О.М. АЛИФАНОВ
Е.А.АРТЮХИН
А.В. НЕНАРОКОМОВ
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
В ИССЛЕДОВАНИИ
СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА

Монография посвящена разработке основ теории и методологии
идентификации математических моделей процессов теплообмена на поверхности
тел при наличии, в общем случае, кондуктивного, конвективного и
радиационного переноса теплоты, физико-химических превращений и вдува
газообразных продуктов разложения материалов в пограничный слой.
Подробно описаны соответствующие вычислительные процедуры и
комплекс программ, созданный для идентификации математических
моделей. Даются рекомендации по использованию программного комплекса и
многочисленные примеры решения методических задач. С помощью данного
комплекса проведены исследования ряда проблем, описание которых и
полученные результаты также приведены в монографии.
Для научных работников и инженеров, преподавателей, аспирантов и
студентов, занимающихся теплофизическими и теплотехническими
исследованиями.

Введение
Настоящая книга продолжает серию монографий авторов по
исследованию обратных задач, разработке методов и алгоритмов их
решения применительно к различным видам и моделям тепло- и массо-
обмена. Начало данной серии было положено монографией [20],
изданной в 1979 г., которая стала первой книгой в мире, посвященной
систематизированному изложению основ теории и методологии
решения обратных задач теплообмена. Это новая область в теории теп-
ломассопереноса, являющаяся в настоящее время научной базой
принципиально новых технологий диагностики и идентификации
процессов теплообмена, исследования теплофизических
характеристик материалов и покрытий, экспериментальной отработки
тепловых режимов машин, аппаратов и технологических процессов,
связанных с процессами теплообмена.
Дальнейшее развитие теория идентификации математических
тепловых моделей, методов, алгоритмов и программного
обеспечения решения обратных задач, а также связанных с ними задач
оптимального планирования экспериментов, получили в книгах [23, 25,
28, 336]. Данная монография продолжает и развивает тематику
книги [25], которая не имела достаточно широкого распространения
среди специалистов из-за малого ее тиража.
Известно, что любые научные исследования и прикладные
разработки предполагают использование общего метода
моделирования. Модель может быть материальной (физической) и
умозрительной (математической). Роль математического моделирования в
различных исследованиях и разработках непрерывно возрастает. Это
обуславливается как необходимостью более глубокого
проникновения в сущность исследуемых объектов, так и целями снижения
стоимости и сроков разработок, и стимулируется развитием
математических методов, совершенствованием вычислительных алгоритмов,
программного обеспечения и компьютерной техники.
Наряду с отмеченной тенденцией значение экспериментальных
исследований не только не уменьшается, но продолжает возрастать.
Особенно это относится к проектированию и отработке сложных
ответственных технических систем, функционирующих в напряженных,
подчас экстремальных условиях воздействий окружающей среды. Это, в
частности, объекты авиационной и ракетно-космической техники,
ядерной техники, металлургии, химического машиностроения.
Если говорить о взаимоотношениях экспериментального
(физического) и математического моделирования, то они становятся все

более упорядоченными и обоснованными с точки зрения конечной
цели - обеспечения более высокого качества и эффективности
исследований и разработок. Одно из современных и важных направлений
в достижении данной цели - методология исследований,
базирующаяся на решении обратных задач [23].
Обратные задачи характеризуются тем, что базовые уравнения в
математической модели, а также краевые условия и геометрическое
описание исследуемого объекта могут быть заданы не полностью,
зато есть некоторая дополнительная информация о состоянии
объекта, на основе которой требуется определить эти неизвестные
характеристики. В силу нарушения естественных причинно-следственных
связей обратные задачи, как правило, относятся к классу
некорректно поставленных задач. Чаще всего некорректность обуславливается
неустойчивостью решения обратной задачи по отношению к малым
возмущениям входных данных. Тем не менее, при определенном
сужении класса допустимых решений такие задачи могут быть сведены
к корректным.
Анализ состояния дел с обратными задачами на сегодня
показывает следующее:
- сформулированы постановки обратных задач применительно к
различным исследованиям в ряд областей науки и техники, в том
числе в теплотехнике и теплофизике, аэрогазодинамике,
материаловедении, технологических процессах производства, ядерной
технике, геофизике и т. д. В большинстве своем для этих постановок
выполнен общий математический анализ, включающий изучение
вопросов существования, единственности и устойчивости решений.
Как уже отмечалось, эти задачи в своих исходных постановках чаще
всего оказываются некорректными, что требует разработки особых
методов их решения;
- для решения некорректно поставленных обратных задач
разработана как общая теория регуляризации, заложенная
основополагающими работами А. Н. Тихонова, так и многочисленные методы и
алгоритмы, реализующие концепции этой теории применительно к
тем или иным постановкам задач;
- эти методы и алгоритмы находят полезные Приложения при
исследовании физических процессов, проектировании и
верификации технических изделий и технологических процессов, позволяют
повысить качество исследований и разработок.
Методы, основанные на решении обратных задач, продолжают
оставаться актуальным, быстроразвивающимся направлением
исследований в науке и технике. В ряде случаев они оказываются
наиболее эффективным или даже единственно возможным инструментом

для получения требуемых результатов и повышения качества
исследований при проектировании и отработке технических объектов, а
также процессов производства материалов и изделий. Особую роль
эти методы играют в тех отраслях техники, где материалы и
конструкции работают на пределе своих возможностей при жестких
ограничениях на эксплуатационные показатели технических объектов,
такие как масса, энергопотребление, стоимость и т. п., в этих
случаях достоверность и точность исследований приобретают особо
важное значение, что, в свою очередь, стимулирует к дальнейшей
разработке методы и алгоритмы решения нелинейных и многомерных
задач в сочетании с соответственным развитием теории оптимального
эксперимента.
Настоящая монография посвящена именно таким
исследованиям применительно к одному из наиболее распространенных на
практике типу обратных задач - обратных задач теории теплообмена.
Методы на их основе позволяют проводить исследования
нестационарных и нелинейных процессов переноса тепла и тепловых
режимов материалов и конструкций. Это весьма важно для современных
теплотехнических систем и теплонагруженных конструкций в
аэрокосмической технике, где высокая интенсивность и
нестационарность протекания процессов теплообмена является характерной
особенностью функционирования технических объектов.
Достоверность и точность подобных исследований достигается
обычно двумя путями:
— совершенствованием математических моделей и методов
расчета процессов теплопереноса;
- повышением точности воспроизведения реальных условий
работы технических систем, а также методов измерений и обработки
данных экспериментов и испытаний.
Относительно первого направления можно отметить следующее.
Методы аналитического и численного моделирования процессов
теплообмена в настоящее время развиты достаточно хорошо и
позволяют получать высокую точность расчетов применительно к
различным, в том числе сложным, нелинейным и нестационарным
математическим моделям. Поэтому, ни в коей мере не принижая важность
этой области математического моделирования, которая продолжает
быстро развиваться, нужно, тем не менее, заметить, что основной
потенциал в повышении достоверности и точности результатов
расчетов, скрывается в правильном выборе математических моделей,
описывающих теплофизические процессы, и в достоверном задании
исходных данных для получения необходимых числовых результатов
(коэффициентов уравнений, граничных условий и т.д.). Это задачи

структурной и параметрической идентификации математических
моделей, которые, как известно [23], могут быть эффективно решены с
использованием методов обратных задач на основе той или иной
экспериментальной информации об исследуемом процессе.
Теперь о втором направлении. Оно, естественно, зависит от
качества экспериментов и испытаний, которое в первую очередь
определяется возможностями экспериментальных исследований.
Приемлемая точность моделирования реальных процессов теплообмена на
экспериментальных стендах или при проведении натурных
испытаний является необходимым условием получения конечных
результатов требуемой точности. Однако достоверность экспериментального
исследования в значительной мере определяется также
информативностью и точностью результатов наблюдения за исследуемым
объектом, внешними и внутренними воздействиями. Эти результаты
основываются на прямых и косвенных измерениях параметров
изучаемых теплофизических процессов, причем специфика подобных
исследований такова, что подавляющее большинство измерений
являются косвенными, когда искомые величины определяются по
некоторым их проявлениям. Современная методология таких наблюдений,
связанная с обработкой данных первичных прямых измерений,
базируется на методах решения соответствующих обратных задач.
В теории теплообмена изучение теплового взаимодействия
между твердым телом и окружающей средой занимает, пожалуй,
центральное место. В зависимости от рассматриваемого случая, тепловой
баланс на поверхности тела будет определяться теми или иными
коэффициентами (теплоотдачи, поглощения и излучения тепловой
энергии и т. д.). На поверхности тела могут происходить
физико-химические превращения с поглощением или выделением тепла. Для
проведения расчета тепловых режимов твердого тела (это может
быть оболочка космического аппарат, теплозащитный слой
спускаемого аппарата, стенка камеры сгорания или сопла ракетного
двигателя и т.д.) все эти составляющие в уравнении теплового баланса или
соответствующие коэффициенты должны быть известны. Однако их
определение подчас сопряжено как с серьезными трудностями
методического характера, так и с трудностями использования на
практике соответствующих методик, связанных с тем, что эти величины
обычно не могут быть измерены непосредственно и о них можно
судить только по результатам измерений других физических
параметров, которые тем или иным образом связаны с искомыми.
Как будет показано в данной книге, методология обратных
задач дает возможность построить эффективные процедуры
идентификации процессов теплообмена на поверхности тел.

Монография состоит из пяти глав.
В первой главе рассматриваются особенности задач
исследования процессов теплообмена на поверхности тел. Анализируются
общие закономерности используемых для этого математических
моделей теплообмена при взаимодействии материалов с внешней средой.
Большое внимание уделяется анализу влияния неопределенностей
математических моделей на результаты проектирования технических
систем и обоснованию необходимости достоверной идентификации
этих моделей. Вторая часть главы посвящена методам исследования
теплообмена на поверхности тел путем математического и
физического моделирования применительно к исследованию
физико-химических превращений на поверхности, теплообмена излучения и
эффективности вдува газообразных продуктов в зону взаимодействия с
внешней средой, особое внимание уделяется при этом методу
обратных задач теплообмена. В заключительном разделе рассматривается
формализованная постановка задачи идентификации процессов
нестационарного теплообмена на поверхности тел, анализируется
проблема единственности решения подобных задач.
Вторая глава посвящена развитию итерационных методов
идентификации математических моделей теплообмена. Обосновывается
целесообразность предварительной параметризации искомых
функций. Представлены два алгоритма решения сформулированной
задачи: последовательный и непосредственный. Проводится анализ
свойств вычислительных алгоритмов путем математического
моделирования с целью сравнения двух подходов к решению обратной
задачи. Также рассматриваются вопросы влияния погрешностей
априорно задаваемых коэффициентов математической модели. Далее
приводится усовершенствованный итерационный алгоритм решения
обратных задач путем учета априорной информации о гладкости
искомых характеристик. В последнем разделе представлен алгоритм
решения обратной задачи для случая постоянных определяемых
характеристик.
В третьей главе излагается экстремальный подход к задачам
оптимального планирования тепловых экспериментов. В первом
разделе рассматривается постановка задачи оптимального планирования.
Далее приводятся результаты исследования влияния условий
проведения эксперимента на точность решения обратной задачи.
Центральное место занимает описание алгоритма решения задачи
оптимального планирования методом условной оптимизации. Приводятся
результаты математического моделирования процедуры
идентификации при оптимальном планировании тепловых экспериментов.

В четвертой главе рассматриваются вопросы реализации
предложенных выше методов и алгоритмов. Начало главы посвящено
особенностям конечно-разностной аппроксимации при итерационном
решении обратных задач и оптимального планирования, в том числе:
анализу вычислительных алгоритмов, аппроксимация
коэффициентов дифференциального оператора параболического типа,
конечно-разностная аппроксимация дифференциального оператора,
аппроксимация уравнения теплового баланса на внешней границе. Во
второй части главы описывается разработанный авторами
программный комплекс решения обратных задач, в частности, общее
описание комплекса программ и предметное содержание комплекса.
Пятая глава посвящена вопросам практического использования
предлагаемой методологии при исследовании теплового
взаимодействия материалов с высокоэнтальпийными гетерогенными
(газ-твердые частицы) потоками. В первой части на основании анализа
наиболее широко используемых моделей теплообмена на поверхности
предлагается достаточно универсальная формализованная запись
уравнения теплового баланса, для которой представлен алгоритм
решения задачи определения соответствующих характеристик теплопе-
реноса. Во второй части главы представлена задача структурной
идентификации математической модели теплообмена при
взаимодействии материалов с высокоэнтальпийными гетерогенными потоками.

Глава 1
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ТЕПЛООБМЕНА НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ
Глава посвящена различным аспектам построения
математических моделей теплообмена при взаимодействии твердых тел с
внешней средой. Основное внимание уделяется процессам, протекающим
на поверхности раздела твердое тело - внешняя среда. На основе
анализа многочисленных публикаций, посвященных этим вопросам,
приводится краткий обзор наиболее широко используемых моделей
(§1.1).
В §1.2 анализируется влияние погрешностей задания
коэффициентов математических моделей на точность решения задач,
связанных с анализом теплового состояния и проектированием отдельных
технических систем.
В §1.3 рассматриваются различные подходы к исследованию
процессов, протекающих на внешней поверхности тел, интенсивно
взаимодействующих с внешней средой. Показана целесообразность
применения в подобных задачах аппарата обратных задач
теплообмена.
§1.4 посвящен вопросам, связанным с постановкой обратных
задач по определению неизвестных характеристик теплообмена на
поверхности и оптимального планирования соответствующих теплофи-
зических экспериментов. Рассмотрены также вопросы
существования и единственности решения подобных задач.
1.1. Математические модели теплообмена при взаимодействии
материалов с внешней средой
Математическая модель (ММ), как абстрактное средство
приближенного представления (отображения) реального процесса с
целью его исследования, является математическим описанием
существенных факторов процесса и взаимосвязей между ними. Обычно
одному и тому же процессу может быть сопоставлено некоторое
множество моделей, отличающихся, в частности, числом учитываемых
факторов и соответственно полнотой и точностью описания
процесса, с одной стороны, и сложностью модели - с другой. Одно из
главных требований к ММ состоит в необходимости учета в ней всех
основных факторов и взаимосвязей рассматриваемого процесса и

исключения второстепенных факторов и связей. Выбор модели
диктуется, прежде всего, целью проводимого исследования, при этом
всегда стремятся предельно упростить модель для удобства работы с
ней и снижения затрат вычислительного времени при ее
практическом применении.
Для выбора, корректировки и проверки состоятельности
математической модели широко используются экспериментальные
исследования. Окончательное уточнение математической модели
происходит во время штатных испытаний системы. В данном параграфе не
ставилась задача законченного анализа используемых в настоящее
время математических моделей теплообмена в технических системах,
взаимодействующих с внешней средой. Этому вопросу посвящен ряд
широко известных монографий и в первую очередь [227, 198, 125,
117]. В данном параграфе рассматриваются некоторые наиболее
типичные формы представления математических моделей и
выявляются наиболее существенные закономерности их структуры. Так, чтобы
на основе проделанного анализа можно было предложить некоторые
формализованные обобщенные представления математических
моделей, пригодные для дальнейших численных исследований.
Построение математических моделей теплопереноса во многом
определяется постановкой соответствующих технических задач, а
также стратегией поиска и выбора решений. Многократная
повторяемость вычислений с использованием соответствующей модели
приводит к необходимости разработки таких математических моделей
процессов, протекающих в технических системах, которые
позволяют осуществить поиск оптимальных технических решений с
использованием существующей в настоящее время вычислительной техники
(что налагает существенные ограничения на потребные ресурсы
математического обеспечения).
Для решения технических задач, связанных с исследованиями
теплового состояния системы, можно использовать достаточно
простые математические модели, но которые должны быть теоретически
обоснованы. На практике используются стационарные и
нестационарные (динамические), линейные и нелинейные, одномерные и
многомерные модели. Наиболее распространенными в настоящее
время являются дифференциальные модели теплообмена с
распределенными параметрами (обычно параболического типа). В наиболее
общем виде математическую модель теплообмена в произвольной
технической системе можно представить в виде:
LT (f(x, т), 1(f)) = Lx (f(x, т), Iff)) + S(x, т),1еП, (1.1.1)

Т(х,0)=Т0(х), х&П, (1.1.2)
Bx(T(.x,t),z)=q(x,t), xedCl, (1.1.3)
где Q_^ некоторое открытое множество в R , £1 - его замыкание,
дС1=С1 \Q;jr(x, т) - вектор функций, характеризующий состояние
системы; 1(Т) - вектор функций - характеристик системы, q(x, т) -
вектор функций внешнего воздействия на систему; LT, Lx -
дифференциальные операторы, определенные на Q х (т0, тт] с= R х R, Вх -
дифференциальный оператор, определенный на
ЗПх(0, тт]сй2 xR.
Математическая модель тепломассообмена формально
записанная в виде (1.1.1)-( 1.1.3), на самом деле распадается на несколько
задач, соответствующих различным участкам рассматриваемой
технической системы и окружающей среды. Для каждого из них
необходимо построить отдельную математическую модель, позволяющую
осуществить эффективное решение соответствующей задачи.
При взаимодействии высокоэнтальпийного потока газа или
жидкости с материалом тела непосредственно у поверхности тела
образуется пограничный слой, являющийся источником
конвективного и радиационного тепловых потоков, а также
диффузионного и химического воздействия на материал, кроме того, на тело
оказывается механическое воздействие, приводящее к
возникновению касательных и нормальных напряжений (естественно, в
случае эксплуатации объекта в вакууме емеет место только
радиационные тепловые потоки). Под воздействием тепловых потоков
происходит сначала нагрев, а затем возможно, и частичное
разрушение материалов.
Расчет теплового взаимодействия материала с внешней средой, в
наиболее общем случае, должен основываться на решении задачи
тепломассообмена в системе жидкость (газ) - твердое тело с
привлечением уравнений внешней газодинамики (уравнения
гиперболического типа), уравнения турбулентного или ламинарного
пограничных слоев и в многокомпонентных реагирующих газовых смесях или
в жидкости и уравнения нестационарного тепломассопереноса
внутри исследуемой технической системы (уравнения параболического
типа).
Решение подобных задач в сопряженной постановке, с учетом
неодномерности протекания большинства процессов представляет в
настоящее время большие вычислительные трудности, к тому же
исходная физическая модель обычно недостаточно ясна и ее
коэффициенты недостаточно достоверны. Целесообразно условно разделить

исследуемую область на зоны, внутри которых справедливы свои
закономерности. Стыкуя решения, полученные для каждой зоны в
отдельности, при соответствующих граничных условиях можно
получить решение комплексной проблемы теплообмена, необходимое для
определения оптимальных параметров технической системы. В
качестве таких зон обычно выделяют области потока газа (жидкости),
омывающего исследуемое тело (внешняя задача) и собственно
техническая ситема (внутренняя задача) [217].
В качестве условий сопряжения решения этих задач используют
уравнения баланса тепловых потоков на границах между зонами.
Существуют также различные полуэмпирические методики,
позволяющие определить значения внешнего теплового воздействия в
зависимости от параметров набегающего потока, или других факторов,
не прибегая к решению задачи обтекания объекта газовым потоком
газа (жидкости) [4, 5]. Поэтому обычно при построении
математических моделей тепломассообмена допускается исследование тепловых
процессов внутри рассматриваемого тела изолированно от
пограничного слоя, области несжимаемого потока и т.д. - то есть внутренняя
задача анализируется независимо от внешней.
Сложные математические модели теплопереноса в технических
системах строятся с использованием моделей теплообмена в
отдельных элементах. Разбиение всей системы на отдельные элементы
определяется как способом блокирования внешнего теплового
воздействия, так и конструктивным исполнением системы.
В [217] выделяются пять основных способов отвода тепловой
энергии системами теплозащиты:
1. Поглощение тепла за счет теплоемкости материала системы,
что в той или иной степени присутствует в любых системах, однако
системы основанные только на поглощении тепла, являются
достаточно малоэффективными;
2. Конвективное охлаждение за счет внутреннеого омывания
взаимодействующей с набегающим потоком стенки каким-либо
охладителем, подобный способ обычно используется в жидкостных
ракетных двигателях, двигателях внутреннего сгорания,
энергетических установках и т.д.;
3. Охлаждение массообменом за счет принудительного вдува в
пограничный слой охладителя, применяется в камерах ракетных
двигателей, МГД-генераторах и т.д.;
4. Радиационное охлаждение за счет способности поверхности
системы излучать тепловую энергию; присутствует практически в
любых процессах.теплообмена, однако для эффективного
блокирования тепла этим способом, необходимо обеспечить достаточно высо-

кую температуру поверхности, радиационный теплообмен всегда
является определяющим для технических систем функционирующих в
вакууме;
5. Охлаждение за счет физико-химических превращений, так
как большинство фазовых превращений в материалах обычно
сопровождается существенным теплопоглащением: используется прежде
всего в разрушающейся теплозащите летательных аппаратов, камер
сгорания ракетных двигателей и т.д.
Все современные системы теплозащиты используют
комбинацию из вышеперечисленных способов. Математические модели
теплообмена в технических системах строятся с использованием
комбинации моделей теплообмена в отдельных элементах системы.
Разбиение всей технической системы на элементы (с точки зрения
математического моделироввания) определяется как способом защиты от
внешнего теплового воздействия, так и конструктивным
исполнением системы
Теплоперенос внутри каждого из элементов технической
системы определяется различными физико-химическими процессами:
теплопроводностью, химическим разложением, фильтрацией продуктов
разложения, термоусадкой, различными поверхностными
эффектами. Для каждого элемента следует разработать отдельную модель
теплообмена, адекватно отражающую основные, с точки зрения
теплового состояния материала, явления, протекающие во время
функционирования системы теплозащиты.
Ниже рассматривается процесс теплопереноса, протекающий в
элементе системы, взаимодействующим с внешней средой. В
наиболее общем виде модель нестационарного теплообмена в таком
элементе описывается системой дифференциальных уравнений [198]:
-(Upgj) + div(SpgjVg) = -div(s]gj) + u4j; аы)
y=ijv;
J^((l - lDpri) + div ((1 - S)psiVs) = -div ((1 - S)]si) + wsi;
(1Л.5)
|- (Прд Vg) + div (SpgVg )Vg = -grad (Sp) + Upg Fg; (1.1.6)

P=Pc
R
M„
(1.1.7)
d_
Пр.
'f + jW
+ A-0|Jp,|/,+iv,V,
V,
(1.1.8)
= _^г(п^) + div(SXggradTg) - div S^Igijgi
-div(H'R) + a(Tg - Ts) + UPgFg + Y.lliWgi;
i
j-(il-U)psIs) + div((\-S)psIsVs) =
= div((\-S)XsgradTs)-div(H"R) + a(Ts -Tg) - £/^-ау,
(1.1-9)
где Ns - число компонентов в композиционном материале, Ng -
число газообразных компонентов, образующихся при разложении
материала, П и S - объемная и поверхностная пористость, р - плотность,
р — давление, Т_^ температура, Я, — коэффициент теплопроводности,
I - энтальпия, Hr — интегральный поток лучистой энергии,а -
объемный коэффициент теплообмена между газообразной и твердой
фазами, R - универсальная газовая постоянная, Vg - среднемассовая
скорость движения, wg - массовая скорость образования
химических компонент в результате химических реакций, отнесенная к
единице объема, У - диффузионный поток компонентов относительно
среднемассового потока соответствующей фазы, F„ — массовая сила
сопротивления при фильтрации газа в пористой среде, Vs - скорость
*
усадки или деформации, вызванная внешними силами, I —
энтальпия газообразного компонента при температуре твердой фазы,
индексы s и д означают соответствие характеристик твердой и
газообразной фазам, а 7; - /-му газообразному компоненту,5,- - г-му
компоненту композиционного материала.
В большинстве случаев расчет теплообмена может быть
существенно упрощен. В [227] отмечается, что специфика работы
теплозащиты позволяет на большей части поверхности тел использовать
одномерную постановку задачи. Действительно, глубина прогрева
теплозащитной конструкции, взаимодействующей с внешней средой
должна быть существенно меньше, чем характерные размеры систе-

мы в целом, что следует из самого принципа создания теплозащиты.
(Однако, в случаях большой кривизны поверхности вопрос
правомерности одномерной постановки требует дополнительного
рассмотрения). Кроме того, неметаллические материалы обладают, как
правило, значительной пористостью и большим содержанием
органических компонентов, являющихся основными источниками
образования газообразных продуктов разложения, среднемассовая
фильтрация этих газов к поверхности внутри прококсованного слоя
существенно превосходит диффузные потоки в том же направлении,
поэтому последними можно пренебречь. Отсутствие достоверных
экспериментальных данных по механизму усадки или деформации
материалов тепловой защиты, происходящей из-за термических напряжений
и действия внешних сил, не позволяет учесть эти явления даже в
точных теоретических моделях. Общепринятым допущением считается
также отбрасывание членов, связанных с гидравлическим
сопротивлением каркаса, работой сил давления и кинетической энергией газа.
Целесообразно также объединить в одном коэффициенте Я,2
суммарный эффект молекулярного и радиационного переноса тепла (также
объединение возможно в случае, когда размер пор достаточно мал по
сравнению с глубиной прогрева). Вместо уравнения сохранения
количества движения обычно используют закон Дарси [227].
Объемная и поверхностная пористости отождествляются, т.е. П = S. Менее
обоснованным является часто принимаемое допущение [198,227] о
том, что при высокой интенсивности фильтрации газовой фазы ее
температура равна температуре пористого каркаса.
С учетом вышеизложенных допущений система (1.1.4)
принимает вид:
— (UpsVs)=wg =-ws,
|^((1-п)р,) = *'„
p=p(ps,Ms,T),
A((i_n)p^) = £^f)-^np,V?,
дхК И) [р, д p2 9J
1.1.9)
.1.10)
.1.11)
.1.12)
.1.13)
.1.14)

U-IQCsPEL = £r\xs?L\-CgG™-ag-Ig)Wgt (1.1.15)
где Vg — скорость газообразных компонентов, \xs — коэффициент
вязкости газообразных продуктов, (31; (32 _ вязкостный и
инерционный коэффициенты в законе Дарси.
Для большинства практически применяемых материалов
характерно, что перепад давления поперек слоя пренебрежимо мал и
можно всюду принять давление р равным давлению на внешней поверх-
д1 с
ности ЛА - ре. Учитывая, что —— = cs - удельная теплоемкость ма-
дТ
териала и привлекая соотношения (1.1.10)-( 1.1.14), получается
следующее уравнение сохранения энергии:
Ш. = А.(\ ^Г|_ G —
дт дх\ дх J 9 g дх
Gg=nPgVg=-)Wg(OdE,
О
где Cg =dlg / dT - теплоемкость газообразных продуктов
термодеструкции (.1 д~ энтальпия газа). С учетом того что массовая скорость
образования газообразных продуктов термодеструкции
Wg = -dp / dt, можно записать что массовый расход газообразных
"■А
ldT
*о
и твёрдой фазы АН = Is. — Iq, умноженная на скорость реакции
термического разложения wg, является интенсивностью
тепловыделения в материале.
Рассмотрим далее математическое описание процесса
термодеструкции. Термическое разложение полимеров представляет собой
совокупность многостадийных гомогенных и гетерогенных химических
реакций и фазовых превращений. Главной характеристикой этого
сложного комплексного процесса является массовая скорость
образования газообразных продуктов термодеструкции, отнесенная к
единице объема образующейся пористой среды w„ = -dp / dz. В
силу достаточно слабой изученности нестационарных процессов
терморазложения теоретически оценить величину Wg с приемлемой для
практики точностью на сегодняшний день не представляется
возможным. Поэтому для этой цели используются экспериментальные
методы, среди которых наибольшее распространение получили
методы термогравиметрического анализа.
В качестве математической модели процесса термодеструкции
обычно используется суммарное обобщенное кинетическое уравне-
продуктов термодеструкции Gg = - [—dE,. Разность энтальпий газа

ние аррениусовского типа, которое приближенно описывает всю
совокупность физико-химических реакций и превращений при
терморазложении и содержит ряд обобщенных кинетических параметров.
При этом используются различные формы представления
кинетического уравнения: относительно потери веса исследуемого образца,
кажущейся плотности твердой фазы, относительной массы
реагирующего вещества или формы записи кинетическое уравнение
используется для вычисления массовой скорости образования
газообразных продуктов W. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать это
уравнение в размерном виде, т.е: относительно плотности
разлагающегося материала.
Наиболее часто модель термодеструкции записывается в виде
суммарного кинетического уравнения для одностадийного процесса.
Такое уравнение имеет следующий вид
^ = Кр", (1.1.16)
где К- коэффициент скорости реакции, зависящей от определяющих
факторов, в частности, от температуры и соответствующего набора
кинетических параметров; п - порядок реакции. Соотношение
(1.1.16) представляет собой обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка. Для его решения необходимо зафиксировать
начальное условие, отражающее тот факт, что до начала разложения
плотность равна плотности исходного материала. Кроме того,
необходимо учесть, что процесс термодеструкции начинается при
достижении некоторой температуры начала разложения Тт, а при
меньших температурах разложение отсутствует. Таким образом, правая
часть уравнения (1.1.16) может являться ступенчатой функцией
температуры. В результате математическая модель термической
деструкции записывается в виде следующей задачи Коши
dp=JKp«,r>7V, (11Ш
dT [О, Т < Тг,
р(0)=Ро. (1.1.18)
Весьма распространенной является модель изотермической
кинематики, в которой константа скорости реакции К зависит только от
температуры и вычисляется только по закону Аррениуса
К=Вехр(-—), (1.1.19)
RT

где В — коэффициент скорости реакции; Е / R — энергия активации.
Однако математическая модель (1.1.17)—(1.1.18) часто не позволяет
описать с удовлетворительной точностью процесс внутреннего
разрушения композиционных материалов в достаточно широком
диапазоне изменения эксплуатационных условий нагрева.
Экспериментально установлено, что к факторам, определяющим кинетику
термического разложения, следует отнести не только температуру, но и
скорость ее изменения или темп нагрева b =дТ / дт. Так, например,
экспериментальные исследования широкого класса полимеров
выявили смещение кинематических кривых, т.е. зависимостей массы
образцов от температуры, в область высоких температур, а также
деформацию этих зависимостей с ростом темпа нагрева. Поэтому
одностадийная математическая модель термодеструкции в общем случае
должна включать в себя два определенных уравнения: уравнение
неизотермической кинетики для зоны физико-химических превращений в
материале и зависимость температуры начала разложения от темпа
нагрева. Подобного рода модель рассматривалась и имела вид [305]
г (1.1.20)
dz _
d-i ~'
-(А + AAb)zn exp
0,Т<Тг(Ь),
Е '
RT
Тг(.Ь)=Тг0+афа\ (1.1.21)
г(0) =1. (1.1.22)
где z = (р - р£) / (ро - Pk) - концентрация разлагающейся
компоненты.
Е
Обобщенные кинетические параметры А, АА, п, —, Tr , flj,fl2
IS.
определяют форму кинетических зависимостей при
термодеструкции. Их численные значения определяются в результате
соответствующей обработки данных термогравиметрического анализа. В
последнее время для этой цели все шире начинаю использоваться
методы, основанные на решении обратных задач. При этом
рассматриваются и другие функциональные зависимости правых частей
уравнений (1.1.20)—(1.1.22) от определяющих факторов.
Следует заметить, что при анализе прогрева и разложения
композиционных материалов модель вида (1.1.20)-( 1.1.22) необходимо
рассматривать в каждой пространственной точке материала.
Поэтому у такой модели пространственная координата х выступает в
качестве параметра.

Для того, чтобы не ограничивать области дальнейшего
изложения конкретным видом кинетических зависимостей, представим
математическую модель термодеструкции в следующей общей форме:
dp _ [F(T(.x,i), b(x,z), p(x,z), a), T > Tr,
dx " [0, T < Tr,
Tr=Tr(b), (1.1.24)
p(*F0)=p0. (1.1.25)
где функции F(T,b,p,a) и Tr(b), а также вектор обобщенных
кинетических параметров а конкретизируются при анализе и обработке
данных термогравиметрического анализа.
Таким образом, математическая модель, определяющая
пространственно-временное распределение температуры в
разлагающемся композиционном материале при его интенсивном нагреве
включает две взаимосвязанные нелинейные системы уравнений:
краевую задачу (1.1.15) и задачу Коши (1.1.23)-(1.1.25). Решение
этих систем должно осуществляться совместно. Следует заметить,
что при анализе прогрева и разложения композиционных
материалов модель вида (1.1.23)-(1.1.25) необходимо рассматривать в
каждой пространственной точке материала. Поэтому в такой модели
пространственная координата выступает в качестве параметра.
В тех случаях, когда нет достоверной информации о характере
теплофизических превращений внутри материала, и, следовательно,
не известен структурный вид зависимости w„ = wq (T), вместо
уравнения (1.1.15) используется так называемое обобщенное уравнение
теплопроводности:
Саф<т)^=^[Хаф(Т)%)+0эф(т)Ъ+S^(T)- (1126)
В случае применения одномерной модели теплопереноса область
Q (см.(1.1.2)-(1.1.4)) становится открытым интервалом:
Q = (0,Ь) с R. Величина параметра b зависит от многих факторов.
Если разрушение материала происходит с линейной скоростью V(t),
то координата внешней поверхности зависит от времени следующим
образом:
т
Ь(т) = Ь(0) - |у(тМт, (1.1.27)
О

Таким образом дифференциальный оператор (1.1.9) действует в
области:
П = (0,Ыд)) + (0,тто]сДхД.
Теплоперенос во внутренних элементах конструкции ЛА обычно
описывается однородным уравнением теплопроводности:
ч
ЭФ^ ' дх ' (1.1.28)
хе(Хм, X,),/ = 1, L-1, Х„ = 0.
Между отдельными элементами (слоями) системы может иметь
место неидеальный тепловой контакт. В этом случае условия
сопряжения поля температур между слоями записываются с
использованием термического контактного сопротивления:
^CO^j-UCt.-z) =-Хзф1(Т)-^-(Х1,х), (1.1.29)
/ = 1,L-1, тб.(0,тт],
-ЯДГ)^(Г)|1(Х,,т) = ВД,т) -ТМ{Х1Л), (1 л зо)
l = \,L-\, те(0,тм],
где R[(T) - контактное термическое сопротивление в стыке между
1-ым и (/ + 1)-ым элементами системы.
Для решения дифференциального параболического уравнения
теплопереноса необходимо задать начальные условия. Обычно
предполагается, что для начала интенсивного нестационарного процесса
теплообмена система находится в состоянии теплового равновесия с
окружающей средой. Поле температур внутри системы принимается
постоянным, то есть:
Т(х,0)=Т0,хе[Х0 =0,XL =6(0)]. (1.1.31)
В тех случаях, когда до начала функционирования системы
теплозащиты имел место некоторый процесс теплообмена (например,
радиационный нагрев в условиях космического полета перед входом
аппарата в атмосферу планеты), условие (1.1.3) перепишется в виде:
T(x,0)=T0(x),xs[X0lXL], (1.1.32)
где Tq(x) может быть определена из решения классических задач
стационарной теплопроводности.

Граничные условия (1.1.4) в краевой задаче (1.1.2)-(1.1.4) в
случае одномерной постановки распадаются на два:
В1Х(ПХ0,т))=С?1(т), те (0, тя], (1.1.33)
B,x(.T(Xl,j)) =q2(-[), т е (0, хт], (1.1.34)
соответствующие внутренней границе системы'(1.1.33) и внешней,
взаимодействующей с набегающим газовым потоком (1.1.34).
На внутренней границе в качестве краевого условия задаются
классические граничные условия 1-го, П-го ли Ш-го рода:
-Pl^CO^ + а,ШГо,т) =<7lW. т 6 (0, т J (1.1.35)
где а], Pi - параметры а^ е {0,1}, pj е {0,1}, «71W ~~ известные
функции, определяемые из уравнений, описывающих теплоперенос во
внутренних элементах ЛА, или из технических ограничений, в
случае граничного условия Ш-го рода а^ = аг;(т) также известная
функция.
Особо важную роль при анализе теплообмена в технических
системах играют граничные условия па поверхности, непосредственно
взаимодействующие с внешней средой, не только ввиду сложности
протекающих там теплофизических, физико-химических и радиаци-
онно-оптических процессов, но и в силу того, что на этой
поверхности поглощается существенная часть тепла, подводимого извне.
Обычно условия тепломассообмена на внешней поверхности тел
записываются в форме уравнения теплового баланса (рис. 1.1.1):
«72W =<7xto =Z±<7i<A * е (0, тт] (1.1.36)
г
где <7^ - плотность теплового потока, идущего на прогрев
внутренних слоев материала. По закону Фурье
q\ (т) = -X
дШ\
дх Jw
(1.1.37)
и индекс w означает условия на внешней поверхности. В достаточно
общем случае с учетом направления оси ОХ уравнение теплового
баланса можно представить как
Я\ =-Яо -Ял +Яизл +Явд +ЯУн +Япл< (1.1.38)
где <7о - плотность конвективного теплового потока, поступающего
из пограничного слоя; q^ - плотность радиационного теплового
потока, поступающего из ударного слоя газа; q1i3n - плотность
теплового потока, излучаемого поверхностью тела; qg^ — плотность теплово-

Рис. 1.1.1. Взаимодействие материалов с высокоэнталъпийным
внешним потоком: 1 - ударный слой; 2 - пограничный слой; 3 ~ унесенный
материал; 4 - кокс; 5 - зона разложения; 6 - исходный материал
го потока, блокируемого за счет вдува продуктов разложения в
пограничный слой; qyH — плотность теплового потока, блокируемого за
счет физико-химических превращений на поверхности. Рассмотрим
эти составляющие более подробно.
1. Тепловой поток, поступающий из пограничного слоя <7о,
определяется теплопроводностью омывающего тело газового потока и
участием в переносе тепла атомов и ионов, образующихся в
результате диссоциации и ионизации газа. Они диффундируют в области
меньшей атомарной и ионной концентрации, где рекомбинируют,
перенося тем самым энергию к поверхности. Таким образом, величину
конвективного теплового потока к поверхности тела можно
определить как [4]
(to=-X9-£ + XCiP*ViIi> (1139)
где "kg - коэффициент теплопроводности газа; Тд — температура
газа; ps - плотность газа; Сг-У;/г- - концентрация, скорость
диффузии и энтальпия г-той компоненты газовой смеси.
В инженерной практике для вычисления значения <7о
применяется модифицированная формула Ньютона [4]. При малых скоростях
потока газа (жидкости) используется понятие коэффициента тепло-

отдачи, и выражение для плотности конвективного теплового потока
записывается в виде
qQ=a(Te-Tw), (1.1.40)
а- коэффициент теплоотдачи; Те - температура восстановления
набегающего потока; Tw — температура стенки.
В случае наличия в пограничном слое газа иного химического
состава, вдуваемого с внешней поверхности тела, либо химических
реакций между компонентами, имеющимися в пограничном слое,
рассматривается обобщенный коэффициент теплоотдачи:
Яй
а
VCP7
v* e w ) >
(1.1.41)
где
а
VC*)
обобщенный коэффициент теплоотдачи на поверхности;
0
Ie — энтальпия набегающего потока при температуре
восстановления, Iw - энтальпия смеси, имеющей состав внешнего потока при
температуре стенки.
Существуют различные приближенные критериальные зависи-
f \
а
в виде
мости определения а или
С
РУ
о
'а^
vcp;
/1еУ
о
Так, например, в случае, когда жидкость можно считать
несжимаемой.
а0 = 0,323 Pr2/3Re'J/2piuiCp,
(1.1.42)
где plf щ, Ср - плотность, скорость, теплоемкость потока жидкости;
Рг - число Прандтля; Re.,. - число Рейнольдса, индекс «1» означает,
что характеристики соответствуют состоянию в набегающем потоке.
При больших скоростях набегающего потока коэффициент
может определяться по формуле
а о =0,332*^ №СРГ2/3,
V 1эф
(1.1.43)

\i - вязкость потока газа; коэффициент К - фактор, учитывающий
влияние сжимаемости,
К =
HoPo
0,5
Pi»
Ргп
(1.1.44)
Здесь индекс «0» означает, что характеристики вычисляются
при определяющей температуре
Т0 = Т{ + 0,5(ГШ - Г,) + 0,22^-J-Ml,
(1.1.45)
М - число Маха; k - показатель адиабаты для газа; 1эф -
эффективная длина [4]; К^ - коэффициент, учитывающий влияние
продольного градиента скорости
( Т7Л( 2т ^/3^1/6
К, =
1 + 0,16
1 +
'о;
{™ + У
(1.1.46)
дил I
где т = —- .
dl щ
Наиболее сложным представляется случай наличия химических
реакций в пограничном слое. При диссоциации компонентов
газового потока (Г,- < 9 • 10 К) обобщенный коэффициент теплоотдачи в
окрестности критической точки определяется как
( \
а
vcp;
0,72
0,6,
И/6 "1
l + O.OS^lPr-^^p,,)1/^^-
(1.1.47)
В области частичной ионизации (Г,- > 9 • 10 К) для воздуха
можно рекомендовать использование следующей зависимости [175-177]:
-2 Tw
( \
а
'PJ
0,763| 0,75 + 2,73 . Ю--—=- |х
£*1 О
х(Ргэ0)-О'6(Ц1Р1)°'315(^Р,)1/6^.
(1.1.48)
Одним из важных случаев взаимодействия материалов с
внешней средой является наличие твердых частиц в набегающем потоке
(гетерогенные двухфазные потоки). При этом происходит усиление
теплового потока, подводимого к телу:

<7o
( \
a
KCPJ
(J, -IJ + Aqo, (1.1.49)
где Д<7о характеризует дополнительное воздействие
мелкодисперсной фазы на поверхность. В общем случае
A?o=XA<7o- (1.1.50)
а
Каждая из составляющих (1.1.50) связана с каким-либо
отдельным фактором теплового взаимодействия (передача энергии твердых
частиц телу за счет неполной упругости соударений, повышение
шероховатости поверхности, дополнительная турбулизация потока
выбитыми частицами и т.д.). Общепринятой является форма записи
только составляющей, связанной с передачей энергии [27]:
Д*о=/о^-. (11-51)
где G„ — массовый расход твердой фазы; V„ — скорость твердой
фазы; /о — коэффициент аккомодации (0 < /q < 1).
2. Существенные тепловые потоки, вызываемые радиационным
излучением нагретого газа, имеют место при движении объектов в
атмосфере Земли со скоростью, большей чем 8-10 м/с. Для
других планет эта граница определяется химическим составом и
физическими свойствами их атмосферы [139].
В общем виде лучистый поток, подводимый к поверхности,
имеет вид
«1
qR = 2л J \\i(Jv - JZ)d\idv, (1.1.52)
00
где [i =cos6; 6 - угол между рассматриваемым направлением и
нормалью к поверхности; /J, /^ - спектральные интенсивности излуче-
л я
ния газового потока для областей углов 0<9< — и — <0<я
соответственно, которые могут быть получены из решения системы
уравнений для высокотемпературного ударного слоя газа или других
моделей переноса излучением [198].
В случае оптически «тонкого» слоя газа, т.е. когда
распределение температуры по толщине ударного слоя можно считать
изотермическим. Лучистый поток в стенку равен

<1R
2Kp&rt% (1.1.53)
где а - постоянная Стефана-Больцмана; К„ - коэффициент
поглощения, усредненный по Планку.
На практике при решении различных задач часто пользуются
эмпирическими зависимостями вида
qR=a
Г?1 \b . „ т/3
00
R
(у ^РссКс_ (1.1.54)
где рда - плотность газа; V^, - скорость движения; R - радиус
затупления тела; a,b,c,d - константы.
Кроме тепловых потоков, излучаемых ударным слоем газа,
обтекающим исследуемый объект, источником лучистого потока может
быть любое нагретое тело, поверхность которого не затенена
относительно анализируемой точки поверхности рассматриваемого тела.
Если пренебречь поглощением и рассеиванием среды (т.е.
предполагать, что взаимодействующие тела находятся в вакууме), то
подводимый к данной точке лучистый поток будет равен
qR = ^os^coS<?2dFeGTl (1155)
р ПГ
где е - интегральная полусферическая степень черноты излучающего
тела; г - расстояние между анализируемой точкой и текущей точкой
излучающего тела; dF — элементарная поверхность излучающего
тела; ср^ — угол между нормалью к текущей точке излучающего тела
и прямой, соединяющей ее с анализируемой точкой; q>2 _ аналогично
для анализируемой точки поверхности.
Важным частным случаем лучистого теплообмена является
радиационный нагрев космического летательного аппарата в вакууме
солнечной энергией (как идущей непосредственно от Солнца, так и
отраженной от поверхности планет), а также энергией собственного
излучения планеты. В этом случае [4]
qR = As(qs(x) + <7г(т)) + eqEU), (1.1.56)
где As - поглощательная способность материала, qs - плотность
теплового потока солнечного излучения (прямого), qT - плотность
теплового потока солнечного излучения, отраженного от планеты, qE -
тепловой поток собственного излучения планеты являются
функциями радиационных характеристик планеты (альбедо, плотности и
интенсивности излучения) и геометрических характеристик системы
космический аппарат - планета (ориентация аппарата относительно

планеты и Солнца, траекторных характеристик аппарата и условий
освещенности Солнцем видимой части планеты.
3. Тепловой поток, излучаемый нагретой поверхностью
рассматриваемого технического объекта, в соответствии с законом Стефа-
на-Больцмана определяется как .
00
Чизл = jzvJovdv=zoT£, (1.1.57)
о
где Jqv - спектральная интенсивность излучения абсолютно черного
тела; ev — спектральная полусферическая степень черноты
материала поверхности; е - интегральная полусферическая степень черноты,
Jey/0vrfv
U )
/
\jovdv
lo J
Спектральная степень черноты zv сравнительно слабо зависит от
температуры Tw, но сильно меняется с изменением длины волны v, a
интегральное значение степени черноты существенно зависит от Tw,
поскольку максимум распределения плотности потока излучением с
ростом температуры сдвигается в область коротких волн. Кроме
того, интегральная степень черноты существенно зависит от
шероховатости и чистоты поверхности, а также технологии изготовления
покрытия.
4. Тепловой эффект вдува газа в пограничный слой объясняется
тем, что при вводе холодного газа (жидкости) в пристеночный слой
толщина этого слоя увеличивается, происходит оттеснение горячего
газа (жидкости) от поверхности рассматриваемого объекта. При
этом в качестве охладителя могут использоваться как специальные
газ или жидкость (пленочное, пористое, заградительное
охлаждение), так и продукты разложения материала поверхности.
Температура охладителя повышается в пограничном слое от температуры
поверхности Tw до некоторой температуры, близкой к температуре
восстановления. Поэтому принято поглощение тепла за счет вдува
описывать следующим выражением:
qed=y(Gg+GwWe-Iw), (1.1.59)
где Gg - массовая скорость образования газообразных компонентов
в результате процессов химического разложения внутри материала
либо расход охладителя; Gw - массовая скорость образования
газообразных продуктов разрушения в результате фазовых
превращений на поверхности; у — коэффициент вдува, характеризующий спо-

собность охладителя или продуктов разрушения снижать тепловой
поток к поверхности.
В большинстве расчетных и экспериментальных работ в
качестве основных параметров, определяющих коэффициент вдува,
используются молекулярные массы вдуваемого газа (жидкости) и
внешнего потока. Обычно коэффициент влува записывается в виде [185]
у=а(Ме /Мд)Ь. (1.1.60)
Иногда используется и более сложное соотношение:
Y=a(Me/Mg)baw/Ie)c. (1.1.61)
При вдуве смеси газов (жидкости) рекомендуется пользоваться
формулой [186]
Y = tra^-. (t-1-62)
a=1 Ьд
где I - число компонентов смеси; Ga - массовый расход a-го
компонента; у а - коэффициент вдува a-ой компоненты:
TGa=Gg.
a=l
Остается только добавить, что значения у для турбулентного и
ламинарного потоков газа (жидкости) существенно различаются.
5. Большую роль в теплообмене при взаимодействии материала
с высокоэнтальпийным газовым потоком играют физико-химические
превращения на поверхности, так как обладают высокой
энергоемкостью. В общем виде их вклад в тепловой баланс на поверхности
представляется как
Яун =GWAQW, (1.1.63)
где AQW - суммарный тепловой эффект физико-химических
превращений на поверхности материала; Gw - массовая скорость продуктов уноса.
Суммарный тепловой эффект и массовая скорость разрушения
зависят от температуры поверхности, параметров набегающего
потока и других факторов:
Gw=Gw(Tw,(a/ Cp)Q,pQ,Iey, (1.1.64)
AQW =AQw(Tw,(.ol / Cp)0,Po,Ie), (1.1.65)
где pQ - давление торможения.

Введение в рассмотрение характеристики AQW вместо
общепринятой при исследовании стационарных процессов теплообмена
эффективной энтальпии разрушения материала обусловливается двумя
факторами: а) тепловой поток qa, идущий на прогрев внутренних
слоев материала, существенно отличается от своего
квазистационарного значения; б) массовые доли компонентов на разрушающейся
поверхности могут резко отличаться от исходного состава
материала. В качестве материалов, для которых допускается
физико-химическое разрушение при взаимодействии с внешней средой,
используются неметаллы, обычно сложного состава. Данные
экспериментальной отработки различных теплозащитных покрытий показывают,
что не все физико-химические превращения в материалах и не все
компоненты, входящие в состав композиционных материалов,
одинаково сильно влияют на процесс теплообмена. Это позволяет
утверждать, что существует ограниченное число моделей, или механизмов
разрушения, которые позволяют рассчитывать процессы
теплообмена при различных внешних условиях.
Для практически используемых материалов характерны
переходы от одних определяющих механизмов разрушения к другим в
течение различных стадий процесса нагрева. В настоящем параграфе
анализ существующих математических моделей теплообмена на
поверхности ограничивается наиболее известными случаями, для
которых разработаны широко используемые на практике зависимости
для определения AQW и Gw.
а) Если переход материала из твердого состояния в газообразное
происходит минуя жидкую фазу, то говорят о сублимирующем покрытии.
Для сублимирующих материалов массовую скорость уноса
можно определить по формуле Кнудсена-Лангмюра:
Gw = t /Да(Р" ~—> <1-1.66)
где аа - коэффициент аккомодации а-го компонента; р" - давление
насыщенных паров при температуре Tw; pa - давление а-го
компонента над поверхностью; Ма - молекулярная масса.
Суммарный тепловой эффект определяется по уравнению Клай-
перона-Клау зиуса:
AQ» = £cB-£^^£., (1.1.67)
„=1 Ма dT
где Са — концентрация -го компонента.

б) У материалов, химически реагирующих с набегающим
потоком, массовая скорость уноса и суммарный тепловой эффект
существенно зависят от химического состава материала и набегающего
потока. В качестве примера рассмотрим кинетическое окисление
графита, описываемое законом Аррениуса:
Gw = B(p02)n ехр(--^-), (1.1.68)
RTW
где В — предэкспоненциальный множитель; Е - энергия активации;
п- порядок реакции.
Суммарный тепловой эффект физико-химических превращений
равен экзотермическому эффекту горения:
AQa,=AQc+o2^co^co2- (1.1.69)
В [227] отмечается резкое экспоненциальное увеличение
скорости реакции в кинетическом режиме с ростом температуры Tw. Ясно,
что наступит режим, при котором скорость разрушения материала не
зависит otTw, а будет лимитироваться скоростью диффузии
кислорода в пограничном слое. При диффузионном горении материала
необходимо учитывать.характер течения в пограничном слое, скорость
образования отдельных компонентов, размер и форму
анализируемого тела и т.д. Несмотря на это, скорость диффузии обычно можно
описать приближенным выражением типа
Gw = f(Ma.C^Cfu.R.pe.u т.д.), (1.1.70)
где Ма — молекулярная масса различных составляющих; С^ —
концентрация кислорода у поверхности тела; Cq; — концентрация
кислорода в потоке; R — радиус затупления тела; ре - давление в потоке.
Суммарный тепловой эффект при этом равен
AQa,=AQc+o2->co2- ' (1.1.71)
6. Процессы плавления и течения пленки расплава для
кристаллических и аморфных материалов существенно различаются.
Кристаллические материалы плавятся при постоянной температуре 7^,
при этом вязкость жидкой фазы оказывается столь малой, что вся
расплавленная масса практически мгновенно сносится с поверхности
материала под действием аэродинамических или гравитационных
сил [227]. В результате температура внешней нагреваемой
поверхности такой пленки близка к температуре плавления Ttul, а толщина
самой пленки весьма мала. В этом случае
«7n*=AO„-GfM, (1.1.72)

где ДРпл - тепловой эффект плавления; GnJl - массовая скорость
плавления материала.
Аморфные материалы не имеют четко выраженной толстой
пленки расплава, а это, в свою очередь, приводит к необходимости
исследования еще одной зоны тепломассообмена - вязкой пленки
расплава. Система уравнений, описывающих неустановившееся
движение пленки расплава в системе координат, связанной с
поверхностью раздела, включает в себя уравнения неразрывности,
сохранения механического импульса и сохранения энергии. В простейшем
случае она имеет вид [227]
1ы. + |-(го)=0; (1.1.73)
81 дх
*("£)♦'-^
рс— + рси— + pcv— = — \Х— \ + qv, (1.1.75)
дх 31 дх дх\ дх J
где г = КО ~~ расстояние от оси симметрии тела до рассматриваемой
точки жидкой пленки; и, v - проекции вектора скорости на
продольную (0 и нормальную (х) к поверхности тела координатные оси;
ц = ц(Г) - коэффициенты вязкости расплава; Fx — касательная
составляющая инерционных сил; qv - тепловой эффект плавления
материала.
Соответствующее граничное условие для уравнения сохранения
энергии на внешней поверхности
-UTW) — (.0,1,1) =q0 +qR +qU3Jl + Gucn&Qucn + Gucny(Ie -Iw)
дх
(1.1.76)
Здесь Gucn — массовая скорость испарения материала
поверхности пленки; AQMcn _ тепловой эффект испарения.
Необходимо отметить, что при решении системы
дифференциальных уравнений (1.1.73) - (1.1.75) невозможно перейти к
одномерной постановке задачи. Однако в [214] приводится следующая
зависимость для вычисления массовой скорости уноса материала при
плавлении:
г 252р
atw _ 25 d Pe
, dl dl2 ,
(1.1.77)

где iw — касательное напряжение аэродинамического трения на
поверхности; р — давление; 5 = А. / (!ССшпп) - приведенная толщина
пленки расплава; \iw - вязкость пленки расплава у стенки; п -
параметр, характеризующий вязкость расплава.
Учитывая разнообразие формы записи условия теплового
баланса на поверхности технических объектов, можно тем не менее
разработать единый подход к исследованию процессов
взаимодействия различных материалов с внешней средой. Для этого следует
записать некоторую формализованную обобщенную модель
теплообмена, структура которой позволяет учитывать возможно большее
количество явлений на поверхности. Такая модель впоследствии может
быть использована для различных математических преобразований
краевой задачи теплообмена независимо от особенностей
материалов, определяющих механизмы разрушения, и других факторов, а
также при разработке вычислительных алгоритмов и
соответствующих компьютерных программ. Представляется целесообразным
ввести понятие «функции теплового баланса на поверхности
технической системы» (в дальнейшем просто функция теплового баланса),
которая включает в себя все составляющие правой части уравнения
(1.1.38). Значение функции теплового баланса в каждый момент
времени численно равно плотности теплового потока, идущего на
прогрев внутренних слоев:
Н = -)1?р\ ,те(0,тт]. (1.1.78)
Функция теплового бвланса связывает характеристики
теплозащитного материала, параметры набегающего потока и тепловое
состояние материала. Для дальнейшего анализа ее удобно представить
в виде
Я = Я(сГ,й), (1.1.79)
где G - вектор функций {^j(t)}1 9 , компоненты которого
характеризуют внешние условия, обьгано зависят от времени и определяют
конкретный процесс теплообмена (в качестве компонентов д можно
— N*
рассматривать /е(т),ре(т) и т.д.); и - вектор функций {щ}^ ' ,
компоненты которого являются характеристиками материала,
взаимодействующего с газовым потоком, и зависят от компонентов д :
щ = щ(д;...д; ), щ > 1 - количество аргументов г-го компонента ы.
В качестве компонентов можно рассматривать:

е(Г),АО.
т а
С
ч °Р
w ,-, >•' аРе
И Т.Д.
Так, например, уравнение теплового баланса на поверхности,
охватывающее достаточно широкий круг теплозащитных
материалов, может быть записано в виде
<
( \
ос
VCPJ
{Ie-Iw) + ae(T)T£ +
+G„
( ( \
а
"Р J
Je'Pe
О J
а
AQa
чСР
Je'Pe
О /
+yGn
а
KCPJ
\
Je.Pe
О J
</« -/*,)
(1.1.80)
тогда
5 Га 1
9 ={.9>}l..9l =TW,92 = — , 93=Ie>94=Iw>ffS=Pe,
K^PJo
й = {ид)\,щ =щ(дх) =е,и2 =u2(gu92'93'ff5) = Gw (1-1.81)
Н(д,и) = -?2(.7з ~ 9\> + ®и\9\ + ы2"3 + "4"2<.93 ~ 9а>-
Учитывая все изложенное, граничные условия на внешней
поверхности можно записать в виде двух уравнений:
ЪЮ = -*{%) 'Т6(0'
*ml;
(1.1.82)
(1.1.83)
qx(x) =Н(д,и), тб(0,тт].
Введение функции теплового баланса позволяет практически
реализовать универсальное прикладное программное обеспечение для
анализа тепловых режимов в технических системах. Разработка
программ для вычисления составляющих функции теплового баланса
осуществляется непосредственно для каждой конкретной задачи
взаимодействия материалов технической системы с внешней средой.
Такой подход позволяет разработать разветвленный комплекс
алгоритмов и программ.

1.2. Анализ влияния неопределенности задания характеристик
теплообмена на тепловое состояние системы
Получение достоверных результатов решения задачи теплового
проектирования рассматриваемой системы возможно лишь при
использовании математической модели теплопереноса в той или иной
степени адекватной реальному физическому процессу.
По видимому, можно говорить об адекватности структуры
математической модели и об адекватности используемых в ней
характеристик (коэффициентов модели). Очевидно, что соответствие
математической модели с заданной структурой реальному физическому
процессу обусловливается, в первую очередь, выбором значений
коэффициентов модели. Вопрос степени адекватности коэффициентов
модели возникает вследствие того, что в практических задачах
исходные данные задаются с погрешностями, которые неизбежно
приводят к погрешностям в прогнозах теплового состояния системы.
Так в [149] представлены расчеты по определению массовых
характеристик системы тепловой защиты спускаемого аппарата при
скоростях входа в атмосферу от 13,7 х 10 до 17,4 х 10 м/с при
погрешностях в задании эффекта влияния вдува, излучательной
способности прокотированного слоя, химического состава
газообразных продуктов пиролиза, температуры сублимации. К сожалению,
авторы ограничились линейными моделями теплообмена и не
приводят количественных значений исходных данных. Аналогичные
исследования описываются также в [145].
Очевидно, что коэффициенты математических моделей в силу
их нелинейности по разному влияют на результаты расчетов в
зависимости от значимости отдельных составляющих теплообмена для
процесса в целом, а также от выбранных критериев сравнения
близости полученного решения реальным явлениям. Так для одних систем
важным является получение как можно более точного значения поля
температур, для других - массовой скорости уноса, для третьих -
степени разложения материала.
Целесообразно выделить в математической модели
коэффициенты, оказывающие наиболее существенное влияние на результаты
решения проектной задачи или прогнозирования теплового состояния
системы. Проведение такого предварительного анализа необходимо
перед переходом к решению каждого нового класса задач,
связанного с изменением структуры математической модели. После чего
структура используемой математической модели может быть
существенно упрощена за счет исключения тех членов, которые не
оказывают заметного влияния на теплообмен в целом.

Кроме того, в силу наличия погрешностей в коэффициентах
модели, возникает необходимость анализа чувствительности модели к
погрешностям исходных данных. На основании такого анализа
можно сформулировать требования к точности задания коэффициентов
модели, исходя из требования к точности результатов расчетов.
В качестве примера проанализируем чувствительность модели,
используемой при решении задачи выбора оптимальной толщины
теплозащитного покрытия исследовательского летательного
аппарата, входящего в атмосферу Земли [236,487]. Цель проводимого
анализа влияния неопределенности исходных данных на результаты
решения задачи проектирования состоит в получении количественной
информации о влиянии погрешностей задания теплофизических
характеристик теплозащитного материала на проектные параметры
покрытия, а также на характеристики прогрева и уноса.
Теплозащитное покрытие предполагается однослойным, выполненным из
композиционного материала на основе углерода [425]. Силовая
конструкция аппарата выполняется из аллюминиевого сплава. Расчет
осуществляется для точки на боковой поверхности сферического
затупления сегментально-конического тела [298].
Задача выбора толщины слоя теплозащитного материала
формулируется как и в [198] следующим образом
min{m(0)}, m(0) = р(Ь(0) - XJ = рДХ2(0) (1 2 ^
тон =Т(х\л)^Тдоп,
где тп(0) — удельная масса покрытия в рассматриваемойточке, р —
плотность материала покрытия, 6(0) — толщина двуслойной системы
конструкция-покрытие в начальный момент времени, Твн -
температура на внутренней поверхности теплозащитного материала, АХ^ -
толщина слоя силовой конструкции, АХ2 - толщина слоя
выполненного из теплозащитного материала, Т^оп - допустимая температура.
Теплоперенос внутри системы описывается однородным
уравнением теплопроводности [200,425]
«№ид,),1=1,и0 =о,х2 =б(т),
где / = 1 соответствует силовому слою.
Т1(х,0)=Т0,хе[Х1_ьХ1], / = 1,2
(1.2.2)
(1.2.3)

§1а0,т)=0, те(0,тж]
дх
-А.1(Г)^-а1>х)=-л2(г)^-№2,х)> т6(о,а
дх дх
Г1(Х1)т)=Г2(Х2>т), тб(0,тт],
-^1-^-1 =<7х. те(0,тт],
6(т) = Ь(0)-)^
(1.2.4)
(1.2.5)
(1.2.6)
(1.2.7)
(1.2.8)
При этом зависимости q^ и Ь(т) определяются из уравнения
теплового баланса на поверхности [198]:
q\(d =-Яйк) + yGw(Ie -Iw) + eaT* + GwAQw,x е (0,тт],
(1.2.9)
где у — коэффициент вдува продуктов разрушения в пограничный
слой, е - интегральная степень черноты, AQW - суммарный тепловой
эффект физико-химических превращений на поверхности, / -
энтальпия воздуха.
Конвективные тепловые потоки, подводимые к поверхности
тела определяются по методике [5, 227]:
а
«70W = | £4 (Jв ~ 'а,Ж55 + 0,45cos(2e)),
(1.2.10)
где
а
\cPJo
= 0,763(РгЭ(р
-0,6
ч0,4
HlPl
№wPw j
■\vwPgd>
(1.2.11)
при Те <. 9000 К
( \
а
0,763(РгЭ(р
-0,6
Ро )
при Те > 9000 К
H1PJ
у
V^pIpfo,75 +2,73-10-2^1
(1.2.12)

где р^ — плотность воздуха, ц - молекулярная вязкость воздуха, Те
- температура восстановления, РтЭ(р - эффективное число Прандт-
ля, 0 - угол между осью симметрии тела и радиусом-вектором
анализируемой точки, р - характеризует форму тела, индексы: «1»-
соответствует температуре набегающего потока, «w»- соответствует
температуре внешней поверхности.
Массовые скорости разрушения материала для кинетического,
переходного, диффузионного и сублимационного режимов
разрушения материала вычисляются по методикам, предложенным в
[200,252,253,70,152,153]:
G* =l,32-105(^)°'5exp(-22>2-103 / Tw)
пщшк<тю<\шк,
G" =1,715-10-
Pw
R
,0,5
при 1700К<Та< 2800 К,
rn -
(
1
rK
+ ■
1
4-0,5
7w J
(1.2.13)
(1.2.14)
(1.2.15)
G
С =^jMkak(Pk ~Pk>
'W
lw
k=\ V2tlR7^
pf = 105 ;exp(Ak(Tw + Bk)), k =Ц
при Tw > 2800 K,
(1.2.16)
где R - радиус затупления сегментально-конического тела, р^, k = 1,5
- давление я-ой компоненты на поверхности, р, , я = 1,5 - давление
насыщенных паров я-ой компоненты, a^,k = 1,5 —коэффициент
аккомодации, Mk,k = 1,5 - молекулярный вес.
Исходные данные приведены на рис. 1.2.1 и в таблицах 1.2.1 и
1.2.2 [236,487,425,296,93]:

я
50000
"~\~
2
"~ "~ ""ч
а
\
\
\
\
\
\
\
\
V
0,5
5000 50
10 20
2
в
f
_ У
-
о о
Ют %
2-Ю7
0 0,5-10*
-2-Ю7
-4-Ю7 л
1
\
\
\
\
\
N
Ч
2
ч
6
"
10'
1000 2000 х
2
"
II
II
/1
II
11
II
/ /
/ /
' 1
1
1
/
•
г
\
\
\
\
ч
1500
1000 2000 х
10 20
Рис. 1.2.1. Исходные данные и характеристики тепловых режимов:
а- 1 - высота, м; 2 - скорость, м/с; 6-1 -С, Дж/м /К; 2-Х, Вт/м/К;
в - 1 - е; 2 - AQW, Дж/кг; г — / - q0 Вт/м ; 2 ~ТШ, К как функции времени
1, с и температуры Т, К

Исходные данные
Таблица 1.2.1.
k
1
2
3
4
5
А
-85715
- 98363
- 93227
- 150307
- 133087
вк
18,69
22,20
23,93
31,30
32,71
%
0,4
0,3
0,1
0,25
0,01
V-k
12
24
36
48
60
Таблица 1.2.2.
Исходные данные
9
80
р, КГ / М
1700
Y
0,6
R,m
0,06
тс. к
360
7-0, К
273
Решение задачи анализа чувствительности производится
следующим образом. Сначала задаются «номинальные» значения
характеристик математической модели и решается задача оптимизации ^ В
результате определяются «номинальные» значения характеристик
прогрева, уноса и оптимальной толщины ТЗП. Затем коэффициенты
математической модели изменяются по определенному закону и
вычисления повторяются. В итоге получаются зависимости
представляющих интерес параметров как функций отклонения коэффициентов
модели от «номинальных» значений. Полученные таким образом
зависимости позволяют сформулировать требования к точности
определения эффективных теплофизических характеристик
анализируемых теплозащитных материалов.
Исследования влияния погрешностей задания коэффициентов
рассматриваемой математической модели теплообмена (1.2.2)-
(1.2.16) переноса на результат решения задачи проектирования
(1.2.1) производился путем последовательного равномерного
смещения следующих характеристик теплозащитного материала:
щ ей ={X2,C2(E,AQa;iY,Ga,}, (12 17)
щ =Mj(l ±/А),У =0,5,
где щ - точное значение характеристики, щ - значение
характеристики заданное с погрешностями, А = 0,05. После этого решалась
задача (1.2.1) и результаты полученные при возмущенных значениях
сравнивались с номинальными.

