THERMAL RADIATION
HEAT TRANSFER
ROBERT SIEGEL
Head of the Analytical
Heat Transfer Section
NASA Lewis Research Center
JOHN R. HOWELL
Associate Professor of
Mechanical Engineering
University of Houston
McGraw-Hill Book Company
New York, St. Louis,
San Francisco,
Dusseldorf,
Johannesburg,
Kuala Lumpur, London,
Mexico, Montreal,
New Delhi, Panama,
Rio de Janeiro,
Singapore, Sydney,
Toronto
1972

ТЕПЛООБМЕН
ИЗЛУЧЕНИЕМ
Р. ЗИГЕЛЬ,
ДЖ. ХАУЭЛЛ
Издательство «Мир» Москва 1975
Перевод с английского
Под редакцией
д-ра техн. наук ХРУСТАЛЕВА Б. А.

УДК 536.3
В книге систематически изложены основы .теории
теплообмена излучением, включая последние достижения науки
в этой области знания. Рассмотрены фундаментальные законы,
определяющие перенос излучения, радиационные свойства
веществ, а также различные методы расчета теплообмена
излучением. По широте охвата материала это наиболее полная
из изданных на русском языке монографий по радиационному
тепло'обмену.
Книга может быть использована в качестве учебника
или справочного пособия. Она будет весьма полезна широкому
кругу читателей — инженерам и студентам, начинающим
изучение основ теплообмена излучением, а также аспирантам и
научным работникам, специалистам в этой области.
Редакция литературы по новой технике
041(01)—75 167~~7* (Q) Перевод на русский язык, «Мир», 1975

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
Перенос энергии излучением определяет многие процессы —
от формирования звездных и планетных атмосфер до передачи
информации на расстояния. Велика роль излучения и в
современной технике, где оно находит широкое применение, например
в устройствах для выращивания оптических кристаллов, в
технике инфракрасного нагрева, в вакуумных аппаратах, в лазерной
и космической технике.
Разработке и уточнению методов расчета теплообмена
излучением в новых областях техники уделяют внимание многие
исследователи. Однако и в случае традиционного использования
радиационного теплообмена (топочные камеры парогенераторов,
различные нагревательные печи) в связи с жесткими технологическими
условиями и предельными режимами работы агрегатов требуются
более точные расчеты с учетом реальных свойств рабочих сред
и материалов, а также взаимодействия всех видов теплообмена.
Возможности аналитических и численных методов решения
задач радиационного теплообмена существенно возросли с
развитием вычислительной техники. Это привело к активизации
исследований в области переноса излучения — углублению и развитию
старых и появлению новых методов расчета, исследованию
зависимости радиационных свойств веществ от длины волны, направления
излучения, состояния поверхности, поляризации и т. д., а также
к решению ряда задач радиационно-кондуктивного и радиационно-
конвективного теплообмена.
Опубликованные в Советском Союзе монографии Невского А. С
ИЗ*]1), Блоха А. Г. [2*, 3*], Адрианова В. Н. [1*], Спэрроу
и Сесса [20*], а также изданные за рубежом книги Вайбелта [31*],
Лоува [30*], Хоттеля и Сэрофима [28*] предназначены в основном
для специалистов. Настоящая книга, написанная известными
учеными, профессорами Зигелем (Льюисский исследовательский
центр НАСА) и Хауэллом (Хьюстонский университет), в отличие
от упомянутых монографий является учебным пособием по курсу
радиационного теплообмена, рассчитанным на подготовку
специалистов высшей квалификации в этой области.
В книге, с одной стороны, приводятся наиболее сложные
вопросы теории теплообмена излучением, такие, как учет
зависимости радиационных свойств поверхностей и среды от направления
г) Цифрами со звездочкой отмечены номера работ в списке
дополнительной литературы.

6 Предисловие редактора русского издания
и длины волны, теплообмен излучением в сочетании с
теплопроводностью и конвекцией, некоторые специальные случаи теплообмена,
а с другой стороны, дается систематическое изложение
фундаментальных основ теории радиационных свойств веществ и теории
переноса электромагнитного излучения в диатермической, а также
в поглощающей, излучающей и рассеивающей средах.
Порядок изложения материала книги подчинен учебной цели.
Расчлененные на разделы главы построены по единому плану.
В начале главы имеется вводный раздел, содержащий общие
и исторические сведения, затем приводятся обозначения величин.
В конце разделов, содержащих основы теории, предлагаются
примеры решения практических задач. Там, где это необходимо,
рассмотрение подытоживается сводными таблицами. Далее следуют
список литературы и условия задач с ответами для
самостоятельной проработки. Основные справочные сведения даются в
приложениях. Такое построение глав позволяет изучать каждую из них
независимо от других, что облегчает пользование книгой не только
как учебником, но и как справочным пособием по постановке
частных задач теории радиационного теплообмена и выбору метода их
решения или отысканию литературных источников.
При переводе и редактировании книги особое внимание было
уделено терминологии и системе единиц измерения. В настоящем
издании использована терминология по теории теплообмена [15*1,
а также по физической оптике [21*], рекомендуемая АН СССР.
В конце книги помещен словарь английских терминов,
использованных в книге, и соответствующих им русских эквивалентов,
принятых в настоящем переводе. Британская и другие системы
единиц заменены системой единиц измерения СИ. В связи с этим
были пересчитаны многие числовые примеры и изменены числовые
данные в задачах и ответах, а также в ряде графиков и таблиц
текста и приложений.
Замечания и пояснения по поводу некоторых терминов и
названий методов теории теплообмена излучением, получивших
распространение в Советском Союзе, а также обнаруженных неточностей
даны в подстрочных примечаниях редактора.
В приведенной авторами библиографии недостаточно полно
отражены работы советских авторов, поэтому в конце книги
помещен не претендующий на полноту список дополнительной
литературы. В нем представлены работы советских и зарубежных
авторов, в которых подробно рассматриваются отдельные вопросы
теории излучения, а также впервые предлагаются или анализируются
методы и основные соотношения теории теплообмена излучением.
Б. Хрусталев

ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы в связи с исследованием и освоением
космического пространства значительно возросла роль теплового
излучения. Этому способствовали высокие температуры, обусловленные
повышением эффективности двигателей, высокие скорости полетов
и связанные с ними повышенные температуры вследствие нагрева
за счет трения, а также эксплуатация устройств и механизмов
за пределами земной атмосферы, где нет конвекции и единственным
внешним способом передачи тепла становится излучение. Чтобы
подготовить специалистов соответствующего профиля, в Льюис-
ском исследовательском центре НАС А был прочитан курс лекций
по тепловому излучению как часть специально разработанной
углубленной учебной программы.
Этот курс, рассчитанный примерно на первый год аспирантуры,
состоял из трех основных разделов. В первом разделе
рассматривались свойства непрозрачных материалов, включая абсолютно
черное тело, электромагнитная теория и результаты измерений
радиационных свойств. Второй раздел был посвящен теплообмену
излучением в замкнутых системах как при наличии конвекции
и теплопроводности, так и без них. Третий раздел охватывал
проблемы переноса излучения в полупрозрачных средах, главным
образом в газах.
Когда была начата подготовка этого курса, не существовало
ни одного учебника по излучению, который содержал бы весь
требуемый материал. Поэтому нам пришлось написать ряд статей,
составивших впоследствии основу данной книги. В последние годы
опубликовано несколько учебников по излучению, так что
потребность в монографии по этой теме частично удовлетворена.
Содержание данной книги несколько шире тех требований,
которые предъявляются к обычному учебнику, рассчитанному
на программу одного семестра. Многие ее части содержат
подробную информацию и могут быть использованы в качестве
справочного пособия по некоторым специальным вопросам теории
излучения.
Книга состоит из 21 главы. В первых пяти главах
рассматриваются основы теории переноса излучения, абсолютно черное тело,
электромагнитная теория и свойства твердых материалов. Главы
6-12 посвящены вопросам теплообмена излучением между
поверхностями и в замкнутых системах при отсутствии ослабляющей
среды. Последние девять глав содержат материал по переносу
излучения при наличии ослабляющей среды.

8
Предисловие
Темы, рассчитанные на один семестр первого года аспирантуры,
отмечены в оглавлении звездочками. Опыт чтения курса лекций
показал, что эти темы могут быть охвачены полностью только в том
случае, если некоторые разделы рассматривать менее подробно,
уделяя основное внимание^ аибо л ее важным, с точки зрения
лектора, вопросам. Авторы старались использовать общепринятый стиль
изложения и, рискуя быть многословными, объясняли
принципиальные вопросы по возможности подробнее. Материал расположен
в порядке возрастания сложности. Поэтому книгу можно также
рекомендовать для самостоятельной проработки инженеру,
имеющему некоторые знания по тепловому излучению.
Чтобы познакомить читателя с применением аналитических
соотношений, в каждой главе приведены числовые примеры, кото:
рые помогут перекинуть мостик между теорией и ее практическим
приложением, а также задачи для самостоятельного решения.
В заключение отметим, что оба автора приняли в работе над
книгой равноценное участие.
Р. Зигель
Дж. Р- Хауэлл

1
ВВЕДЕНИЕ
Все вещества непрерывно излучают электромагнитные волны
вследствие колебаний атомов и молекул, связанных с
внутренней энергией. В состоянии равновесия эта энергия прямо
пропорциональна температуре вещества. Энергия излучения охватывает
широкий диапазон длин волн — от радиоволн длиной в несколько
километров до космического излучения с длиной волны менее
10~12 м. В данной книге будет рассматриваться только излучениег
которое воспринимается как тепло или свет. Такое излучениег
соответствующее промежуточному диапазону длин волн, называют
тепловым излучением. (Более подробное определение будет дано
в разд. 1.5.)
Хотя энергия излучения постоянно окружает нас, мы не
замечаем этого, так как наше тело в состоянии непосредственно
обнаружить только часть этой энергии. Для обнаружения остальной части
требуются специальные приборы. Наши глаза, будучи
чувствительными непосредственными приемниками светового излучения,
способны воспроизводить по этому излучению внешний вид
предметов, но мало чувствительны к тепловому (инфракрасному)
излучению. Наша кожа непосредственно реагирует на тепловое
излучение, но не в достаточной степени. Она неспособна
воспроизводить изображения окружающих нас теплых или холодных
предметов, если только тепловое излучение не слишком велико. Для
воспроизведения внешнего вида объектов по тепловому излучению
нам требуются косвенные средства, например чувствительная
к инфракрасному излучению пленка в фотокамере.
Прежде чем перейти к подробному обсуждению природы
теплового излучения, выясним, почему тепловое излучение имеет такое
важное значение в современной технике.
1.1. ЗНАЧЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Одним из факторов, объясняющих большое значение теплового
излучения в некоторых приложениях, является вид зависимости
энергии излучения от температуры. В случае теплопроводности
и конвекции перенос энергии между двумя участками зависит от
разности температур этих участков приблизительно в первой
степени х). Перенос энергии тепловым излучением зависит от разности
г) В условиях свободной конвекции или в том случае, когда учитывается
влияние переменных физических свойств, показатель степени при разности
температур может стать больше, единицы, но обычно при конвекции и
теплопроводности он не достигает числа 2.

40
Глава 1
абсолютных температур-отдельных тел, каждая из которых
возведена примерно в четвертую или пятую степень.
Из этого основного различия механизмов обмена энергией при
излучении, конвекции и теплопроводности следует, что значение
излучения повышается при возрастании уровня абсолютных
температур. Поэтому вклад излучения в теплообмен в печах, в камерах
сгорания и при ядерных взрывах становится весьма значительным.
Законы излучения определяют распределение температуры внутри
Солнца и энергию излучения Солнца или источника, заменяющего
Солнце при моделировании солнечного излучения. При
проектировании некоторых устройств, предназначенных для использования
в условиях космоса, предусматривают высокотемпературные
режимы их работы для достижения высокой тепловой эффективности.
Из этого следует, что излучение чаще всего должно учитываться
при оценке тепловых эффектов в таких устройствах, как сопла
ракет, атомные электростанции, ракеты, работающие на ядерном
топливе с активной газовой зоной.
Вторая отличительная особенность переноса излучения — не
обязательное наличие среды для обмена энергией излучения между
двумя участками. Энергия излучения беспрепятственно
распространяется через вакуум, в то время как для переноса энергии
конвекцией или теплопроводностью обязательно присутствие
физической среды. Если среда отсутствует, то излучение становится
единственным возможным способом переноса тепла. Общеизвестны
примеры потерь тепла через вакуумированные стенки сосуда
Дьюара или термоса, а также рассеяние тепла нитью накала в
вакуумной лампе. В последнее время излучение используется для
отвода отработанного тепла от космических энергетических
установок.
Излучение может иметь важное значение даже в тех случаях,
когда температуры не очень высоки и наряду с излучением имеют
место другие виды переноса тепла. В качестве примера приведем
цитату из кливлендской газеты за 1964 г. Цветовод,
«использовавший пластиковые покрытия на цветочных клумбах, обратил
внимание на явление, которое он неоднократно наблюдал в течение
двух сезонов. Вода, собиравшаяся на пластике, замерзала но^ью
слоем толщиной около 6 мм, в то время как по официальным
сообщениям температура воздуха была выше температуры
замерзания воды. Цветовод просил дать разъяснение, так как, по его
мнению, лед не мог образоваться при температуре выше
температуры замерзания воды». Ошибка цветовода состояла в том, что
он учитывал только конвективный теплообмен с воздухом и
пренебрегал потерями тепла в ночное время вследствие теплообмена
излучением между поверхностью, покрытой водой, и поглотителем
тепла с очень низкой температурой — окружающим
пространством.

Введение
11
Аналогичным примером может служить ощущение человеком
дискомфорта в комнате, в которой имеются холодные поверхности.
Например, холодные поверхности окон вызывают ощущение
зябкости, так как прямое излучение тела к этим поверхностям не
компенсируется. Закрывая окна шторами или занавесями, можно
в значительной мере снизить ощущение дискомфорта.
Заметим, наконец, что тепловое излучение приходится на
интервал длин волн, который дает тепло, свет, фотосинтез и все
связанные с ними блага. Уже само по себе это достаточно серьезное
основание для тщательного изучения теплового излучения. Наше
существование зависит от энергии излучения Солнца, посылаемого
на Землю. Понимание взаимодействия этого излучения с
атмосферой и поверхностью Земли даст возможность извлечь
дополнительные выгоды при его использовании.
1.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
с — скорость распространения электромагнитного
излучения в среде, отличной от вакуума;
с0 — скорость распространения электромагнитного
излучения в вакууме;
к — коэффициент теплопроводности;
п = с0/с — показатель преломления;
qc — энергия, передаваемая через единицу площади в
единицу времени теплопроводностью;
qr — энергия излучения, падающего на единицу площади
элемента поверхности в единицу времени;
qs — энергия излучения единичного элемента поверхности,
падающего на единицу площади в единицу времени;
qv — энергия излучения единичного элемента объема,
падающего на единицу площади в единицу времени;
S — площадь поверхности;
Т — температура;
V — объем;
х, у, z — координаты в декартовой системе координат;
£ — произвольное направление;
% — длина волны в вакууме;
v — частота.

12
Глава 1
1.3. ТРУДНОСТИ, СВОЙСТВЕННЫЕ ПРОБЛЕМАМ
ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотрим вначале некоторые математические трудности,
обусловленные природой теплообмена излучением. При переносе
тепла теплопроводностью и конвекцией энергия передается
физической средой. Энергия, передаваемая бесконечно малому элементу
объема твердого или жидкого вещества или от него, зависит от
градиентов температуры и физических свойств среды в
непосредственной близости к элементу. Например, в сравнительно простом
случае теплопроводности в веществе (без конвекщш) с
распределением температуры Т (х, у, z) и постоянным коэффициентом
теплопроводности к плотность теплового потока можно вычислить
с помощью закона теплопроводности Фурье в следующем виде:
Qc I в направлении £ == # "5Е~* (*•*)
Из рассмотредия тепловых потоков через все грани кубического
элемента объема, выделенного в твердом теле (фиг. 1.1, а), как
входящих, так и выходящих из куба, с использованием
обозначений, приведенных на фиг. 1.1, получим уравнение Лапласа,
описывающее процесс теплопроводности в веществе
дх* ' ду2 ' дг
Члены этого уравнения зависят только от локальных производных
температуры в веществе.
Аналогичный, хотя и более сложный анализ для процесса
конвекции также показывает, что тепловой баланс зависит только от
условий в непосредственной близости к рассматриваемому
элементу.
При теплообмене излучением энергия передается между
отдельными элементами независимо от отсутствия между ними среды.
Рассмотрим нагреваемый замкнутый объем V, ограниченный
поверхностью S и заполненный излучающим веществом (например, газом
или стеклом) (фиг. 1.1, б). Если qs dS — поверхностная плотность
потока излучения (количество энергии излучения, переносимого
в единицу времени через единицу площади поверхности),
падающего на элемент поверхности dA от элемента поверхности dS, a qvdV—
плотность потока объемного излучения, падающего на элемент
поверхности dA от элемента объема газа dV, то суммарная
поверхностная плотность потока излучения, приходящаяся на единицу
площади dA, равна
qr= ]qadS+ \qvdV. (1,3)

Введение
13
При таком виде членов уравнения теплового баланса становятся
интегральными уравнениями, которые обычно не столь хорошо
известны инженеру, как дифференциальные уравнения. Когда
излучение сочетается с теплопроводностью и (или) с конвекцией,
уравнения теплового баланса содержат как интегральные, так
и дифференциальные члены с различными показателями степени
~-Ч^ + 7-Н* dydz
'- Излучающий
элемент площади
Фиг. 1.1. Сопоставление членов уравнений теплового баланса для
теплопроводности и излучения.
а — члены уравнения теплопроводности для элемента объема твердого тела; б — члены
уравнения теплообмена излучением для замкнутой полости, заполненной излучающим
веществом.
при температуре и являются нелинейными
интегро-дифференциальными уравнениями. Решать такие уравнения очень трудно.
Помимо математических трудностей имеется еще одна
трудность, свойственная проблемам излучения: в уравнения должны
вводиться величины, точно определяющие физические свойства
вещества. Точное определение физических свойств вызывает
затруднения в связи с тем, что свойства твердых тел зависят от многих
переменных, таких, как шероховатость поверхности и качество

14
Глава 1
ее обработки, чистота вещества, толщина покрытия, например,
краски на поверхности (в случае тонкого покрытия могут
оказывать действие нижележащие слои вещества), температура, длина
волны излучения и угол, под которым оно происходит. К
сожалению, в большинстве опубликованных результатов измерений
радиационных свойств условия на исследуемой поверхности точно
не определены.
1.4. СРАВНЕНИЕ ВОЛНОВОЙ И КВАНТОВОЙ МОДЕЛЕЙ
ИЗЛУЧЕНИЯ
Теория переноса энергии излучения может быть рассмотрена
с двух позиций: классической электромагнитной волновой теории
и квантовой механики. Квантовомеханическое рассхмотрение
взаимодействия излучения с веществом приводит в большинстве
случаев к уравнениям, которые в значительной степени подобны
классическим. Поэтому, за некоторыми исключениями, тепловое
излучение можно рассматривать как явление, основанное на
классическом представлении о переносе энергии электромагнитными
волнами. Однако эти исключения содержат некоторые из наиболее
важных эффектов, свойственных теплопередаче излучением, такие,
как спектральное распределение энергии излучения тела, и
радиационные свойства газов, которые можно объяснить и вычислить
только с позиций квантовой механики в предположении, что
энергия переносится только дискретными порциями (фотонами).
«Истинная» природа электромагнитной энергии (т. е. волн или
квантов) неизвестна, да это и не столь важно для инженера. В
данной книге мы повсюду будем придерживаться волновой теории,
так как эта теория имеет большие преимущества в инженерных
расчетах и к тому же обычно приводит к тем же формальным
уравнениям, что и квантовая теория. Иногда будут делаться ссылки
на явления, которые следует рассматривать с помощью квантовой
механики.
1.5. СПЕКТР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
В рамках волновой теорий электромагнитное излучение
описывается законами, определяющими поведение поперечных волн,
в которых колебания происходят в направлении, перпендикулярном
направлению распространения волны. Скорость распространения
электромагнитного излучения равна скорости света; свет по
существу является лишь частным случаем электромагнитного излучения
в узком диапазоне спектра. Скорость в вакууме равна с0 =
= 2,9979 •108м/с. Скорость в среде с меньше, чем с0, и обычно дается

\Космическое
излучение
Гамма-лучи
9нтгено1
лучи
Рентгеновские
лучи
излучение
^Фиолето-
Ш-
Г
спектра
Тепловое
излучение
1
Красное А ^Ближняя
1 инфракрасная
область
t£~0,7—25мкм).
Дольняя инфракрасная
область (25 -1000 мкм)
Радары,
телевидение,
радио
1
Т
Коротковолновое
радиовещание
f
Длинноволновое
радиовещание
L
Превращение вещества
в энергию
излучения
\
{Радиоактивный
распад
Торможение
частиц
высоких
анергий
1 Т
бомбардировка
электронами
1
Синхротронное
излучение
Электронные
переходы
— в газах
, „г—ХОУпельные
\перехооы в*газах
ш колебания решетки
втвердых телах
Колебания,
, осиленные
\в электронных
схемах
\Колебательно-6рашдтельные переходы
в газах, колебания молекул в твердых
и жидких телах и переходы связанных
электронов в твердых телах
1
Фиг. 1.2. Спектр электромагнитного излучения,
о — вид излучения; б — механизм излучения.

16
Глава 1
в виде показателя преломления п = с0/с, где п больше единицы х).
Для стекла п ^ 1,5, а для газов показатель п очень близок к
единице.
Типы электромагнитного излучения можно классифицировать
в соответствии с длиной волны в вакууме (или частотой v, так как
cQ = A/v). Общепринятыми единицами измерения длины волны
является микрометр (мкм) и ангстрем2) (1 мкм = 10~6 м =
= 104 А). Шкала спектра излучения приведена на фиг. 1.2.
Переводные множители для основных единиц, применяемых в
теплообмене излучением, приведены в табл. А.1 — А.З приложения.
Представляющая для нас интерес область спектра начинается
ют длинноволновой границы ультрафиолетовой области спектра,
включает область видимого света, охватывающую диапазон длин
волн ~0,4—0,7 мкм и инфракрасную область спектра, которая
простирается от красной границы области видимого света до
X = 1000 мкм. Инфракрасную область спектра иногда
подразделяют на ближнюю инфракрасную область, простирающуюся от
области видимого света до к ^ 25 мкм, и на дальнюю инфракрасную
область, соответствующую более длинным волнам инфракрасного
спектра.
На фиг. 1.2, б указаны различные механизмы
электромагнитного излучения. Некоторые механизмы приведены с позиций
квантовой механики, согласно которой электроны или молекулы в
состояний возбуждения совершают переходы из одного
энергетического состояния в другое с меньшей энергией. В результате этих
переходов высвобождается энергия излучения. Эти переходы
могут происходить спонтанно или возникать под действием поля
излучения.
г) Для ослабляющих сред, например металлов, показатель преломления
является комплексной величиной, в которой п — действительная часть.
В некоторых случаях, например в области аномальной дисперсии, п может
быть меньше единицы, в связи с чем можно сделать ошибочный вывод, что
скорость света больше с0. Но это не так, поскольку распространяющиеся
в среде волны могут быть сложными по форме и скорость с является фазовой
скоростью волны, которая теряет свой физический смысл при достижении
значений с0. Более подробно этот вопрос рассмотрен в книге М. Борна
и Б. Вольфа, «Основы оптики», изд-во «Наука», 1970 (разд. 1.3).— Прим. ред.
2) При переводе книги использовалась международная система единиц
СИ, в соответствии с которой для длины волны употребляется единица метр
(м) и ее производная микрометр (мкм).— Прим. ред.

2
ИЗЛУЧЕНИЕ
АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
Прежде чем приступить к разъяснению идеализированного
понятия абсолютно черного тела, рассмотрим несколько видов
взаимодействия энергии падающего излучения с веществом. Идея
состоит в том, что взаимодействие на поверхности тела
определяется не только свойствами поверхности, но зависит также от свойств
объема вещества, находящегося под поверхностью.
Если излучение падает на однородное тело, то часть излучения
отражается, а остальная часть проникает внутрь тела. При
прохождении через тело излучение может быть поглощено. Если
толщина вещества, необходимая для полного поглощения излучения,
велика по сравнению с толщиной тела или если вещество
прозрачно, то большая часть излучения пройдет через тело и выйдет из него
без изменения. С другой стороны, если вещество обладает большим
внутренним поглощением, то излучение, которое не отразится
от поверхности тела, перейдет во внутреннюю энергию тела в
пределах очень тонкого слоя, примыкающего к поверхности.
Необходимо строго различать способность вещества пропускать
излучение через поверхность и его способность к внутреннему
поглощению излучения, прошедшего внутрь тела. Например, хорошо
полированный металл отражает все падающее на него излучение,
за исключением небольшой доли, но излучение, прошедшее внутрь
тела, интенсивно поглощается и переходит во внутреннюю энергию
на очень коротком расстоянии в веществе. Таким образом, этот
металл обладает высокой внутренней поглощательной
способностью, хотя слабо поглощает энергию падающего излучения, так
как большая часть падающего излучения отражается. В случае
неметаллов значительная часть падающего излучения может
пройти внутрь вещества, но для ее поглощения и превращения во
внутреннюю энергию тела потребуется значительно большая
толщина, чем в случае металлов. Тело называется непрозрачным,
если все излучение, прошедшее в тело, поглощается внутри
него.
Если металлы напыливаются на поверхность в виде очень мелких
частиц, то получается поверхность с низкой отражательной
способностью. Этот эффект в сочетании с высоким внутренним
поглощением металла позволяет получить хорошо поглощающие
поверхности. На его основе создаются металлические «черни», например
платиновая или золотая чернь.

48
Глава 2
2.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь поверхности;
^i» ^2 — постоянные в законе спектрального распределения
энергии Планка (табл. А.4);
С3 — постоянная в законе смещения Вина (табл. А.4);
с — скорость распространения электромагнитного
излучения в среде, отличной от вакуума;
с0 — скорость распространения электромагнитного
излучения в вакууме;
Е — поток излучения (энергия излучения, переносимая
в единицу времени);
е — сила излучения; поверхностная плотность потока
излучения;
Fq-k — доля интегральной интенсивности или интегральной
поверхностной плотности потока излучения
абсолютно черного тела в интервале спектра 0 — Я;
h — постоянная Планка;
i — интенсивность излучения;
к — постоянная Больцмана;
п — показатель преломления;
Q — поток энергии;
R — радиус;
Т — абсолютная температура;
Р — полярный угол;
£= С2/ХТ;
г] — волновое число;
9 — азимутальный угол;
х — коэффициент затухания амплитуды электромагнитного
излучения; показатель поглощения;
А, — длина волны в вакууме;
^т — длина волны в среде, отличной от вакуума;
v — частота;
а _ постоянная Стефана — Больцмана [уравнение (2.22)];
со — телесный угол.
Надстрочные индексы
' — величина, имеющая направление.

Излучение абсолютно черного тела
19
Подстрочные индексы
Ъ — абсолютно черное тело;
п — направление по нормали;
р — проекция;
s — сфера;
г] — величина, зависящая от волнового числа;
К — величина, зависящая от длины волны;
Хг — А,2 — величина в диапазоне длин волн %\ — Х2;
XT — величина, вычисленная при XT;
v — величина, зависящая от частоты.
2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
Абсолютно черным телом называется идеальное тело, которое
пропускает внутрь себя все падающее излучение (не отражая
энергии) и поглощает внутри себя все это падающее излучение (не
пропуская энергии). Это свойство справедливо для излучения,
соответствующего всем длинам волн и всем'углам падения.
Следовательно, абсолютно черное тело является идеальным поглотителем
падающего излучения. Все другие качественные характеристики,
определяющие поведение абсолютно черного тела, вытекают и&
этого определения.
Понятие абсолютно черного тела является основным при
изучении переноса энергии излучения. Являясь идеальным поглотитег
лем излучения, абсолютно черное тело используется в качестве
эталона, с которым сравнивается поглощение реальных тел. Как мы
увидим дальше, абсолютно черное тело также и испускает
максимальное количество излучения и поэтому используется в качестве
эталона для сравнения с излучением реальных тел. Излучательные
свойства абсолютно черного тела были установлены с помощью-
квантовой теории и подтверждены экспериментом.
Только некоторые поверхности приближаются к абсолютна
черному телу по способности поглощать излучение (сажа,
карборунд, платиновая и золотая черни). Свое название черное тела
получило в связи с тем, что тела, хорошо поглощающие
падающий видимый свет, кажутся глазу черными. Однако за пределами
области видимого света, в диапазоне длин волн теплового
излучения, глаз не является хорошим индикатором поглощательной
способности тел. Например, поверхность, покрытая белой
масляной краской, хорошо поглощает инфракрасное излучение,
испускаемое при комнатной температуре, и в то же время является плохо
поглощающим веществом при более коротких длинах волн,
характеризующих видимый свет.

20
Глава 2
2.3. СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
Абсолютно черное тело не только идеально поглощает
излучение, но обладает другими важными свойствами, которые будут
рассмотрены ниже.
2.3.1. Идеальный излучатель
Рассмотрим абсолютно черное тело с постоянной температурой,
помещенное внутри полностью изолированной полости
произвольной формы, стенки которой также образованы абсолютно черными
Фиг. 2.1. Схема замкнутой полости, используемая при выводе свойств
абсолютно черного тела.
1 — вамкнутая полость с постоянной температурой; 2 — абсолютно черное тело с
постоянной температурой; 3 — элемент поверхности, обменивающийся энергией излучения
с абсолютно черным телом.
телами с постоянной температурой, отличающейся в начальный
момент от температуры заключенного внутри тела (фиг. 2.1).
Через некоторое время абсолютно черное тело и замкнутая полость
будут иметь общую равновесную температуру. В равновесных
условиях черное тело должно испускать точно такое же
количество излучения, как и поглощать. Для доказательства этого
рассмотрим, что случилось бы, если бы входящая и выходящая
энергии излучения не были бы равны. В этом случае температура
помещенного в полость тела стала бы увеличиваться или умень-

Излучение абсолютно черного тела
21
шаться, что соответствовало бы передаче тепла от холодного тела
к нагретому, а это противоречит второму закону термодинамики.
Поскольку, по определению, абсолютно черное тело поглощает
максимально возможное количество излучения, поступающего
в любом направлении от замкнутой полости при любой длине
волны, то оно должно также испускать максимально возможное
количество излучения. Это становится ясным при рассмотрении
любого менее совершенно поглощающего тела, которое должно
испускать меньше излучения, чем черное тело, чтобы сохранилось
равновесие. Тот факт, что тело продолжает испускать излучение
даже в том случае, когда оно находится в равновесии с
окружающей средой, известен как закон Прево.
2.3.2. Изотропное излучение
в абсолютно черной замкнутой полости
Рассмотрим теперь изотермическую замкнутую полость
произвольной формы с черными стенками (фиг. 2.1), передвинем черное
тело внутри полости в другое положение и изменим его
ориентацию. Тело должно сохранить ту же температуру, так как вся
замкнутая система остается изотермической. Следовательно, черное
тело должно испускать то же количество излучения, что и прежде.
Находясь в равновесии, оно должно получать такое же количество
излучения от стенок полости. Таким образом, интегральное
излучение, получаемое абсолютно черным телом, не зависит от его
ориентации и положения в полости; следовательно, излучение,
проходящее через любую точку внутри полости, не зависит от ее положения
или от направления излучения. Это означает, что равновесное
тепловое излучение, заполняющее полость, является изотропным.
Кроме максимально возможного интегрального излучения
абсолютно черное тело испускает также максимально возможное
излучение при любой длине волны и в любом направлении. Это
следует из приведенных ниже рассуждений.
2.3.3. Идеальный излучатель в любом направлении
Рассмотрим элемент поверхности черной изотермической
замкнутой полости и элементарное абсолютно черное тело внутри этой
полости. Часть излучения элемента поверхности попадает на
черное тело под некоторым углом к его поверхности. Все это
излучение, по определению, поглощается. Чтобы сохранилось тепловое
равновесие и изотропность излучения во всей замкнутой полости,
излучение, испускаемое телом в направлении, обратном
направлению падающего луча, должно быть равно поглощенному
излучению. Так как тело поглощает максимум излучения^ любого
направления, оно должно испускать максимум излучения в любом напра-

22
Глава 2
влении. Более того, так как равновесное тепловое излучение,
заполняющее полость, изотропно, то излучение, поглощаемое или
испускаемое в любом направлении абсолютно черной
поверхностью, заключенной в замкнутую полость, и отнесенное к единице
площади проекции поверхности на плоскость, нормальную к
направлению луча, должно быть одинаковым.
2.3.4. Идеальный излучатель при любой длине волны
Рассмотрим систему из абсолютно черного тела внутри
замкнутой полости, которая находится в тепловом равновесии. Стенка
полости обладает особым свойством — она может испускать и
поглощать излучение лишь в узком интервале длин волн dX^
включающем длину волны Xv Черное тело, являющееся идеальным
поглотителем энергии, поглощает все падающее излучение в этом
интервале длин волн. Чтобы в замкнутой полости поддерживалось
тепловое равновесие, черное тело должно испускать излучение
в указанном интервале длин волн, которое затем может быть
поглощено стенкой полости, поглощающей только в данном интервале
длин волн. Так как абсолютно черное тело поглощает максимум
излучения в интервале dkl4 оно должно испускать максимум
излучения в этом же интервале. Можно затем рассмотреть другую
замкнутую полость, которая испускает и поглощает излучение
только в диапазоне dX2, включающем длину волны к2. Абсолютно
черное тело должно также испускать максимум излучения при
длине волны Я2. Аналогично можно показать, что абсолютно черное
тело является идеальным излучателем при любой длине волны.
Наделение замкнутой полости особыми свойствами в данном
рассуждении не имеет отношения к абсолютно черному телу, так как
излучательные свойства тела зависят только от его природы и не
зависят от свойств полости.
2.3.5. Интегральное излучение
как функция только температуры
Если температура замкнутой полости изменится, то
соответственно должна измениться и температура заключенного внутри
нее абсолютно черного тела и стать равной новой температуре
полости (т. е. полностью изолированная система должна
стремиться к термодинамическому равновесию). Система снова станет
изотермической, а энергия излучения, поглощаемого черным телом,
будет опять равна энергии испускаемого им излучения, но
несколько отличаться по величине от энергии, соответствующей прежней
температуре. Так как, по определению, тело поглощает (а
следовательно, испускает) максимум излучения, соответствующий
данной температуре, то характеристики окружающей системы

Излучение абсолютно черного тела
23
не оказывают влияния на излучательные свойства черного тела.
Следовательно, интегральная энергия излучения абсолютно черного
тела является функцией только его температуры.
Кроме того, согласно второму закону термодинамики, передача
энергии от холодной поверхности к горячей невозможна без
совершения над системой работы. Если бы энергия излучения,
испускаемого абсолютно черным телом, увеличивалась с
уменьшением температуры, мы бы легко могли построить рассуждения,
которые привели бы нас к нарушению этого закона. Рассмотрим
в качестве примера две бесконечные параллельные абсолютно
черные пластины (фиг. 2.2). Верхняя пластина поддерживается
при температуре Тг, которая выше температуры Г2 нижней
пластины. Если бы энергия испускаемого излучения уменьшалась
VE2~E1
VE2-E1
Фиг. 2.2. Схема передачи энергии, при которой нарушается второй закон
термодинамики.
при возрастании температуры, то энергия излучения Е2,
испускаемого нижней пластиной в единицу времени, была бы больше
энергии излучения Еъ испускаемого верхней пластиной в единицу
времени. Так как обе пластины черные, то каждая из них
поглощает все излучение, испускаемое другой пластиной. Для
поддержания температур пластин энергия Qx = Е2 —- Ег должна быть
отведена от верхней пластины в единицу времени и в равном
количестве добавлена нижней пластине. Таким образом, получается, что
энергия передается от менее нагретой пластины к более нагретой
без совершения внешней работы. Согласно второму закону термо-
модинамики, это невозможно. Следовательно, энергия излучения,
испускаемого абсолютно черным телом, должна увеличиваться
с температурой.
На основании этих рассуждений приходим к выводу, что
интегральная энергия излучения, испускаемого абсолютно черным
телом, пропорциональна только некоторой монотонно
возрастающей функции температуры,

24
Глава 2
2.4. ИЗЛУЧАТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
2.4.1. Интенсивность излучения
абсолютно черного тела г)
Рассмотрим элементарную площадку dA, окруженную
полусферой радиусом R (фиг. 2.3). Полусфера имеет площадь
поверхности 2яЛ2 и охватывает телесный угол 2я ср с вершиной в центре
Фиг. 2.3. Спектральная интенсивность излучения абсолютно черной
поверхности.
ее основания. Следовательно, для полусферы единичного радиуса
телесный угол с вершиной в центре ее основания численно равен
площади поверхности такой единичной полусферы. Направление
определяется углами 6 и Р (фиг. 2.3). Угол Р отсчитывается от
нормали к поверхности. Угловое положение 6 = 0 произвольное.
*) Во избежание путаницы здесь по возможности используется
самосогласованная система единиц и определений. Это лишено смысла для всех
приложений, когда различные интересы и потребности обуславливают
использование большого числа несогласованных систем единиц и определений.
Хороший пример предоставлен автором Никодемусом, приславшим таблицу,
используемую в офтальмологии для определения единиц яркости.
Достаточной иллюстрацией, по-видимому, будет следующее равенство,
заимствованное из этой таблицы:
1 нит[нт] = 3,142 апостильб[асб] = 104 свеча «гектар -каррэ =
= 0,2919 фут»ламберт[фл].

Излучение абсолютно черного тела
25
Излучение, испускаемое в любом направлении, будем
характеризовать интенсивностью излучения. Различают два вида
интенсивности излучения: .спектральную интенсивность, которая
относится к излучению в узком интервале длин волн dX в окрестности
длины волны X, и интегральную интенсивность, которая
относится к излучению, соответствующему всем длинам волн.
Спектральную интенсивность излучения абсолютно черного тела будем
обозначать г^ь (X). Индексы соответственно обозначают, что
рассматривается только одна длина волны и свойства относятся к
абсолютно черному телу. Штрих означает, что рассматривается
излучение в единственном направлении. Система обозначений
подробно объясняется в разд. 3.1.1. Спектральную интенсивность
излучения можно определить как энергию излучения,
испускаемого в единицу времени, в единице узкого интервала длин волн,
включающего длину волны X, единицей площади проекции
элемента поверхности, перпендикулярной направлению (Р, 0), в единице
элементарного телесного угла, осью которого является выбранное
направление (Р, 0). Как будет показано в разд. 2.4.2,
интенсивность излучения абсолютно черного тела, определенная таким
образом (т. е. относительно площади проекции элемента
поверхности), не зависит от направления. Поэтому обозначение
интенсивности абсолютно черного тела одинаково для любых значений
(Р, 0). Интегральная интенсивность излучения ib в отличие от
спектральной интенсивности г%ь включает излучение,
соответствующее всем длинам волн. Поэтому индекс X и функциональная
зависимость (X) отсутствуют. Спектральная и интегральная
интенсивности излучения связаны между собой интегралом по всем
длинам волн
сю
И= J iKbQ^dk. (2.1)
2.4.2. Независимость интенсивности излучения
от направления
Независимость интенсивности излучения абсолютно черного
тела от направления можно показать, рассмотрев сферическую
изотермическую абсолютно черную замкнутую полость радиусом R
с абсолютно черным элементом dA в ее центре (фиг. 2.4, а).
Замкнутая полость и элементарное тело находятся в состоянии
теплового равновесия. Таким образом, все излучение, проходящее через
замкнутую полость, должно быть изотропным. Рассмотрим
излучение в интервале длин волн dX, включающем X, которое испускается
элементом dAs на поверхности замкнутой полости и
распространяется в направлении к элементу dA (фиг. 2.4, б). Энергия
излучения, испускаемого в этом направлении в единице телесного угла,

26
Глава 2
в единицу времени, равна i%b,n (к) dAs dk. Поскольку излучение
испускается по нормали к элементу dAs черной стенки сферической
замкнутой полости, будем рассматривать спектральную
интенсивность излучения абсолютно черного тела в направлении нормали.
Количество энергии излучения, падающего в единицу времени
на dA, зависит от телесного угла, который занимает элемент dA,
- Абсолютно
черная
сферическая
замкнутая
полость
Фиг. 2.4. Обмен энергией излучения между элементом поверхности
замкнутой полости и элементарной площадкой внутри этой полости.
а — абсолютно черная элементарная площадка dA внутри абсолютно черной сферической
замкнутой полости; б — перенос энергии от dAs к dAp\ в — перенос энергии от dAp к dAs.
если на него смотреть из положения dAs. Этот телесный угол
численно равен площади проекции элемента dA, перпендикулярной
направлению (Р, Э), деленной на R2. Площадь проекции равна
dAp = dA cos р,
а энергия излучения, поглощаемого элементом dA, равна
d3Q'u (К Р, в) = гкь, п (X) dAsd%dAtf* .
(2.2)
(2.3)
Энергия излучения, испускаемого элементом dA в направлении
(Р, 6) и падающего на элемент dAs (фиг. 2.4, в), должна быть равна
энергии поглощаемого излучения от элемента dAs, или в
противном случае нарушится равновесие. Следовательно,
dAs
Г» (К Р, в) dAp^f- d% = fflQ-» (А, р, 9) =
-&,пМ^^?Л. (2.4)

Излучение абсолютно черного тела
27
С учетом (2.2) получаем
ixb (К Р, 9) - U6, п (Я) Ф функция ф, 9). (2.5)
Равенство (2.5) означает, что интенсивность излучения абсолютно
черного тела, которая была определена в данном случае
относительно площади проекции, не зависит от направления излучения.
Ни индекс п, ни обозначение (Р, 0) на самом деле не нужны
для полного описания интенсивности излучения абсолютно
черного тела. Так как абсолютно черное тело является всегда
идеальным поглотителем и излучателем энергии, эти свойства
абсолютно черного тела не зависят от окружающей среды.
Следовательно, полученные результаты не зависят от сделанных нами
предположений ни о сферической замкнутой полости, ни о
термодинамическом равновесии с окружающей средой1).
2.4.3. Сила излучения. Определение и закон Ламберта
Интенсивность излучения определяется относительно площади
проекции площадки. Имеет смысл определить также величину
энергии излучения, испускаемого в данном направлении единицей
реальной площади поверхности тела (а не ее проекцией). Эта
величина, обозначаемая е'хь (X, Р> 6), представляет собой энергию
излучения, испускаемого единицей площади элемента абсолютно
черной поверхности в единицу времени, в единице бесконечно
малого интервала длин волн, включающего длину волны X, в
единицу элементарного телесного угла dec, осью которого является
направление (Р, 6). Энергию излучения, испускаемого в интервале
dX, включающем X, в единицу времени в любом направлении,
d3QLb (X, Р? 6) можно выразить двумя способами:
d3Q%b (к, Р, 0) = ем (X, р, 6) dA dco dX = VXb (X) dA cos p d© dX.
Следовательно,
екь (K P, 6) ^ Ы (Ц cos p = e{b (X, P). (2.6)
Из-за наличия в равенстве (2.6) члена ijj, (X) cos Р член е^ь (X, Р, в)
не зависит от 6, и, следовательно, его можно обозначить е'\ъ (X, Р).
а) Следует отметить, что для большинства законов излучения абсолютно
черного тела, приведенных в этой главе, все же существуют некоторые
исключения. Эти исключения не имеют сколько-нибудь существенного значения
почти для всех случаев инженерной^ практики, однако их необходимо
учитывать в случаях чрезвычайно быстрых неустановившихся процессов
переноса энергии излучения. Если время неустановившегося процесса того же
порядка, что и время любого процесса, определяющего испускание
излучения рассматриваемым телом, то излучательные свойства тела могут
отставать от его поглощательных свойств. Понятие температуры, используемое
при выводе законов излучения абсолютно черного тела, в этих случаях строго
не применимо. Рассмотрение таких проблем выходит за рамки данной работы
(см. разд. 13.8).

28
Глава 2
Величина е'хь (Я, Р) называется направленной спектральной силой
излучения х) абсолютно черной поверхности. Для некоторых
нечерных поверхностей е% зависит от угла 0.
Уравнение (2.6) известно как закон Ламберта, а поверхности,
для которых направленная сила излучения подчиняется этому
соотношению, называются идеально диффузными поверхностями
или поверхностями, излучающими по закону Ламберта, Так как
поверхность абсолютно черного тела всегда является диффузной,
то оно используется в качестве эталона для сравнения со
свойствами реальных поверхностей, зависящими от направления, которые,
как правило, не подчиняются закону Ламберта.
2.4.4. Полусферическая спектральная поверхностная
плотность потока излучения абсолютно черного тела
Для вычисления энергии интегрального излучения поверхности
необходимо проинтегрировать спектральную силу излучения по
всем телесным углам полусферической оболочки, охватывающей
Фйг. 2.5. Полусфера единичного радиуса, используемая для вывода
соотношения между интенсивностью излучения абсолютно черного тела и
полусферической спектральной поверхностной плотностью потока излучения.
абсолютно черную поверхность. Полученная величина называется
полусферической спектральной поверхностной плотностью потока
излучения абсолютно черной поверхности е^ъ (^) и равна энергии
излучения, испускаемого единицей площади абсолютно черной
поверхности в единицу времени, в единице интервала длин волн,
включающего Я. На фиг. 2.5 показана элементарная площадка dA
х) В некоторых монографиях (см., например, [13*]) эту величину
называют яркостью поверхности. Однако в терминологии АН СССР [15*] «яркость»
и «интенсивность излучения»— идентичные понятия. Термин «сила
излучения» используется в СССР в светотехнике.— Прим. ред.

Излучение абсолютно черного тела
29
в центре основания полусферы единичного радиуса. По
определению, любой телесный угол над dA численно равен вырезаемой
площади на полусфере единичного радиуса. Элемент площади
на этой полусфере равен
dec = sin pdpd0.
Следовательно, энергия монохроматического излучения,
испускаемого единицей поверхности элемента dA в единицу времени и
проходящего через элемент поверхности полусферы, будет равна
е'и>(К P)sinpdpd9.
С учетом (2.6) она также будет равна
е'хь (К Р) *о = i'xb (Ц cos р sin р dp d9. (2.7)
Чтобы получить энергию излучения, испускаемого абсолютно
черным телом в пределах полусферы, уравнение (2.7) нужно
проинтегрировать по всем телесным углам
2л я/2
еи>{Ц = 1\ь{Ц J J cospsinpdpde, (2.8а)
или
1
ехъ (Я) = 2я&ь (Ц { sin^d (sin р) = ni'Kb (X). (2.86)
о
Обозначение полусферической величины не содержит верхнего
индекса. Кроме того, из равенства (2.6) для излучения,
испускаемого перпендикулярно поверхности (Р = 0), так что cos р = 1, имеем
а из (2,86) следует
екъ(Ц=*пем,,п(Ц* (2.9)
Таким, образом, путем чисто геометрических соображений
получено следующее простое соотношение. Полусферическая поверхностная
плотность потока излучения в л раз больше силы излучения в
направлении нормали к поверхности или в я раз больше интенсивности
излучения. В следующих главах будет показано, что это
соотношение очень полезно для отыскания связи между направленными
и полусферическими величинами.
2.4*5. Спектральная поверхностная плотность
потока излучения в ограниченном телесном угле
Иногда требуется знать энергию излучения, проходящего
только через часть полусферического телесного угла, охватывающего
элементарную'площадку. Энергию излучения в телесном угле,

30
Глава 2
ограниченном пределами рх и р2, а также Q1 и 62, можно вычислить,,
изменяя пределы интегрирования в уравнении (2.8а):
е2 в*
екь (К Pi - Р2, 01 - 6а) - in (*) J ( cos psin р ^ dQ =
ei й
= <хь(^) ^'Р^-^'Р' (8.-00- (2.10)
2.4.6. Спектральное распределение
поверхностной плотности потока излучения
Мы уже рассмотрели некоторые характерные особенности
абсолютно черного тела. Абсолютно черное тело определено нами
как идеально поглощающее, а также идеально излучающее тело.
Интегральная интенсивность и, следовательно, интегральная
поверхностная плотность потока излучения являются функциями
только температуры абсолютно черного тела. Энергия излучения
абсолютно черного тела подчиняется закону Ламберта.
Все эти свойства абсолютно черного тела были подкреплены
термодинамическими соображениями. Однако осталось не
рассмотренным очень важное основное свойство абсолютно черного тела.
Имеется в виду формула, определяющая величину интенсивности
излучения для каждой длины волны, которые в совокупности
составляют спектр излучения. Это соотношение невозможно
получить из чисто термодинамических соображений. Отыскание этой
зависимости привело Планка к исследованию и гипотезе, которые
легли в основу квантовой теории. Вывод закона спектрального
распределения энергии выходит за рамки настоящего учебника,
и поэтому результаты будут представлены здесь без вывода.
Заинтересованный читатель может найти необходимые сведения для
подробного вывода во многих стандартных учебниках по физике
[1-3].
Было показано, исходя из представления о квантах, введенного
Планком [4], а также подтверждено экспериментально, что для
абсолютно черного тела спектральные распределения
полусферической поверхностной плотности потока излучения и
интенсивности излучения в вакууме являются функцией абсолютной
температуры и длины волны
Это выражение известно как закон спектрального распределения
поверхностной плотности потока излучения Планка. Как будет
показано в дальнейшем, для описания излучения в среде, в которой
скорость света отлична от с0, в выражение (2.11а) должен быть
введен в качестве сомножителя показатель преломления (разд.

Излучение абсолютно черного тела
31
2.4.12). В большинстве инженерных задач излучение
испускается в воздух или другие газы с показателем преломления,
близким к единице, когда применимо Выражение (2.11а). Значения
постоянных С1 и С2 приведены в табл. А.4. Эти постоянные равны
С1 = hc\ и С2 = hcjk, где h — постоянная Планка и к —
постоянная Больцмана 1). Уравнение (2.11а) имеет огромное значение,
так как позволяет получить количественные оценки излучения
абсолютно черного тела.
ПРИМЕР 2.1. Плоская абсолютно черная поверхность излучает
энергию при температуре 816 °С. Чему равна направленная
спектральная сила излучения абсолютно черного тела для угла 60°,
отсчитываемого от нормали, при длине волны 6 мкм?
Из уравнения (2.11а) имеем
V f fi м™л = 2-5,9544-10-» Дж-мУ(с-ср) _
ХЬК 1} бМО-ЗО M5(,jl.4388.10-2/6.10-6.Ю89__ ^ —
= 1,91-10е Дж/(м3-с.ср).
С помощью уравнения (2.6) можно определить спектральную
силу излучения
ехь(6мкм, 60°)-l,9M09.cos60°-9,55.108 Дж/(м3.с-ср).
Иногда применяются другие формы уравнения (2.11а), где
вместо длины волны используется частота или волновое число.
Частотой удобно пользоваться в тех случаях, когда излучение
распространяется из одной среды в другую* так как в этом случае
частота остается постоянной, в то время как длина волны
изменяется вследствие изменения скорости распространения
излучения. Заменяя в уравнении (2.11а) длину волны на частоту, следует
иметь в виду, что в вакууме X = c0/v, откуда dk = —(c0/v2) dv.
Тогда полусферическая спектральная поверхностная плотность
потока излучения в интервале длин волн dk становится равной
*.w^-sgefcir-«£!£*„ —>м»- <2-"б>
Величина е^ъ (v) является спектральной поверхностной
плотностью потока излучения, отнесенной к единице интервала частот,
включающего v.
Волновым числом т) = 1/А, называется число волн, приходящих-
ся на единицу длины. Поэтому
х) h = 6,626-Ю-34 Дж-с и к = 1,380-Ю-23 Дж/К. Иногда постоянная Сг
определяется как Inhcl.

32
Глава 2
И
е%ь (к) dk = - %£$*** = - g„b (п) dn. (2.11в)
Величина ель (т]) является спектральной поверхностной
плотностью потока излучения, отнесенной к единице интервала волновых
чисел, включающего п.
Для лучшего понимания смысла уравнения (2.11а) на фиг. 2.6
построены зависимости полусферической спектральной
поверхностной плотности потока излучения от длины волны для нескольких
значений абсолютной температуры. Характерной особенностью,
которая совершенно очевидна, является увеличение энергии
излучения, соответствующего всем длинам волн, с увеличением
температуры. Как было показано в разд. 2.3.5, а также известно
из опыта, энергия интегрального излучения (включающего все
длины волн) должна увеличиваться с температурой. Из фиг. 2.6
также следует, что это справедливо и для энергии излучения,
соответствующего каждой длине волны. Другой характерной
особенностью является смещение максимумов спектральной
поверхностной плотности потока излучения с увеличением температуры в
сторону более коротких длин волн. Сечения графика на фиг. 2.6
при фиксированных значениях длин волн, определяющие энергию
излучения в функции температуры, позволяют установить, что
энергия излучения, испускаемого на коротковолновом конце
спектра, увеличивается с температурой быстрее, чем энергия
излучения, соответствующего большим длинам волн.
На фиг. 2.6 указано положение диапазона длин волн видимой
области спектра. Для тела при температуре 555 К на видимую
область спектра приходится очень малая доля энергии, которая
не воспринимается человеческим глазом. Так как кривые при
более низких температурах отлого спускаются от красного участка
к фиолетовому концу спектра, то вначале с'увеличением
температуры становится видимым красный свет г). При более высоких
температурах становится видимым излучение, соответствующее
следующим длинам волн видимой области спектра, а при
достаточно высокой температуре излучаемый свет становится белым и
состоит из набора всех длин волн видимого спектра.
Чтобы нить лампы накаливания работала эффективно, она
должна иметь высокую температуру. В противном случае большая
часть электрической энергии будет рассеиваться в виде излучения
в инфракрасной, а не в видимой области спектра. Большинство
вольфрамовых нитей ламп накаливания работает при температуре
~3 000 К, и поэтому большая часть энергии расходуется на излу-
х) Это происходит в так называемой точке Драйпера, соответствующей
525° С [5]. При этой температуре становится заметным в затемненном
помещении красный свет от нагретого предмета.

Излучение абсолютно черного тела
33
W8 ,-
in7 U
п
1Г
^ II
1 105 t
а
*5 II
- 1П4 И-
-° 1
QJ II
ш3 1
(Г
1Г)2И
1U frr
ml И
IT
0
Фиолетовый
—»-j
Й
ri \
СТ \
1 v
1 /
III
[Красны
г*
\ ^
\
\
\
\
f N
А
- Видимая
\
\
>^
1
\
6
^
!
1
1
Температура
абсолютно
черного тело Т, К
5555
Nf/27/
■-^•^лбе
'8
7 Х*^
^ 833 / ^
\ ъъъ /~^
Положение
ма
3
X, мкм
ксимальнь
начений
* К
*
/Л"
)
)
12
(0,4-0,7мкм)
Фиг. 2.6. Полусферическая спектральная поверхностная плотность потока
излучения абсолютно черного тела для нескольких значений температур.
Я — длина волны; е^ (К, Т) — полусферическая спектральная поверхностная плотность
потока излучения.
чение в инфракрасной области. Скорость испарения нити
ограничивает ее температуру этой величиной. Спектр излучения Солнца
подобен спектру излучения абсолютно черного тела при
температуре ~5 800 К, и значительная часть выделяемой энергии
приходится на видимую область спектра. По всей вероятности,
вследствие эволюции наши глаза стали наиболее чувствительными
в области спектра с максимальной энергией. Если бы глаза были

34
Глава 2
чувствительны в других областях (например, в инфракрасной,
так что можно было бы видеть в «темноте» тепловые изображения
предметов), то наше определение «видимая область спектра»
изменилось бы. Если будет обнаружена жизнь в других солнечных
системах с другой эффективной температурой Солнца, то будет
интересно узнать, какой диапазон длин волн составляет там
«видимый спектр» при условии наличия зрения у обитателей.
14 000 -Ю"15.
£ 12000
«м' 10000
00 8000
6000
4000
2000
О
[МИ 1
XT,
мкм'К 1448
Доля l
полусферц- 1
1 1
2898 4108
/гТЧ 50
i i i 1 1
6149
75
| ческой i / ' \ ' i
поверхно- 1 / 1 \ 1 |
стной \ / 1 \|
| плотности \ \ \ \\ 1
потока / \ 1
излучения ' / V i
\в интервале 1 / 1 1\
1 0_ХТ>* | / 1 1\ !
1 1 |>
1/ ! ! \ \
1 и *
/ II 1 \ \
/1 1 1 1 ^\
/ 1 \
/ ^
' 1 1. 1 II 1 II1 1 1
1 1 [
23220
99
k |
^!,
0,6 0,8 1 2 4 6 8 10
XT, мкм-К
20
40-10^
Фиг. 2.7. Спектральное распределение полусферической поверхностной
плотности потока излучения абсолютно черного тела в обобщенных
координатах.
закон Планка; закон Вина; закон Рэлея — Джинса.
Уравнение (2.11а) можно представить в более удобном виде,
позволяющем избежать построения кривых для каждого
значения Г, разделив его на температуру в пятой степени:
«ы№, Т) _ кУхь(%,Т) __ 2nCi 2 12
fb
fb
(%Т)НеС2/КТ—1) '
Это уравнение определяет величину е%ь (А,, Т)1ТЪ как функцию
единственной переменной XT. График такой зависимости приведен
jaa фиг. 2.7 и заменяет совокупность кривых на фиг. 2.6. В табл. А.5
даны численные значения этих величин.

Излучение абсолютно черного тела
35
ПРИМЕР 2.2. Чему равна полусферическая спектральная
поверхностная плотность потока излучения абсолютно черного
тела при температуре 833 К, соответствующего длине волны 2 мкм?
Воспользуйтесь данными табл. А.5.
Величина XT равна 1666 мкм «К. По табл. А.5 находим, что
при этом значении XT величина екъ1Тъ = 0,51841 X Ю-5 Вт/(м3-Кб),
откуда екь (2 мкм) = 0,51841 -Ю"5 X 8335 = 2,08 -109 Вт/м3.
2.4.7. Приближенные выражения
для распределения энергии по спектру
Закон Планка для распределения энергии в спектре абсолютно
черного тела дает максимальное значение интенсивности
излучения, которое при данных температуре и длине волны может
излучать любое тело. Эта интенсивность выполняет роль оптимального
эталона, с которым можно сравнивать характеристики реальных
поверхностей. В гл. 3 будут определены методы такого сравнения.
Закон Планка позволяет также оценить максимальные
характеристики излучения любого излучающего устройства.
Иногда применяются более простые приближенныеформы
закона Планка. Однако следует иметь в виду, что использовать их
можно только в том диапазоне, где они дают приемлемую точность.
Закон излучения Вина. Если член ес^%т^> 1, уравнение (2.12)
приводится к выражению
?ь (%Т)* еы%т
(2.13)
которое известно как закон излучения Вина. При значениях XT '<
<С 3 000 мкм «К эта формула дает погрешность в пределах 1%#
Закон излучения Рэлея — Джинса. Другое приближенное
выражение можно получить, если разложить в ряд знаменатель
в уравнении (2.12):
^т-^+^+ж{Ы+ж(Ы+■■■-'■ <2-14>-
Если XT существенно больше С2, РЯД можно ограничить вторым
членом С2/ХТ, и уравнение (2.12) принимает вид
—Т*—= ~^~pr~' ( ' 0)
Оно известно как закон излучения Рэлея — Джинса. Эта формула
дает погрешность в пределах 1 % при значениях Я Г >> 7,8 «105 мкм «К,;
находящихся за пределами диапазона, обычно рассматриваемого

36 Глава 2
в задачах теплового излучения, так как абсолютно черное тело
излучает более 99,9% своей энергии при А,Г<7,8-105 мкм*К.
Формула применима для длинноволнового излучения другого
вида, например радиоволн.
На фиг. 2.7 эти приближенные формулы сравниваются с
законом Планка.
2.4.8. Закон смещения Вина
Другой представляющей интерес величиной, относящейся к
спектру излучения абсолютно черного тела, является длина волны
Л'мако которой соответствует максимум поверхностной плотности
потока излучаемой энергии екъ (X). Как показано пунктирной
кривой на фиг. 2.6, этот максимум с увеличением температуры
смещается в сторону более коротких длин волн. Величину ХмаксГ
можно найти по положению пика кривой на фиг. 2.7. Кроме того,
ее можно найти путем дифференцирования функции Планка из
уравнения (2.12) и приравнивания полученного выражения нулю.
В результате получается трансцендентное уравнение
КяпсТ = -§- ——т—— , (2.16)
решение которого имеет вид
^макс^ — С3 (2-17)
и является одним из выражений закона смещения Вина. Значения
постоянной С3 приведены в табл. А.4. Согласно уравнению (2.17),
максимумы поверхностной плотности потока излучения и его
интенсивности смещаются в сторону более коротких длин волн
с увеличением температуры обратно пропорционально Г.
ПРИМЕР 2.3. Какой должна быть температура абсолютно
черного тела, чтобы максимальное значение поверхностной
плотности потока излучения е%ь приходилось на середину видимой
области спектра?
Из фиг. 1.2 видно, что видимая область спектра занимает
диапазон от 0,4 до 0,7 мкм и середина этого диапазона приходится
на 0,55 мкм. Из уравнения (2.17) имеем
Т = -г&-= ТДТЛ* =5270 К.
^макс 0,55-10-6 м
Полученное значение приближается к эффективной температуре
излучения поверхности Солнца, равной 5800 К.

Излучение абсолютно черного тела
37
2.4.9. Интегральная интенсивность и полусферическая
интегральная поверхностная плотность потока излучения
До сих пор рассматривалась энергия излучения,
приходящегося на единицу интервала длин волн, которое испускает абсолютно
черное тело при каждой длине волны. Покажем теперь, как найти
интегральную интенсивность излучения, соответствующую всем
длинам волн. Результат получается в виде очень простого
соотношения.
Энергия излучения внутри бесконечно малого интервала длин
волн dX равна 1%ь (X) dX. Интегрируя спектральную
интенсивность излучения по всем длинам волн от X = 0 до X = оо, получим
интегральную интенсивность излучения
оо
Й= jub(A.)d*. (2.18)
о
Этот интеграл можно вычислить, используя закон Планка и вводя
новую переменную £ = С2/ХТ. Уравнение (2.18) принимает тогда
следующий вид:
Ь~~ J ш/^т-1) J \ХТ) \С2) еС2/1т__1 [с J Х
0Х оо
оо
*(^И*)-ЗР17?г*- <2',9>
о
Полученный интеграл можно вычислить, пользуясь таблицей
интегралов, приведенной в работе [6]:
Вводя новую постоянную, получим
*ь=£г4, (2.21)
где постоянная
<х = -
^т = 5,6693- 10"8Вт/(м2. К4). (2.22)
Полусферическая интегральная поверхностная плотность потока
излучения равна
оо оо
еь = Г ew (Я) <& = j яi» (Я.) dl = аГ*. (2.23)

38
Глава 2
Это соотношение известно как закон Стефана — Больцмана f
в "котором а — постоянная Стефана — Болъцмана.
Экспериментальное значение а немного отличается от вычисленного по урав-
дению (2.22) (табл. А.4).
ПРИМЕР 2.4. Пучок лучей, испускаемых в направления
нормали к поверхности абсолютно черного тела, несет энергию,
приходящуюся на единицу площади и единицу телесного угла,
9456 Вт/(м2-ср). Какова температура поверхности тела?
Полусферическая интегральная поверхностная плотность
потока излучения и интегральная сила излучения в нормальном
направлении связаны соотношением еъ = пе'ъ п. Поэтому из
уравнения (2.23) находим Т = (л4,п/<*)1/4 = (9456n/5,729-10"8)1/4 =
= 848 К. В расчете было использовано экспериментальное
значение постоянной Стефана — Больцмана.
ПРИМЕР 2.5. Полусферическая интегральная поверхностная
плотность потока излучения абсолютно черного тела равна
6304 Вт/м2. Какова температура поверхности тела? На какую
длину волны приходится максимум спектральной поверхностной
плотности потока излучения?
Температуру черного тела находим из закона Стефана —
Больцмана
Затем из закона смещения Вина находим
Кыс = С3/Т= *'те'5°в = 5,04-10-6 м = 5,04 мкм.
Как следует из уравнения (2.5), спектральная интенсивность
излучения абсолютно черной поверхности 1%ъ (^) не зависит от
направления излучения. Эта независимость от направления,
конечно, не изменяется при интегрировании по всем длинам волн.
Интенсивность излучения поверхности воспринимается глазом
как «яркость». При рассмотрении под любым углом абсолютно
черная поверхность имеет одну и ту же яркость.
2.4.10. Максимальная интенсивность излучения
в зависимости от температуры
Интенсивность излучения, соответствующая данной длине
волны, определяется из закона спектрального распределения
энергии Планка. Интересно отметить, что подстановка в
уравнение (2.12) длины волны из закона смещения Вина [уравнение (2.17)]
приводит к следующему выражению:
*W = ТЬ сЦеЫЪ-1) ' (2#24)

Излучение абсолютно черного тела
39
Из этого выражения следует, что максимальное значение
интенсивности излучения увеличивается пропорционально температуре
в пятой степени. В самом деле, поскольку, согласно (2.12), ii>jTb
является функцией только XT, совершенно очевидно, что если
температура абсолютно черного тела меняется от Т1 до Т2, а длины
волн Хг и %2 в те же моменты времени выбираются таким образом,
чтобы Х1Т1 = Я2Т2, то величина г%ъ1Тъ остается постоянной.
Следовательно, интенсивность излучения, соответствующая Х2 при
температуре Т2, увеличивается пропорционально пятой степени
температуры по сравнению с ее величиной, соответствующей Хг при
температуре Тг. В этом основной смысл закона Вина.
2.4.11. Излучение абсолютно черного тела
в интервале длин волн
В соответствии с законом Стефана — Больцмана
полусферическая интегральная поверхностная плотность потока излучения
Фиг. 2.8. Энергия излучения, испускаемого в полосе.
е^ъ (К, Т) — полусферическая спектральная поверхностная плотность потока излучения;
% — длина волны; 1 — распределение для абсолютно черного тела при температуре Т;
2 — полоса излучения в интервале длин волн Xt — К2\ з — излучение, соответствующее
площади под всей кривой (оТ*).
абсолютно черного тела находится из выражения
оо
еъ= ]ekb(X)dX = oT*.
о
При расчете теплообмена излучением часто бывает необходимо
определить долю полусферической интегральной поверхностной
плотности потока излучения, испускаемую в полосе спектра
(фиг. 2.8). Эта доля, обозначаемая <P\i—а,2> определяется соотно-

Фиг. 2.9. Физический смысл функции F-
Fq^X* или Fq_^ т — отношение заштрихованной площади ко всей затененной площади;
а — кривая для определенной температуры (площадь под-кривой равна о*Т4); б —
универсальная кривая (площадь под кривой равна а); е^ (X, Т) — полусферическая
спектральная поверхностная плотность потока излучения; е^& (Я, Т)/Г* — обобщенная координата;
% — длина волны; "КТ — произведение длины волны на температуру.

Излучение абсолютно черного тела
41
шением
I ель (X) dX х2
*xi-x« = £ = -^г J «хь(Я)Л. (2.25>
J *яь (W <& х*
о
Последний интеграл в уравнении (2.25) можно представить в вид&
двух интегралов, которые берутся от X = 0:
^1-Х2 = -йт[ J *хъ (*)<&- j *» (*)<&]= ^о-ьа-^о-м- (2.26>
о о
Долю интегральной поверхностной плотности потока излучения
для любого интервала длин волн можно, таким образом, найтж
по известным величинам F0_x в функции X. Значение функции
Fo-Xi (Фиг- 2.9,а) равно заштрихованной площади под кривой,
деленной на всю (затененную) площадь под этой же кривой.
Благодаря простому виду зависимости между полусферической
спектральной поверхностной плотностью потока излучения
и спектральной интенсивностью излучения [(2.86)] абсолютно-
черного тела функция F^—%2 определяет также долю
интенсивности, приходящуюся на интервал Х± — Х2. Так как е^ь зависит
от температуры, то для использования соотношения (2.26)
понадобилось бы составить таблицы значений Р0_х для каждого
значения Т. Однако, оказывается, что вполне достаточно иметь функцию-
F только от одной переменной XT (фиг. 2.9,6). При этом
получается универсальная совокупность величин F, применимая ко всем
температурам и длинам волн. Универсальный вид зависимости,
можно найти, переписав уравнение (2.26) в следующем виде:
0 0
= jFo-x2t~ Fo-itf. (2.27)*
Как видно из уравнения (2.12), величина е%ь1Тъ является функцией^
только XT, поэтому и подынтегральные выражения в уравнении
(2.27) будут зависеть только от одной переменной XT. Значения
F0-%t приведены в табл. А.5, а график зависимости F0_XT от XT —
на фиг. 2.10.
Имеются также и более подробно составленные таблицы
значений Fq-%t для тех случаев, когда требуется большая точность.
Таблицы Пивовонского и Нагеля [7], например, составлены для:
очень широкого диапазона значений XT с интервалом 10 мкм-К*

42
Глава 2
Функции излучения абсолютно черного тела содержатся также
в работах [8, 9].
В приложении А также приведен ряд приближенных
выражений Fq-xT в виде полиномов.
23 220 XT, мкм. К
99 Доля интегральной
поверхностной
плотности
потопа излучения
в интерйоле
0-АТ, %
),6 0,6 1 2
XT, мкм-К
Фиг. 2.10. Доля интегральной поверхностной плотности потока излучения
абсолютно черного тела в интервале 0 — XT.
^0-кТ — Д°ля интегральной поверхностной плотности потока излучения; %Т —
произведение длины волны на температуру.
Как показывают следующие примеры, величины F0_^T могут
найти применение в ряде случаев.
ПРИМЕР 2.6. Абсолютно черное тело излучает при
температуре 2778 К. С помощью некоторого приемника излучения нужно
измерить интегральное излучение. Этот приемник поглощает все
излучение в диапазоне длин волн от 0,8 до 5 мкм, но не
чувствителен к излучению вне этого диапазона. Какую поправку (в
процентах) должен внести экспериментатор в результаты измерений
энергии? Если бы имелась возможность расширить диапазон
чувствительности измерений приемника на 0,5 мкм только с одной
стороны, то на какой границе выгоднее это сделать?

Излучение абсолютно черного тела
43
Так как А^Г = 0,8-2778 = 2222 мкм-К и Х2Т =5-2778 =
= 13 890 мкм*К, то доля энергии, приходящаяся на невосприни-
маемый диапазон спектра, составит Р0_Х1т + ^\2т-оо = F0_XlT -f-
+ (1 _ F0.l2T) = 0,1050 + 1 - 0,9621 = 0,1429, т. е. ошибка
будет равна 14,3% интегральной энергии падающего излучения.
Расширение диапазона чувствительности измерений в сторону
более длинных волн мало повлияет на точность результатов, так
как кривая зависимости F от XT в этой области имеет малый
наклон. Смещение же границы в сторону более коротких волн
заметно увеличит воспринимаемую энергию»
ПРИМЕР 2,7. Имеется приемник энергии излучения, который
может быть чувствителен только в пределах интервала 1 мкм для
всех длин волн. Экспериментатору нужно измерить интегральную
поверхностную плотность потока излучения двух абсолютно
черных тел — одного при 2778 К, а другого при 5556 К. Он
собирается использовать интервал 1 мкм для измерения энергии излучения
в полосах по 0,5 мкм с каждой стороны от максимума
поверхностной плотности потока излучения абсолютно черного тела. От
какого абсолютно черного тела воспринимается большая доля
поверхностной плотности потока излучения? Какая доля (в процентах)
интегральной поверхностной плотности потока излучения
воспринимается в каждом случае?
Согласно закону смещения Вина, в каждом случае положение
максимума поверхностной плотности потока излучения
соответствует Хмакс = 2898/Г мкм. Так как при более высокой
температуре интервал длин волн 1 мкм соответствует более широкому
диапазону величин XT относительно максимума XMai<cT на
приведенной кривой для абсолютно черного тела (фиг. 2.7), то измерения
будут более точными для температуры 5556 К. Для абсолютно
'черного тела при 5556 К Ямакс = 0,5216 мкм, а ХХТ = (0,5216 —
— 0,5000)-5556 = 120 мкм-К. Аналогично Х2Т = 1,0216-5556 =
= 5676 мкм «К. Доля воспринимаемой интегральной
поверхностной плотности потока излучения составляет
ЮО (^o-5676 - /Vi2o) = 100 (0,708 - 0) = 70,8%.
Аналогичные вычисления для абсолютно черного тела при 2778 К
показывают, что в этом случае воспринимается 51,7% интеграль-
шой поверхностной плотности потока излучения.
В табл* 2:1 приведены некоторые часто используемые значения
Fq-xt- Интересно отметить, что при любой температуре точно
четверть интегральной поверхностной плотности потока излучения
приходится на диапазон длин волн ниже максимума кривой
распределения Планка. Это соотношение, по-видимому, не имеет
простого физического объяснения, и его следует рассматривать наряду

44
Глава 2
Таблица 2.1
Доля интегральной поверхностной плотности
потока излучения абсолютно черного тела,
соответствующая интервалу 0 — XT
ЯТ, мкм-К
1448
2 898 = ЯмаКс^
4108
6149
23 220
Fo—кт
0,01
0,25
0,50
0,75
0,99
с другими подобными соотношениями (закон гравитационного
притяжения, закон Стефана — Больцмана) как подарок природы*
предоставляющей дам простые зависимости для описания сложных
физических явлений.
2.4.12. Излучение абсолютно черного тела
в среду, отличную от вакуума
Приведенные ранее выражения для излучения абсолютно чер-
ного тела соответствуют излучению в вакуум. Если же
рассматривается излучение некоторого участка, окруженного большим
объемом среды, отличающейся от вакуума, то постоянные Сх и Сг
в уравнении Планка (2.11а) для распределения энергии должны
быть заменены величинами
С; = /*с2, (2.28а>
С'г^Ц-* <2-28б>
поэтому
<W> (Кп) dXm = c4irtr dX™> (2 • 29>
ЯМ* 2 -1)
где к — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, с —
скорость распространения света в рассматриваемой среде, Хт —
длина волны в этой среде.
Так как скорость света с зависит от рассматриваемой среды, то
лучше определять Сх и С2 через скорость света в вакууме cQt
чтобы Сх и С2 были заведомо постоянными. Для диэлектриков
скорость света в среде определяется формулой с = с0/п, где п —
показатель преломления. Закон Планка для распределения энер-

Излучение абсолютно черного тела
45
тии в интервале длин волн dXm принимает вид (заметим, что Хт —
длина волны в среде)
,а v ,л 2nc2h ,« 2jtCpfc ,*
е%тЬ \hm) йЬт - x^^ch/kKmT_i) М™ ~ ^Я^ ((?С°Л/п^тГ-1) ~~
= ^(,S"-l)^m- (2'30)
Если показатель преломления п можно считать независимым от
длины волны, то dkm = d (kin) = (i/n) dX и
В уравнениях (2.30) и (2.31) Cx = hcl и C2 = fec0/& (их значения
приведены в табл. А.4), % в отличие от %т является длиной волны
& вакууме. Заметим, что при использовании X экспоненциальный
член не содержит показателя преломления. С помощью
уравнения (2.31) можно вычислить полусферическую поверхностную
плотность потока излучения для интервала длин волн в среде через
соответствующий интервал длин волн в вакууме при X = пХт,
Интегрирование уравнения (2.31) по всем длинам волн в
соответствии с (2.19) при п — const приводит к закону Стефана —
Больцмана для полусферической интегральной поверхностной
.плотности потока излучения в среду с показателем преломления п
ebm = rfiaT\ (2.32)
Излучение внутри стекла (п ^ 1,5) может, таким образом, быть
в 2,25 раза больше излучения поверхности в воздухе (разд. 21.3.2).
Наконец, подобные рассуждения приводят к закону смещения
Вина в следующем виде:
А'макс^ — 'М'макс, т-* == ^3» \Z.oo)
гДе ^макс — длина волны, соответствующая максимуму излучения
в вакуум, а Хмакс, т — длина волны, соответствующая максимуму
излучения в среду.
В гл. 4 показано, что для металлов зависимость от простого
показателя преломления должна быть заменена зависимостью от
комплексного показателя преломления п — т. Однако, как
следует из уравнения (4.19а), скорость распространения волны все
еще сохраняется-равной с0/п, и поэтому соотношения для
абсолютно черного тела (2.30) — (2.33) остаются в силе. Величина к
в уравнении распространения волны входит в показатель
экспоненциального множителя, определяющего ослабление амплитуды
волны.
Эти особенности не будут учитываться в последующих
разделах, так как их применимость в инженерных задачах по излучению
.мала. Исключением являются работы Гардона и др. [10—12],
в которых рассматривается излучение в расплавленном стекле.

46
Глава 2
2.5.^МОДЕЛИРОВАНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
В ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
При проведении экспериментальных измерений радиационных
свойств реальных тел желательно в качестве эталона иметь
абсолютно черную поверхность для непосредственного сравнения
свойств реальной поверхности и идеальной (абсолютно черной)-
поверхности. Так как абсолютно черных поверхностей в природа
Фиг. 2.11. Модель абсолютно черного тела.
1 — абсолютно черная поверхность; 2 — падающий луч; з — хорошо поглощающая?
поверхность; 4 — изоляция; 5 — нагреватель; 6 — медный цилиндр; 7 — отраженное^
излучение; 8 — полированная поверхность^
не существует, то для создания очень близкой модели абсолютно
черного тела используется специальный технический прием.
На фиг. 2.11 изображен полый металлический цилиндр с малым
отверстием. Если падающий луч проникает внутрь полости, о»
попадает на ее стенку, при этом часть энергии поглощается, а
другая ее часть отражается. Отраженная часть энергии попадает
на другие участки стенки и снова частично поглощается. Очевидно,
если отверстие мало, то только очень небольшая часть падающего
излучения выйдет назад через это отверстие. Таким образом, при
достаточно малых размерах отверстия оно по своим свойствам*

Излучение абсолютно черного тела
47
приближается к абсолютно черной поверхности, так как почти все
проходящее через него излучение поглощается. Для поддержания
постоянной температуры внутри полости, при которой достигается
равновесное тепловое излучение в ней, полость (фиг. 2.11)
выполнена внутри медного цилиндра, окруженного изоляцией. При
нагревании полости отверстие будет источником абсолютно
черного излучения, поскольку, как уже было установлено в разд. 2.3.1,
тело, являющееся идеальным поглотителем энергии, будет также'
идеальным излучателем энергии. Полированная поверхность
перед полостью экранирует отверстие от излучения]
окружающих тел.
Обеспечение изотермических условий в такой полости связано*
с большими трудностями, но является необходимым при
проведении точных экспериментальных исследований радиационных
свойств. Другая трудность при использовании абсолютно черной
полости обусловлена верхним температурным пределом,
определяемым нагревателем и материалом стенок. Этот предел
ограничивает выход энергии, особенно в коротковолновой части спектра.
Если полость принять идеально изотермической и идеально*
изолированной, а выходное отверстие бесконечно малым,
вследствие чего не нарушается лучистое равновесие внутри замкнутого
пространства, то излучение из отверстия и, следовательно, внутри
всец полости будет равновесным. Интересно, что при этих
условиях излучение стенки полости будет равновесным, даже если стенка
не является идеальным излучателем. Когда равновесное тепловое
излучение внутри полости попадает на стенку, оно частично
поглощается и частично отражается. Так как стенка идеально
изолирована от внешней среды, то поглощенная энергия должна повторно
излучаться внутрь полости. Сумма отраженной и излучаемой
стенкой энергии должна быть равна энергии падающего
равновесного излучения.
Если в полость поместить настолько малое тело, что не будут
нарушены условия внутри полости, то это тело придет в состояние
равновесия при температуре полости. Так как результирующий
поток энергии от тела должен быть равен нулю, то его излучение,
равное сумме отраженного и собственного излучений, должно быть
равновесным. Поэтому излучение от тела будет таким же, как у
окружаюшей его полости, и тело внутри полости не будет видно.
2.6. СВОДКА СВОЙСТВ ИЗЛУЧЕНИЯ
АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
В этой главе было показано, что абсолютно черное тело
обладает некоторыми фундаментальными свойствами, благодаря которым
его можно использовать как эталон для сравнения с
радиационными свойствами реальных тел. Перечислим эти свойства.

Таблица 2.2
Свойства излучения абсолютно черного тела
Обозначение
Свойство
Определение
Геометрия
Формула
i'xb (*. Л
i'b(T)
«»(Х. Р, Т)
Спектральная
интенсивность
излучения
Интегральная
интенсивность
излучения
Направленная
спектральная сила
излучения
Энергия излучения,
испускаемого в любом
направлении единицей
площади проекции элемента
поверхности,
перпендикулярной данному
направлению, в единицу
времени, в единице
интервала длин волн,
включающего А,, в единице
телесного угла
Энергия излучения,
соответствующего всем
длинам волн и испускаемого
в любом направлении
единицей площади проекции
элемента поверхности,
перпендикулярной
данному направлению, в
единицу времени, в единице
телесного угла
Энергия излучения,
испускаемого единицей
площади поверхности в
направлении (5, в
единице телесного угла, в
единице интервала длин
волн, в единицу времени
2Са
%5(ес^т-1)
ОТ*
Г%ъ cos Р

е'ъ(%Т)
*ль(Я, Pi — Рг»
01-е2, Т)
*b(Pi-P2>
6i—е2, т)
Pi — Р2> 01 — 02»
Г)
Направленная
интегральная сила
излучения
Спектральная
поверхностная
плотность потока
излучения в
ограниченном телесном
угле
Интегральная
поверхностная
плотность потока
излучения в
ограниченном телесном угле
Поверхностная
плотность потока
излучения в
полосе спектра, в
ограниченном
телесном угле
Энергия излучения,
соответствующего всем
длинам волн и испускаемого
единицей площади
поверхности в направлении
р, в единице телесного
угла, в единицу времени
Энергия излучения,
испускаемого единицей
площади поверхности в
телесном угле (54 < |3 < р2,
01 <! 0 < 02 в единице
интервала длин волн,
в единицу времени
Энергия излучения,
соответствующего всем
длинам волн и испускаемого
единицей площади
поверхности в телесном
угле Pi<P<p2, 9i<
<; 6 <; 62 в единицу
времени
Энергия излучения,
испускаемого единицей
площади поверхности в
телесном угле Pi < Р <
<Р2, 0i<0<02, в шь
лосе длин волн К{ — ^2 в
единицу времени
аТ^
cosp
lw>
sinapsa-sinsft! 0_ e
— (Ъ-в!) 2
стГ4 10 й i si"2 P2-sin2 Pi v
— (B.-Bi) 2 X

Продолжение табл. 2,2
Обозначение
е'хь (Я, Т)
еь(Т)
Свойство
Полусферическая
спектральная
поверхностная
плотность потока
излучения
Полусферическая
поверхностная
плотность потока
излучения в
полосе спектра
Полусферическая
интегральная
поверхностная
плотность потока
излучения
Определение
Энергия излучения,
испускаемого единицей
площади поверхности
в пределах
полусферического телесного угла
в единице интервала
длин волн, в единицу
времени
Энергия излучения,
испускаемого единицей
площади поверхности в
полосе длин волн Х\— Я2,
в пределах
полусферического телесного угла,
в единицу времени
Энергия излучения,
соответствующего всем
длинам волн и
испускаемого единицей площади
поверхности в пределах
полусферического
телесного угла в единицу
времени
Геометрия
(
Формула
niib
оТ4

Излучение абсолютно черного тела
51
1. Абсолютно черное тело является наилучшим поглотителем
и излучателем энергии при любой длине волны и в любом
направлении.
2. Интегральная интенсивность излучения и полусферическая
интегральная поверхностная плотность потока излучения абсолют^
но черного тела определяются законом Стефана — Больцмана:
ш'ъ — еъ = оТ4.
3. Направленные спектральная и интегральная силы излучения
подчиняются закону Ламберта:
е'хъ (К Р) = екъ, п (k) cos Р,
4(P) = ^b,nC0Sp.
4. Спектральное распределение интенсивности излучения
абсолютно черного тела описывается законом Планка:
'"(Я)=ч»(Д*-1)*
5. Длина волны, которой соответствует максимум
спектральной интенсивности излучения абсолютно черного тела,
определяется законом смещения Вина
7 Сз
лмакс —; TjT •
Так как в этой главе введено много определений, удобно
собрать все характеристики в одну таблицу (табл. 2.2). Формулы
для этих характеристик имеют вид зависимостей либо от
спектральной интенсивности излучения г{ъ (А,), вычисляемой из закона
Планка, либо от температуры поверхности 7\
2.7. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Выводы, приближенных законов спектрального распределения
энергии Вина и Рэлея — Джинса, закона Стефана — Больцмана
и закона смещения Вина являются логическим следствием закона
спектрального распределения интенсивности излучения Макса
Планка. Интересно отметить, однако, что все эти соотношения
были сформулированы до опубликования работы Планка в 1901 г.
и были первоначально получены независимо от нее с помощью
довольно сложных термодинамических выводов.
Иосиф Стефан [13] в 1879 г. после изучения некоторых
экспериментальных данных пришел к выводу, что поверхностная плот?
ность потока излучения пропорциональна четвертой ♦ степени абсо*

52
Глава 2
лютной температуры излучающего тела. Людвиг Эдвард Больцман
[14] в 1884 г. вывел это же соотношение путем анализа цикла Кар-
но, в котором давление излучения отождествлялось с давлением
рабочей жидкости.
Вильгельм Карл Вернер Отто Фриц Франц (Вилли) Вин [15]
в 1891 г. вывел закон смещения, рассматривая подвижный поршень
в цилиндрическом сосуде с зеркальными стенками. Он нашел, что
при «соответствующих длинах волн» спектральная плотность
энергии излучения в изотермическом замкнутом пространстве и
спектральная поверхностная плотность потока излучения абсолютно
черного тела прямо пропорциональны пятой степени абсолютной
температуры. Соотношение (2.17), приведенное в разд. 2.4.8
и часто называемое законом смещения Вина, на самом деле
является следствием сказанного выше.
Исходя из термодинамических соображений и предположений,
связанных с процессами поглощения и излучения, Вин [16] вывел
также спектральное распределение интенсивности
излучения.
Лорд Рэлей [17] в 1900 г. и сэр Джеймс Джине [18] в 1905 г.
вывели спектральное распределение на основе предположения
о справедливости классической идеи о равномерном распределении
энергии.
То обстоятельство, что, согласно результатам измерений и
некоторым теоретическим исследованиямх), выражение Вина для
спектрального распределения энергии несправедливо при высоких
температурах и (или) больших длинах волн, заставило Планка
обратиться к рассмотрению гармонических осцилляторов, которые
были приняты за источники и поглотители энергии' излучения.
С помощью некоторых дальнейших допущений относительно
средней энергии осцилляторов Планк вывел законы излучения Вина
и Рэлея — Джинса. В заключение Планк получил эмпирическое
уравнение, которое подтверждалось результатами измерений
распределения энергии по всему спектру. В поисках изменений
теории, которые позволили бы вывести это эмпирическое уравнение,
Планк пришел к предположениям, составляющим основу
квантовой теории. Как мы уже видели, из его уравнения непосредственно
следуют все результаты, полученные ранее Вином, Стефаном,
Больцманом, Рэлеем и Джинсом.
Интересная информация и исчерпывающий исторический обзор
в области теплового излучения содержатся в статье Барра [19].
*) Можно было ожидать, что при достижении высоких температур
интенсивность излучения абсолютно черного тела не должна стремиться к
конечному пределу. При проверке формулы Вина (2.13) выяснилось, что это
условие не удовлетворяется. Закон распределения Планка [уравнение (2.11)]
удовлетворяет этому условию.

Иглучение абсолютно черного тела
53
Литература
1. Richtmyer F. К., Kennard Е. Н., Introduction to Modern Physics, 4th ed.,
McGraw-Hill, New York, 1947.
2. Ter Haar D., Elements of Statistical Mechanics, 2d ed., Holt, Rinehart
and Winston Inc., New York, 1960.
3. Трайбус M., Термостатика и термодинамика, изд-во «Энергия», М.,
1970.
4. Plank М., Distribution of Energy in the Spectrum, Ann. Physik, 4, № 3,
553—563 (1901).
5. Draper J. W., On the Production of Light by Heat, Phil. Mag., ser. 3, 30,
345-360 (1847).
6. Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы,
Изд-во «Наука», М., 1964.
7. Pivovonsky М., Nagel М. R., Tables of Blackbody Radiation Functions,
Macmillan, New York, 1961.
8. Pisa E. J., Tables of Black-Body Radiation Functions and Their
Derivatives, NAVWEPS Rep. 8646, Nots TP 3687, U. S. Naval Ordnance Test
Station, China Lake, Calif., 1964.
9. Gebel R. К. H., The Normalized Cumulative Blackbody Functions, Their
Applications in Thermal Radiation Calculations and Related Subjects,
ARL-69-0004, Aerospace Research Laboratories, January 1969.
10. Gardon R., The Emissivity of Transparent Materials, /. Am. Ceram. Soc,
39, № 8, 278—287 (1956).
11. Gardon R., A Review of Radiant Heat Transfer in Glass, /. Am. Ceram.
Soc, 44, № 7, 305-312 (1961).
12. Kellett B. S., The Steadv Flow of Heat through Hot Glass, /. Opt. Soc.
Am., 42, № 5, 339—343 (1952).
13. Stefan J., Uber die Beziehung zwischen der Warmestrahlung und der Tem-
peratur, Sitzber. Akad. Wiss. Wien, 79, pt. 2, 391—428 (1879).
14. Boltzmann L., Ableitung des Stefan'schen Gesetzes betreffend die Abhangig-
keit der Warmestrahlung von der Temperatur aus der electromagneti-
schen Lichttheorie, Ann. Physik, ser. 2, 22, 291—294 (1884).
15. Wien W., Temperatur und Entropie der Strahlung, Ann. Physik, ser. 2,
52, 132—165 (1894).
16. Wien W., Uber die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwar-
zen Korpers, Ann. Physik, ser. 3, 58, 662—669 (1896).
17. Rayleigh, The Law of Complete Radiation, Phil. Mag., 49, 539—540
(1900).
iS. Jeans J., On the Partition of Energy between Matter and the Ether, Phil.
Mag., 10, 91—97 (1905).
19. Barr E. S., Historical Survey of the Early Development of the Infrared
Spectral Region, Am. J. Phys., 28, № 1, 42—54 (1960).
Задачи
1. Абсолютно черное тело имеет температуру 1000 К и излучает
на воздухе.
а. Какова спектральная интенсивность излучения в
направлении нормали к абсолютно черной поверхности при X = 3 мкм?
б. Какова спектральная интенсивность излучения при значении
угла р, отсчитываемого от нормали к абсолютно черной
поверхности, равном 60°, при X = 3 мкм?

54
Глава 2
в. Какова направленная спектральная сила излучения при
значении угла р, отсчитываемого от поверхности, равном
60°, при X = 3 мкм?
г. Какой длине волны X соответствует максимум спектральной
интенсивности излучения, испускаемого этцм абсолютно
черным телом, и каково значение этой интенсивности?
д. Какова полусферическая интегральная поверхностная
плотность потока излучения этого абсолютно черного тела?
Ответы: а. 4,08 -109 Вт/м3; б. 4,08 -109 Вт/м3; в. 2,04-Ю9 Вт/м3;
г. 2,898 мкм, 4,09 -109 Вт/м3; д. 5,729 -104 Вт/м2.
2. Построить графики зависимости полусферической
спектральной поверхностной плотности потока излучения е%ъ (Вт/м3)
абсолютно черного тела в воздухе от длины волны (мкм) для
температур 1110 и 5556 К (воспользуйтесь табл. А.5).
3. Абсолютно черное тело при 1110 К излучает в космосе.
а. Каково отношение спектральных интенсивностей излучения
абсолютно черного тела при X = 1 и % ;= 5 мкм?
б. Какая доля полусферической поверхностной плотности
потока излучения приходится на область от 1 до 5 мкм?
в. Какой длине волны соответствует максимум в спектре этого
абсолютно черного тела?
г. Какова плотность потока излучения (кВт/м2), испускаемого
этим телом в диапазоне 1 ^ % ^ 5 мкм?
Ответы: а. 0,0916; б. 0,696; в. 2,61 мкм; г. 60,1 кВт/м2.
4. Поверхность Солнца имеет эффективную температуру
абсолютно черного тела 5780 К. Какой процент энергии излучения
Солнца приходится на видимую область спектра (от 0,4 до
0,7 мкм)? Какой процент приходится на ультрафиолетовую
область спектра? Каким длине волны и частоте соответствует
максимум энергии излучения? Каково максимальное значение
полусферической спектральной поверхностной плотности
потока излучения?
Ответы: 36,7%; 12,2%; 0,502 мкм; 5,98-10й Гц; 8,29-Ю13
Вт/м3.
5. Показать, что спектральная интенсивность излучения г^ь
увеличивается с температурой Т при любом фиксированном
значении Л.
6. Источником абсолютно черного излучения является отверстие
в печи с температурой 1390 К. Какая часть излучения
задержится кольцевым диском? Какая часть пройдет через отверстие
в диске?
Ответы: 0,301; 0,0588.

Излучение абсолютно черного тела
г—12,7 мм
55
Отверстие
6 стенке
печи
Листовое кварцевое стекло пропускает 92?/6 падающего
излучения в диапазоне длин волн от 0,35 до 2,7 мкм и в основном
непрозрачно для излучения, соответствующего более коротким
и более длинным волнам. Какой процент солнечного излучения
пропускает такое стекло? (Принимать Солнце за абсолютно
черное тело, имеющее температуру 5780 К.)
Если растения в оранжерее излучают подобно абсолютно
черному телу при температуре 38 °С, то какой процент этого
излучения пропускает такое стекло?
Ответы. 83%; 0,003%.
Солнечное
излучение
^-Стекло
8. а. Дифференцируя функцию спектрального распределения
Планка, вывести закон смещения Вина в виде зависимости
от волнового числа и показать, что T/r\M8il{C = 5090 мкм-К.
б. Середина видимого спектра приходится на длину волны
^макс = 0,55 мкм, которая соответствует максимуму eKb (к)
солнечного спектра. Учитывая, что т]маьс = 1/0,55 мкм"1,
вычислить температуру Солнца, используя результат,
полученный в п. «а». Совпадут ли значения температуры Солнца
и вычисленной температуры? Подумайте, почему?

3
ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАДИАЦИОННЫХ
СВОЙСТВ НЕЧЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
3.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 2 подробно рассмотрены радиационные свойства
абсолютно черного тела. Эти свойства служат эталоном для сравнения
радиационных свойств реальных тел, которые зависят от многих
факторов. К этим факторам относятся структура, состояние
поверхности, температура тела, длина волны излучения, угол, под
которым излучение либо испускается, либо поглощается
поверхностью, спектральное распределение излучения, падающего на
поверхность. Для описания радиационных свойств реальных тел
используются различные характеристики излучения, поглощения
и отражения, как неосредненные, так и осредненные, которые
сопоставляются с аналогичными характеристиками абсолютно
черного тела.
В этой главе приводятся строгие и подробные определения
радиационных свойств непрозрачных материалов. Так как
определений очень много, читатель не должен рассчитывать] получить
в данной главе такую же исчерпывающую информацию, как
в гл. 2 для абсолютно черного тела. Здесь кратко рассматриваются
разные способы определения одной и той же величины, чтобы дать
представление об имеющейся информации, и в этом отношении
глава носит справочный характер. Для удобства использования
материала он расчленен на разделы, которые в достаточной степени
независимы друг от друга.
Потребность в строгом изучении определений радиационных
свойств материалов связана с необходимостью правильного
истолкования имеющихся данных для использования их в расчетах
теплообмена. Вследствие ограниченного количества
опубликованных данных требуются измерения направленных и спектральных
характеристик излучения. Из-за трудностей, связанных с
проведением таких подробных исследований, большинство табличных
характеристик является осредненными величинами. Осредненные
радиационные характеристики получаются путем измерений для
всех направлений, всех длин волн, а часто и для тех и других
вместе. С помощью определений, которые будут даны в этой главе,
можно получить четкое представление о видах осреднений. Эти
определения позволяют также установить соотношения между
различными осредненными свойствами в виде равенств или
соотношений взаимности, которые дадут возможность исследователю

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 57
или инженеру полнее использовать имеющуюся информацию
о радиационных свойствах. Так, например, данные по поглоща-
тельной способности тела можно получить с помощью
экспериментальных данных по степени черноты излучения, если при этом
помнить об определенных ограничениях. Эти ограничения часто-
неправильно понимаются, в результате чего происходит путаница
или возникают , ошибки при использовании экспериментальных
данных.
В главе дается подробный анализ вывода определений
радиационных свойств тел с указанием соответствующих ограничений.
Для пояснения приводимых определений на фиг. 3.1 дается
схематическое представление видов направленных свойств. Для
обеспечения понимания физического смысла рассматриваемой величины
при введении каждого нового определения будут делаться ссылки
на эту фигуру. Кроме того, все свойства перечислены в табл. 3.1,
Таблица 3.1
Свойства поверхности
Свойство
Обозначение

Определяющее
уравнение
Фигура
Степень черноты
Направленная спектральная
Направленная интегральная
Полусферическая спектральная
Полусферическая интегральная
Поглощателъная способность
Направленная спектральная I а£
Направленная интегральная а'
Полусферическая спектральная а\
Полусферическая интегральная | а
Отражательная способность
Двунаправленная спектральная
Направленно-полусферическая
спектральная
Полусферически-направленная
спектральная
Полусферическая спектральная
Двунаправленная интегральная
Направленно-полусферическая
интегральная
Полусферически-направленная
интегральная
Полусферическая интегральная
Pi(M)
pjL (Рг, er)
9\
9"
9' (Р, в)
Р'(Рг. вг)
(3.2)
(3.3)
(3.5)
(3.6)
(3.10а)
(3.14)
(3.16)
(3.18)]
(3.20)
(3.24)
(3.26)
(3.29)
(3.39)
(3.41а)
(3.416)
(3.43)
3.1, а
3.1, а
[3.1,6
3.1,*
3.1, в
3.1,*
3.1, г
3.1, г
3.1,0
3.1," е
3.1, ж-
3.1,з
3.1,0
3.1, в
3.1,з

в
Фит. 3.1. К определению направленных и полусферических свойств
излучения.
«а — направленная степень черноты £' (р, в, Тд); б — полусферическая степень черноты
€ (ТА); в — направленная поглощательная способность а' (р, 6, ТА).

Фиг. 3.1. К определению направленных и полусферических свойств
излучения.
* - полусферическая поглощательная способность а (Гд); Э - двунаправленная
отражательная способность р» <РГ, ег, Р, 6, ТА); е - направленно-полусферическая отража-
тельная способность р' ф, 6, ТА).

60 Глава 3
Фиг. 3.1. К определению направленных и полусферических свойств
излучения.
ж — полусферически-направленная отражательная способность р' фг, 9Г, Гд); з —
полусферическая отражательная способность р (ТА).
где указаны также их обозначения, и номер определяющего
уравнения. Обозначения описаны в разд. 3.1.1.
Чтобы показать, как на практике пользоваться выведенными
здесь соотношениями, в гл. 5 приводятся экспериментальные
значения радиационных свойств реальных материалов.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 61
3.1.1. Система обозначений
Поскольку при определении радиационных свойств
используется большое количество независимых переменных, необходима
краткая, но точная система обозначений. Используемая здесь система
обозначений является развитием системы, введенной в предыдущей
главе. Чтобы было ясно, от каких переменных зависит
рассматриваемая величина, используется функциональная зависимость.
Например, обозначение £*, (X, р, 9, ТА) указывает, что ^ зависит
от четырех указанных параметров. Штрих означает, что величина
имеет направление, а индекс К — что величина спектральная.
Величины, зависящие от двух направлений (четырех углов), будут
иметь двойной штрих. Полусферические величины не имеют
штриха, а интегральные величины — индекса А,. Величина,
являющаяся направленной по своей природе, т. е. относимая к единице
телесного угла, будет всегда обозначаться со штрихом, если даже
в частном случае ее численное значение не зависит от
направления. На независимость от направления будет указывать отсутствие
в функциональной зависимости (Р, 8). Аналогично к спектральной
характеристике будет всегда добавляться индекс к даже в тех
частных случаях, когда ее численное значение не изменяется
с длиной волны. В последнем случае под знаком функции будет
отсутствовать А.
Для математически согласованной записи уравнений баланса
энергии вводится дополнительное обозначение для потока
энергии Q. Обозначение d?Q%, как и ранее, означает направленную,
спектральную величину. Дифференциал второго порядка означает,
что энергия определяется с помощью дифференциалов первого
порядка для длины волны и для телесного угла. Так, dQ' и dQ%
являются дифференциальными величинами соответственно для
телесного угла и длины волны. Если к тому же берется
дифференциал площади, то порядок производной соответственно
повышается.
Такая система обозначений может показаться на первый взгляд
громоздкой. Однако мы убедимся в ее целесообразности, когда
будем иметь дело с конкретными случаями, например с серыми
и диффузными телами. Кроме того, краткое обозначение g^ будет
встречаться в тексте чаще, чем полное название направленная
спектральная степень черноты. Табл. 3.1 поможет уяснить
систему принятых обозначений.
Данная глава состоит из трех основных разделов, посвященных
разным свойствам тел: степени черноты, поглощательной
способности и отражательной способности. В начале каждого из этих
разделов рассматриваются наиболее общие неосредненные
свойства. Например, в первом разделе рассматривается направленная
спектральная стедень черноты. Затем путем интегрирования полу-

62
Глава 3
чаются осредненные величины. В раздел, относящийся к поглоща-
тельной способности, включены некоторые формы закона
Кирхгофа, связывающего поглощательную способность со степенью
черноты. В раздел, относящийся к отражательной способности,
включены соотношения взаимности.
3.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь поверхности;
С — коэффициент;
е — сила излучения; поверхностная плотность потока
излучения;
F — доля интегральной поверхностной плотности потока
излучения абсолютно черного тела;
i — интенсивность излучения;
Q — поток энергии;
q — плотность потока энергии;
S — расстояние между излучающим и поглощающим
элементами;
Т — абсолютная температура;
а — поглощательная способность;
Р — полярный угол;
6 — азимутальный угол;
6 — степень черноты;
Я — длина волны;
р — отражательная способность;
о — постоянная Стефана — Больцмана (табл. А.4);
со — телесный угол;
i
интеграл, вычисляемый для телесного угла, стягиваемого
полусферой.
Подстрочные индексы
А — относится к поверхности А;
а — поглощенное излучение;
Ъ — абсолютно черное тело;
d — диффузная поверхность;
е — испускаемое или испущенное излучение;
i — падающее излучение;
р — проекция;

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 63
г — отраженное излучение;
s — зеркальная поверхность;
Я — величина, зависящая от длины волны.
Надстрочные индексы
' — величина, зависящая от направления;
" — величина, зависящая от двух направлений.
3.3. СТЕПЕНЬ ЧЕРНОТЫ
Степень черноты показывает, какую долю энергии излучения
абсолютно черного тела составляет энергия излучения данного
тела. Излучательная способность тела зависит от таких факторов,
как температура тела, длина волны, которой соответствует
испускаемое излучение, и угол, под которым испускается излучение.
Степень черноты обычно определяется экспериментальным путем
для направления, нормального к поверхности, в зависимости от
длины волны. При расчете потерь телом энергии требуется знать
энергию излучения по всем направлениям, и поэтому в таких
расчетах используется степень черноты, осредненная по всем
направлениям и длинам волн. Для расчетов теплообмена излучением между
поверхностями могут понадобиться степени черноты, осредненные
только по длинам волн, но не по направлениям. В других случаях,
когда существенны спектральные эффекты, используются
спектральные величины, осредненные только по направлениям. Таким
образом, исследователь должен располагать различным образом
осредненными значениями степени черноты, которые чаще всего
должны быть получены из имеющихся экспериментальных данных.
В этом разделе приводится основной вывод направленной
спектральной степени черноты. Эта степень черноты затем осредняется
по длинам волн, направлениям и, наконец, по длинам волн и
направлениям одновременно.
Величины, осредненные по длинам волн, называются
интегральными, а величины, Л осредненные по направлениям, называются
полусферическими. Эти названия сохраняются во всей книге.
3.3.1. Направленная спектральная степень
черноты g£ (А,, р, 9, ТА)
Рассмотрим схему испускания энергии (фиг. 3.1,а). Как было
определено в гл. 2, интенсивность излучения есть энергия излуче-
ция, испускаемого в направлении (Р, 6) единицей площади
проекции элемента поверхности dAp, перпендикулярной этому
направлению, в единицу времени в единице телесного угла и в единице

64
Глава 3
интервала длин волн. В некоторых работах под интенсивностью
излучения понимают величину, отнесенную не к проекции, а к
действительной площади поверхности. Преимуществом определения
интенсивности излучения относительно площади элемента
поверхности, как это сделано здесь, является одинаковая интенсивность
излучения абсолютно черного тела для всех направлений. В
отличие от интенсивности излучения абсолютно черного тела излучение,
реальных тел зависит от направления, и поэтому в обозначение
интенсивности излучения вводится функциональная зависимость
(Р, 6). Энергия излучения реального элемента поверхности dA
при температуре ТА в единицу времени, в интервале длин волн dX,
в пределах телесного угла dco, равна
dzQ% {К Р, 6, ТА) = i% {X, р, 6, ТА) dA cos р dX do) =
= е'%(Х, р, 6, TA)dAdXd(». (3.1а)
Интенсивность излучения абсолютно черного тела не зависит
от направления и была обозначена в гл. 2 как i\b (Л). Чтобы
показать, что данное свойство зависит от температуры, введем
обозначение Та, и поэтому интенсивность абсолютно черного тела нужно
записать в виде 1%ь (X, ТА). Энергия излучения единицы
площади элемента абсолютно черной поверхности в единицу времени,
в интервале длин волн dX и интервале телесного угла dco, равна
d3Qkb (К Р, ТА) = ifM {К ТА) dA cos р dX d(o =
= *3tb(b,-P, TA)dAdXdid. (3.16)
Степень черноты определяется как отношение излучательной
способности реальной поверхности к излучательной способности
абсолютно черного тела. Это приводит к соотношению
Направленная спектральная степень черноты =
_ d*Q'K(%, р, 9, ГА)
= ek(K Р, В, ГА) = dsq^fcTA) =
^fr, Р, 6, ГА) ^(М,9,ГА)
~ i'Kb(KTA) -e'Kb(K$,TA)- ^>
Это выражение для степени черноты является наиболее общим, так
как включает зависимость от длины волны, направления и
температуры поверхности.
ПРИМЕР 3.1. Направленная спектральная степень черноты
при длине волны 5 мкм и угле 60°, отсчитываемом от нормали
к поверхности, нагретой до 833 К, равна 0,7. Степень черноты
изотропна относительно угла 8. Какова спектральная интенсивность
излучения в этом направлении?

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 65
Из табл. А.5 для абсолютно черного тела при ХТА =
= 4166,7 мкм-К, находим екь (Х,\ТА)/ТЪА = 0,97357 -Ю"6 Вт/О*3.К6).
Тогда
гЦ5 мкм, 60°, 833 K) = G(5 мкм, 60°, 833 К) х
X fa (5 мкм, 833 К) = & (5 мкм, 60°, 833 К) х j
х I^l (5 мкм, 833 К) = 0,7»°'973*7'10~б-8335 =
= 8,7-10* Вт/(м3.ср).
3.3.2. Осредненные степени черноты
Зная направленную спектральную степень черноты,
определяемую уравнением (3.2), можно получить осредненную степень
черноты, выполняя осреднение по всем длинам волн или по всем
направлениям.
Направленная интегральная степень черноты бЧР^Ул)-
Рассматривая вначале осреднение по всем длинам волн, найдем
направленную интегральную силу излучения для излучения,
испускаемого в направлении (Р, 6) и соответствующего всем длинам
волн, для чего проинтегрируем направленную спектральную силу
излучения (как и в гл. 2, термин интегральный означает, что
излучение соответствует всем длинам волн):
оо
*'(Р. е,ГА)= |*ИЯ,р, Q,TA)dK
о
Подобным образом в табл. 2.2 определяется направленная
интегральная сила излучения абсолютно черного тела
(°° gTK cos В
ЫКЬТ^дХ- А Р.
•/ л»
0
Направленная интегральная степень черноты равна отношению
е' (Р, Э, ТА) для реальной поверхности к е{, (Р, ТА) для абсолютно
черного тела при той же температуре, т. е.
Направленная интегральная степень черноты =
J^ft, М. TA)dk
— 6' (Р' 6' Га) = ej(pf ТА) = (аГуя)созр ' (3-За)
Величину е'\ (Я, р, 9, ТА) в числителе можно выразить через
величину Q (к, р, 0, ТА) в соответствии с уравнением (3.2)

66 Глава В
Направленная интегральная степень черноты (выраженная через
направленную спектральную степень черноты) ==
-€'(М,Га) = -
$€£(*, Р, 8. ГА)е^(Х,р, TA)dX
(аГА/я) cos Р
я $€х(ХэМ.ГА)1&(Х,ГА)Л
0 . (3.36)
аГА
Таким образом, если известна зависимость от длины волны
£ь (Я, Р, 6, ГА), величина £' (Р, 0, ТА) получается как
интегральная средневзвешенная от направленной спектральной силы
излучения абсолютно черного тела. Величина 6^ (Я, р, 0, ТА) должна
быть известна с достаточно хорошей точностью в области, где
велико значение е^ (Я, р, ТА), так что подынтегральное
выражение в уравнении (3.36) будет точным, когда оно имеет большое
значение.
ПРИМЕР 3.2. При 556 К величина & (Я, р, 0/ ТА) в интервале
длий волн к = 0—5 мкм может быть приближенно принята равной
0,8, а при X > 5 мкм — равной 0,4. Какова величина £' (Р, 0, ТА)?
Из уравйения (3.36) имеем
OQ
J"€i(*,M,rA)«£b<*,p,rA)A
€' (Р, в, ТА) = (агуя)созр *
Воспользуемся следующим соотношением, полученным из табл. 2.2:
о' п r т \ — ехь (*•« та) cos Р
е*,ь (Л, р, J А) — - ,
откуда
5ГА
6' (Р, в, ГА) = ] -Ц- [^Ь(УА)] <* (WA) +
о
5ГА А
Из уравнения (2.27) получаем
€'(Р> е. ^а) = 0,8F0_2778+ 0,4^2778-со =
= 0,8-0,223 + 0,4.0,777 = 0,490.
Так как 77,7% энергии излучения абсолютно черного тела, при
Т = 556 К приходится на область % > 5 мкм, то полученный,
результат ближе к величинэ степени черноты 0,4.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 67
Полусферическая спектральная степень черноты ^ (Я, ТА).
Вернемся теперь к уравнению (3.2) и рассмотрим осреднение,
получаемое интегрированием направленных спектральных величин по
всем направлениям полусферической полости, охватывающей
данную поверхность (фиг. 3.1, б). Поток монохроматического
излучения, испускаемого единицей площади поверхности по всем
направлениям в пределах полусферы, называется полусферической
спектральной поверхностной плотностью потока излучения и
находится интегрированием энергии монохроматического излучения в
единице телесного угла по всем телесным углам. Получаем выражение,
аналогичное (2.8а) для абсолютно черного тела:
ех (К ТА) = j ft (Я, р, 0, ТА) cos р Ad.
dco означает интегрирование по полусферическому телесному
углу, где dec = sin р dp dQ. Величина i'% (Я, р, 0, ТА) в общем
случае не может быть вынесена за знак интеграла, как для
абсолютно черного тела. С учетом уравнения (3.2) можно написать
*х {К ТА) = Цъ[(К ТА) J а (К Р, 6, ТА) cos р Ло. (3.4а)
Из уравнения (2.86) полусферическая спектральная поверхностная
плотность потока излучения абсолютно черного тела равна
ехъ{КТА) = Ш'%ъ{КТА). (3.46)
Отношение действительного потока излучения поверхности к
потоку излучения абсолютно черного тела [уравнение (3.4а),
деленное на (3.46)] приводит к следующему определению:]
Полусферическая спектральная степень черноты (выраженная
через направленную спектральную степень черноты) =]
^ ех (К тА) = ll^rl) = т i & (*•• Р'0> т^cos Рd(0- (3-5)
Полусферическая интегральная степень черноты g {ТА). П|ш
выводе полусферической интегральной степени черноты примем
во внимание, что поток монохроматического излучения единицы
площади в любом направлении определяется из уравнения (3.2)
в виде Q (Я, р, 6, ТА) in, (Я, ТА) cos р. Интегрируя это выражение
по всем значениям X и со, получим полусферическую интегральную*
поверхностную плотность потока излучения. Разделив ее на
полусферическую интегральную поверхностную плотность потока
излучения абсолютно черного тела, равную оТА, получим
следующее выражение для степени черноты:

68 Глава 3
Полусферическая интегральная степень черноты (выраженная
через направленную спектральную степень черноты) =
= € (f д) = JHa> о $ _
еъ(ТА) ~ оТА
I [ I €JL (*. Р' в, ГА) ^Ь(Я., ГА) A] cos р Ло
— ж • (3-6а)
С учетом уравнения (3.36) этому выражению можно придать
другой вид:
Полусферическая интегральная степень черноты (выраженная
через направленную интегральную степень черноты) н==
» € (ТА) = 4" J €' (Р. е> Га) cos р (2®. (3.66)
Изменив порядок интегрирования в уравнении (3.6а), получим
оо
I *хь (*• та) [ I €х (X, Р, в, ГА) cos р dm] dX
€(*а)'
аГА
Используя затем уравнение (3.5), получим третий вид выражения
Полусферическая интегральная степень черноты (выраженная
через полусферическую спектральную степень черноты) ==
я |а(Х, Га)«хь<Х, TA)d%
!€(Гд)=_о _ . (3.6в)
Подстановка уравнения (3.46) дает
$€л(Х, Га) ««,(*-, Га)йЯ,
^а) — ^г • (З.бг)
А
Фиэический смысл уравнения (З.бг) следует из фиг. 3.2. На
фигуре 3.2, а представлена степень черноты £х при температуре
поверхности ТА. Сплошная кривая на фиг. 3.2, б соответствует
полусферической спектральной поверхностной плотности потока
излучения абсолютно черногд тела при ТА. Площадь под этой кривой
равна величине оТА, которая является знаменателем в
уравнении (З.бг) и представляет собой энергию излучения, испускаемого
единицей площади поверхности абсолютного черного тела и
соответствующего всем длинам волн и направлениям. Пунктирная

Определения радиационных ееойств нечерных поверхностей 69
кривая на фиг. 3.2, б соответствует произведению £х (Я, ТА х
X е%ь (Я, ТА), а площадь под этой кривой равна интегралу в
числителе уравнения (З.бг), который представляет собой энергию
излучения реальной поверхности. Таким образом, величина £ (ТА)
равна отношению площади под пунктирной кривой к площади под
Фиг. 3.2. К определению физического смысла полусферических
спектральной и интегральной степеней черноты.
а — измеренные значения степени черноты; б — представление степени черноты как
отношения действительной энергии излучения к энергии излучения абсолютно черного
тела; е^ (К, ТА) — полусферическая спектральная степень черноты; е* (Я,, ТА) —
полусферическая спектральная поверхностная плотность потока излучения; А, — длина волн
сплошной кривой. При подходе с несколько другой точки зрения
каждому значению X соответствует, величина €ъ равная частному
от деления ординаты пунктирной кривой на ординату сплошной
кривой. Как показано на фиг. 3.2, длине волны Хх соответствует
полусферическая спектральная степень черноты, равная
<=* (К ТА) = Ыа.

70
Глава 3
ПРИМЕР 3.3. Поверхность при температуре 1000 К изотропна
в том смысле, что g' не зависит от 0 (фиг. 3.3). Чему равны
полусферическая интегральная степень черноты и полусферическая
интегральная поверхностная плотность потока излучения?
/-€'(& 1000 к)
0,8
Я 0,6Ь-
10
20
30
40
50 60 70 80
Р, граб
Фиг. 3.3. Направленная интегральная степень черноты при температуре
1000 К (пример 3.3).
£• (Р, 1000 К) — направленная интегральная степень черноты; 0 — угол, отсчитываемый
от нормали.
Зависимость €' (Р, 1000 К) в этом случае с достаточной
точностью аппроксимируется функцией 0,85 cos Р (пунктирная
линия). Поэтому из уравнения (3.66) полусферическая
интегральная степень черноты равна
2я я/2
£(ГЛ)=-1 j j 0,85sinрcos2р dp d0=-1,70
cos3 ft
e=o p=o
P
я/2
= 0,57.
Тогда полусферическая интегральная поверхностная плотность
потока излучения будет равна
^(2па) = 6(2па)^П = 0,57-5,729.10-8.10004 = 32055 Вт/м2.
В общем случае зависимость £' (Р, ТА) нельзя достаточно точно
аппроксимировать удобной аналитической функцией, и поэтому
интегрирование приходится выполнять численным способом.
ПРИМЕР 3.4. Зависимость £ь (Я, ТА) для некоторой
поверхности при ТА = 1110 К можно приближенно представить
графиком, показанным на фиг. 3.4. Чему равны полусферическая
интегральная степень черноты и полусферическая интегральная
поверхностная плотность потока излучения для этой поверхности?

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 71
Из уравнения (З.бг) имеем
оо
€ (ТА)=-|j- (а (К ТА) ехь (%, ТА) d%=
А ъ
=||о4ехь(УА) TAdX+
+ Н°'4 X ^Ь(УА) TAd% + ±\ 0,2 е^А) TAdK
откуда следует
2222
6667
2222
оо
6667
где е^ь/ТЬА — функция ЯГА. С помощью уравнения (2.27) это
<
^ 0,2
и;
0
1
? 4
X, мкм
*
V^
1 к
6 8 '—*- «
Фиг. 3.4. Полусферическая спектральная степень черноты (пример 3.4).
Гд =s 1110 К — температура поверхности; £^ (X, Тд) — полусферическая спектральная
степень черноты; X — длина волны.
соотношение можно представить в виде
6 (Та) = 0,1F0_2222 + 0,4 (^о-ббб7 — ^0-2222) +
+ 0,2 (1 — ^0-6667) = —0,3F0_2222 + 0,2^0_6667 + 0,2 =
= -0,3.0,1050 + 0,2-0,7876 + 0,2 = 0,3260.
Полусферическая интегральная поверхностная плотность потока
излучения будет равна
е (ТА) = 6 (П) аП- 0,326.5,729-Ю-8- 1И04 = 28340IBT/M2.
3.4. ПОГЛОЩАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ
Поглощательной способностью называется отношение потока
излучения, поглощенного телом, к потоку излучения, падающего
на тело. Падающее излучение имеет свойства, присущие источнику

72
Глава 3
энергии. Распределение энергии падающего излучения по спектру
не зависит от температуры или физической природы поглощающей
поверхности (если только излучение, испускаемое поверхностью,
частично не отражается обратно на эту поверхность). По
сравнению со степенью черноты при определении поглощательной
способности возникают дополнительные трудности, связанные с необ^
ходимостью учета направленных и спектральных характеристик
падающего излучения.
Экспериментально часто легче измерить степень черноты, чем
поглощательную способность. Поэтому желательно иметь
соотношения между этими двумя величинами, которые позволяют по
измеренным значениям одной величины вычислить значения другой.
Такие соотношения наряду с определениями величин
поглощательной способности будут выведены в этом разделе.
3.4.1. Направленная спектральная поглощательная
способность ах (А,, Р, 9, ТА)
На фиг. 3.5, а показан поток энергии излучения, падающего
на элемент поверхности dA в направлении (Р, 6). Прямая линия
от dA в направлении (Р, 6) перпендикулярна элементу площади
dAe поверхности полусферы радиусом i?, расположенной над
элементом dA. Спектральная интенсивность падающего излучения,
проходящего через dAe, равна ^,г(А,, р, 6). Это — энергия,
отнесенная к единице площади полусферы, единице телесного угла dcoe,
единице времени и единице интервала длин волн. Энергия,
заключенная внутри телесного угла падения dcoe, попадает на элемент dA
поглощающей поверхности. Поток излучения, падающего на
элемент dA в направлении (Р, 6), в интервале длин волн dX, равен
dzQl i (К Р, 6) = &. г {К Р, 6) dAe dae dX =
= il t (X, p, 6) dAe -^gil A, 1(3.7)
где dA cos p/i?2 — телесный угол dcoe, стягиваемый элементом dA
при наблюдении из dAe.
Запишем уравнение (3.7) через телесный угол dco, который
показан на фиг. 3.5, б. Этот телесный угол стягивает элемент dAe
при наблюдении из dA. Его вершина расположена на
площадке dA, и поэтому этот угол удобно использовать при
интегрировании, выполняемом для вычисления потока падающего
излучения более чем с одного направления. Применение такого телесного
угла оправдано также с учетом представлений, используемых при
рассмотрении поглощающей, излучающей и рассеивающей среды
(гл. 13). В рассматриваемом здесь случае, когда пространство над
поверхностью заполнено непоглощающей средой, интенсивность

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 73
падающего излучения не изменяется вдоль пути луча от dAe к dA
(это доказывается в разд. 13.4). Из этих соображений на
последующих фигурах поток излучения, падающего на dA от dAe, будет
изображаться заключенным в телесном угле dco (фиг. 3.5, б), а не
в телесном угле dcoe (фиг. 3.5, а).
Фиг. 3.5. Эквивалентные способы изображения потока излучения,
падающего от элемента dAe на элемент dA.
а — падение в пределах телесного угла d<oe с вершиной на dAe\ б — падение в пределах
телесного угла d© с вершиной на dA.
Чтобы записать уравнение (3.7) через dec, учтем, что
^^IdAe^^cos^dA^dcocos^dA
Уравнение (3.7) тогда принимает вид
dzQ'K i (К Р, е) = Й. 1 (^ Р> е)dco cos Р dA М.
(3.8)
(3.9)

74
Глава 3
Отношение потока поглощенного излучения к потоку
падающего излучения d?Q%,\ называется направленной спектральной поело-
щательной способностью а\ (X, р, 6, ТА). В добавление к
зависимости от длины волны и направления падающего излучения
спектральная поглощательная способность является также
функцией температуры поглощающей поверхности. Поток поглощенной
части падающего излучения обозначается в виде cPQ^
Отношение этих величин есть
Направленная спектральная поглощательная способностью
d3Qla(k,$,e,TA) (ЗЛОа)
i'% j (X,- Р, 9) dA cos Р dmdX
Если падающее излучение распространяется от абсолютно черной
оболочки с постоянной температурой Тъ, то имеем частный случай
«х (*, Р, в, ТА) = ih}iii,tTb)dAcoa$do}dX (3.106)
3.4.2. Закон Кирхгофа
Этот закон устанавливает связь между способностями тела
излучать и поглощать энергию. Его можно представить через
спектральные, интегральные, направленные или полусферические
величины. Из уравнений (3.1) и (3.2) поток излучения,
испускаемого элементом поверхности dA в интервале длин волн dk, в
пределах телесного угла dec, равен
d*Ql е = i% (к, р, Э, ТА) dA cos р dco d% =
= & (К Р, 8, ТА) «х (Ь, Га) Л4 cos р dco ЙЯ. (3.11)
Если принять, что элемент dA при температуре ТА находится
внутри изотермической абсолютно черной замкнутой полости
также при температуре ТА, то интенсивность излучения, падающего
на элемент dA в направлении (Р, 6), будет равна ^,ь (X, ТА)
(вспомните об изотропности интенсивности излучения абсолютно черной
полости). Для поддержания изотропности излучения внутри
абсолютно черной замкнутой полости потоки поглощенного и
испускаемого излучения, определяемые уравнениями (3.106) и (3.11),
должны быть равны:
6х (К Р, Э, ТА) = ак (Я, р, 6, ТА). (3.12)

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 75
Равенство (3.12) устанавливает связь между свойствами вещества
и справедливо без ограничений. Это наиболее общая формулировка
закона Кирхгофа х).
3.4.3. Направленная интегральная поглощательная
способность а (Р, в, ТА)
Направленная интегральная поглощательная способность
равна отношению потока излучения, соответствующего всем длинам
волн, которое поглощается в данном направлении, к потоку
излучения, падающего в этом направлении. Энергия интегрального
излучения, падающего в данном направлении, определяется путем
интегрирования энергии падающего монохроматического
излучения [уравнение (3.9)] по всем длинам волн:
оо
d*Q\ (р, 0) = cos р dA dco J i'K ДО, p, в) dk. (3.13a)
о
Поглощенное излучение определяется интегрированием по всем
длинам волн уравнения (3.10а), т. е.
оо
d*Q'a (р, 6, ТА) = cos р dA До j а* (Я, Р, в, ТА) 1%у г (X, р, 6) d%% (3.136)
о
после чего получим следующее отношение:
Как мы увидим в гл. 4 в связи с рассмотрением радиационных свойств
электропроводных материалов, излучение поляризовано в том смысле, что
имеются две компоненты волны, колеблющиеся под прямым углом друг
к другу и к направлению распространения волны. В частном случае
равновесного теплового излучения эти две компоненты поляризации равны. Строго
говоря, уравнение (3.12) выполняется только для каждой компоненты
поляризации, и, чтобы оно было справедливо для всего падающего излучения,
излучение должно иметь равные компоненты поляризации.
Закон Кирхгофа был доказан для случая термодинамического равновесия
в изотермической замкнутой полости и поэтому строго справедлив только
при отсутствии результирующего теплового потока к поверхности или от нее.
В реальных условиях, как правило, имеется результирующий тепловой
поток, так что уравнение (3.12) является приближенным. Обоснованность этого
приближения подтверждается экспериментальными данными,, согласно
которым в большинстве практических случаев окружающее поле излучения
не оказывает существенного влияния на величины а\ и £%. Другим
подтверждением этого приближения является способность вещества находиться в
состоянии локального термодинамического равновесия, при котором
совокупность энергетических состояний в процессах поглощения и излучения
соответствует с очень близким приближением их равновесным распределениям.
Таким образом, распространение закона Кирхгофа на неравновесные
системы — не результат простых термодинамических рассмотрений, а скорее
всего результат физической природы веществ, благодаря которой в
большинстве случаев вещество способно самостоятельно поддерживать локальное
термодинамическое равновесие и, таким образом, обладать независимостью
свойств от окружающего поля излучения.

76
Глава 3
Направленная интегральная поелощателъная способностью
= a (ft, 0, ТА) = d2Q,{^Q) =
lal(X,$,e,TA)i'Ki(l,V,Q)d\
= J> _ , (з.14а)
1 *i г (*. P, в) ft
О
или в соответствии с законом Кирхгофа (3.12)
оо
j€i(b.M,rAKfi(b,M)*X
а' (Р, 9, Га) = ^ - . (3.146)
О
3.4.4. Закон Кирхгофа
для направленных интегральных свойств
Из закона Кирхгофа в общем виде [уравнение (3.12)] следует,
что величины & и а£ равны. Проверим теперь это равенство для
направленных интегральных свойств. Для этого сравним частный
случай (3.146) с (3.36). Если в уравнении (3.146) падающее
излучение имеет спектральное распределение энергии, пропорциональное
соответствующему распределению энергии излучения абсолютно
черного тела при ТА, то i£ti (к, Р, Э) = С (Р, 6) i{tb (к, ТА), и
уравнение (3.146) принимает вид
ею
а' (Р, 6, ТА) - °-_ = €' (р, в, ТА).
о
Следовательно, если & и а% зависят от длины волны, то
а'*(Р, 0, ТА) = е' (Р, 6, ТА), только когда падающее излучение
удовлетворяет равенству i^\ (к, р, 0) = С (Р, 0) Ь'кь {К ТА), где
С не зависит от длины волны.
Равенство а' (Р, 0, ТА) = £' (Р, 0, ТА) справедливо еще в одном
важном случае. Если направленное излучение от поверхности имеет
ту же зависимость от длины волны, как и у абсолютно черного
тела, т. е. i% (А,, р, 0, ТА) = С (Р, 0) ^,ь (А,, ТА), то Ы не зависит
от Я. Из уравнений (3.36) и (3.146), если G£ (Р, 0, ТА), а
следовательно, и а^ (Р, 0, ТА) не зависят от А,, следует, что для
направления (Р, 0) все величины Q, а%, £' и а' равны. Поверхность,
обладающая таким свойством, называется направленно-серой
поверхностью.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 11
3.4.5. Полусферическая спектральная поглощательная
способность аь(к, Т А)
Полусферической спектральной поглощательной способностью
называется отношение монохроматического потока излучения,
которое поглощается поверхностью, к монохроматическому
потоку излучения, падающего во всех направлениях в пределах
окружающей полусферы (фиг. 3.1, г). Монохроматический поток
излучения элемента dAe полусферы, который пересекает элемент
поверхности &4, определяется уравнением (3.9). Поток излучения,
падающего на элемент dA по всем направлениям в пределах полусферы,
определяется интегралом
d2QK {= dA d% f i'K i (A,, p, 6) cos P dec. (3.15a)
Величина потока поглощенного излучения определяется
интегрированием по полусфере (3.10а)
d2QKa = dA dk j а^ (К Р, 0, ТА) i'K {(X, р, 6) cos Р dco. (3.156)
Отношение этих величин есть
Полусферическая спектральная поглощательная способность s
==а„(Л, ТА) = й^а.=
I «х (*<» Р, 9» Та) ^, i (*., Р, в) cos р dm
(3.16a)
или в соответствии с законом Кирхгофа
J 6^ (X, р, 9, ТА) i'K {(X, р, 9) cos р <fo
«я (А,, ГА) = ? (3.166)
Сопоставляя уравнения (3.166) и (3.5), можно теперь сравнить
полусферическую спектральную поглощательную способность
и полусферическую спектральную степень черноты. В общем случае,
когда а^ и £х являются функциями А,, Р, 0 и ТА, равенство
ал. {К ТА) = £% (А,, ТА) выполняется, только если i'^i (X) не
зависит от р и 0, т. е. если спектральная интенсивность падающего
излучения одинакова по всем направлениям. Тогда i'^i в (3.166)
можно сократить, знаменатель станет равным д и выражение (3.166)
совпадет с (3.5).

78 Глава 3
В том случае, когда а£ (X, ТА) = ^ (X, ТА), т. е.р когда
направленные спектральные свойства не зависят от угла,
полусферические спектральные свойства связаны равенством а% (к, ТА) —
= £% (X, ТА) для любого углового распределения интенсивности
падающего излучения. Такие поверхности называются диффузно-
селективными.
3.4.6. Полусферическая интегральная поглощательная
способность а (Т А)
Полусферической интегральной поглощательной способностью
называется отношение потока излучения, поглощенного
поверхностью, к потоку излучения, падающего во всех направлениях
в пределах замкнутой полусферы и соответствующего всем длинам
волн (фиг. 3.1, г). Интегральный поток излучения, падающего
на элемент поверхности dA, определяется интегрированием
уравнения (3.9) по всем значениям X и всем направлениям (Р, 0) в
пределах полусферы
оо
dQt = dA j [ j ifK i (X, p, Э) dX] cos p dco. (3.17a)
^ о
Аналогично, интегрируя уравнение (3.10a), получим интегральный
поток поглощенного излучения
оо
dQa (ТА) = dA j [ J ах (X, р, 6, ТА) i'K 4 (X, р, Э) dX~] cos р До. (3.176)
о о
Отношение потоков поглощенного и падающего излучений есть
Полусферическая интегральная • поглощательная способность
(выраженная через направленную спектральную поглощательную
способность или степень черноты) е==
„(Т \ dQa (Та)
= яЦа)= dQi =
оо
I [ I с£ (X, р, 9, ТА) i'% . (К р, Э) Щ cos Pdco
_ ^ 6
оо »
I [I V% i(^» Р» в) dX] cos $ d<*
<=* о
или в соответствии с законом Кирхгофа
(3.18а)
\ [ I €х (^. Р. е> га) *х 4 (X, Р, 6) <*х] cos р tfco
а(ГА) = ^ , . (3.186)
X Ц v% i№» Р' в) dA,] cos р da>
^ 6

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 79
Сравним уравнение (3.186) с уравнением (3.6а), чтобы
выяснить, при каких условиях полусферическая интегральная погло-
щательная способность равна полусферической интегральной
степени черноты. Обращаясь к (3.6а), имеем
аП= J [ J V&{K rA)m]cosp;d(o.
^ 0]
Сравнение показывает, что в общем случае, когда £х и а^ зависят
как от длины волны, так и от угла, равенство а (ТА) = £ (ТА)
удовлетворяется только в том случае, когда интенсивность
падающего излучения не зависит от угла падения и имеет такой же вид
спектра, как и при излучении абсолютно черного тела при
температуре, равной температуре поверхности ТА, т. е. когда
Uti(M, в) = <%(*,, ТА),
где С — постоянная. Некоторые другие ограничения перечислены
в табл. 3.2.
Подставляя (3.14а) в (3.18а), получим следующие варианты
формул для а (ТА):
Полусферическая интегральная поглощателъная способность
(выраженная через направленную интегральную поглощательную
способность) =
I [J1 i (^ Р. е) Л] *' (P. е> та) cos р day
^а(ТА)=^-° - , , (3.18в)
I [I l'% iQ" P. 6) eft,] cos р cto
& о
или
1а'ф,е,ТА)У.(Р,в)со8$г1«>
а (ГА) = — ; , (3.18г>
где i\ (р, 9) — интегральная интенсивность падающего излучении
в направлении (Р, 8).
Изменяя порядок интегрирования в уравнении (3.18а) и
подставляя затем уравнение (3.16а), получим
Полусферическая интегральная \поглощательная ^способность
(выраженная через полусферическую спектральную поглощатель-
ную способность) 2=
I К (X, ТА) I i'% , (X, р, 9) cos р dco] d%
- а (ГА) = ■? - - , (3.18д>
I I! **, i^» Р» 0)СО8рЛо](И,
0 ^

80
Глава 3
ИЛИ
]*x(KTA)d*QXti
ос (Т А) - i - , (3.18е)
о
где d2Q%ti — монохроматический поток излучения, падающего
на элемент поверхности dA во всех направлениях.
3.4.7. Диффузно-серая поверхность
Как будет показано в гл. 8, часто при выполнении расчетов
дли замкнутых объемов поверхности принимаются диффузно-
серыми. Термин диффузный означает, что направленная степень
черноты и направленная поглощательная способность не зависят
от направления. Следовательно, в случае излучения,
интенсивность излучения будет одинаковой по всем направлениям, как для
абсолютно черного тела. Термин серый означает, что спектральная
степень черноты и спектральная поглощательная способность
не зависят от длины волны, но могут зависеть от температуры.
Таким образом, при каждой температуре поток излучения,
испускаемого поверхностью, будет составлять постоянную долю потока
излучения абсолютно черного тела для всех длин волн.
Следовательно, диффузно-серая поверхность поглощает
определенную долю падающего в любом направлении излучения при любой
длине волны. Такая поверхность также излучает определенную
долю излучения абсолютно черного тела во всех направлениях при
scex длинах волн. (С этим связано происхождение термина «серый».)
Направленная спектральная степень черноты диффузно-серой
поверхности и направленная спектральная поглощательная
способность запишутся в виде
ссЦя,р,е,гА) = апгА) и епМ.е.г^-еИГА).
Из закона Кирхгофа (3.12) следует, что а^'(ТА) = £{ (ТА).
Так как а{ (ТА) и £{ (ТА) не зависят ни от направления, ни от
.длины волны, в уравнениях (3.18а), (3.186) и (3.6а) их можно
вынести за знак интегралов, и тогда эти уравнения сводятся к виду
а (ТА) = а£ (ГА) = & {ТА) — 6 (Га). Таким образом, для
диффузно-серой поверхности направленные спектральные и
полусферические интегральные значения поглощательной способности
и степени черноты одинаковы. Полусферическая интегральная
поглощательная способность совершенно не зависит от свойств
падающего излучения.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 81
3.4.8. Сводная таблица выражений для закона Кирхгофа
Ограничения по использованию закона Кирхгофа сведены
в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Сводка выражений для закона Кирхгофа, связывающих
поглощательную способность и степень черноты
Величина

Направленная
спектральная

Направленная
интегральная

Полусферическая

спектральная

Полусферическая
интегральная
Равенство
аЯ (^» Р» 9' Та)="
а'(P.O. *а) = 1
=е'(М,гА)
а*, (X, ТА) =
а(ГА) = 6(ГА)
Ограничения
Нет1)
Падающее излучение имеет спектральное
распределение, пропорциональное
соответствующему распределению для абсолютно
черного тела при ГА, т. "е. ££ ^(Я,, р, 9) =
= С(р,в)*£ь(Л,|ГА); или с^'(р,9,ГА) =
= €'% (Р» Q> ^а) не зависят от длины волны
(направленно-серая поверхность)
Падающее излучение не зависит от угла,
т- е- *i,f iW = c,W; или а^(Х, ГА) =
= £^ (X, Га) не зависят от угла (диффузно-
селективная поверхность)
Падающее излучение не зависит от угла
и имеет спектральное распределение,
пропорциональное соответствующему
распределению для абсолютно черного тела при
ТА, т. е. ^fi(X) = Ci^(X, ТА); или
падающее излучение не зависит от угла и
о£(р, 9, ГА) = ^(Р,9, ТА) не зависят от X
(направленно-серая поверхность); или
падающее в любом направлении излучение
имеет спектральное распределение,
пропорциональное соответствующему
распределению для абсолютно черного телапри TAl
и а^ (Я, ТА) = £^ (X, ТА) не зависят от угла
(диффузно-селективная поверхность); или
а^ (ТА) — €'% (ТА) не зависят от длины
волны и угла (диффузно-серая поверхность)
*) См. примечание авторов книги на стр. 75.—Прим. ред.
3.5. ОТРАЖАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ
• Отражательные свойства поверхности определить еще труднее,
чем степень черноты или поглощательную способность. Это
объясняется тем, что энергия отраженного излучения зависит не только

82
Глава 3
от угла, под которым энергия падающего излучения переносится
к поверхности, но также и от направления, в котором
рассматривается отраженная энергия. Приведем некоторые наиболее
важные определения отражательной способности.
3.5.1. Спектральные отражательные способности
Двунаправленная спектральная отражательная способность
Рх(^* Рг? 9г? Р? Э)« Рассмотрим монохроматическое излучение,
падающее на поверхность в направлении (Р, Э) (фиг. 3.1, д). Часть
этого излучения отражается в направлении (Рг, Эг), внося вклад
в интенсивность отраженного излучения в направлении (Рг, 0Г).
Индексом г будут обозначаться величины, определяемые углом
отражения. Полная величина ^,г(^, Рг> 9г) определяется
суммированием интенсивностей отраженного излучения, создаваемых
интенсивностями падающего излучения i^iiK Р, Э) по всем
направлениям- (Р, Э) в пределах полусферы, охватывающей
элемент поверхности. Вклад в 1{уГ (к, |3Г, Эг), вносимый энергией
излучения, падающего только в одном направлении (Р, 0), будем
обозначать i^r (А,, рг, 0Г, р, 0). Он будет зависеть как от угла
падения, так и от угла отражения.
Поток излучения, падающего на единицу площади элемента dA
в направлении (Р, 0), в единице интервала длин волн, в
соответствии с (3.9) равен
^'^P,fl)=U,i(^P,e)cosP(to. (3.19)
Двунаправленной спектральной отражательной способностью
называется отношение, определяющее вклад величины
^,г (^> Р> 9) c°s Р do в спектральную интенсивность отраженного
излучения в направлении (Рг, 0Г) х):
Двунаправленная спектральная отражательная способностью
= px(*, Pr, er, p, Q) = ^iJ[Xfpte)coBpto' (3'20)
Хотя отражательная способность зависит от температуры
поверхности, с целью упрощения при обозначении р символ ТА будет
г) В соответствии с приведенным определением рх эта величина имеет
размерность обратного телесного угла. В американской литературе [61*}
используется также аналогичная безразмерная характеристика p'i = i'i, rli%, U
однако она не удовлетворяет свойству взаимности. В советской литературе
[47*] в качестве двунаправленной отражательной характеристики
используется так называемый коэффициент яркости отражения ря, = i%, rfi/i'x, icosPdco,
который является безразмерной величиной и удовлетворяет свойству
взаимности. В переводе сохранено выражение ря, авторов книги, которое1 совпадает
с выражением, используемым в работе [20*].— Прим. ред.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 83
опущен. Отношение (3.20) представляет собой интенсивность
отраженного излучения, деленную на энергию падающего излучения
в пределах телесного угла dco. Присутствие в знаменателе cos р do
означает, что если величину pi (к, |3Г, Эг, р, Э) ъ^% (А,, Р, 6)
проинтегрировать по всем углам падения, то^удет получена
интенсивность отраженного излучения i^r (А,, рг, Эг), в которой правильно
учтен вклад энергии, переносимой в каждом направлении. Так
как дифференциальная величина i^r обычно на порядок меньше,
чем i^i х), присутствие в знаменателе d(o не позволяет величине
рГ (А,, рг, Эг, р, Э) стать бесконечно малой. В случае диффузного
отражения энергия излучения, падающего в направлении (Р, 0),
вносит одинаковый вклад в интенсивность отраженного
излучения для всех направлений (Рг, 6Г). Будет показано также, что
из уравнения (3.20) можно вывести некоторые удобные
соотношения взаимности.
Свойство взаимности для двунаправленной спектральной
отражательной способности. В общем случае величина р£ (Я, рг, 0Г, р, 9)
симметрична относительно углов отражения и падения, т. е.
величина р£ для энергии излучения, падающего в направлении
(Р, Э) и отраженного в направлении (Рг, 0Г), равна величине р£
для энергии излучения, падающего в направлении (Рг, 0Г) и
отраженного в направлении (р, 0).
Это можно доказать, рассмотрев нечерный элемент
поверхности dA2, помещенный внутри изотермической абсолютно черной
замкнутой полости (фиг. 3.6). Из условия изотермичности
суммарный обмен энергией между абсолютно черными элементами dAx
и dA з должен быть равен нулю. Этот обмен энергией может
осуществляться по двум возможным направлениям. Во-первых,
возможен непосредственный обмен энергией вдоль пунктирной линии.
Этот непосредственный обмен между абсолютно черными
элементами не зависит от присутствия нечерного элемента dA2 и равен
нулю, как в случае абсолютно черной изотермической полости,
не содержащей элемента dA2- Если суммарный обмен энергией
вдоль этого направления равен нулю, и суммарный обмен энергией
вдоль всех направлений между dA± и dA3 равен нулю, то
суммарный обмен энергией вдоль направления, включающего отражение
от dA2, должен также быть равным нулю. Для потока излучения,
распространяющегося вдоль отраженного луча, справедливо
следующее равенство:
d*Q'i, i_2-3 = d*Ql з-2-i. (3.21а)
г) В случае зеркального отражения величина £х, г имеет тот же порядок,
что и i\t i, и значение рл может стать весьма большим. Такимобразом, в
отличие от других радиационных характеристик, ря, может быть больше единицы.
(В обозначении р" сначала указываются углы для отраженного луча, а затем —
для падающего.)

84
Глава 3
Фиг. 3.6. Замкнутая подость, используемая для доказательства свойства
взаимности двунаправленной спектральной отражательной способности.
Поток излучения, отраженного от элемента dA2 и достигшего
элемента dA3, равен
d*Qi, i-2-з = U,г (К Рг, ег, р, 6) cospr dA2dAsCs^3 dX,
или, с учетом выражения (3.20)
&<Л, 1-2-3 = Pi (К Рг, вг, р, 0) i'x, 1 (X, Т) cosp х
X dAiC^ созр^Л U> \f ^dX. (3.216)
"->1 "г
Аналогично,
d*Ql з-2-i = Pi (^, Р, 6, Pr, 9r) U, з (К Т) cospr х
х dA3cosPscosp^2^icosp, ^ {3>21
Подставляя (3.216) и (3.21в) в (3.21а), получим
Рь (К Рг, ег, р, 0) *£, 1 (К, т) = pj (X, р, е, рГ1 ег) ^ з (К т).
С учетом равенства i£fl (X, Т) = £^3 (Л,, Г) = ££& (К 71), получим
следующее соотношение взаимности для р£:
Рь (Я, Рг, 0г, Р, 0) = 91 (К Р, 0, Рг, 0Г). (3.22)
Направленные спектральные отражательные способности. Если
величину iltT умножить на dk cos pr dA dcor и проинтегрировать
по полусфере для всех значений рг и 0Г, то будет получен поток

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 85
излучения, отраженного в пределах полусферы за счет падающего
в одном направлении излучения
d3QL г (К Р, 9) = dX dA J ft, r (Я, рг, 9r, р, 9) cos рг dxor.
С учетом выражения (3.20) эта величина равна
dzQ%, г {К Р, 6) = &, г (Ь, Р, 9) cos р dec <& dA X
X j Рь (К рГ, 9Г| р, 9) cos рг Лог. (3.23)
Направленно-полусферическая спектральная отражательная
способность .определяется как отношение энергии излучения,
отраженного по всем направлениям, к энергии излучения, падающего
в одном направлении (фиг. 3.1, е). Для получения этого отношения
величину d?Qx,r (^> Р> 9) [уравнение (3.23)] нужно разделить на
энергию падающего излучения [уравнение (3.19)], т. е.
Направленно-полусферическая спектральная отражательная
способность (выраженная через двунаправленную спектральную
отражательную способность) ==
s р* ^ р» 0)= ^^SIm) = I &<*• р"0г'р'0) cos Рг d(0r- (3-24)
Уравнение (3.24) показывает, какая часть энергии излучения*
падающего в одном направлении, отражается по всем
направлениям. Применяют еще один вид направленной отражательной
способности, когда рассматривают интенсивность излучения,
отраженного в одном направлении, при падающем излучении по всем
направлениям. Эта величина называется полу
сферически-направленной спектральной отражательной способностью (фиг. 3.1, ж).
Интенсивность отраженного излучения в направлении (рг, 9Г)
определяется путем интегрирования уравнения (3.20) по всем
направлениям падающего излучения:
U, г (К Рг, 9Г) = j pi (К рг, 6, р, 0) гк г (К Р, 9) cos р dco. (3.25)
Полусферически-направленная спектральная отражательная
способность вычисляется после этого как интенсивность отраженного
излучения в направлении (Рг, 9Г), деленная на осредненную по

86 Глава 3
полусфере интенсивность падающего излучения г)
Полусферически-направленная спектральная отражательная
способность (выраженная через двунаправленную спектральную
отражательную способность) =
I 91 (*, Рг, еГ1 Р, 6) VK i (l, pf 6) cos p dco
= PJL (K Pr, 6r) - - ■ . (3.26)
(1/Ji) J i'Xf i (X, p, 6) cos p dco V '
Свойство взаимности для направленной спектральной
отражательной способности. Соотношение взаимности для pj, выводится
следующим образом. Если интенсивность падающего излучения
постоянна для всех направлений, то уравнение (3.26)
преобразуется к виду
Полусферически-направленная спектральная отражательная
способность (в случае постоянной интенсивности падающего
излучения) =
= р'х (К Рг, ег) - J pj (я, рг, ег, р, в) cosр ло. (3.27)
Сопоставляя уравнения (3.24) и (3.27) и учитывая (3.22), получим
соотношение взаимности для р{ (при условии постоянства
интенсивности падающего излучения)
Рх(М,в) = риМг,ег), (3.28).
где (Рг, 8Г) и (Р, Э) одинаковые углы. Это означает, что
отражательная способность вещества, облучаемого под углом падения (р, Э),
которая определяется измеренной энергией, отраженной по всем
направлениям в пределах полусферы, равна отражательной
способности вещества, облучаемого равномерно по всем направлениям
в пределах полусферы, которая определяется измеренной
энергией, отраженной в единственном направлении при угле отражения
(Рг, 0Г), причем углы (рг, 0Г) и (Р, 0) одинаковы. Это равенство
используется при конструировании «полусферических
рефлектометров» для измерения радиационных свойств [1].
Полусферическая спектральная отражательная способность pi(k).
Если падающее монохроматическое излучение распространяется
х) В американской литературе [61*] встречается другое определение
РХ ft, рг, 6Г):
п ч *х,г(Д, Р" Qr) cos Рг dm,
9% ft» 9п "г) — ~ГТ, 7л о rw "о! '
\ iX} {(Я, Р, 6)cospdco
о
которое не удовлетворяет свойству взаимности.— Прим. ред.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 87
во всех направлениях в пределах полусферы (фиг. 3.1, з), то поток
излучения, попадающего на элемент поверхности dA, определяется
уравнением (3.15а) в виде
cPQk9 i (к) = dXdA\ &, г (к, Р, 6) cos р Ad.
Часть потока, падающего излучения d2Q7,4i, которая отражается
от элемента dA, определяется интегрированием уравнения (3.24)
d2Qx, г (Ъ) = J Pi (К Р, 6) d*Q'K i (к, Р, в) =
= dk dA \ р^ (к, р, 0) iK i (к, р, 6) cos р dco.
Относительная доля d2QM (к), которая отражается от элемента dA,
есть
Полусферическая спектральная отражательная способность
(выраженная через направленно-полусферическую спектральную
отражательную способность) =
-о m f^hiK-
dXdA
d2Qi, i (I)
J Pi (K P, 6) ft, f (X, p, 6) cos p da>. (3.29)
Предельные случаи для селективно-отражающих поверхностей.
В данном разделе будут рассмотрены два важных предельных
случая селективно-отражающих поверхностей.
Диффузно отражающие поверхности.
Излучение, падающее в направлении (Р, Э) на диффузную
поверхность и затем отраженное от нее, имеет одинаковую по всем
направлениям (Рг, 0Г) интенсивность, но величина энергии отраженного
излучения может зависеть от угла падения х). Когда на
рассматриваемый элемент диффузной поверхности падает луч, этот
элемент выглядит одинаково ярким со всех направлений.
Двунаправленная спектральная отражательная способность в
таком случае не зависит от (рг, 0Г) и уравнение (3.24) сводится к
Pi, d (К Р, 0) = Pi (\ Р, 6) j cospr dd>r.
г) Часто без оговорок принимают, что отражательная способность
диффузной поверхности не зависит от угла падения (р, 8), но это не является
необходимым условием определения диффузности.

88
Глава 3
Выполняя интегрирование, получим для диффузной поверхности
й.ЛМ,в) = ярх(М,е), (З.зо)
т. е. для любого угла падения направленно-полусферическая
спектральная отражательная способность в п раз больше
двунаправленной спектральной отражательной способности. Это объясняется
тем, что величина p{td включает в себя энергию излучения,
отраженного во всех направлениях (рг, 0Г), тогда как величина р£
включает в себя интенсивность излучения, отраженного только
в одном направлении. Это соотношение аналогично соотношению
между полусферической спектральной поверхностной плотностью
потока излучения абсолютно черного тела и его спектральной
интенсивностью излучения ехь (к) = т%ъ (к).
Уравнение (3.25) определяет интенсивность излучения,
отраженного в направлении (Рг, 0Г) при заданном распределении
падающего излучения во всех направлениях (Р, 0). Если поверхность
диффузная, двунаправленная отражательная способность не
зависит от угла падения и интенсивность падающего излучения
постоянна для всех углов падения, то уравнение (3.25) преобразуется
к виду
&, г (Ь) = Рх (к) U, г (Ц \ cos р do = npl (к) ibt { (к). (3.31a)
Используя уравнение (3.30) для диффузной поверхности, свойство
взаимности и уравнение (3.29), получим
ik, г (Ь) = Р%, а (Л) ii г (Ц = Р*. d (Ц ft, г (*), (ЗЭД
т. е. в этом случае интенсивность отраженного излучения в любом
направлении равна просто полусферически-направленной или
полусферической отражательной способности, умноженной на
интенсивность падающего излучения. Для случая равномерного
облучения, монохроматический поток излучения, падающего на
элемент поверхности dA со всех направлений в пределах
полусферы, равен
d2QK г (^) = niL i М dA dk,
так что
ЬгЮ = ЬМ)*!8$-. (3.31в)
Зеркально отражающие поверхности. Для
зеркальных поверхностей справедливы хорошо известные законы
отражения. Идеально зеркальные и идеально диффузные
поверхности представляют два относительно простых частных случая,
которые можно использовать для расчета теплообмена в
замкнутых полостях. В случае зеркального отражения луча, падающего
в одном направлении, угол падения и угол отражения связаны

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 89
между собой определенным соотношением. Отраженный луч
распространяется под тем же углом, отсчитываемым от нормали
к поверхности, что и падающий луч, и лежит в плоскости,
образованной падающим лучом и нормалью. Следовательно,
рг = р, 0г = 0 + я (3.32)
и для всех других углов двунаправленная спектральная
отражательная способность зеркальной поверхности равна нулю. Можно
записать
РИ^» Р, 6, Рг, 6г)зерк. =
= гё(Я, р, е, рг = р, ег = е-ья) = 9is(i, р, в), (з.зз)
т. е. двунаправленная спектральная отражательная способность
зеркальной поверхности зависит только от направления
падающего луча.
При произвольном распределении по направлению
интенсивности падающего излучения интенсивность излучения, отраженного
от зеркальной поверхности в пределах телесного угла, осью
которого является направление (рг, 0Г), согласно (3.25), равна
ft, г (К Рг, 6Г) = { Рх,. (К Р, 6) iK г (X, Р, 0) cos р Ad. (3.34а)
Подынтегральное выражение в уравнении (3.34а) не равно нулю
только в малом телесном углу, осью которого является
направление (р, 0) благодаря свойствам p£>s (Я, р, 0). Уравнение (3.34а)
можно тогда записать в виде
ik, г (К Рг, 6Г) - 9l s (X, р, 0) гк | (Я, р, 0) cos р Ао. (3.346)
Рассмотрим теперь общее уравнение для двунаправленной
спектральной отражательной способности [уравнение (3.20)].
Применяя его к зеркальной поверхности, получим
U.r(^Pr = P,er=e + n) = p£,a(^p,e)iifi(X,p,e)cosPcto, (3.35)i)
т. е. интенсивность отраженного излучения в пределах телесного
угла, осью которого является направление фг, 0Г) при
единственном направлении (Р = Рг, 0 = 0Г — я) падающего излучения.
Правая часть уравнения (3.35) идентична правой части
уравнения (3.346), которая представляет собой интенсивность
отраженного излучения в пределах телесного угла, осью которого является
х) При зеркальном отражении величина i%% г может иметь тот же порядок,
что и величина iit %. Тогда величина рх, s из-за наличия dco в правой части
уравнения (3.35) может достигать больших значений. Следовательно, если
поверхность по своим свойствам приближается к зеркальной, использование
двунаправленной отражательной способности имеет меньший практический
смысл, чем в случае отражения, более близкого к диффузному.

90
Глава 3
направление (Рг, 0Г) при произвольном распределении падающего
излучения. Смысл этих рассуждений сводится к тому, чтобы
доказать следующий довольно простой факт: при рассмотрении
излучения, отраженного в данном направлении от зеркальной
поверхности, необходимо учитывать только излучение, которое
падает в направлении (р, Э), определяемом соотношениями (3.32),
и вносит вклад в интенсивность отраженного излучения
независимо от пространственного распределения энергии падающего
излучения.
Из уравнений (3.26) и (3.34а) следует, что полусферически-
направленная спектральная отражательная способность при
равномерном облучении зеркальной поверхности равна
! Рл, s (*" Р» е) *я, i М cos Р d(D
РЫМг,0г)=" f =^г^^9г)- (3.36а)
(1/Jt) ^ 1^ { (к) COS р d(d Ч, г W
о
Сопоставляя с (3.346), получаем соотношение, связывающее
двунаправленную и полусферически-направленную спектральные
отражательные способности зеркальной поверхности при одинаковой
интенсивности падающего излучения
Pit,. (К Рг, вг) = pi, 8 (К Р, 9) cos Р d(o. (3.366)
С учетом соотношения взаимности (3.28)
направленно-полусферическая отражательная способность p^s (k, р, 0) для одного
падающего луча равна
9l s (К Р, 9) = Pi s (К Рг, 9Г) = pi s (X, р, 0) cos рг d(or. (З.Збв)
По-прежнему остаются в силе ограничения (3.32) и условие
постоянства интенсивности падающего излучения.
Из уравнения (3.29) полусферическая спектральная
отражательная способность равномерно облучаемой зеркальной
поверхности равна
Рх, s (Ь) = ~ { Pi s (К Р, 9) cosp dco. (3.37)
о»
Если величина p^)S не зависит от угла падения, то, вычисляя
интеграл в уравнении (3.37), получаем равенство
Рх,.(Ь) = Рх,.(Ь). (3.38)
3.5.2. Интегральные отражательные способности
Определения отражательной способности, приведенные в
предыдущих разделах, касались только монохроматического
излучения, однако полученные выражения можно обобщить на случай
интегрального излучения.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 91
Двунаправленная интегральная отражательная способность
р"(рг, Эг, р, 0). Двунаправленная интегральная отражательная
способность характеризует вклад интегральной энергии излучения,
падающего в направлении (рг, 0Г), в интегральную интенсивность
отраженного излучения в направлении (Р, 0). По аналогии с (3.20)
имеем
Двунаправленная интегральная отражательная способность =
оо
J*x>r(*,pI.,eI.,M)<a, ,.,* „ о m
0 lr Фг» °г» Р» о)
оо
cospdooj i'K ((Ь, р, 6)<а
Р- ф,, е„ р, е>. Л . _ ,?—^- . ,3.39а)
о
Энергию отраженного излучения можно получить
интегрированием уравнения (3.20) по всем длинам волн:
оо
г; (рг, ог, р, 0) = cos р dco j & (ь, рг, еГ| р, 0) й,< (х, р, 0) d%
о
и записать уравнение (3.39а) в виде
Двунаправленная интегральная отражательная способность
(выраженная через двунаправленную спектральную отражательную
способность) =
оо '
I Pld, Рг, ег, р, 9)vK i(%, р, е)ax
s р" (рг, 6Г, р, 6) = -° ^-^ , (3.396)
JOO
о i£fi (Я, р, 0) Л.
Свойство взаимности. Перепишем уравнение (3.396) для
случая, когда излучение падает в направлении (Рг, 0Г) и отражается
в направлении (Р, 0):
оо
$Рх(х,Р, е. Рг, e,.)*i,i(*,Pr, Qr)dx
р" (р, е, рг, ег) = i т^щ • (3-39в)
Сопоставляя (3.396) и (3.39в), получим равенство
р*(Р, в, Рг, 0г)=Р"(Рг, в„ р, в), (3.40)
которое имеет место в том случае, когда распределение по спектру
интенсивности падающего излучения одинаково для всех
направлений, или в более общем случае, когда ъ%л (к, р, 0) = Ci'^i (к, Рг, 0Г).
Направленные интегральные отражательные способности р'.
Направленно-полусферическая интегральная отражательная спо-

92
Глава 3
собностъ определяется как отношение интегральной энергии
излучения, отраженного по всем направлениям, к интегральной
энергии излучения, падающего в одном направлении.
Монохроматическая энергия излучения, падающего в данном направлении на
элемент поверхности, равна ft,i (X, р, 0) cos р dco dX dA, а энергия
отраженной части этого излучения равна pi (Я, р, 0) X
Xft,i (X, Р> 9) cos Р^со dX dA. Если эти величины проинтегрировать
по всем длинам волн, то получим следующее определение:
Направленно-полусферическая интегральная отражательная
способность (выраженная через направленно-полусферическую
спектральную отражательную способность) =
„*m ^'М> IW-**■&/.*«■
о
Для характеристики доли излучения, отраженного в данном
направлении (рг, 0Г), при равномерном облучении используют
другой вид направленной интегральной отражательной
способности. Интегральная интенсивность отраженного излучения в
направлении (рГ7 0Г) при постоянной во всех направлениях
интенсивности падающего излучения равна
оо оо
i'r (Рг, 0г) = J ft, г {X, рг, 0r) dX = j ft, i (X) pi (X, рГ7 0Г) ей.
о о
Величина р^ (Я, рг, 0Г) определяется в соответствии с (3.27). Тогда
отражательную способность можно определить как отношение
интенсивности отраженного излучения к интенсивности падающего
излучения:
Полусферически-направленная интегральная отражательная
способность (при равномерном облучении) s
оо
$Pi(b, Рг, er)i£ {{X)dX
« р' (Рг, 0г) = -2 - . (3.416)
О
Свойство взаимности. Сравним теперь уравнения (3.41а)
и (3.416), имея в виду, что последнее справедливо только при
условии постоянной интенсивности падающего излучения. С учетом
этого ограничения из уравнения (3.28) найдем
р'(рг, 0г) = р/(Р, 0), (3.42)

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 93
где (рг, 0Г) и (р, 6) —- одинаковые углы при одинаковом
спектральном распределении интенсивности падающего излучения, таком,
что
*Vi(M.6) = Cft,i(b).
Полусферическая интегральная отражательная способность.
Если падающее интегральное излучение распределено по всем
направлениям в пределах полусферы, то интегральный поток
излучения, падающего на единицу площади поверхности,
определяется уравнением (3.17а). Поток отраженной части этого
излучения равен
dQr = dA f р' (Р, 6) Ц (Р, 0) cos Р do
Ok
Отношение интегрального потока излучения, отраженного во всех
направлениях, к потоку падающего излучения есть
Полусферическая интегральная отражательная способность
(выраженная червз направленно-полусферическую интегральную
отражательную способность) =г
s Р = Ж = Ж I Р' (Р« 0) *НР' в) cos р Л». (3.43а)
Используя величину падающего на поверхность потока
полусферического монохроматического излучения d?Q%,\ (К), найдем другой
вид зависимости. Часть этого излучения р^, (Л) d2Q^i отражается.
Величина р^ (к) представляет собой полусферическую
спектральную отражательную способность, определяемую уравнением (3.29).
Выполняя интегрирование, получим
Полусферическая интегральная отражательная способность
(выраженная через полусферическую спектральную отражательную
способность) Е==
оо
3.5.3. Сводная таблица ограничений на соотношения
взаимности между отражательными способностями
В табл. 3.3 приведены ограничивающие условия, которые
необходимо учитывать при использовании соотношений взаимности
для отражательных способностей.

94 Глава 3
Таблица 3.3
Сводка соотношений взаимности для отражательных способностей
Отражательная
способность
A.
Двунаправленная
спектральная [уравнение
(3.22)]
Б. Направленная
спектральная
[уравнение
(3.28)]
B.
Двунаправленная
интегральная [уравнение
(3.40)]
Г. Направленная
интегральная
[уравнение
(3.42)]
Равенство
=p£(Ji,pr,er,p,9)
p£(?i,p,e) =
= рИя-Р'-'9>')> где
Р=Рг, е=ег
р"(р\ е,рг, 9Г) =
=р"(Рг. ег, р, в)
р'(Р, в)=Р'(р„ ег),
где р=рг, е=ег
Ограничения
Нет
Р^, (^» Рг» ®г) соответствует
равномерной интенсивности
падающего излучения или р£ (к)
не зависит от р, 9, рг и 0Г
i-Ki(KV, Q) = Ci'kti(k, рг, ег>
или р£ (р, 6, Рг, 9Г) не зависит
от длины волны
По одному ограничению из
пп. «Б» и «В»
3.6. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ
СПОСОБНОСТЬЮ, ПОГЛОЩАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТЬЮ
И СТЕПЕНЬЮ ЧЕРНОТЫ
Из определений поглощательной и отражательной способностей
как отношений поглощенного или отраженного излучения ко всему
падающему излучению следует, что для непрозрачных тел (излучение
не пропускается сквозь тело) между этими свойствами поверхности
существуют весьма простые соотношения.
Вследствие того, что монохроматический поток излучения
d?Q%,i, падающего на элемент поверхности dA непрозрачного тела
в пределах телесного угла dco либо поглощается, либо отражается,
очевидно, что
d*Ql г (К Р, 6) = d*Ql а (К Р, 6, ТА) + d*Ql г (А,, Р, е, ТА)
или
tfQiifr, Р,в) + d3<?ifi(x,pfe) le ^-**'
Так как излучение падает в направлении (р, 6), два отношения
энергий в уравнении (3.44) представляют собой направленную
спектральную поглощательную способность [уравнение (3.10а)]

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 95
и направленно-полусферическую спектральную отражательную
способность [уравнение (3.24)]. Подстановка дает
«х (К Р, в, ТА) + р^ (К Р, 6, ГА) = 1. (3.45)
Закон Кирхгофа [уравнение (3.12)] можно применить теперь без
ограничений. Тогда получим
а(К р, е, тЛ)+рцк р, в, гд) = 1. (з.4б)
Когда рассматривается интегральный поток энергии
излучения, падающего на элемент dA в заданном направлении, то
уравнение (3.44) принимает вид
Заменяя отношения энергий в соответствии с уравнениями (3.14а)
и (3.41а), получаем
а'(Р,в1ГА) + Р'(Р,в,ГА)=1. (3.48)
Поглощательная способность является направленной
интегральной характеристикой, а отражательная способность —
направленно-полусферической интегральной характеристикой.
Применяя затем закон Кирхгофа для направленных
интегральных характеристик (разд. 3.4.4), получим
€'(М,Га) + р'(М,гд) = 1 (3.49)
при условии, что падающее излучение удовлетворяет соотношению
i%,i (^ Р» 0) = С (Р, 0) г%,ъ (Я, ТА) или поверхность является
направленно-серой.
Если принять, что падающее на элемент поверхности dA
монохроматическое излучение распространяется по всем
направлениям в пределах полусферы, то из (3.44) следует
d*Ql, а (X, ТА) ' d*Q%, г (X, ТА) _
d*Qx,i(l) ~*~ d*Qkti{K) -1# ^'ои>
Это выражение можно записать в виде
«х(*, yj + Px(^ ?V) = 1, (3.51)
где радиационные свойства являются полусферическими
спектральными величинами, определяемыми уравнениями (3.16) и (3.29).
Замена величины а^ (Я, ТА) полусферической спектральной
степенью черноты 6 л, (к, ТА) в этом соотношении возможна только
в том случае, когда интенсивность падающего излучения не
зависит от угла падения, т. е. постоянна для всех направлений, или
если «а, и £^ не зависят от угла (разд. 3.4.8). С этими
ограничениями уравнение (3.51) принимает вид
€х (К ТА) + р* (Я, ТА) = 1. (3.52)

96
Главк 3
Если поток излучения, падающего на элемент поверхности dA,
просуммирован по всем длинам волн и направлениям,
уравнение (3.44) принимает вид
dQa(TA) , dQr(TA) _,
dQt ' Щ ( ' >
Отношения потоков излучения теперь представляют собой
полусферические интегральные поглощательную и отражательную
способности [уравнения (3.18) и (3.43а) соответственно].
Уравнение (3.53) с учетом (3.18) и (3.43а) принимает вид
а (ТА) + р (ТА) = 1 (3.54)
И в этом случае замена а (ТА) на £ (^а) связана с определенными
ограничениями
£ (ТА) + Р (ТА) = 1. (3.55)
Основные ограничения, при которых это соотношение остается
в силе: 1) спектральная интенсивность падающего излучения
пропорциональна спектральной интенсивности излучения абсолютно
черного тела при ТА, 2) интенсивность падающего излучения
постЪянна при всех углах падения, т. е. i^% (к) = С1%ь (К ТА).
Другие частные случаи, когда возможна замена а (ТА) = 6 (ТА),
перечислены в табл. 3.2.
Если тело не является непрозрачным, т. е. если часть
излучения проходит полностью через него, необходимо учитывать
пропускаемое излучение. Этот вопрос будет рассмотрен позднее
в разделе, посвященном излучению в поглощающих средах.
ПРИМЕР 3.5. Солнечное излучение падает на поверхность
тела, выведенного на орбиту над земной атмосферой. Температура
этой поверхности равна 1000 К, а ее направленная интегральная
степень черноты представлена графически на фиг. 3.3. Чему равен
поток отраженного излучения, если угол падения излучения,
отсчитываемый от нормали, составляет 25°?
По фиг. 3.3. £' (25°, 1000 К) = 0,8. Спектр излучения Солнца
подобен спектру излучения абсолютно черного тела. В разд. 3.4.8
было показано, что а' (25°, 1000 К) = 6' (25°, 1000 К) = 0,8 при
условии, что спектр падающего излучения пропорционален
спектру излучения абсолютно черного тела при ТА = 1000 К. В
данном случае такой пропорциональности нет, так как Солнце
излучает как абсолютно черное тело при температуре 5780 К. Поэтому
<х' Ф 0,8, но не зная а', мы не можем определить р'. Таким
образом,, данных для одной лишь степени черноты недостаточно для
решения настоящей задачи.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 97
ПРИМЕР 3.6. Спектральную степень черноты в направлении
нормали к некоторой поверхности при ТА = 556 К можно
приближенно представить графиком, приведенным на фиг. 3.7.
Эта поверхность поддерживается при температуре 556 К
охлаждающей водой и окружена абсолютно черной полусферой,
нагретой до Tt = 1667 К. Какова интенсивность излучения,
отраженного в направлении нормали к поверхности?
0,8Г
0,6
аэ. 0,4|—
0,2
-\
I
10
-V-»
X, мкм
Фиг. 3.7. Спектральная степень черноты в направлении нормали к
поверхности (пример 3.6.).
£% (^, Р = 0,556 К)— спектральная степень черноты в направлении нормали; Я — длина
волны.
Для излучения, падающего по нормали к поверхности,
направленно-полусферическая спектральная отражательная способность
на основании (3.46) равна
Pi (к р=о°, тА)=1 - а (к р=о°, тА).
Из свойств взаимности в случае равномерной интенсивности
падающего полусферического излучения следует
Рх (К Рг = 0°, ТА) = pj, (К Р = 0°, ТА).
Поэтому отражательная способность в направлении нормали,
обусловленная падающим полусферическим излучением (с
использованием фиг. 3.7), равна
РИ0<А<2, pV = 0°, ГА) = 0,7,
РИ2<Х<5, pV = 0°, ГА) = 0,2,
рЦ5<?1<оо, рг = 0°, ГА)=0,5.

98 Глава 3
Интенсивность падающего излучения i%yi (Я, Tt) = i^b (к, 1667 К).
Согласно уравнению, предшествующему (3.416), интенсивность
отраженного излучения равна
оо
i'r (Рг = 0°) = [ ы (%, Т,) р'ь (%, рг = 0°, ТА) dX =
= "IT J ехь(опд & &> Р' = °°тл) d №')-
о г
С учетом (2.27) получаем
i'r Фг = 0) = -^р- (0,7^о-2т; + 0,2^2Т 5г; + О.б^т.-сс) =
= 1i^.16,674 [0,7-0,347 + 0,2 (0,869-0,347) +
+ 0,5 (1 — 0,869)] = 58 000 Вт/(м2.ср).
3.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В данной главе была введена строгая система обозначений
и даны точные определения радиационных свойств, которые
сведены для удобства в табл. 3.1.
С помощью этих определений можно установить ограничения
для различных выражений закона Кирхгофа, связывающего
степень черноты с поглощательной способностью тела. Эти
ограничения являются иногда источником недоразумений, в связи с чем
в сводной таблице (табл. 3.2) перечислены условия, при которых а
можно заменять на £. Эти ограничения учитываются также при
выводе формулы £ + р = 1 из основной формулы а + р = 1 для
непрозрачных тел.
Приведенные подробные определения сделали возможным вывод
соотношений взаимности для отражательных способностей и
определение существующих ограничений. Эти ограничения
перечислены в удобной сводной таблице (табл. 3.3).
Литература
1. Brandenberg W. М., The Reflectivity of Solids at Grazing Angles,
Measurement of Thermal Radiation Properties of Solids, J. C. Richmond (ed.),
NASA SP-31, pp. 75—82, 1963.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 99
Задачи
1. Спектральная степень черноты некоторого вещества
существенно изменяется с длиной волны, но почти не зависит от
температуры поверхности (см., например, фиг. 5.3). На поверхность
этого вещества падает излучение от серого источника с
температурой Tt. Показать, что интегральная поглощательная
способность падающего излучения равна интегральной степени черноты
вещества при температуре источника излучения Tt.
2. Используя фиг. 5.3, оценить полусферическую интегральную
степень черноты вольфрама при температуре 2800 К..
3. Допустим, что 6а, не зависит от X (серое излучение). Показать,
что Fq-it представляет собой долю интегрального излучения
этого серого тела в диапазоне 0 — XT.
4. Одинаково ли положение максимумов кривой распределения е^
для некоторой поверхности с полусферической спектральной
степенью черноты 6я и кривой распределения ехъ при той же
температуре? (Указание. Рассмотрите изменение deJdX.)
Постройте график ^в зависимости от % для данных, приведенных
на фиг. 3.7 при температуре 556 К, и для данных, приведенных
в задаче 3.6а при температуре 333 К. Какой длине волны Я
соответствует максимум е^ Как отличается эта величина от
максимума е^ъ?
5. Белая керамическая поверхность имеет распределение
полусферической спектральной степени черноты при температуре
1667 К, изображенное ниже. Чему равна ее полусферическая
интегральная степень черноты?
Ответ: 0,28.
6 8 10
Л, мкм
6. Поверхность при температуре 60° С (333 К) имеет следующие
значения полусферической*спектральной степени черноты:
К, мкм <1 Г 1,5 2 2,5 3 ?,5 4 4,5 5 6 7* 8 >8
6я (X, 333 К) 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,8 0,8 0,7 0,6 0,4 0,2 0 0

100
Глава 3
а. Какова полусферическая интегральная степень черноты
поверхности при температуре 60° С?
<б. Какова полусферическая интегральная поглощательная
способность поверхности при температуре 60° С, если
источником падающего излучения является серая поверхность
(степень черноты 0,8) при температуре 1110 К? Излучение
распространяется равномерно при всех углах падения.
Ответы: а. 0,064; б. 0,50.
7. Направленная степень черноты серой поверхности изображена
на графике. Свойства изотропны относительно азимутального
угла Э.
а. Чему равна полусферическая степень черноты этой
поверхности?
б. Если поток падающего черного излучения при температуре
93° С равномерно распространяется по всем направлениям,
то какая доля падающей энергии будет поглощаться этой
поверхностью?
в. Если эту поверхность поместить в окружающую среду с
температурой 0 К, то каким должен быть поток энергии,
подводимой к 1 м2 этой поверхности, чтобы ее температура
оставалась равной 556 К?
Ответы: а. 0,575; б. 0,575; в. 291,5 Вт.
0--О
0,8
•'(/3)
0,5
0 0,5 0,8
8. Спектральная поглощательная способность а^ (^) селективной
поверхности SiO — А1 может быть приближенно представлена
графиком, приведенным ниже. Поверхность находится на
земной орбите вокруг Солнца, и на нее в направлении нормали
падает поток солнечного излучения 1393 Вт/м2. Какова
равновесная температура поверхности при условии, что а^ не зависит
от угла и температуры поверхности?
Ответ: 665 К.

Определения радиационных свойств нечерных поверхностей 101
Поток солнечного
излучения
11 ш
v?-
Поверхность
,—SiO-AI
.Идеальная изоляция
с обратной
стороны
Длина волны Л, мкм
9. Используя фиг. 5.21, найти поглощательную способность
бумаги для пишущей машинки при освещении ее по нормали светом
от абсолютно черного источника при температуре 1178 К.

4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИАЦИОННЫХ
СВОЙСТВ С ПОМОЩЬЮ
КЛАССИЧЕСКОЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
В 1864 г. Джеймс Клерк Максвелл опубликовал статью, в
которой показал, что между электрическим и магнитным
полями существует связь и что электромагнитные волны
распространяются со скоростью света, а свет в свою очередь является одной
из форм электромагнитных волн [1]. Эти открытия являются
величайшими достижениями классической физики. Хотя, как
уже было показано, перенос энергии электромагнитного излучения
управляется квантовыми эффектами, можно и даже необходимо
определять многие свойства видимого и теплового излучения
с помощью классической волновой теории.
В этой главе будет показано, что степень черноты, а также
отражательная и поглощательная способности веществ в некоторых
случаях могут быть вычислены с помощью их оптических и
электрических свойств. Соотношения между радиационными свойствами
вещества и его оптическими и электрическими свойствами были
установлены из рассмотрения взаимодействия на границе раздела
при переходе электромагнитной волны из одной среды в другую.
Анализ основан на предположении об идеальном
взаимодействии между падающей волной и поверхностью. В физическом
смысле это значит, что полученные результаты применимы для
оптически гладких, чистых поверхностей, обладающих
зеркальным отражением. Распространение волны и ее взаимодействие
с поверхностью будут рассмотрены в несколько упрощенном виде
с помощью основных уравнений Максвелла, связывающих
электрическое и магнитное поля. Используя более строгую теорию, чем
применяемая здесь волновая теория, можно более точно оценить
свойства для идеальных поверхностей. Однако затрачиваемые
усилия чаще всего не оправдываются, так как ни в упрощенных,
ни в более сложных расчетах нельзя учесть влияние качества
обработки поверхности. Из-за отличия реальных материалов от
идеальных, рассматриваемых теорией, экспериментальные
значения величин часто существенно отличаются от предсказанных
теорией. Эти расхождения обусловлены такими факторами, как

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 403
наличие примесей, шероховатость поверхности, загрязнение
поверхности и изменение кристаллической структуры при
обработке поверхности.
Хотя на практике состояние поверхности может оказывать
большое влияние, приводимая здесь теория полезна во многих
отношениях. Теория дает возможность понять причину основных
различий в свойствах диэлектриков и электропроводных материа-
алов, установить основные тенденции, с помощью которых удается
обобщить экспериментальные данные. Эти тенденции полезно
также знать при выполнении инженерных расчетов, когда jipnxo-
дится экстраполировать имеющиеся ограниченные
экспериментальные данные на другой диапазон. Теория оказывается полезной
при объяснении зависимости от угла отражательной, поглоща-
тельной способностей, а также степени черноты. Так как
электромагнитная теория справедлива для чистых веществ с идеально
гладкими поверхностями, она позволяет вычислить одно
предельное значение, которое может иметь данная характеристика.
Например, можно определить максимальное значение
отражательной способности или минимальное значение степени черноты
металлической поверхности.
В разд. 4.3—4.5 приводится довольно подробный вывод
соотношений классической теории, которые применяются для
описания радиационных свойств. Окончательные результаты
собраны в разд. 4.6, где также приведены примеры их
практического применения. Читатели, которых интересует только, как
применить полученные результаты для расчета свойств, могут
пропустить разделы, содержащие выводы, и обратиться
непосредственно к разд. 4.6.
4.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
С4, С2 — постоянные в законе Планка распределения
энергии по спектру;
с — скорость электромагнитной волны в среде,
отличной от вакуума;
с0 — скорость электромагнитной волны в вакууме;
Е — напряженность электрического поля;
е — поверхностная плотность потока излучения;
Н — напряженность магнитного поля;
К = 7/Y0 — относительная диэлектрическая проницаемость;
п — показатель преломления;
п = п — Ы — комплексный показатель преломления;
ге — удельное электрическое сопротивление;
S — .мгновенная скорость переноса энергии через
единицу площади;

104
Глава 4
5 — вектор Пойнтинга, уравнение (4.24);
Т — абсолютная температура;
t — время;
я, г/, z — координаты в декартовой системе координат,
связанной с поверхностью раздела между средами
(фиг. 4.1);
х', у', z' — координаты в декартовой системе координат,
связанной с волной, распространяющейся в среде
(фиг. 4.1);
Р — полярный угол;
у — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;
6 — степень черноты;
6 — азимутальный угол;
>с — показатель поглощения;
Я — длина волны;
\i — абсолютная магнитная проницаемость среды;
v — частота;
р — отражательная способность;
X — угол преломления;
со — угловая частота;
I — интегрирование по телесному углу, стягивающему
замкнутую полусферу.
Подстрочные индексы
А — свойство тела или поверхности А;
Ъ — абсолютно ч;ерное тело;
i — падающее излучение;
М — максимальное значение величины;
п — направление нормали;
г — отраженное излучение;
s — зеркальная поверхность;
t — пропущенное излучение;
х, у, z — составляющие в координатах #, г/, z\
х', у', z' — составляющие в координатах х\ у', z'\
X — величина, зависящая от длины волны;
0 — вакуум;
1,2— среда 1 или 2;
_L — перпендикулярная составляющая;
|| — параллельная составляющая.

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 105
Надстрочные индексы
' — величина, имеющая направление (за исключением
*\ У9, *')•
4.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ
Для описания взаимодействия электрического и магнитного
полей в любой изотропной среде (в том числе в вакууме) могут
быть использованы уравнения Максвелла при условии, что не
происходит накопления электрических зарядов. С учетом этих
ограничений уравнения Максвелла имеют вид
VxH = 7f + -f, (4.1)
VxE=-(i|, (4.2)
V-E = 0, (4.3)
VH = 0, (4.4)
где H и E — соответственно напряженности магнитного и
электрического полей; у — абсолютная диэлектрическая проницаемость
среды; ге — удельное электрическое сопротивление и \х —
абсолютная магнитная проницаемость среды. В табл. 4.1 приведены
размерности этих величин в системе единиц СИ. Индекс 0 означает,
что величина относится к вакууму.
Решения этих уравнений показывают, как волны
электромагнитного излучения проходят через вещество и какое существует
взаимодействие между электрическими и магнитными полями. Зная,
как электромагнитные волны распространяются в каждой из
двух смежных сред, и используя соотношения между ними на
границе раздела, можно получить зависимости, определяющие
процессы отражения и поглощения.
4.4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
Распространение электромагнитной волны в идеальной
диэлектрической среде будет рассмотрено в разд. 4.4.1, а в среде
с конечной электрической проводимостью — в разд. 4.4.2.
4.4.1. Распространение электромагнитной волны
в идеальной диэлектрической среде
Для простоты вначале рассмотрим случай, когда среда либо
представляет собой вакуум, либо имеет настолько большое электри-

106
Глава 4
Таблица 4.1
Величины, используемые в уравнениях электромагнитной теории
(в системе СИ)

Обозначение
Величина
Единица

измерения
Значение
с
со
Е
Н
К
ге
S
я, у, z,
х\ у', z'
У
Уо
V
И-о
Скорость распространения
электромагнитной волны
Скорость распространения
электромагнитной волны в вакууме
Напряженность электрического поля
Напряженность магнитного поля
Относительная диэлектрическая
проницаемость среды y/Yo
Удельное электрическое сопротивление
Мгновенный поток энергии через единицу
площади
Координаты в декартовой системе координат
Абсолютная диэлектрическая
проницаемость среды
Электрическая постоянная
Абсолютная магнитная проницаемость
среды
Магнитния постоянная
м/с
м/с
В/м
А/м
Ом-м
Вт/м2
м
Ф/м
Ф/м
Г/м
Г/м
2,9979-108
109
4я-8,9875
4Я.10-7
ческое сопротивление, что последним членом Е/ге в уравнении (4.1)
можно пренебречь. При таком упрощении уравнения (4.1) и (4.2)
можно переписать в декартовой системе координат и получить две
системы из трех уравнений для составляющих напряженностей
электрического и магнитного полей в направлениях х, у и z, т. е.
дНг
дН
ду
dz
dHz
у дЕ
= У
dz
дНу_
дх
дх
ду
dt '
дЕу
У-бГ
ЬЕг
(4.5а)
(4.56)
(4.5в)

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 107
дЕх
дУ
дЕх
dz
дЕу
дЕу
dz
dEz
дх
дЕх
— И
— fl-
дх ду
Из уравнений (4.3) и (4.4) получим
— М-
дНх
dt
дНу_
dt
dHz
dt
дЕх
дЕ
у
дЕг
дх
дНг
дУ
дН
dz
дх
ду
У_. 9HZ
"•" dz
0.
(4.6а)
(4.66)
(4.6в)
(4.7)
(4.8)
Рассмотрим взаимодействие с веществом падающей
электромагнитной волны. Система координат х, у, z связана с веществоМ|
Фиг. 4.1. Определение систем координат.
причем ось х направлена по нормали к поверхности. Вторая
система координат х', у', z' связана с направлением распространения
падающей волны (фиг. АЛ).
Рассмотрим для простоты плоскую волну падающего
излучения, распространяющуюся в направлении х'. Согласно
определению плоской волны, все относящиеся к ней свойства постоянны
повсюду на плоскости y'z' в любой момент времени.

108 Глава 4
Поэтому д/ду' — dldz' = 0. Для этих условий уравнения (4.5) —
(4.8) преобразуются к виду
0 = ?-^Г> (4.9а)
дН,, дЕ„,
dHv' dEz'
-ar-v-sb <4-9в>
^-0, (4.11,
'■W--0- <«2>
Составляющие Н можно затем исключить, дифференцируя
уравнения (4.96) и (4.9в) по *, а уравнения (4.106) и (4.10в) —по х\
тогда
-l*ftTeT-5^, (4.13а)
!&£■ = *-*Ь (4-13б)
az'2 r а*'а*
^=_,^. (4..4Ч
Комбинируя уравнения (4.13а) и (4.146), исключаем Щ, и
аналогично, комбинируя уравнения (4.136) и (4.14а), исключаем Ну.
В результате получим следующие два уравнения:
(4.15а)
и
A2J? . A2F
(4.156)
1 \ЛЧ ~
W dt*
д*Е2,
IIV —
W Я,2 -
д*Еу,
дх'2 '
^
rte'2 "

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 109
Эти волновые уравнения описывают распространение в
направлении х', составляющих по осям у' и z' напряженности
электрического поля. Чтобы упростить остальную часть решения, примем,
что электромагнитные волны
вектор Е расположен только
в плоскости х'у' (фиг. 4.2).
Составляющая Ег* и ее
производные в этом случае
равны нулю, и уравнение (4.156)
рассматривать не нужно.
Вектор Е будет иметь
составляющие только в
направлениях х' иг/'.
Что касается
составляющих векторов Е и Н по оси
х\ то из уравнений (4.9а),
(4.10а), (4.11) и (4.12)
следует, что dEx*ldt=dEx>ldx'' =
= dHX'/dt =дНх>/дх'=0, т. е.
обе составляющие
напряженности электрического и
магнитного полей в направлении
распространения волны постоянны и не зависят от направления
распространения х'. Следовательно, единственной зависящей от
времени составляющей Е будет Еу>, которая определяется
уравнением (4.15а). Так как эта составляющая перпендикулярна
направлению распространения волны х', то волна является поперечной.
Уравнение (4.15а) известно как волновое уравнение,
описывающее распространение составляющей Еу» в направлении х'. Общее
решение этого уравнения имеет вид
£y'=/(*'-^)+^+lfe)' (4Л6а)
где / и g — любые дифференцируемые функции. Функция /
описывает распространение волны в положительном направлении х',
а функция g — в отрицательном направлении х'. Так как в
данном случае будет рассматриваться только волна,
распространяющаяся в положительном направлении, то решение будет
содержать только функцию /.
Определим скорость распространения волны. Для этого
предположим, что вместе с волной движется наблюдатель. Он будет
все время находиться при фиксированном значении Еу*.
Положение наблюдателя х' при этом должно также изменяться и во
времени, чтобы аргумент \х* — (tlY\iy)\ в функции был тоже
поляризованы таким образом, что
Фиг. 4.2. Электрическая волна поля
поляризованная в плоскости х'у',
распространяется в направлении х' вместе
с волной магнитного поля.

110
Глава 4
фиксированным. Поэтому dx'ldt = 1/Y\iy и выражение
Ev. = f(x'--}=) (4.166)
является уравнением волны с составляющей Еу» по оси у';
распространяющейся в положительном направлении х' со скоростью
1/Wy* В свободном пространстве (вакууме) электромагнитная
волна распространяется со скоростью с0. Скорость
распространения электромагнитного излучения в вакууме определяется
зависимостью с0 = 1/|/М^оТо х)- Составляющая волны электрического
поля ЕУ' распространяется вместе с составляющей волны
магнитного поля. Если уравнение (4.96) продифференцировать по #', а
уравнение (4.10в) — по t, то в результате преобразований получим
W-w—sph- (4-17)
Уравнение (4.17) является таким же волновым уравнением, как
и (4.15а). Следовательно, составляющая напряженности магнитного
поля Hz> переносится вместе с составляющей напряженности
электрического поля Еу* (фиг. 4.2).
Любой распространяющийся волновой пакет, описываемый
в уравнении (4.166) функцией /, можно представить с помощью
ряда Фурье как суперпозицию волн с различными
фиксированными длинами. Рассмотрим только одну такую монохроматическую
волну и будем иметь в виду, что любой волновой пакет может быть
составлен из ряда монохроматических компонент. В остальной
части вывода будет удобнее представить составляющую
напряженности электромагнитной волны в комплексном виде.
Допустим, что в начале координат (х' = 0) колебание
волнового пакета во времени описывается уравнением
Еу» = Еу'м ехр (Ш).
Волна, покидающая точку (%' = 0) в момент времени tu достигнет
точки х' через промежуток времени x'lc, где с — скорость волны
в среде. Поэтому время прихода волны в точку х' равно t — tt +
+ x'lc, а время ухода волны из точки х' = 0 равно h = t — x'lc.
Волна, распространяющаяся в положительном направлении х\
будет описываться уравнением
£>.=--£>мехр [ко (*—£-) J
г) Независимые измерения fi0, у0 и с0 подтверждают этот результат.
Тот факт, что с помощью уравнения Максвелла получается одинаковая
скорость распространения в вакууме с0 всех видов электромагнитных волн,
является убедительным доказательством электромагнитной природы света.
Этот результат — одно из первых важнейших достижений теории
электромагнитного поля.

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 111
ИЛИ
Еу = Еу*мЪЩ) [i<o(t — Vwх')]. (4.18а)
Как показывает сопоставление с (4.166), это выражение
является решением основного волнового уравнения (4.15а). Прц
желании, используя равенства со = 2nv = 2пс/К = 2пс0/Х0, можно
получить и другие формы решения. Здесь_Х и К0 — соответственно
длины волн в среде и в вакууме.
Показатель преломления п определяется как отношение
скорости распространения волны в вакууме с0 к скорости ее
распространения в среде с = l/l/Vv» т. е.
Тогда уравнение (4.18а) принимает вид
£у, = £^мехр[ко («~а;')]. (4.186)
Как следует из уравнения (4.186), волна распространяется в среде
с незатухающей амплитудой. Этот вывод является следствием
предположения, что среда — идеальный диэлектрик, т. е. ее
проводимость равна нулю. Проводимость многих реальных веществ
существенна, и поэтому последним членом в правой части
уравнения (4.1) пренебрегать нельзя. Как будет показано далее,
присутствие этого члена приводит к затуханию волны.
4.4.2. Распространение электромагнитной волны
в изотропной среде с конечной проводимостью
Для простоты снова рассмотрим одиночную плоскую волну,
описываемую уравнениями (4.18). Если ввести экспоненциальный
закон ослабления с расстоянием 1из уравнений (4.21) и (4.23)
следует, что это удовлетворяет уравнениям Максвелла], то
волновое уравнение примет вид
Ey> = Ey>Mexv i® it—7"^jl exP ( ~~T^KX) » (4.19a)
где x — показатель поглощения среды. Экспоненциальный
коэффициент затухания учитывает поглощение энергии волны при ее
прохождении через среду. Такая волна ослабляется в зависимости
от пройденного расстояния и называется затухающей.
Экспоненциальный характер затухания был выбран с тем, чтобы можно
было объединить экспоненциальные множители соотношением
Еу> = Еу>м<жр {*<» [* —(и —wO-7-l} • (4.196)

112 Глава 4
Используя соотношения для комплексных чисел, уравнение
(4.196) можно записать в следующем удобном для дальнейшего
использования виде
Еу> = Еу>м (cos {со [* — (гс— Щ i~j } -f
+ г sin {о [г — (п — ix)-^-]}). (4.19в)
Уравнение (4.196) отличается от уравнения (4.186) тем, что
в нем показатель преломления п заменен комплексным числом,
которое будем называть, комплексным показателем преломления п.
Таким образом,
п = п — Ы. (4.20)
Остается показать, что уравнение (4.196) является решением
основных уравнений (4.1) с учетом последнего члена в правой
части. Если не отбрасывать этот член, то уравнение (4.15а)
принимает вид
»**-*** JLdE* (L2H
Подставляя уравнение (4.196) в (4.21), получим следующее
равенство:
с1ру = (п-Ы)* + ^, (4.22а)
где К0 — длина волны в вакууме. Уравнение (4.22а) устанавливает
связь между длиной волны и свойствами среды, при которой
волновое уравнение удовлетворяет уравнениям Максвелла.
Приравнивая действительные и мнимые части в уравнении (4.22а),
получим
^2_х2 = 1г7С2 (4.226)
и
„х = ^. (4.22в)
Эти уравнения можно решить относительно составляющих
комплексного показателя преломления п и х, получив для них
выражения в виде зависимости от (х, у, А,0, с0 и ге\
В этих решениях перед квадратными скобками выбраны знаки
плюс, так как гаих- положительные действительные величины.

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 113
Решения волновых уравнений для диэлектрической среды
(4.186) и проводящей среды (4.196) идентичны, за исключением
того что показатель преломления п в уравнении (4.186) заменен
комплексным показателем преломления (п — Ы) в уравнении
(4.196). Это наиболее важный вывод, который означает, что
некоторые выражения, полученные для диэлектриков, будут
справедливы и для проводников, если показатель преломления п заменить
комплексным показателем преломления (п — in). Эта аналогия
будет широко использоваться в следующих разделах.
4.4.3. Энергия электромагнитной волны
Мгновенный поток энергии, переносимый через единицу
поверхности электромагнитной волной, определяется векторным
произведением напряженностей электрического и магнитного
полей. Это произведение называется вектором Пойнтинга *)
S = Е X Н,
который в соответствии со свойствами векторного произведения
направлен под прямыми углами к векторам Е и Н в сторону,
определяемую правилом правой руки. Рассматриваемая плоская
волна (фиг. 4.2) распространяется в положительном
"направлении х'. Модуль вектора S для плоской волны определяется
выражением
\S\=ErHz>. (4.24)
Если Еу> определяется уравнением (4.196), то для
определения Нг> можно воспользоваться уравнением (4.10в), которое
справедливо как для проводников, так и для диэлектриков:
дН , дЕ , —(а .чп гсоп ^
Интегрируя полученное уравнение с учетом зависимости Еу*
от t в уравнении (4.196), найдем следующее соотношение между
напряженностями электрического и магнитного полей:
Ht. = JLEy. (4.25)
[1С0
Постоянная интегрирования принята равной нулю. Наличие
постоянной интегрирования означает, что помимо
индуцированной ЕУ" напряженности магнитного поля существует постоянная
напряженность магнитного поля, которая в рассматриваемом
случае равна нулю.
г) В русской технической литературе этот вектор часто называют
вектором Умова—Пойнтинга, в честь Н. А. Умова, впервые в 1873 г.
получившего выражение для него.— Прим. перев.

114
Глава 4
Подставляя выражение для Нг» в уравнение (4.24), найдем
модуль вектора Пойнтинга
Таким образом, мгновенный поток энергии через единицу
поверхности, переносимый электромагнитной волной, пропорционален
квадрату амплитуды напряженности электрического поля.
Так как | S | — монохроматическое свойство излучения, из
определения этой величины следует, что она пропорциональна
спектральной интенсивности излучения. В выражении для
спектральной интенсивности излучения, проходящего через среду,
также должен присутствовать экспоненциальный коэффициент
затухания, равный, согласно (4.26), квадрату экспоненциального
коэффициента в выражении для Еу>. Следовательно, на основании
(4.19а) коэффициент затухания для интенсивности излучения равен
ехр (—2(ох.г7со), или ехр (—4лх#'Ао).
4.5. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Выше была установлена волновая природа излучения и
найдены характеристики волны при ее распространении через
изотропную среду. Решение дало комплексный показатель преломления,
который связан со скоростью распространения излучения и
затуханием волны при ее движении в среде. Рассмотрим теперь
поведение электромагнитной волны на границе раздела двух сред.
В результате получим законы отражения и преломления в
зависимости от составляющих комплексного показателя преломления,
которые в свою очередь определяются, согласно уравнению (4.23),
электрическими и магнитными свойствами среды.
Для простоты рассмотрим простую косинусоидальную волну,
которая описывается уравнением (4.19в) с одним только членом,
содержащим косинус. Эта волна распространяется в направлении
х' и попадает на границу раздела двух сред (фиг. 4.3). Плоскость,
содержащая нормаль к поверхности раздела и направление х',
называется плоскостью падения (фиг. 4.1). На фиг. 4.3 система
координат выбрана таким образом, что направление у' лежит
в плоскости падения. Взаимодействие волны с границей зависит
от ее ориентации относительно плоскости падения. Например,
если вектор напряженности падающей волны лежит в плоскости
падения (его направление совпадает с осью г/'), то он составляет
некоторый угол с поверхностью раздела. Если же вектор
напряженности падающей волны перпендикулярен плоскости падения (его
направление совпадает с осью z'), то он параллелен поверхности
раздела.

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 115
На фиг. 4.3 показан фронт плоской, поперечной волны,
распространяющейся в направлении х'. Хотя из-за различия
скоростей распространения в двух средах волна в общем случае
будет преломляться при прохождении через границу раздела,
Граница
раздела 'l
Ду = Ax7sin
Фронт плоской
f вОЛНЬ!
в последовательные
промежутки
времени
Среда 1
Среда 2
Фиг. 4.3. Плоская волна, падающая на границу раздела двух сред.
тем не менее она будет непрерывной, и тангенциальные
составляющие скорости на границе (составляющие по оси у) будут
одинаковыми в обеих средах. Это соотношение непрерывности будет
использовано при выводе законов отражения.
Рассмотрим теперь падающую волну Ец^ поляризованную»
таким образом, что она имеет амплитуду только в плоскости х'у*
(фиг. 4.4) и, следовательно, параллельна плоскости падения.
На основании уравнения (4.19в) с одним только первым членом
получим уравнение волны в виде
#||, | = #М ||fi cos (^—^") •
(4.27)
Как следует из фиг. 4.4, а, составляющие напряженности
падающей волны по осям (х, у, z) определяются следующим
образом (составляющие положительны в положительных направлениях
осей координат):
E*tl = -%i sin р\ (4.28а)
Еул = Еы cos р\ (4.286)
Ег = 0.
(4.28в)

116
Глава 4
i Преломленная
х волна
Плоскость
/*~ падения
Фиг. 4.4. Взаимодействие электромагнитной волны с границей между двумя
средами.
а — плоская электрическая волна, поляризованная в плоскости хуп падающая на границу
раздела дзух сред; б — векторы напряженности электрического и магнитного полей,
а также вектор Пойнтинга для падающей волны, поляризованной в плоскости падения.
Подставляя (4.27) в (4.28) и учитывая, что расстояние х', которое
фронт волны проходит за данный промежуток времени, связано
(фиг. 4.3) с расстоянием у, на которое фронт перемещается вдоль
поверхности раздела, соотношением
х' = у sin р,
(4.29)

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 117
получим следующие выражения для составляющих
напряженности падающей волны:
^х, * = — ^м 11. i sin р cos [со (/ — ^^fi) ] f (4.30а)
ЕУ) t = Еми, icos р cos |~<о (t- *^sinH , (4.306)
Ям = 0. (4.30b)
Попадая на плоскость раздела yz двух сред 1 и 2, падающая
волна разделяется на отраженную Ец г под углом |3Г и
преломленную i?|,, t под углом %, которая проходит в среду 2. С
использованием геометрических соотношений (фиг. 4.4) получаем следующие
выражения для составляющих напряженности отраженной волны
в положительном направлении координат на границе раздела сред:
EXtr=-EM{Ursm$rcos[w(t~niy*^r)], (4.31а)
Еу,г= - Ям ||, г cos pr cos [о (t-n±y***r) ] , (4.316).
EZir = 0. (4.31в)
Направление Ец, г выбрано таким образом, чтобы E^t г, НТ
и Sr соответствовали правилу правой руки, при помощи которого
определяется направление вектора Пойнтинга в зависимости от
направления векторов Е и Н. Аналогично выводятся выражения
для составляющих напряжённости преломленной волны на
границе раздела сред:
EXJ=:-EMlutsm%cos[co(t-n2ycsin% )], (4.32а)
^^£M|Mcosxcos[(o(^-^^)], (4.326)
Я*.* = 0. (4.32в)
Для волн на границе раздела двух сред должны выполняться
определенные граничные условия. Сумма параллельных плоскости
раздела составляющих напряженности отраженной и падающей
волн должна быть равна составляющей в той же плоскости
напряженности преломленной волны. Это следует из того, что
напряженность в среде 1 равна сумме напряженностей падающей и
отраженной волн. Для рассматриваемой здесь поляризованной волны
данное условие приводит к следующему равенству составляющих
напряженности в направлении у (параллельных плоскости разде-

118
Глава 4
ла) в двух средах:
{Eun.icospcos[<*(t-l!£g±)]-
-EMn,r**prcaa[(o{t-"iV™b)] =
= £М|Мсо8Хсо8[со(^-^^)]}я=о. (4.33)
Поскольку уравнение (4.33) должно быть справедливо при
произвольных значениях t и у, а углы р, рг и % не зависят от t и у,
то косинусы, содержащие время, должны быть равны. Это
возможно только в том случае, когда
щ sin р = щ sin рг = п2 sin X, (4 34)
откуда следует, что
р = рг. (4.35)
Таким образом, угол отражения электромагнитной волны равен
углу ее падения (повернутому вокруг нормали к плоскости раздела
на азимутальный угол 9 = я). Эти соотношения определяют
зеркальное отражение, которое было рассмотрено в разд. 3.5.1.
Из (4.34) получаем также соотношение, связывающее углы р и %:
sinp П2 n2 —гх2 ' v '
в котором п = п — Ы.
В общем случае, когда к± и х2 не равны нулю, из уравнения
(4.36) следует, что sin % должен быть комплексной величиной,
так как пг и п2 — комплексные величины. Это означает, что
в результате взаимодействия падающей волны с плоскостью
раздела в преломленной волне происходят изменения фазы и амплитуды.
С учетом равенства косинусов, содержащих время, и равенства
(4.35) на основании (4.33) получим
(Ем и, г cos р — Ем и, г cos р = Ем и, * cos х)*=о (4.37)
Это выражение можно использовать для отыскания связи между
напряженностями Емц т и Ем\^ t отраженной и падающей волн.
При этом необходимо исключить напряженность Е м\\, t
преломленной волны, для чего понадобится рассмотреть напряженности
магнитного поля.
Напряженность магнитного поля, параллельная границе
раздела, должна быть непрерывной на плоскости раздела. Вектор
напряженности магнитного поля перпендикулярен вектору
напряженности электрического поля. Так как рассматриваемый вектор
напряженности электрического поля лежит в плоскости падения,

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 119
то вектор напряженности магнитного поля будет в таком случае
параллелен плоскости раздела. Из условия непрерывности на
границе следует
(Я, + Яг = #,)*=„• (4-38)
Соотношение (4.25) выражает связь между напряженностями
электрического и магнитного полей. Для простоты это соотношение
было получено только для определенных составляющих Нг> и Еу>,
но оно справедливо и в более общем случае
|H|«JL|E|. (4.39)
Как в случае диэлектриков, так и в случае металлов х)
магнитная проницаемость среды близка к ее значению в вакууме, т. е.
\х « \х0. Поэтому (4.38) можно представить в виде
(щЕм ||, г + щЕм ||, г = п2Ем ||, t)x=0' (4.40)
Комбинируя уравнения (4.37) и (4.40), исключим EM^itn
получим следующее соотношение для напряженностей отраженной
и падающей волн:
ЕМ\\, г = cos ft/cos х — *i/fl2 (4.41)
ЕМ\\, г COsP/COSX + "l/"2
Если сделанный вывод повторить для плоской падающей
электрической волны, поляризованной в плоскости, перпендикулярной
плоскости падения, то получим следующее соотношение для
напряженностей отраженной и падающей волн:
Ем±,г = _ cosx/cosft — щ/п2 „ ^2)
EM±,i cosx/cos $ + nl/n2
Полученные в этом разделе общие формулы будут
использованы далее в частных случаях применительно к диэлектрикам
и металлам.
4.5.1. Падение и отражение волны от диэлектрика
или прозрачной среды (показатель поглощения х
пренебрежимо мал по сравнению с показателем
преломления п)
Если обе среды либо идеальные диэлектрики, либо прозрачны,
то Xi = х2-> 0, и соотношение (4.36) принимает вид
-Щ- = -И. (4.43)
sin (3 п2 v '
) Имеются в виду неферромагнитные металлы»— Прим. перев.

