Н. П. КОРНЕЙЧУК
СПЛАЙНЫ
В ТЕОРИИ
ПРИБЛИЖЕНИЯ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1984

22.10
К 67
УДК 517.5
Сплайны в теории приближения. Корнейчук II. П.— М.: Наука,
Главная редакция физико-математической литературы, 1984—352 с.
В монографии излагаются вопросы приближения функций
полиномиальными сплайпамп с точки зрения традиционных аспектов современной
теории аппроксимации. Основное внимание уделено выяснению
аппроксимативных свойств сплайнов относительно тех или иных классов функции,
причем рассматриваются ситуации, в которых получено точное (или
асимптотически точное) решение экстремальной задачи. На задачах о
поперечниках и об оптимальном восстановлении выясняется место сплайнов среди
других аппаратов приближения.
Кпига рассчитана на студентов и аспирантов математических
специальностей, а также научных работников в теоретических и прикладных
областях математики.
Николай Павлович Корнейчук
СПЛАЙНЫ В ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Редактор 22. Л. Григоренко
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректоры Л. Я. Назарова, п. В. Румянцева
ИБ Д« 11477
Сдано в набор 04.03.83. Подписано к печати 30.01.84.
Т-01684. Формат 60x90l/ie. Бумага тип. JSfi 2.
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 22.
Условн. кр.-отт. 22. Уч.-изд. л. 23,9. Тираж 11000 экз.
Заказ Л« 599. Цена 1 р. 80 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-п типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25
_. 1702070000 — 039 /g\ Издательство «Наука».
К ni-'wnov о/ 14-83 ^Главная редакция
05о@2)-84 физико-математической
литературы, 1984

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ; , 5
Глава 1. Полиномиальные сплайны; способы представления.
Интерполирование сплайнами 7
§ 1.1. Полиномиальные сплайны 7
§ 1.2. Интерполирование сплайпами 17
§ 1.3. Представление порез фундаментальные и 27-сплайны ... 40
§ 1.4. О существовании идеальных сплайнов с заданными пулями 48
Глава 2, Экстремальные свойства сплайнов « 57
§ 2.1. Предварительные замечания. Пространства и классы функций 57
§ 2.2. Экстремальные свойства сплайнов нечетного порядка в
гильбертовом пространство 59
§ 2.3. Сплайны Эйлера и Бернулли ¦ 64
§ 2.4. Теоремы сравнения . 68
§ 2.5. Неравенства между нормами производных дифференцируемых
функций 82
^ 2.6. Внутренние экстремальные свойства сплайнов 87
§ 2.7. Функции с заданными пулями 97
Глава 3. Экстремальные задачи аппроксимации и теоремы
двойственности 101
§ 3.1. Наилучшее приближение фиксированного элемента .... 101
§ 3.2. Постановка экстремальных задач 106
§ 3.3. Теоремы двойственности в нормированных пространствах . . 110
§ 3.4. Двойственность в пространствах С и Lv 117
§ 3.5. Двойственность на классах дифференцируемых функций . . 123
Глава 4. Наилучшее приближение функций сплайнами
минимального дефекта 132
§ 4.1. Наилучшее приближение сплайпами т раз дифференцируемых
функций 132
§ 4.2. Наилучшее приближение сплайнами классов функций,
задаваемых мажорантой модуля непрерывности 154
§ 4.3. О наилучшем одностороннем приближении сплайпами
минимального дефекта , 187
Глава 5. Оценка погрешности интерполирования сплайнами мини*
малыгого дефекта 191
§ 5.1. Погрешность силайн-интерполяцни па классах W™ и W™. , 192
§ 5.2. Оцепка погрешности сплайн-интерполяции через модуль
непрерывности ........ 222
3

Глава 6. Сплайны в задачах оптимизации наилучшего
приближения и восстановления функций 250
§ 6.1. Поперечники классов функций с ограниченной ni-ii
производной 250
§ 6.2. Поперечинки классов функции, задаваемых с помощью модуля
непрерывности ... 268
§ 6.3. Сплайны в задачах минимизации точной константы в nepaneii-
стве Джексона 282
§ G.4. Сплайны в задачах оптимального восстановления функции . . 288
Глава 7. Приближение локальными сплайнам» 303
§ 7.1. Приближение эрмитовыми сплайнами 304
| 7.2. Локальные сплайны минимального дефекта . 316
| 7.3. О приближении двумерными сплайнами 323
Комментарии п библиографические указания 337
Литература . 343
Предметный указатель 350
Список важнейших обозначении , 352

ПРЕДИСЛОВИЕ
В теорию приближения сплайны вошли совсем недавно, но
вошли стремительно, и сразу же заняли в ней. место, как бы
заранее для них предназначенное.
Надо сказать, что в частных задачах аинроксимационного
содержания кусочно-полиномиалытые функции применялись н
гораздо раньше. Достаточно вспомнить метод ломаных Эйлера,
предложенное Лебегом доказательство теоремы Вейерштрасса о
приближении непрерывной функции многочленами, кусочио-по-
липомиальпую аппроксимацию степенной функции в работах
С. М. Никольского начала 50-х годов о наилучших
квадратурных формулах. Сплайны появились в качестве экстремалей в
известных работах Ж. Фавара о наилучшем приближении и в
работах А. II. Колмогорова о точных неравенствах для норм
производных C0-е годы). Однако классическая теория
аппроксимации долгое время не видела в сплайнах аппарата приближения,
который мог бы конкурировать с алгебраическими или
тригонометрическими полиномами,— по крайней мере до тех пор, пока
не запялась вплотную задачами о поперечниках.
Впрочем, вторжение сплайнов в теорию приближения
произошло через задачи интерполирования функции. При
ближайшем рассмотрении обнаружилось, что интерполяционные
сплайны не только предпочтительнее многочленов с точки зрения
вычислительных удобств, но в ряде ситуаций обладают
наилучшими аппроксимативными свойствами, обеспечивая минимально
возможпую при данной размерности погрешность. Когда поело
этого начали примерять аппарат сплайнов к классическим
задачам наилучшего приближения, выяснилось, что разработапные
к тому времени в теории аппроксимации методы решения
экстремальных задач, базирующиеся на идее двойственности, па
сплайнах работают не хуже, а иногда даже лучше, чем на мло-
гочленах. Буквально в течение нескольких лет для сплайнов
были до конца решены аштроксимациопные задачи, на решение
которых для полиномов ушли десятилетия. Следует, однако,
отметить, что в ряде принципиально важных задач, связанпых с
оценкой погрешности енлайп-интерполящш, точное решение
оказалось возможным получить, используя лишь внутреннюю
специфику сплайнов.
В книге делается попытка «посмотреть» па аппарат
сплайнов с точки зрения традиционных аспектов теории прйближе-
5

ыия, связанпых в первую очередь с выяснением
аппроксимативных свойств аппарата приближения относительно тех или иных
классов функций. Отбирая материал для книги, автор отдавал
себе отчет в том, что в нервом приближении (в смысле
порядковых оценок) эти аспекты для сплайн-аппроксимации уже
достаточно полно освещены в литературе, и сосредоточил внима-
пие на результатах, которые дают точное (или асимптотически
точное) решение задачи. Это потребовало (по сравнению с
другими монографиями по сплайнам) привлечения принципиально
новых соображепий идейного плана, а также более тщательного
исследования вопросов, связанных с экстремальными свойствами
сплайнов. Логическим завершением такого подхода является
рассмотрение задач о поперечниках и оптимальном восстаповлешш
с целью определить место сплайпов среди других методов
приближения.
Как правило, каждая глава начинается кратким вступлением,
в котором определяются роль ее в общем плане книги и
основные вопросы, которые предстоит в главе рассмотреть.
Насколько возможно, изложение сделано независимым — по крайней
мере там, где дело касается обоснования наиболее существенных
фактов приближения сплайнами. В ряде мест, чтобы избежать
зпачительпого увеличения объема кпип-т, пришлось по поводу
некоторых фактов, не связанпых непосредственно с теорией
сплайнов, ссылаться на монографии, где эти факты подробно
обоснованы. В частпости, неоднократно делаются ссылки па
книгу автора Ш «Экстремальные задачи теории приближения».
В книге принята единая нумерация всех основных утвержде-
пий (теоремы, леммы, предложения, следствия), что облегчает
ссылки на них: достаточно указать номер, состоящий из трех
чисел, первые два из которых указывают главу и параграф. Что
касается формул, то отти нумеруются в каждом параграфе
отдельно; при ссылках па формулы из другого параграфа той же
главы или из другой главы перед номером формулы
проставляются соответствующие номера: A.5) — формула E) § 1 этой
же главы; C.2.7) — формула G) § 2 главы 3.
В конце книги помещены краткие коммептарии к главам, ос-
повпая цель которых — снабдить читателя информацией о тол1,
кому принадлежат содержащиеся в главе результаты и где они
опубликованы, в каких источниках можпо пайти более полное
нзложепие вопроса. В соответствии с этим список литературы
помимо мопографий по сплайпам содержит только статьи,
имеющие непосредственное отпошение к кпиге.
Рукопись книги внимательно прочел Ю. II. Субботин,
отдельные главы прочли В. И. Рубап, С. В. Переверзев, И. А. На-
заренко и А. М. Авакяп. Их замечапия способствовали
улучшению изложепия некоторых мест и всем им автор искренне благо-
дареш.
П. #¦ Корнейчук

Глава 1
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ;
СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ
§ 1.1. Полиномиальные сплайны
1, Определения. Сплайнами называют функции, «склеенные»
из «кусков» многочленов. Точнее, функция s(t), заданная и
непрерывная на отрезке [#, Ы, называется полиномиальным
сплайном (или просто сплайном) порядка т (тю«=1, 2, ...) с
узлами t{ (i = l, ..., п\ a<tL<t2<...<tn<b), если на
каждом из промежутков
s(t) есть алгебраический многочлен степени, не превосходящей
т, а в каждой из точек U некоторая производная s{v)(t) (l^v<
^ т) может иметь разрыв.
Таким образом, основными характеристиками сплайна
являются наибольший порядок т многочленов, из которых он
склеен, количество и расположение узлов, а также гладкость
склейки в каждом узле. Для характеризации этой гладкости
пользуются понятием дефекта сплайна. Говорят, что сплайн s(t)
порядка т имеет дефект kt в узле tt A^&<<го), если в точке
t{ непрерывны фупкцпи sU), s'@* •••»"* (*)» а производная
s г {t) в точке U терпит разрыв. Число /с -~ max k\ пазывают
Ki <п
дефектом сплайна s(t).
В дальнейшем нам придется рассматривать
преимущественно линейные многообразия сплайнов с узлами в заданных
фиксированных точках. Пусть фиксирована система точек
Д,у[я» Ь]: а = ?0 < tt <... < tx = Ь, A)
которую мы будем называть разбиением отрезка [а, Ы.
Рассмотрим множество «5m(Aiv [a, b]) заданпых на [а, Ь] снлайнов
порядка т, имеющих узлы только в точках ti (i = I, 2, ..., iV —
— 1) разбиения A) с дефектами kt<:k. Мы допускаем, что но
каждая точка tu ..., ijv-i является (истинным) узлом сплайна
s(t) из Sm (Aiv [а, Ь]); s(t) может быть многочленом, папример,
на промежутке [fr-i, ^i+il, и тогда точку U можно считать
фиктивным узлом, приписывая ей дефект А:? == 0. В частности, в
Sm(&N [я, Ь}) содержатся все алгебраические мпогочлены степе-
7

ни, не превосходящей т. Ясно, что ?™(Дд'[а, Ь]) есть линей-
ыоо многообразие; о нем будем говорить как о множестве
сгг. айнов порядка m дефекта к по разбиению A).
Если через С1[а, Ы, как обычпо, обозначить множество 2раз
непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций (С°[а, Ь\ =
= С[а, Ь]), то включение s(t) e ?™(Л^[а, Ь]) означает, что sit) ез
GECm"kla, b] и на каждом интервале (й~ь ft) (*=lf 2, ..., Лт)
п])оизводная s{m)(t) есть некоторая константа с^ Для удобства
рассуждений включим в рассмотрение и тот случай, когда в ка-
кой-нибудь точке tt il^i^N—l) разбиения A) разрывна
сама функция sit) (естественно дефект &» при этом положить
равным т+1). В частности, кусочно-постоянные па [а, Ь]
функции с возможными разрывами в точках tt U=l, 2, ..., iV—1)
условно будем называть сплайнами нулевого порядка, а
множество таких функций будем обозначать 50(Дл-[я, Ь\).
Что касается значений самого сплайна и его нроизводпых п
точках разрыва, то они не будут, как правило, играть роли в
дальнейших рассуждениях. Для определенности, однако,
условимся, если не будет оговариваться ипое, под этими
значениями понимать среднее арифметическое пределов справа и слева:
v-. 0,1, ...,wi; * = 1,2 iV — 1.
В непериодическом случае считаем также, что
*(*'(fl)«*(v)(fl + 0), ^v>(b) = s^(b-O)f v-0, 1,..., m.
Заметим, что если «s* (t) ^ 5m (Ajv \a, Щ) (k^.m), то s'(t) есть
сплайн порядка m — 1 того же дефекта /с, т. е. s'(t) e Sm—i(&N[a, b}),
В последующих главах мы будем иметь дело главпым
образом со сплайнами минимального дефекта, т. е. дефекта 1. Ради
некоторого упрощения в обозначениях с самого начала
условимся в этом случае опускать индекс, обозначающий дефект, т. е.
вместо Sm{&N\a, b\) писать просто 5m(AN[a, b]).
Силайп sit) из 5т(АЛ'1а, Ы), у которого s{m)it) = (-l)'e, U-i <
<t<ti\ i« 1, 2, ..., iV, где 8 = 1 или е = — 1, называют
идеальным (или совершенным: perfect spline). Таким образом, m-я
производная s(m)(f) идеальпого сплайна sit), принимая на
соседних промежутках разбиения значения =fcl, в каждом узле tt
(i=-l,...,N— 1) меняет знак, a s{m-i}it) — непрерывная ломапая,
угловые коэффициенты звеньев ее по абсолютной величипе рав-
пы 1 и в каждой точке U ii =* 1,..., Лт— 1) меняют зпак.
Мопосплайном называется сплайн sit) из iSm(Ajv[a, b])y у
которого производпая s{m)it) во всех точках feta, Ь], t^U, i=»
« 1,..., N — 1, принимает одно и то же значение и, следовательно,
на каждом интервале ($,_!,**) производная 5(rn-1)(i) линейна с
одним ц тем же угловым коэффициентом.
8

2. Примеры. 1) Множество непрерывных па [а, Ь] функций
s(t), лииейпых на каждом отрезке U-i, *»] U = 1,...,iV-~ 1) раз-
биепия A) (т. е. множество ломаных с возможными узлами в
точках tu t2i ..., *w-i), образует линейное многообразие ЗДАЛ*, Ы)
сплайнов порядка 1 дефекта 1, размерпость которого равна /V+ 1.
2) Функции *(О из множества ^(Ajvfa, ft]) A<A:<3),
склеенные из кусков кубических парабол, называют кубическими
сплайнами дефекта /с = 1, 2 или 3 по разбиению A). В силу
предыдущего ?* (Адг [я, &]) с= С3""'* [я, ?], так что, например,
сплайны из Si (An [я, b]) непрерывны па [а,Ь] вместе со своими
производными первого порядка.
3) Положим при п = 0, 1, 2, ...
При фиксированном и (а<и< Ь) функцию s@ — (t — w)?h
принадлежащую, очевидно, Сп~Ча, Ы, можно рассматривать как
сплайн порядка гс дефекта 1 с узлом ? = и. Функция х\ (ее
называют усеченной степенной функцией) будет играть в далыкмг-
шем важную роль, и мы сразу отметим некоторые ее очевидные
свойства:
4) Пусть [а, Ы = [0,1] и разбиение A.V = A*[0,1] задается
точками ti = UN (i = 0,1,..., АО. Положим
cpjv.eW^C-lI* *i-i<«<'ь i --1,2, ...,ЛГ,
фЛ'
где "fm = 1/C27V) при m нечетном, vm=*0 при m четном, Фупкцпю
Фл', m(i) называют эйлеровым идеальным сплайном. Этот спяпнн
(а также его периодическое продолжение) будут неоднократно
встречаться в дальнейшем, в частности, как экстремали в задачах
оптимизационного содержания.
Следующие свойства сплайна ф*. m(t) непосредственно
вытекают из его определения. Имеют место равенства
ф№т@ = Ф*т^@. V=lt2,...,Hlf
+ «). 0 < и < 1/ЛГ;

Нули сплайна ф.у,т(О определяются равенствами
Ф.у, гМШ) = О, i = 0,1,.. .,iV; v - 0,1,2,...,
Ф.у,2у-4(B/~1)/B/У))=0, г= 1, 2, .... TV; v = 1, 2, ...,
причем эти нули являются простыми, и других нулей на [0,11
нет. Отметим еще, что функция фл-,mU) (т>1) сохраняет зпак
и направление выпуклости па каждом промежутке между
соседними нулями и строго монотонна между соседними нулями
производной.
3. Аналитическое представление. В дальнейшем нам придется
пользоваться различными аналитическими представлениями
сплайнов — в зависимости от выбора базисных функций. Здесь
мы остановимся на представлении, использующем усеченные
степенные функции B).
Предложение 1.1.1. Сплайн s(t) порядка т по разбиению
A) с дефектами ki @^ &,-< тп +¦ 1) в узлах t{ (г = 1,2,...
..., iV — 1) единственным образом представим на [а, Ь\ в виде
m jv-x /4-1
s (t) - S cv (* - a)v + S 2 «и (t - «0Гh, C)
v—0 г 1 j-=0
при этом
Cv==s^\a)/vU v=0,l, ...,mf
0) - .s(m-^> (t 0)]/(m /)!
Обратно, любая функция вида C), а<9е cxi^^-i^O (i = l,2,...
..^, iV—1) и а< tt < t2< ... < ^v-i < Ь, ес/-ь сплайн порядка тп
с дефектами kt в узлах tt.
Доказательство. Если положить
v=o
то, очевидпо,
P^(a) = s(v>(a), v = 0,l m. E)
Рассмотрим функцию
< ь
g @ = J I* (И) - Рт (И)] «U» = J [« (И) - />т («)) (* - »А*«, F)
На каждом интервале (t(-.hti) (i = I, 2,.;., N) разпость s(u) —
—/?m(w) есть многочлен степени m, так что для «el^fc) имеем
p(m+1) (w) = p$jT+1) (и) = 0, и интегрирование m раз по частям
10

дает
h
\ [s(u) — Pm(u)](t — u)»dii:
m
'i-o
. (/ +1)!
Суммируя по г, получим
^ ^ (,• > ¦ 1I I ^« ~т ) — ^m v
i"-0 j—О
JV т
N-l m
217TW- И <*« + °) -s(i> <'« - °I С ~ ¦
2 2
2
2
IT^if ls(i> (« + °) - P (
2
Последние две суммы тождественно на [а, Ь] равны пулю:
первая из них — в силу E), а "вторая —ввиду того, что для t^b
справедливо равенство {t — b):i*1 = 0. Таким образом,
iV~i m
« 2 2-nTWtsU>{ti + °)-slj>(?i
Дифференцируя это равенство и учитывая, что ввиду F)
справедливо соотношение g'(t) = s(t) — pmti), окончательно будем
иметь
иметь
s (t)=рт (о+2 2 w
Для того чтобы получить соотношение C), остается заметить,
что при 7 = 0, 1, •.., m — ki соответствующие слагаемые исчезают
11

в силу непрерыпности sO)(t) в точке ti. Единственность иредстав-
летшя C) следует па линейной независимости системы функций
(t-a)v, v = 0,l ,m,
(t-t{)T'}, У-0,1, ...,/,-;-1; i=l,2 N~l, G)
при фиксированных ti, t2, ..., ?.v-i. г{то касается последнего
утверждения предложения 1.1.1, то оно сразу вытекает из
определений сплайна и функции B).
Следствие 1.1.2. Сплайн s{t) из Sm (Алт [я, Ь]) можно
представить па отрезке [а, Ь] в виде
s (I) =- 2 cv (I - а)у + 2 *2«1 j (« - h)mb-\ (8)
v -о 2—1 j—о
at. j = [Sc«-J)(^ + о) - sc»-«(^ ;,
г= 1, 2 , /V — 1; 7 = 0,1, ...,fc-l,
причем это представление через те vice базисные функции един-*
ст вечно.
Следствие 1.1.3. Размерность линейного многообразия
iSmCAjvffl, Ь\) {при фиксированном разбиении ААа, Ь]) равна
Nk + m-k + i.
Идеальный сплайн s(t) порядка m по разбиению A), как это
следует из его определения, можот быть записан в виде
ш-1 Г N-1 -|
*@ = 2 cAt-a)v-\-a Г + 2 2 (-!)'(«-«0+ . « = ± ^-
v-0 L г-1 J
ДейстЕлтелыю, здесь
и ясно, что s{m)(l) принимает на промежутках раябпепия
попеременно знамения ±1,
Мопоспллйн порядка m по разбиению A) с дефектами kt в
узлах ^ допускает представление
"I' - ау + N2 2 «jj (* - h)T'\
v (t - ау + 2 2
v-o
где с?=0, ибо в этом случае s{m)(ti + 0) = ^(m)(^ — 0) (i=H,...
...tiV~l).
Заметим, что в представлениях C) и (8) —A0) вместо точки а
можно взять любую друтую топку t<tii при этом соответствеппо
измепятся выражения D) для коэффициентов cv.
12

4. Периодические сплайны. Если сплайн s(l) пз Sm{&x[a, b\)
удовлетворяет условиям
S(v)(a) = 8™{Ь\ v = 0,1,..., т- к, A1)
то его, очевидно, можно продолжить без увеличения дефекта па
нею ось с периодом Ъ — а (при этом точки t0 и tN придется
включить в число узлов сплайна). Таким образом, периодический
сплайн можно записать в виде линейной комбинации функций
G), если коэффициенты подчиппть уравнениям связи A1). Одпа-
ко уловить периодическую структуру сплайна лучше позволяет
представление его через периодические моиосплайны.
Чтобы не усложнять выкладки, будем рассматривать сплайны
периода 1. Фупкцию
Т)
~ 2 V
-7ZI5kL
пазыватот {i-периодическим) мопосплайном Бернулли. Он имеот
порядок т, дефект 2 л едипствештый на периоде [0, 1] узел
/ = 0. Заметим, что
§Dm(u)du=0, щ-1,2, ...,
о A°)
ДЙ} @ - An-v @, v = l,2, ...,m — 1,
A/2 — *, 0<<<1,
A4)
Более подробно о свойствах функций Dm(t) будет сказано в § 2.3.
Пусть теперь фиксировано разбиение
Ду = Дл*[0,1]: 0 = to<ti<...< tN-i < tN =» 1, A5)
и Д* — его н])одолжетнге с периодом 1 па всю ось. Для
1-периодического сплайна по разбиению Д^ узлами являются точки tidzn
(/=*0? 1, .-., ^V; л = 0, 1, 2, ...), причем в силу периодичностиде-
фокты в узлах t\ и U±.n равны; в частности, к0 = А:^. Так как
любое разбиение A5) можно продолжить на всю ось с периодом
1, то в дальнейшем мы будем говорить об Апериодических
сплайнах по разбиению Ду.
Лемма 1.1.4. При любом разбиении A5) функция
N
h=-l
еде «i + az + .-. + a*«О, па каждом интервале (ti-u t{) (? = 1,
2,..., N)'разбиения является константой,
В самом деле, если фиксировать интервал (?{*_!,?{), то в силу
A4) функция Dtit- tk) на (tt-u U) имеет вид ck — t. Но тогда для
13

t e {ti-ь td справедливо соотношение
JV N
Ф @ = S ah (cit — t) = S aftcft = c.
Предложение 1.1.5. \-периодический сплайн s(t) порядка
m no разбиению А„ с дефектами кг A < &*< то +1) в узлах t{
(i-»lt 2, ..., iV) можно представить, и притом единственным об-
разом^ в виде
«(«) - Р + I) 5 PuAn-j+i« - *«), A6)
*@Л, A7)
О
pifi = ,(«-й (ц + 0) - ^те-'> (t, ~ 0)f * = i, 2 ЛГ;
/ = 0fl,.,.,Ai-l, A8)
причем коэффициенты р<р 0 связаны равенством
Pi. О + &2. О + • - • + Р*.О = 0. A9)
Любая функция вида A6), где pifAr-i=H=O (i = 1,2,.. MiV), 0<
<ft<f*<...<ftf-.i < ^у = 1 w выполнено условие A9), является
Апериодическим сплайном порядка m с дефектами ki в узлах U.
Доказательство. Положим
1 1
g(t) = J [S(и) — p] DL{t — u)du=$s(u)DL(t — м)du7
о о
где число ? определено равенством A7). Заметим, что (§ 5.2,
н.З)
Р. B0)
Па каждом интервале (U-^U) (i — I, 2,.. .,JV) справедливо
равенство s{m+i)(t) = 0. Поэтому, интегрируя по частям
последовательно т раз, с учетом A3) будем иметь
N т
г_! ^^ г— у—
Так как в точках t0 и tN значения функций, стоящих под знаком
суммы, совпадают, то
N m
*} {к + 0) — *(v) {U — 0)] Dv+2 {t — U).
Если продифференцировать это равенство и полученный
14

результат сопоставить с B0), то получим
N т
* @ = Р + 2 2 [*(v) (и + 0) - *(v) (к - 0)] д,+1 (t - h).
i=t v=o
При v — 0, 1, ..., kt— 1 разность в квадратных скобках, в силу
непрерывности s{v)(t) в точке U, равна пулю, так что s(t)
записывается в виде A6), где () и (J4|i определены соответственно равеп-
ствами A7) и A8). Соотношение A9) автоматически выполняется
ввиду того, что сумма скачков на периоде [0,1) кусочно-постояп-
ной 1-периодической функции s{m)(t) равна нулю. Едштствеппость
представления A6) следует из линейной независимости системы
функций
l,Dm-i+1(*-t,)f 2 = 1,2 N; / = 0f 1 Л| —1, B1)
при фиксированных попарно различных узлах и.
Тот факт, что любая функция вида A6), где U фиксированы
н выполнено A9), есть 1-иериодический сплайн порядка т,
проверяется просто. Так как для 0 < и < 1 D{rr) (и) = — 1, то из A6)
для U-t <t<tt (i = 1, ..., N) получим
и с учетом леммы 1.1.4 правая часть равна коистаттте на каждом
интервале U?-b tf). То, что при Рг,/ч~1=^=0 сплайн s(t) имеет в
узле ti дефект ки проверяется непосредственно с учетом свойств
моносплайнов Dr(t — ti).
Пусть Sm(&N)— линейное многообразие 1-периодических
сплайнов порядка т дефекта к A^/c^m + l) по разбиепию
A.v, 5т(Дл) = ?т(Длг)- ^3 предложения 1.1,5 сразу вытекает
Следствие 1.1.6. Сплайн s(t) из ?™(A<v) можно
представить в виде
N fc-i N
* (*) = Р + 2 2 Pi.i^™-i+i (* - U), 2 Р«,в = 0, B2)
i^=l j=O i=l
где
р= \s(t)dt4
о
Pi J = ^(m"j) (U + 0) - 5(m-j) (U-% « = 1 ЛГ;
причем это представление через те же базисные функции
единственно.
Следствие 1.1.7. Размерность линейного многообразия
^m(Ajv) при любом m = 0,1,... равна Nk.
Действительно, число базисных фупкций в B2) Nk +¦ 1, но
коэффициенты р^0 ввиду периодичности связапы уравнением A9).
15

Существенной особенностью периодического сплайна s(t)
порядка т является то, что кусочно-постоянная фушщдя s{m)(t)
может переменять знак на периоде только четное число раз и,
следовательно, количество нстипных узлов на периоде
обязательно четно. В связи с этим идеальные 1-периодические сплайны
s(t) по разбиению A5) можпо рассматривать только при N^'ln.
Кроме того, так как должпо выполняться равенство
то узлы такого сплайна U должны удовлетворять соотношению
N
2(-l)('i-'«-i = 0. B3)
При выполнении этого условия идеальный сплайн sit) из ?т(Д>п)
может быть записан в виде
2п
s{t) - р + 82 2 (- №н (/ - /<), B4)
ii
где 8 = +1 или е = —1.
Периодический аналог идеального эйлерова сплайна ф№|П,(/),
определенного в п. 1, получим при N = 2n, ti^i/{2n). В этом
случае возможны представления
f2:T Bv -'* ^) nt
= 0,
Фупкция <p2n,mU) имеет период 1//г, четиа при т нечетном и
нечетна при т четном, причем
1
Сплайп ф2п.т@ обладает также всеми свойствами, отмечоппыми
в п. 1 для функции cpjv.mU) (при N = 2п),
1-периодический моносилайп s(t) порядка т дефекта & по
разбиению A5) определяется тем, что при t?=ti (i = 0, ±1, ±2, ...)
s{m)(t)*=c. Чтобы обеспечить это условие, а также
периодичность сплайна, падо в общей формуле B2) положить §^0 = 0
(i^l, 2, ..., Ю и потребовать, чтобы pi, i + p2, i+ ...+ $n, i = ?.
Следовательно, такой мопосплайн молаю записать в виде
N А-1 N
* @ = Р + 2 2 Pij^m-j+i (< - «о, 2 Pi.i = ^,
1G

где числа ji и $<j определяются теми же равенствами, что и в
общем представлении B2). В частпости, для моыосплайна sit)
порядка т мшшмальпого дефекта к = 2 имеем представление
N N
S it) = E -{- С ^j $iDm it — Ji), 2 Pi = 1»
где
i
p = ^s(t) dt, pi = 5(т"} (^ + 0) — sGn~1} {h — 0)t
0
§ 1.2. Интерполирование сплайнами
1. О нулях и переменах знака функций и их производных^
В этой и других главах кпиги пеодпократно будут использоваться
соображения, связапыые с подсчетом и оценкой количества пулей
и перемеп зпака фупкций. Чтобы облегчить дальнейшее
изложение, введем здесь некоторые определепия и приведем несколько
простых фактов, в основе которых лежат соображения,
аналогичные теореме Ролля.
Пусть fit) e CU, Ь\ и
где а < Zi < xz< .. .< хп ^ Ъ (п>2). Точки д?4, х2, ..., хп т\:ю-
вем разделенными нулями фуншцхи f(t), если на каждом
интервале (xhi xh+i) (fc = l, 2, ..., n—1) функция fit) не равна тожде-
ственпо нулю. Максимальное число разделеппых нулей фупкцш!
fit) па [а, Ь] (без учета их кратности) обозначим через v(/;[af6l);
в наших дальиейших рассмотрениях это число всегда будет
конечным. Чтобы придать общность формулируемым ниже
утверждениям, условимся в случае, когда fit) Ф 0 на [a, b] и fit)
обращается в нуль, по пе пмеет на [a, b] двух разделенных нулей,.
считать, что v(/; [я, Ы)«=1, т. е. fit) имеет на layb] один
разделенный нуль. Равенство v(/; [a, b]) = 0 будет соответствовать
тому случаю, когда i/U)l > 0 для всех a^t^b.
Аналогично определяется и обозначается (максимальное)
число разделенных пулей функции fit) на интервале (a, b), а также
на полуинтервалах la, ft) и (a, b] (в предположении, что /е=
С(Ы)
,
Пусть функция fit) определепа в каждой точке отрезка [а, Ь].
Будем говорить, что функция fit) существенно меняет знак па
[а, Ы, если tncslt: fela, &], /(ft >0) >0 и mesU: ^e[a, ft],
fit) <0}>0; fit) существенно меняет знак в точке z' ia<z'<
<b), если для некоторого е>0 и почти всех и @<ц<е)
sgn fiz' - и) = -sgn fiz' + u)?*0.
Скажем также, что функция fit) существенно меняет знак на
[а, Ь] ровно п раз, если можно указать п + 1 точек zu
а < z0 < z, < ... < zH < 6,
17

и число 8 > 0 такие, что для почти всех и е (—е, е)
sgn fiz, + и)«- -sgn /(z^t + и) ^ О, / = 1,2,,.., гс,
причем не существует па [а, Ы системы из п + 2 точек,
обладающих аналогичными свойствами. Число я паэовем числом суще~
ствеиных перемен знака функции fit) на [a, b] и введем для
этой величины обозначение ц(/; fa, Ы); у нас число ]xij;la/b\)
будет всегда конечным. Равепство \xif; [a, ft]) =» 0 будет обозпа-
чать, что fit) Ф О на множестве положительной меры и не меняет
существенно знак па [а,Ы; равенство \i(f; [я, Ь]) =»— 1 условимся
•сопоставлять случаю, когда fit)=*O почти всюду на [я, Ы.
Для кусочно-непрерывных (т. е. имеющих на [a, b] не более
чем конечное число точек разрыва) фупкций определепие пе-
сколько упрощается. Именно, кусочно-непрерывная па
промежутке [a, b] функция fit) имеет на [a, b] n существенных перемеп
зпака, если существуют п + 1 точек Zj (a < z0 < zt < .., < zn < b)
таких, что fit) непрерывна в каждой из них и
sgn fizj-i) — -sgn fiz}) ^0, / = i, 2,..., n.
Обратим внимание, что введепное определение «не
замечает» заведомо несущественных и не влияющих па интеграл от
fit) (если fit) суммируема) перемен знака. Так, если fit) ¦= 1
для a<t<c и c<t^b и /(с) = — 1, то |л(/; [а, Ь]) = 0, а если
y(a)«-/(b)-lf /U) = 0 (а<^<&), то |i(/; Га, Ы)--1. Число
д(/;[а, Ы) останется прежним, если изменить значения fit) па
множестве меры пуль; очевидно также, что это число не
изменится, если вместо отрезка [a, b] взять интервал (a, ft), так что
ц(/;[а,Ы)-|1(/;(а,Ь)).
У непрерывных функций любая перемена знака является
существенной, и в этом случае мы будем говорить просто о числе
перемеп знака. Если fit) непрерывна па [а, Ь] и имеет на [а, Ы
п перемеп зпака, то fit) имеет на интервале (a, b) по меньшей
мере п разделенных нулей. Таким образом, для fit) e С[а% Ъ\
(fit) Ф 0)
[W)((a,b))f A)
причем это соотношение (со знаком равенства) справедливо и
тогда, когда fit) пе обращается в нуль па [а, Ы.
Л е м м а 1.2.1. Пусть fit) e L,[a, b], - Fit) — неопределенный
интеграл от /;
t
f{u)du + ct a < t<fc,
ret u x2 (a < Xi < x2 < b)«— разделенные нули функции Fit). Тогда
функция fit) на интервале ixu xz) существенно меняет знак^
причем, если fit) e Cta, Ы, го существует такая точка х ixt < х' < x2)f
что fix') = 0 и fit) ФО на каждом из интервалов ixit x') и ix\ хг).
Действительно, если предположить, что fit) > 0 или fit) ^ О
почти всюду на интервале ixu x2)y то Fit) должна быть мопотонна
18

па этом промежутке, а так как FixJ = Fix2) =0, то Fit) s 0 на
(#i, х2), что несовместимо с определением разделенных нулей.
Вторую часть утверждения леммы сразу получим, взяв в
качестве х' точку, в которой функция \Fit)\ имеет максимум.
Предложение 1.2.2. Пусть ](г)&СЧагЬ] и fit) имеет на
[а, Ь] п > 1 разделенных нулей, из которых m являются кратны*
ми. Тогда:
/;, \
2) если /U)f=0, но /Ча) = 0, или /(Ь)^0, но f'ib) = 0, то
vif';la,b])>n+m;
3) если /(а)^0, /(Ь)^0, но /'(а) = /ЧЬ) =0, го v(/';[a,M)>
;
4) если /(а)=/(Ь)^0м f(a)°*f(b)+O, то v(/'; (а,
Доказательство. Пусть () == {^t, х2,.. •, ^п), где
< хг < ... < хп < ft,— множество из гс разделепных нулей
функции fit) па ta, ft]. Если п>2, то в силу леммы 1.2.1 на каждом
иптервале ixuxi+i) U = I, 2,..., n— 1) есть пуль у< фупкции
/Ч*), причем /Ч^)^0 па иптервалах (xi9yt) и (yfl xi+i).
Следовательно, точки yi ii = 1, 2, Ф.., п — 1) вместе с m кратными нулями
из множества Q образуют систему из п + тп — 1 разделенных
пулей фупкции fit). Этим утверждепие 1) доказано в случав п>2;
при п = 1 оно очевидно.
Докажем 2). Если /(а) ?=0, то а < я1э и по доказанному
v(/', ixiy Ы)>п + тп — 1, а так как fia) = 0 и, очевидно, fit) ^ 0
на промежутке (а, #,), то vif;[atb])&*n + m. Аналогично
устанавливаются и другие утверждения в пунктах 2) и 3).
Доказывая 4), предположим для определенности, что fia) ¦=»
«=/(&) >0. Если fia) = f'ib)> 0, то на интервале (а, д^) функция
/40 обязательно меняет знак, ибо
если же fia)=fib)<Ot то /Чй меняет зпак на интервале*
ixn, ft), ибо
Так как в силу 1) v(f; [xu xu])>n + m — l, то v(/': [a, b])
>v(f; lxifxn])+l>n + m.
Предложение 1.2.3. Пусть fit) eij^b] ^
причем Fit) Ф 0 wa [a, Ы.
1) |i(F; la, ft]) ^ v(F; [a, Ы) ^ |i(/; (a, b)) + 1;
2) если Fia) = 0 или Fib)*=O, то y(F; [a, bl)<|i(/; (a, b));
19

