БИБЛИОТЕКА ПО АВТОМАТИКЕ
Выпуск 558
А. И. Кривоносое, В. Я. Кауфман
СТАТИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ
ТЕРМОРЕЗИСТОРОВ
S
«Э Н Е Р Г И Я»
Мрсква 1976

6Ф0.32
К 82
УДК 62—501.21:621.316.87
редакционная коллегия:
И. В. Антик, Г. Т. Артамонов, А. И. Бертинов, М. А. Боярчен-
ков, А. А. Воронов, Л. М. Закс, В. С. Малов, В. Э. Низе,
Д. А. Поспелов, И. В. Прангишвили, О. В. Слежановский,
Ф. Е. Теллников, М. Г. Чиликин, А. С. Шаталов
К 051(01)-76 121-76 6Ф0.32
© Издательство «Энергия», 1976 г.

ВВЕДЕНИЕ
Поликристаллические терморезисторы нашли широкое примене-
ние в схемах контроля тепловых параметров среды: температуры,
давления, скорости потока, влажности и т. д. Важную роль играют
поликристаллические терморезисторы в теплотехнических датчиках,
служащих приборами первичной информации в системах автома-
тического регулирования тепловых параметров различных объектов.
К основным преимуществам поликристаллических терморезисторов,
определяющим их применение в системах автоматики, относятся:
высокая чувствительность к изменению тепловых параметров среды,
широкий диапазон номиналов сопротивлений, простота технологии
и конструктивного исполнения этих приборов.
Свойства терморезисторов определяются их статическими ха-
рактеристиками, которые представляют собой функциональные за-
висимости между определенными параметрами в установившихся
режимах. К статическим параметрам поликристаллических термо-
резисторов относятся ток, напряжение, статическое и дифференци-
альное сопротивления, выделяемая мощность и температура рабо-
чего тела терморезистора. Вопросам расчета статических характе-
ристик терморезисторов посвящены работы |[5, 12, 14, 21, 24, 25].
Однако общие методы расчета, статических характеристик тер-
морезисторов рассмотрены недостаточно полно, что и по сей день
вызывает значительные трудности при их практическом использо-
вании. Анализ применяемых методов расчета статических характе-
ристик показывает, что их можно свести к следующим двум основ-
ным методам:
1) расчет статических характеристик на основе уравнений тео-
ретической физики;
2) расчет статических характеристик на основе обработки ре-
альных характеристик и экспериментальных данных.
Первый метод сводится к математической аппроксимации физи-
ческих уравнений, характер которой зависит от диапазона приме-
нения терморезистора. По существу, аналитическая зависимость для
каждой статической характеристики является сугубо специфической,
и*эти зависимости между собой не связаны, т. е. определить другие
статические характеристики по аппроксимированной не представля-
ется возможным. Кроме того, постоянные коэффициенты получен-
ных статических характеристик не связаны с коэффициентами, вхо-
дящими в физические уравнения, и определяются по эксперимен-
тальным характеристикам, что приводит к трудностям при
практическом применении указанного метода расчета.
Второй метод наиболее широко применяется на практике и сво-
дится к разработке простых и удобных графических и графо-ана-
литических способов расчета статических характеристик терморези-
3

сторов в конкретных схемах систем автоматики. К этому методу
относится также нахождение аналитических зависимостей на основе
графической аппроксимации реальных характеристик. К недостат-
кам метода в первую очередь следует отнести невозможность ис-
следования свойств прибора по полученным статическим характе-
ристикам. Кроме того, этот метод применим с достаточной точно-
стью для частных случаев и определенных диапазонов изменения
параметров.
В обоих случаях трудно выделить критерий оптимальности
выбора метода расчета конкретной статической характеристики,
а также экспериментальных данных, необходимых для расчета.
Кроме того, теряется непосредственная связь разрабатываемых ме-
тодов расчета с физическими уравнениями прибора.
Как известно, уравнения теоретической физики полностью опре-
деляют характер* явлений, происходящих в приборе, относительно
определенного числа его параметров. Все постоянные коэффициен-
ты, входящие в эти уравнения, являются размерными величинами,
имеющими определенный физический смысл. Для большинства поли-
кристаллических терморезисторов их свойства полностью опреде-
ляются одним уравнением, полученным на основе уравнений физики
твердого тела. В это уравнение входят величины статического
(удельного) сопротивления и температуры рабочего тела. Влияние
фотопотоков, радиоактивности, магнитных полей и прочего обычно
учитывается дополнительными уравнениями и сводится к соответ-
ствующим изменениям в основном уравнении. В настоящее время
нет общего уравнения, определяющего характеристики прибора
в установившемся режиме, а, как было указано, существует целый
ряд методов расчета статических характеристик.
Проведенные авторами исследования экспериментальных дан-
ных и математический анализ физических уравнений позволили сде-
лать вывод о возможности получения такого общего метода рас-
чета, который сочетал бы в себе преимущества применения урав-
нений теоретической физики, взятых в качестве основных, с про-
стотой практического применения. В настоящей книге рассмотрены
такие методы, которые позволяют получить общее уравнение поли-
кристаллических терморезисторов одного типа в виде нелинейной
функции, выраженной в явном виде с достаточной для инженерной
практики точностью. Найденные общие нелинейные функции пред-
ставляют собой фактически упрощенные физические уравнения
с теми же постоянными коэффициентами. Эти функций обладают
всеми свойствами физических уравнений и удобны для практиче-
ских расчетов. По общему уравнению прибора нетрудно получить
все статические характеристики (вольт-амперные, температурные
и т. д.), применяя в качестве паспортных параметров только те
постоянные коэффициенты, которые входят в исходные физические
уравнения; особенности конкретных статических характеристик тер?-
морезисторов указаны.
Расчет статических характеристик поликристаллических термо-
резисторов сводится к решению полученного общего уравнения
с постоянными коэффициентами, связанными с паспортными парамет-
рами каждого конкретного прибора. Суть разработанного метода
универсальных функций заключается в получении такой безразмер-
ной функции, которая полностью определяла бы характер общего
уравнения терморезисторов одного типа, а реальные статические
характеристики определялись бы путем простого умножения этой
4

безразмерной функции на коэффициенты, находящиеся в непосред-
ственной математической связи с коэффициентами, входящими как
в общее уравнение, так и в уравнение теоретической физики. Сле-
дует отметить, что в предлагаемом методе расчета нет необходи-
мости в использовании исходных экспериментальных данных, что
устраняет инструментальную погрешность, а также субъективную
ошибку при исследованиях.
Кроме того, сложность безразмерной функции, которая опреде-
ляет характер исходного физического уравнения, не играет никакой
роли для расчета любых статических характеристик прибора, так
как эта функция может быть получена с любой точностью, а пере-
ход от нее к реальным характеристикам в любом случае связан
с линейными тривиальными операциями. Общие уравнения приборов
должны быть получены не на основе аппроксимаций исходных
физических уравнений или экспериментальных зависимостей, а на
основе выделения специфических особенностей этих приборов. Таким
образом, указанные особенности разработанного универсального
метода позволяют говорить о принципиально новом подходе к рас-
чету характеристик приборов, при котором специфика свойств за-
ложена в безразмерной универсальной зависимости. Конкретные
параметры каждого прибора определяют коэффициенты линейного
перехода от универсальных функций к реальным характеристикам.
В настоящей книге получены общие уравнения и универсальные
функции поликристаллических терморезисторов с отрицательным
температурным коэффициентом. Основная направленность заключа-
ется в создании таких методов расчета £амых различных характе-
ристик терморезисторов, где критерием оптимальности является
полное соответствие уравнениям теоретической физики при практи-
ческом удобстве применения.
Авторы выражают глубокую признательность чл.-корр.
АН ЁССР проф., доктору техн. наук А. Г. Шашкову и канд. техн.
наук С. Б. Минкину за ряд ценных- замечаний, способствовавших
улучшению содержания книги.

Глава первая
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕРМОРЕЗИСТОРОВ
ПРЯМОГО И КОСВЕННОГО ПОДОГРЕВА
1. Основное уравнение поликристаллического
термореэистора
Поликристаллические терморезисторы являются наиболее рас-
пространенными полупроводниковыми термочувствительными эле-
ментами, и в настоящее время трудно назвать область техники, где
бы они не находили применения. Однако существующие методы
расчета"* статических характеристик применимы для определенных
диапазонов изменения параметров и в конкретных случаях исполь-
зования поликристаллических терморезисторов. Расширение области
применения терморезисторов и исследование их свойств сопряжены
со значительными трудностями, связанными с отсутствием общего
уравнения, описывающего параметры этих приборов, удобного для
практического использования. Эти трудности связаны в первую
очередь с существующим подходом к расчету характеристик раз-
личных приборов, который основан на субъективной аппроксимации
их характеристик. В частности, наиболее распространенная линей-
ная аппроксимация характеристик дает лишь формальное упроще-
ние расчета и приводит при этом к потере непосредственной .связи
между параметрами приборов и условиями внешней среды. Кроме
того, линейная аппроксимация не всегда правомочна и налагает
ряд условностей, связанных с необходимостью сложных эксперимен-
тов. В настоящем параграфе приведен вывод общего уравнения по-
ликристаллического терморезистора с отрицательным температур-
ным коэффициентом сопротивления, в котором связь между стати-
ческими параметрами терморезистора и тепловыми характеристика-
ми среды установлена математически в явном виде.
В настоящее время физика явлений в поликристаллических
терморезисторах изучена достаточно полно [1, 9, 15, 16, 17, 22, 26].
Из общей электронной теории строения полупроводников [9] изве-
стно, что их удельная электрическая проводимость о в зависимо-
сти от температуры рабочего тела может быть выражена следую-
щим уравнением:
а = ATi3/2-a)e-*E/2kT, (1)
где А — физическая постоянная ~—^(3/2—а) » ^ — температура ра-
бочего тела терморезистора, К; а — показатель степени, определяю-
6

щий зависимость подвижности электронов от температуры; А£—
энергия активации, Дж; k — постоянная Больцмана, Дж/К.
Исследования [14, 24] показали, что для поликристаллических
терморезисторов зависимости параметров а и А£ от температуры
рабочего тела не оказывают существенного влияния на точность
•расчета и эти параметры можно с большой точностью считать
постоянными. Кроме того, для атомных решеток полупроводниковых
кристаллов величина показателя а близка к 3/2. Учитывая это,
уравнение (1) можно записать в следующем виде:
.-.e/-4l"a*r, (2)
где а» — электропроводность при Т—voo, когда валентная зона
полностью истощена.
Введем общепринятое обозначение температуры активации
В —
Перейдя от проводимости к статическому сопротивлению термо-
резистора, запишем уравнение (2) как
#т=Лоое*/г. (3)
Постоянные параметры Roo и В этого уравнения имеют следую-
щий физический смысл: i/?oo имеет размерность сопротивления и
представляет собой статическое сопротивление терморезистора при
Т—*оо, когда валентная зона полностью истощена; В имеет раз-
мерность температуры и представляет собой температуру актива-
ции носителей заряда.
Зависимость (3) определяет связь между статическим сопро-
тивлением терморезистора и температурой рабочего тела и соот-
ветствует температурной характеристике лишь на линейном участке
вольт-амперной характеристики, границы которого будут определе-
ны в дальнейшем.
Уравнение (3) не полностью отражает физику явлений в поли-
кристаллическом терморезисторе, так как оно не устанавливает
связи между параметрами терморезистора и условиями окружаю-
щей среды. Эта связь определяется известным уравнением баланса
мощностей
Рт = Ра = Ь(Т-П), (4)
где Рт —мощность, подведенная к терморезистору, Вт; Рл — мощ-
ность, рассеиваемая терморезистором, Вт; Т0 — температура окру-
жающей среды, К; Ь — коэффициент рассеивания, Вт/К.
Коэффициент рассеивания Ь определяется в основном конвек-
тивным теплообменом, существующим между терморезистором и
окружающей средой [7]. Его величина зависит от конструктивных
особенностей рабочего тела терморезистора, а также от тепловых
параметров среды. Влияние изменений давления, скорости потока,
влажности среды и прочего на статические характеристики термо-
резисторов соответствует изменению коэффициента рассеивания. При
неподвижной среде эта величина считается постоянной и задается
в паспортных данных. Коэффициент Ь' представляет собой мощ-
ность, рассеиваемую на терморезисторе при температуре рабочего
тела, превышающей температуру окружающей среды на 1К.
7

Следует отметить, что в общем случае уравнение (4) является
нелинейным, так как величина коэффициента рассеивания Ь зави-
сит, помимо прочих факторов, от величины температуры рабочего
тела. В реальных пределах изменения температуры рабочего тела
зависимость Ь (Т) не оказывает существенного влияния на стати-
ческие характеристики поликристаллических терморезисторов и, как
будет показано в гл. 4, правильный выбор усредненного значения
коэффициента рассеивания обеспечивает высокую точность разра-
ботанного метода расчета.
'Из уравнения (4) нетрудно найти зависимость температуры ра-
бочего тела терморезистора от его статических параметров и усло-
вий теплообмена
Т=То+Рт1Ъ. (5)
Подставляя уравнение (5) в формулу (4), получаем:
RT = Ra>e~7^F. (6)
Зависимость (6) и является основным физическим уравнением
терморезистора. Перейдя к току / и напряжению U терморезисто-
ра, получаем зависимость (6) в виде
-^-=Ra,eB'T°+u"b. (7)
Это выражение представляет собой зависимость, в которой и
функция и аргумент заданы в неявном виде, в чем заключается
основная трудность при практическом применении выражения. Раз-
личные способы аппроксимации неявной функции (7) не дают же-
лаемых результатов, так как требуют сложных аналитических пре-
образований и графических построений. Наибольшие трудности воз-
никают при построении семейств статических характеристик для
различных температур среды и условий теплообмена.
Определение общего уравнения терморезистора проведем в сле-
дующей последовательности. Рассмотрим разложение зависимости
(3) в ряд Тейлора относительно какой-либо точки температурного
диапазона Г=Г/. Такое разложение рассматривалось в [21, 25], но
авторы ограничились определением нескольких первых членов ряда,
и общий член получен не был.
Разложение функции (3) в ряд Тейлора будет иметь следую-
щий общий вид:
RT (T)=RT (Tf) + RP (7» + ... + (Tf) (T~Jf)" +
00
+ £ 4° (Tf) E=PL. (8)
Ограничиваясь конечным числом членов ряда, выражение (8)
запишем следующим образом:
8

Общий член ряда разложений нетрудно получить, воспользо-
вавшись формулой Лейбница 14].
Если имеется некоторая функция /, представляющая собой про-
изведение двух других функций и и v, то дифференциал п-то по-
рядка этой функции определяется уравнением
dnf = dfi (uv) = ^ Cmnd"4idn " mv,
где Cmn — биномиальные коэффициенты.
Введем обозначения для промежуточных функций /, и и v:
dRT _dx_ dRT
dT ; и — dr ; y - d*
Эти обозначения получены благодаря введению дополнительной
переменной
х=В/Г. (10)
Воспользовавшись уравнениями (3) и (10), нетрудно получить
я-е производные для функций v и и
dn-mv = R00eB/T;
m\ (_ urn
Тогда уравнение (9) запишется в виде следующего степенного
ряда:
= (^BYZ^Vc*£ffi\ (11)
/=1 ™=1 ^ /
Рассмотрим далее величину
0=7—70. (12)
Эта величина, как известно, представляет собой перегрев рабо-
чего тела терморезистора, т. е. превышение его температуры над
температурой окружающей среды. Исследования показали, что эта
величина изменяется в ограниченных пределах и на применяемом
в настоящее время температурном диапазоне составляет (0,1—
10%) Го.
Эхр свойство терморезисторов отмечено в [13, 25]. Отсюда сле-
дует, что если рассмотреть разложение зависимости (3) в ряд Тей-
лора относительно точки 7/ = Го, то во все высшие члены ряда будут
входить величины в\ а так как коэффициенты ряда убывающие
(необходимый признак сходимости ряда), то этими членами можно
пренебречь с достаточной для практических расчетов точностью.
Уравнение (11) при указанных допущениях примет следующий вид:

Это уравнение представляет собой зависимость (7), полученную
в явном виде. Воспользовавшись уравнением (5), получаем:
T- = ^B/r'-^7^e/r°-TL- (13)
Введем следующие обозначения:
1 В } (И)
Эти обозначения применялись в целом ряде методов расчета
[5, 21, 24], но отличие приведенных параметров RTq и што заклю-
чается в том, что в качестве аргумента в выражениях (14) фигу-
рирует температура окружающей среды, а не рабочего тела, что
в значительной степени облегчает их расчет. По этой же причине
ранее принятые определения для этих коэффициентов не совсем
справедливы и совпадают с полученными на линейном участке
вольт-амперной характеристики. Величина RTq представляет собой"
температурную характеристику идеального терморезистора, в кото-
ром перегрев протекающим током отсутствует, а параметры Roo и
В совпадают с параметрами исследуемого; коэффициент пгТо явля-
ется коэффициентом энергетической чувствительности к изменению
температуры окружающей среды.
Подставляя полученные обозначения в уравнение (13), оконча-
тельно получаем общее уравнение поликристаллического терморвви-
стора в следующем виде:
RTJ
и==\+т^т1* * (15>
1 'О 'о
Данное уравнение полностью определяет статические свойства
поликристаллических терморезисторов и является основным при
расчете их характеристик. В качестве исходных паспортных данных
для расчета необходимо иметь три постоянные величины: Roo, В
и Ь, которые обычно и задаются в качестве справочных данных
терморезисторов. Применение прочих паспортных данных, а также
использование экспериментальных точек и характеристик является,
таким образам, необоснованным в диапазонах, где указанные пас-
портные параметры определены с необходимой точностью.
Следует отметить, что применение экспериментальных данных
(иногда даже семейства характеристик) является специфической
особенностью существующего подхода к расчетам. При универсаль-
ном методе необходимость в них в принципе отпадает, что значи-
тельно упрощает расчет и повышает его роль в применении при-
боров.
2. Расчет вольт-амперной характеристики
терморезистора
Вольт-амперная характеристика является наиболее распростра-
ненной статической характеристикой, представляющей собой зави-
симость U(I) при постоянной температуре среды и неизменных
условиях теплообмена.
10

В настоящее время нет общего метода расчета, позволяющего
находить вольт-амперную характеристику терморезистора на всем
диапазоне изменения тока. Параметрическая форма записи [21]
вольт-амперной характеристики, когда ток и напряжение выража-
ются через температуру рабочего тела, дает значительную погреш-
ность при расчете участка с отрицательным дифференциальным со-
противлением и требует громоздких вычислений. Существенные
недостатки, ограничивающие их практическое применение, имеют
графоаналитические методы нахождения искомой характеристики
по заданной, полученной экспериментально.
Используя общее уравнение поликристаллического терморези-
стора (15), полученное в предыдущем параграфе, нетрудно заме-
тить, что это уравнение описывает вольт-амперную характеристику
при постоянных величинах и тТо. Величины этих параметров
зависят как от коэффициентов общего физического уравнения (3),
так и от температуры среды и условий теплообмена.
Исследуем 'зависимость (15). Граничные условия имеют следую-
щий вид:
Ilim £/(/) = в;
/->о
lim£/(/)=0.
J-»oo
Определим максимум вольт-амперной характеристики терморе-
зистора
dU } — тт0^т012
W = rt0 (\+mTRToI*)* = °- <16)
Отсюда получаем значение тока и напряжения в точке макси-
мума по напряжению
Найдем далее точки перегиба функции U (/)
dHJ 3 — тт%т012
4F = 2mT0RTj (1 +тГв/гГо/«)« = °-
Ток и напряжение в точке перегиба определяются следующими
значениями:
11

