Б. Ф. ОРМОНТ
СТРУКТУРЫ
НЕОРГАНИЧЕСКИХ
ВЕЩЕСТВ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 5 0 ЛЕНИНГРАД

4
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой обзор структур
неорганических веществ, систематизированных на основе
периодической системы элементов и освещаемых с
позиций современной теории.
В связи с этим в первой части книги приведено
краткое изложение кристаллографической теории
симметрии и теории химической связи, дающее
возможность ориентироваться в материале
читателю-неспециалисту.
Книга охватывает большой фактический материал,
что позволяет широко использовать её в качество
справочника. В ней приведён составленный автором
наиболее полный из имеющихся регистр
исследований структур неорганических веществ.
Предназначена для студентов старших курсов,
аспирантов и научных работников, работающих в
различных областях химии, рентгенографии,
кристаллохимии и смежных дисциилин.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Ч А С Т Ь НЕРВА Я
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
Глава I. Элементы теории симметрии
§ 1. Введение JL_L__:_^_1__t_^__1_^_*_^_.-. . .
с ..^ ■ " тур
Опечатки „
вине
вине
161 7 св.
194 24 сн.
199
216 7 сн.
238 7 сн.
(табл.)
265 5 сн.
266
350
426
429
463
561
700
711
756
810
917
3 св.
12 сн.
6 св.
3 сп.
4 CD.
8 сн.
2 табл.
сверху
15 CD.
12 св.
24 сн.
2 CD.
Б. Ф. Ормонт
Напечатано
« 6,02х1028
Тх ioM
v 6,02 . 10»
Т х ~ iu>4
Координация К 12
c\h — Р21/с
Координация CcjC
С/Т
PdP
[Sr(HaO)8]OH2
[PBpJ*
(МНЛ [GeFe]
амины
SBJ8
Должно быть
[PBrJ*
(NH4), [OePJ
аммины
Kopp • •
'ИЯ
Авт. . .
Тип. • •
w-
ые
Корр.
Ред. ия
»
1И
Тип. ой
Авт
Корр.
г
Тип
2
СО
8ВВ /2а
Б 2
со2
В табл. 31 пунктирные
^стрелки,
направленные вниз, должны
быть жгрными
SB /2a
v 6.02XW28
Т ' 10й
_у_ 6,02 • 10м
4 ' W2*
Координация Я (12)
Координация С\С
с/т
Pd-P
[Sr(HaO)8] (ОН),
■и я
W-
ые
и я

/i ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 37. Физические и химические свойства кристаллов п элементы симметрии
последних. Фигуры травления 87
§ 38. Об отклонениях от закона постоянства углов и плоско it формы граней 00
§ 39. Полиморфные превращения и формы кристаллов «Л
Б. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ ДИСКОНТИНУУМА
§ 40. Пространственная решётка кристалла. Понятие об элементарной ячейке У1
§ 41. Трансляция 92
§ 42. Двумерная трансляционная группа 93
§ 43. Трёхмерная трансляционная группа О'*
§ 44. Различные способы интерпретации процесса образования
пространственной решётки 95
§ 45. О сложных пространственных решётках 96
§ 40. Атомные полиэдры Е. С. Фёдорова 101
$ 47. 14 решёток Праве. Закон Праве 101
§ 48. Базис 10IJ
§ 4У. Действие трансляции на непараллельные её вектору элементы
симметрии 103
§ 50. Скользящая плоскость симметрии 105
$ 51. Винтовые осп-гелпкогпры 106
§ 52. О кратности, собственной симметрии и ориентировке точек,
находящихся ла скользящих плоскостях симметрии и винтовых осях. О
степенях свободы точек 110
§ 53. Координаты точек, возникающих при действии на точку различных
элементов симметрии 110
§ 54. Координаты точек, лилий и плоскостей в элементарной ячейке . . . 112
$ 55. Симметрия пространственной решётки и элементарной ячейки .... 115
$ 56. О выводе возможных пространственных групп 11ь
§ 57. Обозначения пространственных групп по IT 119
§ 58. О расчётах расстояний и объёмов в пространственных ре шоп.-ах . . . 121.
§ 5Я. Плотность упаковки. Количество частиц в элементарной ячейке . . . Ш
§ 00. Конфигурации координационных сфер. Валентные углы в
координационных сферах . . * 1*24
§ 01. Некоторые замечания о путях определения структуры кристалла
с использованием экспериментальных рентгенографических данных.
Кднипцы кХ и единицы А J2.4
§ 02. Об основных типах пространственных решёток 12S
§ ЬУЛ. Основные структуры, принадлежащие кубической епипчпш . . . 1;;1,
§ 04. О двух тинах плотнейшпх шаровых упаковок г:'*
§ 05. О структурах ZnS (вюрцита), NiAs, Cd.L, MoSa i;*'.
§ 00. Островные, цепочечные (ценные), слоистые структуры 141
$ 07. Цепи и сетки из октаэдров и тетраэдров и стехнометрнческпП с< .cj .и:
координационных сфер 14:»
§ 08. Переход от пространственной решётки к структуре вещества . . . 145
Г л а в а II. Теории химической связи л структуры веществ 148
§ 09. Введение 14S
а. период классической кристаллохимии
§ 70. Принцип М. В. Ломоносова. Представления о природе химической
связи до создании структурной теории А. М. Бутлерова \\$
S 71. Возникновение классической кристаллохимии 14*.»
5 72. Обобщённый закон кристаллохимии 151
§ 1'.). Морфотроппя. Пзотпппн % 15?
% 1\. Химическая структура веществ но А. М. Бутлерову.%Оптпч( скан
активность и структура веществ 1.V2
П. СТРУКТУРА КРИСТАЛЛА И СВЕТЕ ТЕОРИИ ХИМИЧЕСКОЙ
СВЯЗИ В ПЕРИОД ОТ СОЗДАНИЯ ТЕОРИИ АТОМА ВОРА ДО
ВОЗНИКНОВЕНИЯ ВОЛПОПОИ МЕХАНИКИ
§ 75. О различных типах химической связи и разных типах структур
кристаллов. Расчёт энергии решётки па базе электростатических
представлений * 150
$ 70 Принцип плотной упаковки анионов 161
§ 77. Соотношения ионных радиусов и структура кристалла 162
§ 78. О дальнейшем развитии ачсктростатической теории 1G&
§ 79. Дисперсионные силы, структура и энергия решётки 170

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ (SO. О методе координационных полиэдров 172
§ 81. Представления о коиалентной связи и электростатический принцип
валентности. Правило эффективных атомных номеров (ЭА11) ... 173
S 82. О предположенной Паулппгом мнимой неустойчивости структуры СаО 174
§ 83. Характер связи и межатомные расстояния 175
f 84. Атомные радиусы и структуры металлов. Закон Вегарда. Концентрация
электронов и структур» фаз 177
И. О ПРИЛОЖЕНИИ КВАПТОНО-ХНМПЧЕОКПХ ТЕОРИИ К
НЕОРГАНИЧЕСКОЙ ХИМИИ 11 КРИСТАЛЛОХИМИИ
§ Н^). О волнах материн. Диффракция электронов 181
§ 8(1. Электронные уровни атома. Принцип Паули. Правило возбуждения
валентностей 182
§ 87. Нол поме ханнческая модель атома 186
$ 88. О волпомеханическнх теориях химической связи ; J88
$ 89. Энергия диссоциации молекул * 193
§ 90. О теории кгантопо-химического резонанса 194
5 91. Об установлении общих закономерностей, описывающих структуру
и устойчивость неорганических веществ 195
§ 92. Коли честно холостых w-электронол в изолированных атомах.
Температуры плавления простых веществ и максимальная валентность тех же
элементов в устойчивых соединениях 198
§ 9'). Недостатки правила эффективных атомных номеров (ЭАП).
Магнитные моменты атомов и ионов 202
$ 91. О трактовке структуры и устойчивости комплексных соединений
с помощью некоторых квантоно-хпмнческих моделей 203
$ 9Г>. Развитие вопроса о валентных конфигурациях' 204
§ 9Ь\ Об исследованиях электронной плотности в кристаллах.
Рентгенографический Фурье-анализ 206
§ 97. О зонной теории кристалла и её исходных предпосылках 210
§ 98. О /Г-иространстве и зонах Прпллюэпа 210
§ 99. Зависимость электропроводности кристаллов от характера
перекрывании зон 214
§ 100. оинная теории и структура кристаллов 215
§ J0I. О реальных твёрдых телах 218
£ 10-!. Типы реальных кристаллов 220
§10.4. О влиянии примесей на образование структуры . . , 222
§ JO'i. О применимости законов Пру и Дальтона в современной неорганической
и общей химии 223
§ 10.">. О зависимости структур комплексных соединении от
термодинамических факторов 22Г>
Ч Л С Т Ь И Т О Р Л Я
СТРУКТУРЫ НЕОРГАНИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТИ
Г л а и а 111. Типы структур неорганических веществ 233
$ К)'). Введение. Конфигурации координационных сфер 233
$ 107. Тины структур 241
$ f()8. О задачах химической систематики структур 203
Глава IV7. Структуры простых веществ 2G4
$ 109. Об обозначениях модификаций и структурных форм 204
$110. Об обозначениях величин, принятых *в таблицах гл. IV—X и связи
. между ними 265
$ 111. 1 группа: литий, натрий, калий, рубидий, цезии, акацезпй (№ 87) 272
§ 112. II группа: бериллий, магнии, кальцин, стронций, барий, радий . . . 274
$ 113. Ill* группа: скандий, иттрий, лантан, актиний 278
$ 114. III** группа: металлы редких земель 280
§ МГ>. IV* группа: титан, цирконий, гафний, торий 284
$ 11П. V* грлпиа: ванадии, ниобий, тантал, протактиний 287
$ М7. VI* группа: хром, молибден, вольфрам, уран 288
$118. VI** группа (?): 93 (нептуний?), 94 (плутонии?), 95 (америции?),
90 (кюрий?) 297
5 1J9. VII* группа: марганец, технеции?, рений 298
$ 120. ЛТП* группа: железо, рутений, осмий 303
§ 121. IX* группа: кобальт, родий, иридии 308

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 122. X* группа: никель, палладий, платина 311
§ 123. I* группа: медь, серебро, золото 315
§ 124. И* группа: цинк, кадмий, ртуть 31S
§ 125. III группа: бор, алюминий, галлий, индий, таллий 321
§ 126. IV группа: углерод, кремний, германий, олопо, свинец 326
§ 127. V группа: азот, фосфор, мышьяк, сурьма, висмут 335
§ 128. VI группа: кислород, сера, селен, теллур, полоний 341
§ 129. I (VII): водород и VII группа: фтор, хлор, бром, иод 349
§ 130. VIII группа: гелий, неон, аргон, криптон, ксенон, радон 353
§ 131. Структуры простых веществ 355
Г л а в а V. Структуры галогенидов и гидридов 364
§ 132. Введение :*64
§ 133. I группа периодической системы: литий, натрий, калий, рубидий, цезий 3f>5
§ 134. II группа периодической системы: бериллий, магний, кальций,
стронции, барий, радий 37!
§ 135. III* группа периодической системы: скандий, иттрий, лантан .... 376
§ 136. III** группа периодической системы: металлы редких земель .... 379
§ 137. IV* группа периодической системы: титан, цирконий, гафний, торий 382
§ 138. V* группа периодической системы: ванадий, ниобий, тантал, протактиний 385
§ 139. VI* группа периодической системы: хром, молибден, вольфрам, уран 385
§140. VII* группа периодической системы: марганец, рений • 390
§ 141. VIII* группа периодической системы: железо, рутений, осмий .... 393
§ 142. IX* группа периодической системы: кобальт, родий, иридий .... 398
§ 143. X* группа периодической системы: никель, палладий, платина . . . 402
§ 144. I* группа периодической системы: медь, серебро, золото 406
§ 145. II* группа периодической системы: цинк, кадмий, ртуть 411
§ 146. III* группа периодической системы: бор, алюминий, галлий, индий,
таллий 421
§ 147. IV группа периодической системы: углерод, кремний, германий, олово,
свинец * 430
§ 148. V группа периодической системы: азот, фосфор, мышьяк, сурьма, висмут 438
§ 149. VI группа периодической системы: кислород, сера, селен, теллур,
полоний . 441
§ 150. VII группа периодической системы: водород, фтор, хлор, бром, иод 444
Глава VI. Окислы и халкогенидм (соединения О, S, Se, Те) 4'#8
§ 151. I группа периодической системы: литий, натрий, калий, рубидий, цезий 448
§ 152. II группа периодической системы: бериллий, магний, кальций,
стронций, барий, радий 450
§ 153. III* группа периодической системы: скандий, иттрий, лантан .... 452
§ 154. III** группа периодической системы: редкие земли 454
§ 155. IV* группа периодической системы: титан, цирконий, гафний, торий 458
§ 156. V* группа периодической системы: ванадий, ниобий, тантал,
протактиний 466
§ 157. VI* группа периодической системы: хром, молибден, вольфрам, уран 470
§ 158. VII* группа периодической системы: марганец, рений ....... 477
§ 159. VIII* группа периодической системы: железо, рутений, осмий ... 481
§ 160. IX* группа периодической системы: кобальт, родий, иридий .... 484
§ 161. X* группа периодической системы: никель, палладий, платина . . . 488
§ 162. I* группа периодической системы: медь, серебро, золото 494
§ 163. II* группа периодической системы: цинк, кадмий, ртуть 499
§ 164. III группа периодической системы: бор, алюминии, галлий, индий,
таллий 502
§ 165. IV группа периодической системы: углерод, кремний, германий, олово,
свинец " 507
§ 166. V группа периодической системы: азот, фосфор, мышьяк, сурьма,
висмут , ; 5-5
? 167. VI группа периодической системы: кислород, сера, селен, теллур,
полоний 532
§ 168. VII группа периодической системы: фтор, хлор, бром, иод 534
Глав а VII. Нитриды, фосфиды, арсениды и др 535
§ 169. Введение 535
§170. I группа периодической системы: водород, литий, натрий, калий,
рубидий, цезий 535
§ 171. II группа периодической системы: бериллий, магний, кальций,
стронции, барий 539

ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 172. Ill* группа периодической системы: скандий, иттрий, лантан .... 542
§ 173. Ill** группа периодической системы: редкие земли 542
§174. IV* группа периодической системы: титан, цирконий, гафний, торий 543
§ 175. V* группа периодической системы: ванадий, ниобий, тантал .... 545
§ 176. VI* группа периодической системы: хром, молибден, вольфрам, уран 547
§ 177. VII* группа периодической системы: марганец, рений 551
§ 178. VIII* группа периодической системы: железо, рутений, осмий .... 554
§ 179. IX* группа периодической системы: кобальт, родий, иридий .... 557
§ 180. X* группа периодической системы: никель, палладий, платина . . . 560
§181. I* группа периодической системы: медь, серебро, золото 562
§ 182. II* группа периодической системы: цинк, кадмий, ртуть 567
§ 183. III группа периодической системы: бор, алюминий, галлий, индий,
таллий , , . , 570
§ 184. IV группа периодической системы: углерод, кремний, германий, олово,
свинец 573
§ 185. V группа периодической системы: азот, фосфор, мышьяк, сурьма,
висмут 575
§ 186. VI группа периодической системы: кислород, сера, селен, теллур,
полоний . . 575
§ 187. VII группа периодической системы: фтор, хлор, бром, иод 575
Глава VIII. Карбиды, силициды (в отдельных случаях станниды и др.)*
бориды 576
А. КАРБИДЫ, СИЛИЦИДЫ
§ 188. I группа периодической системы: литий, натрий, калий, рубидий,
цезии 576
§ 189. II группа периодической системы: бериллий, магний, кальций,
стронций, барий 576
§ 190. III* группа периодической системы: скандий, иттрий, лантан . . # 578
| 191. III** группа периодической системы: редкие земли 578
§ 192. IV* группа периодической системы: титан, цирконий, гафний, торий 570
§ 193. V* группа периодической системы: ванадий, ниобий, тантал .... 581
§ 194. VI* группа периодической системы: хром, молибден, вольфрам, уран 58:5
§ 195. VII* группа периодической системы: марганец, рений 588
§196. VIII* группа периодической системы: железо, рутений, осмий .... 591.
§ 197. IX* группа периодической системы: кобальт, родий, иридий . . . 594
§198. X* группа периодической системы: „никель, палладий, платина . . . 595
§ 199. I* группа периодической системы: карбиды, медь, серебро, золото . . 597
§ 200. II* группа периодической системы: цинк, кадмий, ртуть 599
§201. III группа периодической системы: бор, алюминий, галлий, индий,
таллий 599
§ 202. IV группа периодической системы: углерод, кремний, германий, олово,
свинец 600
§ 203. V группа периодической системы: азот, фосфор, мышьяк, сурьма,
висмут 604
§ 204. VI группа периодической системы: кислород, сера, селен, теллур,
полоний . . 604
§ 205. VII группа периодической системы: фтор, хлор, бром, под 604
Б. БОРИДЫ
§ 206. I группа периодической системы: литий, натрий, калий, рубидий,
цезий 605
§ 207. II группа периодической системы: бериллий, магний, кальций,
стронций, барий, радий 605
§ 208. III* группа периодической системы: скандий, иттрий, лантан . . . 605
§209. III** группа периодической системы 605
§ 210. IV* группа периодической системы: титан, цирконий, гафний, торий. 605
§211. V* группа периодической системы: панадин, ниобий, тантал .... 605
§ 212. VI* группа периодической системы: хром, молибден, вольфрам, уран 605
§ 213. VII** группа периодической системы: марганец, рений 606
§ 214. VIII* группа периодической системы: железо, рутений, осмий . . . 606
§ 215. IX группа периодической системы: кобальт, родий, иридий .... 609
§ 216. X группа периодической системы: никель, палладий, платина . . . 609
§ 217. I* группа периодической системы: медь, серебро, золото 610
§ 218. II* группа периодической системы: цинк, кадмий, ртуть 610
5 219. III группа периодической системы: бор, алюминии, галлий, индий,
таллий 610

8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 220. IV группа периодической системы: углерод, кремний, германий, олово,
еиппец СИ
§ 221. V группа периодической системы: азот, фосфор, мьпиьнк, сурьма,
нисмут 011
§ 222. VI "группа периодической системы: кислород, сера, селен, теллур,
полонии 011
§ 22:}. VII группа периодической системы: фтор, хлор, бром, иод 011
Глина IX. Структуры сложных соединений 012
§ 224. Внеденпе 012
А. СТРУКТУРЫ СЛОЖНЫХ СОЕДИНЕНИЯ
a) В е с к о и е ч н ы е т р ё х м е р и ы е с т р у к т у р ы
§ 225. Галогенпды 010
§ 22»). Цианиды 018
§ 227. Оксигалогеыиды 621
§ 228. Окислы ЛЛВ<>2 021
§229. Окислы ЛпВО, 022
§230. Окислы А„В04: АШ)4. AaBOi, ,\8HOi ( = Мм,ХО ,) . . . ." 024
§231. Окислы АшВдО<, 035
§232. Сульфиды AXBS„, Л1Ю2-=А3В2Й4; A2BS3, A2HS,f A3BS,, ABS .... 035
§ 233. Нитриды и другие сложные соединен ил 041
б) Г) е с к о и е ч п ы е д и у м е р и ы е с т р у к т у р ы (сиш, сетки)
§ 234. PbFCl, Pl)FBr 642
л) В е с к о н е ч н ы е о д н о м:е р и ы е с т р у к т у р ы (цепи)
§ 23Г>. CoCU»2ll20 и др СМ
1) М о ;i е к у л }i р н ы е р е ш ё т к п
§ 23(). Общие замечании. Карбоннлы металлом 040
§ 237. Металлоорганическпе соединении 050
§238. COS, П3В03, Hg(ClBr)a 055
§ 239. Крпсталлосольнаты 058
В. СТРУКТУРЫ С.ЮЖПОКОМПЛЕКСПЫХ СОЕДИНЕНИИ
§ 240. Структуры с бесконечным трёхмерным ионом СаТН)3 перовскит и др. 05'J
§ 24 I. Структуры г. бесконечным диумерным ионом (слои, сетки) 003.
§ 242. Структуры с бесконечным одномерным ионом (цепи) 000
I л а и а X. Структуры комплексных соединений 00D
§ 243. Внеденпе 00<)
А. ПО/1ПСОЕДИПЕ1ШН
§244. Иолпсоедпиепин Ая[И„ |, AsIBB/z] п близкие к ним лещестиа ОСУ
§245. Полнгалогеппды Ая|На1,], А.т[НаГ, ТтЫ'/,] 070
§240. Перекиси МО, и М,,02 072
§ 247. Полисульфпды, полиселен иды, полителлурпды 07'i
§ 248. Полппптрпды (азиды MN3) 070
§249. Полифосфиды, нолпарсенпды и т. и 081
§ 250. Сульфоарсенпды и т. и 08'f
§251. Поликарбпды, тюлпенлнцпды . .' 085
§ 252. Цианиды, цианамиды 0U1
§ 253. Полпборпды 0У5
£ 2">4. Полиметалл иды 0%
В. СОЕДИНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ КАТИОНОМ
§ 255. Гидраты и аммиакаты солей щелочных и щёлочпо-земольпых мсталлон 0)7
§ 250. Гидраты солей хрома 700
§ 257. Аммиакаты солей марганца 702
§ 258. Аммиакаты солеи железа 702
§ 259. Аммиакаты и другие соли кобальта 703
§ 260. Аммиакаты солей никелн, палладии, платины 70'f
§201. Аммиакат]»! солей цинка и кадмия . . . . , 707
§ 202. Гидраты солен алюминии 707
§203. Соли аммония и фосфонин 70'.>

ОГЛАВЛЕНИЕ
»
В. СОЕДИНЕНИИ С КОМПЛЕКСНЫМ АНИОНОМ
£ 264. II группа периодической системы: бериллий, магний, кальций,
стронций, барий 712
§205. IV* группа периодической системы: титан, цирконий, гафний, торий 712
§ 206. V* группа периодической системы: нападий, ниобий, тантал. ... 714
§ 207. VI* группа периодической системы: хром, молибден, иольфрам, уран
(и уралиды) 715
§ 208. VII* группа периодической системы: марганец, рений 726
§ 20!). VIII* группа периодической системы: желе:ю, рутений, осмий . . . 72(>
§ 270. IX* группа периодической системы: кобальт, родий, иридий .... 732
§271. X* группа периодической системы: никель, палладий, платина. . . 737
§ 272. I* группа периодической системы: медь, серебро, золото 742
§ 273. II* группа периодической системы: цинк, кадмий, ртуть 747
§ 271. III* группа периодической системы: бор, алюминий, галлий, индии,
таллий 748
§ 275. IV группа периодической системы: углерод, кремний, германий,
ололо, сиинец 75!*
§ 270. V группа периодической системы: а:ют, фосфор, мышьяк*, сурьма,
лпсм\т 7GI
§ 277. VI группа периодической системы: кис/юрод, сера, селен, теллур,
Полоний 770
§ 278. VII группа периодической системы: фтор, хлор, бром, под 78с>
§ 279. Некоторые общие замечании к главам IV—-X 803
Ч А СТЬ ТРЕТЬЯ
РЕГИСТР ИССЛЕДОВАНИЙ СТРУКТУР НЕОРГАНИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ
§ 280. Ваедеппе , . . 800
Г л а и а XI. Регистр исследовании структур неорганических нещеетв *) .... 817
§281, Актиний Ас ' 931, S17
§282. Серебро Ag 931, 8*7
§283. Алюминий А1 931, 82)
§ 284. Аргон Аг — 830
§ 285. Мышьяк As 932, 830
§ 286. Полото Ли 933, 833
§287. Нор В 933, 1135.
§288. Парий На 934, 837
§280. Бериллий Be 9,34, 840
§ 290.. Висмут Ш 931, 842
§201. Пром Вг — 844
§292. Углерод С 93t, 8-Vi
§ 203. Кальцин Са 931, 847
§204. Кадмий СА 93о, 853
§ 29Г|. Церий Се 93'>, 855
§200. Хлор (11 — 85ft
§207. Кобальт Со .9-3-5, 857
§ 208. Хром Сг 930, 8(И
§299. Цезий Cs 93(>, 863
Й 300. Медь Си 930, 865
§301. Фтор V — 870
« 302. УКелезо Fo . . . . . 930, 870
§ 303. Галлий Ga 937, 87Г>
§ 304. Германий Ge 937, 877
§ 305. Водород 1Г>, дейтерий J) — 877
$306. Гелий Не — 877
§ 307. Гафний ИГ — 877
§ 308. Ртуть Ilg 937, 878
§ 309. Индии hi 937, 880
§310. Иридий 1г 937, 880
§311. Иод .1 937, 881
§312. Калий К 938, 881
§:ПЗ. Криптон Кг — 885>
$314. Лантан Га . . 93S, 88.',
§315. Литий Тл .... !Ш, 88G
*) Для удобства читателей и содержании гл. XI куренном даны номера
страниц дополнения к регистру (гл. XII).

10
ОГЛАВЛЕНИЕ
§316. Магний Mg 938, 888
$317. Марганец Ми 938, 892
§ 318. Молибден Мо 938, 894
§ 319. Азот N2 (и аммоний (NH4)=*группа) 938, 896
$320. Натрий Na 939, 897
8 321. Ниобий Nb 939, 902
$322. Неон Ne — 902
$323. Никель Ni 939, 902
$ 324. Кислород О. — 905
$ 325. Осмий Os — 906
$326. Фосфор Р 939, 906
$327. Свинец РЬ 939, 907
$328. Палладий Pd 940, 909
$ 329. Полоний Ро — 910
§330. Платина 14 940, 910
$331. Радий Ra — 911
§332. Рубидий Rb 940, 911
$333. Рений Re 940, 912
$334. Родий Rh 940, 913
$ 335. Радон Rn — 913
$336. Рутений Ru — 913
« 337. Редкие земли 940, 913
$ 338. Сера S — 9l(i
$ 339. Сурьма Sb 940, 916
$340. Скандий Sc 940, 917
$341. Селен So 940, 917
$342. Кремний Si 941, 918
$343. Олово Sn 941, 919
$344. Стронций Sr 941, 920
$ 345. Тантал Та 941, 921
$ 346. Теллур Те 941, 922
$ 347. Тории Th — 922
$348. Титан Ti 941, 9П
$349. Таллин Т1 941, 924
$350. Уран U (ураниды) 941, 924
$351. Ванадии V 942, 926
$ 352. Вольфрам VV 942, 927
$ 353. Ксенон Хе — 928
$ 354. Иттрий Y 942, 928
$ 355. Цинк Zn 942, 928
$356. Цирконий Zr 942, 929
$ 357. Разные соединения. Общие формулы — 930
Глава XII. Дополнение к регистру исследований структур неорганических
иещестн *) 931
Именной указатель 943
Предметный указатель 946
Указатель формул веществ, упоминаемых в I и II частях 951
') См. примечание к гл. XI.

ПРЕДИСЛОВИЕ
При создании этой книги автор ставил себе целью способствовать,
по возможности, решению научных задач теории структур, а также
сделать современные структурные данные достоянием широких кругов
химиков, в особенности молодых исследователей—будущих продолжателей
возникающей в настоящее время новой химии. Книга затрагивает
теоретические представления и экспериментальные данные ряда дисциплин —
кристаллографии, кристаллохимии, неорганической химии, физики
твёрдого тела, рентгенографического и электронографического структурного
анализа, теории химической связи и т. д. Создание такой книги
представляет задачу большой трудности, в чём автор в течение многих лет работы
над рукописью полностью отдавал себе отчёт.
Эти трудности усугублялись во много раз намерением автора
подвергнуть коренному пересмотру самый принцип систематики структур, широко
распространённый в мировой литературе, а также свести воедино
разрозненные сведения о многочисленных работах по изучению структур
неорганических веществ и составить, повидимому первый в литературе, регистр
исследований подобного рода.
R самом деле, излагая в этой книге фактический структурный материал,
автор не мог мириться с тем обстоятельством, что в основе международной
«систематики)/ структур Strukturbericht (SB) лежит формалистическая
концепция группировки структур по соотношению количеств разнородных
атомов в формуле вещества.
Эта концепция помогает лить воду на мельницу теории идеального
кристалла и особенно затрудняет использование структурных данных для
интересующей нас цели—трактовки проблем современной неорганической
химии.
Отвергнув эту концепцию как непригодную для нас, мы положили
в основу систематики, принятой нами в данной книге, важнейший закон
химии —периодический закон Д. И. Менделеева.
Далее, при исследовании структур мы исходили не только из
соотношений количеств атомов, но и из представлений о возможном составе
структурных узлов. При создании систематики сложных структур мы
учитывали также роль не только структурных, но и, по возможности,
термодинамических факторов. Это повлекло за собой иное, чем в SB,
расположение и сопоставление материала, иную подачу его читателю.
Наконец, мы отказались и от характеристики типа структур,
принятой в SB, прибегающей к обозначению типов с помощью последовательности
букв алфавита и натурального ряда чисел. Такая характеристика
полностью затушёвывает физический смысл отвечающей ей структуры. Нами
введена система, основанная на указании: си агонии, к которой принадлежит
вид симметрии кристалла, типа решётки и формы координационных сфер
вокруг отдельных атомов и структурных узлов. Такая характеристика
облегчит освещение структурного материала с позиций современной теории

12
ПРЕДИСЛОВИЕ
валентности и сможет, вероятно, в свою очередь, способствовать развитию
последней.
Поскольку вся литература в области структурного анализа использует
обозначения типов по SB, в данной книге сопоставлены обе системы: наша
(по структурно-координационному принципу) и SB. При этом мы не могли
пройти мимо того обстоятельства, что в SB номенклатура типов от тома
к тому менялась и одна и та же структура обозначается в разных
томах по-разному. В § 107 нами сделано отсутствующее в SB
сопоставление типов, к которым причисляются одни и те же структуры в то .мах
1—VII SB.
Подобный пересмотр представляет собой чрезвычайно сложную научную
задачу, без решения которой, мы уверены, неорганическая химия не может
занять современных позиций. Мы убеждёны, что эта задача вполне но плечу
только советской науке.
Автор будет удовлетворён, если его многолетний труд сможет хотя бы
в некоторой мере способствовать достижению названной цели.
П е р и а я часть к н и г и является очень сжатым изложением основ
теории структур и состоит из двух глав. Первая из них посвящена
кристаллографической теории симметрии, вторая — проблемам кристаллохимии и
природы химической связи применительно к строению главным образом твёрдого
тела. Принципиальная сторона вопроса о таком освещении основ теории
структур изложена в § 1 (Введение). Оно вытекает из несогласия автора с теми
кристаллографическими школами, которые считают возможным излагать
теорию структур только с позиций теории симметрии и с теми физико-
химическими школами, которые подходят к решению этой задачи,
пренебрегая достижениями теории симметрии и опираясь только }ia схемы общей
теории химической связи. Успех дела зависит от творческого синтеза обоих
направлений, в каждом из которых отечественная наука имеет выдающиеся
достижения.
Выбор и изложение материала главы I были подчинены и второму
требованию — максимально учитывать специфику подготовки и склонности
широких кругов химиков, с тем чтобы предлагаемый их вниманию
трудный материал был усвоен с наименьшей затратой сил. В частности,
например, излагая основы теории симметрии, автор имел в виду наличие
значительных разногласий между отдельными школами кристаллографов,
а также разных и противоречивых определений понятий. Учитывая интересы
и подготовку читателя-химика, автор пытался отразить отдельные различия
в освещении проблемы, а также в терминологии, а само изложение
приспособить к образу мыслей и подготовке читателя-химика, и, следовательно,
был вынужден выбирать между строгостью выводов и доступностью
материала. Наконец, пришлось преодолеть большую трудность изложения
обширного и довольно сложного материала всего на нескольких десятках
страниц.
Глава II написана иод несколько иным углом зрения. Основы
кристаллохимии обычно хорошо известны химикам. Слабым местом этой области
пауки в её современном состоянии является некритическое применение
ряда представлений, развитых геометрической теорией кристалла,
примитивных электростатических теорий, примитивных теорий ковалептной
связи. Иногда это вызвано неразумным и вредным преклонением перед
«авторитетом» Магнуса, Гольдшмидта, Паулинга, Сиджвика и других
зарубежных исследователей. Между тем многие представления и труды

ПРЕДИСЛОВИЕ
13
этих авторов безусловно ошибочны или содержат ряд существенных
недостатков. ...
В частности, распространённая у нас книга Л. Паулинга «Природа
химической связи» (1945) (русский перевод, 1918) замалчивает иные пути
развития квантово-химичеекой теории структур (теория молекулярных орбит,
зонная теория твёрдого тела и др.), кроме тех, которые вытекают из
взглядов самого Паулинга. Более того, книга Паулинга в отдельных главах
беснритщишю пропагандирует примитивные электростатические модели
комплексных ионов и координационных структур и тем самым неправильно
ориентирует читателей в этом важном вопросе. Серьёзные ошибки были
допущены в развитой: Паулингом, Уэлаидом, Сыркипым., Днткииой и др..
теории квантово-химичоского резонанса. Хотя критическому рассмотрению
этих представлений посвящена специальная паша монография «Основы
теории структур», закапчиваемая в настоящее время, однако и в данной
книге мы вкратце касаемся некоторых слабых мест этих теорий и широко
распространившихся в литературе ошибочных взглядов особенно
зарубежных школ кристаллохимиков.
С другой стороны, мы считали необходимым коснуться различных
возможных подходов к освещению рассматриваемых проблем, с тем чтобы
привлечь к ним внимание читателя, и в частности тех, которые могут быть
основаны на общих закономерностях, не противоречащих квантовой химии,
по не сформулированных ею. Некоторые из них были выдвинуты автором
if опубликованы в советской литературе значительно ранее, чем к ним
пришли зарубежные исследователи.
При создании второй части книги, посвященной рассмотрении)
важнейших типов структур, мы положили в основу работы те принципы, о
которых говорилось в начале предисловии. Повторять их пет нужды. Здесь
надлежит отметить лишь, что громадной работы в течение нескольких
лет потребовала подготовка большого и сложного графического материала.
Дело в том, что редакции SB не придерживалась, повидимому, той точки
зрения, что для столь ответственного издания обязательна хотя бы
некоторая унификация обозначений па чертежах и рисунках структур. В
результате на одних чертежах металлы обозначены так, как на других
неметаллы. Сами способы обозначения —величина кружков, их штриховка
—произвольно меняются от чертежа к чертежу. Более того, методы изображении
разных структур совершенно различны и сами изображении недостаточно
наглядны. Кратчайшие расстояния между атомами —«связи»—показаны
•сплошь и рядом линиями одинаковой толщины, и па сложных чертежах
бывает трудно установить, какой атом, находится ближе, какой дальше
и как они расположены по отношению друг к другу.
Придя к выводу о целесообразности перестройки большой части
графического материала SB, автор считал необходимым с фотографической
точностью сохранить позиции атомов, отвечающие чертежам SB. Па базе
фотоснимков этих чертежей строились новые чертежи структур: обозначения
атомов и т. п., по возможности, регламентировались по величине и
штриховке, и равномерные линии заменялись «киеобразными»; принимались
и другие меры, чтобы усилить впечатление перспективы. В ряде случаев
пришлось создать по нескольку вариантов чертежей структур, прежде чем
отобрать лучшие. Многие чертежи структур были вообще построены
заново.
Автор счёл нужным дать рисунки и чертежи структур достаточно
крупным масштабом. В ;пом ощущалась особая необходимость, поскольку
приведённые в большинстве курсов и монографий изображения структур
неудобочитаемы ввиду малых масштабов, а иногда и плохого качества
клише.