3) если F(a)«F(b)«O и |i(/; (я, Ь)) > Ot ro
(/;(а,Ь))-1;
4) если Fia) =*F(b) ФО ы число jli(/; [a, Ы) чегно, то
ГЫ)<(/(Ь))
Доказательство. В случае, когда vCF; [a, Ы) >2, из
леммы 1.2.1 следует, что
откуда с учетом A) получаем утверждение 1); если viF; [а, Ы) =»
— 1, или viF; [a, fe]) = 0, это утверждение очевидно.
Пусть теперь /"(а) «О; тогда существует такое число е > 0,
что F{a + )^0
; [a+e, fel) = n(F; [а, Ы),
v(F; [a + e, Ы X vCF; [a, Ы) - 1.
С учетом A) и уже доказанного неравенства 1) получаем
\i(F; [ayb])<v(F; [a + е, Ы) < vCF; [af Ы)-K|i(/; (a, 5)).
Апалогичпо устанавливается утвержденле 2) в случае Fib) =*
= 0. Если же F(a) =F(b) = 0, то для некоторых 8i >0 п е2>0
имеем Ла + е,) Ф 0, FF - е2) Ф 0 и
v(F; la + гиЬ- е2]) <v(F; [а, Ъ\)-2.
Используя A) и 1), будем иметь
; [а, Ы) ^ \{F\ la + е„ Ь - е2]) < v(F; [а, Ы) - 2 <
Доказывая 4), будед! считать, что ja(/; fa, Ы) — 2fe, тогда в
силу неравенства 1) имеем ji(F; (a, Ь)) <2А;+ 1. Так как F(a)=*
= F(b)?^0, то число перемен знака функции F(i) па интервале
(а, Ь) обязательно четно, причем это справедливо и для фупкции
Fa(t) ~F(t) + a при любом а, удовлетворяющем неравенству
lal < \F(a)\. Следовательно, \i{Fa; (a, b)X2k (loci < \F(a)\).
Ясно, что для некоторого a0 (laol < \F(a)\) будет
а потому
v (/S (a, b)) < |ii(Fao; (a, 6)) < 2k - jx(/; [a, Ы).
Отдельно отмстим некоторые факты, связанные с оцепкой
числа разделенных пулей и перемен знака (па периоде)
периодической фупкции; при этом, как и выше, предполагается, что
число тех и других на периоде конечно.
Пусть функция fit) определена на всей оси (/U) ^ 0) и имеет
период I. Числом существенных перемен знака функции fit) на
периоде естественно назвать величину
\iif; I) = sup \iif; ia, a + Z));
a
20

:« частности, если fit) кусочпо-пепрерывпа па периоде, то
где а — любая точка непрерывности fit), в которой fit) не
обращается в пуль. Существенно, что число \iif; Z) обязательно четно.
Если fit) & С(, т. е. fit) непрерывна на всей оси и имеет
период I, то числом разделенных нулей функции fit) на периоде
назовем величину
v(/;Z)-v(/;(a,a + Z)I Ца)Ф0,
также, очевидно, пе зависящую от выбора точки а, в которой
jia) =5^0. Из определения ясно, что для }^& всегда
Предложение 1.2.4. Пусть /еС? №)ф0) и fit)
имеет ш периоде п разделенных нулей, из которых пг являются
крйтпыми. Тогда v(/'; I) > п + т.
Действительно, найдется такая точка а, что fid) Ф 0, f'(a) Ф 0,
и все сразу следует из предложения 1.2.2 (утверждение 4)).
Предложение 1.2.5. Пусть fit) — локально суммируемая
с периодом I функция,
.причем Fit) ФОи FiO) =F(Z). Тогда viF; I) < \iif; Z).
В самом деле, так как Fit) Ф 0, то найдется точка а, в которой
Fia) Ф 0, \xif\ I) == \xif\ (я, а + Z)), причем число \xif; (а, а 4- Z)) чет-
ло. Тогда в силу предложения 1.2.3 (утверждение 4))
v(/<7; I) = viF; (a, a + l))< ц(/; (а, а +1)) = м(/; Z).
Следствие 1.2.0. В условиях предлооюепия 1.2.5 \\iF\ I) «^
< lit/; /).
2. Общие замечания о сплапп-иптерполяции. Р1з предложений,
доказанных в § 1.1, видно, что сплайн порядка пг можпо задать
с точностью до многочлена степени т, зная величины скачков
в узлах его разрывных производных. Более естественно, однако,
попытаться однозначно определить сплайн sit), заставляя его,
а также, может быттэ, некоторые его производные, принимать в
заданных точках заданные значения. Это особенно важно, если
рассматривать енлайпы как аппарат приближения и сопоставлять
приближаемой функции fit) сплайн sit), используя дискретную
информацию о fit), например, требуя, чтобы онлайн sit)
интерполировал значения функции / и ее производпых в
фиксированных точках.
Ниже (гл. 5, G) мы увидим, что интерполяционные сплайны
в ряде важных случаев обладают исключительно хорошими ап-
21

проксимативпыми свойствами, обеспечивая минимально
возможную погрешность на классе функций по сравнению с другими
методами, использующими ту же информацию о приближаемой
функции. Здесь же мы займемся выяснением условий
существования и единственности интерполяционного сплайна. Не стремясь
дать исчерпывающее решение этого довольно топкого вопроса,
рассмотрим несколько достаточно общих случаев, охватывающих,,
но крайней мере, те конкретные ситуации, с которыми в
дальнейшем придется встретиться при исследовании
аппроксимативных свойств интерполяционных сплайнов.
Сплайн sit) из Sm (&n [«, Ь]) склеен в N— 1 узлах ?„ ?>, ...
. ¦., fcv-i, до (иг — &)-й производной включительно, из N
алгебраических многочленов степени иг, поэтому он имеет Nimi-1)—
— UV— Dim — к + 1) = Nk + m — к + 1 свободных параметров.
Этими параметрами мы можем распорядиться, чтобы
удовлетворить тем или иным интерполяционным условиям вида s(v)(r) = */v,
где при а < т < Ъ естественно считать 0 < v < т — к. В случаях
т»а и т = 6 об этих условиях обычно говорят как о краевых,
допуская, что 0 < v < т. Краевые условия могут задаваться
также в виде некоторых (обычно линейных) уравнений,
связывающих значения s(v)(а) и 5(И)(Ь) @<\\ \х<т). Важный случай
представляют периодические краевые условия, задаваемые
равенствами A.11). Ясно, что задачу о существовании сплайна s{t) e
е5т(Д]у[я,Ь]), удовлетворяющего тем или иным
интерполяционным и краевым условиям, корректно ставить, если число
уравнений, задающих эти условия, не превышает числа свободных
параметров сплайна, т. е. Nk + m— к+ 1.
Доказательство существования и единственности
интерполяционного сплайна в конкретных ситуациях, как правило, будет
вестись по следующей общей схеме. Используя специфику
сплайнов, устанавливаем, что сплайн из Sm(&N[a, Ь])у
удовлетворяющий пулевым интерполяционным условиям, есть тождественный
нуль. Отсюда с учетом линейной независимости базисных
функций сразу следует, что если интерполяционный сплайн
существует, то он единствен, а однородная система линейных уравнений,
задающих пулевые интерполяционные и краевые условия, имеет
относительно свободпых коэффициентов только пулевое решение.
Но тогда неоднородная система при ненулевых
интерполяционных условиях будет иметь единственное решение, т. е.
интерполяционный сплайн существует и единствен.
3. Интерполирование в узлах сплайна. Рассматриваются
сплайны sit) нечетного порядка иг = 2г— 1 дефекта к (l^fe<r)
по разбиению A.1). Точками интерполяции будут узлы сплайна
*и tz, ..., ?w~i, а также концы промежутка [а, Ы.
Лемма 1.2.7. Если Kk<r, iN+l)k>r и сплайн sit) из
S^r-i (Ajv [л, fel) удовлетворяет интерполяционным условиям
8Щи) = Оя * = 0,l,...,iV; ;-0,l,. ..ffc-l, B)
22

и при 1 < & < г — 1 — дополнительно еще краевым условиям
"IT ) s^""' F) - «(r+v) («) s(r"v"X) (а)] = О, C)
v=o
го strisO,
Доказательство. Рассмотрим сначала случай fc = r, т. е.
когда s(t) ^С'Ча, Ы и
= 0, «~0,1,...,Л; / — 0,1 г—1. D)
Учитывая D), а также то, что па интервале U,-i, *<) справедливо
равенство sBr~l)(t) — const, с помощью последовательного
интегрирования по частям будем иметь
Ч U
J [*(Г)(*)]2Л = Г ^(О&^Чо-
h
...+(- dv*-» (/) .s-' (*)] i;j:e+e+(- ir+i
*™l,2 ЛГ.
Следовательно,
и, значит, гоч'га всюду на [а. Ы «(г)(^) = 0. Так как ${r)(t)
есть сплайн, то s(r)@s0, a s(i) может быть только многочленом
стспепи не выше г-1 и удовлетворяет GV+ 1)г условиям пптер-
поляции D), лишь если sit) ^0.
Теперь пусть Кй<г—1. Сплайн s(t) из «Sar-i(Д]у[л,Ь])
принадлежит С2г~*-![а, Ы, и мы можем написать
| [s(r) (о]*л - [*(г) @ «<г) @ - *(г+1) @ «(г) @ + ...
Разбиваем последний интеграл на сумму интегралов по
промежуткам (?<-1, td и, интегрируя на каждом из них еще к раз но частям,
убеждаемся, с учетом условий B), что он равеп нулю. Таким
образом,
(t)Ydt = Т 2~Х (- DV [*(r+V) (t) s«-*-» (t)] \\
a Vs=0
и если вынолпеио C), то ${r}it) в 0. Так как {N+l)k>r, то уело-
23

вия B) для сплайна s(?), у которого s(r)U) «^ О, могут выполняться
лишь в том случае, когда s(t) ^ 0. Лемма 1.2.7 доказана. Укажем
несколько наиболее важных для приложений (притом линейных)
случаев выполнения 2г — 2ft краевых условий, обеспечивающих:.
равенство C). Заметим, что из двух чисел r + v и г —v —1
обязательно одно четно, а другое нечетно.
1) Периодические краевые условия:
s(v)(a) « s<v)(b), v = ft, ft + 1,.. , 2r- ft - 1.
2) Нулевые краевые условия:
2а) s(v)(a) = s(v)(b) - 0, v = ft, ft .;.-1, ..., г- 1;
2b) s(v) (a) - s(v) F) - 0, v«r,r.1-1, ..., 2r-ft-l;
2c) e™ (a) „ ,<»> (b)e 0, v « p±i], ..., p±i] + r - ft -1 *);
2d) ,<*+» (a) « ,<*+« F) = 0, v - [4], . .. f [4] + г - * -
Формулируя .условия существования и единственности, мы
можем задавать интерполяционные условия как набором чисел {^Л,
требуя, чтобы s{v)(ti) = г/fv, так и значениями в точках tt некоторой
достаточное число раз дифференцируемой функции и ее
производных. Ясно, что это равносильные требовапия, по мы здесь
изберем второй вариант, более соответствующий задачам
сплайн-интерполяции, рассматриваемым в следующих главах книги.
Теорема 1.2,8. Какова бы ни была функция fit) ^Сг-{[а,Ыу
в множестве Sr*r-i(&x[a,b]) существует и притом единственный
сплайн s(t)y удовлетворяющий условиям
Доказательство. Любой сплайн s(t) из S12r-1(S^\a1 b])
может быть записан в виде (следствие 1.1.2)
s (t) - 22 cv (t - a)v + '2 S «i.j (* - U)*-*-1. F)
Потребовав, чтобы этот сплайн удовлетворял условиям E),
получим систему из (N + 1)г лииейиых уравнений относительно такс}-
го же числа неизвестных коэффициентов cv n aiti. Определитель
этой системы не равен нулю, так как соответствующая
однородная система (при /(v)(^) = 0) в силу леммы 1.2.7 п единственности
представления (G) имеет только пулевое решение.
Теорема 12.9. Пусть f(t)^Ch^[a, Ъ\. Если (N + i)k>r и
1 < к < г, то существует единственный сплайн sit^S^r—iikAct, Ш,
удовлетворяющий интерполяционным условиям
«<*'(*,) «f >(*,), t-0, !,...,#; v = 0fl,...,ft-lf G)
*) [a] есть целая часть числа a.
24

и дополнительно одному из следующих наборов 2г — 2к краевых
условий:
s(v)(e) = *(v)(b), v = ft, ft + 1, ..., 2r — fc —1; (8)
^(V)(«)-J/a,v, s(v)F) = j/6>V) v = ft,ft + l, ...,r_l; (9)
*<v) («) = !/a,v, 4Xv) (Ь) = Уь.у, v = r, r + 1, ..., 2r - ft - 1; 'A0)
^ («) - I/av, «(tv) №)-Jte», v- [t^i], ..., [ф] + г - * -
A1)
A2)
где yav ц. уЬу, — любые наперед заданные числа, например,
значения соответствующих производных фукций fit) в точках а и Ъ,
Действительно, записав сплайн sit) из *?2г-1(Д.у[«, Ь\) в виде
s(t) = "S1 cv (t - a? + *2 21 «*j (* - h)%-'}~\ A3)
потребуем, чтобы он удовлетворял условиям "G), а также одному
из наборов краевых условий (8)—A2). Определитель полученной
линейной системы из Nk-+2r— k уравнений относительно
Nk + 2r—k коэффициентов с» и а{>; ие рапеп пулю — опять же
л силу леммы 1.2.7 и единственности представления A3).
Поэтому существует и едипствеппо решение системы уравнений,
составленной из G) и одного из наборов (8)—A2).
Иногда бывает удобно в задачах интерполяции использовать
так называемые натуральные (или естественные) сплайны
нечетного порядка. Пусть sit) — сплайн из S'i—i {&n [a, b])
(l^k ^ r; (N + l)k>- ?0, удовлетворяющий при к < г нулевым
краевым условиям:
s(v)(H-0, v«r, г+1, ..., 2г-/с~ 1.
-«Подклеим» к сплайну sit) слева в точке а многочлен pait)
степени г—1, а справа в точке Ь — многочлен рьШ также степени
г— 1, потребовав чтобы
Paj) (a) - s°\a)y pij) (b) = s(j) (Ь), ; « 0,1, ..., r-1,
(этими условиями многочлены рв(О и pb(t) определяются одно-
зпачпо). В результате получим сплайн sit), определенный на
всей оси и имеющий па всей оси пепрерывтше производные до
Bг— к— 1)-го порядка включительно. Заметим, что на
промежутках (—оо, а) и (Ь, +оо) 5(у)(Онз0 при v>r. Множество полу-
чеппых таким образом функций образует линейное многообразие
натуральных сплайнов порядка 2г—1 дефекта к по разбиению
Д.лЛя, b]y которое мы обозначим S\r-i(&N\ct, b]). Из теорем 1.2.8и
25

1.2.9 (при краевых условиях A0) и Уа. v = г/ь, v = 0) немедленно
вытекает
Следствие 1.2.10. Для fit) e Ch~{[a, Ы (Кк<г)
существует и притом единственный натуральный сплайн s (t) e
e?2r-i(An [я, Ь])» (N+l)k>ry удовлетворяющий
интерполяционным условиям G).
Переходя к периодическому случаю, обозначим через Сь-*
множество непрерывных, а через C[-a множество г раз
непрерывно дифференцируемых на всей оси функций с периодом Ь — а.
Если Sm (An [a, b])— линейное многообразие (Ь — л)-нериодиче-
ских сплайнов порядка тп дефекта к по (периодически нродол-
женному) разбиению AN[ay fr], то ?т(Длг[Д, Ь]) d C™~a.
Теорема 1.2.11. Для любой функции /(?)eC?li
существует единственный сплайн s (t) s S%r-\ (Длг [a,b\) {\<k< r;
(N+ l)k>r), удовлетворяющий интерполяционным условиям
В самом деле$ в силу теорем 1.2.8 и 1.2.9 существует
единственный сплайн s (t) е #2г-1 (Д.у I«, Ь]), интерполирующий в
смысле равенств A4) функцию fit) из Съ-1 и нри l^ft^r—1
удовлетворяющий краевым условиям (8). Но тогда
5<v)(a)^s<v)(b)? v«0f 1, ..., 2r-fc-lf
и сплайн s(rt можпо единственным образом продолжить с
периодом Ъ~~а на всю ось, сохранив непрерывность самого сплайна и
всех его производных до Bг— fe— 1)-го порядка включительно.
Полученный (Ь — а)-периодический сплайн удовлетворяет
утверждениям теоремы.
4. О возможности интерполирования в узлах сплайнами
четного порядка» При попытке получить аналогичные результаты
для сплайнов четного порядка мы сталкиваемся с таким
обстоятельством. Если потребовать, чтобы сплайн s{t) из ^2г(Аху[а, Ь\)
(l^k*?r) удовлетворял интерполяционным условиям s(v)Ut) =
888 Hi, v» * "^ 0,1,..., N; v = 0, 1,..., k — 1, то останется нечетное
число 2(r — fe) +1 параметров, которые для обеспечения
единственности следует погасить за счет краевых условий. Легко
привести простой пример, когда при естественных краевых условиях
сплайн четного порядка, принимающий в узлах заданные значе-
иия, не существует, хотя общее число интерполяционных и
краевых условии равно числу свободных параметров сплайна. Такой
случай будет, например, если
iV = 2, r = fe = l, to = a, *,«=(а + Ь)/2, t2 = b
и требуется, чтобы s(^0) = s(ti) = 0t s{tz) = l при краевом уело*
вии $Ча) «=5У(Ь).
26

Обеспечить существование и единственность сплайна из
*?2г (Ajv [a, Ь]), интерполирующего в узлах, можно, вводя
дополнительные узлы минимального дефекта. В следующем пункте мы
покажем, как это делается в случае к =» г.
5. Эрмитовы сплайны нечетного и четного порядков. Из
теоремы 1.2.8 при 7V == 1 следует существование и единственность
алгебраического многочлена pit) степени 2г—1,
удовлетворяющего условиям
/>(v)(a) = [/afV, P{x)(b)~ybtv, v~0, 1, ..., г-1,
тле ya, v и уъ. v — произвольные наперед заданные числа. Отсюда
следует, что если ^2 и заданы числа t/<, v Ue0,1, ¦.., N\ v**3
« 0,1,..., г — 1), то на каждом промежутке [?,_!, t{] Ц = 1, . ¦., N)
можно независимо построить многочлен /?,U) степени 2г— 1
такой, что
piv)(*i-i) - Vi-i.v, MV) ('«) - </i,v, v = 0,1, ..., г - 1.
(Нетрудно выписать и явный вид этого мпогочлеиа.) Положив
sit) = р<{г\ ti-t <t<t<; i - 1, 2, ..., Nt
получим сплайн из 5^-1 (^iv [л, Ь]), для которого
5(v)(^) = ^v, г = 0, 1, .,., N; v = 0, I, ...f r-lf
т. е. как раз тот единственный сплайн, существование которого
утверждается теоремой 1.2.8. Из построения следует, что
поведение этого сплайна па каждом отрезке [fr-i, t{] полностью
определяется значениями самого сплайна и его производных до
(г— 1)-го порядка включительно па концах отрезка, т. е. в
точках ?;~! и ti. Такие сплайны называют эрмитовыми, а также,
учитывая характер их задания,— локальными.
Эрмитовы сплайны четного порядка определим, вводя
дополнительные узлы. При заданном разбиении A.1) зафиксируем еще
точки Zi (ti-i < Zi< t{\ i =s 1, 2, ,.., N), например, z{ = U,-! + t{)/2,
и рассмотрим множество ^(An Ia» &]) силайнов s(t) порядка 2г
дефекта г, которые могут быть записаны в виде
* @ = S cv (t - a)v + S* 2 ««.i С - *i)+-J + S di (t - *,)+,
причем ясно, что коэффициентами cv, a», ^ и d{ сплайн sit)
определяется однозначно. Таким образом, сплайн sit) из ?$г(Д]у[а,Ь])
кроме основных узлов U A = 1, 2, ..., N— 1), в каждом из
которых он может иметь дефект г, имеет еще N дополнительных
узлов zt с дефектом 1 в каждом. По сравнению со сплайном s(t)
из ?гг(А]у[а, Ь])» У которого на интервале itt-u t{) s{2r)(t)
есть констапта, у сплайна sit) из ??r (Ajv [a, b]) производная
si2r)it) на iU-i, U) имеет разрыв в точке zh хотя 8{гт~1)Шв.&(Ь-цг4)
непрерывна.
27

Покажем, что если сплайн s(t) из ??г(Ддт [а, Ь])
удовлетворяет нулевым интерполяционным условиям
*<'>(*,) «О, г = 0,1, •.., 7V; / = 0,1,..., г, A5)
то s(t)*&0. Если предположить, что s(?)=5^0, где, например,
^о < I < tn то, применяя последовательно предложение 1.2.2
(утверждение 1)), с учетом A5) придем к заключению, что s{r)(t)
па отрезке [tOy t{] имеет г + 2 разделенных пуля, а производная:
s{r+i)(t) имеет иа интервале Uo, ?,) г+1 существенную неремеиу
зпака. В силу предложения 1.2.3 (утверждение 1)) число
перемен знака при дифференцировании каждый раз уменьшается
побольше чем па 1, а потому производная sBr~!)U) должна иметь
па интервале (tQ, tt) не менее трех перемен знака, что
невозможно, ибо sBr~!)U) па (tOi tj есть ломаная с одним изломом в
точке Z|.
Итак, выполнение условий A5) для сплайна s(t) из
Slr(&N[a, b]) равносильно тому, что sU) ^ 0. Теперь
рассуждения, аналогичные тем, которыми была доказана теорема 1.2.8,.
приводят к следующему утверждению.
Теорема 1.2.12. Для любой функции f(t)?=Cr[a, Ь]
существует единственный сплайн s(t) e Sr2r{A'N[a, fe]),
удовлетворяющий условиям
= 1а)(и), « = 0, 1, ..., N; ; = 0, 1, ..., г.
Локальный характер интерполяционных сплайнов из
Sir (Д]у[я, 6]), определяемых условиями A6), легко
обнаруживается с помощью тех же соображений, что и в случае сплайнов
нечетного порядка.
6. Интерполирование в произвольных точках. В „этом пункте
мы рассмотрим кратное интериолирование сплайнами порядка
m дефекта k (l^k^m) по разбиению A.1) в произвольных,
точках отрезка [а, &]. Пусть фиксированы точки
а < Ti < т2 < ... < %ь < Ъ,
а также целые числа Yi» 7*» •••» Чь @^чп^т — к\ п = 1,2,...
..., L) и требуется, чтобы сплайн s(t) из ?m(A;v[a, b])
удовлетворял при заданных уп> v равенствам
s(v)(t«)-i/«.v, и«1, 2, ..., L; v = 0, 1, ..., ?„, A7)
которые будем называть внутренними интерполяционными
условиями. Задача будет корректной, если общее число
интерполяционных условий A7) не превосходит числа свободных параметров
сплайна, т. е. если
28

Выделим из множества Qm » @,1,. •., т) два подмножества
/« и Д, которые, в частности, могут быть пустыми или совпадать
с Qmi и зададим краевые условия (также интерполяционного
характера), требуя, чтобы
уь.ъ хб/j, A8)
где, естественно, s™{a) = s(l»>(a + 0), s(K)F) «s<M)(b- 0). Ниже,
говоря об интерполяционных условиях, мы будем иметь в виду
совокупность условий A7) и A8), выделяя из них при
необходимости внутренние интерполяционные условия A7) и краевые
условия A8).
Обозначим через la, v и h, v (v = 0,1,..., го) число краевых
интерполяционных условий A8) на s(t), s'W, ..., s(v)U)
соответственно в точках а и Ь и положим Zv = ?a,v + 4, v. В частности,
/a. m и ^,т есть количество элементов в /а и Ibi a Zm есть общее
количество краевых условий A8).
В рассматриваемой памп задаче существование и
единственность интерполяционного сплайна зависят от расположения
интерполяционных условий как по вертикали (от s(t) до ${m)(t))t
так и по горизонтали (от а до 6). Это расположение будем
характеризовать следующими величинами:
a, (g = 0,1,..., тя) — число интерполяционных условии для
s{q)(t) на всем отрезке [а, Ы;
Pa, i и рй, г — число всех интерполяционных условий для s(t)t
s'(t), ..., s(m)U) па полуинтервалах соответственно [a, t{) и U,-, fe].
Заметим, что если положить
у = max Yn» v^m — /с,
то при 7<g<m ag есть число краевых условий па s{q)(t). Ясно
также, что
L
п—1
Предложение 1.2.13. Если сплайн s(t) из ?т(Лл-[а, &))
> 2) удовлетворяет условиям
*<v)(tJ = 0, v —0,1 ^И; п —1,2 Zi, A9)
( Of \x^h] xe/6, B0)
причем выполнены соотношения
2 (Тп + 1) + 1ш = Nk -f от - й + 1, B1)
П1
f р = 0, 1,..., m - 1, B2)
P.,i>*ft, P6.«>W-«fcf i = l,2,...,iV-l, B3)
70 S(t) « 0.
Доказательство. Рассуждая от противною, рассмотрим
сначала основной случай, на котором, впрочем, отчетливо вьше-
29

пяется идейная суть метода доказательства. Пусть почти всюду
wa [я, b] \s(t)\ >0. Тогда, очевидно, точки т4, т2, ..., tl, а также
а (если Oe/J и Ь(еслп 0&1ь) являются разделенными нулями
функции s(t), а потому
v(s; [а, Ы) >а0.
Если производная $'(t) непрерывна на [а, Ы, то в силу
утверждений 1)—3) предложения 1.2.2 число разделенных нулей s'(t)
на [а, Ы оценивается снизу суммой числа а0 — 1 и числа пулей
функции s'(t) в точках a, Ti, т2, ¦.., tL, Ь, которое, очевидно,
совпадает с at. Таким образом,
v(s'; [a, b])^ao + ai-l,
а последовательное использование тех же соображений приводит
к неравенствам
««-/, 7 = 0,1, ...чт-к. B4)
q—О
Заметим, что ввиду B2) правая часть B4) пе меньше 1, так что
применение предложения 1.2.2 правомерно. Так как
m-h L
2 a, - 2 <Y» + 1) + lm-k,
то в силу B1)
ln + lm-h+l. B5)
Теперь, двигаясь от s{m)(t), оценим сверху максимально
возможное число существенных перемен знака у производной
(вообще говоря, разрывной) ${m~k+l)(t) на интервале (а, Ь).
На каждом интервале (U-h t{) tf «-1, ..., N) функция e(m"v)(^)
@<.v^m) есть многочлен степени v и может иметь не более
чем v перемен знака. При переходе от sa+i){t) к s{j)(t) число
перемен знака на интервале (fi_If U) может увеличиться в силу
1.2.3, 1), не более чем на едипицу, а в силу 1.2.3, 2), краевое
условие sO)(a)=s0 или sO)(b) = 0 уменьшает на единицу
максимально возможное число перемен знака соответственно на
интервале (a, ?i) или (tN-u b). Эти соображения позволяют
написать неравенства
^(«-i+u- (t^, tt)Xk-l, * —2f 3 iV—1;
^<m-ft+i); (flf Ь))<к-1-Aш.т-1а.т-к);
Если учесть, что производная s{m-h+l)(t) может существепно ме-
пять знак еще в узлах сплайна th f2, •.., tn-u то получаем
оценку
,л(в<»-»+1>; (flf b)) ^N(k-l) + (N-l)-Um- lm-k) -
-Nk l
30

из которой в силу 1.2.3; 1) следует, что
<w-k); [д, b]
— в противоречии с B5). Этим доказано предложение 1.2.13 в
случае, когда \s(t)\ >0 почти всюду на [а, Ь].
Пусть теперь s(t)?*O па [a, 6J, по па одном или па
нескольких отрезках с концами в точках t{ s(t) тождественно обращается
в пуль. Ясно, что в этом случае для доказательства 1.2.13
достаточно прийти к противоречию при каждом из следующих трех
предположений:
1) !s(?)l>0 почти всюду па отрезке [a, tr] (Kr<JV-l),
но s(t) ^0 па отрезке [tr, tr+i\;
2) |s(?)l>0 почти всюду па отрезке [tr, b] (Kr<iV—1),
no sit) ^0 на [tr-u trl't
3) UU)|>0 почти всюду на отрезке [ts, tj+r] A «?;<; +r*^
s^iV — 1), но s(t)^O на отрезках [tj-ly tj\ и [^J+r, tj+t+il.
В случае 1) будем сначала считать, что на интервал (a, tr)
попало Lj точек интерполяции хи т2,..., xLl кратности сортвет-
ствешго у а у 29 • • • 1 Уьг Рассматривая равенства
= 0, / —0,1,.... m — fc,
как правые краевые условия па отрезке [a, tr], мы можем
воспользоваться уже готовой оценкой B4), где под а, надо теперь
понимать число нулевых интерполяционных условий па s(9)U)na
отрезке [a, fj. Таким образом, положив т]= 2 (Уп + 1)> будем
иметь
\(8<т~к)\ [a, tr]) >ц + lat m-h+ (m - к+ 1) - (т - к)
Легко видеть, что эта оценка верна и в случае, когда внутри
интервала (a, tr) точек интерполяции нет п т) = 0. В силу
условия B3)
Т] + la, m = ра, г > гк,
следовательно,
v(s<m-ft); [a, t,\) ^ гЛ - Z.f m + Ze, m-h + 1. BG>
С другой стороны, внутри каждого из интервалов (tt-t9 tf)
(t = 1, 2,..., г) производная s{m~h+i)(t) может иметь не более чем
к— 1 перемен знака, а каждое краевое условие sw(a) = 0
(т — к+К\х<т) обязательно уменьшает в силу 1.2.2 па
единицу максимально возможное число перемен знака s{m~k+l)(t) па
интервале (a, ti). Так как возможны еще существенные
перемены знака функции s{m~k+i)(t) в узлах tu t2, ..., tr-u то приходим
к оценке
И(в(т-М-1); (а, *г))^г(Л-1) + (г-1)- «..т - Za, m-ft) -
=^ '"' tat m *~ 'а, т—ft At
31

из которой ввиду 1.2.3; 1) следует, что
v(s(m-h); [a, UK rk -la,m + la.m-t»
а это противоречит B6). В случае 2) к противоречию придем
совершенно аналогичным образом, используя неравенство §ь г ^
Рассмотрим случай 3). Пусть па интервал (th fJ+r) попало ц
интерполяционных условий вида A9), причем мы и здесь
допускаем, что может быть ц = 0. Так как
то на отрезке [?0, tj] имеется пе менее чем (/ + r)ft —г|
интерполяционных условий, а па отрезке [tj+r, tN] таких условий не
меньше, чем {N — j)k — r\. Но тогда для общего числа
интерполяционных условий получаем оценку
L
2 (Т« + 1) + lm > К/ + r)k-r\] + [(N ~j)k-i\] + Лэ
из которой ввиду B1) следует, что
т-к>гк-ц-1. B7)
Для числа разделенных нулей функции $im-h)(t) на отрезке
Itj» tj+Л уже известные нам соображения дают с учетом равенств
j<»>(ti) = s^(tj+r) - 0, v- 0,1,..., m - ft,
оценку
v(s(w"fc); [^, tJ+J)>ц + т
откуда, если учесть B7), находим, что
С другой стороны, рассуждения, которые уже использовались
при оценке сверху числа существенных перемен знака, приводят
к неравенству
так что в силу 1.2.3; 1)
Предложение 1.2.13 полностью доказано, и теперь бее труда
может быть установлена
Теорема 1.2.14. Пусть N> 2 (Kk^m) и для L
внутренних точек интерполяции хп (а < rt < т2 <.. .< xL < Ъ), целых
чисел Yi, Та, •••» Ть» 0<ч„<т — ft, а также задающих краевые
условия множеств /« м Д выполняются соотношения B1) — B3).
Тогда существует и притом единственный сплайн s(t)t=
е 5т(Д]у [а, Ь]), удовлетворяющий условиям A7) ы A8) прг^ лю-
i/n>v, i/ai|4 г^ 1/ь, к. 5 частности, для любой функции f(t) e=
S2

е=Ст!я, Ы, еде v^maxy* {^<т — к) в множестве Sm(&x [a, b})
существует единственный сплайн sit), удовлетворяющий условиям
e(v)(Tn)-/(v)(Tjf v = 0, I, ..., Trt; л = 1, 2, ..., L, B8)
м краевым условиям A8), где при М^Т и х ^ ч можно, в
частности, положить уа, и = /ы(а), */&. и = /(х)(Ь).
В самом деле, так как любой сплайн s(?) из 5т(Ллг[я> &I
о ди почвенным образом представим в виде
* @ - 2 сг {t - а)т +2 *2 <*и (* - U)T}, B0)
то систему равенств A9) —B0) можно рассматривать как
однородную линейную систему уравнений относительно
коэффициентов Сг и ditj. При выполнении B1) —B3) в силу предложения
1.2.11$ эта система имеет нулевое решение, причем это решение
единственно, ибо, випду единственности представления B9), sit)**
z^O тогда и только тогда, когда все коэффициенты сг и di} равны
нулю. По тогда решение системы A7) —A8) при любых ?/«iV,
#а,ц и Цъ, к существует и также единственно.
Замечание 1. Утверждение 1.2.13 останется справедливым
и при. JV=»1, т. е. когда $(t) — просто многочлен степени т, если
краевые условия задавать так, чтобы каждое из них было
эффективным, т. е. уменьшало максимально возможное число пере-
дюи яплка при переходе s0I)U) к sU)(t). Легко проверить, что
это будет так, если
lm — /m_v ^ v, v = 1, 2,..., m.
При этом дополнительном условии будет верна при N = 1 и
теорема 1.2.14.
Замечание 2. Если проследить доказательства, то можно
обнаружить, что утверждения 1.2.13 и 1.2.14 справедливы и
тогда, когда внутренние интерполяционные условия отсутствуют,
а интерполяция требуется только в точках а и 6. При этом
«место B1) должно быть условие lm*=Nk + m— k +1, а
соотношения B2) —B3) должны удовлетвориться только за счет краевых
условии,
3 а м о ч а и и е 3. Формулируя и доказывая утверждения
1.2.13 и 1.2.14, мы выделили внутренние интерполяционные
условия в точках хп интервала (я, Ь), а интерполяционные условия в
точках а и Ъ отнесли к краевым. Это соглашение имеет условный
характер и сделано лишь для упрощения рассуждений. Если
множество /а, задающее расположение краевых условии в точке а,
содержит отрезок {0,1,...,v0} {{X^<m — k), то точку а=*т0
мы можем присоединить к системе {тп} точек интерполяции
(с кратностью ^+ 1), а краевые условия в точке а задавать
множеством /а\{0, 1, ..., ЧоК Аналогично можно поступить с
краевыми условиями в точке Ь=»Тг,+1, если множество 1Ь содержит
отрезок {0, 1, ..., 7ы-,Ь
83

Отметим частпый случай теоремы 1.2.14, когда расположение
точек интерполяции и краевых условий, обеспечивающее
существование и единственность интерполяционного сплайна,
характеризуется более явным образом. Зададим 2г симметричных
краевых условий, требуя, чтобы сплайн s(t) ^Sm(AAct, b\)
удовлетворял при / = 1, 2,..., г равенствам
sD})(a)~ya<h s{<!}) (b) -= yb,h C0)
где 0 < Gi < <]2 < ... < Qr < т, а уа, j, */&, j — заданные числа.
Обозначим через U число условий C0), в которых (]j<v (в
частности, Zm = 2г).
Следствие 1.2.15. Пусть N > 2, и L точек интерполяции
а < Ti < т2 < ... < Tl< Ъ располоокены па интервале (а, Ь) таку
что при pt>r на каждый интервал U,-, ti+it) @<ii<N— \i) pai-
биения A.1) попадает не меньше чем ц — г таких точек. Если
выполнены соотношения
tf + m, CD
= 0, 1, 2, ..., те-1, C2)
го Зля любой функции f{t)^C[a, b] существует единственный,
сплайн s(t) е?ш(ДЛ-1а, fe])i удовлетворяющий равенствам
5(тЛ) = /(тп), п=1, 2, ..., L,
м краевым условиям C0), в которых, если qt = 0, можно
положить уй, 1 = /(а), y6t i « /(Ь).
Действительно, соотношения C1) и C2) равносильны в
пашем случае соответственно B1) и B2), Условия B3)
выполняются за счет того, что на каждом интервале (?,-, tt+v) (jx>r)
находится не меньше чем [х — г точек интерполяции.
7. О краевых условиях неинтерполяционного характера. При
доказательстве предложения 1.2.13 существенно иеноль.чопален
тот факт, что каждое интерполяционное краевое условие на
s{v)(t) является эффективным при оценке числа разделенных
пулей и перемен знака: оно или увеличивало на 1 при переходе от
6.<v_i) к s(v> тшело разделенных пулей, или уменьшало па 1 при
переходе от s(v+1) к s{v) максимально возможное число лорехкчт
знака. Если задавать краевые условия с помощью системы
линейных уравнений:
2 W/J) (a) + bus(j) F)] - du I = 1, 2 I,
5=o
то некоторые из этттх условий могут оказаться в указанном выше
смысле неэффективными, из-за чего метод доказательства
существования и единственности, примененный в предыдущем пункте,
пе всегда приводит к цели. Так, например, если s(t) e=
€ Sm(AN[a, Ш, то условие
8<»-Ща) = з^'ЧЪ) C3)
34

