площадь прямо- угольника равна произве- дению основания (k — п) на высоту (о0). Как быть в общем слу- чае, когда мгновенная ско- рость не постоянна? Рнс. 39. Рассмотрим подробно один численный пример. Пусть скорость движения задана формулой*) v = t2. Найдем путь за время от * = л=1 до t = k = 2. • Разобьем весь промежуток от п до k на десять частей и составим таблицу скорости (табл. 6). Сокращенно назо- вем At малые промежутки времени по 0,1 сек, на которые мы разбили весь промежуток от t=n до t=k. Таблица 6 t V 1,0 1,0 1,1 1,21 1,2 1,44 1,3 1,69 1,4 1,96 1,5 2,25 1,6 2,56 1,7 2,89 1,8 3,24 1,9 3,61 2,0 4,0 В чем трудность вычисления пути при скорости v(t) заданной формулой? Очевидно, все дело в том, что ско- рость переменна, для постоянной скорости ответ элемен- тарен. В рассматриваемом примере во всем промежутке времени от ?=1 до ? = 2 скорость меняется в 4 раза. *) Скорость v выражена в см/сек, I — в сек; чтобы соблюдались требования размерности, напишем и = а<*, где а имеет размерность см/сек*. Рассматриваем частный случай, когда коэффициент а численно равен 1 см/сек*.
84 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Однако после того как этот промежуток разбит на 10 частей, в каждом маленьком промежутке времени дли- тельностью 0,1 сек скорость меняется меньше—всего на 10—20%. Следовательно, в маленьких промежутках ско- рость можно приближенно считать постоянной и рассчи- тывать путь в течение малого промежутка времени как произведение этого промежутка времени на скорость. Для вычисления пути в каждом промежутке At, составляющем 0,1 сек, используем начальную скорость в этом At: 1 см /сек в At от 1 до 1,1 сек, 1,21 см j сек в Д* от 1,1 до 1,2 сек и т. д.; наконец, 3,61 см\сек в последнем Д^ от 1,9 до 2,0 сек. Полный пройденный путь за промежуток времени от ?=1 до * = 2 при этом способе подсчета окажется равным z(l; 2) = 0,1 + 0,121+0,144+...+0,361=2,185 см. Очевидно, в таком расчете мы преуменьшили пройден- ный путь: скорость в данном примере с течением времени растет, поэтому скорость в начале каждого At меньше средней скорости. Каждое из десяти слагаемых, на кото- рые разбит весь путь, несколько занижено, следовательно, занижен и весь результат. Теперь подсчитаем путь по-другому, а именно, в каж- дом At будем брать значение скорости в конце проме- жутка At. Для первого At суг 1 до 1,1 сек эта скорость равна 1,21 см\сек, для последнего от 1,9 до 2 сек ско- рость равна 4 см/сек. Тогда для пройденного пути получим: z(l; 2) = 0,121+0,144+...+0,400 = 2,485 см. Такой расчет, очевидно, дает преувеличенное значение *A; 2). Значит, истинное значение' лежит в пределах между 2,185 и 2,485 см. Различие между 2,185 и 2,485 составляет около 15%. Округляя границы для г, получаем: 2,18<z<2,49. Проделанный расчет можно пояснить графически. Построим график (рис. 40), на котором по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость. Для того чтобы ступеньки были хорошо видны, на чертеже проме- жуток времени разбит на пять частей (а не на десять
§ 7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПУТИ ПО СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ 85 частей, как в таблице). Каждое слагаемое в первой сумме представляет собой площадь узенького прямоугольника, основанием которого является соответствующий интервал Д/, а высотой—скорость в начале интервала. Следова- тельно, сумма представляет собой площадь под ломаной (ступенчатой) линией, заштрихованную на рис. 40. Вторая сумма, в которой в каждом интервале бралась скорость в конце промежутка, соответствует площади, заштрихо- ванной на рис. 41. 2 X О Рис. 40. Рис. 41. Как точнее подсчитать путь, пройденный за данное время, от t = п = 1 сек до t = k = 2 сек? Различие между нижней и верхней оценкой, т. е. разность между величинами 2,18 и 2,49, зависит от изме- нения скорости в пределах каждого интервала Д7. Для того чтобы найти более точное значение гA; 2), надо разбить весь промежуток времени от 1 до 2 сек на большее число промежутков меньшей длины. Так, напри- мер, если разбить промежуток от 1 до 2 сек на 20 про- межутков Д? по 0,05 сек, то такой же расчет даст по начальным скоростям в каждом At z(l; 2) = 0,05+ 0,05-1,1025+...+0,05-3,8025 = 2,25875, а по конечным скоростям z(l; 2)=0,05-1,1025+0,05-1,21 +.. . + 0,05-4 = 2,40875.
86 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Различие между 2,25875 и 2,40875 составляет около 7%. Пределы, в которых заключено гA; 2), сузились. Округ- ленно 2,26 < г A; 2) < 2,41. При уменьшении Д* результат приближается к истин- ному значению пути, которое будет вычислено в дальней- шем и окажется равным A j 2.) —— Z -TJ- = 2,, ооЗ... При уменьшении At уменьшается различие между начальной и конечной скоростями в каждом малом проме- жутке At, следовательно, уменьшается относительная ошибка в каждом слагаемом; поэтому и вся сумма путей за все At, т. е. величина гA; 2), опре- деляется тем точнее, чем меньше At (число малых промежутков, равное Tj-, при этом увели- чивается). Геометрически очевидно, что при увеличении числа проме- жутков Д* и уменьшении длины каждого промежутка уменьша- ются размеры каждой ступень- ки на рис. типа 40, 41 и, сле- довательно, ступенчатая линия ¦*? становится все ближе к кривой v(t). Таким образом, мы при- ходим к- выводу, что путь, пройденный за время от t = n до t = k при произвольной зависимости мгновенной скорости от времени v (t), равен площади ограниченной кривой v(t), вертикалями t = n и t = k и осью t (рис. 42). Этот вывод дает способ практического вычисления пути: можно построить график на миллиметровке и опре- делить заштрихованную площадь либо подсчетом клето- чек, либо, например, вырезав эту площадь из бумаги, взвесив вырезанный листочек и сравнив его вес с весом О Рис. 42.
§ 7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПУТИ ПО СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ 87 вырезанного из той же бумаги прямоугольника или квадрата с известной площадью. Такой способ удобен и вполне оправдан, когда ско- рость известна не точно, задана в виде таблицы или гра- фика, полученных из опыта. Но мы не остановимся на этих приближенных способах и выясним дальше, как выразить формулой пройденный путь, когда скорость задана формулой. Можно уточнить и численный метод определения пути по сравнению с теми вычислениями, которые были приве- дены выше: для этого путь в каждом малом промежутке времени будем определять по среднему арифметическому (т. е. полусумме) начальной и конечной скорости в данном промежутке. При таком способе, при разбивке на десять промежутков, скорость в первом промежутке от 1 до 1,1 сек примем равной ^ ' = 1,105 см\сек и путь за этот промежуток времени 0,1105 см, путь за второй промежу- ток 0,1 •——~JT ' =0,1325 см и т. д. Складывая их, получим таким способом путь, пройденный за все время от л=1 сек до k = 2 сек, равным гA; 2) = 0,1105+0,1325 + ...=2,335 см. При разбивке на 20 промежутков получим таким же спосо- бом (по полусумме скоростей) гA; 2) =^2,33375 см. Эти значения гораздо ближе к истинной величине 2,3333 см, чем вычисленные по начальному или конечному значению скорости при том же числе промежутков: при десяти промежутках ошибка равна 0,07"/0 вместо 15°/0 в прежнем способе, при 20 промежутках ошибка 0,02°/0 вместо 7°/0. Такой способ также можно наглядно пояснить на гра- фике. Произведение полусуммы скоростей в начале и в конце промежутка на величину промежутка времени есть площадь трапеции ABCD (рис. 43): ее основания АВ и DC, высота AD, площадь ЛД-f-DC 2
88 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Поэтому определение пути по полусуммам скоростей называется «методом трапеций». При том виде, кото- рый имеет кривая v (t) на рис. 43, площадь трапеции несколько больше площади, ограниченной прямыми ВА, AD, DC и отрезком кривой ВС. Разность площади тра- пеции и площади, ограниченной отрезком кривой, равна площади луночки, образованной хордой ВС и отрезком кривой ВС (заштрихована на рис. 43). Эта площадь и дает ошибку — разность между истинным зна- чением пути и вычисленным по методу трапеций. Сравнение с рис. 40, 41 наглядно показыва- ет, что ошибка в методе трапе- ций должна быть меньше, чем в методе ступенек. Рис- 43. Когда мы сравниваем путь и площадь на графике, необхо- димо учитывать масштаб, в котором составлен график. Пусть на графике 1 см по оси абсцисс соответствует про- межутку времени Т сек, 1 см по оси ординат соответст- вует скорости V см\сек. Тогда при движении с постоян- ной скоростью vn в течение времени от п до k путь ра- вен v0 {k — п), а площадь прямоугольника на графике (рис. 39) равна С "о F — ") „,.г Таким образом, z(n, k) = SVT.' Это соотношение между пройденным путем и площадью на графике скорости, ограниченной кривой v (t), осью абсцисс и вертикалями, сохраняется и в случае переменной ско- рости и произвольной зависимости v (t). Таким образом, мы подробно рассмотрели способы при- ближенного численного и графического определения пройденного пути по заданной зависимости скорости от времени.
§ 8] " ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 89 § 8. Определенный интеграл В предыдущем параграфе две задачи: задача определе- ния пройденного пути и равносильная ей задача опреде- ления площади под кривой — привели к рассмотрению сумм особого вида с большим числом малых слагаемых. Постановка этих задач приводит к понятию интеграла. Величина пути z(n, k), найденная по заданной скоро- сти v(t), называется «определенным интегралом функции v (t) — скорости по переменной t — времени, взятым от п до k». Дадим математическое определение интеграла, соответ- ствующее тем идеям, которые были иллюстрированы числен- ным примером предыдущего параграфа. Это определение останется верным и в том случае, если рассматриваются не скорость и путь, а какие-либо другие физические или математические величины. п н to tt tj tj t4 t,., t, tm -+^—h—н—i—у н—. Рис. 44. Итак, пусть дана функция v(t). Для нахождения ее интеграла от п до k разбиваем промежуток от п до k на большое число т. малых промежутков. Значения аргу- мента t на границах малых промежутков обозначим /0, tx, tx, ..., tm_lt tm. При этом, очевидно, tu = n и Последнее tm = k (рис. 44). Длины малых промежутков времени Д* равны разности соседних значений t *). Номер промежутка соответствует номеру аргумента в конце промежутка (рис. 44). Таким образом, для *) Если разбивать промежуток от п до k специально на от рав- ных частей, то каждый промежуток Д* = . Однако для даль- нейшего не обязательно, чтобы все части, на которые разбит проме- жуток, были равны между собой, нужно только, чтобы каждый про- межуток Д? был мал. Читатель может убедиться в этом, продумав пример путь — скорость из § 7.
90 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II какого-нибудь произвольного I Atl=tl—tl_l. Значки снизу у величин t и At представляют собой не множители, а номера, или, как' их иначе называют, «индексы» (см. стр. 19). Приближенное значение интеграла z(n, k) дается фор- мулой г {п. k)*J%v(tt_x)&tt. (8.1) Знак 2 есть прописная греческая буква 2 (читается: «сигма»). Буква 2 в греческом алфавите соответствует букве S латинского алфавита — первой букве слова сумма. 2 означает, что выражение, стоящее справа от этого знака и /=i зависящее от индекса /, надо взять при всех значениях / от 1 до т и все эти выражения надо сложить. Так, например, если т=\0, то f.-f °('»)А'. + ••• + » С.) А',.- В примере § 7 в табл. 6 /0=1, /,=^=1,1, /,= 1,2, ..., z(l; 2) = г (я, ft)W2°*'-iA*,= 2,185. В приближенном выражении (8.1) в каждом промежутке значение функции v (t) бралось в начале промежутка — в точке t[_l. Другое приближенное выражение получим, беря в каждом промежутке значение функции в конце промежутка г (я, 6) ~'1> О1,) Дг,. (8.2) В примере § 7 при т=10 эта сумма равнялась 2,485. Определенным интегралом функции v (/), взятым от п до к, называется предел, к которому стремятся суммы (8.1) и (8.2) при стремлении к нулю всех промежутков At.
§ 8] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 91 Интеграл записывается в виде *) k z(n, k) = \v(t)dt. (8.3) Знак ^ (интеграл) происходит также от латинской буквы 5 (первой буквы слова «сумма»), он получился растягива- нием этой буквы. Знак dt в отличие от At означает, что для получения точного значения интеграла необходимо перейти к пре- делу, когда все промежутки At стремятся к нулю. Фор- мулы (8.1) и (8.2) с конечными At дают только прибли- женные значения интеграла. Напомним, что в § 2, рас- сматривая производную, мы также заменяли конечные отрезки Дг и At дифференциалами dz и dt. Когда малые промежутки At становятся все мельче и мельче, то уже становится безразличным, брать ли зна- чение функции v в начале, в конце или где-нибудь внутри промежутка, т. е. безразлично, исходить из (8.1) или из (8.2), н в формуле (8.3) стоит просто v (t) — зна- чение функции в промежутке dt, без указания того, берется значение v (t) в начале или в конце проме- жутка. Следующее отличие интеграла (8.3) от сумм (8.1) и (8.2), которые дают приближенно значения интеграла, заклю- чается в том, что при уменьшении величин At и при увеличении числа малых промежутков мы отказываемся от того, чтобы нумероаать их. Поэтому у интеграла ука- зываются только пределы изменения t от п до k. Величина п ставится снизу и называется нижним пре- делом интегрирования, величина k стоит у верхнего кон- ца знака интеграла и называется верхним пределом **). *) Читается: «зет от эн, ка равняется интегралу от эн до ка вэ от тэ де тэ». **) В этом параграфе слово «предел» употребляется в двух смыс- лах: интеграл есть предел суммы в том же смысле, в котором производная есть предел отношения. Здесь слово «предел» соответст- вует знаку lim. Кроме того, мы говорим о пределах изменения t от п до к, о пределах интегрирования я и Л. Здесь слово «предел» имеет другой смысл. Внимательный читатель не запутается в этих двух значе- ниях слова «предел».
92 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Промежуток изменения t от п до k называется проме- жутком интегрирования, функцию v (t) в выражении интеграла называют «подынтегральная функция», t — «пе- ременная интегрирования». Таким образом, интеграл определяется как предел, к которому стремится сумма произведений значений функ- ции на разность значений аргументов при стремлении к нулю всех разностей аргументов: lira 1—т У v(tl)Atl= Km У v(tl_1)Ati=\v(t)dt. (8.4) л Хотя первая и вторая суммы в равенстве (8.4) при конечном числе малых промежутков различны, пределы их при неограниченном уменьшении всех промежутков Д/ одинаковы. Понятие предела суммы можно пояснить численным примером предыдущего параграфа для § t'dt. В таблице 1 в верхней строке указано число интервалов т, во второй строке — длина каждого интервала At, в третьей строке — сумма, в которой функция берется в начале промежутка, в четвертой строке — сумма, в которой функция берется в конце промежутка. Стремление этих двух сумм к оди- наковому пределу наглядно видно. т. М 2<'-.д< 2 *ы 10 0,1 2,18 2,49 20 0,05 2,26 2,41 50 0,02 2,30 2,37 00 0 2,33 2,33 Заметим, что в данном случае суммы выражаются сравнительно простыми точными формулами, справедли- выми при любом числе равных интервалов т и соответ-
§" 8] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 93 ствующей величине Af = * ~ ' = —: tn tn Вывод формул (8.5) и (8.6) для понимания дальнейшего знать необязательно*). В этих формулах предел при Д*. стремящемся к нулю, находим непосредственно **): пола- гаем Д? = 0, получаем предел 7/3 = 2,333... При стремлении Д^ к нулю каждое отдельное слагае- мое стремится к нулю, но зато возрастает, стремится к бесконечности, число членов суммы. Сама сумма стре- мится к вполне определенному пределу, являющемуся решением задачи и называемому «интеграл». Этот предел, *) Эти формулы получаются с помощью элементарной алгебры. Задачу можно свести к нахождению суммы квадратов натуральных чисел. Легко видеть, что </=—'—; обозначим m-\~l = k. Первая сумма равна —j( 2 **— 2 **)• вторая сумма равна rrs" ( 2 ** — 2 **)• Для нахождения суммы квадратов 2 ** (k -t- 1)' — ft' . 1 „ используем тождество k* = -—!—^ я ^-. Суммируя, полу- ^^ чнм 2 я1== "о" (i -f- l)s — 5] ^ — "Т • ^° Формуле суммы членов арифметической прогрессии 2 * == о • Отсюда окончательно k = n j 2 **=: "с" п (п -f-1) Bn -(- 1). С помощью этих формул, подставляя т = —•, получим приведенные в тексте выражения. *•) Заметим, что путь, найденный методом трапеций, при данном числе интервалов равен полусумме путей, найденных по начальной и по конечной скорости в каждом интервале. Таким образом, для метода трапеций путь равен -я-+ -ц-(&0г, предел при Д< -+ 0, есте- ственно, тот же самый.
94 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. U т. е. интеграл функции, равен пройденному пути, если функция представляет собой мгновенную скорость. Поскольку переменная интегрирования может прини- мать значения п и k, то ясно, что пределы интегриро- вания имеют размерность и их размерность равна размер- ности переменной интегрирования (в примере путь—ско- рость пределы интегрирования имеют размерность времени). Размерность интеграла легко получить из фор- мулы (8.1). Действительно, размерность суммы равна раз- мерности отдельных слагаемых. Отдельные слагаемые суммы (8.1) имеют размерность, равную произведению размерности подынтегральной функции на размерность переменной интегрирования. В примере путь — скорость размерность интеграла есть см\сек-сек=см.. Заметим, что величина определенного интеграла зави- сит от значений стоящей под знаком интеграла функции лишь внутри промежутка интегрирования. Значения функции вне промежутка интегрирования на величину интеграла никак не влияют. Это станет совершенно ясным, если вспомнить пример путь — скорость. Пройден- ный путь зависит, конечно, от скорости (р (t)), но зависит лишь от ее значений внут- ри промежутка интегриро- вания. Пройденный путь z (n, k) совершенно не за- висит от того, какова была скорость до момента ? = я (от которого мы начали рас» сматривать движение) и какова она стала после мо- мента t = k. В § 7 отмечалось, что путь можно определить, вычислив площадь на графике зависимости скорости от вре- мени. Задача нахождения площади S, ограниченной сверху кривой с заданным уравнением у (х), снизу — осью абсцисс (осью х), с боков — линиями х=а и х = Ь (рис. 45), также сводится к вычислению интеграла ь b b+Jb з? Рис. 45.
§ 8] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 95 Для пояснения нужно вернуться к рис. 40 и 41; пред- ставим себе, что по оси ординат откладываются значения какой-то функции у(х), по оси абсцисс—независимая переменная х, причем у (х) не имеет отношения к движе- нию и скорости; вместо п и k подставим буквы а и Ь. Сумма площадей прямоугольников, заштрихованных на рис. 40, равна 2 l/fo-i) A*f a такая же сумма на рис. 41 равна У у (xt) • Ахе. В пределе при Ахе—*0 эти суммы по определению равны интегралу, а сумма площа- дей прямоугольников стремится к площади ограниченной кривой у(х), так как чем меньше все Д^, тем ближе к кривой ломаная (зубчатая) линия, ограничивающая пр ямоугольники. В заключение отметим, что определенный интеграл зависит от подынтегральной функции и пределов интегри- рования, но не зависит от обозначения переменной интег- рирования. Поясним сказанное. Пусть дана, например, подынтегральная функция »(*)==3*' + 5. Подставив значение t = x, получим: При вычислении же интеграла безразлично, как называ- лась переменная интегрирования, важно только, в каких пределах она менялась, каковы были значения функции. Поэтому к к z (n, k) = J v (t) dt=\)v {x) dx. п п Переменную интегрирования можно называть как угодно. Переменная, которая не входит в окончательный результат, подобно переменной интегрирования, назы- вается немой переменной. Переменную интегрирования можно заменить под интегралом любой буквой, не нару- шая справедливости формул. Обычную, не немую, пере- менную можно заменять другой буквой только во всех частях формулы: например, в формуле (х-\- \)г=хг-\-2х-\-\
96 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II нельзя написать (t-\-\y=x2~\-2x-X-\, а в интегралах можно писать к к \ v @ dt = J v (х) dx. п п Упражнение Рассмотреть случай v = at-\~b (равноускоренное движение). Найтн путь за время от п до k, разбивая это время на т равных интервалов; воспользоваться тем, что слагаемые сумм образуют арифметическую прогрессию. Найти предел суммы при т -*-оо. Срав- нить полученное выражение с площадью трапеции на плоскости v, t, равной пройденному пути. § 9. Связь между интегралом и производной Будем считать заданной и известной зависимость от времени мгновенной скорости v(t). Будем считать постоянным момент tJ = n начала пути. Рассмотрим путь, пройденный за время от tl = n до tt = k, как функцию конечного момента k. Мы знаем, что z(&, n)=z(k) — г (л). Возьмем производную от левой и правой частей; при этом п рассматривается как постоянная величина, следо- вательно, и г (п) есть постоянная величина. Получим: dz(k, n) dz (k) dk dk ' Но мы знаем, что производная от координаты тела по времени есть не что иное, как мгновенная скорость тела значит, и Подставим сюда выражение г(п, К) в виде интеграла. ПОЛУЧИМ1
§ 9], СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ 97 Это равенство является важнейшим общим свойством определенного интеграла. Это равенство в таком виде является общей математической теоремой; его правиль- ность не зависит от того, является ли v (t) скоростью (а интеграл — путем) или v (t) есть какая-то другая вели- чина. Для любой функции, например у(х), имеем: y{b). (9.2) Формулировка теоремы: производная от определен- ного интеграла по его верхнему пределу равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе. Ввиду важности теоремы дадим другой вывод ее, ос- нованный на рассмотрении площади. Производную будем вычислять по всем правилам, как предел отношения прира- щения функции к приращению независимой переменной. Рассматриваем . , Этот интеграл есть площадь, ограниченная сверху кри- вой у {х), снизу осью х, слева — вертикалью х =а, справа — вертикалью х = Ь (см. рис. 45). Как найти приращение интеграла? По общим правилам Д/ = / (a, b -f- Д6) — / (а, Ь). Площадь, равная интегра- лу / (а, Ь-\- Д6), отличается от площади / (а, Ь) тем, что правая вертикаль сместилась еще вправо на Д6 (см. рис. 45). Следовательно, приращение Д/ есть разность двух площадей: площади от а до Ь-\-АЬ и площади от а до Ь. Очевидно, Д/ есть площадь полоски, заштрихованной на рис. 45. Основанием этой полоски на оси х является отре- зок длиной Д6. Искомая производная равна пределу Д/ Очевидно, что при стремлении Д6 к нулю площадь по- лоски приближается к у(Ь)АЬ, а отношение дг — к вели- чине у(Ь). Таким способом мы снова наглядно доказали 4 Я. Б. Зельдович
98 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИНТЕГРАЛА [Ч. II теорему ft ?(§y(x)dx)=y(b). (9.2) а. Определенный интеграл известной функции у (х) или v (t) есть функция пределов интегрирования а, Ъ или п, k. Определение интеграла как предела суммы, которое было дано в предыдущем параграфе, объясняет нам, какую роль играет понятие интеграла в решении физических задач: в вычислении пройденного пути при переменной скорости v (t), в определении площади, ограниченной кривой, заданной уравнением у = у (х). Но это определение не дает удобного общего способа вычисления интеграла, не дает удобного способа нахождения интеграла в виде формулы, как функ- ции пределов интегрирования *). Способ нахождения такой формулы следует из дока- занной выше теоремы о производной от интеграла. При этом, кроме свойства производной от интеграла, исполь- зуется еще второе свойство определенного интеграла: опре- деленный интеграл равен нулю, когда верхний и нижний пределы его совпадают z(n, fe = n)= J v(t)dt = O. n Это свойство вполне очевидно: путь равен нулю, если время пути k—п=п—п = 0. Сама формула, дающая значение интеграла как функ- ции пределов интегрирования, будет выведена таким спо- собом в § 12. Предварительно в § 11 мы дадим более простой вывод. § 10. Интеграл от производной Пусть подынтегральная функция v(t) равна производ- ной известной функции f(t), 2 *) Лишь в редких случаях и с трудом удается провести сумми- рование произвольного числа малых слагаемых так, как это сделано для v = tx в формулах (8.5) и (8.6) и для v = at-\-b а упражне- ниях к § 8.
§ 10] интеграл от производной 99 В этом случае можно найти точное значение интеграла следующим образом. Вспомним приближенное выражение приращения функции / (§ 4) Д/ =s= /' (/) M = v (О Д/. A0.2) Величина, стоящая в правой части равенства, представ- ляет собой как раз одно из тех слагаемых, сумма которых равна интегралу. Значит, можно написать приближенно i — Q. A0.3) Как уже говорилось раньше, равенство A0.2) является приближенным и оно тем точнее, чем меньше приращение п t0 t, t2 tj ?* t5 t Рис. 46. Д/, т. е. чем меньше разность tl+l — tt. Но при умень- шении разности tl+l — tt, т. е. при сближении t[+1 и tlt уменьшается и различие между v(tt+l) и v (?,); поэтому в правой части формулы A0.3) с одинаковым правом, с одинаковой степенью точности можно ставить и v(t[+l) и v (t(), как это и сделано выше. Напишем формулы та- кого вида, как A0.3), для всех промежутков, на которые разбита область интегрирования, т. е. интервал от п до k. Пусть, например, интервал разбит на пять промежутков (рис. 46), так что ?e = n, tt~=k. He поленимся и выпи- шем все пять равенств: - / (О = о С.) С. — О * о (О С. — О- Сложим все эти пять равенств. В левой части сократятся все значения функции / при промежуточных значениях t,
100 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. It останется только В правой части получатся как раз такие суммы, с по- мощью которых мы приближенно выражали интеграл в предыдущем параграфе, выражали путь z (n, k) при данной скорости v (t). Итак, f(k) — / (л) = 2 о См-.) (*!+. — '/)=* 2о (О Ci+i — *t) =*= sfez(«,fe)=Jo@* при 0@ = 27- п Чем меньше каждое приращение At, т. е. величина */+1 — tt, тем точнее выражение A0.3) приращения /; но при уменьшении разностей t[+l — tt суммы стремятся к интегралу. Поэтому равенство к (f)dt при »(*)=!? A0.4) в действительности является точным. Формула A0.4) устанавливает связь между задачами об интеграле и о производной. Из этой формулы следует, что если удалось найти такую функцию /, производная которой равна подынтегральной функции v, то задача вы- числения интеграла решена — остается подставить значе- ния f(k) и f (п) и найти разность f (k) — /(«). Ввиду огромной важности этой формулы в следующих параграфах мы дадим другой вывод формулы A0.4) на основе более подробного рассмотрения свойств интеграла (см. конец § 9) и функции /. § 11. Неопределенный интеграл В предыдущих параграфах мы ввели понятие опреде- ленного интеграла как предела суммы большого числа малых слагаемых. В § 9 было выяснено главное свойство определенного интеграла: производная определенного ин- теграла по верхнему пределу равна подынтегральной
§ 11] НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 101 функции: г (п. k) = Теперь мы хотим воспользоваться этим свойством для вы- числения определенного интеграла. Итак, будем искать функцию k, производная которой есть известная функция v (fe). Обозначим эту функцию f(k). Тогда, по определению, ^ °<*)- (П.2) Уравнение A1.2) не полностью определяет функцию / (k). Мы знаем, что прибавление любой константы к функ- ции / (k) не меняет производную функции. Следовательно, если f (k) удовлетворяет уравнению A1.2), то и функция g(k) = f (k) -\- С удовлетворяет тому же уравнению. Функцию f(k), удовлетворяющую уравнению A1.2), называют «неопределенным интегралом функции v (fe)». В этом названии отражаются два свойства f (k): производ- ная / (k) такая же, как у определенного интеграла z (n, k) *), поэтому / (k) называют интегралом. К функции f (k), удовлетворяющей A1.2), можно прибавить любую постоян- ную величину,— отсюда прилагательное «неопределенный». Любое решение A1.2) может отличаться от какого-ни- будь решения f(k) только на ту или иную постоянную величину. В самом деле, если есть другое решение A1.2), которое мы обозначим g{k), то для их разности получим: Но только производная постоянной равна нулю при лю- бых значениях аргумента. Определенный интеграл z{n, k) согласно A1.1) тоже является одним из решений A1.2). Значит, и z(n, k) можно представить в виде , A1.3) где f(k) — какое-то решение A1.2), В—постоянная, и *) Сравните формулы A1.1) и A1.2).
102 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II остается только ее определить. Для этого воспользуемся вторым свойством определенного интеграла: он равен нулю, когда верхний и нижний пределы совпадают, z(n, k=^n) = z(n, n)=0. A1.4) Подставляя k = n в A1.3), получим, используя A1.4): Отсюда следует окончательно: г(п, k) = f(k)—f(n). A1.5) Отметим, что «неопределенность» функции f (k) ничуть не мешает вычислению с ее помощью определенного ин- теграла по формуле A1.5). В самом деле, возьмем вместо f(k) какое-нибудь другое решение уравнения A1.2), на- пример g(k), отличающееся от f (k) на постоянную вели- чину Будем вычислять определенный интеграл по формуле вида A1.5), только взяв g вместо /. z(n, k)=g(k)—g(n)=f(k)-{-C—lf(n)+C] = Получили результат, совпадающий с A1.5). Удобно обозначить неопределенный интеграл той же буквой г, которой мы обозначаем определенный интеграл. При данной подынтегральной функции v (t) опреде- ленный интеграл зависит от верхнего и от нижнего пре- дела, т. е. является функцией двух переменных z(n, k). Неопределенный интеграл есть функция одной перемен- ной. Обозначим ее /. Итак, неопределенный интеграл г (t) есть функция, удовлетворяющая уравнению z'(t) = t±P=v(l). A1.6) С помощью этой функции определенный интеграл z(n, k) функции v (t) находится по формуле к z(n, k)=$v(t)dt = z(k) — z(n). A1.7)
§ 11] НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 103 Принята следующая краткая запись разности значений одной и той же функции при двух различных значениях переменной к z(t)\ = z(k) — z(n). A1.8) п В этой записи слева стоит функция немой переменной t, справа от нее ставится вертикальная черта, сверху — то значение переменной, при котором мы хотим взять функ- цию с плюсом, снизу — то значение, при котором функция берется с минусом. Подставляя в A1.7) под интеграл v(t), выраженное через z(t) согласно A1.6), а в правую часть — выражение A1.8), получим тождество к A1.9) Обратите внимание на одинаковое расположение п и k слева и справа, облегчающее запоминание формулы. Пора перейти к примерам. Рассмотрим задачу о пути, пройденном за время от п до k при скорости движения, равной v (t) =. t*. Этот путь равен определенному интегралу к г{п, k)=\ t'dt. В этой задаче неопределенный интеграл z (t) получается решением уравнения -ЗГ = о@='". Но мы знаем, что-—; = 3^*, значит,—^-^-=-^C^*)= ^*. Следовательно, уравнению удовлетворяет
104 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Подставим это решение в формулу A1.9) к к at— з | — з з • Частный случай п ¦=*= 1, k = 2 дает: Таким образом, с помощью неопределенного интеграла мы на нескольких строчках получили точно результат, к которому мы мучительно приближались в § 9 числен- ными расчетами. Определенный интеграл есть предел суммы вида. при стремлении к нулю каждого слагаемого и соответст- вующем увеличении числа слагаемых; для его прибли- женного вычисления нужно разбить область интегрирова- ния на несколько интервалов, найти приближенное значение пути vAt в каждом интервале и сложить их. Чтобы по- лучить хорошую точность, нужно сделать много арифме- тических операций. Но если известен неопределенный интеграл z(t), т. е. известна функция, производная кото- рой равна подынтегральной функции v(t), то любой опре- деленный интеграл ]v(t)dt получается немедленно по формуле 111.9). Умение находить' функции с заданной производной (неопределенные интегралы) «неожиданно» дает мощный способ вычисления сумм (определенных ин- тегралов). Неопределенный интеграл иногда называют «первооб- разной функцией». Этот термин применяется в учебниках в тех случаях, когда задачу о нахождении функции по известной ее производной решают раньше, чем рассмотрены определенные интегралы. Мы этот термин применять не будем.
§ 11] НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 105 Неопределенный интеграл всегда можно выразить через определенный интеграл t t z(t) = C-\-lv(x)dx. A1.10) а Применяя правило о производной определенного интеграла по верхнему пределу, легко проверить, что z (t), заданное уравнением A1.10), удовлетворяет уравнению A1.6) при любых постоянных Сна. Во всех задачах в ответ всегда входит разность зна- чений z (fe)—z(n), которая не зависит от С и а. Поэтому A1.10) можно писать короче: t Наконец, часто пишут еще короче: z(t)=$v(t)dt. A1.11) Этот способ весьма употребителен, и мы тоже будем им пользоваться, но надо иметь в виду, что такой способ записи, в сущности неправилен. Его можно сравнить с теми грамматически неправильными выражениями, кото- рые широко применяются в разговорной речи и всем (кроме детей и педантов-придир) понятны, вроде«съесть тарелочку». В записи A1.11) нарушено правило, по которому не- мая переменная интегрирования не входит в результат. Следовательно, употребляя краткую запись A1.11), надо всегда помнить, что это лишь условное сокращение точ- ного выражения A1.10). Известные нам формулы для производных дают таб- лицу неопределенных интегралов: Для того чтобы проверить любую из этих формул, доста- точно найти производную от правой части. Если при этом *) См. упражнение 6 к § 3.
106 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II получится функция, стоящая под интегралом, то формула верна. Подробно способы нахождения неопределенных интегралов от различных функций рассматриваются в части III. Благодаря связи между интегралом и произ- водной удается найти интегралы большого числа функций. Задача интегрирования является технически более сложной, чем задача нахождения производных. Эта слож- ность проявляется, в частности, в том, что при интегри- ровании рациональных (не содержащих корней) алгебраи- ческих выражений в ответе появляются логарифмы и обратные тригонометрические функции; при интегрирова- нии алгебраических выражений с корнями результат иногда выражается только при помощи новых, не элементарных функций, которые не могут быть выражены конечным числом действий над алгебраическими, степенными и триго- нометрическими функциями. Однако трудности выражения интегралов формулами не должны заслонять принципиальную простоту и ясность понятия интеграла. Если нельзя (или трудно) подсчитать интеграл по формуле A1.9), та его всегда можно подсчи- тать приближенно при помощи трудоемких, но в прин- ципе весьма простых расчетов. Упражнения Найти величину интегралов: 1 1,1 2 X.^dt. 2. j«-c«. 3.^. 4. 5. Найти площадь прямоугольного треугольника с основанием Ь я высотой А при помощи интеграла. Поместить начало координат в острый угол, прямой угол поместить иа ссь_ абсцисс в точке х = Ь, у = 0 (рис. 47, а), найти уравнение гипотенузы в этой системе коор- динат и найти площадь как интеграл. Воспользоваться при интегри- х dx = -=¦ . Замечание. Не возмущайтесь тем, что приходится с трудом находить хорошо известный ответ S = -~- bh, потому что метод ин- тегрирования будет применим там, где элементарные методы не дают ответа. 6. Найти площадь того же треугольника, помещая прямой угол в начало координат и острый угол в точку х=Ь, у = 0 (рис. 47,6). При интегрировании использовать очевидное свойство интеграла суммы
§ 11] НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 107 двух членов \ (f -{- g) dx =i= S. f dx-^-\ g dx при любых fug, посто- янных или функциях х, положительных и отрицательных. 0 Ал ¦ о) Ж 1 I /Г b 'i о Рнс. 47. б) Замечание. То же, что к упражнению 1. 7. Найти площадь под параболой у = Ах*, проходящей через точку x = xe, y = ya, ограниченную вертикалью х = х0 и осью абсцисс; выразить площадь через ха, уа (рис. 48, а).
108 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. Н 8. То же для параболы, проходящей через начало координат, с горизонтальной касательной в точке (л;,,, уа) (рис. 48,6). Указание 1. Ответ можно получить. немедленно, пользуясь результатом предыдущего упражнения. Указание 2. Тем не менее не поленитесь и сделайте все по порядку, без применении остроумия. Уравнение параболы искать в виде у = кх* -\~пх -\~т, величины к, га, т.- иайти из условий про- хождения через точки (ха, у0) и начало координат и из условия горизонтальной касательной в точке х = ха, у = уа- Площадь выразить через х0, у0. Указание 3. Если не можете выполнить указание 1, то сперва выполните указание 2, результат сам подскажет, как выпол- нять указание 1. 9. Написать выражение площади полукруга радиуса г (рис. 4S, в) в виде определенного интеграла. Указание. Из чертежа по теореме Пифагора это и есть уравнение окружиссти (см. § 6 части I). Г dx 10. Найти величину интеграла \ -^ , ^ по формуле трапеций, а взяв т = 5 и т=10. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой. Замечание. Точное значение этого интеграла есть — . При- ближенный подсчет интеграла лает возможность получить приближен- нее значение числа я. § 12. Свойства интегралов Мы рассматривали выше наиболее простой случай опре- деленного интеграла, с положительной подынтегральной функцией и верхним пределом, который больше нижнего к г(п, k)= J v{t)dt, v>0, k>n. п В этом случае интеграл, очевидно, положителен, так как интеграл равен пределу суммы положительных членов. Интеграл имеет простой физический смысл пройденного пути (v (t) — скорость) или площади (v = v (t) — уравнение кривой). Каков знак интеграла от отрицательной функции, т. е. в случае v (t) < 0?
СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ 109 Оставим пока в силе условие k > п. В выражении суммы (переходящей в пределе в интеграл) в каждом члене множитель Д/ положителен, множитель v(t) отрицателен, каждое слагаемое отрицательно, сумма отрицательна, ин- теграл также отрицателен. Итак, если v(t)<0 при п< t <k, так что k>n, то J v @ dt < 0. п В случае движения смысл ответа прост: отрицательное зна- чение v означает, что движение происходит в сторону, про- тивоположную положительному направлению, т. е. направ- лению возрастания координаты z. Путь, пройденный в отрица- тельном направлении, мы всегда считаем отрицательным. При таком движении z уменьшается, z (k) < z (n). Так как v dt в этом случае отрицателен, то остается в силе об- щая формула = z(n)~\-z(k, n) = v dt. В случае знакопеременной скорости может случиться, в частности, что Sivdt = O, хотя k > п, k=^n; это про- п изойдет, если часть времени от п до k тело двигалось в одну сторону, а другую часть вре- мени — в противоположную и в ре- зультате к моменту k вернулось в то положение, в котором,оно находилось в момент п. Обратимся к задаче о площади кривой. При k > п и v (t) > 0 интеграл равен площади, ограниченной кривой v(t), осью t и вертикалями t = n, t = k (рис. 49). При v <0, k> n ^ v dt <0. В этом случае п кривая лежит ниже оси абсцисс (рис. 50).
по ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [ч. и Значит, для того чтобы сохранить закон, по которому площадь равна интегралу, необходимо считать площадь отрицательной, когда кривая лежит ниже оси абсцисс. Если взять знакопеременную функцию, например, v(t) = sint, то площадь такой кривой на отрезке, равном периоду от / = 0 до ? = 2я, по на- шему определению равна нулю (рис. 51). Это значит, что площадь первой полуволны, которую мы счи- — таем положительной, в точности сокращается с отрицательной пло- щадью второй полуволны. Если поставлена задача: сколь- ко краски нужно для того, чтобы закрасить заштрихованные места на рис. 51, то такое определение площади не годится. В этом случав надо разбить весь интеграл на части, в каждой из кото- рых v не меняет знака (в данном случае на две части. О Рис. 50. Рис. 61. от 0 до я и от я до 2я), подсчитать интеграл по каждой части отдельно и сложить абсолютные величины интегра- лов, относящихся к отдельным частям. tm.r tj t2 С, Л 1 I 1 1 1 1 t Рис. 52. Определенный интеграл обобщается и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае мы уже не будем говорить о пути, времени и скорости (§ 7), а об- ратимся к определению интеграла как суммы (см. § 8). Разбивая снова отрезок от п до k (рис. 52) промежуточ-
§ 12] СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ 111 ными значениями tt, tt, ..., tm_l, убедимся, что все Д? теперь отрицательны. Легко убедиться теперь, что к к п п = —\v(t)dt, A2.1) k так как при любом разбиении отрезка [п, k] соответствую- щие суммы будут отличаться знаками всех А/ во всех слагаемых. л р л Рис. 53. t Существенное свойство интеграла состоит в том, что об- ласть интегрирования можно разбить на части: путь прой- денный за время от п (начала) до ft (конца), можно представить как сумму пути, пройденного за время от п до р (проме- жуточного момента) и от р до k (рис. 53) (t)dt. A2.2) При помощи соотношения A2.1) можно распространить формулу A2.2) и на случай, когда р не лежит внутри промежутка [п, ft]. i ' ' t п А /г Рис. 54. Пусть р> k> n (рис. 54). Тогда, очевидно, ) v(t)dt= J v(t)dt-\-\ v(t)dt. A2.3) п п к Перенесем последнее слагаемое налево и воспользуемся A2.1) р р р к к \vdt — \ vdt = \ v(t)dt-\-'l v(t)dt=$vdt. A2.4) п к п р п
112 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА !ч. и Таким образом, мы получили равенство A2.4), в точ- ности совпадающее с A2.2). Аналогично можно рассмотреть случаи другого распо- ложения чисел п, р, k (их всего шесть вариантов). Чита- тель легко может рассмотреть их сам и убедиться, что формула A2.2) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел п, р, k. Все эти свойства определенных интегралов мы вывели, по существу, из определения интеграла как предела суммы. Эти свойства следуют также из выражения определен- ного интеграла через неопределенный интеграл. В самом деле, пусть неопределенный интеграл Тогда Основной закон о том, что производная от интеграла равна подынтегральной функции, относится к производ- ной по верхнему пределу. Если определенный интеграл рассматривать как функ- цию его нижнего предела при закрепленном (постоянном) верхнем пределе, мы получим от- вет с противоположным знаком: . =-v(n). A2.5) n л+Лл к ~~h~ Знак минус в этой формуле легко рис 55. понять, рассматривая интеграл как площадь: приращение п, оче- видно, уменьшает площадь (рис. 55)*). Формально тот же результат можно получить, переставив пределы *) Площадь, ограниченная вертикальными прямыми n-f-An, к, кривой и осью х, меньше, чем площадь, ограниченная вертикаль- ными прямыми л, к, кривой и осью х.