14 предисловие
Часть третья «Регистр исследований структур неорганических
ве^цеств» является результатом ответственной и чрезвычайно трудоёмкой
работы автора, о содержании которой подробно говорится в вводном
параграфе к III части. Регистр охватывает свыше 25 000 определений (ссылок),
относящихся более чем к 5100 неорганических веществ (наименований).
Автор весьма признателен официальным рецензентам книги—члену-
йорреспонденту Академии наук СССР И. А. Казарновскому и
профессору Г. С. Жданову, а также члену-корреспонденту Академии наук СССР
Й. В. Белову за сделанные ими замечания.
Автор с искренней благодарностью отмечает помощь, оказанную ему при
Оформлении рукописи научным сотрудником Института им. Л. Я. Карш ка
В. И. Смирновой,
Москва 1949 г.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР

ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ
§ 1. Введение
В 1946 г. химия переступила две юбилейные даты: 30 лет со дня
создания первых современных теорий химической связи и 20 лет со дня создания
первой квантово-химической теории химической связи.
Это были блестящие десятилетия научного прогресса, сопутствовавшие
великому штурму атомного ядра, который сделает человечество
властелином сказочных богатств—внутриатомной энергии.
Стремительный поток новых фактов, гипотез, теорий захлестнул старую
науку, которая чуть ли не на пороге этого периода обсуждала «волнующую»
проблему —существуют или не существуют ионы, глубоко переживала
возникновение теории квантов и теории относительности, постулировала
«исчезновение» материи.
Вместо того чтобы усиленно работать над освоением новых открытий,
над созданием новых теорий, многие физические школы отдали дань
растерянности, философской отсталости и реакционным тенденциям и взглядам,
столь глубоко и всесторонне вскрытым в замечательном труде В. И. Ленина
«Материализм и эмпириокритицизм».
Смежные дисциплины—неорганическая и общая химия,
кристаллография, минералогии и даже физическая химия—значительно
запаздывают с освоением нового материала, каждая в разной мере и по разным
причинам.
В наиболее близкой автору неорганической химии ещё в 1932—1933 гг.,
т. е. в середине рассматриваемого периода, пользовались учебниками, либо
умалчивавшими о новых теориях и фактах, либо излагавшими их в
вводных главах без связи с остальным материалом.
Нередко научно-исследовательские школы в области неорганической
химии —и у то в первую очередь относится ко многим представителям
зарубежной науки—вместо творческого освоения новых теоретических данных
с целью поднятия этой дисциплины на более высокий уровень скатывались
на позиции грубого эмпиризма, довольствуясь в ряде случаев ценными
экспериментальными работами, которые сделались возможными при новом
уровне техники эксперимента.
За истекшие с того времени 16 лет многие, тогда новые идеи
стали достоянием курсов химии и научных работ. Однако наука о строении
вещества и структурах веществ тоже не стояла на месте. Она шла
вперёд и притом быстрее, чем смежные дисциплины, и, в частности,
неорганическая химия, осваивавшие сё замечательные открытия. В
настоящее время разрыв становится вопиющим. Он не может быть более
терпим.
Сказанное выше можно подтвердить многочисленными примерами.
Ограничимся ссылкой на распространённый в США, выдержавший ряд

18 ч. i. основы теории структур
изданий учебник Снида и Майнарда, являющийся образцом беспринципной
мешанины, подновлённой «сенсационными» сведениями об отдельных
новейших открытиях.
В чём же заключается острота сложившейся ситуации?
1. Основная сложность заключается в том, что в настоящее время
основы теории структур развиваются почти независимо друг от друга
в области кристаллографической теории симметрии и в области общей
теории химической связи, причём выпускаются курсы и монографии, в
которых одна из этих точек зрения доминирует, а другая часто даже не
упоминается. В качестве примера/ и притом не самого яркого, приведём
вышедшую за рубежом книгу Э. Бранденбергера (1947) «Основы химии
материалов», в которой химии, собственно говоря, вообще нет, а речь идёт
о структурах, применяющихся в технике материалов, и этот вопрос
рассматривается только с геометрических позиций. Полнейшее пренебрежение
ценными данными современной физики и химии ведёт к однобокости текста.
В настоящее время особенно остро чувствуется необходимость
творческого синтеза обоих направлений с целью создания общей теории
структур.
2. Достижения и характер развития науки о строении вещества
всесторонне подтверждают глубокий смысл замечания Энгельса на полых
рукописи «Диалектика природы»: «Кристаллография —часть химии» (как бы
предрешавшего необходимость творческого использования в химии ряда
идей кристаллографии).
Однако современные монографии и курсы неорганической и общей
химии совершенно недостаточно используют сведения о структурах веществ,
а необходимые для понимания этого материала кристаллографические
данные излагаются зачастую даже в лучших учебниках неорганической химии
самым неудачным образом*).
Неорганическая химия совершенно недостаточно использует
результаты структурных отечественных и зарубежных исследований, в частности,
собранных в Strukturhericht (SB), фундаментальном семитомном справочнике
структур и в «Интернациональных таблицах для исследования структур
кристаллов» (IT). Этому препятствует, во-первых, то обстоятельство, что
полный комплект SB имеется лишь в немногих библиотеках, а также и то, что
SB перегружен множеством данных, важных для рентгенографа, но менее
существенных для химика и физика.
Наконец, главным препятствием для использования структурных
данных в химии является принятая в SB чуждая химикам формалистическая
система классификации и нумерации структур по соотношению атомных
концентраций. В силу этого химически столь различные вещества, как FeS2
и СО2, попадают в один и тот же тип, в данном примере С2.
С другой стороны, нельзя уклониться и от того факта, что для
понимания обширной современной литературы в области структур веществ
требуются достаточные знания теории симметрии дисконтинуума, в
большинстве случаев, к сожалению, лежащие вне круга научных интересов
даже ведущих исследователей и педагогов —химиков и физиков.
Пополнение химиками сведений в области кристаллографии
затрудняется, на наш взгляд, в частности, тем, что современные курсы
кристаллографии для химиков не содержат многих важнейших данных в области
теории симметрии, что делает их непригодными для интересующей нас
*) См., например, критическую статью автора «Кристаллография — часть химии»
в «Вестнике Высшей школы», 1947, вып. 3 и 7.
|гл 1

§ 1]
ВВЕДЕНИЕ
19
цели. Полные же курсы кристаллографии излагают соответствующие
вопросы в расчёте на читателя, специально совершенствующегося в
кристаллографии, включают многие дополнительные положения и выводы, без
которых химик мог бы обойтись, а важные с точки зрения интересующей
нас цели сведения даются столь сухо, что во многих случаях—можно не
сомневаться—материал вряд ли будет усвоен читателем-химиком.
Кроме того, русские курсы кристаллографии исключают, как
устаревшие, сведения и термины, отвечающие гемиэдрическим формам. Между
тем IT пользуются именно этой терминологией. В результате читатель, физик
или химик, должен перерыть немало курсов кристаллографии и потерять
значительное время, чтобы понять содержание даже таких заголовков
из IT, как «Пространственные группы моноклинной гемиморфной геми-
эдрии» (IT, том J, стр. 97), «Пространственные группы ромбической эиантио-
морфной гемиэдрии» (IT, том 1, стр. 118) и т. п., не говоря уже о
графической и числовой символике теории симметрии дисконтинуума, применяемой
в публикациях по структурным исследованиям, а также в SB и IT.
Наконец (впрочем, эта наша точка зрения, может быть, является
дискуссионной), мы считаем, что параллельное изложение (в ряде курсов
кристаллографии) теории симметрии континуума и дисконтинуума недостаточно
подчёркивает особенности дисконтинуума и затрудняет химикам понимание
специфических свойств последнего.
В результате, неорганическая химия, опираясь на старую трактогку
периодического закона Д. И. Менделеева, уходит от нового содержания,
которое должно быть вложено в этот величайший закон естествознания
в свете новейших достижений науки, и тем самым напрасно создаёт
«противоречия» между фактами и теорией, легко устранимые при правильной
трактовке. Неорганическая химия уверяет читателя, что существуют такие
соединения, как V2S5, тогда как рентгеновский анализ свидетельствует,
что формулы такого типа для подобных веществ являются мифическими.
Курсы неорганической химии по существу скрывают от читателя
существование соединений, подобных Си9А14 или V^N,^, и возможность любых дроб
лых соотношений, например в атомных концентрациях Ti и О в ряду
TiO—ТЮз п тысячах аналогичных веществ.
Положение в этом вопросе таково, что, как мы указывали недавно
(см. ниже, § 104), даже такие фундаментальные законы, как законы
постоянства состава и химических эквивалентов, безусловно нуждаются в иных
формулировках.
Нельзя не подчеркнуть в связи с этим и тот факт, что в
современных курсах неорганической химии, к сожалению, уделяется
недостаточное внимание созданному замечательным русским химиком Н. С. Кур-
наковым учению о бертоллидах. Если оно и излагается в курсах
неорганической химии, то не как важнейший принципиальный вопрос химки,
а в большинстве случаев не излагается вовсе (см. § 104).
Проблема механизма химической реакции часто трактуется в
неорганической химии оторванно от структур веществ, а проблема структур
веществ—независимо от влияния примесей и условий реакции (§ 103).
Правило фаз оперирует представлениями об однородной структуре
идеальных фаз, не считаясь с особенностями реальных твёрдых фаз
(см. §§ 101, 102).
Весьма печально, что даже лучшие новейшие монографии и обзорные
статьи по неорганической химии часто являются скорее мемуарами в
области давно потерявших остроту проблем, чем боевыми программами и
трактатами современной науки, пускай в отдельных вопросах спорными.
Как общий вывод, следует сказать, что современная неорганическая
химия не может более оставаться лишь на позициях химической термоди-

20
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
иамики и кинетической теории материи: она должна также стать подлинно
структурной неорганической химией.
3. Современная кристаллохимия также развивается весьма однобоко,
опираясь главным образом на электростатическую и стереометрическую
теории твёрдого тела, которые мы считаем относящимися к переломному
периоду кристаллохимии (см. §§ 75—84). Современные курсы
кристаллохимии, а также обзорные статьи недостаточно излагают выводы квантовой
химии и особенно теории реального кристалла, но зато подробно
останавливаются на геометрической и электростатической теориях, как правило,
недостаточных для трактовки структур реальных твёрдых фаз. Более того,
•стремясь представить структуру как плотную упаковку «атомов-шаров%
кристаллохимики часто не учитывают в сколько-нибудь достаточной мере
влияния химических, кинетических, термодинамических факторов, влияния
примесей, условия роста и т. п. С таким положением никак нельзя
далее мириться.
4. Наконец, постановка работ в области структурного фазового
анализа (рентгенографического и электронографического), с точки зрения
химика, страдает досадными промахами и недостатками.
Отдельные группы соединений изучены довольно подробно,
другие—незаслуженно — весьма плохо. Так, например, при наличии детальных сведений
о структуре многих сложных силикатов (этим мы обязаны
заинтересованности школ Белова, Брегга и др.)> структуры ряда простых веществ и
соединений, например, галогеиидов и окислов элементов, в состоянии не
максимальной валентности (ReCl5, OsF4, VC14, SC14 и т. д. и т. п.) изучены весьма
плохо. Это не позволяет сопоставить ряд принципиальных теоретических
взглядов различных исследователей, в том числе автора книги (на
необходимость таких экспериментальных работ автор указывал уже много лет назад,
см., например, ЖФХ XI, 274, 1938 и др.).
Нигде не опубликованы общие сводки работ но структурам веществ,
что крайне затрудняет ориентировку в уже имеющемся материале. Даже
в справочнике SB нет общей сводки типов структур и общего формульного
регистра по 7 томам. Громадное количество работ посвящено материалам, в
отношении которых сведения о химическом анализе и наличии примесей
отсутствуют, что значительно снижает ценность полученных результатов, а иногда
приводит даже выдающихся учёных к грубым ошибкам (см. стр. 750). Лишь
в последнее время в этом вопросе наметился некоторый перелом. Как мы
указывали выше, игнорирование основных положений физической химии
влечёт за собой ошибочную трактовку важнейших вопросов даже в таких
трудах, как SB.
Таким образом, даже в вопросе о систематике структур положение
оставляет желать лучшего.
Необходимость существенных изменений в основных предпосылках
и формулировках ряда дисциплин, о которых мы говорили выше,—очень
сложная задача, для решения которой требуется объединение коллективных
усилий многих исследователей.
Решение таких задач по плечу прежде всего отечественной науке,
вклад которой в рассматриваемую область знания исключительно велик.
§ 2. О роли отечественной науки в создании современной теории структур
Здесь мы имеем возможность лишь коротко остановиться на вопросе
о выдающейся роли отечественной науки в создании современной теории
структур.
Отечественной науке принадлежит высокая честь создания основ теории
симметрии. Назовём выдающиеся труды математика Эйлера (XV111 в.),

§ 2] О РОЛИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ! НАУКИ И СОЗДАНИИ ТЕОРИИ СТРУКТУР 21
работы А. В. Гадолипа по выводу 32 видов симметрии и позже блестящий
труд Е. С. Фёдорова по выводу 230 пространственных групп.
Нельзя не подчеркнуть, что в основном применяемые в IT
графические изображения 230 пространственных групп симметрии и др.
представляют собой воспроизведение (и притом с бесцеремонным отсутствием
ссылок на первоисточник) чертежей, опубликованных Е. С. Фёдоровым
в 1895 году. Таким образом, автором всех важнейших диаграмм IT
с относящейся к ним -характеристикой, составляющих главную ценность
для структурных исследовании (среди прочего материала IT), является
наш великий соотечественник. (См. также Н. В. Белов [13].)
Проблемам теории симметрии посвятили ряд глубоких исследований
Л. К. Болдырев, Г. В. Вульф, Б. Н. Делоне, А. В. Шубников и другие.
Е. С. Фёдорову принадлежит фундаментальная работа «Царство
кристаллов», в которой было сделано обобщение огромного экспериментального
кристаллографического материала. Им же были заложены основы кристал-
лохимического анализа и создан основной метод кристаллооптического
анализа, известный пауке под названием фёдоровского метода. Этот метод
лежит в основе многих исследований в области кристаллографии,
минералогии, петрографии.
Позже он был дополнен А. II. Заварпцким. В последние годы в области
кристаллооптического и кристаллохимического анализа ряд ценных работ
выполнен Г. Б. Бокием.
Фёдоровым была создана плодотворная теория атомных полиэдров,
нашедшая в паше время развитие в двух направлениях: а) в теории
координационных полиэдров, воплощённой в очень интересных работах
советского учёного Н. В. Белова и в ряде зарубежных исследований и б) в
к на пто во-химической теории атомных полиэдров.
Проблеме образования структур из координационных полиэдров
посвящен ряд исследований Л. В. Белова, нашедших своё обобщение
в его монографии «Структуры ионных кристаллов и металлических фаз».
В этой монографии показана, в частности, возможность существовании
ряда новых форм координационных полиэдров. Второе направление
представлено в работах Зейца («атомные полиэдры»), С. Т. Копобсевского и др.
Исключительное значение для понимания атомных сеток, образующих
грани кристалла, имеет закон Г. В. Вульфа, вложивший физический смысл
в неточный закон Браво и давший физическое обоснование закону
постоянства углов кристалла.
Г. Б. Вульфу принадлежит честь вывода, одновременно и независимо
от Брегга, основного уравнения, связывающего межплоскостиые
расстоянии в кристалле с. длиной волны и углом отражения рентгеновых лучей —
уравнения, лежащего в основе структурной рентгенографии и
электронографии (ii\ = 2dhklbU\ Ь).
Сыгравший столь большую роль в описании симметрии внешней формы
и структуры кристаллов метод стереографической проекции с применением
градусных сеток" особенно обязан своим развитием Г. В. Вульфу и А. К.
Болдыреву.
Основоположником структурной теории в химии был А. М. Бутлеров.
Его выдающиеся работы дали сильнейший толчок развитию теоретической
химии и, в частности, позволили создать современную органическую
химию.
Современная теория строения молекул и химической связи в
молекулах весьма успешно разрабатывалась в трудах наших спектроскопистов
А. Н. Тсреиина, Г. С. Ландеберга, В. II. Кондратьева и др.
Современная физическая теория твёрдого тела создавалась под
непосредственным воздействием трудов советских учёных А. Ф. Иоффе,

22
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл.1
С. Т. Коиобеевского, В. Д. Кузнецова, П. А. Ребиндера, И. Е. Тамма,
В. А. Фока, Я. И. Френкеля, причём некоторые из названных
исследователей дали толчок также работам в области физики реальных
твёрдых фаз.
Проблемы энергии кристаллической решётки нашли развитие в
работах А. Ф. Капустииского, а приложения энергетики кристаллов в
геохимии—в трудах блестящего советского исследователя А. Е. Ферсмана,
разделившего с В. И. Вернадским честь создания геохимии.
Принцип М. В. Ломоносова является руководящей идеей химии
реальных твёрдых фаз.
Систематический ряд исследований в области химии (и отчасти физики)
реальных твёрдых фаз был выполнен в лабораториях С. о. Рогннского
и автора книги.
Периодический закон Д. II. Менделеева является основным началом в деле
построения современной химической систематики структур. Данная книга
и представляет собой попытку его приложения в рассматриваемой области.
Отечественная школа исследователей явилась основоположником
современного физико-химического анализа. Н. С. Курнаков, Г. Г. Уразов
ir их сотрудники заложили основы химии фазовых переходов, играющей
столь большую роль в современной теории структур.
Физика фазовых переходов нашла развитие в трудах Л. Д. Ландау
л В. К. Семенченко.
Спектроскопические исследования твёрдого тела, и ро ведённые
Л. И. Мандельштамом и Г. С. Ландсбергом, привели к открытию эффекта
комбинационного рассеяния света (эффект Ландсберга—Мандельштама —
Рамаиа), столь важного для многих выводов о природе химической связи
и к ряду работ в этой области (Г. С. Лаидсберг, Я. К. Сыркин, А. И.
Бродский и др.).
Структурные рентгенографические исследования большой
сложности и экспериментального совершенства выполнены в лабораториях
П. В. Агеева, Н. В. Белова, Г. Б. Бокия, Г. С. Жданова, А. И.
Китайгородского, 3. Г. Пинскера, Я. С. Уманского и др.
А. К. Болдыреву и его сотрудникам принадлежит честь
опубликования первого в мировой литературе рентгенографического определителя
веществ (1938 vX
В постановке структурных исследований неорганических веществ
большую инициативу проявил И. А. Казарновский. В результате был
расшифрован ряд структур гидридов и высших окислов. При этом И. А.
Казарновскому и его сотрудникам удалось открыть новый ряд кислородных
соединений — озонидов.
В СССР за последние годы получены чрезвычайно важные результаты
также в области приложения общей теории структур к различным
специальным группам веществ. Здесь надо прежде всего назвать исследования
Н. В. Белова и его сотрудников в области строения силикатов,
Г. Б. Бокия и Г. С. Жданова в области структур комплексных соединении,
В. А. Каргина и его сотрудников в трудной области строения
высокомолекулярных веществ, А. 11. Китайгородского в области структур
органических веществ.
Несмотря на исключительно интересные результаты экспериментальных
структурных исследований, осуществлённых в СССР за последние 10 лет,
необходимо отметить, что экспериментальные работы в области
рентгенографического и олектронографического структурного и фазового анализа
в количественном отношении поставлены у нас — относительно — ещё
в недостаточной мере. Мы не сомневаемся, что в ближайшие годы и в этом
направлении будут достигнуты надлежащие сдвиги.

§ /|| ЛГРКГЛТНЫК СОСТОЯНИЯ. ЗАКОН АНИЗОТРОПИИ 23
С другой стороны, при критическом рассмотрении многочисленных,
выполненных за рубежом экспериментальных исследований в области
строения различных фаз (с чем мы столкнулись в процессе создания книги)
бросается в глаза, что многие из этих работ были выполнены с материалами
недостаточной чистоты, часто содержат грубые ошибки и могут быть
использованы лишь с серьёзными оговорками. Более того, даже редакции
таких фундаментальных трудов, как SB, допустили ряд принципиальных
и практических ошибок, что будет нами проиллюстрировано многими
примерами в следующих главах.
Обобщая наш по необходимости беглый и ни в коем случае не
претендующий на полноту обзор, можно сказать, что для отечественной науки
характерны работы над фундаментальными, основными проблемами
рассматриваемой области знания и блестящее решение многих узловых
вопросов классической и современной теории структур.
А. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ КОНТИНУУМА
§ 3. Континуум и дисконтинуум
Вещество может рассматриваться в одно и то же время и как
непрерывная среда—континуум и как прерывная—-дисконтинуум. Среда
представляется нам непрерывной при обычном визуальном или
микроскопическом изучении. Она оказывается прерывной при увеличении в 107—108 раз,
когда мы говорим о положениях отдельных атомов. Столь высокое
увеличение влечёт за собой необходимость учёта новых особенностей среды.
Рассмотрим некоторые особенности континуума.
§ 1. Агрегатные состояния. Закон анизотропии
Вещество может находиться в твёрдом, жидком и газообразном
агрегатных состояниях, различаемых по своим свойствам. В газообразном
состоянии вещество, как учила классическая физика, легко изменяет свой
объём и форму; в жидком состоянии легко изменяет форму, но с трудом
изменяет объём; в твёрдом—с трудом изменяет объём и форму. По этим
признакам более или менее однозначно определяется лишь газообразное
состояние. Твёрдое и жидкое состояния различить подобным образом в ряде
случаев нельзя. Так, «твёрдое» на вид стекло оказывается переохлаждённой
жидкостью (см. §§ 7 и 8).
Рассмотрим в лупу снежинки, медленно кружившиеся в воздухе и
упавшие на ветку дерева. Мы видим правильные звёздочки, состоящие из 6 лучей,
углы между которыми с удивительным постоянством близки к 60°. При
более сильном увеличении видны отдельные плоскогранные призмы
правильной формы. Это—кристаллы льда, твёрдой воды.
^Кристаллом называется твёрдое тело, ограниченное в силу своих
внутренних свойств плоскими поверхностями—гранями»,—писал выдающийся
русский кристаллограф Г. В. Вульф.
В настоящее время мы знаем, что подлинно твёрдое состояние является
кристаллическим. Мы живём, таким образом, в мире кристаллов.
«Многогранная форма кристалла служит лишь одним из выражений
свойств составляющего его вещества, и правильное, исчерпывающее
определение кристалла должно, очевидно, характеризовать именно те внутренние
свойства вещества, которые отличают кристаллизованное вещество от
аморфного*) и внешним выражением которого является многогранная форма
кристалла» (Вульф).
*) 05 аморфном состоянии см. §§ 7 и 8.

«н
4.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
Изучая твёрдые тела и жидкости, следует различать векторные
(векториальные) и скалярные свойства вещества.
Скалярные свойства для любого агрегатного состояния вещества
не зависят от направления (например, теплоёмкость, скрытая теп.юта
испарения). Свойства веществ в жидком состоянии обычно не зависят от
направления. Ряд свойств вещества в твёрдом состоянии являются вск-
торными, т. е. зависят от
направления (например,
электропроводность, теплопроводность
и т. п.).
Для всех без исключении
твёрдых тел (кристаллов)
справедлив закон анизотропии:
Вещество в твёрдом пн-тон-
пии анизотрошю, т. е.
векторные свойства его в любых
внутренних точках кристалла в
одинаковых (параллельных), а также
в симметричных направлениях
одинаковы, в разных
направлениях различны (рис. 1: а—к\б,
вырезанный из изотропного
материала — стекла, Ь — к рис тал. i
белого олова). Вещество в жидком состоянии статистически изотропно*),
т. е. любые свойства его не зависят от направления.
Рис. 1. Зависимость теплоироводности^от
направления.
Плаилеиис поверхностного слоя парафина нокруг
горячей иглы.
§ 5. Твердое и жидкое состояния в свете химической термодинамики.
Закон Вульфа
Опираясь на чисто термодинамические представления, можно
предложить довольно строгий критерий, позволяющий различить тнёрдое
и жидкое состояния. Вещество в твёрдом состоянии стремится в сил}
своих внутренних свойств приобрести плоскогранную форму, в жидком
состоянии—форму шара.
Это положение можно обосновать следующим образом:
Энергетически наиболее выгодной формой конденсированной (твердой,
жидкой) фазы является такая, свободная поверхностная энергия которой
является наименьшей. Энергией элемента поверхности с/// является
dF=adij
(I)
где z—удельная свооодная поверхностная энергия.
Так как вещество в жидком состоянии изотропно, то поверхностная
энергия различных участков поверхности жидкой фазы одинакова.
Наименьшая работа образования поверхности отвечает той геометрической
форме, поверхность которой при данном объёме является минимальной.
Именно эта форма является для жидкости термодинамически наиболее
устойчивой. Из геометрии известно, что такой формой является шар.
Естественно, что наиболее устойчивой формой вещества и в твёрдом
состоянии является та, свободная поверхностная энергия которой при
одном и том же объёме вещества является наименьшей.
*)Мы говорим -статистически изотропно, ибо и в жидкости возможны мпкроитрук-
турные образования, статистически беспорядочно ориентированные ио отношению др\г
к другу.
Некоторые специальные случаи (например, жидкие кристаллы) мы лдесь но имеем
возможности рассматривать.

/
СТЕКЛОВИДНОЕ II АМОРФНОЕ СОСТОЯНИЯ
25
Но в случае вещества в твёрдом состоянии поверхностная энергия
участков поверхностей, перпендикулярных различным направлениям
(радиусам-векторам), различна. В результате вещество приобретает
плоскогранную кристаллическую форму. Согласно
принципу Гиббса-Кюри, наиболее термодинамически
устойчивой форме отвечают такие грани, для
совокупности которых соблюдается условие: суммарная
свободная поверхностная энергия
)Lzidy = ruin- (2
при г—const, где ^ означает суммирование но всем
граням (г — объём тела).
Искомый минимум свободной поверхностной энергии
кристалла при данном объеме, согласно закону Вульфа
(1895 г.), достигается при том взаимном
расположении граней кристалла, когда они удалены от одной
и той же точки на расстояния, пропорциональные их
удельным свободным поверхностным энергиям.:
д.,
(о) фа пг
Рис. 2. ^акон Вуль-
Этот закон (рис. 2) был многократно доказан также последующими авторами,
в частности Я. 11. Френкелем, М. Лауэ и др.
Закон Вульфа является крупным вкладом русской пауки в дело
создания современной кристаллографии.
§ 6. Монокристалл и поликристалл
Если, например, правильный*) в смысле внутренней структуры
кристалл (идеальный монокристалл) измельчить в порошок или подвергнуть
быстрой кристаллизации расплав того же вещества, то образуется
поликристаллическое вещество, состоящее из многих беспорядочно
ориентированных кристалликов. Каждый такой микрокристалл в отдельности
сохраняет анизотропию и структуру, присущую монокристаллу.
Хотя в иоликристаллттческом веществе векториость физических
свойств при исследовании обычными макрометодами, вследствие
статистической ориентировки кристаллов, часто не выявляется, она всё же может
быть обнаружена специальными методами, например
рентгенографически (метод «порошка»). Это, и частности, отличает поликристаллпческое
вещество от жидкостей.
§ 7. Стекловидное и аморфное состояния
Этот сложный вопрос различными исследователями трактуется
по-разному и подробно будет подвергнут нами критическому
рассмотрению в другом месте. Вкратце нам кажется целесообразным ограничиться
здесь следующими представлениями.
Осторожно п е р е о х л а ж д ё н и ы е ниже точки затвердевания жидкости
приобретают всё большую вязкость и превращаются в
«стекло»—обыкновенное оконное стекло, карамель, столярный клей. В стёклах мы не
обнаруживаем, даже в микроскоп, разрыва сплошности.
Порошкообразные вещества, большинство химических связей в
пылинках которых разорваны химическим или механическим путём и в которых
не обнаруживается кристаллическая структура даже микрометодом, пазы-
*) Как мы увидим ниже (§ 101, 102), рояльные монокристаллы далеко но
иодны от дефектом структуры.

2в
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
р\
Рис. 3. р—Г-диаграмма одиоком-
понентной системы.
ваютси аморфными. Примером таких веществ является сажа. Элементы
структуры исходных твёрдых тел в них в некоторой мере сохраняются,
однако при этом возникает и ряд особенностей, характерных для аморфного
состоянии [11].
0
§ S. Фазовые превращения в слете правила фаз. р—Т-диаграашы
В работах современных авторов часто обнаруживаются неправильные
характеристики упомянутых выше агрегатных состояний*). Нам кажется
поэтом) целесообразным иллюстрировать соотношения между последними
с помощью р—1 -диаграмм, оперируя
известным химику понятием фазы.
Физическая химия относит реакции
превращения друг в друга твёрдых
модификаций вещества, например [А]а;г^[А]р,
к двум различным типам: а) энантиотроп-
пым и б) монотропным превращениям.
В первом случае (смотри р—Г-диаграмму,
рис. 3) существует некоторая темпера-
тУРа *п (температура превращения), ниже
которой термодинамически устойчива одна
модификация (ветвь а), а выше которой —
другая (ветвь 3). В точке Ти свободная
энергия перехода ЛД=0 (рис. 4, а). Во
втором случае (смотри р — Г-диа грамму,
рис. 3) одна из форм во всём интервале
температур, начиная от абсолютного нуля,
термодинамически неустойчива (ветвь тп)9 так что для реакций
перехода в другую форму при всех температурах 1А < 0 (рис. 4,6).
Классическим примером
систем первого типа
является:
Sn серое ~^Sn белое, для
которой *п—18°С,
S ромб, T^S мо но к л., для
которой /П=9Г)°С.
Классическим примером
систол! второго типа
является:
С алмаз—>С графит.
Алмаз термодинамически
неустойчив при р=\. атм
при "всех температурах.
' Г) Области ЛТлавл — *mm
термодинамически
устойчивой является жидкая фаза
(ветвь /, рис. 3). Переохлаждённой жидкости—стеклу —отвечает ветвь #,
являющаяся продолжением влево ветви /.
Наконец, в зависимости от степени разрыва связей в твердом теле его
структура становится всё более и более дисперсной и под конец аморфной.
При этом упругость пара всё более растёт. На р— Г-диаграмме возникает
бесконечно большое количество состояний (полоса) а.
*) Например, Стилвелл (1038) в своей «Кристаллохимии» утверждает, что твёрдое
состояние может быть условно разделено на кристаллическое, стеклообразное и
аморфное состояния.
кал
500
Л00
300
200
100
-
-
.L.
а£ —
\лВ
I-J 1 J-^l L-
нал
woo
800
600
400
200 \
\-
^У
S
' |гта„|
О 50 150
в
Рис.
Значении \Е и Д. L для энантиотроиного
и монотроиного процессов.
а; Унантиотропный процесс aSii^p.Sn ГЦСр=-291 К.
Кривая АЛ пересекает ось абсцисс при 291 . Ь) Монотроиный
процесс Салм= ('граф. Кривая ал ни при каких
температурах ие пересекает осп абсцисс (ирп р — 1атм).

101
С11ММСТМ1Я. aiMMKTl'Ilfl ФОГМЫ. СЛММКТГПЯ СТРУКТУРЫ
27
ЙЧ)
т
/77
§ 9. Закон постоянства углов
В соответствии с законом анизотропии и законом Бульфа
термодинамически устойчивая внешняя форма вещества является функцией его
внутренней структуры.
Следствием этого
является ряд важных
законов кристаллографии,
в частности закон
постоянства углов.
«Кристаллы одной и той же
модификации данного вещества
могут иметь разную
величину, форму и количество
г/пи (с ii, по углы между
соответствующими
гранями при данной
температуре и давлении
остаются постоянными» (рис. Г>).
Особый интерес
представляют правильные
плоскогранные кристаллические формы, отвечающие равновесным соотношениям
/ii : п2 : л8- (3)
Правильность кристаллических форм лучше всего описывается теорией
симметрии.
Ч^>
Рис.
Углы между соответственными гранями
различных кристаллов гипса одинаковы.
10. Симметрии. Симметрия формы. Симметрия структуры.
Симметрия физического процесса
Явление симметрии в геометрических формах окружающих нас
предметов внешне хорошо известно. Например, цветку на рис. 6, а свойственна
симметрия. Комментируй 5
птот приме]) в своем
учебнике [181, К. С. Фёдоров
так определяет понятие
^симметрия»: ^Симметрия
есть свойство геометри-
"''Ct.'ux фигур... в
различных положениях
приходить в совмещение с
первоначальным положением».
Y
h
4,
-1
%
[о,
г
А
'"*
м
V7
Рис. G. Явление симметрии.
При повороте цветка вокруг оси, проходящей через его центр
перпендикулярно чертежу, он Г> раз совмещается с первоначальным положением.

28 ч. i. основы теории структур [гл. ).
Цветы на рис. 6, Ь симметричны, как предмет и его изображение в зеркале 55.
Линия SS делит пополам линии АЛ, соединяющие симметричные точки
(см. § 11).
Обычно подчёркивают, что симметрия формы кристалла находится
в прямой зависимости от симметрии его структуры. Например, кубическая
форма кристаллов каменной соли отражает соответствующее
расположение в них атомов (ионов) натрия и хлора (см. рис. 95,е). Однако такая чёткая
связь выявляется не всегда (см. § 31 и 37).
Наконец, следует считаться с симметрией физических процессов и
явлений как третьей формой проявления симметрии в природе. Симметрия
физического процесса связана с симметрией структуры и часто выявляет
последнюю. Например, в опыте, показанном па рис. J, обнаруживается
связь теплопроводности в кристалле с симметрией! последнего. Важно
отметить, что характер этой связи зависит от характера физического
процесса. Например, в кубических кристаллах скорость распространения света
во всех направлениях одинакова, т. е. обладает шаровой симметрией, гораздо
более высокой, чем симметрия куба. Приняв симметрию физического
процесса за симметрию структуры, можно также допустить серьёзную ошибку
(см., например, § 61, закон Фриделя).
§ 11. Операции симметрии и элементы симметрии
Объектом исследования является фигура, т. е. некоторая группа
(совокупность) точек. В отличие от математических точек* в теории структур
обычно принимается, что кристаллографическая точка имеет протяжённость,
собственную симметрию и ориентировку. Обоснование этому следует видеть,
в частности, в том, что с переходом от кристаллографической точки к атому
приходится учитывать строение последнего и пространственное
распределение связей.
Наличие симметрии и характер последней определяются с помощью
элементов симметрия и отвечающих им операций симметрии.
Операцией симметрии называют операцию совмещения точки (пли
части) фигуры с другой точкой (или частью) последней. Обе совмещаемые
части фигуры симметричны друг другу. Операцию симметрии осуществляют
с помощью элементов симметрии.
В теории симметрии континуума различают: элементы симметрии
I рода: плоскости симметрии, поворотные оси симметрии или гиры и центр
инверсии, и сложные элементы симметрии II рода: инверсионные оси или
гироиды, а также зеркально-поворотные оси или нлангироиды. Все они
называются элементами точечной симметрии. Буквенные и графические
обозначения элементов симметрии см. § 14, табл. 1.
Плоскостью симметрии называется плоскость зеркального
отражения, осуществляющая совмещение симметрично равных точек (рис. (3, Ь
и 7, а).
Плоскость симметрии делит пополам все перпендикулярные си
прямые, соединяющие симметричные (симметрично равные) точки (части)
фигуры.
Поворотной осью симметрии п-гп нарядна (гирои) называется
прямая (ось), при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол
360°/я, именуемый элементарным углом, происходит совмещение
симметричных (совместимо равных) точек (соответственно частей) фигуры
(рис. 7, Ь).
Порядок оси (п) определяет, таким образом, сколько раз произойдёт
совмещение симметричной фигуры с самой собой при её повороте вокруг
оси на 360°.

Ill
ОПЕРАЦИИ СИММЕТРИИ И ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ
29
Если речь идёт не о кристалле, а о некоторой совокупности
кристаллографических*) точек, образующих ту или иную фигуру, или о
самостоятельной кристаллографической точке, порядок поворотной оси может быть
любым. Так, шар имеет бесконечно большое количество поворотных осей
любого, в том числе бесконечного порядка, т. е. приходит в совмещение
с исходным положением при повороте на любой, в том числе и бесконечно
.малый, угол.
Цилиндр и эллипсоид вращения имеют одну ось любого, в том числе
бесконечного, порядка и бесконечно большое количество осей 2-го порядка.
Правильные многоугольники с количеством углов от 3 до ос, в
соответствии с натуральным рядим чисел, т. е. 3, 4,
«>, 6, 7, 8, 9, 10 и т. д., имеют соответственно
поворотные оси 3, 4, 5, (j, 7, 8, 9, 10-го и
т. д. порядков. В предельном случае
окружность имеет ось бесконечного порядка.
Прямоугольники имеют поворотную ось 2-го
порядка.
Ось 1-го порядка означает, что «в данном
направлении элемент симметрии отсутствует»
\
Аэ
\
/
Рис. 7. Плоскость симметрии, поворотная ось, центр инверсии.
(формулировка IT), т. е. тело совмещается с самим собой лишь при
повороте па 300°.
13 кристалле порядок поворотных осой (гир) ограничен. В этом случае
возможны лишь поворотные осп 1, 2, 3, 4 и (>-го порядка и никакие дру-
1ие. Поряден; оси указывается приставками: дигира—поворотная ось 2-го
порядка, тригира—3-го, тетрагира—4-го, гексагира—6-го порядка (рис. 8).
Поворотные оси, порядок- которых выше чем 2, называют главными осями,
остальные—побочными.
Оба конца поворотной оси могут быть одинаковыми, например, в
случае поворотной оси 4-го порядка, проходящей через тетрагональную бипи-
рамиду, или разными, например, в случае поворотной оси 4-го порядка,
проходящей через тетрагональную пирамиду. И первом случае поворотная
ось называется биполярной, во втором—полярной. Их обозначения —
|-м. § \'\. Оба случая показаны и на рис. 8 (см., например, ось 4 и 4/т).
Центром инверсии {центром обратного равенства, центром симметрии)
низы кается точка пересечения линий, соединяющих противоположные,
*) T.j-есть имеющих протяженность и собственную симметрию.