при N четном, N ==» 2п, не сказывается па оценке максимального
числа существенных перемен знака непрерывной функции
s{m~l)(t): это число может быть равно 2п, как и при отсутствии
условия C3). Интересно, что если N нечетно, то ввиду
утверждения 4) из 1.2.3 дело обстоит иначе, и можно получить условия
существования и единственности методами, которые
использовались при интерполяционных краевых условиях.
Одну такую ситуацию с периодическими краевыми условиями
мы рассмотрим в начале следующего пункта.
8. Периодический случай. Для интерполирования
периодических функций естественно привлекать периодические сплайны.
Как и в § 1.1, будем рассматривать множество «Sm(A.v) 1-нерио-
дпческих сплайнов порядка т дефекта к но разбиению
A.v: 0 = U < t{ < ... < ty = 1.
Это множество можно получить, продолжив периодически на всю
ось сплайны s(t) из «.$7п(Дд'), удовлетворяющие краевым условиям
s<v)@)==s<v)(l), v = 0,1,..., m-k.
Сплайн s(t) из «Sm(A]v) имеет Nk свободных параметров,
которые можно использовать для интернолящш этим сплайном,
а также, может быть, и некоторыми iero производными заданных
значений в фиксированных точках. Ясно, что в силу
периодичности интерполяционные условия достаточно задавать на
полуинтервале [0, 1) или @, 1].
Сначала рассмотрим случай, в котором используются
соображения, близкие к тем, которыми доказывалась теорема 1.2.1-4.
Фиксируем точки интерполяции 0 <т, < т2 < ... < tl< 1 и
числа 7н Тг» •••> Ть» задающие кратность интерполирования. Как и
в л. 6, ро, { и $iti определяем как число всех интерполяционных
условий соответственно па полуинтервалах [0, t{) и UM U.
Положим еще v ~= max Y«-
Теорема 1.2.1С. Пусть N>3, l^k^m, 0^4<m-k,
причем числа N и к нечетны. Если выполнены соотношения
2 (Y« + 1) - Nk,
то для любой функции f(t) e & существует единственный сплайн
s (t) e Sm (Длг) такой, что
s<J)(Tn)-/(j)(Tn), У = 0,1,...Л»; п — 1, 2 Л. C5)
Доказательство. Покажем, что при выполнении уело-
йий теоремы сплайн s(t) из 5т(Алг)» удовлетворяюищй пулевым
интерполяционным условиям
=0, 7 = 0, 1 Тп; /г = 1,2,...,^, C6)
35

может быть только тождественным нулем. Из этого факта и
единственности представления
Л7 /i-1
i-l j^o
где
Clo+^o + .-. + C^o^O C7)
будет следовать, что однородная система CG) — C7) относительна
коэффициентов с п с,-,j имеет только нулевое решение, а тогда
решение неоднородной системы C5), C7) существует и
единственно.
Итак, пусть для сплайна s(i) из SmOVv) выполнены
равенства CG), по s(t)?*O. Рассматривая сначала случай, когда
U'U)l>0 почти всюду на [0, 1], введем и здесь для удобства
числа ая (q = 0, 1,..., f) — количество интерполяционных
условий C0) для s{4){t) на полуинтервале [0, 1); в частности, а,, = L,
«1 ость число кратных нулей среди L точек тп из полуинтервала
[0, 1) и т. д.
Так как Ы?I>0 почти всюду и s(tn) = 0 (п — 1, ..., L)y
то число разделенных пулей функции s(l) на периоде не меньше
чем ссо, т. е. v(s; l)^a0. Предложение 1.2.4 позволяет
заключить, что
v (*(m-*>; 1) > i aq = 2 (Tn + 1) ~ Nk. C8)
С другой стороны, оценивая, как и при доказательстве
предложения 1.2.13, число существенных перемен знака производной
s{m~h+l)(t) па @, 1) нри отсутствии краевых условий на s(v)(O
(m~fe+Kv< m), получим неравенство
цE<"-*+1>; @, 1)ХМе-1. C9)
Если [i(s{m-k+i); @, i)XNk-2, то в силу 1.2.3 v(s(M"ft); [О, ИХ
<,Nk — 1 — в противоречии с C8). В случае же, когда
^(s(»»-fc+i). (o^ l)) r±Nk — 1, надо учесть, что тогда функция
s{m~k+i)(t) на каждом из интервалов (fr_b tt) имеет максимально
возможное число перемен знака, а потому
s<m-*+l)@ + 0) ф 0, S(W-A+1)A ~ 0) ^ 0,
и так как Nk — 1 — число четное, то
li(s{m-h+t); l) = |i(e(w-fc+1>; @, D)=yVA-l.
В силу предложения 1.2.5
что опять противоречит C8).
Пусть U(i)l>0 почти всюду на @, О, по s(t)^O на отрезка
Ur, tr+i]. Здесь мы можем воспользоваться готовой оценкой B6)
из доказательства предложения 1.2.13, которая применительно к
36

нашему случаю запишется в виде
v(s<M-k>; 10, /rJ) >*), + !,
гдо T]t.— число всех интерполяционных условий па
полуинтервале 10, tr). В силу мерного из неравенств СМ)
*>; [0, /,]
а так как (см. C9))
то должно быть v(s(m"A); [0, *rJ) < rfe.
Случай, когда |e(i)l>0 па Uh fm], no s@**0 на отрезках
[?,_,, tj\ и [fj+r, Jj+r+iJi рассматривается точно так же, как и при
доказательстве предложения 1.2.13, заметим только, что вместо
B7) в нашем случае будет неравенство ц^ гкт
3 а м е ч а и и е. Периодичность интерполируемой функции /(/)
мы при доказательстве нигде не использовали, так что, но
существу, доказано, что в условиях теоремы 1.2.16 для любой
функции J&C1 существует единственный сплайн $(/)е 5т(Дк),
удовлетворяющий интерполяционным условиям C5), а такжо
периодическим краевым условиям
,ы@) ^ 8™U), v « 0, 1,..., го - fr.
Теорема 1.2.1G дает условия существования и единственности
интерполяционного периодического сплайна при нечетном Л*.
Однако в свя;ш с тем, что число перемен знака на периоде у
периодического сплайна всегда четно, Солее естественно строить
такие сплайны по разбиению периода ля четное число
промежутков. И этом случае обнаруживается зависимость условий
существовании от расположения нулей идеального сплайна по тому жо
разбиению; от и нули могут окапаться и некотором смысле
«запретными)) для точек интерполяции.
Рассмотрим множество ?т(Д2») Апериодических сплайнов
порядка т дефекта 1 но разбиению
Д2»: 0«/0<^<...</2п«1, (-10)
Если s(t)&5m(&2n)j то, очевидно,
где fy(t) — функция периода 1, равная единице па интервале
(*?_!, ti) и равная нулю па дополнении @, 1)\(^_,, /,•). В узлах th
(хотя ото и несущественно), как было условлено с самого начала,
значения tyi(t) определяем как среднее арифметическое пределов
справа и слева.
Будем называть разбиение D0) т-нормалъным, если в
множестве ?ОТ(А2«) существует идеальный сплайн <f»w(O = фм(Д2п, /),
имеющий на периоде 2п простых пулей ось:
0 ^ ^ < л:2 < ... < ос2п < 1. D2)
37

Ясно, что такой сплайн существует пе при всяком разбиеггии
D0), если же он существует, то определяется разбиением D0) с
точностью до знака однозначно. В силу 1.2.6 сплайн ym(t)
меняет знак на периоде только в точках хк. Равномерное разбиение
А2„, когда t{sssi/Bn) U —0, lt ..., 2/г) при любом т = 0, 1, ...
является m-пормалышм; соответствующий этому разбиению
идеальный еллайп есть введенная в § 1.1 функция cpsn.mU), имеющая
пули в точках i/{2n)f если т четно, и в точках B?— 1)/B/г),
если т нечетно.
Мы покажем, что если при яг-пормплыюм разбиении D0)
точки интерполяции т* выбрать так, чтобы удовлетворялись
неравенства
хк < хк < хк+и к = 1, 2, ..., 2щ хгп+1 = xt + 1, D3)
где хк — нули соответствующего идеального сплайна, то
интерполяционный сплайн в 5»*(Д*п) существует и единствен.
Лемма 1.2,17. Пусть разбиение AZn m-нормалъпо, ym{l) —
соответствующий идеальный сплайн из Sm(A2n) с нулями D2).
Если в точках xht удовлетворяющих условиям D3), для сплайна
WSm(AJ выполняются соотношения
1фп,(т,)|, к « 1, 2,..., 2гс, D4)
го Зля коэффициентов с{ в представлении D1) выполняются
неравенства
\d\ <1, i-1,2 2п.
Доказательство. В случае тп = 0, т. е. когда сама
функция s(t) представпма в виде D1) и
утверждоняв леммы очевидно. Считая m "> 1, предположим, что,
попреки утверждению леммы, для некоторого сплайна s(t) из
Sm(&2n) выполняются соотношения D4), ко
max \сг\^ \cv\ ==Я,>1.
1ч1сли положить
*¦(*)« ±e(t)At D5)
'iO
2П
где с* = ± CfJX и, следовательно, |с* |^ 1 A = 1,2,..., 2п), при-
чем cv = db In знак можно выбрать таким образом, что будет
Положим
33

Производная 6(m)(f) равна нулю т«а интервале Uv-i, О и
постоянна па каждом из 2/г интервалов U,-_i, t{) A*??«^2п),
а потому fi(m)U) может существенно поменять нпак па периоде не
более чем 2п —2 раза. В силу 'предложен и я 1.2.A число перемен
знака на периоде функции 6U) также не может превышать
2/г —2. С другой стороны, ввиду D4) и D5)
I** Ы К I <fm Ы |, Л -- 1, 2, ..., 2»,
и так как
,„(ть) = ~sgn фт(тй+1),
то ])азность б(?) должна поменять знак па периоде по меньшеГг
мере 2/г раз — в противоречии с предыдущим. Лемма 1.2.17
доказана.
Теорема 1,2.18. Пусть разбиение D0) т-нормальпо, и
точки ть удовлетворяют неравенствам D3), где хк — нули
соответствующего идеального сплайна (рт(/). Тогда для любой функции
/(/)еС существует единственный сплайн s(t) е5т(Д2я),
удовлетворяющий интерполяционным условиям
*Ы = /(тД fr = l, 2, ..., 2л.
Доказательство. Покажем, что сплайн $(?) из &„(А2,.),
удовлетворяющий в условиях теоремы нулевым
интерполяционным условиям
s(Tft) = 0, fc-l, 2, ,.., 2n, (/|fi)
есть тождественный нуль. Если это не так, то в D1) хотя бы
один из коэффициентов с{ отличен от нуля. Считая, например,
с,^0, заметим, что вместе с sit) условиям D0) удовлетворяет л
ciuiaiin s(K, t) = Ks(t), где К — любая константа, причем,
очевидно, S(K, t) ^Sni(&2n) И
in
s{m) (К, 1)^X2
i
Таким образом, при любом К
\s(K, т*I=0<|ф„(тк)|, к -1,2, ..., 2л,
и на основании леммы 1.2.17 должно выполняться неравенство
l/fcil<l, что певозмо/Кно при произвольном К, ибо к, 1^0.
Итак, если имеют место равенства DG), то s(t) = 0, и теперь
утверждение теоремы следует, как и в предыдущих случаях, из
единственности представления сплайна s(t) из 5т(Д2л)$
2П 2«
* (t) = «О + 2 *iDm+l (t - ti), 2^=0.
i=l г 1
Отметим важное следствие теоремы 1.2.18, касающееся
равномерного разбиения ^ = 1/Bп), когда соответствуют» it
39

идеальный сплайн cp2n.mU) с нулями
х.„ - хк (т) - ± + [ 1 - (- 1)щ] ^, Л - 0, ± 1, ± 2, ..., D7)
нам хорошо известен.^
Пусть §jr, т^^шСДл-) — множество 1-периодических сплайнов
порядка m дефекта 1 по равномерному разбиению Ду отрезка
[О, 1] точками tt = i/{N) (i-0, I, ..., TV).
Следствие 1.2.19. ЛЪш уоч/ш тА удовлетворяют
неравенствам
#Л(т) заданы равенствами D7), го для любой функции
fC существует единственный сплайн s(t) ^31Пшт,
удовлетворяющий условиям ${rk) —/(tJ (A: = 1, 2f ¦ ¦2)
§ 1.3. Представление через фундаментальные
н В-сплайны
1. Общие соображения. Если существует и единствен сплайн
$(t)f интерполирующий при определенных краевых условиях
значения функции fit) и, может быть, некоторых ее производных п
фиксированных точках, то этот сплайн можно записать в виде
линейной комбинаций базисных функций A.7) или A.21),
причем коэффициенты этого представления однозначно определяются
системой уравнений, которую мы получим, подставив это
представление сплайна в интерполяционные и краевые условия.
Решение этой системы на практике является, однако, весьма
трудоемким делом и, хотя базисные сплайны A.7) и A.21) имеют
предельно простой вид, в практических задачах предпочитают
иметь дело с такими представлениями интерполяционных
сплайнов, коэффициенты которых или прямо выражены через зиачо-
иия интерполируемой функции и, может быть, ее производных,
либо могут быть легко вычислены но такой информации.
Прайда, за упрощение задачи отыскания коэффициентов приходится
платить усложнением структуры базисных сплайнов.
2. Представление через фундаментальные сплайны. Самый
простой вид имеют коэффициенты представления через
фундаментальные сплайны, т. е. в виде, аналогичном известным формулам
Лагранжа или Эрмнта для интерполяционных многочленов;
коэффициенты в этом случае равны значениям интерполируемой
функции и ее производных.
Начнем с периодических сплайнов, когда не надо привлекать
краевые условия (опи заложены в' самом определении
периодического сплайна). Пусть в множестве «Vm(A/v) 1-порподичоских
сплайнов порядка m дефекта к по разбиению A.15) существует
единственный сплайн, принимающий в L фиксированных точках
т„: 0^ Ti< хг< ... <Tl < 1 {L-*Nk) наперед заданные
значения. Тогда каждой точке тп (п = 1,2, ¦¦., L) можио однозначно
40

сопоставить сплайн sn(t) е 3',^,(ДЛ.), удовлетворяющий условиям
которые кратко обычно записывают в виде .?«(тР = баи где <5П-—*
известный символ Кронекера. Сплайны sn(t) (л=1, .«., ?)
называются фундаментальными, они, очевидно, линейно
независимы, их количество равно размерности линейного многообразия
&те(Дл/). В силу этого, если fit) ef, то сплайн
удовлетворяющий, очевидно, условиям «(/, тп) ^ /(т«) (п = 1, ...
..., L) и есть тот единственный сплайн из SJ»(Aa)i который в
точках т„ пршшмаст значения /(тп).
Если »5>2г_1 (Длт|л,Ь|) — множество натуральных снланпои
(см. § 12, п. 3) иорллка 2г—1 дефекта A (l<&«Sr) по
разбиению A.1), то при (N + l)k^ r в силу 1.2.10 каждой твчко
U (г = 0,1,. •., 7V) разбиения A.1) можно однозначно
сопоставить к фундаментальных сплайнов $ifV {Ц ^ A^r-i (Длт [«i Ь])
(v = 0,1, ..., к — 1) таких, что
*ft (h) - вгЛри *. 1 * 0, 1, ,.., Л^; v, ц « 0,1, ... А - 1.
Ясно тогда, что сплайн $(/, /) из 52г-1(Алг[а, Ь)),
удовлетворяющий интерполяционным условиям
можно представить в виде
*(/,')=• 2 2/<v)(<i)*i,v@, B)
i-0 v~--o
причем »то представление через фундамептальпыо сплайггы
5i# v(/) одинствеиио.
В общем случае, при наличии краевых условий иптерполя-
циоиного характера, фундаментальные сплайпы определяются
аналогичным образом: каждому из интерполяционных условий
сопоставляется сплайн, интерполирующий в этом условии единицу,
а во всех остальных — нуль. Пусть, например, в множество
*S{lt(A]v [a, b\) интерполяционный онлайн единственным образом
определяется условиями B.17) и B.18). Тогда фундаментальные
сплайны $П,М), соответствующие условиям B.17), однозначно
определяются равенствами:
*»fv (tj) = 6»Ai. я, / ^= *. 2, ..., ?; v == 0,1, ..., у«;
i ---0,1, ..., V;;
41

а фундаментальные сплайны sa, ^it) и sb, M, соответствующие
краевым условиям B.18), определяются равенствами
*?|i Ы = 4Ун Ы = 0, и « 1, 2, .... Л; v =* 0,1. ..., Yn;
#1* (a) = бд.ь Щ * s /a; «ь,х (Ь) = 6x.i, x, / e= /6.
Если /eC![a, Ы, где ч =* max yn < m — fc, и существуют произ~
водные
|; /<«>(Ь), *€=Г6, C)
то сплайн s{t)~s(J, t) wa S!m(&N (я, b\)y удовлетворяющий
условиям B.28), а также равенствам
s"l)(/, а) = Г>(«), (tef,; ««(/, Ь) -/'«'(Ь), хе/6,
может быть записан в виде
«(/,<)- 2 2ГЫч»(')+ 2/ц)(в)*«.Л*)+ 2 Аь)»ь.н@.
D)
В случае, когда мы не располагаем информацией о
некоторых значениях C) производных функции /U) на концах
промежутка, можно потребовать, чтобы сплайн s(/, t) в
соответствующих краевых условиях принимал те или иные числовые
значения (например, нули), которые обычно выбираются с учетом
особенностей конкретной задачи, в частности, с учетом априор-
лой информации о функции fit). Ясно, что тогда в
представлении D) /ы(я) или /(X)(W надо заменить на выбранное число.
Нообще-то аналогичное замечание можно сделать и
относительно внутренних Интерполяцпошгых условий, однако обычно
количество и вид таких условий выбирают заранее, исходя или из
уже имеющейся информации о значениях функции fit) и ее
производных в точках т„, или из той информации, которую
предполагается использовать.
3. В-сплайны. Несмотря на совершенно явный (в смысле
коэффициентов) вид представлений A), B) и D) при их
практическом использовании обнаруживаются серьезные неудобства.
Желая вычислить, панример, знамение сплайна A) в некоторой
точке t Ф tj, мы должны найти значения в этой точке каждого
JJ3 фундаментальных сплайнов sn(t) (п = 1,2,..., L),
Фундаментальные же сплайны порядка т>1 и малого дефекта несмотря
па простоту их задания, имеют довольно сложную структуру и
трудно поддаются вычислениям. Естественно поэтому попытаться
построить систему базисных'функций, более удобную для
вычислительных операций, заплатив за ото не слишком большим
усложнением задачи отыскания коэффициентов. Такой
компромисс удалось пайти, используя ап7»арат Л-сплайнов.
Пусть, как и выше, Sm(AiJfl, bl) — множество сплайнов
порядка т дефекта 1 по разбиению A^ta, b] (см. A.1)).

Лемма 1.3.1. Если N^m и сплайн sit) ив Sm{AN[a, Ы)
удовлетворяет условиям
го sit) esO па'[а, Ы.
В самом деле, предположив, что $it)?*0 па [я, Ы, для числа
разделенных нулей функции sit) на [fl, Ь\ будем иметь
очевидную оценку vis; [я, b\)>2. Применяя последовательно т—1
раз утверждение 1) предложения 1.2.2, получим
i}\ [а, Ъ\)>тп + \>Я+\,
что невозможно, ибо ломаная s{m~i}(t) состоит не более чем из
N звеньев.
Предложение 1.3.2. Если Л7 = тл + 1 и a = to<% <
<tN = bJ то в множестве 5т(Дл[я, Ы) существует единственный
сплайн s(t), удовлетворяющий условиям
*<»(/„) = *<*(/*) = 0, j - 0,1,..., m - 1, E)
д также равенству s(t) = i/, г<9б? i/ — любое наперед заданное
число. Условиями E) сплайн s(t) определяется с точностью до
постоянного множителя.
Доказательство. Покажем, что в случае у = 0 сплайн
s(t) из 5m(AjV[«, Ш, удовлетворяю1Д1ш условиям E), есть
тождественный пуль. Пусть 5(т) = 0 и выполнены равенства E).
Если s(t) принимает отличные от пуля значения па каждом из
интервалов Uo, т) и (т, tN), то vis; [a, b\)>3 и с учетом 1.2.2
(утверждение 1)) v(s(w~!); [я, b\)>m + 2 = N+l, что
невозможно. Если же, например, s(t)~i) для f0 < f < т, то в силу леммы
1.3.1 s(/) = 0 и для T<f^/jV, так что s(/)^0 па [я, 6J. Теперь
существование и единственность сплайна s(t) при любом j/^O
устанавливается по общей схеме, о которой говорилось в и. 2§ 1.2.
13торое утверждение предложения 1.3.2 становится очевидным,
если учесть, что Ks(l) — единственный сплайн в множестве
5m(AjV[«, frl), удовлетворяющий условиям E) и принимающий в
точке т значение Ку.
Следствие 1.3.3. При N = m+i в множестве 5т(Дл.[я, Ы)
существует единственный сплайн sit), удовлетворяющий
условиям E), а также равенству
ь
Теперь, имея фиксированное разбиение Дл[я, Ы, доиолпим его
при любом т — 1, 2, ... точками
i_m < /_m+1 < ,., < t_t < а; Ь < fjv+1 < .., < fjy+m,
вообще говоря, произвольным образом. Можно положить,
например,
t-s = tQ - jhQ, tN+j = tN + jhM9 ] = 1, 2, ..., w,
43

где К =¦•¦- it — />, Jiy = /jV — i.v-ь K.t:i lh^hN =-{h — a)/N. Получим
систему точек
/_m < /_tr4l <...<*.., < /j <.. .< flV < jw+1 <.. .< ^+m. F)
В силу 1,3.3 для каждого i — —mt — m-fl, ..., /V—1 существует
сплайн Bm>i(t) порядка т дефекта 1 по разбиению ti<ti+i< ...
...<ti+m+u однозначно определяемый равенствами
я!м (to = в% (и ьт+1) - о, / - о, 1,..., т -1,
f BmA{t)dt~l. G)
] Голожпв донолнитольио
получим сплайн, определенный па всей вещественной оси,
который называется В-сплайном порядка т па сетке Jf<h+I<...
...<«,•+«+!. ЯСНО, ЧТО Bm,i^Cm'l(-oo^ oo).
Отметим некоторые свойства fi-сплапно», по существу, ужо
содержащиеся в утверждениях 1.3.1 и 1,3.2.
1) Вт, iti) > О ДЛЯ ВСеХ ti<t< ti+m + i.
В самом деле, предположим, что #т,Дт)=0 (^<T<<i+ro+,)l
мы сразу жо должны заключить (см. доказательство
предложения 1.3.2), что Bm>iU)^Oy что невозможно нвилу G). Таким об-
разом, отрезок U,-, /,4m+i] является (конечным) носителем В-
гнлайна В,Пг№). Если иод «длиной» этого носителя понимать
количество содержащихся в нем • элементарных промежутков
(tvy *v+1) разбиения F), то имеет место следующий факт:
2) #-сплашш Bmi(t) являются сплайнами порядка т
дефекта 1 с конечными носителями минимальной «длины».
Действительно, в силу 1.3.1 не существует не равного
тождественно пулю сплайна порядка т дефекта 1 с носителем,
содержащим меньше чем т Л-1 элементарных отрезков.
Если учесть, что производная B^J^(t) иа отрезке IX <п-т*Л
есть ломаная, состоящая ие более чем из т+1 звена,
и В(т^1} (ti) =* #!™Г1} (кл m+i) = 0, то уже ие раз применявшийся
прием оценки числа разделепных нулей производной с
использованием 1.2.1, приводит к следующему утверждению:
3) к-я. производная (к = 1, 2,..., т — 1) Й-сплайиа Bmi(t)
имеет внутри отрезка [tiy и+т+\\ ровно к перемен знака.
Заметим, что, как это следует из 1.3.2, мы могли бы
нормировать сплайн Bmfi(t) вместо G) каким-нибудь другим условием,
обеспечивающим его единственность.
Для аналитического представления #-сплайпов используют
усеченные степенные функции. A.2), а также аппарат
разделенных разностей. Этот вопрос достаточно хорошо освещен в
других книгах по сплайнам (см. комментарии), и мы затрагивать
44

его не будем; укажем здесь, однако, рекуррентный способ
построения /?-сллапиов по равномерному разбиению, основанный
на использовании средних Стеклова.
Пусть
— равномерное разбиение с шагом h = l/N отрезка [0, 1].
Функцию
V, 0</<Af
назовем Я-сплайиом пулевого порядка с носителем [О, А1.
Функцией Стеклова с шагом А для /?,,(/ —Л/2) является функция
Л/2 /
/?• (О = т- 1 #оН — тг-\-u\du--— \ Bn(u)du. (9)
Очевидно, что
— TV2, A<t<2Af
0, i<0; i>2
О О
Таким образом, функция (9) есть /?-сплайп первого порядка с
1госигелем [О, 2А]. Продолжив разбиение (8) равномерным обра-
:юм на всю ось, определим /?-сплайн порядка m с носителем
Ю, {т+1)М рокурреатиой формулой
t
Bm(t) = j- J Bm-ti^du,
t-h
а также (путем сдвига) Я-сплайпц Вт,М) с носителями
[*А, U + т + 1)А] (i = 0, гЫ, ±2,...). При этом
f /?т,*(/)Л-1. A0)
Если вместо равенства A0) /?-сплайпы порядка т но
равномерному разбиению нормировать условием
i + тп
2 /?т.*(*А)~1, 1 = 0, ±1, ±2,...,
что достигается просто умио5кепием каждого сплайна Bm>i(t) на
одну и ту же константу, то в каждой точке t будет выполняться
равенство

В самом деле, если, например, t0 < t < tu то
°(o = .im<i(o,
и для фупкции s(l) = o(t) — 1, ввиду симметрии графика #-снлай-
па по равномерному разбиению, выполняются равенства
s^(t0) - 6><v)»i) =0, v = 0, 1,..., т - 1.
Но тогда в силу леммы 1.3.1 s(t) = 0 на отрезке t/0, tth
4. Базис из В-еплайнов.
Предложение 1.3.4. Система из N + пг В-сплайнов
порядка m no разбиению F) с носителями [th ti+m+l] является
базисом в 5m(A.v[fl, Ь]).
Доказательство. Пусть
Л-1
s(t)~: 2 ciBrn,i(t) = 0, a^.t^b\ A2)
г m
пужпо доказать, что ег = 0 (i~—m, —m+ I, ,,,, /V— 1).
Непосредственно из определения Я-сплайпов A1) вытекает, что $U)=0
при t^t_m\ no тогда с учетом A2)
и в силу 1.3.1 s{t) = 0 для t-m ^ t ^ U. Таким образом,
= 0, Kli. A3)
Так как на промежутке (*_„„ t.m+i) Htrit-m(t)>Q, а при
г > —m Bm>i(t) = 0, то из A3) следует, что с-т == 0, так что
Л-1
—m+l
ДЛЯ t-m+l < I < t-m + 2 Йт,г(*)>0 При I = -ГМ + 1 И
при i > ~т + \> а потому c_m+i = 0и
N-2
Рассуждая дальше таким образом, придем к равенствам
C-rn = C_m+1 = . . . = Cjv-j = 0,
что и требовалось.
Следствие 1.3.4. Любой сплайн s(t) из ?т(Д*[я, Ь])
единственным образом представим в виде
JV-1
S(t)= 2 ^гВт,г@, *<*<*>. A4)
i—m
46

Если сплайн s(t) из Sm(\Nla, b]) одпозначио определяется-
некоторым набором из N + m интерполяционных (в том числе,
может быть, и краевых) условий, то, подставляя в эти условия
вместо s(t) сумму A4), получим систему линейпых уравпепий
для определения коэффициентов си Ввиду конечности носителей
сплайнов Bmi(t) в каждой строке определителя этой системы, но
равными нулю будут только т злемептов — значения сплайнов
Вт М) (или их производных) в одной из точек tj разбиения
Лл-uj, Ы. При этом непулевые элемепты, соответствующие
внутренним интерполяционным условиям, будут расположены вдоль
главной диагонали определителя. Именно эти обстоятельства и
обеспечивают, по крайней мере для малых т, простоту
вычисления коэффициентов представления AЛ). Ссылки на литературные
источники, в которых более подробно обсуждаются
вычислительные аспекты спланн-иитерполящт, можно найти в комментариях
к главе 1.
5. О периодических В-сплайнах. Считая разбиение A.1)
продолженным с периодом Ь — а на всю ось, обозначим, как и выше,
через Sm(hK[a, Ы) множество (Ь — я Апериодических сплайнов
порядка га дефекта 1 по разбиению A.1), dimSm(\Aayb]) = N<
Если Вт.М) — Я-снлайн порядка т с носителем [t{, ti+m+i\ (tJ+K =
~tj+b — a)y то при т «S N — 1, очевидно,
В%]{ (t{) - J9JU(ti + b - a) - 0, v - 0,1, ..., m - 1.
При m^/V—1 через Bm>i(t) обозначим определенную па всей
оси с периодом Ь — а функцию, совпадающую па отрезке
U.-, ti+m+l] с Вт,М). Ясно, что Bm,i{t)&Sm(&K[a, b]) и функции
Bm/t) (i = 0, il, db2, ...) будем пазмпать (b — сО-периодически-
ми fi-сплайнами порядка т по разбиению ANla, Ы. Заметим, что
и силу периодичности Вт,{±кA) =Bmti(t).
Предложен и е 1.3.5. Система {Bm>i(t)} (i = 0, 1,..., N — i)
образует базис в Sm(^N[a, bl).
Доказательство. Пусть для всех t ^ (—°°, °°)
*A) = 0. A5)
Если учесть онределепие периодических В~сплайнов, то для
t^ [af Ы равенство A5) можно записать через обычные fi-сплай-
пы в виде
JV-1
где d-m+iecw-m+i (/==0, 1, ..., m-l), df = e» A = 0, 1, ..
В силу 1.3.4 d~w =... = djv^i = 0, следовательно, с0
47

§ l/i. 0 существовании идеальных сплайнов
с заданными нулями
1. Постановка задачи. Как видпо из A.9), идеальный сплайн
порядка т фиксированными узлами f» определен с точностью
до мпогомлепа степени т — 1, а в периодическом случае (см.
A.24))—с точпостыо до константы. Поэтому задача о
существовании и едцпствсшюсти идеального сплайна с наперед
заданными нулями самого сплайна и (или) его производных становится
содержательной, если мы будем варьировать узлами t{, считая
фиксированным только их количество. Множество сплайнов со
свободными узлами не является линейным многообразном,
поэтому здесь возникает принципиально новая ситуации, в которой
неприменимы использовавшиеся в § 1.2 стандартные приемы,
а требуется привлечение соображений, основанных на более
глубоких фактах.
Мы изложим подход к решению задачи, в оспопе которого
лежит один факт топологического характера, а именно
следующее утверждение, известпое как теорема Борсука об антимодах
(см., например, В. М. Тихомиров MJ, с. 84).
Предложение 1.4.1. Непрерывное и нечетное векторное
поле г)(|) =» (г],(?), TJ(g), ..., k]n+i(V\ заданное на сфере Sv =
= {?: |еЛл'+1, llgll = ?} (N+ \)-мерпого пространства R^+i, имеет
пуль, т. е. существует вектор ? е 5jV, для которого г](|)=0.
2. Периодический случаи. Начнем с периодического случая,
в котором идейная сторона рассуждений проявляется более
отчетливо. Зафиксируем на полуинтервале [я, b) L точек xk:
а < #! < хг < ... < хъ < Ъ
и сопоставим каждой точке хк непустое подмножество IhcQm-i,
где <?m-i = {0, 1, ..., m-l); через l(fk) (fc=*l, 2, ..., L)
обозначим количестпо элементов в Ik. Требуется, чтобы (Ь — я)-периоди-
ческий идеальный сплайн s(t) порядка тп, имеющий на периоде
не более чем 2/г узлов, удовлетворял условиям
= 0, vh & 1к\ к - 1, 2, ..., L. A)
Требование
ь
пакладывает па узлы сплайна s(t) уравнешге связи (см. (J.23))t
так что, с учётом представления A.24), сплайн s(t) имеет 2п
свободных параметров. Естественно считать, что число условий A)
также равно 2«, т. е.
KIl) + l(h) + ... + l(TL)~2n. B)
Будем еще предполагать, что хотя бы одпо из множеств /*, па-
пример Ти содержит 0, так что одно из 2п условий A) (при А: = 1)
имеет вид
sUi) = 0.
43

Пусть теперь Л'"+1 — пространство векторов fe = {|i, &», ...
— сфера в R2n+i с центром в нуле радиуса Ь — а. Положим для
/•-л, «,-в+1?|1+...+ 1?<1, *— 1,2 2и + 1. D)
Если |**=0, то Л = Л-1, но так как ll?il*=* ft — а, то не вес
координаты %х равны нулю и, очевидно, tmn^b.
Зададим на [а, Ь) функцию
jsgn ^i (/i-i</<'i)f если Ej^O,
Чо (^ 0 ^ (о (/ - /,; i =..-- 0,1, . .., 2а/) ^^
и заметим, что она меняет знак на (а, Ь) по более чем 2/г рп;*.
Введем последовательно т неопределенных интегралов, полагая
t ь / t
/»
о
v---1,2, ...,л»-1, @)
t
Ясно, что по вектору | функция «(^, /) определяется едипствон-
шлм образом, причем *(>Mg, ^)==(pm-j(g, /), /•!, 2, ..., w, а иа
задания функций F) видно, что при j « j, 2, ..., m — 1
Таким образом, s(%, t) есть на (а, Ъ) идеальный сплайн
порядка /и, имеющий на («, b) не более 2/г узлов и удовлетворяющий
условию ${\, Xj) = 0. Мы пока не можем этот идеальный сплайн
периодически с сохранением гладкости продолжить на всю ось,
так как при ; — т равенство (8) может не выполняться, и
потому, вообще говоря, s{m~i}(l, а) ^в*(||*-|)(|, Ь). Применение
теоремы Борсука позволит утверждать, что за счет выбора § е 52п
можно обеспечить как возможность периодического продолжения,
так и выполнение остальных 2п — 1 условий A).
Покажем, что
1) *"Ч-&,*>—*(i)F, t) (/-0,l,...fm);
2) функции s(J)(|, t) (/ —0,1,..., m—1) непрерывно эави-
сят от | в том смысле, что ll*(i)(?') — *(j)(?")llci« м < е, если
40

Свойство 1), т. е. нечетность по ? функции *(g, t) и ее
производных, вытекает непосредственно из равенств E), F) и G),
однозначно задающих s(g, t) по вектору ?e=S2\ Чтобы доказать
непрерывность s(g, t) по ?, заметим, что если |*|} и [([] —
системы ТОЧС1С, построенные по правилу D) соответственно для
Г и I" из Sz\ то
v--l
/-1,2, .... 2л. (9)
Поэтому, обозначив через И множество точек t&[at 6l, в
которых ф„A\ /)^Фи(?'\ /), будем имоть
г- 1
, следовательно,
f 1«РоF',0-Фо(Г,*)|Л-
« СI Фо (Г, 0 - Фо (Г, ОIЛ < 4« | Г - г II.
Из этой оценки с учетом (G) получим
«Ф.(Г) - <P.(s"Ic,..6i *? 8л IIV -6*11 A1)
ir затем
МбО-фЛГ)!^,..»,^
< Hq>,_,F') — ф,-1(ё"_)Всг«. »,(*'— а + 1), v-2,...,m-l. A2)
Соотношения G), A0)—A2) позволяют написать
11*"'F') - s(i>(|" )IICK», < Л/,11Г - 6*И, / = 0,1,..., т -1, A3)
где константы М} moj ут зависеть толысо от т, п и Ь — а. Свойство
2) .доказано.
Теперь определим на сфере C) векторное поле, полагая
также
Л/c.Vft (s) ^ s(V/i) (E, */,), v/t e /¦/:; А -= 2, . в., L.
Равенства A5) с учетом B) и того факта, что 0е/„ содержат
2/2—1 условие, так что соотношениями A4) и A5) задано 2гс-
мерное векторное иоле. Это поло нечетно на сфере 5гп, ибо
50

Чо (—?) = — "По (?)' Лм* (— ?) --¦ - — ч**,^ (I) — в силу нечетности
по | функций s(i)(?, t). Из A0) и A3) вытекает непрерывная
зависимость координат т]«(|) и у\к%хк(Ъ) от вектора 5, т. о. поло
г)(|) непрерывно па S2n.
В силу предложения 1.4.1 существует вектор ?^S2M, для
которого т](|) = 01 а это значит, с учетом A4), A5) и справедливо*
го для любого g eS2n равенства $(|, #4) = 0, что
|0, (lfi)
о
s(V/i) (I, *Л) - 0, vfc е /А; к - 1, 2, _ , L.
Продолжив (без потери гладкости) функцию s(§, t) с периодом
Ъ — а на всю ось (теперь это возможно ввиду A6)), получим
периодический идеальный сплайн s{t)^s(\^ t) порядка т, имею-
щий не больше чем 2п узлов на периоде и удовлетворяющий
условиям A).
Гарантировать единственность (с точностью до знака) этого
сплайна мы сможем при некоторых априорных предположениях
о структуре множеств /Л, а именно в случае, когда
h - @,1,..., l(Ih) - О, к = 1,2,. .., L. A7)
Считая, что /А им (мот «ид A7), предположим, что для (Ь — а)-
периодического идеального сплайна $i(t) порядка т с не более
чем 2п узлами па периоде также выполнены соотношения
но в некоторой точке /*е[Л) Ь] (t*?=xh) 5,(f*) ?=s(t*).
считать, что
s(f *)>().
= s(t) - Х5,(«), X = *»*)/*,(/*), A8)
удовлетворяет равенствам
и, в частности, 6Grft) = 0 (A = l, ..., /,). Так как 0<Х<1>.
то 1б(О1>0 почти всюду, а потому для числа разделенных
нулей функции b(t) на периоде [а, Ь) имеем оценку vF; b — a)^
T^L+i. Оцепивая затем с помощью предложения 1.2Л число
разделенных нулей на iiepnojie у фушщий 840, 6"(?), ..»
..., 6<w"!)@, получим с учетом B)
v(e(m"l); Ь - e)> 2J Z (ГА) + 1 - 2« -| 1.
Однако это невозможно, ибо кусочио-постояппая функция б(т)(О
меняет знак в тех и только в тех точках, в которых меняет знак
функция s(m)U), совпадающая на полуинтервале [а, Ь) с фо(|, t)f
51

а так как число существенных: перемой зпака функции s(m)(t)
Чгл периоде может быть только четные, то (лF(т); b ~ а) =
«= )!(&'''"•; Ь — а)^2п. Единственность сплайна sit) (с точностью
до знака) доказана.
Легко убедиться, что идеальный сплайн s(t), удоклеткоряю-
яцни условиям A), в предположении A7) имеет на периоде
ровно 'In узлов. Действительно, оценивая последовательно число
гра:*дAл(чшых пулей на периоде у функций sit), s'it), ...t s{m~l)(t)f
найдем, что v(s(m~l); b — a)>2n, а потому и число существенных
перемен знака у функции ${М)Ш на периоде равно 2п (ибо
больше 2п ;по число тоже пе может быть).
Полученные результаты можно сформулировать в виде
следующею утверждения:
Т о о р е м а 1.4.2. Если Ц1>) + Щг) + ... + Щъ) = 2л и
/,
0^ U ]inTO существует ib — а)-периодический идеальный сплайн
/г-1
sit) порядка m с пе более чем 2п узлами па периоде\
удовлетворяющий условиям
*(VA)(?ft)«0f vAe/ri k -1,2 L.
Если, кроме того, множества Ih имеют вид A7), то идеальный
сплайн с точностью до знака единствен и имеет на периоде ровно
2п узлов.
Ьтдельпо отметим нытекающее из теоремы 1.4.2
Следствие 1.4.3. Если заданы на полуинтервале \а% Ь) 2п
точек: а ^ xt < хг < *.. < х2п < Ь, то существует единственный
с точностью до знака ib — а)-периодический идеальный сплайн
sit) порядка m с 2п узлами на периоде, имеющий простые пули
в точках xh (fc=»l, 2, •»., 2п), причем других нулей на [а, Ь)
сплайн sit) не имеет,
В пояснении нуждается, может быть, только последнее
утверждение, сразу вытекающее из 1.2.4 и 1.2.5.
3. Непериодический случай. Решепие задачи о существовании
и едттпствепиости идеального сплайпа порядка m с наперед
заданными нулями на отрезке несколько усложняется тем
обстоятельством, что в этом случае идеальный сплайн определяется своими
.узлами с точностью до многочлена степени т—1, и среди
условий, задающих нули сплайна и его производных, должен
существовать набор из m условий, однозначно определяющих этот
многочлен. В связи с этим введем такое определение.
Пусть #m-ie{0, 1, .•-, го—1} и Mm^la, ftlX^-j, так что
элементами множества Мт являются пары (z, v), где
z е [а, Ы, v e @m-i. Набор из т различных пар (zh vj) e Mm
(у = 1,2,..., т) назовем т-определяющим, если для любых чисел
Уз существует единственный многочлен pit) степени т — 1, удов-
летворяющий условиям ру } {zj)= ]jj (/=*1, 2, ,.., го). Легко
привести примеры го-определяющих наборов, соответствующих
хорошо известным интерполяционным задачам.