§ 13] СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ - 113 (при этом войдет минус) и применяя известный закон о производной по верхнему пределу В связи с вопросом о знаке интеграла отметим при- мер, часто вызывающий недоумение у начинающих. Рас- смотрим J$—i. 02.6, Это равенство вытекает из найденного ранее значения производной Правилен ли знак у интеграла? Может ли быть отри- цательным интеграл ст положительной функции -^ ? Не противоречит ли этот знак сделанным выше утвержде- ниям? В действительности все утверждения о знаке относи- лись к определенному интегралу. Возьмем — \ — т) — \к—-)—-—ь— аЬ . а При Ь > а интеграл положителен, как и должно быть, т. е. формула A2.6) правильна, приводит к правильному результату для определенного интеграла. § 13. Средние значения С помощью интеграла можно дать точное определение среднего для величины, являющейся функцией какой-то переменной. Если мы имеем величину, принимающую ряд отдель- ных значений, например m значений at, vt, vt, .... vm,
114 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II то среднее значение естественно определить формулой Как определить среднее значение функции v{t) пере- менной /, принимающей все значения в заданном проме- жутке от п до k (n<t <k)? Представим себе, что v(t) — этомгновенная скорость. Как определить среднее значение v (л, k), т. е. среднюю скорость за время от л до k? Средняя скорость опреде- ляется как отношение прой- денного пути к ватраченному времени k р (О dt if I 1 ь 1 0 а V | в а X (П. k) — -feZr^— Это определение среднего зна- чения функции разумно и в Рис. 66. тех случаях, когда функция представляет собой не ско- рость движения, а какую-либо другую величину. Так, например, пусть у = у(х) есть уравнение кривой в пло- скости х, у (рис. 56). ь Тогда ^ y(x)dx есть площадь под кривой. Формула b_a . -=\y(x)dx а означает, что у есть высота прямоугольника с основанием Ь — а, площадь которого равна площади под кривой. Это значит, что на рис. 66 заштрихованная площадь над линией у = У> которая отмечена знаком плюс, в точ- ности равна площади, отмеченной знаком минус на участке, где кривая лежит ниже линии у = у. График функции у{х), если это не прямая, параллельная оси х,
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 115 обязательно проходит частью ниже и частью выше среднего значения у, определенного с помощью интеграла. Следова- тельно, у больше наимень- шего значения у{х) и мень- у ше наибольшего значения у(х) на участке усреднения п <х <k. Рассмотрим примеры. Пусть у (х) есть линей- ная функция y=kx-\-m. Тогда интеграл представ- ляет собой площадь тра- Рис. 57. пеции, поставленной верти- кально (рис. 57) с «высотой» Ь — а, основаниями у (а) и У (Ь) и средней линией у (¦ а ^—J. Следовательно, О а Это выражение легко получить и без геометрических пред- ставлений /(a, 6) = = kb-\-m, y(a) = откуда с очевидностью следуют выражения предыдущей формулы. Таким образом, для линейной функции У— —у{ 2 ;• A3.1) Следовательно, для линейной функции среднее значение функции на данном участке от а до Ь в точности равно среднему арифметическому значений функции на краях
116 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II участка у (а) и уф)\ другая формулировка: среднее значе- ние линейной функции равно значению функции в сере- аЛ-Ь дине интервала, т. е. при х=—^—. Одним из важных примеров линейной зависимости является зависимость скорости от времени при равноуско- ренном или равнозамедленном движении, т. е. при дви- жении тел под действием постоянной силы, в частности, под действием силы тяжести, когда v = gt-\rva. При расчете пройденного пути используют свойства сред- него линейной функции Следует иметь в виду, однако, что при другой, не линей- ной, зависимости выражения для среднего A3.1) уже не- справедливы. Рассмотрим пример квад- ратичной функции (параболы) у = rx* -f- px -f- q. Для опреде- ленности возьмем г> 0 и рас- смотрим какой-то отрезок па- раболы а<х<Ь. Из чертежа (гис. 58) видно, прежде всего, что Действительно, у (•—§—) есть ордината точки С, лежащей на кривой, а-полусумма и (а) + v (Ъ\ есть ординататочки D, лежащей на середине хорды, соединяющей точки кривой А и В, и ясно из чертежа, что С лежит ниже D *). *) Напомним, что парабола у = гх*, г > 0 выпукла книзу, а па- рабола у = rx* -f- px -f-<7 с любыми р и q получается нз параболы у=^гх* параллельным переносом, см. часть I, § 5.
§ 13] СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 117 ь Обратимся теперь к интегралу ^ у (х) dx, т. е. к вы- а числению площади под кривой. Очевидно, что эта пло- щадь меньше площади трапеции с основаниями АаА и В0В. С другой стороны, если через точку С провести касательную к кривой, то эта касательная пересечет вер- тикали в точках А' и В' и образует трапецию со средней линией С0С; площадь этой трапеции, очевидно, меньше площади под кривой. Таким образом, в случае параболы с г>0 Соответственно получаются неравенства для среднего зна- чения ~у в промежутке от а до Ь: g-f-ft 2 Для квадратичной функции имеет место точная фор- мула (приводим ее без вывода, см. упражнение 4), справед- ливая при любом знаке г: 77 2 у A3.2) Это выражение является хорошей приближенной формулой для расчета площади под любой плавной кривой (см. упраж- нения 6 и 7). Пользование средними практически очень удобно, часто даже удобнее пользования интегралами. По существу, эти величины равноценны, — зная ь интеграл / = \ у dx, находим среднее как у = ь__а . а вы- а числив среднее, так же легко находим интеграл Г = (Ь — а)у. Удобство среднего заключается в том, что это вели- чина у той же размерности, что и у, и, очевидно, того
118 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II же порядка величины, что и значения у на исследуемом участке. Поэтому труднее пропустить ошибку в 10 раз в значении ~у, чем такую же ошибку в значении интеграла. Обычно предполагается, что изучающие высшую мате- матику в совершенстве знают арифметику и алгебру и никогда не ошибаются в 10 раз или в знаке. Опыт пока- зывает, что это не так! Поэтому и расчеты всегда надо вести так, чтобы уменьшить вероятность незамеченной ошибки. Упражнения 1. Найти среднее значение у = х? на участке от 0 до 2. 2. Сравнить это среднее значение со средним арифметическим значений функции на краях и со значением в середине промежутка. 3. Проверить формулу A3.2) для среднего по данным упраж- нения 1. 4. Проверить формулу для среднего A3.2) в общем виде для параболы у = гх* + рх -\- q. 5. Сила тяжести убывает с расстоянием от центра Земли как ,F = —j-. Найти с помощью интеграла среднее значение силы тяже- сти на участке от поверхности Земли (радиус R) до расстояния R от поверхности Земли, т. е. 2R от центра Земли. 6. Сравнить точное значение среднего в предыдущем упражне- нии со средним арифметическим на краях участка. 7. Сравнить точное значение среднего в упражнении 5 со сред- ним по формуле A3.2), относящейся к параболе. § 14. Различные примеры производных и интегралов В предыдущих параграфах мы рассматривали .соотно- шение между путем и скоростью, соотношение между уравнением кривой и площадью под этой кривой. Эти соотношения представляют собой конкретные вопросы, на почве которых исторически сложились дифференциальное и интегральное исчисления. Но понятия интеграла и про- изводной применимы, конечно, не только к перечисленным вопросам, а к чрезвычайно широкому кругу явлений, к самым различным областям науки, техники, жизни. В сущности говоря, интеграл и производная представляют собой определенный язык, наиболее приспособленный для описания природы. Учащийся, начинающий изучение иностранного языка, чтобы привыкнуть к нему, повторяет похожие простые
§ 14] РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ Н9 фразы: «на столе стоит стакан», «на столе стоит хлеб», «на полу сидит кошка», «на полу сидит мышка». Вот так же в начале изучения высшей математики надо на многих похожих примерах повторять соотношения между производной и интегралом. Сперва надо научиться ино- странному языку, а уже потом высказывать на этом языке определенные мысли, желания, утверждения. Так и мы сперва научимся выражать хорошо известные соотношения и формулировать задачи на языке высшей математики, а уже потом будем решать эти задачи и получать новые результаты. Приведем несколько типичных примеров. А) Производные по времени 1. Представим себе сосуд произвольной формы, из которого вытекает жидкость (рис. 59). Масса жидкости, находящейся в данный момент в сосуде, равна М. Эта величина есть функция времени М (t). Жидкость соби- рается в другом сосуде, количество ее во втором сосуде т (t). Количество жидкости, вытекающей из сосуда в единицу времени, обозначим W (t). Эта величина имеет размерность г]сек. Ве- личины т, М и W связаны между собой соотношениями. dt A4.1) Те же соотношения можно напи- сать в интегральном виде. При этом зададимся тем, что в некоторый на- Рис. 59. чальный момент ta в первом сосуде количество жидкости равнялось М (ta) = Ma, а второй со- суд был пуст m(tn) = 0. Тогда Л m{tx)=[W{t)dt, t, i-lW(t)dt. to A4.2)
120 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. И Обращаем внимание на то, что если нас интересует коли- чество жидкости в определенный момент tlt то оно вы- ражается через интеграл, в котором переменная интегри- рования t пробегает все значения от tn до /х. Если мы хотим написать выражения для т (t) и М (t), то для большей ясности удобно было бы переименовать переменную интегрирования (пользуясь тем, что она не- мая), назвав ее, например, т (т—тау — греческая буква, соответствующая латинской t — тэ). Тогда A4.3) Обычно же пишут просто t w(t)dt, A4.4) но надо помнить, что t, стоящее под интегралом, имеет другой смысл, чем аргумент / в М (/) и т (/), который совпадает с t на верхнем пределе. В этом отношении за- пись A4.2) и A4.3) точнее, чем A4.4). Написанные выше формулы соответствуют опыту, в ко- тором в различные моменты времени измеряется М и по- ток жидкости "П^. Часто задача ставится так: W — расход жидкости — зависит известным образом от ее давления, т. е. от вы- соты столба жидкости А. В свою очередь при данной форме сосуда величина h зависит от М. Таким образом, известен расход W как функция от количества жидкости, находящейся в сосуде, Тогда равенство A4.1) приобретает вид
§ 14] РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ 121 Это есть дифференциальное уравнение. Решение таких уравнений будет рассмотрено в части V. Формул вида A4.2) — A4.4) в этом случае уже писать нельзя, так как W как функция времени не задана. 2. Рассмотрим конденсатор (рис. 60). Накопленный в нем заряд (количество электричества) обозначим q. В технической системе единиц q измеряется в кулонах. Электрический ток /, протекающий по проводу, представ- ляет собой количество электричества, протекающее в еди- ницу времени, измеряется в технической системе в ампе- рах. Один ампер есть ток в * j ^ один кулон в одну секунду. -,U i—-—1 ..С Заряд конденсатора *) и I 'I I 1 '• ток связаны между собой ра- венством f = / A4.5) (положительное направление Рис. 60. тока показано стрелкой). Если задано или известно в результате измерения, как изменяется ток в зависимости от времени, то можно на- писать интегральное соотношение t Если дана емкость конденсатора С, то падение на- пряжения на конденсаторе можно выразить через q: Фс = -?-. Падение напряжения на сопротивлении R равно Ф/? = ?. — Фс=^о — -g- . где Еа — напряжение батареи. По закону Ома ток через сопротивление равен/ = — (Е9 — -Д-). и> пользуясь A4.5). *) Зарядом конденсатора будем называть количество положи- тельного электричества на левой пластине конденсатора С на рис. 60, выраженное в кулонах.
122 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II получаем дифференциальное уравнение dt~~ R V ° С Подробно задачи с конденсатором рассмотрены в части VIII. 3. Понятие ускорения. Выше мы рассматривали скорость движения как производную от координаты по времени. Но после того как мгновенная скорость v най- дена и известна зависимость мгновенной скорости от вре- мени v (О. можно поставить вопрос о том, как с течением времени меняется скорость. Производная скорости по времени называется ускоре- нием ^ = а A4.6) и обозначается обычно a (acceleration — ускорение по- французски; сравни название «акселератор» педали, регу- лирующей подачу воздуха в автомобильный двигатель). Так как размерность скорости см]сек или м]сек, то размерность ускорения см\сек* или л/сек*. Если известно ускорение как функция времени, то мгновенное значение скорости можно записать в виде интеграла t a(t)dt. A4.7) Например, в случае движения под действием земного тяготения а= —g, где g = 9,8 м1сек* (знак минус связан с тем, что положительным считаем направление вверх). Полагая в A4.7) а= —g, получаем:. t о@ = v(t.) —^gdt = v(ta) — (t- tt)g. Запишем скорость в виде производной отпути повремени ° = 57 и п°дставим в A4.6). Тогда d (dz\ a = 4t[dt)- Такая величина — производная от производной — назы-
§ 14] РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ 123 вается второй производной и обозначается a = d~? и читается: «де-два-зет по де-тэ-квадрат». Заметим, как разумно поставлены показатели (двойки) d2z т. г в выражении тт» • Размерность ускорения именно -тг ; отбрасывая безразмерные знаки d, получаем правильную размерность второй производной. Б) Производные по координате 4. Мысленно выделим в атмосфере вертикальный -столб воздуха с постоянным сечением 5 см*. Плотность возду- ха *) (зг/см* зависит от высоты h над поверхностью Зем- ли. Объем тонкого слоя, заключенного между h и h-\-dh (рис. 61), равен Sdh. Внутри этого тонкого слоя плотность q(A) мож- но считать неизменной — именно для этого слой и брался тонким. В данном примере dh можно представить себе в 1 м или 10 м, даже (с несколько мень- шей точностью) как 100 м, по- скольку при изменении высоты на 1 км плотность воздуха ме- няется на 12—14%. Масса воздуха в слое dh равна dm==QSdh. Масса возду- ха в столбе, простирающемся от hx до ht, определяется интегра- лом а, Рис. 61. dh $ А. *) q — греческая буква, читается: сро». Часто применяемое в школьной физике обозначение d (происходящее от французского densite—плотность) весьма неудобно, так как его можно было бы перепутать со знаком дифференциала.
124 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [ч. п Масса воздуха в столбе от поверхности Земли (А = 0) до высоты h h m @, К) =S J Q(h)dh. о Масса воздуха, находящегося выше заданной высоты /г, равна Давление Р на некоторой высоте А, умноженное на пло- щадь 5, равно силе, с которой притягивается к земле.весь столб воздуха, находящийся выше высоты А. Сила тяго- тения равна массе, по- множенной на ускорение силы тяжести g, откуда Рис. 62. Пользуясь формулой A2.5), получим отсюда: dP ... gQ(A) Эту формулу можно было бы написать и сразу, рассмат- ривая равновесие тонкого слоя dh, на который снизу дей- ствует давление Р(А), сверху давление P(h-\-dh), равно- действующая этих двух сил уравновешивает притяжение к земле массы, заключенной в слое. 5. Выразим в виде интеграла объем тела (рис. 62). Разобьем тело плоскостями х= const на тонкие слои. Объем dV тонкого слоя равен произведению площади се- чения 5 на толщину слоя dx. Таким образом, если известна площадь сечения тела вертикальной плоскостью в зави- *) Знак оо на верхнем пределе заменяет очень большое число А, такое, что при его дальнейшем увеличении величина интеграла пра- ктически не меняется.
§ 14J РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ 125 симости от координаты сечения х, то объем тела может быть вычислен по формуле z A4.8) Применим эту формулу к правиль- ной четырехугольной пирамиде. Поста- вим ее на вершину в начале коор- динат с осью симметрии, направлен- ной по оси z (рис. 63). Пусть высота пи- рамиды ft, основание ее (оказавшееся сверху) представляет собой квадрат со стороной а. Из геометрии извест- но, что сечение пирамиды горизонтальной плоскостью на высоте г представляет собой также квадрат, сторона Ь которого относится к а, как z к h, Рис. 63. -** h • Следовательно, площадь сечения S(z) = Ь' = ? г\ Объем пирамиды О О Воспользуемся результатом § 11 Тогда получим выражение объема пирамиды Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды. Вывод этой формулы в стереометрии без применения интегралов значительно сложнее.
126 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Упражнение Вывести формулу для объема произвольной пирамиды, исполь- зуя свойства параллельных сечений. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В части II рассмотрены понятия производной и интеграла, некоторые их самые простые свойства и связь между интегралом и производной. Вопросы практического вычисления производных и интегралов от различных функций отнесены в часть III книги. В части II дано только несколько самых простых примеров. Хочется посоветовать учащемуся не измерять трудность и значение того или иного раздела числом формул, их сложностью и громоздкостью. В действительности самое важное и трудное — именно математическая формулировка задачи в виде алгебраического уравнения или интеграла или дифференциального уравнения. Именно на это надо обратить особое внимание. Если последние три параграфа показались читателю трудными, целесообразно еще раз перечесть всю часть II. По собственному опыту автор знает, что те работы, ко- торые ему не удалось сделать (которые тем временем были сделаны другими!), не были им сделаны потому, что, огра- ничиваясь общим размышлением, автор не находил смелости писать уравнения, математически формулировать вадачу; вычислительные трудности в четко поставленной задаче с ясным физическим содержанием всегда преодолеваются, если не точным расчетом, то приближенными методами. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ § 1. 1. Найдем мгновенную скорость в момент / = 0. Рассмотрим промежуток от f = 0 до / = 0,1. Из формулы z = 2-f-20/— St* получаем z@) = 2, z @,1) =3,95; отсюда , = 3,86-2 .« 0,1 сек Рассмотрим еще промежуток от / = 0 до / = 0,01. z @,01) = 2,1995; поэтому 2l*b2 м_ сек 0,01 сек
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 127 Л€ Отсюда ясно, что и@)=20 —. Аналогично получим: иA) = 10, сзк v B) = 0 (рис. 64). 2. u@)=0, o(l)=3, о B) =12 (рис. 65). dt ' л z (&t)x dz », -—=№4--——, -гг = 3г. Результаты совпадают с вычислением at ' 4 at ч Ш) 10 I 2\ 3 t Рис. 64. б 4 г 'о 1 / / 1 / 2 \ Рис. 65. в § 3; обратите внимание на то, что в случае z=-t* отношение — не вависит от Д^, а в случае z = t* отношение -г-содержит только (Д^)*. в сравните с численными расчетами в§1.2. у' =4ха. 3. у'=2х-{-2. § 4. 1. Найдем A,2)*. Рассмотрим функцию г=Р; пусть t = l в Д* = 0.2; z'=2t; z'(l) = 2; поэтому Д2 = 2-0,2 = 0.4; A,2)*= 1* + -[-0,4=1,4. Точное значение A,2)'= 1,44. Ошибка составляет при- мерно 3°/о- A,1)*= 1.2; точное значение 1,21. Ошибка примерно 1°/0. A,05)*= 1,1; точное значение 1,1025. Ошибка примерно О,2°/о- A,01)* = = 1,02; точное значение 1,0201. Ошибка примерно 0,01 %• 2. См. табл. 7.
128 ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА [Ч. II Т а бли ца 7 1 1 0 ,1 .05 ,98 18 17 16 t> ,0 .5 ,8 17 17 16 ист 5 4875 798 Ошибка в •/„ округленно 0.3 0,07 0,01 § 5. 3. ( Уз ; : !-К -д- ) • I _/-=- ' 1 : )• з Уз7 ' V Уз" ' " з Уъ )' ' ~~ = Т*-Т' (Т-0)' @,-\);у = Зх-2, (§-. О). @,-2). 7. Для кривой у = ах* касательная в точке (х0, уа) пересекает оси координат в точках f^-.O] и @, — уа) (см. стр. 73). Для кривой у=ах' уравнение касательной в точке (л:,,, уа) у = 3axJ х — 2у9. Точки пересечения касательной с осями координат ( -~-хл, 0), @, —2i § 6. 1. х = 0, минимум при а > 0, максимум при а < 0. 2. х = — 1 максимум, х=1 минимум. 3. х =—"V~u(a > 0) максимум, х = = уг*Г(а>0) минимум. При а <С 0 нет ни минимума, ни максимума. 4. х — т=- максимум, х = -= минимум. 5. а) a > 0, х = 0 мини- > з уз мум; б) а=0. х = 0 минимум; в) а < 0, х = 0 максимум, х = у; ) = — I/ —Y" минимум, ) минимум. §11. 1.4-• 2.0,11033... 3. 4-- 4. 2(УЗ~—1). 5. S = где у=у(х) — уравнение гипотенузы. Возьмем произвольную точку А с координатами х, у на гипотенузе. Через эту точку проведем верти- кальную прямую (см. рис. 47, а). Из подобия треугольников 4~ = 4: ¦ Отсюда у = -?-X. о ft о 10. 0.7837 для ^-i-x^,. 8. S = |- . 9. S /n = 5; 0,7850 для /n=10.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 129 а 13. 1. y=x* = I A. ь ±-уB)=1±±.4=1,33. 4. -Srq{b-a) = (b~a) [1 г (й* + аЬ + а1) +\р{Ь + а) По формуле A3.2) должно быть ь Подставляя у (а), //(—^С—J и у (Ь) и сравнивая с полученным выше выражением, убеждаемся в том, что они тождественны. 2/г 2/? ^4( Среднее значение силы на этом участке вдвое меньше силы на по- верхности Земли, F = 0,5F0. 6. F(R) = F0, ^ 1 2 4 11 1П9 6" F° +1" " "9 F» +  ' Tf • = 2T6 Fl> = °>505 ''•• Ошибка
ЧАСТЬ III ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ § 1. Знак дифференциала. Производная суммы функций Удобные наглядные способы записи соотношений и про- стые правила, позволяющие механически, без размышлений и без ошибок, проводить вычисления, имеют очень большое значение и для обучения и для самого развития математики. В части II был разобран смысл понятия производной. Задачей части III является изложение правил нахождения производных от различных функций: многочленов, рацио- нальных функции, в которые входят отношения многочле- нов, корней и вообще дробных степеней, показательной функции, тригонометрических функций и др. Нужно найти общие правила для производных различных сочетаний функций: суммы функций, произведения функций, слож- ной функции. В конце части III (стр. 218) приведена таблица производных для ряда функций, подытоживающая ниже- следующие §§ 1 —12. Из определения производной следует такой способ действия: в каждом случае нужно задаться каким-то зна- чением х и приращением А*; найти f(x) и f(x-{-Ax), найти приращение Д/; составить отношение ~ и после этого перейти к пределу Ах—> (). Однако формула, дающая общее выражение д? при произвольном Ах (не стремящемся к нулю), как правило, бывает сложнее формулы для предела, lim ir=zr> т- е- Лх -* а лх ах производной. Поэтому в дальнейшем мы часто будем писать такие формулы, которые справедливы только в пределе.
§ 1] ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ ФУНКЦИЙ 131 при приращении, стремящемся к нулю, и в этом случае вместо Ау, Ах будем писать dy, dx. Нужно выработать такие правила действий с величинами dy, dx, чтобы имело место основное равенство т. е. чтобы отношение дифференциалов тождественно ра- внялось производной. Раньше мы писали приближенное выражение для приращения функции у (х + Ах) — у (х)=Ау=^у' (х) • Ах. Это выражение становится точным в пределе при Ах —»¦ О*). Для дифференциалов будем писать точное равенство dy = y'(x)dx. Слова о пределе при Ах—> 0, которые нужно было добав- лять к приближенному равенству Ay^sy' (х)-Ах, уже не нужны при написании второй формулы: они подразумева- ются при пользовании дифференциалами dy, dx. Правила пользования дифференциалами должны быть такими, чтобы отношение дифференциалов равнялось про- изводной; для этого в формулах нужно сразу отбрасывать члены, пропорциональные (dx)* и более высоким степеням dx. Рассмотрим простейший пример у—х*, и на этом при- мере сравним технику работы с приращениями и с диффе- ренциалами: раньше мы писали Ау = (х + Axf — х1 = 2х • Ах -\- (Ах)\ *У=2х-{-Ах; y'=\im ?=2х. С помощью дифференциалов запишем: dy=(x-\- dxI— x* = 2xdx. Член (dx)* в правой части мы сразу отбросили! В качестве второго примера рассмотрим сумму двух функций, взятых с постоянными коэффициентами *) См. сноску на стр. 67.
132 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ill С помощью дифференциалов запишем: = С df-\- E dg = Cf -dx + Eg'dx, Читатель легко может получить такую же формулу, пользуясь приращениями и пределами. Написание dx, dy (читается: дифференциал икс, диф- ференциал игрек) заменяет слова о пределе и упрощает вид формул. Общее правило заключается в том, что при написании формул с дифференциалами можно (и должно) выкидывать члены, пропорциональные (dx)*, (dx)* и т. д. В остальном же с дифференциалами можно обращаться как с обычными алгебраическими величинами. Мы будем пользоваться дифференциалом той или иной переменной dx, dt и т. п., дифференциалом функции df, диф- ференциалом какого-либо сложного выражения, составлен- ного из нескольких функций, например d I — \ . Отноше- df ние —- по определению есть производная функция от f(x). § 2. Производная обратной функции Задание у как функции х означает, что каждому х соответствует определенное значение у. Значит, и обратно, можно сказать, что каждому определенному у соответ- ствует свое х. Таким образом, задание у (х) дает также функциональную зависимость х(у). Эту зависимость назы- вают обратной функцией. Приведем несколько примеров: слева дано у(х), справа написана обратная функция х от у:
§ 2] ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 133 Во многих случаях обратная функция имеет более про- стой вид, чем прямая функция: например, если прямая функция у=1/х—1 содержит кубичный корень, то обратная функция х = уа-\-\ есть степенная функция, проще прямой. В этом случае найти производную обратной функции, -j-, оказывается проще и легче, чем найти произ- водную прямой функции, -^. Нельзя ли в этом случае производную прямой функции как-то выразить через про- изводную обратной функции? Для прямой функции у(х) имеем: Отсюда получим ответ для производной х' (у) обратной функции х(у): Отсюд получ функции х(у): В правой части B.1) стоит выражение, записанное в виде функции х, а именно, с помощью у' (х). Но если обратная функция х(у) известна, то это выражение можно предста- вить как функцию у. Поясним сказанное примерами. Первый пример (линей- ная функция) слишком прост. Начнем со второго примера B-2) Подставляем в выражение B.2) обратную функцию х^= dx_d(Vy)_\ _ 1 , dy dy 2x K Раньше, в части II, этот результат был получен более сложным путем. Третий пример: — d — 3 1 __ 1 . n~f dy — 3*» — зуп-=1?~~ 3^ l) '
134 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ill Такой способ пригодится нам и позже. Когда мы изучим показательную функцию а*, то можно будет рассматри- вать логарифмическую функцию как обратную; когда мы изучим производные тригонометрических функций, sin*, cos л:, tgx, то можно будет найти производные обратных тригонометрических функций — arcsinx, arccosx, arctg*. § 3. Сложная функция Пусть z задано как функция у, например z = —, а у есть функция х, например у=х*-\-Ь. Очевидно, каждому х соответствует определенное у, а так как каждому у соот- ветствует определенное г, то в конце концов каждому х соответствует определенное г, z есть функция х. Всегда можно, подставляя выражение у через х, выписать непо- средственно z (л:), в данном примере г = ^ ^. Но для наших целей как раз выгоднее все функции свести к сочетаниям самых простых функций; в отдель- ности каждая из зависимостей z = — uy=x*-\-5 проще, чем z = ¦ + Сводя все функции к самым простым функциям, мы сумеем обойтись правилами нахождения производных этих простых функций. Найдем дифференциал сложной функции г [у (х)\. Рас- сматривая г как функцию у, напишем: dzdy Но у есть функция х; поэтому Подставляя, получим: **=%-%**¦ C-D Поделив обе части C.1) на dx, получим правило определе-
§ 3] СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ 135 C.2) ния производной сложной функции *) dz dz dy dx dy "dx' Вид формулы вполне соответствует тому, что было сказано о возможности обращения с дифференциалами как с обычными алгебраическими величинами: в произведении -г- • ?¦ можно сократить dy. Напомним, что г задано как функция у, поэтому ^ также является функцией у. Но так как само у есть функ- ция х, то, подставляя у=у(х) в выражение —, получим -т- как функцию х, а следовательно, и ^ как функцию х. Проделаем расчет для случая, который понадобится в дальнейшем. Пусть Мы знаем, что при г = — -т- =— -f. Значит, и dz 1 dy dx — — ^'di' Так, например, если у = х*-{-5, z= t, 5 , то Л 1 d {х* -f S) 2х dx~ (х* + Ь)* ' dx (х*-\-5У dz •) Раньше для обозначения производной наряду с записью -у^мы употребляли запись г'. Однако обозначение производной штрихом может привести к неясностям: если написать г', неясно, что имеется в виду: -г- или -т- . Поэтому в тех случаях, где может возникнуть со- мнение, мы штрих употреблять не будем.
.136 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Это правило составления производной сложной функции сохраняется и при многоступенчатой зависимости z = z(y), y = y(x), x = x{t), t = t(w), ] dw dy ' dx ' dt ' dw' I Если функция задана параметрически (см. часть I, § 8), то такое задание можно рассматривать как частный случай сложной функции. В самом деле, если дано x=f(t), y = то первое из этих уравнений можно рассматривать как уравнение, решение которого даст t (x); подставляя это t (х) во второе уравнение, получим: y Следовательно, dy dy dt_ dx. dt dx' Но для применения этой формулы не обязательно вы- ражать / как функцию х (если бы мы это сделали, то избавились бы от параметра, а это не всегда возможно). Достаточно знать х = f(t). Эта функция является обратной по отношению к функции t (x). Значит, d* 1 1 dx d[ dx' dt dt Таким образом, dy dy dt_ dx~ dx ' . dt Эта формула дает еще один пример того, что с диффе- ренциалами можно обращаться как с обычными алгебраи- ческими величинами: величина dt в правой части сокра- щается. Приводим пример: Ш — zt^Tl* dx 2t-lm
§ 4J ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 137 Таким образом, когда мы будем вычислять таблицу для построения графика и, задаваясь t, находить х и у, мы сможем в любой точке находить и значение производ- ной -^, дающее наклон касательной в этой точке. Упражнения 1. Найти производную от г=(ах-{-Ь)г как сложной функции y = ax-\~tr. Раскрыть скобки и найти ту же производную. 2. Найти производную 1 1 1 — ах + Ь1 ' — (ах + Ь)*' 1+1' х § 4. Производная произведения функций Найдем производную произведения двух функций: g(x) и h(x). Положим f(x)=g(x)h(x), df = f(x-\-dx)—f(x)=g(x-\-dx)h(x-\-dx) — g(x)h{x). Но Поэтому df = \g (x) + dg] [h (x)-\-dh]—g (x) h (x) = = g{x)dh-\-h{x Заметим, что dg = g'(x)dx, dh = h'(x)dx, откуда dhdg=g'{x)h'{x){dxf. Величина dh dg пропорциональна (dx)', поэтому произве- дением dhdg в выражении df пренебрегаем. Окончательно получаем: df=g (x) dh + h (лг) dg. D.1)
138 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Разделив все члены D.1) на dx, получим: Это выражение надо запомнить так: производная произведе- ния gh равна сумме производной, взятой в предположении, что зависит от х только h, a g постоянно ( член g -г- ] , и производной, взятой в предположении, что h постоянно, а от х зависит только g (член h -^- ]. При этом, естест- dh венно, само постоянное значение g в члене g-^ берется при том х, при котором ищется значение производной. То же относится и к А во втором члене. Как бы мы действовали старым способом? Простая алгебра дает точное равенство Д/ == g (х) • Ah + h (х) • Поделим обе части на Ах: Л/ , > ДЛ Заметим, что в последнем члене для удобства мы умно- жили и разделили на Д*. До сих пор все равенства яв- ляются точными, справедливыми при любых значениях Дх. Теперь переходим к пределу при Ах—»0. При этом lim ?? = и в силу D.3) Последний член в формуле D.3) при переходе к пре- делу исчез, так как первые два множителя в пределе дают произведение h'-f, а Ах мы устремили к нулю. С помощью приращений и перехода к пределу получен тот же результат, что и с помощью дифференциалов, но несколько более долгим способом. Это не удивительно, так как в случае дифференциалов мы отбросили df-dg механически, на основании ранее заученного правила, согласно которому надо отбрасывать члены с (<?*)*, {dx)'
§ 4] ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 139 и т. д., а значит, и любые произведения двух, трех и большего числа дифференциалов. При расчете с помощью приращений мы, в сущности, по ходу дела доказали это правило еще раз для примера произведения функций. Последовательные действия с помощью приращений нужны для обоснования правил и понимания их. Но, после того как понимание достигнуто, пользование дифферен- циалами быстрее ведет к цели, является более деловым; было бы смешно каждый раз танцевать от печки, каждый раз решая конкретную задачу, выписывать, что производ- ная есть предел отношения, и т. д. Пример. /=-BдгЧ-5)(Злг + 4). Найти /' (х) и, в частности, /' B). Здесь _^ = B-4-f5)-34-C-2-f4)-4-2 = = 394-80=119. *=» Правило для нахождения производной произведения обобщается на случай нескольких множителей. Например, для произведения четырех функций f (x), g(x), h(x), k(x) получаем: - D-4) Производную частного (отношения) двух функций най- дем, записав f = — в виде произведения Тогда Г = * (¦*)'+*'Т-
140 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Производную функции — находим, пользуясь формулой (з.з), е Подставляя это в D.5), получим: или (лу=*?=,*«:. D.6) Правило, согласно которому производную произведения нескольких функций можно найти как сумму производных, вычисленных в предположении, что каждый раз меняется только одна функция, в действительности применимо не только к произведению функций, но и к другим выраже- ниям. Легко убедиться, что формула для производной суммы функций также согласуется с этой формулировкой. Позже мы увидим, что та же формулировка применима и к таким случаям, как, например, g (x)hl*\ где функция g возводится в степень h, зависящую от х. Упражнения 1. Найти производную функции у=х*. записав х* = Найти производные функций: § 5. Степенная функция Рассмотрим производную степенной функции где п есть постоянное число. При п целом положительном х" есть произведение п одинаковых множителей п. раз у = Х-Х'Х . . . X, п раз g = Ь>-1 -f I .je"-r-f ... -f 1 .др«
§ 5] СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ 141 (по формуле типа D.4)), откуда*) Покажем, что эта формула имеет место при любом п (дробном, отрицательном). При дробном п запишем п = —, где числа т и р — т целые. Получим у = хР, или ур = хт. E.1) Выражение у? в левой части E.1) является сложной функ- цией от х, так как у зависит от х. Поэтому, вычисляя производную от обеих частей равенства E.1), получим: Отсюда dy т хт~1 т хт~х т хт~х wi J~x 1 ~P ?L~l> X dx p yf~' P f TL Учитывая, что — = n, получаем окончательно: При отрицательном показателе запишем л = — к, где k — положительное число, j По правилу определения производной сложной функции у = -г, f = xk найдем: dx f* dx x** •) Для целого я эту формулу можно получить прн помощи би- нома Ньютона. Однако производная легко находится и без бинома, его знание не обязательно.
142 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ 1ч. III Подставляя обратно k== — п, получим и для отрицатель- ного п Зх~ ~х пх • Таким образом, формула производной от степени при- менима при любом рациональном показателе п. Она рас- пространяется и на случай иррационального показателя степени. Формула эта имеет важнейшее значение. При всей ее простоте эту формулу полезно записать еще в другом виде: „_«*¦, ?-«*. E.2, Этот результат надо глубоко прочувствовать. При поло- жительных п степенная функция обладает очевидным свой- ством, что при *=0 у также равно 0. Кривую у = сх" при данном п ^> 0 можно провести через любую точку (*<>' У*)—достаточно выбрать c = yjx". Пусть кривая про- ходит через начало координат и через точку (ха, уа). Най- дем среднее значение производной на участке кривой от начала координат до точки (х0, у0). Согласно определению среднего (см. выше, часть II, § 13) y'{x)dx откуда, пользуясь формулой A1.9) из части И, получаем В самом деле, при изменении х от 0 до ха у растет от 0 до у0. Значит, средняя скорость роста у (т. е. сред- нее значение производной) равна yjx9, это очевидно и без интегралов! Как видно из формулы E.2), значение производной в точке (ха, уа) в п раз (п — показатель степени) отличается от среднего значения производной. На рис. 66 показано не- сколько кривых с различными я: п = — , 1, 2, 5, проходя-
§ 5] СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ щих через одну и ту же точку N (ха, уа), а значит, имею- щих равную среднюю производную на отрезке 0 — хл. На- глядно видно, что чем больше п, тем больше производная в точке N (круче растет кривая). Вернемся еще раз к формуле V dy у_ dx х ' E.2) Отсюда = n-j-dx, и пото- му для малых приращений Ау = п — Ах. 3 х E.3) Будем считать, что соотно- шение E.3) достаточно точно для Ах = 0,01л, т. е. для изменения аргумента на 1°/„. Тогда из E.3) получаем: или = п0,0\у. Рис. 66. При изменении аргумента на 1°/0 степенная функция с по- казателем п меняется на па[9. Упражнения Найти производные функций: 1. // = х5 — Зх*4-*'4-7*г — 2х+5. 2.у = (х*+х->г1 = (х* — x-f-1)*. 4. у = C**— II0. 5. у = Ух*— 1. в. 7. Найти значения у(9) н у A1), если дано, что уA0) =5 в случае*): а) у ~ V х, б) у ( L в) у ~ хг. Задачу решить в уме, без выкладок. Сравнить ответ с точным. •) Знак ~ означает пропорционально.
144 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ш § 6. Производные алгебраических функций с постоянными показателями Совокупность правил §§ 1—5 позволяет найти произ- водную любой функции, составленной путем сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень (постоянную), в том числе дробную (корни). Покажем иа одном примере, как это удобнее всего де- лать практически. Найдем производную функции Ответ следует писать сразу, т. е. не вводя каких-либо новых обозначений (вродз у/х* — 1 = у). Производную бе- рут как бы отдельно по каждому месту, где стоит х, при- говаривая для памяти примерно следующее (буквы «а», «б», «в», . . . показывают, к каким местам выражения производ- ной, написанного внизу, относятся слова): производная (а) по х, стоящему перед корнем, плюс (б) производная по у/хх—1, умноженная на (в) производную от]/хг—1 по хг — 1, умноженная иа (г) производную от х* — 1 (а) (б) (в) (г) I I i i I I I 1 3 х1 — 2х. Имеет смысл сразу приучаться к такому деловому спо- собу, без лишнего чистописания, пользуясь следующими принципами: а) правило дифференцирования сложной функции [§ 3, формулы C.2), C,4)]; б) если выражение составлено из нескольких функций, то его производная равна сумме производных, вычисленных в предположении, что каждый раз лишь одна из функций предполагается переменной, а остальные постоянны [§ 4, формулы D.2), D.4), D.6I- Формулу для производной степени удобно применять в виде „_*.. *=.„*, как это сделано выше, в примере — см. выражение (в).
§ 7J ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 145 Для того чтобы приобрести навык, нужно проделать 10—20 упражнений только на технику безотносительно к физическим задачам. Упражнения Найти производные функций: 1. у=х*(х* — I)'. 2. у = х3 Vx*+x. 3- y = xi У*— !(** — — 2х)Т. 4. y=(x + -f=_\Vxi^2. 5. // = 14. t, = 20 x-f-x-Hj/J+T *2 22. у= 1/ **+* + 1 . 23. // = ; x + I 24. -=f,+^=J^ 2в.„=?^. § 7. Показательная функция Рассмотрим функцию где число а больше 1. График функции у изображен на рис. 67, а. При х=0 «/=1 при любом а. Функция у при всех х положительна и растет с увеличением х, так что и производная ее также везде
146 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ill положительна. При увеличении х на постоянную величину с получим: y(x-{-c) = ax+c=ac-ax = b-ax = b-y(x), где Ь = ас; 9 величина у умножается на постоянную величину. Таким образом, если х менять по- следовательно, одинако- выми шагами (в арифметической прогрессии) х=ха, хл-\~с, ха-\-2с, .. ., х„-f-пс, то у будет принимать значения У„, Ьу0, Ь2у0, .."., Ьпуй. Такой закон нарастания, как известно, называется геоме- трической прогрессией. Найдем производную показательной функции для а=10*): d A0х) lO*** 10х ^к/*—1 dx dx dx •) a =10 взято для облегчения вычислений.