Нетрудно найти связь между значениями / и U в характер-
ных точках
/пер 3 V3 /макс ; 1
и -Ни (19)
- Соотношения (19) с большой точностью подтверждаются экс-
периментальными данными.
Уравнения (17) и (18) позволяют находить токи и напряжения
в характерных точках вольт-амперной характеристики на основе
параметров RTq и тт^ обычно заданных в паспортных данных.
При этом нет необходимости в экспериментальных зависимостях и
графоаналитических построениях и определение этих величин сво-
дится к тривиальному расчету, что имеет важное практическое зна-
чение для применения терморезисторов в схемах реле, сигнализа-
торов температуры, генераторов и т. д.
Применим для расчета вольт-амперной характеристики метод
универсальных функций, предварительно дав математическое опре-
деление этого метода.
Пусть имеется некоторая нелинейная монотонная функция Y—
=F(X), не имеющая точек разрыва на всем диапазоне изменения
аргумента, причем Y и X представляют собой физические размер-
ные_величины. Зададимся некоторым конечным значением аргумента
Х=Хфд и найдем значение функции' Y=F(X). Выражение для
функциональной зависимости можно записать в следующем виде:
г'-'(т*)
(20)
Такая запись возможна в связи с тем, что была оговорена ко-
нечность значений F и I и непрерывность функции Y(X). Введем
обозначения
х = Х/Х. )
Подставляя обозначение (21) в (20), получаем:
tf = -=-F (*£)=/(*). (22)
Если безразмерная функция y=f(x) найдена для всех значений
аргумента х, то нелинейная зависимость Y=F(X) определяется сле-
дующей линейной системой уравнений:
Х = Хх. )
Безразмерная функция y=f(x) полностью описывает характер
физического уравнения Y=F(X) независимо от выбора величин У
и X, вследствие чего она и получила название универсальной.
Таким образом, если задана размерная функция Y=F\(X)
с алгебраическими коэффициентами, то, выразив значения У и X
в некоторой точке через эти коэффициенты, можно получить без-
размерную универсальную функцию y=f(x) с числовыми коэффи-
12

циентами и mo «ей находить исходную зависимость Y=F(X) для
любых значений ее коэффициентов. В этом случае расчет сводится
к простому умножению безразмерных значений функции и аргумента
на соответствующие коэффициенты независимо от сложности исход-
ного физического уравнения.
При нахождении универсальной вольт-амперной характеристи-
ки в качестве постоянных U и 7 наиболее удобно выбрать значе-
ния тока и напряжения в точке максимума, определяемые по урав-
нениям (17).
Этот выбор определяется также тем, что точка максимума
является наиболее важной рабочей точкой терморезистора. Уни-
версальная вольт-амперная характеристика терморезистора соглас-
но уравнению (15) имеет следующий вид:
у=тт*- (24)
Для перехода к реальной вольт-амперной характеристике не-
обходимо воспользоваться следующими зависимостями:
2 у гпТо
1 ~ \f mT0Rf0 *'
(25)
задана в виде табл. 1 (см. приложение) и
Расчет сводится к умножению полученной
Зависимость у(х)
показана на рис.
с точностью до шестого знака функции
у(х) на коэффициенты, определяемые вы-
ражением (17) и представляющие собой
значения тока и напряжения в точке
максимума.
Полученные зависимости определяют
вольт-амперную характеристику терморе-
зистора как на линейном, так и на нели-
нейном участках работы.
Достоверность универсальной зависи-
мости (24) определяется точностью ис-
ходных физических уравнений, а также
тех допущений, которые были приняты
при переходе от этих уравнений к обще-
му уравнению (15). Естественно, что как
исходные уравнения, так и указанные
допущения могут изменяться по мере
расширения знаний о свойствах поликри-
сталлических терморезисторов. В этом
смысле уравнения (16) и (24) отражают
современный уровень знаний об этих
свойствах. Кроме этого, принципиальным
отличием универсального подхода к рас-
четам от существующего является его
гибкость, так как уточнения в исходных
уравнениях не изменяют саму логику расчета, а сказываются лишь
на общем уравнении. Изменение общего уравнения не влияет на по-
Рис. 1. Универсальная
функция вольт-амперной
характеристики терморе-
зистора.
следовательность универсального метода расчета. Отсюда
следует,
13

что в случае универсального метода расчета обеспечивается непо-
средственная связь между теоретическими исследованиями свойств
приборов и их практическим применением.
3. Определение границы линейного участка
вольт-амперной характеристики терморезистора
Полученные зависимости позволяют уточнить такое важное
свойство вольт-амперных характеристик, как наличие линейного
участка. Как известно [5, 21, 24], терморезисторы наиболее широ-
ко применяются в схемах контроля температуры на линейных уча-
стках вольт-амперных характеристик. Под термином «линейный уча-
сток» понимается такой участок вольт-амперной характеристики, на
котором выполняется закон Ома. Этот участок характеризуется
малыми токами, при которых перегрев терморезистора протекающим
током практически не влияет на характер вольт-амперной характе-
ристики, однако величина «малости» этого тока не была строго
обоснована.
Определение границы линейного участка имеет и важное прин-
ципиальное значение, так как нелинейность вольт-амперной харак-
теристики полностью определяется перегревом терморезистора.
Наличие линейного участка следует из физического уравне-
ния (3), так как при температуре Т^Т0 терморезистор представля-
ет собой линейный резистор Rt~J?Tq, сопротивление которого зави-
сит только от температуры среды. Определим границы участка
вольт-амперной характеристики, на котором выполняются указан-
ные условия. С помощью уравнения <(11) разложение зависимости
(3) в ряд Тейлора относительно температуры среды Г0 имеет сле-
дующий вид:
*г ,7, = *у f. + aj ^ Я о,
i=\ тп=\
° 7
Очевидно, что условием линейности вольт-амперной характери-
стики является следующее уравнение:
г=1 m—\ ®
< А, (26)
где А — принятая точность расчета.
Как было указано в § 1, для всей вольт-амперной характери-
стики можно ограничиться только первым членом ряда разложения,
что с наибольшей точностью справедливо именно на линейном уча-
стке. Тогда уравнение (26) при i=\ будет иметь вид:
^-(Г-7-„)<Д.
Используя уравнение баланса мощностей (3), получаем:
• = А.
ВРТ
14

Отсюда следует, что граница линейного участка представляет
собой линию равной мощности
/5гл = д^«>- (27)
Значение тока /л, являющееся максимальным для линейного
участка, находим с помощью следующих очевидных зависимостей:
ЯГЛ=/2Л/?ГЛ; 1 (28)
Ягл = Яп)<1-А). J
Учитывая обозначения (14) и (17)» получаем:
7- = у г=т ^п^=У г=т/ма- <29>
Это уравнение и определяет границу линейного участка вольт-
амперной характеристики. Расчет сводится при определенной тем-
пературе среды и коэффициенте рассеивания к умножению тока
в точке максимума на значение
*гл = / СТ-
При принятых в инженерной практике погрешностях расчета
Д=1-И0% /С/л =0,14-0,35.
Используя уравнения (28), нетрудно найти границу линейного
участка по напряжению
Ua = RTq (1 - А) /л = 2 J/Д (1-А) Uumkc. (30)
Расчет сводится к умножению максимального напряжения тер-
мррезистора на значение
Кил = 2]Гц\-А) .
При погрешностях расчета А = 1 -т-10% Кил = 0,2-^0,6.
Уравнения (29) и (30) позволяют определить, не прибегая
к экспериментальным характеристикам, те значения тока и напря-
жения, в пределах которых можно говорить о линейности вольт-
амперной характеристики терморезистора с необходимой точностью.
4. Статические характеристики поликристаллических
терморезисторов
Терморезистор представляет собой нелинейный элемент, в связи
с чем. его статические характеристики (статическое и дифференци-
альное сопротивления, выделяемая мощность и температура рабо-
чего тела) зависят при прочих равных условиях от тока, проходя-
щего через прибор. Эти характеристики не были- получены в ранее
предлагаемых методах расчета в связи с тем, что не было получе-
но выражение для вольт-амперной характеристики терморезистора
в общем виде, производными от которой они являются. Отсутствие
методов расчета статических характеристик терморезисторов в зна-
чительной степени затрудняет обоснованный выбор режима рабо-
ты их в различных схемах. Полученное в первом параграфе урав-
15

нение поликристаллического терморезистора (15) (Позволяет найти
аналитические зависимости для всех указанных статических харак-
теристик.
В этом случае нахождение указанных статических характери-
стик уже не связано с необходимостью предварительного опреде-
ления вольт-амперной характеристики, и исследование каждой из
них может проводиться независимо друг от друга на основе одних
и тех же постоянных параметров, что имеет существенное значение
для практического применения.
Зависимость статического сопротивления определяется следую-
щим уравнением:
Rt
Rt — '
(31)
_ 1 + ттRTI* ■
1 - 1 О 1 О
Это монотонно убывающая функция с граничными условиями
Ilim RT (/) = RT ;
lim RT (/) =0.
7->oo
Выражение (31) позволяет аналитически рассчитать величину
статического сопротивления в любой точке вольт-амперной харак-
теристики. Для получения универсальной, характеристики статиче-
ского сопротивления воспользуемся значением параметров Rt и /
в точке максимума:
RT = 2 %т0
(32)
Тогда универсальная функция будет иметь вид:
2
У= 1 +*2 •
Переход к реальной, характеристике производится с помощью
следующих зависимостей:
RT = — RToy»
(33)
Большой практический интерес представляют значения статиче-
ского сопротивления в точках максимума и перегиба
' пер
2 Лгв;
:— RT0'
(34)
16

Отсюда следует, что Статическое -сопротивление в точках ма-
ксимума и перегиба не зависит от условий внешней среды, а опре-
деляется физическими свойствами терморезистора. Эта особенность
подтверждена исследованиями авторов, а также указана в [19],
при этом из уравнения (34) следует, что величина статического
сопротивления в точке максимума составляет половину величины
Rt0 или начального сопротивления терморезистора.
Дифференциальное сопротивление терморезистора на основании
уравнения (16) запишется в следующем виде:
RTq(\ —mTRToI2)
(iVmroV2)2 * (35)
Эта функция обращается в нуль в точке максимума и имеет
максимум в точке перегиба, т. е.
Яд. макс = О*, Яд. пер = — Rtq*
Граничные условия для функции Яд(/) определяются из сле-
дующих уравнений:
lim Яд/ = RT ;
/->о 0
lim Яд (/) = 0 (слева).
/-►00
Очевидно, что дифференциальное сопротивление на всем участ-
ке вольт-амперной характеристики после точки максимума является
отрицательным, что подтверждается и экспериментальными данными.
Для получения универсальной функции дифференциального со-
противления уже нельзя выбирать в качестве постоянных коэффи-
циентов значения Яд и / в точке максимума, так как в этой точке
величина Яд обращается в нуль. Поэтому в качестве постоянных
коэффициентов наиболее удобно выбрать значения параметров
в точке перегиба, тем более, что между этими точками существует
несложная связь
/ = ]
Универсальная функция в этом случае будет иметь следующий
вид:
3*2 — 1
^ = 8(3**+1)* • <36>
Реальная характеристика определяется следующей системой:
(37)
Яд = — 8 Rfju;
— / 3
"~ у тт0Кт0 *'
25—574 17

Универсальные характеристики статического и дифференциаль-
ного сопротивлений приведены с точностью до шестого знака (см.
приложение, табл. 1) и проиллюстрированы на рис. 2 и 3.
Выделяемая мощность терморезистора определяется зависи-
мостью, полученной на основании уравнения (15):
rtJ2
Рт=Л+тт\о1* '
Граничные условия для этой функции имеют вид:
lim/>r(/) = 0;
/->о
lim/>r(')=,
J-»00 '
(38)
(39)
12 3 4 5 6 7 8 9
Рис. 2. Универсальная функция
статического сопротивления.
Рис. 3. Универсальная
функция дифференциально-
го сопротивления.
. Из последнего предела следует, что выделяемая на терморези-
сторе мощность при больших токах является постоянной величиной,
зависящей от коэффициента рассеивания и температурной чувст-
вительности, что подтверждает условие ограниченности перегрева,
принятое при выводе общего уравнения прибора.
Исследуем функцию (38) на экстремум
dPT 2RTI
dl - {l+mToRTol>)*
Значения выделяемой мощности в характерных точках вольт-
амперной характеристики определяются следующими зависимо-
стями:
Р т — ~1г ~,
' пер
~ 2шт '
1 о
4 тТо
(39а)
18

В качестве постоянных коэффициентов выберем следующие зна-
чения:
Универсальная функция в этом случае следующая:
у = I + *2 '
(40)
Эта функция приведена в табл. il (см. приложение) и показана
на рис. 4. Реальная зависимость Рт(1) получаедхя простым умно-
жением универсальной функции
согласно следующей
уравнений:
1
системе
2/72 т
У\
(41)
Важным параметром тер-
морезистора, кроме рассмотрен-
ных выше, является температу-
ра рабочего тела, которая опре-
деляется согласно уравнению
(5). Учитывая зависимость (38),
получаем:
_ 1 *tJ2
Т-,То+ ь 1 _|_ trijRjJ2 •
(42)
В этом случае нег необхо-
димости в нахождении отдель-
ной универсальной функции,
проще воспользоваться уравнением (40). Реальная зависимость Т(1)
определяется следующими уравнениями;
(43)
Рис. 4. Универсальная функция
выделяемой мощности.
В этом уравнении зависимость у(х) определяется по формуле
(40). Следует отметить, что отношение То/2В для поликристалли-
ческих терморезисторов лежит в диапазоне 0,05—0,10 на участке
с отрицательным дифференциальным сопротивлением, т. е. перегрев
составляет 5—10% от температуры среды; тем самым выполняется
второе условие, принятое при выводе общего уравнения (15).
2* 19

Зависимость перегрева рабочего тела терморезистора от проте-
кающего тока находится с помощью универсальной зависимости
(40) и определяется следующей линейной системой:
1ВГ'
0
1
пгт RT
(44)
Полученные в данном параграфе аналитические выражения по-
зволяют с достаточной простотой и наглядностью определить ста-
тические характеристики терморезисторов на всем диапазоне изме-
нения рабочего режима.
Совокупность универсальных статических характеристик термо-
резисторов создает мощный математический аппарат, который по-
зволяет всесторонне применять свойства приборов в самых раз-
личных режимах работы.
5. Расчет статических характеристик терморезисторов
косвенного подогрева
В настоящее время широко применяются терморезисторы, ста-
тические характеристики которых управляются с помощью цепи
подогрева, когда температура рабочего тела терморезистора опре-
деляется не только температурой окружающей среды и величиной
протекающего тока, но и подогревом внешним источником питания
[8, 13]. Терморезистор косвенного подогрева конструктивно состоит
из рабочего тела терморезистора, внутри или снаружи которого
расположена нагревательная обмотка; температурный коэффициент
ее значительно меньше величины температурной чувствительности
собственно терморезистора. Такое конструктивное исполнение позво-
ляет значительно изменять статические характеристики терморези-
сторов с помощью тока подогревной обмотки.
Методы расчета статических характеристик терморезисторов
косвенного, как и прямого подогрева, основаны на пересчете экспе-
риментальных характеристик, полученных при определенных темпе-
ратурах среды и токах подогрева. Предложенные в данной работе
методы позволяют избежать громоздких расчетов, для которых не-
обходимо использование экспериментальных данных.
В установившемся режиме работы мощность, рассеиваемая на
терморезисторе, равна общей мощности, подводимой к рабочему
телу. Она состоит из мощности Рт, выделяемой при протекании
прямого тока, и мощности Рп, выделяемой в подогревной цепи.
Очевидно, что на нагрев рабочего тела затрачивается часть мощно-
сти Рп- Уравнение баланса мощностей в этом случае будет иметь
вид:
Рт+т)Яп = 6(Г-Г0), (45)
где т| — к. п. д., определяемый отношением мощности, идущей на
повышение температуры рабочего тела, к мощности, выделяемой
в обмотке управления.
Величина г) зависит от конструкции терморезистора косвенного
подогрева и при расчетах с достаточной для практики точностью
может быть принята постоянной.
20

Из описания принципа работы терморезисторов косвенного по-
догрева можно сделать вывод, что температура среды, окружаю-
щей рабочее тело прибора, складывается из температуры среды,
а также температуры, вызванной нагревом обмоткой подогрева Гп,
которая определяется по формуле
Г„=У)^-. (46)
Температура, соответствующая в данном случае температуре
окружающей рабочее тело среды, находится с помощью выраже-
ния
Гс=То + Гп. (47)
Тогда все рассуждения, которые применялись при выводе основ-
ного уравнения терморезисторов прямого подогрева, остаются в силе
для данного случая, необходимо только заменить во всех ранее
приведенных выражениях температуру Т0 на температуру Тс. Общее
уравнение терморезисторов косвенного подогрева запишется следую-
щим образом:
U = .
RTI
1 +mTRTJ2
(48)
Коэффициенты RT^ и mT определяются зависимостями
:/>//г.+гп.
В
1тс-(То+Тп)* Ь ■
(49)
Расчет статических характеристик терморезисторов косвенного
подогрева при постоянном токе в подогревной обмотке, а также
неизменных условиях среды аналогичен приведенному в § 2, 4, при
этом вместо температуры Т0 необходимо использовать величину Гс.
Рассмотрим способ нахождения статических характеристик тер-
морезисторов косвенного подогрева по его статическим характери-
стикам при отсутствии тока в подогревной обмотке. Разработка
такого способа представляет собой интерес в связи с тем, что регу-
лировочные характеристики, т. е. зависимости статических парамет-
ров терморезисторов от тока или выделяемой мощности, обмотки
подогрева проще находить преобразованием статических парамет-
ров при отсутствии тока в обмотке подогрева.
Общее физическое уравнение терморезисторов косвенного подо-
грева получим подстановкой температуры среды, соответствующей
зависимости (47), в исходное уравнение (3)
/?г = ^в/го+гп+Рг/б. (50)
При выводе основного уравнения (48) использовалось разло-
жение в ряд Тейлора функции (50) относительно температуры Гс,
что в общем случае безусловно справедливо.
21