Согласно специфике задачи (1.2.1) наибольший интерес
представляет влияние погрешностей математической модели на значение
оптимальной начальной толщины покрытия в анализируемой точке,
Отклонение начальной толщины от оптимального значения
определяется соотношением
АЬЩ (0) = (Ьщ (0) - Ь(0)) / Ь(0), (1.2.18)
где Ь(0) - решение задачи проектирования на точных данных, Ь„. (0)
- решение задачи проектирования при наличии погрешности в
задании щ (рис. 1.2.2). Относительная погрешность модели вычислялась
как
Аыг- = (mj -Mj) / щ. (1.2.19)
На рис. 1.2.2 видно, что наиболее существенное влияние на Ь(0)
оказывают погрешности задания ^2> и несколько меньшее AQW,GW,
и С2. Характер всех зависимостей, за исключением А.2 совпадают:
завышенные оценки у коэффициентов модели приводят к
уменьшению Ь(0), а заниженные - к увеличению Ь(0). Погрешности задания
^2 приводят к обратному результату.
Кроме Ь(0) при принятии технических решений важную роль
играет значение толщины теплозащитного материала в конечный
момент времени хт. Эта величина играет важную роль при проведении
динамических и аэродинамических расчетов. Ее погрешность
определяется как:
ЛМ^) = (МО-Ь(тт))/Ь(тт). (1-2-20)
Характер зависимостей Abu. (тт) качественно совпадает с
ДЬ„. (0), за исключением зависимости АЬ. (тт). Из рис. 1.2.2 видно,
что на Ь(тт) наиболее существенное влияние оказывают
погрешности в задании Gw и AQW и несколько меньшее Х2-
При решении проектной задачи кроме геометрических
параметров интерес представляет также тепловое состояние исследуемой
задачи: уклонение температуры на внутренней поверхности (х = 0) в
конечный момент времени
АГц(0>тт)=Гц(0>тт)-Г(0>тт), (1.2.21)
а также максимальное уклонение температуры на внешней поверхности
Д(Гв) = max Ufw) -тЛ (1.2.14)
Щ te[0,tm]V "■ /

Ab
-———"?^
— <»
— 2
Afe
-0,25
Afe
AC
e
— *
-0,25
AC
Afe
а
~—-2
-0,25
AC
"-•4
6
«4
-0,25
AC
Ab
""* ^"^-
г
^o ** .^
-0,25
AC
Afe
e
4^*--~
-0,25
AC
Рис. 1.2.2. Влияние погрешностей задания исходных данных на
результаты решения проектной задачи: а - теплопроводность; 6 -
теплоемкость; в - степень черноты; г - тепловой эффект поверхностных
превращений; д - коэффициент вдува; е - массовая скорость уноса материала:
1 - ДЬ(0); 2 - ДЬ(тт)

Ab
-100
rcr^"^
a
'—2
-0,25
AC
Ab
\
\
\
N
N
\
N
'—-2
в
\
N
\
\
N
-0,25
AC
Ab
^~- ** - -1
д
-0,25
Ay
Ab
-100
^^^
— 2
6
^^
-0,25
AC
Ab
\
N
\
N
\
\
N
'—2
г
N
\
N
N
\
N
-0,25
A(AQJ
Ab
N
\
N
N
N
\
N
'—2
e
N
N
N
N
\
4
4
-0,25
AGn
Рис. 1.2.3- Влияние погрешностей задания исходных данных на
результаты решения проектной задачи: а - теплопроводность; б -
теплоемкость; в - степень черноты; г - тепловой эффект поверхностных
превращений; д — коэффициент вдува; е - массовая скорость уноса материала:
1 - ATW К; 2 - АТан, К

Для температуры на внутренней поверхности анализируемой
системы наиболее существенны погрешности задания ^2 > а также Gw
(рис. 1.2.3). Что касается температуры поверхности, то для нее
наиболее важную роль играют AQw,e и Gw. Причем следует отметить,
что погрешности задания Gw по разному влияют па температуру
внутренней и внешней поверхности (рис. 1.2.3е).
Таким образом, проведенные исследования показали, что для
подобных задач основное влияние на выбор геометрических
размеров оказывают А.2, 0?> ^2 и &Qw (аналогично и на температуру
внутренней поверхности Т\ (0, т)), величины у,е не оказывают
существенного влияния на результаты решения проектной задачи. Однако
следует отметить, что использование завышенной оценки е приводит к
существенному понижению расчетной температуры поверхности
(рис. 1.2.3в), а это, в свою очередь, может послужить причиной
неправильного выбора определяющего механизма разрушения,
например, замену механической эрозии сублимацией, и как следствие —
возможные значительные погрешности расчетов тепломассообмена в
зоне механического выкрашивания.
Несмотря па то, что проведенные исследования охватывают
ограниченный круг задач, можно утверждать, что значениея
характеристик теплообмена на поверхности материала наряду с
характеристиками теплопереиоса внутри него оказывают существенное влияние на
результаты решения задач, связанных с анализомтеплового
состояния различных объектов, взаимодействующих с внешней средой. А
это,в свою очередь, приводит к необходимости тщательного
исследования теплообмена на поверхности тел и определения характеристик,
входящих в уравнение теплового баланса. Анализ результатов
математического моделирования показывает, что при исследовании
тепловых режимов технических объектов невозможно ограничиться
рассмотрением определенного набора характеристик теплообмена на
поверхности, одинакового для различных технических объектов.
Следовательно, необходимы методы, позволяющие определять
произвольные совокупности характеристик теплообмена на поверхности и легко
переходить от анализа одного класса материалов к другому.
1.3. Методы исследования теплообмена на поверхности тел
На сегодняшний день не существует работ, в которых бы
систематически излагались расчетные, экспериментальные и расчетно-эк-
спериментальные подходы к исследованию всего многообразия
процессов теплообмена, протекающих на поверхности тел при их
взаимодействии с внешней средой. Очевидно также, что такую задачу
невозможно решить в объеме одного параграфа. К тому же, в данной

монографии основное внимание уделяется конкретному вопросу -
новому подходу к исследованию теплообмена на поверхности на
основе решения обратных задач математической физики. Тем не
менее, не осуществив, по крайней мере, краткого сравнительного
анализа работ предшественников, невозможно обосновать
целесообразность предлагаемого подхода. Поэтому в данном параграфе
рассматриваются отдельные проблемы практического исследования
процессов теплообмена с учетом всего их многообразия. Среди этих
проблем прежде всего следует выделить вопросы физического
моделирования внешнего воздействия, выбор подходящей рассматриваемой
математической модели, реализацию соответствующего подхода к
анализу теоретических расчетов или обработке экспериментальных
данных.
Анализ, проведенный в предыдущем параграфе, позволил
обосновать необходимость достаточно точного определения
характеристик теплообмена на поверхности тел как исходных данных для
решения разнообразных технических задач. Исследование теплофизи-
ческих, физико-химических и радиационно-оптических явлений,
определяющих процесс взаимодействия материалов с
высокотемпературными газовыми потоками, потоками жидкости, источниками
радиационного теплообмена и т.д., невозможно без разработки
математической модели теплообмена материала с окружающей средой и
экспериментального изучения всей совокупности этих явлений
[119]. При этом необходимо сочетать экспериментальные и расчет-
но-теоретические работы, что позволяет в ряде случаев определять
характеристики не только используемых материалов, но и
прогнозировать их для вновь разрабатываемых.
Сразу следует оговориться, что несмотря на всю важность
достоверности результатов расчета процессов теплообмена при
взаимодействии элементов конструкции с внешней средой в таких ббластях,
как энергомашиностроение, двигателестроение, а также металлургия
и химическая технология, все-таки эти вопросы до определенного
времени не были определяющими. Положение изменилось во второй
половине XX века в связи с резким увеличением скоростей движения
летательных аппаратов и прежде всего с созданием образцов
ракетно-космической техники. Поэтому не удивительно, что подавляющее
большинство работ, посвященных указанным проблемам и
анализируемых в настоящем параграфе, так или иначе связано с
разработкой космической техники. Действительно, защита от
высокоинтенсивного внешнего теплового воздействия во многом определяет
надежность работы самых разнообразных летательных аппаратов.

Первые исследования в этой области начались в конце 50-х
годов [10, 43, 46,123, 213, 251, 235, 236]. Число работ, посвященных
высокотемпературному взаимодействию материалов с потоками газа
или жидкости в различных средах, радиационному нагреву
материалов и т.д., связанных с освоением новой экспериментальной
техники, дальнейшим усовершенствованием быстродействующих
компьютеров, постановкой новых проектных задач, постоянно растет. Эти
работы расширили возможности теории и эксперимента и позволили
проводить намного более тонкий анализ механизмов
нестационарного теплообмена на поверхности.
Важнейшее значение для понимания этого механизма имеет
соответствие экспериментальных исследований натурным условиям
работы конкретной конструкции и адекватность используемой
расчетной модели.
Расчетные и экспериментальные исследования нестационарных
и обычно высокотемпературных процессов на поверхности
материалов имеют ряд особенностей.
1. Существенная нестационарность теплового воздействия на
поверхность системы в реальных условиях.
2. Неоднозначность физико-химических превращений на
поверхности материала как результат зависимости их интенсивности от
режима нагрева.
3. Невозможность прямого измерения отдельных характеристик
теплообмена, а тем более целого комплекса подобных
характеристик.
4. Необходимость достаточно точного моделирования
окружающей среды и структуры теплового нагружения, реализуемых в
реальных условиях, т;к. поверхностные тепловые эффекты
существенно зависят от этих факторов.
Следует отметить, что если три первые особенности
моделирования теплообмена проявляются и при изучении внутренних процессов
теплопереноса в материалах, то четвертая присуща в основном
только экспериментальным исследованиям тепловых явлений,
протекающих на поверхности. При анализе теплообмена внутри материала
способ теплового нагружения исследуемого образца обычно не имеет
значения - необходимо только достаточно точно моделировать поле
температур внутри образца, выдерживая требуемый темп нагрева, в
то время как при изучении взаимодействия поверхности, в частности
с высокоэнтальпийиыми газовыми потоками, характеристики
теплообмена часто зависят от способа теплового нагружения, химического
состава окружающей среды и других внешних факторов.

В [45] указываются следующие основные параметры
набегающего газового потока, воспроизведение которых важно при
экспериментальной обработке технических объектов:
1) энтальпия заторможенного потока /0;
2) химический состав набегающего потока, в особенности
концентрация химически активных компонентов;
3) давление заторможенного потока р0;
4) режим течения в погранслое (ламинарный или
турбулентный);
5) при анализе совместного конвективного q0 и лучистого q^
теплового воздействия на материал - отношение тепловых потоков
40 /<7я>
Поскольку при лабораторной отработке технических систем не
удается смоделировать сразу все перечисленные факторы, ставится
задача о частичном моделировании одного или нескольких
параметров и о переносе результатов отдельных экспериментальных
исследований на натурные условия с помощью теоретических моделей
нестационарного теплообмена. Необходимо сразу оговориться, что в
настоящей работе под внешней средой понимается не только поток газа или
жидкости, обтекающий летательный аппарат или другое транспортное
средство, но и потоки газа (жидкости) в двигателях, энергетических
установках, теплообменниках, радиационные потоки от внешних
элементов технической системы и т.д. Однако в большинстве случаев в
таких областях, как энергетика, двигателестроение и т.д.,
по-видимому, не существует значительных различий между стендовыми и
натурными испытаниями [248]. Попросту говоря, отработку всех
тепловых проблем такого объекта, как например, двигатель внутреннего
сгорания, можно целиком осуществить на экспериментальном стенде,
используя полноразмерный образец изделия.
Безусловно, для любых технических систем в том или ином
случае возникает необходимость моделирования их теплового
взаимодействия с окружающей средой на экспериментальных
неполномасштабных моделях. Но именно для авиационной и
ракетно-космической техники эта проблема становится особенно важной.
Действительно, размеры и условия эксплуатации летательных аппаратов не
позволяют свободно воспроизводить все натурные условия внешнего
воздействия на объект. На рисунке 1.3.1 представлена
принципиальная схема установки для тепловых испытаний образца материала,
оснащенная наиболее распространенными средствами измерений.
Существуют работы, в которых проводились попытки
моделирования процессов нестационарного теплообмена с использованием
помещенных в аэродинамические трубы перфорированных моделей

aX
10
—J^^
8
-<3>
Рис. 1.3-1. Принципиальная схема стенда для испытания
теплозащитных материалов [205]: 1 — модели; 2,4 - кинокамеры; 3 ~ лазеры;
5 - источники рентгеновских излучений; 6,7 - приемники рентгеновских
излучений и лазерных излучений; 8 - спектральные приборы; 9 -
источники конвективного радиационного или смешанного теплового воздействия;
10 - пирометры для определения яркостной и цветовой температуры;
11 - термопары
и подачей воздуха в пограничный слой через каналы в модели [113],
или образцов, выполненных из материалов, сублимирующих при
низкой температуре поверхности (например, нафталина, камфары)
[299, 113]. С развитием экспериментальной базы такой подход,
по-видимому, не получил дальнейшего развития.
В некоторых работах ставится вопрос о возможности замены
конвективного теплового воздействия на образцы материала
радиационным - радиационные нагревательные установки доступнее,
проще и дешевле несмотря на уже отмечавшиеся отличия от условий
функционирования объектов при различном характере теплового на-
гружения. Так, например, в [281] исследуется изменение глубины
пиролиза асботекстолита в зависимости от времени при
конвективном нагреве в потоке воздуха и лучистом нагреве для плотностей
тепловых потоков 0,16 -10 и 0,11 -10 Вт/м . Показано, что при
тепловом потоке 0,16 -10 Вт/м совпадение глубины пиролиза на-
7 ")
блгодается в течение 30 с, а при тепловом потоке 0,11 -10 Вт/м - до
15 с нагрева. На основании проделанных экспериментов делается
вывод о возможности замены источника конвективного нагрева
лучистым при условии совпадения теплового воздействия по величине.

В частности, в [119] автор использует для нагрева образцов
материала солнечные установки, предназначенные для экспериментальной
отработки перспективных энергетических систем.
Одним из наиболее простых способов моделирования
воздействия высокоэнтальпийного газового потока на исследуемый объект
является использование струи реактивного двигателя. Однако при
этом возникает вопрос о химическом составе потока [228]. Такой
подход получил достаточно широкое распространение при
исследовании воздействия двухфазных потоков [156].
В большинстве экспериментальных работ [72, 84, 123, 147,
151-153, 155, 170, 204, 207, 233, 292, 324, 418, 428, 450] авторы
используют различные типы аэродинамических установок с
электродуговым нагревом газового потока. Мощность современных
электродуговых нагревательных установок может достигать 10 МВт и более,
продолжительность непрерывной работы составляет несколько
десятков минут, при этом обеспечивается получение подогретого газа с
7 Я
давлением до 10 Па и энтальпией торможения до 2 -10 Дж/кг. В
качестве рабочего тела в большинстве экспериментальных работ
[72,84,123,147,151-153,155,170,324,450] используется воздух.
В отдельных работах [165,204,418,425], посвященных отработке
систем тепловой защиты различных космических летательных
аппаратов, предназначенных для исследования планет солнечной системы,
моделировался химический состав атмосферы таких планет, как
Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и других. Кроме химического состава
набегающего потока при моделировании входа в атмосферу планеты,
необходимо реализовать соответствующую структуру теплового
воздействия. Например, в [418] описано моделирование входа в атмосфе-
п
ру Юпитера: конвективный тепловой поток составлял 2,6-10
Вт/м , при этом водородно-гслиевая смесь нагревалась в канале до
1500 К, а для достижения соответствующих радиационных потоков
использовалась лазерная установка, дополнительно осуществлялся
сдув газообразных продуктов разрушения материала, для того, чтобы
они не поглощали радиационное излучение, т.е. моделировалась
соответствующая скорость движения. В более ранних работах,
проводимых в Эймском исследовательском центре NASA, рассматривалось
совместное конвективно-радиационное воздействие на образец
материала, характерное для движения в атмосфере Земли (рис.1.3.2).
В [165] изучалось влияние состава атмосферы Марса на
теплообмен и унос материала. Показано, что тепловые потоки к
некаталитической поверхности в рассмотренных моделях атмосферы Марса
не имеют существенных различий (10+15%).

Рис. 1.3.2. Установка для моделирования нагрева при входе в
атмосферу: 1 - поток воздуха; 2 - сопло; 3 ~ пирометр; 4 - рабочая камера;
5 - дуговой подогреватель воздуха; 6 - эллипсоидальное зеркало; 7 -
модель; 8 - окно; 9 ~ анод; 10 - катод
В работе [204] приводится описание современной установки для
моделирования условий входа в атмосферу планет-гигантов. В этой
установке осуществляется нагрев смеси из 50% водорода и 50% гелия
в аэродинамической трубе. Потребляемая мощность установки
51 МВт. При этом достигаются тепловые потоки в критической точке
7 ")
порядка 0,6 • 10 Вт/м .
В [200] утверждается, что установки с электродуговым нагревом
газового потока или с использованием газодинамических лазеров не
позволяют получить достаточно высокие числа Рейнолдса (тем
самым не реализуется адекватный пограничный слой), а при
использовании газодинамических лазеров не удается получить требуемых
спектр излучения. Наиболее подходящей экспериментальной
установкой для испытания систем теплозащиты, позволяющей, по
мнению автора [199], определять абляционные характеристики
материалов, является, оборудование для баллистических испытаний. В
[202-204] описываются эксперименты в камере, представляющей
собой заполненный газом туннель длиной 250 км, в котором по
четырем направляющим движется модель с гиперзвуковой скоростью
(12000 м/с). На таком оборудовании можно получить плотности
тепловых потоков порядка 1,0-10 Вт/м , а температуру
Те =1500.К\ Однако в [228] как недостаток подобных установок
отмечается, что время полета моделей не превосходит 10 мс, унос мате-

риала носит взрывной характер и не соответствует реальным
условиям эксплуатации летательных аппаратов. Следует также добавить,
что в случае моделирования высоких или низких давлений
используемые камеры оснащаются для оптического зондирования
иллюминаторами, световодами и другими оптическими приборами [204].
При исследовании разрушающихся материалов используются и
другие устройства. Например, в [202] описывается вращающаяся
установка с ударными трубами (диаметр струи около 25 мм,
р0 =65-10 Па,/0=5-106 Дж/кг). Широкого распространения
установки такого типа не получили [228].
Несмотря на успехи в области моделирования взаимодействия
поверхности летательных аппаратов с внешней средой наибольшие
возможности с точки зрения информативности и достоверности
получаемых результатов у летных экспериментов [95,164,287,288 и др.].
Как уже отмечалось, наряду с вопросами достаточно точного
моделирования набегающего газового потока при исследовании
процессов обмена на поверхности технически важным является выбор
адекватной математической модели. При разработке практически
используемых моделей в зависимости от поставленных целей авторы
работ придерживаются различных уровней детализации. Так, в
[73,108,109,115,196] осуществляется точное решение сопряженной
задачи теплообмена тела с высокоэнтальпийным газовым потоком.
При этом возникает вопрос о достоверности используемых
коэффициентов модели, причем в [108,109,115] рассматриваются
стационарные задачи. Однако для большинства работ характерно
применение различных упрощенных моделей [10,112,236,251-253,297,306].
Обычно в публикациях используются одномерные модели
прогрева материала без дополнительного обоснования, хотя в некоторых
работах и рассматриваются вопросы применимости одномерной
постановки. Так, в [73] путем математического моделирования показано,
что при А./ / Хх < 1 (соотношение, характерное для большинства
современных материалов, используемых в ракетно-космической
технике, атомной энергетике и т.п.) расчет температурных полей в обычно
применяемых образцах материалов с плоско-затупленной
поверхностью можно производить в локально-одномерной постановке.
На ранних этапах исследований, в 60-х и первой половине 70-х
годов рассматривались в основном стационарные и
квазистационарные модели. Впоследствии повышенное внимание стало уделяться
нестационарности поверхностных эффектов; появились работы,
посвященные вопросу применимости стационарных и
квазистационарных моделей. Так, в [245, 246] исследуются характеристики уноса

материала в случае теплового нагружения образцов в сравнении с
квазистационарными значениями. Приводятся данные об отличии
линейной скорости разрушения от соответствующей
квазистационарной скорости при равных мгновенных значениях теплового пото-
ка.наЮ ^-15%.
Необходимо еще раз отметить, что после расчетных и
экспериментальных исследований процессов теплообмена в материале
математическая модель, используемая в дальнейшем для проектных
расчетов, может быть существенно упрощена за счет исключения
членов, характеризующих процессы, которые не оказывают заметного
влияния на проектные характеристики системы.
Как уже отмечалось, в настоящем параграфе кратко
анализируются различные подходы к исследованию процессов теплообмена на
поверхности. Целесообразно классифицировать существующие
публикации соотносительно с исследованием физико-химических
разрушений на поверхности, излучения и эффекта вдува газообразных
продуктов в пограничный слой.
1.3-1- Исследование физико-химических превращений
на поверхности
В большинстве экспериментальных и расчетно-эксперименталь-
ных работ предметом исследования является какая-либо отдельная
характеристика теплообмена на поверхности.
В [228] отмечается, что наиболее полно каждый конкретный
процесс разрушения теплозащитного материала характеризует массовая
скорость уноса Gw материала с поверхности. Кроме того, массовые
характеристики системы тепловой защиты могут служить исходными
данными для дальнейших прочностных и динамических
исследований. Поэтому чаще всего в качестве определяемой характеристики
рассматривается массовая скорость уноса, а одним из наиболее
распространенных критериев достоверности математической модели
теплообмена в материале является суммарный унос массы в момент
окончания процесса [228], что впрочем, может быть объяснено
относительной легкостью ее экспериментального прямого измерения.
Одним из первых экспериментальных исследований массовой
скорости уноса материала можно, по-видимому, считать
осуществленное в конце 50-х годов спасение нескольких головных частей
баллистической ракеты «Тор-Эйбл» (дальность полета 9250 км) с целью
сравнения расчетного уноса массы теплозащитного покрытия с
экспериментально измеренным [95]. Результаты, полученные
расчетным путем, превосходили экспериментальные более чем на 40% из-за

неточности задания теплофизических характеристик, вязкости
расплава и излучательной способности.
Как уже отмечалось, в [45,46] сформулированы основные
характеристики, определяющие массовую скорость уноса при
нестационарном теплообмене в общем случае:
( ( _.\ >
Gw=f
Т I
а
'Р )
>Ре
О
(1.3.1)
J
Определение массовой скорости уноса как функции всех четЫ-
г \
а
,ре, является достаточно сложной
рех характеристик Tw,Ie
vc,;
о
задачей как с математической, так и с экспериментальной точек
зрения. На практике для каждого из различных режимов разрушения
материала (сублимация, оплавление, химическое воздействие и т.д.)
строятся отдельные аппроксимирующие зависимости. При этом
обычно предполагается зависимость массовой скорости уноса от од-
ного-двух параметров, определяющих в каждом конкретном случае
интенсивность процесса разрушения.
Однако в [251] с характерной для того периода исследований
недостаточной обоснованностью теоретических моделей
предполагается универсальная критериальная зависимость массовой скорости
уноса
Gw =4,55(1,233 -12-КГ5ГЮ • 10<-*&-13А(У*Ю х
хУ№б-1.394.10^))с^ / ^ г/(см.с)
(1.3.2)
(где V^ - скорость набегающего потока; Н - высота полета; Ckw -
массовая доля испаряющегося компонента; R^ — радиус затупления
ЛА), но в работе не проводится сравнение зависимости (1.3.2) с
экспериментальными данными.
Аналогично в [252] приводится «универсальная» зависимость
теплоты сублимации теплозащитного материала:
AQW = 0,554(9580 + 5,38 • 10~5VJ;), ккал/кг (1.3.3)
Одним из наиболее всесторонне исследованных является,
по-видимому, теплообмен на поверхности графита и композиционных
материалов на основе углерода [10,70,78,153,154,170,188,199,253,297
и др.] . Прежде всего следует отметить работу [253], в которой
анализируются все режимы взаимодействия графита с высокоэнталь-

пийным газовым потоком. На основании исследования достаточно
сложных расчетных теоретических моделей, учитывающих
химические реакции, протекающие в пограничном слое, строятся
аппроксимирующие зависимости:
для кинетического режима
G$ =K0(p02)we-E/RT»; (t.3.4)
для диффузионного режима
G% =1,715-10"2 f* ; (1.3.5)
И05Ядг
для переходного режима
Г N-V2
ГП
1 1
(О*)' (в*)'
(1.3.6)
.2
;
для сублимационного режима
о£=0#. 6,67с,-, (1.3.7)
где ccw - концентрация углерода у поверхности.
К недостаткам работы следует отнести то, что согласно [225], в
[253] не учтено поведение ряда важных компонентов погранслоя
(С2Л^2,С2ЛГ4,С2,С4,С5). Кроме того, в [199] по результатам
обработки экспериментальных данных (рассматривается давление ре в
диапазоне 0,295 ■ 10 до 4,3 • 10 Па, радиус затупления образца: 0,0085
н-0,0372 м) отмечается, что зависимости (1.3.4)—(1.3.7) дают
значительное (до 20%) завышение массовой скорости уноса при низких
температурах разрушаемой поверхности и занижение - при высоких.
Следует также добавить, что в [252, 74] была исследована
применимость зависимостей вида (1.3.4) и (1.3.5) для описания
разрушения фенольного нейлона. Полученные результаты показали
неплохое (около 15%) совпадение с экспериментальными данными.
В ряде расчетно-экспериментальных работ уточнялись
полученные в [252, 74] зависимости путем введения дополнительных
коэффициентов. Так, в [170] предлагается ввести поправочные
коэффициенты , зависящие от местного числа Рейнольдса для уточнения
методик [253], т.к. приводимые там данные показывают, что методика
[253] при Re < 2 дает погрешности значения скорости уноса до 20%.

Xj
Рис. 1.3-3. Схема плазменной установки [180]: 1 - корпус; 2 - модель;
3 - электроды; 4 — вихревая камера; 5 - камера; 6 - вход газа
Рассматривается эксперимент по обтеканию цилиндрического
образца с плоским торцом в аэродинамической трубе и специальной
плазменной установке (рис. 1.3.3). Массовая скорость уноса вычисляется
по разности между уменьшением длины и времени выдержки
различных образцов следующим образом:
(1.3.8)
Gw =р(Д/2 / At2 -АЦ /Mi)
что соответствует скорости уноса при средней температуре,
установившейся в течение более продолжительного из двух
рассматриваемых экспериментов. Полученные экспериментальные кривые
аппроксимируются следующей зависимостью (одновременно для
кинетического и диффузионного режимов):
Gw =
Ре
V0.214 -4,75 -106
R
N
— + 0,21(/"24,74 • 106 / /i) / 1,71 ■ 10f
/•2ехр(-44-104/(1,987Гш))
ехр(-8000/ 1,987 / Га,)1/2
(1.3.9)

где f\ — коэффициент коррекции для диффузионного режима; fa - то
же для кинетического.
Окончательно была получена следующая полуэмпирическая
зависимость:
Gw =
( V/2
£s-\ 1,19 •108exp(-22,140/7,a))(30,5/i?jV + 4,85-105)*
KRN J
xexp(-22,140 / Tw) / (1 + 1,6 • 107р~2/3 х
xexP(-61,7 / Tw))2rW2, (г/(см2с)) (1.3.10)
где RN, см - радиус модели; р, МПа/10 - давление торможения
потока; Tw, К - температура стенки.
В [199] исследуется возможность применения формулы (1.3.10)
при обтекании образца разряженным атомарным кислородом
(например, в случае пологих траекторий входа аппаратов в атмосферу)
и делается вывод о необходимости включения в математическую
модель (1.3.10) параметров кинетики поверхностных реакций; в
противном случае погрешность может достичь 100%.
В [78, 188, 297] исследуется модель химического уноса углегра-
фитов, а также других коксующихся материалов с учетом
механического выкрашивания. Проведенный анализ показывает лучшее
совпадение с экспериментальными данными при высоких давлениях
торможения набегающего потока, по при .том существенно
возрастает сложность математической модели. По данным, приводимым в
[78, 188, 297], механическое разрушение графита наступает при
q0 = 5,65 ■ 106 Вт / м2, Мт = 2,5, р0 = 5,6 • 105 Па.
В [200], наоборот, автор использует существенно упрощенную
математическую модель теплообмена на поверхности графита,
рассматривая весь процесс поверхностного разрушения как
сублимационный (что, вообще говоря, отчасти оправданно) из-за взрывного
характера абляции и проведенных экспериментах). Для вычисления
массовой скорости уноса используется модифицированная формула
Кнудсена-Лэнгмюра (состоящая из одного слагаемого,
описывающего унос продуктов разрушения).
Давление насыщенных паров графита аппроксимируется
формулой
Р„ = 6,27-10"5 ехр(-90845/Гш); (1.3.11)
вязкость газа

ц = 2,22-10~4(Г/300)0'8 при ЗООК < Т < 500К (1.3.12)
а давление на поверхности определяется из соответствующего
уравнения газовой динамики. В работе установлено, что для правильной
оценки толщины унесенной массы следует учитывать разбухание
материала при высокотемпературном взаимодействии материала при
высокотемпературном взаимодействии материала с высокоэнталь-
пийным потоком.
Другой подход к вычислению давления насыщенных паров на
поверхности графита предложен в [70]. Давление насыщенных
паров компонентов продуктов разрушения графита аппроксимируется
зависимостью
Ыр1н -\05)=— + Б{, (1.3.13)
где AitB{ - константы, имеющие различное значение каждого
компонента; ргн — давление насыщенных паров соответствующих
компонентов.
В [324] исследуется влияние пористости графитовых
материалов на массовый унос. Объемная пористость определяется как
традиционным гидростатистическим методом [200], так и с помощью
электронного микроскопа. Получена аппроксимирующая
зависимость для пористости графитообразных материалов:
П=(1-р/р0), (1.3.14)
где ро = 2260 кг/м .
Для уноса массы получена следующая зависимость:
Gw = Кх(\ -exp(-K2t))t, (1.3.15)
где t - время; К\ — константа установившейся скорости уноса; К2 —
константа неустановившейся скорости уноса:
Кх = lim Gw / t; (1.3.16)
К2 =(-\n(K^Gw/t)+\nK{)t. (1.3.17)
Для всех исследуемых материалов константы установившихся
фаз уноса связываются экспоненциальной зависимостью с
пористостью.
Приводимые в [153] результаты свидетельствуют о малой
зависимости массовой скорости уноса от марки графита и технологии его
изготовления ( все результаты получены на установке, описанной в
[152]). Рассматриваются промышленные и опытные марки графита

и стеклографита. Массовая скорость уноса различных модификаций
углерода сравнивалась со скоростью уноса графита ATJ, разброс
результатов лежит в диапазоне (-8 -К+30))%, что позволяет сделать
вывод о слабой зависимости процессов теплообмена на поверхности
различных графитоподобных материалов от плотности исходного
состава и структуры, а также методов переработки и изготовления.
Необходимо отметить работы [70,108,114,246], в которых
сравниваются результаты расчетов, полученные при равновесном и
неравновесном протекании реакций в пограничном слое. Для
широкого диапазона условий входа в плотные слои атмосферы расчеты
показывают возможное отклонение массовой скорости уноса до 30%, а
температуры поверхности - до 600 К в случае пренебрежения нерав-
иовесностыо процесса.
Исследования массовой скорости уноса графита и
композиционных материалов на основе углерода по аналогичной схеме
(сравнение экспериментальных данных с расчетными) проводились также в
[118,285,297,451].
Значительно меньше работ посвящено исследованию уноса
различных керамических теплозащитных материалов. В [291]
рассматриваются вопросы построения математических моделей теплообмена
на поверхности образцов, выполненных из нитрида кремния (SiN),
карбидов кремния (SiC) и тантала (Та2С), в предположении, что
реакции, протекающие в пограничном слое, равновесные. Модель
теплообмена предлагалась в форме итерационного алгоритма,
учитывающего химический состав пограничного слоя и некоторые другие
факторы. Достоверность теоретических расчетов оценивалась путем
сравнения теоретического суммарного уноса массы с
экспериментальным. Использовалась установка с электродуговым нагревом
воздуха; расхождение теоретических результатов с экспериментом не
превышало 10%.
В [207] показана доминирующая роль блокирования тепла за
счет уноса массы при наличии физико-химических превращений по
сравнению с тепловым излучением для материала, выполненного на
основе нитрида бора. При разрушении нитрида бора авторами были
установлены три основных режима уноса массы. Режим постоянной
скорости уноса Gw = const (200К <TW< 3000К), что соответствует
горению на поверхности с образованием В202. При увеличении
уноса массы (переходный режим) получается более устойчивое
соединение ВСО. Быстрый рост Gw при Тт > 3000К обусловливается
сублимацией, при этом скорость сублимации является функцией
давления. Все экспериментальные исследования проводились на
установке, описанной в [154].

Вопросам теплофизического разрушения металлических
оболочек посвящается работа [230], где рассматривается влияние уноса
материала (бериллия) на распределение температур внутри
конструкции. Показано, что для металлических материалов структурный
вид математической модели уноса не зависит от вида разрушения:
плавления, сублимации или химического окисления.
В качестве материалов, поверхностное разрушение которых
привлекло внимание исследователей, можно также отметить: тефлон
[10,145.147,165,251], фенольный нейлон [10,154,155,236] и
различные фенольные углепластики [199,202,203,304,435]. В [165]
показано, в частности, что вдув продуктов разложения тефлона в
пограничный слой ( при моделировании движения в атмосфере Марса)
приводит к уменьшению подводимого теплового потока на 75%.
В [307] предлагается на основе анализа протекающих химических
реакций следующая зависимость массовой скорости уноса тефлона:
Gw=0fl2(pe\ie)°'*<iiwpw)
0,1
(
1 + 0,19^
'l V2(Pe -pj
R p
/
AH
Ie + 0.21AH -Ib
0,6
Me
M
0,24
w J
ч0,03>
EOT™
Ie +0,2АЯ-/а
(1.3.18)
где АН - разность энтальпий продуктов разложения при Tw и в
стандартных условиях:
АН = 858 + 418(7^ • Ю-3) + 54(ГШ • 10~3)2 + 74(ГШ • 10~3)3 +
75,6 + 6,75(ГШ • Ю-3)2 + 16,5(ГЮ • Ю-3)3
М„
•1000,
(1.3.19)
Mv - средняя молекулярная масса вдуваемых продуктов.
Сравнения с результатами экспериментов показывают
расхождение около 10 -т-20%. В [203] по результатам обработки
экспериментальных данных получена аппроксимирующая зависимость
массовой скорости уноса фенольного углепластика в критической точке
для скоростей входа, больших или равных 12000 м/с (атмосфера
Юпитера):
Gw =0,0261(^,0 / ЮО)0-585^ / 5)1'161 (1.3.20)

где poo, Па-10 , V^, м/с-10 - давление и скорость набегающего
потока. Приведенная зависимость обеспечивает (по данным авторов)
точность ±5% от реального значения.
Среди работ, посвященных поверхностному разрушению
оплавляющихся и композиционных материалов типа стеклопластиков,
можно выделить [101-103,195,197,198,228,256], где расчетно-экспе-
риментальным путем исследуется разрушение подобных материалов
с учетом жидкой пленки расплава. Относительно небольшое число
работ, посвященных столь широко используемому классу
материалов, объясняется, вероятно, математическими трудностями
моделирования процессов движения пленки расплава, невозможностью
решения задачи в одномерной постановке и неопределенностью
нахождения границы расплав-твердое тело [46,197,198,228].
Следует отметить также ряд экспериментальных работ, где
массовая скорость уноса измерялась как функция времени прямым
путем. Так в [96,247] исследуется разрушение графита путем
стабилизации образцов и одновременного взвешивания. Подобные методы
не позволяют учесть нестационарные эффекты тепломассопереноса
[228]. В [123,73,324,162] описывается применение скоростной
съемки со скоростью 24, 125 и 200, 5500 кадров в секунду соответственно,
с последующей автоматической дешифровкой кинопленки. Более
совершенный метод экспериментального определения уноса материала
рассмотрен в [201,202], где при движении модели в туннеле для
баллистических испытаний электронно-оптическим преобразованием
выполнялись снимки с модели для определения линейного уноса.
Для того чтобы ярко светящийся скачок уплотнения не ухудшал
видимости поверхности модели, участки, на которых проводилась
съемка, обрабатывались гелием, что давало более высокую
оптическую разрешенность. Наиболее точное измерение параметров
термической деструкции материалов осуществляется методами
рентгенографического анализа [119, 195]. Располагая рентгеновский аппарат
перпендикулярно оси, можно получить ряд последовательных
снимков во время быстропротекающего процесса (рис. 1.3.4).
В [164] рассматривается оригинальный способ определения
линейной скорости уноса во время летних испытаний. В носке
головной части устанавливается пьезоэлектрический датчик уноса
(рис. 1.3.5). В датчике под действием высоковольтного импульса
возбуждаются механические колебания с собственной частотой пье-
зоэлектрика. Генерируемое таким образом возмущение в виде волны
касательных напряжений достигает поверхности носка, отражается
и возвращается к датчику. Время между испусканием и
поглощением является мерой толщины материала в текущий момент времени.

Рис.1.3.4. Принципиальная схема реитгенографирования в аысокоэн-
талъпийном потоке [205]: 1 - светочувствительная пленка; 2 —
исследуемая модель; 3 - источники рентгеновского излучения; 4 — источники
теплового воздействия
Рис. 1.3-5. Головная часть ракеты TATER: 1 - графит ATJ-S;
2 - пьезоэлектрический датчик уноса; 3 - покрытие из стеклопластика
с фенольным связующим; 4 - телеметрическое оборудование; 5 ~
парашютная система; 6 - переходный отсек [173]
Кроме массовой скорости уноса материала большое влияние на
проектные характеристики тепловой защиты оказывает величина
теплового эффекта физико-химических превращений на
поверхности [244,245]. Для квазистационарных процессов наиболее удобной
характеристикой энергоемкости разрушения является эффективная
энтальпия разрушения материала [10,228,251].
Так, в [10] для тефлона были получены теоретические
приближенные оценки различных термохимических параметров (теплоты,
образования компонентов, коэффициента выпотевания и т.д.) и на
основании проделанного анализа получена зависимость:
в случае отсутствия горения на поверхности:
Нэф =527 + 0,049(/0 -/ш), ккал/г (1.3.21)
при наличии горения

527
Нэф = !i65 +0,49а0-/в,),ккал/г (1.3.22)
Обе теоретические кривые дают приемлемое совпадение с
экспериментальными данными (около 15%), полученными при
испытаниях в аэродинамических трубах, однако в работе нет никаких
сведений о том, как были получены экспериментальные значения.
Там же приводится следующее приближенное соотношение для
эффективной энтальпии разрушения кварца в критической точке:
Нэф =835 + 0,3
f I ч
RToj
\,5Л/ \-0,14
Р
w
Р0
(1.3.23)
В работе анализируется влияние энтальпии торможения /0 на
эффективную энтальпию разрушения сублимирующих и
оплавляющихся материалов. Делается вывод, что для оплавляющихся
материалов это влияние существенно меньше. Только в сравнительно не
большом числе работ [112, 157, 252] исследовался именно тепловой
эффект поверхностных процессов с учетом нестациопарпости. Так, в
[157] для описания процесса блокирования тепла на поверхности
материала рассматривается следующая критериальная зависимость:
Яъ~Я\ =F(/o), (1.3.24)
<7о
где <7о ~ внешнее тепловое воздействие, q^ - тепловой поток, идущий
на прогрев внутренних слоев;
/Ь =const(Re)1/ 2GW / (Pc0Vj.
Из полученных результатов отметим следующие: разрушение
материала снижает внешний тепловой поток до 40% в диапазоне
Re = 200 -г- 22000 и Iе = 950 +1950 ккал/кг; расчетные данные дают
погрешность до 20% по сравнению с. экспериментальными данными
по массовому уносу.
В [112] при исследовании разрушения фенолыюго
стеклопластика впервые была экспериментально исследована зависимость
теплового эффекта физико-химических превращений от Давления
торможения. Показано, что тепловой эффект химического
взаимодействия материала с набегающим потоком практически не зависит от
давления, при плавлении же и сублимации давление существенно
влияет на тепловой эффект. В [252] показано, насколько велико влияние
процентного содержания органического связующего на суммарный

тепловой эффект физико-химических превращений. Таким образом,
несмотря на достигнутые успехи при исследовании влияния
отдельных факторов на характеристики теплообмена при
физико-химических превращениях на поверхности универсального подхода к
исследованию подобных явлений пока не существует. В частности,
полученные расчетным путем зависимости требуют последующего
экспериментального уточнения для подтверждения их достоверности.
Однако после этого остается проблема согласования данных,
полученных различными авторами при использовании разнообразных
расчетных моделей, и экспериментального оборудования,
разработанного для моделирования влияния отдельных характеристик.
Следует также отметить, что использование резульатов точного решения
сопряженных задач теплообмена для выявления отдельных
закономерностей в рассмотренных работах не подкрепляется анализом
достоверности коэффициентов используемых сложных моделей
теплообмена. В свою очередь, прямое измерение характеристик возможно
лишь в редких случаях, обычно при определении линейной скорости
уноса. Кроме того, в анализируемых работах нигде не проводилось
совместного определения нескольких характеристик теплообмена на
поверхности.
1.3.2. Исследование теплообмена излучением
Практически во всех исследованиях теплообмена на
поверхности тел разрушение материала происходит при достаточно высокой
температуре поверхности Tw > Тразр. При таких температурах
невозможно получить точную картину теплового состояния технической
системы, если не рассматривать тепловой поток, излучаемый
нагретой поверхностью, пропорциональный Tw. Однако, по-видимому, не
существует работ, в которых одновременно исследуются
радиационное блокирование теплового нагружения и тепловые эффекты
поверхностного разрушения материалов.
Имеются лишь работы, посвященные анализу собственно
теплового излучения поверхностей конструкционных материалов [9,
67,68,141,158,168,301,413]. В [9, 141,158,168] приводятся
результаты определения интегральной степени черноты различных
материалов калориметрическими методами. При этом обычно степень
черноты определяется как е = qn / Tw, где Tw - температура поверхности
образца; qn - тепловой поток, излучаемый образцом (измеряемые
непосредственно) (рис. 1.3.6). Подобное экспериментальное
оборудование применялось еще в первой половине 60-х годов [209].
Несколько подробнее такой подход описывается в [9], где используется

3 x2
Рис. 1.J.6. Экспериментальная установка для определения е [219]:
1 - пирометр; 2 - вакуумная камера; 3 ~ змеевик охлажденный; 4 -
термопары; 5 _ экран; 6 - опытный образец; 7 - нагреватель; 8 - вакуумный
насос
следующее соотношение для расчета теплообмена излучением между
телами:
Л2
Т2 IF,
(1.3.25)
F2
Л2
-1
где F,T,A — соответственно площадь поверхности, абсолютная
температура и излучательные способности внутреннего тела 1 и оболочки 2.
Трудности использования (1.3.25) связаны с отсутствием дан-
пых по поглощательнои способности тел. Общепринятым являются
соглашение о равенстве As = е. В этом случае оцениваемая величина
может быть определена из выражения
д=г,а(тгЛ-Т2лу.
(1.3.26)
Далее в [9] оценивается погрешность 8е, возникающая
вследствие предположения равенства As и е. Приводится оценка:
5е =0(Г2 /Г,).
В [141] рассматривается теплообмен между образцом материала
и пирометром (рис. 1.3.7). Интегральная степень черноты
вычисляется по формуле

Рис. 1.3-7. Схема экспериментной установки [147]: 1 - электрическая
нагревательная печь; 2 - образец; 3 - диафрагма; 4 - корпус перометра;
5 ~ водохлаждаемая рубашка; 6 - зеркало пирометра; 7 - термоэлемент
пирометра; 8 - термопара
5е = (ГЧ4Т - Г„4р) / {Т*.р - Тп*р), (1.3.27)
где Т , — температура поверхности образца; Тп„ — температура
пирометра; Т1П— температура модели абсолютно черного тела.
Пирометр предварительно тарировался по черному телу (чт), в
качестве модели которого использовался толстостенный медный
цилиндр с глухим дном, с отношением высоты цилиндра к внутреннему
диаметру, равным 12. Проводились оценки погрешностей метода.
Так, для пористой латуни при Т , = 323 К погрешность составляла
5Е =5,67%, при 1000К 5Е =1,7%. В [301] и [167] аналогичным
образом исследуется излучательная способность титана и стали как
функции температуры поверхности.
В [266] приводятся данные по спектральным и интегральным
полусферическим излучательным способностям для различных
коксов аблирующих материалов, угля и графита для длин волн от 0,4 до
3.2 мм и температур от 2200 до 3450К. Данные были получены путем
измерений, выполненных с помощью рефлектометра с двумя
эллиптическими зеркалами, где угольная дуга нагревает образец и
является источником падающего на образец излучения (рис. 1.3.8).
В [68] анализируется спектральная степень черноты едез с
использованием достаточно сложной экспериментальной установки
(рис. 1.3.9). Для определения образца излучение зондирующего
He-Ne лазера мощностью 20 МВт (6) фокусировалось в центр
нагреваемой поверхности на площадку 00,5 мм. Основным элементом
установки являлся СО 2-лазер 3, который в течение нескольких
секунд нагревал поверхность образца. Юстировка системы достига-

2 3 4 5
Рис. 1.3-8. Рефлектор с двумя эллептическими зеркалами [287]:
1 - катод; 2 - зеркало дуги; 3 ~ анод; 4 - вращающийся световод; 5 -
зеркало образца; 6 - образец; 7 - детектор; 8 - затвор
Рис. 1.3-9- Схема экспериментальной установки [74]: 1 -
экспериментальная камера; 2 - образец; 3 ~ система фоторегистрации; 4 - окна;
5 - вакуумный насос; 6 - зондирующий лазер; 7 - СС>2-лазер; 8 - призма;
9 - Не -Ne-лазер; 10 - зеркало
лась с помощью призмы и третьего лазера 4. Исследования
проводились в двух температурных интервалах 1800-2500 и 3400-3850 К.
Среднеквадратичная ошибка, по оценкам авторов, не превосходит
1,4%.
В [413] описывается подобный подход к измерению
спектральной степени черноты карборунда и нитрида кремния в спектральном
интервале 165-15 км и в области температур 1800—1900К; в
эксперименте с образцами из композиционного материала на основе графита
область температур расширяется до 3000К.

Таким образом, для всех этих работ характерно исследование
радиационно-оптических характеристик материалов при отсутствии
других форм теплообмена на поверхности. Кроме того, определение
неизвестных характеристик в большинстве работ осуществлялось
калориметрическими методами в стационарных или
квазистационарных условиях и в узком диапазоне температуры поверхности. Это
обстоятельство приводит к необходимости большого числа
однотипных экспериментов, обеспечивающих выявление искомых
зависимостей.
1.3-3. Исследование эффективности вдува
Как уже отмечалось, вдув охладителя (газа или жидкости)
через поверхность исследуемого объекта во внешнюю среду
осуществляется в двух случаях [228]:
1) газообразные продукты внутреннего разложения материала
диффундируют в пористом карасе к поверхности и таким образом
взаимодействует с внешней средой;
2) специально хранимый охладитель через поры, деформацию
или щели в поверхности подается для создания защитного течения
около поверхности.
Для первого случая характерно, что исследование подобных
процессов производится обычно совместно с процессами
физико-химического разрушения на поверхности. При этом тепловой эффект
вдува единицы массы продуктов разложения у(/е - Iw) включается
в величину эффективной энтальпии [10,228].
Во втором случае эффективность охлаждения в большой
степени связана с движением охладителя внутри исследуемого тела, и
именно вопросам теплообмена между охладителем и пористым или
перфорированным материалом уделяется основное внимание
исследователей [228].
По-видимому, указанными обстоятельствами объясняется
сравнительно небольшое число работ, связанных с исследованием
теплообмена на поверхности при вдуве инородного газа (жидкости) в
пограничный слой [9,44,113,185,186,299,].
Прежде всего следует отметить ставшие классическими работы
[44,185,186], в которых впервые получены па основании
теоретического анализа зависимости для коэффициента вдува инородного газа
в ламинарный пограничный слой:
ул =0,56(Ме/Мр0'29, (1.3.28)

где Ме,М„ — молекулярные массы обтекающего и вдуваемого газа
1е>' J g
соответственно.
Можно использовать и более сложное выражение
ул = 0,6(Ме / Mg)°'24lw / 1еУт,
(1.3.29)
которое учитывает неравенство температуры стенки и температуры
набегающего потока [228].
В более поздней работе [6] предлагается модифицированная
форма аппроксимирующей зависимости (1.3.28):
ул =0,67(Me/JVO0'25,
(1.3.30)
Для случая взаимодействия с турбулентным пограничным слоем
в [198] была предложена следующая ступенчатая зависимость:
ут=0Д9(Мв/М,)*
(1.3.31)
где
ириО<Ме/Мд<\ fe = 0,35;
при 1 < Ме / Мд < 8 Ъ = 0,7;
при Ме / Мд > 8 Ъ = 1.
Следует отметить, что все эти приближенные зависимости
имеют ограниченное применение в зависимости от величины массового
расхода охладителя. Они справедливы при выполнении условия
Ъ
0,<3,гдеО,=.
(1.3.32)
Для этих случаев в [6] предлагается следующее соотношение:
У =
Г \0,25
м
ехр
9 J
2,303-10"1
-0,45 + 0,3
(а / С„)0
(1.3.33)
Среди чисто экспериментальных работ, посвященных
исследованию ослабления теплообмена при вдуве газообразных продуктов в
пограничный слой, следует отметить [44, 299], в которых
описывается наиболее типичное экспериментальное оборудование,
используемое при исследовании теплообмена (рис.1.3.10).

\ Подача
л рабочего
тела
Рис. 1.3-10. Экспериментальное исследование процесса вдува зага в
пограничный слой: 1 - стальной наконечник; 2~ пористая или
перфорированная ставка; 3 - державка модели
1.3.4. Метод обратных задач теплообмена
Завершая этот не претендующий па полноту обзор работ,
посвященных исследованию взаимодействия технических систем с
внешней средой (и прежде всего с высокоэнтальпийными газовыми
потоками), можно отмстить, что существуют два основных подхода к
определению характеристик теплообмена на поверхности
материалов [219]:
1) разработка теоретически обоснованной математической
модели при некоторой неопределенности характеристик независимо от
последующей экспериментальной программы; сравнение
результатов многочисленных параметрических расчетов толщины (или
массы) унесенного слоя материала и получаемого поля температур с
экспериментальными данными и на основании этого выбор
характеристик и принятие решения об адекватности модели;
2) прямое экспериментальное определение некоторой
характеристики теплообмена как функции времени; выбор подходящей
аппроксимирующей зависимости как функции внутреннего состояния
материала и параметров набегающего потока (этот шаг является
наиболее трудно формализуемым); определение соответствующих
коэффициентов аппроксимации.
Недостатком первого подхода является то, что на практике не
применяются математически обоснованные методы определения
уточняемых (или неизвестных) характеристик, т.к. в случае
определения функциональных зависимостей без достаточно полной
априорной информации о них вычислительный процесс чрезвычайно
трудоемок.

К недостаткам второго подхода следует отнести его
ограниченную применимость в силу того, что существующее
экспериментальное оборудование обычно не позволяет вести прямое измерение
характеристик теплообмена на поверхности, за исключением, может
быть, скорости уноса материала (преимущественно линейной) и в
отдельных случаях - интегральной степени черноты. Но основным
недостатком обоих подходов является то, что на практике редко
удается решить задачу по определению более чем одной
характеристики, а в [109] отмечается, что применение самых сложных
математических моделей дает неприемлемые для практических целей
результаты при использовании характеристик теплообмена, полученных из
различных экспериментов.
При возросших требованиях к эффективности проектных
изысканий имеется острая необходимость разработки новых методов
определения совокупности характеристик теплообмена. Это может
быть осуществлено путем сопоставления экспериментальных данных
и физически обоснованных математических моделей заданной
структуры, а затем уточнения таких моделей и выбора критериев их
сравнения [20,23,28,148,169,334,335]. Подобный метод широко
используется при рассмотрении внутренних процессов теплопереноса в
технических системах и предполагает решение обратных задач в
отличие от прямых не соответствует физически реализуемым явлениям: в
природе нельзя обратить ход процесса теплообмена и, тем более,
течение времени.
Таким образом, можно говорить о физической некорректности
постановки задачи. Естественно, что при математической
формализации она проявляется уже как математическая некорректность, и
обратные задачи теплообмена представляют собой типичный пример
некорректных математической физики [262]. Для решения
подобных задач приходится привлекать специальный математический
аппарат, в частности, различные регуляризирующие алгоритмы
[20,262] повышенной вычислительной сложности. Однако
применение аппарата обратных задач позволяет объединить оба
сформулированных выше подхода к определению характеристик теплообмена
па поверхности: появляется возможность осуществить
целенаправленный поиск аппроксимирующей зависимости для неизвестной
характеристики, прямое измерение которой затруднительно или даже
невыполнимо, обеспечивая совпадение экспериментальных данных с
расчетными. Если при этом используется несколько различных
моделей теплообмена, то применение аппарата обратных задач
позволяет сравнить их адекватность рассматриваемому процессу. Следует
отметить, что метод обратных задач позволяет определить (уточ-

нить) только некоторые характеристики математической модели, т.е.
теплообмена с априорно заданной структурой процесса, разработка
же структуры модели теплообмена остается неформализуем ой, как и
при традиционных методах исследования процессов теплообмена на
поверхности.
В [20] предлагается классификация обратных задач, делящая
их на граничные, коэффициентные и геометрические. В случае
решения граничных обратных задач ставится задача определения
температуры поверхности или тепловых потоков, идущих на прогрев
внутренних слоев, т.е. правой части оператора (1.1.3) при известных
операторах (1.1.2), (1.1.4) и некоторой дополнительной
информации о поле температур внутри тела. Алгоритмы решения граничных
обратных задач теплообмена наиболее полно освещены в
многочисленных публикациях [12-23, 27,28,31-34,148,169].
В коэффициентных обратных задачах при заданных граничных
и начальных условиях (1.1.2), (1.1.3) и по результатам
дополнительных измерений требуется определить некоторый коэффициент в
операторе (1.1.1) или их совокупность [28, 52, 213,250].
При решении геометрических обратных задач теплообмена
ставится задача об определении границы области теплопереноса 5Q
координат размещения термодатчиков в (1.1.1)—(1.1.3) и т.д.
Обратные задачи определения характеристик теплообмена на
поверхности тел представляют собой комбинацию граничных,
коэффициентных и в некоторых случаях — геометрических обратных»за-
дач, поскольку искомые характеристики, хотя и входят в граничные
условия, но являются функциями внутреннего теплового состояния
системы и состояния окружающей среды, а по своей физической
сущности — это характеристики материала системы (или
взаимодействия материала с окружающей средой определенного состава). Это
обстоятельство позволяет применять методы, разработанные для
решения как граничных, так и коэффициентных обратных задач.
Аппарат обратных задач еще не получил широкого
распространения применительно к процессам теплообмена на поверхности
технических систем. Единственным примером их использования являются,
по-видимому, работы американских исследователей Дж.К.Ходжа и
Д.Р.Одли [287,288, 325-326,398-402]. В этих работах, посвященных
анализу взаимодействия поверхности теплозащитного покрытия
многоразового транспортного космического аппарата «Space Shuttle» с
набегающим газовым потоком, управление теплового баланса на
границе газ — твердое тело записывается в виде [325]
"*(?-] = A?oW)j + «Krj - Гю4) + и,(т), (1.3.34)
\oxJw

где (q0(i))g =1,77 • 104р"-5(Ve / 104)3'07(1 - Iw / /0) .- плотность
конвективного потока в точке торможения, г/о(т) - некоторый
стохастический процесс, включающий в себя неопределенности на
границе; f - коэффициент, зависящий от местоположения анализируемой
точки на поверхности аппарата, угла атаки а, угла скольжения р,
числа Рейнольдса, Re, числа Маха М^, углов отклонения органов
управления 8е,8м.
Ставится задача определения e,f, а также толщины покрытия
между внешней поверхностью и ближайшим к ней термодатчиком
Д^. Интегральная степень черноты е предполагается постоянной,
коэффициент f аппроксимируется зависимостью
f =fo -+/a(a -a0) + (p-p0) + /'Re(Re-Re0) +
+/б, (8в - 5е0) + fhf (5bf - 56/0) + fMa (Me - M^)2. (1.3.35)
Вектор неизвестных параметров записывается как
Р ={E>&A>fo<fa.>fp>fRe>f&>hbf>fM„} e R >
решение ищется из условия максимума функции правдоподобия
[325]. Приводится результат доказательства существования и
единственности решения в предположении, что f эквивалентен набору из
7 параметров {fQ, fa,/"p, fRe, f&, f& , fMa}. В качестве дополнительной
информации используются показания термодатчиков внутри
покрытия. Приводимые в указанных работах результаты, полученные при
выполнении МТК «Columbia» штатных маневров, показывают
согласованность экспериментальных и расчетных результатов с
точностью около 10%.
Актуальность поставленной задачи лишний раз подчеркивается
тем обстоятельством, что для проведения некоторых из этих
исследований проводилось дополнительное (внештатное) маневрирование
кораблем «Space Shuttle» [398] по заданной программе в целях
улучшения качества и полноты экспериментальной информации
применительно к поставленной обратной задаче и используемому
алгоритму.
Таким образом, для комплексного исследования теплообмена на
поверхности различных технических систем необходимо разработать
расчетно-экспериментальную методику определения совокупности
характеристик теплообмена с привлечением математического
аппарата обратных задач и использованием накопленного при решении
граничных и коэффициентных задач опыта.

1.4 Постановка задачи идентификации процессов
нестационарного теплообмена на поверхности тел
Постановка задачи идентификации предполагает следующие этапы:
1) выбор рассматриваемой структурной математической модели;
2) указание области применения такой модели при решении
практических задач;
3) анализ существования и единственности решения;
4) выявление дополнительной информации, необходимой для
решения на основании теорем существования и единственности;
5) математическая формулировка обратной задачи;
6) выбор оптимальных условий проведения экспериментов.
Все эти вопросы будут рассмотрены в данном параграфе.
Как уже отмечалось, при использовании аппарата обратных задач
для определения (уточнения) некоторой совокупности характеристик
теплообмена структурный вид математической модели должен быть
задан априори (в силу того, что существующие методы решения
обратных задач не позволяют создать систему формализованного синтеза
математических моделей). Аппарат обратных задач может быть
использован только для сравнительного анализа адекватности математических
моделей различной структуры (структурная идентификация).
Основываясь на вьгеодах, приведенных в § 1.1 (с учетом всех сделанных там
допущений), а также принимая во внимание то, что целью данной
монографии является исследование принципиальной возможности
использования аппарата обратных задач для анализа процессов
теплообмена на поверхности, сочтем целесообразным ограничиться одномерной
моделью прогрева. Этот шаг, несомненно, сузит возможности
применения разработанных методик, однако следует заметить, что в случае,
например, трехмерной модели теплообмена граничное условие на
поверхности можно записать в виде
-Х(Т) — Ос, у, z, т) = Н(д,и) для V(x, у, £) е 3D. (1.4.1)
on
где п — вектор единичной нормали к поверхности 8Q.,
определяемой уравнением d£l(x,y,z) = 0, вектор функций й определяется
аналогично (1.1.73); вектор д = {ду}1 9 , где дj = gj(x,y,z,j).
Таким образом, связь между уравнениями теплового баланса в
различных точках поверхности существует благодаря внутреннему
теплопереносу в материале, влияющему на поле температур
Т = Т(х,у,г,т), и условиям обтекания тела (влияющим на значения
{<7/0с,!/,2,т)}] ° , в то время как поверхностные тепловые эффекты
являются локальными (т.е. не зависящими от условий в соседних

точках поверхности). Поэтому при переходе от одномерной модели к
трехмерной в алгоритме решения задачи идентификации
существенно изменяются уравнения, описывающие процессы внутри
материала. То же имеем и при переходе к двумерной постановке.
Итак, основываясь на допущениях, приведенных в § 1.1, можно
считать, что теплообмен в исследуемой системе описывается
следующей краевой задачей:
-C„G„f-(/,-/>>„, (1.4.2)
(1-П)С^ = А
дт дх
Д.—
дх
Т = T(x,i),x е (0,Ь(т)),т е (O.tJ;
Пх,0)=Т0(х), *е[0,Ь(0)]; (1.4.3)
-^(0,t)=<7i(t), t6(0,tJ; (1.4.4)
дх
-X
(дГ
te)w
= ^(х),те(0,тт]; (1.4.5)
Ь(т) = КО) - JGW / (1 - П)р</т, т е (0,tJ; (1.4.6)
о
х
Gg(x) = \wg(&d\, x e [0,Ь(т)]; (1.4.7)
О
^(т) = Я(?,й),те(0,тт]. (1.4.8)
Предполагается, что в большинстве случаев компоненты вектора
<7 (например, ре, 1еи т.д.) и некоторые компоненты вектора й
измеряются экспериментально или определяются расчетным путем.
Предметом исследования в данной работе являются те компоненты
вектора и, которые не могут быть измерены или вычислены. Не
нарушая общности, будем считать, что неизвестны первые Nu
компонентов вектора u(Nu < Nt), что всегда можно осуществить путем
перенумерации компонентов.
Следует отметить, что в дальнейшем предполагается
зависимость коэффициентов уравнения (1.4.2) только от температуры. Это
допущение намного упрощает все последующие выкладки. Переход
к модели, учитывающей зависимость коэффициентов внутреннего
теплообмена от нескольких факторов, затронет только уравнения,
связанные с внутренними процессами в материале, и может быть
проделан аналогично [24].