1) Набор {(zh 0)} (/ — I, tiM m)t где a^ zy <z2<.«. < zm< 6,
соответствует задаче лаграижевой иптериоляции.
2) Формула кратного интерполирования связана с набором
i(zh v)) (/ =* 1, 2, ...f L; v e 0, 1, ...t ft), где а < zf <.«,< Zz, < Ь,
причем Л(й + 1) = т.
3) "Многочлен Тейлора определяется набором {(z0) v)} (v«
«=0, 1, ..., m-1).
4) Набор {(zv, v)} (v~0, 1, ..., m— 1), где a^zo<z1<...
...<г^_!^Ь, соответствует интерполяционной задаче Абеля —
Гончарова.
Более общий пример m-определяющего набора получим, если
построим целочисленное разбиение 0 < ft < /2 < ... < jr-t < h =
==m —1 множества ^m-( такое, 4ito в кансдую горизонтальную
полосу (Xv^/'h /i<v«S/2, ..., /r-i<v</r попадает соответстисп-
по mi«=^i + l, ro2 = /i —/i, .•., т,т=*]т — ]т-ч Ых Л- ... + mr = m)
пар (zA, vft) из этого набора и эти пары в каждой полосе образуют
соответствен но ттггопредсляющие (г=»1, 2f ..., г) наборы — на-
ирлхгср вида приведенных в примерах 1)—4).
Нетрудно привести пример набора из m пар (z, v) ^ Mmy не
являющегося т-определяющнм. Так, набор (zb 0), (z,f 2), (z2t 2) iid
является ^-определяющим.
1Jусть фиксированы L точек xh:
а ^ Xi < хг < . -. < хъ < Ь,
i;a/Kfioii из которых сопоставлено непустое подмножество h ил
^m-i, где, как и выше, (?m~i = @, 1, ..., m — 1); K/fc)
—количество элементов в *Zft. Через a, (g = 0t 1, .,., m— 1) обозначим
количество точек #„ A «^ к < D, для которых q e /fc.
Теорема 1.4.4. Пусть NP*29
KIi) + Kh) + .•. + /(/ь) =- Л + m - 1,
и в множестве
Л «• {Ufc, vj: Vft s Ik9 fc«1, 2, f.., L>
существует m-определяющий набор Ау. Тогда существует
идеальный сплайн s(t) порядка m с не Солее чем N — 1 узлом па
интервале (a, fc), удовлетворяющий равенствам
*(Vfc)(**)«0, vfce/fc; & = 1,2;...,L. A9)
Если% кроме того,
а0 + at + ..» + аР > р + 1, р == 0, 1, , >., m — 1,
и для внутренних точек xk (a < xh < b) Ih « {0, 1, . •., UIk) — i}>
то идеальный сплайн s(t) с точностью до знака единствен и
имеет на (а, Ь) ровно N — 1 узлов.
Доказательство. Пусть Rs — пространство векторов
6-<St, ..-, с*> с нормой ll|ll-lgil+...+ l&Nl и S«-l = it: 1&
е R'\ Bgll « Ь - в). Положим для | е 5Y-!
53

так что tn = b, а определим фупкпию
Isgn^ (<«-i<«<<*), если 6,#= О,
(О (*-*й «-0.1 ЛГ).
Ясно, что <р(|, /) мепяет знак на (а, Ь) не более чем N — 1 раз».
Положим, далее,
ь
s (Б, 0 ~ Рт_1 (Б, /) + (т ^ i}| J (г - ц)Г
где многочлен /v-i(l, f) степени m— 1 выбран так, чтобы
выполнялись равенства
*<VA) (?,**) = 0, (^vjs^, B0)
Если обозначить
.0 = "оггиг I(f ~ U>+~1(P(gl")du'
то условия B0) можпо записать в виде
Pm-l(l, *k) = - g(Vh) (Б, **)> (*/i, V/,) S Л. B1)
Так как Л4 есть m-определяющий пабор пар (xht vft), то
условиями B1) многочлен pm-i(?, i) при фиксированном векторе |
определен однозначно.
Очевидно, что $(т)(?, /) = ср(|, f) и, следовательно, s(|, О при
любом векторе ^е^-1 есть идеальный снлайп порядка т с не
более чем N — 1 узлом на (a, fe).
Мл задания функций (р(|, ?) и g(?, f) сразу видно, что
g«>(-g, *) = -g(J)(l, *> 0' = 0, 1, ..., m-l), а тогда в силу B1>
также и РтЦ(— ?>-t) = — /?m-i(l, t), ибо при замене зпакавовсех
интерполяционных условиях меняется знак и однозначно
определяемого ими многочлена. Таким образом,
!, <), у = 0, 1, ..., т-1.
Непрерывность по g фупкцни g(g, О и ее первых т—. 1 про-
изводиых становится очевидной, если учесть, что
11Ф (Г, Ц) - Ф (Г
(m - ) _
и, как и в периодическом случае (см. (9)), |/i — /* |< || Б — I II
(t=l, 2, ..., N). Что касается непрерывности по | мпогочлепа
/?m-i(l, i) и его производных, то она вытекает из непрерывной
зависимости многочлена от однозначно определяющих его иитерио-

ляцпопных условий» Следовательно, функции ?0)(с;, /) (/
«О, 1, ..., т—\) непрерывно зависят от |,
Положим теперь для ^^SN~l
Щ (I) = *Ы (Б, **), (xky vh) & Л\А,. B2)
Равенства B2) содержат ровно N — 1 условие, и ими задастся на
сфере S"~l (N — 1)-мерпое векторное поле г\(с>), которое, как
следует из предыдущего, является непрерывным и нечетным.
В _сплу предложения 1.4.1 для некоторого вектора | е S^1
r|(g) = 0, т. е.
(V)
что вместе с равенствами B0), которые имеют место для_ любого
вектора ?^SjV~!, дает для идеального сплайна sU)=s(|, t)
выполнение всех условий A9).
Единственность идеального сплайна sit) при оговоренных в
формулировке теоремы дополнительных условиях доказывается
по тон же схеме, что и в периодическом случае. Предположим,
что существует идеальный сплайн st{t) порядка т с не более чем
N—1 узлом па (а, Ь), удовлетворяющий, как и s(t), условиям
A9), но Si(t*) *& s(t*) для некоторой точки J* e [ay b). It здесь,
полагая для определенности, что s{(t*) > s(t*) > 0r
рассматриваем функцию 6(i), задаваемую равенством A8). Учитыиая, что
lfi(/)l >0 почти всюду на [а, Ь] и оценивая с помощью
предложения 1.2.2 число разделенных нулей функции 6@ и ее лроиз-
нодпых па la, b], придем (см. также начало доказательства
предложения 1.2.13) к неравенству vF(m~!); [a, bl)>iV+l, что
невозможно, ибо 6<m)U), как и $(m)U), имеет на интервале (a, b) iro
более Л^ — 1 существенной перемены знака. Аналогично
устанавливается (при тех же дополнительных предположениях), что
сплайн sit) имеет на иптервале [а, Ь) ровно N — 1 узел.
Отметим два частных случая теоремы 1.4.4, которые нам
встретятся в следующих главах.
П р с д л о ж е и и е 1.4.5. Пусть а ^ xt < хг < ... < #.v+m-i ^ ft.
Существует единственный идеальный сплайн s(t) порядка m no
некоторому разбиению
Дд[а, /Л: a = *o<*i<.-.<^v = ft, B3)
удовлетворяющий условиям
s(xh) = 0, fc = l, 2, ..., tf + m-l.
При этом узлы ti, t2y ..., tff-x сплайна s{t) расположены так, что
выполняются неравенства
h * — 1,2 iV— i. B4)
где pai и рь><—количество нулей сплайна s(t) на полуинтервалах
соответственно la,ti) и (tt,b\.

Действительно, существование и единственность идеального
сплайна s(t) сразу следуют из теоремы 1.4.4; т-онределяющий
набор получим па любых т точках xh. Докажем справедливость
неравенств B4). Пусть для некоторого i A <*<#—1) $a,i<L
Тогда число разделенпых нулей сплайна s(t) на отрезке Iti, b\
должно быть больше, чем N+m — i—i, т. е. v(s; [tti b])^N-h
+ m — i, я в силу 1.2.2 v(s{m~i}; [tu b\)>N —i + \. Но это
невозможно, так как производпая ${m)(t) па интервале (fc, Ъ)
существенно меняет зпак ровно N — i — 1 раз.
Второе из неравенств B4) доказывается совершенно
аналогично.
Предложение 1.4.6. Пусть N> m+ 1 и а < Xj < #2 < .. ¦
... < #.v_m--i < Ъ. Существует единственный идеальный сплайн
s(t) порядка тп по некоторому разбиению B3), удовлетворяющий-
условиям
s(xh) «О, к « 1, 2, ..., Л^ - тп - 1,
sa)(b) = Q, / = 0, 1, ..., т~ 1. B5>
При этом: 1) узлы tu t2, ••., ^~i сплайна s(t) расположены то.ку
что выполняются неравенства
Т«.»>*. b,k>N~m-k, ft«lf 2, .... Л^-m-l, B6)
Т«, * ^ Ть. * — количество узлов сплайна s(t) па интервалах
соответственно (а, хк) и (xh1 b);
2) если $а,< и $b,i — число пулей (с учетом их кратности)
соответственно па la, ti) и (d, b], то $а с^г, $ь i^N— i (t — 1, ..„.
..., N-l).
И здесь существование и единственность немедленно
вытекает из общей теоремы 1.4.4; m-определяотщий набор дают,
например, кратпые нули в точке а или Ь. Докажем первое ил
неравенств B6) (второе устанавливается аналогично). Пусть для
некоторого к A ^ к < N — m — 1) Те, а < ^, т. е. производная
s(m)(t) имеет на интервале (a, xh) не больше нем к — 1 перемену
знака. А так как $(v)(a)=0 (v « 0, 1, ..., тп— 1), то число
разделенных нулей функций s(w""!)U), ..., $'{t), s(t) на отрезке
[я, #А] не может превышать Л, хотя па самом деле s(t) имеет па
[a, xh] к+\ разделенный нуль в точках а, хи х2, #.., хк. Теперь
2) легко выводится из B6), причем в силу B5) достаточно
считать, что m<i<N~-m. Например, так как чь,t-m**N — i, то»
Я(~.т < it, а это значит, что (}«, (> i.
56

Глава 2
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ
§ 2.1. Предварительные замечания*
Пространства и классы функций
Полиномиальные сплайны обладают рядом замечательных
экстремальных свойств. Имеппо сплайны появились в качество
экстремалей в задачах вариационного содержания,
рассмотренных в фундаментальных работах Фавара Ш, Л. Н. Колмогорова
12J, С. М. Никольского [3J. Повышенный интерес к сплайнам,
возникший в начале 60-х годов, в определенной степени связан с
работой Холлидея [11, который обнаружил интересное свойство
интерполяционных кубических сплайнов, связанное с реализацией
минимума нормы в L2 второй производной на множестве
функций, принимающих заданные значения в фиксированных точках
(см. § 2.2). Это свойство послужило отправной точкой для
широких обобщений, которые привели, между прочим, к тому, что
сплайнами стали называть математические объекты, весьма
далекие от кусочно-полиномиальных функций.
Основная цель отой книги — исследовать сплайны как
аппарат приближения функций в экстремальных задачах теории
аппроксимации; атому будут посвящены главы 4—7. В настоящей
же главе будут изложены некоторые факты, характеризующие
экстремальные свойства сплайнов, непосредственно не связанные
с оценкой погрешности сплайн-аппроксимации. Эти факты,
интересные и сами по себе, будут использоваться в следующих
главах.
В § 2.4, 2.5 и 2.7 рассмотрены задачи, в которых силам мы, в
частности, сплайны Эйлера и Верпулли, реализуют экстремум
некоторого функционала на множествах функций, вообще говори,
не являющихся сплайнами, в § 2.6 доказан ряд соотношении,
характеризующих свойства сплайнов, обусловленные спецификой их
внутренней структуры.
В первой главе изучались свойства полиномиальпых силайноп,
не связанные с метрикой, Переходя к исследованию
экстремальных и аппроксимативных свойств сплайпов, описываемых с
помощью метрических характеристик, введем хорошо известные
нормированные пространства непрерывных, суммируемых и су-
1цествс!шо ограниченных функций.
Через С[я, Ы, как обычно, обозначаем линейное пространство
непрерывных на отрезке [я, Ь] функций /Q) с нормой
||/|с[а,ь]= max I/WI.
57

Lv(a, Ъ) есть в случае 1 < р < оо линейное пространство
суммируемых па (я, Ь) в р-й степени функций fit) с нормой
Ь
а в случае р = <» — линейное пространство измеримых
существенно ограниченных на (я, fe) функций /@ с нормой
Если /(О непрерывна на [а, Ы, то, очевидно, ||/||с[а,й] *=1/]г.00(а,ь).
Ради некоторого сокращения обозначений и выкладок будем
в дальнейшем почти везде считать [я, Ь] = [0, 1], что не
уменьшит общности получаемых результатов. При этом условимся
полагать
Соответствующие пространства 1-периоднческнх функции
будем обозначать через С и Ер; норма в них вводится теми же
равенствами, что и в-С и Лр.
Наряду с множеством Ст т раз пепрерывпо
дифференцируемых на [0, 1] функций, с которым мы уже имели дело, введелг
множество //™ функций /U), у которых (т—1)-я пронзводтгая
fm"l)(t) существует и абсолютно непрерывна на 10, 1J, a f{m)(t)&
е Lp. Иначе говоря, 1% (так же как и Ст) есть множество
неопределенных интегралов тп-то порядка от функций /(i)e/vp
(соответственно }&С). Множества 4-периодических интегралов rn-vo
порядка от функций f&C или /е t'p будем обозначать соответ-
ciKCiiiio Cm и //JJ1.' В соотношениях общего характера под
С0, Lp и т. д. понимаем С, Lp и т. д.
Определим еще классы функций, с которыми нам придется
иметь дело в этой и доследующих главах.
(m - 1, 2, ,..; 1 < р < оо) —класс функций f{t) <~= /.",
у которых
l\J<m%<K. (I)
KW™ (m — 1, 2, ...; 1 <j> <oo)— класс 1-периодических
функций fit) из L^, удовлетворяющих условию A). При К»1
пишем просто W™ и И^^1.
VF-a://« (m = 0, 1, ...; 0 < а < 1; / Wg/Me = ЯЯа) - класс
функций fit) eCm, у которых для всех V и t" из [0, 1)
J/(w4n-/(m)(/")l <ЛГ|Г-Г|в. B)
ГГЯ<АГ//в (т - 0, 1, ...; 0 < а < 1; <TeJC//e = К№) - класс
1-периодических функций / из Ст, удовлетворяющих условию B^
при всех Г и ^" из вещественной оси. Вместо Wm\Ha м t^l/i*
условимся писать W^n//a n №"Па.
58

Отметим сразу следующие случаи совпадения различным
образом определенных классов:
WmKHL; KWZ+l^WmKHl. C)
В самом деле, если / (t) ен KWZ*\ то /(/) е Cm и
а так как Л/^+^Н^ ^ Ку то выполнено условие B) при а = 1.
Обратно, если f^WmKH\ то из выполнения B) при а =» 1
следует абсолютная непрерывность функции fim)(t) на [0, 11, а также
то, что почти всюду на [0, 1] \f(m+l4t)\ <K. Совпадение
соответствующих периодических классов устанавливается точно так жо.
§ 2.2. Экстремальные свойства сплайнов нечетного порядка
в гильбертовом пространстве
1. Минимизация нормы в ?2 функций из LZ,
интерполирующих заданные значения. Рассмотрим такую задачу.
Фиксированы разбиение
Лл-: 0 = to < tt < ... < tN =* 1, A)
целое число k> I n задан набор чисел
Y^iyJ, < —0,i ЛГ; / = 0, 1, ..., fc — 1. B)
В множестве ?г(ЗО функций j(t)^f/2 (г^Д),
удовлетворяющих условиям
ГЧи)=уъ * —0, 1 N; /«О, 1, .... Л-1, C)
требуется найти функцию, у которой г-н производная имеет
наименьшую норму в L2.
Решение дает
Теорема 2.2.1. Имеет место равенство
где s(t) —сплайн порядка 2г— 1 дефекта к по разбиению (I)
<т\ е. 5(i)e*?2r-i (Ajv)), однозначно определяемый условиями
интерполяции
s{4tt)=yts Ш
и при г>к также краевыми условиями
, .... 2г-Л-1. E)
Доказательство базируется на следующем вспомогательном
утверждении.
59

Лемма 2.2.2. Если сплайн s(t) из S%r~\ (Ajv) (&<>)
удовлетворяет при к<г условиям E), то для любой функции ge= Ll
о
- *2 (- 1Гj {2* [*(tr"M) («i + 0) - «B1"Ьг) <*, - 0)] ^> («о ч-
+ *Br-i-1) (*, + 0) *«> (t0) - *<*-'-« (tN - 0) g<*> (tN)\ F)
Написанное равенство — просто результат интегрирования но
частям. Сначала, интегрируя по частям г—к раз (если к<г) на
всем промежутке [0, 1] и учитывая E), получим
J *(Г> @ gir) (t) dt - <- 1ГА J .By-h) (t) g<» (t) dt.
о о
Функция s<2r~h)(t) уже, вообтце говоря, разрывна в точгспх t(
(t=l,2, ..., N — i)y и мы будем далее интегрировать по частям
на каждом интервале (Л-i, U) A=1, ..., N). Имеем
'г
[ si2r~k\t) g{h) (t) dt~ UBr-;o (*) g<ft'« (t)-*(sr-*+1) (/) ^(h) (/)+...
причем так как si2r~i}(t) постоянна па (ft_lf Л), то последний
интеграл можно записать в виде
s^Hti - O)g(tt) - 8<гт-*>(Ь~* + Q)g(ti-i).
Просуммировав равенства G) по i и перегруппировав
слагаемые, придем к F).
Из леммы 2.2.2 вытекает утверждение, явлнюлдесся одним из
наиболее важных в теории сплайнов.
Предложение 2.2.3. Пусть f(t)^Lr2 и s(t) — сплайн из
52,-i(An) (k<r), удовлетворяющий при к<г краевым
условиям E), а также интерполяционным условиям
*(i)U)~/(J'»,), <-= 0, 1 JV; / = 0,1, ..., k~l. (8)
тогда ^-^вчлгч^в.
В самом деле,
- j' [/r) (№* - j f.v(r) (t)Ydt - 2 f s(r) (I) [fr) (t) - s(r) (l)] dL
о о о
eo

Но последний интеграл равен пулю в силу леммы 2.2.2: надо в
@) положить git) = /(/') — s(t) и учесть (8).
Чтобы получить теперь утверждение теоремы 2.2Л, заметим,
что если 1 (t)e= Lr2{Y) и сплайн s(t) из *S2r-i(Ajv)
удовлетворяет условиям D) и E), то с учетом C) предложение 2.2.3
позволяет написать
II Лг) ||2 || <г)|* ^ л
II/ \\Ч— Ц * |i2^U«
Таким образом, для любой функции
и остается заметить, что сплайн s(/) тоже принадлежит
множеству //,(К).
3 а м е ч а и и е. Используя понятие натурального сплайна
(§ 1.2, и. ,4), можем сказать, что решение задачи,
сформулированной в ндчдле атого пункта, дает натуральный сплайн s(t)
порядна 2г— 1 дефекта к но разбиению AN (т. е. A'^eiVi^))'»
определяемый условиями D).
2. Оптимальное восстановление интеграла. В теории
приближен иого интегрирования обычно речь идет о восстановлении
значения функционала
ь
Л111кч:ного относительно /, по некоторой дискретной информации
о функции /(/), например по значениям функции /(?) и, может
Оыть, некоторых ее производных в отдельных точках. Пусть,
например, требуется приближенно восстановить функционал
з
I(f)=[f(t)dt @)
6
но информации
/(j)(*,)-itof * — 0,1 JV; / — 0,1, wo A-i, (Ю)
где /,• —точки разбиения A), и предполагается, что ](t)^Ch \
Такая информация определяет неограниченное (в мечрике С или
Lv) множество функций, и чтобы аадача стала корректной, па
функцию /U) надо наложить тс или иные анриорпые условия,
попробовав, например, чтобы некоторая ее производная была
ограничена в С или LP фиксированным числом.
Пусть ML\{Y) (r^k)— множество функций /(/)е//2,
удовлетворяющих при фиксированном вектюрс B) условиям A0),.
а также неравенству
1!/(гI13^А/, A1)
где константа А/ выбрана так, что множество ML\{Y) не пусто.
Ясно, что ML\(Y) — ограниченное выпуклое и замкнутое в L2
01

множество, Когда fit) пробегает класс функций MLl(Y)f
значение функционала (9) пробегает некоторый ограниченный отрезок
[а, р] числовой оси. И если о функции мы пе имеем другой
информации, кроме той, которую доставляют соотношения A0) и
{И), то в качестве приближенного значения /#(/) функционала
(9) надо взять середину -у ет (а + ?)/2 промежутка (а, р].
Погрешность |/(/) — ^*(/)| в этом случае не будет превышать
величины (р — <х)/2, а при любом другом выборе /*(/) эта
погрешность может оказаться больше.
Оказывается, что оптимальное приближенное значение
J* (/) ^ У мы получим* вычислив интеграл /($), где s(t)~s(Y, ?) —
сплайн из «S^r-i (A*v)t однозначно определяемый условиями E) и
D). Заметим, что jtot сплайа s(Y, t) принадлежит множеству
ML\(Y) (если оно не пусто), ибо в силу теоремы 2.2.1
производная s(r)(Y, t) имеет минимальную норму среди функций / на
1'\ч удовлетворяющих A0).
Предложение 2.2.4. Сплайн $(К, t) из S\r-\ (&n),
определяемый условиями E) и D), является центром симметрии множен
ства ML\ (Y) при' любом М > 0 тапому что множество это ив
пусто.
Доказательство. Надо показать, что если для некоторой
функции g{t) s L\
A2)
то [siX, t) — ё(Щ s ML\{Y). Но и я D) и A2) вытекает, что
gu>itl) = O, i = 0,1 N; 7 = 0,1, ..., k-i, A3)
а потому в силу леммы 2.2.2
i
о
По тогда
{ Wr) (г, t) + g^ (t)Ydt - f [«(r> (у, t) - g(r) (t)Ydt,
о о
м так как по предположению h(n{Y) + g(r)ll2 ^ M, то и fto
— ^(r)ll2«^M. Остается заметить, что ввиду A3) функция /(/)
^=s(Y\ i) — g(t) удовлетворяет условиям A0).
Следствие 2.2.5. Имеет место равенство
)+)/
[а, р] — область значений функционала (9) ил множестве
ML\(Y).
Действительно, пусть число Rs{Y)) + x\ принадлежит отрезку
[а, р]. Тогда существует функция /t e Л/Ц(Г), для которой
J(/iJi=*/U(y)) + т), и, следовательно, если положить g(t) =Д(О —
02

-«G, *), то 7(«r) — т|, причем *(Y, t) + g@ =»/.</), т. о. «(V)-h
+ geil/Lr2(F). В силу 2.2.4 функция /»(*)—*(У, *)-$(/)
также принадлежит М/^(У), и, значит, число /(/2) «*/(*(Y)) — rj
также лежит на отрезке [ос, [}].
Заметим, что и адесь можно говорить о натуральном сплайне
«(У, ?) из ^«r-i (An), однозначно определяемом условиями D).
Если *yU) (I = 0,1, ..., /V; / = 0,1, ..., к — 1) — базисная система
фундаментальных сплайнов из ?$г-1 (Дл), то
i Oj-0
и, следовательно,
к
•:--оj -о
Задачу оптимальною восстановления функционала (9) по
информации вида A0) и (И) можно ставить более широко, не
фиксируя заранее вектор У. Если при фиксированном разбиении A)
нам известны значения /(J)(i») A = 0, 1, ..., N\ ) « 0, 1, ,»., Л—1)
(или та кую. информацию мы можем добыть), то естественно искать
приближенное значение функционала (9) для / е С^1 в виде
суммы
выбирая коэффициенты pi} оптимальным, и том или ином смысле/
образом.
Пусть MW\— множество функций }{t) ил А^,
удовлетворяющих неравенству (И). Если искать значения коэффициентов
Pij ™- Pij» 3ij>i4 которых величина
принимает наименьшее значение, то мы придем к фулкциоиа.тр
^(/. lp*jOi где
Р«=^Ы. * —0,1 iV; / = 0,1 Л —1,
a .s\jU) — те же фундаментальные сплайны и.ч S^r-i (Дл).
Доказательство этого факта можно найти в Добавлении автора к китч*
С. М. Никольского [2].
Заметим в заключение, что так как
i- 0 j=0
G3

то для любого сплайна x(t) e 5jr-i (A/v)ff (.?, [/>jj)) — /(*), т. е;
аппроксимирующий функционал (х(/, (/;*•!), обеспечивающий на
классе MWr% мишшалмгую погрешность восстановления, нвля-
стен томным на сплайнах множества iSV-i (An).
§ 2.3. Сплайны Эйлера и Бернулли
1. Идеальные сплайны Эйлера. Идеальный сплайн <plY. w(?),
которым был определен в § 1.1, обладает замечательными экстре-
сильными свойствами; некоторые из них, не связанные с надача-
лш аппроксимации, будут выяснены в следующих параграфах
;>топ главы. Здесь же мы приведем нужные для дальнейшего
<н(И!ства эйлерова сплайна.
Iдосматривая сначала периодический случай, для большей
общности введем вместо N непрерывный параметр h и будем
полагать для X > О
j^sgn sin ллг ¦¦-- —
v-о
- f
Ясно, что
Bv-: \)n\t , o „
;И),м-. > '«1.2.... C)
<pA 1()(/) имеет период 2/К и пулевое сроднее значение на периоде.
Из A) —C) видио, что при т четном функция <pi,m(f) имеет
простые нули в точках к/% (ft=*0, ±1, ±2, ...), а график ее
симметричен относительно тонем; (АД, 0) и прямых t = Bк+ 1)/BХ).
Ирм m нечетном фл,т(/) имеет простые нули в точках Bft+ D/
/Bл), а график ее'симметричен относительно точек (B/с+1)/
/Bл), 0) и прямых t=*k/h. Других нулей функция фл.т(О "о имо-
ет, она монотонна между соседними точками экстремума,
сохраняет направление выпуклости на каждом промежутке между
соседними нулями. Заметим еще, что если |фх,т (*') | = | Ц>к,т (t ) |,
Па протяжении этого и следующих параграфов главы 2,
рассматривая функции, заданные на всей оси, будем полагать
|/lc= s»P 1/@1.

i— если /(/) непрерывна и ограничена на всей оси, т. е. f(t)
е ГЛ-оо, ~) и Fs/bf = ll/ll» = sup |/(*) |,
<<
— если /(/) n:i «сей оси ограничена. Ясно, что для /U) ^С(—<х>,°°)
Из представлении A) — C) и отмоченных пыше свойств
функции (ря.пДГ) следует, что
f 0,1,2
где к = 0, ±1, ±2, ...
Величины и правых частях E) и (С) удобио записывать с
помощью констант Фавара
2VlltrH. «-0.1.2.... G)
Нетрудно подсчитать, что
Ал I' К ж* Я~ f Я*
примем константы Л'„, подрастают по четным иидеисам и
убывают но нечетным, таге что
1 ,.- /^0< Л'2< К, < ... < «< .. .<Къ<Кг - у.
Из сопостаилеппн равенств (Г») — G) видно, что
11фЫ!~г=-^Г. m-0,1,2,... (8)
Так как в силу A)
U&.L- =ihp>.,n,-j|u--~^-. /-1.2 »«.
то справедли»»
Предложение 2.3.1. Имеют место соотношения
1!ф>!гп!!оо - cm§i||v,.,«||!rj w, m ¦¦-- 1, 2, ...; / = 1, 2,..., mt (9)
где
Cmj - ifm-j/A^. A0)
Полезно иметь в виду, что
05

Условимся при целых значениях Я вместо <p&,m(f) писать
<pjv,m(t) (N = 1,2, ¦ ..). Если N четно, N = 2ny то па отрезке
10, 1] укладывается целое число наименьших периодов функции
фа», m(t), и мы получаем 1-периодический эйлеров идеальный
сплайн, о котором упоминалось в конце § 1.1.
Рассматриваемая на отрезке [0, 1] функция ipN,m(t) есть
эйлеров идеальный сплайн на [0, 11 по разбиению U = i/N (t =
« 0, 1, ..., Л0, который также был введен в § 1.1.
Так как
\ \ <PJV,m (t) | Л =г= V (фЛ\т-ц) =^ 2iV || фл1Я|+1 |1с,
О °
ТО
\VN%ml - ^VT", т ~- 0,1, 2, ... A1)
Если положить
^j\,w (t) =•" 2уу Ф^.т v1)» /№ -¦- U, 1, , . .,
1
о
1 Кт
I^A.m-lIl = V (^Л'.ш) = Цф^,т1с =:= "Г ~W, W =-= 1, 2, . . ., A2)
о ' \лЛ')
так что для функции gNym(t) имеет место аналогичное 2.3.1.
Предложение 2.3.2- Справедливы равенства
|л = 1,2, ...; /---¦- 1,2, ..., w,
г5е константы Cmj определены в A0).
Подчеркнем, что сплайны <p2n, M и g2n,m(t) мы считаем
продолженными с периодом 1 па всю ось.
2. Моиосплайиы Бернулли. Моносплайны Бериулли /.)„,(*),
имеющие период 1, были «ведены раненстиом A.1.12); из них и их
производных строилась базисная система функций для
аналитического представления периодических сплайнов. Введя
непрерывный параметр К > 0, будем полагать
Ясно, что функции DKm(t) (/л—1,2, ...) имеют период 1А
и при w>2 непрерывны на всей оси вместе со своими
производными до (т — 2)-го порядка. Легко подсчитать, что
4 <1А. A6)
се

Из представлений A4) и A5) видно, что при ЬФкГк (& = 0, ±1,
±2, ...)
aft» @ - Вх,т-Л*)> 1 - *> 2 т> (»7>
для /</№ —2 это равепстно справедливо во всех точках t. Таким
образом, отправляясь от A6), функции DKm(C) (m>2) можно
задать рекуррснтно:
DKm (t) - j DKm^ (и) du, m - 2,3 (IS)
выбирая rim так, чтобы выполнялось равенство
tf ^.,
о
б частности, r|2e"i =0 (i = 1, 2, ...).
Из равенств A4), A5) или A6), A7) и A9), определяющих
люпосплайпы D^m(t)y легко усмотреть, что
Таким образом, график функций D^v+At) симметричен
относительно точек (fc/BA,), 0), а график 1)\,2№ —относительно ггрямых
t = k/BX) (к = 0, ±1, ,..). Функция DK2i(t) строго монотонна
и имеет по одному нулю на каждом из промежутков ((/с—1)/
Л2А,), к/BХ))у a DKы+М) сохраняет знак и (при i>i) строго
выпукла иа {(к — 1)/BА,), к/{2М). Заметим еще, что
Обозначая целые значения параметра К через N GV=1 % 2, ...),
будем иметь в виду, что функция DNtm(t) па отрезке [0, 1] есть
мопосилайп порядка т по разбиению tt = i/N 0 = 0,1, ..., N).
Как видно из A.1.10), моносплтш порядка т своими узлами tt
и дефектами кг определяется с точностью до постоянного
множителя. При определении равенствами A4) и A5) моносплпйпа
D\tm(i) этот множитель выбирался так, чтобы обеспечить
выполнение равенств A7). В некоторых ситуациях удобно иметь дело
с моиоенлайном:
DKm{t)^-\nh>m{t)y B0)
который нормирован условием
Ж @ - П%л @ = It 0 < t < ill. B1)
Положим
?5 7m(t)t B2)
07

Иа A6), A8) и B0) с уметом ппксдспия графика /)xtTn(f) легко
понять, что
Так как
то, учитывая B0) и B4), можем написать
Bл Ь)"
где константа Л2» не зависит от X.
Далее,
Легко усмотреть, что точка I = Xix есть точка максимума
функции l/)i,2i+i(J)l на промежутке @, 1/2) и, значит, она тоже не
зависит от А,. Таким образом,
t' т"и2 <25)
где постоянные Лт зависят только от т. Мы можем
сформулировать утверждение, аналогичное 2..'11 и 2.3.2.
Пред л о ж е и и о 2.3.3. Справедливы соотношения
НКт-> - dmjl\'i m, m - 1,2,,..; j •• - 1, 2, ..., in - 1,
где константы dm 5 не зависят от X.
§ 2.4. Теоремы сравнения
Теоремами сравнения называют утверждения, которыо дают
оценку той или иной характеристики, функции j(?) из того пли
иного класса 5Й через соответствующую характеристику
некоторой фиксированном функции из того же класса. Последнюю
функцию можно считать эталонной или стандартной функцией
в классе 5Й; ее можно назвать также фуикцией сравнения для
остальных функций из ЭЙ. В ряде естественно возникающих задач
функциями сравнения являются идеальные эйлеровы сплайны
или моносплайны Берпулли.
1. Сравнение производных на одном уровне. Введем в
рассмотрение множество Л/г(—<*>, °о) (г=1, 2, . ..) определенных
на всей оси r-х интегралов от измеримых и ограниченных на
С8

числовой оси функций. Таким образом, fit) е Д/г(—<*>, оо)
означает, что функция fit) г—1 раз непрерывно дифференцируема
па всей оси, причем f(r~l)(t) локально абсолютно непрерывна и
li/(r)!lv < оо# Через W^(— оо, оо) обозначим класс функций fit) e
е Mri~ooi oo)? у которых li/(r)ILv<l. Основной результат этого
пункта составляет следующее утверждение, известное как
теорема сравнения Колмогорова.
Теорема 2.4.1. Пусть fit) e WrM (— оо, оо) и для
некоторого X > О
П/Нс < Пфх. г"с A)
Если f Ц) = фх.г Oi), mo I /' Ш К I Ф>..г (Л) I (ири г= 1 — <?
предположении, что f i\) существует).
Геометрический смысл теоремы 2.4.1 в том, что при
выполнении A) скорость изменения fit) не может быть больше, че.(
скорость изменения на том же уровне сплайна фх> Д*).
Утому факту можно придать несколько болое широкий смысл,
ламетпв, что теорема 2.4.1 допускает умножение функций fit)
и фх, ДО па одно и то же число с > 0. Поэтому можно освободить
функцию fit) от ограничения 1'/(гЯм < 1, расширив одновременно
:*а счет постоянного множителя множество стандартных функций.
Тогда имеет место следующее, равносильное теореме 2.4.1
утверждение:
Пусть фиксированы числа Ло > 0, Лг>0, у Aу!<Л0) и
точка % на числовой прямой. Тогда среди всех функций fit) и:*
У1/г(~°°, °°) таких, что
у,
наибольшее значение модуля 1/'(|)| производной имоет сплашт
/^ it) = Лгфь,г it + а), у которого X выбрано из условия |/* \с — ^
а число а — из условия /* Ц) = у.
Переходя к доказательству теоремы 2.4.1, установим сначала
вспомогательное утверждение, из которого мы легко выведем эту
теорему, а несколько позже и другие факты.
Л е м м а 2.4.2. Если / (t) e WrM (— оо, оо) и для некоторого
h > 0 выполняется строгое неравенство
И/"с<Вфх.Л, ¦ B)
то разность фх, М) — fit + а) при любом а меняет знак на
каждом промеок'утке монотонности фх, М) ровно один раз.
Доказательство. Без потери общности можем считать,
что а — 0. Предположим, что функция fit) удовлетворяет
условиям леммы, но па некотором интервале (а, ?), где производная
q%rit) сохраняет знак, разность
C)
меняет знак более одного раза. Пусть (ti, т2), т2 *= т, + 1/Х,—
содержащий (а, ?) интервал, на котором ф>.,г(*) тоже сохраняет
69