Если же температура 7\Г ограничена по сравнению с темпера-
турой окружающей среды, то, как и в случае терморезистора пря-
мого подогрева, можно получить основное уравнение терморезието-
ров косвенного подогрева с помощью разложения в ряд относи-
тельно Г0
п (Т + Тп-Т0у
i\ Х
(—\)mm\ \
T0m+1
i
При указанных допущениях, всеми высшими членами ряда мож-
но пренебречь и по аналогии с уравнением (13) можно записать:
ад=Яоо*в/Г°- т^г *Утчт+г- у.).
Учитывая обозначения (14), а также уравнение (46),
тельно получаем:
оконча-
U
где
= U(I) |Рп=0/Сп,
/Сп = 1 — ттч\Рп.
(51)
Аналогично запишутся уравнения для остальных статических
характеристик терморезистора
Яд = Яд(/) l/j-0/Сп;
Рт = Рт(1)\Р^Кп\
T^To + Tn + ^PjV) \Рп=0Кп.
(52)
Полученные уравнения определяют собой линейные зависимо-
сти регулировочных характеристик терморезисторов косвенного по-
догрева и позволяют находить статические характеристики при
мощностях подогрева, отвечающих принятым допущениям по ста-"
тическим характеристикам при отсутствии тока в подогревной об-
мотке. Расчет в этом случае сводится к простому умножению функ-
ций U, Rt, Яд, Яг и Г на коэффициент Кп. Можно сделать вывод,
что в указанных условиях характерные точки лежат на линиях
равных токов, что подтверждается экспериментальными исследова-
ниями [9, 25].
Определим границу значений мощности подогрева Ра или тем-
пературы Гп, до которой справедливы уравнения (51) и (52). Она
22

определяется условиями, которые следуют из уравнений (51) и
(52):
ГП=ДТ0;
Как показали исследования, наиболее удобно регулировочную
характеристику аппроксимировать линейной зависимостью (51)
вплоть до значений
Яп=1/тГо7].
Таким образом, уравнения (51) и (52) представляют большой
интерес, так как практически ток подогревной обмотки выбирают
обычно на линейном участке регулировочной характеристики. Это
объясняется не только нелинейностью характеристики за пределом
этого участка, но и резким уменьшением эффективности влияния
тока подогрева. Кроме того, полученные уравнения позволяют ана-
литически оценить влияние обмотки подогрева по вольт-амперной
характеристике терморезистора в отсутствие тока в обмотке. Дру-
гими словами, они дают возможность при конструировании прибора
заранее определить его свойства, не прибегая к экспериментальным
данным и сложным построениям.
Уточненный расчет регулировочных характеристик косвенного
подогрева не представляет особых сложностей и сводится к опре-
делению влияния температуры подогрева на параметры RT^ и тт^
согласно уравнениям (49).
Приведенные уравнения для расчета статических характеристик
поликристаллических терморезисторов наглядно демонстрирует общ-
ность универсального метода расчета. По сути дела, терморезисто-
ры косвенного подогрева отличаются от терморезисторов прямого
подогрева конструктивными особенностями исполнения. Это и нашло
свое отражение в том, что влияние обмотки подогрева может быть
учтено в коэффициентах общих уравнений, а сами уравнения оста-
ются исходными для терморезисторов как прямого, так и косвен-
ного подогрева. Из сказанного следует, что полученные универ-
сальные зависимости применимы для всех поликристаллических тер-
морезисторов независимо от их конструктивного исполнения и об-
ластей использования.
Глава вторая
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА СТАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕРМОРЕЗИСТОРОВ
6. Семейство вольт-амперных характеристик
терморезисторов для различных температур
Нахождение семейства вольт-амперных характеристик поликри-
сталлических терморезисторов для различных температур по пред-
лагаемым в [5, 21, 24, 25] методам связано, как правило, с графи-
ческими построениями и необходимостью в одной или даже в двух
экспериментально найденных исходных характеристиках. Точность
23

нахождения семейства и простота расчета по этим методам не*
велики.
Следует также отметить, что в аналитических выражениях,
являющихся исходными для этих методов расчета, влияние темпе-
ратуры среды и температуры рабочего тела не разделено, что дает
существенную методическую погрешность расчета.
В настоящей главе рассмотрено влияние температуры среды на
статические характеристики терморезисторов. Говорить о влиянии
температуры рабочего тела принципиально не правомочно. Эта ве-
личина представляет собой одну из статических характеристик,
определяемую как режимом работы прибора, так и условиями
внешней среды.
Семейство вольт-амперных характеристик терморезистора при
изменении температуры среды определяется выражением (15), так
как его коэффициенты являются функциями температуры среды.
Подставляя температурные зависимости коэффициентов тТо и RTq
согласно уравнению (14) в исходное уравнение (15), получаем за-
висимость, определяющую искомое семейство:
#ос//Го'
U= р-g . (53)
В § 2 предложен расчет вольт-амперной характеристики -при
какой-либо фиксированной температуре среды. Очевидно, что расчет
семейства вольт-амперных характеристик можно свести к определе-
нию параметров тГо и ЯГо, т. е., находя для каждой температуры
соответствующее значение этих параметров умножением универ-
сальной функции на эти значения, находим каждую вольт-ампер-
ную характеристику семейства. В этом случае нет необходимости
в выборе одной или двух характеристик в качестве исходных и для
каждой температуры среды вольт-амперная характеристика нахо-
дится, исходя из паспортных данных терморезисторов.
Рассмотрим температурные зависимости коэффициентов тока и
напряжения 7 и U. Коэффициент тока определяется следующей тем-
пературной зависимостью:
Так как значение коэффициента I равно значению тока в точке
максимума, то его температурная зависимость представляет собой
большой практический интерес. Граничные условия для этой зави-
симости
(lim Г(То) = 0;
I lim7(7\>)=oo.
\т0-*оо
Определяем экстремум этой функции из условия
24

Это монотонно возрастающая функция, не -имеющая экстрему-
мов. Для ее расчета применим метод универсальных функций, вы-
брав в качестве постоянных коэффициентов следующие значения
переменных:
Универсальная функция при этих значениях будет иметь вид:
(55)
Рис. 5. Универсальная Рис. 6. Универсальная
функция температурного функция температурного
коэффициента напря- коэффициента тока,
жения.
Эта универсальная функция показана на рис. 5 и построена по
данным табл. 2 (см. приложение). Коэффициент тока / находится
согласно уравнениям
25

Коэффициент напряжения находится по уравнению
Эта температурная характеристика определяет изменение на-
пряжения в точке максимума в зависимости от изменения темпера-
туры среды. Граничные условия в этом случае
' ПтЩГо) =оо;
т0-+о
Пт7/(Г0) = оо.
. Т0-+ос
Очевидно, что эта функция имеет минимум согласно уравнению
<Ю 1 /V вдЛМ-о
ж^—у ~в~е V 2Т°) - '
из которого получаем:
Г0=В/2.
Это значение, как правило, лежит вне практического диапазона
температур среды, и коэффициент напряжения представляет собой
на этом диапазоне монотонно убывающую функцию температуры.
Применяя метод универсальных функций, можно записать:
То = Вх.
Универсальная функция определяется при этом следующей за-
висимостью:
(57)
Вид этой функции показан на рис. 6 и построен на основании
данных табл. 2 (см. приложение). >
Как следует из температурных зависимостей коэффициентов
тока и напряжения, максимум вольт-амперной характеристики суще-
ствует при всех температурах окружающей среды, но он возрастает
по оси токов и уменьшается по оси напряжений, что подтверждает-
ся экспериментальными данными.
Окончательно последовательность расчета семейства вольт-ам-
перных характеристик терморезисторов для различных температур
среды можно сформулировать следующим образом:
1) по исходным данным /?«>, В и Ъ определяются для каждой
температуры среды коэффициенты тока и напряжения с использо-
ванием универсальных зависимостей (55) и (57);
2) по универсальной вольт-амперной характеристике (24) и
найденным коэффициентам U(T0) и /(Го) рассчитывают каждую
характеристику семейства,
26

Рис. 8. Расчет семейства вольт-амперных характеристик
терморезистора для различных температур среды.

Указанная последовательность расчета графически проиллюст-
рирована на рис. 8; на рис. 7 показано построение одной вольт-
амперной характеристики семейства.
Из сказанного можно сделать вывод, что построение как одной
вольт-амперной характеристики, так и всего семейства для различ-
ных температур среды сводится к деформации безразмерной уни-
версальной характеристики по осям тока и напряжения. Следует
отметить, что характер вольт-амперной характеристики сохраняется
для всех температур среды, изменения претерпевают коэффициенты
масштаба U и / по осям координат.
Расчет температурных характеристик коэффициентов деформа-
ции по универсальному методу в свою очередь тривиален ,и помимо
этого показывает возможность многократного применения универ-
сальных функций, т. е. сведения расчета "к простейшим математиче-
ским операциям при достаточно сложных соотношениях между
параметрами.
7. Семейства статических характеристик
терморезисторов для различных температур
Большой практический интерес представляет собой нахождение
семейств статических характеристик Ят, Яд, Рт и Т для различных
температур среды. Эти семейства, как и семейство вольт-амперных
характеристик, строятся деформацией соответствующих универсаль-
ных зависимостей по осям координат.
Обычно эти семейства находятся по экспериментальному семей-
ству вольт-амперных характеристик [21, 24]. Рассмотрим нахожде-
ние семейств статических характеристик без использования экспери-
ментальных данных.
Следует отметить, что нахождение семейства зависимостей тем-
ператур рабочего тела для различных температур среды в принципе
невозможно по существующим методам в связи с отсутствием их
разделения.
Семейство статических характеристик сопротивления терморези-
стора определяется следующим уравнением:
Я ев/т°
«т = 1 д • (58)
Коэффициент тока и в этом случае определяется температур-
ной зависимостью (54), которая была исследована в § 6. Темпера-
турная зависимость коэффициента R(T0) находится:
*т = -?Г**?в,Т'- (59)
Эту функцию удобно находить с помощью следующей универ-
сальной зависимости:

Температурная зависимость Rt(To) определяется при этом сле-
дующей системой уравнений:
RT =~Y Rooey>
Го = Вх.
Универсальная функция (60) приведена на рис. 9 (построена
по данным табл. 2). Температурная зависимость iRT(To) представ-
ляет собой монотонно убывающую экспоненциальную зависимость
г граничными условиями
Нтг#т(Г0) =оо;
j lim/?r(^o)=4-^oo-
{ Г0->оо
Дифференциальное сопротивление определяются так:
о
1
Ь Т*
В Ro^BIT°I^2
(61)
В качестве постоянных коэффициентов для расчета универсаль-
ной функции дифференциального сопротивления терморезистора
были выбраны значения #д и / согласно системе уравнений (37).
Их температурные характеристики
определяются уравнениями ^
/ ~36~
BR^
-Т0е-в!2Т°;
ъ __- _L п в/т0
*Д — 8 *°ое
(62)
Температурные зависимости
/(Го), /?д(Г0) аналогичны функци-
ям (54) и (59), разница заключа-
ется лишь в численных значениях
коэффициентов, поэтому универ-
сальные функции для них описы-
ваются выражениями (55) и (60).
Величина /(Г0) определяется из
уравнений
10'
10'
10
/зьв
. Го = Вх. _
Для^коэффициента #д(Г0) имеем:
У \
Го = Вх.
0 0,1 0,2 0,3 ОМ 0,5 0,6
Рис. 9. Универсальная функция
температурного коэффициента
статического и дифференциаль-
ного сопротивлений.
29

30

итак, для расчета температурных зависимостей 7(Г0) и ЯД(Г0)
необходимо воспользоваться таблицей универсальных функций (см.
приложение, табл. 2).
Семейство статических характеристик выделяемой мощности на-
ходится по уравнению
Рт= П ' <63>
Значение коэффициента тока соответствует уравнению (54),
а коэффициент мощности определяется следующей температурной за-
висимостью:
- 1 Ь
Рт==— — Т20. (64)
Универсальная зависимость приведенного выражения имеет вид:
Данная функция приведена в справочной литературе [4]. В этом
случае функция Рт(Г0) находится следующим образом:
Рт = ±-ЬВу\
То = Вх.
Температура рабочего тела терморезистора определяется зави-
симостью
1 R^l^h
T=zTo + ~v —г-в—— • <65>
1 +~Т~т^ Rcoe I*
Для расчета зависимости (65) необходимо воспользоваться уни-
версальной функцией (40). Очевидно, что семейство характеристик
температуры рабочего тела имеет^ такой же характер, как и се-
мейство Рт(1) при r0=var, но оно будет смещено по оси темпера-
тур на величину Го. Кроме того, универсальную функцию для ко-
эффициента Рт необходимо умножить на величину, обратную ко-
эффициенту рассеивания.
Последовательность расчета семейства статических характери-
стик терморезистора для различных температур среды можно сфор-
мулировать следующим образом:
1) по паспортным данным В, Boo к Ь _определить для каждой
температуры среды коэффициенты 7, Ят, Яд и Рт по уравнениям
(54), (59), (62) и (64);
2) по универсальным статическим характеристикам (24), (32),
(36) и (40) и найденным коэффициентам рассчитать каждую ха-
рактеристику семейства.
32

Построение семейств статических характеристик графически про-
иллюстрировано на рис. 11, а расчет одной кривой характеристик
Rt, Ra> Рт и Т показан на рис. 10.
Расчет семейств статических характеристик терморезистора кос-
венного подогрева для различных мощностей Рп ничем не отли-
чается от расчета семейств для различных температур среды, но
в этом случае изменяется величина Ти, а величина Т0 является по-
стоянной; последовательность расчета соответствует указанному
в данном параграфе, но в качестве исходных данных необходимо
иметь постоянные значения Roo, В, Ъ и г].
Таким образом, в указанном методе расчета нет необходимости
в использовании экспериментальных данных, для нахождения всех
характеристик необходимо воспользоваться универсальными зависи-
мостями, умноженными на постоянные коэффициенты, в которые
входят величины Roo, В, Ь и tj.
На рис. 12 приведена графическая иллюстрация метода расчета
семейства вольт-амперных характеристик терморезистора косвенно-
Рис. 12. Расчет семейства вольт-амперных характеристик терморези-
стора косвенного подогрева для различных температур подогрева.
го подогрева для различных температур подогрева Гп, а на
рис. 13 — семейства остальных статических характеристик. Для пе-
рехода к влиянию на статические характеристики величины Рп или
/п необходимо воспользоваться зависимостью (49).
Приведенные зависимости полностью определяют влияние тем-
пературы среды на статические характеристики терморезисторов
прямого и косвенного подогрева, что является весьма существен-
ным, учитывая основную область применения этих приборов в ка-
честве термочувствительных элементов.
3— 574 33

г)
Рис. 13. Расчет семейств статических характеристик термор&Ыстора
косвенного подогрева для различных температур подогрева Гп,
a-Rt{i)\ б-#д(/); в-рт(1); г-т{1),
34

8. Определение эквидистантных кривых семейств
статических характеристик для различных температур
При практическом применении терморезисторов часто необхо-
димо знать линии, которые объединяют одноименные по характеру
точки статических характеристик. Введем для. этих зависимостей
применяемый в математике термин «эквидистантные кривые». Так
как семейства статических характеристик, в том числе вольт-ампер-
ных, находятся деформацией соответствующих универсальных за-
висимостей по осям координат, то эквидистантные кривые соответ-
ствуют одному определенному значению аргумента и функции уо =
Для семейства вольт-амперных характеристик эквидистантные
кривые определяются следующим уравнением в параметрическом
виде:
Универсальная функция, по которой находится значение уож
=/(*о), определяется уравнением (24). Непосредственный расчет
эквидистантных кривых по уравнению (66) не сложен, если вос-
пользоваться следующей последовательностью расчета:
1) по конкретным значениям напряжения и тока при опреде-
ленной температуре среды Uo(h) находим значения безразмерных
переменных уо(хо) согласно уравнениям (17);
2) с помощью универсальных зависимостей определяем темпе-
ратурные зависимости U(T0) и /(Го);
3) по уравнению (66) находим координаты эквидистантных
исходных точек,' учитывая найденные зависимости коэффициентов.
Эквидистантные кривые для семейства статических характери-
стик RT (/) определяются следующим уравнением:
Последовательность расчета аналогична в этом случае указан-
ной выше для вольт-амперных характеристик, а универсальная
функция, по которой определяются эквидистантные кривые, соот-
ветствует уравнению (32). Температурные зависимости коэффици-
ентов Rt(T0) и /(Го) определяются из уравнений (54) и (59).
Для семейства характеристик дифференциального сопротивления
эквидистантные кривые находятся по уравнению
= /(*о).
(66)
Яд
3*
35

Рис. 14. Эквидистантные кривые для семейств зависимостей.
a-rt(i); б-яд(1); в-Рт(/); г-Г(/).
36

Рис. 16. Расчет границы линейного участка вольт-
амперной характеристики терморезистора.

Последовательность расчета остается прежней, при этом основ-
ным уравнением служит универсальная функция (36).
Эквидистантные кривые для семейства Рт(1) определяются еле-,
дующим уравнением, записанным в параметрической форме:
Универсальная функция при этом соответствует уравнению (40).
Эта же универсальная функция необходима для расчета эквиди-
стантных кривых семейства Т(1), которые определены уравнением
Последовательность расчета графически проиллюстрирована для
всех эквидистантных кривых семейств статических характеристик на
рис. 14, а для семейства вольт-амперных — на рис. 15.
В качестве примера практического применения эквидистантных
кривых рассмотрим нахождение границы линейных участков вольт-
амперных характеристик для различных температур среды. Эта гра-
ница в координатах U> I представляет собой эквидистантную кри-
вую, расчет которой при найденных температурных зависимостях
Rt0 и ^макс не представляет трудностей. Графически построение
этих кривых показано на рис. L6, причем характер указанных тем-
пературных зависимостей определяется универсальными функциями
(55) и (57).
Полученные зависимости, которые определены как эквидистант-
ные кривые, свидетельствуют о том, что характерные точки вольт-
амперных характеристик семейств для различных температур среды
не лежат на линиях равной мощности. Это замечание имеет суще-
ственное значение, так как в ряде методов [21, 24, 25] линии рав-
ной мощности используются для построения исследуемых семейств.
Возникающая при этом методическая погрешность связана с тем
обстоятельством, что в действительности линия равной мощности
представляет собой не гиперболу, как это принято считать, а кри-
вую, определяемую уравнением (66а). Кроме того, применение этой
линии как исходной для расчета уже не является необходимым, как
и любых других промежуточных построений.
9. Температурные характеристики поликристаллических
терморезисторов
Прежде чем приступить к исследованию температурных харак-
теристик поликристаллических терморезисторов, необходимо рас-
крыть смысл этого понятия, учитывая, что он существенно изме-
няется в связи со строгим разделением температуры среды и тем-
(66а)
38