120
Глава 4
Соотношение (4.43), связывающее углы преломления и падения
с показателями преломления сред, известно как закон Снеллиуса.
Для часто встречающегося случая, когда падающая волна
проходит через воздух {пг « 1), п2 = sin fVsin %.
В случае идеальной диэлектрической среды соотношение (4.41)
принимает вид
Ем |1, г _ cos ft/cos % — nxln2
^М I
/4 44}
ЛМ|| г COSP/COSX+rci/n2 " V " '
Отношение пг/п2 можно заменить отношением sin %/sin p в
соответствии с (4.43). После преобразований с использованием
тригонометрических формул это выражение принимает вид
Ем\\,г _ tg(P —х) (4.45)
Аналогично из
Ем±,
Ем±,
ЕМ\\,г tg(P+X)e
соотношения (4.42) получаем
г cosx/cos(3 — гц/п^
i ~~ COSX/COS Р + /l!/Al2
sin
sin
(р-
(РН
-х)
Ьх)
(4.46)
Как следует из уравнения (4.26), переносимая волной энергия
пропорциональна квадрату амплитуды волны. Поэтому
возведенное в квадрат отношение Е M%rIEMii будет равно отношению
энергии волны, отраженной от поверхности, к энергии волны,
падающей на поверхность в заданном направлении. Это
отношение было определено в разд. 3.5 как направленно-полусферическая
отражательная способность. Поскольку, согласно (4.35),
электромагнитные волны при рассмотренных здесь идеальных условиях
отражаются зеркально и поскольку при выводе соотношений
электромагнитной теории рассматриваются монохроматические
волны, отношение энергий более точно соответствует
направленно-полусферической спектральной отражательной способности
зеркальной поверхности (разд. 3.5.1). Спектральная
зависимость является следствием изменения оптических констант с
изменением длины волны.
Величины р^ s (k, Р, Э) для волн, поляризованных в плоскостях,
параллельных и перпендикулярных плоскости падения, будут
тЪгда равны соответственно
Рм,,в(Х,р,е)=(|^)2>
,М (4-47)
РхА..(М.е)=(4^)2.
V ДМ1, г *
Индекс s обозначает зеркальное отражение. Так как все значения
отражательных способностей, вычисленные с помощью
электромагнитной теории, справедливы только в случае зеркального

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 121
отражения, индекс s в дальнейшем будет опущен, чтобы упростить
и без того довольно сложные обозначения. Кроме того, поскольку
условия на рассматриваемой идеальной поверхности были
приняты изотропными, зависимости от угла Э не существует, и
поэтому эта переменная больше указываться не будет.
Для естественного неполяризованного света электрическое
поле не имеет определенной ориентации относительно плоскости
падения, но может быть представлено параллельной и
перпендикулярной составляющими, которые будут равны. Направленно-
полусферическая спектральная отражательная способность
зеркальной поверхности в этом случае будет равна
среднеарифметическому значению величин pxfj (k, (3) и р^ (X, |3). Используя
уравнения (4.45) — (4.47), получим
, * R. Рзп|(Х, P) + P£j.fl, Р) _ 1 rtgg(P-x) sin»(P-x)-1
PU ' Р;~ 2 - 2 Ug2(f3 + x)+sin2(f3 + x) J-
_1_ sinMp-x) Г . , cosa(P + X)1 /д AR\
2 sin»(P + X) L "^cosa(P-x)J' K '
Уравнение (4.48) известно как формула Френеля. По этой формуле
вычисляется направленно-полусферическая спектральная
отражательная способность диэлектрика, освещаемого неполяризо-
ванным светом. Связь между % и |3 определяется соотношением
(4.43).
В частном случае, когда свет падает по нормали к поверхности
раздела двух сред, cos |3 = cos % = 1, и соотношения (4.44)
и (4.46) преобразуются к виду
EM\\,r = ЕМ±, г = l—nj/n2 = п2—п{ ^ ™
Полусферическая спектральная отражательная способность
зеркальной поверхности в направлении нормали в этом случае равна
Рх. » (X) = Р. (К р = ¥>г = 0) = (^^)2 ■ (4.50)
Для волны, падающей на диэлектрик из воздуха (дх « 1),
р^ИЗтт)*- <4-51>
Приведенные выше, отражательные способности являются
спектральными величинами, так как пх и п2 зависят от X.
4.5.2. Падение электромагнитной волны
на поглощающую среду
Если показатель поглощения среды х достаточно велик,
то теоретические формулы получаются такими же, как и для
диэлектриков, с той лишь разницей, что в них появляется ком-

122
Глава 4
плексный показатель преломления п. Углы р и % связаны
соотношением (4.36). При рассмотрении поведения волны на границе
раздела двух металлов или поглощающего диэлектрика и металла
можно воспользоваться соотношениями между напряженностями
отраженной и падающей волн (4.41) и (4.42).
Если луч падает по нормали к поверхности раздела, то из
соотношений (4.41) и (4.42) получим выражение, аналогичное (4.50).
P^nW-L(W2__.X2) + (wi__.Xi)J . (4.52)
Полученная величина является комплексной, а это означает,
что в отраженной волне происходят изменения фазы и амплитуды.
Отношение энергии отраженной волны к энергии падающей волны
можно найти умножением (4.52) на сопряженную с ним
комплексную функцию.
В результате имеем
Если луч падает'на поглощающее вещество (п2, х2) из воздуха
(щ = 1, %1 ж 0), то соотношение (4.53) преобразуется к виду
Если вещество прозрачно (к2-+0), то уравнение (4.54)
сводится к (4.51).
Если свет падает под углом к поверхности, направленно-
полусферическая отражательная способность может быть
определена с помощью уравнений (4.41) и (4.42). Если падающий луч
поляризован в плоскости, параллельной плоскости падения,
формула (4.41) дает комплексное отношение
Ем\\,г _ cos P/cosх — (УЧ — wi)/(it2 — fr2) /4 55ч
^M ||, i cosP/cosx + (»i —wi)/(»a—*х2)' * '
Отражательная способность определяется как квадрат отношения
напряженностей отряженной и падающей волн, который можно
найти умножением (4.55) на сопряженную с ним комплексную
функцию. В результате имеем
, а оч _ (И2 C0S ft" п1 CQS %)2 + (*2 COS P—Xj COS X)2 / / п-^ч
PMK*» P) "(^2cosP + ^icosX)2 + (k2cosP + >CiCosx)2' K '
Аналогичную формулу получим для излучения,
поляризованного в плоскости, перпендикулярной плоскости падения:
, /* оч (*2 C0SX — п1 COS Р)2 + (*2 C0S X — *1 COS Р)2 ,, с7\
PU. VS Н; (rc2cosx + "iCosP)2 + (x2cosx + KiCOSp)2' V #U''

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 123
Как и ранее, если падающий луч неполяризован, отражательная
способность равна среднеарифметической величине параллельной
и перпендикулярной составляющих, как в формуле (4.48).
Таким образом, путем изучения уравнений Максвелла была
вскрыта волновая природа излучения. Затем было рассмотрено
взаимодействие этих волн с непоглощающими и поглощающими
средами, характеризуемыми показателем преломления в виде
действительного числа п или комплексного числа п. Полученные
результаты будут теперь применены к конкретным случаям при
рассмотрении некоторых реальных радиационных свойств.
4.6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ТЕОРИИ ДЛЯ РАСЧЕТА РАДИАЦИОННЫХ СВОЙСТВ
Электромагнитная теория имеет ряд недостатков, которые
ограничивают возможности ее применения для расчета
радиационных свойств. Помимо многих предположений, которые делаются
при выводах, теория сама по себе становится несостоятельной
в том случае, когда рассматриваемые частоты имеют тот же
порядок, что и частоты колебательного движения молекул. Это
ограничивает область применения используемых здесь уравнений
длинами волн, превышающими длины волн видимого спектра.
Теория совершенно не учитывает влияния состояния
поверхности на радиационные свойства. Это самый серьезный ее недостаток,
так как идеально чистые, оптически гладкие поверхности в
действительности почти не встречаются. Самое очевидное ее достоинство
состоит, по-видимому, в том, что она дает способы разумной
экстраполяции имеющихся ограниченных экспериментальных данных.
В следующих разделах будут рассмотрены формулы
электромагнитной теории, которые используются для расчета радиационных
свойств, и предположения, которые были сделаны при их выводе.
4.6.1. Радиационные свойства диэлектриков (х->0)
Все формулы, которые будут рассмотрены в этом разделе,
выведены при следующих предположениях: 1) среда изотропна,
т. е. электрические и внутренние оптические свойства не зависят
от направления; 2) магнитная проницаемость среды такая же, как
и в случае вакуума; 3) не происходит накопления статических
электрических зарядов; 4) отсутствуют электрические токи
проводимости, вызываемые посторонними силами.
. Измеренный показатель преломления среды обычно зависит
от длины волны, и поэтому любое вычисленное радиационное
свойство будет также зависеть от длины волны. Однако если
показатель преломления рассчитывается по абсолютной диэлектри-

124
Глава 4
ческой проницаемости среды у или по относительной
диэлектрической проницаемости К == Y^Yo» которые обычно не являются
функциями длины волны, то эта спектральная зависимость
пропадает. По этой причине в приведенных ниже выражениях
будет отсутствовать обозначение, указывающее на спектральную
зависимость, однако читатель должен помнить, что такая
зависимость может появиться, если известна зависимость оптических
или электромагнитных свойств от длины волны.
Поверхности в дальнейшем принимаются «оптически гладкими»,
т. е. гладкими в сравнении с длиной волны падающего излучения,
вследствие чего имеет место зеркальное отражение.
Отражательная способность. При упомянутых выше
ограничениях направленно-полусферическая отражательная способность
зеркальной поверхности, на которую падает под углом р
электромагнитная волна, поляризованная в плоскости, параллельной
плоскости падения, может быть вычислена с помощью формул
(4.47) и (4.45):
Аналогично с помощью формул (4.47) и (4.46) находим для волны,
поляризованной в плоскости, перпендикулярной плоскости
падения,
где % — угол преломления в той среде, на которую падает луч.
При заданном угле падения Р угол % можно определить из
соотношения (4.43):
sin х = щ = Уу[ ^ УЩ_ (4 60)
ship п2 уу2 ук2' к
где у — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, К —
относительная диэлектрическая проницаемость среды, п —
показатель преломления. Принято, что п, у и К не зависят от угла.
Отражательная способность в'случае неполяризованного света
определяется по формуле (4.48) (формуле Френеля):
Р IPJ- 2 sin*(P + X)l/ ' cos2(P-X)J' [ }
ПРИМЕР 4.1. Луч неполяризованного света падает под углом
Р = 30°, отсчитываемым от нормали к поверхности диэлектрика
(среда 2) из воздуха (среда 1). Свойства диэлектрика х2 ~ 0,
п2 = 3,0. Найти направленно-полусферическую отражательную
способность для поляризованных составляющих и
неполяризованного света.

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 125
Так как луч падает из воздуха, пх — 1кх « 1. Из (4.60) следует,
что пх/п2 = 1/3,0 = sin %/sin 30°. Следовательно, % = 9,6°.
Отражательная способность для параллельной составляющей,
согласно (4.58), равна р(, (Р - 30°) - (tg 20,47tg 39,6°) - 0,202, а для
перпендикулярной составляющей, согласно (4.59), равна
Р±(Р = 30°) = (sin 20,47sin 39,6°)2 = 0,301. Отражательная
способность в случае неполяризованного света может быть определена
по формуле (4.61) или в данном случае просто как
среднеарифметическое составляющих р' (р - 30°) = (0,202 + 0,301 )/2 = 0,252.
Выполняя расчеты, подобные приведенным в примере 4.1, для
различных углов падения и отношений показателей преломления
можно составить таблицы и построить графики для направленно-
полусферической отражательной способности. Эта величина
является спектральной в том смысле, что показатели преломления
могут быть отнесены к определенной длине волны, если имеются
подробные сведения об их зависимости от длины волны. И
наконец, эта величина относится к зеркальной поверхности, поскольку
она удовлетворяет условию (4.35).
Степень черноты. После того как была оценена
отражательная способность, можно с помощью (3.46) определить
направленную спектральную степени черноты
е (Р) = 1 - р' (Р)
для случая, когда тело непрозрачно.
Направленная степень черноты для различных значений njn^
при пг ^> пх представлена графически на фиг. 4.5. При п2 < rcx
имеется некоторый предельный угол, называемый углом Брюсте-
ра х), при превышении которого излучение полностью отражается,
так что в этой области £' (Р) = 0. Этот вопрос рассматривается
в разд. 21.3.2. В том случае, когда р' (Р) вычисляется для луча,
падающего из воздуха (тгх ^ 1), отношение п2/пг становится
равным показателю преломления вещества, на которое падает луч. По
указанной причине кривые на фиг. 4.5 можно рассматривать как
кривые степени черноты диэлектрика при его излучении в воздух,
когда значение параметра пг1пх становится равным показателю
преломления п этого диэлектрика. В дальнейшем фиг. 4.5 будет
рассматриваться именно в этом смысле.
При п = 1 степень черноты становится равной единице
(абсолютно черное тело), и соответствующая кривая на фиг. 4.5 имеет
вид окружности с радиусом, равным единице. При увеличении п
кривые остаются окружностями примерно до Р = 70°, а затем
начинают быстро спадать до нулевого значения при р = 90°.
г) В советской литературе этот угол чаще принято называть предельным
углом полного внутреннего отражения.— Прим. пере в.

126
Глава 4
Таким образом, диэлектрики очень слабо излучают под большими
углами, отсчитываемыми от нормали. При углах, меньших 70°,
степени черноты достаточно высоки. Поэтому в смысле
полусферического излучения диэлектрики являются хорошими
излучателями. Напомним еще раз, что предположения, сделанные здесь при
Фиг. 4.5. Результаты расчетов направленной степени черноты с помощью
электромагнитной теории.
Р — угол, определяющий направление излучения; £' (Р) — направленная степень
черноты; п2/щ — отношение показателей преломления.
рассмотрении уравнений Максвелла, ограничивают область
применения этих результатов длинами волн, превышающими длины
волн , видимого спектра, что подтверждается сопоставлением
с экспериментальными результатами.
По направленной спектральной степени черноты можно
вычислить полусферическую спектральную степень черноты,
воспользовавшись для этого уравнением (3.5), т. е. бя, (^> ТА) =
= (1/я) \ (^ (X, р, 0, ТА) cos Р dco. Затем можно выполнить
интегрирование по всем длинам волн и получить полусферическую
интегральную степень черноты, определяемую уравнением (3.6а).
Так как подробные данные об оптических свойствах материалов,
необходимые для выполнения интегрирования по длине волны

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 127
теоретического значения £я, большей частью отсутствуют, то
за неимением лучшего в теории вместо интегральных значений £
используются спектральные значения £*,.
1,04
Фиг. 4.6. Расчетные значения степени черноты диэлектриков с показателем
преломления п при излучении в воздух или вакуум.
а — степень черноты в направлении нормали как функция показателя преломления;
б — зависимость между полусферической степенью черноты и степенью черноты в
направлении нормали; £п — степень черноты в направлении нормали; £/£п — отношение
полусферической степени черноты к степени черноты в направлении нормали; п —
показатель преломления.
Интегрирование £' (Р), необходимое для получения 6,
осложняется неявной зависимостью между % и р. Поэтому интегрирование
выполняется численным методом. Степень черноты в направлении
нормали является удобной величиной, к которой можно отнести
полусферическую степень черноты. Согласно (4.51), степень
черноты при излучении диэлектрика в направлении нормали (среда 2)
в воздух равна
€;«*-(2$г)а. (4-62)

128
Глава 4
Зависимость £п от п представлена на фиг. 4.6, а. Заметим, что
значение степени черноты в направлении нормали, меньшее ~0,5,
соответствует показателю преломления п > 6. Такие большие
значения п не характерны для диэлектриков, и поэтому кривая
не продолжена на меньшие значения £п. На фиг. 4.6, б приведены
отношения полусферической степени черноты к степени черноты
в направлении нормали для диэлектриков в зависимости от
степени черноты в направлении нормали.
ПРИМЕР 4,2. Показатель преломления диэлектрика 1,41.
Какова его полусферическая степень черноты при излучении в воздух
на длине волны, которой соответствует показатель преломления?
Согласно (4.62), степень черноты в направлении нормали
равна 6п = 1 — (0,41/2,41)2 = 0,97. Из графика, приведенного
на фиг. 4.6, б, следует, что (7бп = 0,94, а полусферическая
степень черноты равна £ = 0,97 X 0,94 = 0,91.
При больших значениях п значения £п сравнительно малы,
и с увеличением п кривые, изображенные на фиг. 4.5, все больше
отклоняются от окружности, соответствующей значению п = 1.
Из фиг. 4.6, б, следует, что сплющивание кривых на фиг. 4.5
в области, близкой к нормали, приводит к тому, что
полусферическая степень черноты при больших значениях п превышает
степень черноты в направлении нормали. Вследствие слабого
излучения при больших значениях р (фиг. 4.5) при значениях п,
близких к единице (£„ также близко к единице), полусферическая
степень черноты меньше степени черноты в направлении нормали.
4.6.2. Радиационные свойства металлов
Как было показано, свойства металлов определяются такими же
по виду соотношениями, как и свойства диэлектриков. В случае
электрических проводников, однако, показатель поглощения
среды к не пренебрежимо мал по сравнению с показателем
преломления п. Как будет показано, существуют некоторые
упрощающие предположения, позволяющие получить более полезные
формулы, чем общие результаты, которые даст теория. Основная
сложность, связанная с использованием теоретических
результатов, состоит в том, что трудно получить оптические
характеристики'для подстановки в эти формулы. Если даже имеются
экспериментальные данные, они часто оказываются недостаточно точными
вследствие трудностей, связанных с их получением.
Формулы для отражательной способности и степени черноты,
в которых используются оптические константы. При длинах
волн, превышающих длины волн видимого диапазона, показатель
преломления п и показатель поглощения % для большинства

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 129
металлов весьма велики. Поэтому для излучения, испускаемого
диэлектриком с показателем преломления п, близким к единице,
угол преломления % весьма мал и cos % приближается к единице.
Докажем это.
Для металлов абсолютное значение отношения комплексных
показателей преломления, связывающего % и р, можно получить
умножением (4.36) на сопряженную комплексную функцию. Если
излучение, распространяющееся в диэлектрике или воздухе
(среда 1) с | rail « 1, падает на металл (среда 2), то
\п2\ = \п2-Ы2\ = У'^+К = ^' (4.63а)
Максимальное значение sin Р равно единице. Поэтому для
заданных п2 и х2 максимальное значение sin % равно
При типичных для металлов больших значениях пг и х2 (табл. 4.2)
X будет иметь малое значение. Если значение Уп\ + Xg> ~ 3,3,
то значение х<18°, a cos 18° ^0,95. Таким образом, если
Yn\ + Xg > 3,3, то cos х можно принять равным единице
с ошибкой менее 5%.
Это позволяет с хорошим приближением принять в
формулах (4.41) и (4.42) cos % = 1. Для падающего излучения,
распространяющегося в диэлектрике, формулы (4.41) и (4.42) принимают
следующий вид:
ЕМ\\,Г __ COS Р —71!/%
EM\\,i cosP + fti/ra2
и
еМа_,г __ l/cosft— ni/n2
(4.64а)
v - - » (4.646)
ЛМ1,г 1/COSP + п{/п2
где rcx близко к единице. Формулы (4.56) и (4.57) являются
основными для расчета отражательной способности. Если падающий луч
распространяется в прозрачной или диэлектрической среде,
составляющие отражательной способности металлов (cos % = 1)
становятся равными
Pll(p)=(„2+„1/C0sp)2+Xi (4-65)
PlW) = \n*7niC0SZi% (4.66)
Эти выражения представляют собой квадраты отношений напря-
женностей из (4.64).

130
Глава 4
Для луча, падающего на металл с комплексным показателем
преломления п2 — £х2 из воздуха, показатель преломления
которого щ с очень хорошим приближением может быть принят
равным единице, эти формулы преобразуются к виду
о' (Р>\ — (игсозР — l)2 + (*2cosP)2 ,, R7.
И|1w (n2cosP + l)2 + (x2cosP)2 ^,u'>
И
Для неполяризованного луча
Р'(Р) = Р1(Р)1Р|'|(Р). (4-69)
Соответствующие значения степени черноты вычисляются по
формуле £' (р) = 1 — р' (Р). Окончательные выражения для них
можно упростить до
с> /о\ 4"'2 cos Р // 7П\
4IUV — (W| + x|)cos2p + 2nacosP + l' ^ '
c' /ft\_ 4?г2 cos p (A7i\
^W) cos2P + 2^cosp + ^ + xl ж K 'il'
В случае неполяризованного света
^(P)=€l(P) + €||(P)> (4.72)
На фиг. 4.7 приведены результаты расчета по этим формулам
степени черноты чистой гладкой поверхности платины при длине
волны 2 мкм. Сравнение этих результатов с экспериментальными
данными показывает, что, хотя общий характер кривой,
рассчитанной по формуле (4.72), правилен, имеются количественные
расхождения. Значения пик платины, заимствованные из 44-го
издания справочника «Handbook of Chemistry and Physics» [2],
равны 5,7 и 9,7 x) соответственно. Заметим, что в 35-м издании
этого же справочника приведены значения п и х для платины,
определенные по результатам более ранних исследований и
равные 0,7 и 3,5 соответственно. Расхождение данных в 8 раз для
показателя преломления и в 2,8 раза для показателя поглощения
свидетельствует о трудности определения оптических свойств
г) Читатель должен иметь в виду, что комплексный показатель
преломления можно определить не только принятым здесь способом (п = п — ix).
Принято также определение п = п — г'лх, иногда со знаком «плюс» перед
членом с показателем поглощения. При обращении к заимствованным данным
необходимо обращать внимание на определение нужной величины, чтобы
в случае необходимости перевести ее в ту систему, которая используется
в данной книге.

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 131
металлов, связанной, по всей вероятности, с большим влиянием
на них чистоты поверхности металла и легкости его загрязнения.
Хотя неточность оптических констант затрудняет точную
оценку радиационных свойств, тем не менее теория позволяет
понять тенденцию изменения тех или иных свойств. В случае
0,5
0,4
|о,з
U I
-< "
^<
ол
8 S *
J_^
ю
20
30
40 50
Р, граЗ
60
70
80
90
Фиг. 4.7. Направленная степень черноты платины при длине волны Л =
= 2 мкм.
V Т = 300 К [18]; О Т = 657 К [19]; О Т = 1400 К [201; формула (4.72) с
использованием данных (п= 5,7, и = 9,7) из работы [2]; £^ (К = 2 мкм, р, Т) —
направленная спектральная степень черноты; Р — угол, определяющий направление излучения.
металлов, как это показано на фиг. 4.7 на примере платины,
степень черноты почти постоянна до угла Р л:40о, отсчитываемого
от нормали, и увеличивается затем до максимума, соответствую-
щего углу, составляющему несколько градусов с касательной
к поверхности. В отличие от металлов излучение диэлектриков
существенно уменьшается при значениях углов р, отсчитываемых
от нормали, более 60°.
В табл. 4.2 расчетные значения направленных спектральных
степеней черноты при Р = 0, полученные с помощью формулы
(4.72), сравниваются с экспериментальными значениями. Все
данные заимствованы из работы [2]. Благодаря большому количеству
имеющихся данных для некоторых сопоставлений использована
длина волны X = 0,589 мкм. Это объясняется тем, что в
лабораторных условиях доступным интенсивным источником
монохроматического излучения является излучающая на этой длине волны
натриевая лампа. Так как длина волны 0,589 мкм относится к вида-

132
Глава 4
мому диапазону, она приходится на границу спектра со стороны
коротких длин волн, где электромагнитная теория становится
неточной.
Таблица 4.2
Сравнение рассчитанных с помощью электромагнитной теории
значений спектральных степеней черноты в направлении нормали
с экспериментальными данными *)
Металл
Медь
Золото
Железо
Магний
Никель
Серебро
Вольфрам
Длина
волны,
к, мкм
0,650
2,25
4,00
0,589
2,00
0,589
0,589
0,589
2,25
0,589
2,25
4,50
0,589

Показатель
преломления
п
0,44
1,03
1,87
0,47
0,47
1,51
0,37
1,79
3,95
0,18
0,77
4,49
3,46
Показатель
поглощения и
3,26
11,7
21,3
2,83
12,5
1,63
4,42
3,33
9,20
3,64
15,4
33,3
1 3,25
Спектральная степень
черноты в направлении
нормали £^ п {%)

экспериментальная
0,20
0,041
0,027
0,176
0,032
0,43
0,27
0,355
0,152
1 0,074
! 0,021
0,015
1 0,49
вычисленная
по формуле
(4.72)
0,140
0,029
0,014
0,184
0,012
0,674
0,070
0,381
0,145
0,049
0,013
: 0,014
! 0,455
1) Данные заимствованы из справочника [2].
Сравнение величин, приведенных в табл. 4.2, показывает, что
расчетные и экспериментальные значения 6*,, п, например, хорошо
согласуются для никеля и вольфрама, но отличаются в 4 раза для
магния. В случаях плохого согласования результатов трудно
решить, следует ли приписать ошибку только оптическим
константам, только результатам измерения степени черноты или же
самой теории. Причиной расхождения может быть либо один, либо
все источники ошибок. Наиболее вероятно, что до некоторой
степени неточны оптические константы и экспериментальные
образцы не отвечают стандартам обработки поверхности, которые
требует теория.
Выражение для полусферической степени черноты металлов
(с комплексным показателем преломления п — be) при излучении
в воздух или в вакуум можно найти подстановкой (4.72) в (3.5).

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 133
После интегрирования получим
£ = An — in2. In —L—7-1—г1- ■ -arctgl—;—5-—=■ J -f-
v. M2 + X2 ' x V n + rc2 + x2 / '
+ -g$-T-, 2^* ln(l + 2tt + tt2+*2)-~
ГС2 + Х2 (д2 + х2)2 ч l '
-$£#•*»ill- <"3>
Производить расчеты по формуле (4.73) трудно, так как в ней
содержатся малые разности больших чисел и приходится выполнять
вычисления с большим числом значащих цифр.
Степень черноты металлов в направлении нормали при
излучении в воздух можно вычислить по формуле (4.72), приняв (3 = 0.
На фиг. 4.8, а приведены результаты расчетов в зависимости от п
и %. Следует заметить, что поскольку скорость электромагнитной
волны в диэлектрике меньше с0, то кривая для к = 0 не
продолжена до значений, меньших п = 1 *). Более полные данные, чем
на фиг, 4.8, а, приведены в виде таблиц в работе [3].
Интересно сравнить полусферическую степень черноты с ее
значением в направлении нормали. Практическая необходимость
в таком сравнении возникает в связи с тем, что чаще
экспериментально определяется степень черноты в направлении нормали, так
как в этом случае приемник излучения довольно просто установить
в нужном направлении. Однако, чтобы оценить общую диссипацию
тепла, необходимо знать полусферическую степень черноты.
На фиг. 4.8, б показана зависимость отношения
полусферической степени черноты к степени черноты в направлении нормали
от степени черноты в направлении нормали. Пунктирная кривая
построена по формуле (4.73), в которой обе части разделены на 6^
для случая п = х. В следующем разделе будет показано, что
эта формула при больших длинах волн справедлива для многих
металлов. Как видно из графика, эта кривая близка к кривой для
металлов, полученной из приближенных уравнений Якобом [4],
но лежит ниже кривой для диэлектриков (взятой с фиг. 4.6, б)
при высоких значениях степени черноты в направлении нормали.
Для полированных металлов, когда 6п<~ 0,5, полусферическая
степень черноты больше степени черноты в направлении нормали
вследствие увеличения излучения в направлении, близком к
касательному к поверхности (фиг. 4.7). Поэтому, чтобы оценить
полусферическую степень черноты на основании табличных данных для
полированных металлов, табличное значение £п необходимо
умножить на коэффициент, .больший единицы, который определяется
*) В области аномальной дисперсии показатель преломления п может
быть меньше 1. В этом случае скорость с должна рассматриваться не как
скорость электромагнитного излучения, а как фазовая скорость волны.

l.Oi
0,8
0,6
0,4
0,2
\
v>
л
/
/
г/ 1
ъ/*
у<=о
\\
2 ^
\
V,
Ъу^
0^
1^
п=к^
Ч
Ч
ч.
"•^^
^
— ^
а |
0 2 4 6
10 12 14 16 18 20
л
l,40i
1,30
1,20
1,10'
1,00
0,90'
К
\\
V
\
<'
\
Ч
\
V
Ч
ч
2
V
ч
■^
d\
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Фиг. 4.8. Результаты расчетов степени черноты металлов с помощью
электромагнитной теории.
а — степень черноты ослабляющей среды в направлении нормали при излучении в
воздух; б — отношение полусферической степени черноты к степени черноты в направлении
нормали. 1 —металлы 14]; 2 — формула (4.73) при и = п; 3 — диэлектрики, и = 0;
£п — степень черноты в направлении нормали; п — показатель преломления; и —
показатель поглощения.

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 135
по графику на фиг. 4.8, б. Реальные шероховатые или слегка
окисленные поверхности испускают излучение по направлениям
более диффузно, чем полированные поверхности. Поэтому на
практике отношение степеней черноты может быть ближе к еди
нице, чем представленное на фиг. 4.8, б.
Связь между степенью черноты и электрическими свойствами.
Решения уравнений Максвелла дают возможность по
электрическим и магнитным свойствам вещества определить значения п
и х. Эти значения определяются по формулам (4.23). В случае
металлов, когда ге мало, при относительно больших длинах волн
(например, при Х0 > ~ 5 мкм) член Х0/2пс0геу становится
определяющим и формулы (4.23) преобразуются в следующую формулу
(магнитная проницаемость принята равной |л0):
^x = |/^ = j/5, (4.74)
В этой формуле все величины представлены в единицах системы СИ.
Если Х0 измеряется в микронах, а ге — в Ом «см (вместо Ом«м),
формула (4.74) принимает вид
„ = * = ]/£«;, (4.75)
в котором она известна как формула Хагена — Рубенса [5]. Как
видно из табл. 4.3, при расчете по этой формуле значений п и к
возможны весьма существенные ошибки. Тем не менее в конечном
счете удается получить некоторые полезные результаты.
При упрощении п = к формула типа (4.54) сводится к
следующему выражению для вещества с показателем преломления га,
излучающего в направлении нормали в воздух или в вакуум:
€x..(*.) = l-pi..W = l-g=|±J.. (4.76а)
Хотя вычисления по формуле (4.76а) не представляют особых
трудностей, часто выполняют дальнейшее упрощение, разлагая
выражение (4.76а) в ряд
ei„^ = i--(i-A+^_^+_l.__l_+...). (4.7бб)
Так как показатель преломления металлов, вычисленный по
формуле (4.75) при рассматриваемых здесь больших длинах волн
Я0 > ~ 5 мкм (табл. 4.3, шестая колонка), достаточно велик,
то часто ограничиваются только двумя первыми членами ряда.
Подставляя затем (4.75), получают формулу для спектральной
степени черноты в направлении нормали, известную как формула

Металл
Алюминий
Медь
Золото
Платина
Серебро
Длина волны
%о, мкм
12
4,20
4,20
5,50
5,00
5,00
4,50
4,37
Экспериментальные значения
удельного
электрического
сопротивления (при 20° С) г
10-6 Ом-см!)
2,82
1,72
1,72
1,72
2,44
10
1,63
1,63
показателя
преломления
п
33,6 2)
1,92 2)
1,92 2)
3,161)
1,811)
11,5 1)
4,491)
4,34 2)
показателя
поглощения %
76,4 2)
22,82)
22,82)
28,41)
32,81)
15,7 1)
33,31)
32,6 2)
Значения,
вычисленные
по формуле (4.75)
при п ~ х
ИЗ
86
86
98
78
39
91
90
Спектральная степень черноты
в направлении нормали
U,n&)
измеренная
0,02 1)
0,027 1,3)
0,015 4)
0,012 4)
0,0311,3)
0,050 4)
0,015 1,3)
0,015 My
вычисленная
по формуле
(4.77)
0,018
0,023
0,023
0,020
0,026
0,051
0,022
0,022

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 137
Хагена — Рубенса для степени черноты:
й..(Х)-1_й..(Х)»1_(1-±)-1Яд^=. (4.77)
На фиг. 4.9 приведены данные для полированного никеля.
Экстраполяция на большие длины волн по формуле (4.77)
оказывается достаточно точной. Приведенные в табл. 4.3 расчетные
значения спектральной степени черноты в направлении нормали
гораздо точнее расчетных значений соответствующих оптических
констант.
0,3
о,?
с
0,08
0,06
0,04
0,03
0,02
0>011 2 3 А 5 6 7 8 910 20 30
Л, мкм
Фиг. 4.9. Сравнение экспериментальных и расчетных значений
спектральной степени черноты в направлении нормали ^ п для полированного никеля.
Экспериментальные данные: 294 К [17]; 1200 К [17]; 1272 К [21],
цитируется по [17]; 294 К [22], цитируется по [17]. Результаты расчетов:
(верхняя кривая) 1110 К; (нижняя кривая) 294 К, формула (4.77); к —
длина волны.
Спектральную степень черноты в направлении нормали,
определяемую формулой (4.77), можно проинтегрировать по всем
длинам волн и получить интегральную степень черноты в
направлении нормали. Интегральное соотношение, связывающее
спектральную и интегральную величины, определяется выражением (3.36)
(преобразованным применительно к степени черноты в
направлении нормали, т. е. р = 0):
оо
я J d, п (Я, Т) i'ib (К Т) dX
€n {Т) = -^fi •
_i . I .1.1.1 L

138
Глава 4
Формула (4.77) справедлива только при Х0 > ~ 5 мкм. Поэтому
при выполнении интегрирования, начиная от к = О, должно
удовлетворяться условие, в соответствии с которым температура
и/ч
0,20
0,16
0,12
0,08
0,04
л
-
—
ёг
1 1
+*
1
D
\
^*>'
\
^
]
D
п у^о
^'
^
1 1 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8'Ю3
Т, К
Фиг. 4.It). Интегральная степень черноты в направлении нормали £'п для
полированных металлов в зависимости от температуры.
Экспериментальные значения: О платина; П вольфрам. Результаты расчетов по
формуле (4.816): платина; вольфрам.
металла должна быть такой, что энергия излучения в диапазоне
Х0 от 0 до 5. мкм будет мала по сравнению с энергией излучения
при длинах волн, больших 5 мкм. Подставляя затем выражения
(4.77) и (2.11а), получим
Q(T):
то
1/2
2С,
Х»(ес*/*>т_1
• dho
оТ*
ЫС1(Тте)т f S3,5
0,003 V%aC\
dl,
(4.78)
где переменная £ = C2/k0T аналогична использованной в (2.19).
Интегрирование, выполненное с помощью Г-функций, приводит к
, m ^ 4nCi(Tre)i/2 ,2 27
6п(7)~о,ооз^аСр 1Z'^
(4.79)

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 139
Удельное сопротивление ге чистых металлов при близких к
комнатной температурах описывается зависимостью
Ге&Ге$ 273 273» (4-80)
где r€t 273 — удельное сопротивление при 273 К (0° С), измеряемое,
как и ранее, в Ом «см. Подставляя (4.80) в (4.79), получим
а' (Т\ „ г4я Cf 12,27 -. /" rCt 273 у1 (Л 8la^
или
е;(Г)«0,03471/Ч,273Г, (4.816)
где Г—в градусах Кельвина. Таким образом, при больших
длинах волн (Х0 > ~ 5 мкм) интегральная степень черноты чистых
металлов должна быть
пропорциональна температуре.
Этот результат
первоначально был получен в 1905 г. Аш-
кинасом [6]. В некоторых
случаях соотношение (4.81)
выполняется при неожиданно
высоких температурах, когда
значительная доля излучения
приходится на область
коротких длин волн (для платины,
например, около 1770 К), но
в основном оно применимо
для температур ниже ~600 К.
Это показано на фиг. 4.10
на примере платины и
вольфрама (данные заимствованы
из работы [2]).
На фиг. 4.11 приведены
для сравнения интегральные
степени черноты в
направлении нормали, полученные
экспериментально и
вычисленные по формуле (4.81, б)
для ряда полированных
поверхностей чистых металлов при 100° С. Согласование
результатов в основном удовлетворительное. В качестве
экспериментальных величин для сравнения взяты минимальные
экспериментальные значения величин, приведенных в трех справочных изданиях
12, 7, 8].
Используя вычисленную по формуле (4.81) степень черноты,
можно найти интегральную интенсивность излучения металлов
О 0,02 0,04 0,06 0,06 0,10
Экспериментальные значения е1п
Фиг. 4.11. Сравнение
экспериментальных и расчетных значений
интегральной степени черноты в направлении
нормали £'п для полированных металлов
при 100° С.
1 — свинец; 2 — олово; з — вольфрам; 4 —
медь; 5 — золото; 6 — серебро; 7 —
алюминий; 8 — никель; 9 — цинк; 10 — платина;
11 — железо; 12 — хром.

140
Глава 4
в направлении нормали
l-n, металл = tn, металл—"Z— °° J- • (4.о^/
Из формулы (4.82) видно, что интегральная интенсивность
излучения металлов в направлении нормали пропорциональна пятой
степени абсолютной температуры, а не четвертой, как в случае
абсолютно черного тела. Снова необходимо подчеркнуть, что при
выводе этого упрощенного выражения было введено много
допущений. Если, например, оставить больше двух членов ряда (4.76б)г
то получить точную пропорциональность между интегральной
интенсивностью излучения в направлении нормали и Тъ нам
не удалось бы, хотя показатель степени все-таки был бы больше 4.
Результаты более подробных выкладок приведены в работе [4].
Интегральная степень черноты в направлении нормали
определяется формулой
е; (Т) = 0,576 VrJ + 0Д24гД\ (4.83)
где Т —- в градусах Кельвина, а ге — в Ом -см. Интегрирование
по всем направлениям позволяет получить полусферические
величины. В двух указанных областях применимы следующие
приближенные формулы для полусферической интегральной
поверхностной плотности потока излучения:
е (Т) = оГ4 (0,751 ]/"^Г-0,396геГ), 0 < геТ< 0,2, (4.84а)
и
^(Г) = аГ4(0,698^геГ~0,266геГ), 0,2<геГ<0,5. (4.846)
Цифровые множители в круглых скобках и цифры, указывающие
область применения формулы, пригодны только в том случае,
когда Т измеряется в градусах Кельвина, аге-в Ом «см.
Удельное сопротивление ге зависит от Г в первой степени, так что
первый член в круглых скобках каждой из этих двух формул дает
зависимость от Г5, которая рассматривалась выше.
4.6.3. Сводка расчетных зависимостей
Формулы, полученные с помощью электромагнитной теории
и используемые для расчета радиационных свойств, сведены
в табл. 4.4.
ПРИМЕР 4.3. Полированная платиновая поверхность
поддерживается при температуре ТА = 222 К. На поверхность падает
излучение, испускаемое абсолютно черной полостью,
охватывающей эту поверхность при температуре Т% = 444 К. Определить
полусферически-направленную интегральную отражательную
способность в направлении нормали к поверхности.

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 141
Таблица 4.4
Сводка формул для расчета радиационных свойств с помощью
электромагнитной теории
Свойство
Формула
Условия
Направленная
отражательная способность
То же
Отражательная способность
в направлении нормали
Полусферическая степень
черноты
Диэлектрики (х = 0)
Излучение поляризовано в плоскости,
параллельной плоскости падения
Излучение поляризовано в плоскости,
перпендикулярной плоскости падения
Неполяризованное излучение
(4.58)
(4.60)
(4.59)
(4.60)
(4.61)
(4.60)
(4.50)
Фиг. 4.6
Поляризованное или
неполяризованное излучение
Излучение в среду с п = 1
Металлы (контакт с прозрачной средой, имеющей п — 1)
Излучение поляризовано в плоскости,
параллельной плоскости падения
Направленная
отражательная способность
То же
Направленная степень
черноты
Полусферическая степень
черноты
Спектральная степень
черноты в направлении нормали
Интегральная степень
черноты в направлении нормали
(4.67)
(4.68)
(4.69)
(4.72)
(4.73)
(4.76а)
(4.77)
(4.816)
(4.83)
Излучение поляризовано в плоскости,
перпендикулярной плоскости падения
Неполяризованное излучение
То же
» »
Поляризованное или
неполяризованное излучение, К > ~ 5 мкм
Т < ~ 560 К
Согласно (3.48), направленно-полусферическая интегральная
отражательная способность может быть вычислена по формуле
р;(ГА-222К)-1-~а;(ГА = 222К),
где о<п{ТЛ = 222 К) — интегральная поглощательная способность
поверхности при 222 К в направлении нормали для падающего
излучения абсолютно черного тела при 444 К, которая равна
а;(ГА=222К)-'
I а'к п (А,, ТА=222 К) щ> (X, 444 К) dX
I ЧЪ (Я, 444 К) dk

142
Глава 4
Для спектральных величин а^ п (X, ТА = 222 К) = £^ п (к, Т А =
= 222 К). Из формулы (4.77) следует, что изменение ге с
температурой приводит к изменению ^ п (к, ТА),
пропорциональному f{\ Тогда el п (К ТА = 222 К) = &, п (Я, ТА = 444 К) X
X (222/444)1/? и
оо
j/"y j d, п (Я,, ГА = 444 К) i£b (X,, 444 К) Л
а;(Гд»222К)= 2
| iib {%, 444 К) dX
о
._ еп {Та = 444 К)
Последнее равенство получено с помощью выражения (3.36),
определяющего степень черноты. Интегральная степень черноты
в направлешш нормали для платины при 444 К может
вычисляться по формуле (4.816), которой на фиг. 4.10 соответствует
сплошная кривая
е; (ТА = 444 К) = 0,0347 ]/F^.444 =; 0,051.
Вспомним, что формулой (4.816) можно пользоваться только при
таких температурах, когда основная часть энергии излучения
приходится на длины волн, большие 5 мкм. Проверка функций
для абсолютно черного тела по табл. А.5 приложения показывает,
что при 444 К на область длин волн менее 5 мкм приходится
около 10% энергии. По всей вероятности, допускаемая при этом
ошибка будет незначительной.
Для получения окончательного значения полусферически-
направленной интегральной отражательной способности
воспользуемся соотношением взаимности (3.28), справедливым при
равномерном распределении интенсивности падающего излучения:
Р;(ГА = 222К) = 1-о;(Гл = 222К)«1-||(Гл = 444К) =
==1_02051=0964
V2
4.7. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ
РАДИАЦИОННЫХ СВОЙСТВ
Было затрачено много усилий, чтобы усовершенствовать теорию
радиационных свойств материалов с помощью классической
волновой и квантовой теорий. Многие авторы успешно преодолели
некоторые ограничения, которые имеют место в приведенных здесь
классических выводах. Существенный вклад внесли Дэвиссон

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 143
и Уикс [9], Фут [10], Шмидт и Эккерт [И], Паркер и Абботт [12],
которые расширили область применения формул для степени
черноты металлов на более короткие длины волн и более высокие
температуры, а также Мотт и Зенер [13], которые на основе
квантовых соотношений вывели зависимость для степени черноты
металлов при очень коротких длинах волн. Эдварде [14] сделал обзор
по последним достижениям в области расчета радиационных свойств
поверхностей.
Однако ни одна из этих работ не учитывает влияния состояния
поверхности. Вследствие трудностей определения условий на
поверхности и изготовления контролируемой поверхности сравнение
теории с экспериментом не всегда удовлетворительно даже в
случае усовершенствованных теорий. Сопоставление с менее точными,
но более простыми формулами типа приведенных в этой главе
часто дает лучшие результаты. Даже в случае наиболее чистых
веществ, приготовленных самым тщательным образом,
элементарные формулы часто оказываются более точными, так как
ошибки, допускаемые в более простой теории, таковы, что они до
какой-то степени компенсируют влияние обработки и состояния
поверхности.
На математическое описание электромагнитных волн и их
отражений оказывают влияние эффекты поляризации. Подробное
обсуждение этих эффектов выходит за рамки данной работы.
Подробное рассмотрение аналитических методов исследования
и использования явлений поляризации содержится в работе [15].
Литература
1. Maxwell J. С, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, in «The
Scientific Papers of James Clerk Maxwell», W. D. Niven (ed.), vol 1, Gam-
bridge University Press, London, 1890.
2. Weast R. C. (ed.), Handbook of Chemistry and Physics, 44th ed./Chemical
Rubber Co., Cleveland, 1962.
3. Hering R. G., Smith T. F., Surface Radiation Properties from
Electromagnetic Theory, Int. J. Heat Mass Transfer, 11, 1567—1571 (1968).
4. Якоб M., Вопросы теплопередачи, ИЛ, M., 1960.
5. Hagen Е., Rubens Н., Metallic Reflection, Ann. Physik, 1, № 2, 352—
375 (1900); см. также Hagen E., Rubens H., Emissivity and Electrical
Conductivity of Alloys, Deutsch. Phys. Ges. Verhandl., 6, № 4, 128—136
(1904).
6. Aschkinass E., Heat Radiation of Metals, Ann. Physik, 17, № 5, 960—
976 (1905).
7. Мак-Адаме В. X., Теплопередача, Металлургиздат, 1961, стр. 87—175.
8. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М., Теория тепло- и массообмена, Госэнергоиздат,
М., 1961.
9. Davisson С, Weeks J. R., Jr., The Relation between the Total Thermal
Emissive Power of a Metal and Its Electrical Resistivity, /. Opt. Soc. Am.r
8, № 5, 581—605 (1924).
10. Foote P. D., The Emissivity of Metals and Oxides. III. The Total Emissivity
of Platinum and the Relation between Total Emissivity and Resistivity,
NBS Bull., 11, № 4, 607—612 (1915).

144
Глава 4
11. Schmidt Е., Eckert E:R.G., Uber die Richtungsverteilung der Warmestrah-
lung von Oberflachen, Forsch. Geb. Ingenieurw., 6, № 4, 175—183 (1935).
12. Parker W. J., Abbott G. L., Theoretical and Experimental Studies of the
Total Emittance of Metals, Symp. Thermal Radiation Solids, NASA SP-55,
1964, 11—28.
13. Mott N. F., Zener C, The Optical Properties of Metals, Cambridge Phil.
Soc. Proc, vol. 30, pt. 2, 249—270 (1934).
14. Эдварде, Излучательные характеристики материалов, Труды амер. общ-
ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 91, 96—113 (1969).
15. Shurcliff W. A., Polarized Light, Production and Use, Harvard University
Press, Cambridge, Mass., 1962.
16. Garbuny M., Optical Physics, Academic Press, Inc., New York, 1965.
17. Seban R. A., Thermal Radiation Properties of Materials, pt. Ill, WADD-
TR-60-370, University of California, Berkeley, August 1963.
18. Brandenberg W. M., The Reflectivity of Solids at Grazing Angles.
Measurement of Thermal Radiation Properties of Solids, J. C. Richmond (ed.),
NASA SP-31, 1963, 75-82.
19. Brandenberg W. M., Clausen 0. W., The Directional Spectral Emittance of
Surfaces between 200° and 600° C, Symp. Thermal Radiation Solids, NASA
SP-55, 1964, 313-320.
20. Price D. J., The Emissivity of Hot Metals in the Infra-Red, Proc. Phys.
Soc. {London), ser. A, 59, pt. 1, 118—131 (1947).
21. Hurst C, The Emission Constants of Metals in the Near Infra-Red, Proc.
Roy. Soc. (London), ser. A., 142, №^847, 466—490 (1933).
22. Pepperhoff W., Temperaturstrahlung, D. Steinkopf, Darmstadt, 1956.
Задачи
1. Диэлектрик с коэффициентом преломления га = 1,8 излучает
в воздух. Какова направленная степень черноты в
направлении, нормальном к поверхности, и в направлении,
составляющем 85° с нормалью?
Ответы: 0,919; 0,371.
2. Удельное электрическое сопротивление металлов при
температуре 300 К равно: 1,65 -10~6 Ом -см для серебра, 11,0-10~6Ом-см
для платины и 20,8 «10~6 Ом «см для свинца. Каковы
теоретические значения полусферической интегральной степени
черноты этих металлов и как они согласуются с табличными данными
для чистых неокисленных полированных поверхностей?
Ответы: 0,017; 0,042; 0,057.
3. Оцените спектральную отражательную способность алюминия
в направлении нормали при температуре 111 К для длин волн
Х0, равных 5, 10 и 20 мкм.
Ответы: 0,969; 0,978; 0,984.
4. На полированное золото при температуре 30° С падает
излучение от серого источника в направлении нормали при
температуре 540° С. Найти поглощательную способность а'п.
(Воспользуйтесь методом, примененным в примере 4.3.)
Ответ: 0,026,

Определение радиационных свойств по электромагнитной теории 145
Полусферическая интегральная поверхностная плотность
потока излучения полированной металлической поверхности при
некоторой температуре Ts составляет 1890 Вт/м2. Какова будет
поверхностная плотность потока излучения, если температура
увеличится вдвое? Какие допущения содержатся в вашем ответе?
Ответ: 60 550 Вт/м2.
На графике приведены некоторые экспериментальные данные
для полусферической спектральной отражательной способности
полированного алюминия при комнатной температуре.
Экстраполируйте эти данные до ^ = 12 мкм. Воспользуйтесь любым
методом, но перечислите ваши допущения. Оцените ожидаемую
точность вашей экстраполяции. {Указание. Удельное
сопротивление чистого алюминия при 20° С составляет примерно
2,82-Ю-6 Ом-см. При % = 12 мкм п = 33,6 — 76,4*.
(Можно воспользоваться любой, обеими или не воспользоваться ни
одной из этих величин.)
IflO
0,95
'З 0,90
^0,85
0уд0
0,75 \-
0,70
о
о о
±-+-ь.
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 4,0
X, мкм
Полусферическая спектральная отражательная способность р^ (X, ТА)
нанесенного слоя алюминия [Hass G<, Filmed Surface of Reflecting Optics, /. Opt.
Soc. Am., 45, 945 (1955)].
Обратите внимание на изменение шкалы оси абсцисс.
Неокисленная полированная сфера из титана нагревается
до красного каления. С некоторого расстояния она имеет вид
красного диска. Как, согласно электромагнитной теории, будет
меняться яркость красного цвета вдоль диаметра диска? Что бы
следовало ожидать при рассмотрении фиг. 5.1?

146
Глава 4
8. По формуле Хагена — Рубенса постройте график зависимости
спектральной степени черноты в направлении нормали от длины
волны при температуре 30 К для полированной алюминиевой
поверхности, используемой в криогенной установке. Какова
интегральная степень черноты в направлении нормали?
{Указание. Не пользуйтесь соотношениями, которые справедливы
только для температур, близких к комнатным.)

5
РАДИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
РЕАЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
В данной главе будут рассмотрены основные радиационные
свойства реальных материалов» Эти свойства могут существенно
отличаться от вычисленных с помощью электромагнитной теории
идеальных свойств, которые были рассмотрены в гл. 4 для
«оптически гладких» поверхностей. Расчеты оказываются полезными
для выявления общих тенденций и служат основой для
объяснения различных радиационных явлений. Однако расчетные
значения часто являются неудовлетворительными в том смысле, что
инженер в основном имеет дело с поверхностями, загрязненными
в той или иной степени, окисленными, окрашенными и т. д. Кроме
того, эти поверхности имеют шероховатость, которую трудно
в полной мере оценить. Чтобы показать характер возможных
отклонений радиационных свойств, в данной главе будут
приведены примеры некоторых типичных изменений радиационных свойств
в зависимости от тех или иных параметров. Это поможет читателю
оценить, в какой степени данная радиационная характеристика
зависит от условий на поверхности. Кроме типичных свойств будет
приведено несколько нетипичных примеров, которые показывают,
какой тщательной должна быть проверка индивидуальных свойств,
чтобы сделать правильный выбор их значений для расчетов
теплообмена излучением.
В этой главе будут рассмотрены только непрозрачные твердые
вещества, которые не пропускают энергию излучения через всю
толщину тела. Сложные системы, такие, как тонкое покрытие
на подложке из другого материала, могут частично пропускать
излучение, но будем здесь считать, что излучение совсем не
проходит через подложку. Мы не ставили перед собой цель собрать
исчерпывающие сведения о радиационных свойствах. Обширные,
но не исчерпывающие таблицы и графики по радиационным
свойствам представлены в работах [1—6]. Некоторые табличные данные
приведены в приложении Г.
В гл. 4 уже указывалось, что радиационные свойства металлов
и диэлектриков, как это следует из электромагнитной теории,
существенно различаются. По этой причине разделы 5.3 и 5.4
будут посвящены этим двум классам материалов, причем вначале
будут рассмотрены металлы. Затем будут рассмотрены некоторые
специальные поверхности с заданными зависимостями свойств
от длины волны и направлений.

148
Глава 5
5.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь;
с0 — скорость распространения электромагнитной волны
в вакууме;
е — поверхностная плотность потока излучения;
Pq-% — доля энергии излучения абсолютно черного тела
в интервале спектра 0 — X;
р — распределение вероятности;
Q — поток энергии;
q — плотность потока энергии;
ге — удельное электрическое сопротивление;
Т — абсолютная температура;
z — высота шероховатости поверхности;
а — поглощательная способность;
Р — полярный угол;
у -— абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;
£ — степень черноты;
9 — азимутальный угол;
X — длина волны;
}х — абсолютная магнитная проницаемость среды;
р — отражательная способность;
а — постоянная Стефана — Больцмана (табл. А.4);
ао — среднеквадратичная высота шероховатости поверхности.
Подстрочные индексы
А —
а —
Ь —
с —
е —
i —
п —
R -
г —
s —
X —
— Я,—
свойство относится к поверхности А;
поглотитель;
абсолютно черное тело;
величина, вычисленная при пороговой длине волны;
испускаемое излучение;
падающее излучение;
направление нормали;
излучатель;
отраженное излучение;
зеркальное отражение;
спектральная величина;
в интервале длин волн 0 — X.

Радиационные свойства реальных материалов
149
Надстрочные индексы
' — величина зависит от одного направления;
" — величина зависит от двух направлений.
5.3. РАДИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
Металлы с чистой гладкой поверхностью часто имеют низкие
значения степени черноты и поглощательной способности и,
следовательно, довольно высокие значения отражательной
способности. Как видно из фиг. 4.11, степень черноты в направлении
нормали для целого ряда металлов с полированной поверхностью
весьма низка. Низкие значения степени черноты, однако,
свойственны не всем металлам. В некоторых случаях, которые будут
рассмотрены далее, спектральная степень черноты достигает 0,5
или более высоких значений при коротких волнах, а интегральная
степень черноты увеличивается с повышением температуры.
5.3.1. Зависимость степени черноты от направления
Для полированных металлов характерно возрастание
направленной степени черноты с увеличением угла (5 (отсчитываемого
от нормали к поверхности), за исключением углов, близких к 90°.
Это предсказывается электромагнитной теорией и подтверждено
на примере платины (фиг. 4.7). При более коротких волнах, чем те,
для которых применима упрощенная электромагнитная теория,
изложенная в гл. 4, можно ожидать отклонения от указанного
поведения. В качестве примера такого отклонения на фиг. 5.1
приведен график направленной спектральной степени черноты
титана с полированной поверхностью. При длине волны,
большей ~1 мкм, направленная спектральная степень черноты титана
действительно имеет тенденцию увеличиваться с возрастанием ^
почти для всех значений углов. Увеличение с углом (5 становится
менее заметным с уменьшением длины волны, и, наконец, при
длине волны, меньшей 1 мкм, направленная спектральная
степень черноты начинает даже уменьшаться с увеличением (3 во всем
диапазоне значений углов. Следовательно, при коротких волнах
может нарушаться характерное для полированных металлов
свойство увеличивать излучение в направлениях, близких к
касательной к поверхности.
5.3.2. Зависимость от длины волны
В гл. 4 было показано,-что в инфракрасной области спектра
спектральная степень черноты металлов увеличивается с
уменьшением длины волны. Для степени черноты в направлении нормали

150
Глава 5
р, граЭ
О
Фиг. 5.1. Зависимость направленной спектральной степени черноты £% (X, р)
чистого титана от длины волны [6].
Среднеквадратичное отклонение неровностей поверхности до 0,4 мкм. р — угол
направления излучения.
эта тенденция сохраняется в большом интервале длин волн (фиг.
5.2). Как следует из фиг. 5.1, такая же тенденция имеет место и
для других направлений, за исключением направлений,
образующих большие углы с нормалью, при которых кривые для
различных длин волн могут пересекаться. Кривая для меди на фиг. 5.2
составляет исключение, поскольку степень черноты с
изменением длины волны остается- почти постоянной.
При очень коротких волнах предположения, на которых
основана упрощенная теория электромагнитного излучения (гл. 4),
становятся несправедливыми. Большинство металлов в
действительности имеют максимум степени черноты где-то вблизи
видимого диапазона, а затем степень черноты быбтро падает при
дальнейшем уменьшении длины волны. Примером может служить
кривая для вольфрама (фиг. 5.3).

Фиг. 5.2. Зависимость спектральной степени черноты в направлении
нормали £ь, п (к) полированных металлов от длины волны % [23].
I — молибден при 1110 К; 2 — железо при 1317 К; 3 — платина при 1217 К; 4 — никель
при 1200 К; 5 — медь при 1242 К.
о>5г
0,4
с °>3
0,2
0,1
1 I 1
1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1 г 3
X, мкм
фиг. 5.3. Зависимость полусферической спектральной степени черноты
вольфрама £х (Я, ТА) от длины волны X и температуры поверхности [24].

152
Глава 5
5.3.3. Влияние температуры поверхности
Согласно формуле Хагена —- Рубенса (4.77), при не слишком
коротких волнах (X > ~5 мкм) спектральная степень
черноты металла пропорциональна его удельному электрическому
сопротивлению в степени V2. Поэтому можно ожидать, что
спектральная степень черноты чистых металлов будет увеличиваться
с температурой, как и удельное сопротивление. Установлено,
Z00 400 600 800 1000 1200 1400
Фиг. 5.4. Зависимость полусферической интегральной степени черноты
£ (ТА) от температуры ТА для нескольких металлов, графита и одного
диэлектрика [1].
1 — графит; 2 — окись магния; з — полированный инконель X; 4 — магний; 5 —
вольфрам; 6 — полированное золото.
что это имеет место во многих случаях. На фиг. 5.3 предст/авлена
полусферическая спектральная степень черноты вольфрама.
Ожидаемая тенденция наблюдается при ^>1,27 мкм. Кроме того,
на фиг. 5.3 отражено явление, характерное для многих металлов
[7]. При коротких волнах (для вольфрама при А, < 1,27 мкм)
зависимость от температуры меняется на обратную и спектральная
степень черноты уменьшается с увеличением температуры.
Как было указано в разд. 5.3.2, наблюдаемое увеличение
спектральной степени черноты металлов с уменьшением длины
волны в инфракрасной области спектра (при длинах волн, больших
длин волн видимого диапазона) объясняет возрастание
интегральной степени черноты с температурой. С увеличением температуры
максимум кривой излучения абсолютно черного тела (фиг. 2.6)
смещается в сторону более коротких волн. Поэтому с
увеличением температуры поверхности в области более высоких значений
спектральной степени черноты пропорционально увеличивается

Радиационные свойства реальных материалов
153
энергия излучения, что приводит к росту интегральной степени
черноты. Некоторые примеры приведены на фиг. 5.4, где
сравнивается поведение металлов с поведением диэлектрика (окиси
магния), для которого степень черноты с увеличением температуры
уменьшается.
Рассмотрим теперь влияние еще двух факторов: шероховатости
поверхности и ее загрязнения, Эти факторы могут явиться
причиной значительных отклонений от расчетов с помощью
электромагнитной теории, приводимых в гл. 4.
5.3.4. Влияние шероховатости поверхности
Если высота неровностей на поверхности вещества гораздо
меньше длины волны рассматриваемого излучения, то
поверхность называют оптически гладкой. Оптически гладкая
поверхность при больших длинах волн может быть довольно
шероховатой при малых длинах волн. Радиационные свойства веществ
с оптически гладкими поверхностями с известными ограничениями
могут быть вычислены с помощью электромагнитной теории (гл. 4).
Важным параметром, характеризующим влияние шероховатости,
является оптическая шероховатость, которая представляет собой
отношение характерной высоты (обычно это среднеквадратичное
значение1 высоты шероховатости поверхности а0) к длине волны
излучения.
При оптической шероховатости о0/Х, большей единицы,
существуют многократные отражения во впадинах между элементами
шероховатости. В результате шероховатость увеличивает
поглощение падающего излучения и, следовательно, полусферическую
поглощательную способность и полусферическую степень черноты
поверхности.
Если шероховатость значительна, она оказывает существенное
влияние на направленные излучательные и отражательные
характеристики. При о0/К > 1 можно использовать понятия
геометрической оптики для определения хода лучей, отражаемых
внутри впадин или от элементов шероховатости. Если геометрия
шероховатости определена точно, то в некоторых случаях
становится возможным оценить изменение направленных характеристик.
В качестве примера в разд. 5.5.2 рассматривается направленная
степень черноты поверхности с параллельными канавками.
Обычно шероховатость очень нерегулярна, и поэтому приходится
использовать статистическую модель. Шероховатость, например,
можно представить как беспорядочно ориентированные грани,
обладающие зеркальным отражением.
Когда оптическая шероховатость мала (а<Д < 1), влияние
многократных отражений во впадинах незначительно, и
полусферические свойства становятся почти такими же, как у гладких

454
Глава 5
поверхностей. Однако вследствие дифракции шероховатость может
оказывать существенное влияние на направленные
характеристики (особенно на двунаправленную отражательную
способность).
Было выполнено несколько теоретических расчетов влияния
шероховатости поверхности на радиационные свойства веществ.
В настоящее время проводятся исследования по
совершенствованию и использованию результатов этих расчетов и сравнению их
с результатами точных измерений. Теоретические решения дают
основу для понимания многих наблюдаемых эффектов,
обусловленных шероховатостью.
Основное затруднение при теоретическом определении
радиационных свойств связано с точным определением характеристик
поверхности, которые вводятся в уравнения. По-видимому,
наиболее общим способом описания шероховатости поверхности
является указание метода ее обработки (шлифование, полирование,
травление и т. д.) и среднеквадратичной высоты шероховатости.
Последняя измеряется обычно профилометром — прибором,
который с помощью острого пера обводит профиль поверхности и
регистрирует среднеквадратичное отклонение пера по вертикали.
Он не измеряет горизонтальные промежутки между
шероховатостями и не регистрирует распределение размеров шероховатостей
относительно среднеквадратичного значения, а также не дает
никакой информации о среднем наклоне сторон элементов
шероховатости, от которого зависят характеристики заключенных
между ними впадин. В настоящее время нет общепринятого метода
точного определения характеристик поверхности и ни один из
методов, упомянутых в этом разделе, не подходит в полной мере
для описания радиационных свойств.
Далее будут кратко рассмотрены некоторые теоретические
методы и результаты расчетов будут сопоставлены с
экспериментальными данными. Дэвис [8] для определения отражательных
свойств шероховатой поверхности использовал теорию дифракции.
Было принято, что шероховатость распределяется в соответствии
с гауссовым (нормальным) распределением вероятностей, и
вероятность р (z) высоты шероховатости z определяется соотношением
р(г)=^Ыехр(-ё)-
Предполагалось также, что отдельные неровности поверхности
имеют достаточно малый наклон и экранированием можно
пренебречь, а а0 <^Х. Кроме того, предполагалось, что вещество
является идеальным проводником, и на основании (4.236) его
показатель поглощения равен бесконечности. Это позволяет
исключить из рассмотрения поглощение вещества, и поэтому
теоретический расчет дает возможность скорее судить о распреде-

Радиационные свойства реальных материалов 155
лении энергии отраженного излучения по направлениям, а не
о величине самой отраженной энергии. Было установлено, что
распределение энергии отраженного излучения состоит из
компоненты, соответствующей зеркальному отражению, и компоненты,
распределенной около пика зеркального отражения.
Аналогичный вывод для о0 ^> X привел к распределению
интенсивности отраженного излучения около пика зеркального
отражения, но на этот раз с большим угловым разбросом, чем
в случае а0 <^ X. Этого и следовало ожидать, так как поверхность
должна вести себя подобно идеальному зеркальному отражателю,
когда шероховатость становится очень малой по сравнению с
длиной волны падающего излучения. Вследствие пренебрежения
влиянием экранирования элементами шероховатости результаты Дэви-
са становятся очень неточными для направлений, близких
к направлениям касательных к поверхности.
Портес [9] развил метод Дэвиса, устранив ограничение на
соотношение между а0 и X и введя дополнительные параметры для
определения характеристик шероховатости поверхности.
Достигнуты некоторые успехи в расчете характеристик шероховатости
образцов по данным измерения отражательной способности, но для
некоторых видов щероховатостей поверхности получено плохое
соответствие. Измерения были выполнены главным образом при
падении излучения по нормали к поверхности, и пренебрежение
экранированием делает эти результаты сомнительными для
направлений, близких к направлениям касательных к поверхности.
Более удовлетворительные результаты получены Бекманом
и Спицичино [10]. Для описания поверхности в их методе
используется среднестатистическое расстояние между пиками
шероховатости, по которому определяется среднеквадратичное значение
наклона элементов шероховатости. Этот метод обеспечивает
лучшее соответствие данных, чем приведенные ранее решения.
Критический анализ и сравнение методов Дэвиса и Бекмана
выполнены в работе [11].
Некоторые экспериментальные данные по влиянию
шероховатости поверхности при малых значениях сг<Д приведены на
фиг. 5.5. На фиг. 5.5, а представлены экспериментальные значения
направленной степени черноты титана [6] при 2 мкм для трех типов
обработки поверхностей: шлифования, хонингования и
полирования. Максимальная высота шероховатости составляет 0,4 мкм,
поэтому длина волны излучения заметно больше шероховатости
поверхности. Следовательно, относительно данной длины волны
образцы можно считать гладкими. В результате при изменении
шероховатости от 0,05 до 0,4 мкм степень черноты изменяется
незначительно. Кроме того, влияние шероховатости на
распределение степени черноты по направлениям тоже оказывается очень
слабым. В работе [6] приводятся также данные для поверхностей,

р, гроо
0,2
0,4 0,6
е£(Х=2 мкм, р)
0,8
^ X, мкм
Фиг. 5.5. Влияние шероховатости при малых значениях оптической
шероховатости (о*(Д < 1).
а — влияние обработки поверхности на направленную спектральную степень черноты
чистого титана при длине волны 2 мкм [6]; Д о0 = 0,4 мкм, шлифование; D d0 = 0,1 мкм,
хонингование; О о*0 = 0,05 мкм, полирование, о0 — среднеквадратичная высота
шероховатости поверхности; £^ (Л, = 2 мкм; 0) — направленная спектральная степень
черноты; 0 — угол излучения; б — влияние шероховатости на двунаправленную
отражательную способность в случае зеркального отражения для образцов никеля с
шлифованной поверхностью; высота шероховатости полированного образца 0,015 мкм L25J.
О о~о = 0,14 мкм; D о"о = 0,17 мкм; <$> а0 » 0,315 мкм; А а0 = 0,86 мкм; р£ (*<. Рг =
=* Э, вг = в + я)/[р£ (Л,. 0Г= Р, 9Г = 9 + я)]полиров — отношение двунаправленной
отражательной способности шероховатого образца в направлении зеркального отражения
к двунаправленной отражательной способности полированного образца; К *— длина волны.

Радиационные свойства реальных материалов 157
обработанных с помощью пескоструйного аппарата. У этих
поверхностей наблюдается большее увеличение степени черноты.
На фиг. 5.5, б представлены данные по отражательной
способности никеля в случае зеркального отражения
излучения,'падающего под углом 10° (угол отсчитывается от нормали). Чтобы
показать влияние шероховатости на направленные характеристики,
на этом графике представлены не абсолютные значения
отражательной способности шероховатых образцов, а их отношения
к отражательной способности полированной поверхности.
Шероховатость используемой для сравнения полированной поверхности
была примерно в 10 раз меньше, чем у шероховатых образцов.
Высокие значения ординат свидетельствуют о том, что
поверхность образца по своим характеристикам приближается к
полированной поверхности. Данныа приведены для шлифованных
образцов никеля с четырьмя различными значениями высоты
элементов шероховатости при а0/Х<1. £ увеличением длины
волны (уменьшением оптической шероховатости) отражательная
способность растет, так как при данной высоте шероховатости
поверхность становится более гладкой по отношению к падающему
излучению. Как и следовало ожидать, при фиксированной длине
волны отражательная способность в случае зеркального
отражения уменьшается с увеличением шероховатости. Данные для
алюминия, обнаруживающие такую же тенденцию, хорошо
согласуются с теорией Бекмана (см. [12]).
Торренс и Спэрроу [13, 14] провели подробное
экспериментальное исследование двунаправленной отражательной способности
при оптической шероховатости а0/Х >> 1 и получили теоретическое
решение на основе принципов геометрической оптики. Это
решение подтвердило основные тенденции экспериментальных данных.
На фиг. 5.6 приведены некоторые типичные результаты для
двунаправленной отражательной способности алюминия при
оптической шероховатости поверхности 2,6, Они представлены в виде
зависимости двунаправленной отражательной способности в
плоскости падения (плоскости, образованной падающим лучом
и нормалью к поверхности) от угла отражения |3Г. Отражательная
способность отнесена к величине, полученной для зеркального
отражения. Кривые соответствуют различным углам падения.
В случае диффузной поверхности интенсивность отраженного
излучения не зависит от |5Г и представлена на графике пунктирной
линией, соответствующей единице. Зеркальное отражение
представлено в виде острого высокого пика при (5Г = р. При угле
падения 30° интенсивность отраженного излучения имеет
максимум в направлении, соответствующем зеркальному отражению
0$г — 30°). Однако с увеличением угла падения максимум р£
смещается в сторону больших углов, чем при
зеркальном,отражении. Например, при р = 60° максимум отражательной способ-

158
Глава 5
ности приходится на угол |5Г = 85° в отличие от гладких
поверхностей, для которых максимум имеет место при |3Г = |3. Теория
показывает, что это отклонение от зеркального отражения, кото-
Рь гра8
Фиг. 5.6. Двунаправленная отражательная способность в плоскости падения
при разцичных углах падения [14].
Материал — алюминий 2024-Т4 с алюминиевым покрытием; среднеквадратичная высота
шероховатости а0 — 1,8 мкм; длина волны падающего излучения % = 0,5 мкм. р£ {К =
в 0,5 мкм, 0г. 6г = Э + я)/р^ (Л, *=_0,5 мкм, ftr = Р, 6Г = 9 + я) — отношение
двунаправленной отражательной способности к двунаправленной отражательной способности
при зеркальном отражении; ft — угол падения; рг — угол отражения.
рое имеет место при больших оптических шероховатостях и
больших углах падения, является результатом взаимного
экранирования элементами шероховатости.
5.3.5. Влияние загрязнения поверхности
Под загрязнением поверхности будем понимать любой вид
загрязнения, изменяющий свойства оптически гладкой
поверхности чистого металла. Наиболее часто встречающимся типом
загрязнения являются тонкие слои постороннего вещества,
отложившегося на поверхности либо в результате адсорбции (как
в случае паров воды), либо в результате химической реакции.
Характерным примером последнего является наличие на
поверхности металла тонкого слоя окисла. Так как диэлектрики, как

1Л
CM
II
«о. 0,1
(L01
D
П
J . 1 . I ihl I L_JL
>, мкм
10
100
Фиг. 5.7. Влияние слоя окисла на направленную спектральную степень
черноты титана.
Угол, определяющий направление излучения, 25°. Поверхность полированная;
среднеквадратичная высота шероховатости 0,05 мкм; температура 294 К. О данные для неокис-
ленного титана [6]; О данные для неокисленного титана [26]; - расчет по формуле
Хагена — Рубенса (4.77); поверхность, покрытая слоем окисла толщиной 0,06 мкм
[26]; 6^ $,, Р = 25°) — направленная спектральная степень черноты; Я, — длина волны»
Фйг. 5.8. Влияние окисления на спектральную степень черноты в
направлении нормали для инконеля X [5J.
1 — окисленная поверхность; 2 — поверхность, очищенная в состоянии поставки;
з—полированная поверхность; £^ п (к) — спектральная степень черноты в направлении нор*
мали; % — длина волны»

160
Глава 5
I, и
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
01
_ 1
_ 2
—
4
~ 3, \
-^\W**r.
это будет показано в разд. 5.4, имеют в общем случае высокие
значения степени черноты, то наличие слоя окисла или другого
неметаллического вещества обычно увеличивает степень черноты
идеального во всех других отношениях металлического тела.
На фиг. 5.7 приведены данные по направленной спектральной
степени черноты титана под углом 25°, отсчитываемым от нормали
к поверхности. Экспериментальные точки относятся к неокислен-
ному металлу, а сплошная линия представляет собой степень
черноты в идеальном случае,
рассчитанном с помощью
электромагнитной теории. Пунктирная кривая,
расположенная выше
экспериментальных точек, соответствует
экспериментальной степени черноты при
наличии слоя окисла - толщиной
0,06 мкм. Можно видеть, что на
большей части рассматриваемого
диапазона длин волн степень черноты почти
вдвое больше степени черноты
чистого вещества. На фиг. 5.8 показано
аналогичное увеличение
спектральной степени черноть! в направлении
нормали окисленной поверхности
инконеля X по сравнению с
полированным металлом.
На фиг. 5.9 и 5.10, а. показано
влияние окисления на интегральную
степень черноты в направлении
нормали для нержавеющей стали и на
полусферическую интегральную
степень черноты меди. Хотя
происхождение слоя окисла не указано,
совершенно очевидно большое влияние
поверхностного окисления. Более
точные сведения о влиянии слоя окисла приведены на фиг. 5,10, б
и 5.11, на которых представлены интегральная степень черноты
в направлении нормали для меди и полусферическая интегральная
степень черноты алюминия. Даже слой окисла толщиной
несколько микрон приводит к существенному увеличению степени
черноты. Для окисленного алюминия результаты типа представленных
на фиг. 5.11 получены Бренноном и Голдстейном [15].
На фиг. 5.12 показан примерный характер зависимости
направленной интегральной поглощательной способности
анодированного алюминия от угла падения р излучения, исцускаемого
источниками с различными температурами. Величина р* (§)
представляет собой долю энергии падающего излучения, которая отра-
'300 400 500 600 700
Фиг. 5.9. Влияние состояния
поверхности и ее окисления
на интегральную степень
черноты в направлении нормали
для нержавеющей стали типа
18-8 [5].
1 — пескоструйная обработка,
атмосферное воздействие и окисление
при 816° С; 2 — обработка кислотой
и атмосферное воздействие; 3 —
полированная поверхность; 4 —
неполированная поверхность;
€^ (тд) — интегральная степень
черноты в направлении нормали;
Гд — температура.

0,8
0,6
0,4
0,2
300 400 500 600 700 800
a tai к
2 3 4 5 6
у Толщина окисленного слоя„ меди, мкм
Фиг. 5.10. Влияние слоя окисла на излучательные свойства меди.
а — влияние слоя окисла на полусферическую интегральную степень черноты меди [1];
1 — черный окисел; 2 — сильно окисленная поверхность; 3 — слегка окисленная
поверхность; 4 — полированный (чистый) металл; G (ТА) — полусферическая интегральная
степень чеРноты; Тд — температура; б — влияние толщины слоя окисла на
интегральную степень черноты меди в направлении нормали при 96° С [15]; £^ (тА = 96° С) —
интегральная степень черноты в направлении нормали.

2 4 6 8 10
Толщина плен ни онисла, мкм
Фиг. 5.11. Влияние пленки окисла, нанесенной электролитическим
способом, на полусферическую интегральную степень черноты € алюминия.
Температура 37,8° С [1].
Р, граб
0
15
^\зо
•^980'
\>45
\б0
Температура
источнина^У^.
<С^\ 628
803^
1
Л75
1(
0,5
1,0
[1 - р^О/ц - р' п)
1,5
90
2,0
Фиг. 5.12. Примерный характер зависимости направленной интегральной
поглощательной способности анодированного алюминия при комнатной
температуре. Кривые нормализованы относительно значения направленной
интегральной поглощательной способности при падении излучения в
направлении нормали [27].
3 — угол падения излучения.

Радиационные свойства реальных материалов
163
жается зеркально. Поэтому 1 — р^ ((5) представляет собой долю
энергии падающего излучения, которая поглощается и отражается
во всех остальных направлениях. В случае исследованных
образцов энергия излучения, отраженного во всех этих направлениях,
составляла всего лишь несколько процентов. Поэтому величину
1 — ps (Р) на фиг. 5.12 можно рассматривать с достаточно хорошей
степенью точности как направленную интегральную поглощатель-
ную способность. Все приведенные кривые построены в
относительном виде так, что при (S = 0 они проходят через единицу. При
Чо^^43
0,4 0,6 0,8 1 2
\ мкм
Фиг. 5.13. Полусферическая спектральная отражательная способность
алюминия с покрытием из сернистого свинца при падении излучения в
направлении нормали [28].
Масса покрытия, приходящаяся на единицу площади, составляет 0,68 мг/см2; 1 —
алюминий без покрытия; 2 — дендритовая кристаллическая структура, 0,1 мкм; 3 —
кубическая кристаллическая структура 0,6 мкм. р^ (Я) — полусферическая спектральная
отражательная способность; А, — длина волны.
этом выявляется форма кривых, что имеет существенное значение.
При низких температурах источника падающее излучение
соответствует в основном длинноволновой части спектра. Тонкая
пленка окисла на Анодированной поверхности слабо влияет на это
падающее излучение, и поэтому образцы ведут себя так же, как
и не имеющий покрытия металл, и их поглощательная
способность велика при больших углах р. При высоких температурах
источника, когда падающее излучение соответствует в основном
коротковолновой части спектра, тонкая пленка окисла оказывает
существенное влияние, и поверхность ведет себя уже как
неметалл, поглощательная способность которого уменьшается с
увеличением угла р.

164
Глава 5
Существенное влияние на радиационные свойства может
оказывать и структура покрытия. На фиг. 5.13 приведена
полусферическая спектральная отражательная способность алюминия с
покрытием из сернистого свинца. В обоих представленных случаях
масса покрытия, приходящаяся на единицу площади поверхности,
была одинаковой. Различие в структуре и размерах кристаллов
покрытия приводит к тому, что отражательная способность
образцов при длинах волн, больших 3 мкм, различается вдвое.
5.4. РАДИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
НЕПРОЗРАЧНЫХ НЕМЕТАЛЛОВ
В общем случае неметаллы при умеренных температурах
характеризуются высокими значениями интегральной полусферической
степени черноты и поглощательной способности и, следовательно,
низкими по сравнению с металлами значениями отражательной
способности. В гл. 4 с помощью упрощенной электромагнитной
теории были получены некоторые результаты для чистых
оптически гладких поверхностей. Они позволяют сделать следующие
выводы (с учетом довольно строгих ограничений теории):
направленная степень черноты уменьшается с увеличением угла,
отсчитываемого от нормали к поверхности; зависимость от длины волны
обычно слабая, так как она появляется в определяемой
характеристике через показатель преломления, который для
большинства неметаллов слабо изменяется с длиной волны; наконец,
температурная зависимость свойств неметаллов также слабая, так
как температура, как это следует из теории, влияет только через
показатель преломления, который обычно слабо зависит от
температуры.
Трудность применения этих выводов состоит в том, что в
большинстве случаев неметаллы нельзя отполировать до такой
степени, чтобы их поверхность можно было считать идеальной, хотя
и существуют довольно распространенные исключения, как,
например, стекло, различные типы больших кристаллов,
драгоценные камни и некоторые пластмассы (часть этих материалов не
относится к непрозрачным). Вследствие неидеальной обработки
поверхности поведение многих неметаллов в действительности
совершенно не соответствует предсказаниям электромагнитной теории.
Имеющиеся экспериментальные данные для неметаллов
значительно скуднее, чем для металлов. Часто отсутствуют
определения состояния поверхности, ее структуры и т. д. В качестве
примера приведена табл. 5.1, в которой не определены ни тип
древесины, ни структура, ни цвет кирпича, ни состав масляной
краски. Из этой таблицы видно, что многие неметаллические
вещества при комнатной температуре имеют высокие значения
степени черноты (см. также таблицу в приложении Г).

Радиационные свойства реальных материалов 165
Таблица 5J
Интегральния степень черноты в направлении нормали
для неметаллов при температуре 20° С [1]
Материал
Кирпич
Ламповая сажа
Масляная краска
6п
0,94
0,95
0,89-0,97
Материал
Рубероид
Эбонит
Древесина
6п
0,91
0,92
0,8-0,9
Истолкование измеренных характеристик усложняется тем,
что излучение, проходящее внутрь неметаллического вещества,
может до поглощения проникать в глубокие слои (это очевидно
для видимого диапазона спектра на примере стекла). Чтобы
поглотить почти все падающее излучение, образец должен иметь
0,8
с
0,2
0 2 4 6 8 10 12 14
X, мкм
Фиг. 5.14. Степень черноты покрытий из окиси цинка на подложке из
оксидированной нержавеющей стали. Температура поверхности 880 ±8К [16].
подложка; подложка с шероховатостями, заполненными окисью
цинка; подложка с заглаженными шероховатостями и покрытие толщиной 6: 6=
= 0,05 мм; б = 0,10 мм; б = 0,20 мм; 6 = 0,41 мм. £^ п^)-
спектральная степень черноты в направлении нормали; X — длина волны.
значительную толщину. В противном случае его нельзя считать
непрозрачным и необходимо учитывать пропущенное излучение.
Часто неметаллические вещества, например краски, наносят на
металлическую или другую непрозрачную основу (подложку)
и затем измеряют свойства полученной системы. Если при этом
хотят получить поверхность со свойствами вещества покрытия,

166
Глава 5
толщина неметаллического покрытия должна быть достаточной,
чтобы не пропустить значительной доли излучения через
покрытие. Если это условие не соблюдено, то при измерении
отражательной способности часть падающего излучения будет отражаться от
подложки и, пройдя через покрытие, добавится к энергии,
регистрируемой прибором. Полученные результаты измерений будут
в этом случае зависеть как от свойств вещества покрытия, так
и от свойств вещества подложки.
При измерении степени черноты вещества покрытия слой
покрытия должен: быть достаточно толстым, чтобы излучение
подложки не проникало через покрытие. Хороший пример
приводит Либерт [16]. Он определял спектральную степень черноты
окиси цинка на различных подложках при различных толщинах
окисного слоя. На фиг. 5.14 показано влияние толщины покрытия
на степень черноты системы, состоящей из слоя окиси цинка
и подложки, имеющей примерно постоянную спектральную
степень черноты в направлении нормали. Влияние толщины
покрытия становится незначительным при толщинах 0,2—0,4 мм, и
значение степени черноты приближается к ее значению для окиси цинка.
Рассмотрим теперь зависимость радиационных свойств
диэлектриков, от длины волны, температуры и шероховатости
поверхности, а затем остановимся вкратце на радиационных свойствах
полупроводников.
5.4.1. Спектральные измерения
По сравнению с металлами имеется мало спектральных
измерений свойств диэлектриков. На фиг. 5.15 приведены данные
по полусферически-направленной спектральной отражательной
способности в направлении нормали для трех покрытий стали
краской. На основании закона Кирхгофа и соотношений
взаимности для отражательной способности разность между единицей
и этим значением отражательной способности можно
рассматривать как спектральную степень черноты в направлении нормали.
Все три краски имеют разные характеристики. Белая краска при
малых длинах волн имеет высокую отражательную способность
(низкую степень черноты), которая уменьшается с увеличением
длины волны. С другой стороны, черная краска имеет во всем
рассматриваемом диапазоне длин волн сравнительно низкую
отражательную способность. Добавление алюминиевой пудры
в кремнийорганическое соединение, используемое в качестве
краски, увеличивает отражательную способность, как и
следовало ожидать для «более металлического» покрытия. Этот особый
образец алюминированной краски ведет себя подобно «серой»
поверхности, так как ее свойства слабо зависят от длины волны.
Вследствие большого изменения спектральной степени черноты

Фиг. 5.15. Спектральная отражательная способность красок, используемых
в качестве покрытий. Образцы при комнатной температуре [29].
1 — алюминированная кремнийорганическая краска на инконеле X, толщина слоя
краски^ мкм; 2 — черная эмалевая краска на стали, толщина слоя краски 15 мкм; 3 — белая
краска на стали. р£,д (к) — полусферически-направленная спектральная отражательная
способность в направлении нормали; X — длина волны.
Видимая область спектра
J
0,2 0,6
1,0
Г, 4 1,8
X, мкм
2,2
2,6
3,0
Фиг. 5.16. Направленно-полусферическая спектральная отражательная
способность окиси алюминия. Угол падения 9°. Образцы при комнатной
температуре [5].
1 — Нортон, RA 4213; 2 — Нортон, LA 603. р^ (К (3 = 9°) —
направленно-полусферическая спектральная отражательная способность; % — длина волны.

168
Глава 5
при малых длинах волн применять приближение серого тела
к белой краске нельзя, за исключением тех случаев, когда
излучение в коротковолновой области спектра несущественно.
Как следует из фиг. 5.16, отражательная способность
некоторых неметаллов при малых длинах волн в видимой области
спектра может существенно уменьшаться. Такое поведение имеет
важное значение в тех случаях, когда необходимо подобрать
специальное неметаллическое покрытие для отражения излучения
от высокотемпературного источника, у которого большая доля
энергии приходится на коротковолновую часть спектра.
5.4.2. Зависимость интегральных характеристик
от температуры
Влияние температуры поверхности на интегральную степень
черноты нескольких неметаллических материалов показано на
1,0
0,9
0,8
1
0,5
0,4
0,3
"," 400 500 600 800 1000 12001400
Тд, К
Фиг. 5.17. Влияние температуры поверхности на интегральную степень
черноты диэлектриков [1].
Полусферическая интегральная степень черноты £(ТА): О керамическое покрытие на
нержавеющей стали; П окись циркония (непрозрачное покрытие) на инконеле.
Интегральная степень черноты в направлении нормали £^ (та): д покрытие из карбида
кремния на графите; V огнеупорный материал на окиси магния; ■ алюминированная крем-
нийорганическая краска на титане, толщина слоя краски 25 мкм; о черная
теплоизоляционная краска на стали, толщина слоя краски 15 мкм; < белая краска на
нержавеющей стали. ТА — температура.
фиг. 5.17—5.19. С ростом температуры наблюдается тенденция
как к увеличению, так и к уменьшению степени черноты. В неко-

Радиационные свойства реальных материалов 169
торых случаях влияние температуры может быть связано с малой
толщиной покрытия из диэлектрика, вследствие чего на его
свойства оказывают влияние температура и спектральные
характеристики вещества подложки. Например, из фиг. 5.17 видно, что для
2000
Фиг. 5.18. Влияние температуры поверхности на интегральную степень
черноты в направлении нормали ^ (ТА) окиси алюминия [5].
1 — Нортон, LA 603; 2 — Нортон, RA 4213. ТА — температура.
огнеупорного материала из окиси магния степень черноты заметно
уменьшается с увеличением температуры. И наоборот, для
покрытия из карбида кремния на графите степень черноты увеличивается
с температурой, что можно частично объяснить радиационными
свойствами графитовой подложки, степень черноты которой
(фиг. 5.4) увеличивается с температурой.
-н&^
1500
2000
Фиг. 5.19. Влияние температуры поверхности на интегральную степень
черноты в направлении нормали £'п (Та) окиси циркония [5].
О стабилизированная кальцием; Д стабилизированная магнием. ТА — температура.
Как черная, так и белая краски имеют высокие значения
степени черноты в рассматриваемом здесь типичном для обычных
красок на масляной основе рабочем интервале температур.
Алюминированная краска имеет более низкую излучательную
способность, так как она до некоторой степени подобна металлу.
Обратите внимание, что степень черноты алюминированной краски

170
Глава 5
на фиг. 5.17 примерно вдвое меньше, чем на фиг. 5.15. Это еще раз
подчеркивает значительные отклонения в свойствах, которые
можно обнаружить у образцов, имеющих один и тот же общий
вид. В критических условиях работы материалов, когда
радиационные свойства являются определяющими, требуются измерения
радиационных свойств используемых материалов.
I 1 I I I I I | I I LJ
v,"300 400 600 800 1000 Z000 4000 6000
Tr, К
Фиг. 5.20. Интегральная поглощательная способность в направлении
нормали а'п неметаллов при комнатной температуре. Падающее черное
излучение испускается источниками при указанной температуре TR [1].
О темно-серый гладкий шифер; П подверженный атмосферному воздействию асфальт;
А белая бумага; V белый мрамор.
На фиг. 5.20 приведены данные по интегральной поглоща-
тельной способности в направлении нормали нескольких
материалов при воздействии черного излучения, испускаемого
источниками с различной температурой. Белая бумага хорошо поглощает
излучение, испускаемое при низких температурах, но плохо
поглощает излучение при температурах в несколько тысяч
градусов Цельсия и, следовательно, является хорошим отражателем
излучения Солнца. С другой стороны, дорожный асфальт или
серый кровельный шифер очень хорошо поглощают солнечное
излучение4.
5.4.3. Влияние шероховатости поверхности
На фиг. 5.21 приведен график зависимости двунаправленной
интегральной отражательной способности бумаги для пишущей
машинки от угла отражения для трех различных углов падения.
В случае идеальной поверхности (полированной, гладкой) пик,
соответствующий зеркальному отражению, следует ожидать при
0,8
0,6
0,4

Радиационные свойства реальных материалов
171
угле отражения, симметричном углу падения относительно
нормали. Совершенно очевидно, что поверхность бумаги для пишущей
машинки не является идеальной, так как интенсивность
отраженного излучения охватывает довольно большой угол
относительно направления, соответствующего зеркальному отражению.
В работе [13] приводятся результаты подробных измерений
двунаправленной отражательной способности керамической окиси
Фиг. 5.21. Двунаправленная интегральная отражательная способность
р" (Р, 0, |3Г, 0Г = 0 + я) бумаги для пишущей машинки, измеренная в
плоскости падения. Температура источника 1178 К. (График построен по
данным работы [27].)
Рг — угол отражения; р — угол падения.
магния с оптической шероховатостью oj'k = 0,46 -f- 11,6. С
увеличением шероховатости и угла падения излучения появляются
«незеркальные» пики, о которых уже упоминалось при
рассмотрении фиг. 5.6.
В общем случае степень черноты диэлектриков лишь
незначительно увеличивается с увеличением шероховатости. В работе
Кокса [17] однако показано, что для диэлектриков, с
отношением диаметра впадины к средней длине свободного пробега
луча х) около 0,05, степень черноты возможно меньше, чем для
гладкой поверхности. Этот результат был предсказан
теоретически и подтвержден экспериментально. Из-за высокой пористости
многих диэлектриков трудно изучать влияние параметров
шероховатости ниже определенного предела.
С помощью кривых, типа приведенных на фиг. 5.21, можно
представить энергию отраженного излучения в виде суммы чисто
г) См, определение в разд. 13.5.2.

172
Глава 5
диффузной и чисто зеркальной компонент. Этот вид
аппроксимации реальных характеристик в некоторых случаях имеет
преимущества и приводит к упрощению расчетов обмена излучением по
сравнению с расчетами при использовании точных направленных
характеристик [18, 19]. В других же случаях эта аппроксимация
оказывается совершенно непригодной. Один из таких примеров
приведен на фиг. 5.22, где представлены экспериментальные
данные по двунаправленной интегральной отражательной способности
поверхности Луны в видимой области спектра. Эти кривые
относятся к горным районам, но аналогичные кривые были получены
рг, град
рЧМ,рГ1ег=е+тО
Фиг. 5.22. Двунаправленная интегральная отражательная способность
р" (Р, 0, Рг, 0,. = 0 + я) горных районов поверхности Луны, измеренная
в плоскости падения [30].
Эг — угол отражения; (5 — угол падения; 3 = 0; — 3 = 30°; Р = 60°;
р" (3 = Зг = 0)/cos р.
и для других районов. Интересной особенностью этих кривых
является соответствие пика отраженного излучения направлению,
обратному направлению падающего луча. Этот пик расположен
под углом 0, отличающимся на 180° от угла, соответствующего
пику зеркального отражения.
На первый взгляд можно утверждать, что такой вид кривых
должен характеризовать отражательную способность лунной
поверхности. В полнолуние, когда Солнце, Земля и Луна находятся
почти (но не совсем) на прямой линии (фиг. 5.23), Луна кажется
освещенной одинаково ярко по всей ее поверхности. При этом
земной наблюдатель должен фиксировать одинаковую интенсив-

Радиационные свойства реальных материалов 173
ность излучения от всех точек Луны. Однако энергия падающего
на единицу площади лунной поверхности солнечного излучения,
пропорциональна косинусу угла |5 между Солнцем и нормалью
к поверхности Луны. Угол |5 меняется от 0 до 90° по мере
перемещения места падения излучения от центра к краю лунного
диска. Чтобы наблюдаемая с Земли интенсивность излучения,
отраженного от различных точек лунной поверхности, была
одинаковой, необходимо, чтобы произведение р"(|5, |}г) cos |5 было
постоянным. Следовательно, с увеличением угла падения
величина двунаправленной отражательной способности в направлении
N ,-dA Интенсивность падающего
излучения
Лина NSJ3 //i'cfwmdAcospdft) со/ж
Интенсивность
излучения, \ X ., ,
отраженного \ \ 'со/жа^со/ш
на Землю \
ico/mCOspdtoco/m Р"(Р»Рг)
[Земля
Солнце
Фиг. 5.23. Энергия, отражаемая Луной в полнолуние.
г.
падающего луча должна увеличиваться примерно
пропорционально величине 1/cos Р (на фиг. 5.22 показана штриховой
линией). Это изменение величины отражательной способности с
изменением угла падения будет компенсировать уменьшение энергии
излучения, падающего под большими углами на единицу площади
Луны. Такой характер изменения отражательной способности
подтверждается кривыми на фиг. 5.22. Следовательно, тот факт,
что Луна имеет одинаковую яркость, еще не означает, что она
является диффузным отражателем. Если бы поверхность Луны
была диффузной, она казалась бы яркой в центре и темной по
краям.
Поведение Луны в инфракрасной области спектра рассмотрено
в работах [20, 21].

174
Глава 5
5.4.4. Полупроводники
Полупроводники условно рассматривались здесь вместе с
неметаллами, но они ведут себя до некоторой степени, как металлы.
Либерт [22] показал, что радиационные свойства полупроводников
можно определить с помощью электромагнитной теории,
рассматривая их как металлы с высоким удельным электрическим
сопротивлением. На фиг. 5.24
представлены данные по
спектральной степени
черноты кремния в
направлении нормали. Здесь
же для сравнения
приводится кривая, построенная
по формуле Хагена —
Рубенса с использованием
36 удельного сопротивления,
измеренного при
постоянном токе для того же
образца. Это один из тех
немногих случаев, когда
для сравнения имеются
экспериментальные данные
по радиационным и
электрическим свойствам.
Совпадение данных удовлетворительно лишь при длинах волн,
значительно превышающих те, при которых достигается
согласование в случае металлов. Это различие в интервалах длин волн,
в которых имеет место совпадение данных, можно объяснить
следующим, принятым при выводе формулы Хагена—Рубенса,
предположением (разд. 4.6.2)
В случае полупроводников, удельное сопротивление которых
больше, чем у металлов, это неравенство не может выполняться
до тех пор, пока не будет достигнут некоторый интервал длин
волн, который выше, чем в случае металлов.
По форме экспериментальная кривая для кремния (фиг. 5.24)
напоминает собой кривую, которую можно было бы ожидать для
полированного металла (см., например, экспериментальные
данные для вольфрама, приведенные на фиг. 5.3). На большей части
исследованного спектра степень черноты возрастает с
уменьшением длины волны, достигая максимума при меньших длинах
волн. Однако кривая для полупроводника смещена в сторону
более длинных волн по сравнению с соответствующей кривой
Фиг. 5.24. Спектральная степень
черноты высоколегированного кремния в
направлении нормали £я, п (X) при
комнатной температуре [22].
экспериментальная кривая;
результаты расчета по формуле Хагена — Рубенса
(4.77); К — длина волны.

Радиационные свойства реальных материалов
175
для металла. Например, максимум степени черноты лежит далеко
за пределами видимого спектра.
Либерту [22] также удалось получить хорошее согласование
экспериментальных значений степени черноты со значениями,
вычисленными с помощью электромагнитной теории, в которой
было учтено влияние свободных электронов и которая является
более сложной, чем теория, рассмотренная в гл. 4. Оценка
теоретических зависимостей производилась с помощью физических
параметров, измеряемых на тех же образцах, для которых
осуществлялись измерения степени черноты.
5.5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
В инженерной практике часто бывает необходимо изменить
радиационные свойства поверхностей с тем, чтобы увеличить
или уменьшить их естественную способность поглощать, излучать
или отражать энергию излучения.Этого можно достичь, либо
создавая желаемые спектральные характеристики, либо — желаемые
направленные характеристики.
5.5.1. Изменение спектральных характеристик
При использовании поверхностей для аккумуляции энергии
излучения, например в солнечных перегонных аппаратах,
солнечных печах, солнечных аккумуляторах для преобразования
энергии, необходимо, чтобы поверхность поглощала максимальное
количество энергии при минимальных потерях на излучение.
В солнечных термононных или термоэлектрических установках
желательно обеспечить максимально возможную равновесную
температуру на поверхности, облучаемой Солнцем. В этом случае
также требуются максимальные по аккумуляции и минимальные
по потерям энергии характеристики. Позднее в этом разделе будут
рассмотрены условия, когда поверхность, подверженную
воздействию солнечного излучения, необходимо поддерживать
холодной. В последнем случае желательно иметь максимальное
отражение солнечного излучения в сочетании с максимальным
излучением поверхности.
Используемая для аккумуляции солнечной энергии абсолютно
черная поверхность будет, конечно, поглощать максимальное
количество солнечной энергии, но, к сожалению, она будет также
иметь и максимальные потери энергии вследствие излучения.
Если, однако, удалось бы создать поверхность, имеющую высокую
поглощательную способность в диапазоне коротких волн вблизи
максимума спектра излучения Солнца и достаточно низкую
поглощательную способность в диапазоне более длинных волн,
где располагается максимум излучения поверхности, то такая

476
Глава 5
поверхность могла бы поглощать энергию почти столь же хорошо,
как абсолютно черное тело, излучая при этом очень мало энергии.
Такие поверхности называются «спектрально-селективными». Один
из методов получения таких поверхностей заключается в
нанесении на металлическую подложку тонкого неметаллического слоя
покрытия. Для излучения в диапазоне больших длин волн тонкое
покрытие по существу ^является прозрачным и поверхность ведет
1,0г-
Фиг. 5.25. Характеристики некоторых спектрально-селективных
поверхностей.
О окись кремния на алюминии [31]; окись кремния — германий —
медь [32]; идеальная селективная поверхность для падающего солнечного
излучения, требуемая для осуществления цикла Карно [33]; рассматриваемая в
примере 5.2 селективная поверхность, а^ п (К) — спектральная поглощательная способность
в направлении нормали; X — Длина волны.
себя как металл, имеющий низкие значения спектральной погло-
щательной способности и спектральной степени черноты. В
диапазоне коротких волн радиационные характеристики приближаются
к характеристикам неметаллического покрытия, и поэтому
спектральная степень черноты и спектральная поглощательная
способность имеют относительно большие значения. Некоторые
характеристики материалов с такими радиационными свойствами
приведены на фиг. 5.25.
Идеальная для солнечного излучения селективная поверхность
поглощает максимальное количество солнечного излучения,
испуская при этом минимум излучения. Поглощательная способность
такой поверхности должна быть поэтому равна единице во всем
диапазоне коротких волн, где падающее солнечнее излучение имеет

Радиационные свойства реальных материалов
177
большую интенсивность. При более длинных волнах поглощатель-
ная способность должна резко спадать к нулю. Длина волны
А,с, при которой происходит этот быстрый спад, называется
пороговой длиной волны 1).
ПРИМЕР 5.1. На некоторую идеальную селективную
поверхность падает по нормали поток излучения, соответствующий по
величине среднему значению солнечной постоянной qt, равной
1394 Вт/м2. Тепло к поверхности или от нее передается только
излучением. Определить максимальную равновесную температуру
2\)авн> соответствующую пороговой длине волны Хс = 1 мкм.
(Можно принять, что спектральное распределение энергии
солнечного излучения, падающего на данную поверхность,
пропорционально распределению энергии в спектре абсолютно черного
тела при температуре 5556 К. Обратите внимание, что часто
используется также значение 5778 К.)
Так как перенос тепла осуществляется только излучением, то
энергия поглощаемого излучения должна быть равна энергии
испускаемого излучения. Согласно нашему определению
идеальной селективно-поглхлцающей поверхности, полусферическая
степень черноты и поглощательная способность должны быть равны
и
Поток излучения, поглощаемого поверхностью в единицу
времени, равен
Qa = (i)F0-Ke(TR)qtA,
где Fq_k (TR) — доля энергии излучения, испускаемого абсолютно
черным телом при температуре источника TR в диапазоне длин
волн от нуля до порогового значения. В данном случае Т R
представляет собой эффективную температуру излучения Солнца
5556 К. Аналогичным образом поток энергии излучения,
испускаемого селективной поверхностью, равен
Qe = (1) Fo-kc (ТУавн) Отравы А.
Приравнивая Qe и Qa, получим
4 QiF0_K(TR)
*■ равн* 0-А,с (■*■ равн) — J '
Для выбранного значения Хс все величины в правой части
известны, и уравнение можно решить относительно Гравн методом
х) Термин «пороговая длина волны» впервые введен в работе [36*], в
которой исследованы свойства селективных поверхностей.— Прим. ред.

178
Глава 5
последовательных приближений. В данном примере при %с =
= 1 мкм равновесная температура равна 1333 К. Значения TvaBHr
соответствующие другим значениям Хс, приведены в следующей
таблице:
Пороговая длина
волны А,с, мкм
0,6
0,8
1,0
1,2
1,5
—>• сю
Равновесная температура
Т "К"
^равн» Л
1806
1528
1333
1195
1050
396
Для абсолютно черного тела (Л,с -*■ оо) равновесная
температура равна 396 К. Такая равцовесная температура установится на
поверхности абсолютно черного тела, находящегося в космическом
пространстве на орбите, близкой к земной, при воздействии
солнечного излучения, если все другие поверхности тела при этом
идеально изолированы. Такую же равновесную температуру будет
иметь и серое тело, так как степень черноты серого тела
исключается из уравнения баланса энергии.
При меньших значениях %с величина Г равн увеличивается, даже
если при этом поглощается меньше излучения, поскольку при
уменьшении Хс испускание излучения затрудняется.
Общим критерием, определяющим свойства данной
селективной поверхности, является отношение направленной интегральной .
поглощательной способности поверхности а' (|5, 0, ГА),
подвергаемой воздействию падающего солнечного излучения, к
полусферической интегральной степени черноты этой поверхности £ (^а)-
Отношение <х7б Для падающего солнечного излучения является
критерием, определяющим теоретическую максимальную
температуру, которая может быть достигнута некоторой изолированной
от других воздействий поверхностью при падении на нее
солнечного излучения. Смысл отношения <х7б можно выявить с помощью
следующих рассуждений.
Поток излучения, поглощаемый любой поверхностью,
подвергаемой воздействию направленного излучения, равен
d&(P, в, ГА) = а'(Р, в, TA)dQ\{$, 6). (5.1)
Поток солнечного излучения, падающего в направлении (р, 0) на
элемент поверхности dA, определяется следующим образом:
dQ'a (Р, в, ТА) = а' (Р, 9, ТА) qi dA ую р, (5.2)

Радиационные свойства реальных материалов
179
где qt — 1394 Вт/м2 — поверхностная плотность потока
солнечного излучения. Интегральный поток излучения, испускаемого
элементом поверхности, равен
dQe = e(TA) dA = e(TA)oT\dA. (5.3)
Если рассматриваемая поверхность поглощает только излучение,
определяемое соотношением (5.2), и теряет энергию только
путем испускания излучения, то можно приравнять испускаемое
и поглощаемое излучения, определяемые соответственно
соотношениями (5.3) и (5.2):
«' (Р, 6, Гравн) ^ qtUbu
6 (Гравн) Qi COS Р
(5.4)
В этом выражении Гравн — достигнутая равновесная
температура. Таким образом, отношение а' (|5, 0, ТА)/£ (ТА) является
критерием, определяющим равновесную температуру элемента.
Заметим также, что температура, при которой выбираются
характеристики а' и £, должна быть равна достигаемой телом равновесной
температуре. На практике зависимость свойств от температуры
часто предполагается слабой, так что это ограничение можно
считать не слишком строгим.
В наиболее общем случае солнечное излучение падает в
направлении нормали к поверхности. При этом формула (5.4)
принимает вид
an (Уравн) __ аГравн /г р-ч
'б(Гравн) !Г* ^ }
Из формулы (5.5) следует, что чем меньше достигаемое отношение-
otr/£» тем меньше равновесная температура. У криогенной
камеры, работающей в космических условиях, отношение а'п1^ должна
быть как можно меньше. На практике можно получить значения
<х;/£ от 0,20 до 0,25.
Для получения высоких равновесных температур необходимы
максимально возможные отношения сц/g. Для полированных
металлов отношение а'п/£ достигает значений 5—7, а для
некоторых специально изготовленных поверхностей — до 20.
Верхний предел отношения a'j£ устанавливается из
термодинамического соображения, согласно которому равновесная
температура селективной поверхности не может превышать
эффективную температуру Солнца, равную ~ 5556 К. Подставляя это
значение температуры Солнца в (5.5), получим
ап (^равн)
£ (^равн)
а (5556)4
макс
1394
= 3,87.Ю4. (5.6)

180
Глава 5
Значения, в какой-либо степени приближающиеся к этой величине
<Хп/£, при современном уровне развития науки недостижимы 1).
ПРИМЕР 5.2. Свойства реальной селективной поверхности
SiO — А1 можно приближенно представить штриховой кривой на
фиг. 5.25 (предполагается, что эту кривую можно
экстраполировать до значений ЫОиЫ сю). Чему равна равновесная
температура этой поверхности, подвергаемой воздействию падающего
солнечного излучения в направлении нормали, если теплообмен
осуществляется только излучением? Чему равно отношение а'п/£
для этой поверхности? Описать спектр поглощения и спектр
излучения этой поверхности. (Принять, что степень черноты в
направлении нормали и полусферическая степень черноты равны.)
Как и при выводе формулы (5.5), приравняем энергии
поглощаемого и испускаемого излучения. По обе стороны от пороговой
длины волны степень черноты имеет отличное от нуля значение,
поэтому
Qa = ео-к/0-К (TR) qtA + 6*c-cJV~ (Гд) qiA == <qiA
и
Qe = 6о-^0-Я,с (^равн) О^равн^ -f €^-00^-00 (^равн) ^TVBsaA =
— 6°^ равн^*
Приравнивая Qe и Qa, получим
{0,95Я0-ьс (Гд) + 0,05 [l-F0-h{TR)]}qi =
= {0,95Fo_>c (Гравн) + 0,05 [1 - F0-K (Гравн)]} оТ*авя.
Решая это уравнение, как и в примере 5.1, методом
последовательных приближений, найдем Гравн = 795 К при Кс = 1,5 мкм.
При qt = 1394 Вт/м2 по формуле (5.5) получаем, что а'п1£ =
= о (795)4/1394= 16,2. Небольшое отличие характеристик в
рассмотренном примере от характеристик идеальной селективной
поверхности приводит к существенному расхождению в величине
Гравн? которая в предыдущем примере для идеальной селективной
поверхности с той же пороговой длиной волны была равна 1050 К.
г) Этот вывод ошибочен, так как при приближении равновесной
температуры поверхности Т^ави к температуре источника излучения (Солнца)
условия энергетического обмена будут приближаться к
термодинамическому равновесию, при котором согласно закону Кирхгофа степень черноты
поверхности равна ее поглощательной способности по отношению к
излучению источника с температурой, равной температуре этой поверхности,
т. е. ад/£ -*- 1.
Ошибка авторов состоит в неправомерности предположения, что
равновесная температура поверхности, облучаемой направленным потоком от
удаленного источника (величина qt предполагается постоянной и
соответствующей положению Земли), может достичь температуры источника (Солнца).—
Прим. ред.

Радиационные сеойстеа реальных материалов
181
На фиг. 5.26 приведены кривые спектрального распределения
энергий поглощаемого и испускаемого излучения. Кривая
спектрального распределения энергии падающего солнечного
излучения может быть представлена в виде
**.,* (^ tr) <*> ехь №, TR).
Она имеет форму кривой абсолютно черного тела при температуре
Солнца, но меньше по величине, так что интеграл от е%^ t по всем
члЧ Х/////Л Энергия* излучения, поглощаемого
10 ->р" v/s/s/a селективной поверхностью
Г 1л^ч\чч\\\\1 Энергия излучения, испускаемого
wwww^i селективной поверхностью
X, мкм
Фиг. 5.26. Спектральное распределение энергий поглощаемого и испускаемого
излучения для селективно-поглощающей поверхности, рассматриваемой в
примере 5.2.~
падающее в направлении нормали солнечное излучение; энергия
излучения, испускаемого абсолютно черным телом при 795 К; е^ — поверхностная
плотность потока излучения; К — длина волны.
значениям X равен qt, т. е. интегральной плотности потока
солнечного излучения, падающего на единицу площади поверхности.
Умножая ординаты этой кривой на спектральную поглощательную
способность селективной поверхности, получим кривую
спектрального распределения поглощаемой энергии. Кривая
спектрального распределения энергии испускаемого излучения
соответствует кривой абсолютно черного тела при 795 К, каждая
ордината которой умножена на спектральную степень черноты
селективной поверхности. Интегральные энергии под кривыми спек-

182
Глава 5
трального распределения поглощаемой и излучаемой энергий
равны, хотя это явно и не следует из графика, построенного
в логарифмических координатах.
ПРИМЕР 5.3. Некоторая селективная поверхность с такими же
спектральными характеристиками, как в предыдущем примере,
предназначена для поглощения солнечной энергии. Поверхность
используется в термодинамическом цикле, применяемом при
производстве энергии, и за счет отвода энергии'должна
поддерживаться при температуре ТА = 396 К. Чему равен поток
результирующего излучения, приходящийся на квадратный метр этой
поглощающей поверхности, если она выведена на орбиту вокруг
Солнца с тем же радиусом, что и у Земли? Как велика эта
энергия по сравнению с такой же энергией для абсолютно черной
поверхности при той же температуре?
Поток результирующего излучения на поверхности равен
разности между потоками поглощенного и собственного
излучения. Плотность потока поглощенного излучения, как и в
примере 5.2, вычисляется по формуле
qa = {0,95^0-л,с (Тп) + 0,05 [1 - F0-h (TR)}} qt =
- [0,95 (0,869) +0,05 (1 -0,869)] 1394 - 1158 Вт/м2,
а плотность потока собственного излучения по формуле
qe = {0,95F0-h(TA) + 0,05[l-Fo-h(TA))}oTi =
- {0,95.(~0) + 0,05 [1 —(~0)]} 5,6693.10"8.(396)4-
= 70 Вт/м2.
Плотность потока результирующего излучения, которая может
быть использована для производства энергии, равна 1158—70 =
= 1088 Вт/м2. Равновесная температура для абсолютно черного
или серого тела в примере 5.1 была найдена равной 396 К, и
поэтому поток результирующего полезного излучения, который может
быть отведен от такой поверхности, будет равен нулю.
Стоит упомянуть о характерной способности стеклянных
оболочек (например, оранжерей) улавливать солнечное излучение, хотя
в этом случае часть излучения пропускается. Стеклянную
пластину можно использовать также в качестве покрытия поверхности
с целью увеличения способности последней поглощать солнечное
излучение. Такая особенность многих типов стекла обусловлена
спектрально-селективным характером пропускания излучения.
На фиг. 5.27 приведены данные по эффективной степени черноты
листов оконного стекла разной толщины. Характер кривых,
построенных в функции длины волны, противоположен характеру

Радиационные свойства реальных материалов 183
кривых, приведенных на фиг. 5.25. Пороговая длина волны
составляет ~ 2,7 мкм. Это означает, что стекло имеет низкую
эффективную поглощательную способность при воздействии на него
солнечного излучения, которое состоит преимущественно из коротких
волн, и, следовательно, падающее солнечное излучение свободно
проходит через стекло. Излучение от объектов, находящихся при
температуре окружающей среды внутри стеклянной оболочки,
приходится на длинные волны и задерживается благодаря высокой
поглощательной способности (низкой пропускательной
способности) стекла в этой части спектра.
1,0
о
о
1 0,6
>0,4
0 12 3 4 5 6 7$
X, МКМ
Фиг. 5.27. Полусферическая спектральная степень черноты листов оконного
стекла при 1000° С [34].
^А, Ф» ТА = 1000° С) — полусферическая спектральная степень черноты; % — длина
волны.
Другим примером полезного использования
спектрально-селективных поверхностей являются объекты, которые желательно
охлаждать при воздействии на них излучения, падающего от
источника с высокой температурой. Чаще всего это объекты,
подвергаемые действию солнечного излучения (например,
цистерны для хранения бензина, баки для криогенного топлива в
космическом пространстве, крыши зданий). Для таких объектов можно
было бы использовать хорошо отражающие покрытия, например
полированные металлы. Подобные поверхности хорошо отражают
падающее излучение, но являются плохими излучателями,
неспособными отвести энергию, которая поглощается или выделяется
внутри замкнутого объема (например, объема, заполненного
электронным оборудованием). К тому же у некоторых металлов
наблюдается тенденция к уменьшению отражательной способности
в диапазоне коротких волн, например в случае алюминия, не
имеющего покрытия (фиг. 5.13). В некоторых случаях можно

184
Глава 5
с успехом использовать спектрально-селективные вещества,
например белую краску (фиг, 5.28). Эти вещества будут не только
отражать падающее излучение с преобладанием коротких волн,
1,0|—
0,4 0,6 0,8 1
Фиг. 5.28. Отражательная способность белой краски, нанесенной на
алюминий [35].
р'к п (^) — спектральная отражательная способность; % — длина волны.
но будут также хорошо испускать излучение в диапазоне более
длинных волн, которые характерны для излучения при
сравнительно низких температурах тела.
5.5.2. Изменение направленных характеристик
Как уже обсуждалось в предыдущих разделах данной главы,
шероховатость поверхности может оказывать существенное
влияние на радиационные свойства и может даже стать определяющим
фактором, если высота шероховатости велика по сравнению
с.длиной волны рассматриваемого излучения. В связи с этим возникает
идея о регулировании с помощью шероховатости направленных
радиационных харакеристик поверхности.
Если поверхность используется как излучатель, то
можно создать такую шероховатость или придать поверхности
такую форму, что она будет испускать интенсивное излучение
в заданных направлениях и ослабленное излучение в остальных
направлениях.
Промышленные нагревательные устройства более эффективны
при использовании таких поверхностей, которые направляют

Радиационные свойства реальных материалов 185
энергию на нужные участки. Наиболее распространенное
приспособление, используемое для регулирования распределения
энергии электромагнитного излучения в видимой области спектра,
называется ламповым рефлектором.
Если обладающая направленными свойствами поверхность
используется главным образом как поглотитель, то в таком случае
р, граЗ
Фиг. 5.29. Направленная степень черноты поверхности с канавками,
имеющими хорошо отражающие зеркальные боковые стенки и хорошо
поглощающее дно.
d/D — 0,649. Результаты получены для плоскости, перпендикулярной направлению
канавок, при длине волны 8 мкм. теория [36]; О эксперимент [37];
Р — угол, определяющий направление излучения; £' (Р) — направленная степень
черноты.
при использовании, например, поглотителей солнечного
излучения можно сделать ее интенсивно поглощающей энергию в
направлении падения солнечного излучения, но по возможности
непоглощающей энергию во всех других направлениях. В
соответствии с законом Кирхгофа для направленных характеристик
такая поверхность будет интенсивно излучающей в направлении
Солнца, но слабо излучающей в других направлениях. Так как
падающее излучение распространяется только в направлении от
Солнца, то данная поверхность будет поглощать излучение столь

186
Глава 5
же хорошо, как и любая поглощающая поверхность, не
обладающая направленными свойствами, но будет испускать меньше
излучения, чем поверхность, которая излучает одинаково хорошо
во всех направлениях.
Характеристики одной из таких поверхностей приведены на
фиг. 5.29. Поверхность имеет очень длинные параллельные
канавки с углом раскрытия 18,2°. Боковые стенки каждой канавки
представляют собой хорошо отражающие зеркальные
поверхности, а дно — абсолютно черную поверхность. Сплошная кривая
описывает свойства такой идеальной поверхности, полученные
расчетным путем. Точки соответствуют экспериментальным
результатам для реальной поверхности при длине волны 8 мкм. Можно
видеть, что направленная степень черноты имеет очень высокое
значение при углах падения излучения, отсчитываемых от
нормали к поверхности, менее ~ 30°, с увеличением угла она быстро
падает. Подобными свойствами обладают многие другие
поверхности аналогичной формы.
ПРИМЕР 5.4. Предположим, что некоторая поверхность,
обладающая направленными свойствами, для всех углов 0 имеет
направленную интегральную степень черноты
€ (Р) = 1 0 < р < 30°,
е (Р) = о р > зо°.
Чему равна равновесная температура этой находящейся на Земле
поверхности, если солнечное излучение падает на поверхность
в направлении нормали и единственным способом передачи тепла
является излучение? Как велика эта температура по сравнению
с температурой абсолютно черной поверхности?
Поглощательная способность рассматриваемой поверхности,
подвергаемой воздействию падающего излучения, равна единице.
Поэтому поток поглощенного излучения определяется по формуле
тде qt — как и ранее, солнечная постоянная для объекта,
находящегося от Солнца на расстоянии, равном среднему радиусу
земной орбиты (qt = 1394 Вт/м2).
Поток собственного излучения тела при термодинамическом
равновесии вычисляется следующим образом:
Ye — С^ равн^?
где £ — полусферическая интегральная степень черноты,
определяемая выражением (3.66) в виде
6 (г,)=t-l- j е' (Р, е, гравн) cos р ^.

Радиационные свойства реальных материалов
187
Для условий данной задачи
30°
6 = -^- j sin р cos р dp-0,25.
Приравнивая Qa и Q€l для условий радиационного равновесия
получим
т _/ М1/4 ( ^ У/4-559К
iPaHH- \-ф) ~ U,25-5,6693-10-8 j - ЭЭУ Л..
Эта температура выше равновесной температуры абсолютно
черной или серой диффузной поверхности, которая, как было
показано в примере 5.1, равна 396 К.
Следует заметить, что соотношением (5.5) можно пользоваться
для определения anl£ как в случае обладающих направленными
свойствами поверхностей, так и в случае
спектрально-селективных поверхностей. Для поверхности, рассматриваемой в этом
примере, а'п1£ = 4,0. Комбинируя селективные и направленные
свойства, достигают существенного увеличения значений а^/£
для данной поверхности.
Заметим также, что принятое в данном примере распределение
степени черноты по направлению не соответствует распределению
для изображенной на фиг. 5.29 поверхности с параллельными
канавками. Для поверхности с канавками имеет место сильная
зависимость от угла 9, которая в данном примере не учитывалась.
5.6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В данной главе были рассмотрены примеры радиационных
свойств, выявившие ряд особенностей, с которыми можно
встретиться в случае реальных поверхностей. Можно попытаться
сделать некоторые общие выводы. Например, при умеренных
температурах интегральная степень черноты диэлектриков выше, чем
металлов, а спектральная степень черноты металлов в широком
диапазоне длин волн увеличивается с увеличением температуры.
Однако эти общие правила могут нарушаться из-за больших
изменений свойств вследствие шероховатости поверхности, ее
загрязнения, окисления, зернистой структуры и т. д. Имеющиеся в
настоящее время теоретические зависимости не могут учесть все
эти факторы, и поэтому невозможно непосредственно вычислить
значения радиационных характеристик поверхностей, за
исключением тех, которые приближаются по структуре и обработке
к идеальным. Комбинируя теоретические и экспериментальные
результаты, можно определить, какие виды поверхностей
подходят для конкретных условий и как изготовить поверхности, обла-

188
Глава 5
дающие определенными радиационными свойствами. К последним
относятся спектрально-селективные поверхности, которые широко
применяются в ряде практических устройств, используемых,
например, для концентрации солнечной энергии.
Следует упомянуть о некоторых других, не рассмотренных
здесь факторах, которые могут оказывать влияние на
радиационные свойства. Хорошо известно, например, что значительные
изменения в радиационных свойствах могут быть вызваны
действием ультрафиолетовых, космических, у-лучей, при
бомбардировке нейтронами, протонами, а также под действием солнечного
ветра. Эти воздействия становятся первостепенными при
конструировании космических кораблей.
Наконец, следует сделать некоторые замечания относительно
измерения радиационных свойств. Мы уже отмечали, что
проведено сравнительно мало точных измерений направленных
спектральных характеристик. Это связано с одной из многих
практических трудностей, заключающейся в том, что при измерении
направленных характеристик энергия, которую нужно
зарегистрировать и которая заключена в небольшом телесном угле,
включающем заданное направление, сама по себе очень мала. При
определении направленных спектральных характеристик
измеряется только часть этой малой энергии, заключенная внутри
интервала длин волн, поэтому приходится регистрировать еще
меньшую энергию. Незначительные абсолютные погрешности,
допущенные при измерении этой энергии, могут привести к
большим относительным ошибкам при определении направленных
характеристик. Кроме того, разброс данных, полученных для
таких комбинированных направленных спектральных свойств,
мешает их обобщению. Эти и подобные им проблемы делают
область измерения терморадиационных свойств наиболее
сложной и трудоемкой областью исследований.
Литература
1. Gubareff G. G., Janssen J. Е., Torberg R. Н., Thermal Radiation
Properties Survey, 2d ed., Honeywell Research Center, Minneapolis, 1960.
2. Свет Д. Я., Температурное излучение металлов и некоторых веществ,
Изд-во «Металлургия», М., 1964.
3. Goldsmith A., Waterman Т. Е., Thermophysical Properties of Solid
Materials, WADC TR 58-476, Armour Research Foundation, Jan., 1959.
4. Мак-Адаме В. X. Теплопередача, Металлургиздат, 1961, стр. 87—175.
5. Wood W. D., Deem H. W.? Lucks С F., Thermal Radiative Properties,
Plenum Press, Plenum Publishing Corporation, New York, 1964.
6. Edwards D. K., Catton I., Radiation Characteristics of Rough and
Oxidized Metals, Advan. Thermophisical Properties Extreme Temp. Pressures
(S. Gratch, ed.), ASME, 1965, 189—199.
7. Садыков Б. С, О температурной зависимости излучательной способности
металлов, ТВТ, 3, № 3, 352—356 (1965).

Ра диационные свойства реальных материалов 189
8. Davies Н., The Reflection of Electromagnetic Waves from a Rough
Surface, Proc. Inst. Elec. Engrs. (London), 101, 209—214 (1954).
9. Porteus J. 0., Relation between the Height Distribution of a Rough Surface
and the Reflectance at Normal Incidence, /. Opt. Soc. Am., 53, № 12,
1394—1402 (1963).
10. Beckmann P., Spizzichino A., The Scattering of Electromagnetic Waves
from Rough Surfaces, The Macmillan Co., New York, 1963.
11. Houchens A. F., Hering R. C, Bidirectional Reflectance of Rough Metal
Surfaces, Progr. Astronautics and Aeronautics: Thermophysics Spacecraft
Planetary Bodies, vol. 20, 1967, 65—89.
12. Smith T. F., Hering R. G., Comparison of Bidirectional Measurements and
Model for Rough Metallic Surfaces, Fifth Symp. Thermophysical
Properties (ASME), Boston, Mass., Oct., 2, 1970.
13. Торренс К. Э., Спэрроу Э. М., Незеркальные пики в пространственном
распределении отраженного теплового излучения, Труды амер. о-ва
инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2, 81 (1966).
14. Torrance К. Е., Sparrow Е. М., Theory for Off-Specular Reflection from
Roughened Surfaces, Opt. Soc. Am., 57, № 9, 1105—1114 (1967).
15. Бреннон P. P. мл., Голдстейн P. Дж., Степень черноты оксидных
пленок на металлической подложке, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, № 2, 49 (1970).
16. Liebert С. Н., Spectral Emittance of Aluminum Oxide and Zinc Oxide on
Opaque Substrates, NASA TN D-3115, 1965.
17. Cox R. L., Radiant Emission from Cavities in Scattering and Absorbing
Media, SMU Research Rep. 68-2, Southern Methodist University Institute
of Technology, Dallas, Tex., Oct. 1968.
18. Сэрофим А. Ф., Хотелл X. К., Лучистый теплообмен между
поверхностями, не подчиняющимися закону Ламберта, Труды амер. о-ва инж.-мех.,
сер. С, Теплопередача, 88, № 1, 41—48 (1966).
19. Sparrow Е. М., Lin S. L., Radiation Heat Transfer at a Surface Having
Both Specular and Diffuse Reflectance Components, Int. J. Heat Mass
Transfer, 8, 769—779 (1965).
20. Saari J. M., Shorthill R. W., Review of Lunar Infrared Observations, in
S. F. Singer (ed.), Physics of the Moon, vol. 13, AAS Science and Technology
Series, 1967.
21. Harrison J. K., Non-Diffuse Infrared Emission from the Lunar Surface,
Int. J. Heat Mass Transfer, 12, 689—697 (1969).
22. Liebert С H., Spectral Emissivity of Highly Doped Silicon, paper № 67-
302, AIAA, April 1967.
23. SebanR. A., Thermal Radiation Properties of Materials, pt. Ill, WADD
TR-60-370, University of California, Berkeley, Aug. 1963.
24. de Vos J. C., A New Determination of the Emissivity of Tungsten Ribbon,
Physica, 20, 690—714 (1954).
25. Биркбэк P. К., Эккерт Э. P. Г., Влияние шероховатости металлических
поверхностей на угловое распределение отраженного
монохроматического излучения, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 87,
№ 1, 102—114 (1965). '
26. Edwards D. К., de Volo N. В., Useful Approximations for the Spectral
and Total Emissivity of Smooth Bare Metals, Advan. Thermophysical
Properties Extreme Temp. Pressures (S. Gratch, ed.), ASME, 1965, 174—
188.
27. Munch В., Directional Distribution in the Reflection of Heat Radiation
and its Effect in Heat Transfer, Ph. D. thesis, Swiss Technical College of
Zurich, 1955.
28. Williams D. A., Lappin T. A., Duffie J. A., Selective Radiation Properties
of Particulate Coatings, /. Eng. Power, 85, № 3, 213—220 (1963).

190
Глава 5
29. Ohlsen P. E., Etamad G. A., Spectral and Total Radiation Data of Various
Aircraft Materials, Rep., NA57-330, North American Aviation, July 23r
1957.
30. Орлова H. С, Фотометрический рельеф лунной поверхности,
Астрономический журнал, 33, № 1, 99—100 (1956).
31. Long R. L., A Review of Recent Air Force Research on Selective Solar
Absorbers, /. Eng. Power, 87, № 3, 277—280 (1965).
32. Hibbard R. R., Equilibrium Temperatures of Ideal Spectrally Selective
Surfaces, Solar Energy, 5, № 4, 129—132 (1961).
33. Shaffer L. H., Wavelength-Dependent (Selective) Processes for the
Utilization of Solar Energy, /. Solar Energy Sci. Eng., 2, № 3, 4, 21—26
(1958).
34. Gardon R., The Emissivity of Transparent Materials, /. Am. Ceram. Soc.r
39, № 8, 278—287 (1956).
35. Dunkle R. V., Thermal Radiation Characteristics of Surfaces, in J. A.
Clark (ed.), Theory and Fundamental Research in Heat Transfer, 1—31,.
Pergamon Press, New York, 1963.
36. Перлмуттер M., Хауэлл Дж. P., Поверхности с точной направленностью
излучения или поглощения, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, 85, № 3, 114—115 (1963).
37. Brandenberg W. М., Clausen О. W., The Directional Spectral Emittance of
Surfaces between 200° and 600° C, Symp. Thermal Radiation Solids,
S. Katzoff (ed.), NASA SP-55 (AFML-TDR-64-159), 1965.
Задачи
1. Спектральную поглощательную способность в направлении
нормали для селективной поверхности SiO — А1 можно
приближенно представить кривой, приведенной на фиг. 5.25.
В направлении нормали на поверхность падает поток
излучения плотностью q. Равновесная температура на поверхности
равна 1111 К. Принять, что Q, — а% (Р = 0). Каково
значение q, если источником излучения является серое тело при
температуре 3333 К?
Ответ: 10 219 Вт/м2.
Т.= 1111К--
т т t t
Поверхность
г- S10-AI
v - Идеальная
изоляция
с обратной стороны
2. Свойства некоторой серой поверхности зависят от
направления, как показано ниже. Величина а' изотропна
относительно угла 0.

Радиационные свойства реальных материалов 191
1,0
0,9
« (£) 0,5
0,1
0 =
--
-у
0
-~ /
\30°
\
ч45°
* Л60°
1 \
» 1
L_J
90°
0,1
0,5
а' (/3)
0,9 1,0
а. Чему равно отношение а' (Р == 0)/£ (отношение
направленной поглощательной способности к полусферической
степени черноты) для этой поверхности?
б. Чему равна равновесная температура тонкой пластины,
обладающей указанными выше свойствами, если она
находится на земной орбите вокруг Солнца и на нее действует
поток солнечного излучения с поверхностной плотностью
1394 Вт/м2? Принять, что пластина ориентирована
перпендикулярно солнечным лучам и идеально изолирована
со стороны, противоположной Солнцу.
в. Чему равна равновесная температура, если пластина
расположена под углом 60° к солнечным лучам?
-^о
^ \ Изолированная^
| поверхность
г. Чему равна равновесная температура, если пластина
расположена перпендикулярно солнечным лучам, но не
изолирована? Принять, что пластина очень тонкая и имеет с
обеих сторон одинаковые направленные характеристики.
Ответы: а. 1,8; б. 456 К; в. 222 К; г, 383 К.
Нагреватель для воды состоит из стеклянной пластины
толщиной 10 мм с абсолютно черной нижней поверхностью, которая
находится в идеальном контакте с водой. Оценить температуру
воды, если солнечное излучение падает по нормали. (Считать,
что для оценки свойств стекла можно воспользоваться фиг. 5.27

192
Глава 5
и что стекло совершенно прозрачно при более коротких длинах
волн по сравнению с приведенными на графике. Пренебречь
отражениями на внутренних поверхностях стекла.)
Солнечное излучение
i i i i i
4. Плоская цистерна для бензина подвергается действию
падающего в основном в направлении нормали к верхней
части цистерны солнечного излучения. Цистерна покрашена
белой краской, отражательная способность которой приведена
на фиг. 5.28. Оценить равновесную температуру цистерны.
(Пренебречь испускаемым и отраженным излучением Земли. Не
учитывать свободную или вынужденную конвекцию воздуха,
хотя она и будет заметной.) Какой будет температура
цистерны, если верхняя часть ев покрашена, как и ранее, белой
краской, а на боковые стороны нанесено серое покрытие со
степенью черноты 0,9? Какой будет температура, если на всю
цистерну нанести серое покрытие?
Солнечное
излучение
ММ!
5. Вращающаяся сфера диаметром 30,5 мм находится на земной
орбите и подвергается воздействию солнечного излучения.
Вследствие вращения сферы температура ее поверхности может

Радиационные свойства реальных материалов
49
быть принята одинаковой. Внешняя селективная поверхность
сферы состоит из SiO — А1 (пример 5.2) с пороговой длиной
волны 1,5 мкм. Свойства поверхности не зависят от угла. Чему
равна равновесная температура поверхности, если тепло
передается только излучением? Как зависит эта температура от
диаметра сферы?
Требуется поддерживать поверхность сферы при
температуре 667 К. Какой мощности должна быть подводимая к сфере
электрическая энергия, чтобы удовлетворялось это условие?
Ответы: 564 К; 82 Вт.

6
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ТЕПЛООБМЕНА
ИЗЛУЧЕНИЕМ
Исследование теплообмена излучением между отдельными
элементами поверхности в некоторой системе необходимо для
многих инженерных дисциплин, включая прикладную оптику,
светотехнику и теплопередачу. Исследования такого рода проводились
в течение многих лет, о чем свидетельствуют даты публикаций
работ [1, 2]. В последнее время началось активное изучение
теплообмена излучением благодаря техническим достижениям,
связанным с разработкой систем, в которых тепловое излучение играет
важную роль. Примерами таких систем являются система
регулирования температуры спутников, утечка энергии в криогенных
вакуумных установках, высокотемпературные явления в
гиперзвуковом полете, а также теплопередача в ракетах на ядерном
топливе.
6.1. ТЕОРИЯ ТЕПЛООБМЕНА
В ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В последующих шести главах будет изложена теория расчета
теплообмена излучением внутри замкнутых вакуумированных или
заполненных непоглощающей средой систем. Для начала поясним,
что такое замкнутая система. Любую поверхность можно считать
полностью окруженной оболочкой из других твердых
поверхностей или открытых областей. Эта оболочка является замкнутой
системой для данной поверхности; таким образом, замкнутая
система охватывает все направления, исходящие от поверхности.
Рассматривая излучение, испускаемое данной поверхностью ко
всем элементам замкнутой системы, и излучение, падающее на эту
поверхность от всех элементов замкнутой системы, можно быть
уверенным, что учитывается излучение во всех направлениях.
При решении задачи соответствующая замкнутая система обычно
выявляется из ее физической схемы. Открытая область может
представлять собой поверхность с нулевой отражательной
способностью или источник излучения в том случае, когда
излучение поступает в замкнутую систему из окружающей среды.
Для всех представленных здесь замкнутых систем
предполагается, что среда в пространстве между поверхностями
совершенно прозрачна для теплового излучения и, следовательно, не
участвует в теплообмене излучением. Теория теплообмена для

Введение в теорию теплообмена излучением
195
замкнутых систем, наполненных излучающей средой, такой, как
газ, содержащий водяной пар, двуокись углерода или дым, будет
изложена в гл. 13—21.
В гл. 1—5 подробно рассмотрены радиационные свойства
твердых поверхностей. Показано, что для некоторых материалов эти
свойства существенно изменяются в зависимости от длины волны
излучения, температуры поверхности и направления излучения.
При расчетах теплообмена излучением внутри замкнутых систем
определение геометрических факторов, характеризующих долю
излучения, испускаемую одной поверхностью и достигающую
другой, является дополнительным усложнением наряду с учетом
переменных свойств поверхности. Для систем простых
геометрических форм возможен детальный учет изменения свойств без
чрезмерного усложнения задачи. Для систем сложных
геометрических форм часто приходится обращаться к идеализированным
свойствам поверхностей, чтобы решить задачу доступными
средствами.
Можно было бы начать с наиболее общего случая, когда
радиационные свойства поверхностей зависят от длины волны,
температуры и направления излучения и когда потоки излучения
изменяются произвольно по поверхности замкнутой системы. Все
другие случаи были бы тогда упрощенными частными задачами.
Однако такой метод изложения поставил бы пассивного читателя
в трудное положение, так как пришлось бы вникать в самую
сложную задачу, трудную для понимания. Поэтому мы начнем с
наиболее простых задач. Затем будут введены последовательные
усложнения, ^позволяющие перейти к более общей задаче.
6.1.1. Идеальные замкнутые системы.
Самым сильным упрощением является предположение о том,
что все поверхности замкнутой системы — черные. В этом случае
не нужно учитывать отраженное излучение. Кроме того,
предполагается, что все поверхности являются диффузными излучателя-^
ми. Это значит, что интенсивность излучения, испускаемого
данной изотермической поверхностью, не зависит -от направления.
Теория теплообмена для замкнутой системы черных поверхностей
представлена в гл. 7, В уравнениях теплового баланса учитывается
геометрия замкнутой системы, которая представлена диффузными
угловыми коэффициентами. Эти коэффициенты определяют долю
энергии излучения, испускаемую одной поверхностью и
падающую на другую. Они вычисляются исходя из предположения,
что распределение по направлениям энергии излучения,
испускаемого поверхностью, является диффузным и однородным. Эти
ограничения нужно иметь в виду при использовании данных
угловых коэффициентов для нечерных замкнутых систем.

196
Глава 6
Вычисление угловых коэффициентов связано с интегрированием
по телесным углам, под которыми поверхности видны друг другу.
Так как интегрирование во многих случаях утомительно, то
желательно использовать некоторые полезные соотношения между
угловыми коэффициентами. С помощью этих соотношений мощно
вычислить требуемый коэффициент по коэффициентам, которые
уже известны, избежав операции интегрирования. Такие
соотношения наряду с различными компактными методами, которые
можно использовать для получения угловых коэффициентов,
представлены в гл. 7. В приложении Б даны ссылки на источники,
в которых приведены угловые коэффициенты приблизительно для
170 различных геометрических конфигураций. В приложении
В представлены некоторые распространенные угловые
коэффициенты.
За замкнутой системой черных поверхностей по степени
сложности следует замкнутая система серых поверхностей, которые
диффузно излучают и отражают. Для этой сиЬтемы также
предполагается, что энергия испускаемого излучения и энергия
отраженного излучения равномерно распределены на каждой поверхности.
В этих условиях диффузные угловые коэффициенты,
определенные для черных поверхностей, также применимы для эффективного
излучения поверхности. Для серых поверхностей следует
учитывать отражение между поверхностями, что и сделано в гл. 8
с помощью метода, разработанного Поляком.
Другим типом идеальной поверхности является совершенный
зеркальный отражатель. Излучение поверхности такого типа
предполагается диффузным. Следовательно, энергия испускаемого
излучения вычисляется с помощью диффузных угловых
коэффициентов. Величина энергии отраженного излучения определяется
из характеристик зеркального отражения, в соответствии с
которыми угол отражения равен по величине углу падения. Метод
многократных отражений излучения и вывод необходимых урая-
нений тепловых балансов излагаются в гл. 9.
6.1.2. Неидеальные замкнутые системы
В некоторых случаях приближения черных или диффузно-се-
рых поверхностей- неприменимы и требуется учитывать
пространственные и (или) спектральные эффекты. Необходимость
исследования спектральных эффектов в области переноса
излучения была отмечена достаточно давно. В выдающейся статье [3],
опубликованной в 1800 г. Уильямом Гершелем и озаглавленной
«Исследование мощностей излучения тепловых и световых
объектов путем разложения его с помощью призм, с примечаниями,
которые доказывают различную преломляемость теплового
излучения, и введением в метод наилучшего наблюдения Солнца

Введение в теорию теплообмена излучением 197
с помощью телескопов большой апертуры и высокой разрешающей
способности», излагается следующая мысль: «В ряде
экспериментов, касающихся метода наилучшего наблюдения Солнца с
помощью* больших телескопов, я использовал различные
комбинации различно окрашенных затемненных стекол. При
использовании некоторых комбинаций у меня возникало ощущение тепла,
хотя они и пропускали немного света, в то время как с помощью
других удавалось получить много света с минимальным
ощущением тепла. Так как при использовании этих различных
комбинаций изображение Солнца было также по-разному окрашенным,
мне пришло в голову, что лучи, прошедшие через призму, могли
нести неравномерно распределенную энергию нагретых тел...»
В этой статье впервые было дано определение инфракрасной
области спектра, как мы ее сейчас называем, и показано, что энергия
теплового излучения отличается длинами волн от энергии
«света».
Из приведенной цитаты следует, что в некоторых случаях
при исследовании процессов излучения необходимо учитывать
спектральные эффекты. Рабочие характеристики спектрально-
селективных поверхностей, используемых в системе регулирования
температуры спутника и поверхностей солнечных батарей,
можно понять только в предположении, что свойства поверхности
изменяются в зависимости от длины волны излучения.
Вторым свойством неидеальной поверхности является сильное
влияние направления излучения. В гл. 5 рассматривались
некоторые свойства поверхности, зависящие от направления
излучения, и было показано, что часть из них значительно отличается
от приближений диффузного или зеркального отражения.
Хорошим примером является поверхность Луны, для которой
распределение энергии отраженного излучения имеет четкий максимум
в направлении падающего излучения. Это отражение в некотором
смысле противоположно зеркальйому и, конечно, не может
рассматриваться как диффузное отражение.
Методы ^исследования поверхностей, которые не являются
идеальными ни в отношении спектральных, ни в отношении
направленных свойств, даются в гл. 10, 11. В гл. 10 продолжается
развитие теории теплообмена в замкнутых системах. В гл. 11
описан другой подход — метод Монте-Карло, Это общий прием,
с помощью которого рассматриваются «пучки» энергии излучения
вдоль их траекторий внутри замкнутой системы. Он может быть
применен ко всем типам задач по излучению, но он обычно
трудоемок и дорог в смысле затрат времени ЭВМ для использования
его в простых задачах. В тех случаях, когда должны учитываться
спектральные и направленные эффекты, метод Монте-Карло очень
ценен.

193
Глава 6
6.2. КОМБИНИРОВАННЫЕ СПОСОБЫ
ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ
Глава 12 посвящена задачам, в которых теплопроводность
и (или) конвекция сочетаются с переносом тепла излучением. Так
как мы рассматриваем здесь только непрозрачные поверхности,
то считается, что радиационное взаимодействие с телом происходит
лишь на поверхности тела. Следовательно, излучение является
только граничным условием для процесса теплопроводности
внутри тела. Оно аналогично конвективному граничному условию на
поверхности. Когда тело находится в нестационарных
температурных условиях, вклад излучения учитывается в каждый момент
времени при решении уравнения баланса энергии, описывающего
распределение температуры внутри тела.
Процесс теплопроводности определяется локальными
производными температуры в первой степени. Процесс конвекции зависит
от локальных разностей температур жидкости и поверхности
в первых степенях. Теплообмен излучением, однако,
приближенно зависит от разностей четвертых степеней температур
поверхностей, а также от суммы потоков излучения, падающего на
поверхность во всех направлениях. В результате баланс энергии при
совместном действии конвекции, теплопроводности и излучения
может быть представлен в виде интегро-дифференциального
уравнения. Существует несколько стандартных математических
методов решения этих уравнений и несколько аналитических форм
решения в замкнутом виде. Для решения сложных задач обычно
используются численные методы.
6.3. СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ
Рассмотрим вкратце применяемую систему обозначений. Штрих
обозначает зависящую от направления величину, а подстрочный
индекс X относится к спектральной величине; например, £я/—
направленная спектральная степень черноты. Некоторые
величины, такие, как двунаправленные отражательные способности,
могут зависеть от двух направлений (входящего и выходящего
излучений) и обозначаются двойным штрихом. Полусферическая
величина не имеет штриха, а интегральная величина не имеет
подстрочного индекса X; следовательно, £ — полусферическая
интегральная степень черноты. Кроме того, может быть
использовано обозначение вида G, (X,,Q, р, Г), чтобы подчеркнуть
функциональные зависимости или установить особо, при какой длине
волны, каком угле и какой температуре поверхности вычисляется
эта величина.
Для потока энергии Q через площадку конечных размеров
требуется дополнительное обозначение, чтообы сохранить согла-

Введение в теорию теплообмена излучением
199
сованными математические формы записи уравнения баланса
энергии. d2Qx — направленно-спектральная величина, а вторая
производная обозначает, что поток энергии является
дифференциальной величиной по длине волны и телесному углу. dQ' и dQi—
дифференциальные величины по телесному углу и длине волны
соответственно. Если в рассмотрение вводится элементарная
площадь, то порядок производной соответственно возрастает.
6.4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Как упоминалось ранее, в последующих главах вводятся
некоторые ограничения, связанные с идеальными поверхностями
и непоглощающей средой. Кроме того, некоторые не упомянутые
здесь явления, требующие специального рассмотрения, в
отдельных случаях могут быть очень важны. Например, эффекты
поляризации иногда приводят к ошибкам в расчетах переноса энергии,
если ими пренебречь при рассмотрении специальных
геометрических конфигураций [4]. Интерференция [5], химические и
фотохимические явления [6—9], а возможно, и другие явления
в некоторых случаях могут быть основным механизмом,
определяющим теплообмен излучением. Для ознакомления с указанными
случаями рекомендуем читателю обратиться к специальной
литературе.
Литература
1. Charle М., Les Manuscripts de Leonard de Vinci, Manuscripts C, E, et К de
la Bibliotheque de Г Institute Publies en Facsimiles Phototypiques, Ravis-
son-Mollien, Paris, 1888. [Ссылка в статье M. W. Е. Knowles, Note on the
Invention of Photometry, Am. J. Phys., 31, № 3, 177—181 (1963).]
2. D'Aguillon F. S. J. Opticorum Libri Sex, Antwerp., 1613. [Ссылка в статье
M. W. Е. Knowles, Note on the Invention of Photometry, Am. J. Phys.,
31, № 3, 177—181 (1963).]
3. Herschel W., Investigation of the Powers of the Prismatic Colours to Heat
and Illuminate Objects, Trans. Roy. Soc. (London), 90, pt. 2, 255—283
(1800).
^. Тобпн P. Д., Эдварде Д. К., Влияние поляризации на теплоотдачу
излучением через длинные каналы, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, 89, № 2, 14 (1967).
5. Кравалхо Е. Г., Тьен К. Л., Карэн Р. П., Влияние небольших
расстояний между двумя диэлектриками на передачу излучения между ними,
Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 4, 80 (1967).
6. Garlick G. F. J., Luminescence in Solids, Sci. Prog. (Oxford), 52, 3—25
(1964).
7. Pringsheim P., Fluorescence and Phosphorescence, Interscience Publishers,
Inc., New York, 1949.
8. Curie D. (G.F.J. Garlick, перев.), Luminescence in Crystals, Wiley,
New York, 1963.
9. Bowen E. J., Garlick G.F.J., Luminescence, Int. Sci. Tech., № 56, 18—
29 (1966).

7
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
МЕЖДУ ЧЕРНЫМИ ИЗОТЕРМИЧЕСКИМИ
ПОВЕРХНОСТЯМИ
7.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе рассматривается теплообмен излучением между
поверхностями в частном случае, когда все поверхности,
участвующие в теплообмене, черные. Черные поверхности выбраны из тех
соображений, что они являются совершенными поглотителями,
и процесс теплообмена упрощается, так как не надо учитывать
отраженное излучение. Кроме того, все черные поверхности
относятся к полностью диффузным излучателям, интенсивность
излучения которых не зависит от направления излучения. Это
упрощает вычисление доли излучения, достигающей другой
поверхности.
Доля излучения, испускаемого одной поверхностью,
достигающая другой поверхности, определяется как угловой коэффициент
между двумя поверхностями, так как она зависит от геометрической
ориентации поверхностей относительно друг друга. Здесь
рассматривается зависимость от геометрии для черных поверхностей,
но результаты имеют более общий характер, так как они будут
применяться для любого диффузного равномерно распределенного
излучения, испускаемого поверхностью. Эта геометрическая
зависимость приводит к некоторым алгебраическим соотношениям
между коэффициентами, которые представлены в настоящей главе
для различных конфигураций поверхностей. В приложении Б
приведена таблица ссылок на литературу, где можно найти извест1-
ные угловые коэффициенты, а некоторые угловые коэффициенты
даются в приложении В. Рассматривается применение этих
коэффициентов в инженерных задачах теплообмена излучением между
двумя поверхностями.
Соотношения для теплообмена излучением между двумя
поверхностями можно применить к любому числу поверхностей,
образующих замкнутую систему и имеющих различные
температуры. В этой главе дается вывод в общем виде системы уравнений,
описывающих теплообмен внутри замкнутой системы, и приведены
некоторые пояснительные примеры.
Общие представления, изложенные в настоящей главе,
обобщены применительно к системам с диффузно-серыми
поверхностями в гл. 8, а в последующих главах рассматриваются более слож-

Черные изотермические поверхности
201
ные системы. В этой главе приводятся довольно подробные
выводы, так как они составляют теоретическую основу последующего
материала, относящегося к менее идеализированным поверхностям.
7.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь;
е — поверхностная плотность потока излучения;
/ — функция, определяемая уравнением (7.566);
F — угловой коэффициент;
i — интенсивность излучения;
Z, т, п — направляющие косинусы, уравнение (7.56а);
N — число поверхностей в замкнутой системе;
Р, Q, R — функции в интегрировании по контуру, используемые
в разд. 7.5.4;
Q — поток энергии;
г — радиус;
S •— расстояние между двумя элементарными площадками;
Т — температура;
U — число неизвестных в уравнениях, описывающих
замкнутую систему из N поверхностей;
х, г/, z — декартовы координаты;
а, у, б — углы, определяющие направляющие косинусы;
Р — полярный угол;
X — длина волны;
а — постоянная Стефана — Больцмана;
со — телесный угол.
Подстрочные индексы
Ъ — абсолютно черное тело;
dl, d2 — величины, отнесенные к элементарным площадкам
dl и 62 соответственно;
i — внутренний;
/, к — /-я или к-я поверхность;
N — N-я поверхность;
г — площадь кольца;
s — индекс, обозначающий принадлежность к Солнцу;;
st — элементарная полоса;
X — величина, зависящая от длины врлны;
1, 2 — индексы, обозначающие величины, вычисленные для
площадок 1 и 2.
Надстрочные индексы
1 —величина, зависящая от одного направления.

202
Глава 7
7.3. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
МЕЗВДУ ДВУМЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ПЛОЩАДКАМИ
Рассмотрим сначала соотношения, описывающие теплообмен
излучением между элементарными площадками, так как они будут
использованы в следующих разделах для вывода соотношений,
Фиг. 7.1. Теплообмен излучением между двумя абсолютно черными
элементарными площадками.
описывающих теплообмен между поверхностями конечного
размера. Пусть две элементарные черные площадки (фиг. 7.1) dAx
и dA2 поддерживаются при постоянных температурах Тг и Г2
соответственно и произвольно ориентированы в пространстве, так
что углы между нормалями к ним и линией S, соединяющей их,
равны соответственно pt и р2.
Интегральный поток излучения, испускаемого в единицу
времени элементом dA1 и падающего на элемент dA2, равен
d2Q'<u-dz = i'b, i dAi cos p4 dcob (7.1)
где d(x)x — телесный угол, стягиваемый элементом cL42, с
вершиной, расположенной на элементе dAx. Уравнение (7.1) следует
непосредственно из определения it,, 1? интегральной интенсивности
излучения абсолютно черной поверхности 1, как интегральной
энергии излучения, испускаемого единицей площади проекции
поверхности dAt, перпендикулярной направлению 5, в единице

Черные изотермические поверхности
203
телесного угла, в единицу времени. Как и раньше, штрих
относится к одному направлению. Величина d?Q' зависит от двух
величин dAx и dcoj.
Уравнение (7.1) для монохроматического излучения имеет вид
d3Q'x, di-d2 = fa, i М dX dAi cos p4 dco^
Интегральные величины находятся интегрированием по всему
спектру
оо оо
d2Q'di-d2== ) d3Q'k,di-d2 = dAicos$id(oi j i'kb, i (X) dJt.
i=o о
Для черной поверхности интенсивность ikb (А,) не зависит от
направления; следовательно, все геометрические коэффициенты
могут быть выведены из под знака интеграла, и интегрирование по
всему спектру выполняется независимо от геометрии. Таким
образом, угловой коэффициент может применяться как для
спектральных, так и для интегральных величин. Для простоты,
чтобы не применять подстрочный индекс А,, будем оперировать
интегральными величинами.
Телесный угол d(o1 связан с проекцией элемента dA2 и
расстоянием между элементами S соотношением
efoi^^b. (7.2)
Подстановка этого соотношения в (7.1) дает следующее уравнение
для интегрального потока излучения, испускаемого элементом dAx
и падающего на элемент dA2:
7?л, ib, 1 dA\ cos Bj д,А% cos B2 щ Q\
Аналогичный вывод для потока излучения, испускаемого
элементом dA2 и падающего на элемент dAx, приводит к выражению
72/V * 1&. 2 dA2 cos р2 dAi cos Pi in /л
» Vd2-dl = £2 • \'л)
Величина d2Q' в уравнениях (7.3) и (7.4) была определена
как поток излучения, испускаемый одним элементом поверхности
и падающий на другой элемент. В частном случае, когда
приемный элемент имеет черную поверхность, все падающее излучение
поглощается так, что уравнения (7.3) и (7.4) в этом случае
определяют энергию, излучаемую одним элементом и поглощаемую
♦другим. Как будет показано, более общее определение d2Q'
позволяет использовать выведенные здесь формулы для угловых
коэффициентов черных поверхностей и в других случаях. Эти случаи
будут подробно рассмотрены в гл. 8, 9.

204
Глава 7
Поток результирующего излучения между черными
элементарными площадками dAx и dA2 вдоль направления S равен разности
(PQdi-d2 и d2Q'd2-di:
d2Q'di*±dz — d2Q'di-d2 — d2Q'd2-d\ =
-(^i-~^2)CQS^OSp2^i^2. (7.5)
Согласно (2.21), интегральная интенсивность излучения
абсолютно черного тела связана с полусферической интегральной
поверхностной плотностью потока излучения абсолютно черного тела
соотношением
« = -£ = •!£. (7.6)
Таким образом, (7.5) можно записать в виде
dV',^2 = о(Т*~ Т$) С08У2 dAt dA2. (7.7)
ПРИМЕР 7.1. Энергию излучения Солнца можно
приближенно оценить как энергию излучения абсолютно черного тела
при температуре 5780 К. Черная элементарная площадка,
находящаяся на орбите вокруг Солнца с радиусом, равным главному
радиусу земной орбиты (149,5-109 м), ориентирована по нормали к
линии, соединяющей центры площадки и Солнца. Если, радиус
Солнца равен 6,95-108, м, то чему равен поток излучения,
падающего на площадку?
По отношению к площадке на орбите Солнце кажется
изотермическим диском площадью
ЙЛ1^лг1-я(6,95.108)2 = 152.1016 м2.
Согласно (7.3), поток излучения, падающего на элементарную
площадку на орбите, равен
d2Qdi-d2 _ . / 1 л cos fti cos ft2 _ oTs dAi __
5,73.10-8(5,78.103)4 152.10*6 .qqa о / 2 a oq r> / 2
= - ~ ~ (149,5.109)2 = 138Q Bt/m2=1,38 kBt/m2.
Эта величина согласуется с диапазоном измеренных значений
солнечной константы 1,32—1,43 кВт/м2.
Такой расчет можно провести другим методом, имея в виду,
что энергия излучения распространяется от Солнца сферически
симметрично. Энергия излучения равна аГ|4яг|, а площадь
сферической поверхности, окружающей Солнце и имеющей радиус
земной орбиты, равна 4я52. Следовательно, поток энергии,
достигший земной орбиты, равен otiAnrl/AnS2 = аТ\ (rJS)2, что дает
тот же результат.

Черные изотермические поверхности
205
ПРИМЕР 7.2. Черная квадратная площадка со стороной
0,254-Ю-2 м, имеющая температуру 1088 К, расположена рядом
с трубкой диаметром 0,254-lO-2 м (фиг. 7.2). Отверстие трубки
0,254-10-:
Фиг. 7.2. Теплообмен излучением между квадратным элементом поверхности
и отверстием круглой трубки.
Размеры даны в метрах.
излучает как черная поверхность при температуре 700 К. Чему
равен поток результирующего излучения вдоль прямой S,
соединяющей площадку с отверстием трубки?
Из (7.7) имеем
d*Q'di^d2 = о {Т\ - Т\) ™*£?h dA± dA2.
Значение cos Рх находится из рассмотрения прямоугольного
треугольника dA2 — 0 — д,Аг с известными значениями сторон
5,08.10-2
cos Pi =
(7,622 + 5,082) 1/2.10-2
: 0,554.

2С6
Глава 7
Другие коэффициенты в уравнении теплообмена известны, и их
подстановка дает
сР9«^2 = 5,73.10гв(Ю88*-700*) -^^^^ (2,54-10-3)2 х
7.4. УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ И ТЕПЛООБМЕН
ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ ДВУМЯ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Одной из основных математических трудностей в исследовании
теплообмена излучением между поверхностями является учет
геометрических соотношений, определяющих, под каким углом
поверхности видны друг другу. Эта зависимость от геометрии
математически выражается в интегрировании потока
результирующего излучения по поверхностям конечных размеров,
участвующим в теплообмене. Было бы полезно иметь как можно больше
справочных данных для учета этих геометрических соотношений
для наиболее часто встречающихся геометрических конфигураций.
Таким образом можно было бы избежать повторений утомительной
процедуры интегрирования.
В этом разделе вводится метод учета геометрии в виде
величины, названной угловым коэффициентом. Такие коэффициенты
позволяют рассчитывать теплообмен излучением во многих
системах с помощью формул или табличных данных, полученных ранее
для различных геометрических конфигураций поверхностей.
Наличие готовых формул устраняет наиболее трудоемкую и часто
приводящую к ошибкам часть расчета.
7.4.1. Угловые коэффициенты для расчета теплообмена
между двумя элементарными площадками
Доля энергии излучения, испускаемого элементарной
площадкой черной поверхности dAx, падающая на элементарную
площадку черной поверхности dA2, определяется как угловой
коэффициент г) dFdl_d2. (Так же, как в случае уравнения (7.1), для dF будут
получены те же самые результаты независимо от того,
рассматривается интегральная или спектральная энергия. Интегральная
г) Угловые коэффициенты dFdl^d2 или dFx_d2, характеризующие перенос
излучения к элементарной площадке от элементарной площадки или
поверхности конечных размеров, называют элементарными угловыми
коэффициентами, угловой коэффициент Fdl-2, характеризующий перенос излучения
от элементарной площадки к поверхности конечных размеров,— локальным
угловым коэффициентом, а угловой коэффициент ^_2, характеризующий
перенос излучения между двумя поверхностями конечных размеров,—
средним угловым коэффициентом.— Прим. ред.

Черные изотермические поверхности
207
энергия рассматривается здесь из соображений удобства, чтобы
не вводить подстрочный индекс X.) С помощью (7.3) и (7.6)
приведенное выше определение можно представить в виде
-,„ d2Qdi-d2 oTi (cos Picos M^2) dAj dA2 _
dt di-d2= oTtdAi - art dA,
COS ^ COS P2 ДА /7 Оч
= S^ dA*' (7'8>
где oT\dA1 — интегральный поток излучения, испускаемого
элементарной площадкой dA1 в пределах полусферического телесного
угла. Из соотношения (7.8) следует, что dFdl_d2 зависит только
от размера dA2 и ее ориентации относительно dA±. Путем
подстановки (7.2) выражение (7.8) можно также записать в виде
dFdl-di = 2№i.. (7.9)
Следовательно, все элементы поверхности dA2 имеют одинаковый
угловой коэффициент, если они стягивают одинаковый телесный
угол dcoj, под которым они видны с элемента поверхности dAx,
и расположены вдоль прямой под углом рх относительно
нормали к dAx.
Используемая здесь система обозначений для угловых
коэффициентов основана на подстрочных индексах для типов
поверхностей, участвующих в обмене энергией, а обозначение в виде
производной согласуется с математическим смыслом углового
коэффициента. Подстрочные обозначения dl, d2 и т. д. относятся
к элементарным площадкам, в то время как 1, 2 и т. д.— к
поверхностям конечных размеров. Таким образом, dFdl_d2 обозначает
угловой коэффициент между двумя элементарными площадками,
как в уравнении (7.8), a dFi_d2 — угловой коэффициент между
поверхностью конечных размеров Ах и элементарной
площадкой dA2.
Обозначение в виде производной dF указывает, что
рассматривается угловой коэффициент при передаче энергии к элементарной
площадке, как в уравнении (7.8). Такое обозначение не требует
подстрочного индекса, но сохраняет математическую форму
уравнений [таких, как (7.8)], поскольку дифференциальная величина
содержится в обеих частях уравнения (т. е. выражение для dF
содержит элемент площади). Угловой коэффициент F относится
к поверхностям конечных размеров. Таким образом, Fdl_2 —
угловой коэффициент между элементарной площадкой dAx и
поверхностью конечных размеров А2.
Соотношения взаимности для угловых коэффициентов между
элементарными площадками. Выполнив выкладки, аналогичные
тем, с помощью которых было выведено уравнение (7.8), получа-

208 Глава 7
ем угловой коэффициент, необходимый для расчета теплообмена
между двумя элементарными площадками dA2 и dA±:
dFd2_dl=^hph.dAu (7.Ю)
Разделив (7.8) на (7.10), находим обобщенное соотношение
взаимности
dFdi^dA^dF^ai аА2=С0*^™5&<1А^А2. (7.11)
Окончательно уравнение (7.7) для теплообмена между двумя
элементарными площадками черных поверхностей может быть
записано с помощью (7.11). В результате имеем
d2Qd^d2 = а (Г1- Т*2) dFd^d2 dAt = о (Т\-Т$) dFd2_di dA2. (7.12)
Некоторые угловые коэффициенты между элементарными пло-
'цаддами. Ряд алгебраических преобразований позволяет свести
уравнение для результирующего теплообмена двух элементарных
площадок черных изотермических поверхностей к простой форме
уравнения (7.12). Это стало возможным благодаря введению
углового коэффициента dF, который учитывает геометрическую
конфигурацию.
Вывод угловых коэффициентов будет теперь проиллюстрирован
на некоторых примерах.
ПРИМЕР 7.3. Две элементарные площадки (фиг. 7.3) размещены
на полосах с параллельными образующими. Вывести выражение
для углового коэффициента системы йАг — dA2.
Расстояние S можно представить в виде
Тогда
rn-.fi, - Zc0S(P ZcQS(P
cos ft- —g— = >(z2_^2)1/2.
Телесный угол, стягиваемый площадкой dA2, под которым
площадка dAi видна с площадки dA2, равен
j (Площадь проекции dA2)
acoi = i ^2 ^
(Проекция ширины dA2) (Проекция длины dA2)
_ (^ ^ф) (dx cos г|?) __ ldq> dx l_

Черные изотермические поверхности
209
UoSV
Фиг. 7.3. Геометрическая схема для определения углового коэффициента
между элементарными площадками, расположенными на полосах,
образованных параллельными образующими.
Подстановка в (7.9) дает угловой коэффициент системы &А± — dA2
at? _ cos Pi rfcot Zcosq). 1 I2 dy dx Z3 cos ф dy dx
4di-d2
'XP + x*)1'2 Я (/2 + ^)3/2 я(1* + х*)*
ПРИМЕР 7.4. Определить угловой коэффициент мэжду
элементарной площадкой и бесконечно длинной элементарной полосой,
ориентированной в пространстве (фиг. 7.4) таким образом, что
образующие линии dAx и dAst параллельны.
В примере 7.3 выведено выражение для углового коэффициента
системы элементарных площадок dAx — dA2 со стороной dx
Is cos ф ^ф dx
7l(l2+X2)2 "
Чтобы найти угловой коэффициент для случая, когда dA2
становится бесконечной полосой, интегрируем это выражение по х
dFdi-
dl-d2:
dFdi.
st, 2 :
Z3 cos ф dq>
oo
Г dx
J (P + X*
я \W(F+x^+2ParCtg I J.»"
cos ф d(p 1 j / . v
: р==-.(1(81Пф),

210
Глава 7
учитывая, что угол ср лежит в плоскости yz. Это полезное
соотношение для углового коэффициента будет использовано в
следующих примерах.
Из фиг. 7.4 также следует, что если элемент dA1 лежит на
бесконечной полосе dAsti г с элементами, параллельными d4st,2»
то угловой коэффициент
d^di-st, 2 ^-yd (sin ф)
относится к dAx независимо от положения ААХ на cL4st, 2. Так
как на полосу cL4st, 2 от каждого элемента dAx на полосе d4st, г
Фиг. 7.4. Геометрическая схема для определения углового коэффициента
между элементарной площадкой и бесконечно длинной элементарной
полосой; площадка и полоса имеют параллельные образующие.
падает одинаковая доля излучения, то такая же доля
излучения всей полосы dAstf х падает на dAstf 2. Следовательно,
угловой коэффициент между двумя бесконечно длинными
полосами элементарной ширины, имеющими параллельные
образующие, должен быть равен коэффициенту системы dAx — dAstt 2, или
V2d (sin ф). Угол ф всегда лежит в плоскости, нормальной к
образующим обеих полос.
ПРИМЕР 7.5. Рассмотрим бесконечно длинную клинообразную
полость, сечение которой показано на фиг. 7.5. Определим угловой

Черные изотермические поверхности
211
коэффициент между элементарными полосами dx и dl> в функции
х, I и а.
Как показано в примере 7.4,
1 1
dFdx-di -=~Yd (sin Ф)= If cos Ф ^Ф-
Из геометрических соображений (фиг. 7,5, б)
gsin а
coscp^-2——.
Величина dcp представляет собой угол, стягиваемый проекцией
d\, нормальной к L;
, _dl cos (а + ф) _ dl х sin а
""r~~ L ~ L L
Из закона косинусов имеем
L2 = х2 + £2 — 2#£ cos а,
тогда
dFdx-di = -2 cos у dtp
1 #£ sin2 а ,у
= Т L3—^ =
1 д;| sin2 а
:~2"(s2 + £2 — 24 cos а)
3/2
#.
£ sin а
7.4.2. Угловой коэффициент между
элементарной площадкой
и поверхностью конечных
размеров
Рассмотрим теперь элемент dAx
изотермической черной поверхности
при температуре 7\,
обменивающийся энергией с поверхностью
конечных размеров А2, которая также
является изотермической и
поддерживается при температуре Т2.
Соотношения, полученные для расчета
теплообмена между элементарными
площадками, должны быть распространены на случай
поверхности конечных размеров А2 (фиг. 7.6). На фиг. 7.6 показано
(сравните сплошную и пунктирную линии), что угол Р2 будет
различным для разных положений на поверхности А2 и что угол рх и
расстояние S также будут изменяться.
Рассмотрим два угловых коэффициента: угловой коэффициент
dFdl_2 между элементарной площадкой dA1 и поверхностью конеч-
Фиг. 7.5. Угловой
коэффициент между двумя полосами на
сторонах клинообразной
полости.
а — геометрия fклинообразной
канавки; б — вспомогательное
[построение.

212
Глава 7
ных размеров А2 и угловой коэффициент dF2_dl между
поверхностью конечных размеров А2 и элементарной площадкой dAx.
Каждый из этих коэффициентов будем рассматривать, используя
определение углового коэффициента как доли излучения,
испускаемого одной поверхностью, падающей на другую
поверхность. При выводе Fdl_2 заметим, что интегральная энергия,
излучения элемента черной поверхности dA1 равна dQx = oT\dAv
Фиг. 7.6. Теплообмен излучением между элементарной площадкой и
поверхностью конечных размеров.
Энергия излучения, достигающего элемента dA21 расположенного
на поверхности А2, равна
Интегрируя по всей поверхности А2, чтобы получить энергию
излучения, падающего на всю поверхность А2, и деля это
выражение на величину интегральной энергии излучения, испускаемого
dAt получим
J d*Q'dl-d2 I оТ{ (cos Pi cos fa*Ai/nS*)dA2
^dl-2~ dQl ~~ eT*dAt ~
-] CQS^C2QSP2rf^ (7ЛЗ)
A2

Черные изотермические поверхности 213
где интегрирование ограничено только той частью поверхности А2,
которая видна с элемента dAv Из уравнения (7.8) ясно, что
подынтегральная величина в (7.13) есть dFdl_d2, так что
Fdi-2= ]dFdM2. (7.14)
А2
Эта запись выражает только факт, что доля энергии излучения,
падающая на А2, равна сумме долей энергии излучения,
падающих на все элементы поверхности А2.
Теперь рассмотрим угловой коэффициент dF2_dl. Энергия
излучения, падающего на элементарную площадку dAx с поверхности
конечных размеров А21 получается интегрированием (7.4) по
площади А 2
aadAi^aT*^bph.dAt. (7.15)
А2
Общий полусферический поток излучения, испускаемый А 2, равен
<?2 = ^oTidA2 (7.16)
А2
Угловой коэффициент dF2_dl равен отношению dQ2_dl к Q2 или
dAi I оЦ (cos Pi cos Р2/л^2) dA2
jp A2 dAj Г cos Pi cos P2 j a n \n\
dF2_dl = —— -^ J ^ dA2. (7.17)
л Л2
Ач
Последний интеграл в правой части был получен в
предположении, что А2 — изотермическая поверхность. Из (7.8) ясно, что
величина под знаком интеграла в уравнении (7.17) есть dFdl,d2,
так что
dF2.di = ^ jdFdi-d2. (7.18)
2 А2
Соотношение взаимности для угловых коэффициентов между
элементарной площадкой и поверхностью конечных размеров.
С использованием выражения (7.14) угловой коэффициент dF2_dl
в (7.18) можно записать в виде
dF2_di = -—- Fdi-2
или
A2dF2-di = dAiFdi-2. (7.19)

214
Глава 7
Полученное выражение является полезным соотношением
взаимности.
Теплообмен излучением между элементарной площадкой и
поверхностью конечных размеров. Часть потока излучения,
испускаемого dAx, падающая на А2, получается из определения
углового коэффициента
dQdi-2 = oT*dAtFdi^.
Аналогично
dQ2-di = oT$A2dF2-dl.
Поток результирующего излучения равен
dQdi?2 = dQdi~2 -dQ2-di = oT\dAiFdi^^aT\ A2 dF2_di. (7.20)
С помощью соотношения взаимности (7.19) поток
результирующего излучения может быть записан в виде
dQdiX2 = G(ri- Tt) dAiFdu*\ (7.21a)
WdiZ* = a (Ji ~ Ti)A* dF*-** (7-216)
Некоторые угловые коэффициенты между элементарной
площадкой и поверхностью конечных размеров. Некоторые
геометрические системы имеют угловые коэффициенты, которые могут быть
представлены в окончательном виде с помощью простых
алгебраических выражений (приложение В), в то время как другие
требуют численного интегрирования уравнения (7.13). Угловые
коэффициенты наиболее общих геометрических систем могут быть
сведены в таблицы, так что при надобности их не придется
вычислять. Перечень работ, содержащих известные угловые
коэффициенты, даетсй в приложении Б.
Угловые коэффициенты для двух геометрических систем
простой формы приводятся в следующих примерах, которые также
служат для иллюстрации способа вычисления этих коэффициентов,
ПРИМЕР 7.6. Элементарная площадка dAx ориентирована
перпендикулярно круглому диску площадью А2 с внешним
радиусом г (фиг. 7.7, а). Вывести уравнение, описывающее угловой
коэффициент Fdl-2 этой системы в функции fe, I и г.
Прежде всего выразим величины, стоящие под знаком
интеграла в (7.13), через известные величины, чтобы можно было
выполнить интегрирование. Площадь dA2 выражается через локальный
радиус диска и угол Э:
dA2 — p[dp'dQ.
Так как интеграл в уравнении (7.13) должен быть вычислен по
параметрам р и 0, величины, стоящие под интегралом, должны
быть выражены через эти переменные. Для этого выполняются

Черные изотермические поверхности
215
Фиг. 7.7. Схема теплообмена излучением между элементарной площадкой
и круглым диском.
а — геометрия системы; б — вспомогательное построение для определения cos flt и cos Р*.
в — вспомогательное построение для определения S.
вспомогательные построения. С помощью фиг. 7.7, б вычисляются
величины cos рх и cos |52:
о l-\~Q cos 0 ah
С помощью фиг. 7.7, в вычисляется оставшийся неизвестным
параметр S,
S2 = h2 + B\
причем В2 можно определить из треугольника аОЪ с помощью
геометрического закона косинусов
£2=Z24-p2-2Zpcos(m-9) = Z2 + p2 + 2Zpcos9.
Подставляя эти соотношения в (7.13), получим
А.2 Al

216
Глава 7
Интегрирование выполняется в безразмерном виде с учетом
симметрии. После ряда преобразований получаем
F -.2* f f p(Z + pcos8) ,ft
dl~2"~ я J J (A* + pa + Z* + 2plcose)a au aP ~
p=0 0=0
_2Я f f g(l+gcos8) ,fl ^
-я J J (#» + £»+!+26 cos 9)» aoaS-
g=0 0=0
_ H f Я2 + Д2 + 1 ч
2 1[(Я2 + Л2 + 1)2 —4i?2]l/2 /'
Приведение к безразмерному виду было выполнено путем
деления числителя и знаменталеля на Z4 и подстановки Н = h/l, R —
= rll и | = p/Z. ^Чтобы найти поток результирующего излучения
между двумя поверхностями, представленными на фиг. 7.7, Fdl_2
вычисляется с помощью предыдущего выражения, а dQdi-*2 с
помощью уравнения (7.21,а). Чтобы избежать сложного двойного
интегрирования при вычислении Fdl_2, анализ можно провести
более удобным способом при помощи метода интегрирования
по контуру, изложенного в разд. 7.5.4.
ПРИМЕР 7.7. Рассмотрим бесконечно длинную двумерную
клинообразную полость с углом а между гранями. Выведем
выражение для углового коэффициента между одной гранью и
элементарной полосой шириной dx на другой грани, расположенной на
расстоянии х от вершины двугранного угла (фиг. 7.8, а). (Такие
геометрические конфигурации приблизительно соответствуют
системам с длинными пластинами и ребрами, используемыми в
космических излучателях.)
В примере 7.4 угловой коэффициент системы из двух
бесконечно длинных полос, имеющих параллельные образующие,
определяется в виде
dFdx-dl = yd (sin ф),
где угол ф лежит в плоскости, содержащей нормали к обеим
полосам. Заметим, что ф отсчитывается по часовой стрелке от
нормали к dx. Из уравнения (7.14) тогда получаем
i о Ф'
Fdx-i = \ dFdx-dz = j у d (sin ф) + j у d (sin q>) =*
£^0 <p=-jt/2 0
_ sincp 10 sincp |ф' _ 1 . sin q/
^[ф^-я/г"1 2 |ф=0 2 "• 2~'

Черные изотермические поверхности
217
Функцию sin ф' можно найти с помощью вспомогательного
построения на фиг. 7.8, б:
, В Zcosa—х
sm ф =-7Г = г^-.
С (*2 + j2_2*Jcosa)1/2
Тогда
j. 1 , Zcosa— х
d*-i = "2 +2 (Я2 + j2_2*/ cos a)1/2 *
Однако по условию задачи требуется найти dFi-dx. С помощью
соотношения взаимности (7.19)
получаем
dx
dFi-dx = — Fdx-i =
=dxl4r+
cos a — x/l
am'
2(*2 + Z2_2*Zcos<
Вводя замену X = #/Z,
полученное выражение можно
записать в безразмерном виде
dFl_dx=--dX^Y +
cos a — X
о-
2(X2 + l-2Xcosa)1/2-
B это выражение входят только
угол клина и безразмерное
расстояние от вершины этого угла.
7.4.3. Угловой коэффициент
между двумя
поверхностями конечных
размеров
Рассмотрим угловой
коэффициент для случая, когда
излучение, испускаемое
изотермической поверхностью А^ падает на
поверхность А2 (фиг. 7.9). По
определению, Fx-2 есть доля
энергии испускаемого А1 излучения, падающая на А2.
Интегральный поток излучения, испускаемый черной поверхностью Ах,
равен оТ\Аг, так как Ах — изотермическая поверхность при Тг.
Падающая на dA2 часть излучения, испускаемого элементом dAu
Фиг. 7.8. Угловой коэффициент
между стенкой и полосой на другой
стенке бесконечно длинной
клинообразной полости.
a — геометрия клинообразной полости;
б — вспомогательное построение для
определения sin ф'.

218 Глава 7
была выше определена математически в виде
Если это выражение проинтегрировать noi1ni2, тов результате
Фиг. 7.9. Схема теплообмена излучением между поверхностями конечных
размеров.
будет получена часть потока испускаемого Аг излучения,
падающая на А 2. Угловой коэффициент записывается тогда в виде
I I (oTfcos Pi cos р2/^2) dA2dAt
ту Ai А2
^1-2=
oTtAi
(7.22)
A\ Az
Это выражение можно записать через угловые коэффициенты,
относящиеся к элементарным площадкам:
^1-2 = 7Г j J dFdi-d% dA, - -i- J Fdi_2 dAt. (7.23)
4i A2
Ai

Черные изотермические поверхности 219
Аналогично уравнению (7.22) выводится уравнение для углового
коэффициента F 2_х между А2 и Аг:
F^^H^r^dAdA. (7.24)
А1А2
Соотношения взаимности для угловых коэффициентов между
поверхностями конечных размеров. Двойные интегралы в (7.22)
и (7.24) идентичны. Следовательно, соотношение взаимности
будет иметь следующий вид:
^1-2 = ^2-1. (7.25)
Другие соотношения между угловыми коэффициентами можно
найти с помощью (7.23) и соотношений взаимности (7.25) и (7.19),
т. е.
F2-i *= ^ Fi,2 = ^i ±. j Fdi.2 <*4 = ^ J dF2_dlA2 = J dF2.dl. (7.26)
A\ At Ai
Теплообмен излучением между поверхностями конечных
размеров. Часть потока испускаемого Аг излучения, падающая
на А 2, из определения углового коэффициента равна
<?i-2 = <^Mi*W
Подобным образом, часть потока испускаемого А2 излучения,
падающая на Аг, равна
Поток результирующего излучения между Аг и А2 равен
Q^2 = <?i-2 - <?2-i = оТ\ AtFM - eT*2A2F2-i. (7.27)
С помощью уравнения (7.25) это выражение можно записать
двумя способами:
Q^2 = o(Tt-Tt)AiFi.2, (7.28а)
^2 = а(П-Г2)^-ь (7.286)
ПРИМЕР 7.8. Две изотермические пластины одинаковой
ширины конечного размера и бесконечной длины соединены вдоль
одного края под углом а (фиг. 7.8). Используя те же
безразмерные параметры, что и в примере 7.7, вывести выражение для
углового коэффициента между пластинами.
В примере 7.7 выведено выражение для углового коэффициента
между пластиной и бесконечной полосой на другой пластине
7ГТ г 1 , cos а — х/1 "] j

220
Глава 7
Подстановка этого выражения в уравнение (7.26) дает
г* г*
Fi-i+= \ dFi-dx— \ -огЧ П5 \dx,
J J L 2Z 2(^+Z2-2^cosa)1/2J
эс=0 0 '
где для удобства ширина стороны на фиг. 7.8, имеющей элемент
dx, обозначена через Z*. Используя безразмерную переменную
X = xll с учетом, что Z* = Z, последнее выражение можно
записать в виде
J L2 2(Z2 + l-2Xcosa)1/z J
Интегрирование дает
77 . / 1— cos a \ I/2 , .a
Fz_z* = l — ^ ^ ) = 1 —sin y.
Для рассмотренного случая, в котором две пластины имеют
одинаковую ширину, Ft_i* зависит от единственного параметра —
угла а. Кроме того, в связи с тем, что площади двух сторон равны,
соотношение взаимности (7.25), как и следовало ожидать из
соображений симметрии, сводится к равенству
7,4.4. Сводка угловых коэффициентов и соотношений
для теплообмена излучением
В табл. 7.1 приведены уравнения теплообмена излучением,
интегральные определения угловых коэффициентов и
соотношения взаимности для угловых коэффициентов.
7.5. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
7,5.1. Алгебра угловых коэффициентов для пар поверхностей
Для многих геометрических конфигураций желательно
использовать компактные методы расчета вследствие трудностей,
возникающих при непосредственном вычислении угловых
коэффициентов ро формулам, приведенным в табл. 7.1. Такие методы могут
быть получены двумя способами, описанными в предыдущих
разделах: 1) путем определения углового коэффициента на основе
принвдгаа затенения потоков энергии и 2) путем использования
соотношений взаимности. В данном разделе будет показано, как
эти два способа используются для вычисления угловых коэффи-

Геометрическая
система
Поток результирующего
излучения
Элементарная

площадка—элементарная
площадка
Элементарная

площадка—поверхность
конечных размеров
Поверхность
конечных размеров—
поверхность
конечных размеров
-om-TftdAidF^M
dQ<uZ2^
= (П-Ц)АЛ_2
Угловой коэффициент
Соотношение
взаимности
dFdl-d2 =
cos Pi cog p2
dA2
dAi dFdi_d2 =
= dA2dF'd2-di
dA^Fdi^2 = A2dF2_di
4-2:
_± P f cos pt cos fodA^A
At J J nS*
^1^1-2 ~ <^2^V
A1A2
2l 2-1

222
Глава 7
циентов некоторых геометрических систем по уже известным
угловым коэффициентам других систем. Взаимосвязь угловых
коэффициентов называется алгеброй угловых коэффициентов *).
Рассмотрим теплообмен между произвольной изотермической
черной поверхностью Аг (фиг. 7.10) и поверхностью А2. Угловой
Фиг. 7.10. Теплообмен излучением между поверхностями конечных
размеров, когда одна из них разделена на две части, Z^.g + F%^ = ^1-2-
коэффициент F1_2 представляет собой долю интегральной энергии
испускаемого А1 излучения, падающую на А2. Если А2 разделена
на две части А 3 и А 4, то сумма долей интегральной энергии
испускаемого Аг излучения, падающих на43и^4? должна быть
равна i^_2, т. е.
^i-2 ^ ^1-сз+4) = ^i-з + ^1-4- (7.29)
Предположим затем, что ¥х-2 и JF1_4 известны, а угловой
коэффициент F3_x требуется определить. Тогда
^i-з = *V-2 - ^1-4. (7.30)
г) В советской литературе этот способ имеет название «поточная алгебра»,
предложенное ее основоположником Г. Л. Поляком [44*, 45*, 48*]. — Прим, ред.

Черные изотермические поверхности 223
Используя соотношение взаимности (7.25), получаем
^3-1 = 4^1-8 = 4^ (^1-2~^1-4). (7.31)
Этот метод в дальнейшем будет проверен на некоторых примерах,
ПРИМЕР 7.9. Элементарная площадка dA1 ориентирована
перпендикулярно кольцу с внешним радиусом г0 и внутренним
И
V
г А2 {весь диск
\ радиусом г0)
^{внутренний диск -
радиусом гЛ
Фиг. 7.11. Теплообмен излучением между элементарной площадкой и
кольцевой поверхностью конечного размера.
радиусом rt (фиг. 7.11). Вывести выражение для углового
коэффициента Fdl_T.
В примере 7.6 было найдено выражение для углового
коэффициента между элементом dAx и диском площадью А2 и
радиусом г0
т dl-2 :
■ft-
(Я2+да+1)2_,4ДЛ1/2
■]•
где Н = h/l к R0 = rjl. Выражение для углового коэффициента
системы элементарная площадка йАг — внутренний диск
площадью А з и радиусом rt выводится аналогично
Яг Я2 + Д|+1 п
dl~3_ 2 [[(Я^-ЛЦ-!)»-^]1/* J'

224 Глава 7
где Rt — rt/L Используя алгебру угловых коэффициентов,
находим искомый угловой коэффициент
Fdi-r == Fdl-2 — ^dl-3 =
2 [.[(Нъ+Щ+^-Щ]1'2 [(#2 + iq+1)2___4R?]1/2-T
ПРИМЕР 7.10. Предполагается, что известен угловой
коэффициент между двумя параллельными дисками произвольного
размера, центры которых лежат на одной оси. Вывести выражение для
Фиг. 7.12. Теплообмен излучением между параллельными кольцевыми
поверхностями, центры которых расположены на одной оси.
углового коэффициента системы, состоящей из двух колец А2 и А3
(фиг. 7.12), с использованием известных угловых коэффициентов
между дисками ца нижней и верхней поверхностях.
Требуется определить коэффициент F2_3. Используя алгебру
угловых коэффициентов, находим
^2-3 = ^2-(3+4) — ^2-4-
Коэффициент F2_(3+4) можно найти из соотношения взаимности
^2^2-(3+4) = (Аз + ^) ^(3+4)-2-

Черные изотермические поверхности
225
Применяя алгебру угловых коэффициентов к правой части
равенства, получаем
^2^2-(3+4) = (A3 + ^U) (^(3+4)-(1+2) — ^(3+4)-l) =
= Из + Ab) ^(3+4)-(1+2) — Из + А) ^(3+4)-1.
Используя соотношение взаимности для правой части, находим
^2^2-(3+4) = Hi + А2) ^(1+2)-(3+4) —^1^1-(3+4)>
где угловые коэффициенты, стоящие справа, относятся к нижней
и верхней поверхностям двух дисков.
Теперь остается определить коэффициент F2_^ Снова
применяем соотношения взаимности и алгебру угловых коэффициентов
^2-4 = -^— -^4-2 = J"K4-(l+2) — ^4-lJ =
= -J- [{Ai + Л) ^(l+2)-4 —AiPi-A.
Л2
Подстановка соотношений для F2_4 и ^2-(з+4> в первое уравнение
дает
^2-3 ^ ^ [^<1+2>-<3+4> —"^(1+2)-4] —-J- [^1-(3+4)—^1-41-
Все угловые коэффициенты в правой части уравнения определяют
теплообмен между двумя дисками в направлении от дисков на
нижней поверхности к дискам на верхней поверхности. Итак,
задача решена.
Поскольку при вычислении углового коэффициента с помощью
алгебры угловых коэффициентов приходится иметь дело с малыми
разностями больших чисел (как это могло быть в правой части
последнего уравнения предшествующего примера), необходимо
сохранять достаточное число значащих цифр для обеспечения
приемлемой точности. Фейнгольд [1] приводит пример, в котором
ошибка в 0,05% в известном коэффициенте вызывает ошибку
в 57% в другом коэффициенте, вычисленном по первому методу
алгебры угловых коэффициентов.
ПРИМЕР 7.11. Излучение, испускаемое внутренней
поверхностью полого кругового цилиндра радиусом Л, падает на диск
площадью Аг и радиусом г (фиг. 7.13). Выразить угловой
коэффициент системы, образованной внутренней поверхностью
цилиндра А3 и диском, через величины угловых коэффициентов для
системы диск — диск в случае, когда г <i?.
Из любой точки на 4j телесный угол, под которым видна
поверхность А3, равен разности между углом dco2, под которым

226
Глава 7
видна поверхность А2, и углом cfo)4, под которым видна
поверхность А±. При этом угловой коэффициент системы, образованной
элементарной площадкой йАг на Аг и поверхностью А3, равен
Fdi-3= Fdi-2— Fdi-i-
Интегрируя по Аг и используя
уравнение (7.23), получим соотношение
между угловыми
коэффициентами для всей площади Аг
Угловые коэффициенты правой
части являются
коэффициентами системы параллельных
дисков. Окончательный результат
для углового коэффициента
системы, образованной
цилиндрической поверхностью А 3 и
диском Аг, имеет вид
^3-1 = -Г i^i-2 — Fi-i) •
Л3
Существует соотношение
взаимности, которое можно
вывести из соображений симметрии.
Рассмотрим противолежащие
поверхности на фиг. 7.14, а. Из
соображений симметрии
очевидно, что А2 = Л4 и F2-3= F^-i,
так что ^.2^2-з = ^4^4-1- Из
соотношения взаимности
получаем Л4^4_1= ^4iFi-4-
Следовательно, имеет место соотношение
которое связывает диагональные направления, показанные
стрелками на рисунке. Аналогично из соображений симметрии при
рассмотрении противолежащих поверхностей на фиг. 7.14, б имеем
^2^2-7= А 3^3-6-
На фиг. 7.15, а показаны 4 области на двух перпендикулярных
прямоугольниках, имеющих общую грань. Так как все эти
области неодинакового размера, то очевидного соотношения симметрии
не существует. Однако, как будет показано ниже, справедливо
соотношение
Фиг. 7.13. Внутренняя поверхность
полого кругового цилиндра,
испускающая излучение на круглый диск
Ах (случай г < R).
4Л-2 = ^3^3-4
(7.32)
Чтобы доказать это, начнем с основного определения [уравнение

Черные изотермические поверхности
227
. \
Фиг. 7.14. Геометрическая схема для вывода соотношений взаимности между
противолежащими прямоугольными поверхностями.
а — две пары противолежащих прямоугольных поверхностей, AtFj-4 = A2F2^»t
б четыре пары противолежащих прямоугольных поверхностей, AZFZ-, = A8F3-e.
(7.22)], согласно которому
Из фиг. 7.15,6 имеем S2 = (х,-xt)z + у\ + z\,
cos Pi = z%/S, cos p2 = yi/S.
Тогда
с a c+d b
У\Н
*i)2+yl+4)3
^-=4 И J J Тй=
#1=0 #1=0 ЯГ2=С Z2=0
Подобным образом для фиг. 7.15, <?
Аз А4
c+d а с
г dz2 dx^dyi dxi. (7.33a)
41 I П щ=&яы*'*'*** «**>
ЗСЗ=С 1/3=0 Х4=0 Z4=0

228
Глава 7
Фиг. 7.15. Соотношение взаимности для противолежащих по диагонали пар
прямоугольников на двух перпендикулярных плоскостях, имеющих общую
грань.
а -*- геометрическое представление соотношения взаимности AtFx-2 = А3^з-4;
б—геометрическое построение для вывода Ft^\ в — геометрическое построение для вывода
Заменяя переменные интегрирования ж4, z/i, х2 и z2 на хк, уъ, xs
и z4, обнаруживаем, что интегралы в уравнениях (7.33а) и (7.336)
идентичны и, следовательно, равенство (7.32) доказано.
ПРИМЕР 7.12. Известен угловой коэффициент системы из двух
перпендикулярных прямоугольников с общей стороной
(фиг. 7.16, а). Найти выражение для углового коэффициента ^_6
системы, представленной на фиг. 7.16, б.
Сначала рассмотрим геометрическую систему, представленную
на фиг 7.16, в, и найдем выражение для коэффициента F7_6:
^(5+6>-(7+8) = Лб+в)-7 + ^(5+6)-8 = A5 + Aq ^7-<5+G> + A5 + Aq ^ 8"<5+6)'
F(54-e)-(7+8) = А5 + АЬ (^7-5 + *7-в) + А5 + А6 ^8"5 + F*-^ '

Черные изотермические поверхности
229
Далее заменим A1F1^ на ^48F8_6 и решим полученное уравнение
относительно F7_6
Fl-Q в 137 [^5 + Л*> F<6+6)-(7+8) - А^7-5- ^8^8-6] -
Возвращаясь снова к фиг. 7.16, б, получаем
^1-б"-17^6-1~'л7^6-(1+3>""л7^6-3-
Коэффициенты F6_(1+3) и F6_3 такого же типа, как и F7.6, так что
А1.
Аз
А2
А4
Фиг. 7.16. Расположение поверхностей в примере 7.12.
а — перпендикулярные прямоугольники с одной общей стороной; б — геометрическая
схема для определения Fi-e; в — вспомогательная геометрическая схема.
Рг_6 можно окончательно записать в виде
*~6 в 17 I 2А6 ^* + ^2 + ^3 + А) ^(1+2+3+4)-(б+6) —
— 4б^б-(2+4) — ^б^б-а+з)] —
1
"gZ" К^З + А) ^(3+4)-(5+6) —

230
Глава 7
Все угловые коэффициенты F правой части относятся к системе из
двух прямоугольников, имеющих одну общую сторону (фиг. 7.16,а).
Выражая связи между угловыми коэффициентами в виде формул,
иногда полезно оперировать величинами энергии, а не долями
энергии испускаемого поверхностью излучения, падающими на
другую поверхность. Например, на фиг. 7.10 энергия испускаемого
поверхностью А2 излучения, падающего на поверхность Аг, про-
порциональна A2F2^ и эквивалентна сумме энергий испускаемого
А3 и АА излучения, достигающих Аг. Таким образом,}
(А3 + AJ F.3+,,.! = AZFZ_X + Afw (7.34)
Это можно также доказать, используя соотношения взаимности,
следующим образом:
(А3 + ^4)^<3+4)-1 = ^Л-(3+4> =
= 4/ьз + ЛЛ.4 = A3F3^ + A,F^.
7.5.2. Система обозначений в теории множеств
Рассмотрим две перекрывающиеся области Ai и А2 (фиг. 7.17).
Область, заштрихованная перекрестными линиями, определяется
Фиг. 7.17. Объединение и пересече- Фиг. 7.18. Геометрическая схема
ние поверхностей конечных разме- известного углового коэффициента,
ров.
в элементарной теории множеств как пересечение Ai и А2 и
обозначается Ai П ^2- Область, ограниченная непрерывной сплошной
линией, называется объединением A i и А 2 и обозначается Л4 |J А2.
Область АЕ будет иметь угловой коэффициент по отношению
к At U А2
Fe-i и 2 = Fe-\ + Fe-ъ — Fe-i п 2- (7.35)
Соотношение становится очевидным, если заметить, что долю
энергии испускаемого АЕ излучения, падающую ш Ai () А2,

Черные изотермические поверхности
231
можно разделить на две части: долю энергии испускаемого АЕ
излучения, падающую на Аи и долю энергии испускаемого АЕ
излучения, падающую на А2. Однако обе эти составляющие
содержат часть энергии, соответствующую ^области А{ {] А2. Таким
образом, мы должны вычесть из суммы величину FE_4 q 2.
-dAF
z
-dAP
Фиг, 7.19. Геометрическая схема^для вывода угдового коэффициента между
элементом dAE и L-образной поверхностью А1[)А2-
а — исследуемая конфигурация; б — конфигурация перекрывающихся поверхностей.
Выражение для углового коэффициента системы элемент dAE —
прямоугольник, расположенный в параллельной плоскости, когда
нормаль к элементу проходит через угол прямоугольника
(фиг. 7.18), приводится в приложении В. На фиг. 7.19, а и б
показана геометрическая система из двух перекрывающихся
прямоугольников. Угловой коэффициент системы, образованной
элементом dAE и L-образной поверхностью, получается из
соотношения (7.35)
FdE-wv = FdE-i + FdE__2 — FdE_i n 2,
(7.36)
где все величины в правой части табулированы.
Более сложная (и, следовательно, менее очевидная)
геометрическая система показана на фиг. 7.20. Опять заметим, что
(7.37)
FdE-iU2 = FdE_i + FdE_2 — FdE-i n 2.
Выражение для коэффициента FdE-\ системы из элементарной
площадки и диска, расположенного в параллельной плоскости

232
Глава 7
с центром, лежащим на нормали к площадке, приводится в
приложении В. Выражение для углового коэффициента FdE_2
системы, состоящей из элементарной площадки и прямоугольника
треугольника, лежащего в параллельной плоскости, с вершиной на
нормали к площадке, приводится в примере 7.17. Окончательно,
из соображений симметрии коэффициент FdE-\ п 2 равен
F — -JL F
(7.38)
А, П А2
Все величины в правой части равенства (7.37) известны, и
подстановка (7.38) в (7.37) дает
dE- HJ2 = —2тх~ dE~l ~T~*dE-*-
(7.39)
Заметим, что обычные соотношения
взаимности применимы в этой системе
обозначений
(Ai U A2)F\ у 2-е = AEFE-i и 2,
(7.40)
(Ах П A2)Fi П2-е
AeFe—\ п 2»
(7.41)
Фиг. 7.20. Геометрическая
схема для вывода углового
коэффициента между элементом dAE
и перекрывающимися
поверхностями в виде круга и
треугольника.
7.5.3. Угловые коэффициенты
замкнутых систем
До сих пор рассматривался
только теплообмен излучением между
двумя черными изотермическими
изолированными поверхностями, причем одна или обе поверхности были
разделены на части. Перейдем к очень полезному классу задач, в
которых определяются угловые коэффициенты для черных
поверхностей, образующих замкнутую систему. Эти угловые коэффициенты
понадобятся в случае нечерных диффузных замкнутых систем.
Для замкнутой системы, состоящей из N поверхностей
(фиг. 7.21), интегральное излучение, испускаемое любой
поверхностью внутрь замкнутой системы, например поверхностью Ah,
должно падать на все поверхности, составляющие замкнутую
систему. Таким образом, все доли энергии излучения,
испускаемого одной поверхностью, достигающие других поверхностей
замкнутой системы, должны в сумме составлять единицу, т. е.
N
Fk-i + Fh-ъ + Fk_3 + ... + Fk-k + ... + Fk-js
= 2tfw=l- (7-42)

Черные изотермические поверхности 233
Угловой коэффициент Fu-h относится к случаю, когда Ak —
вогнутая поверхность, которая затеняет часть собственного
излучения.
Фиг. 7.21. Изотермическая замкнутая система, состоящая из N черных
поверхностей (N = 8).
ПРИМЕР 7.13. Две черные изотермические концентрические
сферы обмениваются энергией излучения. Найти все угловые
коэффициенты для такой геометрической системы, если площадь
поверхности внутренней сферы А\, а площадь поверхности
внешней сферы А2.
Все излучение, испускаемое Аи падает на А2, т. е.
^1-2=1.
Используя соотношение взаимности, получаем
р _ ^1^1-2 _ М
/Vl Л2—~~Л^'
Кроме того, из (7.42) имеем
F2-i + F2-2 = 1,
или
р _ \ р _. A2 — Aj
Л2
ПРИМЕР 7.14. Изотермическая полость с площадью
внутренней поверхности A i имеет открытую область площадью А 2. Вывести
выражение для углового коэффициента излучения внутренней
поверхности полости на саму себя.
Предположим, что черная поверхность А2 заменяет открытую
область полости. Тогда F2~t = 1 и
Г ^2^2-1 __ Л2.

234
Глава 7
Так как 4t и 42 образуют замкнутую систему, то
*1-1 = 1-*1-Я =
At-А.
2
At
— искомый угловой коэффициент F.
ПРИМЕР 7.15. Замкнутая система треугольного сечения
состоит из трех плоскостей конечной ширины и бесконечной длины
(бесконечно длинная треугольная призма). Вывести выражение
для углового коэффициента между двумя любыми плоскостями,
содержащее ширину плоскостей L1? L2 и L3.
Для плоскости 1 Fi_2 + Z^.g = 1. Используя подобные
соотношения для каждой плоскости и умножая эти равенства на
соотвествующие величины площадей, получим
AiF^ + AiF^ = Аи
^2^2-1 + ^2^2-3 = А 2,
A 3F3-I +4 3^3-2 = А3.
Применяя соотношения взаимности к некоторым членам этих
трех уравнений, получим три уравнения с тремя неизвестными F:
AiF^ + AiF^^Au
AiFi-2 + А2Р2-з = А2,
Л i^i.'a + A2F2-S = А9.
Вычитая третье уравнение из второго и суммируя с первым,
находим
? — Ai + A2-^AS _ Lj + ^2 — L3
*"2~ 2Л| ~~ 2L,
В частном случае Li = L2 получим угловой коэффициент для
бесконечно длинных сопряженных плоскостей равной ширины,
расположенных под углом а, которые были рассмотрены в
примере 7.8. При L4 = L2
^ = -2^=l--^ = l-eta(c</2),
что согласуется с примером 7.8.
Рассмотрим подробнее систему из трех уравнений, для
которой был выведен окончательный результат в примере 7.15. Первое
уравнение содержит два неизвестных ^!_2 и Fi-.3; второе
уравнение имеет одно дополнительное неизвестное ^2-з и третье
уравнение не имеет дополнительных неизвестных. Обобщение
процедуры для замкнутой системы из трех поверхностей на любую
замкнутую систему из N плоских или выпуклых поверхностей
показывает, что из N уравнений первое должно содержать JV—1 неиз-

Черные изотермические поверхности
235
вестных, второе N—2 неизвестных и т. д. Общее число
неизвестных U будет равно
N
£7=(iV —l) + (iV—2) + ... +1 = ^2— S у =A^(iV—1)/2. (7.43)
Таким образом, для замкнутой системы из четырех плоских или
выпуклых поверхностей известной площади можно записать
четыре уравнения, связывающие шесть неизвестных угловых
коэффициентов. По любым двум из этих шести коэффициентов
можно вычислить остальные, решая систему из четырех
уравнений.
Если все поверхности — вогнутые, то коэффициент Fk_k
должен быть включен в каждое уравнение. При этом для замкнутой
системы из N поверхностей потребуется N уравнений с N (N +1)/2
неизвестными. Для замкнутой системы из четырех поверхностей
потребуется четыре уравнения с десятью неизвестными
коэффициентами. В этом случае необходимо знать шесть коэффициентов,
и тогда уравнение можно решить и определить остальные четыре
коэффициента,
7.5.4. Математические методы вычисления
угловых коэффициентов
Как показано в сводке соотношений (табл. 7.1), вычисление
угловых коэффициентов Fdi_2 и Fi^2 связано с интегрированием
по конечным площадям. Существует ряд математических методов,
которые полезны при вычислении некоторых угловых
коэффициентов, когда непосредственное интегрирование становится
слишком громоздким. Эти методы могут включать в себя все приемы,
используемые при вычислении интегралов, включая численные
методы.
Здесь будут описаны несколько методов, которые особенно
полезны при вычислении угловых коэффициентов.
Метод натянутых нитей Хоттеля *). Рассмотрим класс
геометрических конфигураций, в котором все поверхности
простираются бесконечно далеко вдоль одной координаты. Такие
поверхности могут быть образованы движением линии в пространстве
в направлении, которое всегда остается параллельным ее
первоначальному положению. Типичная конфигурация показана в
сечении на фиг. 7.22. Предположим, что требуется определить угловой
коэффициент Fi_2 системы Ах — А2 при блокировании потока
х) Метод натянутых нитей для расчета угловых коэффициентов был
предложен в 1935 г. Г. Л. Поляком [44*]. Этот метод основан на теореме
Крофтона [59*].— Прим. ред.