Необходимо также выделить класс материалов, для которых
справедлива математическая модель теплообмена (1.4.2)—(1.4.8).
Учитывая анализ, проведенный в § 1.1, можно утверждать, что
рассматриваемое уравнение теплового баланса на поверхности (1.4.8) в
сочетании с остальными уравнениями (1.4.2)—(1.4.7) описывает
процессы взаимодействия с внешней средой любых неразрушающихся
материалов; разрушающихся материалов, продукты разрушения
которых переходят из твердого состояния в газообразное;
оплавляющихся материалов, вязкость расплава которых настолько мала, что
продукты разрушения практически мгновенно уносятся омывающим
потоком. Исключение составляют оплавляющиеся материалы с
большой вязкостью продуктов плавления (последнее обусловливает
наличие достаточно толстой пленки расплава на поверхности). Несмотря
на то, что граничное условие на поверхности пленки расплава для
таких материалов можно записать в виде (1.4.8), анализ подобных
процессов обычно требует использования двумерной (или даже
трехмерной) модели течения продуктов расплава на поверхности тела (см. §
1.1). Таким образом, последнее ограничение также накладывается не
уравнением (1.4.8), а моделью теплопереноса (1.4.2)—(1.4.7).
При использовании методов обратных задач для определения
неизвестных характеристик предполагается наличие некоторой
дополнительной информации о тепловом состоянии исследуемой
системы [23]. В качестве такой информации обычно берутся избыточные
для прямой задачи (1.4.2)—(1.4.8) данные о поле температур. В
случае одномерной модели прогрева - это измерение температуры в
нескольких дискретных точках внутри тела. Формально их можно
представить в виде дополнительных условий:
7ЧХ,-,т) = Л(т),£ = \,Mp,i £ [0,тм], (1.4.9)
где Мр — число термодатчиков; X,; - координаты установки
термодатчиков, Х{ е [0,Ь(0)], г =\,Мр.
Предполагается, что измерения температуры могут проводиться
как внутри исследуемого тела, так и на его поверхности (на
внутренней поверхности только в случае граничных условий П-го или Ш-го
рода). Справедливо соотношение М < М„ < М + 2, где М -
число внутренних термодатчиков. Для упрощения индексации в
последующих выкладках в данной книге рассматриваются только
внутренние термо датчики.
Кроме того, при решении обратной задачи могут быть
использованы экспериментальная информация о состоянии окружающей
среды, данные о массовой или линейной скорости уноса материала и

времени начала процесса разрушения. В общем виде это можно
записать так:
9jk(d=Sjk(d,h e[i,Ng]cN. (1.4.10)
При построении алгоритмов используются также априорные
сведения о характере искомых характеристик (монотонность,
гладкость, ограниченность и т.д.).
Окончательно сформулировать рассматриваемую задачу можно
следующим образом: необходимо определить некоторую
совокупность функций щ,i = 1,NU, удовлетворяющих краевой задаче
(1.4.2)—(1.4.8) и дополнительным условиям (1.4.9), (1.4.10).
Существование решения подобной задачи непосредственно
вытекает из существования решения соответствующей прямой задачи
теплообмена (1.4.2)—(1.4.8). Сложнее обстоит дело с вопросами
единственности решения.
В силу того, что уравнение теплового баланса на поверхности
тела может рассматриваться независимо от краевой задачи тепло-
переноса (1.4.8)—(1.4.7), возможен следующий подход к решению
анализируемой задачи: сначала решается задача определения
плотности теплового потока q^ (т), идущего на прогрев
внутренних слоев, и поле температур Т(х, т) в исследуемом образце из
краевой задачи (1.4.2)—(1.4.7), что представляет собой граничную
обратную задачу теплопроводности [23]. Затем отдельно
анализируется функциональное уравнение (1.4.8) и определяются
характеристики щ, i = 1,Nu.
Вопрос о единственности решения первого этапа поставленной
задачи (определения q^it) и Т(х,т) из уравнений (1.4.2)—(1.4.7)
достаточно хорошо изучен [23,28], поэтому в дальнейшем можно
рассматривать только уравнение (1.4.8), полагая, что q\(i) и Т(х,т)
известны однозначно.
С целью упрощения анализа единственности сделаем следующие
предположения:
1) функция теплового баланса Н(д, и) является линейной
относительно вектора функции й, компоненты которого неизвестны:
H{g,u) = Y,hi{g)ui+h(){gy, (1.4.11)
2) щ, i = 1, Nu являются функциями одного аргумента:
щ =щ(д^)
(1.4.12)

В качестве примера можно привести следующую модель
теплообмена на поверхности:
«7xW =<7oto + *<Tw)oT* + AQW(TW)GW, (1.4.13)
где e(Tw),AQw - неизвестные функции.
Будем далее предполагать, что существует точное решение
{щ}^ ". Тогда, учитывая, что h^ (д) = h^, можно построить
последовательность функций:
= - 82"2 Г 8НииК 7
щ =щ +^^h2+...+ —= hN
й2=(1-52)й2. [ (1.4.14)
Можно убедиться, подставляя (1.4.14) в (1.4.11), что (1.4.14)
также является решением уравнения теплового баланса (1.4.8).
Следовательно, рассматриваемая задача имеет неединственное решение.
Чтобы избежать неединственности, необходимо привлечь некоторую
дополнительную информацию. Представляется естественным в
качестве такой дополнительной информации использовать данные
нескольких нестационарных тепловых экспериментов, проведенных на
образцах, выполненных из одинакового материала, но при
различных режимах теплового нагружения [55,56], т.е. обработку данных
нескольких экспериментов производить совместно, в предположе-
нии, что в разных экспериментах неизвестные характеристики щ,
i = 1,NU являются одними и теми же зависимостями. При этом
необходимо, чтобы количество отличающихся друг от друга режимов N
было по крайней мере не меньше числа неизвестных характеристик
N > Nu. Исследование условий единственности получаемого при
таком подходе решения для произвольного уравнения теплового
баланса выходит за рамки данной работы. Рассмотрим частный
случай, когда процесс теплообмена на поверхности тела в серии из N
экспериментов описывается системой функциональных уравнений
относительно неизвестных функций аналогично (1.4.11):
£адп)иг07" ) + (Ль(.9я) -<(т)) =0, (1.4.15)
г=1
t e (0,тт], п = \,М,

д». =7?.(т), д].е[дрп,д™),п=А,Ы, (1.4.16)
причем функции hj,i = 0,JVU, q^,n = \,N непрерывно
дифференцируемы, а д\, п = \,N — непрерывно дифференцируемы и
монотонны. Nu = N
Если решение ищется в классе С ' и\ <7™",<7™ах I, то
справедливо следующее
Утверждение 1: решение задачи определения неизвестного
вектора функций й, удовлетворяющего системе уравнений
(1.4.15)—(1.4.16), единственно тогда и только тогда, если для
V^e^T.^JdetS^O,
где S ={h{(gn(i*„))}, щ е[1,ЛГ], i = Щ^, (1.4.17)
Доказательство: сформулированная выше задача определения й
из системы (1.4.15)-(1.4.16) удовлетворяет теореме о неявной
функции [143], поэтому для Удj* e <7™ш,9'^аХ решение существует и
единственно, если detH ^ О,
n = i,N О
#.(т,*) 1 О О
фО
(1.4.18)
Проводя несложные преобразования и учитывая условия
теоремы, получим выражение (1.4.17).

Следует отметить, что при выполнении условия (1.4.17) решение
задачи определения й хотя и единственно, однако при малых
значениях детерминанта Е вычислительный алгоритм является плохо
обусловленным, а погрешности вычислений, в свою очередь, могут
привести к значительным трудностям при практической реализации.
Из нескольких экспериментальных программ по N
экспериментов в каждой более достоверные результаты, по-видимому, будут
получены в том случае, когда во всех точках области определения
неизвестных функций [дт,п,дт*ах] превосходит соответствующее
значение определителя функциональной матрицы S для
сравниваемых экспериментальных программ. Таким образом, наряду с
задачей определения неизвестных характеристик возникает задача
оптимального планирования тепловых экспериментов, т.е. выбора
условий проведения экспериментов, обеспечивающих наилучшую
обусловленность алгоритмов обработки экспериментальных данных
(например, максимальные значения детерминанта (1.4.17)).
При проведении стендовых тепловых экспериментов обычно
имеется возможность варьирования двумя группами условий:
внешними условиями проведения эксперимента и конструктивным
исполнением испытываемых объектов. Поэтому в качестве факторов,
определяющих эксперимент, можно выделить:
1) начальную толщину исследуемых систем,
2) количество термодатчиков и координаты их размещения,
3) продолжительность экспериментов,
4) внешнее тепловое воздействие.
Сложнее обстоит дело с натурными испытаниями, когда
возможности экспериментатора значительно ограничены, изменение
геометрических характеристик системы, как правило, исключено,
затруднено изменение продолжительности и интенсивности
внешнего воздействия и т.д. Однако, как показали практические
исследования, выбор подходящих условий проведения нестационарных
тепловых экспериментов настолько важен, что подчас приходится идти на
усложнение, а следовательно, и на удорожание программ натурных
испытаний.
Так, например, при исследовании системы теплозащиты
многоразового транспортного космического аппарата «Space Shuttle»
для обеспечения соответствующих внешних тепловых воздействий
на точки поверхности, где были установлены термодатчики,
проводилось специальное дополнительное маневрирование орбитального
корабля [325-326]. Этот факт лишний раз подчеркивает важность
значения, придаваемого отработке систем, обеспечивающих
заданное тепловое состояние современных технических объектов.

Глава 2
РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
ТЕПЛООБМЕНА НА ПОВЕРХНОСТИ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
В настоящее время наиболее эффективным является решение
обратных задач путем приведения их к экстремальной постановке и
применения численных методов теории оптимизации, в частности
градиентных, с использованием их регуляризирующих свойств
согласно принципу итерационной регуляризации [28]. В данной
работе неизвестные характеристики представляются в
параметризованной форме, что позволяет получить аналитические выражения для
градиентов выбранных мер уклонения и существенно сократить
объем необходимых вычислений (§2.1, §2.2, §2.4).
Сравнительный анализ различных подходов к реализации
алгоритмов решения обратных задач производится путем
математического моделирования (§2.5). Кроме того, исследуется зависимость
точности решения от погрешностей в исходных данных, избыточности
дополнительной информации и некоторых других факторов (§2.3,
§2.5, §2.6). Как показано в §2.7, сходимость итерационных
алгоритмов намного повышается при учете априорной информации о
гладкости неизвестных характеристик. В случае, когда искомые
характеристики являются постоянными величинами, алгоритмы решения
обратных задач значительно упрощаются (§2.8).
2.1 Постановка обратной задачи
В предлагаемых алгоритмах решения обратной задачи кроме
допущений, принятых в §1.1, предполагается также, что
коэффициенты уравнения теплопереноса (1.4.2) зависят только от температуры.
Это допущение намного упрощает все последующие выкладки.
Переход к исследованию математических моделей, в которых
учитываются зависимости коэффициентов теплопереноса от других факторов
(например, от темпа нагрева), затрагивает только уравнения,
связанные с внутренними процессами в материалах [305], и не вызывает
принципиальных трудностей. Для определенности на внутренней
границе исследуемых образцов рассматриваются граничные условия

II рода. Кроме того, исследуемое тело предполагается однослойным,
выполненным из одного материала. Для многослойных систем ниже
будут приведены окончательные выражения для градиента меры
уклонения, шага спуска и т.д., необходимые при построении
градиентных алгоритмов оптимизации.
С учетом всех принятых допущений математическая модель
теплообмена для исследуемых образцов материалов имеет следующий
вид:
от ох
(
UT)
дТ
п\
дх
+ К{Т)Ц- + 5(7);
ох
(2.1.1)
Тп =Tn(x,i), *е(0,Ь"(т)), те(0,т*], n = \,N;
Тп(х,0)=Т0п(х), *е(0,Ь"(0)), тг = 1^;
_j,^(0,T)=(7f(T)) T6(0,iU 72 = 1^;
ох
-\
дх .
J w
= яЦд, те(0,а n = \,N;
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.4)
Ь*(т) = Ь*(0)-JV*</t, n = \,N;
(2.1.5)
<7*(т)=Я(^п,й), те(0,т*], n = l,JV,
(2.1.6)
где индекс п означает номер эксперимента, а N - число
экспериментов, обеспечивающее единственность решения обратной задачи
(§1.4).
Предполагается, что компоненты вектора и неизвестны. В этом
нет противоречия с предыдущим материалом, т.к. все известные
компоненты вектора {щ} ' формально можно представить как
некоторые функции, зависящие от времени
Щ = 9j (т). i = Nu + t Wf. У = *■ - Nu + Ng
и включить их в вектор д.
В качестве дополнительной информации используются
экспериментально измеренные значения температуры в нескольких точках
внутри каждого образца:

T£CB(X5,,-d=fZ(d. m=\,Mn, n = \,N, (2.1.7)
Х£6[0,Ья(т2,)].
Обратную задачу можно сформулировать в абстрактной форме
следующим образом. Необходимо отыскать решение системы
операторных уравнений:
Au=f, A:U-*F (2.1.8)
где после перенумерации и = {щ,...,и^ },щ е U it i = 1,Nu;
A = {Л^■•м/■Д,Л^■■■./'^}./'«eF^|m=pf;ln = i^;C/1■IFJ2-нe-
которые пространства; U = C/jx...xt/дг , F = F\ x...xFM , А —
непрерывный дифференцируемый по Фреше оператор, представляющий
собой систему нелинейных нестационарных краевых задач (2.1.1) —
(2.1.6).
Экстремальная постановка задачи (2.1.8) заключается в выборе
неизвестных характеристик и из условия определенной
согласованности расчетных значений поля температур и экспериментально
измеренных, т.е. в минимизации меры уклонения:
J<u)=Pf(Au,P, ueD<=U, (2.1.9)
где D - область допустимых значений вектора й, содержащая точное
решение.
Опыт решения коэффициентных и граничных обратных задач
теплопроводности [28] свидетельствует о целесообразности
рассматривать в качестве пространств С/,- и F™ гильбертово пространство Li.
В этом случае мера уклонения представляется в виде широко
распространенной в технических приложениях среднеквадратичной невязки
лю = х в\лйй-а\\2к = z 2 /<г"о£,т,й> -/£<т))2«/т,
п=\т=\ n=im=\Q
(2.1.10)
которая позволяет, используя численные методы оптимизации
строить эффективные вычислительные алгоритмы, наиболее естественно
учитывающие дополнительную информацию о тепловом состоянии.
Для того чтобы завершить формулировку обратной задачи в
экстремальной постановке, необходимо задать допустимое множество
решений обратной задачи D(M e D). Априорное задание ограииче-

ний на класс искомых функций из физических соображений обычно
невозможно осуществить в приемлемом для задачи оптимизации
виде. Во многих практических задачах вообще отсутствует
какая-либо априорная информация относительно множества D или заранее
предполагается, что точка экстремума удовлетворяет всем
возможным ограничениям. В результате обычно приходится решать задачу
без ограничений, выбрав в качестве D достаточно широкий класс
функций.
При обработке результатов реальных экспериментов, как
правило, всегда имеют место различные погрешности, и прежде всего,
погрешности в экспериментально измеренных данных, носящие как
случайный, так и систематический характер.
Случайные погрешности во входных данных обусловливаются
[126] разбросом теплофизических и электрических характеристик
термодатчиков и других измерительных устройств, неточностью их
тарировки и т.д.
Систематические погрешности связаны обычно с неточностью
определения координат термодатчиков, искажением поля
температур в образце термодатчиками, смещением самого образца при кино-
или рентгеносъемке и т.д.
Третья группа погрешностей - погрешности конечно-разностной
аппроксимации дифференциального оператора исходной задачи и
ошибок округления на ЭВМ.
Кроме того, имеют место погрешности из-за неопределенностей
в априорно заданных коэффициентах математической модели,
которые определяются либо расчетным путем, либо решением
соответствующих обратных задач.
В силу математической некорректности задачи определения
характеристик теплообмена на поверхности покрытия наличие
погрешностей во входной информации приводит к получению решения и,
которое может не иметь ничего общего с искомым. Для преодоления
этой трудности целесообразно воспользоваться регуляризирующими
свойствами градиентных методов оптимизации [23,28], которые
позволяют быстро начинать итерационный процесс от далекой оценки
определяемых характеристик и резко замедляются с приближением к
минимуму функционала. По мере увеличения числа итераций
решение обратной задачи может начать осциллировать, постепенно теряя
гладкий характер. Возникает необходимость остановить
итерационный процесс, не достигнув колебаний решения. Важным при этом
является правильный выбор критерия останова итерационного
процесса. По принципу обобщенной невязки [23,28] таким критерием может
быть ограничение на величину минимизируемого функционала:

7(й)<52,
(2.1.11)
где S - суммарная погрешность, метрически согласованная с
целевым функционалом.
Суммарная погрешность в предположении аддитивности
ошибок может быть представлена в виде
8=8^ +да +8k, (2.1.12)
где S t - погрешность экспериментальных данных (в первую очередь
температурных измерений); Ъа - погрешность вычислений; 5^ -
погрешность задания коэффициентов математической модели
теплообмена.
На практике погрешности вычисления (конечно-разностной
аппроксимации и округления при надлежащем выборе параметров
вычислительного алгоритма малы по сравнению с погрешностями
экспериментальных данных и коэффициентов математической модели.
Для оценки влияния погрешностей аппроксимации и
округления на решение задачи по определению зависимости коэффициента
теплопроводности от температуры проводились численные
исследования, на основании которых сделан вывод о возможности оценить
малость величины погрешности вычислений по совпадению
восстанавливаемых характеристик для различных параметров
конечно-разностной аппроксимации [60]. Аналогичные результаты были
получены и в серии параметрических расчетов при различных
значениях пх хщ, где пх - число шагов разностной сетки по
пространству; ит- то же по времени, для случая решения обратных задач по
определению характеристик теплообмена на поверхности.
По результатам математического моделирования можно сделать
вывод о том, что при правильном выборе параметров разностной
сетки для прекращения итерационного процесса минимизации целевого
функционала вместо (2.1.11) можно использовать соотношение
J(u)<(Sf +Sfe)2. (2.1.13)
При решении обратной задачи в экстремальной постановке
возможны два случая [23]:
1) оптимальное решение ищется в конечномерном пространстве
параметров аппроксимации;
2) задача оптимизации решается в функциональном
пространстве. В первом случае ищется экстремум некоторой многомерной
функции, во втором - экстремум функционала.
В [28] авторами указывается на целесообразность
предварительной параметризации определяемой функции при решении коэффи-

циентных обратных задач для нелинейных моделей теплообмена. В
настоящей работе используется аналогичный подход. Вместо
неизвестных непрерывных функций щ (д), i = 1, Nи рассматриваются
функции щ(д,р{), i =\,NU с заданной структурой и зависящие от
аргумента д и вектора неизвестных параметров р j = {р^} j ' • Такой
подход возможен в двух случаях.
1. Априорно известен структурный вид определяемой
характеристики щ. Например, пусть щ — массовая скорость уноса при
сублимационном режиме разрушения материала:
*ti ylRTjMk
где константы {а^}^ ' - неизвестные параметры. В этом случае
где
ШУ' ={**}?'. g={Tw,P;,...,peNi.p?,...,p5i}. (2.1.15)
2. Если структурный вид идентифицируемой функции
неизвестен: щ =М((^,г), ji e [1,ЛГ„] с N, то щ можно аппроксимировать
какой-либо системой функций и в качестве вектора неизвестных
параметров рассматривать параметры аппроксимации:
Ui^9ji) = ZjPki9%k(.9jil (2.1.16)
где (p^(.9;i). k = 1,N,- - базисные функции аппроксимации.
Основываясь на подходе, предложенном в [26], в качестве
аппроксимирующих зависимостей в данной работе применяются
кубические В-сплайны [255]. При использовании их в качестве
аппроксимации функции щ ее область определения [i/™11,.?^] делится на
ji ' ji
(Nj - 3) равных частей и вводится равномерная сетка:
w = tip = f?T + KA9ji • k = -2-1' ■ ■ - - ATf ■+■ 3,
&9ji =(?;чаХ -.9?П)/(^ -3)}- (2.1.17)
Функция

в
Щ « LPkBk-3(9jil Я, =Ni+\, (2.1.19)
<*-°=в<*-,)Ц,^1,...,4+2.^) =
= zY— , (2.1.18)
s=k Щ(д){)
w^ =(9/i -gpbji -д^\...,(дл -gf\
(gs.. -gji)+ =max{0,(<7^. - g ji) ~ } называется В-слайном степени
(/ = 1) относительно узлов gkj(, д^,..., g*f.
В настоящей работе используются в основном кубические
В-сплайны (I = 4).
2
где В* (<7yi) = B6(i7y,- - k&gfi - gfn),
B0(gji)=-\((gji + 2Agji)l -A(gji + Ag^l + 6(^)2 -
ДоГ. v
-4(flf/(- + Aflfy,-)| + C-7/t - 2&дц)1)-
Функция В$(.д) обладает свойством:
Во(9)=|>0(если|ё|<2Аё; (J ^
|=0, если |g|>2Ag,
что существенно упрощает вычислительные алгоритмы ■.
При решении практических задач обычно применяют В-сплайны
с так называемыми естественными граничными условиями:
щ(д™а)=щ(д™*)=0. (2.1.21)
При этом искомая функция представляется в следующем виде:
uiC<7;i) ~ 2-,ukVk(9;i). (2-1 -22)
<Pi(<7/i) = 2В0%г + А/7уг> + B^igji);
<P2Q7/i) = -fi0% + 2A?yi) + B0(gji);

Ф*С*/>«> = Bk_i (gji), k = 3,Ni-2;
VN^9ji> = Bq<JJji -(JVj -2)Ад^)-В0(д]{ -ЛГ,-Д^);
Флг,- (<7/i) = 250(ffyj - (N'j - l)A.«7y,-) + #o(<7/i - NiAffji^
wegji =gji -g™n-
После осуществления параметризации функции теплового
баланса Н(д,и) одним из указанных способов рассматривается ее ко-
— N
нечномерный аналог Р = {рк}\р> компоненты которого получены
путем объединения в одном векторе всех параметров, определяющих
каждую функцию щ из и. Вместо функции теплового баланса
Н(д,и) вводится в рассмотрение ее параметризованная форма
Н(д,и). Из единственности решения задачи (2.1.8) в пространстве
С ' "(см. §1.4) следует существование и единственность решения в
N &
пространстве R р, где N„ = 2_,^i ПРИ любом Nг- в том числе и при
i=\
N1 —> оо. Итак, исходную экстремальную постановку обратной
задачи удается свести к задаче определения вектора параметров, т.е.
получить параметрический эквивалент исходной задачи. Исходное
уравнение (2.1.8) заменяется его аппроксимацией [28]:
ApU = f, Ap:Up-±F, (2.1.23)
где U„ — подпространство пространства, натянутое на базисные фун-
кции ф},...,ф ", которые предполагаются линейно независимыми.
При этом производная А'„ оператора А„ как показано в [28],
является сужением А' на U„.
Уравнение (2.1.8) представимо и как уравнение относительно
параметров р:
Ap=f, A:RNp -+ F, (2.1.24)
где Ар = Арй при и,=<ф,р>. При этом А'Ар = А'Аи при
Дм,- =< ф, Ар >.
Все вышесказанное справедливо и для первого подхода к
аппроксимации в том случае, когда неизвестная характеристика
зависит от вектора параметра линейным образом, как например, в
(2.1.14). Если же зависимость щ от р^г = 1, Nu нелинейна, то
множество U„ a U может и не являться подпространством.

Таким образом, требуется определить такой набор.значений
параметров р из некоторой области Р, который минимизирует
критерий качества J(p),p e P с учетом условия (2.1.11)
Лр) = I £](7ЧХ£,т) -/^(т))2^, (2.1.25)
я=1т=1 о
где Г(Х^,т) - решение краевой задачи (2.1.1)-(2.1.б) совместно с
уравнением
q^(T)=H(gn,p), те(0,т*], я=Щ (2.1.26)
То есть исходную задачу (2.1.7), (2.1.10) с ограничениями
(2.1.1)-(2.1.6) можно свести к задаче нелинейного
программирования (2.1.25), (2.1.26), (2.1.1)-(2.1.5), (2.1.7).
Следует отметить что при анализе ряда конкретных задач в
дальнейшем иногда предполагается линейность функции теплового
баланса Н(д,р) относительно вектора неизвестных параметров
1
Н{д,р) = ^рккк{д) + ^{д), (2.1.27)
где hk(g), k = 0,N„ - некоторые известные функции из !/>• Но в
большинстве случаев результаты будут получены для произвольной
функции Н(дп,р).
В качестве примера перехода к параметрической постановке
рассмотрим следующую модель теплообмена на поверхности материала
[59]:
<7£(т) = -<^(т) + с(04е(0, (2.1.28)
где дп = {-9оп(т);7£(т)}; и = {е(т)}.
и если функция е(Г) неизвестна и аппроксимируется кубическими
В-сплайнами
е(Г) = £икФ*(Г), (2.1.29)
k=\
тогда
I
q^)=H(gn,p) = 1РЙ*(Г) + Ab(^). (2.1.30)

где hk{gn) = c(T£)A<pk<Т£) = (g2)A°4>k(О. k = i,Np,
Далее везде будет рассматриваться параметризованная форма
функции теплового баланса на поверхности материала, поэтому знак
«-» над Н(дп,р) опускается.
Можно предложить два подхода к решению поставленной
обратной задаче [55-58,60,61]:
1) последовательный: предварительно решается задача
определения плотностей тепловых потоков q?, идущих вовнутрь тела, и
температуры поверхности из уравнений (2.1.1)-(2.1.7), после чего
изолированно анализируется функциональное уравнение (2.1.26) и
определяется вектор неизвестных параметров р;
2) непосредственный: краевая задача (2.1.1)-(2.1.5), (2.1.26)
рассматривается совместно и с учетом дополнительной информации
(2.1.7) определяется неизвестный вектор р.
Возможность двух различных подходов к решению
сформулированной обратной задачи обусловливается отмеченной выше
автономностью системы функциональных уравнений теплового баланса
на поверхности (2.1.26) от остальных (дифференциальных)
уравнений краевой системы (2.1.1)-(2.1.5).
В последующих подразделах предлагаются эффективные
методики определения вектора неизвестных параметров р,
удовлетворяющего краевой задаче (2.1.1)—(2.1.26), (2.1.7), и минимизирующего
функционала (2.1.25) с учетом некорректности постановки задачи.
2.2. Последовательное решение обратной задачи
При таком подходе решение задачи основывается на
возможности декомпозиции исходной задачи (2.1.23) с ограничениями (2.1.1)
- (2.1.5), (2.1.26) на две подзадачи:
1) определение температур на поверхности Т£, п = 1, N и
плотности тепловых потоков q*, n = \,N идущих на прогрев внутренних
слоев (2.1.1)-(2.1.5);
2) определение вектора неизвестных параметров р из системы
функциональных уравнений (2.1.26).
Первая подзадача представляет собой достаточно полно
исследованную в настоящее время граничную обратную задачу
теплопроводности. При этом каждый из N анализируемых экспериментов
можно рассматривать изолированно друг от друга.
Минимизируемый функционал имеет вид

/пЧ") = ^}(тЧХптЛ) -/£(т))/т. (2.2.1)
m=10
Для законченности изложения ниже приводятся основные
расчетные формулы, необходимые для решения граничной задачи в
экстремальной постановке [28].
Градиент минимизируемого функционала при q* (т) е /^[O.tJJ,]
имеет вид
J'fi =-чС п = Гй, (2.2.2)
где функция \\1%,(х,т) является решением следующей линейной
краевой задачи:
дх дх2 дх дТ
Vw =4>m(x>^> m=i,Mn+i, хе(Хт_ьХт), те[0,т"),
*о =0, Хпм+1=ЬпЫ
Ч/^|0с,т«)=0, *e(X£_ltX£), т=1,Мя+1,
_а.М(0|Т) + *ч/?(0>т), те[0,т»],
Зд:
4S") +^=0, Tef°'T^i>
Vf„(X^(T))=M/^+1(X^(T)),m=l,M„, T6I0.TJ),
-Х^±1(^,х)+^(Х^т) =
от дх
(2.2.3)
(2.2.4)
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.7)
= 2(7"Чх£,т)-Л»), т=1,Мя, те[0,т"), (2.2.8)
где Тп(х,х) - решение краевой задачи (2.1.1)-(2.1.5).
Если предположить, что функция q? принадлежит
пространству С [O.tJJJ, to выражение для градиента функционала принимает
несколько иной вид [32]. Представим тепловой поток, идущий на
прогрев внутренних слоев, в виде

\dq"
0
dt
Учитывая (2.2.9), получим
r* dt
J'4L=f>№
(2.2.9)
(2.2.10)
и тогда приращение функционала запишется в виде
о
IvmWdT
<7х(т)Л =
-ra%;(T)dx
dx
dx.
(2.2.11)
Отсюда следует выражение градиента функционала (2.2.11) в
пространстве С"[0,т^]:
(2.2.12)
Подобное преобразование позволяет получить гладкие решения
и лучшую сходимость алгоритма решения граничной задачи.
Полученные выражения (2.2.2) или (2.2.12) позволяют
вычислять градиент непосредственно в пространстве искомых функций
-^fO.tm] или С'[0,тЦ,]. Однако при реализации рассматриваемой
методики на ЭВМ неизбежна дискретизация определяемой функции
q" (т). Естественным образом возникает задача определения
плотности, теплового потока qP, представляемого в виде
<7*(т)=7*(т)(7п), те[0,тт), (2.2.13)
гдеq"(t,qn)- функция, зависящая известным образом от времени и
— п N
вектора неизвестных параметров q ={qkn)\ ч" ■ Вычисление
градиента осуществляется в пространстве, содержащем
идентифицируемый вектор, а именно R п, преобразуем (2.2.2) следующим
образом:

Д/я =</^,,А< >ь +0(||А<7Х"||^) =
nJ*"
*=1 о ,л^г
-i]j
<й
с/т
д?Г+о(||дгГН)1Л.
(2.2.14)
так как
N„„^n
А<7Г = 2'%А^+0(11А^11>^-
С другой стороны,
(2.2.15)
Mn=<J'rMn>^4 +0(\\Aqn\\)RNq
(2.2.16)
Приравняв выражения (2.2.15) и (2.2.16), окончательно имеем
(2.2.17)
* j * atf 1 dqnn
При практическом использовании прилагаемых алгоритмов
может возникнуть ситуация, когда исследуется нестационарный
теплообмен на поверхности технических объектов, а не специально
выполненных однородных образцов материалов, как предполагалось
выше. В этом случае часто приходится анализировать теплообмен в
многослойных системах (см. §1.1):
С?{Т)
дТ" = д
9т дх
дТ,
п\
\пЛТ)-±
дх
+ K"(T>—f- + S?(D, (2.2.18)
' дх '
Г," =7/4*,т), xe(yM,y/),7 = l,L„, У0" =0,
Т1пОс,0)=Т£(х), *е(УД,У,я), l = \,Ln, n = \,N
^^L(0,T)=(7r(T), 16(0,4], я = 1^
-Л"
ал:
= <(т), те(0,т£], я=1,ЛГ
(2.2.19)
(2.2.20)
(2.2.21)

Ь"(т)=Ь"(0)- JV'rfT, я = 1,ЛГ, (2.2.22)
о
д£Ь)=Н(дп,Ю, те(0,а я = Щ (2.2.23)
те(0,т,"„], Ы\,Ь„ -1, я = 1,ЛГ, (2.2.24)
~Х" аГ/"^ ,Т> *"(г) = г/" (УГ •т) " тм°7' -т)
те(0,т£], f = l,Z.„-l, я = 1,ЛГ, (2.2.25)
здесь Ln — число слоев в исследуемом теле в и-м эксперименте; I —
номер слоя.
Следует отметить, что в экспериментах могут исследоваться
образцы с различным исполнением внутренних слоев, что отражено в
уравнениях (2.2.18)-(2.2.31) присутствием индекса «я» у теплофизи-
ческих характеристик материалов слоев С," (Г),А.7 (Г) и т.д. Очевидно,
что при рассмотренной выше постановке обратной задачи внешние
1,п-слои должны быть изготовлены из одинаковых материалов.
Дополнительные измерения температур в этом случае
представляются так:
Г£спСХ^(т))=/£(т), m=l,Mm/, l = l,Ln,
n = Uj, X%, e Crb.Yf). (2.2.26)
Тогда краевая задача для сопряженной переменной (2.2.3) -
(2.2.8) принимает вид:
дуп. д2\цп. дуп, BS?
_/-я т ml _ )» т ml _ тгп т ml , £_,,,"
' &г ~ 1 дх2 1 дх ВТ ^ml'
m=\,Mm,+i, l = \,Ln, n = \,N, те[0,Тм),
Xe(Xm-i,rXml^ X0l = F/-1-
Xlll+\ = У£ • yo" = 0'Yln = b" (t) • (2.2.27)

<,(*,*£) =0, xe[X»m_u,X»ml],
m=\,Mnl+\, l = 1,Ln, n = 1,N, (2.2.28)
_^^iL(0,T) + 2iCl>l,1(0>T)=0I те[0,тУ, n = ijj, (2.2.29)
ox
-X,
d\\i
^dx
Jw
+ КЬп(Ц1)1=0, Te[0/J, n = \,N, (2.2.30)
те[0,т„)( n = i^j, (2.2.31)
_^" т+1''(Х",,т) + Л? -^(Хп„т) = 2(Г"(Хп,),т) -
7 5л: ml ' дх ml l ml
-/•^(t), m=\,Mmi, те[0,т£), n = UV, (2.2.32)
<;+10У\т)- te[0,T^),; = l,Ln -1, n = \,N, (2.2.33)
-XlR? "' ' (У,",т)
./Jv/
3*
5Г" rf/г" 1
1+^ —My.V)—^
^WV^-<,/+i(y/V))'
T6[0,tJ,),/=U„-1, И = 1,ЛГ,
(2.2.34)
Соотношения (2.2.9)-(2.2.17) остаются неизменными.
Построение итерационных приближений к искомым функциям
осуществляется с использованием методов безусловной
оптимизации, например, методом сопряженных градиентов.
1) При вычислении градиента минимизируемого функционала с
использованием формул (2.2.2)-(2.2.8):
(<> =<<)'+а«.?Г, s=0X...,n = l,N, (2.2.35)
где gsn = -О'. У + р5„.?Г1, Р« при s = 0;

p'„.<w-!)'-c/k)-,c/k)->IS/iiuk)-'n;i
ПрИ 5 > 0.
2) При вычислении градиента функционала с использованием
формул (2.2.3) - (2.2.8), (2.2.12):
Tn=)gndt, 9n=-Jft- (2-2.36)
о
3) При использовании формул (2.2.17), (2.2.3) - (2.2.8)
осуществляется итерационное приближение вектора неизвестных параметров:
(^JLЯ),+1=(^,), +СЖ. 5=0,1,..., И = Щ
^=(-^У +Р-9Г1 • (22.37)
Параметр р„ вычисляется аналогично (2.2.35), за исключением
того, что скалярные произведения вычисляются в пространстве
*v
Останов итерационного процесса происходит при условии
(2.2.11).
Определив таким образом зависимости <7 " (т), п = 1, N и
подставив их в уравнения (2.2.26), получим систему функциональных
уравнений, включающих в себя вектор неизвестных параметров р,
что и является предметом исследований в рассматриваемом случае.
Итак, имеем систему функциональных уравнений:
H(gn,pb...,pNp)-q^(z)=0, я = Щ Мр < N. (2.2.38)
Для вычисления вектора р можно использовать метод
наименьших квадратов. Учитывая, что все составляющие неизвестной
функции Н(дп,р), а также q?(.i) принадлежат пространству /^[О.тЦ,],
n = \,N, можно корректно ввести в рассмотрение функционал
1 = I ]{Hign,p)-ql^))2dx, (2.2.39)
л=1 о
являющийся квадратичной невязкой теплового баланса на
поверхности рассматриваемых тел.

Решение задачи находится из необходимого условия минимуму
функционала (2.2.39):
dpk
= 0, k = i,Nv.
(2.2.40)
То есть получается система уравнений:
N хт
X ]тдп,р)-яЦд)
в=1 о
дН(дп,р)
fyk
rfx=0, k = \,Nv, (2.2.41)
которая может быть решена, например, итерационными методами.
Как отмечалось выше, на практике функция Н(дп ,р) во многих
случаях может быть представлена в виде
H(g",p) = 2Lhk<-9n)pk + *>(?). hk(gn) e L2[0,t^]. (2.2.42)
k=i
Тогда соответствующая производная функция теплового
баланса по параметру pk принимает вид
дН(дп,р)
fyk
hk(gn), k=\,Np, n = \,N.
(2.2.43)
В этом случае после несложных преобразований система
уравнений (2.2.40) становится линейной алгебраической системой,
решением которой является определяемый вектор р:
л=1 о I м=1
k = i,NT
(2.2.44)
или
( -п
£ I ]hk{gn)hm{gn)dT
т=\ и=1 о
N't.
Р«
= Z jWtf") -q^(T)hk(gn))dz, k = i,Np
n=l 0
(2.2.45)
To есть

Dp=Z,
(2.2.46)
где D - матрица Грама для системы функций hk(gn), k = \,Np,
N
dkm =Tj<hk^n\hm(gn)>L2[Qx„],
_ n=\ ' "'
a Z - вектор правых частей:
я=1
Система уравнений (2.2.46) может быть решена одним из
методов решения систем линейных алгебраических уравнений с учетом
того, что матрица D — симметричная, например, методом
квадратного корня [272].
2.3. Анализ свойств вычислительных алгоритмов путем
математического моделирования
Успешное применение методов исследования теплообмена,
основанных на решении обратных задач, требует тщательной отработки
вычислительных алгоритмов, а также выбора числа одновременно
обрабатываемых образцов, числа термодатчиков и т.д. Наиболее
универсальным подходом при этом является вычислительный
эксперимент, в ходе которого сначала решается прямая задача
теплообмена в образце в предположении, что все коэффициенты
математической модели известны; далее с использованием полученного поля
температур в предполагаемых местах установки термодатчиков
формируется дополнительная информация, необходимая для решения
обратной задачи, вычисляются зависимости изменения толщин
образцов как функций времени, после чего решается обратная задача
по определению характеристик теплообмена на поверхности [56].
Такой подход дает возможность проанализировать влияние
погрешностей задания исходных данных на результаты решения
обратной задачи. Случайные погрешности во входных данных при
моделировании формируются следующим образом:
/Чт) = Дт)(1 + ш5(т)), (2.3.1)
где /"(т) - точное показание термодатчика; со - случайная величина,
распределенная по нормальному закону с дисперсией, равной 1 и
математическим ожиданием, равным 0; 8(т) - максимально возможная
относительная погрешность.

Результаты математического моделирования позволяют
произвести анализ точности и достоверности получаемых результатов, а
также выбрать трудно формализуемые условия проведения
экспериментальной программы, например, число одновременно
обрабатываемых экспериментов.
Важным вопросом является также выбор исследуемой в
методических примерах математической модели теплообмена.
Многочисленные параметрические расчеты показали, что наиболее удобно
достоинства и недостатки предлагаемых алгоритмов можно
продемонстрировать на примере анализа существенно нестационарного
теплообмена на поверхности гипотетического материала на основе
углерода (см. §1.2, а также [200,425]). Это объясняется, во-первых,
достаточной простотой механизма теплопереноса внутри материала, в
частности отсутствием внутренних процессов разложения, а
во-вторых, высокой энергоемкостью процессов, протекающих на
поверхности, что обусловливает высокую чувствительность поля
температур к изменению характеристик теплообмена на поверхности.
Моделирование обработки экспериментальных данных
проводилось применительно к задаче определения полусферической
интегральной степени черноты е(Г) и суммарного теплового эффекта
сублимации AQm (Г) углеродоподобного материала. При
допущениях, приведенных в §1.2, математическая модель теплообмена
записывается в виде следующей краевой задачи. Теплоперенос внутри
n-го образца материала описывается однородным уравнением
теплопроводности
пдТп _ д
дх дх
А. ■
v дх j
Г =74*,-с), хе(0,&я(т)),те(0>т£].
(2.3.2)
Начальное распределение температуры постоянно:
Тп(х,0)=Топ, хе[0,Ъп(0)). (2.3.3)
Внутренняя поверхность образца теплоизолированна:
^(0,т)=0, тб(0,т"и]. (2.3.4)
дх
Граничное условие на внешней поверхности имеет вид
А%У =t7"(x)' те(°'т™1- аз-5)

5C =
'г
Толщина.образца и тепловой поток, идущий на прогрев
внутренних слоев, определяются из уравнения [227]
Ь"(т)=Ь"(0)- \Gl/?dT, (2.3.6)
о
<(т) =<(т) + се(Г)(7^)4 + AQw(T)G%, т е (0,т£]. (2.3.7)
Все характеристики анализируемой модели приведены на
рис.1.2;2 и в таблицах 1.2.1, 1.2.2.
Погрешность решения обратной задачи в данной работе
определяется как
в(П-Ё(Г)|| . .
6q=—йо^Щ ' аз-9)
где е, ё, AQW, \QW - точные и восстановленные значения функций,
определяемые в областях [Гет'п,7;тах], [Тд™,Тдах] соответственно.
В качестве областей определения искомых функций
принимались следующие интервалы: для е - [1500 К,3500 К], для AQW -
[2800 К,3500 К]. Более высокое значение Тдт по сравнению с т^1П
объясняется тем, что определяется суммарный тепловой эффект
только сублимации материала. Тепловой эффект диффузионного и
кинетического разрушения предполагается известным [253].
Необходимое число экспериментов для восстановления пары
характеристик теплообмена на поверхности равно двум (§1.4),
поэтому для численных исследований рассматривались комплексы
нестационарных тепловых экспериментов по два в каждом.
Математическое моделирование проводилось для образцов с
начальной толщиной 0,05 м. Краевые задачи решались методом
конечных разностей. Число шагов конечно-разностной аппроксимации
выбиралось путем итерационного увеличения числа шагов по
пространству и по времени до тех пор, пока два решения при различной
конечно-разностной аппроксимации не совпадут с относительной
точностью е=0,001 для различных внешних воздействий. Таким
образом, было найдено число шагов пространственно-временной
разностной сетки пх х п^ = 50 х 50.

Неизвестные характеристики представлялись кубическими
В-сплайнами и «естественными» граничными условиями на трех
участках аппроксимации каждая (число параметров равно 4 для
каждой восстанавливаемой функции, размерность решаемой задачи
(2.3.10)
»р
=8) [255]:
N=*
в(Г)« £
АО» (Г) =
1
Ы=4
1
(Г),
QkVk
(Г)
(2.3.11)
k=\
После параметризации решение задачи сводится к отысканию
вектора неизвестных параметров
Р ={ei,...,eNe,Q\,...,QNQ} = {pk)\p, Np =Ne +NQ.
Минимизируемый функционал (2.2.39) принимает вид
; = £ ]ыт£)Ыт£) + g£(t)aq„(0 + «70я(т) -?;(т))2л,
*=io
(2.3.12)
а система линейных алгебраических уравнений (2.2.46)
N.
N
£ ]a2(T£)8yn(T£)yk(T£)dz
m=\ n=\ о
+ £ ZjG5(x)a(rJ)4$m(7'l")q)JkO^)rfT
m=1 и=1 о
м*;
Qm =
= -£ |(^(т)-<Чт))а(^)4фй(Гш")Л, * = 1,ЛГе, (2.3.13)
n=l 0
W Xm
£ |о£(т)а(Г^фт(Оф*(Гш")Л
я=1 О

\T ( тп
+ t X }(С£(т))2фт(Оф,(дат
т=1 ?г=1 о
Qm =
N zm
If
л=1 о
/V 'я _
На предварительном этапе исследований рассматривались для
комплекса экспериментов (по два эксперимента в каждом). На
рис.2.3.1, а приведены плотности внешних тепловых потоков для
первого комплекса экспериментов, а на рис.2.3.1,б - для второго.
Продолжительность всех экспериментов задавалась равной 30 с.
Внутренние границы образцов считались теплоизолированными,
начальное распределение температур - постоянным. Для первого ком-
19 1
плекса экспериментов Г0 =300К, Г0" =800К , для второго - Г0' =300К,
Г02=1100К.
0,2-10
р^
1'' 2
а
^ .*
0,2-10
0
15
2
1 .^ **
Is
б
""""--.
о
15
Рис.2.3-1 ■ зависимость плотности тепловых потоков qwM от
времени т: а — первый комплекс экспериментов; 6 — второй комплекс
экспериментов: 1 - <7ш(т), 2 - <7ш(т)
На рис.2.3.2 представлены результаты восстановления
неизвестных характеристик без учета погрешностей, возникающих при
решении первого этапа граничной обратной задачи по определению
Tw ("О, <7j" (т), п = 1,2, что достигалось путем вычисления Гщ (т), q" (т)
при решении прямой задачи. Видно, что для обоих комплексов
экспериментов результаты практически совпали между собой и с
заданными значениями. Это подтверждает правомерность сделанных в
главе 1 выводов о возможности получения единственного решения
для подобных обратных задач.

0,5
к
x-2
0-3
а
"V&
0.2-108
°х и1? п
х -2
о-З
6
1500
2500
2800
3150
Рис.2.3-2. Восстановление неизвестных характеристик без учета
погрешностей: а — интегральной степени черноты е, б — теплового
эффекта сублимации AQW: 1 — заданная зависимость; 2 — первый комплекс
экспериментов; 3 — второй комплекс экспериментов
На рис.2.3.3 показано влияние на решение обратной задачи
погрешностей задания каждой из функций G^(-c), Т^(т), q"(t).
Погрешности моделировались по нормальному закону, см. (2.3.1),
5(т) = 0,05. Приведенные результаты свидетельствуют о достаточно
высокой вычислительной устойчивости предложенного алгоритма к
случайным погрешностям, возникающим при решении граничных
обратных задач.
0,5
S^>^
—— - 1
и -2
о -3
х -4
А -5
г^1.
а
Г%
1500
2500
AQ*
0.2-108
. п п „ ■
— /
п -2
о -3
х -4
А -5
2800
3150
Рис.2.3.3. Восстановление неизвестных характеристик с учетом
случайных погрешностей входных данных: а — интегральной степени
черноты е, 6 — теплового эффекта сублимации: 1 — заданная
зависимость; 2 — восстановление без учета погрешностей; 3 — погрешности в
4 — погрешности в G^ 5
'рП.
'Ю1
погрешности qw

0,5
„ Q X
о -2
х - 3
и -4
а
1500
2500
*Q«
0,2-10
Г1 ^
ч. Ч«
□ Те
X
о -2
х - 3
а -4
б
2800
3150
Рис.2.ЗА. Восстановление неизвестных характеристик с учетом
методических погрешностей входных данных: а — интегральной степени
черноты е; 6 — теплового эффекта сублимации AQW: 1 — заданная
зависимость; 2 — восстановление без учета погрешностей; 3 — погрешность в
задании q"; 4 — погрешность в задании Т£
Существенно хуже обстоит дело с систематическими
погрешностями в значениях q^W) и Т^Ст). Так, на рис.2.3.4 показано, как
влияют отклонения q" (т) и Т£(х), моделируемые по закону.
7"(т)=<7"(т)
1 +
O.KtS, -t)
п = 1,2,
(2.3.14)
^(т)=7-"(т)
1 +
0,Кт" -т)
п = 1,2.
(2.3.15)
Как видно из рис.2.3.4, особенно существенное влияние на
определение е систематические погрешности оказывают при низких
температурах.
Анализ причин возникновения систематических погрешностей в
результате решения граничных обратных задач при исследовании
теплообмена в реальных объектах требует дополнительных
исследований и выходят за рамки настоящей работы. Можно только
отметить, что па практике они иногда имеют место при наличии больших
производных по времени в у? (л), n = i,N.

2.4. Непосредственное решение обратной задачи методами
безусловной оптимизации
Вычислительный алгоритм, описанный в §2.2, несмотря на его
простоту, приводит к необходимости последовательного решения
двух некорректно поставленных задач, вторая из которых не
является регуляризоватшой, что не может не сказаться на точности
результатов. Поэтому целесообразно разработать алгоритм
непосредственного определения вектора неизвестных параметров р из условия
минимизации функционала среднеквадратичной невязки (2.1.25).
Имея градиент минимизируемого функционала по компонентам
вектора р, задачу (2.1.15) с ограничениями (2.1.1)-(2.1.5),
(2.1.26), (2.1.7) целесообразно решать численным градиентным
методом безусловной минимизации [23].
При использовании градиентных методов итерационный
процесс решения задачи определения характеристик теплообмена па
поверхности тел строится следующим образом [28]:
1) задается начальное приближение неизвестных параметров
P^={P°ki)^,i=Uru;
2) определяется значение вектора р на следующей итерации :
Psk?=Pski+*sgski, к = \Жи, (2.4.1)
где Up . )s, k = 1,Nj, i = 1,Nu - значение градиента функционала на
текущей итерации; ps - параметр, зависящий от метода
оптимизации. Так, например:
1) ps = 0 - для метода скорейшего спуска;
2) Р*=0, ^.=<ЩУ-ЩУ-\ЩУ>^ /ЩУ\\\„{;
Jp - {Jh Ь ' >5 > 0 ~~ Для метода сопряженных градиентов.
Шаг спуска as выбирается на каждой итерации из условия
MinJ(ps + asgs), as e R+. (2.4.3)
Итерационный процесс продолжается до выполнения
соотношения
Лр)<Ь}, (24.4)

2 v^ v4T7
где 8/ = 2_j z_j I (CTm^T> Gm ~ дисперсия показаний ?га-го термодат-
чика в я-м эксперименте.
Наибольшие трудности при реализации градиентных методов
связаны с вычислением градиента минимизируемого функционала:
Лй) = %Ъ\Кй-К\\2к, (2.4.5)
п=\т=\
где A^:U —» F£ — оператор, дифференцируемый по Фреше в точке
й. В этом случае
п=\т=\
№ + Дй) -/(и) = S 2Н4£(и + А2) -/-,
Д ^ч
-ZSIM««-/«
"II2
II
п=\т=\
К
<"-/■.+2u")u,.A";+0(iiA"
i=l
Hl^»-/^!^
п=\т=\
К,
= EI<^-^,Ju»)'ASi> +
i=l
1,2
+ (Am)'„ AS + 0||Дй|Н + < А»й - /^ЖПАйН) =
II II1^
= I £<< СО'и U> - /£>. А« > +0(|| Ай]|^ ) =
л=1;л=1
= 2X<2UL)'u,.««-^).A«i>+0(||A«||2l2),
t=l n=\ т=\
(2.4.6)
где Л".:С/, -> F".
м mi l m
При этом в выражении (2.4.6) предполагается, что Ащ = Ащ(ч).
Практически использовать (2.4.6) довольно затруднительно, тем
более, что может оказаться невозможным выполнение замены
переменной при переходе от т к д ~. Данное затруднение устраняется путем
параметризации искомых функций. В этом случае их приращение
можно представить как

A«i = L^r-APki + о(||д^||л*,.).
£\дры
Кроме того,
Дм + Ащ) -J(u) =< Jp.APi >rh{ +0(||А^||^ . ).
(2.4.7)
(2.4.8)
Приравняв (2.4.8) и (2.4.6), подставив туда (2.4.7), имеем
N М.
J'Ph =ТХ^шУр^р -f^,p->L.
n=lm=l
dPki
(2.4.9)
м.
l_,(A-m)'p>
Для построения сопряженного оператора 2-1^лт)р> следуя
т=1
[87,210], можно использовать методы вариационного исчисления.
Представим исследуемый образец материала в я-м эксперименте
как однослойную пластину с границами в местах установки
термодатчиков, одинаковыми теплофизическими характеристиками слоев
и идеальными тепловыми контактами между слоями [60]:
дт дх
f ftp П ~\
Х(.Т) —
дх
дх
(2.4.10)
Т£ = Т£{х,х),т = \,Мя+\, *еСХ£_1,Х£),те(0,тя],
^0=0- Хм>+1=Ья(т),
Т£(х,0)=Т" (х),т=\,М„ +1, «Й.,,^],
-UT)^-(.0,x)=qf(x), те(0,тга],
дх
~UTi%)" =H(vn'P)t T6(°-T«i'
Ь"(т)=Ь"(0)- \vdx,
о
K(Xl,x) = Г^+1(Х£,т), m =1,M„, т 6 (0,тя],
^-(X^,t)=^-(X^,t),^=VW7, -ге(0,тя].
га: дх
(2.4.11)
(2.4.12)
(2.4.13)
(2.4.14)
(2.4.15)
(2.4.16)

Предположим, что идентифицируемый вектор р получает
некоторое приращение Ар, в этом случае поле температур Т^(Х^,т),
т = 1,М„ + 1 получит вариацию и^Ос.т). Пренебрегая членами
порядка О(02) для функций Ида (x,t), т = \,М„ +1 можно
сформулировать линейную краевую задачу. Получаемый при этом линейный
оператор является производной Фреше для исходного нелинейного
оператора (2.1.1) - (2.1.5), (2.1.26) [28]:
дг Qx2 \ дТ дх ) дх
+
Г'дТ\2д2Ъ. дХд2Т дС дТ дК дТ dS^
+ +
^дх) дТ2 дТ дх2 дТ 9т ЭТ Эх дТ
5ш. 5т =8т(дс,т),
m=i,Mn+\, ^£(Xm+1,Xm), т = (0,тт], (2.4.17)
о£(*,(>)= 0, xe[Xm_vXm], m=i,Mn+i, (2.4.18)
^axy» эта* sr ^i^
^(Х£,т)=^+1а£,т), те(0,т£], ™=1Гм7, (2.4.21)
3a£ ,„„ . dv"
UA,T)=^f±L(X»'T)' ■t6<°.-tm]. «=1,M«. (2.4.22)
etc d*
Выражение (2.4.20) требует некоторых дополнительных
пояснений. Хотя температура в явном виде не входит в выражение для
функции теплового баланса на поверхности, обычно она является
одной из компонент вектор-функции д, т.е.
*£ = -**-. (2.4.23)
дТ ддг
где gj* =Tw(i).
Линейная часть приращения минимизуемого функционала
(2.1.25) выражается через приращение температуры и^Ос,-:),
m = 1,Мп + 1 в виде

м.ъ
AJ2 =2§ ]&£&»,*> -^(т)о^ай,т)Л. (2.4.24)
Рассмотрим расширенный функционал Лагранжа [210]:
Ln =Ln+L%+Ln3+Ln+Ln5+I%,
(2.4.25)
где
L"2= X J r\nm{x)vnm{xfi)dx,
771=1 у"
Л/ч-1
3= JSffW
А,—МО.т) + —-— и"(0,т)
ох дТ ох
dx,
LA = J^(t) я,—^(о,т) + ——о£ + -==-°»2-^— ^*л
о ч
(it,
'Ла "41 Я)7)п Й7)"
9*
9*
*=1 0 v
+^т)(^(^т)-^+1(^т)Мт,
м„+и", z'
4' = £ Jy!C*,t)
777=1 0
dx
+ X
dx2
8T dx
dzC
dx
этл2 д2х дкд2т дсэт эк эт as"
. _ . _ . „,и dxdx.
Эх) #r2 ST дх2 дТ дх ЭТ дх дТ
Неопределенные множители Лагранжа rfaix), у^Сг, т),
m =\,M„ + 1, Е,^,(х), \^(,х), m =0,М„, ^(т), m =0,Mn находим из
условия стационарности функционала (2.4.25)
81=0. (2.4.26)
Учитывая следующие элементарные соотношения:

д , ч ^dv „Э\|/ dT dC
— (cvy) = С — \\i + С — + \yv,
дх dx dx dx дТ
д (, дгЛ , d2v дХ дТ dv , Эш dv
— Х\у — = \\>Х—- + Ц1 1- Л.— ,
дх\ дх) qx дТ дх дх дх дх
дх
д
vX^
дх
dv d\i
= Xv + Xv
дх дх qx
а> дц дХ дТ
2 + дх дТ дх V'
tir v дКдТ ^дц/ dv
— (K\yv) = \\iv + К —^ v + Kv —,
дх дТ дх дх дх
(2.4.27)
(2.4.28)
(2.4.29)
(2.4.30)
д_(^^Г_
dx у dT dx
Щ \ =
d2XfdTs2
dT1
dXd2T
т-| Vo + ^г—2-VO +
dx ) dT dxz
dX dT dv dX dT b\i
+—■ — \\i— + —v.
dT dx dx dT dx dx
Lg представим в виде
(2.4.31)
= Mf1] *J {-UcvUD + c^f vi
дС дТ „ „
m +Z^ — VmVm +
dx
Mfm
dvl | dXdT^dvl xdynmdvl
dT dx dx dx dx
dx
dT dx
d_f
dx
vnX^L
vmA-~
dx
+Xv
n^\m
b\inm dXdT ^dXdTdv^
» 2 +^^^- + 2^^-^^+Т(К^<)-
dx dx dT dx dT dx dx dx
dKdT „ n 3vC n ^ dfdXdT n n) dXdT „ dvnm
dT dx
dx
dCdT
dxydT dx
dKdT
J
dj^d^d^ _u^u^ n n u^u_j_ n
dT dx dx m дТ дх m m дт дх m m
Til
m=1 0^?,-,
dT dx
dS n n
+ -^ЪтУтп
dx
dxdx
л, дЧт
m +kvW +

Приравняв нулю коэффициенты при независимых вариациях
переменных, получим некоторую совокупность условий:
1) при5и£(л:,т):
дт
+ Х
д\Ъ гдупт дБ „
-К-
дх'
дх дТ
2) приби," Ок.т^):
ЧС<*,0=Р. m=\,M„+\,
3) при5и"(0,т):
дТ дх
дх
дТ дх
4) при 5^-(0, т):
дх
5) при 8и„:
„n(Jd\dT дНЛ JdyY v „ дХдт п
6) при 5——:
дх
7)при5о£(Х£,т):
5«(т)-Я.
дХдТ
от ЗГ 5л
+2(ОХ£1т)-/^(т))=0) 1И=1,МЯ>
8)при5^+1(Х£,т):
Ч^(т) + А.^^(Х»,т)-^Ч,»+1(ХД1т)-3^-ч/^+1а^,т)=0
дх "
SA.ST
7И = 1, Мп ,

дх
9)при5^(Х£,т):
5т(т)+Я.ч/^(Х^,т)=0, ш=1,М„,
10)при5^-(Х£,т)
дх
-!;",(т) + \л|С+1(Х£,т)=0, 1и=1,Мя.
Отсюда имеем краевую задачу, сопряженную с задачей для
вариаций температуры (2.4.17) - (2.4.22):
_^«=^_к«+^„
дх
дх*
дх дх
(2.4.32)
Vm=VmCz,T), m=\,M„+i, xeiX^X^), xe[Q,xnm),
V„Ut„)=0, д:б[Х^+1,Х^],1и=1,Мя +1, (2.4.33)
Эй/Г
_^_L(0iT) + ^v)/f(0,T)=0, тб[0,Тт),
дх
(2.4.34)
-A.
^X +K^nm-^Wl=Q, m=i,Mn, xs[0,xnm), (2.4.36)
.^±1 (у- , T) + M (х- , Т) Л (ft (Xi T) _ ^ (T))
дх дх А,
m=l,M„, те[0,т£).
(2.4.37)
В тех случаях, когда на границе образцов установлены
термодатчики, условия (2.4.34) и (2.4.35) принимают вид:
Эц/f
-А.—±-(0,т) + Кч/"(0,т) = 201я(0,т) -/о"), т £ [0,т£),
от
*^+*<-§ <=ад -/£„♦,«>■
(2.4.38)
(2.4.39)
Рассмотрим далее линейную часть приращения функционала
(2.1.9):

м„с
Мп =2§ |(^(Х^,т)-^(тЖ(Х^,тМт =
т=1 о
МЩЪ
8Чт.
= §lU^=-CXS,T)oS(X-,T)-x2!^tL(xS,T)o:(XS,T)[ft
""=10 4 * ./
-£11
"1=1 0 V
&с
cbc
я
dxdi + ]х ^т- (О, i)v^ (0, т)Л -
* дх
vldi.
(2.4.40)
Обозначим первую сумму слагаемых через
м-« (ехэгэ,,;,^ +xsVj.„„ +xSvl^i,\
/г-27 7
ш=1 Ох" ,
Лт-1
ST их 5л:
\
дх£
дх дх
dxdi
/
дТ дх дх
+к*&-^
дкдГдч$,иП +хд^до^_ + сдЧт„п
дх дх
di
dxdi
дх дТ
С учетом (2.4.36) /" представляется в следующем виде:
(2.4.41)
т=1 0^_,
vm + л—-—vm + л.—- 1-
дТ дх дх
дх
дх дх
+S?vw +cwnm^]dxdi-Y J (c^:»s)
dx =
. Yl t f~^: +^^-^-?*w +
m=i oa;.,
ST их d*
дх дх
дх дТ

m +
5л:
/V
srVs^. эхэ^гэсаг ак<эг as;4
&cj э^2 + af 8x2 дТ дх + дТ дх+ Ж
xvm4m
dxdi =
m=l о Э* ЭГ&
-I
-Хч»У(0,т)^-(0,т)-^^^51(0.т)оГ(0,т)-
ox oT ox
\ox)w oT ox
Тогда
Л.
(2.4.42)
/А,Л"
n ^Л» дТ дх удх
\dxJw
W
di.
(2.4.43)
То есть линейная часть приращения минимизируемого функцио
1 принимает вил
нала принимает вид
inJ (
TY С N
Ы = J ~Wm -Г-»» + Z^TAPk
О
дН и и
J
Jm
dl =
V J
= Z -Jvi
A/>*-
(2.4.44)
Аналогичные результаты получаются и в случае наличия
измерений на границах исследуемого образца материала.