пературы рабочего тела, которое заложено в основу всех уравне-
ний, полученных в предыдущих параграфах.
Оговорим, что под термином «температурная характеристика»
в настоящей книге понимается зависимость одного из статических
параметров поликристаллического терморезистора от температуры
окружающей среды в определенном электрическом режиме. По при-
нятой ранее терминологии [21, 24] под температурной характеристи-
кой терморезистора понимается экспоненциальная зависимость
Rt(T), описываемая уравнением (3). Этот термин, по сравнению
с принятым в настоящей книге, вызывает определенные трудности
при практическом применении, вызванные следующими основными
причинами. Во-первых, использование уравнения (3) для расчета
зависимости статического сопротивления от температуры среды не-
правомерно на нелинейном участке вольт-амперной характеристики.
Это "вызвано перегревом рабочего тела, в связи с чем зависимость
температуры рабочего тела от температуры среды представляет
собой сложную зависимость, не разрешимую в аналитическом виде.
Во-вторых, использование температурных свойств терморезистора не
ограничивается нахождением зависимости его сопротивления от
температуры среды и чаще всего требуется нахождение этих зави-
симостей для других статических параметров в различных режимах
работы. На наш взгляд, принятый в настоящее время термин «тем-
пературная характеристика», соответствующий уравнению (3), свя-
зан с отсутствием четкого разделения при расчете статических ха-
рактеристик поликристаллического терморезистора между темпера-
турой рабочего тела и температурой среды. Это обстоятельство во
многом определяет отсутствие обобщенных методов расчета стати-
ческих характеристик терморезисторов и связанные с их нахожде-
нием сложные графоаналитические методы, основанные на экспе-
риментальных данных.
Температурные характеристики терморезисторов в аналитиче-
ском виде не изучались за исключением характеристики статическо-
го сопротивления, описываемой уравнением (3) и применимой на
линейном участке вольт-амперной характеристики. Особенность на-
хождения этих характеристик заключается в том, что помимо функ-
циональной зависимости от температуры среды имеет место зави-
симость от выбора рабочего режима терморезистора. Рассмотрим
температурные характеристики параметров терморезисторов в раз-
личных практически применяемых режимах их работы.
Температурные характеристики при постоянном токе
через терморезистор /=/с
Этот режим работы терморезистора осуществляется при напря-
жениях питания £/пит>£/ и величинах сопротивления нагрузки
Rb^Rt. Температурная характеристика напряжения терморезистора"
U(То) 11 * ic описывается уравнением (53).
Применение метода универсальных функций с помощью выбора
в качестве постоянного коэффициента какого-либо значения'Т0 не
позволяет получить безразмерную зависимость у(х), так как
U(To)\I==Ic представляет собой трансцендентную функцию, алге-
браически не разрешимую относительно переменных U и Г0. По-
этому для расчета температурных зависимостей можно воспользо-
раться уже полученными универсальными функциями.
39

Уравнение (53) можно записать следующим образом:
и.
в
(67)
Зависимость у (То) определяется изменением от температуры
среды величины х
*(*■•> = • (68)
ЬВ
TQe'
-В12Т0
В уравнения (67) и (68) входят коэффициенты тока и напря-
жения, универсальные функции которых описываются выражениями
(55) и (57) при постоянном коэффициенте температуры Т0—В.
Используя эти зависимости, а также основную универсальную (24),
запишем:
Ух =
(69)
Приведенная система уравнений и определяет температурную
характеристику U(T0) | i=je. Так как все нелинейные зависимости,
входящие в эту систему, заданы таблицами, то расчет и в этом
случае сводится к простым операциям. Можно показать, что зави-
симость (58), записанная в универсальной форме (69), представляет
собой монотонно убывающую функцию температуры на всем прак-
тическом диапазоне ее изменения. На основании полученной систе-
мы уравнений нетрудно сформулировать следующую последователь-
ность .расчета:
1) для каждой температуры среды согласно третьему уравне-
нию системы находим аргумент хи используя универсальную зави-
симость (57);
2) по уравнению (69) и универсальной зависимости (24), на-
ходим yw
3) по уравнению (69) и универсальной функции уг(хг) (60)
определяем значения напряжений для каждой температуры среды.
Указанная последовательность расчета графически изображена
на рис. 17. Нетрудно получить температурные характеристики
остальных параметров терморезистора в указанном режиме работы,
40

Для статического сопротивления RT(To) и^ можно записать!
Это уравнение получено на основании выражения (59), и его,
как и в предыдущем случае, можно записать в виде следующей
системы:
Рис. 17. Температурные характеристики напряжения при постоянных
величинах тока через терморезистор.
RT ^ — R^ey^;
2 .
То[=\ВХ2ш )
Последовательность расчета аналогична предыдущему случаю.
Зависимость RT(T0) |/—/с — монотонно убывающая и при значении
/с = 0, т. е. в начале координат, является экспоненциальной.
41

Дифференциальное сопротивление /^(fc) \i-ic определяется сле-
дующей зависимостью:
Температурная характеристика (61) запишется в виде системы
У1 = &
3xh — 1
(3**i + l)« j
/с 1
У2 =
(71)
0S =
Го = Вхг*
Функция /?д(7,о)|/=_/с представляет собой более сложную зависимость,
характер которой зависит от величины тока через терморезистор.
При токах /с = 0, соответствующих началу координат, температур-
ная зависимость совпадает с \Rt(To) |/—j При увеличении тока
характеристика Rr(T0) будет знакопеременной как по величине, так
и по производной.
Для выделяемой на терморезисторе мощности имеем:
Это уравнение, соответствующее выражению (63), запишется
в следующем виде:
Рт ~y ЬВум;
У1 ■
х\ =
2хг 1
/с
/ЪВ
^00
1
Уг
(72)
! = хН\
Уг~-
• х*е
вх2
42

Зависимость Рт(То) |/=/с представляет собой монотонно возраста-
ющую функцию и при больших токах терморезистора /с-*оо, вели-
чина Рт(То\ определяется квадратичной зависимостью
Pt(T°)\i^oo=-WT°-
Для температуры рабочего тела на основании уравнения (65)
можно записать:
Система уравнений для характеристики Г(Г0) \,. будет следую-
с
щая:
T = Bxi(l +Х2У1);
2*2,
То = Вх2.
Эта функция монотонно возрастающая, причем при /с—*-0 она
совпадает с величиной температуры среды.
Последовательность расчета зависимостей Яг(Г0), Яд(Го),
Рт(Т0) и Г(Г0) при 1=1 с графически показана на рис. 18. Следует
отметить, что наибольшая чувствительность Ят(Г0) и Яд(Г0) к из-
менению температуры среды соответствует небольшим токам /с,
а Я (Го) и Г (Г0) —большим токам.
Температурные характеристики при постоянном напряжении
на терморезистдре U={JC
Это часто встречающийся на практике режим работы термо-
резисторов, который соответствует напряжению питания £/Пит = £/с
и сопротивлению нагрузки Ян=0. Для нахождения температурных
характеристик в этом случае необходимо перейти к зависимости
1(0, Го). Воспользовавшись выражением (15), нетрудно получить:
Знак «плюс» или первое решение этого уравнения соответст-
вует участку с отрицательным дифференциальным сопротивлением,
а второе решение со знаком «минус» перед корнем — участку до
43

точки максимума по напряжению. Не имеет смысла более подробно
останавливаться на исследовании этого уравнения, так как его рас-
чет полностью соответствует системе уравнений (25) с универсаль-
ной функцией, обратной (24), и в данном случае необходимо на-
ходить величину х по значению у.
Рис. 18. Температурные характеристики параметров терморезистора
при /=const.
a-RT(TQ); 6-Rn(T0); e-PT(TQ); 8~T(TQ).
44

Аналитически функция х(у) определяется по формуле
x = — (l±Vl-P).
(75)
В дальнейшее з этом уравнении необходимо оставить лишь
второе решение со знаком «минус» перед корнем, так как в иссле-
дуемом режиме работы физически невозможно использовать уча-
сток с отрицательным дифференциальным сопротивлением. При
исследовании температурных характеристик, так же как и в преды-
дующем режиме, можно ограничиться полученными универсальными
зависимостями и свести расчет к простым операциям.
Температурная характеристика /(Г0) \ и=ц^ определяется уравнением
-в'2Т°х(То).
(76)
Величина х(Т0) определяется по величине у (То), которая на-
ходится из следующего выражения:
</(г.)=-
/К»
(77)
Используя зависимости (76) и (77), а также универсальные
функции (55), (57) и (75), можно записать:
2С/С
(И.
Уз = х2е
(78)
Уж = х2е
Т0 = Вх2
Каждая температурная характеристика /(Го) ограничена темпе-
ратурой среды, при которой величина Uc становится равной ма-
ксимальному напряжению {/Макс Так как коэффициент напряже-
ния О равен по величине £/Макс, то кривая в плоскости параметров
U, То, ограничивающая семейство /(Го) | и = ис> определяется уни-
версальной функцией (57).
45

Сформулируем на основании -системы уравнений (78) после-
довательность расчета температурной характеристики/(Го) \и—ц
1) для каждой температуры среды согласно третьему уравне-
нию системы, находим величину у\\
2) по универсальной функции (24) находим величину *i(*/i)
[второе уравнение системы (78)];
Рис. 19. Температурные характеристики тока через терморезистор
при постоянных напряжениях.
3) согласно первому уравнению определяем величину тока для
каждой температуры среды.
Эта последовательность показана на рис. 19. Не останавливаясь
на математических выкладках, отметим, что характеристика
/(Го) \и=ис представляет собой монотонно возрастающую функцию.
Рассмотрим температурные характеристики остальных парамет-
ров. Температурная характеристика статического сопротивления
определяется по выражению
2 В
1 + 1/ 1__4— ■ с е~в1т°
1 ± ■/ 1 4 Ъ Г20 Rn е
Зависимость /?т(Г0) на основании уравнения (59)
Аргумент функции #(Г0), входящей в последнее уравнение,
зависит согласно уравнению (32) от тока, а не от напряжения,
46

поэтому необходим дополнительный переход к напряжению. Окон-
чательно систему уравнений, определяющую расчет характеристик
RT (то) \и=ис' можно записать в следующем виде:
1 п 1
2
у*— 1 +x*i9
2Ui 1
xi =
(Ь ■)
У 2 = е
Уг — хчв
то = вхч
(80)
Рис. 20. Температурные характеристики статического сопротивления
при постоянных напряжениях.
Последовательность расчета очевидна из полученной системы
и показана на рис. 20. Сравнивая системы (70) и (80), нетрудно
убедиться, что в обоих исследованных режимах работы окончатель-
ные уравнения одинаковы, отличие заключается в аргументах *t
функций yi и #4- Как и в предыдущем случае, зависимость
$Т (то)Цужи является монотонно убывающей, при значении uc=0
47

—экспоненциальной. Отличие в том, что семейство характеристик
ограничено следующими двумя кривыми:
Эти ограничения накладываются границами изменения напря-
жения Uc.
Продифференцировав зависимость (74) по напряжению, полу-
чаем дифференциальную проводимость, обратная величина которой
соответствует температурной характеристике R^(TQ):
1
Ь Th 1
~2 zr w
.1/1-4— — ^гвМт
(81)
Несмотря на громоздкость выражения (81), расчет его доста-
точно прост. Запишем первое уравнение системы (71) в следующем
виде:
*д = -ТГ Roo^B,T°y(To).
8 /уоо'
Универсальная функция у (То) определяется уравнением (36),
а вся система уравнений будет иметь следующий вид:
8
3*»i - 1 .
(ЗЛГ^! + 1)2 9
1
(l-Ki-t/2i);
2UC
у*
-Kb')
(82)
уз =
To = Bx2.
Последовательность расчета очевидна из рассмотрения рис. 21.
Отличие полученной системы от (71) заключается в том, что семей-
48

ство зависимостей ЛЯ(Т0) для различных напряжений ограничено
осью абсцисс и экспонентой
I 0; ^=1
Величина Rn(T0) является положительной, но знакопеременность
ее производной сохраняется и в этом случае.
Для выделяемой на терморезисторе мощности можно записать:
Ит - 2 В I 1 ± J/ 1 Ь Т*0 R^е }
(83)
Как и для предыдущего случая, температурная характеристи-
ка описывается уравнением (63), но исходная для расчета система
будет иметь несколько иной вид:
2*21 .
1 +%ХЧ 9
Xi
— (l-Ki-i^M;
2UC
У1 = .
VeRooB УЗ
У2 = xh;
-ИМ.
(84)
Уъ = *2<?
Го « Вх2,
Вид семейства РТ(Т0) \U=:U показан на рис. 22. Это семейство
ограничено квадратичной параболой
Рт (То) =- -g" "В"Г20,
Для зависимости температуры рабочего тела от температуры
среды можно записать:
(85)
Это монотонно возрастающая функция, совпадающая с темпе-
ратурой среды при £/с=0. Используя зависимость (65), исходную
систему для расчета данной температурной характеристики можно
4—574 49

Рис. 22. Температурные характеристики выделяемой мощности при
постоянных напряжениях.
50

записать в следующем виде:
Т^Вх2(\ +х2у*);
2х*х
2Uc 1 .
(86)
Уз = х2е
То = Вх2.
В этом случае семейство температурных характеристик ограни-
чено следующими зависимостями:
[Го п ри yi= 0;
Т (То) = <
Го
при #1=1.
Последовательность расчета аналогична предыдущим случаям
и проиллюстрирована на рис. 23. Полученные кривые, ограничиваю-
щие семейства температурных характеристик в данном режиме,
представляют определенный практический интерес, так как при
Рис. 23. Температурные характеристики температуры рабочего тела
при постоянных напряжениях.
4. 51

превышении допустимой температуры терморезистор выходит из
строя. В этом режиме работы поликристаллические терморезисторы
обычно используются в схемах контроля температуры.
Температурные характеристики при постоянном статическом
сопротивлении терморезистора Rt=Rt с
Этот режим работы на практике часто встречается в схемах
измерения теплофизических параметров. Из основного уравнения
,(4) следует, что этот режим работы характеризуется также и по-
стоянством температуры рабочего тела Т=ТС\ постоянство стати-
ческого сопротивления практически обеспечивается поддержанием
постоянной температуры 7Y Нетрудно убедиться, что зависимость
выделяемой мощности от температуры среды в этом случае опре-
деляется простым линейным уравнением
/\ = Ь](Тс — То)',
1п-
(87)
Рассмотрим температурные Характеристики остальных парамет-
ров терморезисторов. Температурная характеристика /(Г0)|т = тс
согласно уравнению (54) определяется выражением
/ЬТ\
-bit,
•Л
„В/То
V -с
Это достаточно сложная зависимость, и для ее расчета при-
менимы уже известные универсальные зависимости. Используя за-
висимость (25), можно написать:
6 ъ(7.).
Аргумент универсальной функции (55) будет зависеть от со-
противления Rtc
2Rjr
Последовательность расчета определяется следующей системой
уравнений: _
1 = 1/ jjr-y*xi;
2RT
_С 1
оо* Уш
То =» Вх2
(88)
52

Построение семейства температурных характеристик приведено
на рис. 24. Равенство нулю значений этих характеристик соответ-
ствует началу координат, т. е. случаю, когда изменяющаяся тем-
пература среды равна постоянной температуре Гс.
Температурная характеристика напряжения полностью анало-
гична зависимости / (То) \j^T=^T » так как в рассматриваемом ре-
Рис. 24. Температурные характеристики тока через терморезистор
при постоянном сопротивлении.
жиме выполняется закон Ома, т. е. расчет U(T0) определяется си-
стемой уравнений (88) с использованием следующего выражения:
(Яг / (Г.);
I R^'I (Го).
Температурную характеристику Яд (Го) | можно получить,
сравнивая зависимости (31) и (35):
Яд(Г.)=ЯГс^2 *1°е-в'т'-1у
(89)
Это простая температурная функция, для расчета которой мож-
но воспользоваться универсальной зависимостью (60):
*р-.)-«г,(4- т-');
(И
■■ е
То = Вх
(90)
53

Это убывающая знакопеременная функция, обращающая в нуль
при значениях температуры среды, соответствующих уравнению
В
При значениях Тс]—Т0 или RT^z=RTo эта функция совпадает с
величиной RTq. Графический расчет^показан на рис. 25.
Все полученные зависимости справедливы и для режима по-
стоянной температуры рабочего тела, если подставить вместо
его зависимость от величины Гс, определяемую уравнением (3).
Рис. 25. Температурные характеристики дифференциального сопро-
тивления при постоянном статическом сопротивлении.
Исследование температурных характеристик терморезисторов
при постоянном дифференциальном сопротивлении имеет чисто тео-
ретический интерес, так как этот режим работы практически не
встречается и принципиально осуществим только в динамическом
режиме.
Температурные характеристики при постоянной выделяемой
мощности на терморезисторе Рт = Рт^
Этот режим работы соответствует постоянному перегреву, т. е.
превышению температуры рабочего тела терморезистора над тем-
пературой среды, и применяется в тех случаях, когда необходимо
54

свести к минимуму зависимость коэффициента рассеивания от элек-
трического режима работы. Зависимость температуры рабочего тела
от температуры среды определяется в данном режиме уравнением
баланса мощностей, записанном в виде зависимости (5). Темпера-
турную характеристику / (То) \рт=Рт можно записать, используя
зависимость (74) в следующем виде:
/ =
р - —
тс Ь Т*о
Это простая монотонно возрастающая функция, расчет которой
производится с помощью универсальной функции (60):
Г—
у
1
1 ~~W
То = Вх
(91)
В этом случае на семейство / (То) | рт=рт накладываются огра-
ничения, связанные с равенством
То = уРтВ/Ь, (92)
Рис. 26. Температурные характеристики тока через терморезистор при
постоянной выделяемой мощности.
55

которбе соответствует касанию Линии равной мощности с ёольт*
амперной характеристикой при температуре среды, соответствующей
выражению (92). Расчет показан графически на рис. 26.
Аналогичен расчет для температурной характеристики напряже-
ния, так как имеет место очевидное соотношение
Следует отметить, что при превышении температуры среды над
температурой, определяемой уравнением (92), поддержание посто-
янства выделяемой на терморезисторе мощности принципиально не-
возможно, поэтому применение этого режима ограничено указан-
ной температурой.
Используя уравнения (3) и (5), нетрудно получить для иссле-
дуемого режима температурную характеристику статического со-
противления
bit0+pt /ь
Для расчета этой характеристики необходима универсальная
функция (6), с помощью которой получаем:
Это экспоненциальная зависимость от температуры, смещенная
по оси температур на величину РТ\Ь. Графически расчет показан на
рис. 27. Температурную характеристику ^д(7'о) нетрудно получить
с помощью найденной связи между статическим и дифференциаль-
ными сопротивлениями (89)
Используя универсальную зависимость (60), расчет определяем
следующей системой уравнений:
U = Рт/1.
RT = —Rooey;
(93)
(94)
Xl = То + PTJb/B;
х2 = То/В.
)
66

Рис. 28. Температурные характеристики дифференциального сопро-
тивления при постоянной выделяемой мощности.
57