236
Глава 7
излучения другими поверхностями А3 и А±. Для начала
рассмотрим случай, когда Ai — вогнутая поверхность. Проведем
штриховую линию agf (фиг. 7.22). Затем проведем штриховые линия с/
и аЪс, чтобы дополнить
конфигурацию до замкнутой
системы abcfga, которая имеет
три поверхности (плоские или
выпуклые). Соотношение,
полученное в примере 7.15 для
замкнутых систем этого типа,
можно записать в виде
Aagff agf-abc =
_ Aagf + Aabc — Acf ,rj ,/v
Для замкнутой системы с
тремя поверхностями adefga
подобное рассуждение приводит
к выражению
AagfFagf-def =
Aagf + Adef — Aad .- . .
= _ . (7.45)
Далее, заметим, что
Fagf-abc + Fagf-2-\-Fagf-def = 1 •
(7.46)
Подставляя (7.44) и (7.45) в (7.46), получаем
AagfFagf-2 = Aagf (1 — Fagf-abc — Fagf-def) ~
Фиг. 7.22. Метод натянутых нитей для
определения углового коэффициента.
Act ~Г Agd АдЪс "
~" 2
-A-def
(7.47)
^2-agf — F2-u так как Aagf и Ах стягивают один и тот же
телесный угол, под которым они видны с42. Теперь, используя
соотношение взаимности, левую часть соотношения (7.47) можно
записать в виде
lagff agf-2
A J?.
2r 2-agf
A2F2_i = AiFi-ъ
Подстановка (7.48) в (7.47) дает
Atf.
1-2 :
-"с/ "Г Aad — АдЪс — Adef
(7.48)
(7.49)
Если штриховые линии на фиг. 7.22 считать нитями, туго
натянутыми между внешними кромками поверхностей, то
величину, стоящую в правой части выражения (7.49), можно представить
как половину общей величины, образованной суммой длин пере-

Черные изотермические поверхности
237
секающихся нитей, связывающих внешние кромки Л4 иЛ2, минус
сумма длин непересекающихся нитей. Этот вывод, впервые
предложенный Хоттёлем [21,
является удобным способом
определения угловых коэффициентов
для двумерной геометрической
конфигурации
рассматриваемого типа.
ПРИМЕР 7.16. Две
бесконечно длинные
полуцилиндрические поверхности радиусом R
разделены минимальным
расстоянием D (фиг. 7.23). Найти
угловой коэффициент Fi^2.
Длину нити abcde обозначим
Lb а длину нити ef L2. Из
соображений симметрии
соотношение (7.49) можно представить
в виде
тр 2Li — 2Ь2 ^1 — ^2
ь^-—щ ss~•
Длина L2 определяется
соотношением
L2 = D + 2R.
Li— это двойная длина cde.
Отрезок Li от точки с до точки d
можно определить из
прямоугольного треугольника Ocd
b..~.-[(-£+*)"-iT-
= [»(т+«)Г.
а отрезок Li от точки d до точки е равен
Li^-e — RQ.
Из треугольника Ocd определим угол 6
R
Фиг. 7.23. К определению углового
коэффициента между бесконечно
длинными полуцилиндрическими
поверхностями методом натянутых
нитей.
8 = arc sin -
D/2 + R '
Комбинируя известные соотношения, получаем
Lj — L2 __ 2(£j, c-d + Lit d-e) — L2 ._
^1-2 = ■
jtR
nR
_ [W(D/4+R)]U2 + 2Rwrcsin[R/(D/2 + R)]-D — 2R
~~ tiR

238 Глава 7
Подстановка X = 1 + DI2R дает
/Г1-2 = 4[(Х2+1)1/2 + агС81п("т)%~Х]- (7'50>
Это выражение можно также записать в виде
^_2 = A[(X2+1)i/2 + ^_arccos (±)-Х]. (7.51)
что согласуется с результатом, приведенным в работе [4].
Интегрирование по контуру. Другим методом, полезным при
вычислении угловых коэффициентов, является применение
теоремы Стокса для сведения многократного интегрирования по
Z
I
Нормаль к
6 точке х,
Граница С
Фиг. 7.24. Геометрическая схема для величин, используемых в теореме
Стокса.
площади поверхности к однократному интегрированию по границе
площади. Этот метод достаточно подробно исследован Муном [3],
Спэрроу и Сессом [4], Спэрроу [5] *). Рассмотрим поверхность А
(фиг. 7.24) с кусочно-гладкой непрерывной границей, обозначен-
г) Интегрирование по контуру для расчета угловых коэффициентов
излучения впервые использовано в работах Германа [27*], Фока [55*].
См. также [5*, 17*].— Птм. ред.

Черные изотермические поверхности
239
ной С. Произвольная точка на рассматриваемой поверхности
имеет координаты х, z/, z. Углы между нормалью к поверхности А
в этой точке и осями х, z/, z обозначаются соответственно а, у, 6.
Пусть функции Р, Q, R будут дважды дифференцируемыми
функциями по х, г/, z. Теорема Стокса дает следующее соотношение
между интегралом от Р, Q, R вдоль контура С заданной площади
и интегралом по площади поверхности А:
<j)c(Pdx + Qdy + Rdz)= j[(|j— %)«»* +
+ (тг-4)«т+(£-£)~»|*1. <W4
С помощью этого соотношения интегралы по поверхностям при
вычислении угловых коэффициентов можно выразить через инте^
гралы по контурам этих поверхностей.
Угловой коэффициент системы
элементарная площадка—поверхность конечных
размеров. Подынтегральная функция в угловом
коэффициенте Fdi_2 имеет вид (табл. 7.1)
cos рА cos р2 ДА
Косинусы могут быть представлены следующим образом (фиг. 7.25):
cos Pi = ^^-008^ + -^^- cos 7i + -^p-cos6b (7.53)
cos p2 - ^p- cos a2 + -^=^ cos y2 + ii=^ cos S2. (7.54)
Это следует из соотношения l\l2 + т{пг2 + щп2 для косинуса угла
между двумя векторами V4 и V2, имеющими направляющие
косинусы (Z^iWi) и (l2m2n2).
Подстановка выражений (7.53) и (7.54) в интегральное
соотношение для углового коэффициента между элементарной
площадкой и поверхностью конечных размеров дает
Г f cos Pi cos 62 , ,
A2
If [(Д?2 — xi) C°S «1 + (У2~У1) cos Yi + (z2 — Ч) cos 6^]
~ П J S* X
[(xi — x2) cos a2 + (yA — y2) cos y2 + (zj — z2) cos 62] <k42 /у 55ч
Примем теперь
Z = cosa,
m^cosy, (7.56a)
n = cos S

240
Глава 7
(*2 — Ч) h + (У2 — Уi) mi + (z2 — zA) *i
(7.566)
Уравнение (7.55) можно записать в сокращенном виде
*di-2 = J [(*!— а*) /Z2 + (*/i — й) М2 + (*1—*г) М2] dA2. (7.57)
а2
Из сравнения (7.57) с правой частью (7.52) следует, что теорема
Фиг. 7.25. Геометрическая схема для иллюстрации метода интегрирования
по контуру.
Стокса применима, если
дР OR
dz2 дх%
: (У1 — У2) /,
0Q дР . w
д*Ъ д.У2
(7.58а)
(7.586)
(7.58в)

Черные изотермические поверхности 241
Спэрроу [5] указывает, что имеющими физический смысл
решениями этих трех уравнений будут
р = —Ml(*2 —*l) + *l (У2 — У1) /7 5gaN
q_ h (z2—zi)~ni (x2—xi) /7 5954
д^ — h (У2 — */i) + "4 fe — a?i) (7.59b)
Уравнение (7.52) используется для выражения Fdi_2 в (7.57)
в виде интеграла по замкнутому контуру, т. е.
Fdt-2 = §{Pdx2 + Q dy2 + R dz2). (7 -6Qa)
Затем подставляются выражения для Р, Q и R из (7.59), и в
результате получается
г? h J^(z2 — H)dy2 — (y2 — yi)dz2
fdl-2 = ~ZZT
2л J S* '
С2
_1_Щ±.& (^2 — xi) dz2 — (z2 — zt) dar2 ,
■ ftj £ (^2 — Уi)da?2 — (x2~xi)dy2 (7.606)
Для определения F di_2 двойное интегрирование по поверхности А 2
заменено набором из трех линейных интегралов. Спэрроу [5]
рассматривает суперпозиционные свойства уравнения (7.57),
которые делают возможным сложение угловых коэффициентов
элементов, расположенных параллельно осям х, г/, z, для получения
угловых коэффициентов систем, состоящих из элементов с
произвольной ориентацией.
ПРИМЕР 7.17. Определить угловой коэффициент Fdl-2 системы,
состоящей из элементарной площадки dA\ и прямоугольного
треугольника (фиг. 7.26).
Нормаль к dAi перпендикулярна как к оси х, так и к оси у
и, следовательно, параллельна оси z. Направляющие косинусы
для элемента dA{ равны
cos ах = h = 0,
cos Yi == mi = 0,
cos Si = щ = 1

242
Глава 7
и уравнение (7.606) можно записать в виде
17 1 £ (У2 — У\) dx2 — (х2 — xt) dy2
S2
Сг
Так как элемент dA\ расположен в начале системы координат, то
Фиг. 7.26. Угловой коэффициент между плоской элементарной площадкой
и прямоугольным треугольником в параллельной плоскости.
Xi = у^ = 0 и выражение для Fdl_2 имеет вид
^-2=2л~
1 £ y2dx2 — x2dy2
S2
с2
Расстояние S между dAt и любой точкой (x2y2z2) на поверхности
А 2 равно
S2 = *| + tf + *2 = *2 + tf + #•
Теперь в уравнении для углового коэффициента должно быть
выполнено интегрирование по контуру прямоугольного тре-

Черные изотермические поверхности
243
угольника. Чтобы сохранить положительный знак при Fdi_2,
интегрирование выполняется вдоль граничных линий I, II и III
в определенном направлении. Это направление совпадает с
направлением движения, шагающего вдоль граничных линий
человека, голова которого обращена в направлении нормали п2, а
поверхность А2 всегда расположена слева от него. Вдоль граничной
линии I х2 = О, dx2 = 0, 0 ^ у2 ^ а. На линии II у2 = a, dy2 =
= О, 0 ^ х2 ^ Ъ. На линии III интегрирование производится от
точки \ — 0 до точки с, где \ — координата вдоль гипотенузы
треугольника, так что
х2 = (с — !■) sin 6 и dx2 = — sin 6 d\,
у2 = (с — g) cos Э и dy2 = — cos Э d£.
Подстановка этих величин в интеграл, определяющий F di_2, дает
0 „ f y2dx2 — x2dy2 Г y2dx2~x2dy2
/2
*! + у? + #
c2 i, и, in
2nFdi_2 = 0
4.
adx2
dl~2 J ^|i-«2 + rf2"
X2=0
+ 5
S=0
— (g — I) cos В sin 9 dl + (c — g) sin 9 cos 9 <
(c — £)2 sin2 0 + (c — £)2 cos2 0 + d2
или
5 cta2
2jlFdl_2 - J я| + а2 + а-
о
Используя табличные интегралы, получаем
6
^1-2 = „ , n , ,.П/9 ai>Ct^ '
2я(а2 + ^2)1/2 (а2 + ^2)1/2
или в безразмерном виде
^1-2 = -— -ГТ7Т arct£"
2л(1 + *2)1/2 (1+*2)1/2 '
где
X = a/d, tg в = Ъ/а.
Угловой коэффициент между поверхностями
конечных размеров. Для угловых коэффициентов между
поверхностями конечных размеров подставляем (7.606) в (7.23)

244
Глава 7
и получаем уравнение
AiF^z = A2F2-i = j Fdi.2 dAt =
At
C2 Ai
C2 Ai
C2 Ai
в котором интегралы перегруппированы и dx2, dy2, dz2 вынесены
за скобки, так как они не зависят от поверхности А и по которой
производится интегрирование.
Теорема Стокса применима к каждому из трех интегралов по
поверхности. Рассмотрим первый из них
(У2 — У\) Щ — (z2 — zfimi ^
I
и сравним его с интегралом по поверхности в уравнении (7.52),
что дает
dR ^_ = 0
dyi dzi
дР dR — (z2 — zt)
dQ dP y2-yi
dx! dyi ' S2 '
Решением этой системы уравнений в частных производных
является Р = InS, Q = О, R = О [5], и интеграл по поверхности с
помощью уравнения (7.52) можно преобразовать в интеграл по
контуру
Ai d
Применяя аналогичным образом теорему Стокса к двум другим
интегралам в (7.61), можем записать
AiFi_2 = -^§ (§lnSdxi)dx2 + ^§ (§\nSdyi)}dy2 +
С2 Ci С2 Ci
1
С2 d

Черные изотермические поверхности
245
или в более компактном виде
Fi_2 = _L_ ^ ^ (In 5 dx2 dxt + lnS dy2 dyx + \nS dz2 dzx). (7.62)
Ci C2
Таким образом, интегрирование по двум поверхностям, или по
четырем переменным, заменено интегрированием по двум
контурам, ограничивающим эти поверхности, что значительно
сокращает расчеты при выполнении численных оценок и позволяет
иногда проводить аналитическое интегрирование, которое
невозможно при четырехкратном интегрировании по поверхности.
ПРИМЕР 7.18. Используя метод интегрирования по контуру,
найти выражение для углового коэффициента системы
параллельных прямоугольников (фиг. 7.27).
Фиг. 7.27. Интегрирование по контуру для определения углового
коэффициента между двумя параллельными прямоугольниками.
Заметим, что на обеих поверхностях dz = 0. Выражение (7.62)
сначала интегрируем по контуру С2. Величина S, используемая
в (7.62), измеряется от произвольной точки (хи уи 0) на
поверхности Ах до точки на рассматриваемой части контура С2. В
результате интегрирования получаем выражение
ь
1 С Г Г -I г ft . / _. \9 I -21 1 /2 .
Fi
2nab
ф{ j Ы[х1 + (уъ-уд* + *]1'*<1у%-
0
о
+ J lii[(a^x^ + (y2^y^ + c^/2dy2} dVi +
Ci (/2=0
У2=Ъ

246
Глава 7
а
+ "ir§{ J bl(b-xt)* + (b-yi)* + c*]i/2dxt +
Ci 3C2=0
0
X2=a
Затем, выполняя интегрирование по контуру С4, получим для
этого случая восемь интегралов. Первые четыре,
соответствующие первым двум интегралам предыдущего уравнения, имеют
следующий вид:
ъ ъ
2паЪРы= J J ln[a^ + (y2-yif + c^i/2dy2dyl +
2/1=0 2/2=0
0 b
+ j J in [(y2-у if+ c4l/2dy2dyi +
yi=b 2/2=0
b 0
+ { J ln[(y2-yi)2 + c*]i/2dy2dyi +
2/1=0 У2=Ь
о 0
+ j j 1п[а2 + (г/2-^)2 + ^2]1/2^2ф1 +
2/l=& 2/2=6
+ (4 интеграла по ж) =
£vi=0 2/2=0
#i=0 3C2=0
Угловой коэффициент теперь равен сумме двух интегралов,
которые могут быть вычислены аналитически, если представить
каждую подынтегральную функцию в виде разности двух
логарифмических функций и допустить, что y2—yi и х2 — х{ будут новыми
переменными для снижения порядка интегралов и приведения их
к известному виду. Окончательный результат можно найти в
приложении В.
Дифференцирование известных угловых коэффициентов.
Дальнейшим расширением алгебры угловых коэффициентов является
вывод выражений для угловых коэффициентов системы
элементарных площадок путем дифференцирования известных
коэффициентов системы элементов конечных размеров. Этот метод

Черные изотермические поверхности
247
очень ценен в некоторых случаях и наилучшим образом
иллюстрируется с помощью следующего примера.
ПРИМЕР 7.19. При определении теплообмена излучением
в канале квадратного сечения, температура которого изменяется
Фиг. 7.28. К выводу выражения для углового коэффициента между
элементом поверхности канала квадратного сечения и элементарной площадкой,
расположенной в углу торца канала.
а — угловой коэффициент между dAt и стенкой канала элементарной длины dA2\
б — угловой коэффициент между dAt и поверхностями А3 и А4.
в продольном направлении, необходимо найти угловой
коэффициент dFdi_d2 между элементарной площадкой dAu
расположенной в углу торца канала, и элементом поверхности канала dA2
(фиг. 7.28, а).
Для нахождения этого коэффициента можно использовать
алгебру угловых коэффициентов и дифференцирование. Обратимся
к фиг. 7.28, б. Так как доля энергии испускаемого dAx
излучения, падающая на cL42, равна разности между долями энергии
излучения, падающими на А3 и Ах, то коэффициент dFdl_d2 равен

248
Глава 7
разности между Fdi_2 и Fdi_x. Тогда
dFdi-d2 = Fdi-Z - Fdi_, - - ^4^3 Л*
Ах
Ая-* 0 дх
Таким образом, если бы угловой коэффициент i^i-n между
элементом в углу канала и квадратной площадкой в параллельном
сечении был известен, то производная этого коэффициента по
разделяющему их расстоянию могла быть использована для определения
искомого коэффициента.
Угловой коэффициент между элементом в углу канала и
параллельным равнобедренным прямоугольным треугольником
можно найти, приняв tg Э = 1 в выражении, выведенном для
прямоугольного треугольника в примере 7.17. Это приводит к
следующему выражению (в данном случае d = х):
■р а а
<"-^~ 2я («2+*2)1/2 g (*2+*2)1/2 '
Проверка показывает, что из соображений симметрии угловой
коэффициент между элементом в углу канала и квадратом равен
удвоенному коэффициенту Fdi_K . Искомый угловой коэффициент
тогда будет равен
Jr ^dl-П j adx д Г 1 . а ~|
dFdi_d2 = —-^ ах = тг- 7-тк arctg г^ =
_ дат da; Г .Г л 1 . а(а2 + *2)1/21
'""я(а2 + ж2)3/2\аГС^1(а2 + :с2)1/2]^ *2 + 2а2 /~
*<** г ffTf_iL__l , (i+x2)1/2\
= я(1+Х2)3/2 I g L (1+*2)1/2_Г 2 + Х* />
где Х = х/а.
В общем случае начнем с углового коэффициента ^1_2 между
двумя параллельными поверхностями А± и Л2, которые являются
сечениями цилиндрического канала с произвольной формой
поперечного сечения (фиг. 7.29, а). Этот коэффициент зависит от
расстояния | х2 — хх | между двумя поверхностями и учитывает
затенение стенкой канала (т. е. этот коэффициент характеризует
видимость А2 с поверхности Ai в присутствии стенки канала).
Заметим, что для простых геометрических форм, таких, как
круглая труба или прямоугольный канал, затенение стенкой равно
нулю. Угловой коэффициент между Ах и dA2 на фиг. 7.296
определяется выражением
dFi-* = —?%£-*хг, (7.63)

Черные изотермические поверхности
249
как в примере 7.19. Теперь можно использовать уравнение (7.63)
для получения углового коэффициента между двумя
элементарными площадками dFdi_d2 на фиг. 7.29, в.
Цилиндрический канал
с произвольной формой
поперечного сечения
Фиг. 7.29. К выводу выражений для угловых коэффициентов между
элементарными площадками с помощью метода дифференцирования углового
коэффициента между поверхностями конечных размеров.
а — две поверхности конечных размеров, Ft-2', б — поверхность конечных размеров
и элементарная площадка, dFt-d2 = — {dFx-2ldx2) dx2\ в — две элементарные площадки,
dFdt-d2 = — (AJdAt) (д2Ft-2/6x^X2) dx2dxt.
Из соотношения взаимности имеем
г, —A] dF\—2 -j
/'d»-1—33^—d^~dx*-
Тогда, как и при выводе уравнения (7.63), получаем
Подстановка Fd2_! приводит к выражению
** ds-л = - ТЯГ д^ч 2 1
(7.64а)

250
Глава 7
или после применения соотношения взаимности
dFdi-d.2 =
dAi dxidx2
dx2 dXi.
(7.646)
Следовательно, для цилиндрической конфигурации угловой
коэффициент dFdi-d2 получается путем двукратного
дифференцирования ^1-2»
7.5.5. Метод сферы единичного радиуса
Экспериментальное определение угловых коэффициентов
возможно при помощи метода сферы единичного радиуса,
предложенного Нуссельтом [6].
-dA2
Норма/lb н dA2-
b-0,
r= 1
dcj.—
*-S
.dAQ
V-A?
7
^-Ah
L-dA,
^-dAs cos /3<
Фиг. 7.30. Геометрическая схема для определения угловых коэффициентов
методом сферы единичного радиуса.
Если над элементарной площадкой dAx построить полусферу
единичного радиуса (фиг. 7.30), то угловой коэффициент между
dAi и некоторой поверхностью А2, согласно уравнению (7.13),

Черные изотермические поверхности
251
будет равен
F«+ = 4" J cos Pl ^||^ = ± \ cos Pl Лн.
A2 Л.2
Заметим, что йЦ — проекция] dA2 на поверхность полусферы,
так как
где г — радиус единичной полусферы. Угловой коэффициент
тогда равен
Fdi-2 = — \ cos р4 dAs.
As
Однако <L4S cos pt — проекция dAs на основание полусферы.
Следовательно, интегрирование cos pt dAs дает проекцию Ль
поверхности Л8 на основание полусферы, или
^di-2 - 4" 1 cos Р1 dy4s = 1Г •
As
На этом соотношении основаны некоторые графические и
экспериментальные методы определения угловых коэффициентов.
В одном из таких методов зеркальная полусфера, отражающая
наружной поверхностью, помещается над элементом dAi.
Фотография, сделанная камерой, расположенной над полусферой точно
по нормали к dAu дает проекцию А2, которую мы обозначили Аъ.*)
Измерение Аъ на фотографии дает возможность определить Fdl-2
по формуле
где ге — радиус экспериментальной отражающей полусферы.
7.6. СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ
ПО УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТАМ
Многие угловые коэффициенты табулированы для конкретных
геометрических конфигураций, и эти таблицы можно встретить
в разных источниках. Вместо того чтобы пытаться собрать все
коэффициенты здесь, мы поступили иначе. В приложении Б
представлены геометрические конфигурации, для которых
известны угловые коэффициенты, и указаны работы, в которых
приведены эти коэффициенты. В приложении В даны некоторые
коэффициенты.
4) Это утверждение не точно.— Прим. ред.

252
Глава 7
7.7. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ В ЗАМКНУТОЙ
СИСТЕМЕ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ЧЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В предыдущих разделах настоящей главы исследовался
теплообмен между двумя отдельными поверхностями или элементами
поверхностей и было введено понятие углового коэффициента.
В данном разделе эти представления обобщены на случай
теплообмена внутри замкнутой системы, состоящей из черных
поверхностей, каждая из которых находится при постоянной температуре.
Фиг. 7.31. Замкнутая система, состоящая из N черных изотермических
поверхностей (показана для простоты в сечении).
На практике внутренние поверхности стенок черной
замкнутой системы, например печи, могут быть неизотермическими.
В таком случае неизотермические поверхности делятся на
участки, которые можно будет считать изотермическими. Теория
теплообмена в идеальном случае замкнутой системы, состоящей
из черных поверхностей, будет служить введением в более общую
теорию теплообмена, изложенную^ последующих главах.
Запишем условие теплового балансе для типичной поверхности
Ак (фиг. 7.31). Тепловой поток, подводимый к Ак от внешнего
источника для поддержания ее при температуре Тк, равен Qk.
Поток излучения, испускаемого Ак, равен оТкАк. Поток
излучения, падающий на Ак от другой поверхности Aj, равен oTjAjFj„k.

Черные изотермические поверхности 253
Тогда условие теплового баланса записывается в виде
Qk^oT%Ak-^ оЦА^, (7.65)
i=i
где сумма учитывает потоки излучения от всех поверхностей
замкнутой системы, включая Ak, если Ak — вогнутая
поверхность. Уравнение (7.65) можно записать в другом виде. Применяя
соотношение взаимности к слагаемым, стоящим под знаком суммы,
получаем
N
Qk = оПАк- S oT*AhFk4. (7.66)
Кроме того, для полностью замкнутой системы из (7.42) имеем
N
так что
N N N
i=l ?=1 i=l
(7.67)
Результирующий поток излучения представлен в виде суммы
потоков между Ak и каждой поверхностью.
ПРИМЕР 7.20. Замкнутая система из трех черных
поверхностей, рассмотренная в примере 7.15, имеет температуры
поверхностей соответственно Т\, Т2, Т3. Требуется определить потоки
энергии, которые следует подвести к каждой поверхности для
поддержания заданных температур поверхностей, что равносильно
определению потока результирующего излучения с каждой
поверхности.
Уравнение (7.67) записывается для каждой поверхности:
Q^AiF^aiTt-T^ + AiF^aiTt-T*),
Q2 = AtFt^a (Г* - Т\) + A2F2.3a (Т* - Т\),
Qz = A3F3^a (ft -Tt) + A3F^ta (T* -Ц).
Угловые коэффициенты для этой геометрической конфигурации
найдены в примере 7.15. Таким образом, все коэффициенты в
правой части этой системы уравнений известны и значения Q могут
быть вычислены непосредственно.
Проверка численного расчета следует из закона сохранения
энергии, т. е. поток результирующего излучения Q, подводимый
к замкнутой системе, должен быть равен нулю для поддержания
постоянных температур поверхностей. Это можно также показать

254
Глава 7
с помощью соотношений взаимности, примененных к системе
уравнений
з
Е Qk = [A.F^o {Т\ - Т$) + A.F^o (Т\ - Г34)] +
+ [AiF^o (Т* -Т*) + A2F2.3a (Т* -Г34)] +
+ И,Л_3(Т {Ц - Т\) + A2F2_za (Г* - Т$)] = 0.
ПРИМЕР 7.21. Замкнутая система, рассмотренная в примере
7.15, имеет две поверхности при температурах Т\ и Т2
соответственно. Третья поверхность адиабатическая: Q3 = 0. Определить
Qu Q2 и Т3.
Уравнение (7.67) для каждой поверхности имеет вид
& = 4^ма(Г}-Г«) + Л1А-за(Г}-7';),
Q2 = A2F2-\a (Т\ -Т*) + A2F2.3a (Т* -Т\),
0 = A3F^a (Т* - Т\) + A3F3^a {Т\ -Т\).
Последнее уравнение решается относительно Т3, единственного
неизвестного в этом уравнении. Это значение Т3 затем
подставляется в первые два уравнения для определения Qi и Q2.
ПРИМЕР 7.22. Очень длинная черная подогреваемая труба Аг
длиной L окружена концентрическим черным цилиндром,
состоящем из двух частей (фиг. 7.32). Диаметр цилиндра в два раза
Фиг. 7.32. Теплообмен излучением в полом цилиндре, состоящем из двух
частей, L > i?2.
а — геометрия замкнутой системы; б — вспомогательное построение для определения F2-2.
больше диаметра трубы. Половина потока излучения отводится
от верхней части цилиндра А3 и столько же от нижней А2. Чему
равны Г2, Т3, Q2 и Q3, если Т\ = 1666 К и плотность теплового

Черные изотермические поверхности 255
потока, подводимого к трубе, равна QJAi = 3,154-105 Вт/м2?
Влиянием концов трубы пренебречь.
Уравнение (7.67) для каждой поверхности имеет вид
Qi = АМ-р (Г* - Т\) + A.F^a (Г* - Т\),
<?2 =Л^я_.а (Г} - Т\) + A,Fa.ao (Т* -Т$),
Qa = A3F^a(Ti-T\) + A3F^a(T*-T\).
Из геометрических соотношений получаем
At А^ nDiL
1,
А3 А2 i/2nD2L'
так как Z>2 = 2Z>t. Из условия теплового баланса следует
Qi + <?2 + <?8 = О
и, так как Аг = А2 — А3,
Из условия задачи
откуда
At ^ А2 ^ А3
А3 2 А2
^=-44г—-2,1-105 Вт/м2,
Pl-2 = ^1-3 = ■
Л2 3 Ai
^L=-14L=-1,05.10B Вт/м2.
Из соображений симметрии и алгебры угловых коэффициентов
известно, что
1_
2 '
/'2-1 = /'3-1 = -31^-= у,
^2-3 = ^3-2-
Определить /^2-з можно из соотношения
^2-1 + ^2-2 + ^2-3 = 1 •
Используя условие F2-i = i/2, получаем
J_
2
Из вспомогательного построения на фиг. 7.32, б имеем
F2-2 = 1 — F2-E-
Эффективная площадь АЕ использована с целью сохранить
неизменной проекцию поверхности 2 на себя и упростить геометрию,
^2-3 = -о — ^2-2-

256
Глава 7
чтобы можно было использовать метод натянутых нитей для
определения F2-E. Непересекающиеся нити, проходящие от а — а'
и Ъ —- Ь', имеют нулевую длину. Пересекающиеся нити проходят
от а — Ъ' и а' — Ъ и каждая имеет длину 2 УЪ i?4 + nRjS.
Тогда из разд. 7.5.4 (метод Хоттеля) и равенства А2 — А{ = 2nRi
получим
F __ 2 узд1+лд1/з_ Уз , 1
'«-я- 2^ -~7Г + ~б"'
откуда следует
F 2_з = -|— F2_2 = 1 - (1 - F^E) = -^-3 - i = 0,218.
С уяетом этих данных уравнения теплового баланса принимают
следующий вид:
ЗД54.105-у(16664-^) + |-(16664^Гз),
- 2,1.105 = у (Г*~16664) + 0,218а (г;-г?),
- 1,05- Ю5 = у (Г* -16664) +0,218а (Г* -Г*).
Сложение второго и третьего уравнений дает первое уравнение,
так что только два уравнения являются независимыми. Решение
первого и второго уравнений дает Т2 = 1050 К, Т3 = 1330 К.
7.8. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
ОБ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТАХ
Первое опубликованное утверждение о том, что
геометрические факторы в уравнениях теплообмена излучением могут быть
отделены от энергетических факторов, не было очевидным.
Конечно, Нуссельт понимал, что такое разделение содержалось в его
выводе с использованием метода сферы единичного радиуса,
опубликованном в 1928 г. [6]. Он применяет «угловой
коэффициент» в статье и дает современное определение этого
коэффициента как части энергии излучения, испускаемого одной
поверхностью, которая падает на другую поверхность.
Один из первых расчетов теплообмена излучением между
двумя поверхностями был проведен Христиаксеном в 1883 г. [7].
Он исследовал теплообмен излучением между концентрическими
цилиндрами, рассматривая цилиндры как с диффузной, так
и с зеркальной поверхностями. С помощью метода многократных
отражений он получил соотношение для теплообмена излучением
между цилиндрами с диффузными поверхностями, приводимое

Черные изотермические поверхности
257
в большинстве учебников:
ft . q(2Wfl ,768,
В таком выводе понятие углового коэффициента не является
ни необходимым, ни очевидным, и Христиансен не упоминает
о нем.
Сампнер в 1894 г. обсуждал справедливость закона Ламберта
в связи с некоторыми экспериментами в фотометрии [8]. Он также
был близок к определению углового коэффициента, но не сделал
последнего шага. Он высказал замечание, которое остается
справедливым и сегодня: «Терминология в светотехнике используется
неоднозначно, и ее применяют в зависимости от контекста» 1).
Только в 1907 г. Гайд проанализировал геометрическую
теорию излучения [9]. Он еще не выделил геометрические
величины и не дал четкого определения углового коэффициента, хотя
продвинулся дальше при вычислении интегралов, появляющихся
в уравнениях теплообмена. Он исследовал некоторые достаточно
сложные геометрические конфигурации, например он рассмотрел
теплообмен излучением между эллипсом и элементарной
площадкой.
Саундерс продолжил работу Христиансена и определил
угловой коэффициент, который он обозначил К [10]. По его
определению К — это часть энергии излучения, испускаемого
поверхностью, которая 'возвращается на нее путем отражений от других
поверхностей и затем ею же поглощается. Такое определение
эквивалентно В ^-коэффициентам Гебхарта [11]. Саундерс
применил это понятие к простым геометрическим системам из двух тел,
но не развил его дальше. И только в 1920—1930 гг. понятие
об угловых коэффициентах вводится во многих работах, например
в статье Нуссельта, эти же идеи используются в статьях Бакли
и Ямаути [6,12, 13]. С другой стороны, работа Шака ничего нового
не содержит, хотя автор и ссылается на статью Нуссельта [14] 2).
7.9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этой главе были представлены и развита методы расчета
теплообмена для изотермических черных поверхностей и
замкнутых систем, состоящих- из отдельных изотермических черных
г) Распределение излучения по направлениям для реальных тел по
законам Ламберта [29*] или Эйлера [60*] связано с физическими особенностями
излучения вещества, обусловленными тем, что излучает не поверхность,
а слой вещества, как это показано в работе Сапожникова [17*, стр.
65—66].— Прим. ред.
2) Из наиболее ранних работ, в которых^ используются угловые
коэффициенты для тел различных конфигураций, следует также упомянуть
работы Гербеля [26*] и Поляка [44*—46*].— Прим. ред.

258
Глава 7
поверхностей. Теплообмен излучением между отдельными
изотермическими черными поверхностями можно рассчитать довольно
простыми методами. Основные трудности в задачах такого рода
связаны не с теорией, а с геометрическими и алгебраическими
расчетами, а также с интегрированием, которое необходимо
проводить при вычислении угловых коэффициентов для различных
геометрических конфигураций. Эти трудности сводятся к
минимуму благодаря наличию достаточного числа формул, графиков
и таблиц уже рассчитанных угловых коэффициентов. Ссылки
на работы, в которых приведены эти коэффициенты, даются в
приложении Б, а некоторые коэффициенты можно найти в
приложении В.
Для практических расчетов теплообмена излучением
предположение о черных поверхностях является приближенным.
Следовательно, приведенные здесь результаты имеют ограниченное
непосредственное применение. В ряде случаев, например при
расчете теплообмена внутри некоторых печей, использование
предположения о черных поверхностях позволяет получить
приемлемые результаты. Теория теплообмена излучением внутри
замкнутой системы, состоящей из черных поверхностей, несмотря на
ее ограничения, выполняет две важные функции. Во-первых, это
предельный случай, с которым можно сравнивать характеристики
нечерных поверхностей и соответствующие вычисления. Этот
случай обеспечивает хороший численный контроль для задач,
в которых проводится параметрическое исследование и в которых
радиационные свойства изменяются в широком диапазоне.
Во-вторых, предположение о черных поверхностях является основой для
более общих теорий теплообмена и более сложных замкнутых
систем. Рассмотренное в этой главе приближение будет
использовано в следующих главах применительно к задачам, в которых
рассматриваются более сложные системы, имеющие нечерные
и неизотермические поверхности.
Литература
1. Feingold A., Radiation-interchange Configuration Factors between Various
Selected Plane Surfaces, Proc. Roy. Soc. (London), ser. A, 292, № 1428,
51—60 (1966).
2. Мак-Адаме В. X., Теплопередача, Металлургиздат, 1961, 87—175.
3. Moon P., The Scientific Basis of Illuminating Engineering, rev. ed., Dover
Publications., Inc., New York, 1961.
4. Спэрроу Э. M., Сесс P.Д., Теплообмен излучением, изд-во «Энергия»,
1971.
5. Спэрроу Э. М., Новый упрощенный расчет угловых коэффициентов
излучения, Труды амер. общ-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2 (1963).
6. Nusselt W., Graphische Bestimmung des Winkelverhaltnisses bei der
Warmestrahlung, VDIZ., 72, 673 (1928).
7. Christiansen C. II, Absolute Bestimmung des Emissions- und Absorptions-
vermogens fur Warmes, Ann. Physik, Wied. 19, 267—283 (1883).

Черные изотермические поверхности
259
8. Sumpner W. Е., The Diffusion of Light, Proc. Phys. Soc. (London), 94,
10-29 (1894).
9. Hyde E. P., Geometrical Theory of Radiating Surfaces with Discussion of
Light Tubes, Natl. Bur. Std. Bull., 3, 81—104 (1907).
10. Saunders O. A., Notes on Some Radiation Heat Transfer Formulae, Proc.
Phys. Soc. (London), 41, 569—575 (1928—1929).
11. Gebhart B. Heat Transfer, McGraw, New York, 117—122, 1961.
12. Buckley H., Radiation from the Interior of a Reflecting Cylinder, Phil.
Mag., 4, 753-762 (1927).
13. Yamauti Z., Geometrical Calculation of Illumination, Res. Electrotech. Lab.
(Tokyo), 148 (1924).
14. Шак А., Промышленная теплопередача, 5-е переработанное и расширен-
нное издание, Металлургиздат, М., 1961.
Задачи
1.
Вывести выражение для углового коэффициента Fdl_2 между
элементарной площадкой, расположенной над центром диска,
и диском единичного радиуса.
Ответ: 1/(Я2 + 1).
&.
-— dA, (параллельна А2)
2. Каков поток результирующего излучения между двумя
черными поверхностями dA\ и Л2?
Ответ: dQdi-+2 == 4,10 Вт.
dA, , 12,7*12,7мм
Т, И666К
--Т2 --555К
152,4 мм
Угловой коэффициент между двумя бесконечно длинными
расположенными против друг друга параллельными
пластинами конечной ширины L равен ^i_2. Расстояние между
пластинами D.
а. Вывести выражение для Fi_2i путем интегрирования
углового коэффициента между элементарными полосами.
б. Вывести выражение для /\_2 методом натянутых нитей.
Ответ: ]/1 + (D/L)2 — DIL.

260
Глава 7
4. Угловой коэффициент между двумя параллельными
бесконечными пластинами конечной ширины L равен jP1_2 для
конфигурации, поперечное сечение которой показано ниже.
а. Вывести выражение для F{-2 методом натянутых нитей.
б. Вывести выражение для jFi_2, используя результаты
задачи 7.3 и алгебру угловых коэффициентов.
Ответах VT+ЩЩ2 + D/2L - ]A + {DIL)\
Плоскость 1-
г- Плоскость Я
Используя метод натянутых нитей, вывести выражение для
углового коэффициента /\_2 между бесконечно длинной
пластиной и цилиндром, показанными ниже (в сечении).
Сравните свой результат с результатом для конфигурации 22 в
приложении В.
А| —
Дан Fn-h — угловой коэффициент между двумя
перпендикулярными прямоугольниками, имеющими общую сторону.
Используя соотношения для угловых коэффициентов,
выраженные через этот угловой коэффициент, вывести выражение
для углового коэффициента /\_8, между поверхностями А±
и Ав.
^w

Черные изотермические поверхности
261
7. Определить угловой коэффициент Ft^2 между четвертой частью
диска и плоским кольцом.
Ответ: 0,19,
а. Найти угловой коэффициент между сферой радиусом R
и диском радиусом г, центры которых расположены на
одной оси. (Указание: представьте себе диск как сечение
сферической оболочки.)
б. Каков угловой коэффициент между сферой и сектором
диска?
в. Каков угловой коэффициент dF между сферой и частью
кольца бесконечно малой ширины?
Ответы: ' а " а л
в.
(а/4я) lar/(a2 + г2)3/2] dr
■)'«■£(»•
V^+J
-)■■

262
Глава 7
9. Решить пример 7.1 с использованием углового коэффициента
системы сфера — диск, определенного в задаче 7.8а.
10. Используя метод натянутых нитей, вывести выражение для
углового коэффициента конфигурации 2 в приложении В
(бесконечно длинная полоса элементарной ширины —
бесконечно длинная цилиндрическая поверхность).
11. Используя угловой коэффициент конфигурации 18 в
приложении В, определить угловой коэффициент dFdl_d2 между
двумя элементарными кольцами на внутренней поверхности
прямого кругового конуса.
^ .
ч1А,
»

fill
1
ч*А2
12. Вывести выражение для углового коэффициента между
кольцом конечных размеров At и поверхностью конечных
размеров А 2, используя угловые коэффициенты системы из двух
дисков.

Черные изотермические поверхности
263
13. Заготовка из углеродистой стали размером 1,22 X 0,61 X
X 0,61 м первоначально находится при температуре 1111 К
и затем поддерживается в таком режиме, что теряет тепло
излучением со всей своей поверхности в окружающую среду
с температурой 294 К (предполагается, что окружающая
среда обладает свойствами черного тела). Также
предполагается для простоты, что теплопроводность стали —
бесконечно большая величина. Пренебрегая конвективными
тепловыми потерями и предполагая, что заготовка излучает как
черное тело, определить, сколько потребуется времени, чтобы
заготовка остыла до 555 К.
Ответ: 5,5 ч. [Используйте ср — 0,67 кДж/(кг «град).]
14. Две замкнутые системы идентичны по форме и размеру и имеют
черные поверхности. В одной замкнутой системе температуры
поверхностей равны Ти Т2, . . ., Г№ ав другой {Т\ + /с)1/4,
(Т\ + &)1/4, . . ., (Tn + Л)1/4, где к — константа. Каков поток
результирующего излучения Qj на любой поверхности Aj для
двух замкнутых систем?
Ответ: одинаковый.
15. Замкнутая система с черными внутренними поверхностями
имеет одну открытую область с температурой Те. Поверхности
замкнутой системы поддерживаются при постоянных
температурах Tt, Г2, Г3, . . . . Каковы тепловые потоки к
поверхностям Qu Q2, Q3, ... в зависимости от Ге? Как может быть
использован результат для случая Те = 0 для нахождения
решений при других Те?

Глава 7
Те
АкДк
А|,Т,
I» '1
А2,Т2
а. Кольцевая цилиндрическая замкнутая система имеет чер
ные внутренние поверхности, поддерживаемые при постоян
ной температуре, как показано на рисунке. Наружна*
поверхность всего цилиндра изолирована, так что ош
не излучает в окружающую среду. Каковы величины
потоков излучения на каждой поверхности вследствие
теплообмена излучением внутри цилиндра?
-4630 Вт.
Ответы: Q^ = 6475 Вт, Q2 = —1845 Вт, Q3
,—ALV1666K
76,2 мм
304,8 мм | | -|-"АзДз = 1111К
J-- 76,2 мм
^ ^--А2,Т2 =535К
б. Для той же замкнутой системы и тех же температур
поверхностей разделить А3 на две равные площади Л4 и Аь.
Какова будет плотность потока излучения QIA на каждой
из этих поверхностей и как изменится она по сравнению
с Q3/As из п- <<а>>?
^--AbV1666K
А4,Т4--1111 К
А5 , Т5 =1111 К
^--А2,Т2 = 555К
в. Каковы Qq/Aq и Q1/A1 для той же замкнутой системы и тех
же температур поверхностей?

Черные изотермические поверхности
265
304,8 мм
-Ас
25,4 мм
17. Полый нагреваемый цилиндрический элемент длиной 0,15 м
и таким же внутренним диаметром с черной внутренней
поверхностью поддерживается при температуре 1111 К.
Наружная поверхность цилиндра изолирована, окружающая
среда — вакуум при температуре 833 К. Оба торца цилиндра
открыты. Вычислить поток излучения, который должен
подводиться к элементу. Ответ: 1810 Вт.
18. При помощи метода интегрирования по контуру (разд. 7.5.4)
получить конечный результат в примере 7.6 с использованием
углового коэффициента между элементарной площадкой и
перпендикулярно расположенным диском.
19. Черная сфера диаметром 25,4 мм при температуре 833 К
подвешена в центре полой сферы диаметром 50,8 мм с черной
внутренней поверхностью и внешней поверхностью с
полусферической интегральной степенью черноты 0,4.
Окружающая среда находится при температуре 555 К. На поверхности
внешней сферы прорезано отверстие диаметром 38 мм. Какова
температура внешней сферы? Какой поток излучения Q
подводится к внутренней сфере? (Для простоты не делить
поверхность на части.) Ответы: 686 К, 32,8 Вт.
38мм

8
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
В ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМАХ,-
ОБРАЗОВАННЫХ
ДИФФУЗНО-СЕРЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
8.1. ВВЕДЕНИЕ
8.1.1. Ограничения анализа
Предыдущая глава была посвящена замкнутым системам,
образованным черными поверхностями. Здесь в качестве
следующего шага по пути построения более сложных методов расчета,
которые позволяют учесть реальные свойства поверхностей, будут
рассматриваться замкнутые системы, образованные диффузными
и серыми поверхностями. В гл. 3 были приведены соотношения
между излучательной и поглощательной способностями. По
определению диффузно-серой поверхности, ее направленные
спектральные степень черноты и поглощательная способность не
зависят ни от угла, ни от длины волны, но могут зависеть от
температуры поверхности. Как результат такого определения
при любой температуре поверхности ТА полусферические
интегральные поглощательная способность и степень черноты равны
и зависят только от ТА, т. е. а (ТА) = б (ТА). Хотя указанная
зависимость выполняется только для ограниченного числа
реальных материалов, предположение о диффузно-серых поверхностях
часто используется для значительного упрощения теории
теплообмена в замкнутых системах.
Стоит пояснить, что мы понимаем под отдельными
«поверхностями» или «площадями», из которых состоит вся граница
замкнутой системы. Обычно геометрическая форма замкнутой системы
определяет способ ее деления на естественные поверхности,
например отдельные грани прямоугольной призмы. Кроме того,
может оказаться необходимым разделить поверхность на участки,
исходя из условий нагрева; например, если часть поверхности
замкнутой системы находится при одной температуре, а часть
при другой, то поверхность нужно разделить на две, так
чтобы можно было учесть эту разницу в граничном условии.
Таким образом, поверхности или площади, рассматриваемые
в теплообмене излучением, являются отдельными участками
границы замкнутой системы, для которых формулируется условие

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 267
теплового баланса. Эти участки выбираются исходя из
соответствующих геометрических и тепловых условий. Выбор числа
участков связан с точностью решения. Если выбрано слишком
мало участков, точность будет низкой; при выборе слишком
большого числа участков потребуется слишком много времени
на вычисления. Таким образом, требуется некоторый опыт при
выборе формы поверхностей и их числа.
Поверхности замкнутой системы могут иметь различные
тепловые граничные условия. Данная поверхность может
поддерживаться при постоянной температуре, иметь определенную
тепловую нагрузку или быть совершенно теплоизолированной (если
тепловой поток равен нулю). В настоящем анализе существует
одно ограничение: какие бы условия ни налагались, каждая
отдельно взятая поверхность замкнутой системы должна иметь
постоянную температуру. Если тепловые условия таковы, что
в пределах одной поверхности температура значительно меняется,
то эта поверхность должна быть разделена на участки, меньшие
по размерам и более близкие к изотермическим. Эти участки
могут быть элементарными площадками. Вследствие условия
изотермичности энергия испускаемого излучения будет равномерно
распределенной по поверхности каждого участка замкнутой
системы.
Поскольку серая поверхность не является совершенным
поглотителем (т. е. ее поглощательная способность меньше единицы,
а не равна единице, как для случая черной поверхности, гл. 7),
часть падающего на поверхность излучения отражается.
Относительно отраженного излучения делается два предположения:
1) отраженное излучение является диффузным, т. е.
интенсивность отраженного излучения в любой точке границы
поверхности равномерно распределена по всем направлениям, и 2)
отраженное излучение равномерно распределено по каждой
поверхности замкнутой системы. Если предполагается, что отраженное
излучение изменяется в пределах поверхности, эта поверхность
должна быть разделена на участки меньших размеров, в пределах
которых отраженное излучение будет изменяться не слишком
сильно. При таких допускаемых ограничениях отраженное
излучение каждой поверхности имеет такой же диффузный и
равномерно распределенный характер, как и собственное излучение.
Следовательно, отраженное и собственное излучения можно
объединить в одно эффективное излучение, испускаемое
поверхностью x).
г) В советской технической литературе, согласно терминологии по
теории теплообмена [15*], используются следующие названия видов
излучения: эффективное, собственное, отраженное, падающее и
результирующее. Классификация этих потоков была предложена Ю. А. Суриновым
[51*].— Прим. ред.

268
Глава 8
Когда поверхность является одновременно диффузным
излучателем и диффузным отражателем, интенсивность эффективного
излучения не зависит от направления. В результате
геометрические угловые коэффициенты (^-коэффициенты), вычисленные для
черных поверхностей, могут быть использованы для диффузных
поверхностей. Следует заметить, что вычисление угловых
коэффициентов в гл. 7 для черных поверхностей было" основано на
предположении, что излучение, испускаемое поверхностью, имеет
диффузный однородный характер. Это условие должно
выполняться как для собственного, так и для отраженного излучения,
чтобы можно было использовать /^-коэффициенты для нечерной
поверхности.
Большинство практических задач связаны со стационарными
условиями. Однако представленные здесь уравнения теплообмена
излучением не ограничены стационарными условиями. Их можно
непосредственно применять в случаях нестационарных
изменений температуры. Наряду с этим тепловой поток д, в замкнутой
системе, может рассматриваться как результирующая потеря
тепла излучением от элемента поверхности на границе замкнутой
системы. Например, если твердое тело охлаждается излучением,
то q является граничным условием для решения задачи о
распределении температуры внутри тела при нестационарной
теплопроводности.
8.1.2. Сводка ограничений
Теперь кратко изложим предположения, используемые в
настоящей главе. Граница замкнутой системы делится на участки, в
пределах которых принимаются следующие ограничения:
1. Температура постоянна.
2. Gi» <^ь pi не зависят от длины волны и направления, так что
6 (ТА) = а (ТА) = 1 — р (ТА), где р —- отражательная
способность.
3. Все излучение испускается и отражается диффузно.
4. Падающий и, следовательно, отраженный потоки
излучения постоянны в пределах каждого участка.
В некоторых случаях предположение о диффузно-серых
поверхностях не дает хороших результатов. Например, если
температуры отдельных поверхностей замкнутой системы значительно
отличаются друг от друга, то излучение, испускаемое поверхностью,
будет сосредоточено в диапазоне длин волн, определяемом ее
температурой, в то время как падающее излучение будет преобладать
в другом волновом диапазоне. Если спектральная степень черноты
зависит от длины волны, то при отличии спектрального
распределения падающего излучения от спектрального распределения
собственного излучения предположение о сером излучении стано-

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 269
вится несправедливым, т. е. 6 (ТА) Ф а (ТА). В случае
полированных (зеркальных) поверхностей предположение о диффузности
отраженного излучения будет неправильным, и в данном случае
должна учитываться направленность отраженного излучения.
Поверхности с зеркальными и другими более общими свойствами
рассматриваются в гл. 9—11.
8.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь;
Jk — коэффициенты обратной матрицы, уравнение (8.29);
dA* — элементарная площадка на той же поверхности, что
и dA)
akj — матричные элементы, определяемые уравнением (8.25);
а"1 — обратная матрица;
Ckj — матричные элементы, определяемые уравнением (8.25);
D — диаметр трубы или отверстия;
F — угловой коэффициент;
G — функция в интегральном уравнении (8.57);
/ — вспомогательная вариационная функция, определяемая
уравнением (8.58);
j, k — индексы, обозначающие отдельные поверхности;
К — ядро интегрального уравнения;
L — длина поверхности;
I — безразмерная длина;
MkJ — минор матричного элемента ahj\
N — число поверхностей в замкнутой системе;
Q — поток энергии;
q — поверхностная плотность потока энергии;
R — радиус сферы;
г — радиус-вектор;
5 — расстояние между участками;
Т — абсолютная температура;
х, у, z — каординаты;
а — поглощательная способность;
Р — полярный угол;
у — полиномиальные коэффициенты, уравнение (8.59);
6 — символ Кронекера;
g — степень черноты;
£, г) — безразмерные координаты;

270
Глава 8
р — отражательная способность;
а -— постоянная Стефана — Больцмана;
ф — зависимая переменная в интегральном уравнении (8.57).
Подстрочные индексы
А — площадь;
а — кажущееся значение;
Ъ — свойство черного тела;
е — внешнее излучение, входящее через отверстие;
окружающая среда;
i — падающее излучение;
7, к — свойства у'-й или к-й поверхности;
о — эффективное излучение;
s — сфера;
X — величина, зависящая от длины волны;
1,2 — поверхность 1 или 2t
Надстрочные индексы
1 — величина, зависящая от одного направления.
8.3. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
МЕЖДУ ПОВЕРХНОСТЯМИ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
8.3.1. Метод сальдо
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из N отдельных
поверхностей (фиг. 8.1). Проанализируем теплообмен излучением
между поверхностями для задач с двумя типами граничных
условий: 1) задана температура, поверхности, требуется определить
подводимый к поверхности тепловой поток; 2) при" известном
подводимом тепловом потоке требуется найти температуру
поверхности.
При сложном радиационном теплообмене внутри замкнутой
системы излучение, испускаемое некоторой поверхностью,
попадает на другие поверхности в результате многократного отражения
с частичным поглощением излучения при каждом его
взаимодействии с поверхностью. При таком процессе очень трудно следить
за пучками излучения. К счастью, этого и не надо делать. Анализ
можно провести в более удобной форме с использованием метода
сальдо. Этот метод впервые был разработан Хоттелем [1] и позднее

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 271
несколько в ином виде предложен Поляком [2, 3] х). Один из
вариантов метода представлен Гебхартом [4]. Как показано в
работе [5], все методы по существу эквивалентны. Авторы настоящей
книги предпочитают вариант Поляка, который и будет изложен
в этой главе. Метод Гебхарта вкратце описан в приложении Д.
Фиг. 8.1. Замкнутая систе- Фиг. 8.2. Потоки падающего и эф-
ма, состоящая из N отдель- фективного излучения типичной по-
ных поверхностей с типич- верхности замкнутой системы,
ными поверхностями / и к
(показана для простоты
в сечении).
Рассмотрим к-ю внутреннюю поверхность площадью Ак
замкнутой системы (фиг. 8.1 и 8.2). Величины qt и q0 — плотности
потоков падающего и эффективного излучения поверхности
соответственно. Величина q — плотность потока, подводимого к
поверхности извне, чтобы компенсировать поток результирующего
излучения и тем самым поддержать заданную температуру поверхности.
Условие теплового баланса на поверхности имеет вид
Qu = QkAk = (Яо,н — Чи h) ли* (8.1)
Второе уравнение можно получить исходя из того, что
плотность потока эффективного излучения поверхности определяется
суммой плотности потока собственного излучения и плотности
потока отраженного излучения
q0tk=ekon + pkqi)k=ekon+(i- eh) qitk. (8.2)
В этом выражении использованы соотношения pk = 1 — ak =
= 1 — gfe, справедливые для непрозрачных серых поверхностей.
Для обозначения величины q0 часто используется термин яркость
г) Метод сальдо был предложен Поляком в 1935 г. [2, 39*, 44*, 45*].
Метод Хоттеля был опубликован во втором (1942 г.) и третьем (1954 г.)
изданиях книги [1]. Первое издание книги [1| (1933 г.) еще не содержало в
сформулированном виде метод Хоттеля. — Прим. ред.

272
Глава 8
излучения *). Плотность потока падающего излучения qiy k
складывается из частей потоков эффективного излучения всех
поверхностей замкнутой системы, достигающих /с-й поверхности. Если
k-я поверхность может видеть сама себя (является вогнутой), то
часть потока эффективного излучения этой поверхности войдет
в выражение для потока падающего излучения. Поток падающего
излучения тогда будет равен
Ahqit и = Atfo, Л-ь + A2q0j2F2_k + . . .
• • • + AjQo, jFj-.k + . . . + Ahq0)kFh_h + . . . .
• • • + ANq0tNFN_k. (8.3)
Из соотношения взаимности для угловых коэффициентов (7.25)
имеем
^Л-fc = AhFh-l9 (8.4)
A2F2_k = AkFh-2i
AtfFN_k — AkFk_N.
Тогда соотношение (8.3) можно записать в виде
Akqit k = AkFk_iq0fl + AkFk_2q0i2 + . . .
. . . + AhFh_jq0il + . . . + AkFk_kq0yk + . . .
. . . + AkFh_Nq0tN (8.5a)
или
N
9М= 2 Fh-j<lo,r (8.56)
Соотношения (8.2) и (8.5) дают два различных выражения для
qif h. Подставляя их в уравнение (8.1), чтобы исключить qit fe,
получают два основных уравнения теплового баланса для потока
результирующего излучения Q^, выраженного через плотность
потока эффективного излучения q0ik
&=a-f^-m-?.,*), (8-6)
N
Qk = Ak (q0, k- S Fk-jq0i j) , (8.7)
где Qk может рассматриваться как поток излучения, подводимый
к поверхности к извне, или как поток результирующего
излучения поверхности к внутри замкнутой системы.
х) Согласно терминологии по теории теплообмена [15*], термин яркость
излучения используется как аналог термину интенсивность излучения. Для
обозначения q0 применяется термин плотность потока эффективного
излучения, который и использовали при переводе настоящей книги.— Прим. ред.

Замкнутые системы с диффузио-серыми поверхностями 273
Заметим, что уравнения (8.6) и (8.7) можно записать для
каждой из N поверхностей в замкнутой системе. Это дает 2N
уравнений с 2N неизвестными. N неизвестных составляют q0.
Остальные неизвестные будут состоять из Q и Т в зависимости от
заданных граничных условий. Как будет показано позже,
величины q0 можно исключить, и, таким образом, останутся N
уравнений с N неизвестными Q и Т.
Теперь на некоторых примерах покажем, как использовать
систему уравнений (8.6) и (8.7).
ПРИМЕР 8.1. Вывести уравнение теплообмена между двумя
параллельными бесконечными плоскими пластинами в функции
их температур Т1 и Г2 ПРИ Тг > Т2 (фиг. 8.3).
Фиг. 8.3. Тепловые потоки при теплообмене излучением между
бесконечными параллельными пластинами.
Так как все излучение, испускаемое одной пластиной,
попадает на другую пластину, то Fx_2 = F2_± = 1. Запишем
уравнения (8.6) и (8.7) для каждой пластины:
^ = 91 = -^(оЦ-д0г1), (8.8а)
-37 = ?i = ?o,i-?«>.«, (8-86)
^ = fc = i=fe-№-?«»,.), (8.9а)
х- = й = до.«-?о,1- <8-96)
Из сравнения (8.86) и (8.96) следует, что дх = —q2, т. е. тепло,
подводимое к поверхности 1, отбирается от поверхности 2.
Плотность тепловрго потока qx определяет таким образом
результирующий теплообмен между поверхностями 1 и 2. Уравнение (8.8а)
решается относительно q0ji

274
Глава 8
Подобным образом из уравнения (8.9а) находим
q0} 2 - оТ
?!•
Эти выражения подставляются в (8.86) и оно решается
относительно дь
?1= — ?2:
1/6± (ГО + 1/€а (Я'я) — 1 "
(8.10а)
Функциональная зависимость £ (Т) введена для того, чтобы
показать, что 6i и g2 могут зависеть от температуры. Так как Тг и Т2
заданы, то £х и £2 можно вычислить при соответствующих
температурах, и #! определяется непосредственно.
ПРИМЕР 8.2. Какую температуру примет поверхность 1
при заданной плотности теплового потока qx и известном
значении Т2 для системы параллельных пластин из предыдущего
примера?
Найдем решение уравнения (8.10а) относительно Т1
7\ =
ш-
1
U{Ti) ' ыг2)
L] + r;}
1/4
(8.106)
Так как степень черноты £х (7^) является функцией 7\, которая
неизвестна, то необходимо воспользоваться методом итераций.
Выбирается пробное значение Тг и вычисляется €х при этом
значении 7\. Далее решается уравнение
(8.106) относительно Тг и полученное
значение используется для выбора
€х в следующем приближении.
Процесс продолжается до тех пор, пока
6i (^i) и ^i не перестанут изменяться
в последующих итерациях.
Сфера 2
ПРИМЕР 8.3. Вывести уравнение
теплообмена излучением между двумя
изотермическими концентрическими
диффузно-серыми сферами (фиг. 8.4).
Эта система сложнее системы
параллельных пластин, так как
поверхности имеют неравные площади и
поверхность 2 может частично «видеть»
саму себя. Выражения для угловых коэффициентов для этого
случая были выведены в примере 7.13: Fx_2 = 1, F2_x = Аг1А2,
F2-2 = 1 —А\1А2. Запишем основные уравнения теплового балан-
Фиг. 8.4. Тепловые потоки при
теплообмене излучением
между двумя концентрическими
сферами.

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 275
са (8.6) и (8.7) для каждой из двух сферических поверхностей:
0i = 4i-Tz?r-(ar;-gOfl), (8.11а)
1-6
^i = ^i((7ofi-gof2), (8.11б>
Л = ^Т^г(аГ*-д0,2), (8.12а)
& = Л [g0,2-^-?o,i-(l—3a-)ffo,2]=i41 (-д0,4 +д0| а). (8.126)
Из сравнения (8.11) и (8.12) следует, что Q1 — —Q2, как и
следовало ожидать из условия теплового баланса системы. Четыре
полученных уравнения можно решить относительно четырех
неизвестных д0)1, д0 2, Qx и Q2 и получить выражение для потока
результирующего излучения в следующем виде:
/) __ А\Р (Т1 Т2) /о лп\
Vl l/€i (Т^ + ^/А,) [I/62 W-l] * K '
Если сферические поверхности не концентрические, все
излучение поверхности 1 все же попадает на поверхность 2. Угловой
коэффициент Рг-2 и в этом случае равен 1, и с помощью тех же
предположений, как и ранее, получим выражение (8.13). Однако
когда сфера 1 относительно мала (например, ее диаметр равен
половине диаметра сферы 2), а эксцентриситет велик, то геометрия
системы настолько отличается от концентрической, что
использование (8.13) будет интуитивно казаться неверным. Ошибка при
использовании уравнения (8.13) связана с тем, что его вывод
основан на предположении постоянства g, qt, д0 в пределах Аг
и А2. Эти условия строго выполняются только для
концентрических сфер.
ПРИМЕР 8.4. Серое изотермическое тело, имеющее
поверхность Аг и температуру 7\, полностью охвачено гораздо большей
по размерам серой изотермической замкнутой поверхностью
площадью А2. Какой поток энергии передается от Аг к А2?
Поверхность Аг не видит саму себя, т. е. Рг^ = 0.
Так как поверхность Аг полностью охвачена поверхностью А2
и Рг_г = 0, то угловые коэффициенты и сам анализ соответствуют
рассмотренному в примере 8.3 случаю, который описывается
уравнением (8.13). В настоящем случае Аг <^А2, и это уравнение
сводится к следующему:
<?г = А^(Т1)°(Т1-Ц). (8.14)
Заметим, что полученное выражение не зависит от степени
черноты £2 замыкающей поверхности.

276
Глава 8
ПРИМЕР 8.5. Рассмотрим замкнутую систему, состоящую
из трех поверхностей (фиг. 8.5). Замкнутая система имеет
достаточную длину, так что при выводе уравнения теплового баланса
концевыми эффектами можно пренебречь. Какой тепловой поток
Ъберхность ь /
\
Поверхность з-'^
\
Qi
/ ^
J Л/
/ )
Л\г
Поверхность 2
Фиг. 8.5. Замкнутая система, состоящая из трех поверхностей (краевые
эффекты не учитываются).
надо подвести к каждой поверхности (равный потоку
результирующего излучения от каждой поверхности внутри замкнутой
системы), чтобы поддерживать эти поверхности при температурах
7\, Г2 и Г3? Запишем уравнения (8.6) и (8.7), для каждой из
трех поверхностей:
-д-=Яо,1— Fi-iQo, 1 — ^1-2^0, 2 — Pi-z9o, 3»
iz^r№-?o,«),
?2
X" ~ 1°. а —^2-1?о, 1 — Рг-гЧо, г — Fz-зЧо, з»
Л9
<?3
6з
4s
-6»
■(«tfj-ffo.s).
-J- = <7о, з — Рз-iQo, i — F3-iQo, 2 — Рз-гЧо, з-
(8.15а)
(8.156)
(8.16а)
(8.166)
(8.17а)
(8.176)
Первое уравнение каждой из этих трех пар уравнений можно
решить относительно q0 в функции Т и Q. Эти выражения для
q0 подставляются затем во второе уравнение каждой из трех пар,
что дает
1—€i \ Qj_f l-€t
<2
2±(JL
■Ft-i-
•)-*'-
<?з p 1-€з
■ ^ i-з ■
62 ^з ■ 1~Л 6з
(1 ~ F»-,) аТ\ - ^_2а^ - F,_3<rr*, (8.18а)

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 277
0» Р *~Ь _L Q* / 1 Р 1-С2 \ <?з р 1-6»
= - F^oT\+ (1 -FM) а^-^заП, (8.186)
fty l-€i «?2 г- 1-6» I <?з / 1 р 1-€з \
= -F3^oT*-F3_2 oT<2 + (l-F3-s) oTl (8.18b)
Так как температуры Т известны, то значения степеней черноты £
могут быть точно определены, и тогда система из этих трех
уравнений решается относительно тепловых потоков Q, подводимых
к каждой поверхности. Заметим, что полученные решения
являются первыми приближениями, так как поток эффективного
излучения каждой поверхности, как и предполагалось, неоднороден.
Это связано с тем, что поток отраженного излучения неоднороден.
Большая точность может быть получена путем деления каждой
из трех поверхностей на несколько участков.
Теперь, когда с помощью нескольких простых примеров
получено некоторое представление об уравнениях теплообмена
излучением, система уравнений будет рассмотрена в общем виде для
замкнутой системы из N поверхностей.
Система уравнений, связывающих поток результирующего
излучения Q и температуру поверхности Т. Форма уравнения (8.18)
свидетельствует, что потоки результирующего излучения Q и
температуры Т для замкнутой системы из N поверхностей могут быть
связаны общей системой из N уравнений. Уравнение (8.6)
решается относительно плотности потока эффективного излучения q0, &.
Затем g0? k подставляется в уравнение (8.7). (Заметим что д0|7-
находится просто заменой индекса в соотношении для д0, &.)
Это приводит к следующему уравнению для к-Vi поверхности,
которое также очевидно из (8Л 8):
<?i F 1—€i <?2 v 1 — €2 ,
Al tl ^2 t2
= -Fh-i<jT*-Fk-2<jF2-...+
+ (1 -Fh.h) оП - . - -Fk_NoT%.
Используя знак суммирования, это выражение можно
переписать в виде
2 (^~^^)^ = S (^~F^)oTU (8.19)

278
Глава 8
где соответствующие каждой поверхности индексы к принимают
значения 1, 2, . . ., N, a 6fe7- — символ Кронекера, определяемый
равенствами
Г 1 при k = j,
8kj={ 0 при кф].
Когда температуры поверхностей заданы, правая часть
уравнения (8.19) известна. В этом случае получается система из N
уравнений для неизвестных тепловых потоков Q.
Тепловые потоки к некоторым поверхностям могут быть
заданы, и тогда требуется определить температуры этих поверхностей.
Получается совокупность из JV неизвестных Q и Т, а система (8.19)
обеспечивает необходимое число уравнений. Так как величины £
зависят от температуры, на начальном этапе решения необходимо
задаться неизвестными Т. Тогда можно выбрать значения £
и решить систему уравнений. Полученные в результате значения Т
используются для выбора новых £ и процесс повторяется до тех
лор, пока величины £ и Т не перестанут изменяться при
последующих итерациях. Еще раз заметим, что результаты, полученные
этим методом, будут приближенными, так как предположение
об однородном потоке эффективного излучения строго не
выполняется в пределах каждой поверхности конечных размеров.
ПРИМЕР 8.6. Рассмотрим замкнутую систему из трех
поверхностей (фиг. 8.5). Поверхность 1 поддерживается при
температуре Тъ поверхность 2 равномерно нагревается при плотности
теплового потока д2, а третья поверхность теплоизолирована.
Составить уравнения для определения Qt, Т2 и Г3.
В соответствии с условиями задачи QJA2 = g2, Q3 = 0.
Из уравнения (8.19) получаем следующие три уравнения, в
которых неизвестные сгруппированы в левой части:
= (l~F1_1)art + ?2^-2-^^, (8.20а)
—%" Fs_, -1=^- - (1 - F^) аТ\ + F2.3oT$ =
= -F^oT\-qi (-JL_F2_2-^=±L-) , (8.206)
1 ^
= -F^oT\ + q2F3_2 -A=i*- . (8.20b)
Если £2 зависит от температуры, то необходимо использовать
метод итераций, в соответствии с которым выбирается
температура Г2, затем определяется £2 (Г2) и уравнения решаются относи-

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 279
тельно Г2, причем процесс итераций продолжается до тех пор,
пока £2 (Т2) и Г2 не перестанут изменяться при последующих
итерациях. (Заметим, что для рассматриваемой простой
геометрической схемы и условий задачи решение можно упростить с
помощью закона сохранения энергии Q1 = — Q2.)
Метод решения с использованием плотности потока
эффективного излучения q0. В этом варианте расчета теплообмена
излучением внутри замкнутой системы определяется плотность потока
эффективного излучения q0 для каждой поверхности, а затем
вычисляются потоки результирующего излучения Q и
температуры Г. Когда поверхность освещена источником излучения,
плотность потока эффективного излучения q0 представляет собой
сумму плотностей потоков собственного и отраженного
излучения. По этой причине желательно в некоторых случаях
определить исходные величины, составляющие поток q0. Конечно, в
предыдущем методе (стр. 277) плотности потоков эффективного
излучения можно было найти при помощи уравнения (8.6), если
известны Q и Т.
При заданных температурах поверхностей, если исключить Qk
из уравнений (8.6) и (8.7), получается система уравнений
относительно q0. Тогда уравнение для плотности потока эффективного
излучения от /с-й поверхности имеет вид
N
q0, k - (1 - Ы 2 Fh-jQo, j - ен°П. (8.21)
Поясним это на примере системы из двух поверхностей. Из
уравнения (8.21) следует
д0,1 - (1 - 6i) Fi-iq0, i ~ (1 - G) Fi-2<Zof 2 = G°Tl (8.22a)
q0, 2 - (1 - 62) F2-iq0i 1 - (1 - 62) F2.2q0t 2 - €2<хГя4. (8.226)
Уравнение (8.21) можно записать в другом виде
N
2 [Ski - (1 - Ы Fu-j] g0, j = екоП. (8.23)
j=l
При заданных значениях температур Т плотности потоков
эффективного излучения q0 можно определить из уравнения (8.23).
При этом можно использовать уравнение (8.6) для вычисления
потоков результирующего излучения каждой поверхности Q.
Если для некоторых поверхностей заданы величины Q, а для
других Г, то уравнения (8.23) для поверхностей с известными Т
в сочетании с уравнениями (8.7) для поверхностей с известными Q
образуют систему уравнений для расчета неизвестных q0. После
определения q0 для некоторой поверхности по известному
значению Q (или Т) из уравнения (8.6) можно определить неизвестное
значение Т (или Q). В общем виде, если замкнутая система имеет

280
Глава 8
поверхности 1,2, . . ., т с заданными температурами и
поверхности m + 1, 771 + 2, ..., N с заданными тепловыми потоками,
из выражений (8.23) и (8.7) получается система уравнений
относительно до, которая имеет вид
2 [6w-(l-efc)^wl(7of;==&^ 1<&<т, (8.24а)
;=1
JV
2 (bhj-Fk-AVoj^
i=i
Ah
ГО+1<Л<Л\
(8.246)
Заметим, что для черной поверхности с температурой Tk из (8,24а)
следует q0) к = а Л*> так чт0 плотность теплового потока q0> h
в этом случае известна, и число уравнений системы может быть
сокращено на одно.
ПРИМЕР 8.7. Усеченный конус имеет подогреваемое нижнее
основание (фиг. 8.6). Верхнее основание поддерживается при
Поверхность 3 ,50,6 мм,
Т3 = 555К
Поверхность 2
{идеально
изолирована) yjlj
€2=о,8. /т
101,6 мм
< Поверхность 1
qi=3154Bm/M2
сГ0,6
Фиг. 8.6. Замкнутая система (пример 8.7).
температуре 555 К, в то время как боковая поверхность идеально
изолирована. Поверхности 1 и 2 предполагаются серыми и
диффузными, а поверхность 3 черной. Какова температура
поверхности 1? Какова роль €2?
Используя угловой коэффициент для двух параллельных
дисков (конфигурация 18, приложение В), получаем F3_1 = 0,33.
Тогда F3_2 = 1 — ^з-i = 0,67. Из соотношений взаимности
Л^1-з = Л 3^з_! и ^2^2-з = ^з^з-2 находим Fx_3 - 0,147
и F2_3 = 0,13. Тогда Fx^2 = 1 —^1-3 = 0,853. Из соотношения
-4Л-2 = ^2^2-1 находим F2_x = 0,372. Наконец, F2_2 = 1
— F,
2-1
^2-3 = 0,498. Из уравнения (8.19) с учетом Q2 = 0

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 281
и 1 — £3 = 0 получаем три уравнения в следующем виде:
^ = а(Г?-0,853Г*-0,147.5554),
-3154.0,372 {~lfi = а[-0,372Г? + (1-0,498)Г*-0,13-5554],
-3154.0,33-^^ + ^ = а[--0,33^-0,67Г* + 5554].
Эти три уравнения можно решить относительно неизвестных
7\, Г2 и Qs. (Заметим, что для этого частного случая тепловой поток
Q3 можно также получить из уравнения сохранения энергии,
т. е. Q3 = —Qi>) Решением задачи является 7\ = 728 К. Так
как Q2 = 0, то все величины, содержащие £2, равны нулю, так
что £2 не появляется в уравнениях системы. Следовательно, в
случае диффузно-серых поверхностей степень черноты изолированной
поверхности не влияет на результаты решения.
8.3.2. Обращение матриц
Для замкнутой системы, состоящей из большого числа
поверхностей, получается большое число уравнений, как (8.19) или
(8.24). Эти уравнения можно решить на ЭЦВМ с помощью
стандартных программ, которые позволяют решать системы из
нескольких сотен уравнений.
Систему уравнений, подобную (8.24), можно записать в
компактном виде. Обозначим известные величины в правой части
уравнения через Ck, а величины в скобках в левой части
уравнения через akj. Тогда система из к уравнений может быть записана
в виде
N
S ahjqo,j=^Ck, (8.25а)
где
bhj-{i-£h)Fh4 ^ (ekon 1<^<т,
Он
ahj — \& т? Ck = •
1 Skj-Fk_j , vk_ m + l^k^N.
(8.256)
Для замкнутой системы из N поверхностей эта система уравнений
имеет вид
Яц0о, 1 + ai2?o, 2 + . . • + a>ijq0t j + . . . + aiNq0, N= Cu
«21^0, 1 + Я22#о, 2 + • • • + «2^0, J + • • • -Ь a2Nq0, N = C2,
akiqo, i + ak2q0t 2 + • • • + akjQo, >+•••+ «ftiv(7o, jv = Cft,
UNiQo, 1 + 0,N2Qot 2 + • • • "Г aNjQo, j + • . . + CLnnQo, N = CN.
(8.26)

282
Глава 8
Ряд коэффициентов akj образует матрицу коэффициентов,
которая часто обозначается квадратными скобками
i [ahj] s=
ац ai2
#2l ^22
<*2j
aiN
a2N
o<ki a<k2
a>kj
a>kN
(8.27)
L^ivi dN2. .. (Inj • • • ^nnA
Метод решения системы уравнений, подобной (8.26),
заключается в получении другой матрицы а-1, которая называется обратной
матрицей а, т. е.
c/tfl СПУ\2 • • • СП 1 j . . . СП 1дг
«^21 «^22 • • • сп 2j • • • сп 2N
■> [ЛнЛ =
сп kl сп&2 • • • c/tkj • • • «^
feiV
(8.28)
L^jVi t^jV2 • • • *^iVj • • • ^ NN A
В обратной матрице содержатся члены c&kj, соответствующие
каждому akj в первоначальное матрице. Коэффициенты Л
определяют путем преобразования а способом, кратко сводящимся
к следующему. Если /с-я строка и у-й столбец, которые содержат
элемент akj в квадратной матрице а, вычеркнуты, то определитель
оставшейся квадратной матрицы называется минором элемента akj
и обозначается Mkj. Алгебраическое дополнение элемента
доопределяется как ( — l)k+J Mkj. Чтобы получить матрицу,
обратную квадратной матрице [akj], каждый элемент akj сначала
заменяется своим алгебраическим дополнением. Строки и столбцы
полученной матрицы затем взаимозаменяются. Каждый из
элементов полученной таким способом матрицы делится на
определитель | akj | первоначальной матрицы [akj]. Элементы, полученные
подобным образом, являются коэффициентами c4kJ-. Более
подробное описание обратного преобразования матриц содержится
в учебниках по математике, например [6]. Существуют
стандартные программы для ЭЦВМ, с помощью которых можно вычислить
коэффициенты обратной матрицы j£kj из матричных элементов akj.
После того как получены коэффициенты обратной матрицы,
неизвестные величины q0 в (8.26) находятся как суммы
произведений Л и С:
q0,1 = i^nCi + c4i2C2 + ... + cAijCj +...-}- c4iNCN,
Qo, 2 = c42iC{ + A22C2 + ... + Jt2jC, + ... + c42NCN, (8.29a)
Qo, k = c4kiCi -f Ah2C2 + ... + c4kjCj + •.. + ^unCn

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 283
ИЛИ
N
qo}h= 2 ^kjCj. (8.296)
Таким образом, решение для каждого значения q0) k получается
в виде суммы значений £оТ* и QIA (обозначенных символом С),
каждое из которых взвешено с помощью коэффициента Д.
Для данной замкнутой системы угловые коэффициенты Fk_j
в уравнении (8.256) остаются постоянными. Если к тому же
постоянны и £fe, то элементы akj, а следовательно, и элементы
обратной матрицы Akj остаются постоянными. Этот факт
используется при вычислении потоков излучения внутри замкнутой
системы со многими различными значениями температур Т и
тепловых потоков Q на поверхностях. Достаточно только одного
обращения исходной матрицы, и затем уравнение (8.296) можно
применять для различных значений С. Эти замечания также
применимы к системе уравнений (8.19). После обращения матрицы
коэффициентов можно определить потоки результирующего
излучения Q как взвешенную сумму величин Г4.
8.4. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ ПЛОЩАДКАМИ
8.4.1Г Обобщенный метод сальдо
для бесконечно малых площадок
В предыдущем разделе замкнутая система была разделена
на поверхности конечных размеров. Точность выполненных
расчетов ограничена предположениями о том, что температура,
а также падающее и эффективное излучения каждой поверхности
постоянны в пределах данной поверхности. Если эти величины
непостоянны в пределах части границы замкнутой системы, то
граничная поверхность должна быть дополнительно разделена
на участки таким образом, чтобы изменение этих величин в
пределах каждой зоны было не слишком большим. Может
понадобиться при проведении расчетов уменьшать размеры
используемых участков (и соответственно увеличивать число
уравнений) до тех пор, пока размеры площадок не уменьшатся
настолько, что результаты расчета перестанут существенно
изменяться. В пределе граница замкнутой системы или часть ее может
быть разделена на бесконечно малые элементы. Это позволит
учитывать существенные изменения величин Г, q, qt и q0.
При формулировке задачи с использованием бесконечно малых
участков поверхности уравнения теплового баланса имеют вид
системы интегральных уравнений. Иногда можно получить
аналитическое решение этой системы в замкнутом виде при помощи

284
Глава 8
стеи конечных
точных или приближенных математических методов расчета
интегральных уравнений. Когда аналитическое решение получить
невозможно, интегральные уравнения можно решить численно.
Метод численного решения подобен методу, используемому при
расчете теплообмена между поверхностями конечных размеров.
Рассмотрим, как и ранее, замкнутую систему из N поверхно-
размеров. Эти поверхности обычно являются
геометрическими зонами
замкнутой системы или поверхностями,
на которых поддерживаются
постоянными заданные граничные
условия. Каждая из этих поверхностей
делится на элементарные площадки
(фиг. 8.7). Как и ранее, будем
предполагать, что поверхности диффузно-
серые. Здесь делается также
дополнительное предположение, что
радиационные свойства поверхностей не
зависят от температуры.
Условие теплового баланса для
элемента dAk, положение которого
определяется радиусом-вектором rk,
записывается следующим образом:
Qu (rk)^qo,k Ы — Qi, и (гиУ- (8-30)
Поток эффективного излучения
состоит из потоков собственного и
отраженного излучения
q0, k Ы = №П (rh) -f- (1 - Ы qif k (rk).
(8.31)
Поток падающего излучения
в (8.31) равен сумме частей потоков
эффективного излучения от других
элементов поверхностей замкнутой системы. Обобщая выражение
(8.3) путем интегрирования по каждой поверхности конечных
размеров для определения суммарного вклада локальных потоков
эффективного излучения этой поверхности в величину qit kl получаем
dAkqit k (гй) = j 9о, i (ri) dFdi-dh (rb rk) dAt+ ...
Ai
.. . + j qo, и (rt) dFdk*-dk(rt rk) dAt+ ...
f
.. • + J Qo, n {tn) dFdN-dk (tn, rk) dAN. (8.32)
Фиг. 8.7. Замкнутая система,
состоящая из N отдельных
поверхностей конечных
размеров, разделенных на
бесконечно малые элементы.

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 285
Второй интеграл в правой части представляет собой вклад
излучения всех других элементарных площадок dA% на поверхности Ak
в поток падающего излучения на элементарную площадку dAk.
С учетом соотношения взаимности dAj dFdj_dk = dAk dFdk_dj
типичный интеграл в уравнении (8.32) может быть преобразован
в следующий:
j qQ, у (ry) dFdj-аь (ry, rft) dAj = j q0> у (ry) dFdk-dJ (ry, rk) dAk.
Aj Ai
Преобразуя подобным образом все интегралы в (8.32), выделим
dAk из уравнения и в результате получим
N
9t, и Ы = 2 J «о, j (гу) dFdk„dj (ry, rk). (8.33)
Уравнения (8.31) и (8.33) дают два различных выражения для
Qi, k (гь)- Каждое из этих выражений подставляем в (8.30) и
получаем два выражения для qk (rfe), аналогичные (8.6) и (8.7):
JM
Ян Ы = Qo, k Ы — 2 J 9о, j (rj) dFdk.dj (rif rk). (8.35)
i=i a.
Как показано с помощью уравнения (7.10), элементарный
угловой коэффициент dFdh_dj содержит элементарную площадку dAj.
Чтобы переменная интегрирования в уравнении (8.35)
участвовала в явном виде, удобно ввести величину К (ry, rk):
К (т>> Fft) = dA} • (8*36)
Тогда (8.35) принимает вид интегрального уравнения
N
qui
i=i а.
14
. Ы = q0, k (th) - 2 J Qo,j (tj) К (Tj, rh) dAr (8.37)
J
Величина К (ry, rk) под знаком интеграла с зависимой
переменной, как в уравнении (8.37), называется ядром интегрального
уравнения.
Как и в предыдущем анализе для поверхностей конечных
размеров, существуют два способа решения задачи:
1. При определении температуры и подводимых тепловых
потоков из уравнений (8.34) и (8.35) можно исключить
переменные q0. Это позволяет получить систему уравнений, непосред-

286
Глава 8
ственно связывающих температуры поверхностей Т и плотности
потоков результирующего излучения (или плотности подводимых
тепловых потоков) q. В пределах каждой поверхности Т *или q
заданы с помощью граничных условий. Остальные неизвестные
температуры Т и тепловые потоки q находят решением данной
системы уравнений.
2. При определении величины q0 можно исключить неизвестные
q из системы уравнений (8.34) и (8.35) для каждой поверхности,
на которой плотность подводимого теплового потока q не задана
в качестве граничного условия. Для поверхности, на которой
плотность потока q задана, уравнение (8.35) может быть
использовано для вывода соотношения между величинами q0. Это дает
систему уравнений относительно #0, выраженных через известные q
и 7\ которые заданы граничными условиями. После решения
полученной системы уравнений относительно q0 с помощью
уравнений (8.34) можно при необходимости определить значения q и Т
на поверхностях, где заданы либо q, либо Т из граничных
условий. Рассмотрим каждый из этих методов.
Соотношения между температурой поверхности Т и плотностью
подводимого теплового потока q. Чтобы исключить q0, согласна
первому методу решения, уравнение (8.34) решается относительно
?o,fc(rfe):
Чо, k Ы = аП (П) - -^- qk Ы• (8.38)
Уравнение (8.38), записанное для /с-й и у-й элементарных
площадок, подставляется в (8.35), чтобы исключить q0) k и q0, j'
-^ - s ^ir J *{T}) dFdh-di {rjt Th)=
j= 1 A.-
N
= оП (rft) - 2 J crff (Г/) dFdk.dJ (ry, rk). (8.39)
j=i A j
Уравнение (8.39) непосредственно связывает температуры
поверхностей с подводимыми к ним тепловыми потоками.
ПРИМЕР 8.8. Замкнутая система, общий вид которой показан
на фиг. 8.5, состоит из трех плоскостей и является бесконечно
протяженной в одном направлении, так что величины,
характеризующие теплопередачу, не изменяются по длине. Поверхность 1
равномерно нагревается, а поверхность 2 имеет постоянную
температуру. Поверхность 3 черная и имеет нулевую температуру.
Вывести основные уравнения для определения распределения
температуры по периметру поверхности 1.

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 287
Благодаря условиям Т3 = О, £3 = 1, а также dFdj_dj* = О
(dFdj-dj* —угловой коэффициент излучения площадки на саму
себя) уравнение (8.39) можно записать для двух плоских
поверхностей 1 и 2 с постоянными qx и Г2 в следующем виде:
-^ ^*- j ^2 (га) dFdi,d2 (г2, п) -
А2
= аГ} (п)- аГ2 j dFdl_d2 (г2, г,), (8.40а)
А2
-^-л -4г" 1 dFd2~di {ri? г?)=
= оЦ- J аГ; (г,) dFd2_dl (п, г2). (8.406)
Ai
Подобного уравнения для поверхности 3 не требуется, так как
(8.40) не содержит неизвестной величины q3 (г3) вследствие
условий £3 = 1 и Т3 = 0. Из определения угловых коэффициентов
следует
J dFdi_d2l = Fdi_2 и j dFd2_di = Fd2-.i.
А2 Ai
Уравнения (8.40) приводятся к следующим соотношениям, в
которых известные величины перенесены в левую часть:
оТ\ (г0 + -Ь^ { q2 (r2) dFdl_d2 (г2, п) = a7^dl_2 (n) + f- ,
С2 J fcl
(8.41а)
{ оТ\ (п) dFd2_dl (г,, r2) +-^ilsL = оГ' + д.-Ц^- Fd2_, (r2). (8.416)
Ai
Систему уравнений (8.41) можно решить относительно
неизвестных распределений Тг (гх) и д2 (г2). В разд. 8.4.2 будут
рассмотрены некоторые методы решения такой системы
интегральных уравнений.
Метод решения относительно плотности потока эффективного
излучения д0. Во втором методе решения величины qk (rk)
исключаются из уравнений (8.34) и (8.35) для поверхностей, на которых
qk (rk) неизвестны. Это позволяет получить соотношение между
q0 и температурой Г, изменяющейся в пределах поверхности,
N
q0, k Ы = ЬоП (rk) + (1 - 6fe)2 J <*°>' fa) dF^-dj (гу, rk). (8.42)
j=i A j

288
Глава 8
Если известен тепловой поток qk (rfe), подводимый к поверхности к,
то уравнение (8.35) можно использовать непосредственно для
установления связи между qk и q0. Таким образом, уравнения (8.42)
и (8.35) образуют полную систему уравнений с неизвестными q0,
выраженными через известные температуры Т и тепловые потоки q.
Теперь запишем систему уравнений для q0. В общем случае
замкнутая система может состоять из поверхностей 1, 2, . . ., m
с заданными распределениями температуры. Для этих
поверхностей применяются уравнения (8.42). Для остальных N — m
поверхностей m + 1>иь + 2, . . ., N заданы распределения
тепловых потоков. Для этих поверхностей применяются уравнения
(8.35). В результате получаем систему из N уравнений для
распределений неизвестных потоков эффективного излучения q0:
Яо, k Ы — (1 — 6ft) 2 j Ч°> 1 fa) dFdk-dj (Г/, Tk) =
= еиоП (rk) 1 <Л<т, (8.43a)
N
ffo, k (гЛ) — 2 J 9o, j fa) dFdk-dj (r/, rk) = qh (rk) m + 1 <&<N.
i=i a,
(8.436)
После определения q0 по уравнению (8.34) находят неизвестные
распределения потоков результирующего излучения q или
температур Т
Я* fa) = Т^Г [оП fa) ~ *°> к fa)] 1 <к<т> (8'44а)
оП (rh)^±^-qk (rfc) + q0, и Ы m+ 1 <fe<iV. (8.446)
Частный случай, когда плотность потока результирующего
излучения q задана для всех поверхностей и требуется определить
распределения температуры по этим поверхностям. В этом случае
метод, в котором сначала определяются плотности потоков
эффективного излучения q0, имеет преимущество перед методом, в
котором используется уравнение (8.39) и температуры Т выражаются
непосредственно через заданные потоки результирующего
излучения. Это преимущество связано с тем, что уравнение (8.436)
не зависит от радиационных свойств поверхностей, т. е. для
системы с заданными тепловыми потоками q величины q0 нужно
определять только один раз, записывая уравнения (8.436) для
каждой поверхности. Затем вычисляются распределения
температур по уравнениям (8.446), в которых учитывается зависимость
от степени черноты. Такой подход предпочтителен при
исследовании влияния изменения температуры для различных значений
степени черноты при заданных значениях q.

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 289
Когда все поверхности черные, £& = 1, и уравнение (8.446)
принимает вид
а7л(гА)ь = д0,лЫ.
Так как величины q0y k не зависят от степеней черноты
поверхностей, то они действительны также для поверхностей с £h ф\.
Тогда решение (8.446) можно записать в следующем виде:
аТ% Ы ~ -^*- 9k {Th) + °П (rft)b'
(8.45)
Это соотношение связывает распределения температуры в
замкнутой системе с £fe Ф 1 с распределениями температуры в замкнутой
системе, образованной черными поверхностями при одинаковых
подводимых тепловых потоках. Таким образом, после
определения распределений температуры для замкнутой системы,
образованной черными поверхностями, распределения температуры
Таблица 8.1
Соотношения между потоками излучения и температурой
для диффузно-серых замкнутых систем
Тип
поверхности

Поверхности
конечных
размеров
Бесконечно
малые
поверхности
Граничные условия
Т^ на всех
поверхностях
Qk на всех поверхно-1
стях
Tk для 1 < к < т
Qk Для т +1 < к < N
Tk на всех
поверхностях
qk на всех
поверхностях
l<fc<iV
Tk для 1 < к < т
qh для m + l</c<./V
q0,k для l<fc<iV
Tk для l<fc<tfi
| qu ДЛЯ m-\- 1 < к < N
Определяемые величины
Qh
<loyh J
Tk |
Qo,h
Qk для 1<&<т
Tk для m + l<&<#
Qo,k
Як
Qo,k
\Tk
\Яо,к
qk ДЛЯ 1 < к < m
\Tk ДЛЯ m +1<&<#
l&bfe
1 #fc для 1 < A; < m
Гйдлят+ l<fc<;V
Уравнение
(8.19)
(8.23)
(8.19)
(8.7)
(8.24) и (8.6) или
(8.19)
(8.24)
(8.39)
(8.42)
(8.39)
(8.35)
| (8.39) или (8.43) и
| (8.44)
| (8.43а) и (8.436)
1 (8.44а)
(8.446)

290
Глава 8
°Th(Yk) для серых поверхностей находятся просто добавлением
величины [(1 — gfc)gft] qk (тк).
Выше представлен ряд формулировок уравнений,
определяющих теплообмен излучением в замкнутых системах. Соотношения
между величинами Q, Т и q0 на различных поверхностях сведены
для удобства в табл. 8.1.
ПРИМЕР 8.9. В качестве простого примера нагреваемой
замкнутой системы рассмотрим круглую трубу, открытую с обоих
концов и изолированную с внешней боковой поверхности (фиг. 8.8)
г Поверхность 1
v Ti =0tv/7t/Tp
q2
r Поверхность 2 (внутренняя
; поверхность стенки трубы)
♦ * ГЧ ♦/♦ * ♦
D = l
Поверхность 3
т3-о
или Те
Фиг. 8.8. Равномерно обогреваемая труба, изолированная с внешней боковой
поверхности и открытая с обоих концов.
а — геометрическая'схема и система координат; б — распределение q0 внутри трубы при
L/D = 4.
[7]. 1. Каково распределение температуры вдоль трубы при
равномерном теплоподводе по длине трубы и температуре окружающей
среды 0 К? 2. Если температура окружающей среды Те, то как
это повлияет на распределение температуры по длине трубы?
1. Так как открытые концы трубы не отражают излучение, можно
рассматривать их как черные диски при заданной температуре 0 К.
Найдем q0 для этих дисков с помощью выражения (8.446). При

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 291
€i = €з = 1 из (8.446) получаем
?о, 1 = ^0,3^^ = ^3 = 0.
Следовательно, под знаком суммы в уравнении (8.436) будет
содержаться только излучение от поверхности 2 на саму себя.
Так как труба осесимметрична, то элементарные площадки dAh
и dA % могут быть представлены в виде колец с координатами хжу.
Для удобства все длины сведены к безразмерному виду
относительно диаметра трубы. Тогда из уравнения (8.436) следует
9o,t(D— ) ?о, 2 On) d/dS-dT) (h — S|) = ?s, (8.46a)
T)=0
где | — xlD, T] = y/D, I = LID и dFdl_dn (| ц — \ |) — угловой
коэффициент для двух колец, разделенных расстоянием \ч\ — £ |
(конфигурация 26, приложение В)
Г h-EP+l-h-Eil
Абсолютная величина rj — £ используется в связи с тем, что
угловой коэффициент зависит только от расстояния между
кольцами. При | г) — £ | = 0 dF = dr\ представляет собой угловой
коэффициент излучения элементарного кольца самого на себя.
Обе части уравнения (8.46а) можно разделить на постоянную
величину q2 и найти решение относительно безразмерной величины
Яо, 2 (5)/#2 численным или приближенным методами решения
линейных интегральных уравнений. Эти методы будут
рассмотрены в разд. 8.4.2. Распределение g0> 2 (£)А?2 показано на фиг. 8.8, б
для трубы длиной 4 диаметра. Из уравнения (8.446) получаем
распределение четвертой степени температуры по длине трубы
в следующем виде:
Так как величина q2 постоянна, то распределение Т\ (|) имеет
ту же форму, что и распределение g0> 2 (£). Стенка имеет высокую
температуру в центральной части трубы и низкую температуру
на концах, где тепло может легко отводиться излучением в
окружающую среду с низкой температурой.
2. Теперь рассмотрим случай, когда окружающая среда имеет
температуру Те. Открытые концы цилиндрической замкнутой
системы можно рассматривать как абсолютно поглощающие
диски с температурой Те. Интегральное уравнение (8.436) в этом
19*

292
Глава 8
случае принимает следующий вид:
i
«о, а (5)— J ?o,e(4)dFdWT|(|T| —Е|) —
т,=0
- oT\Fd^ (I) - oTIFdl_z (I -1) = q2j
гДе ^d£-i (E) — угловой коэффициент между кольцевым элементом
с координатой | и диском 1 с координатой £ = 0, т. е.
'«-1® ffi.+1)i/2—5.
Так как полученное интегральное уравнение является линейным
относительно переменной qQt 2(£), будем искать решение в виде
суммы двух частей: g0fa№) при Ге = 0 и д0>а№) при д2 = 0
?о, 2 (£) = до, 2 © |ге=о + д0,2 (5) U2=o-
Подставляя это решение в интегральное уравнение, получим
i
ffof а (Е) |гв=о + до, а (6) |«я-о — J до, 2(^)1^=0^^-^ (|т| —1\)-
I
— J ffo. а (Л) la»=od^ds-dт| (1Л — Е |) —
т]=0
- arjFft_i (|) -ar^dl_3 (Z -£) = qt.
При Гв = 0 применимо уравнение (8.46а), из которого следует
i
#0, 2 © l<Z2=0 — J qo,2(l\)\q*=QdFdi-d4(\l\—l\) —
-oT\Fdl^ (I)-oTtfdi-* (l-l) = 0.
Решением уравнения является
Яо, 2 |<Z2=0 = ОТ**
что можно проверить прямой подстановкой и последующим
интегрированием. Этого результата можно было ожидать из
физических соображений для необогреваемой поверхности,
помещенной в среду с постоянной температурой. Распределение
температуры по длине трубы находится из уравнения (8.446)
<*Ц (I) = -i=^*- g2 + go, 2 (6) |ге=о + g0,2 (6) |*2=о,
оТ$ (1) = ±=^ g2 + q0t 2 © |г о + аГ$,

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями
293
где q0t 2 (I) !г =о — плотность потока излучения, определенная в
первой части этого примера. Согласно принципу суперпозиции, для
учета влияния температуры окружающей среды к решению
относительно оТ\ (£), первоначально полученному при Те = О,
добавлен член оТ\.
ПРИМЕР 8.10. Рассмотрим излучение из длинной
цилиндрической полости, высверленной в материале, находящемся при
постоянной температуре Т (фиг. 8.9, а). Полость предполагается
Ь
т = о
/У/ /. ' у. ■' ' ' ' '/'''''У''/
I
1
0 q0(x)
///У////,
>//////////
Фиг. 8.9. Излучение из цилиндрической полости при постоянной
температуре.
а — геометрия и система координат; б — кажущаяся степень черноты цилиндрической
достаточно глубокой, так что влиянием поверхности дна при
составлении уравнения теплового баланса можно пренебречь.
Окружающая среда имеет температуру 0 К. В сечении с коорди-

294
Глава 8
натой х эффективное излучение цилиндрической поверхности
стенки полости состоит из собственного и отраженного
излучений, которые в сумме дают величину q0 (х). Кажущаяся степень
черноты полости определяется как £а (х) = q0 (х)/аГ4. Определим
связь £а (х) с действительной степенью черноты поверхности £
при условии, что она постоянна. Интегральное уравнение,
описывающее теплообмен излучением внутри полости, было впервые
выведено Бакли [8, 9], а позднее Эккертом [10], причем оба
исследователя получили приближенные аналитические решения.
Позднее Спэрроу и Алберс выполнили с большей точностью численные
расчеты на ЭЦВМ [11].
Отверстие полости можно рассматривать как абсолютно
поглощающий (т. е. черный) диск при нулевой температуре. Тогда
из уравнения (8.446) следует (так как для отверстия g = 1, Т = 0),
что поток эффективного излучения q0 для отверстия равен нулю.
Следовательно, основным уравнением для замкнутой системы
является уравнение (8.43а), записанное для цилиндрической
поверхности стенки и содержащее под знаком суммы только
потоки излучения цилиндрической стенки на саму себя. Как и в
примере 8.9, здесь рассматривается угловой коэффициент между
кольцом элементарной длины на цилиндрической поверхности
и вторым таким кольцом, соответствующим другой осевой
координате. Из уравнения (8.43а) тогда следует
ОО
ffoffi) —(1 —О j ЯоМ*Рй1^(\г\-1\) = &Ть, (8.47)
Т|=0
где I = xlD, т) = у ID и dFdl.dJ] (| tj — | |) определяется по
уравнению (8.466). После деления на постоянную величину аГ4
получим следующее интегральное уравнение, определяющее
кажущуюся степень черноты полости:
оо
€а(Е)-(1-€) J €«(T|)APd6-dn(l4 —Е|) = €. (8.48)
Уравнение (8.48) было решено для различных значений степеней
черноты поверхности £. Результаты решения в виде зависимости
кажущейся степени черноты ga поверхности цилиндрической
полости от координаты по длине полости представлены на
фигуре 8.9, б. Эффективное излучение поверхности приближается
к черному излучению с увеличением координаты х в глубину
полости. У входного отверстия полости £а — ]/"g [8, 9].
ПРИМЕР 8.11. Какие интегральные уравнения описывают
теплообмен излучением между двумя параллельными,
расположенными друг против друга пластинами конечной ширины и беско-

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 295
нечной длины (фиг. 8.10)? Каждая пдастина имеет заданное
распределение температуры, которое зависит только от указанных
координат х или у по ширине пластин. Температура окружающей
среды равна нулю.
Шрхность 2
Поверхность 1
Изоляция
/NA2 \
Фиг. 8.10. Геометрическая схема для иллюстрации теплообмена излучением
между двумя паралледьными пластинами бесконечной длины и конечной
ширины.
а — параллельные пластины шириной L и бесконечной длины; б — координаты в
поперечном сечении зазора между параллельными пластинами.
Как было показано в примере 7.4, угловые коэффициенты
между бесконечно длинными параллельными элементарными
полосами dA1 и dA2 равны соответственно
dFdi-* = |d(sin Ф) = 1 [{y_x*+a%]W*у,
HP -1
2 [(y-*)2 + a2]3/2
dx.
Распределение тепловых потоков, подводимых к каждой пластине,
вычисляется с помощью уравнения (8.39) для каждой пластины.
Как и в примерах 8.9 и 8.10, окружающая среда при температуре

296 Глава 8
Т = О не оказывает никакого влияния, так как со стороны
открытого края между пластинами эффективная степень черноты равна
единице, а температура — нулю. Определяющие уравнения в этом
случае записываются в следующем виде:
L/2
L/2
= оГМ- ) аП(у)±- [(y_x)f ,/а dy, (8.49а)
— L/2
L/2
Л \ gi (х) -тг ото- «# =
?iW
?2(l/)
62 6l J/2 [(У^)2 + «2]3/2
L/2
=^w- I °™-т [(у_ж):+а2]з/2 ^ <8-496>
— L/2
Другой вывод можно сделать с помощью уравнения (8.42).
Сначала получаем следующие два уравнения с неизвестными q0ti(x)
и ?о,2(у):
L/2
go,i(^) —(1 —6i) j go>2(i/)4- [(y-g)f+fll]»/2 <*у=6рГ?(*),
— L/2
(8.50a)
L/2
?о,,(У)-(1-Ь) J g,,l(«)4- [(y_jBy!|.a,]3/2 <fa=6.g^(y)-
— L/2
(8.506)
После определения тепловых потоков q0 находим qt (х) и g2 (у)
по уравнению (8.44а):
ft (*) = "ГГёГIa2*J(ж) ~ 9о- *{x)h (8,51а)
й(У) -Tzfe- [°П{У)~Ч°'Ш (8 51б)
8.4.2. Методы решения интегральных уравнений
В предыдущих примерах показано, что распределения
неизвестных тепловых потоков на стенке или температуры
поверхностей замкнутой системы находятся из решений отдельного
интегрального уравнения или системы интегральных уравнений.
Эти интегральные уравнения являются линейными, т. е.
неизвестные переменные g, q0 и Г4 содержатся в них в первой степени.
(Заметим, что Г4, а не Г рассматривается как независимая пере-

Замкнутые системы с диффу8но-серыми поверхностями 297
менная.) Для решения линейных интегральных уравнений
существует ряд аналитических и численных методов. Эти методы
описаны в учебниках по математике, например в гл. 4 работы [6].
В настоящем разделе будет проанализировано применение этих
методов к задачам по теплообмену излучением и будут приведены
некоторые примеры.
Численное интегрирование системы уравнений. В большинстве
случаев функции, стоящие под знаком интеграла в интегральных
уравнениях, представляют собой сложные алгебраические
величины. Это обусловлено тем, что такие функции содержат угловой
коэффициент, который для большинства геометрических
конфигураций не прост. Обычно очень трудно найти точное аналитическое
решение, и поэтому в большинстве случаев пытаются получить
численное решение. Интегралы записываются в
конечно-разностном виде путем разбиения каждой поверхности на сетку из
малых элементов конечного размера. В результате получается
система уравнений, содержащих неизвестные величины для
каждого узла сетки. Эту процедуру лучше всего проиллюстрировать
на конкретном примере.
ПРИМЕР 8.12. С помощью интегрального уравнения (8.46)
вывести систему алгебраических уравнений для определения
распределения потоков эффективного излучения q0 2 по длине трубы
I = 4.
Для простоты разделим длину на четыре равных элемента
(Дт| = 1) и используем правило трапеции для интегрирования.
Применяя уравнение (8.46а) к концу трубы, где | = 0, получим
?o..(0)-[4-ft,,,(0)JC(|0-0|) + go,,(l)JS:(|l-0|) +
+ 9о,2(2)Я(|2-0|) + <?о,2(3)Я(|3-0|) +
+ .ig,,,(4)tf(|4-0|)](l) = ft. (8.52)
Величина, стоящая в квадратных скобках, является
приближенным представлением интеграла по правилу трапеций. Величина
К (| т| — \ \) — dF {\ч\ — | \)/dr\ — алгебраическое выражение
внутри фигурных скобок уравнения (8.466). Величины тепловых
потоков g0j 2(0) в (8.52) сгруппированы вместе и образуют первое
уравнение (8.53). Другие четыре уравнения системы являются
конечно-разностными уравнениями для других узлов сетки по
длине цилиндра:
qo,2(0)[l-±.K(0)~]~qOt2(l)K(l)-qo,A2)K(2)-
-q0 , (3) К (3)~±-д0, 2 (4) К (4) = д2,

298
Глава 8
-^qo,2(0)K(l) + qOt2(i)[l-K(0)]-qOt2(2)K(l)-qOi2(S)K(2)-
—2-?o,.(4)*(3) = gs>
-±qo,2(0)K{2)-qOt2(l)K(i) + qo>i(2){i-K(0)]-qO!2(3)K(l)-
-|g0i2(4)Z(2) = g2,
-Y9o,A^K(S)-qOi%(l)K(2)-qOt2(2)K(l) + qOi2(3)[l-K(0)}-
~4до,2(4)^(1) = д2,
—j Чо, 2 (0) ЛГ (4) - g0,2 (1) Z (3) - g0>, (2) * (2) - g0> 2 (3) К (1) +
+ go,,(4)[l-4-^(0)] = ga. (8-53)
Система этих уравнений решается относительно неизвестных
величин д0, 2 Для пяти узлов. Используя симметрию системы
и условие постоянства q2 на поверхности трубы в этом примере,
можно упростить решение при помощи равенств q0y 2 (0) = q0i 2 (4)
и qo, 2 (1) = ?о, 2 (3).
Система уравнений, подобная (8.53), сначала решается для
небольшого числа элементов по длине замкнутой системы. Затем
размер элемента или шаг сетки уменьшается, и система уравнений
решается снова. Процесс продолжается до получения достаточно
точного значения q0. Эта процедура обычно программируется
на ЭЦВМ для произвольного размера шага сетки.
Уравнения (8.53) были выведены при помощи правила
трапеции как простейшая численная аппроксимация для вычисления
интегралов. Можно использовать и другие более точные схемы
численного интегрирования с меньшим числом узлов,
необходимых для достижения достаточной точности в данной задаче.
При этом необходимо соблюдать известную осторожность,
В некоторых случаях величина q0i 7- dFdk_dj может быстро
изменяться из-за геометрических факторов, входящих в выражение
для углового коэффициента. Например, dFdk_dj иногда очень
быстро уменьшается с увеличением расстояния между dAk и dAj,
Это может означать, что метод приближенного интегрирования,
например правило Симпсона, недостаточно точен, так как форма
Чо, jdFdh_dj недостаточно хорошо аппроксимирована отрезками
парабол во всей области значений функции. Осторожность должна
быть проявлена и при выборе схемы интегрирования, которая
может хорошо аппроксимировать общее поведение функций.
Пример 8.12 содержал только одно интегральное уравнение.
Случай, описанный уравнениями (8.49), представлен двумя инте-

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 299
тральными уравнениями. В этом случае поверхности 1 и 2
разделяются на элементы и уравнения для каждого узла сетки
записываются в конечно-разностной форме. В результате будет
получена система уравнений, соответствующих равно общему числу
выбранных узлов на обеих пластинах, которая может быть решена
относительно распределений q1 (х) и q2 (*/).
Другим способом численного решения двух интегральных
уравнений является метод итераций. Если заданы Тг (х) и Т2 (у), то
правые части уравнений известны как функции х и у. Начиная
с уравнения (8.49а), принимается первое приближение для
распределения q2 (г/). Затем проводится численное интегрирование
для различных значений х, чтобы получить qx (х) в узлах х.
Полученное распределение q± (х) подставляется в уравнение (8.496)
и определяется распределение q2 (у), которое используется затем
для вычисления нового значения qx (х), и процесс продолжается
до тех пор, пока qx (х) и q2 (у) не перестанут изменяться в процессе
итераций.
Приближение вырожденного ядра. Решение интегрального
уравнения, аналогичного уравнению (8.46а), можно иногда
упростить, если ядро уравнения имеет вырожденную, или
разделяющуюся, форму, т. е. может быть представлено в виде произведения
(или суммы произведений) функции только от г7- и функции только
от тк. Напомним, что, согласно (8.36), ядро равно К (г7-, rfe) =
= dFdk_dj (г/, Tk)/dAj. Для вырожденного ядра функция rfe
может быть выведена из-под знака интеграла, и интегрирование
тем самым упростится. Общая теория интегральных уравнений
с вырожденными ядрами представлена в работе [6]. В общем
случае в задачах по теплообмену излучением К не будет представлено
в вырожденной форме. Однако можно найти разделяющуюся
функцию, которая является хорошим приближением К и может
быть подставлена в интегральное уравнение для его упрощения.
Бакли [8, 9] показал, что особенно полезной формой для
вырожденного ядра является экспоненциальная функция или ряд
экспоненциальных функций. При помощи ядра такого типа можно
преобразовать интегральное уравнение в дифференциальное,
а иногда получить аналитическое решение. Это будет показано
в примере 8.13. Следует обратить внимание на одну
математическую особенность. В процессе преобразования интегрального
уравнения в дифференциальное требуется вычисление
производных от приближенного выражения для вырожденного ядра. Даже
если разделяющаяся функция является довольно хорошим
приближением точного выражения для ядра, то для производных
это приближение может быть плохим, особенно для производных
высоких порядков. Использование метода вырожденного ядра
будет доказано на следующем примере.

300
Глава 8
ПРИМЕР 8.13. Определить д0,2^2 из уравнения (8.46а) при
помощи приближенного выражения вырожденного ядра в виде
экспоненциальной функции [7].
Основное^ уравнение имеет вид
go, 2 (В
02
\ J^LKU-\\)d^ = \% (8.54а)
я=о
где
*(|т|-Е|) = 1-
И—£|3+4-1т1—Б!
(8.546)
[(Л-а2 + 1]3/2
Зависимость К (\ г\ — \ |) представлена на фиг. 8.11. Это ядро
достаточно хорошо аппроксимируется функцией е-21я—II. Когда
иг-
Фиг. 8.11. Аппроксимация ядра интегрального уравнения для цидиндриче-
ской замкнутой системы экспоненциальной функцией.
■Я=1-
<|я-Б1)8 + 4- 1л-Б1)
К=е
[(п-6)»+И
-2( |т]-| |)
8/2
-точное значение.
приближенное значение.
приближенное выражение для ядра подставляется в (8.54a)t
то часть функции, зависящая от |, может быть выведена из-под
знака интеграла, что дает
fro, 2 (£)
02
?-26 j ^ 2 (Л) ^dx\-e* | go. 2 (Л) g-at!dT|^l, (8.55)

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 301
После двукратного дифференцирования выражения (8.55) можно
избавиться от интегралов и получить следующее
дифференциальное уравнение:
*[go,l(E)/g2l _ /
Это уравнение имеет общее решение, получаемое двукратным
интегрированием
go'2@ = -2Ъ2+С£ + С2. (8.56а)
Для определения Сг и С2 необходимы два граничных условия.
Одно граничное условие находится из соображений симметрии
5| -u ПРИ S-y,
откуда Сх = 2Z. Для определения C2 граничное условие можно
получить из (8.55), вычисляя это выражение при | = 0 и £ = Z
с учетом, что q0i 2 (0) = д0> 2 (Z). Это дает следующее граничное
условие:
Яо, 2 (Л)
е- 2Л ЙП = e-2« f ?о. 2 (Л) e2T] dx\.
J ?2
J g2
0 0
Подставляя в него q0t 2/g2 == —2£2 + 2l\ + C2 и интегрируя,
получаем C2 = Z + 1. С использованием найденных значений Сх
и С2 получаем окончательное выражение для q0y 2/д2, которое
представляет собой уравнение параболы
go,» (В =,Z-i-i4-2(£Z-£2). (8.566)
g2
Граничные условия, необходимые для определения Сх и С2,
можно получить даже для асимметричного случая, вычисляя
интегральное уравнение н& обеих границах х = 0, х = Z. В этом
случае из (8.55) следует
г
j go, 2 (Л) g-2ndTla=sly
0
/
■е-21 j J2ili3Le2T,dr|=sl#
о
Затем д0, 2/д2 из (8.56а) подставляют в эти два граничных
условия. После выполнения интегрирования получают систему из
двух уравнений относительно Сх и С2, имеющих то же решение,
что и ранее. Преимущество ранее использованного условия
симметрии заключалось только в простоте алгебраических
преобразований.
Яо,
Яо
2(0)
g2
,sW

302
Глава 8
Приближенное решение е помощью вариационного метода.
Как показано в работе [6], интегральное уравнение вида
ь
Ф (g) = J А: (Е, -л) Ф (Л) dT| + G (£) (8.57)
а
можно решить вариационными методами при условии, что ядро
К (£, т[) должно быть симметричным, т. е. оно не изменяется
при обмене местами £ и т]. Ядро выражения (8.546) является
примером симметричного ядра, так как очевидно, что К (| т] — !■ |) =*
= *(16-Т1 |).
Вариационный метод предусматривает применение
вспомогательной функции, которая особым образом связана с интегральным
уравнением (8.57). Эта вспомогательная функция определяется
выражением
ъ ъ ъ
/» j jtfft, Т|)Ф(&)Ф(Л)<£*1- j[<P(l)]2^ + 2 J<p(£)G(g)dS.
а а а
(8.58)
Ее особенность состоит в том, что при отыскании правильного
решения относительно ср (|) функция / будет минимальной.
Для получения приближенного решения функцию ф (£)
представляют в виде полинома с неизвестными коэффициентами
Ф© = 7о + 71? + 72?2+...+УпГ. (8.59)
Этот полином подставляется в (8.58) и затем выполняется
интегрирование. Если К имеет настолько сложное алгебраическое
выражение, что невозможно выполнить интегрирование
аналитически, то этот метод непрактичен. После выполнения
интегрирования получается аналитическое выражение для' J в виде
функции от Yo» Yn Y2» • • •» Yn- Эти неизвестные коэффициенты
затем определяются дифференцированием / по каждому из
коэффициентов и приравниванием каждого результата нулю, т. е.
дЛду0 = 0, дЛдуг = О, . . ., дЛдуп = 0. В результате
получается система из п -f 1 уравнений с п + 1 неизвестными
коэффициентами. Путем дифференцирования / указанным способом
и приравнивания производных нулю определяются
коэффициенты, которые обеспечивают минимум /; следовательно, находится
наиболее точное решение интегрального уравнения в виде зависи-
п
мости ф (I) = 2 у£3.
3=0
Этот метод был применен для исследования теплообмена
излучением в цилиндрической трубе [7] и между параллельными
пластинами конечной ширины и бесконечной длины [12].

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 303
Приближенное решение путем разложения в ряд Тейлора.
Применение метода, основанного на разложении функции в ряд
Тейлора, для решения интегрального уравнения теплообмена
излучением показано в работах [13, 14]. Физическая идея, заложенная
в этом методе решения, состоит в том, что угловой коэффициент
во многих случаях достаточно быстро уменьшается с
увеличением расстояния между двумя элементами, обменивающимися
излучением. Это означает, что на теплообмен излучением данного
элемента поверхности могут в значительной степени повлиять
только потоки излучения, исходящие от других элементов
поверхности, расположенных в непосредственной близости от него.
В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение
типа (8.54). Функция К (| т] — | |) быстро уменьшается с
увеличением расстояния т] — £ (фиг. 8.11). Тогда, если предполагается,
что величина г\ будет оказывать основное влияние, когда она
находится в непосредственной близости от £, функция q0) 2 (r^Afe
разлагается в ряд Тейлора относительно !■:
Яо, 2 (Л) 9o12JSi_ _1_Лп t\ Г d (go> 2/g2) 1 _t_
^ 2! L SP J6+-'- • (8'b0>
Производные в разложении Тейлора вычисляются при значении
аргумента, равном £,и, следовательно, не содержат переменную т].
Это означает, что при подстановке (8.60) в (8.54а) производные
могут быть выведены из-под знака интеграла, что дает
i
Jo^ go. 2 (6) J .к: ci -n—S|) rf-n—
ti=0
—kl^ir-] 1 (*i-S)*(h-5i)*i-
л=о
z
-4f-|^[i2:t^] 5 (4-5)2^(h-5|)^-... = l. (8.61)
Затем выполняется интегрирование. Если оно не может быть
выполнено аналитически, то метод не будет иметь практического
применения, так как легче получить численное решение точного
интегрального уравнения, чем уравнения (8.61). Если интегралы
могут быть вычислены аналитически, уравнение (8.61) становится
дифференциальным относительно q0% 2 (|)/д2 и может быть решена
аналитически или численно, если заданы граничные условия.
Граничные условия можно вывести из физического описания
задачи, например симметрии или общего теплового баланса [14].

304
Глава 8
Этот метод, вероятно, не представляет интереса для замкнутых
систем, содержащих более одной иди двух поверхностей.
В последних четырех разделах рассматривались численные
и некоторые приближенные аналитические методы решения одного
или системы интегральных
^(сферическая
крышка,
закрывающая
отверстие
полости*)
-*i
Фиг. 8.12. Геометрическая схема для
иллюстрации теплообмена излучением
внутри сферической полости.
а — сферическая полость с диффузным
падающим излучением qe при переменной
температуре Tt поверхности; б — элементарные
площадки на сферической поверхности.
Угловой коэффициент между двумя
dAj и dAk (фиг. 8.12, б) равен
уравнений. Аналитические
методы, вероятно, только
тогда представляют интерес,
когда интегральные
уравнения относительно просты.
В большинстве
практических случаев необходимо
прибегать к численным
методам. Существует несколько
случаев, когда не
требуются приближенные или
численные решения, так как
интегральное уравнение
теплообмена излучением имеет
точное аналитическое
решение. Рассмотрим один из
таких случаев.
Точное решение
интегрального уравнения
теплообмена излучением внутри
сферической полости.
Излучение внутри сферической
полости (фиг. 8.12) было
исследовано Йенсеном [15],
обсуждено Якобом [3] и
позднее рассмотрено Спэрроу
и Джонсоном [16].
Интегральное уравнение в задаче
со сферой имеет
относительно простое решение в связи
с тем, что в этом случае
угловой коэффициент
излучения между элементами
внутри сферической полости
имеет особенно простой вид.
элементарными площадками
dFdJ-t
dj-dk=
cos Р j COS Pfc
Я52
dAh
(8.62)

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 305
Так как радиус сферы перпендикулярен к обеим площадкам
dAj и dAk, расстояние между ними равно
S = 2R cos р7- = 2R cos pft.
Тогда соотношение (8.62) принимает вид
Если вместо бесконечно малой площадки dAk элемент dAj
обменивается излучением с площадкой конечных размеров Ak^ то
(8.63) превращается в следующее уравнение:
*V*=ra \dAk=-Ew- (8.64)
Уравнение (8.64) не зависит от площади элемента dAj.
Следовательно, элемент dAj можно заменить площадкой конечных
размеров Aj, так что
^--ет—£' <8-65>
где As —площадь поверхности всей сферы.
Рассмотрим сферическую полость (фиг. 8.12, а). На
поверхности полости общей площадью Аг задано распределение
температуры Тг (dA±). Сферическая крышка, которой можно было бы
закрыть отверстие полости, имеет площадь А2. Предположим,
что из окружающей среды через отверстие полости падает
диффузный поток излучения с поверхностной плотностью qe. Поток qe
может изменяться в пределах А2. Требуется вычислить
интенсивность излучения V {dA*), исходящего через отверстие полости
от заданного элемента поверхности полости в заданном
направлении, как указано стрелкой на фиг. 8.12, а. Из фиг. 8.12, а
следует, что искомая интенсивность излучения будет
определяться потоком эффективного излучения элемента dA* и будет равна
<7o,i (dA*)/n, где коэффициент я появляется из соотношения
между плотностью потока излучения q0 и интенсивностью
излучения V. Плотность потока q0tl (dA*) можно найти при помощи
уравнения (8.43а):
qQ)! (dA*) — (1 — G) J q0f i (dAi) dFdi*-di —
Ai
-(l-€i) { qe(dA2)dFdi*-d2 = eioT\(dA*). (8.66)

зов
Глава 8
Подставляя коэффициенты F из (8.63) в это уравнение, получим
*>, i (dA*) - -i=#- j q0f t (dAfidAi =
j qe (dA2) dA2 + &оТ\ (dA*,), (8.67),
Ai
_ 1 —€i
4jlR2
где известные величины сгруппированы в правой части уравнения.
Решение уравнения (8.67) ищем в виде
q0,i(dA*) = f(dA*) + C,
где / —неизвестная функция положения площадки dA*, а С —
константа. Подстановка этого решения в (8.67) дает
/ (dA*) + С- 4=Йг J f (^) dA* ~
*Г CAi = 4яЖ" j fc (^) ^ + &аГ} (dA*).
Ai
1—6t ^л _ "I —€i
4лЯ2
A2
В этом уравнении только два члена зависят от положения
площадки на поверхности полости: первый и последний, так что
/ (dA*) = ^оТ* (dA*). Приравнивание остальных членов
позволяет тогда определить С. Это приводит к следующему выражению
для q0tl (dA*):
q0ti(dA*) = eioT\(dA*) +
4н|г [ j baTt (*Лй dAi+ J Яе №%) ^2]
A\ A2
. (8.68)
1 , (l-€iMi
4л/?2
Искомое решение будет иметь вид
i'(dA*)= fo,ifr*f) т
8.5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этой главе были представлены методы исследования
теплообмена излучением в замкнутых системах тел, имеющих диф-
фузно-серые поверхности конечных или бесконечно малых
размеров. На поверхностях могут быть заданы плотности
результирующих потоков энергии, подводимых к ним извне, или
температуры поверхностей, или некоторая комбинация этих условий.
Был описан ряд методоя решения интегральных уравнений,
которые следуют из общих формулировок задач теплообмена

Замкнутые системы с диффуано-серыми поверхностями 307
излучением. Показано, что большинство практических задач
становятся настолько сложными, что для решения основных
уравнений можно воспользоваться только численными методами.
В следующих главах рассмотренные методы будут
распространены на неидеальные поверхности, а также будут представлены
методы решения задач сложного теплообмена с учетом переноса
энергии конвекцией и теплопроводностью.
Литература
1. Мак-Адаме В. X., Теплопередача, Металлургиздат, 1961, стр. 87—175.
2. Поляк Г. Л., Исследование теплообмена излучением между диффузными
поверхностями, ЖТФ, 1, № 5, 6, 555—590 (1935).
3. Якоб М., Вопросы теплопередачи, ИЛ, М., 1960.
4. Gebhart В. Unified Treatment for Thermal Radiation Transfer Processes —
Gray, Diffuse Radiators and Absorbers, paper № 57-A-34, ASME,
December 1957.
5. Sparrow E. M., On the Calculation of Radiant Interchange between
Surfaces, in W. Ibele (ed.), «Modern Developments in Heat Transfer»,
Academic Press, Inc., New York, 1963, 181—212.
6. Hildebrand F. В., Methods of Applied Mathematics Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, N.J., 1952.
7. Usiskin С. M., Siegel R., Thermal Radiation from a Cylindrical Enclosure
with Specified Wall Heat,Flux, /. Heat. Transfer, 82, № 4, 369—374 (1960).
8. Buckley H., Radiation from the Interior of a Reflecting Cylinder, PhiL
Mag., 4, 753—762 (1927).
9. Buckley H., Radiation from Inside a Circular Cylinder, Phil. Mag., 6,
447—457 (1928).
10. Eckert E., Das Strahlungsverhaltnis von Flachen mit Einbuchtungen und
von zylindrischen Bohrungen, Arch. Wdrmewirtschaft, 16, № 5, 135—13&
(1935).
11. Sparrow E. M., Albers L. U., Apparent Emissivity and Heat Transfer in
a Long Cylindrical Hole, /. Heat Transfer, 82, № 3, 253—255 (I960).
12. Sparrow E. M., Application of Variational Methods to Radiation Heat-
transfer Calculations, /. Heat Transfer, 82, № 4, 375—380 (1960).
13. Krishnan K. S., Sundaram R., The Distribution of Temperature along
Electrically Heated Tubes and Coils, I. Theoretical, Proc. Roy. Soc.
(London), ser. A, 257, № 1290, 302—315 (1960).
14. Перлмуттер M., Зигель P., Влияние зеркально отражающей серой
поверхности на теплообмен излучением в трубе, Труды амер. общ-ва инж.-мех.у
сер. С, Теплопередача, 85, № 1, 55—62 (1963).
15. Jensen Н. Н., Some Notes on Heat Transfer by Radiation, Kgl. Danske
Videnskab. Selskab. Mat.-Fys. Medd., 24, № 8, 1—26 (1948).
16. Sparrow E. M., Jonsson V. K., Absorption and Emission Characteristics
of Diffuse Spherical Enclosures, NASA TN D-1289, 1962.
Задачи
1, Две бесконечные параллельные серые пластины разделены
тонким серым экраном. Чему равна температура экрана Ts?
Какова плотность потока результирующего излучения от
пластины 2 к пластине 1? Каково отношение потоков излу-

308
Глава 8
чения, передаваемых от пластины 2 к пластине 1, в
присутствии экрана и без него?
Ответы: 920 К; 6,94 кВт/м2; 0Д76.
Пластина 1
^ = 533 К
Ci=0,8
Л5"0'2' 7 Экран, ts= ?
(обе стороны} / 7
'Пластина 2
Т2=1088К
е2=0,6
2. Тепловой поток q0 передается через зазор между двумя серыми
параллельными пластинами, имеющими одинаковые степени
черноты 6 и находящиеся при температурах ^ и Г2 (6 не
зависит от температуры). Между пластинами размещен
один тонкий экран, также имеющий степень черноты £
на обеих сторонах. Показать, что поток результирующего
излучения равен q0l2. Показать, что добавление второго
экрана снижает результирующий поток излучения до д0/3.
Показать также, что для п экранов поток результирующего
излучения равен q0l{n + 1), если все поверхности имеют
одинаковые степени черноты.
3. Каково влияние одного тонкого экрана на поток
результирующего излучения между двумя концентрическими сферами?
Предполагаем, что поверхности сферы и экрана диффузно-
серые со степенями черноты, не зависящими от температуры.
Обе стороны экрана имеют одинаковую степень черноты £s,
а внутренняя и наружная сферы имеют соответственно
степень черноты £х и £2-
Ответ:
Qu с экраном
Qu без
экрана
(к)'6«+в«
•■"■«*-е+ЙПа-1)-
Экран
Наружная
сфера

Замкнутые системы с диффуано-серыми поверхностями 309
4» Двумерная диффузно-серая замкнутая система (бесконечно
протяженная в направлении, перпендикулярном чертежу),
состоит из поверхностей с заданной температурой. Вычислить
потоки результирующего излучения на один метр длины
каждой поверхности замкнутой системы, перпендикулярной
чертежу, Q±, Q2, Q3. (Для простоты не делить поверхности
на участки.)
Тг = 1088 К; 6i = 0,6;
Г2 = 533 К; £2 = 0,9;
Т3 = 700 К; 6з = 0,5.
Ответы: 13 450 Вт; —8470 Вт; —4980 Вт.
1,22 м
5. Тонкий серый диск, обе стороны которого имеют степень
черноты 0,8, находится на земной орбите. На него по нормали
падает солнечное излучение (излучением от поверхности
земли пренебрегаем). Какова равновесная температура диска?
Как показано на фигуре, рядом расположен тонкий экран,,,
обе стороны которого имеют степень черноты 0,1. Какова
температура диска? Каково влияние в обоих случаях
изменения степени черноты диска с 0,8 на 0,5? (Предполагаем, что
окружающая среда находится при температуре Те = 0. Для
простоты не делить поверхность на участки.)
Потом
солнечного
излучения
ПИ
-т-С^~__ ~~~^)]> Экран с = 0,1
0,305м
-*~С^ ~^>j> Диск е=0,8(<//и/ 0,5)
6. К нижнему основанию усеченного конуса подводится тепло,
как показано на фигуре. Верхнее основание поддерживается
при температуре 555 К, а боковая поверхность идеально
изолирована. Все поверхности диффузно-серые. Какова тем-

310
Глава 8
пература поверхности 1 в результате теплообмена излучением
внутри замкнутой системы? (Для простоты не делить
поверхности на участки.)
Ответ: 918 К,
£з;0,5
50,8 мм
д^бЗОв Вт/м2
€,= 0,6
^{идеально
изолирована
снаружи)
£2=0,8
Рассмотрим две параллельные пластины, имеющие конечные
размеры в одном направлении. Обе пластины снаружи
идеально изолированы. С помощью электрического нагревателя
к пластине 1 подводится постоянный тепловой поток qe.
Пластина 2 не имеет теплоподвода извне. Окружающая среда
находится при нулевой ,температуре,
а. Для случая, когда обе пластины черные, показать, что
интегральные уравнения для температур поверхностей
имеют вид
L/2
еь,1(^) = 1+4- J е^(у)1^
dY
-L/2
L/2
6ь,2(Л = 4- J ^w
[(У — Х)2 + 1]3'2 '
dX
-L/2
[(X —У)2 + 1]3/2
где X = х/а, Y = у/а, 9 = oT4qe, L = На.
б. Если обе пластины серые, показать, что
е1(Х) = ем(Х)+-Ц^-а

Замкнутые системы с диффузно-серыми поверхностями 311
Пластины,
бесконечно
длинные
в направлении,
перпендикулярном
плоскости
чертежа
\1
Изоляций
-А2,<2
/--At,«!
8. Стенка топки, внутри которой поддерживается температура
1390 К, имеет отверстие диаметром 50,8 мм. Стенка
изготовлена из огнеупорного кирпича толщиной 152,4 мм. Разделить
толщину стенки на две зоны равной длины и вычислить
излучение, исходящее из отверстия в помещение с температурой
294 К. (Теплопроводностью стенки пренебречь.)
9* В бруске из слегка окисленной меди, находящемся при
температуре 555 К в вакууме, имеется полусферическая полость
(фиг. 5.10, а). Температура окружающей среды 294 К.
Использовать метод интегрального уравнения для вычисления потерь
тепла из полости. {Указание: см. задачу 8.11.)
10. Полость, имеющая серую внутреннюю поверхность £,
равномерно обогревается электрическим нагревателем. В
результате устанавливается распределение температуры по
поверхности TWj 0 (S); температура окружающей среды Те = 0.
Если температура окружающей среды поднимается от 0 до
Те при том же подводимом тепловом потоке, каким будет
распределение температуры по поверхности полости?
Ответ: Tw (S) = Щ, о (S) + Г}]1/*.
11. Серая круглая труба, изолированная снаружи, имеет на
обоих концах температуру окружающей среды Те = 0. Был
вычислен тепловой поток q (х, Те = 0), при котором
температура стенки постоянна. Теперь допустим, что Те ф 0
и что температура стенки будет постоянной и равной Tw.
Показать, что тепловой поток q (я, Те ф 0) может быть под-

Глава 8
считан как тепловой поток q (х, Те
температуре стенки (Г^4 — Tf)1^.
0) t соответствующий
Те
Оба конца
открыты
Изоляция
t t
q(x)
t
Стержень диаметром 12,7 мм и длиной 127 мм находится при
температуре Тг = 1800 К и имеет интегральную степень
черноты £х=0,22. Стержень расположен внутри тонкостенного
концентрического цилиндра диаметром 50,8 мм и той же
длины. Степень черноты внутренней поверхности цилиндра
£2 = 0,50, а наружной £0 = 0,17. Все поверхности серые.
Система подвешена в большой вакуумной камере, где Too =
= 300 К. Какова температура Т2 цилиндрической оболочки?
(Для простоты не делить поверхность на участки. Указание:
F, "" * ~"~'
Ответ: 1048 К.
.,_! = 0,225; F2_2 = 0,617.)
50,8 мм
}
12,7мм-
127 мм
--
[
««—■
-''
ZZZZ
I
-М
1
1 и
Оба конца
~ открыты
г-<о--0,17
т„--зоок
е1 = 0,22 -
Tt = 1800 К
Z„-c2=0,50

9
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
В ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМАХ,
СОДЕРЖАЩИХ
ЗЕРКАЛЬНО ОТРАЖАЮЩИЕ
ПОВЕРХНОСТИ
9.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 8 все рассматриваемые поверхности предполагались
диффузно излучающими и диффузно отражающими. В этой главе
характеристики некоторых поверхностей будут изменены. Все
поверхности по-прежнему предполагаются диффузно
излучающими. Некоторые поверхности замкнутой системы будут
предполагаться диффузно отражающими, как и ранее; остальные будут
предполагаться зеркальными, т. е. будут отражать подобно
зеркалу. Из гл. 5 следует, что важным параметром, характеризующим
шероховатость, является отношение среднеквадратичного
значения высоты шероховатости к длине волны излучения (оптическая
шероховатость). При больших длинах волн поверхность
приближается к оптически гладкой, а отражение излучения
приближается к зеркальному. Таким образом, хотя поверхность может и не
казаться для глаза зеркальной (т. е. при коротких волнах
видимого спектра), она может быть зеркальной при более длинных
волнах в инфракрасной области.
При диффузном отражении пучок направленного падающего
излучения в момент отражения прекращает свое существование:
отраженное излучение имеет то ще пространственное
распределение, как если бы оно было поглощено, а затем диффузно испущено.
При зеркальном отражении угол отражения относительно нормали
к поверхности равен по величине углу падения. Следовательно,
в отличие от диффузного отражения пучок падающего излучения
не прекращает своего существования при зеркальном отражении.
Поэтому, когда имеют дело с зеркальными поверхностями,
необходимо учитывать траектории, по которым распространяется
отраженное излучение между поверхностями.
Отражательные способности зеркальных поверхностей
предполагаются в этой главе независящими от угла падения излучения,
т. е. отражается одна и та же часть падающего излучения
независимо от у л а падения. Кроме того, все поверхности
предполагаются серыми, т. е. их свойства не зависят от длины волны.

314
Глава 9
9.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А
ср
D
d
F
L
N ■
Q
ч-
т
V
Х,х
а
е
р
9м
G
X
— площадь;
— удельная теплоемкость;
— диаметр трубы;
—- число диффузных поверхностей;
— угловой коэффициент;
— длина поверхности замкнутой системы;
— общее число поверхностей;
— поток энергии;
— плотность потока энергии;
— абсолютная температура;
— объем;
— координаты;
— поглощательная способность;
— степень черноты;
— отражательная способность;
— плотность вещества;
— постоянная Стефана — Больцмана;
— время.
Подстрочные индексы
е — испускаемое излучение;
F — конечное значение;
/ — начальное значение;
i — падающее излучение;
j, к — у'-я или к-я поверхность;
о — эффективное излучение;
s — зеркальное отражение;
1,2 — поверхность 1 или 2.
Надстрочные индексы
S — интегральный зеркальный угловой коэффициент излучения,
учитывающий все траектории зеркальных отражений, а
также непосредственное излучение;
— двунаправленная величина;
* — другой участок на той же поверхности.

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 315
9.3. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ ПАРАМИ
ЗЕРКАЛЬНО ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
9.3.1. Некоторые простые случаи
В качестве введения рассмотрим теплообмен излучением между
поверхностями простых геометрических форм: бесконечные
параллельные пластины, концентрические цилиндры, концентрические
сферы (фиг. 9.1). Теплообмен излучением между зеркальными
Фиг. 9.4. Теплообмен излучением между зеркальными поверхностями
простых геометрических форм.
а"— бесконечные параллельные пластины; б — зазор между бесконечно длинными
концентрическими цилиндрами; в — зазор между концентрическими сферами; г —
траектории лучей в зазоре между зеркальными концентрическими цилиндрами или сферами.
поверхностями в этих случаях достаточно хорошо исследован
Христиансеном [1] и Саундерсом [2] много лет назад. Так как
процесс теплообмена излучением в этих случаях легко понять,
подробно проанализируем его.
Рассмотрим теплообмен излучением между двумя
бесконечными серыми параллельными зеркальными пластинами (фиг. 9.1, а).
Все испускаемое и отражаемое излучение, исходящее от
поверхности 1, будет непосредственно достигать поверхности 2;
аналогично все испускаемое и отражаемое излучение, исходящее от

316
Глава 9
поверхности 2, будет непосредственно достигать поверхности 1
независимо от того, являются эти поверхности зеркальными или
диффузными. Следовательно, уравнение (8.10) применимо также
и для зеркального отражения, а результирующий тепловой поток
между поверхностями 1 и 2 равен
О_- п - А&{П-Т\) ,qn
<л - <л - 1/€i (Г1)+1/6я (Tj_i w-v
Теперь рассмотрим теплообмен излучением между
концентрическими цилиндрами или сферами (фиг. 9.1, б, в). Типичные
траектории лучей для зеркально отражающих поверхностей
показаны на фиг. 9.1, г. Как показано траекторией а, все
излучение, испускаемое поверхностью 1, будет непосредственно
достигать поверхности 2. Часть этого излучения будет отражаться
от поверхности 2 обратно на поверхность 1 и снова отражаться
с поверхности 1 на поверхность 2. Это последовательное
отражение поверхностями будет продолжаться до полного поглощения
излучения, которое частично поглощается при каждом
взаимодействии с поверхностью. Из соображений симметрии для данной
геометрии поверхностей и равенства углов падения и отражения
в случае зеркального отражения следует, что ни один из лучей,
следующих по траектории а, не может быть отражен
непосредственно из точки на поверхности 2 на другой элемент
поверхности 2. Таким образом, процесс теплообмена излучением для
излучения, испускаемого поверхностью 1, является таким, как если бы
две концентрические поверхности были бесконечно большими
параллельными пластинами. Однако излучение, испускаемое
наружной поверхностью 2, может следовать по траекториям двух
типов, Ъ или с (фиг. 9.1, г). Часть лучей F2-2 будет следовать по
траекториям типа с. Согласно геометрии зеркальных отражений,
эти лучи будут всегда отражаться от поверхности 2, никогда
не попадая на поверхность 1. Часть лучей F2_x будет многократно
отражаться между поверхностями по траектории Ъ таким же
образом, как и излучение поверхности 1. Поток излучения,
следующего по траектории этого типа, равен
(Здесь использовался угловой коэффициент F2_x = АХ1А2.) Таким
образом, часть излучения, испускаемого поверхностью 2, которая
достигает поверхности 1, зависит от Аг и не зависит от А2.
Следовательно, для зеркальных поверхностей теплообмен происходит
таким образом, как если бы обе поверхности были частями
бесконечных параллельных пластин, имеющими площадь поверхности
внутреннего тела. Результирующий тепловой поток от
поверхности 1 к поверхности 2 описывается уравнением (9.1).

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 317
ПРИМЕР 9.1. Сферический вакуумированный сосуд состоит
из двух покрытых серебром концентрических стеклянных сфер,
причем диаметр внутренней сферы 152,4 мм, а вакуумированный
зазор между сферами равен 6,35 мм. Степень черноты серебряного
покрытия 0,02. Если в сосуде находится горячий кофе при
температуре 93° С (366 К), а температура окружающей сферы равна
21° С (294 К), то какова утечка тепла из сосуда вследствие
излучения?
Уравнение (9.1) применимо для концентрических зеркальных
сфер. При небольших потоках тепла, ожидаемых в настоящем
случае, температуры поверхностей могут быть приняты близкими
к 366 и 294 К. Тогда
Vl" 1/0,02 + 1/0,02-1 -U,443 ЬТ
Если вместо зеркальных обе поверхности были бы диффузными,
следовало бы применять уравнение (8.13). Тогда знаменатель
выражения для определения Q1 становится равным
i+£(i-i)=w+Hir)2(w-'H'.8
вместо 99, как в случае зеркальных поверхностей. Для
диффузных поверхностей потери тепла были бы равны 0,482 Вт.
ПРИМЕР 9.2. За какое время в предыдущем примере кофе
остынет от 93° С (366 К) до 49° С (322 К), если потери тепла
происходят только за счет излучения?
Теплосодержание кофе равно Рд*Уср7\. Если предположить,
что кофе всегда достаточно хорошо перемешан и имеет
постоянную температуру, то поток тепла, отбираемый вследствие
охлаждения, будет равен потоку излучения в каждый момент времени.
Потеря энергии излучением в любой момент времени т,
определяемая уравнением (9.1), связана с потерей внутренней энергии кофе
соотношением
-РмУс
р d% l/€i4-l/62—1
Было принято, что поверхность 1 находится при температуре кофе,
а поверхность 2 — при температуре окружающей среды. Тогда
— f dTt - AJ° [ йт
) П-Т\ ~~PmV«p(1/€i + 1/€*-1)J '
т±=тт * о
где Тг и TF — начальная и конечная температуры кофе; £х и £2
предполагаются независящими от температуры. Выполняя инте-

318
Глава 9
грирование, получаем
(-*гГ1п
Ti-T2
уз-arctg^)
Atax
2П
pMVcp(i/ti + !/€« —1)
Тогда время охлаждения от температуры Tt до температуры Тр
равно
т =
Pm^p(1/€i+ !/€«-!) г 1
Aia
«1
In
(Гк+ГаХ^-Га)
+
(Г1 + Г2)(7'1-Г2)
+4r(arct^-arct^)]
Подставляя значения рм=1000 кг/м3; У = -тгл; (0,1524) м3;
ср = 4187 Дж/(кг-град); 6 = 62 = 0,02;
i4i = Ji (0,1524) м2; а = 5,73.10~8 Вт/(м2.К4);
Г2 = 295 К; Т7 = 366 К и 7^ = 322 К,
получаем время охлаждения т =1,268-10е с = 380 ч.
Таблица 9.1
Теплообмен излучением между некоторыми поверхностями
простых геометрических форм
Геометрия
Конфигурация
Тип поверхности
Поток результирующего
излучения Qi
Бесконечные)

параллельные
пластины
Бесконечные]
длинные

концентрические
цилиндры

Концентрические
сферы
Ai или А2 — либо
зеркальные, либо
диффузные
А{ — зеркальная
или диффузная;
Л2 —диффузная
Л4 — зеркальная
или диффузная;
А2 — зеркальная
А^ — зеркальная
или диффузная;
А 2—диффузная
Л4 — зеркальная
или диффузная;
А2 — зеркальная
А{с(П-Ц)
1/61 + 1/62-1
Аю(Ц-Ц)
i/6i+(^iM2)(i/e2-i)
I/61 + I/62-I
Аха(Т\-Ц)
l/Ei + ^iM2)(l/62-l)
Аю(Ц-Ц)
1/61 + 1/62-1

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 319
Кофе будет оставаться горячим в течение 16 суток, если
тепловые потери происходят только вследствие излучения. Потери
теплопроводностью через горловину обычно значительно ускоряют
охлаждение.
Уравнение (9.1) используется для бесконечных параллельных
пластин, бесконечно протяженных концентрических цилиндров
и концентрических сфер, когда обе поверхности зеркальные. Для
бесконечных параллельных пластин оно также применимо, когда
обе поверхности диффузные или когда одна поверхность диффузная,
а другая зеркальная. Для цилиндров и сфер его применение
ограничено случаями, когда поверхность внутреннего тела
(поверхность 1) диффузная, а поверхность наружного тела
(поверхность 2) зеркальная. Это объясняется тем, что все излучение,
испускаемое поверхностью 1, будет непосредственно попадать на
поверхность 2 независимо от того, является поверхность 1
зеркальной или диффузной. Когда поверхность 2 диффузная,
применяется уравнение (8:13) независимо от того, является
поверхность 1 зеркальной или диффузной. Эти соотношения сведены
в табл. 9.1.
9.3.2. Теплообмен излучением
между зеркальными поверхностями
Траектория луча и построение изображений. Если в замкнутых
системах происходят зеркальные отражения излучения, то
можно применять хорошо известные законы геометрической оптики
для упрощения как общих представлений, так и математического
аппарата, описывающего процесс теплообмена излучением.
Основные соображения по данному вопросу кратко изложены в этом
разделе. Более развернутое изложение теории можно найти
в работах [3, 4].
Падающий луч, попадая на зеркальную поверхность,
отражается симметрично относительно нормали к поверхности таким
образом, что угол отражения равен по величине углу падения. Этот
факт используется для того, чтобы сформулировать понятие
изображения. Изображение — это просто кажущаяся точка
оригинала в направлении наблюдаемого луча. Например, на фиг. 9.2, а
наблюдатель видит объект в зеркале. По отношению к
наблюдателю объект кажется расположенным за зеркалом в положении,
показанном пунктиром. Этот кажущийся объект называется
изображением.
Примеры построения изображений в случаях, в которых
происходит несколько отражений, показаны на фиг. 9.2, б.
До сих пор предполагалось, что зеркальные поверхности в
системе меняют только направление лучей, испускаемых источником.

320
Глава 9
Pi'fV
Зеркальная
поверхность
Изображение
'Объект
Зеркальная
поверхность 1 Изо6ра>1<е 2 Изодражение 3
Зеркальная
поверхность 2
/'Изображение
r~- Q объекта
Объект
г Зеркальная
поверхность 3
Излучение
Лида*™ omno3SZem
излучение повРо&пптГ, 9 огп поверхности 3
от поверхности \ от поверхности 1 кна6л£датет
Ш7
Изображение Изображение
поверхности Z поверхности 3
-^--^
Фиг. 9.2. Траектория луча и изображения, образованные при зеркальных
отражениях.
а — изображение, образованное при однократном отражении; б — изображение,
образованное при многократных отражениях; в — потоки собственного излучения от
зеркальных поверхностей.
При формулировке задач по теплообмену излучением зеркальные
поверхности в общем случае будут иметь ненулевую
отражательную способность, т. е. они будут ослаблять энергию лучей,
испускаемых объектом.
Зеркальные поверхности могут не только отражать, но и
испускать излучение. Это излучение удобнее анализировать с помо-

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 321
щью системы изображений, а не системы реальных зеркальных
поверхностей. При использовании системы изображений все
излучение распространяется вдоль прямых линий, и не нужно
рассматривать изменение направления при каждом отражении от
поверхности. Ослабление на каждой поверхности учитывается
умножением интенсивности луча на отражателную способность
зеркальной поверхности при каждом отражении. Излучение трех
поверхностей показано на фиг. 9.2, в. Например, излучение,
испускаемое поверхностью 3, считается приходящим к
наблюдателю непосредственно от изображения 3 с учетом ослабления при
отражениях на поверхностях 2 и 1, так как оно проходит через
эти поверхности или их изображения.
В некоторых геометрических конфигурациях луч испытывает
многократные отражения от различных поверхностей, прежде
чем достигнет наблюдателя. Примером может служить система
зеркал в парикмахерской, расположенных на противоположных
стенах. Если эти зеркала параллельны, то луч может отражаться
бесконечное число раз и человек, которого стригут, может видеть
бесконечное число изображений самого себя (если зеркала
совершенны, т. е. если ps = 1).
Теплообмен между простыми зеркальными поверхностями.
В качестве введения в теплообмен излучением в замкнутой
системе поверхностей, часть из которых являются зеркальными,
рассмотрим ряд примеров плоских поверхностей, в которых будут
последовательно показаны новые особенности зеркальных
поверхностей.
Собственное излучение от всех поверхностей предполагается
диффузным. Это достаточно справедливое предположение для
большинства случаев, что может быть показано при помощи
электромагнитной теории излучения зеркальных поверхностей
(фиг. 4.5).
На фиг. 9.3, а показана диффузно отражающая плоскость Аъ
расположенная против зеркально отражающей плоскости А2.
Поверхность 1 не может видеть себя; следовательно, обычный
угловой коэффициент между любыми элементарными площадками
поверхности Ах равен нулю. Однако если поверхность А2 —
зеркальная, то Аг может видеть свое изображение, и существует
траектория распространения излучения от элементарной
площадки dA1 к dA*, полученная после отражения от зеркальной
поверхности. Из построения хода лучей на фиг, 9.3, а видно, что
излучение, попадающее на dA* с dAx, кажется исходящим от изобрат
жения бМ1(2). Таким образом, угловой коэффициент между dAx
и dA* одного отражения равен d^dic^-di*- Подстрочное
обозначение относится к угловому коэффициенту между изображением
dAi (как его видно на А2) и dA*.

322
Глава 9
Зеркальное и диффузное отражения имеют сходство. Когда обе
поверхности Аг и А2 (фиг. 9.3, а) — диффузные отражатели,
излучение от dAx достигает dA* после диффузного отражения от А2.
Так как энергия отраженного излучения диффузно распределена,
А2, зеркальная
диффузная-
1|(Л, изображение At
1К)при отражении на Аг
dA
\
1(2)
Ч
Аг, зеркальная
Кажущийся источник
луча, падающего
на dA'J
Alt диффузная*
А2, зеркальная
диффузнс
A2, зеркальная
А1э диффузная^-^
Фиг. 9.3. Излучение диффузной поверхности на саму себя с помощью
зеркальной поверхности.
а — излучение между двумя элементарными площадками при одном промежуточном
зеркальном отражении; б — излучение от элементарной площадки к площадке конечных
размеров при одном промежуточном зеркальном отражении; в — излучение от площадки
конечного размера на эту же площадку при одном зеркальном отражении; г — излучение
от dAu падающее только на часть А вследствие зеркального отражения от А2.
она может рассматриваться совместно с энергией собственного
излучения А 2,г которая также является диффузной, и их сумма
будет равна потоку эффективного излучения q0^ о чем говорилось
в гл. 8. Если, однако, теплообмен между dA1 и dA* вследствие
диффузного отражения от А2 исследуется отдельно от переноса
энергии собственного излучения, то он описывается коэффициентом
Fdi-2 и затем dF2_dl* (не следует забывать об ограничениях,
касающихся однородности потока, которые вводятся при использова-

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 323
нии угловых коэффициентов). Часть потока собственного
излучения d2Q€tdl_di*(2) элемента dAx, которая попадает на dA* после
однократного отражения от А2, равна для случаев диффузной
и зеркальной поверхностей А2 соответственно
d2Qe ,di-di*(2) = (dA^oT^ Fdi„2p2dF2-di*,
d2Qet dl-dl*(2) = {dAfaoT^ 9s, 2 ^di(2)-dl*-
Это означает, что при р2 = pS| 2 разница в этих двух выражениях
для теплообмена заключена в угловых коэффициентах
отраженного излучения. Различие в угловых коэффициентах связано с
геометрической природой рассматриваемого отражения.
На фиг. 9.3, б показан перенос энергии собственного
излучения dAu которое попадает на всю поверхность Ах после одного
зеркального отражения. Отраженное излучение кажется
исходящим от диффузно излучающего изображения dAU2). Таким
образом, угловой коэффициент между dAx и Аг равен Fdl{2)_x.
На фиг. 9.3, в показано несколько типичных траекторий лучейу
исходящих от поверхности Аъ которые отражаются обратно на Аг.
Эти лучи кажутся исходящими от изображения А1(2). Угловой
коэффициент излучения поверхности Аг на саму себя при
однократном зеркальном отражении равен FU2)-V В этом случае все
изображение Аи2) видно на А2 из любой точки на Аг. В некоторых
случаях это утверждение будет неверным. Такой пример показан
на фиг. 9.3, г. Излучение, исходящее от dAly распространяется
в пределах заштрихованного ограниченного телесного угла и
затем отражается обратно на Ах. Угловой коэффициент между dA%
и Аг остается равным Fdi(2>-i» но этот коэффициент относится
только к части поверхности Аг, на которую падают отраженные
лучи. Коэффициент ^1<а>-1 определяет видимость поверхности Аг
с элементарной площадки cL41(2), причем видна может быть
только часть поверхности. Этот коэффициент будет иметь разное
значение в зависимости от положения dA1 на Аг. Тот факт, что
поле зрения между dAt и Аг изменяется с положением dAx на А19
означает, что излучение, исходящее от А1У которое отражается
обратно на Л1э будет иметь неравномерное распределение по
поверхности Ах. ЕГри отражении части этого излучения от Аг
образуется неравномерный поток излучения q0 от Аг, что
нарушает предположение о равномерности распределения q0 на каждой
поверхности, принятое в теории теплообмена в замкнутой системе
поверхностей. Если изображение образуется на части
поверхности, то должна быть проявлена осторожность при делении
поверхности замкнутой системы на малые участки, обеспечивающие
достаточную точность решения.
Теперь рассмотрим геометрическую систему, в которой в
теплообмене излучением участвует несколько зеркальных поверхно-

324
Глава 9
*2(l-2)
А2, зеркальная
Аь
зеркальная —f
ft 2(1-2)
зеркальная№^^
4(2-1-2)
J /
/
/
/ A2ll-2-l-2)
Телесный угол
не проходит через А2
Фиг. 9.4. Теплообмен излучением между двумя зеркально отражающими
поверхностями.
а — поток собственного излучения А2, непосредственно падающий на &АХ\ б — поток
собственного излучения А2, падающий на dAx после двух отражений; в — поток
собственного излучения А2, не попадающий на dAt после четырех отражений.
стей. Это приведет к многократным отражениям и многочисленным
траекториям, по которым излучение распространяется между
поверхностями. При каждом отражении излучение видоизменяется
отражающей поверхностью. Вначале рассмотрим только геометрию
системы; коэффициенты ps будут включены в рассмотрение
позднее, когда будут сформулированы условия теплового баланса.
На фиг. 9.4 показаны две зеркальные поверхности. Излучение
испускается поверхностью А2 и падает на поверхность Аг. Часть

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 325
излучения, падающая на dAx, определяется угловым
коэффициентом dF2_dl (фиг. 9.4, а). Часть излучения, попавшего на А17
отражается обратно на А2 и затем еще раз на Аг. Следовательно,
А 2 «видит» dAx не только непосредственно, но и благодаря
изображению, образованному двумя отражениями. Это изображение
построено на фиг. 9.4, б. Сначала строится отраженное
изображение А1(2) объекта Аъ отраженного в А2. Затем А2 отражается
в этом изображении и получается Аш_2). Обозначение А2(1_2>
понимается как изображение поверхности 2, образованное
отражениями на поверхностях 1 и 2. Из рассмотрения траектории лучей
и заштрихованной области на фиг. 9.4, б следует, что телесный
угол, в пределах которого излучение, исходящее от А2, падает на
йАг после двух отражений, есть тот же угол, под которым dAt
видит изображение А2 (1_2). Таким образом, угловой коэффициент
в случае двух отражений в системе равен dF2a__2)_dl. Это
обозначение расшифровывается как угловой коэффициент между
изображением поверхности 2, образованным отражениями в
поверхностях 1 и 2, и элементом поверхности dl.
Рассмотрим возможность дополнительных изображений.
Угловой коэффициент всегда определяется путем обзора dA1 с
соответствующего отраженного изображения А2 через поверхность Az
и все промежуточные изображения. В случае, представленном на
фиг. 9.4, <?, изображение поверхности А2 после четырех
отражений А 2 (i-2-i-2) не может «видеть» dAx через А2. Следовательно, не
существует луча, исходящего от А2, который попадает на dAx
после четырех отражений, и не требуется рассматривать
дополнительные изображения.
ПРИМЕР 9.3. Бесконечно длинная канавка (фиг. 9.5) имеет
зеркально отражающие стороны, которые диффузно излучают.
Какая доля энергии излучения, испускаемого поверхностью А27
попадает на элемент черной поверхности dA3? Выразить
результат через диффузные угловые коэффициенты излучения.
Рассмотрим сначала излучение, падающее на dA3 с А2 как
непосредственно, так и вследствие четного числа отражений.
Доля энергии испускаемого излучения, которая попадает на dA$
непосредственно с А2, равна dF2_d3 (фиг. 9.5, а). Другая часть
излучения будет испускаться поверхностью А 2 на поверхность А1г
отражаться обратно на А2 и затем на dA3. Из диаграммы
изображений (фиг. 9.5, б) понятно, что только часть отраженного
изображения А2а_2) может быть видна dA3 через А2. Доля энергии
испускаемого излучения, попадающая на dA3 таким путем, равна
угловому коэффициенту, вычисленному только по части
поверхности -42U-2)» видимой с dA3, и умноженному на отражательные
способности двух зеркальных поверхностей pSf г pSt 2 dF2{1_2)_d3.
Это не обычный угловой коэффициент, так как он учитывает поле

3 26
Глава 9
А,, зеркальный
отражатель,
диффузный
излучатель
>Ч, зеркальный отражатель,
*■■-■•-—ми излучатель
2(1-2)
А2(1-2)
А1(2-1-2)
А 2(1-2-1)
А2(1-2-1-2)
А1(2-1-2-1)
Фиг. 9.5. Излучение одной стороны зеркально отражающей канавки на
элементарную полосу вне канавки.
а -— схема непосредственного обмена излучением между А2 и dAs\ б — схема обмена
излучением, когда излучение от А2 попадает на dA3 после одного промежуточного
отражения от каждой поверхности Ах и А2; в — схема обмена излучением, когда излучение
от А2 попадает на dA3 после двух промежуточных отражений от каждой поверхности
At и А2; г — схема обмена излучением, когда излучение от А2 попадает на dA3 после
нечетного числа отражений.
зрения в системе изображений. Аналогично находится вклад
в перенос излучения после двух отражений от Аг и А2. Этот вклад
показан заштрихованным телесным углом на фиг. 9.5, в. Третье
изображение А2, А
2(1-2-1-2-1-2)»
не может быть «видимо»
элементом dA3 через Л2, и следовательно, оно не дает вклада в перенос

Замкнутые системы,^ содержащие зеркально отражающие поверхности 327
излучения. Кроме того, третье изображение А2 не может
«видеть» Аг через 42, так что не будет дополнительных изображений
поверхности А2. Доля энергии излучения, испускаемого А2,
падающая на dA3 как непосредственно, так и благодаря
изображениям А 2, полученным вследствие четного числа отражений, равна
^2-d3 + Р«,1 Рв, 2^2<l-2)-d3 + Ps,i Ps, 2 ^2<l-2-l-2)-d3»
Теперь рассмотрим ту долю энергии, которая попадает на
2 после нечетного числа отражений. Используя фиг. 9.5, г,
путем рассуждений, аналогичных приведенным для случая четного
числа отражений, получаем
Ps,1^2ll)-d3 + Ps.l Р«, 2 ^2<l-2-l>-d3 + Ps, lPs, 2 ^2(1-2-1-2-1)-d3'
Первые два угловых коэффициента F вычисляются только по
части изображений, которые могут быть видны элементу dA3.
Доля энергии излучения, испускаемого поверхностью Л2,
падающая на dA3 непосредственно и после всех отражений от ij
и А 2, тогда равна
^ gy~4^ = dF2-ds + Ps, i dF2(i)-d3 +
+ Ps, lPs, 2 d^2(l-2)-d3 +Ps, ips> 2 ^2(1-2-l)-d3 +
-f Ps, lPs, 2d^2(l-2-l-2)-d3-}-Ps, lPl, 2^2(l-2-l-2-i)-d3.
Дополнительную информацию по поглощению и испусканию
излучения зеркальными канавками можно найти в работе [5].
Обозначения, принятые для угловых коэффициентов
зеркальных поверхностей, позволяют проверить форму уравнений
теплообмена излучением между зеркальными поверхностями. Числа,
стоящие в круглых скобках подстрочных индексов угловых
коэффициентов, обозначают последовательность отражений от
зеркальных поверхностей. Для учета ослабления энергии, вызванного
поглощением поверхностей, угловой коэффициент должен быть
умножен на отражательную способность каждой из этих зеркальных
поверхностей. Например, коэффициент Fa(b-c-d)-e Должен быть
умножен на рв) в ps> с ps, d- Анализ отдельных членов в
окончательном уравнении примера 9.3 показывает, что это действительно так.
9.3.3. Соотношение взаимности для
угловых коэффициентов зеркальных поверхностей
Соотношения взаимности, аналогичные соответствующим
соотношениям для диффузных поверхностей, применимы для угловых
коэффициентов зеркальных поверхностей при определенных
условиях. Рассмотрим изотермическую замкнутую систему, состоящую

328 Глава 9
из трех поверхностей при температуре Т. Две из них, 1 и 2,—
черные, а поверхность 3 — зеркальная с отражательной
способностью pSt з (фиг. 9.6, а). Поток собственного излучения,
испускаемого черной поверхностью 1, который падает на черную
поверхность 2. непосредственно и после отражения от зеркальной
поверхности 3, записывается следующим образом:
(?1.2-аГ4 (AiFi^ + Аф,, з^кз)-2). (9.2)
Поток излучения, испускаемого поверхностью 2, падающий на
| АК2)
в г
Фиг. 9.6. Соотношения взаимности для угловых коэффициентов
зеркальных поверхностей.
о — замкнутая система из трех поверхностей с одной зеркально отражающей
поверхностью; б — система изображений поверхностей 1 и 2; в — теплообмен в системе
поверхностей, соответствующей системе изображений б; г — замкнутая система с двумя
зеркальными и двумя черными поверхностями.
поверхность 1 непосредственно и после зеркального отражения от
поверхности 3, равен
Q2_, = стГ (AtFi-i + A2ps, 3/^(3)-1). (9.3)
Замечая, что для изотермической замкнутой системы Q2-i = Q1-2
и A1F1_2 = А 2^2-и получаем в результате соотношение
взаимности для случая одной зеркальной поверхности в замкнутой

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 329
системе
^i^iiw-2 = А 2^2(3) -1- (9.4)
Это соотношение можно такще вывести из соображений симметрии
относительно Аъ (фиг. 9.6, а) и соотношений взаимности для
диффузных угловых коэффициентов.
Существует второй тип соотношения взаимности для угловых
коэффициентов зеркальных поверхностей. Чтобы вывести эта
соотношение, рассмотрим теплообмен между двумя поверхностями
Аг и А2, находящимися внутри изотермической замкнутой
системы. Если обе поверхности зеркальны, то система изображений^
показанная на фиг. 9.6, б, может быть построена для случая
излучения поверхности 2 на поверхность 1 вследствие отражения
в 1 и 2. Для любой такой системы может быть построена
аналогичная система, в которой пластина с отверстием ставится на пути
лучей (фиг. 9.6, в) для ограничения их распространения.
Отверстие позволяет проходить только лучам, распространяющимся
через систему изображений, в которой Аг может «видеть» по
крайней мере часть А2а_2) через А2 и АМ).
Поток собственного излучения, испускаемого зеркальной
поверхностью А 2 в аналогичной системе и поглощаемого Аг, равен
(?2(1-2)-1 =Qe. 2Ps, lPs, 2^2(1 -2)- l»i =
= 42(1- 2)€2<^4рв> ips, 2^2(1-2)-l£l. (9.5}
Отражательные способности учитывают уменьшение энергии
вследствие двух промежуточных зеркальных отражений. ^2(i-2)-i —
диффузный угловой коэффициент, вычисленный для траекторий,
проходящих через отверстие (пример 9.4). Но эти траектории
в точности соответствуют траекториям, проходящим через
рассматриваемую систему изображений, так что этот коэффициент также
является зеркальным угловым коэффициентом. Аналогично поток
излучения в обратном направлении равен
<?l-2(l-2) = ^l€l^Vst2pS,l£l-2(l-2)£2. (9.6)
Приравнивание потоков излучения для обоих направлений между
Аг и -4 2а-2) Для изотермической замкнутой системы дает следующее
соотношение взаимности
^1^1-2(1-2)— ^2 (1-2) ^2<1-2)-1 = ^2^2<1-2)-1* W-'}
Если обобщить это выражение для многократных промежуточных
отражений от поверхностей А, Б, С, D и т. д., то соотношение (9.7)
можно будет записать в виде
^1^1-2(А-Б-С-Х>...) = ^2^2<A-B-C-D...)-1. (9.8)
При вычислении угловых коэффициентов для двух площадок
конечных размеров можно использовать метод натянутых нитей

330 Глава 9
(разд. 7.5.4). Например, на фиг. 9.6, б поверхности А2 и Аг (2)
рассматриваются как отверстия на пути между Аг и А2 (1_2).
Угловой коэффициент Рг^2 (1_2) находится с помощью
пересекающихся и непересекающихся натянутых нитей, проходящих через
эти отверстия.
ПРИМЕР 9.4. Черная поверхность обращена к меньшей
параллельной зеркальной поверхности А2 (фиг. 9.7). Вычислить
угловой коэффициент F1-1 (2) между Ах и изображением Аг,
образованным при однократном зеркальном отражении от А2. Поверхности
бесконечно протяженны в направлении нормали к плоскости
чертежа.
Угловой коэффициент вычисляется из интегрального
соотношения ^1-1(2) = (l/^i) \ F<ii-i (2) dA^ Рассмотрим элементар-
J Al
ную площадку д,Аг с координатой х на поверхности Аг. Угловой
коэффициент между dAx и частью Л1(2), видимой через А2, равен
(см. пример 7.4)
Fdi -1(2) = у (sin q/ — sin ф") =
1 Г # + а х — а "1
~~~2~ L У(д:4-а)2+Ь2 V(* — я)2 + Ь2 J "
Это выражение действительно при х = Z — 2а (фиг. 9.7, б). Для
больших значений х геометрическая схема показана на фиг. 9.7, <?.
В этом случае
*di-i<2) =»-«- (sin ф' — sin ф") =
■-к-
х + 1
У (*+*)«+46* У(дг —а)2 + г
Требуемый угловой коэффициент тогда равен
о
г-2о
*/* ( г , х+а т х-а ~\л<г.+
I I 2 J L У(д: + а)24-Ь2 У(ж_а)2 + ^2 J
I
. 1_ Г Г х+1 х — а п ^
^" 2 J L У(Ж-|-г)2+4&2 У(* — а)8 + Ьа J ^ / '
После интегрирования результат упрощается
Вывод этого результата методом натянутых нитей предлагается
в качестве домашнего задания.

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 331
Фиг. 9.7. К расчету углового коэффициента в примере 9.4.
<х — часть At(t)t видимая с dAt через всю поверхность Аг\ б — предельное значение х,
при котором часть At(t) видна через всю поверхность А*; в — часть At{t), видимая через
часть поверхности Аг.
Исследуем случай, когда имеется более чем одна зеркальная
поверхность в замкнутой изотермической системе,;находящейся
при температуре Т. Для простоты рассмотрим замкнутую систему
{фиг. 9.6, г), образованную двумя зеркальными и двумя черными
поверхностями. Если рассчитать теплообмен излучением между
двумя черными поверхностями, происходящий как
непосредственно, так и вследствие всех зеркальных отражений, то получатся

332
Глава 9
следующие соотношения:
qy4 = ^1 (^1-2 + Ps, 3^1(3)- 2 + Ps, 4^1(4)- 2 +
+ Ps,3Ps,4^1(3-4)-2 + • • • +р£зР?,4^1(зт_4Г>)_2+ . . •), (9.9a)
-^±. = ^42 (^2-1 "f■ Ps, 3^2(3)-1 + Ps, 4^2(4)- 1 +
+ PS,3pS,4^2(4-3)-l+...+P^3pSn4F2(4n_3W)_1+. • .)• (9.96)
Сокращенное обозначение (3W—4n) означает m отражений на
поверхности 3 и п отражений на поверхности 4. Уравнения (9.9)
можно также записать следующим образом (для изотермической
замкнутой системы (?i_2 = <?2-i):
-^- = %f=^^.2 = ^F|_1) (9.10)
где F* — угловой коэффициент, равный величине, стоящей в
круглых скобках в соотношении (9.9).
Теперь рассмотрим (9.9) более подробно. Так как A1F1_2 =
= A2F2-i и из (9.4) для одного отражения следует
-^1^1(3)-2 = ^2^2<3>-1 И ^1^1(4)-2 = ^1*2(4)-1»
то равенство (9.10) принимает следующий вид:
^l(Ps, 3Ps, 4^1(3-4)-2+ • • • +Ps, ЗР?, 4^T1(3m_4n)_2+ • • ») =
= ^2(Ps, 3Ps, 4^2(4-3)-1+ • • • +Ps, 3Ps, 4^2(4n-3w)-l+ # * *)"
(9.11)
Разделим обе части на pSj 3 Ps, 4:
-4l(^l(3-4)-2+ • • • +Ps, 3 Ps, 4 ^T1(3m_4n)_2+ • • •) =
= ^42(^2(4-3)-l+ • • • + P™3 P?,~4 ^2(4n-3m)-l+ ' * *)• (9-12)
Это равенство должно выполняться в пределе, когда ps, 3 и Ps, 4
стремятся к нулю, т. е.
^]А1<3-4>-2 == ^2*2<4-3)-1> (9.1о)
что является геометрическим свойством системы. Продолжая это
рассуждение, придем к обобщенному соотношению взаимности
4/iU-B-C-dJ-2 = ^2<...D-C-B-A)-1. (9-14)
Заметим, что комбинация (9.8) и (9.14) приводит к
идентичным результатам
-4l^l<A-B-C-D...>-2 = A2F2i„mD_C-B-A)-l = ^l^l-2(...D-C-B-A) (9.15)

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 333
ИЛИ
^l(A-B-C-D...)-2 = Fl-2(...D-C-B-A)- (9.16)
Последнее соотношение можно вывести непосредственно из того
факта, что систему изображений можно построить, начиная с
действительной поверхности 1 и переходя далее к изображению
2 (...Z) — С — В — А) или начиная с изображения 1 (А — В — С —
D. . .) и переходя далее к реальной поверхности 2; в любом случае
геометрия построений будет идентичной. Таким образом, угловые
коэффициенты между первоначальной и конечной поверхностями
должны быть одинаковыми,
$.4. МЕТОД САЛЬДО ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ,
ИМЕЮЩИХ ЗЕРКАЛЬНЫЕ И ДИФФУЗНЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ
9,4.1. Замкнутые системы с плоскими поверхностями
В этом разделе будет рассмотрен теплообмен излучением в
замкнутой системе, состоящей из зеркально и диффузно отражающих
поверхностей. В качестве введения в теорию теплообмена
излучением в замкнутой системе с зеркальными поверхностями
рассмотрим замкнутую систему, состоящую из трех плоских поверхностей
при заданных постоянных значениях температуры на них
(фиг. 9.8, а). В дальнейшем будет рассмотрено граничное условие
с заданным тепловым потоком. Все поверхности являются
диффузными излучателями, но две из них отражают диффузно, а третья
отражает зеркально. Для простоты предполагается, что замкнутая
система имеет достаточно большие размеры, так что краевыми
эффектами можно пренебречь.
При использовании метода сальдо уравнения теплового балан-
€а (8.1) и (8.2) не зависят от типа отражения и, следовательно,
будут применимы как для диффузных, так и зеркальных
поверхностей. Тогда для всех трех поверхностей замкнутой системы
справедливы уравнения
Qk = qkAk = (q0tk-qiS)]Akj ft = l,% 3, (9.17)
Qo, k = ekOTt+ (1 -6>) qit ft, k= 1, 2, 3. (9.18)
В случае зеркальной поверхности распределение потока
эффективного излучения q0 отличается от его распределения в случае
диффузной поверхности. Для диффузного отражателя
интенсивности собственного и отраженного излучений равномерно
распределены по всем направлениям; следовательно, gaT4 и (1—Qqt имеют
одинаковый характер распределения по направлениям и для этих
величин можно применять угловые коэффициенты диффузных

334
Глава 9
Поток, исходящий от А2
^ и отраженный
-"/ 4N от зеркальной поверхности Aj
\ *
\
\ Поток, исходящий от Аз
i и отраженный
« 0/7? зеркальной
\ поверхности At
диффузный излучатель,
диффузный отражатель
Поток
'собственного
и отраженного
излучений
от диффузной
поверхности А5
Фиг. 9.8. Замкнутая система, имеющая одну зеркально отражающую и две
диффузно отражающие поверхности,
о-общая геометрическая схема; б - составляющие потока излучения пилит™.™,
на А,; в _ аамкнутая система дая примера 9 Г* падаюЩег(>
поверхностей. Однако для зеркального отражателя величина
VI— т% будет иметь распределение по направлениям, отличное
и8ЛСА°енВиТЖЩтГ0 РаспРеДеления *ля Диффузного собственного
» Un«»L€ КИМ обРазом> если поверхность к зеркальная,
то ^ зеркальная составляющая потока эффективного излучения
q,, ft должна определяться не так, как диффузная составляющая.

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 335
Теперь выведем уравнения для плотности потока падающего
излучения qit k при наличии зеркальных поверхностей в замкнутой
системе, аналогичные уравнениям (8.3) и (8.5). Обратимся
к фиг. 9.8, а; излучение, падающее на поверхность 1,
непосредственно поступает от диффузных поверхностей 2 и 3 без
промежуточных зеркальных отражений. Следовательно, применимо
уравнение (8.5)
Яи 1 = ^l-rfo. 2 + ^1-3^0,3. (9.19)
Для поверхности 2 поток падающего излучения состоит из четырех
составляющих (фиг. 9.8, б). Первая — поток диффузного
излучения А31 падающий непосредственно на 42 и равный g0t з-^з^з-г-
Остальные три составляющие относятся к поверхности Ахж состоят
из потока диффузного собственного излучения £iOT\A1F1^2 и двух
зеркально отраженных составляющих. Зеркальные составляющие
связаны с энергией излучения, исходящего от 42 и 43, которое
зеркально отражается на А2 и поступает от изображений
А2а) л А3(1) (фиг. 9.8, а). Зеркальные составляющие равны
Яо,2 Ps$iA2P2ti)-2 + Яо, з Р*,1-4з^з<1)-2- Заметим что при наличии
только одной плоской зеркальной поверхности не может быть
многократных отражений. Выражение для потока падающего
излучения на поверхность 2 имеет вид
A2qt, 2 = €i<tfV 1^1-2 + Яо, 2ps, iA2F2(l)-2 +
+ Яо, 3^3^3-2 + Яо, 3ps, i^3^3(l)-2»
После применения соотношения взаимности для угловых
коэффициентов (7.25) и (9.8) это выражение преобразуется к виду
41,2 = €ioT\F2-i + q0,2ps, tF2-2(i) + q0t з (*»-s + Ps, i^2-3(i)). (9.20)
Аналогично для поверхности 3 получаем'
Qi, 3 = €l0^3-l + Яо, 2 (^3-2 + Ps, 1^3-2<1)) + Яо, 3Ps, 1^3-3(1) •
(9.21)
Уравнения (9.20) и (9.21) образуют систему уравнений с
неизвестными qo2 и g0>3. Если исключить qt}2 и g*f3 с помощью
(9.18), то получим
1 °'l.__£2 ~ == £la^1^2-i + Яо, 2Ps, 1^2-2(1) + Яо, 3 (^2-3 + Ps, 1^2-3(1))»
Яо.З-ЬоЦ = 6iar4Fj-i + ^ 2 (/Гз_2 + p8f iF32{i)) + Qo зрв> iFm|1)#
После преобразования имеем
Яо, 2 [1 - Ps, i (1 — €i) *s-a<i>l - Яо, з (1 - 6г) (^г-з + Ps, A-sci>) =
= €i (1 — €2) FM<>T\ + bpT\, (9.22)
- Яо, 2 (1 - €») (Faut + Ps, 1^3-2(1)) + Яо, з [1 - Ps, 1 (1 - €з) ^з-зсЫ =
-€1(1-ез)П-1^ + е3аГ*. (9.23)

336
Глава 9
Уравнения (9.22) и (9.23) можно решить относительно q0% 2 и д0, з-
После того как q0% 2 и q0t 3 найдены, с помощью уравнений (9.19)—
(9.21) определяют значения qt на каждой поверхности и затем по
уравнению (9.18) находят q0tl, Наконец, по уравнению (9.17)
вычисляют поток результирующего излучения Q для каждой
поверхности, который равен потоку тепла, подводимого к
поверхности для поддержания ее при заданной температуре, или,
другими словами, результцрующей потере тепла излучением с каждой
поверхности. Уравнения (9.22) и (9.23) аналогичны системе
уравнений для диффузных поверхностей, определяемых
уравнением (8.21).
ПРИМЕР 9.5. Замкнутая система состоит из трех
поверхностей (фиг. 9.8, в). Длина L достаточно велика, так что влиянием
торцов треугольного сечения в уравнениях теплового баланса
можно пренебречь. Две поверхности черные, а третья — серый
диффузный излучатель со степенью черноты £х = 0,05. Определить
тепловой поток, подводимый на единицу длины (1 м) каждой
поверхности, в двух случаях: 1) поверхность 1 является
диффузным отражателем; 2) поверхность 1 является зеркальным
отражателем.
Сначала вычисляются угловые коэффициенты. Из соображений
симметрии Рг_2 = ^i-з- Кроме того, Fx_2 -f Fx_3 = 1» так что
р 1_2 = F1_3 = V2. Из соотношения взаимности F2_x = A1F1^2/A2 =
= У"2/2 = F3-i- Также F2^ + F2_3 = 1.| Следовательно, F2_3 =
= 1 — 1/2/2 = F3_2 = F2_2(1) = ^з-зш- Наконец, F3_2 (1) =
= ^2-3(1) = 1 — F3-2 — ^3-3(1) = 1/2 — 1.
Для случая 1) применяем уравнение (8.18) и получаем
с (0,3048 У2) 0,05
Qi 1/2 1-0,05
:(278)4-4-(278)4-4-(555)4,
+
а (0,3048 1/2) 2 0,05 ' а (0,3048) "
= - J^. (278)4 + (278)*- (l —^) (555)4,
Qt V2 1-0,05 . <?з „
а (0,30481/2) 2 0,05 ' а (0,3048)
_ V2 /07Q44 /х 1/2
(278)4-(l-—^-) (278)4+(555>
Решая эти три уравнения, получаем тепловые потоки на единицу
длины (1 м) системы поверхностей Q1 = — 55 Вт, Q2 = — 978 Вт,
Qs = 1033 Вт. Тепло, подводимое к поверхности Л3, отводится
от А1и А2, тепловой поток, отводимый с поверхности Аг, мал, так
как эта поверхность является плохим поглотителем.

Замкнуты» системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 337
В случае 2) применяем уравнения (9.22) и (9.23) для
вычисления д0?2 и д0? 3. Так как £2 = £3 = 1* из этих уравнений просто
получаем д0? 2 = oJ4, g0?3 = <?Г4, что и следовало ожидать для
потоков эффективного излучения от черных поверхностей. Тогда
уравнения (9.19)—(9.21) позволяют получить плотности потока
падающего излучения qt для каждой поверхности:
QU2
— = -£- (278)4 + -^-(555)4,
0,05 (278)4 У1- + (278)4 (1 -0,05) (1 — -^-) +
+ (555)4[l-^- + (l -0,05) (f 2-1)],
-^ = 0,05 (278)4 J0- + (278)4 [l —^- + (1 _ о,05) (/2-1)] +
-f(555)4 (1-0,05) (l-J^?-).
Уравнение (9.18) дает плотность потока эффективного
излучения q0i х
i^i- = 0,05 (278)4 +(1 — 0,05) \_\ (278)4 + \ (555)4] .
Если известны qt и q0 для каждой поверхности, то для нахождения
результирующего потока Q применяется уравнение (9.17). Это
приводит к следующим результатам:
<?! = -55 Вт, <?2 = -1072 Вт, <?з = И27 Вт.
Сравнение сдучаев 1) и 2) показывает, что если Аг — зеркальная
поверхность, то теплопередача от А3 к А2 увеличивется от 978
до 1072 Вт, т. е. на 10%.
Существует несколько общих положений, которые необходимо
отметить в связи с примером 9.5. Сначала рассмотрим
уравнения (9.20) и (9.21). Потоки падающего излучения qu 2 и qit 3 для
двух диффузных поверхностей выражены через диффузные
величины 6ia^i> Чо, 2 и Яо, з> гДе £i°T\ — диффузный поток собственного
излучения зеркальной поверхности Аг, составляющий лишь часть
потока эффективного излучения поверхности Аг. Энергия
излучения, отраженного от зеркальной поверхности, входит
в уравнения (9.20) и (9.21) только через угловые коэффициенты.
В результате уравнения (9.22) и (9.23) содержат только два
неизвестных потока эффективного излучения q0,2 и q0% 3 для
диффузных поверхностей, и эти потоки можно найти без рассмотрения q0> г
для зеркальной поверхности. Значение q0i х, если требуется,
находится с помощью уравнений (9.19) и (9.18). Число уравнений,

338
Глава 9
которые должны решаться совместно, равно, таким образом,
числу диффузно отражающих поверхностей; эти уравнения
выражают потоки эффективного излучения каждой диффузной
поверхности через величины диффузных составляющих потоков
эффективного излучения всех поверхностей.
*2. '2-
диффузный излучатель,
диффузный отражатель
м2(3)
А1>Т1>
диффузный
излучатель,
диффузный
отражатель
"1
A3. Tj.
диффузный
излучатель,
зеркальный
отражатель
диффузный "у^ •
излучатель, i
зеркальный |ч
отражатель
А_4<3) |
\
4(4)
*3(4>
4(3)
1 I
А2(4)
/ Ход луча
Ч/ через
изображения
\
I
А2(3-4)
А2(4-3)
А1(3-4)
А1(4-3)
Фиг. 9.9. Прямоугольная замкнутая система поверхностей и отраженные
изображения для случая, когда две смежные поверхности — зеркальные
отражатели, а две другие — диффузные отражатели.
Рассмотрим теперь теплообмен излучением в прямоугольной
замкнутой системе поверхностей, имеющей несколько зеркально
отражающих поверхностей (фиг. 9.9). Все поверхности —
диффузные излучатели; две из них отражают диффузно, а две зеркально.
Поверхности, показанные пунктиром,— отраженные
изображения. Процесс отражения продолжается до тех пор, пока весь
внешний периметр, охватывающий первоначально замкнутую
систему, а также отраженные изображения, не будет состоять
либо из диффузных (или неотражающих, таких, как открытые
области) поверхностей, либо изображений диффузных
поверхностей.

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 339
Для замкнутой системы, показанной на фиг. 9.9, сначала
оцениваются д0,5 и д0,2 Для ДВУХ диффузных поверхностей. В
соответствии с уравнением (9.18) эти величины можно записать
в виде
(7ofi = €iart + (l-ei)(7«fi, (9.24)
0о,2=е2<Т^ + (1-б2)<71,2. (9.25)
Плотности потоков падающего излучения q^ г и qi} 2
определяются из диффузных составляющих потоков эффективного
излучения всех поверхностей замкнутой системы следующим
образом. Рассмотрим, например, величины, образующие qu г. Часть
потока излучения д0, г возвращается к Ах тремя путями:
непосредственное отражение от А3; отражение от А3 к Л4 и затем к Аг;
отражение от А 4 к А 3 и затем к А1. Таким образом, часть
излучения, испускаемого Аг, которая возвращается к Аг, равна
Яо, lAi (ps, 3^1(3)-1 + Ps, s9s, 4^1(3-4)-1 + Ps, 4 Ps, 3^1(4-3)-l)- ^1 (3-4)-l —
угловой коэффициент, определяющий видимость Ах (3_4) с Аг через
поверхности Л4 и затем А3 (4), с помощью которых было построено
изображение А1(3_^г Аналогично F1 (4_3)-i—угловой
коэффициент, определяющий видимость той же поверхности Аг (3_4>
с А1 через А3 и затем Л4 3).
Поток эффективного излучения g0,2 поверхности А2 вносит
вклад в поток падающего излучения д^?1, достигая Ах по четырем
траекториям: непосредственным путем; после отражения от А3\
отражения от А 4 и отражения от А 3 на А 4. С поверхности А 2
излучение не попадает на ilj после отражений от 44 и затем от А3.
Это связано с тем, что Аг не может видеть изображение Л2(4-з>
через поверхность А3.
Диффузная составляющая энергии излучения, исходящая от
зеркальной поверхности А3 (и аналогично от Л4), состоит только
из энергии собственного излучения £ъА3оТ\. Часть этого излучения
попадает на Аг по двум траекториям: непосредственным путем
и путем зеркального отражения от Л4.
Комбинируя все эти величины;, получаем qtil, поток
излучения, падающий на Аг:
A\qi} 1 = ^i#o, 1 [9s, З^КЗ)-1 f Ps, z9s, 4 (Fi(3_4)_i + ^l(4-3)-l)] +
+ ^2#o, 2 (^2-1 + Ps, 3^2(3)-l + Ps, 4^2(4)-l + Ps, 3ps, 4^2<3-4)-l) +
+ A3e3oT$ (F3_i + 9s, 4^3<4>-i) + A£koT\ (F4-i + 9s, з^сзм) • (9.26)
Можно применить соотношение взаимности для угловых
коэффициентов (9.8), чтобы заменить все другие, поверхности в (9.26)
на Ах, которую затем можно исключить. Полученное выражение

340
Глава 9
приравнивается qt^ из (9.24). что дает
°\__С = Яо, 1 [ps, 3^1-1(3) + Ps, 3Ps, 4 (^1-1(3-4) + ^1-1(4-3))] +
+ Яо, 2,(^1-2 + Ps, 3^1-2(3) + Ps, 4^1-2(4) + Ps, 3Ps, 4^1-2(3-4)) +
+ е*0Ц (Fi_3 + ps, 4Fl-3(4)) + e,0Tl (Fi-4 + Ps, 3^1-4(3)) •
(9.27)
Аналогично рассмотрение qi2 для поверхности 2 дает
°* i__c ~ = Яо, 1 (^2-1 + Ps, 3^2-1(3) + Ps,'4^2-l(4) + Ps, зРв, 4^2-1(4-3)) 4"
+ Яо, 2 [Ps, 4^2-2(4) + Ps, 3Ps, 4 (^2-2(4-3) + -^2-2(3-4))] ~Ь
+ €s<tfj (F2_3 + Ps, 4^2-3(4,) + €4^ №-4 + Ps, 3^2-4(3)) •
(9.28)
Уравнения (9.27) и (9.28) решаются совместно относительно
Яо, 1 и q0, 2.
Для двух зеркальных поверхностей плотности потоков
падающего излучения qt, 3 и qif 4 можно определить, как только станут
известными плотности потоков qQ для диффузных поверхностей.
Для зеркальной поверхности А3 поток падающего излучения
равен
4#*, 3 = АЯо, 1 CFl-3 + Ps, 4^1<4)-з) +
+ A2q0> 2 (F2_3 + ps, 4F2C4)-3) + A&oT*Fk-3. (9.29)
Используя соотношение взаимности, А3 можно исключить и
получить, таким образом, следующее выражение:
Яг, 3 = Яо,1 (^3-1 + Ps, 4^3-1(4)) +
+ Яо, 2 (Рз-2 + Ps, 4^3-214)) + 64^8-4. (9-30)
Аналогично для qti 4 получаем
Яг, 4 = ?о, i (^4-1 + Ps, 3^4-1(3)) +
+ Яо, 2 (^4-2 + Ps, 3^4-2(3)) + бз^^-З- (9-31)
Для диффузных поверхностей результирующий тепловой поток,
подводимый для поддержания теплового равновесия, определяется
по уравнению (8.6)
4г=ТГё7(оП"_9о'1)* (9'32)
т=т^№-М- (9-33)

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 341
Для зеркальных поверхностей, исключая q0 из уравнений (9.17)
и (9.18), в результате получаем
-0*. = Ь(°П-ъ,г), (9.34)
^- = €*(ar;-gi,4). (9.35)
Все коэффициенты, необходимые для решения задачи, теперь
известны. Когда поверхность 1 (или 2) черная, уравнение (9.32)
[или (9.33)] не может быть использовано, так как д0> х = оТ\
и 1—6i = 0, что приводит к неопределенности в выражении для Qx.
В этом случае, как и в примере 9.5, qtf i определяется из
выражения (9.26) и тогда Q1/A1 = q0} i — qtfl = oT\ — qitl.
Можно сделать обобщение для замкнутой системы, состоящей
из N поверхностей. Для поверхностей замкнутой системы с
заданными постоянными температурами рассмотрим плотности потоков
эффективного излучения q0 от диффузно отражающих
поверхностей, заданные уравнениями (9.27) и (9.28) для замкнутой
системы, показанной на фиг. 9.9. Они могут быть переписаны в виде
?о. 1 = 6lOT} + (1 — 6l) {g0fi [Ps,3^1-1(3) + Рв,8Рм (^1-1(3-4)+ Л-К4-3))! +
+ Qo, 2 (^1-2 + Ps, 3^ 1-2(3) + Ps, 4^1-2(4) + Ps, зРв, 4^1-2(3-4)) ~f
+ fcaJJ (Л-з + ps> 4^_3(4)) + £koT\ (F,_4 + ps, 3Л-4(3,)} =
= е,аг;+(i - €0 (q0, ^ + ?0, 2^_2 + ытри+е^ВД-Л
(9.36)
и
Qo, 2 = GoT*2 + (1 — Q {£>, l (^2-1 + Ps.'s^z-ks) + 9s, 4^2-i<4> +
+ Ps, ePs, 4-^2-1<4-3>) 4" Qo, 2 [Ps, 4-^2-2(4) + Ps, зРв, 4 (-^2-2(4-3) + -^ 2-2(3-4))] +
+ boT$ [F2_3 + Ps, 4F2_3<4)] + Gar44 [F2_4 + ps> 3*V4(3)]} -
= 62аГ24 + (1 —Ы (g0> i^-x + Qo, aFj-2 + &аВД_, + €4а WJ, (9.37)
где коэффициенты FsA—b определяют долю энергии диффузного
эффективного излучения, исходящего от поверхности А и
падающего на поверхность В непосредственно и по всем возможным
траекториям при зеркальном отражении.
Для замкнутой системы, образованной N поверхностями, из
которых d диффузно отражающие и N — d зеркально отражающие
поверхности при заданных температурах, общая система
уравнений переноса энергии может быть получена путем обобщения
уравнений (9.36) и (9.37). Пронумеруем диффузные поверхности
от 1 до d, а зеркальные — от d + 1 до N. Тогда обобщенное
уравнение для каждой диффузной поверхности записывается

342
Глава 9
d
i=i
N
= €л<*Л! + (1-€*)<* 2 WJ-i, 1<Л<Й. (9.38)
j=d+ 1
Эта система уравнений решается относительно q0 для диффузных
поверхностей. Плотности потоков падающего излучения qifh для
Каждой зеркальной поверхности получают, используя. потоки
эффективного излучения qQ для диффузных поверхностей. При
этом выражение для qt k представляет собой обобщение
уравнений (9.30) и (9.31)
d N
qt,k = H qo,.fFsh4+o 2 ejTW-i, d+i<fc<#. (9.39)
Подводимый извне поток результирующего излучения равен для
каждой диффузной поверхности
Qh = Ah-j^-{oTi-q0>k), l</c<d (9.40)
и для каждой зеркальной поверхности
Qh=-Ak£h(on-qifk), d+l</c<iV. (9.41)
Уравнения (9.38) — (9.41) являются общими соотношениями
теплообмена излучением для замкнутых систем, состоящих из
диффузных и зеркальных поверхностей.
' Если к-я диффузная поверхность черная, то q0yk = оТ{
и 1 — gfe = 0, так что уравнение (9.40) неопределенно. В этом
случае можно использовать следующее уравнение:
Qk = Ak(on-qi>k),
где qiyk определяется из (9.39) при 1 ^ к ^ d.
Если для диффузной поверхности 1 ^ к ^ d задан
подводимый тепловой поток Qh, а не температура 7\, то в уравнении (9.38)
неизвестной величиной будет Tk. Для исключения этой
неизвестной величины и представления ее через q0l k и Qk можно
воспользоваться уравнением (9.40).
Если для зеркальной поверхности d + 1 ^ к ^ N задан
тепловой поток (?^/то в последнем члене уравнения (9.38)
неизвестным будет одно из слагаемых Т]. Уравнение (9.41) в
сочетании с (9.39) позволяет исключить qi} h, что дает
d N
°n--^r=2 9otjFLi + o ^ e^JU d+l<fe<iV. (9.42)
i=i i=d+l
в виде
4o,h — (1

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 343
Так как Qk известно, уравнения (9.42) и (9.38) можно объединить
для получения системы уравнений, определяющей q0 для диффуз-
но отражающих поверхностей и Т для зеркально отражающих
поверхностей с заданным Q.
Другой вид окончательных уравнений можно найти, исключая
qt и q0 из (9.38) и (9.39) при помощи (9.40) и (9.41). Это позволяет
получить систему уравнений, в которой непосредственно
связаны Q и Т:
d iV
an-2a^*-i-2 °e>W-i, 1<*<ЛГ. (9.43)
J=l i=d+1
Уравнение (9.43) можно использовать для получения
некоторых соотношений между коэффициентами Fs, аналогичных соот-
N
ношению 2 Ph-j Для диффузных поверхностей. Рассмотрим случай,
когда вся замкнутая система находится при постоянной
температуре. Тогда не будет результирующего обмена энергией излучения
и все Q будут равны нулю, а уравнение (9.43) сведется к
следующему:
S П-1+ 2 €y#-i = l. (9-44)
j=l j=d+l
Если все поверхности в замкнутой системе зеркальные (d = 0), то
2 e^;U=2 (1 - ps> 7) Я-,- = i • (9-45)
9.4.2. Криволинейные зеркально отражающие поверхности
В предыдущем разделе все рассматриваемые зеркальные
поверхности были плоскими. Здесь будут рассматриваться
криволинейные зеркально отражающие поверхности. В этом случае
геометрия отраженных изображений может стать достаточно
сложной. Чтобы продемонстрировать некоторые из основных
положений, рассмотрим относительно простой случай — теплообмен
излучением внутри зеркальной трубы (фиг. 9.10) [6].
Предполагается, что заданные температура или условия
нагрева зависят только от осевой координаты и не зависят от
положения на окружности трубы. Чтобы определить теплообмен
излучением внутри трубы для осесимметричных условий нагрева,
необходимо знать угловой коэффициент между двумя кольцевыми

344
Глава 9
dF,
dXi-dX :
{'
элементами на стенке трубы. Непосредственный теплообмен
излучением (фиг. 9.10, а) определяется следующим угловым
коэффициентом (см. пример 8.97 причем | т| — I | равно здесь X/D):
(Х/Р)3 + ЗХ/2Р >|
[(X/Z))2 + i]3/2 ]аА'
На фиг. 9.10, б показан угловой коэффициент с учетом одного
отражения. Вследствие симметрии трубы все излучение,
исходящее от йХг и падающее на dX при одном отражении, будет
отражено от элемента кольца на
ш^мща» ™Л0В*Не ПУ™ МежДУ dXi и
внутренняя аХ. Кольцо с координатой
^ поверхность х/2 имеет ширину только
1 ' еШ2, так как пучок по мере
распространения
расширяется до величины dX на осевой
координате X.
Следовательно, угловой коэффициент при
одном отражении равен
угловому коэффициенту между
dXx и выделенным
штриховыми линиями элементом
кольца dX/2
dFdxx~dxi2 '■
{*-
dX/3
(Х/2Р)3 + ЗХ/4Р \ dX
[(X/2D)2 + 1]3/2 J 2
Аналогично угловой
коэффициент между йХг и dX при
двух отражениях равен
dFctXi-dX/з = 11 —
(X/3Z>)3 + 3X/6Z> ^ dX
•}
Фиг. 9.10. Теплообмен излучением
внутри зеркально отражающей
цилиндрической трубы.
а — непосредственный теплообмен между
двумя кольцевыми элементами; б — теплообмен
при одном отражении; в — теплообмен при
двух отражениях.
["(X/3Z>)2+1]3/2
и для п отражений равен
dFdXi-dXj(n+i) =
[X/(n+l)Z>]3-i- х
+ 3X/2(w + l)Z?
{[Х/(и + 1)Я]2 + 1}3/2'
dX
X
= 1
' X
n + 1
В общем случае угловой коэффициент при любом числе
отражений можно найти при рассмотрении теплообмена между первона-

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 345
чальным элементом (в данном случае dXx) и элементом (назовем
его dX2), от которого происходит первое отражение (выделен
штриховыми линиями на фиг. 9.10/6 и в). Это объясняется тем, что
доля энергии излучения, исходящего от элемента dXx в пределах
телесного угла, стягиваемого!элементом dX2, не изменяется при
последующих отражениях вдоль его траектории до элемента dX.
Изображение^
Фиг. 9.11. Отражение в цилиндрической полости с зеркальными
криволинейной боковой поверхностью и торцом.
а _ геометрия полости; б — изображение dXt, полученное вследствие отражения от
торца полости.
При каждом отражении величина энергии должна быть
умножена на отражательную способность зеркальной поверхности ps.
Если просуммировать все переносы, то доля энергии излучения,
исходящего от dXl7 которая падает на dX непосредственно и после
всевозможных отражений, определит зеркальный угловой
коэффициент
dFt
dXi-dX '■
Sp?(4
n=0
[Xl(n + l)D]3 + 3X!2(n+l)D \ _j.
{[X/(n + l)Z)]2 + l}3/2 / n
dX
+ 1
(9.46)
Когда геометрия системы несколько сложнее цилиндрической,
картина отражений становится весьма сложной. Некоторые
характерные примеры теплообмена излучением внутри зеркальных
конической и цилиндрической полостей с зеркальными плоскими
торцами представлены в работе [7]. Более общее исследование
отражений от неплоских поверхностей приведено в работе [8].

346 Глава 9
ПРИМЕР 9.6. Цилиндрическая полость имеет зеркально
отражающие цилиндрическую стенку и торец (фиг. 9.11, а). Определить
долю излучения от кольцевого элемента dX11 которая падает на
dX после одного отражения от торца с отражательной
способностью pSj х и одного отражения от цилиндрической стенки с
отражательной способностью ps, 2-
Как показано на фиг. 9.11, б, для этой геометрической схемы
отраженное излучение от основания можно рассматривать как
исходящее от изображения элемента dXx. Второе отражение
происходит от элемента шириной dX/2, расположенного на середине
пути между изображением dXx и dX. Искомая доля излучения
определяется угловым коэффициентом между изображением dXx
и обозначенной штриховыми линиями кольцевой поверхностью
dXI2, умноженным на две отражательные способности
9s, lP.f 2 dFdX^dX = p., lPs, 2 (1 {[(z + Zl)/2Z>]2 + 1}3/2 ) — ■
9.5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этой главе был рассмотрен теплообмен излучением между
зеркально отражающими поверхностями и в замкнутых системах,
содержащих как зеркально, так и диффузно отражающие
поверхности. Во многих случаях, как в примере 9i5, теплообмен в
замкнутых системах изменяется на небольшую величину при замене
диффузных поверхностей зеркальными. Однако в системах
поверхностей определенной конфигурации, например используемых
при сооружении солнечных печей, зеркальное отражение
оказывает существенное влияние.
Бобко [9], Спэрроу и Лин [10], а также Сэрофим и Хоттель [11]
исследовали теплообмен в замкнутых системах, содержащих
поверхности с отражательной способностью, имеющей как
диффузную, так и зеркальную составляющие.
Шорнхорст и Висканта [12] сравнили результаты
экспериментальных исследований теплообмена излучением между
различными типами поверхностей с расчетами и обнаружили, что независимо
от присутствия зеркальных поверхностей результаты расчета для
диффузных поверхностей лучше согласуются с
экспериментальными данными.
Здесь, возможно, уместно и другое замечание. Иногда
полагают, что для описания действительного переноса энергии излучения
между двумя реальными поверхностями можно ограничиться
расчетом двух предельных случаев: 1) теплообмена излучением между
диффузными поверхностями с теми же интегральными
полусферическими степенями черноты, что и у реальных поверхностей,
и 2) теплообмена излучением между зеркальными поверхностями
с теми же интегральными полусферическими степенями черноты,

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 347
что и у реальных поверхностей. Однако такое предположение
обычно неверно. Рассмотрим поверхность с отражательной
способностью, представленной на фиг. 9.12, а. (Предполагается, что
такой тип отражательной способности имеет поверхность Луны.)
Теперь проанализируем теплообмен излучением между этой
реальной поверхностью 2 и черной поверхностью 1 (фиг. 9.12, б).
/
/ _ черная
поверхность 1
Направление
падения
луча
б
/
Z Реальная
юверхность Z
\1/
V г
/
/
/
V///7////A
д
Фиг. 9.12. Теплообмен излучением между поверхностями с различными
идеальными направленными свойствами.
а, — двунаправленная отражательная способность реальной поверхности; б —
геометрическая схема теплообмена излучением; в — поверхность 2 отражает зеркально; г —
поверхность 2 отражает диффузно; д — поверхность 2 с реальными отражательными
свойствами.
Если поверхность 2 обладает зеркальными свойствами, она не
будет возвращать излучение на черную поверхность путем
отражения (фиг. 9.12, в). Если поверхность 2 обладает диффузными
свойствами, она будет возвращать часть падающего излучения путем
отражения (фиг. 9.12, г). Однако если учесть реальные
направленные свойства поверхности, то она будет отражать больше энергии
на черную поверхность, чем любая идеальная поверхность
(фиг. 9.12, д). Таким образом, поверхности с идеальными
направленными свойствами не являются предельными случаями в общем

348
Глава 9
случае переноса энергии. На фиг. 10.11 показан другой пример,
когда диффузные и зеркальные свойства не дают предельных
решений. В лучшем случае вычисления, основанные на
предположениях о зеркальных и диффузных свойствах поверхностей,
позволяют получить некоторое количественное представление
о возможном влиянии направленных свойств. Внутри замкнутых
систем это влияние может быть небольшим из-за многократных
отражений излучения между поверхностями.
Литература
1. Christiansen С, Absolute Determination of the Heat Emission and
Absorption Capacity, Ann. Physik Wied., 19, 267—283 (1883).
2. Saunders 0. A., Notes on Some Radiation Heat Transfer Formulae, Proc.
Phys. Soc. (London), 41, 569—575 (1929).
3. Борн M., Вольф Э., Основы с/птики, изд-во «Наука», 1970.
4. Stone J. М., Radiation and Optics, McGraw-Hill, New York, 1963.
5. Howell J. R., Perlmutter M., Directional Behavior of Emitted and
Reflected Radiant Energy from a Specular, Gray, Asymmetric Groove, NASA
TN D-1874, 1963/
6. Перлмуттер M., Зигель P., Влияние зеркально отражающей серой
поверхности на тепловое излучение внутри трубки и от ее нагретой стенки.
Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 85, № 1, 69—79 (1963).
7. Лин С. X., Сперроу Е. М., Лучистый теплообмен между зеркально
отражающими криволинейными поверхностями. Приложение к цилиндрическим
и коническим полостям, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, № 2, 163 (1965).
8. Plamondon J. A., Horton Т. Е., On the Determination of the View
Function to the Images of a Surface in a NonplaBar Specular Reflector. Int.
J. Heat Mass Transfer, 10, № 5, 665—679 (1967).
9. Бобко P. П., Теплообмен излучением в полусерых замкнутых системах
с зеркально и диффузно отражающими поверхностями, Труды амер. о-ва
инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 86, № 1, 123—130 (1964).
10. Sparrow Е. М., Lin S. Н., Radiation Heat Transfer at a Surface Having
Both Specular and Diffuse Reflectance Components, Int. J. Heat Mass
Transfer, 8, № 5, 769—779 (1965).
И. Сэрофим А. Ф., Хоттель X. К.,. Лучистый теплообмен между
поверхностями, не подчиняющимися закону Ламберта, Труды амер. о-ва инж.-мех.,
сер. С, Теплопередача, 88, № 1, 41—49 (1966).
12. Шорнхорст Дж. Р., Висканта Р., Экспериментальная проверка
справедливости обычно используемых методов расчета теплообмена
излучением, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 90, № 4, 65—
75 (1968).
Задачи
1. Вывести выражение.для Рг^1{2) в примере 9.4 при помощи
метода натянутых нитей.
2. Вывести выражение для углового коэффициента Fx_1{2) между
цилиндром Аг и его изображением А1(2) для каждого из двух
показанных на фигуре случаев (двумерные поверхности).
3. Замкнутая система состоит из двух зеркальных и двух
диффузных поверхностей, как показано на фигуре. Построить схему

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 349
-fi-нн
зеркальный
отражатель
.--А,
--А2,
зеркальный
отражатель
,-А,
всех изображений, которые требуются при определении
теплообмена излучением. Затем записать выражения для F*_2 и F[_3
через угловые коэффициенты зеркальных поверхностей и
отражательные способности, т.е. (^«_2 = Fx_2 + 9s, 3^1-2(3) + •••)•
Записать систему уравнений теплообмена излучением для
определения Ql9 Q2, Q3, <?4.
z_.a, диффузный
' излучатель
и отражатель
при \
г--Аь диффузный
излучатель
и отражатель
при Т,
,- -А3, диффузный
излучатель
и зеркальный
отражатель
приТ$
\--А4 диффузный
' излучатель
и зеркальный
отражатель при Т4
4. Замкнутая система поверхностей бесконечной длины с
сечением равностороннего треугольника имеет черные поверхности
1 и 2 и зеркально отражающую поверхность 3 с
отражательной способностью pSj3 = 0,8. Найти Ff-ь F\-2 и Fi_3-
Ответы: 0,1072; 0,7928;' 0,5000.
JV
5. а. Чему равна сумма 2 F\—j Для условий задачи 4?
i=i
N
б Чему равна сумма 2 (1 — Р«, j)Fi-j Дл* условий задачи 4?
г=1

Глава 9
в. Объяснить результаты п. п. а. и б. через определение F\—j.
Является ли результат п. б. общим соотношением для всех
зеркальных замкнутых систем?
Ответы: а. 1,4; б. 1.00.
Замкнутая система состоит из трех поверхностей, как показано
на фигуре. Длина L достаточно велика, так что влиянием
торцов при составлении уравнений теплового баланса можно
пренебречь. Две поверхности черные, а третья — диффузно-се-
рый излучатель со степенью черноты £х = 0,05. Какой
тепловой поток надо подвести на единицу длины (1 м) каждой
поверхности, участвующей в теплообмене излучением внутри
замкнутой системы для двух случаев: а) поверхность 1 —
диффузный отражатель, б) поверхность 1 — зеркальный
отражатель?
Т3 -- 833 К
«3 = 1
Вычислить зеркальный угловой коэффициент F|—i для
двумерной замкнутой системы. Все поверхности — серые и диффузные
излучатели. Поверхности Ах и А* — диффузные отражатели г
а поверхности А3 и А^ — зеркальные [отражатели с
отражательными способностями ps, з = 0>8 и ps, 4 = 0»9-
Ответ: 0,349.
А, А3 °
А4 1

Замкнутые системы, содержащие зеркально отражающие поверхности 351
Двумерная прямоугольная замкнутая система состоит из
серых поверхностей, которые являются диффузными
излучателями. Две противоположные поверхности — зеркальные
отражатели/ а две другие — диффузные отражатели. Записать
систему уравнений переноса излучения для определения
(?ъ Q21 (?зи Qm включая выражения для Fs, записанные через F.
(Указание: каждый коэффициент Fs представляет собой
бесконечную сумму.)
А2,Т2,
диффузный
отражатель
зеркальный
отражатель
зеркальный
отражатель
А4, Т4,
диффузный
отражатель
9. Замкнутая система поверхностей бесконечной длины с
сечением равностороннего треугольника имеет две диффузно
отражающие поверхности и одну зеркально отражающую
поверхность, которая идеально изолирована снаружи (т. е. q3 = 0).
Все поверхности серые и диффузные излучатели. Вычислить
Тя и потоки Q, подводимые к А1п А2 вследствие теплообмена
излучением внутри замкнутой системы для заданных условий.
(Для простоты не делить поверхность на участки.)
A2,f2 = 0,8
Т2 = 800 К
Диффузный
отражатель
Аз, *з = 0,1
q3 = 0
'', Зеркальный
'' отражатель
Viooo к^
Диффузный
отражатель
10. Две параллельные пластины (задача 8.7) имеют конечную
^ширину и бесконечную длину в плоскости, перпендикулярной
чертежу. Обе пластины полностью изолированы снаружи.

352
Глава 9
Пластина 1 равномерно обогревается электрическим
нагревателем при плотности результирующего потока qe. Пластина 2 не
имеет внешнего теплоподвода (q2 = 0). Окружающая среда
находится при нулевой температуре. Пластина 1 черная, в то
время как пластина 2 — диффузно-серый излучатель и
зеркальный отражатель со степенью черноты g2. Вывести
интегральное уравнение для распределения температуры
поверхности. Сравнить с результатами задачи 8.7, а.

10
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
МЕЖДУ НЕДИФФУЗНЫМИ
НЕСЕРЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
10.1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование теплообмена излучением в замкнутых системах,
проведенное в гл. 8 и 9, ограничивалось черными или серыми
поверхностями замкнутой системы. Для случая серых поверхностей
предполагалось, что они излучают и отражают диффузно или диф-
фузно излучают и зеркально отражают. Иногда вводилось
дополнительное ограничение, согласно которому радиационные свойства
поверхностей не зависят от температуры. Как было показано на
графиках реальных свойств поверхностей в гл. 5, свойства
наиболее распространенных в технике материалов отличаются (в
некоторых случаях существенно) от свойств идеализированных
поверхностей: черных, серых, диффузных, зеркальных или имеющих
радиационные свойства, не зависящие от температуры. В
большинстве практических инженерных задач предположение об
идеализированных поверхностях делается для упрощения
расчетов. Это предположение во многих случаях оправдано по двум
причинам. Во-первых, радиационные свойства поверхностей не
известны с высокой точностью, особенно это относится к их
зависимости от длины волны и направления; следовательно,
проведение точных расчетов было бы бесполезным при наличии только
приблизительных данных о свойствах поверхностей. Во-вторых,
вследствие многократных отражений в замкнутой системе
происходит осреднение неоднородностей радиационных свойств;
например, эффективное излучение (собственное излучение плюс
отраженное) поверхности с направленными свойствами может быть
достаточно диффузным, если состоит главным образом из отраженного
излучения, обусловленного излучением, падающим на поверхность
со всех направлений.
Чтобы определить, в каких случаях допустимо использование
упрощающих предположений, необходимо провести некоторые
расчеты теплообмена излучением, используя как можно более точные
методы решений. Затем результаты точного решения можно сравнить
с результатами расчетов приближенными методами, аналогичными
изложенным в гл. 8 и 9. В этой главе будут рассмотрены некоторые
методы исследования теплообмена излучением между
неидеальными поверхностями, которые пригодны для выполнения более

354
Глава 10
точных расчетов. Исследование таких зад^ч связано со
значительно большими трудностями, чем в случае идеальных поверхностей,
и исчерпывающий анализ реальных поверхностей с учетом всех
вариантов, возможный в принципе, когда все радиационные
свойства известны, редко предпринимается или является оправданным.
Как указывалось ранее, направленно-спектральные свойства часто
неизвестны. Зависимость свойств от длины волны в направлении
нормали известна для ряда материалов, но при этом данные обычно
разбросаны по коротковолновому и длинноволновому диапазону
спектра х). Изменения свойств в зависимости от направления для
некоторых материалов с оптически гладкими поверхностями могут
быть вычислены при помощи электромагнитной теории (гл. 4).
В ряде задач необходимо учитывать эффекты, связанные с
зависимостью свойств поверхностей от длины волны и направления
излучения, и в этом случае должны быть использованы
представленные здесь методы расчета. В качестве примера можно назвать
применение селективных покрытий для регулирования
температуры в системах, использующих солнечное излучение.
10.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь;
а0 — среднестатистическое расстояние между
шероховатостями поверхности;
^i» С2 — первая и вторая константы в законе Планка
спектрального распределения энергии;
D — расстояние по нормали между параллельными
площадками;
е — поверхностная плотность потока излучения;
F — угловой коэффициент;
Fq-% — доля интенсивности излучения абсолютно черного тела
в интервале длин волн 0 — X;
G — функция, зависящая от степени черноты в примере 10.5;
i — интенсивность излучения;
L — ширина бесконечно длинных параллельных пластин;
1—L/D — параметр в примере 10.6;
Q — поток энергии;
х) Диапазон спектра, в пределах которого получены данные по
радиационным свойствам поверхностей, зависит от возможностей приборов,
используемых при определении этих данных, и, естественно, от того, имеются ли
вообще данные для рассматриваемого материала поверхности. Обычно данные
недоступны для большинства материалов при длинах волн менее 0,3 мкм
или более 15 мкм. Если для получения данных используется обычный
детектор из сульфида свинца, то чувствительность прибора ограничивает
измерения длинами волн менее —3 мкм.

Недиффузные несерые поверхности
355
q — плотность потока энергии;
R — радиус диска в примере 10.7;
r=R/D — параметр в примере 10.7;
S — расстояние между элементами поверхности;
Т — абсолютная температура;
х, у, z — декартовы координаты;
а — поглощательная способность;
Р — полярный угол;
£ — степень черноты;
т] — угол в плоскости, перпендикулярной поверхности;
9 — азимутальный угол;
X — длина волны;
S — эффективность поглощения, определенная впримере 10.6;
£ — расстояние вдоль ширины плоской поверхности,
имеющей конечную ширину и бесконечную длину;
р — отражательная способность;
а — постоянная Стефана — Больцмана;
Зо — среднеквадратичная амплитуда шероховатостей
поверхности;
со — телесный угол;
\ ^ — интегрирование по телесному углу в пределах полусферы.
Подстрочные индексы
а — поглощенное излучение;
Ъ — абсолютно черное тело;
е — испускаемое излучение;
i — падающее излучение;
к — величина для Zc-й поверхности;
о — эффективное излучение;
г — отраженное излучение;
s — зеркальное отражение;
X — величина, зависящая от длины волны;
АХ — средняя величина в интервале длин волн АХ;
1, 2, 3 — свойства поверхностей 1, 2, 3.
Надстрочные индексы
' — направленная ведичина;
* — двунаправленная величина.

356
Глава 10
10.3. ТЕОРИЯ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ
В ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ, ОБРАЗОВАННОЙ
ДИФФУЗНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ СО СВОЙСТВАМИ,
ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ДЛИНЫ волны
На примере диффузно излучающих и отражающих
поверхностей, которые не обладают направленными свойствами, можно
более четко проследить, каким образом учитываются спектральные
свойства поверхностей. Степень черноты, поглощательная и отра-
_ , .. жательная способности в
Л1 ' этом случае не зависят от
направления, но могут
зависеть от длины волны X и
температуры поверхности
Т. Эти свойства должны
быть заданы в виде
функций Г и 1, чтобы можно
было оценить теплообмен
между поверхностям.
Для диффузно
излучающих и отражающих
спектральных
поверхностей все еще справедливо^
понятие углового
коэффициента, так как эти
коэффициенты обусловлены
только геометрическими
эффектами и были вычислены для диффузного излучения
поверхности. В общем случае уравнения теплового баланса и методы,
описанные в гл. 7—9, остаются справедливыми для энергии
излучения в каждом интервале длин волн dk. Однако заданные
граничные условия часто относятся к энергии интегрального излучения
(включающего все длины волн), и правильное применение
граничных условий требует известной осторожности. Их вообще нельзя
применять к выражениям для энергии монохроматического
излучения. В качестве примера рассмотрим поверхность (фиг. 10.1),
на которую падает интегральный поток излучения Qt, а исходит
от нее поток эффективного излучения Q0, равный сумме потоков
собственного и отраженного излучений. Если к тому же
поверхность совершенно изолирована и подвод тепла извне отсутствует
(адиабатическая поверхность), то потоки Qt и QQ будут
одинаковыми:
<?о - Qt = Q = 0. (10.1)
Однако для данной длины волны потоки падающего и
эффективного излучений dQK не обязательно одинаковы, так что в общем
dQxo^ <V
Фиг. 10.1. Спектральные (или
интегральные) потоки излучения на поверхности.

Недиффузные несерые поверхности
357
случае
dQio-dQu = dQ% фО. (10.Z)
Более того, адиабатическая поверхность имеет только
интегральный источник или сток энергии, равный нулю, и это можно
наглядно показать, записав уравнение (10.1) через спектральные
величины, входящие в уравнение (10.2):
оо оо
<?= J d&= j (dQ*,-dQu) = 0, (10.3)
где dQb — поток результирующего излучения, соответствующий
длине волны К и полученный в результате преобразования энергии
падающего излучения при других длинах волн. При данной длине
волны поток dQ% может сильно отличаться от нуля для
адиабатической поверхности вследствие изменения свойств поверхности
в зависимости от длины волны и спектрального распределения
энергии падающего излучения.
В общем случае рассмотрим диабатическую г) 2) поверхность.
Энергия интегрального излучения, подводимая извне к
поверхности, записывается следующим образом:
оо оо
<?= j dQ%= j (dQu-dQu). (Ю.4)
Поток Q может быть либо задан как граничное условие, либо
являться величиной, требующей определения при известной
температуре поверхности. В любом элементарном интервале длин
волн поток результирующего излучения dQ^0 — dQu может быть
положительным или отрицательным. Граничное условие в этом
случае означает только, что интеграл от такого
монохроматического потока излучения должен быть равен потоку Q. Чтобы
познакомиться с использованием этих общих представлений,
применим их теперь к некоторым примерам.
ПРИМЕР 10.1. Рассмотрим теплообмен излучением между
двумя бесконечными параллельными пластинами из вольфрама
с заданными температурами Тг и Т2 (7\ > Т2). Бранштеттер [2]
определил зависимость полусферической спектральной степени
черноты вольфрама от температуры путем экстраполяции
экспериментальных данных с помощью соотношений электромагнитной
теории. Некоторые его результаты показаны^ на фиг. 10.2.
х) Цитируем Брина [1]: «В некоторых кругах термин «неадиабатическая»
считают очень громоздким синонимом, поэтому автор отказывается от
употребления такого неудачного термина».
2) В советской технической литературе чаще используется термин
«неадиабатическая».— Прим. ред.

358
Глава 10
Используя эти данные, сравним результирующий тепловой поток
между вольфрамовыми пластинами с соответствующим потоком
между серыми параллельными пластинами.
Решение для серых пластин было получено в примере 8.1.
В данном случае решение получается аналогичным образом, за
исключением того, что уравнения записываются для спектральных
О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Фиг. 10.2. Полусферическая спектральная степень черноты вольфрама.
€^ (Я, Г) — полусферическая спектральная степень черноты; Г — температура
поверхности; % — длина волны.
величин. Из уравнений (8.1) и (8.2) плотности потоков
результирующего излучения для поверхности 1 в интервале длин волн dX
записываются в виде
dffx, 1 = dqko, х — dqu> lf (10.5)
dq^o,i - €х,1 (К 7\Kb,i (К Тг) dX + рх>1 (Ь, Тг) dq%i%1. (10.6)
Полусферические свойства диффузных непрозрачных
поверхностей связаны соотношением рх = 1 — а^ = 1 — ^^, и
уравнение (10.6) принимает следующий вид:
^o,i = 6^i(^, Ti)eu>,i{K 7\)^+ll-Gi,i(^ Ti)]dqUti. (10.7)
Исключая dqUil из (10.5) и (10.7), получим
dVKi- 1-б^(йд) ^ь.ЛК TJdl-dq^i]. (10.8)
Так как для бесконечных параллельных пластин F2-x = 1, то
9xi,i ^ ^яо, 2 tCM- (8.56)], и уравнение (10.5) принимает следующий

Недиффузные несерые поверхности
359
вид:
dq%,i = dqXOy г — dq%0y 2. (10.9)
Уравнения (10.8) и (10.9) аналогичны уравнениям (8.8а) и (8.86)
для случая серых поверхностей. Уравнения для поверхности 2
записываются аналогичным образом. Исключая из них потоки
эффективного излучения qk0, получают решение для плотности
потока результирующего излучения, соответствующего интервалу
длин волн dk, аналогичное уравнению (8.10):
Йп — Jn — вМ>> * (Д" Ti) — eXb, 2 (к, Т2\ Л1 (ЛС\ лс\\
dqKi--dqK2- i/6x>l(X,ri) + 1/€Xfl(X,r8)_1 <&• (Ю.Ю)
Интегральный поток результирующего излучения (подводимый
и отводимый от поверхности 2) определяется подстановкой
данных, приведенных на фиг. 10.2, в уравнение (10.10) и последующим
интегрированием по всем длинам волн:
ОО СХ)
Интегрирование выполняется
ператур пластин Тг и Г2.
Результаты такого
интегрирования, выполненного
Бранштеттером [2],
представлены на фиг. 10.3, где дается
отношение результирующих
потоков для диффузно-серых
и диффузно-несерых
поверхностей. Результаты расчета
теплообмена для диффузно-
серых поверхностей были
получены при помощи
уравнения (8.10) с
полусферическими интегральными степенями
черноты, вычисленными по
полусферическим
спектральным степеням черноты,
приведенным ria фиг. 10.2. (В
расчете для серых поверхностей,
выполненном Бранштеттером,
использовалась степень
черноты более холодной
поверхности 2, вычисленная при
температуре УтгТ^ а не Г2,
что следует из выводов электромагнитной теории и иногда
рекомендуется для металлов [3].) В рассмотренном диапазоне температур
численно для каждого набора тем-
■0,9k—
с? 0,8
0,7
■—*
—
—i——-
->'-=-
—
1
~~~\
1... J
"\^
\ \
\ \
1 1 J 1 1
800 1600 2400
ТГТ2, К
3200
Фиг. 10.3. Сравнение влияний серой
и несерой поверхностей на результаты
расчета теплообмена излучением между
бесконечными вольфрамовыми
пластинами [2].
^сер^несер — отношение потоков
результирующего излучения для серых и несерых
поверхностей; Тх —Т2 — разность
температур между более нагретой и менее
нагретой поверхностями. Температура более
нагретой поверхности Тх: 4000 К;
3000 К; — — — 2000 К,
1200 К.