Так как AJn =< (Jn)'p,Ap >rnp , то множители перед Ар^ в
выражении (2.4.44) являются производными Фреше функционала
(2.1.25) по параметрам р^, k =i,Np, т.е.
иПУРк —hl^b- (2.4.45)
И окончательно
л
Jhk =-2 Л^!?^' * = 1'ДГр- (2.4.46)
Таким образом определяется градиент минимизируемого
функционала и может быть реализован итерационный процесс (2.4.1) -
(2.4.2).
В случае практической реализации алгоритма возникает
проблема решения системы краевых задач с подвижными границами.
Чтобы избежать этого, сделаем следующую замену независимых
переменных х, т в каждой задаче [86]:
т' = т, (2.4.47)
*'= Х~Х™-* , *е[Х£_1,Х£], т=\,Мп +1. (2.4.48)
V"" V"
Лтл ~лт-\
При этом производные функции (•) по переменным х, т примут
вид:
ар ^ ао дх' dQ 1 _ 1 дО
дх дх' дх дхХпт-Хпт_х d^dx'
(2.4.49)
во = э(-) э(-)х^ + *'(*£ -х^) _эр | ао С (2450)
а* 5т' ar- x:-xs-i *' э*'^'
В дальнейшем «'» над х и т опускаются. После преобразования
исходная краевая задача (2.4.10) - (2.4.16) принимает вид:
(rf»)2C(r)S=A
дх дх
Х(Г)^-
pfpn
+ dnK(T)^n_
дх

ох
тп=\,Мп +1, * g(0,1), тб(0,т£], n = \,N,
(2.4.51)
r^U,0)=T0nmU), т = 1,М„ +1, *g[0,1], п = 1,ЛГ, (2.4.52)
(2.4.53)
ЭГ/1
-X^i-(0,x)=rf1V(T), т 6(0,0, п = 1,ЛГ,
Ь"(т)=Ь"(0)- jVdx, n = i^,
(2.4.54)
(2.4.55)
7£(1,т)=7£+1(0,т), т=1,Мя, *g(0,O. п = 1,ЛГ, (2.4.56)
_L^.(1|T)=_J_^±L(0|T), ш=Гм;, *6(0,О-
(2.4.57)
Сопряженная краевая задача (2.4.32) - (2.4.37) записывается в
виде:
<dm> C—^—=X ^-~dmK—Z— + Wm) TzVm+VCm —
от дл* ох от ox
Vm =V)/^Ut),7w=1,M„ + l,xe(0,l), те [0,0, n = \,N,
(2.4.58)
(2.4.59)
цОя,О=0. m=\,Mn +1, л e [0,1], п = 1,ЛГ,
->.^-(0,т)+^пХЧ/1п(0>т)=0, те[0,О, /2 = UV, (2.4.60)
4^)"+di+i^»-^+1^vS=o^G[o,^),n = iT^,
(2.4.61)
V«(U)=v!,+i(0,t)1 tg[0,t^), т=1,Мя,п = 1,ЛГ, (2.4.62)

_ A. ^L (1) т) + _A_ Щт. (o, T) = 2(Г» (1, t) - f^ W),
[30]
те [0,0, m=\,Mn, п = Щ (2.4.63)
В тех случаях, когда в (2.4.3) используется линейная оценка as
а
^((Гт"(1,т)-Й(т)К(1,т)Л
s m=lQ
£ J(D»(l,T))2rfT
m=lo
(2.4.64)
возникает необходимость решения на каждой итерации краевой
задачи для вариаций температуры (2.4.17) - (2.4.22), при этом
полагают Apk =<7fc, k = \,Np. После преобразований (2.4.47) - (2.4.48)
краевая задача (2.4.17) - (2.4.22) имеет вид:
ox Qx1 \ дТ дх J дх
?Э7Л2Э^Х, дЬ^дк (dn)dS_ я дК_дТ^ , ,пч2 9С9Г _
tar J эг2 + дх2 эт+ m дт+ m дт дх m дт дт
те (0,0. /2 = 1^, (2.4.65)
о£0с,0)=0, ти=1,М„ + 1,*е[0>1], n=VN, (2.4.66)
_X^L(0,T)--^^r;f(0,T)=0, т e (O.x^J, /г = Щ (2.4.67)
га: оГ га:
(dv\* дХдТ „ „ дН „ „ %дН
те(0,О, П = ГЛГ, (2.4.68)
+
j n j. n f о*
OX J
г^(1,т)=г;£+1(0,т), те(0,О. m=\,Mn +l,n = i,N,
i
(2.4.69)

1 5<(1(т)= У ди™+Н0л)=0,^(0лпт],т=1,МП1п = \,М
(2.4.70)
Как отмечается в [28], основной недостаток, снижающий
эффективность применения градиентных методов в этом случае,
заключается в том, что шаг спуска выбирается одинаковым для всех
определяемых характеристик, входящих в уравнение теплового баланса на
поверхности. Однако, как показано в §1.2, их влияние на поле
температур внутри тела, а следовательно, и на вариации температуры,
может существенно различаться, в результате чего возможно
значительно замедление итерационного процесса. Для устранения этого
затруднения в [62] предлагается на каждой итерации выбирать шаг
спуска отдельно для каждой г-ой характеристики (г = \,NU). В этом
случае шаг спуска представляет собой вектор а ={а j}j " .
Используя принцип суперпозиции, решение краевой задачи для
вариаций температуры (2.4.65) - (2.4.70) можно представить в виде
& .
<=Ъ<< т=\,Мп+\, n = \,N, (2.4.71)
где vm - вариация температур при изменении только одной г-ои ха
Jm
рактеристики. Очевидно, что для (в^)' можно записать следующую
краевую задачу:
dz дх \ дТ дх ) ах
ffff\
удх;
2 д2Х д2Т дХ ,,„чЭ5 ,пдКдТ ,,П\2дСдТ
дТ2 дх2 ВТ m ВТ m дТ дх m дТ дх
,дТ\
-4nmtnmCu^Z,vZ =v%(x,x],m=\,Mn +1,*6(0,1),
ts(0,t"J, n = \Jt, (2.4.72)
v%{x,0)=0,m=l,Mn+l, *е[0,1], П = ГЛГ, (2.4.73)
_X^L-(0,T)^||^r;f40,T)=0, t6(0,t£],/2 = 1JV (2.4.74)
дх дТ дх

-X
v dx J эт я,- m m_+1 зт т М.+1 £-1
дТ дх
те(0,т£], n = UT,
m„+1 gj
ЭЯ
M"+1fet1^
tffti
(2.4.75)
""fl-T)=Cl(1,'),"«l,ii], т=1,Мя + l,n = l,JV,
(2.4.76)
L^2L(1|T)=_!_^2k(OfT)=0,TG(0,TS1],m=llMWIn = tI^l
rf"
m+1
9л:
(2.4.77)
Выражение для минимизируемого функционала записывается в
виде [28]
ЛГ АО»)
1=1
Г+Чр) = Е Z J(^U».t) + Za^US.T) -ЯУ0О)Л, (2.4.78)
л=1тл=1 о
Минимизируя /s+ (р) по a j, г = 1, ЛГМ, получаем систему
линейных уравнений для вычисления а:
& Ж м* zh
i'=l n=lm=l о
N М-Ти
=-££j^u^.o-^wwa^.TWi^^t,^, (2.4.79)
n=\m=\ о
которая имеет симметричную матрицу и может быть решена методом
квадратного корня [272].
В заключение параграфа приведем расчетные формулы для
случая, когда исследуемое тело в каждом эксперименте представляет
собой многослойную систему, состоящую из Ln слоев с координатами
границ Y*, I = 1, Ln, п = 1, N. В этом случае теплоперенос внутри тел
описывается следующей системой краевых задач:
(rf\)2C/'(n—^ = —
ml ' дт Ъх
дтп,
tf(T)-
дтпЛ
ml
дх
дТ".
lml-l
-^liVi^-ir-+ <С> 5Г(Г)-х е (0'1)- ^ = 1-м„, +1,
дх

ч-Kv хмя/+1Л=у/;=ьП(о)'уоп=0-
(2.4.80)
Т^(х,0) =T£ml(x),x e[0,\),m =l,Mni + \,l = \,Ln,n = \,N (2.4.81)
_Х»^р±(о,т)=^1"(т)1 т6(0,т^], п = \,М,
1 дх
-X"
^-^hi.^"'^"^!'
(2.4.82)
(2.4.83)
Ь"(т)=Ь"(0)- JVdt, п = 1,ЛГ,
0
(2.4.84)
(2.4.85)
1 97S-(1,t)= 1 ЭГ™г+1''
aml
m+\,l
(0,т),те(0,Тт],т=11Мп,1
l=\,Ln, n = \,N,
(2.4.86)
dk^
дх
dn дх
TG(0,Tml. f = U„ -1. n = \,N,
flM„l+i,/
(2.4.87)
tg(0,tS,], / = t,A, -1. n = l,W.
(2.4.88)
Сопряженная задача к линеаризованной форме исходной задачи
(2.4.58) - (2.4.63) принимает вид:
, duin. д2\ип, _т ,
эч»:
ас
ас'
&е

in \2 I ,..n , jn j.n r^n ml
+K,v ^<, + СССГ -g- • *- <°Д »=^+i,
l = i,Ln,ie(0,xnm], n = \,N,
(2.4.89)
Vnm[U,znm) =0, x e [0,1], m = \,Mnl +i,l = \,Ln,n = 1,AT,(2.4.90)
-V,
La* J»
(v)» = o.
те(0,т,"й], п = 1,Ы,
(2.4.91)
кЯ^И
5л:
(О,т) = df,/CfVf,(0,т), 16(0,0, n = \,N (2.4.92)
</(1'т) =<+1,/(0'т)'г е (0,т^],т =t,M,,/ = LZ^.n = 1,М2.4.
93)
a*" 9*
Gm+V
(o,T) = 2(r;/(i,T)-cw>.
те(0,т£], m=\,Mnl, l = i,Ln, n = \,N,
XMRl <.M( т) n ■(и)_ч,? (О,,),
(2.4.94)
GMn/+1,/+1
те(0,т^], / = 1,1„ -1, п = 1,ЛГ,
.^Л" »?*.*■ ft„.'
(2.4.95)
с"1 5л:
1 + * ^-(1,т)—^~
rf" дх дТ
4+1.1
x(^„i+U(1't)_4;I,W(()'t))'T£(0'^U=1'L» -1,/г = 1,ЛГ,
(2.4.96)
Аналогично преобразуются уравнения системы краевых задач
для вариаций температуры (2.4.72)-(2.4.77):
до
г
mi' 'I fo
m
(dnycn_mi=xn
d2vm,
, *L + dn.
1 dx2
(
дкп дтп,
2-±—^ + K? +tn,C?
ЭТ dx
V ^ ml^l
dvm,
ml
dx

ггдтпЛд\п, д2тп,дхп,
+
ml
дх
V J
, v a , vi>., т ds, дК, дТ ,
L + SL_L + (rf» )2_L + £/* 1 ml
дт2 дх2 дт nl дТ ml дТ дх
dC? дТп,
,i / ml
"ml dT дх
_(rf»)2_i JDl + dn_,t^,C? ml
dT
i
''mV'ml^l a_
n Л
ипт\,хс(0,\),
те(0,т2,], m=\,Mni + 1, I = \Ln, n = \,N , i = 1,//и,(2.4.97)
о"'(*,0)=0, *e[0,l], m=t,MBi +1,
ml
l = \,Ln, n = \,N, i=\,Nu,
1 &t
(0,t)-^^-^(0,t)=0,
dT Э*
те(0,т£], n = l,JV, i=l,JVB,
(2.4.98)
(2.4.99)
а чяг дХ" 9Г . .
w
дТ
дН
дх
И" —vni
= dM +i,£^r9ki.*e<f>.-*ml" = l,N,i=i,Nu, (2.4.100)
оЫ<1'т>=1Си/0'т>' ^(0,^], m=l,MM-,
l = \,Ln, n = i,N, i=\,Nu,
n fix v 7 J" йг
aml
dn dx
m+1,/
d" &
X,+u
^1 *!% . -Л . 1 ^1 ..«
(1,т) +
a\,l+\
»5+1<0,т),
(2.4.101)
те(0,т£],т=1,Мя/, l = i,Ln, n = i,N, i=\,Nu, (2.4.102)
_j ^+i£ 1 L „ (tT)_
n Яг ' j« ЯТ Mn,+1,/V
те(0,т£], '=!,£„, п = 1,ЛГ,1=1,ЛГи,
(2.4.103)

*/"
(
dx
(1,t) +
^
яг?.
idR?
dx
dT
+ R
Я1" dTn
1 дТ дх
<. /<^>+^/^>-<i+i<o^)=°.
те(0,т*], l=\,Ln -1, n = l>JV,t=l,JVa
(2.4.104)
Таким образом, в предлагаемом алгоритме на каждой итерации
последовательных приближений необходимо решить один раз
прямую задачу и задачу для сопряженной переменной, а также задачу
для вариаций температур столько раз, сколько определяется
неизвестных характеристик Nu.
2.5. Сравнительный анализ двух подходов
к решению обратной задачи
Как уже отмечалось в §2.3, все методические вопросы отработки
предлагаемых алгоритмов в настоящей работе рассматриваются на
примере углеродоподобпых материалов, теплообмен в которых
описывается уравнениями (2.3.2)-(2.3.7). Далее везде рассматриваются
2 эксперимента, проводимые на образцах толщиной 0,05 м.
Продолжительность каждого эксперимента - 30 с. Внешнее тепловое
воздействие представлено на рис.2.5.1. Внутренняя поверхность
теплоизолирована. Начальное распределение температуры постоянно и
равно 300 К. Предполагается, что в первом эксперименте ре =2-10
Па, а во втором ре = 2-107 Па, что обусловливает существенное (до
75%) различие в массовых скоростях уноса. Окончательно толщины
образцов: Ь (?т) = 4,05 см, b (im) = 4,45 см.
0,2 -10
S
/
\ \
— /\\
2 Ч
о
15
Рис.2.5.1- Тепловое воздействие на образцы: 1 — эксперимент № 1;
эксперимент № 2

Как и в §2.3, все уравнения краевых задач (2.4.51)-(2.4.57),
(2.4.58)-(2.4.63) и (2.4.65)-(2.4.70) останутся неизменными за
исключением (2.4.61) и (2.4.68).
Граничное условие (2.4.61) для сопряженной краевой задачи
принимает вид
X (ЭчЛя
d?\dx)w
+ KW)
(^k ^°(Т») + 4^е,ф,а(Г^)3 +
4-Vn d(?k rnu,n
k=\ dT
0, те(0,т*], n = \,N,
(2.5.1)
а граничное условие для вариаций температуры (2.4.68)
dnm
до\п дХ 1 дТ п (& dyk ._B:4 .Hk - ,-Я\3
дх )„ дТ dl дх \ £?< дТ £?<
л=\
k=\
^Qk^Ggyl | = £де,ф>(04 J%QkvkGZ,
k=\
k=i
k=\
те(0,т£], n=\,N
(2.5.2)
Градиент минимизируемого функционала (2.4.45) для
рассматриваемой задачи
J'p„ =
п=\ о
Ы тт _
£ №Vk-N,GT£dt, k = Ne+\,Nf
(2.5.3)
п=\ 0
При непосредственном решении обратной задачи в качестве
начальных приближений определяемых функций задаются (eg = 1,
AQzoO = 0)- Останов итерационного процесса при моделировании
решения обратной задачи на точных данных осуществляется при
совпадении значений минимизируемого функционала на соседних
итерациях с относительной погрешностью 0,001.
Сначала проводится сравнение результатов моделирования
последовательного и непосредственного решения обратной задачи при
минимальной дополнительной информации, когда измерение темпе-

ратуры осуществляется в одной точке образца. Для анализа влияния
местоположения термодатчиков на точность решения обратной
задачи координаты их установки варьировались следующим образом:
Xf =inAX{1, n = 1,2, £я =0,4, п = 1,2,
АХ* =Ья(т£)/4, 11=1,2 .
(2.5.4)
(2.5.5)
Кроме того, проводились вычисления для (X") =Ь"(т"),
я=1,2, т.е. при моделировании измерения температуры на внешней
поверхности образца.
Результаты математического моделирования представлены на
рис.2.5.2 и в таблице 2.5.1.
На рис.2.5.2 показаны восстановленные зависимости
интегральной степени черноты и теплового эффекта сублимации для несколь-
ь
;
0,5
D
О D
о -2
х -3
п - 4
jf) -ВО
а
1500
ДО
2500
0,2-10
I
о -2
х -3
и -4
■"""а»-»-*
б
2800
3150
:~^^у_>^й
0,5
— - /
о -2
х -3
а -4
1500
2500
AQ,
iff—и
0,2-10
п ~ао ct»—J;
— - /
о -2
х -3
П -4
"*ч
2800
3150
Рис. 2.5.2. Восстановление е и AQW на точных данных: а, 6 —
последовательное решение ОЗТ; в, г — непосредственное решение ОЗТ;
1 - заданные значения; 2 - Х\ = X1*, X2 = X2'; 3 - Х\ = АЬХ\, X2 = АХ,2;
4 - Х\ = X,2 = 0

ких возможных случаев расположения термодатчиков. В таблице
2.5.1 приводятся значения погрешностей восстановления
неизвестных функций (в таблице под чертой располагаются погрешности при
последовательном решения обратной задачи, над чертой - при
непосредственном).
Таблица 2.5.1
8е
h \h
*
4
3
2
1
0
*
0
0,03
0,07
0,11
0,13
0,2
0,22
0,63
0,65
0,85
4
0,05
0,06
0,08
0,09
0,14
0,15
0,25
0,26
0,69
0,71
0,91
0,03
3
0,10
0,12
0,13
0,15
0,18
0,19
0,28
0,31
0,71
0,75
0,98
1,01
2
0,18
0,19
0,21
0,25
0,25
0,27
0,31
0,34
0,81
0,83
1,05
1,06
1
0,5
032
0,61
0,61
0,70
0,73
0,81
0,85
1,03
1,04
1,1
1,12
0
0,73
0,76
0,85
0,87
0,93
0,94
1,03
1,05
1,09
1,1
1,1
1,13
so
h\h
*
4
3
2
1
0
*
0
0,00
0,02
03
0,6
0,18
0,19
03
033
0,8
0,81
4
0,01
0,05
0,03
0,05
0,11
0,13
0,21
0,23
0,65
0,68
0,86
0,87
3
0,98
0,09
0,11
0,14
0,16
0,18
0,25
0,27
0,67
0,64
035
037
2
0,15
0,17
0,2
0,21
0,21
0,24
0,28
0,29
0,75
0,77
1,01
1,04
1
0,46
030
037
0,58
0,65
0,68
0,80
0,81
0,98
039
1,08
1,09
0
0,71
0,74
0,81
0,82
0,9
032
1,00
1,01
1,03
1,05
1,1
1,43
Аналогичные расчеты производились и для показаний
термодатчиков, смоделированных с погрешностью (5=0,05). Результаты
представлены на рис.2.5.3 и в таблице 2.5.2. Кроме того, на
рис.2.5.4 показано сравнение расчетных значений температур с «экс-

0,5
1500
u
, О п
о -2
. -3
а -4
а
2500
0,2-10
,8l
х° О
^ПБ
— - /
о -2
х -5
п - 4
*""*£>
0,5
и О °
о -2
х -5
D "4
в
1500
2500
да
0,2-10
! о a—1
о 8
1
о -2
х -5
а - 4
^SW-5
г
2800 3150 Га, 2800 3150 Гю
Рис.2.5-3. Восстановление г и AQW при исходных данных, заданных с
погрешностями: а, б — последовательное решение ОЗТ; в, г —
непосредственное; 1 — заданные значения; 2 — Х\ = X , X? = X ;3-Х\ = 4АХ\,
X} = АХ,2; 4 - Х\ = Х\ = 0
2000
3Q0l^^E=E^'°^v^\
15
300
Рис.2.5.4. Показания термодатчиков: а — эксперимент №1; б
экс-
1 .
перимент №2; —заданные значения при X] = X ; 2 — при Хт =4АХ,
3 — при Хт = 0,т = 1, 2; 4 — восстановленные значения при
последовательном решении ОЗТ; 5 — восстановление значения при непосредственном
решении ОЗТ

перимеитальиыми» в местах установки термодатчиков в результате
решения обратных задач для различных случаев размещения
термодатчиков.
Таблица 2.5.2
5е
h \*i
*
4
3
*
0,05
0,08
019
0,20
0,21
4
0,11
0,13
0,12
0,14
0,29
0,21
3
0,28
0,29
0,37
0,39
0,45
0,48
80
b \ h
*
4
3
*
0,05
0,06
0,06
0,07
0,18
0,19
4
0,11
0,13
0,12
0,13
0,25
0,26
3
0,27
0,29
0,34
0,38
0,44
0,47
Таблица 2.53
5е
h\h
1
2
3
1
0,10
0,11
0,11
0,12
0,12
0,14
2
0,11
0,12
0,12
0,14
0,12
0,14
3
0,12
0,14
0,12
0,14
0,12
0,14
so
b \»i
1
2
3
1
0,09
0,10
0,11
0,13
0,12
0,13
2
0,10
0,12
0,12
0,13
0,12
0,13
3
0,12
0,13
0,12
0,13
0,12
0,13

На основании проведенных расчетов можно сделать следующие
выводы:
1) установка термодатчиков на глубину, большую, чем толщина
уносимого слоя, приводит к существенным погрешностям
получаемого решения;
2) информация о температуре поверхности (полученная с
погрешностью 5=0,05) оказывается более полезной, чем точные замеры
температуры па глубине уносимого слоя материала.
Рассмотрим далее результаты решения обратной задачи
различными способами в переопределенной по числу измерений
температуры постановке. Предполагается, что два термодатчика
устанавливались в точках X" =Ьп(.т'щ), п=\,2. Ближе к теплоизолированной
поверхности размещались дополнительные термодатчики
(рассматриваются варианты с Мп =2,3, п = 1,2). Минимальное расстояние
между термодатчиками выбирались из соображения исключения их
взаимного влияния:
AX2U-1 =К~ ХПт-\> ™ = 2~М~п, (2.5.6)
&Xm,m-i/d>W, (2.5.7)
где d — диаметр гипотетического термочувствительного элемента
(принимается равным 0,0001 м).В рассматриваемом случае
полагалось, что AX$i = АХ§ 1 = 0,05Ь(0). Расчеты для двух термодатчиков в
каждом эксперименте проводились при смещении координаты
установки левого термодатчика относительно правого:
X? = Х$ - AX$Ain, i„=l3, " = l-2. (2.5.8)
Результаты расчетов представлены на рис.2.5.5, где приведены
величины относительной погрешности восстановленной
интегральной степени черноты и теплового эффекта сублимации (под чертой
находятся погрешности результатов последовательного решения
обратной задачи, над чертой - непосредственного). Все расчеты
проводились для исходных данных, заданных с погрешностью (5=0,05).
В таблице 2.5.4 приводятся относительная погрешность решения
модельной обратной задачи при трех измерениях температуры в
каждом эксперименте; положение двух термодатчиков в каждом
эксперименте фиксируется: Х§ =Ьп(т^1), Х$ = Х$ - ДХ32
местоположение третьего изменяется по закону

0,5
-^о ха
о -2
о - 3
х -4
(Х^чгГ^™
Я
1500
2500
AQ,
0,2-10
о 8* &*
о -2
о - J
х -4
£>
б
2800
3150
0,5
X а,
О Ох
^*^2 ПХ
о -2
о -3
х - 4
в
1500
2500
AQ„
0.2-108
SDx Ч* qj,, _
о -2
В -J
x -4
г
2800
3150
Рнс.2.5-5. Восстановление e и AQd. no <Э<?г/л термо датчикам; а, б
последовательное решение ОЗТ; в, г — непосредственное решение ОЗТ;
1 — заданные значения; 2 — ц = t; = 1; 3 —Ц = ij = 2; 4 — ц = г2 = 3
Xf =X2" -AX$Aia, in =1,2, n = 1,2.
Таблица 2.5.4
Se
«2 \ *i
1
2
1
0,10
0,11
0,10
0,11
2
0,10
0,11
0,10
0,11
so
h \«i
1
2
1
0,09
0,10
0,10
0,11
2
0,10
0,11
0,10
0,11
(2.5.9)
Показания термодатчиков формировались с погрешностями
(5=0,05).
На рис.2.5.6 представлены результаты непосредственного
восстановления е и AQW по показаниям двух и трех термодатчиков:

0,5
* -2
o-3
ъ—л
a
1500
2500
да
0,2-10
-- /
* -2
о-З
2800
3150
Рис. 2.5.6. Восстановление е и AQ„. (непосредственное) по трем
термодатчикам; 1 — заданные значения; 2 — восстановление по двум
термодатчикам; 3 — восстановление по трем термодатчикам.
Х\ = Х\ - АХ-
2,1.
Х\ = %2 ~ Д^2,1 •
(2.5.10)
(2.5.11)
Приведенные исследования показывают, что
а) для рассматриваемого случая добавление вторых датчиков
несколько улучшает качество получаемого решения при их
размещении в непосредственной близости от первых, удаление
дополнительных термодатчиков от нагреваемой поверхности приводит к
исчезновению их влияния;
б) добавление третьих термодатчиков не приводит к улучшению
качества решения независимо от координат их установки.
При решении рассматриваемой обратной задачи, помимо
переопределенности постановки по числу температурных измерений,
возможна также переопределенная постановка по числу
анализируемых экспериментов.
Для исследования влияния на точность получаемых при
последовательном и непосредственном решении обратной задачи
зависимостей такой переопределенности задачи к ранее рассматриваемым
добавляется дополнительный эксперимент (тепловое воздействие на
образец показано на рис. 2.5.7, ре =1,5 107Па).
В каждом эксперименте используется минимальная
дополнительная информация: одно температурное измерение, X" = Ь"(т^),
и = 1,3.
На рис.2.5.8 представлены результаты восстановления
зависимостей е(Г) и AQw(T) по данным двух и трех экспериментов (непо-

\. a
0,2-10
0 15 t
Рис. 2.5.1. Тепловое воздействие в эксперименте № 3
0,5
о -2
х -3
*у^&
а
0,2-10
^""оГ^Г-я
о - 2
ж-3
^""^--S^xC
6
1500
2500
2800 3150
Рис. 2.5.8. Восстановление неизвестных характеристик по данным
трех экспериментов: а — интегральной степени черноты е; б — тепловой
эффект сублимации AQW; — заданные значения; 2 — восстановленные
значения по данным двух экспериментов; 3 — по данным трех
экспериментов
средственное решение обратной задачи). В таблице 2.5.5 приводятся
относительные погрешности восстановления зависимостей е(Г) и
А(^)Ш(Т) при использовании данных различных совокупностей
экспериментов (над чертой - для последовательного решения обратной
задачи, под чертой - для непосредственного). Показания
термодатчиков задаются с погрешностями (5=0,05).
Видно, что из трех экспериментов можно выбрать два таких (в
рассматриваемом случае N2 и N3), что добавление к ним третьего не
приводит к повышению точности решения. Поэтому можно
утверждать, что для рассматриваемой задачи добавление экспериментов
свыше необходимого и достаточного числа их не приводит к
повышению точности получаемого решения.

Таблица 2.5.5
Исследуемые эксперименты
N1, N2
N1, N3
N2, N3
N1.N2, N3
8Е
0,12
0,12
0,14
0,13
0,13
0,11
0,13
0,11
So
0,13
0,12
0,14
0,12
0,12
0,11
0,12
0,11
2.6. Учет влияния погрешностей априорно задаваемых
коэффициентов математической модели
Все задаваемые коэффициенты математической модели
теплообмена в силу различных причин известны с погрешностями. Для
характеристик, определяемых расчетным путем, это могут быть
систематические погрешности расчетных методик, а также погрешности
вычислений, которые существенно уступают первым. Сложнее
обстоит дело с зависимостями, получаемыми экспериментально. При
моделировании погрешностей задания таких зависимостей следует
учитывать, что для них имеют место как систематические
методические погрешности, так и случайные.
В данном параграфе анализируется влияние погрешностей
априорно задаваемых коэффициентов математической модели на
точность решения соответствующих обратных задач. Все результаты
получены для случая непосредственного определения неизвестных
характеристик при точных показаниях термодатчиков.
Результаты математического моделирования показали, что при
использовании математической модели (2.3.2)-(2.3.7) на точность
получаемого решения обратной задачи существенно влияют
погрешности следующих характеристик теплообмена:
а) <7^,(т), п = 1,2, А., С - получаемых экспериментально-расчетным
или расчетным путем;
б) 6"(т), п = 1,2 - получаемых экспериментально.
Погрешности задания характеристик моделируются следующим
образом:
для первой группы
Л(*) = (1+5АЖД
(2.6.1)

где h(s) — точное значение функции; Ь^ - относительная величина
смещения;
для второй группы
Ь"(т)=(1 + 5Ь + ш5(т))Ья(т), и = 1,2, (2.6.2)
где 6"(т) - точное значение функции; 5(т) - максимальная
относительная случайная погрешность функции при аргументе, равном т; ш -
случайная величина, распределенная по нормальному закону с
нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; 5Ь -
относительное смещение.
Все расчеты проводились при минимальной дополнительной
информации в каждом эксперименте (один термодатчик с координатой
X" =b"(i"„), 72=1,2) и минимально достаточном числе
экспериментов (N = 2) на точных показаниях термо датчиков. Внешнее тепловое
воздействие представлено на рис.2.5.1, начальное распределение
температур равно 300 К.
Численные исследования проводились путем параметрического
расчета, основанного на варьировании относительного смещения и
относительной максимальной величины случайной погрешности.
На рис.2.6.1 приводятся результаты восстановления е и AQW в
случае погрешности задания внешнего теплового воздействия q^,
я=1,2 коэффициента теплопроводности и коэффициента объемной
теплоемкости С.
Относительные погрешности решения обратной задачи
вследствие влияния погрешности текущей длины образца приводятся в
таблице 2.6.1.
Проведенные расчеты показывают, что погрешности решения
обратной задачи ни в одном случае существенно (более чем на 3%) не
превосходят погрешностей задания исходных данных. Это
объясняется, вероятно относительным консерватизмом поля температур к
изменениям коэффициентов оператора внутренней
теплопроводности, и, следовательно, предлагаемая методика может быть
использована для анализа процессов теплообмена на поверхности при
коэффициентах математической модели, заданных с погрешностями.
Таблица 2.6.1
8е
8, \8
0
0,1
0,15
0
0,08
0,1
0,13
0,02
0,08
0,11
0,13
0,03
0,08
0,12
0,13
0,05
0,09
0,12
0,14
SO
8,. \8
0
0,1
0,15
0
0,03
0,033
0,05
0,02
0,03
0,038
0,05
0,03
0,37
0,047
0,055
0,05
0,04
0,05
0,06

0,5
a
X
~-x~9
+ и
x -2
о -З
a - 4
+ -5
о-
о
цм X-
х<Г—+a
а
1500
2500
Т
да
0,2-10
О О о
х х °х d
hD +a +u +
X -^
о -3
а - 4
+ -5
!t~&f-n5h£
б
2800
3150
0,5
о
х -2
о -3
п - 4
+ -5
г^г*^
в
1500
2500
AQ,
0,2*10
<i
Ч-
* о.
-V чя ~
/
х -2
о -3
п - 4
+ -5
а
г
Н».
T°~--S
г
2800
3150
0,5
^Sm
X -^
о -5
п -4
+ -5
,«**«
д
1500
2500
да
0,2-10
* * fi -*■
V хО хЬ 1
X _^
о -3
п -4
+ -5
^*-*-*
е
2800
3150
Рмс. 2.5. /. Восстаноаление е г< Д£> ярм исходных данных, заданных с
погрешностями: а, 6 - влияние Ь„; в, г - влияние 5^; д, с - влияние 5Г;
/ - исходные значения; 2 - Ъ/, = 0,1; 3 ~ 5А = 0,15; 4 - 5/, = 0,1; 5-8/, =0,15

2.7. Повышение точности решения обратной задачи путем учета
априорной информации о гладкости искомых характеристик
Обратные задачи теплообмена являются некорректными
задачами математической физики, и точность их решения существенно
зависит от полноты используемой априорной информации об исхомых
характеристиках, что позволяет намного сузить область допустимых
решений для поставленной задачи [26].
Как отмечалось в § 2.1, выбор рассматриваемых пространств V\ и
F£ зависит от физической постановки обратной задачи. В качестве
пространства С/,- выбирается достаточно широкий класс функций,
охватывающий все возможные решения поставленной задачи.
Градиентный метод решения накладывает дополнительные ограничения:
пространство C/j должно быть гильбертовым. Наиболее
распространенный в практических приложениях подход — это рассмотрение в
качестве [/,- пространства L2 [23]. Однако параметризация искомых
характеристик какой-либо системой базисных функций (например,
В-сплайнами), сразу сужает область допустимых значений для
рассматриваемой задачи. Например, при аппроксимации кубическими
В-сплайнами априорно предполагается, что искомая характеристика
щ принадлежит Nj -мерному подпространству пространства Соболева
W2 ■ Это обстоятельство никак не учитывается (см. § 2.2, 2.4) при
построении итерационных алгоритмов. В то же время в [26] показано,
что учет гладкости восстанавливаемых характеристик при решении
граничных обратных задач повышает точность получаемых решений.
Аналогичный подход можно предложить и для
рассматриваемого класса задач.
В случае использования метода скорейшего спуска (см. § 2.4)
итерационный процесс строится следующим образом:
Рм1=Рк-а*и'рцУ' к = Щ,1=Щ;,5=0,1,...,5*, (2.7.1)
где s - номер последней итерации, определяемый регуляризируго-
щим условием останова [23].
Одним из наиболее существенных недостатков предложенного
алгоритма является отсутствие равномерной сходимости решения
вследствие того, что в самой исходной постановке обратной задачи
при минимизации функционала невязки требуется лишь сходимость
в среднем:
J(p) = tb\Tn(X^)-f^x)\\2 (2.7.2)
я=1т=1 Za[0't»1

При использовании в качестве базисных функций кубических
В-сплайнов функции вида
й,
UiW-ZiPkiVkd?)' (2.7.3)
образуют yVj-мерное подпространство V^ с W2 [<7™П|.9™ах]- Тогда,
рассматривая в качестве содержащего искомые характеристики щ
вместо пространства R ' подпространство V{ e W2 можно
обеспечить равномерную сходимость приближений искомых функций к
точному решению. Для этого необходимо найти такой вектор yi,
который обеспечивал бы сходимость последовательных приближений
и. по норме пространства WJ2 .
Градиент минимизируемого функционала представляется как
Ж
Гщ =ЪУк&\<з\1=1,**и, (27.4)
*=1
Приращение искомой функции
Ж
Ащ = 2LAPki4>l(0. i=l,Nu. (2.7.5)
k=\
Линейная часть приращения функционала невязки АЛщ)
определяется скалярным произведением:
М(щ) =< AuitJ' >„., i=l,Nu, (2.7.6)
В W2 [<7™m,<7™ax] скалярное произведение определяется
формулой
max
АЧ dlvdlz, ,___,.
<v>z>wi = Z. J n—f—fdg, (2.7.7)
[=0 „mm ад ад
9ji
где Г\,1= 0,2 - весовые коэффициенты.
С учетом (2.7.4), (2.7.5) и (2.7'.7) соотношение (2.7.6)
преобразуется к виду
^ J -i z_,rmi f
2 Ч (& rf'm' Y& rf'm''
L*=i d<7
rf<7

N,
£*P,
m=\
max .
ЪУЫ ) П f—*f-dg
m=\ „min dg dq
i=i,Nu,
С другой стороны, в R
N>.
ДДи,-) =< ApiJp. >rn{ , i =1,NU,
(2.7.8)
(2.7.9)
Приравняв (2.7.8) и (2.7.9), получаем систему линейных
алгебраических уравнений
£УтЬ1тк = J'Pki ,k=Wl,i=U^ (2.7.10)
т=\
где
bL =<ФтС'7).ф1(.'7)>тдл!
Щ У9ц ,9ji J
(2.7.11)
Система может быть решена, например, методом квадратного
корня [272].
Таким разом, мы получили формулу для перерасчета градиента
минимизируемого функционала. Итерационный процесс (2.7.1)
строится следующим образом:
Pkf =Pki -*Siyki,k = UTi,i=:U;^,s=0,...,s'. (2.7.12)
В качестве примера использования подобного подхода сиоа
рассмотрим задачу определения интегральной полусферической
степени черноты и суммарного теплового эффекта сублимации углеродо-
подобного материала (см. § 2.3) матрица проектирования В элемента
2 2
подпространства у е УЕ х Vq с W2 x W2 на пространстве
R l х R Q принимает вид
< фй(Г),фто(Г) >u/2fTmin „max,, если k< NE,m < NE,
ЩЧТГ,9о У
Wi[T$"\g$™
О-в остальных слу -s- аях
bkm =\< ФА(П,Фто(Г)>1л^[гт,п ^maxj, если k> Ne,m > Ne,
(2.7.13)
В соответствии с предложенной модернизацией был доработан
весь алгоритм непосредственного решения обратных задач.

0,5
о-2
*-3
—^^
а
1500
2500
да
Ъ—Ъ-ь-
0,2-10
— /
о-2
«- 3
2800
3150
Рис. 2.7.1. Априорный учет гладкости получаемого решения:
1 —заданные значения; 2 — восстановленные без учета гладкости;
3 — восстановленные с учетом гладкости
На рис.2.7.1 приведены результаты восстановления искомых
функций с учетом и без учета их гладкости (исходные данные
задаются с погрешностью (5=0,05).
В таблице 2.7.1 представлена относительная погрешность
решения обратной задачи для различных комбинаций значений весовых
коэффициентов rL, I = 0,2 в (2.7.7).
Все результаты получены для модельных примеров,
рассмотренных в § 2.5.
Таблица 2.7.1
гп
1
1
1
1
0,1-10"5
0,1
0,1
0,1-1 (Г5
1
0
1
1
0
1
1
0
0
Г)
0
1
0
1
0
0
1
1
8,
0,08
0,03
0,07
0,11
0,28
0,15
0,14
0,31
8о
0,03
0,01
0,02
0,04
0,15
0,08
0,09
0,25
Таким образом на основе анализа данных представленных на
рис.2.7.1 и в таблице 2.7.1 можно сделать вывод о целесобразпости
учета априорной информации о гладкости искомых характеристик
при решении рассматриваемой обратной задачи.

2.8. Алгоритм решения обратной задачи для случая постоянных
определяемых характеристик
В тех случаях, когда определяемые характеристики константны,
т.е. щ =Pi, i =\,NU, можно использовать алгоритмы, описанные в
§2.2, §2.4. При этом скалярная линейная оценка значения as (см.
(2.4.4)) приводит к существенному ухудшению сходимости
итерационного процесса. В случае векторной оценки (a*)j" [62] теряется
смысл вычисления вектора/' , k = \,N„ т.е. изменение значения
неизвестной характеристики на каждой итерации полностью
определяется глубинами спуска а1. Поэтому в настоящем параграфе
предлагается модифицированный алгоритм решения обратной задачи по
определению характеристик теплообмена на поверхности,
учитывающий априорную информацию о том, что определяемые
характеристики постоянные величины.
Постановка задачи аналогична приведенной в §2.1, с
некоторыми ^изменениями. Необходимо определить набор характеристик щ,
i=l, Nu, щ е [/,- = R при котором выполняется условие
Лй) = ££ /С^й-/^)2Л£52. (2.8.1)
п=\т=\ о
Предположим, что минимизация функционала (2.8.1)
осуществляется методом последовательных приближений. На каждой
итерации задается величина Дй* из условия
J(Us+i)= min Дй5 + Дй*), 5=0,...,/, (2.8.2)
где s — номер итерации; Дй*- приращение вектора неизвестных
параметров на s итерации.
Условие (2.8.2) представляет собой задачу минимизации
функции Nu переменных. Практика решения различных обратных задач
показала, что весьма эффективным является использование
линейной оценки приращения Дй*[28]. В этом случае Дй* определяется из
условия
^(й*+ДЙ*)=0 (2.8.3)
ди
или

N M.xm
2£ Z ]Wus + Дй*) -/£)0О'йёЛ =
п=\т=\ о
= 2I I J(^("5) + (ОО'йё)7*4 + о(||д«Ч|) -ОСО'^т
n=1m=l о
(2.8.4)
где ё = {е^ " = {l}j u - единичный вектор.
Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений
-Ilfa^WmX^'uedT
n=im=\ о
= Z 2 J(iO'ge((iO'se)rA««/T (2.8.5)
ИЛИ
z2j(^(«s)-A^)(^)'u,.«irfT =
= L I L JOO«4Ч <А1УЩ е^щёх, i = \,NU.
k=\n=\m=\ о
Остается лишь получить выражения для (i™)' .
Следуя подходу, рассмотренному в [28], предположим, что
неизвестная характеристика щ получила приращения Ащ, при этом
некоторое приращение ит(х,т) получит и поле температур в
рассматриваемой системе. С точностью порядка 0(ит) приращение и"1 (x,i)
удовлетворяет следующей задаче:
сди% _^2< , (2дХдТ | \до* | (дТ^д\ | дкд2Т
& дх2 { дТ дх ) дх {дх) дТ2 дТ дх2
дС дТ дК дТ 8S
ВТ m оТ ох дТ
хе(Х%_ьХ%), те(0,т*], (2.8.6)

и%(х,0) = 0,хе[Х?п_ьХ%1], m=\,Mn + 1, (2.8.7)
-X^L.(0lT>--^5-Ofi(0IT)=0l те(0,т2|], (2.8.8)
\dx)w дТ дх дТ ди{
v%(X5l,-d=v%+i(Xi,i), т е (0,т£], m = \М~п, (2.8.10)
^(Х:,т) = ^№:,т),те(0,т:], от=1,Мл. (2.8.H)
од: од:
В [28] показано, что (А^)',Ащ = о" (X," ,т), где d^1 -
решение системы (2.8.6 - 2.8.11).
Система (2.8.5) может быть переписана в следующем виде:
Ум N & <? и
t I£J3*CX£,t)d£(A£,t)A
fe=l n=1m=ln
йщ =
= -I £ jCr^a^.T) -^(tWS^U-.tWt, t =1,NU, (2.8.12)
n=lm=l о
где5^, от = \,Mn, n = \,N,i = i,Mu - решение краевой задачи (2.8.6)
- (2.8.11) при Ды,-=1. Система алгебраических уравнений (2.8.12)
имеет симметричную матрицу и может быть решена методом
квадратного корня [272].
Для практической реализации предложенного алгоритма также
используется преобразование координат (2.4.47), (2.4.48). При этом
система задач (2.8.6)-(2.8.11) принимает вид
дх дх2 ml
9А-7 дТ
2-±— + К? + tn,C?
дТ дх l ml l
\дх) дТ2 дх2 дТ п ВТ m дТ дх п дТ дх
дТ2 дх2 дТ
ZCC^Xt. m=\,Mn +1. *б(0,1),
дх J

тб(0,т£], n = \,N, i=\,Nu,
(2.8.13)
о*'(лс,0)=0>жб[0,1], т=\,М„ + l,n = l,N,i =i,Nu, (2.8.14)
dvi
дх
(0,t)-
дкдТ_
дТ дх
оГ'(0,т)=0,
Тб(0,т2,], /2 = 1,ЛГ, Ё=1,ЛГИ,
-^
SoV S*. ST
дх
дН
дН
wr. и* nl ,n UJ.1 Пх ,п vix
-^=^v7,, -a., ..——vm =a,, .,-—
'W
те(0,т"Д
дТ дх
М„+1 дТ
М«^д1Ц
те(0,т£], n = \,N, i=\,Nu,
(2.8.15)
(2.8.16)
Отат)=^,+1(0,т)>тб(0,т2,]1 m=\,Mn,
n = \,N,i=\,Nu,
(2.8.17)
L£g2L(itT)= °^+1(0,т),те(0,т^], m = l,M„.(2.8.
л" ад:
9л:
18)
В случае анализа многослойной системы, состоящей из Ln,
n = \,N слоев, выполняемых из различных материалов, система
краевых задач (2.8.13) - (2.8.18) может быть представлена как
я,,"1 д2 иг
in ~\2/-я ml _ л п ml jti
I _ 2 ml
к№
дх
дх1
2dAdJL + Kn+tnrn
дТ дх
ml^l
\
*°z
дх
дт]2д\п, _ д2тдх» + уя )2dsl + d„ ж,» дТ
дх
дТ2 дх2 дТ
ml'
дТ
ml дТ дх
<dn)2?ELdr-dntnCndr
ml дТ дт ^1 ml l дх
ml'
те(0,т^],га=1,М„ + 1,/ = !,£.„ , п = 1,ЛГ, i = \,NU, (2.8.19)
о",/(х,0)=0,хб[0,1], m = \,Mnhl = \,Ln,n = i,N,i =i,Nu,
(2.8.20)

-X
дх
dkl дТ
дТ дх
^1г(0,т)=0,
те(0,тт]. n = \,N,i =\,Nu, (2.8.21)
(dv\ni дк^ дТ дН
^W-Z,, gT
те(0,а n = \,N,i=\,Nu,
\ dv
ml
dn дх
aml
(1,T) =
dv
dm+U
^(О,т)1тб(0,тЦ
дх
m=\,Mn, l = \,Ln, n = \,N, i=\,Nu,
d" дх
■kn dvni
dn дх
"* (1 t) =
а1,М
те(0,^], ?=1,L„ -1, 72 = 1,ЛГ, i =1,JVM,
Л" dv™ . ,
1 дх
1 дх дТ 1 дТ дх
-Мп(+1,/(^)+<п,Н/ат)-&Г/(°^)=0.
те(0,т£], l=i,Ln -1, п = 1,ЛГ, i=\,Nu.
(2.8.22)
(2.8.23)
(2.8.24)
(2.8.25)
Итерационный процесс строится следующим образом:
1) задается начальное приближение искомых характеристик
(нулевое или основанное на априорной информации);
2) решается прямая краевая задача (2.1.1) - (2.1.6) и система
задач для приращений температуры (2.8.13) - (2.8.18) или (2.8.19)
- (2.8.25); вычисляется приращение неизвестных характеристик
Дм и значение минимизируемого функционала J(ms+ );

3) проверяется условие окончания итерационного процесса
(2.8.1) и если оно не удовлетворено, возвращаются к п. 2.
Эффективность предложенного алгоритма анализировалась при
определении радиационно-оптических характеристик терморегули-
рующих покрытий космических летательных аппаратов [53].
Проведенные численные исследования показали возможность
использования критерия невязки (2.8.1) для останова итерационного процесса.

Глава 3
ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ
При идентификации процессов нестационарного теплообмена
методами обратных задач адекватность восстанавливаемых
характеристик реальным величинам во многом определяется условиями
проведения экспериментов. Естественным образом возникает задача
оптимального выбора или планирования экспериментов [129, 130,
269-271, 273, 274]. Настоящая глава посвящена вопросам
численного поиска оптимальных условий проведения тепловых
экспериментов для определения характеристик теплообмена на поверхности
тел, взаимодействующих с внешней средой.
Общей теории оптимального планирования физических
экспериментов пока не существует [130], однако при анализе тепловых
экспериментов, приводящих к решению некорректных задач
математической физики (частным случаем которых являются обратные
теплообмена), оптимальное планирование сводится к выбору условий
проведения эксперимента, обеспечивающего наилучшую
обусловленность вычислительного алгоритма.
В данной главе рассматриваются вопросы выделения тех
условий проведения эксперимента, которые оказывают наиболее
существенное влияние на точность решения соответствующих обратных
задач. Приводится формализованная постановка задачи оптимального
планирования (§2.1). Состоятельность предложенного критерия
оптимальности обосновывается путем математического моделирования
(§2.2). Предлагается эффективный алгоритм численного решения
задачи планирования, основанный на методах условной
оптимизации (§2.3). Приводятся результаты вычислительных экспериментов,
демонстрирующие целесообразность предлагаемого подхода (§2.4).
3.1. Постановка задачи оптимального планирования
Необходимость планирования эксперимента определяется тем,
что обычно требуемый результат (или процесс) можно получить при
различном комплексе условий проведения эксперимента Е. Элемент
множества Е, т.е. некоторая совокупность условий В, е Е, называется

планом эксперимента [130]. Априорные сведения об алгоритме
обработки данных эксперимента используются для конструирования
некоторого (обычно скалярного) критерия оптимальности
эксперимента Ф(£), в рассматриваемом случае так или иначе характеризующего
обусловленность алгоритма решения обратной задачи. Естественно
предположить ограниченность Ф(Е) снизу на множестве возможных
планов £ и существование элемента с, такого, что
Е, =arginfO(5).
(3.1.1)
Элемент £ называется оптимальным планом эксперимента [130].
Для формализованной постановки задачи необходимо выделить
те условия проведения эксперимента, которые в рассматриваемом
случае, т.е. при определении характеристик теплообмена на
поверхности тел методом обратных задач, составляют его фактический
план (иначе говоря, характеристики, существенно влияющие на
критерий качества Ф(£)), а также сформировать множество возможных
планов Е.
Предполагается, что теплообмен при проведении N тепловых
экспериментов (число N определяется из условия единственности
решения) описывается следующей системой краевых задач:
ЦТ)3* '
С(Т)
дТ"
дх
д_
дх
дх
дх
Тп =7",(х1т)1п = 1,М хб(0,Ья(т)),тб(0,т^]|
7"'(i10)=7'0,,0c),B = tJV1i6[0I6*(t)]1
-Л.(Г)^-(0,т) = ?f (т), л = Щ т 6 (0,0,
-Нт)
дх
дТп
дх
= ^(Т),72 = 1,ЛГ, T6(0,TJU
Jw
Ья(т)=Ья(0)- jvndz,
о
ql^) = mgn,p), тб(0,тя], g={ffjb)h
N
(3.1.2)
(3.1.3)
(3.1.4)
(3.1.5)
(3.1.6)
(3.1.7)
где р - определяемый оператор.

Предполагается, что в экспериментах осуществляются
измерения температуры в нескольких внутренних точках каждого из
образцов
^кс„ат,х)=^(т), m=\Ji~n, 72 = UV, (3.1.8а)
где М„ — число термодатчиков в и-ом образце материала.
Кроме того, возможно экспериментальное измерение некоторых
характеристик, входящих в уравнение теплового баланса на
поверхности:
дп. (т) = S?(т), У = \Тп, jn <Ng. (3.1.86)
На практике наблюдения за параметрами системы обычно носят
косвенный характер, при этом (3.1.7), (3.1.8) можно представить в
виде
f1lU)=z(y^,n = VM~n,n = VN, (3.1.9)
5;"(т) =z1J(Wp, j=iJ^,n = UN. (3.1.10)
В случае термопариых измерений температуры под V%
подразумевается регистрируемое m-ой термопарой в и-ом эксперименте
напряжение; г(У) - тарировочная зависимость, получаемая
экспериментально [94]. Несколько сложнее обстоит дело с измерениями
плотностей тепловых потоков, скоростей набегающих потоков газа и
т.д. (3.1.10). __
Функции f£ и5",ш = 1, Мп, У = 1,/„, п = 1, N измеряются
экспериментально и содержат погрешности.
Решение обратной задачи по определению априорно
параметризованных характеристик материалов, как показано в § 2.1, сводится
к решению операторного уравнения
Ap=f, A:RNp -+ F = FJx...xFJ% , (3.1.11)
A - непрерывный дифференцируемый по Фреше оператор.
Пространство _F определяется используемой схемой измерений [28].
Оператор А зависит не только от выбранной схемы измерений, но и
от условий проведения эксперимента ((3.1.2) - (3.1.7)).
Для формализованной постановки экстремальной задачи (3.1.1)
необходимо выбрать критерий планирования Ф(£), выделить те
условия эксперимента, которые оказывают существенное влияние на
критерий качества, а также сформировать множество возможных планов.

Следует отметить, что сходная по математической постановке
задача оптимального управления разрушением образца
рассматривалась в [231], и подход, примененный к решению задачи
планирования экспериментов по определению характеристик теплопереноса
внутри материалов [47-49].
Как показано в главе 2, обратная задача по определению
характеристик теплообмена на поверхности тела может рассматриваться в
виде совокупности следующих двух задач:
1) Граттичная ОЗТ по определению плотности теплового потока,
идущего на прогрев внутренних слоев q" (т) и температуры
поверхности Т£ (т), п = 1, N.
Для нахождения приближенного решения обратной задачи
минимизируется функционал невязки
/(^WHIQ^WIIf. (3.1.12)
где qx (т) = {ql (т),...,q» (т)},/(т) = {rf (т),..., /^ (т)}, Q - непрерыв-
ный дифференцируемый по Фреше оператор, такой что
Ар =Q(H(g,p)),H{g,p) ={H(g\p),...,H{gN,р)).
Строится минимизирующая последовательность
ql+X=RA{ql), (3.1.13)
где s - номер итерации; RA - алгоритм вычисления приближенного
решения.
Останов итерационного процесса осуществляется по критерию
невязки:
llQ^-fll2F<82, (3.1.14)
т.е. в качестве приближенного решения обратной задачи берется
элемент qx на границе области возможных решений. Некорректность
подобной задачи связана с тем, что Q~ обычно не является
ограниченным.
2) Восстановление вектора неизвестных параметров р из
функционального уравнения теплового баланса на внешней границе
(3.1.7).
При последовательном решении обратной задачи (см. § 2.2) и
линейности функции теплового баланса относительно неизвестных
параметров

&
H(g",p) = Lhk(g")pk + hg(g"), n = l,AT, (3.1.15)
_ N
где р ={pk)\p ~ вектор идентифицируемых параметров; h^ e Ь2,
k=\, N„, Aq Q7 " ) e С - внешнее тепловое воздействие на и-ый
образец материала, n = \,N.
Определение вектора р сводится к решению системы линейных
уравнений:
Dp=Z, (3.1.16)
N
где D={dkm}, k = \,Np, n = \,Np, dkm = £< hk(gn),hm(gn) >L2.
n=\
Уравнение (3.1.7) может трактоваться как регрессионный
эксперимент, целью которого является нахождение оценок для р. В
качестве наблюдаемых параметров можно рассматривать тепловые
потоки q"(т), п = 1,N.
Декомпозиция обратной задачи на граничную ОЗТ (3.1.2) -
(3.1.14) и задачу определения вектора р из (3.1.16) позволяет
говорить о двух задачах оптимального планирования.
В [28] предлагается в некорректных обратных задачах вида
(3.1.12) оценивать качество критерия на основе свойств оператора^'
в точке предполагаемого решения. Пусть q^ — точное решение задачи
(3.1.12), a qx - достаточно близкое к нему приближенное. Тогда для
нахождения р необходимо определить поправку Aq^ = q\ -qk no
известному уклонению Af = f - f правой части от точного
значения . Так как Qq~\ = fnQqx = /j), то с точностью до 0 (11 А/] | р ) имеем
A^=(Q')_1A/. (3.1.17)
Пусть далее 8/ - погрешность правой части (3.1.17), а 8<ух _
погрешность определения bq. Тогда можно записать
где condiQ') HIQIIIKQ')" II _ число обусловленности оператора Q'.
Таким образом, можно сформулировать задачу оптимального
планирования эксперимента по определению q"(т), n = \,N как зада-

чу выбора условий проведения эксперимента и схемы измерения из
условия обеспечения минимального значения числа обусловленности
оператора Q [28].
Что касается второй задачи (3.1.16), то если рассматривать, как
предлагалось выше, тепловые потоки, идущие на прогрев внутрь
материала, в качестве исходной информации, матрица системы
линейных уравнений (3.1.16) является информационно матрицей
Фишера, которая широко используется при планировании эксперимента
[121].
Точность получаемого решения во втором случае также следует
связать с теми или иными характеристиками матрицы D. Наиболее
простым среди них в вьгаислительном плане является детерминант det
D (D - оптимальное планирование). Несмотря на то, что в литературе
неоднократно отмечалась нецелесообразность использования
детерминанта для оценки свойств соответствующих матриц,
многочисленные вычислительные эксперименты показали, что при достаточно
узких областях допустимых решений задачи оптимального
планирования det D является довольно эффективным критерием сравнения
матриц (3.1.16), соответствующих различным условиям проведения
эксперимента. Таким образом, в качестве критерия оптимальности для
второй подзадачи в настоящей работе рассматривается
<D(£)=-detD(£). (3.1.19)
При выборе анализируемых условий проведения эксперимента
следует учесть, что существующее экспериментальное оборудование
позволяет варьировать в определенных диапазонах величину
внешнего теплового воздействия на исследуемые образцы q$ (т)
(входящие в функцию теплового баланса H(qn,p) и продолжительность
т^ каждого эксперимента. Кроме того, при проектировании
испытываемых образцов имеется возможность варьирования их
геометрическими характеристиками, а также количеством и координатами
установки термодатчиков (т.е. планом измерений).
Таким образом, к условиям, составляющим план эксперимента в
рассматриваемом случае, можно отнести: толщины образцов,
продолжительность экспериментов, величину внешнего теплового
воздействия, количество и координаты размещения термодатчиков.
Среди них следует выделить те, которые оказывают наиболее
существенное влияние на решение обратной задачи (2.1.25), (2.1.1) -
(2.1.6), (2.1.26), (2.1.7).
Для дальнейшего анализа план эксперимента целесообразно
представить в следующем виде:

Ь ={q&lM,Tl,n = \JJ},£,3 ={ЬЯ(0)}, (3.1.20)
Влияние количества термодатчиков и их размещение в образце
на точность решения граничной ОЗТ, т.е. задача
^ =arginfcond(Q'Gi)),5i zY.^{Mn,Xl,m=\jrn,n = \J4),
(3.1.21)
подробно исследовалось в [33]. Полученные результаты
показывают, что для восстановления плотности теплового потока ^" (т),
n = \,N достаточно наличия дополнительных измерений в одной
точке образца. Оптимальным является размещение термодатчиков на
поверхности, на которую действует определенный тепловой поток
[51]. Такое размещение термодатчиков приводит к случаю
псевдообратной задачи [20]. По мере удаления точек измерения от
нагреваемой поверхности тела чувствительность системы уменьшается, что
приводит к ухудшению ее вычислительных свойств (например,
скорости сходимости итерационного процесса). Анализ
чувствительности [51] позволяет выделить области предпочтительной установки
термодатчиков, а также область, где чувствительность системы
стремится к нулю и экспериментальной информации недостаточно для
решения ОЗТ с требуемой точностью.
Использование дополнительных измерений повышает
чувствительность системы и улучшает вычислительные свойства задачи. Од-
нако с увеличением числа термодатчиков влияние Мп, п = 1,7V на
чувствительность системы снижается. Так, в [33] отмечается, что
учет измерений температуры в точках, удаленных на расстояние
АХт = (Ь(0)-Х£Нл„1/(С£т£)>0,5, (3.1.22)
где
-'max
С£ = J Cn(T)dT/(T™x -r„min);
кпср = J kn(T)dT/(T™* -Г„тш),
1 min
практически не влияет на обусловленность экстремальной задачи и
скорость сходимости. Это связано с тем, что обусловленность гра-

иичной ОЗТ в основном определяется информацией о поле
температур только до определенной глубины, поскольку темп изменения
температуры внутри тела вследствие изменений граничных условий
по мере удаления от внешней поверхности существенно снижается.
На решение второй подзадачи (3.1.16) размещение и количество
термодатчиков непосредственного влияния не оказывают.
Что касается влияния внешних условий проведения
эксперимента и геометрических характеристик образцов 0;2>£з)> то из УРавие"
ний (3.1.2) - (3.1.5) следует независимость числа обусловленности
(О'(5))от52.4з. т.е.
Stond(Q'(5))
Ът
= 0, г = 2,3. (3.1.23)
Действительно, точность решения граничной ОЗТ по
восстановлению qP (т) и Т£ (т), n = \,N не зависит от внешнего теплового
воздействия <7о (т) и продолжительности процесса т^, n=\,N, т.к. т^
является областью определения искомой характеристики, a q$ (т)
непосредственно порождает qV (т), так что практически задача
сводится к «планированию» восстанавливаемой характеристики.
Из этого следует, что влияние q§ (т), т^, п = 1, N на качество
получаемого решения обусловливается алгоритмом определения
вектора неизвестных р.
Толщина образца оказывает влияние на градиент температуры у
(:
нагреваемой поверхности
— , массовую скорость уноса продук-
«О
тов внутреннего разложения \Ggdx и температуру поверхности
0
Tw (т), которые входят в уравнение теплового баланса на
поверхности тела. Следовательно, эти величины влияют на решение второй
подзадачи. Решение граничной ОЗТ с учетом ограничений (3.1.22)
не зависит от начальной толщины образцов. Поэтому начальные
толщины образцов Ь$ = Ьп(0), п = \,N в настоящей работе
рассматриваются как одна из составляющих плана эксперимента для алгоритма
(3.1.16).
Следовательно, под планом нестационарного теплового
эксперимента для второй подзадачи понимается следующая совокупность
условий:

t={b$,-tl,qSb)),n=l,N,b8 eR1, -z% e r\ q$eC\
^eEcJ?W xRM xC°-N. (3.1.24)
Для решения задачи (3.1.1) необходимо также определить
границы множества возможных планов Е по каждой из составляющих
плана эксперимента ^. При формировании этого множества
необходимо учесть следующее.
1. Начальная толщина b$ ,n = \,N ограничена снизу минимально
допустимой толщиной образца с учетом установки термодатчиков а п
сверху размерами рабочей камеры предполагаемой
экспериментальной установки с", т.е. bft е [ап,сп], п = \,N.
2. Продолжительность каждого эксперимента т^, ограничена, с
одной стороны, минимальным временем, необходимым для
регистрации температуры датчиком т^, с другой ~ временем
функционирования экспериментальной установки т^, т.е.
т» еГт" ?"1
1 т с L иот> lJ7IJ-
3. Из энергетических возможностей экспериментального
оборудования для внешнего теплового воздействия q§ (т) следуют два
ограничения:
off <т) < qS(т) < pg(т), af (т) < qg(т) < Р?(т) .
Таким образом, окончательно можно сформулировать, что
задача оптимального планирования тепловых экспериментов (3.1.1)
сводится к двум экстремальным задачам:
& =arginfcond(Q'(Si)), ^cMx^x...^" (3.1.25)
Si «2,
и
^2,3 =arginfcond(-detD(^2,^3)).
^2,3 е^-23
I„c/x...xCWx/ (3.1.26)
Как уже отмечалось, алгоритм решения задачи (3.1.25)
достаточно подробно изложен в [51], поэтому в настоящей работе
основное внимание уделяется задаче (3.1.26).
Отметим, что для нелинейных задач теплообмена возможно
построение только локально-оптимальных планов [47], откуда следует

необходимость итерационного планирования и определения
характеристик теплообмена на поверхности. Порядок операций при этом
следующий: на основе априорной информации задается начальное
N
приближение вектора искомых параметров {pk)\ p ■ решается задача
оптимального планирования, проводится соответствующий
эксперимент, решается обратная задача и определяется новое значение
вектора р. Полученное приближение используется в качестве
априорной информации в общей процедуре планирования-идентификации.
Процесс продолжается до совпадения значений вектора р на
соседних итерациях с заданной относительной точностью.
3.2. Исследование влияния условий проведения эксперимента
на точность решения обратной задачи
В § 3.1 выбор плана нестационарного эксперимента в виде
4={boV;Uo(T),/2 = D^ (3.2.1)
был осуществлен на основании анализа структуры рассматриваемой
математической модели теплообмена и используемых алгоритмов
обработки данных. В настоящем параграфе на основании
вычислительных экспериментов проведено численное исследование влияния
различных условий проведения эксперимента и состоятельности
предложенного в § 3.1 критерия оптимальности.
Математическое моделирование проводилось для углеродопо-
добных материалов с использованием следующей математической
модели теплообмена:
С(7)^ = А
дх дх
'мг>ет'л
дх
)
Т = Пх,х), х е (0,Ьи(т)), т е (0,т J (3.2.2)
Тп(х,0)=Топ,х<=[О,Ьп(х)], (3.2.3)
дТп
-X
(0,т)=0, те(0,т£), (3.2.4)
= г7"(т), t£(0,tU (3.2.5)
дх
дТ
Jw
(ят\п
дх
Ьп(х)=Ьп(0)- JGw/pdx, (3.2.6)
О

<(т) = -47? (т) + ae(7j)4 + AQWG£. (3.2.7)
Все характеристики математической модели представлены на
рис.1.2.2 и в табл. 1.2.1, 1.2.2 [70, 200, 253, 425].
Все сделанные в §3.1 выводы относятся к последовательному
способу решения обратной задачи по определению характеристик
теплообмена на поверхности. Однако в §2.5 было показано, что
наилучшего качества решения обратной задачи в последовательной и
непосредственной постановке достигают в одних и тех же точках плана
эксперимента. Поэтому в настоящем параграфе решение обратной
задачи осуществляется непосредственно.
Прежде всего необходимо убедиться в существовании влияния
интенсивности и продолжительности теплового воздействия и
начальных толщин образцов (как планируемых условий проведения
эксперимента) на точность решения обратной задачи. Исследования
проводились путем параметрического варьирования
соответствующего коэффициента математической модели. Для изучения влияния
внешнего теплового воздействия на образец qfi (т), п = 1,2
рассматривались два эксперимента (§2.5). Номинальное тепловое воздействие
представлено на рис.2.5.1. В качестве закона изменения внешнего
теплового воздействия используются зависимости:
ql^)=K^,qlU),Kqi e[0,5;l,5]
^02(т) = К^ ,^(т), Къ е [0,5;1,5], (3.2.8)
-1 -2
где (70.(70 — значения тепловых потоков, используемых при
расчетах.
Для дискретных значений Kq ,Kf. решается обратная задача.
Относительная точность полученных решений 5Е и 5q, вычисляется
аналогично §2.3 по формулам
_||е(Г)-ё(Г)||^ JlAQpOT-AQ^DII^
Е" Цв(Г)||^ ; Е= llAQ^DHi,
где е, г, AQW, AQW ~ точные и восстановленные значения функций
соответственно. На рис.3.2.1, а представлены значения detB и
соответствующих значения 5Е и 8q как функция К„ ,К- (при условии,
что Kq = Kf. ). Результаты решения обратной задачи для отдельных
значений представлены на рис.3.2.1,г, где кривые 3 и 6
соответствуют К„ = Kf. = 1; кривые 4 и 7 - К„ = Kf. = 1,5; а кривые 5 и 8 -
К п = К я, = 0,5. Более подробная информация приведена в

0,05
0
ч
'ч^
/а
У
■- /
/
— -2 >
*-з
detD e
ОД-Ю32о,5
t
1.
/
2
*-з
+ -4
о-5
и- б
Ф- 7
• -8
щ,
0.2-10
,8
0,5
^
1500
2500
0,05
\
ч^
к
4 S
/
6
/
2
» - 3
detD e
0Д-Ю320,5
— /
2
*-з
+ -4
д
+•- хо а
о- 5 '
°-6
0 7
• -8
щ»
0,2-10
30
90
1500
2500
0,05
II
в
*
*?>:
/
2
» - J
0.2
detD e
,32
S
—. _
X
+
■Ь--ч
- /
-2
-5
-4
е
*х
*•*
'о-40
о-5
и- б
0- 7
• -S
АО
0,2-10
.8
0,6
МО)
1500
2500
Рис. 3.2.1. Влияние условий проведения эксперимента на качество
решения ОЗТ; а, б, в — / — 5£; 2 — 5q; 3 — det D;?., д, е — 1 — заданное
значение е; 2 — заданное значение AQW; 3, 4, 5, 6,7, 8 — восстановленные
значения

табл.3.2.1, в которой представлены значения относительной
точности полученных решений 5Е и 5q, а также значения критерия
оптимальности для задач планирования эксперимента (в таблице над
чертой находятся значения между чертами - 5Е> под чертой - detD см.
§3.1).
Таблица 3-2.1
КЧ7 \ КЧ,
0,5
0,75
1
1,25
1,5
0,5
042
0,06
0,01 ■ 10
III
0,42-1031
0,09
0,06
0,5 ■ 1031
III
0,3-1031
0J2
0,08
0,9-1031
0,75
ill
0,21 ■ 1031
0,9
0,04
0,6-1031
0,09
0,03
0,8 ■ 1031
III
0,6-1031
ill
0,1 ■ 1031
1
0,1
0,05
0,31 ■ 1032
III
0,82-1031
III
0,12 1032
111
0,08 • 1032
0,8
0,08
0,75-1031
1,25
0,1
0,06
0,2-1031
III
0,3-1031
0,08
0,04
0,11 1032
III
0,10 1032
III
0,71 ■ 1031
1,5
0,12
0,07
0,1 • 1031
0Д1
0,06
0,12 1031
III
0,1 ■ 1032
.
0,9 1031
одз
0,09
0,06 • 1031
Подобным образом исследовалось и влияние
продолжительности внешнего теплового воздействия:
^m=KXiym,KXt 6[0,5;1,5]
^=^:2и(т)ДТ2 е[0,5;1,5]. (3.2.9)
Для того, чтобы по возможности устранить влияние теплового
воздействия, плотности тепловых потоков, подводимых к образцам,
изменялись следующим образом:
ql =ql(xKxx); cfc = ^№2), (3.2.10)
что позволило получить сходный характер теплового нагружения
образцов по суммарному тепловому воздействию.
Результаты моделирования приводятся на рис.3.2.1, б и д
(аналогично 3.2.1а и г), где кривые 3 и 6 соответствуют К„ = К„ = 1;
кривые 4 и 7 - Kq = Kf. = 1,5; а кривые 5 и 8 - К„ = К(. = 0,5, а
также в табл.3.2.2 аналогично 3.2.1.