30
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. \
параллельные, равные, но обратно направленные (антисимметричные) части
фигуры.
Соединив соответствующие части точек (рис. 7, с) прямыми,
обнаруживаем, что точка пересечения последних может быть уподоблена
фотообъективу, опрокидывающему (инвертирующему) изображение. На рис. 13
показан кристалл анортита, имеющий центр инверсии.
Таким образом, мы будем различать: симметрично равные (при
наличии плоскости симметрии), совместимо равные (при наличии гиры) и
чё2/ *fe/
О £><♦>{•>
Рис. 8. Поворотные осп 2, 3, А и г, и соответствующие'проекции
перпендикулярно оси.
а) Полярные (ось л). Ь) Пшго.шрнмс I — J. (Горизонтальная
плоскость'симметрии.)
обратно равные — антисимметричные (при наличии .'центра инверсии)
точки, соответственно, части фигуры*) (см. рис. 7).
Как видно из рис. 9, гексагональная призма как геометрическая форма
имеет 1 гексагиру, 6 дигир, 6 плоскостей симметрии, параллельных гекса-
*) Если подходить к форме и строению кристалла с точки зрения закона
анизотропии, то, очевидно, в нём должны обнаруживаться не только симметричные точки
м части, но и симметричные направления.

§ И] ОПЕРАЦИИ СИММЕТРИИ II ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ 31
гире, 1 плоскость симметрии, перпендикулярную гексагире, и центр
инверсии.
Тетрагональная пирамида (рис. 9, Ь) как геометрическая форма имеет
1 тетрагиру и 4 плоскости симметрии, параллельные тетрагире.
Рис. 9. Элементы симметрии гексагональной призмы и тетрагональной
пирамиды как геометрических форм.
На рис. 9, Ь плоскость симметрии (чёрная), параллельная переднему ребру основания
пирамиды, в ле и ой части рисунка не показана, чтобы не заслонять леную зад mow
иершину основания.
Фигура и её зеркальное отражение либо могут быть пространственно
совмещены друг с другом (рис. 10, а), либо не могут иначе, кате с помощью
I
J-
i
\L±
\
Рис. 10. Явление анантиоморфизма.
зеркального отражения (рис. 10, Ь). Фигуры, которые могут быть
щены только путём зеркального отражения, как, например,
и левая перчатки, называются энантиоморфными.
совме-
правая

32
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
§ 12. Плоскости симметрии и действующие совместно и нераздельно
плоскости зеркального отражения
Эффект поворотной оси с элементарным углом а эквивалентен
последовательному отражению в двух действующих совместно и нераздельно
плоскостях зеркального отражения, пересекающихся под углом а/2.
• I
I
—+-—
9
^
V
Л
/'
\
Рис. 11. Плоскость двойного отражения и две взаимно
перпендикулярные плоскости симметрии.
Рассмотрим в качестве примера дигиру (я =180°) (рис. 11, а). Точка Pi
в результате первого отражения попадёт в промежуточную позицию Si,
в результате второго отражения — в позицию Р2> т. е. один поворот на угол а
Рис. 1-. Плоскости тройного отражения и три взаимно перпендикулярные плоскости
симметрии.
эквивалентен двум последовательным отражениям в плоскостях,
пересекающихся под углом а/2. Подчеркнём, что в этом случае две плоскости
зеркального отражения не являются плоскостями симметрии данной грушпт

§ 13]
ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ 2-ГО РОДА
33
точек Pi, Р2у иначе мы пришли бы к фигуре рис. 11, 6, состоящей не из двух,
а из четырёх точек.
Такие две действующие совместно и нераздельно плоскости отражения
Вульф называл нереальными (плоскости двойной симметрии, двойного
отражения). Отметим, что если в фигуре действительно имеются две взаимно
перпендикулярные плоскости симметрии, то прямая, по которой они
пересекаются, является поворотной осью 2-го порядка.
Последовательное отражение в трёх действующих
совместно и нераздельно взаимно перпендикулярных
плоскостях зеркального отражения (из коих каждая,
сама по себе, не является реальной плоскостью
симметрии фигуры) равнозначно действию центра
инверсии (рис. 12, а). Напротив, в случае трёх взаимно
перпендикулярных плоскостей симметрии возникла
бы фигура не из двух, а из восьми точек
(рис. 12, 6).
Таким образом, наличие центра инверсии,
приводящего к образованию фигуры из двух точек, не
эквивалентно по действию на точку трём взаимно
перпендикулярным плоскостям симметрии,
приводящим к образованию 8 точек. Напротив, точка
пересечения трёх взаимно перпендикулярных плоскостей
симметрии есть в то же время и центр инверсии.
(На рис. 13 показан кристалл анортита, имеющий
центр инверсии.)
В связи с этим примером уместно подчеркнуть
(см. § 24), что кристаллография различает
порождающие элементы симметрии (в данном случае
плоскости симметрии) и порождённые элементы
симметрии (в данных примерах поворотная ось 2-го порядка, соответственно
центр инверсии), необходимо возникающие из данной совокупности
элементов симметрии.
Рис. 13. Кристалл
анортита. Грани
кристалла попарно
взаимно равны,
параллельны и обратно
направлены (обратно
равные грани).
§ 13. Элементы симметрии 2-го рода. Зеркально-поворотные
и инверсионные оси
В некоторых случаях для совмещения с исходным положением
необходимо осуществить не только поворот фигуры на элементарный угол, но и
отражение в действующей совместно и нераздельно вспомогательной
плоскости, перпендикулярной к оси, вокруг которой поворачивается фигура. (Эта
плоскость, как мы сейчас увидим, необязательно является плоскостью
симметрии фигуры.)
Подобные сложные оси или оси сложной симметрии называются
зеркально-поворотными осями, или плангироидами. Они относятся к
элементам симметрии 2-го рода в отличие от простых элементов симметрии
1-го рода, с которыми мы частично познакомились в предыдущих
параграфах.
Операции, выполняемые с помощью зеркально-поворотных осей, могут
быть осуществлены и с помощью инверсионных (или
инверсионно-поворотных осей), также относящихся к осям сложной симметрии.
Инверсионными осями п-го порядка называют оси, сочетающие действие
поворотной оси того же порядка и, совместно и нераздельно, — центра
инверсии. Подобные оси часто называются гироидами (дигироиды, трп-
гироиды, тетрагироиды, гексагироиды).

34
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
Инверсионная ось 1-го порядка и зеркально-
поворотная ось 2-г о порядка*)
Повернём точку Рх (рис. 14, а) вокруг поворотной оси 1-го порядка
(т. е. на 360°). Она совместится сама с собой. Отразив её теперь через центр
инверсии О, переведём её в точку Р2. Очевидно, инверсионная ось 1-го
порядка эквивалентна
центру инверсии.
Теперь рассмотрим
действие
зеркально-поворотной оси 2-го
порядка.
Проведём плоскость
отражения тс и под
прямым углом к ней ди-
гиру (рис. 14, 6),
пересекающую плоскость
те в точке О.
Осуществив поворот на 180е,
переведём точку Pi
в промежуточное
положение *Si.
Последующее отражение в
плоскости те переведёт
точку в окончательное
положение /V- в
совокупности получим
зеркально-поворотную ось
2-го порядка (а =180°).
Итак, центр
инверсии, как инверсионная
ось 1-го порядка,
эквивалентен по конечному
результату зеркально-поворотной оси 2-го порядка.
На рис. 14, с показана проекция точек на плоскость, перпендикулярную
инверсионной оси. Неразличимые проекции верхней и нижней точек условно
обозначены по-разному. То же относится к рис. 15, с—18, с включительно.
Рис. 14. Инверсионная ось 1-го порядка Г. Зеркально-
ново ротная ось 2-го порядка. Плоскость « не является
плоскостью симметрии т. Центр инверсии имеется.
Инверсионная ось 2-го порядка и зеркально-
поворотная ось 1-го порядка
Очевидно, что инверсионная ось 2-го порядка равнозначна по
результату плоскости симметрии (рис. 15, а). Повернув точку Pi вокруг ди-
гиры на 180°, переведём её" в положение Si, но отражение через центр
инверсии переводит её в положение Р2, куда точка Р1 попала бы просто
в результате отражения в плоскости симметрии, перпендикулярной оси
в точке О,
Воспользуемся теперь зеркально-поворотной осью 1-го порядка
(рис. 15 ,Ь). Повернув точку Рх вокруг оси 1, приведём эту точку в исходное
положение. Последующее отражение в плоскости тс переведёт точку Pt вполо-
*) На рис. 14 —17, с кружками показаны соответствующие проекции точек.
Нижние и верхние точки отличаются графически.

§ ^_
жение Р2 и т. д.
Очевидно, что зеркально-
поворотная ось 1-го
порядка эквивалентна по
результату оси 2.
Плоскость тг является
плоскостью симметрии т.
Инверсионная
ось 3-го порядка
(3) и зеркально-
поворотная ось
6-го порядка
Инверсионная ось
3-го порядка
эквивалентна по результату
поворотной оси 3-го
порядка плюс центр
инверсии. Рассмотрим
рис. 16, а.
Точка Р\ (вверху)
поворотом на 120°
переводится в положение Р5
и через центр
инверсии— в положение Р2
(внизу). Точка Р>>
поворотом на 120° в
промежуточное положение Р±
и через центр инверсии
в положение Рз (вверху)
и т. д. В результате
получим в верхней
плоскости три положения:
Pi, Рз и Р5, в нижней
также три положения:
Р2, Ра и Рс, причём
три верхних положения
находятся над
незанятыми местами между
тремя нижними
положениями.
Совершенно
очевидно, что
зеркально-поворотная ось 6-го
порядка приводит к тому же
результату (рис. 15, Ь).
Поворотом Рг на 60° и
отражением в
плоскости ти
(перпендикулярной оси) находим точку
Р2 и т. д. Плоскость тс
не является плоскостью
симметрии фигуры.
Рис. 15. Инверсионная ось 2-го порядка -J. Зеркально-no-
поротная ось 1-го порядка. Плоскость тс является
плоскостью симметрии т. Центр инверсии отсутствует.
Рлс. 16. Инверсионная ось 3-го порядка 3.
Зеркально-поворотная ось Ого порядка. Плоскость тс не является
плоскостью симметрии т. Центр инверсии имеется.

36 Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР |ГЛ. I
Инверсионная ось 4-го порядка (4) и зеркально-
поворотная ось 4-го порядка
Инверсионная ось 4-го порядка и зеркально-поворотная ось 4-го порядка
дают один и тот же конечный результат (рис. 17). S — промежуточные
положения точки /\
Из рис. 16 видно, что тетрагиройда является также дигирой. (Напротив,
Ф. дигира не всегда является тетра-
\\J гироидой.) Плоскость т: не
является плоскостью симметрии фигуры.
Инверсионная ось 6-го
порядка (6) и зеркально-
поворотная ось 3-го
порядка
Наконец, инверсионная ось
6-го порядка и
зеркально-поворотная ось 3-го порядка ведут
себя, как поворотная ось 3-го
порядка плюс перпендикулярная ей
плоскость симметрии (рис. 18).
Из рис. 18 видно, что
положения Pi, Р3 и Р$ верхней
плоскости лежат в точности над
положениями Р2у Р* и Р& нижней
плоскости, в отличие от
инверсионной оси 3-го порядка.
Обратим вновь внимание на
следующее важное обстоятельство.
Начинающие очень часто
рассматривают плоскость отражения,
являющуюся элементом
зеркально-поворотной оси, как всегда
эквивалентную плоскости симметрии фигуры, а инверсионную ось—как
признак обязательного наличия у фигуры центра инверсии, что неверно.
Из расположения точек на рис. 13—17 с очевидностью вытекает, что
фигуры, полученные: при действии на точку нечётных инверсионных осей
Ги 3 имеют центр инверсии; при действии чётных осей 2 и 6 —
горизонтальную плоскость симметрии; при действий оси 4 не имеют ни центра
инверсии, ни горизонтальной плоскости симметрии.
Как мы видели, зеркально-поворотные оси по конечному результату
их действия могут быть полностью заменены соответствующими
инверсионными и наоборот. Различные авторы отдают предпочтение тем или иным
осям. Но в мировой структурной литературе в последние годы под
влиянием IT отказываются от зеркально-поворотных осей в пользу
инверсионных, в то время как многие наши кристаллографы решительно отвергают
применение инверсионных осей и сохраняют зеркально-поворотные. Это
заставило нас рассматривать в данном параграфе действие как зеркально-
поворотных, так и инверсионных осей, чтобы облегчить читателю
ознакомление с теми и другими и создать у него представление о том, как
и в каких случаях изменяются наименования и обозначения при
переходе от одной группы осей к другой. При замене
зеркально-поворотных осей инверсионными порядок оси не меняется только в* случае
Рис. 17. Инверсионная ось 4-го порядка 4.
Зеркально-поворотная ось 4-го порядка.
Плоскость -к не является плоскостью
симметрии т. Центр инверсии отсутствует.

§ 141 ОБОЗНАЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ 37
осей 4-го порядка. Оси 1 и 2-го порядка, с одной стороны, и 3 и 6-го,
с другой, меняют кратность в пределах своей пары (т. е. 3 на. 6 и 6 на 3;
1 на 2 и 2 на 1).
В настоящее время в большинстве учебников, например, гексагироидой
называют инверсионную ось 6-го порядка (6), а не зеркально-поворотную
ось 6-го порядка (3) (см., например, Доливо-Добровольский [2] (1937)), хотя
первоначально термин гексагироида относился к зеркально-поворотной
оси 6-го порядка. Отметим, что чёткое соответствие наименования гироиды
именно порядку инверсионной оси всё же во многих трудах отсутствует
(см., например, Ниггли [14]).
В широко распространённом у нас учебнике кристаллографии А. В. Шуб-
пикова, Е. Е. Флинта и Г. Б. Бокия инверсионная ось 6-го порядка обозна-
Рис. 18. Инверсионная ось 6-го порядка 6. Зеркально-
поворотная ось 3-го порядка. Плоскость * является
плоскостью симметрии т. Центр инверсии отсутствует.
чается 3, 3-го порядка—6 и т. д., что, как это, впрочем, и оговорено в тексте
названного учебника, идёт вразрез с советской и международной системой
обозначений, принятой в теории структур.
Приставкой ди-, три- и т. д. при названии гироида мы будем указынать
порядок инверсионной оси.
§ 14. Обозначения элементов симметрии
В кристаллографической литературе существует большой разнобой
в обозначении элементов симметрии. Плоскость симметрии в большинстве
случаев обозначается Р или Е (Ebene), особые плоскости, как, например,
перпендикулярные главной поворотной оси (например, оси 6-го порядка
в шестигранной призме) иногда обозначаются тт. Поворотные оси /г-го
порядка обозначаются Ln> Gn (гира), Ап и т. п. Центр инверсии —z, Сит. п.
В наиболее принятых обозначениях элементы симметрии шестигранной

38 Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР |ГЛ. I
призмы запишутся так: Lq 6L2 IPC, Элементы симметрии четырёхгранной
призмы—L4,4L2 ЪРС (см. рис. 9).
Структурные исследования сделали весьма распространёнными в
последнее время две другие системы обозначений: старую—Шенфлиса и новую —
Могена—Германа. Эти системы приняты в IT*). В связи с потребностями
теории структур и старые системы обозначений претерпели видоизменения.
Начнём с этих последних. Во-первых, стали различать плоскости симметрии
вертикальные и горизонтальные. При этом, как и в системе Шенфлиса,
условно принимается, что главная ось установлена вертикально; тогда
плоскость, перпендикулярная оси, оказывается горизонтальной. Её
обозначают Ph или Eh\ плоскость, проходящая через главную ось, параллельно
ей, т. е. вертикальную,—/^соответственно Еи. Побочные оси обозначают
в иностранной литературе Ап. Между побочными осями иногда можно
провести промежуточные оси того же порядка; их, особенно в иностранной
литературе, часто обозначают Az. Например, в шестигранной призме
(рис. 9,a) 3Lo—побочные, а другие 3L2—промежуточные. Одни из них
проходят через центры граней, другие —через рёбра призмы.
В ряде курсов различают также основные и промежуточные
плоскости симметрии, например, в шестигранной призме 3PD(3EV)—основные и
3PV(3EV)—промежуточные, в связи с чем можно встретить обозначения Еп, Ez.
На рис. 19 и 20 основные плоскости симметрии показаны сплошной,
а побочные пунктирной линией. Для обозначения полярных осей иногда
применяют стрелки, например, ^2J.
В системе Могена—Германа поворотная ось и-го порядка обозначается
просто п (ось 1-го порядка—1; ось 2-го порядка—2 и т. д.), т. е. 1, 2, 3, 4, 6.
Главная ось условно принимается вертикальной. Плоскость симметрии
обозначается т (miroir—зеркало). Ось п-го порядка и проходящая через
неё (вертикальная) плоскость симметрии обозначается пт, т. е. 6т означает
поворотную ось 6-го порядка и проходящею через неё, ей параллельную
(вертикальную) плоскость. Знаком п\т или — , или п: т обозначают ось
/г-ro порядка и перпендикулярную ей (горизонтальную) плоскость т.
Например, б/т означает: поворотная ось 6-го порядка и перпендикулярная ей
(горизонтальная) плоскость симметрии. Центр инверсии в этой системе
обозначают 1 (см. § 13).
Ниже мы часто будем пользоваться подобным обозначением элементов
симметрии, однако для указания количества данного вида элементов
соответствующий индекс нам кажется удобным проставлять справа вверху.
Вышеупомянутые элементы симметрии шестигранной призмы запишем
так: 612вот5далГ-
В системе Шенфлиса знаку пт отвечает индекс при букве,
характеризующей комплекс элементов симметрии (см. ниже). Знак Спи, например Съ„,
означает: поворотная ось 6-го порядка + вертикальная плоскость симметрии
(повторенная поворотной осью 6 раз), т. е. 6/тг. Знак Слл, например См,
означает: поворотная ось 6-го порядка-^горизонтальная плоскость
симметрии, т. е. 6//и. Других обозначений этих систем мы коснёмся ниже.
В таблице 1 приведены обозначения элементов симметрии континуума.
§ 15, Кратность точки, кратность позиции точки, собственная симметрия
и ориентировка точки
При действии элемента симметрии или пространственной совокупности
элементов симметрии на точку, не лежащую на элементе симметрии,
возникает соответствующая фигура (совокупность точек). Например, при действии
*) См. § 1.

§ 15] КРАТНОСТЬ ТОЧКИ, КРАТНОСТЬ ПОЗИЦИИ ТОЧКИ 39
Таблица 1
Обозначения элементов симметрии континуума
J Наименование
I элемента
1 симметрии
1 Плоскость
1 симметрии
вертикальная
Плоскость
симметрии

горизонтальная
Поворотные
оси порядка:
1
•>
о
4
6
Инверсионные
оси порядка:
1
1 центр
I инверсии
1 ~
1 плоскость
I симметрии:
3
4
6

Классическая
русская
литература
Р, иногда
Р, иногда |
Т'1
L*
Ьа
h
h
с. С, z, Z
см. выше
V**)
V**)
Я3***)


ровский


ститут
Р
Р
Gl
G2
о,
G"
Gr,
On
<*2!
G3f
C?4/
<^
IT
m
/m \
1
2
3
4
С
T
T
T
4"
T
Графические
обозначения no IT

вертикальные
♦
▲
♦
•
о
А
Ф
•■

горизонтальные
**)
"
е л
Комбинация
элементов
симметрии по IT
n/m *)
2/m
3/m
4/wi
6/m
Обо- 1
значе- I
ние |
о
ч
♦
о
*) Вертикальная ось порядка п и перпендикулярная ей плоскость симметрии,
**) Знак 1 ставится на чертежах IT в правом верхнем углу.
***) Обозначения соответственно зеркально-поворотным осям.

40 ч. i. основы теории структур [гл. I
оси 6 на точку, не лежащую на оси, получаем фигуру, состоящую из 6 точек
(рис. 19, а), при действии оси 6 и проходящей через неё (вертикальной)
плоскости симметрии (С6и—6/гс)— фигуру из 12 точек (рис. 19, 6), при
действии оси 6 и горизонтальной плоскости симметрии, совпадающей с
плоскостью чертежа (Сел—6/т),— другую фигуру из 12 точек (рис. 19, с). Сравни
с рисунком 8.
Принято говорить, что точки, не лежащие на элементе симметрии,
находятся в общих положениях, лежащие на элементе симметрии—в
специальных, или частных, положениях.
Позиции точек, определяемые данной пространственной совокупностью
элементов симметрии, отличаются по своей кратности,
V/JV ~ /
а 5 с
Рис, 19. Действие на точку оси 6, Ьт и 6/т (проекция на плоскость чертежа,
перпендикулярную оси 6).
Кратностью положения (позиции) точки называется число р,
показывающее, сколько аналогичных положений имеется в данной группе точек.
Например, если точки располагаются в вершинах куба, кратность этой
позиции jp = 8.
Кратность положения в центрах граней куба равна 6, в центре
куба равна 1. Порядок (кратность) элемента симметрии равен количеству
точек, возникающих из одной точки, находящейся в общем положении
при действии на неё данного элемента симметрии.
Кратность дигиры, плоскости симметрии и центра инверсии равна 2,
кратность тригиры равна 3 и т. д.
Кратность точки определяется произведением кратностей исходных,
порождающих элементов симметрии, проходящих через неё (см. § 24), что
равно количеству точек в общих положениях, возникающих из данной точки
при смещении её с элемента симметрии.
Собственная симметрия и ориентировка точки отвечает совокупности
элементов симметрии, проходящих через неё.
Точки, возникающие из данной, при действии на неё совокупности
элементов (точечной) симметрии называются равнозначными, или
эквивалентными.
Рассмотрим действие на точку совокупности элементов симметрии
Cqv—6m. Если точка Pi находится в общем положении, её кратность равна 1, её
собственная симметрия в общем случае равна 1 (поворотная ось 1-го порядка),
точка может быть ориентирована по отношению к элементам симметрии как
угодно. По другую сторону плоскости симметрии возникает другая точка Р2.
Эта группа точек повторяется гексагирой 6 раз с образованием 12 точек
(рис. 20,а). Кратность позиции равна, таким образом, 12. Приближая
исходную точку Pi (а тем самым и её зеркально-симметричное изображение Р2)
к плоскости симметрии, мы не меняем её кратности и собственной симмет-

§ 161
ВИД СИММЕТРИИ. ТОЧЕЧНАЯ ГРУППА
41
рии. пока она не попадёт на плоскость симметрии. В этот момент она сольётся
с точкой Р\у кратность возникшей точки Ри станет равна 2. Её собственная
симметрия станет равна т, причём она так ориентирована по отношению к
плоскости симметрии, чтобы последняя совпала с плоскостью симметрии точки.
Одновременно гексагира создаст 6 таких двукратных точек Ри (рис. 20, 6).
Будем приближать точку Ри к гексагире. Остальные 5 двукратных точек
повторяют её движение и, совпав с гексагирой, сольются в точку Р ,
кратность которой станет равна 12 (рис. 20, с). Её собственная симметрия станет
равна 6т. Она ориентирована так, что её элементы симметрии 6т
совпадают с элементами симметрии фигуры. Таким образом, в рассматриваемом
Рис. 20. Кратность позиции (Р) точки, кратность (V) точки и собственная
симметрия (S) последней.
a) /J«12, и = 1, s-=l; b) р-»6, v = 2, s~=m; с) р = 1, v —12, s-6 /л.
случае возможны следующие группы точек: кратность точки 1, кратность
позиции 12, собственная симметрия 1; кратность точки 2, кратность
позиции 6, собственная симметрия т; кратность точки 12, кратность позиции 1,
собственная симметрия 6т.
Мы запишем следующее важное соотношение:
ро = const, (4)
т. е. а) произведение из кратности у точек данной совокупности на кратность
их позиций р есть величина постоянная и б) относительные количества р
точек разной кратности v обратно пропорциональны кратностям этих точек.
В нашем примере 1 X 12 = 2 х 6 = 12 х 1.
Очевидно, что максимальное количество позиций, образуемых данной
пространственной совокупностью элементов симметрии, отвечает наиболее
общим положениям точек.
§ 16. Вид симметрии. Точечная группа
Полная пространственная совокупность элементов симметрии данной
фигуры называется её видом симметрии.
Точка, в которой пересекаются все элементы симметрии, является
особой точкой, так как она остаётся неподвижной при действии на неё данной
совокупности элементов симметрии.
Как было показано выше, точка в этой позиции обладает максимальной
кратностью. ,
Отвечающая данному виду-симметрии совокупность операций симметрии
называется точечной группой.
Так же как тот или иной элемент симметрии отвечает определённой
операции симметрии, тот или иной вид симметрии отвечает определённой
точечной группе.

'42
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
§ 17. Виды симметрии и форма многогранников
Если плоскость параллельна (наклонна), например, тетрагире, при
действии последней на эту плоскость возникает кристаллографическая призма —
рис. 21, а (соответственно пирамида, рис. 21, 6), отличающаяся от
геометрической призмы (пирамиды) прежде всего тем, что получаются фигуры,
лишённые граней основания, т. е. боковые стороны их уходят в
бесконечность. (На рис. 21 обозначены волнистым пунктиром.)
-+р\
1
1
1
1
(
1
1
1/
/>
L—
7
/
)
\
/
/
/
/
i
/
ч
/
/,
j i
' J
W^
^
N
\/
У
":
Рис. 21. Действие тетрагиры на плоскость: а) параллельную и Ь) наклонную
к тетрагире иод углом а.
IS случае а) иоаникаст кристаллографическая призма, в случае Ь)—кристаллографическая
пирамида (если ось полярна) или бипирамида (если ось биполярна).
«Простой формой называется такой многогранник, все грани которого
выводятся из одной заданной посредством элементов симметрии
многогранника. Комбинацией простых форм называется многогранник, у которого
из одной данной грани не все остальные выводятся посредством
элементов симметрии многогранника» (А. К. Болдырев). Следовательно,
кристаллографическая призма и бипирамида являются простыми формами,
а геометрическая призма—комбинацией двух простых форм:
кристаллографической призмы (боковые грани) и пинакоида (соответственно грани
верхнего и нижнего оснований), см. ниже.
Опустив, например, из любой точки тетрагиры перпендикуляр к грани
в точке Pl9 рис. 21,а, обнаружим, что на каждой из трёх остальных граней
имеются эквивалентные точки (Р2 и др.)- Сопоставляя действие элемента
симметрии (или вида симметрии) на точку Pi и на грань (плоскость), мы
обнаруживаем далеко идущий параллелизм в количестве, пространственном
расположении и собственной симметрии точек и в количестве,
пространственном расположении и собственной симметрии граней, возникающих
при действии данной совокупности элементов симметрии на точку,
соответственно грани (рис. 22).
Если грань косо расположена по отношению к элементу симметрии,
количество возникающих граней будет максимальным. Такая форма называется

§ 17] шгды симметрии и форма многогранников 43
общей формой. Если грань расположена перпендикулярно или параллельно
улементам симметрии (а в некоторых случаях также перпендикулярно к
биссектрисе угла между одинаковыми осями или к плоскости, соединяющей две
поворотные оси), возникающая форма является частной формой.
Поэтому, исследуя пространственные совокупности точек, возникающих
из одной точки при действии на неё данной совокупности элементов
симметрии, мы тем самым характеризуем пространственные совокупности
граней, т. е. многогранников, возникающих из одной грани, при действии на неё
\
[
it
/•
\
♦
\
Рис. 22. Действие элементов симметрии на точку и на грань.
а) Действие плоскости симметрии т на точку в общем положении и на грань, наклонную к ш.
Кратность позиции точки и количество граней увеличиваются вдвое и равно 2. Ь) Действие оси 4
на точку в общем положении и на грань, наклонную к оси 4. Кратность позиции точки,
соответственно количество граней, увеличивается вчетверо и равно 4. с) Действие плоскости
симметрии на точку в специальном положении и на грань, перпендикулярную hi. Как точка;
так и грань приобретают симметрию т. Кратность точки увеличивается вдвое, d) Действие оси 4
на точку в специальном положении и на грань, перпендикулярную оси 4. Как точка, так и грань
приобретают симметрию 4, кратность точки равна 4.
той же совокупности элементов симметрии. Естественно, что аналогия имеет
место, если сопоставлять случаи, когда точка и грань находятся в положении
равной кратности, например, в общем положении.
Если точка попадает на элемент симметрии, кратность её позиции
уменьшается. В равной мере, если грань перпендикулярна элементу симметрии,
количество граней уменьшается. В соответствии с этим частные формы
содержат меньше граней, чем общие. Например, куб (шестигранник) является
частной формой по отношению к гексаоктаэдру (48-граннику) (см. ниже).
Кристаллы, имеющие одну и ту же точечную группу симметрии,
•составляют класс. Поэтому вывод возможных кристаллографических
классов и кристаллических форм сводится к определению возможных
пространственных комбинаций элементов симметрии—видов симметрии
(соответственно точечных групп), а следовательно, и возможных групп точек,
возникающих из одной точки при действии на неё различных видов симметрии.
В заключение параграфа заметим, что хотя с точки зрения теории групп
группой симметрии называется совокупность совместимых друг с другом
операций симметрии, в некоторых курсах понятия «точечная группа», «вид
*симметрии» и «класс» не различаются.

44
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
Так, в курсе Доливо-Добровольского на стр. 149 дано определение:
«Видом симметрии (классом или точечной группой) называется полная
совокупность элементов симметрии той или иной фигуры».
В книге Брегга «Кристаллическое состояние» на стр. 72 читаем:
«Природа симметрии для каждого кристаллического класса определяется группой
элементов симметрии, совокупность которых принято называть точечной
группой».
§ 18. О стереографической проекции
Для описания как многогранников-кристаллов, так и структур часто
прибегают к стереографической проекции. В этом методе, в большой мере*
разработанном русскими учёными Гадолиным, Вульфом, Болдыревым и др.,
исходят из того, что «размеры, взаимное расстояние граней и рёбер
кристалла или их расстояние от какой-либо одной точки, взятой внутри его,
не являются существенными
признаками его вещества.
Они зависят от внешних
причин. Существенным
признаком для граней и рёбер
данного кристаллического
вещества является лишь
взаимный наклон. Поэтому, для
удобства изучения можно
все грани и рёбра кристалла
переносить мысленно в одну
и ту же точку пространства,
параллельно самим себе.
Совокупность всех
граней и рёбер кристалла,
перенесённых параллельно
самим себе в одну и ту же
точку О пространства, будем
Рис. 23. Построение стереографической проекции. называть кристаллическим
пучком, а точку О—центром
пучка. В тот же центр пучка переносятся параллельно самим себе все
направления и плоскости, характеризующие оптические и многие другие
физические свойства кристалла» (А. К. Болдырев [22]).
Из центра пучка О любым радиусом описывается шар, именуемый шаром
проекции. Через экватор шара проводится плоскость ti, которая называется
плоскостью проекции. Диаметр шара NS, перпендикулярный плоскости тс,
называется осью проекций. Точка S(N) называется точкой зрения. Она
совпадает с южным (северным) полюсом шара. На поверхности шара мысленно
проводится сетка меридианов и параллелей (долгот и широт).
Для построения стереографической проекции кристалла восстановим
в точке О перпендикуляр к данной грани (рис. 23) и продолжим его до
пересечения с поверхностью шара в точке Р9 именуемой полюсом грани. Для
определения положения точки Р на шаре достаточно знать полярные
координаты в градусах (0—360°) долготы и (0—90°) широты.
Соединив точку Р, лежащую в северном полушарии, с полюсом S
прямой PS, найдём в пересечении последней с плоскостью экватора точку Р'
проекцию точки Р. Проекция полюса N лежит в центре круга проекции
(в точке О); если точки лежат на экваторе, они совпадают со своими
проекциями Р'. Проекции Р'к точек Рм (лежащих в верхнем полушарии на
меридианах) находятся на прямых линиях, проходящих через О.

§19] ПОСТРОЕНИЕ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ КРИСТАЛЛА 45
В соответствии с излагаемой в учебниках теоремой «проекция
окружности есть окружность» в частном случае, проекции точек, лежащих на
параллели, образуют круг с центром в точке О, а проекции точек, лежащих на
окружности (дуге большого круга), по которой пересекается с поверхностью
шара любая плоскость, проходящая через его центр О под углом к оси NS,
отличным от 0 и 90°, также лежат на дугах круга. Хордой этих дуг является
диаметр круга, по которому плоскость тс пересекает плоскость экватора
(рис. 24, а).
При проектировании точек южного полушария их соединяют с полюсом Лг
(метод Гадолина).
Рис, 24. Построение стереографической проекции.
л) Если плоскость пересекает сферу по диаметру экватора, проходя в те же время накловно
к оси N-S, проекция точек лежат на кривых, являющихся дугами окружности. Хордой дуги
-является один иа диаметров экватора. Ь) Проекции точек северного 'ja южного полушарий
(метод Гадолина),
Точки северного и южного полушарий обозначаются соответственно +
(или •) и О- Если две точки Рх и Ps обоих полушарий лежат на одном
меридиане и на одинаковом градусе северной, соответственно, южной
широты, их проекции совпадают, что обозначается © или (•). Если точки Рк и Ps
лежат в диаметрально противоположных частях полушария, их проекции
будут лежать на прямой, проходящей через центр (рис. 24, 6), но по
разные стороны от последнего.
§ 19. Построение стереографической проекции кристалла
На рис. 25, a, b показано построение стереографической проекции
кристалла. Об обозначениях (символах) граней (100), (110), (111) см. § 33.
Так как любое направление в кристалле может быть задано точкой,
образуемой пересечением вектора, характеризующего это направление
со сферой, то очевидно, что все горизонтальные направления, «полюса»
которых будут лежать на вертикальных гранях, проектируются на экваторе,
все вертикальные — в центре проекций и т. д.
Зная проекции полюсов граней и других направлений в кристалле,
надо уметь решать и обратную задачу, т. е. построить кристалл, найти углы

46
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. 1
Рис. 25. Построение стереографической проекции кристалла.
между его гранями. Это можно сделать очень просто, графическим путём7
используя стереографические сетки Вульфа (двухполюсную, рис. 26) или
Болдырева (однополюсную, рис. 27).
О решений соответствующих задач см. курсы кристаллографии,
например В. В. Доливо-Добровольского.
§ 20. Сипгонии, классы, простые формы
Классическая кристаллография строила систематику кристаллов на том
принципе, что все кристаллы можно отнести, по сходным углам между осями
(см. § 36), к 7 (6) сингониям «со сходными углами», две из которых,
гексагональная и тригональпая, часто рассматриваются как подсингопии одной
и той же гексагональной сингонии, так как симметрия внешней формы
соответствующих кристаллов не позволяет установить различие между этими син-
гониями (см., например, А. К. Болдырев [22]). Некоторые авторы, например

5 201
СИНГОНИИ, КЛАССЫ, ПРОСТЫЕ ФОРМЫ
47
Рис. 26. Стереографичесная сетка Вульфа.
26 г? 28
10 д 8
Рис. 27. Стереографическая сетка Лолдырева.