360
Глава 10
поверхности результаты расчета теплообмена излучением для
несерых поверхностей отличаются от соответствующих результатов
для серых поверхностей до 25%.
ПРИМЕР 10.2. На фиг. 10.4 показаны две бесконечные
параллельные пластины и их спектральные степени черноты при задан-
Т2=1Ш к
2- °'8
^ 0,6
^ 0,4
0,21
J 1_
J I , I
0,8|
~% °.4г
W 0,2l
i t I l
J
12 3 4 5 6 7 8
X, мкм
Фиг. 10.4. Пример теплообмена излучением между бесконечными
параллельными пластинами, степень черноты которых зависит от длины волны.
ных температурах. Чему равна плотность интегрального потока
результирующего излучения, проходящего через зазор?
Из уравнения (10.11) имеем
3 5
п — С ga,b, 1(^,^1) — ехъ,2(к,Т2) ,» . f
9-J 1/0,4 + 1/0,7-1 ^+J
ехъ, i(A., Ti) — exbi 2 (A,, T2)
1/0,8 + 1/0,7-1
dX +
+$
ekb, l (к, Tj) — exby 2 (A, T2) ,л
1/0,8+1/0,3—1

Недиффузные несерые поверхности 361
Это выражение можно переписать в виде
3 5
q = °T\ [WL j eXbf 1 (К Tt) dX + -^- j е», t (к, 7\) dX+
оо о
1 15 О
5 оо
+ ^§г- ] ехь, 2 (К, Т2) ЛХ+-Щ j ехь< а (А,, Г2) dX] .
2 3 2S L5
5
Интеграл (1/оТ*) \ exbf х (^» ?\)Л определяет долю энергии излу-
з
чения абсолютно черного тела при температуре Тг в диапазоне
длин волн от X = 3 до 5 мкм, которая равна T^Ti-sti = -F5000—8ззз
и может быть вычислена с помощью таблицы функций излучения
абсолютно черного тела (табл. А.5). Коэффициент F%т не следует
путать с угловым коэффициентом. Теперь можно записать
q = оТ\ (0,341^0-зтч + 0,596^зт.-бТ! + 0,279^ 574-00) -
~а^(0;341^о-зт2 + 0,596^3г2-5т2 + 0,279^5т2,оо) = 137 510Вт/м2.
ПРИМЕР 10.3. Замкнутая система состоит из трех пластин
конечной ширины и бесконечной длины (фиг. 10.5). Радиационные
Vx,3(*-T3>-\
rbM'Mi»
Г00 A» f N ^ То, €\ о(А, Ь)
Фиг. 10.5. Теплообмен излучением в замкнутой системе поверхностей,
свойства которых зависят от длины волны.
свойства каждой поверхности зависят от длины волны и
температуры, а температуры пластин равны 7\, Т2, Т3. Вывести систему
уравнений, описывающих теплообмен излучением между
поверхностями.

362
Глава 10
Угловые коэффициенты для такой геометрии получены в
примере 7.15. Плотность монохроматического потока результирую
щего излучения, подводимого к поверхности 1, может быть запи-
сана в виде
dgx,i = -^-= i-kxMxX) [6xb'i{K T^dX~^o,i] (Ю.12)
и
dq\, i = d<?j'i = dqXOtl — Fi-2dqXOi2 — Fi.3dql0i,. (10.13)
Эти уравнения выведены по прямой аналогии с уравнениями для
серой поверхности (8.6) и (8.7) с использованием условия F1^1 = 0,
Необходимо подчеркнуть, что dqx — плотность потока
результирующего излучения поверхности в интервале длин волн dk,
обусловленная подводом тепла извне к поверхности и
преобразованием потоков энергии других интервалов длин волн.
Аналогичные уравнения записываются для поверхностей 2 и 3.
В результате получается система из шести уравнений с шестью
неизвестными dq%0il, dq%0t2, dqKOt3, dqK1, dqXt2 и dqx >3. Решение
отыскивается относительно dqx в каждом волновом интервале d%.
Если свойства поверхностей постоянны в пределах
некоторого достаточно большого интервала длин волн Д^, то уравнения
могут быть решены в пределах всего этого интервала. В таком
случае поверхностная плотность нотока излучения eKbf г (к, Тг) ДА,
может быть заменена GT-^FxTi-ix+bWi, поверхностной
плотностью потока излучения'абсолютно черного тела при температуре Тг
в интервале длин волн от % до % + Д^- Окончательно плотность
интегрального потока результирующего излучения q каждой
поверхности определяется интегрированием dqx для данной
поверхности по всему спектру
00
ff= J dqk. (10.14)
Эта величина равна тепловому потоку, который должен
подводиться извне к поверхности для поддержания ее температуры на
заданном уровне.
ПРИМЕР 10.4. Рассмотрим геометрическую систему,
изображенную на фиг. 10.5. Плотности интегральных потоков энергии,
подводимых к трем бесконечно длинным пластинам, равны qx,
q2t q3. Определить температуры пластин.
Уравнения теплообмена точно такие же, как в примере 10.3.
Однако в данном случае заданные граничные условия значительно
усложняют решение задачи. Так как температуры поверхностей
неизвестны, то степени черноты также неизвестны вследствие их
зависимости от температуры. Выбирается следующий порядок

Недиффузные несерые поверхности
363
решения: задается температура каждой поверхности и для каждой
поверхности вычисляется плотность потока результирующего
монохроматического излучения dq^ (А,, Т). Значения dqk (к, Т)
затем интегрируются и определяются qt1 q2, q3l которые
сравниваются с заданными граничными условиями. Задаются новые
температуры поверхностей, и процесс повторяется до совпадения
вычисленных значений q с заданными значениями. Новые
температуры для последующих итераций должны выбираться
с учетом зависимости от них радиационных свойств и оценки на
основании предыдущих итераций степени влияния изменения
температуры Т на изменения тепловых потоков q во всей системе.
10.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПОЛОС
При использовании метода решения, представленного
в разд. 10.3 для поверхностей, свойства которых зависят от спектра
излучения, требуется проведение интегрирования по всему
спектру, чтобы вычислить результирующий интегральный поток
энергии. Такое интегрирование затруднительно, что значительно
усложняет расчеты для поверхностей, свойства которых зависят
от длины волны, по сравнению с серыми поверхностями. Чтобы
избежать утомительной процедуры численного интегрирования,
которое необходимо для строгого решения этих задач, желательно
использовать упрощенные методы. Некоторая потеря точности
при интегрировании может оказаться приемлемой для
практического применения, так как многие спектральные характеристики,
используемые в расчетах, содержат неопределенность.
10.4.1. Многополосные модели
Один из методов приближенной оценки интегралов называется
приближением спектральных полос. Этот метод является простым
приближением, в котором один интеграл по всему спектру длин
волн заменяется суммой интегралов по части спектра. Следующий
пример служит иллюстрацией применения этого метода.
ПРИМЕР 10.5. Две бесконечные параллельные пластины
из вольфрама имеют температуру 4000 и 2000 К. Используя
фиг. 10.2, вычислить поток результирующего излучения между
поверхностями с помощью приближения спектральных полос.
В примере 10.1 потюк результирующего излучения между
пластинами описывается точным выражением [уравнение (10.11)]
оо
dX.

364
Глава 10
При помощи подстановки
1
1/^,1 + 1/^,2-1
это выражение можно записать в более простом виде:
?i
оо оо
Запишем теперь интегралы как приближенные суммы:
9l « 2 (СДЬ*ДЬ, 6,1^)* — S (^Л^Л^,Ь,2А^)т,
(10.15)
где Сдя и ед^, ь — средние значения для интервала Ah. В
зависимости от способа оценки Сд^ и едх, ь уравнение (10.15) может
0,4
* 0,2
о,lb
;Л\|
\—
г~
1, . 1
\ г—Л
\
1 \
1 \
1 .
\ 1
i_ _ _^5te
. 1 1
т, к .
"^^L^4000
"^—^^_2000
L ■ '
1 i 1 i 1 i 1 i 1 i I
i 1 i 1
10 12
Л, мкм
14
20
Фиг. 10.6. Применение приближения спектральных полос для
полусферической спектральной степени черноты вольфрама.
6^ (X, Г) — полусферическая спектральная степень черноты; % — длина волны; Г —
температура; точное значение; приближение спектральных полос.
иметь различные степени точности. В качестве простого
приближения величины едх, ь могут быть взяты средние арифметические
значения плотности потока излучения черного тела в интервале ДА,.
Чтобы получить лучшую точность для больших интервалов ДА,,
значение ед^, ъ можно вычислить с использованием функции F
для черного тела согласно зависимости
едх,ьАЬ= J ebbdk=(Fb-(K+u)-F0..%)cT*, (10.16)

Недиффузные несерые поверхности 365
где] X и X + &Х — верхняя и нижния границы интервала АХ.
В приведенных ниже расчетах будет использовано
уравнение (10.16). Оно уже применялось для оценки точных интегралов
в примере 10.2. Самая простая формула для расчета величины G^k
в уравнении (10.15) имеет вид
c»-./^.+UML,.-.' <10Л7>
где £дх — приближенные средние степени черноты для интервала
длин волн АХ.
На фиг. 10.6 представлены необходимые данные по степени
черноты вольфрама и средние арифметические значения для семи
интервалов длин волн (седьмой интервал для X > 20 мкм). Для
температур 2000 и 4000 К функция е%ъ имеет максимум при 1,5
и 0,75 мкм соответственно. При больших значениях X, скажем
X > 4 мкм в этом примере, функция е^ь мала, и величина GKeb)^
будет вносить небольшой вклад в интегралы в этой области длин
волн. Таким образом, точность средних величин при больших
значениях X в этом примере не важна. Вычисления q±, проведенные
для этих семи интервалов, представлены в следующей таблице.
§
S
„
<<
<
0-1
1-2
2—4
4—8
8—12
12—20
>20
-
«<
<
U»
0,410
0,335
0,290
0,205
0,160
0,140
-0
со
«г
<
ш
0,445
0,300
0,195
0,140
0,115
0,095
~0
<<
<
о
0,271
0,188
0,132
0,0907
0,0717
0,0600
-0
<~1
•°S
<<г-
<°
<U -гН
0,698
0,545
0,171
0,032
0,004
0,001
-0
< «
«<t-
<°
й) тн
0,0061
0,0374
0,034
0,011
0,002
-0
~0
«г
<
<<<D
<o
о -
1,89
1,03
0,23
0,03
-0
— 0
-0
<
со
<<<о
<о
<3 тн
0,017
0,071
0,045
0,010
0,002
-0
~0
Сумма 3,18-106 0,145-106
Подстановка суммарных значений из таблицы в уравнение
теплообмена, полученное в приближении спектральных полос, дает
qi -(3,18- 0,15). 106 = 3,03- 106Вт/м2.
Бранштеттер [2] путем численного интегрирования получил
для этого случая точный результат qx = 3*106 Вт/м2. Таким обра-

366
Глава 10
зом, приближенное решение с использованием семи интервалов
дает небольшую ошибку. Из фиг. 10.3 следует, что решение,
полученное в приближении серого тела, которое можно рассматривать
как однополосное приближение, дает ошибку почти 10%.
(Заметим, что результаты, представленные на фиг. 10.3, отличаются от
обычных результатов расчетов в приближении серого тела тем,
что величина £2 определялась при температуре УтгТ2, а не
при Т2.)
При рассмотрении таблицы выясняется, что наиболее
значительный перенос энергии в этом случае происходит в интервале
длин волн от 0 до 2 мкм. При необходимости точность
приближения спектральных полос можно улучшить делением этого
интервала на большее число полос и повторением расчетов. Ошибки
в приближении спектральных полос будут возрастать в интервалах
спектра, где ektb и (^ имеют большие значения, поэтому весь
волновой диапазон следует разделить таким образом, чтобы
наибольшее число полос заключалось внутри указанных
интервалов.
Приближение спектральных полос является не чем иным, как
простой формой численного интегрирования, выполняемого при
относительно небольшом числе интервалов длин волн. С
увеличением числа интервалов точность возрастает. Данкл и Вивэнс [4]
приводят расчет, аналогичный выполненному в примере 10.5.
Результаты, полученные ими с помощью приближения
спектральных полос, отличаются не более чем на 2% от результатов точного
численного расчета, в то время как ошибка расчета в приближении
серого тела составляет ~30%. Они приводят также другие
примеры применения рассматриваемого метода для замкнутых систем
с заданными температурами или результирующими потоками
энергии.
В ряде работ приводятся результаты исследований
теплообмена излучением между поверхостями с зависящими от длины волны
свойствами [5—7]. В работе [5] результаты расчета сравниваются
с экспериментальными данными для геометрической
конфигурации, близкой к бесконечным параллельным пластинам.
10.4.2. Приближение полусерого тела
В некоторых практических случаях происходит естественное
деление энергетического спектра на две четко определенные
спектральные области, например, в замкнутой системе с отверстием,
через которое поступает солнечное излучение. Энергия солнечного
излучения распределена в спектре таким образом, что основная
энергия сосредоточена в коротковолновом диапазоне, в то время
как энергия излучения поверхностей внутри замкнутой системы,

Недиффузные несерые поверхности
367
имеющих более низкую температуру, сосредоточена в диапазоне
более длинных волн. Практический путь решения задачи в этом
случае состоит в определении полусферической интегральной
поглощательной способности относительно падающего солнечного
излучения, а также полусферической интегральной
поглощательной способности относительно падающего излучения,
испускаемого поверхностями внутри замкнутой системы. Этот подход можно
свести к вопросу определения j различных поглощательных
способностей для поверхности к относительно энергии падающего
излучения от каждой поверхности / замкнутой системы.
В данном анализе содержится предположение о том, что
каждая поглощательная способность ak (Tk, Tj) основана на
спектральном распределении падающего излучения черного тела при
температуре излучающей поверхности Tj. В действительности
спектр падающего излучения может быть далеко сдвинут
относительно кривой распределения Планка, и в этом состоит недостаток
метода. Часто зависимость ak от Tk слаба, так что основное
влияние оказывает Tj, другими словами, спектральное распределение
падающего излучения. Так как поглощательная способность
ak (Tkt Tj) и степень черноты £k (Th) поверхности к в общем
случае не равны, то этот подход часто называется теорией
теплообмена излучением в замкнутой системе с полусерыми
поверхностями. В работе [8] представлен анализ для общего случая замкнутой
системы, содержащей полусерые поверхности.
Пламондон и Лендрем [9] сравнили результаты расчета в
приближении полусерой поверхности и точные решения для
распределения температуры по поверхности несерой клинообразной
полости, подверженной воздействию падающего солнечного излучения
(фиг. 10.7). Клинообразная полость предполагается
нетеплопроводной, помещенной в вакуум с температурой окружающей среды,
равной нулю, за исключением участка, освещенного солнцем,
и имеющей диффузные поверхности, свойства которых не зависят
от температуры. В работе [9] приведены три метода решения
задачи. Первый метод — точное решение интегральных
уравнений, который называется точным решением. Первым
приближением к точному решению, называемым методом /, является
приближение полусерого тела, в котором используется
поглощательная способность асолн относительно падающего солнечного
излучения (непосредственно или после отражений) и другая
поглощательная способность аш: (равная степени черноты поверхности)
относительно излучения, испускаемого поверхностями
клинообразной полости. Наконец, метод II — это наихудшее
приближение, в котором применяются те же две поглощательные
способности: аСОЛн только к непосредственно падающему солнечному
излучению, а аИл ко всей энергии отраженного излучения
независимо от источника излучения. Результаты расчета этими мето-

368
Глава 10
дами приведены на фиг. 10.7, б для полированной алюминиевой
поверхности и угла раствора клина 30°. Видно, что метод I хорошо
Солнечное
излучение
520|
Фиг. 10.7. Влияние приближения полусерого тела при вычислении
распределения температуры в клинообразной полости.
а — геометрия клинообразной полости; б — распределение температуры по длине поло-
с поглощательной способностью поверхности асолн = 0,220, аик = 0,099; 1 — ме-
— метод II; Т (x/L) — температура; x/L — безразмерное
расстояние от вершины.
сти
тод
I; 2 — точное решение; з
согласуется с точным решением, в то время как по методу II
получается результат, отличающийся от точного решения на 10%.
10.5. СЕРЫЕ ПОВЕРХНОСТИ СО СВОЙСТВАМИ,
ЗАВИСЯЩИМИ ОТ НАПРАВЛЕНИЯ
Некоторые исследования посвящены теплообмену излучением
между отдельными поверхностями или в замкнутых системах
поверхностей, свойства которых зависят от направления. Основная
масса исследований теплообмена излучением относится к диффуз-
но излучающим и диффузно отражающим поверхностям, хотя
в некоторых работах все же учитывается влияние зеркальных
отражений (гл. 9). Диффузные или зеркальные поверхности
удобны для аналитического исследования, и в большинстве случаев не
оправдано подробное рассмотрение направленного излучения или
отражения. Тем не менее существуют материалы и
геометрические конфигурации, для которых требуется учет направленности
свойств. В этом разделе будут представлены некоторые методы
исследования теплообмена излучением между поверхностями
с направленными свойствами.
Трудность изучения общего случая теплообмена для
поверхностей с зависящими от направления свойствами проще всего
продемонстрировать путем составление баланса энергии для
системы тел простой геометрии. Рассмотрим такой баланс для

Недиффузные несерые поверхности
369
случая теплообмена излучением между двумя бесконечно
длинными недиффузными серыми поверхностями конечной ширины
L (фиг. 10.8). Интенсивность эффективного излучения элементар-
%*!.«% ер
|^_^ l Н
Фиг. 10.8. Теплообмен излучением между бесконечно длинными
параллельными поверхностями шириной L с направленными свойствами.
ной площадки dAt в направлении (Р1? 9j) суммируется из
интенсивности собственного излучения iue (Р1? 9^ и интенсивности
отраженного излучения i'u r (Pi, 6Х)
*i(Pi, в1) = Г1,в(р1, e1) + nfr(Pi, 6i). (Ю.18)
Эти две составляющие определяются выражениями (3.3а) и (3.25):
ч,*(Рь e1) = 6i(Pi, eo^i^i), (Ю.19)
ii.r(Pi, eo= j phPi, eb p2, e2)*;(p2, e2)cos^2cos^^2. (Ю.20)
В выражении (10.20) энергия излучения, падающего на dA1 от
каждой элементарной площадки dA 2, умножается на
двунаправленную интегральную отражательную способность р^, чтобы
получить вклад в интенсивность отраженного излучения от dA1 в
направлении (Рх, 9Х). Получаемый результат затем интегрируется по
всей поверхности А2, посылающей излучение на dAx. Согласно
определению (3.20),
п*ю a r m <;(P^Qr»^q> rl021v
p (pr, 0r, P, 6) = f;(pt9)coBpdcD • (1U'Z1)
p" (Pr, Qr> P» 6) — отношение интенсивности отраженного
излучения в направлении (Рг, 6Г) к плотности потока энергии,
падающего в направлении (р, 9). Тогда уравнение (10.18) для интенсив-

370
Глава 10
ности эффективного излучения элементарной площадки dAx
записывается в следующем виде:
+ J рИР, еь ря, е2)*;(р2? ъ^ЩКла,. (ю.22)
Аналогичное уравнение можно записать для произвольного
элемента dA2 на поверхности 2. Это дает в результате пару систем из
двух очень сложных интегральных уравнений, которые следует
решить относительно V (р, 9) в каждой точке и для каждого
направления на двух поверхностях. Эта система интегральных
уравнений аналогична уравнениям (8.50), которые были выведены
для диффузно-серых поверхностей. Табличные значения £' (Р, 9)
ир" (Pr, 9r, Р, 9) для такого случая почти не встречаются. В случае
когда Т1 и Т2 не известны и зависимость свойств поверхностей от
температуры значительна, общее решение для распределения
потоков энергии очень громоздкое. Чтобы избежать чрезмерно
сложных вычислений, делается ряд приближений в тех задачах,
где они справедливы. Некоторые из этих методов описаны в общих
чертах в работах [10—14]. Вместо того чтобы пытаться
представить все возможные приближения, приведем пример, а читателю
рекомендуем проявить изобретательность и найти подходящие
приближения для более реальных задач. Обычно такие
приближения заключаются в аналитическом представлении реальных свойств
с помощью простых функций, пренебрежении определенными
частями энергии, которые предполагаются ничтожно малыми, или
игнорировании всех направленных свойств, за исключением тех,
которые вызывают значительные отклонения от решения для
диффузных или зеркальных поверхностей.
ПРИМЕР 10.6. Две параллельные изотермические пластины
бесконечной длины и конечной ширины L расположены, как
показано на фиг. 10.9, а. Верхняя пластина 2 — черная, а нижняя
изготовлена из материала с высокой отражательной способностью,
и в ней прорезаны параллельные бесконечно длинные глубокие
канавки с углом раскрытия 1°. Такую поверхность можно было
бы получить, сложив полированные лезвия бритвы. Вычислить
результирующий поток энергии к поверхности, свойства которой
зависят от направления, если Т2 > 7\, и сравнить его с
результирующим потоком энергии диффузной поверхности со степенью
черноты, эквивалентной полусферической степени черноты
поверхности с направленными свойствами. Окружающая среда находится
при нулевой температуре.
Направленная степень черноты для поверхности с канавками
получена из работы [15], где была вычислена направленная
степень черноты открытой полости бесконечно длинной канавки

Недиффузные несерые поверхности
371
с зеркально отражающими стенками, степень черноты поверхности
которых равна 0,01. Направленная степень черноты для
поверхности с канавками представлена штрих-пунктирной линией на
Ti.€i(T>i>
— L
а
Фиг. 10.9. Теплообмен излучением между поверхностью с канавками и
абсолютно черной поверхностью.
а — геометрия системы (окружающая среда находится при нулевой температуре); б —
степень черноты поверхности с направленными свойствами; £' (Tit) — направленная
степень черноты; £ — полусферическая степень черноты; £' — направленная степень
черноты реальной поверхности с канавками; £i — приближенное представление
направленной степени черноты.
фиг. 10.9, б. Угол т] измеряется от направления нормали к
основанию поверхности с канавками и расположен в плоскости,
перпендикулярной направлению длины канавки (фиг. 10.9, а).
Степень черноты £[ (т^), приведенная в работе [15], осреднена по
всем азимутальным углам для заданного т)1в Таким образом, это
эффективная степень черноты полоски на поверхности канавки
по'отношению к элементу параллельной бесконечно длинной поло-

372
Глава 10
ски, расположенному на воображаемом полуцилиндре над
канавкой с осью, параллельной канавке. Угол х\х отличается от
полярного угла рх. "Угол рх обычно изменяется вдоль элемента полоски
полуцилиндра, в то время как \\г остается постоянным, так как
он является проекцией угла на плоскость, нормальную к канавке.
Степень черноты действительной поверхности 6i0li) на Фиг- Ю.9, б
представлена для удобства приближенным выражением
бКлО «0,830cost)!.
Используя цилиндрические координаты, чтобы выполнить
интегрирование по всем углам г^, получим соответствующую
полусферическую степень черноты данной поверхности
я/2
I i[(r\i)cosr\idr\i it/2
€l = ^^-zl^ =0,830 j cos2тиЛги = 0,652.
J cos r\\dv\i 0
-jt/2
Этот результат представлен на фиг. 10.9, б штриховой линией.
Начнем с определения энергии, полученной поверхностью 1,
если поверхность 2 черная, а поверхность 1 диффузная с £ =
= 0,652. Поток энергии, испускаемый единицей длины
диффузной поверхности, равен
&fi = 0f652ar;L.
Так как поверхность 2 черная, на поверхность 1 излучение
отражаться не будет. Поток энергии единицы длины поверхности 2,
который поглощается поверхностью 1, равен
<?a,i-0f652ar42 J j dFdW1di4e = 0l652arj'j jd/V^d^.
A.2 A\ / Ai A%
Искомый результирующий поток энергии поверхности 1 равен
(?а, 1 — Qe, it Чтобы вычислить (?а, 1? был использован угловой
коэффициент между бесконечными параллельными полосками,
определенный в примере 7.4:
,« __ d (sin тц)
аг di-d2 = § '
После интегрирования по поверхности А2 двойной интеграл
принимает следующий вид:
ь
J ( J dFdi-d2)dAi=:-Y ] (зштц.макс —sinTiitMHH)da:.
Ai Аг в=0

Недиффузные несерые поверхности 373
Значение sin цх определяется из фиг. 10.9, а
I—*
Sin T]i = - т-тя- .
\(l-x)* + D*)il2
И наконец, решение относительно Qa,\ имеет вид
L
^а,1 = 0,652аГ;4- t Г — Т79- + ^^779-1
ЙЖ =
х=0
= 0,652oT*[(L2 + D2)i/2-D].
Результирующий поток энергии к поверхности 1 Qat г—Qe,i,
деленный ла поток энергии собственного излучения поверхности 2,
является мерой эффективности поверхности как направленного
поглотителя. Для случая, когда поверхность 1 диффузная, это
отношение равно
V _ Qa,l"Qe,i 0.652 Г , 21/2 , Т\ .И
-диф - Щ1 -- —J— ц 1 + *; ~~ IT J'
где Z - LID.
Теперь рассмотрим случай, когда поверхность 1 имеет
направленные свойства. Поток собственного излучения поверхности 1
такой же, как и у диффузной поверхности, так как они обе имеют
одинаковые полусферические степени черноты. Поток энергии,
поглощаемый поверхностью с канавками, равен
Qa, 1 = оТ\ j J а\ (t|i) dFd2_di dA2 =
A2Ai
L Щ, макс
0,830аГ|
j j cos*rH%^ =
2
*=0тЬ,мин
L
0,830аГ;
■2- j -y (sin Г)! cos rit + riO
2
L
^1, макс 7
ax-
^1, мин
j [x'-^L + Z' + Д» +arCtg (~ТГ-) +
x=0
д8УД2 + arctg-j--]cfo,
Qa, l = 2 2 arctg -p-,
а эффективность поглощения 3 поверхности с направленными
свойствами равна
-'напр — —о~
arctg I- 0,652 (-|L)

374
Глава 10
Эффективности поглощения 3 поверхностей с канавками и
диффузных поверхностей представлены на фиг. 10.10 как функции I
при (7УГ2)4, используемом в качестве параметра. Видно, что S
для поверхности с направленными свойствами выше, чем для
диффузной поверхности при всех I. Это означает, что в
рассматриваемой геометрической конфигурации поверхность с
направленными свойствами всегда будет более эффективным поглотителем.
0,8k-
(Tj/T/
Фиг. 10.10. Влияние направленной степени черноты на эффективность
поглощения поверхности.
Е — эффективность поглощения; I = L/D — отношение ширины' пластины к зазору;
TJT2 — отношение температур поверхностей; поверхность, свойства
которой зависят? от направления; диффузная поверхность.
При I ->- 0 геометрия системы приближается к геометрии
бесконечных элементарных полос и собственное излучение поверхности 1
становится гораздо больще, чем поглощенное излучение от
поверхности 2. В этом случае ЕДИф и 5наПр почти одинаковы,
так как поверхности всегда излучают один и тот же поток
энергии. При I -> оо геометрия системы приближается к геометрии
бесконечных параллельных пластин, свойства которых не зависят
от направления. Снова Н становится одинаковой для двух
различных состояний поверхности. При промежуточных значениях I
эффективности поглощения отличаются до 10%.
Влияние направленных радиационных свойств на локальный
теплообмен может быть значительным для многих геометрических
форм. На фиг. 10.11 показано влияние направленных
распределений отражательной способности на локальный тепловой поток
от стенок бесконечно длинной канавки. Результаты заимствованы
из работы [12], где для сравнения были приведены кривые как из
упомянутой работы, так и из различных источников [13, 14, 16,
17]. Стенки канавки расположены под углом 90° относительно
друг друга, и все распределения степени черноты нормализованы

Недиффузные несерые поверхности
375
и приведены к полусферической степени черноты ОД.
Представленные кривые соответствуют диффузной отражательной
способности р, зеркальной отражательной способности, предполагаемой
не зависящей от угла падения р«, зеркальной отражательной
способности, зависящей от угла падения р« (Р) и определенной с
помощью электромагнитной теории, а также трех распределений
двунаправленной отражательной способности р" фг, Р).
Распределения двунаправленной отражательной способности приводятся
1,00
Фиг. 10.11. Локальный поток излучения от поверхности изотермической
канавки (полусферическая степень черноты поверхности 0,1).
q (x/L)/£oT* — безразмерная локальная плотность потока излучения стенок канавки;
x/L — расстояние от вершины; диффузная поверхность, р = р; зер-
р = p's; зеркальная поверхность, р = ps (Р);
кальная поверхность,
(У0/к = 2/3; 'а0/к "=' 10
• СТоА = Va
а 0/к =
а0/к = 5
: VieJ o-J'k =
} поверхность
- Р" (Рг, Р).
с двунаправленными свойствами р =
в работе Бекмана и Спиццичино [18] для шероховатых
поверхностей с различными значениями отношения среднеквадратичной
амплитуды оптической шероховатости поверхности к длине волны
излучения а0Д и отношения среднеквадратичного расстояния
между шероховатостями поверхности к длине волны а0/Х. Заметим,
что результаты, приведенные на фиг. 10.11 для простых
зеркальных и диффузных моделей, не определяют верхние и нижние
границы для всех решений, как это иногда утверждают.
Хауэлл и Дюрке [19] сравнили теорию и эксперимент для
пучка коллимированного излучения, входящего в очень длинную

376
Глава 10
полость, образованную тремя поверхностями, в которой
поддерживается очень низкая температура. Вследствие низкой
температуры собственное излучение поверхностей несущественно. Полость
содержит две поверхности, отражательные способности которых
имеют диффузные и зеркальные составляющие, в то время как
третья изготовлена из ячеистого материала с сильно выраженной
двунаправленной отражательной способностью. Установлено, что
для обеспечения согласования с экспериментом необходимо
учитывать в анализе все характеристики поверхности. Это типично
для геометрических конфигураций, содержащих точечные или
коллимированные источники падающего излучения.
10.6. ПОВЕРХНОСТИ СО СВОЙСТВАМИ,
ЗАВИСЯЩИМИ ОТ НАПРАВЛЕНИЯ И ДЛИНЫ ВОЛНЫ
Общий случай переноса излучения в замкнутых системах тел
с поверхностями, радиационные свойства которых зависят не
только от температуры, но и длины волны, а также направления
излучения, является наиболее сложным и трудным для полного
исследования. Получить аналитические решения таких задач
невозможно без введения многочисленных ограничений, поэтому
необходимы численные методы. Наиболее подходящим является
метод Монте-Карло, и примеры применения этого метода к простым
поверхностям с направленными спектральными свойствами
приведены в гл. 11. Тур [13] исследовал теплообмен излучением с
помощью метода Монте-Карло для различных простых геометрических
форм поверхностей, свойства которых зависят от направления.
В этом разделе будут сформулированы общие интегральные
уравнения теплообмена излучением в таких системах и решена
в значительной степени упрощенная задача.
Принятый подход заключается в сочетании ранее
рассмотренных приближений диффузно-селективных и диффузно-серых
поверхностей. Уравнения будут сформулированы для одной длины
волны, как в разд. 10.3, и записаны через интенсивности
излучения, как в разд. 10.5. Таким образом, могут быть учтены как
спектральные, так и направленные свойства. Для простоты будет
исследовано взаимодействие между двумя плоскими поверхностями.
Это исследование можно затем обобщить на замкнутую систему,
образованную многими поверхностями, как это было сделано
ранее для серых поверхностей в гл. 8.
Рассмотрим элементарную площадку dAx поверхности Аг в
плоскости ху (фиг. 10.12). Поверхность изотермическая и обладает
направленно-спектральными свойствами. Рассмотрим
спектральную интенсивность эффективного излучения dAx в направлении
(Рг, 1' ^г, i)> состоящего из собственного и отраженного излучений.
Спектральная интенсивность собствецного излучения dAx в направ-

Недиффузные несерые поверхности
377
лении (Рг, 1, 0Г< i) равна
iu91 (К Рг 1, ег> 4) - 6х. 1 (*, Рг, 1, вг. i)[iibt 1 (X). (10.23)
Эти величины являются также функциями Тъ но это обозначение
для простоты опускается. Интенсивность отраженного излучения
от dAx в направлении (Рг, 1? 0Г д) формируется из интенсивности
падающего излучения от А2. Было бы желательно получить
выражение для интенсивности падающего излучения в пределах
телесного угла dcox. Тогда путем интегрирования по всем телесным
Фиг. 10.12. Теплообмен излучением между поверхностями с направленно-
спектральными свойствами (окружающая среда имеет нулевую температуру).
углам dcoj можно было бы учесть падающее излучение со всей
поверхности А2. Если интенсивность падающего излучения в
пределах do\ обозначить i^i% 1 (X, рх, 6j), то интенсивность отраженного
от йАг излучения в направлении (Рг, i»"6r, i) будет равна
i'kr, 1 (К Рг, 1, бг. 0 = { Pi, 1 (К Рг, 1, ег> 1? pi, 6,) X
Х*хМ(Ь, Pi, eOcosPtdco!. (10.24)
Окружающая среда имеет температуру, равную нулю, так что
интенсивность падающего излучения определяется только
интенсивностью излучения от поверхности А2. Спектральная интенсивность
эффективного излучения элемента dA1 в направлении (Рг>1, 0Г, х)

378
Глава 10
равна сумме интенсивностей собственного и отраженного
излучений
*io, 1 (К Рг, ь бг, t) = i'te, 1 {К Рг, 1, 0Г, i) + i'kr, i (^» Рг, 1, 9г, О =
= ei,i'(^ Рм. er,t)^,iW +
+ J Pi, i (X, рг, ь Вг, 4, рь 90 i£if ! (X, рь 90 cosPidco. (10.25)
А2
В уравнении (10.25) &j^fl (Я, рх, 6Х) получается из интенсивности
эффективного излучения ^0, 2 (Я, Р2, Э2) поверхности 2. Эта
интенсивность эффективного излучения состоит из интенсивности
собственного и падающего излучений поверхности 1, отраженного
поверхностью 2. Энергия излучения dA2, падающего на dAx, равна
i'ho, 2 (^» Рг> 62) dL42 cos Р2 dAx cos Р^2. Выраженный через
интенсивность падающего излучения iu л (к, рх, 6Х) поток
излучения в пределах телесного угла d^ равен
fyi, 1 (К Pb 6l) d^i COS р! d(Du
или
^г, 1 (^, Р;, 6j) d^i COS pi dA2 ^~- .
Таким образом,
i'liti(K Рь 60 = ^,2^, в2, ра). (10.26)
Подставляя (10.26) в (10.25), получаем
Чо, 1 (^, Рг, 1, 0r, l) = 6i, l'(^> Рг, ь 9г, l) lib, i (^) -f
+ } p£i(*, Рм, 0r>1, рь 60^,2^ Р2, e^cosPtd©!. (10.27а)
Аналогично для поверхности 2
*Чо, 2 (К Рг, 2, 9г, 2) = 6if 2 (^, Рг, 2, 0г, 2) *М>, 2^) +
+ J Pi 2 (X, рг, 2, 6Г, а, р2, 62) 1^ ! (X, РЬ 6i) COS р2 dC02. (10.276)
At
Уравнения (10.27) записаны через величины интенсивностей
эффективного излучения. Они образуют систему интегральных
уравнений с неизвестными г%ол и ^0,2. Для их решения обычно требуется
численный итерационный метод. В общем случае радиационные
свойства и температура изменяются в пределах каждой
поверхности.
После определения i%0,i и ii0, 2 можно определить интегральные
потоки излучения, которые должны подводиться к каждому
элементу поверхности для поддержания заданной температуры.
Интегральный поток результирующего излучения, подводимый к по-

Недиффузные несерые поверхности
379
верхности, равен разности между интегральными потоками
собственного излучения Qe и поглощенного излучения Qa. Для
элемента dAx
oo
dQi = dQF} i — dQa,i=-dAi j j ££, i (Я, pb e4) i'kb, { (k) cos $t da}t dh —
oo
— di44 j j ai,, i (А,, рь 9i) iii, i (b, pb 9t) cospjdwtdA,,
/,= 0 A2
oo
dQ^etoT'dAi-dAi j j oci, t (Л, рь 6t) x
X «to, 2 (X, p2, 92) cosP^°sP2 dA2 dK (Ю.28)
где £x — полусферическая интегральная степень черноты
поверхности 1.
Если задан поток dQx (х, г/), то должна быть определена
температура Тг (х, у) и процесс решения может быть очень
утомительным. В этом случае необходимо задавать распределение
температуры для каждой поверхности и решать систему уравнений
вида (10.27) относительно i'x0 в каждой точке. Эти интенсивности
эффективного излучения подставляются затем в (10.28) и найденные
значения dQx сравниваются с заданными значениями. Затем
делаются поправки в принятом распределении температур и процесс
повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто согласования
между заданным и вычисленным значениями dQx (ж, у).
ПРИМЕР 10.7. Элементарная площадка dAx расположена
на оси черного круглого диска и параллельна ему (фиг. 10.13).
Площадка dAx находится при температуре Тъ диск — при
температуре Г2, а окружающая среда — при Т = 0. Элемент й^имеет
направленную спектральную степень черноты, которая не зависит
от 6 и может быть представлена приближенным выражением
e'x,i(K Pi, r)) = 0,8cospi;(l-e-c2AT1),
где С2 — одна из констант в спектральном распределении энергии
Планка. (Это распределение было выбрано, чтобы упростить
пример.) Найти поток результирующего излучения dQx,
подводимый к площадке dAx, чтобы поддерживать ее температуру
равной 7\. Предполагаем, что Т1 близка к Г2. Можно непосредственно
использовать уравнение (10.28), так как ix0,2 известна для черной
поверхности, каковой является А2. Поток собственного излучения

380 Глава 10
dAi равен
оо
dQ,. i - £\°Т\ dAi = dAt j j Ck i (K Pi) ^, i (X) cos pj Ло4 dA.
^=o^
Теперь подставим выражения для 6i,i, *xfe,i [уравнение (2.11а)]
dA1(Tlf€i ^РрТ!)
Фиг. 10.13. Теплообмен излучением в системе, содержащей элементарную
площадку с направленно-спектральными свойствами (окружающая среда
имеет нулевую температуру).
и do)! = sin PidPj d6i и получим
сю
dQeti = 0,8 dAt j Jcospai-e-^AT^x
^-o^>
X
2C*
%Це{
,C2ATi_
-1)
cos Pi sin Pj dPi d0i d>i =
- 0,8 dAi ( (J cos2 p4 sin pi dPi dQ{)
Выполняя интегрирование по полусфере, находим
%beC2№i
dk.
оо
dQc<l = 0,8 Л4|-тр j
ХьеС2/ьп
■dk.

Недиффузные несерые поверхности 381
Используя подстановку £ = С2/кТи получим
оо
dQ., 4 = 0,8 dAt ^f- j Ц- £- d£.
0
оо
Теперь воспользуемся соотношением из [20],
что дает
d&.i = 6,4^^-5-.
Постоянная Стефана — Больцмана равна о = 2Cin5/l5Cl1 так
что
dQ^i^ — aTtdA,.
Поток излучения, поглощаемый элементом dAu равен
оо
dQa, i = dA, j j aK L (К plf в,) &,, 2 (X, p8, Э2) COsP^°sP2 dA2 dk.
Согласно закону Кирхгофа, направленные спектральные поглоща-
тельную способность и степень черноты можно принять равными
без ограничения. Тогда телесный угол cos Р2 dA2/S2, стягиваемый
площадкой dA2l имеющей вид элементарного кольца, можно
представить в виде 2я sin pt d${ и использовать в выражении для
потока поглощенного излучения
«> Р1,макс
dQa, 1 = 2л (0,8) dAt J J (cos2 frsinMPi) *ю, 2(1 -e-Wi) dl =
ь=о p1=o
а а л л c°s3Pt |р1.макс f 2Ci(l —e-c^ri) „
3 о J \Ь(еСъ1ЪТг_ 4x
0
3 L (2)2 + Л2)3/2 -I J
£)3 и f j e-C2/kTi
•d%.
(£2+jR2)3/2 J J Х5(ее2/ьт2_ц
Если применено предположение, что температура 7\ близка по
величине к температуре Г2, то, выполняя интегрирование по А,,
получим следующее выражение:
где г = i?/D. Окончательно результирующий тепловой поток,
подводимый к элементарной площадке dAt для поддержания ее

382
Глава 10
при температуре Тх, записывается в виде
Даже для этого иллюстративного примера было трудно найти
реальную аналитическую функцию для 6ь которая могла бы быть
проинтегрирована в замкнутом виде как по углу, так и по длине
волны. Почти всегда необходимо применять численные методы
для нахождения решения задач такого типа.
10.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Хотя формулировка задач по теплообмену излучением для телг
свойства которых зависят от направления и (или) длины волны,
в принципе несложна, часто очень трудно получить решения
окончательных интегральных уравнений. Чтобы упростить уравнения,
необходимо ввести много допущений и приближений.
Приближения, которые можно считать обоснованными, зависят от условий
задачи и столь многочисленны, что они не рассматривались
сколько-нибудь подробно. Для решения задач теплообмена излучением
поверхностей с направленно-спектральными свойствами могут-
быть использованы различные численные методы, так как
аналитические решения удается получить очень редко. Разнообразие
условий и параметров в этих задачах и широкие пределы их
изменения не позволяют выбрать оптимальный численный метод.
В связи с расширением исследований задач этого типа, возможно,
появятся более ценные методы, позволяющие выбраться из
непроходимых джунглей частных решений. Одним из таких методов
является метод Монте-Карло, который рассматривается в
следующей главе.
Литература
1. Breene R. G., Jr. The Shift and Shape of Spectral Lines, p. 52, Pergamon
Press, New York, 1961.
2. Branstetter J. R., Radiant Heat Transfer between Nongray Parallel Plates
of Tungsten, NASA TN D-1088, 1961.
3. Эккерт Э. P., Дрейк P. M., Теория тепло- и массообмена, Госэнергоиздат,
М., 1961.
4. Dunkle R. V., Bevans J. Т.; Part 3, A Method for "Solving Multinode
Networks and a Comparison of the Band Energy and Gray Radiation
Approximations. /. Heat Transfer, 82, № 1, pp. 14—19 (1960).
5<. Love T. J., Gilbert J. S., Experimental Study of Radiative Heat Transfer
between Parallel Plates, ARL-666-0103, DDC № AD-643307, Oklahoma
University, June 1966.
6. Goodman S., Radiant-heat Transfer between Nongray Parallel Plates,
/. Res. Natl. Bur. Std., 58, № 1, pp. 37—40 (1957).
7. Rolling R. E., Tien С. L., Radiant Heat Transfer for Nongray Metallic
Surfaces at Low Temperatures, Paper № 67—335, AIAA, April 1967.

Недиффузные несерые поверхности
383
8. Bobco R. P., Allen G. Е., Othmer P. W., Local Radiation Equilibrium
Temperatures in Semigray Enclosures, /. Spacecraft Rockets 4, № 8r
pp. 1076—1082 (1967).
9. Plamondon J. A., Landram C. S., Radiant Heat Transfer from Nongray
Surfaces with External Radiation. Thermophysics and Temperature Control
of Spacecraft and Entry Vehicles, Prog. Astron. Aeron. (G. B. Heller ed.),
vol. 18, pp. 173-197, 1966.
10. Бивэнс Дж. Т., Эдварде Д. К. Лучистый теплообмен в замкнутом
пространстве с направленными свойствами стенок. Труды амер. о-ва инж*
мех., сер. С, Теплопередача, 87, № 3, 77—86 (1965).
И. Hering R. G., Theoretical Study of Radiant Heat Exchange for Non-Gray
Non-Diffuse Surfaces in a Space Environment, rep. № ME-TN-036-1, NASA
CR-81653, Illinois University, September, 1966.
12. Viskanta R., Schornhorst J. R., Toor J. S., Analysis and Experiment of
Radiant Heat Exchange between Simply Arranged Surfaces, AFFDL-TR-67-
94, DDC № AD-655335, Purdue University, June 1967.
13. Toor J. S., Radiant Heat Transfer Analysis among Surfaces Having
Direction Dependent Properties by the Monte Carlo Method, M.S. thesis,
Purdue University, 1967.
14. Hering R. G., Radiative Heat Exchange between Specularly Reflecting
Surfaces with Direction-dependent Properties., Proc. Third Intern. Heat
Transfer Conf., Chicago, Aug. 7 — 12, 1966 [AIChE /., 5, pp. 200—206
(1966).]
15. Howell J. R., Perlmutter M., Directional Behaviour of Emmitted and
Reflected Radiant Energy from a Specular, Gray, Asymmetric Groove,
NASA TN D-1874, 1963.
16. Спэрроу Э. M., Грэгг Дж. Л., Шелл Дж. В., Манос П., Анализ процесса
излучения между серыми поверхностями простой конфигурации. Расчет
и интерпретация полученных результатов, Труды амер. о-ва инж.-
мех., сер. С, Теплопередача, № 2, 136 (1961).
17. Eckert Е. R., Sparrow Е. М., Radiative Heat Exchange between Surfaces
with Specular Reflection, Int. J. Heat Mass Transfer 3, № 1, pp. 42—54
(1961).
18. Beckmann P., Spizzichino A., The Scattering of Electromagnetic Waves from
Rough Surfaces, Macmillan, New York, 1963.
19. Хауэлл Дж. P., Дюрке P. И., Перенос лучистой энергии между
поверхностями в полости с коллимированным падающим излученим. Сравнение
результатов теории и эксперимента, Труды амер. о-ва илж.-мех., сер. С,
Теплопередача, 93, № 2, 1—5 (1971).
20. Двайт Г. В., Таблицы интегралов и другие математические формулы,
изд^во «Наука», М., 1964.
Задачи
1. Между двумя изотермическими параллельными пластинами
с полусферическими спектральными степенями черноты,
изменяющимися согласно приведенным на рисунке графикам,
происходит теплообмен излучением. Какова плотность потока
результирующего излучения q от поверхности 1 к
поверхности 2?
Ответ: 176 940 Вт/м2.
2. Полированный алюминиевый резервуар в вакууме окружен
тонким алюминиевым экраном, экран окрашен снаружи белой

384
Глава 10
0,9
«X,|U .V<M
о
0,7
<ЫМг)
-^V 1667 К
Т2 = 1110К
«
6
X, мкм
краской (фиг. 5.28).я Рассматривая эту геометрическую
конфигурацию как систему параллельных бесконечных пластин,
определить, каков результирующий тепловой поток на поверхности
резервуара при воздействии солнечного излучения, падающего
в направлении нормали.
Экран
Солнечное
излучение
'/№??№г///.
Белая
^ краска
~-^Полированный
"-алюминии
Рассмотреть замкнутую систему тел из задачи 8.4. Вычислить
результирующие тепловые потоки на поверхностях для
приведенных значений полусферической спектральной степени
черноты. (Для простоты не разделять поверхности на участки.)
Оценить результирующий тепловой поток, проникающий в
контейнер с жидким водородом из соседнего контейнера с жидким
азотом. Стеклянные стенки покрыты полированным алюминием.

Недиффузные несерые поверхности
385
0,9
€X,i
0,3.
е
€Х,20,9
0,8
^
«Х,3
0,2
_j I I
0 12 3 4 5 6
X, мкм
Использовать электромагнитную теорию для оценки
радиационных свойств.
Вакуум
-Стенл о
77 К
Алюминиевое
покрытие
Элементарная площадка dA при температуре Т излучает
через круглое отверстие радиусом г в пластине, параллельной
dA. Направленная интегральная степень черноты dA равна
€' (Р) = 0,85 cos Р (фиг. 3.3). Получить соотношение для потока
излучения <?недифф» испускаемого dA через отверстие.
Используя значение полусферической интегральной степени
черноты dA из примера 3.3, равное 0,57, и диффузный угловой
коэффициент F,\ вычислить поток излучения (?ДИфф через отверстие.
Построить зависимость <?Недифф/(?дкфф от hlr.
Снедифф __ (Я2 +1)3/2 ^-ЯЗ
Сдифф (Я2+1)1/2
Ответ:
г
-ZI7
-dA.T

II
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
К ЗАДАЧАМ ТЕПЛООБМЕНА
ИЗЛУЧЕНИЕМ
11.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 10 было показано, что задача теплообмена излучением
в замкнутой системе поверхностей становится очень сложнойу
когда необходимо учитывать зависимость радиационных свойств
поверхностей от длины волны и направления. В настоящей главе
предложен другой подход, называемый методом Монте-Карло,
который позволяет справиться с этими сложностями.
Поскольку метод Монте-Карло представляет собой численный
статистический метод, сначала необходимо рассмотреть некоторые-
понятия статистической теории. Затем в общих чертах будут
описаны основные операции, относящиеся к теплообмену излучением.
Для иллюстрации метода будут рассмотрены две задачи. В связи
с тем, лто для использования метода Монте-Карло требуются
вычислительные машины, полное решение рассматриваемых примеров
не приводится. Будет описан лишь простейший подход в рамках
метода. Многие усовершенствования метода, сокращающие
машинное время и повышающие точность расчетов, будут упомянуты
по ходу изложения.
Будет дан общий обзор задач теплообмена излучением,
решенных различными авторами методом Монте-Карло. С помощью этого
обзора можно уяснить, как пользоваться методом, и
познакомиться с имеющимися методами расчета. Большая часть
представленного материала заимствована из работы [1].
11.1.1. Определение метода Монте-Карло
Герман Кан [2] дал следующее определение метода Монте-
Карло, которое, по-видимому, содержит замечательную идею:
«Ожидаемый успех игрока в любой разумной, сколь угодно
сложной игре на выигрыш может быть в принципе оценен путем
усреднения результатов большого числа игр. Такая оценка может быть
более эффективно осуществлена различными способами
посредством замены данной игры другой игрой с той же вероятностью
выигрыша. Новая игра может привести к более эффективной
оценке, если она менее подвержена влиянию случайностей, т. е. имеет
меньший разброс результатов, или если ее розыгрыш обходится
дешевле с имеющимися в наличии средствами. Очевидно, много
вероятностных задач можно рассматривать как задачи расчета

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 387
ожидаемого в игре выигрыша. Больше того, имеются задачи,
которые не относятся к вероятностным, но тем не менее являются для
некоторых целей эквивалентными расчету ожидаемого выигрыша.
В методе Монте-Карло просто используются эти замечания».
В таком определении содержится также программа действий
при использовании метода Монте-Карло. В самом деле, что нужно
сделать при использовании его в конкретной задаче? Необходимо
выявить игру или модель с теми же закономерностями и потому
имеющую тот же самый ожидаемый результат, как и в физической
задаче, которую моделирует игра; затем сделать игру, насколько
это возможно, простой и быстрой; далее проиграть игру много
раз и найти средний результат. После нескольких замечаний,
касающихся истории метода и используемого подхода, имеющих
целью обобщить и в общих чертах описать его, мы применим
аппарат метода к задачам теплообмена излучением.
11.1.2. История метода
История «экспериментальной математики» берет свое начало
в далеком прошлом. Хэммерсли и Хэндскомб [3] опубликовали
библиографию, содержащую свыше 300 работ, относящихся к
методу Монте-Карло и близким к нему материалам, опубликованным
в последние шесть десятилетий. Они упомянули о математическом
эксперименте, предпринятом несколько тысяч лет назад [4] для
определения величины я. Однако колоссальный поток литературы
по этому вопросу появился лишь после 1950 г.
Многие прежние исследователи проводили численные
эксперименты, подобные игре в кости или карты, играя много раз с целью
определить вероятность данного результата. Однако полезные
результаты применения таких методов стали вероятными
благодаря уникальным возможностям высокоскоростных вычислительных
машин. Эти машины могут проигрывать подобные игры с высокой
скоростью и, таким образом, находить точное значение средних
величин за приемлемое время.
Метод Монте-Карло, используемый в настоящее время в
промышленности и науке, был развит группой очень
квалифицированных физиков и математиков, работавших в Лос-Аламосе на
раннем этапе разработки ядерного оружия, включая Джона Неймана
и Стэнли Улама.
11.1.3. Основные источники
Рассуждение о едином методе Монте-Карло является,
по-видимому, бессмысленным, хотя мы и будем применять эту
терминологию. Каждая частная задача, вероятно, требует применения

388
Глава 11
своего метода, название которого «метод Монте-Карло» служит
ярлыком, относящимся к широкому классу слабо связанных между
собой методов. Ряд книг по общим вопросам и монографий
позволяют подробно ознакомиться с методом и (или) обзором
литературы. Ценные первоначальные сведения содержатся в работе [5],
которая является первой работой, где использован термин «Монте-
Карло» для обозначения рассматриваемого подхода. Для
понимания и использования метода полезны работы [2, 3], а также
работы общего характера [6, 7] (в последней приводятся Ссылки на
282 источника) [8] и многие превосходные работы, содержащиеся
в сборнике под редакцией Мейера [9].
* Цитированные выше работы дают строгое математическое
обоснование методов Монте-Карло. Поэтому тем, кто не может следить
за ходом рассуждений без математического подтверждения,
следует внимательно ознакомиться с этими работами. Здесь делается
попытка дать физическое обоснование с пояснением причин выбора
соответствующих математических форм. Доказательства
статистических законов не приводятся, так как они содержатся в
стандартных учебниках по статистике.
Несколько слов следует сказать о машинном времени в
программах Монте-Карло. Для большинства задач не существует
определенного метода расчета машинного времени. Время работы
машины зависит, конечно, от ее возможностей и, вероятно, в еще
большей степени от квалификации программиста при выборе
методов и приемов, уменьшающих нагрузку машины. Примером
такого приема является использование специальных подпрограмм
для расчета таких функций, как синус и косинус; при этом ради
выигрыша в скорости жертвуют некоторой точностью. Если
желаемая точность решения задачи составляет несколько процентов, то
использование восьмизначных функций, вычисляемых с помощью
относительно медленных подпрограмм, является бесполезной
роскошью, особенно если подпрограмма используется десятки
тысяч раз.
В заключение посвятим абзац бесплодному вопросу,.является
ли метод Монте-Карло или какой-то другой метод «лучшим»
способом решения данной задачи теплообмена излучением. Допустим,
что для получения аналитического решения данной физической
задачи необходимо решить систему интегральных уравнений,
а решение физического аналога задачи методом Монте-Карло
может привести к большим затратам машинного времени. Перед
программистом встает вопрос: что лучше — составлять программу
решения интегральных уравнений с помощью метода конечных
разностей, имея в виду, что, возможно, сходимость и не будет
достигнута, или прибегнуть к методу Монте-Карло, который хотя
и медленно, но рано или поздно приведет к решению? Как прави-
до, этот вопрос остается без ответа. Только квалификация иинтуи-

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 389
ция каждого исследователя могут подсказать наиболее удачный
путь решения. Можно надеяться, что изложенный материал
поможет выбрать такой путь.
11.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь поверхности;
А, В, C,D, ... — постоянные;
Е — разрешающий угловой коэффициент;
/^о-я — доля энергии интегрального излучения,
испускаемая черным телом в интервале длин волн 0 — Я;
/ (?) — распределение частоты событий,
соответствующих I;
I — общее число подсистем, используемых при
вычислении средних величин;
i — интенсивность излучения;
Z, т — индексы узлов прямоугольной сетки,
соответствующие координатам х, у;
N — полное число пучков в единицу времени;
п — индекс отдельного процесса распространения
пучка лучей;
Р — функция плотности вероятности;
Р — средняя из рассчитанных величин Р:
Q — поток энергии;
R — число, случайным образом выбранное из
равномерно распределенного множества чисел в
интервале 0—1; случайное число;
5 — число событий, происходящих в некотором
положении;
Т — температура;
w — энергия, переносимая пучком фотонов;
х, у — координаты в декартовой системе координат;
а — поглощательная способность излучающей
поверхности;
Р — полярный угол;
у — стандартное отклонение, определяемое
уравнением (11.15);
S, 6\ 6" — индексы в программе, фиг. 11.7;
6 — степень черноты излучающей поверхности;
у] — функция, определяемая уравнением (11.14);
0 —- азимутальный угол;

390
Глава 11
X — длина волны;
\i — вероятная ошибка;
£ — переменная;
о — постоянная Стефана — Больцмана.
Подстрочные индексы
Ъ — черное тело;
е — испускание;
X — величина, зависящая от длины волны;
1,2 — поверхности 1 или 2.
Надстрочные индексы
' — однонаправленная величина;
" -— двунаправленная величина;
* — переменная интегрирования.
11.3. ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА
11.3.1. Случайное блуждание
Читатель вскоре столкнется с понятием цепи Маркова. Это
просто цепь последовательных событий, причем вероятность
каждого последующего события в цепи не зависит от вероятности
предыдущих событий. Обычным примером цепи Маркова
являются блуждания пьяного джентльмена по незнакомому городу. На
углу каждой улицы он путается и совершенно наугад выбирает
одну из улиц, выходящих на перекресток. Он может даже ходить
взад и вперед вдоль одного и того же квартала, прежде чем попадет
на другую улицу. История его ходьбы и является цепью Маркова,
так как решение, которое он принимает в каждой точке своего
пути, не зависит от его местонахождения.
Из-за случайности выбора пути на каждом перекрестке его
ходьбу можно воспроизвести с помощью четырехпбзиционного
разыгрывающего устройства «четырехлуночника», т. е. колеса
рулетки с четырьмя позициями, каждая из которых
соответствует возможному направлению. Для джентльмена, начинающего
путь от бара своего отеля, вероятность достижения какой-либо
точки в пределах города может быть определена путем
воспроизведения большого числа таких прогулок с помощью четырехпо-
зиционного устройства для определения направления движения
на каждом перекрестке в каждой прогулке.
Вероятность достижения человеком перекрестка (Z, т) на
квадратной сетке, представляющей собой карту улиц города, можно

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 391
представить следующим равенством:
P(l, m) = ^[P(l-\-l,m) + P(l-l1 т) + Р(1,т+1) +
+ P(l, т-1)]_ (11.1)
где члены в квадратных скобках являются вероятностями его
нахождения на каждом из четырех соседних перекрестков, а
вероятность Р (Z, т) попадания в (Z, т) с одного такого перекрестка
равна 1/4. Такого рода случайное блуждание является удобной
моделью некоторых процессов, описываемых уравнением Лапласа.
Уравнение (11.1) представляет собой записанное в конечных
разностях уравнение Лапласа.
Вероятность некоторого события в других процессах обычно
не столь очевидна, как в случае уравнения (11.1). Чаще
вероятность события должна быть определена из физических
соображений, и только на основе этой вероятности делается заключение
о том, какое событие произойдет. Далее будут исследованы
некоторые основные методы выбора события по известному
распределению вероятности событий. Кроме того, будут рассмотрены
способы построения таких распределений,
11.3.2. Выборка из распределений вероятности
Рассмотрим очень плохого стрелка из лука, поражающего
стрелами мишень радиусом 10 футов. После отстрела множества
стрел число стрел, попавших в мишень в пределах малого
приращения радиуса Д£ на некотором радиусе £, можно представить
в виде гистограммы частоты событий / (|) = F (|)/А|.
Сглаживающая кривая для этой гистограммы даст нам непрерывное
распределение частоты событий, аналогичное приведенному на фиг. 11.1.
Теперь нужно найти метод моделирования последующих выстрелов
путем указания ожидаемой величины £ для каждой стрелы из
следующей группы стрел. Кроме того, распределение значений £
должно соответствовать уже полученному по предыдущим
результатам лучника (фиг. 11.1). (Предполагается, что все стрелы
поражают мишень.)
Эта ситуация аналогична встречающейся во многих марковских
процессах. Нам известно существующее в данном физическом
процессе распределение величин, и необходимо получить такой метод
задания отдельных значений, чтобы распределение заданных
величин согласовывалось с требуемым распределением. В теплообмене
излучением известно, например, что энергия монохроматического
излучения, испускаемого черным телом, должна соответствовать
закону Планка. Как задать энергию отдельных «пучков» лучей
определенной длины волны, чтобы в целом получить
действительно планковское распределение энергии?

392
Глава 11
Кроме того, в марковском процессе величины, выбранные на
каждом шаге, должны быть заданы случайным образом, чтобы
каждый выбор в цепи был независимым.
В дальнейшем на примере стрелка из лука мы увидим, как это
делается. Частотная кривая на фиг. 11.1 может быть
аппроксимирована аналитическим выражением
/ (D = I2
(И.2)
в интервале 0 ^ £ ^ 10 и / (|) = 0 за пределами этого интервала,
поскольку все стрелы достигают мишени. Нормализуем уравне-
Фиг. 11.1. Распределение частоты попадания стрел на различные радиусы
мишени.
/ (£) — частота попаданий, g — радиальная координата на мишени.
ние (11.2), разделив обе его части на площадь под частотной
кривой (т. е. на общее число стрел). В результате получим
fit) _ Ч2
Pit)-
10
/ Ш <*£
1000
(11.3)
Если исходя из частоты, с которой стрелы поражают мишень,
оценить значения для стрел из следующей серии, то функция
плотности вероятности, определяемая уравнением (11.3), есть то
среднее распределение, которому должны удовлетворять значения* £,
определенные с помощью выбранной схемы моделирования*
Функция плотности вероятности приведена на фиг. 11.2; физически

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 393
она представляет собой долю от всех величин (стрел), которые*
лежат в области Д| в окрестности \.
Чтобы определить значения £, можно поступить следующие
образом: выберем два случайных числа RA и RB из большого
множества чисел, произвольно распределенных в пределах от 0 до 1.
(Как выбирать эти числа в практических расчетах, будет показана
в разд. 11.3.3.) Затем эти два случайных числа используют, чтобы
выделить точку (Р (|), 5) на фиг. 11.2, полагая Р (|) = RA и £ =
= (£макс — £мин)#в = Ю RB- Полученное значение Р (g)
сравнивают с Р (g) при значении g, вычисленном по уравнению (11.3).
Если случайно выбранная величина
больше вычисленной величины Р (£),
то случайно выбранная величина |
отбрасывается и выбираются два
новых случайных числа. В
противном случае найденное значение |
фиксируется как координата точки
попадания стрелы. Обращаясь вновь
к фиг. 11.2, видим, что такая
процедура гарантирует, что после
большого числа случайных выборок
(Р (|), |) в каждом интервале
Добудет заключена правильная доля
отобранных для использования
величин g.
Трудность, связанная с такой
процедурой отбора событий, состоит
в том, что в некоторых случаях большая часть значений £
оказывается забракованной, так как точки лежат выше кривой Р (!■).
Поэтому желателен более эффективный метод выбора |.
Один из таких методов заключается в интегрировании
функции плотности вероятности Р (£) с помощью общего соотношения
Д® = ) P{V)d\*, (11.4)
— <х>
где R (|) может принимать любые значения в пределах от 0 до 1,
поскольку интеграл под всей кривой Р (|) равен 1 согласно (11.3).
Уравнение (11.4) является общим определением кумулятивной
функции распределения. График R в функции от £, полученной
с помощью соотношения (11.4), определяет вероятность события,
происходящего в пределах от —оо до £. В рассматриваемом здесь
методе функция R задается как число, а £ получается выбором R
наугад с последующим использованием функционального
соотношения R (|) для нахождения соответствующего значения £. Чтобы
показать, что выбранная таким образом плотность вероятности |.
Отбракованные
. 0, значения^
Щ+LZ
Фиг. 11.2. Функция плотности?
вероятности попадания стрел
в мишень.
Р (£) — функция плотности
вероятности, £ — радиальная координата
на мишени.

394
Глава 11
соответствует требуемой Р (£), можно в качестве примера
рассмотреть приведенную на фиг. 11.2 функцию плотности вероятности.
Подставляя Р (|) из уравнения (11.3) в уравнение (11.4) и
учитывая, что Р (I) = 0 при — оо < I < 0, получим
л=|^(6*)«*==1§5- °<Д<1'
(11.5)
Соответствующий график представлен на фиг. 11.3.
1г-
Фиг. 11.3. Кумулятивная функция распределения стрел на мишени.
| — радиальная координата на мишени.
Покажем теперь, что случайный выбор R и определение
соответствующего значения £ с помощью уравнения (11.5)
эквивалентны дифференцированию кумулятивной функции распределения,
причем из рассмотрения (11.5) и (11.3) следует, что производная
просто равна Р (£). Разделим область £ на ряд равных
интервалов Д£. Предположим, в интервале от 0 до 1 выбраны М
значений R и что эти М значений отстоят на равных "расстояниях друг
от друга вдоль R. Получаем М значений £, которые
соответствуют этим М значениям R. Часть этих М значений 5» которая
приходится на данный интервал А|, равна М^/М = A R, откуда
следует, что

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 395
Но Ai?/A|->- (dR/di), если М достаточно велико, а, Д|
достаточно малы. Как можно видеть из (11.5) и (11.3), dRld\ = Р (£).
Таким образом, при выборе величин | с помощью уравнения (11.5)
получается требуемое распределение вероятности.
Во многих физических задачах функция плотности вероятности
зависит более чем от одной переменной. Например, если стрелок
из лука в нашем примере страдает астигматизмом, то в
распределении стрел на мишени может появиться зависимость от
азимутального угла вдобавок к зависимости от радиуса. Если
взаимное влияние переменных таково, что распределение событий можно
представить в виде произведения, то можно записать
/ а, е) = g {%) -h (е),
(11.7)
-а величины Р (£) и Р (0) можно найти интегрированием по
каждой переменной
р&)=-
I /(Б,в)(№
МИН МИН
°макс
/(E) 1 /(в)*е
в„„„
макс °макс
I I f&,Q)d9dl
I f(l)dl I /(в) Л
/(£)
ьмакс
\ 1(1) dl
(11.8)
/>(в) =
/ (1, в) dg
макс ьмакс
/(в)
I fd,Q)didQ I /(в)«те
мин ъмин
(11.9)
Для вычисления величин £ и Э независимо друг от друга
используются методы, приведенные выше в этом разделе.
Если функция / (£, 6) не может быть представлена в виде (11.7)
<т. е. g (|) и А (0) не являются независимыми), то значения |
и 0 можно определить, выбирая два случайных числа R% и i?e
£2, 7]. Заметим, что
^(6, в):
/(6t6)
^макс 0макс
^ J / (I, е) <ze dg
^мин мин

396
Глава 11
Тогда \ и 0 можно найти из уравнений
I емакс
Д«= J J ^(S*. 6)ded|*, (11.10)
-°°емин
e
Re= f i>(6», £ фиксировано) d9*. (11.11)
— oo
причем 5 в уравнении (11.11) — величина, полученная из
уравнения (11.10). Эта процедура может быть распространена на
любое число переменных. Уравнения (11.10) и (11.11) определяют
соответственно частную (маргинальную) и условную функции
распределения Р (|, 0).
11.3.3. Случайные числа
Что такое случайные числа? Случайным называется число,
произвольно выбранное из большого множества чисел,
расположенных на равных интервалах в пределах от 0 до 1. Если
выписать числа 0, 0,01, 0,02, 0,03, ... 0,99, 1,00 на полосках бумаги,
а затем их перемешать и положить в шапку, то вытянутые
несколько полосок будут содержать случайные числа. Если нужно
сделать много выборок, то интервалы следует делать возможно
меньшими (больше полосок). Каждую вытянутую полоску следует
возвращать в шапку и тщательно перемешивать.
Для типичной вычислительной задачи нужно иметь 105 или
более случайных чисел. Конечно, желательно иметь быстрый
способ их получения и уверенность, что выбранные числа
действительно случайные.
Как получать случайные числа? В современной цифровой
вычислительной машине непрактично устанавливать
механический манипулятор и оптическое читающее устройство для выбора
и прочтения полосок, вытягиваемых из шапки. Члюбы получить
истинно случайные числа, можно было бы использовать истинно
случайный процесс. Были испробованы такие явления, как шумы
в электронных цепях или подсчет числа распадающихся в
единицу времени радиоактивных частиц, но оказалось, что эти
способы слишком медленные для их непосредственного использования
в вычислительной машине.
Второй способ состоит в получении таблиц случайных
чисел [10, 11] возможно с помощью одного из процессов,
приведенных выше, и последующем вводе этих таблиц в память машины.
Это обеспечиваем быстрый доступ к случайным числам, но для
сложных задач, требующих большого числа случайных чисел,
такой способ неприменим из-за недостаточной емкости памяти

'Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 397
вычислительной машины. Однако этот метод широко
используется, когда нужно решить небольшую задачу.
В настоящее время наиболее широко практикуется метод
получения случайных чисел для цифровой вычислительной машины
путем генерации псевдослучайных чисел. Он представляет собой
просто подпрограмму, в которой используется кажущаяся
случайность групп цифр в больших числах. Простым примером такой
подпрограммы является следующая процедура: берется
восьмизначное число, возводится в квадрат и затем выбираются средние
восемь цифр из полученного шестнадцатизначного числа, которые
используются в качестве требуемого случайного числа. Когда
необходимо получить новое случайное число, последнее случайное
число возводится в квадрат и средние восемь цифр результата
берутся как новое случайное число. Этот процесс, как отмечает
Шрайдер [7], вырождается после нескольких тысяч циклов
превращением чисел в нули.
Более удовлетворительная программа, используемая в Льюис-
оком исследовательском центре НАСА, основана на
предположении, сделанном в работе [12]. Здесь для получения случайного
числа берется 36 младших разрядов в произведении Rn^K, где
К = 515, a Rn-! — предыдущее случайное число.
Подпрограмма начинается с R0 = 1 или с любого числа й0, заданного
программистом. Начиная данную программу всегда с одного и того же
числа i?0, можно проверить решения, проследив шаг за шагом
несколько циклов решений.
Как удостовериться, что числа являются случайными?
Принятый порядок генерирования псевдослучайных чисел вызывает
опасения. Как проверить, достаточно ли случайна для наших целей
такая псевдослучайность? Не приводит ли такая процедура к
повторам? Если да, то после скольких чисел? Некоторые стандартные
тесты дают частичные ответы на эти вопросы. Более полно эти
вопросы рассматриваются в работах [3, 12, 13]. Ни один из этих
тестов не является достаточным для установления случайности,
хотя выполнение их необходимо. Кендалл и Смит [13] описали
четыре таких теста. Названия их тестов соответствуют
использованными в них методам: частотный тест, серийный тест, покерный
тест и тест интервалов. Эти тесты рекомендуются как «...полезные
и тщательные, но тем не менее недостаточные...»
Возможно, самый надежный путь заключается в составлении
стандартной подпрограммы, проверке ее свойств с помощью таких
тестов и использовании только в тех пределах, в которых она
проверена. Применимость данного генератора псевдослучайных чисел
может быть до некоторой степени проверена генерированием
средних величин из некоторых известных распределений,
появляющихся в рассматриваемой задаче, и сравнением результатов с
аналитически определенными средними величинами.

398
Глава 11
11.3.4. Оценка ошибки
Поскольку решения, получаемые методом Монте-Карло,
являются средними по результатам ряда отдельных испытаний, то они
будут в общем случае содержать пульсации относительно средней
величины. Как в любом процессе такого рода, большая точность
нахождения среднего может быть достигнута путем увеличения
числа величин, используемых при его определении. Хотя и не*
удается обеспечить 100%-ный доверительный уровень для
получаемой величины, можно подойти к нему сколь угодно близкот
если это позволяет бюджет машинного времени. Обычно
формулируются некоторые конкретные правила экономической
целесообразности и оценки желаемой точности для данной задачи,
которых затем придерживаются при ее решении.
Чтобы установить точность решений, применяют один из
следующих тестов. Например, пусть нужно узнать вероятность
достижения некоторого пункта в пределах города при случайном;
блуждании джентльмена, о котором шла речь в разд. 11.3.1.
Чтобы точно определить его успех, мы должны были бы
проследить за бесконечным числом условных персонажей и определить
вероятность Р (Z, ш) достижения ими цели (Z, ш) в следующем
виде:
РЬ») = [Цр-1,„. (11-12)
где S (Z, m)lN — число персонажей S (Z, иг), достигших целиу
деленное на общее число персонажей N. Очевидно, проследить
за бесконечным числом персонажей было бы неэкономично, а
вероятность можно рассчитать, имея дело с конечным числом
персонажей N, порядок которого может быть от 102 до 106. При этом
нужно оценить ошибку \х при аппроксимации бесконечности этим
относительно малым числом.
При N ^ 20, используя центральную предельную теорему
и соотношения, описывающие нормальные распределения
вероятностей, можно показать [3, 7], что приведенное ниже соотношение
справедливо в тех случаях, когда рассматриваемые S персонажей
выходят из некоторого исходного пункта и либо достигают
конечного пункта с вероятностью Р, либо не достигают его с
вероятностью 1 — Р. Вероятность того, что среднее значение S (Z, m)/N
при конечном числе N отличается от [S (Z, iu)/N]n^oo менеа
чем на некоторую величину \i, определяется выражением
P[\jT-{Tr)„J<*h^T'-^W = ^, (11.13)

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 39^
где
N -il/2
Ч^М"Г~; iTr\ ' (И.14>
— (I-1—)
Значения функции ошибок (erf) приводятся в стандартных,
таблицах [14, 15].
Во многих задачах такой анализ ошибок не может быть
использован, поскольку «персонажи» начинают свой путь не из одного*
пункта. Например, поток излучения в точке, расположенной на
границе некоторой замкнутой полосы, может зависеть от
энергии излучения, испускаемого многими источниками. В таких
случаях самый прямой путь оценки ошибки результата (напримерг
ошибки в значении величины потока излучения в точке) состоит
в расчете статистического среднего для группы из / средних
значений. Затем используется центральная предельная теоремаТ
согласно которой статистические пульсации средних имеют
нормальное (гауссово) распределение относительно статистического'
среднего для групп средних значений (группового среднего).
Эта величина называется вариацией. Например, если делается
200 проб, то групповое среднее Р рассчитывается на основе 20О
проб и так же рассчитываются 20 средних значений Рг, Р2. . ►
. . . Pi для каждой из 10 проб. Тогда вариация у1 среднего
решения Р будет равна
г=1 г=1
Такая вариация является просто среднеквадратичным
отклонением группового среднего значения Р от истинного; последнее
можно было бы получить с помощью бесконечного числа проб.
Из свойств нормального распределения ошибок, которому в общем
случае подчиняются результаты расчетов, выполненных методом
Монте-Карло, следует, согласно большинству учебников по
статистике, что вероятность нахождения группового среднего Р
в пределах ± у от истинного среднего равна ~ 68%, в пределах
± 2 у — 95 % и в пределах ± Зу — 99,7%.
Другой мерой статистических пульсаций среднего является
у — стандартное отклонение. Так как у находится извлечением
квадратного корня из (11.15), то, очевидно, чтобы уменьшить у
вдвое, необходимо учетверить число проб, используемых при
вычислении результатов (тем самым учетверяется число / при
неизменном объеме Pt). Это, возможно, означает учетверение
требуемого машинного времени, если не удается уменьшить член в
квадратных скобках вследствие уменьшения вариации (рассеяния)

400
Глава 11
•отдельных средних значений. Много времени и изобретательности
затрачено на попытки уменьшить рассеяние с помощью методов,
имеющих названия: выборка по группам, русская рулетка и
выборочные испытания. Эти и другие способы уменьшения вариации
рассмотрены в работах [3, 7]. Ощутимая экономия машинного
времени при использовании таких методов является щедрой
компенсацией затраты времени на их изучение, и читатель,
намеревающийся использовать метод Монте-Карло для какой-либо
довольно сложной задачи, вынужден применять их.
11.4. ПРИЛОЖЕНИЯ К ПЕРЕНОСУ
ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
11.4.1. Введение
Как указывалось в гл. 8—10, при составлении баланса
энергии в условиях теплообмена излучением получаются интегральные
уравнения, в которых неизвестными являются распределения
температуры по поверхности или теплового потока. Интегральные
уравнения получаются также при рассмотрении теплообмена
излучением в излучающих средах типа газов. Эти уравнения
достаточно трудно решаются и являются следствием использования
«макроскопического» подхода при выводе соотношений для тепловых
потоков. Принимая вероятностную модель процесса
радиационного обмена и метод Монте-Карло, можно использовать
«полумакроскопический» х) подход и избежать многих трудностей, присущих
процессам осреднения при записи обычных интегральных
уравнений. При таком подходе можно исследовать действие малых
составляющих интегральной энергии, а не пытаться решить сразу задачу
для всей энергии. Рассмотрим микроскопическую модель процесса
радиационного обмена, а затем приведем два примера.
11.4.2. Модель процесса радиационного обмена
Обычно в технических расчетах нас интересуют локальные
температуры и потоки энергии. Представляется целесообразным
моделировать процесс радиационного обмена, прослеживая
распространение дискретных порций энергии («пучков»), поскольку
локальный поток энергии легко затем рассчитать как число таких
«пучков», достигающих единичной площадки в некоторой точке
в единицу времени. Очевидной визуализацией «пучка»
является фотон, однако его неудобно использовать в качестве
«модельной» частицы, так как его энергия зависит от его длины волны.
Для наших целей более подходит модельная частица в виде связки
х) Или «полумикроскопический».

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 401
Поверхность
площадью А2,
Т9 = 0
Типичный путь
пучка энергии
фотонов, которая представляет собой пучок, переносящий
данное количество энергии w. Мы можем легко представить себе
эту модель в виде группы фотонов, связанных вместе. В тех
задачах, в которых рассматриваются спектральные величины и длина
волны пучка задана, фотоны с этой
длиной волны группируются
вместе, образуя пучок с энергией w.
При одинаковой энергии всех
пучков локальный поток энергии
рассчитывается путем подсчета
числа пучков, достигающих
рассматриваемой единицы площади
в единицу времени, и умножения
результата на энергию пучка.
Пробеги пучков и их истории
рассчитываются методом
Монте-Карло, как будет показано в одном
из примеров.
11.4.3. Пример решения
Рассмотрим, например,
довольно простую задачу, приведенную фиг> 11Л. Теплообмен излуче-
в работе [16], и исследуем пере- нием между двумя поверхностя-
нос энергии между элементарной ми.
площадкой cL41? находящейся при
температуре 7\, и бесконечной плоской поверхностью А2 при
температуре Т2 = 0 (фиг. 11.4). Пусть степень черноты
элементарной площадки
a,i=ei,i(KPuTl), (иле)
а поверхности 2
€i,2 = €i,2(b, Р2, Т2). (11.17)
Допустим, что степень черноты обеих поверхностей не зависит от
азимутального угла 8.
Для элементарной площадки dAx интегральная энергия
излучения, испускаемого в единицу времени, равна
dQe,i = 6i(Ti)eridAi, (11.18)
где 6г (7\) — интегральная полусферическая степень черноты,
определяемая в этом случае соотношением (3.6а):
I I £'х, 1 (*> Pi. Ti> 1%ь, #• г»)cos Р *» Л
€i (Ti) = — -щ ■
(11.19)

402
Глава 11
а 1%ъ, 1 (^, 7\) — спектральное распределение Планка
интенсивности излучения черного тела при температуре Тг.
Если предположить, что dQ6i г — интегральная энергия
излучения, испускаемого в единицу времени элементарной площадкой
dAt,— состоит из N пучков энергии, то энергия каждого пучка w
будет равна
Wss*Qe^9 (11.20)
Чтобы определить энергию, передаваемую от элементарной пло^
щадки &АХ поверхности 42, проследим за N пучками энергии,
испускаемыми йАъ и определим число пучков £2, поглощаемых
А2. Если энергия излучения, отраженного от А 2 к Al7 а затем
обратно к А2, пренебрежимо мала, то поток энергии от dAx к А2
будет равен
dQ\ -* поглощенная 2 = М^г = ]у ^2* (11 -21)
Теперь' рассмотрим, как определить направление
распространения пучка и его длину волны. Это необходимо сделать таким
образом, чтобы направления и длины волн N пучков
соответствовали ограничениям, определяемым степенью черноты
поверхности и законами, описывающими радиационные процессы.
Например, если мы задаем длины волн N пучков, то спектральное
распределение энергии испускаемого излучения, задаваемое процессом
Монте-Карло (распределение энергии wN\ АХ для дискретных
интервалов ДА,), должно достаточно точно воспроизводить
действительный спектр энергии испускаемого излучения (в виде
зависимости я£х, г1^ьч 1dX от А,). Чтобы гарантировать это, применяют
методы, изложенные в разд. 11.3.2.
Поток излучения, испускаемого элементарной площадкой dAx
в интервале длин волн dX, включающего длину волны А,,в пределах
телесного угла dpx, осью которого является направление Р1г
равен
d3Q'u, 1 (К Pi) = 2я&, 1 (X, pi, Г,) fo, ! (X, Tt) cos р4 dAi sin pi dpi dX.
(11.22)
Интегральный поток излучения, испускаемого йАъ определяется
уравнением (11.18). Вероятность Р (А,, рх) dpx dX испускания
излучения в интервале длин волн, включающем А,, в телесном угле,
осью которого является направление рх, равна тогда потоку
излучения в интервале d$xdX [уравнение (11.22)], деленному на
интегральный поток излучения [уравнение (11.18)]:
_ 2я^'! (А,, р,) fo, i (Я) cos fo sin pt dpj h

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 403
(Для простоты указание на функциональную зависимость от Тг
опущено.)
Предположим теперь, что направленную спектральную степень
черноты можно представить в виде произведения функции двух
переменных: угла и длины волны, т. е.
€Li(^Pi)=Oi(k)<MPi). (11-24)
Это допущение, вероятно, несправедливо для большинства
реальных поверхностей, так как в общем случае угловое распределение
степени черноты зависит от длины волны, как показано, например,
на фиг. 5.1. Из (11.24) следует, что зависимость степени черноты
от каждой переменной может быть найдена интегрированием по
другой переменной [см. уравнение (11.9)]. Тогда
нормализованная вероятность испускания излучения в интервале dX будет равна
я/2
P(X)dX = dX \ Р{Х, Pi)#i =
о
я/2
2ndX I €х, 1 (*. Pi) *ы tWeinPiCosPidPi
= ^п • (11'25а>
Подставляя результат в (11.4) и учитывая, что Р (X) dX =■ О
в интервале — оо <^Х <0, получим
Я, я/2
2я I I €х il**«Pi>'ib i^sinPiCOflPidPidX*
R,=—^ ^ • (и-25б>
где звездочкой отмечена переменная интегрирования. Если числа
пучков N велико и это уравнение решается относительно X для
каждой случайной величины i?x, то длр практических
приложений время счета оказалось бы слишком большим. Чтобы обойти
эту трудность, уравнения типа (11.256) можно заранее численно
проинтегрировать для ряда значений X и по полученным
результатам построить кривую. Часто хорошим ее приближением
оказывается полином
X~A + BRb + CRi+... . (11.26)
Полином (11.26) чаще используется в программе решения задачи*
чем уравнение (11.256).
Аналогичным образом получим соотношение для полярного
угла Pi
^=1 lP№,*>)dXd№ =
о о
2я fj ^ t (X, Pf) ^b, t (W sin Pf cos p* dX dp*
=—— §s? > (и-27>

404
Глава 11
которое также можно аппроксимировать полиномом
^i = D+ER^i + FRli+... . (11.28)
Если dAi — диффузно-серая поверхность, уравнение (11.256)
преобразуется к виду
х
я 1^ 1 (Я*) <а*
^Я,, дифф.-серая = ^i ~ ^0-Ь (11.29)
где F0_^ — доля энергии интегрального излучения черного тела
в интервале длин волн от 0 до X. В этом случае (11.27)
преобразуется к виду
Я01,дифф,серая = 2 ) sin Р? cos р? d^>t = sin» Pi (11.30a)
0
или
8ЬР1 = 1^Чяифф._еерая- (И-30б)
Здесь следует отметить, что трудности вычисления X по
уравнениям (11.26) или (11.29) примерно одинаковы; при вычислении
Рх по уравнениям (11.28) или (11.306) различие также невелико.
Различие между несерым недиффузным излучателем и серым
диффузным излучателем обнаруживается главным образом при
дополнительном численном интегрировании уравнений (11.256) и (11.27).
Эти интегрирования проводятся однажды для получения аппрок-
симационных кривых, после чего расчет по основной программе
для более сложного случая можно производить точно так же, как
и для более простого. Таким образом, усложнение задачи приводит
только к пропорциональному усложнению программы Монте-
Карло и к соответствующему увеличению времени счета.
Для отдельного пучка энергии, испускаемого поверхностью
4АХ, длину волны А, можно получить с помощью (11.26), а угол
рх — с помощью] (11.28), выбирая два случайных числа Rx
и R$r Остается только задать азимутальный угол Qv Поскольку
раньше было принято допущение, что испускание излучения не
зависит от угла 0Х, легко показать с помощью формальных
преобразований (это также вполне очевидно интуитивно), что 0Х можно
определить следующим образом:
б^глЯе!, (11.31)
где RQl — также случайное число, выбираемое в пределах от 0 до 1.
Так как положение плоскости Л2 относительно dAx известно,
то достаточно просто определить, падает ли данный пучок энергии,
испускаемый dAx в направлении (Р1? 0Х), на плоскость А2.
(Он попадет на поверхность А2, если cos 0Х ^> 0, как показано

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 405
на фиг. 11.4.) Если рассматриваемый пучок не попадет на
поверхность А 2, элементарная площадка с1Аг должна испустить
следующий пучок. Если этот пучок достигает Л2, то нужно определить,
поглотится он или отразится. Для нахождения угла падения ра
пучка на А 2 используем геометрическое соотношение
cos р2 = sin pi cos 6Х. (11.32)
Зная поглощательную способность поверхности А2 из закона
Кирхгофа
ai>2(b, Р2) = €х,2(Ь, Р.) (Н.ЗЗ)
и определив длину волны А, падающего пучка с помощью (11.26),
а угол падения р2 — с помощью (11.32), можно определить
вероятность поглощения пучка поверхностью А2. Вероятность
поглощения просто равна поглощательной способности поверхности А2,
вычисленной при Р2 и X, поскольку, по определению,
направленная спектральная поглощательная способность а^ 2 (А,, Р2) есть
часть энергии излучения, падающая на поверхность А2 в данном
интервале длин волн в пределах данного телесного угла, которая
поглощается поверхностью. Она также представляет собой точное
определение вероятности поглощения отдельного пучка.
Поглощательная способность является, таким образом, функцией
плотности вероятности поглощения падающего излучения. Теперь
легко определить, поглотится ли пучок энергии падающего излучения,
сравнив поглощательную способность поверхности а^ 2 (X, Рг)
со случайным числом Ra2- Если
Ra2<ak,2(K Р.), (И-34)
то пучок энергии поглотится и показание счетчика S2 в памяти
машины возрастет на единицу. В противном случае предполагают,
что пучок отражается, и его дальше не рассматривают. Если же
следить за ним далее, то необходимо было бы рассмотреть
повторное отражение пучка от dA±. Этим можно пренебречь, если
поглощательная способность поверхности А 2 велика или если
направленная отражательная способность такова, что в направлении
падения отражается мало пучков. Если такими отражениями
пренебрегать нельзя, то следует выбрать углы отражения по известным
зависимостям для направленных отражательных способностей
и проследить затем путь пучка до тех пор, пока он не поглотится
поверхностью А 2 или не покинет систему. В рассматриваемом
примере нет смысла прослеживать путь пучка после его отражения
от поверхности А2, так как вывод необходимых соотношений
подобен уже представленному.
Выберем теперь новый пучок, испускаемый поверхностью dAl9
и проследим его историю. Эта процедура будет продолжаться до
тех пор, пока все N пучков не покинут dAt. Энергия излучения,
поглощенного А2, будет затем вычислена по уравнению (11.21).

406
Глава 11
На этом закончим вывод уравнений, необходимых для
решения данного примера. При составлении блок-схемы программы
(фиг. 11.5) можно использовать некоторые методы сокращения
машинного времени. Например, сначала вычисляют угол 01# Если
при этом выясняется, что пучок не достигает поверхности А2, то
Начало
ВОов исходных
данных
Установка
счетчиков
п -0
S2»0
Испускание
пучка
п = п + 1
*\ - 27rR9i
Нет
Коней,
Печатание
результатов
dQj.2 = wS2
Нет
Выбор
длины волны |
пучка
Х = А + BRX + ... |
\Bbfdop полярного \
1 игла
Pi-D + ER^...!
Фиг. 11.5. Блок-схема программы расчета.
нет смысла вычислять X и рх для этого пучка. Кроме того, так
как величины 0! распределены изотропно, то только половина
пучков может достичь поверхности А2. Поэтому рассчитываемые
величины 0Х можно ограничить интервалом — я/2 <9i <л/2.
Постановка данной задачи для ее решения методом Монте-
Карло закончена. Проницательный читатель заметит, что этот
пример можно было бы решить без больших хлопот^ стандартными
методами. Более проницательный читатель заметит, что при
решении задачи посложнее стандартными методами пришлось бы стол-

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 407
кнуться q большими трудностями. Введите, например, в эту
задачу третью поверхность с направленными свойствами и учтите все
вз аимодействия.
11.4.4. Рекомендуемые соотношения
Ряд полезных соотношений для выбора углов испускания
излучения и задания длин волн пучков даны в предыдущем разделе.
Эти и другие соотношения, заимствованные из работ, посвященных
радиационному переносу, сведены в табл. 11.1.
Таблица 11.1
Соотношения между случайными числами и переменными,
характеризующими испускание излучения (в предположении
независимости от угла 9)
Переменная
Излучение
. Соотношение
Полярный угол
Р
Азимутальный
угол 6
Длина волны X
Диффузное
Направленное
серое
Направленное
несерое
Диффузное
Черное или
серое
Диффузное
несерое
Направленное
несерое
sin^ = R^2
Rr =
Дя =
2 \ £' (р*) sin Р* cos р* dp*
о
0оо
2я I I €х (*" Р*) *хь Мsin Р* cos Р*^Р*
о о
£оТ*
6 = 2я/?0
R% =
д*-
о
£оТЬ
А, я/2
2я! I ^a'P*)^(^*)sinPcosPdP^*
о о
£оТ*
ПРИМЕР 11.1. Рассмотрим две очень длинные поверхности
равной ширины, расположенные под углом 90° друг к другу
(фиг. 11.6). Их температуры: Тг = 1000 К, Т2 = 2000 К.
Краевыми эффектами можно пренебречь. Поверхность 1 диффузно-серая

408
Глава 11
и имеет степень черноты 0,5. Поверхность 2 серая, но ее
радиационные свойства зависят от направления; направленные
интегральные степень черноты и поглощательная способность описываются
соотношением
(11.35)
e;(P2)=a;(P2)=o,5cosp2.
Предположим для простоты, что поверхность 2 отражает диффуз-
но. С помощью метода
Монте-Карло составим
блок-схему расчета
количества энергии, которое
необходимо подвести к каждой
поверхности для
поддержания ее температуры
постоянной. Предположим,
что окружающее
пространство находится при
температуре Т = 0 К.
Плотность потока
излучения, испускаемого
поверхностью 1, равна
ge,i = €iar}.
Если с единицы площади
поверхности 1 в единицу
времени испускается Nx
пучков энергии, то энергия
пучка будет равна
Фиг. 11.6. Геометрическая конфигурация
для примера 11.1.
W-
^ = -1^1.(11.36)
Ni
Плотность потока излучения, испускаемого поверхностью 2,
равна
л/2
gef2 = 2a7,;j £ (р) cos р sin ИР =
о
я/2
= <тГ* j cos2P sin Р <ф =
ПРЕСЛИ испускаемый поверхностью 2 пучок несет то же самое
количество энергии w, что и пучок, испускаемый поверхностью 1, то
wN2*=
оП

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 409
Подставляя в это соотношение (11.36) и значения £х, Тг и Т2У
получим
_ oTi Nt 32 „ ж -
Поскольку каждый пучок имеет одинаковую энергию и
поверхность 2 испускает в 32/3 раз больше пучков, чем поверхность 1,
ясно, что поверхность 2 будет играть определяющую роль в
переносе энергии.
Теперь найдем распределение по направлениям пучков,
испускаемых двумя поверхностями. Поверхность 1 излучает диффузно,
и к ней применимо уравнение (11.306). Для поверхности 2 следует
использовать уравнение (11.27). Подставляя (11.35) в (11.27),
получим для случая серой поверхности с направленными
свойствами
2ni'b, 2 J" (°*5 cos К) sin Р* cos Pf df|
R$2 =
Подставляя сюда выражение (11.19) для интегральной
полусферической степени черноты, получим
Р2
I cos2 р* sin р* dp*
Rte = ~щ = ! - cos3 Р«-
J cos2 p2 sin p2 dp2
0
Поскольку R и 1 — Я представляют собой однородные
распределения случайных величин в интервале 0 ^ R ^ 1, можно
записать
cosp2 = i?^3.
С помощью аналогичных рассуждений уравнение (11.306) можно
записать в виде
cosPi = /#2.
Поскольку радиационные свойства обеих поверхностей не зависят
от угла 9, к ним применимо соотношение (11.31).
Таким образом, мы определили распределение пучков по
направлениям испускания. Теперь необходимо определить точку, из
которой исходит каждый пучок. Поскольку обе поверхности
изотермические, испускание излучения каждой из них будет
однородным. Тогда случайные координаты х (фиг. 11.6) на данной
поверхности могут быть приняты за точки испускания. Такая
методика требует генерации случайных чисел*. Машинное время,
требуемое для генерации случайных чисел, можно сэкономить, если

410
Глава 11
учесть, что испускание пучка представляет собой начало процесса,
исследуемого методом Монте-Карло, следовательно, ни один
из предшествующих процессов не исключается использованием
случайных чисел. В этом случае значения х вдоль L можно
задавать в виде
где п — индекс процесса распространения пучка, который уже
начался; 1 ^ п ^ N.
Теперь можно определить координату и направление
испускания каждого пучка любой из поверхностей. Дальнейшие расчеты
связаны с определением, попадет ли испущенный пучок на
соседнюю поверхность или же выйдет за пределы полости. Из фиг. 11.6
следует, что при я ^ 0 ^ 2я пучки будут выходить за пределы
полости при любом р, а при 0 <Э <зх это будет происходить,
если
P. a:/sin 6 1
< Г7о" = ЗТГ •
[(*/sin 6)2 + L2]l/2 [1 + (L sin е/я)2]1'2
Угол падения на поверхность (^выражается] через углы рб и 0$,
под которыми пучок испускается другой поверхностью
cos Pi = sin Ре sin 0<>.
Теперь мы располагаем всеми необходимыми соотношениями.
Составим блок-схему, чтобы расположить все эти соотношения
в правильной последовательности. Отражение обеими
поверхностями предполагается диффузным. Полученная блок-схема
представлена на фиг. 11.7. По ней можно проследить путь проведения
расчетов для рассматриваемой задачи. Использование индексов б,
б' и 6" позволяет уменьшить размеры диаграммы. Индекс б всегда
относится к стенке, первоначально испустившей данный пучок;
индекс б' относится к стенке, на которой в настоящий момент
происходит отражение или испускание. Индекс б" означает
приведение распределения углов испускания излучения Р в соответствие
либо с jRpj, либо с i?p2, а всех отраженных пучков — в
соответствие с диффузным распределением.
11.4.5. Приложение к задачам теплообмена излучением
между поверхностями
Стандартные или обычные методы решения задач переноса
тепла излучением между поверхностями при отсутствии между
ними поглощающей среды были изложены в гл. 7—1(). При
решении задач некоторых типов стандартные методы имеют
преимущества и превосходят метод Монте-Карло в скорости и точности.

Конец
^Подвод энергии-
\Если Ъ'~\, пусть &'■ 2
\Если б'=2, njcmb Ь'- 1
Фиг. 11.7. Блок-схема программы расчета для примера 11.1.

412
Глава 11
Рассмотрим теперь, в каких случаях целесообразно применять
метод Монте-Карло.
Основная польза от применения этого метода к анализу
теплового излучения состоит в следующем: сложность программы
Монте-Карло возрастает примерно пропорционально сложности
задачи,, в то время как трудность получения обычных решений
возрастает примерно пропорционально квадрату сложности задачи, что
обусловлено матричной формой записи таких задач.
Метод Монте-Карло несколько более труден в приложении
к простейшим задачам, однако он наиболее эффективен при
решении задач, в которых рассматриваются сложные геометрические
конфигурации и учитываются переменные свойства.
Применительно к сложным геометрическим конфигурациям преимущество
метода Монте-Карло состоит в том, что путь данного пучка
энергии описывается простыми соотношениями, в то время как в
большинстве других методов требуется явное или неявное
интегрирование но площадям поверхностей. Такое интегрирование трудно
выполнить для поверхностей с переменной кривизной или
перекошенных поверхностей.
Вычисление угловых коэффициентов. Расчет угловых
коэффициентов стандартными способами выполняется с некоторыми
допущениями, которые ограничивают их применимость. При
выводе этих коэффициентов в гл. 7 были сделаны следующие
допущения: рассматриваемые поверхности являются серыми и
диффузными излучателями и отражателями; каждая поверхность
является изотермической; интегральный поток излучения,
падающего на поверхность и испускаемого ею, равномерно распределен
по этой поверхности. Некоторые из этих допущений могут
оказаться очень нестрогими. Большинство поверхностей не являются
ни серыми, ни диффузными, и обычно распределение потоков
излучения до некоторой степени отклоняется от равномерного. Когда
необходимо учитывать отклонения от этих допущений, расчеты
угловых коэффициентов становятся сложными, и если система
содержит неплоские поверхности, то метод Монте-Карло может
стать неоценимым. Однако следует заметить, что если не требуется
параметрического исследования обмена энергией излучения
внутри замкнутой полости с заданными свойствами, то возможно
проще рассчитать все распределение потоков излучения методом
Монте-Карло, чем вычислять угловые коэффициенты методом
Монте-Карло и затем с помощью вспомогательной программы
рассчитывать обмен энергией с применением этих коэффициентов.
При расчетах по методу Монте-Карло угловые коэффициенты
тождественно равны той доле энергии интегрального излучения
испускаемых поверхностью пучков, которая достигает второй
поверхности. При этом не делается никаких ограничений относи-

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 413
тельно зависимости свойств поверхностей от длины волны и
направления и равномерности распределения испускаемого и
отраженного потоков.
Корлет [17] рассчитал разрешающие угловые коэффициенты х)
для различных геометрических конфигураций, включая щели,
Фиг. 11.8. Разрешающие угловые коэффициенты излучения между черными
торцами цилиндра с диффузно отражающей внутренней поверхностью [17].
€i = £2 = 1; JE1-2 — разрешающий угловой коэффициент, L/D — отношение длины
к диаметру, N — полное число пучков в единицу времени.
а также круглые и прямоугольные каналы при различных
комбинациях диффузного и зеркального отражений на внутренних
поверхностях и торцах. Эти коэффициенты определяют долю
излучения, испускаемого данной поверхностью, которая достигает
другой поверхности всеми возможными путями, включая
промежуточные отражения. Результаты расчета разрешающих угловых
коэффициентов излучения между черными торцами цилиндра
с диффузно отражающей внутренней поверхностью приведены
на фиг. 11.8.
х) Английский термин для этой величины соответствует названию
«коэффициент обмена». При переводе книги использовался термин «разрешающий
угловой коэффициент» [15*].— Прим. ред.

414
Глава 11
Вайнер и др. [18] вычислили методом Монте-Карло некоторые
простые угловые коэффициенты для сравнения с результатами
аналитических решений. Затем они рассмотрели обмен энергией
внутри оболочки, состоящей из пяти зеркально отражающих граней,
предполагая, что каждая грань имеет направленную степень
черноты, зависящую от полярного угла излучения.
Они также рассмотрели случай обмена энергией внутри
системы, напоминающей оптическую систему. Эта система представляла
собой замкнутую оболочку, выполненную из сферической и
конической поверхностей, охватывающих цилиндрический
зеркальный отражатель с двумя поверхностями. Ясно, что при обычной
постановке задача теплообмена излучением внутри этой' системы
требует безрадостного многочасового анализа пределов
интегрирования.
Свойства полости. В литературе известно по крайней мере
одно решение, полученное методом Монте-Карло, для поверхности,
участвующей в радиационном обмене с удаленным источником.
Рг
Фиг. 11.9. Двунаправленная отражательная способность конической полости
с диффузно отражающей поверхностью [19].
Угол конуса 30°. Угол падения излучения 60°; Рг — угол отражения в плоскости падения;
р — отражательная способность поверхности; р" — двунаправленная отражательная
способность.
Это случай конической полости с диффузно отражающей
внутренней поверхностью. Польгар и Хауэлл [19] исследовали
двунаправленную отражательную способность полости, подверженной
воздействию пучка параллельно падающего излучения, а также
определили направленную степень черноты полости. Переменными
параметрами были угол падения, угол при вершине конуса и
степень черноты внутренней поверхности конуса. Один из получен-

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 415
ных графиков представлен на фиг. 11.9. В литературе не было
обнаружено никаких данных для непосредственного сравнения
с рассчитанными направленными свойствами. Однако для
полусферической поглощательной способности были получены результаты
путем интегрирования направленных величин, которые были
сопоставлены в работе [20] с аналитическими результатами,
приведенными в работе [21]. Это сравнение показано на фиг. 11.10.
Фиг. 11.10. Сравнение кажущейся поглощательной способности конической
полости, рассчитанной методом Монте-Карло [20], с аналитическим
расчетом [21].
О метод Монте-Карло [20]; аналитический расчет [21]; у — угол при вершине
конуса, град; р — поглощательная способность поверхности; рс — кажущаяся
полусферическая поглощательная способность конической полости.
Результаты расчета двунаправленной отражательной
способности методом Монте-Карло [19] имеют разброс, который зависит
от числа пучков энергии, отраженных от внутренней поверхности
конуса и проходящих через некоторый элемент площади на
воображаемой единичной полусфере, охватывающей коническую
полость. Пример этого показан на фиг. 11.11, где представлено
стандартное отклонение результатов расчетов двунаправленной
отражательной способности при различных углах отражения.
Телесный угол, стягиваемый элементарными площадками на
полусфере с одинаковыми угловыми приращениями Д(ЗД9, изменяется
пропорционально синусу угла отражения, так что число пучков
энергии в единице телесного угла dco = sin РсфсЮ вблизи оси
конуса оказывается очень малым. Это приводит к большему раз-

416
Глава 11
бросу результатов для углов, расположенных вблизи оси конуса,
где sin Р -> 0.
Фиг. 11.11. Ожидаемое стандартное отклонение результатов расчетов
двунаправленной отражательной способности конической полости с диффузной
стенкой [19].
Рг — угол отражения в плоскости падения; р" — двунаправленная отражательная
способность.
Применение результатов к поверхностям с селективными
и направленными свойствами. Известно небольшое число работ,
посвященных задачам теплообмена излучением между
поверхностями с направленными и селективными свойствами. По-видимому,
это обусловлено двумя причинами. Во-первых, не часто в
литературе можно найти точное и полное описание спектральных и
особенно направленных свойств поверхностей. Поэтому может не
оказаться необходимых данных для решения задачи с учетом этих
свойств. Во-вторых, задачи такого рода обычно весьма
специфичны и представляют небольшой интерес для широких кругов
читателей и поэтому не публикуются в открытой литературе. Как
указывали Данн и др. [22], теперь, когда появились данные о
радиационных свойствах поверхностей, существуют методы
решения задач о теплообмене излучением между такими
поверхностями, и одним из наиболее подходящих является метод Монте-Карло.
Тур, Висканта и др. [23—26] успешно использовали метод
Монте-Карло для решения некоторых задач с учетом
направленных и селективных свойств поверхностей. Некоторые из этих
результатов были рассмотрены в гл. 10.

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением kYl
11.4.6. Трудности, связанные со статистическим
характером метода Монте-Карло
Расчеты по методу Монте-Карло дают результаты, которые
колеблются около действительного значения, поскольку этот
метод представляет собой повторяющийся эксперимент,
использующий математическую модель вместо реальной физической
задачи. Для определения погрешности можно использовать
стандартные статистические тесты; ее можно уменьшить такими же
способами, как и ошибки эксперимента, т. е. путем осреднения
большого числа проб (историй пучков) и (или) путем уменьшения
вариации отдельных проб.
Не существует строгих критериев, гарантирующих сходимость
результатов, полученных методом Монте-Карло, к
действительным решениям. Однако до сих пор сходимость не вызывала
трудностей при решении задач теплообмена излучением. Часто
становится очевидной сходимость к ошибочным решениям, которая
связана с предельными решениями и физическими ограничениями
для большинства радиационных задач.
Наибольшая трудность при использовании метода проб связана
с определением оптимального размера выборок проб. Такие
трудности свойственны многим процессам переноса, которые в
математическом отношении сродни процессам переноса излучения,
поэтому для получения адекватного размера выборок проб были
разработаны методы «взвешивания» длин свободного пробега
пучков. С помощью этих методов ценой дополнительных
сложностей удается сократить машинное время и повысить точность.
11.4.7. Заключительные замечания
В данной главе был рассмотрен метод Монте-Карло,
применяемый для решения сложных задач радиационного обмена. Были
приведены два примера, показаны преимущества и недостатки
метода с соответствующими ссылками на источники.
Из изложенного следуют некоторые выводы. Во-первых, метод
Монте-Карло по-видимому имеет определенное преимущество
перед другими методами расчета обмена излучением, когда
трудности решения рассматриваемой задачи выше некоторого
неопределенного уровня. Этот уровень обычно не может быть установлен,
поскольку он зависит не только от данной частной задачи, но,
возможно, от опыта, квалификации и привычек отдельного
программиста. Метод Монте-Карло несколько уступает в общности
другим методам, поскольку для каждой задачи требуется своя
методика и часто нелишней оказывается изобретательность
исследователя. Это возлагает дополнительное бремя на программиста,
требует мобилизации его опыта и интуиции, в то время как
стандартные методы, если они вообще применимы, позволяют
программисту руководствоваться обычным справочником программ.

418
Глава 11
Во-вторых, в современных задачах теплообмена излучением
параметры и математические соотношения обычно заключены в
пределах, позволяющих составлять программы расчета по методу
Монте-Карло без использования более экзотических схем, как
это обычно бывает при исследовании других явлений переноса
методом Монте-Карло.
В-третьих, несмотря на все свои преимущества, метод имеет
ряд недостатков. Худшие из них — статистический характер
результатов и отсутствие гарантированной сходимости к
истинному среднему значению. Следует заметить, что последний
недостаток присущ многим методам решения сложных задач, поскольку
строгие математические критерии, гарантирующие сходимость
решения, известны в редких случаях.
Наконец, при использовании метода Монте-Карло часто
облегчается понимание физической сущности рассматриваемых задач,
поскольку анализируемая модель проста, а ее математический
аппарат менее сложен. Напротив, при использовании, скажем,
матрицы интегральных уравнений достигаются довольно бедные
физические представления и весьма скудные результаты.
Литература
1. Хауэлл Дж. Р., Применение метода Монте-Карло к задачам
теплопередачи, сб. «Успехи теплопередачи», изд-во «Мир», М., 1971, стр. 7—67.
2. Kahn Н., Applications of Monte Carlo. Rep. № RM-1237—AEG (AEG
№ AEGU-3259), Rand Corp., Apr. 27, 1956.
3. Hammersley J. M., Handscomb D. C., Monte Carlo Methods, Wiley, New
York, 1964.
4. The Bible, 1 Kings 7 : 23; 2 Chron. 4 : 2.
5. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo Method, /. Am. Statist. Assoc.
44, № 247, 335-341 (1949).
6. Cashwell E. D., Everett C. J., A Practical Manual on the Monte Carlo
Method for Random Walk Problems, Pergamon Press, New York, 1959.
7. SchreiderYu. A. (ed.), Method of Statistical Testing—Monte Carlo Method,
American Elsevier Publishing Company, Inc., New York, 1964.
8. Brown G. W., Monte Carlo Methods, in Modern Mathematics for the
Engineer, E. F. Bechenbach (ed.), pp. 279—307, McGraw-Hill, New York, 1956.
9. Meyer H. A. (ed.), Symposium on Monte Carlo Methods, Wiley, New York,
1956.
10. Rand Corp., A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates, The
Free Press of Glencoe, 111., Chicago, 1955.
11. Kendall M. G., Smith В. В., Tables of Random Sampling Numbers, 2d ser.,
Cambridge University Press, London, New York, 1954.
12. Taussky O., Todd J., Generating and Testing of Pseudo-Random Numbers,
Symposium on Monte Carlo Methods, in H. A. Meyer (ed.), 15—28, Wiley,
New York, 1956.
13. Kendall M. G., Smith В. В., Randomness and Random Sampling Numbers,
Roy. Statist. Soc. /., pt. I, 147—166 (1938).
14. Двайт Г. В., Таблицы интегралов и другие математические формулы,
изд-во «Наука», М., 1964.
15. Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, Физмат-
гиз, 1959 (третье издание).

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 41£
16. Howell J. R., Calculation of Radiant Heat Exchange by the Monte Carla
Method, Paper № 65—WA/HT—54, ASME, November 1965.
17. Корлет P. К., Непосредственное применение метода Монте-Карло к
расчету лучистого теплообмена в вакууме, Труды амер. об-ва инж.-мех., сер. Сг
Теплопередача, № 4, 43 (1966).
18. Weiner М. М'., Tindall J. W., Gandell L. M., Radiative Interchange Factor»
by Monte Carlo, Paper № 65-WA/HT-51, ASME, Nov. 1965.
19. Polgar L. G., Howell J. R., Directional Thermal-radiative Properties of
Conical Cavities, NASA TN D-2904, 1965.
20. Polgar L. G., Howell J. R., Directional Radiative Characteristics of
Conical Cavities and Their Relation to Lunar Phenomena, in Thermophysics and
Temperature Control of Spacecraft and Entry Vehicl s, G. B. Heller (ed.),
311—323, Academic Press, Inc., New York, 1966.
21. Sparrow E. M., Jonsson V. K., Radiant Emission Characteristics of Diffuse
Conical Cavities, /. Am. Opt. Soc, 53, № 7, 816—821 (1963).
22. Dunn S., Richmond T. J. C, Parmer J. F., Survey of Infrared Measurement
Techniques and Computational Methods in Radiant Heat Transfer, /.
Spacecraft Rockets, 3, № 7, 961—975 (1966).
23. Toor J. S., Radiant Heat Transfer Analysis among Surfaces Having
Direction Dependent Properties by the Monte Carlo Method, M. S. thesis, Purdue
University, 1967.
24. Viskanta R., Schornhorst J. R., Toor J. S., Analysis and Experiment of
Radiant Heat Exchange Between Simply Arranged Surfaces, Purdue
University (AFFDL-TR-67-94, DDC № AD-655335), June 1967.
25. Toor J. S., Viskanta R., A Numerical Experiment of Radiant Heat
Exchange by the Monte Carlo Method, Int. /. Heat Mass Transfer, 11, № 5r
883—897 (1968).
26. Toor J. S., Viskanta R., Effect of Direction Dependent Properties on
Radiant Interchange, /. Spacecraft Rockets, 5, № 6, 742—743 (1968).
Задачи
1. Элементарная площадка dA± имеет направленную степень
черноты £[ (Р) = 0,8 cos р. Используя метод Монте-Карло г
найти для приведенной ниже геометрической конфигурации
долю энергии излучения, испускаемого dAu которая и
поглощается черным диском А2. Сравнить полученный
результат с аналитическим решением.
Ответ: 0,35.
0,53 м

420
Глава 11
2. Составить блок-схему расчета методом Монте-Карло углового
коэффициента Fdi-2 между элементарной площадкой и
перпендикулярным ей диском из примера 7.6.
3. Составить полную блок-схему решения методом Монте-Карло
задачи 8.7 для случая серых поверхностей.
4. Составить программу и решить задачу 11.3 при L = 1, (^ =
= £2 = 1 и при L = 1, £i = £2 = 0,5. Сравнивая эти два
результата, проверить результат решения задачи 8.7,6.
5. Методом Монте-Карло получить решение задачи о теплообмене
между несерыми бесконечными параллельными пластинами,
рассмотренной в примере 10.2.
6. Методом Монте-Карло получить решение второй части
примера 9.5, когда поверхность АА отражает зеркально.

12
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
ПРИ НАЛИЧИИ ДРУГИХ ВИДОВ
ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ
12.1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих главах рассматривался перенос тепла только
излучением. Во многих реальных системах, однако, значительное
количество тепла может переноситься также путем
теплопроводности и (или) конвекции, поэтому необходимо учитывать
совместное действие всех видов переноса тепла. Их взаимодействие в
некоторых случаях достаточно простое. Например, диссипация
тепла вследствие излучения и конвекции может быть, по существу,
независимой, и поэтому ее можно рассчитывать по отдельности,
а затем суммировать. В других случаях взаимодействие весьма
сложное.
Рассмотрим некоторые примеры такого сложного теплообмена.
В энергетических установках с паровым циклом, действующих
в открытом космосе, сброс тепла осуществляется излучением.
В приведенном на фиг. 12.1,а космическом радиаторе пар,
являющийся рабочим телом, конденсируется, и при этом выделяется
скрытая теплота парообразования. Затем тепло вследствие
теплопроводности через стенки конденсатора отводится в ребрча, которые
излучают его в космос. Распределение температуры в ребрах и их
эффективность зависят от совместного действия теплопроводности
и излучения.
При одном из способов охлаждения стальных полос на
сталеплавильных заводах (фиг. 12.1, б) лист горячего металла
перемещается мимо пакета холодных труб и теряет тепло вследствие
излучения. Поверх листа продувается охлаждающий газ. Для
нахождения распределения температур вдоль стальной полосы
необходимо рассмотреть совместное действие излучения и
конвекции.
В ядерном ракетном двигателе (типа приведенного на фиг.
12.1, в) газообразный водород нагревается при прохождении через
высокотемпературную активную зону ядерного реактора. Затем
горячий газ истекает через ракетное сопло. К внутренней
поверхности ракетного сопла тепло подводится излучением от
выходного сечения активной зоны реактора, а также конвекцией от
потока рабочего газа ракетного двигателя. Оба эти потока энергии
отводятся теплопроводностью через стенки сопла и затем
снимаются потоком охддпителя.

422
Глава 12
Во всех приведенных примерах имеют место два или более
видов теплообмена. Тепло может передаваться сначала за счет
одного вида, а затем — другого; например, в случае когда после
Фит. 12.1. Устройства, в которых одновременно действуют все виды
теплообмена: теплопроводность, излучение и конвекция.
с — космический радиатор; б — система охлаждения стальной полосы; в — ядерньШ
ракетный двигатель; 1 — ребро; 2 — холодные трубы; з — стальная полоса; 4 —
ядерный реактор: 5 — выходное сечение реактора; 6 — каналы охлаждения; 7 — ракетное
сопло.
передачи тепла теплопроводностью через пластину оно отводится
далее излучением с поверхности, эти процессы рассматриваются
как последовательные.
Тепло может также передаваться одновремейно с помощью
различных видов теплообмена, например за счет совместного
действия л теплопроводности и излучения в прозрачной среде. Таким

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 423
образом, различные виды теплообмена могут осуществляться
последовательно, параллельно или же по комбинированной
последовательно-параллельной схеме.
В данной главе будут рассмотрены задачи о совместном
действии излучения, теплопроводности и конвекции при одном
существенном ограничении: среда, через которую происходит
перенос излучения, не поглощает и не испускает излучения,
т. е. совершенно прозрачна. Это ограничение снято в гл. 13—21,
где рассмотрены среды, которые поглощают, испускают и
рассеивают излучение.
Различные виды переноса тепла зависят от температуры,
возведенной в разные степени. При рассмотрении теплообмена
излучением между черными поверхностями потоки энергии зависят
от температур поверхностей в четвертой степени. Для нечерных
поверхностей показатель степени при температуре может
несколько отличаться от четырех, поскольку степень черноты изменяется
с температурой. При наличии теплопроводности зависимость
теплового потока от локального градиента температуры описывается
законом Фурье, что приводит к появлению производных от первой
степени температуры (когда коэффициент теплопроводности не
зависит от температуры). При наличии конвекции появляется
тепловой поток, который приблизительно пропорционален разности
первых степеней температур; более точный показатель степени
зависит от типа течения. Например, при свободной конвекции
тепловой поток зависит от разности температур в степени 1,25—
1,4. Изменение физических свойств с температурой приводит
к дополнительной зависимости от температуры. Наличие столь
различных степеней при температуре означает, что уравнения,
описывающие процесс переноса энергии, будут существенно
нелинейными.
Поскольку члены, учитывающие излучение от окружающих
поверхностей, обычно записываются в виде интегралов, а члены,
учитывающие теплопроводность, содержат производные, то
уравнения теплового баланса являются нелинейными интегродиффе-
ренциальными уравнениями, которые нелегко решить с помощью
существующих математических методов.
За исключением самых простых случаев, для решения
уравнений необходимо использовать численные методы. Для каждой
задачи требуется свой, наиболее эффективный метод решения,
и поэтому мы не будем рассматривать общие численные или
другие математические методы решений. Читатель сможет найти
их в обширной литературе по численным методам и
обстоятельным статьям по теплообмену излучением, на которые имеются
ссылки в данной главе. Основное внимание в этой главе будет
уделено методам составления уравнений энергетического баланса
и физической сути задач.

424
Глава 12
12.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — поверхность;
а — шаг между ребрами, коэффициенты матрицы;
В — параметр в примере 12.4;
Ъ — толщина теплопроводной среды; толщина ребра;
толщина стенки трубы;
с — поправочные коэффициенты;
ср — удельная теплоемкость;
D — диаметр- трубы;
F — угловой коэффициент;
/ — коэффициенты в уравнении (12.12);
G — параметр в уравнении (12.30);
Н — параметр в примере 12.5;
h — коэффициент теплоотдачи;
к — коэффициент теплопроводности;
L — длина трубы;
I = Lid — безразмерная длина трубы;
М — параметр в уравнении (12.30);
N — параметр в уравнении (12.25);
Nu=hD/k— число Нуссельта;
п — направление нормали;
Р — периметр;
Рг — число Прандтля;
Q — поток энергии;
q — плотность потока энергии;
R — безразмерный радиус в примере 12.3;
Re = Dumpf/\if — число Рейнольдса;
г— радиус;
s — параметр в примере 12.5;
Т — абсолютная температура;
t — безразмерная температура;
ит — средняя скорость жидкости;
W — ширина ребра в примере 12.4;
X — расстояние от входа в трубу до кольцевого элемента;
х, z — прямоугольные координаты;
7, S — безразмерные параметры в примере 12.3;
£ — степень черноты;

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 42S
т] — эффективность ребра, определение которой дано в
примере 12.3;
в — безразмерные температуры в примерах 12.3 и 12.4;.
\i — безразмерный параметр в примере 12.4;
|Ы/ — коэффициент вязкорти жидкости;
S — расстояние от входа трубы;
£ — расстояние от основания ребра;
р/ — плотность, жидкости;
рт — плотность твердого вещества;
о — постоянная Стефана — Больцмана;
т — время.
Индексы
а — поверхность основания между ребрами;
Ъ — основание ребра;
с — теплопроводность;
е — окружающее пространство;
/ — ребро или жидкость;
g — газ;
i — внутренний параметр (или внутри);
о — внешний параметр (или снаружи);
R — излучение;
г — источник тепла;
w — стенка;
х — сечение х\
\ — сечение \\
1,2 — вычислено на поверхностях 1,2 или на входе и выхода
трубы.
12.3. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Физические процессы, в которых имеет место только
теплопроводность и излучение, являются достаточно
распространенными. Примерами могут служить потери тепла через стенки
сосуда Дьюара, перенос тепла в «суперизоляции», выполненной в виде-
нескольких слоев материала с высокой отражательной
способностью, а также тепловые потери и распределение температуры на
спутниках и космических аппаратах.

426
Глава 12
При рассмотрении радиационной составляющей можно
использовать различные подходы — от предположения о черных
поверхностях конечных размеров и диффузном характере излучения
до подробного рассмотрения локальных свойств с учетом их
зависимости от длины волны и направления распространения
излучения с помощью метода Монте-Карло или путем решения
интегрального уравнения. Выбор приближения зависит от требуемой
точности и соотношения между излучением и теплопроводностью.
Если преобладает последняя, то при рассмотрении излучения
можно использовать достаточно грубое приближение, и наоборот.
Приведем несколько простых примеров совместного действия
излучения и теплопроводности, а затем перейдем к более сложным
задачам.
12.3.1. Отсутствие взаимодействия
между теплопроводностью и излучением
В наиболее простом случае вклады в тепловой поток
излучения и теплопроводности не зависят друг от друга. Они
рассчитываются отдельно и полученные результаты суммируются. При
этом говорят, что данные виды теплообмена не взаимодействуют
друг с другом по отношению к искомой величине.
ПРИМЕР 12.1. В качестве примера рассмотрим две
параллельные бесконечные черные пластины, разделенные средой толщиной
b с коэффициентом теплопроводности /с, которая прозрачна для
теплового излучения. Каков результирующий поток энергии
между пластинами, если их температуры равны соответственно 7\ и Г2?
Результирующий поток энергии складывается из
радиационной (QR) и кондуктивной (Qc) составляющих. Кроме того, он равен
потоку энергии Qiy который необходимо подвести к пластине 1,
чтобы поддерживать ее при заданной температуре
Qi = Qr + Qc
Плотность потока энергии, переносимой излучением между двумя
параллельными бесконечными черными пластинами, равна
-2f- = a (Т*-Т$,
а плотность потока энергии, переносимой за счет
теплопроводности, равна
Полная плотность потока энергии равна сумме отдельных
составляющих:
%- = o(T\-T«)+-y(Ti-T2).

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 427
Пример 12.1 соответствует случаю, когда кондуктивная и
радиационная составляющие не взаимодействуют друг с другом, т. е.
наличие одного вида теплообмена не влияет на другой с точки
зрения расчета Q/A. Для каждого вида теплообмена плотность
теплового потока рассчитывается независимо, а затем эти величины
складываются. Поэтому в таких задачах можно использовать все
разработанные ранее способы расчета теплообмена излучением
без изменений.
12.3.2. Нелинейные задачи
при совместном действии теплопроводности и излучения
К сожалению, в большинстве случаев нам приходится иметь
дело с задачами, в которых теплопроводность и излучение
взаимодействуют друг с другом. В таких случаях искомая величина
не может быть получена путем сложения отдельно рассчитанных
радиационной и кондуктивной составляющих: необходимо решать
уравнение энергии, которое учитывает одновременное действие
обоих видов теплообмена. В некоторых случаях можно сделать
предположение, что эти два вида независимы, если их
взаимодействие слабое. Такое предположение, если оно справедливо,
позволяет избежать некоторых трудностей, и это станет ясно из
последующих разделов данной главы.
ПРИМЕР 12.2. Рассмотрим с другой точки зрения предыдущий
пример, т. е. две параллельные бесконечные черные поверхности,
разделенные прозрачной средой толщиной Ь, имеющей
коэффициент теплопроводности к. Пластина 2 находится при температуре
Г2, а к единице площади поверхности 1 подводится известный
поток энергии QJA, который затем отводится к поверхности 2.
Какова температура 7\ поверхности 1?
Мы рассматриваем тот же случай, что и в примере 12.1, только
задан тепловой поток Qu а Т{ необходимо определить. Запишем
то же самое уравнение энергии, что и в примере 12.1, и перенесем
неизвестное в левую часть:
По отношению к искомой неизвестной температуре Т{
излучение и теплопроводность взаимодействуют друг с другом,
поскольку 21! должна быть определена из уравнения, учитывающего оба
вида теплообмена. Это уравнение нелинейно относительно Tt
и может быть решено методом итераций.
Приведенные два примера показывают, что при определенных
граничных условиях появляется возможность независимо
рассчитывать теплообмен излучением и теплопроводностью. Так,

428
Глава 12
если заданы все температуры, тепловые потоки обычно можно
одределять независимо. Однако, если заданы потоки энергии,
необходимо рассматривать задачу в целом, поскольку относительна
неизвестной температуры уравнение получается нелинейным.
Решение может стать еще более трудным, если необходимо учесть
изменение физических свойств с температурой.
В аппаратах, работающих в открытом космосе, используются
радиационные ребра, с помощью которых осуществляется
рассеяние энергии. Тепло подводится к ребру путем теплопроводности
и отводится с его поверхности излучением. Для нахождения
распределения температуры в ребре необходимо совместно
рассмотреть перенос энергии излучением и теплопроводностью. Б
следующем примере будут представлены характеристики одиночного
кругового ребра.
ПРИМЕР 12.3. Тонкое кольцевое ребро, находящееся в
вакууме, теплоизолировано с одной лицевой стороны и со стороны
Фиг. 12.2. Тонкое кольцевое ребро, теплоизолированное с одной лицевой
стороны и со стороны наружной кромки.
а — геометрия ребра; б — сектор ребра.
наружной кромки (фиг. 12.2, а). Диск имеет толщину &,
внутренний радиус ги наружный радиус г0, коэффициент
теплопроводности к. К внутренней кромке подводится энергия, скажем, от
стержня радиусом ги вставленного в центральное отверстие,
благодаря чему температура внутренней кромки поддерживается равной
Т\. Неизолированная кольцевая поверхность является диффузно-

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 429
серой и имеет степень черноты £. Она излучает энергию в
окружающее пространство с температурой Те = 0. Найти
распределение температуры по радиусу кольцевого диска.
Предположим, что диск достаточно тонок, так что локальную
температуру можно принять постоянной по толщине Ь; тогда
баланс энергии для любого кольцевого элемента шириной dr
(фиг. 12.2, б) можно представить в виде
А = В + С.
В этом уравнении А и С — подводимый к рассматриваемому
элементу и отводимый от него тепловые потоки вследствие
теплопроводности, В — тепловой поток вследствие излучения с
поверхности элемента. Таким образом,
А= — k2nrb-T- ,
dr '
B = eeT*2nrdr,
С= -k2nrb^r + ^F ( -k2nrb-^r) dr.
Если £ и к — постоянные, то уравнение сохранения энергии
примет вид
^НгН^-О- (12.1)
Необходимо решить это уравнение относительно распределения
температуры Т (г) при следующих граничных условиях: на
внутренней кромке Т — Tt при г = rt и на внешней кромке, где
отсутствует тепловой поток, dTldr = 0 при г = г0. Введем
безразмерные переменные в = Т1Тг и R = (г — гь)Цг0 — rt). При этом
уравнение энергии примет вид
йЩ . 1 dS (г0 — п)*&Т1
dR^ + Л + гг-/(г0 — гг) dR кЪ ~~
Затем, используя два параметра б = r0lrt и у = (г0 — гг)2 X
X £аТ\/кЬ, представим уравнение энергии в виде
-S-+^+w^r^-+^4=° (12'2)
при следующих граничных условиях: 0 = 1 при R = 0 и d&fdR =
= 0 при R = 1. Уравнение (12.2) является целинейным
дифференциальным уравнением второго порядка. Распределение
температуры зависит только от двух параметров б и у. Решение
можно получить численным методом.
При использовании охлаждающих ребер представляет интерес
эффективность г), которая определяется как отношение энергии,

430
Глава 12
действительно рассеиваемой ребром путем излучения, к
энергии, которая была бы рассеяна, если бы все ребро имело
температуру Tt. Для рассматриваемого нами кольцевого ребра
2л£о I rT*dr 2 I [#(8-1) + 1]е4<Ш
Л =
n(rl-r\)toT\
6 + 1
Этот интеграл можно вычислить после определения в из
дифференциального уравнения. Чемберс и Сомерс [1] рассчитали
эффективность такого кольцевого ребра. Результаты их расчета
приведены на фиг. 12.3. Келлер и Холдридж [2] распространили эти
результаты на ребра, толщина которых меняется по радиусу.
1.0
0,8b
0,6h
0,4
0,2
I . I
0,2 0,4
0,6 0,8 1,0
1,2 . 1,4 1,6 1,8
2,0
Фиг. 12,3. Эффективность ребра т], рассмотренного в примере 12.3 [1].
Вследствие того что радиаторы представляют интерес с точки
зрения использования их в космических энергетических
установках, исследованы многие системы, в которых происходит радиа-
ционно-кондуктивный теплообмен [1—20].
В случае неустановившегося состояния, когда температура
излучающего ребра меняется во времени, в уравнении энергии
должен появиться член, учитывающий накопление тепла. Для
кольцевого элемента в примере 12.3 этот член равен
pmCpb2nr dr
дТ
дх
При наличии этого члена уравнение энергии (12.1) становится
дифференциальным уравнением в частных производных, в котором
температура является функцией радиуса и времени:
kb-
дг
HR-^=p*cA-£-
(12.3)

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 431
В работе [5] представлены результаты для неустановившегося
режима теплообмена излучающего ребра.
Для тонкого излучающего ребра температура по его толщине
предполагалась постоянной, и, следовательно, она изменялась
только лишь в направлении, параллельном излучающей
поверхности. Если же ребро толстое, то температура будет также
меняться в направлении нормали к излучающей поверхности. В этом
случае излучение определяет граничные условия для задачи
теплопроводности в твердом теле. Таким образом, в данной точке
поверхности твердого тела, которое испускает, но не поглощает
излучение, граничные условия имеют вид
. -к^ = еоТ\ (12.4а)
где п — внешняя нормаль к поверхности. В более общем случае
поверхность не только поглощает, но и теряет энергию излучения
-k^T = 4o-4i- (12.46)
Зависящие от времени профили температуры в твердом теле,
поверхность которого участвует в теплообмене излучением, были
исследованы в работе [9]. Уравнение неустановившейся
теплопроводности было решено при граничных условиях (12.4).
В примере 12.3 рассмотрено одиночное излучающее ребро.
Для поверхностей со многими ребрами необходимо учитывать
взаимный теплообмен излучением между ребрами. Это приводит
к появлению интегральных членов в уравнении энергии, что
становится очевидным из следующего примера.
ПРИМЕР 12.4. Бесконечный ряд тонких ребер толщиной &,
шириной W и бесконечной длины укреплен на черной
поверхности, которая поддерживается при постоянной температуре Ть
(фиг. 12.4). Излучающая поверхность ребра является диффузно-
серой, окружающая среда — вакуум. Записать уравнение,
решение которого дает нам местную температуру ребра, в
предположении, что окружающее пространство имеет температуру
Поскольку ребра тонкие, можно предположить, что местная
температура ребра постоянна по его толщине Ъ. Теперь можно
вывести уравнение баланса энергии для отмеченного кружком
элемента поверхности одного из ребер, приведенного на нижней
части фиг. 12.4. Поскольку мы рассматриваем бесконечный ряд
ребер, внешние условия идентичны для каждого ребра и
одинаковы для обеих его сторон. Вследствие симметрии следует
рассматривать лишь половину толщины ребра. Задача упрощается также
в св£зи с тем, что распределение температуры Tf (£) в соседнем

432
Глава 12
ребре такое же, как и Tf{x). Следовательно, необходимо
рассматривать баланс энергии только для одного ребра. Члены,
учитывающие подвод и отвод энергии от элемента dx вследствие теплопро-
♦Qco(x)
-jb/fc^U
ТГ-Г
dx | I
J_L.
it
QC,W
"qR(0(x)dx
vjR, i(x) dx
Фиг. 12.4. Геометрия параллельных ребер, рассмотренных в примере 12.4.
водности в единицу времени, на единицу длины ребра в
направлении z, равны соответственно
Ь dTf
(?c,*(s)= — к
2 dx '
Qc,o(x) = Qcj + dQcJ~-k^^ + ^(-k^^)dx.
Члены, учитывающие излучение, записываются с помощью
метода сальдо (разд. 8.4.1). На рассматриваемый элемент падает
излучение с соседнего ребра и с черной поверхности основания
w
qR,i(x)dx= j qR,o(l)dFdl-dxdl-{-aoTtdFa-dx =
w
= dx j qR,o(l)dFdx-dl + dzoTtFdx-a. (12.5)
l=o
Эффективное излучение складывается из собственного и
отраженного излучений
qR, о (х) dx = e<JTj (х) dx + (l^ О qRt , (х) dx. (12.6)

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 433
Уравнение баланса энергии для элемента содержит члены,
учитывающие теплопроводность и излучение
Qr. о dx + QCi 0 (х) = qRtidx + QCt t (х).
Подставляя члены, учитывающие теплопроводность, и
предполагая коэффициент теплопроводности постоянным, получим
уравнение баланса энергии в виде
Qr, i (*) dx = qR> 0 (х) dx — k^—^— dx. (12.7)
Уравнения (12.5) — (12.7) образуют систему уравнений с
неизвестными qRi i (#), qRf 0 (х) и Tf (х). (Заметим, что qRt0 (I) =
= Qr, о (#)•) Исключая qR t и qR 0, получим
1
= Fdx.B+ J [-^(i-.6)i^L + eMZ)]d^„dz, (12.8)
z=o
где в (X) = Tf(z)/Tb, В = a/W, p = kb^oT^W2, X = xlW
и Z = l/W.
Уравнение (12.8) является нелинейным интегродифференци-
альным уравнением и может быть решено численно. Поскольку
оно является уравнением второго порядка, необходимы два
граничных условия. В основании ребра Г/ (х = 0) = ТЬ, поэтому
6 = 1 при X = 0. (12.9а)
Второе условие относится к внешней кромке ребра х = W. Поток
тепла, подводимый к этой границе вследствие теплопроводности,
должен бьхть равен потоку тепла, отводимому излучением,
или в функции 6
-^ = -^04 = 1^-Г04 при * = 1- (12.96)
Ясно, что отношение толщины ребра к его ширине b/W теперь
используется в качестве нового параметра. Если величина
(b/W)/2\i очень мала, то d&ldX можно принять равной нулю.
Угловые коэффициенты в уравнении (12.8) находятся методами,
описанными в примерах 7.5 и 7.7 (при этом а = 90°). В
результате получаем
FdX-B = ±(l-^J^)=±-(i--. УВД*)'
JV 1 «* Л£_ 1 В2 лп
2 [я2 + (£-*2)]3/2 ' 2 [B* + (Z-X)*\m

434
Глава 12
Заметим, что если ряд ребер является бесконечным, то нельзя
получить никакой выгоды, присоединяя ребра к черной
поверхности основания, поскольку никакая поверхность не может
испускать больше энергии, чем черная. Однако направленные
характеристики такой поверхности делают ее привлекательной
для некоторых приложений, как это уже отмечалось в гл. 5.
В работах [10—20] приводятся решения других задач с учетом
взаимного влияния ребер.
Приведенные в настоящем разделе примеры содержат
упрощающее предположение о постоянстве физических свойств. В
случае переменных свойств основные понятия остаются такими же,
что и в рассмотренных примерах, однако вид уравнений несколько
усложняется. При рассмотрении сложного теплообмена в
некоторых случаях диффузно-серое приближение становится
несправедливым.
При использовании метода конечных разностей для решения
задач радиационно-кондуктивного теплообмена уравнение
энергии заменяется системой нелинейных алгебраических уравнений.
При постоянных физических свойствах члены, учитывающие
теплопроводность, будут содержать температуру в первой
степени, а члены, учитывающие излучение, будут содержать
температуру в четвертой степени. Для решения такой системы уравнений
Несс [21] предложил быстро сходящийся итерационный метод
расчета на ЭВЦМ, основанный на методе Ньютона — Рафсона.
Предположим, что записанная в конечных разностях система уравнений
для задачи радиационно-кондуктивного теплообмена имеет вид
(auti + a'J*) 4- (ai2t2 + a\j§ + ... + (aintn + a[nt*n) — bt = 0,
(aHti + a'Ht\) -f .. . + (atjtj + а\$) + . .. + {aintn + а\п?п) —
-bi = 0, (12.10)
{dnik + a'nlt\) + ... + (anjtj + a'njtff -f- ... + (anntn + a'nntn) —
-bn = 0.
Через tj обозначена /-я температура, а через ац и а\^ —
коэффициенты при линейном и нелинейном относительно температуры
членах.
В методе Ньютона — Рафсона сначала задается приближенное
значение для каждой температуры (tj0). Затем вычисляется
поправка cj, так что tj = tj0 + cj. Исправленное значение темпе^
ратуры используется для расчета новой поправки с,-, и процесс
продолжается до тех пор, пока Cj не станет меньше некоторой
заданной величины. Значения cj на&оДят путем решения следующей

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 435
системы линейных уравнений:
fiiCi + /12^2 + • • • + finCn +/i = 0,
fiici+.;.+fijcj+...+fincn + fi = 0, (12.11)
fnlCi + /п2С2 +.-.+' fnnCn + fn = 0.
Коэффициенты ft определяются по формуле
n
/*= 2 (**Ло + а«*/о) —6i, (12.12)
i=i
а /г# равен
/и = ^ + 4аЬ4>. (12.13)
12.4. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
И КОНВЕКЦИИ
Подход к рассмотрению задач о совместном действии
излучения и конвекции точно такой же, как и в случае совместного
действия излучения и теплопроводности. Только вместо
производных от температуры при описании теплопроводности теперь
появляются разности температур при описании конвекции; другими
словами, основные уравнения энергии остаются нелинейными
и зачастую практически нерешаемыми.
Задачи о совместном действии излучения и конвекции
приходится решать при рассмотрении конвективных завихрений и их
влияния на излучение звезд; при проектировании печей, в
которых перенос тепла от нагретых поверхностей осуществляется
одновременно излучением и конвекцией; при анализе взаимодействия
солнечного излучения с земной поверхностью, в результате
которого возникает сложная картина свободных конвективных токову
что затрудняет прогнозирование погоды; при расчетах свободных
конвективных течений в океанах и озерах.
В качестве примера использования принципов сложного
теплообмена в технических приложениях рассмотрим задачу о
течении газа в нагретой трубе. Решения такого рода задач
представлены в работах [22—25].
ПРИМЕР 12.5. Прозрачный газ поступает в круглую трубу
с черной внутренней поверхностью (фиг. 12.5). Труба имеет тонкие
стенки, наружная поверхность которых идеально изолирована»
Стенки трубы обогреваются с помощью электрического
нагревателя, обеспечивающего равномерное распределение плотности
теплового потока qw. Найти распределение местной температуры
стенки по длине трубы. Коэффициент теплоотдачи к газу на
внутренней поверхности трубы h предполагается постоянным. Средняя
скорость газа ит, теплоемкость ср и плотность р/.

436
Глава 12
Если не учитывать излучение, то местный тепловой поток,
подводимый к газу, был бы равен местному выделению тепла от
электрического нагревателя (поскольку снаружи труба изолирована)
и, следовательно, был бы одинаков в любой точке X вдоль оси
трубы. Вследствие этого как температура газа, так и температура
стенки изменялись бы по линейному, закону по длине трубы.
Фиг. 12.5. Течение газа в трубе с равномерным распределением плотности
теплового потока на стенке и изолированной наружной поверхностью.
С другой стороны, если не учитывать конвекцию, то единственным
способом отвода тепла было бы излучение торцов трубы, как в
примере 8.9. В этом примере при одинаковой температуре
окружающей среды на обоих концах трубы температура стенки имеет
максимум в центре трубы и постепенно уменьшается к торцам.
Можно предполагать, что решение задачи при совместном действии
излучения и конвекции до некоторой степени будет отражать обе
тенденции указанных предельных случаев.
Рассмотрим уравнение баланса энергии для кольцевого
элемента внутренней поверхности трубы длиной dX в точке X (фиг. 12.5).
Энергия, подводимая к кольцевому элементу в единицу времени,
равна
L
gwnDdX+ j oTt(E)dFdS-dz(\Z-X\)nDdE +
3=0
+ oTl,il°LdFi-ix<X) + <yTi,2lg-dF2-dX(L-X).

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 437
Это уравнение содержит члены, учитывающие энергию, выделяв-
мую при обогреве стенки трубы электрическим нагревателем,
энергию, подводимую к элементу dAx вследствие излучения
других элементов внутренней поверхности трубы (разд. 8.4.1), и
энергию,-подводимую к dAx вследствие излучения окружающей среды
(на входе и выходе из трубы). Предполагается, что окружающая
среда оказывает такое же действие, как черные диски, имеющие
температуру окружающей среды на входе и выходе, которая
должна быть задана. Обычно предполагается, что окружающая среда
на входе и выходе имеет температуру входящего и выходящего
газа. Энергия, отводимая конвекцией и излучением от
кольцевого элемента, расположенного на расстоянии X от входа, равна
hnD dX [Tw (X) — Tg (X)] + oTi, (X) nD dX.
Если пренебречь теплопроводностью в осевом направлении, поток
энергии, подводимый к кольцевому элементу, должен быть равен
потоку отводимой от него энергии. Приравнивая эти потоки,
получим следующее выражение (с использованием соотношения
взаимности для углового коэффициента F, чтобы исключить из
результирующего уравнения dX, разделив на эту величину левую и
правую части):
L
h [Tw (X)-Tg (X)] + oTi (X) = qw + J oTi (S) dFdX-dE (\ X - S |) -f
E=0
+ ct7V4, Лх-i (X) + aT'r> 2FdX-2(L-X). (12.14)
Это уравнение содержит два неизвестных Tw (X) и Тg (X);
следовательно, для получения решения необходимо второе уравнение.
Для этого запишем уравнение баланса энергии для объема газа
на участке трубы длиной dX. Энергия, подведенная к этому
объему входящим газом, равна
Qitg = umpfCpTg(X)^.
Дополнительная энергия, подведенная вследствие конвекции
от стенки, равна
dQUg = nDh [Tw (X) - Tg (X)] dX.
Энергия, отведенная с уходящим газом, равна
^ я£2г dTg(X) -1
Qo, g = UmPfCp — [Tg (X) + dx dX J .
Приравнивая подведенную и отведенную энергии, получим
уравнение баланса энергии
umPicp^--^l = h[Tw(X)-Tg(X)}. (12.15)

438
Глава 12
После введения безразмерных величин
4Л 4Nu
Qw
\ Яш I
1/4
ц x = X/D, | = 3/ D, I = LID уравнения баланса энергии
на стенке и в элементарном объеме газа будут иметь соответственно
вид
** (х) f Н [tw (х) -tg (х)] = 1 + j ti (I) dFdx.dl (x-l) +
о
I
+ J £ (5) dflfa-dg £-*)+**, iFdx.i{x) + tkr,iFdx-2{l-x), (12.16)
ОС
-^- = -S[U*)-M*)b (12.17)
Таким образом, получено два уравнения с двумя неизвестными
tw (х) и tg (х), содержащие пять параметров: S, Н, Z, trtl и tr,2-
Угловые коэффициенты можно получить с помощью известных
выражений для угловых коэффициентов двух дисков (метод их
определения приведен в примере 7.19, они описываются уравнением
(7.64), а значения приведены в примере 8.9).
Заметим, что (12.17) является линейным дифференциальным
уравнением первого порядка, которое можно решить в общем виде
с помощью метода интегрирующего множителя. В качестве
граничного условия при х = О задана температура газа tgll. В общем виде
решение записывается следующим образом:
X
tg (х)« SerB* j еЩ„ (I) dl + tg, 1*-**. (12.18)
о
Его можно подставить в уравнение (12.16), чтобы исключить
tg (х) и получить следующее интегральное уравнение относительно
температуры стенки трубы:
X
tt + Htw-HSe-s* \ esitw(S)dl-Htgie-sx^
X I
= 1 + j 4 (I) dFdx.dl (x-l)+ \tkw (I) dFix.dl (g-x) +
+ tr, iFdx_i (x) + tkr> 2Fdx-2{1-х). (12.19)

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 439
Решения уравнения (12.19) были найдены Перлмуттером и Зи-
гелем [22], и некоторые характерные результаты, полученные
методом численного интегрирования, приведены на фиг. 12.6.
Заметим, что расчетные значения температуры стенки в случае
совместного действия излучения и конвекции лежат ниже
расчетных кривых, соответствующих только конвекции или только
излучению. Для короткой трубы влияние излучения
существенно по всей длине, и для приведенных на фиг. 12.6 параметров
2,90 г
2,1ъУ Изменение масштаба
{^.Изменение ^Ч
| масштаба у \
10 20 30 40 50
X/D
6
Фиг. 12.6. Распределение температуры в стенке равномерно обогреваемой
трубы с черной поверхностью при течении в ней прозрачного газа с учетом
совместного действия излучения и конвекции.
S = 0,02; Я = 0,8; tri = t 4 = 1,5;*Г(2 = t 2> а — L/d = 5; б— L/d = 50;
сложный теплообмен; — - — только излучение; - только конвекция; tw —
безразмерная температура стенки; X/D — безразмерная координата вдоль оси трубы.
распределение температуры при совместном действии конвекции
и излучения такое же, как и в случае одного только излучения.
Для длинной трубы распределение температуры в средней части
при совместном действии конвекции и излучения очень близко
к распределению температуры в случае одной только конвекции.
Теплообмен при совместном действии конвекции и излучения
происходит интенсивней, чем при каком-либо одном виде
теплообмена. Это означает, что кривая распределения температуры при
сложном теплообмене всегда лежит ниже кривых,
соответствующих одному только виду переноса тепла.
ПРИМЕР 12.6. Какой вид будут иметь уравнения энергии,
если внутренняя поверхность трубы, рассмотренной в примере
12.5, диффузно-серая, а не черная?
Используя метод сальдо, получим из условия теплового
баланса на элементарной поверхности, расположенной на расстоянии X
от входа, следующее уравнение:
qw (X) + qt (X) = q0 (X) + h ITW (X) - Tg (X)], (12.20)
где qt и q0 — плотности потоков падающего и эффективного
излучений. Для плотности потока эффективного излучения можно запи-

440
Глава 12
сать
q0(X) = eoTi(X) + (l-Qqi(X). (12.21)
Уравнения (12.20) и (12.21) решаются совместно, чтобы исключить
qt. В результате получаем
qQ (X) = iz± {А [Гю (X) _Tg (X)] - qw) + аГ* (X). (12.22)
Процедура вывода уравнения (12.14) применима и для случая
серых поверхностей, если в этом случае излучение поверхности
oTw заменить на q0. Это дает
L
h[Tw(X)-Tg(X)] + q0(X) = qw+ J q0(E)dFdX-dE(\X-Z\) +
8=0
+ oT$t iFax-i (X) + oT$t 2FdX-2 (L-X). (12.23)
Уравнение (12.15) остается неизменным в случае серых стенок.
Таким образом, уравнения (12.22), (12.23) и (12.15) образуют
систему уравнений с неизвестными Тw (X), q0 (X) и Тg (X). В
работе [23] привей-^ni некоторые численные ?шения этой системы
уравнений.
12.5. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ,
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И КОНВЕКЦИИ
Основные элементы выводов, представленных в разд. 12.3
и 12.4, могут быть объединены при рассмотрении систем, в
которых наряду с излучением перенос тепла осуществляется как
теплопроводностью, так и конвекцией. Уравнения энергии
становятся в этом случае более сложными, поскольку они содержат как
разности температур (при описании конвекции), так и производные
от температуры (при описании теплопроводности). Они содержат
также большое число независимых параметров, включающих
коэффициент теплоотдачи, коэффициент теплопроводности стенки,
характерные размеры системы, т. е. величины, определяющие
конвекцию и теплопроводность. В результате таких усложнений
не существует каких-либо «классических» решений или методов
расчета, и, как правило, необходимо использовать численные
методы решения.
Основные принципы решений будут приведены ниже при
рассмотрении нескольких частных задач. Дополнительная
информация по этому вопросу и некоторые результаты содержатся в
работах [26—35].;
ПРИМЕР 12.7. Берне .тся вновь к рассмотренной в примере 12.5
трубе, которая равномерно обогревается, идеально изолирована

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 441
(^наружной поверхности и имеет черную внутреннюю поверхность.
Через трубу подается газ. Коэффициент теплоотдачи h
предполагается постоянным. Теперь будем учитывать перенос тепла
теплопроводностью по стенке трубы в осевом направлении.
Коэффициент теплопроводности стенки трубы &ш, ее толщина Ь, внутренний
диаметр Dtl наружный диаметр Z)0- Найти распределение
температуры по длине трубы. Стенка трубы предполагается достаточна
тонкой, поэтому температура по толщине стенки в каждом
сечении постоянна.
В уравнении баланса энергии (12.14) следует учесть
теплопроводность вдоль стенки трубы. Подвод тепла вследствие тецло-
проводности стенки к элементарному участку трубы описывается
выражением
п __ , n(Dl—D\) dTw(X)
Vc, г — Kw 7 Jy-
а отвод тепла от него — выражением
п __ , n(Di-Dtj [dTw(X) , d*Tw(X)jV-\
Vc,o— —Kw i [ Ж"Л dX* aAJ*
Результирующий подвод энергии вследствие теплопроводности
стенки равен
(Dl-D\) d*Tw(X) ,у
Разделим этот член на площадь внутренней поверхности
кольца nDidX и затем добавим его в правую часть уравнения (12.14).
В результате будет получено уравнение баланса энергии
h[Tw(X)-Tg(X)]+oTi(X)=qw + kw ^-^-^|И1- +
L
+ j oTl(E)dFdx-dS(\X-E\) +
Е=0
+ стГг4, iFix.i (Х) + оТ$, zFdX^ ф-Х). (12.24)
Как и при выводе уравнения (12.16), приведем все длины к
безразмерному виду путем деления на внутренний диаметр трубы, а
также введем ряд безразмерных параметров. Новый параметр
обусловлен дополнительным членом, учитывающим теплопроводность:
*-т&г [(-ft-)*-1 ](■*-)
1/4

443
Глава 12
Для тонких стенок (Dc
разуется к виду х)
IV--
Dt)l2 = Ъ <^ 1, и тогда этот член прееб-
kwb / Qin \ V4
£1— М"> V
„Д2г \ о )
2qwu%
Этот параметр используется в некоторых работах.
з,ок
J W
2.8!
V
V
/
-fcs.
\
\
/
\
_L
2 3
X=X/Dj
Фиг. 12.7. Распределение температуры в стенке трубы с черной поверхностью
при течении в ней прозрачного газа с учетом совместного действия
излучения, конвекции и теплопроводности.
/ =3 5; S = 0,005; JV= 0,316; Я = 1,58; tri = tgi = 0,316; tr2 = tg^\ результат
расчета сложного теплообмена; конвекция и теплопроводность; осред-
няющая кривая для сложного теплообмена; X/D^—безразмерная координата вдоль оси
трубы; tw (x)/t — безразмерная температура стенки.
Уравнение энергии в безразмерном виде записывается
следующим образом:
tUx) + H[tw(z)-tg(x)] = i+N^@-+
X I
+ j tb®dFdx-di{x-l)+ J th(l)dFdx-dl(l-z) +
+ 4, iFdx-i (x)+tit 2Fdx-2 (1-х). (12.25)
Уравнение энергии для объема газа внутри элементарного участка
трубы остается таким же, как и уравнение (12.17):
dtg (х)
dx
,S[tw(x)-tg(x)].
(12.26)
г) Указанный предельный переход приводит к величине, вдвое большей
приведенной.— Прим. ред.

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 443
Эти уравнения можно рассматривать совместно, как это сделано
при выводе уравнения (12.19).
Хоттель [26] решил эту задачу, используя несколько иные
параметры. Он получил численное решение еще до того, как
начали щироко использовать быстродействующие электронные
вычислительные машины. На получение решения для одного
набора параметров и пяти кольцевых участков трубы потребовалось
10 ч «ручного» счета. Это свидетельствует о сложности
рассматриваемой задачи. На фиг. 12.7 приведены результаты, выраженные
через используемые в настоящем разделе параметры.
Рассматриваемая задача содержит еще граничные условия ддя
теплопроводности. Для решения уравнения (12.25) необходимо
два граничных условия, поскольку при интегрировании члена,
содержащего d2tw/dx2, появляются две произвольные постоянные.
Эти граничные.условия зависят от физических условий на
концах трубы, которые определяют количество тепла, передаваемого
теплопроводностью. В работе [27] были получены некоторые
результаты для задачи такого рода; при этом для простоты
предполагалось, что концы трубы
теплоизолированы, т. е.
*ТЬ
dX
dTu
X=L
= 0.
\Х=0 dX
В работе [271 был также
рассмотрен более общий случай,
когда коэффициент теплоотдачи
меняется по длине трубы. При
этом необходимо учитывать
изменение h на начальном
тепловом участке.
ПРИМЕР 12.8. В качестве
второго примера задачи о
совместном действии
теплопроводности, конвекции и излучения рассмотрим ребро (фиг. 12.8). Газ
с температурой Те обтекает ребро и отводит тепло путем
конвекции. Окружающая среда, в которую ребро излучает тепло, также
имеет температуру Те. Ребро имеет поперечное сечение площадью
А и периметром Р.
Уравнение баланса энергии для элементарного участка длины
dX имеет вид
Фиг. 12.8. Ребро постоянного
сечения, от которого тепло отводится
излучением и конвекцией
(охлаждающий газ и окружающее
пространство имеют температуру Те).
kA-^LdX:
■ £о (T*-Ti) Р dX + hP dX {Т.-Те). (12.27)
Левая часть представляет собой результирующий подвод энергии
вследствие теплопроводности, члены в правой части соответствуют
потерям вследствие конвекции и излучения. Теплообменом излу-

444
Глава 12
чением между ребром и его основанием пренебрегаем. Это
уравнение необходимо решить относительно функции Т (X). Умножая
(12.27) на [1/(Ы dX)] dTldX, получим
d*T dT __ £оР 4 А dT , hP frp фч dT
dX* dX ~~ kA (I l e) dX ^ kA (1 l e' dX *
Интегрируя правую и левую части, получаем
т(ж)2'^г(^-^)+^(Ц-ТТ,)+С, (12.28,
где С — постоянная интегрирования.
Для простоты примем Те ж О, а ребро будем считать очень
длинным. Тогда при больших значениях X, Т (X) -> 0 и dT/dX -►*
->0ииз уравнения (12.28) следует С = 0. Решая ^ -°рь (12.28)
относительно dT/dX, получим
5— (ТТ^+£Г)"°. (12.29)
Знак минус означает, что Т уменьшается с увеличением X.
Переменные в уравнении (12.29) можно разделить и проинтегрировать
его при граничном условии: Т (X) = Тъ при X = 0
х т
J dX==~~J _Г2 .„ _ . _.. .11/2-
гь У Г -§- (р^0/ы) г3+hplkA 1'
После интегрирования получим
X * ЛГ1/а
___ -^, ln (^g + ^)1/2-^1/2 1п (£ГЗ+М)1/2_м1/2 1
3 [П (GT%+M)V2-{-M1/2 П (СГЗ+М)1/2^-^1/2 J'
(12.30)
где G = 2/5 (Р^о/кА) и М = hP/kA. Таким образом, для
рассматриваемой упрощенной задачи можно получить аналитическое
решение для распределения температуры в замкнутом виде.
Подробный анализ задачи такого рода с учетом отвода тепла
от поверхности ребра путем конвекции и излучения приведен
в работах [33—35].
12.6. ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ЗАДАЧ СЛОЖНОГО
ТЕПЛООБМЕНА НА МАШИНЕ
За исключением простых с точки зрения геометрии случаев>
решение задач сложного теплообмена связано с большими
трудностями. По этой причине в настоящей работе были решены только
достаточно простые задачи. Вследствие математических трудно-

Теплообмен ивлучением при наличии других видов переноса энергии 445
стей был разработан ряд обобщенных программ расчета задач
сложного теплообмена на машинах с использованием метода конечных
разностей; некоторые из них изложены в работах [36—42]. Такие
программы содержат «рецепты» решений, удовлетворяющих
вводимым в них ограничениям. Все эти программы позволяют
учитывать совместное действие теплопроводности,.излучения и
конвекции, причем большинство из них позволяет также учитывать
внутреннее тепловыделение, неустановившийся характер течения,
переменность физических свойств, массообмен, изменение
состояния, теплоемкость рассматриваемой среды, трехмерность задачи.
Эти программы записаны на одном из языков Фортран, и в каждой
используется метод электроаналогии для математической
формулировки задачи и нахождения значений параметров на входе.
Хотя мы и отмечаем общий характер этих программ, они
составлены при одном общем допущении о диффузно-серых
поверхностях, и каждая из них имеет свои особенности и ограничения.
Инженеру приходится решать, заняться ли ему изучением
особенностей некоторой общей программы с ее ограничениями
и «подгонкой» к ней своей задачи или вместо этого специально
составить свою собственную программу.
12.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Нами рассмотрены задачи сложного теплообмена с учетом
теплообмена излучением через прозрачную среду. По существу, их
рассмотрение сводилось к выводу уравнений баланса энергии
для элементарных площадок или поверхностей конечных
размеров. Основная трудность связана с математическим решением
этих уравнений.
Для решения таких задач с известным успехом применялись
многие математические методы. Когда приходится решать задачу
сложного теплообмена, необходимо выяснить, какой метод
оказался подходящим при решении аналогичных задач. Выбор очень
широк: от приближенных методов конечных разностей до сложных
аналитических методов. В прилагаемом списке литературы
содержатся работы, в которых приведены характерные задачи для
сложного теплообмена, методы их решения и описание
специальных математических методов.
Литература
1. Chambers R. L., Somers Е. V., Radiation Fin Efficiency for
One-dimensional Heat Flow in a Circular Fin, /. Heat Transfer, 81, № 4, 327—329 (1959).
2. Келлер Г. Г., Холдридж Э. С, Лучистый теплообмен кольцевых ребер
трапецеидальной формы, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, № 2, 118 (1970).
3. Ungar Е. Е., Mekler L. A., Tube Metal Temperatures for Structural Design»
/. Eng. Ind., 82, № 3, 270—276 (1960).

446
Глава 12
4. Mackay D. В., Design of Space Powerplants, Prentice-Hall, Inc. Englcwood
Cliffs, N. J., 1963.
5. Hickman R. S., Transient Response and Steady-state Temperature
Distribution in a Heated, Radiating, Circular Plate, Tech. Rep. 32—169, Jet
Propulsion Lab., California Institute of Technology, Nov. 22, 1961.
6. Wilkins J. E., Jr., Minimum-mass Thin Fins and Constant Temperature
Gradients, /. Soc. Ind. Appl. Math., 10, № 1, 62—73 (1962).
7. Jaeger J. C, Conduction of Heat in a Solid with a Power Law of Heat
Transfer at its Surface, Cambridge Phil. Soc. Proc, vol. 46, pt. 4, 634—641,
1950.
8. Chambre P. L., Nonlinear Heat Transfer Problem, /. Appl. Phys., 30,
№ 11, 1683-1688 (1959).
9. Abarbanel S. S., Time Dependent Temperature Distribution in Radiating
Solids, /. Math. Phys., 39, № 4, 246—257 (1960).
10. Stockman N. O., Kramer J. L., Effect of Variable Thermal Properties on
One-Dimensional Heat Transfer in Radiating Fins, NASA TN D-1878, 1963.
11. Tatom J. W., Shell Radiation, paper № 60-WA-234, Nov. 1960.
12. Спэрроу Э. M., Эккерт Э. P. Г., Взаимное влияние ребра и базовой
поверхности в процессе излучения, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. Сг
Теплопередача, № 1, 17 (1962).
13. Hering R. G., Radiative Heat Exchange between Conducting Plates with
Specular Reflection, paper № 65-HT-28, ASME, August 1965.
14. Sparrow E. M., Miller G. В., Jonsson V. K., Radiating Effectiveness of
Annularfinned Space Radiators, Including Mutual Irradiation between
Radiator Elements, /. Aero/Space Sci., 29, № 11, 1291—1299 (1962).
15. Schreiber L. H., Mitchell R. P., Gillespie G. D., Olcott Т. M., Techniques
for Optimization of a Finned-tube Radiator, paper № 61-SA-44, ASME,
June 1961.
16. Heaslet M. A., Lomax H., Numerical Predictions of Radiative Interchange
between Conducting Fins with Mutual Irradiations, NASA TR R-116, 1961.
17. Nichols L. D., Surface-temperature Distribution on Thin-walled Bodies
Subjected to Solar Radiation in Interplanetary Space, NASA TN D-584,1961.
18. Kotan K., Arnas O. A., On the Optimization of the Design Parameters of
Parabolic Radiating Fins, paper № 65-HT-42, ASME, August 1965.
19. Russell L. D., Chapman A. J., Analytical Solution of the «Known-Heat-
Load» Space Radiator Problem, J. Spacecraft Rockets, 4, №3, 311—315
(1967).
20. Donovan R. C, Rohrer W. M., Radiative Conducting Fins on a Plane
Wall, Including Mutual Irradiation, paper № 69—WA/HT-22, ASME,
November 1969.
21. Ness А. Т., Solution of Equations of a Thermal Network on a Digital
Computer, Solar Energy, 3, № 2, 37 (1959).
22. Перлмуттер M., Зигель P., Теплопередача в нагреваемой трубе при
совместном действии вынужденной конвекции и излучения, Труды амер.
о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 4, 36 (1962).
23. Siegel R., Perlmutter М., Convective and Radiant Heat Transfer for Flow
of a Transparent Gas in a Tube with a Gray Wall, Int. J. Heat Mass
Transfer, 5, 639—660 (1962).
24. Cess R. D., The Effect of Radiation Upon Forced-convection Heat
Transfer, Appl. Sci. Res., 10, sect. A, 430—438 (1961).
25. Кешок Э. Г., Зигель P., Комбинированный лучисто-конвективный
теплообмен при течении в несимметрично нагреваемом канале между
параллельными пластинами, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача,
№ 3, 54 (1964).
26. Hottel Н. С, Geometrical Problems in Radiant Heat Transfer, Heat
Transfer Lectures (D. Cowen, ed.), Сотр. Rep. NEPX-979-IER-13, Fairchild
Engine and Airplane Corporation, vol. 2, 76-95„ 1949.

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 447
27. Siegel R., Keshock Е. G., Wall Temperatures in a Tube with Forced
Convection, Internal Radiation Exchange, and Axial Wall Heat Conduction,.
NASA TN D-2116, 1964.
28. Robbins W. H., Todd C. A., Analysis, Feasibility, and Wall-temperature
Distribution of a Radiation-Cooled Nuclear-rocket Nozzle, NASA TN
D-878, 1962.
29. Krebs R. P., Haller H. C, Bruce M. A., Analysis and Design Procedures
for a Flat, Direct-Condensing, Central Finned-tube Radiator, NASA TN
D-2474, 1964.
30. Okamoto Y., Thermal Performance of Radiative and Convective Plate-
Fins with Mutual Irradiation, Bull. JSME, 9, № 33, 150—165 (1966).
31. Okamoto Y., Temperature Distribution and Efficiency of a Single Sheet of
Radiative and Convective Fin Accompanied by Internal Heat Sourcet
Bull. JSME, 7, № 28, 751—758 (1964).
32. Okamoto Y., Temperature Distribution and Efficiency of a Plate and
Annular Fin with Constant Thickness, Bull. JSME, 9, № 33, 143—150 (1966).
33. Shouman A. R., An Exact Solution for the Temperature Distribution and
Radiant Heat Transfer along a Constant Cross Sectional Area Fin with
Finite Equivalent Surrounding Sink Temperature, Proc. Ninth Midwestern
Mech. Conf., Madison, Wis., August 1965, 175—186.
34. Shouman A. R., Nonlinear Heat Transfer and Temperature Distribution
through Fins and Electric Filaments of Arbitrary Geometry with
Temperature-Dependent Properties and Heat Generation, NASA TN-4257, 1968.
35. Shouman A. R., An Exact General Solution for the Temperature
Distribution and the Radiation Heat Transfer along a Constant Gross-sectional-Area
Fin, paper № 67-WA/HT-27, ASME, November 1967.
36. Strong P. F., Emslie A. G., The Method of Zones for the Calculation of
Temperature Distribution, Rep. I, C-65670, Arthur D. Little Company
(NASA CR-56800), July 1963.
37. Sepetoski W. K., Sox С. H., Strong P. F., Description of a Transient
Thermal Analysis Program for Use with the Method of Zones, Rep. 2, C-65670>
Arthur D. Little Company (NASA CR-56722), August 1963.
38. Bagwell D., T0SS-An IBM-7090 Code for Computing Transient or Steady
State Temperature Distributions, Rep. K-1494, Oak Ridge Gaseous
Diffusion Plant, Dec. 1, 1961.
39. Mintz M. D., Finite Difference Representation and Solution of Practical
Heat-transfer Problems, Rep. UCRL-7960 (rev. I), University of California
Lawrence Radiation Laboratory, 1965.
40. Gaski J. D., Lewis D. R., Chrysler Improved Numerical Differencing
Analyzer: CINDA 3G. Rep. TN-AP-67-287, Chrysler Corporation, Space
Division, October 1967.
41. Stephens G. L., Campbell D. J., Program THTB for Analysis of General
Transient Heat Transfer Systems, Rep. R60 FPD 647, General Electric
Company, April 1961.
42. Schultz H. D., Thermal Analyzer Computer Program for the Solution of
General Heat Transfer Problems, Rep. LR-18902, Lockheed California
Company (NASA CR-65581), July 1965.
Задачи
1. Тонкое двумерное ребро, находящееся в вакууме, излучает
в окружающее пространство', температура которого Те = 0.
Основание ребра имеет температуру Тъ, потери тепла на конце
ребра можно принять равными нулю. Поверхность ребра серая
и имеет степень черноты £. Каков будет безразмерный вид диф-

448
Глава 12
ференциального уравнения для распределения температуры
вдоль ребра (теплообменом излучением с поверхностью
основания ребра пренебречь)? Каковы граничные условия? Можно
ли проинтегрировать это уравнение, чтобы получить Т (х)?
Учесть, что
Г ащ dS 1 / dS \ 2 ,
J -Si"S-= Т Ы) +const-
2. Рассмотреть ребро, изображенное на фиг. 12.8, о котором
речь шла в примере 12.8. Коэффициент теплоотдачи на конце
ребра hL, а степень черноты поверхности ребра £.
Сформулировать граничные условия на конце ребра и использовать их
для общего решения уравнения энергии для ребра. Вывести
все аналитические соотношения и показать, как определить
эффективность ребра.
3. Предположим, что в примере 12.8 поверхность основания ребра
черная и имеет температуру Тъ, причем ее размеры много
больше длины ребра. Как изменится формулировка задачи с учетом
теплообмена излучением между ребром и поверхностью его
основания?
4. Рассмотреть задачу 8.1. Радиационный экран в данном примере
выполнен из непрозрачного пластика толщиной 1,27 мм,
покрытого с обеих сторон тонким слоем металла, степень черноты
которого, как и раньше, £s = 0,2. Коэффициент
теплопроводности пластика 0,2076 Вт/(м-К). Какова будет плотность
теплового потока от пластины 2 к пластине 1? Сравнить его со
значением для очень тонкого экрана в задаче 8.1.
Ответ: 6308 Вт/м2.
5. Космический радиатор состоит из набора плоских ребер
толщиной 2г, расположенных между трубами с одинаковой
температурой Ть. Поверхность труб чёрная, ребра серые, их степень
черноты £. Радиатор находится в вакууме, температура
окружающей среды Те = 0. Вывести дифференциальное уравнение
(включая выражения для угловых коэффициентов) и опреде-

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 449
лить граничные условия, позволяющие найти распределение
температуры вдоль ребра Т (х). Учесть теплообмен излучением
между ребрами и трубами.
Медьконстантановая термопара помещена в поток инертного
газа с температурой 333 К и находится вблизи черной
поверхности с температурой 833 К. Коэффициент теплоотдачи от газа
к термопаре равен 22,72 Вт/(м2«К). Оценить температуру
незащищенной термопары, а также температуру термопары, если
она окружена однослойным полированным радиационным
экраном в виде цилиндра, открытого на концах.
Коэффициент теплоотдачи от газа к обеим сторонам экрана равен
11,36 Вт/(м2.К).
833 к
Газ 333 К
Термопара ^
диаметром
0,76 им
Тонкая проволока протягивается с постоянной скоростью через
фильеру с температурой Т0. Затем она перемещается в воздухе
с температурой Та, и ее температура уменьшается до TL-
Коэффициент теплоотдачи к воздуху h, степень черноты проволоки £.
Получить соотношение между TL и Т0 в зависимости от
скорости протяжки V и расстояния L. Вывести дифференциальное
уравнение, с помощью которого можно получить температуру
проволоки в функции расстояния от фильеры, определить
граничные условия. (Указание: следует записать баланс
входящих и выходящих тепловых потоков для фиксированного
в пространстве объема.)

450
Глава 12
-А / V
г/л ^ '-Проволока -'к
щ Фильера
Воздух^ \
Одиночное круглое ребро рассеивает тепло обеими сторонами
в вакуум с низкой температурой. Ребро закреплено на
трубке с наружным диаметром 12,7 мм. Температура трубки
поддерживается равной 1000 К за счет конденсации пара внутри
нее. Наружный диаметр ребра 101,6 мм, толщина 1,6 мм.
Оценить тепловой поток, отводимый от ребра излучением, если
ребро выполнено из а) меди с полированной поверхностью
(фиг. 5.10,а); б) меди со слегка окисленной поверхностью; в)
нержавеющей стали (к = 34,6 Вт/(м -К)) с чистой поверхностью.
Насколько изменится тепловой поток, если толщина ребра
увеличится вдвое?
Ответ: в) 79 Вт (при £ = 0,3); 114 Вт.
Как изменились бы уравнения в примере 12.3, если бы
пришлось учесть ненулевую температуру окружающей среды?
(В работе [4] приведены результаты для прямоугольного ребра
с учетом излучения, падающего на него из окружающего
пространства.)

13
ОСНОВЫ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
В ПОГЛОЩАЮЩИХ, ИЗЛУЧАЮЩИХ
И РАССЕИВАЮЩИХ СРЕДАХ
13.1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы возрастает интерес к исследованиям переноса
энергии излучением в средах, которые могут поглощать, испускать
и рассеивать излучение. Этот интерес обусловлен изучением
сложных и интересных явлений, связанных с ядерными взрывами,
течениями в гиперзвуковых сжатых слоях, ракетными
двигателями, генераторами плазмы, предназначенными для ядерного
синтеза, аблирующими системами.
Хотя некоторые из этих приложений появились недавно,
излучение газов вызывает интерес уже более 100 лет. Одно из первых
исследований было посвящено поглощению излучения земной
атмосферой. Эта проблема всегда волновала астрономов,
наблюдавших свет от Солнца и более далеких звезд. На фиг. 13.1
представлен спектр излучения Солнца по записям Лэнгли в течение
ряда лет начиная с 1880 г. Штриховая линия соответствует оценке
интенсивности солнечного излучения, предполагаемого черным
с температурой 5600 К, а сплошная кривая получена с учетом его
ослабления земной атмосферой [1]. Поглощение излучения
происходит в некоторых интервалах длин волн, что свидетельствует
о существенной зависимости радиационных свойств газов от
длины волны. Поглощение солнечного излучения атмосферой
обусловлено главным образом присутствующими в ней водяными парами
и углекислым газом. Подробно вопрос о поглощении в атмосфере
рассмотрен в работах Гуди [2] и Кондратьева [3].
Излучение газов также представляет интерес для астрофизиков
в связи с исследованиями структуры звезд. Были предложены
модели звездных атмосфер и Солнца с описанием процессов
переноса в них энергии, после чего рассчитанные на основе этих
моделей спектры испускания сопоставлялись с полученными
экспериментальным путем.
В промышленности проблема излучения газов стала актуальной
в 20-х годах XX в. в связи с исследованием теплообмена в печах.
Было установлено, что углекислый газ и водяной пар,
образующиеся при горении, эффективно испускают и поглощают
излучение. Излучение может также играть важную роль в камерах
сгорания двигателей, поскольку максимальные температуры в них

452
Глава 13
достигают нескольких тысяч градусов. Излучение пламен
определяется не только радиационными свойствами газов, оно
увеличивается благодаря присутствию в пламени горячих частиц
углерода (сажи), образующихся при горении.
Проблема переноса излучения в поглощающих и испускающих
средах важна с точки зрения понимания процессов,
происходящих в печах для выплавки стекла. Экспериментально было
установлено [4], что распределение температуры в глубокой ванне
1,1 1,4 1,8 2,6 4,4
X, мкм
Фиг. 13.1. Ослабление солнечного излучения земной атмосферой [1].
с расплавленным стеклом более однородно, чем можно было бы
ожидать в предположении переноса тепла в расплавленном стекле
только теплопроводностью. Предполагалось, что
расхождение будет устранено, если учесть конвекцию, но эксперимент
показал, что этот механизм переноса тепла не вносит сколько-
нибудь существенного вклада. В конце 40-х годов стало очевидно,
что поглощение и повторное излучение в стекле дают
существенный вклад в перенос энергии.
При исследовании переноса излучения в поглощающих,
излучающих и рассеивающих средах возникают две очень серьезные
трудности. Во-первых, в таких средах поглощение и испускание
излучения происходят не только на границах системы, но также
и в каждой точке внутри среды. То же относится и к рассеянию.
Дяя полного решения задачи о переносе энергии необходимо
знать температуру и физические свойства среды в каждой точке
системы. Решение такой задачи связано со значительными
математическими трудностями. Во-вторых, спектральные
характеристики газов имеют более резкие изменения, чем спектральные
характеристики твердых тбл. В результате может потребоваться
подробное рассмотрение спектральных величин. При
использовании приближений, основанных на осредненных по спектру
свойствах, необходимо проявлять особую осторожность.
Большинство упрощений, которые вводятся при решении задач об из-

Перенос излучения в поглощающих^ излучающих и рассеивающих средах 453
лучении в газах, делаются с целью обойти одну или обе эти
трудности.
Несколько слов о подходе к задачам излучения в газах,
используемом в данной работе. Для нахождения местных значений
интенсивности излучения в среде используется астрофизический подход
(т. е. решается уравнение переноса излучения). Как будет показано
в разд. 13.4, интенсивность излучения связана с энергией,
переносимой вдоль некоторого выбранного направления. Определив
изменение интенсивности излучения вдоль пути его
распространения, можно получить представление о том, как влияют на перенос
излучения отдельные процессы поглощения, испускания и
рассеяния. Такой подход наиболее эффективен при рассмотрении
задач, связанных с поглощением в атмосфере, структурой звезд
и др., в которых искомой величиной является спектральная
интенсивность излучения в точке среды. В работах [5, 6] подробно
рассмотрен этот подход.
Однако астрофизический подход нуждается в упрощении для
облегчения его использования в инженерных расчетах,
проводимых главным образом с целью определения потоков энергии и
температур, а не интенсивности излучения. Заметим, что
используемые в астрофизике понятия и их обозначения незнакомы
большинству инженеров. Поэтому, хотя основные представления,
излагаемые в настоящей главе, основаны на понятии интенсивности
излучения, мы часто переходим к понятиям местной плотности потока
энергии и температуры. Это делается с целью разработать
полезные для инженерных расчетов методы решения и показать, как
логическим путем можно получить инженерные методы, исходя
из астрофизических соотношений.
13.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь поверхности;
а — коэффициент поглощения;
Ct — концентрация газа в смеси;
С% = hcjk — вторая постоянная в законе спектрального
распределения Планка;
с — скорость света в среде, отличной от вакуума;
с0 — скорость света в вакууме;
Е — энергия;
Ei — потенциал ионизации;
е — поверхностная плотность потока излучения;
Fq-%t — доля поверхностной плотности потока излучения черного
тела, приходящаяся на интервал спектра 0 — %Т\

454
Глава 13
h-
i -
К :
к -
^т ~
п -
Р
Р ■
Q
я
R
S
т
V
а
Р
е
л
я
1
V
р
о
<ys
X
(0
— постоянная Планка;
— интенсивность излучения;
= а + (Уa — коэффициент ослабления;
— постоянная Больцмана;
— средняя длина свободного пробега в процессе
ослабления излучения;
— показатель преломления;
— давление;
— парциальное давление газа в смеси;
— поток энергии;
— поверхностная плотность потока энергии;
— радиус сферы;
— координата вдоль пути распространения
— абсолютная температура;
— объем;
— поглощательная способность;
— полярный угол;
— степень черноты;
— волновое число;
— оптическая толптина [уравнение (13.17)];
поглощения [уравнения (13.22), (13.23) и
— длина волны в среде;
— частота;
— плотность;
— постоянная Стефана — Больцмана;
— коэффициент рассеяния;
— пропускательная способность;
— телесный угол.
излучения;
показатель
(4.236)];
Подстрочные индексы
а —
Ь —
е —
g —
i —
т —
Р ~
s —
поглощение;
черное тело;
испускание;
газ;
i-я компонент;
коэффициент,
чина;
- проекция;
источник или
отнесенный к единице массы;
рассеяние;
средняя вели-

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 455
ц — отнесено к волновому числу;
к — отнесено к длине волны;
v — отнесено к частоте.
Надстрочные индексы
' — направленная величина;
-I истинное значение без учета индуцированного излучения!
* — переменная интегрирования.
13.3. ФИЗИЧЕСКИЕ МЕХАНИЗМЫ ПОГЛОЩЕНИЯ
И ИЗЛУЧЕНИЯ
Хотя остальные главы посвящены переносу излучения в
поглощающих, излучающих и рассеивающих средах в самом общем
смысле, в качестве примеров будут рассматриваться газы.
Различие в спектральных свойствах газов и непрозрачных твердых
тел очевидно. Как видно из графиков, приведенных в гл. 5,
радиационные свойства непрозрачных твердых тел достаточно плавно
изменяются в зависимости от длины волны, хотя в некоторых
случаях наблюдаются довольно резкие изменения. Для радиационных
свойств газов характерна крайне нерегулярная зависимость от
длины волны. В результате поглощение или испускание
излучения газом существенны только на некоторых участках спектра,
особенно при температурах ниже нескольких тысяч градусов
по Кельвину. Типичной зависимостью поглощательной
способности слоя газа от длины волны является зависимость для
углекислого газа (фиг. 13.2).
Излучение, испускаемое твердым телом, исходит изнутри (а не
с его поверхности), так что твердое тело можно рассматривать как
поглощающую и излучающую среду наподобие газа; таким
образом, физика излучения имеет много общего для всех сред.
Различие в спектрах обусловлено различными видами переходов между
энергетическими уровнями в этих средах. Газу свойственны
другие типы переходов, вследствие чего он не имеет такого
непрерывного спектра, как твердое тело. Рассмотрим переходы, с
которыми связано испускание и поглощение излучения.
Излучающий газ может состоять из молекул, атомов, ионов
и свободных электронов. Эти частицы имеют различные
энергетические уровни. В молекуле, например, атомы образуют
динамическую систему, которая имеет определенные колебательные
и вращательные состояния с соответствующими энергетическими
уровнями. На фиг. 13.3 схематически представлены
энергетические уровни атома, иона и электрона. (Для молекулы такая
диаграмма приведена на фиг. 16.5.) Нулевой энергетический уровень

456
Глава 13
соответствует основному состоянию (низшему из всех связанных
состояний), а более высоким связанным состояниям соответствуют
положительные энергетические уровни. Уровень Ег на фиг. 13.3
соответствует энергии ионизации, т. е. энергии, необходимой
для ионизации атома, находящегося в основном состоянии.
Уровни выше Ei соответствуют свободным электронам.
Удобно описывать радиационные процессы с помощью фотонов
или квантовых представлений. Фотон является основной единицей
J L
1,67
1 I L
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0-КР
7], СМ-1
Фиг. 13.2. Полосы поглощения С02 при низком разрешении.
Температура 830 К, давление 1,01 МН/м2, длина пути излучения 0,388 м; а^ — погло-
щательная способность; Я,. — центр полосы поглощения, мкм; X — длина волны; ti —
волновое число.
энергии излучения. Испускание излучения — это процесс
испускания фотонов, а поглощение— захват фотонов частицей.
При испускании или поглощении фотона энергия испускающей
или поглощающей частицы будет соответственно уменьшаться
или увеличиваться. На фиг. 13.3 показаны три вида возможных
переходов: связанно-связанные, связанно-свободные,
свободно-свободные. Ниже мы рассмотрим их подробнее. Помимо процессов
испускания и поглощения возможны процессы неупругого
рассеяний, при которых фотоны передают часть своей энергии. Эти
процессы менее существенны при рассмотрении инженерных задач
радиационного теплообмена.
Скачок энергии при переходе между энергетическими уровнями
связан с частотой испускаемого или поглощаемого излучения.
Энергия фотона равна hv, где h — постоянная Планка, a v —

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 457
частота испускания фотонов. Например, при переходе со
связанного энергетического уровня Е3 на более низкий связанный
энергетический уровень Е2 (фиг. 13.3) испускается фотон с энергией
Е3 — Е2 — hv, откуда частота испускаемой энергии v = (Е3 —
— E2)/h, т. е. переходу между определенными энергетическими
lt3
§5
5
I
1 h
I
Свободные
состояния
Связанные
состояния
Ер О
Фиг. 13.3. Схематическая диаграмма энергетических состояний и переходов
для атома, иона и электрона.
а — связанно-связанное поглощение; Ъ — связанно-связанное излучение; с — связанно-
свободное поглощение; d — свободно-связанное излучение; е — свободно-свободное
поглощение; / — свободно-свободное излучение.
состояниями соответствует фиксированная частота. Следовательно,
нри отсутствии каких-либо других явлений спектр, испускания
будет иметьвид линии. И наоборот, если при переходе между
двумя связанными состояниями частица поглощает энергию, она
может перейти только на один из более высоких дискретных
энергетических уровней. Следовательно, фотоны могут быть
поглощены, если они имеют дискретные частоты. Например, частица в ос-

458
Глава 13
новном состоянии на фиг. 13.3 может поглощать фотоны с
частотами (Е2 — Ex)/h, (Е3 — E-j)lh или (Z?4 — E±)/h и переходить на
более высокие связанные уровни. Фотоны с другими частотами в
интервале 0 <v <Eilh не могут быть поглощены.
Такой процесс, при котором атом или молекула поглощает или
испускает фотон, но не происходит ни ионизации, ни
рекомбинации ионов и электронов, называется связанно-связанным
поглощением или излучением (см. процессы а и Ъ на фиг. 13.3). Атом или
молекула переходят из одного квантованного энергетического
состояния в другое. Это могут быть вращательные,
колебательные или электронные состояния в молекулах и электронные
состояния в атомах. Поскольку связанно-связанным переходам
соответствуют определенные дискретные энергетические уровни,
коэффициенты поглощения и испускания будут иметь резкие пики
на частотной зависимости в виде ряда спектральных линий. Эти
линии имеют конечную ширину вследствие различных
уширяющих факторов, которые будут рассмотрены в разд. 16.6.1.
Колебательные состояния всегда связаны с вращательными.
Вращательные спектральные линии накладываются на
колебательные, образуя полосу близко расположенных спектральных линий.
Если их объединить в одну область непрерывного спектра, то
получим колебательно-вращательную полосу (разд. 16.6.4).
Вращательным переходам в пределах данного колебательного
состояния соответствуют длины волн от ~ 8 до 1000 мкм (фиг. 1.2).
Колебательно-вращательным переходам соответствует
инфракрасная область спектра от 1,5 до 20 мкм. Электронным переходам
соответствуют область видимого спектра от 0,4 до 0,7 мкм, часть
ультрафиолетовой и ближней инфракрасной областей. При
температурах, характерных для промышленных установок,
излучение обусловлено главным образом колебательными и
вращательными переходами; при высоких температурах (выше нескольких
тысяч градусов) существенны электронные переходы.
Процесс с на фиг. 13.3 называется связанно-свободным
поглощением (фотоионизацией). Атом поглощает фотон, энергия которого
достаточна, чтобы вызвать ионизацию. Образующиеся ион и
свободный электрон могут иметь любую кинетическую энергию;
следовательно, коэффициент связанно-свободного поглощения
представляет собой непрерывную функцию частоты v, пока энергия
фотона hv достаточна для ионизации атома. Обратный процесс
(d на фиг. 13.3) называется свободно-связанным излучением
(фоторекомбинацией). В этом случае ион и свободный электрон реком-
бинируют, выделяя фотон, а энергия образующегося атома
соответствует одному из дискретных связанных состояний. Свободно-
связанное излучение образует непрерывный спектр, поскольку
рекомбинирующие частицы могут иметь любую кинетическую
энергию.