Таблица 3-2.2
к., \к.,
0,5
1
1,5
0,5
0,11
0,07
0,1 • 1031
04
0,04
05 ■ 1031
ол
0,06
0,2-1031
1
III
0,7-1031
III
0,12-1032
од
0,06
0,4 1031
1,5
0,9
0,06
0,5-1031
0,1
0,06
0,3-1031
ОД
0,07
0,1-1031
Для выявления закономерностей влияния начальной толщины
образцов используются следующие зависимости:
Р =К^,Ь\0),К^ е[0,5;1,5]
b2=Kb2b2(0), Kh е[0,5;1,5]. (3.2.11)
Результаты моделирования приводятся на рис.3.2.1о и е
(аналогично 3.2.1а и г), где кривые 3 и 6 соответствуют Kq = К- = 1;
кривые 4 и 7 - Kqt = К^ = 1,5; а кривые 5 и 8 - К„ = К^ = 0,5 и в
табл.3.2.3 аналогично 3.2.1.
Таблица 3.2.3
Kh \ *»,
0,5
1
1,5
0,5
ill
0,7 ■ 1031
0,09
0,045
0,9 1031
0,09
0,045
0,8-1031
1
■ill
0,3 1031
III
0,12 Ю32
III
0,1 • 1032
1,5
0,95
0,05
0,6-1031
0,8
0,05
0,95-1031
III
0,8-1031
На основании проделанных расчетов можно сделать вывод, что
в анализируемом случае из рассматриваемых условий проведения
эксперимента наибольшее влияние па качество получаемого решения
оказывают продолжительность и интенсивность внешнего теплового
воздействия. Можно показать, что для образца с нетеплоизолиро-
ваппыми внутренними границами влияние начальной толщины
также весьма существенно.

Кроме того, показана непосредственная связь между величиной
детерминанта матрицы D и относительной точностью
восстановления характеристик теплообмена на поверхности (рис.3.2.1а, б и в).
Это доказывает правомерность постановки задачи оптимального
планирования, предложенной в §3.1.
На основании представленного моделирования также можно
утверждать, что результаты решения задачи оптимального
планирования для последовательной постановки решения обратной задачи
справедливы и при использовании алгоритма непосредственного
решения обратной задачи.
3.3. Алгоритм решения задачи оптимального планирования
методом условной оптимизации
Задача оптимального планирования, сформулированная в §3.1,
представляет собой следующую задачу оптимального управления:
inf(detD(0), \ e £<=C°'W xRN xRN,
S = too СО.С fe0 (0), n = l,N}, D={dkm}, k = \,Np, m=\,Np,
dkm = £< hk(gn),hm(gn) >L2[0,t£], (3.3.1)
и=1
где hk(q"), k = \,Np являются составляющими функции теплового
баланса на поверхности тела, теплоперенос в котором описывается
следующей краевой задачей:
т дх
Нт)дТ
+ К(Т)Щ— + S(T),
дх
дх
Тп =Тп{х,х), *е(0,Ь"(т)),те(0,т*], (3.3.2)
Тп(х,0)=Т0п(х), хе(0,Ьп(0)), (З.З.З)
-^(Г)^-(0,т)=£?1я(т),т€(0,т^]1 (3.3.4)
дх
-UT)(^X =H(gn,p) = ihk(gn)pk -9oto,T6(0,TU
(3.3.5)

Ьи(т)=Ь"(0)- \vndx.
(3.3.6)
Для решения задачи оптимального управления (3.2.1) с
ограничениями (3.3.2) - (3.3.6) в данной работе предлагается использовать
численные градиентные методы условной оптимизации, например,
метод проекции градиента. При этом решение ищется итерационным
путем, как и при использовании градиентных методов безусловной
оптимизации (гл.2).
Итерационный процесс строится следующим образом:
1) задается начальное приближение плана эксперимента %0,
которое может быть равно, например, £о ={ао>^т">а"» п = ^>Щ\
2) вычисляется значение градиента функционала (Ф£ (QY шага
спуска а и плана эксперимента на итерации
^+1=^+ах(Ф^(^)Г)5=0,1,...^еЕ,
(3.3.7)
где
^+1={(b0")s+1,(T5)i+1>(9o")i+1(T)}fTe(OI(T^)i+1]>n = t>JVI
Ю
n\s+l
а", если (р£)*+1<ая
(р^.еслиа^^Г^с"
если
{рпъУ+л>с\
(р£У+*=Ю* +аЧФ'ь(ОУ,
Uq)
тт, если (рт) <тт
(рт ) , если т <\Pf) < тт
?Г
если (p?y+i>inm>
(Pt")s+1=(Tf„)s +аЧФ'Л)У,
(д$У+\т) =
о,"(т), если <р?)*+1£а?(т)
{р*У+\ еслиа?(т)<(р")*+1<р?(т)
РГ(т), если (Pf)<(pj)
n\s+\

<P?)s+i=(fi5y +as(Vq<&y
а0"(т), если (^)*+1<а£(т)
(я8У+Чх) = \{pnqY+\ если og(x) < (p^)s+1 <pg(x)
Э5(т), если (p")i+1>b0"(T),
(pPS+1 = J(<7o)S+1(t>/t.
0
Останов итерационного процесса осуществляется при
совпадении значения критерия оптимальности на соседних итерациях, т.е.
при выполнении условия
(|ф*+1<£) -Ф4(5)|/|Ф*(5)|) < е*. (3.3.8)
*
где е — априорно заданная точность итерационного процесса.
Величина шага as выбирается из условия
min Щ* +о*(ФН5))*. (3.3.9)
Наиболее сложной частью алгоритма является вычисление
градиента функционала Ф£(£). Можно показать, что
Ф£<£) = (-detA<£))' = -£detD'Gj), (3.3.10)
, \dkm, если к э*1] ^
Таким образом, задача определения градиента функционала
Ф(£) сводится к определению градиента функционала dkm (£).
Чтобы получить явное выражение для (dkm)'c, необходимо в
краевой задаче (3.3.2)-(3.3.7) провести преобразование координат.
Введем новые переменные:
x' = x/b(i), (3.3.11)
т' = т. (3.3.12)
При этом производные от функции (•) по исходным
координатам имеют вид:

дО _ 50 ах' _ 1 50
дх дх' дх Ь(т) дх''
50=50 5() Sr' = 50 5() Ь(ч)х'
5т ~ 5т 5*' 5т ~ 5т' Э*' Ь '
(3.3.13)
(3.3.14)
В дальнейшем штрих «'» над х и т опускаются. После
преобразования (3.3.12), (3.3.13) краевая задача (3:3.2)-(3.3.6) принимает
вид:
(Ь")2С(Г)^ = А Х(т)дТ
п\
дх дх
+(ЬпКп(Т) + ЬпЬпхС(Т))
дх
дт11
дх
+(bn)2S(T), Tn = 7"Ч*,т),
Ьъ =Ь"(т), жб(0,1), тб(0,т*],п = Щ
Г"(ж,0) = Т0п(*), а: е [0,1], п = \N,
-X(T) — (0,x)=qll(.x)bn,XG(.0,xl], п = Щ
5л:
-а.(Г)
f^"-™-
H(gn,p)bn, те(0,т^],И = 1,^,
т
Ья(т)=Ья(0)-Jv^/t, я = 1,ЛГ
(3.3.15)
(3.3.16)
(3.3.17)
(3.3.18)
(3.3.19)
Пусть план эксперимента £ получает некоторое приращение
Д£ = {ДЬ ", Дт ^, Д«7о (t), и = 1, N), при этом поле температур,
реализующееся в эксперименте внутри образца материала, получит
приращение vn (х,т), n = \,N.
Для вариации температуры v(x, т), пренебрегая членами
порядка o(v), можно записать следующую линейную краевую задачу:
5т
дх'
дТ дх
) дх
fd\(dT\ дкд2Т дКдТ ,„.-„ дС дТ дС дТ „ ич2
—d — + + + ЬпЬ"х (ЬпУ +
дТ2{дх) дТ дх* дТ дх дТ дх дТ 5т

+b b x \v" +
дТ дх
к от
.дТ
дТ
дТ
К— + 2bnS - 2СЬ— + СЪпх— I х
дх дт дх.
,„ гЖдУп п
-Ъ *С-——vw,
дх дТ
vn =vn(x,i),xe(0,\), те(0,т;Ц
оя(т,0), *е[0,1], И = ГЛГ,
(3.3.20)
(3.3.21)
dvn , . дкдТ п. . „
-к—_(0,т)-— — у (0,т)=<71
а* 6Т од:
I дТ
те(о,а n=i,jv,
(3.3.22)
5и
3*
^dr + dH_b„]v„=H
дТ дх дТ
АЬ» -)?Zlv*di
I дТ w
-Aq0bn,
те(0,:Ц и = 1,ЛГ, (3.3.23)
Линейная часть приращения функционала dkm(g) принимает
вид
Adkm = X
л=1
, ,_„N5Am(<7n) , /-ЛчЗЛл(<7л)
дТ
дТ
vldx +
+hk(9nbnm»bm(94inm»tenmy
(3.3.24)
Применяя подход, предложенный в [210], вводят расширенный
функционал Лагранжа для функционала d^m^Q:
11
L = ^Lx, (3.3.25)
т=1
Li = Adkm.
N 1
n=l0
^ = Zj(^(».') + |f»(o.^C<^.

— 'I
/a,.\"
«=1 0
8V
\oxJw
n=lQO
Гзя,„ дХдТ\ п u
5Г дТ дх) m
„.2 dv . д v
5т З*2
'2*?L + Kb*?Z + b*b*zc)x
дТ дх дт j дх
dvn (aV~-42
дТ'
dTY дХ д2Т
дх) дТдх2
п дТ , s-йп дТ\
дх)
+ дКьП дТ + ьп6пхдСЖ_дСдТфп2 +SS_bn\n\xd
дТ дх дТ дх дТ дх дТ ) )
П л
^ = tll<j*M[Ki!x-+2bns-2Cbndi+cb'
п=\00 VV а* ох
}0дТ
п
п=\ о О б1
п
N Tm X0r)V
L8 =-I Unkmb)mg\p)№Z,d^,
4 я ndTdV ПЛ
- b xC v"
дх дТ m
dxdt,
п=\ о
h = Y 1 кГ М(к— + 2Ь"5 - 2Cbn — + Cbnx—\bndxdx
t?<il \ дх дх дх
n=l О О
дх)
^0=-th"kJ^?MAbndx,
I.
ЬП = I }ynkmWmgn,Р)ЬЪП + Aq*b*)dx,
n=\ о
Неопределенные множители т\£ , £>%т' ^?km' ^fe находятся из
условия стационарности функционала (3.3.25): 8L = 0.
Учитывая соотношения:

— (ZrCv|/z>) =bz v\\i -b bx\\iv + bzC — v -bC — bxv +
dx dT дх дТ дх дх дх
t.2^ dv ,„ dv ■ • db dT ,-
+b C\\j oGiy — bx + lbb\yv - 1 Ьхц/v,
дх дх дТ дх
— (ЬКц/v) =b v\y + ЬК—^v + ЬКц/—,
дх дТ дх дх дх
д (. ЭгЛ , d2v дХдТ dv . дц/ dv
—\Хц1 — = Ал|/ 1 \\j 1- к ,
дх\ дх) дх2 дТ дх дх дх дх
д (дХ
(3.3.26)
(3.3.27)
(3.3.28)
дх
дХдТ \ д2Х(дТ\2 дХд2Т дХ дТ dv
v\j \ = — \iiv + —\iiv + ш— +
дТ дх ) дх2\дх)^ dT дх2 дГ ах дх
дХ дТ 9vj/
+ v—-
дТ дх дх
(3.3.29)
Ol ОХ ОХ
преобразуем выражения для L$ - Lg следующим образом:
I* = f.l \{~— (Ьп)2Сц," vn + СЬ2 ^"-v" +Cbnbnxd^vn
-bnK-^vn +2ЬпЬ"Сц>? vn -2 — — Ьпхц,2 vn +
дх km дТ дх km
ат т km qx T km av p,v ят a-r T km
dT
+bnKW%mvn)))dxdi = X
n=\
Xxii'. .. „ .
hm "■■ ■=■- dT dx
-)(bn)2Cynkmvndx\f +
n
km dx
N
( 1
f
V 0
+ l\\c(bn)2^^-vn + Cbnbnx^^-vn +Xd-^km-vn +
ll{ * дх дх2
Ъпщ* v» -2 — — Ъпху1 v" -bnK^2Lvn +
Y*M dT dx Ykm dx

*« - -f ]k.<*<*£+2« -**• i - <*■*£
/" т Л
fdV n
- —v'^dt
\ о
+ b'xC v"
дх Ж m
di =
N
r4i (
= 1
n=\
\avn
об91 L« l ^ ^ 5*J
rdV" „,
ST
\
dxdt +
J
f П )<iK— + 2b"S - 2Cb" — + Cbnx^-]d,^Lr^dxd, -
J *Ч дх дх dxf дТ *
00W,
Уг,„ „dTdV „. .
- J Jb"*C :—v,.4xdi
дх дТ
Ы
я=1
5Г
«=io 0 dl
" v" ( x t ^
-11 hm^U^vZd, i, +
, o51 It-
n=\ 0

N
= 1
( т" (
V
VTm
dt dx +
т" t I
lm т ЛТЛ"
°u>
Приравняв к нулю коэффициенты при вариациях независимых
3d"
переменных vn(x,i) и Сс,т), получим систему условий:
дх
1) при bvn (х,т):
,«)2 J^fem. + X_JLkm_ _ cbnbnx_Zkm_ _ bnR
di дх2 дх
C(b
km _ un jr T km
dx
WCv,L-2^f^n"m=0,
+(Ьп)2^-ц,пь +2ЬпЬпСц,пь -2 — —
ЙГ *"• fem дТ дх
2) при 5^*0:, тт):
3) при5и"(0,т:):
й;л
^(T)lf(0,т)+"^(0'т) -if v^(0'T) -ь"^ь,„(ол)=о
4) при 8 — (0,т):
5) при 5и£:
, Зй aAfe „ , /ЗН,„ дкдТЛ .
дТ дх ^km)w
&*1
km
дх
+~(vL)S + «4'L)Sb" +

dV_
ж
- ) [< (к— + 2bnS - 2СЪп — + Cbnx—]dxdx +
x".0
n *
dv" \, n яч, ay" > „ „, dvn г „ ,• 5г
t т О
6) при 5
'*L)".
k = \,Np, m=\,Mn, n = \,N,
Из условий 1-6 записывается линейная краевая задача для
ц/!| (х, т), которая является сопряженной к задаче (3.3.20)-(3.3.23)
[87]:
_c(b«)2_ii™.
= л
aV
^- - СЬпхЬп ^-^- - ЪпК km
Эх1
дх
дЬ" дТ,п
дх
+(Ьп)2 ^ц," +2ЬпЬпСц,пь -2
dTvkm Vkm. дТ дх
b"*4»L.
km'
Vkm =Ч/£т(ж,т),А: = 1>Мр, m=\,Np, n = \,N,
t e [0,т*),*е (ОД
аш?
(Ол) + Ьп/Сч/^(0,т)=01
Э*
те[0,т"), k = i,N„, m=i,Np,n = i,N,
(3.3.30)
(3.3.31)
(3.3.32)
-X
*¥l
п ^n 1
Э*
гП T 1
+ Ё^ ГГ,,» (K^ + 2b»S-2Cb»^ + Cb»x^)lxdi +
ят J J T «m я^ Ят яж J
дТ
т"0
ад:
ат

г» Т
'П Т
+^- W!m(°.^-|r J(<>£"* =
k 8T m dT ,
(3.3.33)
Затем рассматривается линейная часть приращения
функционала dkm (£) (3.3.24). Очевидно, что второе слагаемое не вызовет
сложностей при дальнейшем анализе, поэтому преобразовывается только
первое (обозначаемое как J\):
dWkm
*-QUj
-ъпк(уктп)1+Щ:ъпь]>ктп).ЪК +
1
*r J дх
дТ
dv
о
n t 1
f U" (k— + 2bnS - 2Cbn — + Cbnx—)dxdi -
8T „i \ dx dx dx J
dV
n \
dV
n \
+ Ъ- \<m®>^d^-h- Kj^
dT
N
11=1
л
dT
]ЩъЧчкп)Ъ -K(Wkn)nwbnyy,+
tii
= J J— \X^-^- dxdx+ ]bnKxVnkmif),x)bnvn{0,x)d^ -
00
dx\ dx
№ы*ъ+»-*-™ь<»*ъ>-
1 ж N
0
dx
vV.dtdt.
Рассмотрим отдельно второе слагаемое как J\2'-

я-1 о О дХ^ дх У
-Z/J
дТ дх дх
d\L ..bvLdv")
km ,\ T km
дхА
дх дх
dxdx =
^**\[дТдх дх
я=1 О (Л
-и" + *.-
Зж Эх:
5ш? 5ш"
+СЬ"Ь« _I*m.0« +ЬпК- ы
дх
дх
(ЬП)2|Ч,^)^-2Ь^"Сч,^г'П +
дЪп дТ п „ „
+ Схц/. и
ЗГ 3* fem
dxdx =
-Z/J
n=lQO
г;" +Я. ' кт ятп +С(Ь")2 fem-"
их дх
дх
Пт +
,ял2?£ЭГ и Гп
дТ дх fem
,56" ar
^пу^^п^п _2bnbnCxvnmVn +2^_^_сп„п +
km
V2bnbnCMfnkjvn - 2
дЬп дТ
дТ дх km
дСдТ
дТ дх km
Cxyl v" -Ъп— — Ьяху? vn -
дТ дх
дт>" ■ дш" . дш" .
-6пСц/" —Ьпх - bnCvn —^-bnx + bnC—^-bnxvn +
km
дх
дх
дх
ti'i^t" - (Ь")2 —v)/" dxdx - Т \—((Ьп)2Сц,? vn)dxdx =
дх дТ ы Цдх km
J U U
= ^]\и^э^иП+кд^д^д^д, vn_
L-t. i J ят я^ я-v я-v Лт ятяг и ■
п=1 оо
дТ дх дх
дх дх
дТ дх
^"CxV"—bnx^bnC^^bnxvn+bnKd^^-Vn -
km
дх
дх
дх

-(bn)2§HC*n+^yf+(2§^f+ьпк + ьпь"хСук,
dvn
dT TRm" ■ "TRm dx2 Л"бТдх '" " —fkm dx +
( =2
д2\(дТ\ дкд2Т гПдКдТ ,,„.2дСдТ ,пдСдТ,-„
—- — + 7г + Ьп (Ь ) + Ь Ьпх +
дТ2\дх) дТ дх2 дТ дх дТ дх дТ дх
+<ьп>2|)п>п
dxdx +
ыЪ\
К— + 2bnS - 2b—С + С — Ьпх
дх'
z J к
п=10 0
£ill ""К дх дхдТ дх )
Abndxdx
ыЪ\
dTdV"
x)—-vwdxdxdx - 2, J )bxC-—— vwdxdx
дТ
дх дТ
о "* п=1 о о
Первое слагаемое (обозначим как /121) после приведения
подобных членов принимает вид
£.т7г(дХ дТ d4>km п дХдТ „ dvn д2\(дТ\2 п п
л=1()0
дТ дх дх
дТ дх
дх 972 ^ дх J
дхд2т п п dynkmdvn дХдТ п Sd" „ а2^"
+——-vbmv + ^———+ ——ч'*т-г- + Л-ч'|~—— +
sra^Tfem
+ v)/
и* йг дТ дх
km
дх
Ы 2
дх
+bnK^km_vn +ьпк^_ п +ьпд£дТ_ ,, „
дх дх km дТ дх km
dxdx =
J
SlJ
л=1()0
д_(д^дТ_ п vn]+d_
дх[дТ dxWkmV ) + дх
. „ dv
Vkm дх ^
dx
+ ~(KbnvnWnkm)
dxdx
Вернемся к рассмотрению линейной части приращения
функционала^^):

dkm(0 = tj{bn ^km»l ~bnK(Wkm)Zvg +
+ЬпКупкт(ОМ®,т) + ^(O,x)«7f J^-Л -
-<ч»ы>»я)^-°> -^L<°'t>t~(0't> -bnKvnkm(o,T)vn(o,*)
0
+6"tft>£(Vto,)S,W' +
t" 1
+ 1 \чИ*М K~ + 2bn-5 -2bn—C + Cbnx—\bndxdz +
+hkhmAxn =
П
n=\ о
ar
ar
ЭГ&е
-Жч/^^ДЬ" +Ь*(^т)£Д,7оп -
-4/L(°.^f J&^ - -у/ы (°.^i" J^** - (Vfa,)iff +
dT
дТ
hdT dx
bVkm)lv£\d* + Jvi/^CO.T^fWAb^x +
т 1
+ f Гч»?„(* — + WS - 2Cbn — + Cbnx—)Abndxdt + hkhmAi =
Jj tal dx dx dx) k m
= £ JJ^lVL^.^r^" -#(v|/fera)£Abre +bre(4/fem)2,A<7on)dx +
«=l0 0

П j
У f f X— + 2b"5 - 2Cb" — + 2Cbnx — Abndxdx + hkhmAx
п=1оД dx & dx)
Отсюда следует [87], что
(dkm(Q)\n =hk{gnUnm))hm(g4inm)),n = \N,
t" 1
li
oo
(3.3.34)
r l
Мы®)'*, = ]hkJx^
K?H + 2b"S - 2Cb" — + Cbnx —
dx dx dx
dxdx 4
+ (?lV;j°.^ -H^kJ^dx, n = i,N,
(3.3.35)
иы®У<г=ьЧу)5„
(3.3.36)
где \|/Г (x, x) является решением краевой задачи (З.З.ЗО)-(З.З.ЗЗ).
Для реализации алгоритма (3.3.7) необходимо также
выражение для (e?fem(£))'ri, получаемое аналогично [32]:
У*и©)> = }b4v)nwdx.
(3.3.37)
Теперь, подставляя (3.3.34)—(3.3.37) в (3.3.10), вычисляют
градиент минимизируемого функционала Ф'?(Е). Следовательно, может
быть реализован итерационный процесс (3.3.7).
Для выбора параметра спуска a s, где 5 — номер итерации,
можно использовать следующий подход, основанный на методе золотого
сечения [87]:
1) Выбирается допустимая конечная допустимая конечная
длина шага спуска As > 0 ,as е [0, As], где As определяется из условия:
As =mm{(AiyXAnqy,(Anby,n = :[JJ},
(АпхУ =max{((x£ -Ьит)У (Ф'. У(.£,),«*"тУ -хпт) (Ф'п У®,}
оя(т)-(7ои)5(т) 07ои)*(т)-Ря(т)
(А*У =max
(Ф'^)*® (Ф'^ГОр

(*"V „„„[fl"-(b")40) (Ь")д(0)-ся(т)
(.Л,; = max^ ,
Ь [ (Ф'ьпУ(£) (.Ф'у)ЧО
Полагается 8Г = 0, уг = As, г = 1.
2) Вычисляется
\т =5Г +(1-р)(уг -5Г),
ц, =5Г + р(уг -8Д
где р=0,618033989.
Вычисляются
Ф(уг)=Ф(5* + уг(Ф£)*©)
и
Ф(цг)=Ф(£* + цг(Ф£)*(£)).
3) Если (уг -&r)/As <e , где ех априорно заданная точность
итерационного процесса, то остановиться, as е. [Бг,уг]. В противном
случае, если Ф(уг) > Ф(цг), то перейти к шагу 4), а если
Ф(уг) < Ф(цг), то к шагу 5).
4) Положить 5r+1=vr, yr+1 =yr, vr+1=nr, цг+1=5г+1 +
+(1 -p)(yr+i -5г+1). Вычислить Ф(цг+1), перейти к шагу 6).
5) Положить 5г+1 =5Г, уг+1 = цг, цг+1 = цГ) vr+1 =5г+1 +
+(1 -p)(yr+i -5г+1). Вычислить Ф(уг+1) и перейти к шагу 6).
6) Заменить (г + 1) на г и перейти к шагу 3).
Таким образом, для определения шага спуска as приходится
г + 1 раз решать прямую краевую задачу (3.3.2)-(3.3.6) (г - номер
итерации, на которой выполняется условие 3). Следует также
отметить, что метод золотого сечения является не единственным
способом определения шага спуска [87], таких как дихотомический поиск,
метод Фибоначи т.д.
Очевидно, что описанный в настоящем параграфе алгоритм в
основном может использоваться для оптимального планирования
стендовых испытаний, проводимых на специально созданном для
этих целей экспериментальном оборудовании. В случае натурных
испытаний вопрос о выборе оптимальной толщины анализируемых
образцов вряд ли может иметь практическое значение. По-видимому,
в большинстве случаев толщина рассматриваемой системы
определяется конструктивным исполнением исследуемого объекта.
Оптимальный план для таких задач принимает более простой вид

S={Tm,<7oto. n = i,N),
(3.3.38)
и включает только продолжительность и величину теплового
воздействия. При этом, если рассматриваемая система выполняется в виде
однослойной пластины, то для нее справедливы все результаты,
полученные выше. Сложнее обстоит дело с многослойными системами.
В данной работе рассматривается следующая модель теплопереноса
в многослойных системах применительно к задаче оптимального
планирования: тепловых экспериментов, проводимых в условиях
реального функционирования систем:
дТ,п я
С?(Т)—1-= —
1 дх дх
дТ.п | дТ,п
\пЛТ)—!- +K?(J)—!- + SHT), (3.3.39)
1 дх ' дх '
7)" =7/4*.т), х е СУД,У/*), l = \,Ln, У0и =0, У£ =Ьп(т),
те(0,т£], n = \,N,
Т»(0,х) =7^(г), х е [УД.У,"], / = 1, £„, и = 1,ЛГ, (3.3.40)
(3.3.41)
-Ч(1гТ =2^^">Pfe "?oW, те(0,т£],п = Гй (3.3.42)
t
Ьп(т) = Ьп(0)-JV"<fx, n = \,N,
dT.n
-XI —Мо.т) =q?(t), t 6 (O.tJJ,], n = 1,ЛГ,
0
-X1
ияг/ЧуДт) _ я&СУ-.т)
&t
= Х'
/+1
5л:
те(0,т£],/ = ип -1, п = 1,ЛГ,
-X1
&Е
Я/ЧГ)=Г/'(У/\т)-7Д(У/\т),
t6(0,t^],/ = 1,JL„ -1, я = 1,ЛГ,
(3.3.44)
(3.3.45)
где L„ — число слоев в исследуемой системе в я-ом эксперименте; / -
номер слоя.

Тогда краевая задача для сопряженной переменной принимает
вид:
г, Зш* 32ш?. Зш*
,п\2пп T/ftm _ л п T/fem unKn ^m i
-4re)2c;
Эх'
' з*2
дх
эг
дх
х е (0,1), те (0,0,/ = !,£„, га = 1,7V,
У? = Г/П -У,_г 'Г =0, /=1,1„ -1, ^ = *Ьп(т),
-X'
Эя
^1,
^ Ц,кт
дх
+ КЬпУц,(УLJm)» ~
J w
те(0,т*], f = U„-l, n = l,/V,
*Г
дх
-(1,т) =
1 + -*--г^-(1,т)
v
У[
» 5л:
эг
/
^L.a^-wL *„(m».
l+i,k,m
те(0,т£], f = l,L„-l, п = 1,ЛГ,
(3.3.46)
(3.3.47)
5ш"
" ikm «>,■[) +у?КГц," (0,т)=0|тб(0,т^],я = 1,^ (3-3.48)
"У? Й^^/к(ч»!„*«)£ =0,те(0>т^,я = 1,^, (3-3.49)
1" 7?" 9u/n
/+1 / Y/+l,fe,m /п Л п (а \ п (г\ \
п te (0't)=4'/*m(t'T)-4'/Hik,«(0'T)'
У/ ох
(3.3.50)
(3.3.51)
Формулы для градиента функционала (3.3.34)-(3.3.36)
остаются неизменными.
В некоторых случаях исследователь не имеет возможности
управлять непосредственно тепловым воздействием на анализируе-

мый объект. Управление осуществляется за счет изменения
некоторого параметра 9 так, что
qg =<7o(9>. 9=9(т),
9" еС0[0,т*], 9f <9"(т)<92"(т), 9f < 9n(x) < 9f (x), (3.3.52)
где 9", 9"(т), 9", 9f (x) - максимальное и минимальные ограничения
на искомое управление и его производную соответственно. При этом
в качестве 9 можно рассматривать мощность экспериментальной
установки, температуру газа в потоке, скорость набегающего потока
и т.д.
В таком случае градиент минимизируемого функционала Фд (£)
принимает вид
M=MM = 6»(lFta)^. (3.3.53)
тп &7о двп тп
Аналогично (3.3.37) можно показать, что
d-^=)b4vkmVj^. (3.3.54)
дВп Jx 59"
Таким образом, окончательно можно констатировать, что для
поставленной в §3.1 задачи оптимального планирования удается
построить достаточно эффективный алгоритм, основанный на
условных методах оптимизации. Важным фактором является также
существенное сходство алгоритмов, приведенных в настоящем
параграфе, с алгоритмами непосредственного решения обратных задач
(§2.4), что позволяет разработать унифицированное программное
обеспечение.
3.4. Математическое моделирование и оптимальное
планирование тепловых экспериментов
Заключительный параграф третьей главы посвящен вопросам
совместного использования алгоритмов решения обратных задач и
оптимального планирования. Как и во второй главе, основным методом
исследования остается вычислительный эксперимент. Все
математическое моделирование проводилось для углеродоподобного материала,
свойства которого представлены в §1.2, §2.3. Рассматривались
однослойные образцы материала. Планирование проводилось для
последующего определения интегральной полусферической степени черно-

ты и теплового эффекта сублимации (см. §2.3). Неизвестные
характеристики аппроксимировались кубическими В-сплайнами.
В краевых сопряженных заделах (З.З.ЗО)-(З.З.ЗЗ) все
уравнения остаются неизменными, за исключением (3.3.33), которое
принимает вид
дТ
(
К
гп\1
Р
дТ"
дх
\Ьпх ——dx + —
I дх дТ
+ 2bnS-2Cbn — -C-«,m'n
+ -
G„,
А"
-X
M
дТ
2>fecpfe(r)
[дук. > ' "•
дт
I
dxdi +
d_
дТ
p dx
ГгпЛх
V РЛ<
X +
а(Г")4 +
2* -
G"(x) -
дх
/Xi)
ч*=1 л *=1
+£о*^5
fc=1
дТ
\ (
/
дТ к дТ к
J
те(0,т*], n = l,N,
(3.4.1)
где
К-<
-■п\4
$ko(T£)\k<Ne
флО£, Ne<K<Ne +NQ=Np
Выражение для градиента минимизируемого функционала
остается неизменным.
Анализ оптимального планирования тепловых экспериментов
осуществлялся следующим образом. Решалась задача оптимального
планирования для математической модели (2.3.1)-(2.3.6) в
условиях минимальной информации как по числу измерений, так и по
количеству экспериментов. Начальные значения планируемых
характеристик и их значения на отдельных итерациях решения задачи
оптимального планирования приводятся на рис.3.4.1 и в табл.3.4.1.
Затем для отдельных значений планируемых характеристик (получен-

0,2-10
%2
0,2-10
/
— .4
"/
6
-—ч-. •.
"I
о
25
Рис. 3.4.1. Решение задачи оптимального планирования: 1 — верхнее
ограничение; 2 — 0-я итерация; 3 — 1-я итерация; 4 — 10-я итерация
detD
0,1-10
32
Рис. 3.4.2. Итерационный процесс: 1 — detD, 2
зависимости от номера итерации
- 8., 5 - 8л в
0,5
*>
/
а
х -2
о -3
+ -4
1500
2500
да
0,2*10
6
х -2
о -3
+ -4
2800
3150
Рис. 3-4.3- Решение ОЗТ: 1 — при исходных значениях; 2 — 0-я
итерация; 3 — 1-я итерация; 4 — 10-я итерация

ных на различных итерациях решения задачи оптимального
планирования), решалась обратная задача. Соответствующие результаты
решения обратной задачи представлены приведены на рис.3.4.2.
Значения критерия оптимальности и относительной точности
решения обратной задачи в зависимости от номера итерации
представлены на рис.3.4.3.
Таблица 3-4.1
Нижнее
ограничение
0,04
0,04
10
10
Верхнее
ограничение
0,06
0,06
50
50
№ итерации
Характеристика
Ь1(0)
Ь2(0)
xL
^
о
0,4
0,4
20
20
2
0,485
0,485
29,3
30,4
10
0,487
0,489
29,7
30,6
Проведенное моделирование показывает необходимость
предварительного планирования эксперимента. В противном случае не
исключена возможность получения результатов, не имеющих ничего
общего с искомыми характеристиками.

Глава 4
АЛГОРИТМЫ ИТЕРАЦИОННОГО
ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ
ЗАДАЧ И ОПТИМАЛЬНОГО
ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРМЕНТОВ
При проведении расчетно-экспериментальных исследований
процессов нестационарного теплообмена на поверхности тел в ходе
обработки и интерпретации экспериментальных данных в
большинстве случаев возникает необходимость решения задач теплопереноса
в нелинейной постановке, что требует привлечения численных
методов решения.
В данной главе рассматриваются вопросы разработки
вычислительных алгоритмов и построения соответствующих компьютерных
программ, предназначенных для численного решения обратных
задач и оптимального планирования экспериментов. Предлагаемые
подход основывается на введении в рассмотрение обобщенной
математической модели в виде краевой задачи для нелинейного
параболического уравнения второго порядка в одномерной по
пространственной переменной многослойной области с произвольными
граничными условиями на внешних границах (§4.1).
Одним из наиболее универсальных методов численного решения
краевых задач в одномерной постановке является метод конечных
разностей. Этот метод и используется в данной монографии при
построении вычислительных алгоритмов.
Коэффициенты математической модели при решении краевых
задач вычисляются путем линейной интерполяции таблично
заданных функций (§4.2), что существенно уменьшает время вычислений.
Если исходные табличные данные задаются с большой
дискретностью, предварительно осуществляется их интерполяция
кубическими сплайнами с целью построения таблиц пригодных для
последующей линейной интерполяции. Вопросам конечно-разностной
аппроксимации обобщенной математической модели посвящены §4.3,§4.42.
Отдельно, в §4.5, рассматривается проблема решения нелинейных
уравнений теплового баланса на поверхности совместно с
конечно-разностной аппроксимацией дифференциального оператора
теплопереноса. Вычислению различных функционалов от решения

краевых задач, получаемых в виде сеточных функций, посвящен
§4.6.
На основе анализа всей совокупности вычислительных
операций можно разработать единое для решения обратных задач и задач
оптимального планирования математическое обеспечение, принципы
построения которого изложены в §4.7.
4.1. Анализ вычислительных алгоритмов
При численной реализации итерационных методов
приближенного решения обратных задач и оптимального планирования на
каждой итерации процесса последовательных приближений необходимо
решать краевые задачи параболического типа в многослойной
области, которые различаются лишь выражениями для вычисления
коэффициентов параболических уравнений и граничных условий. Данное
обстоятельство позволяет использовать в качестве основного
составляющего элемента вычислительного алгоритма решения обратных
задач или задач оптимального планирования численное решение
краевой задачи для обобщенной математической модели,
охватывающей все рассматриваемые краевые задачи [61]. При таком подходе
общую последовательность вычислительных операций, которые
необходимо проводить на каждой итерации последовательных
приближений, можно рассматривать формально, оперируя только с
коэффициентами обобщенной модели.
Итерационные алгоритмы решения обратных задач и задач и
задач оптимального планирования строятся по единой схеме,
включающей в себя несколько последовательно выполняемых на каждой
итерации однотипных вычислительных процедур, каждая из
которых формально может быть определена следующим образом
(рис.4.1.1):
1) формирование некоторого дифференциального оператора
параболического типа (вычисление коэффициентов);
2) решение краевой задачи для параболического уравнения;
3) вычисление функционала от решения краевой задачи
(обычно путем интегрирования по некоторой подобласти определения
дифференциального оператора).
Приведенная вычислительная процедура, состоящая из трех
подзадач, выполняется несколько раз на каждой итерации в
зависимости от типа решения решаемой задачи и метода решения.
При решении обратной задачи на каждой итерации
последовательно решаются: прямая краевая задача и вычисляется градиент
функционала; сопряженная краевая задача и вычисляется градиент фун-

+
II
Задание начальных
приближений S = О
1. Вычисление
коэффициентов
1-го диф. оператора
2. Решение 1-й
краевой задачи
1-я
процедура
3. Вычисление
функционала от
решения
-1Й задачи
3. Вычисление
коэффициентов
д-го диф. оператора
т
2. Решение д-й
краевой задачи
д-я
процедура
3. Вычисление
функционала от
решения д-й задачи
Вычисление
^решения
на .У-й итерации
Рис.4.1.1. Итерационный процесс

кционала; задача для вариаций температуры и вычисляется глубина
спуска (т.е. выделенная вычислительная процедура выполняется
трижды).
При решении задачи оптимального планирования сначала
решается сопряженная краевая задача, после чего вычисляется значение
градиента минимизируемого функционала, а затем решаются
прямые краевые задачи и вычисляются значения минимизируемого
функционала в процессе одномерного поиска глубины спуска.
Следует также учесть, что численное решение всех типов
краевых задач в общем случае может осуществляться на различных
конечно-разностных сетках. Однако при этом возникает
необходимость введения целого ряда дополнительных операций, связанных с
интерполяцией достаточно большого числа сеточных функций.
Учитывая, что при решении сопряженных задач в местах
установки термодатчиков имеет место разрыв первого рода производной
решения, а при решении прямых задач на границах слоев - разрыв в
температуре, удобно представить исследуемую неограниченную
пластину в виде конечного числа пластин с разрывами в решении и
производной решения. Пример подобного подхода показан на рис.4.1.1.
Представление исходной системы в виде многослойной и введение в
ее состав «фиктивных» слоев с границами, проходящими через
точки установки термодатчиков, позволяет рассматривать все три
задачи в одной и той же многослойной области с достаточно общими
условиями энергетического сопряжения между слоями в каждой
задаче. Это делает весьма целесообразным использование одной и той
же разностной сетки для всех краевых задач.
Краевая задача для уравнения параболического типа,
охватывающая все рассматриваемые случаи, после преобразования координат
записывается следующим образом (для одного эксперимента):
дТ, д
( ят. \
дТ,
дТ,
СП ОХ \ OX J ОХ
+Р[ (7), х, т)7} + Si (Tt ,х,х)=0,
T=T[(x,t), xe(0,\),l = \JL, те(0,тт]; (4.1.1)
Т1(х,0)=Тю(х), 1 = \Х * е [0,1]; (4.1.2)
в0 (7-1 (0, т), т) а7\(°'т) + Ь0 (7-1 №. *>■ ОГ, (0, т) = dQ (т),
ох
те (0,тт];
(4.1.3)

Рис.4.1.2. Представление исследуемого образца

aL (TL (1, т), т) 57\(1't) + bL {TL (1, x),x)TL (1, t) = H(TL (1, т), т),
ox
те(0,т,„]; (4.1.4)
сц(Ji(1,t),t) dTi^'T) + bt(Г, (1,t),x)Tx(1,t) +
ox
+d, (7}+1 (0, т), t) ^^ + Л (7}+1 (0, т), т)Г,+1 (0, т) = щ (т),
dx
l = \,L-l, т€(0,тт]; (4.1.5)
9l (Tx (1, t) , t) <Иф± + A, (7\ (1, t) , т)Г, (1, t) +
ox
+et (TM (0, т), x)TM (0, т) = о, (т),
l = \,L-\, T6(0,g, (4.1.6)
где L — полное число слоев в системе, т.е.
L=Y.MUn +Ln -1 =-£я. n=\,N.
В уравнениях (4.1.1)-(4.1.б) индекс номера эксперимента п
опускается, т.к. каждую краевую задачу для отдельного
эксперимента можно рассматривать изолированно (см. гл. 2 и 3).
Постановка задачи (4.1.1)-(4.1.6) является весьма
универсальной и охватывает большинство возникающих на практике расчетных
случаев. В каждом отдельном случае конкретизация задачи
достигается за счет задания соответствующих коэффициентов С/, X/, Q/, р/,
S[, I = \,L в уравнении (4.1.1); a/, b/, dt, со;, д:, fy, et, v{, I = \,L - 1 в
(4.1.5), (4.1.6), fl0, b0, d0, aL, bL, H в (4.1.3), (4.1.4).
При таком подходе не накладывается никаких ограничений па
способ задания коэффициентов и может быть построен
универсальный конечно-разностный алгоритм решения краевых задач,
основанный на модели (4.1.1)—(4.1.6).
Остается добавить, что вычисление некоторого функционала от
полученного решения может быть записано в общем виде как
Q = X2 j jk(TiOc,-t))dxd-z, (4.1.7)
где В?, tn - некоторые замкнутые подмножества, В" с [0,1],
tn е(0,т?й], /е[1Д„].

Таким образом, при анализе вычислительных вопросов
построения алгоритмов параметрической идентификации и оптимального
планирования можно ограничиться рассмотрением только
выделенной выше процедуры, состоящей из трех, пунктов.
4.2. Аппроксимация коэффициентов дифференциального
оператора параболического типа
Рассматриваемый дифференциальный оператор (4.1.1)-(4.1.6)
является нелинейным, поэтому его коэффициенты вычисляются в
узлах разностной сетки параллельно с решением краевой задачи.
В общем случае коэффициент дифференциального оператора
может быть представлен как
Z=Z(74*,t),*,t), (4.2.1)
где под Z понимаются Q, X[, Q/ и т.д. Для рассматриваемых
краевых задач коэффициент Z можно записать в виде комбинации
функций зависящих от одного аргумента
Z = Я ftz,(n*,T))ff Zm(x)f[zn(x) j. (4. 2.2)
* = V=1 1И=1 Л = 1 ,
Так как в постановке задач идентификации и оптимального
планирования (§1.5) отмечается, что теплофизические характеристики
зависят только от температуры, вычисление функций Zm, т = 1, К-^,
Z„, n = \,Кзк, k = \,KZ производится при значениях аргументов,
соответствующих предварительно зафиксированным узлам разностной
сетки (о наборе и построении разностной сетки будет сказано ниже).
Поэтому при реализации алгоритма эти коэффициенты вычисляются
по расчетным формулам независимо от решения краевой задачи.
Сложнее обстоит дело с функциями Z[, l = \,К^ ,k = \,Kz
зависящими от значений решения краевой задачи в данном узле
разностной сетки. Ввиду того, что эти коэффициенты обычно
вычисляются по достаточно сложным (в вычислительном отношении) явным
формулам или аппроксимационным зависимостям, в данной работе
используется следующий подход:
а) на априорно заданной области определения сомножителей
Z;:[7',max,7,,min] вводится разностная сетка
ш, ={TS =7}min + sATh s =0,...,shATl = (7)max -T{min) / S[}

причем число узлов (s[ + 1) выбирается с учетом характера
поведения функции Z/(T) (ее монотонности, гладкости, темпов роста и
т.д.);
б) до начала решения краевой задачи для рассматриваемого
дифференциального оператора вычисляется значение функции в
узлах Ts, s =0,si по явным формулам или с использованием каких
либо интерполяционных (например кубическими сплайнами)
зависимостей;
в) при решении краевой задачи на каждой итерации в каждом
узле разностной сетки имеем значение Т. . Для вычисления Z/
используется линейная интерполяция как наиболее экономичный (в
вычислительном отношении) вид интерполяции, если Т.1 e[Tj,T=],
О < I < 5 < 5/ТО
Z,(r/) =Z,(7V) + ZliTl)llliTl\T/-W. (4.2.3)
Погрешность при вычислении коэффициента с использованием
линейной интерполяции равна
S=Si +82. (4.2.4)
Здесь 81 - погрешность вычислительных функций Z/ -
погрешность ВЫЧИСЛеНИЯ фуНКЦИЙ В узлах 7^,5=0,5;,
»2 =^-(Т/ -W2, где \ е [7>,7=] или 82 = 0(Д7}) [69].
4.3. Конечно-разностная аппроксимация
дифференциального оператора
ТУТ
В общем случае наличие в операторе (4.1.1) члена Q/ (7), х, т)
дх
требует при построении конечно-разностного решения применения
дивергентных монотонных схем аппроксимации [243]. Построение
конечно-разностного аналога дифференциальной задачи
осуществляется по отдельным слоям, а сопряжение, решений в соседних слоях
проводится с использованием конечно-разностного представления
условий энергетического сопряжения (4.1.5)—(4.1.6). Такой подход
не нарушает однородность разностной схемы[243] и позволяет
повысить точность численного решения при наличии разрыва первого
рода в производной решения на границе между слоями (что
характерно для сопряженных краевых задач).

Используется разностная сетка с постоянным шагом по
пространственной переменной внутри каждого слоя и постоянным
шагом по времени. На каждом слое ш; = [X/_j, Х[], I = 1,L вводится
разностная сетка
)[ = {х{ = Х;_1 + (г - \)АХ[, i = \,nxi +\, Ах = (Х[ - Xi_\)jnx{,
ту =]Ат,]=0,пт,Ат=-ст/пт},
где пТ — число шагов интегрирования по времени; пх / - число шагов
интегрирования по пространству в 1-м слое.
Априорно задаваемые параметры пх /, ят, I = 1, L выбираются на
основании предварительного математического моделирования:
задаются значения коэффициентов задачи (4.1.1) - (4.1.6) и некоторые
значения пх [, I = \,L, nz решается прямая задача, затем значения
пх [, I = \,L, nT увеличиваются и снова решается прямая задача; так
продолжается до тех пор, пока решение не перестанет изменяться
при уменьшении шагов разностной сетки (в пределах требуемой
точности). Исходная разностная сетка приводится на рис.4.3.1.
х 4
X
ы
щ
д*«
ш
I II
\л
х. ... jc b(z) fr(0) х
О ^ .
Рис.4-3.1. Представление разностной сетки
После преобразования координат
т' = г,х' = (х- Х/^ )/(X,m - X£)
разностная сетка примет вид
СО; = {%i = И ~ ОАХ[, i =1,72; +1, АЛГ/ = 1/и/,

ту =/Дт,у=0,пт,Дт=тт/пт}.
Далее вводится обозначение
/
^l =ZK'' +0, JV0 =0,
/'=1
что позволяет использовать «сквозную» нумерацию сетки по
пространственной переменной.
Аппроксимация уравнения (4.1.1)
Опуская индекс I конечно-разностный аналог уравнения (4.1.1)
можно представить в виде [243]
i Tj-i '
,. Т' - 7V - . i
С/-* l—=k] —
1 Дт l Ах
X1. . + Х}. Т} . - Tl X1. + X3. . Т.1 - Г/ ,
1+1 I t+1 t I 1-1 1 1-1
Ax
Ax
Q}+\Q}\ Tl. - T1 X1. . + X1. Q;+|Q;| T} - Т! . X1. + X1. .
. y i 'y t ' t+1 i t+1 t yi '^t1 г г-1 i г-1
2Я> Дг 2
г
2Х/
Дд:
(4.3.1)
-р/г/ +si =o,
rt t t '
где А/ =
Z 1+Re
i i
олдса [243].
Используется четырехточечная чисто неявная схема (рис.4.3.2).
После преобразований имеем
1 ■ |до/|д*
г, Re . = —.— - конечно-разностное число Рейн-
А(Т>_1 - DW + В\Т(_Х = -F(,i = JVM +2,Ni-i,l = 1,1, (4.3.2)
Рис. 4.3-2. Конечно-разностный шаблон

где
А =—1—-(Ь \-Ах]\ (->);
Ах2С>
Ах С'
АхгС1
Аппроксимация левого граничного условия (4.1.3)
Для конечно-разностной аппроксимации граничных условий
используется разностное представление первой производной функции
Т(х, т) по пространственной переменной на трехточечном шаблоне:
3*Jo+o
-Г3; + Щ - ЗГ/
2Axn
(4.3.3)
Используя (4.3.3), разностный аналог граничного условия
(4.1.3) записывают в виде
, -TJ + 4Г2;' - ЗГ/ ,, , •
fl0; 3 ,А2 L + Ь&Т> -d>=0
2Д*!
"О1!
или с учетом (4.3.2) для i = 2
'О
'V7 D; • А; ■
-Л - —- Т' + -2- Г/ + 4Г/ - ЗГ/
В] В1 В1
\
После преобразования получим
D{T( +B{T{
+ 2Ахф$Т/ - 2Axxdi = О
(4.3.4)
(4.3.5)
где

n{
щ
n
= -aJu
(a1 1
^r-3
V. 2 >
( ■' ч
= ^o
—2--4
Bl
t
V L J
i */
= с/ — - lAx^l
I
4
-2Axibl;
Аппроксимация условий сопряжения на внутренних границах
(4.1.5)-(4.1.6)
Для получения конечно-разностного аналога условий (4.1.5) -
(4.1.6) на разностной сетке, показанной на рисунке 4.3.3,
используется аппроксимация первых производных в виде
(4.3.6)
(4.3.7)
— (1,т)
Vdx J
(ВТ N
f-(0,x)
Vdx
гД-2-4ГД-1+згД
-0 2Axl
-T1 + AT1 - 3T1
N,+3 *AN,+2 OA Nt+\
0+0 2Л*/+1
Из соотношений (4.3.2) имеем
F1 D1 В1
JV/-2 Ai Aj 'N,-\ Aj V
F1 D1 B1
ty+3 _ Dj Dj JN,+i Bj ANl+2
"N,+2 "N,+2 "N,+2
(4.3.8)
(4.3.9)
Подставляя равенства (4.3.6) - (4.3.9) в условия (4.1.5),
получим
2Алг,
F1 D1 .
ГЫ,-\ ^Ы,-\ j
А1 А{, Nl~'
ЛЛГ,-1 N,-\
в1 Л
М-1
—
А1
N,-1
Ч-4гА-1+згД
+та,+

<*/
KBNl+2
2 Ax i
N,+2
uN,+2 ^N,+2
"i+2 TJ
+ 4Ч+2-ЗГД+1
(4.3.10)
или
i (d{
2Алг/
N,-\
V "И
<*/
2Алг/+1
Ч+2
JWr1
-4
> Г B{
2Ах,
AJ
■ч
В
N,+2
df l &1
J
2Ax
7+1
ч
ЛЛ+2
V Ni+2
+fl
*/' FA-i
2Д* л; 2A*/+1 Bi
Nt-\ Л
— — + fi)p
M+l
(4.3.11)
С другой стороны, подставляя соотношения (4.3.6) и (4.3.8) в
условие (4.3.5), имеем
. ( ■_, .■ N
•9/
лЛГ,-1
ЛЛ-1
A1
2Axx
+h],Tl, +e]T{, , -d/' = 0,
^-T[t -ATI t +3Tj
A}
N,
M-l
N,
(4.3.12)
или
, »/
2Axie{
{dj ^
AJ
N,-\ t o/
4
-1 +
(
1 */
2A*,e/
4,-1
1Л^,-1
-3
)
2А*/е/ A}NH ej
M-l
(4.3.13)
Тогда
AN, N,-\ ~DN,TN, +BN,N,+1
-F1
Ni'
(4.3.14)

где
K=JL
Ni 2hx,
Ni 2Ax,
DNH
BL 1
h1
"l •
B1 =e]
°w, ei•
J F}
N,
2ДДГ; A J
'Г
Далее следует исключить величину Tj. _. из уравнения (4.3.13)
Т1
4-1
9\
) F1
2А" 4-1
2Алг,
В
w,-i _3
Л'
9i
2Ах,
dL
w
-4
К Wi-1
(4.3.15)
Подставляя (4.3.15) в (4.3.11), получим
9i
9[ FN,-i ;
- Vi
2Ад:, AJ '
J
9{
2АЛ:,
4-1 .
K\-i j
■н
Т}
2Алг/
В
N,-1 _3
<*/
2Д*
ЛЛГ,+2
\
■ч
J
TN, j elTN,+i +
/+i
-3
-f/
9i
T1 -
"/+1 2te
l+\
Dk+2
В
h/,+2
TJ
J,V,+2

.d{
2AxM
F}
rN,+2
в{, n
Откуда имеем
+
2Алг,
F1
Nr
N,
-1
-1
+ и
J
-F}
N,+\'
(4.3.16)
(4.3.17)
где
A'nm^W+W'
Bl
F1
9i
2Алг,
7+1
N,+2
В I, ,
:fl/v/
• »/<//
АУ
rN,+2
2Ал:/+1 s{
Об аппроксимации условия (4.1.4) будет сказано несколько
позже, а пока для законченности изложения положим, что имеется
некоторое алгебраическое уравнение
Ф(Т1)=0. (4.3.18)
Алгебраические уравнения (4.3.2), (4.3.5), (4.3.14), (4.3.17) и
(4.3.18) составляют замкнутую систему с почти трехдиагональной
матрицей.
4.4. Решение системы алгебраических уравнений
В результате конечно-разностной аппроксимации
дифференциального оператора (4.1.1) - (4.1.6) решение исходной краевой задачи
сводится к решению на каждом шаге интегрирования по времени
системы алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:
-d{tI + b{t{=-f{,
I 1-1
D!T? +В!Т> =-F/,
J Z t l + l t '
i = 2,NL -1,
(4.4.1)

Формулы для вычисления А]., В]., D3. , F?, представлены в
§4.3. Данная система алгебраических уравнений наиболее
эффективно решается методом прогонки с итерациями по коэффициентам 243.
Решение системы (4.4.1) ищется в виде
a1iTi}+l+V1i,i=l,NL-l, (4.4.2)
где aJ.,$J., i = i,NL - 1 — прогоночные коэффициенты.
Подставляя равенство (4.4.2) во второе уравнение системы
(4.4.1), после преобразований получим следующие рекуррентные
соотношения для вычисления прогоночных коэффициентов:
В\
«Li=——l—r,i=2,NL-\, (4.4.3)
i it
fI +qj.aj'
P+1= — l—^,i = 2,NL-\, (4.4.4)
t+1 D> -aM
i it
Из первого уравнения системы (4.4.1) с учетом (4.4.2) имеем
о(=Д (4.4.5)
F;
Р4=—■ (4-4.6)
что
Формально запишем для последнего уравнения системы (4.4.1),
7^=Ф-Ч0). (4.4.7)
Таким образом, для каждого /-го шага по времени по формулам
(4.4.3), (4.4.4), (4.4.5), (4.4.6) вычисляются значения прогоночных
коэффициентов а I, р-?. Далее из (4.4.7) определяется ГЛ и затем по
формулам (4.3.13), (4.4.2) рассчитывается профиль Т. , г=1,Л^.
При этом для нелинейных задач требуется организовать
соответствующий процесс итераций по коэффициентам дифференциального
оператора (4.1.1)-(4.1.6).
Подставим систему уравнений (4.4.1) в матричной форме:

MKTOTJ =F'(T'),j = l,nt +1, (4.4.8)
где Т* ={T>,...,T>fL), F(fO={F/,...,F^_1,O-1(0)}, M'(f') -
трехдиагональная матрица.
При решении нелинейных задач элементы матрицы зависят от
искомого решения М1 (Т ]), поэтому для нахождения решения
системы (4.4.8) и применяется метод итераций. В настоящей работе
используется следующая форма построения итерационного процесса:
M;(fy(r-l))f/(г) =FJ(jXr-l))f (4 4 9)
где г - номер итерации.
В качестве начального приближения профиля Т1 для каждого
расчетного момента времени х} задается профиль, полученный на
предыдущем шаге по времени, т.е.
г/(0)=г;-1 (4.4.10)
Относительно Т1 ' система (4.4.9) является линейной и
решается методом прогонки. Останов итерационного процесса
осуществляется при достижении заданной точности сходимости итераций:
jjir) _ rpj(r-\)
<е
->(r-l)
, i=i,NL, (4.4.11)
где е > 0 — задаваемая относительная точность вычисления решения
задачи (4.4.1) - (4.4.6).
Очевидно, что если коэффициенты дифференциального
уравнения не зависят от решения, итерации по коэффициентам проводить
не следует.
В [243] приводится следующая оценка погрешности
полученного решения:
5=0(Дт + Ах2), (4.4.12)
где Ах = тах(Алг;).
/
4.5. Аппроксимация уравнения теплового баланса
на внешней границе
В предыдущем параграфе при описании схемы
дифференциального уравнения методом прогонки предполагалось, что имеется
некоторое решение уравнения теплового баланса
Т* =Ф_1(0), (4.5.1)

при этом алгоритм получения значения TJ. не анализировался:
Наиболее естественным представляется аппроксимировать
уравнение (4.1.4) аналогично (4.1.3), т.е. представить его в виде
ANLTNL-\
(4.5.2)
где
А[
N,
4-1
А?
ANL-\
NL-\
-4
-3
ANL-\
и (4.4.1) в этом случае приняло бы традиционный вид [261]:
-А
Г1 =■
NLPNL
-FL
N,
-D{, + а> A{.
(4.5.3)
Такой подход полностью оправдывает себя при решении
линейных прямых и сопряженных задач, а также задач для вариаций
температуры.
Однако при решений прямых задач из-за существенной
нелинейности правой части (4.1.4) H(TL , т) (например, при наличии
излучения с поверхности образца) в ней присутствует член,
пропорциональный (ГЛ ) ) целесообразно на каждой итерации по
коэффициентам решать нелинейное уравнение
ФЧ)=0'
(4.5.4)
что позволяет существенно сократить число итерации.
Для конечно-разностной аппроксимаций производной от
решения по пространственной координате на внешней границе тела также
используется трехточечиый шаблон:

дТ,
NL-2 NL-i NL
{ дх )и0 2A*L
С учетом соотношений
TNL-2 =aNL~i(aMLTNL +PiVt)+PiVt-l
= aNL-laNLTNL +<XwJ4. +P^-1-
(4.5.5)
(4.5.6)
(4.5.7)
(4.5.5) запишем в виде
дТт
a
а,
NL-i"NL
-4a{, +3
дх )x_q 2hxL
2 Ал:,
лл
=w. + *
Nf
Соотношение (4.4.4) представляется как
(4.5.8)
(4.5.9)
Уравнение (4.5.9) можно решить методом хорд. Для реализации
этого численного метода необходимо выделить интервал,
содержащий корень уравнения (4.5.9). В качестве одной из границ
выбирается
f = (ji )5_1
(4.5.10)
где 5 - ном,ер текущей итерации по коэффициентам (см. §4.3). Во
многих случаях в качестве другой границы можно принять
f = f- Ф(Г)/Ф'(Г),
(4.5.11)
или
f=f- (Я(Г ,т>) - fiyjj - X{g[)/
^(tVw'Vl4
дТ L
При этом должно выполняться условие
Ф(Г) • Ф(Г) < 0.
(4.5.12)

Если условие (4.5.12) не удовлетворяется, то следует
организовать поиск интервала, содержащего корень уравнения (4.5.9):
ft =f+ (-l)*|f-f*|, f = 1,2 f ,
(4.5.13)
где t выбирается из условия Ф(Г) • Ф(Г* ) < 0.
После этого решение уравнения (4.5.9) ищется на отрезке
Т] = min(T,T),T2 = тах(Г, Г) по следующей итерационной формуле:
(7V+1 =(Г1)' -Ф(^1)')Дф((7,1)')-Ф((72)5))х((Г1)5 -(Т2У),
(4.5.14)
где
(Ws =
(Т2У =
(т^у-\Фат^у-ЬФат^у)<о
(т^у-\Ф((т^у-Ьф((т^У) > о
(т2у-\Фат2у-ЬФ«т^У)<о
(т^у-\Фат2у~ЬФат^у) > о
(Tj \5+l
-
(ri, у
< е
rTi у
as- номер итерации.
Погрешность вычисления корня на (s + 1) итерации 5
удовлетворяет неравенству [242]: |8 |< K\8S\ • , где К - константа,
зависящая от второй производной функции Ф(Г).
В качестве критерия останова использовалась слабая вариация
приближения (TJ. )s+ к корню уравнения:
(4.5.15)
где е - априорно задаваемая относительная точность искомого
решения, совпадающая по величине с точностью решения краевой задачи
(см. §4.4).
Известно [242], что метод хорд сходится медленнее метода
касательных, однако в (4.5.14) вычисляется на каждой итерации только
значение функции, а в методе касательных следует находить и
функцию, и ее производную. Вычислительные эксперименты также
показали лучшее быстродействие метода хорд (обычно бывает
достаточно 3 - 5 итераций).

4.6. Вычисление функциона от полученного решения
и некоторые дополнительные операции
Для целей численного интегрирования можно воспользоваться
различными численными методами [242]. При этом должна
обеспечиваться высокая точность вычисления функционала от решения
соответствующей краевой задачи, т.к. большие погрешности в величине
градиента могут привести к отсутствию сходимости процесса
минимизации в ходе решения обратной задачи или оптимального
планирования. С другой стороны нужно обеспечить минимальное время
вычислений при реализации алгоритма в виде компьютерной программы.
Прежде всего следует отметить, что границы областей
интегрирования в выражении (4.1.7) BV, tn совпадают с узлами разностной
сетки, применявшейся для решения краевой задачи. Исходя из выше
сформулированного принципа согласованности погрешностей,
интегрирование решения задачи (4.1.1)—(4.1.6) осуществляется сиспо-
льзованием значений в узлах разностной сетки. Кроме того,
количество узлов в разностной сетке по пространству и времени выбирается
из условия обеспечения требуемой точности решения краевой задачи
и оно достаточно велико. Относительно простое решение может быть
полученного на основе метода трапеций [69].
Рассмотрим сначала интегрирование сеточных функций от
решения краевой задачи k(T?) только по пространству и внутри одного
/-го слоя:
Л/ = jk(T)dx = £ (*<ГД 1 + ._,) + *<ГД t+i»/2Axh (4.6.1)
В' =[XNL+iyXNL+if]
Интегрирование функции k(T) по пространству и моменту
времени т осуществляется по формуле
V'-fV-t £ (КгД ) + КГ> ))/2д*,,
и окончательный функционал (4.1.7)
L , N it ■
1=1 (П "=1>=Д+1

N
'l -'2
'=lz=i, +1
Ат/2. (4.6.2)
Погрешность вычислений при численном интегрировании не
превосходит погрешности решения соответствующей краевой задачи
и равна
5=0(Л*3 + Ат3), (4.6.3)
где Ах = тах(Лл:;).
Под функцией от решения краевой задачи k(T) понимается
следующее:
а) при решении сопряженной краевой задачи в случае
определения неизвестных характеристик В?, I = 1, L вырождается в
единственную ТОЧКу {Хдг }
Ю=-^-Ч*ы ,k = i,Np, (4.6.4)
dpk nl
б) при решении задачи для вариации температуры В?
вырождается в точку В? = {X"}, если в точке X? установлен термодатчик и
В? = ?, если в X? термодатчик отсутствует (J = i,L)
«■>=<°'4-/'/) (4-6-5)
или
Ю = (о^)2. (4.6.6)
При использовании оценки шага спуска
Ю = ^ы)кЬ^)т,к = \^Гп,т=\Жп, (4.6.7)
в) при решении сопряженной краевой задачи в алгоритме
оптимального планирования возможны два случая.