§ 7] ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 147 Что представляет собой величина 10*-* — ! . dx f jq4x I Это есть предел отношения —-^— при Длг—»0. Найдем этот предел численно, «арифметически». Пользуясь четы- рехзначной таблицей логарифмов, находим: 10е'1 =1,2586, Ю^-1^ 1 А0,01 1 10°'01= 1,0233, QQ~ =2,33, 10°-°01 = 1,0023, ^^=-' =2,3. Таким образом, получаем: Следовательно, производная ^ 10*. 2,3. Производную 10х мы нашли, так сказать, опытным путем, при помощи таблиц. Для любой другой показательной функции задачу теперь легко свести к предыдущей: поль- зуясь понятием логарифма, запишем: По правилу нахождения производной сложной функции получим: ^ ax-2,3-lgfl!. G.1) Замечательная особеиность показательной функции за- ключается в том, что ее производная прямо пропорцио- нальна самой функции. В этом главное свойство геометри- ческой прогрессии: чем больше сама величина, тем быст- рее она растет. Свойства геометрической прогрессии, необы- чайно сильное ее возрастание — любимая тема популярных книжек, например «Занимательной алгебры» и «Живой ма- тематики» Перельмана.
148 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Если в показательной функции 0<а<1, то график функции имеет вид рис. 67, б, при увеличении х в ариф- метической прогрессии у уменьшается в геометрической прогрессии. Формула G.1) по-прежнему применима. В этой формуле lg а отрицателен при а < 1 и, следовательно, про- изводная, будучи пропорциональна функции, имеет проти- воположный знак. В части V мы приведем несколько примеров, в которых та или иная величина уменьшается с течением времени, притом так, что скорость уменьшения пропорциональна самой оставшейся на данный момент величине Как видно из предыдущего, в этом случае решением за- дачи явится показательная функция у=уаа*(а<1). Подробно об этих задачах будет рассказано в части V. Упражнения Найти производные функций: 1. //=10 . 2. у = 2*. 3. у==5х + \ 4. y=^ § 8. Число е Найдем такое основание, для которого формула произ- водной показательной функции имела бы наиболее' простой вид, а именно, чтобы в выражении производной коэффи- циент равнялся единице, так что его можно было бы не писать. Обозначим это число буквой е. Таким образом, При помощи формулы G.1) число это легко найти: 23lgel lge откуда по таблице логарифмов
§ 8] число е 149 Такой практический подход не соответствует историческому ходу развития науки и принципиально не удовлетворителен. Мы пользовались числами, заимствованными из таблицы логарифмов, не задумываясь над тем, как они вычислены *). Найдем число е, основываясь только на формуле (8.1). По общему свойству показательных функций е°=1. Рас- смотрим функцию у—е*. Тогда у@)=1. Из формулы (8.1) t/'@)=l.. Возьмем малое Адг = г и подсчитаем приращение функ- ции у = ех при переходе от х = 0 к х = г. Ау = у'Ах. Поэтому Д(/ = 1-Дх = г; у(х) = у(О)-\-Ау, откуда er=l-fr. (8.2) Запишем малое число г как дробь с большим знаменателем: г = -^-, если г<1, то л>1 **). Тогда из (8.2) - 1 ( 1 еп=\-\-—, откуда e=fl-f- — Это выражение тем точнее, чем больше п, так что строгое определение числа е пишется так: / 1 ^п (читается: е есть предел выражения f I -j ] при л, стремящемся к бесконечности). Однако не надо бояться слов «предел», «бесконечность». 1 -{-wjq) =2,705, что довольно мало отличается от точного значения. Советуем читателю f 1 \ * самому найти f I -f- -g-) • Мы получили, что при малом г ег=\-\-г ***), и это тем точнее, чем меньше г. Проверим это на числах. *) Точность, с которой дано здесь число в, также больше той точности, которую можно получить, определяя производную 10* при помощи четырехзначной таблицы логарифмов. **) Запись г <^ 1 означает, что число г значительно меньше 1. •**) Для функции «/ = в* составлены подробные таблицы.
150 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ш Из табл. 1 *) видим, что даже при г = ±0,3 ошибка не превышает 6"/а. Для расчетов полезно запомнить не Таблица 1 г -0,5 — 0,4 -0,3 — 0,2 -0,1 — 0,01 14- г 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,99 ег 0,6065 0,6703 0,7408 0,8187 0,9048 0,9900 г 0 + 0,01 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 1,01 1,1 1,2 1,3 1.4 1,5 (Г 1.0101 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487 только е = 2,718, но и приближенные значения е* = 7,4, е' = 20, е*=55, es=150. Краткая таблица ех и е~* дана в приложении к части III, стр. 223, таблица IV. При помощи числа е упрощается решение задач на гео- метрические прогрессии и сложные проценты. Рассмотрим пример: во сколько раз вырастет производство за 50 лет при ежегодном росте на 2°/0? Нужно вычислить 1,02". Применение числа е заключается в том, что приближенно мы заменяем 1,02 = е0'", откуда l,02S0 = e°iOt"" = e = 2,72. Общая формула (\-)rr)m = emr (г<^1). (8.3) Для применимости этой формулы достаточно, чтобы было мало г; т и тг могут и не быть малыми. Если тг тоже мало, то етг= 1 -\- тг, получаем известную ранее формулу (I -\-г)т=. 1 -{-тг, однако при больших тг ею пользоваться нельзя, тогда как выражение (8.3) остается справедливым. Так, для примера, приведенного выше, точное значе- ние 1,02s0 = 2,693, приближенно 1,02" = е1== 2,718, по формуле A-{-г)т = 1-{-тг получим 1 -f- 50 X 0,2 = 2. Расчет с помощью числа е дал ошибку около 1%, тогда ) Значения вх взяты из четырехзначных таблиц.
§ 8j . число е \Ъ\ как расчет по формуле A -\-г)т= 1 -\-тг в этом случае дал ошибку около 25 %. В общем виде оценка точности формулы дана в § 17, упражнение 5. В соответствии с первоначальным определением числа е формулой (8.1) производные от показательных функций имеют особенно простой вид, когда возводится в степень число е. Эти производные удобно выражаются через самую функцию. Приведем ряд формул *У — demx)_ e-w dm (х)_u их— dx —e dx —y Вывод. Итак, можно дать три различных определе- ния числа е: 1) из условия (ех)' = ех, 2) из условия 1-f- —J прип—*<х>. Для закрепления этого очень важного раздела читатель должен, отложив книгу, сам показать, как из каждого определения следуют два другие, рассматриваемые как свойства е. У числа е есть и другие замечательные определения и свойства. В частности, ряд, с помощью которого удоб- но вычисляется е, дан ниже на стр. 191 (формула A8.2)). Далее, есть формула е^^Т = cos Ф+У — 1 sintp; при ма- лом ф справедливость этой формулы следует из 2-го опре- деления е и из того, что соеф=1, sin ф=ф при Упражнения Найти производные функций; 5. о = 5ех — егх.
152 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [ч. ш § 9. Логарифмы По определению логарифмом величины f по основанию а называется показатель степени g, в которую надо возвести число а (основание логарифмов), чтобы получить данное число f f=a*, g=logaf. Кривая, изображающая зависимость y=\cgax (для случая а> 1), показана на рис. 68. Отметим, что при х=\ t/ = 0; при х > 1 у > О, а при х < 1 у < 0. Вся кривая расположена правее оси ординат. Так как положительное число а при возведении в любую сте- пень дает число положи- тельное, то не существует логарифмов бтрйцательных чисел. Обратим еще вни- мание читателя на то, что в равенствах y=-logax, ^, х = ау величины х безразмерны. Как видно на рис. 68, производная функции у = = loge х положительна при всех значениях х\ с увеличе- нием х производная умень- шается. Логарифмы по ос- нованию е (см. § 8) назы- х, у a и а Рис. 68. Их ваются натуральными. обозначают ]пх. Найдем производную натурального логарифма. Рас- смотрим d\nдг= \n{x-\-dx)—1пдс. Воспользуемся извест- ной формулой In а — In b = In —. Тогда (9.1) Мы уже знаем (см. § 8), что при малых г ет=\-\-г. Возьмем логарифмы обеих частей lner=/-=ln(l-l-r). (9.2)
§ 9] ЛОГАРИФМЫ 153 Пользуясь (9.2), получаем из (9.1) dln*=In(l+?)=?• Поэтому *%? (9.3) х Производную натурального логарифма можно найти также, пользуясь тем, что логарифм и показательная функ- ция— обратные функции. Запишем: . „ ', dx d(e?) y dy I 1 1 у = 1пх, х = еУ% х =-Ту=-^- = еУ, ^ = -р = ^ = т. Когда х меняется в геометрической прогрессии, \пх ме- няется в арифметической прогрессии: x — ab™ \пх = \па-\-т\п Ъ. Поэтому чем больше х, тем медленнее растет \пх, тем меньше производная. Выведем формулу, связывающую логарифмы одного и того же числа по разным основаниям. Пусть / = logoft, af=h. _ (9.4) Прологарифмируем обе части второго равенства (9.4) по основанию b: flogba = logbh, откуда /=^р^.Принимая во внимание (9.4), получаем: Пользуясь (9.5), можно получить производную лога- рифма по любому основанию. Пусть у = logax. Тогда и — ^ и ^——Ll!iL? _LJL ,да\ У In а и dx In а dx —In ах" K"> В формуле (9.5) положим 6 = еи/1 = е, получим: logae = = ]j^i и формулу (9.6) перепишем в виде d\ogax_\ogae ,q?v dx —~T~- (У/> Из формул (9.3), (9.6), (9.7) самая простая (9.3). Она получается, если логарифмы взяты по основанию е.
154 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ Н ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Поэтому они и называются натуральными, т. е. природны- ми, естественными. Полезно запомнить для грубых расчетов в уме: 1п 2 = 0,69, 1п 3=1,1, 1п 10 = 2,3 = 7-^ • Краткая таблица натуральных логарифмов дана в приложении к части III на стр. 223, таблица V. Если под знаком логарифма стоит какая-нибудь функ- ция f(x), то производную находим по правилу дифферен- цирования сложных функций (§ 3) d\nf(x)_ I df(x) . ~ dx —f{Z)'~dir' Фл> Заметим, что, пользуясь понятием логарифма, легко найти производную функции у-=а1С при любом а. Дейст- вительно, \пу=х\па, поэтому t/ = e*lno, откуда = у \па. Формула (9.8) дает возможность находить производные выражений вида f(x)h(X>, т. е. содержащих переменную и в основании и в показателе степени. Пусть y = f(x)hiX\ (9.9) Прологарифмируем (9.9) (логарифмы можно брать по лю- бому основанию; возьмем натуральные) \ny = h(x)\nfix). (9.10) Возьмем производную от обеих частей (9.10), при этом учтем, что 1пу есть сложная функция х [так же как 1п / (х)] i-у' = h' (х) In / (x) -f h (x)f-^g, откуда y'=i или, пользуясь (9.9), y' = f (*)*<*>/»' (x) In f{x)-\-h (x) f (*)Aw" 7' (*)• (9-11) Рассмотрим формулу (9.11). Справа в ней стоит сумма двух членов: первый член f{x)h{X)h' (x) \nf{x) есть произ- водная выражения /А, вычисленная в предположении, что переменной является лишь h, а / — постоянная; второй
§ 10] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 155 член h(x)f(x)h(X)~1f'(x) — это производная выражения fh, вычисленная в предположении, что/ — переменная, a h — постоянная. Подтверждаегся общий принцип, высказанный в конце § 4. Упражнения 1. Вспомнив In 10, иайти In 100. 2. Пользуясь формулой (9.5), иайти log5 15. 3. Пользуясь тем, что In (u-v) = ln и -+- In v, и дифференцируя обе части, получить формулу для производной произведения. 4. Исходя из соотношения In — = In и — In v, получить формулу для производной частного. Найти производные функций: 5. у = \п2х. 6. p=ln(jc-f-3). 7. // = 1пЗх. 8. у = \п(х*-{-1). 9. у = 1п(Зх«-х-}-1). Ю. у = \п~\. U. у=\п^~. 12. у = = х\пх. 13. у = я*\п(х + 1). 14. у = х*. 15. у = § 10. Тригонометрические функции Тригонометрические функции определяются как отно- шения отрезков и, следовательно, безразмерны. Они зави- сят от безразмерной величины — угла. В пределах углов от нуля до прямого угла тригоно- метрические функции можно определять как отношения отрезков в прямоугольном треугольнике (сииус угла равен отношению противолежащего углу катета к гипотенузе и т. д.). Нам, однако, важно определить функции любых углов'—и больших прямого, и отрицательных,— поэтому тригонометрические функции будем рассматривать в круге. Единственной мерой угла, употребляемой в высшей математике, является радиан. Краткие таблицы тригоно- метрических функций в зависимости от угла, выражен- ного в радианной мере, приведены в приложении к час- ти III на стр. 224, таблица VI. Чтобы не говорить все время об отношении линии синуса к радиусу круга или об угле как отношении длины дуги к радиусу, будем рассматривать круг с радиусом, равным 1. При этом кратко будем говорить, что синус равен длине линии синуса в таком круге, угол равен длине дуги и т. д.
156 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Однако читатель должен помнить, что и тригонометри- ческие функции и углы измеряются не единицами длины (сантиметрами, дюймами или метрами), а они безразмерны. Синус равен длине линии сину- са (в сантиметрах), деленной на длину радиуса (в сантиметрах), и при г=\ см численно равен длине линии синуса. Линии си- нуса и косинуса показаны на рис. 69. Напомним вид графиков си- нуса и косинуса в зависимости от угла (рис. 70). Период сину- са, так же как период косину- са, равен 2я = 6,28, соответст- Рис. 69 вует полному обороту радиуса окружности. Найдем производ- ные синуса и косинуса геометрически. На рис. 71 конец Рис. 70. 9 О В' А1 Рис. 71. радиуса, проведенного под углом <р, обозначен А; ко- нец радиуса, проведенного под углом <p-f-^(p> обозначен
§ 10] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 157 В. Таким образом, длина дуги АВ равна dtp. Проводим из А перпендикуляр АС на линию синуса угла <p-{-dq> ВВ'. Как видно из рис. 71, АА'= siny, BB' = sin и ВС = sin (ф -\- dtp) — sin ф = d (sin ф). Далее, ОА' = cos ф, O?'=:cosfa-f-<fcp) и Л'В' = ЛС= cos ф — cos (ф 4~ Лр) = — d (cos ф). Так как угол d<p мал, то длина дуги АВ не отличается от длины хорды АВ и угол ABC, образованный хордой АВ и вертикалью ВСВ', равен ф *). Из рассмотрения Д ABC найдем ВС = АВ cos ф, AC=^ABs'mq>. Таким образом, d (sin ф) = cos ф dtp, d (cos ф) = — sin ф dq> и, следовательно, d(coscp) _iJL==COsq,; = Дадим другой способ вычисления производной втф и cos ф без использования чертежа. Согласно общим формулам Д sinq> = sin(9-f- Дф) — БШф. Вспомним формулу синуса суммы двух углов sin (a -f- Р) = sin а cos p -f- cos а sin p и применим ее к sin (ф-f-Дф). Получим sin (ф 4~ Дф) = sin Ф- cos Дф-}-cos ф • sin Дф, откуда Д sin ф = sin ф - cos Дф -f- cos ф • sin Дф — sin ф. Составим отношение приращений, его можно записать так: 1 — cos Дф dip *) Точное значение угла равно ф-f--^-, но треугольник ABC мал (АВ = dф), поэтому, пренебрегая d<p в выражении угла ABC, мы в величинах ВС и АС совершаем ошибки, пропорциональные (dqpJ-
158 ВЫЧИСЛЕВИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Теперь нужно перейти к пределу Д<р—>-(Х Известно, что при углах а или Д<р, стремящихся к 0, синус равен дуге sina=a, sinA<p=A<p. Другими словами, ,. sin Дф , hm —т—- = 1. Второй член надо сперва преобразовать: по известной формуле cos 2a = 1 — 2 sin* a, 1 — cos 2a = 2 sin* a, В этой формуле при малом Д<р заменим sin (-j^ ) = -jp. \ z j j. Получим тогда 2fV I — cos A<p \ 2 / Аф Дф Дф ~2~ " Следовательно, в пределе при Дф—>-0 второй член про- .. I — COS Дф п ^-. падает: hm т -г = 0. Отсюда ДФ Д sin ф d sin Соотношения A0.1) справедливы для любых углов, а не только в I четверти. Полезно также, глядя на график функций sinx и cosat, проверить, что формула A0.1) пра- вильно дает знаки производных при любом х, а не только в I четверти. Проверим еще формулы A0.1) при малых углах. При малом ф геометрически очевидно,. что sin<p=5=<p, cos<p=t:l. Первая формула —Д^—^ = cos<p при малом ф дает -—-= 1. г, , d cos ф d cos ф п п Вторая формула даст —~^ = — ф, ¦ ж = 0 при ф = 0; равенство нулю производной соответствует тому, что ко- синус имеет максимум при ф = 0. Зная производные функций y=sinx и y=cosx, легко найти производные всех остальных тригонометрических
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 159 функций, используя соотношения, связывающие тригоно- метрические функции. Так, например, известно, что tgx = . Поэтому d tg x cos* x — sin x ( — sin x) dx cos*x по формуле дифференцирования дроби. Отсюда _ tg X COS* X -f- Sin* X 1 _____ COS* X " COS* X ' A0.2) Из рис. 72, на котором изображен график tgx, видно, что функция у = tg х при любых х имеет по- ложительную производ- ную. Вблизи точек разры- • производная неограни- ченно возрастает. Оба эти вывода вполне со- гласуются с формулой A0. 2). Совершенно анало- гичным приемом нахо- дим: d (ctg x) dx 1 sin* х -f f P Рис. 72. cos Р — cos Производные тангенса и котангенса можно найти и не- посредственно. Заметим, что •» •»" cos a cosji Отсюда cos а cos sin (ос — р 'cos а•cos I sin Дф A0.3) Имея в виду (см. стр. 158), что ,. sin Дф , hm —-—-!¦ = 1,
'60 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III из A0.3) получим: 1 COS2 ф " Упражнения Найти производные функций: 1. у = sin Bx-f-3). 2. y = cos(x—1). 3. y = cos(x* — х -f- !)• 4. y = sin*x. 5. у = sin 3x cos* x. 6. y=(sin2x)x. 7. y = xtgx. 8. у = в'в«. 9. y = ctg?-. § 11. Обратные тригонометрические функции Новые очень интересные результаты получаются при рассмотрении обратных тригонометрических функций. На- помним читателю определения этих функций. Функция y = Acrsinx A11) представляет собой угол такой, что siny—x. A1.2) Равенство A1.1) означает то же самое, что и A1.2). Ана- логично функция означает угол у такой, что Аналогично определяются функции у = Arccos х (х = cos у) и t/ = Arcctgjc(x==ctg у). Заметим, что функция у = = ArcsinA; имеет смысл только при значениях х, удовле- творяющих неравенству —lsS*^l, что видно из A1.2). Функция t/ = ArctgA: имеет смысл при всех значениях х. Рассмотрим подробнее функцию y = Arcsin*. Пусть, например, х = -^, t/ = Arcsinу. Можем взять t/=^-, так как sin -jr- = -~ , однако можем взять и у = -^ , так как . 5я 1 ,. 13п 17л sin -g- тоже равен -^. Можно взять у=.— , у = ~^- и т. д.
§ 11] ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЯ 161 2~ «^ у Мы видим, что одному значению х отвечает бесчисленное множество значений у. Все эти свойства функции i/ = Arcsinje видны на графике (рис. 73). Будем рассматривать отрезок кривой, для которого 2 -й- • Эта часть кривой называется главным значением функции t/ = Arcsin* и обозначается t/=arcsinjc (пишется с малым а). Если ограничиться с рассмотрением y = arcsin^, то каждому х >J\\ отвечает только одно значение у. Главное значение арктангенса определяется анало- гично Найдем производную функции y = arcsinx. Воспользуемся тем, что арк- синус есть функция, обратная синусу: A1.3) ~ . . dy 1 Kx) -aZ ТПТл 1 (у) cos у' Однако аргументом мы считаем х, поэтому -? следует выразить через х, а не через у, как в A1.3). Воспользуемся известной фор- мулой sin* у -\- cos* y=\, откуда cos у = = ± V 1 —sin*у. Так как мы рассматриваем главное зна- чение арксинуса, то F^^^IT' cosy^O, поэтому перед корнем берем знак плюс: cos г/= 1^1—sin* у. Так как smy = x согласно A1.2), то ставляя это в (П.З), находим: dy dx~ или = |A—х*- Под- A1.4) Я- Б. Зельдович
162 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Формулой A1.4) можно пользоваться не только для главного значения, но и для других участков кривой, выбирая соответственно знак у корня. Действительно, при одном и том же значении х на различных участках кри- вой производная имеет разные знаки; так, в точках А и С (рис. 73) производная положительна, а в точках В и D отрицательна Найдем теперь производную 1^ • Если у = arctg х, ¦у то x = tgy. Отсюда, анало- гично дим: ., , ч dx \ предыдущему, нахо- dy cos' у' A1.5) Из тригонометрии известно, что поэтому Пользуясь A1.5), получаем окончательно: dy d (arctg x) 1 dx dx 1 +X2' A1.6) Для любой другой ветви арктангенса (рис. 74) остается справедливой формула A1.6), так как любая другая ветвь получается из основной параллельным переносом, а это не изменяет величины производной. Упражнения 1. Найти производные функции y = arccosx и « = arcctgx. о о d(«*) -х d(lnx) 2. Зная, что ' =е*, найти v пользуясь тем, что из равенства у = 1 п х следует х = еу. Найти производные функций: 3. y = aTcsin2x. 4. у = arctg (Зх-f-l). б. у = arctg (х*—х). 6. у-
§ 12] ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО 163 § 12. Производная функции, заданной неявно Неявное задание функции у (х) — это задание ее выра- жением вида F(x, y) = 0. A2.1) Если соответствующее уравнение можно решить отно- сительно х или у, то мы вернемся к обычному заданию функции.. Однако иногда такое решение приводит к слож- ным формулам, а иногда его и вовсе нельзя найти. Так, например, уравнение окружности в форме х1-\-уг—\=0 A2.2) проще, чем следующее из него выражение у=±У\ —х\ A2.3) Если в A2.1) левая часть — произвольный многочлен, со- держащий х и у в степени выше четвертой, то в общем случае это уравнение нельзя разрешить соответственно относительно х или у. Также не разрешается, например, простое с виду уравнение F(x, y)=xs'mx-{-ysmy— я = 0. A2.4) Однако и в тех случаях, когда нет решения в виде формулы, прямо дающей способ вычисления у для дан- ного х, все равно у есть определенная функция х, при каждом х можно, решая уравнение численно, найти соот- ветствующее у, можно построить кривую в плоскости х, у. Возможно, что кривая будет существовать не при всех х (в случае окружности, например, лишь при х между — г и -\-г, где г — радиус окружности), при данном х может быть больше одного значения у (в случае окружности, например, два значения, в соответствии со знаком ± у корня квадратного). Однако эти осложнения не отменяют основного факта: F (x, y) = Q определяет у как функцию х. Как найти производную ^? Можно ли это сделать, не решив уравнение, т. е. не выразив у(х) явно? Это было сделано еще Ньютоном. Пусть х, у удовлет- воряют уравнению F(x, y) = 0. A2.1)
164 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ш Возьмем соседние значения х-{-Ах, у-\-Ау, также удо- влетворяющие уравнению F{x + Ax, у-\-Ау) = О. A2.5) Запишем, пользуясь A2.1): F(x+Ax, y-\-Ay) = F{x + Ax, у + Ау) — — F(x-{-Ax, y)-lrF(x + Ax, y) — F(x, у). A2.6) Разность F (х -f- Ах, у) — F (х, у) представляет собой при- ращение функции F (х, у), рассматриваемой как функция одной переменной х при неизменном у. Это приращение, как мы знаем, в пределе *) может быть выражено так: • Дх у=const Мы отмечаем здесь, что при вычислении производной по х функции двух переменных х и у мы считаем у постоянным. Вычисленную таким образом производную называют част- ной производной и в ее обозначении вместо прямой буквы d пишут круглую д: F(x + Ax,y) — F(x,y) = ?F-?J?-Ax; dF(x,y) д1}т F(x4-As,y) — Fjx. у) дх ах-*о Л* Аналогично для первой разности в A2.6) можно написать: F(x-{-Ax, y-{-Ay)-F(x-{-Ax,y) = dP^ + ^x'y)Ay. Условие A2.5) дает: дх ' ду . или dF (х, у) Aj/ дх Л^ dF (х -\- Ь.хГу)' ду Переходя к пределу при Длг—>-0, получим слева производ- *) Выражение «равно в пределе» при малом Дх или Ау разъяснено подробно в § 4 часть II, где рассматривается выражение приращения функции с помощью производной.
§ 12] производили функции, заданной неявно 165 ную, а справа при этом можно будет отбросить Д*. Окон- чательно (х. у) дх = dx dF (%, у)' ду Обратите внимание на знак минус в A2.7) и на то, что в данном случае нельзя просто «сократить» dF(x,y) в чи- слителе и знаменателе. Покажем применение A2.7) на примере уравнения A2.2). Имеем F(x, у)=х*-\-у*— 1; dF(x,y)_C) dF(x,y) дх —гХл ду~~~~ У> ? = -? = --• A2-8) dx 2у у v ' Легко убедиться, что этот результат совпадает с тем, что получится, если вычислить производную A2.3). Найдем производную в случае A2.4) ду sin x-\-x cos x дх sin у -\- у cos у ' Таким образом, в выражение производной неявной функ- ции входят обе величины, х и у. Чтобы найти ее численно, нужно при заданном х найти численно у. Но если бы мы не имели формулы A2.7), то для нахождения производной нам пришлось бы находить численно два значения yt и ух при двух соседних хх и хх и находить отношение у*~Ух . хх хх При этом чем ближе хг и хх, тем точнее пришлось бы вы- числять ух и ух, а это часто затруднительно. Заметим, наконец, что если F(x, у) = 0 приводит к не- однозначной кривой, т. е. при одном значении х есть два или больше значений у (несколько ветвей кривой), то выра- жение A2.7) при данном х при подстановке разных у дает значения производной в соответствующих точках. Читателю предлагается проверить это на примере уравнения окруж- ности A2.2), для которого производная дана форму- лой A2.8). -
166 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ill Для нахождения производной функции, заданной неявно, нам пришлось ввести новое понятие — понятие частной про- изводной. Это понятие имеет большое значение и необхо- димо для функций нескольких переменных, которые мы в этой книге не изучаем. По существу, мы уже неявно пользовались понятием частной производной даже в таких элементарных вопросах, как производная произведения не- скольких функций у =sh(x) g (х) или, например, производная степени у = Л (*)«<*> (см. стр. 138, 154), когда мы говорили, что у' складывается из члена, получающегося при взятии производной по х, стоящему в h (х), и по х, стоящему в выражении g (x). С помощью частных производных мы запишем это правило так: если то , dy dF dg.itf dh_ У —dx— dg ' dx~r~dh ' dx' Упражнения 1. Найти производную —¦ функции', заданной-уравнением A2.4) я п _ ял в точке х = -^-, у==—. То же а точке х== ^- , у=-^-. 2. Найти производную —¦ функции, заданной уравнением лг1 -\- Ъх -f-уа4- Ъу — 8 = 0, в точке х = у=1. § 13. Интеграл. Постановка задачи В части II мы познакомились с понятием интеграла. При этом была выяснена тесная связь между двумя различ- ными на первый взгляд задачами. Эти задачи суть: 1) нахождение суммы большого числа малых слагаемых, когда эти слагаемые можно представить как v(t)dt; 2) нахождение функции z (t), производная которой равна данной функции v(t) Советуем читателю перед чтением дальнейшего мате- риала повторить §§ 7—12 части II.
§ 13] ИНТЕГРАЛ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 167 Задачи физики, математики, химии по большей части возникают как задачи вычисления суммы. Эта постановка задачи более наглядна; сам вопрос уже подсказывает про- стой, хотя и приближенный путь для вычисления интере- сующей величины. Однако этот путь не дает общих формул. Вторая постановка задачи является более искусственной. Однако у этой постановки задачи есть свои преимущества. Нахождение производных оказалось простым делом, сводя- щимся к четырем-пяти формулам (производная *", ех, In x, sinx, cos*) и двум-трем правилам. Поэтому легко можно найти производные большого числа функций. Каждый раз, когда найдена производная какой-либо функции ~Ti==LVi можно зарегистрировать, что для этого v известен интег- рал z (см. § 14). Таким образом, можно набрать много отдельных частных случаев, в которых удается решить задачу о нахождении интеграла. При помощи тождествен- ных алгебраических преобразований удалось для нескольких простых типов функций v найти правила нахождения инте- грала (см. § 15). Этого не удается, однако, сделать для всех элементар- ных функций, так что интегрирование труднее, чем нахож- дение производных. Тем не менее формулы, полученные для некоторых интегралов во второй постановке задачи, очень важны. Если уж удалось для данной v найти интеграл (неопределенный интеграл или первообразную функцию), то тогда все задачи в первой постановке, все суммы, т. е. ь все определенные интегралы j v (?) dt, оказываются выра- а женными простыми формулами посредством функции г: ь )v(t) dt=z(b)—z(a). Такой результат является гораздо более а полным, более точным и ценным по сравнению с результатом каждого отдельного численного расчета суммы, т. е. определен- ь ного интеграла \ v (t) dt в определенных пределах от а до Ь. а Поэтому нашей целью в первую очередь будет именно решение задачи во второй постановке.
168 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. П1 § 14. Простейшие интегралы Выпишем формулы для производных, найденные в пре- дыдущих параграфах, и соответствующие им интегралы: -г- (sin kx) = k cos kx, k С cos kx dx = sin kx -f- C; ^ (cos kx)=— k sin иле, — A? \ sin fe* Лс= cos kx -\- C; a; = arctg x + C. Проделаем небольшие преобразования. В первом инте" грале обозначим п— 1=т (тогда п=т-\-1) и перепишем его так: Очевидно, что формула справедлива при всех т, кроме т = —1; при т = —1 знаменатель обращается в нуль, хт+1==х'= 1, получается непригодное для расчетов выра- жение -zr-\-C. Однако как раз в случае т=—1, т. е. для \ —dx, имеет место формула Эта формула справедлива лишь для положительных значе-
§ 15] ОВЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ 169 ний х, так как In л; имеет смысл лишь для х^>0. При JC<d 0 \пх не имеет смысла, но имеет смысл 1п (—х). Так как d In (— x) J_ 1 dx — хК l)—Т' Jdx — = 1п(—л:) + С, если *<0. Обе формулы для dx — могут быть объединены в одну J? A4.1) J Этой формулой можно пользоваться для любого проме- жутка интегрирования, не содержащего х = 0. Интеграл от показательной функции запишется так: Аналогично получаем для синуса и косинуса \sinkxdx=— -?-cos kx-\-C, coskxdx = -? sinfex-f-C. § 15. Общие свойства интегралов Выше, в §§ 1—3, были установлены свойства производной суммы функций, производной сложной функции и производ- ной произведения функций. Каждому из этих свойств со- ответствует определенное свойство, относящееся к интег- ралам. Для интегралов имеет место равенство J [Cf(x) + Eg(x)] dx = C J / (*) dx + E J g(x)dx. A5.1) Для доказательства надо взять производную выраже- ния, стоящего справа; если равенство верно, то получим подынтегральную функцию. Дифференцируя, имеем: '*= Cf(x) -f- Eg(x).
170 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. 1П Таким образом, равенство A5.1) доказано. Оно показывает, что интеграл суммы нескольких слагаемых разбивается на сумму интегралов отдельных слагаемых, а постоянные мно- жители можно выносить за знак интеграла. Под знаком интеграла можно делать замену переменной, переходить к новой, более удобной переменной. Рассмотрим несколько простых примеров. 1. Найти ^(ax-\-b)ndx(n=? — 1). Здесь в качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобке. Назовем ее г, ах-\-Ъ=г. A5.2) При этом надо также от дифференциала dx перейти к дифференциалу dz. Из выражения A5.2) получаем: Таким образом, dx=—. В правильности результата легко убедиться, вычисляя про- изводную правой части, dx[ а(я+1) ~T~^]—dxl в (л 2. Аналогично выполняется замена переменной в инте- грале 1 * = *х+Ь, dz=adx, dx = %, -\~b На практике в таких, очень несложных, примерах пре- образования делают менее торжественно, не вводя отдель- ных обозначений для новых, промежуточных переменных.
§ 15J ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ 171 Пишут, например: С (ах + Ь)п dx = J (ax -f- b)" ~ d (ax -f b) = Пусть f(x) и g(*)—две различные функции перемен- ной х. Правило нахождения производной произведения дает: Равенство A5.3) дает возможность написать: g«k. 05-4) В справедливости A5.4) убеждаемся, составляя производ- ную от его левой и правой частей. При этом получим вер- ное равенство A5.3). Перепишем A5.4) в виде Сокращенно это равенство пишут так: A5.5) В чем смысл формулы A5.5)? При вычислении инте- грала нет правила, выражающего интеграл произведения двух функций через интегралы каждого из сомножителей. Однако если в произведении двух функций fw интеграл одного из сомножителей известен то удается выразить интеграл \ fw dx через интеграл, в ко- торый входит производная -?¦ При помощи w перепи- шем A5.5) в виде ?fwdx=f (\wdx) — U§wdx\i[-xdx. A5.6) Так как f wdx=g, то последний интеграл в A5.6) есть
172 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ill g 4- dx\ он иногда бывает проще исходного интеграла \fwdx или сводится к известному интегралу. В частно- сти, если / — степенная функция, то ^ имеет степень на единицу ниже, чем f. Формула A5.5) или A5.6) называется формулой интегрирования по частям. Приведем примеры. 1. Найти \ хех dx. Положим f = x; тогда w=^=ex, e* dx=dg, g=\e*dx = ex, df = dx. По формуле A5.5) J xe* dx = xex — J e* dx = хе* — ех = ех (х — 1) -f С. 2. Найти С х*е* dx. Положим f=x*\ тогда w=?=ex, e*dx = dg, g=<\exdx = ex, df = 2xdx. Пользуясь A5.5), получа- ем С х*ех dx = х*е* — 2 \ хе* dx; пользуясь результатом первого примера, получаем: хгех dx= xxex — 2хе* + 2ех-\-С = (х* —2х-\-2)ех-\-С. Для нахождения ^ Рп (х) ekx dx, где Рп (х) — многочлен степени л, придется л раз выполнить интегрирование по частям. При этом в ответе получится Qn(x)ekx, где (?„(;*:) — многочлен степени л. Зная это, можно не выполнять п раз интегрирование по частям, а прямо находить коэффициенты многочлена Qn (x). Рассмотрим тот же пример. Найти \ х*ех dx. Напишем равенство с неизвестными пока коэффициентами много- члена Qn(x) x = (atx'-\- alX-\-an) e*-\-C. A5.7) Составим производную от обеих частей равенства A5.7) х>е* = [^а, + х Bа, + а,) + (а, + а0)] в*.
§ 15] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ 173 Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в многочлене справа и слева. Получим: «. = 1; 2at -\- а1 == О, откуда ах = — 2; а,+ао = 0' откуда ао = 2; окончательно получим, как и раньше, J хгех dx = (х* — 2х -f 2) е* -f С. Аналогичным приемом можно находить интегралы от функ- ций Рп (х) cos kx и Рп (х) sin kx, где Р„ (х) — многочлен. В обоих случаях ответ имеет вид <2„ (*) cos kx -f- Я „ (д:) sin fex, где Qn(x) и Я„(д;) — многочлены, степень которых равная (или меньше л). Примеры такого рода приведены в упражне- ниях. Приведем пример интеграла, который удается привести к известным нам интегралам посредством алгебраических преобразований. Рассмотрим интеграл \ ; г- гг. J I* — а) (х — о) Заметим, что справедливо тождество _J 1 _ а — Ъ х — а х — Ь ~ (х — а) (х — Ь) ' При его помощи получим: 1 1 г 1! !_ (х — а) (х — Ь) ~ а — Ь 1х — а х — Ь Поэтому — a х — Ь Существуют приемы, позволяющие интеграл любой алге- браической дроби с целыми степенями переменной выразить при помощи элементарных функций. При этом, однако, в ответе появляются не только алгебраические функции,
174 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. 1П но и логарифмы и обратные тригонометрические функции (арктангенсы). Общая теория нахождения таких интегра- лов слишком сложна для нашей книги. Интегрирование многих функций, содержащих корни и тригонометрические функции, может быть при помощи над- лежащей замены переменной сведено к интегрированию многочленов или алгебраических дробей с целыми степе- нями. Рассмотрим один пример. Найти j хУх-\-\ dx. Сделаем замену переменной: z=j/jt+~T, x-f- I =z*. Отсюда 2zdz = dx. Переходя к но- вой переменной в интеграле, получаем: J х Vx~+Adx= J {г* — I)z2z dz = 2 J (z* — z1) dz= Еще несколько примеров такого рода приведено в упраж- нениях. Наконец, приведем пример интеграла, который не может быть представлен при помощи конечного числа элементар- ных функций, Доказательство того, что его нельзя выразить при помощи конечного числа элементарных функций, весьма сложно, и мы его приводить не будем. Этот интеграл является функцией, свойства которой можно изучить. Из определения fix) следует, что Так как е~**>0 при любом х, то f(x) — возрастающая функция. Производная максимальна при лг=О, значит, f(x) имеет максимальный угол касательной с осью х при х=0. При х больших по абсолютной величине (положи- df тельных и отрицательных) производная ^ очень мала, значит, функция почти постоянна. График функции
§ 151 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ 175 f (х) = ^ е~ х* dx изображен на рис 75 (для определенности о нижний предел выбран равным нулю). 0883 -0.В83 Рис. 75. Для этой функции составлены подробные таблицы; благодаря им вычисления, в которые входит этот интеграл, не сложнее, чем, например, вычисления с тригонометри- ческими функциями. Найти интегралы: 1. Jx(x-l)»dx. 2. Упражнения — 3 f dx. 8. \ cos (Зх — 5) dx . 4. f sinBx-f-l)dx. 5. Г У Зх — 2 dx. Указание. В примерах 3, 4, 5 сделать замену переменной. в. V х cos х dx. 7. V In x d». Указание. В примерах 6, 7 воспользоваться формулой инте- грирован ия по частям. 8. С х* sin 2x dx. 9. 11. 10 . f (x*-f-x -f- l)cos x dx Указание. Пример 11 подробно рассмотрен в «Ответах и ре. шениях», остальные три делаются аналогично. 12 Г Xdx 1 ' J(*-2)(x-3)' Указание. Воспользоваться тождеством х А , В (х — 2)(х — 3) х — 2^х — 3'
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [ч. III числа А и В находятся приравниванием коэффициентов при одинако- вых степенях х после освобождения от знаменателя. х +1 dx и Г dx ,ч Г xdx Указание. Сделать замену переменной по формуле У~х = г . xdx Г Указание. Сделать замену переменной х*— 5 = z. 17. f sin* x cos xdx. Указание. Сделать замену переменной cosx=z. 18. \ . . dx. J 3in*x Указание. Сделать замену переменной sinx = г. 19. Jtgxdx. 20. J^. Указание. Сделать замену переменной х = at. 21. i х -. 22. farcsinxdx. 23. farctgxdx. J V*-x* J J 24. ^ «*x sin 3x dx. 25. С г* cos 2x dx. Указание. В примерах 22—25 применить интегрирование по частям. Общее замечание. Пользуясь различными приемами, иногда полу- чают для одного и того же интеграла различные выражения. Это не должно смущать читателя. Если вычисления сделаны верно, такие выражения должны отличаться лишь на постоянную. При нахожде- нии определенного интеграла результаты окажутся одинаковыми. Проверьте это замечание на примере 17, применив замену sin х = 2. § 16. Замена переменной в определенном интеграле Рассмотрим пример. Пусть требуется вычислить к \{ax-\-b)xdx. п Можно поступить следующим образом: вычислить сначала неопределенный интеграл \{ax-\-b)*dx, а затем составить разность его значений при x = k и при д; = л.
§ 16] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 177 Для вычисления ^ (ах-{-b)* dx сделаем замену пере- менной по формуле z — ax-\-b. Тогда dz = adx и Поэтому Можно, однако, действовать иначе. Выясним, как будет изменяться г, когда х изменяется от п до k. Так как z и х связаны формулой z=ax~\-b, то при изменении х от п до k z будет меняться от ап-\-Ь до ak-\-b. Следо- вательно, * ак+Ь an-\-b При нахождении интегралов удобно поступать именно так, т. е., выполняя замену переменной, одновременно находить и новые пределы интегрирования. Тогда в выра- жении неопределенного интеграла не придется возвра- щаться назад, к старой переменной. Рассмотрим примеры. 1 1. Подсчитаем величину интеграла \ ^ &• Заметим J \4 — х) о сразу же, что функция -^ г, при изменении х от 0 до 1 1 Jdx л lo \i> 0> (/. х) о вместе с тем знаменатель в этом промежутке не обра- щается в нуль, так что подынтегральная функция во всем промежутке конечна. Сделаем замену переменной 2 — х=у, dx = — dy. Тогда при дс = О t/ = 2, прид;=1 t/=l и О 1 В правой части A6.1) пределы интегрирования даны уже для у.