Перенос излучения в поглощающих^ излучающих и рассеивающих средах 459
В ионизированном газе свободный электрон может проходить
вблизи иона и взаимодействовать с его электрическим полем. Это
приводит к свободно-свободному переходу (часто называемому
тормозным излучением). Электрон может поглощать фотон
(процесс е на фиг. 13.3), увеличивая свою кинетическую энергию, и
испускать фотон (процесс /), уменьшая свою кинетическую энергию.
Поскольку энергия в исходном и конечном состояниях может быть
любой, спектры испускания и поглощения будут непрерывными.
Тормозное излучение возможно также в случае, когда электрон
проходит вблизи нейтрального атома, поскольку вблизи атома
может существовать электрическое поле. Такой процесс гораздо
менее вероятен, чем взаимодействие электрона с положительным
ионом.
13.4. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ИНТЕНСИВНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ
При решении задач переноса излучения в поглощающих,
испускающих и рассеивающих средах используется интенсивность
излучения, главным образом вследствие инвариантности некоторых
ее свойств. В гл. 2 интенсивность излучения поверхности в цаправ-
лении (Р, 9) определялась как энергия излучения, испускаемого
в единицу времени единицей площади проекции поверхности на
плоскость, перпендикулярную направлению (р, 9) в единице
телесного угла, осью которого является направление (р, 9). При таком
определении интенсивность излучения абсолютно черного тела не
зависит от направления испускания (инвариантна относительно
направления) в отличие от интенсивности излучения нечерных
поверхностей. Это дает возможность ввести удобную меру
отклонения свойств реальной поверхности от черной: отношение интен-
сивностей излучения в некотором направлении получило название
направленной степени черноты поверхности.
В прозрачной среде интенсивность излучения следует
рассматривать с помощью воображаемой поверхности, расположенной
внутри среды. Тогда интенсивность излучения определяется так
же, как и для твердой поверхности (разд. 2.4.1), т. е. как если бы
излучение, проходящее через поверхность внутри среды,
испускалось бы ею. Тогда интенсивность излучения можно определить
(фиг. 13.4, а) как энергию излучения, проходящего в единицу
времени через единицу площади проекции этой поверхности в единице
телесного угла. Поверхность, через которую проходит излучение,
проецируется на плоскость, перпендикулярную направлению
распространения излучения. Осью единичного телесного угла
выбирается направление распространения излучения, а его
вершина расположена на элементарной площадке dA. Спектральная

460
Глава 13
Проекция dA но плоскость,
перпендикулярную направлению
падающего излучения,
Излучение, dAcosfi sv Нормаль к dA
падаюшцее йи) ч
под углом р /
внутри телесного /д ' —
угла dco UL ■ ^—
loiTdf^66 V ^Направление
wepej un распространения
излучения
а
в
Фиг. 13.4. К выводу соотношений для интенсивности.
а — к определению интенсивности в среде; б — интенсивность излучения, падающего
от источника на элементарную площадку; в — изменение потока излучения с изменением
расстояния от источника; г — интенсивность испускаемого излучения.
интенсивность — это интенсивность, отнесенная к единичному
интервалу длин волн, включающему длину волны X.
Как указывалось раньше, интенсивность излучения абсолютно
черного тела инвариантна относительно направления испускания
излучения. Рассмотрим теперь второе свойство инвариантности
интенсивности излучения. Пусть излучение, испускаемое источ-

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 461
ником dA$1 распространяется в идеальной среде, которая не
поглощает, не испускает и не рассеивает излучение и имеет
постоянные свойства. Рассмотрим воображаемую элементарную площадку
(1АЪ расположенную на расстоянии Sx от dAs, причем обе
площадки, dAsVL dAx, перпендикулярны Sx (фиг. 13.4, б). В соответствии
с определением спектральной интенсивности i'^, 1 поток энергии,
излучаемый dAs и проходящий через dAx в направлении 517 равен
d3Q'ht 1 = i'x% i dAi do)i dk, (13.1a)
где d3 означает, что в правой части уравнения стоит величина
третьего порядка малости. Телесный угол do^ равен dAJS\.
Следовательно,
d80L.i = U,1£M1-^r-ctt,. (13Лб)
Предположим теперь, что элементарная площадка dA1
расположена на расстоянии S2 от источника перпендикулярно прежнему
направлению. В этом случае поток энергии, проходящий через
dAx в ее новом положении, равен
г/Л
d3QL 2 = 4,2 dAi dco2 dX = i{, 2 dAt. ^f d%. (13.2)
Разделив (13.16) на (13.2), получим
d*Q'K 2 " 'i. 2*1 ' (13'3)
Рассмотрим теперь элементарный источник, испускающий
излучение равномерно по всем направлениям, и построим вокруг него
две концентрические сферы (фиг. 13.4, в). Если d2Q^yS —
энергия спектрального излучения источника, то плотность потока
энергии на внутренней сфере равна d2Q%s HnS\, а на наружной
(PQbtJtkziS\. Отношение энергий, проходящих через две
соответствующие элементарные площадки dAx, равно
d3QL,i _ (d^j^SDdA, si ,
d3V'K 2 (<*2<?x, s/4^i) dAi " £? * K }
Подставляя (13.4) в левую часть (13.3), получим следующий
важный результат:
#,,1 = ^,2. (13.5)
Таким образом, интенсивность излучения в заданном
направлении в неослабляющей и неизлучающе й среде с постоянными свой-
ствами не изменяется вдоль этого направления. Заметим, что
в данном выводе определялись интенсивности излучения,
распространяющегося внутри телесных углов, стягиваемых площадкой
источника, с вершиной на dAx (фиг. 13.4, б). При увеличении S

462
Глава 13
уменьшается телесный угол, под которым источник dAs виден
из dAt1 в связи с чем соответственно уменьшается поток энергии,
падающий на dAx. Следовательно, поток в единице телесного угла,
который определяет интенсивность, остается постоянным.
Можно выразить поток излучения, проходящего через dAx,
через интенсивность излучения, испускаемого источником. Из
рассмотрения фиг. 13.4, г получим
d3Q'K i = VKs dAs dcos dX*=i'K8dAs^dX. (13.6)
Приравнивая это выражение к правой части формулы (13.16),
получим
U, 1 = й,в. (13.7)
Таким образом, еще раз подтверждена инвариантность
интенсивности относительно координаты в неослабляющей и неизлучающей
среде.
Свойство инвариантности интенсивности при отсутствии
ослабления и испускания излучения позволяет ввести удобный способ
количественной оценки ослабления или испускания излучения,
поскольку эти процессы непосредственно проявляются в
изменении интенсивности излучения с расстоянием. Используя
полученные свойства интенсивности, рассмотрим теперь ослабление и
испускание излучения в среде.
13.5. ОСЛАБЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотрим монохроматическое излучение интенсивностью ^,
падающее в направлении нормали на слой вещества толщиной dS
(фиг. 13.5), которое поглощает и рассеивает излучение. В данном
41
dS
jX + dlX
Фиг. 13.5. Изменение интенсивности излучения, падающего по нормали
к слою поглощающего и рассеивающего вещества толщиной dS.
случае будем полагать, что температура слоя низкая, поэтому его
собственным излучением можно пренебречь. При прохождении
излучения через слой вещества его интенсивность уменьшается
вследствие поглощения и рассеяния. Экспериментально было

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 463
установлено, что изменение интенсивности зависит от величины
местной интенсивности. Если ввести коэффициент
пропорциональности К%, который зависит от местных свойств среды, то
уменьшение интенсивности можно представить следующим образом:
dii,= -Kk(S)ii,dS. (13.8)
При выводе этого соотношения предполагалось, что рассеяния
излучения в направлении S не происходит.
Величина К^ называется коэффициентом ослабления. Он
является физической характеристикой вещества и имеет
размерность обратной длины. В общем случае он зависит от температуры
Г, давления Р, состава вещества (заданного в данном случае
концентрациями компонентов Ct) и длины волны падающего
излучения
К% = КК{\, Т, Р, Ct). (13.9)
Как будет показано ниже [см. уравнение (13.16)], коэффициент
К% является обратной величиной средней длины свободного
пробега излучения в поглощающей и рассеивающей средах.
Интегрируя (13.8) по длине £, получим
^(S) d" S
j -^=-j**(S*)dS*, (13.10)
где i% (0) — интенсивность падающего на слой излучения, a S* —
переменная интегрирования. Интегрируя (13.10), получим
lni^e-|**(s*)ds* (13Л1)
х о
или
S
г% (S) = & (0) ехр [ - J К% (S*) dS*] . (13.12)
о
Уравнение (13.12) известно как закон Бугера г). Согласно этому
закону, интенсивность монохроматического излучения вдоль
некоторого направления экспоненциально уменьшается при распро-
х) Этот закон назван по имени Пьера Бугера (1698—1758), который первым
указал на способ количественного сопоставления интенсивностей света.
Уравнение (13.12) иногда называют законом Ламберта, законом Бугера —
Ламберта, законом Бера. Закон Бера является частным случаем
зависимости (13.9). Согласно этому закону, поглощение излучения зависит только
от концентрации поглощающих компонентов на пути луча. Чтобы не путать
с законом косинусов Ламберта, соотношение (13.12) в дальнейшем будем
называть законом Бугера.

464
Глава 13
странении излучения в поглощающей и рассеивающей средах;
показатель экспоненты равен интегралу от местного коэффициента
ослабления по всей длине пути, пройденной излучением *).
13.5.1. Коэффициент ослабления
Коэффициент ослабления теплового излучения К% равен сумме
коэффициента поглощения а^ (X, Т, Р) и коэффициента
рассеяния gsx (^, Т, Р) (для простоты здесь опущено указание на
зависимость от концентрации компонентов газа):
Кь(К, Г, Р) = а%{К Т, P) + osX(K, Г, Р). (13.13)
Как указывалось ранее, эти коэффициенты имеют размерности
обратной длины и потому называются линейными коэффициентами.
Некоторые исследователи предпочитают использовать массовые
коэффициенты
ККт = аКт + оЛ,т = -^ = -И*- + 1±, (13.14)
где р — локальная плотность поглощающего и рассеивающего
компонентов. Массовые коэффициенты имеют размерность
площади, деленной на массу, и непосредственно связаны с понятием
поперечного сечения в молекулярной физике (см. разд. 20.3.1).
Поскольку коэффициент ослабления К\ возрастает с увеличением
плотности поглощающих или рассеивающих компонентов,
коэффициент Kif т ==■ KJp является более устойчивым, чем К%.
Однако коэффициент К%, который будет использоваться нами
в дальнейшем, имеет преимущество, заключающееся в том, что,
когда Кх постоянен, его можно рассматривать как величину,
обратную средней длине свободного пробега излучения. Покажем это.
13.5.2. Средняя длина свободного пробега излучения
Согласно (13.12), доля первоначального излучения,
распространившаяся на длину £, составит
= exp[-j^(S*)dS*],
*И°) 0
Доля излучения, поглощенная на участке от S до S + dS, равна
i'x(S)-i'x(S + dS) -d[i'x(S)/i'x(0)] jct
цЩ Is ^~
= K% (S) exp [ - j K% (S*) dS* ] dS.
1) Этот закон был опубликован в 1760 г. в работе, перевод которой
на русский язык под редакцией и с комментариями А. А. Гершуна издан
в 1950 г.. [4*] — Прим, ред.

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 465
Средняя длина свободного пробега излучения получается
умножением доли излучения, поглощенной на участке от S до S + dS,
на длину пути S и последующим интегрированием по всем Длинам
пути от S = 0 до S = оо:
оо S
lm= j 5JTx(5)exp[-Jjrx(5*)d5»]dS. (13.15)
s=o о
Если коэффициент К% постоянен, то после интегрирования
получим
оо
1т = К% |5«р(-ВД^ = т£-. (13.16)
о
т. е. средняя длина свободного пробега излучения до поглощения
или рассеяния есть величина, обратная Кх- Уравнение (13.16)
позволяет легко оценить, насколько поглощающая и
рассеивающая среды являются непрозрачными для излучения. Ниже этот
вопрос рассматривается нами в связи с определением оптической
толщины.
13.5.3. Оптическая толщина
Показатель экспоненты в (13.12) часто записывают в другом
виде, вводя безразмерную величину
s
Xb{S)=^Kb(S*)dS*. (13.17)
о
Тогда уравнение (13.12) принимает вид
& (S) = *х (0) ехр [ -их (S)]. (13.18)
Величина х^, (S) называется оптической толщиной, или
непрозрачностью, слоя газа толщиной S и является функцией всех значений
К% от 0 до £. Поскольку К% зависит от местных параметров Р,
Г и С, то и оптическая толщина зависит от этих параметров вдоль
всего пути от 0 до S г).
Оптическая толщина характеризует способность газа
ослаблять излучение определенной длины волны на заданной длине
пути. Большая оптическая толщина означает сильное ослабление.
Величина к^ является удобным безразмерным параметром,
который используется при решении задач переноса излучения.
х) Обозначение оптической толщины к% не следует путать с обозначением
показателя поглощения электромагнитного излучения х в уравнениях (13.22)
и (13.23).

466
Глава 13
Для газа постоянного состава, температуры и давления
(однородного газа) или для газа, у которого К% не зависит от Т, Р и Сг
(13.17) преобразуется к виду
хх ($) = ** 5. (13.19)
В этом случае оптическая толщина непосредственно зависит от
коэффициента ослабления и толщины слоя поглощающего и
рассеивающего газа. Из (13.16) теперь следует, что х^ = Sllm, т. е.
оптическая толщина представляет собой число длин свободного
пробега излучения.
13.5.4. Коэффициент поглощения
Если можно пренебречь рассеянием (т. е. сг8Я ж 0), то Кк =
— ак и уравнение (13.12) принимает вид
s
i% (S) = £ (0) ехр [ - j а% (S*) dS*] . (13.20)
о
Если к тому же ах не зависит от координаты, как в случае газа
с постоянной температурой, давлением и составом, то
й(5) = 1И0)«р(-а^). (13.21)
Согласно электромагнитной теории распространения излучения
[см. текст, следующий за уравнением (4.26)], интенсивность
излучения в проводящих средах уменьшается в соответствии со
следующим соотношением
48—"ИгМ- (13-22>
где и — показатель поглощения, который связан с магнитной
проницаемостью, электрическим сопротивлением и диэлектрической
проницаемостью среды [уравнение (4.236)]. Таким образом,
коэффициент ах связан с показателем поглощения и соотношением
а%^~-. (13.23)
Это соотношение обеспечивает некоторую теоретическую базу для
закона Бугера, который первоначально был выведен
экспериментально. Коэффициент поглощения а% (К, Т, Р) обычно сильно
изменяется с длиной волны и часто довольно существенно зависит
от температуры и давления. Определению ах для различных газов
было посвящено значительное число теоретических и
экспериментальных работ.
Теоретические расчеты а^ требуют детального квантовомеха-
нического рассмотрения, изложение которого выходит за рамки

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 467
данного учебника, однако некоторые его положения кратко
описаны в гл. 16. За исключением самых простых газов, как
атомарный водород, эти расчеты очень сложные и требуют введения
множества допущений. В работах [7—9] подробно рассмотрены
методы расчета а^.
Насколько сложны эти расчеты, можно понять из
рассмотрения некоторых измеренных коэффициентов поглощения твердых
15 гг
ю
2
о
\ I I I IIJL
.,..л
гт-нч
0,2 0,4 0,6 0,8 1 2
X, мкм
4 6 8 10
Фиг. 13 6. Спектральный коэффициент поглощения алмаза а^ [13].
веществ и газов. На фиг. 13.6 приведен коэффициент поглощения
ах чистого алмаза. Видны резкие пики поглощения,
обусловленные колебаниями кристаллической решетки, при определенных
длинах волн. На фиг. 13.7 показан расчетный спектр испускания
водорода при давлении 4,04 МН/м2 (40 атм), температуре 11 300 К
и толщине слоя газа 0,5 м. Вид спектра непосредственно связан
со спектральной зависимостью коэффициента поглощения.
Наличие «пиков» или сильных линий испускания обусловлено связанно-
связанными переходами. Области непрерывного спектра
обусловлены процессами фото диссоциации, фотоионизации и различными
взаимодействиями между свободными электронами, атомами и
фотонами. Линии и области непрерывного спектра характерны как
для спектров испускания, так и для спектров поглощения. На
фиг. 13.8 приведен коэффициент поглощения воздуха при давлении
0,101 МН/м2 (1 атм) и температуре 12 000 К. В этом случае спектр
коэффициента поглощения выглядит как непрерывный вследствие
перекрывания многих близко расположенных линий, обусловлен-

10-Ю*
Фиг. 13.7. Спектр испускания водорода в относительных единицах при
температуре 11 300 К, давлении 4,04 МН/м2 (40 атм)идлине пути излучения
0,50 м [14].
1 — вклад непрерывного спектра; 2 — вклад переходов между дискретными уровнями;
3 — спектр излучения черного тела; ti — волновое число; е CnVe^ макс —
относительная поверхностная плотность потока излучения.
ioV
10*
10"
!_J L
J I L
J I I
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6-1015
V, C"
Фиг. 13.8. Коэффициент поглощения воздуха при температуре 12 000 К
и давлении 0,101 МН/м2 [15].
ау — коэффициент поглощения; <у — частота.

Перенос излучения в поглощающих^ излучающих и рассеивающих средах 469
ных колебательными и вращательными переходами между
энергетическими уровнями. Даже если перекрывание неполное,
вследствие недостаточной разрешающей способности измерительных
приборов спектр в этой области выглядит как непрерывный.
По оси абсцисс на фиг. 13.6 — 13.8 отложены различные
величины (длина волны, волновое число и частота), что свидетельствует
об отсутствии единой общепринятой переменной. При
рассмотрении в гл. 5 радиационных свойств непрозрачных поверхностей
указывалось, что наиболее широко используется длина волны.
Однако в теории излучения газов чаще употребляется частота,
которая при переходе из одной среды в другую с различными
показателями преломления в отличие от длины волны не изменяется.
Длина волны изменяется вследствие изменения скорости
распространения излучения.
Одна из вычислительных трудностей при рассмотрении
переноса излучения в газах связана с тем, что приходится иметь дело
с излучением и поглощением в спектральных линиях. Падающее
излучение, длина волны которого близка к центру линии, будет
интенсивно поглощаться, в то время как излучение с немного
отличающейся длиной волны может почти не ослабляться.
Интегрирование коэффициентов поглощения в линиях по длинам волн
с целью определения интегрального коэффициента поглощения,
или коэффициента поглощения в полосе, — в общем случае задача
трудоемкая. Эти средние коэффициенты используются в некоторых
методах расчета переноса излучения.
13.5.5. Истинный коэффициент поглощения
Закон Бугера в виде уравнения (13.20) определяет ослабление
пучка излучения при прохождении через объем неизлучающего
и нерассеивающего газа на длине пути S, как если бы были
измерены падающее и испускаемое излучения. По этим данным можно
было бы определить а^. В действительности при прохождении
излучения через газ помимо поглощения возникает дополнительное
явление, заключающееся в том, что в присутствии постороннего
поля излучения некоторые атомы или молекулы газа сами
испускают излучение. Это не обычное, или спонтанное, испускание,
о котором пойдет речь в разд. 13.6. Спонтанное испускание
возникает вследствие того, что возбужденное состояние газа является
неустойчивым и происходит спонтанный (самопроизвольный)
переход на более низкий энергетический уровень. Излучение,
испускаемое при наличии постороннего поля излучения, называется
вынужденным, или индуцированным, излучением и имеет смысл
отрицательного поглощения.
Физически процесс индуцированного излучения можно
представить следующим образом. Фотон, характеризуемый определенной

470
Глава IS
частотой, сталкивается с атомом или молекулой газа,
находящимися в возбужденном состоянии, т. е. в энергетическом
состоянии, отличающемся от основного состояния. В этом случае
существует определенная вероятность того, что падающий фотон
вызовет возврат частицы газа на более низкий энергетический уровень.
Если это произойдет, то частица испустит фотон с той же частотой
и распространяющийся в том же направлении, что и падающий
фотон. Таким образом, падающий фотон не поглощается, а к нему
добавляется второй такой же фотон. Этот процесс часто трактуется
как отрицательное поглощение, и именно так он рассматривается
в уравнениях баланса энергии, которые будут выведены в гл. 14.
Более подробно индуцированное излучение рассматривается
в разд. 16.4.
Индуцированное излучение вносит вклад в интенсивность
пучка, выходящего из газового объема. Следовательно,
действительно поглощенное газом количество энергаи больше того, которое
можно определить по разности интенсивиостей на входе и выходе,
поскольку измеряемая интенсивность на выходе определяется как
действительным поглощением, так и индуцированным излучением
на пути луча. Поглощенную энергию следует рассчитывать с
помощью истинного коэффициента поглощения а% (А,, Т, Р),
который больше коэффициента ах (А,, Г, Р), рассчитанного на
основании экспериментальных данных по ослаблению интенсивности
с помощью закона Бугера. «Истинный» закон поглощения вдоль
пути S записывается тогда следующим образом:
s
ik (S) = ik (0) exp [ - J at {S*) dS*~] . (13.24)
о
В статистической механике получено соотношение между
а% (А,, Г, Р) и ai (A,, 7\ Р) для газа с показателем преломления
п = 1
а% (Я, Г, ^) = [l—ехр (—|§-)]о£(Я, Т, Р) =
= [l_exp(-^)]aj(*, *\ Р). (13.25)
Из (13.25) видно, что из-за знака минус перед экспоненциальным
членом а% всегда больше а^ (теперь понятно использование
индекса+).
Поскольку индуцированное излучение зависит от поля
падающего излучения, его обычно объединяют с действительно
поглощенным излучением и получают коэффициент поглощения а%.
При этом член в уравнении переноса излучения, соответствующий
испусканию, учитывает исключительно спонтанное испускание
и, следовательно, зависит только от местных параметров газа. Как

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 471
будет показано в гл. 14, включение индуцированного излучения
в член, учитывающий поглощение, упрощает уравнения переноса
излучения.
За исключением больших значений XT (больших длин волн
и (или) высоких температур), экспоненциальный член в (13.25) мал
и поэтому а% и а%, почти равны. Они отличаются не более чем на 1 %
при XT <31>20 мкм-К и не более чем на 5% при XT <
<4800 мкм-К.
При использовании заимствованных значений параметров
газов при расчете переноса излучения в поглощающих и
излучающих средах необходимо проверить, учитывают ли приведенные
коэффициенты поглощения индуцированное излучение; обычно
приводятся значения ах.
13.5.6. Рассеяние излучения
Под рассеянием здесь подразумевается любое столкновение
фотона с одной или более частицами другого сорта, при котором
он не теряет всю свою энергию. Возможны изменение направления
и частичная потеря или приращение энергии. Во всех этих
случаях говорят, что фотон испытывает рассеяние.
Коэффициент рассеяния osX — величина, обратная средней
длине свободного пробега фотона с длиной волны X, которую он
проходит до рассеяния. (Строго говоря, это справедливо только
в тех случаях, когда osK не изменяется вдоль пути пробега
фотона.) Рассеяние может быть четырех типов: упругое рассеяние, при
котором энергия (а следовательно, частота и длина волны) фотона
не изменяется при рассеянии; неупругое рассеяние, при котором
энергия изменяется; изотропное рассеяние, которое
равновероятно во всех направлениях, и анизотропное рассеяние, которое
характеризуется неравномерным распределением п отправлениям.
Упруго-изотропное рассеяние поддается анализу без привлечения
сложных аналитических или численных методов. С точки зрения
инженерной практики наиболее важным считается упругое или
близкое к нему рассеяние.
В процессе упругого рассеяния не происходит обмена энергией
между полем излучения и средой. Следовательно, поле излучения
не влияет на локальные термодинамические свойства газа, хотя
свойства газа влияют на поле излучения. В этом случае расчет
процесса переноса энергии излучением при наличии рассеяния
становится проще аналогичного расчета при наличии поглощения
и испускания излучения, когда внутренняя энергия газа и поле
излучения могут сильно взаимодействовать. Перенос излучения
при наличии рассеяния рассмотрен в гл. 20. Пока же ограничимся
рассмотрением лишь процессов поглощения и испускания
излучения.

472
Глава 13
13.6. ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотрев различные определения, связанные с ослаблением
излучения средой, остановимся теперь на испускании излучения.
Рассмотрим элементарный объем газа dV (фиг. 13.9).
Истинный коэффициент поглощения газа в этом объеме равен а% (к, Т, Р)
и считается постоянным по всему объему. Пусть dV расположен
в центре большой черной полой сферы радиусом Л, имеющей
Сферическая
/ черная
оболочка
с температурой
Элементарный
Прозрачная / х r Г объем газа dV
среда ^
Фиг. 13.9. К выводу выражения для потока излучения, испускаемого
элементарным объемом газа.
постоянную температуру Г. Пространство между оболочкой сферы
и объёмом dV заполнено прозрачной средой. Для спектральной
интенсивности излучения, падающего с элементарной площадки
dA поверхности оболочки на элементарную площадку dAs
поверхности, ограничивающей dV, можно записать, используя (13.7),
iU0) = ikb(K Т). (13.26)
Интенсивность этого пучка на выходе из dV после прохождения
пути dS описывается законом Бугера
i'x (dS) = ft (0) exp (-a* dS). (13.27)
Поскольку здесь использован истинный коэффициент поглощения,
ia, (dS) в уравнении (13.27) не учитывает энергию индуцированного
излучения.
Изменение интенсивности вследствие истинного поглощения
в элементарном объеме dV определяется разностью между (13.27)

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 473
и (13.26)
d£JL = «х (dS) — «i (0) = — ix (0) [ 1 — exp (— a J dS)] =
= -iijb(K T)[l-ezv(-atdS)]. (13.28)
Сюда не входит индуцированное излучение. Заметим, что при
малых значениях а\ dS
с«х =—&(** Г)[1 —ехр(—aXdS)]«-ixb(A,f T)atdS. (13.29)
Уравнение (13.29) совершенно очевидно следует из
дифференциального уравнения (13.8). Энергия излучения, поглощенного
в дифференциальном объеме dSdAs, равна
сР<#, а = — сйх dAs dk dec, (13.30)
где dco = dA/R2, ad4s — проекция площадки на плоскость,
перпендикулярную направлению падающего излучения. Подставляя
(13.29) в (13.30), получим
d*Q'k9 а = iib (К Т) at dS dAs dk dco. (13.31)
Энергия излучения, испускаемого dA и поглощенного во всем
объеме dV, определяется путем интегрирования по объему dV, т.е.
d*Q'K а = j d2Q'K a = iib (К Т) at d%dco j dAs dS =
dV dVp
= ati'Kb(K T)dVdXd<o, (13.32)
где dVp — проекция поверхности, ограничивающей dV, на
плоскость, перпендикулярную направлению луча, испускаемого dA;
dec — телесный угол, стягиваемый площадкой dA, под которым
она видна из элементарного объема dV. Чтобы получить поток
излучения, падающего на dV со всей сферической оболочки,
проведем интегрирование по всем таким телесным углам и получим
&<?к а = J d*Q'K а = atiib (К Т) dV dl j dco =
(о 4я
= 4no#xf ъ (A,, T) dV dh = 4afcxb (X, Г) dF dA,, (13.33)A)
где ^ь — спектральная поверхностная плотность потока
излучения черного тела [уравнение (2.12)].
Для поддержания равновесия внутри оболочки элементарный
объем dV должен испускать такой же поток излучения, какой он
поглощает. Следовательно, поток излучения, испускаемого
изотермическим элементарным объемом, находящимся в равновесии
х) Заметим, что dV есть дифференциальная величина второго порядка
малости, т. е. dV = dA dS.

474
Глава 13
с окружающей средой, равен
&QK е = d3QK а = 44 (К Т, Р) ехъ (А,, Т) dV dl. (13.34)
Это выражение учитывает как спонтанное, так и индуцированное
излучение, равное в случае равновесия действительно
поглощенному излучению. Если учитывать лишь спонтанное излучение, то
в выражении для поглощенного излучения следовало бы использовать
коэффициент а%. Форма объема dV является произвольной, однако
ее размер должен быть достаточно малым, чтобы удовлетворялось
приближение (13.29) и чтобы излучение, испускаемое внутри
объема dV, покидало его без поглощения. Кроме того, внутренняя
энергия газа должна соответствовать условиям
термодинамического равновесия. Более подробно это ограничение рассмотрено
в разд. 13.8.
Теперь можно ввести понятие коэффициента испускания,
который определяется аналогично коэффициенту поглощения. Однако
в литературе встречаются и другие определения коэффициента
испускания х), которые не имеют аналогии с определением
коэффициента поглощения, и во избежание дополнительной путаницы
не имеет смысла вводить новый коэффициент. Лучше использовать
соотношение (13.34) для потока излучения, испускаемого
бесконечно малым объемом газа.
При изотропном (не зависящем от направления) спонтанном
излучении (а в данной работе всегда будет рассматриваться именно
такое излучение) интенсивность спонтанного излучения,
испускаемого элементарным объемом в любом направлении, равна
м (X г) = d3Q*"е = а% {Х' Tj Р) е%ь {Xl Т) dS =
= aUK Т, Р)Ць(К T)dS. (13.35)
где dAp — проекция объема dV на плоскость, перпендикулярную
направлению испускания, a dS — средняя толщина dV в
направлении, параллельном направлению испускания (т. е. dS =
= dV/dAp).
13.7. РАДИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ
Было,бы желательно использовать многочисленные методы
расчета теплообмена излучением между поверхностями,
разделенными непоглощающей средой. Для этого введем аналогичны е поня-
г) В литературе по астрофизике [5, 6] коэффициент испускания,
обозначаемый /х, определяется как ]\ = а\е\ь и имеет, следовательно, размерность
энергии на единицу объема, единицу времени и единицу интервала длин
волн.

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 475
тия и термины для излучающих газов. К ним относятся понятия
степени черноты и поглощательной способности объема газа. Их
определения аналогичны определениям степени черноты и
поглощательной способности непрозрачных твердых тел. Поскольку
поток излучения, испускаемого или поглощаемого объемом газа,
зависит от его размера и формы, а не только от физических
свойств и температуры, поглощательная способность и степень
черноты газов являются экстенсивными (общими) свойствами.
13.7.1. Поглощательная способность
Чтобы поглощательная способность была достаточно простым
с точки зрения инженерных расчетов параметром, она должна
зависеть от формы, размеров, температуры и физических свойств
to ^ Объем
среды
Фиг. 13.10» К выводу выражения для поглощательной способности на длине
пути S.
объема газа, для которого она оценивается. Следовательно, она
является характеристикой объема с постоянными условиями, в
котором отсутствуют градиенты физических условий.
Рассмотрим излучение интенсивностью ft (0), падающее в
направлении S на однородную среду, проекция объема которой
на плоскость, перпендикулярную направлению S, равна dAp.
Длина пути излучения в среде S (фиг. 13.10). Поток излучения,
поглощаемого средой в пределах телесного угла dco, определяется
по формуле
d3Qita = [ft (0) - ft (S)] dAp dxo dk (13.36)
Подставляя выражение (13.21) для ослабления излучения в
однородной среде, получим
dzQ'K а = ft (0) [1 -ехр (—atf)] dAp dco dk. (13.37)
Поток излучения, падающего на dV в пределах телесного угла dco,
равен
d*Qi,t г = ft (0) dAp d(o d% (13.38)
Если поглощательную способность газа на длине пути излучения
S определить как долю потока излучения, падающего в пределах

476
Глава 13
телесного угла dco, которая поглощается на длине пути S, то,
разделив (13.37) на (13.38), получим
Направленная спектральная поглощашелъная способность объема
однородного газа при длине пути излучения S =
воЦХ, Т, Р, S)= ^,'° =1-ехр(-ая5). (13.39)
Подставляя (13.39) в (13.21), получим соотношение между интен-
сивностями в виде
ii(5) = *H0)[l-ai(5)]. (13.40)
Величина а{ (S) — направленная спектральная поглощательная
способность. В инженерных расчетах используются также
значения средней по спектру поглощательной способности.
Интегрируя (13.37) и (13.38) по всем длинам волн и разделив первое
выражение на второе, получим соотношение
Направленная интегральная поглощательная способность объема
однородного газа при длине пути излучения S =
*2Q'a б
$с£(Х, T,P, S)^(0)dX
о
(13.41)
о
13.7.2. Степень черноты
Направленная степень черноты объема однородного газа равна
отношению энергии излучения, испускаемого этим объемом в
данном направлении, к энергии излучения, испускаемого черным
телом при той же температуре. Поскольку закон Кирхгофа
справедлив без ограничений для направленной спектральной
поглощательной способности, как отмечалось в табл. 3.2, то из (13.39)
непосредственно следует
Направленная спектральная степень черноты объема однородного
газа при длине пути излучения S =
= €х(*. Т, Р9 S) = l~exp(-a,S). (13.42)
Степень черноты равна отношению энергии излучения,
испускаемого объемом газа, к энергии излучения, испускаемого черным
телом. Следовательно, энергия излучения, испускаемого средой

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 477
в интервале длин волн dk в пределах телесного угла dco (фиг. 13.10)
и достигающего площадки dAp с координатой S, равна
i>h> [1 — ехр (— aKS)] dAp do) dX. По аналогии с (13.41)
Направленная интегральная степень черноты объема
однородного газа при длине пути излучения S ==
= £' (Г, />,£) =
КЬ(Ь> T)[l-exp(-a,JS)]dX
о
^ъ (К Т) t^-exp (-аъ/5)] dX I ^ (К Т, Р, S) ехъ (X, Т) dX
оТ*
оТ*
(13.43)
где при использовании для плотности потока излучения черного
тела выражения о Г4 предполагалось, что показатель
преломления среды п равен 1.
1200 1600 2000 2400 2800
Т, К
Фиг. 13.11. Интегральная направленная степень черноты смеси углекислого
газа с непоглощающим газом при полном давлении 0,101 МН/м2 [16].
€С02^' Р» s) ~ направленная интегральная степень черноты газа; Т — температура;
по данным [16]; экстраполяция.
На фиг. 13.11 приведена интегральная направленная степень
черноты углекислого газа в функции температуры, парциального

478
Глава 13
давления С02 и длины пути луча. Это лишь одна из
многочисленных диаграмм такого рода свойств, составленных для газов в
области параметров, представляющих практический интерес. В гл. 17
показано, как пользоваться этими данными при расчете
теплообмена излучением; там же будут приведены более подробные
диаграммы радиационных свойств газов.
Из сравнения (13.41) и (13.43) следует, что закон Кирхгофа
для интегральных направленных характеристик
а'(Г, Р, S) = £'(T, Р, S) (13.44)
справедлив только в тех случаях, когда спектр падающего
излучения пропорционален спектру излучения черного тела при
температуре газа Т или если газ серый, т/ е. а{ = ££ не зависит
от длины волны. Эти же ограничения справедливы для
непрозрачных тел, что уже отмечалось в гл. 3.
ПРИМЕР 13.1. В качестве первого приближения будем считать,,
что поглощательная способность С02 при Тg = 833 К и давлении
1,01 МН/м2 может быть представлена четырьмя полосами с
вертикальными границами при длинах волн 1,8 и 2,2; 2,6 и 2,8; 4,0
и 4,6; 9 и 19 мкм соответственно. Какова интегральная степень
черноты очень толстого слоя газа при той же
температуре?
Из уравнения (13.42) следует, что при очень большой толщине
слоя газа & стремится к единице в полосах поглощения.
Следовательно, газ будет излучать подобно черному телу в четырех
спектральных полосах поглощения. На непоглощающих участках
между полосами £{ будет равно нулю. Из (13.43) интегральная
степень черноты равна
оо
U'x(KTg, P,S)ekbgdX
€ {Tg, Р, S) = ^j =
I eXb,gdX
По всем полосам поглощения
Следовательно, степень черноты есть доля излучения черного тела,
приходящаяся на интервалы полос поглощения, которая может
быть определена с помощью коэффициентов F0_KT , приведенных
в табл. А.5 приложения. Для данного случая они равны

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 47$
К, мкм
1,8
2,2
2,6
2,8
XT мкм-К
1500
1833
2167
2 333
F0-XTg
0,01285
0,04338
0,09478
0,12665
Л,, мкм
4,0
4,6
9
19
\Tg> мкм К
3 333
3 833
7 500
15 800
F0-KTg
0,34734
0,44977
0,83435
0,97302
Тогда интегральная степень черноты будет равна
£' (Tg, Р, S) = 2j [F(XTa) -№ ) 1 полоса =
По всем полосам * нижняя g верхняя
поглощения граница граница
= ZJ [^0-атл —Fo-(A,TJ ]полоса-
По всем полосам . ^верхняя g нижняя
поглощения граница граница
Подставляя числовые значения, получим
С' = (0,04338 - 0,01285) + (0,12665 - 0,09478) +
+ (0,44977 — 0,34734) +- (0,97302 - 0,83435) - 0,304.
ПРИМЕР 13.2. Какая доля падающего солнечного излучения
поглотится очень толстым слоем С02 при давлении 1,01 МН/м2 и
температуре 830 К? Исходить из приближенной модели полосу
описанной в примере 13.1.
Эффективная радиационная температура Солнца равна Ts
5556 К. Необходимо определить, какая доля солнечного излучения
приходится на четыре полосы С02, поскольку лишь эта часть
падающего излучения будет поглощаться. Значения коэффициентов
Fq-xTs будут следующими (согл. табл. А.5):
К, мкм
1,8
2,2
2,6
2,8
Я,Т8, мкм-К
10 000
12 222
14 444
15 556
fo-kts
0,91414
0,94751
0,96572
0,97174
Я,, мкм
4,0
1 4,6
9
19
A,Ts,mkm-K
22 222
25 556
50 000
105 000
fo—xts
0,98915
0,99262
0,99889
~ 1,00000
Тогда доля поглощенной энергии равна
а — 2j [^0-(A,Ts) л
По всем полосам верхняя
- поглощения граница
— F,
]г
0"^нижняя Ьолоса:
граница
= (0,94751-0,91414)+ (0,97174-0,96572) +
+ (0,99262-0,98915)+ (1,00000—0,99889) = 0,044.

480
Глава 13
Таким образом, даже очень толстый слой поглощает всего лишь
4,4% энергии падающего излучения, поскольку газ практически
прозрачен в интервалах между полосами поглощения.
13.7.3. Пропускательная способность
Пропускательная способность объема газа равна доле
падающего излучения, которая проходит через этот объем. Если
предположить, что не происходит отражения или рассеяния падающего
излучения, то поток пропускаемого через объем излучения будет
равен разности потоков падающего и поглощенного излучения
на пути луча, т. е.
ds&.( = d3&,i-ds<?i,a. (13.45)
После преобразования получаем следующее выражение для про-
пускательной способности:
^3^=1-^3^-- (13-46)
Подставляя (13.39) в (13.46), получим
Направленная спектральная пропускателъная способность объема
однородного газа при длине пути излучения Sz==
-Ti(Xf Г, Р, S) = -j^ = l-ab(l, Г, Р, S)=«p(-ax£).
(13.47)
Согласно (13.40), можно получить следующее соотношение для
интенсивности излучения:
fc(S) = U(0K(S). (13.48)
По аналогии с предыдущими определениями
Направленная интегральная пропускательная способность объема
однородного газа при длине пути излучения S ==
^т'(Га Р, S) = l-a'(2\ Р, S) =
I %'% (X, Г, Р, S) V% (0) d% I i'% (0) exp (-akS) dl
_o _ о
So ~~ oo
I «i (0) dl I i'% (0) d%
0 6
(13.49)
(Здесь мы вновь пренебрегали процессом отражения объемом газа.)

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах 481
ПРИМЕР 13.3. При некоторых ядерных взрывах максимальная
объемная плотность энергии излучения такая же, как у черного
тела при температуре 6000 К. Солнечное излучение имеет близкий
спектр. Следовательно, пропускательную способность атмосферы
относительно солнечного излучения можно использовать для
оценки ослабления энергии излучения ядерного взрыва.
Когда Солнце находится в зените, интегральная пропуска-
тельная способность атмосферы для солнечного излучения в районе
Великих озер составляет в осенне-зимний период в среднем 35%.
Предположим, что взорвана 20-мегатонная ядерная бомба на
высоте 10 км и ее энергия равномерно выделяется в течение 4 с.
Предположим далее, что образовавшийся за это время огненный шар
имеет диаметр 1000 м и 50% всей энергии расходуется на тепловое
излучение. Рассчитать поверхностную плотность потока
излучения на уровне земли непосредственно под точкой взрыва.
Энергия интегрального излучения, выделяемая огненным шаром
в единицу времени (1 Мт « 4,187 «1016 Дж), равна
Q= 20.4,187.10» „20,9.10» Вт.
Поскольку 50% энергии расходуется на тепловое излучение,
плотность потока излучения, испускаемого огненным шаром, равна
_ 0,5(? _ 0,5Q
Интенсивность этого черного излучения равна
а интенсивность излучения, достигающего уровня земли, согласно
(13.48), равна
^земля = т^ (0) = 0,35 — = 0,35 • 4Я'2д2 •
Чтобы рассчитать поверхностную плотность потока излучения,
падающего на землю, в качестве приближения будем
рассматривать огненный шар как видимую с земли элементарную
площадку с площадью проекции dAp = кПш. Тогда поток излучения,
достигающего земли в эпицентре взрыва, будет равен
v)'_" л а _ 0,175(? Л яДш
ац — Ьемля^земля #Ю — 4я2/?2 ^мля S2 '
а плотность потока излучения будет равна
q=W-.= Wg-- °'175;20:п9;1015 =2,91.106 Вт/м*.
Заметим, что полученный результат не зависит от Rm.

482
Глава 13
Существует другой путь решения. Поскольку 50% энергии
расходуется на тепловое излучение, то
<?изл = 10.45.10" Вт.
Представим себе концентрическую сферу радиусом 10 км (высота
точки взрыва над землей) вокруг огненного шара. Поскольку рас-
Олбанц
Балтимор
;'v Вашингтон
50%-ная
облачность
♦ Место
бзрыба
Фиг. 13.12. Площади, на которых плотность потока излучения в результате
четырех мощных высотных взрывов составляет 62,9«104 Вт/м2 или более
в зависимости от погодных условий [10].
пределение (?изл сферически симметричное, плотность потока
излучения на воображаемой сфере при отсутствии ослабления в
атмосфере равна
10,45 -1015Вт _ 1,045-108
4л
Вт/м2
Лсфера~ 4л (10-103)2 М2
А поскольку пропускательная способность равна 35%, то
действительная плотность потока излучения на уровне земли составит
g== 1,04!М0в (0,35) = 2,91-106 Вт/м2.

Перенос излучения в поглощающих, излучающих и -рассеивающих средах 483
Полученное значение плотности потока излучения, падающего
на поверхность земли в течение нескольких секунд, более чем
в 4 раза превышает величину плотности потока излучения,
достаточную, чтобы воспламенилась бумага. Более подробно задачи
такого типа описаны в [10], где учитывается угол наклона к земле.
Были исследованы варианты взрывов на больших, чем в примере
13.3, высотах. Полученные результаты представлены на фиг. 13.12.
13.8. ПОНЯТИЕ ЛОКАЛЬНОГО ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО
РАВНОВЕСИЯ
До сих пор предполагалось, что энергия излучения
непрозрачных тел зависит только от их температуры и физических свойств.
Спектральное распределение энергии излучения считалось
независящим от характеристик падающего излучения. В целом это
справедливо, потому что вся поглощенная доля энергии
излучения, падающего на непрозрачное твердое тело, быстро
перераспределяется по внутренним энергетическим состояниям в
соответствии с равновесным распределением при температуре
твердого тела.
В газе перераспределение энергии поглощенного излучения
осуществляется путем различного рода столкновений между
частицами газа: атомами, молекулами, электронами и ионами.
В большинстве представляющих технический интерес случаев
такое перераспределение происходит достаточно быстро и
энергетические уровни газа будут заселены в соответствии с
равновесным распределением, соответствующим локальным условиям.
Если это справедливо, спектральное распределение излучения
черного тела будет описываться законом Планка, а излучение
элементарного объема газа — выражением (13.34). Допущение,
что газ будет излучать в соответствии с выражением (13.34)
независимо от спектрального распределения интенсивности
пропускаемого и поглощенного объемом dV излучения, является следствием
допущения о «локальном термодинамическом равновесии». Когда
это допущение не выполняется, расчет переноса излучения
значительно усложняется.
Случаи, когда допущение о локальном термодинамическом
равновесии несправедливо, довольно редки. Примерами могут
служить очень разреженные газы, у которых частота и (или)
эффективность столкновений частиц, приводящих к
перераспределению поглощенной энергии излучения, низки; очень быстрые
нестационарные процессы, в течение которых заселенность
энергетических уровней не успевает прийти в соответствие с новыми
условиями; очень большие градиенты, при которых локальные
условия зависят от частиц, прибывающих из соседних областей
с существенно отличными условиями, и испускание излучения

484
Глава 13
может произойти до достижения равновесия; экстремальные
потоки излучения, при которых поглощение энергии, а
следовательно, и заселенность верхних энергетических уровней столь
велики, что за счет столкновительных процессов равновесная
заселенность нижних уровней не будет достигнута. В любом
из этих случаев спектральное распределение испускаемого
излучения не будет описываться выражением (13.34) и для
определения заселенности необходимо подробное исследование
соотношения между столкновительными и радиационными процессами
и их влияния на распределение энергии между различными
возможными уровнями, что представляет собой крайне сложную
задачу. Однако это необходимо делать при изучении ударных
явлений (большие градиенты), звездных атмосфер (экстремальные
потоки энергии и низкая плотность), ядерных взрывов (быстрые
нестационарные процессы, большие градиенты, экстремальные
потоки энергии), газодинамики полетов на больших высотах
и в межпланетном пространстве (очень низкие плотности).
Газ с малой оптической толщиной может пропускать излучение
из областей с весьма различными условиями. Поэтому отклонение
от локального термодинамического равновесия в почти
прозрачном или прозрачном газе более вероятно, чем в оптически
толстом газе той же плотности.
Наиболее сильное отклонение от локального
термодинамического равновесия наблюдается в лазерах. В них вещество с мета-
стабильным энергетическим уровнем возбуждается некоторым
внешним источником. Поскольку возбужденное состояние
является метастабильным и выбрано таким образом, что не существует
какого-либо обратного процесса, стремящегося уменьшить его
заселенность, последняя может достигать значения, существенно
выше равновесного. Такое условие называется инверсной
заселенностью. Затем вещество подвергается^ воздействию излучения
с частотой, соответствующей переходу из возбужденного
состояния в более низкое, что стимулирует такие переходы в веществе.
Следовательно, будет излучаться большое число фотонов с
указанной частотой и тем самым увеличиваться интенсивность
падающего излучения. По первым буквам названия этого процесса
light amplification by the stimulated emission of radiation
(усиление света индуцированным испусканием излучения) и получил
свое название лазер (laser).
Такого рода задачи с отклонением от локального
термодинамического равновесия не рассматриваются в настоящей работе.
Здесь будет предполагаться, что локальное термодинамическое
равновесие существует всегда и что, хотя потоки, достигающие
элементарного объема dV, исходят из областей с существенно
иными температурами, испускание излучения объемом dV
описывается выражением (13.34).

Перенос излучения в поглощающих, иалучающих и рассеивающих средах 485
13.9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В данной главе введены некоторые основные понятия и
определения теории излучения в газах. В последующих главах будет
рассмотрено приложение этих понятий к задачам переноса
излучения в газах. Было введено понятие индуцированного
излучения; способ его учета в уравнении переноса энергии будет описан
в гл. 14.
Литература
1. Langley S. P., Experimental Determination of Wave-Lengths in Invisible
Prismatic Spectrum, Mem. Natl. Acad. Sci., 2, pp. 147—162 (1883).
2. Гуди P. M., Атмосферная радиация, изд-во «Мир», 1966.
3. Проблемы физики атмосферы, под ред. К. Я. Кондратьева, Л., 1963.
4. Gardon R., A Review of Radiant Heat Transfer in Glass, /. Am. Ceram.
Soc9 44, № 7, pp. 305-312 (1961).
5. Чандрасекар С., Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953.
6. Kourganoff V., Basic Methods in Transfer Problems; Radiative
Equilibrium and Neutron Diffusion, Dover Publications, Inc., New York, 1963,
7. Пеннер С. С, Количественная молекулярная спектроскопия и излуча-
тельная способность газов, ИЛ, М., 1963.
8. Бонд Дж., Уотсон К., Уэлч Дж., Физическая теория газовой динамики,
изд-во «Мир», 1968.
9. Bates D. R. (ed.),. Atomic and Molecular Processes, Academic Press, Inc.,
New York, 1962.
10. Atlas R., Charles B. N., Atmospheric Attenuation of the Thermal Radiation
from a High-altitude Nuclear Detonation, paper 64-318, А1АД, June 1964.
11. Kulander J. L., Non-Equilibrium Radiation, Rep. R64SD41, General
Electric Co., June 1965.
12. Thomas R. N.. Some Aspects of Nonequilibrium Thermodynamics in the
Presence of a Radiation Field, University of Colorado Press, Boulder, 1965-
13. Garbuny M., Optical Physics, Academic Press, Inc., New York, 196i>,
14. Aroeste H., Benton W. C, Emissivity of Hydrogen Atoms at High
Temperatures, /. Appl. Phys., 27, pp. 117—121 (1956).
15. Meyerott R. E., Sokoloff J., Nicholls R. A., Absorption Coefficients of Air,
Rep. LMSD-288052, Lockheed Aircraft Corporation (AFCRC-TR-59-296),
September 1959.
16. Мак-Адаме В. X., Теплопередача, Металлургиздат, 1961, стр. 87—175.
Задачи
1. Пучок монохроматического излучения с длиной волны % =
= 2,5 мкм и интенсивностью 9462 Вт/(м2«мкм) падает на слой
газа толщиной 0,203 м. Газ имеет температуру 1110 К, его
коэффициент поглощения равен а,2,ь мкм = 6,56 м-1. Какова
интенсивность пучка на выходе из слоя газа? Пренебречь
рассеянием, но учесть собственное излучение.
Ответ: 7570 Вт/(м2-мкм).
2. Излучение от абсолютно черного источника с температурой
3000 К проходит через слой воздуха, температура которого

486
Глава 13
12 000 К, а давление 0,101 МН/м2. С учетом лишь
проходящего излучения (т. е. пренебрегая собственным излучением
воздуха) найти длину пути, на которой поглотится 25%
энергии при длине волны, соответствующей максимуму в спектре
черного излучения.
Ответ: 0,022 м.
3. Излучение с длиной волны 1,5 мкм проходит через газ с
температурой 10 000 К. Каково отношение истинного
коэффициента поглощения к коэффициенту поглощения?
Ответ: 1,62.
4. Тонкая черная пластина 1 X 1 см расположена в центре
сферы, заполненной смесью С02 и воздуха, имеющей температуру
2400 К и полное давление 0,101 МН/м2. Парциальное
давление С02 равно 0,0606 МН/м2, диаметр сферы 1 м. Каков поток
излучения, поглощаемого пластиной? Какова ее температура?
(Считать поверхность сферы черной и достаточно холодной,
так что она не участвует в теплообмене излучением.)
Ответы: 24,7 Вт, 1210 К.
5. С помощью фиг. 13.8 оценить интегральную поглощательную
способность воздуха при температуре 12 000 К и давлении
0,101 МН/м2 относительно солнечного излучения,
проходящего в нем путь длиной 5 см.
Ответ: 0,58.
6. Исходя из спектральной поглощательной способности а'%
(фиг. 13.2), найти интегральную степень черноты С02 при
температуре, давлении и длине пути, указанных в подписи
к фигуре. Сравнить результат с полученным по фиг. 13.11
(или фиг. 17.11).

14
УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
В ИЗЛУЧАЮЩЕМ И ПОГЛОЩАЮЩЕМ
ГАЗЕ
14.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 13 были изложены основные понятия и определения,
касающиеся интенсивности излучения и поглощения в среде.
Излучение, распространяющееся в среде в определенном
направлении, ослабляется вследствие поглощения и рассеяния и
усиливается вследствие спонтанного и индуцированного излучения,
а также излучения, рассеянного с других направлений. Как уже
упоминалось в гл. 13, при выводе дифференциального уравнения,
описывающего изменение интенсивности излучения вдоль
некоторого направления в поглощающей и излучающей среде, будут
использованы основные законы поглощения и излучения.
Полученное в результате уравнение называется уравнением переноса.
Влияние рассеяния в этой главе, а также в гл. 15—19
предполагается несущественным; оно будет рассмотрено в гл. 20.
В решение уравнения переноса вводится константа
интегрирования, значение которой определяется интенсивностью в
начале рассматриваемого пути излучения. Так как началом обычно
является граница излучающей среды, то тем самым излучение
на границе связывается с распределением излучения в среде.
Интенсивностью излучения называется поток излучения,
распространяющийся в некотором направлении в единице телесного
угла через единицу поверхности, перпендикулярную этому
направлению. Для определения потока результирующего излучения,
переносимого через некоторую поверхность, необходимо
произвести интегрирование, учитывающее вклады интенсивностей со
всех направлений. Это позволяет в результате получить
выражение для потока излучения, которое используется при
составлении уравнения теплового баланса в среде.
14.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
Л — площадь;
а — коэффициент поглощения;
с — скорость света в среде;
D — расстояние между параллельными пластинами;
отношение диаметров;

488
Глава 14
Еп — интегроэкспоненциальная функция, уравнение (14.45);
е — поверхностная плотность потока излучения;
/ — функция распределения фотонов;
h — постоянная Планка;
i — интенсивность излучения;
i, 3, к — единичные векторы в направлениях х, г/, z;
п — единичный вектор в направлении нормали;
Р — давление;
Q — поток энергии;
q — поверхностная плотность потока энергии;
г — радиус-вектор;
5 — координата в направлении излучения;
s — единичный вектор в направлении S\
Т — абсолютная температура;
U — объемная плотность энергии излучения;
V — объем;
#> У» z — координаты в декартовой системе координат;
Р — полярный угол;
6 — азимутальный угол;
х — оптическая толщина;
xD — оптическая толщина пути длиной D;
X — длина волны;
v — частота;
о — постоянная Стефана — Больцмана;
со — телесный угол.
Подстрочные индексы
а — поглощенное излучение;
Ъ — черное тело;
е — испускаемое излучение;
i — среднее значение для падающего излучения,
уравнение (14.21);
Р — средняя по Планку величина, уравнение (14.20);
^, v — спектральные величины;
+ направление с положительным cos Р;
— направление с отрицательным cos Р;
1,2 — поверхность 1 или 2.

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 489
Надстрочные индексы
+ истинное значение без учета индуцированного
излучения;
* — переменная интегрирования;
— осредненное значение по всем направлениям падающего
излучения;
' — направленная величина.
14.3. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
Выведем уравнение переноса в нерассеивающей среде. Как
было упомянуто в разд. 14.1, это уравнение описывает
интенсивность излучения в любой точке вдоль направления его
распространения в поглощающей и
излучающей среде.
14.3.1. Вывод уравнения
I Ослабление
интенсивности излучения в
нерассеивающей среде,
обусловленное только
поглощением, определяется
законом Бугера [уравнение
(13.12)]. Уравнение
переноса является обобщением
закона Бугера на случай,
когда в интенсивности
излучения учитывается вклад
собственного излучения
вдоль рассматриваемого
направления.
Рассмотрим излучение
с интенсивностью i'%, (S),
распространяющееся внутри некоторого объема поглощающей
и излучающей среды (фиг. 14.1). Обратим внимание на изменение
интенсивности излучения при прохождении излучением пути dS.
Интенсивность излучения в точке S + dS нерассеивающего газа
без учета собственного излучения газа равна интенсивности в точке
S плюс ее изменение, вызванное поглощением на участке d£, т. е.
i'b(S + dS) = i'b(S) + dila.
Используя для этого случая уравнение (13.8) при Кк = аХу
получим
i'% (S + dS) = г% (S) - aK (S) ft (S) dS = i'k{S) [1 - aK (S) dS]. (14.1)
Фиг. 14.1. К выводу уравнения переноса.

490
Глава 14
Отметим, что в (14.1) используется ах, а не «истинный»
коэффициент поглощения а£. Таким образом, интенсивность i% (S + dS)
учитывает не только истинное поглощение, но также
индуцированное излучение (разд. 13.5.5).
Вклад спонтанного излучения газа вдоль пути dS в
интенсивность излучения в направлении S определяется по
уравнению (13.35) в предположении локального термодинамического
равновесия излучения вдоль этого пути как
di'Ke = ab(S)iib(S)dS. (14.2)
Добавляя к (14.1) (14.2), получим интенсивность излучения
ii (S + dS), равную
г% (S + dS) = г% {S) + diKa + diK е =
= i'x (S) [1 -ax (S) dS] + ak (S) i'Kb (S) dS, (14.3)
где i{(S + dS) учитывает теперь все виды собственного
излучения газа, а также ослабление падающего излучения. Тогда
изменение] интенсивности di'% падающего излучения при
прохождении пути dS равно
di'x = i'b(S + dS) - i'K (S) - ak (S) [i'xb (S) - i'K (S)] dS. (14.4)
В астрофизических задачах часто удобнее использовать
уравнение, полученное после замены a^dS одной величиной
dnx = ax(S)dSx (14.5)
учитывающей коэффициент поглощения и элементарный участок
пути, проходимый излучением. Величина dn% называется диффег
ренциалъной оптической толщиной. Интегрируя уравнение (14.5),
получим, как и в уравнении (13.17), оптическую толщину или
оптическую глубину слоя толщиной S или пути длиной S
S
nx(S)=^a%(S*)dS*. (14.6)
о
Используя выражение для дифференциальной оптической
толщины, преобразуем (14.4) к виду
-^- + *хЫ = *хь(хх). (14.7)
Уравнение (14.7) представляет собой уравнение переноса
излучения в поглощающем и излучающем газе.
Учет индуцированного излучения коэффициентом
поглощения имеет определенное преимущество. Как упоминалось в разд.
13.5.5, индуцированное излучение распространяется в том
же направлении, что и падающее излучение, а спонтанное излу-

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 491
чение распространяется равномерно по всем направлениям. Таким
образом, объединяя индуцированное излучение с истинным
поглощением в ак (и Хх), мы объединяем величины, зависящие от
направления падающего излучения. Окончательное выражение для
члена, учитывающего собственное излучение в уравнении переноса,
содержит только спонтанное излучение и, следовательно, не
зависит от направления.
14.3.2. Решение с помощью интегрирующего множителя
Уравнение (14.7) является линейным дифференциальным
уравнением первого порядка, и его общее решение можно получить
с помощью интегрирующего множителя. Умножая это уравнение
почленно на множитель exp (хх), получим
ехр (хх) -щ- + i'x (хх) ехр (хх) =
= ~аЧ^ № (х*) ехр (х*)1 = V%b (**•) ехр ^' (14'8>
Интегрирование по оптической толщине от х^ =-- 0 до хя (S) дает
U Ы ехр (хх) — ii (0) = j & (*3t) ехр (xj) dxj (14-9)
о
или
"а,
i'x (и*) = 0, (0) ехр (— хх) + j «хь (и*) ехр [ — (хх — х*)] dxj, (14.10)
о
где Хх* — текущая переменная интегрирования.
Физический смысл уравнения (14.10) заключается в том, что
интенсивность излучения на оптической толщине Хх состоит
из двух слагаемых: интенсивности ослабленного падающего
излучения, достигшего точки Хх (с учетом индуцированного излучения
вдоль пути), и интенсивности спонтанного излучения в
направлении S от элементов на всевозможных оптических толщинах
хх данного направления, экспоненциально ослабленной при его
прохождении между точкой излучения хх и рассматриваемой
точкой Хх- Уравнение (14.10) является интегральной формой
уравнения переноса. В таком виде оно применимо к расчету
спектральной интенсивности излучения в направлении положительных
значений Хх-
Хотя уравнение (14.10) представляет собой общее решение
уравнения переноса, из него невозможно непосредственно
определить интенсивность излучения, пока неизвестно распределение
температуры. От температуры зависит интенсивность излучения
черного тела г^ъ (хх), входящая в подынтегральное выражение

492
Глава 14
правой части. Распределение температуры необходимо также для
определения коэффициента поглощения ак (S) и последующего
вычисления оптической глубины к% (S) по уравнению (14.6),
т. е. для установления связи между физической координатой S
и оптической координатой К),. Распределение температуры
находится из баланса энергии в среде, который в свою очередь
определяется интегральной энергией излучения, поглощенного каждым
элементом объема вдоль пути распространения излучения.
Величина этой энергии будет получена в следующем разделе путем
интегрирования интенсивности излучения, проходящего через
некоторую точку, по всем телесным углам падения излучения
и всем длинам волн. Уравнение энергии и уравнение (14.10)
представляют собой необходимые соотношения, из которых
можно определить согласующиеся между собой распределения
температуры и интенсивности излучения.
ПРИМЕР 14.1. Элементарная площадка dA черного тела
расположена на расстоянии 0,10 м от элементарного объема газа dV
Фиг. 14.2. Геометрия системы в примере 14.1.
(фиг. 14.2). Элементарный объем газа является частью
изотермического объема газа V, находящегося при той же температуре 7\
что и dA. Какова спектральная интенсивность излучения,
падающего на элементарный объем dV с элементарной площадки dA
вдоль направления S при А, = 1 мкм, если коэффициент
поглощения а^ газа равен 10 м-1 при длине волны 1 мкм?
Поскольку dA — элементарная площадка черного тела с
температурой Г, интенсивность излучения в точке S = 0 равна
i'x (0) = i'tt>(T). Так как газ изотермический, то интенсивность
излучения черного тела в газе равна ъ%ъ (х J = г'м (Т).
Подстановка этих величин в интегральное уравнение переноса (14.10)
дает
й (*х) = Чл (Т) ехр (-хЛ) + ixb (Т) ехр (— хх) j exp (xj) dxjv
о

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 493
После выполнения интегрирования это уравнение принимает вид
Для газа с показателем преломления п = 1 величина i^b (Т)
определяется уравнением (2.11а). Таким образом, интенсивность
распространяющегося вдоль изотермического пути излучения
элемента поверхности черного тела, находящегося при той же
температуре, что и газ, равна в объеме dV интенсивности
излучения черного тела на стенке и не зависит ни от ак, ни от S.
Ослабление газом интенсивности излучения, испускаемого
стенкой, компенсируется собственным излучением газа на пути от dA
до dV.
J 4.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В СРЕДЕ
Уравнение (14.10) описывает поток излучения определенной
длины волны, распространяющийся в среде в заданном
направлении. Распределение температуры в среде находится из баланса
Фиг. 14.3. К выводу уравнения сохранения энергии.
энергии излучения, падающего на элемент объема со всех
направлений во всем диапазоне волн. Так как (14.10) содержит
интенсивность I'm, которая является функцией местной температуры,
то для нахождения распределений интенсивности излучения
и температуры уравнение переноса излучения решается
совместно с уравнением сохранения энергии.
Для вывода уравнения сохранения энергии рассмотрим
энергию излучения, поглощенного элементом объема среды dV
(фиг. 14.3). По аналогии с (13.32) поглощенная доля падающего

494 Глава 14
излучения интенсивностью i'% (А,, со, хх), распространяющегося
в пределах бесконечно малого телесного угла dco, равна
d*Qla = aK(dV)i'b{l, со, кх) dVdldco. (14.11)
Интенсивность iJJ (к, со, кк) падающего излучения определяется
на основании уравнения переноса (14.10)
i'b(K со, K%) = i'b(k, со, 0)ехр( — кх) +
+ j ih(K xJ)exp[-(xx-xX)]dxJ, (14.12)
о
где i'x (А,, со, 0) — спектральная интенсивность излучения,
распространяющегося в сторону элементарного объема dV от границы
системы в пределах телесного угла dco.
Интегрируя уравнение (14.11) по со, найдем энергию
излучения, поглощенного объемом dV («истинное» поглощение за
вычетом индуцированного излучения) со всех направлений
падающего на этот элемент излучения:
4л 4л
dsQx, а = { d*Qi а = ах (dV) dV dl j & {%, со, xx) dto. (14.13)
ю=0 co^=0
Для более удобной и компактной записи уравнений вводится
средняя интенсивность падающего излучения iXl t (к) в объеме dV
4я
ШКг(%) = \ i'K(X, со, их)Жо. (14.14)
о
Тогда (14.13) примет вид
<PQK а = Алаь (dV) ikt i (К) dV d%. (14.15)
Интегрируя (14.15) по всем длинам волн, получим энергию
интегрального излучения, поглощённого объемом dV из всей области
излучения:
оо сю
<PQa = j d*QK а = 4я dV j ax (d7) ?x, i(X) eft, (14.16)*)
k=0 0
Энергия спонтанного интегрального излучения объема dV
получается путем интегрирования по всем длинам волн уравнения
(13.34) с использованием а%:
оо оо
d?Qe = j d*QK е = MV j ^ (ЛО <to (К T) dX. (14.17)
х) Заметим, что слева стоит дифференциал второго порядка, так как
в принятых обозначениях dV — величина порядка dAdS.

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 495
Это уравнение основано на предположении, что объем dV
настолько мал, что все излучение, испускаемое dV, покидает его прежде,
чем какая-либо его часть успевает поглотиться в этом объеме.
14.4.1. Радиационное равновесие
В тех случаях, когда другие виды переноса энергии, как
теплопроводность и конвекция, пренебрежимо малы в сравнении
с излучением, а поле температур стационарно, энергия
интегрального излучения, испускаемого объемом dV, равна энергии
поглощенного им интегрального излучения. Такое состояние называется
радиационным равновесием и представляет собой просто закон
сохранения энергии применительно к стационарным условиям
в отсутствие иных, кроме излучения, видов переноса. При
радиационном равновесии из (14.16) и (14.17) получим
d?Qe = d*Qa
или
со оо
j ак(Х, Т, Р)еьь(К Т) d% = % j ак(К} Т, P)lKi(%)d%. (14.18)
о о
Воспользуемся теперь понятием дивергенции вектора. Энергию
результирующего излучения в единице объема можно
рассматривать как дивергенцию вектора плотности потока излучения q.
Следовательно, из (14.16) и (14.17) получим
оо
V-q = 4 jax(Xf Т, Р)[е%ь{К T)-ni%ii{%)]d%
о
и (14.18) в случае радиационного равновесия принимает вид
V-q = 0. (14.18а)
14.4.2. Некоторые средние коэффициенты поглощения
В связи с наличием интеграла, учитывающего излучение, в
левой части уравнения (14.18) удобно ввести средний коэффициент,
поглощения по Планку аР (Г, Р), определяемый в виде
00 оо
1 а% (X, Т, Р) ехъ (X, Т) dX J ах(Х, Т, Р) ехь (К Т) dX
аР(Т, Р)^±-^ ~2 д, .
leKb(X, T)dX
(14.19>
аР — осредненный по спектру коэффициент, в котором
нормирующим множителем является спектральная поверхностная плот-

496
Глава 14
ность потока излучения черного тела. Он полезен при
рассмотрении излучения объема и в некоторых предельных случаях
радиационного переноса.
Подставляя (14.19) в (14.18), получим уравнение сохранения
энергии в виде
оо
аР (Г, Р) аГ4 = я j а% (X, Г, Р) iK {(X) dX. (14.20)
о
Таким^образом, если в некоторой точке газа известна
интенсивность iKi (X), то уравнение (14.20) можно решить относительно
температуры Т в этой точке. Средний коэффициент поглощения
по Планку аР удобен тем, что он зависит только от свойств объема
dV. Его легко затабулировать, и он особенно полезен в тех
случаях, когда давление в системе постоянно.
Другой осредненный коэффициент поглощения связан с
наличием учитывающего поглощение интеграла в правой части
уравнения (14.20). Это — средний по падающему излучению (или
средний модифицированный по Планку) коэффициент поглощения
at (Ту Р), определяемый в виде
оо
I ах (X, Т, Р) Тх> t (К) d%
at (Г, Р) = J —_ . (14.21)
I h, i (X) dX
6
Однако в общем случае такое осреднение мало пригодно.
Значения at должны быть затабулированы для всех возможных
сочетаний спектральных распределений падающего излучения и
спектральных изменений локальных коэффициентов поглощения.
Работа по составлению таких таблиц, за исключением некоторых
специальных случаев, не оправдана. Подробнее физический смысл
некоторых средних коэффициентов поглощения рассматривается
в разд. 15.5.1.
14.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ПЛОСКОГО СЛОЯ
Иногда в задачах по излучению газов для выяснения влияния
отдельных переменных, общее число которых велико, удобно
рассматривать системы простой геометрии. Часто во многих
работах, как в технике, так и в астрофизике, используется модель
плоского слоя. Интерес астрофизиков [1, 2] основан на том, что
атмосферу Земли и внешние излучающие слои Солнца можно
приближенно представить в виде плоского слоя.
Модель плоского слоя показана на фиг. 14.4. Температура
и свойства газа изменяются только вдоль координаты х. Пусть
некоторое направление распространения излучения S в газе

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 497
расположено под углом Р к направлению х. Тогда оптическая
толщина х (х) вдоль координаты х определяется выражением
к(х) = I adx*.
(14.22)
Связь между оптическими длинами в направлениях S ж х дается
соотношением
S зс/cosp х
*<S)=J«tf*« J ad(-f^)=-^.Ja^.= ^. (14.23)
0 0 о
Уравнение переноса (14.7) справедливо для любого направления,
и, таким образом, х в (14.7) есть х (S). Используя (14.23), пере-
Фиг. 14.4. Модель плоского слоя,
пишем уравнение переноса в функции х (х)
cos{3
dik
дкх (х)
•*U*x(s), Р] = йь[иь(я)].
(14.24)
Частная производная означает, что i% зависит от кк (х) и р.
Интегральная форма уравнения переноса (14.10) имеет вид
M*bP) = U(0)exp(-J^) +
+ J &ь(х£)ехр[*
cos р J cos р '
(14.25)
где все х, входящие в (14.25), соответствуют х (#). Часто бывает
удобно ввести новую переменную [х = cos р. Тогда
уравнение (14.25) записывается в следующем виде:
&(*ь 1*) = й(0)ехр(—^) +
+ \ 1кь (*х) ехр —i- —А
(14.26)

498
Глава 14
14.6. СЕРЫЙ ГАЗ
Газ, коэффициент поглощения которого не зависит от длины
волны, называют серым газом. Из того, что говорилось об
изменении свойств газа по спектру (в связи, например, с фиг. 13.2),
очевидно, что газы являются далеко не серой средой. Однако
в некоторых случаях в пределах отдельных участков спектра
газы можно считать серыми. В других случаях, когда в газе
содержатся или в него вводятся частицы сажи или другого
вещества для увеличения поглощаемого или испускаемого газом
излучения, коэффициент поглощения смеси газа с частицами
таков, как если бы смесь была почти серым газом. Кроме того,
исследование радиационных характеристик серых газов дает
представление о многих особенностях действительных газов без
некоторых осложняющих описание эффектов, присущих
последним. Таким образом, серый газ представляет определенный
практический и теоретический интерес и он рассматривался во многих
работах. Ниже будут записаны уравнения локальной
интенсивности излучения и температуры для серого газа.
14.6.1. Уравнения переноса
Для серого газа хя не зависит от длины волны и будет
обозначен через х. Тогда локальную интегральную интенсивность
излучения газа можно найти интегрированием уравнения (14.10)
по всем длинам волн. В результате получим
ОО ОО
\ i'x (х) dk = ехр (— х) \ i'K (0) dk +
о о
И с»
+ J [{ехр[-(х-х*)]} { йь(х*)с»,]йх*. (14.27)
о о
Используя определение интегральной интенсивности излучения
с»
о
перепишем (14.27) в виде
V (х) - V (0) ехр (- х) + j ехр [ - (х - х*)] гъ (х*) dx*. (14.28)
о
Для серого газа а^ не зависит от длины волны Я, и из
уравнения (14.19) следует аР — а%. Из условия радиационного
равновесия в том виде, как оно сформулировано в (14.20), следует

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 499
равенство, справедливое на любой оптической глубине внутри
среды:
oT4(x)-n7,(x). (14.29)
Как следует из (14.14), ц в (14.29) и V в (14.28) связаны между
собой интегралом по полному телесному углу падающего
излучения
4я
4лТ,- (и) - \ V (to, х) dco, (14.30)
со=0
так что уравнение (14.29) принимает вид
4я
аГ4(х) = 1 j i'(co, x)dco. (14.31)
. со=0
Из уравнений (14.28) и (14.31) следует ряд соотношений,
связывающих V (к) и Т (х), которые могут быть использованы для
нахождения распределения температуры в сером газе при
заданных граничных условиях. Граничные условия необходимы при
задании V (0) в (14.28) для каждого направления. Приведенные
здесь соотношения будут применены в следующих разделах к
плоскому слою серого газа, заключенному между двумя
бесконечными черными и серыми параллельными пластинами.
14.6.2. Плоский слой между черными пластинами
Рассмотрим две черные бесконечные параллельные пластины,
разделенные серым газом с коэффициентом поглощения а (Т, Р).
Газ находится в состоянии радиационного равновесия. Нижняя
пластина имеет температуру 7\, а верхняя Г2 (фиг. 14.5).
Пластины отстоят друг от друга на расстоянии D. Желательно получить
выражения для распределения температуры в газе и потока
результирующего излучения между пластинами.
Так как рассматривается система плоскопараллельных тел,
то все х в дальнейшем представляют собой х (х), определенные
по уравнению (14.22). Распределение температуры находится
по уравнению (14.31). Интеграл от V по со удобно представить
в виде двух частей: первая учитывает интенсивность излучения i'+,
попадающего в dV с направлений положительного значения cos р
(в данном случае с пластины 1, 0 ^ Р < 90°), а вторая
учитывает интенсивность, излучения i_, попадающего в dV с
направлений отрицательного значения cos р (в данном случае с
пластины 2, 90° < р < 180°). Эти интенсивности излучения показаны
на фиг. 14.5, причем угол Р отсчитывается от положительного-

500
Глава 14
направления х. Тогда (14.31) можно записать в виде
аГ4 (х) = 1 j i\ (со, х) Ad +1 j Г_ (со, x) Ad, (14.32)
где I dco означает интегрирование по полусферическому про-
странству в направлении от поверхности 1, а \ dco —
интегрирование по полусферическому пространству в направлении от
цоверхности 2.
Фиг. 14.5. Бесконечные параллельные черные пластины, разделенные слоем
серого газа.
Интенсивность излучения в (14.32) находится из (14.25). Для
излучения, распространяющегося от стенки 1 под углом р в
сторону положительных значений cos р, получим
«; (к, р) = *; (0) ехр (£$-) + ] *ь (х*) ехр [=%=р] ^, (14.33)
где £+ (0) — интегральная интенсивность излучения стенки 1,
и, так как стенка 1 черная,
его--?-.

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 501
Интегральная интенсивность излучения, входящая в
подынтегральное выражение, связана с местной температурой газа
соотношением
Подставляя это. соотношение в (14.33), получим
+ с5П» J Tk <**> ехР [=шг] d«*}' <1434>
о
где 0 ^ р ^ 90°. Аналогично интенсивность излучения,
распространяющегося под углом р (90° ^ р < 180°), со стороны
пластины 2 (cos Р в этих пределах отрицателен) на оптической
глубине к равна
;:(х,Р) = ±[а^ехр(^)-
-^fy4(**)exp(^)d**], (14-35)
D
где kd = I а (х) dx.
о
Подставляя выражения для интенсивности излучения (14.34)
и (14.35) в (14.32), получим следующее интегральное уравнение
с неизвестным Г4 (к):
л/2
rMK) = ljsinf${ri<exp(-^-) +
о
о
+ ^рТ7,4(«*)еХр[^^)]^}ф, (14.36)
в котором сделана подстановка dec = 2я sin pdp. Рассмотрим
решения этого уравнения, дающие распределение температуры.
Поток излучения в положительном направлении х,
пересекающий плоскость с координатой х (фиг. 14.5), состоит из двух частей:
одна связана с i+, а другая с Ц. Так как интенсивность излучения

502 Глава 14
представляет собой поток излучения, отнесенный к единице
телесного угла и единице площадки, перпендикулярной V, то
следует рассмотреть проекцию площадки dA, перпендикулярную
либо к i+, либо к С Тогда плотность потока излучения в
положительном направлении х, связанная с i'+, равна
я/2
g+(x)= \ i;(x)cosp2Ksinpjp. (14.37а)
Соответственно плотность потока излучения в отрицательном
направлении х, связанная с Г, равна
я-р=я/2
q_ (х) = \ i_ (х) cos (я — Р) 2я sin (я — Р) d (я — Р),
я-р=0
я
q-(x)= — 2я j Г (х) cos р sin р dp. (14.376)
р=я/2
Плотность потока результирующего излучения в положительном
направлении х равна
в(х) = д+(х)-д-(х). (14.38)
Подставляя уравнения (14.37) в (14.38), получим
я/2 я
д (х) = 2л [ j i'+ (х) cos р sin р dp + С С (х) cos р sin р dp] . (14.39)
" Р=0 я/2
Подставляя выражения для интенсивности излучения (14.34)
и (14.35) в (14.39) и объединяя интегралы, получим
я/2
*(х) = 2 j sinPcosp{ari4exp(-^) +
Р
\ \ Г4 (х*) ехр [-(*-**)] dx*_
>s р J v ' r L cos p J
COS
"0
-<*«»[-=S^]-«M"<*W:I£re]'*'}*
(14.40)
При переносе энергии только излучением (радиационное
равновесие) в рассматриваемой здесь геометрической конфигурации
q (х) не зависит от х, так как в газе нет ни источников, ни стоков

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 503
энергии. Тогда, вычисляя для простоты q при х = 0, найдем
выражение для плотности потока результирующего излучения
от стенки 1 к стенке 2
я/2
? = 2 j sinPcosp[or;-ar{exp(-=£2-)-
о
^ t Г4(х*)ехр(^£)йх*1еф =
cos р J v ' *\ cos (W J r
о
л/ 2
= arj-2 J sinpcosp[a7';exp(-=^-) +
о
+ ^fr4^)exp(^)^]dp. (14.41)
о
Плотность потока результирующего излучения можно вычислить
после определения Г4 (х) из (14.36).
В предельном случае, когда коэффициент поглощения среды
между пластинами очень мал, xD -»- 0, (14.41) сводится к
следующему выражению:
д\^0 = о(Т*-Т1),
которое является точным решением задачи для случая черных
бесконечных параллельных пластин, разделенных прозрачной
средой. Кроме того, из уравнения (14.36) следует, что в этом
предельном случае
Т4_1_ Т4
т. е. четвертая степень температуры почти прозрачной серой
среды равна среднему арифметическому граничных температур
в четвертой степени.
Решения для распределения температуры в сером газе между
бесконечными серыми пластинами, свойства которого не зависят
от температуры, были получены многими исследователями.
Некоторые методы решений будут описаны в следующих главах.
Хислет и Уорминг 13] получили решения для величин
[Г4 (х) — Т\]1(Т\ — Т\) и q/[G (Т\ — Т1)] с точностью до четырех
значащих цифр. Их результаты для системы с черными
границами представлены на фиг. 14.6, а значения безразмерной плотности
потока результирующего излучения приведены в следующей
таблице:

504
Глава 14
Безразмерная плотность потока результирующего излучения
о(Т\-Т\)
Оптическая
толщина Хр
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
%
0,9157
0,8491
0,7934
0,7458
0,7040
0,6672
Оптическая
толщина 7iD
0,8
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
%
0,6046
0,5532
0,4572
0,3900
0,3401
0,3016
При KD » 1% = (4/3)7(1,42089 + *D).
Из распределений температуры, представленных на фиг. 14.6, я,
видно, что между температурами стенки и газа существует
разрыв. Это явление называется «скольжением» или «скачком»
температуры. При отсутствии скачка все кривые сходились бы к 1
при %Ikd = 0 и к 0 при х/хр = 1. Скачок температуры исчезает
при учете теплопроводности. Для определения величины скачка
вычислим температуру газа при х = 0. С использованием (14.36)
получим уравнение
л/2
r*(x = 0)eij«np[l?+2*i«p(-=|^ +
cos Р
Ь$Г4^ехр(^5)^]^
которое можно переписать в виде
л/2
Tf —Г4(х = 0)
Tf-П ~~2(Г*-Г» 2 J sinPLn~Tf expV cosp )^
Опять видим, что при xD->0 уравнение (14.42) сводится к
Г4 —Г4(х = 0) |
Т{—Т%
xD-+o
_1_
2 '

9-
»'- °.6tl
к.
0,4 0,6 0,8 1,0
к1кп
Фиг. 14.6. Распределение температуры и плотности потока результирующего
излучения в сером газе, заключенном между бесконечными параллельными
черными пластинами [3].
а — распределение температуры; б — плотность потока результирующего излучения.
Ф^ — безразмерная температура; -ф^— безразмерная плотность потока результирующего
излучения; kd — оптическая толщина; и/к^ — относительная оптическая толщина.
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Фиг. 14.7. Скачок температуры на стенке (между температурами серого газа
и черной стенки) [3].
[Г4 — Г* (к = 0)]/(Г* — Г|) __ безразмерный скачок температуры; и# — оптическая
толщина.

506 Глава 14
На фиг. 14.7 приведены значения скачка температуры в сером
газе с постоянным коэффициентом поглощения в функции от
оптической толщины слоя. (Из условия симметрии следует, что
Т\ - Т* (х - 0) - Г4 (х - xD) - Т\.)
14.6.3. Использование интегроэкспоненциальных функций
В соотношениях, полученных из уравнения переноса для
плоских слоев, полезно произвести некоторые замены
переменных. Полагая \х = cos Р, преобразуем уравнения (14.36) и (14.41)
к виду
ГЧ*)=Н{7>хр(^) +
о
+ ljr*(x*)exp[^^)Jdx* + 7';exp[^^.] +
о
+ l{r*(x*)exp[^^]dx*}d|x, (14.43)
1
g = arj-2 j ц [aT\ехр(^) +
о
+ —f Г4(х*)ехр( —-)dx*]d|A. (14.44)
о •
Теперь можно ввести интегроэкспрненциальную функцию
1
Еп (I) = j fi"-2exp (^-) ф. (14.45)
о
Тогда (14.43) и (14.44) примут следующий вид:
Т4 (к) = у [ Т[Е2 (х) + j Г4 (х*) £4 (х - х*) dx* +
о
+ Т\Е2 (хв - х) + j 7* (х*) Я, (х* - х) dx*] , (14.46)
К
^- oT4-2 [oT42£3 (xz,) + <* j 214 (**) ^2 (х*) dx*] . (14.47)
о
Интегроэкспоненциальные функции подробно рассмотрены в
работах [1, 2]. Для удобства читателей некоторые важные соотношения

Уравнения переноса излучения в излучаюгцем и поглощающем газе 507
приведены в приложении Е. Вводя переменные
/ ч ТЦк)-Т* д
где индекс Ъ означает, что рассматривается система с черными
границами, преобразуем уравнения (14.46) и (14.47) к
безразмерному виду
к
<Рь (х) = ~ [Е2 (х) + j Фь (х*) Е± (х - х*) dx* +
о
+ (' Фь (**) Ei (х* - х) dx*] , (14.46а)
•фь= 1 — 2 ^ фЬ(х*)£3(и*)^х*. (14.47а)
о
Из этих уравнений видно, почему результаты, приведенные
на фиг. 14.6, зависят только от оптических координат.
14.6.4. Плоский слой между серыми пластинами
Теперь рассмотрим случай, когда пластины с температурами
Тг и Г2 являются серыми, а не черными. Интегральные
уравнения имеют тот же вид, что и (14.46) и (14.47), за исключением
того, что оТ\ и оТ\ надо заменить плотностями потоков
эффективного излучения q0jl и q0>2- Следовательно, в случае серых
границ полагаем
, ч аГ4(х) — д0, о , Q
Яо, l — Qo, 2 ао, 1 — Яо, 2
Уравнения относительно ср (к) и г|) те же, что и (14.46а) и (14.47а),
поэтому ф = фь и гр = ^ь, а а Г4 и q в случае серых границ
определяются уравнениями
аГ* (х) = фь (х) (q0t! - q0t 2) + q0f 2, (14.48)
^ = ^5(^0,1 — ^0,2). (14.49)
Следовательно, считая, что решение для случая с черными
границами было получено, найдем только д0)1 и q0,2- Они могут быть
определены из уравнения (8.6), справедливого для любой серой
поверхности. Так как qx = —q2 = q, то
qo,i = oTl-q±=rf±, (14.50а)
qc^oTt + q—^. (14.506)

508
Глава 14
Подставляя эти соотношения в (14.49) и решая последнее
относительно q, найдем
в(Т{-П) = 1+^(1/^ + 1/^-2)' <14'51)
Подставляя q0fl и q0} 2 из (14.50) в (14.48) и исключая q с помощью
(14.51), получим
Г*(*)-Г! Фь<*>+-4г"*>
П-Т\ l+*b(l/€i + l/€8-2)e
(14.52)
Эти соотношения совпадают с полученными в разд. 17.8.3
с помощью обобщенного углового коэффициента.
14.7. ВЫВОД ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ФОТОННОЙ МОДЕЛИ
ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
Поле излучения и перенос излучения можно также описать
с помощью фотонной модели. Она оказывается иногда полезной
при выяснении физики переноса, а также при использовании
в методе Монте-Карло, который будет рассмотрен в гл. 18. Так
как энергия фотона связана с частотой излучения, то далее будет
использована частота, а не длина волны.
При рассмотрении излучения как набора фотонов условия
в любой точке среды задаются с помощью функции
распределения фотонов /.
Пусть
f{v,r,S)dvdVd(x> (14.53)
— число фотонов, движущихся в направлении S в объеме dV
с координатой г в интервале частот dv, включающем частоту v,
внутри телесного угла do, ось которого совпадает с
направлением S (фиг. 14.8, а). Каждый фотон обладает энергией fov. Тогда
энергия излучения в единице объема и единице интервала частот
равна интегралу по всем телесным углам от величины hvfdio.
Она называется объемной плотностью энергии монохроматического
излучения и записывается в виде
£/v(v, r) = /*v J /(v, r, S)d(o. (14.54)
Для определения интенсивности излучения необходимо знать
поток излучения в направлении 5\ пересекающий площадку dA,
перпендикулярную направлению S (фиг. 14.8, а). Скорость
фотонов равна с, а плотность потока фотонов, пересекающих площад-

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 509
ку dA в направлении нормали к ней, составляет /dvdco. Тогда
число фотонов, пересекающих в единицу времени площадку dA
в направлении 5, равно cfdvdwdA. Энергия, переносимая этими
фотонами, будет равна hvcf dv da> dA. Спектральной интенсивностью
Фиг. 14.8. К выводу энергетических характеристик излучения.
а — к выводу интенсивности излучения; б — к выводу потока излучения; в —
сферическая система координат для вектора плотности потока излучения.
излучения называется энергия излучения, переносимого в
заданном направлении в единицу времени через единичную площадку,
перпендикулярную этому направлению, в единице телесного
угла и единице интервала частот. Тогда интенсивность
излучения в точке г в направлении S записывается в виде
ii = fcvc/(v, г, S). (14.55)
Исключая из (14.54) / с помощью (14.55), найдем связь между
объемной плотностью энергии излучения и интенсивностью излу-

510
Глава 14
чения
4 л
[7v(v, г) = ~ J i;da>. (14.56)
(0=0
Этот интеграл встречался в уравнении для плотности потока
интегрального излучения (14.31).
Теперь рассмотрим поток излучения, пересекающий
некоторую площадку, расположенную в среде. Пусть dA —
произвольная элементарная площадка с единичным вектором в направлении
нормали п (фиг. 14.8, б). Через площадку dA переносится энергия
со всех возможных направлений. Типичное направление S
составляет угол р с нормалью п. Таким образом, энергия, переносимая
через площадку dA, равна hvcfdvdadA cos р. Интегрируя это
выражение по всем телесным углам падающего излучения,
найдем поток результирующего излучения, переносимого через dA.
Тогда поток излучения, переносимого через единицу
поверхности dA в направлении положительных значений n (cos Р
отрицателен при Р > я/2, так что знак той части потока излучения,
которая распространяется в сторону отрицательных п,
учитывается автоматически), равен
4я 4я
dqv = hvcdv \ /cosp<2(o = dv \ i^cos^d^. (14.57)
(0=0 (0=0
Уравнение (14.57) получено с учетом (14.55).
Пусть s — единичный вектор в направлении движения
фотонов S. Тогда cos Р = s-п и уравнение (14.57) можно представить
в виде
4я
dqv^dv \ ivs*nd(o. (14.58)
(0=0
Таким образом, dqv — составляющая в направлении вектора п
плотности потока излучения, определяемого выражением
4л
dqv = dv \ i'vsd(£>, (14.59)
(0=0
т. е. dqv = n«dqv.
Для более глубокого понимания природы вектора dqv
перейдем к сферической системе координат (фиг. 14.8, в). Тогда
единичный вектор s записывается в виде
s = i cos 6 sin р + j sin 6 sin p -f k cos p. (14.60)

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 511
Подставляя s и dco = sin Р df> d9 в (14.59), представим вектор
dqv в виде трех составляющих
dqv = dv[i \ \ *;(Р, 0)cos6sin2pdpd9 +
0=0 Р=0
2jt я
+ j [ J *i(P, 8)sin9sin2pdpde +
e=o p=o
2 л n
+ k j [ «;(p, 6) cos p sin p dp del. (14.61)
e=o 3=0
Дивергенция вектора плотности потока излучения была
определена при выводе уравнения (14.18а). При постоянном
коэффициенте поглощения она определяется следующим образом:
оо 4 я
V. q =,и { 4оГ4 - j [ j iv (v, (о) do] dv } (14.62)
о о
или с учетом (14.56)
оо
V q - а [4оГ4- с J Uv (v) dv] . (14.62a)
о
Эти соотношения будут использованы в уравнении энергии гл. 19,
где перенос излучения рассматривается совместно с
теплопроводностью и конвекцией.
14.8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Выведено уравнение переноса, определяющее изменение
интенсивности излучения, распространяющегося в заданном
направлении в поглощающей и излучающей среде. Уравнение учитывает
ослабление интенсивности излучения вследствие поглощения и ее
увеличение вследствие собственного излучения, при этом
рассеянием пренебрегается. Уравнение переноса было проинтегрировано
и получено выражение, позволяющее определять интенсивность
излучения в некотором направлении, если задана начальная
интенсивность; обычно начальной интенсивностью излучения
является интенсивность эффективного излучения на границе тела.
Так как интенсивность излучения учитывает собственное
излучение среды вдоль некоторого пути, а энергия собственного
излучения зависит от температуры, то для определения интенсивности
излучения необходимо знать распределение температуры в газе.
Распределение температуры в газе находится из уравнения
сохранения энергии. Члены в уравнении энергии получены из.

512
Глава 14
интегральных радиационных величин, определенных путем
интегрирования энергии, переносимой излучением данной
спектральной интенсивности, по длинам волн и направлениям. Таким
образом, решение уравнения переноса рассматривается совместно
с уравнением энергии, причем установлено, что распределение
температуры описывается интегральным уравнением.
Представлены результаты для переноса тепла и распределения
температуры в плоском слое между бесконечными параллельными
пластинами.
В гл. 15 будут подробно рассмотрены приближенные решения,
полученные с помощью уравнения переноса.
Литература
1. Kourganoff V., Basic Methods in Transfer Problems, Dover Publications,
Inc., New York, 1963.
2. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953.
3. Heaslet М. A., Warming R. F., Radiative Transport and Wall Temperature
Slip in an Absorbing Planar Medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 8, 979-
994 (1965).
Задачи
1
Серая пластина из твердого материала толщиной 0,02 м имеет
коэффициент поглощения а = 40 м-1 и показатель
преломления w«l. Распределение температуры в пластине
вследствие теплопроводности описывается приблизительно
линейным законом. Какова интенсивность собственного излучения
по нормали к пластине? Какая средняя температура пластины
обеспечила бы ту же самую интенсивность собственного
излучения в направлении нормали к ней?
Ответы: 195 Вт/м2, 370 К.
100 К
Используя фиг. 13.8, вычислить средний коэффициент
поглощения по Планку для воздуха при 12 000 К и 0,101 МН/м2.
Между параллельными черными пластинами, отстоящими на
расстоянии 0,1 м, находится неподвижная серая среда с
коэффициентом поглощения а — 20 м"1 (считается, что плотность
постоянна и /г = 1).

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 513
Пренебрегая теплопроводностью, построить график
распределения температуры Т (z). Найти плотность потока
результирующего излучения от нижней пластины к верхней. Найти
плотность потока результирующего излучения в случае серых
пластин с ^i = 0,8 и £2 = 0,4.
Ответы: 1500 Вт/м2, 890 Вт/м2.
V/////////////////////////////,
4 €2 = 1, Т2 = 500 К t
2 0,1м
t /-«Is 1, Г| =600 к|
4. Рассмотреть плоский слой серого газа между параллельными
черными пластинами с температурами 7\ и Т2 (разд. 14.6.2).
Химическая реакция приводит к образованию в газе
равномерно распределенных источников тепла постоянной
интенсивности. Вывести уравнения для распределения температуры
в газе и локальной плотности потока излучения в
направлении х. С помощью какого уравнения определяются плотности
потока результирующего излучения на каждой пластине? Какой
вид примет распределение температуры при xD —>■ 0?

15
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
15.1. ВВЕДЕНИЕ
| В большинстве практических случаев точное решение
уравнений переноса излучения и сохранения энергии с целью
нахождения распределения температур и тепловых потоков в
поглощающих и излучающих средах весьма сложно и трудоемко. Чтобы
обойти эту сложность, можно использовать два подхода. В
соответствии с первым подходом уравнение переноса упрощается
путем отбрасывания одного или более членов, когда это
оправдано, либо путем преобразования его в уравнение диффузии
излучения. При втором подходе уравнение переноса используется
в общем виде, но отыскиваются приближенные решения.
Уравнение переноса было выведено и проинтегрировано
в гл. 14, в результате чего получено изменение интенсивности
излучения вдоль пути его распространения в поглощающих
и излучающих средах. При этом были сделаны допущения об
отсутствии рассеяния, теплопроводности или конвекции и
наличии локального термодинамического равновесия, которые
сохраняют свою силу и в настоящей главе. Спектральная
интенсивность излучения описывается выражением (14.10), из которого
следует, что она зависит от интенсивности в начале пути,
например на границе, и от распределения температуры вдоль пути
распространения излучения.
Существуют три приближенных метода решения уравнения
переноса излучения, основанных на отбрасывании отдельных его
членов: приближения прозрачной, излучающей и холодной сред.
Эти методы представлены в табл. 15.1 и будут рассмотрены
в разд. 15.3.
Последняя строка в табл. 15.1 соответствует приближению
диффузии излучения, которое получено не путем отбрасывания
какого-либо члена в уравнении переноса излучения, а путем
представления переноса излучения процессом диффузии,
зависящим только от локальных условий.
Разд. 15.4 посвящен подробному описанию вывода
уравнения диффузии излучения и его решению, а также сделанного
при этом допущения. Остальные разделы главы посвящены
приближенным решениям полного уравнения переноса. Приведены
такие методы, как приближение Милна — Эддингтона и
дифференциальное приближение.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 515
15.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь поверхности;
Af — коэффициенты в уравнении (15.105);
а — коэффициент поглощения;
Сь С2 — постоянные в законе спектрального распределения
энергии Планка;
D — расстояние между параллельными пластинами;
диаметр;
е = (1 - е/е;
е — поверхностная плотность потока излучения;
G — мощность объемных источников энергии;
Н — длина, на которой температура существенно
изменяется;
/ — средний коэффициент поглощения, определяемый
уравнением (15.50);
i — интенсивность излучения;
lj, lk — направляющие косинусы;
1т = IIак — средняя длина свободного пробега в
процессе поглощения излучения;
Р — давление;
Р™ — сферическая гармоника, уравнение (15.107);
Q — поток энергии;
q — поверхностная плотность потока энергии;
R — радиус сферы;
г — радиальная координата;
г — радиус-вектор;
5 — координата вдоль пути распространения излучения;
s — единичный вектор в направлении S;
Т — абсолютная температура;
V — объем;
*, У, z 1
> — расстояния в декартовой системе координат;
Y™ — функции угла, уравнение (15.105);
р — полярный угол;
Г — гамма-функция;
bkj — символ Кронекера;
£ — полусферическая степень черноты;
6 — азимутальный угол:, фиг. 15.3, б;
к — оптическая толщина;

516
Глава 15
kd — оптическая толщина при длине пути D;
X — длина волны;
а — постоянная Стефана — Больцмана;
Ф — отношение температур, табл. 15.2 и 15.3;
г|) — безразмерная плотность теплового потока,
табл. 15.2 и 15.3;
Q — функция, определяемая уравнением (15.34);
со — телесный угол.
Подстрочные индексы
Ъ — черное тело;
D — средний коэффициент поглощения, уравнение
(15.49);
е — испускаемое излучение, собственное излучение;
g — g — величина, вычисленная при расчете
взаимодействия между областями газа 1 и 2;
i — падающее излучение;
Р — средняя величина по Планку;
R — средняя величина по Росселанду, уравнение (15.39);
г — результирующая величина в направлении г;
s — величина, относящаяся к сфере;
w — величина, вычисленная на стенке;
z — результирующая величина в направлении z\
4-2, — z — излучение, распространяющееся соответственно в
положительном или отрицательном направлении
вдоль оси z\
X — величина, зависящая от длины волны;
Д^ — интегральная величина в пределах интервала длин
волн ДА,;
О — величина, вычисленная в первоначальной точке,
исходная величина;
1,2 — границы 1 и 2; области 1 и 2;
4-, — положительное и отрицательное направление
распространения.
Надстрочные индексы
* — переменная интегрирования;
** — переменная интегрирования;

Приближенные решения уравнения переноса излучения 517
— средняя величина по всем телесным углам
падающего излучения;
' — направленная величина;
^0), (1), (2) — члены или моменты нулевого, первого и второго
порядка.
Таблица 15.1
Приближенные уравнения переноса излучения

Приближение
Вид уравнения
Условия
Прозрачной
среды
Излучающей
среды
Холодной
среды
Диффузии
излучения
i'b(S) = i'k(0)
i'k(S)=\ aK(S*)i'xb(S*)dS*
lX (s) = li (°) exP [ - j ai(s*)dS* J
4л dix
lb
3ak dS
= 4k(S)
Коэффициент
поглощения среды настолько мал,
что при прохождении
излучения через среду
интенсивность не
изменяется вследствие
поглощения или
испускания
Энергия от границ не
поступает, и газ
относительно прозрачен,
поэтому испускаемое газом
собственное излучение
проходит через систему
без существенного
ослабления
Испускаемое средой
собственное излучение
пренебрежимо мало по
сравнению с падающим от
границ или от внешних
источников
Оптическая толщина газа
достаточно велика, а
градиенты температуры
достаточно малы, поэтому
локальная интенсивность
определяется лишь
локальным испусканием

518
Глава 15
15.3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ,
ПОЛУЧЕННЫЕ ПУТЕМ ОТБРАСЫВАНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ
ЧЛЕНОВ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
В гл. 14 уравнение переноса излучения было
проинтегрировано и получено изменение интенсивности вдоль оптического пути х
[уравнение (14.10)]. Запишем еще раз это уравнение через
действительное расстояние вдоль пути распространения излучения S
s
i'K (S) = Ц. (0) ехр [ - J ах (S*) dS*~] +
о
S S
+ j ах (S*) гкь (S*) ехр [ - j ах (S**) dS**] dS*. (15.1)
О S*
Интенсивность излучения i% (S) зависит от i{ (0) в начале пути
(например, на границе) и от распределения температуры,
поскольку локальная температура определяет изменение г%ъ и ах. Как
следует из (14.20), уравнение сохранения энергии, необходимое
для получения распределения температуры, содержит интеграл
от интенсивности падающего излучения по всем телесным углам.
В результате уравнения сохранения энергии и переноса излучения
должны рассматриваться совместно, что является довольно
сложной задачей. Часто оказывается возможным использовать
некоторые приближения, приводящие к существенным упрощениям.
Рассмотрим три таких приближения, указанных в первых трех
строках табл. 15.1.
15»3.1. Приближение прозрачного газа
В случае малой оптической толщины газа в направлении
распространения излучения интегральное уравнение переноса
можно упростить, поскольку оба экспоненциальных члена в (15.1)
стремятся к 1. Тогда (15.1) преобразуется к виду
s
ц, (S) = г% (0) + j ах (S*) гхь (S*) dS*. (15.2)
о
Вдоль оптического пути не происходит ни ослабления, ни
собственного излучения газа, не поступает излучения и от границы
S = 0. В некоторых случаях можно сделать даже более сильное
допущение. Если оптическая толщина достаточно мала и
величина i'% (0) конечна, интенсивность собственного излучения газа,
описываемая интегралом в уравнении (15.2), становится прене-
брежимой по сравнению с интенсивностью при S = 0, и уравне-

Приближенные решения уравнения переноса излучения 519
ние (15.2) преобразуется к виду
US) = V%{V). (15.3)
Это приближение прозрачного газа (табл. 15.1). Интенсивность
падающего излучения при его распространении через газ остается
практически неизменной. Очевидно, что при таком простом
соотношении для интенсивностей локальные балансы энергии намного
проще, чем в случае полного уравнения переноса излучения.
Далее покажем на примере использование приближения
прозрачного газа.
ПРИМЕР 15.1. Две бесконечные параллельные черные
пластины, имеющие температуры Т1 и Т2 (фиг. 14.5), отстоят друг
от друга на малом расстоянии D, и пространство между ними
заполнено газом с коэффициентом поглощения ак. Предполагая,
что справедливо приближение прозрачного газа, выведем
выражение для температуры газа в зависимости от координаты между
пластинами. Предполагается, что газ находится в локальном
термодинамическом равновесии, хотя иногда для оптически
тонкого газа это предположение может не удовлетворяться, как
уже указывалось в разд. 13.8.
Уравнение (14.20) представляет собой в общем виде уравнение
сохранения энергии при наличии локального радиационного
равновесия в газе
оо
аР(Т, Р)аГ4 = я { ак(к Т, P)JKi(k)dk. (15.4)
о
В соответствии с определением (14.30) и по аналогии с
уравнением (14.32) iK i определяется вкладами энергии, подводимой
к элементарному объему сверху и снизу, т. е.
4шх, i (к) = \ i'x (Я, со) doo = \ г%+ (к, со) dec + \ ^_ (к, со) da. (15.5)
(0=0 <=* КУ
Поскольку стенки черные, то в приближении прозрачного газа
в любой точке между пластинами
1я+ (к, со) = 1ХЪ (к, Ti) и й_ (X, со) = 1%ь (к, Т2).
Далее, поскольку интенсивность излучения черного тела не
зависит от угла, то из (15.5) следует;
л/2 я/2
ШК | (к) = 2niKb (к, Ti) ( sin р dP + 2™къ (К Тг) J sin р dp =
о о
= 2я[^ь(^,Г|) + йь(^У2)]. (15.6)

520
Глава 15
Подставляя (15.6) в (15.4), получим для любого сечения х между
пластинами
оо
074 (*> = -^jw J «* <я'х) [1'м ^ Ti^+tkb ^ т*)] d%- (15-7)
о
Уравнение (15.7) можно решить методом итераций относительно
Т (х). Необходимость итераций обусловлена зависимостью ак
от локальной температуры.
Если ак не зависит от температуры газа, то, используя (14.19),
получим
]ax(b)bb(X,Ti)dX = ap™aTi,
0
оо
\a%{%)i'M(%,T2)dX = ap^an
аР[Т(х)]=^ ^щ .
Тогда уравнение (15.7) преобразуется к виду
74 <*> = 2аР\Т(х)\ [ар (Г'> Т* + Лр ^ Т*] • <15-8>
Распределение локальной температуры достаточно пр.осто найти
с помощью табулированных значений аР (Т), хотя по-прежнему
для этого требуется метод итераций. Заметим далее, что в
случае серого газа с не зависящими от температуры свойствами
аР — величина постоянная и уравнение (15.8) преобразуется
к виду
ТЬ(х) = 1-+±^. (15.9)
Следовательно, в любой точке серого газа его температура в
четвертой степени равна среднему арифметическому четвертых
степеней граничных температур. Этот предельный случай также был
рассмотрен в разд. 14.6.2 в выводе, следующем за уравнением (14.41).
15.3.2. Приближение излучающей среды
В приближении прозрачного газа предполагалось, что газ
является оптически тонким и локальная интенсивность излучения
определяется интенсивностью излучения, падающего на слой
газа со стороны границ. В приближении излучающей среды газ

Приближенные решения уравнения переноса излучения 521
опять предполагается оптически тонким и, кроме того, энергия,
подводимая к газу от внешних источников, считается
пренебрежимо малой. В этих условиях оба экспоненциальных члена в
уравнении (15.1), учитывающие ослабление излучения, становятся
8
равными 1, поскольку \ а% (S*) dS* мал и ^ (0) = 0. Отсюда
о
следует
s
ik(S)=l^(S*)in(S*)dS*. (15.10)
0
Таким образом, интенсивность i{ (S) представляет интегральный
вклад собственного излучения газа, испускаемого вдоль всега
оптического пути, поскольку оно проходит через газ без
ослабления.
Уравнение (15.10) можно проинтегрировать по всем длинам
волн и получить интегральную интенсивность излучения
оо S оо
V (S) = j i% (S) dS = j [ f ах (S*) i'Kb (S*) dX\ dS\
0 0 0
Если теперь используем определение (14.19) для аР, то получим
s
i'(S) = j aP(S*)^^ldS\ (15.11)
о
В связи с тем что уравнение (15.11) содержит планковский
средний коэффициент поглощения и получено для оптически тонкой
среды, иногда делают вывод, что планковский средний
коэффициент поглощения применим только для оптически тонкого газа.
Однако пладаовское среднее было введено в общем случае при
рассмотрении испускания излучения элементарным объемом в
связи с выводом уравнения (14.18) и может быть использовано в
членах, учитывающих собственное излучение газа любой оптической
толщины.
ПРИМЕР 15.2. Используя приближение излучающего газа,
найти плотность потока излучения изотермического слоя газа
толщиной D = 0,01 м с планковским средним коэффициентом
поглощения 1,0 м-1, ограниченного прозрачными неизлучающими
стенками (фиг. 15.1, а).
Если £'(р) _ интегральная интенсивность излучения в
направлении р, то плотность потока излучения равна
2 л я/2
Q= j V (Р) cos р dec = 2я j £'(P)cospsinpdp.
(0=0 3=0

522
Глава 15
Поскольку газ изотермический и имеет постоянный коэффициент
поглощения аР, то уравнение (15.11) можно проинтегрировать
по всему оптическому пути в слое газа D/cos |3 и получить
;'/а\ ~ °п D
Тогда
л cos р *
я/2
q = 2 J apoT^D sin 0 dp = 2aPoT^D. (15.12)
Подставляя числовые значения, получим
д = 0,02аГ*.
Следует отметить, что выражение (15.12) в действительности
не является точным, хотя рассматриваемый нами слой является
Среда с планкоб
ским средним
коэффициентом
поглощения ар
и температурой
Фиг. 15:1. Иллюстрация к приближению излучающего газа.
слой газа (к примеру 15.2); б — заполненный излучающим газом сферический
спутник с прозрачной оболочкой (к примеру 15.3).
оптически тонким в том смысле, что его оптическая толщина,
рассчитанная по значению D, мала (aPD = 0,01 <^ 1). Излучение,
достигающее границы слоя, проходит в газе путь D/cos р. При
больших Р этот путь становится бесконечным, и приближение
излучающего газа уже несправедливо. Более точное решение
уравнения переноса излучения с учетом длин оптического пути
дает следующий результат:
д=1>8аРаГ4Д (15.13)
который на 10% меньше, чем вычисленный по формуле (15.12)
(разд. 17.5.4).
ПРИМЕР 15.3. Спутник Земли в виде сферического надувного
баллона радиусом R находится на орбите в зоне земной тени.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 523
Он имеет совершенно прозрачные стенки и наполнен серым газом
€ постоянным коэффициентом поглощения а, причем aR <^1.
Пренебрегая теплообменом излучением с Землей, вывести
выражение для потока энергии, теряемого спутником в начальный
момент, если первоначальная температура газа в баллоне Г0.
В соответствии с уравнением (15.11), полученным в
приближении излучающего газа, можно записать следующее выражение
для интенсивности излучения на поверхности (фиг. 15.1, б):
i'(P)== ^^idS = ^-S1
о
поскольку а и Т0 постоянные. Из геометрических соображений
S = 2Rcos$.
Тогда плотность потока д, теряемого поверхностью, равна
я/2 я/2
q = 2n \ t/(P)cosPsinpdp = 4flar;fl j cos2 р sin $d$ = -jaoT*R.
о о
Чтобы найти поток энергии, теряемый всей сферой, следует q
умножить на площадь поверхности сферы
Q = ^aoTA0R (4яД2) = 4aar*Fs, (15.14)
где Vs — объем сферы. Ранее было показано (разд. 13.6), что
любой объем изотермического газа излучает в соответствии с этой
формулой, если отсутствует внутреннее поглощение.
Аналогичное выражение дает приближение излучающего газа — именно
такого результата мы и ожидали.
15.3.3. Приближение холодной среды
Приближенный вид уравнения переноса излучения, который
будет рассматриваться в данном разделе, получен в
предположении, что локальное черное собственное излучение внутри
среды мало. Такая ситуация может возникнуть при рассмотрении
переноса излучения в холодной среде, например поглощающей
криогенной жидкости. Интегральное уравнение переноса
излучения (15.1) преобразуется к виду
s
ix (S) = ft (0) ехр [ - j ах (S*) dS*] . (15.15)
о
Таким образом, локальная интенсивность определяется
исключительно ослабляемым падающим излучением.

524
Глава 15
ПРИМЕР 15.4. Сферическая электрическая лампочка
мощностью 100 Вт помещена внутри емкости, закрытой плоским стеклом
(фиг. 15.2). Найти интенсивность излучения светильника в
направлении, составляющем угол 60° относительно оси лампочки, если
толщина стекла 0,02 м и оно поглощает как серое тело с
коэффициентом поглощения 5 м-1. Диаметр колбы лампы 0,1 м.
Пренебречь эффектами на поверхностях раздела, обусловленными
различием показателей преломления стекла и окружающего воздуха.
Фиг. 15.2. Интенсивность пучка лучей, испускаемого светильником
(пример 15.4).
Интегрируя уравнение (15.15) по X и 5, получаем
интегральную интенсивность
i'(P) = i'(0)exp( —aS).
Чтобы определить V (0), рассмотрим лампочку как диффузно
излучающую сферу. Плотность потока энергии (поверхностная
плотность потока излучения) на поверхности сферы равна
100 Вт/(Плошадь поверхности сферы), а чтобы получить
интенсивность, нужно разделить эту величину еще на я:
Тогда
V (Р) = 1010ехр [ -5 ^з] = 1010ехр(_0,20) = 818 Вт/(м2.ср).
Заметим, что в данной задаче использовалось лишь простое
решение для частично ослабляющей среды. Именно в том и
заключается смысл приближения холодной среды, что пренебрегают
собственным излучением среды вдоль оптического пути. В этой задаче
предполагалось, что стекло слабо излучает, и поэтому следует
рассматривать лишь излучение, испускаемое источником.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 525
15.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДИФФУЗИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
В оптически плотной среде излучение может распространяться
лишь на небольшие расстояния, прежде чем оно будет поглощено.
Рассмотрим случай, когда длина свободного пробега излучения
мала по сравнению с расстоянием, на котором Существенны
изменения температуры. Тогда локальная интенсивность излучения
будет обусловлена лишь излучением соседних участков,
температура которых близка к температуре рассматриваемой точки.
Излучение от участков с существенно отличающейся температурой
будет сильно ослаблено к моменту достижения данной точки*
Ниже будет показано, что в этом случае можно преобразовать
интегральные уравнения баланса энергии излучения в уравнение
диффузии излучения, которое аналогично уравнению
теплопроводности. Перенос энергии зависит только от условий в
непосредственной близости к рассматриваемой точке и может быть
выражен через градиенты параметров в этой точке. Приближение
диффузии излучения очень сильно упрощает решение многих
задач переноса излучения. Для решения полученных
дифференциальных уравнений могут быть использованы стандартные
методы, в том числе хорошо разработанный метод конечных
разностей. Эти методы более известны большинству инженеров,
например, по опыту решения уравнения теплопроводности, чем
методы решения соответствующих интегральных уравнений.
Как будет показано в последующем выводе, приближение
диффузии излучения принимается при условии, что излучение
в среде близко к изотропному [это будет следовать из (15.23)].
Такое приближение справедливо для оптически толстой среды
при небольших градиентах температуры, но не справедливо
вблизи границ некоторых типов. Например, на границе с
вакуумом, находящимся при абсолютном нуле температуры, излучение
выходит из среды, но из вакуума не поступает. В результате
такой анизотропии вблизи подобной границы приближение
диффузии излучения будет несправедливо. В последние годы была
показана возможность использования методов диффузии
излучения на таких поверхностях раздела вследствие введения так
называемого «радиационного скольжения» или «скачка» на границе.
У реальных газов существуют участки спектра, на которых
они практически прозрачны. Приближение диффузии излучения
может быть использовано только при тех длинах волн или в тех
полосах спектра, которым соответствует * оптическая толщина
среды, большая ~2, т. е. на участках оптически толстой среды;
тот факт, что некоторая средняя оптическая толщина удовлетворяет
этому критерию, является недостаточным. Так, для приближения
спектральных полос применение метода диффузии излучения
допустимо в оптически толстых областях.

526
Глава 15
15.4.1. Упрощенный вывод уравнения диффузии излучения
Вначале приведем упрощенный вывод уравнения диффузии
излучения в одномерном слое, чтобы показать основную идею
данного приближения. Приближение диффузии излучения
используется в тех случаях, когда рассматриваемая среда имеет
достаточно большой коэффициент поглощения, так что средняя длина
dx-
V-dA
',\(х,р)
dSJ I Среда
х с коэффициентом
поглощения
аЛ(х)
/sA.dcj=^ = sinpc^de
*-У
Фиг. 15.3. К выводу уравнений диффузии излечения.
а — одномерный плоский слой газа; б — общий трехмерный случай.
свободного пробега в процессе поглощения Мах мала по
сравнению с расстоянием, на котором происходит существенное
изменение температуры.
Рассмотрим слой газа (фиг. 15.3, а). Уравнение переноса
излучения, согласно (14.7), имеет вид
ах dS
■ + i'US) = i'u(S).
(15.16)
С использованием соотношения dS = dx/cos Р уравнение
переноса излучения, описывающее изменение ££ в зависимости от х при
заданном значении р, записывается в виде
cosp <>i'x(x, Р)
(15.17)
где интенсивность излучения черного тела не зависит от угла.
Пусть Н — длина, на которой происходит существенное измене-

Приближенные решения уравнения переноса излучения 527
ние температуры. С помощью Н, принимая, что ila% = 1т (13.16),
приведем уравнение (15.17) к безразмерному виду
--l£-cos р ^(1/яf = & (*, Р) ~&ь (*)■ (15.18)
Теперь будем искать решение уравнения (15.18) в виде ряда.
Согласно приближению диффузии излучения, длина свободного
пробега излучения мала по сравнению с расстоянием, на котором
происходит существенное изменение температуры. Следовательно,
1т/Н<^1, и интенсивность может быть представлена в виде ряда
функций i'xn\ умноженных на степени 1т/Н:
й = *И0) + ^*Г+(-^-)Ч<2).+ ... • (15.19)
Подставляя этот ряд в (15.18), получаем (с точностью до членов,
содержащих 1т/Н в первой степени)]
—F-cosP5^j----=£»-<e> + ^-i»-,1,+•••-'«• <15-20>
Приравнивая члены нулевого порядка, получим
&"" = *«. (15.21)
Приравнивая члены, содержащие 1т1Н, и используя затем (15.21),
чтобы исключить $0), получим
Подставляя (15.21) и (15.22) в (15.19), получаем (с точностью
до членов первого порядка относительно 1т/Н)
ИЛИ
Этот результат обнаруживает основную особенность решения,
полученного в приближении диффузии излучения, которая заключается
в том, что локальная интенсивность излучения зависит только
от величины локальной интенсивности черного излучения и ее
градиента. Поскольку градиенты температуры малы, а коэффициент
а% велик, последний член в правой части мал и интенсивность i£
близка к изотропной.
Локальная плотность спектрального потока излучения в
сечении х, распространяющегося в направлении я, получается путем
умножения i£ на cos р дХ и интегрирования по всем телесным углам.

528
Глава 15
как в (14.39),
л
^Р = 2я j ^(*, pjcosPsinpdp-
1
= 2я I ^ (#, cos Р) cos Р d(cos Р). (15.24)
cos р=-1
Имея в виду, что i{b не зависит от Р, и подставляя (15.23) в (15.24),
получим
2я1хь(а;) j cos р d(cos Р) - ~ -^ \ cos2 р d(cos р) =
cos p=-l cos р=-1
4я diib __ 4 deXb
За^ (ж) d# Ъа^ (х) dx
(15.25)
Это уравнение известно как уравнение диффузии излучения Рос-
селанда. Оно связывает локальную плотность потока излучения
только с локальными параметрами и не содержит интегралов,
учитывающих излучение других областей, что является
существенным упрощением по сравнению с точной формулировкой
уравнения переноса.
15.4.2. Общее уравнение диффузии излучения
В предыдущем разделе было выведено уравнение диффузии
излучения для простого случая. В ряде (15.19) учитывались лишь
члены первого порядка и, кроме того, рассматривалась
неограниченная область газа. Выведем теперь общее уравнение диффузии
излучения с учетом членов второго порядка. Включим в
рассмотрение и граничные условия, чтобы можно было применить эти
уравнения к ограниченным объемам газа. Как будет показано на
примере плоского слоя (стр. 538), граничные условия должны
учитывать скачок поверхностной плотности потока излучения на
границе раздела между стенкой и газом в случае, когда теплообмен
излучением является единственным механизмом переноса тепла.
Вывод общего уравнения сделан в основном как у Дейслера [1].
Промежуточные выражения в последующем выводе будут иметь
довольно сложный вид из-за их общего характера. Однако
окончательные выражения [например, (15.37)] относительно просты
и очень полезны при расчетах.
Уравнение Росселанда для локального потока излучения.
Рассмотрим схему, представленную на фиг. 15.3, б. Элементарный
объем dV0 с координатами х0, у0 и zo имеет площадь поперечного
сечения dA0 в плоскости ху. Поток излучения, пересекающий

Приближенные решения уравнения переноса излучения 529
cL40, исходит от всех окружающих элементарных объемов,
например dV. Если dV испускает излучение интенсивностью di^ (S),
то интенсивность излучения, достигающего dV0, определяется
соотношением (13.21) [заметим, что используемая здесь система
координат обратна той, в которой записано уравнение (13.21)]
dii (0) = dik (S) exp [ - ax {X) S]. (15.26)
Зто выражение учитывает ослабление излучения на пути S,
но не учитывает испускание на этом пути, которое будет учтено
впоследствии интегрированием (15.26) по всем элементарным
объемам. Заметим, что коэффициент поглощения принимался
постоянным на всем пути S. Однако это допущение не вносит
каких-либо ограничений, поскольку в приближении диффузии
излучения температура газа существенно не изменяется в той
области, которая вносит значительный вклад в излучение,
достигающее некоторой точки. Телесный угол, под которым объем dV
виден с площадки dA0, равен dA/S2, где dA — площадь
проекции dV на плоскость, перпендикулярную направлению S. Поток
излучения, падающего на dA0, выраженный через интенсивность,
определяемую (15.26), равен
Л А
(PQb, t (0) = di'x (S) exp [ -ak (X) S] ^ dA0 cos p dX. (15.27)
Из (13.35) следует, что монохроматический поток спонтанного
излучения, испускаемого объемом dV, равен
dii е (S) = ак (К Т, Р) 1КЪ (X, Т) dS. (15.28)
Подставляя (15.28) в (15.27), получим
d'Qx, t (0) = а% (X) fa (X, Т) dS exp [ ~ ах {X) S] -^- dA0 cos 0 dX. (15.29)
Поскольку газ оптически плотный, поле излучения в dV0
определяется только близлежащими областями и тогда i^b (X, Т)
в (15.29) можно разложить в трехмерный ряд Тэйлора в
окрестности точки (я0, г/0, z0), полагая, что для адекватного
представления i'xb достаточно сохранить лишь несколько его членов.
В общем случае трехмерный ряд Тэйлора можно записать в виде
^(^^)=2{^[(Z-Zo)(^)0+(y-yo)(i)0
+
п=0
+ (x-Xo)(JL)QJiib(X,T)}. (15.30)
Часть последующих выкладок будет произведена с этим общим
выражением, а затем мы сохраним лишь несколько членов ряда.
Используя дважды формулу бинома Ньютона, преобразуем (15.30)

530
Глава 15
к .виду
со п v , .,
/' а 74= V V V (z-*o)n-*(y-yo)v~s(х-ч)8( °п\ъ \
*>ЬЪУЛ,1) Zi Zi Zi („_„)! (y_5)!s! \dzn-vdyvsdxs)0#
n=0 г>=0 s=0
(15.31)
Далее подставим это соотношение в (15.29), а телесный угол
dA/S2 примем равным sin pdpdG. Затем проинтегрируем
результат по полупространству, соответствующему положительным
значениям z, и определим все излучение, падающее на dA0 и
распространяющееся в отрицательном направлении
оо П V
!MWE2 2(»Vm4
n=0 v=0 s=0
X
\v — S)l si
2я я/2 оо
x(-^^W)oi- I i(5coSp)-(5smesinP)-x
e=o p=o 5=o
X (5 sin p cos 0)s cos p sin p exp [ — a% {X) S] dS dp d0, (15.32)
где изменена последовательность операций интегрирования и
суммирования и использованы сферические координаты вида
х — х0 — S sin pcosG,
у — z/o = SsinPsin0,
z — z0 = Scosp.
Заметим, что интегрирование по полупространству в (15.32) было
проведено при следующих допущениях: 1) коэффициент
поглощения а% постоянен в области, вносящей существенный вклад в поток
излучения, падающий на dA0; 2) отсутствуют ограничивающие
поверхности, вносящие существенный вклад в этот поток.
Другими словами, ак можно было сохранить как переменную
интегрирования, а интегрирование проводить по конечной области с
заданной интенсивностью на ее границах.
Выполняя интегрирование в (15.32), получим
п V
2 2 S Q(w)^Un-^-^0, (15.33)
n=0 v=0 s=0
где
(в-р)!(1>-»)!»!г(^)
а Г — гамма-функция.
гг + Г, , (15.34)

Приближенные решения уравнения переноса излучения 531
Аналогичное выражение можно получить для потока
излучения, падающего на dA0 снизу, т. е. распространяющегося в
положительном направлении z:
d2Qb,+z__
d\
со п V f
=^2 2 2 (-ir'gfr,». «)-g( ы~1£.ш ),- (15.35)
n=0 u=0 s=0
Плотность потока результирующего излучения, проходящего
черев cL40 в положительном направлении оси z, равна
42 22 [1-(-1Пйкм)^г(-
^Чь
n=0 u=0 s=0
(15.36)
Такие же соотношения можно получить для осей х и у.
В приближении диффузии излучения рассматривается такая
область среды, в которой температура слабо меняется с
оптической толщиной. Следовательно, такие производные, как
(ila%)(dnixbldzn), становятся малыми с увеличением п и ряд
в (15.36) может быть ограничен суммой первых членов. Если
ограничить ряд членами, содержащими вторую производную,
то громоздкое уравнение (15.36) сведется к виду
J*2k^=_^L(^L) =_ * (JUL) . (15.37)
dX Зад, \ dz ) о Sa% \ dz J о v '
Это общее соотношение, в котором локальная плотность потока
излучения выражена через градиент плотности потока черного
излучения; оно согласуется с (15.25) и называется уравнением
диффузии излучения Росселанда. Как и при выводе (15.25),
сохраняя лишь первые производные, получим то же самое уравнение,
поскольку члены второго порядка взаимно уничтожаются.
Заметим, что уравнение (15.37) имеет тот же вид, что и уравнение
Фурье для теплопроводности. Это позволяет решать некоторые
задачи переноса излучения по аналогии с методами решения задач
теплопроводности.
Чтобы получить плотность потока излучения в интервале длин
волн ДА,, проинтегрируем (15.37) по длине волны (для упрощения
записи опустим скобки и индекс 0):
АЛ, А^
4 д f „ , л _ 4 деАХЬ
Ь^=-^Ь:т- (15.38)
ДА,

532
Глава 15
Здесь введена величина Яв,дх
J «я
, v ах dz
_1 да,
aR,Ak~~ f декЪ
dz
ДА,
де™ dl
l^dX
Умножая числитель и знаменатель на dz/deb, перепишем это
выражение в следующем виде:
, J ai деъ
—{—==^— . (15.39)
J &?ь
ДА,
Коэффициент aR называется росселандовым средним
коэффициентом поглощения по имени С. Росселанда, который первым
применил теорию диффузии при исследовании радиационных
процессов в астрофизике [2]. Величину де^ъ/деь можно найти путем
дифференцирования формулы Планка (2.11а), если принять Т =
2n£i
»» у»{ЧЗ(?П-'}
деь
к С,С2 о^ ( еХр[-г(^) ] . ,.,,п.
2 Я.6 -5/4 If Г <?„ / л \ 1/4 1 1 2 I • V1U'WJ
*4{-№(i)'"J-}!
Скачок поверхностной плотности потока черного излучения как
граничное условие х). До сих пор рассматривалась область газа,
достаточно удаленная от любой границы, поэтому влияние
границы в полученных соотношениях не учитывалось. Рассмотрим
теперь взаимодействие излучающего газа с диффузной стенкой.
Пусть стенка, ограничивающая газ сверху (фиг. 15.4), имеет
полусферическую спектральную степень черноты ^^w2- Все
величины, относящиеся к стенке, будут иметь индекс w, чтобы их
можно было отличить от величин, относящихся к газу вблизи
стенки. Рассмотрим площадку dA2 в газе, расположенную
параллельно стенке и непосредственно прилегающую к стенке;
Монохроматический поток излучения, проходящий через dA2 в отри-
г) Нужно иметь в виду, что скачок поверхностной плотности потока
излучения черного тела на границе по существу является скачком
температуры в четвертой степени.— Прим. ред.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 533
цательном направлении оси z, равен
(d2QK _г)2 = £ьМеьъи,2 dk dA2 + (1 — &w2) (d?QXt +z)2, (15.41)
где члены в правой части соответствуют собственному и
отраженному стенкой 2 излучению. Плотность монохроматического потока
Непрозрачная
граница Z
Непрозрачная
граница 1
*-У
Фиг. 15.4. К выводу граничных условий со скачком на непрозрачной
границе.
результирующего излучения, проходящего через площадку cL42
в положительном направлении оси z, равна
(<%, z)2 £Г :
— Q\W2
dA„
- e%bw2
dk].
Это выражение можно переписать следующим образом:
(15.42)
(15.43)

534
Глава 15
Выражение для (d?Qx,+z)2 можно подставить из (15.35). При
п = 0 и dAG = dA2 первый член в (15.35) равен
• 4т'м,2 = dA^xb2-
4
Тогда для площадки cL42, расположенной в газе вблизи стенки,
выражение (15.43) приобретает следующий вид:
р , р , — (^» 2)2
-i2S SSt-^o^^^^tsi^si),- (15.44)
n=lv=0s=0
Ограничивая сумму членами второго порядка и используя (15.37),
чтобы исключить первые производные в членах, содержащих
плотность монохроматического потока излучения, получим выражение
для скачка поверхностной плотности потока черного излучения
на dA2
1 (d*ekb 1 д*екЬ 1 52^ь \ иЬАЪ
"~ 2Sj[" V'^-'^T"^-"1" 2 ~д&)г У10-*0)
Все величины, не имеющие индекса w, относятся к шющадке dA2,
расположенной в газе вблизи стенки, а величины с индексом w —
к стенке 2; dq%t z — плотность потока результирующего излучения
в положительном направлении оси z.
Аналогичным образом можно получить скачок поверхностной
плотности потока черного излучения на dAx (фиг. 15.4):
/ 1 1 \ (dq^zh ,
, 1 / дЧХЪ , 1 0а«яь , 1 д2^Ь \ ,_ /ft.
+ 2л? \ 5z2 "Т" 2 %2 | 2 ^2 ;4> (10.40)
где величины с индексом и; относятся к стенке 1, а без индекса —
к газу, прилегающему к ней.
Выражения (15.45) и (15.46) представляют собой граничные
условия, которые связывают поверхностную плотность потока
черного излучения в газе, непосредственно примыкающем к стен-
ке (exb)i с поверхностной плотностью потока черного излучения
при температуре стенки (ehbw). Очевидно, что на каждой границе
имеется скачок поверхностной плотности потока черного излучения.
В разд. 15.4.3 даны некоторые примеры, поясняющие, как
пользоваться этими соотношениями. Поскольку при их выводе
использовалось выражение (15.35), то тем самым предполагалось, что
пропорциональность локальной плотности потопа излучения и гра-

Приближенные решения уравнения переноса излучения 535
диента плотности потока черного излучения справедлива даже
в тех точках внутри газа, которые расположены непосредственно
вблизи граничной поверхности. Хотя это допущение не вполне
соответствует действительности, граничные условия со скачком
дают хорошее приближение для учета влияния стенок.
Чтобы использовать граничные условия (15.45) и (15.46)
в уравнении (15.38) в некотором интервале длин волн ДА,,
необходимо их проинтегрировать в этом интервале. Для степени
черноты стенок берутся средние значения в этом интервале и
интегрирование производится в соответствии с [1]. В результате получим
£ДХЬ2 — £ДХЬи>2 = \ Т Y ) ^АХ> 2)2 ~~~
Г 1 / &eAXb 1 д*еАХЬ 1 дЧА%ъ \
\ 2а|)) дх \ dz2 "*" 2 ду* "г" 2 дх* )
£ДШ1?1—- £ДХЫ = \Т-~ 2) (ЗА*. *)i +
, Г 1 '(ЭЪмъ , 1 32*ам> , 1 ^ДЯЬ\ ,
I 2а|)) дх I ^ Т2 дт/2 ~*~ 2 дх* ) ~*~
+^[(^)г+4(^)2+т(^)2]},. <«•*>
где gAA( = j dgx-
АХ
В этих уравнениях используются два средних коэффициента,
введенные в работе [1]
J а1
1 дх А
-dX
деъ
дх кгг-« <15-49>
J деъ
дх
<а
J
^ь-л
а\ де%
дх
Величина 1Ах имеет размерность длины в квадрате, деленной
на плотность потока излучения.
Скачок поверхностной плотности потока черного излучения
между двумя областями поглощающего и излучающего газа. При
наличии внутренних источников или стоков в поглощающих и
излучающих средах и отсутствии кондуктивного переноса тепла

536
Глава 15
возможно появление разрыва плотности потока черного излучения
на границе раздела двух таких сред. Рассмотрим элементарный
объем на границе раздела сред. Нижняя область имеет
коэффициент поглощения аи, а верхняя аХ2. Тогда плотность потока
результирующего излучения, проходящего через этот объем в
направлении z, может быть определена с помощью (15.33) и (15.35)
для сред 2 и 1:
(dqx,z)g-g __ (d*Qk, +g)i-(dggx,-»)2 _:
dX dA dX
—L у у у Q(n v ^Г(""1)п"" l дПехь ) -
n=0Ms=0
аЪ V dz">-v dyvs дх* /2jg-q' VA^A/
Пренебрегая членами порядка выше второго, получим выражение
для скачка плотности потока черного излучения:
• 2а?« \ dz* "Т" 2 ^2 1" 2 0*» /1
1 /^2ab | 1 d2£Plb , 1 ^ЯЬ\ \ (лк со\
2аК2
Выражение для скачка, соответствующее интервалу длин волн,
можно получить интегрированием (15.52) [3].
Как будет показано на стр. 542, значение скачка exb2 — elbl
будет ненулевым при определенных условиях.
Выводы. Получено общее уравнение диффузии
монохроматического излучения [уравнения (15.36) и (15.37)] и в полосе длин
волн [уравнение (15.38)]. Получены также общие выражения для
граничных условий при наличии твердой стенки для
монохроматического излучения [уравнения (15.45) и (15.46)] и для полосы
длин волн [уравнения (15.47) и (15.48)]. Наконец, сформулировано
граничное условие для границы раздела между двумя
поглощающими и излучающими средами в случае отсутствия
теплопроводности [уравнение (15.52)].
15.4.3. Применение решения,
полученного в приближении диффузии излучения
При использовании уравнения диффузии излучения
предполагается, что оно будет применимо для всей среды, включая
область, прилегающую к границе. Влияние границы учитывается
граничными условиями со скачком.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 537
При рассмотрении реального газа необходимо рассчитать три
коэффициента, описываемые выражениями (15.39), (15.49) и (15.50).
Однако каждый из них зависит только от локальных условий,
поэтому они не могут быть затабулированы.
Неподвижный серый газ между параллельными пластинами.
Свойства большинства газов в сильной степени зависят от длины
волны, и уравнение диффузии излучения необходимо решать для
нескольких интервалов длин волн. С целью иллюстрации нет
^ Нижняя
пластина
Twb £wl
Фиг. 15.5. Теплообмен между бесконечными параллельными серыми
пластинами, разделенными серой средой.
смысла рассматривать полное решение сложной задачи
монохроматического излучения. В ряде предельных случаев, например
для пламен, содержащих частицы сажи, илрг для
высокотемпературных паров урана, можно использовать приближение серого
газа. В этом случае приведенные в разд. 15.4.2 уравнения
существенно упрощаются. Рассмотрим для примера серый газ между
двумя бесконечными параллельными серыми пластинами,
имеющими различные температуры (фиг. 15.5).
Коэффициент поглощения серого газа ах не зависит от длины
волны. Тогда пределы интегрирования в (15.39), (15.49) и (15.50)
могут быть взяты от 0 до оо. Обозначим а% через а и вынесем

538
Глава 15
его за знак интеграла. В результате получим
1 1 1
aR aDy а
И
« aeh J „2 Я*2
Яр2
" 0. (15.53)
о
Уравнение (15.38) преобразуется к виду
deb
4 0 f Л 4
о
Поскольку в газе нет источников или стоков тепла, поток qz
постоянен для рассматриваемой геометрии и полученное
уравнение можно проинтегрировать. Сделав Дополнительное
предположение, что а не зависит от температуры и, следовательно, от z,
получим в результате интегрирования от 0 до z
eb(z)—ebi= £-qzz. (15.54)
При z = D
еь-ем = _g*D. (15.55)
Значения ebl и eb2 относятся к газу вблизи стенок. Чтобы связать
эти неизвестные величины с заданными условиями на стенках,
необходимо использовать граничные условия со скачком. Двойное
дифференцирование (15.54) по z показывает, что содержащие
вторые производные члены в уравнениях (15.47) и (15.48) равны
нулю. Эти уравнения преобразуются к виду
42 — ebw2 1 1
Qz 6u>2 ^
И
ebwi —еы 1 1
Zw
(15.56)
(15.57)
Чтобы исключить неизвестные величины еЬ1 и eb2, сложим (15.56)
и (15.57):
Cbwl—ebw2 i gb2~gM_ 1 , 1
Qz Qz €wl €w2
Подставив затем eb2 — ebl из (15.55), получим
1.
ebWi-ebw2==J_+l 1 3aD
Qz €wl ^w2 4

Приближенные решения уравнения переноса иглучения 539
ИЛИ
ebwi— <?bw2 jto^j 1_ , 1 1 3xD 1 1 4" v " '
Это выражение определяет плотность потока излучения через
слой серого газа как функцию произведения коэффициента
поглощения газа, расстояния между пластинами (т. е. оптической
толщины) и степени черноты пластин. Она отнесена к разности
плотностей потоков черного излучения, которая определяет максимально
KD=aD
Фиг. 15.6. Сравнение решения, полученного в приближении диффузии
излучения, с точным решением для плотности потока результирующего излучения
в сером газе между параллельными серыми пластинами.
точное решение [4]; уравнение (15.59). Qz/(ebwi — ebu,2) —
безразмерная плотность потока результирующего излучения; y.D = aD — оптическая толщина.
возможный перенос тепла между черными пластинами,
разделенными прозрачной средой. На фиг. 15.6 данное решение
сравнивается с точным аналитическим решением интегральных
уравнений для той же самой задачи [4] при одинаковых степенях
черноты стенок. Получено очень хорошее соответствие для всех
оцтических толщин рассматриваемой системы.
Используя выражение (15.54), можно найти распределение
поверхностной плотности потока черного излучения eb(z), если
исключить неизвестную величину еЪ1 с помощью (15.57).
Результаты приведены в табл. 15.2.
Разрыв поверхностной плотности потока черного излучения на
границе раздела двух газов. Рассмотрим две прилегающие друг
к другу полубесконечные области газа (фиг. 15.7). Определим
величину разрыва плотности потока черного излучения, если он

Таблица 15.2
Расчетные соотношения для потока результирующего излучения
и распределения температуры в сером газе между серыми поверхностями,
полученные с помощью приближения диффузии излучения
Геометрическая
конфигурация
Соотношения 1)
Бесконечные
параллельные пластины
±и
#■
' /ш,
т
Бесконечные
концентрические цилиндры
Концентрические
сферы
1> =
1 + ^1
(SaD/q + Ei + Et + l
ф=1
1 +Ei
•(т)-«Аг{-4[««.-(£)+-&]+
* =
1 + Ei
|М--§5Ь*ыаГ,]+0..^)+$<*+»
♦(*)--nk-{-4Mft-£)+3H+
+(*+*)3-}
!) Обозначения: Е^у = (1 - £wx)/£uX
4 4 4
■ Tw2V(Twl ~ Tw2>-
i = Qi/ltwtAiaiTnt - T*2)L Ф(Е)=[Г4(6)-

Приближенные решения уравнения переноса излучения 541
может существовать на границе раздела этих сред при отсутствии
теплопроводности. Сначала рассмотрим случай отсутствия
внутренних источников или стоков тепла в газах. Обе среды серые
и неподвижные, нижняя область имеет постоянный коэффициент
поглощения ах, верхняя а2. Скачок плотности потока черного
Фиг. 15.7. К выводу выражения для разрыва плотности потока излучения
на границе раздела двух сред.
излучения на границе раздела между двумя средами можно
получить интегрированием (15.52) по всем длинам волн. Заметим,
что а%1 = ai и а^2 = а2, а производные по х и у равны нулю,
поскольку рассматривается одномерный слой. Тогда
{eH-ebi)g.g=^qz)g_g-\[±(^)^(^)X_^ (15-60)
Вторые производные по z равны нулю, поскольку для каждой
области из (15.38) следует
4 deb (15.61)
Яг
Ъа dz
Величина qz должна быть постоянной вследствие отсутствия
источников и стоков тепла. Следовательно, в обеих областях
d*eb __ п
(15.62)

542
Глава 15
Кроме того, величины qz в обеих областях должны быть
одинаковыми, поскольку поток излучения сохраняет неразрывность
на границе раздела. Следовательно, подставляя выражения для
первых производных из (15.61) в (15.60), получим
(eb2-ebi)g^g= -(b),_e_![-L (~ ^L) qz + ± ( _^) qz^_§.
(15.63)
Это выражение можно преобразовать к виду
{еъъ — ebi)g-g= —(qz)g-g + (qz)g-g = 0, (15.64)
который указывает на отсутствие разрыва плотности потока
черного излучения в данном случае.
Рассмотрим теперь случай, когда в областях 1 и 2 имеются
равномерно распределенные объемные источники энергии
мощностью Gx и G2. В этом случае градиент плотности потока
излучения в направлении z определяется соотношением
1г = С=-1Ег(1?)- <15-65>
Ясно, что теперь вторые производные от еъ по z не равны нулю.
Уравнение (15.52) принимает вид
<«.-«>«~ы«+{-т[£(-£),Ч(*),]+
+т[£(4£),ЧФ).]}.-.- <15-66>
Как и ранее, выражение (15.61) должно быть справедливо в обеих
областях. Вследствие неразрывности плотности потока излучения
на границе раздела двух сред
^s-g=--^(^)Ug_g=-^(-ir)2yg_g' (15-67)
Подставляя (15.65) и (15.67) в (15.66), чтобы исключить первую
и вторую производные от еъ, получим выражение
(eM-eti),-s--(»,)s-e+{-f [^(^«.J+^t^»,)]^
+ih?N^.biHbe-)]}e-,-
которое преобразуется к виду
(ем-еь«)в-* = Т (•!"--£)■ <15-68)
Отсюда видно, что при наличии источников энергии в обеих
областях плотность черного излучения имеет разрыв, за
исключением случая равенства Gxlax и 6?2/а2.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 543
Если вместо использования приближения диффузии излучения
для данной задачи решать интегральные уравнения [5], то будет
получен следующий результат:
(«ы—«)« = т(4г-§-)- <15-69>
Решение, полученное в приближении диффузии излучения, дает
правильную функциональную зависимость разрыва плотности
потока черного излучения от а и G, но отличается от точного
решения коэффициентом 3/2.
Решения в приближении диффузии излучения для серых газов
в случае других геометрических конфигураций. В табл. 15.2
приведена сводка решений для распределений температуры и потока
результирующего излучения для простых геометрических
конфигураций, когда серый газ заключен между серыми стенками
(подробный анализ приведен в примере 15.5). Эти выражения
получены с помощью диффузионных уравнений, но их следует
применять с осторожностью, поскольку реальные газы обычно
не серые и не оптически толстые во всем интервале длин волн.
Согласие с точными решениями в случае цилиндрической или
сферической конфигураций иногда не столь хорошее, как для
бесконечных параллельных пластин. Очень хорошее согласие
получено для цилиндрической и сферической конфигураций во
всей области возможных параметров при оптических толщинах
более семи, причем это согласие улучшается с уменьшением
степени черноты стенок и увеличением отношения диаметров
Фвнутр/^внешн). Несколько ниже в связи с обсуждением фиг. 15.11
будет проведено сравнение точного и приближенного решений для
цилиндрической геометрии.
ПРИМЕР 15.5. Пространство между двумя диффузно-серыми
сферами (фиг. 15.8) заполнено оптически плотной неподвижной
средой, имеющей постоянный коэффициент поглощения а.
Рассчитать тепловой поток Q1 в промежутке между сферами 1 и 2 и
распределение температуры Т (г) в газе, используя приближение
диффузии излучения и граничные условия со скачком.
Из соотношения (15.37) можно получить следующее выражение
для плотности результирующего теплового потока в
положительном направлении г внутри серой среды с постоянным
коэффициентом а:
*=-iHf- <15-70>
Из условия сохранения энергии следует, что qr изменяется в
зависимости от г по закону qr = QJinr2. Подставляя его в (15.70)

544
Глава 15
и интегрируя от Rx до i?2, получим
Я2 еЬ2
0_
4я
<?i f dr 4 Г ,
Hib~^H"^('b2"~'bl)'
(15.71)
(15.72)
Поверхностные плотности потока черного излучения еЪ1 и eb2
относятся к газу вблизи границ, а чтобы выразить их через
значения плотности потока черного излучения на стенках,
необходимо использовать граничные условия со скачком (15.47) и (15.48).
cw2i "w2
Фиг. 15.8. Теплообмен излучением между концентрическими сферами,
пространство между которыми заполнено средой с постоянным коэффициентом
поглощения.
Эти выражения содержат вторые производные, которые нужно
найти. Интегрируя (15.71) от Rx до г, получим
/ ч п 3aQt /1 1 \
(15.73)
Подставляя г = (х2 + у2 + z2) и дважды дифференцируя по х,
получим
d*eb(r)_ 3aQj (x* + yZ + z*)3/2 -Ъх* (x* + y* + *]W
(x2 + y2 + z*)3
дх2
16я
-. (15.74)
Аналогичные выражения можно получить для вторых
производных по у и z.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 545
В граничном условии (15.47) в качестве точки 2 удобно взять
точку х = у = О, z = R2 на фиг. 15.8. Тогда
Г дЧъ (г) 1 Г^ь(г) I = 3aQt 1
L &еа J2 "L d*/2 J2 16я Щ '
Г д2е& (г) I 3flQi 1
L fo2 J 2 8л /?| "
Кроме того, (gz)2 = (^Мя-Й^- Подставляя все эти выражения
в (15.47), получим
Аналогично для внутренней сферической границы, согласно (15.48),
^1-^1=(^-у)^+32^лГ- (15'76)
Сложение (15.75) и (15.76) дает
После подстановки этого выражения в правую часть (15.72)
решим полученное уравнение относительно Qly после чего можно
рассчитать я|), приведенное в табл. 15.2.
Чтобы получить распределение температуры, проинтегрируем
уравнение (15.71) от i?2 до г
/ ч За<?! /1 1 \
Суммируя результат с (15.75), чтобы исключить eb2, получим
•.«-•«-^(4--£)+(!Ь-т)-&г-&*-<«-''>
Отсюда можно получить выражение для ф, приведенное в табл. 15.2.
15.4.4. Заключительные замечания относительно метода,
основанного на приближении диффузии излучения
Приближение диффузии излучения оказалось весьма
полезным, поскольку позволяет решать сложные задачи с помощью
стандартных аналитических методов; оно может быть
рекомендовано в тех случаях, когда использованные при его выводе
допущения выполняются.
Наиболее жестким является допущение о том, что среда
является оптически толстой, которое обычно ограничивает применение

546
Глава 15
этого метода. Поскольку большинство газов имеют полосатые
спектры, в пределах этих полос возможны области, в которых газ
является оптически толстым. В этом случае, если длина
свободного пробега излучения в излучающей и поглощающей средах
достаточно мала, допущение о том, что только локальные
условия определяют монохроматический поток излучения, будет
вполне оправданным. При других длинах волн газ часто можно
считать прозрачным, и в этом случае приближение диффузии
излучения неприменимо. Таким образом, необходимо следить за
тем, чтобы приближение диффузии излучения применялось только
в тех областях спектра и для таких геометрических конфигураций,,
для которых справедливо допущение о том, что газ является
оптически толстым.
Росселандов средний коэффициент поглощения не должен
использоваться как критерий оптической толщины газа. Он может
быть велик сам по себе, но спектральный коэффициент
поглощения, используемый при расчете aR, в некоторых областях спектра
может быть очень мал. Использование росселандова среднего
в таких случаях может привести к большим ошибкам. В таких
случаях необходимо выбирать спектральные интервалы, в
которых коэффициент поглощения всюду велик, и рассчитывать
росселандово среднее для каждого из этих интервалов.
Хауэлл и Перлмуттер [6] использовали приближение
диффузии излучения для реальных газов и сравнили полученные
результаты с точным решением задачи методом Монте-Карло. В общем
случае соответствие оказалось не столь хорошим, как для серых
газов.
15.5. ПРИБЛИЖЕНИЯ,
ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ
СРЕДНИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОГЛОЩЕНИЯ
Прежде чем продолжить обсуждение методов решения
уравнения переноса излучения, необходимо сделать ряд замечаний
относительно использования средних коэффициентов поглощения,
полученных в результате интегрирования по всем длинам волн.
Использование средних коэффициентов поглощения позволяет
отказаться от анализа монохроматического излучения с
последующим интегрированием по всем длинам волн. Вопрос
заключается в том, можно ли заранее установить, какой средний
коэффициент поглощения обеспечивает точное решение данной задачи.
Рассмотрим подробно средние коэффициенты поглощения,
определение которых было дано ранее, и установим связь между этими
коэффициентами.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 547
15.5.1. Некоторые средние коэффициенты поглощения
До сих пор были даны определения трех основных средних
коэффициентов поглощения. В (14.19) и (14.21) дано определение
планковского среднего коэффициента поглощения
lak(K,T,P)exb(K,T)dK
аР (Т, Р) = 5 jys (15.76)
и среднего по падающему излучению коэффициента поглощения
оо
lab(k,T,P)lk9iQ)dK
at (Г, Р) = ° —^ . (15.79)
I ib,i(h)dk
О
В (15.39) был введен росселандов средний коэффициент
поглощения, который для всего спектра имеет вид
) deb(T) Л
aR.(T, Р) = — °- . (15.80)
J ак (А,, Г, Р) деь (Т)
о
-dk
Полезно рассмотреть эти раличные средние коэффициенты
поглощения и их взаимосвязь.
Средний по падающему излучению коэффициент поглощения
удобно использовать только при определенных условиях, когда
спектральное распределение интенсивности падающего излучения
сохраняется неизменным, так что а-ъ можно рассчитать и затабули-
ровать. Например, достаточно часто рассматривается падающее
солнечное излучение, и для этого случая at можно затабулировать.
Коэффициент at полезен при использовании приближения
прозрачного газа, когда известно спектральное распределение
интенсивности излучения на границах, поскольку оно сохраняется
постоянным при распространении излучения в газе. Если средняя
интенсивность iXli пропорциональна интенсивности излучения черного-
тела при температуре в той точке, для которой рассчитывается
а*. (К Т, Р), т. е. iKyi coi{b (Г), то средний по падающему
излучению коэффициент поглощения падающего излучения можно

548
Глава 15
записать следующим образом:
оо
lak(X,T,P)i'lb(KT)dk
at (Г, Р) = * = аР (Г, Р). (15.81)
I ^ (*, Т) d\
о
В этом частном случае at = аР.
На первый взгляд кажется, что росселандово среднее, как
оно определено в (15.80), определяется совершенно иным образом
по сравнению с аР и аи в которых в качестве весовой функции
выступает спектральное распределение плотности потока
излучения или интенсивности. Однако запишем (15.37) для случая
одномерной диффузии излучения
dq%, г 4 deib (К Т) _ 4 / декЪ dT dekb dl
dl Зак dz Ъа% \ дТ dz ' dl dz
). (15.82)
Производная dkfdz равна 0, поскольку X и z являются
независимыми переменными. Поэтому в случае только диффузии излучения
дехь _ дем, deb _ ( — Зал/4) (dqj,, z/dk) ,* г Rov
дТ ~~ деъ dT ~~ dT/dz ' \ю.оо)
Подставляя (15.83) в (15.80), получим
оо
I а% dgK> z
aR(T,P) = ^ . (15.84)
I dQh, z
0
Таким образом, росселандово среднее получено осреднением а%
с помощью локальной плотности потока монохроматического
излучения dqx>z, используемой в качестве весовой функции в
предположении, что она зависит только от локальных значений
градиента плотности потока черного излучения и ак.
Для серЪго газа коэффициент поглощения не зависит от длины
волны ах (К, Т, Р) = а (Г, Р). Поэтому, как и следовало
ожидать, (15.78) и (15.80) преобразуются к виду
аР (Г, Р) = at (Г, Р) = aR (Г, Р) = а (Г, Р).
Определение любого среднего коэффициента поглощения по
спектральному коэффициенту поглощения обычно связано с
трудоемким численным интегрированием. Тем не менее если
соответствующие средние значения обеспечивают получение достаточно
точных решений, то при этом можно существенно сэкономить
время, необходимое для решения многих задач переноса
излучения.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 549
15.5.2. Приближенные решения уравнений переноса излучения
с помощью средних коэффициентов поглощения
В этом разделе будет сделан обзор некоторых работ, в которых
при расчете переноса излучения использовались средние
коэффициенты поглощения. Решение уравнений переноса существенно
упрощается в тех случаях, когда известен некоторый средний
коэффициент поглощения, поскольку отпадает необходимость
в интегрировании по длинам волн. В противоположность этому при
отыскании точных решений для реальных газов требуется такое
интегрирование, причем его нельзя выполнить заранее, а
необходимо проводить для каждого частного случая. Например,
поглощенная доля падающего излучения зависит от аь
полученного путем осреднения с помощью спектрального распределения
падающего излучения, используемого в качестве весовой
функции. Поскольку таких распределений может быть бесконечное
число, at невозможно затабулировать заранее, {{роме того,
коэффициент ах, входящий, например, в экспоненциальные члены
в (15.1), не может быть удобным образом осреднен по длинам
волн [возможный способ осреднения описывается формулой
(15.85)].
Чтобы избежать расчета спектральных величин с
последующим интегрированием по длинам волн, часто применяют
некоторые приближения. Чаще всего используется допущение о том,
что уравнение переноса для серого газа (14.28) можно применить
к реальному газу путем подстановки соответствующего среднего
коэффициента поглощения вместо а (для серого газа). В разд.
14.4.2 уже было показано, что, хотя планковское среднее
действительно можно подставить в некоторые члены уравнения
баланса Энергии (т. е. в те члены, которые соответствуют
локальному излучению), использование этого коэффициента в членах,
соответствующих поглощению и ослаблению, неправомерно, за
исключением некоторых частных случаев. По результатам
анализа 40 случаев [7, 8] простая подстановка планковского
среднего в уравнения для серого газа может привести к ошибке
в значении интегральной интенсивности от —43 до 881 % по
сравнению со значениями, найденными путем интегрирования
решений, полученных с использованием спектральных свойств.
Ошибку можно уменьшить, разделив весь спектр на две или более
полосы, и для каждой из них использовать свое планковское
среднее.
С целью улучшить точность расчетов были предложены другие
средние коэффициенты поглощения. Сэмпсон [9] предложил
средний коэффициент, изменяющийся от планковского до росселан-
дова при увеличении оптической толщины вдоль данного пути.
Он получил соответствие с точными решениями ряда задач в пре-

550
Глава 15
делах множителя, равного двум. Абу-Ромиа и Тьен [10]
использовали модифицированное росселандово среднее для оптически
толстых участков спектра и планковское среднее для оптически
тонких участков спектра и получили соотношение для потока
энергии между граничными поверхностями. Чтобы облегчить
такие расчеты, приведены росселандовы и планковские средние
коэффициенты поглощения для углекислого газа, окиси углерода
и водяного пара.
Пэтч [7, 8] ввел понятие эффективного среднего коэффициента
поглощения
оо
I ах (X, Г, Р) i'Kb (X, Т) ехр [ - ак (X, Т, P)S] dk
ae{S,T,P)=* - . (15.85)
I i'Kb (A,, T) exp l-aK (A,, 7\ P)S] dk
6
Значения ae (S, T, P) можно затабулировать в виде функции
температуры и давления, как и другие средние коэффициенты
поглощения. Кроме того, ае зависит от длины пути S и должен
быть затабулирован как функция этой дополнительной
переменной. При малых S ае стремится к аР. При очень больших S из-за
наличия экспоненциального члена в подынтегральных
выражениях ае стремится к минимальному значению ах для
рассматриваемого спектра. Смысл эффективного среднего коэффициента
поглощения состоит в том, что реальный газ с известным
распределением ГиРна пути S заменяется эффективным однородным
газом с коэффициентом поглощения ае. Затем производятся
расчеты с использованием ае в уравнении переноса для серого газа.
Значение ае находится путем приравнивания aeS при
температуре Т и давлении Р в той точке, до которой измеряется S,
оптической толщине реального газа в этой точке. В тех же 40
случаях [7, 8] отклонения значений интегральной интенсивности,
полученных путем интегрирования, составляют от —25 до 28%
по сравнению с отклонениями от —43 до 881 % при использовании
планковского среднего. Этот метод ценен при проведении
машинных расчетов, в которых можно эффективно использовать
табулированные значения a*(S, Г, Р).
Другие методы использования средних коэффициентов
описаны в работах [11—15].
15.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В ОБЩЕМ ВИДЕ
В разд. 15.3 было показано, что в некоторых случаях можно
пренебречь одним или несколькими членами в уравнении
переноса излучения. Решение таких приближенных уравнений несом-

Приближенные решения уравнения переноса излучения 551
ненно намного проще, чем решение исходного уравнения в общем
виде.
В данном разделе рассмотрены некоторые аналитические
методы решения уравнения переноса излучения, содержащего все
члены. Однако нас будут интересовать лишь приближенные
решения такого уравнения, которые во многих случаях могут быть
получены в аналитическом виде ценою некоторой потери
точности. Это позволяет выявить основные факторы, определяющие
перенос излучения, а также получить результаты часто с
приемлемой точностью.
15.6.1. Астрофизические приближения
Как уже упоминалось в гл. 13, большое число работ
посвящено исследованию структуры звезд на основе анализа
наблюдаемого излучения. В самом начале XX в. астрофизики изучили
математические свойства уравнения переноса и использовали ряд
приближений, которые полезны и по сей день. Однако эти
приближения были разработаны для одномерной задачи
атмосферного слоя, представлявшей наибольший интерес для астрофизики.
Распространение этих решений на многомерные задачи не всегда
очевидно или возможно. В настоящем разделе вкратце будут
рассмотрены два таких приближения. Более подробный анализ
приведен в [16, 17].
Приближение Шустера — Шварцшильда. Наиболее простое
приближение построено на предположении, что для одномерной
задачи интенсивность излучения в положительном и
отрицательном направлениях изотропна, но различна по величине (фиг. 15.9).
Используя (15.17), запишем уравнение переноса излучения
в каждой полусфере
0<Р<~, (15.86а)
£<Р<я. (15.866)
Вследствие предположения об изотропности i\t + и i'\, _ не зависят
от р. Эти уравнения можно теперь проинтегрировать по
соответствующим полусферам, что даст
1 du , (х) с
-^Г-^— Jcoepsinpdp-
о
л/2 Я/2
= &, + (*) j sinpdp-Jxb(^) f sin р dp, (15.87a)
cosp u4, + \x> ., / ч ., / ч
—k Tx = l*» + (*) - ^ (*),
cos p di\, -ix) ., . ч ./ / ч
—k Tx = ^ - ^ - l» (*)>

552
Глава 15
1 di'x _ (х)
«А,
л/2
я я
= «я, _ (х) J sin р d^—VXb (х) J sin р dp. (15.876)
я/2 я/2
я/2
Выполнив интегрирование, получим
1 di'% + И
2а^ dz
1 <2*я, - (*)
2й^ Лр
= U, + (ж) —iib (ж),
= ii, _(#) —^b(#).
(15.88а)
(15.886)
Уравнения (15.88) с соответствующими граничными условиями
можно решить с помощью интегрирующего множителя, как это
&-*
Фиг. 15.9. Приближение изотропного распределения интенсивности
излучения в положительном и отрицательном направлениях.
делалось в разд. 14.3.2 применительно к уравнению переноса
излучения. Для геометрической схемы, приведенной на

Приближенные решения уравнения переноса излучения 553
А,
фиг. 15.5, при условии, чтох^\ axdx
о
й, + Ю = г'к + (0) ехр (— х„) +- j «яь (и?) ехр (х£ — х*,) dx£, (15.89а)
о
U, _ (хх) - i'K _ (хХ1>) ехр (х„ — k%d) +
хяо
+ j iib (xj) ехр (хх- xj) dx£, (15.896)
где iht+ (0) и гх,— Ф) — спектральные интенсивности излучения
на стенках, когда слой газа между параллельными пластинами.
Чтобы проиллюстрировать использование этих соотношений,
рассмотрим простой случай, когда газ, заключенный между
параллельными пластинами, серый и не содержит внутренних
источников тепла. Уравнения (15.89) сохраняют свой вид, но индекс X
можно опустить. Дальнейший анализ такой же, как в разд. 14.6.2.
С помощью (14.32) и (14.39) можно найти распределение
температуры и плотности потока излучения. Поскольку в данном случае
i+ и £_ не зависят от р, то эти уравнения принимают вид
я/2 я
аГ4(х)--^[*;(х) j 2л sin р dp-f f (х) J 2л sin р dp],
0 я/2
я/2 я
q = 2я i'+ (х) I cos р sin р dp f i_ (х) \ cos Р sin Р dp] .
0 я/2
Выполнив интегрирование, получим
arMx) = |-[i;(x) + i:(x)], (15.90а)
q=n[i'+(x) —1_ (х)]. (15.906)
Подставим в эти уравнения выражения для i'+ и iL из (15.89)
с учетом, что i{, = аГ4/я. В результате получим
аГ4 (х) -1 [ш; (0) ехр (- х) + j аГ4 (х*) ехр (х* - х) dx* -f
о
+ т_ (xD)exp(x — kd)+ f аГ4 (х*)ехр (х--х*) dx*] , (15.91a)
q = ш; (0) ехр (- х) + j аГ4 (х*) ехр (х£ — хх) dx* -
о
— лГ (xD)exp(x—xD)— \ аГ4(х*)ехр(х —x*)dx*. (15.916)

554
Глава 15
Поскольку при отсутствии внутренних источников q не зависит
от х, расчет по уравнению (15.916) можно выполнить для любого
удобного сечения. Выбрав х = 0, получим
д = я^(0)—ni_ (xD) ехр (—xD)— \ аГ4(х*)ехр(х—x*)dx*. (15.91в)
о
Интегральное уравнение (15.91а) для распределения температуры
газа и уравнение (15.91в) для плотности потока излучения
аналогичны уравнениям (14.46) и (14.47), соответствующим точной
постановке задачи.
Если уравнение (15.90а) продифференцировать по х, то
получим
d (аГ4) _ л Г di'+ (у) { di'_ (к) 1
dK 2 [ dx, ' dx J
Подстановка (15.88) в правую часть полученного уравнения дает
dK =n[ — i'+ (х) + i'b (х) + il(x) — i'b (х)] =—n[i'+ (х) — Г (х)].
Сравнивая это уравнение с (15.906), получим соотношение
диффузионного типа в приближении Шустера — Шварцшильда
d(QT*) _ 1 deb
Ч dy, a dx
Чандрасекар модифицировал этот метод, первоначально
предложенный Шустером [18] и Шварцшильдом [19], разделив
интенсивность на осредненные составляющие для дискретных направлений,
и назвал его методом дискретных ординат. Было показано, что
этот метод эквивалентен дифференциальному приближению, или
методу моментов, который будет рассмотрен в разд. 15.6.2 [20].
Приближение Милна — Эддингтона. Относительно
интенсивности это приближение, предложенное независимо Эддингто-
ном [21] и Милном [22] равноценно приближению Шустера —
Шварцшильда. Интенсивность излучения, пересекающего
единичную площадку, перпендикулярную направлению оси х, имеет
неодинаковые постоянные и не зависящие от угла величины
в положительном и отрицательном направлениях х, т. е.
локальное излучение в каждом из этих двух направлений можно
рассматривать как изотропное (фиг. 15.9). Однако по сравнению
с методом Шустера — Шварцшильда данное приближение
делается на один этап позже: при определении плотности потоков
излучения, а не интенсивностей.
Начнем с одномерного уравнения переноса излучения (14.24).
Умножим его на dec и cos Р do, чтобы получить два урав-

Приближенные решения уравнения переноса излучения 555
нения
dl
-^T-id(0 = ^-**») dft>, (15.92a)
— — ^-^-dD = cosp(ix— t»)«to. (15.926)
Это делается потому, что величина i\ cos Р связана с плотностью
потока излучения и, следовательно, уравнения (15.92) образуют
теперь систему уравнений, содержащих qk. Проинтегрируем
уравнения (15.92) по всем телесным углам:
1 f Q «ЧФ»*) л
\ cos В —-х dco =
а^ dA, eta
(о=4я
= J й(Р> я) dec — 4m£b, (15.93a)
С0=4Я
j й(р,ж)со8рЛв=*ь=-.±- j с^р^Ао. (15.936)
со=4я со—4я
Далее делается допущение об изотропности i% в каждой полусфере.
Тогда
я/2 я
- ^ -§^ = U, + J 2я sin р dp + ^, _ j 2я sin р dp - 4я£хь, (15.94а)
О я/2
я/2
4t~£(VJ*«'i'*44,+
-^- j 2я cos2 р sin р dp) . (15.946)
л/2
Выполнив интегрирование, получим
Исключим далее i%,+ + ix,— из этих двух выражений, что дает
1 d3qk(x) __ g dgx (Д) ■ 4я d*M> W (15.96)
a£ d% dx2 ~~~ d'k aK dx
ИЛИ
d\ Же* dl • dxx
Для слоя серого газа без внутренних источников тепла
уравнение (15.97) можно проинтегрировать по всем длинам волн, и из

556
Глава 15
условия d2q/dK2 = 0 следует, что
Это же выражение было получено раньше в рамках приближения
диффузии излучения. Здесь не будут рассматриваться граничные
условия, которые следует использовать с этим соотношением.
Лучше это сделать в следующем разделе, в котором описано
дифференциальное приближение, являющееся обобщением
приближения Милна — Эддингтона.
15.6.2. Дифференциальное приближение
С помощью дифференциального приближения интегральные
уравнения переноса излучения в поглощающих и излучающих
средах сводятся к дифференциальным уравнениям вследствие
аппроксимации уравнения переноса конечным рядом уравнений
моментов. Моменты получаются путем умножения уравнения
переноса на степени косинуса угла, заключенного между осью
координат и направлением интенсивности излучения. Этот метод
является обобщением метода Милна — Эддингтона, так как
уравнения (15.92а) и (15.926) представляют собой уравнения
переноса, умноженные соответственно на (cos Р)° и (cos Р)1. Как будет
показано ниже, первые три уравнения моментов имеют
определенный физический смысл. Ниже будет рассмотрен общий случай
трехмерной геометрической конфигурации. Рассмотрение будет
проводиться по Ченгу [23, 24]. Из других работ на эту тему
следует упомянуть [20, 25—31].
На фиг. 15.10, а приведена прямоугольная система координат
хг, х2, х3. Изменение интенсивности в точке с радиус-вектором г
вдоль направления S с единичным вектором s описывается
уравнением переноса (14.4)
^- = ak(S)liib(S)-ik(S)].
Примем, что коэффициент ак постоянен, и проинтегрируем это
выражение по всем длинам волн
•j^ = a[ib{S)-i'(S)). (15.99)
Следует иметь в виду, что хотя нами использовано
упрощенное обозначение V (5), интенсивность зависит от координаты
и угла между векторами г и s: V (г, s) (фиг. 15.10, а). В
рассматриваемой системе координат уравнение (15.99) можно
записать в виде
з
2 h^j^ = alib(r)-i'(r,i)], (15.100)

Приближенные решения уравнения переноса излучения
557
где lj — направляющие косинусы (фиг. 15.10, a): Zx = cos р, Z2 =
— cos б, l3 = cos Y- Кроме того, воспользуемся следующим
соотношением:
di' dir dxi , di' дх2 , di' дх$
~dS~== dxi dS * dx2 dS ' дхг dS '
Моменты i получаются путем умножения V на lt в
соответствующей степени и интегрирования по всем телесным углам. Введем
Воображаемой
плоскость
в газе вблизи
стенки \
V J"J
Фиг* 15.10. Дифференциальное приближение.
а — система координат, в которой интенсивность излучения представлена в виде
функции положения и угла; б — плотности потоков излучения вблизи граничной
поверхности.
для них следующие обозначения:
Г<0)(г)= j i'(r, s)cfa,
G)=4jt
tfD(r)= J //(r,s)d(ot
<о=4я
£$"(г)= j lklji'(r, s) da,
©=4rt
j^ (r) = j 1ГЧ}Г (r, s) da,
(0=4я
i;(„n>(r)= j m'(r, a) dm.
©=4я
(15.101)

558
Глава J5
Момент нулевого порядка £'(0) имеет следующий физический смысл:
разделив его на скорость света, мы получаем объемную
плотность энергии излучения, определенную уравнением (14.56).
Момент первого порядка ija) представляет собой поверхностную
плотность потока излучения в направлении /-й координаты,
определенную уравнением (14.57). Момент второго порядка г$\
деленный на скорость света, равен тензору напряжения и
давления излучения. Моменты более высоких порядков не имеют
физического смысла и образованы по аналогии с первыми тремя.
Уравнения моментов получены путем умножения (15.100)
на соответствующие степени lt и последующего интегрирования
по всем* телесным углам со. Уравнение моментов нулевого порядка
есть интеграл от уравнения (15.100). Если учесть, что ib не зависим
от угла, и использовать определения £/(0> и i'a\ то
2-kp^а 14яй (г)"-''"'(r)1- (15Л02>
3=1
Умножая (15.100) на lk (к = 1, 2, 3) и выполняя последующее
интегрирование, получим уравнение моментов первого порядка
з
3=1 4я 4я 4jt
которое можно представить в следующем виде:
3 dilW (г)
2-^р =-«#"<'>' Л-1,2,3. (15.103)
3=1
Аналогично можно записать уравнение моментов w-го порядка
з di'm+n (Г)
2-^7—= -"WW, *-1, 2, 3. (15.104)
з=1 3
При п ->• оо получим бесконечное число уравнений моментов.
Следующий шаг состоит в замене их конечным числом
уравнений. При проведении такого ограничения в общем случае
будет получено п уравнений с п + 1 неизвестными. Чтобы
замкнуть систему уравнений, представим неизвестное угловое
распределение V в виде ряда сферических гармоник и сохраним
в этом ряде конечное число членов. Вся эта процедура становится
достаточно сложной и будет рассмотрена лишь вкратце. В
результате получим дифференциальное приближение в окончательном
виде [уравнение (15.112)], которое представляет для нас
наибольший интерес.

Приближенные решения уравнения переноса излучения 559
Представим V в виде ряда
оо +Z
*'(r,s) = 2 S ЛГ(г)УГ(о), (15.105)
Z=0 m=-Z
где А™ (г) — подлежащие определению коэффициенты, а
УТ (со) = [ *+1'|^]1/2в**Р?(cos (J). (15.106)
Pf (cos Р) — присоединенные сферические гармоники Лежандра
[32], определяемые следующим образом:
» °°
^ (cos p) - —Щ- (sm pj r(Z + 3/2) 2j fc!(Z + 3/2)fe X
fc=0
Xsin[(Z + ro + 2fc+l)P], (15.107)
где Г (£) — гамма-функция, a (a)fe — символ Почхаммера
(a)0 = l, афО,
(a)A = a(a + l)(a+2) ...(a + fc-1).
Выражения (15.106) и (15.107) подставляются в (15.105), и в
первом приближении полученный рад ограничивается условием
Af (г) = 0 при I ^ 2. Это позволяет получить уравнение
относительно i (г, а), которое подставляется в первые три уравнения
моментов
1/(0)(г) = 2я1/2Л||(г), (15.108)
^2)(r) = 4n1/2^°o(r)6Aj., (15.109)
где &kj — символ Кронекера. Эти уравнения существенно
упрощаются путем использования ортогональных соотношений для
сферических гармоник [33]. Кроме того, заметим, что момент V
первого порядка, который описывается уравнением (14.57),
является плотностью потока энергии, или для направления /
i?»(r)= j *'(r,s)J;*o = ?,(r). (15.110)
о)=4л
Исключив A°0 (г) из (15.108) и (15.109), получим
8к,1'<ю(г) = 3«3(г). (15.111)
Подставим в это уравнение (15.102), (15.103) и (15.110), чтобы
исключить i'(0), i'i2) и i'(1) соответственно. Приняв аГ4 = ni'b,
получим дифференциальное приближение первого порядка урав-

560
Глава 15
нения переноса излучения
^(т2^)-4^-3^ = 0' *=1,2,3. (15.112)
Как указывал Ченг [23], выражение (15.111) эквивалентно
допущению, что давление излучения изотропно, а это в свою очередь
эквивалентно допущению о радиационном равновесии в газе.
Описанный вкратце вывод, основанный на использовании
уравнений моментов, можно представить в более строгой
математической форме с помощью метода сферических гармоник, как
это сделано в [24]. Этот метод требует существенно более сложных
алгебраических преобразований, но в результате получаются
те же соотношения, что и в данной работе.
Интересно отметить, что при а^> 1 уравнение (15.112)
преобразуется к (15.37), полученному в приближении диффузии
излучения. При а <^ 1 (15.112) преобразуется к виду
з
2-Ц^4ааГ4 + С, (15.113)
где С — постоянная интегрирования. Как указывал Сесс [25],
соотношение (15.113) справедливо только для оптически тонкого
газа в некоторых частных случаях.
Граничные условия. Рассмотрим серую границу Aj, которая
расположена перпендикулярно xj (фиг. 15.10, б). Плотность
потока излучения, покидающего Aj в направлении
положительных значений xjy равна
до,; = €^ГЖ1-€>)?*..,, (15.114)
где д0 и qt — плотности потоков эффективного и падающего
излучений. Однако qif j равна плотности потока излучения в газе
вблизи стенки, распространяющегося в отрицательном
направлении (фиг. 15.10, б).
Плотность потока результирующего излучения в газе в направлении
положительных значений х равна qj = qjf + — qj, -, поэтому qit j —
= —Qj (xj -> 0) + qj, + (Xj ->■ 0). Заметим что qJt + (xj -> 0) равна
плотности потока эффективного излучения на стенке д0, ,-,
следовательно,
qtj = — Qj(*J-+Q) + Qotj-
Подставляя это соотношение в (15.114), получим граничное
условие
qoj = epT* + (l-ej)[-q3(xj-+0) + q0,,]. (15.115)

Приближенные решения уравнения переноса излучения 561
Плотность потока эффективного излучения можно выразить также
через интенсивность излучения, исходящего из Aj,
?<U
= j Ijijda, (15.116)
где lj — косинус угла между i) и направлением Xj.
Подставляя (15.106) и (15.107) в (15.105) и ограничив ряд,
как это делалось выше, получим общее выражение для
интенсивности излучения. Для определения Af (г) воспользуемся
уравнениями моментов и после ряда довольно сложных
преобразований получим следующее выражение для V (г, s):
I
i' (г, s) = -т— [£'(0) (г) + 3g3 sin 6 sin р -f 3g4 cos р + 3g2 cos 6 sin p].
(15.117)
Рассмотрим частный случай, когда граничная поверхность
перпендикулярна направлению xv Тогда, подставляя (15.117)
в (15.116), получим уравнение
2я я/2
?o.i= J J -^ [^/(0) W + 3g3 sine sin p + 3gi cos р +
e=o p^o
+ 3g2 cos 6 sin $]Xi-+ о cos p sin f$ dp d6,
которое преобразуется к виду
gM=*"0)^-°> + 9<(y0), (15.118)
где qx (хг ->- 0) — плотность потока результирующего излучения
в газе вблизи стенки в направлении хг. Величину i'{0) можно
исключить с помощью (15.102), a i'a) — с помощью (15.110).
В результате получаем
Рассматривая совместно (15.119) и (15.115) при j = 1, чтобы
исключить q01, получим граничное условие в виде
(i-i)^^-°)-is^L0--^-^M^-o)].
3 ' (15.120)
Уравнения (15.112) и (15.120) представляют собой уравнение
переноса излучения и граничное условие, записанные в рамках
дифференциального приближения. Стоун и Гаустэд [26]
приводят уравнение для несерых газов с характерным для астрофизики

Таблица 15.3
Расчетные соотношения для потока результирующего излучения
и распределения температуры в сером газе между серыми поверхностями,
полученные с помощью дифференциального приближения
Геометрическая
конфигурация
Соотношения!
Бесконечные
параллельные пластины
±-Л,,..,,^
Бесконечные
концентрические цилиндры
Концентрические
сферы
ф =
l + #i
(3aZ>/4) + ^ + ^2 + l
1 +Ei
I [—»(*) Ч ЧЭТ* (*♦1) ♦£ (* Ч)
*(т)-пЬг{-т[^ь(-^) +
4 £j
3 a#i
1 +Ei
{[-»о-а>*&('-й)]+<ж'+й+£<—*>
»(т)-Tfe-{-4 [■»•(*-
-*)+-ё!г]+('.Н)^}
1 Обозначения: ,Е^ = (1 - €,^/6^' Ф= Qi/[^iAia (Twl - T*2)L Ф <6)=[Т4 (Б) ■
-Г^2]/(Г^1 - Т*2).

Приближенные решения уравнения переноса излучения 563
граничным условием, когда поток излучения, падающий на одну
границу, равен нулю.
Применение дифференциального приближения. Рассмотрим:
параллельные бесконечные серые пластины (фиг. 15.5),
расположенные на расстоянии D. Степени черноты пластин fwl и бю2г
а температуры Twl и Tw2. Пространство между пластинами
заполнено серым газом. Поскольку плотность потока излучения,
распространяющегося в газе, не зависит от х и у и постоянна вдоль
0 12 3 4 5 6 7
<*(внаружн~ Овнутр)/^
Фиг. 15.11. Сравнение различных решений для случая переноса излучения
между бесконечными концентрическими черными цилиндрами, пространство
между которыми заполнено серым газом.
Решения: точное [34]; приближение диффузии излучения; —•—
дифференциальное приближение. 1|> — безразмерная плотность потока излучения;
a (D
наружи
^внутр^2 "
оптическая толщина.
оси z, из условия сохранения энергии все dqj/dxj равны нулю.
В этом случае уравнение (15.112) преобразуется к виду
_ 4сг дТ*
qz ~ За dz
(15.121)
О после преобразования (15.120)
приграничное условие при z
нимает вид
(i^"T)^==0[n'"_^(z"vO)]'
(15.122)
где индекс g при температуре означает, что она относится к газу.
При z = D
(15.123)
(tz-t)*-0^-74'^0»-
Знак минус здесь появился в связи с тем, что направление
нормали от поверхности к газу соответствует отрицательному
направлению z. Эти же уравнения были получены в разд. 15.4.3 для
случая параллельных пластин в приближении диффузии излучения.
В табл. 15.3 приведены также соотношения для концентрических

564
Глава 15
цилиндров и сфер, полученные в рамках дифференциального
приближения. Сравнение их с соответствующими соотношениями
табл. 15.2, полученными в приближении диффузии излучения
с граничными условиями со скольжением второго порядка,
показывает, что они отличаются лишь постоянными коэффициентами,
которые в большинстве случаев слабо влияют на окончательные
результаты. На фиг. 15.11 результаты расчетов с помощью
рассмотренных двух методов сравниваются с точным решением,
полученным численным методом [34] для случая черных
концентрических цилиндров. В некоторых областях лучшее соответствие
обеспечивается с помощью приближения диффузии излучения,
а в других — с помощью дифференциального приближения.
15.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Настоящая глава содержит краткий обзор наиболее важных
из многочисленных приближенных методов, используемых при
решении уравнения переноса излучения. Приближения
прозрачной, излучающей и холодной сред применимы лишь в некоторых
простых случаях; решение в приближении диффузии излучения
с граничными условиями со скольжением является достаточно
простым и точным в тех случаях, когда удовлетворяются
соответствующие ограничения. Астрофизические приближения для
одномерного слоя представляют интерес главным образом с
исторической точки зрения, хотя в некоторых случаях они еще
используются. Соотношения, полученные на основе дифференциального
приближения, находят все более широкое применение вследствие
их простоты и точности. Часто применяется уравнение для серого
газа с использованием средних коэффициентов поглощения, но
в некоторых случаях это приводит к большим ошибкам.
Литература
1. Дейслер Р. Г., Аппроксимация теплоизлучения в газах с рассеянием со
скачкообразными граничными условиями, Труды амер. о-ва инж.-мех.,
сер. С, Теплопередача, № 2, 131 (1964).
2. Rosseland S., Theoretical Astrophysics; Atomic Theory and the Analysis of
Stellar Atmospheres and Envelopes, Clarendon Press, Oxford, 1936.
3. Howell J. R., Radiative Interactions between Absorbing-Emitting and
Flowing Media with Internal Energy Generation, NASA TN D-3614, 1966.
4. Heaslet M. A., Warming R. F., Radiative Transport and Wall Temperature
Slip in an Absorbing Planar Medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 8, № 7,
979—994 (1965).
5. Howell J. R., On the Radiation Slip between Absorbing-Emitting Regions
with Heat Sources, Int. J. Heat Mass Transfer, 10, № 3, 401—402 (1967).
6. Howell J. R., Perlmutter M., Monte Carlo Solution of Radiant Heat
Transfer in a Nongrey Nonisothermal Gas with Temperature Dependent
Properties, AIChE. /., 10, № 4, 562-567 (1964).'

Приближенные решения уравнения переноса излучения 565
7. Patch R. W., Effective Absorption Coefficients for Radiant Energy
Transport in Nongrey, Nonscattering Gases, /. Quant. Spectry. Radiative
Transfer, 7, № 4, 611—637 (1967).
8. Patch R. W., Approximation for Radiant Energy Transport in Nongray,
Nonscattering Gases, NASA TN D-401, 1967.
9. Sampson D.H., Choice of<an Appropr-iateJMean Absorption Coefficient for Use
in the General Grey Gas Equations, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer,
5, № 1, 211—225 (1965).
10. Абу-Ромиа M. M., Тьен К. Л., Средние коэффициенты поглощения
инфракрасного излучения газов, ^Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, № 4, 46 (1967).
И. Grant I. P., On the Representation of Frequency Dependence in Non-Grey
Radiative Transfer, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, 5, № 1, 227 —
243 (1965).
12. Stewart J. C, Non-Grey Radiative Transfer, /. Quant. Spectry. Radiative
Transfer, 4, № 5, 723—729 (1964).
13. Томас M., Ригдон У. С, Упрощенная постановка задачи лучистого
переноса, Ракетная техника и космонавтика, № 11, 227 (1964).
14. Lick W., Energy Transfer by Radiation and Conduction, Proc. 1963 Heat
Transfer Fluid Mech. Inst. (A. Roshko, B. Sturtevant, D. R. Bartz, eds.),
14-26, 1963.
15. Howe J. Т., Sheaffer Y. S., Spectral Radiative Transfer Approximations for
Multicohiponent Gas Mixtures, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, 7,
№ 4, 695—701 (1967).
16. Kourganoff V., Basic Methods in Transfer Problems; Radiative
Equilibrium and Neutron Diffusion, Dover Publications, Inc., New York, 1963.
17. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛг М., 1953.
18. Schuster A., Radiation through a Foggy Atmosphere, Astrophys. /.,21,
1—22 (1905).
19. Schwarzschild К., Equilibrium of the Sun's Atmosphere, Ges. Wiss. Gottin-
gen, Nachr., Math.-Phys. Klasse, 1, 41—53 (1906).
20. Krook M., On the Solution of Equations of Transfer. I., Astrophys., /.,
122, №3,488-497(1955).
21. Eddington A. S., The Internal Constitution of the Stars, Dover Publications,
Inc., New York, 1959.
22. Milne E. A., Thermodynamics of the Stars, HandbHch der Astrophysik,
vol. 3, 65—255, Springer-Verlag, OHG, Berlin, 1930.
23. Ченг П., Исследование плоского излучающего газа с помощью метода
моментов, Ракетная техника и космонавтика, № 9, 182 (1964).
24. Челг П., Динамика излучающего газа. Течение на волнистой стенке,
Ракетная техника и космонавтика, № 2, 62 (1966).
25. Cess R. D., On the Differential Approximation in Radiative Transfer,
Z. Angew. Math. Phys., 17, 776—781 (1966).
26. Stone P. H., Gaustad J. E., The Application of a Moment Method to the
Solution of Non-gray Radiative-transfer Problems, Astrophys. J., 134,
№ 2, 456-468 (1961).
27. Traugott S. C, A Differential Approximation for Radiative Transfer with
Application to Normal Shock Structure, Proc. 1963 Heat Transfer Fluid
Mech. Inst. (A. Roshko, B. Sturtevant, D. R., Bartz, eds.), 1 — 13, 1963.
28. Adrianov V. N., Polyak G. L., Differential Methods for Studying Radiant
Heat Transfer, Int. J. Heat Mass Transfer, 6, № 5, 355—362 (1963).
29. Traugott S. C, Wang К. C, On Differential Methods for Radiant Heat
Transfer, Int. /., Heat Mass Transfer. 7, № 2, 269—273 (1964).
30. Деннер Э. А., Сибалкин M., Оценка дифференциального приближения
для лучистого переноса при сферической симметрии, Труды амер. о-ва
ипж.-мех., сер. С. Теплопередача, Л1> 1, 66 (1969).
31. Finkleman D., Generalized Differential Approximations in One-dimensional
Radiative Transfer, paper 69-WA/HT-45, ASME, November 1969.

566
Глава 15
32. Abramowitz М. A., Stegun I. A. (eds.): Handbook of Mathematical
Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, Applied Mathematics
Series 55, National Bureau of Standards, 1965.
33. Wylie G. R., Jr.: Advanced Engineering Mathematics, 2d ed., McGraw,
New York, 1960.
34. Перлмуттер M., Хауэлл Дж. P., Метод Монте-Карло в задаче о лучистой
теплоотдаче в сером газе между двумя концентрическими цилиндрами,
Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2/46 (1964).
Задачи
1. Две бесконечные параллельные серые пластины с
температурами Т1 и Т2 и степенями черноты £х и £2 отстоят друг от друга
на расстоянии D. Пространство между ними заполнено серым
газом с постоянным коэффициентом поглощения а. Найти
плотность результирующего потока излучения между
пластинами и распределение температуры в газе с помощью
приближения прозрачной среды.
о(Ц — П) Т*—Т\ 1/£2 —1/2
Ответы: q = т+\/ь_, ffZjf^ 1/€l + l/g2-l •
2. Сфера, заполненная высокотемпературным оптически тонким
серым газом постоянного объема,охлаждается вследствие
радиационных потерь к холодной черной границе (пренебречь
собственным излучением последней). В любой момент времени
весь объем газа можно считать изотермическим и использовать
приближение излучающего газа для расчета радиационных
потерь. Теплопроводностью можно пренебречь. Записать
уравнение энергии для нестационарного процесса и решить его
относительно температуры газа в функции времени (начальная
температура Tt).
3. Сферическая полость диаметром 0,2 м содержит серый газ
с коэффициентом поглощения 10 м-1. Поверхность полости
черная и имеет постоянную температуру 500 К. Полость
заполняется холодным газом. Используя приближение холодной
среды, определить поверхностную плотность потока
излучения, испускаемого из небольшого отверстия.
Ответ: 1070 Вт/м2.
4. Пространство между двумя концентрическими диффузно-серы-
ми цилиндрами заполнено оптически плотной неподвижной

Приближенные решения уравнения переноса излучения 567
средой, имеющей постоянный коэффициент поглощения а.
Определить тепловой поток через зазор от внутреннего
цилиндра к внешнему и радиальное распределение температуры
в среде, используя метод диффузии излучения и граничные
условия со скачком.
Ответ: см. табл. 15.2.
5. Две параллельные серые пластины отстоят друг от друга на
расстоянии 5 см. Их температуры и степени черноты равны
соответственно: 7\ = 700 К, £г = 0,8, Т2 = 500 К, б2 - 0,3.
Найти поверхностную плотность результирующего потока
излучения через зазор в случаях, когда зазор вакуумирован и
когда он заполнен серой средой, имеющей коэффициент
поглощения а = 0,6 см'1. (Использовать приближение
диффузии излучения.)
Ответы: 0,284 Вт/см2; 0,174 Вт/см2.
6. Две серые параллельные пластины с температурами Тг и Т2
и степенями черноты ^ и f2 разделены оптически толстой
серой средой, в которой равномерно распределены объемные
источники энергии мощностью G. Найти распределение
температуры в зазоре, используя приближение диффузии
излучения и граничные условия со скачком.
7. Две бесконечные параллельные пластины отстоят друг от
друга на расстоянии D. Обе пластины имеют температуру Т0
и степень черноты £. Через зазор между ними и параллельно
им течет серый газ с постоянной скоростью U. Росселандов
средний коэффициент поглощения газа равен aR. Плотность
газа р, теплоемкость Ср. Поверхностная плотность
подводимого теплового потока к обеим пластинам qw.
Пренебрегая теплопроводностью газа, получить выражение
для распределения температуры в газе с помощью приближения
диффузии излучения. (Указание: см. работу [1].)
8. Большая пластина из полупрозрачного стекла лежит на листе
полированного алюминия. Последний имеет температуру 444 К
и степень черноты 0,03. Толщина стекла 10 см, а средний
коэффициент поглощения aR = 4 см-1. По наружной поверхности
стекла течет жидкость, поддерживающая температуру этой
поверхности равной 222 К.Какова плотность теплового потока через
стеклянную пластину? Каково распределение температуры
в стеклянной пластине? Пренебречь теплопроводностью стекла
и для простоты предположить, что показатель преломления
стекла равен единице.

16
ВВЕДЕНИЕ
В МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ГАЗОВ
И ИХ СВОЙСТВ
16.1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих главах перенос тепла излучением через
поглощающую, излучающую и рассеивающую среды рассматривался
главным образом с макроскопической точки зрения. Атомные
и молекулярные процессы, определяющие макроскопические
эффекты, были кратко освещены в гл. 13. Поскольку физические
явления можно понять, изучая их на уровне атомных и
молекулярных представлений, то большая часть макроскопических
эффектов может быть получена или по крайней мере объяснена
исходя из фундаментальных представлений. В этой главе введены
понятия о некоторых атомных и молекулярных процессах и дано
их качественное описание, чтобы связать эти процессы с
макроскопическим подходом. Методы количественного анализа
рассматриваются вкратце, поскольку предполагается, что после,
освоения основного материала этой главы читатель обратится за более
подробной информацией к специальной литературе.
В аналитические соотношения вместо длины волны А, или
частоты v часто входит угловая частота Q = 2nv = 2ncfk (рад/с).
Это объясняется тем, что Q является наиболее простой
циклической величиной, используемой в литературе, связанной по
тематике с данной главой, поэтому для читателя полезно освоиться
с этой величиной. При использовании Й некоторые уравнения
имеют более простой вид благодаря тому, что множитель 2п
исключается. В нескольких случаях применяется волновое число г] =
= 1 Д. поскольку некоторые соотношения в других работах
содержат эту переменную величину.
16.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь;
А — эффективная ширина линии или полосы;
Atj — коэффициент Эйнштейна спонтанного излучения;
а — коэффициент поглощения;

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 569
Ви — коэффициент Эйнштейна поглощения или
индуцированного излучения;
Ь — параметр формы линии;
с — скорость света в среде;
с0 — скорость света в вакууме;
D — диаметр сталкивающихся частиц;
Е — энергия;
е — заряд электрона;
/ — сила осциллятора, уравнение (16.49);
h — постоянная Планка;
й/2я — модифицированная постоянная Планка;
i — интенсивность излучения;
к — постоянная Больцмана;
I — константа разделения переменных в решении
относительно г|э;
М — масса молекулы или ядра;
те — масса электрона;
rrii — константа разделения переменных в решении
относительно г|э;
тр — масса частицы;
п — числовая плотность, число частиц на единицу объема;
константа разделения переменных в решении
относительно \|э; целое число;
Р — полное давление;
р — парциальное давление; количество движения фотона;
Q — поток энергии;
Re — равновесное расстояние между атомами;
Ry — постоянная Ридберга;
г — радиальная координата;
ге — радиус орбиты электрона;
г0 — классический радиус электрона;
S — координата вдоль пути луча;
Stj — интегральный коэффициент поглощения в линии;
Т — абсолютная температура;
Т0 — характерная температура (100 К) в табл. 16.3;
t — время;
V — потенциальная энергия; объем;
v — скорость;
= pS — массовая оптическая длина пути луча;

570
Глава 16
х, у, z — координаты в декартовой системе координат;
р — параметр уширения за счет давления, табл. 16.2;
А — «полная» полуширина спектральной линии;
б — среднее расстояние между линиями в полосе
поглощения;
6 — степень черноты; константа разделения переменных
в уравнениях (16.15), (16.16);
т] — волновое число;
X — длина волны;
\i — приведенная масса;
v — частота;
р — плотность газа;
т — зависящая от времени составляющая функции W;
W — зависящая от времени волновая функция;
г|э — независящая от времени волновая- функция;
Q — угловая частота;
со — телесный угол.
Подстрочные индексы
а — поглощение;
Ъ — черное тело;
с — уширение за счет столкновений;
D — допплеровское уширение;
е — электрон, равновесное состояние, собственное
излучение;
i, j — энергетический уровень i или /;
I — номер полосы;
N2 — азот;
п — разрешенные орбиты частицы; естественное уширение;
р — проекция величины; фотон;
v — величины, зависящие от частоты;
Q — величины, зависящие от угловой частоты.
Надстрочные индексы
— величины, зависящие от направления;
+ —истинные величины без учета индуцированного излучения;
* — сопряженные комплексные величины.

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 571
16.3. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
16.3.1. Модель атома водорода по Бору
Классическая физика не в состоянии объяснить
линейчатый спектр излучения газов. Бор в 1913 г. создал
теорию атома, радикально отличавшуюся от классических
представлений. В наиболее простой форме модель атома Бора
построена для атома водорода и базируется на трех основных
постулатах.
1. Электрон движется по круговой орбите, не рассеивая
энергию; орбита определяется из условия равновесия динамических
и электростатических сил, действующих на электрон.
2. Существуют только стационарные орбиты, на которых
угловое количество движения электрона квантуется, т. е. принимает
только дискретные значения.
3. Разность величин энергии электронов, находящихся на
различных стационарных орбитах, равна энергии фотона,
необходимой для изменения орбиты.
Чтобы записать эти постулаты в математической форме,
рассмотрим электрон с массой те и отрицательным зарядом е,
движущийся по круговой орбите радиусом ге вокруг неподвижного
ядра водорода. Кулоновская сила притяжения электрона к ядру
равнав2/4я7о^11)» а противоположная по направлению центробежная
сила равна mereQl, где Q€ — угловая частота электрона при
движении по орбите. Условие равновесия этих сил имеет следующий
вид:
4^!=m^- (16Л)
Энергия электрона суммируется из потенциальной [см. уравнение
(16.19)] и кинетической энергий:
Е= -г-е—+^ф±. (16.2)
С учетом (16.1) последнее соотношение может быть записано
в виде
*=-4*. <16-3>
т. е. энергия электрона имеет нулевой исходный уровень, когда
значение ге становится бесконечным.
Поскольку электрон движется с ускорением, то из
классической электродинамики следует, что он должен излучать энергию
*) При переводе разд. 16.3.1 и 16.3.2 физическая система единиц (СГС)
заменена принятой системой единиц СИ, в которой закон Кулона для
электрона имеет вид е2/Аяу0 г| вместо*?2iff, где у0 — электрическая постоянная.
Вследствие этого в ряде формул появляются дополнительные
множители. — Прим. ред.

572
Глава 16
и, следовательно, замедляться и приближаться по спирали к ядру.
Однако, чтобы связать излучение с наличием спектральных линий,
Бор принял, что потери энергии на излучение должны
происходить порциями, в результате чего энергия, определяемая
уравнением (16.3), может быть представлена серией дискретных уровней.
Постулируется, что разрешенные состояния должны быть такими,
для которых угловое количество движения электрона
пропорционально постоянной Планка, т. е.
тег1,п&е,п = пН, л=1, 2, 3, ..., i, /, ... . (16.4)
Уравнение (16.1), записанное для п-Ш орбиты, можно объединить
с (16.4), чтобы исключить Qe,n-
При этом получаются разрешенные радиусы электронных орбит
Подставляя (16.5) в (16.3), определим дискретные энергетические
состояния в виде
Рассмотрим теперь переход из одного энергетического состояния
в другое. Разность значений энергии между /-м и i-м состояниями,
согласно (16.6), равна
Энергия фотона, необходимая для осуществления перехода
электрона между двумя стационарными орбитами i и /, равна /гйг-у,
где Qtj — угловая частота фотона. Следовательно, (16.7) можно
записать в виде
Е,- U=AQiy = Ry(-l—1), (16.8)
где постоянная Ридберга х)
КУ = -зЙ^ = 21'797-1Сг19 Д» (16-9)
и имеет размерность энергии. Если совершается переход из самого
наинизшего энергетического состояния (основное состояние i = 1)
в наивысшее (/ = оо), то
£oo-£i = Ry. (16.10)
Левая часть (16.10) определяет энергию, необходимую для
удаления электрона из атома, а величина Ry должна рассматриваться
как энергия ионизации для атома водорода. Уравнение (16.8)
*) Существует также другое определение этой постоянной:
Ry = е*те1№п*у1с^ = 1,097-107 м-1.

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 573
используется для точного расчета частот серии спектральных
линий атомарного водорода. Серии, соответствующие i = 1, 2, 3
и 4, названы в честь их открывателей следующими именами:
серия Лаймана, £ = 1, 7 = 2, 3, 4 . . .; серия Бальмера, i = 2,
/ = 3, 4, 5 . . .; серия Пашена, i = 3, ]' = 4, 5, 6 . . ., и серия
Брэкета, t = 4, j' = 5, 6, 7 . . . . Расчеты частот линий спектра
других атомов не точны и во многих случаях не приносят успеха.
Для атомов с одним электроном во внешней оболочке теория
может быть скорректирована таким образом, чтобы давать
удовлетворительные результаты.
16.3.2. Волновое уравнение Шредингера
Поскольку в теории Бора перемешаны классические и
квантовые представления и предсказываемые ею величины не
соответствуют действительности, необходимо иметь более совершенное
представление. Такое представление получено на основе
современной квантовой теории. Однако более точные предсказания
достигаются ценой потери ясности физической картины, созданной
с помощью модели атома Бора.
В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул предположение о том, что
веществу присущи волновые свойства подобно тому, как фотону
присуща масса. Количество движение фотона определяется
выражением
*=-т-=т- (16Л1)
Тогда по аналогии для частицы с массой тр и скоростью и можно
найти соответствующую ей длину волны, приняв три = h/X:
*, = —. (16.12)
Соображение о том, что частица вещества может иметь
соответствующую длину волны, кажется неоправданным; однако
существует экспериментальное подтверждение этого факта в виде
дифракционной картины, образующейся при рассеянии
электронов на кристаллах.
Конечно, если вещество обладает волновыми свойствами, то
с помощью некоторых типов уравнений можно предсказать
характеристики волнового поля. Интенсивность волнового поля
определяет плотность частиц вещества подобно тому, как интенсивность
электромагнитного поля определяет плотность фотонов. Там, где
волны активно взаимодействуют друг с другом, следует ожидать
присутствия частицы, причем это взаимодействие происходит
в относительно небольшом объеме пространства. Уравнение,
которое описывает особенности волнового поля, было получено Щре-

574
Глава J6
дингером в 1926 г. и известно как волновое уравнение Шредингера-
С учетом зависимости от времени это уравнение имеет вид
^V^ + y^^L-f, (16.13)
где V — зависящая от времени потенциальная энергия частицы
в координатах V2, a i = V~ 1- Уравнение (16.13) нельзя
получить на основе физической модели, подобно классическому
волновому уравнению (гл. 4). Такой вид уравнения оправдан
тем, что оно предсказывает наблюдаемые факты. Мы
вынуждены создавать физические модели, когда они необходимы, исходя
из математического уравнения, и когда не можем воспользоваться
обычным методом вывода уравнения по физической модели.
Шредингер Показал, что волновая функция W удовлетворяет
обычным граничным условиям, которые имеют физический смысл:
она однозначна, ограничена, непрерывна, уменьшается до нуля
на бесконечности. С учетом всех этих ограничений решение
уравнения (16.13) является решением о собственных значениях
собственных функций. Вопрос о квантовании решается
математическим путем, а именно квантование не вводится как
предположение, а является следствием граничных условий,
накладываемых на уравнение Шредингера.
Хотя функция W не имеет определенного физического смысла,
она до некоторой степени соответствует амплитуде в
классическом волновом уравнении. Так как интенсивность волнового поля
определяет плотность частиц, то целесообразнее рассматривать
W как плотность вероятности. Поскольку W в общем случае
является комплексной функцией, то в качестве меры плотности
вероятности удобнее иметь дело с действительной величиной
цг\р* = | "ЧР" |2, где 4я* — величина, комплексно сопряженная W.
Следовательно, квадрат величины волновой функции | 4я |2
соответствует плотности вероятности в некоторый момент
пребывания частицы вещества в данной точке. Это соответствие
аналогично связи между интенсивностью излучения [и, следовательно,
плотностью фотонов, определяемой уравнением (14.55)] и
квадратом амплитуды интенсивности электрического поля, определяемой
соотношением (4.26).
Чтобы удовлетворялись граничные условия, можно получить
решение уравнения Шредингера, учитывающего зависимость от
времени, путем разделения переменных, если потенциальная
энергия V не зависит от времени. После разделения переменных
получим
4(x,y,z,t) = ^(x,y,z)x(t). (16.14)
Подставляя (16.4) в (16.13), получим два уравнения
v2^+^(e-m=o (i6.i5)

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 575
£+ih=0' (16.16)
где £ — константа, появляющаяся при разделении переменных.
Решение уравнения (16.16) имеет вид (с точностью до
произвольного постоянного сомножителя)
т = ехр( —1-| *)=cos (-I*) — * sin (-f *)• (16.17)
Подставляя последнее соотношение в (16.14), получим
4^(*,*/,z)exp (-*§*) (16.18)
(заметим, что i в (16.17) и (16.18) является мнимой единицей, а не
энергетическим состоянием). Чтобы полностью определить
волновую функцию W, нужно найти функцию г|), т. е. независящую от
времени часть решения уравнения Шредингера (16. 15).
Рассмотрим волновое уравнение специально для определения
энергии электрона в атоме водорода. Потенциальная энергия
электрона (относительно нулевого значения потенциальной
энергии при г -> оо) равна
оо оо
где F — кулоновская сила взаимодействия между электроном
и ядром. Подставляя это выражение для V в уравнение (16.15),
получим (для простоты индекс при ге опущен)
V2^ + t(e+4^> = 0' (16-2°)
где масса частицы заменена величиной \х — приведенной массой
системы ядро — электрон
_ Мте
^~ М + те '
М — масса ядра. Величина \i вводится для учета динамики системы
ядро—электрон при движении ядра вокруг центра масс; этот
эффект в уравнении (16.1) во внимание не принимался.
В сферических координатах уравнение (16.20) имеет вид
Г* дг У 0Г )^ r2sine QQ \b™ ° dQ )-Г

576
Глава 16
Можно использовать разделение переменных, чтобы получить
величину я|) в зависимости от г, 0 и ф, где 9 — лолярный угол,
•ф = Д(г)в(в)Ф(ф). (16.22)
\ем три независимых уравне-
тги (16.23)
Подставляя (16.22) в (16.21), получаем три независимых уравне*
ния
— 1 й2Ф
Ф йф2
1 d /„2 dR\.2[i
R
^1(81п0ж)=^г+1)-1ет. (16-25)
в sin
где mi и I — константы, появляющиеся при разделении
переменных, которые определяются следующим образом:
т/==0,±1±2, . . . ,±Z; 1 =0,1,2, . . . , п—1; лг = 1,2, . . . , оо.
Решение уравнения (16.23) используют в следующем виде:
Ф-Лехр(шг,ср). (16.26)
Уравнение (16,24) решается относительно R в полиномах Лагерра,
которые содержат произвольную константу п, а уравнение (16.25)
решается относительно в в полиномах Лежандра. Следовательно,
решение относительно г|э зависит от трех констант п, I и ти
каждая из которых принимает дискретные значения. Эти константы
называются квантовыми числами', они определяют возможные
дискретные формы функции г|э. Константа п называется главным
квантовым числом, I — азимутальным, или орбитальным моментно-
угловым, квантовым числом, а тг — магнитным квантовым
числом.
Если известны радиусы, для которых волновая функция имеет
наибольшее ожидаемое значение, то они должны соответствовать
орбитам с наибольшей вероятностью заселения их электронами.
Эти радиусы определяются с помощью обычных приемов
пространственного осреднения
По всему «
Гп = пространству Г у^*^ (16.27)
J ^n,Y7l П() всему
По всему пространству
пространству
где знаменатель принят равным единице, так как величина г|з
нормирована как функция плотности вероятности. По
завершении интегрирования радиусы, соответствующие различным целым
значениям п, будут в точности равны предсказываемым теорией

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 577
Бора [уравнение (16.5)]. Отметим еще раз, что дискретные
значения г вводятся в уравнение Шредингера математическим путем,
а не в виде предположения, как в теории Бора.
Каждое линейно независимое решение относительно функции
г|э определяет квантовое состояние электрона. Установлено, что
энергия электрона в атоме водорода не зависит от квантовых
чисел / и тг. Следовательно, имеется большое число квантовых
состояний, соответствующих различным I и m*i, которые имеют
одинаковую энергию. Такие состояния называются
вырожденными. Суммируя состояния, соответствующие данной величине
энергии, можно найти, что существует 2п2 вырожденных состояний,
соответствующих уровню энергии Еп. (В действительности из
приведенных здесь рассуждений следует п2 вырожденных
состояний; при учете электронного спина появляется множитель 2.)
В статистической механике предполагается, что каждое
квантовое состояние в атоме равновероятно. Поскольку данному
уровню энергии Еп соответствует 2п2 квантовых состояний, то число
2п2 называется статистическим весом или мулътиплетностъю
уровней энергии Еп в атоме водорода. Другие атомы имеют
другие статистические веса. Зная статистический вес, можно
определить общее число переходов, происходящих между двумя
энергетическими уровнями в единицу времени, в виде произведения
средней скорости переходов для всех состояний на этом* уровне
на статистический вес. Подробное рассмотрение каждого
вырожденного состояния нецелесообразно.
16.4. ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
И ПЛАНКОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Понятие индуцированного излучения было введено
в разд. 13.5.5. Было отмечено, что измерение ослабления луча,
прошедшего через среду, не дает ясной информации относительно
индуцированного излучения. Это объясняется тем, что физически
индуцированное излучение объединяется с истинным
поглощением, вследствие чего возникает эффективное поглощение, которое
меньше истинного поглощения. По измерению ослабления
излучения истинное поглощение и индуцированное излучение не могут
быть разделены. Однако Эйнштейн [1, 2] показал, что
индуцированное излучение должно существовать. Приведем теперь
относительно простые рассуждения Эйнштейна, в которых используется
индуцированное излучение при выводе соотношения Планка для
спектрального распределения излучения, испускаемого черным
телом. Хотя статистическая механика здесь не рассматривается, без
учета индуцированного излучения обычные законы
статистической механики также нарушаются.