Первый - вычисление градиента минимизируемого функциона-
ла по внешнему тепловому воздействию. Тогда В ", I = \,L
вырождается в точку X." и
*0 = V„ • (4-6.8)
Второй - вычисление градиента критерия оптимальности по
начальной толщине Ь"(0). При этом В" =[0,1], I = 1,L
k() =К— + 2bnS - 2СЬп — + 2СЬпх—. (4.6.9)
дх 9т дх
К сожалению, при таком подходе не учитывается, что в случае
использования для аппроксимации решения обратной задачи каких-либо
финитных функций (в частности В-сплайнов), область интегрирования
по времени tn функции (4.6.4) существенно уменьшается.
В заключении можно привести оценку суммарной погрешности
вычислительного процесса на s-тк итерации в продолжении
аддитивности погрешностей:
5 = 0(ДГ + Ат + Ах2), (4.6.10)
где ДГ = max ДГ2 (см. 4.2.12).
Остается? добавить, что при последовательном решении
обратной задачи после окончания итерационного процесса по
восстановлению плотности теплового потока, идущего на прогрев внутренних
слоев, и температуры поверхности Т£ (Г), n = \,N необходимо
вычислить (Np + i)Np /2 функционала от полученного решения для
формирования матрицы
п
dkm = i]hk(gn)hm(gn)dT, (4.6.11)
я=1 о
а затем решить систему линейных алгебраических уравнений.
Вычисление коэффициентов dkm, k = i,Np, m=\,Np
производится по формуле (4.6.11) с учетом того, что в области
интегрирования В? ,l = \,L вырождается в единственную дискретную точку Х!'.
Учитывая, что матрица /^-симметричная, система линейных
уравнений решается методом квадратного корня [272], приводящего
к существенному выигрышу по времени решения системы.
Завершая данный параграф, еще раз отметим, что, используя
обобщенную краевую задачу (4.1.1)—(4.1.6), удается построить еди-

ный вычислительный алгоритм для решения задач параметрической
идентификации и оптимального планирования тепловых
экспериментов и, следовательно, единое программное обеспечение.
4.7. Принципы построения программного обеспечения
Для реализации алгоритмов расчетно-экспериментального
определения теплофизических характеристик материалов
взаимодействующих с внешней средой и оптимального планирования
соответствующих экспериментов в Московском авиационном институте с 1983
года началась разработка программного обеспечения, являющегося
совокупностью проблемно-ориентированных программ численного
решения различных обратных задач теплообмена при обработке
данных нестационарных экспериментов [61]. Разрабатываемое
программное обеспечение предназначено для построения на его основе
прикладных программ решения обратных задач теплообмена
экстремальными методами и планирования экспериментов. Построение
математического обеспечения базируется на структуре анализируемой
математической модели. Общая структура разрабатываемого
обеспечения позволяет лекго производить модификации прикладных
программ с целью учета специфических особенностей конкретных
постановок обратных задач. Принципы создания программного
обеспечения базировались на многолетнем опыте работ в этом направлении в
МАИ, также как и в других ведущих научных и промышленных
организациях бывшего СССР. Анализировались также основные
принципы построения программного обеспечения, применяемого при
исследовании процесса теплообмена в различных областях науки и
техники в США, Франции и Германии. Программное обеспечение
построено с применением принципа модульности и имеет
многоуровневую структуру. Отдельные модули разрабатываются с учетом
структурного подхода в программировании. Построение
математического обеспечения базируется на структуре обобщенной
математической модели, описанной в предыдущих параграфах.
Программный комплекс в основном реализован на
алгоритмических языках FORTRAN и C++ и предназначен для использования
на персональной вычислительной технике. Модули программы не
ориентированы на какую-либо версии трансляторов, поэтому могут
быть использованы различные трансляторы. Требуемый объем
оперативной памяти, необходимой для функционирования комплекса
программ .существенно зависит от размерности конечно-разностной
сетки при аппроксимации задачи теплообмена.
В данном параграфе представлены основные принципы
построения комплекса программ, разработанного авторами.

4.7.1. Организация программного обеспечения
Как уже отмечалось, при численной реализации итерационных
методов решения обратных задач теплообмена на каждой итерации
процесса последовательных приближений возникает необходимость
решения трех видов краевых задач: прямой задачи, сопряженной
задачи и задачи для вариаций поля температур. Использование
обойденной матемаматической модели теплопереноса позволяет
использовать в качестве основного составляющего элемента
вычислительного алгоритма решения обратных задач численное решение
обобщенной математической модели, рассматривая отдельно для каждой
задачи вычисление ее коэффициентов. Анализируя алгоритмы
решения указанных задач, можно заметить, что при формальном
представлении исходных данных, единообразном для всего класса рассма-
риваемых явлений, использование обыденной математической
модели обеспечивает полную независимость основной массы вычислений
(в рамках принятой модели) от данных конкретной решаемой
задачи. Исключения составляют следующие операции: 1) вычисление
коэффициентов модели при решении прямой задачи: 2) вычисление
коэффициентов модели при решении сопряженной задачи; 3)
вычисление градиента функционала невязки; 4) вычисление
коэффициентов при рещении задачи (или нескольких задач при использовании
векторного спуска) для вариаций температур. Эти операции следует
рассматривать как зависимые от конкретной решаемой задачи.
Математические выражения, соответствующие отмеченным выше
операциям, формируются при построении итерационного алгоритма
решения конкретной задачи. Следует заметить, что введение в
рассмотрение краевой задачи сопряженной с обощенной математической
моделью, может позволить исключить из числа зависимых операций
вычисление коэффициентов модели при решении сопряженной задачи
и перевести эти операции в разряд независимых. Необходимо
обратить внимание на то, что прямая задача теплопроводности является
нелинейной, в то время как сопряженная задача и задача для
вариаций поля температур являются линейными. Очевидно что в более
общих случаях теплопереноса все три задачи могут быть нелинейными.
Это обстоятельство необходимо учитывать при разработке вычисли:
тельных алгоритмов и программ. Следует также учесть тот факт, что
численное решение всех краевых задач в общем случае может осу-
ществлятся на различных конечно-разностных сетках. Однако при
этом возникает необходимость введения целого ряда
дополнительных операций, связанных с интерполяцией. Представление
исходной системы в виде многослойной области и введение в ее состав

«фиктивных» слоев, в частности, с границами, проходящими через
точки установки термодатчика, позволяет рассматривать все задачи
в одной и той же многослойной области с различными условиями
энергетического сопряжения между слоями в каждой задаче. Это
делает весьма целесообразным использование одной и той же
разностной сетки для всех трех задач. Программное беспечение построено с
применением принципа модульности и имеет открытую
многоуровневую иерархическую структуру. Отдельные модули разработаны с
учетом структурного подхода в программировании. Вся
совокупность модулей, входящих в комплекс, естественным образом делится
на несколько частей, называемых в дальнейшем сегментами.
Деление программного обеспечения на сегменты определяется прежде
всего поребностью в их модификации, а также их местом в общей
структуре реализуемого итерационного процесса и математической
модели теплообмена.
Структура прикладной программы, предназначенной для
численного решения конкретной задачи имеет следующую структуру
(рис.4.7.1-4.7.4).
Сегмент «ресурсы» предназначен для формирования
конкретной прикладной программы решения поставленной обратной задачи
и задания необходимых ресурсов. Состоит из процедур для
редакторов связей и управляющих модулей на языках высокого уровня.
В сегменте «ядро» реализуется в общем виде итерацинный
вычислительный алгоритм численного решения обратной задачи
теплообмена. Модули сегмента «ядро» служат для следующих операций:
1) ввода исходных данных и преобразования их к удобному для
вычисления виду,
2) организации процесса минимизаций целевого функционала,
3) вычисления необходимых для решения задачи минимизации
величин, например значения минимизируемого функционала, его
градиента, шага спуска и т.д.,
4) решения соответствующих краевых задач.
Все указанные операции в сегменте «ядро» осуществляются с
участием только коэффициентов обобщенной математической
модели, при этом используются специальные соглашения о хранении и
передаче информации в сегментах. В данном сегменте в качестве
выходных данных вызываемых подпрограмм выступают, в основном,
коэффициенты математической модели, необходимые для решаемых
краевых задач. При решении конкретной обратной задачи возникает
необходимость задать значения коэффициентов обобщенной модели
как при решении прямой задачи, так и при решении сопряженной
задачи и задачи для вариаций поля температур.

Операции вычисления коэффициентов относятся к числу
проблемно-зависимых и отражают всю специфику рассматриваемой
обратной задачи, данные операции выделены в отдельный сегмент
«коэффициенты модели». Вся совокупность коэффициентов
обобщенной модели делится на три группы:
1) коэффициенты параболического уравнения;
2) коэффициенты граничных условий;
3) коэффициенты условий энергетического сопряжения между
пространственными слоями.
В соответствии с этим разбиением построен и сегмент
«коэффициенты модели». В нем выделены отдельные модули, в которых
осуществляется вычисление коэффициентов параболических
уравнений, коэффициентов граничных условий и коэффициентов условий
энергетического сопряжения между пространственными слоями для
различных краевых задач, возникающих при решении задачи
оптимизации. Помимо указанных модулей в сегмент включены также
модули, предназначенные для реализации требуемых операций с
решением краевых задач.
В сегментах «ядро» и «коэффициенты модели» использутся ряд
модулей, с помощью которых выполняются общие математичесие
операции, например интерполяция и аппроксимация функций,
решение систем алгебраических уравнений,решение нелинейных
алгебраических уравнений и.т.д.подобного рода подпрограммы
объединяются в сегмент «модули общего назначения».
Сегмент «модули общего назначения» включает в себя
следующие модули.
Таблица 4.7. /
Функции модулей сегмента «модули общего назначения»
Вычисление коэффициентов кубического интерполирующего сплайна
Вычисление значения фукции, используя кубические интерполирующие сплайны
Линейная интерполяция функций заданных на неравномерной сетке
Линейная интерполяция функций заданных на равномерной сетке
Организация интерполяции
Вычисление коэффициентов аппроксимации функции,заданной на неравномерной
сетке
Вычисление коэффициентов аппроксимации функции,заданной на равномерной
сетке
Вычисление значения В-сплайна (аппроксимация с «свободными» концами)
Вычисление значения В-сплайна (аппроксимация с «естественными» граничными
условиями)
Вычисление значения полипома

Вычисление значения аппроксимирующей функции
Формирование таблицы аппроксимированной функции
Решение системы линейных уравнений методом квадратного корня
Вычисление значений таблично-задашпюй функции с моделируемыми
погрешностями
Датчик случайных чисел
Вычисление максимального элемента в двумерном массиве
Вычисление максимального элемента в строке двумерного массива
Вычисление минимального элемента одномерного массива
Вычисление максимального элемента одномерного массива
Обмен данными между отдельными подпрограммами сегментов
«ядро» и «коэффициенты модели» осуществляется, в основном
через общие информационные области, путем выделения некоторой
совокупности переменных, по существу являющихся глобальными для
рассматриваемого круга задач. Основная трудность связанная с
использованием общих областей, возникает при необходимости
модификации структуры глобальных переменных (изменение
размерностей массивов, добавление переменных и т.д.). В разрабатываемом
программном беспечении используются специальные
автоматизированные средства модификации операторов описания областей в
исходных текстах модулей комплекса. Рассматриваемые в данном
параграфе базовые версии сегментов «коэффициенты модели»
реализованы таким образом, что вся необходимая информация из одной
подпрограммы этого сегмента в другую через специальные области,
позволягоющие в случае необходимости осуществить
дополнительный обмен информацией.
Обмен данными с модулями сегмента «модули общего
назначения» осуществляется только через формальные параметры, что
делает их полностью универсальными. В прикладных
программах,построенных на основе разрабатываемого комплекса могут быть
использованы также и другие модули, в которых выполняются
различные математические операции.
Данные для решения задачи обработки экспериментальных
данных и оптимального планирования, хранящиеся в виде
последовательных надборов данных составляют сегмент «данные». В модулях
комплекса, связванных с вводом данных, предусматривается
проверка исходной информации: размерностей массивов, значений
некоторых знакоопределенпых характеристик, соответствия
размещения исходных дапиыиспользуемой модели теплообмена.
При описанном подходе к построению структуры прикладных
программ пользователь может рассматривать «ядро» и «подпрограм-

мы общего назначения» как «черный ящик» и сосредоточить
внимание па работе с сегментами «ресурсы», «данные» и «коэффициенты
модели» в зависимости от стоящих перед ним задач.
4.7.2. Структура программного обеспечения
В соответствии с вышеизложенным разработана структура
программного обеспечения. Описание назначения отдельных модулей
(рис. 4.7.1-4.7.4) дано ниже.
1. Формирование
конфигурации
программного
компл.
И
Сегмент
«ресурсы»
( START )
2. Задание
ресурсов
4. Ввод данных
для прямой
краевой задачи
(математическая
модель
теплопереноса)
5. Ввод данных
для решения
ОЗТ или задачи
оптимального
планирования
Г
Сегмент
«данные»
6. Решение задачи
(итерационный
процесс
оптимизации)
Сегмент «ядро»
9.
Подпрограммы
численного
анализа
Сегмент
«модули общего
назначения»
Рис. 4.7.1. Блок-схема комплекса программ

При решении обратных задач модули сегмента «ядро»
выполняют функции представленные в таблице 4.7.2.
Таблица 4.7.2
Основные функции модулей сегмента «ядро»
прн решении задачи идентификации
3, рис.4.7.1
4, рис.4.7.1
5, рис.4.7.1
6, рис.4.7.1 или
1, рис.4.7.2
2, рис.4.7.2
3, рис.4.7.2
4, рис.4.7.2
5, рис.4.7.2
10, рис.4.7.2
11, рис.4.7.2
12, рис.4.7.2
6, рис.4.7.2
Общее управление вычислительным процессом
Ввод и контроль характеристик исследуемой модели
теплообмена, преобразование их к требуемой форме.
Ввод, контроль и преобразование таблиц,связывающих области
интегрирования с характеристиками модели теплообмена.
Ввод, контроль и преобразование параметров,характеризующих
разностную сетку и численный метод решения краевых задач
Ввод, контроль и преобразование параметров,характеризующих
определяемые характеристики в модели теплообмена.
Ввод, контроль и преобразование параметров,характеризующих
метод решения обратной задачи.
Ввод, контроль и преобразование данных,характеризующих
наличие и размещение термодатчиков в рассматриваемой системе.
Организация массива, хранящего дополнителную информацию,
необходимую при решении обратных задач.
Ввод начальных приближений,опреде ляемых характеристик в
случае решения модельной обратной задачи.
Вычисление начальных значений вектора искомых параметров и
минимизируемого функционала
Реализация метода градиентной минимизации функционала
среднеквадратичной невязки
Вычисление значения минимизируемого функционала невязки
на основании решения прямой задачи (6, рис.4.7.2)
Вычисление значения градиента минимизируемого функционала
на основании решения сопряженной задачи (6, рис.4.7.2)
Вычисление приращений определяемых характеристик
^ Ж,-
!=1 *=1 °Pki
Вычисление глубины спуска в итерационном процессе на
основании решения задачи для приращений температуры (6,
рис.4.7.2)
Вычисление нового значения вектора искомых параметров и
определяемых характеристик с учетом новых значений параметров
аппроксимации
Вывод промежуточных данных на каждой итерации
Вывод результатов итерационного процесса
Реализация общего численного решения краевой задачи для
одномерного параболического уравнения второго порядка в
многослойной области

я
я
о
а.

Вычисление
решения
_ 5.Вычисление
глубины
спуска
Условие
останова
1
2.Вычисление
значения
минимизируемого
функционала
3.Вычисление
значения
градиентного
функционала
4.Вычисление
приращения
определяемой
характеристики
оо
и х
ш о
ээ
о ~
_, 10.
Преобразование
«-I результатов
К 11. Вывод \
решения на J
5-й итерации J
К 11. Вывод ^Ч
решения на I
задачи J
Сегмент «ядро»
H(G,p) - qxM
I
I
7.Вычисление
коэффициентов
прямой краевой
задачи
8.Вычисление
коэффициентов
сопряженной
краевой задачи
X
X
дН (дН '
k = \.К
9.Вычисление
коэффициентов
задачи
для вариаций
температуры
Сегмент
«коэффициенты
модели»
Рис. 4.7.2. Блок-схема реализации комплекса программ для
непосредственного решения обратной задачи

Кроме того при последовательном решении обратной задачи
после завершения итерационного процесса решения соответствующей
граничной обратной задачи модули сегмента «ядро» выполняют
функции представленные в таблице 4.7.3.
Таблица 4.7.3
Дополнительные функции модулей сегмента «ядро»
при последовательном решении задачи идентификации
2, рис.4.7.3
3, рис.4.7.1
Формирование системы алгебраических уравнений и
организация ее решения
Вывод окончательных результатов решения обратной задачи
При решении задач оптимального планирования эксперимента
модули сегмента «ядро» выполняют функции представленные в
таблице 4.7.4.
Таблица 4.7.4
Основные функции модулей сегмента «ядро»
при решении задачи идентификации
6, рис.4.7.1 или
1, рис.4.7.4
2, рис.4.7.4
3, рис.4.7.4
4, рис.4.7.4
5, рис.4.7.4
6, рис.4.7.4
7, рис.4.7.4
8, рис.4.7.4
9, рис.4.7.4
Реализация метода градиентной минимизации функционала с
ограничениями
Вычисление градиента минимизируемого критерия
оптимальности функционала на основании решения сопряженной задачи
(9, рис.4.7.2)
Вычисление предельных возможных шагов спуска
Вычисление глубины спуска в итерационном процессе с учетом
ограничений на решение задачи оптимального планирования, для
чего определяется значения минимизируемопо функционала (5,
рис.4.7.2) на основании решения прямой задачи (9, рис.4.7.2)
Вычисление зтмчения митгимизируемого функционала невязки
на основании решения прямой задачи (9, рис.4.7.2).
Вычисление нового значения вектора искомых параметров и
определяемых характеристик с учетом новых значений
параметров аппроксимации
Вывод промежуточных данных на каждой итерации
Вывод результатов итерационного процесса
Реализация общего численного решения краевой задачи для
одномерного параболического уравнения второго порядка в
многослойной области

Как видно из рис. 4.7.2-4.7.4 модули сегмента «коэффициенты
модели» естественным образом деляться на две группы. Первую
группу составляют модули, выбор которых определяется типом
уравнения тсплопереноса внутри исследуемой системы (таблица
4.7.5)
Таблица 4.7.5
Основные функции модулей сегмента -«коэффициенты модели»-
7, рис.4.7.2 или
11, рис.4.7.4
8, рис.4.7.2
или 10, рис.4.7.4
9, рис.4.7.2
Вычисление коэффициентов параболического уравнения
(прямая задача)
Вычисление коэффициентов параболического уравнения
(сопряженная задача)
Вычисление коэффициентов параболического уравнения
(задача для приращений температуры)
Вторую группу образуют модули, выбор которых определяется
структурой функции теплового баланса на внешней границе системы
(таблица 4.7.6)
Таблица 4.7.6
Основные функции модулей сегмента -«коэффициенты модели»
Вычисление разности Н(дп, р) - (ft (т) в текущий момент времени
дН{дп,р) дН(дп,р)
Вычисление производных от фукции теплового баланса — , ,
о' 0Pk
k = \,N„, п = 1,N в текущий момент времени
^дН(.дп,р)
Вычисление приращения функции теплового баланса 2^ —z~ Др^
/Ы °Pki
Вычисление отдельных составляющих функции теплового баланса hk(g"),
k = ГЙр, п = 1JV
Вычисление отдельных составляющих функции теплового баланса и их произвол-
ных^Су"), у ,к = \,Ыр, ?1 = \,Ы
Модули первой группы являются универсальными для
рассматриваемого класса задач. При переходе к различным математическим
моделям теплообмена на поверхности тел приходиться
модифицировать только модули второй группы сегмента «коэффициенты
модели», предназначенные для вычисления функции теплового баланса и
связанных с ней функций.
Такой подход существенно упрощает сопровождение
программного обеспечения, обеспечивает простоту тестирования и отладки

я
L
1. Решение
граничной
ОЗТ
Г
2. Формирование
и решение
системы
алгебраических
У
3. Вывод
решения
задачи
Сегмент «ядро»
\, k= \,К
A0(G) -<7x(t)
Сегмент
«коэффициенты
модели»
Рис. 4.7.3- Блок-схема реализации комплекса программ для
последовательного решения обратной задачи
новых версии при переходе к анализу новых математических
моделей. Причем речь идет о полной замене модели теплообмена на
поверхности в рамках принятых допущений.
4.7.3- Организация данных
Всю совокупность данных, используемых в любой прикладной
программе можно разделить па три категории:
1) исходные данные, задаваемые пользователем при решении
конкретной задачи.
2) внутренние данные (локальные или глобальные).
3) выходные данные программы.
Рассмотрим каждую из указанных категорий по отдельности.
4.7.3.1. Исходные данные
При формировании численной информации об исходных
данных конкретной задачи целесообразно использовать подход,
основанный на преобразовании исходных данных. В соответствии с этим
подходом подготовка и ввод исходных данных осуществляется в

i
+
I
Вычисление

приближения на 5-й
итерации
Анализ
результатов
2. Вычисление
градиента
функционала
3.Вычисление
ограничений
на шаг спуска
4.Вычисление
шага спуска
5.Вычисление
минимизируемого
функционала
"о
о 9
а >=•
о "
6. Преобразование
результатов
К 7. Вывод решения |
на 5- й итерации I
~7 8. Вывод решения J
Сегмент «ядро»
I
10.Вычисление
коэффициентов
сопряженной
задачи
дН
дТ\
Эй. Эй,
11.Вычисление
коэффициентов
прямой задачи
H(G,p) - qU)
Сегмент
«коэффициенты
модели»
Рис. 4.7.4. Блок-схема реализации комплекса программ для решения
задачи оптимального планирования

виде, удобном для пользователя, а затем производится
преобразование этих данных к виду, удобному для программиста, работающего с
трансформируемой частью программного обеспечения. Такой
подход позволяет обеспечить высокую степень универсальности
неизменной части программного обеспечения. При этом под
универсальностью понимается независимость от конкретного набора данных в
рамках принятой базовой математической модели. Подобного рода
универсальность достигается главным образом за счет
формализации представления характеристик исследуемого процесса
теплообмена. Значения характеристик используется для вычисления
коэффициентов обобщенной математической модели. При этом возможны
весьма разнообразные формы связи характеристик процесса с
коэффициентами обобщенной модели. В одних случаях характеристики
являются непосредственно коэффициентами модели, например,
коэффициент теплопроводности материала в однородном уравнении
теплопроводности, в других коэффициенты вычисляются с
использованием одной или нескольких харатеристик, возможен и ряд
других ситуаций. В качестве харатеристик целесообразно также
рассматривать различные геометрические или временные параметры
исследуемой системы.
Универсальность прикладной программы зависит, прежде
всего, от того, в какой степени принятая в пей форма представления
информации о значениях характеристик математической модели
позволяет учесть широкое многообразие практических ситуаций,
возникающих при формировании исходных данных задачи.характеристики
моделируемого процесса могут иметь самую разнообразную форму.
Одна часть характеристик может быть известна как функция одного
или нескольких аргументов, эти функции могут определяться
аналитическими выражениями или таблично. При этом табличные
функциональные зависимости задаются как па равномерных,так и на
неравномерных сетках, другая часть характеристик может быть
определена в виде постоянных значений (констант). Предлагаемый
способ формального представления информации о характеристиках
моделируемого процесса поясняется ниже. Другая особенность
организации исходных даииых в рассматриваемом программном
обеспечении связана с тем, что используемые массивы информационной
связи областей интегрирования и характеристик математической
модели, а также характеристик математической модели и данных об
определяемых функциях и.т.д. достаточно трудно задавать
непосредственно в виде двух- и трехмерных массивов. В разработанном
авторами программном обеспечении в качестве исходной информации
используются только простые переменные или одномерные массивы,

вводимые в циклах. В общей совокупности данных можно выделить
данные двух видов.
1. Данные, определяющие требуемый объем ресурсов
вычислительной техники и комплекса программ. Эта информация задается
непосредственно в модулях в виде описаний используемых массивов, их
максимальных размерностей. Указанные данные могут быть
изменены пользователем путем модификации описаний областей. К этому
виду данных следует также отнести имена модулей расчета коэффи-
циэптов модели и другие, задаваемые в списке параметров обращения
к управляющей подпрограмме в головной подпрограмме. В
результате включения в состав входных данных имен подпрограмм
обеспечивается удобство модификации рассматриваемой математической
модели теплообмена, а также метода решения обратной задачи.
2. Данные о конкретной решаемой задаче, составляющие
собственно исходные данные. Этот вид данных вводится с помощью
операторов ввода-вывода и может быть подготовлен пользователем на
различных интерфейсах ввода.
Информация о решаемой задаче формируется по отдельным
типам данных.
1) численные значения полной совокупности характеристик
исследуемого процесса теплообмена.
2) параметры, устанавливающие связь характеристик
исследуемого процесса с областью интегрирования.
3) параметры, определяющие область интегрирования и
конечно-разностную сетку.
4) параметры, выделяющие определяемые характеристики в
общей совокупности характеристик процесса теплообмена.
5) параметры, определяющие способ решения задачи
минимизации функционала среднеквадратичного уклонения.
6) параметры, определяющие размещение термодатчиков в
исследуемой системе.
7) параметры, необходимые для решения модельных обратных
задач.
8) начальные значения определяемых характеристик.
9) параметры, связанные с экспериментальной информацией.
Следует также отметить, что в разработанном программном
обеспечении одновременная обработка нескольких экспериментов
интерпретируется как решение обобщенной математической модели
на сложно-составной области интегрирования. Кажый отдельный
эксперимент представляется как подобласть интегрирования.
Пример интерфейса ввода исходных данных (граничные
условия второго рода представлен на рис.4.7.5.

v^
FQ5i*l
гб 6 p*-*n*** in Tto*
£ | HUTe
ffi- JJ l*ft buvhry (ТЦ"*" 1)
f? JJ РчЫ Вопку (Type- l>
4IX UrffVMI OWKtOSSS
£mt Г(Ыш*1 kn tan »|
fcW* jRqjiv
t '
Па Ы
*«a
itbieedhntm
Ы 1 Гиат|
1 UJUUUUU
а зшши
^ lamxmoc
6 S0UQ.3D0CDD
_ _ _. ; >
9 VAiMn №ц)
«MWe| tlwi^ifHelHxl+l eiHral .els
'
.• , --
чЫВ|ВЫ в|1
ШШ dekaKtaQDO FWjuOJO tfcfaFH QDUD . I
4
saa
a mo
Ш
/j
/
/
zr
Л
sai
л.
//V
/ \
f/
ХЮ ICQ.
1,
tz
5~
^V
^
^.^
0Ю 15ШИ) 2JQ00O
"2Шй
- u,e*: ^^д1-|дея^-ШЫ^1ь^^1ШЯЬ. ЫШ51К -ШНИ 2- Ш28Э££!
IE5=-I—i
Рис. 4.7.5. Интерфейс ввода данных. (Зависимость плотности
теплового потока на внешней границе от времени): 1 — первый эксперимент
(подобласть интегрирования), 2 - второй эксперимент
4.7.3.2. Внутренние данные
Организация внутренних данных может быть реализована
таким образом, что они в большинстве своем были согласованы с
параметрами алгоритма решения обратной задачи.
Внутренние данные логически делятся на локальные и
глобальные. Глобальные данные делятся па шесть типов, в основном типы
глобальных внутренних данных соответствуют типам исходных дан-
пых, приводимых выше. Ниже описывается структура данных,
требующая дополнительного пояснения.
1) На основании первого и второго типов исходных данных
задачи формируется численная информация о характеристиках
моделируемого процесса, используемая при вычислении коэффциеитов
математической модели. В программном обеспечении принята
иерархическая структура всей совокупности характеристик
моделируемого процесса. Такой подход позволяет формализовать представление
численной информации о характеристиках для широкого круга мате-

матических форм. При этом исключается из рассмотрения задание
отдельных характеристик в виде аналитических зависимостей, пред-
пологается, что в случае необходимости подобного рода зависимости
могут быть либо непосредственно использованны при разработке
соответствующих программ сегмента «коэффициенты модели», либо
представлены в виде таблично-заданных функций. В соответствие с
принятой структурой характеристик моделируемого процесса все
характеристики делятся на отдельные классы. Под классом
характеристик понимаются: теплофизические характеристики материалов,
граничные условия, начальное распределение температур,
геометрические и временные характеристики. Понятие класса характеристик
в настоящем программном обеспечении программно никак не
реализовано, а служит лишь для выделения некоторой совокупности
характеристик, связь которых с областью интегрирования задается
одним адресным массивом. Каждый класс характеристик состоит из
одной или нескольких групп. Группа характеристик представляет
собой некоторую совокупность отдельных характеристик,
выделенных в данном классе по связи с отдельной областью подобластью
интегрирования. В качестве примера группы характеристик в классе
«теплофизические характеристики материалов» можно привести
теплофизические характеристики материала, из которого выполнен
1-ый слой в исследуемой многослойной пластине. Отдельная
характеристика состоит из одного или нескольких составляющих ,в
качестве которых выступают:
- если характеристика - функциональная зависимость, то
таблично-заданные функции и их таблично-заданные производные.
- если характеристика - таблица констант, то отдельные
элементы таблицы.
В программном обеспечении допускается, что табличные
функциональные зависимости в исходных данных задачи задаются на
неравномерных сетках.затем. Используя различные виды
интерполяции, осуществляется их преобразование в табличные функции,
заданные на достаточно частых равномерных сетках. Данный подход
использован с целью осуществления в подпрограммах сегмента «ко-
эффициэнты модели» самой быстрой в машинной реализации
линейной интерполяции табличных функций, заданных на
неравномерных сетках, а также обеспечения одинакового представления
различных характеристик. Следует подчеркнуть,что в случае
необходимости в сегменте «коэффициенты модели» пользователем может быть
введена дополнительная интерполяция преобразованных табличных
функций. Для обеспечения большей гибкости при формировании
исходных данных ввод численной информации о характеристиках мо-

делируемого процесса осуществляется в цикле по общему числу
характеристик. В прикладной программе, построенной на основе
данного программного обеспечения вся преобразованная численная
информация о полной совокупности характеристик моделируемого
процесса расположена в одном одномерном массиве максимальная
размерность этого массива, а также максимальное число групп и
максимальное число характеристик в группе фиксируются в
управляющем модуле и легко могут быть изменены пользователем. Для
определения расположения каждой характеристики и хранения
параметров таблиц функциональных зависимостей используются
дополнительные трехмерные массивы (содержащие целочисленные и
действительные параметры соответственно). Эти параметры
полностью определяют структуру одномерного массива содержащего
характеристики модели. Первые индексы этих массивов соответствуют
номерам группы, вторые - номерам характеристик в группе, а
третьи определяют информацию хранимую в элементе массива:
— номер элемента массива, соответствующего первому значению
характеристики;
— число элементов массива, соответствующих характеристике,
— число составляющих (порядок дифференцируемое™)
характеристики,
— начальное значение аргумента в функциональной таблице;
— шаг функциональной таблицы.
После введения и преобразования данных о характеристиках
задаются параметры, устанавливающие принадлежность каждой
группы к выделенному классу характеристик и их связь с областью
интегрирования. Как уже отмечалось, в рассматриваемом программном
обеспечении выделено пять классов характеристик.
1) характеристики начальных условий.
2) характеристики граничных условий.
3) характеристики сред.
4) характеристики условий энергетического сопряжения между
слоями.
5) временные и геометрические характеристики, соответсвую-
щие массивы связи:
Указанные выше параметры связи формируются на основании
второго типа исходных данных и задаются для каждой подобласти
интегрирования в виде номеров групп характеристик. При этом
номера характеристик начальных условий задаются для каждой
подобласти интегрирования. Номера групп граничных условий задаются
на двух внешних границах каждой подобласти. Номера групп
характеристик сред (материалов) задаются для каждого пространственно-

го слоя. Номера групп условий энергентического сопряжения
задаются для каждой внутренней и внешней границы в каждой
подобласти. Кроме того с помощью двумерного целочисленного массива
задается дополнительная информация о используемой математической
модели для каждой подобласти интегрирования. Первый индекс
массива задает номер подобласти интегрирования, второй определяет
информацию хранимую в элементе массива.
2) Более сложную организацию имеет одномерный массив для
хранения поля температур, в котором хранятся значения температур
во всех узлах конечно-разностной сетки для каждой подобласти
интегрирования. Адресация элементов массива осуществляется с
помощью целочисленного массива. Использование для хранения поля
температур одномерного массива целесообразно с точки зрения
распределения ресурсов, так как в этом случае соотношение между
числом узлов разностной сетки по пространству и по времени в каждой
подобласти интегрирования совершенно произвольно аналогичный
подход к организации массива хранения используя массив
адресации (крт) можно рекомендовать для любого другого поля
(концентраций, температуры газообразной фазы материала и.т.д.), значение
которого необходимо иметь при решении обратной задачи.
3) Экспериментальные значения температур в соответствующих
узлах конечно-разностной сетки также хранятся в одномерном массиве.
4) Внутренние данные четвертого типа (поле приращений
Температуры в точках установки термодатчиков) хранятся в одномерном
массиве, организация которого в случае скалярного шага спуска
аналогична органиции массива для хранения экспериментальных
измерений, в случае векторного шага спуска это массив состоит из
последовательности одинаковых массив по числу определяемых функций,
каждая из которых также организована аналогично массиву для
хранения экспериментальных измерений.
Адресация элементов массива тета, соответствующих
показаниям каждого термодатчика в начальный момент времени и каждой
определяемой функции (при векторном шаге спуска), осуществляется
с помощью массива одномерного целочисленного массива.
5) Приращения определяемых функций хранятся в одномерном
массиве, который организован аналогично массиву для хранения
характеристик математической модели (внутренние данные первого
типа). Максимальная размерность этого массива также задается в
управляющем модуле. Для хранения информации о расположении
приращений каждый г'-ой характеристики в массиве и сведений об
организации соответствующих таблиц используются массивы
одномерные целочисленные массивы.

6) Массивы для решения краевых задач грявляются рабочими,
их структура в текущий момент времени определяется номером
подобласти интегрирования. Адресация их элементов осуществляется с
помощью целочисленных массивов соответствующих параметрам
конечно-разностной сетки.
4.7.3-3- Выходные данные
Настоящее программное обеспечение организовано таким
образом, что в нем нет специальных выходных данных. Для
исследователя могут представлять интерес глобальные переменные, значения
которых меняются в процессе итераций, прежде всего это внутренние
данные первого типа. В рассматриваемой версии модулей сегмента
«ядро» по желанию пользователя на каждой итерации может быть
получена информация о:
1) значениях определяемых характеристик;
2) расчетных значениях поля температур в точках установки
термодатчиков.
3) значениях минимизируемого функционала.
4) погрешности решения обратной задачи (в случае решения
модельной обратной задачи).
По окончанию итерационного процесса можно вывести
информацию о:
1) значениях определяемых характеристик;
2) значении вектора искомых параметров, минимизируемого
функционала и его составляющих;
3) погрешности решения обратной задачи (в случае решения
модельной обратной задачи);
4) расчетном поле температур.

Глава 5
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОПЕРЕНОСА
ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ МАТЕРИАЛОВ
С ГЕТЕРОГЕННЫМИ ПОТОКАМИ
Сверхзвуковые полеты в атмосфере, движение запыленных
газовых потоков в трубопроводе и многие другие подобные явления
связаны с тепловым и силовым воздействием набегающего газового
потока на поверхность, а также с эрозией поверхности под действием
мельчайших конденсированных частиц, входящих в атмосферные
дымовые образования [308]. В настоящее время опубликовано
большое число работ, посвященных различным аспектам механики
двухфазных сред, включая процессы взаимодействия их с поверхностью
обтекаемых тел [175-177, 184, 308]. Однако, как правило, в этих
работах не учитывается совместное влияние теплового и эрозионного
воздействия, хотя известно, что эрозионная стойкость различных
материалов может резко уменьшится при повышении температуры
поверхности. Объяснение всей совокупности сложных эффектов в
таких процессах требует разработки специальных методов
экспериментальных исследований и создания установок, моделирующих
движение тела в атмосферных образованиях и соответствующих
методик обработки результатов нестационарных тепловых
экспериментов [27, 35, 54].
В данной главе рассматриваются различные аспекты
идентификации математических моделей на примере теплообмена в
материалах, взаимодействующих с высокоэитальпиииыми гетерогенными
(газ - твердые частицы) потоками, как частный пример
практического использования всей процедуры идентификации, изложенной в
главах 2 - 4. В первой части главы рассматриваются вопросы
модификации алгоритмов решения задач диагностики применительно к
гетерогенным потокам и оптимального планирования
соответствующих экспериментов. Во второй части представлена задача
структурной идентификации математической модели теплообмена
взаимодействия материалов с высокоэитальпиииыми гетерогенными потоками.
Представлен сравнительный анализ различных математических
моделей теплообмена.

5.1. Тепловая диагностика гетерогенных потоков и оптимальное
планирование соответствующих экспериментов
В данном параграфе рассматривается граничная обратная
задача теплопроводности при взаимодействии элементов конструкции с
высокоэнтальпийпыми гетерогенными потоками. Для апробации
представленной методологии нотификации использовались
реальные экспериментальные данные, полученные И.В.Репиным па
экспериментальной установке, разработанной Д.С.Михатулииым и
И.В.Репиным [177]. Установка представляет собой
газодинамическую трубу с открытой рабочей частью, использующую сильно нсдо-
расширенные струи газа и предназначенную для создания
сверхзвуковых запыленных потоков. Схема установки приведена на
рис.5.1.1. Течение в первой «бочке» такой струи имеет все
особенности истечения газа в вакуум, в том числе и значительное изменение
статического давления. Восстановление давления происходит в
висячих скачках и замыкающем диске Маха, что позволяет отказаться от
использования диффузора или каких-либо откачивающих систем,
работоспособность которых в высокотемпературных двухфазных
потоках вызывает сомнение.
Рис. 5. /. /. Схема экспериментальной установки: 1 - испытываемая
модель, 2 - форкамера, 3 ~ система подачи двухфазной смеси, 4 -
сверхзвуковое сопло
В качестве источника нагрева газа используется химическая
энергия горения. Твердые частицы электрокорупдового порошка
вводятся в форкамеру 2 через форсунки, расположенные па днище
по концентрическим окружностям. Специально выполненные
эксперименты с отбором частиц от каждой форсунки в отдельности
показали равномерное распределение расхода частиц между
форсунками. Равномерность обеспечивается системой подачи твердых частиц
к форсункам 3, позволяющую равномерно развести газовзвесь по

распределительным трубкам, идущим к форсункам. Изменение
количества порошка в системе подачи во время эксперимента
фиксируется специальной системой, и после привязки его ко времени
определяется расход порошка. Сверхзвуковой двухфазный поток
формируется в сопле 4, специально спрофилированном с целью наиболее
эффективного ускорения частиц пыли. Сформированный
сверхзвуковой двухфазный поток воздействует на калориметрическую
модель 1. Скорость частиц на выходе из сопла считывается по
уравнению движения [308]:
dV _ _ Pp(V-Vp)
mp — = CxSp-t—-—Z-\V-Vp\. (5.1.1)
Так как в экспериментах концентрация частиц в несущем газе
составляла около 1 %, то в данном случае можно пренебречь не
только объемом, занимаемым частицами, но и их механическим и
тепловым воздействием на газ. Это упрощает задачу: газ совершенный, не
вязкий, не теплопроводный; вязкость и теплообмен учитываются
только при взаимодействии между газом и частицами; частицы не
взаимодействуют между собой и имеют сферическую форму.
Для защиты модели от воздействия высокотемпературного
двухфазного потока во время выхода газодинамической установки на
стационарный режим работы модель снабжена сбрасываемым
обтекателем. Время защиты модели соответствует времени разрушения
толщины теплозащитного материала в передней точке обтекателя. Эта
толщина выбирается из ожидаемых условий теплового и силового
нагружеиия модели в данном эксперименте [177]. Время сброса
обтекателя с поверхности модели в анализируемых экспериментах
составляет 0.01 - 0.03 сек.
После сброса обтекателя сверхзвуковой высокотемпературный
двухфазный поток начинает воздействовать на поверхность модели
(рис. 5.1.2), при этом начинается интенсивный ее прогрев и
эрозионное разрушение. Благодаря тому, что корпус модели 1 и
чувствительные элементы 2 выполнены из одного и того же материала, фронт
эрозионного разрушения остается равномерным по всей площади
внешней поверхпостиЗ. Величина щели между чувствительным
элементом и моделью, заполненная клеем, не превышает диаметра
падающих частиц (А < dp = 50 мкм) и не влияет на характер фронта
эрозионного разрушения. В то же время клей с температурным
интервалом работы до 1470 К электро- и теплоизолирует чувствительный
элемент от корпуса модели с целью обеспечения одномерного
процесса теплопереноса в чувствительном элементе. Прогрев
калориметра регистрируется термопарами 3, которые фиксируют значения
температур на различных расстояниях от внешней поверхности 4.

/ 4
-*
Гетерогенный
поток
-^
-*■
2
Рис. 5.1.2. Схема экспериментальной модели: 1 - корпус модели,
2 - чувствительный элемент, 3 - термопары, 4 - внешняя поверхность
В процессе испытания опытных образцов было установлено, что
их взаимодействие с гетерогенными потоками сопровождения весьма
интенсивным уносом материала с поверхности, поэтому для
обработки экспериментальных данных использовался алгоритм решения
граничной обратной задачи теплопроводности, представленный в
§2.2.
По данным температурных измерений с помощью решения
граничной обратной задачи теплопроводности с подвижным фронтом
разрушения определялась величина теплового потока, идущего на
прогрев чувствительного элемента. Для этого необходимо
дополнительно знать изменение его длины в результате эрозионного
разрушения в процессе испытания. Эта задача решается с помощью
термопар 3, которые прикреплены к плоским днищам отверстий,
расположенным на разных расстояниях от поверхности 4. При этом горячий
спай термопары сделан разнесенным, т.е. термоэлектроды
замыкаются в электрическую цепь через чувствительный элемент 2. По мере
приближения эрозионного фронта разрушения к местам заделки
термопар, они регистрируют температуры по глубине чувствительного
элемента. В момент прохождения фронта разрушения, т.е.
подвижной поверхности модели, через места заделки горячих спаев
термопар донышки разрушаются, электрическая цепь разрывается, что
четко фиксируется термопарами, и в этот момент они регистрируют
температуру поверхности модели. Одновременно, зная глубины
заделки горячих спаев термопар и зафиксированные термопарами
времена прохождения фронта разрушения через них, определяется ли-

нейная скорость эрозионного разрушения калориметра, т.е.
изменение его длины по времени. С целью предотвращения шунтирования
термопар их термоэлектроды помещаются в специальные
изоляционные трубки. Специальный теплозащитный кронштейн модели
(рис.5.1.1) изолирует ее от металлической державки, на которой
крепится модель. Водоохлаждаемая державка, на которую
устанавливается модель, позволяет вводить ее в поток за 0,2 — 0,3 сек.
Ниже представлены результаты обработки шести
экспериментов. Все эксперименты проводились на образцах, выполненных из
меди М2, при различных внешних условиях. Используемы в
расчетах теплофизические характеристик меди М2 приведены в таблице
5.1.1.
Таблица 5.1.1
Зависимость теплофизических характеристик М2 от температуры
т,к
с Дж
'м3 К
Вт
К—-
м • К
300
3,44 ■ 10б
392
500
3,44 10б
380
700
3,44-106
368
900
3,44 ■ 106
356
1110
3,44-106
344
1300
3,44-10б
332
Координаты установки термодатчиков представлены в таблице
5.1.2 (все координаты вычислялись относительно установки первой
термопары, использующейся для задания граничных условий на
внутренней (левой) границе).
Таблица 5.1.2
Координаты установки термодатчиков
№
эксперимента
Хь м
Х2, М
1
0,0046
0,00785
2
0,0035
-//-
3
0,0039
-//-
4
0,00535
0,0072
5
0,00818
0,0160
6
0,0082
0,0146
Изменения толщины исследуемых образцов по времени
эксперимента показаны па рис.5.1.3, измеренные значения температур па
внутренней границе представлены на рис.5.1.4, дополнительные
измерения внутри образцов - на рис.5.1.5.
Приведенная совокупность экспериментальных данных
позволяет применить методику, определения граничных условий второго
рода на поверхности тел, описанную в §2.2. Результаты расчетов по
определению потоков, идущих на прогрев внутренних слоев матери-

Xy M
0,015
L л.ш ш I ■■■
^f^:
3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с
Рис. 5.1.3. Зависимость толщины образцов от времени, 1 -
эксперимент №1,2- №2, 3 - №3, 4 - №4, 5 - №5, 6 - №6
Г1(К
1000
700
300
2
3
и - 4
о -5
х - 6
1
1
1
1J
1 П
у'
/ //
//
//
//
7
1 J
LxO=xO=xu_I
3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с
Рис. 5-1.4. Левые границы условия как функция времени,
мент №1,2- №2, 3 - №3, 4 - №4, 5 - №5, 6 - №6
экспсри-

/
X
/
/
2
Г
X
/
л
X
-LX^—L-
7
3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с 3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с
Рис. 5.1.5а, 6 Показания термодатчикоо f и расчетные значения
температур Т, как функция времени т, с. / - показания термодатчиков, 2 -
расчетная модель № 1
1100
Г, К
900
700
500
300
в
А
/
X
1 1
1
/
/
/
X
х -2
1100
г, к
900
700
500
300
1
77
1L
X
И
х 2
3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с 3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с
Рис. 5.1.5в, г

1100
г, к
900
700
500
300
х -2
J
I
/
X
н-
I
1100
г, к
900
700
500
300
х -2
7\
7<V
^
3,5 4 4,5 5 5,5 б т,с 3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с
Рис. 5.1.5д, е
ала г7х (т) и температуру внешней поверхности из решения граничной
обратной задачи приведены на рис.5.1.6 и 5.1.7. Можно сделать
вывод, что при увеличении интенсивности потока падающей массы в
экспериментах № 1, 2 и 3 происходит увеличение теплового потока,
идущего на прогрев внутренних слоев, при этом температура
внешней поверхности не превосходит некоторого порогового значения,
существенно меньшего, чем температура плавления меди, что
свидетельствует о механическом характере разрушения образцов.
Аналогичные результаты получены и при обработке
экспериментов № 4, 5 и 6, которые проводились при более высоком
давлении торможения набегающего потока.
Далее рассмотрим задачу планирования температурных
измерений для определения характеристик внешнего воздействия па
границе системы при наличии перемещения внешней поверхности.
Приведенный ниже алгоритм является несколько более общим, чем это
необходимо в рассматриваемой задаче, однако подобная задача
планирования эксперимента не анализировалась в главе 3, поэтому
представляется целесообразным подробно изложить его здесь.
Рассмотрим случай одновременной обработки данных N
экспериментов. Предполагается, что рассматриваемый образец
представляет собой многослойную пластину, состоящую из Ln, п = 1, jV слоев

г, к
1100
900
700
500
/
о -4
и -5
0-6 1
и 4
114
лги
/1)
^*"
/V'
/У
/
/
/
3,5 4 4,5 5 5,5 6 т.с
Рис. 5. /.б. Зависимость температуры поверхности образцов от
времени, 1 - эксперимент №1,2- №2, 3 - №3, 4 - №4, 5 - №5, 6 - №6
с границами Xf, I =0,Ln,n = i,N. Теплоперенос в каждом слое
описывается одномерным квазилинейным неоднородным уравнением
теплопроводности. Между слоями реализуется контактный
теплообмен, характеризуемый контактными термическими сопротивлениями
R?,l = l,Ln -\,n = \,N. Для упрощения выкладок па границах
рассматриваются граничные условия второго рода, хотя совершенно
аналогично можно получить расчетные формулы для граничных
условий первого и третьего рода. Итак, поле температур
удовлетворяет следующей краевой задаче:
дТ" я
С," (Г)—1- = —
1 дх дх
tftT)-
дТп
г
дх
1 дх
дТп
1 +s;'(r),
(5.1.2)
Tn=Tn(xz) xe(Yn Yn) x e (тп ■ т" 1
l = \,Ln,n = \,N,

0,1-10
0,06-10
Рис. 5.1.7. Плотности тепловых потоков, идущие на прогрев
образцов, 1 - эксперимент №1,2- №2, 3 - №3, 4 - №4, 5 - №5, 6 - №6
,п0,
Т,Чх,т"тт) =Т™(х), х elY^Y/1],! =\,Ln, n = \,N, (5.1.3)
(5.1.4)
_^(Г)^-(У0")т)=<71"(т),те(т^п,т^х].п = 1-^
ох
Te(0,T^ax],n = UV,
дТ" дТ"
k"l (Г)"Г" °7'т) = Хм (Г) -Г1 (У/".т),/ = !,/.„ -1,
(5.1.5)
дх
дх
те(0,Ттах].п = 1.#.
(5.1.6)

дТ,п
-yj\ (Г) -±- (У,", т) Я," (Г) = Т? (У,", т) - T,n+i (У,", т), ,
l = \,Ln-i, те(01т^ах],п = 1,ЛГ. (5.1.7)
В каждом планируемом эксперименте определятся величина
плотности теплового потока на подвижной границе <7х(т). Следуя
подходу изложенному в главе 2, определяемая из решения обратной
задачи функция ищется в параметризованном виде на сетке ш
т={т£=т^п+(*-1)ДтЯ1 k = \,K%,
Дт = (т^-т»ь)/(/С»-1)}^ (5.1.8)
Введем параметризацию искомых характеристик в виде
к
?"w = ip*4"(t)'b=^ (519)
где Фь (т), k = \,Nnp, n = \,N - система базисных функций;
р£, k = 1, N* ,n = \,N~ коэффициенты аппроксимации. Тогда
исходная задача сводится к определению вектора неизвестных параметров
Р={р}?,кр = %к;.
л=1
Таким образом, обратная задача в рассматриваемом случае
заключается в определении правой части граничного условия (5.1.5)
по данным измерений температуры в некотором ограниченном
количестве Мп точек пластины с координатами Х%,,m=\,Mn, n = i,N:
Т"ксп(*£,т) = /£(т), m = 1,Мя, п = 1,N,
У0" < Xf < Х2" <...< ХпМп < У^(т»1п), П = £ЛГ. (5.1.10)
Следуя подходу предложенному в [81], в качестве плана
измерений, рассматривается вектор X. Рациональный выбор схемы
измерений также основывается на использовании критерия D-оптимальности:
Х=агёттДХ),У0" <X£<y£(T^J,n = UV, (5.1.11)
где ДХ) = -det{4>fe/r(X)}, k = \,Kp, f = i,Kp,
а Ф(Х) - информационная матрица Фишера:

- Д ^ч x"f
Lmin
где S"feOt,T) = dTn(x,-d/dpk, k =\,Кр - функции чувствительности;
т^ - время окончания функционирования тга-го термодатчика,
которое равно тЦ,ах, если Х^ < У" (т^,ах), в противном случае т^ может
быть определено из уравнения
x£=57(tL,)- К(т)Л>
(5.1.12)
откуда следует, что
*!„, (xmii. )-*", ,_ т"
т£= J ^г, *(т) = |Ул(т>/т,
О
vnW
(5.1.13)
где Vn (т) - линейная скорость разрушения внешней границы.
Функции чувствительности для рассматриваемого случая
удовлетворяют следующей краевой задаче:
' Эт дх
я "\ f
у
dx" дт.п
—!—!- + К?
dT дх 1
\
dS?
l,k
дх
J
d27Jl (дТ,п
dT
дх
\ J
dXn{ д2Т{п dC}1 дТ{п dKj1 дТ/1 dSj1
+ 1 1-
dT дх2 dT Эт dT дх
dT
(5.1.14)
Te (Tmin.^maxl. l=i,Ln> n=\,N, k=i,Kp,
v?k(x,znmm)=0,xe(yin_vYln),l = \,Ln,n = l,N,k = \,Kp,(5AA5)
38"
U
.^(7)_Л^(у0")Т)_
dkl дТ? аЛ
дх
dT дх
Э^(У0п,т)=0,
т e(Tmin.Tmax]. n = i,N, k = i,Kv,
(5.1.16)

т e «iniTLx]- « = 1.^. k = \,Kp, (5-1.17)
SS" rfA.7 8T,n
1 dx l dT dx l-k l
3S, , . dX, . 8T, .
'+1 dx l dT dx '+1-* '
l=\,Ln -1, T€(T^in,Tmax]." = i,N,k=\,Kp, (5.1.18)
-A." (T)R? (T) -М- (У ", T) - _L_i_Л» (Г)Э" (У ", t) -
1 ' их ' аГ ox ' '*" '
-^(Г)^-(У'П'Т)^9^(У'П'Т) = W^ ~ ^^'^
;=1,L„ -i,xe{z^n,Tlax],n = \,N,k = i,Kp. (5.1.19)
Имея значение градиента минимизируемого функционала по
компонентам X, задачу оптимального планирования (5.1.11)
целесообразно решать численными методами условной минимизации, в
частности, проекции градиента. Итерационный процесс целесообразно
строить следующим образом:
1) Задается начальное приближение искомого вектора X ,
удовлетворяющее (5.1.10).
2) Задается значение вектора X на следующей итерации:
Y0n, x^<Y0n
xnm, Х0<х£<Х%%, (5.1.20)
Xm
n.S
Am+1' Лт+1 ъхт
*m=Xm'5_1-Y5t/U(X5))5. m=Mn,Mn -\,...,\n = \,N,
где - значение градиента минимизируемого функционала на
текущей итерации, Х^+{ = У£(т*ах),
рается на каждой итерации из условия
текущей итерации, X" . = У" (т^ахХ n = \,N шаг спуска у выби-

у5 = argmin(/(X5 -у5/'(Х5))),
Y0n<X? <-.<XnMn+i =Y£(tLx). (5.1.21)
3) проверяется выполнение соотношения
\\Xs^-Xs\\/\\Xs\\RKp<z, (5.1.22)
Здесь е - априори заданная точность решения задачи планирования.
Если уравнение (5.1.22) выполнено, то итерационный процесс
прекращается (в противном случае повторение пункт.2).
Вычисление градиента минимизируемого функционала в этом
случае осуществляется по формулам:
& -
J'x»m = -2>ЧфУ. (5.1.23)
r=\
где {ФГ .} матрица имеет вид:
-т _[**./' кфГ
Таким образом, зная производную каждого элемента матрицы
Фишера по искомым параметрам X,", т =Л,Мп, n = i,N можно
получить значение градиента минимизируемого функционала J(X).
Используя формулу дифференцирования интеграла, верхний
предел которого зависит от параметра, нетрудно доказать, что
т7
f as?
li
Э,%(Х£,т)—^-(Х£,т) +
l,J дх
дх
\
dx +
+Э/%(Х»,т^)Э;;у(Х^,т^)/уп(^)- (5Л.24)
Таким образом, для определения градиента минимизируемого
функционала достаточно знать поле функции чувствительности
^k(x,z),k = i,Kp,l = \,Ln,n = i,N.

Данная методика оптимального планирования условий
проведения нестационарного эксперимента была использована для
определения координат установки термодатчиков в образцах.
Следует отметить, что для нелинейных задач теплообмена
теоретически возможно построение только локально-оптимальных планов
[28] с привлечением априорной информации об искомой в обратной
задаче характеристике. Однако приводимые ниже результаты
показывают, что результаты планирования для данной задачи не зависят
от коэффициентов параболического уравнения (5.1.2).
Ниже представлены результаты оптимального планирования
для образца с условиями разрушения соответствующих
эксперименту №5.
На рис. 5_Л.8 представлены результаты расчета критерия
оптимальности /СО при М$ = 1, выполненные параметрически. (То есть
расчет производился путем последовательного вычисления J(X\ j),
i =\,пх, где пх - число узлов разностной сетки). Определяемый в
результате эксперимента тепловой поток q^ (т) аппроксимировался ку-
7
0,5
0 0,006 Yvm
Рис. 5.1.8. Результаты планирования эксперимента

бическими В-сплайнами (Np = 5). При этом, как и следовало
ожидать оптимальная точка размещения термодатчика находилась в
точке на внешней границы образца в момент окончания эксперимента.
Проведенные расчеты показали, что представленный алгоритм за 1
итерацию (S = 1) находит оптимальное положение одного
термодатчика Х^О.ООб м.
Более интересными представляются результаты решения задачи
оптимального планирования для М = 2. В этом случае расчеты пока-
зали, что оптимальными являются значения Хт = 0,006, т = \,М, т.е.
для измерения плотности теплового потока достаточно наличие одной
термопары, установленной на границе зоны разрушения образца.
Полученные результаты представляется интересным сравнить с
результатами, полученными в [51]. Можно было бы ожидать, что
при наличии 2-х и более термопар оптимальное местоположение
термодатчиков начиная с второго (т = 2, М) будет находиться в зоне
разрушения образца. При этом на некотором интервале времени
термодатчик будет максимально приближен к нагреваемой
поверхности, но регистрация показаний будет производиться не все время
эксперимента, а только при т е [imin,im < ттах]. Однако, полученные
результаты показали обратное: не имеет смысла установка термопар
при решении граничной обратной задачи в разрушаемую зону
термодатчика. Аналогичные результаты были получены и при
оптимальном планировании для всех остальных режимов разрушения
образцов, а также при оптимальном планировании измерений для
образцов, выполненных из других материалов.
5.2. Предварительное сравнение различных
математических моделей теплообмена
В данном разделе анализируется та же совокупность 6
экспериментов, что и в § 5.1. Основываясь на решении граничной ОЗТ
можно провести анализ влияния различных факторов двухфазных
потоков на усиление теплообмена, как это было сделано в § 5.1. Однако
целью данной работы является построение физически ясной и
математически представимой модели взаимодействия материала с
двухфазными потоками. Такая задача требует исследования процессов,
протекающих на поверхности материала. Несмотря на очевидную
сложность механизма взаимодействия двухфазных потоков с
материалами, реальный путь его исследования заключается в
схематизации и выделении каждой из многих его составляющих.
Для этих целей в данном параграфе рассматривается некоторая
совокупность моделей теплообмена на поверхности с возрастающей

сложностью структуры. При этом учитывается, что в процессе
экспериментальной обработки достоверно могут быть определены
следующие параметры двухфазного потока: 7^ ~ температура в рабочей
камере, V„ - скорость истечения газа из сопла, Сд - теплоемкость газа,
G„ — массовый расход твердой фазы, V„ — скорость частиц твердой
фазы.
Профиль используемого в экспериментах сопла (с малыми
углами наклона к оси образующих в до- и сверхзвуковой области течения
и большим радиусом сопряжения) выбран так, чтобы уменьшить
влияние инерционных сил на движение частиц. При этом
предполагалось, что в случае отражения частиц от стенки сопла это явление
не окажет большого влияния на распределение их пространственной
плотности из-за малости угла соударения.
Численные расчеты показывают, что в звуковой части сопла
частицы диаметром d„ < 200 мкм успевают нагреться до температуры
газа в форкамере 7^, однако в сверхзвуковом раструбе охлаждение
происходит по-разному. Лишь очень мелкие частицы теряют
значительную часть своей внутренней энергии, тогда как частицы
диаметром dp < 100 мкм охлаждаются слабо. Далее, за счет торможения
частиц за ударной волной перед обтекаемой моделью, частицы с
диаметром d„ < 50 мкм не только теряют значительную часть своей
скорости, но и нагреваются опять до температур, соизмеримых с
температурой газа в форкамере газодинамической установки.
Варьируя диаметр частиц при постоянных параметрах газа в
форкамере, можно в широких пределах изменять условия
воздействия частиц на модель. Однако необходимо учесть, что перегрев
частиц выше некоторой характерной температуры может привести к
потере прочности и их дроблению при случайных столкновениях,
что вносит неопределенность в их фракционный состав и в
реальную скорость соударения с моделью. С этой точки зрения в данном
случае предпочтение отдано частицам с характерным диаметром
dp = 50 мкм, поскольку они обеспечивают наиболее высокое
значение скорости соударения и относительно низкую собственную
температуру.
Теплоемкость газа принималась для всех экспериментов равной
2,145 кДж/кг К. Скорость твердой фазы Vp = 1040 м/с. Остальные
параметры двухфазного потока представлены в таблице 5.2.1
Схема конструктивного исполнения исследуемых образцов,
показанная на рис. 5.1.2, позволяет рассмотреть одномерную
постановку задачи теплопереноса в предположении малости тепловых
потоков по нормали к боковой поверхности чувствительного элемента.

Таблица 5.2.1
Значение температур и давления в камере установки
и массовой скорости частиц
№ эксперимента
Th,K
кг
И м с
Д,Н/м2
1
1555
9,8
35 ■ 105
2
1592
7,8
35 Ю5
3
1711
0
35 Ю5
4
1475
10,6
85-Ю5
5
1583
20,6
85 Ю5
6
1582
0
85 105
Модель теплопереноса в рассматриваемых образцах может быть
представлена в виде
ск дх
хСГ>!г
от
Т=Т(х,т), хе (0,Ь), т е (0,ттах),
Пх,0)=Т0(х),хе[0,Ь(0П
_X(T)^(0,t)=<7i(t),
дх
-ЦГ)^(Ь(т)(т)=<7х(т),
от
(5.2.1)
(5.2.2)
(5.2.3)
qx=H(TklVg,Cg,Gp,Vp,...), (5.2.4)
Первая, из рассматриваемых, модель теплообмена на
поверхности записывается аналогично случаю конвективного теплообмена,
используя некоторый эффективный коэффициент теплоотдачи:
-Х(Т) — (Ь(т),т) = Н
дх
( \
а
кср;
ае - ij,
(5.2.5)
где энтальпия газа определяется расчетным путем. Предполагается,
что коэффициент (а/Ср) постоянен в течение каждого эксперимента.
Во второй модели учитываются следующие факторы:
конвективный теплообмен, превращение кинетической энергии частиц в
тепловую энергию и тепловой эффект поверхностного разрушения
материала:
-ЦгАь(т),т) =
дх
( \
а
VCPJ
(/е-/о)-/о
GpVp
+ Qpb(t), (5.2.6)

где /о — коэффициент аккомодации кинетической энергии частиц, р -
плотность материала, Q - тепловой эффект разрушения материала,
который предполагается постоянным в течение эксперимента.
В третье модели, кроме того, рассматривается интенсификация
теплопередачи от высокотемпературного газа за счет нарушения
ламинарной структуры течения в пограничном слое выбитыми
частицами:
-игАь(т),т) = н
ох
г
ос
ае
G V2
Ае>) _ /о —~—
\^PJ
+дРЬ(т)-хрЬ(т)(7е -IJ,
(5.2.7)
где х ~~ коэффициент усиления теплоотдачи.
В модели (5.2.7) использованы все вышеприведенные
определяемые характеристики двухфазного потока. Поэтому дальнейшее
усложнение структуры математической модели осуществляется
путем учета зависимости коэффициента теплоотдачи от различных
факторов. Известно, что определяющими факторами для
коэффициента теплоотдачи являются число Маха М, число Прандтля Рг,
температурный фактор Iw/Ie и др. Все они, за исключением
температурного фактора, остаются практически неизмененными в течение
всего эксперимента (см. §5.1), поэтому в данном параграфе
анализируется зависимость:
а
Р J
а
\^Р J
Khj
(5.2.8)
Вид зависимости коэффициента теплоотдачи от температурного
фактора априорно неизвестен. Следуя подходу, рассмотренному в
§2.1, зависимость (5.2.8) аппроксимируется кубическими В-сплай-
нами с естественными граничными условиями
а
'Р )
k<Pk
\*е J
(5.2.9)
где
Ф*
\* е J
= Ф0
-^--k\
К *'е J J

\*e J
\Ie J
\* e J
/Ofe-l),
(5.2.10)
- T ч.тах , T
- максимальные и минимальные значения темпе-
1 е J Л ■* в )
ратурного фактора.
В дальнейшем все рассматриваемые модели теплообмена на
поверхности будут называться моделями № 1, №2, №3, №4 соответственно.
Следует отметить, что в данном исследовании модели
теплообмена на поверхности не содержат члены, описывающие тепловое
излучение с поверхностей. Это объясняется тем, что при проведении
математического моделирования было установлено, что изменение
интегральной степени черноты от 0 до 1 в рассматриваемых случаях
вызывает изменение поля температур в местах заделки
термодатчиков не более 1 К, а это существенно уступает погрешностям
измерений. Поэтому для рассматриваемых экспериментов исследование
теплового излучения с поверхности не представляется возможным.
Итак, в анализируемые модели теплообмена на поверхности
входят некоторые совокупности неизвестных характеристик
(а/С )0,/о, Q,%.
Для любой модели их можно представить в виде вектора
неизвестных параметров
1) модель N1: р = {(а/Ср)0), Np = 1,
2) модель N2: р = {(a/Cp)0,f0,Q}, Np = 3,
3) модель N3: р = {(a/Cp)0,f0,Q,x), Мр = 4,
4) модель N4: р ={а^}1 а,
где а^ =\,Na параметры аппроксимирующего В-сплайна.
Таким образом, все модели теплообмена можно записать в виде:
(ятЛ ■
-к— =H(Ie,IwMt),PuGp,Vp,p)=H(G,p). (5.2.11)
^дх
J W
Окончательно можно сформулировать рассматриваемую задачу
следующим образом: необходимо определить вектор неизвестных
параметров p={a.k}^a, удовлетворяющий краевой задаче (5.2.1)-
(5.2.4).по дополнительным измерениям температуры в точках Хт,
т = \,М.
Алгоритм решения подобной задачи подробно изложен в §2.3,
поэтому ниже приводятся некоторые необходимые соотношения для
анализируемых моделей теплообмена.