Расчет проиллюстрирован на рис. 28. Зависимость (94) пред-
ставляет собой убывающую знакопеременную функцию, равную
нулю при температурах
1 — In 2 ртс
г—-ЕГ2-Т- (95)
С другой стороны, уравнение (95) соответствует такой вольт-
амперной характеристике, с которой пересечение линии равной мощ-
ности Рт = Ртс происходит в точке максимума по напряжению.
Полученные в данном параграфе зависимости применимы и при
расчете температурных характеристик терморезисторов косвенного
подогрева при Тп = const. Кроме того, указанные зависимости опре-
деляют регулировочные характеристики терморезисторов косвенного
подогрева, если в них в качестве аргумента использовать темпера-
туру Тп. Полученные таким образом характеристики будут смеще-
ны на величину температуры окружающей среды.
Исходными данными в предложенных методах расчета тем-
пературных характеристик статических параметров терморезисторов
являются паспортные данные, а также ранее полученные универ-
сальные зависимости, приведенные в таблицах (см. приложение).
Введение более общего понятия для температурных характери-
стик, чем общепринятое, обычно применимо не только для статиче-
ского сопротивления терморезистора, но и для других его статиче-
ских параметров. Показательно, что температурные характеристики
тока и напряжения терморезистора уже используются практически,
но их определение .обычно сводят к температурной характеристике
Rt(To), что достаточно сложно и при применении универсального
метода в этом нет необходимости.
10. Оценка температурной чувствительности
поликристаллических терморезисторов
На основе полученных температурных характеристик в различ-
ных режимах работы (см. § 9) можно определить температурную
чувствительность терморезисторов. Под температурной чувствитель-
ностью терморезисторов понимается характеристика, определяющая
величину изменения одного из статических параметров при измене-
нии температуры среды. Численно она равна производной соот-
ветствующей температурной характеристики по температуре. В ра-
ботах, посвященных расчету характеристики терморезисторов (5, 19,
21], было получено выражение для температурной чувствительности
терморезистора
b. = £;RT<t*)- (96)
Это уравнение, как и принятый ранее термин «температурная
характеристика», применимо для расчетов при работе на линейном
участке вольт-амперной характеристики терморезистора. Кроме того,
оно не позволяет оценить чувствительность других статических па-
раметров терморезисторов к изменению температуры среды. Зави-
симость (96) определяет в случае применения терморезистора в ка-
честве термочувствительного элемента схемы измерения температуры
температурную чувствительность всей схемы.
58

Температурная чувствительность при Постоянном токе
через терморезистор
При определении чувствительности напряжения к изменению
температуры среды непосредственное дифференцирование уравне-
ния (53) по температуре является весьма сложным и громоздким.
Поэтому удобнее найти температурную чувствительность напряже-
ния по полученной в § 9 системе уравнений (69), после несложных
преобразований которой можно записать:
*L кто Л. п l—^l /cm
—. = Кио = - — и——^. (97).
Температурные зависимости u(t0), xi(t0) и х2(Т0) находятся
согласно системе уравнений (69), т. е. после нахождения темпера-
турной характеристики коэффициент чувствительности напряжения
определяется простым уравнением (97). Аналогично находятся ко-
эффициенты чувствительности для остальных 'параметров терморе-
зистора.
Чувствительность статического сопротивления к изменению тем-
пературы среды определяется уравнением
d3l\ В 1 + 2х»,(1 + х.)
dto\l=rc *т Т*о 1+ **i " К '
Температурная чувствительность дифференциального сопротив-
ления определяется следующим образом:
dto
/=./ -Д/?Д--Г20 1 — 9л:*! * <да>
Температурные зависимости ят(т0), /?д(7\>), xi(t0) и хг(то)
полученных уравнений соответствуют исходным системам уравнении
(70) и (71), дифференцированием которых и получены зависимости
(98) и (99).
Температурная чувствительность выделяемой мощности нахо-
дится дифференцированием системы уравнений (72)
. =ЛЯ ' + **м* + *> , (100)
/=/с ^рт Тоит 1 + Х2Х \ '
dpt
Чувствительность температуры рабочего тела терморезистора
к-изменению температуры среды является безразмерной величиной,
определяемой из следующего равенства:
g- = 4° = i+4-K£°r (loi)
Как следует из полученных зависимостей, температурные чувст-
вительности Ку°, К#°т и К#° при / == /с имеют отрицательный знак,
а КТР°Т и Kj° уменьшаются.
С увеличением температуры среды величина температурной чув-
ствительности всех статических параметров терморезисторов резко
уменьшается в данном режиме работы. Наибольшая температурная
59

чувствительность параметров £/(?о), $т(Т0) и &д(?о) будет в ре-
жимах, соответствующих небольшим токам /с; с увеличением тока
чувствительности Кц°, К$°т и уменьшаются.
Температурная чувствительность при постоянном напряжении
на терморезисторе U=\UC
Для нахождения температурной чувствительности воспользуем-
ся полученными в § 9 системами уравнений, определяющими после-
довательность расчета соответствующих температурных характери-
стик. Для температурной чувствительности тока на основании диф-
ференцирования системы уравнений (78) можно записать:
# = + (102)
1 f2° У\—У21
Эта зависимость определяет температурную чувствительность
участка вольт-амперной характеристики до точки максимума по
напряжению, так как температурная характеристика ограничена
ВеЛИЧИНОЙ f/макс-
Температурная чувствительность статического* сопротивления
терморезистора запишется в следующем виде:
Сравнивая уравнения (103) и (102), можно установить связь
между температурными чувствительностями КТ^Т и К]°:
Это уравнение позволяет определить любую из величин К#°т и
/С/о, если одна из них задана.
Для температурной чувствительности дифференциального со-
противления на основании системы уравнений (82) получаем:
Чувствительность выделяемой мощности изменения температу-
ры среды находится дифференцированием системы уравнений (84)
К* - — Р l-0-n-f/M (хг + 0,5)
60

Сравнивая уравнения (102) и (105), можно установить следую-
щую связь между величинами Кр°т и /С/Ч которая позволяет непо-
средственно находить каждую величину при известной другой:
кт0 _ о 1±- кт0
Чувствительность температуры рабочего тела терморезистора
к изменению температуры среды является безразмерной величиной,
которая находится по уравнению (101).
Таким образом, в данном режиме работы температурные чувст-
вительности /С^5,|у—1/с и /С^|(/_^с имеют отрицительный знак, а
^]°\и=ис* Kp°T\u=cUe и Кт0\и=ис~~ положительный.
Температурная чувствительность при постоянном: статическом
сопротивлении терморезистора RT — RT^
Этот режим работы соответствует постоянству температуры ра-
бочего тела, т. е.
Согласно уравнениям (87) температурная чувствительность вы-
деляемой мощности является постоянной величиной, равной
Для температурной чувствительности тока, используя систему
уравнений (88), можно записать:
кта_ В 1 + *»(2-у,Н«»-0,5) „ш
К1 =~ Тч 1 x,(2-i,,). * <106>
Выражение для температурной чувствительности напряжения
запишутся в виде
кт* - —и 1 + *2 (2"У1) ^-°'5> пет
«U -- T2Q U Хш(2-уг) ' (Ш7)
С учетом первого уравнения системы (90) выражение для тем-
пературной чувствительности дифференциального сопротивления
имеет вид:
4;=w(/?*+V- (108)
6i

В этом режиме положительной является только величина #Яд»
все остальные статические параметры имеют отрицательную темпе-
ратурную чувствительность.
Температурная чувствительность при постоянной
выделяемой мощности на терморезисторе Рт = Рт^
Согласно уравнению (5) чувствительность температуры рабоче-
го тела к изменению температуры среды равна единице.
Температурную чувствительность тока наиболее просто найти
путем непосредственного дифференцирования первого уравнения
системы (91) с учетом температурных зависимостей у(Т0) и х(То)
согласно второму и третьему уравнениям этой системы
В_ 1_
7Л /
*2 "
ЬВ
*2-
(2*2-1)
ЬВ
(109)
Используя соотношение (88), нетрудно найти температурную
чувствительность напряжения в данном режиме
В ... 1
х^—ш-(2хг + \)
w = -t^v*-mjp-t р-т <110>
*2-
ьв
Продифференцировав зависимость (93), получаем выражение
для температурной чувствительности статического сопротивления
Это простое выражение совпадает с общепринятым [21], так как
в этом режиме температурные характеристики представляют со-
бой экспоненту, смещенную по оси температур на величину P-rjb.
Коэффициент чувствительности #д° находится, если продиффе"
ренцировать систему уравнений (94)
кта_ j_(r У» рт*«? 1 (112)
Для всех полученных температурных чувствительностей спра-
ведливы ограничения, оговоренные для соответствующих темпера-
турных характеристик.
62

Наиболее удобно записать уравнения для чувствительности
статических параметров терморезисторов к изменению температуры
среды в матричной форме
(113)
Строки этих матриц определяются соответствующими измене-
ниями статических параметров Фг, вызванными изменением темпе-
ратуры среды, а столбцы — постоянными параметрами Ф), опреде-
ляющими режим работы:
U
I
RT
Ф/ =
Ус
Uc
Rt
(П4)
где
1=1, 2, . .., m; m=6;
i = l, 2, ..., n; л=5.
Используя указанную форму записи, на основе -полученных
уравнений, величины температурной чувствительности статических
параметров терморезистора можно записать в виде матрицы (115).
Универсальные характеристики #i(*i) и */г(*2), входящие в эту
матрицу, соответствуют выражениям (97) — (112). При практиче-
ской оценке температурных чувствительностей параметров терморе-
зисторов, допускающей погрешность до 10—15%, полученные вы-
ражения можно существенно упростить, если учесть, что на приме-
няемом в настоящее время температурном диапазоне величина хг=
=0,08-4-0,02.
Упрощенные зависимости для параметров температурной чув-
ствительности параметров терморезистора запишутся с помощью ма-
трицы (116).
Не приводя подробных выкладок, следует отметить, что термо-
резисторы косвенного подогрева согласно уравнению (51) при ка-
кой-либо постоянной мощности подогрева имеют более низкую тем-
пературную чувствительность, чем при отсутствии температуры по-
догрева. Это объясняется ухудшением тепловой связи со средой,
вызванным действием температурного поля обмотки подогрева.
•Полученные уравнения'для температурных характеристик ста-
тических параметров терморезисторов и их температурной чувстви-
тельностью могут послужить основой для решения ряда вопросов,
которые не нашли своего отражения в книге в связи с ограничен-
ностью ее объема. В частности, не рассмотрен режим постоянной
нагрузки, исследование которого относится к одной из задач теории
нелинейных цепей. Кроме того, уравнения для температурной чув-
ствительности определяют во многом динамические режимы работы
терморезисторов при изменении температуры среды. Тем не менее
предполагается возможность их использования для решения указан-
ных задач, учитывая их наглядность и простоту применения.
63

Глава третья
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИИ ТЕПЛООБМЕНА
НА СТАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕРМОРЕЗИСТОРОВ
11. Семейства статических характеристик
терморезисторов для различных условий теплообмена
В настоящее время поликристаллические терморезисторы широ-
ко применяются в качестве чувствительных элементов в схемах
измерения различных тепловых величин: давления, влажности, ско-
рости потока и т. д. Такая возможность определяется зависимостью
условий теплообмена прибора от указанных факторов, что прояв-
ляется в изменении коэффициента рассеивания. Рассмотрим влия-
ние изменения коэффициента Ь на вольт-амперную и статические
характеристики терморезисторов. Функциональные зависимости ко-
эффициента рассеивания от конкретных тепловых параметров до-
статочно широко изучены [Л. 7] и позволяют непосредственно
связать влияние коэффициента b с влиянием конкретного фактора.
Следует отметить, что изменение температуры среды в общем
случае оказывает влияние на коэффициент рассеивания, но при.
условии, что объем окружающей среды во много раз больше объема
рабочего тела терморезистора, этим влиянием можно пренебречь.
Так как это условие обычно практически выполняется, то, как и
в указанной литературе [6, 21, 24], влияние температуры среды и
коэффициента рассеивания рассматривается раздельно.
Применение .поликристаллических терморезисторов в качестве
чувствительных элементов тепловых параметров среды наиболее
удобно и оправдано на нелинейных участках вольт-амперных ха-
рактеристик терморёзисторов, где перегрев достаточен для того,
чтобы тепловые параметры оказывали существенное влияние на
статические параметры приборов. Отсутствие уравнений для вольт-
амперной характеристики на этом участке определяет собой и не-
возможность оценки влияния коэффициента рассеивания. Линейная
аппроксимация участка с отрицательным дифференциальным сопро-
тивлением уже неприменима. Указанные трудности не позволили
определить в общем виде воздействие тепловых параметров среды
на статические параметры терморезисторов, и этот вопрос представ-
ляет собой весьма важный практический "интерес. Универсальный
метод расчета позволяет достаточно просто и наглядно рассмо-
треть влияние условий среды, выраженное через коэффициент рас-
сеивания, на все статические характеристики терморезисторов.
Семейство вольт-амперных характеристик, как и остальные ха-
рактеристики терморезисторов, определяется уравнением (15), в ко-
тором коэффициент тТо зависит от коэффициента Ь. Согласно
уравнению (14), можно записать:
U -
Rt I
1 + -гт№
(117)
67

где
В
Величина ar<j представляет собой коэффициент температурной
чувствительности или температурный коэффициент сопротивления и
задается в паспортных данных.
Расчет статических характеристик терморезисторов при посто-
янном значении коэффициента рассеивания был получен в гл. 1.
Как и для семейства вольт-амперных характерибтик в функциях
различных температур среды, для искомого семейства необходимо
найти зависимости постоянных коэффициентов U(b) и Т(Ь). На
основании уравнений (14) можно записать:
Это тривиальные математические зависимости,- и нет смысла
в данном случае прибегать к методу универсальных функций для
их нахождения.
Для семейств статических характеристик Rt и /?д следует от-
метить, что функционально зависимым является коэффициент тока
согласно первому уравнению системы (118), а коэффициенты RT и
Яд являются постоянными величинами, определяемыми выраже-
ниями (33) и (37).
При расчете семейства зависимостей выделяемой мощности со-
гласно уравнению (41) имеет место линейная зависимость коэффи-
циента Рт
(119)
Согласно уравнению (42) семейство статических характеристик
температуры рабочего тела определяется функциональной зависи-
мостью коэффициента 1(b), так как коэффициент Т не зависит от
величины Ь.
Последовательность расчета статических характеристик поли-
кристаллических терморезисторов для различных условий теплооб-
мена следующая:
1)_по_исходным величинам Г0, R<x> и В находим коэффициенты
U, 7, /?д, Rt, Рт, Т для каждого значения 6;
2) по соответствующим универсальным функциям (24), (32),
(36) и (40) находим семейства статических характеристик для раз-
личных условий теплообмена.
Полученный простой метод аналитического расчета семейств
статических характеристик позволяет более полно и точно исполь-
зовать теплофизические свойства терморезисторов. Графически этот
метод показан на рис. 29 для семейства вольт-амперных характе-
(118)
68

ристик, а на рис. 30 — для семейств остальных статических .харак-
теристик.
Следует отметить, что коэффициент Ь зависит не только от па-
раметров среды, но и от теплового напора, т. е. от электрического
режима работы терморезистора. Это вносит некоторую погреш-
ность в расчет, которую можно свести к минимуму, найдя значе-
ние коэффициента b при каких-либо постоянных условиях среды
согласно приведенному в § 14 методу.
Рис. 29. Расчет семейств вольт-амперных характеристик терморези-
стора для различных условий теплообмена.
Простота функциональных зависимостей позволяет получить
уравнения для эквидистантных кривых исследуемых семейств ста-
тических характеристик. Как указывалось в § 8, эти кривые опре-
деляются постоянством величины универсальной функции или аргу-
мента.
Поделив первое уравнение системы (118) на второе, получим
следующую эквидистантную зависимость для семейств вольт-ампер-
ных характеристик терморезистора:
Rrn
U 12— /
и~ 1 + *». У*
Это уравнение прямой, т. е. характерные точки вольт-амперных
характеристик лежат на лучах, проходящих через начало коорди-
нат. Отсюда следует, что граница линейных участков вольт-ампер-
ных характеристик для различных коэффициентов рассеивания
представляет собой прямую линию, впределяемую уравнением (28).
Для семейств статических характеристик Rt, /?д и Т эквиди-
стантные зависимости представляют собой линии, параллельные оси
69

f) г)
Рис. 30. Расчет семейств статических характеристик для различных
условий теплообмена.
a-RT(I); б-Дд(/); в-Рт(1); г-Т{1).
70

токов:
l
Поделив уравнение (118) на возведенное в квадрат первое
уравнение (119), получаем эквидистантную кривую для семейства
статических характеристик выделяемой мощности
В этом случае характерные точки лежат на параболах.
Полученные простые зависимости позволяют, ,не прибегая к рас-
чету всего семейства, найти необходимые при практических иссле-
дованиях характерные точки, например ток и напряжение в точке
максимума для каждой характеристики.
12. Зависимости статических параметров
поликристаллических терморезисторов от коэффициента
рассеивания
Под тепловыми характеристиками понимаются зависимости па-
раметров терморезистора от коэффициента рассеивания при посто-
янстве одного из остальных. Эти характеристики аналитически не
были получены и поэтому практически мало изучены. В данном
параграфе рассмотрены тепловые характеристики для различных
режимов.
В этом режиме тепловая характеристика U(b) описывается
уравнением (117) и представляет собой монотонно растущую функ-
цию со следующими граничными условиями:
Физический смысл этих пределов заключается в том, что в от-
сутствие теплообмена,'т. е. в условиях, близких к идеальному ва-
кууму, терморезистор представляет собой бесконечно малое сопро-
тивление, поскольку все тепло выделяется в нем и не рассеивается
в среду. В случае полной теплоотдачи, в условиях, близких к иде-
альному теплообмену, терморезистор соответствует резистору, со-
противление которого подчиняется закону Ома на всем диапазоне
изменения тока и значение которого определяется температурой
среды.
Тепловые характеристики-при постоянном токе
через терморезистор 1=1С
71

Упростим расчет тепловой характеристики u (b)\i=zi^ применив
метод, универсальных функций. Выберем в качестве постоянного
коэффициента ъ величину
ъ = *тятр. (120)
Этот коэффициент рассеивания соответствует вольт-амперной
характеристике, которая имеет максимум в точке /м=/с.
Тогда коэффициент напряжения будет иметь вид:
I? ^-/с
2
Универсальная функция запишется следующим образом:
2х
у = Т+7- <121>
Эта элементарная функция полностью определяет характер теп-
ловых характеристик U (b)\i=i , приведена в табл. 3 (см. приложе-
ние) и показана на рис. 31.
о 1 2 3 4 5
Рис. 31. Универсальная функ-
ция тепловой характеристики
напряжения.
Расчет семейства U(b) при различных токах определяются сле-
дующей линейной системой уравнений:
U = RTJcy/2;
b = ат RT /2С#.
1 о 1 о
Последовательность расчета очевидна из этой_системы и гра-
фически показана на рис. 32. Коэффициенты b и V универсальной
функции представляют собой соответственно квадратичную и ли-
нейную зависимости тока /с, их нахождение не представляет труд-
ностей.
Тепловая характеристика Rr(b) согласно уравнению (58) за-
пишется в следующем виде:
RT= Г12 (122)
72

Это монотонно растущая функция с граничными условиями,
имеющими очевидный физический смысл:
НтЯг (Ь)\1=1 =0;
ь-*о с
ИтЯг(<>)|/=/ =/?Го.
b^oo с
(123)
Если в качестве постоянной величины выбрать значение ко-
эффициента рассеивания, соответствующее уравнению (120), то уни-
версальная функция и для этой тепловой характеристики будет
Рис. 32. Тепловые характеристики напряжения при постоянном токе
через терморезистор.
определена уравнением (121). Расчет семейства RT(b) при различ-
ных токах соответствует следующей системе уравнений:
Rt0
Rt = 2 У'
Ъ — ar RT 12х.
* о 1 о
Согласно уравнению (35) тепловую характеристику RK(b) мож-
но записать в следующем виде:
#д = RTq •
(i+-raroV2)2
(124)
73