578
Глава 16
Рассмотрим связанно-связанные переходы в поглощающей
среде, подвергаемой воздействию падающего излучения со
спектральной интенсивностью i&. Для простоты считаем, что среда
состоит из атомов, не взаимодействующих между собой. Примем
также, что среда заключена внутри черной оболочки с
постоянной температурой — это условие равновесного излучения
(разд. 2.3.2). Атом в среде может поглотить энергию падающего
излучения и вследствие этого совершить переход из
энергетического состояния i в состояние /. Следовательно, состояние j будет
располагать большей энергией, чем состояние i, или, другими
словами, состояние j является «возбужденным» по отношению
к i. Число переходов в единицу времени от i к / зависит от
интенсивности падающего излучения и заселенности состояния i. Пусть nt—
число атомов в единице объема в состоянии i. Введем теперь
коэффициент Эйнштейна В tj, который определяется как вероятность
перехода в единицу времени в единице объема из состояния i в состояние
7 в результате воздействия падающего потока излучения в
единице телесного угла и является лишь функцией рассматриваемой
совокупности атомов1). Таким образом, с учетом потока
излучения, падающего со всех направлений, число переходов в
единицу времени будет равно
(Чг)г-»ГВ1]Щ j 'Ь&)- (1б'28)
оз=4я
Так как коэффициенты Эйнштейна зависят только от состояний
i и 7 определенной совокупности атомов, они выносятся из-под
знака интеграла по телесному углу,.
Число переходов из возбужденного состояния / к
начальному состоянию i зависит от двух факторов. Этими факторами
являются спонтанное излучение, зависящее от заселенности rij
в возбужденном состоянии, и индуцированное излучение,
зависящее от заселенности nj и интенсивности поля излучения. Итак,
введем Ajt как вероятность переходов путем спонтанного
излучения в единице телесного угла и будем считать Bjt вероятностью
переходов при индуцированном излучении. Тогда число
переходов от состояния / к состоянию i будет равно
{^г)^ = ^пзАп + п^п j i'Qda>. (16.29)
(0=4jl
Так как для совокупности случайно ориентированных
излучающих атомов, находящихся в состоянии равновесия, спонтанное
х) В других работах в определение включаются или исключаются
различные множители (2 ил). Иногда число переходов записывается
пропорционально объемной плотности спектральной энергии {lie) \ *д rfco,
а не интенсивности излучения. (о=4я

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 579
излучение в среднем изотропно, то 4tTcAjt является вероятностью
перехода от состояния / к состоянию i путем спонтанного
излучения энергии по всем направлениям.
Для совокупности атомов, находящихся в состоянии
равновесия, справедлив принцип детального равновесия [3]. Этот
принцип состоит в том, что в равновесном состоянии скорости прямого
и обратного переходов между любыми двумя состояниями должны
быть равны, если учтены все процессы перехода. Следовательно,
величины dnldt из уравнений (16.28) и (16.29) равны, т. е.
BijUi I i'ab dio = Anrij-Aji -f rijBji \ iQbdco, (16.30)
(0=4ji (0=4я
причем в условиях равновесия в предполагаемой изотермической
абсолютно черной оболочке интенсивность излучения равна
интенсивности излучения абсолютно черного тела 1$ь. При
равновесном излучении черного тела интенсивность падающего потока
также изотропна, поэтому
I ifQb dco = 4niQb-
(0=4я
Решая уравнение (16.30) относительно &дь, получим
&=,»/„ Л* в ' <16-31>
(ni/rij) Btj — Bji
В условиях теплового равновесия заселенности энергетических
уровней связаны между собой в соответствии с распределением
Больцмана [3]. Если Et и Ej — энергетические состояния, тог
согласно распределению Больцмана,
£-«рН^]. (16-32>
где к — постоянная/Больцмана. С учетом сказанного в разд. 13.3
и уравнения (16.8) разность энергий Ej — Et равна энергии
фотона, которая либо поглощается, либо излучается и в
соответствии с этим происходит переход от Et к Ej или обратно. Тогда
с учетом угловой частоты получим
Ej-Ei^hQij, (16.33)
а уравнение (16.32) будет иметь вид
H± = emiJlhT. (16.34)
Tlj
Если (16.34) применяется к совокупности атомов, то для учета
всех вырожденных состояний на каждом энергетическом уровне
нужно также использовать величину статистического веса,
рассмотренного в конце разд. 16.3.2.

580
Глава 16
Если (16.34) подставить в (16.31), то получим
А--
lQ>b= fiQ ,/ьт ' (16.35)
Спектральная интенсивность излучения черного тела по Планку
определяется соотношением (2Л16) в виде
_ evb 2С<&
Л c4{eC2v/c0T_i)
С учетом Сх = 1пс\, С2 = hcjk, h = 2яЯ и v = Q^/2jt
1'ы> = MTThf • (16.36)
2пЧ1{еШ ^ -1)
Уравнение (16.35) имеет тот же самый вид, что и (16.36), поэтому,
приравнивая величины 1&ъ, получим соотношение между
коэффициентами Эйнштейна
Bij^Bjt, (16.37)
(Отметим, что вырожденные состояния в этих соотношениях не
учитывались.)
Хотя ко времени вывода этих соотношений индуцированное
излучение не было обнаружено экспериментальным путем, про-^
веденный анализ, включающий уравнения (16.28)—(16.38),
убедительно показывает, что оно существует. Если отбросить член,
учитывающий индуцированное излучение в уравнении (16.29),
а затем провести анализ в том же порядке, то, согласно выводу
Эйнштейна, окончательное уравнение будет иметь вид
*Ьь=—4Ьг • (16-39)
Вц е lJ
Чтобы уравнение (16.39) согласовывалось с распределением
Планка, отношение коэффициентов Эйнштейна с учетом (16.36)
и (16.34) должно быть равно
Ajt niiij e и _ n^ij nt
BU Жс1 ,юи/ьт_и 2я*с* тц-nj
или
Согласно этому соотношению, Ауг зависит от заселенностей nt и
rtj в состояниях i и j. Поскольку вероятности переходов Ajt и

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 581
Btj для определенной совокупности атомов зависят только от
состояний i и ]\ а не от заселенности этих состояний, уравнение
(16.40) не может быть справедливым.
Предположим, что соответствующим образом определенные
коэффициенты Эйнштейна [уравнения (16.37) и (16.38)]
подставлены в уравнение (16.39), в котором отброшен член, учитывающий
индуцированное излучение. Покажем, какое отклонение от план-
ковского распределения можно ожидать вследствие
пренебрежения индуцированным излучением. После подстановки получим
Но ведь это [см. уравнение (2.13)] — распределение Вина!
Сопоставляя спектральные распределения по Планку и Вину (фиг. 2.7),
можно судить о влиянии индуцированного излучения на
спектральное распределение энергии. Вследствие пренебрежения
индуцированным излучением кривая, соответствующая
распределению Вина, расположена несколько ниже кривой,
соответствующей планковскому распределению. Видно, что пренебрежение
индуцированным излучением (приводит к небольшим
погрешностям в большинстве практических случаев.
Отметим, что этот и, конечно, любой другой вывод планков-
ского распределения интенсивности излучения черного тела
зависят от предположения о термодинамическом равновесии. Можно
видеть также, что планковское распределение не согласуется
с ранее высказанными аргументами, если не постулировать
существование индуцированного излучения.
16.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
Уравнение переноса было выведено в разд. 14.3. Теперь
рассмотрим его с микроскопической точки зрения с использованием
понятий предыдущего раздела. Пучок лучей с интенсивностью
Vq проходит через газ вдоль пути S. Пусть атомы (или молекулы)
газа находятся в одном из двух энергетических состояний^ или /,
причем / — возбужденное состояние относительно i, так что
Ej > Et. Объемные концентрации атомов в этих состояниях равны
nt и rij соответственно. На отрезке пути dS изменение
интенсивности определяется потерями или приращениями энергии на
этом отрезке. Если пренебречь рассеянием, то потери или
приращения обусловлены спонтанным излучением, поглощением и
индуцированным излучением. Применяя фотонную модель,
рассмотренную в разд. 14.7, и принимая во внимание только переходы
между двумя уровнями энергии, получим приращение интенсив-

582
Глава 16
ности пучка вследствие спонтанного излучения
(&'& \ __ Число переходов в единицу времени Число частиц
dS /спонтанное Число частиц х Телесный угол Объем
излучение
Аналогичные соотношения выводятся для индуцированного излу
чения и поглощения. Уравнение переноса будет иметь следующий
вид:
~ - AjiUjfiQij + BjiiQnjhQij — ВиГатН&и. (16.43)
Его можно преобразовать к виду
^ = Вип,т„[^Л(^г-^}. (.6.44)
Хотя излучение рассматриваемой системы не является
равновесным, все же можно использовать полученные выше коэффициенты
Эйнштейна, так как они зависят только от энергетических
состояний и от рассматриваемой совокупности атомов. Из уравнения
(16.35) [с учетом, что Btj = Вп на основании (16.37)] получим
Подставляя это выражение, а также (16.34) и (16.37) в (16.44),
получим соотношение
-£f = BijUihliij [iQb (е ljl —1)е и' -f (е и' — 1) iQ],
которое можно упростить:
-^ = ВиЩти(1-е-ши/кТ) (ia-to). (16.45)
Имея в виду, что hQ/кТ = Hcq/JcXT, замечаем, что множитель
перед Vq в правой части (16.45) аналогичен коэффициенту
поглощения в уравнении (13.25). Следовательно, истинный
коэффициент поглощения равен
аЪ = Вьп№и, (16.46)
а коэффициент поглощения, включающий индуцированное
излучение, будет следующим:
<*q = afi (1 - e-mUlhT) = ВищЛаи (1 - е-ши,кТ). (16.47)
Уравнение переноса (16.45) записывается следующим образом:
1 di'o

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 583
В этом виде оно соответствует уравнению (14.4), полученному при
макроскопическом рассмотрении.
Таким образом, уравнение переноса и распределение Планка
выведены путем рассмотрения микроскопических процессов. Как
следует из (16.46), истинный коэффициент поглощения а&
непосредственно связан с коэффициентом Эйнштейна. Вместо
коэффициента Эйнштейна обычно применяют частоту перехода между
энергетическими состояниями в виде параметра, именуемого силой
осциллятора или /-числом, который связан с Btj соотношением
fit = 4"Vo*y°*j Bih (16.49)
где те ж е — соответственно масса и заряд электрона. Подставляя
(16.49) в (16.46), получим а® в зависимости от силы осциллятора
а® = ы™1ес0 f»nt = roWun», (16.50)
где,г0 — радиус электрона по классической теории (табл. А.6).
Из (16.50) видно, что истинный коэффициент поглощения прямо
пропорционален двум величинам, а именно заселенности
начальных состояний поглощающих компонентов nt и числу ftj,
которое вследствие его связи с Btj определяет вероятность переходов
в единицу времени из состояния i в состояние /. Расчет
заселенности пи по крайней мере в случае локального
термодинамического равновесия, является задачей статистической механики.
Число / для многих электронных переходов можно рассчитать
с помощью квантовой механики и, следовательно, найти а& на
основе микроскопического подхода.
При определении спектрального коэффициента поглощения
методами статистической и квантовой механики необходимо знать
переходные процессы, которые могут иметь место. В атомах и
молекулах сложной структуры возможно такое большое число
переходов, что либо ограничиваются расчетом лишь наиболее
важных переходов, либо пытаются применять статистическую или
упрощенную модель. Спектральные коэффициенты поглощения
для различных типов переходов рассматриваются в следующем
разделе.
16.6. ПОГЛОЩАТЕЛЬНЫЕ СПОСОБНОСТИ ГАЗОВ
Газ способен поглощать энергию посредством различных
микроскопических процессов. Каждый из них предполагает
добавление энергии поглощаемого фотона к внутренней энергии атома
или молекулы газа. Предварительное рассмотрение типов
процессов поглощения содержится в разд. 13.3.

584
Глава 16
16.6.1. Уширение спектральной линии
Если газ не диссоциирован и не ионизован, то внутренняя
энергия газа (без учета энергии поступательного движения)
представлена дискретными вибрационным, вращательным и
электронным энергетическими состояниями атомов или молекул.
Поглощение фотона может вызвать переход из некоторого
энергетического состояния атома или молекулы в состояние с большей
энергией. Поскольку в этих переходах участвуют только дискретные
энергетические состояния, то могут быть поглощены фотоны лишь
с определенным количеством энергии. Если энергии верхнего
и нижнего дискретных состояний равны соответственно Ej и
Et, то переход могут вызвать лишь фотоны с энергией Ер = Ej —
— Et. Как показано в разд. 13.3 и 16.3.1, энергия фотона связана
с его частотой соотношением
Ep^EJ-Ei^hviJ = miJ. (16.51)
Следовательно, дискретные переходы приводят к поглощению
фотонов строго определенной частоты, вызывая появление темных
линий в спектре пропускания. Поэтому такой процесс называется
поглощением в линиях. Поскольку начальное и конечное
состояния атома или молекулы являются дискретными связанными
состояниями, то такие изменения энергии между состояниями
называются связанно-связанными переходами. Для некоторых атомов
и молекул имеются табличные значения числа этих переходов
[4, 5]. Выражения для числа переходов часто получаются
с помощью полуклассических приемов, согласно которым
соотношения для излучающего атома умножаются на поправочный
коэффициент, называемый множителем Гаунта, который
учитывает поправки на квантово-механические эффекты.
• Из уравнения (16.51) следует, что из всего спектра падающего
излучения в некоторой линии может быть поглощена очень малая
часть энергии, поскольку поглощаются лишь фотоны, имеющие
единственную частоту. Однако другие эффекты приводят к уши-
рению линий, которые вследствие этого имеют конечный
частотный интервал с центром в частоте перехода Qi;-, определяемой
уравнением (16.51). Величина этого интервала и изменение погло-
щательной способности в его пределах зависят от физического
процесса, вызывающего уширение спектральной линии.
Некоторые из важных механизмов уширения называются естественным
уширением, допплеровским уширением, штарковским уширением
и уширением за счет столкновений. В большинстве практических
случаев, когда имеют дело с инфракрасным излучением, наиболее
важным является уширение за счет столкновений.
Изменение коэффициента поглощения в зависимости от частоты
в пределах уширенной спектральной линии называется формой

Введение в микроскопические основы теории излучения газов
585
g
сГ
П
ей „ю 1
ч ij^mj'
V^.W
'" - L
\
/°ч \
Фиг. 16.1. Уширенная спектральная линия, соответствующая переходу
между энергетическими уровнями i и у.
а — коэффициент поглощения oq $,-(Q); б — нормированный параметр формы линии
9bum/biJ{QiJ).
(контуром) линии. Она имеет важное значение, ибо связана с
основными зависимостями^ поглощения газа от температуры,
давления и длины пути луча. Форма типичной спектральной линии
приведена на фиг. 16.1,а. График величины aQj ц (Q) соответствует
изменению коэффициента поглощения в пределах линии, уширен-

586
Глава 16
ной относительно частоты Qtj, определяемой (16.51).
Интегральный коэффициент поглощения Stj для одиночной линии
представляет собой интеграл по всей кривой ай? tj (Q)
оо
su=] flo,,i(Q)dfi. (16.52)
о
Величина #q5 tj (Q) в основном близка к нулю, за исключением
частот, близких к Q?J-. Области, удаленные от Q^-, где величина
л&} tj мала, называются «крыльями» линии. Величина Stj зависит
от числа молекул, находящихся на энергетическом уровне i, и,
следовательно, от плотности газа.
Параметр формы линии определяется в виде
bf,(Q)B=*d£Wf (16.53)
так что Stj используется как нормирующий множитель. Если
(16.53) проинтегрировать в пределах 0 ^ Q ^ оо, то, подставив
(16.52), получим, что величина btj (Q) нормирована таким
образом, что
оо
f 6j,(Q)dQ=l. (16.54)
о
Разделив (16.54) на btj (£2^-), можно представить параметр формы
как функцию, изменяющуюся от нуля до единицы (фиг. 16.1, б).
Заметим, что из этих определений следует простое соотношение
Форма спектральных линий зависит от явлений, вызывающих
уширение линий. Однрй из характеристик формы линии является
«полная» полуширина линии, обозначаемая А. Этот параметр
представляет собой ширину линии (в единицах угловой частоты
в данном рассмотрении) на середине максимальной высоты линии
(фиг. 16.1) 1). Он обеспечивает выбор определенной ширины линии,
необходимый для описания ее свойств. Поскольку величина а^ tj
асимптотически стремится к нулю с увеличением разности
| Q — Qtj |, то невозможно определить ширину линии через
частоты, при которых величина aQj tj становится равной нулю.
Рассмотрим теперь четыре механизма уширения, а также
обусловленные ими формы линии.
х) Иногда используют величину, равную А/2, которая будет называться
здесь «половинным» значением полуширины. Поскольку в литературных
источниках может применяться разная терминология, то при
использовании понятия ширины линии следует проявлять известную осторожность.

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 587
Естественное уширение. Рассмотрим полностью стационарный
излучатель, не подверженный влиянию внешних воздействий и
испускающий излучение в ограниченном интервале частот
относительно одной частоты перехода. Естественное уширение линии
обусловлено неопределенностью уровней Et и Ej энергетических
состояний, которая связана с принципом неопределенности Гей-
зенберга. Параметр формы линии при естественном уширении
имеет вид
где Ап — «полная» полуширина линии при этом типе уширения.
Эта форма Ъц называется резонансной, или лоренцевской. В
единицах частоты получается форма линии, симметричная
относительно Qtj, которая зависит от Ап и частоты перехода Qtj.
Соотношение (16.55) удовлетворяет различным ограничениям,
накладываемым на него. Если Q = Qf;-, то максимум btj равен
btj (Qtj) = 2/яДи, так что (1/2) -Ьи (Qtj) -= 1/яДй. Это значение
btj получается, если разность Q — Qtj принять равной Дл/2, что
следует из определения Дп. Интеграл
оо
согласуется с (16.54).
В практических задачах полуширина, обусловленная
естественным уширением, обычно очень мала по сравнению с
соответствующими значениями полуширины, обусловленными другими
механизмами уширения. Поэтому естественным уширением обычно
пренебрегают.
Допплеровское уширение. Атомы или молекулы поглощающего
или излучающего газа не находятся в стационарном состоянии,
а имеют распределение скоростей, связанное с энергией их
теплового движения. Если атом или молекула испускает излучение
с частотой Qtj и в то же время движется со скоростью v в
направлении к наблюдателю, то волна подойдет к наблюдателю с большей
частотой Q, определяемой по формуле
Q = Q«(i|+t)- <16-56)
Если излучатель движется от наблюдателя, то v будет иметь
отрицательное значение и воспринимаемая частота будет меньше
Qij. Примером такого уменьшения частоты является красное
смещение излучения, воспринимаемого от галактик Вселенной. Это
служит доказательством, что галактики движутся от Земли и,
следовательно, Вселенная расширяется.

588
Глава 16
Скорости молекул газа в равновесном состоянии подчиняются
распределению Максвелла — Больцмана. Если наблюдатель
воспринимает излучение, распространяющееся вдоль одной оси
координат, то представляющие интерес скорости направлены вдоль
этой оси либо к наблюдателю, либо от него. Доля молекул,
движущихся в этом направлении в диапазоне скоростей от и до v +
+ dv, равна
где М — масса молекулы излучающего газа и к — постоянная
Больцмана. С помощью (16.56) и (16.57) исключим v и определим
числовое значение доли молекул, излучающих в каждом
элементарном приращении интервала частот вследствие допплеровского
уширения. В результате получим формулу спектральной линии,
соответствующую гауссову распределению, т. е.
6„(Q)= -ll^-exp [_4(Q_Ow)2J^]f (16.58)
где AD — «полная>\ полуширина линии при допплеровском ушире-
нии. Параметр формы Ъц (Q) зависит только от AD и частоты
перехода Qtj, причем
ДС = ^(^1„2)1/2, (16.59)
т. е. AD зависит от Qtj, Т и М. Зависимость AD от Г1/2 показывает,
что допплеровское уширение существенно при высоких
температурах.
Уширение за счет столкновений. С ростом давления газа
увеличивается частота столкновений атомов или молекул.
Столкновения вызывают возмущение энергетических состояний атомов
или молекул, вследствие чего происходит уширение спектральных
линий. Для незаряженных частиц спектральные линии имеют
лоренцевскую форму [4]
ь'ПД)=Аг/4Н^Цц)., (16-60)
т. е. имеют ту же форму, что и при естественном уширении.
«Полная» полуширина Ас определяется частотой столкновений, и ее
приближенное значение можно найти из кинетической теории
газов _
8 У л D*P
Ас = —
(МкТ)
где D — диаметр атомов или молекул и Р — давление одного
компонента газа. Из зависимости (16.61) следует, что уширение
Т7Г' (16-61)

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 589
за счет столкновений становится важным при высоких давлениях
и низких температурах.
Уширение за счет столкновений часто является определяющим
механизмом в практических задачах инфракрасного излучения,
а другими механизмами уширения можно пренебречь. На фиг. 16.2
сравниваются допплеровская и лоренцевская формы линии при
одинаковых значениях их полуширины и площади, ограниченной
0,5
0,4
oh
0,2
0,1
0 12 3 4
(Q - Qj|)/A/2
Фиг. 16.2. Параметр формы линии при допплеровском и лоренцевском уши-
рениях.
Площади, ограниченные каждой кривой и осями координат, одинаковы.
кривыми. По сравнению с допплеровской формой лоренцевская
имеет меньшую высоту в центре линии, но большую высоту вблизи
крыльев линии. Даже если допплеровское уширение является
определяющим вблизи центра линии, уширение за счет
столкновений часто является важным механизмом вдали от центра линии.
Штарковское уширение. Если имеется сильное электрическое
поле, то оно может оказать заметное влияние на энергетические
уровни излучающего газа. В этом состоит эффект Штарка,
который может привести к значительному уширению линий. Такой
эффект часто наблюдается в ионизованных газах, где излучаю-

590
Глава 16
щие частицы взаимодействуют с электронами и фотонами,
вызывая значительное штарковское уширение. Приближенные расчеты
формы линий могут быть выполнены с помощью квантовой
механики; полученные при этом контуры несимметричны и довольно
сложны.
Уширение за счет столкновений и штарковское уширение
часто называют уширением за счет давления. Оба эффекта
зависят от давления компонентов газовой смеси. Если в уширении
линий принимают участие одновременно два или более механизмов,
то расчеты окончательной формы линии становятся
затруднительными. Дополнительную информацию по этим вопросам можно
найти в работах [4, 6—8].
Уширение линий рассматривалось здесь в предположении, что
в состав газа входит лишь один атомарный или молекулярный
компонент. Если газ состоит более чем из одного компонента,
то уширение за счет столкновений в излучающем и поглощающем
газах определяется столкновениями между одинаковыми
молекулами (самоуширение) и между молекулами разных компонентов.
Тогда при расчете контура линий должны учитываться оба
процесса столкновений.
16.6.2. Поглощение или излучение в спектральной линии
Проинтегрировав уравнение (13.37) по всему спектру, можно
найти энергию интегрального излучения, поглощенного
однородным по составу газом вдоль луча S и приходящегося на единицу
телесного угла и единицу площади проекции поверхности на
плоскость, перпендикулярную лучу. Как видно из фиг. 13.10,
это излучение поглощается при прохождении луча с интенсивностью
i'x (0) в пределах телесного угла dec к площадке dAp
d*Q'a
dAp d(x)
= f i6(0) [1 —exp( —ooSjJdQ, (16.62a)
где Vq (0) — спектральная интенсивность в начале луча S.
Аналогичным образом на основании уравнений (13.41) и (13.43) можно
найти энергию излучения, испускаемого однородным газом на
длине пути луча S в направлении к площадке dAp в пределах
телесного угла dec (фиг. 13.10). Эта величина, отнесенная к
единице телесного угла и единице площади, равна
d*Q'e
dApd(D
j fo[l—ехр( —OQS)]dQ.. (16.626)
Интегралы уравнений (16.62) можно вычислить для значений
«й, соответствующих уширенной спектральной линии. Введем

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 591
некоторые упрощения. Рассмотрим спектральную линию с
частотой перехода Qtj. Коэффициент поглощения в линии uq,^ (Q)
будет практически равен нулю везде, за исключением узкого
интервала, включающего частоту Qtj. Следовательно, если
значение S невелико, подынтегральные выражения в (16.62) будут
иметь заметную величину только в пределах этой узкой области
частот и интегрирование следует проводить лишь в этой области.
Величины Vq (0) или 1&ь в ней могут приближенно считаться
постоянными, и так как наибольшее поглощение происходит
при частоте Qtj, то 1& (0) и i&b обычно берут при этой частоте.
Тогда для спектральной линии уравнение (16.62) будет иметь вид
J^ = io (0, QIf j) \ {1 - exp [ - aQ, {j(Q)S]} dQ, (16.63a)
p -
oo
diQ'e = i'Qb (Q,;) \ {1 - exp [ - oa, у (Q) S]} dQ. (16.636)
dAp ddd
0
Следовательно, выражения для энергии испускаемого и
поглощаемого излучений содержат одинаковый интеграл, который
называется эффективной шириной линии Atj
оо
Aij(S)= j {1 —exp[-aQfy(Q)£]}dQ. (16.64)
о
Величина Atj является функцией длины пути 5ив данном случае
выражается в единицах частоты. Если считать, что в пределах
спектральной линии газ поглощает полностью (а&, tj -> сю), а за
ее пределами поглощения не происходит, то из уравнения (16.64)
следует, что величина A tj может быть представлена как ширина
«черной» линии с центром в Qtj, излучение в которой такое же, как
и в реальной линии.
Рассмотрим теперь оценку величины At1 в двух важных
предельных случаях. Сначала рассмотрим случай малого оптического
пути луча [aQ> tj (Q) S <^ 1]. Тогда экспоненциальный член
в уравнении (16.64) может быть приближенно представлен
выражением
1 — ехр [ — aQ, {j (Q) S] « aQi y (Q) S.
При использовании (16.64) величина Atj становится равной
оо
Aij(S) = S^aQ,ij(Q)dQ.
о
С учетом (16.52) получим
AtJ{S) = SSu, (16.65)

592
Глава 16
где Stj — интегральный коэффициент поглощения, не связанный
с величиной длины пути луча S. Следовательно, эффективная
ширина линии линейно зависит от S в предельном случае, когда
dQt и (Q) S <^1, независимо от контура линии. Такая линия
называется слабой.
Рассмотрим теперь случай, когда оптический путь луча
aQi tj (Q) S велик. Этот случай соответствует уширению за счет
столкновений, которое обусловливает лоренцевский контур
линий, описываемый уравнением (16.60); такой тип уширения имеет
наиболее важное практическое значение. Из соотношения (16.53)
получим коэффициент поглощения в линии в зависимости от
частоты Q
а0,у(0) = ад,(0),
где btj (Q) — параметр формы линий. Если использовать
уравнение (16.60), описывающее лоренцевский контур линии, то
а^)=^д*/4+?а-о^- (16'66)
Подставим теперь это соотношение в (16.64), чтобы получить
выражение для Atj спектральной линии
оо
Аи (S) = j { 1 -ехр [ - *jf т+р-ОиГ В ^ (16-67)
о
Для линии, в которой сильное поглощение происходит вблизи
ее центра, «полная» полуширинаДс, обусловленная
столкновениями, мала и ею можно пренебречь по сравнению с величиной
| Q — Qtj | всюду, за исключением небольшой области, в которой
значение Q близко к Qtj. В этой области экспоненциальный член
под знаком интеграла мал и поэтому точность его вычисления не
имеет значения. Вследствие этого для сильной линии уравнение
(16.67) можно представить в следующем приближенном виде:
оо
AU(S)= J {l-exp[-^f 7^F]}^. (16.68)
о
Поскольку рассматривается одиночная линия, то
подынтегральное выражение становится очень малым по мере увеличения
| Q — Qtj |. Лоренцевский контур линии симметричен
относительно Qjy, поэтому интеграл может быть записан в виде
оо
AU(S) = 2 j {l_exp[-4^(o^]}^. (16.69)

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 593
Чтобы вычислить этот интеграл, введем переменную у
_ SjjbcS
Y~~ 2jx(Q—Q^-)2 "
Тогда интеграл (16.69) может быть записан следующим образом:
*и(S) = (^)1/2 f *-«Ц~у) "у- (16-7°)
о У
После интегрирования получим
Au(S) = V2StJAJS. (16.71)
Из уравнения (16.71) следует, что для сильной линии с лоренцев-
ским 'контуром поглощательная способность изменяется как
корень квадратный из пути луча в отличие от поглощательной
способности для слабой линии, которая изменяется линейно в
зависимости от длины пути. Экспериментальные данные
подтверждают эти зависимости.
16.6.3. Непрерывное поглощение
Некоторые процессы энергетических переходов могут привести
к поглощению фотонов с широким диапазоном значений энергий
по сравнению с фотонами с относительно небольшим диапазоном
энергий, соответствующим поглощению в линиях. Процессы
непрерывного поглощения можно разделить на две группы: связанно-
свободные и свободно-свободные. Эти процессы уже были
рассмотрены в разд. 13.3 и вкратце рассматриваются здесь. Непрерывное
поглощение может быть также обусловлено твердыми частицами,
взвешенными в газе (гл. 21).
Связанно-свободные процессы. Рассмотрим случай, когда
молекула поглощает фотон с энергией, достаточной, чтобы вызвать
диссоциацию или ионизацию. Фотон, обладающий любым
значением энергии, большим минимально необходимого для этих
процессов, может быть поглощен с образованием непрерывного
спектра поглощения. При ионизации, вызванной поглощением фотона,
происходит переход электрона от связанного состояния к свободному.
Свободно-свободные процессы. Фотон может быть поглощен
свободным электроном в результате взаимодействия электрона
с электрическим полем вблизи положительно заряженного иона*
Энергия поглощенного фотона добавляется к кинетической
энергии электрона, остающегося в свободном состоянии. Поскольку
начальное и конечное состояния не квантуются, то образуется
спектр непрерывного поглощения.

594
Глава 16
16.6.4. Соотношения для поглощения в полосе
Газы, с которыми обычно имеют дело в практических расчетах
излучения, являются двухатомными или многоатомными и
поэтому обладают колебательными и вращательными
энергетическими состояниями, которые несвойственны одноатомным газам.
При умеренных температурах переходы между колебательными
и вращательными состояниями обычно вносят основной вклад
в коэффициент поглощения в наиболее важных областях спектра
теплового излучения. С увеличением температуры более
заметными становятся процессы диссоциации, ионизации и
электронных переходов; поэтому нужно учитывать также вклад этих
процессов в коэффициент поглощения.
Если коэффициент поглощения газа определяется
экспериментальным путем, то вклады от излучения в линиях и непрерывного
излучения суммируются. При расчете этих коэффициентов
следует анализировать каждый процесс поглощения и затем
вычислить общий коэффициент, суммируя вклады ох различных
процессов. На фиг. 16.3 показаны вклады отдельных переходов в
величину спектрального коэффициента поглощения, рассчитанные для
воздуха при давлении 0,101 МПа (1 атм), в некотором интервале
температур. По оси ординат отложено отношение максимальной
величины вклада данного процесса излучения (независимо от
длины волны) к сумме максимальных величин вкладов всех
процессов при той же температуре. При низких температурах
поглощение обусловлено переходами между молекулярными
состояниями кислорода. С увеличением температуры образуются
молекулы N0, в которых происходят дополнительные
связанно-связанные переходы. При высоких температурах основное значение
имеют процессы непрерывного поглощения, рассмотренные
в разд. 16.6.3 и 13.3, а именно связанно-свободные
(фотодиссоциация) и свободно-свободные переходы.
Колебательно-вращательные полосы являются наиболее
важными участками спектра для практических расчетов излучения.
Рассмотрим более подробно структуру этих полос и выявим
трудности расчета коэффициентов поглощения с использованием
основных принципов. Затем будут описаны некоторые
упрощенные модели полос, на примере которых будут проанализированы
некоторые характерные особенности поглощения в полосах.
Далее будет рассмотрена корреляция экспериментальных данных
по поглощению в полосе с целью показать, как можно
представить оптические свойства газа, чтобы они были полезны в
практических приложениях, где нужны характеристики полос
излучения. Часто в инженерных задачах теплообмена бывает
достаточно сделать обоснованный приближенный расчет интегрального
излучения. Тогда нет необходимости вникать в подробности излу-

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 595
чения в отдельных полосах. Для расчета интегрального
излучения составлены номограммы степени черноты газов,
основанные на измерениях интегрального излучения (гл. 17). Многие
функциональные зависимости, соответствующие этим
номограммам, были получены эмпирически, до того как было подробно
О 2000 4000 6000 8000 10 000
Т,К
Фиг. 16.3. Относительные вклады энергетических переходов в полосах
различных компонентов в величину коэффициента поглощения воздуха при
давлении 10,1 -104 Па (1 атм) [9].
Система полос: Ot Шумана — Рунге; NOY; — NOp*> NJ«
первая отрицательная; « фото диссоциация; свободно-свободный
переход.
изучено излучение в отдельных полосах. Содержание следующих
разделов облегчит понимание (с микроскопической точки зрения)
влияния физических переменных величин (параметров) на
излучение газа, но в этих разделах не будут излагаться методы
аналитического расчета свойств*

59а
Глава 16
Рассмотрим более подробно колебательно-вращательные
переходы, определяющие коэффициент поглощения большинства
многоатомных газов до температур ~3000 К. Эти переходы сильно
зависят от частоты, и, следовательно, коэффициент поглощения
Переход
0,20
0,15
0,10
*
0,05
0,7
Е
*о,5
1~
р0'4
si
^J «УЗ
it
il
i!0,2
§1
0,1
0L
Центр
полосы
CM"J
J-l
ЩЩ (xft-O^O 667,30
EM оЛ-10РЬ 720,86
ЩЩ 01*0-02*0 667,92
02% - 0330 668,61
688,75
741,69
14,25 14,20 14,15
Длина Волны X, мкм
14,10
700
705
Волновое число т), см-1
710
Фиг. 16.4. Участок спектра С02, полученный с помощью прибора с высокой
разрешающей способностью [10].
также сильно зависит от частоты. Колебательно-вращательные
полосы спектрального поглощения ^ состоят из группы близко
расположенных спектральных линий, появляющихся вследствие
переходов между колебательными и вращательными
энергетическими состояниями. На фиг. 16.4 показан участок спектра

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 597
двуокиси углерода *). Линии поглощения в некоторых участках
спектра расположены столь близко, что в большинстве случаев
отдельные линии не могут быть выделены с помощью приборов.
Вследствие уширения линии кажутся перекрывающимися (или
это в действительности так), а сливаясь, они образуют полосы
поглощения. В качестве примера полос поглощения,
наблюдаемых при помощи прибора с низкой разрешающей способностью,
на фиг. 13.2 приведена полоса углекислого газа.
Большое число возможных энергетических переходов, которые
могут привести к появлению множества спектральных линий,
аналогичных приведенным на фиг. 16.4, объясняется наличием
множества энергетических уровней и переходов, показанных на
фиг. 16.5. На этой фигуре представлена зависимость
потенциальной энергии двухатомной молекулы от расстояния между ее
двумя атомами. Каждая из двух кривых относится к различным
энергетическим состояниям электрона, в которых электрон может
быть связан с двумя атомами.
Re — среднее межатомное расстояние, соответствующее
каждому электронному состоянию. Горизонтальные штриховые линии
(длинные штрихи) относятся к колебательным уровням энергии,
а горизонтальные штриховые линии (короткие штрихи)
относятся к вращательным уровням, накладывающимся на
колебательные состояния. Переходы между вращательными уровнями
одного и того же колебательного состояния соответствуют
небольшим значениям разности Ej —г Et. Следовательно, согласно
(16.33), этим переходам соответствуют линии в пределах полос,
расположенных на низких частотах, т. е. в далекой
инфракрасной области. Переходам между вращательными уровнями в раз-
личных колебательных состояниях одного и того же электронного
состояния соответствуют колебательно-вращательные полосы при
частотах близкой инфракрасной области. Если происходят
переходы с вращательного уровня в одном электронном и
колебательном состояниях к вращательному уровню в другом электронном
и колебательном состояниях, то получаются большие значения
Ej — Et и система полос образуется в высокочастотных видимой
и ультрафиолетовой областях спектра.
Для детальных расчетов теплообмена излучением нужны
величины энергии поглощенного и испускаемого излучений в каждой
полосе, например в четырех основных полосах С02 (фиг. 13.2).
Полосы излучения разделены участками спектра, которые при-
х) Обозначения 014) и др. на фиг. 16.4 относятся к квантовым
состояниям гармонического осциллятора. В общем случае (v^u?) величина vt —
колебательное квинтовое число, а / — квантовое число углового количества
движения. Переходы между двумя энергетическими состояниями 00°0 -> 01*0
соответствуют линии поглощения. Правила отбора определяют допустимые
состояния. Хорошим введением в этот вопрос является гл. 3 работы [10].

598
Глава 16
близительно прозрачны. Возможный подход к описанию свойств
газа заключается в изучении поглощательной способности полос
в отдельности и выводе эмпирических соотношений, описывающих
характеристики каждой полосы. Если поглощательная
способность в каждой полосе может быть выражена через давление,
температуру и длину пути луча в газе, то для расчета переноса энер-
Для второго
электронногр _
состояния
Энергия
диссоциации
для второго
состояния
Переход между
вращательными
уровнями одного
и того же колебатель
ного состояния
В одном и том же
электронном состоянии
л Энергия
диссоциации
для первого
состояния
Переход между I
вращательными i
уровнями —1—
в различных колебательных
состояниях одного и того ж?
электронного состояния
Межъядерное расстояние
Фиг, 16.5. Схематическое изображение потенциальной энергии и переходов
для двухатомной молекулы.
— — колебательное состояние; вращательное состояние.
гии интегрального излучения в реальном газе можно применить
методы расчета теплообмена излучением на основе
последовательного рассмотрения теплообмена в полосах.
Уравнения (16.62) для энергии поглощаемого и испускаемого
излучений содержат однотипные интегралы с той лишь разницей,
что интеграл в выражении для поглощаемого излучения содержит
интенсивность падающего излучения, а интеграл в выражении
для испускаемого излучения содержит интенсивность излучения
черного тела. Так как полосы поглощения обычно занимают
довольно узкий участок спектра, то для каждой полосы можно

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 599
вынести > из-под знака интеграла средние значения iq (0) или
1&ъ. Если рассмотреть выражение для интегрального потока
излучения, то уравнение (16.626) будет иметь вид
йГ%5-=3*».« \ [l-exp(-aQ5)]dQ, (16.72)
Р I I
где индекс I относится к полосе, интеграл берется по каждой
полосе, а суммирование проводится по всем полосам.
Аналогично эффективной ширине линии, определяемой (16.64),
интеграл в уравнении (16.72) может быть представлен как
эффективная ширина полосы A i
Jz {S) = J {1 - exp [ - aQ (Q) S]} dQ,
Ширина (16.73)
полосы
поглощения
которая имеет размерность спектральной величины [в уравнении
(16.73) такой величиной является Q]. Чаще Аг выражается [через
волновое число и имеет размерность см-1. Границы полосы
поглощения, соответствующие верхнему и нижнему пределам интеграла
в (16.73), не имеют конкретного значения для всех условий. Они
могут быть определены как границы спектрального интервала,
вне которого относительный вклад в величину А г невелик. Ширина
этого интервала медленно возрастает с длиной пути луча
вследствие пропорционального увеличения поглощения в крыльях
полосы.
Сравнивая (16.73) и (16.64), находим, что величина Аг для
полосы равна сумме величин Atj для всех спектральных линий
в пределах данной полосы, если все эти величины Atj не зависят
друг от друга. В общем случае спектральные линии
перекрываются, и вследствие этого каждая линия не может поглотить
столько энергии, как если бы она не взаимодействовала с соседней
линией.
Как было показано на фиг.16.4, полоса поглощения обычно
состоит из множества уширенных спектральных линий.
Вследствие этого величина а& (Q) в (16.73) является сложной
нерегулярной функцией частоты, а интегрирование связано с
математическими трудностями. При интегрировании нужно также
детально знать контуры всех уширенных линий. Очевидно, можно
подобрать упрощенную модель для контура а& (Q), если
интегрирование в пределах линий окажется полезным аналитическим
приближением для получения характеристик излучения полосы.
Используются две распространенные модели, представляющие

600
Глава 16
два предельных случая расположения отдельных линии и
интенсивности излучения в них.
В модели Эльзассера [11] все линии имеют одинаковую лорен-
певскую форму [уравнение (16.66)], одинаковые высоту и
расстояние между линиями (и, следовательно, одинаковую для всех
линий величину интегрального коэффициента поглощения Sc).
При этом величина а$ становится периодической функцией Q
(фиг. 16.6, а). Эта функция зависит от параметров, определяющих
1
s
£
(\
/
/
W f
V
-V.
|\ /
V/
У..
.—6—►
м
.У.
^ f
\j
.У.
|\
^
V
-26
26
а
5*
Фиг. 16.6. Модели линий поглощения, образующих полосы.
а — равномерно расположенные линии, имеющие лоренцевский контур; б —
статистическая модель; czq (Q) — спектральный коэффициент поглощения; й — частота.
контур лоренцевских линий, а такж^ от расстояния б между
ними. Коэффициент поглощения при каком-либо частном
значении частоты определяется суммированием вкладов от всех
смежных линий. Расстояние центров линий от положения Q равно
| Q — 0|, | Q — fi|, | Q — 261 и т. д. Суммируя все вклады
с учетом соотношения (16.66), описывающего лоренцевский
контур линии, получим
аа (Q) =
2л
Д*/4 + (Й-иб)2

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 601
Эта периодическая функция подставляется в уравнение (16.73)г
и после упрощающих преобразований можно произвести
численное определение интеграла. Некоторые результаты приведены
в работе [10]. Аналитические соотношения можно получить в
предельных случаях сильного и слабого поглощений. Этими
результатами руководствуются при выводе экспериментальных
соотношений, и они рассматриваются в работе Пласса [12]. Для более
подробного изучения этого вопроса читатель может обратиться
к работам [10, 12, 13].
Согласно другой модели, полоса состоит из случайно
расположенных линий (фиг. 16.6, б); подобное представление о полосе
введено Гуди [10]. Это могут быть либо случайно расположенные
одинаковые линии, либо в более общем случае линии могут
отличаться одна от другой. Случайный характер расположения линий
типичен для таких многоатомных молекул, как С02 и водяной пар.
Для применения модели необходимо задать распределения
вероятности интенсивности линий и их расположения. Эти
предположения, имеющие статистический характер, устраняют необходимость
в точном расчете параметров отдельных линий в полосе.
Предложены также и другие модели полос; некоторые из них
в определенных случаях применяются шире, чем модели Эльзас-
сера и Гуди. Ряд моделей полос рассмотрен Гуди [10], а также
Эдвардсом и Менардом [14]. Модификации модели Эльзассера
выполнены недавно Кайлом [15] и Гоулденом [16, 17], которые
рассмотрели равнорасположенные линии с допплеровским
контуром, а также Гоулденом [18], использовавшим для этого случая
фойгтовский контур. Последний представляет собой комбинацию
допплеровского и лоренцевского контуров и, следовательно,
учитывает уширение линий газа за счет столкновений и вследствие
эффекта Допплера.
Если определена структура линий, входящих в состав полосы,
то эффективная ширина полосы А г может быть вычислена с
помощью уравнения (16.73). Очевидно, что Ах зависит от
расположения линий, их полуширины и их интегрального коэффициента
поглощения, а если используется случайная статистическая
модель, то также и от других характеристик. При использовании
этих аналитических результатов для расчетов излучения
реальной смеси газов необходимо знать, какое влияние на все эти
характеристики оказывают такие параметры, как температура газа,,
парциальное давление поглощающего газа и полное давление
смеси газов. Если определены ^связи между указанными
величинами, то можно попытаться найти соотношение между
экспериментальными данными, опираясь на теоретические зависимости
для интегрального излучения в полосах. Основы таких расчетов
изложены в работе Гуди [10]. Несколько основных
функциональных зависимостей, следующих из теории, рассмотрены в конце

Таблица 16 J
Соотношения для полос поглощения изотермического газа
Газ
€02
що
€Н4
€0
НС1
н2

Атмосферные газы
<N2, 02,С02,
о3,н2о,сн3
и окислы
•азота)
Полоса
Все
учитываемые
2,7, 4,3 и
15 мкм
9,4,10,4 мкм
Все
учитываемые
То же
2,7 и 6,3мкм
Все
учитываемые
7,6 и 3,3 мкм
2,35 и
4,67 мкм
Источник
20, 30
21, 29*)
22, 29*)
31-34
23, 29 *)
26
31-34
21, 29 *)
24,'29 1)
35
36
10
Примечание
300 < Т < 1400 К
300 < Т < 1 400 К
0,1<Х<23000 г/м2
300 < Т < 1 400 К
0,1<Х<23 000 г/м2
Г-300 К
300 < Т < 1 100 К
1 < X < 38 000 г/м2
300<Г<1100К
1 < X < 21 000 г/м2
Г-ЗООК
300 < Т < 830 К
0,1 <Х< 1200 г/м2
300 < Т < 1 800 К
19 < X < 650 г/м2
Соотношений нет.
Представлены
данные по спектральной
степени черноты
Соотношений нет.
Представлены
данные по спектральной
и интегральной
степеням черноты
Обзор работ,
опубликованных до 1960 г.
Тип соотношения
Эквивалентная
ширина полосы
Экспоненциальная
модель широкой
полосы
То же
Эквивалентная
ширина полосы
Экспоненциальная
модель широкой
полосы
Эквивалентная
ширина линии
Эквивалентная
ширина полосы
Экспоненциальная
модель широкой
полосы
То же

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 603
Продолжение табл. 16.1
Газ
Воздух
Полоса
Все
учитываемые
полосы,
вносящие
вклад в
излучение
Источник
4 (табл.
1.2)
Примечание
Данные, необходимые
для расчета поглоща:
тельной способности
в полосе, содержатся
в работах,
опубликованных до 1965 г.
Тип соотношения
1) Соотношения приведены в табл. 16.2 и 16.3.
этой главы. Эдварде и др. [19—27] собрали большое количество
данных о наиболее распространенных газах и получили
соотношения для многих важных групп полос. Ссылки на эти и другие
данные сведены в табл. 16.1, а некоторые результаты будут
приведены ниже.
Радиационные характеристики полос поглощения можно
удобно представить в виде зависимостей эффективной ширины
различных полос A i от длины пути луча, давления, температуры и т. д.
Как показано в разд. 17.7, величина А г может быть использована
в (17.74) для определения поглощательной способности в полосе
при детальном расчете радиационного теплообмена в замкнутой
полости с учетом спектральных величин. При использовании
уравнения (13.43) эта же величина может быть также применена
и для расчета интегральной степени черноты слоя однородного
газа
оо
1 я*оь[1 — ехр( — aQS)]d&
Z'{T,P,S)=« 55=5 =
= ^г2^М J [l-exp(-aQS)]dQ=^- 2 fo, J/. (16.74)
i i i
Как показано в разд. 17.6.1, величина £' может быть
использована в практических расчетах излучения изотермического газа
на окружающую его оболочку.
Рассмотрим теперь изменение Аь в предельных случаях
слабого и сильного поглощения, на которых основаны соотношения
для полос. Для одиночной слабой спектральной линии и
одиночной сильной спектральной линии, имеющей лоренцевскую форму,
было показано с помощью уравнений (16.65) и (16.71), что
эффективная ширина линии изменяется соответственно как функция,

604
Глава 16
пропорциональная первой степени или корню квадратному от
произведения длины пути луча S на интегральный коэффициент
поглощения Stj. Если предположить, что в первом приближении
перекрывание линий в пределах полосы невелико, то эти
зависимости можно также применить к эффективной ширине полосы и
использовать их в качестве, основы для первого приближения при
корреляции экспериментальных данных. Отсюда следует, что
полосы, состоящие целиком из сильных или слабых линий, могут
быть описаны различными зависимостями от длины пути луча.
В случае слабых линий с учетом (16.65) следует ожидать
следующее соотношение для Z-й полосы:
AifflooSfi. (16.75а)
Для сильной полосы, уширенной за счет столкновений, с учетом
уравнения (16.71) следует
Jj(S)co(S,AcS)1/2. (16.756)
Для однокомпонентного газа интегральный коэффициент
поглощения полосы Si зависит от числа молекул или атомов, в которых
совершаются переходы, и, следовательно, в первом приближении
эта величина зависит от плотности газа. «Полная» полуширина
Ас, обусловленная уширением за счет столкновений, определяется
уравнением (16.61) и вследствие прямой зависимости от давления
считается пропорциональной плотности компонента,
поглощающего излучение (величина Т~1/2^в выражении для Ас также оказывает
некоторое влияние). Подставляя эти зависимости в (16.75),
получим приближенные оценки для сильной и слабой полос,
выраженные через плотность и длину пути луча, в виде
Аг (S) со pS для слабой полосы, (16.76а)
Ai (S) оэ pS / для сильной полосы, (16.766)
если все линии в полосе независимы друг от друга.
Для очень сильного поглощения в полосе, т. е. для очень
больших значений pS и большого количества сильных
перекрывающихся линий, соотношение (16.766) не выполняется. Очевидно,
что с увеличением pS величина Аг, определяемая по уравнению
(16.766), превысит свой верхний предел, который в соответствии
с уравнением (16.73) должен быть действительной шириной полосы
поглощения. При очень сильном поглощении до некоторой
степени оправдан выбор зависимости A t от р и S в виде [14]
Ai (S) с* In pS. (16.77)
Физический смысл ее заключается в том, что центральная часть
полосы становится непрозрачной и А г изменяется вследс твие
изменения поглощения в крыльях полосы.

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 605
При переходе от линейного закона к закону
пропорциональности корню квадратному возникают трудности, связанные с
использованием уравнений (16.75) и (16.76). При промежуточной
интенсивности поглощения эти два предельных режима
поглощения не имеют плавного перехода, а резкий переход не имеет
физического смысла. Эдварде и Менард [14] предложили упрощенное
соотношение, обеспечивающее плавный переход между двумя
различными зависимостями от р и S. Их метод был успешно
использован для корреляции экспериментальных данных [21—24].
Полученное ими соотношение было основано на предположении о том,
что вращательные линии в полосе расположены равномерно
и могут быть перестроены по частоте с образованием
последовательности линий, интенсивность которых убывает по экспоненте от
центра полосы. Вследствие этого модель называется
экспоненциальной моделью широкой полосы. Тьен и Лаудер [28] предложили
соотношения для полосы с единой непрерывной зависимостью A i от
массовой длины пути луча. Эта зависимость удовлетворяет всем
математическим условиям, накладываемым на поглощательную
способность как функцию массовой длины пути луча.
Таблица 16.2
Соотношения для эффективной ширины полосы изотермического газа *)
Параметр ушире-
ния за счет давления
3 = С2Р /4CiC3
Нижний
предел А,
см-1
Верхний
предел А,
П, см-1
Эффективная ширина полосы А,
ть см-1
P<i
p>i
о
рСз
С3(2-р)
О
сЛ
РС3
С3(2-р)
А = С(ХРе)^-^С3
Z=C3(ln
w\
схх
2~Р
Х)С1, Сг, Сз, Ь и п приведены в табл. 16.3; X = pS — массовая длина пути луча,
г/м2, Ре = [(р + bpN2)/Po]n, где Р0 =*= 0,101 МПа (1 атм), р — парциальное давление
поглощающего газа, р^2 — парциальное давление газа, вызывающего уширение полос
Сатмосферного азота).
Экспоненциальная модель широкой полосы использована для
получения констант соотношений. Эдварде и др. [29]
заимствовали их из источников, перечисленных в табл. 16.1. Окончательное
значение эффективной ширины полосы А и а также верхний
и нижний ее пределы можно получить из соотношений,
перечисленных в табл. 16.2. Эти результаты приведены в единицах волнового

606 Глава 16
числа, т. е. в см-1. Величины Ъ, п, Сг, С2 и С3 *), необходимые для
расчетов по приведенным соотношениям, представлены в табл. 16.3-
для С02, СН4, Н20, СО в смеси с азотом. Метод использования этих
соотношений для полос показан на двух примерах.
ПРИМЕР 16.1. Найти эффективную ширину полосы А для
полосы, соответствующей длине волны 9,4 мкм чистого С02 при
давлении 0,101 МПа (1 атм), температуре 500 К, длине пути
луча S = 0,364 м. __
Чтобы определить А по зависимостям табл. 16.2, нужно найтд
константу d.
Из табл. 16.3 для полосы С02, соответствующей длине волны
9,4 мкм, имеем
где
ф1(71)={1-ехр[-^^]}х
^Г«'(-*)-т«р(-т?)1[1-«р(-*)]^
*[>-«р(-*)Г-
Подставим значения: г\г = 1351 см-1, г\2 = 667 см"1, т]3 =
= 2396 см"1, h = 6,626-Ю-34 Дж/с, к = 1,380-Ю-28 Дж/К, с =
= 2,998 -Ю10 см/с и Г = 500 К. Получим срх = 0,0196, т. е. Сг =
= 0,0149 м2/(см-г). Из табл. 16.2 получим величину Р в виде-
Р = С1Ре/АС1С2. Для рассматриваемой полосы С02из табл. 16.3
получим значения С2 и С3 в виде
С2 = 1,6(-£)0'5СГ и С3 = 12,4(^)°'5)
так что
/ Т \ 1/2
Р = ШМ =0.0516Ре( —) .
Из табл. 16.2 найдем значение Ре для чистого С02 при давлении
0,101 МПа (1 атм)
Pe=(i+0)"=1.
Далее, так как Т0 = 100 К, то
р = 0,0516@)°'5 = 0,115.
Наконец,
С3 = 12,4 (Г/Го)0,5 = 12,4 (щ)0,5 = 27,7 см"'.
*) Эти значения С не следует смешивать с основными константами иэ-
лучения, приведенными в табл. А. 4 приложения.

Таблица 16.3
Константы соотношений для Экспоненциальной модели полосы 1)
Газ
С023)
сн4
Н20 4)
СО 5)
Поло-
са,
мкм
15
10,4
9,4
4,3
2,7
7,6
3,3
6,3
2,7
1,87
1,38
4,67
2,35
Центр
поло-
| сы, ть
см-1
667
960
1060
2350
3715
1310
3020
1600
3750
5350 |
7250
2143
4260
Константы,

относящиеся к
давлению
b п
1,3 0,7
1,3 0,8
1,3 0,8
1,3 0,8
1,3 0,65
1,3 0,8
1,3 0,8
5,0 1,0
5,0 1,0
5,0 1,0
5,0 1,0
1,1 0,8
1,0 0,8
Си
см-1/(гх
ХМ-2)
19
0,76Ф1 (Г)
0,76Ф1 (Г)
110
4,0Ф2(Г) ,
28
46
41,2
23,3
ЗДронСЛ
2,5q>ioi (Г)
20,9
0,14
С22),
см-1/(г.м-2)х/2
6,9(Г/Г0)0,5
1,6(Г/Г0)°>5С?'5
1,6(Г/Г0)0,5 6,}>5
31 (Г/Г0)°>5
8,6ф3(Г)
10 (Г/Г0)°>5
14,5 (Г/Г0)<>,5
44
39
6,0-С?'5
8,0.С0,5
Фб(П
0,08 ф5 (Г)
С32), СМ-1
12,9 (Г/Г0)0,5
12,4 (Г/Г0)0,5
12,4 (Т/Т0)о,*
11,5(Г/Г0)0,5
24 (Т/Т0)о,&
23 (Г/Г )0,5
55 (Г/Г0)0,5
52(Г/Г0)0,5
65 (Г/Г0)0,>
46 (Г/Г0)0,5
46(Г/Г0)0,5
22 (Г/Г0)0,5
22 (Г/Г0)0,5
1> Предельные значения Т и X приведены в табл. 16.1.
2) Т0 = 100 К во всех случаях.
3) Для С02
«Pi-{i-«P[-Sr(1.-4l)]}[ep(-^-)-
-т-(-^)11-^(-^)Г
*[1--р(-^)Г.
[1 - ехр [-^011 + Лз)]}х
х
Ф2 =
hcrg чт"-1 i
*[»-«*(-^)Г['-
ехр
/гспз \i_1
ЬТ
)1
фз= 1 + 0,053 (Т/Т0)3/2,
где Л1= 1351 см-1, Лг= 667 см-l, «пз = 2396 см-1/*
4) Для Н20
*1W =[i-«*(-■£ 2 -и,)] П I* -^(-S*-)]"'.
i=l i=l
где гц = 3652 см-l, v\z = 1595 см-1, \\з = 3756 см-1.
5) Для СО
V6=[15115 + 0,22(^-)3/2][l-exp(--gL)]l
где n = 2143 см-1.

€08 Глава 16
Поскольку Р ^ 1, соотношения для указанных условий
содержатся в первой полосе табл. 16.2. Массовая длина пути луча
вычисляется по формуле
Х = р5 = 0,364р г/м2.
Определим плотность газа:
р=_* 44 г ЮООл 273 =107.10зг/мз,
г '22,42 л/г-моль г-моль м3 500 '
Следовательно, массовая длина пути луча равна
Х = 390 г/м2.
Выбор соотношения зависит от пределов, которым соответствует
величина А при данном значении X, При использовании первого
соотношения в табл. 16.2 получаем
J^dX-0,0149x390-5,8 см"1,
но это значение выходит за установленный верхний предел для
ширины полосы, равный
РС3 = 0,115 х 27,7 = 3,2 см"1
для р ^ 1. Для промежуточного значения X с помощью уравнения
из второй строки табл. 16.2 получаем
A = C2(XPe)i/2-f>C3
или
А= [1,6 (5^)1/2 (0,0149)1/2] (390)1/2-3,2 = 5,4 см"*.
Полученное значение заключено в пределах
РС3<^<С3(2-Р),
3,2<Л<52,2 см"1
для этого примера. Результат расчета хорошо согласуется с
экспериментальным значением 5,9 см-1, полученным в работе [20]
для тех же самых условий.
ПРИМЕР 16.2. Определить плотность потока излучения в
единице телесного угла для полосы С02, соответствующей длине
волны 9,4 мкм. Излучение испускается концом тонкого столба
газа при давлении 0,101 МПа (1 атм), температуре 500 К и длине
столба 0,364 м.
Используя уравнение (16.626) и интегрируя только в пределах
полосы 9,4 мкм, получим
-Snk= J 1'ф (Y1) (1 ~e~%S) dx] ~ ^ь (г1центр полосы)

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 609
с учетом уравнения (16.73). В этом уравнении т]центР полосы —
волновое число центра полосы. Из табл. 16.3 для этой полосы
Определяем "Пцентр полосы
= 1060 см г. Используя уравнение
(2.Ив) для определения ъцЪ и величину А из примера 16.1, получим
А1ф (Лцентр полосы) — 0,4 ( с^х\1Т \ )
центр полосы
_^ А 2x0,59544» 10"12 (1Q6Q)3 р / 2
— °'4 е1,4388хЮ60/500_1 ЬТ/СМ ,
*У< = 3,8- Ю-14 Вт/см2.
Предыдущее рассмотрение относилось к однокомпонентным газам.
Если же в смеси присутствуют два газа и оба поглощают энергию,
то на некоторых участках спектра возможно перекрывание полос
поглощения этих газов. Как показали Хоттель и Сэрофим [30],
в этом случае для двух газов а и б в полосе перекрывания шириной
Ат] справедливо следующее соотношение:
Л+б = А,[1-(1-^)(1-^)]=Ла + 1б-^. (16.78)
Следовательно, сумма двух величин А уменьшается на величину
АаАб/&г\. Ограничение накладывается на интервалы волновых
чисел, в которых существуют оба средних значения Аа и Аб и нет
корреляции между положениями отдельных линий газов а и б.
При рассмотрении газовых смесей появляется много
дополнительных трудностей. Например, парциальное давление
поглощающего газа р в многокомпонентной смеси изменяется в зависимости
от Т и Р, заселенность энергетических уровней зависит от
температуры Г, а перекрывание спектральных линий изменяется в
зависимости от давления Р. Для смеси реальных газов очень трудно
сформулировать аналитическую зависимость величины Аг от Г,
р и Р. Получение практически полезных результатов в
значительной мере зависит от экспериментальных исследований, а теория
используется в качестве ориентира*
Хоттель и Сэрофим [30] подробно рассмотрели кривые
интегральной поглощательной способности, аналогичные приведенным
на фиг. 13.11. Подобные кривые существуют для ряда газов, и их
точность подтверждена экспериментально. Применение
интегральных поглощательных способностей и величин эффективной ширины
полосы в различных практических приложениях будет
рассмотрено в гл. 17.

610
Глава 16
16.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этой главе приведены некоторые соображения о явлениях
поглощения в газах с микроскопической точки зрения.
Соотношения, основанные на микроскопических представлениях, были
связаны с некоторыми понятиями, полученными на макроскопической
основе,— спектральным планковским распределением,
индуцированным излучением, уравнением переноса и коэффициентом
поглощения. В дополнение к этому в общих чертах изложены вопросы,
относящиеся к характеристикам полос поглощения многоатомных
газов и их зависимости от длины пути луча и плотности. Материал,
относящийся к свойствам газов, будет использован в гл. 17 в связи
с некоторыми практическими методами расчета переноса
излучения в наиболее распространенных газах.
Литература
1. Einstein A., On the Quanta Theory of Radiation, Physik. Z., 18, 121—128
(1917).
2. Einstein A., Emission and Absorption of Radiation according to the
Quantum Theory, Verhandl. Deut. Physik. Ges., 18, 318—323 (1916).
3. Heitler W., The Quantum Theory of Radiation., 3d ed., 412—414, Clarendon
Press, Oxford, 1954.
4. Бонд Дж., Уотсон К., Уэлч Дж., Физическая теория газовой динамики,
изд-во «Мир», 1968.
5. Wiese W. L., Smith М. W., Glennon В. М., Atomic Transition
Probabilities, vol. 1, Hydrogen through Neon — A Critical Data Compilation, Rep.
NSRDS-NBS-4, Natl. Bur. Std., vol. 1, May 20, 1966.
6. Грим Г., Спектроскопия плазмы, Атомиздат, М., 1969.
7. Breene R. G., The Shift and Shape of Spectral lines, Pergamon Press, New
York, 1961.
8. Пеннер С. С, Количественная молекулярная спектроскопия и излуча-
тельная способность газов, ИЛ, М., 1963.
9. Armstrong В. Н., Sokoloff J., Nicholls R. W., Holland D. H., Meyerott
R. E., Radiative Properties of High Temperature Air, /. Quant. Spectry.
Radiative Transfer, 1, № 2, 143—162 (1961).
10. Гуди P., Атмосферная радиация, изд-во «Мир», 1969.
11. Elsasser W. M., Heat Transfer by Infrared Radiation in the Atmosphere,
Harvard Meteorological Studies № 6, Harvard University Press, Cambridge,
Mass., 1942.
12. Plass G. N., Useful Representation for Measurements of Spectral Band
Absorption, /. Opt. Soc. Am., 50, № 9, 868—875 (1960).
13. Тьен К. Л., Радиационные свойства газов, сб. «Успехи теплопередачи»,
изд-во «Мир», стр. 280—360, 1971.
14. Edwards D. К., Menard W. A., Comparison of Models for Correlation of
Total Band Absorption, Appl. Opt., 3, № 5, 621—625 (1964).
15. Kyle T. G., Absorption of Radiation by Uniformly Spaced Doppler Lines,
Astrophys. Z., 148, № 3, 845-848 (1967).
16. Golden S. A., The Doppler Analog of the Elsasser Band Model, /. Quant.
Spectry. Radiative Transfer, 7, № 3, 483—494 (1967).
17. Golden S. A., The Doppler Analog of the Elsasser Band Model, II, /. Quant.
Spectry. Radiative Transfer, 8, 877—897 (1968).

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 611
18. Golden S. A., The Voigt Analog of an Elsasser Band, /. Quant. Spectry.
Radiative Transfer, 9, № 8, 1067—1081 (1969).
19. Эдварде Д. К., Лучистый теплообмен в объеме с несерой оболочкой,
заполненном изотермической газовой смесью двуокиси углерода с азотом,
Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 1, 3, 1962.
20. Edwards D. К., Absorption of Infrared Bands of Carbon Dioxide Gas at
Elevated Pressures and Temperatures, /. Opt. Soq. Am., 50, № 6, 617 —
626 (1960).
21. Edwards D. K., Menard W. A., Correlations for Absorption by Methane and
Carbon Dioxide Gases, Appl. Opt., 3, № 7, 847—852 (1964).
22. Edwards D. K., Sun W., Correlations for Absorption by the 9,4-u. and
10,4-u. C02 Bands, Appl. Opt., 3, № 12, 1501—1502 (1964).
23. Edwards D. K., Flornes B. J., Glassen L. K., Sun W, Correlation of
Absorption by Water Vapor at Temperatures from 300 К to 1100 K, Appl. Opt.,
4, № 6, 715—721 (1965).
24. Edwards D. K., Absorption of Radiation by Carbon Monoxide Gas
according to the Exponential Wide-band Model, Appl. Opt., 4, № 10, 1352—
1353 (1965).
25. Эдварде Д. К., Нельсон К. Е., Ускоренный метод расчета лучистого
теплообмена между несерыми стенками и газами Н20 или С02 в
изотермических условиях, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача,
№ 4, 3, 1962.
26. Weiner М. М., Radiant Heat Transfer in Non-Isothermal Gases, Ph. D.
Thesis, University of California at Los Angeles, 1966.
27. Hines W. S., Edwards D. K., Infrared Absorptivities of Mixtures of Carbon
Dioxide and Water Vapor. Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 64, № 82, 173—
180 (1968).
28. Tien C. L., Lowder J. E., A Correlation for Total Band Absorptance of
Radiating Gases, Int. J. Heat Mass Transfer, 9, № 7, 698—701 (1966).
29. Эдварде Д. К., Глассен Л. К., Хаузер У. К., Ташер Дж. С, Лучистый
теплообмен в неизотермических несерых газах, Труды амер. о-ва инж.-
мех., сер. С, Теплопередача, № 3, 26, 1967.
30. Hottel Н. С, Sarofim A. F., Radiative Transfer, McGraw-Hill, New York,
1967.
31. Howard J. N., Burch D. E., Williams D., Near-infrared Transmission
through Synthetic Atmospheres, Geophys. Res., № 40. AFCRL-TR-55-213,
Air Force Cambridge Research Center, 1955.
32. Howard J. N., Burch D. E., Williams D., Infrared Transmission of
Synthetic Atmospheres, I. Instrumentation, /. Opt. Soc. Am., 46, № 3, 186—
190 (1956).
33. Howard J. N., Burch D. E., Williams D., Infrared Transmission of
Synthetic Atmospheres, II. Absorption by Carbon Dioxide, /. Opt. Soc. Am., 46,
№ 4, 237—241 (1956).
34. Howard J. N., Burch D. E., Williams D., Infrared Transmission of
Synthetic Atmospheres, IV. Application of Theoretical Band Models, /. Opt. Soc.
Am., 46, № 5, 334—338 (1956).
35. Stull V. R., Plass G. N., Spectral Emissivity of Hydrogen Chloride from
1000—3400 cm-1, /. Opt. Soc. Am., 50, № 12, 1279—1285 (1960).
36. Aroeste H., Benton W. C, Emissivity of Hydrogen Atoms at High
Temperatures, /. Appl. Phys., 27, № 2, 117—121 (1956).
Задачи
1. Бальмеровской серии соответствует серия линий видимого
участка спектра атома водорода. Эта серия имеет значения

612
Глава 16
£ = 2, у=3, 4, 5... . Вычислить угловые частоты и длины
волн излучения для этой серии при / = 3, 4, 5 и 6.
Ответы: 2,88 «1015 рад/с, 0,656 мкм;
3,88-1015 рад/с, 0,486 мкм;
4,35-1015 рад/с, 0,434 км;
4,61 4015 рад/с, 0,410 мкм.
2. Показать, что частоты спектральных линий для атома
аддитивны в том смысле, что Qab + Qbc = Qac.
3. Используя соотношения между коэффициентами Эйнштейна,
вычислить отношение вероятностей спонтанного и
индуцированного излучений для перехода Q25 бальмеровской серии.
4. Согласно справочнику «Handbuch der Physik», некоторые
параметры лаймановской серии переходов для атома водорода
равны
Длина
волны А,, мкм
0,1216
0,1026
0,0973
0,0950
Переход
г j
1 2
1 3
1 4
1 5
Вероятность перехода
4яА .j, с-1
6,25-108
1,64-108
0,68-108
0,34-108
Сила осциллятора
Sftj
0,4162
0,0791
0,0290
0,0139
Проверить значения X и соотношение между Atj и ftj.
(Указание: множитель 4я при Ajt появляется вследствие того, что Ап
определяется здесь по интенсивности, а не по плотности
излучения; множитель 3 при ftj учитывает наличие трех
степеней свободы при колебании электронов в атоме.)
5. Рассчитать «полную» полуширину в случае допплеровского
уширения линий неона при длине волны 0,6000 мкм и
температуре Т = 300 К.
Ответ: 8,75 -109 рад/с или 1,67-Ю"6 мкм:
6. Две линии поглощения имеют одинаковую частоту перехода
(центр линии) Qn = 1014 с-1 и одинаковую полуширину
IQi2 c-i Одна из них имеет допплеровский контур, другая —
лоренцевский. Построить оба контура в одной и той же
полулогарифмической системе координат.
7. Газ состоит из чистого атомарного водорода при температур
ре 500 К. Рассчитать (полную) полуширину лаймановской
линии а (переход между i --- 1 и /" = 2) для случая
допплеровского уширения. Построить контур этой линии btj (Q). Масса
атома водорода 1,66 «Ю-27 кг.

Введение в микроскопические основы теории излучения газов 613
8. Для того же газа и той же температуры, что и в задаче 16.7,
вычислить полуширину линии в случае уширения за счет
столкновений при давлении 0,101 МПа (1 атм). Принять
диаметр атома водорода равным 1,06 -10"10 м. Построить
b(j (Q) в тех же координатах, что и в задаче 16.7.
9. Найти эффективную ширину А полосы С02, соответствующей
длине волны 9,4 мкм, при парциальном давлении 0,0404 МПа
(0,4 атм) в смеси с азотом при общем давлении смеси 0,101 МПа
(1 атм). Температура равна 500 К, длина пути S = 0,364 м.
Сравнить с результатом примера 16.1.
10. Для чистого газа СО при давлении 0,101 МПа (1 атм)
определить эффективную ширину полосы, соответствующей длине
волны 4,67 мкм, при Т = 600 К и S = 0,5 м.
Ответ: 217 см""1.
11. По данным фиг. 13.2 оценить эффективную ширину полосы
СО2, соответствующей длине волны 2,7 мкм, при
температуре 830 К, давлении 1,01 МПа и длине пути луча 0,388 м.
Сравнить полученное значение с рассчитанным по соотношениям,
приведенным в табл. 16.2 и 16.3.
Ответ: 420 см"1.

17
ИНЖЕНЕРНЫЙ МЕТОД
РАСЧЕТА ИЗЛУЧЕНИЯ ГАЗА
В ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМАХ
17.1. ВВЕДЕНИЕ
Существует обширная техническая литература, в которой
рассматривается теплообмен излучением между твердыми
поверхностями при отсутствии поглощающей среды между ними. Методы
решения таких задач хорошо разработаны и описаны в гл. 6 — 12.
Дополнительные трудности в задачах теплообмена между
поверхностями, связанные с наличием непрозрачного излучающего
и поглощающего газа, могут быть учтены на основе результатов,
полученных в более простом случае отсутствия газа. В данной
главе при изложении практических методов решения задач
излучения газа используются соотношения, полученные в гл. 13—16.
Эти методы являются дальнейшим развитием методов теплообмена
излучением между поверхностями, разработанных для замкнутых
систем в гл. 7—10. Поэтому инженер, знакомый с теорией
теплообмена излучением между поверхностями, сумеет применить
многие результаты этой теории к проблемам излучения газа.
Большая часть материала этой главы относится к излучающему
и поглощающему газу, который предполагается изотермическим.
В отличие от анализа гл. 15 при таком предположении для
получения радиационных характеристик газа не нужно вычислять
распределение температуры. В разд. 17.8 методы, разработанные
для изотермического газа, будут применены в расчетах излучения
неизотермического газа.
17.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А —
AFa -
AFx —
I-
а —
я, Ь, с —
С =
£со27 Сц2о —
площадь;
геометрический коэффициент
геометрический коэффициент
эффективная ширина полосы;
коэффициент полощения;
размеры в системе из двух
beiL/et 0;
коэффициенты, учитывающие
ние;
поглощения;
пропускания;
прямоугольников;
поправку на давле-

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 61 5
Сг — коэффициент полосы в уравнении (17.75);
D — расстояние между параллельными пластинами;
диаметр;
EN = (1 — €iv)/6iv;
Еп — экспоненциальный интеграл;
е — поверхностная плотность потока излучения;
F — угловой коэффициент излучения;
F — обобщенный угловой коэффициент излучения;
gg — взаимная поверхность обмена излучением между
двумя газами;
gs — взаимная поверхность обмена излучением между
газом и поверхностью;
h — высота цилиндра;
i — интенсивность излучения;
Le — средняя длина пути луча в объеме газа;
Le, о — средняя длина пути луча в предельном случае
малого поглощения;
N — общее число поверхностей в системе;
Р — полное давление газа или смеси газов;
р — парциальное давление;
Q — поток энергии;
q — плотность потока энергии;
R — радиус полусферы, полуцилиндра, цилиндра или
сферы;
S — координата вдоль пути луча;
S — среднегеометрическая длина пути луча;
sg — взаимная поверхность обмена излучением между
поверхностью и газом;
ss — взаимная поверхность пары тел;
Т — абсолютная температура;
V — объем;
W — ширина пластины;
X = pS — массовая оптическая длина пути луча;,
наименьший размер прямоугольного параллелепипеда;
a (S) — поглощательная способность;
a (S) — среднегеометрическая поглощательная способность;
Да, Ag — поправка на перекрывание спектральных линий;
Р — полярный угол;
8kj — символ Кронекера;

616
Глава 17
б — степень черноты поверхности;
£ (S) — степень черноты среды;
т] — волновое число;
х — оптическая толщина;
X — длина волны;
р — отражательная способность, плотность;
а — постоянная Стефана — Больцмана;
1 (S) — пропускательная способность;
t (S) — среднегеометрическая пропускательная
способность;
со — телесный угол.
Подстрочные индексы
Ъ — черное тело;
СО2 — углекислый газ;
g — газ;
Н20 — водяной пар;
i — падающий поток, направление внутрь;
/, к — поверхность j или к;
7 — к — направление от поверхности / к поверхности к;
I — 1-я полоса поглощения;
о — эффективный поток излучения;
и — однородные свойства;
w — стенка;
% — величина, зависящая от длины волны;
г] — величина, зависящая от волнового числа.
Надстрочные индексы
*, ** —, переменные интегрирования;
+ — величины, определяемые уравнением (17.67);
' — величины, зависящие от направления.
17.3. МЕТОД САЛЬДО ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ,
ЗАПОЛНЕННЫХ ИЗОТЕРМИЧЕСКИМ ГАЗОМ.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
В разд. 10.3 были выведены уравнения теплоообмена
излучением для замкнутой системы, не содержащей излучающей и
поглощающей сред и образованной поверхностями, свойства которых

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 617
зависят от длины волны излучения. Поскольку поглощательные
свойства газов и других поглощающих сред почти всегда в сильной
степени зависят от длины волны, то настоящий анализ будет
проведен для одной длины волны. Затем в следующем разделе будет
проведено интегрирование по всем длинам волн для определения
интегральных характеристик излучения. Примем, что направлен-
ные свойства поверхности не имеют существенного значения
и поверхности могут считаться диффузными излучателями и
отражателями.
Фиг. 17.1. Замкнутая система из N отдельных поверхностей, заполненная
однородным газом g.
Для простоты показано поперечное сечение замкнутой системы.
Часто в замкнутых системах, заполненных газом, таких, как
камера сгорания двигателя или промышленная печь, смесь
перемешана достаточно хорошо, так что газ в целом по существу можно
считать изотермическим. В этом случае анализ упрощается,
поскольку не нужно рассчитывать распределение температуры
газа. Однако даже при этом упрощении подробный расчет
теплообмена излучением между газом и граничными поверхностями
весьма сложен.
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из Л^ поверхностей,
каждая из которых имеет постоянную температуру (фиг. 17.1).
Типичные поверхности обозначены через j и к. Система заполнена
излучающей и поглощающей средой при температуре Tg. Qg —
количество тепла, которое нужно подвести к поглощающей среде
любым путем, отличным от излучения, чтобы поддерживать эту

618
Глава 17
температуру. Наиболее распространенным источником тепла
может быть сгорание топлива. Если при решении задачи оказывается,
что величина Qg должна быть отрицательной, то это означает,
что среда получает энергию излучения от стенок оболочки и
энергия должна отбираться от газа, чтобы поддерживать его при
температуре Тg. Величина Qg аналогична величине Qk на
поверхности площадки Ak, к которой подводится энергия от какого-либо
внешнего источника.
Теплообмен излучением в замкнутой системе описывается
уравнениями, связывающими Qk и Tk для каждой поверхности
<Ч к Ак V к Ак ■ К кехь, к ^ + Рх, к d(4 к)Ак
Фиг. 17.2. Монохроматические потоки излучения, падающие на типичную
площадку замкнутой системы и исходящие от этой площадки.
и величины Qg и Тg для газа или другой поглощающей
изотермической среды, заполняющей систему. Рассмотрим все поверхности
и газ, когда половина величин Q и Т задана. Тогда уравнения
баланса энергии излучения можно решить относительно остальных
неизвестных величин Q и Т. Если задан тепловой поток к газу от
внешнего источника Qg, то можно рассчитать стационарное
значение температуры газа Тg. И наоборот, если задана температура Tg,
то можно найти величину теплового потока, который нужно
подвести для поддержания этой температуры.
Метод сальдо, описанный в гл. 8 и 10, будет теперь обобщен
путем включения членов, учитывающих излучение газа. Для к-й
поверхности системы (фиг. 17.2) из уравнения баланса тепла
следует
dQi. k = dg*. k Ak - {dql0, и - dqKU k) Ak, (17.1)
где dqk0i k и dqxii k — плотности потоков эффективного и
падающего излучений в интервале длин волн dX; dQXf k — поток энергии,

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 619
подводимый к поверхности в этом интервале длин волн. Как уже
отмечалось в связи с уравнением (10.4), поток энергии, подводи-
оо
мый извне к поверхности Ak, равен \ dQKt k.
Плотность монохроматического потока эффективного излучения
равна сумме плотностей потоков собственного и отраженного
излучений
dq^o, h = €*,, и {К Tk) ехъ, h (X, Tk) dX + рЛ, k (X, Th)dq%u k.
(17.2)
Для сокращения формы записи уравнений обозначения функций
обычно опускаются. Величина exbi h (X, Tk) dX является плотностью
монохроматического потока излучения черного тела при
температуре Tk в интервале длин волн dX, включающем длину волны X.
Величина dqu, k в уравнении (17.1) равна монохроматическому
потоку излучения, падающему на поверхность Ak. Она равна сумме
потоков излучения всех поверхностей, достигающих к-ж
поверхности после частичного поглощения в непрозрачной газовой среде,
и потоков собственного излучения газа. Уравнение переноса
учитывает ослабление и испускание излучения вдоль его пути
в газе. Типичный путь от i;- к 4Ь в пределах телесного угла
падающего излучения d(ok показан на фиг. 17.1. Если учесть все
пути излучения и все телесные углы, в пределах которых оно
может распространяться от всех поверхностей (включая и
поверхность Ak, если она имеет вогнутую форму) к поверхности Ak, то
телесные углы d(oh охватят все области газа, которые могут
излучать на Ак. Следовательно, если использовать уравнение переноса,
содержащее член, учитывающий собственное излучение газа, для
расчета энергии изучения, переносимого по всем направлениям
между поверхностями, то собственное излучение газа будет учтено
автоматически. Рассмотрим теперь поток излучения,
распространяющегося от одной поверхности к другой и включающего
в себя излучение и поглощение непрозрачного газа.
Типичная пара поверхностей показана на фиг. 17.3. В теории
теплообмена излучением в замкнутой системе тел плотность потока
эффективного излучения dq^0 принимается постоянной в пределах
каждой поверхности. Поскольку рассматриваются диффузно
излучающие поверхности, то спектральная интенсивность эффективного
излучения от dAj равна ^0) 7- = dq%0, 7/(я dX). Используя
уравнение переноса (14.10), получим интенсивность излучения,
падающего на dAk после прохождения пути длиной S:
*M,j-fc = uo,jexp(--xx)+ j hbtg(*t) ехР [-(«х — Kl)]d*L (17.3)
о

620 Глава 17
S
где к% = \ а% (S*) dS* — оптическая толщина вдоль пути S*
о
Температура газа и спектральной коэффициент поглощения
предполагаются постоянными. Тогда уравнение (17.3) примет вид
s
hi,3-h = ixo9 jexp (— a^S) + а%г%ъ, g J exp [ — a% (S— S*)] dS*.
о
В дальнейшем оно может быть проинтегрировано и после
интегрирования будет иметь следующий вид:
hi,j-k = hot о ехР (— аь$) + hbt g [1 — exp (—aKS)]. (17.4)
Теперь для удобства введем определения спектральной пропуска-
тельной способности газа на длине пути S х% (S) == exp (—a^S)
Фиг. 17.3. Теплообмен излучением между двумя поверхностями,
разделенными изотермическим газом.
и спектральной поглощательной способности газа на длине пути S
ах {S) s 1 — exp (—aKS). Тогда (17.4) записывается следующим
образом:
hi, ,--* = ho, fa (S) + i'Kb, g (Tg) аь (S). (17.5)

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 621
Эта интенсивность излучения, падающего на dAk в пределах
телесного угла dcoft, соответствует потоку падающего излучения,
равному i%iy j-k dAh cos pfe dcoh dX. Ho dxok = dAj cos fijIS*, так
что монохроматический поток падающего излучения равен
&<?'ш -ь = iu, i-kdAk dAj C0S^2C0SPj" dX =
= [ко, /rx (5) + i», в (Tg) ax (S)] ^^cosp.cosp, ^ (1?>6)
Для диффузной поверхности dq%0i j = ni'x0t j dX и, кроме того,
^&, ^ = ш^ь> g, поэтому уравнение (17.6) можно записать в виде
d*Qu, j-h = [dq%o, j4 (S) + ем, g (Tg) dXak (S)] X
dAk dAj cos pfe cos ft7- ^ (17.7)
Теперь это уравнение можно проинтегрировать по всей
поверхности Ak и Aj, чтобы получить монохроматический поток
излучения, падающий на Ak по всем направлениям от Aj\
dQMtJ-h = ^ J [dqk0fJ.4(S) + elb,g(Tg)dXab(S)]
X
X^^b.dAtdAu. (17.8)
Первый член двойного интеграла представляет собой
монохроматический поток эффективного излучения от Aj, падающий на Ak.
Второй член — падающий на A k монохроматический поток
собственного излучения газа с постоянной температурой, заключенного
в пространстве между Aj и Ак. Это пространство заполнено
прямыми лучами между всеми элементарными площадками
поверхностей Aj и Ah.
17.3.1. Определения спектральных геометрических
коэффициентов пропускания и поглощения
Двойной интеграл в (17.8) имеет некоторое сходство с двойным
интегралом в (7.22), определяющим угловой коэффициент между
двумя поверхностями при отсутствии непрозрачного газа. По
аналогии определим коэффициент x^j _h следующим образом:
Fj^K ,_> »-*- j J ^Wcosp.cosfo dAj dA^ (17>9)
где Fj-k — угловой коэффициент для непоглощающей среды. Если
среда прозрачна, то т^ (S) = 1 и правая часть (17.9) становится
равной F/_fc. Следовательно, в этом случае tj_k = 1, в то время

622
Глава 17
как при полном поглощении в среде между Aj я Ak значение
тх, j-k — 0- Величина тя> j_k называется среднегеометрической
пропускателъной способностью *) для потока излучения от Aj к Ak.
Аналогичным образом с помощью второго слагаемого в скобках
уравнения (17.8) определяется среднегеометрическая поглощателъ-
ная способность oc^j—k
F^KJ-k^l J °^™thcnbdAjdAhm (17.10)
3 AkAj
Для непоглощающей среды a^7J_k = 0, в то время как при полном
поглощении а^, j-fe = 1- Из уравнений (17.9) и (17.10) с учетом
определений тх и а^ получаем, что величины т^ и а^ связаны
следующим образом:
aXfi/-* = l —г*.,/-*. (17.11)
Величину AjFj_kxkt j_k принято называть геометрическим
коэффициентом пропускания2), а величину AjFj_haKj_h —
геометрическим коэффициентом поглощения. Уравнение (17.8) можно теперь
записать в виде
dQUt j-k = (AjFj-kTi, j-k) dqk0> j + (AjFjSa^ j-k) «to, 8 (Tg) dX. (17.12)
При расчете теплообмена излучением в замкнутой системе
тел необходимо определять величины xh и ак. При этом возникают
трудности, связанные с двойным интегрированием. Сначала
сформулируем основные положения теории переноса излучения
в замкнутой системе тел. Затем рассмотрим способы вычисления
тк и ах. Для вычисления тх и ах необходимо выполнить только
одну операцию двойного интегрирования, так как они связаны
соотношением (17.11).
17.3.2. Матричная форма уравнений переноса излучения
в замкнутой системе тел
В замкнутой системе, состоящей из N поверхностей, внутри
которой заключен изотермический газ при температуре Tg,
монохроматический поток излучения, падающий на какую-либо
поверхность Ah, равен монохроматическому потоку излучения,
х) В советской литературе принято называть величину Fj^x.j-k
обобщенным угловым коэффициентом.— Прим. перев^
2) В советской литературе величина AjFj^x^ j_k называется
обобщенной взаимной поверхностью (согласно терминологии, введенной Ю. А. Сури-
новым). Для величины AjFj-ka%, j.k у нас нет специального названия.
Однако, согласно (17.11), эта величина равна разности между взаимной
поверхностью и обобщенной взаимной поверхностью пары тел j и к.— Прим. ред.

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 623
приходящего со всех направлений от всех соседних поверхностей:
N
dQUi k = Ak dqu, и = 2 №хо, jAjFj.kX^, j.k +
j=i
+ exb, 8 dXAjFj-haK ,_*)• (17.13)
С помощью соотношения взаимности [уравнение (7.25)] AjFj_h =
= AhFh_j может быть исключена величина Ak. Тогда
N _
dqn, k = 2 (d?xo, A-^x, j-ft + е%ъ, g dXFk-jax> y_fe). (17.14)
Уравнения (17.1), (17.2) и (17.14) образуют систему из трех
уравнений с тремя неизвестными dqXo, dqu и dqh для каждой
поверхности замкнутой системы. Величина dq%i исключается путем
совместного рассмотрения уравнений (17.1) и (17.2), а также путем
подстановки (17.14) в (17.1). В результате остается система из
двух уравнений для каждой поверхности
dqK k = , €я' k ' Ы, k db- dqk0, fc)> (17.15)
dqK)k = dqKOik— 2 (dq\0, jFk-№, j-k + е*.ъ, g dXFk-jaK j_k). (17.16)
Уравнение (17.15) совпадает с соответствующим уравнением для
замкнутой системы, не содержащей поглощающего газа
(например, (10.8)]. Уравнения (17.15) и (17.16) аналогичны уравнениям
(8.6) и (8.7) для более простого случая серой оболочки без
поглощающего газа. Исходя из симметрии интегралов в уравнениях
(17.9) и (17.10) и соотношения взаимности AjFj_k = AhFk_j,
находим, что
Tb.J-k^Kh-j (17.17)
и
ак j-k = ах> ft_y. (17.18)
Следовательно, уравнение (17.16) можно также записать в виде
N
dft,, k = dql0i k — 2 (dqx0, jFk-j\, k-j + ^ь, * dXFk-JaK k_j). (17.19)
Как и в разд. 8.3.1, система уравнений (17.15) и (17.19) может
быть сведена к следующему соотношению:
N
= 2 [(e^-^ft-^w)^b>y^-^ft-^.ft-^bfgd^] (17.20)

624
Глава 17
путем решения уравнения (17.15) относительно dqKo и подстановки
этой величины в уравнение (17.19). Символ Кронекера 6feJ-
принимает следующие значения: &kj = 1 при к = / и 6fej- = 0 при
к ф]. Это уравнение аналогично (8.19). Если уравнение (17.20)
записать для каждого значения к от 1 до N, то будет получена
система из N уравнений, связывающая 2ЛГ величин dq^ и^ь для
поверхностей, так как температура газа и, следовательно, ехъ> g
считаются известными. Половина значений dqx и в ^5 должна
быть задана. Тогда уравнения можно решить относительно
остальных неизвестных. Для определения значений интегральных
потоков излучения необходимо решить эту систему уравнений для ряда
интервалов длин волн и затем проинтегрировать каждую величину
по длине волны.
17.3.3. Тепловой баланс для газа
Перед более подробным рассмотрением решения уравнений
теплообмена излучением для замкнутой системы тел рассмотрим
тепловой баланс газа, который обеспечивает энергию,
необходимую для поддержания температуры газа на заданном уровне.
Из энергетического баланса для всей системы тел следует, что
энергия, которая подводится к газу, например при сгорании,
равна потоку результирующего излучения, отводимому от
граничных поверхностей. Интегральный поток результирующего излу-
оо
чения на поверхности к равен —Ak \ dq^, h- Следовательно,
а,=о
поток энергии, подводимый к газу, определяется суммированием
по всем поверхностям, т. е.
N оо
Qg=-%Ak j dqKk. (17.21)
Эта величина может быть определена после того, как для каждой
поверхности с помощью матричных уравнений (17.20) будет
найдена величина dq% в достаточном числе интервалов длин волн.
ПРИМЕР 17.1. В качестве примера применения метода сальдо
рассмотрим перенос тепла в системе, состоящей из двух
бесконечных параллельных пластин при температурах Тг и Т2 (7\ > Г2),
между которыми заключен газ при постоянной температуре Tg.
Используя (17.20) применительно к замкнутой системе,
состоящей из двух поверхностей (Fx-i = F2_2 — 0), получим при к = 1
-Г- dqK 1 - Fi-a i-^* TXf i-2 dqK 2 =
= е%ъ, 1 dX— Fi_2Tx, 1~2^яь, 2 dk— F^2a%t i-^xfr, g dh, (17.22a)

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 625
при к = 2
— ^2-i Т€я" 1 *я, 2-i dg^t i -f dga,t 2 =
*:Я, 1 СЯ, 2
= ~^2-1^я,2-1еяь, 1 dX — F2-iCCx, 2-i^b, gdX~\- е^ь, 2 d^. (17.226)
Для системы, состоящей из двух бесконечных параллельных
пластин, Fj_2 = F2-! = 1, а из (17.-17) и (17.18) следует, что
тя, 2-i = тя, i-2 H^a^a-i = ая, i-г- Для простоты опустим
числовые индексы при ти а. Тогда уравнения (17.22а) и (17.226) примут
вид
тт— dQK 1 р ^ ть d5X 2 = Кб, 1 — Че%ъ, 2 — аКеКЪ, g) dX, (17.23а)
= (— т*Аь, 1 + е^ъ, 2 — а^ь. g) dX. (17.236)
Уравнения (17.23а) и (17.236) решаются совместно относительно
^я,1 и dq%f2. Используя соотношение ах = 1 — тх, после
преобразований получим
j\
d<lK 1 = 7—Та—;—77а—;—ГТ &*» &*•*Л (вхь>i"~ **•*•2) +
1 — (1 —€я.,1) (1 — €х. а) т^
+ 6я, 1 (1 - тя) [1 + (1 - 6х, 2) тх] Кь, 1 - exb, g)h (17.24а)
j^
d9x. 2 = -—-—;———;—т=г {бя. 1бя, 2^я Кь, 2 — *яь, i) +
1 -(1 —€я, i)(l —€я, 2К
+ 6я,2 (1 - т"0 [1 + (1 - бя, i) fx] Кь, 2 - *ль, ,)}. (17.246)
Плотности интегральных потоков излучения, подводимых
соответственно к поверхностям 1 и 2, равны
оо оо
0i= j d(lKi и 02 — j ^я,2. (17.25)
я=о я=о
Плотность интегрального потока излучения, подводимого к газу
для поддержания заданной температуры, равна плотности потока
результирующего излучения, отводимого от пластины.
Следовательно, для параллельных пластин имеем
Яв = ~(?1 + ?.)• (17-26)
Если среда^ между пластинами не поглощает и не испускает
излучение, то х% = 1, а уравнения (17.24а) и (17.246) сводятся к
уравнению (10.10). При наличии излучающего и поглощающего газа
численное интегрирование (17.24а) и (17.246) по всем длинам волн
с целью определения величин q1 и q2 затруднительно ввиду, крайне

626 Глава 17
нерегулярного изменения коэффициента поглощения газа в
зависимости от длины волны. В разд. 17.7 это интегрирование будет
выполнено путем разделения спектра на ряд полос конечной
ширины, в которых излучение либо поглощается, либо не
поглощается.
17.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ
СРЕДНЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОПУСКАТЕЛЬНОЙ
И ПОГЛОЩАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТЕЙ
Для вычисления различных величин по уравнениям
теплообмена излучением нужно определить значения т и а или (AFx)
и (AFa). Применяя определения (17.9) и (17.10), получим
AjFj^K „ = j J *^-*№Ь™Ь dAjdAh, (17.27>
AkAj
АМ-ьЪ. ,-ь = J J [1^eXP(^flg2]CQSpfeCQS^ *A, dAk =
AkAj
= AjFj.k(l-xKJ_k). (17.28)
Уравнение (17.27) содержит двойной интеграл, который нужно
решить при различных положениях поверхностей Aj и Ak.
Вычислим теперь его для некоторых геометрических конфигураций.
17.4.1. Излучение полусферы на элементарную площадку
в центре ее основания
Пусть Aj — площадь поверхности полусферы радиусом Я,
a dAk — элементарная площадка в центре ее основания (фиг. 17.4).
. Так как S = Д, а р,- = 0 (луч R
^^^^ r-dA» перпендикулярен поверхности по-
^<£^Ц—^s^^T ' лусферы), то уравнение (17.27)
/( I J^hch*0 будет иметь вид
/ "_ А —~у^1. V J AjdFj-dh^x, j-dk =
ил f exp(--aai?)cospftco3(0)
= dAk ) Ж2 dAh
AJ
В качестве элементарной пло-
Фиг. 17.4. Полусфера, заполнен- щадки dA удобНо использовать
ная изотермическим газом. ^ ^ 0JJ^ -. л
г кольцевой элемент аЛ7- =
2я#2 sin p^dpfe. При этом множители, содержащие Я, можно
вывести из-под знака интеграла, так как для полусферы R — посто-

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 627
янная величина. В результате получим
л/2
A,dFj.dkTK ,-ц = dAk ехр (-^ff 2пт j cospfcsmMP*=
= dAkexv( — akR).
Используя Aj dFj__dk = dAkFdk_j и отмечая, что Fdh_i = 1,
приведем последнее соотношение к виду
Тх,^л = ехр(-аяД). (17.29)
Это простое выражение будет позднее использовано в связи с
понятием средней длины пути луча. Существуют приближенные приемы,
с помощью которых излучение реального объема газа заменяется
эффективным полусферическим излучением газа.
17.4.2. Излучение верхнего основания
прямого кругового цилиндра на центр нижнего основания
Геометрическая конфигурация для этого случая показана
на фиг. 17.5. Так как Ру = pfe == Р, то для верхнего основания
цилиндра Aj, излучающего на элементарную площадку в центре
нижнего основания, интеграл в уравнении (17.27) становится
равным
Aj dFj_dkTK ,_Л = dAk j exp(-fficos«P ^ {11 щ
Аз
Можно преобразовать этот интеграл к удобному виду, принимая
во внимание, что dAj cos f>/S2 — телесный угол, под которым:
кольцевой элемент dAj виден с элементарной площадки dAk.
Если рассмотреть пересечение этого телесного угла с поверхностью-
полусферы единичного радиуса, то оказывается, что этот телесный
угол также равен 2я sin Р dp. Подставив это выражение в интеграл
(17.30), после преобразований получим
Aj dFj_dkTki j_dk = dAk \ ехр (— aKS) 2 cos p sin p dp. (17.31)
AJ
Примем теперь a^S = x^. Тогда, согласно фиг. 17.5, cos p =
= hlS = hajycx и sin P dp = — d (cos P) = (hajycl) dxx. G
увеличением P от 0 до pm переменная кх изменяется в пределах от аф
до aKYR2 + /г2. Следовательно, соотношение (17.31) примет вид
ах УЯ2+Л2
AjdFj^j^^dAaWal ( eXV(~Xl) dKX. (17.32)

628
Глава 17
Дважды интегрируя по частям, получим
ехр( — к*) . ехр( — и*,)
Aj dFj-dk%b, j„dh = (аф)2 dAk (
ехр(-ия) ^ \<У> /(д/л)1+1
(17.33)
Интеграл в правой части представляет собою табулированную
интегроэкспоненциальную функцию, так что конечный результат
можно получить без труда для различных значений параметров
R/h и a%h.
Фиг. 17.5. К расчету теплообмена излучением между верхним основанием
прямого кругового цилиндра, заполненного газом, и элементарной
площадкой в центре нижнего основания.
Интеграл в уравнении (17.32) можно также найти
непосредственно с помощью интегроэкспоненциальной функции,
определенной согласно (14.45):
а% Ут+къ
ехр( — ия.)
ая Y№ + h*
dv.%
ехр( —ия)
dxx
ехр( — ия.)
du%.

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 629
Приняв хя = (а^У Rz + й2)/|х и aji/[i соответственно в двух
интегралах, получим
/ LflTp( чУШ+»)лр +
1
+7^)^ехр(-^-)^-
О
Интеграл в уравнении (17.32) можно тогда записать через интегро-
экспоненциальную функцию в виде
aKh
1
wEz[a*-/(*.)*+I]. (17.34)
lakhV(R/h)*-
17.4.3. Излучение боковой поверхности цилиндра
на центр его основания
Пусть dAj — кольцевая площадка на стенке цилиндра
(фиг. 17.6), a dAj cos (3/AS2 — телесный угол, под которым dAj
видна с элементарной площадки dAk. Этот телесный угол равен
также 2я sin Р^Р^. Тогда (17.27) можно переписать для данного
случая в виде
A j dFj.dk\, j-dk = 2dAk j exp (— axS) cos pfe sin pfe d$k. (17.35)
Это уравнение имеет тот же вид, что и (17.31). Пусть a^S = хя,
тогда sin pfe = RlS = Rajy.^ и cos Рь^Рь = d (sin P&) =
= — (Rajxl) dyiK. Сделаем эти подстановки и проинтегрируем
(17.35) по частям, как и уравнение (17.38):
a^Vm-h*
AjdFj_dh4tj__dh = 2dAbR*al j
ехр( —xQ dKb =
лл /#\2/ г,ч2/ ехр(-хя) exp(-xQ
+ r^(z-Odx\-x^(W+ie (173ва)

€30
Глава 17
С другой стороны, при использовании уравнения (17.34)
получаем
А;йР^^2йАк (£) W {^Щщ*** [^ (х)]~
щщшЕЛа%кУТЁЩТ1]У (17-36б)
Как и в случае уравнения (17.33) или (17.34), можно легко
получить решения при различных значениях параметров Rlh и aji.
[<*Ф
-dA;
Фиг. 17.6. К расчету теплообмена излучением между боковой поверхностью
цилиндра, заполненного газом, и элементарной площадкой в центре
основания.
17.4.4. Излучение сферы к элементарной площадке
на ее поверхности или на всю поверхность
Как следует из фиг. 17.7, pfe == р,, поэтому обозначим оба
угла просто р. Тогда S = 2R cos Р и, используя (17.31), получим
AjdFj-a%KJ-dk = 2tfr- J e*V(-akS)SdS.
s=o
Интегрируя, находим
A]dFj.dhrKJ_dk = -^^[l-(2a},R+l) exp (-2a,R)}. (17.37)

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 631
Это уравнение содержит в качестве параметра лишь величину
2а%R, являющуюся оптическим диаметром сферы.
Уравнение (17.37) можно проинтегрировать по какой-либо
конечной площадке Ak и получить выражение для тх, которое
dAk
Фиг. 17.7. К расчету излучения поверхности сферы, заполненной газом,
на саму себя.
относится к излучению всей сферы на Ak:
AjFj-нЪ, ,_k =^[1 - (2а J{ + 1) exp (- 2axR)}.
Так как Fj_k = AJAj [на основании уравнения (8.65)], то
^-к = 7^Ь^11~(2ахД + 1)ехр(~~2ахй)1- <17-38)
Это соотношение пригодно также для расчета излучения всей
сферической поверхности на саму себя.
17.4.5. Излучение бесконечно протяженной пластины
к площадке на поверхности другой пластины,
параллельной первой
Если на одной пластине расположена элементарная площадка
dAk (фиг. 17.8,), а на другой — кольцевой элемент dAj, через
ось которого проходит нормаль к dAh, то эта конфигурация будет
аналогична изображенной на фиг. 17.5 для случая излучения
кольцевого элемента верхнего основания прямого кругового
цилиндра на центр нижнего основания. Тогда, согласно уравне-

632
Глава 17
нию (17.32), имеем
AjdFj.dk'xKJ.dk = dAk2D2al j
axD
ехр( — хд,)
dxx
где Z) — расстояние между пластинами. Выполняя
преобразования, подобные примененным при выводе (17.34), приведем
последний интеграл к виду Е3 (axD)/(axD)2. Последующее
интегрирование по площадке конечных размеров Ah, показанной на фиг. 17.8,
Фиг. 17.8 Изотермический слой газа между бесконечными параллельными
пластинами.
приводит к соотношению AjFj^kxKf j_k = Ak2Ed (axD). С учетом
AjFj_k = AkFk_j и Fk_j = 1 это соотношение сводится к
следующему:
Чн = 2£зМ). (17.39)
17.4.6. Излучение в системе двух прямоугольников,
расположенных в параллельных плоскостях
друг против друга
Рассмотрим теплообмен излучением между прямоугольником
и элементом площади другого прямоугольника, расположенного
в параллельной плоскости против первого прямоугольника
(фиг. 17.9). Выделим в верхнем прямоугольнике круговую
область и ряд кольцевых элементов небольшой ширины. Вклад
круга радиусом R в величину AjdFj_dkxX} j__dk можно найти
из уравнения (17.33), выведенного для излучения верхнего
основания прямого кругового цилиндра на центр нижнего
основания. Пусть для гс-го кольцевого элемента величина /п будет
равна отношению занимаемой им площади к площади всего кольца.

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 633
Тогда с помощью уравнения (17.31) можно приближенно
определить вклад всех кольцевых элементов в величину AjdFj_dkxx,j_dk
dAk 2 fn exp (— a,bSn) 2 cos pn sin pnДpn.
n
Оценка этой величины выполнена для нескольких площадок,
прилегающих к Ah. Обычно этого бывает достаточно, так что интегри-
а- п-ое ко/гьцо
Фиг. 17.9. К расчету теплообмена излучением между двумя параллельными
прямоугольниками, расположенными друг против друга в параллельных
плоскостях. Пространство между прямоугольниками заполнено
непрозрачным газом.
рование по площади Ak может быть выполнено в соответствии
с уравнением (17.9). В результате получим
AjFj_kxK j.k = j AjdFj_dkxK j_dk.
Ak
17.5. СРЕДНЯЯ ДЛИНА ПУТИ ЛУЧА
ПРИ ИЗЛУЧЕНИИ ОБЪЕМА ГАЗА НА ВСЮ
ГРАНИЧНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ИЛИ ЧАСТЬ ЕЕ
В некоторых практических случаях желательно определить
поток излучения от массы изотермического газа ко всей граничной
поверхности или части ее без учета собственного или отраженного
излучения. Примером может служить излучение от горячих
топочных газов к холодным стенкам, собственное излучение
которых мало, а поверхность шероховатая и загрязнена сажей, так что
она практически не отражает излучение. Тогда dqXo, j» плотность
монохроматического потока эффективного излучения поверхности

634
Глава 17
Aj в уравнении (17.13), должна быть равна нулю.
Монохроматический поток излучения, падающего на поверхности Akl равен
Ak dq%i) k = ^ е%.ъ, g dkAjF^kaK y_fe. (17.40)
j=i
Если полусферический объем газа излучает на элементарную
площадку dAk в центре основания полусферы, как это показано
на фиг. 17.4, то уравнение (17.40) имеет особенно простую форму.
Так как с площадки dAk видна лишь поверхность полусферы,
а сама площадка dAk является элементарной, то уравнение (17.40)
приводится к виду
dAk dqKi, k - exbj g dXAj dFj-dkaK j-dk. (17.41)
Из уравнения (17.29) следует
aK j_dk = 1—хк j-dk = 1 — exp (— aKR).
Отметим также, что при теплообмене излучением между
поверхностью полусферы и центром ее основания Fdk-j = 1, так что
из соотношения взаимности dFj_dk = dAjAj. С учетом этих
результатов уравнение (17.41) сводится к простому выражению,
определяющему плотность потока излучения от объема газа
полусферической формы, падающего на центр основания полусферы:
dqu, и = [1 — exp (— axR) ]е%ъ, g dX. (17.42)
Согласно (13.42), величина 1 — exp (—aKR) является
спектральной степенью черноты газа £^ (К, Т, Р, R) при длине пути луча
R1). Тогда уравнение (17.42) примет вид
dqu, k = Еь (a\R) ехъ, g dX. (17.43)
Следовательно, получено весьма простое выражение для
плотности потока излучения полусферического объема газа радиусом
i?, падающего на площадку dAk. Этот поток зависит от оптического
радиуса полусферы aKR.
Было бы очень удобно, если бы простое соотношение (17.43)
можно было использовать для определения плотности потока
излучения dqxik, падающего на Ak при любой геометрической
форме объема газа, излучающего на всю граничную поверхность или
часть ее, а не только для полусферического объема газа,
излучающего на центр основания полусферы. Поскольку форма объема
газа учитывается только величиной £к (a^R), можно найти
фиктивное значение Я, скажем Le, которому соответствует такая функция
6х (axLe), что соотношение (17.43) определяет точное значение
dqKi для другой формы объема. Эта фиктивная длина пути луча Lc
х) Для простоты опущены штриховые индексы, используемые для
направленных величин; в данном случае величина £^ не зависит от направления.

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 635
называется средней длиной пути луча. Следовательно, для объема
газа произвольной формы
dq%t, k = b (axLe) е^ь, g dX = [ 1 — exp (— axLe)] e%b) g dX. (17.44)
Таким образом, средняя длина пути луча представляет собой
радиус такой полусферы, плотность потока падающего излучения
которой к центру ее основания равна средней плотности потока
излучения, падающего на рассматриваемый элемент поверхности
от реального объема газа.
17.5.1. Средняя длина пути луча для слоя газа
между параллельными пластинами,
излучающего на поверхность одной из них
В качестве примера рассмотрим систему из двух черных
бесконечных пластин, имеющих нулевую абсолютною температуру
и разделенных расстоянием D. Между пластинами находится
однородный газ при температуре Тg, коэффициент поглощения
которого равен ах. Согласно уравениям (17.39) и (17.40),
монохроматический поток излучения, падающего на площадку Ah на одной
из пластин (фиг. 17.8), равен
dQu, h = Ak dqUy k = еХь, g dXAJFj_haKy hk =
= e^ g dXAjFj.k [1 - 2E3 (akD)]. (17.45)
Так как пластины бесконечные, то Fk_/ = 1. Тогда из
соотношения взаимности (7.25) следует Fj_k = AJAj и уравнение (17.45)
сводится к виду
dqu, л = [1 - 2£3 (аф)] ehb, и ^- (17.46)
Из уравнений (17.46) и (17.44) следует, что средняя длина пути
луча должна быть равна
£Р=--!-1п[2ЯзК£>)],
или с использованием выражения для оптической толщины axD
^-^ln[2£3(a,fl)]. (17.47)
17.5.2. Средняя длина пути луча для сферического объема газа,
излучающего на какую-либо площадку
граничной поверхности
Рассмотрим газ, заключенный в сфере радиусом R, когда
поверхность сферы Aj имеет температуру Tj — 0. С учетом уравнений
(17.40) и (17.37) плотность потока излучения, падающего на элемент

636
Глава 17
dAh, равна
А - — Aj
dqu, dk = eKb, g dK -^- dF^dhaK j.dk = еКЪу g dl -jj- dF3-dh X
Для сферы dFj_dk = dAJAj [с учетом уравнения (8.64)].
Следовательно,
dqutdh^ey,b,8dk{l^^^[l^(2akR + l)exp(-2aKR)]}.
Приравнивая правые части этого равенства и (17.44), получим
соотношение
1 — ехр (— акЬе) = 1 — {2axRj2 I1 — (2a*.R + 1) ехр (— 2aKR)]y
из которого следует
#=-l^14(2W[1-^fl + 1)eXp(--2a^)]}- (17-48)'
Ввиду универсальности (17.38) уравнение (17.48) определяет
точное среднее значение длины пути луча для всего сферического
объема, излучающего на какую-либо часть своей поверхности.
17.5.3. Излучение объема газа на всю граничную поверхность
в предельном случае оптически тонкого газа
Вследствие необходимости интегрирования обычно бывает
трудно определить среднюю длину пути луча. К счастью,
некоторые представляющие практический интерес приближенные
выражения для средней длины пути луча можно достаточно просто
получить в предельном случае оптически тонкого газа. В этом
случае, разлагая в ряд экспоненциальный член относительно
малой величины a kS, получим выражение для пропускательной
способности тх — ехр (—axS) в виде
lim тл= lim Г1_а^ + -^-...1 = 1.
Элементарный объем газа при постоянной температуре испускает
монохроматический поток излучения AaKeKb,gd,kdV. Так как тк = 1,
то ослабления излучения не происходит и весь поток излучения
достигает поверхности оболочки. Для всего излучающего объема
газа поток излучения, падающий на граничную поверхность, равен
AaKe%h^gdXV, так что средняя плотность монохроматического
потока излучения на поверхности А равна
dqu=4akeKb,gM-A- (17.49)

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 637
Используя понятие о средней длине пути луча, с помощью
уравнения (17.44) выразим среднюю величину потока излучения,
падающего на граничную поверхность:
dqu — [1 — ехр (— aKLe)] eKbj g dl. (17.50)
В предельном случае малого поглощения обозначим Le~через
Le> 0. Затем разложим экспоненциальный член в уравнении (17.50)
в ряд относительно малой величины axL6} 0
dqu= {l — [ 1 — aKLet0 + ^L£о)' — • • •]} ekbfgdl = aKLe>0ekbtgdX.
Приравнивая полученное выражение величине dqhil
определяемой (17.49), получим желаемое соотношение для средней длины
пути луча в оптически тонком газе, излучающем на всю
граничную поверхность:
Ье,0 = ^-. (17.51)
Приведем несколько примеров. Для сферы диаметром D
*...=^=4* <17-52>
для бесконечно длинного цилиндра диаметром D
Le,0=*^=D; (17.53)
для газа, заключенного между двумя бесконечно длинными
параллельными пластинами, расположенными на расстоянии D,
LP,0 = ^- = 2D. (17.54)
17.5.4. Поправки к средней длине пути луча
при невыполнении условия оптически тонкого газа
В случае оптически толстого газа было бы очень удобно
определить величину Le путем введения поправочного множителя
к величинр Le> 0, вычисленной по уравнению (17.51). Проще всего
ввести поправочный множитель в виде
Le = CLe,0. (17.55)
Тогда плотность потока падающего излучения в уравнении (17.50)
может быть получена в виде
dq%i = [1 — ехр (—axCLe,0)] ekbf gdX. (17.56)
Определим теперь коэффициент С на примере излучающего
газа, заключенного между двумя бесконечными параллельными

638
Глава 17
пластинами, отстоящими друг от друга на расстоянии D.
Используя уравнения (17.54) и (17.56), получим
dqu = [1 — ехр (—axC2D)] elbfgdX.
Согласно (17.46), определим действительную плотность потока
излучения, падающего на пластину:
dqu = [1 — 2Е3 (аф)\ еКЪу gdk.
Чтобы можно было сравнить эти плотности потоков излучения,
на фиг. 17.10 представлена зависимость
l~2E3(aKD)
1 — ех?( — 2СахП)
от оптической толщины a%D, полученная при использовании
величины С = 0,9. Величина С подобрана таким образом, что для
1,05 сг
0,95
0,90
0,04 0,06 0,08 0,1
Фиг. 17.10. Отношение степени черноты слоя газа к соответствующей
величине, рассчитанной по средней длине пути луча L8 = 1,8 D.
всех значений аф это отношение близко к единице, и,
следовательно, служит удобным поправочным множителем.
В табл. 17.1 для нескольких конфигураций приведены средняя
длина пути луча Le, 0 и величина Le, при использовании которой
получаются приемлемые значения плотности потока излучения,
когда оптическая толщина не равна нулю. Значение С должно
быть близким к 0,9 [1—3]. Следовательно, если для некоторых
конфигураций величина С не может быть вычислена достаточно
просто, то для объема газа, излучающего на всю граничную
поверхность, можно рекомендовать приближенное соотношение
LP = 0,9Lt, о = 0,9
AV
(17.57)

Таблица 17.2
Значения средней длины пути луча при излучении всего объема газа
Конфигурация объема
газа
Полусфера, излучающая
на элементарную
площадку в центре ее
основания
Сфера, излучающая на
свою же поверхность
Круговой цилиндр
высотой, равной
диаметру, излучающий на
центр основания
Круговой цилиндр
бесконечной высоты,
излучающий на боковую
поверхность
Круговой цилиндр иолу-
бесконечной высоты,
излучающий на
элементарную площадку в
центре его основания
Круговой цилиндр
полубесконечной высоты,
излучающий на всю
поверхность основания
Круговой цилиндр
высотой, равной
диаметру, излучающий на всю
поверхность
Цилиндр бесконечной
высоты с полукруглым
поперечным сечением,
излучающий на
элементарную площадку в
центре плоской
прямоугольной поверхности
Характерный
размер
Радиус R
Диаметр D
То же
» »
» »
» »
| » »
Радиус R
Средняя 1
длина пути
луча для
оптической
толщины
Le, 0
i
R
VsD
0,77Z)
D
D
0,812)
VsD
Средняя 1
длина пути I
луча с учетом
конечного
значения
оптической
толщины 1),
Le 1
Я
0,65/)
0,74/)
0,95/)
0,90/)
0,65/)
0,60/)
1,26/?
C=LeJLe, 0
1
0,97
0,92
0,95
0,90
0,80
0,90

Продолжение табл. 17.1
Конфигурация объема
газа
Бесконечный плоский
слой газа, излучающий
на элементарную
площадку, расположенную
на одной из граничных
поверхностей
Бесконечный плоский
слой газа, излучающий на
обе граничные
поверхности
Куб, излучающий на
боковую поверхность
Прямоугольный
параллелепипед:
(излучающий на
[грань 1x4,
1 v 1 v А) излучающий на
1Х1Х41грань 1x1,
! излучающий на
\^всю поверхность
Г излучающий на
грань 2x6,
излучающий на
1х2х6( грань 1X6,
J излучающий на
грань 1X2,
излучающий на
V всю поверхность
Объем газа, содержащий
пучок труб бесконечной
длины и излучающий на
одиночную трубу:
оси труб проходят через
вершины
равностороннего треугольника:
£ = 2£
S = 3D
оси труб проходят через
вершины квадрата
S = 2D
Характерный
размер
Толщина
слоя D
То же
Ребро X
Наименьшее
ребро
X
Диаметр
труб D и
расстояние
между
центрами труб
S
Средняя
длина пути
луча для
оптической
толщины
Le,0
2D
2D
2/зХ
0,90Х
0,86Х
0,89Х
1,18Х
1.24Х
1,18Х
1.20Х
3,4 (S — D)
4,45 (S — D)
4,1 (S — D)
Средняя
длина пути
луча с учетом
конечного
значения
оптической
толщины !),
1.8D
1.8Z)
0,6Х
0,82Х
0,71Х
0,81Х
3,0(5 — D)
3,8 (S — D)
3,5 (S — D)
C=L /L Л
е' е,0
0,90
0,90
0,90
0,91
0,83
0,91
0,88
0,85
0,85
1) Поправки аналогичны предложенным Хоттелем и др. [1,2] или Эккертом [3].
В случае расхождения данных [1—3] выбраны поправочные множители,
обеспечивающие максимальное значение L .

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 641
17.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
МЕЖДУ ОБЪЕМОМ ГАЗА И ЧЕРНОЙ ГРАНИЧНОЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПОНЯТИЯ
О СРЕДНЕЙ ДЛИНЕ ПУТИ ЛУЧА
Поверхность топок обычно бывает шероховатой и, покрыта
сажей, так что ее можно считать практически черной. Теплообмен
излучением между топочными газами и поверхностями топок
имеет важное промышленное значение. В этом разделе будет
рассмотрен простой случай интегрального теплообмена
излучением между объемом газа и черной замкнутой граничной
поверхностью. При этом используется понятие о средней длине пути
луча.
17.6.1. Излучение газа
на всю граничную поверхность или часть ее
Согласно соотношению (17.57), средняя длина пути луча в
первом приближении не зависит от величины ах. Это означает, что Le
может использоваться в качестве характерного размера газового
объема и считаться постоянной величиной при интегрировании
по длине волны. Плотность интегрального потока излучения
газа, падающего на поверхность, определяется путем
интегрирования уравнения (17.44) по длине волны %
оо
?i= j [1— ехр( — axLe)]e%b,gdk, (17.58)
о
где Le не зависит от X. Определим теперь интегральную степень
черноты газа £g в виде
qt = eg°T*. (17.59)
Приравнивая два последних соотношения, получим
сю
| «Я6, g[l — ехр(—афе)]<И
es = ^ щ • (17.60)
Величина £g является удобной характеристикой, которую
можно представить в графической форме для каждого газа в
переменных Le и Тg. Следовательно, для определенной конфигурации
объема и известного состава газа можно найти £g и применить
ее в расчетах по уравнению (17.59).
Представленные здесь номограммы Gg построены Хоттелем [1]
на основе большого количества экспериментальных данных.
Поскольку ак зависит от плотности газа, то в качестве параметра
используется давление газа. Для смеси газов параметрами являются

642
Глава 17
полное давление смеси и парциальное давление рассматриваемых
излучающих компонентов. Номограммы 6# для углекислого газа
были приведены на фиг. 13.11. В этой главе представлены более
подробные номограммы для С02 и водяного пара (фиг. 17.11
и 17.13). Номограммы для сернистого ангидрида, аммиака, окиси
углерода, метана и ряда других газов можно найти в [2].
При расчете потока излучения, падающего на поверхность А,
с использованием соотношения (17.59)
Q^q.A^AegOTl (17.61)
сначала по табл. 17.1 или соотношению (17.57) определяют
среднюю длину пути луча для определенной конфигурации объема
0,3
0,01
0,008
0,006
0,005
0,004
0,003
PC0Le, Па-м
|150000
90000
60000
45000
30000
24000
18000
12000
9000
6000
4 500
3000
2400
1600
1200
900
600
450
300
240
Tg, К
Фиг. 17.11. Интегральная степень черноты углекислого газа в смеси при
полном давлении 0,101 МПа (1 атм) [1].
газа. Затем по известным значениям парциального давления газа
и его температуры по фиг. 17.11—17.15 определяют степень
черноты газа. На фиг. 17.11 приведена интегральная степень
черноты С02, полученная экспериментально для смеси с непоглощаю
щими газами, когда полное давление смеси составляло 0,101 МПа
(1 атм), а парциальное давление С02 изменялось. Пунктирными
линиями показаны области значений £б, не подтвержденные экспе-

2,0
1,5
1,0
о 0,8
° 0,6
0,4
0*3
|—Mill 1 1—|—
Г" Pco2Le, Па-м
75000
1 /30 000
| / / 15000 ^-==^^^
Г^-^^О^^7500
Ur^^Oc 3боо
Г>^Ог 1500
—_Х^ 0/л 0 до 600 .
Ufl III 1 II
Т"~| | гтт
1 Mill
От 0 Л» 600 \—г-
1500 \^<
3600/>^
-^вР
7500 у/у
15000 '//
30000 л/
75000 Х
1 1
1 |
J
1
Ь,005 0,008 0,01 0,02 0,03 0,05 0,08 ОД 0,2 0,3 0,5
Р, МПа
Фиг. 17.12. Поправка на давление к интегральной степени черноты С02
при значениях Р, отличающихся от 0,101 МПа (1 атм) [1].
Cqq2 — поправка на давление; Р — полное давление смеси газа.
0,01
0,009
0,008
0,007
PH20Le>
Па-м
зо оо а
24000
18000
15000
1 12000
1 9000
7500
6000
4500
3600
3000
Тд, К
Фиг. 17.13. Интегральная степень черноты водяного пара в предельном
случае нулевого парциального давления в смеси при полном давлении
0,101 МПа (1 атм) [1].

644
Глава 17
риментальными данными. При полном давлении смеси,
отличающемся от атмосферного, следует использовать поправку на уши-
1,8
1,6
1,4
1,2
см
о 0,8
0,6
0,4
0,2
0
ч
\~
1 "— 1 "I "' 1; " » "■
» п„ ^ От 0 до 1500 ^
PH20Le» Па*м 7500 \^>^
15000 ч^^^^
зоооо \&%&^^~гт
^^^^^/ / 75000
^S^T / 150000
,^$ёР^ 300000
i I 1 ! 1
^d
Ч
-|
0,02 0,04 0,06 0,08
(Р+Рнго)/2> МПа
0,10 0,12
Фиг. 17.14. Поправка на давление к интегральной степени черноты
водяного пара при значениях Рщо и Р, отличающихся соответственно от 0 и 0,101МПа
(1 атм) [1]:
СдгО — поправка на давление; (Р + РНгО^ — среднее давление.
рение за счет давления [1], которая представлена в виде
поправочного коэффициента ССо2 (фиг. 17.12). В случае водяного пара
—т—l—|—г
150000
90000
60 000
45000
30000
22000 '
15000
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рн2оДс:° + Рн2о)
а 6 6
Фиг. 17.15. Поправка к интегральной степени черноты в случае
перекрывания полос, когда в смеси присутствуют С02 и водяной пар [1].
а — температура газа Tg = 400 К; б — температура газа Т = 813 К; в — температура
газа Т ^ 1200 К; А£ — поправка на перекрывание полос.
степень черноты более сложным образом зависит/ от парциального
давления водяного пара и полного давления смеси. Значения

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 645
степени черноты на фиг. 17.13 с помощью множителя, зависящего
от рн2о и pn2oLe, приведены к предельным значениям,
соответствующим близкому к нулю парциальному давлению рн2о в смеси,
полное давление которой Р = 0,101 МПа (1 атм). Для учета
действительных значений парциального и полного давлений
на фиг. 17.14 приведен поправочный коэффициент Сщо- Если
в смеси газов присутствуют одновременно и С02 и водяной пар,
то нужно дополнительно включить в расчет величину Д£,
учитывающую уменьшение степени черноты вследствие перекрывания
спектральных полос поглощения С02 и Н20. Эту поправку можно
определить по фиг. 17.15. Тогда степень черноты смеси С02 и
водяного пара в непоглощающем газе определяется соотношением
€$ = ^со2€со2 + Сн2о£н2о — Д£. (17.62)
17.6.2. Теплообмен излучением между объемом газа
и граничной поверхностью
Хоттель [1] разработал простой приближенный метод расчета
для случая, когда охлаждаемая граничная поверхность черная,
а температура ее такова, что поверхность испускает заметное
излучение. Интегральный поток результирующего излучения,
отводимый от стенки, должен быть равен потоку энергии от какого-
либо внешнего источника тепловыделения, например потоку тепла,
образующегося при сгорании газов. Если составить тепловой
баланс для газа, то оказывается, что средний поток
результирующего излучения, отводимый от стенки, равен потоку собственного
излучения газа за вычетом излучения от стенки, которое
поглощается газом, а именно
4 = а ie*Te- <*g Ww) тъл- (17-63)
Величина ag(Tir) — поглощательная способность газа
относительно излучения, испускаемого стенками при температуре Tw.
Эта величина зависит от температуры стенки Tw, поскольку
последняя определяет спектральное распределение излучения,
поглощенного газом. Согласно [1], величина а^ может быть
определена из соотношения
аё = «со2 + сбЙ2о — Да, (17.64)
где
aco2^Cc026So2(-^)065, (17.65)
ан2о = Сн2осн2о(у^) '* > (17.66)
Да=(Де)приг,„. (17.67)
Величины £со2 и £н2о являются соответственно степенями
черноты £со2 и 6н2о> определенными на фиг. 17.11 и 17.13 при

€46
Глава 17
Tw и соответствующих параметрахрсог^Л^и/^^ирнгО A? {TwITg).
Более подробная информация содержится в работах [1, 2].
ПРИМЕР 17.2. Резервуар с охлаждаемыми стенками, имеющий
форму прямого кругового цилиндра диаметром 1,22 и длиной
1,22 м, заполнен горячим газом при полном давлении 0,101 МПа
(1 атм). Внутренняя поверхность резервуара черная. Газ состоит
из двух компонентов: прозрачного газа при парциальном давлении
0,076 МПа (0,75 атм) и углекислого газа. Смесь хорошо
перемешана и имеет температуру 1110 К. Какой тепловой поток нужно
отвести от стенок резервуара, чтобы сохранить их температуру
неизменной, если охлаждение стенок достаточно интенсивное,
так что нужно принимать во внимание лишь излучение газа?
Газовый объем представляет собой прямой круговой цилиндр
конечной длины. Нужно вычислить поток излучения от газа
к стенкам. Излучение от охлаждаемых стенок пренебрежимо
мало. Используя таблицу 17.1, найдем значение длины пути луча,
в данном случае Le = 0,60 D = 0,732 м. Парциальное давление
С02 равно 0,0252 МПа (0,25 атм), поэтому рСо2 Le = 0,0252 -0,732 =
— 0,0184 МПа-м. Согласно фиг. 17.11, 6со2 (Рсо2 Le, Тg) =
= 0,13, а значение Ссо21 определенное по фиг. 17.12, равно 1,0,
так как полное давление смеси равно 0,101 МПа (1 атм).
Предполагая, что стенки резервуара стодь холодные, что их излучение
пренебрежимо мало, по соотношению (17.61) рассчитаем поток
тепла, который следует отвести:
Qi = ^co2oTAgA= 0,13-5,729-1СГ8 (1110)4.2,23я = 78,8 кВт.
17.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПОТОКА
ИЗЛУЧЕНИЯ В ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ ПУТЕМ
СУММИРОВАНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Приближение средней длины пути луча, использованное в
предыдущем разделе, относилось к излучению от объема газа ко всей
черной граничной поверхности или части ее, а также к осредненным
характеристикам теплообмена между газом и черной
изотермической граничной поверхностью. В случае более общего анализа
излучения в замкнутой системе следует рассматривать
интегральный теплообмен излучением между различными парами участков
граничной поверхности, имеющими разные температуры. При этом
нужно проинтегрировать уравнения теплообмена излучением,
содержащие величины т^ и а^, по всем длинам волн. Для
иллюстрации необходимости в подобном интегрировании был приведен
пример 17.1, где рассмотрена система из двух параллельных пластин.
Форма спектральных уравнений задается соотношением (17.20),
которое связывает плотность монохроматического потока излуче-

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 647
ния черного тела при температуре газа и плотности
монохроматических потоков результирующего излучения dqx в бесконечно малом
интервале длин волн для каждой поверхности. При нахождении
решения с учетом спектральных эффектов, как и в случае замкнутой
системы тел, заполненной непоглощающей средой (разд. 10.3), для
каждого значения длины волны решается система уравнений
относительно dqi (в предположении, что температуры поверхностей
заданы) и затем производится интегрирование повеем длинам волн.
В практических задачах об излучении газов зависимость их свойств
от длины волны имеет такой нерегулярный характер, что
интегрирование по всему спектру % становится практически невозможным.
Это заставляет обратиться в расчетах к полосам, расположенным
в ограниченном интервале длин волн.
17.7.1. Уравнения для полос
Приближенный подход, который можно использовать для
интегрирования уравнений по длине волны, состоит в том, что
спектр разбивается на поглощающие и непоглощающие полосы.
Интегрирование (17.20) в пределах типичной полосы А^ дает
N
= J 2 l(Skj — Fk-jTK h4) ekb, s — Fk4aK п-^ьъ, g] d%. (17.68)
ДА, j=l
Теперь предположим, что полосы достаточно узкие, так что
величины dqk,j, 6ъ h та..ь-.р ак ъ-h eib,jKe}bfg можно считать
постоянными в пределах ширины каждой полосы и отнесенными
к некоторой средней длине волны в пределах этой полосы или,
в случае т и а, осредненными по полосе (разд. 17.7.2). Тогда для
полосы I уравнение (17.68) можно записать в виде
N
2(е-'*-'тгт^-'К''
i=i
N
== 2 [(8hj — Fk-j*i, h-j) е1Ъ> з — Рк_^с1} k-j-elb> g] АХ. (17.69)
j=i _
В области спектра, в которой газ практически не поглощает, Т/ = 1,
аг = 0, поэтому (17.69) принимает вид
N N
2 (^-FW!=M Д?/,,= 2 {bbj-Fk.,)elbtJM. (17.70)
j==l ' ' J j = l
и совпадает с уравнением (8.19).

648
Глава 17
17.7.2. Пропускательная и поглощательная способности
Величина tz й_7-, входящая в уравнение (17.69), определяется
из (17.27) при подстановке в него среднего значениях по полосе,
а именно
[ж J T*(lS)^] cosPjcosPfc
--^-П—-—ш dAkdA>- (17-71)
Ч, k-
Аналогичным образом определяется aLk_j в виде
[ AT J ^(^^Jcos^-cos^
^--i^bH—-—si dA*dAi- <17-72)
AJAk
Для каждой небольшой ширины полосы
al, k-j = 1 — %hh-j
и для определения агитг необходимо вычислить лишь один
интеграл
AhFk.pi9 h4 = j j «*(*>™М"Р* ^ ^. (1773)
AjAk
где
ДА, ДА,
При желании at можно выразить с помощью уравнения (16.73)
через эффективную ширину полосы
а^)=т- <17-74>
Чтобы получить t и а для использования их в уравнении
(17.69), следует вычислить интеграл в уравнении (17.73) для пар
поверхностей конечных размеров в различных полосах. Если
имеется несколько полос, в которых происходит заметное
поглощение, то решение требует значительных затрат времени на
вычисления. Заметную экономию времени и удовлетворительную
точность дает упрощенный метод, предложенный Данклом [4]. Он
предположил, что интегральное поглощение в полосе является
линейной функцией от пути луча. В основу этого предположения
заложены некоторые физические предпосылки, поскольку оно строго
выполняется для слабых полос [уравнение (16.76а)]. Эта
зависимость также справедлива для некоторых величин эффективной

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 649
ширины полосы, приведенных в табл. 16.2. В работе [4] на
нескольких примерах показано, что с помощью этого метода
получаются приемлемые данные по теплообмену излучением.
В связи с этим примем, что величина аг в уравнении (17.73)
подчиняется линейной зависимости
az(5) = Cz5. (17.75)
Определим теперь среднюю длину пути луча £, называемую
среднегеометрической длиной пути луча S^-j, при которой
величина аг, найденная из соотношения (17.75), при использовании
соотношения S = Sk_j будет равна величине ahk-j,
определяемой интегралом уравнения (17.73). Подставляя u>itk-j = Ci&k-j
и аг = CiS в уравнение (17.73), получим
4Л-;СА-, = J J ClScoSn%cos^dAhdAj.
AiAh
Следовательно, соотношение для вычисления среднегеометрической
длины пути луча Sh-j
AJAk
будет зависеть только от геометрической конфигурации. Данкл [4]
вычислил и составил таблицы значений Sk_j для следующих
конфигураций: два одинаковых прямоугольника в параллельных
плоскостях, два взаимно перпендикулярных прямоугольника,
элементарная сферическая поверхность и прямоугольник.
Результаты расчетов для двух одинаковых прямоугольников,
расположенных в параллельных плоскостях друг против друга, приведены
на фиг. 17.16. Табличные данные для двух прямоугольников
в параллельных плоскостях и для двух взаимно перпендикулярных
прямоугольников приведены в табл. 17.2 и 17.3. Величины Sk_j
для других конфигураций приведены Хоттелем и Сэрофим [2].
Соотношения для эффективной ширины полосы, приведенные
в гл. 16, могут быть использованы при определении Л/Для
данного газа с постоянными параметрами. Применяя значение ДА,,
которое определяется в следующем разделе, из уравнения (17.74)
найдем величину аь а из уравнения (17.75), удовлетворяющего
линейной зависимости с^ от длины пути луча, найдем Сг. Тогда
в соответствии со среднегеометрической длиной пути луча между
поверхностями у и А: величина а может быть найдена как CiS,
а т — как 1 — а. После этого для каждой полосы шириной I
решаются уравнения (17.69) и (17.70). Значения интегральных
потоков результирующего излучения на каждой поверхности к

Относительные значения среднегеометрической длины пути луча и угло
расположенных в пара л
Ъ/с
а/с
0
0,1
0,2
0,4
0,6
1,0
2,0
4,0
6,0
10,0
20,0
оо
sk-j
1 h-j
Sh-j
F_k-j
Sk-j
*h-j
sk-j
F_k-j
sk-j
Fk-j
sk-j
Fk-j
sk-j
Fk-j
~sk-j
Fk-.
Sk-.
I Fk-j
~sk-j
Fk-,
Sh-,
Fk-
Sk-<
Fn-
fc
/c !
/c
/c
/c
/e
/c
/c
1С
■lc
ile
f/c
7
0
1,000
1,001
1,003
1,012
1,025
1,055
1,116
1,178
1,205
! 1,230
1,251
1,272
0,1
1,001
1,002
0,00316
1,004
0,00626
1,013
0,01207
1,026
0,01715
1,056
0,02492
1,117
0,03514
1,179
1 0,04210
1,207
0,04463
1,233
0,04671
1,254
0,04829
1,274
0,04988
0,2
1,003
1,004 '
0,00626
1,006
0,01240
1,015
0,02391
1,028
0,03398
1,058
0,04941
1,120
0,06971
1,182
0,08353
i 1,210
0,08859
1,235
0,09271
1,256
0,09586
1,277
0,09902
0,4
1,012
1,013
0,01207
1,015
0,02391
1,024
0,04614
1,037
0,06560
1,067
0,09554
1,129
0,13513
1,192
0,16219
i 1,220
0,17209
1,245
0,18021
1,267
0,18638
1,289
0,19258
0,6
1,025
1,026
0,01715
1,028
0,03398
1,037
0,06560
1,050
0,09336
1,080
0,13627
1,143
0,19341
1,206
0,23271
1,235
0,24712
1,261
0,25896
1,282
[ 0,26795
1 1,306
' 0,27698

Таблица 17.2
вых коэффициентов для двух прямоугольников одинакового размера,
лельных плоскостях [4]
1,0
1,055
1,056
0,02492
1,058
0,04941
1,067
0,09554
1,080
0,13627
1,110
0,19982
1,175
0,28588
1,242
0,34596
1,272
0,36813
1,300
0,38638
1,324
0,40026
1,349
1 0,41421
2,0
1,116
1,117
0,03514
1,120
0,06971
1,129
0,13513
1,143
0,19341
1,175
0,28588
1,246
0,41525
1,323
0,50899
1,359
0,54421
1,393
0,57338
1,421
0,59563
1,452
1 0,61803
4,0 .
1,178
1,179
0,04210
1,182
0,08353
1,192
0,16219
1,206
0,23271
1,242
0,34596
1,323
0,50899
1,416
0,63204
1,461
0,67954
1,505
0,71933
1,543
0,74990
1,584
0,78078
6,0
1,205
1,207
0,04463
1,210
0,08859
1,220
0,17209
1,235
0,24712
1,272
0,36813
1,359
0,54421
1,461
0,67954
1,513
0,73258
1,564
0,77741
1,609
0,81204
1,660
0,84713
10,0
1,230
1,233
0,04671
1,235
0,09271
1,245
0,18021
1,261
0,25896
1,300
0,38638
1,393
0,57338
1,505
0,71933
1,564
0,77741
1,624
0,82699
1,680
0,86563
1,745
0,90499
20,0
1,251
1,254
0,04829
1,256
0,09586
1,267
0,18638
1,282
0,26795
1,324
0,40026
1,421
0,59563
1,543
0,74990
1,609
0,81204.
1,680
0,86563
1,748
0,90785
1,832
0,95125

Глава 17
Угловые коэффициенты и среднегеометрические длины пути луча для
а/Ь
0,02
0,05
0,10
0,20
0,40
0,60
1,0
2,0
4,0
6,0
10,0
20,0
AkFk-j/b*
AkFk_jSk_j/abc
AkFk-j/b*
AkFk_jSk_j/abc
AkFk-j/b*
AkFk_jSk-j/abc
AkFk-j/b*
AkFk-jSh-jlabc
AkFk-j/b*
AkFk-jSk-j/abc
AkFk-j/b*
AkFk-jSk-j/abc
AkFk-j/b*
AkFk-jSk-j/abc
AkFk-j/b*
AkFk_jSk_j/abc
AkFk-j/b*
AkFk-jSh-j/^c
AkFk-j/b*
AkFk_jSk-j/abc
AkFk-j/b*
AkFk-jSk-j/abc
AkFk-j/b*
AkFk-jSk-j/abc
0,05
0,007982
0,17840
0,014269
0,21146
0,1
0,008875
0,12903
0,018601
0,18756
0,02819
0,20379
0,2
0,009323
0,08298
0,02117
0,13834
0,03622
0,17742
0,05421
0,18854
0,4
0,009545
0,04995
0,02243
0,08953
0,04086
0,12737
0,06859
0,15900
0,10013
0,16255
c/b
0,6
0,009589
0,03587
0,02279
0,06627
0,04229
0,09795
0,07377
0,13028
0,11524
0,14686
0,13888
0,14164

Таблица 17,3
двух прямоугольников, расположенных под прямым углом [4]
1,0
0,009628
0,02291
0,02304
0,04372
0,04325
0,06659
0,07744
0,09337
0,12770
0,11517
0,16138
0,11940
0,20004
0,11121
2,0
0,009648
0,01263
0,02316
0,02364
0,04376
0,03676
0,07942
0,05356
0,13514
0,07088
0,17657
0,07830
0,23285
0,08137
0,29860
0,07086
4,0
0,009653
0,006364
0,02320
0,01234
0,04390
0,01944
0,07999
0,02890
0,13736
0,03903
0,18143
0,04467
0,24522
0,04935
0,33462
0,04924
0,40544
0,04051
6,0
0,009655
0,004288
0,02321
0,008342
0,04393
0,013184
0,08010
0,01972
0,13779
0,02666
0,18239
0,03109
0,24783
0,03502
0,34386
0,03670
0,43104
0,03284
0,46932
0,02832
10,0
0,009655
0,002594
0,02321
0,005059
0,04394
0,008018
0,08015
0,012047
0,13801 •
0,01697
0,18289
0,02025
0,24921
0,02196
0,34916
0,02401
0,44840
0,02320
0,49986
0,02132
0,5502
0,01759
20,0
0,009655
0,001305
0,02321
0,002549
0,04394
0,004049
0,08018
0,006103
0,13811
0,008642
0,18311
0,010366
0,24980
0,01175
0,35142
0,01325
0,45708
0,01300
0,51744
0,01272
0,5876
0,01146
0,6608
0,008975
оо
0,009655
0,02321
0,04395
0,08018
0,13814
0,18318
0,25000
0,35222
0,46020
0,52368
0,6053
0,7156

654
Глава 17
находятся из соотношения
qh= 2 Л?*,*+ 2 А?/, а. (17.77)
Поглощающие Непоглощающие
полосы полосы
Для отыскания решения следует определить значения ширины
каждой полосы АХ. Как указывалось при рассмотрении
уравнения (16.73), ширина полосы может возрастать с увеличением
1со
1
м
1,71
i,6
1,5
1,4
1,3
V
i,i
1 п
- г- \
—
- У У
-—' ^^у^
\- " ^—-^ ^s^
1_-—-ч——^1 1
а/с ^
/ у/^ г^,—
^^^ ^J-—-—
1 1 1
0,1
0,2
0,4
10
20
b/c
Фиг. 17.16. Среднегеометрическая длина пути луча для одинаковых
параллельных пластин прямоугольной формы [4].
Sk__Jc — отношение среднегеометрической длины луча к расстоянию между пластинами;
Ъ/с — отношение ширины прямоугольника к расстоянию между пластинами; а/с —
отношение длины прямоугольника к расстоянию между пластинами.
длины пути луча. Эдварде и Нельсон [5], а также Эдварде 16]
приводят рекомендуемые значения этой величины для С02 и
водяного пара; для системы из двух параллельных пластин она дана
в табл. 17.4. Отметим, что эти значения ширины полосы выражены
через волновое число, а не через длину волны. Эдварде и Нельсон
указали методы нахождения приближенных значений ширины
полос С02 и Н20 для других геометрических конфигураций.
Короче говоря, в данном методе используются приближенные
значения ширины полосы, определенные по наибольшей массовой
длине пути луча для рассматриваемой конфигурации. С учетом
этого границы полос, приведенные в табл. 17.4, вероятно,
пригодны для решения задач об излучении С02 и водяного пара.
Если заданы температуры всех поверхностей, то решение
завершается получением результатов по уравнению (17.77). Если

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 655
Таблица 17 Л
Приближенные границы полос для системы из двух параллельных
пластин [5, 6, 9]
Газ
со2
н2о
Полоса
X, мкм
15
10,4
9,4
4,3
2,7
6,3
2,7
1,87
1,38
Центр
полосы
Т], см-1
667
960
1060
2350
3715
1600
3750
5350
7250
Границы полосы ть см~1 1)
нижняя
667-(Jt5/l,78)
849
1013
2350-(Л4,3/1,78)
3715-(J2,7/1,78)
1600-(Je,3/lf6)
3750 —(Л2,7/1,4)
4620
6200
верхняя
667 + (Л15/1,78)
1013
1141
2430
3750
1600 + (Z6}3/1,6)
3750 + (А2,7/1,4)
6200
8100
1) Величины А найдены для различных полос по табл. 16.2 и 16.3. Величины,
подобные Ai5/1,7 8, соответствуют величине А/2 (1—т ), определенной по уравнению»
(17) и табл. 1 и 2 работы [5].
для п поверхностей заданы qh, а для остальных N — п поверхностей
заданы Tk, то неизвестные температуры п поверхностей задаются
предположительно и уравнения решаются относительно всех
величин д, а затем вычисленные значения д& сравниваются с
заданными. Если совпадение плохое, то задаются новые значения Tk
для п поверхностей и весь расчет повторяется. Эта процедура
продолжается до достижения удовлетворительного согласования
заданных и расчетных значений qk для всех /с. С помощью
уравнения (17.21), в котором производится суммирование по всем
полосам, определяется необходимый тепловой поток к газу при
заданном значении Тg. Рассмотрим теперь две задачи для
изотермического объема газа.
ПРИМЕР 17.3. Две черные параллельные пластины отстоят
друг от друга на расстоянии D = 1 м. Пластины имеют ширину
W = 1 м и бесконечную длину (фиг. 17.17). Пространство между
пластинами заполнено углекислым газом при давлении 0,101 МПа
(1 атм) и температуре 1000 К. Пластина 1 находится при
температуре 2000 К, а пластина 2 при температуре 500 К. Найти поток
излучения, который должен подводиться к пластине 2, чтобы
температура ее сохранялась постоянной.

656
Глава 17
Как показано на фиг. 17.17, рассматриваемая конфигурация
содержит четыре граничные поверхности, включающие две
пластины и две открытые граничные поверхности. Открытые
поверхности являются полностью поглощающими (т. е. не отражающими)
и практически не испускают излучения, так как в данном случае
Пластина 2
Тг=500К
D=1m
Граница 3
Граница 4
Пластина I
Ti= 2000 К
Фиг. 17.17. Изотермический слой углекислого газа, заключенный между
черными пластинами (пример 17.3).
температура окружающей среды считается низкой. Поток
излучения, падающий на поверхность 2, можно определить по уравнению
(17.20), где к = 2 и N = 4. Поскольку все поверхности черные,
то € я,, у* = 1 и уравнение (17.20) приводится к виду
4 4 __ __
.2 62у dqK j = 2 [(б27- — F24xK 2_7.) eKb, j dX — F2-/Xx, 2-7^, g dX].
(17.78)
В этом случае угловой коэффициент излучения поверхности
на саму себя F2_2 = 0 и eKbi 3 = еКЪ> 4 = 0, поэтому суммирование
может быть представлено в виде
dVk. 2 = [ — Fz-tfx, 2-1^6, i + еХъ, 2 ™
— (F2^aK 2_t + F2-2aK 2-з'+ ^a*,, 2-4) *ль, g] dX. (17.79)
Для простоты суммирование проводится для всего спектра как
одной полосы. Затем для определения интегрального потока
энергии, подводимого к пластине 2, проинтегрируем dqli2 по всем

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 657
длинам волн
оо
о
оо
— \ С^2-1аХ, 2-i + F2-3ak, 2-3 + ^2-4°^, 2-4) ekbf g dX.
О
Используя определения интегральных пропускательной и погло-
щательной способностей
о
оо
о
получим выражение для д2
д2 = аГ* - Ft-i^oT*- (F2^a2_i + F2_3a2_3 + F2_4a2_4) оГ|. (17.80)
С целью определения т и а применим понятие о
среднегеометрической длине пути луча. Для расположенных друг против друга
прямоугольников (фиг. 17.16) при значении абсциссы, равном
единице, по кривой, соответствующей бесконечно большому
отношению длины пластин к расстоянию между ними, получим S2-i/D =
= 1,34, или £2_1 = 1»34 м. Для нахождения величины a2_l7
определяющей излучение газа, используем графики степени
черноты (фиг. 17.11) при давлении 0,101 МПа (1 атм), длине пути
луча 1,34 м и Тg = 1000 К. Получим a2_i = 0,22. При
определении т2-1 отметим, что, согласно (17.79), излучение в выражении
для t2_x учитывается величинойе%ъ, i и исходит от стенки 1. Поэтому
оно имеет другой спектральный состав в отличие от излучения
газа. Чтобы учесть этот селективный эффект, в соотношении (17.65)
должно быть использовано значение £+, определенное при
Pgo2 5a-i (TjTg) = 0,101 -1,34 (2000/1000) - 0,27 МПа-м и Т1 =
= 2000 К. Тогда, применяя экстраполированные данные фиг. 17.11
и уравнение (17.65), получим
72_i« 1-0,2 (i-)°'65 = l-0,13 = 0,87.
В приложении В угловой коэффициент F2^ для геометрической
конфигурации 8 определяется следующим образом:
^д [(ДЧ-у-Д! =/2 _ 1^0,414.
Следовательно, F2_3 = ^2.4 = V2 (1 — 0,414) = 0,293.

658
Глава 17
Остается найти а2_3 = «2-4- В случае примыкающих друг
к другу пластин, как показанные в табл. 17.3, можно
использовать выражение, полученное из уравнения (12) работы [4] при
Ь ->• оо, а = 1 и с = 1:
^-з = ^(21п^) |^|| = 0,752 м.
Используя фиг. 17.11 при pS = 0,752-0,101 = 0,076 МПа-м
и Tg = 1000 К, получим а2_3 = а2_4 = 0,19. Следовательно,
q2=0^-0,414(0,87)0^-(0,414-0,22 + 2-0,293-0,19) оТ\ =
= 5,73-10"12(5004 — 0,36.20004-0,2*10004)= -338 кВт/м2.
На этом решение заканчивается. Отметим, что наибольший вклад
в величину q2 вносит поток излучения, исходящий от поверхности 1
и поглощаемый поверхностью 2. Излучение от газа к
поверхности 2 и излучение поверхности 2 пренебрежимо малы.
Другой приближенный подход, который является более
простым для данного примера, основан на том, что в уравнении
(17.80) член, содержащий температуру Tg, является потоком
излучения, падающим на поверхность 2 вследствие излучения
всего объема газа. Он может быть рассчитан по уравнению (17.61)
при использовании средней длины пути луча. Тогда
q2 = оТ$ -^ТмоГ* - t8oFg.
Для рассмотренной симметричной конфигурации средний поток
излучения от газа к одной граничной поверхности равен потоку
ко всей граничной поверхности. Вследствие этого среднюю длину
пути луча можно получить с помощью уравнения (17.57) Le =
= 0,9 (4) VIA = 0,9 (4) (1)2/4 = 0,9 м. Затем по фиг. 17.11 при
Тg = 1000 К и рсо2 Le = 0,091 МПа-м получим значение 6g =
= 0,2. При такой степени черноты поток излучения q2 равен
вычисленному ранее.
ПРИМЕР 17.4. Две параллельные несерые пластины
расположены на расстоянии 0,0254 м друг от друга и находятся при
температурах Тг = 1110 К и Г2 == 556 К соответственно. Пространства
между пластинами заполнено чистым углекислым газом при
давлении 1,01 МПа и Tg = 556 К. Полусферическая спектральная
степень черноты пластин в зависимости от волнового числа
представлена следующими табличными данными:

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 659
т|, см-1
0-500
500-750
750-850
850—1000
1000-1150
6т|
0,37
0,26
0,32
0,37
0,46
Т|, см~1
1150-2200
2200—2500
2500—3600
3600—3750
3750-ое
^
0,45
0,65
0,61
0,69
0,73
Предположим, что ослабление излучения в газе происходит в
основном в полосах С02:15; 10,4; 9,4; 4,3 и 2,7 мкм. Вычислить
интегральную плотность потока излучения, падающего на пластину 2-
В примере 17.1 были определены плотности монохроматических
потоков излучения для случая теплообмена излучением между
бесконечными параллельными пластинами, пространство между
которыми заполнено газом. Плотность интегрального потока
излучения, падающего на пластину 2, была найдена путем
интегрирования уравнения (17.246) по всем волновым числам
я<>=
I
<4i 42 \ <вЛЬ, 2~еф- Р+Ч 2 <4-V [1+(1""4i) V (6Ф, 2-er)b,g»dr*
ti=0
1-<1-€T|,iXi-eT1,8>x»
В этом примере g^, х = 6^, 2» а Tg = Т2, поэтому выражение для
q2 упрощается:
2 ZT
02
= _ f !il!5
^•П, 1Т,П (еФ> i— еФ> 2) ,
0 - -(1-€л.,)*т<
Интегрирование можно осуществить в конечно-разностной форме-
в виде суммы по всем полосам. Пусть для 1-й полосы Gbi = 6г
и тл = xz. Тогда __
^ eiTileb(Ti)~-eb(T2)]iAm
q2= — > — = ,
Y 1-(1-^)2т?
где (eb)iAif]i — излучение черного тела в 1-й полосе. Из
уравнения (17.74) величина хх может быть представлена в виде
Ах
т, = 1-
■v-i-
Ariz '
где А\ — интегральная ширина полосы, которая учитывает
изменение интегральной длины пути луча в системе параллельных
пластин. Тогда _
gf (1-Л",/Дтц) [Ъ (Т\).-*Ь (Т2)Ь Лт);
^2^ — 2j
I
1-(1-ег)а(1-^/Ат|й»

660
Глава 17
Параметры, необходимые для расчета, и результаты расчета
приведены в таблицах. Величина Аг вычислена по соотношениям
для экспоненциальной модели широкой полосы, приведенным
в табл. 16.2 и 16.3, с использованием в качестве эффективной
длины пути луча средней длины пути луча из табл. 17.1. Ширина
полос, выраженная в волновых числах Дт]г, вычислена по данным
табл. 17.4. Для непоглощающих участков спектра значения
[еь (Тг) — еъ (T2)]i&r]i рассчитывались с использованием
коэффициентов F0_-KT (табл. А.5), т. е. с использованием
соотношения [еъ (r^hArji = FXiTi-x2Ti exb (Тг), в котором Хг и Х2
соответствуют границам полосы в волновых числах. Для поглощающих
участков спектра [еъ (Г^ЬДг^ = [вь_(2т1)]ценТр полосы Аг]г- Если
из соотношений для полос получалось А\ > Arjj, то принималось,
что Ai/kr\i = 1, так как из физических соображений Аг не может
превысить Arjf.
Полоса
А., мкм
15
10,4
9,4
4,3
2,7
Центр
полосы т|, м-1
66 700
96 000
106 000
235 000
371 500
Полоса т|, м-1
0-55600
55 600—77 800
(15 мкм)
77 800—84 900
84 900-101300
(10,4 мкм)
101300—114 100
(9,4 мкм)
114100—222100
222100-243 000
(4,3 мкм)
243 000-357 300
357 300-375 000
(257 мкм)
375 000— оо
Си м-1/г-м-
е*
0,37
0,26
0,32
0,37
0,46
0,45
0,65
0,61
0,69
0,73
1900
2,18
2,18
11000
414
~AV м-1
0
19 700
0
960
960
0
23 000
0
25 300
0
2
С2, м-1/(г-м-2)1/2
1630
176
176
7300
1460
Ат]г, м-1
55 600
22 200
7 100
16 400
12 800
108 000
20 900
114 300
17 700
оо
Сз, м
-1
3040
2920
2920
2710
5650
[%(Т1)-еь(Т2)]1\ц1,
Вт/м2
787
1300
500
1860
1520
21300
4 880
23 300
3 000
22 600
Р
0,577
7,67
7,67
2,82
1,01
Вт/м2
180
9,5
95
369
394
6170
0
10 200
0
13 000
30 417,5

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 661
Результат расчета q2 сравнивался со значением —29,6 кВт/м2,
полученным Эдвардсом и Нельсоном [5] г) для этой же задачи.
При выводе уравнения переноса энергии эти авторы применяли
метод сеток (метод электрической аналогии), разработанный Оппен^-
геймом [7], который дает такой же результат, как и полученный
здесь. Для расчета свойств газа вместо соотношений для полос
использовались частные значения степеней черноты, что привело
к небольшому отличию значений ширины, выраженных в волновых
числах, для полос, применявшихся в работе [5]. Отметим, что
в этом примере перенос излучения приходится в основном на
оптически прозрачные участки спектра между полосами
поглощения С02.
17.8. ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ
В НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ГАЗАХ
Эдвардси др. [8—10] распространили приближенное
представление о полосе и о среднегеометрической длине пути луча на случай
неизотермического газа. Устранение ограничений на
изотермические условия в газе приводит к значительным дополнительным
трудностям. В случае неизотермического газа поглощение в полосе
может сильно изменяться в зависимости от положения
рассматриваемой точки. Следовательно, для одного элемента объема газа
может быть справедлив линейный закон поглощения, а для
другого — степенной закон. Основу инженерного подхода к расчету
излучения неизотермического газа составляет метод Кертиса —
Годсона [8, 11—14], который будет рассмотрен в разд. 17.8.1.
Другим инженерным подходом, разработанным главным образом
Хоттелем и др. [1, 2, 15], является зональный метод,
рассмотренный в разд. 17.8.2. Математические методы гл. 15 также можно
применить для приближенного расчета излучения в объеме
неизотермического газа простой конфигурации. В связи с этим
в разд. 17.8.3 вводится приближение для обобщенного углового
коэффициента излучения. Методы данной главы и метод Монте-
Карло, изложенный в гл. 18, вполне достаточны для решения
многомерных задач.
17.8.1. Приближение Кертиса — Годсона
Довольно точным и полезным методом решения задач теплового
излучения в неоднородных газах является приближение Кертиса —
Годсона [8, 11—14]. В этом методе пропускательная способность
неизотермического газа на данной длине пути луча связывается
х) При вычислении qu 2 в интервале и = 243 000—357 300 м-1 в
работе [5] допущена ошибка. Сравнение результатов сделано после
исправления ошибки.

662
Глава 17
с пропускательной способностью эквивалентного изотермического
газа. Тогда решение можно получить с помощью методов для
изотермического газа. Связь между неизотермическим и
изотермическим газом осуществляется путем определения количества
изотермической поглощающей среды, эквивалентного
неизотермическому газу. Это количество основано на масштабной температуре
и средней плотности или давлении, которые определяются
аналитически. Эти средние величины определяются при условии, что
в предельных случаях сильного и слабого поглощения пропуска-
тельные способности однородного и неоднородного газа должны
быть одинаковыми.
Гуди [13], Крэкоу и др. [И], а также Симмонс [14] рассмотрели
применение метода Кертиса — Годсона для случая ослабления
излучения в узкой колебательно-вращательной полосе. Получено
хорошее совпадение с точным численным расчетом. Вайнер
и Эдварде [10] применили метод для практического случая
большого градиента температуры в газах с перекрывающимися
полосами. Снова получено хорошее согласование экспериментальных
и расчетных данных. В последующем изложении метода
переменные, зависящие от длины волны, выражаются через волновое
число г\ = 1А, поскольку соотношения для поглощения в полосе
часто содержат эту переменную. Метод Кертиса — Годсона
наиболее полезен, когда в газе задано распределение температуры.
Если же оно неизвестно, то для его определения следует
использовать метод итераций. Здесь этот случай не рассматривается,
так как данный метод не практичен для расчетов такого типа.
Коэффициент поглощения неоднородного газа ац является
переменной величиной вдоль пути луча. Эффективная ширина полосы
At(S) определяется по аналогии с уравнением (16.73), но при
этом используется интегральный коэффициент поглощения
At(S)= J { 1 -exp [ - j ац (т,, S*) dS*~] } drj =
По ширине 0
полосы
поглощения
S
= ДЛ/-j {ехР[- J М*Ь S*)dS*]}dT|. (17.81)
i ' о
Аналогичным образом для длины пути луча, изменяющейся от S*
до S, эффективная ширина полосы равна
s
Аг (S-S*) = \ { 1 -ехр [ - j ац (т), S**) dS**] } dr\.
По ширине S*
полосы
поглощения
(17.82)

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 663
Уравнение переноса теперь должно быть записано с учетом Аг (S)
и J,(S-S*).
Интегральная форма уравнения переноса для интенсивности
в точке S, обусловленной прохождением луча от 0 до S,
получается из уравнения (15.1)
s
Н (л, S) = ц (ть 0) ехр [ - j ац (т), S*) dS*~] +
+ J ац (л, 5*) ^ь (т,, S*) ехр [ - J ал (л, 5**) ^**] dS*. (17.83)
о 's*
Отметим теперь, что
- в|г {1-ехр [-J Мл, $•*)<*$••]} =
S*
S
= ал (л, 5*) ехр [ - J ац (т), 5**) dS**] . (17.84)
s*
Подставим (17.84) в (17.83) и получим
s
«л (Л, 5) =«; (Л, 0) ^р [" - j ац (т), 5*) dS*] -
о
S S
- J V (Л, 5*) -^ { 1 -ехр [ - J ац (т,, 5**) AS**] } AS*. (17.85)
0 S*
Проинтегрируем теперь уравнение (17.85) по ширине полосы Ат|/
для /-й полосы, а в последнем члене поменяем порядок
интегрирования. Предположим, что i^ (т), S), i^ (г\, 0) и гцЪ (т), 5) могут быть
аппроксимированы средним значением в пределах полосы. Тогда
s
ii (S) Ащ = Ц (0) J { ехр [ - J ац (т|, 5») dS*] } dr\-
г о
s s
- j *«'. ь (S*) -Jr j { 1 -ехр [ - j ач (л, 5**) dS**] } di\ dS*.
s*
(17.86)
Уравнения (17.81) и (17.82) подставляются в (17.86), чтобы
записать уравнение переноса через величины Аг
s _
Ц (S) Ал, = ц (0) [Ал, - A, (S)] - j ii, ь (S*) dAl {Sd-S*} dS*. (17.87)

664 Глава 17
Другую форму уравнения можно получить путем
интегрирования (17.87) по частям
*'« (S) Ari, = Ц (0) [ Д r)z - М (S)) + i\t ь (0) Ах (S) +
? - di'j h(S*)
+ ]Л,(Д-Д«) ^ ;dg*. (17.88)
о
Уравнения (17.87) и (17.88) являются почти точными формами
интегрального уравнения переноса, выраженного через свойства
полос. Здесь принято лишь одно допущение о том, что в каждом
члене уравнения интенсивность не должна значительно изменяться
в пределах ширины полосы.
Отметим, что для однородного газа из уравнения (17.88) следует
(поскольку di\t b/dS = 0)
i'lt и (S) Дт,, = ii (0) [Дт|, -Alt и (S)] + i[, ь, UAL u (5), (17.89)
где индекс и относится к однородному газу.
Чтобы вычислить i\ (S) или i\iU (S) по уравнениям (17.87) —
(17.89), необходимо иметь выражения для эффективной ширины
полосы At для однородного и неоднородного газов. На основании
(16.76а) и (16.766) в предельных случаях слабого или сильного
поглощения в однородном газе выражения для Аг имеют вид
Ai}U (S) = Ci, iPuSu (слабое поглощение), (17.90а)
Ait и (S) == С2) iPuSu2 (сильное поглощение), (17.906)
где Clt i и С2> i — коэффициенты пропорциональности для 1-й
полосы.
В случае неоднородного газа эффективная ширина полосы
зависит от изменения свойств газа вдоль пути луча. Тогда
значения эффективной ширины полосы получаются путем локального
применения уравнений (17.90а) и (17.906) вдоль пути луча. При
этом для слабой полосы имеем
S
М (S) = Clt i j р (S*) dS* (слабое поглощение), (17.91а)
о
где р — функция положения S* вдоль пути луча. Аналогичным
образом, предварительно возведя в квадрат обе части уравнения
(17.906), получим для сильной полосы
S
Af(S)=Cltl ^p4S*)dS*,
0

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 665
так что
S
Al(S) = C2,l [ [ p2{S*)dS*Y/2 (сильное поглощение). (17.916)
о
Предполагается, что Clt г и С2, i не изменяются вдоль пути луча.
По методу Кертиса — Годсона неоднородный газ заменяется
таким количеством однородного газа, что точная величина
интенсивности получается в предельных случаях сильного и слабого
поглощения. Чтобы интенсивности однородного и неоднородного газов
были равны, приравняем правые части (17.89) и (17.88)
ii (0) [А% - Alt U(S)) + il ь, uAlt и (S) = i\ (0) [Дт), - Аг (S)} +
- ? - di', h(S*)
+ ii,b(0)Al(S)+)Al(S-S*) l£s\ 'dS*.
о
После упрощения получим
[}i, ь, и (Tu) - i'i (0)] Alt и (S) = [*;, ь (0) - i\ (0)] At (S) +
Г - di', h(S*)
+ \Al{S-S<) % dS\
о
(17.92)
Чтобы уравнение (17.92) было справедливым в пределе слабого
поглощения, подставим в него выражение для величины AifU
из (17.90а) и Аг из (17.91а) и после сокращения С1} г получим
s
\i'i, ь. и (Гц) - i\ (0)] puSu = [Ц9 ъ (0) - i\ (0)] j p (S*) dS* +
о
s s
+ J [ jp(S**)ri£**] d\bs(P dS*- (17.93a)
0 s*
Аналогичным образом в предельном случае сильного поглощения,
подставляя (17.906) и (17.916) в (17.92), получим
S
Къ,и(Ти)-к(0)ри81и/2=[Г1)Ь(0)~г1(0)][1 p*(S*)dS*]m +
' о
с с
5 Г С 11/2 di) h(S*)
| J p2(S**)dS**J l'dbs\ -dS*. (17.936)
0 ~s*
При известном распределении температуры и плотности в
неоднородном газе уравнения (17.93а) и (17.936) можно решить

666
Глава 17
совместно при значениях ри и Su, которые для каждой полосы
эквивалентны плотности и длине пути излучения в однородном
газе. Величина ц,ъ,и {Ти) не является дополнительной
неизвестной, поскольку температура Ти связана с ра через уравнение
состояния идеального газа. Следовательно, при любой зависимости
эффективной ширины полосы от ри л Su (не только в пределах
сильного и слабого поглощения) уравнение (17.89) можно решить
относительно i^u (S). Эта величина в точности равна
интенсивности излучения i\ (S) неоднородного газа в предельных случаях
сильного и слабого поглощения, а также является хорошим
приближением для промежуточной области поглощения. После того
как интенсивность найдена, теплообмен излучением можно
рассчитать с помощью соотношений для однородного газа. Почти
всегда расчеты по уравнениям (17.93а) и (17.936) связаны с
численным интегрированием. Поскольку при использовании метода
Кертиса — Годсона необходимо вычислить по крайней мере два
интеграла для каждой полосы вдоль каждого луча, во многих
случаях оказывается возможным произвести оценку точного
уравнения (17.87) или (17.88), особенно если задача решается на
электронно-вычислительной машине.
Как указывалось первоначально (см., например, дискуссию
в работе [13]), применение приближения Кертиса — Годсона
ограничено небольшим частотным интервалом в полосе поглощения.
Это ограничение обусловлено перекрыванием спектральных линий
и изменением их положения с изменением температуры. Однако
следует отметить (см., например, работы Вайнера и Эдвардса [10],
а также Пласса [16]), что применение метода дает хорошие
результаты даже в случаях больших градиентов температур в весьма
широких частотных интервалах. В этих работах учтено также
перекрывание полос поглощения.
Приближение Кертиса — Годсона, по-видимому, может найти
применение также и в пространственных задачах, хотя
первоначально оно применялось в одномерных задачах переноса
излучения в атмосфере. Хотя еще никто не проводил подобных расчетов,
можно предложить следующий путь решения. Для известного поля
температур и плотностей граничные поверхности разбиваются
приблизительно на изотермические зоны. Между каждыми двумя
зонами для всех наиболее важных полос определяются
эквивалентные длины пути луча и плотности согласно уравнениям (17.93а)
и (17.936). С помощью этих параметров по одному из соотношений
для свойств газа можно найти значения Аг. Для определения
интенсивностей и тепловых потоков можно использовать
уравнения для однородного газа (разд. 17.7).
Соотношения для поглощения в полосе, аналогичные
приближению Кертиса — Годсона, но содержащие три параметра, были
выведены Сэссом и Уонгом [17]. Дополнительный параметр дает

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 667
возможность получить точные характеристики эквивалентного
изотермического газа не только в линейном и степенном (с
показателем 1/2) приближенияхэффективной ширины полосы, но также
и в логарифмическом приближении [см. (16—77)] при очень
сильном поглощении.
17.8.2. Зональный метод
Согласно зональному методу, неизотермические газ и
замыкающая его оболочка разделяются на ряд объемов и площадей, которые
могут считаться близкими к изотермическим. -Затем для каждой
площади и объема записывается уравнение баланса энергии. При
этом получается система уравнений относительно неизвестных
тепловых потоков или температур аналогично тому, как это было
описано в разд. 17.3 для изотермического газа. Этот метод
не является элегантным в формальном математическом смысле,
но на практике он очень полезен. Достаточно подробное описание
метода приведено Хоттелем и Сэрофим [2]. Хоттель и Коэн [15],
а также Эйнштейн [18, 19] применили его для пространственных
•-задач. В этом разделе рассматривается обмен энергией только
путем излучения; распространение метода на задачи, в которых
учитывается также теплопроводность и конвекция, можно найти
в гл. 19 и работе [2].
Зональный метод имеет преимущество перед методом Кертиса —
* Годсона, заключающееся в том, что этим методом можно решать
задачи с неизвестным распределением температур в газе.
Приближение Кертиса — Годсона наиболее полезно в случае, когда
распределение температуры известно, если же оно неизвестно, то для
определения температуры газа следует применить метод итераций.
Рассмотрим основные положения зонального метода для газа,
коэффициент поглощения которого постоянен. Рассмотрим объем
Vy (фиг. 17.18) и поверхность Ak. Согласно уравнению (13.33),
плотность потока излучения (без учета индуцированного
излучения) элемента объема dVy равна 4naxi\bdVydX, или же на единицу
телесного угла, включающего dVyi она равна axiibdVydk. Если
смотреть со стороны элемента объема dVy, то элемент поверхности
dAk стягивает телесный угол dAk cos $k/Sy-k. Доля излучения,
пропускаемая на длине пути луча Sy-h, равна
sk
exp[-j ak(S*)dS*].
sy
Перемножая эти величины и интегрируя по Fv и 4fe, получим
плотность монохроматического потока излучения, падающего

668
Глава 17
па поверхность Ak от объема газа Ау,
ак (У) 1къ (?) cos Pfe
dqu^-uAh^dX j j
^fe
C2
X
X
exp [ - j a% (S*) dS*\dAh dVy. (17.94)
Рхли величину a% (у) принять постоянной, то экспоненциальный
член примет вид
ехр [ — ah (Sk — Sy)] = xh (Sy_k).
Полный объем газа разбивается на ряд элементарных объемов
Vy и предполагается, что в пределах каждого объема Vy пара-
Напрабление луча S
/
ч- Положение
площадни Sv
Фиг. 17.18. Излучение от объема газа Vy к поверхности Ak.
метры среды постоянны. Тогда уравнение (17.94) упрощается
и принимает следующий вид:
dqM, ,-kAh = dlaAb (у) J J ^f 4 (Sy-k) dAk dVy. (17.95)
Если к тому же газ еще и серый, то уравнение (17.95)
интегрируется по всему спектру и определяется плотность интеграль-

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 669
ного потока излучения, падающего на Ak:
qiy-kAk = a^- \ \^!Kx(S^k)dAkdVy. (17.96)
vvAk V
Определим теперь взаимную поверхность обмена излучением
между газом и поверхностью в виде
— ^а_ j j ^KT{Sy.h)dAhdVy. (17.97)
vvAki ^
Тогда уравнение (17.96) можно записать в виде
qi.v-kAk = g&°Tv- (17-98)
Следовательно, поток излучения, падающий на ЛА, может
считаться потоком излучения черного тела оТ\ для газа объемом
FY, излучающего с эффективной поверхности gvsk.
Пусть объем газа разделен на Г конечных объемов. Плотность
потока излучения, падающего на элемент поверхности Ak от всех
этих объемов, равна
г
(9*. Оот газа = ^ 2 ^оЦ. (17.99)
Рассмотрим теперь теплообмен излучением между граничными
поверхностями оболочки. Поток излучения, распространяющийся
от поверхности Aj к поверхности Ak в случае неизотермического
газа, обладающего постоянными свойствами серого газа, равен
qi, j-kAk^^L J j х {S ._h) cos* j cos hdAjdAk , (17J00)
AhAj
где величина gQ, j, как в обычной теории излучения для оболочки,
считается постоянной в пределах поверхности Aj. Определим
теперь взаимную поверхность пары тел в виде
— ^ J j т (ад cosfrcostkdAjdAk (17 Л01)
Тогда уравнение (17.100) можно записать следующим образом:
qit j-kAk =7^g0, у. (17.102)
Следовательно, поток излучения q-^j^hAh от Л7- на Л& равен
произведению плотности потока эффективного излучения д0>;-,
исходящего от Aj, на эффективную площадь SjSk. Поток излучения,
падающий на площадку Ak от всех N граничных поверхностей, равен
N
1 V4
(qi, &)от поверхн = ^7" 2j SJSb>9o, j» (17.10о)

670
Глава 17
Тогда общий поток излучения, падающий на поверхность Akr
может быть получен в виде
Qi, k = \Qi, fe)oT поверхн ~т \4'i, &)от газа —
JV Г
&i(Sv«o,j+2w*^). (17:104)
3=1 Y=l
Для поверхности Аи применимы также обычные уравнения
результирующего излучения [(8.1) и (8.2)]
qk = qo,k — qi,k, (17.105)
qo,k = ekOn+(l-ekyqi,k. (17.106)
В тех задачах, в которых температура Ту задана для всех
элементарных объемов газа 77, уравнений (17.104) —(17.106)
достаточно для решения относительно N неизвестных значений
Tk или qk или относительно некоторой комбинации из N величин
Th и #fe. Другие Лг значений Тк и qh должны быть заданы в виде
граничных условий. Затем можно применить методы разд. 8.3.
Значения sjsk и gysk табулированы Хоттелем и Коэном [15] для
изотермических объемов кубической формы с изотермическими
граничными поверхностями. Хоттель и Сэрофим [2] приводят
справочную таблицу коэффициентов для одиннадцати объемов других
конфигураций и большое количество табличных данных для
объемов цилиндрической формы.
Если неизвестны температуры Ту для Г газовых объемов,
то следует найти Г дополнительных уравнений. Они получатся
путем составления баланса энергии для каждого элементарного
объема газа. При радиационном равновесии излучение и
поглощение в каждом элементарном объеме газа Vy одинаковы (в газе
нет ни тепловых стоков, ни источников). Тогда для серого газа
с постоянными свойствами уравнение теплового баланса в объеме
Vy будет следующим:
все V7* Vy Vy* 7 v
+ 2 J J*iabj4,wf
все Ak Vy Ak
Г
все Ak Vy Ak h У
Г
T(Sy*_y)dVy*dVy t
Y*=l Vy yv*
+ a 2 *>. * П -^- * №-v) dAk dVy. (17.107)

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 671
Предполагается, что а —постоянная величина по всему
замкнутому объему и что объемы Vy и в,се Vv* являются изотермическими.
Величина q0^h, как обычно, принимается постоянной на
поверхности Ak.
Определим взаимную поверхность обмена излучением между
поверхностью и газом в виде
**Л = £ j ]^^4Sk-y)dAkdVy. (17.108)
vvAh к~У
Сравнение (17.108) и (17.97) показывает, что существует
соотношение взаимности между взаимными поверхностями обмена
поверхность — газ и газ — поверхность
s^gy = g^k- (17.109)
Определим теперь взаимную поверхность обмена излучением
между двумя газами в виде
v(Sy*-y)dVy* dVy
gy*gy *=
а_ I у* у) у* ve (17.110)
УуУу*
V*-Y
Подставляя (17.108) — (17.110) в (17.107), получим
Г N
AaoTyVy = S <^v*SWv+ S ffo.A^ft- (17.111)
Величины gv*gv также табулированы [15], так что уравнение
(17.111) для каждого объема Vy дает дополнительную систему
из Г уравнений, необходимую для вычисления распределения
температуры в газе.
При выводе уравнений в этом разделе использованы лишь
несколько измененные условные обозначения, принятые Хоттелем
и др. Сопоставление с соотношениями разд. 17.3 показывает,
что при используемых здесь условных обозначениях [уравнение
(17.9)] существует следующее равенство:
Fj_k4j-kAj = ^. ^ (17.112)
Геометрический коэффициент поглощения Fj_kaj_kAj,
определяемый уравнением (17.10), вообще говоря, не связан с gysh.
Последняя величина выведена для элементарного объема газа, в то время
как Fj_kaj_kAj относится ко всему объему газа.
Описанный здесь метод расчета был развит далее Хоттелем
и др. [1, 2, 15]. При этом имеется возможность приближенным,
но доступным способом учесть спектральную зависимость свойств
газа. Изменения этих свойств в зависимости от положения в
замкнутом объеме учитываются путем определения соответствующего
среднего коэффициента поглощения между каждой серией зон.

672
Глава 17
Эйнштейн [18, 19] модифицировал коэффициенты gs и gg с целью
достижения большей точности расчетов при наличии больших
градиентов. Все эти приближенные методы становятся сложными
при наличии сильной зависимости коэффициента поглощения
от температуры.
17.8.3. Приближение обобщенных угловых коэффициентов
излучения
В данном разделе рассматривается особый случай
неизотермического серого газа, заключенного между параллельными
пластинами, концентрическими цилиндрами или концентрическими
сферами. Некоторые вопросы, касающиеся этих конфигураций, были
рассмотрены в гл. 15. Цель данного раздела состоит в том, чтобы
установить, каким образом может быть использовано понятие
об обобщенных угловых коэффициентах излучения при
распространении результатов расчетов для черных граничных поверхностей
на диффузно-серые поверхности. Приближенное решение этой
задачи получено Перлмуттером и Хауэллом [20] х), которые
показали, что при наличии результатов расчета для черных граничных
поверхностей решение для диффузно-серых поверхностей
получается из простых алгебраических соотношений. Этот результат
был получен другим путем в разд. 14.6.4 для слоя газа между
параллельными пластинами.
Анализ проводится таким же образом, как и при изложении
метода сальдо[(разд. 8.3.1). Уравнение теплового баланса на
поверхности Ak записывается следующим образом:
Qh = qkAk = (q0y k - qit k) Ak.- (17.113)
Поток эффективного излучения, исходящий от Ak, состоит из
потоков собственного и отраженного излучений
qo. k = ЬоП + (1 - 6н) Чи k. (17.114)
Если исключить qih из (17.113) и (17.114), то получим
Qh=AkT^-(on-q0,h). (17.115)
Величину qitk в уравнении (17.114) можно определить через
взаимные поверхности, как в уравнении (17.104). Однако здесь
будет введена другая величина, называемая обобщенным угловым
коэффициентом излучения Fj-u- Этот коэффициент Fj__k опреде-
х) Применение обобщенных, а также разрешающих угловых
коэффициентов для учета поглощения и излучения среды и многократных отражений
от стенок обосновано и широко используется в работах Суринова 10. А.,
Микка И. Р., Деткова С. П. и др. [37*, 38*, 41*, 42*, 51*— 54*].— Прим. ред.

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 673
ляется как доля потока излучения поверхности /, которая падает
на поверхность &, если все граничные поверхности черные, а
промежуточная среда находится в радиационном равновесии (т. е.
перенос тепла в газе обусловлен только излучением при отсутствии
стоков и источников тепла). Если газ прозрачен, то величина
Fj-ъ становится равной угловому коэффициенту излучения Fj_k
(разд. 7.4.3). Поскольку газ находится в состоянии равновесия,
то из закона сохранения энергии следует, что поток эффективного
излучения, исходящего от поверхности 1, может в конце концов
попасть на другие поверхности оболочки или вернуться на
поверхность 1. Некоторое количество излучения, поглощенного газом,
может повторно им испускаться для поддержания состояния
равновесия, и величина Fj_k учитывает все взаимодействия излучения
с газом, посредством которых поток излучения, исходящий от Aj,
достигает Ak.
Для всей оболочки из N поверхностей, заключающей газ,
который находится в состоянии радиационного равновесия, поток
излучения, падающий на /с-ю поверхность, может быть записан
через обобщенные угловые коэффициенты в следующем виде:
Qi,k= TiQo^Fj-k. (17.116)
Отметим, что при использовании взаимных поверхностей
аналогично тому, как это было сделано в разд. 17.8.2, необходим
дополнительный член в выражении для Qi,u, чтобы учесть падающий
на стенку поток излучения, испускаемого газом. Этот поток учтен
соответствующей величиной Fj-k.
Если ограничиться рассмотрением только двух граничных
поверхностей, то с использованием (17.116) для исключения
4t,h уравнение (17.114) можно записать в виде
^O.i = ?0.i^i = €iCT7,Mi+(l"€i) (<?0. 1^1-1 + <?0, 2^2-1), Ш117,
<?о, 2 = до, гАг = €2<^2 + (1 ~ 6а) (<?о. Л-2 + <?о, 2^2-2).
Поскольку среда находится в радиационном равновесии, то весь
поток излучения, исходящий с данной поверхности, должен в конце
концов достигнуть поверхности оболочки. Отсюда следует условие
замкнутости
^1-1 + ^1-2 = 1 (17.118а)
и
^2-1 + ^2-2 = 1- (17.1186)
Отметим, что при этом не происходит подвода тепла к газу от
внешних источников, например тепла, выделяющегося при горении.

674
Глава 17
Поскольку величина Fj-k определяется как доля потока
излучения, исходящего с площадки А у, которая падает на площадку A k
в случае черных граничных поверхностей, окружающих газ, то она
может быть получена из решения для черных стенок, которое,
как предполагается, уже найдено. Таким образом,
Qi,u \ _i.AkoT{-Qh
Г*- /черн. поверхн V AjoT*
(17.119)
J \ AjgT^j /черн. поверхн V AjoTi /черн. поверхн J
где.использовано обозначение г^-^ь» чтобы подчеркнуть, что эта
величина получается из решения для черных стенок.
Коэффициенты F определяются из (17.119) с использованием
соотношений (17.118).-Затем уравнения (17.117) разрешаются одновременно
относительно всех значений потоков эффективного излучения Q0>
которые используются в (17.115) для определения потоков
результирующего излучения Qu- Таким образом, решение для серых
стенок можно достаточно просто получить из решения для черных
стенок. Поясним теперь этот метод на примере двух параллельных
бесконечных пластин.
В этом случае, поскольку коэффициент поглощения газа
считается постоянным, падающая на поверхность 2 доля потока
излучения, исходящего с поверхности 1, должна быть равна падающей
на поверхность 1 доле потока излучения, исходящего от
поверхности 2, т. е. Fi-z = F2-i- Это справедливо вследствие симметрии
путей для потоков излучения, исходящих от той или иной
поверхности. В случае радиационного равновесия при отсутствии
источников или стоков тепла в газе излучение, поглощенное на
некотором участке, может повторно излучаться на этом же участке.
Поток эффективного излучения, исходящий от одной пластины,
будет участвовать в тех же самых процессах излучения и
поглощения, что и поток излучения, исходящий от другой
пластины.
Если значение Fx_2 определено из решения для черных
поверхностей в виде
^ 1-2 — I —-Zrl ) = 4^1-2, Ь?
\ Ol\ /черн. поверхн
то ^2_! = Fx_2 и для простоть^обозначим его через г|?ь. Из
соотношений (17.118) следует F^ = ^2-2 = 1 ~^и уравнения (17.117)
принимают вид
?о. 1 = €4аГ; + (1 - 6) (?о. 1 - go. i^b + д0. аФь),
?о.а = &сгГ; + (1 —Ь)(?о.1*ь + ?о.1 —до.1*ь).

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 675
Разрешая их относительно q0>1 и q0,2, получим симметричные
соотношения
9ол *b(€i + €,-2€«6^ + €i€, ' (17Л20а)
Подставим q0)1 в (17.115) и после преобразований получим
gi __ (l/€i) ^ь M7 12lal
eia(rf-rt)""*b(l/€i + l/62-2) + r U'.i^id;
(17.1216)
Уравнение (17.121а) можно записать в другом виде
где
ТР l"~€l ТР 1 —^2
^i = — , &2=—? •
6l t2
Решая уравнение (17.1216) для случая черных стенок, т. е. Ег =
= Е2 — О, получим
ъ-тфщ- <17-121в>
Уравнение (17.1216) определяет результирующий поток энергии,
проводимый к поверхности 1 и отводимый от поверхности 2.
Поскольку коэффициент поглощения газа не зависит от
температуры, то поток эффективного излучения от граничной
поверхности, достигающий данной точки в газе, будет ослабляться на одну
и ту же величину независимо от распределения температуры в газе.
Кроме того, поглощение излучения вдоль пути луча
компенсируется изотропным испусканием излучения в каждой точке.
Учитывая эти обстоятельства, можно объединить решения для черной
стенки и обобщенные угловые коэффициенты излучения между
поверхностью и газом для нахождения распределения температуры
в объеме газа в случае диффузно-серых стенок.
Излучение, испускаемое локальным элементом объема газа
площадью А и толщиной dx, расположенного между
параллельными пластинами (фиг. 17.19), определяется соотношением
Qe = AaoT^{x)Adx.
В условиях радиационного равновесия эта величина должна быть
равна количеству тепла, поглощенному элементом объема
4aaJ4 до Adx = Q0.1 dFi4ix + Q0t 2 dF2-dx (17.122)

676
Глава 17
ИЛИ
Ф - Г4_Г4 ~ 4аа (Г4 - Ц) \ dx ~^ dx }
"if??!' <17л23>
где dFj_dx — доля потока эффективного излучения, исходящего
от граничной поверхности Aj, которая поглощается в элементе
объема Adx при наличии черных граничных поверхностей. Как
и ранее, обобщенный угловой коэффициент F учитывает эффект
Фиг. 17.19. Потоки излучения для газа, заключенного между двумя
бесконечными параллельными серыми пластинами.
поглощения и повторного излучения газа на пути излучения
от поверхности до элемента объема. В связи с тем что здесь
рассматриваются процессы, происходящие при наличии
радиационного равновесия, они не сопровождаются потерями энергии,
поскольку вся энергия, поглощенная в некотором положении,
должна излучаться повторно.
Для определения d,Fj-dx рассмотрим случай, когда вся система
находится в изотермических условиях. Тогда уравнение (17.122)
сведется к виду
4а dx=AFi-dx + dF^dx. (17.124)
Это соотношение используется, чтобы исключить dF2_dx из
уравнения (17.123), записанного для черных поверхностей. Оконча-

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 677
тельное уравнение решается относительно dF-^^^
dFi_dx = 4а йхщ, (17.125)
где, согласно (17.123),
m TjdFi.dx + TUh-dx П
^ъ ~ U dx (Ц — Т\) Л — Т\ '
Затем, подставляя (17.125) в (17.124), имеем
dF2_dx = 4adx{l — фь). (17.126)
Используя соотношения (17.125), (17.126), (17.120а) и (17.1206),
чтобы исключить dF1_dx, dF2_dx, дод и д0,2 из уравнения (17.123),
получим распределение температур в следующем виде:
ф_ п_т% -l+^iE. + E,)' (1/.1Z/)
Соотношения (17.121) и (17.127) связывают перенос энергии
излучения и распределение четвертых степеней температур в случае
серого газа, заключенного между серыми стенками, со случаем
серого газа, заключенного между черными стенками при наличии
двух бесконечных параллельных пластин. Аналогичные
соотношения для системы бесконечно длинных концентрических
цилиндров приведены в работах [20, 21]. Наряду с соотношениями для
концентрических сфер (которые имеются в работах [22—24])
они представлены в табл. 17.5. В работе [22] приведены также
соотношения для обобщенных угловых коэффициентов, когда
в газе имеются источники тепла.
ПРИМЕР 17.5. Серый газ с коэффициентом поглощения 50 м"1
заключен между серыми пластинами, расположенными на
расстоянии 0,02 м. Пластина 1 находится при температуре Тг = 1000 К,
а пластина 2 при температуре Т2 = 500 К. Пластины имеют
степени черноты £х = 0,1 и £2 = 0,2 соответственно. Каков поток
результирующего излучения между пластинами и чему равна
температура газа в точке, удаленной на расстояние 0,005 м
от поверхности 1?
Если стенки черные, то, согласно фиг. 14.6, б, aD = 50-0,02 =
= 1,0, а
Qib
в(Ц-П)
= 0,56,
так что величина г|?ь, определенная из уравнения (17.121в), равна
tyb = 0,56. По данным табл. 17.5
'^(П-П) (Яа+Я|)+ь+1

Таблица 17.5
Соотношения между решениями для серых и черных стенок
в случае теплообмена излучением между поверхностями,
разделенными серым газом, находящимся в радиационном равновесии
Конфигурация
Соотношение 1)
Бесконечные параллельные пластины
_L_Z /г
.ZEZ/,
т
(Значения \$>Ъ и щ приведены в гл. 14
работы [3] и на фиг. 14.6, а и б)
Концентрические цилиндры
бесконечной длины
(Значения г|)ь и <рь приведены в
работах [20, 21])
Концентрические сферы
(Значения ф& и щ приведены в
работах [22-24])
тМ _ <РЬ(*) + Е2уь
Ч> =
ф(г) =
(l + £j)%>
[(DJDJEz+EiWb+l
фь(г) + Д»(Д1/Д«)<|)Ь
[(^/ZJ^^+fiiltb+l
(l + ^i)%
Ф(г) =
[(0j/fl«)»£«+*i]1>b+l
фь(г) + Д2(Д1/Дг)2Фь
[(/>i/Z)s)a^« + ^i]*b + l
1) Обозначения: % = (l-ewJv)/6wJV; Ф = Qi/te^Aia (Т^ _ т£,2)]; t6 =
= Qib/lAio (T*, - T*2)]; ф (|) = [Т4(|)-Г*,2]/(Т*,4-Т*,2).

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 679
и в этом примере
так что
«i - ЬО (Л - I 2) 13.0,56+1 ~
-0Д.5,73.10-8(1-0,5).1012-^=1940 Вт/м2=1,94 кВт/м2.
Температура в точке х = 0,005 м может быть рассчитана
по данным табл. 17.5
сп(г\ Т*(х)-Т*_ <ръ(х) + Е&ь
Ф1)' rf^rj (^2+^)^+1'
Согласно фиг. 14.6, а, при значении абсциссы k/kd = axlaD =■
= 0,25 по кривой для kd = ai) = 1 получим фь = 0,62, так что
. 0,62 + 4-0,56 п «/с
Ф|х=0,005 = 13.0,56 + 1 =U^4i>"
Следовательно,
Г4 (0,005) = Г42 + 0,345 (Г4 - Г4) =
- [0,5 + 0,345 (1 - 0,5)]. 1012 = 0,673.1012,
откуда Г (0,005) - 905 К.
Отметим, что в случае серых стенок кривая для ср в зависимости
от axlaD имеет антисимметричную форму относительно
координаты axlaD = 0,5, как и на фиг. 14.6, а при £г = £2-
17.9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Расчет переноса излучения в замкнутой системе, заполненной
газом, значительно упрощается, если газ хорошо перемешан и его
можно считать изотермическим. Тогда уравнение энергии для
газа, с помощью которого находится распределение температур,
становится ненужным. Чтобы сформулировать соотношения для
теплообмена излучением, используют метод сальдо подобно тому,
как это было сделано в гл. 8 и 10 для случая отсутствия
поглощающей среды. Новое здесь заключается в том, что угловые
коэффициенты излучения поверхностей заменены обобщенными
угловыми коэффициентами, содержащими в качестве множителей
пропускательную и поглощательную способности, необходимые
для учета ослабления излучения при прохождении луча через
газ, а также собственного излучения газа. Окончательные
уравнения можно решить в спектральном виде, а затем проинтегрировать
по всему спектру. В принципе этот метод прост, но очень трудоемок
вследствие крайне нерегулярной зависимости поглощательных

680
Глава 17
свойств газа от длины волны. Использование соотношений для
поглощения в полосе и понятия средней длины пути луча
упрощает интегрирование по частоте и пространству, так что расчеты
для таких простых конфигураций, как параллельные пластины
и цилиндр, не вызывают затруднений.
Практически важным случаем является излучение в камере
с хорошо перемешанной средой, стенки которой по существу
черные и холодные по сравнению с температурой газа. В этом
случае интегральный поток излучения от газа к граничным
поверхностям определяется достаточно просто при использовании понятия
о средней длине пути излучения и диаграмм интегральной степени
черноты газов в промышленных топочных устройствах.
Поскольку практические методы расчета разработаны для
изотермического газа, то в случае неизотермического газа можно
представить его через эквивалентный изотермический газ, а затем
воспользоваться методами решения для изотермического газа.
Эта идея заложена в основу метода Кертиса — Годсона.
Эквивалентный газ ведет себя так же, как и неизотермический газ, при
линейной и степенной зависимостях с показателем степени V2
в предельных случаях слабого и сильного поглощения. Метод
Кертиса — Годсона полезен, если известно распределение
температуры в газе. В противном случае необходимо применять сложные
итерационные методы.
Общим численным методом, который может быть применен
к неизотермическим условиям, является зональный метод. Объем
газа и граничные поверхности разделяются на практически
изотермические зоны. Для каждой из этих зон записывается уравнение
теплового баланса. При этом получается система уравнений,
которую можно решить при известном распределении
температуры в газе и неизвестных потоках излучения или температурах
на граничных поверхностях. Хотя расчеты очень трудоемки, этот
метод доступен и практичен при использовании современной
вычислительной техники.
Литература
1. М.ак-Адамс В. X., Теплопередача, Металлургиздат, 1961, 87—175.
2. Hottel Н. С, Sarofim A. F., «Radiative Transfer», McGraw-Hill Book
Company, New York, 1967.
3. Эккерт Э. P., Дрейк P. M., Теория тепло- и массообмена, Госэнерго-
издат, 1961.
4. Данкл Р., Использование средних геометрических длин лучей для
расчетов лучистого теплообмена. Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, № 1, 98 (1964).
5. Эдварде Д. К., Нельсон К. Е., Ускоренный метод расчета лучистого
теплообмена между несерыми стенками и газами Н20 и СОо в
изотермических условиях, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача,
№ 4, 3 (1962).

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 681
6. Эдварде Д. К., Лучистый теплообмен в объеме с несерой оболочкой,
заполненной изотермической газовой смесью двуокиси углерода с
азотом, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 1, 3 (1962).
7. Oppenheim А. К., Radiation Analysis by the Network Method, Trans.
ASME, 78, № 4, 725—735 (1956).
8. Edwards D. K., Weiner M. M., Comment on Radiative Transfer in Non^
isothermal Gases, Combust. Flame, 10, № 2, 202—293 (1966).
9. Эдварде Д. К., Глэссен Л. К., Хаузер В., Ташер Дж., Лучистый
теплообмен в неизотермических несерых газах, Труды амер. о-ва инж.-мех. г
сер. С, Теплопередача, № 3, 26 (1967).
10. Weiner М. М., Edwards D. К., Non-isothermal Gas Radiation inSuperposed
Vibration-Rotation Bands, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, 8, № 5r
1171—1183 (1968).
11. Krakow В., Babrov H. J., Maclay G. J., Shabott A. L., Use of the Curtis-
Godson Approximation in Calculations of Radiant Heating by Inhomogene-
ous Hot Gases, Appl. Opt., 5, № Ц, 1791—1800 (1966).
12. Simmons F. S., Band Models for Non-isothermal Radiating Gases, AppL
Opt., 5, № 11, 1801—1811 (1966).
13. Гуди P., Атмосферная радиация, изд-во «Мир», 1966.
14. Simmons F. S., Application of Band Models to Inhomogeneous Gases,
Molecular Radiation and its Application to Diagnostic Techniques (R. GoulardT
ed.), NASA TM X-53711, 113—133, 1968.
15. Hottel H. C, Cohen E. S., Radiant Heat Exchange in a Gas-filled Enclosure:
Allowance for Nonuniformity of Gas Temperature, AIChE J., 4, № lr
3—14 (1958).
16. Plass G. N., Radiation from Nonisothermal Gases, Appl. Opt., 6, № 11,.
1995—1999 (1967).
17. Cess R. D., Wang L. S., A Band Absorptance Formulation for
Nonisothermal Gaseous Radiation, Int. J. Heat Mass Transfer, 13, № 3, 547—
555 (1970).
18. Einstein Т. H., Radiant Heat Transfer to Absorbing Gases Enclosed
between Parallel Flat Plates with Flow and Conduction, NASA TR R-154, 1963.
19. Einstein Т. H., Radiant Heat Transfer to Absorbing Gases Enclosed in
a Circular Pipe with Conduction, Gas Flow and Internal Heat Generation,
NASA TR R-156, 1963.
20. Перлмуттер M., Хауэлл Дж. P., Метод Монте-Карло в задаче о лучистой
теплопередаче в сером газе между двумя концентрическими цилиндрами,
Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2, 46 (1964).
21. Greif R., Gean Р. С, Radiant Heat-Transfer between Concentric Cylinders»
Appl. Sci. Res., sect. A, 15, 469—474 (1966).
22. Rhyming R. L., Radiative Transfer between Two Concentric Spheres
Separated by an Absorbing and Emitting Gas, Int. J. Heat Mass Transfer,
9, № 4, 315-324 (1966).
23. Спэрроу E. M., Юсискин К. M., Хаббард X. А., Лучистая теплопередача
в сферической оболочке, содержащей поглощающе-излучающий газ,
выделяющий тепло, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С., Теплопередачаг
№ 2, 125 (1961).
24. Висканта Р., Мерриам Р. Л., Процесс теплообмена в условиях
взаимодействия теплопроводности и излучения в системе концентрических сфер,
разделенных излучающей средой, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С>
Теплопередача, № 2, 71 (1968).
Задачи
1. Определить среднегеометрическую пропускательную
способность tdl_2 для излучения, испускаемого элементарной
площадкой dA1 на площадку А2 в задаче 7.2. Пространства

682
Глава 17
между поверхностями заполнено серой средой при
постоянной температуре и значении коэффициента поглощения а =
= 1 и"1.
Ответ: 0,53.
Сферическая полость заполнена изотермическим серым газом
с коэффициентом поглощения а. Вывести соотношения,
необходимые для получения среднегеометрической пропускатель-
ной способности Tx_d2 для излучения, испускаемого
поверхностью полости Аг на элементарную площадку,
расположенную в центре открытой поверхности А2.
[Примечание: аналогичная ситуация рассмотрена Кохом, Int. J.
Heat Mass Transfer, 8, № 2 (1965).]
3. Сферический объем серого газа при постоянной температуре
расположен над поверхностью. Пространство между сферой
и поверхностью заполнено непоглощающей средой. Вывести
соотношение для потока излучения, падающего на поверхность
круга, показанного на схеме. (Указание: рассмотреть круг,
вырезанный в концентрической сфере, окружающей
сферический объем газа, и использовать симметрию расположения
фигур.)
Серый газ
-<? коэффициентом
поглощения а
4. Для сферического объема излучающего газа в задаче 17.3
вывести выражение для локальной плотности потока
излучения, падающего на плоскую поверхность, в зависимости от
расстояния.
5. Чистый углекислый газ при давлении 0,101 МПа (1 атм)
и температуре 2200 К заключен между параллельными
пластинами, расположенными на расстоянии 0,152 м. Какова

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 683
плотность потока излучения газа, падающего на пластины?
(Использовать диаграммы интегральной степени черноты С02.)
Ответ: 102 кВт/м2.
6. Внутренние стенки печи прямоугольного сечения с размерами
0,305 «0,305 «1,22 м покрыты сажей и могут считаться черными.
Печь заполнена продуктами сгорания при температуре 1950 К
состава: 40 об.% С02, 30 об. % водяного пара, остальное азот.
Полное давление равно 0,202МПа (2 атм). Используя графики
интегральной степени черноты С02 и Н20, рассчитать поток
излучения, исходящий от газа на стенки.
Ответ: 0,238 МВт.
7. В трубе диаметром 0,1 м находится перегретый пар под
давлением 0,121 МПа (1,2 атм), при постоянной температуре 1110 К.
Какова плотность потока излучения от пара к стенкам трубы?
Ответ: 18,135 кВт/м2.
8. Внутренний объем печи имеет форму куба с размером ребра
0,61 м и заполнен смесью С02 и N2 в соотношении 50 : 50.
Температура газа постоянна и равна 1670 К, а стенки
охлаждены до 1110 К. Внутренние поверхности стенок черные.
Какой поток результирующего излучения, подводимого к газу
(и снимаемого со стенок), необходим для сохранения этих
температур? Использовать метод разд. 17.6.2.
Ответ: 63,3 кВт.
9. Углекислый газ при давлении 0,505 МПа (5 атм) и
температуре 1670 К заключен в пространстве между параллельными
пластинами, расположенными на расстоянии 0,05 м.
Температуры обеих пластин 1110 К, а полусферическая спектральная
степень черноты в зависимости от волнового числа аналогична
приведенной в примере 17.4. С учетом пяти полос
поглощения СО2 (как в примере 17.4) рассчитать потери тепла путем
излучения от газа к пластинам.
10. Серый газ с коэффициентом поглощения 20 м-1 заключен
между концентрическими серыми сферами. Внутренняя сфера
имеет диаметр 0,05 м, температуру 1110 К и степень черноты
0,2. Внешняя сфера имеет диаметр 0,10 м, температуру 835 К
и степень черноты 0,4. Рассчитать теплопередачу от
внутренней сферы к внешней, используя приближение обобщенных
угловых коэффициентов. {Указание: значение г|)Ь можно взять
из табл. 1 работы [22J.)