знак, л qv-(Ti) = <fx,r(т2) = 0. В силу B) знак 6@ и точках xt
и т2 совпадает со знаком ср*., PU), а потому при сделанном
предположении функция 6U) должна менять знак па (ti, т2) по
меньшей мере 3 раза.
Теперь легко придем к противоречию, если предположим, что
fit) имеет период N/X, где N — некоторое натуральное четное
число. Так как
то, опять же в силу B), разность 6U) на каждом из интервалов
(тх + -?, тг + "Т ) (/г — 1, 2, ..., iV — 1) меняет злак хотя бы
одип раз, а тогда па периоде длины N/K 6U) имеет не менее чем
Л'+ 2 перемены знака. Вииду того, что при дифференцировании
функции 6@ число перемен знака на периоде может только
увеличиться (см. 1,2.6), производная 6(г)Ш должна иметь на периоде
тоже не менее N + 2 существенных перемен знака. Это, однако,
иевозможпо, ибо |/(r}@l^li a ф!Г,г(*)* принимая значения ±1,
меняет знак па интервале (ti, Xi+N/K) ровно Л^ раз.
Чтобы прийти к противоречию в общем случае, нам
потребуются некоторые дополнительные построепия, а также
следующая
Лемма 2.4.3. Если fit) еЛ/г(-оо, оо) (г = 2, 3, ...), И/Нс =-
-Ло, Я/(Г>НМ«ЛГ, то ll/(ft)||c=:^ft<oo, fc«if 2, ..., г-1.
Достаточно, очевидно, доказать лемму для Аг— 1. Пусть
число с удовлетворяет неравенствам с>4И0, с>Аг/г\. Рассмотрим
многочлен
p(t) « C(t - i/2)it - 3/2) ... (« - Br- l)/2).
В точках i == v (v = 0, 1, ..., г) многочлен /?(/) принимает
значения с последовательно чередующимися знаками:
sgn p(v) = —sgn /?(v + 1), v = 0, 1, ..., г— 1, A)
причем р(г — 1) < 0, р(г) > 0 и
1рЫ1^с//1>Л0«11/11с, v = 0, 1, ..., г. (Г>)
При любом а положим /«(/) = /(i + я) и
В силу D) и E) разность Fait) на каждом интервале (v, v+ 1)
(v = 0, 1, ..»» г—1) имеет хотя бы один нуль. Так как /(r)U) ^
=^ Ат < сг\ для всех t, то
а потому функция 1\(О не мржет иметь больше чем г нулей,
и, значит, на каждом промежутке (v, v + 1) (v = 0, 1, ..., г— 1)
oua обращается в нуль ровно один раз. Отсюда уже следует, что
ll/'ihi< max |//(i) | = :Л1#
70

Действительно, в протинпом случае для функции g(t) = fa(t) (или
#U) = —/а(О) при соответствующем выборе а и некоторой точке ^,
/'—1<1<г, будет вьгполпяться неравенство #'(?)> р'(|) и с
учетом E) придется заключить, что график функции fa(t) (или
—fa(t)) пересекает график pit) на интервале (г— 1, г) три раза,
что невозможно. Лемма 2.4.3 доказана.
Нозвратимся к доказательству леммы 2.4.2, именно к тому
месту, где, рассуждая от противного, мы заключили, что разность
C) на интервале (Tb т2) между соседними нулями ф?.,г@
меняет знак три раза.
Ясно, что при достаточно малом г > 0 '.пот факт будет иметь
место и для разности
68U) Фх, М) /.(), /.() A е)/Ш.
Выбрав достаточно большое натуральное число ЛГ, можно
построить г раз непрерывно дифференцируемую па всей оси
функцию \ix(t) такую, что:
^т, + N/K);
Рассмотрим функции
fs(O = ftW\JLx(t), Л* (О = фх, rW — fx(t).
Ясно, что fx(t) = {АО для xt < i ^ т2, 6Л-(^) = фл, ЛО при
U-x.l^iV/X и
И/л»с - «/Л - A - eJll/ll* < A - е)Ифх. Л. F)
Кроме того,
t-0
и так как в силу леммы 2.4.3 И/'1"""*- < Л < <*>, то
I /!у} U < | /1° ||л/ + г, = A - е) | /(r) |,f + е, < 1 - е + elt
где Ei = е,(Л0 -»- 0 при iV-^oo. Таким образом, для некоторого
натурального iV = iV0 будет ||/&0||м<1, а потому разность
6(л:^ (i) = ф1г,г (i) — /л'у (i) меняет знак на интервале (Ti ~ JV0/Xf
T,+iVo/X) не более чем 2N0 раз. С другой стороны,
функция -6*@ на отрезке [ti, т2] совпадает с 6@ и меняет знак
па di, т2) по меньшей мере 3 раза; на каждом из остальных
промежутков между соседними пулями ф>.|Г @ 6jv @ имеет в
силу F) по крайней мере одну перемену знака, так что на
интервале (ti — ЛУЯ, Ti + Л'о/Х) у fiiYo(*), а значит, и у 6^@ долж-
71

ло быть не менее 2Л70 + 2 перемен знака*). Противоречие и
доказывает лемму 2.4.2,
Теперь докажем, наконец, теорему 2.4.1. Можно считать, что
/'(?)^0 (если /'(?) = О, то доказывать нечего) и sgn/'(?)-;
= sgn<P?L,r(*}), ибо иначе вместо х\ можно изятг» точку 7)! такую,
что фх(г(г)|) = фх, г(>)) и ф^.г (Hi) =- — Ф>.,гСч). Выбором число а так,
чтобы для функции fait) = fit -г а) выполнялось равенство
/«(п>в/(|>вФх.г(г|).
Если теперь предположить, что | fa (л) |> |ф/..г (л) I» то 1'а
содержащем точку 7) промежутке (т,, т2) между соседними нулями
фл,г@ разность б«(<) =фх,г(О — A — е)/а(/) при достаточно малом
е>0 должна менять знак по меньшей мере 3 раза — в
противоречии с 2.4.2. Теорема 2.4.1 доказана. Из нее немедленно
вытекает полезное для дальнейшего
Предложение 2.4.4. Если f(t) e WrM (— оо, оо) и при
некотором X > О И/!-!с < НфХ Г11С, то l'/(h)llc < «фх r_Jlc (/с =1,2, ...
...,г-1).
Ясно, что сформулированное утверждение достаточно
установить для А* = 1. Но, предположив, что, например, |/' (?) | > U ф>-,г ||с»
мы сможем указать точку ?], в которой фх.Дч) =/(|л и тогда
будет | /' (?) | >¦ | Ф>-.г (л) К Л*то в силу 2.4.1 невозможно.
Таким образом, если норма в С функции fit) из Л/'(—°°, °°)
и порма в М ее г-н 1фон;«юдно1с ограничены соответствующими
величинами стандартной функции equ, rU), то нормы в С всех
промежуточных производных fk)(t) (k =1,2, . . ., г—1) будут
тоже ограничены нормами соответствующих производных той же
стандартной функции. Точнее говоря, справедливо соотношение
c: /е=ЛГ(-оо|Оо), Шс</10, ||/%/< Аг] ,, 1/^|с,
fc-1,2, ...,/¦-1,
где /* @ ¦= Лф\,г @ и параметр X = Л(Ив) выбран так, чтобы
выполнялось равенство ||/*i!c~ A,.
Лемма 2.4.2 позволяет получить, кроме теоремы 2.4.1, ряд
других утверждений, характеризующих поведение графика
функции /(/) из И7'Л/(—оо, оо) ло сравнению с графиком стандартной
функции.
II р е д л о ж е н и е 2.4.5. Пусть f(t) e Wm (~ оо, оо) и для не-
которого X > 0 Ii/Hc < "фх Лс- Если
/(|.) = фх.г(Л1), /(ЫвфЯ.гA|а)
и точки ))t и тJ лежат на одном промежутке монотонности фЛ, rU),
•) Здесь надо еще учесть, что 6jjv~1) (тх — -/V//.) = 6^v~1) (^ -|- Л'Д) =
v=lf ..., [r/2J.

Доказательство. Мы, разумеется, можем считать, что
%% < «2, Ц\ < Иг, а также, что /(|2)>/(^i), ибо случай /(?»)<
</(|i) рассматривается аналогично. Предположим, что
Si-Ei<t|2-t|i. <7)
Если ввести точки
то в силу G) будут выполняться неравенства ?0 < ?i < 1а < ?*>
причем
Ь — Sf — 6а — бе — Л» - Ч.. (8)
Положим для краткости
g*(t) = ([>KAt + a)
и выберем а^ и а% таким образом, чтобы выполнялись равенства
^(^-/(У, ft, (?,) = /(!,)
и чтобы фупкции ?<*,,(*) и ?а2 (О возрастали соответственно па
промежутках (?», |я) и (§0, Ы. Это возможно с учетом условий
предложения 2Л.5 и равенств (8). И силу выбора а{ и а2
= Ф>-.г (Лг) =/ (?а)» ^2 (^о) = Ф>-.г (ill) = / Ui).
а потому
jffll (g,) < / (У = ft, A2)э ft, (h) > / (li) = ft, (Й.
Пусть й^ = (at + (?2)/2. Функция ^a* (t) монотонна па (gh g») и
поэтому
ft,(
Эти неравенства сохранятся, если функцию f(t) заменить на
/ДО = A — e)/(i), где е > 0 н достаточно мало. Так как II/JI^ <
< "фх, г"с, то на содержащем интервал (gu |2) промежутке
монотонности функции ?a#@ л^жду соседними точками ее
экстремума разность ft, @ — /i@ будет менять знак три раза, что
невозможно в силу леммы 2.4.2. Предложение 2/«.5 доказано.
Из него легко вывести нужное для дальнейшего.
Предложение 2ЛА. Пусть f(t) е \Угм {—оо, оо), ||/1Ь<
^|ф>..г!с» / Eо) s- фл-.r (^о) w fa, PJ — содержащий точку цп
отрезок у на котором функция фх, AD монотонна. Если фх|Г(О /*a (a, ^)
возрастает^ то выполняются соотношения
/Aо + М) < фх, ДЛо + И), 0 ^ W < р - Ло, (9)
/(go - м) > фА. Дг|0 - к), 0< к < i]a - а; A0)
в случае убывания фх.ЛО /га (а, {}) знаки неравенств в (9) м A0)
противоположны. В частности, если /(?„) = Фх, Г(л«) = 0, го
73

Докажем, например, (9) в предположении, что фх, At)
возрастает на (а, {}), так как остальные соотношения устанавливаются
аналогично. Предположим, что
/(So + и') > фх. г(т|, + и'), 0 < и' *? р - Ло.
На том же промежутке ' монотонности фх,гШ найдется точка
г]1 >" г|0 -Н ггг. такая, что фя, г(ц\) =» /Aо + и'). Так как т)| —т)о>м',
то с учетом равенства /(?<,) = Ф*. Лцо) приходим в противоречие
С нрелложеял&м 2.4.5.
Как простое следствие из 2.4.5 получим также утверждение о
сравнении модулей непрерывности. Пусть
о>(/,6)= sup |/(O —/(**)! 01)
— модуль непрерывности функции /Ш, непрерывной на всей
вещественной оси (см. еще § 5.2).
Предложение 2.4.7. Если f(t) е И7м(— оо, сю) w |/i|c^
<il<Pvl'c, го
of/, б) ^а)(фх,Г, fi), 0^6 <оо. A2)
Действительно, пусть \t' — t" \ < б. Так как для всех ? |/(/)| ^
^''ф^г^'с, то существуют точки х\' и х\" такие, что ц/<г|//,
и на промежутке (ц\ х\") функция фх,г(О монотонна. Но тогда
в силу 2.4.5
hi'-n"l <\t'-t"\ ^б
л, следовательно»
1/(П-/(Г)| = (фх.г^-фх.гСл")!^^*.^ в),
что в силу определения A1) доказывает неравенство A2).
Замечание. Все доказанные в этом параграфе
утверждения остаются справедливыми, если от множества Л/г(—°°, °°)
перейти к множеству />!»(—оо, оо)г-х интегралов от измеримых
существенно ограниченных на всей оси функции, т. е. когда
l/^Joo^: snpvrail/@|<oo.
Едипствениое отлично в доказательствах будет состоять в том,
что, исследуя разность фЭД. (t) — /(г) (t), где /eL^-oo, сю),
надо говорить о количестве существенных перемен знака на том
или ином промежутке,
В частности, все утверждения, доказанные для /@ е
elVAi(—оо, оо), будут справедливы — при тех же
предположениях— и для периодических функций /U), у которых f{r~l)(t)
локально абсолютно непрерывна и IIf^W* < 1.
2. Случай одностороннего ограничения. Существует аналог
теоремы 2.4.1 при одностороннем ограничении на r-ю производи
74

ную функции /(fJeLLf—00,00). Функцией сравнения здесь
является моносплайн Бсриулли 2Л,г@, удои;1етноряющий C.21).
Ограничения на fit) будем задавать с помощью величин C.22).
Теорема 2.4.8. Пусть / (t) €= Ыо (— оо, оо) ц
supvrai/C)(/)<l. A3)
— oo<t<oo
Если для некоторого Я > О
м в точке | выполнены соотношения
A5)
Доказательство изложим конспективно, следуя, в основном,
уже нзвестпоц схеме рассуждении. Считаем без ограничения
общности г| = ? и предположим, что при выполнении условий
теоремы | /' (?) | > | О'к,г (?) I» причем, так как возможность
#i,.r(S)-~=O теперь в силу (Ш исключается, можно предполагать,
с учетом A5), что /' (?)> 7X,r(S)>0- Ирн достаточпо малом
е>0 в некоторой точке ?,, близкой к |, будут выполняться
соотношения
^1. A6)
Если (ti, т2) — содержащий точку gi промежуток между
соседними пулями />x,r(t)i то в силу A4) и A6) разность 6(?) =
== Dxtr(t) — A — &)fi(t) меняет знак на интервале (xt, т2),
но меньшей мере, три раза и, по крайней мере, по одному разу
на каждом из остальных промежутков между нулями D^r(t).
В случае, когда fit) имеет период N/K (iV = l, 2, ...), фупк-
цпя b{r~~l)(t) должна иметь на периоде в силу предыдущего не
меньше чем 2W + 2 перемены знака. Это невозможно, ибо так
как для k/K<t<(k+i)/X (Л «О, ±1, ...) почти всюду 6(г)@>
^е>0, то 6(r""I}U) может поменять знак на каждом из этих
интервалов только один раз, а на промежутке длины N1% — не более
2N раз.
В общем случае, т. е. без предположения о периодичности
/U), к противоречию придем с помощью рассуждений,
аналогичных тем, которые использовались в такой же ситуации при
доказательстве теоремы 2.4.1. Для этого придется установить
аналог леммы 2.4.3, заменив в ее формулировке норму И/(ГI1М на
supvrai fit) (доказательство практически не меняется), а затем
t
с помощью функции \xN(t) локализовать задачу подсчета числа
перемен знака.
Таким образом, в условиях теоремы 2.4.8 скорость изменения
функции fit) на определенном уровне не может быть больше
75

скорости измепсппя иа том же уроине ветви графика
моносплайна ВКЛО с тем же знаком производной. Б связи с этим легко
сформулировать для одностороннего случаи вытекающие из 2.4.8
аналоги предложений 2.4.5 и 2.4.0 — нужно только выбирать дли
сравнения соответствующую (возрастающую или убывающую)
ветвь моносплайна. Отметим здесь еще аналог предложения 2.4.4.
Предложение 2.4.9. Если функция /(/) из &*>(— оо, оо)
удовлетворяет условиям A3) и A4), то для всех t
ЯГ,г-*</(Л) (*)<#?>.-*, Л=1,2 г —1. A7)
В самом деле, если фиксировать t ==• а, то в силу A4) найдем
точку A, в которой будут выполняться соотношения
Тогда но теореме 2.4.8 |/' (а) |<! |#x.r(P) L так что A7)
справедливо при /с«1, откуда в силу тех же соображений следует
справедливость A7) при к = 2 и т. д.
3. Сравнение интегральных характеристик» Пусть fit) —
суммируемая на [а, Ь] функция, ey(f)— множество точек t е [я, ft],
в которых \fit)\ >у и т(/, у) — mes eu(f) — мера множества <?„(/)
при фиксированном 1/^0. Ясно, что w(/, */) — невоарастающаи
функция. Убывающей перестановкой или просто перестановкой
функции /(/) иа [я, 6] назовем функцию г/ == г(/, /) =»/•(/; а, Ь; О
@</<Ь — а), обратную к функции /*=тп(/, у). Если w(/, у)
разрывна и не является строго монотонной, то для корректности
определения перестановки г(/, t) график т(/, т/) надо исправить,
дополнив его в точках: разрыва для связности соответствующим
отрезком, а на каждом промежутке постоянства [а, {}] — оставив
в графике одну точку, например, с координатой j/=• (а + |J)/2.
Заметим, что в пашем определении г(/, i) = r( I/I, /). Так как,
очевидно, при любом у > 0
mes {i: te 10, Ь - d, r(/, 0 > у) —
: « в 1я, 6J, 1/@1 > у) — та(/, у), A8)
то перестановку г(/, /) называют также равнопзмернмой
функцией (по отношению к fit)). Из A8) вытекает, что
ь ь-а
J|/(*)|d«= ,f r(/,«)Л,
а о
и если функция l/(^)l7 ((/>0) суммируема на [а, Ь1, то
|1/@ГЛ- f г«(Л0Л, 0<9<оо. A9)
« О
Приведем еще полезное для дальнейшего утверждение,
несложное доказательство которого можно найти, например, в
книге [1, с. 131].
76

Предложение 2.4.10. Если Е — измеримое, множество m
[а, Ы, то
6—а ir«*9f?
J r(/,O^<J|/(Ol««<.f !•(/,*) Л.
6—а—пнч»Е К О
В этом пункте речь будет идти о сравнении характеристик,
выражаемых через интегралы от функции и их перестановок,
причем рассматриваются классы периодических цЬункций.
Н § 2.1 мы ввели класс W™ функций /(?)(= ?™, у которых
И/(т)Ир<1; таким образом, /(/)e^'J означает, что fit) -имеет
период 1, /(w~I)(i0 абсолютно непрерывна на любом конечной
отрезке оси и li/(m)l!p = : И/("и11/./|(в, о < 1. Перестановка r(/, ?)
Апериодической функции fit) определяется на периоде, т. с. на
промежутке 10, 1). Функцией сравнения будет 1-периодический
идеальный СПЛаЙИ ф2п, mU).
Теорема 2ЛМ. Если f(t)€=Wl> (г =1,2,...) и
t/le<»4wlie, B0)
то для всех f-e= [0, 1]
t t
j r(/(fc)f u)du < J r (cpft,r, u)du, Л - 1, 2 r. B1)
о о
Д о к а л jnr ельство. Так кдк, очевидно, из / it) s ТУ^
следует / ^е И^'оГ' (/с = 1, ..., г— 1), а в силу 2.4.4 при выполнении
условий теоремы
| Л IL < I Ф.П.Г-» I» ^ I ФЙ/.Г I», ft = 1, .... Г,
то достаточно доказать неравенство B1) для /с == 1, т. е.
установить, что
t t
|г(/',и)«й«<|г(ф;„.г,и)йм, 0<*<1. B2)
При r=l II/'IL < 1 и неравенство B2) очевидно, так что
пусть г ^2. Если /e(f)»/(t + a>r то в силу периодичности
К/а, О = г(/, 0, а потому мы вправе считать, что /40) =0.
Положим
и заметим, что достаточно установить справедливость
неравенства
t
лишь в тех точках t = | из интервала @, 1), которые
удовлетворяют условияял 1) б(|)=0, 2) в некоторой левой окрестности
A-е, ?) точки § б(/) < 0. Считая, что ? — именно такая точка,
77

положим еще
*=r(/',9-r(v;n,r,
и заметим, что если для у ^ О
<?„ = {*: *€=№, Ut |/'U)|
то mes e, = ^ ц
Множество е, состоит из непересекающихся интервалов
(я*, Ьк) с: @, 1), удовлетворяющих условиям
j'(ah)=f'(bk) = ±z, B3)
|/'(OI>*, afc<*<fcAi B4)
и сейчас будет показано, что число таких интервалов не больше
чем 2га.
Предположим противное: пусть в множестве ег найдется
система из 2га +1 непересекающегося интервала (яй, bh) (к =
= 1,2, ,.., 2л + 1), для которых выполняются соотношения B3)
и B4). Выберем число Л>0 настолько малым, чтобы 1)
множество e2+h имело непустое пересечение с каждым из интервалов
(</>, bh) и 2) если г(/\ 1 - ч) « z + /г, то 6@ < 0 для ?-?</<?.
Из условия 2) и строгой монотонности перестановки г(ф2П|Г, О
следует, что если Кф^.м S — V«) = ^ + /г, то fo > f-
С другой стороны, пусть «/< и fe/i— точки нз иптернала (ahy bh)t
определяемые соотношениями
(') h). B5)
Ясно, что
7 = mesег — mesе2+л> 2 [(«а — ал) + (bh — b'h)].
Если rji и r|2 — точки отрезка [0, 1/Dга)], в которых
lq>2n,r(T|i)l *=*, 1ф2«,r(t]2)l =z + h, B6)
то, очевидно, 4ralr|i — r|2l ~ Ifo. Из условия B0) и предложения
2.4.4 следует, что||/Ч|с^1ф2п,г|с> и теперь, с учетом равенств
B3), B5) и B6), мы находимся в условиях предложения 2.4.5Г
которое позволяет написать
I Яа — я* I > I T|i — т)а I» | Ък — Ъ'к | > | лг ~ % 1-
По тогда
— в противоречии с предыдущим.
78

Итак, установлено, что на @t 1) может быть только конечное
млело m, m < 2гс неаоросекаюгцихся интерналов
(<Ъ, Ьк)ч к «1,2, ..., w, B7)
удошгетворяющих условиям B3) и B'i). Если [си dt] с [0, 1]
(г =» 1, 2,..., р) — отрезки, каждый из которых содержит хотя бы
один из интервалов B7) и удовлетворяет условиям
/'(с,) «/'(А) «О, |/'(t)l>0, ct<t<du B8)
то их число р<:т<:2п. Фиксируем отрезок [с*, rfj, и пусть
(av, fev) — первый (если их несколько) из содержащихся в [ciy dt\
интервалов системы B7). Пусть а и {I, а < ? — точки на одном
и том же промежутке монотонности ф2п,г@ такие, что
Ф2пгг (а) --= О, Ф2/1|Г (р) -- /'
Тогда в силу 2.4.6
и, следовательно,
Такую же оценку, учитывая симметрию графика фгп(г@* получим
для интеграла от l/'(f)l на промежутке (Ьи, с?»), где (а„, &,t) —
последний из" интервалов системы B7), попавших па отрезок
let. dj. Таким образом,
?
Теперь, замечая, что и силу B0) и B8)
f | /' (t) | tf* - | / (dO - / (C|) | < 21| Ф2П>Г |c, B0)
будем иметь
fr
=-2 J 1/'@1*- ) I/ @1* <
^ 2р || ф2п>г \\с — 2р J | фоП)Г (/) | dt -^
[а+1/Dп) (^ "J
а ф2П*Г i ф2П'Г J
79

/Un) cHiUn)
f |qw@l<"<4» f \if',n<r(l)\(!t
f \if',n<r(l)\
о
Теорема 2/i.ll докапана. Сделаем к пей два замечания.
Замечание 1. Доказательство неравенства B2) проходит
при более слабом, чем B0), предположении:
ь
шах f'{t)dt
«¦*> j о
из которого также следует B9).
3 а м е ч а и и с 2, В условиях теоремы более сильное, чем
B1), неравенство ?•(/', 0^r(cf2<i,>> 0 (O^Z^l) может и по
иметь места. Читателю предлагается самому построить пример.
Простым следствием из теоремы 2.Л.11, если учесть A9) (при
</ = 1), является неравенство
^ Иф2,. г-Л, 1 < к < г, C0)
справедливое для функции /(/)е}К^, при условии B0).
Оказывается, однако, что в C0) метрику Lt можно заменить на Lp
(p^i). Чтобы установить :)то, докажем два полезных
вспомогательных утверждения.
Лемма 2.4.12. Пусть ty(t) и \хA) — суммируемые на fa, 61
функции, причем \x(t) > 0 и не возрастает. Если
t
п
и произведение $-{t)\i(t) суммируемо на [а, Ь], то
Действительно, если \x(t) ограничена, то все следует из второй
теоремы о средпем значении:
( Ф) ii (t) dt^\i(a+O) ) W) dt
В общем случае надо ввести «срезку» \Xsit) функции \i{l)
числом N = 1,2, ... и применить теорему о предельном переходе
под знаком интеграла Лебега.
Лемма 2.4.13, Пусть j{t) и g(t) — функции из Lq[a, h]
A < q<oo) и
i t
5 г (/, и) At < f r (g, и) J«, 0 < t < b - a; C1)
!) о
80

тогда ь h
\\l. C2)
Если же CD выполняется для функций fit) и g(t),
принадлежащих С1а, fcJ, то, кроме того,
max |/@ К шах |*@|. C3)
Доказательство. Если /(J), g(t) e Lqla, Ы, то переста-
попки г(/, t) и r(g, t) принадлежат LJ.O, Ъ — а]. Положив в лемме
2/iJ2 t|)U) = r(?, /) — И/, О и цШ^г'-Ч/, О, будем иметь с
учетом C1)
6-а
т. е.
Ъ-а Ъ-а
<7-t
r"-l(f,t)r(g,t)dt.
Оценивая последний интеграл с помощью неравенства Гёльдера,
получим
Ъ-а ГЬ-а -11-1/0 ГЬ-а у q
J r4 (/, t) dt<^\ j r9 (/, t) dt\ j r9 (#, <) Л ,
о L о J L о J
откуда сразу следует, что
J rq(f,t)dt^ f r"(g,t)dt,
О О
и чтобы получить C2), надо только воспользоваться равенством
A9)- Соотношение C3) вытекает из C1) очевидным образом,
если учесть определение перестановки.
Из теоремы 2.4.11 и леммы 2.4.13 немедленно вытекает
Предложение 2.4.14. Если f(t)&Wr^ (r = l,2,...) и
,г ici то
Заметим, что при q = <х> это утверждение содержится в 2.4.4.
Так как, очевидпо, ф2п,г@е ^«» то можно написать
81

§ 2.5. Неравенства между нормами производных
дифференцируемых функций
1. Неравенство Колмогорова. В 1939 г. Л. ТТ. Колмогоров [21
решил следующую им же поставленную задачу: заданы
положительные числа А* и Ат, требуется найти точную верхнюю грани
норм b}{h)\\c A ^ /с^г— 1) но всем функциям f(t) е Д/г(—°°, оо)?
для которых выполняются неравенства И/Нс ^ Ао, Н/(гI1к < Лг.
Решение этой задачи, по существу, содержится в теореме
сравнения 2.4.1, точнее в вытекающем из нее предложении 2.4.4,
причем, как и следовало ожидать, экстремалями и в этой надачн
являются периодические сплайны вида сцкМ).
Теорема 2.5.1. Для любой функции fit) e= Мг(—<*>, °о\ у
которой норма Н/11С конечна, справедливо неравенство
г|/<г)[м. 1<Л<г-1, r = 2,3,..., A)
где
cr,k - -" Kr.JKlr-hlT. B)
Неравенство A) обращается в равенство, если f(t) =* сф^ г@, где,
с — любое, а X — любое положительное число.
Доказательство. Неравенство A) не реагирует па
умножение функции /(/) на любое не равное пулю число; поэтому,
не тгряя общности, можем считать, что И/(р)Им- ^ 1, т. е. что
f(t)^\VrM(—oof oo). Таким обра:юм, достаточно доказать, что-
для любой функции /(/) из Wm (— оо, оо)
Как видно из C.8), норма Иср*. Лс при фиксированном г =
1,2,... есть непрерывная функция параметра Я, причем
|с— + оо, lim I)фх.гIc ^ 0.
Поэтому, фиксирован /@е И^м(¦— °°» °°) (г = 2,3, ...), /«) ^5
^ 0, значение % можно выбрать так, чтобы выполнялось
равенство "ер*. А = u/llc Но тогда в силу предложения 2.4.4 Ц/^Ц
l^-ljc И1 с Учетом равеиства C.9), можем написать
что и требовалось. Тот факт, что знак равенства в A)
реализуется на сплайнах сер*. rU), следует из C.9) и инкариаитпости
неравенства A) относительно умножения на неравную нулю
константу.
Заметим, что утверждение 2.5.1 равносильно справедливости
следующих, соотношении (при любом к>0):
где, как и выше, Kv— константы Фавара.
82

2. О функциях Стеклова. В дальнейшем нам не один раз
придется обращаться к функциям Стеклова. Введем их для
периодического случал. Если fit) & Г,, то функцию
h t+h
(t + u)du-± [
называют функцией Стеклова для fit). Сформулируем несколько
простейших свойств функций Стеклова. Доказательство их можно
найти, например, в книге Ш.
1) Функция Стеклова абсолютно непрерывна на 10, 1].
2) Если fit) абсолютно пеирерывпа на [О, U, то почти всюду
[/„(«)]'«l/'(*)J*.
3) Если fit) ^ Lp (l^p<«>), где иод ?«, здесь
понимается С, то
и, следовательно,
Л-*0
А) Если /(/) €=: ?, и имеет на [0, 1] ограниченное измеиепие, то
ил <v(/).
о
3. Неравенства для норм производных в интегральной
метрике. В 1957 г. Стсйи Ш обнаружил, что неравенство A)
остается справедливым с той же константой cr, h и для функции
/ {t) e Lrv (— оо, оо) A =^ р < оо), если все нормы вычислять
м Lp(—оо, оо)? причем в случае р «= 1 нсравснстио, как и для
р = оо, неулучшаемо.
Мы здесь докажем по схеме Стейна периодический вариант
:>того утверждения, а чтобы сделать достижимым при р= 1 «нак
равенства, введем в рассмотрение множества V 1-иериодических
функций с ограниченным на [0, 1] измененном и Vm im =
=. 1, 2, ...) т-х периодических интегралов от fit) ef, В
соотношениях общего характера под V0 понимаем V.
Теорема 2.5.2. Для любой функции f(t)^Lrp справедливо
неравенство
Il/(ft)llp<cr,,||/ir'i/vfi/Af, 1</с<г-1, 1<р<оо, E)
где сг,ь — константа B). При р == 1 неулучшаемо как
неравенство E), так и несколько более сильное неравенство
i/ir*[у(/('-1))]А/г, к*<г-1,
справедливое для всех fit) s Pr~!. Знак равенства в (С) реализуют
сплайны cq:2n, r-iU), где с — любая постоянная.

Доказательство. Фиксируем к (l^fc^r — 1) и
сопоставим функции / (t) e Ъгр (|/1р>0) функцию
sgn fik)(t), если р U
^lsgn/w@» «тли р>1,
\р
где // «= р/(р~> 1). Легко проверить, что ЦА||р' - 1 и
ПОЛОЖИМ
''(О =»)/(' + u)h(u)du.
о
Так как в силу неравенства Гёльдсра
где
^|| Л/ у 4V 1
>¦ 0 при А/ -•*¦ 0, то производная /Г'(О существует, и
1
о
Повторным дифференцированием, используя те же
соображения, находим, что
F(i) @ - J /(i> (* + «)* (и) du, 7-1,2,..., г, (8)
О
причем производная F(r)(t) ненрерывпа, так как
\f{t) (t + м) — t<r) (о I < П /(г) с +и + до ~^ /(г)
В силу неравенства A)
84

о
Из G) и (8) с помощью неравенства Гёльдера получаем оценки
ИЛ!С < Н/К„ 11А1(ГI!С «? W, A0)
кроме того,
/Ч"' @) ~- .( Л (и) А (и) du - | /*V A1)
О
Подставляя A0) п A1) в (9)f получим неравенство E).
В случае /? <= ] ии включения f(t)&L\ следует, что f{r~l)(t)
абсолютно непрерывна на [0, 1J, и потому норму U/(r)lli можно
заменить равной ей величиной V (/r~J))- Получим неравенств-;
о
F), которое будет выполняться уже для всех функций /U) е кг'Л
В самом деле, если /е=Рг~1 и fh(t) — функция Стеклова для f(t)
(см. D)), то /fteXj, и для функции /Ли) справедливо неравенство
E) при р = 1. IJ силу отмеченных в и. 2 свойств функций
Стеклова
иоэтому
и остается заметить, что при h -*- 0 i///v)i]i-^|i/(/°li.
Из предложения 2.3.2 вытекает, что для функции g>n. r-iU) =
в фгп,'r-j($)/D«), kotoj)cih, очевидно, принадлежит Р"г"~1, причем
V (?2»",r-i) ~~ 1» выполняется равенство
о
l^«V.,lii ¦ •-cr4h\gintr-itCk!\ 1<*<г- 1. A2)
Таким обра;юм, в F) знак равенства реалмлустся на функции к
g2n,r-iU), а значит, и па любых сплайнах вида ccp2n%r-i(f) —в
силу инвариантности неравенства @) относительно умножения ни
консташу. Теорема 2.5.2 полностью доказана.
Если обозначить через W™ класс функций /U) e Vm, у
которых V (/т))<1, то, как следует из @) и A2),
II /'/.•>" ^ II /.I— л/г I \/ /'/(r—m /f
L« J
7=1Г = sup -; ——'— ~ ~- •_ J , №)
i
Последнее соотношение при /с «= 1 можно истолковать так: сплайн
g2n,r(l) имеет наименьшую норму в Lx среди функции из Wy
с той же, что и у gzn.rU)j вариацией на [0, 1] и имеет иаиболь-
85

шую вариацию на [О, 1] среди функций из Wrv, имеющих ту же
норму в Lly нто и g»»f rU).
Заметим, что при 1 < р < <» константа cr, ft в E),
по-видимому, не будет точной и экстремаляхми будут уже пе
полиномиальные сплайны. Во всяком случае, при р «= 2 справедливо точное
неравенство (Хардп Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г. Ш)
причем экстремалями являются функции вида a cos 2nn(t + p).
4. Аналог неравенства Колмогорова при одностороннем
ограничении на fir)(t). Теорема 2.5.1 дает точные границы изменения
к-й производной функции fit) е Л/г(—°°, °°), если фиксированы
li/ilc и f'/(r)"^» а именно:
где числа с и Я. определены условиями
Если вместо 11/<г>Им фиксировать величину
Л+(/(г))== snpvrai/(r)@,
— QO<t<OO
характеризующую одностороннее ограничение, то симметрия
свойств фупкции /(?) и ее производных нарушается, но
задача станет корректной, если вместо норм функций /U) и fih)(t)
и метрике С рассматривать наилучшее приближение их
константой. В этом случае имеет место аналог неравенства A), причем
экстремалями будут мопосплайиы Бернуллп.
Положим для g(t) е С(—оо, оо)
Теорема 2.5.3. Для любой ограниченной функции / (t) e
^LL(— оо, оо), у которой 0 < А+(/{г)) < оо? справедливо
неравенство
J^J1-^^/*'))]^ 1 ^ * < г- 1, A4)
~ r
а константы //,. m определены соотношениями C.22) и C.23).
Равенство в A4) реализуют функции вида f(t) == cDKr(t), где с
и % — любые положительные, числа.
Доказательство. Так как E^ag)c = lalfi\(#)c и
предполагается, что Л+(/(г)) > 0, то неравенство A4) можно умножать
на любое положительное число и потому достаточно доказать его,
считая, что
Л + (/(г>) = 1. A5)
86

Фиксируем ограниченную фупкцпю /(J)<=LL(— оо, оо), для
которой имеет место A5). Из C.25), где, как отмечалось,
постоянные Ат не зависят от Я, видно, что за счет выбора параметра А,
можно обеспечить равенство //*, г =?,(/)с. Тогда, в силу
определения величин НКт (см. C.22) и C.23)) и ?,(/)с, будут
выполняться неравенства
Hir, -оо<*<+оо,
и, воспользовавшись предложением 2.4.9, можем написать
Последние неравенства означают, что
Я,(/(*')с^Лх.г-*,
и так как //*,,. = ?",(/)<;, то, с учетом предложения 2.3Д
-> f
L
Тот факт, что для функций /(/) = cDKr{t) (c>0) в (l'i)
будет знак равенства, немедленно вытекает на предложения 2.3.3
и определения чисел //*, т.
§ 2.6, Внутренние экстремальные свойства сплайнов
1. Общие соображения. Из E.3) видно, что идеальные
сплайны ф2«, г@ занимают в классе Wlo в определенном смысле
пограничное положение. То же можно сказать и о положении
сплайнов gin, ДО в классе Wv— в связи с соотношениями (Г).13). С
другой стороны, функции cp2ur(/) и g2a,r(t) входят в линейное мно-'
гообрааие S2n, г Апериодических сплайнов порядка г дефекта 1
по разбиению U == i/Bn) (/ = 0,1, .. ., 2п), причем имечот, но
сравнению с другими сплайнами этого многообразия, паиболсо
правильную и симметричную структуру. Поэтому можно
ожидать, что они обладают какнми-то пограничными свойствами и
внутри множества S2n, г, т. е. относительно сплайнов из 52п, г.
Такие свойства обнаружены, они характеризуют сплайны qr2n, At)
и ёгп,ЛО с несколько иной стороны — по сравнению с их
пограничными свойствами относительно функций классов \УГЖ и Wy.
Специальная структура полиномиальных сплайнов существен-
пым образом сказывается на их внутренних экстремальных
свойствах, в частности, на свойствах, описываемых неравенствами для
норм производных. Как ясно из E.1), чтобы обеспечить
ограниченность k-ii (l</c=^r—l) производной функции fit) \гл
Мг{—°°, °°), надо наложить ограничения па норму как самой
функции fit), так и ее r-й производной. Если же f(t) есть сплайн
87

из S2n,T, то, как мы увидим, точные границы для нормы И/(Л)Н<?
определяются значением нормы И/Ис только самой функции /.
Аналогичный факт имеет место и при оценке нормы /(*4t) н
интегральной метрике.
2. Точные неравенства для норм в С и Lx производных
сплайнов по равномерному разбиению. Сначала выясним зависимости
между нормой сплайна sit) из SW г в метрике С или L{ и нормой
и />/«, или соответственно вариацией па [0, 1] его r-i/i производном.
Теорема 2.6.1. Для любого сплайна s(t) из Згп,г
справедливы пеулучшаемые неравенства
|*(г>|»<АТ1Bяп)г|*1с, <1>
((r)Ir+1
Знак равенства в A) и B) реализуют сплайны вида c<$±nr(L)f
еде с — любая константа.
Доказательство. Считаем, что ${t) ^ const, ибо в нротип-
1гом случае доказывать нечего. Неравенства A) и B) но
реагируют на умножение сплайна $(t) на константу, поэтому
достаточно установить справедливость A) в случао iis(r>ii«. = 1, а B) —
в случае V (s(r)) = 1.
о
Равенство Hs(r)IL ^ 1 означает, что хотя бы на одном юх
интервалов ((i- l)/B»), i/Bn)) (i = l, 2, ..., 2л) s{r)(t) есть 1 или
— 1. Но тогда
hlr-l)ic>± max f «">(*)#
1 -^i-^Iirt *»
2
(i-f)/Bn)
и в случае r—1 A) доказало, ибо Kt = л/2. Если же г>1, то
в силу неравенства E.1) при к = г— 1
откуда, с учетом C),
Ulc > КгBлп)~г
п неравенство A) доказано.
Пусть теперь
V(^)=l. D>
о
Кусочно-постоянная функция s{r)(t) представпма в виде
s(r) (I) = 2 с&М),
где 1-периоднческая функция ^i(t) равна 1 на интервала
Ш — 1)/Bп), i/Bn)) и равна нулю па отрезках tO, (/ — 1)/BлгI
и Ег/Bлг), 1], причем в силу периодичности
с4 + с2 + ... + с2п = 0.