178 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ill Читателя может смутить знак минус в последнем равен- стве. Действительно, справа и слева стоят интегралы от положительных функций, почему же положительна правая часть A6.1)? Все дело в том, что в интеграле справа нижний предел больше верхнего. Так как при перемене пределов интегрирования интеграл меняет знак, то равен- ство A6.1) можно записать так: Г dx С dy J B-х)» —J у* ' о 1 Теперь в интеграле справа верхний предел больше нижнего и ясно, что интеграл справа положителен. Вычисления легко довести до конца С dy__ 1_ « _}_ | _L=i_ J ^ 2^ , 8 ~i~ 2 8 • х 2. В § 15 мы рассматривали функцию f(x)=^e~xtdx. Часто приходится иметь дело с функцией <р (а) = J e kxi dxf о а о где k — постоянное число. Покажем, что между функ- циями <р и f существует простая зависимость. В выражении для <р(а) сделаем замену переменной по формуле kx* = t*. Отсюда находим yk t х dx = ~)r=dt. При д;==0 Г = 0, при д; = а t = aVk. По- У * этому получаем: Итак, q>(a) — -y=f(a\fk). Следовательно, для любого зна- чения независимой переменной х
§ 16} ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 179 Имея таблицу функции f(x), можно найти также интег- рал ф(х) при любом значении к. 3. В части II мы видели, что определенный интеграл имеет размерность в случае, если имеют размерность подынтегральная функция и пределы интегрирования. Часто, однако, бывает удобно приводить интеграл к без- размерному виду, вынося все множители, имеющие раз- мерность., за знак интеграла. Покажем, как это можно сделать. ь Пусть дан §f(x)dx. Обозначим через /тах наибольшее а значение функции f(x) на промежутке интегрирования ^ 06.2) Ясно, что в последнем интеграле подынтегральная функ- ция ~J- безразмерна, так как fix) и /тах имеют одинако- /тах вую размерность. Перейдем к безразмерным пределам интегрирования. Для этого выполним замену переменной по формуле z=g^~, или д;=а + гF — а). A6.3) Из A6.3) видно, что z — безразмерная величина. Так как dx~(b — a)dz, а при х=а г = 0, при x = b z—\, то интеграл в формуле A6.2) принимает вид J ^ = Fа) (; rfz. A6.4) /max / а Положим /ma тогда из A6.4)
180 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III окончательно Ь 1 $ $ (г)Лг. A6.5) В формуле A6.5) ^ф(г)^г есть безразмерная величина. о Если f (x) мало изменяется на промежутке интегриро- вания, то 4^1=1, поэтому (max 1 I <p(z)=l и ]ф(г)^25=Ь^г=1. о о Таким образом, в этом случае безразмерный множитель 1 J cp(z)dz есть число порядка 1 и величина интеграла опре- 0 деляется главным образом произведением Рассмотрим элементарный пример: свободное падение тела в течение времени ?0. Путь есть ]v(t)dt. Скорость о тела равна v=gt, и максимальная скорость достигается к моменту /„: vmaX=gtl). Заметим, что здесь максимум обусловлен ни уменьше- нием скорости после f = /0, а просто тем, что времена, большие tn, не входят в промежуток, по которому ведется интегрирование, 0<t<t9. Вводим - t__ . . v gt_ t_ Рассмотрим в заключение пример, показывающий необ- ходимость внимательного рассмотрения функции и опас-
§ 16] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 181 Ь С dx ность формального подхода. Вычислим / = \ -р- • Неопре- а деленный интеграл Г-^- = f-C, поэтому Ъ — а Так как подынтегральная функция положительна, результат должен быть положителен, если Ь> а. Ответ по формуле A6.6) действительно положителен при Ь>а, -И если а и Ь одного знака. Однако для интеграла \ — 1 формула A6.6) дает явно нелепый результат / = — 2! Причина заключается в том, что подынтегральная функ- ция обращается в бесконечность внутри промежутка ин- тегрирования при д;==0 и в этом же месте терпит беско- нечный разрыв функция ( J, являющаяся неопреде- ленным интегралом функции -р-. Чтобы разобраться в положении, необходимо исключить из всего интервала — 1 < х < -j- 1 малую область около особой точки х = 0: —е1<лг<е, (е^ и е, — малые поло- жительные числа), и рассмотреть По формуле A6.6) получим: Ясно, что при ех и е„ стремящихся к нулю, К—»оо. В других случаях интеграл с подынтегральной функ- цией, обращающейся в бесконечность на интервале интег- рирования, может давать вполне определенный конечный 1 результат. Так, например, I —^ = 2. Для доказательства J V х
182 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III 1 вычислим \-yL-=2 — 2]/е; при е—»-0 интеграл стре- Я мится к 2. Такого рода рассмотрение необходимо всегда при обра- щении подынтегральной функции в бесконечность. § 17. Ряды Поставим себе задачу построить простое и удобное приближенное выражение функции у (х) (заданной точно какой-либо формулой) на небольшом промежутке измене- ния аргумента х, например при значениях х, близких к а. Определение производной, которое было дано в части II, можно записать в следующем виде: х — а Из этого определения следует, что в пределе, т. е. тем точнее, чем меньше разность (х— а), можно написать: -а)у'(а). A7.1) Эта формула соответствует смыслу производной как ско- рости изменения функции. Если известно значение функции в данной точке у (а) и скорость изменения функции в этой _ =у'(а), то при х, близком к а, когда аргу- dy точке fx х=а мент изменился на величину (х — а) по сравнению с на- чальным значением а, функция изменяется на(х>—а) у' (а). Выражение A7.1) является приближенным, и точность его тем меньше, чем больше промежуток (х — а). Действи- тельно, при расчете изменения, функции по формуле (х— а)у' (а) мы пользовались значением скорости изменения функции у' (а) в начале промежутка от а др х. Между тем на этом промежутке сама скорость у' также меняется. Точная формула имеет вид X y{x)=y{a)-\-[y'{t)dt. A7.2) а Применим формулу A7.1) к производной у' (х). Тогда у' (х)=*у' (а) + (* — а)у" (а). A7.3)
§ 17] ряды 183 Прежде чем идти дальше, напомним читателю, что у"(х) — вторая производная функция у по х, обозначаемая сРи также — , есть производная по х от у' (х) »•<*>-?. так что у" связана с у' таким же образом, как у' связана с у. Аналогично определяется у'" — третья производная, у — dx ' ylv — четвертая производная, yv—пятая производная и т. д. Производная п-го порядка, которая получается в результате п-кратного последовательного взятия произ- водной функции у (х), обозначается у(п) (х) или ^р. В обо- значении ут значок п ставится в скобки, чтобы отличить его от показателя степени. Вернемся к задаче приближенного выражения функ- ции. Формула A7.3) для производной есть не что иное, как формула A7.1), в которую вместо у(х) подставлена функция у' (х). Подставим выражение производной A7.3) в формулу A7.2). Тогда г (а) + (/ — а)у"(a)]dt = ^^у"(а). A7.4) Эта формула точнее выражения A7.1). При выводе A7.1) предполагается (в первом приближении), что скорость изме- нения функции у> т. е. ее производная и', постоянна и равна значению производной при х=а. При этом полу- чилась линейная зависимость у от х*). При выводе фор- мулы A7.4) учтено, что производная у' (х) непостоянна, но изменение у' (х) учтено лишь приближенно: формула *) В выражение для у A7.1) х входит только в первой степени. Иначе говоря, у есть многочлен первой степени от х. Такая зави- симость называется линейной, потому что графически она изобра- жается прямой линией (см. ч. I, § 4).
184 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ill A7.3), которой мы пользовались в ходе вывода формулы A7.4), подразумевает постоянство у" (х), что и приводит к линейной зависимости у' от х\ при этом для у(х) полу- чается квадратичная зависимость. Уточним еще формулу A7.4). Для этого следует учесть, что и у" непостоянна. Воспользуемся формулой X y'{x)=y'{,a)+\y"(t)dt. A7.5) а Она получается из A7.2) заменой у на у'. Заметим также, что эту формулу (как и A7.2)) легко проверить, подсчи- тав входящий в нее интеграл. Запишем теперь у" (х) по формуле типа A7.1), примененной к у" (х), У" {х) = У" (а) + (х—а)у'" (а). A7.6) Тогда из формул A7.5) и A7.6) получим: или 2 -y (a)- A7.7) Заметим, что формула A7.7) есть формула типа A7.4), записанная для у' (х). Выражение для у'(х) из A7.7) подставим в A7.2): = у(а) + J [у' (а) + у" (a)(t Теперь легко представить себе, какой вид будут иметь формулы для у(х), если еще продолжать процесс уточне- ния: если учесть, что у'" непостоянна, то в формулу войдет ylv (а); выражение для у (х) будет содержать (х—а)*. Каждый следующий шаг по уточнению у (х) дает дополнительный член с более высокой степенью (х — а).
§ 17] ряды 185 Этот закон проявляется со всей очевидностью, если сравнить уже полученные нами выражения. В самом гру- бом приближении, если х— а мало, можно считать у(х) = у{а)\ для этого не нужно знать высшей матема- тики. Назовем это равенство «нулевым приближением», выражение A7.1) — «первым приближением», выражение A7.4) — «вторым приближением», выражение A7.8) — «третьим приближением» и выпишем упомянутые формулы рядом: У(х)—у(а) (нулевое приближение), у(х) = у (а) -\-(х — а) у' (а) (первое приближение), У{х) = У (а) -\-(* — а)у'(а)-\-(х ~ g)* у" (а) (второе при- ближение), У" (а) + {1^гУ'" (а) (третье прибли- жение). Легко догадаться, какой вид будет иметь результат, если все дальше уточнять формулы. Каждое следующее приближение содержит на одно слагаемое больше, чем предыдущее приближение, т. е. чем больше степеней (х — а) входит в формулу, тем она точнее. Формулу такого вида можно получить и несколько другим способом. Возьмем точное равенство A7.2) и проинтегрируем его по частям, заменив *) сперва под интегралом dt на d (t — х): ' (t)dt =y(a) + l yr (t)d(t —x) = а х A7.9) *) При интегрировании t есть переменная (немая), х рассматри- вается как постоянная, поэтому dt=d(t—х) и замена допустима.
186 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ В ИНТЕГРАЛОВ [Ч. !П Проводя интегрирование по частям п раз, мы получим точное выражение для у (х), состоящее из п~\-2 членов. Первые п-\-\ членов совпадают с п-и приближением предыдущего вывода. Последний член дает выражение остатка в виде интеграла от (п-\-\)-& производной функ- ции у(х) — 0" t. A7.10) Без последнего члена с интегралом формула является приближенной. В общем случае произвольной функции у(х) никакое конечное число степеней (х — а) не даст абсолютно точной формулы *). Точную формулу может дать только выражение, содержащее бесчисленное множе- ство степеней (х—а): — a)-\-ct{x — a)*-\- ... A7.11) Выражение такого вида называется бесконечным рядом. Обычно слово «бесконечный» опускают и говорят просто «ряд». Коэффициенты е0, elf ..., сп, ... различны для различ- ных функций. Они зависят также от значения величины а. Эта коэффициенты можно найти более быстрым (по сравне- нию с приведенным выводом) способом. Для этого посту- пим следующим образом. Запишем равенство A7.11) и вычислим первую, вторую и ... п-ю производные от обеих его частей: У(х) = сй + с1(х — a)-h с, (дс —а)'+ «?.(* — «)* + •• • ...-\-псп(х — *) Кроме случая многочлена, см. конец § 18.
§ 17] ряды 187 у" (x) = 2ct + 3-2c,(x-a) -f- . . . n(n-l)cn(x — a)n-' + .... ...3.2cn+1(x — a Каждое из написанных выше равенств позволяет опреде- лить один из коэффициентов с(. Действительно, положим в каждом из этих равенств справа и слева х = а. При этом все члены, содержащие множители (х — а), обратятся в нуль и мы получим уравнения для определения коэффи- циентов: у(а) = са, откуда с9 = у(а), у'(а) = с1, Cl = y'(a), у'" (а) = Таким образом, получаем: Первые п членов этой формулы и формулы A7.10) совпа- дают. Отметим еще частный случай формулы, когда а = 0, (О)х+^х' + ^х'+... A7.13) Для произведения последовательных натуральных чисел п(п—1) ... 3-2 есть удобное обозначение п\ (читается эн-факториал, по-латыни фактор — сомножитель). Таким образом, например, 3!=3-2=б; 41 = 4.3-2=24; 5!= 120. Принято при определении факториала приписывать в числе
188 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III сомножителей еще 1: п! = п(л —1) ... 3-2-1; от этого, очевидно, произведение не меняется, зато удоб- нее запомнить: п\ есть произведение п последовательных натуральных чисел от п до 1. Например, 3! есть произ- ведение трех множителей, 3-2-1, от 3 до 1. При этом определении, естественно, получим 1! = 1. При помощи таких обозначений запишем формулы A7.12) и A7.13) в удобной сжатой форме: л=оо q«> (*_«,)-, (i7.i4) y-^x". A7.15) Формулы A7.14) и A7.15) дают разложение функции у (х) в ряд по целым степеням х — а (или х). Формула A7.14) называется рядом Тейлора, A7.15) называется рядом Маклорена. Пусть, например, у(х) — ех. Тогда У — с , у — е , . . ., у — с , . • • Воспользуемся формулой A7.15) ряда Маклорена. В нашем случае Подставляя в A7.15), получим разложение функции у=ех в ряд по степеням х: Рассмотрим формулу, которая получается из ряда Тей- лора, если ограничиться, например, тремя членами, Раскроем в правой части скобки и расположим результат
§ 17] ряды 189 по степеням х-. -\-\у"(а)х\ A7.16) Справа в A7.16) стоит многочлен второй степени. Обра- щаем внимание читателя на то, что это выражение не сов- падает с тем, что получится, если взять три члена в ряде Маклорена, у(х) = у@) + у'@)х + ?рх\ A7.17) Это станет понятным, если вспомнить, что формула A7.16) дает хороший результат, если х близко к а, а формула A7.17) хороша, если х близко к нулю. В части И было дано определение производной как предела отношения приращения функции к приращению независимой переменной. Теперь, после того как построено выражение функции в виде ряда, можно дать общий ответ на вопрос о том, Ду ^ du как, по какому закону отношение -г| приближается к ^ при стремлении Ах к нулю. Возьмем ряд Тейлора и обозначим (х — а) = Ах. При этом у(х)—у{а) = Ау. Получим: При малых Ах второй член с Ах больше третьего члена с (Ах)*. Пренебрегая последним, придем к выводу, что Ау отличие отношения -^ от значения производной на краю промежутка пропорционально величине промежутка Ах и второй производной у" (а). При этом мы сравниваем отношение приращения на участке от дс= а до х = а-\- Ах с производной на краю участка у' (а). Производную можно вычислять и иначе: возьмем при- ращение при изменении х от а ^ до а-\--~- и, поделив на Ах, сравним это отношение с производной у' (а), т. е. с
190 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. И1 производной в середине участка. Получим: -/<«>-?Г Мн4 (?) Т W -т (т)>" «* ^Г' «О- Такой способ гораздо точнее: разность между отношением приращений и производной пропорциональна (АхJ, а не (А*), и к тому же содержит коэффициент ^ (на стр. 55—56 на конкретном примере показано преимущество этого способа вычисления производной). Упражнения 1. Разложить полином третьей степени у = ах1 -\- Ьхг -f- ex -f- d в ряд по х — х„. Сравнить первые два, три, четыре члена с поли- номом. 2. Разложить в ряд Маклореиа функцию у = хе*\ проверить, что ее разложение можно получить из разложения е*. 3. Разложить функцию е* в ряд Тейлора по степеням (х — 1). 4. Найти численно производную функции е* при х=0, зада- ваясь интервалом Ах=1; -=-; -г-; -5-. Z 4 о 5. Выяснить точность формулы A -f- г)т = етг. Для этого запи- сать ее левую часть в виде A -\-г)т = ет 1пA+'> и разложить In A -+- г) в ряд. § 18. Вычисление значений функций при помощи рядов Остановимся вкратце на принципах, положенных в основу формул § 17. В начале изучения высшей матема- тики мы считали известным понятие функции и исходили из того, что можем вычислить значение функции при лю- бом значении аргумента. Поэтому при рассмотрении произ- водных мы находили их непосредственно, так сказать, опытным путем, вычисляя значения функции при близких значениях аргумента. Потом мы научились находить про- изводные по формулам, и оказалось, что составление фор-
§ 18] ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ 191 мул для производных — довольно простое дело. Поэтому вычисление значений функций при помощи формулы, в ко- торую входят производные, оказывается часто даже более простым, чем прямое вычисление функции. Так как только в случае многочлена ряд Тейлора об- рывается, содержит конечное число членов, то любая функ- ция, отличная от многочлена, будет представлена беско- нечным рядом. Практическая ценность такого ряда для вычислений связана с возможностью ограничиться двумя- тремя членами ряда и получить достаточно точный резуль- тат. Для этого необходимо, чтобы отброшенные члены ряда не были велики. Рассмотрим несколько простейших примеров. Пусть у=ех. В предыдущем параграфе была получена формула в*=1+* + ¦? + !.+ ...+?_+... A8.1) В частности, подставляя х=1, получим выражение чис- ла е в виде ряда в=1 + 1+|+4-+...+^ + ... A8.2) Эта формула позволяет быстро и с большой точностью вычислять ех, что можно видеть из табл. 2. Таблица 2 * 0,10 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 2,00 1,1052 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183 3,4903 4,4817 7,3891 1+Х 1.10 1,25 1.50 1,75 2,00 2.25 2,50 3,00 I-M + ? 1,1050 1,2812 1,6250 2,0312 2,5000 3,0312 3,6250 5.0000 1.1052 1.2838 1,6458 2,1015 2,6667 3.3568 4.1876 6,3333 Xя Я* X1 1+*+-+—+— 1,1052 1.2840 1,6484 2,1147 2.7083 3.4585 4.3986 7.0000 Первые два члена формулы дают точность 0,5°/0 при дс«=0,1. Первые три члена формулы дают точность 1,4е/, при д:=0.5.
192 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Первые четыре члена формулы дают точность 1,8°/,, при х = 1,0. Такая хорошая точность связана, очевидно, с тем, что члены, ряда быстро убывают. Каждый следующий член ряда меньше предыдущего, прежде всего, потому, что зна- менатель (n-f-l)-ro члена в п раз больше знаменателя предыдущего п-го члена. Если х < 1, то к этому добавляется еще тот факт, что х" тем меньше, чем больше п. Но даже при х> \ в далеких членах ряда увеличение знаменателя обязательно пересиливает увеличение числи- теля. Как видно из таблицы, при х~2 сумма пяти чле- нов ряда дает ошибку б0/», если же добавить шестой член ш)' то ПОлУчим 7> 3500. Ошибка составляет 0,57„- X 0 л 20 л То Зя 20 4я 20 Бя 20 бя 20 7я 2П 8я 20 ?л\3 9л 20 я *) Ф- ?¦) 0° 9° 18° 27° 36° 45° 54° 63° 72° 81° 90° sin х 0,0000 0,1564 0,3090 0,4540 0,5878 0,7071 0,8090 0,8910 0,9510 0,9877 1,0000 X 0.0000 0,1571 0,3142 0,4712 0,6283 0,7854 0,9425 1,0996 1,2566 1,4137 1,5708 — угол, соответствующий дс, но ¦ *-т 0,0000 0,1564 0,3090 0,4538 0,5869 0,7046 0,8029 0,8780 0,9258 0,9427 0,9248 шраженный 'аб л и ца 3 *-Т+775 0,0000 0,1564 0,3090 0,4540 0,5878 • 0,7071 0,8091 0,8914 0,9519 0,9898 1,0045 в градусах.
§ 18]; вычисление значений функций при помощи рядов 193 Построим формулы такого же типа для тригонометри- ческих функций y(x) = sinx; y'(x)==cosx\ у" (х) = — sin*; у'" (х)= — cosx; ylv (x) — sin x. Закон для последующих производных очевиден. Таблица За X 0 Я 20 я 10 Зя 27) 4я 20 5л 25 6л 20 7я 20 8я 20 9я 20 л т <р 0° 9° 18° 27° 36° 45° 54° 63° 72° 81° 90° cos х 1,0000 0,9877 0,9510 0,8910 0,8090 0,7071 0,5878 0,4540 0,3080 0,1564 0,0000 ж* 1 1,0000 0,9877 0,9506 0,8890 0,8026 0,6916 0,5558 0,3954 0,2105 0,0007 — 0,2337 ,-*:+«! 1,0000 0,9877 0,9510 0,8911 0,8091 0,7075 0,5887 0,4563 0,3144 0,1672 0,0200 г 'i* if 1,0000 0,9877 0,9510 0,8910 0,8090 0,7071. 0,5877 0,4539 0,3089 0,1561 — 0,0009 Подставляя х=0, получим: t,@) = 0, yf@)= Следовательно, l, Аналогично получим формулу 08.4) 7 Я- В. Зельдович
194 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [ч. ш На рис. 76, а и б показаны графики синуса, косинуса, а также графики многочленов, которые получаются, если брать один, два или три члена соответствующего ряда. Видно, как улучшается точность по мере того, как мы берем все большее число членов ряда. Рис. 76. В табл. 3 и За приведены численные результаты. Как видно из таблиц, достаточно двух-трех членов ряда, чтобы получить прекрасную точность в промежутке от 0 до -j- . Таким образом, степенной ряд дает очень удобный прак-
§ 19] УСЛОВИЕ ПРИМЕНИМОСТИ РЯДОВ 195 тический способ вычисления значений тригонометрических функций. Заметим, что по абсолютной величине не рав- ные нулю члены ряда для синуса и косинуса в точности равны соответствующим членам ряда функции е*. Поэтому все сказанное об убывании членов с высокими степенями х в формуле A8.1) для ех относится и к рядам для си- нуса и косинуса A8.3) и A8.4). Заметим, что если подставить в выражение A8.1) x=y\f—1, а в выражениях A8.3) и A8.4) заменить х на<р, то получится соотношение e'v^T= cos<р-\-У — 1 simq>, упомянутое на стр. 151. Если функция у (х) есть многочлен степени п, то у'(х) есть многочлен степени (п—1), у" (х} — многочлен степени (п — 2), ..., tfny(x) — постоянная величина, а у(п+1}(х) и все производные более высокого порядка — нули. Поэтому для многочлена ряд Тейлора A7.14) обрьюается, он состоит из конечного числа членов. Мы получаем многочлен, рас- положенный по степеням (х — а). При этом для много- членов п-й степени сумма первых п -f-1 членов ряда Тейлора дает точное равенство, верное при любых х, а не только при х, близких к а. § 19. Условие применимости рядов. Геометрическая прогрессия Формулы, в которых функции представляются как суммы ряда степеней х с постоянными коэффициентами, были составлены в предыдущем параграфе для трех функ- ций: е*. sin* и cos*. В этих трех случаях оказалось, что при любом х каждый следующий член ряда, исключая, может быть, несколько первых членов, меньше предыду- щего и чем больше номер члена, тем ближе этот член к нулю. В этих примерах при любом х можно вычислить значение функции при помощи ряда, если взять достаточ- ное число членов ряда, так чтобы отброшенные члены практически не влияли на результат. Напомним, что мы начинали g задачи о приближенном выражении функции в малой области изменения перемен- ной и строили все более точные формулы с учетом первой, второй, третьей н т. д. производных. Точность каждой
196 вычисление производных и интегралов [ч. in формулы у(х)=у(а), @) у(х)=у(а) + (х — а)у'(а), (I) у(х)=у(а) + (х-а)у'(а) + {±^у"(а) (II) тем больше, чем меньше величина (х — а). С другой сто- роны, при данном (х — а) формула (I) точнее формулы @), формула (II) точнее формулы (I) и т. д. Значит, увеличе- ние числа членов ряда позволяет увеличивать величину (х — а), сохраняя заданную точность. Вопрос заключается в том, всегда ли можно будет достичь заданной точности при любом значении (х — а) путем увеличения числа членов ряда. На очень важном примере мы убедимся сейчас, что это не так. Степенной ряд, построенный так, чтобы дать хорошее приближение в малой области изменения х, при любых (х — а) может иметь естественный предел применимости, предел допусти- мого увеличения (х — а) (не зависящий от числа взятых членов ряда), хотя этого и не было в примерах предыду- щего параграфа. Рассмотрим функцию Вычисляя последовательно производные, найдем: 1-2 ,„, п\ ">, _ к)* ' * " * ' * A — x)n +t Подставляя х = 0, получим: у@)=1; у'@)=1; 4Г(О) = 2; ...; у<п>@) = п\. Таким образом, получим ряд . ^=-1+* + *• + *•+...+*"+... A9.1) Пример функции ¦= замечателен не только необы- чайно простым видом получившегося степенного ряда (все коэффициенты равны 1). В этом случае нетрудно дать точную формулу для суммы п первых членов ряда A9.1) A9.2)
§ 19) УСЛОВИЕ ПРИМЕНИМОСТИ РЯДОВ 197 В справедливости этой формулы убедимся, умножая обе части A9.2) на A —х). Формулу A9.3) можно пере- писать так: 1+* + д-+...+*—= T-L-_r?-j. A9.3) хп Сравнивая A9.3) с формулой A9.1), видим, что -^zr есть та величина, которой мы пренебрегаем, если ограничиваемся первыми п членами ряда l+* + xt + x1+...+;t'I + ... A9.4) Если — 1 <*< 1, то хп тем ближе к нулю, чем больше п, и следовательно, взяв достаточно много членов ряда, мы отбрасываем малую величину. Заметим, что чем ближе х к 1, тем больше членов ряда приходится брать для по- лучения заданной точности. Вся картина изменится, если взять х~^>\. В этом случае каждый следующий член ряда A9.4) больше пре- дыдущего. Формула A9.3) остается в силе, однако при *>1 / иеограииченно растет вместе с ростом п и поэтому дробью \*_ х пренебрегать никак нельзя. Формула A9.1) в этом случае неверна. Нет даже никакого качественного сходства между суммой положительных слагаемых A9.4) и отр ицательной (так как х *> 1) величиной ? . Из фор- мулы A9.3) видим, что при х^> 1 сумма ряда A9.4) не- ограниченно увеличивается при увеличении п. Такие ряды называются расходящимися. Члены ряда A9.4) образуют геометрическую прогрес- сию. Мы установили, что сумма членов бесконечной геомет- рической прогрессии равна . _¦ , если |лг|<1. Если же х^> 1, то бесконечная геометрическая прогрессия не имеет конечной суммы. Отметим еще, что любая периодическая дробь представ- ляет собой сумму членов геометрической прогрессии, например, 1, A) = 1,111... = 1 +0,1 +0,01 +0,001 + .. • = ,,1,1 ,1i 1 1 ю _ , 1 1 +1
198 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [ч. ш Таким образом, с простейшим рядом (геометрической прогрессией) мы встречались уже и раньше, в арифметике и алгебре. Функция у — ——- (рис. 77) терпит разрыв при х=\: если х близок к 1, но больше 1, то г— большое по Рис. 77. абсолютной величине отрицательное число; если х близок к 1, но меньше 1, то -г-^ большое положительное число. Следовательно, при переходе х через значение х= 1 функция _ переходит от больших положительных чисел к большим по абсолютной величине отрицательным числам. Этой особенности поведения функции ряд описать не может.
§ 19] УСЛОВИЕ ПРИМЕНИМОСТИ РЯДОВ 199 Отметим еще следующее обстоятельство: при х=\ функция у———- обращается в бесконечность (чем ближе х к 1, тем больше у по абсолютной величине), и при этом же х= 1 члены ряда A9.4) перестают убывать. Ряд может быть пригоден для вычислений, лишь если его члены убывают по абсолютной, величине *). При х=\ ряд для вычислений непригоден, так как его члены не убывают. Значит, ряд непригоден для вычисления значе- ний функции и при х==—1 (так как при х=—1 его члены тоже не убывают по абсолютной величине), хотя сама функция при х = — 1 разрыва не испытывает и равна 1 1 1 —<—1>~" 2 * Как бы мы ни выбирали коэффициенты многочлена, его график всегда будет сплошной, непрерывной, линией. Значений аргумента, при которых многочлен терпит раз- рыв, нет. Поэтому если некоторая функция f(x) терпит разрыв при х=ха (в примере с 1 _ , дсо=1), то при значении х=хп ряд, составленный для f(x), заведомо непригоден для вычислений. Так как любой член ряда спхп тем больше по абсолютной величине, чем больше абсолютная величина х, то при любом х, по абсолютной величине большем, чем хй, ряд также непригоден для вычислений. Таким образом, при наличии разрыва f(x) можно зара- нее указать такое xt, что при всех х, больших хл по абсолютной величине, ряд будет непригоден для вычис- лений. Рассмотрим функцию У — yzг^- Применяя формулу A7.13), найдем: _»_==1_jC_{_jC._jC.+ ... A9.5) Возьмем, например, jc=2. Тогда 1 1+х|х=, 1+2 3 * *) Конечно, если один-два или несколько первых членов ряда возрастают, это не составляет беды, если следующие дальше члены ряда быстро убывают; см. пример с е* при х = 2, табл. 2.
200 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ill Сумма же членов ряда l—x + x'—x' -}-... в зависимости от изменения 15 6 7 резко изменяется членов п л A9.6) числа 1 2 3 43 сумма членов 1 —1 3 —5 И —21 Ясно, что при х = 2 такой ряд непригоден для вычис- лений. Почему же это произошло? Ведь сама функция y=Y+n ни ПРИ х = 2 и нигде от х=0 до х = 2 раз- рыва не испытывает (рис. 78). г- Рис. 78. - Функция У — fzтг:ё» однако, испытывает разрыв при х = —1. Поэтому при х — —1 члены ряда A9.6) не убы- вают. Заметим еще, что абсолютные величины членов ряда A9.6) не зависят от знака х. Следовательно, и при х=1, я. тем более при х> 1 ряд для вычисления непри- годен. Поэтому даже если нас интересует поведение ряда только при х>0, то все равно надо принимать во внима-
§ 19] УСЛОВИЕ ПРИМЕНИМОСТИ РЯДОВ 201 ние все значения х, в том числе и отрицательные, при которых разлагаемая функция терпит разрыв. На самом деле на сходимость ряда влияет даже пове- дение функции при комплексных значениях аргумента. Приведем пример. Заменив в формуле A9.5) х на х1, получим: T±-?=l—xt-\-x^—ха-{-... A9.7) График функции У=х ¦ ^ (рис. 79) не имеет никаких разрывов, нигде не уходит в бесконечность ни при поло- жительных, ни при отрицательных х. Однако ряд A9.7) пригоден для вычислении, лишь если х1 < 1, т. е. при — 1 < х < 1. Причина этого в том, что при х = ± У— I == ± i, т. е. при х* = —1, функция у==. l. обращается в бес- конечность, поэтому члены ряда не убывают по абсолют- ной величине при х* = —1. Значит, по абсолютной величине они не убывают и при х* = 1. Однако подробно и понятно вопрос о поведении функции при комплексных значениях х в данной книге разъяснить невозможно. Рассмотрим еще один пример. Найдем ряд Маклорена для функции y = tgx. По общим правилам находим; sin х 2 sin д; и'"(х\ 2 + 4sin»x. i 16sinх +8 sin'*. . 16 + 88 sin* x + 16 sin4 x COS* X
202 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ш Отсюда 0; ?/' @) = 1; Поэтому Таким образом, .. „ . ..1 1 А ..I I '.71 °^ 2835 s В последнем выражении коэффициенты при х1 и х* могут быть получены так же, как получены в тексте коэф* фициенты при х, х1, х*. Что можно сказать об области применимости ряда A9.8)? Глядя на график тангенса (см. рис. 72), легко сообразить, что ряд A9.8) может быть пригоден для вычислений лишь при |*|<-^-, так как при дс = -^- функция tgx ведет себя так же плохо, как функция | при х=1. к — А? х1 2 Глядя на сам ряд х-\~~т-~\~ ]КХ*~\~ •••» было бы не- легко сказать, при каком значении х этот ряд нельзя будет применять, потому что закон, которому подчиняются коэффициенты ряда, не простой, в отличие от рассмотрен- ного выше ряда 1 -f- x -\- х* -{- ... Упражнения х А- 1 1. Написать ряд Маклорена для функции у = -.—!—. 1 Л 2. Написать ряд Маклорена для функции у= In (I -f-x). 3. Написать ряд Тейлора для функции у=\пх по степеням (х—1). Какова область применимости рядов, полученных в зада- чах 1—3? 4. Получить первые три члена разложения в ряд по степеням х произведения функции f(x)g(x). Построить тот же ряд перемноже- нием ряда для /(*) и ряда для ?(*).
§ 20] ВИНОМ НЬЮТОНА ДЛЯ ЦЕЛЫХ И ДРОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 203 § 20. Бином Ньютона для целых и дробных показателей Составим разложение в ряд Маклорена произвольной степени т двучлена (а-\-х): у = (а~\-х)т. По общему правилу найдем сперва производные у'=т(а-\-х)т-\ у" = уЮ = т(т—\).. .{т — п-]-\)(а-\-х)т-п, Г B0Л) и значения функции и производных при х=0 Л Uo.2) у(п)(Р) = т(т— \)...{т — п-\-1)ат~п, ... J Отсюда получим ряд Маклорена Если показатель степени т есть положительное целое число, то {а-\~х)т есть многочлен степени т, так что в этом случае ряд B0.3) будет конечным: производная (т-\~ 1)-го порядка функции (а-\-х)т, а значит, и все более высокие ее производные равны нулю. Формулы B0.1), B0.2), B0.3) отражают это обстоятельство; в самом деле, при п = т-\-\ множитель (т — п-\-1) обращается в нуль; при п > т -j- 1 где-то в последовательности множителей т(т — 1) ... найдется множитель, равный нулю, и, сле- довательно, произведение равно нулю. При целом положительном т произведение в числи- теле можно записать в более удобной форме: т(т— 1). . .(т — п~\- 1) = т(т— l)...(m — п-\- 1) (т — п) (т—п— 1)...3-2-1 ml "~ (т—я)(т —я —1)... 3-2-1 (т — л) I '
204 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. 1П Таким образом, при целом положительном т получим окончательно: В формуле B0.4) справа и слева написаны многочлены степени т. Таким образом, для случая целого положи- тельного т мы получаем точное равенство, справедливое при любых значениях х. Формула B0.4) симметрична относительно х и а: коэффициенты при членах ап~"хп и а"хп ~п равны. Это понятно, так как (х -j- a)m не зависит от порядка слагаемых в скобке Формула B0.4) называется биномом Ньютона. Ее можно получить, не пользуясь высшей математикой и про- изводными. Для этого нужно взять произведение (a -f- х) (а -f- х)... (а -\- х), вып олнить умножение и привести m раз подобные члены. Однако при т, заданном в общем виде буквой, а не числом, приведение подобных членов стано- вится довольно трудным, и в целом вывод бинома Ньютона при помощи ряда Маклорена оказывается проще. Отметим, что Ныотои получил общую формулу B0.3), т. е. разложение (х-\-а)т, в случае любых показателей т. Поэтому правильнее было бы именно формулу B0.3) называть формулой бинома Ньютона, а не B0.4), которая представляет собой простой частный случай формулы B0.3). Вернемся к общей формуле B0.3). Пусть т не целое положительное. В ряде Маклорена B0.3) степени перемен- ной х, т. е. числа п, целые положительные. Значит, в B0.3), если т не положительное целое, числитель не обращается в нуль ни при каком п, формула B0.3) дает бесконечный ряд. В частности, для пг = — 1 этот
§ 20] ВИНОМ НЬЮТОНА ДЛЯ ЦЕЛЫХ И ДРОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 205 ряд имеет вид ;nb=4-?+?- ?+••• B05) Заметим, что при а=\ формула B0.5) переходит в уже знакомую нам формулу Из формулы B0.5) находим также 1 = 1 I * 1 ** I ** I а — х а 1^ а* ' а* ' о* ' * Для т=-2 получим: Y ' 2 YH 8 а уН ~1~ 16 а» ^ 5 х* [ 7 ** 21 *" . В разложении (а-\-х)т при любом т все члены имеют одинаковую сумму степеней а и х, каждый следующий член отличается от предыдущего множителем (— J и коэффициентом. Физик сказал бы, что а и х в фор- муле B0.3) должны быть одинаковой размерности, значит, — безразмерно. Можно было с самого начала вынести за скобку а f X \ X и разлагать ( 1 +—)" по степеням —. Оказывается, что при всех т (отрицательных и дроб- ных положительных) ряд B0.3) пригоден лишь при -j < 1, т. е. при |х|<|а|. При ? S* 1 ряд B0.3) — расходящийся. Исключение представляют целые положи- тельные т, потому что в этом случае формула B0.3) содержит конечное число членов.
206 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Формула B0.6) дает хороший способ вычисления кор- ней. При этом чем меньше МИ» тем меньше членов можно брать в B0.6) для достижения заданной точности. Упражнения 1. Путем разложения в ряд иайти V 1,1 и У' 1,5 как У 1 -f-x при * = 0,1 и прн ж = 0,5, удерживая б разложении два, три и четыре члена. Сравнить с табличными значениями. 2. Показать, что при | х |< 1 справедлива приближенная фор- мула y/i+*=l-f , которая тем точнее, чем меньше х. 3. Найти по формуле предыдущего упражнения ?/" 1,2, у^\,\, ?/ 1,05. Сравнить с табличными значениями. 4. Найти У 6 с тремя верными знаками после запятой. _ Указание. Воспользоваться тем, что 6 = 4+2, У^4 = 2, и применить формулу B0.6). 5. Почему нельзя разложять y = Y~x по формуле Маклорена? § 21. Порядок возрастания я убывания функций Разложение функций в ряд дает общий способ приве- дения различных функций к одинаковому виду и позво- ляет сравнивать между собой различные функции. Такой способ сравнения нужен, например, в тех случаях, когда рассматривается отношение двух функций -J?L пРитаком значении аргумента х, при котором значения обеих функ- ций близки к нулю. На примере вычисления производных было показано, что отношение двух очень близких к нулю величин мо- жет быть вполне определенным числом. В некоторых случаях это отношение может быть равным нулю или бесконечности. Приведем несколько примеров. Для простоты записи возьмем примеры, в которых интересую- щее нас значение х равно нулю. При малом х функции sinx и tgx также малы. Функции е* и cosx близки к 1, а следовательно, е*—1 и 1—cosjf малы. Прн этом значения функций sinx, tg*. e*—1, 1-— cos* тем ближе к нулю, чем меньше l*j.
§ 21] ПОРЯДОК ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ 207 Сравним эти функции с величиной х. Для этого на- пишем их разложения в ряд Маклорейа: sin.*r=x Отсюда находим: sin х B1.1) Следовательно, sin* • X X 1 или hm =1. X Аналогично из B1.1) находим: ^*_1 I X* х ' 3 1 — COS X X Xs х  4" 1 — cos x 1 х* х* Y 24~ е* —1 , . х , ж ->• о О, »2 ' 1. Можно найти и более сложные соотношения. Напри- мер, из sinx = .r— следует: tg x — sin л: = -=- х* + -g- x5 + ...
208 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III и tg х — sin x 1 Можно построить шкалу порядка убывания различных функций при стремлении х к нулю; порядком убывания назовем степень х, которая убывает так же быстро, как рассматриваемая величина. Если функция f(x) имеет ?-й порядок убывания при малых х, это значит, что она убы- вает как х", т. е. отношение ^~ имеет пределом при х—»0 конечное, не равное нулю, число. Таким образом, sinx, tgx, ex—1 убывают по первому порядку, 1 — cos х убывает по второму порядку, tg х — sin x убывает по третьему порядку при малых х. В некоторых конкретных случаях порядок убывания можно определить и без разложения в ряд. Например, начертив линии синуса и косинуса, убедимся из чертежа, что sin*=a:jc, tgx=^x при малых х, т. е. sin* и tgx имеют первый порядок убывания. Справедлива формула 1 — cos х = 2 sin* y • и так как s*n \ первого порядка, то отсюда вндим, что 1 — cos* имеет второй порядок убы- вания. Функцию tgjc — sin* можно записать как sin к . sin х ,, ч гг. sinj: = A—cos л:). Так как для малых х cos* COS Ж COS X близок к 1, sin х первого порядка, 1 — cos x. второго порядка, то ясно, что tgjt — sin* третьего порядка. Однако эти конкретные приемы требуют больше остроумия, и именно поэтому полезен простой безотказный общий метод. Такое соотношение между остроумным решением от- дельных задач и общими методами наблюдается везде: свойства касательных к параболе, площадь круга, объем пирамиды, объем шара известны были древним грекам, но только дифференциальное и интегральное исчисления дали общие, простые способы решения всех задач такого типа. При помощи рядов можно находить не только отно- шения функции к степени х, но и отношение одной функ- ции к другой.
§21] ПОРЯДОК ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ 209 Приводим примеры: . X* . Xs е*-1=*+-2- + -6- sin х х* , 1 » Х-4- — -А- 14- — 1— COS* _ДС^ _fl_i ^.___^Lj_ Х-+й 2 24 "+"••• 2 24 "*"¦•• e*-\ * + -2~+--- * oo. 0. Коэффициенты рядов Маклорена выражаются через производные. Поэтому можно сформулировать результаты, получаемые при помощи рядов, в виде правил, относя- щихся к производным. Если f(O) = g(O) = O, то из фор- мул и получаем: и - g(x Отсюда f.
210 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III тт. Таким образом, вместо того чтобы рассматривать отноше- ние двух функций, значения которых близки к нулю (так как обе функции обращаются в иуль при одинаковом значении аргумента, вблизи которого рассматривается отношение), можно рассматривать отношение их производ- ных. Этот результат называется правилом Лопиталя. После изучения рядов удобнее не запоминать некое особое правило, а при малых х пользоваться рядами, в которых функция разложена по степеням х. Всюду там, где стоит сумма различных степеней х, при переходе к малым х оставляем только член с наименьшей степенью. Точно так же как рассматривается порядок убывания при малых х функций, равных нулю при х=0, можно рассматривать поведение функций при неограниченном возрастании х, т. е. при х—юо. Если мы имеем дело с многочленом, то очевидно, что при большом х важен только член с наиболее высокой степенью х; можно го- ворить о порядке возрастания как х, как х* и т. д. Важнейший факт заключается в том, что функция ех возрастает быстрее любой степени х" при неограниченном возрастании х. Для доказательства используем выраже- ние е* в виде ряда, справедливое, как это выяснено в § 19, при любых х. Получим: При заданном п и при достаточно, большом х дробь —д- станет сколь угодно большой за счет членов с положи- тельными степенями х в формуле B1.2). Очевидно, тоже самое относится к функции е** с положительным k: обозначая kx=y, найдем, что Лх Joe лг ~ У".ГТ~ B1.3) Остается заметить, что если 󗻦 с», то и х—>-оо. Рассмотрение дробного п ничего не изменит в результате.