Модель №1
дН _
дТ ~
а dlw
V Р/0
^- = -(1 -I )
дР\
Модель №2
дН _
дТ ~
С \
а
[CPJ
dlw
л дТ'
0
^- = -(1 -I )
дрх
8Н _ G^
др2 2
—— = -Ь(т)р,
дРЗ
Модель №3
дН _
дТ ~
,Ср)
дТ
0
дТ
ян
соотношение для , k = 1,3 те же, что и для модели №2
(5.2.12)
(5.2.13)
(5.2.14)
(5.2.15)
(5.2.16)
(5.2.17)
(5.2.18)
дН
= -X^)Pae-Iw),
SPi
Модель №4
дН
N„
d<Vi
1 dl
dT~^aKdQJIe)Ie 8T
wQe-Iw) +
а
\ P )
dl.
w_
дТ'
дН
8pk
fт \
= "Ф*-2
V.-'e J
(Ie -Iw),k = \,K.
(5.2.19)
(5.2.20)
(5.2.21)

Результаты идентификации коэффициентов для
математических моделей №1, №2, №3 представлены в таблице 5.2.2
Следует отметить, что решение обратных задач для моделей №2
и №3 проводились с учетом ограничений на искомые параметры
а
\ Р j
, fo, Q-
О
а
\СР]
>0,
2) 0 < /Ь < 1,
3)Q>0.
Этим и объясняются одинаковые значения /о и Q для различных
экспериментов. Равенство нулю значения теплового эффекта
разрушения поверхности означает, что материал уносится
преимущественно механическим путем, это подтверждается восстановленными
значениями температуры поверхности.
На рис.5.2.1 сравниваются экспериментальные данные с
расчетными значениями температур в местах установки термопар.
Среднеквадратичные уклонения расчетных значений температур от
экспериментально измеренных представлены в таблице 5.2.3
Таблица 5.2.2
Значение коэффициента теплоотдачи
"/>Уо
коэффициента
аккомодации /д, энтальпии разрушения материала и коэффициента
влияния вдува продуктов разрушения в пограничный слой %
для различных математических моделей теплообмена
№

перимента
1
2
3
4
5
6
Модель №1
( \
а.
1СР>
кг
' м с
9,55
8,35
4,9
17,3
26,1
15,9
Модель №2
( \
а
1СР>
кг
' м с
7,24
5,72
4,9
11,64
19,33
15,9
fo
1
1
0
1
1
0
Дж
я,—
кг
0
0
0
0
0
0
Модель №3
а
кг
' м с
4,4
4,3
4,9
9,7
18,73
15,9
fo
1
1
0
1
1
0
X
0,059
0,31
Дж
я,—
кг
0
0
0
0
0
0

f-
fi
<ьх
— /
□ -2
о -3
x -4
3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с 3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с
Рис. 5.2. /а, б. Показания термодатчиков f и расчетные значения
температур Т, как функция времени х, с. 1 - восстановленные значения,
2 - расчетная модель №1, 3 ~ расчетная модель №2, 4 - расчетная модель
№4
1100
Г, К
900
700
500
300
в
Q^x
У
X*
Л
Г
1л
— - /
□ -2~
о -3
х - 4
1 1100
3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с 3,5 4 4,5 5 5,5 6 х,с
Рис. 5.2.1в, г

1100
г, к
900
700
500
300
а
п -2
о -3
х -4
, Л
о
Я1х
Г
f/f
VxU
1 ■
1100
т,к
900
700
500
300
г
о -2
х - 3
, А
о
Х^
У
3,5 4 4,5 5
Рис. 5.2.1д, с
5,5 6 т,с 3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с
Кроме того на рисунке 5.2.2 сравниваются расчетные значения
температуры на разрушаемой поверхности (при использовании
различных моделей теплообмена) с восстанавливаемыми значениями из
решения граничной ОЗТ. Необходимо отметить, что в граничной
ОЗТ рассматривается вполне адекватная модель теплообмена
(граничные условия 2-го рода). Это подтверждается значениями
минимизируемого функционала по окончанию итерационного процесса
(таблица 5.2.3, правая колонка)
Таблица 5.2.3
Среднеквадратичные уклонения расчетных значений температур
от экспериментально измеренных в результате решения обратной
задачи для различных моделей
№
эксперимента
1
2
3
4
5
6
Л,*2
0,28-105
0,9 104
0,16 Ю4
0,12 105
0,2 105
0,35-105
h.K2
0,24-105
0,81 • 104
-//-
0,1 МО5
0,2-105
-//-
Jj.K2
0,47-105
0,99-10"
-//-
0,21-105
0,25 105
-//-
J А, К2
0,24-105
0,36 104
0,11 Ю4
0,11 Ю5
0,1-105
0,7-103
J,K2
0,35 ■ 103
0,16 Ю3
0,16 Ю4
0,75 103
0,15-103
0,28-103

1100
г, к
900
700
500
300
а
?J
У .
/Г5
т
и -2
о -3
х -4
l l
300
3,5 4 4,5 5 5,5 6 х,с 3,5 4 4,5 5 5,5 6 х,с
Рис. 5.2.2а, 6. Зависимость температуры поверхности образцов Тш
от времени, 1 - восстановленные значения, 2 - расчетная модель №1, 3 ~
расчетная модель №2, 4 - расчетная модель №4
Г, К
1100
900
700
500
300
в
/
/
/
( 1 1
1
/
/
с
о -2
х -4
Г, К
1100
900
/UU
500
5ЛП
г
Л
й
р
1
1
J
/
п -2
о -3
х -4
_ _l- i
3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с 3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с
Рис. 5.2.2в, г

г, к
1100
900
700
500
300
д
' п
о
X
- /
- 2
-3
-4
J
i xT
/Я*
Л?
U1!
Йт
р
г, к
1100
900
700
500
300
е
/
/
i_Q,Li
^х—х
/х
/о
>
о -2
х -4
i i
3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с 3,5 4 4,5 5 5,5 6 т,с
Рис. 5.2.23, е
Из результатов, приведенных на рис.5.2.1, рис.5.2.2 и в таблице
5.2.3 можно сделать вывод, что математическая модель №2 более
точно описывает исследуемые процессы теплообмена, чем
модель № 1. Для последующего увеличения числа определяемых
параметров (модель №3) недостаточно информативности проведенных
экспериментов, поэтому использование этой модели не приводит к
улучшению согласования расчетных данных с экспериментальными.
На основе этого можно сделать вывод, что модель №2 для
рассматриваемых экспериментов наиболее адекватно отражает явления,
протекающие на поверхности образцов.
Следующим шагом был анализ зависимости коэффициента
теплоотдачи от температурного фактора (в предположении Н =0,
/о = 1). Результаты расчетов представлены на рисунках 5.2.1-5.2.3 и
в таблице 5.2.3 (модель №4). Кроме того, зависимость
коэффициента теплоотдачи от температурного фактора -^— = -^— -^-
представлена на рис.5.2.4.
с \
а
{Ср\
=
С \
а
1СР)
0
(I Л
Je J

, Вт/У (.а/Ср)0,кг/^с q Вт/У
0,6-10'
Y
/
2
А
rr.-jGi.rn.
а
Г-S--
(,a/Cp)0,YT/v?c
25 0,610
3,5 5 т,с 3,5 5 \ т>с ■)
BW (а/Сл)0,кг/м^с „ , Вт/У (а/Ср)п,кг/мГс
0,6-10'
/
2
- 4
25 0,6-10
cl, Вг/*2
0,6-10
5 т,с 3,5
(a/Cpl.Kr/i^c a, Bt/i^
Т,С 2
(а/СА.кг/нГс
25 0,6-10'
е
/
2
- 4
_._\--:
25
т,с
3.5
т,с
Рис. 5.2.3а~е. Зависимость теплового потока q^ и коэффициента
теплоотдачи (а/Ср)0. 1 - q^, 2 - (a/Cp)Q при использовании модели №1,
3 - (а/Ср)0, 4 - (а/Ср)0 - модель №3

(a/Cp)0 kt/iA
25
/
2
3
^t^W^
a
■ Ж
0,5 L,/Ic
(g/Cp)0 kt/n^c
25
/
3
e
0,5 LJL
(а/Ср)п,кг/у?с
25
/
3
Ш
a
sss^^'
0
0,5
(a/Cpl.Kr/i^c
"P'o
25
/
3
_L2^
6
0,5 LJh
(а/Ср)п,кг/м2с
25
/
2
3
:^
г
0,5 Iw/Ic
(a/Cp)Q kt/m2c
25
/
3
e
■ !J«rf&
Uss^
4/'c
0
0,5
V'c
Рис. 5.2.4а~е. Зависимость коэффициента теплообмена (а/Ср)0,
кг/м с от температурного фактора 1Ю/1С. 1 ~ модель №1,2- модель №2,
3 - модель №4

Все результаты свидетельствуют о том, что использование
функциональной зависимости для представления коэффициента
теплоотдачи приводит к некоторому уменьшению рассогласования
расчетных и экспериментальных данных.
Как видно из рис. 5.2.4 для всех экспериментов характерна одна
и та же тенденция - рост коэффициента теплоотдачи с увеличением
температурного фактора. Можно высказать предположение, что
рост коэффициента теплоотдачи объясняется увеличением
шероховатости поверхности (зависимость которой от времени не может
быть измерена экспериментально). Однако увеличение
коэффициента теплоотдачи наблюдается так же в экспериментах №3 и №6 , в
которых разрушение поверхности отсутствует вовсе. Это
обстоятельство подтверждает правомерность анализа зависимости коэффициента
теплоотдачи от температурного фактора.
К сожалению полученные в данном исследовании результаты
относятся к различным условиям двухфазного обтекания, и на их
основе и на их основе затруднительно построить критериальные
зависимости для характеристик теплообмена, например вида:
СХ ОС Jfly _ Т7
— ,bp,Vp,lk,pk,..
KCPJ
СР
Однако их можно рассматривать как первый шаг в комплексном
исследовании взаимодействия материалов с двухфазными потоками
методом обратных задач.
Важным так же является вопрос о достоверности полученных
результатов. Было проведено математическое моделирование для
анализа влияния погрешности термодатчиков на точность решения
обратной задачи (для модели теплообмена №4). Зависимости
а
^ 'I ^
v Р )
1 w
0\JeJ
, полученные по результатам обработки
экспериментальных данных, восстанавливались при решении модельных обратных
задач для исходных данных, заданных с погрешностью.
Рассматривались погрешности распределенные по нормальному закону
(5^-) =0,1 и равномерное смещение 5/- е (-0,5;0,05), что по оценкам
экспериментаторов превосходит возможные погрешности
измерений. Результаты породили доверительные интервалы решения
обратных задач, которые представлены на рисунке 5.2.4
Кроме того в экспериментах №1, 4, 5, 6 регистрировались
показания двух внутренних термодатчиков. Поэтому для этих
экспериментов обратные задачи решались как по показаниям обоих термо-

датчиков, так и по каждому в отдельности. Расхождения в
полученных результатах пс превосходят 8% и целиком находятся в границах
доверительных интервалов (рис.5.2.4).
Таким образом, можно говорить о достаточной достоверности
получаемых оценок неизвестных характеристик (величина
погрешности не превосходит 10%).
5.3. Модернизация экспериментального оборудования
и результаты решения задачи оптимального планирования
Для проведения второго этапа экспериментальных
исследований была модернизирована испытываемая модель (рис.5.3.1). С
целью уточнения влияния различных факторов двухфазных течений
на теплообмен в исследуемую модель одновреметго устанавливалось
несколько медных чувствительных элементов (в центре модели и с
шагом 1=40мм по направлению от центра). Это позволяет
одновременно обрабатывать данные для нескольких процессов теплоперепо-
са при одинаковых определяющих факторах пылевых потоков.
При идентификации процессов теплообмена важной проблемой
является обеспечение максимальной достоверности конечных
результатов. Один из наиболее эффективных путей решения данной
проблемы базируется на применении подходов и методов
математической теории планирования эксперимента. Учитывая результаты
вычислительных экспериментов, представленные в главе 3 в
качестве критерия оптимальности совокупности N экспериментов, характе-
Рис.5.3.1 Схема модифицированной экспериментальной модели (вид
со стороны внешней поверхности)

ризующего точность решения анализируемой обратной задачи,
будем использовать детерминант матрицы (3.1.16)
/<£>=-detD, (5.3.1)
П
meD={Dk j),Dk j = х ]^^dx,k=ur:,j=щ:,п=щ^.
^J0dpk dPj
Рассмотрим далее вопрос формирования плана эксперимента \ и
множества возможных планов Е. При использовании
экспериментального оборудования для исследования процессов
тепломеханического взаимодействия материалов с двухфазными потоками (см.
§5.1) из всех условий проведения эксперимента имеется
практическая возможность варьировать только двумя из них: температурой в
камере сгорания Tk и временем окончания регистрации параметров
процесса теплообмена хт. Следовательно, план эксперимента
представляет собой вектор
£,={Т£,хпп,п = Щ}. (5.3.2)
Компоненты плана эксперимента должны удовлетворять
следующим физическим ограничениям:
■* min — *k ■'max
хь <хт <,хр
(5.3.3)
где Tmin и Ттах - нижнее и верхнее предельные значения
температуры в камере, Т{, - минимальное время, требуемое для регистрации
сигналов, х" - время, за которое образец полностью разрушается.
Ограничения вида (5.3.3) и формируют множество возможных
планов Е е R . При решении задач планирования в соотношениях
(5.3.3) задавались следующие величины: T£in = 1400К,
T'max = 1400К, Xf, = 0,01, п = \,N. В качестве х" п = \,N, выбиралось
время разрушения термодатчика, расположенного наиболее близко к
нагреваемой поверхности. При этом предполагалось, что скорость
движения внешней границы не зависит от планируемых условий
проведения эксперимента, что объясняется более сильным
влиянием, оказываемым на разрушение твердыми частицами по сравнению
с газовыми потоками.
Сформулировав задачу поиска оптимального плана
эксперимента, далее можно использовать алгоритм, представленный в главе.3 ,
при этом

(Dkj)' = \(ykj)w—-dx,
<D*,/>;« =
дт:
дНп dHn{inn)
" fyk fyj
(5.3.4)
(5.3.5)
где \\ikj - решение краевой задачи, сопряженной линеаризованной
формой исходной прямой задачи (см. §3.3)
Все вычисления проводятся применительно для математической
модели № 4. Для нее справедлив следующие отношения:
дН_
дТ
^?k
К*е J
ав -iw),k=\,Na
(5.3.6)
Фй
dQJIe)U
е J
дТ
ае
*ю> + Фй
1 га
дТ
(5.3.7)
В расчетах анализировались различные совокупности из двух и
трех экспериментов. Полученные результаты имеют одинаковый
характер и заключаются в следующем. При проведении и совместном
анализе данных двух экспериментов необходимо задавать
следующие условия: т£ = т£, п = 1,2, Т* = Гтах, Т* = Гт1п. Результаты
анализа трех экспериментов показывают, что добавление третьего экс-
перимента с промежуточным значением Tmin < Г, < 7*тах оказывает
слабое влияние на значения критерия оптимальности и,
следовательно, можно ограничиться совместным рассмотрением двух
экспериментов. Последнее обстоятельство можно объяснить тем, что
анализировались только постоянные значения ТР, n = \,N. По видимому,
точность решения обратной задачи можно повысить за счет
реализации некоторых законов изменения температуры в камере по времени
Г"(т), n = \,N. Кроме того, дальнейшее улучшение (в принятом
смысле) качества эксперимента можно обеспечить за счет
расширения диапазона возможных значений температуры в камере [35].
Следует еще раз отметить, что при обработке
экспериментальных данных целесообразно совместно анализировать всю
имеющуюся информацию, даже если имеет место переопределенность данных
по числу экспериментов. В большинстве случаев это позволяет
компенсировать возникающие погрешности измерений.

5.4. Идентификации математической модели теплообмена
более сложной структуры
При обработке экспериментальных данных на втором этапе
исследований, также предполагалось, что процесс теплопереноса
внутри рассматриваемых медных чувствительных элементов
описывается одномерным уравнением теплопроводности. На внутренней
границе калориметров реализуются граничные условия первого рода.
На внешней границе рассматривается условие теплового баланса в
следующей форме:
Як
_ I — —<7конв Ятурб Ятер Яах> l.o.4.1,J
\"х Jw
где дКОИВ — плотность внешнего конвективного потока, подводимого
к калориметру, ^турб _ плотность теплового потока вследствие
дополнительной турбулентности, вызванной твердыми частицами,
Яшер ~ плотность дополнительного теплового потока как результат
увеличения шероховатости поверхности при взаимодействии
калориметра с двухфазными потоками, qAK - плотность теплового
потока, обусловленного аккомодацией кинетической энергии твердых
частиц на поверхности калориметров.
Потоки qKom и ^ак записываются в традиционном виде:
~\le-Iwl (5-4.2)
<7ax=/bGpVp2/2. (5.4.3)
Влияние дополнительной турбулентности может быть
представлено в виде [35]:
С1 — С1
Не - Л>1 Р- ЭР, (5-4.4)
*7турб 9конв/турб
СР,
°9
гдей! - безразмерный коэффициент, G„ - массовая скорость подачи
газовой фазы, G3p - массовая скорость разрушения датчика,
Оэр = рЬ(т).
Усиление теплообмена за счет шероховатости поверхности [35]
зависит от критерия Рейнольдса и соотношения между величиной
шероховатости поверхности h и толщиной потери импульса 9:
Яшер = Яштв /шер 7 -^ео' ' (эЛ.Ь)

где fmep - коэффициент шероховатости. Предполагается, что h равна
радиусу падающих частиц [35]
\VQ
0 = 0,245,-^
Р
( (т ^
1,44 - 0,4 ^
т
\l e J
(5.4.6)
V„ - кинематическая вязкость газа; р — градиент скорости газа в
окрестности критической точки:
P=T-^-Vp(2-p). (5.5.16)
on Kj-
где V„ — скорость набегающего потока; Rj - радиус датчика;
р = р„ /р2 _ отношение плотности газа набегающего потока к
плотности газа за скачком.
-_ (Д-1) 2 1
Р (Д + 1)Д + 1 ОС + ОмГ
где X - показатель адиабаты, i? — универсальная газовая
постоянная.
Re0= g g \ (5.4.8)
|i„ - динамическая вязкость газа.
Данная модель содержит в уравнении теплового баланса
неизвестные характеристики теплообмена а/С„, а.\, /щер, /*0, которые
определяют вклад отдельных учитываемых факторов теплообмена в
суммарном энергетическом балансе.
В §1.5 показано, что в общем случае анализируемая обратная
задача в приведенной выше формулировке не имеет единственного
решения. Для того чтобы обеспечить единственность, необходимо
совместно анализировать данные нескольких нестационарных тепловых
экспериментов, проведенных при различных режимах нагрева
анализируемых образцов. В рассматриваемом исследовании это
обеспечивалось одновременной обработкой данных полученных на трех
чувствительных элементах при различном тепловом нагружении.
Ниже приводятся результаты обработки экспериментальных
данных, полученных в процессе шести пусков экспериментальной
установки. Пуски отличались друг от друга значением температуры
в камере и потоком массы частиц. Скорость частиц твердой фазы
составляла Vg =1083 м/с, скорость газа V„ =1797 м/с, а массовый

расход газа Gq = 1490 кг/(м с). Остальные характеристики
процесса представлены в таблице 5.4.1.
Исследование модели теплообмена с двухфазным потоком
проводилось с помощью моделей описанных в § 5.3, изготовленных из
меди М2. Чувствительные элементы отличались между собой
начальной толщиной (размером по оси х), количеством и координатами
установки термопар, причем, одна из термопар располагалась на
тыльной поверхности, а остальные - во внутренних точках датчиков.
Координаты установки внутренних термопар, а также начальная
толщина образцов приведены в таблице 5.4.2.
В процессе нагрева датчиков двухфазным потоком
регистрировались момент времени начала эрозионного разрушения датчиков и
скорость перемещения внешней (нагреваемой) поверхности т™р и
Хп. Эти данные представлены в таблице 5.4.1. Результаты термо-
парпых измерений во всех пусках показаны на рис.5.4.1 и 5.4.2.
В результате решения обратной задачи определялись параметры
а/Ср, flj, /шер, /о математической модели. Кроме того,
рассчитывались нестационарное поле температур в датчиках, плотность
поступающего в датчики теплового потока <7^(т), а также отдельные
составляющие уравнения теплового баланса с целью оценки их вклада
в общий баланс в процентном отношении к значению q^ (в момент
времени т , такой что q\i.i ) = ттахб7^(т)).
Таблица 5-4.1
Моменты начала разрушения н линейная скорость
разрушения образцов
Лг° пуска
1
2
3
4
5
6
dp, мкм
100
100
100
250
250
250
С„, кг / м с
3,4
5,7
8,4
5
6,4
7,8
г*, к
1705
1506
1711
1720
1499
1740
Т»Р. с
0,4
0,16
3,86
3,285
3,11
3,06
Ь(т), мм / с
1,8
3,1
3,5
2,5
3,4
4,14
При решении обратной задачи совместно анализировались
экспериментальные данные, полученные в трех пусках для
чувствительных элементов с одинаковым положением относительно центра
модели. Пуски выбирались с одинаковым значением потока массы частиц
и отличались значением температуры в камере. Таким образом, было
обработано шесть групп экспериментов с данными трех пусков в

каждой группе. Три группы экспериментов соответствовали
диаметру частиц ri =100 мкм и три группы - d„= 250 мкм.
Результаты обработки экспериментальных данных для первых
трех групп представлены в таблице 5.4.3, а для вторых трех групп -
в таблице 5.4.4. Полученные при этом значения температур в местах
установки термопар, а также плотность поступающего в датчик
теплового потока qx и для некоторых датчиков температура
разрушающейся поверхности Tw приведены па рис.5.4.1 и 5.4.2. Следует
отметить, что при решении обратной задачи на искомые параметры
накладывались ограничения (а/С„)о > 0, f < 0,7, ах > 0. При этом во
всех анализируемых группах данных восстановленный параметр /"0
принимал максимально возможное значение.
1000
500
300
3,285 4,285
3,285 4,285
3,285 4,285
Рис.5.4.1а~в. Результаты испытаний при dp = \ 00 мкм, пуск - /.
/ - экспергьченталъиые данные, 2 — левые граничные условия, 3 —
расчетные данные, 4 — Тт, 5 ~ дх

1000
500
0
г
\ • •"*
2
о -3
1000
500
0
д
1 °
L ■ ^*
2
о -3
Г
1000
500
3,11 4,11 т 3,11
Рис.5-4.1?,-е. Пуск - 2.
4,11
0,
е
L . — •"
2
о -3
3,11 4,11
Полученные результаты показывают достаточно (15%) хорошее
соответствие для различных чувствительных элементов. Это и
ожидалось, поскольку внешние условия для твердой фазы были
одинаковыми. Имеющиеся различия объясняются наличием неучтенных
систематических погрешностей измерения. Из данных таблиц 5.4.3 и
5.4.4 видно, что в общем тепловом балансе па разрушающейся
поверхности влияние шероховатости поверхности при dp= 100 мкм
является незначительным в отличие от случая, когда dp= 250 мкм.
Остальные учитываемые в математической модели факторы оказывают
заметное влияние.

tooo
500
О
ж
с
из--'*
•<•
2
о -3
1000
500
0.
3
Ч °
Г
2
о -3
1000
500
3,06 4,06 х 3,06 4,06
Рис.5-4.1 ж~и. Пуск - 3-
0
и
1
От - ш ^
2
о -3
3,06 4,06
Как видно из представленных результатов использование
математической модели (5.4.1) приводит к существенно лучшему
совпадению экспериментальных температур с расчетными по сравнению с
результатами представленными в §5.2. Однако, достигаемое
значение минимизируемого функционала остается большим, чем
погрешность измерений, что свидетельствует о том что полученная модель
остается достаточно грубой и необходимо дальнейшее развитие
структуры математической модели взаимодействия материалов с
гетерогенными потоками. Тем не менее, вся совокупность результатов,
приведенная в данной главе, демонстрирует эффективность
применения комплексной процедуры (идентификация - оптимальное
планирование) к определению характеристик взаимодействия
материалов с внешней средой.

г, к
700
500
300,
а
/
/
1 .
1 }
1 /
1 /
1 А
1/ )
'</ Р
2
о -3
4
J.
/
У .'
^
т,к
700
500
300,
-•-2
о -3
- 5\
]
и
/ ■
••
6 J
■ у
,,
У
% т. к
700
500
300,^ff-f
10 • 105
в
/ J у у
2
о -3
о
1
2 т,с о
1
2 т:,с
0
1 2 т,с
Рис.5.4.2а-в. Результаты испытаний при dp = 250 мкм, пуск - 4.
1 - экспериментальные данные, 2 — левые граничные условия, 3 —
расчетные данные, 4 - Tw, 5 ~ (]\
Г, К
700
500
300'
г ,
/
1
1
1
1 7
! У,
1 7 /у
Чж
2
о -3
7
/
Т,К
700
500
300
д
г -/У
1 У/
IУу
2
о -3
/'*
т,к
700
500
300>
е
У S
v у
Г У
' у
у
2
о -3
т,с 0 1
т,с
х,с
Рис.5.4.2г-с. Пуск - 5-

т,к
700
500
300,
0
ж
£&•—
— /
2
о -3
т,к
700
500
300,
0
3
т—- 1
2
о -3
.S
.*.'
Т.К.
700
500
и
/
/
зоо/
0
2
о -3
*
у
2,86 3,86 т,с 2,86 3,86 i,c 2,86 3,86
т,с
Рис.5.4.2ж-и. Пуск - 6.
Координаты установки термопар в образцах
(от внутренней поверхности) и начальная толщина
Таблица 5.4.2
№ пуска
1
2
3
4
5
6
№ датчика
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
ATi, мм
14,3
14,4
14,4
20,5
6,1
20,5
4,1
19,3
26,2
13,9
14,4
26,1
19,9
4,3
23,8
14,2
23
19,8
Хт, мм
20,3
20,6
20,5
23,6
11,8
26,2
7,1
23,5
-//-
19,6
20,2
-//-
23,8
8.2
26,8
20,6
28
23
Х^, мм
26,5
26,5
26,5
27,4
-//-
-//-
-//-
-//-
-//-
25,7
26,7
-//-
27,6
-//-
-//-
26,3
-//-
28
6(0), мм
30,6
30,6
30,6
30,6
16,3
30,6
11,1
30,6
30,6
30
30,6
30,3
30,6
11,5
30
30,6
30,6
30,6

Таблица 5-4.3
Результаты обработки экспериментальных данных при d„ = 100, мкм
№
чувствительного элемента
(а/Ср), кг/м2с
'/конв
Л
<7ак
°1
<7tvp6
/шер
/гаер
„max
1
4,5
65%
0,7
18%
10,4
15%
0,98-КГ6
2%
100%
2
4,6
63%
0,7
18%
8,98
18%
1,1 • Ю-6
1%
100%
3
4,2
69%
0,7
27%
6,01
13,5%
0^5 Ю-6
0,5%
100%
Среднее
значение
4,43
66,3%
0,7
21%
8,34
15,5%
0,8767 Ю-6
1,16%
100%
Таблица 5.4.4
Результаты обработки экспериментальных данных при dp = 250 мкм
М"»
чувствительного элемента
(а/Ср), кг/м2с
*1конъ
/о
<7ак
°1
<7tvp6
/шер
/шер
-Г"
1
5,98
35%
0,7
10%
32,5
30%
0,3511 Ю-5
25%
100%
2
6,31
31%
0,7
11%
44,17
31%
0,3816 -КГ5
26%
100%
3
6,13
30%
0,7
12%
45,3
38%
0,1539 1 (Г5
17%
100%
Среднее
значение
6,24
32%
0,7
11%
40,65
33%
0,296-10"5
22,6%
100%

Список литературы
1. Абалтусов В.Е., Алекссепко Н.Н., Кисель В.Н. и др. Теплообмен
и картина течения при обтекании пористых тел со вдувом газообразного
охладителя. - ТВТ, 1992, т.ЗО, №3, с.542-546.
2. Абалтусов В.Е., Немооа Т.Н. Исследование взаимодействия одио-
и двухфазных потоков с элементами активной теплозащиты. - ТВТ, 1992,
т.ЗО, №4, с.798-803.
3. Аодуеоский В. С, Апфимоо Н.А., Антонов Б.М. и др. Основы
теории полета космических аппаратов. Под ред. Г.С.Нариманова и М.К.Тихо-
нравова. - М.: Машиностроение, 1972, 607 с.
4. Аодуеоский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы
теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. Под ред.
В.К.Кошкина. - М.: Машиностроение, 1992, 520 с.
5. Аодуеоский B.C., Глебов Г.А. Теплообмен в передней критической
точкее перазрушаемого тела, омываемого потоком частично
ионизированного воздуха. - ИФЖ, 1970, т.18, №2, с.9-18.
6. Аодуеоский B.C., Глебов Г.А. Теплообмен в окрестности
критической точки на проницаемой поверхности. - ИФЖ, 1970, т.18, №5, с.27-36.
7. Аверков Е.И. Свойства теплового излучения титана и его
промышленных сплавов. - СФТЖ, 1991, №1, с.3-6.
8. Аверков Е.И., Гизатуллин Б.С, Киселев Г.А. и др. Исследование
тсплофизических и радиационных свойств теплозащитных покрытий
газодинамических импульсных устройств. - СФТЖ, 1991, №2, с.3-8.
9. Агабабов С.Г., Агабабов B.C. О калориметрическом методе
экспериментального определения степени черноты твердых тел. - ИФЖ, 1977,
т.32, №3, с.423-428.
10. Адаме М.С. Последние достижения в теории абляции. - Вопросы
ракетной техники, 1960, №4, с.16-35.
11. Алексеев А.К., Чистов А.Ю., Шведов Б.А. К определению
температуры в плотности теплового потока из решения обратной задачи
теплопроводности в термодеструктирующем материале. - ИФЖ, 1993, т.65, №6,
с.652-656.
12. Алифаиов О.М. Решение задачи нестационарной
теплопроводности и ее применение для исследования теплозащитных материалов. В кн.
Исследование нестационарного конвективного тепло- и массообмена. -
Минск: Наука и техника, 1971, с.322-333.
13. Алифаиов О.М. Применение принципа регуляризации для
построения приближенных решений обратных задач теплопроводности. - ИФЖ,
1972. т.23, №6, с.1084-1091.
14. Алифаиов О.М. Регуляризациоппые схемы решения обратных
задач теплопроводности. - ИФЖ, 1973, т.24, №2, с.324-333.

15. Алифаноо О.М. Обратная задача теплопроводности. - ИФЖ,
1973, т.25, №3, с.530-537.
16. Алифаноо О.М. Решение обратной задачи теплопроводности
итерационными методами. - ИФЖ, 1974, т.26, №4, с.682-689.
17. Алифаноо О.М. Граничные обратные задачи теплопроводности. -
ИФЖ, 1975, т.29, №1, с.13-26.
18. Алифаноо О.М. Обратные задачи теплообмена в исследовании
тепловых процессов и проектировании технических систем. - ИФЖ, 1977,
т.ЗЗ, №6, с.972-981.
19. Алифаноо О.М. Определение тепловых нагрузок из решения
нелинейной обратной задачи. - ТВТ, 1977, т. 15,№3, с.598-605.
20. Алифаноо О.М. Идентификация процессов теплообмена
летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). - М.:
Машиностроение, 1979, 216 с.
21. Алифаноо О.М. Об одном способе учета априорной информации
при решении некорректных обратных задач. - ИФЖ, 1985, т.49, №6,
с.925-932.
22. Алифаноо О.М. О выводе формул для градиента невязки при
итерационном решении обратных задач теплопроводности. I. Определение
градиента через функцию Грина. - ИФЖ, 1987, т.52, №3, с.476-485.
23. Алифаноо О.М. Обратные задачи теплообмена. - М.:
Машиностроение, 1988, 280 с.
24. Алифаноо О.М., Артюхин Е.А., Керов Н.В., Ненарокомов А.В.,
Трянин А. П. Моделирование и идентификация при исследовании тепловых
режимов. В кн. Прямые и обратные задачи теплообмена. Под ред. Алифано-
ва О.М, Гришина A.M., Трушникова В.Н. - Кемерово: КГУ, 1993, с.10-22.
25. Алифаноо О.М., Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В.
Идентификация математических моделей сложного теплообмена. - М.: Изд. МАИ, 1999,
268 с.
26. Алифаноо О.М., Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В.
Сплайн-аппроксимация решения обратной задачи теплопроводности, учитывающая
гладкость искомой функции. - ТВТ, 1987, т.25, №4, с.693-699.
27. Алифаноо О.М., Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В. и др.
Определение характеристик теплового взаимодействия материалов с двухфазными
потоками методом обратных задач. - ТВТ, 1993, т.31, №3, с.450-454.
28. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев СВ. Экстремальные
методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам
теплообмена, М.: Наука, 1988, - 288 с.
29. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Трянин А.П. Определение
плотности теплового потока на границе пористого тела из решения обратной
задачи. - ТВТ, 1983, т.21, №6, с.1160-1168.

30. Алифаноо О.М., Будник С.А., Михайлов В.В., Ненарокомов А.В.
Эксперментально-вычислительный комплекс для исследования теплофизи-
ческих свойств теплотехнических материалов. - Космонавтика и
ракетостроение, 2006, т.42, №1, с. 126-139.
31. Алифаноо О.М., Ненарокомов А.В. Влияние различных факторов
на точность решения параметризованной обратной задачи
теплопроводности. - ИФЖ, 1989, т.56, №53, с.441-446.
32. Алифанов О.М., Михайлов В. В. Решение обратной задачи
теплопроводности итерационными методами. - ИФЖ, 1978, т.35, №6,
с.1123-1129.
33. Алифанов О.М., Михайлов В. В. Решение граничной обратной
задачи теплопроводности в переопределенной постановке, ИФЖ, 1983, т.45,
№5, с.776-781.
34. Алифанов О.М., Михайлов В. В. О решении переопределенностей
обратной задачи теплопроводности с неточными данными. - ТВТ, 1985,
т.23, №1, с.120-125.
35. Алифанов О.М., Репин И. В. Исследование теплообмена в
гетерогенных потоках методом обратных задач. - ТВТ, 1993, т.31, №1, с.78-83.
36. Алифанов О.М., Румянцев СВ. Об одном способе решения
некорректно-поставленных задач. - ИФЖ, 1978, т.34, №2, с.328-331.
37. Алифанов О.М., Румянцев СВ. Об устойчивости итерационных
методов решения линейных некорректных задач. - ДАН СССР, 1979, т.248,
№6, с. 1289-1291.
38. Алифанов О.М., Румянцев СВ. Регуляризующие итерационные
алгоритмы для решения обратных задач теплопроводности. - ИФЖ, 1980,
т.39, №2, с.253-258.
39. Алифанов О.М., Румянцев СВ. О выводе формул для градиента
невязки при итерационном решении обратных задач теплопроводности. И.
Определение градиента через сопряженную переменную. - ИФЖ, 1987,
т.52, №4, с.668-675.
40. Алифанов О.М., Румянцев СВ. О выводе формул для градиента
невязки при итерационном решении обратных задач теплопроводности. III.
Расчет градиента с помощью сопряженной краевой задачи. - ИФЖ, 1987,
т.52, №6, с.981-986.
41. Алифанов О.М., Трянин А.П. Определение коэффициента
внутреннего теплообмена и эффективной теплопроводности пористого тела по
данным нестационарного эксперимента. - ИФЖ, 1985, т.48, №3, с.472-483.
42. Алифанов О.М., Трянин А.П., Ложкин А.Л. Экспериментальное
исследование метода определения коэффициента внутреннего теплообмена в
пористом теле из решения обратной задачи. - ИФЖ, 1987, т.52, №3,
с.461-469.

43. Анфимов Н.А. Горение графита в потоке воздуха при высоких
температурах. - Изв. АН СССР. Сер. Механика и машиностроение, 1964, №5,
с.3-11.
АА. Анфимов Н.А., Альтов В.В. Теплообмен, трение и массообмен в
ламинарном многокомпонентном пограничном слое при вдуве инородных
газов. - ТВТ, 1965, т.З, №3, с.409-420.
45. Анфимов И.А., Зайцев В.В. О соотношении теории и эксперимента
при исследовании уноса в условиях совместного воздействия конвективного
и лучистого тепловых потоков. В кн. Тепло- и массоперенос. Т.2. - Минск:
ИТМО АН БССР, 1972, с.444-453.
46. Анфимов Н.А., Полежаев Ю.В. Нестационарное разрушение
материалов в высокотемпературном потоке газа. В кн. Тепло- и массоперенос.
Т.2. - Минск: Наука и техника, 1966, с.11-16.
47. Артюхин Е.А. Планирование измерений для решения
коэффициентных обратных задач теплопроводности. - ИФЖ, 1985, т.48, №3, с.490-495.
48. Артюхин Е.А. Оптимальное планирование измерений при
параметрической идентификации процессов теплообмена. - Изв. СО АН СССР.
Сер. технических наук, 1987, т.П, вып.2, с.28-32.
49. Артюхин Е.А. Оптимальное планирование экспериментов при
идентификации процессов теплообмена. - ИФЖ, 1989, т.56, №3, с.378-382.
50. Артюхин Е.А., Баранов В.В., Ганчев Б.Г., Ненарокомов А.В.
Исследование нестационарного теплообмена при смачивании нагретых
поверхностей. - ТВТ, 1987, т.25, №5, с.975-979.
51. Артюхин Е.А., Будних С.А. Оптимальное планирование
измерений при расчетно-экспериментальном определении характеристик теплового
нагружения. - ИФЖ, 1985, т.49, №6, с.971-976.
52. Артюхин Е.А., Гусева Л.И., ТрянинА.П., ШибинА.Г. Влияние н-
еопределенности исходных данных на результаты планирования
температурных измерений. - ИФЖ, 1990, т.58, №5, С.748-753.
53. Артюхин Е.А., Жукова-Хованская О.Б., Ненарокомов А.В. и др.
Методы и алгоритмы идентификации радиационных характеристик тепло-
регулирующих покрытий по результатам летных экспериментов. Препринт
ИКИ АН СССР, №1336. - М.: ИКИ АН СССР, 1988, 52 с.
54. Артюхин Е.А., Киллих В.Е., Ненарокомов А.В., Репин И.В.
Исследование теплового взаимодействия материала с двухфазными потоками
методом обратных задач. - ТВТ, 1990, т.28, №1, с.111-116.
55. Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В. Определение параметров
поверхностного разрушения материала на основе решения обратной задачи
теплопроводности. В кн. Проектирование теплонагруженных конструкций. - М.:
МАИ, 1985, с.18-22.
56. Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В. Идентификация характеристик
поверхностного теплового взаимодействия материалов с газовыми потоками.
- ИФЖ, 1985, т.49, №4, с.592-598.

57. Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В. Решение обратной задачи по
восстановлению интегральной степени черноты твердого тела. - ТВТ, 1986,
т.24, №5, с.957-968.
58. Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В. О задаче определения
комплекса характеристик теплообмена на поверхности ТЗМ в условиях
нестационарного нагрева. В кн. Вопросы теплового проектирования Л А и их систем.
- М.: МАИ, 1987, с.8-14.
59. Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В. Оптимальное планирование
экспериментов при определении интегральной степени черноты материалов. -
ТВТ, 1988, т.26, №5, с.971-977.
60. Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В. Идентификация характеристик
теплового взаимодействия материалов с газовыми потоками. - ТВТ, 1990,
т.28, №2, с.323-330.
61. Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В. CHAMATI-комплекс программ
численного решения обратных задач теплопроводности. В кн. Тепловое
проектирование систем. Под ред. Б.М.Панкратова. - М.: МАИ, 1990, с.235-247.
62. Артюхин Е.А., Румянцев СВ. Об оптимальном выборе шагов
спуска в градиентных методах решения обратных задач теплопроводности. —
ИФЖ, 1980, т.39, №2, с.264-269.
63. Баженов В.И., Осин М.И. Посадка космических аппаратов на
планеты. - М.: Машиностроение, 1978, 159 с.
64. Бакиров Ф.Г., Зверев Т.Н., Кашапов Р.С, Шайхутдинов З.Г. О
решении обратной задачи переноса излучения частицами сажи сложной
формы. - ИФЖ, 1985, т.49, №6, с.921-924.
65. Бакум Б.И., Комарова Г.С. Влияние запыленности рабочего
потока гиперзвуковых аэродинамических труб на результаты измерений
теплопередачи. - ИФЖ, 1971, т.21, №5, с.811-814.
66. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные методы
решения некорректных задач. - М.: Наука, 1989, 128 с.
67. Башарин А.Ю., Кириллин А.В., Шейндлин М.А. Методика
экспериментального исследования оптических характеристик тугоплавких
материалов при сверхвысоких температурах. -ТВТ, 1984, т.22, №1, с. 131-137.
68. Башарин А.Ю., Кириллин А.В., Шейндлин М.А. и др.
Исследование оптических характеристик углеграфитовых материалов при лазерном
нагреве. - ТВТ, 1986, т.24, №1, с.76-81.
69. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные
методы. - М.: Наука, 1987, 600 с.
70. Бейкер Р. П. Влияние неравновесных химических процессов на
сублимацию графита. - Ракетная техника и космонавтика, 1977, т. 15, №10,
с.21-29.
71. БейлиА.У., МодакА. Численное моделирование лазерной абляции
с учетом отражений в каверне. - Аэрокосмическая техника, 1989, №10,
с.39-43.

72. Бертин Дж.Дж., Конайн У.Д., Ниппер М.Дж. Перемещение
поверхности фенольного найлона в воздушном потоке низкой плотности с
электродуговым подогревом. - Ракетная техника и космонавтика, 1969, т.7,
№11, с.140-142.
73. БерцунВ.Н., Гришин A.M., Исмаилов Н.Г. Термохимическое
разрушение углеграфитового тела в гиперзвуковом потоке газа. - ПМТФ, 1982,
№2(132), с.58-65.
74. Беспалов A.M., Горшков М.И., Карасов Ю.С. и др. О методе
обработки показаний графитового калориметра. - ИФЖ, 1980, т.39, №2,
с.242-245.
75. Беспалов A.M., Жданов В.В., Майоров А.И. и др. О применении
сглаживающих сплайнов в тепловом эксперименте. - ИФЖ, 1980, т.39, №2,
с.246-249.
76. Блох А.Г., Журавлев Ю.А., Рыжков Л. Н. Теплообмен излучением
(Справочник). - М.: Энергоатомиздат, 1991, 432 с.
77. Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической
технологии. - М.: Химия, 1975, 575 с.
78. Бояринцев В.И., Звягин Ю.В. Исследования разрушения углегра-
фитных материалов при высоких температурах. - ТВТ, 1975, т.13, №5,
с.1045-1051.
79. Броган Т. Использование аэродинамической трубы с
электродуговым нагревом для изучения проблемы входа в атмосферу. - Вопросы
ракетной техники, 1970, №5, с.58-69.
80. Будник С.А. О задачах планирования тепловых измерений. -
ИФЖ, 1980, т.39, №2, с.225-230.
81. Будник С.А., Ненарокомов А.В. Оптимальное планирование
измерений при определении характеристик теплового нагружения тел с
подвижными границами. - 1997, т.35, №3,.с.453-457.
82. Бураков В.А. Классификация механизмов и физические модели
взаимодействия частиц конденсированной фазы с разрушающимися
теплозащитными материалами. - ТВТ, 1992, т.30, №3, с.533-542.
83. Бураков В.А., Обухов Н.А., Файзуллин Р.К. и др. Комплексное
математическое моделирование взаимодействия высокотемпературных
двухфазных потоков с углеграфитовыми теплозащитными материалами. - ТВТ,
1992, т.ЗО, №5, с.992-1001.
84. Бураков В.А., Санду С.Ф. Термохимическое разрушение углепла-
стиковых теплозащитных материалов в высокотемпературном двухфазном
потоке, Физика горения и взрыва, 1992, т.28, №6, с.51-63.
85. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов
и жидкостей. М.: Физматтиз, 1963, 708 с.
86. Васильев Ф.П. О методе конечных разностей для решения
однофазной задачи Стефана. - ЖВММФ, 1963, т.З, №5, с.861-873.

87. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.
- М.: Наука, 1980, 520 с.
88. Васильева Н.А., Гончаров И.В., Миков В.Л. и др.
Экспериментальная апробация двухтемпературной теории теплопроводности
применительно к стержневым углеродным композитам. - ИФЖ, т.60, №6, с.968-974.
89. Васин А.В., Михатулин Д.С, Полежаев Ю.В. К вопросу
определения теплового состояния материала при его эрозионном разрушении. -
ИФЖ, 1987, т.52, №2, с.209-214.
90. Виноградов В.Л., Константиновский А.В. Определение
параметров плавления нитрида бора. - ТВТ, 1991, т.29, №6, с.1112-1120.
91. Вишневский Г.Е., Юдин В.М. Определение кинетических
параметров терморазложения полимеров методом решения обратной задачи. -
ИФЖ, 1969, т.16, №5, с.878-884.
92. Вощинин А.П., Дывак Н.П. Планирование оптимального
насыщенного эксперимента в задачах анализа интервальных данных. - Заводская
лаборатория, 1993, т.59, №1, с.56-59.
93. ТарсиаФ., Фаулер Дж. Система теплозащиты космического
транспортного корабля. - Вопросы ракетной техники, 1974, №9, с.30-40.
94. Геращенко О.П., Гордое А.Н., Лах В.И. и др. Температурные
измерения. - Киев: Наукова думка, 1984, 496 с.
95. Гидальго X., Каданов Л. Сравнение теретических и летных данных
по уносу массы. - Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, №1, с.48-54.
96. Головина Е.С., Котпова Л.А. Сублимация углерода в потоке. -
ТВТ, 1972, т.Ю, №2, с.368-379.
97. Гончаров Н.В., Миков В. П. Решение обратной задачи по
определению трех характеристик волокнистого композита. - ИФЖ, 1990, т.58, №3,
с.493-499.
98. Гончаров И.В., Миков В.П., Соболев В.П. Временная зависимость
коэффициента теплообмена между компонентами композита в процессе
теплопередачи. - ИФЖ, 1991, т.60, №6, с.947-954.
99. Горбань А.Н., Миркес Е.М., Бочаров А.Н., Быков В.И.
Термодинамическое согласование кинетических данных. - Физика горения и
взрыва, 1989, т.25, №5, с.81-88.
100. Горелик Г.Е., Левданский В.В., Павлюкевич Н.В., Шабуня СИ.
Задачи Стефана для сублимации в пористом теле. - ИФЖ, 1977, т.33, М»6,
с.1015-1018.
101. Горский В.В., Полежаев Ю.В. О некоторых особенностях,
связанных с течением пленки расплава. - ТВТ, 1966, №2, С.218-227.
.102. Горский В.В., Полежаев Ю.В. Тепло- и массообмен на
поверхности стеклографитовых материалов в высокотемпературном газовом потоке.
- Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1972, №6, с.71-87.

103. Горский В.В., Полежаев Ю.В. Тепло- и массообмен на
поверхности стеклопластика в высокотемпературном потоке воздуха. - ИФЖ, 1973,
т.24, №3, с.407-413.
104. Горский В.В., Савченко И.Я. Исследование разрушения
стеклопластика при дифференцированном выгорании углерода. - ИФЖ, 1973,
т.24, №4, с.601-608.
105. Горский В.Г. Планирование кинетических экспериментов. - М.:
Наука, 1984, 241 с.
106. Горский В.Г., Адлер Ю.П., ТалалайА.М. Планирование
промышленных экспериментов (модели динамики). - М.: Металлургия, 1978, 112 с.
107. Горский В.Г., Денисов В.И., Итпкина Н.Б. Планирование
экспериментов для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями в
частных производных. - Заводская лаборатория, 1992, т.58, №???, с.64-67.
108. Гофман А.Г., Гришин A.M. Теоретическое исследование
термохимического разрушения графита в высокоэнтальпийном потоке воздуха. -
ПМТФ, 1984, №4, с.107-114.
109. Гофман А.Г., Гришин A.M. Термохимическое разрушение углегра-
фитных тел в высокоэнтальпийном потоке реагирующего газа с учетом
сопряженного теплообмена и неравновесных гомогенных и гетерогенных
физико-химических процессов. В кн. Тепломассообмен VII. Т.З. - Минск.:
ИТМО АН БССР, 1984, с.60-65.
110. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач
теории приближений. - М.: Изд-во МГУ, 1983, 208 с.
111. Гребенщиков Л.Г., Ивашевский М.А., Кудрявцев В. А. и др.
Экспериментальное исследование оптико-теплофизических характеристик
конденсированной фазы продуктов сгорания и теплозащитных материалов. -
ИФЖ, 1993, т.64, №3, с.330-333.
112. Грейвс К.У. Абляция в условиях больших касательных
напряжений. - Ракетная техника и космонавтика, 1966, т.4, №5, с. 109-116.
113. Гриффит Б.Дж., Иденфилд Э.Э., Страйк В.Т. Моделирование
процесса абляции в аэродинамической трубе. - Ракетная техника и
космонавтика, 1978, т. 16, №1, с. 143-152.
114. Гришин A.M., Зинченко В.И. Влияние неравновесных химических
реакций на сопряженный тепломассообмен между твердым телом и
многокомпонентными газовыми потоками. - ИФЖ, 1975, т.29, №3, с.504-519.
115. Гришин A.M., Кузин А.Я., Миков В.Л. и др. Решение некоторых
обратных задач механики реагирующих сред. - Томск: Изд-во Томского
ун-та, 1987, 247 с.
116. Гришин A.M., Кузин А.Я., Синицын СП. и др. О решении
обратных задач механики реагирующих сред. - ИФЖ, 1989, т.56, №3,
с.459-464.
117. Гришин A.M., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные
задачи механики реагирующих сред. - Новосибирск: Наука, 1984. - 320 с.

118. Гришин A.M., Якимов А.С Пиролиз двухслойного теплозащитного
материала под действием заданного теплового потока. - Физика горения и
взрыва, 1987, т.22, №4, с.42-48.
119. Дверняков В. С. Кинетика высокотемпературного разрушения
материалов. - Киев : Наукова думка, 1981, 152 с.
120. Денисов A.M., Туйкина СР. О некоторых обратных задачах
неравновесной динамики сорбции. - ДАН СССР, 1984, т.276, №1, с.100-102.
121. Денисов В.И., Попов А.А. Пакет программ оптимального
планирования эксперимента. - М.: Финансы и статистика, 1986, 160 с.
122. Джампер-мл. Дж.Ю., Хитчкок Дж.Э. Абляция при большой доле
твердой фазы в продуктах уноса. - Аэрокосмическая техника, 1989, №4,
с. 158-166.
123. Джонс P.P., Рексссо Дж. Характеристики абляции
сублимирующих материалов, полученные при помощи нагретого в электрической дуге
воздуха. - Вопросы ракетной техники, 1960, №4, с.38-43.
124. Домбровский Л .А., Юкина Э.П., Колпаков А. В. Методика расчета
теплового разрушения углепластика под действием интенсивного
инфракрасного излучения. - ТВТ, 1993, т.31, №4, с.619-625.
125. Душин Ю.А. Работа теплозащитных материалов в горячих газовых
потоках. - Л.: Химия, 1968, 224 с.
126. Елисеев В.Н., Соловое В.А. Теоретическое и экспериментальное
исследование погрешности измерения температур термопарами в
теплоизоляционных материалах. - ИФЖ, 1983, т.45, №5, с.737-742.
127. Емелин Н.В., Красносельский М.А. Правило останова в
итерационных процедурах решения некорректных задач. - Автоматика и
телемеханика, 1978, №2, с.59-63.
128. Ермаков СМ. О датчиках случайных чисел. _ Заводская
лаборатория, 1993, т.59, №7, с.48-50.
129. Ермаков СМ., Буголский В.З., Жиглявский А.А. и др.
Математическая теория планирования эксперимента. - М.: Наука, 1983, 392 с.
130. Ермаков СМ., Жиглявский А.А. Математическая теория
оптимального эксперимента. - М.: Наука, 1987, 320 с.
131. Жеребятъев И.Ф., Рысмендеева Г. С Восстановление
спектрального коэффициента поглощения полупрозрачной среды. - ИФЖ, 1993,
т.65, №6, с.740-744.
132. Жеребятъев И.Ф., Рысмендеева Г. С. Восстановление
эффективных коэффициентов переноса для задачи радиационно-кондуктивного
теплообмена. - ИФЖ, 1993, т.65, №6, с.711-714.
133. Журавлев В.Е., Морозов А. Н., Раевский В.Ю. Фототермическое
определение теплофизических характеристик твердотельных объектов. -
ИФЖ, 1989, т.56, №1, с.100-105.

134. Завелич Ф.С. Горение графита в химически равновесном
пограничном слое. - Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1966, №1, с.161-167.
135. Залетаев В.М., Капинос Ю.В., СургучевО.В. Расчет теплообмена
космического аппарата. - М.: Машиностроение, 1979, 208 с.
136. Зинченко В.И., Костин Г.Ф., Якимов А.С. Расчет характеристик
тепло- и массообмена при разрушении теплозащитного материала. - Физика
горения и взрыва, 1994, т.30, №4, с.76-84.
137. Зинченко В.И., Несмелое В.В., Якимов А. С. Исследование
термохимического разрушения углефенольного композиционного материала в
потоке высокотемпературного газа. - Физика горения и взрыва, 1994, т.30,
№4, с.76-84.
138. Иванов А.С. Экспериментальное исследование метания тел
нестационарным потоком двухфазной среды. - Физика горения и взрыва, 1989,
т.25, №1, с.73-77.
139. Иванов Н.М., Мартынов А. И. Движение космических
летательных аппаратов в атмосферах планет. - М.: Наука, 1985, 384 с.
140. Иванов Н.М., Мартынов А.И. Управление движением
космического аппарата в атмосфере Марса. - М.: Наука, 1977, 416 с.
141. Иванов И.Т., Орлов В.К., Фролов И.Н. Интегральная степень
черноты цветных металлов и некоторых огнеупоров. - ТВТ, 1976, т. 14, №1,
с.38-41.
142. Игнатов С.Ф., Михатулин Д.С, Чирков И.В. Результаты
исследования движения частиц в сопле Лаваля. - Изв. АН СССР. Сер. МЖГ,
1982, №4, с.163-168.
143. Исаев К.Б. Теплоперенос в разрушающихся при интенсивных
односторонних нагревах композиционных материалах. - ИФЖ, 1993, т.65,
№6, с.645-651.
143. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.:
Наука, 1984, 752 с.
144. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский А.А. Принципы
разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. -
ЖВММФ, 1978, т.18, №2, с.458-467.
145. Кемп Н.Х. Линейная скорость перемещения поверхности аблирую-
щего полимера. - Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №9,
с.222-223.
146. Кендолл P.M., Риндолл Р.А., Бартлетт Е.П.
Многокомпонентный пограничный слой, химически реагирующий с аблирующеи
поверхностью. - Ракетная техника и космонавтика, 1967, т.5, №6, с.9-19.
147. Кларк Б.Л. Параметрическое исследование нестационарной
абляции тефлона. - Теплопередача, 1972, №4, с.13-22.
148. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач
теплопереноса. - Киев: Наукова думка, 1985, 359 с.

149. Колемап У.Д., ХирнА.Ф., Лефердо Дж.М. и др. Влияние
неточности зиа?1ия параметров среды поведения аблирующего покрытия на
теплозащиту спускаемого аппарата при скоростях выше второй космической. -
Ракетная техника и космонавтика, 1969, т.7, №2, с.176-190.
150. Кэрри Д., Уильяме С. Применение нелинейного метода
наименьших квадратов для определения теплофизических свойств. - Ракетная
техника и космонавтика, 1973, т.11, №5, с.118-124.
151. Лаганелли А.Л., Нестлср Д.Е. Экспериментальные наблюдения
абляции на поверхности сублимирующих материалов. - Ракетная техника и
космонавтика, 1970, т.8, №9, с.214-215.
152. Ланделл Дж.Х., Дички P.P. Абляция графита АТУ при высоких
температурах. - Ракетная техника и космонавтика, 1973, т.Н, №2, с. 111-119.
153. Ланделл Дж.Х., Дикки P.P. Абляция графитовых материалов в
режиме сублимации. - Ракетная техника и космонавтика, 1975, т. 13, №8,
с.141-151.
154. Ланделл Дж.Х., Дикки P.P., Джонс Дж.У. Характеристики
коксующихся аблирующих материалов в процессе горения на поверхности в
диффузионном режиме. - Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №6,
с.155-165.
155. Ланделл Дж.Х., Уэйкфилд P.M., Джонс Дж.У.
Экспериментальное исследование коксующихся аблирующих материалов при совместном
воздействии конвективного и радиационного нагрева. - Ракетная техника и
космонавтика, 1965, т.З, №11, с.136-147.
156. Лейдермен А.Дж., Льюис С.Х., Байрон СР. Воздействие
двухфазного потока, истекающего из сопла РДТТ, на обтекаемую поверхность. -
Ракетная техника и космонавтика, 1970, т.8, №10, с.114-124.
157. Ли Дж. Влияние абляции на теплообмен на боковой поверхности
аппарата «Аполлон«. — Ракетная техника и космонавтика, 1969, т.7, №9,
с.208-209.
158. Лисиенко В.Г., Кулькин В.Б., Гущин B.C. и др. Интегральная
степень черноты двух видов электротехнических сталей. - ТВТ, т. 18, №6,
с.1176-1179.
159. Лоусоп Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода
наименьших квадратов. - М.: Мир, 1986, 298 с.
160. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967,
599 с.
161. Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник). - М.: Энергия, 1978,
480 с.
162. Маас Х.Дж., Шрайер Д.Р. Унос частиц при абляции
искусственного графита. - Ракетная техника и космонавтика, 1969, т.7, №11,
с.155-157.
163. Мадорский С. Термическое разложение органических полимеров.
- М.: Мир, 1967, 328 с.

164. Макалис-мл. С, Мэйдыо Р.К. Расчет теплозащиты
высокоскоростных ракет. - Аэрокосмическая техника, 1985, т.З, №11, с. 146-153.
165. Марвин Дж.Г., Поуп Р.Б. Ламинарный конвективный теплообмен
и абляция в атмосфере Марса. - Ракетная техника и космонавтика, 1967,
т.5, №2, с.59-70.
166. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука,
1980, 536 с.
167. Марчук Г.И., Ермаков СМ. О некоторых проблемах теории
планирования эксперимента. В кн. Математические методы планирования
эксперимента. Под ред. В.В.Паненко. - Новосибирск: Наука, 1981, с.3-18.
168. Мастрюков Б.С, Кривандин В.А., Зубов В.В. Изменение степени
черноты жаростойких сплавов при нагреве на воздухе. - ТВТ, 1976, т. 14.
№4, с.744-749.
169. Мацевитый Ю.М., Мултановский А.В. Идентификация в задачах
теплопроводности. - Киев: Наукова думка, 1982, 240 с.
170. Мецгер Дж.У., Этель М.Дж., Дааконис Н.С. Окисление и
сублимация графита в имитированных условиях входа в плотные слои
атмосферы. - Ракетная техника и космонавтика, 1967, т.5, №3, с.81-92.
171. Мирский В.Н. Лучистый нагрев тел при входе в атмосферу
Венеры. - Изв. РАН. Сер. МЖГ, 1992, №4, с. 135-139.
172. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их
композиций. - М.: Мир, 1968, 464 с.
173. Михайлов В. В. Размещение точек измерения температуры и
обусловленность обратных задач теплопроводности. - ИФЖ, 1989, т.57, №5,
с.825-829.
174. Михалевич А.А., Песляк В.И. Метод обработки и обобщения
экспериментальных данных по теплообмену при конденсации на внешних
поверхностях. - ИФЖ, 1989, т.56, №3, с.81-86.
175. Михатулин Д.С, Полежаев Ю.В. Моделирование процесса теп-
лоэрозионного воздействия двухфазных сред. - Изв. АН СССР. Сер. МЖГ,
1986, №4, с.92-98.
176. Михатулин Д.С, Полежаев Ю.В. Аналогия процессов теплового
и эрозионного разрушения. - ТВТ, 1992, т.30, №2, с.325-333.
177. Михатулин Д. С, Полежаев Ю.В., Репин И.В. Методы и средства
моделирования теплообмена в высокопористых гетерогенных потоках. -
ТВТ, 1992, т.ЗО, №3, с.573-579.
178. Мишин В.П. Обратные и сопряженные задачи теплообмена. -
ИФЖ, 1977, т.ЗЗ, №6, с.965-966.
179. Мишин В.П., Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена -
области применения при проектировании и испытаниях технических объектов.
- ИФЖ, 1982, т.42, №2, с.181-192.