18
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
К РАСЧЕТУ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ И ИЗЛУЧАЮЩЕЙ
СРЕДЕ
18.1. ВВЕДЕНИЕ
Метод Монте-Карло заключается в статистической выборке
событий для определения среднего поведения системы. В гл. 11
этот метод применялся к задачам теплообмена излучением между
поверхностями, разделенными прозрачной средой. Содержащаяся
в ней информация является основой для настоящей главы.
Распространим модель радиационного обмена, описанную в гл. И,
на случай поглощающей и излучающей среды. Эта модель сводится
к прослеживанию процессов распространения конечного числа
пучков энергии. Поведение системы затем определяется путем
осреднения поведения рассмотренных пучков.
Очевидно, что метод Монте-Карло более полезен при решении
задач переноса излучения в поглощающей и излучающей среде,
чем при решении задач радиационного обмена между
поверхностями. Это объясняется тем, что определение локального баланса
излучения в газе или другой поглощающей и излучающей среде
требует интегрирования падающего излучения не только от
окружающих поверхностей, но и от всех элементов объема
окружающей среды. Такие задачи трудно решать аналитически. Как
уже упоминалось в других главах, было затрачено много усилий
на разработку стандартных аналитических методов решения.
Это часто делалось с помощью такого числа допущений (по
возможности обоснованных), которое требовалось для получения
ответа, при этом терпимо относились если не к утрате
справедливости решения, то, во всяком случае, к некоторой потере
его точности. К числу таких допущений относятся предположения
о черных, серых, диффузных или зеркальных поверхностях,
а также о непрозрачных, почти прозрачных, серых или
изотермических газах. Немного задач переноса излучения решено
аналитически без явного или неявного применения одного или более
из этих допущений.
Обобщая описанную в гл. 11 модель решения методом Монте-
Карло задач радиационного обмена между поверхностями, можно
учесть большое количество различных эффектов в задачах излу-

Применение метода Монте-Карло к поглощающей и излучающей среде 685
чения в газах. Это можно сделать, не прибегая к упрощающим
допущениям, которые часто бывают необходимы при
аналитических подходах [1—4].
18.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — коэффициент поглощения;
D — расстояние между параллельными пластинами;
е — поверхностная плотность потока излучения;
Fq-% — доля энергии интегрального излучения черного тела
в интервале длин волн 0 — %\
7 — индекс приращения объема;
к — число приращений объема;
L = IID — безразмерная длина пути;
I — длина пути свободного пробега излучения в
процессе его поглощения;
N — полное число пучков в единицу времени в методе
Монте-Карло;
п — индекс пучка;
Р — функция плотности вероятности;
р — индекс приращения;
Q — поток энергии;
Q" — объемная плотность внутренних источников энергии;
q — плотность потока энергии;
R — случайным образом выбранные числа в интервале
от 0 до 1;
г — радиальная координата;
S — координата вдоль пути излучения (не имеет
индекса); число событий, происходящих в некоторой
точке в единицу времени (имеет индекс);
Т — абсолютная температура;
V — объем;
w — энергия, переносимая одним пучком в методе Монте-
Карло;
X = xlD — безразмерное расстояние;
х — расстояние в направлении нормали к поверхности;
Р — полярный угол;
£ — степень черноты;
в = TjIT-l — безразмерная температура;
0 — азимутальный угол;

686
Глава 18
kd = aD — оптическая толщина;
'к — длина волны;
а — постоянная Стефана — Больцмана.
Подстрочные индексы
Ъ — черное тело;
е — испускаемое излучение;
i — внутренняя поверхность;
7 — j-e приращение объема;
I — длина пути;
о — исходная величина; наружная поверхность;
Р — планковское среднее значение;
dV — относится к элементарному объему dV\
w — относится к стенке;
1,2 — поверхности 1 или 2;
Р — относится к полярному углу;
6 — относится к азимутальному углу;
\ — спектральная величина.
Надстрочный индекс
* — переменная интегрирования.
18.3. ИЗЛОЖЕНИЕ МЕТОДА
Дополнительным фактором, введенным в рассмотренную
в гл. 11 модель, является длина пути, пройденного отдельным
пучком излучения прежде, чем он поглотится или покинет
систему. Необходимые соотношения даны в табл. 18.1, где переменные
выражены через случайные числа (см. также пример 18.1). Можно
учесть переменность свойств газа вдоль пути пучка; напримерг
искривляя пути пучков, можно учесть изменения показателя
преломления среды.
Если в рассматриваемой задаче сделать предположение о
радиационном равновесии, то, чтобы не происходило накопления
энергии, поглощение пучка средой в любой точке должно
сопровождаться испусканием нового пучка в той же точке. Функции,
необходимые для определения углов и длин волн испускаемого
излучения, приведены в табл. 18.1. Новый пучок можно
рассматривать просто как продолжение истории поглощенного
пучка до тех пор, пока не произойдет передача энергии граничной
поверхности.
В условиях радиационного равновесия интегральный поток
излучения d2Qe, испускаемый элементом объема dV, описывается

Применение метода Монте-Карло к поглощающей и излучающей среде 687
Таблица 18.1
Некоторые полезные соотношения, используемые при расчете
переноса излучения в газах методом Монте-Карло
Явление
Переменная
Соотношение
Излучение от
элементарного объема газа с
коэффициентом
поглощения а^
Поглощение в газе с
коэффициентом
поглощения а^
Полярный угол Р
Азимутальный угол Э
Длина волны X:
серый газ,
несерый газ
Длина пути I:
газ с постоянными
свойствами,
газ с переменными
свойствами
cosP = l — 2i?p
9 = 2л R
e
J о а%1%ъа%
l= —
-j:
•InRi
ax(S)dS = \nRi
уравнением (13.34), проинтегрированным по всем длинам волн Х>
без учета индуцированного излучения
d2Qe = 4dV \ aKeKbd%.
(18.1)
Кроме того, энергия пучков, испускаемых объемом, должна
быть равна энергии поглощенных пучков, т. е.
d2Qe = wSdv,
(18.2)
где w — энергия одного пучка, SdV — число пучков,
поглощенных dV в единицу времени. Обозначая согласно (14.19)
I аХеКЪ dX
аР = -
°ТУ
(18.3)
где аР — средний планковский коэффициент поглощения, и
подставляя (18.3) в (18.1), исключим интеграл. Затем, приравняв
(18.1) и (18.2), получим
Т 1 wSdv \1/4
ldv-[iaPadv) '
(18.4)

€88
Глава 18
Это выражение позволяет определить локальную температуру
в газе через параметры газа и величины, полученные путем
решения методом Монте-Карло. Если аР зависит от Tdv, то приходится
прибегать к итерациям. Задавая в первом приближении некоторое
распределение температуры, методом Монте-Карло определяют
истории пучков. Затем, подставляя в (18.4) полученные величины,
находят новое распределение температуры, которое затем
используется как второе приближение. Процесс повторяется до
достижения сходимости температуры.
Имеется так много эффективных вариантов этой схемы расчета,
что здесь не представляется возможным упомянуть о всех них.
В одном из наиболее часто используемых способов
предполагается частичное поглощение излучения в момент достижения пучком
поверхности с известной поглощательной способностью. Согласно
такой схеме, энергия пучка уменьшается после каждого
отражения. История пучка прослеживается до тех пор, прка не
произойдет достаточное число отражений, в результате которых энергия
пучка станет меньше некоторого заранее заданного уровня. Этот
уровень выбирается из условия, чтобы влияние пучка в
последующих отражениях было незначительным. На этом рассмотрение
пучка заканчивается. Такая процедура приводит к большей
точности для многих задач, так как история каждого пучка содержит
в среднем значительно большее число событий и определение
средних величин при заданном числе пучков производится на основе
большего числа событий. Хаджи-Шейх и Спэрроу [5] предложили
другие способы уменьшения трудностей, возникающих при
программировании задач с учетом спектральных и направленных
свойств. Можно рекомендовать использование упрощений там,
где это возможно, не ограничиваясь готовыми рецептами.
ПРИМЕР 18.1. Серый газ с постоянным коэффициентом
поглощения заключен между бесконечными параллельными черными
пластинами. Пластина 1 имеет температуру 7\, а пластина 2 —
температуру Г2 = 0. Пластины отстоят друг от друга на
расстоянии D. Составить блок-схему программы расчета методом Монте-
Карло плотности потока излучения и распределения
температуры газа.
Плотность потока излучения, испускаемого поверхностью 1,
равна
Если в единицу времени испускается N пучков энергии, то каждый
из них переносит количество энергии w

Применение метода Монте-Карло к поглощающей и излучающей среде 689
Полярный угол р, под которым испускаются пучки, определяется
соотношением, приведенным в первой строке табл. 11.1,
sinp = /^,
где~Др — случайное число в интервале от 0 до 1. После
испускания типичный пучок пройдет путь Z. Вследствие закона Бугера
[уравнение (13.12)] вероятность его распространения на данное
расстояние S до поглощения в среде с постоянным коэффициентом
поглощения а равна
-aS
р (5) = —1 = ae~aS.
] e~aSdS
6
С помощью уравнения (11.4) ее можно представить в виде
кумулятивной функции распределения
I e~aSdS
L оо
I e~aSdS
О
или
l=—jln(\-Rt).
Однако, поскольку случайные числа Rt равномерно распределены
между 0 и 1, это соотношение можно также представить в виде
1= InRi или L= lni?/,
где L = llD и xD = aD.
Безразмерное расстояние в направлении нормали к пластине
X = xlD, на которое переместится пучок, пройдя путь L, равно
X^Lcosp=~cosP 1пД,.
Разделим расстояние между пластинами D на к равных отрезков
безразмерной ширины АХ = Ax/D
j = 1, Z, о, . . ., fc.
Тогда номер отрезка, на котором происходит поглощение, равен
; = TRUNG(^)+1,
где TRUNC обозначает операцию округления Х/АХ до его
целочисленного значения. При каждом поглощении пучка отрезок,
на котором это произошло, запоминается путем увеличения пока-

690
Глава 18
зания счетчика Sj в памяти машины на единицу. Эта операция
обозначается следующим образом:
Sj^Sj + i.
Если пучок поглощается некоторым элементарным объемом
газа, то тут же происходит испускание пучка тем же самым
объемом, что следует из условия сохранения энергии в стационарной
задаче. Это учитывается выбором угла испускания Р с помощью
функции вероятности распределения излучения по всем полярным
углам в единичную сферу, окружающую dV.
Р (В) = sin Р ^
I sin р <Z0
6
Используя кумулятивную функцию распределения
В
Др= J P(p*)dp* = ^—|^lf
о
получим угол испускания, выраженный через случайное число
p = arccos(l — 2Др)в
Расстояние от стенки до следующей точки поглощения
определяется теперь в виде
где Х0 — координата предыдущей точки поглощения.
Процесс поглощения и испускания продолжается до тех пор,
пока пучок не достигнет черной границы. Это произойдет при X ^
^ 1 или X ^ 0. В этом случае показания счетчиков Swl или Sш2
увеличиваются на 1, регистрируя поглощение на черной
поверхности.
Затем испускается новый пучок, и процесс повторяется до тех
пор, пока не будут испущены все ТУ пучков. Безразмерная
плотность потока результирующего излучения, исходящего с
поверхности 1, равна полному числу испускаемых пучков за вычетом
поглощенных ею же пучков, т. е.
q\ qe,i—wSwi __w(N—Swl) ^ . ___^u±
ОТ* ~ oTf °T} N '
Плотность потока результирующего излучения, падающего на
поверхность 2, равна
#2 wSW2 $W2
""off~~ oTf "" N #

Применение метода Монте-Карло к поглощающей и излучающей среде 691
Начало
\ВВод. исходных
данных
N. к0, к
Печатание
результатов
I
Установка
счетчиков
Sj-O. i<j<k
Swl - Sw2 - О
n*0
шыдор нового пучка j
Все ли пучки \
n>N?>f** >
выпущены г
/fern
Установление \
начала пути J
/Л7 стенке 1 j
р «oresin R^2
Г Определение
. расстояния.
I пройденного
\до поглощения]
Испускание
пучка
данным
элементарным]
объемом
под новым
углом
I
выдар |
^/7<7 I
испускания ,
излучения I
стенкой 1 J
/toriop R.
х . v . cos£ |n R
Sw2"Sw2+1}
Zfc/tfi?/? Rg
cos ^ * 1 - 2Rf
Vх
"1
j-TRUNC-^+1
yyi
элементарного ,
объема, внотором'
поглощается \
лучок j
Фиг. 18.1. Блок-схема программы расчета методом Монте-Карло теплообмена
излучением между бесконечными параллельными черными пластинами,.
Температуру газа на каждом отрезке можно определить с помощью»
соотношения (18.4)
3 Ti \4xDoAXT$) \
LL
4xDNAX
Vl/4

692
Глава 18
Блок-схема программы расчета приведена на фиг. 18.1. Заметим,
что, поскольку Swl + SW2 = N,
Qi _ л Swl __ $W2 __ Q2
gT{~ N N oTi
и, как и следовало ожидать, q± = —q2- Обе величины выводятся
на печать для проверки результатов.
С учетом линейности задачи относительно Г4 с помощью этой
блок-схемы можно получить решения для любых комбинаций
температур поверхности [6]. Кроме того, с помощью соотношений
для обобщенных угловых коэффициентов (разд. 17.8.3) можно
получить решения для любых комбинаций степени черноты серых
поверхностей»
Рассмотрим некоторые результаты, полученные методом
Монте-Карло.
18.4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ СЕРЫЕ ГАЗЫ
18.4.1. Бесконечные параллельные пластины
Поскольку в литературе опубликовано множество решений для
серого газа между бесконечными параллельными пластинами,
почти каждый новый метод решения проверяется на этой схеме"
и затем его результаты сравниваются с результатами одного или
нескольких аналитических решений, типа приведенных в работах
[1, 4].
Метод Монте-Карло не является исключением. В работе [6]
этим методом рассчитаны локальные плотности потока черного
излучения газа и поток результирующего излучения между диф-
фузно-серыми пластинами аналогично тому, как это делалось
в примере 18.1. Параметрами задачи являются степень черноты
пластины £ (принятая одинаковой для обеих пластин) и различные
значения оптической толщины слоя газа nD = aD, где а —
постоянная величина. Исследованы два случая: 1) газ, не
содержащий внутренних источников энергии, заключен между пластинами
с различными температурами; 2) газ с равномерно
распределенными источниками энергии заключен между пластинами с
одинаковыми . температурами. На фиг. 18.2 показано, какова точность
решений методом Монте-Карло в этих идеализированных случаях.
Расчетные значения теплового потока с вероятностью 99,99%
заключены в пределах ± 5% от приведенных средних значений.
На фиг. 18.3 показано распределение плотности потока черного
излучения в газе. Получено хорошее согласие с точными
решениями работ [1, 4]. Однако здесь проявились некоторые тенденции,
свойственные всем решениям задач об излучении газа,
полученным прямым методом Монте-Карло.

Фиг. 18.2. Теплообмен излучением между бесконечными параллельными
серыми пластинами, разделенными серым газом.
решение в приближении диффузии излучения [8]; точное решение [4];
О решение методом Монте-Карло [6]; N = 10 000; kd — оптическая толщина; £ —
степень черноты пластин.
I
/—-
X
(О
*»■
0,8
0,6
0,4
0,2
-^~Ф
..... .
^v^a£
I
«0
i i
<^ч
0,2 0,4 0,6 0,
ax/aD
10
8 1,0
Фиг. 18.3. Распределение плотности потока черного излучения в сером газе,
заключенном между черными бесконечными параллельными пластинами.
О Ю
О 2 4 решение методом Монте-Карло [6];
А 0,5 I
V 0,1 J
аналитическое решение [1, 4]; [Т4[ах] — т\М{Т\ — Т%) — безразмерная
температура; kd — оптическая толщина; ax/aD — относительная оптическая толщина.

694
Глава 18
Во-первых, разброс точек на фиг. 18.3 увеличивается с
уменьшением оптической толщины. Это обусловлено уменьшением доли
энергии пучков, поглощаемой в данном элементарном объеме
с уменьшением оптической толщины газа. Поскольку число
поглощенных пучков уменьшается, становится меньше и ожидаемая
точность расчета локальной плотности потока излучения и
соответственно увеличивается разброс точек. Наоборот, с увеличением
оптической толщины разброс точек уменьшается. Так, кривая на
фиг. 18.3, соответствующая kd = 10, почти гладкая.
Вторая тенденция, отмеченная в работе [6], не следует
из фиг. 18.3 и состоит в том, что машинное время, необходимое
для решения задач, в которых рассматриваются большие
оптические толщины (скажем, более 10), становится очень большим. Это
объясняется тем, что длина свободного пробега пучка энергии
L= -In Ri
становится очень малой при больших оптических толщинах.
Следовательно, на протяжении истории типичного пучка произойдет
большое число поглощений.
Таким образом, очевидны два предела. Для малых оптических
толщин получается низкая точность, а для больших оптических
толщин чрезмерно возрастает время счета. С практической точки
зрения эти ограничения не столь существенны, так как в тех
областях, где непригодно непосредственное применение метода Монте-
Карло, становятся справедливыми приближения прозрачного газа
и диффузии излучения, позволяющие получить аналитическое
решение. Кроме того, пределы оптических толщин, в которых
можно эффективно использовать решение методом] Монте-Карло,
нетрудно расширить с помощью различных приемов, включая
расщепление, русскую рулетку, и большого числа специальных
схем расчета для частных случаев. Во многих из них за счет
наклона пути увеличивают число поглощенных пучков в слабо
поглощающих областях.
18.4.2. Бесконечно длинные концентрические цилиндры
Более трудной задачей для аналитического решения, чем
предыдущая, является определение распределения плотности потока
черного излучения и локальной плотности потока излучения в сером
газе, заключенном в кольцевом зазоре между концентрическими
цилиндрами. Уравнение энергии, с помощью которого определяется
распределение плотности потока черного излучения по радиусу,
содержит интеграл с локальным радиусом в качестве одного из
пределов. Если записать уравнение энергии для каждого
элементарного слоя газа, то полученная система уравнений будет содержать

. Применение метода Монте-Карло к поглощающей и излучающей среде 695
интегралы с пределами, которые различны для каждого уравнения
системы. Эта система интегральных уравнений должна быть
решена. Метод Монте-Карло в этом случае незначительно отличается
от метода расчета
параллельных пластин. Единственное
дополнительное усложнение
связано с определением положения
пучка в цилиндрических
координатах.
Некоторые результаты,
полученные методом Монте-Карло
для рассматриваемого случая
[7], приведены на фиг. 18.4. Из-
за аналитических трудностей,
возникающих в этом случае, не
было получено точных решений,
основанных на использовании
интегральных методов. Поэтому
результаты сравниваются лишь
с модифицированным решением
в приближении диффузии
излучения [8], рассмотренным в разд.
15.4. В отношении точности
очевидны тенденции, подобные
отмеченным в случае бесконечных
пластин.
18.4.3. Излучение между
примыкающими друг
к другу серыми
областями
Методом Монте-Карло была
также решена задача о
взаимодействии излучения двух
областей, каждая из которых имеет
свои (серые) радиационные
свойства и внутренние источники
энергии [9]. Эта задача
представляет интерес, так как
позволяет оценить с другой точки
зрения источники ошибки,
обусловленной геометрическими
факторами. На фиг. 18.5 показано распределение плотности
потока черного излучения в двух концентрических
цилиндрических областях с одной и той же оптической толщиной, но
Фиг. 18.4. Распределение плотности
потока черного излучения в сером
газе, заключенном в кольцевом
зазоре между черными
концентрическими цилиндрами с отношением
радиусов rj/r0 — 0,1.
а (го — г.)
О 10-j J
□ 2 > решение методом Монте-Карло [71;
♦ 0,1 J
решение в приближении
диффузии излучения [8];
[Т (г)* — Tp/(Tf— Тр — безразмерная
плотность потока черного излучения;
(г — rj) /(го — rj) — безразмерное
расстояние; а (го — rj) — оптическая
толщина.

696 Глава 18
с различными мощностями внутренних источников энергии.
Безразмерная плотность потока излучения удовлетворяет граничным
условиям со скольжением на стенке (разд. 14.6.2), поэтому все
J Граница области
1>4
I
I
I
«<1
"6
-8
*W
Область 1
Область 2
0,2
0,4 0,6
0,8
!,•
Фиг. 18.5. Распределение плотности потока черного излучения в
концентрических цилиндрических областях газа с различными мощностями
внутренних источников энергии.
Отношение радиусов rt/r9 = 0,5. Оптическая толщина равна 2 (в обеих областях);
QllQi
О
D
-f 1 V результаты расчета методом Монте-Карло [9];
А —5 [
V —10 J _ _
решение в приближении диффузии излучения L8J. Вертикальными отрезками
обозначены доверительные интервалы для 95%-ной доверительной вероятности; Q2/Q1 —
отношение мощностей внутренних источников; г/г0 — координата в среде.
"1
кривые сходятся в нуль на внешней границе. Плотность потока
излучения была приведена к безразмерному виду путем деления
на локальный поток внутренней энергии, умноженный на радиус

Применение метода Монте-Карло к поглощающей и излучающей среде 697
внутреннего цилиндра. Вертикальные отрезки соответствуют
доверительным интервалам для 95%-ной доверительной вероятности.
Плотность потока в элементарном объеме газа прямо
пропорциональна числу пучков энергии, поглощенных в этом объеме.
Элементарные объемы, использованные при расчете величин,
приведенных на фиг. 18.5, имеют одинаковый размер в радиальном
направлении и, следовательно, различный объем. Вблизи центра
(г/г0->0) их объем будет наименьшим, и, следовательно, в них
поглотится наименьшее число пучков. В соответствии с этим
увеличивается длина доверительного интервала для этих точек.
Танигучи [10] использовал метод Монте-Карло при решении
задачи переноса излучения в сером газе, заключенном внутри
прямоугольного параллелепипеда.
18.5. УЧЕТ ПЕРЕМЕННЫХ РАДИАЦИОННЫХ СВОЙСТВ
Большинство возражений против многих методов исследования
радиационного переноса в газах обусловлено невозможностью
точного учета сильной зависимости коэффициента поглощения от
длины волны, температуры и давления. Эти коэффициенты иногда
можно вычислить с достаточной точностью квантовомеханически-
ми методами, но лишь немногие методы учитывают влияние всех
переменных в переносе излучения. Большинство приближений
основано на допущении о сером газе или использовании
различных средних коэффициентов поглощения.
Метод Монте-Карло позволяет учесть зависимость свойств
от многих переменных без дополнительных усилий. Для этого
достаточно задать длины волн отдельных пучков энергии и считать,
что пути, проходимые этими пучками, зависят от локального
спектрального коэффициента поглощения. Необходимые для этого
соотношения приведены в табл. 18.1.
Если необходимо учесть изменение радиационных свойств
с температурой, то обычно приходится прибегать к методу
итераций, поскольку распределение температуры в среде обычно
неизвестно заранее. Определение длины свободного пробега излучения
также усложняется, поскольку коэффициент поглощения зависит
от координаты. Используя описанный в разд. 11.3.2 подход, длину
пути I можно найти из уравнения
i
1пЯ,= -J ax(S)dS. (18.5)
о
Вычисление этого интеграла при определении I вдоль
некоторой заданной.линии после выбора случайного числа Ri требует
больших затрат времени, но по крайней мере осуществимо. Хауэлл
и Перлмуттер [11] использовали такой подход, несколько упростив

698
Глава 18
задачу: они рассмотрели зависимость коэффициента поглощения
водорода от температуры и длины волны для простейшей
геометрической конфигурации в виде слоя газа, заключенного между
бесконечными параллельными пластинами. Пластины имели
различные температуры, а мощ-
кюоо
ность внутренних источников
в газе была распределена по
параболическому закону. Чтобы
рассчитать длину пути, газ был
разделен на плоские элементы
толщиной Д.г. Длина пути в
пределах данного элемента равна
М-
Ах
Фиг. 18.6. Спектральный
коэффициент поглощения водорода при
давлении 101 МПа (1000 атм) [11].
«^ — коэффициент поглощения; "к — длина
волны; Т — температура газа.
cosp '
где Р — угол между
направлением распространения пучка
и нормалью к пластинам. Тогда
уравнение (18.5) можно
записать в следующем виде:
V
1пЯ, + Д*2 flx.i>0 (18.6)
и провести суммирование до
достижения значения р, при
котором удовлетворялось бы
неравенство. Это значение р
будет определять номер слоя,
в котором произойдет
поглощение. В первом приближении
значения ак были заданы, а затем
они пересчитывались методом
последовательных приближений
на основе вновь вычисленных
процедура продолжалась до до-
локальных температур. Эта
стижения сходимости результатов.
На фиг. 18.6 показано изменение коэффициента поглощения,
а на фиг. 18.7 — семейство кривых распределения плотности
потока черного излучения, рассчитанной изложенным способом. В
области низких температур точность ухудшается, о чем
свидетельствует увеличение разброса точек. Это обусловлено уменьшением
коэффициента поглощения с уменьшением температуры и,
следовательно, числа поглощений в области низких температур.
Для учета переменных свойств Танигучи [12] использовал
средний коэффициент поглощения падающего излучения.

Применение метода Монте-Карло к поглощающей и излучающей среде 699
Фиг. 18.7. Распределение плотности потока черного излучения в водороде,
заключенном между бесконечными параллельными пластинами с
температурами 7\ = 9500 и Т2 = 4500 К [11].
D, м
Л 0,005)
D 0 03 > Решение методом Монте-Карло для газа с коэффициентом поглощения
О 0,20 J Л
кривая, построенная методом наименьших квадратов по результатам,
полученным с помощью метода Монте-Карло; предельное решение в приближении
прозрачного газа; предельное решение в приближении диффузии излучения;
D — расстояние между пластинами; x/D — координата.
18.6. УЧЕТ ДРУГИХ ВИДОВ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА
Когда перенос энергии излучением в газе сочетается с
конвективным или кондуктивным переносом энергии, решение еще более
усложняется. Совместный перенос энергии осуществляется
излучением, определяемым четвертой степенью температуры, а также
теплопроводностью и (или) конвекцией, определяемыми
производными от температуры или разностями температур примерно в
первой степени. Радиационные члены в уравнении энергии содержат
кратные интегралы, а кондуктивные члены — вторые производные.
Кроме того, радиационные свойства поверхности могут быть
функциями длины волны, направления и температуры. Если в
рассмотрение включены газы, то локальные радиационные свойства газа
могут зависеть как от этих переменных, так и в сильной степени
от давления. Полный баланс энергии для каждого элемента
системы в этом случае принимает вид нелинейного интегродиффе-
ренциального уравнения.
При решении задач сложного теплообмена [13—16]
конвективные и кондуктивные члены рассматривались как распределенные
источники или стоки энергии и метод Монте-Карло использовался
только для вычисления радиационных членов на основе принятого
распределения температуры. Вычисленные радиационные члены

700
Глава 18
подставляют в исходные уравнения, затем с помощью обычных
численных методов решают полученные дифференциальные
уравнения и находят распределение локальных температур. На основе
этого распределения вновь рассчитывают интегралы, входящие
в радиационные члены, и процедура повторяется до достижения
сходимости результатов.
Преимущества метода Монте-Карло при решении таких задач
показаны в работе [16]. В этой работе было вычислено
распределение локальной температуры по длине и радиусу, а также
распределение осевого теплового потока в коническом ракетном сопле
в условиях, ожидаемых в двигателе с газофазным ядерным
реактором. Были рассмотрены, хотя и не одновременно, изменения
физических свойств в зависимости от локальной температуры, давления
и длины волны и исследовано совместное действие излучения
и конвекции. Кроме того, были оценены возможности оптически
толстого слоя газа, инжектируемого вдоль стенок сопла, с точки
зрения ослабления ожидаемых экстремальных радиационных
потоков к стенке.
18.7, НЕСТАЦИОНАРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Метод Монте-Карло для задач радиационного переноса в
нестационарных условиях был разработан Флеком [17, 18] и Кэмпбел-
лом [19]. Использованная ими модель фактически совпадала с
описанной в предыдущих разделах с той лишь разницей, что
дополнительно приходится вычислять время между событиями в истории
каждого пучка, что значительно усложняет задачу. Координаты
пучков в некоторое время t используются для нахождения
распределения энергии в это время. Пучки распространяются со
скоростью света в среде.
В обзорной статье Флека [17] подробно рассматриваются
приложения, включающие эффект рассеяния в нестационарных
условиях.
18.8. УЧЕТ ЯВЛЕНИЙ РАССЕЯНИЯ
Рассеяние излучения легко учитывается методом Монте-Карло
для любого заданного распределения углов рассеяния. Оно
описывается точно так же, как поглощение и неизотропное повторное
излучение в объеме газа.
Колинз и Уэллс [20] использовали модифицированную
программу решения методом Монте-Карло задачи диффузии
нейтронов и другие более специальные программы для исследования
распространения теплового излучения из зоны ядерного взрыва.
Они исследовали рэлеевское рассеяние и рассеяние Ми (гл. 20)
на частицах с заданным распределением по размерам с учетом

Применение метода Монте-Карло к поглощающей и излучающей среде 701
многократного рассеяния в атмосфере с произвольно
распределенной плотностью и отражения от Земли и облаков. Лав и др-. [21],
а также Стокхем и Лав [22] с помощью метода Монте-Карло
исследовали задачи о совместном действии поглощения и
рассеяния.
18.9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В данной главе описано решение задач переноса излучения
в ослабляющей среде с помощью метода Монте-Карло.
Преимущества метода достаточно хорошо проиллюстрированы в примере
18.1 и на фиг. 18.1, где приведена достаточно полная схема
последовательных логических операций, необходимых при составлении
программы решения задачи переноса энергии в неизотермическом
сером газе, заключенном между бесконечными параллельными
черными пластинами, находящимися при разных температурах.
Сравнение этой схемы с анализом, содержащимся, скажем, в
работах [1—4] или гл. 14, показывает, насколько упрощаются понятия
и формулировка задачи при использовании метода Монте-Карло.
Литература
1. Usiskin С. М., Sparrow Е. М., Thermal Radiation between Parallel Plates
Separated by an Absorbing-Emitting Nonisothermal Gas, Int. J. Heat Mass
Transfer, 1, № 1', 28—36 (1960).
2. Hotti\l H. C, Cohen E. S., Radiant Heat Exchange in a Gas-filled Enclosure:
Allowance for Nonuniformity of Gas Temperature, AIChE /.,4, № 1,
3-14 (1958).
3. Viskanta R., Grosh R. J., Recent Advances in Radiant Heat Transfer,
Appl. Mech. Rev., 17, № 2, 91-100 (1964).
4. Heaslet M. A., Warming R. F., Radiative Transport and Wall Temperature
Slip in an Absorbing Planar Medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 8, № 7,
979—994 (1965).
5. Haji-Sheikh A., Sparrow E. M., Probability Distributions and Error
Estimates for Monte Carlo Solutions of Radiation Problems, Progr. Heat Mass
Transfer, 2, 1—12 (1969).
6. Хауэлл Дж. P., Перлмуттер M., Применение метода Монте-Карло для
расчета лучистого теплообмена в излучающей среде, заключенной: между
серыми стенками, Труды амер. о-ва инж.-мех*, сер. С, Теплопередача,
№ 1, 148 (1964).
7. Перлмуттер Дж. Р., Хауэлл М., Метод Монте-Карло в задаче о лучистой
теплопередаче в сером газе между двумя концентрическими цилиндрами,
Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2, 46 (1964).
8. Дейслер Р. Г., Аппроксимация теплоизлучения в газах рассеянием со
скачкообразными граничными условиями, Труды амер. о-ва инж.-мех.,
сер. С, Теплопередача, № 2, 131 (1964).
9. Howell J. R., Radiative Interactions between Absorbing, Emitting and
Flowing Media with Internal Energy Generation, paper 66—434, AIAA,
June 1966 (также NASA TN-D-3614, 1966).
10. Taniguchi H., The Radiative Heat Transfer of Gas in a Three Dimensional
System Calculated by Monte Carlo Method, Bull. JSME, 12, № 49, 67—
78 (1969).

702
Глава 18
11. Howell J. R., Perlmutter M., Monte Carlo Soluton of Radiant tfeat
Transfer in § Nongrey Nonisothermal Gas with Temperature Dependent
Properties, AIChE J., 10, № 4, 562—567 (1964).
12. Taniguchi H., Temperature Distributions of Radiant Gas Calculated by
Monte Carlo Method, Bull. JSME, 10, № 42, 975—988 (1967).
13. Хауэлл Дж. P., Страйт M. К., Ренкел Г., Анализ теплообмена в
ракетных соплах при очень высокой температуре рабочего тела, Ракетная
техника и космонавтика, № 4, 118 (1965).
14. Howell J. R., Strite M. К., Heat Transfer in Rocket Nozzles Using High-
temperature Hydrogen Propellant with Real Property Variations, /. Spacer
craft Rockets, 3, № 7, 1063—1069 (1966).
15. Howell J. R., Renkel H. E., Analysis of the Effect of a Seeded Propellant
Layer on Thermal Radiation in the Nozzle of a Gaseous-core Nuclear
Propulsion System, NASA TN D-3119, 1965.
16. Howell J. R.. Strite M. K., Renkel H., Analysis of Heat-transfer Effects
in Rocket Nozzles Operating with Very High-temperature Hydrogen»
NASA TR R-220, 1965.
17. Fleck J. A., Jr., The Calculation of Nonlinear Radiation Transport by
a Monte Carlo Method. Statistical Physics, Meth. Computational Phys.
(B. Alder, S. Fernbach, M. Rotenberg, eds.), 1, 43—65 (1963).
18. Fleck J. A., Jr., The Calculation of Nonlinear Radiation Transport by
a Monte Carlo Method, Rep. UCRL—6698 (Del.), Lawrence Radiation
Laboratory, Nov. 1961.
19. Campbell P. M., Nelson R. G., Numerical Methods for Nonlinear Radiation
Transport Calculations, Rep. UCRL-7838, Lawrence Radiation Laboratory,
Sept. 1964.
20. Collins D. G., Wells M. В., Monte Carlo Codes for Study of Light Transport
in the Atmosphere. Description of Codes, Rep. RRA-T54-I, Radiation
Research Associates, Inc. (ECOM-00240-F, vol. I, DDC № AD-625115),
vol. I, Aug. 1965.
21. Love T. J., Stockham L. W., Lee F. C, Munter W. A., Tsai Y. W.,
Radiative Heat Transfer in Absorbing, Emitting and Scattering Media, Oklahoma
University (ARL-67-0210, DDC № AD-666427), Dec. 1967,
22. Стокхем Л. У., Лав Т. Дж., Лучистый перенос тепла от цилиндрического
облака частиц, Ракетная техника и космонавтика, № 10, 136 (1968).
Задачи
1. Для несерого газа с неоднородными свойствами вывести
следующие соотношения для длины волны излучения К и длины
свободного пробега излучения I:
1 aV%bdX
I aihbd^
о
I
lnRl==-^ax(S)dS.
о
2. В примере 18.1 принять обе температуры 7\ и Т2 не равными
нулю. Пластина 1 черная, а полусферическая степень черноты
€а.,2 (К ?ъ) пластины 2 зависит от длины волны. Соответствен-

Применение метода Монте-Карло к поглощающей и излучающей среде 703
но видоизменить приведенную на фиг. 18 Л блок-схему программы
расчета плотности потока излучения и распределения
температуры в газе.
3. Серый газ с постоянным коэффициентом поглощения а
заключен между параллельными черными пластинами конечной
ширины L и бесконечной длины. Пластины имеют температуры
Т1 и Т2 = 0, а газ имеет постоянную температуру Тg. Пластины
отстоят друг от друга на расстоянии D, боковые границы
черные и имеют нулевую температуру, как показано на фигуре.
С помощью метода Монте-Карло составить блок-схему
программы расчета плотности потока излучения к пластине 2.

19
ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ ИЗЛУЧЕНИЕМ
СОВМЕСТНО С ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ
И (ИЛИ) КОНВЕКЦИЕЙ
19.1. ВВЕДЕНИЕ
Если в излучающей и поглощающей среде наряду с переносом
излучения имеется заметный перенос тепла теплопроводностью
и (или) конвекцией, то это вызывает дополнительные
математические трудности по сравнению с теми, которые уже рассматривались
для случая переноса одного лишь излучения. В общем случае
сложного теплообмена уравнение энергии представляет собой
нелинейное интегродифференциальное уравнение. К счастью, в
некоторых случаях при наличии всех видов теплообмена
формулировка задачи может быть упрощена. Например, если газ оптически
толстый, то можно использовать приближение диффузии
излучения. Интегральные члены, учитывающие излучение, заменяются
дифференциальными членами и в результате получается
нелинейное дифференциальное уравнение. С целью упрощения
радиационных членов в соответствующих условиях могут быть
использованы другие приближения, такие, как приближение прозрачного
газа (разд. 15.3.1).
Поскольку задачи сложного теплообмена, рассматриваемые
в этой главе, являются в общем случае трудными в математическом
отношении, то обычно невозможно получить аналитическое
решение даже для простых на вид задач. Поэтому для каждого
рассматриваемого здесь физического явления сформулирована
математическая задача, намечены некоторые промежуточные шаги
решения, а затем приведены и обсуждены результаты численного
решения. В этой главе будут рассмотрены процессы
теплопроводности и излучения в стационарном слое газа, заключенном между
двумя параллельными пластинами, течение газа в пограничном
слое и в канале при наличии излучения и теплопроводности.
19.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь;
а — коэффициент поглощения;
ср — теплоемкость;
D — расстояние между параллельными пластинами; диаметр
трубы;

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и {или) конвекцией 705
е — поверхностная плотность потока излучения;
F — обобщенный угловой коэффициент излучения;
/ — функция г] в решении Блазиуса для пограничного слоя;
обобщенный угловой коэффициент обмена излучением между
двумя газами;
g — обобщенный угловой коэффициент обмена излучением между
поверхностью и газом;
/ — £/4аГ4 — безразмерная интенсивность излучения;
i — интенсивность излучения;
Kv — функция, определяемая уравнением (19.27);
к — коэффициент теплопроводности;
I — длина;
Nj — кондуктивно-радиациокный параметр, рассчитываемый по
температуре Г/,
Рг— число Прандтля;
Q — поток энергии;
q — плотность потока энергии;
q"' — тепловыделение в единицу времени в единице объема;
г — радиальная координата;
г — радиус-вектор;
S — площадь поверхности;
Т — абсолютная температура;
и — средняя скорость;
и, v— скорости в направлениях х, г/;
V — объем;
х, у — координаты в прямоугольной системе координат;
a — коэффициент температуропроводностд;
Р — полярный угол;
6 — толщина пограничного слоя;
£ — степень черноты;
т] — параметр подобия Блазиуса;
в = Т1Т1 — безразмерная температура;
к — оптическая толщина;
% — длина волны;
я|) — коэффициент скольжения, определяемый уравнением (19.25);
функция тока пограничного слоя;
<р =(Г4 — Т$)/(Т\ — Т%) — безразмерный температурный
комплекс;
р — плотность потока;

706
Глава 19
а — постоянная Стефана — Больцмана;
т — время;
\i =cos Р;
v — коэффициент кинематической вязкости;
со — телесный угол.
Подстрочные индексы
Ъ — черное тело;
с — теплопроводность;
D — величина, рассчитанная при х = D;
е — величина, связанная с процессом излучения;
i — падающий поток; входной параметр;
7 — ]-я поверхность;
т — средняя величина;
о — параметр на выходе;
Р — среднее значение по Планку;
R — среднее значение по Росселанду;
г — радиационные свойства;
S — поверхность;
V — объем;
w — условия на стенке;
X — величина, зависящая от длины волны;
0 — значение в невозмущенном потоке;
1,2— поверхности 1 и 2;
+ направление, в котором cos Р положителен;
— направление, в котором cos Р отрицателен.
Надстрочные индексы
' — величина, зависящая от направления;
* — переменная интегрирования.
19.3. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Существует ряд практически важных случаев, когда перенос
тепла в среде происходит только посредством двух процессов:
излучения и теплопроводности. В этих случаях среда обычно
является твердой или очень вязкой, так что ее движение и,
следовательно, конвекция не имеют значения. В жидкости или газе

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и {или) конвекцией 707
заметную роль играют вынужденная и (или) свободная
конвекции, поэтому они должны учитываться. Для последовательного
развития теории в данном разделе рассмотрим только члены,
учитывающие излучение и теплопроводность, конвекция будет
учтена позднее. Существует три практических случая, в которых
важен совместный радиационно-кондуктивный перенос.
Одной из областей приложения расчета сложного теплообмена
является производство стекла. Хотя стекло часто считают
прозрачным, оно может поглощать значительную часть излучения в
определенных интервалах спектра (фиг. 5.27). Поглощенное излучение
затем переносится в массе стекла от слоя к слою. Следовательно,
обычный процесс теплопроводности усиливается радиационной
теплопроводностью. Радиационные эффекты оказывают весьма
важное влияние на распределение температуры внутри
расплавленной массы стекла в печи. Эти эффекты изучались Келлетом [1],
Гардоном [2] и Кондоном [3].
Другой областью применения расчета сложного теплообмена
являются стекловидные материалы, которые иногда используются
в качестве аблирующих покрытий для защиты внутренних частей
конструкций от воздействий высоких внешних температур за счет
разрушения аблирующей поверхности.
Кондуктивно-радиационный процесс имеет важное значение
для регулирования распределения температур в пределах абли-
рующего слоя. От этого распределения зависит, как аблирующий
материал будет размягчаться, плавиться или испаряться. В
конечном счете эти процессы определяют эффективность защиты
поверхности с помощью аблирующего материала. Анализ
радиационных свойств аблирующего материала проведен Кадановым [4].
Третьей областью применения расчета сложного теплообмена,
которая возникла совсем недавно, является излучение в слое
криогенных осадков конденсата, которые образуются на очень
холодной поверхности при затвердевании газа. Холодная поверхность
может находиться на космическом корабле, движущемся по орбите
в верхних слоях атмосферы, или может быть деталью криогенного
насоса, используемого для создания глубокого вакуума путем
конденсации газа внутри камеры. Криогенный осадок конденсата
на стенке изменяет радиационные свойства холодной поверхности
и поэтому может оказывать значительное влияние на
радиационный теплообмен с этой поверхностью. Перенос излучения в
криогенных осадках конденсата рассмотрен в работах [5, 6].
В этом разделе будут описаны некоторые методы определёдия
переноса энергии путем совместного действия излучения и
теплопроводности. Введен кондуктивно-радиационный параметр и
сформулировано уравнение энергии. Затем будут рассмотрены
некоторые упрощающие предположения, самое простое из которых
состоит в том, что для определения совместного переноса тепла нужно

708
Глава 19
суммировать отдельно вычисленные вклады от излучения и
теплопроводности. Приближенные методы решения уравнения
переноса, изложенные в гл. 15, могут быть применены с целью
упрощения радиационных членов в этих сложных задачах и для примера
использовано приближение диффузии излучения. Кроме того,
в разд. 18.6 было кратко описано применение метода Монте-
Карло в задачах сложного теплообмена.
19.3.1. Кондуктивно-радиационный параметр
При наличии теплопроводности вводится новый безразмерный
кондуктивно-радиационный параметр N. Определение этого
параметра можно сформулировать на основе анализа переноса тепла
Фиг. 19.1. Теплопроводность через плоский элемент объема и излучение
этого объема.
в одномерном слое среды, показанном на фиг. 19.1. Среда имеет
коэффициент теплопроводности к, коэффициент поглощения а
и толщину, соответствующую единице средней длины свободного
пробега излучения. Если предположить, что профиль температуры
в слое приблизительно линейный, то тепловой поток,
перенесенный через слой площадью А путем теплопроводности, равен
Q< = -kAbTir-- (19-!)
Интегральный поток излучения от слоя площадью А может быть
записан с помощью уравнения (13.34) (без учета
индуцированного излучения) в виде
& = 4аоГт4(!) (19.2)
при соответствующем способе определения средней температуры
Тт и пренебрежении ослаблением излучения в объеме. Отношение

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и {или) конвекцией 709
потоков энергии, переданных путем теплопроводности и
излучения, равно
Разделив числитель и знаменатель правой части на Тг и обозначив
в = Т/Тг, получим
Qc ka 1-Q2_ * 1-в2
Qe 4оТ1 в*т -1 в*
N.^p-. (19.4)
Nj является кондуктивно-радиационным параметром (или числом
Старка), рассчитываемым по /-й температуре:
В частном случае, когда 6^ = 1 — в2, QJQe = N^. и этот
параметр является мерой относительного количества энергии,
переносимого путем теплопроводности и излучаемого слоем толщиной На.
Однако в общем случае Nj не является мерой относительного
количества энергии, поскольку, согласно (19.4), отношение потоков
энергии помимо Nj зависит от разности температур и их уровня.
19.3.2. Баланс энергии
Чтобы получить аналитическое решение задачи сложного (ра-
диационно-кондуктивного) теплообмена в излучающей и
поглощающей среде, следует вывести общее уравнение энергии. Это
уравнение затем решается с учетом граничных условий и
находится распределение температуры в среде и тепловой поток. Для
вывода уравнения энергии используется уравнение (14.16),
описывающее плотность интегрального потока излучения, поглощенного
объемом dV, и уравнение (14.17), соответствующее плотности
интегрального потока собственного излучения. В дополнение к этому
вводится член, учитывающий приращение энергии в единице
объема путем теплопроводности \7 • (kVT). Приравнивая
результирующую мощность источников за счет теплопроводности потерям,
обусловленным излучением, получим
оо оо 4я
V-(*V2,) = 4J aKexb(k,T)dl- j j ам{К <*)&*&. (19.5)
Так как — & VТ является вектором потока тепла вследствие
теплопроводности qc, то потери тепла путем теплопроводности
— V -{к\Т) являются дивергенцией qc- Тогда потери тепла,
обусловленные излучением и представленные правой частью (19.5),
могут рассматриваться как дивергенция вектора потока излуче*

710
Глава 19
ния qr, т. е.
оо 4я
V-qr= j ax[be%b(h Т)- j i'x (К, со) dco] dX,
X=Q со=0
и уравнение (19.5) можно записать в другом виде:
V-(qc + qr)=0. (19.5а)
Если внутри объема среды происходит выделение тепла, то
к левой части уравнения (19.5) нужно добавить количество тепла,
выделяемое в единице объема в единицу времени, которое
обозначается q'" и может быть функцией положения в среде и
времени. Выделение тепла может осуществляться, например,
электрическим, химическим или ядерным способами.
В нестационарных условиях некоторая часть тепла,
подводимого к элементу объема, может сохраниться в этом объеме.
Энергия, накопляемая в единице объема в единицу времени, равна
рср (дТ/дх). Тогда в нестационарном случае при наличии
внутреннего тепловыделения уравнение энергии будет иметь вид
оо
V-(Wr)+<T = 4 j ахеьь(КТ)(1Х-
оо 4л
~ f f ам (к, (d)d(ddl+pcp -^- (19.6)
или
PCp-|^ + V-(qc+qr) = 9r. (19.6а)
Нестационарный случай для одного только излучения рассмотрен
в разд. 21.6.
Поскольку радиационные члены в (19.5) и (19.6) зависят
не только от локальной температуры, но также и от всего поля
излучения, уравнение энергии является интегродифференци-
альным уравнением относительно распределения температуры
в среде. Члены, учитывающие теплопроводность и накопленную
энергию, зависят от температуры в степени, отличной от степени
при температуре в радиационных членах, и поэтому уравнение
энергии является нелинейным.
Численные решения уравнения энергии были получены Гардо-
ном (разд. 21.3.2), Висканта и Грошем [7, 8] и др. Большинство
решений получено для плоского слоя среды, но имеются решения
и для других конфигураций [9, 10]. В следующем разделе будет
показана специфика решения уравнения энергии для плоского
слоя.

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 711
19.3.3. Плоский слой
Рассмотрим слой излучающей и теплопроводной среды между
параллельными черными пластинами (фиг. 19.1). Пластина 1
находится при температуре, 7\, пластина 2 — при температуре
Г2, расстояние между ними равно D. (Расстояние 1/а,
показанное на фигуре, использовано в частном случае, описанном
в разд. 19.3.1.) Серая среда между пластинами имеет достоянный
коэффициент теплопроводности к и коэффициент поглощения а.
Для этой конфигурации выведем интегродифференциальное
уравнение, описывающее стационарный перенос тепла.
Для одномерного процесса теплопроводности при постоянном
значении к член V • (к^Т) в уравнении (19.5) сводится к kd2T/dx2^
Поскольку коэффициент поглощения не зависит от длины волны,
он может быть вынесен за знак интеграла. Тогда уравнение
(19.5) сводится к
4л
/c-g- = 4aor4(a;)-a \ i'{x,<o)de>. (19.7)
со=0
Как и в (14.32), интенсивность потока падающего излучения может
быть представлена в виде суммы двух потоков,
распространяющихся в направлениях положительного и отрицательного
значений cos Р:
k-j-£- =4аоТЬ(х) — a I i'+(x, со)йсо — а \ ¥_(х, со) dec. (19.8)
Величины i'+ и Г определяются с помощью (14.34) и (14.35) в виде
i;(x,p) = ±{^«p(i^r) +
О
-^]Г f^M^t^STJ «*'•}• f<P<"- <19'9б>
X
Отметим, что cos Р имеет отрицательные значения в интервале
значений Р, указанном в (19.96). Уравнения (19.9а) и (19.96) содержат
температуры на границах Тг и Г2. При решении уравнения (19.8),
содержащего вторые производные, требуются два граничных
условия, содержащих
Т (х) = Тг при х = О, Т (х) = Т2 при х = D.

712 Глава 19
Подставляя (19.9а) и (19.96) в (19.8), исключим V и получим
уравнение энергии относительно Т (х), которое решается
численным путем. Однако его можно привести к более простому виду.
Введем безразмерные величины: \х = cos Р, в = Т/Тъ в2 =
= Т2/Тъ Ni = ка /4аГ;, к = ах, х? = а/), Г = 174аГ*. Тогда
с помощью соотношения do = 2я sin р dp = —2nd[x уравнения
(19.8) и (19.9) могут быть записаны в виде
1 1
Nt ^eJx) ^в4(х)-2я j ^(х^йц —2я j Г(х, jx)d|x,
о о
где
/*^«i) = ^r[exp(-TL) +
+ Je*(x')exp(-^.)-^-], 0<(х<1,
(19.11а)
t(K.«-i{*,-p[-a«=s-]+
+ j 6Mx*)exp(^)-^}, 0<(i<l. (19.116)
Отметим, что знаки изменяются с изменением переменных, так что
[л в (19.10) и (19.11) имеет положительное значение. Комбинируя
(19.10) и (19.11), чтобы исключить /', получим
о
о о
(19.12)
Используя интегроэкспоненциальную функцию, определяемую
в (14.45) и приведенную в приложении Е, запишем уравнение
(19.123 в виде
^т^ = емх)-1[я,(х) +
Xjr>
+ в*£2(х1>-х)-Ь ( e4(**)£i(|K-x*|)&<*l. (19.13)
Это уравнение представляет собой искомое интегродифференциаль-
ное уравнение относительно распределения температур в (х).

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и {или) конвекцией 713
Оно является нелинейным, поскольку в входит в член с
теплопроводностью в первой степени, а в член с излучением — в
четвертой. Граничные условия в безразмерном виде записываются
следующим образом:
6 = 1 при к = 0, в = в2 при x = xD. (19.14)
Из рассмотрения (19.13) и (19.14) следует, что решение зависит
от параметров N±, kd и в2.
Помимо распределения температур представляет интерес
теплопередача поперек слоя, от пластины 1 к пластине. 2. Уравнение
(14.41) определяет результирующий тепловой поток толька
за счет излучения в сером газе, заключенном между черными
пластинами. Для удобства этот поток определяется при х = 0.
Кроме того, в этом же сечении существует поток тепла за счет
теплопроводности — k (dT/dx) \x=0i так что уравнение для
теплового потока будет иметь следующий вид:
л/2
dT I +Gf\— 2 f sinpcospx
«=-* dx
X
Иex? Щ-) +1щ JJ4 <*•> exp (-£*) *«•]d* <19-15>
(отметим, что, согласно уравнению сохранения энергии, величина
q в данном случае не зависит от х). Первый член в правой части
учитывает теплопроводность от стенки 1, второй — поток
излучения от стенки 1, третий — поток излучения, испускаемый
стенкой 2, который ослабляется средой и падает на стенку 1, и,
наконец, последний член учитывает излучение среды на стенку 1.
Испольузя интегроэкспоненциальную функцию и введенные ранее
безразмерные переменные, можно представить тепловой поток
в следующем виде:
оП=-4ЛЧх
х=о + 1-2[в24£3Ы+ J64(x*)£2(x*)dx*].
(19.16)
Поскольку среда не содержит источников тепла, величина qr
вычисленная на нижней стенке, будет одинаковой во всех точках
внутри среды.
Висканта и Грош [7, 8] получили решения уравнения (19ЛЗ)
с помощью итераций и численного интегрирования. Некоторые
из полученных распределений температуры приведены на фиг. 19.2.
При iVi -> оо преобладает теплопроводность и решение сводится
к линейному профилю для теплопроводности в плоском слое*

714
Глава 19
При Nt — О член, учитывающий теплопроводность, исчезает и
профиль температуры терпит разрыв (скачок температуры) на
каждой стенке, как в случае переноса одного лишь излучения '
(разд. 14.6.2). При наличии теплопроводности скачок температуры
1,0
0,8
0,6
CD
0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
*/*D
Фиг. 19.2. Распределение безразмерной температуры в слое серого газа
между бесконечными параллельными черными пластинами при наличии
теплопроводности и излучения [7].
Отношение температур пластин в2 = 0,1; оптическая толщина xD = 1,0; в —
безразмерная температура; и/Кр — относительная оптическая толщина; Nt — кондуктивно-
радиационный параметр.
отсутствует. В табл. 19.1 приведены некоторые данные [8] по
тепловым потокам, полученные согласно уравнению (19.16).
Тиммонс и Мингл [11] решили эту же задачу для случая
зеркальных границ. Отличие результатов от случая диффузных
границ не превышает нескольких процентов.
Некоторые экспериментальные данные для слоев С02, N20
и смесей С02 — СЕЦ и С02 — N20 приведены Шиммелем и др. [12].
Значения тепловых потоков на стенках сравнивались с
результатами расчетов, полученными при использовании моделей серого
газа, прямоугольной полосы и модели экспоненциальной широкой
полосы. Наилучшие результаты получены при использовании
модели широкой полосы, предложенной Эдвардсом и Менардом
(разд. 16.6.4).

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 715
Таблица 19.1
Тепловой поток между параллельными черными пластинами
при совместном действии излучения и теплопроводности *
в серой среде [8]
Оптическая толщина
0,1
1,0
1,0
10
Отношение
температуры пластин ©2
0,5
0,5
0,1
0,5
Кондуктивно-радиа- 1
ционный параметр
0
0,01
0,1
1,0
10
0
0,01
0,1
1,0
10
0
0,01
0,1
1,0
10
0
0,01
0,1
1,0
10
Безразмерный поток
энергии q/0T*
0,859
1,074
2,880
20,88
200,88
0,518
0,596
0,798
2,600
20,60
0,556
0,658
0,991
4,218
36,60
0,102
0,114
0,131
0,315
2,114
19.3.4. Простое суммирование (аддитивность) потоков энергии,
обусловленных излучением и теплопроводностью
В соответствии с относительно простой идеей приближенного
определения совместного переноса энергии излучением и
теплопроводностью предполагается, что взаимодействие между этими
двумя процессами переноса столь мало, что их можно
рассматривать действующими независимо друг от друга. Следовательно,
каждый вид переноса, кондуктивный или радиационный,
определяется так, как если бы другой механизм переноса отсутствовал.
Эйнштейн [13] и Сесс [14] исследовали это приближение для
случая излучающей и поглощающей серой среды между бесконечными
параллельными пластинами. Для черных пластин данные о
переносе энергии совпадают с точным решением в пределах 10%. При
наличии хорошо отражающих поверхностей погрешности могут

716
Глава 19
быть более значительными. Хауэлл [15] показал, что аддитивное
решение является достаточно точным также и в случае серого
газа, заключенного между черными концетрическими цилиндрами.
Аддитивное решение не может быть использовано для
определения профилей температур. Оно является эффективным и
простым при расчете переноса энергии в случае сложного
теплообмена, хотя в некоторых случаях точность получаемых таким путем
результатов вызывает сомнения. Если точность аддитивного
решения не определена путем сравнения-с более строгим методом, то его
применение нежелательно.
ПРИМЕР 19.1. Используя аддитивное приближение, вывести
соотношение для переноса энергии от серой бесконечной пластиныг
имеющей температуру Тг и степень черноты^, к параллельно
расположенной бесконечной серой пластине, имеющей температуру
7\ и степень черноты £2. Расстояние между пластинами D,
пространство между ними заполнено серой средой с постоянным
коэффициентом поглощения а и коэффициентом теплопроводности к.
Использовать приближение диффузии излучения для переноса
излучения.
При отсутствии излучения поток энергии за счет
теплопроводности от поверхности 1 к поверхности 2 равен
qc=k£ljzljLe (19.17)
По табл. 15.2 можно найти решение для случая одного только
излучения от пластины 1 к пластине 2, полученное в приближении
диффузии излучения,
gr= 3a/>/4+i/eiH-i/€2—1 • (19Л8)
Поскольку оба вида переноса тепла считаются совершенно
независимыми, аддитивное решение имеет вид
q = qc + qr. (19.19)
Используя безразмерные переменные, определенные при выводе
уравнения (19.10), получим выражение для q
_д_=4ДМ1-еа) (i-eg
аП kd ^3xD/4 + l/G + l/62-l ' ЦУ.^)
Уравнение (19.20) должно давать правильные результаты при
Nt = 0 (только излучение) в пределах точности диффузионного
решения и при Nx -*• оо (только теплопроводность), поскольку
оно является простой суммой этих предельных решений.
На фиг. 19.3 сравниваются значения q/oT\, определенные
по уравнению (19.20), с результатами точных численных решений

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 717
при £х = £2 = 1 и в2 = 0,5, полученными Висканта и Грошем
17, 8]. Для рассмотренной геометрической конфигурации и черных
поверхностей результаты аддитивного решения очень точные.
В данном случае аддитивный метод, по-видимому, является наиболее
подходящим вследствие случайного совпадения, состоящего в том,
что результаты, полученные в приближении диффузии излучения,
011 ' I I I I ml 1 1 l I I in
'0,01 0,1
Фиг. 19.3. Сравнение простого аддитивного и точного численного решений
для сложного кондуктивно-радиационного теплообмена между
параллельными черными пластинами.
Отношение температур пластин @2 = 0,5; О точное численное решение [7, 8];
аддитивное решение, уравнение (19.20); g/oTJ — безразмерный поток энергии; kd—
оптическая толщина; Nt — кондуктивно-радиационный параметр.
в случае одного только излучения несколько превышают
результаты точного решения (фиг. 15.6), а результаты для одной только
теплопроводности занижены. Это происходит потому, что решение
для теплопроводности основано на линейном профиле градиента
температур Г, в то время как действительные градиенты вблизи
граничных поверхностей при наличии излучения (см., например,
фиг. 19.7, а) принимают большие значения. Погрешности этих двух
решений стремятся компенсировать друг друга, что обусловливает
весьма точное аддитивное решение для этой геометрической
конфигурации.

718
Глава 19
19.3.5. Метод диффузионного переноса энергии
Этот метод имеет преимущество перед аддитивным методом
в том отношении, что решение получается из общего уравнения
энергии и при этом находится распределение температур в среде.
В разд. 15.4.2 (стр. 531) показано, что диффузионный поток
энергии излучения имеет ту же самую форму, что и закон Фурье для
теплопроводности. С использованием выражения для среднего
росселандова коэффициента поглощения (15.39) выражение для
вектора потока излучения имеет следующий вид:
где кг — коэффициент радиационной теплопроводности,
определяемый в виде
*г~^£-. (19.22>
Следовательно, используя приближение диффузии излучения,
можно представить вектор потока энергии при" совместном
действии излучения и теплопроводности в какой-либо точке среды,
в виде
q = qr + qe=-(/cr + fc)Vr=-(^~- + k)VT. (19.23)
Локальный тепловой поток, определяемый этим выражением^
можно использовать (как и при выводе уравнения
теплопроводности) для составления баланса энергии элементарного объема
в излучающей и поглощающей среде. Например, в двумерной
декартовой системе координат при отсутствии внутренних
источников тепла уравнение энергии будет следующим:
-V
■«-=[ffir+*)£K[(!£+*)£]-0- <19-м>
Среда ведет себя подобно проводнику тепла, коэффициент
теплопроводности которого зависит от температуры.
Чтобы получить распределение температуры в среде, нужна
проинтегрировать уравнение, подобное (19.24), и учесть
граничные условия. Эти условия часто содержат температуры на
граничных поверхностях. Однако вблизи границы приближение
диффузии излучения несправедливо. Вследствие этого решение вблизи
стенки становится неправильным и не может непосредственно
удовлетворить граничным условиям на стенке. Чтобы обойти это
затруднение, краевые условия на границах излучающей и
поглощающей среды изменяются таким образом, что окончательное
решение диффузионного уравнения при этих эффективных граничных
условиях будет справедливым в области, удаленной от границ»
где применимо приближение диффузии излучения.

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и {или) конвекцией 719"
В случае одного только излучения вводится скачок
температуры, чтобы избежать трудностей стыковки температурного поля
в среде, полученного на основе диффузионного решения, с
температурой стенки. В задачах сложного кондуктивно-радиационного
теплообмена аналогичное понятие скачка температуры введено
Гольдштейном иХауэллом [16, 17]. С помощью метода
сопряженных асимптотических разложений для согласования
линеаризованных решений относительно интенсивности, потока и темпера
туры вблизи стенки с диффузионным решением относительна
Экстраполированное^^^6'
диффузионное решение
относительно Т(х)
Фиг. 19.4. Использование эффективного скачка температуры в качестве
граничного условия для диффузионного решения при наличии
теплопроводности и излучения.
этих величин вдали от стенки было найдено условие эффективного
скачка. Как показано на фиг. 19.4, этот скачок определяет
граничную температуру Т (х-+0), которую должно иметь температурное
поле, полученное на основе диффузионного решения, если его
распространить непосредственно до стенки. Скачок определяется через
коэффициент скольжения if, который является функцией только
кондуктивно-радиационного параметра N. Выраженный через
величины, относящиеся к стенке 1, этот параметр имеет вид
Qr,i
(19.25)
где Яг, 1 — плотность потока излучения на границе, определенная
в соответствии с приближением диффузии излучения, Тх —
температура стенки, Т (х ->- 0) — температура, экстраполированная
до стенки со стороны среды (эффективный-скачок температуры,

720
Глава 19
который должен быть использован в диффузионном решении).
В работе [16] получено следующее выражение для ty±:
^ = Ajarctg(4-)^, (19.26)
о
где
*.-т(&-г-ь£-:). <w-27>
На фиг. 19.5 приведен график зависимости г|; от N, который
может быть использован для любой геометрической конфигурации.
Решение подобного типа позволяет определить распределение
температур в пределах точности, которую обеспечивает
приближение диффузии излучения. В примере будет показано, что
результаты могут быть получены как в виде потока энергии, так
и в виде профилей температур. Другие решения этого общего типа
представлены в работах [18, 19].
ПРИМЕР 19.2. Используя метод диффузионного переноса
энергии для сложного теплообмена, обусловленного
теплопроводностью и излучением, вывести уравнение, описывающее профиль
температур в среде с постоянными коэффициентами поглощения а
и теплопроводности к. Среда заключена между двумя параллельно
расположенными бесконечными черными пластинами, имеющими
температуры Тг и Т2. Расстояние между пластинами D, нижняя
пластина 1 имеет координату х — 0. Каков тепловой поток поперек
слоя?
Для этой геометрической конфигурации уравнение (19.23)
в безразмерном виде записывается следующим образом (отметим,
что в данном случае aR = а):
q _ / 4 да* Л d6 \ / 4 dS* ,N dS \ Mq «o.
Ввиду отсутствия внутренних источников тепла из уравнения
сохранения энергии следует, что q имеет постоянное значение
в пространстве между пластинами. Тогда уравнение (19.28) можно
проинтегрировать от 0 до х# и получить
-|TxD=--{A[eMxi,)-e4(O)] + 4iV1[0(xI))-e(O)]}, (19.29)
где в (0) и в (xjr,) — температуры нижней и верхней границ среды
соответственно. Эти две температуры следует исключить с
помощью граничных условий со скачком, связав их с заданными
температурами стенок Тг и Г2.

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 721
Рассмотрим сначала граничные условия на стенке 1. Для
частного значения N = Nx коэффициент ifo определяется по фиг. 19.5
и равен
^ о Щ-ТЦО)]
Vl Яг>1
Согласно уравнению (19.23), поток излучения на стенке qFt г может
быть записан в виде
16оТз dT | _ ШТ{ q
Уг'1~ За dx\i~ За leoTl/Sa + k #
Следовательно, коэффициент г]?! будет равен
*i
д[Г4_Г4(0)]
н {4а/да)д/(4а/3а + k/Щ)*
Преобразуем последнее выражение к виду
Как показано при выводе г|) [16], условия, при которых
справедливо диффузионное решение, приводят к скачку Тг — Г(0), кото-
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
о
0,01
0,1
10
Фиг. 19.5. Коэффициент скольжения, используемый при решении задач
сложного радиационно-кондуктивного теплообмена в приближении
диффузии излучения.
•ф — коэффициент скольжения в приближении диффузии излучения; N — кондуктивно-
радиационный параметр.
рый мал по величине. Для удобства часть выражения (19.30)
представим в виде линейной зависимости. Приняв Тг — Т (0) = б,

722
Глава 19
где б — малая величина, получим
1 Щ Щ ~ Щ —о —ii —i ^и).
Тогда (19.30) записывается следующим образом:
или в безразмерном виде
Аналогично для стенки 2 получим (заметим, что величина г|)2
соответствует N = N2 на фиг. 19.5)
4^-^==|[в4Ы--@24] + ^1[©Ы--в2]. (19.32)
Теперь просуммируем (19.29), (19.31) и (19.32), чтобы исключить
неизвестные температуры среды 0 (0) и в (kd). В результате
получим для безразмерного потока энергии, переносимого поперек
слоя,
_^=1-в|+з^(1-ег) (19JJ3)
Результаты расчетов по этому уравнению приведены на фиг. 19.6,
где они сравниваются с точным и аддитивным решениями
(приведены также данные, полученные с помощью приближенного
метода обобщенных угловых коэффициентов, который будет рассмотрен
в следующем разделе). При xD = 1 результаты хорошо
согласуются с точным решением. В случае малых оптических толщин kd =
= 0,1 скачок температуры, введенный в диффузионном решении,
сильно искажает результаты для промежуточных значений N1
и простой аддитивный метод решения дает более точные значения
потоков энергии.
Преимущество диффузионного решения состоит в том, что оно
дает распределение температур в среде. Профили температур могут
быть определены путем интегрирования (19.28) от 0 до к (заметим,
что величина q постоянна) и последующего использования (19.31)
и (19.33), чтобы исключить 6 (0) и q. В результате получим
1-е*(х)+здгд[1--е(х)]__ зх/4+чя mq<m\
1 —в| + 37Vi(l-e2) Зх^+^+^а" {LJ-aV
Некоторые профили температур приведены на фиг. 19.7. При
kd = 1 (фиг. 19.7, а) профили плохо согласуются, за
исключением профилей, соответствующих наибольшему из приведенных зна-

Перенос энергии излучением^ теплопроводностью и (или) конвекцией 723
чений N1 Лучшее совпадение профилей получается для всех Nx
при больших значениях xD, поскольку в этом случае становятся
более точными предположения, на которых основано диффузионное
решение. Это видно по фиг. 19.7, б, где сравниваются профили при
xD = 10. С учетом предположений, использованных^методе диф-
m 1 i i i i i i м1 I i i i imiI i i 1 i mil
Ц 0,01 0,1 M 1 10
Nl
Фиг. 19.6. Сравнение различных методов расчета переноса энергии путем
теплопроводности и излучения в плоском слое, ограниченном черными
параллельными пластинами.
Отношение температур пластин Т2/Т± = 02 = 0,5. О точное численное решение L7J;
А приближенное решение методом обобщенных угловых коэффициентов [15];
простой аддитивный метод, уравнение (19.20); линеаризованное решение, полученное
с использованием метода диффузионного переноса энергии со скачком температуры [16];
q/oli — безразмерная плотность потока энергии; Nt — кондуктивно-радиационный-
параметр; kd — оптическая толщина.
фузионного переноса энергии со скачком температуры, и способа
сравнения приближенных решений с точным следует ожидать
наиболее точных данных о профилях температур при значении
kd > 2. При N± ->• 0 и Nx -> оо результаты, полученные при
помощи метода диффузионного переноса энергии со скачком
температур, сходятся к точным предельным решениям.

724
Глава 19
В пределах применимости методов диффузионного переноса
энергии кондуктивно-радиационный параметр можно истолковать
иначе, чем в разд. 19.3.1. Отношение коэффициентов
молекулярной теплопроводности к и радиационной теплопроводности кГ1
согласно (19.22), равно
к к 3 kaR 3 ЛГ (19.35)
4 4аТ3
-In
кг ~16аГЗ/Зая'
Поэтому в приближении диффузии излучения N является мерой
отношения молекулярной теплопроводности к радиационной.
Щ
1,0
О.бЬ
0,6
0,4 h-
^^
Г ^ C^5w_
^^о^^
ч<чч
1— ^Х
vCv
1 1
^^^
^^ч
х*^
S."^^
X ^ ^
^ч
1
L_
\ \/
\\
.Ход (
L_
"\
^/0,01
/^\
\ \
\\\
0,2
0,4 0,6
k/kd
а
0,8
1,0
Фиг. 19.7. Сравнение профилей температур, полученных путем точного
решения [7] и при помощи метода диффузионного переноса энергии со
скачком температуры.
Отношение температур пластин 02 = 0,5, степени черноты &t = £2 = 1,0; а —
оптическая толщина kd = 1,0; б — оптическая толщина *D = 10, кондуктивно-радиационный
параметр N, = 0 02916. точное численное решение; метод диффузионного
переноса энергии со скачком температуры; [0 (х) — 02]/(1 — 02) — безразмерная тем;
пература; k/xd — относительная оптическая толщина, JV, —кондуктивно-радиационный
параметр.
Вследствие этого величина N в этом случае является также мерой
отношения энергии, переносимой обоими механизмами.
19.3.6. Приближенный метод
обобщенных угловых коэффициентов излучения
Этот метод был введен в разд. 17.8.3 в связи с задачами переноса
энергии только излучением. В данном разделе эти обобщенные
угловые коэффициенты используются в задачах сложного тепло-

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и {или) конвекцией 725
обмена, причем оказывается, что их применение удобно при
решении этих задач. Как указывалось в разд. 17.8.3, обобщенный
угловой коэффициент излучения Fj_k представляет собой долю потока
излучения, покидающего поверхность /, которая падает на
поверхность к. При этом все поверхности черные, а промежуточная среда
находится в радиационном равновесии (т. е. обмен энергией
происходит только путем переноса излучения). Величина F7_fe
учитывает поглощение и повторное испускание излучения средой
при переносе энергии от Aj к Ak. В том же разделе был также
введен аналогичный обобщенный угловой коэффициент dFj_dx между
площадкой на поверхности и элементарным объемом. Мы
рекомендуем читателю просмотреть разд. 17.8.3, прежде чем приступать
к ознакомлению с данным материалом.
Полный поток излучения, испускаемый элементом объема при
наличии теплопроводности, определяется тремя составляющими:
1) потоком излучения, который испускался бы при отсутствии
теплопроводности, 2) результирующим потоком, который
поступает к элементу путем теплопроводности (и, следовательно, должен
отводиться излучением), 3) некоторым дополнительным потоком
d2QmIl, подводимым к элементу путем излучения, которое будет
избыточным по сравнению с излучением при радиационном
равновесии (при нулевой теплопроводности); этот поток обусловлен
изменением профиля температуры вследствие теплопроводности.
Таким образом,
4аРоТь dV = AaPoTR dV - kV2T dV + d2QR0U. (19.36a)
Температуру TRl соответствующую радиационному равновесию,
удобно записать, как и в (17.122), через обобщенные угловые
коэффициенты
4aPeTRdV = %Q09JdZFj_dV,
3
где Q0f j — поток эффективного излучения, покидающий
поверхность j оболочки, содержащей газ. d2Fj_dV — доля потока
эффективного излучения, покидающего поверхность Aj, которая
поглощается в элементе объема dV при радиационном равновесии
в черной оболочке; эта величина учитывает поглощение и
излучение в газе на пути от Aj к dV. Подставляя это соотношение и
учитывая, что <22<2д0п — малая величина, получим (19.36а) в виде
4аРаГ4 «^2^6, jd2Fj-dv- W2T. (19.366)
j
Заметим, что обобщенные угловые коэффиценты учитывают обмен
энергией излучения между элементарными объемами газа, соот-

726
Глава 19
ветствующий профилям температур при отсутствии
теплопроводности (радиационное равновесие). Приближение, введенное в
уравнение (19.366), состоит в том, что влияние нового профиля
температур, полученного вследствие теплопроводности газа, на обмен
между этими объемами незначительно (т. е. d2Qn0Tl «0).
Аналогичное приближение сделано также и по отношению к величине
Q0, j, которая может быть использована из решения, не
учитывающего теплопроводность. Если излучение является определяющим,
то эти приближения являются достаточно точными, если же роль
излучения несущественна, то некоторая неточность радиационных
членов не имеет значения.
Уравнение (19.366) является нелинейным дифференциальным
уравнением относительно локального значения температуры газа
Г. Хауэлл [15] использовал это приближение-применительно к
серым газам, заключенным в кольцевых оболочках и между
бесконечными параллельными пластинами. Точность решения в этом
случае сравнима с точностью простого аддитивного решения, если
рассчитывать тепловой поток через газовую среду, как показано
на фиг. 19.6. Главное достоинство данного метода состоит в том,
что точные распределения температур в задачах сложного
теплообмена можно получить без особых усилий. Метод демонстрируется
на следующем примере.
ПРИМЕР 19.3. Найти выражение для профиля температур
в объеме серого газа, заключенного между бесконечными
параллельными пластинами. Расстояние между пластинами Z),
коэффициент поглощения газа а, коэффициент теплопроводности к,
пластины черные и имеют температуры Тг и Т2. Использовать
приближенный метод обобщенных угловых коэффициентов.
Если использовать слой толщиной dx в качестве элементарного
объема, то уравнение энергии (19.366) для данной конфигурации
примет вид
- к ^aW1 dx + dli-d*vT\ + dF2-dxoTi = iaoT" (x) dx. (19.37)
Обобщенные угловые коэффициенты, определяемые (17,125)
и (17.126), будут следующими:
dFi-dx = 4а dx Фь (х) и dF2-dx = /tadx(l — qb).
Величина фь для данной конфигурации с хорошей точностью
определяется с помощью соотношений (табл. 15.2):
ФЬ(Х) = s •
TXD+1

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 121
Подставляя эти соотношения в (19.37) и используя обычные
безразмерные величины, получим
(19.38)
Это уравнение должно удовлетворять граничным условиям 6 = 1
при к = О и 6 = 62 при к = kd. Оно дает в пределе точное
решение для диффузии излучения при N± ->■ 0 и точное решение для
ф
1,0
0,8
0,6
Ф
ф '
0,2
—
—
^^^
J
\
/Чч \\ ^*
V N. \ \\ >o,oi
-^ж \\ \
Хч\> \
Л^ v \
\\\ \
i i i -Ji
ОЛ
0,4 0,6
к/к0
0,8
1,0
Фиг. 19.8. Сравнение профилей температур, полученных путем точного
решения и при помощи приближенного метода обобщенных угловых
коэффициентов.
Оптическая толщина Ир = 1,0, отношение температур пластин в2 = 0,1, степени
черноты £, = £2 == 1,0; точное численное решение; приближенный метод
обобщенных угловых коэффициентов; k/kd — относительная оптическая толщина;
[в(и) — в2]/(1 — в2) — безразмерная температура; JVi — кондуктивно-радиационный
параметр.
теплопроводности при А^-^оо. Хауэлл [15] получил численное
решение относительно величины [в (я) — в2]/[1 — в2],
используя обобщенные угловые коэффициенты из численного решения
задачи теплообмена только излучением, которые являются более
точными, чем использованные в (19.38) коэффициенты,
определенные методом диффузионного переноса энергии. На фиг. 19.8 это

728
Глава 19
решение сравнивается с численным решением задачи сложного
теплообмена излучением и теплопроводностью.
Перенос энергии теплопроводностью определен путем
численной оценки величины dQ/du \х==0 и последующего ее применения
для вычисления кондуктивного потока тепла на границе. Поток
излучения предполагался не зависящим от процесса
теплопроводности. Результаты, полученные таким приближенным способом,
хорошо согласуются с численным решением (фиг. 19.6). Так как
dQ/dx, изменяется в зависимости от х, в то время как поток
излучения без учета теплопроводности не зависит от х, то при
определении d&ldx в точках, отличающихся от к = О, будут получены
разные результаты. Установлено [15], что для точного расчета
теплового потока градиент температуры следует определять на
граничной поверхности с наибольшей температурой. Использование
для расчета теплового потока градиента температуры на более
холодной стенке почти всегда приводит к завышенным значениям.
Приближенный метод обобщенных угловых коэффициентов
не ограничен какими-либо геометрическими конфигурациями,
значениями степени черноты поверхности или оптической толщины
и может быть использован в любом случае, в котором обобщенные
угловые коэффициенты были получены ранее или могут быть
получены с помощью упрощенного решения для одного только
излучения. Результирующее нелинейное уравнение энергии обычно
может быть представлено в форме матрицы нелинейных
дифференциальных уравнений, которые зачастую легко решить численным
методом, описанным Нессом [20] (разд. 12.3.2).
В тех случаях, когда граничные поверхности не вносят
основного вклада в поток излучения в газе, профили температур в газе
становятся основным фактором, влияющим на распределение
потоков излучения, и приближенный метод обобщенных угловых
коэффициентов может стать неточным. Однако в работе [15] получены
данные, которые хорошо согласуются с результатами точных
численных решений для переноса энергии и профилей температур
в случаях параллельных пластин и концентрических
цилиндров.
Лик [21] предложил приближенные методы решения задач
сложного теплообмена, в которых учитываются спектральные свойства
газов и свойства, зависящие от температуры. Гольдштейн и Хау-
элл [16] описали методы, в которых учитываются свойства,
зависящие от температуры, с помощью приема кажущегося
скачка.
Хотя численные методы в большинстве случаев являются
единственным способом точного решения задач сложного теплообмена,
приближенные методы, описанные в этой главе, могут обеспечить
приемлемую точность для большинства инженерных задач

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 729
переноса тепла излучением и теплопроводностью. Все
описанные здесь методы могут быть применены к двумерным и
трехмерным задачам.
19.4. КОНВЕКЦИЯ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
И ИЗЛУЧЕНИЕ
В большинстве практических случаев в излучающей и
поглощающей среде происходит взаимодействие между конвекцией,
теплопроводностью и излучением. Атмосферные явления, задачи
с ударными волнами, процессы в ракетных соплах и
промышленных печах — во всех этих и во многих других случаях происходит
подобное взаимодействие. В связи с этим данному вопросу
посвящено много работ. Обзор статей и монографий приведен в работах
[14, 22—26]. Тем не менее указанные задачи остаются трудными
для решения. В данном разделе описаны некоторые методы,
используемые для решения этих задач.
19.4.1. Задачи пограничного слоя
В ряде работ рассматривается влияние излучения на перенос
тепла в пограничном слое при вынужденной конвекции [27—31].
Подобные задачи пограничного слоя приближенно решаются при
Внешняя
q г область
vJl (const)
Фиг. 19.9. Течение в пограничном слое плоской пластины.
помощи обычных уравнений неразрывности и количества движения,
которые не содержат радиационных членов и не влияют на
перенос тепла, поскольку свойства жидкости в них предполагаются
постоянными. Затем записывается уравнение энергии,
содержащее член с источником энергии для учета результирующего
теплового излучения, воспринимаемого элементарным объемом. Как
указывалось при выводе уравнения (19.5а), этот источник энергии
излучения может быть записан в виде — V #qr-
Уравнение энергии для двумерного пограничного слоя на
плоской пластине (фиг. 19.9) в предположении серой среды с
постоянными свойствами, пренебрежимо малой вязкой диссипации и без

730
Глава 19
учета переноса излучения в направлении течения г) имеет вид
Л ( дТ : дТ \ j д*Т dqry 4Q Qm
ММ^+»Ж/=*1^"^' (19-39)
гДе Чту — плотность потока излучения в положительном
направлении оси г/, показанная на фиг. 19.9. Задача сводится к введению
в уравнение (19.39) одного из выражений для величины qTy и к
последующему решению полученного уравнения энергии совместно
с уравнениями неразрывности и количества движения. В работах
{28, 29] для определения qry использовано приближение диффузии
излучения, а затем два последних члена в (19.39) могут быть
объединены, как это сделано в (19.23).
Для решения полученного уравнения энергии можно
использовать разные приемы. Новотный и Янг [27] использовали
сопряженные асимптотические разложения уравнения энергии, считая
известным поле течения. Линеаризованное уравнение энергии
вблизи поверхности было сопряжено с асимптотическим решением
вдали от поверхности. Висканта и Грош [28] еще раньше
применили приближение диффузии излучения, считая, что
диффузионное решение справедливо вплоть до граничной поверхности.
Сесс [29] и другие считали пограничный слой оптически тонким,
который излучает, но не поглощает излучение. Вводя некоторые
другие допущения, Сесс учел особенности несерого газа.
Пренебрежение поглощением излучения может оказаться полезным
приближением, когда пограничный слой нагревается за счет
диссипации энергии при трении, в то время как поверхность и
окружающий газ являются холодными.
Фрич, Грош и Уилдин [30] изучали защиту поверхности слоем,
поглощающим излучение. Предполагалось, что пограничный слой
поглощает, но не испускает излучение. Учтены влияния вдува
через пористую поверхность и внешнего поля излучения.
Хоув [31] рассмотрел подобную задачу при несколько других
граничных условиях, касающихся внешнего поля излучения.
Новотный и Келлер [32], а также Сесс [33] исследовали
влияние излучения на развитие пограничного слоя в условиях
свободной конвекции. Газ считался излучающим и поглощающим,
2) Считается, что в направлении оси х конвективный член вносит
основной вклад по сравнению с вкладом излучения в этом направлении, т. е.
дТ ^ 1 ддгх
U дх " рср дх '
гДе Qrx — поток излучения в направлении оси х. Поэтому членом — dqTxldx
в правой части уравнения (19.Я9) можно пренебречь. В приближении
диффузии излучения это означает, что должно быть справедливо соотношение
U дх ^ рср гдх \ Зад дх ) •

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 731
и в обоих случаях радиационные эффекты учитывались в линейном
приближении. В работе [32] рассматривается развитие
пограничного слоя на горизонтально расположенном цилиндре, а в работе 133]
исследуется нарастание пограничного слоя на вертикальной
пластине. Джилле и Гуди [34] экспериментальным путем изучали
начало свободной конвекции в газе под действием теплового
излучения.
Оптически тонкий тепловой слой. Рассмотрим теперь более
подробно вынужденное ламинарное течение на плоской пластине.
В уравнение (19.39) необходимо подставить выражение для члена
dqTyldy, представляющего собой источник излучения. Не
расширяя пределов предположений, принятых для пограничного слоя,
предположим, что тепловые параметры в направлении оси х
изменяются так же медленно, как и в направлении оси у, и что все
параметры, определяющие величину qry при некотором значении х,
скажем а;+, определяются при этом значении х+ и, следовательно,
подчиняются распределению температуры Т (х+, у). Тогда
величина dqryldy может быть определена из выведенных ранее
одномерных соотношений, как для уравнения (19.13). В уравнении
(19.13), справедливом для среды, заключенной между двумя
черными стенками, при отсутствии конвекции член, учитывающий
теплопроводность, равен (у — поперечная координата)
Л -^ = 4аоГ4- 2аа \_Т\ЕЦу) + Г2Е2 (xD - х) +
+ \ r4(^*)£i(|x-x*|)dx*]. (19.40)
о
Если имеется две стенки, то правая часть (19.40) представляет
собой член dqry/dy. При наличии лишь одной из граничных
поверхностей член с Т2 отсутствует и верхний предел интеграла равен
бесконечности. Кроме того, Г4 (х*) заменяется на Г4 (#, х*)э
чтобы показать, что для радиационного члена точка х
окружающего пространства приближенно выбирается при Т (х, у). Тогда при
температуре Т (я, у) уравнение пограничного слоя (19.39)
принимает следующий вид:
(..("■B-+'f)-*-W~"-rt4+
ОО
+ 2аа[г;Е2(х)+j Г4 (х, х*) Е± (| х-х* |)Лс*] (19.41)
о
где х = ау.
Поле температур можно считать состоящим из двух областей.
Вблизи стенки, в обычном тепловом пограничном слое толщиной

732
Глава 19
б, который существовал бы в отсутствие поля излучения,
действуют большие градиенты температуры и важное значение имеет
теплопроводность. Обычно эта область имеет небольшую толщину
и может считаться оптически тонкой, так что излучение будет
проходить через нее без ослабления. При значениях у за пределами
этой области градиенты температуры невелики и теплопроводность
играет пренебрежимо малую роль по сравнению с теплообменом
излучением. Теперь можно использовать приближенный анализ,
как это сделано, например, в работе [14].
Во внешней области скорость в направлении оси х равна
скорости невозмущенного течения и0. Пренебрегая
теплопроводностью, получим уравнение пограничного слоя в виде
дТ
сю
4- 2ао [Т\Е2 (х) + j Г4 (ж, х*) Ei (| х - х* |) dx*]. (19.42)
о
Чтобы найти приближенное решение методом итераций, в правую
часть этого уравнения в качестве первого приближения подставим
температуру невозмущенного потока Т0 и затем выполним
интегрирование, чтобы получить второе приближение. При этом для
внешней области с точностью до членов первого порядка получим
Т(х,к) = Т0 + о(Т\-Ц)Е2(к)^+...я [(19.43)
где при х = О Т = Т0.
На границе теплового пограничного слоя х = ау = аб —
малая величина, поэтому Е2(а&) жЕ2(0) = 1. Следовательно,
при у = б уравнение (19.43) примет вид
Т(х, 6) = Т0 + о[(Г1-Т1)-^- + ... . (19.44)
Уравнение (19.44) является граничным условием для
внутреннего теплового пограничного слоя, которое связано с
присутствием внешнего излучающего слоя. Внешняя температура растет
линейно в зависимости от х. Это является следствием того, что
движущийся газ поглощает поток результирующего излучения
пластины пропорционально разности Т\ — Т\ и коэффициенту
поглощения а.
Для решения уравнения пограничного слоя во внутренней
области теплового слоя последний интеграл в уравнении (19.41)
разделяется на две части: одна интегрируется от х = 0 до аб,
а вторая от аб до оо. Первая часть пренебрежимо мала, так как
тепловой слой оптически тонкий, а вторая часть определяется с
помощью внешнего решения [уравнение (19.43)]. Сохраняя лишь

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и {или) конвекцией 733
члены первого порядка, приведем уравнение энергии
пограничного слоя к виду
^ + ^ = ^ + ^7^+^-2^). (19.45)
Граничными условиями являются уравнение (19.44) при у = &
и известная температура стенки Т = Тг при у = 0.
Решение довольно сложное и дальше излагаться не будет.
Дополнительная информация содержится в работах [14, 35].
Оптически толстый тепловой слой. В противоположность
случаю, рассмотренному в предыдущем разделе, если тепловой слой
имеет большую толщину или среда является сильно поглощающей,
то пограничный слой будет оптически толстым.
При этом анализ значительно упрощается, поскольку можно
использовать приближение диффузии излучения. Возращаясь
к уравнению (19.23), вспомним, что в приближении диффузиии
излучения радиационная теплопроводность суммируется с
обычной теплопроводностью. Тогда уравнение (19.39) можно записать
в виде
<*» (u-^+v ж) "Lh^r+*:) irJ • (19-46)
В предположении о постоянстве свойств жидкости уравнения
количества движения и неразрывности для пограничного слоя не
зависят от температуры. Следовательно, течение не изменяется при
наличии теплообмена и распределение скоростей определяется
решением Блазиуса [36]. Решение Блазиуса записывается через
параметр подобия г) = yY~uQ/vx; функция тока и компоненты
скорости определяются в виде
г|)="|Лш^/(т|), и=1^=-'ио4^'
Эти величины подставляются в уравнение энергии, которое затем
можно записать в следующем виде:
-Ч-{'%)-к[{ъг+*)%1- <18-«>
Граничные условия, которые используются при численном
решении, имеют вид
T = Ti при iq==0, Т=Т0 при г)=:оо.
Для большей точности следует использовать условие скачка
температур на стенке, но это условие в случае совместного действия
излучения, конвекции и теплопроводности не сформулировано.

734
Глава 19
Примем в = Т/Т0 и N0 — kaR/AaT3Q, тогда уравнение (19.47)
запишется следующим образом:
Рг / , d® \ d г/ 4в3 , Л \ d@n /лп /оч
Численные решения получены в работе [28], а некоторые
типичные профили температур показаны на фиг. 19.10. При N0 = 10
7)/V2= yVu0/2vx
Фиг. 19.10. Профили температур в ламинарном пограничном слое плоской
пластины [28].
Число Прандтля Рг = 1,0; отношение температур TJT0 = 0,5; JV0 = (Ьак)/(4аГЗ) —
кондуктивно-радиационный параметр.
профиль с точностью до 2% совпадает с соответствующими профиг
лями для случаев только кондуктивного и только конвективного
теплообмена (т. е. для N0 ->- оо). Влияние излучения проявляется
в утолщении теплового пограничного слоя аналогично влиянию
уменьшения числа Прандтля. Это следовало ожидать, поскольку
число Прандтля равно отношению коэффициентов вязкости и
температуропроводности via. Излучение является дополнительным
механизмом тепловой диффузии, способствуя увеличению
эффективного значения а.
19.4.2. Течения в канале
В некоторых высокотемпературных теплообменных устройствах
практический интерес представляет течение излучающего и
поглощающего газа в канале при наличии радиационного и
конвективного переноса энергии. Для всех точек течения все еще справедли-

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 735
во уравнение энергии (19.39) (v = О для полностью развитого
течения).
В работах [13, 37—40] задачи сложного теплообмена в канале
решены с различной степенью точности. Висканта [37] получил
приближенные численные решения уравнений для ламинарного
течения серой излучающей и поглощающей среды в канале,
образованном параллельными пластинами. Свойства среды считались
не зависящими от температуры. В дополнение к kDi N и
отношению температур в этих задачах появился новый параметр — число
Нуссельта, которое содержит радиационную составляющую и тем
самым отличается от обычного числа Нуссельта.
Эйнштейн [13, 38] использовал методы угловых коэффициентов
Хоттеля для систем газ — поверхность и газ — газ (разд. 17.8.2)
при решении уравнения энергии для течений в канале с
параллельными стенками и в круглой трубе. Оба канала имели конечную
длину, учитывалось внутреннее тепловыделение в газе.
Полученные результаты сравнивались с результатами Адрианова и Шо-
рина [39], использовавшими приближенный метод холодной среды
(разд. 15.3.3), в котором учитывалось поглощение, но не
учитывалось излучение газа. Чен [40] учел в анализе течения между
параллельными пластинами рассеяние, предполагая при этом наличие
плоского профиля скорости.
Во всех работах, упомянутых в этом разделе, рассматривалось
течение серого газа в канале, стенки которого были серыми или
черными, а свойства газа не зависели от температуры. Де Сото
и Эдварде [41] провели анализ теплообмена при течении в трубо
несерого газа, радиационные свойства которого зависели от
температуры. Для учета зависимости от длины волны использовалась
экспоненциальная модель полосы (разд. 16.6.4). Рассматривалось
течение во входном участке. Аналогичная работа выполнена
Пирсом и Эмери [42], использовавшими модель прямоугольной полосы
для характеристик поглощения несерого газа. В этой модели
коэффициент поглощения постоянен в пределах эффективной ширины-
полосы поглощения и равен нулю в остальной части спектра.
Лэндрам и др. [43] изучали полностью развитое турбулентное
течение в трубе оптически тонкого газа с использованием среднего
по Планку и статистически среднего коэффициентов поглощения*.
Применение метода Монте-Карло в некоторых задачах о течении
в канале рассматривалось в гл. 18.
В качестве примера рассмотрим решение Эйнштейна [38] для
течения в трубе диаметром/) (фиг. 19.11, а). Газ поступает в трубу
при температуре Tt и вытекает из нее при температуре Т0.
Температура стенки трубы постоянна и равна Tw. Значения температуры
окружающей среды на входе и выходе из трубы предполагаются
равными Tt и Т0 соответственно. В случае ламинарного течения
в трубе уравнение энергии для точки, определяемой радиусом-

736
Глава 19
вектором г, имеет следующий вид
дТ
-4ааГ4 (г) +а [ ( j j оТ^ (г*) / (r*-r) dV +
v
+ j j оТ\ (r*) g (r* -r) AS] . (19.49)
s
Тройной интеграл определяет долю излучения всего газа в
трубе, поглощенную в элементарном объеме с центром в точке г.
У Mw(const) \
У
, = aD
Фиг. 19.11. Сложный (радиационный и конвективный) теплообмен при
течении поглощающего газа в трубе с постоянной температурой стенки [38].
а — конфигурация трубы и граничные условия; б — безразмерная температура на
выходе при Г./Тш = 0,4; 1/D = 5
pucp/GTS = 33;
(То — T.)/(TW — Т.) — отношение
температур; kd = aD — оптическая толщина.
Величина /(г* —г) является обобщенным коэффициентом
обмена между элементарными объемами \ газа с центрами в точках
г* и г. Двойной интеграл определяет поглощенную в точке г долю
излучения граничных поверхностей, к которым относятся стенка
трубы и поверхности торцов трубы. Величина g (г* — г) является
обобщенным коэффициентом обмена между поверхностью и газом;
значения / и g приведены в работе [381.

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и {или) конвекцией 737
Некоторые типичные результаты численного решения для
профиля скорости течения Пуазейля приведены на фиг. 19.11, б.
Эти данные показывают, сколько энергии получает газ со
стороны стенки, так как ордината является мерой того, насколько
близка температура газа на выходе к температуре стенки.
Результаты выражены через оптическую толщину, рассчитываемую
по диаметру трубы, и через кондуктивно-радиационный параметр,
определяемый по температуре стенки. По мере увеличения
оптической толщины количество поглощенного газом излучения стенки
увеличивается до максимального значения. Затем при больших
значениях kd тепло, поглощенное газом, уменьшается. Это
обусловлено экранированием самим газом, т. е. при больших
значениях kd большая часть прямого излучения стенки трубы
поглощается в тонком слое газа вблизи стенки. Поскольку излучение
газа изотропное, то почти половина энергии, излучаемой этим
тонким слоем, возвращается обратно на стенку. Следовательно, газ
в центре трубы экранируется от прямого излучения и
эффективность теплопередачи падает.
В некоторых исследованиях течений в трубах [40, 41]
радиационные члены в уравнении энергии (19.49) упрощаются путем
предположения о том, что излучение газа вблизи оси в основном
определяется температурой слоев газа, непосредственно
примыкающих к оси. Следовательно, при определении радиационных
членов пренебрегают изменениями температуры в осевом направлении.
Потоки излучения рассчитываются так, как будто они
обусловлены излучением бесконечного цилиндрического объема газа, в
котором радиальное распределение температуры везде одинаково
и равно принятому в расчете.
19.4.3. Другие задачи сложного теплообмена
Излучения факелов ракетных двигателей изучались Де Сото
[44]. Каданов [4] рассмотрел излучение при абляции. Большое
количество литературы посвящено входу тел в атмосферу [45]
и излучению гиперзвуковых ударных волн. Строгое исследование
этих проблем затруднительно из-за неравновесных химических
реакций, сопровождающих излучение. Работы [23—26, 45]
содержат хорошую вводную часть и обзор проблем ударных волн.
Взаимодействие излучения со слоем газа при наличии вдува
рассмотрено в работе [46].
19.5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Изучение сложного теплообмена в излучающей и поглощающей
среде можно рассматривать как решение задач теплопроводности
или конвекции при наличии члена с распределенными источниками

738
Глава 19
(или стоками). Этот член учитывает локальный результирующий
прирост (или падение) потока излучения в среде./ Член с
радиационным источником может быть определен либо точным, либо
каким-нибудь приближенным методом. В этой главе были
упомянуты случаи применения точного, диффузионного и аддитивного
методов расчета теплообмена, а также приближения оптически
тонкого-газа. Как почти во всех задачах теплообмена излучением,
в задачах сложного теплообмена можно записать основные
уравнения, описывающие физические процессы. Трудность состоит
в решении этих уравнений. В литературе описан широкий круг
физических задач и методы их решения. В этой главе сделан ряд
ссылок, чтобы помочь читателю разобраться в основной
информации, относящейся к рассматриваемой проблеме.
Литература
1. Kellet, В. S., Transmission of Radiation through Glass in Tank Furnaces,
/. Soc. Glass Techn., 36, 115—123 (1952).
2. Gardon R., The Emissivity of Transparent Materials, /. Am. Ceram. Soc,
39, № 8, 278-287 (1956). ,
3. Condon E. U., Radiative Transport in Hot Glass, /. Quant. Spectry.
Radiative Transfer, 8, № 1, 369—385 (1968).
4. Каданов Л. П., Распространение лучистой энергии внутри аблирующего
тела, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2, 61 (1961).
5. Merriam R. L., Viskanta R., Radiative Characteristics of Cryodeposits for
Room Temperature Black Body Radiation, Cryogenic Eng. Conf., Case-
Western Reserve University, Cleveland, Aug. 1968.
6.. Mc Connell D. G., Radiant Energy Transport within Cryogenic.
Condensates, Inst. Environmental Sci. Ann. Meeting Equipment Exposition, San
Diego, Calif., April 1966.
7. Висканта P., Грош P. Дж., Перенос тепла теплопроводностью и
излучением в поглощающей среде, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, № 1, 62 (1962).
8. Viskanta R., Grosh R. J., Effect of Surface Emissivity on Heat Transfer
by Simultaneous Conduction and Radiation, Int. J. Heat Mass Transfer,
5,' pp. 729—734 (1962).
9. Висканта P., Мерриам Ф., Процесс теплообмена в условиях
взаимодействия теплопроводности и излучения в системе концентричных сфер,
разделенных излучающей средой, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, № 2, 71 (1968).
10. Greif R., Gean Р. С, Radiant Heat Transfer between Concentric Cylinders,
Appl. Sci. Res., sec. A, 15, pp. 469--474 (1966).
11. Timmons D. H., Mingle J. 0., Simultaneous Radiation and Conduction with
Specular Reflection, paper 68—28, AIAA, January 1968.
12. Schimmel W. P., Novotny J. L., Olsofka F. A., Interferometric Study of
Radiation-Conduction Interaction, Fourth Int. Heat Transfer Conf., Paris,
Septemer 1970.
13. Einstein Т. H., Radiant Heat Transfer to Absorbing Gases Enclosed between
Parallel Flat Plates with Flow and Conduction, NASA TR R-154, 1963.
14. Сесс P. Д., Сб. «Проблемы теплообмена», Атомиздат, М., 1967.
15. Howell J. R., Determination of Combined Conduction and Radiation of
Heat through Absorbing Media bv the Exchange Factor Approximation,
Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 61, № 59, 162—171 (1965).

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 739
16. Goldstein, М. Е., Howell J. R., Boundary Conditions for the Diffusion
Solution of Coupled Conduction-Radiation Problems, NASA TN D-4618,
1968.
17. Хауэлл Дж. Ф., Голдштейн М. Е., Эффективный коэффициент скольжения
в задачах о совместном действии излучения и теплопроводности, Труды
амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 1, 135 (1969).
18. Тейтл И., Хартнетт Дж. Р., Применение к задачам излучения
приближения Росоеланда и решения, основанного на разложении в ряд
интенсивности излучения, Ракетная техника и космонавтика, № 1, 108 (1968).
19. Wang L. S. Tien С. L. A study of Various Limits in Radiation Heat-transfer
Problems, Int. J. Heat Mass Transfer, 10, № 10, 1327—1338 (1967).
20. Ness A. J., Solution of Equations of a Thermal Network on a Digital
Computer, Solar Energy, 3, № 2, 37 (1959).
21. Lick W., Energy Transfer by Radiation and Conduction, Proc. 1963 Heat
Transfer Fluid Mech. Inst. (A. Roshko, B. Sturtewant, D. R. Bartz, eds.)
1963, 14—26.
22. Viskanta R., Radiation Transfer and Interaction of Convection with
Radiation Heat Transfer in «Advances in Heat Transfer» (T. F. Irvine, Jr.,
P. Hartnett, eds.) vol. 3, 175—251. Academic Press, Inc., New York, 1966.
23. Бай Ши-и, Динамика излучающего газа, изд-во «Мир», М., 1968.
24. Бонд Дж., Уотсон К., Уэлч Дж., Физическая теория газовой динамики,
изд-во «Мир», М., 1968.
25. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П., Физика ударных волн и
высокотемпературных гидродинамических явлений, изд-во «Наука», 1966.
26. Vincenti W. G., Kruger С. Н., Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics,
chaps 11—12, Wiley, Inc. New York, 1965.
27. Новотный Дж. Л., Янг Куан-цу, Взаимодействие излучения и конвекции
в оптически толстых пограничных слоях, Труды амер. о-ва инж.-мех.,
сер. С, № 4, 33 (1967).
28. Viskanta R., Grosh R. J., Boundary Layer in Thermal Radiation Absorbing
and Emitting Media, Int. J. Heat Mass Transfer, 5, 795—806 (1962).
29. Сэсс P. Д., Влияние излучения в пограничном слое потока непрозрачного
газа, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача № 4, 3 (1964)*
30. Фрич К. А., Грош Р. Д., Уилдин М. В., Теплообмен излучением в
поглощающем пограничном слое, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, № 3, 53 (1966).
31. Howe J. Т., Radiation Shielding of the Stagnation Region by
Transpiration of an Opaque Gas, NASA TN D-329, 1960.
32. Novotny J. L., Kelleher M. D., Free-convection Stagnation Flow of an
Absorbing-Emitting Gas, Int. J. Heat Mass Transfer, 10, № 9, 1171—117$
(1967).
33. Cess R. D., The Interaction of Thermal Radiation with Free Convection
Heat Transfer, Int. J. Heat Mass Transfer, 9, № Ц, 1269—1277 (1966).
34. Gille J., Goody R., Convection in a Radiating Gas, /. Fluid Mech., 20,
pt. 1, 47—79 (1964).
35. Cess R. D., The Interaction of Thermal Radiation in Boundary Layer Heat
Transfer, Third Int. Heat Transfer Conf. AIChE, vol. 5. 1966, 154-163.
36. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, изд-во «Наука», М., 1969.
37. Висканта Р., Взаимодействие между теплоотдачей, теплопроводностью,-
конвекцией и излучением в излучающей жидкости, Труды амер. о-ва
инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 4, 35, 1963.
38. Einstein Т. Н., Radiant Heat Transfer to Absorbing Gases Enclosed in
a Circular Pipe with Conduction, Gas Flow, and Internal Heat Generation,
NASA TR R-156, 1963.
39. Adrianov V. N., Shorin S. N., Radiative Transfer in the Flow of a
Radiating Medium, Trans. TT-1, Purdue University, February 1961.

740
Глава 19
40. Chen J. С, Simultaneous Radiative and Convective Heat Transfer in an
Absorbing, Emitting, and Scattering Medium in Slug Flow between
Parallel Plates, Rep. BNL-6876-R, Brockhaven Nat. Lab., Mar. 18, 1963.
41. De Soto S., Edwards D. K., Radiative Emission and Absorption in Noniso-
thermal Nongray Gases in Tubes, Proc. 1965 Heat Transfer Fluid Mech.
Inst. (A. F. Charwat, ed.), 1965, 358—372.
42. Пирс В. E., Эмери А. Ф., Теплопередача тепловым излучением и
вынужденной ламинарной конвекцией к поглощающей жидкости во входном
участке трубы, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2,
8 (1970).
43. Лэндрам К. С, Гриф Ф., Хабиб И. С, Теплопередача.в турбулентном
потоке оптически тонкого излучающего газа в трубке, Труды амер. о-ва
инж.-мех., сер. G, Теплопередача, № 3, 40 (1969).
44. De Soto S., The Radiation from am Axisymmetric, Real Gas System with
a Nonisothermal Temperature Distribution, Chem. Eng. Progr. Symp. Ser.,
vol. 61, № 59, 138-154, 1965.
45. Penner S. S., Olfe D. В., Radiation and Reentry, Academic Press; Inc.,
New York, 1968.
46. Viskanta R., Merriam R. L., Shielding of Surfaces in Gouette Flow against
Radiation by Transpiration of an Absorbing-Emitting Gas, Int. J. Heat
Mass Transfer, 10, № 5, 641—653 (1967).
Задачи
1. Пространство между двумя бесконечными параллельными
пластинами заполнено стационарной серой средой. Пластины
черные, их температуры 1000 и 500 К, расстояние между ними 5 см;
коэффициент поглощения среды 0,2 см"1. Если коэффициент
теплопроводности среды равен 0,011 Вт/(см-К), то какова
результирующая плотность потока энергии между пластинами?
Ответ: 4,5 Вт/см2.
2. Между двумя бесконечными параллельными пластинами
заключен оптически толстый излучающий и поглощающий
теплопроводный газ, в котором происходит химическая реакция
с равномерным тепловыделением на единицу объема. Пластины
серые и имеют температуры и степени черноты 7\, £х и Т2, £2.
Определить плотности тепловых потоков qx и д2, которые должны
быть подведены к каждой пластине путем излучения и
теплопроводности, чтобы поддержать температуры Тгл Т2.
Использовать аддитивное приближение вместе с приближением
диффузии излучения. Принять, что газ неподвижен.
3. Стенки камеры образованы тремя параллельными пластинами,
параметры которых указаны на рисунке. Все поверхности серые,
а пластина 2 настолько тонкая, что температура по ее толщине
постоянна. Какова результирующая плотность потока
тепла от пластины 1 к пластине 3, если обе области между
пластинами вакуумированы? Рассмотреть также случай, когда между
пластинами 2 и 3 заключена излучающая и поглощающая
теплопроводная среда, параметры которой указаны на рисунке.

Перенос энергии излучением, теплопроводностью и (или) конвекцией 741
Используя аддитивное приближение и приближение диффузии
излучения, оценить результирующую плотность потока от*плас-
тины 1 к пластине 3 в этом случае.
Ответы: 0,876 Вт/см2; 0,964 Вт/см2.
5 см
v«2=0,2
-Т, = 1200 К
/--«, = 0,8
4. Рассмотреть снова задачу 15.7, но учесть процесс
теплопроводности в газе при значении коэффициента теплопроводности к.
Принять также, что в этой задаче величина aR определяется
в виде aR (Т) = aRt 0 (Т/Т0) 3.
5. Неподвижный серый газ с коэффициентом поглощения а =
= 6,56 м"1 заключен между двумя параллельными пластинами,
расположенными на расстоянии 152 мм. Пластины несерые,
зависимости их полусферических спектральных степеней
^
<<
*<
f?
/<
/
1Б
0,7
0,2
(
0,9
0,3
(
2мм
^уЪЪЬУ,
^/11ЪК
_-_^
) Ч 10
w. пл
L i 1 ^ ~
)
Цлина i
5 1
%ЛИЫ X, мм
0
1

742 Глава 19
черноты от длины волны и температуры показаны на
рисунке. Коэффициент теплопроводности газа к = 0,173 Вт/(м*К).
Вычислить плотность потока энергии от пластины 1 к пластине
2. Использовать аддитивное приближение и приближение
диффузии излучения.
Отпет: 1,923 кВт/м2.
6. Две параллельные серые пластины со степенями черноты £х =
=0,6 и £2 = 0,9 расположены на расстоянии 152 мм друг от друга.
Температуры пластин равны 556 и 333 К. Между пластинами
заключен неподвижный несерый газ, зависимость коэффициента
поглощения которого от длины волны показана на рисунке.
Коэффициент теплопроводности к = 0,173 Вт/(м-К). Используя
аддитивное приближение и приближение диффузии излучения,
определить плотность теплового потока от пластины 1 к
пластине 2. Какова роль теплопроводности?
Ответ: 2,59 кВт/м2.
12J---1 1
8г 1 I 1 1
<,Xl M_1 "I I
4 L_ I I J L 1
111!' _^-_ I I I I I I I , ■
0 2 4 6 8 10 12
Длина волны X, мкм

20
ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ
В РАССЕИВАЮЩЕЙ
И ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
20.1. ВВЕДЕНИЕ
Как указывалось в разд. 13.5.1, коэффициент ослабления
теплового излучения К равен сумме коэффициентов поглощения
и рассеяния. Уравнение переноса при наличии лишь поглощения
рассматривалось в гл. 14. Данная глава посвящена теплообмену
излучением с учетом процессов упругого рассеяния, которые
важны в том случае, когда речь идет о расчетах переноса излучения.
Поляризация и различные процессы неупругого рассеяния
упомянуты лишь вкратце. Эти процессы и другие эффекты рассеяния
рассмотрены в более солидных трудах [1—7], посвященных
проблемам рассеяния. Особенно ценной является работа Хюльста [1],
в которой подробно рассматривается упругое рассеяние на
отдельной частице.
Если излучение падает на какое-либо вещество, часть его
поглощается, а другая часть рассеивается в различных направлениях.
Рассеяние может происходить на частицах или объектах
различных размеров от электронов до планет и в специальных случаях
может быть важным в каждом диапазоне размеров. Рассеяние
имеет значение при переносе излучения в тумане, дыме, пыли и в
некоторых окрашенных материалах. При упругом рассеянии
энергия фотона и, следовательно, его частота не изменяются, а при
неупругом рассеянии энергия фотона изменяется.
В теоретических работах обычно рассматривается рассеяние
на отдельной частице. Для скопления частиц интенсивности
рассеяния на каждой частице обычно суммируются в предположении,
что каждая частица рассеивает энергию независимо от других.
В качестве критерия независимого рассеяния в работе [8] принято
расстояние между частицами более 0,3 длины волны и отношение
этого расстояния к диаметру более 0,4 [8]. В большинстве
практических случаев предположение о независимом рассеянии может
быть сделано, когда частицы удалены на гораздо большее
расстояние.
При столкновении падающего излучения с частицей возможны
различные явления. Некоторая доля падающего излучения может
отразиться от поверхности частицы. Остальное излучение может
поникнуть внутрь частицы и частично поглотиться. Если частица

744
Глава 20
не обладает сильным внутренним поглощением, то некоторая доля
этого излучения выйдет из нее. Это может произойти либо при
однократном прохождении луча через частицу, либо после
многократных внутренних отражений и «блужданий» луча внутри частицы.
При взаимодействии с граничной поверхностью частицы
излучение будет преломляться и будет также изменять свое
направление в результате последующих внутренних отражений. Изменение
направления вследствие проникновения потока излучения внутрь
частицы с последующим выходом из нее называется рассеянием
вследствие рефракции. Дополнительное рассеяние вызывается
дифракцией, при которой образуется, например,
интерференционная картина, наблюдаемая при прохождении пучка света через
отверстие в экране. Дифракция является следствием
незначительного искривления луча, проходящего вблизи края преграды.
Отражение, рефракция и дифракция зависят от оптических
свойств (а именно от комплексного показателя преломления п =
= п — ix) и от размера частицы отнесенного к длине волны
падающего излучения. Дополнительным усложняющим фактором
является конфигурация частицы. Обычно предполагают, что
среда, окружающая частицу, имеет показатель преломления п,
равный единице, и нулевой показатель поглощения х, так что п =
= п— £0 = 1. В этом случае свойства окружающей среды не могут
влиять на оптические характеристики системы среда — частица.
В принципе характеристики рассеяния могут быть получены
из решения электромагнитных уравнений Максвелла, с помощью
которых описывается поле излучения системы среда — частица.
Однако это решение приводит к очень сложным соотношениям
даже для частиц простой формы. Поэтому, как будет показано
далее, во многих случаях вводят ряд упрощений.
Одним из упрощений является предположение о сферической
форме частиц. Это предположение не является ограничивающим,
как может показаться, поскольку, согласно работе [1], данные для
сфер имеют широкую область применения. Рассмотрим множество
частиц неправильной формы, поверхности которых состоят из
выпуклых площадок (без вогнутых участков). Поскольку частицы
ориентированы случайным образом, то в каждом угловом
направлении будет повернуто одинаковое число элементов
поверхности, совпадающее с угловым распределением элементов
поверхности сферической частицы. Следовательно, угловое распределение
рассеянного излучения на некотором расстоянии от реальных
частиц будет таким же, как и в случае частиц сферической формы.
Второе упрощение относится к предельным решениям для
рассеяния на сферических частицах больших и малых размеров.
Удобным параметром является nD/X, где D — диаметр сферы.
При больших диаметрах (nD/X > 5, где X — длина волны в
веществе частицы) рассеяние является в основном процессом отраже-

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 745
ния и поэтому может быть рассчитано по относительно простым
геометрическим соотношениям для отражения. Существует также
и дифракция потока излучения, проходящего вблизи сферы, но
она учитывается отдельно (разд. 20.4.4). Для небольших
диаметров (nD/X ^ 0,6/тг) можно использовать рэлеевское приближение
процесса рассеяния (разд. 20.4.5). Для промежуточных значений
лО/Х применимы результаты общей теории рассеяния Ми, но
результаты общего решения уравнений Максвелла довольно
сложны.
Третье упрощение относится к предельным случаям оптических
констант частицы. Для металлов значения пик часто весьма
велики, так что можно рассматривать случай |ti|=|w—-ix|->-oo.
Для диэлектриков (х = 0) характерно предельное значение п «1.
В этом случае отражательная способность поверхности частицы
мала.
Рассматриваются также предельные свойства поверхности
(диффузная или зеркальная поверхность). Поверхность частицы
может обладать только диффузными свойствами при условии, что
размер ее велик по сравнению с длиной волны падающего
излучения. В какой мере теория согласуется с экспериментальными
данными, будет показано при рассмотрении различных практически
важных соотношений рассеяния.
20.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь;
а — коэффициент поглощения;
с — скорость света в среде;-
с0 — скорость света в вакууме;
D — диаметр частицы;
е — плотность потока излучения; заряд электрона;.
G (п) — функция п в рэлеевском соотношении рассеяния,
уравнение (20.23);
Н — длина пути, определяемая в связи с уравнением (20.64);
/ — функция источника излучения, уравнение (20.57);
_г — интенсивность излучения;
^о — средняя интенсивность эффективного излучения,
уравнение (20.46);
J\ — Функция Бесселя первого рода первого порядка;
К = а + ors — коэффициент ослабления;
к — коэффициент теплопроводности;
1т — средняя длина свободного пробега излучения в процессе
его ослабления;

746
Глава 20
те — масса электрона;
N — концентрация частиц, число частиц в единице объема;
п — показатель преломления;
п = п — in — комплексный показатель преломления;
Q — поток энергии;
q — плотность потока энергии;
R — радиус;
г0 — классический радиус электрона;
S — координата вдоль пути луча;
s — сечение рассеяния;
Т — абсолютная температура;
V — объем;
W — параметр в уравнении (20.21);
х — ось координат, параллельная плоскому слою;
ар — поляризуемость;
Р — полярный угол;
8 — азимутальный угол;
к — оптическая толщина; показатель поглощения в
комплексном показателе преломления;
v — частота;
X — длина волны;
[i = cos Р;
р — отражательная способность;
&s — коэффициент рассеяния;
Ф — индикатриса рассеяния;
Ф — угол рассеяния, отсчитываемый от прямого
направления луча до направления наблюдения рассеянного
излучения;
г|) — сферический угол (фиг. 20.4);
Q0 — альбедо однократного рассеяния, уравнение (20.54);
со — телесный угол.
Подстрочные индексы
Ъ — черное тело;
D — положение с координатой D;
i — падающее излучение;
р — частица; проекция;
s — рассеяние;

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 747
к — спектральная величина;
+ направление с положительным значением cos Р;
— направление с отрицательным значением cos Р;
1,2 — поверхности 1 или 2.
Надстрочные индексы
' — величина, зависящая от направления;
(0), (1), (2) — члены нулевого, первого или второго порядков;
* — переменная интегрирования.
20.3. НЕКОТОРЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ПРИ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССА РАССЕЯНИЯ
20.3.1. Сечение рассеяния
Степень рассеяния, которую следует ожидать, часто
определяется сечением рассеяния s. Это кажущаяся площадь, которую
объект представляет для падающего луча с учетом способности
объекта отклонять излучение от направления луча. Для
характеристик теплового излучения эта величина обычно выражается
в квадратных сантиметрах. Кажущаяся площадь может быть
совершенно отличной от физической величины поперечного
сечения рассеивающего объекта, что можно видеть по некоторым
приближенным значениям сечения рассеяния, приведенным
в табл. 20.1. В дополнение к зависимости от размера частицы
площадь сечения может зависеть от формы и природы рассеивающего
объекта, длины волны, поляризации и когерентности падающего
излучения. Отношение s к действительной площади проекции
частицы, перпендикулярной относительно падающего луча,
называется коэффициентом эффективности рассеяния.
Сечение рассеяния можно определить экспериментально путем
измерения количества энергии излучения, способного проникнуть
сквозь облако рассеивающих частиц. Сложность эксперимента
состоит в отделении потока излучения, рассеянного в направлении
луча, от потока, проходящего через облако частиц без
взаимодействия с частицами. Это затруднение можно преодолеть, используя
падающий луч с очеаь малым углом раскрытия. В этом случае
поток прямого излучения занимает очень малый телесный угол,
в котором содержится лишь малая часть рассеянного излучения.
Отношение рассеянной доли интенсивности падающего луча di^ s
к интенсивности падающего луча i'% равно отношению кажущейся
площади проекции d2 As^, занимаемой всеми рассеивающими
частицами, к площади поперечного сечения падающего луча dA.
При этом для луча, проходящего элементарный отрезок пути

Таблица 20 J
Приближенные значения сечений рассеяния для различных тел, облучаемых пучком фотонов
Тело -
Фотон
Свободный
электрон
Атом или
молекула
Частица
диаметром D
Физическая 1
площадь
поперечного сечения,
см2 |
0,88-10-^
(первая
орбита электрона
Бора)
я£>2
4
Условия
Энергия падающего фотона мала
Энергия фотона « кинетической
энергии электрона
Энергия фотона » кинетической
энергии электрона
Упругое
рассеяние, А, »
> размера
молекулы или
атома
Неупругое
рассеяние
Энергия
падающего фотона «
« энергии связи
электрона
Энергия
падающего фотона »
» энергии связи
электрона
Энергия
падающего фотона «с
« энергии связи
электрона
Энергия
падающего фотона >
» энергии связи
1 электрона
А, » £>, рассеяние на отдельной
частице
Х« D
Тип рассеяния
Томсоновский
Комптоновский
Рэлеевский
Рэлеевский,

приближающийся к том-
соновскому
Рамановский
Близкий к
комптонов-
скому
Рэлеевский
Ми
Френелевская
и фраунгофе-
рова
дифракции плюс
отражение
Сечение рассеяния, см2
-2-10-56
4a^(y+ln28^)1)
Пропорциональное —
~6,65.10"25A4
-6,65-Ю-25
- 6,65.10-25
~4аг^(т + 1п2в*)1>
Пропорциональное У2Д4
Изменяется в широких пределах
-*(=?)
0^
00
?
<5>

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 749
в среде, в которой он встречает рассеивающую поверхность йгА8%,
получается следующее соотношение:
d*A8X
diKs
dA
(20.1)
Отметим, что кажущаяся площадь проекции рассеяния частиц
может зависеть (и обычно зависит) от длины волны. Эта площадь
связана со средними площадями сечения рассеяния отдельных
частиц соотношением
dUsl = SbNa dV - sjJVs dA dS, (20.2)
где Ns — концентрация частиц, s^ — средняя площадь сечения
рассеяния частицы, dV — элементарный объем, в котором содер-
Интенсивность излучения,
рассеянного 6 направлении {(р, 9)
dlX,s^9)
Падающее
излучение
интенсивностью*
Прямое
направление
•Ns частиц/объем
Рассеян ьое
\ излучение
Фиг. 20.1. Рассеяние излучения в направлении (ф, 6) при падении луча
в пределах телесного угла do)?-.
жатся частицы (фиг. 20.1). Подставляя (20.2) в (20.1), получим
изменение интенсивности di^ в результате рассеяния падающего
луча
di[
= *%± = sxN dAdS = SxNs d^
dA
(20.3)
Существует также интенсивность, рассеянная в направлении S
со всех остальных направлений; она входит в величину di^,
но будет учтена позднее.
Интегрируя (20.3) по длине пути от 0 до 5, найдем
интенсивность в точке S вследствие ослабления путем рассеяния луча,

750
Глава 20
имеющего начальную интенсивность i'% (0):
s
i'% (S) = V% (0) exp ( - j SkNa dS*) . (20.4a)
о
Следовательно, часть падающего излучения, рассеиваемого вдоль
пути луча, равна
s
^(0)-ii(5) = ix(0)[l-exp ( j sJVsdS*)] . (20.46)
о
Определим теперь коэффициент рассеяния as% в виде
ash^sxNs, (20.5)
так что уравнение (20.4а) примет вид
s
& (S) = ik (0) exp [ - j ash (S*) dS*] . (20.6)
о
Это соотношение имеет форму закона Бугера для одного только
рассеяния (разд. 13.5).
Если рассматривать распределение частиц по размерам, то
приведенный выше анализ может быть обобщен. Пусть Ns (R) dR —
число частиц, приходящихся на единицу 'объема в интервале
изменения радиусов частиц от R до R + dR, и пусть sk (R) —
сечение рассеяния для частицы радиусом i?. Тогда, интегрируя
по всем частицам, получим коэффициент рассеяния в виде
оо
<твь = j Sb{R)Ne(R)dR. (20.7)
Как и при истолковании физического смысла коэффициента
ослабления (разд. 13.5.2), коэффициент рассеяния osX можно
считать величиной, обратной средней длине пробега, которую
проходит луч, прежде чем он рассеется. Таким образом, величина
osh является обратной длиной и может рассматриваться как
площадь сечения рассеяния всех частиц вдоль пути луча,
приходящаяся на единицу объема os^ = d2A8JdV [согласно (20.5)
и (20.2)]. При концентрации частиц, примерно равной или
меньшей молекулярной плотности воздуха при давлении 0,101 МПа
(1 атм) (Ns « 2,7-1019 частиц/см3), для большинства процессов,
перечисленных в табл. 20.1, коэффициент рассеяния будет очень
малым (и, следовательно, весьма большой будет средняя длина
свободного пробега излучения в процессе рассеяния). Это
особенно справедливо для процессов фотон-фотонного рассеяния,
томсоновского и рамановского, которыми обычно можно
пренебречь в инженерных расчетах теплообмена излучением.

Перенос иалучения в рассеивающей и поглощающей среде 751
Предыдущие соотношения соответствовали той доле
интенсивности падающего излучения, которая рассеивалась вдоль пути
луча. Для вывода соотношений радиационного переноса в
рассеивающей среде потребуется дополнительная информация о
распределении рассеянного излучения по направлениям, которое
определяется через индикатрису рассеяния, зависящую от
углового направления.
20.3.2. Индикатриса рассеяния
Рассмотрим излучение в пределах телесного угла do).,
падающее на площадку dA (фиг. 20.1). Доля интенсивности падающего
излучения, рассеиваемая на пути dS, определяется
уравнениями (20.3) и (20.5):
dii,9 s = OsA dS. (20.8)
Величина di^ s является энергией монохроматического излучения,
рассеянного на длине dS в единице телесного угла падающего
луча и на единице площади, перпендикулярной падающему лучу:
Как показано на фиг. 20.1, распределение интенсивности
рассеянного излучения является функцией азимутального угла 9
и полярного угла ф, измеряемого относительно прямого
направления. Для описания углового распределения интенсивности
рассеянного излучения вводится фазовая функция, или
индикатриса рассеяния Ф (ф, 6) г) 2).
Интенсивность излучения, рассеянного в каком-либо
направлении (ф, 6), определяется как энергия излучения, рассеянного
в единице телесного угла в указанном направлении и отнесенного
к единице площади и единице телесного угла падающето излу-
г) Автор использует термин «фазовая функция» для обозначения
указанной характеристики рассеяния. В терминологии, рекомендуемой АН СССР
[15*], принят термин «индикатриса рассеяния», который используется
в переводе.—Прим. ред.
2) Следует иметь в виду, что используемая здесь характеристика Ф (ф, 6)
относится к изотропным средам, а также к случаю отсутствия
преобразования энергии излучения по частотам. При наличии указанной зависимости
индикатриса рассеяния Ф (ф, 6) должна быть заменена функцией рассеяния
Ф^ (ф', б'; ф, 9, А,, А/) [1*, стр. 39], зависящей от двух направлений и двух
частот и связанной с ней равенством
оо
J <1МФ', 9'; Ф, в, к, А/)^' = Фл(ф', 9'; ср, 0).
— Прим. ред.

752
Глава 20
чения:
Энергия монохроматического излучения, рассеянного в направлении (ср, 6)
dcos dA йщ dk
d5Q'ks(y, 9)
dws dA diot dX ' \ • /
Направленная величина di'ht8((p, 0) связана с полной
интенсивностью рассеянного падающего излучения di{iS с помощью
индикатрисы рассеяния
dii . (Ф, 0) = «%,. Щ^- = а*Д dS-%^L .- (20.11)
Чтобы лучше понять смысл этой функции, заметим, что
энергия, приходящаяся на единицу dX, d(x)t и dA и
рассеиваемая в единице телесного угла dcos, равна di^ s (ф, 0) do)s;
следовательно, рассеяние в полном угле равно I di'^ s (ф, 0) doos.
cos=4jt
Однако энергия рассеиваемого излучения, приходящаяся на
единицу dk, d(x)t и dA, равна diifS, следовательно,
d&t,= j й£х,а(ф, 6)d(o8, (20.12)
o)s=4jt
Используя (20.11), чтобы исключить di>u?s, получим выражение
для индикатрисы рассеяния
dik с (Ф» G)
Ф(Ф, 0) - f ",s . (20.13)
4^ J й1иЛЪ e)dc°s
Таким образом, функция Ф (ф, 0) имеет физический смысл
интенсивности излучения, рассеянного в каком-либо направлении
и отнесенного к интенсивности излучения, которое было бы рассеяно
в этом направлении, если бы рассеяние было изотропным.
Следовательно, при изотропном рассеянии Ф = 1. При интегрировании
(20.13) во всем dcos становится ясно, что функция Ф (ф, 0)
нормализована таким образом, что
i- j Ф(Ф, в)Жвв = 1. (20.14)
Как будет показано в следующих разделах, индикатриса
рассеяния может быть сложной функцией ф и 0.

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 753
20.4. РАССЕЯНИЕ НА ЧАСТИЦАХ
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
20.4.1. Скопление зеркально отражающих частиц
больших размеров
Одной из наиболее простых рассеивающих сибтем является
скопление сферических частиц больших размеров (ziDlX >> ~5),
которые имеют зеркально отражающие поверхности. На фиг. 20.1
показан элементарный объем скопления толщиной dS и
поперечным сечением dA, ориентированным по нормали к направлению
падающего луча. Поток падающего излучения, пронизывающего
Фиг. 20.2. Отражение падающего излучения от зеркальной сферической
поверхности.
элементарный объем, равен ^dco£ dA dk. Считается, что
концентрация частиц настолько низка, что каждая частица рассеивает
независимо от других и затенение частиц друг другом
незначительно. Пусть площадь проекции частицы, перпендикулярной
направлению i'%, равна Ар, так что доля потока излучения,
падающая на dA и действующая на частицу, будет равна Ар dA. Часть
этой энергии поглощается, а остальная часть рассеивается путем
зеркального отражения.
Процесс отражения подробно показан на фиг. 20.2. Энергия
излучения, падающего на полосу шириной R d$ на поверхности
сферы, равна энергии излучения, падающего на всю частицу,
умноженной на отношение Аиояосы/Ар, где ЛПОлосы — проекция

754
Глава 20
площади полосы, перпендикулярная i%, т. е.
Энергия излучения, падающего на полосу =
- i'% dco; dX dA -£- Лпг^осы = i'x dcot dl 2nR2 sin p cos p dp.
Количество отражений энергии равно i'% d(dt dk 2nR2 sin p X
X cos P dp p^ (P), где px (P) — направленная отражательная
способность зеркальной поверхности относительно луча, падающего
под углом р. Количество энергии, отраженной от всей сферы,
находится путем интегрирования по поверхности сферы:
Энергия отраженного излучения =
зх/2
= ix d(ot dk лЯ2 I 2р^ (Р) sin р d (sin Р).
о
Согласно уравнению (3.37), этот интеграл является
полусферической отражательной способностью рх. Следовательно, энергия
излучения, рассеянного при отражении от всей сферы, равна
i'x d(bt dX nR*px. С использованием сечения рассеяния sh получим
выражение для энергии, рассеянной частицей, i% dmt dX sk.
Следовательно,
i'x ^(0^ dXs^ = 1% d(ot dXnR2pK
и площадь сечения рассеяния частицы равна
sx = nR2pK. (20.15)
Таким образом, величина .sK равна площади проекции частицы,
умноженной на полусферическую отражательную способность.
Подставляя (20.15) в (20.7), получим выражение для коэффициента
рассеяния в виде
сю
о^=Рх j nR2Ns(R)dR. (20.16)
Если все сферы имеют одинаковый радиус R, то с помощью
уравнения (20.5) находим
osX = pKnR2Ns. (20.17)
В соответствии с фиг. 20.2 от полосы на сфере, определяемой
углом р, поток излучения зеркально отражается под углом 2р
в телесном угле
dcos - 2п sin 2р d (2р) - 8я sin р cos р dp.
Индикатриса рассеяния относится лишь к рассматриваемой доле
потока излучения. Поскольку предполагается, что частицы
рассеивают независимо друг от друга, то часть рассеянного излучения,

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 755
исходящая от скопления частиц в объеме dV и наблюдаемая
на расстоянии большем, чем диаметр частицы, имеет ту же самую
индикатрису рассеяния, что и для отдельной частицы.
Рассмотрим поток излучения, падающий на частицу, i'x da)t dX Ар.
Если использовать выражение для сечения рассеяния (20.15), то
вся энергия, рассеиваемая частицей, равна i'% dmt d% jxi?2p^.
Тогда, согласно (20.9), интенсивность рассеиваемого излучения равна
i'^dioi dX яЯ2рА,
U'' = dmApdk =^-
Энергия излучения, рассеиваемого частицей в пределах телесного
угла d(os, равна i'% d^t dX 2nR2 sin P cos p d$ p^ (P). Тогда
интенсивность рассеиваемого излучения в направлении 2р (эта
интенсивность определяется как в уравнении 20.10) равна
i^ dtoi dk 2nR2 sin P cos p dp p^ (P)
iK s (2p) = d0). A^ d0)g dl =
^ *xP*. (P) __ *i s Pk (P)
4л 4я ръ
Подставляя это соотношение в (20.11), получим
Pi (Р)
ф(2р) = -1^ . (20.18)
Угол 2р связан с углом ср (фиг. 20.2) соотношением ф = я — 2рг
так что применительно к рассеиванию в прямом направлении
Pi [(я —ср)/2]
ф (ф) = J2^1 liLL . (20.19)
Для неполяризованыого падающего излучения отражательная
способность ря, (Р) сферы из диэлектрика может быть определена
по уравнению (4.61). Направленная полусферическая
отражательная способность равна единице минус значения степени
черноты, приведенные на фиг. 4.5. Как следует из этой фигуры,
величина р^ (Р) при падении излучения по нормали обычно мала
по сравнению с соответствующей величиной при меньших углах
(рь -*- 1 при Р = 90°). Следовательно, рассеяние на сфере в
прямом направлении (при ф = 0) равно единице, а рассеяние в
обратном направлении (при ф = я) незначительное. С помощью фиг. 4.5
можно определить величину р^Ф (ф) при различных значениях
показателя преломления п; соответствующие данные
представлены на фиг. 20.3. Величину рк для диэлектрика можно
определить с помощью данных фиг. 4.6.

756
Глава 20
120* 90° 60*
240° 270° 300°
Фиг. 20.3. Диаграмма рассеяния для зеркально отражающей поверхности
сферы, размеры которой велики по сравнению с длиной волны падающего
излучения.
20.4.2. Отражение от диффузной поверхности сферы
В случае зеркально отражающей сферы (фиг. 20.2) энергия
излучения, рассеиваемого в каком-либо направлении,
обусловлена отражением лишь от одного элемента сферы. Если же сфера
имеет диффузно отражающую поверхность, то каждый элемент
поверхности, на который падает излучение, будет отражать
его в телесный угол 2я над этим элементом. Следовательно,
излучение, рассеиваемое в заданном направлении, будет
создаваться всей поверхностью сферы, воспринимающей излучение
и видимой в заданном направлении. Это показано на фиг. 20.4, а.
Затененная часть сферы не вносит вклада в излучение в
направлении наблюдателя, поскольку она либо не воспринимает излучение,
либо не видна со стороны наблюдателя.
Рассмотрим сферу радиусом R на фиг. 20.4, б. Типичный
элемент поверхности dA расположен в точке с угловыми
координатами г|) и G. Направление на наблюдателя составляет угол ф с
прямым направлением. Нормаль к dA расположена под углами (3 и а
по отношению к направлению падающего луча и к направлению
на наблюдателя. Плотность монохроматического потока падающего

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 757
излучения в пределах телесного угла падения do)j равна i'\ d(ot dX*
Площадь проекции элемента dA на направление падающего луча
равна dA cos р, так что энергия излучения, воспринимаемого
элементом dA, будет равна i'% dcOj dX dA cos p. Энергия
отраженной части этого излучения составит pj^ d(dt dX dA cos P,
Невидимая
поверхность
Падающее
излучение
Неосвещенная
'поверхность
К наблюдателю
Направление
паоаюш,его
излучения
Направление
на наблюдателя
Фиг. 20.4. Рассеяние путем отражения от диффузной поверхности сферы.
а — освещенная область, видимая наблюдателю; б — геометрические построения на
сфере.
где pi — направленно-полусферическая спектральная
отражательная способность диффузной поверхности. Считается, что
величина р^ не зависит от угла падения и, следовательно, равна
полусферической отражательной способности р^. Используя закон
косинуса для диффузного отражения, получим величину
отраженной энергии на единицу телесного угла d(os в направлении
наблюдателя р^Д dco^ dX dA cos P cos а/я. Чтобы
проинтегрировать вклады энергии отраженного излучения, которые воспри-

758
Глава 20
нимаются наблюдателем ото всех элементов поверхности сферы,
значения dA, cos (3 и cos а запишем через сферические
координаты R, ty и G. Тогда dA = № sin 0 dQ dty, cos (3 = sin G cos г|)
и cos a = sin G cos (ф + jt — ф), а энергия излучения,
рассеянного при отражении в направлении угла ф и приходящегося
Фиг. 20.5 Индикатриса рассеяния диффузно отражающей поверхности сферы,
имеющей постоянную отражательную способность; размеры сферы велики
по сравнению с длиной падающего излучения.
на единицу телесного угла dcos в этом направлении, будет равна
•> j лпо Я Ф-СЯ/2)
0=0 -ф^-я/2
Интегрируя, получим
p}J}d(0i dill'1 2
л "3
\ \ sin3 G cos г): cos (г|з + я — Ф) d^d§.
(sin ф — ф cos ф).
Энергия излучения, рассеянного в направлении угла ф в единице
телесного угла dta>s и приходящегося на единицу площади, единицу
телесного угла падающего излучения и на единицу dh,
получается путем деления энергии рассеянного излучения на л/?2 db)t dk
^,*(ф) = -~г1 -I- (sLiiq —фсоз Ф).

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 759
Полная величина интенсивности падающего излучения, которая
рассеивается, равна Ц^ s = р^Д. Тогда, согласно (20.11),
направленная интенсивность рассеянного излучения равна полной
интенсивности рассеянного излучения, умноженной на индикатрису
рассеяния, отнесенную к 4я
Ptf'k 2 , . ч ./ Ф(ф)
так что индикатриса рассеяния для диффузно отражающей сферы
равна
Ф (ф) -- -^ (sin ф — ф cos ф). (20.20)
Функция, рассчитанная согласно (20.20), представлена на
фиг. 20.5. Наибольшее рассеивание получается при ф = 180°,
т. е. в направлении, противоположном направлению падающего
потока. С этого направления видна вся освещенная поверхность
сферы.
20.4.3. Сфера больших размеров из диэлектрика
с показателем преломления, близким к единице
Для большой сферы из диэлектрика (х = 0) с показателем
преломления п « 1 отражательная способность поверхности
частицы близка к нулю. Поэтому падающее излучение может пройти
в сферу без изменения амплитуды и рассеяние путем отражения,
подобно описанному в разд. 20.4.1 и 20.4.2, не возникает. При
нулевом показателе поглощения поток излучения выйдет из сферы
с той же амплитудой. Однако скорость1 с = cjn внутри сферы
несколько меньше, чем за ее пределами, так что излучение,
проходящее через различные части сферы и, следовательно, через
слои различной толщины, будет иметь различные смещения
по фазе. Результирующая интерференция волн, выходящих
из сферы, создает сечение рассеяния
^ = -=Р-[2-4-8т^ + -±-(1-со8^)], (20.21)
где W = 2 (jiD/X) (п — 1). Дополнительные сведения приведены
в работе [1].
20.4.4. Дифракция на сфере больших размеров
На сфере больших размеров происходит дифракция излучения,
проходящего вблизи частицы. Для получения полной
характеристики рассеяния следует учесть одновременно эффекты
дифракции и отражения. К счастью, дифракция происходит главным
образом в направлении прямого рассеивания. Это означает, что

Падающее
излучение
sin (р
Фиг. 20.6. Дифракция на отверстии или сферической частице больших
размеров.
а — дифракция излучения на отверстии; б — индикатриса рассеяния при дифракции
на сфере большого размера.

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 761
дифракция может быть включена в перенос излучения, как если бы
она являлась частью излучения, проходящего мимо частицы
без взаимодействия с ней. Вследствие этого при рассмотрении
обмена энергией в пределах рассеивающей среды дифракцией
часто можно пренебречь.
Наиболее известная форма дифракции получается при
прохождении света сквозь маленькое отверстие или щель. В этом
случае образуется дифракционная картина из перемежающихся
темных и светлых колец или полос (фиг. 20.6, а). Если
сферическая частица находится на пути падающего излучения, то,
согласно принципу Бабине, интенсивность дифракционных полос такая
же, как и в случае отверстия. Это является следствием того, что
отверстие и частица вызывают добавочные возмущения амплитуды
падающей электромагнитной волны. При дифракции на сфериче-
.ской частице и на отверстии такого же диаметра величины энергии
одинаковы. Вследствие этого в дифракционном процессе
принимает участие полная площадь проекции сферы и сечение
рассеяния при дифракции равно площади проекции jtZ)2/4. Поскольку
дифракция и отражение происходят одновременно, то полное
сечение рассеяния может быть близким к 2 (я/)2/4), если сфера
является сильным отражателем.
Индикатриса рассеяния в случае дифракции на сфере большого
размера выражается через бесселеву функцию первого рода
первого порядка [1]
*м-(т)'{"У*У>'- <20'22)
Эта функция представлена на фиг. 20.6, б. Поскольку абсцисса
равна (nD/X) sin ф, то для частиц с большим значением nDlX
дифрагировавшее излучение заключено в пределах небольшого
угла в направлении прямого рассеяния. Для мелких частиц
с tlDIK «1 теория, с помощью которой получено выражение
(20.22), не справедлива и следует применять общую теорию
рассеяния Ми. В работе [9] путем интегрирования показано, что
(20.22) удовлетворяет (20.14); интегрирование следует
производить лишь в пределах малого угла ср, что значительно упрощает
вычисления.
20.4.5. Рэлеевское рассеяние
Во многих случаях диаметр рассеивающих частиц значительно
меньше длины волны падающего излучения (D <^А,). Рассеяние
на таких частицах называется рэлеевским по имени Рэлея,
исследовавшего этот случай. Рэлеевское рассеяние имеет важное
значение для атмосферы, где рассеивающими частицами являются
молекулы газа. Сечение рассеяния можно рассчитать с помощью

762
Глава 20
квантовой или электромагнитной теории. Первоначально Рэлей
получил функциональную зависимость с помощью анализа
размерностей
-%-~С2ЙтГ' (20.23)
где V — объем частицы, a G (п) — неизвестная функция
комплексного показателя преломления рассеивающего вещества. Наиболее
важный вывод состоит в том, что при рэлеевском рассеянии
энергия излучения, рассеянного в каком-либо направлении, обратно
пропорциональна четвертой степени длины волны падающего
излучения. Эта обратная зависимость показывает, что если
падающее излучение охватывает некоторый участок спектра, то путем
рэлеевского рассеяния наиболее сильно рассеивается
коротковолновое излучение.
Рэлеевским рассеянием на молекулах воздуха
объясняется голубой фон неба и красный цвет солнца на закате.
Голубая часть падающего солнечного света находится в
коротковолновой области видимого спектра, поэтому она подвергается
интенсивному рэлеевскому рассеянию во всех направлениях,
и небо приобретает голубой фон. В отсутствие молекулярного
рассеяния небо казалось бы черным всюду, за исключением
прямого направления по солнечному лучу. Когда солнце садится,
длина пути прямого излучения через атмосферу становится
больше, чем в середине дня. При прохождении луча по этому
более длинному пути часть коротковолновой области спектра,
рассеиваемая в сторону от прямого пути солнечных лучей,
увеличивается. В результате солнце на закате приобретает красный
цвет, поскольку длинноволновые красные лучи способны
проникать в атмосферу с меньшим ослаблением, чем лучи в остальной
части видимого спектра. В присутствии множества частиц пыли
красный цвет заката становится интенсивнее.
При наличии в атмосфере частиц в очень ограниченном
интервале размеров можно наблюдать необычные эффекты рассеяния.
После извержения вулкана Кракатау в 1883 г. в течение многих
лет наблюдался голубой и зеленый цвет солнца и луны. Этот
эффект объясняется наличием в атмосфере частиц с такими
размерами, при которых рассеивалась лишь красная часть видимого
спектра. 26 сентября 1950 г. в Европе наблюдали голубой цвет
солнца и луны. Это явление было обусловлено присутствием
в атмосфере тонко диспергированных частиц дыма одинакового
размера, принесенных из Канады, где горели леса.
Сечения рэлеевского рассеяния. Уравнение (20.23) определяет
только функциональную зависимость рассеянного излучения от
длины волны и объема частиц; поэтому нужна дополнительная
информация относительно сечений рассеяния на частицах и угло-

Перепое излучения в рассеивающей и поглощающей среде 763
вого распределения интенсивности рассеянного излучения.
Рассмотрим сначала мелкие, не поглощающие (х = 0) частицы, для
которых п = п и nD/K <с ~0,6/тг, где X — длина волны в веществе
частицы. Сечение рэлеевского рассеяния в случае неполяризо-
ванного падающего излучения можно рассчитать с помощью более
современной теории
Часто сечения рэлеевского рассеяния выражают через
поляризуемость частиц ctp, которая является коэффициентом пропор-
Таблица 20.2
Поляризуемость для различных условий рассеяния
Рассеивающие
частицы
Ограничения
Поляризуемость а
(длина) з
Электроны (томсо-
новское рассеяние)
Частицы
диэлектрика небольшого
размера (рэлеев-
ское рассеяние)
Среда,
содержащая малые
частицы (лоренц-лорен-
цевское рассеяние)
Среда, содержащая
малые частицы
Среда, содержащая
малые частицы
Энергия падающих
фотонов мала, hv « mec\
Диаметр частиц мал по
сравнению с длиной
волны в среде и частице
Расстояние между
частицами мало по сравнению
с длиной волны (<С X).
Диаметр частиц очень
мал (D « X) по
сравнению с X в среде и
частице. Расстояние между
частицами > D
Расстояние между
частицами велико (» X).
Диаметр частицы очень
мал (D « X)
Расстояние между
частицами велико (» X).
Диаметр частицы очень
мал (D « X). п ъ 1,0
X \21>
4лу0тес{
п* — 1 (D
п*-
~$\2н)
(I)
3
4nN
Д2_1
ГС2 + 2
-II 2)
4nN
П-1 | 2)
2jt TV
1) е2/4л\'о^ес2 = 2,818- 10-13 см — классический радиус электрона.
2) В jtom случае п является показателем преломления вещества частиц и зависит
от концентрации частиц и объема [1].

764
Глава 20
циональности между силами, индуцированными в молекулах,
и внешним электромагнитным полем. В частности, он связывает
дипольный момент в единице объема вещества и внешнее поле.
Для рассматриваемого здесь
случая поляризуемость равна
-1
а
Фиг. 20.7. Сравнение действительного
изменения сечения рэлеевского
рассеяния в воздухе при стандартных
температуре и давлении с зависимостью 1/А,4 [6].
С действительное рассеяние;
s^ ~ 1А4, S; — сечение
рэлеевского рассеяния, К — длина волны.
Р
4л
так что
можно записать
выр ажение (20.24)
в виде
*V
27л.5а2
(20.26)
ЗА,4
В этом более общем виде
выражения для сечения
рэлеевского рассеяния на разных
частицах могут быть
получены путем подстановки в
(20.26) соответствующих
соотношений для ар. В табл. 20.2
приведены некоторые
соотношения для отдельных
частиц и для частиц в
прозрачной среде.
Действительная
зависимость от А, сечения рассеяния
для частиц в среде может
несколько отличаться от1А4.
Например, в воздухе при
стандартных температуре и
давлении основное значение
имеет рэлеевское рассеяние
на молекулах газа. Однако
вследствие зависимости
показателя преломления от длины
волны изменение сечения
рассеяния несколько
отличается от зависимости 1/>Л Это
показано на фиг. 20.7, где
действительная зависимость рассеяния от длины волны
сравнивается с зависимостью 1А4.
Для частиц из проводящего вещества с комплексным
показателем преломления п = п — Ы выражение для сечения
рассеяния имеет более общий вид, чем (20.24):
si-
24jt3^2
А4
л2 + 2
л£1
4
ГС**— 1
^2 + 2
(20.27)

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 765
Подставляя п = п — Ы и возводя в квадрат абсолютные
величины, получим
sx'-
24л3У2 [(гс2—х2 —1)(гс2 —х2 + 2) + 4гс2х2]2 + 36гг2х2
А*
[(^2_Х2_(_2)2+4М2Х2]2
. (20.28)
При х = 0 это соотношение сводится к (20.24). Величина
5х,/(24я3У2/А,4), вычисленная с помощью (20.28) при различных
значениях п и х, приведена на фиг. 20.8.
sx
24rr3v2
X4
3
2
i
0,8
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
0,08
0,06
0 04
—
- Л
u>wo
I
1,0
\ n
^^2^_
' 2^^-—^^^
^—rim^i^^
2,0 J//
3,0-',-
5,0-'
1 .1
г!о зУ"
к
I
-tr
1
sio
Фиг. 20.8# Сечение рэлеевского рассеяния в зависимости от показателя
преломления п и показателя поглощения х.
Индикатриса рэлеевского рассеяния. При неполяризованном
падающем излучении, согласно электромагнитной теории,
индикатриса рэлеевского рассеяния имеет вид
Ф(ф,в) = т(1+С082ф).
(20.29)
Это выражение не зависит от азимутального угла 9.
Графики индикатрис рэлеевского и изотропного рассеяния
приведены на фиг. 20.9..При рэлеевском рассеянии поток рассеянной
энергии направлен в основном вдоль падающего излучения в
прямом и обратном направлениях относительно источника
излучения.

766
Глава 20
120° 90° 60°
Фиг. 20.9. Индикатрисы рэлсевского и изотропного рассеяния.
изотропное рассеяние; рэлеевсное рассеяние; Ф (ф) — индикатриса
рассеяния; ф — угол рассеяния.
20.4.6. Теория рассеяния Ми
Если частицы не столь велики, как рассматриваемые
в разд. 20.4.1—20.4.3, и не столь малы, чтобы рассеяние
описывалось с помощью рэлеевских соотношений, то следует обратиться
к более сложным методам расчета. Это необходимо делать в
интервале величин, определяемых неравенством (0,6/тг) <с (nD/K) <z 5r
где X — длина волны в веществе частицы. Густав Ми [2]
первоначально применил электромагнитную теорию для определения
свойств электромагнитного поля, приобретаемых им при падении
плоской монохроматической волны на сферическую поверхность,
на которой резко изменяются оптические свойства пи к. В
результате могут быть определены поглощение энергии в среде и (или)
поглощение рассеивающими частицами. Результаты этой теории
применимы во всем интервале диаметров частиц. При этом
возможны сильные поляризационные эффекты. В большинстве
случаев индикатриса рассеяния становится очень сложной (фиг. 20.10).
Ван-дер-Хюльст [1] провел блестящий анализ теории Ми.
Исследованы предельные случаи очень маленьких и очень больших
диаметров частиц и выведены рабочие формулы для всех
интервалов размеров. Для частиц из металла и диэлектрика различной
формы, включая сферы и цилиндры, получены сечения и
индикатрисы рассеяния. Дальнейшие исследования поглощающих
частиц с использованием теории рассеяния Ми выполнены Плас-
сом [3].
Наиболее простой результат с использованием теории Ми
получен для частиц малого диаметра. Общие уравнения Ми можно
разложить в ряд по степеням параметра nD/k и найти выражение

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 76Т
для сечения рассеяния в виде-
* = t-t-(it) Ь^'+тгйГ^тЫ +-J| •(20-30)
Второй член в квадратных скобках является первым поправочным
коэффициентом в соотношении для рэлеевского рассеяния (20.27),.
которое справедливо для очень малых частиц.
Фиг. 20.10. Индикатрисы рассеяния по теории Ми для сферических частиц
из металла и диэлектрика [1, 7] (масштабы произвольные).
а — ztD/K -> 0, сферическая частица из металла, п = 0,57 — 4,29г; б — nD/% = 9,15*
сферическая частица из металла, п = 0,57 — 4,29г; в — nD/K = 10,3, сферическая
частица из металла, п = 0,57 — 4,29 г; г — nD/K = 8, сферическая частица из диэлектрика,
п = 1,25; индикатриса рассеяния; составляющая индикатрисы
рассеяния, обусловленная перпендикулярно поляризованной компонентой.
Для малых сферических частиц можно также рассмотреть
предельный случай очень больших значений п. Тогда
рассеивающие частицы образуют идеализированное скопление сильно
отражающих частиц из диэлектрика. Решение в этом случае нельзя
получить путем предельного перехода в (20.30), полагая п равным
оо -| £0. При больших значениях п небольшая часть падающего
излучения, которая проникает внутрь частицы, подвергается почти
полному внутреннему отражению. В результате этого внутри

768
Глава 20
частицы возникают стоячие волны, вызывающие появление
резонансных пиков рассеяния. Разложение, использованное для
получения уравнения (20.30), не учитывает этого явления. В
предельном случае п -*■ оо-сечение рассеяния для сферических частиц
малого размера равно
^щ^т+н^г+■■■]■ <2°-з<>
Если к тому же при п ->• оо частицы столь малы, что в квадратных
скобках уравнения (20.31) имеет значение лишь первый член, то
Фиг. 20.11. Индикатриса рассеяния неполяризованного падающего
излучения для непоглощающей сферы малого размера при п -> оо.
ф (ф) — индикатриса рассеяния; <р — угол рассеяния.
для неполяризованного падающего излучения индикатриса
рассеяния имеет вид
ф(ф) = |[(1-±со3ф)2+(со8ф-1)2]. (20.32)
Полярная диаграмма этой функции приведена на фиг. 20.11.
Видно, что по сравнению с рэлеевским рассеянием
(фиг. 20.9) сильно отражающие частицы создают очень
интенсивное рассеяние навстречу источнику излучения.
20.5. ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ
В РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЕ
После того как рассмотрены основные характеристики
рассеяния,- можно перейти к методам использования этой информации
в расчетах переноса излучения. Сначала рассматриваются задачи
чистого рассеяния, а затем с учетом поглощения и излучения.

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 769
20.5.1. Уравнение переноса
только в рассеивающей атмосфере
Рассмотрим сначала перенос излучения в среде, в которой
происходит лишь рассеяние энергии. Локальная интенсивность
на пути луча усиливается вследствие рассеяния в
рассматриваемом направлении и ослабляется вследствие рассеяния
по всем другим направлениям. На фиг. 20.12 показано излучение
Фиг. 20.12. Рассеяние энергии в направлении S.
интенсивностью i^ проходящее через элемент объема dA dS,
где dA — элемент площади, перпендикулярный направлению i'%.
При прохождении отрезка пути dS часть интенсивности di'%,s
рассеивается по всем направлениям. Согласно уравнениям (20.3)
и (20.5), эта часть интенсивности равна
di'b, s = —di'x=i'x (S) osk dS. (20.33)
Чтобы рассчитать рассеяние со всех направлений в
направлении i'x, рассмотрим излучение, падающее под углом (Р, 9)
(фиг. 20.12). Интенсивность этого излучения равна i'% (Р, 9),
и при прохождении через элемент объема dV длина пути луча
составит dS/cos р. Из уравнения (20.11) с учетом выбранной
системы координат интенсивность излучения i^ (Р, 9),
рассеянного в направлении i%, равна
diib = <Wi (Р, 6) -^ ЩР- . (20.34)
Однако согласно (20.10) интенсивность i'^s определяется как
энергия в направлении рассеяния, отнесенная к единице dX,
единице телесного угла рассеяния, единице телесного угла
падения d(i)t и единице площади, перпендикулярной падающему
излучению. Эта площадь нормальна к направлению i% (Р, 9) и равна

770 Глава 20
dA cos p. Теперь с помощью (20.34) выразим энергию
монохроматического излучения интенсивностью i'% (Р, 9), рассеянного
в направлении S
dbQ%y s = di'xt s dec d(dt dX dA cos P =
= <T.xix (P, в) -^ -^|^- йсо Ao, dM4 cos p =
= <t.x»x (P, в) dS Ф ^ 9) *■> d<o* d*.Л1.
Вклад этого рассеянного излучения в спектральную интенсивность
излучения в направлении S равен
Для учета вклада излучения, падающего со всех направление
проинтегрируем по всем Лог:
J таЙГ = -§-°* J й(Р,в)Ф(Р.в)А»,. |(20.36)
о)^=4л; (о.=4л;
Предполагается, что рассеивающие частицы ориентированы
случайным образом и поэтому сечение рассеяния сгвд не зависит
от направления падения излучения.
Комбинируя (20.33) и (20.36), получим изменение
интенсивности в направлении 5
-5Г=-°лй + -13Г J «х(Р,в)Ф(Р,в)Ао». (20.37)
(0^=4лЗ
Можно ввести оптическую толщину рассеяния к8^ определяемую
подобно тому, как это сделано в (14.5) и (14.6):
dy,sK=zosXdS (20.38)
и
S
ks% (S) = j aeX (5*) dS*. (20.39)
о
Тогда уравнение (20.37) примет вид
-£ir + u=^- 5 й(М)Ф(М)ж>*, (20.40)
0^=4л
совпадающий с видом уравнения (14.7) для излучающей и
поглощающей среды. Как и в уравнении (14.7), член в правой части
(20.40) соответствует приросту интенсивности вдоль пути луча.
Так же как и при выводе (14.10), уравнение (20.40) можно про-

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 771
интегрировать по оптической тблщине рассеяния от нуля до к8к-
й (Hex) = & (0) ехр (— Ksx) +
+ $[i I *ИР,е)Ф(М)До«] X
0 0.=4я *&
X ехр [ — (хвХ —х&,)] Лс&, (20.41)
где х?ь>--переменная интегрирования, а интеграл в первых
квадратных скобках определяется при х?*,. В случае идеального
процесса рассеяния, когда энергия фотона не поглощается
рассеивающими частицами, обмена энергией с средой не происходит.
В этом случае рассеиваемое излучение лишь перераспределяется
по направлениям. Следовательно, если а*х и Ф не зависят от
температуры, то уравнение (20.41) совершенно не связано с
распределением температуры в среде.
При распространении луча прожектора или лазера
единственным важным источником интенсивного излучения является сам
луч. Поэтому энергия, рассеиваемая от других источников или
рассеиваемая в обратном направлении луча, будет
незначительной и уравнение (20.41) сводится к простому экспоненциальному
закону ослабления
ik (и**) = И (0) ехр (- ksX). (20.42)
Для иллюстрации (20.41) применим его к случаю одномерного
рассеивающего слоя.
ПРИМЕР 20.1. Вывести и решить уравнения, описывающие
локальную интенсивность и плотность потока излучения в
одномерном рассеивающем слое. Слой заключен между двумя*
бесконечными параллельными серыми пластинами, расположенными
друг от друга на расстоянии D. Нижняя и верхняя пластины
находятся при температурах Т1 и Т2 соответственно. Среда
нетеплопроводная, изотропно рассеивающая, коэффициент поглощения
равен нулю. Свойства среды не зависят от длины волны.
Поскольку свойства не зависят от длины волны, то индекс А,
опускается. Однако такие же соотношения применяются для
излучения, соответствующего одной длине волны, если
используется монохроматическое излучение стенок. Отметим, что для
изотропного рассеяния индикатриса рассеяния равна 1.
Этот пример дополняет материал разд. 14.6.2 и 14.6.4, в
которых рассматривалась нерассеивающая излучающая и
поглощающая среда. Если х — расстояние, измеряемое от пластины 1
по нормали к ней, то оптическая толщина рассеяния от точки
на пластине до точки в среде равна xs/cos (J; при этом следует
заметить, что эта величина xs рассчитывается по координате ху

772
Глава 20
а не по действительной длине пути луча. Тогда по аналогии
с (14.34) и (14.35) интенсивности излучения в направлениях
положительного и отрицательного значений cos Р (фиг. 14.5)
соответственно равны
i;(xs,P) = ^iexp(^-) +
Kg Jt
+-dnrJI> i *'(хг,пвшр-^]вхр[^^1]^,
о р*=о
50<р<^-, (20.43)
r_(xS)P) = i^exp(-^^)-
-TS|tT'[t I *'(xJ,P*)«inP*dp*]«xp(-^-)dxJ,
-|-<Р<я. (20.44)
Заметим, что в последнем члене в правой части этих
уравнений содержится интеграл, в котором необходимо проводить
интегрирование по всем направлениям Р*, и, следовательно, он
включает вклады от i+ и i[_. Для обозначения переменной
интегрирования по всем направлениям здесь использована Р* в отличие
от р, имеющей в каждом уравнении ограниченный интервал
значений.
По аналогии с (14.41) можно определить плотность потока
результирующего излучения в направлении от пластины 1 к
пластине 2
я/2
■g = ffo,i—2 j sinpcosp |ff0f2exp(—-^j) +
0
+-5ЙгГ[т $ *'W.P*)«nP*dP*]x
о p*=o
X exp ( - -^j ) dx? } dp. (20.45)
В этом уравнении q0, i — плотность потока эффективного
излучения поверхности пластины 1, обусловленного собственным
излучением и отражением. Второй член — плотность потока
излучения, падающего на пластину 1 двумя путями: 1)
непосредственно от пластины 2, плотность потока эффективного
излучения которой q0% 2 ослабляется вследствие рассеяния; 2) путем

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 77Э
рассеяния излучения в различных точках среды между
пластинами и последующего его ослабления на пути к пластине!^
При изотропном рассеянии излучение, которое рассеивается,
испускается каждым элементом объема среды с одинаковой
интенсивностью по всем направлениям. Определим равномерную
интенсивность эффективного излучения i0 (ns) в виде *)
*~° (Xs) "^ J [' С®*' Xs)dco*- (20.46)
o).=4jt
Подставляя это соотношение в (20.43) и (20.44), получим
KS
+^hr 5Го(х?) ехр [~(cV?)]dx?' °<P<f' <20-47>
о
j i0(nt)exp(\^)dKt, -J<P<*. (20.48)
COSf
Нет необходимости продолжать подробные выкладки, так как
решение можно получить сразу же по аналогии с предыдущими
результатами. Уравнения (20.46) — (20.48) имеют тот же вид,
что и уравнения (14.31), (14.34) и (14.35), где i0y, g0)1 и g0,2
заменены на оТЧп, оТ\ и аГ*. Следовательно, в соответствии с методом
разд. 14.6.4 и по аналогии с (14.51) и (14.52) результирующая
плотность потока излучения через рассеивающий слой и
распределение средней интенсивности i0 в зависимости от xs можно
записать в виде
о(П-П) = l+iMl/€i+l/€2-2) ' (20.49)
(3i/q)70(x8) — Т\ _ фь(хд) + (1/€2 —*)Фь /9П rm
П-П " 1-Ь-Фь(1/€1Н-1/€2 —2) * ^и*ои>
Величины фь и я|)ь являются решениями (14.46а) и (14.47а) и
приведены на фиг. 14.6, где оптическая координата в данном случае
равна xs.
1) Здесь существует аналогия с интенсивностью излучения черного тела,
заключающаяся в том, чтоТ0 становится равной интенсивности рассеянного
излучения (ав/4л) \ f (со-, xs) dcoh когда os = 1, в то время как интен-
&ь=4л;
сивность излучения черного тела оТ4/л соответствует а = 1.

774
Глава 20
ПРИМЕР 20.2. Рассеивающий слой в примере 20.1 имеет
постоянный коэффициент теплопроводности к и <7S. Определить
плотность теплового потока от пластины 1 к пластине 2 путем
теплопроводности и одного только рассеяния.
Решение для случая рассеяния в примере 20.1 не зависит
от распределения температуры в слое, так что уравнение энергии
не связано с процессом рассеяния. Поэтому полная
результирующая плотность теплового потока определяется путем сложения
плотности теплового потока за счет теплопроводности с
плотностью теплового потока, определенной по уравнению (20.49):
п_к(Т^Т2) о(П-П)ць ,«л 4v
Q D + 1+гЫ1/е1 + 1/£2-2) ' W1'
Значения гр& даны на фиг. 14.6, б, где абсцисса должна считаться
за KDt s (см. также таблицу в разд. 14.6.2).
20.5.2. Рассеяние в излучающей и поглощающей среде
Если все три процесса — рассеяние, поглощение и
излучение — существенны, то уравнение переноса (14.4) следует записать
в более общем виде, включив члены, учитывающие рассеяние,
вида (20.37).; Для интенсивности в пределах телесного угла со
в направлении S получим
Потери Приращение Потери
вследствие вследствие вследствие
поглощения излучения рассеяния
(с учетом (без учета
вклада ин- индуциро-
дуцирован- ванного из-
ного излу- лучения)
чения)
+"^Г j № ю,) Ф (А,, ю, ю,) dw,. (20.52)
ю.=4я
Приращение вследствие рассеяния
в направлении 8
Два члена, учитывающие потери вследствие поглощения и
рассеяния, Смогут быть объединены. Тогда уравнение переноса для
поглощающей, излучающей и рассеивающей среды (в случае
упругого анизотропного рассеяния) примет вид
"^ = - К + <W i'% (S) + а&ъ (S) +
GsX
4я
f i'x (5, ©,) Ф (Я,, o), ©i) йщ. (20.53)
<й£=4я

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 775
Сумма (ах + asX) является коэффициентом ослабления К^,
рассмотренным в разд. 13.5.1.
Иногда используется понятие о величине альбедо только
рассеяния Q0, которая определяется как отношение коэффициента
рассеяния к коэффициенту ослабления х)
°*- *-<д£г (20-54>
Оптическая толщина или непрозрачность при наличии рассеяния
и поглощения [ранее это понятие было. определено с помощью
уравнения (13.17)] выражается в виде
S S
%k (S) « j Кх (S*) dS* = j (а.х + a,) dS\ (20.55)
о о
где S* — переменная интегрирования. Уравнение (20.53) теперь
примет вид
—iL = — *5L (*х) + (1 — Qox) ^ь (хх) +
&оа,
4я
\ *Цх*,, ©|) Ф (К <°> «>*) dco,. (20.56)
Часто, особенно в астрофизической литературе, два последних
члена в (20.56) объединяются в функцию источника Г^ (х^,),
определяемую в виде
1% Ых) = (1 —Qox) ih> Ы) +
+ -^- j *хК,®|)Ф(^«,©0^- (20.57)
Эта величина характеризует источники излучения вдоль
оптического пути вследствие собственного излучения среды и
попадающего сюда рассеянного излучения. Тогда уравнение переноса
примет вид
-U(*0 + /i(x0. (20,58)
di'%
dKX
Это интегродифференциальное уравнение, поскольку 1% входит
под интеграл функции источника. Как и в случае уравнения
(14.10), его можно проинтегрировать
*я
& (х) = ik (0) exp (-х„) + j /i (xj) exp [ - (xx-x£)] dxj. (20.58a)
x) Это отношение называется также критерием Шустера.-— Прим. перев.

776
Глава 20
Таким образом, уравнение переноса в общем виде, учитывающее
поглощение, излучение и рассеяние, по виду совершенно
аналогично уравнению переноса для случая только поглощения и
излучения, подробно рассмотренному в гл. 14 и 15. Отметим, что,
когда Йох->• 0 (рассеяние отсутствует), уравнение (20.58)
сводится к виду точного уравнения для случая только поглощения
и излучения [уравнение (14.7)]. При Qox ->• 1 (чистое рассеяние)
уравнение (20.58) сводится к виду уравнения для случая чистого
рассеяния [уравнение (20.40)].
Поскольку уравнение (20.58) по виду аналогично уравнению
(14.7), то многие из приближенных аналитических методов
решения уравнения переноса, приведенных в гл. 14 и 15, могут
быть использованы также и в случае рассеяния с поглощением.
В работах Чандрасекара [4], Курганова [5] и Гуди [6],
посвященных атмосферным явлениям, подробно рассматриваются
одномерные задачи рассеяния при наличии процессов поглощения
и излучения и без них. Чтобы показать сходство с выводами
предыдущих глав, рассмотрим два примера.
ПРИМЕР 20.3. Слой серой среды из примера 20.1 считать
теперь излучающим, поглощающим и изотропно рассеивающим.
Получить выражение для плотности результирующего потока
излучения от пластины 1 к пластине 2.
Пусть х будет координатой толщины, нормальной к границам
слоя. Уравнение переноса для общего одномерного случая с учетом
излучения, поглощения и рассеяния, согласно уравнению (20.58)
[так же как и (15.7)], будет следующим:
^— тт. = 1*. (Хч U\ — /
Osk + al дх
= *И*, у) — Гк(х, |i), (20.59)
где [L = cos (5. Для изотропного рассеяния (Ф = 1) функция
источника 1'х не зависит от направления и, согласно (20.57), равна
/H^) = (l-Q0x)^bH + ^r J &(*,<0i)<ta>i.
Для серой среды с учетом (20.46) уравнение переноса
принимает вид
v-w + i'(х' ^ = (1 -°°)-£?irL + Q°T° (х)' <20-60)
где х рассчитывается по координате х, т. е. dn = (os + a) dx.
В условиях радиационного равновесия тепловой поток,
переносимый между пластинами, не зависит от х, т. е. dq (x)/dx = 0.
Так как, согласно уравнению (14.39),
g(x)= j i (x)fid(o,
о>=4л

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 777
то из уравнения (20.60) получим
— \ V (х) ^dco = 0= — \ £'(x)dco +
©=4я о)=4я
+ (1 — Q0) оГ*(х) An + Q0io (x) 4л.
С помощью (20.46) приведем полученное уравнение к виду
0 = - Г0 (X) + (1 - Оо) ^^~ + й0Го (х),
так что
Ux) = -°*iM_. (20.61)
Тогда уравнение переноса (20.60) сводится к следующему:
ц |1 + Г (х, ц) = -^1^ = *b (х), (2032)
которое совпадает по форме с (14.24). Заметим, что в данном
случае оптическая координата х рассчитывается по сумме а + os,
а не по одному коэффициенту поглощения, как в гл. 14. Вывод
выражения для q аналогичен приведенному в гл. 14, поэтому
из (14.51) получим
о(П-П) == 1 + ^(1/^ + 1/^2-2) ' (2°*63)
D
где г|эь определяется по фиг. 14.6, б при. xD = \ (а + os) dx.
о
ПРИМЕР 20.4. Вывести диффузионное соотношение первого-
порядка для переноса излучения в одномерном слое излучающей
и поглощающей изотропной среды, находящейся в радиационном
равновесии, при изотропном рассеянии.
В случае приближения диффузии излучения среда должна
быть оптически плотной. Следовательно, в некоторую точку
излучение поступает только из прилежащих слоев, поскольку
излучение других слоев будет поглощено или рассеяно до попадания
в эту точку. Кроме того, в случае приближения диффузии
излучения плотность энергии излучения мало изменяется на
расстоянии, на котором происходит ослабление луча. Это можно
выразить более строго, приняв, что Н является длиной пути, на
котором заметно изменяется плотность энергии излучения, а 1т —
средняя длина свободного пробега излучения в процессе его
ослабления 1т = \1{а% + авХ). Тогда применительно к диффузии
излучения имеем 1т1Н <С 1- Как и в (15.19), интенсивность
излучения разложим в ряд по степеням этой малой величины
*х=#°Ч^*1(1Ч (-£-)'ixW+... • (20.64>

778
Глава 20
— Р
/АО) , 1т ,'(1) ,
Подставим (20.64) в уравнение переноса (20.59) и получим
1т а, |_ Jm л I I / _• (0) i *
Hit) Пт)
-& + Т^т[^-5Г i (^0)+^^(1)+---)Н' (20'65>
со~4я
где lmj s = 1/^sx- В дополнение к параметру разложения в ряд
1т1Н появляется еще один параметр lmllmyS, который характеризует
отношение полного ослабления к ослаблению за счет одного
только рассеяния. В приближении диффузии излучения,
включающем поглощение и рассеяние, этот параметр должен иметь
порядок 0,5. При небольших значениях Zm/Zm, s задача сводится к
случаю диффузии путем одного лишь поглощения; это случай
плотного газа, содержащего незначительное число рассеивающих
частиц. При Zm/ZmjS->l, т. е. при lm £&lm,s, существует лишь
одно рассеяние, как в случае оптически тонкого потока газа со
множеством рассеивающих частиц.
В уравнении (20.65) сгруппируем все члены нулевого порядка
относительно 1т1Н
<i(0) = iib—^-(«хь—5Г ] hmdm). (20.66)
о).=4я
Члены Гхь и \ ^(0) dco^ в правой части (20.66) не зависят от
г#.=4я
угла падающего луча скй{. Поэтому величина ^c0> в левой части
не может зависеть от угла. С учетом этого обстоятельства приведем
(20.66) к виду
,'(0) •> In
[^ь-М(°Ч
,'(0)
и, наконец, к ви^у
#0) = йь. (20.67)
Теперь в уравнении (20.65) сгруппируем члены первого порядка
относительно lmIH
u _?£!!_ _j'o> ь^± \ #»*<>,.
-V d{xlH) l* lm,s 4яш.£4„
Подставляя сюда значение i%°\ определяемое из (20.67), получим
G).=4lt

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 779
Для определения £^(1) умножим (20.68) на do^ = 2я sin р d$ =
= —2я dpi и проинтегрируем по всем телесным углам
di' +1
М-=-1 ©.=4я
G)j=4jt ©.=4я
Интеграл в левой части равен нулю, так что
<й£=4я ©г-=4я
Следовательно, \ i'% dco* = 0 и уравнение (20.68) сводится к
0)£=4Я
#1}=-1*7ет- (2°-69)
Подставляя (20.67) и (20.69) в (20.64), получим
«-«•-HfferT- <20-70>
По виду это уравнение аналогично (15.23) для случая отсутствия
рассеяния, за исключением того что вместо коэффициента
поглощения стоит^ коэффициент ослабления а% + о8%- Следовательно,
по аналогии с (15.25) плотность потока монохроматического
излучения в направлении оси х определяется с помощью
уравнения диффузии в виде
dq\(x) — 4 deXb
dX 3(ax+c»sa,) dx
(20.71)
Поток результирующего излучения зависит только от градиента
плотности потока черного излучения и коэффициента ослабления
при условии, что приближение диффузии излучения применяется
в случае радиационного равновесия при наличии поглощения
и упругого рассеяния.
Если среда серая, то выражение (20.71) примет вид
«о-трЙз-^- <20л2>
Локальное значение температуры серой среды, в которой
происходит только рассеяние, не зависит от энергии, рассеиваемой
элементом объема среды. По этой причине величина оТ4 в (20.72)
заменена на я£0, как в примере 20.1.

780
Глава 20
Модифицированное диффузионное решение было использовано
Бобко [10] для определения направленной степени черноты при
излучении полубесконечного плоского слоя изотермической серой
излучающей и поглощающей среды. Рассеяние предполагалось
изотропным. Было показано, что распределение направленных
^ Граница
I /' цилиндра r/R=i
Фиг. 20.13. Влияние индикатрисы рассеяния на величину энергии,
рассеянной в обратном направлении к плоскости основания цилиндрического объема
рассеивающей среды [13].
Оптический диаметр цилиндра 2, отношение высоты к диаметру цилиндра 5;
изотропное рассеяние; рэлеевское рассеяние; анизотропное
рассеяние; r/R — безразмерная координата в радиальном направлении.
степеней черноты слоя значительно отличается от диффузного.
Авторы работы [И] рассмотрели перенос энергии в анизотропно
рассеивающей среде, заключенной между двумя параллельными
пластинами. Считалось, что в среде существуют неизотермические
условия. Решения были получены путем аппроксимации
интегральных членов в уравнении переноса конечными суммами.
Система полученных дифференциальных уравнений решалась методом
матричных преобразований. В работе [12] приведен анализ мето-

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде 781
дом Монте-Карло переноса излучения в густом тумане с учетом
поглощения и рассеяния.
Лав и др. [13] изучали плоские и цилиндрические граничные
поверхности с заданными отражательными способностями, к
которым примыкают поглощающие, излучающие и рассеивающие
газы. Для расчета переноса энергии были использованы методы
Монте-Карло и дискретных ординат. Некоторые экспериментально
определенные значения индикатрис рассеяния для стеклянных
шариков и частиц алюминия, угЛя, железа и кварца были
использованы для сравнения их влияния на теплообмен излучением
в газах. По этим данным были выявлены небольшие различия
в переносе энергии при сравнении экспериментальных индикатрис
рассеяния с рэлеевскими и индикатрисами изотропного
рассеяния. Из этого следует, что в расчетах энергетического обмена
в замкнутых системах часто оправдано предположение об
изотропном рассеянии.
На фиг. 20.13 представлена доля испускаемого черным диском
потока излучения, которая рассеивается в обратном
направлении к плоскости основания (диска) цилиндрическим столбом
газа.
Результаты, полученные для различных индикатрис рассеяния,
хорошо согласуются между собой. Данные о переносе энергии,
полученные при различных индикатрисах рассеяния для
плоского слоя, меньше различаются между собой, чем для
цилиндрической конфигурации. Следует подчеркнуть, что в некоторых
случаях независимость данных от индикатрис рассеяния, вероятно,
не является справедливым допущением. В частности,
индикатриса рассеяния имеет важное значение при пропускании луча или
в случаях, когда мощные источники передают направленное
излучение в рассеивающей атмосфере.
Литература
1. Хюльст Г., Рассеяние света малыми частицами, М., 1961.
2. Mie G., Optics of Turbid Media, Ann. Physik, 25, № 3, 377—445 (1908).
3. Plass G. N., Mie Scattering and Absorption Cross Sections for Absorbing-
Particles, Appl. Opt., 5, № 2, 279—285 (1966).
4. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953.
5. Kourganoff V., Basic Methods in Transfer Problems; Radiative Equilibrium
and Neutron Diffusion, Dover Publications, Inc., N. Y., 1963.
6. Гуди P. M., Атмосферная радиация, ч. I. Основы теории, изд-во «Мир»,
1966.
7. Kerker М. (ed.), Proc. Interdisciplinary Conf. Electromagnetic Scattering,
Potsdam, N. Y., August, 1962, Pergamon Press, New York, 1963.
8. Хоттель X., Сэрофим А. Ф., Васалос И. А., Долзел В. X.,
Многократное рассеяние. Сравнение теории с экспериментом, Труды амер. о-ва
инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2, 77 (1970).
9. Борн М., Вольф Е., Основы оптики, изд-во «Наука», 1970.

782
Глава 20
10. Бобко Р., Направленные излучательные способности для двумерной
поглощающей — рассеивающей среды (полубесконечный слой), Труды
амер. о-ва инж.-мех., сер.,С, Теплопередача, № 4, 38 (1967).
11. Хсиа X., Лав Т., Лучистый теплообмен между параллельными
пластинами, разделенными неизотермической средой с анизотропным рассеянием,
Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 3, 1 (1967).
12. Scofield G. L., Love Т. J., Radiative Heat Transfer Analysis from a Heated
Airport Runway to Fog, Int. J. Heat Mass Transfer, 13, № 2, 345—358
(1970).
13. Love T. J., Stockham L. W., Lee F. C, Munter W. A., Tsai Y. W.,
Radiative Heat Transfer in Absorbing, Emitting and Scattering Media, Oklahoma
University, ARL-67-0210, DDC № AD-666427, December 1967.
Задачи
1. Коллимированный луч красного цвета (А, ^ 0,65 мкм)
ослабляется путем рассеяния на очень малых сферических частицах
из меди диаметром 0,02 мкм (оптические константы для меди
приведены в табл. 4.2). Частицы взвешены в нерассеивающей
и непоглощающей среде. В предположении рэлеевского
рассеяния определить сечение рассеяния частиц sK. Какова должна
быть приблизительная концентрация частиц, чтобы на длине
1 м ослабление луча вследствие рассеяния составило 10%?
Каково объемное содержание частиц и масса частиц в 1 см3
рассеивающей среды?
Ответы: 1440-8 мкм2; 75,5-1010 см"3; 3,16.10"в; 28,4-Ю-6 г.
2. Луч в задаче 20.1 заменён на зеленый (к ^ 0,55 мкм), а размер
частиц и их концентрация остаются теми же. Считая, что при
этой длине волны можно использовать те же самые оптические
константы, определить процент ослабления луча на длине 1 м.
3. Считая, что на очень малых частицах золота при двух
значениях длины волны, указанных в табл. 4.2, происходит
рэлеевское рассеяние, определить различие в сечениях
рассеяния для этих длин волн. (Учесть данные, приведенные на
фиг. 20.8.)
4. Показать, что индикатриса рассеяния в уравнении (20.32)
удовлетворяет нормализации, определяемой уравнением (20.14).
5. Между параллельными пластинами, расположенными на
расстоянии 8 см, заключена рассеивающая, непоглощающая
и нетеплопроводная среда. Рассеяние считается изотропным
и не зависящим от длины волны, коэффициент рассеяния as =
= 20 м-1. Температуры пластин 7\ = 700 и Т2 = 600 К.
Вычислить плотность результирующего потока излучения от
пластины 1 к пластине 2, если пластины черные или серые
(&. = 0,7; £2 = 0,3). Сравнить эти величины с потоком
результирующего излучения между пластинами в вакууме.
Ответы: 0,28 Вт/см2; 0,126 Вт/см2; вакуум: 0,63; 0,168.

Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде- 783
6. В задаче 20.5 в случае рассеивающей среды, заключенной
между серыми пластинами, необходимо вдвое увеличить
плотность результирующего теплового потока при наличии
рассеивающих частиц, взвешенных в теплопроводной непогло-
щающей среде. Каким должен быть при этом коэффициент
теплопроводности среды?
Ответ: 0,01 Вт/(см-К).
7. Серая поглощающая и рассеивающая среда заключена между
серыми параллельными пластинами, отстоящими друг от друга
на 0,05 м. Температуры пластин Тг = 800, Т2 = 600 К,
степени черноты £г = 0,2, £2 == 0,6. Рассеяние изотропное, не
зависит от длины волны, теплопроводность пренебрежимо
мала. Рассчитать плотность результирующего теплового потока
от пластины 1 к пластине 2, если коэффициенты рассеяния
и поглощения равны as = 10 м-1 и а = 20 м-1 соответственно.
Ответ: 2,34 кВт/ма.

21
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
В ПОГЛОЩАЮЩИХ
И ИЗЛУЧАЮЩИХ СРЕДАХ
21.1. ВВЕДЕНИЕ
Эта глава посвящена четырем специальным проблемам
переноса излучения, каждая из которых представляет практический
интерес только в узкой области. Поэтому некоторые их
особенности излагаются лишь очень кратко.
Первая проблема касается особенностей теплообмена
излучением в средах с показателем преломления, не равным единице.
Рассматривается распространение излучения в объеме и через
границы таких материалов, как стекло и лед. Когда излучение
из одного вещества переходит в другое с другим показателем
преломления, необходимо учитывать, преломление и отражение
лучей на границе раздела. В близко расположенных слоях, как,
например, в криогенной суперизоляции (экранно-вакуумной
изоляции) возникает дополнительно туннельный эффект переноса
излучения в зазоре между слоями.
Вторая проблема связана с излучением пламен — как
несветящихся, так и содержащих светящиеся частицы, в основном
сажу. Главными излучающими компонентами несветящегося
углеводородного пламени являются углекислый газ и водяной пар.
Излучение этих газов довольно хорошо изучено. В присутствии
частиц сажи пламя становится светящимся и его излучение зависит
от радиационных свойств сажи и ее концентрации в пламени.
По радиационным свойствам сажи имеются некоторые данные,
но они недостаточны. Помимо неточных данных о физических
свойствах сажи серьезные трудности при вычислении излучения
пламен представляет определение ее концентрации. Концентрация,
зависит от вида топлива, формы пламени и сложных явлений
перемешивания внутри пламени. В настоящее время не существует
способа расчета концентрации сажи по основным параметрам,
как геометрия пламени, коэффициент избытка воздуха и вид
топлива.
В конце главы кратко рассмотрены два явления:
люминесценция и нестационарное излучение газов. В последнее время
некоторый интерес ко второму вопросу связан в основном с расчетами
ядерного оружия.

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 785
.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь;
а — коэффициент поглощения;
С — объемная концентрация частиц в среде;
^1, С2 — постоянные в законе Планка распределения энергии
излучения по спектру;
С3 — постоянная в законе смещения Вина;
с — скорость света в среде;
cv — теплоемкость при постоянном объеме;
с» — средняя теплоемкость при постоянном давлении;
D — половина толщины пластины; диаметр частицы;
Е — эффективная поглощательная способность отдельной
частицы;
е — поверхностная плотность потока излучения;
F (к) — функция, определяемая уравнениями (21.22) и (21.23);
Н — энтальпия;
i — интенсивность излучения;
кг, к2 — постоянные в уравнениях поглощения сажи;
Le —- средняя длина луча;
т — число молей;
N — число частиц в единице объема;
п — показатель преломления (действительная часть п =
= п — in);
р — парциальное давление;
Q — поток энергии;
q — плотность потока энергии;
S — координата, отсчитываемая вдоль направления
излучения;
Т — абсолютная температура;
t — время;
t* = (aoT3Q/pcv) t — безразмерное время;
V — объем;
х — координата;
а — показатель степени в уравнении (21.18);
Р — полярный угол;
Р* — углы, при которых происходит полное внутреннее
отражение;
Рмакс — максимальный угол преломления;

786
Глава 21
£ — степень черноты;
в = Т/Т0 —безразмерная температура;
6 — азимутальный угол;
х == ах — оптическая толщина; показатель поглощения
в комплексном показателе преломления;
к — длина волны;
р — плотность;
а — постоянная Стефана — Болыгмана;
Ф — угол рассеяния, измеряемый между прямым
направлением падающего излучения и направлением на
наблюдателя (фиг. 20.1);
со — телесный угол.
Подстрочные индексы
Ъ — черное тело;
D — значение, вычисленное для длины D\
е — испускаемое излучение;
/ — пламя;
g — зеленый цвет;
i — подводимый компонент;
т — среда;
0 — не самопоглощение; начальное значение;
г — красный цвет;
X — спектральная величина;
1, 2, 3 — среда или граница 1, 2, 3.
Надстрочный индекс
' — величина, зависящая от направления.
21.3. РАДИАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В СРЕДАХ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ,
НЕ РАВНЫМ ЕДИНИЦЕ
В гл. 13—20 в основном рассматривались диэлектрические
среды с показателем преломления п, равным единице. Это не
слишком строгое ограничение, так как обычно излучающими
и поглощающими средами являются газы, которые почти все,
как следует из табл. 21.1, имеют показатель преломления, очень
близкий к единице. Однако возможны случаи, в которых
показатель преломления либо существенно отличается от единицы, либо
изменяется вдоль направления излучения из-за изменения тем-

Некоторые специальные проблемы переноса излучения
787
Таблица 21.1
Показатели преломления некоторых
распространенных веществ [1]
Вещество
Воздух
Аргон
Углекислый газ
Хлор
Водород
Метан
Азот
Кислород
Водяной пар
Хлор
Этиловый спирт
Кислород
Вода
Стекло:
кронглас
флинтглас
Лед
Кварц
Каменная соль
Показатель преломления, п
Газы
Жидкости
1,36
1,33-
1,00029
1,00028
1,00045
1,00077
1,00014
1,00044
1,00030
1,00027
1,00026
1,385
-1,34 (289-349 К)
1,221
-1,32 (287—373 К)
Твердые вещества
1,50-1,55
1,55-1,95
.1,31
1,52-1,69
1,5-1,9
пературы в пространстве. В табл. 21.1 представлены некоторые
распространенные вещества с показателем преломления, не
равным единице. Как уже говорилось в разд. 2.4.12, неравенство п
единице приводит к увеличению излучения черного тела в среде
в п2 раз. В этом разделе рассматриваются некоторые случаи,
в которых нужно учитывать влияние показателя преломления.
21.3.1. Среды с постоянным,
но не равным единице показателем преломления
Рассмотрим излучение с интенсивностью i^ ± в
диэлектрической среде, имеющей показатель преломления щ. Пусть это
излучение в пределах телесного угла (ког попадает в диэлектри-

788
Глава 21
ческую среду с показателем преломления п2 (фиг. 21.1). Из-за
разности показателей преломления лучи при переходе в среду 2
изменяют направление. Излучение в пределах телесного угла
<&>! с углом падения (5Х перейдет в телесный угол dco2 с углом
преломления (52- В предположении, что на границе раздела не
происходит ни отражения, ни рассеяния, энергия излучения
Фиг. 21.1. Прохождение излучения с начальной интенсивностью 1%, 1 через
границу раздела между двумя диэлектрическими средами с различными
показателями преломления.
при пересечении границы сохраняется. С использованием
определения интенсивности излучения уравнение сохранения энергии
принимает следующий вид:
i'%, 1 cos Pi dA *°i dh = *я, 2 cos р2 dA d(o2 dX2j (21.1)
где dA — элемент площади в плоскости границы раздела.
Используя соотношение для телесного угла
da = sm$d$dQ (21.2)
и имея в виду, что приращение азимутального угла dQ не
изменяется при переходе границы раздела, приведем уравнение (21.1)
к виду
h.% 1 sin Picos Pi dPi dli = ibt 2 sin p2cos p2 d$2 dX2. (21.3)
Закон Снеллиуса (4.43) связывает показатели преломления с
углами падения и преломления
Дифференцируя, получим
щ cos р! dpi = п2 cos р2 dp2. (21.5)

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 789
Подстановка (21.4) и (21.5) в (21.3) дает
у CLA2
li 1 ^1
% 2'
(21.6)
Хотя уравнение (21.6) выведено для излучения, пересекающего
границу раздела двух сред, оно справедливо также и для
интенсивности в любой точке прозрачной среды с переменным
показателем преломления до тех пор, пока локальные свойства среды
не зависят от направления,
правило, имеет место
всюду, за исключением
некоторых приложений физики
плазмы. Таким образом,
для спектральной
интенсивности излучения*) в
общем случае прозрачной
изотропной среды, а также
для интегральной
интенсивности излучения в
среде с показателем
преломления, не зависящим от
длины волны, будут
справедливы следующие
равенства:
т. е. изотропны. Изотропность, как
Среда 1
с показателем
-преломления n^n^n^
Среда 2.
с показателем
преломления пг
i'^ dX
= const, -р-
: COnSt.
(21.7)
Фиг. 21.2. Преломление излучения при
прохождении в среду с показателем
преломления, не равным единице.
21.3.2. Угол Брюстера
Рассмотрим
элементарный объем dV в
полубесконечной области с
показателем преломления пг
(фиг. 21.2). Предположим,
что изотропное излучение
интенсивностью %\ падает на границу раздела из области, имеющей
показатель преломления тгх, где пх << п2. Излучение, падающее
на границу раздела под углом рх « 90°, преломится в среде 2 на
максимально возможный угол |32, определяемый в виде
sinp2,MaKC = 4Lsill90°===^L- (21.8)
щ
г) С использованием частоты, которая не зависит от п, можно записать
ivdv/n2 = const или ?v/w2 — const. Следовательно, при определении
спектральных характеристик удобнее иметь дело с частотой, а не с длиной волны.

790
Глава 21
Следовательно, элементарный объем в среде 2 получит прямое
излучение из среды 1 только в пределах угла, заключенного
в интервале
0<р2<р2,макс(=агс8т^). (21.9)
Рассмотрим теперь излучение объема dV. Часть этого
излучения переходящая в среду 1, заключена внутри области, которую
можно определить, изменив направление стрелок на сплошных
линиях фиг. 21.2. Однако в области, ограниченной на фиг. 21.2
пунктирными линиями, также имеется излучение из объема dV,
падающее на границу раздела под углами (3J, где
sinp*>^-. (21.10)
Из (21.4) следует, что такой луч будет входить |в среду 1 под
углом, определяемым выражением
rin&-i«nK>-=g.( = l). (21.11)
Но sin Рх не может быть больше единицы для действительных
значений рх. Это означает, что все лучи, падающие из среды 2
на границу раздела под углами большими, чем угол
P2,MaKc-=arcsin-~, (21.12)
не могут попасть в среду 1 и должны полностью отразиться на
границе раздела. Угол, определяемый уравнением (21.12),
называется углом Брюстера.
В разд. 2.4.12 показано, что интенсивность излучения черного
тела в среде с постоянным, но не равным единице показателем
преломления определяется следующим образом:
i'b,m^=n2i'b. (21.13)
Следовательно, для излучающих и поглощающих серых сред
с коэффициентом поглощения а полная энергия излучения,
испускаемого элементом объема, равна
dQt, - 4п2аоТ± dV. (21.14)
Если п существенно изменяется с длиной волны, то необходимо
провести интегрирование по всем длинам волн при условии,
конечно, что п — известная функция длины волны. Это лучше
всего сделать с использованием г^ь, т. е. частоты в качестве
спектральной переменной.
Поскольку п >> 1 из (21.13), казалось бы, следует, что в
воздухе интенсивность излучения из диэлектрической среды больше
обычного излучения черного тела i'b. В действительности же часть

Некоторые специальные проблемы переноса излучения ^791
излучения, испускаемого средой, отражается на границе раздела
среда — воздух обратно в излучающую среду. Рассмотрим
оптически толстую диэлектрическую среду (х = 0) с показателем
преломления п, находящуюся при постоянной температуре.
Максимальная интенсивность излучения, воспринимаемого элементом
dA на границе раздела со всех направлений внутри среды, равна
n2ib. Через границу раздела пройдет только та часть излучения,
которая испускается внутрь конуса с углом при вершине рмакс»
отсчитываемым от нормали к dA. При углах больших, чем рМакс>
излучение будет отражаться назад в среду. Следовательно,
энергия излучения, покидающего среду и воспринимаемого элементом
поверхности dA, равна
'макс
j пЧ'ьdA cos p2jt sinprfp = 2ппЧ'ь dA sin3 ^макс .
При nx = 1 и n2 = n из (21.8) следует sin рмакс = 1/ra, т. е.
интегральная энергия полусферического излучения,
покидающего границу раздела, равна
I
2лп2ц dA-^-г ^ ш'ь ^А.
Разделив на ndA, получим i'b —максимальную интенсивность
изотропного излучения, покидающего границу раздела и
являющегося ожидаемым излучением черного тела.
ПРИМЕР 21.1. Элементарный объем dV, изображенный
на фиг. 21.2, заключен в стеклянной пластине на расстоянии
х = 1 см от поверхности раздела пластины с воздухом.
Изотропное серое излучение в воздухе интенсивностью 10 Вт/(см2-ср)
попадает в стекло (заметим, что эта величина равна интенсивности
излучения, попадающего в стекло, так как отражение на границе
раздела уже учтено). Для стекла с коэффициентом поглощения
0,005 см-1 и показателем преломления п = 1,75 определим
температуру, которую принимает dV под действием только этого
падающего излучения. Предположим, что поглощение
собственного излучения стекла мало и что теплопроводностью можно
пренебречь.
Из условия баланса энергии в элементарном объеме dV следует,
что испускаемое излучение равно части падающего излучения,
прошедшей через стекло и поглощенной элементом dV, так что
4п2аоТ* (х) dV = adV j V (ж, Р) Ло.
Из (21.7) следует, что интенсивность &стекло(0, Р) в стекле у его
поверхности связана с интенсивностью падающего изотропного

792 Глава 31
ИЗЛученИЯ В ВОЗДухе 1возд (0) равенСТВОМ втекло (0, Р) = 7г2^0зд (0).
Так как длина пути от поверхности стекла до объема dV равна
я/cos Р, то интенсивность втекло (#> Р) в объеме dV определяется
на основании закона Бугера в виде
втекло (X, Р) = втекло (0, Р) ехр ( НБГрГ ) == пЧ™*& (°) вХР ( ~~"^Гр~) '
Подстановка в уравнение баланса энергии и решение относительно
Г4 дает
J-4 _
возд '
i exp(-sfp)d(0-
4а J *\ cos p J
со—4я
Поскольку не весь телесный угол 4я, охватывающий dV,
содержит энергию падающего на dV излучения, пределы
интегрирования по Р должны быть получены с учетом ограничения (21.8).
Следовательно,
=arcsm(l/l,75)
Г4 = 2Чо3д(0)
пиане
4а
0
Полагая fx = cos р, получим
2™возд(°)
I eXP(-c^p)SinHP.
Г4 = ■
4а
cos Рмакс
i exP(^^)dfx.
С использованием (14.45)
[Е2(ах)— j ехр(—-^)|d[x]
Г4_24озд(0)
С08Рмакс
4а
0
Полагая теперь у = jw/cos рмакс, получим
" - !%2 [* м—*-* («fe;) ] •
Подстановка численных значений дает
»ч-тз^ЙгагЖГ[в.(0.оо5)-одаВ.(8!й)].
Значения i?2 могут быть получены интерполяцией из табл. £-1
приложения. В результате получим
Г-840 К.
В этом примере подробно не рассматривалось влияние отражения
на поверхности при определении интенсивности излучения,

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 793
которое может пересечь границу раздела и попасть в вещество.
Для оптически гладких поверхностей его можно учесть с помощью
соотношений для отражательной способности, полученных на
основе электромагнитной теории (гл. 4).
Гардон [2—5] рассмотрел вопросы теплового излучения в
стекле, для которого существенно влияние показателя преломления.
В работе [2] проанализирован вклад перпендикулярной и
параллельной составляющих поляризованного излучения. В работах
[3, 4] приводится исчерпывающий анализ переноса тепла в стекле,
учитывающий влияние теплопроводности в стекле и конвекции
на поверхности. В работе [5] представлен обзор работ по
теплообмену излучением, выполненных в стекольной промышленности,
и приведен список литературы по этому вопросу, опубликованной
до 1961 г. Более поздний обзор проблем переноса излучения
в стекле сделан с точки зрения астрофизики Кондоном [6].
Как упоминалось в разд. 19.3, Макконнел [7] исследовал
действие излучения на космический корабль, поверхность которого
покрыта слоем инея. В предположении, что на слой инея падает
излучение от внешнего источника (Солнца или какого-либо
источника изотропного излучения), Макконнел исследует
образующийся в этом слое профиль температуры с учетом сублимации инея
на его свободной поверхности. При этом показатель преломления
инея учитывается, как это сделано в примере 21.1.
21.3.3. Перенос излучения между диэлектриками,
разделенными малым зазором
Можно создать высокоэффективный многослойный изолятор
из отражающих излучение пленок с вакуумированными зазорами
между ними, которые образуют чередующийся ряд радиационных
и кондуктивных тепловых сопротивлений. Одно из
конструктивных решений заключается в том, что тонкие листы пластика
покрываются с обеих сторон металлическими пленками, обладающими
высокой отражательной способностью. Эти листы (называемые
радиационными экранами) отделены друг от друга редкой
тканевой сеткой. Таким образом можно получить конструкцию,
содержащую до 20 экранов на 1 см толщины. Многослойная изоляция
находит широкое применение в криогенике, например в
качестве изоляции в криогенных емкостях. Она может быть очень
эффективна. Обычный анализ излучения между поверхностями
в вакууме показывает, что если две параллельные пластины со
степенью черноты £ разделены только одним радиационным
экраном с той же степенью черноты £ на обеих сторонах, то тепловой
поток, передаваемый излучением между пластинами, уменьшится
вдвое по сравнению с соответствующим тепловым потоком в отсут-

794
Глава 21
ствие экрана. Применение п экранов со степенью черноты £
уменьшает тепловой поток в (п + 1) раз. Интересно выяснить,
оказывает ли плотная компоновка какое-либо влияние на перенос
энергии излучением, когда отражающие слои расположены очень
близко друг к другу.
Перенос излучения между близко расположенными
поверхностями исследован в работе [8], где рассмотрена система, состоящая
Фиг. 21.Я. Отражение и прохождение электромагнитной волны в зазоре
между двумя диэлектриками Та < 7\.
из двух полубесконечных диэлектрических сред с показателями
преломления щ и п3, разделенных вакуумированным зазором
(фиг. 21.3). При обычном рассмотрении переноса излучения между
двумя поверхностями, как 1 и 3, результирующий поток
излучения, переносимый через зазор, определяется уравнением (10.11)
оо
a = f Г gM>.i(*" yi)-^b,3(?i, Т3) ] ,,
qi J Li/a, i (K Tt)+i/euз(KT3)~ijад
0
и расстояние между пластинами в уравнение не входит. Однако,
когда расстояние мало, возникают два эффекта, являющиеся
функциями этого расстояния. Первый эффект — интерференция,
в процессе которой волны, отражающиеся в зазоре между
диэлектриками в прямом и обратном направлениях, могут ослабляться
или усиливаться.
Второй эффект — туннельный. Как показано на фиг. 21.3
и рассматривалось в разд. 21.3.2, часть излучения среды 1,
переходя в область 2, может полностью отражаться на внутренней
границе раздела, если пх > п2. Для обычных условий излучения
это происходит, когда угол падения Рх равен или больше угла
Брюстера, определяемого выражением (21.12), т.е. когда рх ^
^ arcsin (njn^). Однако, когда область 2 на фиг. 21.3 достаточно
тонка, из электромагнитной теории следует, что даже для излу-

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 795
чения, падающего под углом (51? большим угла Брюстера, полного
внутреннего отражения не происходит. Некоторая часть
падающего излучения пересекает область 2 и переходит в среду 3. Это
и есть классический
туннельный эффект.
Как показано в работе
[8], туннельный эффект
и интерференция могут
стать существенными,
только когда расстояние
между излучающими
телами, разделенными
вакуумом, меньше \макс. вак (Т3),
длины волны в вакууме,
соответствующей,
максимальной плотности потока
излучения черного тела
при температуре
поверхности облучаемой среды
Т3. Из закона смещения
Вина [уравнение (2.17)]
^макс, вак (-* з) = ^З'^З*
Туннельный эффект и
интерференция зависят также
от температуры. Даже при
очень малых зазорах,
порядка А,макс> вак (Г3), ЭТИ
эффекты становятся
пренебрежимо малыми при
нормальных температурах и
поэтому имеют значение
только в криогенной технике, где температура исчисляется
несколькими абсолютными градусами. Некоторые результаты,
соответствующие условиям, при которых рассматриваемые эффекты
максимальны, показаны на фиг. 21.4. Заметим, что А,макс (Т3) на
фиг. 21.4 — длина волны в среде 3, согласно уравнению (2.33),
равная С3/п3Т3. Обычное решение получено для условий, в
которых влияние интерференции волн и туннельного эффекта
пренебрежимо мало.
21.4. ПЛАМЕНА, СВЕТЯЩИЕСЯ ПЛАМЕНА
И ИЗЛУЧАЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
В некоторых условиях газы испускают значительно большее
излучение в видимой области спектра, чем можно было бы
ожидать, исходя из коэффициентов поглощения газовых смесей в со-
Q
Я2
Т3 ■ 2,0 К, п3 У//////*////////
п2с 1,0
Ti' ni У//////Л/////////
_ioLo
Одычрое решение
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Зазор/kMQKC(j3)
Фиг. 21.4. Влияние интерференции волн
и туннельного эффекта на перенос
излучения между двумя диэлектрическими
поверхностями [8].

796
Глава 21
стоянии химического равновесия. Например, типичное почти
прозрачное голубое пламя бунзеновской горелки можно
превратить в коптящее желто-оранжевое пламя, изменяя только
коэффициент избытка воздуха. Такое излучение светящегося пламени
обычно предполагается связанным с присутствием горячих частиц
углерода (сажи), образующихся вследствие неполного сгорания
в углеводородных пламенах. Однако это предположение вызывает
сомнения. Эчиго, Нишиваки, Хирата [9] и др. выдвинули
предположение, подтвержденное экспериментальными результатами,
что излучение некоторых светящихся пламен обусловлено
излучением в колебательно-вращательных полосах химических смесей,
которые появляются во время сгорания до образования частиц
сажи. Но так как излучение светящихся пламен чаще всего
связывается с образованием сажи, излучение сажи будет рассмотрено
в разделе, посвященном светящимся пламенам.
Горение в общем случае — очень сложный химический
процесс, который часто состоит из ряда химических реакций,
протекающих последовательно и одновременно. В процессе горения
образуется ряд промежуточных химических компонентов. Состав
и концентрацию этих промежуточных компонентов нельзя
определить с достаточной точностью, если нет полных данных о
кинетике реакций в пламени, а такими данными мы обычно не
располагаем. Так как радиационные свойства пламени зависят от
распределения химических компонентов и температуры в пламени,
то подробный расчет излучения пламени часто бывает
невозможным, если известны только исходные продукты горения и
геометрия пламени. Из-за трудностей такого рода обычно приходится
обращаться к эмпирическим методам расчета излучения систем,
образующихся при горении.
Рассмотрим по отдельности две стадии расчета излучения
пламени: 1) расчет теоретической температуры горения путем
рассмотрения энергии, выделяемой при химических реакциях, без
учета потерь тепла на излучение и 2) более сложный расчет
излучения газа, содержащего твердые частицы, которые изменяют
теоретическую температуру горения.
21.4.1. Теоретическая температура горения
Характерным параметром эмпирических соотношений
излучения пламени является средняя температура хорошо
перемешанного пламени, приобретаемая им в результате выделения химической
энергии. Существуют хорошо разработанные методы [10—12]
расчета теоретической температуры горения для рассматриваемой
системы, основанные на имеющихся термодинамических данных
и позволяющие учесть влияние нагрева горючего и окислителя
или того и другого одновременно. Такие расчеты предполагают

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 7д7
полное сгорание горючего и отсутствие потерь тепла. Расчет
теоретической температуры горения удобно проиллюстрировать на
примере.
ПРИМЕР 21.2. Ипользуя данные для средней теплоемкости,
представленные на фиг. 21.5, и теплоты сгорания из табл. 21.2,
вычислим теоретическую температуру горения этана, сжигаемого
при 100%-ном избытке воздуха (по объему). Этан подается при
6,0-10?
"'400 800 1200 1600 2000 2400 2800
Т. К
Фиг. 21.5. Средняя теплоемкость cv различных газов в интервале температур
от Т до 298 К [10].
комнатной температуре 25° С (298 К), а подводимый воздух
подогрет до температуры 500° С (773 К). Смесь сжигается в
окружающей среде при давлении 0,101 МПа (1 атм).
Теоретическая температура горения Т определяется из баланса
энергии в предположении отсутствия потерь тепла. Энергия
исходных продуктов и энергия, выделяемая при горении,
приравниваются энергии продуктов сгорания. В результате получаем
(Избыток энергии подводимого \ / Энергия, \
воздуха и топлива относительно ] + I выделяемая ]
_ энергии, соответствующей ТИСХ) \при горении/ ,~. . ~.
исх (Полная масса продуктов) X (Средняя теплоемкость) ^ ' '
Для этана химическая реакция в предположении полного
сгорания записывается в виде
2С2Н6 + 702 -> 4С02 + 6Н20.

798
Глава 21
Пусть сгорает 2 кг-моля этана. При этом расходуется 7 молей
кислорода. Так как избыток воздуха составляет 100%, то вместе
с воздухом вводится 14 молей кислорода, а в процессе горения
участвует кислород только из половины подводимого воздуха.
Кислород в воздухе составляет 21 % (объемн.), и так как мольная
доля равна части занимаемого объема, то число молей
использованного воздуха будет равно
™возд = Q-gJ = 66,67 моля.
Таким образом, всего в процессе горения расходуется 2 моля
этана и 66,67 моля воздуха. Избыточное теплосодержание
подводимых компонентов топлива над теплосодержанием при
исходной (комнатной) температуре составляет
h
где ср — средняя теплоемкость в днтервале между исходной
температурой и температурой подводимых компонентов топлива Tt.
При использовании данных фиг. 21.5, для которых исходная
температура принята равной 298 К (25° С), получаем
Hi = [ТПСр (1 i — 1 исх)]этан + [тСр (Тt — *. Исх)]возд —
= 0 +66,67-2,93.104 (773-298)-9,28.108 Дж,
где вклад этана равен нулю, так как он подводится при Тясх.
Тепло АН, выделяемое при горении, определяется по табл. 21.2
с учетом молекулярного веса этана, равного 30, т. е.
АН = 2 моля-30 кг/моль-4,74-107 Дж/кг = 28,4-108 Дж.
Тогда числитель уравнения (21.15) равен
Hi + АН = 37,7-108 Дж.
От той части воздуха, которая содержит кислород,
потребляемый для горения, остается азот, составляющий около 79%
(объемн.). Следовательно, количество азота в продуктах сгорания
составляет
33,3-0,79 = 26,3 моля.
Полное количество продуктов сгорания в молях равно
Продукт
Углекислый газ С02
Водяной пар Н20
Воздух
Азот N2
Количество молей
4
6
33,3 (половина подведенного
воздуха)
26,3

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 799
Для определения знаменателя (21.5) суммируются отдельные
составляющие
Н прод = 2j mjcp> j-
з
Однако ср зависит от конечной температуры Т, которая является'
теоретической температурой горения и еще неизвестна. Мы
должны оценить Г, чтобы определить значения ср,7- и затем подставить
эти значения в (21.15). Если вычисленная температура пламени
совпадает с принятым значением, то решение заканчивается. В
противном случае оценивается новая температура, пересчитываются
значения Япрод, которые подставляются затем в (21.15). Эта
процедура продолжается до совпадения принятой и вычисленной
температур горения. Результаты расчета сведены в следующую
таблицу:

Принятая

температура

горения,
К
2400
2000
Средняя теплоемкость с Дж/кг-моль-К
н2о
4,44-10*
4,25-10*
со2
5,51-10*
5,36-10*
воздух
3,35-10*
3,33-10*
N2
3,30-10*
3,28-10*
Энтальпия
продуктов
Япрод' Дж
2,47-Ю6
2,44-106

Вычисленная


ратура, К
1825
1845
Так как изменение принятой температуры пламени на 400 К
приводит к изменению вычисленной температуры горения лишь
на 20 К, то можно считать, что значение 1853 К даст ошибку
в несколько градусов.
В этом примере предполагалось полное сгорание при
отсутствии диссоциации продуктов сгорания. Кроме того, не
учитывались потери энергии на излучение, которые бы понизили
температуру горения. Методы, включающие эти эффекты,
рассматриваются в работе [12]. В табл. 21.2 приведены теоретические
температуры горения различных углеводородных пламен (без учета
излучения). Помимо данных для полного сгорания в сухом воздухе
приведены результаты, включающие диссоциацию и ионизацию
продуктов сгорания. Последние сравниваются с
экспериментальными -данными. Кроме того, приведены теплоты сгорания
рассматриваемых веществ. Все данные заимствованы из работ [12, 13].
Обширные таблицы подобных данных более чем для двухсот
углеводородов приведены в работах [10, 13].
Теперь, когда известна средняя температура горения,
перейдем к рассмотрению излучения несветящихся пламен.