§ 21] ПОРЯДОК ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ 211 Таким образом, показательная функция при стремле- нии аргумента к со растет быстрее любой степенной функции. Показательная функция с отрицательным показателем в пределе при стремлении х к оо убывает быстрее любой отрицательной степени. Это утверждение записывается так: при любом п — *• *—>-0 при х—>-оо. Пользоваться для доказательства разложением е~х по сте- пеням х при большом х нельзя, потому что это разложе- ние знакопеременное. Поэтому рассмотрим обратную величину 1 ' хп< ОО. Согласно B1.3) при любом п-^—>-оо при х Из того, что -j—>-оо, следует, что /—»-0, что и требо- валось доказать. Таким образом, в пределе, при больших абсолютных значениях аргумента, стоящего в показателе, показатель- ная функция (экспонента) зависит от х сильнее, чем любая постоянная степень х; ех возрастает быстрее хп, е~* убывает быстрее х~п. Ниже в таблице это наглядно видно на примере х* и е*. X Xs е* 1 1 2,72 0,37 3 32 20 1.6 5 3125 150 21 10 10» 210* 5 20 3-10' 4-10» 0,01 50 310» 5-10" 10~" 100 1010 10*» 10"м
212 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III Упражнения Найти следующие пределы: X -*¦ О * Х-*- 0 " . ,. в*—1 —tgx _ ,, е"—1 _ ,. slnx — х 4. lim г—-—. 5. Um —: . 6. lim — ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ § 3. 1. Найдем производную т = (ах —f— 6)*, раскрыв предвари- тельно скобки: z = <Ае* -+- 2а6* -f- Ь*. г' = 2о*х -+- 2аЬ = 2а (а* -(- &)- Найдем теперь эту же производную по правилу нахождения производ- ной сложной функции *=у*, y=a*-f-fc, —- = ¦? -— = Чуа = Чау= . 2. Z'=_ §4. 1. у = *• = *•*•; у' = у §5. 1. у' = 5х*- 12х'-|-За*+14* — 2. 2. у' =2 (х* + * + 1)Х XCx*-f-l). 3. у'=4(х*— *+ 1)'Bд:— 1). 4. у' = 10(Зх* — 1)» 6х. 5. ^ = - . 6. Удобно записать i/ при помощи дробной сте- V дс* — 1 пени у = х*1'. Теперь находим по общей формуле для производной ^xU степени: ^'=яе =^ — х ". 7. а) Если * изменяется на 1%. то Д0 = л-О,О1у; поэтому прн изменении * на А°/о будет Ду = л-0,01-^-А. В данном случае * изменяется на Ю°/о> &?/•=¦» л-0,1 у. Так как « = -»- , то A^=-^-'°-1i' = 0'05j'- Поэтому (/A1) = i/A0)-f 0.05-5 = 5,25; /() = i/A0) — 0,05-5 = 4,75. Получим точное решение. Обозначим коэффициент пропорциональности через А; ^гргда у = 1гУ~~х. Так как при *=10 должно быть «/ = 5, то 5^ft"V^10, откуда ft = l,58 (вы- числения ведем с двумя знаками после запятой). Поэтому у = 1,58 уг~х; i/(ll) = 1,58 УТТ = 5,24; //(9)=4,74 . б) Приближенные значения (/A1) = 4,50; у(9) = 5,50. Точные значения j/(ll) = 4,54; j/(9) = 5,56. в) Приближенные значения уA1) = 6,00; p(9)=z4,00. Точные зна- чения 1/(П)=6,05; t/(9)=4,05.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ §6. 1. у'=3х*(х*— \yJrxs-2(xx— 1J* = 2. p' = 3*aV*'4-*4-B*.^ti^- 3.1/' = 3/xi _ i 213 1 — 1) Gдг* — 3). ХГ? - 2) У* У 1 -х1 X 3C*— 1) .. 11. у'= — 2х* Xя :. 12. {/'= 14. ^ = / 2х* 2Ух — — 2дс«-х4-9 О /— _ 1 \t I/ Ov , О О ^Л ^^ if у хл —'~ О Ах* — Юле* — 22* — 11 3 (дг — 2I : . 18. «/' = 19. у' 21. J^: ±i 1 х-Цх+iy (Xм + 1)* Ух* — 1 20. и' = У 22 у* =
214 вычисление производных я интегралов [ч. ш з /¦— з/— зх— з/— йч ..'—3К лС 1 i/*-2* _1 -б/х«-4л:)/У § 7. 1. ^=2,310Гж —!7=.2.i/'=2>31g2-2*.3.i/'=2,31g5-5*+1. 2 у х 4. y'=-2,3\g^y §8. 1. у'= — е~х. 2. у'=2хех*. 3. у' = C** — 3) § 9. 1. 2,3026; 4,6052. 2. log515 = у-у= 1.6825. 3. Дифферен- цируя обе части, находим -—- = 1 . Отсюда (uv)' = u'v -f- шз'. В. у' = — B*)' = —. Этот же результат можно получить и так: ; у'= (In 2)'+ (In *)'=-j . 6. /= -j. 14. Для нахожде- ния производной возьмем логарифмы от обеих частей равенства (осно- вание логарифмов можно брать любым, будем брать натуральные лога- рифмы) \пу=.х\пх. Теперь возьмем производную от обеих частей этого равенства, учитывая, что у есть функция от х и \пу, следова- тельно, сложная функция: —у' = 1пд;-(- 1. Отсюда находим у'= у {\пх-\-\), или окончательно у1 =дс*Aлх-(- 1). Аналогично / ""\ делается следующий пример у (( ) Ух» _х / х In х У""**—1\ . 15. i/ =*- 1 -| )- \ У дс*— 1 * / У § 10. 1. у' = 2cos Bх + 3). 2. 1/'=— sin(*— 1). = — Bх— 1) sin (Xs— *-f-l). 4. ^'= 5. у' = 3 cos Зх cos1 x — 2 cos дг sin x sin Зх. в. y' = (sin 2x)* In sin 2x + \ (см- решение примера 14 из § 9). 7. i/'= tgx + ^-^ . : cos 2x~\ ~* sin2x cos* 2х • - » — 2 . , * " sln т
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 215 1 . ~ ... 1 - , 2 A4-*) § 12. 1. — 1; 1. 2. — 1. § 15. 1. Для выполнения интегрирования раскроем скобки; полу- чим интеграл от многочлена \дс(х — \)*dx=\ х(х* — 2х 4- 1) d* = Jjc* 2 1 (*•— 2х* 4- х) dx = -j 5- дс* 4" "о" ** + ^* 2* Запишем подынте- гральную функцию так: —^ = х4~2 . Теперь интегри- X X J^t I 2^ з х* —— dx = -=--\-2x — 31пд;4-<3» 3. Сделаем замену переменной Зх — 5 = t; dt = Ъйх, \ cosCx — 5)dx = IP 1 1 = у \ cos<<# = -g-sin*4-C=-g-sinCx — 5) 4-С. 4. Решается анало- гично предыдущему. Получаем — -=- cos Bдс 4- 1) 4" О. 5. -| l/"C* — 2I 4- С. в. cos х 4-хsin x 4-С. 7. дг Aпдг — 1) 4-0. Примеры 8—11 можно делать при помощи формулы интегриро- вания по частям. Однако удобнее применить способ неопределенных коэффициентов. 8. -=- xsin 2х — (-=- х* -г) cos 2x -{- О. 9. (— х* — Зх* — 6х — в)е-* + С. 10. B*4-l)cosx4-(**4-*— OX Xsinx + C. П. f Bxt+l)cos3xdx = (a1xt-j-b1x-{-c1)cos3x-\-(atx2-{- 4- b^c 4- cj sin 3*. Возьмем производную от обеих частей равенства: Bх* 4" 1) cos Здг = Bа,х 4-*i) cos Зд; — (З^дс* 4~ З^х 4- Зс,) sin 3*4" 4- BajX 4- *i) sin Зх 4- Cajx* 4- Зй,х 4~ Зся) cos Зх, или так: Bх*4-1)Х X cos Зх = (— З^х* — З^х — Зс, 4- 2а»* 4" *»)sln Зх + (За1^ + 3*i* + 4- Зся 4- 2а1дг 4- &i) cos Здг. Поэтому должно быть 2х* -+¦ 1 = За,*1 -[- 4- 3V 4- Зс, 4- 2ахх 4- *i, 0 = — З^х* — Зй,дс — Зсх 4- 2at* 4~ *»• Для того чтобы были равны два многочлена, надо, чтобы были равны их коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффи- циенты, получим: Ъаг = 2, ЪЬг -\- 1ах = 0, Зс2-)-Ь1=\, — Зах = О, — 36,4-204 = 0, — 3^4- *, = 0. Из этой системы находим а, = 0, *. = 0, с,=0, ая = ^, Ьх = ±. ct = ^j. Поэтому J Bх« 4" 1) X
216 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. Ill X cos Зх dx = ± х cos Зх + (-| х« + А) sln3x+C. 12. (ТГ5ПГ=3) = = -) . Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его. получаем: А(х— 3)+В (х— 2)=х нли х (А + В) — ЗЛ — 2В=х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим А + В = 1, — ЗЛ - 2В = 0, откуда А =—2, Д = 3; J (х_^_3) = =J { i^+db} ^=-21п (* - 2> +31п <^ ~ V(x -1Нх - 2) =Т=Г\ +х=2' А^х^ + -\-В(х — 1)=х+1. В последнем равенстве положим х =2, получим Д = 3; затем положим х = 1, получим Л =—2, \^_»,2dAC = = -21n(x-l)+31n(x-2)+C. 14. — ln(x-l) + ln(x-2)+C. 15. Положим У~~х = г. Тогда х = г* и dj: = 2zdz; ( —* _ = +V~x) +C +C = x - 2 h-C. 19. — In cos я 4-C. 20. — arctg —+ C. 21. arcsin—+ C. 22. xarcsin x-f-Vl — x'+C. 23. x arctgx —-^In (x' + l)+C. 24. Вы- полним интегрирование по частям, полагая f=sln3x, dg=e?xdx. Получим \ в** sin Зх dx = -=- е*х sin Зх д" \ *** cos3x dx. В. последнем интеграле опять вьшолним интефирование по частям, полагая /= cos3x, С 1 3/1 dg = e*xdx. Получим V e**sin3xdx = -2-ff**sin Зх =-(-^-«"cosSx + 3 Г \ -|—д- V e*xsin3xdx 1 . Рассматривая последнее равенство как уравне- р ._ . _ . (•.,.,. e*xBsin3x — ЗсозЗх) для \ rx sin Зх ах, находим V erx sin3x dx = —* r^ . ние „ в* (cos 2x + 2 sin 2r ) *** g о §17. I. y = a \ -{- Caxa + й) (x — x»)* + a (x — x,,I. Следующие члены все равны нулю. Сумма выписанных четырех членов равна многочлену. 2. ?@) =0. *'@) 1 "@) 2^»)@) +»f
217 ) = e[l -\-(x-\) + 1(х—1)*_|_.1.(х-l)»_|_...j . 4. Первый способ; ^@) = 1, ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ =***. 3. ьу Ь.х i 2,7183 1,718 I 2 1.6487 1,297 i 4 1,2840 1,136 1 8 1,1331 1,065 Л(х)-*0 I+AW 1 Второй способ: = у(-?) —у( ^ / Дх\ ( Дх\ A» л* Дх i 1.6487 0,6065 1.042 1,042 l 2 1.2840 0.7788 0,5052 1,010 I 4 1,1331 0,8825 0,2506 1.002 i в 1.064494 0,939412 0,125082 1,0006 Ax 1 u • d\n(l+r) 1 d4n(l+r) 5. Находим производные: .—'—-= -—j— , -j-j-!—'- = or 1 -+- r an 1 d»ln(l+r) 2 o = —t;—;—r«, \. —^-=^.——:—r^, ... Значения этих производных A ~т~ f) 0.1 A ~r~'*) при г = 0 равны соответственно: 1; —1; 2; ... Формула Маклорена дает ln(l+r)=r-~r* + ±r.2r* + ...=r— ^-+-?+•¦•. em\r\{\+r)==emr g 2 3 . при малом r gmr отличается от нети и кого значения множителем в 2 . В примере § 8 на стр. 150
218 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ (Ч. Ш /п = 50, г=0,02; в 2 = в»01 =0,99; ошибка 1%; т может быть любым большим числом, лишь бы было мало тг*, при этом малость тг*, тг*, ... обеспечена. § 19. 1. у — ^^х= 1-1г2х+2х*-\-2х*+2ял+... ТТТ -}--5-(дс—1)* — — (х — 1 )*-(-... В первом и втором примерах ряды пригодны для вычислений, если | к \ < 1; в третьем, если 0 < дс< 2. 4. ± + + 2/' @) g' @) +g?(O)f @)] *• + ... §20. 1. 1. 2. —-j. 3. — . 4. со. 5. 1. в. -g-. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИ III Таблица I. Таблица производных 2- У = х %=1. 4. у = <* 5. у=а* 6. у= I. y=iogax dx — dv 8. у = sin * Щ = cos д?. 9. t/=cosje й^ ,0. „_Ц, |=
ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИ III 219 И. y = 12. u = arcsin* -r-=- 1 — хж 13. f/ = arccosje ^ = — . 14. */= 15. i/ = Таблица II. Интегралы от некоторых функций 2. 3. J^ = 6. 7. — -^- f x—l le** e**dx 9. С ekx sinavcfj: = yg, д> ('fe sin ax — a cos ax) -f-С 10. ^ ekx cos ax dx = ^ц-^ (k cos ax-{-a sin ax)-{-С. с l 11. \ sin kx dx——-^ cos kx -j- С 12. С si
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ [Ч. 111 С 11 15. \smxkxdx=Yx — ^sin2kx -\-C. 16. С cos1 kxdx = Y*~\-jksin2kx-\-c- 17. \xnsinkxdx = — ^cos kx -\- ^- \ x"~x cos kx dx. 18. Г jc" cos kxdx = ^-sinkx — ^\x"~% s*n *^dx. 19. ^sin^sin/^^!1^!^-^^!^^^ если |Л|=И=|/| (если |jfe| = |/|, см. № 15). 20. $coskxcoslxcb = ^^ + ^±^ + C, если |*|=И=|/| (если |jfe|=|Z|, см. № 16). 21. J ' если 22. {\gkxdx = — -^-In cos Л 23. 24. 25. f J 26. J^^= aradn 27. J* K^R ^c 2 ^ - 28. §V a2 — x* dx = \(xVa* —x* -{-a* 29. 30.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИ III 221 81. J 32. 33. dx In 34. \- 35. 36. 37. j dx x = Vxt — ая — aarccos-j+C. arctg г У ¦.. -f- С, если 4oc—6a>0, 38 ' J (^ ax* -f-ftx -\-c" dx b + Vb*— 4ac если Aac—b* ¦ ^ (n — 1) Dac — b») (ax1 -f- bx Bn — 3) 2g f»dx (n— l)Dac — b") J (см. № 37). Г <** 1 . x1 6 f * J x(ax»+*x+^K*=2cinax»-f-bx+c 2c J -f-в (см. № 37). 41 Г <** — J >:in(acs-f-fcx-f-c)'1 (да — —Э)а f dx *-!-tx-f-c)" (m-l)c (п + ш-2)Г (m-l)c J je*-» 42.
222 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ Я ИНТЕГРАЛОВ [Ч. III А1 Г d* П (Я*"+" *) * 1 Г> J Л'вхЧ-Ь (га—Wa г/ох -4- Ь 44. j In лсс?дс=лгInjc — jc-f-C. 46. f arcsin -?- Л»:=x arcsin -J+Va* — x*~\-C. 47. 48. J arctg ^dx = x arctg -J- — ~ In (as + л:1) + С. 49. J arcctg -J dx = x arcctg -J + -| In (a1 + ^) -f C. Таблица III. Некоторые разложения в ряды 1. ^^ 2. sinA: = A: —^-f|l —7Т+-•• (jc —любое). 3. coe*«-l—^+if —|f+--- (* —любое). 4. tg*-= 5. e-=l4-J+^ + |f + ^+... (д:-любое). 6. 1пA+*)=д: —^ + Т —Т+--- (~1<^^0- 7. 1пA —*)= —х —|—^ —^-... (— 9.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТИ Ш 223 Таблица IV 0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1,6 1.7 1,8 1.9 2,0 1,000 1,105 1,221 1.350 1,492 1,649 1,822 2,014 2,226 2,460 2,718 3,004 3,320 3,669 4,055 4,482 4,953 5,474 6,050 6.686 7,389 е-» 1,000 0,905 0,819 0,741 0,670 0,607 0,549 0,497 0,449 0,407 0.368 0.333 0,301 0,273 0,247 0,223 0.202 0,183 0,165 0.150 0,135 X 2,2 2.4 2,6 2,8 3,0 3.2 3.4 3.6 3,8 4,0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9,0 9,5 10,0 9.025 11.023 13.464 16.445 20.086 24.533 29.964 36,598 44,701 54,598 90,017 148,41 244,69 403,43 665,14 1 096,6 1808,0 2981.0 4 914.8 8 103,1 13 360 22026 е-' 0,1108 0,0907 0.0743 0.0608 0,0498 0,0408 0,0334 0,0273 0.0224 0,0183 0,0111 0,00674 0.00409 0,00248 0.00150 0.000912 0.000553 0.000335 0,000203 0,000123 0,000075 0,000045 Таблица V X 1,0 1.1 1,2 1,3 1,4 1.5 1,6 1.7 1,8 1,9 2,0 In х 0 0,0953 0,182 0,262 0,336 0,405 0,470 0,531 0,588 0,642 0,693 ж 2.2 24 2.6 2.8 3,0 3.2 3,4 3.6 3.8 4.0 4.5 In* 0,788 0,875 0,956 1,030 1.099 1.163 1,224 1,281 1,335 1,386 1,504 X 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8.0 8,5 9,0 9,5 10,0 In х 1,609 1,705 1,792 1,872 1,946 2,015 2,079 2,140 2,197 2,251 2,303
¦ооооооооо IS! ел сл о «j ор оо (р(р^о< <оооооV) W<0&00 Ш00Ц00Ц00Ш ooooooooooooooo»— ooooopoo*- — >- »— h-h-p—»OOOOOOOO O) *"— ""^ *0 ^^ 00 о><о*^осл to "^ ^0 ф СЛ (О № № О 00 Ш О СО Q ^J &> СЛ l О ^ соовюк> ^ &Р (О **^ Ю О О О >со(осоо tt) H — o«3oeVib>cn*. wto— ooooooooooooooo>—oooooooooooooo СП СЛСЛ СП — отоооо >->oooooooooooooooo ooooooooooooooo o ^ со OO^^^MtO»— S«-"OC7I« oi *¦ C5 c» и~ 00 ooooooooo>->->»mww>»o(i»*«Mi-> О5СЛСЛ»-( 00*. |-oooooooo )>—О >t5ооо*.оо < 5
Ч АСТЬ IV ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ § 1. Касательная, нормаль и ряд Тейлора В части II мы нашли уравнение касательной. По- скольку в дальнейшем нас будет интересовать одновре- менно и уравнение кривой и уравнение прямой, касающейся этой кривой, изменим несколько обозначения: будем обоз- начать по-прежнему уравнение кривой Уравнение прямой (касательной) запишем в виде y = kx-\-b. Координаты точки касания обозначим ха, уа; очевидно, */о = /(*о)- При х=ха, y = ya=zf(xa) = y(xa), однако при х=/=хл ордината касательной, очевидно, не совпадает с ор- динатой кривой, (/(*)=?/(*). Уравнение касательной имеет вид (см. часть II, § 5) У— Уа=Г (ха)(х — ха) или ?=/(*.)+/'(*.)(*—¦*.)• 0-1) Сравним это выражение с рядом Тейлора функции fix) вблизи х = ха: 8 Я- Б. Зельдович
226 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Правая часть уравнения касательной представляет собой первые два члена ряда Тейлора функции. Касательная к линии y=f(x) — это та прямая, которая наиболее близка к кривой y = f(x) при х, близ- ких к ха. П-ример. Составим уравне- ние касательной к линии О J У=е' A.2) в точке Р с абсциссой х=ха (здесь а — постоянное число). Дифференцируя A.2), полу- чим: /и I 2 М 3 откуда Рис. 80. у'(ха) = — ё~*. Подставляя это в A.1), получаем уравнение касательной ё-е°=±е° (х~ха). A.3) Найдем точку пересечения N касательной с осью х (на рис. 80 а ==2, ха = 2,Ъ). В точке N у~0, поэтому, пола- гая в A.3) у = 0, получим еа = — еа {х — л:,,), откуда ¦а. Найдем длину отрезка NM (М — проекция точки Р на ось х) NM==xa — (ха — а) = а. Касательная в любой точке отсекает на оси х отрезок длины а. Это дает простой геометрический способ построе- ния касательной к рассматриваемой кривой. Из точки ка- сания Р опускаем перпендикуляр РМ на ось абсцисс. От основания перпендикуляра М откладываем отрезок MN данной длины а. Точку N соединяем с точкой Р (точка касания). Это по доказанному и есть касательная.
§ п КАСАТЕЛЬНАЯ, НОРМАЛЬ И РЯД ТЕЙЛОРА 227 Нормалью к кривой называется прямая, перпендику- лярная к касательной и проходящая через точку касания. Она показана на рис. 81 пунктиром и отмечена буквой N. Для того чтобы найти уравнение нормали, заметим, что угол р, образованный нор- малью с осью х, равен-»-~Ь"а» где а — угол, образованный касательной с осью х. Известно, что Так как tga=/'(x0), то У \ 0 к ч ч \ \ \ у У /Аш (Хо.уо) s<=^0 •„ s X Рис. 81. Уравнение прямой с таким угловым коэффициентом, проходящей через точку М (ха, уа) В качестве примера рассмотрим круг радиусом г с цент- ром в начале координат. Его уравнение Найдем производную. По правилу дифференцирования функции, заданной неявно (см. часть III, § 12), имеем: F(x, У) = хл + уг — г\ dF(x, у)__о„ dF(x, у)_р„ di —l?x' Ту ~Zy' ~dx В точке М(ха, у0) Таким образом, уравнение касательной к кругу 8*
228 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Уравнение нормали Раскрывая скобки, получим: Уравнение нормали к кругу представляет собой пря- мую, проходящую через центр круга — через начало коор- динат. Этот результат известен из элементарной геометрии: радиус круга в точке касания перпендикулярен к каса- тельной. Упражнения 1. Составить уравнение касательной н нормали к кривой у = хп в точке х = ха. 2. Составить уравнения касательных и нормалей к кривой г/ —х3 в точках х = 1, х = —2, х = 0. 3. То же для кривой у=2хх— х -f-1 в точках х=1, х = 0. 4. То же для окружности с центром в начале координат и ра- диусом /?=2 в точке х = 1. Указание к №4. Решить эту задачу двумя способами: а) найти у как функцию от х из уравнения окружности хг -j-y2 = /?' и, пользуясь этим, определить у' A); б) найти у' по правилу дифференцирования функции, заданной неявно. Указание ко всем задачам. Рекомендуется построить на миллиметровой бумаге кривые и касательные и нормали к ним. § 2. Кривизна и касающийся круг Умение составлять уравнение касательной к кривой дает возможность установить геометрический смысл знака второй производной. Вспомним, что первая производная показывает скорость изменения функции. Следовательно, вторая производная показывает скорость изменения первой производной, иначе говоря, скорость изменения тангенса угла наклона каса- тельной к оси х. Значит, вторая производная характери- зует скорость изменения направления касательной. На- правление касательной к кривой меняется тем быстрее, чем сильнее изогнута кривая, т. е. вторая производная связана с кривизной кривой.
§ 2] кривизна и касающийся круг 229 Можно записать выражение второй производной таким образом, чтобы непосредственно была видна связь между кривизной линии и второй производной функции у"=-г!к • Для этого составим приближенное выражение произ- водной как отношения разности значений функции к разности значений аргумента. Для краткости нигде не будем писать знаки предела и приближенного равенства. На самом деле мы знаем, что следует либо говорить о том, что производная есть предел этого отношения при стре- мящемся к нулю приращении х, либо при конечном прира- щении следует говорить о приближенном равенстве. Итак, не останавливаясь на этих тонкостях, запишем, что вторая производная у" есть производная от первой производной у'(х), а следовательно, , / , &.х\ , ( Ах В свою очередь значение первой производной можно записать как отношение приращений Подставим эти выражения в предыдущую формулу. Получим: ,.» (х\ У (х -f- Ах) — 2у (х)+у(х — As) B 34 Заметим, что при выводе этой формулы мы пользовались наиболее точным из рассмотренных выше выражений производной: отношение разности значений функции к разности значений аргумента равно значению производной в середине интервала, т. е. при значении аргумента, рав- ном полусумме двух рассматриваемых значений, х равно полусумме х-\-~ и х ~, х-{--? равно полусумме х и х-{-Ах и т. д. Выражения B.1) и B.2) точнее, чем ,.Чу\ У (X + &Х) — У (X)
230 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Окончательная формула B.3), дающая выражение вто- рой производной через значения функции в трех точках, имеет большое значение. Выведем ее еще другим спосо- бом, с помощью ряда Тейлора. Составим ряды: у(х+ Ах) = у{х)-\- Ay' (*)-f-^V (*)+ • • -. B-4) = у(х)— Аху' (х)~\-(-^-у"(х)+ ... B.5) Считая у (х -{- Ах), у (х), у(х — Ах) и само Ах извест- ными, найдем из B.4) и B.5) величину у" (х). Для этого сложим B.4) и B.5), получим *): — Ах) = 2у (х) + (Ах)' у" (х), откуда сразу следует B.3). Формулу B.3) можно переписать так: или, обозначая х-\- Ax=xlt х — Ах = У Какой наглядный смысл имеет выражение в квадратных скобках в B.6)? Дробь у(*')+у(*») есть среднее арифметическое значе- ние функции у в двух точках, на двух концах интервала. Величина, которую мы вычитаем, есть значение функции в середине интервала, при дс =-*-?—?, т. е. при аргументе, равном среднему арифметическому значений аргумента на краях интервала хх и хг. Для линейной функции у — ах-{-Ь обе величины сов- падают, как и следовало ожидать, так как в этом случае *) При этом члены с (\х)*-у"' сократятся, так что при выводе в действителиности мы пренебрегаем только членами с (Ax)*i/iv и более высокими, хотя разложения B.4) и B.5) доведены только до (Д*)' у".
§ 2] КРИВИЗНА И КАСАЮЩИЙСЯ КРУГ 231 у" = 0. Для функции, изображаемой кривой, дробь ——2—— представляет собой ординату середины хорды, проведенной между двумя точками хх, y(xt) и хж, у(хг). Величина, которую мы вычитаем, есть ордината точки на кривой при среднем значении х = ?1^*'. Таким образом, величина в квадратных скобках формулы B.6) представ- ляет собой длину отрезка на вертикальной линии х = X •] • X — 2 •'» заключенного между кривой и вышеупомянутой хордой. Этот отрезок мы уже рассматривали в связи с вопросом о выпуклости кривой — см. рис. 21 ¦ Отметим еще, что выражение B.3) или B.6) имеет такую структуру: в числителе — величина, линейно состав- ленная из значений у при разных значениях х; в знаме- нателе— квадрат разности (А*)* или (xt — хг)г. Обратите внимание на соответствие между такой структурой и сим- волом 2р ( в числителе — у в первой степени, в знамена- теле dx в квадрате). В данной точке х=х0 кривую называют выпуклой, если вблизи этого значения х точки кривой лежат ниже касательной в точке дс0 (рис. 82). Если же точки кривой лежат выше точек касательной, то кривая называется во- гнутой в данной точке (рис. 83). Вогнутую кривую часто называют выпуклой вниз. Точки кривой, подобные точке М на рис. 84, в кото- рых кривая переходит с одной стороны касательной на другую, называются «точками перегиба»: с одной стороны
232 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV от точки М кривая выпуклая, с другой — вогнутая, в точке М кривая «перегибается». Для того чтобы решить, является данная кривая i/ = = f(x) при х = ха выпуклой или вогнутой, или имеет точку перегиба, составим уравнение касательной в точке -г. f (г ) = Г (х ) (х х ) B 7) где через у обозначена ордината касательной, соответст- вующая абсциссе х (через у будем "' • . обозначать ординату кривой). Вы- числим у — у; знак этой разности и решает вопрос о выпуклости или вогнутости кривой в рассматривае- мой точке. Если у — у ^> 0, т. е. У^>У> т0 точки кривой лежат выше точек касательной, получаем во- гнутость. Если же У<С.У* получаем выпуклость. Как упоминалось в § 1, удержав *х в разложении функции y=f(x) в ряд Тейлора только первые два члена, получим уравнение касатель- ной в точке х = ха. Мы хотим рассмотреть отклонение графика функции от касательной, поэтому нам теперь нельзя уже ограничиться двумя членами разложения. Но так как нас интересуют точки, близкие к ха, то мы можем записать */ = /(*) в виде ряда Тейлора, взяв только три члена: О Рис. 84. Г(х.).(х — *.)л- B-8) „ Пользуясь B.7) и B.8), получаем: = y/"(*.)•(* — *.)¦• B-9) Из B.9) видим, что если /" (*0) > 0, то и у — у "> 0, кри- вая вогнута. Если же f (ха) <^ 0, то у — у < 0, кривая выпукла. Может случиться, что /"(*0) = 0. В этом случае для установления характера поведения кривой при х=^ха
§ 2] КРИВИЗНА И КАСАЮЩИЙСЯ КРУГ 233 (выпуклость, вогнутость, перегиб) нельзя ограничиваться только тремя членами ряда Тейлора. Рассмотрим два при- мера. 1) Кривая y=casx, у" — —cos*. Возьмем точку х = ==у, у = 0. Ясно, что t/"fyj=O, значит, третий член ряда Тейлора обращается в нуль. Найдем следующий член; у'" (х) = sin х, поэтому у'" ( ^Л = 1. Удержав в ряде Тей- лора четыре члена, получим для у — у выражение у—у="ъ{* — тI- BЛ0) Из B.10) видно, что у — у <^0 при дг<^^-, а при х^>~ величина у — у"^>0. Поэтому для значений х, расположен- ных левее значения *=—, точки кривой лежат ниже то- чек касательной, а для значений х, расположенных правее *=-=-? точки кривой лежат выше „, точек касательной. Следовательно, 'y-2*fx-iy В точке х = 1 кривая имеет горизонтальную касательную t/= 2. Так как (х — 1 )* > 0 при х =? 1, то у~^>2 при х^=\, а это и означает, что при х = 1 кривая вогнута (рис. 85). Итак, знак второй производной указывает, выпукла или вогнута кривая. Случай обраще- ния второй производной в нуль требует дополнительного исследования, на котором мы не останавливаемся. Мы выяснили, что величина f"{x) связана с кривизной кривой—она показывает, насколько изогнута кривая. По- стараемся теперь уточнить эти соображения. Для этого построим окружность, которая касается данной кривой y = f(x) в точке М (ха; f(xa)). Заметим, однако, что таких = ^г кривая y—cosx имеет перегиб. 2) у = 2-{-(х— 1)*. Ясно, что " 2' 3 Рис. 85.
234 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV окружностей можно построить сколько угодно: достаточно брать центр окружности на прямой, проходящей через точку М, перпендикулярно касательной к кривой в этой точке (рис. 86). Выберем из этих окружностей ту, которая наиболее близка к кривой y = f(x) вблизи значения х = х„. Окруж- ность и кривая проходят через точку М и каса- ются в этой точке. По- этому если уравнение окружности есть у = ==ц>(х), то q>(xe) = /(xe) и Ф'(*,) = /'(*.)• Стре- буем еще, чтобы было ф"(*„) = Г (*.)• Тогда окружность и кривая будут одинаково изогну- ты вблизи точки М. Естественно считать, что окружность, удов- летворяющая последне- му требованию, будет наиболее близкой к кри- вой y = f(x). Она называется окружностью кривизны*); ее радиус R называется радиусом кривизны кривой у= = f(x) в точке М, а величина /С=1Г носит название к кривизны кривой. Действительно, ясно, что чем больше R, тем менее изогнута кривая, чем меньше R, тем сильнее изогнута кривая. Из сказанного ясно, что если г/=<р(лг) есть уравнение окружности кривизны, то Рис. 86. Получим формулу для радиуса кривизны. Предвари- тельно заметим, что если центр окружности О имеет •) В математической литературе часто встречается термин «круг кривизны».
§ 21 КРИВИЗНА И КАСАЮЩИЙСЯ КРУГ 235 координаты х = a, y = b,a радиус окружности равен R, то уравнение такой окружности есть (х — o)* + (t/ — b)x = R2. Действительно, пусть Р (х; у) — любая точка на окруж- ности. Тогда (рис. 87) ОК° +Я/С5 = ОР* или (х— а)ш+ ~\~{.У — ^y = RX' Поэтому уравнение окружности кри- у визны имеет вид B.12) и первое из условий B.11) b дает: B.13) Рис. 87. Возьмем производную от обеих частей равенства B.12), получим 2(х—а)-\~ -\-2(у — Ь)у'~0, откуда B-14) ^ Следовательно, второе условие B.11) можно записать в виде ^5- BЛ5) Дифференцируя B.14), получим для круга V \ I 9 (у _ Ьу. Следовательно, третье из условий B.11), с учетом пер- вых двух, дает: г ,„ ч / (х0) — ь-Г (х0) (ха - а) ' Iх*'— (/(ха)-Ь)* или в силу B.15)
236 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Из уравнений B.15) и B.16) нетрудно выразить хл— а и / (х0) — Ь. Подставляя в B.16), получим: и, далее, Формула B.13) дает: R = V (*. - а)' + (/ (*.) - Ь)* = i1 + {f?W ' . B.17) Поэтому кривизна кривой в данной точке определяется формулой Как расположен касающийся круг относительно кривой, которой он касается? На этот вопрос легко дать ответ с помощью ряда Тей- лора. Вспомним, как был найден ответ на аналогичный во- прос в случае касательной прямой: у функции у\ описы- вающей касательную прямую, значения функции и первой производной в точке касания совпадают со значениями функции и первой производной для функции y = f(x), описывающей кривую. Различие начинается со второй производной (у прямой у" = 0, у кривой в общем случае f (ха)=^=0). Значит, в ряде Тейлора разности у — у первый член есть -^ f (*0) (х — хо)г; этот член имеет одинаковый знак при х <^х0 и х~^>х0, обе ветви кривой, слева и справа от точки касания, лежат с одной стороны прямой — сверху при /" (х0) > 0, снизу при f (ха) < 0. Когда соприкасается круг (у = уя (х)) и кривая, то у них равны в точке каса- ния значения функции, первой и второй производных.
§ 3J ИССЛЕДОВАНИЕ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 237 Различие начинается с третьей производной, так что у (х) — ук (х) = | (х — хйK [/'" (лг0) — у'к" (*,)] + . .. Значит, в общем случае значения разности у(х) — Ук(х) имеют разные знаки при х<^ха и д;^>лг0, кривая пересе- кает касательный круг, как показано на рис. 86 (слева, х<^ха— кривая ниже и снаружи круга, справа — выше и внутри круга). Эти правила могут нарушаться в особых точках, где касание более высокого порядка — например, когда круг касается параболы у=х* в точке * = 0 — на оси симметрии, где у'" = у'ь" = 0. В этом случае без вся- ких расчетов, из симметрии картины, ясно, что касатель- ный круг с обеих сторон точки касания идет выше пара- болы. С точки зрения рассуждений, проведенных выше, это объясняется тем, что различие начинается с члена с четвертой производной у по х. Упражнения 1. Выпукла или вогнута кривая у = х*—**-|-* + 2 при x=rl? 2. Найти точки перегиба кривой у = х*-\-2х3— 12x*-f- 12* — 12. 3. Является ли точка х=1 для кривой у = х* — 4х3 + 6х' — — Ах -(- 1 точкой выпуклости, вогнутости или точкой перегиба? 4. Найти радиус кривизны кривой у = хг при * = 0 и при х = = ~2 ' 5. Найти выражение для радиуса кривизны кривой у = ех. § 3. Исследование максимумов и мвввмумов функций при помощи второй производной Задача о нахождении того значения х, при котором данная функция y=f(x) достигает максимума или мини- мума, не разрешима в общем виде средствами элементар- ной алгебры. В части II мы установили, что в точках, где функция достигает максимума или минимума, ее производная равна нулю. Там же было показано, как, пользуясь производ- ной у', установить, что имеет функция в данной точке ха — максимум, минимум или перегиб. Для этого прихо- дилось вычислять значения у' при значениях х, близких к ха, справа и слева от ха.
238 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV В данном параграфе мы дадим другой способ, при ко- тором к исследованию привлекается вторая производная у", но нужно знать ее значение только при х = ха. Покажем, что если в точке x = xt /'(*.)=о, П*.)<о. то в рассматриваемой точке функция f (x) имеет максимум. Действительно, из условия /' (ха) = 0 следует, что каса- тельная в точке х = х„ горизонтальна. Из неравенства /" (*») <С 0 следует, что точка х = ха является точкой вы- пуклости, т. е. график вблизи х = х„ расположен под ка- сательной, а эти два факта и означают, что функция f{x) в точке х = ха имеет максимум. Точно такими же рассуждениями легко убедиться, что если в точке * = *, /'(*,) = 0, /"(*,)> О, то в рассматриваемой точке функция f (x) имеет минимум. Эти выводы получаются также при рассмотрении ряда Тейлора nx)=f(x.) + f'(x.)-(x —х.) + ± Г (*.)•(* —*У + ~ C-1) Пусть f (ха) ф- 0. Например, пусть f (х0) ^> 0. При х, близких к ха, величинами (х — ха)*, (х — хаK, ... можно пренебречь по сравнению с (х — ха). Получаем: или /(*) — /(*.)=/'(*.)•(* — *.)- . C.2) Из C.2) видим, что при х > ха f (х) — /(дс0) > 0, т. е. f(x)>f (х0). Если же х < ха, то f (x) < f (xj. Поэтому при х=ха нет ни максимума, ни минимума. Аналогично ни максимума, ни минимума нет, если /' (ха) < 0. Если же /'(хо) = 0, то пренебречь членом с (л: — лг0)* уже нельзя. Пренебрегая членами с (х — л:,)', (х — д;0)* и т. д. по сравнению с (х — *„)*, получаем из C.1) f(x) = f (xj + ^ Г (ха) (х — Отсюда видим, что при f(xa)>Q f(x)>f(xa) независимо от того, будет х < ха или х > х9. Значит, f(xa) меньше всех соседних значений / (я) и поэтому / (х„) — минималь-
§ 3J ИССЛЕДОВАНИЕ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 239 ное значение функции. Если /" (хя) < О, то f(x)<f (x0) и /(*0) — максимальное значение функции. Может случиться, однако, что и f.{xa) = Q. Как в этом случае исследовать значение функции при х=ха? Нужно обратиться к следующим производным функции f{x). Если V" (ха) ф О, то, пренебрегая величинами (х — *„)* и т. д. по сравнению с (х — xtK, получим из C.1) f(x) = f(xo) + ^-f'" (х„)(х-хау. Разность f(x) — /(*„) меняет знак в зависимости от того, будет х>ха или х<ха. При х—ха не имеем ни мак- симума, ни минимума. Если же и /'"(*„)= 0, a /Iv (xa)^0, то ±pv(xa) (х-ха)\ Знак выражения f(x) — / (хл) одинаков при х < х,. и при х>ха, он определяется знаком /Iv (х0). Если Р^О то имеем минимум, если /IV (*„) < 0, то максимум. Внимательный читатель, вероятно, уже догадался, что если при лг=лг0 первая не равная нулю производ- ная нечетного порядка (пер- вая, третья, пятая и т. д.), то ни максимума, ни мини- мума нет. Если же первая не равная нулю производ- ная четного порядка (вто- рая, четвертая и т. д.), то имеем либо максимум, ли- бо минимум, в зависимости от знака этой производной. Рассмотрим примеры. 1) Из квадратного жестяного листа, сторона которого равна 2 а, требуется сделать открытый сверху ящик воз- можно большего объема, вырезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть, чтобы образо- вать бока ящика (рис. 88). Какова должна быть длина стороны у вырезаемых квадратов? 1 1 1 1 ! — 2о t ы \ Рис. 88.