Вариация функции s(r)it) па отрезке [О, Я измеряется суммой
абсолютных величин ее скачков в точках i/Bn) U — 1, 2,..., 2/х),
а потому, учитывая, что c27l4.i = Ci, можем написать
i I it
Ifo тогда
Ы + Ы + +\\>
и, с учетом A), в случае г —0 неравенство B) доказано. Пели
же г>1, то воспользуемся неравенством E.6), которое в нашей
ситуации позволяет написать
ilv(r>ll <Г А' А''(г+1)Исй1/(гЧ> (ГА
II & Ili^Aj/Vr+t 116-ld . (to)
Из F) и E) сра.чу получаем, имея в виду, что К^
что и требопалось.
Тот факт, что в A) и B) будет знак равенства при s(t)
^ ары>rU), сразу следует из C.8), C.11) и C.12).
Из теоремы 2.0.1 вытекают соотношения
и, г- 1,2, ...; G)
-¦ |g2».r|li = A'P+1 Bяп)~г-\ и = 1, 2, ...: г - 0, i, ... (8)
(Соотношение G) означает, что все сплайны s(l) из S*n.r, У
которых lb(r)IL>l, находятся вне шара ll/lic < KrBnn)~'r
пространства "С. Аналогично, (8) означает, что шар \\}\\г < /Сг{1Bл^г)~г~!
пространства Г, ие содержит енлайнов sit) из 52п, г, у которых
Подставив оценку A) для l!s(r)l!^ в неравенство E.1), будем
иметь для sit) ^ д?2п. г
- B лн)" /^-„АТ11 * lie, А- 1, 2, ..., г - 1.
Точно так же из E.G) и B) вытекает, что если s(l) e &„, г, то
89

при к = 1, 2,..., г— 1
) Bnn)k
Если учесть C.8) и C.11), то эти результаты можно
сформулировать следующим образом (обобщая при этом утверждения
теоремы 2.6.1).
Теорема 2.6.2. Справедливы следующие соотношения:
Sllp * и -= "Г2"'г"с = —g^ Bnn)h, к ---- 1, 2, ..., г, (9)
1*" li I/"* I 4'Oil f I/ r
II .(Л) Н Я«Л*> I! *'
/^1,2,...,г. (9')
Следствие 2.6.3. Если s(t)&S2n,r, то из неравенства
M!c<N<p2n,A7 следует, что l!5(fc|IL < Ифгп.ДЧв. (Л=1, ..., г), а «е-
равенство WsWi <, Иф2п.r"i влечет ^8{к)\\1^\\^гп,т-^К (А =» 1, ¦.., г).
Замечание. Интересно, что неравенство A) для сплайнов
$(t)^52n.r можно совсем просто вывести из леммы 1.2.17,
Действительно, считая без ограничения общности, что
заключаем, что Ыт,I < !ф2п.г(т*I (iel, 2, ..., 2n)t где т«
—точки экстремума сплайна фгп.гШ на [0, 1). По тогда в силу 1.2.17
< 1 = ЛТ1 Bяи)г | * |с.
В
3. Сравнение перестановок. Более топкие рассмотрения
позволяют получить неравенства для неопределенных интегралов от
перестановок производных: сплайнов но равномерному разбиению,
а также точные неравенства для норм этих производных в
метрике Lp (l</?<°°). Вначале получим для сплайнов s(t) из
*?2п. г утверждения типа теорем сравнения, аналогичные тем,
которые были установлены в л. 1 § 2.4, причем в основе
доказательства н здесь лежат соображения, связанные с оценкой числа
перемен знака разности sit) п стандартной функции ф2П|г(?).
Лемма 2.6.4. Если sit)&Sintr9 то при любом а функция
мор/сет иметь на периоде не более чем 2п перемен знака.
Доказательство. При a = i/Bn) И = 0, ±1, ±2,...)
утверждение леммы очевидно, ибо в этом случае 6@^52п,г, а в
силу 1.2.6 число перемен знака на периоде сплайна из S2n, r не
Польше чем число существенных перемен знака на периоде его
/-и производной.
00

Пусть <x?*i/{2n) и t\= i/Brc) —ос, так что функция ^r)(t),
где saU) = sU + a), постоянна на интервалах {t[, t'i+x) длины
1/Bп). Ясно, что внутри каждого из этих интервалов функции
6(r)U) может менять знак ие более одного раза, причем если
б(г)@ меняет знак и па (f'i-i, *1), и па {t\, *|+г), то в точке *i
(существенной) перемены знака нет — это сразу становится
ясным, если сделать чертеж. Таким образом, 6(г)Ш имеет на
периоде не более чем 2/г существенных перемен знака, и остается
воспользоваться следствием 1.2.6.
П р с д л о ж е и' и е 2.6.5. Пусть sit) e ?2п г, причем
Ыс < «Фан. А = КЛ2лп)-г. A0)
Если 5(|) = cp2ri,r(r0, mo \s' )\:\ц,(чI
Доказательство. Будем сначала считать, что в A0) знак
равенства исключен, т. е.
Me < |1ф2п. А. (И)
Пусть $ТШ =5(^4- у), причем число f» а также точку т], — ^ —у
выберем так, чтобы выполнялись равенства
SV Ы = Ф2«,г Oil) = Ф2п,г СП), Sgn 4 (ПО « Sgn ф'2п#г (TlO.
Если предположить, что I5'(^)| >|ф2п,г(т])| и, значит, I^^Ol^
>'фгм.г^!)!» то 11а содержащем точку г), интервале между
соседними точками экстремума ф2п, ЛО разность ф2п. At) — s^t) должна,
с учетом A1), поменять знак три раза. Но тогда па периоде, опять
же с учетом (И), эта разность должна иметь ие менее чем 2п-Ь2
перемены знака — в противоречии с 2.6А
'Го, что утверждение 2.6.5 верно и при знаке равепства в A0),
вытекает из соображений непрерывности.
Используя 2.6.5 и повторяя рассуждения, которыми
доказывались предложения 2.4.5 и 2.4.7, получим
Предложение 2.6.6. Пусть s(t) e= S2n r и выполняется
A0). Если
*(|i) = фзп. ЛГ],), s{%2) = ф2н, rdla),
то \%г — |21 > Irji - Ti2l, так что
о(б-, б) < о(ф2п> г, б), б > 0.
Как и в п. 3 § 2.4, через г(/, f) @<f< 1) обозначаем
убывающую перестановку функции \f(t)\ па [0, 1].
Теорема 2.6.7. Если sW&Sznr и выполнено неравенство
A0), то
t t
$r(s(k\u)du^$r(<$lr,u)du, 0<*<l, fc = l, 2 г.
о о
A2)
'Л

Доказательство. В силу 2.6.3 неравенство A2)
достаточно установить при & = 1. Перестановка r(s\ ?), ввиду
периодичности s/(t)J ne реагирует па сдвиг аргумента :>той функции, и мы
можем считать, что s'@) •= s'(l) = 0.
Фиксируем t @<?<1) и пусть Et — множество точек и&
е: @, 1), в которых: \s'(u)\ >r{s',t). Так как сплайн s'(u) и его
производная не могут иметь па периоде более чем 2п перемен
:<мака, то число составляющих интервалов (открытого) множества
Et тоже не больше Ъи Пусть
(aA,pfc), Л= 1,2,.,.,/й; т<2п
— эти интервалы. Замети», что u\vsEt = l и
W(u)I > r(s', и), ah<u< pi,,
« силу определения Et и r{s\ и) будем иметь
i
\r(s',u)du^\ \s'(u)\du~
;
f «'(и)А*
/г I
К'а;кдому нромо/Ь-утку (аА, рА) сопоставим промежуток (aft, pA
такой, что функции (p2»i. г(/) монотонна па (а/п \\) и ср2п,г(^л) ¦=¦
=- а* («а)» ф2п,г (Рл ) =-- s (Ра).
Таким обра:юм,
Из 2.6.G следует, что
и, следовательно,
Ц (Р/, — «1) < 2 (Ра ^ a/i) = nfics ?t - t.
Пусть tpMW. г(т0) = 0. Ил свойств функции фгп, At), связанных
с монотонностью и выпуклостью, с учетом неравенства т<,2п
легко усматривается (подробные выкладки предоставляем
читателю), что
т
А -1
Т0+Г'<4«)
По последнее выражение как раз и есть интеграл j г(ф2п#г» w)dw,

так что
[ г (*', и) du < j r(<p2nir, и) du,
о о
и ввиду произвольности t из интервала @, 1) теорема доказана.
Если сопоставить теорему 2.6.7 и лемму 2.4.13, то приходим
к следующему утверждению.
Теорема 2.6.8. Справедливы соотношения
>. *-1,2,...г, A3)
ЧГ0 если s(t) ^ 52m, г U Ы\с
Заметим, что при /? = оо равенства A3) мы получили ранее»
(см. (9)) из более простых соображений.
4. О сплайнах по неравномерному разбиению. Разумеется,
задачи, аналогичные рассмотренным в пи. 2 и 3 этого
параграфа, имеют смысл и для периодических сплайнов но
неравномерному разбиению Д2и. Например, можно рассматривать задачу
отыскания точной нижней грани отношения Hs!!c/Us(r>lL на
множестве сплайнов Sr(A2n) при фиксированном разбиении Д2п.
Однако ясно, что решение здесь зависит от расположения уллов /<
сплайнов s{t) из ЗЛАгп), т. е. от А2«, и не может быть записано
н такой простой форме, как при равномерном разбиении.
5. Идеальные сплайны. В п. 2 этого параграфа отмечалось*
что открытый шар И/Нс < 11<р2||§ Г11С в С не содержит сплайнов s(t)
из &« г, у которых
13 шаре li/lli < Нфгп, rl'i пространства 2Г, такие сплайны ужо есть —
легко построить соответствующий пример, скажем, для г«=1.
Можно указать, однако, множество еллайнов sit), удонлетворяю-
гцих A4), также содержащее стандартный сплайн (р2„, ТШУ неро-
сечеиие которого с шаром ll/llj <c Пф2п> rHf пусто.
Такое множество мы получим, зафиксировав значение .s(r)U) =
= ±1 на интервалах между соседними узлами, по сделав
свободными узлы сплайна, число которых на периоде не должно
превышать 2п. Ясно, что речь идет о множестве 1-периодических идо-
ялышх сплайнов порядка г, у которых r-я производная имеет
па периоде не более чем 2п существенных перемен знака. Это
множество, не являющееся, очевидно, липешшм многообразием,
будем обозначать Г2„. г.
Теорема 2.6.9. Имеют место соотношения
J* ИГ'Ы,^, «,г«1,2,... A5)
93

Доказательство. Если ИОеГ2пг, то в силу определения
этого множества
V(«(r))<4n, l^l^l.
О
Из неравенства E.6) с учетом оценок A6) получим
1 < А-1АГГ+1{(г+1) || * ||Г+1) D«)г/(г+1) = 2лп Dnirr+l)-1/<l>+1) I * Ц/(г+1\
пли
Остается заметить, что (р2п, г(?) ^ 1\п, г.
В главе 6, привлекая аппарат специального вида перестановок,
мы докажем, что первое соотношение в A5) остается
справедливым, если в нем норму IMij заменить па норму ИИР, где 1 <!
</?< оо.
6. Моносплайны. Рассмотрим множество MN. T 1-периодиче-
ских моносплайпов s{t) порядка г дефекта 2, имеющих не более
N узлов U па периоде и таких, что для t^U s^4f) = l; узлы tt
считаются свободными. Моноснлайп Бернулли 1)я,М) (см» п. 2
§^2.3), имеющий период 1/N, очевидно, принадлежит множеству
JKNt r и играет в этом множество роль, аналогичную роли эйлерова
сплайна cp2n, At) в множестве Г2те, г идеальных сплайнов. Мы здесь
приведем только один результат, выясняющий экстремальные
свойства моносплайнов Dxtr(t).
Теорема 2.6.10. При iV, г = 2, 3, 4,... справедливо
соотношение
еде Ex(j)c — наилучшее приближение функции fit) константой в
метрике С.
Доказательство. Рассуждая от противного^
предположим, _что для некоторого моносплайтта s(t) из Mn,tEi(s)c<-
<b\(Djv,г)с Тогда существует число % такое, что для мопосплай-
ла sk{t) =*s(t) —X выполняются неравенства
min J)N r(t)< sK (t) < max Ds,r (t)
t * t
и, следовательно, разность J)N, r(t) — s^it + a) при любом а
меняет знак на периоде не менее чем 2N раз.
Выберем а = а# таким образом, _чт0^>ьг одни из узлов мона-
сплайна sx(t + a#) совпал с узлом Drf.At), т. е. с точкой вида
i/N (г == 0, ±1, ±2,...). Положим s*(i) — *а.(* + «¦) и
рассмотрим разность
04

Так как почти всюду Z>!v}.r @ = *iT} @ = 1, ™ b{r"l)(t) есть
кусочно-постоянная функция, которая может иметь разрывы
только в точках, являющихся узлами по крайней мере одного из
мопосплайпов s*@ и DN, rU).__IFo один из узлов сплайна $* (О
совмещен с некоторым узлом DN.At), а потому число точек
разрыва, а значит, и число существенных перемен знака на периоде
кусочно-постоянной функции 6(г~"(/) не может быть больше
27V-1.
Но тогда число перемен знака па периоде функции 6U) не
может превышать 27V — 1 — в противоречии с предыдущим.
Теорема доказана.
Б связи с равенством A7) отметим, что
К (A)
у
@) ~
Для полноты заметим также, что соотношение A7)
справедливо и при г = 1-- если, разумеется, метрику С заменить па ?«.
Отот факт очевиден.
7. О непериодическом случае. В предыдущих пунктах получен
ряд точных результатов, характеризующих внутренние
экстремальные свойства периодических сплайнов. Легко попять, что
завершенность вида полученных соотношений обусловлена
периодическими краевыми условиями, которые обеспечили
инвариантность экстремальных свойств сплайнов относительно сдвига
аргумента и—при равномерном разбиении — известную
симметрию этих свойств. При этом существенную роль сыграло то
обстоятельство, что периодический сплайн порядка г дефекта 1
определяется своей г-й производной с точностью до аддитивной
постоянной. Такую ситуацию можно, конечно, обеспечить и
другими, не периодическими, краевыми условиями, но тогда
возникают технические трудности, связанные с учетом влияния этих
условий на экстремальные свойства сплайнов.
Впрочем, можно указать один вид краевых условий, при
которых от непериодического случая легко перейти к
периодическому. Пусть
An: O=-to<ti<...<tN = l
— произвольное разбиение и ог(Д*) — множество сплайнов s(t)
из 5г(ДА0, удовлетворяющих следующим условиям на концах
отрезка [0, U:
() () ,vBv)@) - sBv)( 1) = 0,
v = 1, 2, .. .,-? — 1 при г четном;
4 9 Г'1
v =-- 1, 2, ..., -у- при г нечетном.
A9>
05

Доопределим сплайн sit) e 5Г(Д^) на полуинтервал [—1,0) но
правилу
sit) = (~iy-l[s(-t) - s@)) -h 5@), -1 < t < 0,
так что
s<4t) =• (-1)г~"*-VJ)(-f), ~1 ^ t < 0, j - 1, 2, ..., г - 1.
Таким образом, производная sU)(t) доопределяется па [—1, 0)
нечетным образом, если su)@) =i5(j)(l) = 0, и четным образом,
если s(j~4)@) = s(;~!>@ и, значит,
J si}) (t) dt = 0.
о
Поэтому
*<й@ - о) = s">@ + 0), ; - 0,1,..., г- 1,
т. е. полученный в результате доопределения сплайн s{t)
принадлежит С1""*1!—1, П. Кроме того, этот сплайн имеет на
полуинтервале (—1, II 2ЛГ узлов и удовлетворяет равенствам
позволяю1цим продолжить его без потери гладкости с периодом
2 на всю вещественную ось.
Если SN. г — множество сплайнов s(t) на [0,1] порядка г
дефекта 1 по равномерному разбиению ti = i/N (i = 0, lf..., ^V),
удовлетворяющих A8) — A9), то редукцией к периодическому
случаю па это множество переносятся все результаты,
полученные в пи. 2 и 3 этого параграфа для сплайнов и;* 8т,г—с
заменой функции cp2n. At) па (ps, r(t). Нпрочем, доказательства можно
провести и непосредственно, повторяя рассуждения для
периодического случая, но используй предложение 1.2.3 и краевые усло-
ш A8)-О0).
Таким образом, имеют место, например, следующие
соотношения:
Если ]\r — множество заданных па [0,11 идеальных
сплайнов sit) порядка г с не более чем N узлами, удовлетворяющие
краевым условиям A8) — A9), то справедливо аналогичное A5)
соотношение
slip ИхН1флтЛ.

§ 2.7. Функции с заданными нулями
1. Классы функций, связанные с разбиением. Пусть
фиксировано разбиение
А*: 0 = ^о < ^i < ... < *лг «= 1- A)
Обозначим через АТ/ЧДлг) класс заданных па [0, 1] функции
/U), удовлетворяющих условию Липшица с константой К на
каждом из интервалов (U-i, U) (i = 1, 2,..., ЛО, т. е.
Таким образом, функции fit) из Д77!(Длг) могут ilmctt, разрывы
в точках tu t2i ..., **_,. Через WmKIl%(^N) (m=l,2,...)
обозначим класс функций fit) <^Ст~\ у которых /(т) ^й7/ЧДлг);
иначе говоря, WmKUl(&N) есть множество неопределенных
интегралов m-го порядка от функций из ЛТ/ЧА*). В соотношениях
общего характера под VK°/if//!(A*) будем понимать /Г//!(Алг).
Ясно, что введенные в § 2.1 совпадающие между собой классы
WmKHl и ЛТК™ при любом разбиении А* содержатся в классе
1УтА7/!(Длг), который существенно шире их, ибо допускает
разрывы т-п производной в узлах разбиения tu
Совершенно аналогично но разбиению Алг (которое можно
считать периодически продолженным па всю ось) определяются
классы /ШЧАлО и Т^тЛ7УЧАлг) 1-исриодичсских функций,
включающие соответственно классы КН1 = KW\> и WmKIP - KW™*1.
В случае равномерного разбиения, т. е. когда ti — i/N (? =
= 0, 1, ¦.., N) будем применять соответственно обозначения
/v//lv, WmKll\r1 а для периодических функций— Kllli и WmKH]^,
Наконец, при K—i условимся оту букву в обозначениях, как
и выше, онускать, т. е., например, WmH*(tiN) = W^lZ/UA.v).
2. Периодический случай. При решении задач сплайп-апнрок-
симацшт важную роль будет играть следующее утверждение.
Теорема 2.7.1. Пусть идеальный \-периодический сплайн
<pU) = Фт(Алг, t) порядка т>1 по разбиению A) имеет па
периоде N различных нулей т,:
О < Tt < Т, < . . . < Чя < 1.
Если /и)еТРте"!УУ!(Длг) и при некотором а /(т^ + а) = 0 (/ =«
«=1,..., TV), го для <?сеа; f (п/;гг m = 1 для ^?=^) выполняется
неравенство
Замечание. Ясно, что в условиях теоремы число N в силу
периодичности ф(?) должно быть четным.
Доказательство. Для w = l все очевидно, поэтому
считаем m > 2. Положим /а(/) = /(f + а), тогда /a(xj) = ф(^) — О
(у = 1,2,..., N) и нам падо установить, что для всех t \fa(t)\ <
1(^I. Рассуждая от противного, предположим, что в точке
0,1), \^Th имеет место неравенство l/a(l)I > 1ф(|I. Выбе-
1O

р число Я @<Ш<1) таким образом, чтобы выполнялось
равепство Я/а(?) = ф(?). Теперь разность
обращается в нуль в точках tj G = 1, 2,..., N) и еще в точке ?,
так что 6U) имеет па периоде N+1 различных нулей.
Рассмотрим теперь (т —1)-ю ироизводиую разности 6U):
8 (t) = ф (f) — ^,/а (^)i
существующую для всех t^U, т. е. всюду, кроме точек разбиения
Д,у, являющихся узлами идеального сплайна cpU). Если Jf_i <
< t' < t" < li% то
и так как 1X1 < 1, то
\i№~1\tf)-ifT~i)(t'')\<\'b\\t' ~-t"\<\t' ~-t"\,
т. е.
Из этого факта сразу следуют два важных вывода:
1) Ни на одном отрезке [а, р], а<р функция 6(m">(rt, a
значит, и разность 6U), не обращаются тождествепно в пуль, так
что все пули 6@ являются разделенными.
2) На каждом интервале (?*_,, Jt) функция 6(m)(f) может
поменять знак только один раз, а если 6(m"!)(f) существенно
меняет знак в точке ti} то по крайней мере па одном из
интервалов (?<-t, U) или (^, ti+i) 6(m~l)(f) знака не меияет.
В силу 2) функция 6(m~1)(f) может иметь па периоде пе более
чем N существенных перемен знака, а тогда (предложения 1.2.5
и 1.2.6) разность 6U) пе может иметь на периоде более чем N
разделенных нулей. Мы, однако, обнаружили у Ш) на периоде
N+i пулей, которые в силу 1) являются разделенными.
Противоречие доказывает теорему.
Следствие 2.7.2. В условиях теоремы 2.7.1 справедливо
неравенство
Особо отметилг случай равномерного разбиения г{ = г/Bп)
(i = 0, 1, ..., 2гс), когда идеальным сплайном (pit) является эйлеров
енлайи ф8п.«(О с пулями- Tj = j/Bn) + LI- (~l)ml/(8n). Из 2.7.1,
2.7.2 и неравенства E.1) вытекает
Следствие 2.7.3. Пусть f(t]e= Wm"lH\n, в частности,
/ (I) e WZ (m = 1, 2, ...) и при некотором а /(т^ + а) « 0 (у =«
= 1,..., 2^г), где X) — пули сплайна q>2n,m(t) на (О, U. Тогда для
всех t (при т=1 — для t^if{2n)) \f{t + a)\ < |ф2п, mU)\ и, еле-
98

дователъно,
sup {||/||р: / е= Wm-lH\n, f(j/Bn) + а) = 0 (/= 1 2«I ¦-
= sup{||/||p: j<==WZ, /(;7Bп) + а)-0 (; = 1, ..., 2л)|
Кроме того, выполняются соотношения
|c:/^^, /(;7Bл) + а) = 0
Приведем еще относящееся к рассматриваемому кругу задач
Предложение 2.7.4. Справедливо соотношение
sup [ I/||i: /е= fTjT, /(;7B*) + а) = 0 (/ --= 1, ..., 2п)} =
= 11ф2».«||р', 1<р<«\ 1/р+1/р' = 1. B)
Справедливость этого факта будет непосредственно вытекать
из теоремы 5.1.5, которую мы докажем в § 5.1. Следует только
учесть, что верхняя грань в B) не зависит от а.
3. Функции, заданные на отрезке. Отмстим две ситуации,
когда на конечном отрезке справедливы утверждения,
аналогичные теореме 2.7.1,— естественно, без сдвига аргумента.
Теорема 2.7.5. Пусть идеальный сплайн ср(?) порядка m
по разбиению AN: 0 = t0 < t{ <... < tN = 1 имеет па отрезке [0,11
N + пг — 1 различных пулей %s: 0 < xt < т2 < ... < Тлг+m-i < 1.
Если f{t)^Wm-iril(AK) и /(т;)=0 G = 1,2,...,Л^ + /п~1), то
и, следовательно,
Н/Нр<11ф11р,  <р<оо.
Доказательство проводится но той же схеме, что и в
периодическом случае. Если l/(?)l > l<p(?)I (E^Tj), to при пекотором
X @<1Х|<1) разность fi(t) =cpU)-Л/U) имеет на [0,ll N +
+ т различных нулей, которые являются разделенными, ибо для
t\ t" ^(ti-ijti) выполняется строгое неравенство
По этой же причине функция 6(m~1)(f) может иметь на @,1) не
более чем N существенных перемен знака. В силу предложения
1.2.3 (утверждение 1)) 6U) тогда не может иметь на [0,1]
больше чем N+m — 1 разделенных нулей — в противоречии с
предыдущим.
Непериодическую ситуацию, в которой справедливы аналоги
утверждений 2.7.1—2.7.3, получим, потребовав от заданных на
[0, 1] функций выполнения краевых условий вида F.18) — F.19).
Для множества сплайнов s(t) из 5m(Aif), удовлетворяющих этим
условиям, мы ввели обозначение 5т(ДЛ). Теперь обозначим через
}?т~1КН1(&м) и KW'? множества функций fit) соответственно
99

из Wm~tKHi(Ay) и KW™, удовлетворяющих краевым условиям
/@)=/d), /2v@) = /Bv)(i) = 0, v=l,2 1--1
(m четно); C)
/Bv-i) @) = ^v-i) A) = о, v = \, 2, ..., Ч^- (т нечетно). D)
Теорема 2,7.6. Пусть идеальный сплайн <pU) из «Sm(AiV)
имеет па полуинтервале L0, 1) Л^ различных пулей т>: 0<ti<
<T2<..-<xjf <1. -Ёслм /^ Wtn-4Il(AN) {в частности, если
^) 0 (; = l,2,...,iV), то
ы., следовательно, ll/!!p < licpllp A < р ^ <»).
Доказательство ие содержит новых элементов по сравнению
с доказательством теорем 2.7.1 и 2.7.4 кроме того, что при оценке
масла разделенных нулей у разности 6U) = cpU) — kjti) надо
использовать утверждения 1) и 3) предложения 1.2.3 и учесть, что
фупкция 6U), так же как <pU) и fit), удовлетворяет краевым
•условиям вида C)—D). _
Следствие 2.7.7. Если f (t)(^Wm":lHJN [в частности, /е
е WZ) и / (tj) = 0 G = 1, 2,..., iV), г5е %5 — 7*ули сплайна ф^# „(О
/га полуинтервале [О, 1), го
м, следовательно,
8up{|/|p: /еГ'Й, /(т,) = 0 yMi,..
=supli/!|p: /еЙС, /(т,) = 0 (/ = 1, .. .,N)\ =

Глава 3
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ
И ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
В этой главе будут изложены пекоторые общие факты теории
паилучшего приближения в линейном нормированном простран-»
стве. Ядро главы составляют теоремы двойственности, с помощью
которых затем будут получены точные результаты в ряде копкрет-
пых ситуаций наилучшего приближения сплайнами в С и Lp.
В первых трех параграфах рассматривается аппроксимация в
произвольном нормированном пространстве X, и там, где не
возникает недоразумепий, мы вместо 11-11^ пишем 11-11.
§ 3.1. Наилучшее приближение фиксированного элемента
1. Функционал наилучшего приближения. Пусть в
нормированном пространстве X фиксировано непустое множество 9i.
Величипу
Е{х,Я) = Е(х,Я)х= inf||*-u]*, A)
т. е. расстояние элемента х от множества 91, в теории
аппроксимации называют наилучшим приближением элемента х множеством
91 (в метрике X). Можно сказать, что равенством A) множеству
91 сопоставлен задаппый па X функционал Е(х, 90 — функционал
наилучшего приближения.
Предложение 3.1.1. Функционал наилучшего
приближения Е(х, 90 непрерывен, каково бы ни было множество 9i. Если
91 — подпространство, то функционал Е{х, 90 является полуадди-
тивным:
Е(хх + х2,90 < Е(хи 9» + Е{хц Ю B)
и положительно однородным, т. е.
Д(Х*,Я)-1Х|Д(а\90, C)
где X — любое действительное число (Х^/?1).
Доказательство. Пусть хих2^X. Для любого элемента
w^9l
E(xl9 90 < Wxi - ц!1 < Wxi - x2W + Wx2 - и\\.
Переходя справа к точной пижней грапи по и ^91, получим
101
т. е.
ц 90 - Е{х2, 90

Так как х{ и х2 можно поменять местами, то
!?(*!, Я) -Е(х2Л)\< Wxi -
и непрерывность функционала /?(#, 9i) доказапа.
Пусть теперь 31 — подпространство. Для ии ц2 ^ 9i
, 31) ^ «(я, + я2) - (щ + ма)И < Ha?i - ufi + ilsa - u
all,
it переход в правой масти к нижней грани по и{ и м3 дает B).
Далее, если х<= X и h<^ R\ ХФО, то
и соотношение C) доказано. Из пего, в частности, следует
(в предположении, что 31 — подпространство) равенство
Заметим, что фупкцопал паилучшего приближения не
является аддитивпым,— даже если 91 — подпространство. Простой
пример: X = С = (Л0,1], 91 = {К) — «одпрострапство копстапт, хл (t) =
- (t - 1/2)V, x2 (t) = A/2 - t)V (° < < < 1). Яспо, что
f 9l)c = .ССжг, 3l)c «= Е{хх + х2, Э1)с « 1/4.
Свойства B) и C) определяют функционал наилучшего
приближения (если 31 — подпространство) как полунорму в X. Ясно,
что /?(#, 31) не является пормой, так как может обращаться в пуль
и тогда, когда х Ф 0.
2. О существовании и единственности ближайцхего элемента.
Если в мпожестве 31 существует элемент и0, реализующий в A)
нижнюю грань (т. е. являющийся ближайшим к элементу х
л множестве 91), то его пазывают элементом наилучшего
приближения для х в 31. Множество 31, обладающее тем свойством, что
для любого х^Х в 91 существует элемент наилучшего
приближения, будем называть множеством существования. Множество 31
называется чебышевским в пространстве X, если для любого
х^Х в нем существует единственный элемент наилучшего
приближения.
Вопросы существования и единственности связаны кок со
структурой приближающего множества 3i, так и со спецификой
метрики пространства X. Яспо, что множество существования
необходимо должно быть замкнуто в X. Однако замкнутость,
вообще говоря, пе является достаточным условием того, что 91
есть множество существования.
Пример. Х»С[0,1], 31 —мпожество функций u(/)gC,
удовлетворяющих равенству
\ и (t) sgn cos nt dt = 1. D)
о
102

Очевидно, что 9i— выпуклое*) замкнутое мпожество в С, и есля
^0 па 10,1], то
Д(е i\\§i
Яспо, однако, что пе существует непрерывной па [0, 1] функции
u(t), удовлетворяющей условию D), с нормой Ш\с = 1.
Известен, впрочем, следующий факт: любое замкнутое мно*
жество 31 с: X является множеством существования тогда и толь*
ко тогда, когда X — рефлексивпое пространство (см., например,
В. М. Тихомиров [1, с. 149]). В произвольном нормированном
пространстве X можно гарантировать существование в замкну*
том множестве 91 элемента наилучшего приближения для любого
хеХ, если 91, кроме того, является локально компактным, т. е»
если компактным в X является любое ограниченное подмножество
из 91.
Предложение 3.1.2. Любое замкнутое локально компакт-*
нов множество 91 нормированного пространства X {в частности,
любое конечномерное подпространство 91 us X) является
множеством существования.
Доказательство. Фиксируем х^Х\31 (если х^-% то
доказывать нечего); тогда в силу замкнутости множества 9i
d=: inf |я —и|>0
и по определению точной нижней грани для т = 1,2,...
существует элемент um e 91 такой, что
Ux-uJ<d+l/m.
Так как
UuJI ^ Кит - х\\ + Ы < d + 1 + Ibll, m = \, 2,...,
то последовательность {ит} ограничена и в силу локальной
компактности множества 91 существует сходящаяся подпоследока-
тельпость [ит.},lim ит = и0, причем ио^% ибо 91 замкнуто. Те-
перь, написав
j = 1, 2t ...f
в пределе при / -> oo получим Wx — uo\\ = d, т. е. элемент w0 из 91
является ближайшим к х в множестве 91.
Касаясь вопросов единственности, ограничимся одним
утверждением, дающим достаточное условие единственности элемента
наилучшего приближения, учитывающее структуру метрики про-
страпства X.
Норма пространства X называется строго выпуклой, если
сфера 1Ы1 = 1 пе содержит отрезков, т. е. из И#Н = llz/li = 1, х Ф //,
*) Множество 01 линейного пространства X называется выпуклым, если
из того, что х, х" е % следует, что ах' + A — а)х" е % 0 < а < 1.
fO3

следует, что Над: + A — а)г/!1 < 1 @ < а < 1). Липейпое
пространство со строго выпуклой пормой пазывают строго нормированным;
такое пространство можпо определить также эквивалентным
условием: в неравенстве li# +z/li «^ !Ы1 + Hz/ll зпак равепства
достигается только в случае у = сх, с > 0. Яспо, что в строго
нормированном пространстве не содержит отрезков и любая сфера
lUp — х\\ = а.
Предложение 3.1.3. Пусть X — строго нормированное
пространство, 9i — выпуклое множество в X. Если для х0 ^ X в
множестве 91 существует элемент наилучшего приблиоюения, то on
единствен.
Доказательство. Пусть ut и uz{ui Ф и2) — дна элемента
наилучшего приближения для х0 в 91:
Ня0 - Ul|| = Ня0 - ц2;| = d = Е(х0, 90.
Рассмотрим отрезок [гг,, ц2], т. е. мпожество элe^feExтoв и^^аи^
4- A — а)и2 @ < а < 1). Заметим, что [ии и2] <= 9?, ибо 91 выпукло.
Так как
d < Ibo - ujl
то при всех a (O^a^l) \]>x0 — uj\ = d, и, следовательно, сфера
\\xo — x\\ = d содержит отрезок [ul1u2\J что противоречит строгой
нормированное™ пространства X.
Учитывая отмеченное выше свойство рефлексивпого
пространства, можпо сформулировать еще
Предложение 3.1.4. В рефлексивном строго
нормированном пространстве любое выпуклое замкнутое множество является
чебъииевским.
3. Оператор наилучшего приближения. Если 91 — чебышев-
ское мпожество пространства X, то каждому элементу х е X
можно сопоставить единственный элемент ио^91, являющийся
ближайшим к х в 91, т. е. определяемый равенством
\\х-ио\\=Е(х,Ю.
Этим равенством в пространств X задан оператор Р {Р{х) = u0),
отображающий X в 91, который будем называть оператором
наилучшего приближения множеством 91. Оператор Р, вообще говоря,
не является аддитивным, однако справедливо
Предложение 3.1.5. Оператор Р наилучшего приближения
чебышевским подпространством 91 является однородным:
xeX, Хе=Д\ E)
и, следовательно, нечетным, т. е.
Если же чебышевское множество 31 локально компактно
(в частности, если 91 — конечномерное подпространство), то
оператор Р непрерывен.
104