Это убывающая знакопеременная функция, обращающаяся
в нуль при значениях коэффициента рассеивания согласно уравне-
нию (120) и имеющая максимальное отрицательное значение
согласно уравнению (37), при значениях коэффициента рассеивания
Ь = Зос7 RT /2.
1 о 'о
Граничные условия для характеристики #д (Ь)\1==1 соответствуют
уравнению (123). Выбрав в качестве постоянного коэффициента ве-
личину Ь согласно последнему уравнению, получим следующую
универсальную зависимость:
3* — 1
y = Sx (Зх+1)2
(125)
Значения этой универсальной функции приведены в табл. 3,
{см. приложение), и вид ее показан на рис. 33. Расчет семейства
Рис. 33. Универсальная
функция тепловой характе-
ристики дифференциального
сопротивления.
щ
v
<И
о
-0,5
Rn(b) в этом режиме определяется системой уравнений
{3
Дд = — -§- RToy>
Ь = дат RT 1*х.
Тепловая характеристика Рт (&)[/_/ определяется уравнением
з(38), которое можно записать в виде
rtJ2
У
x
1
2
3
1
CL-p RT /2
(126)
Характер этой функции также описывается универсальной за-
висимостью (121), а граничные условия будут следующими:
limPr(&)|7_7 =0;
\imPT =ЛГ/Ч.
ь-±оо с и
74

Расчет этой зависимости следует производить согласно системе
уравнений
в) г)
Рис. 34. Тепловые характеристики параметров терморезистора при
/=const.
а-Дг<&); 6-Яд<&); в-Рт<&); *«Г<&).
75

Используя эту систему, нетрудно перейти к расчету тепловых
характеристик т (b)\i=zi
1
1
т = то -4- ■ /1 I г~
ь = *t0rtj2*>
1
Величину | ^ х можно найти из табл. 3 (см. приложение).
Последовательность расчета теплофизических характеристик
/?г(&), Rn(b), Рт(Ь) и Т(Ь) при /с графически показана на рис.34.
Тепловые характеристики при постоянном напряжении
на терморезисторе U=UC
Это чаще всего встречающийся на практике режим работы, иг
для расчета тепловых характеристик необходимо перейти к вольт-
200* Рис. 35. Универсальная
' '1 1 ' 1 функция тепловой харак-
теристики тока через
175 — терморезистор.
щ
ops
О
У\
x
Рис. 36. Тепловые харак-
теристики тока при по*
стоянном напряжении.
I
76

амперной характеристике, которая согласно уравнению (74) запи-
шется в следующем виде:
2ат U
1 о
(127)
Это монотонно растущая функция, ограниченная значением ко-
эффициента рассеивания, при котором вольт-амперная характери-
стика имеет максимум по напряжению, равный величине Uc. Оче-
видно, что уравнение границы семейства определяется зависимо-
стью (120).
Выбрав в качестве постоянного коэффициента b его значение
в точке максимума, выраженное через напряжение, можно получить
следующую универсальную зависимость:
У
(128)
Расчет семейства необходимо производить согласно системе
уравнений
1 = 2
Вид функции показан на рис. 35, построенном на основе дан-
ных табл. 3 (см. приложение). Методика расчета семейства
/ (6)[^^проиллюстрирована на рис. 36:
Тепловая характеристика статического сопротивления опреде-
ляется уравнением, полученным согласно зависимости (79):
(129)
Это монотонно убывающие функции, семейство которых для
различных условий теплообмена ограничено прямой, параллельной
оси напряжений и соответствующей сопротивлению 0t5RTo. Их ха-
рактер определяется универсальной зависимостью (128), а расчет
производится согласно следующей системе уравнений, на основе
которой построено искомое семейство на рис. 37,а:
т.
77

78

Тепловая характеристика #д (b)\u=:U^ описывается уравнением?
(81), записанным в следующем виде:
(130>
Это положительная убывающая функция, которая ограничена
осью ординт, обращается в нуль при значениях коэффициента рас-
сеивания согласно уравнению:
b = 4-jf-U*c.
AT
1 О
Для получения универсальной зависимости выберем Ь с таким
расчетом, чтобы постоянный коэффициент /?д был рациональной*
величиной:
_ g ат
7?д — о Rt
Тогда универсальная функция соответствует следующей зави-
симости:
4-0-К
Т)-
(131>
Рис. 38. Универсальная харак-
теристика дифференциального
сопротивления для различных
условий теплообмена при по-
стоянном напряжении.
О 12 3 4
Это более сложная функция, расчет которой сведен в табл. 3^
(см. приложение), а вид показан на рис. 38.
Для выделяемой на терморезисторе мощности можно записать
согласно уравнению (83):
1 0 '
79>

Характер этой тепловой характеристики определяется универ-
сальной зависимостью (128), с помощью которой расчет Pj(b)\u=uz
производится согласно системе уравнений
CL-p
b = 4-5JLU*cx.
Семейство характеристик Рт(Ь) для различных значений UCl
показанное на рис. 37,6, ограничено линией согласно уравнению
(119). Нетрудно найти зависимость Т(Ь)\и=и :
Т=Т0
1
2<Хт
(133)
Расчет этой зависимости соответствует следующей системе
уравнений:
Ь = 4
1 о
Rt9
U*cx.
Вид этого семейства показан на рис. 37,в; оно ограничено зна-
чением температуры
Т=Т0(\ + Т012В).
Таким образом, в обоих исследованных режимах работы харак-
тер всех тепловых характеристик, за исключением дифференциаль-
ного сопротивления, описывается двумя универсальными зависимо-
стями (121) и (128).
Тепловые характеристики при постоянном статическом
сопротивлении терморезистора RT = Rtc
В этом режиме, который соответствует также постоянной тем-
пературе рабочего тела, тепловая характеристика Рт(Ь) является
линейной функцией, описываемой уравнением (87). Тепловые ха-
рактеристики 1(b) и U(b) являются элементарными зависимостями,
которые на основании уравнений (54) и (56) можно записать
в следующем виде:
Г ат
(134)
Дифференциальное сопротивление RA (b) \%T=zRr так же, как и
80

статическое сопротивление, не зависит от коэффициента рассеива-
ния и определяется постоянной величиной, которая находится из
уравнения (89).
Тепловые характеристики при постоянной выделяемой
мощности на терморезисторе Рт = Рт^
Это режим соответствует простой тепловой зависимости тем-
пературы рабочего тела Т (Ь) \р р , которая находится по
1 ус
уравнению (95). Тепловые характеристики 1(b) и U(b) находятся
из уравнений (91)
1 п 'о
£/=у/"Рге/?Г»(1
Рт (Х-г-
'с
(135)
Эти характеристики можно получить с помощью метода универ-
сальных функций, если в качестве постоянного коэффициента В вы-
брать его значение, соответствующее максимуму вольт-амперной
характеристики:
Ь = 2РТ ат
ний:
Тогда расчет сводится к следующей линейной системе уравне-
/ Рт
Ь = 2РТ
с т* У
OLT x.
(136)
Универсальная функция находится по уравнению
'* 2* — 1
У-
(137)
Вид этой функции приведен на рис. 39, которая построена по
данным табл. 3 (см. приложение). Расчет семейств 1(b) и U(b) для
различных значений Рт графически показан на рис. 40. Эти се-
мейства ограничены значениями коэффициента рассеивания, при
котором происходит касание линии равной мощности Pj^ с вольт-
амперной характеристикой:
Ь ==: 0>т Рт
При этом значении коэффициента рассеивания тепловая харак-
теристика 1(b) обращается в бесконечную величину, a U(b) —
в нуль.
6—574 81

о 0,5 1,0 1,5 2,0 zfi 3,0 3,5 %0
Рис. 39. Универсальная функция-
тепловых характеристик терморе-
зистора при постоянной выделяе-
мой мощности.
Рис. 40. Тепловые характеристики
параметров терморезистора при
Рг = const.
a-1(b); б-щь); e-rt{b);
*-Яд(*).

Тепловая характеристика для статического сопротивления опре-
деляется по уравнению
( р^.\
(138)
Если использовать универсальную зависимость (137), получаем
следующую систему уравнений .для расчета семейства:
R --^2-—.
RT - 2 у* '
b = 2Я7 <хг
у с 1 о
Используя связь между статическим и дифференциальным со-
противлением терморезистора согласно уравнению (89), тепловую
характеристику Rn(b) запишем в следующем виде:
/ ртс*т0 \ ( рт*т\
*Д = «г.^-—5-)h-2-^-J. (139)
Сложность нахождения универсальной зависимости заключается
в том, что при постоянном значении согласно уравнению (136)
постоянный коэффициент #д = 0. Поэтому выберем в качестве по-
стоянного коэффициента значение
Ь = ЪРт &т
ЛС 1 О*
Тогда универсальная зависимость будет иметь вид:
у=(3х—1)(3х—2). (140)
Эта универсальная функция показана на рис. 41 и построена
на основании данных табл. 3 (см. приложение). Расчет характери-
стик Яд (Ь) \р соответствует следующей системе уравнений:
На рис. 41 проиллюстрирован расчет семейства тепловых харак-
теристик Rr(b) и Rx(b) для различных величин выделяемой мощ-
ности.
Можно сделать вывод, что расчет тепловых характеристик зна-
чительно проще, чем температурных; это определяется простотой
функциональной зависимости относительно коэффициента рассеива-
ния основного уравнения терморезистора (15), в то время как от-
носительно температуры среды это сложная трансцендентная функ-
ция. Это утверждение базируется на том, что величина статического
сопротивления, как было указано в § 1, является линейной функ-
6* 83

2,0
U
w
0,5
О
-0$
\
у
\
/
\
/
\
/
1/3
ЧУ
2/3
1
Рис. 41. Универсальная
характеристика диффе-
ренциального сопротив-
ления при постоянной
выделяемой мощности.
цией от перегрева. Коэффициентом пропорциональности этой функ-
ции и служит величина lib.
Экспериментальные исследования тепловых характеристик лоли-
коисталлических терморезисторов соответствуют приведенным в дан-
ной главе зависимостям.
13. Оценка чувствительности терморезисторов
к изменению условий теплообмена
Определение величины тепловой чувствительности терморезисто-
ров представляет большой практической интерес при их использо-
вании в схемах измерения, например, скорости потока, давления,
влажности в качестве чувствительных элементов. Оценка чувстви-
тельности терморезисторов к изменению тепловых параметров среды
позволяет более полно изучить их свойства и расширить возмож-
ности их применения
Тепловая чувствительность при постоянном токе
через терморезистор 1=1с
Величину тепловой чувствительности напряжения получаем, про-^
дифференцировав уравнение (177):
1
(141)
Продифференцировав по величине b уравнения (122), (124) и
(126), получаем соответствующие величины чувствительности для
остальных параметров те^морезистора
84
*4 = /5V4-p-;
К*, = - Рт ( 1
(142)

Эти несложные зависимости показывают, что наибольшую чув-
ствительность имеют терморезисторы с небольшим коэффициентом
рассеивания, т. е. с плохим теплоотводом. При этом тепловая чув-
ствительность прямо пропорциональна температурной.
Тепловая чувствительность при постоянном напряжении
на терморезисторе U=UC
В данном режиме непосредственное дифференцирование уравне-
ния (127) дает сложную зависимость, поэтому воспользуемся для
этой цели универсальной функцией (128), согласно которой можно
записать:
**, = 4^т^7- (143>
Так как зависимости Rr(b) и Рт(Ь) определяются той же уни-
версальной функцией (128), то для них можно записать:
„. \-2у
Rt~ 16ar<£/c (1 — у) у"'
1 1 -Лу
10
(144)
Тепловая чувствительность дифференциального сопротивления
находится на основании универсальной функции (131)
Яд- 9 aTU2(
(145)
Производную универсальной зависимости (131) нетрудно найти
на рис. 38 графически, не прибегая к вычислениям по выражению
(145).,Для чувствительности температуры рабочего тела к измене-
нию коэффициента рассеивания можно записать:
*»г = - ififf-'//,. Г. Г' 046)
Тепловая чувствительность при постоянном статическом
сопротивлении терморезистора RT = RT^
В этом режиме работы тепловые чувствительности статическо-
го и дифференциального сопротивлений равны нулю. Для тепловых
чувствительностей тока и напряжения имеем согласно зависимо-
85

стям (134):
1 1 <147>
Тепловая чувствительность выделяемой мощности является по-
стоянной величиной
я,
"т-Ъ^Х*?-1)' (148)
Тепловая чувствительность при постоянной выделяемой
мощности на терморезисторе Рт = РТс
Этот режим работы характеризуется следующей тепловой чув-
ствительностью температуры рабочего тела
kt = ~-wptc. О«)
Продифференцировав уравнения (136), нетрудно получить за-
висимости для тепловых чувствительностей тока и напряжения
1 /'^2г„аГ0 1
1 RT0P\aT0 1
К и— 2 U Тр'
(150)
Тепловую чувствительность статического сопротивления нахо-
дим, продифференцировав выражение (138):
&кт = ктрт*т07Г- (»51)
Величина ^*#д |яг=рг согласно уравнению (139) запишется в сле-
дующем виде:
*Ч = «гДА.1^3-4 j W. (152)
Все полученные зависимости справедливы с учетом ограниче-
ний, накладываемых на тепловые характеристики в соответствии
•с зависимостями, приведенными в § 12.
Наиболее удобно и лаконично записать полученные уравнения
в матричной форме, как это было сделано для уравнений темпе-
ратурных чувствительностей. Тогда тепловые чувствительности бу-
дут соответствовать следующему матричному уравнению:
||№.л|=||^ЧК=*с||-
где i=l, 2, т; т=6;
/=1, 2, ..., п\ п=5.
Параметры Ф* и Ф,- соответствуют столбцовым матрицам (114).
Матрица, определяющая тепловую чувствительность терморезистора
в различных режимах работы, записана в виде выражения (153).
86

Элементы матрицы (153) соответствуют уравнениям (141) —
(152), а универсальные функции у и х определяются зависимостями
(121), (125), (128), (131), (137) и (140).
Все полученные тепловые характеристики, а также оценку чув-
ствительности терморезисторов косвенного подогрева к изменению
коэффициента рассеивания нетрудно получить, используя полученные
зависимости для терморезисторов прямого подогрева. Следует от-
метить, что влияние коэффициента рассеивания сказывается не толь-
ко на статических характеристиках собственно терморезистора, но и
на цепи подогрева. Согласно уравнению (46) температура перегре-
ва Тп имеет обратную зависимость от коэффициента рассеивания.
Поэтому расчет тепловых характеристик косвенного подогрева сле-
дует проводить с учетом изменения величины Гп, используя приве-
денные в § 5 зависимости.
Полученные зависимости создают научную основу для исследо-
вания взаимосвязи характеристик лоликристаллических терморези-
сторов с условиями внешней среды. Именно эта органическая взаи-
мосвязь и определяет специфические особенности исследуемых при-
боров, и их изучение вне связи с параметрами среды не может
привести к обоснованным и достоверным результатам. Универсаль-
ный метод предполагает изучение статических параметров терморе-
зисторов и тепловых параметров среды как объективно единую
систему, что нашло свое отражение в полученных общих уравне-
ниях. Расчет на основании этого метода в большей степени отра-
жает сущность явлений в изучаемых приборах в сочетании с фор-
мальной простотой и удобством применения.
Глава четвертая
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
ДЛЯ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕРМОРЕЗИСТОРОВ
14. Основные паспортные параметры терморезисторов
Важной особенностью универсального метода расчета является
то, что исходные расчетные и постоянные паспортные параметры
терморезисторов полностью совпадают, тогда как в существующих
методах расчета есть необходимость в дополнительных эксперимен-
тальных данных. Эта особенность и позволяет избежать экспери-
ментов, кроме тех, которые необходимы для нахождения основных
паспортных данных.
В настоящее время методы нахождения постоянных паспортных
параметров /?«>, В разработаны достаточно полно, и для их опре-
деления можно использовать способы, указанные в (19, 21]. Надэ
учесть, что приведенные в этих работах уравнения справедливы для
участков вольт-амперных характеристик, ограниченных токами, опре-
деляющими границу линейного участка (29).
Для терморезисторов в справочной литературе указаны пас-
портные данные, усредненные для всех терморезисторов данного
типа.
88

Особенностью терморезисторов, как и других полупроводнико-
вых приборов, является значительный разброс параметров R<x> и В
по сравнению с паспортными данными, указанными в справочной
литературе. Поэтому, практически, эти величины необходимо уточ-
нять с помощью, определенных экспериментальных точек для каж-
дого конкретного экземпляра, причем при использовании разрабо-
танных методов это единственный случай, когда появляется необ-
ходимость в эксперименте.
Наиболее просто можно определить величины R<x> и В, вос-
пользовавшись следующими рассуждениями. Продифференцировав
уравнение (3) по температуре среды, получаем уравнение (96).
Поделив указанное уравнение на (3), получаем следующую
зависимость для коэффициента В:
Полученные уравнения позволяют определить величины по од-
ной экспериментальной точке температурной характеристики, в ко-
торой необходимо при определенной температуре среды найти зна-
чения RTo и oc7q# Как показали исследования, найденные по урав-
нениям (154) и (155), коэффициенты В и /?«> позволяют произво-
дить расчет статических характеристик по разработанным методам
с точностью до 5%. Следует отметить, что а>т0 можно найти с по-
мощью графического или аналитического способа обработки тем-
пературной характеристики статического сопротивления терморе-
зистора на линейном участке вольт-амперной характеристики или
с помощью специального измерительного прибора, осуществляюще-
го дифференцирование RTq и деление фт на RT
Предложенные в книге методы позволяют устранить методиче-
скую и инструментальную погрешности расчета, и, как было указа-
но, ошибка расчета в основном определяется погрешностью опреде-
ления паспортных данных. Поэтому общая погрешность расчета для
статических характеристик терморезисторов, когда в качестве пас-
портных данных использовались параметры RTq и {ат0> указан-
ные в справочной литературе, для каждого конкретного экземпляра
колебалась от 1 до 15%.
Учитывая, что параметры терморезисторов указываются при
нормированной температуре Го = 293 К, для определения паспорт-
ных данных необходимо воспользоваться следующими уравнениями:
Когда нет необходимости в высокой точности расчета, превы-
шающей 10—15%, можно воспользоваться этими уравнениями и
необходимость в экспериментальных данных отпадает, так как па-
раметры /?29з и а3эз всегда приведены в паспорте прибора данного
типа.
(154)
(155)
(156)
7-574
89