240 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Пусть стороны вырезаемых квадратов равны х. Объем ящика зависит от того, какой квадрат мы вырезаем, поэто- му его естественно обозначить V(x). Подсчитаем этот объем V(дг) = Bс — 2х)а х=4(а — ху х. Найдем теперь производную этой функции V {х) = — 8 (с — лг) х + 4 (с — х)\ Решим уравнение V (х)=0: — 8(с — х)х-\-Ь(а — xf=0 или (а — х)(а — Зл:) = 0, откуда' х1 = а, xt = -^ . Заметим сразу же, что значение хх = а нас не инте- ресует, так как при таком способе разрезания листа ни- какого ящика не получится. Остается х = -^-. При этом 3 J * 9 3 27' ^ V (x) = 8x — 8 (a — x) — 8 (a — = 2Ax— 16c; Следовательно, функция V{x) при * = -^ имеет максимум. Итак, наибольшее значение получается при х = -%- , о т. е. надо вырезать квадратики, стороны которых состав- ляют ~ стороны исходного квадрата. Подсчитаем V(x) при нескольких х, близких к -?-. О Результаты подсчетов сведены в таблицу. 0 0 0 X ,25а ,30а ,33а 0 0 0 V (х) ,562as ,588а3 ,592а» 0 0 X ,40а ,45а V 0, 0, 576а3 540а° Из таблицы видно, что малые изменения х вблизи х = = -у, т. е. около значения х, которому соответствует
§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 24! максимум функции, вызывают весьма малые изменения V. Функция вблизи максимума изменяется очень медленно. Это же видно из формулы Тейлора C.1). Так как в точке максимума f'(xa) = 0, то C.1) принимает вид Ряд не содержит (х — хп). Наименьшая степень (х — *„)*, а она весьма мала при х, близком к ха. В нашем примере изменение д; на 9% (от 0,33а до 0,30с) вызывает измене- ние V меньше чем на 1 %, а изменение х на 24 % вызы- вает изменение К на 5%. Поэтому если нас интересует максимальное значение функции, а при нахождении ха из уравнения f'(x)=0 мы допустили небольшую ошибку, на- пример, решили это уравнение при- ближенно, то это очень мало по- влияет на величину максимального значения функции. Значение функ- ции при х, близких к х0, будут очень близкими к ее значению при х=ха. 2) у = А-\-В{х — а)'. Найти — максимумы и минимумы функции у' = ЗВ(х— а)\ у'(а) = 0, у" = 6В(х — а), г/"(а) = О, 1 2 3 Первой не равной нулю оказа- лась производная третьего порядка. В точке х = а нет ни максимума, Рнс. 89. ни минимума, а есть перегиб. Это наглядно видно на графике, изображенном на рис. 89. (Он построен для случая Л = 2, В=1, а=\.) 3) у = А-\-В(х — а)*. Исследовать функцию на мак- симум и минимум У' = 4В(х — аK, 1/'(а) = 0, '" = 24В(х—а),
242 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Первой не равной нулю оказалась производная чет- вертого порядка. Если В > 0, то она положительна, имеем минимум; если В < О, имеем максимум. Этот вывод легко было сделать и непосредственно. Действительно, при В < О В (х — а)*" отрицательно при всех х=^=а, при х = а — это нуль. Поэтому из А всегда вычитается какая-то положительная величина, а при х=а ничего не вычитается. Значит, при х=а максимум. Аналогично, если В > 0, то при х = а минимум. На рис. 85 изображен график этой функции для случая А = 2, В = 1, а=1. 4) Из имеющихся досок можно сделать забор дли- ной / м. Как этим забором огородить прямоугольный двор наибольшей площади, исполь- //////////////////////////. Зуя в качестве одной стороны стенку прилежащего здания (рис. 90)? Пусть две стороны имеют длину по х м. Тогда третья Рис- 90- сторона имеет длину / — 2х. Площадь двора S (х) = (/ — —2х)х = — 2x*-\-lx, S' (х) = — 4х-{-1. Решая уравне- ние 5'(д;) = 0, получаем x = -j , S" (х) = — 4<0. При х=-т S(x) имеет максимум. Запишем S(x) по формуле C.1), полагая xa=-j , C.3) Так как S(x) есть многочлен второй степени, то C.3) — точное равенство (см. § 17 части III). Из него сразу видно, что S(x) имеет максимум при д:==— . Равенство C.3) можно получить, и не прибегая к ме- тодам высшей математики. Действительно, пусть нужно отыскать максимум (или минимум) многочлена второй степени . C.4)
§ 3J ИССЛЕДОВАНИЕ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУККЦИЙ Преобразуем многочлен следующим образом: 243 6* Итак, Замечая, что C.5) ПРИ ВСех ^ причем равенство нулю имеет место лишь при х — — -~i, получаем из C.5), что у имеет максимум, если а < 0, и этот максимум полу- чается при х==—2^; у имеет минимум, если а>0, и этот минимум получается при дг = — —. Значение х = —^- мы получили, проделав специаль- ные искусственные преобразования с многочленом C.4). находим х=—гп автомати- 2а Пользуясь производной, чески. Действительно, приравняв нулю произ- водную от C.4), получа- ем 2ах -{-6 = 0, откуда х = — 2~. Вторая произ- водная от C.4): t/" = 2a. Поэтому вопрос о том, имеется максимум или ми- нимум, решается в зави- симости от знака числа а. 5) Пешеходу из пунк- та А требуется подойти к реке (прямая AfiJ, а затем прийти в пункт В. Как про- делать этот путь, пройдя наименьшее расстояние (рис. 91)? Итак, ЛЛг=а, SB1 = 6, A1Bl = c; числа а, Ь, с даны. Пусть путь пешехода изображается ломаной АМВ. Нужно узнать, при каком положении точки М на прямой А1В1 этот путь будет наименьшим. Для того чтобы определить Рис. 91.
244 приложения к исследованию функций и геометрии [ч. iv положение точки М, достаточно задать расстояние М от точки Ах, лежащей в основании перпендикуляра, опущен- ного из А на прямую, изображающую реку. Обозначим это расстояние АХМ через х. Тогда = Уа*-\-х2; МВ = У Ь* -f (с —jcI. Путь, пройденный пешеходом, обозначим s (л:), s(x) = V^+^+Vb'-{-(c-x)\ C.6) Находим: S' (Х\ = * _ с~х Приравнивая s' (д;) нулю, получим: I. C.7) Это уравнение нетрудно решить. Возведя обе части в квадрат, получим: я* (с — х)* ИЛИ + a;s(c — xf=a* (с —х)* Извлекая из обеих частей корень, находим: откуда ас ас Y = • Y Подставляя значения хх и хг в исходное уравнение C.7), видим, что второй корень не удовлетворяет уравнению. Это посторонний корень, получившийся из-за возведения в квадрат. Итак, * = дТ (,- Однако можно, не решая уравнения, дать наглядную геометрическую картину, позволяющую получить ответ. Условие C.7) перепишем так:
§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФУНКЦИЙ 245 Но -д^- = cos AlMA=s'm а. Аналогично -^ = cos В ХМВ = = sinp*. Условие C.8) дает: sina = sinp. C.9) Но а и р — углы острые. Поэтому из C.9) получаем: в Таким образом, пешеход должен двигаться так, как дви- жется луч света: угол падения равен углу отражения. Для полного решения задачи остается показать, что при таком положении точки М путь действительно бу- дет минимальным (а не максимальным). Это мож- но сделать, вычислив вторую производную от C.6). Можно, однако, ис- пользовать другие сооб- ражения. Из выражения C.6) для s(x) видим, что при любом х s(x) — по- ложительная величина. При этом s (х) неограни- ченно возрастает вместе с ростом абсолютной ве- личины х, независимо от того, будет х>0 или х < 0. А так как s' (x) обращается в нуль лишь при одном значении х, то ясно, что при этом значении х функция s(x) имеет минимум. Если в интересующем нас промежутке пер- вая производная имеет лишь один корень, то наглядные соображения часто позволяют избежать формального ис- следования при помощи второй производной. Задачу 5) можно решить чисто геометрически, не при- бегая к методам высшей математики. На продолжении отрезка АА1 (рис. 92) отложим AtA' =ААЛ и точку А' соединим с В. Тогда ЛМ=Л'М, так как ДЛ/4,Л1 = = АА1А'М. Поэтому АМ-\-МВ=А'М-\-МВ=А'В. Для Рис. 92.
246 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV любой другой точки D яа отрезке АХВ^ будет AD-{~DB = =A'D~\-DB и A'D-\-DB> А'В, так как ломаная длиннее отрезка прямой. Искомая точка М есть, следовательно, точка пересечения прямых А'В и АХВХ. Отсюда следует Два последних примера показывают, что некоторые задачи на нахождение максимума и минимума можно решить средствами элементарной математики. Однако, во-первых, далеко не все задачи можно осилить, не при- бегая к высшей математике, во-вторых, решение элемен- тарными средствами требует смекалки и остроумия; выс- шая математика дает стандартный способ решения таких задач. Это не значит, что в высшей математике не нужны смекалка и остроумие! Но теперь они пригодятся для более трудных вопросов. Упражнения 1. Из прямоугольного жестяного листа со сторонами а и Ь- делают ящик, вырезая равные квадраты по углам. Какова должна быть сто- рона у вырезанных квадратов, чтобы ящнк имел максимальный объем? 2. В остроугольный треугольник с основанием а и высотой Н вписать прямоугольник, две вершины которого лежат на основании треугольника, имеющий наибольшую площадь из всех прямоуголь- ников такого вида. 3. Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписан- ного в круг радиуса R. 4. При каком радиусе основания и при какой высоте закрытая цилиндрическая банка данного объема V будет иметь наименьшую полную поверхность? 5. Два тела двигаются по сторонам прямого угла с постоянными скоростями vx и и2 (м(сек) по направлению к вершине, от которой в начале движения первое находилось на расстоянии а м, второе — иа расстоянии Ь м. Через сколько секунд после начала движения рас- стояние между телами будет наименьшим? 6. Доказать, что произведение двух положительных чисел, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве сомно- жителей. 7. Прямой / плоскость разделена на две части (среды I и II). Тело движется в среде I со скоростью и,, а в среде II со скоростью v2. По какому пути должна двигаться точка, чтобы возможно скорее попасть из данной точки А среды I в данную точку В среды II?
§ 4J ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА. МНОГОЧЛЕНА ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 247 § 4. Исследование графика многочлена третьей степени Покажем, что рассмотренные в § 3 приемы позволяют легко исследовать график любого многочлена третьей сте- пени, т. е. график функции у = ах*-\-Ьх*-\- cx + d, - D.1) и найти его замечательные точки — максимум» минимум, перегиб. Знание графика позволяет получить о функции ряд важных сведений, например, число вещественных корней, промежутки, в которых располагаются корни, и т. д. Построим, например, график функции у = 0,5*' — 0,75л;* — 3* + 2>5- D-2) Найдем, прежде всего, максимумы и минимумы. Прирав- нивая нулю производную от D.2), получим: у> = \,Ъхг — \,Ъх — 3 = 0, D.3) откуда находим хх = — 1, xt = 2. Исследуем каждое из этих значений в отдельности. Для этого найдем у": у" = 3х—1,5, у" (— 1)=—4,5 <0. Значит, при xl = —1 функция имеет максимум Утах = — 0,5— 0,75 + 3 + 2,5 = 4,25; у" B) = 6—1,5 = 4,5 >0. Поэтому при xt—2 функция дает минимум Ут\п=— 2,5. Теперь посмотрим, как будет вести себя многочлен при очень больших по абсолютной величине значениях х. Заметим, что при очень больших х член, содержащий х*, будет значительно превосходить по абсолютной величине остальные члены. Поэтому знак многочлена D.1) опреде- ляется знаком выражения ах3. Если а > 0, то ах3 > 0 при х > 0, правая Еетвь графика уходит вверх; при *<0a*:'<0, левая ветвь графика ухо- дит вниз. Ясно, что при а < 0 левая ветвь уходит вверх, а правая — вниз. Найдем точки перегиба. Из сказанного в § 2 ясно, что для нахождения точек перегиба следует решить
248 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV а: уравнение /" (х) = 0. Пользуясь D.3), находим у" =3* — 1,5. Уравнение у" = 0 дает х = 0,5. Так как' г/'"=3, то у—у — ^-(х — 0,5K, где через у обозначена ордината ка- сательной (см. стр. 232). Поэтому, если дг>0,5, то у — у > О, если же х < 0,5, то у — у < 0. Следова- тельно, при* = 0,5 име- ем перегиб. Отметим, что график многочлена третьей сте- пени всегда имеет и при- том единственную точку перегиба. Действитель- но, уравнение у" = 0, когда у есть многочлен третьей степени, есть уравнение первой степе- ни. Оно всегда имеет единственный корень х0. Так как у'" = const, то У — у = А(х — ха)\ Яс- но, что у — у меняет знак Рнс. 93. при переходе х через зна- чение дсо. Вернемся к построению графика. Вычислим ординату у точки перегиба; получим у = 0,88. Определим еще напра- вление касательной к графику в точке перегиба. Поль- зуясь D.3), получаем tg<x=y' @,5) = 3,38. Используя все приведенные выше соображения, получаем для D.2) рис. 93. Конечно, если не вычислять больше никаких значений функции, то получим график, дающий грубую качествен- ную картину поведения функции. Однако даже такой график дает возможность подсчитать число корней (т. е. число точек пересечения графика с осью х) и сделать кое-какие заключения об их величине. В нашем примере на рис. 93 видим, что корней три, что один из корней лежит где-то между 0,5 и -f- 2, что второй корень обя- зательно положительный (он больше 2), а третий—отри- цательный (он меньше —1).
представление § 4] ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА МНОГОЧЛЕНА ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 249 График можно значительно уточнить, если подсчитать значения функции еще при нескольких значениях х. В нашем примере подсчитаем еще три значения функ- ции. При х = 0 у =2,5; это позволит нам лучше предста- вить ход кривой между максимумом и минимумом. При х = 3 у =0,25. Это значение мы подсчитали, чтобы полу- чить представление о скорости подъема правой ветви кривой. Аналогично, чтобы получить о скорости спада левой ветви кривой, возьмем х=—2. Получим у=1,5. Используя эти значения, получаем график рис. 94. По такому графику можем сделать более точ- ные заключения о кор- нях: один корень лежит между х = 0,5 и х=\\ второй — между х = 2 и * = 3, ближе к х = 3; третий корень меньше х = — 2 (вероятно, его значение близко к х= = — 2,5). Может случиться, что, приравняв производ- Рнс. 94. ную нулю, мы не полу- чим вещественных корней. Это означает, что исследуемый многочлен не имеет ни максимума, ни минимума. Так как все сказанное о поведении многочлена при очень боль- ших по абсолютной величине значениях х остается в си- ле, то в этом случае график пересекает ось х только в одной точке (многочлен имеет один вещественный корень). Наконец, производная может иметь лишь один (двой- ной) корень хп. Тогда она имеет вид у'=А(х — хо)\ D.4) Интегрируя D.4), получим: D.5)
250 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Мы видим из D.5), что в этом случае многочлен лишь постоянным слагаемым отличается от полного куба. Из D.5) заключаем, что ни максимума, ни минимума у не имеет (см. пример 2) § 3). График пересекает ось х в одной точке. Эту точку находим, приравнивая в D.5) у нулю, зс зс Нахождение максимума и минимума многочлена третьей степени, а значит, и исследование его графика всегда можно Довести до конца, потому что, приравняв производную нулю, получим квадратное уравнение, корни которого найти нетрудно. Упражнения Найты максимумы и минимумы следующих функций и построить их графики: Определить число вещественных корней уравнений: 4. 2хг — Зх2 — 12х + 15 = 0. 5. 4х3+ \5х* — 18х — 2 = 0. 6. 2х* — х? — 4дг + 3=0. 7. х3 — х*4-2 = 0. § 5. Другие виды максимумов я минимумов. Изломы я разрывы До сих пор мы говорили, что максимумы и минимумы функции бывают при таких значениях х, при которых первая производная обращается в нуль. Однако максиму- мы (и минимумы) могут быть и при таких значениях аргу- мента, которые ке обращают в нуль первую производную. Рассмотрим следующую задачу. Определить, при ка- ком значении сопротивления R, включенного последова- тельно с интересующим нас сопротивлением г, на г выде- ляется максимальная мощность (рис. 95). При этом сопротивление г и напряжение батареи <р0 считаем посто- янными.
§ 51 ДРУГИЕ ВИДЫ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ 251 Ток / в цепи получаем, пользуясь законом Ома Мощность W(R)=jq>r, где <рг — падение напряжения на сопротивлении г. По закону Ома yr = jr, следова- тельно, dW Для определения максимума W (R) решим уравнение =0; это дает: , г лГ = 0. Полученное уравнение не имеет решения. Значит ли это, что мощность может расти неограниченно, что задача о максимальной мощности не имеет решения? Ведь из физиче- ского смысла задачи ясно, что мощность будет наибольшей при f Р г Рис. 95. Рис. 96. в этом случае W ?=—- ). Почему: же мы не полу- чили значения /?=0 из уравнения yb-=0? Для того чтобы разобраться в этом, рассмотрим график зависимости W (R) (рис. 96). Из графика видно, что если бы R могло принимать отрицательные значения, то при R^=0 максимума не было бы. Однако отрицательные R не имеют смысла. Во всякой физической задаче подразумевается, что R^*0. Таким образом, величина W имеет максимум при R = 0, потому что ограничен промежуток изменения аргумента.
252 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Значит, если промежуток изменения аргумента ограничен, то при исследовании на максимум и минимум надо при- нимать во внимание граничные значения аргумента. В случае, когда максимум (минимум) достигается на краю промежутка изменения аргумента, ряд может начинаться не с (х — *„)*, а с (х — ха). Поэтому если максимум функции получается при х=ха, а мы несколько отступили от х9, то при определении величины максимума мы можем совершить значительную ошибку. Эта ошибка пропорциональна (х — лг0), а не (х — хд)г, как было в § 3. Значит, даже незначительный отход от зна- чения аргумента, доставляющего максимальное значение, в этом случае нежелателен. В рассмотренном случае подразумевается, что функция / (.t) определена формулой и при х < хп, но значения функ- ции при х<х„ в данной конкретной задаче нас не инте- ресуют (не имеют физического смысла). Может случиться, что / (х) просто не имеет смысла при некоторых значениях аргумента. Так, например, если функция содержит корень четной степени, например квадратный, то промежуток изменения аргумента, как правило, бывает ограничен (подкоренное выражение не может быть отрицательным). Следовательно, граничными являются значения аргумента, обращающие подкоренное выражение в нуль. При исследовании на максимум они должны быть рассмотрены специально. Рассмотрим пример. Пусть Хотя у' и не обращается в нуль, исследование не закон- чено. Значение х = Ь обращает в нуль подкоренное выражение. Из E.1) видим, что при х = Ь у=а; если же х<Ь, то у<а, так как из а вычитается положительное число*). Поэтому у имеет максимум при х=Ь. •) Мы считаем, что J^b — х понимается как положительное (арифметическое) значение корня.
§ 5] ДРУГИЕ ВИДЫ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ - - 253 Максимум (или минимум) может быть и во внутренних точках, где производная не обращается в нуль, если кри- вая имеет излом, угловую точку. Такие точки встреча- ются, в частности, когда кривая состоит из двух частей, описываемых различными формулами при х<ха и при х > х9. Приведем пример физической зядачи такого рода. Пусть на электроплитке постоянной мощности нагревается чайник. Определить момент времени, когда чайник обла- дает наибольшим количеством теплоты. Для простоты будем считать, что коэффициент полезного действия плитки 100°/0, т. е. она все тепло отдает чайнику. Пусть мы поставили чайник на плитку в момент времени * = 0. В этот момент чайник обладал q калориями теплоты*). Количество теплоты, выделенное плиткой, дается формулой где / — сила тока в амперах, R—сопротивление в омах, t — время в секундах; при этом Q получается в калориях. Таким образом, в момент t количество теплоты в чай- нике Q = <7+ 0,2APRt. В некоторый момент t = ta чайник закипает. В этот момент в нем накопилось q -\-0,241 !!Rta теплоты. Когда чайник закипел, вода начинает превращаться в. пар **) (выкипать). При этом на образование одного грамма пара уходит 539 кал. Поэтому, обозначая через dm количество воды, выкипевшее за время dt, получим: 0, ат— 539 Следовательно, за 1 сек выкипает ¦?¦ = ¦ 'goQ—г воды. at эоУ Количество воды, выкипевшее в 1 сек, уносит из чайника «Я кал. Поэтому к моменту времени t (t > ta) выкипевшая вода унесет из чайника Qt = 0,041 PR (t — ?0) кал. *) За нуль принимается тепловая энергия воды при 0° С. *•) Парообразование происходит и при температуре меньше 100° С, но мы им пренебрегаем.
254 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Следовательно, количество теплоты в чайнике выра- жается так: f если t s^ /e (до начала кипения); Q = q -f 0,24/*/? f. — 0,04 \PR (t — 10) = = <7-f/*/? @,281*0 —0,041/), если * s* f 0 (после того, как чайник закипел). График Q(t) изображен на рис. 97, а. Из рисунка ясно, что Q(t) имеет максимум при t = t9, хотя производная при этом значении t не обращается в нуль. о Рис. 97. Производная при t = t9 терпит разрыв. Действитель- но Q' @ = 0,24/*/?, если t<ta\ Q' (/) = — 0,041/*/?, если t>ta. График производной приведен на рис. 97, б. Последний пример показывает, что максимум может быть в случае, если производная разрывна, т. е. на графике кривая образует угол. Соответствующая точка кривой называется угловой точкой.. Наконец, из рис. 98, а*) видно, что минимум (или максимум) может быть при тех значениях аргумента хах где производная терпит бесконечный разрыв. Соответст- вующая точка кривой называется острием. График произ- водной для этого случая изображен на рис. 98,6. Здесь, как и в случае обычного минимума, при х < хп у' < 0; при приближении к х = хл слева функция убывает. При *) На графике изображена функция у = х8 =
§ 51 ДРУГИЕ ВИДЫ МАКСИМУМОВ Я МИНИМУМОВ 255 х > хп у' > 0; при увеличении х, после того как значение *=*„ пройдено, функция возрастает. Однако при х=ха производная теряет смысл. Она делается как угодно большой при х, близ- ком к ха, и x>xt; она становится сколь угодно большой по абсолютной величине, но отрицательной при х, близком к ха, и х<ха. Максимумы и минимумы, достигае- мые при тех значе- ниях аргумента, когда производная терпит разрыв, называются острыми. В связи с рассмот- рением особенных то- чек на кривых и в первую очередь точек излома (см. рис. 97) можно уточнить рас- суждения, которые привели нас к поня- тию производной. В части II книги мы, не оговаривая этого специально, рассмат- ривали гладкие кри- вые. Производная y'(t), взятая в точке t, рав- на пределу отношения E.2) 2/'' Z -2 -I -1 б) Рис. 98. при стремлении tx и tx к t (при этом разность tx — tlt очевидно, стремится к нулю). Специально подчеркива- лось, что этот предел не зависит от того, как выбраны tt и *,; они могут быть оба больше t или оба меньше t,
256 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV или один из них больше, а другой меньше t, или один из них равен t, а другой больше или меньше t. В самом деле, когда мы берем КО и Д*>0, то это выражение соответствует случаю, когда в E.2) ty = t, tt = t-\~At>t. Когда мы берем то это соответствует в формуле E.2) tx = t— At<t, tt = t. Наконец, мы вычисляли также производную как предел отношения Д/ ' , . At . , , ¦ Д/ , что соответствует t1 = t 2~ » '*== ' ~2>*- В случае гладкой кривой все три выражения дают один и тот же предел, равный производной в данной точке. В случае кривой с изломом положение меняется. В самом деле, если обозначить через ta значение t, при котором имеет место излом, то, взяв А* получим при Д?, положительном и стремящемся к нулю, определенную величину — в примере на стр. 254 эта ве- личина равна —0,041/*/?; такую величину называют «производная справа». Взяв Дх получим при Ддг, положительном и стремящемся к нулю, другой предел, равный в упомянутом примере -f-0,24/*./?. Эта величина называется «производная слева». Взяв tx и tt с разных сторон ta, можно получить в пределе tt—<- tt, tx—>-10 разные значения отношения E.2). Таким образом, в самой точке излома производная не имеет определенного значения, но можно определить «производную слева» и «производную справа».
§ 5] ДРУГИЕ ВИДЫ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ 257 В части II, впервые изучая производные, мы наме- ренно, для упрощения изложения, не отмечали каждый раз, что определенное значение производной, не завися- щее от способа стремления А* к нулю (слева или справа), существует лишь для точек, в которых кривая — глад- кая. Как видно из рис. 97, в точке, где кривая у (t) имеет излом, кривая производной у' (/) терпит разрыв. Oft/i Рис. 99. Если излом на кривой у (t) заменить дугой малого ра- диуса, касающейся кривой слева и справа (как говорят чертежники, сделать сопряжение), то на том участке изменения t, где кривая у (t) заменена дугой, кривая у' (t) круто меняется (рис. 99). У* Гд-?Гд^е t О Рис. 100. Если кривая у (V) имеет разрыв в точке tn (см. рис. 100), то можно сказать, что в точке t% произ- водная у' (t) бесконечна: в самом деле, если разрыв за- менить изменением у от ух до yt на малом отрезке от ta—е до tn-\-e, то на этом отрезке производная равна у'~Ух, т. е. очень велика, тем больше, чем меньше s (рис. 100). Я. Б. Зельдович
258 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV ь Как обстоит дело с интегралом \y{t) dtt если функ- а ция у (х) не гладкая? Если функция имеет излом, то при вычислении пло- щади, ограниченной кривой у (t), никаких новых вопро- сов не возникает. В § 10 части II мы разбивали опреде- ленный интеграл — площадь — на сумму площадей пря- моугольных полосок вида У ('»)('«+, — '.) или y(tn+1)(tn+l-tn). В пределе, при уменьшении величин интервалов, т. е. разностей (tn+1— tn), становится безразлично, брать y(tn) или y(tn+l), как в случае гладкой кривой «/(/), так и в случае кривой у (t) с изломом. Если кривая y(t) терпит разрыв в точке t=^t0, но остается ограниченной, то для интервала, внутри кото- рого находится разрыв (/„ < /0 <*„+,), величины y(tn) и y(tn+1) остаются различными, как бы мы ни сближа- ли tn и tn+l. Таким образом, в выражении интеграла как суммы величина одного из слагаемых в этом случае зависит от того, как берется сумма — по формуле (8.1) или (8.2) из части II. Однако при стремлении к нулю величины интервала хп+1 — хп само слагаемое стремится к нулю, поэтому предел суммы, т. е. интеграл, имеет вполне определенное значение (не зависящее от спо- соба вычисления суммы) и в том случае, когда подынте- гральная функция имеет разрыв в области, интегри- рования. Сохраняется и соотношение между интегралом и про- изводной. В частности, можно снова обратиться к рис. 97: на- зовем теперь функцию Q' (t), график которой дан на рис. 97,6, Q'{t)=f(t). Тогда функция Q(t), график которой дан на рис. 97, а, представляет собой неопреде- ленный интеграл: Q(t) — ^f(t)dt. На этом примере мы видим, что разрыв подынтегральной функции f (t) приво- дит к излому в интеграле этой функции Q(t). Определенный интеграл функции с конечным разры- вом может быть найден с помощью неопределенного
§ 6J эллипс 259 интеграла по общему правилу Можно пойти и дальше: рассматривая рис. 100, можно сказать, что для функции, стремящейся к бесконеч- ности, на интервале, стремящемся к нулю (рис. 100 справа), интеграл является разрывной функцией (рис. 100 слева). Однако при этом надо уточнять закон стремления к бес- конечности функции и к нулю интервала,— на этом мы останавливаться не будем. Упражнения 1. Найти наименьшее значение функции у = х*— 2л:+ 3 При изменении х от 2 до 10. Найти острый максимум функций! 2. у = (х-Ь 3. 0= 1 - V**. § в. Эллипс Эллипс—это кривая, с которой часто приходится иметь дело в математике и физике. Напомним читателю, что, например, планеты солнечной системы движутся по эллипсам. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная. Эти данные точки носят название фокусов эллипса. Эллипс легко построить сле- дующим образом: в фокусы эллипса воткнем булавки, на которых закрепим концы нити. Вставим в нее карандаш и отодвинем его от линии, соединяющей фокусы, так, чтобы нить натянулась. Теперь будем двигать карандаш, следя чтобы нитка все время оставалась натянутой. При этом конец карандаша начертит эллипс. Длина нити, т. е. сумма отрезков FJW-\-MFlt—это и есть постоянная величина, которая фигурирует в определении эллипса. Эллипс изображен на рис. 101. 9*
260 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV § Выведем уравнение эллипса, т. е. уравнение, кото- рому должны удовлетворять координаты любой точки эллипса. Для этого выберем такую систему координат: ось х направим по прямой, соединяющей фокусы Fx и Fx, а начало координат вы- берем в середине отрезка FlF1. Расстояние FXFX обоз- начим 2с*). Возьмем любую точку М на эллипсе. Пусть ее коор- динаты (л; у). MFl-{-MFx есть постоянная величина. Рис. 101. Обозначим ее 2а. Заметим, что 2а>2с, так как в 7Х сумма двух сторон больше третьей. Итак, Из чертежа (рис. 101), пользуясь теоремой Пифагора, получаем**): MFX = У(с — х)г-\-уг, MFX = У(х-\-с)*-\-у* и из F.1) У(х~\-су+у*~\- У(с — х)*-{-уг = 2а. F.2) Перенося в F.2) один из корней вправо, возводя обе части в квадрат и сокращая на 4, получаем: а У(с—х)*-\-у* = а* — сх. Еще раз возводя в квадрат, получим: = а*(а* — с1), F.3) Так как а>с, то а* — с*>0. Обозначим а* — с* = Ь*. Тогда из F.3) •) Множитель 2 введен для удобства в дальнейших выкладках. ••) Читатель проверит, что формулы для MF^ и MFX справед- ливы для любой точки М эллипса и учитывают знак числа х (аб- сциссы точки М). На рис. 101 х < 0.
§ 6J эллипс 261 Разделив все члены на а%Ьл, получим: Это и есть уравнение эллипса. Из уравнения F.4) видно, что эллипс симметричен относительно обеих координатных осей. Действительно, пусть точка (х9; уа) лежит на эллипсе. Это значит, что х* и* — 4-——1 Точка, симметричная (ха; у9) относительно оси Ох, имеет координаты (х0; —уа). Но *• i (-У.)'_*> , уг _, поэтому точка (дг0; —уа) также лежит на эллипсе. Точка (—ха; г/0) симметрична точке (ха; уа) относительно оси у, а точка (—xt; —уа) симметрична относительно начала координат. Совершенно аналогично предыдущему уста- навливаем, что обе эти точки также лежат на эллипсе. Итак, эллипс имеет две оси симметрии (ось х и ось у) и центр симметрии (начало координат). Числа а и Ъ в уравнении F.4) имеют простой геометрический смысл. Найдем точки пересечения эллипса с осью х. Для этого в F.4) положим у=0. Получим д^ = а*, х, = а, xt=—а. Точки пересечения с осью у будут иметь ординаты yi==b, yt = —Ь. Поэтому числа а и Ь суть длины поло- вин осей симметрии эллипса. Окружность является частным случаем эллипса. Она получается, если a = b = r (сравни уравнение на стр. 37). Рассмотрим эллипс F.4) и окружность радиуса а с центром в начале координат. Уравнение такой окруж- ности есть х1 + уг = а'. F.5) Точки пересечения эллипса F.4) с осью Ох имеют коор- динаты xt = — а, хх = а, В этих же точках окружность F.5) пересекает ось Ох. Возьмем какое-нибудь х=хй и найдем соответствующие значения у из уравнений F.4)
262 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV и F.5). Из F.4) у, =-| 1/а" — х\ из F.5) Уа = Уа1^х\ Поэтому В соответствии со сказанным в части I, § 7 эллипс может быть получен из окружности радиуса а путем растяжения Г если — >1] или сжатия Гесли — <1)всех вертикальных размеров. У эллипса, фокусы которого расположены на оси х, всегда Ь<а, так как Ь* = а* — — с* <а*. Поэтому эллипс сжат по оси у. Сравнивая эллипс с вписанной в него окружностью радиуса Ь, можно сказать, что эллипс получается из такой окруж- ности растяжением по оси х в -— раз. Упражнения 1. Провести (от руки) эллипс, уравнение которого ос ~Ь-т~= 1 • 2. Составить уравнение касательной к эллипсу —-\-уг=\ в точке х = 1; у = -^—. Xх ы* 3. Доказать, что уравнение касательной к эллипсу —s + ^r7^! в точке (*„; уа) можно представить в виде —? § 7. Вычисление площадей В части II было показано, что величина определен- ь ного интеграла }j{x)dx дает площадь, ограниченную а сверху линией y=f(x), снизу осью х и по бокам верти- кальными прямыми х = а и х = Ь (рис. 102). Поэтому умение находить определенные интегралы дает возмож- ность вычислять стандартными приемами различные пло- щади, в то время как элементарная математика позволяет находить только площади прямолинейных фигур и круга.
§ 7] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 263 Найдем площадь, ограниченную сверху кривой у = схп (л>0), снизу осью х и справа прямой х=х (на рис. 103 л = 2, с = 0,25): G.1) Формулу G.1) перепишем так: с 1 rrnr или так как сх" = у (ха), то получаем: 5= 1 и (х )х . Величины у и х имеют размерность длины. Из G.2) ви- дим, что S действительно измеряется в единицах пло- щади. Мы видим, что по порядку величин площадь есть у (ха)-ха; от этого y-ffx) Рис. 102. произведения величина площади отличается только мно- жителем , . , который по порядку близок к единице при не слишком больших п. В качестве следующего примера найдем площадь, ограниченную сверху линией снизу осью х, слева прямой х = хЛ и справа прямой
264 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV : = А(А>ха) (рис. 104). Эта площадь равна Ах х dx = — сае Xq ха = са[е а—в а\. G.4) _ Ха_ А_ Если А велико по сравнению с лс„ то е ^*^>е а. Уве- личив значение А, мы, как видно из G.4), почти не из- меним значение SA. При неограниченном увеличении А А величина е а неограниченно приближается к нулю. По- этому можно говорить о площади фигуры рис. 104, не ограниченной справа. Эта площадь есть се adx — cae a== У(хл)а. G.5) В формуле G.3) показатель степени должен быть без- размерным числом. Поэтому размерность а такова же, как и размерность х, т. е. длина. Размерность у также »•• длина. Размерность S опять- \ '' таки площадь. \ Оказывается, что очень прос- ^ то выражается площадь под 2 А Рис. 104. Я *х Рис. 105. одной дугой синусоиды (рис. 105). Действительно, эта площадь есть S = j sin х dx = — cos x\ =2. о о Определим площадь S эллипса. Заметим, что в силу симметрии достаточно найти площадь 5г той его части, которая лежит в первом квадранте, и результат умножить на 4. Итак, 5=4S,. Для того чтобы подсчитать Sv найдем
§ 7] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 265 у из уравнения эллипса F.4) з -^ а ' ' так как в первом квадранте у^>0, то берем , Ь_ у д д Поэтому ~l?dx. G.6) Величину интеграла G.6) легко найти, выполнив замену переменной по формуле x=as'mt. Получим: *— x*dx = \ a V\ — sinV a cos t dt= \ a*cos*t dt Пользуясь G.7), получаем из G.6) Sx = -|-^ Площадь всего эллипса S=nab. Если a=6 = r, то по- лучаем S = nr' (площадь круга) в полном соответствии с тем, что при a=6 = r эллипс переходит в окружность. Отметим одно важное обстоятельство. Еще в части II мы отметили, что площадь (интеграл) может быть как числом положительным, так и отрицательным. Ввиду этого при нахождении площади нужна некоторая осторожность. Пусть, например, нас интересует количество краски, необ- ходимое для того, чтобы покрасить площадку, ограничен- ную двумя дугами синусоиды и осью х (см. рис. 51), если на окраску единицы площади требуется а граммов краски. Как показано на стр. ПО, в этом случае нельзя сразу вычислять всю площадь одним интегралом. Приходится отдельно брать интегралы по отрезкам от 0 до я и от я до 2я. Вообще, если подынтегральная функция y = f (x) меняет знак, то для решения задачи о расходе краски нужно промежуток интегрирования разбить на части, в которых
266 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV /(л) знака не меняет, и считать интеграл по отдельным частям, после чего взять сумму абсолютных величин по- лученных интегралов. Найдем еще площадь фигуры, ограниченной сверху линией у — х"е~х (п — целое положительное число), снизу осью х при х ^ О (справа фигура не ограничена). Эта площадь выражается интегралом CD ~* dx. М Для вычисления этого интеграла применим интегрирование по частям, полагая e-*dx=dg, x"=/. Тогда g=—e-*, df—nx"-1 dx, \хпе-х dx — — xne-x-\-\nxn-xe-*dxl Поэтому CD 00 J x"e-xdx=[— xne-*'F-\-lnxn-*e-xdx. 0 ° 0 В § 21 части III было установлено, что х"е~х= =^ -О. Так какл^е-* —Опри дс=О, то [—х"е-х\° = О, следовательно, CD ОО xdx= J nx*-xe-*dx. а Обозначим J x"e~*dx = I„. Тогда /„ = «/„_х. о Применив интегрирование по частям к /„_,, получим точно так же /п_1 = (п—1)/„_, и т. д. Поэтому а со /п=п(„—1)(п —2)...3-2/0. ОО Но /„= ^ e~xdx. Величину этого интеграла мы получим, положив в G.5) с=\, а—\, xt = 0. Тогда Та = е°=1.
§ 8] СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 267 Таким образом, CD /„= \xne-xdx = n{yi — l)(n — 2) ...3-2-1 =n! G.8) о Упражнения 1. Найти площадь, ограниченную одной дугой линии у = sin* x и осью х (график функции t/=slnxx изображен на рис. 106). У I ( я х Рнс. 106. Указание. Воспользоваться формулой sin'* = -= =- cos 2х. 2. То же для линии у =cos*x. 3. Найти площадь, ограниченную сверху линией у=х{\ —х), снизу осью х. 4. Найти площади, на которые парабола // = -=-** делит окруж- иость х* + уг = 8. 5. Найти количество краски, необходимое для окраски площади, ограниченной кривой у = ¦=—j-—j, осью х и вертикальными прямыми х = 1 и х = — 1. 6. То же для площади, ограниченной кривой у =ха + 2дс* — х — 2 и осью х. Указание. Предварительно построить график функции — х — 2. х* и* 7. Найти площадь эллипса ==¦ -4-^- = 1. § 8. Средние значения Напомним читателю, что средним значением функции f(x) на промежутке от х=а до х = Ь называется ь ___. (8.1)
268 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Отметим два простых факта, относящихся к средним значениям. 1. Среднее значение постоянной величины на любом промежутке есть сама эта постоянная. Это ясно физически: действительно, если мгновенная скорость ие изменяется, то средняя скорость за промежуток равна этому постоян- ному значению мгновенной скорости. Совсем просто получить это и из формулы (8.1) 2. Среднее значение суммы двух функций равно сумме средних значений слагаемых Действительно, а ь ь * W dx + V=rb IУ ¦ W dx = ^ + У* Найдем среднее значение функции y=*=sinx на проме- жутке от х = 0 до х = л к J* sin х dx Среднее значение функции ^ = sinx на промежутке от х=0 до х = Ь ь J* sin х dx Что будет, если неограниченно увеличивать число Ь, т. е. неограниченно увеличивать промежуток?
§ 81 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 269 Числитель (8.2) при любом Ь не больше двух (он ра- вен двум, если cos 6 = — 1, т. е. при 6 = я, Зя, 5я, 7я,...). Знаменатель (8.2) будет неограниченно увеличиваться, по- этому вся дробь будет неограниченно приближаться к нулю. Поэтому чем больше промежуток, тем ближе к нулю сред- нее значение sin^c. Покажем, что среднее значение функции i/ = cos* на бесконечном промежутке также равно нулю. Действительно, J* cos х dx Если теперь неограниченно увеличивать число Ь, то знаме- натель (8.3) неограниченно увеличивается, а числитель остается не больше единицы. Следовательно, вся дробь стремится к нулю: # @; оо)=0. Буквально так же получим, что среднее значение функ- ции y=ca&kx на бесконечном промежутке тоже равно нулю. Найдем среднее значение функции y — sm*x на беско- нечном промежутке от jf = O до дг = оо. По известной формуле тригонометрии Отсюда Воспользовавшись формулой sin*jt-f-cos*x=\, полу- чаем среднее значение cos'x на том же промежутке Упражнения 1. Найти среднее значение функции у = х? на промежутке от дг = О до * = *„. " 2. Найти среднее значение функции у = Се** на промежутке, в котором у меняется at у = п до у=хт, выразить это среднее зна- чение через пит, исключая С и ft из ответа. Исследовать полу- ченное выражение при т, близком к n:m=n-\-v, v^n.
270 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV" 3. Найти средние значения функций у = sin* х и у = cos* х на про- межутке: а) от х = 0 до х=л; б)отл: = Одох = —. 4 4. Определить период функции // = sin (a>t -j-a), где о», a — по- стоянные числа. Найти среднее значение функции у1 за ее период. § 9. Длина дуги кривой и кривизна Поставим задачу найти длину дуги s кривой y = f(x) от точки х=а до точки х=Ъ (рис. 107). Длину малого отрезка линии АС заменяем длиной от- резка прямой, соединяющей точки А и С. Мы рассматри- ваем только кривые без разрывов и изломов. По теореме Пифагора получим: 0 Рис. 107. Отсюда ?) • (91> Д«/ Переходим в (9.1) к пределу, Ад:—>-0; при этом ^ превращается в производную y'=f'(x), где y = f(x) — уравнение линии; получаем*): ds = V\-\-f'\x) dx. Вся искомая длина дуги есть ь (9.2) Из-за наличия корня под знаком интеграла в (9.2) интеграл редко удается легко взять. Приведем несколько примеров, когда выкладки не- трудно довести до конца. •) Отличие длины дуги от длины -отрезка прямой порядка (Дх)* и при переходе к пределу (к дифференциалам) им законно можно пренебречь.
§9] длина дуги, кривой и кривизна 271 1. Длина окружности. Будем искать длину окружности хг-\-у* — #г. При этом найдем длину s чет- верти окружности, лежащей в первом квадранте, и резуль- тат умножим на 4. Из уравнения окружности У R1 — хг По формуле (9.2) R (9.3) _ о а Введем новую переменную t по формуле x=R sin t; тогда dx = R cos / dt и из (9.3) получаем*): откуда получаем длину окружности 2. Цепная линия. Это— кривая, уравнение которой ), (9.4) где а — постоянное число. На- звание «цепная линия» происхо- дит от того, что такую форму принимает гибкая и нерастяжи- мая тяжелая нить (например, цепь), подвешенная за оба кон- ца. График цепной линии при- Рис. 108. веден на рис. 108 (для а = 2). Найдем длину дуги цепной линии от точки х=0 до точки х=хл. •) См. § 16 части 111.