800
Глава 21
Таблица 21.2
Теплота сгорания и температура горения углеводородных горючих [12, 13]
Горючее
Окись углерода СО
Водород Н2
Метан СН4
Этан С2Н6
Пропан СзНв
«-Бутан С4Н10
«-Пентан C5Hi2
Этилен С2Н4
Пропилен СзН6
Бутилен С4Н8
Амилен С5Ню
Ацетилен С2Н2
Бензол СеН6
Толуол С6Н5СН3
Теплота
сгорания,
Дж/кг
4,83-107
12,0-107
5,0-107
4,74-107
4,64-107
4,56-107
4,53-107
4,72-107
4,57-107
4,53-107
4,50-107
4,82-107
4,06-107
4,09-107
Максимальная температура горения, К
(горение в сухом воздухе при
температуре 298 К)
теоретическая
(полное
сгорание)
2615
2490
2285
2338
2629
2357
2360
2523
2453
2431
2477
2859
2484
2460
тебретическая
(с учетом
ионизации
и
диссоциации)
2191
2222
2240
2246
2345
2323
2306

экспериментальная
2158
2173
2203
2178
2253
2213
2208
21.4.2. Излучение несветящихся пламен
Явления, происходящие при излучении несветящихся участков
пламен, довольно хорошо изучены. Сложность химических
реакций здесь не слишком важна, так как рассматриваются
газообразные конечные продукты, расположенные выше зоны активного
горения. В процессе горения при взаимодействии горючего и
окислителя высвобождается потенциальная энергия химических
связей. Это приводит к излучению в спектральных линиях и полосах,
являющемуся результатом различного рода переходов между
энергетическими состояниями. В большинстве случаев
рассматривается горение углеводородов и излучение в полосах С02
и Н20 в инфракрасной области спектра. Для пламен толщиной
около полуметра и более, как в промышленных топках, излучение
в колебательно-вращательных полосах С02 и Н20 приближается
к излучению черного4 тела.
Для расчета радиационного теплообмена пламен можно
воспользоваться радиационными свойствами газов и методами гл. 17.
Расчет существенно упрощается, если газ хорошо перемешан,
так что его можно считать изотермическим. В неизотермических

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 801
условиях газ можно разделить дриблизительно на изотермические
зоны, а также учесть конвекцию газа, если известна циркуляция
внутри камеры сгорания. Расчет в неизотермических условиях
для цилиндрических факелов с учетом конвекции был выполнен
в работе [14].
Ниже будет дан пример расчета излучения несветящихся
пламен.
ПРИМЕР 21.3. В примере 21.2 продуктами сгорания были
4 моля С02, 6 молей паров Н20, 33,3 моля воздуха и 26,3 моля N2.
Предположим, что эти газообразные продукты заключены в
цилиндрической области диаметром 0,61 м, высотой 1,22 м и равномерно
перемешаны при теоретической температуре горения 1853 К.
Давление равно 0,101 МПа. Вычислим поток излучения,
покидающий газообразную область, используя методы разд. 17.5 и 17.6.
Парциальное давление каждого компонента равно его мольной
доле в смеси. В таком случае парциальные давления С02 и Н20
равны
Pco2=(g~6) (10,1.10* Па) = 5800 Па>
№2o=(g|-g) (Ю,1.104 Па) = 8690 Па.
Пренебрегая самопоглощением, вычислим с помощью уравнения
(17.51) среднюю длину луча
Т -4У 4 [я (0,6Р/4)] 1,22 _П/оо f
^е,о- А - (0,б1я.1,22) + 2я(0,612/4) -и^оом-
Для учета самопоглощения вводится поправочный коэффициент
0,9, так что средняя длина луча равна
Le = 0,9-0,488 = 0,439 м.
Тогда
Pco2Le = 5800-0,439 = 2545 Па-м,
Ря2оЬе = 8690-0,439 -3820 Па-м.
Используя данные для степени черноты (фиг. 17.11—17.15) при
температуре горения (1853 К), получим
€со2 = 0,039 и 6н2о = 0,029-1,08 =^0,031,
где 1,08 — поправочный коэффициент, учитывающий, что
парциальное давление пара не равно нулю. Кроме того, надо ввести
отрицательную поправку, учитывающую наложение полос
излучения СО2 и Н20. Она определяется по фиг. 17.15 при значении

802
Глава 21
параметров
Рщо _ 8690 _ 0 т
Р0О2+Ря2О ~ 5800 + 8690 U'OU'
PcozLe + pmoLe = 2545 -f 3820 = 6365 Па • м.
Эта поправка равна Д£ = 0,002, Теперь определим степень
черноты смеси газов
€* = €со2 + €н2о- А€ = 0,039 + 0,031 -0,002 = 0,068.
Следовательно, поток излучения газовой области при
теоретической температуре горения будет равен
Q = £gAoT\ s= 0,068• 0,93n • 5,729• 10~8. (1853)4 = 13,37.104 Вт.
21.4.3. Излучение светящихся пламен
и прохождение через них излучения
Области активного горения пламени присущи некоторые
особенности, которые усложняют перенос излучения. Одновременно
происходящие выделение и потери энергии вызывают колебания
температуры и, следовательно, колебания свойств и излучения
пламени. Промежуточные продукты сгорания, образующиеся
в сложных химических реакциях, могут существенно отличаться
характеристиками излучения от конечных продуктов. Наиболее
важным излучающим продуктом сгорания углеводородов является
сажа. Она излучает в непрерывном спектре в видимой и
инфракрасной областях, и из-за присущего ему видимого излучения пламя
называют светящимся. При содержании сажи в продуктах
сгорания часто удваивается или утраивается тепловое излучение
газообразных продуктов сгорания. Метод увеличения излучения
пламени заключается в поддержании слабого начального
перемешивания кислорода с горючим, что способствует образованию
большого количества сажи в основании пламени.
Задача об определении влияния сажи на излучение пламени
решается в два этапа. На первом этапе определяют
распределение по размерам частиц сажи в пламени. Оно зависит от типа
горючего, перемешивания его с окислителем и температуры
пламени. Расчет распределения частиц сажи по размерам, исходя
из основных параметров, представляет очень сложную задачу,
поэтому приходится использовать экспериментальные результаты
для данной системы сжиганря топлива. Второй этап заключается
в определении радиационных свойств сажи. Лишь только когда
известны распределение по размерам и концентрация частиц
сажи, можно попытаться рассчитать ее излучение. В настоящее
время свойства излучения сажи известны только в первом
приближении.

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 803
Отдельные частицы сажи, образующиеся в углеводородных
пламенах в лабораторных условиях и промышленности, имеют
диаметры от 5 «10~3 до 0,3 мкм и более. Сажа может присутствовать
в пламени в виде сферических частиц, агломератов, а иногда в виде-
длинных нитей. Экспериментальное определение формы частиц,
сажи является очень сложной задачей, так как введение в пламя
любого зонда с целью отбора частиц сажи для
микрофотографического анализа может вызвать агломерацию частиц или каким-
либо другим образом изменить их характеристики. Образование
ядер сажи и их рост мало изучены. Ядра некоторых видов сажи
образуются менее чем за миллисекунду после поступления
горючего в пламя, и скорость образования ядер сажи, по-видимому,
мало зависит от времени пребывания горючего в пламени.
Механизм осаждения, управляющий образованием сажи, неизвестен-
Сталл и Пласс [15], а также Сиддел и Макграс [16] вычислили
спектральную степень черноты светящихся пламен в функции
объемной концентрации частиц сажи. Для этого они
воспользовались теорией Ми (разд. 20.4.6), которая является результатом
непосредственного применения электромагнитной теории, с целью
получения радиационных характеристик сферических частиц
сажи. [В результате использования теории Ми получено
уравнение (21.22).] Расчеты были выполнены с использованием
оптических свойств прокаленного электродного углерода при
температуре 2250 К, на основании которых принимались п и х для
углерода сажи. Результаты должны быть справедливы в некотором
интервале температур, так как коэффициент поглощения частиц
углерода в большинстве случаев слабо зависит от
температуры [17].
Экспериментально было установлено, что ослабление
излучения, проходящего через газ, содержащий взвешенные частицы
сажи, подчиняется закону Бугера, т. е.
^(5) = *И0)ехр(-ах5). (21.16)
В случае малых частиц, для которых tlD/X <0,25 (гдеD — диаметр
частицы), из уравнения (20.30) теории Ми следует, что сечениа
рассеяния зависит от (nD/X)*. Из теории Ми также следует, чта
в тех же условиях сечение поглощения зависит от nDlh в первой
степени [см. уравнение (21.22)]. Таким образом, рассеяние
пренебрежимо в сравнении с поглощением и ах в (21.16) фактически
является коэффициентом поглощения, а не коэффициентом
ослабления, определенным в уравнении (13.13). Тогда как следствие
(17.44) спектральная степень черноты изотермического
светящегося объема газа определяется в виде
6x = l-exp(-a*Le), (21.17)
где Le — средняя длина луча для данного объема.

804
Глава 21
Экспериментальные поправки к спектральному коэффициенту
поглощения сажи. В некоторых случаях было определено
относительно простое эмпирическое соотношение для ах, имеющее вид
а%=*СкХ~а, (21.18)
где С — объемная концентрация сажи (среднее значение объема
частиц в единице объема облака частиц), а к — константа. В
представленных здесь численных результатах X всегда приводится
в микронах. В инфракрасной области для X, меньших 0,8, Хот-
тель [18] рекомендует соотношение
*x = -^fe- (21.19)
В более поздних экспериментах Сиддела и Макграса 116] также
было обнаружено, что соотношение (21.19) приближенно
справедливо. В интервале значений X от 1 до 7 мкм они приводят
следующие средние значения а:
Источник
Амилацетат
Бензол
Керосин
Мазут
Пропан
Свеча
сажи
Топочные образцы
Среднее значение а
в интервале длин волн Я,
от 1 до 7 мкм
0,89, 1,04
0,94, 0,95
0,77
1,06
1,00
0,93
0,96, 1,14, 1,25
Таким образом, показатель степени 0,95, предложенный Хотте-
лем, по-видимому, приемлем.
В работе [16] были также подробно проанализированы
экспериментальные данные с целью выявления зависимости а от X,
которая обеспечила бы более точную поправку, чем постоянное
значение а. Иногда а можно представить в виде
а == сх + с2 In X,
где CjHc2 — положительные постоянные. На фиг. 21.6 приведены
примеры таких зависимостей. В других случаях для
представления а в функции от X требуются полиномы более общего вида
(фиг. 21.7). Обобщением (21.19) для инфракрасной области
спектра является зависимость вида
яь = ^§Г. (21.19а)
а а = const является только приближением.

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 805
Фиг. 21.6. Экспериментальные значения показателя степени а в зависимости
от длины волны К для случаев почти линейной зависимости а от In А, [16].
О, D сажа амилацетата (два различных образца); v сажа бензола; Д сажа мавута.
Фиг. 21.7. Экспериментальные значения показателя степени а в зависимости
от длины волны Я, когда а не является линейной функцией In Я [16].
О сажа бензола; д сажа керосина.
Путем анализа экспериментальных данных, проведенного Хот-
телем [18] для видимой области спектра, получена зависимость
_ Ск2
(21.20)
справедливая для области длин волн относительно К = 0,6 мкм
(скажем, для А, от 0,3 до 0,8 мкм).

806
Глава 21
Расчет спектрального поглощения сажи с помощью
электромагнитной теории. Попытаемся с помощью электромагнитной
теории [15, 16, 19, 20] определить коэффициент поглощения облака
частиц сажи, исходя из более общих положений. Запишем
коэффициент поглощения в виде
а% = EKAN. (21.21)
Произведение ЕКА — спектральное сечение поглощения,
определенное таким же образом, как и сечение рассеяния s^ в (20.5);
N — число частиц в единице объема; А — проекция площади
поперечного сечения частицы (если частицы сферические, то
А = л2)2/4); £\ — спектральная эффективная поглощательная
способность, равная отношению спектрального сечения
поглощения к действительному физическому сечению частицы. В области
частиц малых размеров с помощью уравнений Ми для
поглощающих сферических частиц малого размера получено выражение
для £\ в виде
24jt£> пк
~1 [(м2 —х2) + 2]2+4д2х2»
„ Z4nU ПК Па 90ч
^ = \ Г/и2 ..._„2\ 1-912 1_/„*,2 I \Ы.&&)
где п и х — показатели преломления и поглощения вещества
сферических частиц, когда комплексный показатель преломления
определяется в виде п = п — in. Так как оптические величины
п и х являются функциями X, то уравнение (21.22) можно записать
следующим образом:
EK = ^-F(%). (21.23)
Тогда из уравнения (21.21) следует
a^^£.F{X)AN = ^F(k), (21.24)
где С = NnD3/6 — объем, занимаемый частицами в единице
объема облака частиц. Отношение
^ = ЛГ^)=—[(iia-x*) + 2]« + 4iA* (21.25)
является теперь функцией длины волны и может быть вычислено,
если известны оптические свойства сажи в функции от X.
В работе [20] были измерены оптические свойства п и х
прессованной пробы пропановой сажи. Полученные результаты
приведены в таблице.

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 807
Длина волны X,
мкм
0,4358
0,4500
0,5500
0;6500
0,8065
2,5
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,5
10,0
Показатель
преломления, п
1,57
1,56
1,57
1,56
1,57
2,04
2,21
2,38
2,07
2,62
3,05
3,26
3,48
Показатель
поглощения, и
0,46
0,50
0,53
0,52
0,49
1,15
1,23
1,44
1,72
1,67
1,91
2,10
2,46
С помощью этих данных по уравнению (21.25) были вычислены
значения aJC, представленные на фиг. 21.8. Хотя, как и следует
из уравнения (21.18),
отношение aJC уменьшается с
увеличением X, очевидно, что при
аппроксимации этой
зависимости прямой линией (в
логарифмических координатах)
будут получены показатели
степени при А,, несколько
отличающиеся от
соответствующих показателей степени в
уравнениях (21.19) и (21.20).
Теперь можно более
подробно исследовать в
инфракрасной области спектра вид
зависимости а (К),
полученной с помощью теории Ми
{уравнение (21.19а)].
Приравнивая выражения (21.19а) и
(21.24), получим
0,4 0,6 0,81 г
X, мкм
6 8 10
уа{К)
-ТГ*(Х). (21.26)
Фиг. 21.8. Отношение спектрального
коэффициента поглощения к объемной
концентрации для сажи пропана [20].
Принимая в этом соотношении А, = 1, определим постоянную &1Э
соответствующую инфракрасной области спектра,
*i=»36nF(l), (21.27)

808
Глава 21
тогда
Логарифмируя обе части уравнения и решая его относительно
а (Я), получим
^ (1;
а(А,) = 1-
Ь
F(X)
In А,
(21.28)
Теперь, используя оптические свойства сажи, по уравнению (21.25)
можно вычислить F (1) и F (V) и затем определить а (X). Такие
расчеты были выполнены в работе [16] с использованием свойств
i,6p
Фиг. 21.9. Расчетные значения показателя степени а в зависимости от длины
волны А,, полученные с использованием оптических свойств прокаленного
электродного углерода при температуре 2250 К [16].
прокаленного электродного углерода при температуре 2250 К.
Результаты приведены на фиг. 21.9. Характер кривой тот же,
что и у экспериментальных кривых (фиг. 21.6), но значения а
несколько выше экспериментальных. Они также превышают
среднее значение 0,95, принятое в соотношении (21.19).
Расхождение, возможно, частично обусловлено различием оптических
свойств прокаленного электродного углерода и сажи. Более
подробное исследование содержится в работе [21], где приведены
оптические свойства некоторых углеродных материалов, более
соответствующих реальной саже, и в некоторых случаях получено
хорошее соответствие между экспериментальными данными и
результатами расчета.
Интегральная степень черноты облака сажи. Вводя длцну
S пути луча сквозь изотермическое облако взвешенных частиц

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 809
сажи постоянной концентрации, можно вычислить интегральную
степень черноты. Эта степень черноты учитывает только
поглощение сажи и не учитывает излучения газа. На основании (13.43)
интегральная степень черноты определяется в виде
оо
I Чь[1 — ехр(—axS)]dl
С(Г,5) = 5 ^ .
Это уравнение можно также переписать в виде
сю
jew[l_exp(—%-Cs)]ik
6 (Т,С S) = * w, . (21.29)
Используя значения aJC, вычисленные по соотношению (21.25)
или определенные по фиг. 21.8, можно найти численное
значение £, которое является функцией температуры облака частиц
CS, см
Фиг. 21.10. Интегральная степень черноты £ облака сажи пропана в
функции произведения объемной концентрации на длину свободного пробега
излучения CS для различных температур Т [20].
и произведения концентрации на длину пути луча CS. На фиг.
21.10 приведены результаты расчета 6 Для сажи пропана.
В работе [16] было показано, что после интегрирования па
распределению частиц по размерам размеры отдельных частиц
не имеют значения, поэтому при заданных Т и S степень черноты £
зависит только от объемной концентрации сажи в облаке частиц.
Сталл и Пласс [15] также получили результаты по
коэффициенту рассеяния сажи, показывающие, что в большинстве
случаев в области длин волн, содержащей достаточную энергию при

810
Глава 21
температурах горения углеводородов, рассеяние мало влияет
на степень черноты. Эриксон, Уильяме и Хоттель [22]
экспериментально исследовали рассеяние светящегося пламени,
образующегося при сгорании бензола в воздухе. Их экспериментальные
данные согласуются с расчетами Сталла и Пласса, если учитывать
ю1
101
кг
10'
Г*
го
"000--0хт._
т*о-
\
\ 9
W
W
60
100
(р, граб
140
180
Фиг. 21.11. Сравнение экспериментальных данных с результатами расчета
по теории рассеяния Ми для излучения пламени, бензола в воздухе,
рассеянного при длине волны X = 0,5461 мкм [22].
Теоретические кривые получены для сферических частиц диаметром 0,025 мкм и 0,002%
сферических частиц диаметром 0,185 мкм с одинаковым комплексным показателем
преломления (п — гх = 1,79 — 0,79 г).
. СС _ Qfto — отношение интенсивности рассеянного излучения к перпендикулярно
грасс* ф — уи
поляризованной составляющей интенсивности рассеянного излучения при ф = 90°,
<р — угол, измеряемый между прямым направлением падающего излучения и
направлением рассеянного излучения.
Составляющие поляризованного излучения:
О перпендикулярная \
□ параллельная J
теория.
эксперимент;
частицы двух преобладающих размеров. Это свидетельствует
о том, что наряду с малыми частицами диаметром порядка
0,025 мкм образуются агломераты частиц с эквивалентным
диаметром 0,185 мкм. Такие размеры наблюдались с помощью
электронного микроскопа при анализе сажи, собранной зондом.
На фиг. 21.11 некоторые экспериментальные данные сравниваются
с результатами расчета [15].

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 811
Тринг, Бир и Фостер [23] представили некоторые результаты
Сталла и Пласса [15] наряду со своими обширными
экспериментальными результатами в виде графиков степени черноты,
коэффициента ослабления и концентрации сажи для промышленных
пламен. Однако они отметили, что расчеты концентрации сажи
возможны лишь для геометрически подобных пламен с теми же
контролируемыми переменными, что и у исследованных ранее
пламен. Их работа содержит полезный обзор проведенных во всем
мире исследований и предлагает методы расчета излучения
светящихся промышленных пламен. Другие сведения подобного рода
можно найти в работах [24—28].
В дополнение к неточности данных об оптических свойствах
и, следовательно, о ах и 6 сажи заметим, что величины ах и £
зависят от концентрации сажи. Чтобы воспользоваться
уравнением (21.18), нужно знать Ск. Для определения £ пламени
данного размера по фиг. 21.10 должна быть известна С, входящая
в значение абсциссы. В настоящее время не существует способов
расчета С, если известны лишь основные параметры, как горючее
и геометрия пламени. Следовательно, способы определения С
или Ск должны быть получены из экспериментального
исследования пламен. Вероятно, характеристики для частного случая
можно получить, экстраполируя данные для подобных пламен.
Один из методов получения информации о величине Ск2
[уравнение (21.20) для видимой области спектра], характеризующей
концентрацию сажи, состоит в наблюдении за пламенем на черном
фоне с помощью пирометра и сопоставлении яркостей нити
пирометра и пламени, используя сначала красный, а затем зеленый
фильтр. С каждым из этих фильтров пирометр применяется для
определения двух температур источника черного излучения, при
которых достигаются те же яркости, что и в исследуемом
пламени. Интенсивность излучения черного тела с достаточной
точностью аппроксимируется формулой Вина [уравнение (2.13)],
что является удобным упрощением в случае малых значений XT
для длин волн, соответствующих красной и зеленой областям
спектра, при типичных температурах пламени
^ = Ь»«Р(С2А7У (21в30)
Тогда если Тг — температура черного тела, при которой
достигается такая же яркость, как у пламени, то интенсивность
излучения при использовании красного фильтра определяется в виде
***. г = Ц ехр (С2/ХГТГ)' (21.31)
где Хг — длина волны красного света, равная 0,665 мкм. Эта
интенсивность излучения может быть также представлена как

812
Глава 21
интенсивность излучения черного тела при температуре пламени,
умноженная на спектральную степень черноты пламени, что дает
%\ exp (C2fXrTr) = &*■ Ц exp (C2/XrTf)' <21 e32>
Группируя экспоненциальные члены и логарифмируя, представим
результат в виде
Аналогично запишем для зеленого фильтра
Т7~17=^1пЧ' (204>
где длина волны зеленого света Xg равна 0,555 мкм.
Теперь в качестве простого приближения для ah в видимой
области спектра воспользуемся уравнением (21.20). Тогда £^
из уравнения (21.17) равна
€, = 1-ехр(-|М.), (21.35)
где S — длина пути излучения, проходящего через пламя. Под-
ставляя (21.35) в (21.33) и (21.34), получим
1 1 Хг т Г. / Ck2S \1
77~-с;1,Ч1-еч'(—JW)J. (21.36)
4г±-Ы*—>(-&)]■ <24-37>
Решая эти уравнения относительно Tf и С&2, определяем значения
концентрации сажи и температуры пламени.
Предполагая, что Ск2 не зависит от длины волны, и
используя (21.17), (21.19) и (21.20), получим следующие уравнения
для^длины пути излучения S:
6а, = 1—ехр ( — д239 j видимая область спектра, Я<0,8 мкм,
(21.38)
(Ск S \
— . 0295 J инфракрасная область спектра, Я>0,8 мкм.
(21.39)
Используя наряду с этими выражениями определение (21.29)г
можно вычислить интегральную степень черноты пламени
оо
6 (Г,, S) = i щ . (21.40)

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 813
Некоторые удобные графики для выполнения этих расчетов
приведены в работе [18]. Предполагается, что полученную таким
образом величину Ск2 можно применять к «подобным» пламенам.
Это очень грубое приближение. Существует так много переменных,
влияющих на процессы течения и перемешивания в пламени, что
трудно установить, когда пламена становятся подобными.
Природа пламен продолжает оставаться областью активных
исследований.
21.4.4. Излучение газов, содержащих светящиеся частицы
Кроме исследования излучения светящихся углеводородных
пламен, существует ряд других направлений исследования
излучения светящихся газов. Известным примером является свечение
продуктов истечения из сопел ракет на твердых и некоторых
жидких топливах. Свечение в случае твердого топлива может быть
вызвано частицами металла, добавляемыми для поддержания
устойчивого горения. Частицы металла нагреты до высоких
температур и поэтому могут окисляться, становясь при этом
светящимися. Уильяме и Дадли [29] приводят расчеты для продуктов
истечения из ракет с введенными в них жидкими частицами окиси
алюминия.
Наличие частиц в слабо поглощающей среде может привести
к образованию сильно поглощающей смеси. Было предложено
вводить в газ частицы, например, высокодисперсного угольного
порошка для увеличения поглощения газа [30] или для защиты
поверхности от падающего излучения [31]. Эти методы находят
применение в связи с развитием ракетных систем.
Кроме того, присадки используются для непосредственного
измерения температуры несветящихся пламен методом
обращения спектральных линий. Этот метод заключается в том, что
в прозрачное пламя вводят присадки, такие, как соли натрия
или кадмия. Эти вещества излучают в сильной линии в видимой
области спектра вследствие электронного перехода. Кадмий
излучает в красной, а натрий в ярко-желтой линиях. Источник
непрерывного излучения, например вольфрамовая лампа, размещается
таким образом, чтобы его излучение, прошедшее через пламя
с присадками, было видно в спектроскопе. Из интегрального
уравнения переноса [уравнение (14.10)] интенсивность излучения,
наблюдаемого в спектроскопе на длине волны линии излучения,
равна
1'к спектр = 1'к ист ехр (— хх) + j i%b (х£) ехр [ — (х* — xj)] dx£. (21.41)
о
Считая, что пламя представляет собой изотермическую область
диаметром D и что на оставшемся пути между источником непре-

814
Глава 21
рывного излучения и спектроскопом не происходит ослабления
излучения, перепишем (21.41) в виде
&, спектр = ik, ист ехр (— хя, D) + г'м, пламя [ 1 — ехр (— хя, D)], (21.42)
где
*x.d= jax(S*)dS*.
о
Пламя в области длин волн, примыкающих к спектральной
линии излучения и поглощения, по существу прозрачно, поэтому
интенсивность фона в окрестности линии равна i{y ист.
Следовательно, интенсивность излучения в линии относительно
примыкающего фона, которая получается вычитанием i^t ист из (21.42),
равна
fy, спектр 1%% ист = \1№, пламя — 1к, ист) [1 —ехР ( — ^А,» D)\* (л1.4о)
Из (21.43) видно, что если температура пламени выше температуры
источника непрерывного излучения, то интенсивность линии
излучения будет больше интенсивности непрерывного фона. В этом
случае в спектроскопе будет видна яркая линия на менее ярком
непрерывном фоне. С увеличением температуры источника
непрерывного излучения начнет преобладать член, определяющий
интенсивность источника. Теперь на фоне более яркого
непрерывного спектра будет видна темная линия. Если источником
непрерывного излучения является черное тело и его температура
равна температуре пламени, то i^ ист = i'ibt пламя и уравнение
(21.43) сводится к равенству г%, спектр = i'%, ист- В этом случае
в спектроскопе линия на непрерывном фоне исчезнет. Это
обусловлено тем, что поглощение пламени компенсируется его
излучением. Если источником непрерывного излучения является
вольфрамовая лампа, то измерения температуры источника
обычно осуществляются с помощью оптического пирометра.
Отметим, что при выводе уравнения (21.43) предполагалось,
что пламя прозрачно во всей видимой области спектра, за
исключением спектральной линии, вызванной присадками кадмия или
натрия. Если пламя содержит частицы сажи, то они поглощают,
испускают и рассеивают излучение в непрерывном спектре вдоль
пути падающего луча. В этом случае метод обращения
спектральных линий становится неэффективным, так как его результаты
зависят от свойств сажи. Влияние сажи рассматривается в работе
[32].
Другим примером ослабления излучения частицами служит
эффект космической «пыли», которая, как полагают, имеется
в межзвездном пространстве и вызывает уменьшение наблюдаемой
интенсивности излучения звезд [33, 34].

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 815
21.5. ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
Люминесценция в разнообразных формах представляет собой
довольно общее явление. Это название охватывает ряд
процессов, приводящих к испусканию электронами энергии
излучения при переходе из возбужденного состояния к более низкому
энергетическому состоянию, причем исходное возбуждение
обусловлено не тепловым воздействием. В общем случае возбуждение
может быть вызвано видимым светом, ультрафиолетовым
излучением и бомбардировкой электронами. Поглощение и последующее
излучение приводят как к изменению длины волны, так и
направления излучения. Это пример процесса, не находящегося в
локальном термодинамическом равновесии (разд. 13.8). Так как
электронные переходы осуществляются между дискретными
энергетическими состояниями, интервал длин волн, в котором
происходит излучение, очень мал. Поэтому во встречающихся на практике
задачах люминесценция не вносит существенного вклада в спектр
излучения и ею почти всегда пренебрегают в инженерных расчетах
теплообмена. Однако в некоторых случаях основное внимание
уделяется не переносу полной энергии, а другим эффектам. В связи
с этим здесь очень кратко будет рассмотрено явление
люминесценции.
Люминесценцию классифицируют по-разному. Обычная
классификация связана с продолжительностью процесса.
Люминесценция, существующая относительно долгий период времени*),
называется фосфоресценцией (это название возникло в связи
со свечением белого фосфора) 2). Люминесценция, существующая
в течение времени воздействия некоторого внешнего возбудителя,
например ультрафиолетовой лампы, называется флюоресценцией
(это название возникло в связи с интенсивным свечением
облучаемого плавикового шпата).
Другой способ классификации связан с описанием возбудителя.
Так, люминесценция, обусловленная химической реакцией, как
окисление белого фосфора, называется хемилюминесценцией.
Люминесценция под действием пучка падающих электронов, как на
экране цветного телевизора, называется катодолюминесценцией.
Биохимическая реакция, приводящая к свечению, подобно
происходящей в светлячках и некоторых морских животных, называется
биолюминесценцией. Светящееся излучение в присутствии
электрического поля, как в некоторых промышленных лампах
дневного света, называется электролюминесценцией, а
люминесценция, возникающая вследствие бомбардировки фотонами, чаете
г) Точнее говоря, такое определение имеет смысл в сравнении с
«относительно» коротким периодом свечения.
2) Слово «фосфор» произошло от греческого phosphoros, означающего
«рождающий свет».

816
Глава 21
называется фотолюминесценцией. Последний эффект вызван тем
же механизмом, что и излучение лазера. Другие процессы могут
вызывать свечение твердых тел, однако терминологии для них
еще не существует. Примерами могут служить бомбардировка
протонами, которая, по-видимому, вызывает образование красных
пятен на поверхности Луны, и ядерные реакции,
сопровождающиеся испусканием светящегося излучения.
Люминесценция обычно возникает в веществах при
комнатной температуре и ее, очевидно, нельзя предсказать с Помощью
обычных законов, описывающих тепловое излучение, так как
из них не следует никакого видимого излучения при таких
температурах. Этим обусловлено происхождение термина холодный
свет для флюоресцирующего излучения лампы. Чтобы объяснить
явление люминесценции в этих веществах, надо исследовать их
квантовомеханические свойства [35, 36]. Расчет люминесценции
выходит за рамки данной книги.
21.6. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА
ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотрение нестационарных явлений при наличии
излучения связано с исследованием некоторых специальных случаев.
Учет нестационарности явлений требуется при решении некоторых
проблем, связанных с использованием ядерного оружия, и
некоторых проблем астрофизики.
В уравнении переноса, выведенном в гл. 14, не учитывается
изменение интенсивности излучения во времени. Уравнение
переноса записывается для излучения интенсивностью ^,
распространяющегося в направлении S. Интенсивность излучения при его
перемещении на малое расстояние от S до S + dS увеличивается
вследствие испускания и уменьшается вследствие поглощения.
Кроме того, за время пребывания излучения на отрезке dS его
интенсивность может измениться. Время пребывания равно dt =
= dS/c, где с — скорость распространения излучения в среде.
Следовательно, изменение i'% во времени можно записать в виде
После подстановки di^ уравнение переноса (14.4) примет вид
1 dt: (S, t) di', (S,t) ,_ ч r., ,_ v
T at + as -M^0[^(M~W*)b (21.44)
При изменении условий среды, например температуры во
времени, коэффициент поглощения является функцией времени,
а также координаты.

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 817
Так как скорость света обычно очень велика по сравнению
с другими величинами, входящими в нестационарный член, то
последний, как правило, очень мал и уравнение переноса
принимает стационарную форму, применяемую во всей книге. В
некоторых работах, посвященных исследованию ядерного оружия
([17, 18] гл. 18), нестационарный член учитывается. Чтобы
получить представление о нем, рассмотрим на простом примере
поведение излучения в'случае, когда температура 7\ оптически
толстой среды мгновенно повышается до постоянного значения Т2.
В дальнейшем температура среды остается равной Г2, а
интенсивность излучения среды изменяется от ^ь (^i) Д° i'kb (Т^)-
В этом процессе излучение не находится в состоянии
термодинамического равновесия. Уравнение переноса (в предположении,
что, как и в состоянии равновесия в члене, учитывающем
излучение, можно использовать коэффициент а^) принимает вид
!i^ = ex(r,)[fo(Г,)-£(*)]• (21.45)
После интегрирования при начальном условии i{
t = 0 получим
, (Т) .,* = ехр [ - сак (Т2) t].
Таким образом, время релаксации излучения (время изменения
интенсивности излучения в е = 2,718 раз), необходимое для
восстановления равновесия, равно \1сах (Г2) и обычно при умеренных
значениях ак является малой величиной ввиду очень большой
скорости распространения излучения с в среде.
В приведенном примере предполагалось, что температура
среды мгновенно возрастает, так что в начале переходного
процесса интенсивность излучения не находится в равновесии и не
соответствует интенсивности излучения черного тела при
температуре Г2. В общем случае изменение температуры среды
определяется ее теплоемкостью и, следовательно, изменения
температуры среды происходят гораздо медленнее, чем
восстанавливается равновесие. Поэтому в сочетании с уравнением сохранения
энергии для нестационарных процессов, которое содержит член
с теплоемкостью, нестационарный член в уравнении переноса
пренебрежимо мал. Вот почему при описании практически всех
нестационарных процессов переноса тепла в каждый момент
времени (как это делается в предлагаемом ниже примере) может
применяться стационарная форма уравнения переноса,
полученная в гл. 14.
ПРИМЕР 21.4. Слой серой среды толщиной 2D находится
сначала при постоянной температуре Г0. Коэффициент поглоще-
kb(Ti) при
(21.46)

818
Глава 21
ния равен а. Теплоемкость среды при постоянном объеме вещества
слоя равна cv, а его плотность р. В момент времени t = О слой
помещается в окружающую среду с нулевой температурой.
Пренебрегая теплопроводностью и конвекцией, определить профили
температуры, соответствующие охлаждению излучением в случаях
очень больших и очень малых значений а.
Из условия симметрии в центре слоя, где х = О, получаем
соотношение, справедливое в любой момент времени:
4^ = 0, ж=0, t.
дх
Начальное условие при t = 0 имеет вид
Т = Т0, х, t = 0.
Как отмечалось в разд. 14.6.2, при наличии только теплообмена
излучением на границах тела при х = ±D существует скачок
температуры, так что температура границ будет конечной, а не
равной нулевой температуре окружающей среды. При наличии
теплопроводности скачка температуры нет.
В случае больших значений а можно воспользоваться
приближением диффузии излучения. Тогда из уравнения (15.25) следует,
что плотность потока излучения в направлении х равна
п(т Л_ 4 деъ (х, t) Ао [дТ* (х, t)
q [Л, С) - 3fl дх - За дх
Из уравнения сохранения энергии получим
дд (х, t) _ дТ
дх~~ ~~рС°~дГ'
Объединяя эти два уравнения и исключая д, получим
нестационарное уравнение энергии в приближении диффузии излучения,
описывающее распределение температуры в слое с постоянным
коэффициентом поглощения:
ОТ __ 4а д*Т* (х, t)
*"-°!Г
За дх2
Определяя безразмерные переменные
получим
дв __
х = ах,
4 дЩ* (и, *
'
в виде
1 0
*)
dt* ' 3 ду?
Начальное и граничное условия при х = 0 примут
соответственно вид
в(х,о) = 1, 4|(о,«*) = о.

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 819
На границе при к = aD должно быть использовано условие
скачка температур. Из уравнения (15.45) в случае, когда
окружающей средой является вакуум с нулевой температурой, следует,
что еЬы7 = Ои6и7 = 1- Таким образом, в любой момент времени
на внешней границе удовлетворяется условие
„„ . 1 / 4 о дТ* \ о д*Т*
или
0=(2в4
4 ae4 , а2е4
2а2 &с2
/7i=aD
х=В
3 дк г дк2
Аналогичные соотношения справедливы при х = —2). При этих
условиях решение можно получить, очевидно, только
численными методами.
0,4 0,6
k//c(x=D)
Фиг. 21.12. Профили температуры (в безразмерном виде) для различных
времен охлаждения излучением серой пластины; оптическая толщина
к (х = D) --= 1,0 [37].
04(к, <*) — безразмерная температура в четвертой степени; t* — безразмерное время;,
х/х (х=Л) — безразмерная оптическая толщина.
В случае малых значений коэффициента поглощения и при
отсутствии излучающей оболочки на границах можно
воспользоваться приближением оптически тонкой среды (разд. 15.3.2).
При очень малых а среда настолько оптически тонкая, что в любой
момент времени ее температура постоянна по толщине. На
основании примера 15.2 плотность потока излучения с каждой гра-

820
Глава 21
ницы слоя равна
q^AaoT^D.
Тогда уравнение энергии принимает вид
или в безразмерной форме
dt* *w
После интегрирования с учетом начального условия в = 1 при
2* = 0 получим изменение температуры слоя во времени, которое
определяется выражением
0= гут*
(i+m*)1/3
Наряду с выведенными здесь предельными соотношениями
Висканта и Батла [37] получили численные решения
нестационарного уравнения переноса в общем виде. Некоторые из их
результатов для промежуточных значений оптических толщин приведены
на фиг. 21.12. В работах [38, 39] получены решения для тел
сферической формы, а в работе [40] приведены результаты для
области, расположенной между коаксиальными цилиндрами. Решения
более сложных нестационарных задач методом Монте-Карло
упоминаются в разд. 18.7,
Литература
1. Hodgman CD., (ed.), Handbook of Chemistry and Physiks, 38th ed.,
Chemical Rubber Publishing Company, Cleveland, Ohio, 1956—1957.
2. Gardon R., The Emissivity of Transparent Materials /. Am. Ceram. Soc,
39, № 8, 278-287 (1956).
3. Gardon R., Calculation of Temperature Distributions in Glass Plates
Undergoing Heat-Treatment, /. Am. Ceram. Soc, 41, № 6, 200—209 (1958).
4. Gardon R., Appendix to Calculation of Temperature Distributions in
Glass Plates Undergoing Heat Treatment [3], Mellon Institute, Pittsburgh,
1958.
5. Gardon R., A. Review of Radiant Heat Transfer in Glass, /. Am. Ceram.
Soc, 44, № 7, 305-312 (1961).
6. Condon E. U., Radiative Transport in Hot Glass, /. Quant. Spectry
Radiative Transfer, 8, № 1, 369-385 (1968).
7. Mc Connell D. G., Radiant Energy Transport in Cryogenic Condensates,
Paper presented at Eng. Colloq., Kentucky University, Lexington, Nov.
30, 1967.
8. Кравалхо Э. Г., Тьен К. Л., Карэн Р. П., Влияние небольших
расстояний между двумя диэлектриками на передачу излучения между ними,
Труди амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 4, 80 (1967).
9. Echigo R., Nishiwaki N., Hirata M., A. Study on the Radiation of
Luminous Flames, Eleventh Symp. (Iht) Combustion, The Combustion
Institute, 1967, 381—389.

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 821
10. Perry R. Н., Chilton С. Н., Kirkpatrick S. D. (eds), «Chemical Engineers
Handbook», 4th ed., McGraw-Hill, New York, 1963.
11. Hougen O. A., Watson К. M., Ragatz R. A., Material and Energy Balance,
in «Chemical Process Principles», 2d ed., vol. 1, Wiley, New York, 1954.
12. Gaydon A. G., Wolfhard H. G., Flames, Their Structure, Radiation and
Temperature, 2d ed., Macmillan, New York, 1960.
13. Barnett H. C, Hibbard R. R. (eds.), Basic Considerations in the
Combustion of Hydrocarbon Fuels with Air, NACA Rept 1300, 1957.
14. Hottel H. C, Sarofim A. F., The Effect of Gas Flow Patterns on Radiative
Transfer in Cylindrical Furnaces, Int. J. Heat Mass Transfer, 8, № 8, 1153—
1169 (1965).
15. Stull V. R., Plass G. N., Emissivity of Dispersed Carbon Particles, /. Opt.
Soc. Am., 50, № 2, 121 — 129 (1960).
16. Siddall R. G., Mc Grath I. A., The Emissivity of Luminous Flames, Ninth
Symp. (Int.) Combustion (W. G. Berl., ed.) 1963, 102-110.
17. Howarth C. R., Foster P. J., Thring M. W., The Effect of Temperature on
the Extinction of Radiation by Soot Particles, Third Int. Heat Transfer
Conf. AIChE, 5 122—128, (1966).
18. Мак-Адаме, Теплопередача, Металлургиздат, 1961, 87—175.
19. Hawksley P. G. W., The Methods of Particle Size Measurements, pt. 2,
Optical Methods and Light Scattering, Brit. Coal Utilization Res. Assoc.
Monthly Bull., 16, № 4, 5, 134—209 (1952).
20. Далзелл У. X., Сэрофим Э. Ф., Оптические постоянные сажи и их
применение при расчете тепловых потоков, Труды амер. о-ва инж.-мег., сер. С,
Теплопередача, № 1, 96 (1969).
21. Kunitomo Т., Sato Т., Experimental and Theoretical Study on the Infrared
Emission of Soot Particles in Luminous Flame, 4th Int. Heat Transfer,
Conf., Paris-Versailles, September 1970.
22. Erickson W. D., Williams G. C, Hottel H. C, Light Scattering
Measurements on Soot in a Benzene-Air Flame, Combust. Flame, 8, № 2, 127—
132 (1964).
23. Thring M. W., Beer J. M., Foster P. J., The Radiative Properties of
Luminous Flames, Third Int. Heat Transfer Conf. AIChE, vol. 5, 1966, 101—111.
24. Thring M. W., Foster P. J., Mc Grath I. A., Ashton J. S., Prediction of the
Emissivity of Hydrocarbon Flames, Int. Develop. Heat Transfer, AS ME,
796—803, (1963).
25. Sato Т., Matsumoto R., Radiant Heat Transfer from Luminous Flame,
Int. Develop. Heat Transfer, ASME, 804—811 (1963).
26. Yagi S., Inoue H., Radiation from Soot Particles in Luminous Flames,
Eighth Symp. (Int.) Combustion, 1962, pp. 288—293.
27. Bone W..A., Townsend D. T. A., Flame and Combustion in Gases, Longmans,
Green and Co., Ltd., London, 1927.
28. Leckner В., Radiation from Flames and Gases in a Cold Wall Combustion
Chamber, Int. J. Heat Mass Transfer, 13, № 1, 185—197 (1970).
29. Williams J. J., Dudley D. P., The Radiative Contribution to Heat
Transfer in Metalized Propellant Exhausts, 5th Symp. Thermophysical
Properties, ASME, Boston, Sept. 30—Oct. 2, 1970.
30. Lanzo С D., Ragsdale R. G., Heat Transfer to a Seeded Flowing Gas from
an Arc Enclosed by a Quartz Tube, Proc. 1964 Heat Transfer Fluid Mech.
Inst., W. H. Giedt, S. Levy, eds., 1964, 226—244.
31. Howell J. R., Renkel H. E., Analysis of the Effect of a Seeded Propellant
Layer on Thermal Radiation in the Nozzle of a Gaseous-core Nuclear
Propulsion System, NASA TH D-3119, 1965.
32. Thomas D. L., Problems in Applying the Line Reversal Method of
Temperature Measurement to Flames, Combust. Flame, 12, № 6, 541—549 (1968).
33. Greenberg J. M., Roark T. P. (eds.), Interstellar Grains, NASA SP-140,
1967.

822
Глава 21
34. Donn В., Krishna Swamy К. S., Extinction by Interstellar Grains, Mie
Particles and Polycyclic Aromatic Molecules, Physica, 41, № 1, 144—150
(1969).
35. Curie D. (D. F. J. Garlick, trans.) Luminescence in Crystals, Wiley, New
York, 1963.
36. Pringsheim P., Fluorescence and Phosphorescence, Interscience Publishers,
Inc., New York, 1949.
37. Viskanta R., Bathla P. S., Unsteady Energy Transfer in a Layer of Gray
Gas by Thermal Radiation, Z. A ngew. Math. Phys., 18, № 3, 353—367 (1967).
38. Viskanta R., Lall P. S., Transient Cooling of a Spherical Mass of High-
temperature Gas by Thermal Radiation, /. Appl. Mech., 32, № 4, 740-
746 (1965).
39. Viskanta R., Lall P. S., Transient Heating and Cooling of a Spherical
Mass of Gray Gas by Thermal Radiation, Proc. Heat Transfer Fluid Mech.
Inst., M. A. Saad and J. A. Miller, eds., 1966, 181—197.
40. Chang Yan-Po, Smith R. S., Jr., Steady and Transient Heat Transfer by
Radiation and Conduction in a Medium Bounded by Two Coaxial
Cylindrical Surfaces, Int. J. Heat Mass Transfer, 13, № 1, 69—80 (1970).
Задачи
1. На оптически гладкую поверхность диэлектрика, находящегося
в воздухе со всех направлений падает излучение с постоянной
ИНТеНСИВНОСТЬЮ ^возд*
Показатель преломления диэлектрика
равен п. Зависимость отражения от угла падения определяется
соотношениями электромагнитной теории (гл. 4). Вывести
соотношения и найти метод определения количества
поглощенной энергии падающего излучения на единицу объема
вещества в функциирасстояния х от поверхности.
Две диэлектрические среды с одинаковыми показателями
преломления п = 1,25 и температурами 2 и 4 К разделены вакуу-
мированным зазором толщиной 2-10"4 м. Как влияют
интерференция волн и туннельный эффект на теплообмен
излучением в зазоре? Каким должен быть зазор, чтобы эти эффекты
составили 5% от обычного переноса излучения?
Ответы: увеличивают на 38%; 9,3-10~4 м.
^Т = 2 К
°>°2СМ ,Т = 4 К
77777^777777777777777777777,

Некоторые специальные проблемы переноса излучения 823
3. Черные стенки печи, имеющей форму куба со стороной 0,50 м,
охлаждаются, так что энергия их излучения пренебрежимо
мала. Печь заполнена азотом, поддерживаемым при
температуре 1500 К. Желательно, чтобы средняя плотность потока
излучения, падающего на стенки, составляла 20% от плотности
потока излучения черного тела при температуре газа. Для
этого в газ добавлена сажа пропана (фиг. 21.10). Какова
должна быть объемная концентрация сажи? Какая объемная
концентрация сажи необходима при увеличении линейного размера
печи вдвое? Для печи со стороной 0,50 м определить объемную
концентрацию сажи, необходимую для увеличения вдвое
теплового потока, падающего на стенки.
Ответы. 0,0033; 0,0017; 0,0077.
4. Стенка должна быть экранирована от падающего по нормали
к ней излучения протекающим вдоль нее слоем охлажденного
азота с добавленными в него частицами сажи. Толщина слоя
0,5 см. Для конструкторских целей нужно определить
ослабление падающего излучения в зависимости от объемной
концентрации сажи в азоте. Для монохроматических потоков
падающего излучения (зеленого и соответствующего длине волны
К = 5 мкм в инфракрасной области спектра) построить график
зависимости доли проходящего излучения в функции от
объемной концентрации сажи. [Использовать теорию Ми,
уравнение (21.25) и оптические свойства сажи пропана. Рассеянием
пренебречь.]
Падающее излучение
N2 с присадкой * * * ,
сажи I
... N 0,5см
ШЖШШШШШШШШШШШ,Л
5. Тепло передается излучением от серой пластины (Тх = 1000 К,
6i = 0,8) к параллельной пластине (Т2 = 900 К, £2 = 0,5).
Пластины разделены зазором 0,10 м, заполненным
газообразным азотом. Теплопроводность газа пренебрежимо мала.
Требуется уменьшить результирующий тепловой поток от
пластины 1 к пластине 2 на 35%. Один из способов состоит во
введении в газ равномерно распределенной сажи пропана.
Определить требуемую объемную концентрацию сажи. (Указание:
см. разд. 14.6.4.)

824
Глава 21
Оптически тонкий серый газ с постоянным коэффициентом
поглощения а заключен в длинном прозрачном цилиндре
диаметром D. Температура окружающей среды мала, и в первом
приближении ее можно считать равной нулю. Сначала цилиндр
находился при температуре окружающей среды. Затем через
него пропустили электрический разряд, непрерывно создающий
в газе источник тепла с постоянной объемной плотностью
теплового потока Qs. Вывести соотношение для изменения
температуры газа в переходном процессе в предположении,
что преобладающим видом переноса тепла является излучение.
Какой максимальной температуры Тт достигает газ?
1 А и./А+в\ _,_„,.♦„« т -lQ*Ailk
рс0/8оаП,
Т
°™е™ ^nГ=Tln(SI)+arctgв'г'»=(&-),
в

Приложение А
ПЕРЕВОДНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ,
ПОСТОЯННЫЕ В ЗАКОНАХ ИЗЛУЧЕНИЯ
И ФУНКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
В табл. А.1—А.З представлены переводные коэффициенты,
связывающие единицы системы СИ с единицами других
применяемых систем. В табл. А.4 приведены (в системе СИ) некоторые
постоянные в законах излучения. Таблица А.5 содержит
некоторые характеристики излучения абсолютно черного тела (в
системе СИ) в функции произведения XT. В табл. А.6 даны значения
некоторых фундаментальных констант.
В табл. А.5 приводятся полиномиальные зависимости,
описывающие функцию FQ_%T [3, 4]. Эти эмпирические зависимости
могут быть весьма полезными при решении на вычислительных
машинах задач теплообмена излучением различного типа. Вибельт
рекомендует использовать следующие полиномы:
тп=1, 2, ...
°-ХГ зх4 V \ 3 8 + 60 " 5040 1 272160"" 13305600/ ' у<^>
где v = С2/ХТ, а значения С2 представлены в табл. А.4. Чтобы
получить желаемую точность, в рядах оставляют соответствующее
число членов.

826 Приложение А
Таблица АЛ
Переводные коэффициенты для единиц длины
1 мили
1 километр
1 метр
1 фут
1 дюйм
1 сантиметр
1 миллиметр
1 микрон
(микрометр)
1
миллимикрон
(нанометр)
1 ангстрем
1 миля
1 километр
1 метр
1 фут
1 дюйм
1 сантиметр
1 миллиметр
1 микрон
(микрометр)
1
миллимикрон
(нанометр)
1 ангстрем
Миля
1
0,6214
6,214-10 4
1,894-10-4
1,578-10-5
6,214-10-6
6,214-10-7
6,214-10-Ю
6,214-10-13
6,214-10-14
Сантиметр,
см
1,609-105
105
102
30,48
2,540
1
ю-1
Ю-4
10-7
10-8
1 Километр,
км
1,609
1
Ю-з
3,048-10-4
2,540-10-5
10-5
10-6
10-9
Ю-12
Ю-13
Миллиметр,
мм
1,609-106
106
Ю3
3,048-102
25,40
10
1
Ю-3
ю-6
10-7
Метр,
м
1609
103
1
0,3048
2,540-Ю-2
10-2
Ю-з
10-6
10-9
10-Ю
Микрон
(микрометр),
мкм
1,609-109
109
106
3,048-105
2,540-104
104
103
1
1()-з
К)"4
Фут
5280
3,281-103
3,281
1
8,333-Ю-2
3,281-10-2
3,281-Ю-з
3,281-10-6
3,281-10-9
3,281-10-Ю
Миллимикрон
(нанометр),
нм
1,609-1012
Ю12
109
3,048-108
2,540-107
107
106
103
1
ю-1
Дюйм
6,336-104
3,937-104
39,37
12
1
0,3937
0,03937
3,937-10-5
3,937-10-8
3,937-10-9
Ангстрем, Л
1,609-1013
1013
10Ю
3,048-109
2,540-103
108
107
Ю4
10
1

Таблица Л.2
Переводные коэффициенты для единиц энергии [1J
1 киловатт-час
1 британская
тепловая единица *>
1 калория *)
1 джоуль
1 эрг
1 электронвольт
Киловатт-час,
кВт • ч
1
2,931.10-4
1,163-10-6
2,778-10-7
2,778-10"14
4,450-10-26
Британская
тепловая
единица, БТЕ
3412
1
3,968-Ю-3
9,479-10-*
9,479-10-^
1,519-Ю-22
Калория, кал
8,598-105
252,0
1
0,2388 ,
2,388-10-8
3,826-10-20
Джоуль, Дж
3,600.10е
1055
4,187
1
10-7
1,602-10-^
Эрг
3,600-Ю13
1,055.10*0
4,187-107
107
, 1
1,602-10-12
Электронвольт,
эВ
2,247-1025
6,585-Ю21
2,614-1019
6,242-Ю1»
6,242-Ю11
1
1) На основании международных таблиц для водяного пара.

828 Приложение А
Таблица А.З
Переводные коэффициенты для единиц потока энергии
1 кал/(с-см2) *)
1 БТЕ/(ч-фут2)
1 Вт/м2
1 эрг/(с-см2)
кал/(с-см2)
1
7,525-Ю-5
2,388-Ю-5
2,388-10-8
БТЕ/(ч-фут2)
1,329-Ю*
1
0,3174
3,174-Ю-4
ВТ/М2
4,187-104
3,152
1
Ю-з
ЭРГДС-СМ2)
4,187-107
3,152-10»
103
1
1) На основании международных таблиц для водяного пара.
Таблица АЛ
Постоянные в законах излучения *) 2)
Обозначение
Ci
с2
с3
°"расч
°"эксп
Определение
Постоянная в законе Планка
распределения энергии по спектру, Вт-м2
Постоянная в законе Планка
распределения энергии по спектру, м-К
Постоянная в законе смещения Вина, м-К
Расчетное значение постоянной Стефана —
Больцмана, Вт/(м2-К4)
Экспериментальное значение постоянной
Стефана — Больцмана, Вт/(м2 • К4)
Значение
0,59544-10-16
1,4388-10-2
2,8978-Ю-з
5,6693-10-8
5,729-10-8
1) Рекомендованные значения из работы [2].
2) В советской технической литературе [12*] приняты следующие значения
констант: о = 5,6687 • 10-8 Вт/(М2.К4). C1 = 3,74J3-10-16 Втм2, С2= 1,4380•10-2 М-К.
В отличие от приведенного значения величина С\ в таблице умножена на
1/2я.— Прим. ред.

Приложение А 829
Таблица А-5
Функции излучения черного тела
Произведение
длины волны
на температуру,
КТ, м-К
0,05556.10-2
0,06111
0,06667
0,07222
0,07778
0,08333.10-2
0,08889
0,09444
0,10000
0,10556
0,1111Ы0-2
0,11667
0,12222
0,12778
0,13333
0,13889.10-2
0,14444
0,15000
0,15556
0,16111
0,16667.10-2
0,17222
0,17778
0,18333
0,18889
0,19444-10-2
0,20000
0,20556
0,21111
0,21667
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени,
екЬ/ТЬ, Вт/(мЗ-К5)
0,400-10-ю
0,261-10-9
0,120-10-8
0,424-10-8
0,00122-Ю-5
0,00296-10"5
0,00630
0,01205
0,02111
0,03434
0,05254-10-5
0,07626
0,10587
0,14142
0,18275
0,22945-10-5
0,28091
0,33639
0,39505
0,45602
0,51841-10-5
0,58135
0,64404
0,70573
0,76578
0,82362.10-5
0,87878
0,93088
0,97963
1,0248
Доля энергии
интегрального
излучения
абсолютно
черного тела,
fo-xt
0,170-10-7
0,136-10-6
0,756-10-6
0,317-10-5
0,106-10-4
0,301-10~4
0,738-10-4
0,161-Ю-з
0,321-Ю-з
0,589-Ю-з
0,00101
0,00164
0,00252
0,00373
0,00531
0,00733
0,00983
0,01285
0,01643
0,02060
0,02537
0,03076
0,03677
0,04338
0,05059
0,05838
0,06672
0,07559
0,08496
0,09478
Разность
между двумя

последовательными
значениями F0_KT,
0
0,119-10-6
0,620-10-6
0,241-10-5
0,748-10-5
0,194-Ю-4
0,437-Ю-4
0,876-10-4
0,00016
0,00027
0,00042
0,00063
0,00089
0,00121
0,00158
0,00202
0,00250
0,00302
0,00358
0,00417
0,00477
0,00539
0,00600
0,00661
0,00721
0,00779
0,00834
0,00887
0,00936
0,00982

830 Приложение А
Продолжение табл. А-5
Произведение
длины волны
на температуру,
А-Т, м-К
0,22222.10-2
0,22778
0,23333
0,23889
0,24444
0,25000.10-2
0,25556
0,26111
0,26667
0,27222
0,27778-10-2
0,28333
0,28889
0,29444
0,30000
0,30556-10-2
0,31111
0,31667
0,32222
0,32778
0,33333-10-2
0,33889
0,34444
0,35000
0,35556
0,36111-10-2
0,36667
0,37222
0,37778
0,38333
0,38889-10-2
0,39444
0,40000
0,40556
0,41111
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени,
еяь/Т5, Вт/(мЗ-К5)
1,0663-10-5
1,1039
1,1378
1,1678
1,1942
1,2169-10-5
1,2361
1,2519
1,2645
1,2741
1,2808-10-5
1,2848
1,2864
1,2856
1,2827
1,2779-10-5
1,2713
1,2630
1,2532
1,2422
1,2299-10-5
1,2166
1,2023
1,1872
1,1714
1,1550-10-5
1,1380
1,1206
1,1029
1,0848
1,0665-10-5
1,0481
1,0295
1,0109
0,99221
Доля энергии
интегрального
излучения
абсолютно
черного тела,
F0-7iT
0,10503
0,11567
0,12665
0,13795
0,14953
0,16135
0,17337
0,18556
0,19789
0,21033
0,22285
0,23543
0,24803
0,26063
0,27322
0,28576
0,29825
0,31067
0,32300
0,33523
0,34734
0,35933
0,37118
0,38289
0,39445
0,40585
0,41708
0,42815
0,43905
0,44977
0,46031
0,47067
0,48085
0,49084
0,50066
Разность
между двумя

последовательными
значениями FQ_lT,
AF
0,01025
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
01064
01099
01130
,01158
01182
01202
01219
01233
01244
01252
01257
01260
01260
01259
01255
01249
01242
01233
01223
01211
01199
01185
01171
01156
01140
01124
01107
01089
01072
01054
01036
01018
01000
00981

Приложение А 831
Продолжение табл. А-5
Произведение
длины волны
на температуру,
XT, м-К
0,41667.10-2
0,42222
0,42778
0,43333
0,43889
0,44444-10-2
0,45000
0,45556
0,46111
0,46667
0,47222-10-2
0,47778
0,48333
0,48889
0,49444
0,5000.10-2
0,50556
0,51111
0,51667
0,52222
0,52778-Ю"2
0,53333
0,53889
0,54444
0,55000
0,55556-10-2
0,56111
0,56667
0,57222
0,57778
0,58333-10-2
0,58889
0,59444
0,60000
0,60556
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени,
екЬ/Т5, Вт/(мЗ-К5)
0,97357-10-5
0,95499
0,93650
0,91813
0,89990
0,88184-Ю-5
0,86396
0,84629
0,82884
0,81163
0,79467-Ю-5
0,77796
0,76151
0,74534
0,72944
0,71383-Ю"5
0,69850
0,68346
0,66870
0,65423
0,64006-1О"5
0,62617
0,61257
0,59925
0,58621
0,57346-10~5
0,56098
0,54877
0,53684
0,52517
0,51376-10-5
0,50261
0,49172
0,48107
0,47067
Доля энергии
интегрального
излучения
абсолютно
черного тела,
F0-lT
0,51029
0,51974
0,52901
0,53809
0,54700
0,55573
0,56429
0,57267
0,58087
0,58891
0,59678
0,60449
0,61203
0,61941
0,62664
0,63371
0,64063
0,64740
0,65402
0,66051
0,66685
0,67305
0,67912
0,68506
0,69087
0,69655
0,70211
0,70754
0,71286
0,71806
0,72315
0,72813
] 0,73301
0,73777
0,74244
Разность
между двумя
последов атель-
ными
значениями FQ_KT,
0,00963
0,00945
0,00927
0,00909
0,00891
0,00873
0,00855
0,00838
0,00821
0,00804
0,00787
0,00771
0,00754
0,00738
0,00723
0,00707
| 0,00692
' 0,00677
| 0,00662
0,00648
| 0,00634
0,00620
0,00607
0,00594
0,00581
0,00568
i 0,00556
0,00544
0,00532
1 0,00520
0,00509
0,00498
! 0,00487
0,00477
0,00466

832 Приложение А
Продолжение табл. А-5
Произведение
длины волны
на температуру,
XT, м-К
0,611И.10-2
0,61667
0,62222
0,62778
0,63333
0,63889-Ю-2
0,64444
0,65000
0,65556
0,66111
0,66667-Ю-2
0,67222
0,67778
0,68333
0,68889
0,69444-10-2
0,70000
0,70556
0,71111
0,71667
0,72222-10-2
0,72778
0,73333
0,73889
0,74444
0,75000-10-2
0,75556
0,76111
0,76667
0,77222
0,77778.10-2
0,78333
0,78889
0,79444
0,80000
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени,
еяь/Т5, Вт/(мЗ.К5)
0,46051-10-5
0,45059
0,44089
0,43143
0,42218
0,41315-10-5
0,40434
0,39573
0,38732
0,37912
0,37111-10-5
0,36328
0,35565
0,34819
0,34091
0,33380-10-5
0,32687
0,32009
0,31348
0,30702
0,30071-10-5
0,29456
0,28855
0,28268
0,27695
0,27135-10-5
0,26589
0,26055
0,25534
0,25024
0,24527-10-5
0,24042
0,23567
0,23104
0,22651
Доля энергии
интегрального
излучения
абсолютно
черного тела,
F0-KT
0,74700
0,75146
0,75583
0,76010
0,76429
0,76838
0,77238
0,77630
0,78014
0,78390
0,78757
0,79117
0,79469
0,79814
0,80152
0,80482
0,80806
0,81123
0,81433
0,81737
0,82035
0,82327
0,82612
0,82892
0,83166
0,83435
0,83698
0,83956
0,84209
0,84457
0,84699
0,84937
0,85171
0,85399
0,85624
Разность
между двумя

последовательными
значениями FQ_XT,
AF
0,00456
0,00446
0,00437
0,00427
0,00418
0,00409
0,00401
0,00392
0,00384
0,00376
0,00368
0,00360
0,00352
0,00345
0,00338
0,00331
0,00324
0,00317
0,00310
0,00304
0,00298
0,00292
0,00286
0,00280
0,00274
0,00269
0,00263
0,00258
0,00253
0,00248
0,00243
0,90238
0,00233
0,00229
0,00224

Приложение А 833
Продолжение табл. А-5
Произведение
длины волны
на температуру,
XT, м-К
0,80556-10-2
0,81111
0,81667
0,82222
0,82778
0,83333-10-2
0,83889
0,84444
0,85000
0,85556
0,86111.10-2
0,86667
0,87222
0,87778
0,88333
0,88889-10-2
0,89444
0,90000
0,90556
0,91111
0,91667-10-2
0,92222
0,92778
0,93333
0,93889
0,94444-10-2
0,95000
0,95556
0,96111
0,96667
0,97222-10-2
0,97778
0,98333
0,98889
0,99444
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени,
еяь/Г5, Вт/(мЗ-К5)
0,22209-10-5
0,21777 !
0,21354
0,20942
0,20539
0,20145-10-^
0,19760
0,19383
0,19016
0,18656
0,18305-10-5
0,17961
0,17625
0,17297
0,16976
0,16662-10-5
0,16355
0,16055
0,15761
0,15474
0Д5193.10-5
0,14918
0,14649
| 0,14386
0,14129
0,13877-10-5
0,13630
0,13389
0,13153
0,12922
0,12696-10-5
0,12475
0,12258
0,12046
0,11838
Доля энергии
интегрального
излучения
абсолютно
черного тела,
F0-№
0,85843
0,86059
0,86270
0,86477
0,86681
0,86880
0,87075
0,87267
0,87455
0,87640
0,87821
0,87999
0,88173
0,88344
0,88512
0,88677
0,88839
0,88997
0,89153
0,89306
0,89457
0,89604
0,89749
| 0,89891
0,90031
0,90168
0,90303
0,90435
0,90565
0,90693
0,90819
0,90942
0,91063
0,91182
0,91299
Разность
между двумя

последовательными
значениями F^r,
0,00220
0,00216
0,00211
0,00207
0,00203
0,00199
0,00196
0,00192
0,00188
0,00185
0,00181
0,00178
0,00174
0,00171
0,00168
0,00165
0,00162
0,00159
0,00156
0,00153
0,00150
0,00148
0,00145
0,00142
0,00140
0,00137
0,00135
0,00132
0,00130
0,00128
0,00126
0,00123
0,00121
0,00119
0,00117

834 Приложение А
Продолжение табл. А-5
Произведение
длины волны
на температуру,
%Т, м-К
1,00000.1-0-2
1,00556
1,01111
1,01667
1,02222
1,02778-Ю-2
1,03333
1,03889
1,04444
1,05000
1,05556-10-2
1,06111
1,06667
1,07222
1,07778
1,08333-10-2
1,08889
1,09444
1,10000
1,10556
1,11111.10-2
1,12222
1,13333
1,14444
1,15556
1,16667-10-2
1,17778
1,18889
1,20000
1,21111
1,22222-10-2
1,23333
1,24444
1,25556
1,26667
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени,
еяь/Т&, Вт/(мЗ.К5)
0,11635-10-5
0,11435
0,11240
0,11049
0,10862
0,10679-10-5
0,10500
0,10324
0,10151
0,09983
0,09817-10-5
0,09655
0,09496
0,09341
0,09188
0,09039-10-5
0,08892
0,08749
0,08608
0,08470
0,08334-10-5
0,08071
0,07819
0,07575
0,07341
0,07116-10-5
0,06899
0,06691
0,06490
0,06296
0,06109-10-5
0,05930
0,05756
0,05589
0,05428
Доля энергии
интегрального
излучения
абсолютно
черного тела,
F0-XT
0,91414
0,91527
0,91638
0,91748
0,91855
0,91961
0,92064
0,92166
0,92267
0,92365
0,92462
0,92558
0,92652
0,92744
0,92835
0,92924
0,93012
0,93098
0,93183
0,93267
0,93349
0,93510
0,93666
0,93816
0,93963
0,94104
0,94242
0,94375
0,94504
0,94629
0,94751
0,94869
0,94983 1
0,95094
0,95202
Разность
между двумя
последов атель
ными
значениями Fq ^т,
AF
0,00115
0,00113
0,00111
0,00109
1 0,00107
0,00106
0,00104
0,00102
0,00100
0,00099
0,00097
0,00095
0,00094
0,00092
0,00091
0,00089
0,00088
0,00086
0,00085
0,00084
0,00082
0,00161
0,00156
0,00151
0,00146
0,00142
0,00137
0,00133
0,00129
0,00125
0,00122
0,00118
0,00115
0,00111
0,00108

Приложение А
835
Продолжение табл. А-5
Произведение
длины волны
на температуру,
XT, м-К
1,27778-Ю-2
1,28889
1,30000
1,31111 1
1,32222
1,33333-10-2
1,34444
1,35556 !
1,36667 !
1,37778
1,38889-10-2
1,40000
1,41111
1,42222
1,43333
1,44444.10-2
1,45556
1,46667
1,47778
1,48889
1,50000-10-2
1,51111
1,52222
1,53333
1,54444
1,55556.10-2
1,56667
1,57778
1,58889
1,60000
1,61111-10-2
1,62222
1,63333
1,64444
1,65556
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени,
еяЬ/Г5, Вт/(Мз.К5)
0,05272-10-5
0,05122
0,04977
0,04837
0,04702
0,04572-10~5
0,04446
0,04324
0,04206
0,04092
0,03982-Ю-5
0,03876
0,03773
0,03674
0,03577
0,03484-Ю-5
0,033Г4
0,03307
0,03222
0,03140
0,03061-10-5
0,02984
0,02909
0,02837
0,02767
0,02699-10-5
0,02633
0,02570
0,02508
0,02448
0,02389-10-5
0,02333
0,02278
0,02224
0,02172
Доля энергии
интегрального
излучения
абсолютно
черного тела,
F0-XT
0,95307
0,95409
0,95508
0,95604
0,95698
0,95788
0,95877
0,95963
0,96046
0,96128
0,96207
0,96284
0,96359
0,96432
0,96503
0,96572
0,96639
0,96705
0,96769
0,96831
0,96892
0,96951
0,97009
0,97065
0,97120
0,97174
0,97226
0,97277
0,97327
0,97375
0,97423
0,97469
0,97514
0,97558
0,97601
Разность
между двумя
последователь*
ными
значениями FQ_KT,
AF
0,00105
0,00102
0,00099
0,00096
0,00093
0,00091
0,00088
0,00086
0,00084
0,00081
0,00079
0,00077
0,00075
0,00073
0,00071
0,00069
0,00067
0,00066
0,00064
| 0,00062
0,00061
0,00059
0,00058
0,00056
0,00055
0,00054
0,00052
0,00051
0,00050
0,00049
0,00047
0,00046
0,00045
0,00044
0,00043

836 Приложение А
Продолжение табл. А-5
Произведение
длины волны
на температуру,
КТ, м-К
1,66667.10-2
1,67778
1,68889
1,70000
1,71111
1,72222-Ю-2
1,73333
1,74444
1,75556
1,76667
1,77778-10-2
1,78889
1,80000
1,81111
1,82222
1,83333-Ю-2
1,84444
1,85556
1,86667
1,87778
1,88889-10-2
1,90000
1,91111
1,92222
1,93333
1,94444-10-2
1,95556
1,96667
1,97778
1,98889
2,00000-10-2
2,01111
2,02222
2,03333
2,04444
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени,
еяь/Т&, Вт/(мЗ.К5)
0,02122-10-5
0,02073
0,02026
0,01979
0,01935
0,01891-10-5
0,01849
0,01807
0,01767
0,01728
0,01690-10-5
0,01653
0,01618
0,01583
0,01549
0,01515-10-5
0,01483
0,01452
0,01421
0,01392
0,01363-10-5
0,01334
0,01307
0,01280
0,01254
0,01228-10-5
0,01203
0,01179
0,01156
0,01133
0,01110-10-5
| 0,01088
0,01067
0,01046
0,01026
Доля энергии j
интегрального
излучения
абсолютно
черного тела,
F0-%T
0,97644
0,97685
0,97725
0,97764
0,97802
0,97840
0,97877
0,97912
0,97947
0,97982
0,98015
0,98048
0,98080
0,98111
0,98142
0,98172
0,98201
0,98230
0,98258
0,98286
0,98313
0,98339
0,98365
0,98390
0,98415
0,98440
0,98463
0,98487
' 0,98510
0,98532
0,98554
0,98576
0,98597
0,98617
0,98638
Разность
между двумя

последовательными
значениями FQ_XT,
AF
0,00042
0,00041
0,00040
0,00039
0,00038
0,00037
0,00037
0,00036
0,00035
0,00034
0,00033
0,00033
0,00032
0,00031
0,00031
0,00030
0,00029
0,00029
0,00028
0,00028
0,00027
| 0,00026
0,00026
j 0,00025
0,00025
0,00024
0,00024
0,00023
0,00023
0,00022
0,00022
0,00022
0,00021
0,00021
0,00020

Приложение А 837
Продолжение табл. А-5
Произведение
длины волны
на температуру,
ЯТ, м-К
2,05556-10-2
2,06667
2,07778
2,08889
2,10000
2,11111-10-2
2,12222
2,13333
2,14444
2,15556
2,16667-10-2
2,17778
2,18889
2,20000
2,21111
2,22222-10-2
2,33333
2,44444
2,55556
2,66667
2,77778-10-2
2,88889
3,00000
3,11111
3,22222
3,33333-10-2
3,44444
3,55556
3,66667
3,77778
3,88889-10-2
4,00000
4,11111
4,22222
4,33333
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени, |
еяь/Т&, Вт/(мЗ-К5)
0,01006-Ю"5
0,00986
0,00967
0,00949
0,00931
0,00913-10-5
0,00896
0,00879
0,00863
0,00847
0,00831-10-5
0,00816
0,00801
0,00786
0,00772
0,00758-10-5
0,00634
0,00535
0,00454
0,00388
0,00333-10-5
1 0,00288
0,00250
0,00218
0,00191
0,00168-10-5
0,00149
0,00132
0,00117
0,00105
0,940-10-8
0,844
0,760
0,687
0,622
Доля энергии
интегрального
' излучения
абсолютно
черного тела,
F0-%T
0,98658
0,98677
0,98696
0,98715
0,98734
0,98752
0,98769
0,98787 |
0,98804 1
0,98821
0,98837
0,98853
0,98869
0,98885
0,98900
0,98915
0,99051
0,99165
0,99262
0,99344
0,99414
0,99475
0,99528
0,99574
0,99614
0,99649
0,99680
| 0,99707
| 0,99732
0,99754
0,99773
0,99791
0,99806
0,99820
0,99833
Разность
между двумя

последовательными
значениями Fq_Xt,
0,00020
0,00020
0,00019
0,00019
0,00018
0,00018
0,00018
0,00017
0,00017
0,00017
0,00016
0,00016
0,00016
0,00016
0,00015
0,00015
0,00136
0,00114
0,00097
0,00082
0,00071
0,00061
0,00053
0,00046
0,00040
0,00035
0,00031
0,00027
I 0,00024
0,00022
0,00019
0,00017
0,00016
0,00014
0,00013

838
Приложение А
Продолжение табл. А-5
Произведение
длины волны
на температуру,
КТУ м-К
4,44444-10-2
4,55556
4,66667
4,77778
4,88889
5,00000-10-2
5,11111
5,22222
5,33333
5,44444
5,55556-10-2
Полусферическая
спектральная поверхностная
плотность потока излучения
абсолютно черного тела,
деленная на температуру
в пятой степени,
еяь/Т5, Вт/(мЗ.К5)
0,564-10-8
0,513
0,468
0,428
0,391
0,359-10-8
0,330
0,304
0,280
0,259
0,239-10-8
Доля энергии
интегрального
излучения
абсолютно
черного тела,
F0-%T
0,99845
0,99855
0,99865
0,99874
0,99882
0,99889
0,99896
0,99902
0,99908
0,99913
0,99918
Разность
между двумя

последовательными
значениями FQ_XT,
AF
0,00012
0,00010
0,00010
0,00009
0,00008
0,00007
0,00007
0,00006
0,00006
0,00005
0,00005
Некоторые фундаментальные константы
Таблица А.6
Радиус первой электронной орбиты атома
водорода по Бору
Скорость света в вакууме
Заряд электрона
Постоянная Планка *)
Постоянная Больцмана *)
Масса электрона 4)
Классический радиус электрона
Единичное поперечное сечение атома
Томсоновское поперечное сечение
Электронвольт
Температура, соответствующая 1 эВ
Энергия покоя электрона
Энергия ионизации атома водорода
а0^лу0П*/тее*=0,5292 -10~10 м
со-2,9979-108 м/с
е = 1,602-«И» Кл
h = 6,6262-Ю-34 Дж-с
h = h/2n = 1,0546-10"34 Дж-с
к= 1,3806-Ю-23 Дж/К
те = 9,1096-10-31 кг
г0-=е2/4яуо^со = 2>818-10"15 м
яа2 = 0,880-10-20 м2
ог = 8л;г02/з = 6,652-10-29 м2
1 эВ = 1,602-10-1» Дж
1 эВ//с = 11605 К
/71^ = 8,186-10-1* дж
е2/8я7о«о — e*me/UV*h2 =
= 13,60эВ = 21,797-10-19 Дж
1) Рекомендованные значения из исправленного издания работы [1].
Литература
1. Mechtly Е. A., The International System of Units. Physical Constants and
Conversion Factors, NASA SP-7012, 1964 (rev 1969).
2. Gubareff G. G., Janssen J. E., Torberg R. H., Thermal Radiation
Properties Survey, 2d ed., Honeywell Research Center, Minneapolis, 1960.
3. Pivovonsky M., Nagel M. R., Tables of Blackbody Radiation Functions,
The Macmillan Company, New York, 1961.
4. Wiebelt J. A., Engineering Radiation Heat Transfer, Holt, Rinehart and
Winston, Inc. New York, 1966.

Приложение Б
источники,
СОДЕРЖАЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ДЛЯ ДИФФУЗНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этом приложении приводится таблица источников, в которых
содержится определение более 170 угловых коэффициентов.
Таблица состоит из трех частей. В части А собраны угловые
коэффициенты для двух бесконечно малых элементов поверхности,
в части Б — угловые коэффициенты для бесконечно малого
элемента поверхности и поверхности конечных размеров и в
части В — угловые коэффициенты для двух поверхностей конечных
размеров. Для некоторых угловых коэффициентов приводятся
ссылки на несколько источников. В ряде случаев из-за трудности
установления первоисточника не указаны те работы, в которых
угловой коэффициент был выведен впервые.
Угловые коэффициенты располагаются в следующем порядке:
сначала приводятся угловые коэффициенты только для плоских
поверхностей, затем рассматриваются тела цилиндрической,
конической, сферической и более сложной форм. В пределах каждой
группы осуществляется переход от более простой геометрии
к более сложной.

Источники, содержащие определения угловых коэффициентов
Таблица В.1
00
о
Номер
конфигурации
Описание геометрии
Схема
Источник
А. Угловые коэффициенты для двух бесконечно малых элементов
А-1
А-2
А-3
А-4
А-5
Две произвольно ориентированные
элементарные площадки
Две элементарные площадки с параллельными
образующими линиями
Элементарная площадка и бесконечно длинная
полоса бесконечно малой ширины с
параллельными образующими линиями
Две бесконечно протяженные полосы
бесконечно малой ширины с параллельными
образующими линиями
Полоса конечной длины и бесконечно малой
ширины и полоса такой же длины с
параллельными образующими линиями
Уравнение (7.8)
Пример 7.3
Приложение В
и[1]
Приложение В
и [1]
Приложение В
и [2]

А-6
А-7
А-8
А-9
Расположенный в углу элемент торца канала
прямоугольного сечения и элемент
поверхности канала
Элемент на внешней поверхности трубки
и элемент на внешней поверхности соседней
параллельной трубки того же диаметра
Элемент на внешней поверхности врезанной
в плоскость трубы и аналогичный элемент
на внешней поверхности соседней параллельной
трубы того же диаметра
Два кольцевых элемента на внутренней
поверхности прямого кругового цилиндра
/1^
s^
p^l
^S^js^-^^
/
у
^^
1 \J^ ^"^
^ \& \J7
I ^Х\ У
/^Ч \$^
Пример 7.19
[3]
13]
Приложение В
и [4, 5]

Номер
конфигурации
Описание геометрии
А-10
А-11
А-12
Кольцевой элемент на внутренней
поверхности цилиндра и кольцевой элемент па
основании цилиндра
Кольцевой элемент ребра и кольцевой элемент
соседнего ребра
Два кольцевых элемента на внутренней
верхности прямого кругового конуса
Продолжение табл. Б-1.А ]g
to
Схема
Источник
[6]
[7]
[8, 9]
5*

А-13 I Два бесконечно малых элемента на внутрен-
| ней поверхности сферической полости
А-14 Полоса на наружной поверхности сферы
I и полоса на другой сфере
А-15 Два бесконечно малых элемента на внешней
I поверхности тора
А-16 I Элемент на внешней поверхности тора и коль-
I цевой элемент на внешней поверхности тора
Приложение В
и [1, 5, 9-11]
[12] (равные
радиусы) и [13] (разные
радиусы)
[14]
Ьз
[14]
S2

Продолжение табл. Б-1,А
Номер
конфигурации
А-17
Описание геометрии
Элемент на внешней поверхности тора и
поперечный кольцевой элемент на внешней
поверхности тора
Схема
Источник
[14]
00
4N
Б. Угловые коэффициенты для бесконечно малого элемента поверхности и поверхности конечных размеров
Б-1
Б-2
Элемент плоской поверхности и бесконечно
протяженная плоскость, составляющая с
плоскостью элемента угол Ф
Элементарная полоса плоской поверхности
любой длины и плоскость конечной ширины
и бесконечной длины
-М7
[15-17]
5*
Пример 7.7

Б-3
Элемент плоской поверхности и бесконечно
длинная поверхность произвольной формы,
образованная линией, перемещающейся
параллельно самой себе и плоскости элемента
Б-4
Б-5
Б-6
Элементарная полоса конечной длины и
прямоугольник, лежащий в плоскости,
параллельной полосе; полоса расположена против
одной из сторон прямоугольника
Элементарная полоса конечной длины и
плоский прямоугольник, который составляет
с плоскостью полосы угол Ф и одна сторона
которого параллельна полосе
Элемент плоскости и плоский прямоугольник;
нормаль к элементу проходит через угол
прямоугольника; элемент и прямоугольник
лежат в параллельных плоскостях
А
•
w
1 -r-m if
4
V
А
gsw
/
ffl
Приложение В
и [15-19]
Приложение В
и [5, 15—17]
Приложение В, [5]
(для Ф = 90°) и
[15-17]
Приложение В и
[1, 5, 15-18, 20,
21]

Номер
конфигурации
Б-7
Б-8
Б-9
Б-10
Описание геометрии
Элемент плоскости и любой параллельный
ему прямоугольник
Элемент плоскости и плоский прямоугольник;
плоскости, содержащие обе эти поверхности,
расположены под углом Ф
Элемент плоскости и прямоугольный
треугольник в плоскости, параллельной
плоскости элемента; нормаль к элементу проходит
через вершину треугольника
Элемент плоскости и плоский прямоугольник
с плоским треугольником; элемент находится
в углу прямоугольника, имеющего с
рассматриваемой фигурой общую сторону и
образующего с пей угол Ф
Продолжение табл. Б-1.Б
Схема
Источник
/П7
^--ж
[1]
Приложение В,
[1,5](дляф = 90°
и [15-17]
Пример 7.17
[15-17]
Е

Та же геометрия, что и в предыдущем
случае, но треугольник развернут относительно
элемента плоскости на 180°
Элемент плоскости и круглый диск в
плоскости, параллельной плоскости элемента
Элемент плоскости и сегмент диска в
плоскости, параллельной плоскости элемента
Элемент плоскости и круглый диск;
плоскости, в которых расположены элемент и диск,
пересекаются под углом 90°; центры элемента
и диска лежат в плоскости,
перпендикулярной этим плоскостям
6
[ill' \s /
€р>
/
г )
ilil/'/\i I !ЦУ
j
(/HI
1 ////А
\*
/1
7//Д i
Л у ' 901
" yjll>
[15-17]
Приложение В
и [1, 5, 15-17]
[5]
Приложение В,
[5, 15-17, 19, 22]
и пример 7.6

Номер
конфигурации
Описание геометрии
Б-15
Б-16
Б-17
Б-18
Элементарная * полоса конечной длины и
перпендикулярный ей круглый диск,
расположенный у одного края полосы
Элемент плоскости и кольцевой
в перпендикулярной плоскости
элемент
Радиальный и секторный элементы круглого
диска и диск в параллельной плоскости
Элемент плоскости и эллипс в параллельной
плоскости
Продолжение табл. В-1.-В 5£
оо
Схема
Источник
[19, 22]
Пример 7.9
[20, 22]
Приложение В
и [18]
§
s
^

Б-19
Б 20
Б-21
Б-22
Бесконечно длинный цилиндр и бесконечно
длинная параллельная элементарная полоса
Бесконечная плоскость и бесконечно длинная
полоса на поверхности параллельного
цилиндра
Элемент плоскости и прямой круговой
цилиндр конечной длины; нормаль к элементу
проходит через центр одного из торцов
цилиндра и перпендикулярна оси цилиндра
Элемент расположен у торца на внутренней
поверхности цилиндра конечной длины,
охватывающего концентрически расположенный
цилиндр той же длины; угловой коэффициент
вычислен для элемента и внутренней
поверхности наружного цилиндра
©
4L
-4-
\
+ I
! /
I
1
^
Приложение В
и [15-17, 29] «)
Приложение В
и [15-17]
Приложение В
и [5, 15-17]
[15-17, 19, 22]
=5
8*
00
со

Номер
конфигурации
Описание геометрии
Б-23
Б-24
Б-25
Элементарная полоса конечной длины и
параллельный цилиндр такой же длины;
нормали, проведенные от краев полосы,
пересекают ось цилиндра
Полоса или элементарная площадка на
плоскости, параллельной оси цилиндра конечной
длины
Бесконечно длинная полоса бесконечно малой
ширины и параллельный ей полуцилиндр
Продолжение табл. Б-1.Б gj
о
Схема
Источник
Sl\
т?^
[15-17, 19, 22]
[19, 22]
[23]
£3
Ж
К
а
Ьз

Б-26
Б-27
Б-28
Б-29
Бесконечно длинная полоса на любой стороне
любого из трех ребер и труба или
окружающая среда, а также бесконечно длинная
полоса на трубе и ребро или окружающая среда
Элемент или элементарная полоса на
внутренней поверхности цилиндра конечной
fдлины и внутренняя поверхность цилиндра
Элементарная полоса на внутренней
поверхности внешнего концентрического цилиндра
и внутренняя поверхность внешнего
концентрического цилиндра
Элементарная полоса на внутренней
поверхности внешнего концентрического цилиндра
и любой из кольцевых торцов
[24]
[19, 22]
[15—17, 19, 22]
[15, 17, 19, 22]
§
to
00
ел

Номер
конфигурации
Описание геометрии
Б-30
Б-31
Б-32
Элемент на внутренней поверхности внешнего
концентрического цилиндра конечной длины
и внутренний цилиндр или кольцевой торец
Элементарная полоса на внешней поверхности
внутреннего концентрического цилиндра
конечной длины и внутренняя поверхность
внешнего цилиндра или кольцевой торец
Полоса на плоскости внутри цилиндра
конечной длины и внутренняя поверхность
цилиндра
Продолжение табл. Б-1.В
ел
Схема
Источник
[19, 22]
[19, 22]
Ьэ
[19, 22]

Б-33 | Элементарная площадка на внутренней
поверхности цилиндра и основание второго
концентрического цилиндра; цилиндры
расположены один над другим
Б-34
Кольцевой элемент на ребре и труба
Б-35 J Кольцевой элемент на внутренней поверхности
прямого кругового цилиндра и торец
цилиндра
Б-36 | Элемент на внешней поверхности трубы и
площадка конечных размеров на соседней
параллельной трубе того же диаметра
[19, 22]
[7]
Приложение В
и [4]
[3]
г*
to
00
СО

Номер
конфигурации
Описание геометрии
Б-37
Б-38
Б-39
Элемент на внешней поверхности врезанной
в плоскость трубы и площадка конечных
размеров на соседней параллельной трубе
того же диаметра
Элемент на стенке прямого кругового конуса
и основание конуса
Любой бесконечно малый элемент на
внутренней поверхности сферы и любой элемент
конечных размеров на внутренней
поверхности той же сферы
Схема
Продолжение табл. Б-1М й
- й^
Источник
[3]
[25]
г*
СИ
Приложение В, [1]
и разд. 8.4.2,
стр. 304

Б-40
Б-41
Б-42
Б-43
Сферический точечный источник и
прямоугольник; точечный источник расположен
в одном из углов прямоугольника, который
пересекается с рассматриваемым
прямоугольником под углом Ф
Элементарная площадка и сфера
Сфера и кольцевой элемент, ориентированный
по нормали к оси сферы
Элемент на поверхности сферы и площадка
конечных размеров на поверхности другой
сферы
[1, 15-17]
[16, 26-28]
[29]
5
Е
[13]

Номер
конфигурации
Описание геометрии
Б-44
Б-45
Б-46
Б-47
Элементарная площадка и осесимметричная
поверхность — параболоид, конус, цилиндр
(дана постановка задачи, но угловые
коэффициенты не вычислены)
Элемент на внутренней (или внешней)
поверхности любого осесимметричного тела
вращения и полоса конечной ширины на
внутренней или внешней поверхности
Элемент на внешней поверхности тора и
тороидальный сегмент конечной ширины
Элемент на внешней поверхности тора и
тороидальная полоса конечной ширины
Продолжение табл. Б-1.Б
00
ел
05
Схема
Источник
[30]
[31, 32] •)
[14]
[14]
Ьэ

Элемент и кольцевой элемент на внешней
поверхности тора и внешняя поверхность^тора
Тонкий тор и элементарная площадка,
перпендикулярная оси
[14, 47]
[18]
В. Угловые коэффициенты для двух поверхностей конечных размеров
Две бесконечно длинные пластины равной
конечной ширины Wr имеющие одну общую
сторону и расположенные под углом Ф
Две бесконечно длинные пластины разной
ширины, имеющие одну общую сторону
и расположенные под углом Ф = 90°
Прямоугольник конечных размеров и
бесконечно длинный прямоугольник такой же
ширины, имеющие одну общую сторону
и расположенные под углом Ф
■у
1
ЛФ
w
1
^
*ф
\
й
f
Приложение В
Приложение В
и [16]
[33]
Ьз

Номер
конфигурации
В-4
В-5
В-6
В-7
Описание геометрии
Два прямоугольника конечных размеров
одинаковой ширины, имеющие одну общую
сторону и расположенные под углом Ф
Два прямоугольника, имеющие общую сторону
и расположенные под углом Ф
Два прямоугольника, имеющие по одной
стороне, которые параллельны друг другу,
и общую вершину; плоскости, содержащие
прямоугольники, пересекаются под углом Ф
Два прямоугольника одинаковой ширины
с двумя параллельными [сторонами;
плоскости, содержащие прямоугольники,
пересекаются под углом Ф
Продолжение табл. Б-1.В
Схема
Источник
Приложение В
[1, 20, 21] для
Ф = 90° и [5,
15-17, 19, 333)]
[16]
[16]
[5] (только для
Ф = 90°) и [16]
Ьз

Два прямоугольника с двумя параллельными
сторонами; плоскости, , содержащие
прямоугольники, пересекаются под углом Ф
Две бесконечно длинные параллельные полосы
одинаковой конечной ширины,
расположенные друг против друга
Параллельные, расположенные друг против
друга прямоугольники одинаковой ширины
и длины
Два прямоугольника в параллельных
плоскостях; один из прямоугольников расположен
против части другого
Два прямоугольника произвольных размеров
в параллельных плоскостях; (все стороны
параллельны либо оси х, либо оси у
Ф
' ' / /
dllillfLIIIIII?
липтпшу
/
ш
[15, 16, 19]
Приложение В
и [16, 20]
Приложение В
и [1, 5, 15—17,
20, 21, 34]
[16, 18, 34]
[15, 16, 19, 34]
5*
00

Номер
конфигурации
Описание геометрии
В-13 I Два произвольно ориентированных
прямоугольника произвольных размеров
В-14 I Две произвольно ориентированные плоские
[ фигуры произвольной формы
В-15 I Площади конечных размеров на внутренней
| поверхности канала квадратного сечения
В-16
Два основания прямой выпуклой призмы в
виде правильного треугольника, квадрата,
пяти-, шести- или восьмиугольника
Продолжение табл. Б-1.В
00
8
Схема
Источник
JW
[35]«)
[36] *)
[19]
[33]

В-17 Две стороны или сторона и одно основание
правильной шестиугольной призмы
В-18 Круг и произвольно ориентированный в
параллельной плоскости прямоугольник
В-19 Круг и прямоугольник, расположенный
произвольно в плоскости, перпендикулярной
кругу
В-20 Диск и произвольно ориентированный
прямоугольник или диск произвольных размеров
г>
[33]
[37]
[37]
5*
из
[37] <

Номер
конфигурации
В-21
В-22
В-23
В-24
Описание геометрии
Круглый диск и параллельный прямоугольный
треугольник; нормаль из центра окружности
проходит через вершину одного из острых
углов
Параллельные соосные плоские круглые диски
Соосные кольцо и диск произвольных
радиусов
Параллельные соосные плоские кольца
Продолжение табл. B-l.B gg
ьэ
Схема
Источник
[37]
Приложение В и s
[1, 5, 9, 15-17, |
19, 20, 22] |
5=
[16, 22]
Ьз
[15, 22] и.пример
7.10

Внутренняя поверхность стенок цилиндра
конечных размеров и его торцы
Внутренняя поверхность цилиндрической
полости и отверстие в полости
Внутренняя поверхность цилиндра и
кольцевой элемент на одном из его торцов
Внутренняя поверхность цилиндра и диск на
одном из его торцов
Часть внутренней поверхности цилиндра
и остальная часть внутренней поверхности
1
ш
г
I
сп^
о
/^"Т">
4zJ
[38, 39]
{16 (фиг. 6-14), 40]
[22, 39]
[22, 39]
[20, 22, 39]
■5
5*
Ьз
8S

Номер
конфигурации
В-30
В-31
В-32
В-33
Описание геометрии
Кольцо конечной ширины на внутренней
поверхности прямого кругового цилиндра
и любое другое аналогичное кольцо, а также
один из торцов цилиндра
Две площадки конечных размеров на
внутренней поверхности прямого кругового цилиндра
Бесконечно длинный цилиндр и параллельная
ему бесконечно длинная пластина конечной
ширины
Бесконечно длинная пластина конечной
ширины и бесконечно длинный цилиндр
Продолжение табл. B-l.B gg
Схема
Источник
rfc
--53
С<\
us
[19, 20, 39]
[19]
Приложение В и
[5, 15, 16, 29] 5)
[22, 29]
OS
fcl

В-34
В-35
В-36
В-37
Бесконечная плоскость и первый, второй,
а также первый плюс второй ряды
бесконечно длинных параллельных труб равного
диаметра
Цилиндр конечной длины и прямоугольник,
две стороны которого параллельны оси
цилиндра, а длина равна длине цилиндра
Цилиндр конечной длины и прямоугольник
такой же длины
Цилиндр и любой прямоугольник в плоскости,
перпендикулярной оси цилиндра
оооо
ооооо
[1, 20, 21]
[5]
[41]
$
£
[37]
KJJ>
А--7

Номер
конфигурации
В-38 1
В-39
В-40
В-41
Описание геометрии
Цилиндр и любой прямоугольник В ПЛОСКОСТИ,
параллельной оси цилиндра
i Площадка конечных размеров на внешней
| поверхности цилиндра и площадка конечных
размеров на плоскости, параллельной оси
цилиндра
Площадка конечных размеров на внешней
поверхности цилиндра и площадка конечных
размеров на наклонной плоскости
Внешняя поверхность цилиндра и
перпендикулярный ей прямоугольный треугольник;
треугольник лежит в плоскости основания
цилиндра; вершина одного из острых углов
треугольника совпадает с центром
основания цилиндра
Продолжение табл. Б-1.В
Схема
Источник
71
*
Q
щ
I 7
В
— л
/А
■-А^У
I /
[37]
[19]
[19]
[37]
to

В-42
В-43
В-44
В-45
Цилиндр и плоскость внутри цилиндра,
параллельная оси цилиндра и имеющая такую
же длину (все угловые коэффициенты для
плоскости и внутренней поверхности
цилиндра)
- Внутренняя поверхность цилиндра и диск
того же радиуса
Внутренняя поверхность кругового цилиндра
радиусом R и диск радиусом г при г < R;
диск перпендикулярен оси цилиндра,
которая проходит через центр диска
Два одинаковых круглых кольца на торцах
цилиндра
[19, 22]
[19, 22]
Пример 7.11
[7, 19, 22]
Ьз
00
3

Номер
конфигурации
В-46
В-47
В-48
В-49
Описание геометрии
Угловые коэффициенты для расчета обмена
излучением между ребрами и трубой (даны
в алгебраической форме, не табулированы)
Две площадки конечных размеров на внешних
поверхностях параллельных цилиндров
Цилиндр произвольных длины и радиуса
и прямоугольник, диск или цилиндр
произвольных размеров и ориентации
Цилиндр и произвольно ориентированная
плоскость
Схема
Продолжение табл. Б-1.В gg
. 00
Источник
Q
[7]
[191
[35]«)
[36]'
ьэ

В-50
В-51
В-52
В-53
В 54
Концентрические цилиндры бесконечной
длины; внутренний и внешний цилиндры;
внешний и внутренний цилиндры; внешний
цилиндр, излучающий сам на себя
Внутренняя поверхность наружного
концентрического цилиндра конечной длины и
внутренний цилиндр такой же длины
Внутренняя поверхность наружного
концентрического цилиндра, излучающая сама на себя
Внутренняя поверхность наружного
концентрического цилиндра и любой из
кольцеобразных торцов
Концентрические цилиндры разной длины;
часть поверхности внутреннего цилиндра
и вся поверхность внешнего цилиндра
©
Ф
ф)
\М^
ф
■р
Приложение В
и [15]
Приложение В и
[5, 15, 20, 22, 42]
Приложение В и
[5, 7, 15, 22, 42]
[5, 15, 22, 42]
[22]

Номер
конфигурации
В-55
В-56
В-57
3-58
Описание геометрии
Концентрические цилиндры разной длины;
часть внутренней поверхности наружного
цилиндра и вся внешняя поверхность
внутреннего цилиндра
Параллельные цилиндры разных радиусов
и длины: любые участки наружных
цилиндрических поверхностей
Концентрические цилиндры разных радиусов,
расположенные один над другим (угловые
' коэффициенты для внутренней поверхности
верхнего цилиндра и внутренней
поверхности или основания нижнего цилиндра)
Бесконечно длинные параллельные
полуцилиндры одинакового диаметра
I
Продолжение табл. B-l.B 2S
Схема
Источник
[19, 22, 36 2)]
[36] 2)
[19, 22]
•&
Пример 7.6 и [5]

В-59
В-60
В-61
B-6i
Площадка конечных размеров на внешней
поверхности внутреннего цилиндра и площадка
конечных размеров на внутренней
поверхности концентрического наружного цилиндра
Две трубы, соединенные ребром конечной
толщины; длина может быть конечной или
бесконечной (все угловые коэффициенты
между поверхностями конечных размеров
выражены в виде интегралов по бесконечно
малым полосам)
Две трубы, соединенные ребрами переменного
сечения конечной толщины; длина трубы
может быть конечной или бесконечной (все
угловые коэффициенты между поверхностями
конечных размеров выражены в виде
интегралов по бесконечно малым полосам)
Находящаяся в середине труба и ребристая
конструкция бесконечной или конечной
длины (все угловые i, коэффициенты между
поверхностями конечных размеров выражены
в виде интегралов по бесконечно малым
полосам)
119]
12]
12]
!
s
[2]
00
^4

Номер
конфигурации
Описание геометрии
В-63
В-64
В-65
В-66
Концентрические цилиндры, связанные ребром
конечной толщины; длина конечная или
бесконечная (все угловые коэффициенты
между поверхностями конечных размеров
выражены в виде интегралов по
бесконечно малым полосам)
Внешняя поверхность бесконечно длинного
цилиндра и внутренняя поверхность
концентрического полуцилиндра
Внутренняя поверхность бесконечно длинного
полуцилиндра 1 и внутренняя поверхность
полуцилиндра 2 при наличии
концентрического параллельного цилиндра 3
Осесимметричные участки прямого кругового
конуса
Продолжение табл. Б-1.В 23
to
Схема
ф
ф
©,
A^v\
(^К2£П
Источник
[2]
Пример 7.22
Пример 7.22
[19, 39]
5*

В-67
3-68
В~69
В-70
Осесимметричные участки прямого кругового
конуса и основание, кольцо или диск на
основании
Внутренняя поверхность конической полости
и отверстие в полости
Вся внутренняя поверхность усеченного
конуса и его торцы
Прямой круговой конус произвольных
размеров и прямоугольник, диск, цилиндр или
конус произвольных размеров и ориентации
&ZZ>
[20, 39]
[16, (фиг. 6.14)
39, 40]
[38, 39]
[35]*)
съ
<W

Номер
конфигурации
В-71
В-72
В-73
В-74
Описание геометрии
Конус и произвольно расположенная
наклонная плоскость
Внутренняя поверхность сферической полости
и отверстие в полости
Любая площадка конечных^размеров на внут-
| ренней поверхности сферы и любая другая
площадка на этой же поверхности
Сфера и коаксиальный диск
Продолжение табл. Б-1.В °S
4S
Схема
Источник
[36]*)
[16 (фиг. 6.14), 40]
§
Приложение В и ^
[1J
Приложение В и
[29]

В-75
В-76
Сфера и сектор на коаксиальном диске
В-77
В-78
[ Сфера и сегмент на коаксиальном диске
Сфера и прямоугольник
Сфера и прямоугольник, расположенный по
нормали к оси сферы
&
О
1 i
Jtw
О
Щг
Приложение В
и [29]
Приложение В
и [29]
[37]
[29]

Номер
конфигурации
Описание геометрии
Р-79
Сфера и произвольно расположенный
прямоугольник (с использованием алгебры угловых
коэффициентов и конфигурации В-77)
В-80
Сфера и правильный многоугольник,
расположенный по нормали к оси сферы
В-81
Сфера и писк, расположенный не на оси
сферы
Продолжение табл. В-1.В 25
О)
Схема
Источник
,сшп?
>щ
[35 *), 37]
[29]
[29]
■5
s
(и

В-82
В-83
В-84
В-85
В-86
Сфера произвольного диаметра и диск или
конус произвольных размеров и ориентации
Сфера и произвольно расположенная
наклонная плоскость
Сфера и цилиндр
Конус и сфера такого же диаметра, как
основание конуса; ось конуса проходит через
центр сферы
Концентрические сферы; внутренняя и
внешняя сферы; внешняя и внутренняя сферы;
внешняя сфера, излучающая сама на себя
[35] *)
[36] =
[35*), 43]
[12, 35 *)]
Приложение В,
[15, 16] и пример
7.13
с*
оо

Номер
конфигурации
Описание геометрии
В-87
В-88
В-89
Площадка на поверхности сферы и
прямоугольник в плоскости, перпендикулярной
оси сферы
Две сферы
Площадка на поверхности сферы и шаровой
сегмент на другой сфере
Продолжение табл. Б-1.В
00
00
Схема
Источник
Г
/
[19]
О
в
[12] (равные pa- g
диусы), [35*), 43, 5
44] ta
&,
[13]

В-90 Два шаровых сегмента на разных сферах
В-91 Два элемента на разных сферах
В-92 I Шаровой сегмент на одной сфере и полоса на
другой сфере
.0
|13]
[13]
[13]
I
«л
со

Номер
конфигурации
Описание геометрии
В-93 Две сферические полосы на разных сферах
В-94 Внутренняя поверхность полусферической
полости и отверстие в полости
В-95 Осесимметричный участок полусферы и ее
основание или кольцо, или диск на
основании
В-96
Два осесимметричных участка на полусфере
Продолжение табл. В-1.В
ОС
00
о
Схема
Источник
[13]
[16 (фиг. 6.14), 39,
40]
139]
[19, 39]
из
ta

Две коаксиальные соприкасающиеся
полусферы
Сфера и полусфера
Сфера и эллипсоид
Эллипсоид с произвольными большой и малой
осями и прямоугольник, диск, цилиндр,
конус или эллипсоид произвольных
размеров и ориентации
Участки полосы Мебиуса и сама полоса
,.*v2/
I/
[45]
[43]
[35 4), 43]
[35] *)
[46]
5
О

Номер
конфигурации
Описание геометрии
В-102
В-103
В-104
В-105
Внешняя поверхность тора, излучающая сама
на себя
Сегмент конечной ширины на поверхности
тора и внешняя поверхность тора
Полоса на тороидальной поверхности конечной
ширины и внешняя поверхность тора
Тор произвольных размеров и прямоугольник,
диск, цилиндр, сфера, конус, эллипсоид или
тор произвольных размеров и ориентации
Продолжение табл. Б-1.В §g
to
Схема
Источник
[14, 47]
[14]
[14]
[35] 4)
О

В-106
В-107
Поверхность, образованная вращением кривой,
описываемой произвольным полиномом, и
прямоугольник, диск, цилиндр, сфера,
конус, эллипсоид, тор или другая поверхность,
образованная вращением кривой,
описываемой произвольным полиномом,
произвольных размеров и ориентации
(рассматриваются полиномы пятого и меньшего
порядков)
Обычный плоский многоугольник и любой
другой многоугольник или же два или
более пересекающихся или соприкасающихся
многоугольников
135]*)
[48]*)
§
s
^
Ьз
1) В работах [15—17] приведены неточные угловые коэффициенты.
2) Ядра интегралов и пределы выражены через соответствующие переменные, но интегрирование не выполнено до конца.
3) В работе [33] указано, что приведенные во всех других источниках табулированные значения угловых коэффициентов не
являются точными. Исправленные значения даны в работе [33].
4) Составлена только программа вычислений в общем виде.
6) Во всех работах, за исключением [29] и приложения В, этот угловой коэффициент определен неточно,

884
Приложение Б
Литература
1. Jakov М., Heat Transfer vol. 2, Wiley, Inc., New York, 1957; (имеется
русский перевод с сокращениями: Якоб М., Вопросы теплопередачи,
ИЛ, М., 1960).
2. Sotos С. J., Stockman N. О., Radiant-interchange View Factors and Limits
of Visibility for Differential Cylindrical Surfaces with Parallel Generating
Lines, NASA TN D-2556, 1964.
3. Спэрроу Э. M., Джонсон В. К., Угловые коэффициенты при лучистом
теплообмене между параллельными трубами, Труди амер. о-ва инж.-мех.%
сер. С, Теплопередача, 85, № 4, 112—123 (1963).
4. Usiskin СМ., Siegel R., Thermal Radiation from a Cylindrical Enclosure
with Specified Wall Heat Flux, /. Heat Transfer, 82, № 4, 369—374 (1960).
5. Спэрроу Э. M., Сесс P. Д., Теплообмен излучением, изд-во «Энергия»,
1971.
6. Спэрроу Э. М., Альберс Л. У., Эккерт Э. Р. Г., Характеристики
теплового излучения цилиндрических полостей, Труды амер. о-ва инж.-мех.,
сер. С, Теплопередача, 84, № 1, 90-100 (1962).
7. Sparrow Е. М., Miller G. В., Jonsson V. К., Radiative Effectiveness of
Annular-finned Space Radiators, Including Mutual Irradiation between
Radiator Elements, /. Aerospace Sci., 29, № 11, 1291—1299 (1962).
8. Sparrow E. M., Jonsson V. K., Radiant Emission Characteristics of Diffuse
Conical Cavities, /. Opt. Soc. Am., 53, № 7, 816—821 (1963).
9. Kezios S. P., Wulff W., Radiative Heat Transfer through Openings of
Variable Cross Sections, Proc. Third Int. Heat Transfer Conf. AIChE,
vol. 5, 1966, pp. 207—218.
10. Sparrow E. M., Jonsson V. K., Absorption and Emission Characteristics
of Diffuse Spherical Enclosures, NASA TN D-1289, 1962.
11. Nichols L. D., Surface-temperature Distribution on Thin-walled Bodies
Subjected to Solar Radiation in Interplanetary Space, NASA TN D-584,
1961.
12. Campbell J. P., MG Connell D. G., Radiant-interchange Configuration
Factors for Spherical and Conical Surfaces to Spheres, NASA TN D-4457,
1968.
13. Grier N. Т., Tabulations of Configuration Factors between any Two Spheres
and Their Parts, NASA SP-3050, 1969.
14. Crier N. Т., Sommers R. D., View Factors for Toroids and Their Parts,
NASA TN D-5006, 1969.
15. Hamilton D. C, Morgan W. R., Radiant-interchange Configuration Factors,
NASA TN-2836, 1952.
16. Kreith S., Radiation Heat Transfer, International Textbook Co., Scranton,
Pa., 1962.
17. Wiebelt J. A., Engineering Radiation Heat Transfer, Holt, Rinehart and
Winston, Inc., New York, 1966.
18. Moon P., The Scientific Basis of Illuminating Engineering, Dover
Publications, Inc., New York, 1961.
19. Stevenson J. A., Grafton J. C, Radiation Heat Transfer Analysis for Space
Vehic es, Rept SID-61-91, North American Aviation (AFASD TR-61-119,
pt. 1), Sept. 9, 1961.
20. Hottel H. C, Sarofim A. F., Radiation Transfer, McGraw-Hill, New
York, 1967. --...,„
21. Мак-Адаме В. X., Теплопередача, Металлургиздат, 1961, 87—175.
22. Leuenberger Н., Person R. A., Compilation of Radiation Shape Factors for
Cylindrical Assemblies, paper № 56-A-144, ASME, Nov., 1956.
23. Спэрроу Э-. <M., Эккерт Э. P. Г., Взаимное влияние ребра и базовой
поверхности в процессе излучения, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С,
Теплопередача, 84, № 1, 17—25 (1962).

Приложение В
885
24. Holcomb R. S., Lynch F. E., Thermal Radiation Performance of a Finned
Tube with a Reflector, Rept ORNL-TM-1613, Oak Ridge National
Laboratory, April 1967.
25. Joerg P., MG Farland B. L., Radiation Effects in Rocket Nozzles, Rept
S62-245, Aerojet-General Corporation, 1962.
26. Cunningham F. G., Power Input to a Small Flat Plate from a Diffusely
Radiating Sphere, with Application to Earth Satellites, NASA TN D-710,
1961,
27. Liebert С. H., Hibbard R. R., Theoretical Temperatures of Thin-film Solar
Cells in Earth Orbit, NASA TN D-4331, 1968.
28. Goetze D., Grosch С. В., Earth-emitted Infrared Radiation Incident upon
a Satellite, /. Aerospace Sci., 29, № 5, 521—524 (1962).
29. Фейнолд А., Гупта К. Г., Новый аналитический подход к определению
коэффициентов облученности при излучении от сфер и цилиндров
бесконечной длины, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 92,
№ 1, 72—80 (1970).
30. Морицуми С. Дж., Метод расчета коэффициентов формы по элементу
поверхности для осесимметричной поверхности, Ракетная техника
и космонавтика, № 11, 199 (1964).
31. Robbins W. Н., Carroll А. Т., Analysis, Feasibility and Wall-temperature
Distribution of a Radiation-cooled Nuclear-Rocket Nozzle, NASA TN
D-878, 1962.
32. Robbins W. H., An Analysis of Thermal Radiation Heat Transfer in a
Nuclear-rocket Nozzle, NASA TN D-586, 1961.
33. Feingold A., Radiant-interchange Configuration Factors between Various
Selected Plane Surfaces, Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A, 292, № 1428,
51-60 (1966).
34. Hsu Chia-Jung, Shape Factor Equations for Radiant Heat Transfer between
Two Arbitrary Sizes .of Rectangular Planes, Can. /. Chem. Eng., 45, № 1,
58-60 (1967).
35. Dummer R. S., Breckenridge W. Т., Jr., Radiation Configuration Factors
Program, Rept ERR-AN-224, General Dynamics/Astronautics, February
1963.
36. Plamondon J. A., Numerical Determination of Radiation Configuration
Factors for Some Common Geometrical Situations, Techn. Rept 32—127,
Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, July 7, 1961.
37. Tripp W., Hwang C, Crank R. E., Radiation Shape Factors for Plane
Surfaces and Spheres, Circles or Cylinders, Spec. Rept 16, Kansas State
University Bulletin, 46, № 4, 1962.
38. Bien D. D., Configuration Factors for Thermal Radiation from Isothermal
Inner Walls of Cones and Cylinders, /. Spacecraft Rockets, 4, № 1, 155—
156 (1966).
39. Buschman A. J., Jr., Pittman С. M., Configuration Factors for Exchange
of Radiant Energy between Axisymmetrical Sections of Cylinders, Cones,
and Hemispheres and Their Bases, NASA TN D-944, 1961.
40. Stephens С W., Haire A. M., Internal Design Considerations for Cavity-
type Solar Absorbers, ARS J., 31, № 7, 896—901 (1961).
41. Wiebelt J. A., Ruo S. Y., Radiant-interchange Configuration Factors for
Finite Right Circular Cylinder to Rectangular Planes, Int. J. Heat Mass
Transfer, 6, № 2, 143—146 (1963).
42. Александров В. Т., К определению угловых коэффициентов излучения
системы двух коаксиально расположенных цилиндрических тел, ИФЖ,
8, № 5, 609—612 (1965).
43. Уотс Р. Г., Лучистая теплопередача к спутникам Земли, Труди амер.
о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 87, № 3, 55—59 (1965).
44. Джонс Л. Р., Угловые коэффициенты излучения между двумя сферами,

886
Приложение Б
Труды амер. о-ва инж.-мех. сер. С, Теплопередача, 87, № 3, 115—116
(1965).
45. Wakao N., Kato К., Furuya N., View Factor between Two Hemispheres
in Contact and Radiation Heat-transfer Coefficient in Packed Beds,
Int. J. Heat Mass Transfer, 12, 118—120 (1969).
46. Стасенко А. Л., Коэффициент самооблучения ленты Мёбиуса заданной
формы, Изв. АН СССР, сер. Энергетика и транспорт, № 4, 104—107
(1967).
47. Соммерс Р. Д., Грир Н. Т., Угловой коэффициент излучения для торои-
да: сравнение метода Эккерта и прямого расчета, Труды амер. о-ва инж.-
мех., сер. С, Теплопередача, 91, № 3, 185—186 (1969).
48. Toups К. A., A General Computer Program for the Determination of
Radiant Interchange Configuration and Form Factors, Confac-I, Rept
SID-65- 1043-1, North American Aviation, Inc. (NASA CR-65256), Oct.
1965.

Приложение В
НЕКОТОРЫЕ УГЛОВЫЕ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
I-W
'/V"
dAi
-dA.
Площадка dAi бесконечно малой
ширины и любой длины и бесконечно
длинная полоса dA% бесконечно
малой ширины, образующая линия
которой параллельна dAi
dFdi..(
d2 =
СОЗф , 1 , , . ч
—^-dq> = -^d(sm^>)
Площадка dAi бесконечно малой
ширины и любой длины и любая
цилиндрическая поверхность А2,
образованная бесконечно длинной линией,
перемещающейся параллельно самой
себе и параллельно плоскости dA±
1
^di-2 = -2 (sin фг — sin ф!)
Полоса конечной длины Ъ и
бесконечно малой ширины и бесконечно
узкая полоса такой же длины,
образованная параллельной линией
dF<u-d%--
cos Ф . х Ь
— а ф arctg —
Элемент плоскости dAi и
параллельный ему плоский прямоугольник;
нормаль к элементу проходит через
угол прямоугольника
г-1.

Приложение В
Продолжение табл. приложения В
Fd
1-2 =
лУ
[VT+
У2 arctg
Элементарная полоса и
прямоугольник, плоскость которого
параллельна плоскости полосы; полоса
расположена вдоль одной из сторон
прямоугольника
l/l + У2
-arctg X-
XY
arctg:
"l/l + X2 T/l + X2
Fdl-2Z
;i[arct*'
Элемент плоскости dAi и
прямоугольник, расположенный в плоскости,
перпендикулярной элементу
У
Х- а
Y ~\/X* + Y*
arctg
У=-
1 ъ •
УХ2 + У2
Элементарная полоса dA\ и
прямоугольник, расположенный в
плоскости, перпендикулярной полосе
х-т>
У =
Ъ •
1 Г 1 У г
^i-2 = —(arctgT + Tln|_
УХ2 + уа
arctg
У2(Х2 + У2 + !) П
(У2+1)(Х2+У2) J~~
1 Л
УХ2+уа /

Приложение В 889
Продолжение табл. приложения В
8
9
—т — "
!-Аг
U-W-+-I
Л
h
j
У
А,
-•—а—«-
Аг^/
t
I
Две бесконечно длинные
параллельные полосы одинаковой конечной
ширины, расположенные друг против
друга
я=А,
w
Одинаковые параллельные
расположенные друг против друга
прямоугольники
а Ь
с с
^1-2 =
ЯХУ
-XarctgX —У arctgF |
+ Y l/l + X2 arctg
Vi+x2
ю
ii
ГКА2
h
L
h К
П Г90(
Две бесконечно длинные пластины
равной конечной ширины w,
имеющие одну общую сторону и
расположенные под углом а друг к другу
^1-2 = ^2-1=1 ~sin у
Две бесконечно длинные пластины
разной ширины h и w, имеющие одну
общую сторону и расположенные
перпендикулярно друг другу
я=А,
^1-2 = j [l + И- Vl + №~]

890
Приложение В
Продолжение табл. приложения В
12
Два прямоугольника конечных
размеров одинаковой длины, имеющие
одну общую сторону и
расположенные перпендикулярно друг другу
И h
Я==7'
W = -
W I '
*-вШ (W arctg W+H arct^ 4~ V^ + ^arctg VE^— +
1_ f г(1+РР2)(1+Я2ПГ ^(1+^2+Я2) -|1У»ГЯ»(1 + Я» + ТУ«)1Н2^
4*4m\L 1+РР2 + Я2 Л(1 + ^2)(Р^2+Я2)] 1_(1 + Я2)(Я2+^2)] /]
13
14
15
■dA,
~*&
/■А,
^>
7 ~
а
-dA,
Бесконечно длинная замкнутая
полость, образованная тремя плоскими
поверхностями
Ai-\-A2—A3
^i-2 = "
2Ai
Элемент плоскости dAi и круглый
диск, расположенный в плоскости,
параллельной элементу; нормаль
к элементу проходит через центр
диска
г2
Элемент плоскости dAt и круглый
диск, расположенный в плоскости,
параллельной элементу
а а *
Я =
£ = 1+Я2+Я2,
- 1 /, 1+Я2-Я2\

Приложение В 891
Продолжение табл. приложения В
гЩ
п
1
h
/-А,
c?s
f-
1
\
у- А,
i_/'dA*
|~- х-
Г
*^.
►
Элемент плоскости <L4i и круглый
диск; плоскости, в которых лежат
элемент и диск, пересекаются под
углом 90°
л-4. *■
г
Т'
Элемент плоскости d4i и эллипс
в плоскости, параллельной элементу;
нормаль к элементу проходит через
центр эллипса
г — а^
dl-2~ У(Д2 + я2) (Ла+&2)
Параллельные круглые диски,
центры которых находятся на одной
нормали
I? Г1 7? — Г2
Х = 1
/„-К»-/^*(*)']
Элементарная полоса dA2 любой
длины и бесконечно длинный цилиндр
г
^d2-i—* J£2_J_y2

892
Приложение В
Продолжение табл. приложения В
- dA,
"*90° /-А2 _^с
Элемент любой длины на поверхности
цилиндра и бесконечно протяженная
плоскость
1
^di-2 = y(l+COS(p)
Элемент плоскости dA± и прямой
круговой цилиндр конечной длины I
и радиусом г; нормаль к элементу
проходит через один торец цилиндра
и перпендикулярна оси цилиндра
Г-1 И h
X = (i + H)*+L\
Y = {i-H)2+L\
Fdl-2 = ——
= J_ arctg—4=+± ГУ-**) „ctg-i/ШЕИ-
Бесконечно длинная плоскость
конечной ширины и параллельный ей
бесконечно длинный цилиндр
**-«=Т=Т [«ctgl-arctg-f-]
Бесконечно длинные параллельные
цилиндры одинакового диаметра
Х=1 +
2г
+arcsin(-j-) — xl

Приложение В 893
Продолжение табл. приложения В
24
2Ъ
\гФ
\Г
-"V
>
Бесконечно длинные концентрические
цилиндры
Два концентрических цилиндра
одинаковой длины
Л = £а+Л2 —1,
JB = L2-i?2 + l>
'«-i-lBff {«coos *-^[У(Л+2)*-(2ЯР arccos (А) +
+ fiarcsin(-i-)-^-]},
*)-
и 1 , 2 + / 2Я/Л2
^2-2 = 1-^+^-arctgf-^T
Ь_ Г УШ+^arC4in Г4(Л2_1) + (1/2/Л2)(Л2_2)-|_
~< dreeing ^2+4(i?2_-l) J
2я# \~ Z 0i"L Zra+4"(i?2 —1)
_m,ln(J^)+i(V«|±2-,)}
26
где для любого аргумента £
—— <arcsing<y ,
О <; arccos g <; я
Два кольцевых элемента на
внутренней поверхности прямого кругового
цилиндра
Х =
2г '
—[-ifSr]«.

894
Приложение В
Продолжение табл. приложения В
.-А,
ЧА2
Кольцевой элемент dAx на
внутренней поверхности прямого кругового
цилиндра и круглый диск Л2 на Т0Р~
це цилиндра
Х =
2г '
Fdl-2
Х2+Т
УХ2+1
-X
Сфера радиусом г4 и "диск радиусом
г2; нормаль, проведенная из центра
диска, проходит через центр сферы
'1-2
-тО
Vi+дг
Сфера и сектор диска; нормаль,
проведенная из центра диска, проходит
через центр сферы
Ла=
г»
Т'
р"=&(1-утщ)
Сфера и сегмент диска
Л-*=
1 arccos (S/R2)
8 2яуг+д|
1 . (1—£2)Д2_ 25а
4JTаГС8Ш (1+5*)/Ц

Приложение В 895
Продолжение табл. приложения В
Концентрические сферы
'—'-(*)
Бесконечно малые элементы
поверхности или площадки конечных
размеров на внутренней поверхности
сферической полости
^di-2 = ^1-2 =
4nr*

Приложение Г
РАДИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
МАТЕРИАЛОВ
Приведенные ниже таблицы интегральных степеней черноты
и поглощательных способностей относительно падающего
солнечного излучения удобны при решении практических задач
и с их помощью можно судить об ожидаемых значениях того
или иного коэффициента. Как указывалось в гл. 5, многие
факторы, такие, как шероховатость поверхности, наличие на ней пленки
окислов и пр., могут оказывать существенное влияние на
радиационные свойства материала. При составлении таблиц не делались
попытки подробно описать состояние образцов материала.
Поэтому приведенные здесь данные можно рассматривать лишь как
приближенные значения коэффициентов. Более подробную
информацию о радиационных свойствах материалов, содержащую
описание состояния образцов и результаты исследований,
заимствованные из многих источников, читатель может найти в работах
[1, 2, 3]. Некоторая дополнительная информация содержится
также в работе [4]. Как следует из этих работ, значения
коэффициентов для некоторых материалов, определенных разными
экспериментаторами, иногда существенно различаются между собой.
Интегральная степень черноты металлов в направлении нормали
Металл
Алюминий
тщательно полированный
блестящая фольга
полированный листовой
сильно окисленный
Висмут полированный
Вольфрам
чистый
нить накала
нить накала
Железо
листовой
электролитическое, тщательно
ванное
полиро-
Температура
поверхности, К1)
477-866
294
373
366-811
353
311-811
300
3320
311-533
е;
0,038-0,06
0,04
0,095
0,20-0,33
0,34
0,03—0,08
0,032
0,39
0,05-0,07

Приложение Г 897
Продолжение таблш приложения Г
Металл
полированное
сразу же после обработки наждачной
бумагой
сварочное железо, полированное
чугун сразу же после обработки
листовое железо, покрытое красной
ржавчиной после травления кислотой
чугун, окисленный при 866 К
чугун, имеющий шероховатую сильно
окисленную поверхность
Золото
тщательно полированное
полированное
Латунь
тщательно полированная
полированная
матовая
окисленная
Магний полированный
Медь
тщательно полированная
полированная
шабреная блестящая
слегка полированная
окисленная до черноты
Молибден
полированный
полированный
полированный
Нержавеющая сталь
инконель X полированная
инконель В полированная
301 полированная
310 полированная
316 полированная
Температура
поверхности, К 1)
700-
311
311-
311
293
477-
311-
-755
-533
-866
-533
366—866
403
533-644
366
322-
477-
311-
311
311-
311
311
311
311-
811-
2760
89—
89—
297
1089
477-
-622
-811
-533
-533
-533
-1647
755
755
-1310
е;
0,14-
0,24
0,28
0,44
0,61
0,64-
0,95
0,018
0,018
0,028
0,09
0,22
0,60
0,07-
0,02
0,04-
0,07
0,15
0,78
0,05-
0,10-
0,29
0,19-
0,19-
0,16
0,39
0,24-
-0,38
-0,78
-0,035
-0,031
-0,13
-0,05
-0,08
-0,18
-0,20
-0,22
-0,31

898 Приложение Г
Продолжение табл. приложения Г
Металл
Никель
электролитический
технически чистый, полированный
осажденный электролитическим способом
на железо, неполированный
листовой, окисленный при 866 К
окись никеля
Олово
листовое полированное
блестящее луженое железо
Платина
электролитическая
полированная листовая
Ртуть неокисленная
Свинец
полированный
шероховатый неокис ленный
окисленный при 866 К
Серебро полированное
Сталь
полированная листовая
полированная листовая
мягкая полированная
листовая с окалиной, образующейся при
прокатке
листовая с шероховатым слоем окисла
Тантал
Хром полированный
Цинк
полированный
оцинкованные листы, достаточно
блестящие
серый окисленный
Температура
поверхности, К 1)
311-
500-
293
472-
922-
307
297
533-
500-
277-
311-
311
311
311-
89-
225-
533-
294
294
1647-
311-
311—
311
294
-533
-650
-872
-1533
-811
-900
-366
-533
-811
255
-422
-922
-2760
1366
811
е'п
0,04-
0,07-
0,11
0,37-
0,59-
0,05
0,043
0,06-
0,054-
0,09-
0,06-
0,43
0,63
0,01-
0,07-
0,08-
0,27-
0,66
0,81
0,2-
0,08
0,02-
0,23
0,23-
-0,06
-0,087
-0,48
-0,86
-0,064
-0,10
-0,104
-0,12
-0,08
-0,03
-0,08
-0,14
-0,31
-0,3
-о,4а
-0,05
-0,28
1) В том случае, когда указываются интервалы температур и степеней черноты,,
можно использовать линейную интерполяцию этих величин.

Приложение Г
899
Интегральная степень черноты диэлектриков в направлении
нормали
Диэлектрик 1
Асбест
бумага
картон
Бетон шероховатый
Бумага
белая
рубероид
Вода (глубокая)
Гипс
Дерево
дуб строганый
бук
Карбид кремния
Кирпич
белый огнеупорный
шамотный
шероховатый красный
Краска
масляная, всех цветов
лаковая, тускло черная
Лед -
гладкий
шероховатые кристаллы
Мрамор белый
Окись алюминия на инконеле
Окись магния огнеупорная
Рокайд А на молибдене
Сажа от свечи
Слюда
Фарфор глазурованный
Шифер
Эбонит
Температура
поверхности, К1)
311
311
311
311
311
273-
311
294
343
422-
1366
1256
311
373
311-
273
273
311
811—
422-
389-
366-
311
294
311
293
-373
-922
-366
1366
755
1089
533
е;
0,93
0,96
0,94
0,96
0,91
0,96
0,91
0,90
0,94
0,83—0,96
0,29
0,75
0,93
0,92-0,96
0,96-0,98
0,966
0,985
0,95
0,65-0,45
0,69-0,55
0,79-0,60
0,95
0,75
0,92
0,67-0,80
0,92
1) В том случае, когда указываются интервалы температур и
степеней черноты, можно использовать линейную интерполяцию этих величин.

900
Приложение Г
Интегральная поглощательная способность металлов
по отношению к солнечному излучению, падающему по нормали
на поверхность при 294 К
Металл
Алюминий
тщательно полированный
полированный
Вольфрам тщательно полированный
Железо оцинкованное
Медь
тщательно полированная
чистая
тусклая
Нержавеющая сталь 301, полированная
Никель
тщательно полированный
полированный
электролитический
Серебро тщательно полированное
Диэлектрик
Асфальт тротуарный, очищенный от пыли
Бумага белая
Войлок черный
Глина
Гравий
Земля (вспаханное поле)
Кирпич красный
Краска
алюминиевая
масляная цинковая, белая
масляная светло-зеленая
масляная светло-серая
масляная черная на оцинкованном железе
Листья зеленые
Мрамор белый
Окись цинка
Сажа угольная
Черепица цементная кровельная
неокрашенная
коричневая
черная
Шифер голубовато-серый
«п
0,14
0,29
0,37
0,38
0,18
0,25
0,64
0,37
0,15
0,36
0,40
0,07
ап
0,93
0,28
0,82
0,39
0,29
0,38
0,75
0,55
0,30
0,50
0,75
0,90
0,71—0,79
0,46
0,15
0,95
0,73
0,91
0,91
0,88

Приложение Г 901
Литература
1« Gubareff G. G., Janssen J. Е., Torborg R. Н., Thermal Radiation
Properties Survey, 2d ed., Honeywell Research Center, Minneapolis-Honeywell
Regulator Co., Minneapolis, 19601
2. Wood W. D., Deem H. W., Lucks C. F., Thermal Radiative Properties,
Plenum Press, Plenum Publishing Corporation, New York, 1964.
3. Touloukian Y. S., (ed.), Thermophysical Properties of High Temperature
Solid Materials, Thermophysical Properties Research Center, Purdue
University, The Macmillan Co., New York, 1967.
4. Свет Д. Я., Температурное излучение металлов и некоторых веществ,
изд-во «Металлургия», М., 1964.

Приложение Д
РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ
В ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ ТЕЛ
ПО МЕТОДУ ГЕБХАРТА
В гл. 8 был приведен расчет теплообмена излучением в
замкнутой системе диффузно-серых тел, выполненный по методу
Поляка. Гебхарт предложил несколько иной метод, который мы
вкратце рассмотрим ниже. Более подробное описание этого метода
дается в работах [1—3]. Ценность метода Гебхарта заключается
в том, что с его помощью можно вычислить коэффициенты,
определяющие долю испускаемого поверхностью излучения, которая
поглощается другой поверхностью, достигая ее всеми возможными
путями. Эти коэффициенты могут оказаться весьма полезными
при решении некоторых типов задач. В конце вывода показано,
что результаты, полученные методами Гебхарта и Поляка,
согласуются между собой.
Рассмотрим, как и в гл. 8, замкнутую систему тел, состоящую
из N диффузно-серых поверхностей с теми же ограничениями,
которые были приняты в разд. 8.1.2, Для некоторой произвольной
поверхности Ak поток результирующего излучения равен потоку
собственного излучения этой поверхности за вычетом потока
излучения от всех источников падающего излучения,
поглощенного этой поверхностью. Поток собственного излучения равен
Ah^bPTi. Пусть Gjk — доля потока излучения поверхности Ajy
которая достигает поверхности Ak и поглощается ею. При этом
имеются в виду все пути достижения излучением поверхности Ak:
прямой путь, однократное отражение, многократные отражения.
Поэтому величина AjdjOT)Gjh будет представлять собой поток
излучения, испускаемого Aj и поглощаемого Ah. Уравнение
теплового баланса для Ak можно записать тогда в следующем виде:
Qk = Akekon - (А&аТфи + A2e2oT$G2k + . .. + A£pT*GJk +...
... +AkekoWkk+ ...+ AN£NonGNk) =
= AhekoTi- 2 A£pT*Gik. (Д.1)
Величина Gkh обычно не равна нулю, так как даже в случае
плоской или выпуклой поверхности часть энергии излучения
поверхности возвращается к ней вследствие отражения от других
поверхностей. Уравнения типа (Д.1) можно записать для каждой

Приложение Д
903
поверхности. Они будут связывать величину Q для каждой
поверхности с температурами поверхностей, образующих
замкнутую систему. Необходимо теперь найти коэффициенты G.
Величина Gjk представляет собой долю потока излучения,
испускаемого поверхностью А^ которая достигает поверхности Ak
и поглощается ею. Полный поток излучения поверхности Aj
равен AfaaT). Часть этого потока, равная 4^аГ^^ь, падает
прямо на Ak и поглощается ею (для серой поверхности степень
черноты б равна поглощательной способности). Остальная часть
потока излучения поверхности Aj, достигающая Ah, претерпевает
вначале однократное отражение. Поток излучения поверхности
Aj, который достигает произвольной поверхности Ап и затем
отражается, равен AfcjOT)Fj_npn. Тогда Gnk определяет долю
потока излучения, которая достигает поверхности Ak и
поглощается ею. Весь поглощенный поверхностью Ak поток излучения
поверхности Aj равен
A£flT)F]-r£k + (Aj^oT^Fj,ipiGik + AJejoTjF^2p2G2k + ...
... + А£рТ№-кр&кк +...+ AjepTjFj-NPnGsk).
Разделим этот поток излучения на полный поток излучения
поверхности Aj, чтобы получить поглощенный поток в
относительных единицах:
Gjk = Fj-k€k + Fj-iPi^ik + Fj_2p2G2h + • • •
• • • + Fj-kPhGkk + . . . + Fj-nPnGnk-
Придавая / все значения от 1 до N, получим следующую систему
уравнений:
Gik = F^kdk + Fi-iPiGik + F\-2p2G2k +... + •••
+ Fi-kPkGkk+ •. • +^i-ivPjv^ivA»
G2k = F2-k(zk + F2^ipiGik -f- F2„2p2G2k + •. •
... + F2-kPhGkh + • • • + F2-NpNGNk, (Д.2)
Gnu = FN_k£k + FN-\PiGik + FN_2p2G2k + • • •
• •. + FN-kPhGkk + ... + FN-NpNGNk.
Систему уравнений (Д.2) можно решить относительно Glk,
G2hi • • •» Gnk- Уравнение (Д.1) связывает Qh и температуры
поверхностей. Индекс к в уравнениях (Д.1) и (Д.2) может
соответствовать любой поверхности в замкнутой системе.
В конце разд. 8.3.2 упоминалось о том, что для получения
значения каждого Q как взвешенной суммы величин Г4 можно
воспользоваться методом обращения матрицы применительно
к уравнению (8.19). Коэффициенты, полученные с помощью

904 Приложение Д
обращения матрицы, соответствуют коэффициентам в
уравнении (Д.1), которые умножены на Г4* Следовательно, метод,
описанный здесь, и метод, представленный в гл. 8, дают одинаковые
результаты х).
Литература
1. Gebhart В., Unified Treatment for Thermal Radiation Transfer Processes —
Gray, Diffuse Radiators and Absorbers, paper № 57-A-34 ASME, December
1957.
2. Gebhart В., Heat Transfer, McGraw-Hill, New York, 1961, 117—122.
3. Gebhart В., Surface Temperature Calculations in Radiant Surroundings of
Arbitrary Complexity — for Gray, Diffuse Radiation, Int. /. Heat Mass
Transfer, 3, № 4, 341—346 (1961).
г) Метод, описанный в приложении Д, аналогичен широко
используемому в советской технической литературе методу разрешающих угловых
коэффициентов, особенно подробно разработанному в трудах Ю. А. Сури-
нова. Коэффициент Gtj отличается от разрешающего углового коэффициента
тем, что включает поглощательную способность поверхности.— Прим. ред*

Приложение Е
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ИНТЕГРОЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
В этом приложении приводятся формулы для вычисления
некоторых интегроэкспоненциальных функций. Дополнительные
соотношения содержатся также в работах [1—3].
Интегроэкспоненциальная функция п-то порядка при
положительном действительном аргументе определяется выражением
1
Еп[(х) = J |i"-* exp (^) ф. (Е. 1)
О
Этот интеграл будет рассматриваться здесь только для случаев
положительных значений п. Другой вид интеграла:
с»
Я»(*)= $тк-ехр(-а*)Л. (Е.2)
1
Дифференцируя (ЕЛ) с учетом знака интеграла, получим
рекуррентное соотношение
d 1 (Е-3>
— £t (*)=—-ехр(—я).
Другое рекуррентное соотношение получается путем
интегрирования
пЕп+1 (х) = ехр (—х) — хЕп (я), п^\. (Е.4)
В результате интегрирования получаем также выражение
^En(x)dx = -En+1(x). (Е.5)
Используя уравнение (Е.4), все интегроэкспоненциальные
функции можно привести к интегроэкспоненциальной функции
первого порядка
1
Е±(х)=$ jx-iexp^)^. (Е.6)

906
Приложение Е
Таблица Е-1
Значения интегроэкспоненциальных функций Еп(х) [2]
X
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
О,08
0,09
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
tfi(x)
оо
4,0379
3,3547
2,9591
2,6813
2,4679
2,2953
2,1508
2,0269
1,9187
1,8229
1,2227
0,9057
0,7024
0,5598
0,4544
0,3738
0,3106
0,2602
0,2194
0,1464
0,1000
0,0695
0,0489
0,0348
0,0249
0,0180
0,0130
0,0095
0,0070
Еъ (х)
1,0000
0,9497
0,9131
0,8817
0,8535 |
0,8278
0,8040
0,7818
0,7610
0,7412
0,7225
0,5742
0,4691
0,3894
0,3266
0,2762
0,2349
0,2009
0,1724
0,1485
0,1035
0,0731
0,0522
0,0375
0,0272
0,0198
0,0145
0,0106
0,0078
0,0058
Яз <*)
0,5000
0,4903
0,4810
0,4720
0,4633
0,4549
0,4468
0,4388
0,4311
0,4236
0,4163
0,3519
0,3000
0,2573
0,2216
0,1916
0,1661
0,1443
0,1257
0,1097
0,0786
0,0567
0,0412
0,0301
0,0221
0,0163
0,0120
0,0089
0,0066
0,0049
#4 (зс)
0,3333
0,3284
0,3235
0,3188
0,3141
0,3095
0,3050
0,3006 |
0,2962
0,2919
0,2877
0,2494
0,2169
0,1891
0,1652
0,1446
0,1268
0,1113
0,0978
1 0,0861
0,0628
0,0460
0,0339
0,0250
0,0185
0,0138
0,0103
0,0077
0,0057
0,0043
ЕЪ{х)
0,2500
0,2467
0,2434
0,2402
0,2371
0,2339
0,2309
0,2278
.0,2249
0,2219
0,2190
0,1922
0,1689
0,1487
0,1310
0,1155
0,1020
| 0,0901
0,0796
0,0705
0,0520
0,0385
0,0286
0,0213
0,0159
0,0119
0,0089
0,0067
0,0050
0,0038

Приложение Е 907
Другой вид функции Ег (х):
[оо с»
Ei (ж) = j Г1 ехр (— at) dt = j Г1 exp (— *) Л. (Е.7)
При ж = 0 интегроэкспоненциальные функции равны
(Е.8)
£™(°) = 1Г=Т' п>2'
Я, (0) = + оо.
При больших значениях х можно использовать
асимптотическое разложение в ряд
Еп(х)=Щ^[1-^+ n{n+i) _"(" + *)("+2)+ , , .j. (Е>9)
Разложения в ряд имеют вид
Е±(х)= — 7 — Ых + х — JL. + .JL- —
з
^■(*) = 1 + (Т-1 + 1п*)«--^ + -йг--..., (ЕЛО)
где у = 0,577216 — постоянная Эйлера. Общим выражением
разложения в ряд, приведенным в работе [3], является следующее:
оо
то=0
(m^n_ 1)
п-1
где ф (1) = — v и ф (тг) = — 7 + 3 i » п > 2-
т=1
Таблицы значений Еп (х) имеются в работах [2, 3].
Представленная здесь табл. Е-1 содержит сокращенный набор значений
Еп (х).
Литература
1. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953,
2. Kourganoff V., Basic Methods in Transfer Problems, Dover Publications,
Inc., New York, 1963.
3. Abramowitz M., Stegun I. A. (eds.), Handbook of Mathematical Functions
with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, Appl. Math., Ser. 55,
National Bureau of Standards, 1964.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Монографии
1*. Адрианов В. Н., Основы радиационного и сложного теплообмена, изд-во
«Энергия», М., 1972.
2*. Блох А. Г., Основы теплообмена излучением, ГЭИ, М., 1962.
3*. Блох А. Г., Тепловое излучение в котельных установках, изд-во
«Энергия», Л., 1967.
4*. БугерП., Оптический трактат о градации света, Изд-во АН СССР, М.„
1950.
5*. Гершун А. А., Световое поле, ОНТИ, 1936.
6*. Друде П., Оптика, ОНТИ, М., 1935.
7*. Иванов В. В., Перенос излучения и спектры небесных тел, изд-во
«Наука», М., 1969.
8*. Ключников А. Д., Иванцов Г. П., Теплопередача излучением в огнетех-
нических установках, изд-во «Энергия», М., 1970.
9*. Конаков П. К., Филимонов С. С, Хруста л ев Б. А., Теплообмен в
камерах сгорания паровых котлов, изд-во «Речной транспорт», М., 1960.
10*. Кутателадзе С. С, Основы теории теплообмена, изд-во «Наука»,
Новосибирск, 1970.
11*. Ландсберг Г. С, Оптика, ГИТТЛ, М., 1952.
12*. Латыев Л. Им Петров В. А., Чеховской В. Я., Шестаков Е. Н., Излу-
чательные свойства твердых материалов, изд-во «Энергия», М., 1974.
13*. Невский А. С, Лучистый теплообмен в печах и топках, изд-во
«Металлургия», М., 1971.
14*. Петров В. А., Излучательная способность высокотемпературных
материалов, изд-во «Наука», М., 1969.
15*. Петухов Б. С, (ред.), Теория теплообмена. Терминология, вып. 83,
изд-во «Наука», М., 1971.
16*. Планк М., Теория теплового излучения, ОНТИ, Л-М., 1935.
17*. Сапожников Р. А., Теоретическая фотометрия, изд-во «Энергия», Л.,
1967.
18*. Соболев В. В., Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет,
Гостехиздат, М., 1956.
19*. Соколов А. В., Оптические свойства металлов, ГИФМЛ, М., 1961.
20*. Спэрроу Э. М., Сесс Р. Д., Теплообмен излучением, изд-во «Энергия»,
Л., 1971.
21*. Физическая оптика, Терминология, вып. 74, изд-во «Наука», 1968.
22*. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953.
23*. Шифрин К. С, Рассеяние света в мутной среде, ГИТТЛ, М., 1951.
24*. Шорин С. Н., Теплопередача, изд-во «Высшая школа», М., 1964.
25*. Boussinesq J., Theorie analytique de la chaleur, 1, Paris, 1901.
26*. Gerbel M., Die Grundgesetze der Warmestrahlung und ihre Anwendung
auf Dampfkessel mit Innenfeuerung, Berlin, 1917.
27*. Herman R. A., A treatise on geometrical optics, Cambridge, 1900.
28*. Hottel H. C, Saroiim А. Т., Radiative Transfer, McGraw-Hill, N. Y., 1967*
29*. Lambert J. H., Photometria sive de mensura et gradibus luminis, colorum
et umbrae, Augsburg, 1760.
30*. Love T. J., Radiation Heat Transfer. С. E. Merril. Publ. Co., Columbus,
Ohio, 1968.
31*. Wiebelt J. A., Engineering radiation heat transfer, Holt., Reinch.,
N. Y., 1966.
32*. Wiener Ch., Lehrbuch der darstellenden Geometrie, 1, Leipzig, 1883.

Дополнительная литература
909
Статьи
33*. Власов О. Е., Теплопередача излучением с отражением от обмуровки,
Изв. ВТИ, вып. 1 (1929).
34*. Гершун А. А., Гуревич М. М., Световое поле, Журнал Русского физико-
химического общества, 60, 355 (1928).
35*. Гершун А. А., Теория светового поля, Электричество, № 10, 5 (1947).
36*. Гэ Синь-ши, Влияние селективности характеристик поглощающей
поверхности на к.п.д. гелиоустановки, Теплоэнергетика, выи. 2,
Использование солнечной энергии, Изд-во АН СССР (I960).
37*. Детков С. П., Виноградов А. В., Обобщенные угловые коэффициенты
для зон щелевого канала с поглощающей средой, Изв. ВУЗов, Энергетика,
№ 10, 105—109 (1964).
38*. Детков СП., Степени черноты объемов и угловые коэффициенты в
системах с реальной средой, ИФЖ, 21, № 2, 205—212 (1971).
39*. Кирпичев М. В., Метод поточной алгебры впервые разработан,
опубликован и нашел практическое применение в Советском Союзе, Изв. АН
СССР, ОТН, № 4, 636—640 (1951).
40*. Кузнецов Е. С, Дифференциальные уравнения переноса лучистой
энергии в движущейся среде, Изв. АН СССР, сер. География и
геофизика, 1 (1941).
41*. Микк И. Р., Применение обобщенных угловых коэффициентов к расчету
лучистого теплообмена, ТВТ, 1, № 1, 128—135 (1963).
42*. Микк И. Р., К расчету неизотермического объемного излучения, Изв.
АН Эстонской ССР, сер. Физика—математика, 22, № 3, 296—303
(1973).
43*. Невский А. С, Уравнения движения лучистой энергии и подобие
излучающих систем, ЖТФ, 10, № 18 (1940).
44*. Поляк Г. Л., Алгебра однородных потоков, Известия Энергетического
института им. Кржижановского АН СССР, т. 3, вып. 1—2, 1935.
45*. Поляк Г. Л., Анализ теплообмена излучением между диффузными
поверхностями методом сальдо, ЖТФ, 5, вып. 3, 436—466 (1935).
46*. Поляк Г. Л., Уравнения лучистого теплообмена при наличии луче-
поглощающей и рассеивающей среды, составленные на результативное
излучение, Доклады АН СССР, 27, № 1 (1940).
47*. Поляк Г. Л., Лучистый теплообмен тел с произвольными индикатрисами
отражения поверхностей, сб. «Конвективный и лучистый теплообмен»,
Изд-во АН СССР, М., 1960, 118—131.
48*. Поляк Г. Л., Адрианов В. Н., Алгебра резольвентных потоков
лучистого обмена, ИФЖ, 5, № 7, (1962).
49*. Попов Ю. А., Об учете рассеяния в процессах лучистого теплообмена,
ИФЖ, 13, № 4, 496 (1967).
50*. Русин С. П., Анализ радиационного теплообмена в неизотермических
полостях с помощью интегральных уравнений, ИФЖ, 26, № 2, 208—
214 (1974).
51*. Суринов 10. А., Лучистый теплообмен при наличии поглощающей и
рассеивающей среды, Изв. АН СССР, ОТН, № 9, 1331—1352, то же, № 10,
1455—1471 (1952).
52*. Суринов Ю. А., Методы определения и численного расчета локальных
характеристик поля излучения, Изв. АН СССР, сер. Энергетика и
транспорт, № 5 (1965).
53*. Суринов Ю. А., Интегральные уравнения теории переноса излучения
в анизотропно рассеивающей среде (для обобщенной постановки
пространственной задачи), ТВТ, № 3 (1968).
54*. Суринов Ю. А., Исследование разрешающей поглощательной
способности поглощающей и анизотропно рассеивающей среды, Изв. АН СССР,
сер. Энергетика и транспорт, № 3, (1972).

910
Дополнительная литература
55*. Фок В. А., Освещенность от поверхностей произвольной формы, Труды
ТОЙ, 3, вып. 28 (1924).
56*. Хвольсон О. Д., Основы математической теории внутренней диффузии
света, Изв. Петербургской Академии наук, 33 (1890).
57*. Хрустал ев Б. А., Методы исследования радиационных свойств
поверхностей твердых тел, Сб. «Лучистый теплообмен (методы и приборы
исследования лучистого теплообмена)», Калининградский
государственный университет, 1974, 5—51.
58*. ШоринС. Н., Поляк Г. Л., Колченогова И. П., Адрианов В. Н.,
Ермолаев О. Н., Световое моделирование лучистого теплообмена, сб.
«Теплопередача и тепловое моделирование», Изд-во АН СССР, М., (1959), 365.
59*. Crofton М. W., On the theory of local probability, Trans, of the Royal Soc.
of bond., 158—181 (1868).
60*. Euler L., Reflexions sur les divers degres de lumiere du soleil et autres,
corps celestes», Hist, de Г Acad, des Scinces, annee, 1750, 280, Berlin,
1752.
61*. Judd D. В., Terms, Definitions, and Symbols in Reflectometry,/. Opt,
Soc. Amer., 57, № 4 (1967).
62*. Lambert J. H., Sur la partie photometrique de tout Tart de peintre, Histo-
rie de l'Acad. Royal, annee 1768, 80, Berlin, 1770.
63*. Moon P., Spencer D. E., Theory of photic field, Journ. of the Franklin
Inst., 33, 255 (1953).
64*. Yamauti Z., The light flux distribution of system of interreflecting
surfaces, Journ. of the Opt. Soc. Amer., 13, 561 (1926).
65*. Yamauti Z., Theory of field of illumination, Res. of the Electritech. Lab.
Tokyo, № 339, 1932.

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ *>
Терминология по теплообмену излучением до сих пор не
стандартизирована ни в США, ни в СССР, поэтому авторы книги
посвятили обсуждению английских терминов специальный раздел»
текст которого мы сочли целесообразным привести здесь.
В американской литературе «предпринималось много попыток
упорядочить терминологию теплообмена излучением. Полемика
велась по поводу окончания ivity, используемого для обозначения
различных радиационных характеристик материалов.
Национальное бюро стандартов США намерено стандартизировать
терминологию, и в его публикациях это окончание сохранено для
обозначения свойств оптически гладких материалов с
незагрязненными поверхностями (emissiuity — излучательная способность,
reflectivity — отражательная способность и т. д.), в то время
как окончание апсе используется для характеристик, полученных
экспериментально, когда необходимо оговорить состояние
поверхности (emittance — излучаемость, reflectance — отражаемость и т. д.).
В большинстве областей науки принято пользоваться
окончанием ivity для обозначения удельных свойств материала,
например electrical resistivity — удельное сопротивление, thermal
conductivity — коэффициент теплопроводности, diffusivity —
коэффициент диффузии. Окончание апсе применяется для обозначения
более общих свойств материалов, например electrical resistance —
электрическое сопротивление, conductance — проводимость. Мы
считаем нецелесообразным вводить два термина для обозначения
одного и того же понятия с той лишь разницей, чтобы использовать
один из них для выделения сугубо частного случая идеально
чистых веществ.
В связи с этим в тексте данной книги для обозначения
радиационных свойств непрозрачных материалов всегда применяется
окончание ivity независимо от того, относятся ли эти свойства
к идеально чистым поверхностям или же к некоторому
определенному состоянию поверхности. Окончание апсе можно сохранить
для обозначения более общих свойств, например излучаемости
(emittance) слоя воды, которая зависит от толщины слоя.
Использование полученных соотношений, конечно, не зависит от
принятой терминологии.
Заметим, что в английской литературе окончание апсе часто
используется для обозначения характеристик поверхностей,
определенных экспериментальным путем. В некоторых работах термин
*) Составлен Хрусталевым Б. А.

912
Словарь терминов
emittance используется для обозначения того понятия, которое
мы назвали поверхностной плотностью потока излучения или
силой излучения».
В терминологии по теплообмену излучением, принятой в СССР
115*], не выделяются термины для удельных и общих
характеристик материалов, а также для чистых веществ с идеально
гладкой поверхностью и технических материалов с шероховатой
поверхностью.
Для обозначения способности любых материалов испускать,
поглощать, отражать и пропускать излучение в русской
литературе рекомендуются термины: «степень черноты» *),
«поглощательная способность», или «поглощаемость», отражательная
способность, или «отражаемость», и «пропускательная способность»,
или «пропускаемость».
Следует иметь в виду, что терминология теории теплообмена
115*] охватывает не все приведенные в данном словаре русские
термины.
Ниже помещен словарь английских терминов, используемых
в данной книге, и соответствующих им русских терминов,
принятых в данном переводе.
Absorbing ability — поглощательная способность
Absorbing media — поглощающая среда
Absorption — поглощение
Absorption coefficient — коэффициент поглощения
Absorptivity — поглощательная способность
Albedo for single scattering — альбедо однократного рассдяния
(критерий Шустера)
Angle (configuration, shape, view) factor — угловой коэффициент
Angle incident — угол падения
Angle reflection — угол отражения
Angle refraction — угол_ преломления
Anisotropic scattering — неизотропное рассеяние
Apparent scattering area — кажущаяся площадь рассеяния
Attenuating media — ослабляющая среда
Band-energy approximation — приближение спектральных полос
Bidirectional spectral reflectivity (reflectance) — двунаправленная
спектральная отражательная способность
Bidirectional total reflectivity (reflectance) — двунаправленная
интегральная отражательная способность
х) Термин «степень черноты» принят в немецкой литературе. Кроме
него в русских изданиях используют термины «излучательная способность»,
или «излучаемость», что ближе соответствует переводу английских терминов.

Словарь терминов
913
Blackbody radiation — равновесное (тепловое) излучение,
(абсолютно) черное излучение
Bound-bound transition — связанно-связанный переход
Bound-free transition — связанно-свободный переход
Bremsstrahlung — тормозное излучение
Circumferential angle — азимутальный угол
Closed-form solution — аналитическое решение в виде
алгебраической функции (решение в замкнутом виде)
Cone angle — полярный угол
Complex refractive index — комплексный показатель
преломления
Conditional distribution function — условная функция
распределения
Configuration-factor algebra — алгебра угловых коэффициентов,
поточная алгебра
Crossed-string method — метод натянутых нитей
Cumulative distribution function — кумулятивная функция
распределения
Cutoff wavelength — пороговая длина волны
Dielectric constant — относительная диэлектрическая
проницаемость среды
Diffuse-gray surface — диффузно-серая поверхность
Diffuse spectral surface — диффузно-селективная поверхность
Diffusely reflecting surface — диффузно отражающая
поверхность
Directional spectral absorptivity (absorptance) — направленная
спектральная поглощательная способность
Directional spectral emissive power — направленная спектральная
сила излучения
Directional spectral emissivity (emittance) — направленная
спектральная степень черноты
Directional total absorptivity (absorptance) — направленная
интегральная поглощающая" способность
Directional total emissive, power — направленная интегральная
сила излучения
Directional total emissivity (emittance) — направленная
интегральная степень черноты
Directional-gray surface — направленно-серая поверхность
Directional-hemispherical spectral reflectivity (reflectance) —
направленно-полусферическая спектральная отражательная
способность

914
Словарь терминов
Directional-hemispherical total reflectivity (reflectance) —
направленно-полусферическая интегральная отражательная
способность
Directly emitted radiation — собственное излучение
Effective line width — эффективная ширина линии
Efficiency factor (of scattering) — коэффициент эффективности
(рассеяния)
Elastic scattering — упругое рассеяние
Electric intensity — напряженность электрического поля
Electrical permittivity — абсолютная диэлектрическая
проницаемость среды
Electrical permittivity of vacuum — электрическая
постоянная
Electrical resistivity — удельное электрическое сопротивление
Emission — собственное излучение (испускание)
Emission (emitting) coefficient—.коэффициент испускания
(излучения)
Emissive ability — излучательная способность
Emissive power — сила излучения, поверхностная плотность
потока излучения
Emissivity — степень черноты
Emitted radiation — собственное излучение
Emitting media — излучающая (испускающая) среда
Enclosure — замкнутая система тел, замкнутая полость
Energy flux — поверхностная плотность потока энергии
Energy rate — поток энергии
Exchange factor — разрешающий угловой коэффициент излучения,
обобщенный угловой коэффициент излучения
Extinction coefficient — показатель поглощения
Extinction mean free path — средняя длина свободного пробега
излучения в процессе его ослабления
Finite solid-angle band emissive power — поверхностная плотность
потока излучения в полосе спектра и ограниченном телесном
угле
Finite solid-angle spectral emissive power — спектральная
поверхностная плотность потока излучения в ограниченном телесном
угле
Finite solid-angle total emissive power — интегральная
поверхностная плотность потока излучения в ограниченном телесном
угле
Free-free transition — свободно-свободный переход

Словарь терминов
915
Frequency distribution of events — распределение частоты событий
«Full» half-width of the line — «полная» полуширина линии
Gas-gas direct exchange area — взаимная поверхность обмена
излучением между газом и газом
Gas-surface direct exchange area — взаимная поверхность обмена
излучением между газом и поверхностью
Geometric configuration factor — угловой коэффициент излучения
Geometric-mean absorptance — среднегеометрическая поглоща-
тельная способность
Geometric = mean beam length — среднегеометрическая длина
пути луча
Geometri6-mean transmittance — среднегеометрическая пропуска-
тельная способность
Geometrical absorption factor — геометрический коэффициент
поглощения (разность между взаимной поверхностью и
обобщенной взаимной поверхностью)
Geometrical transmission factor — геометрический коэффициент
пропускания, или обобщенная взаимная поверхность
Gray-body radiation — серое излучение
Hemispherical band emissive power — полусферическая
поверхностная плотность потока излучения в полосе спектра
Hemispherical-directional spectral reflectivity (reflectance) —
полусферически-направленная спектральная отражательная
способность
Hemispherical-directional total reflectivity (reflectance) —
полусферически-направленная интегральная отражательная
способность"
Hemispherical spectral absorptivity (absorptance) —
полусферическая спектральная поглощательная способность
Hemispherical spectral emissive power — полусферическая
спектральная поверхностная плотность потока излучения
Hemispherical spectral emissivity (emittance) — полусферическая
спектральная степень черноты
Hemispherical spectral reflectivity (reflectance) — полусферическая
спектральная отражательная способность
Hemispherical total absorptivity (absorptance) — полусферическая
интегральная поглощательная способность
Hemispherical total emissive power — полусферическая
интегральная поверхностная плотность потока излучения
Hemispherical total emissivity (emittance) — полусферическая
интегральная степень черноты

916
Словарь терминов
Hemispherical total reflectivity (reflectance) — полусферическая
интегральная отражательная способность
Imposed heat flux — подводимый тепловой поток
Incident mean (or modified Plank mean absorption coefficient) —
средний по падающему излучению (или модифицированный
по Планку) коэффициент поглощения
Incident radiation — падающее излучение
Incremental location — узел сетки
Increment size — шаг сетки
Inelastic scattering — неупругое рассеяние
Isotropic radiation — изотропное излучение
Isotropic scattering — изотропное рассеяние
Integrated absorption coefficient for single line — интегральный
коэффициент поглощения для .одиночной линии
Jump boundary condition — граничное условие со скачком
Lambert's cosine law — закон Ламберта
Line-shape parameter — параметр формы линии
Magnetic intensity — напряженность магнитного поля
Magnetic permeability — абсолютная магнитная проницаемость
среды
Magnetic permeability of vacuum — магнитная постоянная
Marginal distribution function — частотная (маргинальная)
функция распределения
Method electrical network analog — метод электроаналогии
Mirrorlike (specular) reflection — зеркальное отражение
Net radiation — результирующее излучение
Net-radiation method — метод сальдо
Normal emissivity — степень черноты в направлении нормали
Opaque body — непрозрачное тело
Optically roughness surface — оптически шероховатая
поверхность
Optically smooth surface — оптически гладкая поверхность
Optical thickness (opacity) — оптическая толщина
Outgoing radiation — эффективное излучение (исходящее
излучение)

Словарь терминов
917
Path length — длина пути излучения (луча)
Perfect emitter — идеальный излучатель
Phase function — индикатриса рассеяния (фазовая функция)
Plank mean absorption coefficient — средний коэффициент
поглощения по Планку
Plane of incidence — плоскость падения
Radiant energy density — объемная плотность энергии излучения
Radiant flux vector — вектор плотности потока излучения (вектор
излучения)
Radiation flux — плотность потока излучения
Radiation intensity — интенсивность излучения
Radiation leaving the surface — эффективное излучение
поверхности
Radiation slip boundary condition — граничное условие со
скольжением излучения
Radiative equilibrium — радиационное равновесие
Radiative properties — радиационные свойства
Radiative transfer — перенос излучения
Radiosity — плотность потока эффективного излучения
(кажущаяся яркость)
Ray-tracing technique — метод многократных отражений (метод
построения хода лучей)
Reciprocity — свойство взаимности
Reciprocity relation — соотношение взаимности
Reflected radiation — отраженное излучение
Reflectivity — отражательная способность
Scattering — рассеяние
Scattering coefficient — коэффициент рассеяния
Scattering cross section — сечение рассеяния
Scattering media — рассеивающая среда
Selective (spectral) surface — селективная поверхность
Separable kernel —'вырожденное (разделяющееся) ядро
Simple refractive index — показатель преломления
Solid angle — телесный угол
Source function — функция источника
Spectral emission — монохроматическое излучение
Spectral intensity — спектральная интенсивность излучения
Spectral radiant energy density — объемная плотность энергии
монохроматического излучения
Spectrally selective surface — спектрально-селективная
поверхность

918 Словарь терминов
Spontaneous emission — спонтанное (самопроизвольное)
излучение
Stimulated (induced) emission — индуцированное (вынужденное)
излучение
Surface-surface direct exchange area — взаимная поверхность
обмена излучением двух поверхностей
Total energy — интегральная энергия
Total intensity — интегральная интенсивность излучения
Total radiation — интегральное излучение
Transmissivity factor — пропускательная способность
Transparent media — прозрачная (пропускающая) среда
True absorption coefficient — истинный коэффициент поглощения
Unit-sphere method — метод сферы единичного радиуса
Vibration-rotation band — колебательно-вращательная полоса
Zoning method — зональный метод

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная диэлектрическая
проницаемость 105 , 106
— магнитная проницаемость 105 , 106
— температура 30
Абсолютно черное тело , закон
излучения Планка 30 — 32 , 829 — 838
(табл. А.5)
— — — — четвертой степени 37 , 45
— — — замкнутая * полость 21
— — — излучение в интервале длин
волн 39 , 825 , 829 — 838 (табл. А.5)
— — — — — ограниченном
телесном угле 29 , 30
— — — интегральная
интенсивность излучения 25 , 37
— — — исторический обзор 51 , 52
— — — максимальная
интенсивность излучения 38 , 39
— — — моделирование 46 , 47
— — — определение 19
— — — полость 46 , 47
свойства 20 — 23 , 47 — 51
— — — сила излучения в среде 44
— — — — — зависимость от
направления 21 , 26
— — — — — определение 26
— — — спектральное
распределение излучения 30 , 35 , 43 , 44 , 829 —
838 (табл. А.5)
Адиабатическая поверхность 356
Алгебра угловых коэффициентов
220 - 230
Альбедо рассеяния 775
Баланс энергии для газа 624
— — для диффузно-серой
поверхности 271
— — — поверхности со
свойствами , зависящими от длины волны
356 , 618
— — с учетом излучения и
теплопроводности 709
Больцмана постоянная 31 , 838
— распределение 579
Бора модель атома водорода 571
Брюстера угол 789 — 791
Бугера закон 463 , 750
Вариация 399
Вариационный метод 302
Введение в газ светящихся частиц
813
Вектор излучения 511
Взаимная поверхность обмена
излучением между газами и
поверхностью 669
— — — — — двумя газами 671
— — — — — поверхностью и
газом 671
— — пары тел 669
Вина закон излучения в сравнении
с законом Планка 34 (фиг. 2.7) ,
581
— — смещения 36
Водород , коэффициент поглощения
698 (фиг. 18.6)
— спектр испускания 468 (фиг. 13.7)
— спектральные линии 572 , 573
Водяной пар , излучение в полосе 605
(табл. 16.2) , 607 (табл. 16.3)
— — диаграммы степени черноты
643 , 644
Волна электромагнитная 106 — 114
Волновая модель излучения 14
— функция 574
Волновое уравнение 109 , 573 — 577
— число 31 , 32 , 568
Вольфрам , теплообмен излучением
357 - 360
Выборка по группам 400
Вырожденное ядро 299
Вырожденные состояния 577
Гаунта множитель 584
Гебхарта метод 902 — 904
Гоеметрический коэффициент
поглощения 622
— — пропускания 622
Граничное условие со
«скольжением» («скачком») 504 , 718 , 719
Двунаправленная отражательная
способность интегральная 59
(фиг. 3.1 , 0) , 91

920
Предметный указатель
Двунаправленная отражательная
способность свойство взаимности
83 , 91
— — —спектральная 59 (фиг. 3.1 , #) ,
82
Двуокись углерода в смеси с
водяным паром 645
— — диаграммы 477 (фиг. 13.11) ,
642 (фиг. 17.11) , 644 (фиг. 17.15)
— — константы соотношений 605
(табл. 16.2) , 607 (табл. 16.3)
— — полосы поглощения 456
(фиг. 13.2)
Детальное равновесие 579
Дифракция на сфере больших
размеров 759 — 761
Дифференциальное приближение
556 - 560
— — граничные условия 560 — 563
— — расчетные соотношения для
простых геометрических
конфигураций 562
— — уравнение переноса 559 , 560
Диффузно-несерые поверхности 356
— серые поверхности 80 , 267
— замкнутые системы 266 — 307
— спектральные поверхности 356
Диффузные замкнутые системы 266 —
307
— поверхности 28 , 80 , 87
— угловые коэффициенты , каталог
887 — 895
— — — таблица источников ,
содержащих определения 839 — 883
Диэлектрики , перенос излучения
через малый зазор 793 — 795
— радиационные свойства 119 — 121 ,
123 — 128 , 164 — 173
Длина волны 9 , 16
— — соответствующая максимуму
излучения 36 , 45
Допплеровское уширение 587
Драйпера точка 32 (сноска)
Естественное уширение 587
Загрязнение поверхности 103 , 158 —
• 164
Задачи сложного теплообмена ,
излучение и конвекция 435 — 440
— — — — — теплопроводность
425 — 435 , 706 — 729
— — — — конвекция и
теплопроводность 440 — 444 , 729 — 737
— — — метод диффузионного
переноса энергии 718 — 724
Задачи сложного теплообмена ,
излучения Монте-Карло 699 , 700
— — — пограничный слой 729 — 734
— — —простое суммирование 715 —
717
Закон Ламберта 27 , 28
— смещения Вина 36 , 45
— спектрального распределения
Планка , записанный через
частоту 31
— теплопроводности Фурье 3
Законы излучения , Вина закон 35
— — — — смещения 36 , 45
— — Ламберта закон 27 , 28
— — Планка закон 30 — 32 , 44 , 45 ,
829 — 838 (табл. А.5)
— — Стефана — Больцмана закон
38 , 39 , 45
— — формулы для абсолютно
черного тела 48 — 50 (табл. 2.2) , 51
Замкнутая система 194 — 197 , 266 —
268
— — диффузно-серых поверхностей
266 - 306
— — диффузных поверхностен со
свойствами , зависящими от длины
волны 356 — 362
— — заполненная изотермическим
газом 616 — 624
— — идеальная 195 , 196
— — имеющая зеркальные и
диффузные поверхности 333 — 343
— — неидеальная 196 , 197
— — теплообмен излучением 252 —
254 , 270 - 306
— — угловые коэффициенты 232 —
235 , 343 , 344
— — черных поверхностей 252 — 254
Зеркальная труба 343
Зеркальные поверхности и
диффузные 333 , 347
— — криволинейные 343 — 345
— — отражательная способность 89
— — теплообмен излучением 318
(табл. 9.1)
— — угловые коэффициенты 323 —
325
Зональный метод 667 — 672
Излучение в видимой области
спектра 16
— индуцированное 469 — 471 , 577 ,
578
— инфракрасное 16
— металлов 135 — 140 , 149 — 164
— объема газа 472 — 474

Предметный указатель
921
Излучения постоянные 44 , 828
(табл. А.4)
— радиационные экраны 793
— светящихся частиц 813 , 814
— спектра 14
— спонтанное 469 , 474 , 578
— среды с показателем преломления ,
отличным от единицы 45 , 786 — 793
— тепловое 1
— туннельный эффект 794
— ультрафиолетовое 16
— черного тела 24 , 30 , 829 — 838
(табл. А.5)
Изменения фазы падающей волны
при отражении 118 , 122
Изображение при зеркальном
отражении 319
Изолированная поверхность 356
Изотропность излучения в
замкнутой полости 21
Инверсная заселенность 484
Индикатриса рассеяния 751 , 752
Индуцированное излучение 469 —
471 , 578
Интегральные уравнения в
теплообмене излучением 12 , 284 , 285 ,
296
Интегральный коэффициент
поглощения 586
Интегрирование по контуру 238 —
246
Интегродифференциальные
уравнения 423
Интегроэкспоненциальные функции
в уравнении переноса 506
— — определение 506
— — соотношения 905 , 907
— — таблица значений 906
Интенсивность излучения
абсолютно черного тела 24 , 37
в среде 789
— — инвариантность относительно
координаты в вакууме 461 , 462
— — интегральная 25 , 37
— — максимальная абсолютно
черного тела 38 , 39
— — определение для поверхности
25
— — — — прозрачной среды 459
— — пропорциональность пятой
степени температуры для металлов
140
— — спектральная 25 , 30
Интерференция 794
Инфракрасное излучение 16
Испускания коэффициент 474
(сноска)
Истинный коэффициент поглощения
469 — 471
Исторический обзор , излучение
абсолютно черного тела 51 , 52
— — угловые коэффициенты 256 ,
257
Квантовая теория 14 , 571 — 577
Кванеовые числа 576
Кирхгофа закон 74 — 76 , 478
— — таблица ограничений 81
(табл. 3.2)
Колебательно-вращательная полоса
458 , 594
Комбинированные способы переноса
энергии 198 , 435 , 440 , 704 — 737
— — — — программы расчета 444
Комплексный показатель
преломления 44 , 45 , 112 , 133 (сноска)
Конвекция 435 — 440 , 729
Кондуктивно-радиационный
параметр 708 , 709
Концентрические сферы с
диффузными поверхностями 274 , 275 , 318
(табл. 9.1)
— — — зеркальными
поверхностями 316 , 318 (табл. 9.1)
— — решение в приближении
диффузии излучения 543 — 545
_ __ _ обобщенных угловых
коэффициентов 678 (табл. 17.5)
— цилиндры , дифференциальное
приближение 593 (фиг. 15.11)
— — решение в приближении
диффузии излучения 543
— _______ обобщенных угловых
коэффициентов 678 (табл. 17.5)
— — — методом Монте-Карло 694 ,
695
— — с диффузными поверхностями
318 (табл. 9.1)
— — — зеркальными
поверхностями 316 , 318 (табл. 9.1)
Коэффициент испускания 474
— ослабления 463
Коэффициент поглощения 466
— — геометрический 622 , 648
— — истинный 470
— — определение 464 , 466
средний планковский 495 , 547
— — — по падающему излучению
496 , 547
— — — росселандов 532 , 547
— — — эффективный 550
— рассеяния 471
— скольжения 719

922
Предметный указатель
Коэффициент эффективности
рассеяния 747
Криволинейные
зеркально-отражающие поверхности 343 — 346
Кумулятивная функция
распределения 393
Лазер 484
Лапласа уравнение 12 , 391
Локальное^термодинамическое
равновесие 75 (сноска) , 483
Лоренцевская форма линии 589 , 592
Луча траектория 319 — 321
Луна , отражательная способность
172 , 173
Люминесценция 815 , 816
Максвелла уравнения 105
Маркова цепь 390
Металлические «черни» 16
Металлы , измеренные свойства 149 —
164 , 896 — 898 (табл.)
— отражательная способсность 128 —
130
— степень черноты 128 , 131 , 133 —
140
— электромагнитная теория 111 —
113 , 121 — 123 , 128 — 140
Метан , соотношения для
эффективной ширины полосы 605 (табл.
16.2) , 607 (табл. 16.3)
Метод диффузионного переноса
энергии , вывод 526 — 532
— — — — граничные условия со
скачком 532 — 535
рассеяние 777 — 781
— — — — с учетом
теплопроводности 718 — 724
— __ скачок между двумя
областями поглощающего и
излучающего газа 535 , 536 , 539 — 543
— — — — уравнение диффузии
излучения Росселанда 528 , 531
— Монте-Карло , перенос теплового
излучения 400 — 410
— — — поверхности с
селективными и направленными свойствами
416
— — — поглощающая и
излучающая среда 686 — 700
— — — соотношения между
случайными числами 407 (табл. 11.1) ,
687 (табл. 18.1)
— — — угловые коэффициенты 412
— натянутых нитей 235 — 238
Металлы , обращения спектральных
линий 813
— сальдо для бесконечно малых
площадок 283 — 306
— — — зеркальных и диффузных
поверхностей 333 — 343
— — — поверхностей конечных
размеров 270 — 283
— __ __ поглощающей и
излучающей среды 616 — 624
— сферы единичного радиуса 250 ,
251
Методы получения случайных чисел
396 , 397
— решения интегральных
уравнений путем разложения в ряд
Тейлора 303 , 304
— — — — с помощью
вариационного метода 302 , 303
— — — — — — приближения
вырожденного ядра 299
— — — — численное
интегрирование 297 — 299 .
Ми рассеяние 766 — 768
Милна — Эддингтона приближение
554 - 556
Модель полосы прямоугольной 735
— — статистическая 601
— — экспоненциальная модель
широкой полосы 605
— — Эльзассера 600
Мультиплетность 577
Направленные отражательные
способности 59 (фиг. 3.1 , д , е) , 60 (фиг.
3.1 , ж) , 84 — 86 , 90 — 92 , 121 , 171 ,
173
— поглощательные способности 58
(фиг. 3.1 , *) , 72 , 75
— свойства поверхности 184 — 187 ,
368 — 370
— степени черноты 58 (фиг. 3.1 , а) ,
63 - 66 , 125 , 149 , 164
Напряженность поля магнитного 105
— — электрического 105
Недиффузные поверхности 368 — 370
Неизотермические поверхности 283
Нелинейные задачи 13 , 427
Непрозрачность 465 , 775
Непрозрачные поверхности 8 , 147
Несветящиеся пламена 800 , 801
Несерые поверхности 356 — 362
Нестационарные состояния 317 — 319 ,
430 , 700 , 816 - 820
Ньютона — Рафсона метод 434

Предметный указатель
923
Обозначения , система 61 , 62 , 198
— в теории множеств 230 — 232
— угловые коэффициенты
зеркальных поверхностей 323 — 325
Обращение матриц 281 — 283
Ограничения теории для замкнутой
системы 195 , 268 , 284
Однородный газ 466
Окисла слой 158 — 164
Окись углерода , константы
соотношений для модели полосы 605
(табл. 16.2) , 607 (табл. 16.3)
Оптическая толщина 465 , 775
— — рассеяния 770
— шероховатость 153 , 277
Оптически гладкая поверхность 102 ,
153
— толстая среда 525 , 546
— тонкая среда 730 — 733
Оптические константы , связь с
электрическими и магнитными
свойствами 112 , 135
Ослабление излучения атмосферой 451
— — Бугера закон 463 , 750
Относительная диэлектрическая
проницаемость среды 124
Отражательная способность
двунаправленная 82 , 88 , 91 , 157 , 170
— — диффузной поверхности 87
—. — для поляризованных волн 120 ,
122
— — зеркальной поверхности 89
— — интегральная 90 — 93
— — направленно-полусферическая
85 , 91 , 92
— — поверхности Луны 172 , 173
— — полусферическая 86 , 87 , 93
— — 1полусферически-направленная
86 , 92
— — связь со степенью черноты
и поглощательной способностью
94 - 96
— — соотношения взаимности 83 —
86 , 90 , 92 , 94 (табл. 3.3)
— — спектральная 82 — 90
Отражение электромагнитной волны
114 — 123
Отсутствие взаимодействия между
теплопроводностью и излучением
426
Падающее излучение , плотность
потока 272
Падение электромагнитной волны на
поверхность диэлектрика 119 — 121
проводника 121 — 123
Параллельные пластины , не
разделенные газом , диффузные 273 , 316 ,
318 (табл. 9.1)
— — __ _ зеркальные 316 , 318
(табл. 9.1)
__ — __ _ конечной ширины 294 —
296
— — — — серые 273
— — __ — — со свойствами ,
зависящими от направления 368 — 374
— — — — со свойствами ,
зависящими от длины волны 357 — 360
— — разделенные газом , метод
Монте-Карло 688 — 692
— — — — изотермические 631
— — — — несерые , разделенные
углекислым газом 658 — 661
— — — — решение в приближении
диффузии излучения 536 — 539 , 543 ,
720 - 724
— — — — серые , разделенные
серым газом 496 , 536 — 539 , 552 —
554
— — — — черные , разделенные
серым газом 499 — 507 , 711 — 714
Переводные коэффициенты 825 — 828
(табл. А.1-А.З)
Пламена несветящиеся 800 — 802
— светящиеся 802 — 813
— теоретическая температура 796 —
799 , 800 (табл. 21.2)
Планка закон спектрального
распределения 30 , 44 , 577 — 581
— — — — записанный через
волновое число 32
— — _ __ постоянные 828 (табл.
А.4)
— постоянная 31 , 838 (табл. А.6)
Планковский средний коэффициент
поглощения 495 , 547
Плоскость падения 114
Плоская волна 107
Поверхности , влияние на свойства
загрязнения 158 — 164
— __ __ — шероховатости 153 —
158
— диффузно-серые 80
— диффузные 28 , 80 , 87
— — со свойствами , зависящими от
длины волны 356 , 357
— замкнутые 194 — 196 , 267 , 268
— зеркальные 88
— с клинообразными полостями
(канавками) , ^ диффузные 210 — 211 ,
216 , 217 , 219 , 333
— — — — зеркальные 325 — 327 ,
377 (фиг. 10.12)

924
Предметный указатель
Поверхности диффузно-серые
замкнутые , обладающие
направленными свойствами 185 — 187 , 370 —
374
— — — — полусерые 367
— — направленными
характеристиками 184 — 187
— — свойствами , зависящими от
направления и длины волны 376 —
379
— серые с направленными
характеристиками 368 — 370
— спектрально-селективные 175 , 176
Поверхностная плотность потока
излучения , интегральная 37
— — — — спектральная 28 — 30
Поглощательная способность 475 ,
476
— — направленная интегральная 58
(фиг. 3.1 , в) , 75 , 76
— — — спектральная 58 (фиг. 3.1 , в
72 — 74
— — определение 71
— относительно солнечного
излучения 900 (табл.)
— — полусферическая интегральная
59 (фиг. 3.1 , г) , 78 - 80
— спектральная 59 (фиг. 3.1 , г) ,
77 , 78
— — связь с отражательной
способностью 94 — 96
— _ _ __ степенью черноты 76 —
81
Поглощающая среда в
электромагнитной теории 17 , 111 , 121 , 128 —
135
Поглощение в линии 458 , 584 , 590 ,
591
— — полосе , соотношения 594 — 609
— перекрывание полос 609
— свободно-свободный переход 456 ,
459 , 593
— связанно-свободный переход 456 ,
458 , 593
— связанно-связанный переход 456 ,
458 , 584
— сечение 806
Пограничный слой с излучением
729 — 734
— — — — оптически толстый 733 ,
734
тонкий 731 — 733
Погрешности в расчетах методом
Монте-Карло 398 — 400
— — — угловых коэффициентов 225
Пойнтинга вектор 113
Показатель поглощения 111
Показатель преломления комплекс ,
ный 16 (сноска) , 112
— — не равный единице 786 — 793
— — простой 16 , 44 , 111
— — связь с электрическими и
магнитными свойствами 112 , 135
— — таблица значений 787
(таблица 21.1)
Полость абсолютно черная 46 , 47
— клинообразная 216 , 219 , 325 — 327
— коническая 414 — 416
— сферическая 304 — 306
— цилиндрическая 293 , 294 , 345
Полусферическая отражательная
способность 60 (фиг. 3.1 , з)
— поглощательная способность 59
(фиг. 3.1 , г) , 77 , 78
— степень черноты 58 (фиг. 3.1 , б) ,
67 - 69
Полуширина линии 586
Поляризация электрических и
магнитных волн 75 (сноска)
— — — — — параллельная и
перпендикулярная составляющие 115 ,
122 , 124
Поляризуемость для различных
условий рассеяния 763 (табл. 20.2)
— определение 763 , 764
Пороговая длина волны для
селективной поверхности 177
Постоянная излучения 31 (сноска) ,
44 , 828 (табл. А.4)
Прево закон 21
Преломление 114 — 123
Приближение вырожденного ядра
299 - 301
— излучающей среды 520
— Кертиса — Годсона 661 — 667
— обобщенных угловых
коэффициентов 672 — 679
— — — — соотношения для
простых геометрических
конфигураций 678 (табл. 17.5)
— — — — с учетом
теплопроводности 724 — 729
— полусерого тела 366 — 368
— прозрачного газа 518
— спектральных полос 363 — 366
— холодной среды 523 — 524
Проводники , электрические и
радиационные свойства 128 — 140 , 149 —
164
Програмы расчета задач сложного
теплообмена 444
Пропускательная способность 480
Пучок (порция энергии) , 391 ,
400

Предметный указатель
925
Радиационная теплопроводность 707 ,
718
Радиационное равновесие , 495
Распространение волны в идеальном
диэлектрике 106 — 111
— — — проводнике 111 — 113
Рассеяние анизотропное 471
— в излучающей и поглощающей
среде 774 — 781
— изотропные 420
— индикатриса 751 , 752
— метод Монте-Карло 700
— на частицах: дифракция на сфере
большого размера 759 — 761
Ми 766 — 768
— — — рэлеевское 761 — 765
— — - — сфере большого размера из
диэлектрика с показателем
преломления , близким к единице 759
— — — — — — с диффузной
поверхностью 756 — 759
— — — — — — — зеркальной
поверхностью 753 — 755
— неупругое 471 , 661
— упругое 471 , 661
— уравнение переноса 769 — 771 , 775
Рассеяния коэффициент 464 , 471 , 750
Ребро 428 - 434 , 443 , 444
— эффективность 429
Решение интегральных уравнений
путем разложения в ряд Тейлора
303 , 304
Решения в приближении диффузии
излучения для концентрических
сфер 543 — 545
— — — — — — — цилиндров 543
— — — — — — параллельных
пластин 400 , 536 — 539 (табл. 15.2) ,
543 , 720 - 723
Ридберга постоянная 572
Росселанда уравнение диффузии
излучения 528 , 531
Росселандов средний коэффициент
поглощения 532 , 547
Рэлеевское рассеяние 761 — 766
— — индикатриса 765
сечения 762 — 765
Рэлея — Джинса закон излучения
35 , 36
Сажа , интегральная степень черноты
808
— концентрация 811
— коэффициент поглощения 804 —
808
— оптические свойства 807 (табл.)
Свойства непрозрачных
поверхностей расчет поглощения с помощью
электромагнитной теории 806 — 808
Светящиеся пламена 802 — 813
— частицы 813 , 814
Свойства непрозрачных поверхностей
металлов 124 — 164
— _ _ неметаллов 119 — 121 , 123 —
128 , 164 — 173
— — — полупроводников 174 — 175
— — — расчет с помощью
электромагнитной теории 141 (табл. 4.4)
Селективные поверхности для
аккумуляции энергии излучения 175 —
184
— — испускающие излучение 183 ,
184
— — пороговая длина волны 177
— — стеклянные оболочки 182
Серые поверхности 80 , 278
— — со свойствами , зависящими от
направления 368 — 370
Серый газ , определение 498
— — уравнения переноса 498 , 499
Сечение поглощения 806
— рассеяния 747 — 751
— — табличные значения 748
(табл. 20.1)
Сила излучения абсолютно черного
тела 27 , 829 — 838 (табл. А.5)
— — направленная 28
— осциллятора 583
Сильная линия 593
Система обозначений в теории
множеств применительно к угловым
коэффициентам 230 — 232
— нелинейных уравнений 434
Скорость света в вакууме 14 , 110
— — — среде 14 , 110
— электромагнитной волны 14
Слабая линия 592 , 593
Случайное блуждание 390 , 391
Случайные числа 393 , 396 , 397
Снеллиуса закон 120
Совместное действие излучения и
теплопроводности 425 — 435 , 706 —
729
— — конвекции , теплопроводности
и излучения 729 — 737
Солнечное излучение 33 , 175 — 184 ,
451
Солнце 33 , 451
Соотношение между частотой и
длиной волны 31 , 568
Соотношения взаимности для
отражательных способностей 83 — 86 ,
90 , 92 , 94 (табл. 3.3)

926
Предметный указатель
Соотношения взаимности для
отражательных угловых
коэффициентов 207 , 213 , 219 , 221 (табл. 7.1)
__ — — — — зеркальных
поверхностей 327 — 330
— для ширины полосы 602 , 603
(табл. 16.1) , 605 (табл. 16.2) , 606 ,
607 (табл. 16.3)
Спектр электромагнитного
излучения 14 , 16
Спектральная линия , интегральный
коэффициент поглощения 586
— — крылья 586
— — параметр формы 586
— — поглощение и излучение 590 —
593
— — полуширина 586
— — сильная 593
— — слабая 592
— — уширение 584 — 590
— — эффективная ширина 591
— объемная плотность энергии
излучения 508
Спектрально-селективные
поверхности 175 — 184
Спектральной линии уширение 584 —
590
Спектральные линии водорода 572 ,
573
Спонтанное излучение 469 , 474 , 578
Среднегеометрическая поглощатель-
ная способность 622 , 626 — 632 , 648
— пропускательная способность 622 ,
626 — 632 , 648
Средний коэффициент поглощения
по падающему излучению 496 , 547
— — — планковский 495 , 547
— — — росселандов 532 , 547
— — — эффективный 550
Средняя длина пути луча 633 — 638
— — — — в оптически тонком газе
636 — 637
— — — — — слое газа (не
являющегося оптически тонким) 635 ,
637
— — — — среднегеометрическая
646 , 580 — 581 (табл. 17.2) , 582 ,
583 (табл. 17.3)
— — — — таблица значений 639 ,
640 (табл. 17.1)
— — свободного пробега
излучения 464 — 465
Стандартное отклонение 399
Статистический вес 577
Степень черноты газов , водяной пар
643 (фиг. 17.13) , 644 (фиг. 17.14 ,
17.15)
Степень черноты газов , двуокись
углерода 642 (фиг. 17.11)
— — — определение 476 — 478
металлов 130 , 131 , 135 , 149
— — направленная интегральная 43
(фиг. 3.1 , а) , 65
— — — спектральная 41 (фиг. 3.1 , а)
63
— — неметаллов 123 — 128
— — полупроводников 174
— — полусферическая интегральная
43 (фиг. 3.1 , б) , 67 , 68
— — спектральная 43 (фиг. 3.1 , б) ,
67
— — расчеты по электромагнитной
теории 125 , 130 , 131 , 135
— — таблица значений 896 — 900
— — облака сажи 808 — 813
Стефана — Больцмана закон 38
— — постоянная 38 , 828 (табл. А.4)
Суммирование (аддитивность)
излучения и теплопроводности 715 —
717 , 774
Сферическая полость 304 — 306 , 630 ,
631
Сходимость решений методом Монте-
Карло 417
Таблица выражений для закона
Кирхгофа 81
— значений средней длины пути
луча 639 , 640
— интегроэкспоненциальных
функций 906
— источников , содержащих
определения угловых коэффициентов
839 - 883
— переводных коэффициентов 826 —
828
— поглощения солнечного
излучения 900
— постоянных в законах излучения
828
— размерностей электромагнитных
величин в системе СИ 105
— свойств поверхности 57
— соотношений взаимности для
отражательных способностей 94
для полос 602 , 603 , 605 , 607 ,
655
— — — теплообмена излучением
для простых конфигураций 318
(табл. 9.1) , 540 , 562
— — используемых при расчете
методом Монте-Карло 407 , 687

Предметный указатель
927
Таблица степеней черноты веществ
869 — 899
— угловых коэффициентов 887 — 895
—. — — и соотношений для
теплообмена излучением 221
— фундаментальных констант 838
— функций излучения черного тела
828 - 838
Телесный угол 29 , 203
Температура , влияние на свойства
139 , 152 , 153 , 168 — 170
— обогреваемой излучающей трубы
290 , 291
— окружающей среды 291
Теоретическая температура горения
796
Тепловое излучение 9
Теплообмен излучением между
двумя элементарными площадками
202 — 204
— — — зеркальными
поверхностями 321 — 327
— — — объемом газа и черной
поверхностью 641 — 646
— — — поверхностями конечных
размеров 219
— — — — со свойствами ,
зависящими от направления и длины
волны 376 — 379
— — — элементарной площадкой и
поверхностью конечных размеров
214
— — сводка соотношений 221
(табл. 7.1)
Теплопроводность , закон Фурье 12
— уравнение 12 (см. также
Совместное действие излучения и
теплопроводности)
Термодинамическое равновесие 75
(сноска) , 483 , 484
Течение в трубе при наличии
излучения 435 — 443
Течения в канале 734 — 737
Тормозное излучение 459
Труба зеркальная 344
— излучающая 290 — 293
— излучение и конвекция 435 — 439 ,
734 — 737
— конвекция и теплопроводность
440 - 443
Туннельный эффект 794 , 795
Угловая частота 159 , 568
Угловые коэффициенты , алгебра
220 — 230
Угловые коэффициенты , вычисление
методом Монте-Карло 412
— — дифференцирование 246 — 250
замкнутых систем 232 — 235 ,
343 .
— — зеркальных поверхностей
323 - 325
— — интегрирование по контуру
238 — 246
— — историческая справка 256 , 257
каталог 887 — 895
— — между двумя поверхностями
конечных размеров 217 — 220
— — — элементарными
площадками 206 — 211
— — — элементарной площадкой и
поверхностью конечных размеров
211 - 217
— — метод натянутых нитей 235 —
238
— — — сферы единичного радиуса
250 , 251
— — ошибки 225
— — система обозначений в теории
множеств 230 — 232
— — соотношения взаимности 207 ,
213 , 219 , 221 (табл. 7.1) , 327 —
330 , 332 , 333
— — таблица источников ,
содержащих определения 839 — 883
Удельное электрическое
сопротивление 105 , 139
— — — связь со степенью черноты
135 - 140
Уравнение переноса ,
астрофизические приближения 551 — 556
— — в рассеивающей атмосфере
769 - 771 , 774
вывод 489 — 491
— — дифференциальная форма 490
— — дифференциальное
приближение 556 — 564
— — для плоского слоя 496 , 499 —
508
— — — серого газа 498 — 508
— — интегральная форма 491
— — полученное с помощью
фотонной модели 508 — 511
— — приближенные выражения 518
(табл. 15.1)
Условная функция распределения
Уширение линии допплеровское 587
— — естественное 587
— — за счет столкновений 538
— — штарковское 589

928
Предметный указатель
Фотон , количество движения 573
— энергия 456 , 457 , 508
Фотонная модель переноса
излучения 508 — 511
Фотонов связка (пучок) 400 , 401
Френеля формула 121
Функция источника 775
— плотности вероятности 392
— — кумулятивная 393
— — — условная 396
— — — частная (маргинальная) 396
Хагена — Рубенса формула 135
Цилиндрическая полость , излучение
293 , 294
Частота 31 , 568
Численное интегрирование 297
Число i 583
Шероховатость поверхности , анализ
влияния 155
— — влияние на свойства 153 — 158
Шредингера волновое уравнение
573 — 577
Штарковское уширение 589 , 590
Шустера — Шварцшильда
приближение 551
Эйнштейна коэффициент 578 — 580
Экспоненциальная модель широкой
полосы 605
Электромагнитная теория , единицы
системы СИ 105 (табл. 4.1)
Электромагнитная теория металлов
111 — 113 , 121 — 123 , 128 — 140
неметаллов 106 — 111 , 119 — 121 ,
123 — 128
— — сводка формул 141 (табл. 4.4)
— — свойства сажи 806 — 808
— — упрощающие ограничения 106 ,
123
Электромагнитные волны , скорость
14 , 110 , 838 (табл. А.6)
Электропроводная среда 111 , 121 ,
128
Эльзассера модель 600
Энергетические переходы 456 — 459 ,
595 (фиг. 16.3) , 597 (см. также
Поглощение)
Энергия , закон сохранения в среде
493 - 495 , 709
— интегрального излучения 356
— ионизации 572
— — переходы между уровнями 457
(фиг. 13.3) , 595 (фиг. 16.3) , 598
(фиг. 16.5)
— пучок 400
— спектральная объемная плотность
508
— уровни 455 — 457
— фотона 456
— электромагнитной волны 113
Эффективная ширина линии 591
Эффективное излучение 271
Эффективность поглощения
поверхности 373
Эффективный средний коэффициент
поглощения 550
Ядро интегрального уравнения 285
Яркость излучения 271 , 272

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского издания 5
Предисловие 7
Глава 1. Введение (перевод Колченоговой И, П.) 9
♦1.1. Значение теплового излучения 9
*1.2. Обозначения 11
*1.3. Трудности, свойственные проблемам излучения . . 12
*1.4. Сравнение волновой и квантовой моделей излучения 14
*1.5. Спектр электромагнитного излучения 14
Глава 2. Излучение абсолютно черного тела (перевод Колченоговой
И. П.) 17
*2.1. Обозначения 18
*2.2. Определение абсолютно черного тела 19
*2.3. Свойства абсолютно черного тела 20
*2.4. Излучательные свойства абсолютно черного тела 24
*2.5. Моделирование абсолютно черного тела в
экспериментальных исследованиях 46
*2.6. Сводка свойств излучения абсолютно черного тела 47
*2.7. Исторический обзор 51
Литература 53
Задачи 53
Глава 3. Определения радиационных свойств нечерных
поверхностей (перевод Колченоговой И. П.) 56
*3.1. Введение 56
*3.2. Обозначения 62
*3.3. Степень черноты 63
*3.4. Поглощательная способность 71
*3.5. Отражательная способность 81
*3.6. Соотношения между отражательной способностью,
поглощательной способностью и степенью черноты 94
*3.7. Заключительные замечания 98
Литература 98
Задачи 98
Глава 4. Определение радиационных свойств с помощью классической
электромагнитной теории (перевод Колченоговой И. П.) . . 102
*4.1. Введение 102
*4.2. Обозначения 103
4.3. Основные уравнения электромагнитной теории . . . 105
4.4. Распространение электромагнитной волны 106
4.5. Законы отражения и преломления 114
*4.6. Использование формул электромагнитной теории для
расчета радиационных свойств 123
4.7. Дальнейшее развитие теории радиационных свойств 142
Литература 143
Задачи 144
г) Разделы отмеченные звездочкой, как указано в предисловии авторов,
составляют основу односеместрового курса.

930
Оглавление
Глава 5. Радиационные свойства реальных материалов (перевод
Колченоговой И* П.) 147
*5.1. Введение 147
*5.2. Обозначения 148
*5.3. Радиационные свойства металлов 149
*5.4. Радиационные свойства непрозрачных неметаллов 164
*5.5. Специальные поверхности 175
5.6. Заключительные замечания 187
Литература 188
Задачи 190
Глава 6. Введение в теорию теплообмена излучением (перевод
Шереметьева С. В.) 194
*6.1. Теория теплообмена в замкнутой системе поверхностей 194
*6.2. Комбинированные способы переноса энергии . . . 198
*6.3. Система обозначений 198
*6.4. Заключительные замечания 199
Литература 199
Глава 7. Теплообмен излучением между черными изотермическими
поверхностями (перевод Шереметьева СВ.) 200
*7.1. Введение 201
*7.2. Обозначения 201
*7.3. Теплообмен излучением между двумя элементарными
площадками 202
*7.4. Угловые коэффициенты и теплообмен излучением
между двумя поверхностями 206
*7.5. Методы вычисления угловых коэффициентов .... 220
*7.6. Справочные данные для угловых коэффициентов 251
*7.7. Теплообмен излучением в замкнутой системе,
состоящей из черных поверхностей 252
7.8. Историческая справка об угловых коэффициентах 256
*7.9. Заключительные замечания 257
Литература 258
Задачи 258
Глава 8. Теплообмен излучением в замкнутых системах,
образованных диффузно-серыми поверхностями (перевод
Шереметьева С. В.) 266
*8.1. Введение 266
*8.2. Обозначения 269
*8.3. Теплообмен излучением между поверхностями
конечных размеров 270
*8.4. Теплообмен излучением между бесконечно малыми
площадками 283
*8.5. Заключительные замечания 306
Литература 307
Задачи 307
Глава 9. Теплообмен излучением в замкнутых системах, содержащих
зеркально отражающие поверхности (перевод
Шереметьева С. В.) 313
9.1. Введение 313
9.2. Обозначения 314
9.3. Теплообмен излучением между парами зеркально
отражающих поверхностей 315
9.4. Метод сальдо для замкнутых систем, имеющих
зеркальные и диффузные поверхности 333

Оглавление
931
9.5. Заключительные замечания • . . . 346
Литература 348
Задачи ' 348
Глава 10. Теплообмен излучением между недиффузными несерыми
поверхностями (перевод Шереметьева СВ.) 353
*10.1. Введение 354
*10.2. Обозначения 354
*10.3. Теория теплообмена излучением в замкнутой системе,
образованной диффузными поверхностями со
свойствами, зависящими от длины волны •. 356
*10.4. Приближение спектральных полос 363
10.5. Серые поверхности со свойствами, зависящими от
направления 368
10.6. Поверхности со свойствами, зависящими от
направления и длины волны 376
10.7. Заключительные замечания 382
Литература 382
Задачи 383
Глава 11. Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена
излучением (перевод Зейгарника В, А.) 386
11.1. Введение 386
11.2. Обозначения 389
11.3. Подробное описание метода 390
11.4. Приложения к переносу теплового излучения 400
Литература 418
Задачи 419
Глава 12. Теплообмен излучением при наличии других видов переноса
энергии (перевод Зейгарника В. А.) 421
*12.1. Введение 421
*12.2. Обозначения 424
*12.3. Совместное действие излучения и теплопроводности 425
*12.4. Совместное действие излучения и конвекции . . . 435
*12.5. Совместное действие излучения, теплопроводности
и конвекции 440
*12.6. Программы расчета задач сложного теплообмена на
машине 444
*12.7. Заключительные замечания 445
Литература 445
Задачи 447
Глава 13. Основы переноса излучения в поглощающих, излучающих
и рассеивающих средах (перевод Зейгарника В. А.) ... 451
*13.1. Введение 451
*13.2. Обозначения 453
*13.3. Физические механизмы поглощения и излучения 455
*13.4. Некоторые основные свойства интенсивности
излучения 459
*13.5. Ослабление излучения 462
*13.6. Испускание излучения 472
*13.7. Радиационные свойства газов, используемые в
инженерных расчетах 474
*13.8. Понятие локального термодинамического равновесия 483
*13.9. Заключительные замечания 485
Литература 485
Задачи 485

932
Оглавление
Глава 14. Уравнения переноса излучения в излучающем и
поглощающем газе {перевод Аладьева СИ.) 487
*14.1. Введение 487
*14.2. Обозначения 487
*14.3. У равнение переноса 489
*14.4. Закон сохранения энергии в среде 493
*14.5. Уравнение переноса для плоского слоя 496
*14.6. Серый газ 498
14.7. Вывод энергетических соотношений с помощью
фотонной модели переноса излучения 508
*14.8. Заключительные замечания 511
Литература 512
Задачи 512
Глава 15. Приближенные решения уравнения переноса излучения
(перевод Зейгарника В. А.) 514
*15.1. Введение 514
*15.2. Обозначения 515
*15.3. Приближенные решения, полученные путем
отбрасывания отдельных членов уравнения переноса
излучения -. 517
*15.4. Приближение диффузии излучения 525
15.5. Приближения, основанные на использовании
средних коэффициентов поглощения 546
15.6. Приближенное решение уравнения переноса
излучения в общем виде 550
15.7. Заключительные замечания 564
Литература 564
Задачи 566
Глава 16. Введение в микроскопические основы теории излучения
газов и их свойств {перевод Лукаша В. П.) 568
16.1. Введение 568
16.2. Обозначения 568
16.3. Некоторые элементы квантовой теории 571
16.4. Индуцированное излучение и планковское
распределение 577
16.5. Уравнение переноса 531
16.6. Поглощательные способности газов 583
16.7. Заключительные замечания 609
Литература 610
Задачи 611
Глава 17. Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых
системах (перевод Лукаша В. Л.) 614
♦17.1. Введение 614
*17.2. Обозначения 614
*17.3. Метод сальдо для замкнутых систем, заполненных
изотермическим газом. Спектральные соотношения 616
*17.4. Определение спектральных среднегеометрических
пропускательных и поглощательных способностей 626
*17.5. Средняя длина пути луча при излучении объема газа
на всю граничную поверхность или часть ее . . . 633
*17.6. Интегральный теплообмен излучением между
объемом газа и черной граничной поверхностью при
использовании понятия о средней длине пути луча 641
17.7. Определение интегрального потока излучения в
замкнутой системе путем суммирования спектральных
уравнений 646

Оглавление
933
17.8. Перенос излучения в неизотермических газах. . 661
17.9. Заключительные замечания 679
Литература 680
Задачи 681
Глава 18. Применение метода Монте-Карло к расчету переноса
излучения в поглощающей и излучающей среде (перевод Зейгар-
ника В. А.) . . 684
16.1. Введение 684
18.2. Обозначения 685
18.3. Изложение метода 686
18.4. Излучение через серые газы 692
18.5. Учет переменных радиационных свойств 697
18.6. Учет других видов переноса тепла 699
18.7. Нестационарное излучение 700
18.8. Учет явлений рассеяния 700
18.9. Заключительные замечания 701
Литература « 701
Задачи 702
Глава 19. Перенос энергии излучением совместно с теплопроводностью
и (или) конвекцией (перевод Лукаша В. П.) 704
*19.1. Введение] 704
*19.2. Обозначения 704
*19.3. Совместное действие излучения и теплопроводности 706
*19.4. Конвекция, теплопроводность и излучение . . . 729
*19.5. Заключительные замечания 737
Литература 738
Задачи 740
Глава 20. Перенос излучения в рассеивающей и поглощающей среде
(перевод Лукаша В. П.) 743
20.1. Введение 743
20.2. Обозначения 745
20.3. Некоторые величины, используемые при описании
процесса рассеяния 747
20.4. Рассеяние на частицах различных типов 753
20.5. Перенос излучения в рассеивающей среде .... 768
Литература 781
Задачи 782
Глава 21. Некоторые специальные проблемы переноса излучения
в поглощающих и излучающих средах (перевод А ладье-
ва С. И.) : 784
21.1. Введение 784
21.2. Обозначения 785
21.3. Радиационные явления в1 средах с показателем
преломления, не равным единице 786
21.4. Пламена, светящиеся пламена и излучающие частицы 795
21.5. Люминесценция 815
21.6. Нестационарные задачи переноса излучения . . . 816
Литература 820
Задачи 822
Приложение А. (перевод Колченоговой И. П.) Переводные
коэффициенты, постоянные в законах излучения и функции
излучения абсолютно черного тела 825
Приложение Б. (перевод Колченоговой И. П.) Источники, содержащие
определения угловых коэффициентов для диффузных
поверхностей 839

934
Оглавление
Приложение В, (перевод Колченоговой И. П) Некоторые угловые
коэффициенты 887
Приложение Г, (перевод Колченоговой И. Л,) Радиационные свойства
материалов 896
Приложение Д. (перевод Колченоговой И. Д.) Расчет теплообмена
излучением в замкнутой системе тел по методу Гебхарта 902
Приложение Е (перевод Колченоговой Л. Д.) Формулы для
вычисления интегроэкспоненциальных функций 905
Дополнительная литература 908
Словарь терминов 911
Предметный указатель 918

Р. Зигель, Дж. Хауэлл
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
Редактор О. Вишнякова
Художник В. Ящук
Художественный редактор В. Бисенгалиев
Технический редактор Н. Манохина
Сдано в набор 7/TI 1975 г.
Подписано к печати 7/VIII 1975 г.
га кн.-журн. 60x901/16=29,25 бум. л. 58,50 печ. л,
Уч.-изд. л. 55,39. Изд. № 20/7 537
Цена 5 р. 70 к. Зак. 0697
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Московская типография № 7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9