Таблица 2
Простые формы низших и Средних сивговий *)
Наименование
простой формы
Ромбическая
Тригональная
Призма
<•>
Пирамида
Г» и пирами да
(Дипирамнда)
У
V.
А
Дитригональ-
ная
4
г

Тетрагональная
Дитетрагональная
В
Д17
ггтъ
Гексагональная
Дигексагональная
ро=
Ids
00


Трапецоэдр
1 (правый
и левый)
Скале-
ноэдр
|Ромбоэдр
(Сфеноэдр
I
(тетраэдр)
*) Вверху даны сечония призм (бипирамид) и т. д.
**) В кристаллографии различаются два диэдра (осевой и безосев^й).
Простейшие формы
Диэдр* *)
Иинакоид
Моноэдр
//""Г7
££ПУ

Простые формы кубической оингонии
Таблица 3
куб
Октаэдр
Тетраэдр
/
/
Куб
л
/
Октаэдр
Тетраэдр
Ромбододекаэдр
Додекаэдр
Пирамидальный куб,
тетрагексаэдр
24
Тригонтриоктаэдр
24
Тригонтритотраэдр
12
Тетрагонтриоктаэдр
24
Тетрагонтритетраэдр
12
Пентагоктриоктаэдр
правый левый
Пентагонтритетраэдр
праный левый
12
Пентагондодекаэдр
112
Гексаоктаэдр
48
Гексатетраэдр
Дидодекаэдр
Примечание. В каждой клетке, в углу слева—количество граней.

ГОЛОЭДРИЧЕСКИЕ II МКРОЭДРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ 51
А. В. Шубников, Е. Е. Флинт и Г. Б. Бокий, не без основания относят
кристаллы по «гониометрической симметрии» (но симметрии внешней формы)
к 6 системам, а по симметрии внутренней структуры к 7 сингониям.
Сингонии делятся на низшие (без главных осей, т. е. порядок которых
выше, чем 2)—сюда относятся триклинная *), моноклинная *) и ромбическая;
средние (с одной главной осью)—сюда относятся тригональная
(ромбоэдрическая), тетрагональная и гексагональная**) (с осями соответственно 3, 4 и 6);
высшую (с более чем одной главной осью)—кубическая или правильная.
Как показал русский учёный Гадолин в 1869 г., всего возможно 32 вида
симметрии, соответственно класса кристаллов, каждый из которых
относится к одной из сингонии. Наименования классов давались по
отвечающим им простым формам.
Исследование показало, что всего существует 47 простых форм, из них
32 в низших и средних сингониях (таблица 2) и 15 в кубической (таблица 3).
При этом было установлено, что в кристаллах возможны простые формы
из 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 или 48 граней и никакие другие.
Названия пирамида, призма и бипирамида (см. таблицы 2 и 3) не
нуждаются в комментариях. Названия моноэдр (однограиник), или педион
относятся к форме (грани), не имеющей элементов симметрии. Пинакоид (от слова
«пина»—доска) —форма, состоящая из двух равных и параллельных граней.
Эти грани могут быть симметрично равными, совместимо равными и обратно»
равными.
Диэдр—двуграшшк. Теория симметрии различает два типа диэдров:
осевой и безосный (см. § 25).
Название трапецоэдр происходит от «трапеца» — четырёхугольник
с двумя равными смежными сторонами (не смешивать с трапецией, т. е.
четырёхугольником с двумя неравными параллельными сторонами).
Название скаленоэдр происходит от «скалена»—разносторонний треугольник. Ди-
тригон (соответственно дитетрагон, дигексагон)—шестиугольник,
соответственно восьми- или двенадцатиугольник, у которого все стороны равны,
но углы равны попеременно. Названия простых форм кубической сингонии
и большинстве случаев не нуждаются в комментариях. Такие названия,
как тригонтриоктаэдр, иентагонтриоктаэдр и т. п., означают триоктаэдр
(24-грашшк) с треугольными, соответственно пятиугольными гранями.
Отметим, что название гироэдр присвоено пентагонтриокгаэдру, фигуре,
имеющей только поворотные оси (гиры).
Известны различные комбинации простых форм кубической сингонии.
Па рис. 25 показан кристалл, имеющий грани куба (100), октаэдра (111)
п ромбододекаэдра (НО). См. также рис. 41.
§ 21. Голоэдрические и мероэдрические формы
В классической кристаллографии при рассмотрении классов и форм
предпочитали итти от кубической сингонии к триклипной, соответственно
исходить из полногранных (голоэдрических) форм (например, в кубической
сингонии из 48-гранника и т. п.) и путём удаления в определённом порядке
части граней приходить к неиолногранным (мероэдрическим) формам —геми-
.чдрическим (с половинным количеством граней), тетартоэдрическим
(содержащим */4 часть граней) и т. п.
В современных курсах кристаллографии представления этого рода
часто опускаются как устаревшие. Однако в теории структур и в IT ими
*) С тремя наклонёнными под углом Ф 90э координатными осями, соответственно-
с одной наклонённой осью, см. ниже § 36.
**) От «тригон», «тетрагон», «гекеагон» (треугольник, четырёхугольник,
шестиугольник).
121L

52
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
часто пользуются. Это заставляет нас коротко остановиться на различных
видах гемиэдрии.
Вернёмся к табл. 2. Важнейшими простыми формами ромбической
и средних сингоний являются бипирамиды. Бипирамида — единственная
простая голоэдрическая форма этих сингоний,
образующая замкнутую фигуру без комбинации с другой
формой. Её рассмотрение позволяет наилучшим
образом охарактеризовать сингонию. Из неё выводятся
и гемиэдрические формы.
Сформулируем простые правила образования и
описания гемиэдрических форм.
1. Грани исходных бипирамид мы будем
нумеровать последовательно от 1 до п, отдельно по
верхней и по нижней пирамидам так, что грани с
одинаковым номером располагаются одна над другой
(рис. 28).
2. Удаление граней будем производить по
строгому закону, определяющему характер гемиэдрии.
Остающиеся грани, будучи продолженными, пересекаются с
образованием новых рёбер.
Рис. 28. Нумера
ция граней бипи
рамид.
§ 22. Различные типы гемиэдрии
Параморфная гемиэдрия, соответственно тетартоэдрия
Удаление заштрихованных граней гексагональной и тетрагональной
бипирамид (т. е. по закону —- ... ) ведёт к образованию двух совершенно
аналогичных форм
положительной ( + ) и
отрицательной (—), совмещаемых друг
с другом после поворота.
(В числителе номера граней
верхней, а в знаменателе —
нижней части бипирамиды.)
Цифры означают номера
сохраняемых граней, а
кресты стоят вместо номеров
удаляемых граней или
наоборот. Многоточие после
дроби означает, что в этом
порядке удаляются и
следующие грани.
Из тетрагональной
бипирамиды (рис. 29, а)
возникает, таким образом,
тетрагональный тетраэдр (сфено-
эдр) (рис. 29, 6), из
гексагональной (рис. 29, с) —
ромбоэдр (рис. 29, d, e)
(сплющенный или вытянутый
куб), отличающийся от
куба тем что углы у него не
равны 90°.
Ромбоэдр и тетрагональный ^тетраэдр являются также примерами двух
видов (гемиэдрии—тетартоэдрии), отличающихся по наличию или отсутствию
Рис.
29. Параморфная (гемиэдрия) тетарто-
1х
здрия -^ .

§ 221
РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ГЕМИЭДРИИ
53
2IS
&
се
СО
я
s &
се
(М
зЯ И
ее ,
5 -
S з
н %
g. "
Я
о
о
со
О
си

54
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
центра инверсии: 1) параллелогранная форма имеет параллельные грани
и центр инверсии, (пример — ромбоэдр) *) и 2) наклонногранная—центр
инверсии отсутствует. Пример—тетрагональный тетраэдр.
Энантиоморфная гемиэдрия
1 х
Удаление по закону тт^-- граней дитригональной (рис. 30, а), дитетра-
гональной (рис. 30, d) и дигексагональной (рис. 30, g) бипирамид ведёт
к образованию тригонального (рис. 30, b и с), тетрагонального (рис. 30, е
и /) и гексагонального (рис. 30, h и i) трапецоэдров.
Гемиэдрия этого вида часто называется трапецоэдрической. Она является
частным случаем весьма важного типа гемиэдрии— энантиоморфной геми-
Образование ромбических тет- зование скаленоэдров:
раэдров: ЛСНОГО и правого. а> j,) тетрагонального, с, d) гексагонального.
эдрии. Удаление граней по -~ или ^ влечёт за собой в этом случае удаление
всех плоскостей симметрии; возникает либо левая, либо правая форма.
По тому же закону образуется из ромбической бипирамиды ромбический
тетраэдр (табл. 2), являющийся другим частным случаем энантиоморфной
гемиэдрии. Из трёх пар взаимно противоположных рёбер рёбра каждой
пары одинаковы, принадлежащие к разным парам—различны (рис. 31).
*) По IT—гексагональная тетартоэдрия II рода.

§ 22] РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ГЕМИЭДРИИ 55
Гемиморфная гемиэдрия
12
Удаление по закону ... граней дитригона ль ной, дитетрагональ ной,
дигексагональной бипирамид ведёт к образованию пирамид, т. е. как бы
отрезает нижнюю или верхнюю часть фигуры. Такая гемиэдрия является геми-
морфной.
Гемиэдрия второго рода
Если произвести удаление гранен дитетрагональной и дигексагональной
12 К X
бипирамид по закону ~ 3, ...,то возникают соответствующие скаленоэдры
(рис. 32). Так как между гранями 1 и 2, соответственно 3 и 4, проходят
вертикальные плоскости симметрии, то в отличие от трапецоэдров у скалено-
эдров эти плоскости сохраняются.
Из простых форм кубической сингонии исходной голоэдрической
формой является гексаоктаэдр.
Энантиоморфная гемиэдрия и тетартоэдрия
Пентагонтриоктаэдры левый и правый (гироэдр) (рис. 33, а' или а")
получаются из гексаоктаэдра (рис. 33, а) таким образом, что прилегаю-
Рис. 33. Плагиэдрическая—пентагопальная—гемиэдрия (и тетартоэдрия).
щие к вершине 8 граней исключаются по закону ( —- J. Пеитагонтритет-
раэдры левый и правый (рис. 33, Ъ' и Ь") получаются из гексатетраэдра
(рис. 33, 6).
Обе формы относятся к энантиоморфной гемиэдрии, соответственно
тетартоэдрии. Для того чтобы показать, что числитель и знаменатель
относятся к одной и той же полусфере, дробь взята в скобки.
В результате удаления граней по закону — ... получаются: тетраэдр
из октаэдра (рис. 34, а и Ь), тригонтритетраэдр из тетрагонтриоктаэдра
(рис. 34, с и d)y тетрагонтритетраэдр из тригонтриоктаэдра (рис. 34, е и /),
гексатетраэдр из гексаоктаэдра (рис. 34, h и g).

56
4.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
]гл. I
* 1
Рис. 34. Образование тетраэдрических форм.
6'
Рис. 35. Параллелограннан гемиэдрия.
а) Пентагинальная параллелограннан гемиэдрия. Ь) Дидоденаэдрнческая параллелограниая
гемиэдрия.

S 23]
О НАИМЕНОВАНИЯХ СИНГОНИЙ
57
Наконец, пентагондодекаэдр образуется из тетрагексаэдра путём
удаления по закону Г—« J граней, прилегающих к одной и той же вершине
пирамиды (рис. 35, а и а'). Рис. 35, Ь и 6'—образование дидодекаэдра из гекса-
октаэдра. Схематическое, условное изображение разных случаев гемиэдрии
}
1
L
Г
}
L
С
X
1
X
с
X
7
X
Г
}
X
X
1
X
X
X
X
с
)
X
X
i
X
X
X
X
7
X
X
(
X X
X X
1
/
с
Рис. 36. Схематическое изображение разных случаев гемиэдрии:
а) Голоэдрия. Ь) Гемиморфная гемиэдрия. Образование пирамид и а
соответствующих бипирамид. с) Образование бипирамид иа дибипирамид. d)
Энантиоморфная гемиэдрия. Образование трапецоэдров и т. п. е) Иараморфная
тетартоэдрия. Образование ромбоэдра и тетрагонального тетраэдра иа три-
гональных бипирамид. /) Об].ааовавие скалсноэдров. Н ирной чертой показаны
плоскости симметрии.
показано на рис. 36 (а—голоэдрия, 6—гемиморфная гемиэдрия,
с—образование бипирамид, d и е—параморфна^ и энантиоморфная гемиэдрия л
т. п., /—образование скаленоэдров.
§ 23, О наименованиях сингоний и путях вывода видов симметрии
и кристаллических форм
В § 17 мы видели, что с точки зрения теории симметрии проблема
образования многогранных форм является второй стороной проблемы
образования групп точек при действии на точку той или иной возможной
пространственной совокупности элементов симметрии (вида симметрии).
Если, например, в мире кристаллов обнаруживаются 32 класса, то это
находится в тесной связи с тем фактом, что всего в кристаллах возможны
32 вида симметрии.
Если возможны только такие простые формы, которые состоят из 1, 2,
3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 или 48 определённым образом (см. § 30, табл. 10)
расположенных граней, то этот факт находится в тесной связи с тем, что при дои-

58 Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
ствии этих 32 видов симметрии на точку возможно образование групп точек,
содержащих 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 или 48 определённым образом
расположенных точек.
Это позволяет иначе подойти к изложению вопроса.
Вместо того чтобы итти от рассмотрения сложных форм к рассмотрению
простых, от классов кубической сингонии—к классам триклинной синго-
нии, ири современном состоянии теории структур целесообразно
рассматривать действие на точку элементов симметрии всё увеличивающейся
кратности, например, осей 1, 2, 3, 4, 6, ..., и всё более сложных совокупностей
элементов симметрии и итти, соответственно, от триклинной сингонии к
кубической, от моноэдрак гексаоктаэдру, от простого к сложному. Первым шагом
к такого рода рассуждениям является рассмотрение возможных
пространственных сочетаний элементов симметрии (см. следующий параграф).
Более того, в систематике Фёдоровского института сингонии
приобретают наименование уже не по формам многогранников, а по характеру
элементов симметрии: триклинная—агирная (оси 1 или 1), моноклинная—моно-
гирная (оси 2 и 2-плоскости симметрии, причём каждый элемент симметрии
может присутствовать в единственном числе), ромбическая—дигирная (оси
2 и 2, причём хотя бы один из элементов симметрии присутствует не в
единственном числе: или более чем одна дигира или более чем одна дигироида,
т. е. плоскость симметрии), тригональная — тригирная (единственная главная
ось 3), тетрагональная — тетрагирная (единственная главная ось 4 или 4),
гексагональная—гексагирная (единственная главная ось 6 или 6),
кубическая— полигирная (несколько главных осей). Характерным для всех
видов симметрии кубической сингонии является наличие четырёх осей 3.
§ 24. О возможных пространственных сочетаниях элементов симметрии
Число возможных видов симметрии (соответственно точечных групп)
ограничено не только тем, что некоторые из элементов симметрии друг друга
взаимно исключают (например, оси 6 и 4), но и тем, что комбинируемые элементы
симметрии могут пересекаться лишь под определёнными углами друг к другу.
Геометрический анализ показывает, что возможны лишь следующие
сочетания поворотных осей.
Оси 2—под углами 90° и 180°, а при наличии главных осей 6 и 3 также
иод углами 30°, 60°, 120°, 150° (в зависимости от кратности главной оси),
как следствие шестикратного или трёхкратного повторения оси 2
перпендикулярной к ней осью 6 или 3. Угол 180° означает, что ось 2 биполярна.
Оси 3 —под углами 70°31' (угол между диагоналями куба, примыкающими
к одному ребру) и 109°28' (угол между диагоналями куба, примыкающими
к концам диагонали грани) (см. рис. 38).
Оси 4 —под углами 90° и 180°.
Оси 6—только под углом 180°, т. е. возможна только одна ось 6
полярная или биполярная.
Оси 3, 4 и 6 — под углом 90° к осям 2, а оси 3 также (см. кубическая
сипгония) под углом
Щ-~ = 35°15,5' к оси 2 (рис. 40).
Таким образом, новые виды симметрии могут возникать в различных
сингониях, например, лишь путём добавления осей 2 (соответственно 3,
4 и др.), перпендикулярных к исходным осям, и т. н.
В равной мере оси 2 (это же относится к осям 3, 4 и др.) могут быть либо
перпендикулярными к плоскости симметрии, либо лежать в этой плоскости,
|гл^1

§ 25] ПРОСТЫЕ ИСХОДНЫЕ ФОРМЫ. ВИДЫ СИММЕТ1 ИИ 59
за исключением случаев, когда оси 2 под влиянием оси л, повторяясь п раз
в одной и той же плоскости, перпендикулярной к главной оси, пересекают
плоскости симметрии под углами, равными половине элементарного угла (см.
рис. 9). Всё это весьма сокращает количество возможных видов симметрии.
Ось 2 полярная, которую мы будем обозначать 2J, пересекаясь с т, ей
перпендикулярной, даёт центр инверсии и становится, как мы знаем,
биполярной.
§ 25* Простые исходные формы. Виды симметрии триклинной и
моноклинной сингонии
Из числа простых форм выделим 5 исходных (таблица 4):
I. Моноэдр, или педион-форма, не имеющая элементов симметрии.
II. Пинакоид, состоящий из двух граней, параллельных, равпых и
обратно направленных (обратно равных), т. е. имеющий центр инверсии.
III. Диэдр (двуграиник) безосный или планальный, в литературе
обычно называемый «дома» (крыша), состоящий из двух непараллельных
граней, одинаково наклонённых к плоскости т, являющейся, таким образом,
плоскостью симметрии.
Обе грани совмещаются друг с другом при отражении в плоскости.
IV. Диэдр осевой (аксиальный), или сфеноид, состоящий из двух граней,
наклонных к дигире и совмещаемых друг с другом при повороте на 180°.
V. Призма является комбинацией форм III и IV. Она имеет и плоскость
симметрии, и перпендикулярную ей ось 2. Такая простая форма, призма
без верхнего и нижнего оснований, обладает сама по себе ещё
дополнительными элементами симметрии, а всего имеет три оси 2, и три плоскости
симметрии. Но чтобы образовать из этой простои формы геометрическую
призму, надо добавить ещё пинакоид, т. е. верхнее и нижнее основания, что
приведёт к образованию различных сложных форм, т. е. или ромбической,
или моноклинной призмы (см. ниже). Последняя (форма V) обладает
только одной осью 2 и одной плоскостью симметрии т (рис. 37).
Сопоставление формы II и формы V показывает, что форма V получается
из формы II также путём комбинации последней с дигирой. Тогда (см.
проекцию, табл. 4) точки верхнего полушария попадут в нижнее и наоборот, в
результате появится плоскость симметрии и центр инверсии.
Эти 5 исходных форм составляют в схеме вывода возможных видов
симметрии как бы 5 основных исходных ступеней:
I примитивная (полярная), II центральная, III плапальиая, IV
аксиальная, V планаксиальная.
Стереографические проекции простейших форм ступеней I—V
изображены на таблице 4 и последующих. Соответствующие первым двум из них
виды симметрии (I и II) характеризуют два класса триклинной сингонии,
следующие три (III, IV и V) характеризуют три класса моноклинной
сингонии. Наименования видов симметрии, соответственно классов, даются ниже:
а) в международной системе Фёдорова — Грота—по общей форме, отвечающей
данному виду симметрии (М); Ь) в системе Фёдоровского института —по
элементам симметрии, характерным для данной сингонии, и по ступени,
отвечающей данному классу (Ф); с) по системе IT.
Виды симметрии триклинной сингонии:
1 С\—1.Моноэдрический, педиональный (М), агирно-примитивный (Ф),
триклинная гемиэдрия (IT). Если элементы симметрии отсутствуют,
то остаётся единственный, имеющий больше формальное значение
«элемент симметрии»—поворотная ось 1. Грани такого кристалла
являются моноэдрами. Полюс такой грани, расположенный в
верхнем полушарии, спроектируется в виде одной точки.

5 видои симметрии триклинвой и моноклинной сивгоний
Таблица 4
Ступень
Примитивная I
(полярная)
Центральная II
Планальиая III
Аксиальная IV
Планаксиальная V
Исходная форма

Стереографическая проекция
Пространственная
совокупность
элементов
симметрии
I моноэдр
II пиьакоид
III диэдр
безосный
IV диэдр осевой
V призма
V

Элементы
симметрии
Вид симметрии
Сингония
2т 1
Моноэдрический;
агирно-примитив-
ный
Пинакоидальный;
агирно-центральный
с-Г
Трпклинная
Диэдрический
планальный;
моногирно-планальныи
Диэдрический
осевой; моногирно-акси-
альный
С2-2
Призматический;
моногирно-планак-
сиальный
С2—2/т
Моноклинная
Состав кристаллов
Форма кристаллов
Кислый
виннокислый стронций
[CoOH(GlI01I)2COOLRr
/Р^
^
Анортит
CaOAU)82SiO,
/га
CuS043H,0
Молочный сахар
ОиНюОиН20
Гипс
CaS042HaO
и
ш

62
4.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
II d—1. Пинакоидальный (М), агирно-центральный (Ф). Триклинная
голоэдрия (IT). Ступень II отвечает наличию у кристалла центра
инверсии (1). Такой кристалл образован пинакоидами с обратно
равными гранями.
Виды симметрии моноклинной сингонии.
III Cs-—m. Диэдрический безосный (М), моногирно-планальный (Ф),
моноклинная гемиэдрия (IT). Вид
симметрии ступени III
отвечает наличию плоскости
симметрии, т. е. каждой точке
одной грани отвечает
зеркально-симметричная точка
другой грани. Общая форма:
диэдр безосный; частные:
1) пинакоид, имеющий
симметрично равные грани (грань
задана параллельно
плоскости симметрии) и 2) моноэдр
(грань задана
перпендикулярно ей).
IV Сг—2. Диэдрический осевой (М),
моногирно-аксиальный (Ф),
моноклинная гемиморфная рИс. 37.
гемиэдрия (IT). Ступень IV
характеризуется поворотной
осью 2, условно изображённой горизонтально. Тогда каждая
точка северного полушария при повороте формы на 180° вокруг
оси 2 совместится с соответственной точкой южного
полушария. Общая форма: диэдр осевой. Частные формы: 1) пинакоид
с совместимо равными гранями (грани заданы параллельно
оси 2), моноэдр (грани заданы перпендикулярно к оси 2).
V C:h—2/т. Призматический (М), моногирно-планаксиальный (Ф),
моноклинная голоэдрия (IT). Хотя ступень V относится к
простейшим, она отличается от остальных тем, что является первым видом
симметрии, образованным комбинацией двух элементов
симметрии: оси 2 и ей перпендикулярной плоскости т. Общая форма:
ромбическая призма. Частная форма: пинакоид (грань задана
параллельно оси 2 или плоскости т). На рис. 5 (см. §
9)—кристаллы гипса с гранями ромбических призм и пинакоида.
Как мы уже говорили, в кристаллографии «призма» имеет лишь
боковые грани без оснований (в отличие от призмы в геометрии), т. е. является
простой формой—призмой. Для образования сложной формы моноклинной
призмы необходима комбинация призмы и нинакоида, при которой
пинакоид пересечёт призму под углом к ребру, не равным 90°.
Если угол будет равен 90°, образуется сложная форма—ромбическая
призма (рис. 37).
Моноклинная и ромбическая
призмы.
§ 26. Дополнительные элементы симметрии
При пространственных сочетаниях исходных—порождающих элементов
симметрии возникают дополнительные элементы симметрии. Так,
например, точка пересечения дигиры с перпендикулярной ей плоскостью
симметрии есть в то же время центр инверсии. Линия пересечения п
плоскостей симметрии есть в то же время гира ?г-го порядка. (Напротив, обратное

§ 27] ВИДЫ СИММЕТРИИ РОМБИЧЕСКОЙ (ДИГИРНОИ) СИНГОНИИ 63
заключение само по себе неверно: гира n-го порядка не является линией
пересечения п плоскостей симметрии, если таковые дополнительно не
присутствуют; см. рис. 19.) Поэтому кратность точки определяется кратностью
исходных, а не всех элементов симметрии, через неё проходящих (§ 15).
Например, кратность точки, лежащей в пересечении двух взаимно
перпендикулярных плоскостей симметрии (тт)у равна F = 2x2 = 4, а не 8, хотя
через точку проходит ещё дигира, лежащая в пересечении плоскостей.
При выводе полной совокупности (так называемой полной
комбинации) элементов симметрии, присущих данному виду симметрии,
приходится отличать, таким образом, полную комбинацию от минимальной
комбинации, необходимой и достаточной для образования этого вида
симметрии.
Как мы увидим далее, например, возможная пространственная
совокупность из 2 осей 3 влечёт за собой возникновение четырёх осей 3 и трёх
осей 2 (вид симметрии 71-кубичсская сингония) и т. п.
§ 27. Виды симметрии ромбической (дигирнои) сингонии
Добавив к 5 исходным видам симметрии одну из следующих
поворотных осей: дигиру, тригиру, тетрагиру, тетрагироиду, гексагиру или гек-
сагироиду, получим 24 новых вида симметрии ромбической и средних
сингонии, рассмотренных нами в данном и следующих параграфах.
В соответствии с § 24 дополнительная гира устанавливается вертикально
(перпендикулярно плоскости проекции, в которой лежит дигира, или
горизонтальная плоскость симметрии). Добавление её к ступеням I и II новых
видов симметрии не даёт, но повторяет лишь уже известные виды симметрии
С« и Съъ. моноклинной сингонии.
Добавление дигиры к ступеням III, IV и V приводит к возникновению
3 видов симметрии дигирнои (ромбической) сингонии (см. табл. 5).
В обозначениях полной совокупности элементов симметрии, присущих
данному виду симметрии, количество элементов симметрии мы будем
проставлять, как условились ранее (§ 14), справа вверху (показатель
степени). Три дигиры обозначатся соответственно: 23; три плоскости
симметрии: т9.
Ивдекс v или h справа внизу означает вертикальные, соответственно
горизонтальные, плоскости симметрии, отсутствие его в случае т? обозначает
наличие 3 взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Полная
комбинация элементов симметрии указывается в скобках.
Три вида симметрии ромбической сингонии:
I Со,, — mm— ромбо-пирамидальный (М), дигирно-планальиый (Ф),
ромбическая гемиморфная гемиэдрия (IT) (2j/n2). На проекции
возникают ещё 2 полюса граней (т. е. возникает плоскость
симметрии).
Общая форма: ромбическая пирамида. Частные формы:
1) ромбическая призма (заданная грань параллельна
поворотной оси), 2) пинакоид (грань параллельна плоскости
симметрии), 3) диэдр (грань перпендикулярна плоскости симметрии),.
4) моноэдр (грань перпендикулярна поворотной оси). На
кристалле каламина — таблица 5—видны грани: ромбической
пирамиды (две соседние нижние), призмы (узкие вертикальные
над гранями пирамиды), пинакоида, моноэдра (верхняя) и,
наконец, диэдров.
II />2—222—ромбо-тетраэдрический (М), дигирно-аксиалышй (Ф),
ромбическая энантиоморфная гемиэдрия (IT), (23).

В вадй симметрии рэмбической сннгонни
Таблица 5
U24
Ступень
Примитииыая I
(полярная)

Центральная II
Нланаль-
ная III

Аксиальная IV
Планаксиаль-
ная V
Стереографическая
проекция исходной формы
Добавляется элемент
симметрии
Поворотная ось 2-го порядка (дигира)
Стереографическая
^проекция, отвечающая но-
ному виду симметрии
Ф/ I *
z3_.

Пространственная
совокупность элементов
симметрии
Элементы симметрии
Нид симметрии
Состав кристаллов
Форма кристаллов
См. табл. 4
(2 1)
Диэдрпческий

осевой—моноклинной сингонии
(см. табл. 4)
См. табл. 4
(2 т 1)
Призматический-
моноклинной
сингонии
(см. табл. 4)
2 mi
4
f
Г
23

Ромбопирамидальний, дигирно-пла-
нальный
С^0—mm
Ромботетраэдриче-
ский, дигирно-
аксиальный *)
Do—222
Каламин,
гемиморфит
Zn3(0H)2SiO8
Эпсомит, английская
соль MgS047H>()
Ol
Рвотный камень,
виннокислый
антимония калия,
[(CHOH)3(COO)J.
■K-SbO-HaO."
2WI
Ромбодипирами-
дальный дигирно-
планаксиальный
К/, =D<>h—ттт
'V//
С ера
Иод
*) Буквой /) обозначаются диэдрическне виды симметрии, имеющие более одной поворотной оси.

66 Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР [ГЛ. I
(Виды симметрии, являющиеся сочетанием нескольких
поворотных осей, называются диэдрическими и обозначаются D.)
Сочетание двух взаимно-перпендикулярных порождающих осей
2 влечёт за собой возникновение, и третьей оси 2, им
перпендикулярной.
Общая форма—ромбический тетраэдр (через середины каждой
пары противолежащих рёбер проходят поворотные оси 2).
Частные формы: 1) ромбическая призма (грань параллельна
одной из осей 2); 2) пинакоид (грань перпендикулярна к оси 2 и
параллельна другим осям 2).
На кристалле эпсомита (таблица 5) видны грани ромбического
тетраэдра, ромбической призмы и пинакоида.
Ill D*h—тптт (иногда этот класс обозначают также Vh). Ромбо-дипира-
мидальный (М), дигирно-планаксиальный (Ф), ромбическая
голоэдрия (IT) (23ml). Общая форма—ромбическая бипира-
мида. Частные формы: ромбическая призма (грань
параллельна одной из осей 2); пинакоид (грань параллельна
плоскости симметрии).
§ 28. Виды симметрии ромбоэдрической (тригональной, тригирной)
сингонии
Добавление к исходным 5 ступеням вертикальной тригиры влечёт
за собой возникновение 5 новых видов симметрии ромбоэдрической сингонии
(см. табл. 6).
I Сз—3— тригонально-пирамидальный (М), тригирно-примитивный (Ф)г
ромбоэдрическая тетартоэдрия (IT) (ось 3|).
Общая форма—тригональная пирамида. Частвые формы: 1) три-
гоиальная призма, 2) моноэдр.
Кристалл периодата натрия (таблица 6) образован тремя три-
гональиыми пирамидами и моноэдром.
II Сы—3—ромбоэдрический (М), тригирно-централышй (Ф),
гексагональная тетартоэдрия II рода (IT) (ось 3). Общая форма—ромбоэдр-.
Частные формы: 1) гексагональная призма, 2) пинакоид.
III Сз„—Зт— дитригонально-пирамидальный (М), тригирно-планальный (Ф)>
ромбоэдрическая гемиморфная гемиэдрия (IT) (3ml).
Общая форма—дитригональная пирамида. Частные формы:
1) дитригональная призма, 2) тригональная пирамида, 3)
тригональная призма, 4) гексагональная пирамида, 5)
гексагональная призма, 6) моноэдр.
IV />з—32—тригоиально-трапецоэдрический (М), тригирно-аксиальный (Ф)~
Ромбическая энантиоморфная гемиэдрия (IT) (3 |23j). Все оси
полярны. Общая форма—тригональный трапецоэдр. Частные
формы: 1) дитригональная призма, 2) тригональная дипира-
мида, 3) ромбоэдр, 4) гексагональная призма, 5) тригональная
призма, 6) пинакоид.
V D^—3m-—дитригонально-скаленоэдрический (М), тригирно-планакспаль-
ный (Ф), ромбоэдрическая голоэдрия (IT) (3 2° яг3).
Горизонтальная плоскость симметрии из-за 3 отсутствует, в отличие от
других видов симметрии ступени V. Общая форма —дитриго-
нальный скаленоэдр. Частные формы: 1) дигексагональная
призма, 2) гексагональная бипирамида, 3) ромбоэдр, 4)
гексагональная призма, 5) пинакоид.

§ 29] ВИДЫ СИММЕТРИИ ТЕТРАГОНАЛЬНОЙ (ТЕТРАГИРНОЙ) СИНГОНИИ 67
§ 29. Виды симметрии тетрагональной (тетрагирной) сингоыии
Добавление к исходным 5 ступеням вертикальной тетрагиры,
соответственно тетрагироиды, влечёт за собой возникновение 5, соответственно 2Г
а всего 7 новых видов симметрии тетрагональной сингонии (табл. 7).
Начнём с видов симметрии, возникающих в результате добавления оси 4.
I С4—4—тетрагонально-пирамидальный (М), тетрагирно-примитивный
(Ф), тетрагональная тетартоэдрия (IT) (ось 4 j ). Общая форма —
тетрагональная пирамида. Частные формы: 1) тетрагональная
призма, 2) моноэдр.
II C±h—4///г—тетрагонально-бипирамидальный, тетрагирно-централышй
(Ф), тетрагональная параморфная гемиэдрия (IT) (4тл). Общая
форма—тетрагональная бипирамида. Частные формы: 1)
тетрагональная призма, 2) пинакоид* В таблице 7 кристалл
шеелита образован четырьмя тетрагональными бипирамидами.
III C±v—4mm—дитетрагонально-пирамидалышй (М), тетрагирно-планаль-
иый (Ф), тетрагональная гемиморфная гемиэдрия (IT) (411Щ).
Общая форма—дитетрагоиальиая пирамида. Частные формы:
1) дитетрагональная призма, 2) тетрагональная пирамида,
3) тетрагональная призма, 4) моноэдр.
IV «D4—42— тетрагонально-трапецоэдрический (М), тетрагирно-аксиаль-
ный (Ф), тетрагональная энантиоморфная гемиэдрия (424).
Общая форма—тетрагональный трапецоэдр (поворотные оси 2
проходят через середины рёбер, непересекающихся с осью 4).
Частные формы: 1) тетрагональная бипирамида, 2)
дитетрагональная призма, 3) тетрагональная призма, 4) пинакоид.
Кристалл монокалийтрлхлорацетат (таблица 7) образован
тетрагональным трапецоэдром и тетрагональной бипирами-
доп.
V Z)4h—4/ттт—дитетрагонально-бипирамидалышы (М), тетрагирно-плана-
ксиальный (Ф), тетрагональная голоэдрия (IT) (4«2 • nfv mh 1).
Общая форма—дитетрагональная бипирамида. Частные
форумы: 1) дитетрагональная призма, 2) тетрагональная
бипирамида, 3) тетрагональная призма, 4) пинакоид.
Добавление оси 4 к ступеням 1 if 111 влечёт за собой
возникновение ещё 2 видов симметрии:
1* S± —7±—тетрагонально-тетраэдрический (М), тетрагироидо-примитив-
нъш (Ф), тетрагональная тетартоэдрия II рода (IT) (4).
Общая форма—тетрагональный тетраэдр. Частные формы:
1) тетрагональная призма, 2} пинакоид.
Ill* D^a—7j2 Его обозначают иногда также Vd. Тетрагоналыю-скалено-
эдрический (М), тетрагироидо-плаиальный (Ф), тетрагональ-
пая гемиэдрия II рода (IT) (i2rmi).
Общая форма—тетрагональный скаленоэдр. Частные формы:
1) тетрагональная бипирамида, 2) тетрагональный тетраэдр,
о) дитетрагональная призма, 4) тетрагональная призма,
5) пинакоид.
Обратим внимание на проекции в случаях С4, С^ь. и S*. При таком
расположении точек, казалось бы, можно провести вертикальные плоскости
симметрии. Почему таковые отсутствуют?
Это вызвано тем, что точки в общем положении могут быть асимметричны.
Гира—поворотная ось я-го порядка сама по себе не влечёт за собой
появления п вертикальных плоскостей симметрии и не является,
следовательно, линией их пересечения.