Доказательство. Так кок по определению
то, используя C), можем паписоть
11 E) доказано. Пусть теперь 91—локально компактпое чебышев-
скос множество в X и хт ->¦ х0, um = P(#m), и0 = Р(#0). В силу
3.1.1 числовая последовательность {Е(хт,Ю) сходится, а потому
HuJI ^ \\ит - xj + IbJI = ?(*«, 91) + WxJ <K, m = 1, 2,...,
т. е. последовательность {мт} элементов из 91 ограничена.
Предположим, что ит т^ ио = Р(х()), Тогда с учетом локальной
компактности 91, найдется такая подпоследовательность [MmJ, что
llmum. — и*фи0,
3-х» J
причем гг*^91, ибо 91 — чебышсвское, а значит, замкнутое мио-
;кество. Из очевидных неравенств
1*7»; — um. j - Е{хтр Я)<||^Н1; — гг01.], у -= 1, 2, ...
в пределе при / -* оо получим
Нлг0 — и*\\ < \\х0 — Ко"»
т. е. iz* — элемент наилучшего приближения для х0 в %
отличный от и0. Но это невозможно, ибо мпожество 9} — чебышевское.
Следовательно,
п непрерывность оператора Р доказана.
Пусть 91 = 3iN — ./V-мерное чебышевское подпространство,
{Xi,...,xN} — его базис. Тогда оператор наилучшего приближения
мо/Кпо представить в виде
P(x)=!$ch(x)xh, F)
л—1
где ck — некоторые заданные на X функционалы. Из 3.1.5
вытекает
Следствие 3.1.0. Фупщопалы ск являются однородными
и непрерывными.
В самом деле, равенство РСкх) =%Р(х) равносильно тому, что
N N
2 ch (kx) xh = 2 ЯсА (я:) хк,
а в силу единственности представления элемента Р(^г) ^ Sl.v
через элементы базиса ch(Kx) =XcAU). Непрерывность
функционалов cft следует из пепрерывности оператора Р, представления @)
и того хорошо известного факта, что сходимость в копечномерпом
пространстве есть покоордипатная сходимость.
105

Попутпо отметим аналогичное обстоятельство для линейного
оператора.
Предложение 3.1.7. Любой линейный ограниченный
оператор Л, отображающий нормированное пространство X в его
N-мерное подпространство 3^у с базисом {хь..., ху}, представим
в виде
где \xh — линейные ограниченные функционалы, заданные на X.
Действительно, линейность \xh следует из линейности
оператора А и единственности представления G) элемента Ах, после
этого ограниченность функционалов \xk вытекает из нх
непрерывности, являющейся следствием непрерывности оператора Л.
4. О характеризации ближайшего элемента. Среди задач, сня-
занпых с наилучшим приближением фиксированного элемепта
х^Х фиксированным множеством 5ft, наряду с вопросами
существования и единственности, возникает также необходимость ха-
рактеризацим элемента наилучшего приближения, т. е. описания
признаков (критериев), позволяющих выделить этот элемент из
других элементов множества 91. Эти критерии, копечно же,
учитывающие метрику пространства X и структуру приближающего
множества 91, должны существенным образом определяться
приближаемым элементом х. Ясно поэтому, что задача
характеризации ближайшего элемента является весьма тонкой.
В параграфах 3.3 и 3.4 "будет приведепо несколько критериев
элемепта наилучшего приближения как в общем случае, так и
и ХчОпкретньтх функциональных пространствах. Отметим однако
сразу, что эти критерии имеют неявный характер и, как правило,
не позволяют указать ближайший элемент эффективпо.
§ 3.2. Постановка экстремальных задач
1. Приближение фиксированного множества. Когда речь идет
об отыскании величины наилучшего приближения для
конкретного элемента хОу то имеется в виду выражение этой величины
чорез некоторые характеристики, определяющие как элемент х09
так и приближающее множество 91. Однако сделать это удается
и редких случаях; например, когда X — гильбертово пространство,
91 — его конечномерное подпространство, то элемент наилучшего
приближения в Ш есть ортогопальная проекция х0 па 9J, а паи-
лучшее 'приближение точно выражается через норму элемента х0
и его коэффициенты Фурье по ортопормированному базису 91.
Если не говорить о самых простейших ситуациях (папример,
приближении функций константой), то случаи точного решепия
задачи наилучшего приближения фиксированного элемепта
следует признать исключительными.
В связи с этим задача наилучшего приближения обычно
ставится в более широком смысле: ищется оценка величины Е{х0,91)
106

через характеристики некоторого множества Зй, которому элемент
х0 заведомо принадлежит. Конечно, мпожество 9Й должно быть
достаточно узким, чтобы задающие его характеристики более
полно отражали осповпые свойства самого элемента яг0, например,
если xo = xo(t) — функция, ее гладкостные свойства.
Ясно, что полученная из таких соображений оценка для
Е{х0, 91) будет справедлива для любого элемента х из 9Й, хотя,
вообще говоря, она пе будет точной для каждого такого элемепта
в отдельности. Самое большее, что мы можем сделать в этой
ситуации — это ляйти точпую оценку для Е(х, 91) на всем мпоже«
стве Зй. Таким образом, мы приходим к задаче отыскания
величины
i). A)
Эту задачу можпо иптернрстпровать сиге так: о
приближаемом элемепто х мы имеем неполную инфор.мицню, определяющую
не один этот элемент, а целое множество Зй; требуется получить
наилучшую оценку величины Л1 (а?, 91), основанную только на этой
информации.
Наконец, с чисто геометрической точки зрения ?(ЗЯ,Ю есть
просто величина уклонения множества Зй от множества 91 в
метрике пространства X.
Задачу A) удается точно решить во многих важных случаях
аппроксимации в функциональных пространствах, в частпости,
когда 9J — подпространство сплайнов — об этом подробно будет
говориться ниже. Однако, имея точпую па классе Зй оценку
приближения в виде величины ЖЗЙ, 91), мы, Kaif правило, пе можем
для х ^ 9Й указать элемент в множестве 91, гарантирующий такую
погрешность приближения: уже отмечалось, что эффективно
указать элемент наилучшего приближения удается лишь в
исключительных случаях.
Если мы решаем задачу аппроксимации в практических целях,
то такое положение нас, естественно, удовлетворить пе может.
Наилучшему приближению мы предпочтем какой-нибудь
конкретный метод приближения, хотя, быть может, и не
гарантирующий минимально возможную погрешность, но позволяющий
эффективно сопоставить приближаемому элементу х некоторый
элемент и приближающего множества 91. Любой такой метод
задается некоторым оператором Л, отображающим X в 91; но если
91 — линейное многообразие и мы хотим облегчить решение как
теоретических, так и практических вопросов аппроксимациопной
задачи, то должны строить метод приближения с помощью
линейного оператора. (Заметим, что оператор Р паилучшего
приближения, как уже отмечалось, не является лилейным.) Метод
приближения, задаваемый с помощью линейного оператора А,
будем называть линейным методом приближения и обозпачать
той же буквой Л.
Погрешность приближения методом А фиксированного
элемепта х из X выражается величиной $х — АхК Если пам известно,
107

что х ^ Зй, и мы не намерены использовать другую информацию
о приближаемом -элементе, то возпикает задача отыскания
величины
suplls-ЛяИ, B)
характеризующей погрешность приближения фиксированным
методом А па всем множестве Зй.
Эта задача аналогична задаче A) и тождественна ей, если
А есть оператор наилучшего приближения. Если же нас
интересуют только линейные методы, то, при фиксироваппых Зй и 91
(где 9i— линейное многообразие), естественно искать тот липей-
пый оператор Л, для которого верхняя грань B) припимает
минимальное зпачеипе.
Таким образом, если обозначить через 24Х, 31) множество
всех линейных операторов из X в 91, то приходим к следующей
экстремальной задаче: найти величину
8 (SK, 91) = inf sup \x — Ах\% C)
а также указать оператор А^З?(Х, 50, реализующий в C)
точную иижшою грань (если такой оператор существует). Метод Л,
определяемый оператором Л, назовем наилучшим линейным
методом для множества 9Я (при фиксированном приближающем
множестве 91). Таким образом, по определению
91)
Яспо, что для любого оператора А &&(Х, 91)
и, следовательно,
), D)
а так как это справедливо для любого линейпого метода Л, то
E)
Неравенства D) — E) выясняют практическое зпачеиие знания
бодичипы ЕШ,Ю: эта величипа дает оценку спизу для
приближения линейпыми методами и служит своего рода ориентиром,
позволяющим сулить об аппроксиматлвпых достоинствах пли
недостатках того или иного копкретного линейного метода, а также
о возможностях лштейпого приблшкеЕшя в данной ситуации
вообще,
В связи с соотпошоппем E) естественный интерес представляет
выяснение возможности в пем знака равепства. Если X —
гильбертово пространство, 9i — его конечномерное подпространство, то
оператор наилучшего приближепия Р есть липейпый оператор
ортогонального проектирования, и, следовательно, наилучшее
приближение каждого элемента х^Х реализует одип и тот жо
липейпый метод. Это, однако, случай исключительный,
обусловленный спецификой метрики гильбертова пространства. В не-
108

гильбертовых пространствах отыскапио величины C), построение
наилучшего линейного метода для множества Зй, выясаецие
возможности знака равенства в E) —¦ задачи весьма топкие и
трудные. Опи решены в ряде случаев, причем имеппо таких, когда
в E) имеет место зпак равенства, т. е. когда наилучший
линейный метод реализует па множестве 9Й верхпюю грань наилучших
ириближепий. Отметим сразу, что во многих ситуациях
аппроксимации в функциональных пространствах наилучший липей-
ный метод строится с помощью аппарата сплайнов,
2. Поперечники* До сих пор мы формулировали аппроксима-
ционпые задачи, считая приближающее множество
фиксированным. Следующий шаг в постановке экстремальных задач связан
с оптимальным выбором приближающего множества — при
условии, что множество Зй, элементы которого приближаются,
фиксировало.
Ясно, что речь может идти о выборе наилучшего для 9Й
приближающего множества 91 среди некоторого класса в чем-то рав-
поценпых мпожеств, например, среди подпространств одинаковой
размерности N. Если обозначить через J(N множество всех под-
лрострапств из X размерности, не превосходящей N, и считать
мпожество 9Я цептралыю-симметричпым (т. е. из ж ^271 следует,
что — я^ЗЙ), то, отправляясь от наилучшего приближения эле-
мептов множества ЗИ, приходим к такой задаче: найти величину
dN(%fl.X)= inf ДBЯ,Я)х F)
и указать подпространство 91 = 91лг из J?N, реализующее эту
нижнюю грапь. Такое под]трострапст!ю будем называть
экстремальным для множества 5W относительно наилучшего
приближения, оно определяет, в известном смысле, наилучший для Зй
аппарат приближения размерности N.
Величина F) введена в рассмотрение Л. II. Колмогоровым Ш
и в математической литературе известна как N-noneречник по
Колмогорову множества ЗЙ в пространстве X.
Для произвольного (пе централыю-симметричпого) мпожества
поперечник ds{% X) определяется как точная нижняя грань ве-
личип ?(9Я, 91) по всем возможным сдвигам 91 + а подпространств
91 размерности, пе превосходящей Nf т. е.
cfo(9R,X):=inf inf
Аналогичную задачу можно сформулировать, если исходить
из наилучшего липейпого приближения мпожества SK. Величину
г(ая,я)х G)
называют линейным поперечником централыю-симметричпого
мпожества Щ в пространстве X. Если для некоторого подпро-
109

страиства 9i*v из Jts выполняется равенство
то 9liv называется экстремалытым (наилучшим) подпрострапством
для ЗИ относительно наилучшего липейпого приближения. В
случае, когда 9Й — пе цептрально-симметричпо, нижнюю грапь в G)
следует вычислять, допуская сдвиг множества ffl.
Яспо, что всегда
4Л2Я,Х)<МаИ,Х), (8)
и опять же возпикает вопрос о возможпости в (8) зпака
равенства.
Отыскание поперечпиков dN и %N, а также экстремальных
подпрострапств для фиксированного множества 9И (в частпости,
для некоторого класса функций) — задачи, безусловно, важные
не только с теоретической, но и с практической точки зрения:
в любом случае, выбирая аппарат приближения, естественно,
в первую очередь, рассмотреть тот, который гараптирует мппи-
мальпо возможную погрешность. Как будет показало в
следующих главах, в ряде важпьтх ситуаций паилучший (притом
линейный) аппарат ириближепия доставляют интерполяционные
сплайны.
§ 3.3. Теоремы двойственности в нормированных
пространствах
Из известных сейчас методов точного решепия задач по
отысканию верхних граней наилучших приближений па классах
фупкций паиболее эффективным оказался метод, основанный на
теоремах двойственности, отражающих фундаментальные со-
отпошепия геометрии выпуклого анализа. Эти теоремы
позволяют свести задачу нахождения величины Е(х, к)х к более
обозримой задаче на экстремум в сопряжеппом пространстве,
в частности, когда 91 — подпрострапство — к задаче на экстремум
явно задаваемого линейного функциопала.
1. Приближение выпуклым множеством. Следующее
утверждение имеет основополагающее зпачепие.
Теорема 3.3.1. Пусть X —линейное нормированное
пространство, X* — пространство, сопряженное с X, 91 — выпуклое
множество в X. Для любого элемента х^Х справдливо соотношение
iui || X - U || - SU? Г/ (X) - SUP / (u)l A)
11ЛК1
При каждом х из X, не принадлежащем замыканию 91 множества
91, существует функционал /0 ^ X*, реализующий верхнюю грань
в правой части A), причем Щ\ «* 1.
110

Доказательство. Введем для сокращения выкладок обоз-
иачепия (множество 91 считаем фиксированным)
Е(х)= inf \\x-ul B)
N{x)~sxip\f{x)-supf{u)l C)
где 5* — замкнутый единичный шар в X*, т. е.
?* = {/: /еХ*, II/IK1}.
Ясно, что /?(#) ^Ои Мж) ^ 0. Мы долиты доказать, что
Eix) = Nix), хе=Х. D)
Заметим^сначала, что если х принадлежит замыканию
множества 91, ж^91, то обе величины B) и C) обращаются в нуль. Для
Eix) это очевидно, а для Nix) следует из того, что для любого
линейного непрерывного функционала /, заданного на Ху
f И - ^р / {и) - Ы [/ (х) - / (ц)] =* inf / (х - и).
Поэтому в дальнейшем считаем, что х ^ X\3t, так что Eix) > 0.
Неравенство Nix)<E(x) доказывается совсем просто. Если
Ы 1Ь-ц0Н (мо^ЭН, то
Лт (а:) < sup [/ (а:) - / (м0)] = sup / (а: - и0)
< sup [I/1Iх
Если же для х в 91 не существует ближайшего элемента, то для
любого е >0 пайдется элемент це^$ такой, что
\\х-иЛ<Е{х)+е.
Проводя те же оценки, получим
Nix) *?t*x-u
и в силу произвольности е
Nix) < Eix). E)
Доказательство противоположного нераиепства требует при-
влечения более глубоких фактов и, в частпости, следующего
утверждения, известного как теорема отделимости (см., например,
Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц [1, с. 4401).
Теорема 3.3.2. Пусть А и В — непересекающиеся, выпуклые
множества в нормированном пространстве X, причем хотя бы одно
из них содержит внутренние точки. Тогда существует ненулевой
функционал /еХ*, разделяющий множества Л и В, т. е.
что
lit

Кроме того, нам потребуется следующий почти очевидный
вспомогательный факт, справедливый в любом нормированном
пространстве X.
Предложение 3.3.3. Если / el* и г) >0, го
Действительно, если х^Х и 11x11 < т|, то
/Ы<11/!1Ы1<Т111/11.
С другой стороны, но определению нормы функционала
поэтому для любого е >0 существует элемент же, П#еЧ < 1 такой,
что
Положив zz =-• у\х„ будем иметь HzJI < г|,
/(а.) - Ц}(*г) > Л»/!! - е,
и ввиду произвольности е предложение 3.3.3 доказало.
Теперь, чтобы доказать неравенство
EixXN(x) F)
для х ^ Х\% рассмотрим в пространстве X открытый шар
U(x,d) = iy: |/еХ, \\y-x\Kd]
с центром в точке х и радиусом d=>E(x)>0. Очевидно, что шар
?/(.?, d) есть выпуклое множество и имеет внутренние точки,
причем шар ?/(#, й) не пересекается с 91, ибо для любого элемента
це=91 \\х — и!1 ^ Е{х) = d. В силу теоремы отделимости 3.3.2
существует ненулевой фупкционал /^Х*, разделяющей мно;кества
U(x, d) и 91, т. е.
/(u)</(y)f us», y^Uix, d).
Положив /о ==//Ч/Ч, получим фупкционал /0^Х* с пормой
1!/0И = 1, которьп"! так;ке разделяет множества 91 и C/(.r, d): для
всех tt ^ й и всех // е C/(ar, d) выполпяется неравенство
Ш)^Ш. G)
Неравенство G) сохранится, если в левой части перейти к
верхней грани по u^9t, а в правой — к нижней грапи по y^Uix, d).
Таким образом,
sup/о («) < iTvf /о (У). (8)
Любой элемент у е t/(o:7 d) можно представить в виде у = х + 2,
где 1Ы! = Ну—,zll<d; обратно, если llzll<d, то элемент {/ = я + г
112

принадлежит шару Шх, d). Поэтому
inf /о (У) = inf /о (х + z) = inf /0 (х — z) = /0 (а;) — sup /0!
и соотношение (8) перепишется в виде
sup /0 (и) < /о (ж) — sup /0 (z). (9)
В силу предложения 3.3.3 и с учетом равенства И/0П ==» 1 имеем
sup fo(z) = d= E(x).
Подставляя это в (9) и учитывая определение C) функции
Nix), будем иметь
Е(х)</0(х) - sup /0(и)< JV(z). A0)
Этим доказало неравенство F), которое вместе с E) дает (А).
Если х^Х\% то из A0) и D) следует, что
Е(x)*=N{x)r=fu(x)-sup fo{u),
и так как _/0 е 5* <= X* и Н/0Н ^ 1, то теорема 3.3.1 полностью
доказана.
2. Приближение подпространством. Из теоремы 3.3.1 вытекает
утверждение, соответствующее наиболее практически важпому
случаю — приближению подпространством.
Теорема 3.3.4. Если 91 — подпространство нормированного
пространства X, то для любого элемента х^Х
inf На? — и11 = sup {/(аг): /еХ», f^%\ II/II < 1), A1)
где 911 — множество функционалов f из X* таких, что /(м)=0
для всех и^$. Если ,геХ\Я, го существует функционал /0^
^SR-1, реализующий в A1) верхнюю грань, причем Н/0Н = 1.
Доказательство. Если функционал / из X* не
принадлежит множеству Э1-1-, то для некоторого элемепта и' е 91 будет
/(и7) = а^О. Так как Э1 — линейное многообразие, то при любом
K^R\ Хгг'^Э1 и JiXu') ==Xa, а потому ири каждом фиксировап-
иом х^Х
fix) — Sup fill) =» — оо.
0i
Это значит, что при вычислении верхней грапи по
функционалам /^5* в правой части равенства A) (справедливого,
разумеется, и когда 91 —• подпространство) можпо ограничиться только
теми функционалами / из 5*, которые одновременно принадлежат
и мпожеству Я1. Но для таких функциопалов sup {/(u): iz^9tt = 0
и A) перепишется в виде A1).
Достижимость при x<^X\$t верхней грапи в A1) на
функционале /о ^ 91-1- с пормой И/о*' = 1 следует нз аналогичного факта в
теореме 3.3.1.
113

Теорему 3.3.4 можно, не опираясь па теорему 3.3.1, совсем
просто вывести из следующего утверждения, являющегося,
следствием из теоремы Хапа — Бапаха (см. папримср, Л. Л.
Люстерник, В. И. Соболев [1, с. 1771):
Предложение 3.3.5. Пусть 91 — подпространство
нормированного пространства X. Для любого %^Х\% существует
функционал /еХ* такой, что /(и)=0 для всех и^й, 11/11 = 1 и
Действительно, для x^X\3t (если х ^91, то доказывать пече-
го) и любого е >0 найдется элемепт м8е$, для которого
1Ь-цв11 <d + et
где d = ir\i\\x-ul\>0.
Если /e=9lL и 11/11 ^ 1, то
fix) = fix - We) ^ И/llb - uj\ ^ их - u.ll < d + e
и ввиду произвольности e
sup{/(a;): /е=»\ 11/11<1}<А A2)
С другой сторопы, в силу 3.3.5 существует функциопал /0 е ЭТХ
такой, что 11/0!1 = 1 и fo(x) = d, так что в A2) на самом деле
имеет место знак равенства и теорема 3.3.4 доказана.
Нам потребуется еще одна теорема двойственности,
дополняющая, в известном смысле, теорему 3.3.4 в случае копечттомерпого
подпространства $1.
Теорема 3.3.6. Пусть X — нормированное пространство,
X* — пространство, сопряженное с X. Если /t, /2, ..., fs —
фиксированная система функционалов из X*, то для любого / ^ X*
12V
« sup {/(*):*е=Х, И<1, Д(*) = 0, Л = 1,2 JV}. A3)
Доказательство. Мпожество
Я={о:: л:^Х, fh(x) = 0, fc=l, 2, .•., М
является, очевидпо, подпространством в X, и паряду с
функционалом /еХ*, заданным на всем X, мы будем рассматривать его
сужение /н на подпространство II. Продолжением функционала
/л па все прострапство X является пе только функционал /, по
и любой фупкциопал вида
Ф = /-2сл/к, A4)
/1=1
где ch — произвольные числа, ибо если х е //, то Д(ж) = 0 и ср(.г) =*
= fix) — fnix)t Покажем, что любое продолжение функциопала
/н с II на X имеет вид A4).
114

Не теряя общности, можем считать фупкциоиалы /,, /2, •.., /*
линейно независимыми. Существует (см., например, Л. А. Люстер-
лик, В: И. Соболев [1, с. 210]) система элемептов {х^ ..., a;;V)(=X,
биортогональпая система фупкционалов {Д, ..., /*}, т. е. такая,
что fh(xt) = 0 при к Ф г, fh(xh) = 1. Если х ^ X, то элемент
JV
г/ - я: — 2 //, (*) *л
принадлежит //, ибо
П(У) - АИ - 2 Л (*)/i(*fc) = °. * == 1. 2 ЛГ.
Таким образом, любой элемент х^Х можно представить в
виде
N
х=У+ 2 fk(x)*k, »еЯ. A5)
Фиксируем /еХ*и обозначим через ср продолжение фупкцио-
лала /н с // па X. Для любого ж^Я, учитывая представление
A5), будем иметь
Ч И = / A/) -I- Ф ( 2 Л И *п) = / U - 2 /л И ^/i) ~Ь
+ 2
т. е. фупкцпопал ф представим в виде A4) с сА = /(жА) — фСгА),
Так как при продолжении норма фупкциопала может только
увеличиться, то для любого набора коэффициентов ск
A6)
С другой стороны, в силу теоремы Хана — Банаха
существует продолжение функционала /н с // на X, сохраняющее норму,
т. е. существует система коэффициентов ch=*ch (& = 1, ¦ •., N)>
для которой
N ||
A7)
Из равенства A7) и соотношения A6), справедливого при
любых сА, следует A3).
3. Критерии элемента наилучшего приближения. Теоремы
3.3.1 и 3.3.4 позволяют указать общие критерии ближайшего эле-
моп-га в выпуклом множестве и в подпространстве.
Т е о р е м а 3.3.7. Пусть 91 — выпуклое множество
нормированного пространства X, причем замыкание 91 не совпадает с X. Для
того чтобы элемепт_у,ъ из 91 выл элементом наилучшего
приближения для х е X\9t, необходимо и достаточно существование
115

функционала /0 е X* со следующими свойствами:
1) Н/о11-1;
2) На: — uoll = /0(ж — u0);
3) /o(uo)
Доказательство. Пусть /0 — функционал, реализующий
в A) верхнюю грань, с нормой (см. 3.3.1) 11/0Н «= 1. Если
inf Иж — ull — 1Ь — ко4, A8)
то в силу 3.3.1
\\х _ Во|| =, /0(а;) _ sup /0(ц). A9)
Фупкциопал /о удовлетворяет условию 3). Действительно, если
предположить, что
/o(Uo) <SUp/0(lt),
и учесть оцепку
/о(ж) — /о(Но) ^ H/olilb — Ц0И =* \\% — Woll,
то получим
Ид: — щ\\ > /о(я) — /о(цо) > /о(я) — sup fo{u)
— в противоречии с A9).
Из условия 3) и равенства A9) сразу вытекает справедливость
условия 2). _
Докажем достаточпость условий 1) — 3). Пусть х&ХМЯ, и для
некоторого элемепта izo^9l нашелся фупкциоиал /0^Z*,
удовлетворяющий 1) — 3). Для любого элемепта и е 31 мо;кем написать
\\х — Uoll = fo(x — UQ) = fo{x — u) + t/o(w) — /o(#o)J,
иричем /о(и) <fo(uo) — в силу условия 3). Но тогда
lire - uoll ^ /„U - u) ^ Il/olllb - ull = Ib - ull,
так что элемент u0 удовлетворяет A8), т. е. является для ж
элементом паилучшего приближепия'в 91.
Теорема 3.3.8. Пусть 91 — подпространство нормированного
пространства X. Для того чтобы элемент и0 ^ 91 доставлял
наилучшее приближение элементу х е Х\91, необходимо и достаточно
существование функционала /0^Х*, удовлетворяющего условиям:
1) D/.I-1;
2) 1Ь-цо11«/оЫ;
3) /0 (и) «О Vue=9t.
Доказательство. В силу теоремы 3.3.4 существует
функционал /о^ЭН, реализующий в A1) верхнюю грань, причем Н/011 =*
116

= 1, так что для /о условия 1) и 3) уже выполпены. Если для
Ы Wx - и\\ « Wx - и0И, 120)
то равепство A1) перепишется в виде
\\Х — Ц0Н =я /0(ж),
т. е. для фупкциопала /0 выполняется и условие 2).
Обратпо, если х^«ХЛ91 и для фупкциопала /еХ*и некоторого
элемента и0 из 91 выполпены соотпошепия 1) — 3), то для любого
\\х — и\\ ^ foix — и) =» /0(ж) = Нж — izoll,
т. е. имеет место B0)»
§ 3.4. Двойственность в пространствах С и Lp
Доказанные в § 3.3 общие утнерждеиия копкретизируются
в фупкциональпых прострапствах 6Ча, Ь) и ЬР[а, Ы. A^р<<»)
с учетом вида липейпых функционалов. Как и выше, без потери
общпости будем считать, что [а, Ь] =10, 1], и полагать СЮ, 1J «=¦
= С, Lp[0, 1] = Lpt
1. Двойственность в С. Известно (см., например, Л. II.
Колмогоров, С. В. Фомип [1, с. 347]), что всякий заданный па С липей-
пый непрерывный функциопал / (т. е. /^С*) представим в виде
иптеграла Стилтьеса (теорема Рисса):
*(*)sC, A)
где git) — некоторая функция с ограпиченпым па [0, 1]
изменением ig ^ F), причем
Поэтому, если 91 — некоторое мпожество из С, то для любой
фупкции x{t) ^С
< ^sup Ux(t) dg (t) - sup J и {t) dg (t) . B)
0
Чтобы убедиться, что в B) па самом деле имеет место зпак
равенства, заметим сначала, что если Л)еС и g{t) s V, то при
117

любом разбиепии 0 =» t0 < *i< ... < tn = 1 отрезка [О, 1J
Ис 2 I * <**) - g (th-i) | < 1 x ||c v Or),
/t=l 0
и в пределе при max \th — tk^1 \ -+- 0 получим
§x(t)dg(t)^\\x\\c\/ig). C)
V
Любой фупкции git) s F с вариацией V(?)<1 соответствует
о
о
о
задаваемый равенством A) фупкциопал /^С*, причем в силу C)
так что по определению нормы липейиого функционала
Но это значит, что иравая часть соотношения B) не может
быть больше левой. Мы можем, таким образом, сформулировать
Предложение 3.4.1. Если 91 — выпуклое множество в
пространстве С, то для любой функции xit) ef
[1 1 Т
Г Г I
) х @ dg {t) — su p j п (t) dg (t) . D)
о
частности, если 91 — подпространство, то
inf I * - и |с = sup f * @ d^ (i): *e=RA, V (йГ) < lL E)
о
еде 911 — множество функций git) с ограниченным изменением на
10, U, удовлетворяющих условию
1
Д верхнюю грань в D) к E) реализуют некото*
рые функции git) с вариацией на [О, U, равной единице.
2. Критерии ближайшего элемента в С. Получим теперь конк-
ретпую реализацию общих критериев 3.3.7 и 3.3.8 в пространстве.
С «СЮ, 11.
118

Предложение 3.4.2. Пусть 91— выпуклое множество в
пространстве С и x(t) е C\9t. Функция uo{t) из 91 тогда и только
тогда удовлетворяет соотношению
\\х - щ\\с =* inf Ib - цПс, F)
если .существует функция go(t) <= F, удовлетворяющая условиям:
1) V (л) - 1;
2) \\х—щ[]с = J \х(г) — щ\
о
1 1
3) \ и0 (t) dg0 (t) = sup ) i
Необходимость существования фупкции go{t) со свойствами
1) — 3) сразу вытекает из 3.3.7 с учетом уже упомянутой выше
теоремы Рисса.
С другой стороны, если для B0U)^9t можно указать фупкцию
goU), для которой выполпены условия 1) — 3), то для любой
фупкции uU)^9t, иснользуя эти условия, а также неравенство
C), будем иметь
Р - "о\\с = §l*{t)- Щ (t) -I- u{t)-u (t)] dg0 (t) -
0
1 /1 1 \
« J [x (t) - и (OJ dg0 (t) + J U (t) dgo (t) - J U0 it) dg0 (t) <
0 \0 0 /
f1 / , ,
< J [^@ — u{t)\ dg0 (i)< ||a: — и\\c V (g0) = Ця — ы 1с»
0 °
и, следовательно, справедливо F).
Совершенно аналогичным образом из общего критерия 3.3.8
для приближения подпространством выводится
Предложение 3.4.3. Пусть 91 — подпространство
пространства С и x{t) e С\91. Функция ub{t) из 91 удовлетворяет
соотношению F) тогда и только тогда, когда существует функция go(t) ^ V
такая, что:
1) V (ft) -1*
о
1
о
1
о
119

Замечание. Предложения 3.4.1—3.4.3 формулировались и
доказывались для пространства С = С[0, 1] функций, непрерывных
зта отрезке [0, 11. Легко проследить, что все проводившиеся при
этом рассуждения проходят и в том случае, когда на функции
x{t)^C паложить дополнительное условие: #@)-=#A),
позволяющее непрерывно продолжать их с периодом 1 на всю ось.
Это значит, что утверждения 3.4.1—3.4.3 останутся
справедливыми, если в их формулировках пространство С заменить па
пространство С непрерывных па всей оси 1-нериодических
функций.
3. Двойственность в Lp. Приведем конкретные реализации
общих теорем § 3.3 в случае, когда X —?р —Z/ДО, 1] A</?<
^оо). Как и ранее, вместо II Испишем II-Пр.
Предложение 3.4.4. Если 91—выпуклое множество в Lp
(К р < оо)? 7*0 для любой функции x(t) ^ Lp\9l
inf \\x — и|]р =з
Г 1 / Л Л \
в частности, если 91 — подпространство, то
inf || я— и|р = supi | x(t)y(t)dt: у J_9l, ltf|p'<l|, (Я)
где i/ J- 91 означает, что
j и @ у @ df = 0 Vw (i) e Я.
о
Верхняя грань в G) и (8) достигается на некоторых функциях
y(t) ив Lpi с нормой \\ylp' — 1.
Действительно, любой функционал /eL*, (l^p<oo)
задается равенством (Л. Л. Люстериик, В. И. Соболев [1, с. 193])
f(x)^\x(t)y(t)dt, (9)
О
гдо у (t) s Lp<! (p' = р/(р — 1)), причем
1/11 = 11»11р'; A0>
с другой стороны, каждая функция у {t) e Lpt определяет
равенством (9) функционал /eLj, удовлетворяющий условию A0).
Поэтому остается переписать соотношения C.1) и C.11), заменив
f(x) его выражением (9), а норму И/Н — на
120

Получить таким же путем двойственные соотношения в
пространстве Loo затруднительно, так как формула (9), где x(t) в ?«,,
a y(t)&L{, не исчерпывает множества всех линейных пепрерыв-
ных функционалов, заданных на L«. Однако когда 91
¦—конечномерное подпространство, нужное соотношение для LP A </? < °°)
летка вывести из теоремы 3.3.6.
Предложение 3.4.5. Если 91 —- конечномерное
подпространство пространства Ьр A^р< со), то для любой функции x(t) e
^ LP
inf IJa: — и}р =
— sup I I x(t) y(t)dt: [/JLSli l!^iii/^l|i \-у=1, (И)
где у -L 91 означает то же, что и в предлоо/сении ЗЛА.
Доказательство. Будем считать, что 91 — JY-мерпоо
подпространство с базисом Xiit), ..., xNit). Положив
1
h {У) = j «л @ 2/ @ d'> 2/ @ es V»
о
мы зададим в пространстве Ар> AT линейных ограниченных
функционалов fk (ft = 1, ..., ЛО, /л е Ljf. Фиксируем функцию x(t) s Lp
и определим еще функционал / е= L*,/ равенством
1
О
Функционал
сРа==/— 2 аА/Аэ A2)
где а = {«и ..., ал} — произвольный набор числовых
коэффициентов, также, очевидно, принадлежит Ьр^ причем для y{t)& Lpf
Фа (У) - | [ х (t) - 2 «АжА @ у (О Л,
так что в силу известных экстремальных соотношений
I] фес 11= S^p |фа(»I =
« sup я (ft — 2 ah4 (t) \y{t)dt = Ь — 2 ал*/*! .
С учетом A2) получаем, что для любых ah
1, ? .si ^ I
|1 у —— ^j ОьА 7А II ~~~ II •v *" " ^^j ^/{*^/{ j]
121

и теорема 3.3.6 позволяет написать
!N II I N
fe=l l|p ак II Л=1
«ви
что равносильно A1), если учесть представление функционалов
/и/А.
Отмстим важное
Следствие 3.4.6. Для наилучшего приближения константой
функции x(t) <= Ьр (I ^ р <: оо) справедливо равенство
min\\x(t) — Х\\р =
Л
4. Критерии ближайшего элемента в Lp. Критерий функции
наилучшего приближения в метрике Ьр A^р<«>) получим из
общих теорем 3.3.7 и 3.3.8 с учетом вида линейного фупкциоиала
Предложение 3.4.7. Пусть 91 — выпуклое множество
пространства Lp A ^ р < ооO x(t) e Lp\Sim Функция щA) е Э1 гогЗа м
только тогда удовлетворяет соотношению
|| о: — гг0 [|р = inf \\x — иЦр,
существует функция yo(t)^Lp, (l/p + Ир' = 1), г/Зое-
летворяющая условиям:
1
2) II * - и0 b = J [* (*) - «о (*)] г/о @ *;
О
1 1
3) f w0 @ у0 @ dt - sup f u (/) y0 (t) dt.
о
Если, в частности, 91 — подпространство, го условия 2) и 3)
приобретают вид:
3')
о
В случае наилучшего приближения в Lp A<р<оо)
подпространством из 3.4.7 можно вывести более сильный критерий,
не содержащий функции yo(t).
122

Предложение 3.4.8. Пусть 91 — подпространство в Lp A^
<р<оо). Для того чтобы функция uo(t)<^9l доставляла функции
x(t) e ЬР\У1 наилучшее приближение в метрике Lp, достаточно и
(для р = 1 при условии, что mes U: ?е[0, 1], x(t) =» uo(t)} = 0)
необходимо выполнение условия
f и @1 х (t) - u0 @ \v~l sgn [ж @ - и0 @J Л = О
о
д (^)g= Э1. A3)
Доказательство удобпо провести отдельно для р = 1 и
/)SA, оо). Пусть 1 < р < оо и
inf [jo: — и||р = || о: — ио||р.
В силу 3.4.7 существует функция у0 (t) e Lpt такая, что|)#0!)р> = 1,
1
j и @ у0 @ dt = О W @ е *, A4)
о
1 1
1« - "о Ир = j * @ Уо @ * =¦ I [^ @ - ио Ш У о (t) dt. A5)
о о
Применяя неравенство Гёльдера, можем написать
1 1
причем в силу A5) везде здесь должны быть знаки равенства.
Условие возможности знака равенства в неравенстве Гёльдера
приводит к соотношению (здесь и ниже справедливость понимается
почти всюду)
\yo(t)\ =aUtt)-B0U)Ip-\ a>0. A6)
Кроме того, из равенства
1 1
J [х @ - и0 (*)] у0 @ dt = J |*(*)- и0 @1 \у0 (t) | А
о о
следует, что
[x(t)-uQ(l))y0(t)>0. A7)
В силу A6) множество точек, в которых обращается в нуль
только один из сомножителей левой части A7), имеет меру нуль,
а потому
sgn yo(t) = sgn lx(t) - nott)h A8)
Учитывая A6) и A8), будем иметь
y*{t) = \y*(t)\ sgn yo{t) = alxit) - Uo(^lp-! sgn lx(t) -
что вместе с A4) дает A3)»
123

Докажем достаточность. Если для uo{t) ей выполнено A3),
то для любой функции u{t) е 31
1
1 х - и0 g = j [х @ - щ (*)] \*{t)- и0 (ОГ sgn [x(t)~ u0 @] dt =,
О
1
- J [ж @ - и (/)] \x(t)- u0@f-1 sgn [х(t) - u0
о
1
< J j X (t) - U (t) j | X (t) - U0 (t) \P~4t.
0
Функция \x(t) — ihit)]*-1 принадлежит Lpt, p' « p/(p —-1), n,
оценивая последний интеграл с помощью неравенства Гольдора,
получим
|| х-
Следовательно, для любой функции
т. е. uo(i) — функция наилучшего приближения для xit) в
подпространстве 91.
Рассмотрим теперь случай р = 1. Если
I* —иД« inf |ж —Mfc
и ?/о(?) — функция из Loo с нормой Hj/o"» *=* 1, удовлетворяющая
𠫦 1 условиям 2') и 30 из 3.4.7, то
1 1
II * - "о 111 = J * (*) tfo @ dt = J Г« @ - uo @1 ^o W *.
о о
Таким образом,
i i
J\x(t) - u0(t)] y0(t)dt=l\x(t) -u0@1 dt. (Ш)
Если множество точек ?<^[0,1], в которых x{t) =* uQ(l), имеет
мору пуль, то равенство A9) для функции yo(t) возможно в том и
только в том случае, когда почти всюду
Из этого соотношения и условия 3') в 3.4.7 следует, что
J и @ sgn [х (t) — и0 (t)] dt = 0 для всех и (t) e 91. B0)
о
124