272 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV зе_ х_ еа е~ <Г Из (9.4) у' = 2 ; поэтому X JC X — — — ^ ЛЧо С^-Ьв» 1 Г* *1 _ , *« Сеа +е а. 1 Г fL _*| д / *«. - ^-\ ==J 2^ -rfx=Ta[ea_e eJe==^^a_e -j. С длиной дуги связано определение кривизны, отлич- ное от рассмотренного в § 2. Возьмем малый участок кривой (рис. 109) длиной ds и найдем угол между каса- тельными к кривой в концах этого участка. Этот угол Рис. 109. можно рассматривать как приращение da. угла а наклона касательной к оси х. Проведем в двух соседних точках нормали (перпендикуляры к касательным). Угол между нормалями равен углу da. между касательными, сргласно известной геометрической теореме. Отсюда можно найти расстояние R точки пересечения нормалей от кривой. Будем рассматривать малый участок кривой как дугу окружности. Нормаль к окружности, очевидно, представляет собой радиус. Точка пересечения нормалей есть центр окруж- ности. Если бы кривая была окружностью, то ds=Rda
§ 10] ПРИВЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ 273 da 1 или ^=^-; эта величина постоянна для любого участка дуги окружности. Для произвольной кривой эта величина ^j для бесконечно малого участка кривой может служить определением кривизны в данной точке. Пользуясь фор- мулой для ds и тем, что a = arctgt/', можно убедиться, что вычисленная таким образом кривизна совпадает с кри- визной, определенной в § 2. Действительно, da ds , 1 A+4 Упра; dy' dx кнения 1. Записать в виде интеграла длину дуги параболы у—х* от точки @; 0) до точки A; 1). 2. Записать в виде интеграла длину дуги линии «/ = е* отточки х = 0 до точки х = 1. 3. Записать в виде интеграла длину эллипса. 4. Довести до конца задачу 2, выполнив в интеграле замену переменной 1 -|-etx = z2. § 10. Приближенное вычисление длины дуги В § 9 мы получили формулу для вычисления длины дуги кривой ь s=\V\+y'x(x)dx. (ЮЛ) а Там же было отмечено, что чаще всего функцию У \-\-у'г (х) проинтегрировать в элементарных функциях трудно (или даже невозможно) из-за наличия корня. Поэтому большой интерес представляют приближенные формулы для вычисления длины дуги. Предположим, что величина у' (х) мала по сравнению с единицей: | у' {х) | <^ 1. Тогда, пренебрегая в (ЮЛ) у'* (х), получим: ь $dx = b — a. A0.2)
274 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV Разность Ь — а есть длина горизонтального отрезка, концы которого х=а и х = Ь. Формула A0.2) показы- вает, что если у' мала по абсолютной величине (кривая мало отклоняется от горизонтального отрезка), то и длина дуги этой кривой близка к длине го- ризонтального отрезка (рис. 110, а). Если у'2(х)^\, то в A0.1) пре- небрегаем единицей по сравнению __ с у'*{х). Получаем: X Ь Ь s =* J Vy"(x) dx=\y' (x) dx = а а = У(Ь) — у{а). A0.3) тоиа (часть III, § 20), получим: Формула A0.3) показывает, что в этом случае длина дуги кривой близ- ка к длине вертикального отрезка, концы которого есть у (а) и у (Ь) (рис. 110,6). Действительно, если производная у' велика, то кривая круто поднимается вверх, а поэтому похожа на вертикальную прямую (для вертикальной прямой производ- ная бесконечна). Формулы A0.2) и A0.3) дают про- стые, приближенные формулы для длины дуги, но это очень грубые при- ближения, которые можно получить и без A0.1). Получим более точные формулы. Пусть | у' (х) | <^ 1. Удерживая два первых члена в формуле бинома Нью- Формула A0.1) дает: ь
§ 10J ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ 275 Если \yf (х)\^> I, то Vl+y"(x)=y' (х) /"l-f^ ; к последнему корню применим формулу бинома Ньютона, так как—-—<Г1, у ==«' w. [i + ^]=у Подставляя последнее в A0.1), получаем: [ V а а Итак, мы получили приближенные формулы: ь </*(x)dx, если \у ь а -,. . , если а (Ю.4) Входящие сюда интегралы проще, чем интеграл в A0.1), поэтому по этим формулам гораздо проще считать, чем по формуле A0.1). Однако эти формулы прибли- женные. Какую же ошибку делаем мы, пользуясь ими? Первая из формул тем лучше, чем меньше | у' |, а вторая тем лучше, чем больше \у J; обе формулы дают наиболее плохой результат при \у'\=.\. Поэтому для оценки по- грешности рассмотрим самый невыгодный случай у' (х)=1 *). •) Если у' (х)—1, то у{х) = х-\-с, график этой функции —пря- мая линия.
276 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV По точной формуле A0.1) ь s=J]/T+T^c = j/2F— a). A0.5) а По первой из формул A0.4) ь йх = \{Ъ — а). (Ш.б) Вторая формула A0.4) дает то же самое: s==yF—а). Сравнивая A0.5) и A0.6Х видим, что наибольшая по- грешность приближенной формулы 6°/0. При вычислении длины дуги кривую следует разбивать на участки, на которых либо | у' | =sS 1, либо | у' | s* 1. Тогда ошибка будет во всяком случае не больше б°/0. А так как у'*(х) принимает значение, равное 1, лишь в отдельных точках кривой, то при правильном разбиении линии на участки ошибка будет меньше 6°/0. Длины прямо- линейных отрезков, конечно, находить по приближенной формуле незачем. Рассмотрим примеры. 1. Найти длину дуги параболы у=х* между точками с абсциссами лс = О и х = 2*). Найдем производную у' = 2х. Она равна 1 при дс = 0,5 и больше 1 при х>0,5. Поэтому длину дуги (s^, соот- ветствующую изменению л; от 0 до 0,5, найдем по первой формуле A0.4), а длину дуги (st), соответствующую изме- нению х от 0,5 до 2,— по второй формуле: 0.5 s1==@,5 —0)+0,5f 4x^ = 0, о 1 st=4-0,25+0,5 С ^ =3,75+0,25 (In 2 —In 0,5)=4,10. о,» Искомая длина дуги s = Sl + st = 0,58-{-4,10=4,68. *) В этих примерах вычисления проведены с двумя знаками после запятой.
§ 10J приближенное вычисление длины дуги 277 Подсчитаем точное значение длины дуги по формуле A0.1): о Сделав замену 2х = г, по формуле 33 (стр. 221) по- лучим: = 1 [ху to* + 1 + i- In Bх -{-У to* + 1)]. A0.7) Недоверчивый читатель может убедиться в справедли- вости формулы, взяв производную правой части A0.7). Пользуясь A0.7), получаем: s =-1 [2VT7 +1 In D + KT7)] =4,65. Ошибка при подсчете по формулам A0.4) составила около 0,7%. 2. Найти длину дуги кривой у = ех между точками с абсциссами х = 0 и х = 1. В этом случае у' = ех, и при изменении х от 0 до 1 производная растет от 1 до е. Поэтому используем вторую формулу A0.4) s = ex~ e* 4-0,5 \ ^ =2,72 — 1—0,J = 2,04. Точная формула дает для длины дуги значение (см. задачи 2 и 4 из § 9) -!¦„ ^1=2.00. Ошибка приближенной формулы 2%. Иногда для приближенного вычисления длины дуги подынтегральную функцию в A0.1) разлагают в ряд по степеням лг. При этом, удерживая надлежащее число
278 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV членов разложения, можно получить значение длины дуги с любой степенью точности. Рассмотрим пример. Определим длину окружности. При этом будем искать длину s дуги окружности, соот- ветствующую центральному углу в 30° (рис. 111). Дли- на окружности C = 12s. Ясно, что мы получим такой . же интеграл, как и в (9.3), но с '^ с другим верхним пределом ол Заметим, что ОЛ = ./? sin 30° = -y-R- Поэтому •г* Рис. 111. ч- Rdx A0.8) Подынтегральное выражение преобразуется следующим образом: R R 1 Но A0.9) Выражение A0.9) разложим в ряд по формуле бинома Ньютона *). Для этого положим (^\ ==t. Получим: •) См. часть III, формула B0.3).
§' П J ' вычисление объемов 279 Подставляя A0.10) в A0.8) и интегрируя, получим: Видно, что члены ряда A0.11) убывают довольно быстро. Поэтому для получения s достаточно взять несколько первых членов ряда. Взяв один член ряда, получим s = -^R, откуда длина всей окружности C=6i?. Взяв два члена, получим ,5 = 0,5217?, С = 6,2527?. Три члена ряда дают s = 0,523/?, С=6,276 # и т. д. Мы знаем, что длина окружности С = 2я/?. Сравнивая это с полученными намн результатами, находим прибли- женные значения числа я: 3, 3,126, 3,138, ... Чем больше членов ряда A0.11) взять, тем точнее полу- чим значение я. Значение числа я с семью верными десятичными знаками 3,1415926. Упражнения 1. Найтн, пользуясь приближенными формулами, длину дуги цепной линии между точками х = 0 и *=2(a=l). Сравнить с точным значением длины дуги. 2. Найти длину дуги гиперболы ху = —1 между точками * = 0,5 и х= 1. Замечание. В этом случае точного решения получить нельзя, так как интеграл в A0.1) не может быть выражен с помощью эле- ментарных функций. 3. Получить приближенные значения числа п, исходя из подсчета длины дуги окружности с центральным углом в 45° (удержать три, четыре и пять членов ряда). § 11. Вычисление объемов. Объем и поверхность тела вращения В части II (§ 14) была получена формула V = §S(x)dx, A1.1) где S(x) — площадь сечения тела плоскостью, перпенди-
280 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV кулярной к оси х и проходящей через точку х (советуем читателю повторить вывод этой формулы). При помощи этой формулы было получено выражение для объема пирамиды. Буквально так же получается объем конуса. Возьмем начало коорди- нат в центре круга, лежащего в основании конуса, а ось х на- правим по высоте конуса (рис. 112). Пусть S(x) — пло- щадь сечения конуса плоско- стью, перпендикулярной к вы- соте и отстоящей от основания конуса на расстоянии х. Сечение это есть круг радиуса гх. Из подобных треугольников гх Н — х Т~~ТГ~ ' Рнс. 112. где г — радиус основания, Н — высота конуса. Отсюда '"х=тз- (Н — х), а следовательно, и н пг*(Н -*)' Н1 3 н пг*Н Для получения объема шара поместим начало коорди- нат в центр большого круга, а ось х направим по диа- метру шара, перпендикулярному к плоскости этого боль- шого круга. Сечение плоскостью, перпендикулярной к оси х и отстоящей на расстоянии х от начала координат, есть круг радиуса R^. При этом Rx= реме Пифагора. Поэтому 1 — хж по тео- V= L
§ 11] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 281 Из формулы A1.1) следует принцип Кавальери *): пусть между двумя параллельными плоскостями Р и Q расположены два тела; если в сечении этих тел всякой плоскостью, параллельной Р и Q, получаются равновели- кие фигуры (равны подынтегральные функции S(x)), то и объемы этих тел равны. Пусть тело получено вращением фигуры, изображенной на рис. 113, вокруг оси х (фигуру такого вида называют криволинейной трапецией). В этом случае сечение есть круг радиуса y = f(x)inS(x)=siy1. Пользуясь A1.1), находим: A1.2) Найдем, например, объем тела, получаемого при вра- щении верхней половины эллипса ^--{-^=1 вокруг оси х. Тело это называется эллипсоидом вращения. Из уравнения эллипса У = — Vcf—х*, а из A1.2) __?- =4яа6а 0 а Ь х Рис. 113. При a = b = R получаем объем шара радиуса R. Выведем теперь формулу для поверхности тела вра- щения (рис. 114). Рассмотрим тело, ограниченное сече- ниями, проходящими через точки х и x-\-dx. Обозначим через dF боковую поверхность этого тела. Считая его усеченным конусом, получим: dF=п[у (х) + У (х + dx)] ds, где ds — длина малого участка кривой, причем ds = V\+y'\x)dx (см. § 9). Сумму y(x)+y(x-{-dx) *) Кавальери —математик первой половины XVII века. Упомянутый принцип был сформулирован (по существу без доказательства) в его книге «Геометрия неделимых» A635 г.).
282 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV можно заменить на 2у(х), пренебрегая величиной y'(x)dx по сравнению с у (х) *). Поэтому dF = 2лу (х)У\-{-у"(х) dx. Вся площадь поверхности вращения есть ь F=2л j у (х) Vl-\-y"(*) dx. (И.3) При помощи этой формулы легко находим поверхность шара. Действительно, шар получается вращением верхней Рнс. 114. полуокружности вокруг оси х. Уравнение окружности хх-\-уг = а1, откуда i/-? -г- ... — х I uA Подставляя в A1.3), получаем: = 2« f Va'— : = 2ztax a* — •) Заметим, что в выражении dF сумма y{x)-\-tf(x-\-dx) мно- жится на ds, так что величина, которой мы пренебрегаем, порядка dx-ds^dx*.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 283 Упражнения 1. Найти объем цилиндрического отрезка, т. е. тела, отсекаемого от прямого кругового цилиндра радиуса R плоскостью, проведенной через диаметр основания цилиндра под углом а (рис. 115). Рис. 115. 2. Найтн объем конуса, пользуясь тем, что конус — это тело, получаемое при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. 3. Найти объем, тела, полученного при вращении фигуры, огра- ниченной сверху линией # = Ух, снизу осью х, справа вертикальной прямой х = 2. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ § I. 1. у — уо = пха"~1(х — ха), у — уй = —(х—ха). 0+8=— ^ ; у = 0, х = 0. 3. у-2 = 3(х-1), у-2 = = j(x—l); y—\=—x, д—\=х. 4. На данной окружности, ее уравнение х*-|~#* = 4, имеются две точки, у которых х = 1. У одной из них у = У~3, у другой у=. —У^З. Поэтому задача имеет два решения. Определим у'{О двумя способами", а) из уравнения окружности у = ±7^4 — х1, причем анак плюс следует брать для точек верхней полуокружности, а знак минус для точек нижней полуокружности. Следо- вательно, для верхней полуокружности у' = , поэтому У 4 — *'
284 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV для точки A; У~3) получаем у' A)= = . Уравнение касательной ^3 в этой точке у — УЗ = — — (дг — 1), нормали у — УЗ = УЗ(х — 1). Для нижней полуокружности у = — У4 — х\ у' = ——Х . Для точки A; — УЗ) получаем у' A) = -—. Уравнение касательной УЗ в этой точке у + УЗ z=-—(x— 1), нормали у + У3"=—У3~(х — 1). Уз б) По правилу дифференцирования функций, заданных неявно, на- ходим (см. стр. 165) у' = — . Поэтому для точки A; УЗ) получаем у' A) = —17=» а Для точки A; —УЗ~) получаем у'A) = -у=.. § 2. 1. Вогнута. 2. Точки перегиба при х, = — 2, х,= 1. 3. При д:=1 точка перегиба. 4. Из уравнения кривой у = х* нахо- —— —, откуда при х = О получаем /? = —; при х =-$- получаем 2х, у" —2. Поэтому /?= §з. 1.<= 5 „----„ g 2. Пусть основание треугольника А С = а, высота ВН = h, пусть DEFG — искомый прямоугольник. Из подобия (рис. 116) ТЛЕ? D ff -Тр=-^т>; обозначая DE — х, получаем дг h—HxH „ „ = ^_> откуда «,//=, Площадь прямоугольника S(x) = xh ( 1 — ) = hx х*. Ре- шая уравнение S'(x)=O, находим *=-=-; тогда НХН= — . 3. Искомым прямоугольником является квадрат, *. ¦. Радиус основания банки r=y kz, высота ее // = 2г. 5. t= » , , . 7. Время движения 7* = — У~а* -\-х* -) У^1 (рис. 117). Условие -г— = 0 дает - — xf, где с = A jfl, с — х
Замечая, что sin a v ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ с — х ;=r sin а, 285 = stnP, находим — . Это—закон Снелля, т. е. точка должна двигаться так, А Я/ как движется через границу двух сред световой луч. Для доказа- тельства того, что мы действительно получаем минимум Т, доста- точно выписать -7-$- . Легко убедиться, что прн всех х будет § 4. 1. Ушах = 2 ПРН -« = 0, ymin = — 2 при х=2. 2. Максиму- мов я минимумов нет. Кривая пересекает ось х в точке * = = 1 -f- у^14 =: 3,4, а ось у в точке «/ = — 15. 3. Максимумов н мини- мумов нет. Кривая пересекает ось х между точками х = 0 и х =—1, а ось у в точке у = 3. 4. Три корня, б. Три корня. 6. Два корня. 7. Один корень. § 5. 1. Ут\а = 3. 2. При х = 0 f/max=0. 3. При х = 0 {^,= 1. §6. 1. Для данного эллипса длины полуосей а =5, й = 2. 2. Из уравнения эллипса у^=.—— , откуда р' = — . Уравнение касательной у — ~- = уп.(х — 1) 2 V 3 „t .л \. Из уравнения эллипса Ь х a Y& -х* ' h Так как точка (х„; лежит на эллипсе, то -т-г-гг*=1> откуда t— У а* х1' поэтому у' (х0) = ^--i . Уравнение касательной
286 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV х Ь* У — У а = — ?• ^ (* — *о) или ууоа* — у\а* = — х^сЬ* -\- х\Ь*. Разделим Х1 1 все члены уравнения на а*Ьг, получим ^г—}Т — 5^ + ^ или ^ + ^r-=^-+^i- Остается заметить, что #д § 7. 1. %- . 2. -^ . 3. i-. 4. 2я +4- и 6л — 4- • 5. a In 2, Z ^ о о о где а — количество краски, идущее на окраску единицы площади. в. у? а. 7. 10 я. я л* = n(l +2^)= —5"— • '• a) (->6a средних значения равны -^- ; б)— ^и-^--| . 4. Если Т — период, то должно быть sin [со (t -\- Т) 4- «1= sin (со* -f-а), откуда со (/ ¦+¦ Т) + а = со* -f- а + 2я, соТ"=2я, Т1 = — . Но период функции у* равен — = —. Следо- Си & О вательно, надо найти среднее значение функции у = sin2 (со* -(- а) на промежутке от * = 0 до / = —. (О . 2. S={y \ + e**dx. 3. S = = — \ у а1 + -1 _ -1 dx* *• Выполняя указанную замену пере- 0 о С ггйг „ . Г 2*dz f* zzdz с, получим S = V -j р- . Найдем \ я _ • \ я . = менных,
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 287 интеграле запишем подынтегральную функцию так: 1 ._ 1 А В ZS — I (Z— 1) (Z -f- 1) 2— 1 ^2+1 • Числа Л и В найдем, выполнив приведение к общему знаменателю н приравняв числители A (z-\-\)-\-В (г—1) = 1, откуда А = -^-, В =— -у . Окончательно \ ¦-, = г -\- -^- In Z ~ , поэтому S = § 10. 1. Разбивая на участки от х = 0 до дс = 0,9 и от х = 0,9 до х = 2, находим Si = 1,043, S,^=—— -^ (- 2 ]р 2 -| \ -^ =^j dx. В последнем интеграле можно положить ех = t. 0,9 Окончательно получим St = 2,624, S = S, ~\-St= 3,667. По точной фзрмуле находим S = 3,627. Ошибка составляет 1%. 2. S= 1,146. 3. Длина дуги окружности, о которой идет речь, есть Vf Rdx VT = R V2 V + 12 + Тбб + 896 + 78432~+ *'' }' Соответственно для числа я получаем: а) я="^ б)
288 ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ [Ч. IV § 11. 1. Примем диаметр А В за ось х, точку А за начало координат. Сечение, перпендикулярное к диаметру АВ, есть прямо- угольный треугольник PQR, его площадь (см/ рис 115) S(x) = = —PQ-QR = ~PQitga. Но по известной теореме геометрии = AP-PB = x (IR — x). Поэтому S (х) — ~ х BR — ж) tga. (Ar)dr=y/?'tga. 3. У = 2я.
ЧАСТЬ V ВЫТЕКАНИЕ ВОДЫ. РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА § 1. Вытекание воды из сосуда. Постановка задачи Рассмотрим вытекание воды из сосуда, в котором внизу имеется отверстие или тонкая трубка. В сосуд мо- жет также поступать вода из внешнего источника. Эта задача очень проста и наглядна по своей постановке. Вместе с тем те математические методы, которые нужны для описания вытекания воды, применяются и в более сложных и интересных задачах. Представим себе сосуд, в который втекает (или из которого вытекает) вода. Объем воды, находящейся в со- суде, обозначим через V (см3). Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t(cek). Каков смысл величины j-? Ясно, что dV = V (t -\- dt) — V (t) есть количество воды, поступившее в сосуд за время dt. Поэтому -тт есть ко- личество воды, поступившее в сосуд за единицу времени, т. е. скорость изменения количества воды в сосуде. Эта величина носит специальное название «поток воды». Бу- дем обозначать поток через q (t). Если q > 0, то вода поступает в сосуд, если же q < 0, то вода вытекает из сосуда, количество воды в сосуде уменьшается. Если зависимость потока воды от времени известна, т. е. известна функция q (t), то ? = *(')• (LI) В этом случае задача нахождения V подобна задаче Ю я. Б. Зельдович
290 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V определения пути по заданной скорости, к еще в части I было выяснено, что такая задача решается интегрированием. Для того чтобы задача имела вполне определенное ре- шение, нужно, чтобы было задано количество воды Vt, которое находилось в сосуде в определенный начальный момент времени /„. Условие, что V = V9 при t = t9 на- зывается начальным условием. Количество воды, которое втекло в сосуд за время и . . от ta до tt, есть \q(t)dt. Отсюда количество воды в К сосуде в момент tx t, (t)dt. A.2) Это выражение справедливо для любого момента вре- мени tt и, следовательно, полностью определяет иско- мую зависимость V от tt. Заметим, в частности, что при t, = ta интеграл в формуле A.2) равен нулю и V (ta) = Va. Таким образом, решение A.2) действительно удовлетво- ряет поставленному условию относительно количества воды в момент /0 (начальному условию). Отметим, что формулой A.2) можно пользоваться и при /,<fe. Однако смысл формулы A.2) при /,<?, и tt >ta различный. При tl>ta величина V(tj) есть коли- чество воды, которое будет в сосуде в момент tit если в момент ta в нем было количество воды. Va и по- ток воды задан функцией q (t). При tl< tn величина V (tt) есть то количество воды, которое должно находиться в сосуде в момент tl для того, чтобы в более позднее время, к моменту ta, в нем было количество воды Va при потоке, заданном функцией q(t). Вместо обозначения tx можно писать просто t. Тогда формула A.2) принимает вид V (t) = Vn+\q(t)dt. A.3) К Строго говоря, при этом буква t обозначает верхний предел интегрирования и таким образом «занята». Поэтому переменную интегрирования следовало бы обозначить
§ 1J ВЫТЕКАНИЕ ВОДЫ ИЗ СОСУДА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 291 какой-нибудь другой буквой, например т, и писать A.3) в виде t что совпадает с A.2), если в A.2) заменить tx на t и t на т. Однако обычно этого не делают и пишут формулу в виде A.3). При этом недоразумений не возникает. Надо только помнить, что в A.3) q(t) это не значение q на верхнем пределе, а функция переменной интегрирования, пробегающей все значения от tt до t. Формулу A.3), дающую решение задачи о вытекании воды, если задан поток q (/) и количество воды в началь- ный момент t = tn, можно получить при помощи несколько иных рассуждений. Из A.1) в силу определения неопределен- ного интеграла следует, что Предположим, что неопределенный интеграл от функ- ции q (t) каким-либо образом найден. Обозначим его / (t). Тогда где С — постоянная интегрирования. Отсюда V @ =*/(*) +С. A.4) Для определения постоянной интегрирования воспользу- емся начальным условием, т. е. потребуем, чтобы при t = t<i было V = Vn. Подставляя в A.4) t = ta, получим: откуда C — V9 — Подставляя значение С в A.4), находим: Это совпадает с формулой A.3), так как t ... f 10*
292 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V Формулу A.4) можно назвать общим решением урав- нения A.1). Выбирая то или иное значение С, из фор- мулы A.4) можно получить различные частные решения, соответствующие различным начальным условиям. Однако обычно поток как функция времени не известен. Чаще известен физический закон, характеризующий выте- кание воды, который дает зависи- мость потока от напора воды, т. е. от высоты уровня воды z (рис. 118). Так, например, при вытекании воды через тонкую длинную трубку где коэффициент k — положитель- ное постоянное число, знак минус означает, что вода вытекает. При вытекании воды из отверстия в тонкой стенке <7= —d\/'z. Рис. 118. В каждом из этих случаев, пока не решена задача, не известна за- висимость от времени уровня воды в сосуде z(t), а значит, не известен и поток. Поэтому задачу определения V из уравнения % A.5) нельзя свести к предыдущей задаче. Мы сформулировали здесь задачу в общем случае для произвольной зависимости потока q от уровня z. В уравнение A.5) входят две неизвестные величины: количество (объем) воды V и уровень воды г. Очевидно, эти величины не являются независимыми. Определенному уровню воды соответствует вполне определенное количе- ство воды, так что V есть известная функция *) от z, V(z). *) Вид этой функция определяется формой сосуда. Так, напри- мер, для цилиндрического сосуда
§ 2] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 293 Подставляя V(z) в уравнение A.5), найдем: dt — dz dt —q(Z)' Производная объема по высоте равна площади сечения на высоте z (см. формулу A4.8) части II). Обозначим эту производную через S(z) Окончательно получим уравнение ^ A.6) Способ решения этого уравнения рассмотрен в следующем параграфе. § 2. Решение уравнения в случае, когда производная зависит от искомой функции Задача о вытекании воды свелась к определению функ- ции z(t) из уравнения, в котором производная gj- задана как функция г S(z)?=q(z). A.6) Перепишем уравнение A.6) в виде dt S(zy ¦ Обозначим W\==ftz)' тогда окончательно ?B-D Для конического сосуда (см. рис. 118) V =—S(z)z, где S есть о площадь сечения сосуда на высоте z, 5 = ягг(г), где r(z) есть радиус сечения на уровне z. Из подобия треугольников найдем r(z) = ra—, где г0 — радиус верхнего основания крнуса, h— полная высота, так что У=^г>.
294 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V Уравнения, содержащие искомую функцию и ее про- изводные, называются дифференциальными уравнениями. Если уравнение содержит лишь первую производную, то оно называется уравнением первого порядка. С простей- шими дифференциальными уравнениями вида ?-№> мы уже имели дело. Решить такое уравнение — значит найти функцию по ее производной. Эта задача решается интегрированием. Рассмотрим уравнение B.1). Перепишем его в виде L dz Такая запись соответствует тому, что мы в ходе реше- ния задачи временно будем рассматривать t как функцию z, т. е. будем искать обратную функцию t(z) (см. часть III, § 2, в частности формулу B.3)), а уже найдя ее, выра- зим г через t. Проинтегрируем левую и правую части B.2) *0 откуда B-3) Мы получили решение задачи: справа стоит функция от z, слева — время t. Такое равенство позволяет при каждом значении t найти соответствующее z. Реше- ние B.3) удовлетворяет начальному условию при t = tal z = z0 (в начальный момент t = ta задан уровень води в сосуде г0). В заключение этого параграфа рассмотрим два примера.
§ 2] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 295 1. Вода вытекает из конического сосуда по тонкой трубке: dV *i\x dz_ q(z) kzh* kh* 1 — htz, dt —щ^- _^_____^_, . В этом примере не представляет труда выразить г как функцию t f —/.). B-4) Эта формула полностью решает задачу. Легко проверить, что dz_ kh* 1 kk* dt л, так что z действительно удовлетворяет уравнению. Оче- видно также, что при t = taz = zv Выражение B.4) позво- ляет найти момент, когда закончится опорожнение сосуда: 1 2 пгл г. г=0 при t=ta~\-j?^.. 2. Цилиндрический сосуд с трубкой. В этом случае ,,. . з dV i dz . V(z) = nrcz, -йТ=ягаЖ = —kz. Отсюда — nrl(lnz—lnza)= —nrlln— = nrl\n^=k(t — ta).B.
296 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V Из B.5) нетрудно выразить z через t. Действительно, lnz = lnzo г U — К)- Отсюда 2 = za e Рассмотрим два момента времени t и t -j- At и найдем отношение X.—- ш Мы видим, что это отношение зависит только от At и не зависит от t. Поэтому за равные промежутки времени уровень воды г падает в равном отношении. Интересное качественное отличие второго примера от первого заключается в том, что во втором решении нет такого момента, когда г обращалось бы точно в нуль. С течением времени z уменьшается, но к нулю стремится только при t —»¦ оо . § 3. Радиоактивный распад Основной закон радиоактивного распада состоит в том, что отношение числа распавшихся за единицу времени атомов к общему числу атомов является постоянной вели- чиной, зависящей только от вида атомов. При этом под- разумевается, что общее число атомов весьма велико. Эта величина называется вероятностью распада. Обо- значим количество атомов, которые еще не распались к моменту времени t, через W@- В момент времени t-\-dt нераспавшихся атомов будет N(t -f- dt). Поэтому за время dt (от t до t-{-dt) распадается N(t) — N(t-{~dt)=—dN атомов. Вероятность распада «=—щ-. Отсюда ?=-аМ. C.1) dN Из этого соотношения, вспоминая, что размерность —т-
§ 3J РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД 297 N такая же, что и отношения-^-, видим, что вероятность распада <о имеет размерность-^-*). Начальное условие состоит в задании числа атомов в начальный момент времени: при / = 0 N = Na. Решая уравнение C.1) способом, изложенным в пре- дыдущем параграфе, и пользуясь начальным условием, находим: Щ1) = Мае-шг C.2) (советуем читателю проделать все выкладки). Однако в случае, когда производная пропорциональна искомой функции, можно предложить более простой способ реше- ния уравнения. В части III мы выяснили, что производная от показа- тельной функции пропорциональна самой функции дх' = const ax, в частности, если С и k — постоянные. Вспомнив это свойство показа- тельной функции, предположим, что решение уравнения C.1) имеет вид N = CeM, C.3) и постараемся подобрать С и k так, чтобы удовлетворя- лись уравнение и начальное условие. Дифференцируя C.3). •) Следовательно, вероятность здесь понимается не в том смысле, как в утверждении, что при бросании монеты вероятность того, что монета упадет вверх гербом, равна половине. Определение вероят- ности распада как отношения числа распадов в единицу времени к начальному числу атомов справедливо только в том случае, если число распадов в единицу времени (например, секунду) составляет малую долю числа атомов. Точное определение вероятности распада . . 1 dN дается именно формулой <о = —~КГ ~лТ < т- е- вероятность распада равна отношению числа распадов за малый промежуток времени к общему числу атомов и к величине промежутка времени.
298 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V получим: dt 1 ' подставим это в C.1): kN = —coN, откуда &== —со. Пола- гая в C.3) ? = 0 и пользуясь начальным условием, полу- чаем C = Nn. Итак, N=Nae-o>t. Величина — со/, стоящая в показателе степени, безраз- мерна, как и должно быть. Радиоактивные атомы характеризуются периодом полу- распада Т, который представляет собой время, в течение которого число атомов N вследствие распада уменьшается вдвое по сравнению с начальным. Определим период полураспада Т. Из формулы C.2) N (T) — Nae~u>T. С другой стороны, по определению N(Т) = -^ N^. Поэтому Лгое~а)Т=-2-Лг4; e~WT=-^, откуда In О Г\ CQ — ©Г = —1п 2, Т=—як——. C.4) Период полураспада обратно пропорционален вероятности распада. Каждый атом, прежде чем распасться-, существует не- которое время, это время называется временем жизни атома. Найдем среднее время жизни t атома данного радио- активного элемента. Пусть в начальный момент t = 0, когда атомы были изготовлены, было Na атомов. За время от t до t-\-dt распадается количество атомов Все атомы этой группы прожили примерно поровну, их время жизни есть t. Среди взятых в начальный момент атомов имеются группы атомов, которым предстоит про- жить различное время от общего для всех атомов момента изготовления до различного для разных атомов момента распада. Чтобы найти среднее время жизни, надо умно- жить время жизни каждой группы на число атомов в этой группе, сложить эти величины для всех групп и поделить на общее число атомов во всех группах.
§ 3] РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД 299 Так как будет складываться весьма большое количе- ство слагаемых, то вместо суммы появится интеграл: поэтому ^ t-<oN dt 't • C.5) \ (oNdt Подставим сюда выражение для N из C.2). Знамена- тель I/O ОО ОО 01 о чего и следовало ожидать, так как интеграл в знаменателе дает общее число всех распавшихся атомов, которое, очевидно, равно числу атомов в начальный момент времени. Интеграл, стоящий в числителе C.5), берем интегриро- ванием по частям, полагая t = f, е~ы*(И = кц. Получаем: Из формулы C.5) получим теперь <о Пользуясь этим, можно основное уравнение C.1) и его решение C.2) записать так: _ N = Nae T. C.8) При этом надо помнить, что время t есть независимая переменная, число атомов зависит Ът t. Величина же 7 есть постоянная, характеризующая данный тип радиоактивных атомов.
300 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ч. V Из формулы C.8) видно, что за время / = f число ато- N мов уменьшается от Nt до Nae~1 = —-, в е раз, т. е. приблизительно в 2,72 раза. По формуле C.7) начальная скорость распада такова, что если бы число атомов, распадающихся за единицу времени, не уменьшалось, то все атомы распались бы за время t. Действительно, при t = 0 было N атомов и ско- N ==~. При такой скорости для пол- рость распада — dt t=a t ного распада нужно время, равное i. Из формулы C.4) in 2 со = -уг-, поэтому Величиной 1 в расчетах пользоваться удобнее, чем перио- дом полураспада Т. Упражнения 1. Среднее время жизни радия 2400 лет. Определить период по- лураспада радия. 2. Вначале было 200 г радия. Сколько его останется через 300 лет? 3. За 500 лет распалось Юг радия. Сколько его было в началь- ный момент? 4. Определить, через сколько времени распадается 1%, 10%, 90%, 99% от первоначального запаса радия. 5. Содержание радия на Земле в различных породах в среднем около jzrft (по атомам). Каково было содержание радия 10 000 лет назад, 10° лет назад, 5-10" лет назад E-Ю9 лет — возраст Земли)? § 4. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов Среднее время жизни t различных радиоактивных ато- мов весьма различно. Так, например, известно несколько изотопов урана. Один из них, уран с атомным весом 238 (Uss0), имеет среднее время жизни 7 = 7-10* лет. Другой изотоп (U*") имеет среднее время жизни 7= 10* лет (получение атомной энергии на атомных электростанциях
§ 4] ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ РАДИОАКТИВНЫ* АТОМОВ 301 при делении урана происходит в основном за счет US3S). Среднее время жизни радия 2400 лет *). Однако не надо думать, что среднее время жизни всех радиоактивных атомов исчисляется тысячелетиями. Среди радиоактивных веществ, встречающихся в природе и изу- ченных еще супругами Кюри и Эрнестом Резерфордом, имеется полоний со средним временем жизни около 200 дней, радий А со средним временем жизни 4 минуты и ра- дий С со средним временем жизни 2-10~* секунды. В- последние 20 лет в связи с развитием ядерной фи- зики и использованием атомной энергии открыто огромное количество (более 400) различных радиоактивных веществ с самым различным средним временем жизни. Если в момент времени t имеется N (t) нераспавшихся атомов, то в единицу времени распадается n(t)=(dN(t) атомов. Величина п (t) есть скорость распада атомов. Умножим обе части равенства C.2) на о. Получим: или л@ = ».@*—'. D-1) где «0@ — скорость распада в начальный момент времени. Если элемент имеет большое среднее время жизни, то проверить формулу C.2) на опыте ие удается. Пусть взят уран-238. Современная техника измерений позволяет обна- ружить каждый случай распада радиоактивного атома. Оказывается, что в одном грамме Utsi каждую секунду происходит 1,2-10* распадов. Один грамм U"* содержит 2,5-10" атомов. Поэтому Пользуясь C.6), находим / = 7*2-10* =2-10" сек = 7-10ш лет. Пусть мы наблюдаем за распадом урана 10 лет. За это время в одном грамме распадается около 4-10" ато- мов. Обнаружить, что вместо 2,5-1 О*1 атомов осталось B,5-10*1—4-Ю1*), было бы очень трудно. •) Отметим, что в физических справочниках часто приводят д полураспада Т = 0,69 t, см. § 3.
302 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V Однако, проводя опыты с радиоактивными веществами, имеющими не очень большое среднее время жизни (от нескольких минут до нескольких дней), удается с большой точностью проверить формулу D.1), а тем самым под- твердить формулы C.1) и C.2). Для этого можно посту- пить следующим образом. Будем подсчитывать число рас- падов за небольшие промежутки времени. Поделив число распадов на длину промежутка времени, получим скорость распада в различные моменты времени. Построим график зависимости скорости распада от времени. Получим кривую линию. Как убедиться в том, что эта кривая есть график показательной функции? Для этого подсчитаем логарифмы полученных значений скоро- сти распада и по этим данным построим график зависимо- сти величины In n от времени /. В результате должна полу- читься прямая линия, а это нетрудно проверить на глаз. Многочисленные эксперименты действительно дают прямую. Таким образом, 1л п (t) есть линейная функция от вре- мени, т. е. D.2) А это значит, что n(t)'=ea+bt = eaebt = cebi. На графиках величина Ь получается отрицательной: Ь = — о, где ш — вероятность распада. Следовательно, опыт подтверж- дает основной результат предыдущего параграфа и дает возможность определить о, подсчитав тангенс угла на- клона прямой D.2) к оси t. Надо подчеркнуть, что этот результат, по существу, чрезвычайно удивителен. Представим себе Nn радиоактив- ных атомов, приготовленных одновременно в начальный момент t = 0. Все они приготовлены одинаковым способом и одновременно. Мы знаем, что радиоактивные атомы не- устойчивы, способны распадаться. Можно допустить, что распад атомов требует определенного времени. Представим себе, что после приготовления атомы должны как-то со- зреть до распада. Но в таком случае мы должны были бы ожидать, что все атомы будут, не распадаясь, созре- вать одно и то же время, а по истечении этого времени, созрев, одновременно распадутся. Представим себе какие- то модели пушек с натянутыми пружинами и зубчатыми колесами (или часовыми механизмами), способные при
§ 4J ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ РАДИОАКТИВНЫХ АТОМОВ 303 определенном положении зубчатых колес (или часовых механизмов) силой пружины выбрасывать снаряд. Выстре- ливание снаряда будем называть распадом модели. При одинаковом устройстве всех моделей модели, изготовленные п одно и то же время, выбрасывают снаряд по •%¦ истечении одинакового срока. Такая картина распа- да модели пушки с выле- том снаряда не имеет ничего общего с дейст- вительным поведением радиоактивного атома. Приготовленные в од- но и то же время атомы распадаются в самые разнообразные моменты. Подсчитаем, например, сколько процентов распадается за время, меньшее среднего времени жизни. Из C.2) нахо- дим, что скорость распада (количество атомов, распавшихся dN в единицу времени) есть -^ = —(aNae падается dt dt = dN = — a>Nae ~ . За время dt pac- атомов, М а за время от /==0 до t = i распадется = _ J (oN.e-^dt = —Nae-Wt \'a =Na(\— е~шг) атомов. о Так как ш = —, то m=nJi — Значит, за время меньше чем t распадается 63°/ 0 атомов. Аналогично подсчитываем, что за время от / до 2/ рас- падается 23°/О атомов, а за время больше 21—14°/0 атомов. На рис. 119 показаны рядом кривые числа распадов в единицу времени для радиоактивных атомов (/) и для
304 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V моделей пушек B). При этом кривая для моделей имеет ширину. Можно представить себе, что модели изготовлены не совсем точно и поэтому стреляют не совсем одновре- менно. Чем точнее выполнены модели, тем уже кривая на рис. 119. Площадь под кривой представляет собой общее число всех распавшихся атомов для одной кривой и общее число всех моделей для второй кривой. Можно взять число моделей, равное числу атомов. Тогда обе кривые будут иметь одинаковую площадь. Абсцисса центра тяжести обеих кривых также одина- кова *); это значит, что рассматриваются такие модели, у которых среднее время жизни (до выстрела) такое же, как среднее время жизни рассматриваемых радиоактивных атомов. Таким образом, мы сделали все, что было в наших силах, чтобы добиться сходства кривых: взяли столько моделей и с таким механизмом, чтобы общее число моде- лей и атомов и среднее время жизни моделей и атомов были одинаковы. И тем не менее получились кривые, необычайно резко отличающиеся по форме! Эксперимент с радиоактивными ядрами с абсолютной неопровержи- мостью отбрасывает тот тип кривой, который получается для моделей. Чем точнее ставятся опыты, тем с большей точностью подтверждается именно закон C.2). Сравнение с моделями нам понадобилось для того, чтобы не принимать как должную и естественную зави- симость C.2) для радиоактивного распада, чтобы вызвать чувство удивления и любопытства, вызвать вопрос: «А по- чему же, в самом деле, радиоактивный распад идет таким образом?» Каков физический смысл величины вероятности рас- пада? В далеком прошлом, в начале века, иногда выска- зывались предположения, что радиоактивный распад тре- бует еще какого-то внешнего воздействия, например по- падания извне какой-то частицы. В этом случае можно было бы себе представить, что один атом распался раньше, а другой позже в зависимости от того, в который атом *) Как будет показано в § 15 части VI, это следует из фор- мулы C.5).