В тех случаях, когда требуется более точная оценка статиче-
ских характеристик терморезистора, необходимо получить темпе-
ратурные зависимости параметров RTq и на исследуемом диапа-
зоне температур [Ti, Тп]. Уточненные значения коэффициентов Roo
и В определяются следующими уравнениями:
i=\ е
(157)
Полученные зависимости могут быть применены на заводах —
изготовителях поликристаллических терморезисторов, причем в ка-
честве паспортных данных могут быть заданы как параметры В и
/?оо, ТаК И #293 И С1293-
Рассмотрим нахождение усредненного значения коэффициента
рассеивания Ъ. Этот коэффициент, в отличие от постоянных пара-
метров В и /?оо, которые характеризуют свойства самого терморе-
зистора, определяет тепловую связь прибора с окружающей средой.
При наличии аналитической зависимости (15) значение коэф-
фициента b вполне определяет весь нелинейный участок вольт-
амперной характеристики и нет необходимости в дополнительных
паспортных данных, а также в сложных уравнениях, которые пред-
лагаются в существующих методах [5, 21, 24].
Как показано в § 4, в точке максимума величина статического
сопротивления равна 0,5 RTq и не зависит от коэффициента рассеи-
вания, поэтому наиболее точно, среднее значение коэффициента
рассеивания определяется именно в этой точке, К недостатку пред-
ложенных методов {19, 21} следует отнести также трудности в экс-
периментальном определении величин перегрева и рассеиваемой
мощности, которые необходимы при нахождении коэффициента Ь.
В предлагаемом способе достаточно знать ток в точке максимума
или напряжение, так как согласно уравнениям (118) можно запи-
сать:
Ь = ат0^т J2макс; Л
Таким образом, для нахождения коэффициента Ь, если значения
ат0 и %т0 (или В и /?от) известны, необходима одна эксперименталь-
ная точка, соответствующая максимуму вольт-амперной характери-
стики по напряжению. В общем случае для нахождения значения
коэффициентов В, Roo и b необходимы одна или две точки темпе-
ратурной характеристики статического сопротивления на линейном
участке вольт-амперной характеристики, а также одна точка вольт-
амперной характеристики, соответствующая максимуму при некото-
рой температуре Т0. Если же в качестве паспортных данных исполь-
9Q

зовать /?2эз и С1293, то уравнения (158) примут вид:
Ь = «293^29
v*-~/ 'T"m
^эз^гэз/^дз;
«293 J? f
^293 " ^293- J
Для более точного определения коэффициента рассеивания не-
обходимо воспользоваться температурными зависимостями ат0^°)*
%т0(То)> 1м (То) или Um(To) на исследуемом температурном
диапазоне [Tt, Тп]. По аналогии с уравнениями (157) уточненная
зависимость для коэффициента рассеивания примет вид:
_4_ " аг§л
(160)
Если величину тока /мгэз или £/мгэз задавать в справочных
данных наряду со значениями /?гэз и агэз, то при определении ко-
эффициента рассеивания отпадает необходимость в эксперименте.
Естественно, что в этом случае появляется случайная составляющая
погрешности, вызванная разбросом параметров терморезисторов
данного типа, которая по экспериментальным данным колеблется
до 10%.
Справедливость полученных зависимостей для нахождения коэф-
фициентов Яоо, В и Ь подтверждается экспериментальными д§иными,
так как по ним можно судить, что соотношения Т\ат^ Rt^0^0*
ат0%т/м и ** fT^^m' входящие в уравнения (154), (155) и (159), на
т о
всем практическом диапазоне температур являются постоянными вели-
чинами с точностью_до 1 — 5%.
Можно сделать следующие выводы, имеющие (Практический ин-
терес как при расчете характеристик, так и при определении пас-
портных данных терморезисторов:
1) при наличии в качестве паспортных данных прибора пара-
метров Roo, Bub, определенных на заводе-изготовителе с помощью
известных или - предложенных способов расчета, для нахождения
статических характеристик нет необходимости в экспериментальных
данных;
2) при наличии в качестве паспортных данных параметров агэз,
#29з, /м2эз или 1/м29з, найденных экспериментально на заводе-изго-
товителе, для перехода к параметрам Rco, В и b необходимо вос-
пользоваться зависимостями (159) и (156);
3) для устранения случайной ошибки, которая существует в ука-
занных случаях в связи с разбросом параметров, необходимо для
каждого конкретного прибора знание величин RTo, а^, ^макс и
^макс для некоторой температуры среды Т0у т. е. две эксперимен-
7* 91
(159)

тальные точки, а параметры В и Ь находят по уравнениям
(154), (155) и (159);
4) при необходимости минимальной погрешности, вызванной
ошибкой нахождения паспортных данных, надо воспользоваться уточ-
ненными уравнениями (157) -и (160), для которых находятся экс-
периментально ЗавИСЙМОСТИ #70(^о)» аГ0(^°)> /макс(Го) или
£/макс(7\)) на исследуемом температурном диапазоне [Ti, Тп].
Во всех случаях для определения параметров /?го, Bub по-
лученные уравнения математически тривиальны и физически на-
глядны.
Для терморезисторов косвенного подогрева определение коэф-
фициентов JRoo, В и Ъ обычно производится при отсутствии тока
в подогревной обмотке и ничем не отличается от нахождения соот-
ветствующих коэффициентов для терморезисторов прямого подо-,
грева. Нахождение постоянной величины ц по указанным в ряде
работ способам [24] связано со сложными вычислениями и экс-
периментальными зависимостями. Кроме того, в уравнениях для
коэффициента ц приводится его значение с отрицательным знаком,
что затрудняет физическую наглядность этой величины. Наиболее
удобно находить величину ц по уравнению (160), причем статиче-
ское сопротивление RT желательно выбрать на линейном участке,
чтобы устранить влияние перегрева прямым током, т. е.
Rt — Rt
^т^^лГ <161)
Из этого уравнения следует, что для нахождения к. п. д. т] не-
обходимо задать одно экспериментальное значение статического сопро-
тивления RT^ при мощности в обмотке подогрева Рп. Если же значе-
ния RTc и Рп задавать в паспортных данных, то нет необходимости
в эксперименте. Значения b, RTq, <*-Tq находятся по указанным выше
методам при условии Рп — 0.
Более точное значение -ц находится с помощью зависимости
Rj (Рп) на всем диапазоне изменения величины мощности в обмотке
подогрева [Ри Рп\:
b 1 IH RTo~~RTci
1=1
Существенной особенностью полупроводниковых приборов, в том •
числе и терморезисторов, является разброс паспортных параметров
для экземпляров одной партии. Изложенный универсальный метод
позволяет сделать вывод, что этого недостатка можно избежать,
если производить классификацию приборов по признаку равенства
тех основных паспортных параметров, которые были рассмотрены.
Учитывая, что эти параметры полностью определяют все статиче-
ские характеристики терморезисторов, их совпадение соответство-
вало бы полной взаимозаменяемости приборов, что в свою очередь
позволило бы избежать регулировки и настройки конкретных схем
92

их применения. Следует при этом отметить, что во многих случаях
регулировка и настройка схем связаны с отсутствием практически
удобных методов расчета. Авторы полагают, чтр наличие универ-
сального метода расчета и в этих случаях позволит избежать регу-
лировки и настройки схем, что имеет существенные практические
преимущества.
15. Вопросы практического применения универсальных
методов для расчета статических характеристик
поликристаллических терморезисторов
В § 14 были определены паспортные данные, необходимые для
расчета статических характеристик терморезисторов, а также пред-
ложены простые и наглядные способы их определения. Очевидно,
что при любом сколь угодно точном определении паспортных дан-
ных на заводе-изготовителе всегда имеет место случайная ошибка
расчета, связанная с разбросом параметров однотипных приборов.
Этой ошибки можно избежать с помощью экспериментального
уточнения постоянных коэффициентов каждого прибора, что наи-
более просто осуществляется по указанным методам. Во многих
случаях на практике достаточно воспользоваться паспортными дан-
ными, указанными в справочной литературе, но в этом случае жела-
тельно указать или поле допусков, или среднеквадратичную ошибку,
которые необходимо определять на заводе-изготовителе.
Из разработанных в книге методов следует, что различные тер-
морезисторы имеют идентичные статические характеристики при
одинаковых постоянных #«>, В, Ь - независимо от технологии их
изготовления. Эту особенность необходимо учитывать при марки-
ровке поликристаллических терморезисторов.
Остановимся на применении полученных универсальных зависи-
мостей. Их использование не ограничивается теми случаями, кото-
рые были указаны в настоящей книге, поэтому необходимо отме-
тить следующие особенности этих зависимостей:
1) универсальная функция полностью определяет характер со-
ответствующих статических характеристик;
2) универсальная функция представляет собой безразмерную
абстрактную математическую зависимость;
3) универсальная функция может быть задана в виде анали-
тической формулы, графика или таблицы;
4) коэффициенты перехода от универсальной функции к стати-
ческой характеристике представляют величины, непосредственно за-
висящие от В, #оо, Ь.
Первая особенность использовалась для определения статической
характеристики при заданных величинах воздействия (Г0, Ь или /)
и постоянных коэффициентах В, #оо, Ь. Очевидно, что с помощью
универсальной характеристики можно решать и обратную задачу,
т. е. по заданной статической характеристике и постоянным коэффи-
циентам измерять величину воздействия в определенных режимах
работы. Таким образом, построение градуировочной характеристики
в этом случае также сводится к простым операциям с универсаль-
ными зависимостями. Из этой особенности вытекает также возмож-
ность корректировки постоянных коэффициентов В, Ъ путем
сравнения расчетных и экспериментальных характеристик. На прак-
93

тике это означает возможность градуировки шкалы без применений
настройки и экспериментальных данных для всего измерительного
устройства.
Полученные универсальные зависимости отличаются простотой
и наглядностью, и их расчет возможен практически с любой точно-
стью, так как он может быть проведен с помощью вычислительных
машин. Кроме того, "в литературе обычно приводятся статические
характеристики для конкретных экземпляров терморезисторов
в определенных режимах работы. Универсальные функции дают
полную качественную картину для всех терморезисторов, основное
физическое уравнение которых соответствует зависимости (3).
Наибольшую наглядность имеют универсальные функции, задан-
ные в виде графика, но при расчетах в этом случае возникает по-
грешность, вызванная графическими построениями. Поэтому приве-
денные в книге рисунки, иллюстрирующие аналитические способы
расчета различных статических характеристик терморезисторов, мо-
гут быть использованы в качестве графических способов построения
лишь с учетом этой погрешности. Следует отметить, что графические
способы расчета с помощью универсальных характеристик являются
более простыми и наглядными по сравнению с предложенными
ранее.
Четвертая особенность универсальных функций позволяет, в от-
личие от любых математических аппроксимаций, сохранить физиче-
скую очевидность всех построений и устраняет необходимость
в экспериментальных данных, т. е. эксперимент в данном случае
необходим только при уточнении паспортных данных. Универсаль-
ные статические характеристики поликристаллических терморези-
сторов позволяют производить все необходимые математические
операции над ними, например дифференцирование, интегрирование,
нахождение характерных точек, граничных- условий и т. д. При этом
связь с особенностями каждого конкретного прибора определяется
постоянными параметрами, которые представляют собой некоторые
постоянные значения переменных параметров на исследуемых диа-
пазонах их изменения.
Табличный способ задания универсальных функций дает наи-
большую точность при расчетах. Кроме того, все операции по пере-
счету реальных значений статических характеристик по таблицам,
как было указано, можно производить с помощью простых операций
умножения, т. е. отпадает необходимость построения номограмм.
При применении поликристаллических терморезисторов в каче-
стве датчиков температуры и теплсиых величин, сьязанных с усло-
виями теплообмена, необходимо воспользоваться зависимостями,
приведенными в § 9 и 13. Влияние постоянных параметров i/?oo, В
и г) на уровень выходной величины и ее температурную чувстви-
тельность в определенных режимах работы может быть учтено по
полученным в данной книге характеристикам. Поэтому выбор кон-
кретных экземпляров терморезисторов практически полно опреде-
лен и приведенные уравнения позволяют более обоснованно выби-
рать как терморезисторы, так и режимы их работы.
Объем книги не позволяет рассмотреть все возможные случаи
применения поликристаллических терморезисторов, но полученные
зависимости полностью определяют как качественную, так и коли-
чественную сторону явлений, происходящих в установившихся ре-
жимах. Данное утверждение основано на том, что все полученные
зависимости определяются по основным -уравнениям, найденным
94

в свою очередь из общеизвестных уравнений теоретической физики
(3) и (4). Как будет показано, многие физические явления, для
описания которых ранее пользовались дополнительными физически-
ми уравнениями, также описываются этими двумя уравнениями.
При расчетах по полученным в данной книге методам указание
в паспортных данных других величин, помимо R<x>, В и Ь (или
RT, ат и £/макс), является необоснованным. Нет необходимости
1 О * 0 '
и в указании предельно допустимых значений статических харак-
теристик, так как их определение связано с приведенными уравне-
ниями и зависит от предельного режима работы.
16. Функциональная статическая модель
поликристаллического терморезистора
Остановимся на вопросах моделирования статических характе-
ристик как одного из важнейших аспектов их исследования и при-
менения.
Если говорить вообще о различных существующих моделях
полупроводниковых приборов, то они в большей степени являются
базой для разработки методов расчета, чем для исследования и
применения приборов. Будет рассмотрена такая модель поликри-
сталлического терморезистора, которая непосредственно вытекает
из универсального метода расчета и предназначена в полной степе-
ни для исследования свойств прибора.
Запишем общее уравнение терморезистора в следующей форме:
где
\К2 = mTJ.
Это уравнение реализуется с помощью несложной логической
схемы (рис. 42). В данном случае не возникает необходимости
в кусочно-линейной аппроксимации вольт-амперной характеристики,
а также в применении аналоговых устройств. Кроме того, коэффи-
циенты усиления усилительных блоков этой модели определяются
величинами тт и RT т. е. это скорее физическая, чем математи-
ческая модель терморезистора. Точность моделирования соответст-
вует точности расчета по полученному уравнению (15).
Полученная обобщенная статическая модель поликристалличе-
ского терморезистора позволяет проводить исследования различных
характеристик терморезисторов. Эта модель позволила уточнить
наиболее существенные особенности разработанных в книге универ-
сальных методов расчета, результаты анализа которых приведены.
Одной из наиболее существенных особенностей изложенного
в книге универсального метода расчета является возможность ис-
следования свойств терморезисторов по полученным аналитическим
уравнениям. В книге рассмотрен наиболее распространенный класс
поликристаллических терморезисторов, физика работы которого опи-
сывается уравнениями (3) и ,(4). Уравнение (15), полученное на
95"

сти
UI /Г/7
U
Рис. 42.
гическая
Функциональная ста-
модель терморези-
стора.
основании этих двух уравнений, было определено как общее для
поликристаллических терморезисторов, так как уравнение (3) опи-
сывает свойства собственно терморезистора, а уравнение (4) — его
тепловую связь со средой. Исследование этих уравнений, а также
экспериментальные данные позволили уточнить ряд существующих
в настоящее время физических представлений о работе поликри-
сталлических терморезисторов.
Полученные зависимости позволили строго разделить зависимо-
параметров терморезистора от температуры рабочего тела и
температуры окружающей среды.
Ранее была необоснованно допу-
щена идентичность этих зависимо-
стей, что привело к затруднениям
при выявлении тепловой связи со
средой, а также к значительным
расчетным погрешностям при боль-
ших токах через прибор. В част-
ности, температурная характери-
стика статического сопротивления
терморезистора не является экспо-
ненциальной зависимостью и опи-
сывается уравнением (3) на линей-
ном участке вольт-амперной ха-
рактеристики, граница которого не
была строго обоснована. Указан-
ные недостатки и привели, на наш
взгляд, к тому, что аналитическое
выражение вольт-амперной харак-
теристики не приводилось, так как, по сути дела, общее уравнение
терморезистора и было получено после устранения этих принципи-
альных погрешностей.
Кроме того, полученные основные уравнения терморезистора
позволяют сделать вывод, что все терморезисторы, к которым при-
менимы физические уравнения (3) и (4), имеют характеристики
одного типа, деформированные по осям координат.
Поэтому применение методов расчета статических характеристик
поликристаллических терморезисторов к другим типам терморези-
сторов, например органическим, монокристаллическим, как это дела-
ется в настоящее время, физически не обосновано и объясняется
отсутствием общих физических уравнений этих приборов.
При определении паспортных данных, которое приведено в пре-
дыдущем параграфе, авторы исходили из того, что постоянство
коэффициентов Roo, В, Ь, ц должно вытекать из уравнений, опре-
деляющих их величины, что не всегда выполняется при принятых
в настоящее время способах определения. Общепринятые уравнения
для определения паспортных данных терморезисторов [5, 21, 24]
справедливы относительно температуры рабочего тела, в то время
как операции производятся относительно температуры среды. Это
вызывает дополнительную погрешность, которую можно оценить
с помощью уравнений, приведенных в § 3. К особенностям предло-
женного метода расчета относится практическая простота в соче-
тании с высокой точностью, так как ошибка расчета универсальной
функции может быть сведена к минимуму и нет необходимости
в экспериментальных характеристиках. Высокая ~ точность расчета
подтверждается экспериментальными данными. На рис. 43 и 44
96

Приведены рассчитанные семейства вольт-амперных характеристик
терморезистора типа КМТ-1 для различных температур среды и ко-
эффициентов рассеивания. Точками нанесены экспериментальные
значения. На рис. 45 приведено семейство вольт-амперных характе-
ристик терморезистора косвенного подогрева типа ТКП-50 для раз-
личных управляющих токов в обмотке подогрева. Погрешность рас-
в
до!
5,0
4,0
3,0
щ
293К
7 \щк | | |
20
40
80 ма
Рис. 43. Семейство вольт-
амперных характеристик тер-
морезистора типа КМТ-1 для
различных температур среды.
250
200
150'
100
50\
о
1
N
'мВ/Н
ч
ч
Г1
с
ь
N
48/К
^""^ -о
1
1,0 1,5 2,0 мА
Рис. 44. Семейство вольт-
амперных характеристик
терморезистора типа КМТ-1
для различных условий теп-
лообмена.
вш
Рис. 45. Семейство вольт-
амперных характеристик
терморезистора типа ТКП-50
для различных токов по-
догрева.
. „ о—6—6
.О Ctf о Л ' I
4Х-о-о-о-.о_|
6 ма
чета практически отсутствовала в точках максимума по напряжению
и на линейном участке и не превышала 3% на участке с отрица-
тельным дифференциальным сопротивлением.
Большое практическое применение, в частности в схемах тепло-
вой защиты и сигнализации, поликристаллические терморезисторы
97

получили в связи с наличием точки максимума по напряжению.
Предлагаемые методы расчета позволяют определять электрические
параметры в этой точке непосредственно по паспортным данным
для различных, температур среды и условий теплообмена, тем са-
мым появляется возможность уточнить характер вольт-амперной
характеристики терморезистора.
Универсальная функция (32), определяющая характер зависи-
мости сопротивления терморезистора от тока, представляет собой'
хорошо известную в математике функцию под названием «локона
Аньези». Эта функция незначительно меняется при значениях аргу-
мента от 0 до 0,2, имеет перегиб при х=\ и стремится к нулю при
х—*оо. Первый диапазон соответствует линейному участку вольт-
амперной характеристики, точка х=\—максимуму по напряжению,
а диапазон от 1 до оо — участку с отрицательным дифференциаль-
ным сопротивлением.
Следует отметить, что согласно уравнению (6) нелинейность
вольт-амперной характеристики исследуемого класса вызвана нагре-
вом рабочего тела током, откуда и вытекает наличие линейного
участка вольт-амперной характеристики терморезисторов при не-
больших перегревах.
Реальные характеристики ограничены значениями температуры
рабочего тела и тока через прибор, при которых происходят необ-
ратимые физические явления, механизм которых уже не объясняет-
ся уравнениями (3) и <6). Для
расчета по предложенным методам
в паспортных данных достаточно
указать допустимую величину тем-
пературы рабочего тела, а для
нахождения допустимых значений
пюбой из статических характери-
стик необходимо воспользоваться
зависимостями, приведенными в
§ 9 и 12 для режима постоянного
:татического сопротивления.
Наибольшую погрешность
предложенные методы расчета [5,
21, 24] имеют при больших токах,
поэтому допустимые значения то-
ка, полученные в данной рабо-
те, значительно отличаются от при-
веденных в настоящее время в па-
спортных данных терморезисто-
ров. Например, терморезисторы ти-
па ММТ-6 стабильно работали
на токах, в несколько раз превышающих допустимую величину,
указанную в справочной литературе. Семейство вольт-амперных ха-
рактеристик для одного из экземпляров терморезисторов типа
ММТ-6 показано на рис. 46. Согласно универсальной функции (24),
описывающей характер вольт-амперной характеристики терморезц-
стора, при значениях аргумента х^5, что соответствует токам, бо-
лее чем в 5 раз превышающим ток в точке максимума, функция
меняется незначительно, и вольт-амперная характеристика представ-
ляет собой линию, параллельную оси токов. Это подтверждается
экспериментальным семейством, приведенным на рис. 46. Естествен-
но, что указанная особенность представляет большой интерес
и
\
щк__
/-
<373К
I
Рис. 46. Семейство вольт-
амперных характеристик тер-
морезистора типа ММТ-6 для
различных температур среды.
98