Таблица 6
(> видов Симметрии тригонатьной (ромбоэдрической) сингонии
00
Ступени
Полярная I

Центральная II
Планаль-
ная III

Аксиальная IV
Планаксиаль-
ная V
Стореографическая
проекция исходной формы
Добавляется элемент
симметрии
Стереографическая
проекция, отвечающая новому
виду симметрии
Поворотная ось 3-го порядка (тригира)

Пространственная
совокупность элементов
симметрии
Элементы симметрии
Вид симметрии
Состав кристаллов
Форма кристаллов
\
Н
Тр игона льно-пира-
мидальний;
тригирно-прими-
тдвный
с3-з
Периодат натрия
NaJ043H2O
/К
<£— )\
3= 31
Ромбоэдрический;
тригирно-централь-
ный
с3/-з
Доломит
CaMgG03
И^
з™;;
Днтригонально-
пирамидальный;
тригирно-планаль-
н ый
Cov-Zm
Турмалин
Si803,(BOH)4R3A]6>
где R = A12, Mg3
Fe3, Ke, Li6,<TsTae, He
fcK
^
32d
Тригонально-трапе-
цоэдрический;
тригирно
-аксиальный
А,-32

Низкотемпературный кварц SiOa
Ш^1
32*т?Д
Дитригонально-
скаленоэдрическнй;
тригирно-илан-
аксиальный
D.6d - 3m
Кальцит
СаСО,

Таблица 7
7 видов симметрии гетраг.шалыми сингонии.
Ступени

Стереографическая
проекция
простейшей формы
Добавляется
элемент
симметрии

Стереографическая
проекция,
отвечающая новому !
виду симмет- !
рпи
Полярная

(примитивная) I
О

Центральная И
0
1 Планаль-
ная III
а
D

Аксиальная IV
'^)
План
аксиальная V
\д
\3
в
и
Поворотная ось 4-го порядка (тетрагира)
С ♦ у
/С х
xN\
\^ х]
W|\7
1
Инверт-
ная I*
О
Планинверт-
ная III* (IV*)
а
D
Инверсионная ось 4-го порядка
(тетрагироида)
С* j
уч-
[ 4- Ж. 1
\/о\
Г\р/
1 0* 1


Пространственная
совокупность
элементов
симметрии
Элементы
симметрии
Вид симметрии
Состав
кристаллов
Формы
кристаллов
И
Тетрагональ-
но-пирами-
j дальний;
тетрагирно-
иримитивный
С4-4
Вульфенит
РЬМоО.
I
ЛГУ
1
kmh\
Тетрагонально-
бипирамидаль-
ный;
тетрагирно-
центральный
См -Ь/т
Шеелит
CaW04
4ю*
Дитетраго-
ьально-пира-
мидальный;
тетрагирно-
планальный
С±и — 4 mm
Сукциниодимид
C4H402NJ
Vi
424
Тетрагонально-
трапецоэдри-
ческий;
тетрагирно-
аксиальный
At - 42
Трихлорацетат
калия
/СС13С00К\
^СС1,С00НУ
424
Дитетрагонально
бипирамидаль-
ный;
тетрагирно-
планаксиальный
D±h — \\mmm
Касситерит
Sn00
■^
i м и
w
г»
Тетрагональ-
но-тетра-
эдрический*)
тетрагироидо-
примитивный
st-l
Пентаэритрит
С(СН2ОН)4
422т?.
Тетрагонально-
скаленоэдри-
ческий;
тетрагироидо-
планальный
Vd=DM-l2
Медный
колчедан
CuFeS0
*) По Шубннкоиу, Флинту, Гюкиюр] (1940) и др. авторам известен только 1 представитель класса S^—алюмосиликат
кальция Al2Ca2Si07 (на основании фигур травления), а пентаэритрит относится к классу С v. Проведённое на мисопоставление структурных
данных показывает, что симметрия, например пентаэритрита, определяется пространственной группой S^
Та же пространственная группа (§ 57) характеризует симметрию BP04t AsP04, [Cu(S = C(CH3)(NH2))4C1j; [Ag(S = C(CH3)(NH2))4]Cl,
Мп3Р и других веществ, которые относятся, таким образом, к виду симметрии S±.
!! IS

72 4.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР [ГЛ. I
Грани пирамиды, бипирамиды, тетраэдра в видах симметрии С4, С^, 5±
не являются симметрично равными, как это видно из рисунка кристаллов
шеелита.
В случае асимметричных точек вполне возможно возникновение
вертикальных плоскостей симметрии при удвоении количества точек (рис. 19, Ь).
Поэтому, например, кристаллы дитригональной и дитетрагональной
ступеней имеют вертикальные плоскости симметрии.
Подлинно тетрагональный тетраэдр (как кристаллографическая форма),
имеющий элементы симметрии, отвечающие геометрической форме, в
частности вертикальные плоскости симметрии, попадает не в тетрагональ но-
тетраэдрический (54), а в (ди)тетрагонально-скаленоэдрический (Fd = Zbd)
вид симметрии (см. § 37).
§ 30, Виды симметрии гексагональной (гексагирной) сингонии
Добавление вертикальной оси 6 даёт пять и оси 6 ещё два, а всего 7 видов
симметрии гексагональной сингонии (табл. 8).
I Со—6 —гексагонально-пирамидальный (М), гексагирно-примитивный
(Ф), гексагональная тетартоэдрия (IT) (ось 6J).
Общая форма—гексагональная пирамида. Частные формы:
1) гексагональная призма, 2) моноэдр.
II— Cg/,—6m—гексагонально-бипирамидальный (М), гексагирно-централь-
ный (Ф), гексагональная параморфная гемиэдрия (IT)
(6m/, 1).
Общая форма—гексагональная бипирамида. Частные формы:
1) гексагональная призма, 2) пииакоид.
III Се»—6mm—дигексагонально-пирамидальный (М), гексагирно-планаль-
ный (Ф), гексагональная гемиморфная гемиэдрия (IT)
(6jmJ).
Общая форма—дигексагональная пирамида. Частные формы:
1) дигексагональная призма, 2) гексагональная пирамида,
3) гексагональная призма, 4) моноэдр.
IV Z>6—62—гексагонально-трапецоэдрический (М), гексагирно-аксиальный
(Ф), гексагональная энантиоморфная гемиэдрия (IT) (6 26).
Общая форма—гексагональный трапецоэдр. Частные формы:
1) дигексагональная призма, 2)гексагональная бипирамида,
3) гексагональная призма, 4) пинакоид.
V Д,л—штат—дигексагонально-дипирамидальный (М), гексагирно-планакси-
альный (Ф), гексагональная голоэдрия (IT) (626т£тл1).
Общая форма —дигексагональная бипирамида. Частные
формы: 1) дигексагональная призма, 2) гексагональная
бипирамида, 3) гексагональная призма, 4) пинакоид.
Добавление оси 6 к ступеням I и III даёт 2 новых вида симметрии:
I Сз/i— 6—тригонально-бипирамидальный (М), гексагироидо-примитив-
ный (Ф), тригональная параморфная гемиэдрия (IT) (ось
6 =3/m=3mh).
Общая форма—тригональная бипирамида. Частные формы:
1) тригональная призма, 2) пинакоид.
Ill Dsh — 6m2—(ди)тригонально-бипирамидальный (М), гексагйройдо-пла-
нальный (Ф), тригональная голоэдрия (IT) (6 23|m^).
Общая форма—дитригональная бипирамида. Частные
формы: 1) дитригональная призма, 2) гексагональная дипи-
рамида, 3) гексагональная призма, 4) тригональная
бипирамида, 5) тригональная призма, 6) пинакоид.

§ 31] виды симметрии кубической сингонии ___ 73
Эти два вида симметрии причислялись раньше к
тригональной—ромбоэдрической (под)сингонии, затем к гексагональной. Некоторые авторы
считают эти два вида симметрии относящимися к самостоятельной восьмой,
тригональной сингонии (в отличие от ранее рассмотренной ромбоэдрической).
§ 31. Виды симметрии кубической сингонии
Характерными элементами симметрии кубической сингонии являются
оси З4.
Как мы знаем (§ 24), между такими осями возможны лишь углы 109°28'
и 70°31', отвечающие углам между диагоналями куба. Если мы допускаем,
Рис. 38. Образование видов симметрии Т и Тд.
что количество осей 3 больше единицы, нетрудно показать, что в простейшем
случае оно равно 4, ибо всякая тригира, действуя на тригиру же, повторяет
её трижды, а всего возникнут 4 тригиры (рис. 38, а).
Так как у ступени I центра инверсии нет, все 4 тригиры полярны.
При этом 3 из них должны быть направлены остриями обратно четвёртой
(рис. 38,а). Но в таком случае через центры противоположных граней
куба проходят три биполярные оси 2 (рис. 38, 6). В результате возникает
простейший вид симметрии кубической сингонии Т.

? видов симметрии гексаговальной сивговии
Таблица 8
Ступени
Примитивная
(полярная) I

Центральная II
Планаль-
ная III

Аксиальная IV
План-
аксиальная V
I* Инвертная
Планинвертная
III* (IV)

Стереографическая
проекция
простейшей формы
Добавляется
элемент
симметрии

Стереографическая
проекция»
отвечающая виду
симметрии

Пространственная
совокупность
элементов
симметрии
Элементы
симметрии
Поворотная ось 6-го порядка (гексагира)
С2С
чу® | ®\/
щ
62emGm. Г
х I х
Инверсионная ось 6-го порядка
(гексагироида)
6 = Smh
фл
62>»=32»л:

Вид
симметрии
Состав
кристаллов
Форма
кристаллов
Гексагонально
пирами-
дальпый;
гексагирно-
примитивный
Нефелин
(только по
фигурам
травления)
к
г
(
к<
N
<*
4.
а\
*
Гексагонально-
бпппрами-
дальный;
гексагирно-
центральный
У6Л"
- f» m
Апатит
Ca(Cl,F, ОН),
ЗСа3 (Р04)3
Дигекса-
гонально-
ппрамидаль-
ный;
гексагнрно-
планальный
Сл,.
6mm
Гренокит
CdS
Дигексагонально
трапецоэдри-
ческий;
гексагирно-
аксиальный
Д:
■02
В лсокотемпера-
турный кварц
Дигексагонально
бипирамидаль-
ный; гексагирно-
планаксиальный
2>6Л — 6mmm
Тригонально- I Дитригонально
дппирамидальный; бипирамидальный;]
Берилл
Ве,А14(ЗЮ,)в
гексагироидо-
примитивный
y3h'
Нет надежных
примеров
Ag2HP04?
гексагироидо-
плапальный
D*
ЗЛ"
6т2
Г>еннтоит *)
BaTiSiaOj
*) По кристаллографическим данным (см., например, Шубников, Флинт и Бокий8 (1040), к классу D%h относится лишь один
единственный (и то не вполне достоверный) представитель — бенитоит. Проведённое автором сопоставление структурных данных
показывает, что симметрия бенитоита определяется пространственной группой D\h (§ 57); он, следовательно, относится к классу l)^h.
Пространственная группа D*J} определяет симметрию также CeFG03, LaFC03, возможно NaLiC03 и др.

76 Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР [ГЛ. I
1 Т—23 (Пентагон)—тритетраэдрический (М), полигирно-примитив-
ный (Ф), кубическая тетартоэдрия (IT) (34|23).
Установив куб так, чтобы ось 2 стояла вертикально, строим проекцию:
2 горизонтальные взаимно перпендикулярные дигиры-(-след вертикальной
дигиры в центре проекции. В каждом квадранте—тригира, причём две
направлены остриями к северному и две—к южному полушариям в шахматном
порядке. Точка в общем положении будет повторена тригирой в том же
полушарии трижды, них проекции расположатся в одном и том же квадранте
(четверти) круга.
Вертикальная дигира переводит эту тройку в диагонально
противоположный квадрант, любая же из горизонтальных дигир переведёт всю эту
группу точек в южное полушарие. Их проекции займут два других
квадранта по диагонали, в соответствии с тетраэдрическим характером вида
симметрии.
Общая форма—пентагонтритетраэдр. Частные формы: 1) тетра-
гонтритетраэдр, 2) тригонтритетраэдр, 3) тетраэдр, 4)
ромбододекаэдр, 5) пентагондодекаэдр, куб.
Добавив к ступени I центр инверсии, получаем ступень II, в которой
возникают 3 взаимно перпендикулярные плоскости т, параллельные граням
(100) и пересекающиеся в центре куба. Эти три плоскости разбивают куб на
8 октантов (см. рис. 38, с).
II Ти-т3—дидодекаэдрический (М), полигирно-центральный (Ф),
кубическая параморфная гемиэдрия (3423т31).
На проекции каждой точке северного полушария отвечает
аналогичная точка южного полушария (24 точки).
Общая форма—дидодекаэдр. Частные формы:
^пентагондодекаэдр, 2) ромбододекаэдр, 3) тетрагонтриоктаэдр, 4) три-
гонтриоктаэдр, 5) октаэдр, 6) куб.
111 Та—43т—гексатетраэдрический (М), полигирно-планальный (Ф),
кубическая гемиморфная гемиэдрия (IT) (34|23m6).
Добавление к ступени I плоскости симметрии параллельно стороне
куба не даёт новых результатов (получается ступень II). Остаётся ещё одна
возможность—если плоскость m пройдёт через 2 противоположных ребра
по диагонали грани куба (рис. 39). Такая плоскость включает в себя две
оси 3J.
Рис. 39. б плоскостей симметрии, отвечающие виду симметрии Td.
Две другие оси 3 повторят эту плоскость 6 раз. Проекции двух таких
плоскостей пройдут по диаметру, а остальных четырёх, наклонённых к
плоскости проекции под углом 45°,—по дугам.
Количество точек в каждом квадранте по сравнению со ступенью I
удвоится (24 точки).

§ 311 виды симметрии кубической сингонии 77
Обща;* форма —гексатетраэдр. Частные формы: 1)тетрагонтри-
тетраэдр, 2) тригоитритетраэдр, 3) тетраэдр, 4) тетрагексаэдр
(пирамидальный куб), 5) ромбододекаэдр, 6) куб.
IV 0—43—пентагонтритетраэдрическип или гироэдрический (М), ноли-
гирно-аксиальный (Ф), кубическая энантиоморфная геми-
эдрия (IT) (344326).
Ступень IV должна возникнуть из ступени I путём добавления
оси 2.
При этом во всех сингониях ведущие оси становились биполярными.
Как видно из рис. 40, есть только одна возможность провести ось 2:
через середины противоположных рёбер куба. Соответствующий угол между
диагоналями (осями 3), т. е. 70°32', будет разделён осью 2 пополам, и при
Рис. 40. Возникновение вида симметрии О.
повороте вокруг оси 2 на 180° элементы симметрии и, в частности, тригиры
совместятся. Характерный для кубической сингонии комплекс З4
сохраняется. Но взаимное действие этого комплекса и одной оси 2 поведёт к тому,
что тригиры повторят ось 2 шесть раз и сделают её биполярной. (Если хоть
одна ось 2 останется полярной, то оси 3 исчезнут.) В свою очередь, дигиры
делают биполярными оси 3 по аналогичным соображениям. Но при наличии
4 биполярных осей 3 и 6 биполярных осей 2, проходящих через середины
рёбер, проходящие через центры граней оси 2 превратятся в оси 4. При
действии на точку в общем положении данной пространственной совокупности
элементов симметрии возникают 24 точки.
Общая форма: пентагонтриоктаэдр. Частные формы: 1) тетра-
гонтриоктаэдр, 2) тригонтриоктаэдр, 3) октаэдр, 4)
ромбододекаэдр, 5) тетрагексаэдр (пирамидальный куб), 6) куб.
VOit—тЗт—гексаоктаэдрический (М), полигирно-планаксиальный (Ф),
кубическая голоэдрия (IT) (3* 4'* 26 т9 1).
Комбинация элементов симметрии ступеней III и IV добавит ещё центр
инверсии 1, причём получится удвоение количества (48) точек против
классов О и 7V
Общая форма—гексаоктаэдр. Частные формы: 1)тетрагонтриок-
таэдр, 2) тригонтриоктаэдр, 3) октаэдр, 4) ромбододекаэдр,
5) тетрагексаэдр, 6) куб. См. таблицу 9.

б видов симметрии кубической сингонии
' Таблица 9
Ступени
Примитивная I
Центральная II
Планальная III
Аксиальная IV
Планаксиальная V
Стереографическая
проекция простейшей формы
Добавляются элементы
симметрии
Стереографическая
проекция, отвечающая новому
виду симметрии
Пространственная
совокупность элементов
симметрии
Элементы симметрии
3423
Две оси 3 под углом 109'28' друг к другу
342ят'Т
342"т6
,,44я2б
Л
Уш»У
3*4Г2V 1

Вид симметрии
Состав кристаллов
Форма кристаллов
Пентагонтритетра-
эдрический;
полигирно-прими-
тивный
Г —23
NaCIO,
Дидодека-
эдрический;
полигирно-
цен тральный
Г*-тЧ
FeSa пирит
^^
Гексатетраэдриче-
ский;полигирно-
планальный
rd-4:*m
ZnS сфалерит
Пентагоитриокта-
эдрический или
гироэдрический;
полигирно-
аксиальный
О —43
NH4C1 *)
нашатырь
фигуры
травления
Гексаокта-
эдрический;
полигирно-
планаксиальный
0/i — т\\т
CaF,
гроссуляр
Са3А12 (Si04)3
*) В кристаллографической и минералогической литературе (см., например, Шубников, Флинт и Бокий [9] (1940), Дана [10] (1937)
к классу О относится, например, куприт, СгьО. Структурные данные заставляют причислить СиаО к классу Oh. Повидимому, влияние
иримесей на возникновение форм, отвечающих классу О, довольно сильно. Следует относиться с осторожностью и к примеру NH4C].
, ее

Триклинная
(2 вида
симметрии)
и моноклинная
(3 вида
симметрии)
Ромбическая
(3 вида
симметрии)
Тригональная
(5 видов
симметрии)
Таблица 10
Стереографические вроекцпи 32 видов еиннетрпи
полярная
примитивная I
триклинная
гемиэдрия (1)
см. С
ромбоэдрическая
тетартоэдрия (3)
центральная
П
планальная
III
триклинная
голоэдрия (2)
см. С.,
3/
моноклинная
гемиэдрия (к)
аксиальная
IV
планаксиальная
V
инвертная
I*
планинвертная
III*
моноклинная
гемиморфная
гемиэдрия (2)
^2v
ромбическая
гемиморфная
гемиэдрия (4)
гексагональная
тетартоэдрия
2-го рода (G)
ромбоэдрическая
гемиморфная
гемиэдрия (О)
ромбическая
э нашпиоА.орфна я
гемиэдрия. (4)
ромооэдрическап
гемиэдрия (6)
моноклинная
голоэдрия (4)
V/,=D2/.
ромбическая
голоэдрия (8)
ромбоэдрическая
голоэдрия (12)
Жирной чертой обведены 8 видов
симметрии, образованных только
1 элементом симметрии:
1, 2, 3, 4, 6, Т, 2(= #п), 4
Звездочкой в левом верхнем углу
отмечены 11 видов симметрии,
имеющие гхентр инверсии.
В скобках — количество наиболее
общих положений точек.
Эти числа: 1,2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,
24, 48 образуют кристалло? рафиче
ский ряд чисел.
Наименования по IT

Гетрагональная
(7 видов
симметрии)
тетрагональная
тетарюэдрия (4)
Гексаг опальная
(7 ви;.ов
симметрии)
Кубически н
(5 видов
симметрии)
гексагональная
тетартоэдрия (6)
кубическая
тетартоэдрия
гемиэдрин (12)
4 Л
тетрагональная
пара.* орфная
гемиэдрия (8)
6/i
гексагональная
параморфиая
гемиэдрия (12)
>« *•<
кубическая
параморфиая
гемиэдрия {'24)
'4v
тетрагональная
ге.. иморфная
гемиэдрия (^)
'6/>
гексаголальная
гелмморфная
гемиэ;»рия (12)
кубическая
гемиморфная
гемиэдрия (24)
иеграгональнан
эиаппшоморфная
гемиэдрия (8)
гексагональная
энантиол.прфная
гемиэдрия (12)
'Ah
кубическая
эна нтиоморфная
гемиэдрия (24)
тетрагональная
голоэдрт, (16)
геграгоннльнаь'
1етарю>дрни
2-го ро^а \4)
D,. i
oh
гексагональная
голоэдрия (2-1)
кубическая
голоэдрия (48)
те тра гон ал ь н а я
гемиэдрия
2-го рота (8)
'3/»
лз/,
тригональнал I трнгональная
параморфиая голоэдрия (12)
гемиэдрия (6) I
I

82 ч- t. основы теории cTPV&fyfr [гл. 1
§ 32. Сопоставление проекций 32 видов симметрии
В таблице 10 для большей наглядности сопоставлены проекции всех
32 видов симметрии. Из таблицы 10 (см. стр. 80, 81) видно, что центральная
ступень отвечает параморфной, планальная — гемиморфной, аксиальная —
инантиоморфной гемипдрии (в ромбической, средних*) и высшей син-
гониях).
§ 33. Виды симметрии с одинаковой кратностью позиций точек
в общих положениях
Из таблицы 11 следует, что одни и те же кратности р позиций
точек встречаются в следующих видах симметрии:
Таблица 11
V
1
2
3
'*
Вид симметрии
с.
^i» С5» С2
с,
с2„, v-n2
c2v, cv s4
V
6
8
12
Вид симметрии
V
If)
2'i
48
Вид симметрии 1
fl4*
г,,, о
1
§ 34. О соответствии форм кристаллов 32 видам симметрии
Сопоставление форм кристаллов с формами, предсказываемыми
теорией симметрии континуума, приводит к весьма хорошим результатам.
В природе не найдены формы, которые относились бы к какому-нибудь
непредвиденному «33» виду симметрии. С другой стороны, если отдельные
виды симметрии представлены весьма богато (0/„ Ал» Ал и ДР-)> то таким,
как iS4 или Сзл, отвечает пока небольшое количество изученных объектов.
Большинство форм кристаллов, встречающихся в природе, являются обычно
комбинациями простых кристаллографических форм. На рис. 41 приведены
некоторые такие комбинации для кубической сингонии.
§ 35. Закон рациональных отношений
Для описания положения граней кристалла естественно пользоваться
приемами аналитической геометрии, а именно системой координатных осей.
Если в аналитической геометрии часто предпочитают пользоваться
декартовыми координатами, т. е. осями, угол между которыми составляет
90°, то в кристаллографии выбирают систему координат так, чтобы оси
координат были параллельны рёбрам кристалла, и если в кристалле имеются
поворотные оси,—совпадали бы с последними.
) За исключением вида симметрии С.

$щ
ЗлкОН РАЦИОНАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ
S3
Напомним, что положительным направлением в аналитической
геометрии обычно считают (рис. 42, а): для оси я—вперёд к читателю, для
оси у—вправо от читателя и для о.си z—вверх.
й=г\
Ь>~
У
WJ
П1\
Рис. 41. Некоторые комбинации простых форм кубической сингонии:
а) и Ъ) кубооктаэдры, с) комбинации куба, октаэдра и ромбододекаэдра, d)
комбинация куба с тетрагонтриокта:>дром, е, комбинация куба с тригонтриоктаэдром.
Кроме того, в некоторых случаях (гексагональная сингония)
пользуются не тремя, а четырьмя осями, из коих одна совпадает с осью 6, а 3
других лежат в плоскости, перпендикулярной оси 6, проходя через
противоположные рёбра призмы (дипирамиды) (рис. 42: 6). Положительное направление
а h
Рис. V2. Положительное и отрицательные паиранления координат:
а) всех сингонии, кроме гексагональной, Ь) гексагональной.
на рис. 42 показано стрелками на концах осей. Систему координат
данного кристалла иногда называют «крест осей».
Второй особенностью в определении положения плоскости в
кристаллографии, но сравнению с аналитической геометрией, является выбор само-

84 ч* i. Ьсноёы теорИи структур [гл. 1
стоятельного масштаба измерений по каждой оси, ибо хотя единицы измере.-
иий по разным осям (осевые единицы) и могут быть равны, но в общем
случае они не равны друг другу. Между тем, в аналитической геометрии единицы
измерения по всем трём осям обычно одинаковы.
Таким образом, для определения положения грани кристалла
необходимо знать:
3 угла между осями а, р и у)
3 осевые единицы а, 6, с, откладываемые по этим осям.
При описании внешней формы кристалла нас интересуют, собственно,
не абсолютные значения осевых единиц, а их отношение а : 6 : с.
Совокупность углов между осями и отношений осевых единиц называют
иногда «метрикой» данного вида кристаллов. Так как осевые единицы
и углы (осевой крест) меняются
с температурой (и давлением), то
метрика должна быть отнесена
к определённым условиям Т и р
(см. § 106).
Для нахождения осевых
единиц кристалла одну из граней
кристалла, которая пересекает
все три оси координат, принимают
за единичную грань. Единичной
гранью называется грань,
пересекающая оси на расстоянии
одной осевой единицы от центра.
[Грань ABC (рис. 43) является
единичной.]
Рис. ъя. Грани (Ш) и (\Щ. Положение любой грани
кристалла можно задать так
называемыми параметрами грани, однако удобнее пользоваться числами,
обратными им, называемыми индексами грани.
Индексы грани—это величины, обратно пропорциональные параметрам
грани—отрезкам, отсекаемым плоскостью грани на осях (причём за единицу
приняты отрезки, отсекаемые единичной гранью).
Если мы имеем, следовательно, плоскость, которая отсекает на осях
отрезки (параметры), равные числу осевых единиц ,г, /у, z, то вместо
отношения этих отрезков х : у : z берут отношение
±:1 : 1=A:*:Z. (5)
х у z '
Числа Л, /с, I являются индексами грани. Их совокупность называется
символом грани. Символ грани в общем случае записывается так: (hkl),
символ единичной грани (111).
Если грань пересекает отрицательные направления осей, символ
запишется (hkl). (hkl) означает, что грань пересекает положительные концы
осей х и z и отрицательный конец оси у.
Рассмотрим, например, нахождение символа грани, параметры которой
равны х=3} у=3, 2=1 (см. грань АгВгС рис. 43), т. е. х : у : г.-3 : 3 : 1.
ill
Отношение индексов граней h■ : к :1 = ~ : т{- : у .
Приведём дроби к общему знаменателю, который после того отбросим.
Получим h : к : 1=1 : 1 : 3. Следовательно, символ грани (ИЗ).
Если грань параллельна одеюй из осей, например, ху отношение её
параметров запишется: х : у : z = oo : у : z.

§ 3G| ОТНОШЕНИЯ ОСЕВЫХ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ КРИСТАЛЛОВ 85
Найдём отношение индексов: h : к : / -■ — : — : — .
Следовательно, символ данной грани: (ОА/).
Если грань параллельна двум осям, например, у и z, её символом будет
(М)0). Разделив на А, получаем окончательно (100).
Например, приняв для кубической системы (^а=^/р=,/у—90°)
декартовы координаты, поскольку они параллельны рёбрам куба и осям 4, найдем,
что (как видно из рис. 44) каждая грань куба перпендикулярна одной из
осей и параллельна двум другим. Символ передней грани куба будет (100),
правой (010), верхней (001), задней (100), левой (010), нижней (001).
Грани ромбического додекаэдра получат символ (110) и т. п., грани
октаэдра (111) и т. п. Символ (111) означает грань октаэдра в передней
левой нижней его части (рис. 44).
Если оси координат принимать параллельными рёбрам кристалла
и параметры граней измерять осевыми единицами (отсекаемыми единичной
гранью), то при таком методе характеристики положения граней выявляется
весьма важный закон—второй закон кристаллографии, закон рациональных
отношений:
Параметры любой грана кристалла, выраженные в осевых единицах,
относятся, как простые целые числа.
§ 36. Отношения осевых отрезков и углов кристаллов
различных сингошш
Отношения осевых отрезков и углы, характерные для различных
оингоний (рис. 45), непосредственно вытекают из конфигураций
соответствующих бипирамид (или призм). См. табл. 12.
Таблица 12
1 Сингония
Кубическая
1 Тетрагональная
Ромбическая *)
1 Ромбоэдрическая **)
Моноклинная
Триклинная
Гексагональная ***)
л, Ь, с
а = b =.- с
а—Ьфс
афЬфс
а — ') = с
афЪфс
афЬфс
ai — а^—а^фс
*. Р< 7
3b=~i»=Y=cJ0o
а=^у=90^
2.^ = Y^<)0°
а=1*у=£«Ю°
j-=Y = i)0°
$ФМ°
*Ф$ФчФ№
углы между осями 1
а1:а2:ая=110\
между осями 1
а и с=У0°
*) 13 сечениях xyi)t xOz и 0i/z ромбической бипирамиды лежат 3 ромба с разными
отношиниими осей.
**) Ромбоэдр можно представить себе как куб, вытянутый или сплюснутый вдоль
оси 3. С другой стороны, ромбоэдр мож,но рассматривать как форму, производную от
гексагональной бипирамиды. Ьинирамида сплюснутая (малые отношения с/а) даёт
сплюснутый ромбоэдр, вытянутая (большие отношения с/а)—вытянутый ромбоэдр
(рис. 29).
***) Позже мы остановимся на других способах описания форм ieKcaiопальной
сингонии, помимо сцетеады 4 осей.

86 ч. i. основы теории структур |гл. I
/
ч°
\1
/
100
i
> 001
100
/!
'001
7\
ою\
У
Рис. 44. СимвелыЗграней куба, октаэдра и ромбододекаэдра.
• ♦С
+а \ +а \
е f а
Рис. 45. Осевыо отрезки и углы в кристаллах различных сингоний:
а) кубическая, Ь) тетрагональная, с) ромбическая, d) мононлинпан, с) триклинная, /)
гексагональная, д) ромбоэдрическая.

§ 37]
ФИЗИ'ШСКИВ И ХИМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
87
§ 37. Физические и химические свойства кристаллов и элементы
симметрии последних. Фигуры травления
Изучение форм, в которых кристаллизуются вещества данной сингонии,
обнаруживает, что вещества, относящиеся к классам кристаллов с более
низкой симметрией, весьма часто кристаллизуются в формах, внешне
похожих па формы кристаллов, которые относятся к классам, обладающим
Рис. 'iG. Штриховка граней пирита.
^
J3
Рис. 47.
Комбинация куба и иента-
гондодекаэдра.
более высокой симметрией, относящимся к той же сингонии. Так, например,
пирит класс Th очень часто кристаллизуется в кубах совершенно
правильной формы, как и NaCl, класс 0\х, но иногда покрытых штриховкой (рис. 46).
Обращая внимание только на геометрическую форму, нельзя однозначно
решить, к какому из пяти классов кубической сингонии следует отнести
кристалл пирита: воввсех этих классах куб является частной формой, см. §31.
Рис. \Н. Симметрия куба н зависимости от штриховки, формы и
расположения частиц.
Если сопоставить штрихованный куб пирита с пентагондодекаэдром
(рис. 35) или комбинацией последнего с кубом (рис. 47), нетрудно
обнаружить, что штриховка граней куба параллельна длинным рёбрам Пентагон-
додекаэдра и характеризует симметрию пирита, показывая, что, например,
ось 4 у куба, образованного пиритом, отсутствует, иначе штриховка имела
бы совсем другой вид (рис. 48, а).

88 ч. i. осноны теории структур [гл. 1
Рассматривая куб как группу точек, фиксированных в его вершинах,
нетрудно представить, в каких случаях три оси 4, несмотря на
«кубическое» расположение точек, могут исчезнуть. Это будет иметь место, если,
например, точки в вершинах имеют симметрию цилиндра,
На рис. 48, Ь показан такой куб, имеющий симметрию тетрагональной
призмы, у него две оси 4 (из 3) заменены на две оси 2, т. е. эта фигура
даже иной сингонии. Вторая ось 2 на рис. 48, Ь не показана, во избежание
загромождения рисунка. Мы сейчас не рассматриваем, как в
действительности построен кристалл пирита (см. гл. IX). Для наших целей в этой главе
вполне достаточно того вывода, что, несмотря на свою внешнюю
высокосимметричную от природы геометрическую форму, кристалл может
принадлежать к классу, имеющему более низкую симметрию.
Поэтому, хотя во всех классах кубической сингонии вещества могут
кристаллизоваться в виде куба (или комбинации куба с другой формой),
геометрически совершенный куб кристалла другого класса, чем Oh, не имеет
положенного геометрическому кубу комплекса элементов симметрии
(84432,;т<)1), ибо его физические (кристаллографические) свойства не отвечают
его форме, и, например, куб в классе Т или 71/. не имеет осей 4 (сравни
рис. 46 и 48).
Очевидно, что для выяснения причин таких явлений необходимо
рассмотреть собстненную симметрию и ориентировку точек, слагающих
кристалл. Эта задача является довольно сложной. Рассмотрение таких систем
требует введения новых принципов, что и делается теорией симметрии
дисконтинуума, к изложению элементов которой мы переходим в
ближайших параграфах, а также физической теорией структур (см. главу II).
Здесь мы скажем несколько слов о кристаллографических методах
установления вида симметрии кристалла.
Основным мотодом является гониометрическое определение междугран-
ных углов. Впрочем гониометрический метод даёт однозначные результаты
не всегда. Иногда представляет трудности дажо определение сингонии.
См. [15].
Рассмотрим группу кристаллов разных веществ, имеющих вид
гексагональной призмы с углами между гранями 120°.
Если судить лишь но геометрическим данным, их всех можно было бы
отнести к одному и тому же классу. По если мы попробуем химически
воздействовать на грани кристаллов, подобрав соответствующие вещества,
то получаются своеобразные фигуры травления, форма которых, прежде
всего, зависит от внутреннего строении вещества.
На рис. 4!) сопоставлены фигуры травлении нефелина (а), апатита (Ь)
и кальцита (с). Мы ясно видим, что нефелин имеет только ось 0 и относится
к классу CY,, апатит имеет симметрию G/m и относится к классу См, а
кальцит имеет 323т?, и принадлежит к классу D-A(h Три оси 2 проходят через
ребра гексагональной.призмы. Три плоскости m—через середины граней
призмы. На рис. 50 изображены проекции верха кристаллов, имеющих
сечение гексагональной призмы: берилла (класс Zfoi), кальцита (/);»</)>
кварца (/>з) левого и правого кристаллов (энантиоморфны).
Наличие 6т£ в первом случае, 3ml во втором и оси 3 в третьем случае
чётко видно по положению «верхних» граней. (Рассмотрение кристалла
кварца в целом позволяет обнаружить ещё оси 2) (см. рис. 109).
Заметим, что исследование разных свойств кристаллов разными
методами по-разному выявляют симметрию кристалла. Например, изучение
скорости прохождения света систематически приводит к выводу о более
высокой симметрии кристалла (так, все кристаллы кубической сингонии
изотропны в отношении скорости света я неотличимы, таким образом, друг

§ 37}_ ФИЗИЧЕСКИЕ И ХИМИЧЕСКИЕ СНОПСТНЛ К1'ПСТЛЛЛ013 89
от друга). Травление обычно (по не всегда) позволяет открыть пониженную
(но сравнению с симметрией внешней формы) симметрию кристалла.
(7
(Г
(7
Я
а
v
Рис. Ъ9. Фигуры трдплонпн на кристаллах.
Надо помнить, что симметрия фигуры травления является функцией
не только симметрии кристалла, но и 1) симметрии (структуры) компонентов
реакции, а также 2) наличия примесей и продуктов реакции травления.
Рис. 50. Проекции верха кристаллов.
Примером влияния первого фактора является опыт Руайе (см. [17J),
показавшего, что при травлении кальцита рацемической (оптически
недеятельной) малоновой кислотой получаются симметричные «треугольники»
травления, при травлении же вращающей^малоновой кислотой (содержащей

90
Ч. I. ОСНОВЫ ШОРИИ СТРУКТУР
[гл. 1
молекулы только одной из двух эиантиоморфных форм) фигуры травлении
не имеют плоскости симметрии, вопреки структуре кальцита.
Примером влиянии второго фактора являются фигуры травления KCL
В старых курсах принималось, что КС1, в отличие от NaCl, принадлежит
к классу О (а не О/,), поскольку получались фигуры травления, повёрнутые
вокруг оси 4 (рис. 51, а). Позже
z
4
ш
V
выяснилось, что это вызвано
следами примесей, а КС1
принадлежит, как и NaCl (рис. 51, 6),
к классу 0\х.
Снимки травленых граней к\
разной степени чистоты,
полученные с помощью электронного
микроскопа, обнаруживают на
поверхности кристалла глубокий
рельеф («небоскрёбы» и
«колодцы») и показывают, что,
например, водный раствор НС1 не даёт фигур травления с гранями
(111)—октаэдра, которых требует теории, тогда как обезвоженный,
газообразный НС1 даёт такие грани и т. д.
Piic. Г>1. Фигуры» транлинии на кристаллах.
§ 38. Об отклонениях от закона постоянства углов
и плоской формы граней
Современная теория роста кристаллов приводит к необходимости
отклонений от закона постоянства углов кристалла, что и наблюдается.
Более того, как было показано Шубниковым [17], Леммлейном и другими
советскими учёными, на гранях кристаллов часто возникают пирамидки
(один из видов так называемых вицинальных граней), высота
которых зависит от
условий роста кристаллов.
Отклонения от
плоскогранной формы
особенно разительны, если
исследовать не
макрорельеф, а микрорельеф
граней, как это и
делается в электрономи-
кроскопических
работах, а также в интер-
ферометрических
исследованиях, например,
Толанского [16] (1943—
1945 гг.).
Толанский,
использовав интерферометри-
ческий метод,
позволяющий, как оказалось, различать рельеф до 5—20 А, установил, что на
поверхности кажущихся плоскими граней кристаллов кальцита, топаза,
кварца, гипса, каменной соли, слюды, сильвина, карбида кремния имеется
рельеф глубиной в разных точках от 5 до 1000 и более ангстрем (рис. 52).
Подобные данные приводят нас к формулировке следующего
положения:
«Кажущаяся плоской грань кристалла является лишь воображаемой
плоскостью, параллельной реальным микрограням, проведённой через
Г 2345*78 мм
Рис. 52. Рельеф поверхности грани кристалла гиыса.