§ 4J ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ РАДИОАКТИВНЫХ АТОМОВ 303 раньше попала частица. Но эта гипотеза не соответствует фактам, радиоактивный распад идет с одинаковой ско- ростью в самых различных условиях, не зависит от тем- пературы и столкновений атомов между собой, не зависит от действия космических лучей; при радиоактивном рас- паде в точности сохраняется энергия, что также опровер- гает представление о каком-нибудь внешнем воздействии при распаде. Вторая возможная гипотеза заключается в предположе- нии, что в действительности в начальный момент приго- товления радиоактивных атомов они уже были не совсем одинаковы и именно поэтому распались в различное время. Это предположение соответствует картине моделей, кото- рые выпускаются с часовыми механизмами, установлен- ными на различное время. Эта гипотеза предполагает, что точное знание состояния каждого атома полностью опре- деляет всю его дальнейшую историю и, в частности, точно определяет, когда именно распадается данный атом. Если атомы распадаются через разное время после их приго- товления, значит, так каждому из них и было на роду написано: при изготовлении разные атомы одного и того же радиоактивного вещества были изготовлены неодина- ковыми и это разное время было предопределено при из- готовлении. Такая точка зрения также не выдерживает критики. С этой точки зрения при каждом конкретном способе по- лучения атомов радиоактивного элемента должна полу- чаться своя зависимость скорости распада от времени. Опыт опровергает такое предположение. Один и тот же вид радиоактивных атомов часто можно получить различными способами: например, атомы Мо0, (молибден с атомным весом 99) получаются в атомных котлах при делении урана. Такие же атомы раньше были получены при действии ядер тяжелого водорода (дейтерия) на атомы обычного, встречающегося в природе, нерадио- активного молибдена. В настоящее время известно мно- жество таких примеров, в которых один и тот же вид радиоактивных атомов получается различными способами. Опыт показывает, что независимо от способа получения атомов всегда скорость распада дается формулой C.2) с постоянным значением ш, характеризующим данный вид
306 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ч- V атомов. Следовательно, опыт доказывает именно основное уравнение В этом уравнении заключено очень большое содержа- ние: все радиоактивные атомы в точности одинаковы. Вероятность распада не зависит от того, как и когда они были получены. Свежеполученные 100 атомов распадаются совершенно так же, как в том случае, если приготовить 10° атомов, выждать время, нужное для того, чтобы уцеле- ли 100 атомов, и рассмотреть эти 100 уцелевших атомов*). Что же удивительного в том, что 100 атомов с данным атомным весом и числом электронов всегда одинаковы? Если бы это были нерадиоактивные атомы, то и, в самом деле, удивляться было бы нечему. Но для радиоактивных атомов этому надо удивляться, вспоминая, что из 100 ато- мов 63 распадается за время t, а остальные 37 — после t, т. е. надо удивляться тому, что у атомов время рас- пада различно, хотя атомы одинаковы. Это удивление небесплодно. В явлении радиоактивного распада уже проявляются особенности законов движения атомных и ядерных частиц, отличающиеся от законов движения тел, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни. Эти особенности изучаются в квантовой механике. Понятно, что в этой книге мы не будем ее касаться. Нашей целью является более скромная задача: показать, что постановка вопроса о необходимости выработки новых представлений, отличающихся от обычной механики, сле- дует из очень простых, известных школьнику фактов о радиоактивности. Чтобы понять, что старых представ- •) Характерной особенностью показательной функции является именно тот факт, что часть кривой подобна всей кривой. Действи- тельно, пусть N =Ы,?~Ш*. В момент t = t^ N =Ni =/V0e""lot«. Нач- нем новый отсчет времени с момента *,, время, отсчитанное с этого момента, обозначим т, x = t — tlt t = tl-{-t. Тогда Лг = Лгов~ш' = = Nlte-u*tt+-z> = Noe-*'t'e-w'' = N1e-u'\ Рассматриваем распад Na частиц, приготовленных в момент /=0. Интересуемся той частью процесса, которая протекает после t = tx. Для этой части процесса получаем N = УУов~ш'«-в~шт:^Л/1в~шт, гдет — время, отсчитанное от /,. Таким образом, закон распада оставшихся от предыдущего распада частиц в числе N1=Noe~wt> совершенно такой же, как закон распада свежеполученных Nt частиц. Именно это утверждение и сделано в тексте.
§ 4] ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ РАДИОАКТИВНЫХ АТОМОВ 307 лений не достаточно, надо только суметь задуматься, суметь удивиться. В своей автобиографии Альберт Эйнштейн — величай- ший физик XX века — подчеркивает свое удивление, ощу- щение чуда, которое он испытал, когда впервые увидел компас, увидел таинственное действие магнитной силы, проникающей через бумагу, дерево, землю и воздействую- щей на стрелку компаса без прямого соприкосновения. Он пишет о том, что такое удивление является сильней- шим побудительным мотивом для исследования. Он пишет о любознательности, «которую современные методы обу- чения почти совсем удушили». Сам Эйнштейн показал исключительную способность удивляться и черпать вдох- новение и побуждение к созданию теорий из самых обще- известных фактов. Так, в основе гениальной общей теории относительности лежит удивление перед фактом падения различных тел с одинаковым ускорением. Понятно, что одного удивления, одной постановки во- проса не достаточно, и Эйнштейн соединил способность ставить вопрос с умением решить его, с владением всей нужной математической техникой. И все же среди многих замечательных ученых именно умение удивиться и поста- вить вопрос там, где другие не видели ничего замечатель- ного,— вот что сделало Эйнштейна наиболее выдающимся физиком XX века. Может быть, рассмотренный выше разбор радиоактив- ного распада послужит читателю примером того, какие глубины можно увидеть за простыми фактами и форму- лами. В заключение приведем в качестве примера кривые радиоактивного распада, полученные экспериментально в 1955 г. в работе Сиборга и его сотрудников (США), в которой впервые был наблюден 101-й элемент периоди- ческой системы, названный авторами менделевием (хими- ческий символ Md) в честь великого русского химика Д. И. Менделеева. В этой работе 98-й элемент, калифорний, с атомным весом 252, облучался нейтронами в котле; при этом об- разовывался калифорний-253. Калифорний-253 испускает электрон и превращается в 99-й_элемент — эйнштейний, Еп, с тем же атомным весом 253.
308 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР 14. V Около 10' атомов эйнштейния (т. е. 4-10"" г) осадили на золотую пластинку и подвергли в циклотроне бомбар- дировке ос-частицами, т. е. ядрами гелия. При этом обра- зуется элемент с номером 100 — фермий, Fm, по реакции и менделевий по реакции В этой записи у каждого химического символа внизу поставлен номер в периодической системе Менделеева, т. е. число протонов в ядре. Число справа сверху указы- вает атомный вес, округленный до целого числа, т. е. сумму числа нейтронов и протонов в ядре. Не* — это ядро гелия, т. е. а-частица, р\ — ядро атома водорода — про- тон, п\ — нейтрон. При ядерной реакции сумма нижних чисел слева и справа одинакова, а также одинакова и сумма верхних чисел, так как при ядерных реакциях происходит только обмен нейтронами и протонами между ядрами. После бомбардировки а-частицами золотая пла- стинка вместе с образовавшимися фермием и менделевием растворялась в кислоте, и фермий и менделевий выделя- лись химически. Именно периодический закон Менделеева, как пишет Сиборг, позволяет предвидеть заранее хими- ческие свойства элемента, никогда ранее в природе не существовавшего, никогда ранее не исследованного. После химического разделения производились измерения радио- активного распада. Фермий с атомным весом 256 радиоактив- но распадается с периодом полураспада около 3,5 часа. Он распадается на два ядра-осколка примерно равной массы, т. е. самопроизвольно делится (о делении см. ниже, § 5). Верхняя кривая на рис. 120 показывает зависимость числа ядер фермия от времени в опыте. По оси абсцисс отложено время в минутах. По оси ординат отложено число атомов, имеющихся на данный момент*). Ось орди- *) Число атомов, имеющихся в даииый момент, непосредст- венно в этот момент подсчитать не удается. На опыте регистрируются распады атомов. Число атомов N в момент t подсчитывается по окон- чании опыта, когда все N атомов уже распались.
§ 4] ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ РАДИОАКТИВНЫХ АТОМОВ 309 нат имеет неравномерную шкалу, высота пропорциональна логарифму числа атомов. В частности, ось абсцисс (у = 0) соответствует одному уцелевшему атому (In 1=0), а числу атомов, равному нулю, соответствует — оо на" оси орди- нат. Распад каждого отдельного атома меняет число ато- мов на 1, в промежутке между двумя распадами числе атомов постоянно. Поэтому при такой экспериментальной технике, когда регистрируется каждый отдельный распад, вместо плавной кривой по- лучается ломаная ступен- чатая линия, на которой каждому распаду соответ- ствует вертикальная линия, соединяющая две ступень- ки. Прямая линия, прове- денная на рис. 120, соот- ветствует закону распада 11.47-е -ф"> (t в минутах) п- пае 800 1200 Время 0 минутах после бомбардировки Рис. 120. где т = 1^~2 ^ ^ часов, Т=^3%5 часа. Как видно из рис. 120, всего в опыте за- регистрировано 40 распадов фермия. Чем больше ато- мов, тем ближе ломаная к прямой; когда же ос- тается меньше пяти ато- мов, то естественно, что вероятностный характер радиоактивного распада приводит к значительным отклонениям от показательного закона, справедливого для большого числа атомов. Ядра менделевия после химического разделения быстро (за полчаса) захватывают атомный электрон и превра- щаются при этом в ядра фермия. Поэтому тот осадок, в котором оказался менделевий, при измерении его радио- активности также дает распад атомов на два осколка с периодом полураспада 3,5 часа. Кривая распада фермия, получившегося из менделевия, находится в левом нижнем углу рис. 120. В опыте наблюдено шесть распадов Спе- циальными опытами доказано, что эти шесть этомое не
310 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V могли попасть в измеряемый осадок в качестве загрязне- ния фермием, а именно образовались из менделевия. Всего в нескольких опытах Сиборг и его сотрудники наблюдали 17 атомов менделевия. Приведенный выше пример не очень хорош для иллю- страции точности выполнения показательного закона при радиоактивном распаде. Опыты, доказывающие показатель- ный закон, успешно ставились с более распространенными радиоактивными веществами. Зато пример менделевия и фермия показывает замечательное экспериментальное искусство современных физиков, синтезирующих новые эле- менты и регистрирующих распад каждого отдельного атома. В опытах Сиборга счетчик распадов менделевия был включен через усилитель в радиотрансляционную сеть института, и при каждом распаде все сотрудники инсти- тута, работающие в разных лабораториях, на разных этажах, оповещались об успехе — о рождении (точнее, о зарегистрированной смерти) каждого атома нового эле- мента, созданного человеком (впрочем, еще раньше, чем была закончена работа, вмешалась пожарная охрана и оповещение было прекращено). § 5. Последовательный распад (радиоактивное семейство) В ряде случаев радиоактивный распад приводит к обра- зованию атомов, которые также радиоактивны, так что осуществляется цепочка распадов: атом вещества А прев- ращается в атом вещества В, атом вещества В в свою очередь превращается в атом вещества Сит. д.. Рассмот- рим математическую задачу об определении зависимости от времени количества веществ А, В, С и способы ее ре- шения. Количество атомов веществ А, В, С, не распав- шихся к моменту времени t, будем обозначать теми же буквами А, В, С. Пусть вероятности распада вещества А, В, С равны соответственно <о, v, и. Тогда (Л называют материнским веществом). Напишем уравнение для вещества В. За единицу времени распадается vB атомов вещества В. С другой стороны, за это же время
§ 5] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ РАСПАД (РАДИОАКТИВНОЕ СЕМЕЙСТВО) 311 происходит (оА распадов вещества А, а так как при каж- дом распаде атома вещества А образуется атом вещества В, то за единицу времени образуется а>А атомов вещества В. Поэтому ? E.2) Аналогичные рассуждения дают: § = -uC + vB. E.3) Уравнения E.1) — E,3) образуют систему дифферен- циальных уравнений. В данном случае эти уравнения можно решать одно за другим, имея каждый раз дело только с одним уравнением и одним неизвестным. Дей- ствительно, в уравнение E.1) В и С не входят. По- этому из него определяем A(t) = Atle~'*t; здесь Аа — коли- чество атомов вещества А в начальный момент ^ = 0. Подставляя выражение для A(t) в уравнение E.2), получим уравнение, содержащее только одну неизвестную функцию В, ™=—vB + <uA(t). E.4) Как решить такое уравнение? Решение такого уравне- ния можно найти, если рассмотреть сперва судьбу группы атомов вещества В, образовавшихся в один и тот же про- межуток времени — от т до т -{- Дт. Будем рассматривать число атомов этой группы ДВ, оставшихся «в живых», т. е. не распавшихся к моменту t, в зависимости от вре- мени t. Для того чтобы не смешать между собой момент t, когда мы измеряем число атомов, и момент образования группы, обозначаем эти моменты разными буквами: /ит соответственно. В момент т скорость образования атомов вещества В была и>А (т). За малый промежуток времени Дт образовалось ДВ0 = шЛ(т)Дт атомов вещества В. Как зависит число атомов в интересующей нас группе от времени t? При t < т оно равно нулю: интересующие нас атомы еще не образовались, так как ие образовалась еще сама группа, Дб = 0. Пусть t>r. Заметим, что с мо- мента образования группы уже прошло время t — т.
312 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V Вероятность распада вещества В есть v. Поэтому по исте- чении времени t — т с момента образования группы число аераспавшихся атомов будет: Для того чтобы найти полное число атомов вещества В в момент времени /, надо сложить число атомов во всех группах, образовавшихся до момента /. Если брать Дт (а значит, и ДВ) весьма малыми, то сумма превратится в интеграл t t t B(t)= J AB(x)dx= Отметим, что переменная интегрирования обозначена здесь через т. Аргумент /, от которого зависит В, входит в интеграл в двух местах: как верхний предел и в выра- жении подынтегральной функции. При интегрировании по т величину t следует рассматривать как постоянную. Поэтому можно записать и вынести ae~vt из-под интеграла как множитель, не за- висящий от т. Сделав это, получим (r)ez"dx. E.5) Легко проверить, не вычисляя интеграла, что решение E.5) удовлетворяет исходному уравнению E.4) при любой зави- симости А (т). Действительно, найдем производную .' ' . По правилу дифференцирования произведения получим: Так как по свойству производной от интеграла (см. ч. II, §9)
§ 5J ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ РАСПАД (РАДИОАКТИВНОЕ СЕМЕЙСТВО) 318 ТО Если же мы положим Л(т) = Лвв"о>т, то получим конкрет- ное решение Решение можно было найти, и не прибегая к рассмот- рению отдельных групп атомов. Теперь, когда решение найдено, уже легко угадать математический прием, веду- щий к цели. Решение E.5) имеет вид B(t)==e-vtI(t\, E.6) где I (t) обозначает интеграл, зависящий от t. Будем искать решение в виде произведения e~vt на неизвестную функ- цию / и составим уравнение для / w=^e~vtI>>—ve~vtI+e~vtii' E-7) Подставляя выражения E.7) н E.6) в уравнение E.4), получим: или % = <**>1 A(t). E.8) По условию в начальный момент / = О, В = 0, а зна- чит, и / = 0. Решение уравнения E.8) с этим начальным условием имеет вид t и окончательно t В @ = e~*7 (t) = e-vt J «>A(x)eVTdT.
314 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V В этой формуле существенно, во избежание ошибок, сохранять более строгие обозначения и не обозначать пе- ременную интегрирования т той же буквой, которой обо- значен предел интегрирования t. § 6. Исследование решения для радиоактивного семейства В предыдущем параграфе мы довели до конца реше- ние задачи в случае двух радиоактивных веществ. Иссле- дуем это решение для двух частных случаев: 1) короткож и в ущее материнское вещество Л, долго- живущее дочернее вещество В; 2) долгоживущее материнское вещество А, коротко- живущее дочернее вещество В, Ниже мы будем наряду с вероятностями распада а> и v пользоваться средними временами жизни tA = — , tB=—. В первом случае характер решения легко понять без расчетов и формул. Весь процесс распадается на две стадии. Сперва, при / порядка tA (при этом по условию 'л^'в» поэтому и / <^ tB в первой стадии), происходит превращение Л в В; распада вещества В за это время практически не происходит. В этом периоде количество В равно разности начального количества Аа и количества А, уцелевшего к моменту t, В конце этого периода практически все вещество Л превратилось в В, количество В становится равным на- чальному количеству материнского вещества Аа. После этого медленно, длительно происходит распад В Покажем, как эти выражения получаются из точной формулы. Для случая двух радиоактивных веществ А н В мы получили в предыдущем параграфе формулу В нашем случае tA<^tB, ш^>о, поэтому удобнее переме-
§ 6] ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ РАДИОАКТИВН. СЕМЕЙСТВА 315 нить знаки, чтобы иметь дело с положительными вели- чинами в скобках и в знаменателе дроби. Тогда D lf\ Я СО (/* — У* />""U)*'l (fi 1 ^ Так как 0<g>, то^*-?=1. Выражение e~vt — е~ш* рассмотрим для двух последо- вательных стадий. Сначала, при /<^/в = —, будет и/<^1. При этом e~vt =x 1. Так как / может быть величиной по- рядка tA, a ©/, следовательно, порядка единицы, то ве- личину е~т* надо вычислять точно. Из формулы F.1) получаем: Во второй стадии, при t^>tA — —, будет <о/^> 1. В этой стадии можно пренебречь е~ш1. При этом е~ш* мало не только по сравнению с единицей, но и по сравнению с e~vt, так как v<^<o. Получим: Таким образом, действительно, точная формула дает те результаты, которые были получены из простых качест- венных соображений. Обратимся ко второму случаю долгоживущего мате- ринского вещества А и короткоживущего дочернего ве- щества В Рассмотрим период, когда со времени начала процесса прошло время /, значительно превышающее tB. В таком случае то вещество В, которое образовалось в начале процесса, к моменту / уже полностью распалось. Так как В распадается быстро, за малое время, то в каждый данный момент в наличии находится вещество В, образо- вавшееся недавно. В рассматриваемом случае имеет место установившееся состояние или, как его иначе называют, стационарное состояние: вещество В образуется из А и тут же распадается, вещество В при этом не накапли- вается (потому что оно быстро распадается), но и не
316 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД К ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V исчезает совсем (потому что из вещества А все время полу- чается новое вещество В). В установившемся состоянии в единицу времени распадается столько атомов В, сколько образуется атомов В из А. Математически это условие записывается так: vB Отсюда В установившемся состоянии мгновенное количество В пропорционально количеству А и составляет всегда одну и ту же малую долю А. Эта доля мала потому, что в рассматриваемом втором случае tB<^tA и, значит, =?- <^ 1, а иначе не было бы и самого установившегося СОСТОЯНИЯ. Как получается уравнение для установившегося со- стояния из точного дифференциального уравнения -у- — — иВ-\-<пА? Очевидно, если считать, что ^- мало по сравнению с каждым из двух членов, стоящих в правой части, то приближенно как раз и получим, заменяя dB _ -di на °- 0 = — vB-{-<?>A, vB=<nA. Рассмотрим теперь начало процесса. При t==Q А — Аа, 5 = 0. Значит в начальный момент мы имеем дело не с установившимся состоянием, так как по формулам уста- новившегося состояния должно быть вначале (значок s у буквы В означает установившееся стационар- ное состояние). В момент t =0 вещество В образуется со скоростью ^ = шЛв, а распада В в начальный момент. вовсе не происходит, так как 5 = 0. Можно определить, за какое время t1 при начальной скорости нарастания В будет достигнуто количество Bs.
§ 6] ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ РАДИОАКТИВН. СЕМЕЙСТВА 317 Действительно, если скорость образования вещества остается постоянной, равной (-п-) _ , то Полагая здесь Bs = - мое время i) _ = (оЛ0, получим иско- Таким образом, установившееся состояние достигается за время, приблизительно равное среднему времени рас- пада вещества В. Из условия tA<^.tB видно, что количе- ство вещества А за это время изменится мало. Рис. 121. В целом приближенное рассмотрение во втором случае короткоживущего дочернего вещества дает следующее: при t <ТВ В (t) = при t>tB ,-wt Мы получаем зависимость В = В (t) в виде двух линий: сначала прямой, потом показательной функции (рис. 121, 7Д= 10/в). Нетрудно проверить, что при t = iB две фор- мулы дают близкие значения.
318 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V Посмотрим, что дает точное решение уравнения В = А9^(е-">*-е-**) F.1) в рассматриваемом случае, когда v^xa, lB<^.iA. Прене- брегаем со по сравнению с v в знаменателе. При vt^>l пренебрегаем е~ы в скобке. Получим: т. е. как раз установившееся решение. Приближение решения к установившемуся определяем тем, насколько быстро убывает e~vt. При совсем малом t, когда vt < 1, так что a>t и подавно мало, получим, разла- гая в ряд е~ы и е~ш* и ограничиваясь двумя первыми членами, что также совпадает с приближенным результатом. Однако в действительности точная формула дает на графике одну плавную кривую, без разрывов и изломов (она показана на рис. 121). Приближение этой кривой к установивше- муся решению зависит от того, насколько быстро умень- шается e~vt. Так, для того чтобы e~vt давало поправку по- рядка 107„, нужно, чтобы было ttf=2,3, ?=2,3~» 2,3?в. При этом нз-за малости (at считаем, что е~ш* =г= 1. Таким образом, действительно, переход от стадии начального нарастания к стадии, когда решение с достаточной точ- ностью равно установившемуся, происходит за время по- рядка времени распада Гв. Пример радиоактивного семейства очень поучителен в том отношении, что получение общего точного решения никоим образом нельзя считать концом работы над зада- чей. Построение приближенных теорий для различных предельных случаев есть совершенно необходимая часть работы, и наличие точной формулы вовсе не заменяет приближенной теории. Приближенные, но ясные и нагляд- ные представления служат для проверки точной формулы. Приближенные теории дают нам такие важные новые качественные понятия, как понятие установившегося
§ 6J ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ РАДИОАКТИВН. СЕМЕЙСТВА 319 состояния. Такие понятия и лучше запоминаются, и об- ладают более широкой областью применимости, чем точ- ные формулы. Так, например, в случае радиоактивного семейства, состоящего из нескольких поколений А —•• В —>• —-С—»-D, точная формула весьма громоздка. Однако если 1Л больше всех других времен, то все результаты, относящиеся к установившемуся состоянию, получаются так же просто, как и в случае двух веществ А и В. Часто наиболее легкий путь состоит в том, чтобы получить точное решение, справедливое для любых v и со (в нашем примере), из которого затем при v<^.a> или 0§>(о путем математических преобразований полу- чаются более простые приближенные формулы для двух крайних случаев. На этом нельзя успокаиваться! Если простая приближенная формула получилась хотя и лег- ким, но длинным путем через общее решение, то рядом должен быть другой, простой путь получения прибли- женной формулы. Нужно обязательно тренироваться в нахождении простых путей, потому что будут встре- чаться задачи, в которых путь, приводящий к точному решению, непреодолимо сложен, и только простой прибли- женный путь позволит продвинуть вперед решение вопроса. В практической работе точные формулы встречаются так же редко, как уравнения, решения которых выра- жаются целыми числами, хотя в учебниках большинство задач приводят к точным формулам подобно тому, как в задачниках младших классов уравнения всегда решаются в целых числах. Отметим, что представления о радиоактивных семей- ствах объясняют странный результат, получившийся в упражнении § 3 относительно количества радия в прош- лом: радий является потомком (правда, не прямым, а через несколько промежуточных веществ) урана-238. Поэтому нельзя считать имеющееся в настоящее время количество радия результатом распада первоначального радия. В действительности радий находится в установив- шемся состоянии с ураном. Из уравнения В = ^-А V найдем, что содержание радия В = 10~11 соответствует
320 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V содержанию урана Мы нашли приближенно современное количество урана-238 в горных породах. Начальное содержание 5-10* лет назад было вдвое больше, порядка б-10~°. Такие величины вполне правдоподобны в отличие от результатов упраж- нения § 3. § 7. Цепная реакция деления урана В 1938 г. Хан и Штрассман в Германии и супруги Жолио-Кюри во Франции показали, что при попадании нейтрона в ядро урана происходит деление ядра, при ко- тором оно распадается на два больших осколка и, кроме того, испускает два-три новых нейтрона. Особенно активно делится уран с атомным весом 235 (коротко уран-235), содержащийся в количестве около 0,7°],, в природном уране, 99,3е/,, атомов которого имеют атомный вес 238*). «Осколки» представляют собой ядра среднего атомного веса — от 75 до 160; заряд этих ядер лежит в пределах от 35 до 57, при этом сумма зарядов двух осколков всегда равна заряду ядра урана, т. е. 92 элементарным зарядам; сумма атомных весов двух осколков равна 235 —(— 1—v, где 235 — атомный вес урана, 1—атомный вес нейтрона, вызвавшего деление, v—число нейтронов, *) Вслед за этим в 1939 г. в лаборатории И. В. Курчатова в Ленинграде советские ученые К. А. Флеров и Г. Н. Петржак пока- зали, что уран-238 способен делиться самопроизвольно, без попада- ния в него нейтрона, хотя вероятность этого весьма мала. Вероят- ность радиоактивного распада (с испусканием а-частицы) урана-238, соответствующая периоду полураспада 4,5-10" лет, равна со =5-10 ~" \\сек, а вероятность самопроизвольного деления урана-238 в 10* раз меньше, т. е. равна 5-10"" \\сек. Таким образом, в I кг урана, содержащем примерно 2,5-10" атомов, в 1 сек происходит примерно 107 актов радиоактивного распада и всего 10 самопроиз- вольных делений. Однако в самых тяжелых элементах самопроизвольное деление становится уже главным, наиболее вероятным процессом распада (см. конец § 4, где приведена кривая распада менделевия). В рас- сматриваемом ниже вопросе о цепной реакции самопроизвольное деление роли не играет.
§ f\ ЦЕПНАЯ РЕАКЦИЯ ДЕЛЕНИЯ УРАНА 321 образовавшихся при делении. При делении выделяется большая энергия — 6«1017 эрг\г (на грамм разделившегося урана). Благодаря этой энергии осколки летят в противо- положные стороны со скоростью около 10° см\сек. Источником этой энергии является электрическое от- талкивание двух одноименно заряженных осколков. Пока ядро не разделилось на две части, ядерные силы между частицами, из которых состоит ядро, уравновешивают электрическое отталкивание. Как только ядро раздели- лось на два отдельных осколка, отталкивание этих двух осколков уже ничем не уравновешивается и приводит к тому, что они разлетаются с большой скоростью. В плот- ном веществе осколки очень быстро останавливаются. Время их движения составляет от 10" " до 10" " сек. При этом они проходят от 10"* до 10"' см. Кинетическая энергия осколков переходит в тепло. Нейтроны, образую- щиеся при делении, имеют скорость того же порядка, что и осколки (около 2-10* см/сек). Для практического использования энергии деления ядер решающее значение имеет тот факт, что при деле- нии, вызванном одним нейтроном, получается больше одного нейтрона. Ясно что если нейтроны не будут ухо- дить из. системы, то число их будет нарастать в геомет- рической прогрессии с течением времени, т. е. по закону показательной функции. По такому же закону, пропор- ционально числу нейтронов, будет нарастать скорость выделения энергии. При этом если даже в начале про- цесса было мало нейтронов, то очень скоро число нх возрастает настолько, что энергия будет выделяться со скоростью, удобной для практического использования (например, в качестве источника энергии атомной электро- станции или ледокола), еще через совсем небольшое время выделение энергии возрастет настолько, что произойдет атомный взрыв. В действительности часть нейтронов выхо- дит из системы, часть нейтронов может захватываться другими ядрами, не вызывая деления; пользуясь этим, можно регулировать число нейтронов; в частности, можно добиться установившегося состояния системы, при кото- ром число образующихся в единицу времени нейтронов равно числу исчезающих нейтронов, так что число ней- тронов, находящихся в системе, с течением времени не 11 Я. Б. Зельдович
322 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V изменяется, выделение энергии происходит с постоянной скоростью. Для использования атомной энергии в мирных целях нужен именно такой режим работы. Наша ближайшая задача — составить и исследовать уравнение, описывающее зависимость числа нейтронов в системе от времени. § 8. Размножение нейтронов в большой массе Получим сперва уравнение для изменения числа ней- тронов со временем в очень большой системе (например, в большом слитке урана-235), когда выход нейтронов наружу можно не учитывать *). Скорость всех нейтронов приближенно можно считать одинаковой; обозначим" ее через v. Деление ядра происходит приблизительно в половине всех случаев, когда нейтрон попадает в ядро урана-235. Во второй половине случаев нейтрон вылетает обратно, оставляя ядро в прежнем состоянии, и при этом число нейтронов не меняется. Ядро урана представляет собой шарик ра- диуса R порядка 10~м см. Как часто нейтрон, летящий внутри металла, попадает в ядро урана? За малое время dt нейтрон проходит путь vdt. Пред- ставим себе цилиндр, осью которого является путь, прой- денный нейтроном, радиус цилиндра равен радиусу ядра урана R. Нейтрон сталкивается с теми ядрами, центр которых находится внутри цилиндра; если центр ядра находится внутри цилиндра, значит, путь нейтрона прохо- дит на расстоянии меньше R от центра ядра, поэтому нейтрон задевает ядро, попадает в него. Объем цилиндра равен nR2vdt. В металлическом уране в единице объема содержится N атомов и, следовательно, .Л/ ядер (размерность N есть—,) Поэтому в интересующем нас объеме nR*vdt имеется NnR*vdt ядер. Столько же будет попаданий нейтрона в ядро за малый промежуток времени dt. He всякое попа- дание нейтрона в ядро вызывает деление ядра. Пусть ос *) Мы будем рассматривать самый простой случай металлического ураиа-235, без графитового замедлителя и т. п.
§ 8] РАЗМНОЖЕНИЕ НЕЙТРОНОВ В БОЛЬШОЙ МАССЕ 323 есть доля тех случаев попадания нейтрона в ядро, когда это попадание вызвало деление (в случае урана-235 а =5= y J. Тогда число делений за время dt равно NautR'vdt. Величина autR*, имеющая размерность площади, так как а и я безразмерны, называется сечением деления я обозначается of*). Если внутри массы металлического урана находятся п нейтронов, то число делений за время dt равно При каждом делении образуется v нейтронов, но за счет поглощения одного нейтрона. Таким образом, изменение числа нейтронов при каждом делении равно (v — 1). На- писанному выше числу делений соответствует изменение числа нейтронов dn = nN (v—l)o,udt. (8.1) Таким образом, из (8.1) получаем: Положим N(v — \)ар = а; (8.2) тогда dn dt=an- Как мы уже знаем, решением такого уравнения является n(t) = n,eat, (8.3) где п„ — число нейтронов в системе при ? = 0. Таким образом, если число нейтронов в системе меняется только по причине деления, то число нейтронов растет в геометрической прогрессии, если время растет в арифметической прогрессии. *) а — греческая буква «сигма». Индекс / есть перьая буква английского слова fission (деление ядер). 11*
324 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V Действительно, если взять несколько равноотстоящих моментов времени то соответствующее число нейтронов равно л, = п,вв'-, /л„ fnx, f*nx, где / = е«Ч Отметим, что такой способ описания процесса — «рост в геометрической прогрессии» — часто встречается в попу- лярной литературе. Специалисты физики и техники поль- зуются им редко и говорят об экспоненциальном, т. е. показательном законе возрастания. Показательный закон характеризуется скоростью роста а [формула (8.3)]. Найдем размерность а. В формуле (8.3) at стоит в пока- зателе степени. Поэтому at безразмерная величина и, сле- довательно, размерность а есть \\сек. Этот же результат можно получить, припомнив, что Найдем приближенное значение постоянной величины а. Плотность урана приблизительно равна 18 г}см*. Число ядер в 1 см* N подсчитаем, вспоминая число Авогадро; 1 грамм-атом любого вещества содержит 6-10" атомов. Следовательно, 235 г урана-235 содержат 6-10" атомов, т. е. 610" ядер. В 1 см* содержится ^g-6-Ю" =зв 4-10" ядер, N = 4-10** l/cAts. Подставим среднее значение v^2,5, v = 2-109 см\сек, af=\ яA0-11)"=1,6- 10-"слс". Получим a = 4-1011-l,5-l,6.J0-14-2.10i = 2-l0il/ce»c; -1 = 5-10-' сек. Таким образом, если нейтроны не вылетают из си- стемы, то количество нейтронов возрастает в е раз за 5-10-* сек. При такой скорости возрастания за одну микросекунду, т. е. за 10 ~* сек, количество нейтронов возрастает в т е в iOo,4« .оо^ю" раз. Одна тонна урана-235 содержит 2,5-10" ядер. Поэтому
§ 9J вылет нейтронов 325 если нейтроны не выходят из системы, то это количество урана разделится меньше чем за одну микросекунду. Такой процесс представляет собой взрыв. Для энергетического использования деления такая скорость нарастания процесса недопустима. Необходимо, чтобы вылет нейтронов из системы уменьшил скорость нарастания количества нейтронов. § 9. Вылет нейтронов Представим себе массу урана-235 в виде шара радиуса г. Мы должны составить уравнение для числа п нейтронов, находящихся внутри этого шара. Предположим для про- стоты, что шар закреплен на какой-то тонкой подставке, так что вокруг него полная пустота, нейтрон, покинувший шар, уже никогда не возвращается обратно. Как определить поток нейтронов, т. е. число нейтро- нов, выходящих за пределы шара в единицу времени? Сделаем грубый подсчет. Рассмотрим малый промежуток времени dt. За это время каждый нейтрон проходит путь длиной vdt. Где находятся те нейтроны, которые покинут шар за время dt? Очевидно, они должны находиться внутри шара в тонком слое, прилегающем к поверхности шара, но на расстоянии не более vdt от поверхности, иначе за время dt они не успеют дойти до поверхности, пересечь ее и выйти наружу. Но и те нейтроны, которые находятся внутри слоя толщиной vdt, тоже не все успеют выйти за время dt, так как не у всех нейтронов внутри слоя скорость направлена по радиусу наружу; при самом грубом подсчете мы не будем учитывать последнее обсто- ятельство. Как найти число нейтронов в слое? Во всем шаре находится п нейтронов. Объем шара V = 4- лг'« объем ин- тересующего нас тонкого слоя у поверхности приближенно равен Svdt, если vdt мало. Здесь 5 = 4ял* (поверхность шара). Средняя плотность нейтронов, т. е. число нейтронов в единице объема, равна С = -^-. Предположим, что в тонком слое у поверхности плотность не отличается о г
326 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V средней. Тогда число нейтронов в этом слое равно vdt Поэтому поток (число нейтронов, выходящих в единицу времени) есть nS п-Апг* 3d В действительности у поверхности плотность нейтро- нов меньше средней плотности, к тому же, как отмеча- лось выше, скорости нейтронов имеют различные направ ления. Поэтому в действительности поток нейтронов меньше, чем мы получили 3kv ,_ ,. <7=—л, (9.1) где k — численный коэффициент, k<\. Ниже, в § 12, путем сопоставления с опытом будет показано, что к близко к 0,3. Если внутри шара не происходит деления ядер и не рождаются новые нейтроны, то для числа ней- dn тронов внутри шара получается уравнение ^7 =—q или, пользуясь (9.1), dn 3kv ш=—гп- Обозначая ^ = 6. ' (9.2) получим: S = — bn- Решение такого уравнения нам хорошо известно n = noe-bt. (9.3) Среднее время пребывания нейтронов внутри шара согласно (9.3) равно J J_ __ Г Ь 3kv"
§ 10J КРИТИЧЕСКАЯ МАССА 327 Заметим, что 7 = —. Поэтому среднее время прибли- зительно равно времени, за которое нейтрон, движущийся со скоростью v, проходит путь, равный радиусу шара г. Точное рассмотрение вылета нейтронов требует весьма трудоемких расчетов. Очень важно с первых шагов обу« чения привыкнуть приближенно определять все интересу* ющие нас величины. Точный расчет часто бывает действи- тельно очень труден и требует совсем другого объема знаний, иногда требует коллективного труда нескольких человек с использованием счетных машин и т. д. Значит ли это, что учащийся, занимающийся самообразованием где-нибудь далеко от Москвы, далеко от высших учебных заведений, не может и помышлять о рассмотрении воп- роса? Всегда есть простые, хотя и грубые (вроде приве- денного выше) способы приближенного подхода к вопросу. Не произвести приближенного расчета и ссылаться на то, что точный расчет труден, значит просто прикрывать та- кой ссылкой свою нерешительность и робость. Чаще всего именно робость мешает начинающим ученым и изобретателям! § 10. Критическая масса До сих пор мы рассматривали отдельно два процесса: размножение нейтронов без учета их вылета и вылет ней- тронов без учета их размножения. Рассмотрим теперь систему, в которой нейтроны и раз- множаются и могут уходить из системы. В единицу вре- мени в системе, как мы знаем, образуются an нейтронов и Ьп нейтронов вылетают из системы. Так как изменение числа нейтронов в единицу времени есть -^ , то dn или A0.1) где с = а—Ь. При данном начальном количестве нейтро- нов па уравнение A0.1) имеет решение п = п„ес\ A0.2)
328 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР (Ч. V Это решение приводит к совершенно различным резуль- татам при положительном и отрицательном с. Действи- тельно, из A0.2) видно, что при с<0 число нейтронов п тем меньше, чем больше t, т. е. с течением времени п стремится к нулю. Если же с>0, то п тем больше, чем больше t, т. е. п неограниченно растет с течением вре- мени. Только вмешательство новых физических факторов, не учтенных в , уравнении, может приостановить рост п. Таким образом, значение с = 0 есть «критическое зна- чение»,— это значение разделяет решения разного типа с растущим и уменьшающимся количеством нейтронов. Так как с = а — Ь, то при данном а можно говорить о критическом значении b: &Кр = а, так как при b<bKf = a с=а — Ъ > 0, а при b> bKV= а с=а — Ь <0. Величина а определяется свойствами делящегося вещества: согласно формуле (8.2) a = Nvaf(\—1). Величина Ь зависит от количества взятого делящегося вещества Ь-' (9.2) Поэтому вводят понятие критического значения ради- уса гкр, при котором & = 6кр = а. Из формул (8.2) и (9.2) следует, что —- = Nvof(y — 1), откуда 3k — 1) * Масса шара, радиус которого равен гкр, называется кри- тической массой m^. Ясно, что ткр=-|яг'вкре, A0.3) где q — плотность делящегося вещества*). При г>глХ> (это то же, что m>mKV) будет с>0 — имеет место размножение нейтронов. При г < г^ (пг < т^) будет с < 0 — первоначально взятое количество нейтронов умень- *) Мы по-прежнему считаем, что рассматривается масса деляще- гося вещества (например, урана), имеющая форму шара.
§ 10] КРИТИЧЕСКАЯ МАССА 329 шается. Пусть взят шар радиуса г. Его поверхность есть S = 4nr*, объем V = -^-nr\ лг' Если г мало, то это отношение велико, если же г вели- ко, то это отношение мало. Не удивительно, что при ма- лом радиусе, когда отношение поверхности к объему велико, вылет нейтронов усиливается, условия для размножения п "о 0 А 1 / ю ю ' 1510 я •У ъ-ья, . ь-г,5 ю" 20 Ю9 2510 s •2 10' Рис. 122. нейтронов хуже. Удивительна та резкость, с которой ме- няется количество нейтронов при изменении Ь: если Ь > 6кр, то через некоторое время количество нейтронов обращается практически в нуль независимо от того, равно ли Ь= 1,016^, или Ь = 2Ькр. Если &<&нр, то число нейтронов неограни- ченно возрастает и при 6 = 0,99&кР, и при & = 0,5&кр> хотя с разной скоростью. Именно поэтому говорят о «критиче- ском» значении Ь, «критическом» значении г или «крити- ческом» значении массы. Масса больше критической на- зывается надкритической, масса меньше критической на- зывается подкритической.
330 РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [Ч. V На рис. 122 представлены кривые n = naela~b)t при нескольких значениях 6. Построим кривые зависимости п от 6 для нескольких определенных значений времени /. t'5iO'sceit 210s Рис. 123. t-tSW'ceX г-ю'4 ю" ь Рис. 124. При расчете принято а=2-10* —. На рис. 123 показана кривая л F) при / = 5-10~' сек, на рис. 124 показана кривая п(Ь) при /=15-10"", на рис. 125 показана кривая п F) при п, Пересечение кривых с осью ор- , t-30-i0~*ceit динат (Ь =0) на рис. 124 и 125 уже не помещается на чертеже: на рис. 124 при 6 = 0 п'=20л0, на рис. 125 при 6 = 0 п = 400па. Как видно из рис. 122, а также из сопоставления рис. 123—125, чем больше время t, тем сильнее расхо- дятся кривые n(t) (рис. 122), тем круче кривые п F) (рис. 123—125), тем резче проявляется критич- Рис. 125. ность значения 6 = 2-10* (в дан- ном примере). Если взять *>10~* сек, то кривую п(Ь) нельзя будет отличить от вертикальной прямой 6 = 6кр = 2-10"; п = 0 при 6>6кр, л=оо при 6<6кр. 4-ХГх
§ 11] ПОДКРИТИЧЕСКЛЯ И НАДКРИТИЧЕСКАЯ МАССА 331 § 11. Подкритическая и надкритическая масса при непрерывном источнике нейтронов В предыдущем параграфе была рассмотрена задача об изменении со временем числа нейтронов при данном на- чальном числе нейтронов па. Поставим теперь несколько иную задачу. Пусть в начальный момент / = 0 число ней- тронов равно нулю и в этот момент включен источник нейтронов, испускающий q0 нейтронов в единицу времени. Эта задача приводит к уравнению ft = cn + qa, A1.1) где с = а — Ь. Мы ищем решение этого уравнения с на- чальным условием: при ?=0, п = 0. Способ решения похожей задачи был изложен в § 5. Вкратце повтори