в схемах стабилизаторов тока. Следует отметить, что допустимая
температура рабочего тела современных терморезисторов во многих
случаях определяется конструкцией токолодводящих контактов и
при большой термостойкости токоподводов температурный диапазон
работы терморезисторов может быть значительно расширен вплоть
до температур плавления полупроводникового материала.
В заключение отметим, что структура статической модели, при-
веденной на рис. 42, полностью отвечает алгоритму основной уни-
версальной функции (24). Именно на основе этой модели и были
получены программы расчета таблиц универсальных функций, при-
веденные в приложении. В связи с этим можно сделать вывод
о том, что указанная статическая модель может быть использована
как блок-схема стандартной подпрограммы при обработке инфор-
мации о поликристаллических терморезисторах на электронно-вы-
числительных машинах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая книга посвящена разработке универсального метода
расчета статических характеристик поликристаллических терморези-
сторов. Предложив понятие «универсальный метод расчета», авторы
имели в виду следующее.
1. Предложенный метод позволяет производить расчет статиче-
ских характеристик поликристаллических терморезисторов без
использования экспериментальных данных.
2. Метод применим для всех полупроводниковых терморезисто-
ров с отрицательным температурным коэффициентом сопротивления.
3. Исходными для расчета являются паспортные данные полу-
проводниковых терморезисторов, причем их количество (три) стро-
го обосновано.
4. Расчет сводится к простейшим математическим операциям
с использованием таблиц универсальных характеристик.
5. Разработаный метод непосредственно связывает уравнения
теоретической физики с реальными статическими характеристиками
полупроводниковых терморезисторов и по простоте и наглядности
не имеет себе аналогов в отечественной и зарубежной литературе.
Оценим погрешность предлагаемого метода расчета, учитывая,
что она складывается из следующих составляющих:
1) погрешности, определяемой приближенностью уравнений тео-
ретической физики, принятых за основу;
2) погрешности математических преобразований при получении
общего уравнения прибора;
3) погрешности, возникающей при расчете статической харак-
теристики с применением универсальной функции.
Первый тип погрешности свойствен всем разработанным ме-
тодам, так как физические уравнения постоянно корректируются и
уточняются с развитием физики. Второй тип погрешности во мно-
гом зависит от сложности исходных физических уравнений и при-
меняемого математического аппарата. Исследования полученных
в книге общих уравнений конкретных приборов показали, что эту
погрешность нетрудно оценить на всем диапазоне изменения пере-
менных и величина ее соответствует необходимой инженерной точ-
ности расчета. На определенных диапазонах эта величина погреш-
ности пренебрежимо мала. Третий тип погрешности практически
можно не учитывать, так как универсальная функция может быть
99

подсчитана с желаемой точностью в виде таблиц или номограмм.
Погрешность предлагаемого метода расчета в основном зависит от
степени точности уравнений теоретической физики, а также от точ-
ности определения паспортных данных прибора.
Подводя итоги, можно отметить следующие особенности пред-
лагаемого метода универсальных функций:
1. Предлагаемый метод применим для всех терморезисторов
одного класса, которые описываются в виде общих физических
уравнений.
2. Появляется возможность исследовать и объяснять свойства
терморезисторов непосредственно по его статическим характери-
стикам.
3. Критерием оптимальности предлагаемого метода является
полное соответствие уравнениям теоретической физики в сочетании
с удобством практического применения.
4. Коэффициенты полученных уравнений имеют определенный
физический смысл и определяются паспортными данными термо-
резисторов.
5. Вводится единая терминология и система паспортных данных
независимо от области применения терморезисторов.
6. Полученное общее уравнение терморезистора нетрудно1 кор-
ректировать по мере расширения физических знаний о приборе и
введения воздействий, не входящих в общее физическое уравнение.
7. Разработанный метод позволяет получить непосредственную
математическую связь между физическими уравнениями и реаль-
ными статическими характеристиками терморезисторов.
8. Устраняется недостаток, заключающийся в разбросе пара-
метров однотипных приборов в связи с классификацией по физиче-
ским постоянным параметрам терморезисторов.
9. Полученный метод позволяет расчетным путем определять
статические характеристики терморезистора с минимальной необхо-
димой погрешностью.
10. При расчете не возникает необходимости в эксперименталь-
ных данных и громоздких промежуточных вычислениях.
11. Весь расчет сводится к несложным преобразованиям нели-
нейных функций, заданных в универсальном виде для каждого
класса приборов.
Учитывая указанные преимущества, предложенный универсаль-
ный метод расчета дает значительный научно-технический и эко-
номический эффект, который заключается в повышении производи-
тельности, в отсутствии необходимости сложной экспериментальной
базы, в отказе от сложных графических и графоаналитических по-
строений. Особенно значителен эффект в тех случаях, когда важные
статические характеристики, определяемые только с помощью экс-
периментальных исследований, - рассчитываются аналитически.
Роль универсального метода расчета носит в большей степени
не прикладной характер, как при существующих методах расчета,
а определяющий при построении конкретных схем с поликристалли-
ческими терморезисторами.
Авторы стремились при изложении материала книги к тому,
чтобы она послужила пособием при практическом применении и
исследовании поликристаллических терморезисторов с отрицатель-
ным температурным коэффициентом сопротивления, основываясь на
простоте и наглядности полученных универсальных методов рас-
чета.
100

ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
аргумент
функция
х
у = 2х/(\ + **)
у=>2/(1 + х*)
У = 2*2/(1 + *2)
у 1+JC2
0,1
0,198020
1,98020
0,01980
1,94099
0,2
0,384615
1,92308
0,07692
1,77515
0,3
0,550459
1,83486
0,16513
1,53186
0,4
0,689655
1,72414
0,27586
1,24851
0,5
0,800000
1,60000
0,40000
0,96000
0,6
0,882353
1,47059
0,52941
0,69204
0,7
0,939597
1,34228
0,65771
0,45943
0,8
0,975610
1,21951
0,78048
0,26769
0,9
0,994475
1,10497
0,89502
0,11599
1,0
1,000000
1,00000
1,00000
0,00000
1,1
0,995475
0,90497
1,09502
—0,08599
1,2
0,983607
0,81967
1,18033
—0,14781
1,3
0,966543
0,74349
1,25651
—0,19071
1,4
0,945946
0,67567
1,32432
—0,21913
1,5
0,923077
0,61538
1,38462
—0,23668
1,6
0,898876
0,56179
1,43820
—0,24618
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
0,874036
0,849057
0,824295
0,800000
0,776340
0,753425
0,731320
0,710059
0,689655
0,670103
0,651387
0,633484
0,616366
0,600000
0,584354
0,566395
0,555088
0,51413
0,47169
0,43383
0,40000
0,36968
0,34246
0,31796
0,29585
0,27586
0,25773
0,24125
0,22624
0,21254
0,20000
0,18850
0,17793
0,16820
1,48586
1,52830
1,56616
1,60000
1,63031
1,65753
• 1,68203
1,70414
1,72414
0,74227
1,75875
1,77376
1,78746
1,80000
1,81150
1,82206
1,83179
—0,24980
—0,24919
—0,24562
—0,24000
—0,23301
—0,22518
—0,21686
—0,20832
—0,19976
—0,19130
—0,18305
—0,17505
—0,16736
—0,16000
—0,15296
—0,14627
—0,13991
101

Продолжение табл. 1
аргумент
функция
X
*/ = 2*/(1+*2)
у = 2ц\ + х*)
У = 2*2/(1 + Л?)
3,4
0,541401
0,15923
1,84076
—0,13388
3,5
0,528302
0,15094
1,84906
—0,12815
3,6
0,515759
0,14326
1,85673
—0,12274
3,7
0,503744
0,13614
1,86385
—0,11761
3,8
0,492228
0,12953
1,87047
—0,11275
3,9
0,481184
0,12338
1,87662
—0,10815
4,0
0,470588
0,11764
1,88235
—0,10380
4,1
0,460415
0,11229
1,88770
—0,09968
4,2
0,450644
0,10729
1,89270
—0,09578
4,3
0,441252
0,10261
1,89738
—0,09208
4,4
0,432220
0,09823
1,90177
—0,08858
4,5
0,423529
0,09411
1,90588
—0,08525
4,6
0,415162
0,09025
1,90975
—0,08210
4,7
0,407103
0,08661
1,91338
—0,07911
4,8
0,399334
.0,08319
1,91681
—0,07627
4,9
0,391843
0,07996
1,92003
—0,07357
5,0
0,384615
0,07692
1,92308
—0,07100
5,1
0,377638
0,07404
1,92595
—0,06856
5,2
0,370899
0,07132
1,92867
—0,06623
5,3
0,364386
0,06875
1,93125
—0,06402
5,4
0,358090
0,06631
1,93369
—0,06191
5,5
0,352000
0,06400
1,93600
—0,05990
5,6
0,346106
0,06180
1,93820
—0,05798
5,7
0,340400
0,05971
1,94028
—0,05615
5,8
0,334873
0,05773
1,94226
—0,05440
5,9
0,329517
0,05585
1,94415
—0,05273
6,0
0,324324
0,05405
1,94595
—0,05113
6,1
0,319288
0,05234
1,94766
—0,04960
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
0,314402
0,309658
0,305052
0,300578
0,296230
0,05070
0,04915
0,04766
0,04624
и,04488
1,94929
1,95085
1,95234
1,95376
1,95512
—0,04813
—0,04673
—0,04539
—0,04410
—0,04286

продолжение табл. 1
аргумент
функция
у = 2хЦ\ -f- л?)
у = 2/(1 + *■)
У = 2*2/(1 + *2)
6,7
0,292003
0,04358
1,95642
—0,04168
6,8
0,287892
0,04233
1,95766
—0,04054
6,9
0,283892
0,04114
1,95886
—0,03945
7,0
0,280000
0,04000
1,96000
—0,03840
7,1
0,276211
0,03890
1,96110
—0,03738
7,2
0,272521
0,03785
1,96215
—0,03641
7,3
0,268926
0,03683
1,96316
—0,03548
7,4
0,265423
0,03586
1,96413
—0,03458
7,5
0,262009
0,03493
1,96507
—0,03371
7,6
0,258679
0,03403
1,96596
—0,03287
7,7
0,255432
0,03317
1,96683
—0,03207
7,8
0,252264
0,03234
1,96766
—0,03129
7,9
0,249172
0,03154
1,96846
—0,03054
8,0
0,246154
0,03076
1,96923
—0,02982
8,1
0,243207
0,03002
1,96997
—0,02912
8,2
0,240328
0,02930
1,97069
—0,02844
8,3
0,237516
0,02861
1,97138
—0,02779
8,4
0,234768
0,02794
1,97205
—0,02716
8,5
0,232082
0,02730
1,97270
—0,02655
8,6
0,229456
0,02668
1,97332
—0,02596
8,7
0,226887
0,02607
1,97392
—0,02539
8,8
0,224375
0,02549
1,97450
—0,02484
8,9
0,221917
0,02493
1,97507
—0,02431
9,0
0,219512
0,02439
1,97561
—0,02379
9,1
0,217158
0,02386
1,97614
—0,02329
9,2
0,214853
0,02335
1,97665
—0,02280
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
0,212596
0,210385
0,208219
0,206097
0,204017
0,201979
0,199980
0,02285
0,02238
0,02191
0,02146
0,02103
0,02061
0,02020
1,97714
1,97762
1,97808
1,97853
1,97897
1,97939
1,97980
—0,02233
—0,02188
—0,02143
—0,02100
—0,02059
—0,02018
—0,01997
103

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ансельм А. И. Введение в физику твердого тела. М., Ф<из-
матгиз, '1963. 481 с.
2. Агейкин Д. И., Костина Е. Н., Кузнецова Н. Н. Датчики кон-
троля и регулирования. М:, «Машиностроение», 1965. 884 с.
3. Булыга А. В. Полупроводниковые теплоэлектрические вакуум-
метры. М., «Энергия», 1966. 160 с.
4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по матема-
тике. М., Изд-во технико-теоретической литературы, '1953. 608 с.
5. Волошин И. Ф. Электрические цепи постоянного тока с тер-
мисторами. Минск, Изд-во АН БССР, 1962. 313 с.
6. Глобус А. М., Каганов М. А. Почвенный термовлагомер
с полупроводниковым датчиком. — В кн.: Сборник трудов по агро-
номической физике. Вып. 13. Л., «Колос», 1966. с. 195—204.
7. Дульнев Г. И., Семяшкин Э. М. Теплообмен в радиоэлектрон-
ных аппаратах. Л., «Энергия», 1966. 359 с.
8. Зайцев Ю. В., Марченко А. Н. Полупроводниковые резисторы
в радиосхемах. М., «Энергия», 1971. 112 с.
9. Иоффе А. Ф. Полупроводники в современной физике. М.,
Изд-во АН СССР, 1954. 356 с.
10. Кривоносое А. И. Полупроводниковые датчики температуры.
М., «Энергия», 1974. 185 с.
11. Кривоносое А. И. Термодиоды и термотриоды. М., «Энер-
гия», 1970. 72 с.
12. Мартюшов К. И., Зайцев Ю. В. Нелинейные полупроводни-
ковые резисторы. М., «Энергия», 1968. 190 с.
13. Нечаев Г. К. Полупроводниковые термосопротавления в ав-
томатике. Киев, Гостехиздат УССР, 1962. 254 с.
14. Пасынков В. В., Чиркин А. К., Шинков А. Д. Полупровод-
никовые приборы. М., «Высшая школа», 1966. 414 с.
15. Пикус Г. Е. Основы теории полупроводниковых приборов.
М., «Наука», 1966. 448 с.
16. Петровский И. И. Электронная теория полупроводников. М.,
«Высшая школа», 1964. 386 с.
17. Стильбанс Л. С. Физика полупроводников. М., «Советское
радио», '1967. 513 с.
18. Соминский Н. С. Полупроводники. М., Фйзматгиз, 1961.
439 с.
Г9. Степаненко И. П. Основы теории транзисторов и транзистор-
ных схем. М., «Энергия», 1973. 608 с.
20. Удалов Н. П. Полупроводниковые термоуправляемые сопро-
тивления. М., Оборонгиз, 1959. 90 с.
21. Удалов Н. П. Полупроводниковые датчики. М., «Энергия»,
1965. 239 с.
115

uu. Федотов А. Я. Основы физики полупроводниковых приборой.
М., «Советское радио», 1064. 655 с.
23. Фогельсон И. Б. Транзисторные термодатчики. М., «Совет-
ское радио», 1972. 129 с.
24. Шашков А. Г. Терморезисторы и их применение. М., «Энер-
гия», 1967. 319 с.
25. Шефтель И. Т. Терморезисторы. М., «Наука», 1973. 415 с.
26. Шокли В. Теория электронных полупроводников. М., Изд-во
иностр. лит., 1963. 412 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Глава первая. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИ-
СТИК ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕРМОРЕЗИСТО-
РОВ ПРЯМОГО И КОСВЕННОГО ПОДОГРЕВА . . 6
1. Основное уравнение поликристаллического терморези-
стора 6
2. Расчет вольт-амперной характеристики терморезистора 10
3. Определение границы линейного участка вольт-амперной
характеристики терморезистора . . 14
4. Статические- характеристики поликристаллических тер-
морезисторов . 15
5. Расчет статических характеристик терморезисторов кос-
венного подогрева . 20
Глава вторая. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА СТАТИ-
ЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕР-
МОРЕЗИСТОРОВ 23
6. Семейство вольт-амперных характеристик терморезисто-
"ров для различных температур 23
7. Семейства статических характеристик терморезисторов
для различных температур . 28
8. Определение эквидистантных кривых семейств статиче-
ских характеристик для различных температур ... 35
9. Температурные характеристики поликристаллических
терморезисторов 38
10. Оценка температурной чувствительности поликристаллй-
ческих терморезисторов . . 58
Глава третья. ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ТЕПЛООБМЕНА
НА СТАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕ-
СКИХ ТЕРМОРЕЗИСТОРОВ 67
11. Семейства статических характеристик терморезисторов
для различных условий теплообмена 67
12. Зависимости статических параметров поликристалличе-
ских терморезисторов от коэффициента расссеивания 71
13. Оценка чувствительности терморезисторов к изменению
условий теплообмена 84
117

Глава четвертая. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
УНИВЕРСАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РАСЧЕТА СТАТИ-
ЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ
ТЕРМОРЕЗИСТОРОВ 88
14. Основные паспортные параметры терморезисторов . . 88
15. Вопросы практического применения универсальных ме-
тодов для -расчета статических характеристик столикри-
сталлических терморезисторов . .... 93
16. Функциональная статическая модель поликристалличе-
ского терморезистора 95
Заключение 99
Приложение 101
Спиеок литературы 115

Кривоносое А. И. и Кауфман В. Я.
К 82 Статические характеристики поликристалличе-
ских терморезисторов. М., «Энергия», 1976.
120 с. с ил. (Б-ка по автоматике. Вып. 558).
В книге изложен аналитический метод расчета статических харак-
теристик поликристаллических терморезисторов на основе паспортные
данных. Метод позволяет получить общее уравнение приборов одного
типа, определяющее статические характеристики терморезисторов с до-
статочной для инженерной практики точностью.
Книга предназначена для инженерно-технических работников, за-
нимающихся вопросами применения и разработки полупроводниковых
приборов.
6Ф0.32

Алерий Иванович Кривоносое,
Владимир Яковлевич Кауфман
СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕРМОРЕЗИСТОРОВ
Редактор Ю. В. Зайцев
Редактор издательства Г. П. Китаева
Тех/ничесшй редактор Т. А. Маслова
Корректор В. С. Антипова
Сдано в набор 17/III 1976 г. Подписано к печати 14/V 1976 г.
Т-06989 Формат 84ХЮ87за Бумага типографская № 3
Усл. печ. л. 6,3 ^ч.-изд. л. 6,89 Тираж 6000 экз.
Зак. 574 Цена 34 коп.
Издательство «Энергия»,
Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10 ,
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома
яри Государственном комитете Совета Министров СССР
до делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10,