§ 40] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЁТКА КРИСТАЛЛА 91
микрорёбра грани. На разных расстояниях от этой плоскости расположены
параллельные ей микрограии, образованные веществом кристалла и
пересекающиеся с боковыми; поверхностями рельефа по ломаным рёбрам, отрезки
которых параллельны рёбрам кристалла».
Таким образом, воображаемые (идеальные) рёбра и грани кристаллов
параллельны микрограням и микрорёбрам рельефа, т. е. задают их
направление. Это иоложепие устанавливает связь между макро- и
микроструктурой кристалла.
§ 39. Полиморфные прекращения и формы кристаллов
Говоря о структурных формах, которые могут быть образованы
кристаллами данного вещества, мы по можем упустить из виду явление
полиморфизма. В последующих главах это явление будет более подробно
рассмотрено. Ядесъ отметим лишь, что в классической кристаллографии под
полиморфизмом понималась способность вещества одного и того же состава
образовывать кристаллографически различные модификации.
Во всей классической литературе явление полиморфизма охватывает
лишь случаи образования одним и тем же веществом кристаллографических
форм, принадлежащих разным сингониям и, гораздо реже, к разным видам
симметрии той же сингонии.
Так, было известно, что углерод может кристаллизоваться в виде алмаза
(октаэдры, кубическая сингония) и графита (гексагональная призма,
гексагональная сингония). Углекислый кальций СаС03 образует минералы
кальцит (гексагональная сингония) и арагонит (ромбическая) и т. д.
Но, как показано теорией симметрии дисконтинуума и исследованиями
структур веществ, не только в одной и той же сингонии, но даже в одном
и том же классе данное вещество может образовать разные структуры.
Например, Fe, CsCl или RbCl образуют по меньшей мере по две
модификации, весьма различные по структуре, но тем не менее относящиеся
к классу О],.
Далее, следы примесей, как мы полагаем, гораздо чаще влияют на
выбор не только формы, но и структуры, чем это принято думать (см. § 103).
Поэтому, в более глубоком освещении, проблема полиморфизма и
условий фазовых переходов не является проблемой теории симметрии континуума
и должна быть рассмотрена с иных позиций.
В. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ ДИСКОНТИНУУМА
§ 40. Пространственная решётка кристалла. Понятие об элементарной
ячейке
Уже давно в кристаллографии была проявлена тенденция к
объяснению свойств кристаллов таким образом, что кристалл, например, кубической
формы, слагается из более мелких «кубиков», несущих в себе все элементы
его симметрии. При этом предполагалось, что дальнейшее продолжение
дробления приводит, в конце концов, к некоторому элементарному
многограннику, сохраняющему все элементы симметрии и структуры исходного
кристалла и теряющему эти свойства при дальнейшем раздроблении.
Разбив мысленно весь кристалл любой сингонии на элементарные па рал-
лелепипедальные многогранники, мы констатируем, что рёбра последних
образуют пространственную решётку (рис. 53, а).<
Теория пространственной решётки не осталась, однако, на этих
первоначальных, примитивных позициях, Она эволюционировала в сторону

92
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
представлении о пространственной решётке как бесконечной системе узлов,
составляющих бесконечные ряды плоских сеток, объединённых в
пространственную решётку (рис. 53, 6). Такая концепция, приводящая, на первый
взгляд, лишь к подчёркиванию роли узлов решётки, в действительности
позволила создать теорию симметрии дисконтинуума в её современном
виде.
Учение о пространственной решётке оперирует с системой узлов —
кристаллографических точек—т. е. позволяет сделать ряд общих выводов,
независимо от состава вещества кристалла, после чего эти выводы могут
Рис. 53. Пристрапстненнан решётка кристалла.
быть широко использованы в теории структур. Поэтому следует различать
понятия «пространственная решётка» и «структура кристалла»,
предусматривающие в первом случае определённую совокупность
кристаллографических, а во втором—материальных точек.
4—ф-
Х-
и
Х-£~-
-ш
§ 41. Трансляция
Представим себе бесконечный ряд кристаллографических точек,
расположенных по прямой линии на одном и том же расстоянии а одна от
другой, определяемый, величиной и направлением бивектора ±%и. (рис. 54).
Операции бесконечного количества смещений %а на определённое
расстояние и в определённом направлении, приводящая к образованию из
каждой данной точки бесконечного
ряда точек, называется трансляцией.
Все возникающие точки имеют
параллельно одинаковое расположение
и параллельно одинаковое
окружение и называются
параллельно-равными или идентичными.
Таким образом, идентичные точки
параллельно равны друг другу.
Расстояние а между двумя
ближайшими идентичными точками ряда
(вдоль вектора %а) называется периодом идентичности.
Соответствующий трансляции элемент симметрии дисконтинуума
называется переносом, трансляционным вектором (или бивектором). Его можно
было бы назвать вектором идентичности.
При отсутствии бесконечного ряда точек трансляция не имеет места.
В учебниках часто называют эту операцию не трансляцией, я иосту-
нанием, а соответствующий ей вектор—трансляцией. (Нам кажется, что
термин «поступание» для операции, которая приводит в совмещение
уходящий в бесконечность ряд точек, не очень удачен.)
^ТТа
~ТТПГ
Рис.
Г/t. Одномерный трансляционный
ряд.

У ?1.
ДЬУМШ'НАЯ ТРАНСЛЯЦИОННАЯ Г1 УППЛ
§ 42. Двумерная трансляционная группа
93
мы приведем
Представим теперь себе плоскую сетку, состоящую из бесконечной
совокупности узлов (точек), возникающих друг из друга в результате
смещения в одном направлении (параллельно оси .г) на расстоянии а, в другом
(параллельно оси у)—на расстоянии b друг от друга (рис. 5Г>).
Осуществив сначала смещение ± т„, затем ± ч
точку к совмещению с другой точкой
той же сетки (пунктиром показаны
смещения + ча + чь и --frt4-fb). В равной мере,
подвергнув все точки нашей бесконечной
плоской сетки такому смещению, мы как бы
совместим её с исходным положением.
Кратчайшие расстояния а и соответственно Ь
между ближайшими узлами сетки
называются периодами идентичности (в
направлении оси х и соответственно у).
Если *са и ih обозначают
соответствующие трансляции, то их пространственная
совокупность (tatb) называется <)ву мерной
трансляционной группой.
Данной трансляционной группе,
действующей на точку, отвечает
определённая плоская сетка. Данная плоская сетка
может быть образована 'бесконечным
множеством трансляционных векторов, подчиняющихся
Двумерная
трансляционная группа.
условию
■тхп
:И*а
где- т и п-
ч> (0)
-целые числа (см. рис. 56 и 57).
Очевидно,.что чем меньше период идентичности в направлении данной
оси, тем плотнее сидят узлы в данном направлении.
Иараллелограмы (ячейки плоской сетки, имеющие узлы решетки
только в вершинах) называются однократно примитивными или просто
примитивными. Так как каждый узел
принадлежит одновременно 4 соседним ларал-
лелограмам, а каждому данному на -1 ,
аждый такой параллелограм содержит
то
,-. 4=1 узел.
Плоскую сетку можно представить
себе к^к построенную из разных
примитивных параллелограмов, имеющих
одинаковое основание и высоту, а следовательно,
одинаковую площадь. С уменьшением
расстояний d\ d"y d"' между рядами
увеличивается расстояние между точками в
пределах ряда, т. е. уменьшается плотность
узлов (рис. 56).
В зависимости от выбора
трансляционной группы, элементарный
параллелограм может содержать внутри ещё 1 узел, а всего 2 узла; внутри ещё
- узла, а всего 3 узла и т. д. (см. рис. 57). Если внутри параллелограм
имеет т узлов, его кратность равна /г=да+1. Такие иараллелограмы
называются двукратно-, трехкратно- ... соответственно и-кратно-примитивными.
Рис. 55. Плоская сетка может
быть построена из различных
примитивных параллелограмов.
Площади всех однократно-при-
митинных параллелограмов сотки
одинаковы.

94 4. !• о^йовы теории структур [гл. 1
Так как данная площадь сотки F см2 содержит N узлов, то на один узел
приходится площадь
/=
N'
0)
•^^—- ОднократноприлштиВныи параллелограмм
— —»— — ДЬухкратнопримитиВный »»
Трехкратнопримитибныи п
Рис. 57. Однократно, -двукратно- и
трёхкратно-примитивные параллелограмм
площади относится, как 1:2:3.
Их
на два узла—площадь 2 / и т. д. Иначе говоря, площади элементарных
параллелограмов данной плоской
-V сетки относятся, как их
кратности. Если последние одинаковы,
то площади равны.
§ 43. Трёхмерная
трансляционная группа
Пространственная
совокупность трёх трансляций (хахьхс),
параллельных осям хуу и z,
называется трёхмерной
трансляционной группой (рис. 58).
Бесконечная совокупность
точек, возникающих при действии
на данную точку трёхмерной
трансляционной группы {хахьхс)}
называется пространственной
решёткой, а расстояния а, 6 и с
между точками (узлами решётки)—периодами идентичности
пространственной решётки.
Элементарный параллелепипед—элементарная ячейка
пространственной решётки, определяемой трансляционной группой {хахьхс), часто
называется параллелепипедом
повторяемости.
В то время как данной
трёхмерной трансляционной
группе (хахьхс), действующей
на точку, отвечает одна
единственная, строго определённая
пространственная
решётка,данная пространственная решётка
может быть образована
бесконочным множеством троек
трансляционных векторов (TjToT,),
подчиняющихся условию
х' = ±тха±пхь±рхс, (8)
т. о. могущих представлять
собой векторную сумму или
разность исходных или кратных
им векторов (т, п9 р—целые
числа) (рис. 58).
Очевидно, что в
пространственной решётке можно
выбрать трансляционные векторы, а значит и параллелепипед повторяемости
различно (рис. 56—58. Рис. 56 и 57 можно представить как проекции
пространственной решётки на плоскость, в которой лежат х и у).
Параллелепипеды, внутри которых нет узлов, называются однократно-
примитивными (или простыми): они имеют 8 узлов (вершин), каждый
Т.-Та + гч+Ъ
Рис. 58. Трёхмерная трансляционная группа
и образованная ею пространственная рещётка.

§ 44] ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЙТКИ 95
из которых принадлежит одновременно 8 соседним параллелепипедам,
а каждому данному на 7а- Таким образом,
I О
п
1 ft _ 8
Если внутри параллелепипеда имеются ещё т узлов, его кратность будет
равна и=/ю+1.
Такие параллелепипеды называются соответственно двукратно-,
трёхкратно, «-кратно-примитивными. Если объём, занимаемый N узлами
пространственной решётки, равен V, то объём, занимаемый одним узлом, равен
о =
/V
(9),
двумя узла ми-
/: и т. д.
Иначе говоря, объёмы элементарных параллелепипедов данной
пространственной решётки относятся, как их кратности. Если последние
одинаковы, то объёмы параллелепипедов равны.
Тогда как кратчайшие расстояния между узлами решётки
определяются периодами идентичности, межшюскостные расстояния в решётке
зависит от выбора плоскостей (сеток). Это отчётливо видно из рис. 56, который,
как мы указывали выше, можно представить как проекцию трёхмерной
пространственной решётки с межплоскостными расстояниями d\ d", d'".
Зависимость между d и периодами идентичности а (соответственно Ь, с)
легко устанавливается методами геометрии.
Из §§ 41—43 вытекает, что, в отличие от операций точечной симметрии,
любые совокупности которых могут привести к возникновению 1,2, 3, 4,6,
8, 12,16, 24 и не более 48 равнозначных (эквивалентных) точек, расположенных
определённым образом (32 вида симметрии), трансляция сама по себе
приводит к образованию бесконечного количества параллельно равных
(идентичных) точек, образующих бесконечные ряды, плоские сетки или
пространственные решётки, в зависимости от характера трансляционной группы.
§ 44. Различные способы интерпретации процесса образования
пространственной решетки
Наиболее важны 4 основных способа.
Пространственная решётка может возникать при действии:
1. Трёхмерной трансляционной группы (таТ//Сс) на точку (рис. Г>8).
а с "В
Рис. 50. Различные способ:»! интерпретации образования njo-
странстненной решётки.
2. Трёхмерной трансляционной группы (хахьхс) на элементарную ячейку
(рис. 59, а). Таким образом, элементарная ячейка—это элементарный
параллелепипед, действием па который данной трёхмерной трансляционной группы
образуется рассматриваемая пространственная решетка.

96 ч. 1. основы теории структур [гл. 1
3. Трансляции 1Ъ на плоскую сетку, соответствующую двумерной
трансляционной группе (татс) (рис. 59, с).
4. Двумерной трансляционной группы (tat/;) на трансляционный ряд,
соответствующий вектору хс и т. п. (рис. 59, 6).
В одних случаях все четыре метода являются одинаково удобными,
н других целесообразно предпочесть какой-либо один из них (см. § 45).
§ 45. О («ложных проетранстпенных решетках
Рассмотрим две простые, примитивные, обозначаемые бук-вой Р
решётки, образованные одинаковой трансляционной группой (таТ/Ас)
ромбической сингопии.
Мы можем мысленно вдвинуть эти решётки одну в другую так, что
узлы одной из них окажутся в центре элементарных ячеек другой (рис. 60, а).
Мы получим в этом случае центрированную (объёмноцентрированную)
элементарную ячейку (рис. 60, 6). Такие решётки обозначаются /. Вдвинув две
/^-решётки одну в другую так, что узлы одной из них будут центрировать
пару взаимно противоположных граней элементарной ячейки другой решётки
(рис. 60, г), мы получим три типа двугранецентрировапных элементарных
ячеек: А, В к С в зависимости от того, какой из осой Лг, Y или Z
перпендикулярны центрируемые грани (рис. 60, d, e, /). Элементарные ячейки
с центрированными верхними и нижними основаниями (^-ячейки) часто
называются базоцентрированными.
Вдвинув в исходную решётку не одну, а три таких же решётки так,
чтобы узлы первой центрировали грани А> второй—грани VJ, третьей
грани С, мы получим решётку, элементарная ячейка которой будет иметь
все 6 центрированных граней. Такая ячейка называется гранецентриро-
ванной и обозначается F (рис. 60, g).
А, В и (7-элементарные ячейки являются двукратно-примитивными,
F-ячейка—четырёхкратно-примитивной. В кубических решётках но
характеру симметрии возможны только ячейки Р9 /, F (см. рис. 60, Л, /, /).
Межплоскостные расстояния в этих ячейках показаны на рис. 61 (a, b, с—
Р-рсшётка; d. е, /,—/-решётка; g, Л, iy—F-решётка).
Для подсчёта кратности элементарной ячейки мы пользовались в § 43
дробями, числитель которых показывает количество узлов
(кристаллографических точек) в элементарной ячейке, а знаменатель—какому количеству
элементарных ячеек каждый данный узел принадлежит. Такие дроби мы
будем называть структурными дробями.
В рассматриваемых и им подобных ячейках точка, находящаяся в
вершине, принадлежит 8 элементарным ячейкам, лежащая на ребре между
вершинами—4 элементарным ячейкам, лежащая на грани внутри её периметра —
2 элементарным ячейкам, лежащая внутри элементарных ячеек—только
ей одной. Поэтому кратность сложных элементарных ячеек равна сумме
структурных дробей:
для /-ячейки: п— -~ + -г~2,
о L
для Л, В и С-ячеек: п = -г+-^=2,
для F-ячейки: и-—f-^-=4.
Сложную решётку можно разбить на примитивные элементарные ячейки.
В таких решётках примитивные элементарные ячейки иногда находятся
в прямом и наглядном соответствии с симметрией самой решётки, иногда
не находятся. Примеромпервого случая является тетрагональная С-ячейка,
соответственно F-ячейка (рис. 62, а и 6). Выбрав вместо трансляционной

§ 45|
С) СЛОЖНЫХ ПГОСТРЛНСТИКННЫХ I'KJIlIiTKAX
97
д
/ \
ААМ\
♦4=71 ^И^\ ^^г\
k==F
h i I
Рис. 00. Образование ромбических Л .1, В, С и F-лчеек. Кубические Р, /, F-ячеикя.

Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
•zoo dZOo= y^
<vf
d2QQ - ~f
Рис. 61. Межплоскостные расстояния в кубических Р, / и F-ячейках.
ЛЗ^~А
Рис» 62. Переход от тетрагональной С-ячейки к Р -ячейке
(а) и от. тетрагональной F-ячейки к /-ячейке (Ь)

§ 45] О СЛОЖНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЕТКАХ 99
группы {ха"Хь^с) трансляционную группу ("с/д^т^как показано на рисунке,
мы получаем тетрагональную же однократно-примитивную JP-ячейку,
соответственно /-ячейку. Примером второго случая является кубическая
С-ячейка, соответственно F-ячейка: аналогичной операцией мы получим
тетрагональную Р-ячейку, соответственно /-ячейку. Новая элементарная
ячейка не будет отвечать симметрии пространственной решётки.
Наконец, кубические J- и F-ячейки можно заменить ромбоэОрической,
элементарной ячейкой с углом а=109°28' (рис. 63, а) в первом случае
и 60° (рис. 63, Ь) во втором. Очевидно, однако, что описывать гс-кратно-
примитивные кубические решётки однократно-примитивными ромбоэдры-
Рис. ОН. Переход от кубических /- и F-нчеек к ромбоэдрическим
однократно-примитивным ячейкам.
ческими элементарными ячейками в большинстве случаев будет
нецелесообразно, ибо характер сингоиии будет, таким образом, виден гораздо менее
наглядно.
В подобных случаях для характеристики пространственной решётки
пользуются не однократно-, а гс-кратно-иримитивпыми элементарными
ячейками.
На рис. 64 показаны три способа выбора гексагональной элементарной
ячейки (а—трёхкратно-примитивная, fc—однократно-примитивная
(выделена жирными линиями), с—двукратно-примитивная (орторомбическая)
(выделена жирными линиями) и способ перехода от
однократно-примитивной ромбоэдрической к девятикратно-примитивной гексагональной
элементарной ячейке (рис. 64, е) или трёхкратно-примитивной (рис. O'i, /).
На рис. 64, d показана шестикратно-примитивная ячейка плотной гекса
тональной упаковки.
В § 44 мы рассматривали 4 разных метода описания пространственной
решётки.
В случае сложных элементарных ячеек особенно удобно пользоваться
вторым методом, трактующим пространственную решётку не как
совокупность вдвинутых друг в друга простых решёток, а как результат действия
трёхмерной трансляционной группы на сложную элементарную ячейку,
взятую как одно целое. Этот путь особенно важен в тех случаях, когда
в сложной элементарной ячейке имеются точки, являющиеся по отношению
друг к другу равнозначными (т. е. связанными элементами точечной
симметрии) (рис. 65). С переходом к материальным точкам (к структуре
кристалла) этот путь способствует исследованию физических сил, об у с ловли-

100 Ч. I. ОСНОВЫ ТЬОРПИ СТРУКТУР [ГЛ. I
Рис. 6'*. Три способа пыбора гексагональной элементарной ячейки и
способ перехода от [однократно-примитивной ромбоэдрической к гексаго-
вальной ячейке.
Рис. 65. Каждая из 8 элементарных
ячеек, содержит сложный структурный
(октоэдрический) узел, все точки
которого являются эквивалентными.

§_47J
14 РЕШЁТОК Ш'АВЕ
101
вающих образование подобных строгих конфигураций, ведущих себя в
структурном отношении как одно целое, которое мы будем называть структурным
узлом, и выявлению комплексных ионов, радикалов, молекул и т. п. (см.
§ 60 и следующие).
§ 46. Атомные полиэдры Е. С. Фёдорова
К. С Фёдорову принадлежит творческая идея подхода к образованию
решёток разных типов как к результату заполнения пространства атомными
полиэдрами-многогранниками, содержащими несколько нар параллельных
граней: трппараллолоэдрами (рис. GG, а), тетрапараллелоэдрами (рис. 66, Ь),
с d
Рис. г>6. Атомные полиэдры К. С. Фёдорова.
гексапараллелоэдрами (рис. 66, с), гептанараллелоэдрами (рис. 66, d).
(Последние содержат 3, соответственно 4, 6 или 7 пар таких граней.)
В результате получаются Р-> J- и /'"-кубические и Я-гексагональная
решётки, как это видно из рис. 6(5.
Эти представления нашли развитие в современной кристаллохимии.
§ 47. 14 решбток Jipniic. Закоп Браво
Браве, рассматривай точки шаровой симметрии, пришёл к выводу, что
существуют \\ типов пространственных решёток, которые распределяются
по 7 сипгониям (рис. 67 и табл. 13). На рис. 67 отмечены углы,
отличающиеся от 90': и триклинноп (1) решётке углы а, [3, у; в моноклинной (2) и
(г!) угол [В. В ромбоэдрической (11) это наглядно видно из рисунка.
При выводе возможных типов решёток обнаруживается, что некоторые
типы могут быть заменены другими, уже рассмотренными, например, как
мы видели (рис. 62), тетрагональная С-ичейка может быть представлена
как ^-ячейка, тетрагональная /"-ячейка, как' тетрагональная /-ячейка.

102
4.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
Рлс. 67. \\ решёток Браво:
1) триклиниаи примитивная а Ф b ^ с <*>ф р Ф у Ф 90°; 2) моноклинная примитив-
пая; 3) моноклинная двугранепснтрировапная а Ф b Ф с а = т = 90 р Ф 90°; 4)
ромбическая примитивная, 5) ромбическая двугранепентрированная; 6) ромбическая
гранепентрированная; 7) ромбическая Центрированная афЬфс а. = $ — v = 90 ;
8) тетрагональная примитивная; 9) тетрагональная центрированная а — b Ф с
а=э=т = 90; 10) гексагональная ai = я2 = аз ^= г. Углы между о/ями а и с
равны 90е, между осями а—120°; 11) тригональная (ромбоэдрическая) а^Ь^с,
j. = (J =y ^z 90 ; 12) кубическая примитивная; 13) кубическая гранецентрированная;
14) кубическая пептрированная.: « » 6 = с a = JJ = *f ^ 90u.

§ 49] ДЕЙСТВИЕ ТРАНСЛЯЦИИ НА ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ ЮЗ
Таблица 13
1 ^
| по
1 пор.
1
1 2
3
4
5
6
1
| 1
№
1
2а
2Ъ
За
зь
Зс
3
1
Решётки
Браве
Триклинная
примитивная (1)
Моноклинная
примитивная (2/Wi)
Моноклинная
базоцентриро-
ванная ('2/т)
Ромбическая
примитивная (ттт)
Ромбическая
базоцентриро- i
ванная (ттт)
Ромбическая гра-
нсцентрирован-
па я (ттт)
Ромбическая
центрированная
(ттт)
1

значения
Tir
Гт
Гт
Го
/
Го
//
Го
///
Го
п
1
1
о
1
9 |
4
о
по
пор.
1
8
у
1)
и
12
13
14
№
4а
4Ь
5а
ПЬ
Ga
()b
Г)С
Решётки
Браве
Тетрагональная
примитивная
(4/mmw)
Тетрагональная
центрированная
(4, ттт)
Гексагональная
базоцентриро-
ванная (Ь/ттт)
Ромбоэдрическая
примитивная (3/тг)
К'убическая
примитивная
(т'Лт)
Кубическая гране-
центрированпан
(тЗ/я)
Кубическая
центрированная
(т\\т)


значения
rt
г<
г,,
ГгП
Гс
i
Ге
Гс
\
п
1
2
1
1 1
1
4
2
На рис. 61 видно, что различные плоские сетки «заселены» точками
неодинаково. Исходя из такого рода представлений, был сформулирован
так называемый закон Браве:
«Грани кристаллов образуются сетками с максимально плотным
расположением атомов».
Этот закон сам по себе недостаточен для понимания существа процесса
и может повести даже к неверным выводам. Он приобрёл реальный
физический смысл лишь после сформулирования закона Вульфа (§ 5), который,
собственно, только и позволяет ответить на вопрос, параллельно каким
сеткам должны образовывать грани термодинамически стабильных форм
кристаллов. В табл. 13 приведены обозначения и симметрия решёток Браве.
§ 48. Базис
Базисом, принадлежащим трансляциям ta, th, Тс, называется
совокупность точек, которая возникает вместо точки в решётке Браве и путём
параллельного смещения соответственно (ха Хь Тс) образует всю данную
систему точек (см. § 44). Базис описывается точным указанием
координат точек в пределах элементарной ячейки. Иногда базисом называют
именно совокупность координат всех находящихся внутри элементарной
ячейки неидентичных точек, выраженных в долях трансляции.
§ 49. Действие трансляции на непараллельные ее вектору
элементы симметрии
В теории симметрии дисконтинуума нам придётся встретиться со
знакомыми нам уже элементами точечной симметрии, а кроме того, и с новыми
элементами симметрии, характерными лишь для дисконтинуума.
Если трансляция не совпадает с направлением элемента симметрии,
например перпендикулярна поворотной оси, то под действием трансляцион-

104 ч. i. основы теории структур _ [гл. 1
ной группы происходит трансляция элементов симметрии, т. е. образуется
бесконечное множество тех же элементов симметрии, допустим поворотных
осей 6. Этот процесс имеет важную особенность (см. рис. 68).
Рис. 68. Элемонтгл симметрии, возникающие в пространственной решетке
при действии трансляции на перпендикулярные вектору х поворотные
оси 4 и 6.
а) и Ь) Образование семейств осей 4 и 2-го порядков при действии
трансляции на ось 4. с) и d) Образование семейств осей 6, 3 н 2-го порядков при действии
трансляции на ось б. Рис. d отвечает части рисе, выделенной жирной чертой.
Трансляции осей, кратность п которых может быть представлена как
произведение двух отличных от 1 целых чисел: п=тр, т. е. 4 = 2 • 2 и 6 = 2 • Л,
приводит к образованию; кроме семейства осей /г, также семейств осей
низшей кратности тар (3 и 2).
Идентичными называются элементы симметрии, возникающие друг
из друга*) в результате трансляции. Трансляция образует бесконечное
множество идентичных элементов симметрии. Эквивалентными, равнозначными,
называются элементы симметрии, совмещаемые друг с другом с помощью
операций точечной симметрии.
*) Т. е. совмещаемые друг с другом.

5 50]
СКОЛЬЗЯЩАЯ ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ
§ 50. Скользящая плоскость симметрии
105
Если трансляция параллельна плоскости симметрии, то возможно
осуществление новой операции симметрии.
Операция симметрии, являющаяся результатом совместного действия
зеркального отражения и трансляции, —параллельной зеркальной плоскости
отражения, — на расстояние, равное полупериоду идентич/юсти, называется
операцией скользящего отражения, а соответствующий ей элемент
симметрии—скользящей плоскостью симметрии*) (плоскостью скользящего
отражения).
\
Т/г
sj
р
ff
4-
1
i
I
/л
4
р'
Р2
V2
I
Р,
U
t
к
i
v
т
с
a.S
п
d
а б с d в
Рис. 60. Скользящая плоскость симметрии.
Рассмотрим рис. 69, а, Ь. Томка Рг даёт зеркальное изображение в Sl и в
результате трансляции т попадает в положение Р2. Точка Р2 даёт
зеркальное изображение в $2И в результате трансляции -^ попадает в положение Р].
На рис. 09, с, d показан случай нахождения точки на плоскости
скользящего отражения.
Вектор -^ называется компонентой скольжения.
Если компонента скольжения (а значит, и сама плоскость скользящего
отражения) параллельна оси а, соответственно 6 или с, то и плоскость
обозначается соответственно a, b или с. Плоскостью а не может быть (100),
которая перпендикулярна а, но может быть (010) или (001). Если плоскость
скользящего отражения параллельна диагонали основании, её обозначают п
и называют клипоилоскостыо скольжения. В .пом случае компонента
скольжения у равна полусумме двух векторов, т. е. -—;г^ или —т>— , или ^—~ч
т. е. половине диагонали соответствующего параллелограма.
Наконец, если компонента скольжения, параллельная пространственной
диагонали элементарной ячейки, равна 1/4 суммарного вектора Trt-г **/.-f **с»
плоскость обозначают d и называют плоскостью алмазного скольжения
(см. § 03) .
В IT для графического обозначения скользящих плоскостей симметрии
прибегают к пунктиру трёх видов (рис. (59, с): прерывистый для плоскостей
*) Подчеркнем, что наличие п решётке сколь.пщих плоскостей отражении
необязательно нлочёт л a codoii присутетпио плоскостей силшетрин.

106
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл.
а, 6, с, прерывистый с точками для плоскости п, и добавляют стрелку в
случае плоскости d, причём стрелка указывает направление, в котором верти-
кальная компонента скольжения равна + -г (значениедроби 1/4см. § 54).
§ 61. Винтовые оси-геликогиры
Совмещение фигуры в результате совместного действия вращения
вокруг поворотной оси (гиры) п-го порядка и трансляции параллельно гире
называется винтовым преобразованием, а соответствующий элемент
симметрии— винтовопово ротной
или винтовой осью (геликоги-
рой) п-го порядка.
Наименьший угол а
поворота геликогиры, который
осуществляет (при
одновременной трансляции всех
точек на величину — Л
совмещение с исходным положением,
называется элементарным
углом, а соответствующий
вектор «элементарной
трансляцией» (ходом) этой
геликогиры.
Величины а и — тесно
п
связаны между собой через
360°
величину п9 п== . При
/г= 6 совмещение произойдёт,
если элементарный ход гели-
когиры составит — х, причем
с d
Рпс. 70. Винтовые оси 6j и б5.
точка совершит путь вправо
вверх (см. рис. 70, а).
К тому же результату приведёт вращение в другую сторону на -jr- f.
Вращение же влево вверх на — т приведёт к возникновению фигуры рис. 76, 6,
которая энантиоморфна предыдущей. Если направленная к читателю точка
Р\ при повороте смещается вправо вверх, ось называется правой (6i), если
влево вверх — ось называется левой (65).
Принятый нами, в согласии с IT, способ обозначения винтовых осей,
например 6Ь позволяет сразу найти величину элементарной трансляции
в долях -:. Сделав индекс обозначения числителем, а порядок оси
знаменателем, сразу находим величину элементарной трансляции -г- X.
Помимо рассмотренных, возможны ещё геликогиры 62 и 64 ( ход равен
~ j, а также 6-/ход равен ~) (рис. 71 и 72).
В этих случаях подвергается винтовому перемещению совокупность
из 2 соответственно 3 точек, расположенных в плоскости,
перпендикулярной геликогире.
Если сумма индексов двух осей одного и того же порядка равна порядку
п оси, то получающиеся фигуры энантиоморфны. Пример: 6i и 65 (1 + 5 = 6)

§ 511
ВИНТОВЫЕ ОСИ-ГЕЛИКОПИ>Ы
107

108
4. I . ОСШШЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
или 6^ и 04. Если индекс равен —, различить левое и правое вращение по
расположению точек невозможно (63).
На рисунках 73, 74, 75 и 76 показаны винтовоповоротные оси и других
порядков: 4i, 4о, 4з, Зь 32, 2\. В нашей кристаллографической литературе
геликогиры соответствующих порядков называются дигеликогира, тригелп-
когира и т. д. В последнее в[юмя стали употреблять также наименования:
теликодигира, гсликотригира и т. д.
Рис. 75. Винтоиые оси ЬЛ1 и 32.
Рис. 7(>. Виптоиан
ось 2Х.
(Следует обратить внимание на то, что, например, в случае осой 6,
6i, tii», ti , ti4 и 6f) проекции точек на плоскость, перпендикулярную
оси, во всех случаях одинаковы и оси но этому признаку
неразличимы. Лишь изучение разреза параллельно оси позволяет установить,
с какой осью мы имеем дело. То же относится к осям других порядков
(рис. 70—75).
Таким образом, в теории симметрии дисконтинуума мы должны
различать следующие элементы симметрии: 1, 1; 2, 2\\ 3, 3j, 32; 4, 4, 4i, 4o, 4,; 6, (5,
6ь 6о, 63, 64, 65; т, а, 6, с, п, d.
В таблице 14 приведены обозначения винтовых осей по IT.

§ 51) шштовьш оси-геликогигы 109
Таблица 14
Обозначения винтовых осей пг
Порядок впнто- 1
вых осей 1
Величина 1
трансляционной
комноненты
Обозначение 1
винтовой оси
(IT)
; 1
3
4
1 б
i |
2 i
~Г- 1 :*
i |
1
Г
о
1 ^
2
т
6v
5
4i
4:{
61
б-
6з
(и
05
Характер энан-
тиоморфной
формы
Графические обозначения из IT

Вертикальные
винтовые
оси

Вертикальные
винтовые оси-f
+центр
инверсии |
Горизонтальные
винтовые
оси
! ! , 1
i к j tf !
э. ф. нет \Ш, V ^ ~—*" 1
правая
левая
Л
!
правая /^Ъ/
э.ф.нет ^Ь
лова» | ^^^Ч
правая
правая
э. ф. нот
левая
левая
и"
*
4
i
I
I
иг
t--f
Наклонён- 1
ные винто- 1
вые оси *) 1
*) Только в кубических пространственных группах.

110 ч. i. основы теории структур [гл. I
§ 52, О кратности, собственной симметрии и ориентировке
точек, находящихся на скользящих плоскостях симметрии и винтовых
осях, О степенях свободы точек
Как мы знаем из § 15, с попаданием точки на элемент точечной симметрии
её кратность п, собственная симметрия s и ориентировка должны
изменяться соответственно характеру элемента симметрии.
Если точка при аналогичном перемещении попадает на скользящую
плоскость симметрии или винтовую ось, не только её кратность и
кратность позиции, но и её собственная симметрия не меняются, равно как и не
налагаются никакие ограничения на её ориентировку (рис. 69, a, d и 77).
Подчеркнём, что наличие геликогиры, равно как и скользящей
плоскости симметрии, проходящей через «центр тяжести» точек, может быть
обнаружено лишь, если точки обладают достаточно низкой симметрией, В
противном случае обнаруживается лишь простой трансляционный ряд или
обычная плоскость симметрии и т. п. (см. рис. 78). На этом примере вновь
отчётливо видна важность учёта собственной симметрии точек при
исследовании подобных проблем.
\
VJ
х\
г
а 6
Рис. 77. Попадание точки на
скользящую плоскость симметрии или на
винтовую ось.
7
г. i
1 ^
^ ё
Рис. 78. Попадание точек на
винтовую ось 22.
Количеством степеней свободы / точек называется количество
независимых перемещений (параллельных кристаллографическим осям), при
которых кратность и собственная симметрия точек не меняются.
Так, в точечной группе D% — ттт pv =8 возможны случаи (рис. 12,6
и 79):
а) р = 8 и = 1 s = l / = 3 (рис. 79, а)
Ь)р = 4 у = 2 s = т / = 2 (рис. 79, 6)
c) /? = 2 w = 4 s = mm / = 1 (рис. 79, с)
d) р = 1 v = 8 s = ттт / = 0 (рис. 79, d).
Точка, находящаяся на пересечении трёх плоскостей симметрии
(случай 4), имеет количество степеней свободы / = 0, её перемещение вдоль
любой плоскости симметрии приводит к случаю (с), т. е. / == 1, и т. п.
§ 53. Координаты точек, возникающих при действии на точку
различных элементов симметрии
На рис. 80 и 81 показаны изменения координат точек, возникающих
при действии на точку: тетрагиры и геликотетрагиры, а также плоскости
симметрии и скользящей плоскости симметрии. В нашем примере эти
элементы симметрии перпендикулярны плоскости XY и параллельны оси Z.

§ 53] ДЕЙСТВИЕ НА ТОЧКУ РАЗЛИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ 1И
л
1\
и
и~
ZZV
т
7
к
\А
и
44
ш
г
\А
иг
~А
V.
V
ж
Ряс. 79. Различные положения точки относительно
плоскостей симметрии.
*
7-
УР^. 4
Рис. 80. Изменение координат точек при действии а) тетра-
гирм*и Ъ) геликотетрагирьт.