180. Мишин В.П., Алифанов О.М. Повышение качества отработки теп-
лонагружеиных конструкций и обратные задачи теплообмена. I. Общие
вопросы теории. - Машиноведение, 1986, №5, с. 19-29.
181. Мишин В.П., Алифанов О.М. Повышение качества отработки теп-
лонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена. П.
Практические приложения. - Машиноведение, 1986, №6, с.11-21.
182. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных
уравнений методом регуляризации. - ЖВМиМФ, 1968, т.8, №2, с.295-309.
183. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно
поставленных задач. - М.: Наука, 1987, 240 с.
184. Мостафа А.А., Монджиа Х.Ц., Макдоннелл В.Г., Самуэлсен Г.С.
Распространение запыленных струйных течений. Теоретическое и
экспериментальное исследование. - Аэрокосмическая техника, 1990, №3, с.65-82.
185. Мугалев В.П. Влияние вдувания различных газов на теплообмен
вблизи передней критической точки затупленного тела. - Изв. АН СССР.
Сер. Механика, 1965, №3, с.175-180.
186. Мугалев В.П. Исследование теплообмена и характеристик
турбулентного пограничного слоя на пористой поверхности. В кн. Тепло- и массо-
обмен. Т.1. - Минск: Наука и техника, 1968, с.32-37.
187. Мурзинов И.Н. О форме тел, разрушающихся под действием
интенсивного нагрева при движении в атмосфере. - Изв. АН СССР. Сер.
Механика и машиностроение, 1965, №4, с.14-17.
188. Мэтью Р. Д. Механическое растрескивание коксующихся
разрушающихся материалов в высокотемпературном потоке. - Ракетная техника и
космонавтика, 1964, т.2, №9, с.132-141.
189. Немее Дж.А., Рандлз П.У. Явления, сопровождающие
тепловыделение в частично прозрачных твердых телах. - Аэрокосмическая техника,
1990, №1, с.22-30.
190. Ненарокомов А.В. Восстановление интегральной степени черноты
материала из решения обратной задачи теплопроводности. В кн. Тепловые
режимы и выбор проектных параметров ЛА. - М.: МАИ, 1984, с.36-39.
191. Ненарокомов А.В. Моделирование влияния неопределенностей
исходных данных при проектировании многослойной теплоизоляции
минимальной массы. В кн. Тепломассообмен. Труды III Минского международного
форума (20-24 мая 1996). Том IX, часть 1. - Минск: ИТМО им.
А.В.Лыкова, 1996, с.162-166.
192. Ненарокомов А.В. Проектирование системы многослойной
изоляции минимальной массы. - ТВТ, 1997, т.35, №6, с.909-916.
193. Никитенко Н.И. Идентификация фронта горения нефтепласта. -
ИФЖ, 1989. т.56, №3, с.373-377.
194. Никитенко Н.И. Сопряженные и обратные задачи теплопереноса.
- Киев: Hayкова думка, 1988, с.238.

195. Никитин А.Т., Лошкарев В.А. Теплозащитные покрытия в
динамике сплошных сред. - Ростов: Изд-во Ростовского ун-та, 1982, 256 с.
196. Никитин АЛ'., Юревич Ф.Б. Теоретическое исследование
нестационарного нагрева и уноса коксующихся полимерных материалов. В кн.
Тепло- и массоперенос. Т.2. - Минск: ИТМО АН БСССР, 1972, с.295-308.
197. Острах С, Макконнслл Д.Дж. Унос массы плавлением при
замедлении движения сферических тел. - Ракетная техника и космонавтика,
1965, т.З, №10, с.122-130.
198. Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Рудько А. К. Взаимодействие
материалов с газовыми потоками. - М.: Машиностроение, 1975, 324 с.
199. Парк Ш. Влияние атомарного кислорода на абляцию графита
Ракетная техника и космонавтика, 1976, т. 14, №11, с. 162-164.
200. Парк Ш. Абляция в зоне полного торможения потока на
углеродистых плоских дисках. 1. Теория. - Аэрокосмическая техника, 1984, т.2, №7,
с.94-103.
201. Парк Ш. Абляция в зоне полного торможения потока на
углеродистых плоских дисках. 2. Эксперимент. - Аэрокосмическая техника, 1984,
т.2, №7, с.103-112.
202. Парк Ш. Турбулентность течения, вызванная вдувом в
пограничном слое в окрестности критической точки. - Аэрокосмическая техника,
1984, т.2, №9, с.78-87.
203. Парк Ш., Балакришнан А. Исследование абляции моделей
теплозащиты атмосферного зонда КЛА «Галлилей» на баллистической трассе. -
Аэрокосмическая техника, 1985, т.З, №11, с. 163-173.
204. Парк Ш., Ланделл Дж.Х., Грин М.Дж. и др. Абляция
углеродистых материалов в потоке водородно-гелиевои плазмы электродугового
подогревателя. - Аэрокосмическая техника, 1985, т.З, №5, с.50-61.
205. Пеарутакис Дж. Кажущаяся степень черноты поверхности с
многочисленными V-образными канавками. - Ракетная техника и
космонавтика, 1963, т.1, №8, с.153-157.
206. Перелъман Т.Л., Павлюкевич Н.В. О постановке некоторых
сопряженных задач тепло- и массообмена при фазовых и химических
превращениях. - ИФЖ, 1975, т.29, №1, с.67-76.
207. Петерсон Д.Л., Нахтенгейм П.Р., Хоу Дж.Т. Применение
отражающих аблирующих теплозащитных покрытий в условиях входа в
атмосферу планет. - Ракетная техника и космонавтика, 1972, т. 10, №11,
с.137-145.
208. Петрова Н.И., Чеховской В.Я. Исследование теплофизических
свойств псевдосплава вольфрам-медь при высоких температурах. - ТВТ,
1989, т.27, №4, с.688-696.
209. Петров В.А., Чеховской В.Я., Шейндлин А.Е. Экспериметальное
определеиие интегральной степени черноты металлов и сплавов при
высоких температурах. - ТВТ, 1963, т.1, №1, с.24-29.

210. Петухов Л.В., Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации
для уравнений гиперболического типа. - Прикладная математика и
механика, 1972, т.34, №2, с.578-588.
211. Пиотровский Я. Теория измерений для инженеров. - М.: Мир,
1989, 336 с.
212. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. - М.:
Мир, 1974, 374 с.
213. Полежаев Ю.В. Об использовании экспериментов по
нестационарному уносу массы для определения теплопроводности и других теплофизи-
ческих свойств стеклообразных теплозащитных материалов. - ТВТ, 1963,
т.1, №1, с.33-38.
214. Полежаев Ю.В. Расчет нестационарного плавления вязкого
стеклообразного материала. - Изв. АН СССР. Сер. Механика и
машиностроение, 1963, №3, с.9-15.
215. Полежаев Ю.В. Влияние неравновесного испарения и диссоциации
паров на параметры уноса массы стеклообразных ТЗМ. - ТВТ, 1964, т.2,
№11, с.32-39.
216. Полежаев Ю.В. Теоретический анализ нестационарного прогрева и
разрушения стеклопластиков в окрестности критической точки. - Изв. АН
СССР. Сер. Механика и машиностроение, 1964, №3, с.3-8.
217. Полежаев Ю.В. О влиянии скорости термического разложения на
процесс нестационарного разрушения стеклопластика. - Изв. АН СССР.
Сер. Механика и машиностроение, 1964, №5, с.157-161.
218. Полежаев Ю.В. О взаимном влиянии процессов испарения,
горения и коксования при разрушении в высокотемпературном потоке газа. -
ТВТ, 1965, т.З, №5, с.731-739.
219. Полежаев Ю.В. Теория и эксперимент в проблеме взаимодействия
высокоскоростных газовых потоков с материалами. - ИФЖ, 1987, т.53,
с.765-774.
220. Полежаев Ю.В., Панченко В.И. Основные закономерности
кинетики эрозионного разрушения материалов. - ИФЖ, 1987, т.52, №5, с.709-716.
221. Полежаев Ю.В., Репин И.В., Михатулип Д.С. Теплообмен в
сверхзвуковом гетерогенном потоке. - ТВТ, 1992, т.30, №6, с.1147-1153.
222. Полежаев Ю.В., Тлевцежев В.А., Страхов В.Л. Исследование
поведения композиционных материалов в условиях совместного воздействия
радиационно-конвективных тепловых потоков. - ТВТ, 1989, т.27, №2,
с. 341-346.
223. Полежаев Ю.В., Фролов Г. А. Автомодельный режим прогрева при
разрушении поверхности материалов. - ИФЖ, 1986, т.50, №2, с.236-240.
224. Полежаев Ю.В., Фролов Г.А. Нестационарный режим при
тепловом и эрозионном разрушении материалов. - ИФЖ, 1987, т.52, №3,
с.357-361.

225. Полежаев Ю.В., Фролов Г.А. Закономерности установления
квазистационарного режима разрушения при одностороннем нагреве
материала. - ИФЖ, 1989, т.56, №4, с.533-539.
226. Полежаев Ю.В., Фролов Г. А. Закономерности теплового
разрушения при взаимодействии тела с высокоскоростным потоком газа. - ИФЖ,
1989, т.57, №3, с.357-363.
227. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. - М.: Энергия,
1976, 392 с.
228. Полнев В.М., Майоров В.А., Васильев Л.Л. Гидродинамика и
теплообмен в пористых элементах конструкций летательных аппаратов. - М.:
Машиностроение, 1988, 168 с.
229. Поляков А.А., Шленский О.Ф. Математическая модель кинетики
терморазложения полимерных материалов при интенсивном подводе тепла.
- ИФЖ, 1985, т.49, №6, с.994-997.
230. Поппер Л.А., Тун Т., Саттон Дж.У. Абляция на осесимметричном
теле с изменением формы и передачей тепла во внутреннем слое. - Ракетная
техника и космонавтика, 1970, т.8, №11, с.198-201.
231. Портнов И.Г. Оптимальное управление в задаче о тепловом
разрушении пластины. - ДАН СССР, т.278, №6, с.1367-1370.
232. Поулис М., Гудсон Р. Идентификация параметров систем с
распределенными параметрами. - ТИИЭР, 1976, т.64, №1, с.56-80.
233. Пустогаров А.В., Карабут А.Б., Захаркин Р.Я.
Высокоэффективный воздушный плазматрон. - ИФЖ, 1986, т.51, №3, с.477-481.
234. Пфал Р., Митчел Б. Методы нелинейной регрессии для
одновременного определения характеристик. - Ракетная техника и космонавтика,
1970, т.8, №6, с.70-78.
235. Рейникка Е., Сатрелл Р.Дж. Тепловая защита при
баллистическом входе в атмосферу. - Вопросы ракетной техники, 1966, №1, с.21-35.
236. Рейникка Е., Уэллс П.Б. Обугливающиеся покрытия для защиты
аппарата при входе в атмосферу. - Вопросы ракетной техники, 1964, №6,
с.75-97.
237. Розенсвейг Р.Е. Теория процесса уноса массы феноловых смол,
армированных стекловолокном. - Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1,
№8, с.54-64.
238. Романовский М.Р. Планирование эксперимента при
идентификации математических моделей. - ИФЖ, 1990, т.58, №6, с.1018-1026.
239. Румянцев СВ. Способы учета априорной информации в регуляри-
зирующих градиентных алгоритмах. - ИФЖ, 1985, т.49, №6, с.932-936.
240. Сабунчи Э., Саттон У.Г., Лав Т.Дж. Прямое определение
радиационных характеристик изоляционных материалов для серого теплового
излучения. - Аэрокосмическая техника, 1989, №3, с.95-103.

241. Common Дж.У. История создания разрушающейся теплозащиты. -
Аэрокосмическая техника. 1983, т.1, №5, с. 164-176.
242. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1982,
272 с.
243. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977, 656 с.
244. Сергеев В.Л. Нестационарный теплообмен в области торможения.
- Минск: Наука и техника, 1988, 160 с.
245. Сергеев В.Л. Разрушение теплозащитного покрытия в
нестационарных условиях. В кн. Тепло- и массоперенос. Экспериментальные и
теоретические исследования. - Минск: ИТМО АН БССР, 1983, с.71-73.
246. Сергеев В.Л. Разрушение материалов при нестационарном
тепловом воздействии потока газа. - ИФЖ, 1984, т.46, №3, с.469-475.
247. Сергеев В.М., Бовина Т.А. Реагирование графита с углекислотой
при температурах 1200-2400°С. - ИФЖ, 1972, т.23, №6, с.1064-1070.
248. Симбирский Д.Ф. Оптимальное планирование сложных теплофи-
зических экспериментов. В кн. Теплообмен VI. Методы экспериментальных
исследований (включая автоматизацию теплофизического эксперимента). -
Киев: Наукова думка, 1980, с.78-86.
249. Симбирский Д.Ф., Гулей А.Б. Оптимальное планирование
экспериментально-расчетного определения теплопроводности твердых тел в
режиме нестационарного нагрева. - ИФЖ, 1983, т.45, №5, с.732-737.
250. Синицын СВ. Выбор оптимальной геометрии эксперимента при
фазовом анализе вещества методом ЯГР. - Заводская лаборатория, 1994,
т.60, №4, с.25-29.
251. Скала С. Тепловая защита возвращающегося на Землю спутника. -
Вопросы ракетной техники, 1960, №5, с.33-39.
252. Скала СМ., Гильберт Л.М. Тепловое разрушение
теплозащитного обугливающегося пластика при гиперзвуковых полетах. - Ракетная
техника и космонавтика, 1962, №6, с.74-92.
253. Скала СМ., Гильберт Л.М. Сублимация графита при
гиперзвуковых скоростях. - Ракетная техника и космонавтика, 1965, №9, с.87-100.
254. Скотт К.Д. Влияние неравномерности течения и каталитичности
стенки на тепловые потоки на поверхности КЛАМИ «Спейс Шаттл». -
Аэрокосмическая техника, 1986, №9, c.l8~33.
255. Стечкин СБ., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной
математике. - М.: Наука, 1976, 248 с.
256. Сье СП., Сидер Дж.А. Абляция на поверхности армированного
кварцем композиционного материала. - Ракетная техника и космонавтика,
1973, т.11, №8, с. 157-165.
257. Тимошенко В.Н., Зубкова Е.Ю. К оценке теплового и эрозионного
воздействия сверхзвукового запыленного потока на затупленный конус. -
ИФЖ, 1991, т.61, №4, с.564-569.

258. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. - ДАН СССР,
1943, т-39, №5, с.195-198.
259. Тихонов А.Н. О решении некоректно-поставленных задач и методе
регуляризации. - ДАН СССР, 1963, т.151, №3, с.501-504.
260. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. -
ДАН СССР, 1963, т.153, №1, с.49-52.
261. Тихонов А.Н. Обратные задачи теплопроводности. - ИФЖ, 1975,
т.29, №1, с.7-12.
262. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.
- М.: Наука, 1986, 288 с.
263. Тихонов А.Н., Арсении В.Я., Дулова А.А. О многоцелевой
проблемно-ориентированной системе обработки результатов экспериментов.
Препр. ИПМ АН СССР, №142. - М.: ИПМ АН СССР, 1976, 49 с.
264. Товстоног В.А. Экспериментальные исследования термических
превращений политетрафторэтилена. - ТВТ, 1991, т.29, №2, с.268-274.
265. Товстоног В.А. Экспериментальное исследование термического
разрушения нитрида кремния. - ТВТ, 1993, т.31, №3, с.444-449.
266. Уилсон Р.Дж., Спицер СР. Излучательная способность некоторых
теплозащитных материалов в видимой и ближней инфракрасной областях
спектра. - Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №4, с.108-117.
267. Уилсон Р.Дж., Спицер СР. Спектральная и интегральная
излучательная способности некоторых теплозащитных материалов. - Ракетная
техника и космонавтика, 1969, т.7, №11, с.117-119.
268. Уильяме Е.Д., Карри Д.М. Определение теплового воздействия на
орбитальный корабль по данным летных испытаний. - Аэрокосмическая
техника, 1985, т.З, №5, с.21-30.
269. Успенский А.Б. Обратные задачи математической физики - анализ
и планирование экспериментов. В кн. Математические методы
планирования экспериментов. Под ред. В.В.Паненко. - Новосибирск: Наука, 1981,
с. 199-242.
270. Успенский А.Б., Федоров В.В. Планирование экспериментов в
некоторых обратных задачах математической физики. - Кибернетика, 1974,
№4, с.123-128.
271. Успенский А.Б., Федоров В.В. Вычислительные аспекты метода
наименьших квадратов при анализе и планировании регрессивных
экспериментов. - М.: Изд-во МГУ, 1975, 168 с.
272. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной
алгебры. - М.-Л.: Физматгиз, 1963, 763 с.
273. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента (планирование
регрессионных экспериментов). - М.: Наука, 1971, 312 с.

274. Федоров В.В. Активные регрессионные эксперименты. В кн.
Математические методы планирования эксперимента. Под ред. В.В.Паненко. -
Новосибирск: Наука, 1981, с. 19-73.
275. Фокин СИ., Синкевич О.А., Кириллов В.Н. Методика
определения теплофизических свойств электропроводных анизотропных материалов
при температурах 1300-1400К. - ТВТ, 1990, т.28, №4, с.715-721.
276. Фролов Г.А. Влияние вида нагрева на скорость разрушения
материала. - ИФЖ, 1986, т.50, №4, с.629-635.
277. Фролов Г.А. Температура поверхности тела разрушающегося под
воздействием постоянной тепловой нагрузки. - ИФЖ, 1987, т.53, №3,
с.420-426.
278. Фролов Г.А., Бондаренко А.В., Пасичный В.В. и др. Определение
квазистационарной скорости разрушения поверхности материала по
результатам измерения линейного уноса в нестационарном режиме. - ИФЖ, 1992,
т.62, №4, с.552-554.
279. Фролов Г.А., Полежаев Ю.В., Пасичный В.В. Скорость
разрушения материалов при одностороннем нагреве. - ИФЖ, 1987, т.52, №4,
с.533-540.
280. Фролов Г.А., Полежаев Ю.В., Пасичный В.В. Влияние
внутренних и внешних процессов на прогрев и разрушение материала. - ИФЖ,
1987, т.53, №4, с.533-540.
281. Фролов Г.А., Полежаев Ю.В., Пасичный В.В. и др. Исследование
параметров разрушения теплозащитных материалов в режиме
нестационарного нагрева. - ИФЖ, 1981, т.40, №5, с.609-614.
282. Фролов Г.А., Полежаев Ю.В., Пасичный В.В. и др. Оценка
энергии разрушения материала по его теплосодержанию. - ИФЖ, 1986, т.50,
№5, с.709-717.
283. Фролов Г.А., Полежаев Ю.В., Пасичный В.В. и др. Модель
теплового разрушения материала при одностороннем нагреве. - ИФЖ, 1987,
т.52, №1, с.33-37.
284. Хансел Дж.Г., Макалеви Р.Ф. Тепловой баланс и химическая
кинетика поверхностной деструкции полистирола в инертных и химически
активных средах. - Ракетная техника и космонавтика, 1966, т.4, №5,
с.94-103.
285. ХантерЛ.В., Перини П.П., Кон Д. В. и др. Метод расчета абляции
графитового покрытия возвращаемого аппарата при сверхзвуковых и
дозвуковых скоростях его полета. — Аэрокосмическая техника, 1987, №8,
с.31-37.
286. Хлебников О.Е., Халатов А.А., Шихабутинова О.В.
Исследование спектральных терморадиационных характеристик твердых
непрозрачных материалов. - ИФЖ, 1993, т.64, №3, с.316-323.
287. Ходж Дж.К., ОдлиД.Р. Оценка аэротермодинамических
параметров по показаниям термопар, полученных в условиях неустановившихся ма-

невров орбитальной ступени «Спейс Шаттл». - Аэрокосмическая техника,
1987, №8, с.37-47.
288. Ходж Дж.К., Чжень Э.Дж., Хейс Дж.Р. Метод определения
коэффициента теплоотдачи в нестационарных условиях при больших временах
измерения. - Аэрокосмическая техника, 1989, №4, с.146-158.
289. Холопов Г. К. Метод измерения интегральных коэффициентов
излучения, пропускания и отражения селективных полупрозрачных
материалов. - ИФЖ, 1992, т.62, №3, с.446-452.
290. Холопов Г.К., Копысов В.И. Методика измерения коэффициентов
излучения пропускания и отражения полупрозрачных материалов. - ИФЖ,
1990, т.58, №2, с.254-260.
291. Циринг М.Б. Термохимическая абляция керамических
теплозащитных материалов. - Ракетная техника и космонавтика, 1975, т.13, №5,
с.88-97.
292. Шайделер Дж.Л., Уэбб Г.Л., ПиттмэнК.М. Поверочные
испытания многоразовой теплозащиты. - Аэрокосмическая техника, 1986, №9,
с.51-60.
293. Шашков А.Г., Тюкаев В.И. Теплофизические свойства
разлагающихся материалов при высоких температурах. - Минск: Наука и техника,
1975, 80 с.
294. Шленский О.Ф. Тепловые свойства стеклопластиков. - М.:
Химия, 1973, 219 с.
295. Шленский О.Ф., Шашеров А.Г., Аксенов Л.Н. Теплофизика
разлагающихся материалов. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 144 с.
296. Шмидт Д. Абляционные материалы в космической технике. -
Вопросы ракетной техники, 1970, №6, с.9-35.
297. Шнейдер П.Дж., Долтон Т.А., Рид Дж.У. Механическая эррозия
обугливающегося аблирующего материала при наземных испытаниях и в
условиях спуска в атмосфере. - Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6,
№1, с.76-87.
298. Шнейдер Р.Дж., Тетер Р.Д., Коулмен У.Д. Конструкция
графитовых носков головных частей баллистических ракет. - Вопросы ракетной
техники, 1974, №12, с.3-21.
299. Шток Х.В. Структура поверхности сублимирующих и плавящихся
аблирующих материалов. - Ракетная техника и космонавтика, 1975, т. 13,
№9, с.101-109.
300. Шумаков Н.В. Метод экспериментального изучения процесса
нагрева твердого тела. - ЖТФ, 1957, т.27, №4, с.844-855.
301. Щур Б.А., Пелецкий В.Э. Излучательная способность титана в
диапазоне температур 1100-1900К. - ТВТ, 1981, т.19, №6, с.1172-1177.

302. ЭйвериД.Э., КеррП.А., УитингА.Р. Экспериментальное
исследование нагрева плиток теплозащиты КЛАМИ «Спейс Шаттл». - Аэрокосми-
ческая техника, 1986, №9, с.42-51.
303. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.:
Мир, 1975, 688 с.
304. Эприл Дж.С, Пайк Р.У., Балле Е.Дж. Моделирование течения
реагирующего газа в слое коксе теплозащитного покрытия. - Ракетная
техника и космонавтика, 1971, т.9, №6, с.148-156.
305. Юдин В.М., Ходжаев Ю.Д., Кузенкова В.И. и др. Исследование
термической деструкции полимерных связующих. - Труды ЦАГИ. Вып.
2065. - М.: Изд-во ЦАГИ, 1980, 28 с.
306. Юревич Ф.Б., Куликов B.C. Электродуговой нагрев газа. -
Минск, Наука и техника, 1973, 192 с.
307. Юревич Ф.Б., Ролин М.Н. Методика расчета уноса массы тефлона
при разрушении его в высокотемпературном газовом потоке. - ИФЖ, 1971,
т.20, №1, с.70-75.
308. Яненко Н.Н., Солоухин Р.И., Папырин А.Н., Фомин В.Н.
Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности
частиц. - Новосибирск: Наука, 1980, 160 с.
309. Ярышев Н.А. Теоретические основы измерения нестационарной
температуры. - Л.: Энергоатомиздат, 1990, 256 с.
310. Adams M.C. Recent Advances inablation. - ARS Journal, 1959,
vol.29, No.9, pp.625-632.
311. Adarkar D.B., Hartsook L.B. An integral approach to transient
charring ablator problems. - AIAA Journal, 1966, vol.4, No. 12, pp.2246-2248.
312. Aidarous S.E., Gevers M.R., Installe M.J. Optimal sensors'
allocation strategies for a class of stohastic distributed system. - Int. J. Control, 1975,
vol.22, No.2, pp.197-213.
313. AlekseevA.K., Molotilin Y.A. ShuvalovM.P. Indirect determination
of heat flux to a lander heat protection system. - Journal of Thermophysics and
Heat Transfer, 1995, vol.9, No.3, pp.494-498.
314. Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Nenarokomov A.V. Boundary
inverse heat conduction problem in parametric form. K.A.Woodbury ed. Proc. of 5th
Annual Inverse Problems in Engineering Seminar (East Lansing, USA, 11-12
June 1992). - East Lamsing: Michigan State University, 1992, lip.
315. Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Nenarokomov A.V. Determination
of characteristics in thermal interaction of materials with high-enthalpy gas
flow trough methods of inverse problems. L.C.Wrobel, C.U.Brebbia, A.J.No-
wak ed. Advanced Computational Methods in Heat Transfer, vol.1. Proc. of the
1st International Conference (Portsmouth, UK, 17-20 July 1990). -
Southhampton: Computational Mechanics Publications / Berlin, Heildelberg:
Springer-Verlag, 1990, pp.323-332.

316. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V. Boundary inverse heat
conduction problem: algorithm and error analysis. - Inverse Problems in Engineering,
2001, vol.9, No.6, pp.619-644.
317. April G. C, Pike R. W., del Valle E. G. Modeling reacting gas flow in
the char layer of an ablator. - AIAA Journal, 1971, vol.9, No.6, pp.1113-1119.
318. Avery D.E., Kerr P.A., Wieting A.R. Experimental aerodynamic
heating to simulated shuttle tiles. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1985,
vol.22, No.4, pp.417-424.
319. Arai No. Transient ablation of teflon in intensive radiative and con-
vective environments. - AIAA Journal, 1979, vol.17, No.6, pp.634-640.
320. Arai No. Transient thermal response of ablating bodies. - AIAA
Journal, 1979, vol.17, No.2, pp.191-195.
321. Arnold G.S., Replinski D.R. Reaction of high-velocity atomic oxygen
with carbon. - AIAA Journal, 1986, vol.24, No.4, pp.673-677.
322. Atkinson A.C., Hunter W.G. The design of experiments for parametr
estimation. - Technometrics, 1968, vol.10, No.2, pp.271-289.
323. Atwood C.A. Optimal and efficient designs of experiments. - The
Annals of Mathematical Statistics, 1969, vol.40, No.5, pp. 1570-1602.
324. Auerbach I., Lieberman M.L., Lowson K.E. and oth. Effect of prosity
in graphite materials on ablation in arc-heated jets. - Journal of Spacecraft and
Rockets, 1977, vol.14, No.l, pp.19-24.
325. Audley D.R. Hodge J.K. Identifying the aerothermodinamic
environment of the Space Shuttle orbiter Columbia. G.A.Bekey, G.N.Saridis ed. Proc.
of the 6th IFAC Symp. on Identification and System Parameter Estimation
(Washington DC, USA, 1982). Part 2. - Oxford, New York, Toronto, Sydney,
Paris, Frankfurt: Pergamon Press, 1982, pp.1347-1352.
326. Audley D.R., Lee D.A. Ill-posed and well-posed problems in system
identification. - IEEE Transactions on Automatic Control, 1974, vol.AC-19,
No.6, pp.738-747.
327. Autio G.W., Scala E. Normal spectral emissivity of isotropic and
anisotropic materials. - AIAA Journal, 1965, vol.3, No.4, pp.738-740.
328. Babikian D.S., Gopaul N.K.J., Park C. Measurement and analysis of
nitric oxide radiation in an arjet flow. Journal of Thermophysics and Heat
Transfer, 1994, vol.8, No.4, pp.737-743.
329. Baker R.L. Graphite sublimation chemistry nonequilibrium effects. -
AIAA Journal, 1977, vol.15. No.10, pp.1391-1397.
330. Banks H.T., Kunisch K. Estimations techniques for distributed
parameter system. - Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 1989, 315 p.
331. Barlett E.P., Denision M.R. Experimental ablation rates in a
turbulent boundary layer. - Trans. ASME. Journal of Heat Transfer, 1961, vol.83,
pp.457-465.

332. Beck J. V. Calculations of surface heat flux from an internal
temperature history. - ASME Pap. No.62-HT-46, 1962, lip.
333. Beck J. V. Determination of optimum transient experiment for
thermal contact conductance. - Int. Journal Heat and Mass Tranfer, 1969, vol.12,
No.1, p.621-633.
334. Beck J. V., Arnold K.I. Parameter estimation in engineering and
science. - New York: John Wiley and Sons, 1977, 284 p.
335. Beck J. V., Blackwell В., St. Clair C.R. Inverse heat conduction il-
lposed problems. - New York: A Wiley-Interscience Publication, 1985, 308 p.
336. Beck J. V., Nenarokomov A.V., Woodbury K.A. et. al. Inverse
Engineering Handbook. - London, New York: CRC Press, 2002, 466p.
337. Ben-Haim Y., Elias E. Inderect measurement of surface temperature
and heat flux: optimal design using convexity analysis. - Int. Journal Heat and
Mass Transfer, 1987, vol.30, No.8, pp.1673-1683.
338. Bertin J.I., Conine W.D., Nipper M.J. Surface recession of phenolic
nylon in low-density arc-heated air. - AIAA Journal, 1969, vol.7, No.ll,
pp.2163-2165.
339. Biolsi L. Proposed computational method for transport properties of
ablation products. - AIAA Journal, 1980, vol.18, No.5, pp.596-597.
340. Blackwell B.F. Numerical prediction of one-dimensional ablation
using a finite control volume procedure with exponential differencing. -
Numerical Heat Transfer. 1988, vol.14, pp.17-34.
341. Blackwell B.F., Hogan R.E. One-dimensional ablation using Landau
transformation and finite control volume procedure. - Journal of Thermophy-
sics and Heat Transfer, 1994, vol.8, No.2, pp.283-287.
342. Bokar J.C., Ozisik M.N. An inverse analysis for estimating the
time-varying inlet temperature in laminar flow inside a parallel plate duct. - Int.
Journal Heat and Mass Transfer, 1995, vol.38, No.l, pp.39-45.
343. Box G.E.P., Lucas H.L. Design of experiments in non-linear
situations. - Biometrika, 1959, vol.46, p.l and 2, pp.77-90.
344. Box M.J. Some experiences with a nonlinear experimental design
criterion. - Technometrics, 1970, vol.12, No.3, pp.569-589.
345. Brogan T.R. The electric arc wind tunnel - atool for atmospheric
re-entry research. - ARS Journal, 1959, vol.29, No.9, pp.648-653.
346. Cao S.G., Rees N. W., Feng G. Analysis and design for a class of
complex systems. Part I: Fuzzy modelling and identification. - Automatica, 1997,
vol.33, No.6, pp.1017-1028.
347. Cao S. G., Rees N. W., Feng G. Analysis and design for a class of
complex systems. Part II: Fuzzy controller design. - Automatica, 1997, vol.33,
No.6, pp.1029-1039.

348. Cao Y., Faghri A. Thermal protection from intense localized moving
heat fluxes using phase-change materials. - Int. Journal Heat and Mass
Transfer. 1990, vol.33, No.l, pp.127-138.
349. Cao Y., Faghri A., Chang W.S. A numerical analysis of Stefan
Problems for generalized multi-dimensional phase-change structures using the
enthalpy transforming model. - Int. Journal Heat and Mass Transfer, 1989,
vol.32, No.7, pp.1289-1298.
350. Carotenuto L., Muraca P., Raiconi G. Optimal location of a moving
sensor for the estimation of a distributed-parameter process. - Int. J. Control,
1987, vol.46, No.5, pp.1671-1688.
351. Chan S.H., Cho D.H., Kocamustafaogullari G. Melting and
solidification with internal radiative transient - a generalized phase change model. -
Int. Journal Heat and Mass Tranfer, 1983, vol.26, No.4, p.621-633.
352. Chang J.H., Sutton G.W. Spectral emissivity measurements of
ablating phenolic graphite. - AIAA Journal, 1969, vol.7, No.6, pp.1110-1114.
353. Charwat A.F., Spaid F.W. Sublimation of flat-nosed cones with
various axisymmetric steps in supersonic flow. - AIAA Journal, 1971, vol.9,
No. 10, pp.2392-2398.
354. Chavent G. Identification of distributed parameters. P.Eykhoff ed.
Proc. of the 3rd IFAC Symp. on Identification and System Parameter
Estimation (Hague/Delft, Netherlands, 1973). Part 2. - Amsterdam, London:
North-Holland, 1973, pp.649-660.
355. Chavent G., Kunisch K. Convergence of Tikhonov regulrization for
constrained ill-posed problems. - Inverse Problems, 1994, vol.10, No.1,
pp. 63-76.
356. Chernoff H. Locally optimal design for estimating parameters. - The
Annals of Mathematical Statistics, 1953, vol.24, No.4, pp.586-602.
357. Chin J.H. Shape change and conduction for nosetips at angle of
attack. - AIAA Journal, 1975, vol.13, No.5, pp.599-604.
358. Chupp R.E., Viscanta R. Thermal emission characteristics of noniso-
termal dielectric coating on a conduct surface. - AIAA Journal, 1970, vol.8,
No.3, pp.551-557.
359. Clark B.L. A parametric study of the transient ablatiuon of teflon. —
Trans. ASME. Journal of Heat Transfer, 1972, vol.94, pp.347-354.
360. Coleman W.D., Hearne L.F., Lifferdo J.M. and oth. Effects of
environmental and ablator perfomance uncertainties on heat-shielding requirements
for hyperbolic entry vehicles. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1968, vol.5,
No.ll, pp.1260-1270.
361. Draper N.N., Hunter W.G. The use of prior destribution in the
design of experiments for parameter estimation in non-linear situations. - Biomet-
rika, 1967, vol.54, p.l and 2, pp. 147-153.

362. Draper N.N., Hunter W.G. The use of prior destribution in the
design of experiments for parameter estimation in non-linear situations: multires-
ponse case. - Biometrika, 1966, vol.53, p.3 and 4, pp.662-665.
363. Dulikravich G.S., Martin T.J. Inverse design of super-elliptic cooling
passages in coated turbine blade airfoils. - Journal of Thermophysics and Heat
Transfer, 1994, vol.8, No.2, pp.288-294.
364. Emery A.F., Fadale T.D., Nenarokomov A.V. Optimal sensor
location considering parameter variability. N.Zabaras, K.A.Woodbury, M.Raynaud
ed. Inverse problems in engineering: theory and practice. Proc. of the 1st
International conference. Palm-Coast, USA, June 13-18, 1993. - New York: ASME
United Engineering Center, 1993, p.361-368.
365. Emery A.F., Fadale T.D., Nenarokomov A.V. Specification of
optimal sensor location based on information and sensitivity analysis. - ASME Pap.
No.93-WA/HT-14, 1993, Юр.
366. Emery A.F., Nenarokomov A.V., Fadale T.D. Uncertainties in
parameter estimation: optimal experiment design. - Int. Journal Heat and Mass
Transfer, 2000, vol.43, No.10, pp.3331-3339.
367. Engel CD., Farmer R.C, Pike R. W. Ablation and radiation coupled
viscous hypersonic shock layers. - AIAA Journal, 1973, vol.11, No.8,
pp.1174-1181.
368. Ewing E.R., George J.H. Identification and control for distributed
parameters in porous media flow. F.Kappel, K.Kunish, W.Schappacher ed.
Distributed parameter systems. Proc. of the 2nd International Conference (Vo-
rau, Austria 1984). - Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer-Verlag,
1984, pp.145-161.
369. Fadale T.D., Nenarokomov A. V., Emery A.F. Two approaches to
optimal sensor location. - Trans. ASME. Journal of Heat Transfer, 1995, vol.117,
No.2, pp.373-379.
370. Fadale T.D., Nenarokomov A.V., Emery A.F. Uncertainties in
parameter estimation: nverse problem. - Int. Journal Heat and Mass Transfer, 1995,
vol.38, No.3, pp.511-518.
371. Fasoulas S., Auweter-Kurtz M., Habiger H.A. Experimental
Investigation of High-Enthalpy Flow. Journal of Thermophysics and Heat Transfer.
vol.8, No.l, Jan.-March 1994, p.48-58.
372. Fasoulas S., Auweter-Kurtz M., Habiger H.A., Laure S.H. and
Christian Sleziona P. Investigation of a Nitrogen Flow within a Plasma Wind
Tunnel. AIAA, 28th Thermophysics Conference, July 6-9, 1993/Orlando, Fl.
373. Fedorov V.V. Various constraints in experimental design. V.V.Fedo-
rov, W.G.Muller, I.N.Vuchkov ed. Model oriented data-analysis. Proc. of the
2nd IIASA-Workshop (St.Kyrik, Bulgaria, 1990). - Heidelberg: Physica-Ver-
lag, 1990, pp.39-51.
374. Fisher R.A. Contributions to mathematical statistics. - New York,
London: John Wiley &. Sons, Chapman and Hall, 1950, 525 p.

375. Flecner W.A., Watson R.H. Convective heating in dust-loaden
hypersonic flow. - AIAA Pap., 1973, No.0761. - 8p.
376. Friedman A., Reitich F. Parameter identification in reaction-diffusion
models. - Inverse problem, 1992, vol.8, pp.187-192.
377. Gazley С The penetration of planetary atmospheres. - Trans. ASME.
Journal of Heat Transfer, 1959, vol.81, pp.315-322.
378. Gilbert L.M., Scala S.M. Combustion and sublimation of cones,
spheres, and wedges at hypersonic speeds. - AIAA Journal, 1965, vol.3, No.11,
pp.2124-2131.
379. Goodrich L.E. Efficient numerical technique for one-dimensional
thermal problems with phase change. - Int. Journal Heat and Mass Transfer,
1978, vol.21, No.5, pp.615-621.
380. Goodson R.E., Klein R.E. A definition and some results for
distributed system observability. - IEEE Transactions on Automatic Control, 1970,
vol.AC-15, No.2, pp.165-174.
381. Goodwin G.C. Optimal input signals for nonlinear-system
identification. - Proceedigs of IEE, 1971, vol.118, No.7, pp.922-926.
382. Goodwin G.C, Murdoch J.C, Payne R.L. Optimal test signal design
for linear S.I.S.O. system identification. - Int. J. Control, 1973, vol.17, No.l,
pp.45-55.
383. Goodwin G.C, Payne R.L. Choice of sampling intervals. R.K.Mehra
and D.G.Lainiotis ed. System identification. - New York, San Francisco,
London: Academic Press, 1976, pp.251-287.
384. Goodwin G.C, Payne R.L. Design and characterisation of optimal
test signals for linear single input - single output parameter estimation. P.Eyk-
hoff ed. Proc. of the 3rd IF AC Symp. on Identification and System Parameter
Estimation (Hague/Delft, Netherlands, 1973). Part 2. - Amsterdam, London:
North-Holland, 1973, pp. 1005-1010.
385. Goodwin G.C, Payne R.L. Dynamic system identification:
experiment design and data analysis. - New York, San Francisco, London: Academic
Press, 1977, 291 p.
386. Goodwin G.C, Zarrop M.B., Payne R.L. Coupled design of test
signals, sampling intervals, and filters for system identification. - IEEE
Transactions on Automatic Control, 1974, vol.AC-19, No.6, pp.748-752.
387. Grabow R.M., White CO. Surface roughness effects on nosetip
ablation characteristics. - AIAA Journal, 1975, vol.13, No.5, pp.605-609.
388. Graves K.W. Ablation in high shear environment. - AIAA Journal,
1966, vol.4, No.5, pp.853-857.
389. Hansel J. G., McAlevy R.F. Energetics and chemical kinetics of
polystyrene surface degradation in inert and chemically reactive environments. -
AIAA Journal, 1966, vol.4, N5.

390. Hastaoglu M.A., Baah С A. Desublimation: a moving boundary
problem and numerical solution. - Numerical Heat Transfer, Part A. 1991, vol.19,
pp.219-236.
391. Havstad M.A., McLean W., Self S.A. Measurements of the thermal
radiative properties of liquid uranium. - Trans. ASME. Journal of Heat
Transfer, 1993, vol.115, No.4, pp.1013-1020.
392. Hilbert S.E., Markatos N.C., Voller V.R. Computer simulation of
moving-interface, convective, phase-change process. - Int. Journal Heat and
Mass Transfer, - 1988, vol.31, No.9, pp. 1785-1795.
393. Hills R., Hensel E. One-dimensional nonlinear inverse heat
conduction technique. - Numerical Heat Transfer. 1986, vol.10, pp.369-393.
394. Hills R.G., Mulholland G.P. Accuracy and resolving power of one
dimensional transient inverse heat conduction theory. - Int. Journal Heat and
Mass Transfer, 1979, vol.22, pp.1221-1229.
395. Hills R., Raynaud M., Hensel E. Surface varience estimates using an
adjoint formulation for a one-dimensional nonlinear inverse heat conduction
technique. - Numerical Heat Transfer. 1986, vol.10, pp.441-461.
396. Ho C.-H., Ozisik N.N. An inverse radiation problem. - Int. Journal
Heat and Mass Transfer, 1989, vol.32, No.2, pp.335-341.
397. Ho C.-H., Ozisik N.N. Inverse radiation problem in homogeneous
media. - Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Trnsfer. 1988,
vol.40, No.5, pp.553-560.
398. Hodge J.K., Audley D.R. Aerothermodynamic parameter estimation
from Space Shuttle thermocouple data during transient flight test maneuvers. -
AIAA Pap. No.83-0482, 13p.
399. Hodge J.K., Audley D.R. Aerothermodynamic parameter estimation
from Space Shuttle thermocouple data during transient flight test maneuvers. -
Journal of Spacecraft and Rockets, 1986, vol.23, No.5, 453-460.
400. Hodge J.K., Phillips P. W., Audley D.R. Flight testing a manned
lifting reentry400. vehicle400. (Space400. Shuttle)400. for aerothermodynamic
performance. - AIAA Pap., 1981, No.81-2421, 9p.
401. Hodge J.K., Chen A.J. Unsteady heat transfer coefficient estimation
for long duration. - Journal of Thermophysics and Heat Transfer, 1988, vol.2,
No.3, 218-226.
402. Hodge J.K., Woo Y.K., Cappelano P.T. Parameter estimation for im-
beddet thermocouples in Space Shuttle wind tunnel test articles with a nonisot-
hermal wall. - AIAA Pap., 1983, No.1553, 7p.
403. Howe J.T., Green M.J., Weston K.C. Thermal shielding by
subliming volume reflectors in convective and intense radiative environments. -
AIAA Journal, 1973, vol.11, No.7, pp.989-994.
404. Howe J .Т., Pitts W.C., Lundel J.H. Survey of supporting research
and technology for thermal protection of the Galileo probe. - AIAA Pap., 1981,
No.1068, 14p.

405. Hsieh С.К., Kassab A.J. A general method for the solution of inverse
heat conduction problem with partially unknown system geometries. - Int.
Journal Heat and Mass Transfer. 1986, vol.29, No.l, pp.47-58.
406. Hsieh C.-L., Seader J.D. Surface ablation of silica-reinforced
composites. - AIAA Journal, 1973, vol.11, No.8, pp.1181-1187.
407. Huang C.-H., Ozicik M.N. Inverse problem of determining unknown
wall heat flux in laminar flow through a parallel plate duct. - Numerical Heat
Transfer, Part A. 1992, vol.21, pp.55-70.
408. Huang M.-W., Aurora J.S. Optimal design with discrete variables:
some numerical experiments. - Int. J. for Numerical Methods in Engineering,
1997, vol.40, pp.165-188.
409. Hunter L. W., Kuttler J.R. The enthalpy method for heat conduction
problems with moving boundaries. - Trans. ASME. Journal of Heat Transfer,
1989, vol.111, pp.239-242.
410. Hunter L.W., Perini L.L., Conn D.W. and oth. Calculation of
carbon ablation on a re-entry body. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1986,
vol.23, No.5, pp.487-491.
411. Intrieri P.F., Kirk D.B., Chapman G.T., Terry J.E. Ballistic range
test of ablating and nonablating slender cones. - AIAA Journal, 1970, vol.8,
No.3, pp.558-564.
412. John R.R., Recesso J. Ablation characteristics of a subliming material
using arc heated air. - ARS Journal, 1959, vol.29, No.9, pp.663-665.
413. Johnson P.E., De Witt D.P., Taylor R.E. Method for measuring high
temperature spectral emissivity of nonconducting matherials. - AIAA Journal,
1981, vol.19, No.l, pp.113-120.
414. Jumper G.Y., Hitchckock J.E. Ablation with a large fration of solid
removal. - Journal of Thermophysics and Heat Transfer, 1988, vol.2, No.3,
pp.264-274.
415. Kaviany M. Effect of a moving particle on wall heat transfer in
channel flow. - Numerical Heat ransfer. 1988, vol.13, pp.111-124.
416. Kemp N.H. Surface recession rate of an ablating polimer. - AIAA
Journal, 1968, vol.6, No.9, pp.1790-1791.
417. Kendall R.M., Rindall R.A., Barlett E.P. A multicomponent
boundary layer chemically coupled to an ablating surface. - AIAA Journal, 1967,
vol.5, N6, pp.??-??.
418. Kesselring J.P., Maurer R.F., Suchsland T. and oth. Arc heater code
validation tests of heat shield materials. - AIAA Pap., 1977, No.237, 8p.
419. Koubek F.J. A review of ablative studies of interest to naval
applications. - Journal of Macromolecular Science - Chemistry, 1969, vol.A3, No.3,
pp.395-410.
420. Kubrusly C.S., Malebranch H. Sensors and controllers lokation in
distributed systems. A survey. - Automatica, 1985, vol.21, pp.117-128.

421. Kurpisz К., Nowak A.J. Inverse Thermal Problems. - Southampton,
Boston: Computational Mechanics Publication, 1995, 327 p.
422. Laderman A.J., Lewis C.H., Byron S.R. Two-phase plume
impingement effects. - AIAA Journal, 1970, vol.8, No.10, pp.1831-1839.
423. Laganelli A.L., Nestler D.E. Surface ablation paterns: a
phenomenology study. - AIAA Journal, 1969, vol.7, No.7, pp.1319-1325.
424. Laganelli A.L., Zempel R.E. Observations of surface ablation
patterns in subliming materials. - AIAA Journal, 1970, vol.8, No.9,
pp. 1709-1711.
425. Laub B. Thermochemical ablation of tantalum carbide loaded
carbon-carbons. AIAA Pap., 1980, No.1476, 9p.
426. Laure S.H., Auweter-Kurtz M., Fasoulas S., Habiger H.A. and Rock
W.R. The IRS Plasma Wind Tunnels as a Tool for the Investigation of Planet
Entry Missions. AIAA 17th Aerospace Ground Testing Conference, July 6-8,
1992/Nashville, TN.
427. Lee G. Ablation effects on the Apollo afterbody heat transfer. - AIAA
Journal, 1969, vol.7, No.8, pp.1616-1618.
428. Lcgendre P.J., Holey D.C., Heinonen E. W. and oth. Reentry vehicle
nosetip material screening test. - Series M. AIAA/ASME 18th Struct.,
Struct.Dyn. and Mater Conf., AIAA Aircraft Compos.: Emerging Methodol.
Struct. Assur., San Diego, Calif., 1977, part A, S.I., 1977, pp.370-374.
429. Lehrer S. Microthrust engines for the investigation of spacecraft
surface heating. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1966, vol.3, No.7,
pp.983-988.
430. Lesselier D.L., Duchene В., Tabbara W. Imaging inhomogeneous
media by diffraction tomography techniques. Critical examination and prospects.
P.C.Sabatier ed. Inverse problems: an interdisciplionary study. - London,
Orando, San Diego, New York, Austin, Boston, Sydney, Tokyo, Toronto:
Academic Press, 1987, pp.35-49.
431. Li H. Y. Estimation of thermal properties in combined conduction and
radiation. - Int. Journal Heat and Mass Transfer, 1999, vol.42, pp.565-572.
432. Li H.Y., Ozisik M.N. Identification of the temperature profile in a
absorbing, emitting and isotropically scattering medium by inverse analysis. -
Trans. ASME. Journal of Heat Transfer, 1992, vol.114, pp.1060-1063.
433. Li H.Y., Ozisik M.N. Inverse radiation problem for simultaneous
estimation of temperature profile and surface reflectivity. - Journal of Thermop-
hysics and Heat Transfer, 1993, vol.7, No.1, pp.88-93.
434. Libby P.L., Hendricks P. Analysis of an active thermal protection
system for high-altitude fligh. - AIAA Journal, 1970, vol.8, No.9,
pp.1671-1678.
435. Lincoln K.A. Experimental determination of ablation vapor speies
from carbon phenolic heat-shield materials. - AIAA Pap., 1981, No. 1057, 6p.

436. Liu F.B., Ozisic M.N. Inverse analysis of transient turbulent forced
convection inside parallel-plate ducts. - Int. Journal Heat and Mass Transfer,
1996, vol.39, No. 12, pp.2615-2618.
437. Lundell J.H., Dickey R.R. Ablation of ATJ graphite at high
temperature. - AIAA Journal, 1973, vol.11, No.2, pp.216-222.
438. Lundell J.H., Dickey R.R. Ablation of graphitic materials in the
sublimation regime. - AIAA Journal, 1975, vol.13, No.8, pp.1079-1085.
439. Lundell J. H., Dickey R.R., Jones J. W. Performance of charring
ablative materials in the diffusion - controlled Surface Combustion regime. - AIAA
Journal, - 1968, V6, N6, pp.???.
440. Lundell J.H., Wakefield J. W. Experimental investigation of a
charring ablative material exposed to combined convective and radiative heating. -
AIAA Journal, 1965, vol.3, No.ll, pp.2087-2095.
441. Lutes CD., Hodge J.K. Nonlinear modelling and initial conduction
estimation for identifying the aerothermodynamic environment of the Space
Shuttle Obiter. - AIAA Pap., 1984, No.84-1749, 9p.
442. Maahs H.G., Schryer D.R. Particle removal in ablation of artificial
graphite. - AIAA Journal, 1969, vol.7, No.1l, pp.2178-2179.
443. Marshall B. W. Oxidation and ablation characteristics of tantalum in
a hyperthermal environment. - AIAA Journal, 1966, vol.4, No.ll,
pp.1899-1905.
444. Marvin J.G., Pope R.B. Laminar convective heating and ablation in
the Mars atmosphere. - AIAA Journal, 1967, vol.5, No.2, pp.240-248.
445. Masuda H., Higano M. Measurement of total hemispherical emissivi-
ties of metal wires by using transient calorimetric technique. - Trans. ASME.
Journal of Heat Transfer, 1988, vol.110, pp.166-172.
446. Matty J.J. High-pressure ablation measurements in the AEDC track
G. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1986, vol.23, No.l, pp.4-9.
447. Matkieu R.D. Mechanical Spallation of Charring Ablators in
Hyperthermal environments.-AIAA Journal, 1964, V2, N9, pp.???.
448. McAlees S.J г., Maydew R. C. Aerothermodynamic design of high
speed rockets. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1985, vol.22, No.3,
pp.309-315.
449. McDonald A.J., Hedman P.O. Erosion of graphite in solid-propelant
combustion gases and effects on heat transfer. - AIAA Journal, 1965, vol.3,
No.7, pp.1250-1257.
450. Medford J.E. Prediction of in depth oxidation distribution of
reinforced carbon-carbon material for Space Shuttle leading edges. - AIAA Pap.,
1977, No.783, 8p.
451. Merines S.A. Masek R. V. Heat Shield Material test in simulated To-
vian entry heating environment. - AIAA Pap., 1979, No.37, 9p.

452. Metzger J. W., Engel M.J., Diaconis N.S. Oxidation and sublimation
of graphite in simulated re-entry environments. - AIAA Journal, 1967, vol.5,
No.3, pp.451-460.
453. Mitchell T.J. An algorithm for the construction of «D-optimal»
experimental designs. - Technometrics, 1974, vol.16, No.2, pp.203-210.
454. Mostafa A.A., Mongia H.C., McDonell V.G. et al. Evolution of part-
icle-loaden jet flows: a theoretical and experimental study. - AIAA Journal,
1989, vol.27, No.2, pp.167-183.
455. Myers V.H., Ono A., De Witt D.P. A method for measuring optical
properties of semitransparent materials at high temperature. - AIAA Journal,
1986, vol.24, No.2, pp.321-326.
456. Nachtsheim P.R., Larson H.K. Crosshatched ablation patterns in
teflon. - AIAA Journal, 1971, vol.9, No.8, pp. 1608-1614.
457. Nguyen К. Т., Prystay M. An inverse method for estimation of the
initial temperature profile and its evolution in polymer processing. - Int. Journal
Heat and Mass Transfer, 1999, vol.42, pp.1969-1978.
458. Nelson H.F., Holsen J.N., Brum A.E. Prediction of recession rates
for pyrolytic graphite. - AIAA Journal, 1982, vol.20, No.4, pp.573-575.
459. Nenarokomov A.V. Optimal design of multi-layer thermal protection
and analysis of uncertainties. In Proceedings of 4th European Workshop on Hot
Structures and Thermal Protection Systems for space Vehicles. Palermo, Italy,
26-29 November 2002. (ESA SP-521). - Noordwijk: ESTEC Publ., 2003,
pp.267-272.
460. Nenarokomov A.V., Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Repin I.V. A
study of convective heat fluxes for material interacting with dust-loaded flows
by inverse problems method. - International Journal of Thermal Sciences.
2004, vol.43, No.3, pp. 825-831.
461. Nenarokomov A.V., Alifanov O.M., Artioukhine E. and Repin I.V.
Inverse Problems Method For Study Of Heat Transfer In Solids Interacted
With Gas Flows Loaded By Solid Particles. In Proceedings of 13th
International Heat Transfer Conference, Sydney, Australia, 13-18 August, 2006. -
Sydney, Begell House Inc., 2006, PRT-24, 12 p.
462. Nenarokomov A. V., Alifanov O.M., Titov D.M. Space Structures
Insulating Material's Thermphysical and Radiation Properties Estimation. - Acta
Astronautica, 2007, Vol.61, pp.873-880.
463. Nenarokomov A. V., Artyukhin E.A., Titov D. M., Netelev A. V.
Optimal experiment design to estimate the thermal destruction parameters of
materials. In Proceedings of 6th International Conference Inverse Problems in En-
ginedering: Theory and Practice (16-19 June 2008, Dourdan, France). - Univ.
Nancy Pabl., 2008, 10 pp.
464. Nenarokomov A.V., Titov D.M. Optimal experiment design to
estimate the radiative properties of materials. Journal of Quantitative
Spectroscopy and Radiative Transfer, 2005, vol.93, pp.313-323.

465. Newton J.F. Observables testing of ablative materials. - AIAA
Journal, 1968, vol.6, No.12, pp.2255-2261.
466. Ng T.S., Goodwin G.C. On optimal choice of sampling strategies for
linear system identification. - Int. J. Control, 1976. vol.23, No.4, pp.459-475.
467. Ng T.S., Goodwin G.C, Soderstrem T. Optimal experiment design
for linear systems with input-output constrains. - Automatica, 1977, vol.13,
pp.571-577.
468. Ostrach S., McConnel D.G. Melting ablation about decelerating
spherical bodies. - AIAA Journal, 1965, vol.3, No.10, pp.1883-1889.
469. Painter J. H., Kroutil J.C. Jupiter entry simulation using a
high-performance arc heater. - AIAA Journal, 1980, vol.18, No.l, pp.116-117.
470. Park C. Effects of atomic oxygen on graphite ablation. - AIAA
Journal, 1976, vol.14, No.ll, pp.1640-1641.
471. Park C. Injection-included turbulence in stagnation-point boundary
layers. - AIAA Journal, 1984, vol.22, No.2, pp.219-225.
472. Park C. Stagnation-point ablation of carbonaceous flat disk. Part 1:
theory. - AIAA Journal, 1983, vol.21, No.ll, pp.1588-1596.
473. Park C. Stagnation-point ablation of carbonaceous flat disk. Part 1:
experiment. - AIAA Journal, 1983, vol.21, No.12, pp.1748-1754.
474. Park C, Balakrishnan A. Ablation of Galileo probe heat-shield
models in a ballisic range. - AIAA Journal, 1985, vol.23, No.2, pp.301-308.
475. Park C, Lundell J.H., Green M.J., Winovich W., Covington M.A.
Ablation of carbonaceous material in hydrogen-helium arcjet flow. - AIAA
Journal, 1984, vol.22, No.10, pp.1491-1498.
476. Pepper W.B. Development of the parachute recovery system for the
LBRV-2 reentry vehicle. - AIAA Pap., 1984, No.802, 7p.
477. Peterson D.L., Nachtsheim P.R., Howe J.T. Reflecting ablating heat
shields for planetary entry. - AIAA Journal, 1972, vol.10, No.ll,
pp. 1499-1506.
478. Pfal R. C. Jr. Nonlinear least squares: a method for simultaneous
thermal property determination in ablating polymeric materials. - J. Appl. Polymer
Science, 1966, vol.10, pp.1111—1119.
479. Pfal R.C. Jr., Mitchel B.J. Simultaneous measurement of six thermal
properties of a charring ablator. - Int. Journal Heat and Mass Transfer, 1970,
vol.13, No.2, pp.275-281.
480. Popper L.A., Toong T.Y., Sutton G.W. Axisymmetric ablation with
shape changes and internal heat conduction. - AIAA Journal, 1970, vol.8,
No.ll, pp.2071-2074.
481. Potts R.L. Hybrid integral/quasi-steady soluting of charing ablation.
- AIAA Pap., 1990, No.1677, 20p.
482. Psarouthakis J. Apparent thermal emissivity from surfaces with
multiple V-shaped grooves. - AIAA Journal, 1963, vol.1, No.8, pp.1879-1882.

483. Pugh E.R., Patrick R.M., Schneiderman A.M. High-pressure
high-enthalphy test facility. - AIAA Journal, 1971, vol.9, No.2, pp.200-204.
484. Rasool S.I. Structure of planetary atmospheres. '- AIAA Journal,
1963, vol.1, No.l, pp.6-19.
485. Reinikka E.A., Sartell R.J. Thermal protection of ballistic entry
vehicles. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1965, vol.2, No.2, pp.226-231.
486. Reinikka E.A., Wells P.B. Charring ablators in liftig reeentry. -
AIAA Pap. No.63-181, 15p.
487. Rindal R.A., Powars Ch.A. Effect carbon vapor thermochemistry
uncertainties on R/V ablation predictions. - AIAA Pap., No.71-414, 1971, 12p.
488. Ronquillo L., Willians C, Gray C. An advanced thermal protection
system for the aft dome of the Space Shuttle external tank. - AIAA Pap., 1984,
No.1751, 8p.
489. Rosner D.E., Allendorf H.D. High-temperature kinetics of grafite
oxidation by dissociation oxygen. - AIAA Journal, 1965, vol.3, No.8,
pp.1522-1523.
490. Rosensweig R.E. Theory of the ablation of fiberglas-reinforced
phenolic resin. - AIAA Journal, 1963, vol.1, No.8, pp.1802-1809.
491. Sabadell A. J., Wenograd J., Summerfield M. Measurement of
temperature profiles through solid-propellant flames using fine thermocouples. -
AIAA Journal, 1965, vol.3, No.9, pp.1580-1584.
492. Savage R.T., Love W., Bloctsher F. High temperature performancer
of flexible thermal protection materials. - AIAA Pap., 1984, No.1770, 9p.
493. Scala S.M. Thermal protection of re-entry satellite. - ARS Journal,
1959, vol.29, No.9, pp.670-672.
494. Scala S.M., Gilbert L.M. Thermal degradation of char-forming
plastics during hypersonic flight. - ARS Journal, 1962, vol.32, pp.917-924.
495. Scala S.M., Gilbert L.M. Sublimation of graphite at hypersonic
speeds. - AIAA Journal, 1965, vol.3, No.9, pp.1635-1644.
496. Scala S.M., Vidale G.L. Vaporization processes in the hypersonic
laminar boundary layer. - Int. Journal Heat and Mass Transfer, 1960, vol.1,
No.1, pp.4-22.
497. Schmidt D.L. Ablative polymers in aerospace technology. - Journal
of Macromolecular Science - Chemistry, 1969, vol.A3, No.3, pp.327-365.
498. Schneider G.E., Raw M.J. An implicit solution procedure for finite
difference modeling of the Stefan problem. - AIAA Journal, 1984, vol.22,
No.ll, pp. 1685-1689.
499. Schneider G.E. Computational of heat transfer with solid/liquid
phase change including free convection. - AIAA Pap., 1985, No.85-404, 13p.
500. Schneider P.J., Dolton T.A., Reed G.W. Char-layer response in
high-performance ballistic reentry. - AIAA Pap., 1966, No.66-424, 7 p.

501. Scott CD. Effects of nonequilibrium and wall catalysis on Shuttle
heat transfer. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1985, vol.22, No.5,
pp.489-499.
502. Sharma O.P., Rotenberg M., Penner S.S. Phase-change problems
with variable surface temperatures. - AIAA Journal, 1967, vol.5, No.4,
pp.677-682.
503. Shideler J.L., Webb G.L., Pittman CM. Verification tests of
durable thermal protection system concept. - Journal of Spacecraft and Rockets,
1985, vol.22, No.6, pp.598-604.
504. Schneider P. J., Tetter R.D., Coleman W.D. and oth. Design of
graphite nosetips for ballistic reentry. - AIAA Pap. No.72-705, 1972, 9p.
505. Silva Ncto A.J., Ozisik M.N. An inverse analysis of simultaneously
estimation phase function, albedo and optical thickness. S.T.Thynell,
M.F.Modest, L.C.Burmeister and oth. ed. Developments in Radiative Heat Transfer,
1992, pp.53-30. (ASME HTD vol.203)
506. Silvey S.D. Optimal design: an introduction to the theory for
parameter estimation. - London, New York: Chapman and Hall, 1983, 86p.
507. Steverding B. A theory for the ablation of non-newtonian liquids near
the stagnation point. - AIAA Journal, 1965, vol.3, No.7, pp.1245-1249.
508. Stock H. W. Surface putterns on subliming and liquifying ablation
materials. - AIAA Journal, 1975, vol.13, No.9, pp.1217-1223.
509. Stolz G. Numerical solutions to an inverse problem of heat conduction
for simple shapes. - Trans. ASME. Journal of Heat Transfer, 1960, vol.82,
pp.20-26.
510. Sun X., Jaggard D.L. The inverse blackbody radiation problem: a re-
gularization solution. - Journal of Applied Physics, 1987, vol.62, No.ll,
pp.4382-4386.
511. Sutton G.W. Tpe initial development of ablation heat protection, an
historical perspective. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1982, vol.19, No.l,
pp.3-11.
512. TiwariS.N., Szema K.Y., Moss J.N. and oth. Convective and
radiative heating of a Saturn entry probe. - Int. Journal Heat and Mass Transfer,
1984, vol.27, No.2, pp.191-205.
513. Tran H.K., Rasky D.J., Esfahani L. Thermal response and ablation
characteristics of lighweight ceramic ablators. - Journal of Spacecraft and
Rockets, 1994, vol.31, No.6, pp.993-998.
514. Vojvodich N.S. Hypervelocity heat protection - a reviw of laboratory
experiments. - Journal of Macromolecular Science - Chemistry, 1969, vol.A3,
No.3, pp.367-394.
515. Vojvodich N.S. PAET entry heating and heat protection experiment.
- Journal of Spacecraft and Rockets, 1973, vol.10, No.3, pp.181-189.

516. Vojvodich N.S., Pope R.B. Effect of gas composition on the ablation
behavior of a charring material. - Л1ЛЛ Journal, 1964, vol.2, No.3,
pp.536-542.
517. Wang P.K.C. Identification problems in plasma physics. A.Ruberti
ed. Distributed parameter systems: Modelling and Identification. Proc. of the
IFIP Working Conference (Rome, Italy, 1976). - Berlin, Heidelberg, New
York: Springer-Verlag, 1978, pp.424-445.
518. Williams E.P. Experimental studies of ablation surface patterns and
resulting roll torques. - AIAA Journal, 1971, vol.9, No.7, pp.1315-1321.
519. Williams E.P., Inger G.R. Ablation Surface cross-hatching on cones
in hypersonic flow. - AIAA Journal, 1971, vol.9, No.10, pp.2077-2078.
520. Williams S.D., Curry D.M. Assessing the orbiter thermal
environment using flight data. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1984, vol.21,
No.6, pp.534-541.
521. Williams S.D., Curry D.M. An analytical and experimental study for
surface heat flux determination. - Journal of Spacecraft and Rockets, 1977,
vol.14, No.10, pp.632-637.
522. Williams S.D., Curry D.M., Chao D.C. et.al. Ablation analysis of
the shuttle orbiter oxidation protected reinforced carbon-carbon. - Journal of
Thermophysics and heat transfer. 1995, vol.9, No.3, pp.478-485.
523. Wilson R. G., Spitzer C.R. Spectral and integral emittance of ablation
chars and carbon. - AIAA Journal, 1969, vol.7, No.11, pp.2140-2142.
524. Wilson R.G., Spitzer C.R. Visible and near-infrared emittance of
ablation chars and carbon. - AIAA Journal, 1968, vol.6. No.4, pp.665-671.
525. Woodbury K.A. Effect of thermocouple sensor dynamics on surface
heat flux predictions obtained via inverse heat transfer analysis. - Int. Journal
Heat and Mass Transfer. 1990, vol.33, No.12, pp.2641-2649.
526. Zien T.F. Integral solution of ablation problems with time-dependent
heat flux. - AIAA Journal, 1978, vol.16, No.12, pp.1287-1295.
527. Ziering M.B. Thermochemical ablation of ceramic heat shields. -
AIAA Journal, 1975, vol.13, No.5, pp.610-616.