112
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
|гл. I
И случае тетрагиры и плоскости симметрии координаты z не изменяются.
Меняются лишь знаки координат или координаты х и у или и то и другое Г
И случае гсликотетрагиры координаты z изменяются, приобретая
добавочные значения
:P(xyz); Pt (У*,2 + {) ; Р, (xy.s-t™) ; Р3 (j,x,z+ty
у и т. п. обозначают отрицательные значения соответствующих коор-
\\
динат. Перемена мест х и у, например в {yx,z+ —), обозначает, что коо|)
1 J.
2
дииата х отрицательна и равна по величине у. Дроби - , -^- и т. и. отвеча-
X
ют величине вектора --, -л- и т. н.
Рис. Hi. Изменение координат точек, возникающих при действии а)
плоскости симметрии и Ь) скользящей плоскости симметрии.
В случае скользящей плоскости симметрии наблюдается та же картина,
например, P(xyz), I\fxy9z + ^ и т. д. (рис. 81).
§ 54. Координаты точек, линий и плоскостей в элементарной ячейке
Как мы знаем, вектор т' — wcx + nt2 + px3, где т} п и р—целые числа,
определяет положение в пространственной решётке любой идентичной
точки (узла) по отношению к одному из узлов, принятому за нулевую точку.
Для описания положения любой точки внутри элементарной ячейки,
т. е. ее базиса, пригодно то же уравнение, однако значения т, п и р в этом
случае будут дробными числами, характеризующими значения координат
точек по отношению к нулевой точке в долях от величин, описывающих
данную ячейку векторов а Ь с (её осей). Координаты точек элементарных ячеек
прежде проставлялись в двойных квадратных скобках [[ ]], однако в
современной литературе, как правило, пользуются круглыми.
За нулевую точку (000) чаще принимается позиция в левой нижней
передней вершине элементарной ячейки, но иногда точке (000) отвечает
левая нижняя задняя вершина.
В литературе пользуются также разными направлениями осей а Ь с.

§ Ъ\] КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И ПЛОСКОСТЕЙ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКЕ 113
В IT и пояснениях к ним вектор а обычно уходит от читателя в глубь
ячейки, векторЬ — вправо, векторе —вверх; в SB вектор а обычно уходит
вправо от читателя, вектор ft —вглубь и вектор с —вверх. Иногда вектор
а направлен вперёд к читателю, вектор Ь—вправо, вектор с—вверх (рис. 82).
При рассмотрении рисунков элементарных ячеек надо обращать
внимание на направление осей.
Л А
f ■ ■ ■ г |
Т 1
г 1
1
V > ..У
Рис. 82. Различные способы выбора нулевой точки элементарной
ячейки и направления осей координат.
На рис.83, а (векторы направлены, как в SB) показаны точки
При этом, например, Рз(~т~о~т) означает, что для нахожде-
<> i \
ния точки Рь надо отложить —а.тгЬ и ^ с. Точка РА лежит в
центре элементарной ячейки.
Точки с тремя
одинаковыми векторами, т. е.,
/1 1 1\
например, ^ — т т) ;
U Уз;' v 4 4 4 ) '
Г 1 1 1\
[jg-j ), лежат на
диагонали элементарной
ячейки (рис. 83, 6).
Если все три
координаты точки фиксирова-
/ 1 1 1 \
ны, например (^yyyj ,
число степеней свободы
точки равно 0.
Если одна
координата может быть
переменной, например (у 2/у)» возникает одна степень свободы. Точка может
иметь любые значения г/: от 0 до 1. Следовательно, запись (^Ут)
отвечает геометрическому месту бесконечно большого количества точек,
в данном случае прямой линии, параллельной оси г/.
На рис. 84 показаны прямые
(ЫХООтН-
Прямые (#00) (0г/0) (00z) совпадают с осями а Ь с.
\ У
\1
)—
) г
Л 1
1
иЛ
Л
Рис. 83. Положения точек внутри элементарной
ячейки при различных значениях параметров.

114
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
Так как обе координаты точек, лежащих на диагонали параллелограма
плоской сетки, равны, любой такой точке отвечает запись типа (ххО). В
равной мере любой точке, лежащей на диагонали элементарной ячейки,
отвечает запись типа (ххх). На рис. 85 показаны
символы диагоналей куба, часто применяемые
в литературе. (В общем случае прямая в
пространстве в соответствии с требованиями
геометрии задаётся двумя точками.)
Если две координаты могут быть
переменными, например ( у г/zЛ , возникают 2
степени свободы. Запись f — yz j отвечает плоскости.
На рис. 86 показаны плоскости Г— 2/гЛ, (хуО)
и (Ог/z), на рис. 87 —плоскости {xxz)y {zyz)
и (хуу).
Наконец, если все три координаты точки
могут быть переменными, возникают 3
степени свободы. Положение точки в
элементарной ячейке никак не фиксировано.
Если известна позиция точки в элементарной ячейке, например (0-т-^ ) >
то бесконечному количеству идентичных ей точек в решётке (вне данной эле-
7
ХОЗ/4
/
1
! |
i ;
У г-
L
—L
\ 1
А
7\
)
Рис
//« //4Z
84. Прямые 0/ау1/«).
(Х£х)
(ххО)\^-
(XXX)
Y\ Х—^Йт
(ххх)
(ххх)
(хП.т) I <0№ (ххх)
Рис. 85. Символы диагоналей куба.
ментарной ячейки) отвечает запись ( ±т, -^ ±п, ± р\ где т, n и р — целые
числа.
/, А> B> С и F-ячейкам отвечают координаты точек:
J: (000, уу 1); А: (ООО, of -£); В: (000, -| 0J); С: (ООО, 1у О);
F:(000,0T4.4°4'4f0)-

§ 55] СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЁТКИ И ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКИ 115
При описании координат точек, во избежание повторного выписывания
меняющихся местами одних и тех же дробей, характеризующих позиции
нескольких точек, иногда приводят координаты одной из них, после чего
Рис. 86. Плоскости (xyO)f
(Qyz)t (>Uyz).
Рис. 87. Плоскости (xxz)%
(zyz), (xyy).
ставится знак (j\ Например, положение точек в F-гранецентрирован-
ной ячейке записывается так:
(ооо, о{1 о).
§ 55. Симметрия пространственной решётки и элементарной^ ячейки
Симметрия элементарной ячейки определяется следующими факторами:
а) метрикой элементарной ячейки (т. е. осевыми отрезками я, 6, с и углами
а, р, у или отношением а : Ь : с и углами а, р, у), Ь) расположением
«центров тяжести» точек (частиц) в элементарной ячейке, с) собственной
симметрией точек, d) их ориентировкой по отношению к осям элементарных
ячеек, как это показано на рис. 88.
•Г~7Т И^М /Р^ТТ /r^vt
Vz3?
Ж?
Рис. 88. Зависимость симметрии элементарной ячейки от метрики ячейки (а),
расположения центров тяжести точек (6), собственной симметрии точки (с)
и их ориентировки по отношению к элементам симметрии (d).
Таким образом, даже при высокосимметричной метрике элементарных
ячеек, высокой собственной симметрии точек и высокосимметричном
расположении их центров тяжести неправильная ориентировка точек
резко снижает симметрию элементарных ячеек.
В учебниках физической химии, физики и т. п. иногда делается ошибка —
о степени симметрии структуры судят по метрике элементарных ячеек и по
положению в ней центров тяжести частиц, упуская из виду вопрос о
собственной симметрии последних и их ориентировке по отношению к
элементам симметрии.

116 ч. i. основы теории структур [гл. I
§ 56» О выводе возможных пространственных групп
Если возможные пространственные совокупности элементов точечной
симметрии приводят к возникновению 32 видов симметрии,
характеризующихся наличием особой точки, то возможные пространственные
совокупности элементов симметрии дисконтинуума (см. § 51) приводят к
возникновению в дисконтинууме 230 видов (разновидностей) симметрии,
соответственно 230 пространственных групп, не обладающих особыми точками *).
Теория пространственных групп была впервые создана великим
русским кристаллографом Е. С. Фёдоровым (1890).
Рис. 89. Пространственные группы, подчинённые видам симметрии Сх и С\.
Вопросу изображения кристаллографических групп симметрии, в том
числе и пространственных групп, на основе размещения в пространстве
асимметричных фигур посвящен атлас, составленный А. В. Шубниковым
[18] (1946).
Не имея возможности проследить здесь ход вывода всех 230
пространственных групп и дать им графическую характеристику, отсылаем читателя
к специальным курсам и IT. Здесь же для примера рассмотрим
пространственные группы, подчинённые точечным группам Си Ci, Cs и Сг.
В видах симметрии Ci и Ct — осей и плоскостей симметрии нет. Таким
образом, трансляция не создаёт дополнительных сочетаний элементов
симметрии, и, значит, каждому из этих видов симметрии отвечает только одна
пространственная группа, соответственно Ci—1 (рис. 89,а)и С\—1 (рис. 89,6) **).
Обозначения пространственных групп даны по международной системе:
верхний правый индекс при обозначении точечных групп соответственно
вида симметрии по Шенфлису (например, Сх) показывает порядковый номер
пространственной группы. Тире отделяет обозначение по Шенфлису от
обозначения по Могену—Герману (см. § 14), в основу которого кладутся
символы, принятые для соответствующих видов симметрии (табл. 10) с указанием
порождающих элементов симметрии. Для обозначения пространственных
групп перед символом вида симметрии проставляется один из следующих
специальных знаков: Р—примитивная, А, В, С— двугранецентрированная,
F—всесторонне гранецентрированная, /—центрированная, С или
Н—гексагональная, R—ромбоэдрическая.
В пространственной группе с\ точки образуют триклинную
пространственную решётку без элементов точечной симметрии. В пространственной
группе С\ в решётке расположены пары обратно равных точек,
подчиняющиеся центру инверсии (рис. 89,6).
Виду симметрии Cs моноклинной сингонии отвечает плоскость
симметрии т. Соответствующая пространственная решётка содержит семейство
плоскостей симметрии. Это значит, что точки, слагающие решётку, должны
*) Е. С. Фёдоров разработал, как мы указывали в § 2, также и методы их
изображения, принятые н IT.
, **) На рис. 89,6 и следующих показанч изображения пространственных групп
по IT, т. е. слева положения точек и справа положения элемевтов симметрии.

§561 о выводе возможных пространственных групп ]
С'гРт
+0О+
+®о-
//?+© о+
CJ-FQ
^+© C5+
#+® Ю+
//?+©0+
С$3-Ст
+©0+
+0О+
с:-сс
I + 0O+
+0
4+00+
0+
1+0 0+
4+0 0+
I
I
t
Рис. 90. Пространственные группы, подчинённые виду симметрии С9

118
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
|гл. I
обладать зеркальной симметрией или быть соответствующим образом
—симметрично—ориентированы (рис. 90).
Плоскости симметрии делятся на 2 группы:
Основные, которые проходят через узловые точки, и промежуточные,
расположенные в точности посередине между первыми плоскостями.
Пространственная решётка может обладать либо только зеркальными
плоскостями симметрии, либо только скользящими плоскостями симметрии,
либо и теми и другими. Первому случаю отвечает пространственная группа
С\—Рт (рис. 90,я), второму С\ — Рс (рис. 90,6), третьему С\ — Cm (рис.90,с).
О-
о+
1 о-
04-
С?-Р2
О-
о-
0+
о-
о+
о~
о+
о-
о+
о-
о-
оч-
04-
tf-cz
6-
о-
Рис. 91. Пространственные группы, подчинённые виду симметрии С%.
Кроме того, возможна пространственная группа С\—Сс, так же как
и Ci, имеющая только плоскости клиноскольжения, причём в этом случае
осуществляются 2 трансляции в разных направлениях а/2 и с/2 (рис. 90,d).
Дроби около кружков указывают высоту точки над плоскостью чертежа(+)
или под плоскостью чертежа (—). Запятая отличает левые точки от правых.
Виду симметрии Съ моноклинной сингонии отвечает ось 2.
Соответствующая пространственная решётка содержит уже семейство осей 2, причём
возможны три варианта: 1) все оси являются поворотными
(пространственная группа С\—Р2) (рис. 91,а), все оси являются винтовыми
(пространственная группа Ci—P2>i) (рис. 91, b), часть осей является поворотными, часть
винтовыми (пространственная группа С*±— С2) (рис. 91,с).
В § 57 приводятся обозначения пространственных групп по IT.

§ 571
ОБОЗНАЧЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП ПО IT
119
§ 57. Обозначения пространственных групп по IT
Пространственные группы
1. Триклинной
гемиэдрии Сх—1
1. С\-Р1
2. Триклинной
голоэдрии d — 1
2. С]-Pi
3. Моноклинной
гемиэдрии Cs —m
3. Сг-Рт
4. Ci-Pc
5. С6-Cm
6. С*-Сс
4. Моноклинной
гемиморфной
гемиэдрии С 2—2
7. С.2-Р2
8. С!-Р21
9. С^-С2
5. Моноклинной
голоэдрии G'2h — 2//п
10. clh-P2/m
11. C*h-P21/m
12. С^л-С2/т
13. Clh-P2jc
14. Clh-P21/c
15. C|ft-C2/c
в. Ромбической
гемиморфной
гемиэдрии C2t,—
21, — mm
16. Coy-Pmm
17. C?y-Pmc
18. CJjp-Pce
19. C*-
2i>
20. C»,-
21. C§„-
22. CL-
23. C\v
24. C^-
25. СЙ-
26. C\\-
27. C«-
28. C**-
29.
СИЗО. C^-
31- C2P-
32. Cj„7-
33. C^-
34. СЦ-
35. C52-
36. C*-
37. eg-
Рта
Pea
Pnc
Pmn
c-Pba
-Pna
Pnn
Omm
Cmc
Ccc
Amm
Abm
Ama
Aba
Fmm
Fdd
Jmm
Jba
J ma
7. Ромбической
энантиоморфной
гемиэдрии
К=Д>—222
38. DJ-P222
39. 1>2-Р2221
40. Z>2--P2A2
41. Z)^-P212121
42. Dl-C222x
43. Z)£-C222
44. fl£-F222
45. /)*-/222
46. D^-72^2^,
8. Ромбической
голоэдрии
47.Z>1„-
48. /)?,„-
49. Z)3A_
DO. Z>*„ -
51. D%,-
Ь2. />|й -
53. Z>7„,-
54. Z>«ft-
55.D29„-
ЬЬ.вЦ-
57. Л»-
58. D1^-
b4.D\l-
60. D*£-
61. D»jj-
6',. D«-
65. D«-
66. 2>«-
67. Dfh-
68. DS-
Pmmm
Pnnn
Pccm
Pban
Pmma
Pnna
Pmna
Pcca
Pbam
Pccn
Pbcm
Pnnm
Pmrnn
Pbcn
Pbca
Prima
С mem
Cmca
Cmmm
Cccm
Cmma
Ccca
69. L^—Fmmm
70. D^-Fddd
71. D?>^ — Jmmm
72. a!j)|-/&am
73. ВЦ-Пса
74. Dr^- Jmma
9. Тетрагональной
тетартоэдрии _
2-го рода £4 — 4
75. ^-Р4
76. 6^-/4"
10. Тетрагональной
тетартоэдрии
С*-4
77. С}-Р4
78. С^-Р41
79. С|-Р42
80. С^-Р43
81. C\-Jk
82. C\-J^
11. Тетрагональной
параморфной
гемиэдрии С4л— 4,'w
83. C^-P4/m
84. С^-РЦт
85. C\h-Pbln
86. С*л-Р42/л
87. С^-/4/г/г
88. C$A-/Va

120
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. ?
Пространственные группы
12, Тетрагональной
гемиэдрии 2-го рода
Krf=Z)2d-42m
89. h\d-Pklm
90. i)|d-P42c
91. h\d-P\\m
P\\c
C\2m
C42c
шь
СШ
Fk2m
F42c
J42m
J42d
92. L\d
93. Dld-i
94.Z)2Y
95. B\d r
96. Z)*d-
97. d\u-
98.2)™-
99.D|J.
100. D}£
13. Тетрагональной
гемиморфной
гемиэдрии
Cav — 4mm
101. C\v-P[imm
102. C\v-P'+bm
103. C\v-Pbcm
104. C\v-Pknm
105. C^-P4cc
106. С64„-Р4лс
107. C^-P4mc
108. С|и-Р46с
109. C\v- Jbmm
110. C^-74cm
111. C\\-Jkmd
112. сЦ-Jbcd
14. Тетрагональной
энантиоморфной
гемиэдрии f)4—42
113. l)l-P42
114. Z)^-P42i
115. Z)|-
■Р442
116. 7^-P4121
117. 0*j-
118. 2>^
119. D\-
120. l)^-
121. D^-
•P422
-P4o2i
•P432
P432i
742
122. D
10
-JT4j2
15. Тетрагональной
голоэдрии
^4h "" 4mm
123. D\h-Pkjmmm
124. /)^Л-Р4/тсс
125. D\h-Pblnbm
126. 2>JA-P4/nnc
127. Dlh — Pk/mhm
US. D\h- Pk.'mnc
Vl<S.D\h-Pkinmm
m.DS4h-Pb/ncc
131. Dlh-Pk/mmc
№.D\°h-Pk/mcm
№.Dll-Pklnbc
т. ВЦ- РЬ/ппт
135./)^-Р4/тЬс
136. Z>JA-P4/mnm
137. Lj;J-P4/nmc
138. £*£-P4/ncm
139. D\7h - Jb/mmm
140. Z)^- Jkjmcm
141./)Jj}-J4/amd
142. L52-J4/acd
16. Ромбоэдрической
тетартоэдрии
Сз-3
143. C*-C3
144. С|-С31
145. Сз-С32
146. С|-Я3
17. Гексагональной
тетартоэдрии
2-го рода iSe Сз/ — 3
147. С^.-СЗ
148. С§£-ДЗ
18. Ромбоэдрической
гемиморфной
гемиэдрии Сзг — Зт
149. C\v-C*m
150. С^-7/Зт
151. С^-СЗс
Ш.С^-ЯЗс
153. с|„-ЯЪп
154- ^|и-ЛЗс
19. Ромбоэдрической
энантиоморфной
гемиэдрии />з— 32
155./)£-Я32
156. D\- С 32
157.£|-Я3.2
158.2)^-03^2
159. / jj-tf32-2
160. /-5--CV2
161. 1^- Я32
20. Ромбоэдрической
голоэдрии D' d — 3w P
162.Z)£d-H3m
163.1*d-f/3c
164.Dgd-C"Jm
165. Z)^~C3c
166. #3d - ЯЗт
167.Z)§d-ДЗс
21. Тригональной
параморфной
гемиэдрии С: /г — 6
163. С£л-С6
22. Гексагональной
тетартоэдрии Со—6
163. CJ-C6
170. C£-Cbi
171. Cg-C65
172. С|-С62
173. С^-С6А
174. С£-С63
23. Гексагональной
параморфной
гемиэдрии С6Л — 6/т
175. с£л-С6/т
176. Clh-C63/m

§ 581 О РАСЧЁТАХ РАССТОЯНИЙ И ОБЪЁМОВ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЕТКАХ 121"
24. Тригональной
голоэдрии
D-ft-C6m2
177. D\h-Cbm\
178.*>§Л-С6с2
179. n\h-Hfm-l
180. r;\h-Hlcl
25. Гексагональной
гемиморфной
гемиэдрии
Ccw — 6 mm
181. Cj„ -СШт
182. Cg,, -Сбсс
183. C\u -СЬст
1S4. с£„ -C6mc
26. Гексагональной
энантиоморфной
гемиэдрии />в — 62
185. /)£-C62
Ш.Т^-Сб^
187. 7)3-C6,2
Пространственные группы
188.Л^-Сб22
189. Z>jj-C642
190. I>j}-C632
27. Гексагональной
голоэдрии
/. c/j — Ыптт
191. Z)L -CG/m-n
m
'6fi
192. hlh-Cblmcc
l№.Dlh-Cb/mcm
m.D$h-Cbfmmc
201. Tjx-Pn2
202. 7^-Fm3
203. Tl-Fd\l
204. T£-/m3
205. Г^-ГяЗ
206. Tj,-/aH
2S. Кубической
тетартоэдрии
Г - 23
195. Г1-Р23
1J6. r^-F23
197. 7^-/23
198. 7M-P2i3
199. ГЗ- /2i3
30. Кубической
гемиморфной
гемиэдрии Td — ЬЪт
29. Кубической
параморфной
гемиэдрии Тл—гаЗ
200. Т\- РтЗ
207. Ti-P43m
208. Tj-Ftfm
209. 7^-/43^
210. Т^-Р43д
211. 7^-F43c
2L2. Т*- Jfcd
31. Кубической
энантиоморфной
гемиэдрии О— 43
213. 01-Л43
214. 02-Р4оЗ
215. 03-F43
216. 0±-F4t3
217. 05-/43
218. Об-Р433
219. 07-Р^З
32. Кубической
голоэдрии
Од— игЗт
221. 0/t
222.0,-
223. Of,—
224. OjJ-
225. 0>-
226. Ol~
227. О*-
228. 0j>-
229. OjJ-
230. О*0 -
РтЪт
РпЗп
РтЗп
РпЗт
FmSm
FmZc
Fd^m
FdZc
/m3m,
- JaM
§ 68. О расчётах расстояний и объёмов в пространственных решётках
Как мы знаем, расстояния между двумя точками в пространственной
решётке могут быть выражены вектором (см. (8), стр. 94)
г = та + rib + ре.
Если за нулевую точку выбрана некоторая идентичная точка (узел)
и т, п и р целые числа, уравнение (8) определяет положения других
идентичных точек, если же т, пир дроби (>0 и < 1), то уравнение (8)
определяет положения точек в элементарной ячейке.
Для определения абсолютной величины расстояния до любой точки
надо умножить вектор г скалярно на самого себя, причём получим
функцию r2 — f(mnp) в виде квадратичной формы
г2 = т2а2 + п2Ь2 + р2е2 + ЪьрЬс cos a + 2pmca cos p + Imnab cos y. (10)
С повышением симметрии решётки формула (10) упрощается. Для
ромбической сингонии (a = p = y = 90°, cos a = cosp = cos y = 0)
r2=m2a2 + n2b2 + p2c2
(11)

122 Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР [ГЛ. 1
Для кубической сингонии (а = 6 = с, а = р = у = 90°)
г2 = а2(т2 + п2 + р2). (12)
Квадратичная функция f(mnp) = r2 характеризует сингонию
пространственной решётки.
Площадь параллелограма в плоскости (hkl) в общем случае, как
функция (абсару), выражается уравнением
F2 --= h2b2c2 sin2 a + к2а2с2 sin2 р + l2a2b2 sin2 у + 2kla2bc (cos р cos у - Cos а) +
+ 2lhb2ca (cos у cos а — cos р) + 2hkc2ab (cos a cos p — cos y). (13)
Объём элементарной ячейки в общем случае определяется выражением:
и2 = а2Ьгс2 (1 + 2 cos a cos p cos у — cos2 а - cos2 p — cos2 у). (14)
Поскольку и объём элементарной ячейки, и площадь параллелограма
её основания описываются квадратичными выражениями, целесообразно
выразить аналогичным образом и межплоскостное расстояние d как
функцию ~ .
В общем случае получается довольно сложное выражение, сильно
упрощающееся в случае кубической сингонии
* = Р+Т+Г. (15)
И
д«=* *i±*l±L\ (16)
Отсюда вытекает dhkl = y==== (15а) и, например, dllQ = ~ (15b)
(см. рис. 61).
В отличие от метода обозначения граней кристалла (см. § 35), при
описании элементарных ячеек приходится различать сетки, параллельные
друг другу, но имеющие разные (межплоскостные) расстояния, например
(НО) и (220) (см. рис. 61).
С целью упрощения задачи определения межплоскостных расстояний
и ряда других выводов пользуются представлениями об обратной решётке.
При этом исходят из того положения, что векторным произведением
векторов а и 6, т. е. с = [а6], является вектор, перпендикулярный
к плоскости векторов а и & и равный по величине площади
параллелограма, построенного на векторах а и Ь. Поэтому в качестве
трансляционных векторов принимают а = [Ьс]; Ъ = [ая] и c~[ab], непосредственно
определяющие направления нормалей к исходной сетке и величины её
иараллелограмов.
Векторы а, &, с обратно пропорциональны исходным
а = [Ьв] = -5Г-, Ь = [ас]=-|; с = [а&] = -£-. (17)
где i> — объём элементарной ячейки.
Подобная обратная решётка часто называется F-решёткой.
Можно пользоваться обратной .D-решёткой, для перехода к которой
надо ввести нормирующее условие: F = l. Тогда
(a*aj = l; (Ь*Ь) = 1; (с*о) = 1, (18)
где а*, Ь*, с*—принятые в IT обозначения векторов обратной /)-решётки.
При этом должно соблюдаться условие
(a*b) = (a*e)... = 0. (19)

§59] КОЛИЧЕСТВО ЧАСТИЦ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКЕ 123
т. е. разноимённые векторы прямой и обратной решётки должны быть
взаимно перпендикулярны (а* X a cos 90° = 0).
(Круглые скобки обозначают скалярное произведение векторов,
в отличие от векторного, обозначаемого квадратными скобками,)
§ 59. Плотность упаковки. Количество частиц в элементарной ячейке
В теории структур часто пользуются формально-геометрическими
представлениями, характеризующими «плотность упаковки» атомов,
понимаемой в смысле отношения объёма шароподобных частиц, приходящегося
на 1 элементарную ячейку, к объёму всей ячейки. Плотность упаковки
обычно выражают в процентах.
Если расстояние между центрами двух одинаковых шаров в элемен-
тарной ячейке равно R и радиус шара г = -~-, то ооъём шара t^ — — R А ,
а объём п шаров, входящих в элементарную ячейку, равен
Ю„ = |пД*А*. , (20)
Если объём элементарной ячейки равен геА.5, то плотность упаковки
/> = -^100(%) (21)
и для известных нам решёток равна
Р-кубическая: р =^)/Г- 100 = 52%,
/-кубическая: р = £ ^ . 100 = 68%,
F-кубическая: р= f-|/2 • 100=* 74%,
Я-плотная гексагональная: р= у |/"2 • 100 = 74%, причём
о
У*
= 1,633.
с
а
F-кубическая и Я-гексагональная упаковки являются плотнейшими
из известных шаровых упаковок.
Число частиц в элементарной ячейке, согласно обычно применяемой
формуле, равно
n=-J-> (22)
где ах — удельный вес, N—число Авогадро, Л —атомный вес, и—объём
элементарной ячейки в кубических сантиметрах. Например, для меди
8,93- 6,02 -1023 . 4гь7 . 1(Г24 0 пг ,
п= Ж57 =3,95^4,
поскольку п не может быть дробным числом. Используя современное
значение N, получаем
"=тда- (22а>
где у —объём элементарной ячейки в кубических ангстремах. То же
уравнение (22а) удобно использовать для расчёта плотности вещества
ох = 1,66020 -~,

Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
где пА — сумма атомных весов атомов, входящих в элементарную ячейку. В
случае разнородных атомов, естественно, вместо пА следует ввести SZA
сх = 1,66020^. (22Ь>
§ 60. Конфигурации координационных сфер. Валентные углы
в координационных сферах
При переходе от пространственной решётки к структуре вещества
исследователю приходится считаться с необходимостью выяснения ряда
факторов, специфических уже не для математической системы точек, но для
физической системы многих тел.
Особое значение приобретает под этим углом зрения вопрос об
окончательной конфигурации, возникающей при действии валентных сил. Нас
особенно интересует в этом свете: форма 1-й и ближайших
координационных сфер и
величина валентных углов
® Центр и валентных
расстояний в пределах этих
• Первая координационно* координационных сфер.
>^Ег!
■СР?
О Вторая — * —
■ Третья — » —
Рис. 92. Первая, вторая и тротья координационные
сферы в решётке типа каменной соли.
Чтобы построить
для данного атома
картину расположения
соседей, например в Р-,/-
или F-кубической
решётке, представим себе,
что из данного атома,
как центра,
распространяется сферическая
волна. В момент, когда она достигает центров тяжести первых «соседей»,
зафиксируем их количество и положение на сфере (в SB—первые «соседи»). Мы
получим, таким образом, первую координационную сферу, наиболее
важную для теории структур и кристаллохимии (рис, 92). Затем
распространяющаяся сферическая волна достигнет центров тяжести второго слоя
соседей—получим вторую координационную сферу (в SB—вторые «соседи»).
Для описания положения «соседей» в теории структур часто прибегают
к стереографической проекции.
Иногда бывает важно отличать нечётные (1, 3, 5, ...)и чётные (2, 4, G, ...)
слои, особенно если решётка состоит из атомов или ионов двух типов А и В
(например, Na + Cl~). Тогда часто (но не всегда!) оказывается, что если в центре
находился ион А+, то в 1-й, 3-й, 5-й сфере находятся только ионы В-, а во
2-й, 4-й, 6-й,... сфере только ионы А+. Образуется как бы слоистый шар,
состоящий из множества концентрических разноимённых (состоящих
попеременно из атомов А и атомов В) сфер. Такие решётки называются
координационными. Они встречаются, например, у солей и веществ с солеобраз-
ной структурой, структурными узлами которых можно принять ионы
А+ и В~ (с некоторыми оговорками в соответствии с § 88).
В Р-кубической решётке в первой сфере лежат 6 атомов, во второй—12,
в третьей—8, в четвёртой—6, в пятой—24 и т.д. Приняв радиус первой сферы
за 1 или, что то же, за ]/1 , находим, что радиусы последующих сфер
соответственно равны: у 2 , }/ 3\ |^4 , ]/5 . С соображениями этого рода
связаны расчёты энергии решётки (см. § 75).
Возможные количества атомов, принадлежащих координационным
сферам в подобных пространственных решётках, определяются кристаллогра-

§
#
фическими числами (табл. 10), а сами атомы лежат в вершинах
соответствующих многогранников, форма которых представляет для теории
структур исключительный интерес (см. Б. Ф. Ормонт, Основы теории структур).
С другой стороны, возможны и наблюдаются решётки, в узлах которых
находятся целые группы атомов—молекулы (радикалы), каждая из которых
ведёт себя, как одно целое.
Центральный атом А такой молекулы, как, например, АХ7, может иметь
координационное число, не относящееся к ряду кристаллографических
чисел, в данном случае 7 (например, таково строение ионов TaF^~; NbF^';
ZrF**~), если только поле кристаллической решётки не перестроит
существенным образом структуру отдельных узлов. Так, по современным данным,
решётки РС16 и РВгб построены не из молекул типа АХБ, но из ионов [РС14]+
и [РС1в]-, соответственно [РВг4]^н Br~\
Формы координационных сфер в случае молекулярных решёток и
соединений со сложными комплексными ионами представляют также весьма
большой теоретический интерес.
В структурах типа K2PtCletfoH [PtCle]= образует октаэдрическую
конфигурацию с атомом Pt в центре и 6 атомами С1 в вершинах октаэдра.
Вся эта группа атомов тесно связана между собой. Если фиксированы
позиции четырёх из 7 атомов этого структурного узла, то число степеней
свободы иона равно нулю и позиции остальных получаются однозначно.
При этом все 6 атомов С1 совмещаются друге другом с помощью операций
точечной симметрии, т. е. являются равнозначными, а не идентичными
точками. Если фиксированы позиции двух из 7 атомов иона [PtClJ2-, ион
приходится рассматривать как одно целое, могущее поворачиваться вокруг
прямой, соединяющей эти 2 атома, и т. д. Это позволяет нам считать
подобные образования сложными структурными узлами. Таким образом, в решётке
K.2PtCle имеются не 9 самостоятельных структурных узлов (2К + lPt + 6G1),
а только три (2К + 1 [PtCl,]).
Но, как мы знаем, в справочнике SB структуры веществ
систематизированы на основании формальных признаков—количества атомов, входящих в
формулу вещества, а не на основании количества структурных узлов. Физика
и химика такая систематика не может удовлетворить как из теоретических,
так и из практических соображений, поскольку мы должны стремиться к тому,
чтобы разобраться в механизме взаимодействия силового поля сложного иона
или молекулы и силового поля кристаллической решётки.
Вкратце этого вопроса мы коснёмся в следующих параграфах.
§ 61. Некоторые замечания о путях определения структуры
кристалла с использованием экспериментальных рентгенографических
данных. Единицы кХ и единицы А
Изложение теории и методов определения структур выходит за рамки
книги. Здесь мы ограничимся немногими замечаниями.
Задача заключается в том, чтобы установить связь между результатами
изучения интерференции рентгеновских лучей, т. е., например,
рентгенограммой и той совокупностью сведений о веществе, которую мы имеем
в виду, говоря о структуре кристалла. В частности, необходимо установить
размер и форму элементарной ячейки, количество входящих в неё атомов,
пространственную группу и, наконец, координаты центров тяжести атомов.
В основе исследования лежит известное читателю из курсов физической
химии уравнение, предложенное одновременно в 1913 г. в России Г. В. Буль-
фом и в Англии Брэггом, уравнение Вульфа—Брэгга
пХ = 2dm sinOt (23)

126 Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР [ГЛ. I
~"~_— v ' =
где /ч—длина волны, d—межплоскостное расстояние, б —угол отражения
луча.
Для расчётов необходимо также точное знание химического состава,
удельного веса и других физических свойств вещества. Таким образом,
структурные определения требуют совокупности исследований
математических, химических, физических и ни в коем случае не являются лишь
математической задачей, решаемой на базе рентгенограммы.
Выбор метода исследования структуры твёрдого тела зависит от
характера кристаллов (монокристалл, поликристалл), которые могут быть
получены, от их величины, от симметрии кристаллов и их инертности в отношении
физических и химических факторов, действующих на вещество во время
подготовки к съёмке и самой съёмки.
Предохранение кристалла от самопроизвольного протекания реакций
является весьма серьёзной задачей, например, при исследовании метаста-
бильных фаз.
При проведении структурного анализа сначала производится
определение сингонии, затем лауевского класса симметрии, элементарной ячейки,
а также возможной пространственной группы, что производится по-разному,
в зависимости от качества исследуемого препарата. При наличии хотя бы
небольших монокристаллов и возможности, таким образом, получить
рентгенограмму вращения удаётся непосредственно установить вид симметрии,
возможную пространственную группу и элементарную ячейку. Возможные
11 лауевских классов симметрии отвечают тем 11 видам симметрии из 32,
которые обладают центром инверсии и в таблице 10 отмечены звёздочкой.
Простейшим путём установления лауевских классов симметрии при
наличии достаточно крупных монокристаллов является получение лауе-
граммы. Существование всего 11 лауевских классов симметрии связано с
законом Фриделя, согласно которому рентгенографическое исследование
приводит к получению рентгенограмм, соответствующих наличию в кристалле
центра инверсии, даже если кристалл таковым не обладает. Иначе говоря,
симметрия эффекта в этом случае либо совпадает с симметрией объекта (если
кристалл сам по себе имеет центр инверсии), либо оказывается выше её,
о чём мы говорили в § 10.
В случае очень мелких кристаллов (порошков) удаётся воспользоваться
лишь методом порошков, который даёт однозначные результаты, собственно,
лишь в случае кристаллов кубической сингонии.
При исследовании кристаллов средних сингонии удаётся более или менее
надёжно определить методом порошков элементарную ячейку лишь в более
простых случаях. Зная объём элементарной ячейки, удельный вес и
химический состав вещества, нетрудно рассчитать, сколько и каких атомов входит
в состав элементарной ячейки, после чего перейти к определению возможных
положений частиц.
Здесь возможны два пути. Первым является метод проб и ошибок,
заключающийся в том, что атомам приписываются условно положения в
элементарной ячейке, вытекающие из той или иной теоретической модели. После
этого данные рентгенограмм (интенсивность рефлексов), найденные
экспериментально, сопоставляют с теоретически вычисленными; изменение
положения атомов производится до тех пор, пока не будет достигнуто достаточно
удовлетворительное совпадение.
Второй путь—так называемый рентгеновский Фурье-анализ — нами
рассмотрен вкратце в § 96 (см. также Б. Ормонт [6] (1940)).
Подчеркнём, что основную роль в структурных исследованиях играет
изучение интенсивностей рассеянного веществом рентгеновского излучения,
которое позволяет решить не только вопрос о координатах атомов, но и ряд
важнейших для теории и практики проблем строения реального кристалла.

§ 61] НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. ЕДИНИЦЫ кХ И ЕДИНИЦЫ А 127
В заключение параграфа мы должны остановиться на вопросе о
величинах, которыми измеряются длины волн рентгеновских лучей.
В основе расчётов по уравнению (23) лежат длины волн рентгеновских
лучей. Следовательно, и межплоскостные расстояния выражены в особых
рентгенографических или спектрографических единицах.
В качестве таковых принята «единица X», равная 103 от
величины межплоскостного расстояния du.i) между плоскостями спайности
кальцита, которое принималось равным 3,02904 А при 18° С (как среднее из трёх
измерений, опубликованных Зигбаном [19] в 1919 г.).
Таким образом, 1 X принимался равным 10~11 см, а 1000 Хо—1 кХ —«один
килоикс» принимался равным 10~8 см, т. е. 1 ангстрему (1 А). Поэтому во
всей структурной и рентгенографической литературе до 1945 г. и даже до
сентября 1947 г. 1 кХ ошибочно заменялся 1 А.
В течение последних лет атомные постоянные подвергались
основательному пересмотру—в частности, и число Авогадро (6,023 -1023 вместо 6,06-1023).
Уже в 1945 г. стало окончательно очевидно, что 1 кХ не точно равен 1
ангстрему, и для перехода от 1 кХ к 1 А следует пользоваться переходным
коэффициентом, который мы обозначим у, примерно равным 1,00203. Впрочем,
в течение нескольких лет вопрос об окончательной величине переходного
коэффициента, принятой рентгенографамй, оставался открытым.
В сентябре 1947 г. было опубликовано сообщение Брэгга [20] (см. также
121]) о том, что в свете современных данныхо следует принимать
переходный коэффициент от единиц кХ к единицам А
Y = 1,00202 ±0,003%.
Этот переходный коэффициент действительно отвечает современному
уровню наших знаний и может отныне считаться общепринятым. Тем самым
для перехода от принятых до сего времени длин волн «в А», а в
действительности в кХ, к длинам волн в А требуется умножение на у-
Например, для Си КЛ19 по общепринятым ранее табличным данным,
л = 1,537395А, в действительности же л = 1,54050А.
В упомянутой статье [20] приводится таблица длин волн различных
характеристических излучений в ангстремах. Таблица сопровождается
примечанием, что впредь во всех рентгенографических работах следует
точно указывать принятые для расчёта длины волн.
Ниже приводится составленная нами таблица, в которой сопоставляются
длины волн в ангстремах по Брэггу и длины волн в килоиксах, отвечающие
прежним значениям «в ангстремах» (см. табл. 14* на стр. 128).
При расчёте значений X для Ка принималось, что вес КЛ1 вдвое больше,
г п lt 2-1,54050 + 1,54434 лмао
чем ла2; например, для Си ЛГа= j~—- = 1,5418.
Как мы знаем, при пользовании уравнением (22Ь) ах = 1,66020
для вычисления плотности величина v обозначает объём элементарной
ячейки в куб. ангстремах. Для перехода от и, выраженного в куб.
килоиксах, к v, выраженному в куб. ангстремах, надо умножить первую
величину на коэффициент ш = (l,00202)s = 1,00607, т. е. пользоваться
выражением ах= 1,65018—, где и —объём элементарной ячейки в куб.
килоиксах.
В связи с изложенным все литературные данные (до 1947 г.) о
межатомных расстояниях и т. п. характеризуют значения последних не
в ангстремах, а в килоиксах. Поэтому во второй части книги также
приняты величины, выраженные в килоиксах.

Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
Таблица 14*
Сг
Мп
1 Fe
Со
Ni
Си
Zn
Mo
Rh
Pd
A?
Длины волн в
ангстрем . . . ,
килоикс .
ангстрем .
килоикс .
ангстрем .
КИЛОИКС .
ангстрем ,
КИЛОИКС .
ангстрем .
КИЛОИКС .
ангстрем .
КИЛОИКС .
ангстрем .
КИЛОИКС . .
ангстрем .
КИЛОИКС .
ангстрем ,
КИЛОИКС .
ангстрем .
КИЛОИКС .
ангстрем .
КИЛОИКС .
A'ai
2,28962
2,28503
2,10174
2,0975
1,93597
1,932076
1,78890
1,7853'
1,65783
1,65450
1,54050
1,5*7395
1,43510
1,4322
0,70926
0,707831
0,61326
0,61202
0,58545
0,58427
0,55941
0,55828
К*2
2,2 3352
2,28891
2,10570
2,1015
1,93991
1,936012
1,79279
1,7892
1,66168
1,65835
1,54434
1,541232
1,43894
1,4350
0,71354
0,712805
0,61762
0,61637
0,58982
0,58863
0,56381
0,56267
к*
2,2909
2,1031
1,9373
1,7902
1,6591
1,5418
4,4334
0,7107
0,6147
0,5869
0,5609
*Pi
2,08473
2,0806
1,91016
1,9062
1,75654
1,753013
1,62073
1,6174
1,50008
1,49705
1,39217
1,38935
1,29520
1,2926
0,63225
0,630978
0,54559
0,54449
0,52052
0,51947
0/*9701
0,49601
Граница

поглощения
2,0701
2,066
1,8954
1,890
1,7429
1,740
1,6072
1,602
1,4869
1,484
1,3802
1,377
1,2831
1,280
0,6197
0,6185
0,5341
0,5330
0,5090
0,508
0,*855
0,485
1
§ 62. Об основных типах пространственных решёток
В результате структурных исследований обнаружены сотни различных
структур, из которых многие будут рассмотрены в следующих главах.
Возможен различный подход к задаче их сопоставления и
систематики. Одной из наиболее распространённых является систематика SB,
отвергнутая при изложении материала в этой книге.
Для интерпретации громадного структурного материала в области
неорганической химии мы считаем целесообразным выделить основные типы
пространственных решёток, каждый из коих присущ структурам большого
количества веществ или задаёт основной мотив более сложных структур.
В § 45 мы назвали атомы или группы атомов, фигурирующие в
структуре как одно целое, структурными узлами. Здесь необходимо отметить,
что узлы могут быть простыми (если они состоят из 1 атома, например
в NaCl узлы Na и С1) и сложными (если они состоят из нескольких
атомов). Сложные узлы могут быть однородными (т. е. состоять из
одинаковых атомов), как, например, узел [J3] в решётке KJ3, и неоднородными, т. е.
состоящими из разных атомов, как, например, узел [СОа] в решётке СаС03.
Учитывая физические особенности структур, целесообразно при
описании пространственных решёток как совокупности кристаллографических
точек выделять комплекс атомов, составляющий структурный узел.
Узлы мы будем обозначать греческими буквами а, [3, у» сохраняя
латинские буквы для обозначения атомного состава.
Например, K2PtCle отвечает химической формуле А2ВХв, но его
структурная формула будет а2р, ибо комплекс [PtClJ ведёт себя как единый
структурный узел р (см. рис. 602), Хотя в ряде случаев атомный и
структурный состав могут совпадать (например, в случае NaCl), более интересны
и важны случаи, когда они не совпадают. Учёт этого обстоятельства
требует коренного изменения систематики структур по сравнению с SB.

§ 62] ОБ ОСНОВНЫХ ТИПАХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЕТОК 129
Для характеристики типов пространственных решёток, а значит,
и структур, нам представилось наиболее целесообразным различать их,
вопреки формалистической нумерации SB (в порядке букв алфавита или
натурального ряда чисел), по характеру сингоний и конфигураций
координационных сфер. Такой принцип мы назовём координационным.
О целесообразности такого подхода в свете представлений
современной теории химической связи мы уже коротко говорили.
Основные структуры кубической сингоний мы будем обозначать
символом Су гексагональной — Ну тригональной (ромбоэдрической)—Д,
тетрагональной — 7\ ромбической (орторомбической)—OR, моноклинной—М,_
триклинной — Тг.
Хотя в структурах веществ наблюдаются самые разнообразные
координационные числа и формы координационных сфер, в основных
структурах их количество сравнительно ограничено.
Мы обозначаем их индексами следующим образом (табл. 15, см. также
табл. 31).
Таблица 15
Обозначения конфигураций по координационному принципу
1 fi О
1 ЁГ «
1 rt ё
2g
1 О аз
1 ° £
1 К о
12
12
8
' 1

Конфигурация
Кубооктаэдр
Кназикубоок-
таэдр (гек-
сагональн.
аналог ку-
бооктаэдра)
Гексаэдр
(куб)
о
X
«
X
К
V
С
н 2
sr ч
On О
о я
° X
А О
6
6
4

Конфигурация
Октаэдр
Призма (три-
гональная)
Тетраэдр
о
X
<х>
«
s
|^>»
О
7>3
т
в о
Я" «
Ss
9 я
9 х
1 К о
4
3
о

Конфигурация
Квадрат
Треугольник
Линия
о
X
о
«
Я
К
?
t
1
Примечание. Индексы объёмных конфигураций обозначаются прописными,
плоских и линейных конфигураций — строчными буквами.
Кубооктаэдр и квазикубооктаэдр показаны на рис. 93, а и 6
соответственно. Индексы мы проставляем справа внизу, около обозначения сингоний. На-
Рис. 93. Кубооктаэдр и его «гексагональный аналог».
пример, Сс кубическая центрированная ячейка Na (к.ч. 8). В случае наличия в
решётке узлов двух и больше типов мы будем проставлять индексы для

130 ч. ь основы теории структур [гл. I
каждого типа узлов, отделяя их знаком дроби: например,
СС/с—кубическая центрированная ячейка типа CsCl (Cs к.ч. = 8С1, С1 к.ч. = 8 Cs).
На рис. 94 показана кубооктаэдрическая , координационная сфера
в плотнейшей кубической упаковке и направление связей в этой
сфере. *
Рис. 94. Кубооктаэдрическая координационная сфера
в кубической гранецентрированной пространственной
решётке и 12 связей от центрального атома.
Так как основные типы пространственных решёток выбраны нами
с учётом их роли в теории структур, мы будем называть эти типы
также по структуре той модификации и того вещества, которому в SB
отвечает этот тип пространственной решётки.
§ 63. Основные структуры, принадлежащие кубической сингонии
С тремя основными видами кубических элементарных
ячеек—примитивной Р-ячейки, центрированной /-ячейки и гранецентрированной
f-ячейки — мы уже знакомы (рис. 60 и рис. 95. a,b,d). В предлагаемых нами
терминах координационной систематики соответствующие структуры
обозначаются Со , Сс и Ск-
На рис. 95 эти элементарные ячейки сопоставляются с другими. Тип Сс
(рис. 95, Ь) носит название «тип вольфрама», С к—«тип меди».
Близкой к структуре Сс является структура Сс\с (тип хлористого
цезия) (рис. 95, с), в которой координационное число узла а = 8(Р),
координационное число узла р = 8 (а).
Очень важны структуры, производные от Ск- Для понимания их
взаимной связи между собой разделим элементарную ячейку С к на
8 октантов. В каждом октанте, представляющем собой куб с ребром,
равным половине исходного, из 8 вершин, заняты только 4 в тетраэдри-
ческом порядке (рис. 95, d). С другой стороны, не заняты и центры
октантов.
Наличие этих двух сортов незанятых мест в решётке Ск влечёт
за собой два разных пути построения производных структур.
Если ввести в Ск-решётку (с узлами а, занятыми атомами металла)
вторую такую же решётку с узлами (3-атомами неметалла, и притом так,
чтобы начальная точка второй С^-решётки центрировала ячейку первой
Ск-решётки, то окажется, что в каждом октанте элементарной ячейки
прежде незаполненные вершины окажутся занятыми атомами неметалла,
которые займут, таким образом, центры рёбер и цев:тр элементарной ячейки
(рис. 95, е). Возникает восьмикратно-примитивная элементарная ячейка —

§ 63] ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ КУБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ 131
С0- ячейка (тип Ро)
^^
Ш
\sv
И
Сс~ячейна(типМ)
Ъ
*£&
\Л
ш.
\Z.
'F*
\/
Сс/с-ячеина (тип CsCQ
^4^^
СН'Ячеина(типСи)
d
Со/о {тип Nod)
Сс/Т(типСи20)
/
Pin-. C.J5.

132
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
Ci/T(munCu20)
Г
i4^q
Ст (тип алмаза)
о^5з2й6
СТ/Т (man ZnS) цин новой обмотни
h
CcjT(munCaF2)
i
cc/ojl^fjnBiF3)
i
Рис. 95. (Продолжение)

§ 63] ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ КУБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ 133
тип поваренной соли. Таков первый способ введения атомов неметалла
в Сд-ячейку. Но, как мы знаем, этот путь не является единственным.
В ячейке Ск центры всех 8 октантов не заполнены. Их последовательное
заполнение атомами даёт 4 важных типа структур: куприта (Cu20), алмаза
(Сал.м)> цинковой обманки (ZnS) и плавикового шпата (CaF2j.
Пусть атомы металла занимают позиции в узлах 6\-решётки.
При соотношении а2р на 4 атома металла, необходимые для
заполнения узлов четырёхкратно-примитивной С^-ячейки, требуются 2 атома
О0
О
1 >
г- 1
6
г О
1 6
о
V
GO
q—^-^0
<к
о а
6 О-
^ о
,<U
05
О С
О (.
6—t
?
)0 \
0J5 7
О
\ 6
f
О О О
07/ 0Л5\
О О
о А П
ДО \°
о о
0J5
6 О О
Алмаз
ь*
ZnS
-О
*р
Ъ!
ь*
905
О С
0,25
о
0,75
A t
0,2}
о
1 0,73
О——-—t
р о
0,4
о
а «» 1
Ч А
Q25
о
«W 1
—-—6
CaF,
Q-
0,S^J U5U>
0,21
О
O.ZS
о
о о,7*а
±J!2WJ4№
ДО
О
0,75
0,25
О
0.75
8IF,
нб
Рис. 96. Проекции основных типов структур кубической сингонии на основании
элементарной ячейки:
о) тип полония (?); Ь) тип вольфрама; с) тип хлористого цезия; d) тип меди; г) тин каменной соли;
/) тип куприта, д) тип алмаза; Л) тип цинковой обманки; О тип флюорита; /) тип фтористого
висмута. Общее примечание: цифры около кружков указывают высоту позиции точки над
основанием элементарной ячейки.
неметалла. Такое соотношение наблюдается в формуле куприта (Cu20).
Атомы О занимают центры двух октантов (рис. 95, /), лежащие на одной и той
же объёмной диагонали элементарной ячейки, например позиции С-г — -г- )
(3 3 3 \
■j-TT-J. Возникает шестикратно-примитивная элементарная ячейка
(тип куприта). Обычно приводимая структура куприта (Cu20) no SB
(рис. 95, /') не выявляет связи с С^-решёткой.
При соотношении ав (в случае ZnS) в элементарную ячейку типа
Ск> узлы которой заняты атомами Zn, надо ввести 4 атома неметалла.

134
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I
При образовании восьмикратно-примитивной элементарной ячейки
цинковой обманки (Сцт) заполняются центры четырёх октантов исходной
б'к-решётки (а) в тетраэдрическом порядке (рис. 95, Л'). При этом нулевая
точка второй С/с-решётки (Р) должна быть совмещена с центром октанта
первой Ск-решётки (а).
В результате к.ч. атома Zn = 4 (S) и к.ч. атома S = 4(Zn).
Если в решётке ZnS а- и [3-узлы заместить атомами углерода, то
получается решётка алмаза Су (рис. 95, g).
Наконец, введём в решётку Ск, заполненную атомами металла (а),
две дополнительные С^-решётки, заполненные атомами неметалла (р),
и притом так, чтобы нулевая точка одной С^-ячейки р совместилась
с центром одного из октантов ячейки а {как в случае ZnS), а нулевая
точка второй Ск-ячейки р совместилась с центром одного из 4
октантов, оставшихся в решетке типа ZnS незанятыми (с таким расчётом,
чтобы все 8 октантов оказались центрированными атомами неметалла
(рис. 95, i).
В результате возникает диеиадцатикратно-примитиннан элементарная
ячейка типа CaF2 (флюорита или плавикового шпата).
Заполнив атомами неметалла (узлы Р) центры всех 8 октантов
С^-решётки, узлы которой заняты атомами металла (а), и образовав
решётку типа CaF2, мы обнаруживаем, что места, занятые атомами
неметалла при образовании решётки типа NaCl (центры рёбер и центр
элементарной ячейки), остались в решётке GaF2 свободными (рис. 95, /').
В решётке BiF3 (шестнадцатикратно-примитивной) эти позиции также
оказываются занятыми (рис. 95, /). Структура BiF3 является исходной
при образовании структур NaTl, Cu3Al и др.
Взаимная связь между всеми вышерассмотренными элементарными
ячейками очевидна также из рис. 96, где показаны проекции всех структур
на основание элементарной ячейки. Цифры около кружков обозначают
высоту данной позиции в ячейке над основанием последней в долях aw.
Нуль означает, что структурный узел лежит в основании элементарной
ячейки.
§ 64. О двух типах плотнейших шаровых упаковок
Как мы видели, структура Ск является исходной в длинном ряде
других структур, образованных разнородными узлами (а2р, ар, afJ2 и аР3).
Эта структура является важнейшей и среди структур, образованных
однородными узлами а, по той причине, что она является одной из двух
плотнейших шаровых упаковок. Второй является плотная
гексагональная упаковка (рис. 97, 6).
Существует только одно решение задачи плотнейшей упаковки
шаров одинакового диаметра в одной плоскости: вокруг центрального
шара должно быть расположено 6 шаров в вершинах правильного
шестиугольника (рис. 98, а). Другие варианты упаковок являются менее
плотными.
Более сложно обстоит дело с укладкой друг на друга нескольких
рядов, построенных подобным образом.
Упаковка, выполняемая таким образом, чтобы центры тяжести
шаров верхнего и нижнего рядов находились на одной вертикали (рис. 97, а).
не является наиболее плотной. Расстояние между 1 и 3-м рядами
определяется отношением — = 2.
а
Если шары каждого последующего ряда будут помещены в
углубления между шарами предыдущего ряда, расстояние между 1 и 3-м

$ 64| О ДВУХ ТИПАХ ПЛОТНЕЙШИХ ШАРОВЫХ УПАКОВОК 135
рядами определится отношением — = 1,633 (рис. 97, 6), что будет
отвечать наиболее плотной упаковке.
Как видно из рис. 98,я, над основанием элементарной ячейки
имеется 6 углублений, в которых надо поместить 3 шара, заняв
половину всех углублений.
Поэтому при упаковке трёх слоев возникает два варианта.
1. Три шара верхнего (3-го) ряда, обозначенные пунктиром на
рис. 98, л, лежат \\ точности над шарами нижнего 1-го ряда, по обе
стороны от показанного на чертеже среднего (2-го) ряда. Такое размещение
приводит к образованию «плотной» гексагональной упаковки (рис. 98, Ь \\d).
Её особенностью является наличие \\ решётке бесконечных незанятых
«люков» (на рис. 98, а обозначены
белым кружком). Этот способ
упаковки называется упаковкой
по гексагональному закону.
2. Три шара верхнего (3-го)
ряда занимают три углубления,
лежащие над тремя незанятыми
углублениями нижнего (1-го)
ряда (обозначенные белым
кружком), и только в четвёртом
слое три шара располагаются в
точности над шарами 1-го ряда.
Получается ромбоэдрическая
элементарная ячейка из 4 слоев
атомов (рис.98,с и е; ср. рис.64, е.),
причём -а -1,633 f 0,817-2,45.
Ось ромбоэдра совпадает с
поворотной осью 3 куба.
Такая упаковка является
илотнейшей кубической и
отвечает ячейке Ci: = С к:
--т
&
\C4.S33
a-i
Рис. 'М. Гексагональная (а) и шютная
гексагональная упаковки (Ь).
Однократно-примитивный ромбоэдр, показанный на рис. 64, е, при
соотношении c/a = 2/kb отвечает кубической элементарной ячейке (т. е.
имеет угол 60°. При других соотношениях с/а ячейка является
ромбоэдрической). Он расположен в ячейке Ск, как это показано на рис. 63.
Очевидно, что можно укладывать шары, чередуя порядок упаковки
то по гексагональному, то по кубическому закону. При этом возникают
гексагональные элементарные ячейки с различным количеством слоев —
вплоть до нескольких десятков, как, например, в структурах карбида
кремния SiC. Более того, в таких случаях мы считаем вполне
возможным и беспорядочное чередование слоев по обоим законам.
Упорядоченным чередованиям слоев посвящено интересное
исследование Г. С Жданова [5] (1946 г.). Н. В. Белов (1947 г.) вывел
возможные типы шаровых упаковок, вплоть до 30-слойных.
Обе плотнейшис основные упаковки можно рассматривать и как
состоящие из тетраэдров, в вершинах которых расположены атомы. В кубической
упаковке тетраэдры всех слоев повёрнуты в одну сторону (рис. 99, а\ Ь\ с')
(в SB обозначается рр...щ т. е. параллельно), в гексагональной —
э разные стороны (в SB обозначается аа . . . — антипараллельны)
(см. рис. 99, я, bt с.)
В гексагональной упаковке тетраэдры первого и третьего рядов (косая
штриховка) находятся друг иод другом. Их проекции совпадают (рис. 99, с).

136 Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР [ГЛ. I
Рис.98. Плотнейшие упаковки <шаров по кубическому и гексагональному
законам.
На рис. d и е показаны координационные сферы из 12 атомов вокруг
центрального, лежащего в центре шестиугоььника.

§ 64] __Р_Д11УХ ТИПАХ ПЛОТНЕЙШИХ ШАРОВЫХ УПАКОВОК 137
Рис. 99. Образование плотной гексагональной и кубической упаковок из тетраэдров:
а) гексагональная; Ь) кубическая. Если соединить нее атомы координационных сфер рис 98 d и о
с центральным, то будут чётко видны упаковки из тетраэдров рис. 99, и л а> (плоскость
шестиугольника показана пунктиром).

138 Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР [ГЛ. I
В кубической упаковке совпадают тетраэдры первого и четвёртого рядов
(косая штриховка, рис. 99, с').
Отметим, что в плотных упаковках имеются октаэдричсские
междуузлия, количество которых равно количеству атомов (п), и тетраэдри-
чсские междуузлия, количество которых равно удвоенному количеству
атомов (2п).
Места этих междуузлий в решётке Сц = С/, мы найдём без труда
(см. рис. 100, а также § 63).
Октаэдричсские междуузлия расположены в центре рёбер и в центре
элементарной ячейки (эти позиции октаэдрически окружены 6 атомами):
Тстраэдрические расположены в центрах октантов (эти позиции
тетраэдрически окружены 4 атомами).
Таким образом, образование
структур, рассмотренных в § 63, идёт по пути
замещения либо октаэдрических (тин
NaCl), либо тетраэдрических (куприт,
алмаз, ZnS, CaF2) междуузлий, либо
и тех и других (BiFJ. s
§ 65. О структурах ZnS (вюрцита),
NiAs, CdJ„ MoS2
Ещё 4 гексагональные структуры
должны быть нами здесь рассмотрены
(рис. 101).
Решётка ZnS (вюрцита) является
производной от решётки Ну. Для её
образования надо совместить две
решётки Ну таким образом, чтобы нулевая
точка одной центрировала тетраэдр
другой решётки (рис. 101, ((). Возникает
структура #7/г-
Гексагональная октаод рически-приз-
матическая никельа рселидная решётка
Hojps имеет элементарную ячейку, включающую 3 слоя узлов а,
занятых атомами Ni, и, таким образом, по высоте равную двум ячейкам
Ну (рис. 101, Ь). Вызвано это тем, что атомы As (узлы Р) образуют в
элементарной ячейке два соседних слоя, разделённых слоем узлов а так,
что центры тяжести узлов р верхнего слоя не находятся над центрами
тяжести узлов р нижнего слоя, но располагаются между ними (как
в кубической упаковке). В результате узлы а и р имеют к.ч. 6, однако
каждый узел a (Ni) окружён 6 узлами р, расположенными в вершинах
октаэдра, тогда как каждый узел р (As) окружён 6 узлами а,
расположенными в вершинах тригоналыюй призмы.
Гексагональная слоистая октаэдрическа-треуголъная решётка CdJ*,
(тип SB C6)Яо//—одна из нескольких структурных форм CdJ2.
Элементарная ячейка простирается по высоте от первой сетки атомов Cd до
второй, причём атомы металла (узлы а) расположены, как в простой
гексагональной ячейке (рис. 101, с и 97, а).
Узлы P(J) образуют две сетки внутри элементарной ячейки, причём
узлы р верхней сетки не находятся над узлами В нижней сетки. Таким
образом, в отличие от ячейки NiAs в рассматриваемой ячейке GdJ2
средняя сетка узлов а (атомы металла) отсутствует, сетки узлов р односторонне
притягиваются к сеткам узлов а, образуя трёхслойные упаковки, в которых
о Чзлы
(•) Тетраэдричесние меж^уузж*
О Цктаэдричвскиь междуузлия
Рис. 100. Октаэдрпческие и тетра-
эдрические можлуузлин и плотей
кубической упаковке.

§ 65]
О СТРУКТУРАХ ZnS, NiAs, CiJ2, MoS_.
139
d b
Рис. 101. Структуры пюрцита ZnS, NiAs, CdJ., и MoS2.

140
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. I .
узлы ос октаэдрически окружены узлами р, как и в NiAs элементарное
ячейке, узлы р имеют в 1 координационной сфере треугольник из 3 узлов а.
Гексагональная слоистая призматически-треугольная решётка
сернистого молибдена MoS2 #|3/г
Элементарная ячейка имеет сходство с двумя предыдущими
элементарными ячейками. Как и в ячейке NiAs, узлы а (атомы металла)
образуют в ней три сетки. Однако узлы р (атомы неметалла) образуют между
узлами а по 2 сетки, причём узлы верхней сетки не находятся под
узлами нижней сетки (рис. 101, d). В результате, как и в ячейке GdJ2,
образуются трёхслойные упаковки. Однако в них каждый узел а призматически
окружён 6 узлами р, т. е. в любых двух р сетках, прилегающих сверху
и снизу к а сетке, р атомы находятся друг над другом, образуя триго-
нальную призму. Зато в соседних трёхслойных упаковках рар сеток
узлы р занимают позиции, не лежащие на вертикали над позициями р узлов
предыдущего слоя рар.
Таким образом, в структуре CdJ2(SBC6) атомы металла образуют
только октаэдрические, в MoS2 —только призматические координационные
сферы.
Ниже мы приводим сводную таблицу основных кубических и
гексагональных структур (табл. 16).
Таблица 16
Основные структуры, обозначенные по координационному принципу
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Обозначение
—
Л2
В'1
Л1
В\
Д4
£3
СЗ
а
лз
£4
£8
СО
С1
По SB
Наименование
Кубические с
примитивная
тип вольфрама
тип CsCl
тип Си (плотная
кубическая упаковка)
тип NaCl
тип алмаза С
тип сфалерита ZnS
тип куприта Cu20
тип плавикового
шпата CaF2
тип BiF3
Гек сатональные
тип Mg (плотнейшая
гексагональная упаковка)
тип вюрцита ZnS
тип NiAs
тип CdJ3
тип MoS^
По координационному принципу [

Обозначение
труктуры
Со
СС
СС1С
Ск
со/о
U т
СТ/Т
cljT
CCjT
CC + OlOtT
структу
"v
HTjT
HOlP3
IIs
11 рз//
Наименование 1
октаэдрическая |
(гексаэдрическая) 1
дважды гексаэдрическая 1
кубооктаэдрическая I
дважды октаэдрическая 1
тетраэдрическая [
дважды тетраэдрическая t
линейно-тетраэдрическая 1
куботетраэдрическая 1
— 1
Э Ы I
квазикубооктаэдрическая 1
дважды тетраэдрическая 1
октаэдрически-призмати- 1
ческая 1
слоистая октаэдрически-
треугольная 1
слоистая призматически-
треугольная
Примечание. В структурах GdJ2 (и MoS2) одностороннее распределение узлов
J и Cd с образованием слоистых структур делает целесообразным лведение общего
индекса S (слоистая структура).

§ 66] ОСТРОВНЫЕ, ЦЕПОЧЕЧНЫЕ (ЦЕПНЫЕ), СЛОИСТЫЕ СТРУКТУРЫ 141
§ 66. Островные, цепочечные (цепные), слоистые структуры
До сих пор мы рассматривали главным образом координационные
решётки (структуры) и лишь в последних примерах Ноц< H%/t коснулись
слоистых решёток.
Среди структур различных веществ, помимо координационных,
наблюдаются решётки и других типов — островные, цепочечные, слоистые, при
описании которых обыч-
6<х>9
С>—о
о—6
Рис. 102. Острова. Количество атомов ни в одном
измерении не бесконечно.
но прибегают к разным
формулировкам.
Мы
придерживаемся следующих.
Структуры, о
которых мы говорили,
отличаются от
координационных наличием
ограниченных по
протяжённости в одном или нескольких измерениях групп атомов, на которые
как бы разбивается вся решётка.
Если протяжённость такой группы атомов во всех измерениях конечна,
структура является островной.
6
6
6
о
6
0
Рис. 101). Цени. Количество атомов бесконечно в одном измерении.
Если протяжённость группы атомов в одном измерении (вдоль
некоторого вектора) бесконечна, структура является цепной, если в двух
измерениях— слоистой. Прообразом последних двух типов структур
являются изображённые на рис. 59, с и соответственно 59, Ь.
В зависимости от количества атомов в трёх измерениях островные
и цепные структуры могут быть одномерными, двумерными и
трёхмерными; слоистые—двумерными и трёхмерными (на рис. 104 показан один
слой). Их различия с очевидностью вытекают из рис. 102, 103 и 104
и не нуждаются в комментариях.

142
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ-СТРУКТУР
[гл. I
Рис. 104. Сетки. Количество атомов бесконечно в двух измерениях}

§ 67] ЦЕПИ И СЕТКИ ИЗ ОКТАЭДРОВ И ТЕТРАЭДРОВ 143
§ 67. Цепи и сетки из октаэдров и тетраэдров и стехиометрическии
состав координационных сфер
Допустим, что в центре тетраэдра или октаэдра находится атом А,
в вершинах —атомы В. Каков химический состав группы АВЬ
бесконечной цепи, иными словами, каково значение индекса b в зависимости
от характера цепей? Для определения Ь надо сложить структурные дроби
для атомов В в каждой позиции (рис. 105 и 106j; см. §224.
Если, например, октаэдры соединяются в цепи так, что четыре
вершины принадлежат только данной координационной сфере, а две являются
общими между данным и соседним октаэдрами (рис. 105, а), то на один
атом А приходится атомов В
6 = Y + | = 5 (24»
и координационная сфера имеет стехиометрическии состав [АВ6].
Если октаэдры соединяются в цепи противоположными рёбрами, то
(рис. 105, Ъ)
*=Т+Т=4 <25>
и координационная сфера имеет стехиометрическии состав [АВ4].
В случае октаэдров, соединённых гранями (рис. 105, а,
6 = |— 3 (26)
и координационная сфера имеет стехиометрическии состав [АВ3].
Если тетраэдры соединяются в цепи так, что две вершины принадлежат
только данной координационной сфере и две являются общими между
данным и соседним тетраэдрами (рис. 106, а), то па один атом А
приходится
6 = 4 + | = 3 (27)
атомов ^ и координационная сфера имеет стехиометрическии состав [АВ31»
Если цепи тетраэдров соединены в сетки вершинами оснований
тетраэдров (рис. 106,6, чёрные шары), так что каждый из трёх атомов
принадлежит двум тетраэдрам и лишь один атом (белый шар)—одному,
то на один атом А приходится атомов В
6 = 4+4 = 4 <28>
и координационная сфера имеет стехиометрическии состав [А2В5].
Наконец, если тетраэдры соединены в цепи противоположными
рёбрами (рис. 106, с) или образуют так называемую «пространственную вязь»,
разделяя каждую из четырёх вершин с четырьмя соседними тетраэдрами
(рис. 107, а и 6), то на один атом А приходится атомов В
Ь = ~ = 2 (29)
и координационная сфера имеет стехиометрическии состав [АВ2]. Па
рис. 107, Ь показана элементарная ячейка р-кристобалита и на рис, 107, с —
структура берилла из кремне-кислородных тетраэдров (атомы Si в центре,
тетраэдров, атомы О в вершинах).

I '!
Рис. 105. Цепи из октаэдров и состав
координационных сфер.
Рис. 106. Цепи из тетраэдров н состав
координационных сфер.

§ 681 ПЕРЕХОД ОТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЕТКИ К СТРУКТУРЕ ВЕЩЕСТВА 145
Рис. 107. Пространственная вязь ил тетраэдров и октаэдров и состав
координационных сфер:
<i) и Ъ) р-кристобалит (S1O2); с) берилл (А1Л]е3 (SiOs)e). Кольца Si8Ois связаны между собой
атомами А1 и Be.
§ 68. Переход от пространственной решётки к структуре вещества
Очевидно, что структура вещества отличается от пространственной
решётки, т. е. от образованной трансляцией бесконечной системы
кристаллографических точек, по меньшей мере следующими особенностями:
1. Она является системой не кристаллографических точек, а физических
тел (атомов, молекул, ионов) и управляется в первую очередь не законами
геометрии, а законами физики, которые в ряде случаев диктуют
необходимость образования структур той или иной симметрии, не противоречащих
ограничениям,- налагаемым кристаллографической теорией симметрии.
2. Она образует не неподвижную, статическую систему, какой является
пространственная решётка, но подвижную, динамическую систему
движущихся материальных частиц.
Первая из этих особенностей ведёт к необходимости построения
современной теории структур на базе учения о природе химической связи с
распространением выводов этого учения на твёрдое тело.

146
Ч. I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРУКТУР
[гл. 1
Достойно сожаления, что до сего времени пользуются большим
авторитетом школы кристаллохимиков, утверждающие, что структура кристаллов
определяется в основном законами симметрии (т. е. лишь геометрическими
построениями) и что рассмотрение особенностей силового поля, учёт
действия сил химической связи влекут за собой лишь несущественные поправки *).
Одна из причин распространённости таких мнений заключается в том,
что количественная физическая теория твёрдого тела, если говорить о её
историческом развитии, приобрела прежде всего термодинамический
характер и показала, что для разных структур свободная энергия перехода из
одной модификации в другую часто бывает очень невелика сравнительно
с энергией решётки **). Это затруднило использование теории твёрдого тела
в вопросах предсказания наиболее вероятных структур и привело
кристаллографов к недооценке значения в этом вопросе физической картины
твёрдого тела, к постулированию превалирующей роли принципа плотных
упаковок и принципа соотношения радиусов атомов в образовании структур.
В действительности образование атомами сплошь и рядом
высокосимметричных и плотных упаковок является лишь следствием (а не причиной)
надлежащего распределения в пространстве физических сил.
Законы взаимодействия этих сил—«химической связи»—описываются
квантовой химией и вообще физическими теориями твёрдого тела. Эти теории
приводят к выводу, что во многих случаях нельзя ожидать плотных упаковок
и присущих им высокосимметричных атомных конфигураций. В таких
случаях, как алмаз, графит, селен и т. п., должны возникать и возникают
рыхлые упаковки с пониженной симметрией, малым координационным числом
и т. п. В следующей главе, и особенно в нашей книге [11], мы поставили
себе задачу критического рассмотрения ряда распространённых
представлений и теорий современной «геометрической» кристаллохимии, идущих
вразрез с выводами современной физики.
С другой стороны, нами подвергнуты критике также отдельные попытки
специалистов квантовой химии непосредственного перенесения в область
строения кристаллов тех выводов, которые имеют прямое отношение,
собственно, к строению молекул, тогда как в кристалле большую роль при
распределении валентных сил играет поле кристаллической решётки. В
некоторой мере этих вопросов мы касаемся в главе II.
Утверждая принципиальную важность создания физической теории
структур, мы не можем не отметить, что описание исследованных
элементарных ячеек (а в некоторых случаях и предсказание возможных
структур на основе общих закономерностей) может быть сделано прежде
всего с учётом представлений теории симметрии. Собственно это и заставило
нас уделить большую часть вводной главы именно этому, обычно недостаточно
известному физикам и химикам разделу теории структур.
Вторая особенность материальной решётки—её динамический характер—
имеет два аспекта. Говоря о положении атомов в элементарной ячейке, мы
подразумеваем, собственно, положение их центров тяжести, около которых
атомы совершают колебательные и вращательные движения. Учитывая
сравнительную незначительность амплитуды к