С другой стороны, если для функции uo{t) ^ 31 выполнено B0),
то какова бы ни была функция ult) e 91, будем иметь
1 1
j \ [х(t) - uQ(t)] sgn \x(t) - u0(t)]dt =,
j \*(*)
о
J J
J [x (t) - и (t)) sgn [x (t) - u0 (t)] Л< JI л (t) - u @1Л,
о
т. о. функция uo(^) — ближайшая к x(t) в подпространстве 31
относительно метрики Li.
Ясно, что все утверждения этого пункта переносятся без каких
бы то ни было изменений на периодический случай, когда
рассматривается наилучшее приближение в нрострапстве Ер 1-пери-
одических функций, норма в котором определяется так же, как ц
в LP.
§ 3.5. Двойственность на классах дифференцируемых
функций
1. Общие замечания. Пусть в нормированном функциональном
пространстве X, под которым можно понимать пространства С, Lq
A^#<оо) или их периодические аналоги С, Ед, ставится задача
получить оценку величины Е(ШУ 90* наилучшего приближения
подпространством 91 фиксированного класса функций 9Й с: X, о
котором известно, что он содержит любой многочлен степени п
(п = 0,1,..). Задача будет корректной, если приближающее
подпространство 91 конечномерно и тоже содержит любой многочлен
степени п. Действительно, если некоторый многочлен pit)
степени п не содержится в 91, то Е{р, Юх = а>0, и для любого числа
Я Е(Х.р, ^x^l^la. Но вместе с pit) классу Ш принадлежит и
многочлен Xp(t) при любом X, а потому
Класс Ш™ (т « 1,2,...) заданных па [0,1] функций f{t)e= L™
(Кр<°°), у которых \\{{т)\\р<К, очевидно, содержит
любой многочлен степени т—1, так что задачу отыскапия
величины E(KW™,yi)x есть смысл рассматривать для подирострапств
91, содержащих мпогочлепы степени ттг — 1. Класс KW™ 1-иерио-
дических функций содержит любую константу (мпогочлеп
пулевой степени) и таким же свойством должно обладать
приближающее подпространство.
Отметим еще, что, оценивая величину i?(AW™, 9t),Y или
(p\ 9t)x, где 91 — подирострапство из X, можно, пе огратгачи-»
вая общности, считать К = 1, ибо справедливы равенства
125

вытекающие из положительной однородности функционала пай-
лучшего приближения. Уйловимся вместо ?(/,91)/,, #(9Й, Э1)ь
писать E(f, 3»,, ?Ш, Юд.
2. Приближение на отрезке. Если 91 — копечпомерпое
подпространство пространства Lq (l^g^«>), то в силу
предложения 3.4.5 для f\t) s Lg\3l справедливо равенство
Е (/, К), « sup f / @ Л (t) Л: Л s Lq4 \\h\\r < 1, 7* _L »|f A)
1/flf + W = 1,
где A-LSI означает, что AJ-ф для любой функции <p(t)c=9lf т. е.
J ^ @ ф @ d* = 0 для всех <р е 91. B)
о
Пусть Лп — множество алгебраических многочленов степени
т. Предполагая, что Pmcr9l, мы сможем исходя из соотношении
A) выразить величину E(Wp, S?)g при r^/rc + l через верхшою
грапь норм в Lp/t р' = р/(р — 1), функций или их производпых
из некоторого класса, связанного условием ортогональности B).
Функцию f(t)^Lrx (г = 1Т 2, ,,.) можно представить по
формуле Тейлора в виде
/ @ -= Ц /(Ю @) ~ + —^ J (* - м)ГV(r) («) du. C)
fc=0 О
Это представление мы используем для преобразования илтеграла
из A):
$h(t)f(t)dt. D)
О
Если /(<)е /'Г+\ то» учитывая, что A-i-31 и, следовательно,
h±Pmj после подстановки в D) выражения C) для /U) при
г = /га + 1 получим
1 1 г 1 -1
j / (i) A (t) dt - i j A (t) J (t - i/)T- /(m+1) (и) А* Л ==
О ОМ) J
e ш j' IJ{t - w)+h {i) dt /(m+1)
Так как
(* - u)\ = (t- u)v - (- l)v (u -
то, опять же в силу ортогональности h J- P,«, равенство E) можно
126

записать в виде
1
f / (i) h (t)dt = (- l)w+1 j hm Ц («) /m+1) (ы) du, F)
о о
где положено
1
[и — ?)™Л (t) dt, G)
Выясняя свойства функции G) отметим простое, по полезное
Предложение 3.5.1. Если hit) eLp (l^p^«0w
if m
О
ro g(t)etp+1, #<m+1)@ ~~ ^ (Oi причем условия
g # 0, ft = O,l,...,w, (9)
выполняются тогда и только тогда, когда h -L Р,„.
В самом доле,
, (Ю)
так что ?(m) @ -¦¦ J й (м) dw, т. е. g(m+1)(/) - А @ и, значит, g е=Л?+1.
о
Далее, так как (— и)\ =-= 0 при w^O, то g(A)@) = 0 (Л: — 0,1,.. •
...,?w), равенства лее ^(D^O имеют место в силу
ортогональности h -L Pm, ибо для w е [0,1] A — и)™~к=: A — u)m~h, С другой
стороны, если выполняются равенства (9), то для любого мпого-
члена р(О^Рт будем иметь, учитывая, что g(O) = g(l) и,
значит, g' -L 1,
l.i 1
J Л (*) /? (^ di = J g(m+1) (t) p (*) d« - (— l)m J g' @ p(Tri) it) dt-= 0.
о о о
Из (б), G) и доказанного предложения следует, что интеграл
D), где h jl 91, 51 zd Pm, a / (t) e L^*+1, можно представить в виде
[ / (t) h (t) dt - (- l)w"bl f g (*) /(m+1) @ dt, A1)
о о
где g (t) e Ljl+1, g(m+1)(i)=MOt причем справедливы равенства (9).
Введем в рассмотрение классы функций, связанных с
подпространством 91:
- ». в(Л) @) - *(Л) A) - 0,
Л = 0,1, ...,m}, w-0,1,2,.., A2)
127

Из предыдущего ясно, что осли Рт<^% то функция git) &
е Wp +* C?H тогда и только тогда, когда она представима в виде
(8), где fceW^(St) и, следовательно, между функциями h(t) c=
е IFp C1) и g (t) e ^^+1(91)O существует взаимпо одпозначпое
соответствие. Равенство A) с учетом определения класса ^
можно переписать в виде
Uf(t)h(t)dt: ЛеТУ5'(»)[. A3)
Теперь, предполагая, что Pmc=9t, из A3), A1) и
вышеприведенных соображений, а еще учитывая то обстоятельство, что класс
+1H вместе с фупкцией •фСО содержит также и функцию
), получим для / ^ LxI+1 {т =0,1,...) соотношение
=: sup |^@/(гп+1)«Л A4)
Рассмотрим етл;е случай, когда функции /(/) из ^>i
приближаются подпространством Э1, содержащим все многочлены
степени т>г. Если Pmcr!ft, k(t)c=Lp и /г-i-SJ, то h-*-Pm, а потому
функция
1
в силу 3.5.1 принадлежит L^+I и удовлетворяет равенствам
<*Ч0) (*Ч1) 0 (fc = 0,1,..., т). Если положить
A5)
ао, очевидно,
* («) J(f «)Г'А («) А* * С)
причем, опять же в силу 3.5,1, функция 1|з(?) продставима в виде
A5), где #(/) — функция (8), в том и только в том случае, когда
^_L/>m_f. Используя для /(*) (/<=??) представление C),
будем иметь
1 1г1
П J y> л (*) at
1 1г1 Т
J / (t) h (<) d< = JF±^] П J (* - »);-y> («) йц
о о ч J
I (г)
о
128

lrl' -i 1
^ - (тЕг^Г J J(u ~ f^h ® dt /@ M da = (- l)r J
0 U J 0
4> (u) /(r)(») A*.
0 U J 0
A8)
Так как ty{r) it) =* hit) и, следовательно, t|?(r)-L9lt то при
условии НАИр ^ 1 функция t|?U) принадлежит классу Wrv (91H. Теперь
ясно, что между функциями h (t) s ТУ° (91) и функциями фШ из
РКр (9tH, удовлетворяющими условию -ф -L />„._,., существует
взаимно однозначное соответствие, а потому из A3) и A6) следует,
что для любой функции f(t)^L[ в предположении, что Лтс:31
и т> г, справедливо равенство
! A7)
Заметим, что в этом равенстве содержится и A4), если положить
г =* т + 1 и не учитывать условие g -L Pm-r> если w — г < 0.
Чтобы получить выражение для величины E\Wrp, 9l)q, надо
в равенстве (8) перейти к верхней грани по f(t)& Wrp, т. е. найти
верхнюю грань правой части (8) по всем функциям fit) из Lpy
у которых 1 /(г) |р <J 1. Воспользовавшись известным (см., например,
И, с. 301]) соотношением
1
^ + 1
придем к следующему утверждению.
Предложение 3.5.2. Ел/m конечномерное подпространство
31 из Lq содержит любой многочлен степени ^ту то при г —т + 1
Е (Wp, SI), = sup 11 &,: g e 1П' (»)•), («)
^ т
^ClH> gJLPw-r], B0)
3. Периодический случай. Рассматривая паилучшее
приближение 1-периодических функций fit) в метрике Lq (l^^<«»)t
считаем, что приближающее конечномерное подпространство 91
содержит копстаттту. Соотношения A) и A3) справедливы и в
периодическом варианте, причем из того, что h^-% следует, что
h J- 1, т. е. j h (t) dt = 0. Последнее обстоятельство позволяет счи-
тать фупкцию hit) m-й (m = lt2,...) производной некоторой
функции g e= Z$: h (t) = g{m) {t). Тогда || g{m) \q> < 1 и g™ ± К. Эти
129

свойства положим в основу определения класса функций .
причем но функции hit) = g{m)(i) фупкция git) определяется с
точностью до аддитивной постоянной. Потребовав от функций
git) из W™($1) выполнения дополнительного условия giO) = О
пли gJ-1, мы установим между h(t)^Wp{$l) и git) взаимно
однозначное соответствие.
Если f(t)<=L™ (m = l, 2, ...), то интегрированием по члетям
(виешттегральпые члены исчезают вследствие периодичности)
найдем
J h (t) f (t) dt = (- l)m j g (i) /(m) (t) dt. B1)
0 0
Отметим ноиутпо, что равенство B1) можпо получить,
отправляясь от представления (см. ниже § 5.2)
1
/ @ = С0 + J /)т (* - U) fm) (U) dll, f €= ZT,
О
1
где Dmix) — мопосилайи Берпулли A.1.12)» r0 «= j f(t)dt.
~ о
Так как каждое из множеств {g: ^е1УрC1), g@) = 0| и
{g: gG W™($1), g±.i) вместе с функцией git) содержит также и
функцию -git), то из A3) и B1) находим, что для/е L™
Е (/, 9lO » sup If ^ (Q /*) (t) dt: gezW$ (91), * @) = 0] -
Го
j(m) ^ l. B2)
Чтобы получить теперь выражение для^(РУ^1, 3})д,иадо в B2)
перейти к верхней грани по /@ е W?1. Используя равенство A8),
приходим к следующему утверждению.
Предложение 3.5.3. Если конечномерное подпространства
91 из Lq содержит константу, то для m =» 1, 2,. • # справедливы
соотношения
0]; B3)
?, 91),< sup (I g у: g €= <Г? (*), ^_L 1}, B4)
+ +1
где
Переходя в B2) к верхней грани по / е W^1, мы можем,
учитывая, что fm) J. i7 воспользоваться вместо С18) следствием 3.4.0 л
130

тогда придем к точному равенству
Й^ B5)
где Ег (g)pf « inl j| g — Я ||р' — наилучшее приближение функции
А.
g(t) константой в метрике Lp*. Конечно, в правой части B5)
верхнюю грань можно вычислять по функциям g (t) e W$ (91),
удовлетворяющим дополнительным условиям ?@)=*0 или g-Ll,—
они не влияют на величину Ex(g)vt%
В главе 4 мы увидим, что для подпространства сплайнов
минимального дефекта в некоторых случаях в B3) и B4) также
будет знак точного равепства.

Г л а в а 4
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
СПЛАЙНАМИ МИНИМАЛЬНОГО ДЕФЕКТА
Соотношения двойственности, полученные в главе 3, сводят
одну экстремальную задачу к другой. Например (§ 3.5), задача
отыскания точной верхней грани функционала наилучшего
приближения подпространством 91 на некотором классе 9Й, функций
с ограниченной т-й производной заменяется задачей па
экстремум нормы в сопряжешюй метрике па другом классе 5W2 = 9R2(!R)t
определяемом ортогопалыюстью т-х производных
подпространству й. Таким образом, от фупкциопала Е(х, Я) мы переходим к
более простому функционалу 11ж11, по исследуется этот более
простой фупкциопал па более тонко задаваемом классе.
Тот факт, что в ряде экстремальных задач наилучшей сплайн-
аппроксимации удалось получить точное решение, обусловлен,
в частности, тем, что в случае, когда SJ — подпространство
сплайнов, класс ЗИ2(Э1) можно охарактеризовать более явным образом.
Здесь надо подчеркнуть, что в отличие от приближения
алгебраическими или тригонометрическими полиномами, порядок и
гладкость приближающих сплайнов приходится выбирать, сообразуясь
с гладкостью приближаемого класса 9й1в
§ 4.1. Наилучшее приближение сплайнами т раз
дифференцируемых функций
1. Классы И^(Дл). Рассмотрение вопросов наилучшего
приближения сплайнами фупкцпй, у которых /(?п)е?Р1 начнем с
периодического случая, где удается более полно использовать
специфику подпространств сплайпов.
В главе 1 было введено подпространство 5т(А*) 1-периоди-
ческих сплайпов порядка т дефекта 1 по произвольному, но
фиксированному разбиению
А»: О = «о<*1<...<^==1. A)
В частности, S0(AN) есть множество кусочно-постояпиых
периода 1 функций с возможными разрывами в точках U разбиения
A). В случае равномерного разбиепия Ддг = {*МГ}0 пишем
Е
у рр р {} .
Если мы хотим для вычислепия или оценки наилучшего
приближения подпространством Sm(AN) на классах функций из Т/р
воспользоваться двойственностью, то в связи с соотношениями
132

13.5.23)—C.5.25) должны заняться исследованном класса
W;[Sm(^)} =-= [g: g^Wrp, ?(r)_LSM(AA>)K B)
Специфика сплайнов позволяет из условия ортогональности
g(r> JLSin(AN) извлечь информацию о свойствах самой функции
g{t) относительно разбиения AjV.
Следую1цая лемма относится как к периодическому, так и к
непериодическому случаям.
Лемма 4.1 Л. Для того чтобы при фиксированном разбиении
(\) функция g(t) e [jt была ортогональна подпространству 6т0(Ал),
необходимо и достаточно выполнение соотношений
U
J g{t)dt:-Q, i — i,2 ЛГ. C)
ti-1
Доказательство. Пусть g{t) e Lu g X Slt(AN) и
U
J g(t)dt^au f-.1,2, ...,#.
Если *ф(/) б5Л(АД то if(/) = Ci для /,•-.!</</,•, и условие
^-Л(Лл) означает, что для любых чисел с*
2 -- о.
В частности, при с{ = а, будет а\ + ... + а% ---¦ 0, откуда следует,
что а,==0 (г = 1, ..., Л;) и необходимость доказана.
Достаточность очевидна.
Лемма 4.1.2. Для того чтобы m-я производная функции g(t)
из Л™ (т = 1,2,...) удовлетворяла условию ортогональности
g(m) Х?Т„(ДД достаточно, а если g -L 1, го и необходимо
выполнение условий C).
В спмом деле, интегрируя по частям, для любой функции
найдем
1 1
J g(m) @ ^ @ dt - (— l)w j1 g (t) <ф(тп) (/) d^.
о о
Таким образом, условие g(m) J-5m(AiV) равносильно тому, что для
любой функции -феЗ^Д*) выполнено соотношение g -L г)?(т).
Так как i|?(wi) G=Stt(Aw), то остается воспользоваться леммой 4.1.1,
однако надо учесть, что в силу периодичности г?(т) J- 1, а потому
для необходимости условий надо потребовать дополнительно,
чтобы было gJ- 1.
Лемма .4.1.2 доказала. Если теперь g (t) e И^^1 [5„,(Дл')] и
gJ-1, то в силу этой леммы для функции g(t) выполняются
равенства C), и, положив
i
(и) du1 D)
133

будем иметь #iU<) = 0 (/ = О, !,...,#). Это наводит па мысль
о целесообразности ввести в рассмотрение (при фиксированном
разбиении A)) класс функций
VP^(A*)=U: g^Wp* *(*0==0, *«0,1 N1 E)
m -= 1, 2, ...; 1^ р^ оо.
Непосредственно из определения вытекает
Предложение 4.1.3. Если ?@<=И7™(ЛЛ), то
g{k) ±Sk-x{Ax), Л = 1,2 го.
В самом деле, пз включения #е W™(A,v) следует, что gf J-
S(An), и потому если ifeS^-AA*), то if'* е?0(ДЛ) и
J в™ («) t (*) л - (-1)* I / W Vft} С)dt - о.
о о
Выясним связь между классами W^+1(An) и IVp [5/п (Дл')] »ри
тп>г— 1. Если ?@^И7р(Дл'), то g' ±S0(&k)9 и в силу леммы
4.1.2 g' (^) e Wr^"x [Sr-i (Д.\)]» следовательно,
«Г^е^ПЗг-^Длг)!. (С)
С другой стороны, из включения F) вытекает, опять же в
силу леммы 4.1.2, что
U
J g'(t)dt-~-O% i= 1,2, ...,Л\
и если, кроме того, g@) = 0, то g (t) e ТУр (A,v). Таким образом,
имеет место следующее равенство в смысле совпадения множеств
функций:
0}f r«l,2f... G)
Пусть, далее, m > г. Если ^ (*) s И ^ [5т(ЛЛ)] и ^J-l, to
функцию г|?(О можно считать (т —г)-и производной функции
g (I) e VK^' такой, что g J-1, причем g{m){l) = яр(г)(О, так что
gim) -LSm(Ajv). По лемме 4.1.2 фупкция g(O удовлетворяет
равенствам C), а функция giU), определенная в D), тогда
принадлежит классу Wp+\Ax). С другой стороны, если gity^W^iA^),
то функция \|?(f) = g{m-r+li(t) прштадлежит классу Wrv, а в
соответствии с предложением 4.1.3 производная ${г)Ш =* gim+i)(t)
ортогональна подпространству Sm{AN). Это значит, что ty(t)s
<= ^pl^m^A')]» причем ф JL 1, Этим установлено, что
(8)
134

Теперь займемся выяснением свойств функций класса W™(Aa),
додаваемого разбиением А*; при этом нам сразу же придется
потребовать, чтобы N было четным: Л7 — 2га. Это связано, вообще
говоря, с тем фактом, что 1-периодическая функция может
менять знак на периоде только четное число раз и, в частности,
идеальный периодический сплайн имеет четное число узлов на
периоде.
И силу следствия 1.4.3 для любого разбиения
Д2п: 0 = *o<*i <...<**» = 1
существует единственный, с точностью до знака идеальный
Апериодический сплайн фтШ ~ (рт(/; Агп) порядка т ^ 1 с 2п
узлами на периоде, удовлетворяющий условиям фт(/,) =0 (I «= 0,1
,.., 2п), причем все эти нули простые и других нулей на [0,11
сплайн фт(/) не имеет. Очевидно, птоф?п^ И7™(Д2п); в этом классе
сплайн <рто(/) будет играть роль фулкпип сравнения.
Теорема 4.1.4. Если g(t) ^ WZ(&2n), то для всех /е
е: (—сх>5 оо) выполняется неравенство \g(t)\ ^ 1ф»<@1.
Доказательство основппо па идее, у;ке не однажды
использовавшейся в сходных ситуациях. Рассуждая от противного,
предположим, что в некоторой точке ?' выполняется иеравенстно
lg(l')\ > l<pmU')l, причем ясно, что t'?=tu ибо g(ti) =(pm(/J = 0.
Можно выбрать число Я, 0<UI<l, таким образом, что будет
hg(i') «ср,„(г'). Тогда разность 6@ — <p,*(i) — ).g(O имеет на
периоде не менее 2n+i перемен знака, в то время как тп-п
производная b{m){t) удовлетворяет равенству sgn6(m) (t) ^= sgn qtf?* (t) (ибо
l'X^(m)IL<l) и потому имеет па периоде ровно 2п существенных
поремеи знака. Н силу 1.2.6 это псвозможно, и теорема доказана.
Следствие 4.1.5. Имеют место соотношения
w = 1, 2, ...; 1
Несколько дальше мы сможем продвинуться в выяспепип
свойств функций классов W^(A2n) в том случае, когда разбиение
А2п равномерное, т. e.jCi^ t/Bn) (i — 0,1,...,2п). Такое разбне-
лио будем обозначать Д2п. Единственным (с точностью до знака)
идеальным сплайном порядка m с 2п узлами па периоде,
имеющим простые нули в точках i/Bn), является сплагш
), если m нечетно,
где ф2п, т(^) — эйлерон сплайн (§ 2.3). >fcno, что^2п,м е=
Отметим сначала свойства, неносродствепио вытекающие из
уже полученных результатов. Если 52п, т — множество 1-периоди-
ческих сплайнов порядс^а m дефекта 1 по разбиепию_А2я, то, как
следует из 4.1.3, для произволъпой функции g^WjT(A2n)
j(ft|l^M, k~ 1,2,... ,те. (9)
135

Далее, в силу теоремы 4.1.4 для любой функции g(){)
Ij?U)I < l$2n(mU)l, так что 11?НС^ "фзп,ml'c, _и теперь предложение
2.4.14 с учетом оттредслсттия класса lV«(A2n)сразу дает точные
оценки для норм i\g{h)§q ири всех 1 < q < », Таким образом,
справедливо ^ _
Предложение 4.1.6. /?ош g(l)е WZ(A»n)i то для всех t
\g(t)\ ^ l\f2n.m(OI. Кроме того, справедливы соотношения
A0)
В случае равномерного разбиения мы сможем точно оценить
также норму llglli дли g(t) s Wpl(A2n) при 1 < р < °°.
Т о о р о м а 4.1.7. Имеют место соотношения
S»P
1/р + 1/// - 1.
Доказательство. Пусть g {t) <= W™(A2n). Положим
sgn g(i) и
где константа с выбрана из условия ф4 -L 1. Используя то, что
g@) =g(l) =0, будем иметь
11 1
Uк = 1 * @ % @ * -- - J *' @ *i (*) Л - (- l)m J g(mi@ Фт @ Л,
0 О (»
где tymit) — (т — 1)-й периодический интеграл от tf,U). Так как
(см. 19)) g{m) lS,Tlim-i, io для любого сплайна ЙM
!, ™ (- If I ?(m) (*) Itm (t) -s(t)\ dt. A2)
Выберем сплайн sit) из услония
s(t/Bn) - am) - ?fw(//Bw) - a«), i == 1,2f..., 2nf
где
0, ос ли w четно,
1/Dи), если ал почетно.
Такой сплайн в множестве S2n m-i существует в силу следствия
1.2.19.
Если положить Ш) =-$m(t) — s(t), то, очевидно, 6U)e?m-2t и
136

где Ci—константа. Следовательно, функция fi("l~n(J) па каждом
промежутке (/<-i, tj удовлетворяет условию Липшица с копстап-
той 1, так что 6(/) принадлежит определенному в § 2.7 классу
Wm~~lII\n. Следствие 2.7.3 дает оценку
IlA'l <г I! II A <r* <^ D?l\
и с помощью неравенства Гёльдера из A2) и A4) с учетом того,
что l\g{m%^ 1, будем иметь
Таким образом, для любой функции g{t) из класса W% (Д2п)
и остается установить, что на самом деле здесь имеет место знак
равенства.
Пусть сначала 1 < р ^ <» л, значит, !«$//< «». Положим
/о @ = l)(f2n,m 1O^1 ф2«.т@ Г""' Sgn fp2nfm@.
Ясно, что /О(О имеет те же пули, периодичность и симметрию,
что и функция фг«. т*/), так что, в частности, /0 J- 1. Если go(*) —
/и-й периодический интеграл /b(i), причем такой, что ?и-^1, то
а, кроме того,
Так как \g(om)\\p = Й/оЯр ^ *» т0 Л@
В случае р=1 в классе 14^^(Д2П) пет функции g(t),
реализующей равенство HgH, = H<p2>i,mjL, однако при любом е >0 можпо
указать фуПКЦИЮ ge(J)^WT(Asn), ДЛЯ КОТОрОЙ HgJ'i > Ифап. rJc — 6.
13 самом деле, если g*(f) — функция Стеклова (§ 2.5, п. 2) для
Ф-1@ и ^
Теорема 4.1.7 доказана. ^ _
Что касается норм llg^MI, производных функций ge И^(А2п),
то, используя A1), мы можем получить точную оценку лишь при
137

II р е л л о ж е п и е 4.1.8. Если g(t) e 1V™(А2п), то справедливы
точные неравенства
U^t, *-=O,l,...,m-l, A5)
еде Kv — константы Фавара.
Доказательство, При к « 0 неравенство AЛ) содержится
в A1). Фиксируем к = 1, 2, ..., m — 1. Положив ^@= sgn #(ft)U) w
О
будем иметь с учетом (И)
1!ф11с^^11,^11ф2п.«11С. A6)
При доказательстве теоремы 2.5.2 было установлено, что
ф('> {t) - j g0) (t + и) ,|,k (u)dii, 7 «-1,2,..., m.
О
Имеем
1
1 Ф«> |с > Ф<» @) = J g(j> («) ^ (и) d« =-1 ff(fi, A7)
О
/ = 1,2 яг — 1,
а так как llg^llj ^ 1, то
l^^ML^ll^liji^iL^i. A8)
Применяя неравенство Колмогорова B.5.1 )т с учетом
неравенств (Ш) —A8) получим
'l!ff(*MI ^-lUft(/lMl *< U К]к'т-^\\ „ч ill —ft/m ^m-ft || (h) ||
U Iil^ll(p ilC ^ Km-h&m II <P2»fm]C rj= ~ -^Zu ^ 11ф^,т||с.
Неравенство A5) доказано. Неулучшаемость его проверяется на
функции #/,(?), построенной в конце доказательства теоремы 4.1.7.
Г>удет ли справедливо неравенство || g{k)Il^II ф«'п.т L' для g(t) е
е 1Кр'(ДоП) при р > 1 — этот вопрос, насколько нам известно,
остается открытым.
2. Наилучшее приближение сплайнами классов Wrp. Теоремы
двойственности и результаты л. 1 позволяют в некоторых случаях:
точно выразить величину наилучшего приближения класса Wrp
сплайнами порядка т дефекта 1 по равномерному разбиению
через норму эйлерова сплайна ф2п, г@.
Сначала приведем соотношение общего
характера^справедливое при любом разбиении А*, которое дает оценку E(WV, 5w(Aiv))q
(m>r— 1) через верхнюю грань некоторого функционала на
классе H^+1 (Д^).Если сопоставить C.5.23) с G) (случай иг=»
«=г— 1), а C.5,24) с (8) (случай т>г)% то приходим к
438

следующему псравоиству:
?(^3«(AN)),<
r--l, 2, ...; m>r —1, 1<р, g<oo, A9)
1/p -|- iy a l/7 + i/q' = 1.
Из A9) и 4.1.5 вытекает, что
где <p,U; А2п) — идеальный сплайн из 1У«(А2Н), имеющий
единственные пули в точках разбиения А2П. Можно с уверенностью
предположить, что величина E(W^ Sm(&»n))q при
фиксированном п и т>г— 1 имеет наименьшее значение, когда разбиение
А2п равномерное, т. е. А2п = А2П. Для некоторых ситуаций
справедливость этого предположения будет вытекать из результатов
главы E.
В случае равномерного разбиения верхняя грань в правой
части неравенства
w>r-lf B0)
точно выражается через норму эйлерова сплайна в таких
ситуациях:
2) р' = 1, 1 ^ q1 < оо, m =- г - 1;
3) />' = g' = I, m>r-:L
Имеет место следующая
Теорема 4.1.9. При всех г = 1,2,... справедливы*
соотношения
Е (Wp, S2n,m)i = I Cp2n,r ||p' — '^Г 1 ф2,г ||p',
oo,
^BдпГг, m > r - 1. B3)
Доказательство. Оценки сверху немедленно вытекают из
B0) и результатов п. 1. В силу A0)
SUP I g{m-r + l) ||p/ - I ^7mtr V = I Ф2«.г|р', ГП > Г - 1,
так что
^>, S2n,m)i < I ф2п,г |i/, m > Г - !• B1')
139

Далее, ввиду A1) справедливо равенство
||t - 1 <p2u?r |Qt 1 < q < cx>,
которое вместо с B0) (при m=»r— 1) дает оцопку
?(^,52п,г_1)в<1ф2»,г|!,. B2')
Наконец, из B0) и предложения 4.1.8 следует, что
Я(^гоо, 5an,m)c<|<p*i.rfc, m^zr-1. B3')
Теперь покажем, что в B1/) — B3/) па самом деле будет знак
равенства, а заодно выясним вопрос о существовании
экстремальных функций в классах Wrp, т. е. функций, которые реализуют
на этих классах указанную в B1)—B3) верхнюю грань
наилучших приближений и являются в соответствующем классе как бы
наиболее удаленными от приближающего подпространства
сплайнов.
Докажем предварительно одно общее утверждение. Пусть
fit) — заданная на всей оси функция с периодом l/п. 1>удем
говорить, что функция fit) подобна ±:sin2nnt, если она почетна,
монотонна на [0, 1/Dл)] и fit) = /A/Bл) - О для 0^*^1/Bдг).
Аналогично скажем, что функция fit) подобна ±cos2jirt?, если
она четна, монотонна на [0, 1/Dл)] и fit) = — /A/Bл) — t) для
0^?^1/Bл). О двух функциях /ДО и /2Ш скажем, что они
имеют одно и то же подобие, если обо они подобны =Ь sin 2nnt
или ±cos2jircJ. Если fit) подобна ±sin2jircJ или ±cos2jircJ, то
то же подобие имеют и все ее производные четного порядка, если
они существуют и монотонны па [0, 1/DлI.
Предложение 4.1.10. Для функции fit) из L\ (г =»
«= 1, 2,...; 1 ^ q ^ <х>) равенства
, 5ЗЛ, m-v)q - H/(v)ll9, v = 0, 1,..., min (m, r}t B4)
выполняются, во всяком случае, если при m нечетном fit)
подобна ±sin2nrc?, а при m четном fit) подобна ±cos2jirc? и
производные /(V)U) монотонны на 10, 1/DлI *).
Доказательство. Пусть для определенности m почетно,
fit)^Lrv /(V)(O монотонна па [0, 1/Dл)] и fit) подобна ±sm2nntm
Нужно показать, что /?(/(v), 51п,m-v)q^ H/(v)"<*» ибо обратное пера-
венство тривиально. Рассматривая сначала случай 1 ^ q < <»,
положим
Если v четно (и, значит, m — v нечетно), то обе функции
/(v)U) и фо(?) подобны ±s\n2nnt; если же v нечетно (m — v чет-
по), то f{v){t) и if>QU) подобны ± cos 2лл^. Отсюда следует, что если
*) При v = г четность и монотонность /(г>@ понимаются в смысле ноч-
ти всюду,
140

t]?m_v@ — (m —v)-u периодический интеграл от tyQ(t) и ^«-v-Ll,
то функция if>w-v(O подобна ±соз2я/г/ и, следонателыю, ifm-v-1-
1^,0, а потому (лемма 4.1.2) "ф0 -1- &«, m-v. Кроме того,
элементарно проверяется, что Н01«'~1-П СИЛУ общего соотношения
C.4.11)
\ S2n,m-v)q = sup If /(v) @ ф (t) dt:
lo
< lf
Если g = <*>, то ip0U) определим как производную gh(t)
функции Стеклова gn(t)9 построенной для g (t)= ± 4^"s?n s*n ^nn (* + a)t
причем знак и число а выбраны так, что g(t) имеет
положительный скачок в точках максимума fv)(t) и отрицательный скачок
в точках минимума /(V)U). Ясно, что i|H(f) имеет то же подобие,
что и /(V)U); те же, что и выше, соображении позволяют
заключить, что -фо -L 52«, m-v. Легко убедиться, что IIфД ^ 1 и опять и
силу C.4.11) имеем
J
Интеграл справа с помотцыо несложных вычислений
представляется в виде U/(V)IL — е(Л), где е(А)-^ 0 при h-+oo.
Предложение 4.1.10 доказано.
Вернемся к неравенствам B1') —B3'). Фиксируем т=*
= 0, 1, ..., и пусть при К р^°°
* @ = И Ф»».г Hi""' I Ф*»,г @ Г'^1 Sgn ф2П,г @. B5)
Тогда Ц'!р=1, *ф -Ь-1, причем ^U) в зависимости от четности г
подобна или ±sin2jxrc?, или ±cos2jxrc?. Пусть *фг@ — г-й
периодический интеграл от -ф@ h^J-I Ясно, что ifr@ также
подобна одпой из функций ± sin 2nnt или ± cos 2л/г^, а потому число
«т (равное нулю или 1/Oin)) можно выбрать так, что функция
/ип) = ^r(^ + а™) будет подобна ±sin2nni при m нечетном и
подобна dicos2jxrcJ при т четном.
Таким образом, fQ^Wrp {Kp^oo) и в силу предложения
4.1.10
E(flh\ Ъ^т-kl = S/oft)IL 1<^< oo;
А = 0, l,...,min{m, r}. B6)
Учитывая построение функции /0U), легко попять, что
функции /ог) (t) = ty(t +am) и ф2п,г(* +am) имеют одипаковое подобие,
а тогда одно и то же подобие имеют функции /¦<,(/) и фгп, о(^ + ат),
так что
sgn /0U) = ±ф2Л| о(* + аот).
141

Поэтому в случае q — 1 и к = О
1„ S».m)l = l/oll = И /о (О Ф2П.0 (* + «m)
1
1
Pi».r »
J.
P'Jk*n.r(Of d' = IqwliP'. B7)
Таким образом, при 1 <pj^.oo соотношение B1) доказано, ттричедс
функция /0U) из класса Появляется в B1) экстремалью.
В случае р = 1 в классе Wrx пе существует функции /, для
которой выполнялось бы равенство ?4/, 52«, тL в Ифгп.г1^ (т >
>г—\). Пусть, однако, fh(t) @<А< 1/Dп)) — функция Стек-
лова для
/ @ = ^Ф««.г-1 (*+««), B8)
где число ой выбрапо так, чтобы обеспечить подобие, требуемое
условиями предложения 4.1.10. Тогда /л^^1*||/лг li^l и в силу
предложения 4.1.10.
Так как при fe-^0
то для любого е>0 мы сможем указать в классе W\ функцию
f(t) = fh(t), для которой Ж/А, 52nfm)i> "фгп.гНс — е, так что B1)
верно и при р = 1.
Построенная выше функция fo(t) из Wp, для которой
справедливы равенства B6), при р^00 обеспечивает знак равенства и в
соотношениях B2')—B3'). Действительно, при р' = 1 эта
функция, как следует из ее построения, имеет вид ф2п, r« + am>, гдеа,«
есть 0 или 1/Dп). Поэтому при всех 1=^</^<х> и fc==0, 1, ..»
,.,, min {m, r) ^
^"(/о 1 ^2n,m-h)q = ||ф2п,г|Ь = || ф2п,г—/t Bq.
Теорема 4.1.9 доказана. В главе 6 будет показано, что
соотношения B1)—B3) являются неулучшаемыми на всем множестве
приближающих подпространств размерпости 2/г: никакое
подпространство %п размерпости 2п пе может обеспечить в
соответствующих ситуациях меньшую погрешность наилучшего
приближения па соответствующем классе фупкций.
3. Неравенства для наилучших приближений периодических
функций. В силу общего соотношения C.5.22) для любой функции
142

L\ (r> 1) и при любом разбиении A)
[)l \- B9)
Пусть т>г, и ^U) — сплайн из Sm-r(A*r) такой, что -ф-М.
Тогда ф(О«ф(г)(О, где ф(«е5т(ДД и если ?(r)-L5m(A*), to
j g (t) ф (t) dt = (- l)r j ff(r) (t) ф («) Л = 0.
о о
Это значит, что функции g(t), по которым в правой части B9)
вычисляется верхпяя грань, ортогональны- подпространству
Л«-г(Дл), а потому
1 1
J /(г) (*) * С) л - J [/(r) (t) - * (<)] i if) dt>
где sit)— любой сплайн из 5т-г(ДлгХ Считая, что f(t)^Z^ вм-
берем s(t) = 5(/, <) из условия
Тогда неравенство Гёльдора приводит к оцепко
J /г) @ g (<) * < Я (/r), §m_r (AN))p Ulp». C0)
J
о
Из B9) и C0) следует, что для функции /(t)eZp при т> г
?(/,?« (Д*)),<
< ?(/(r\ 5m_r(Aa-))p sup (Ц gy: g € ^ [Sm (Aw)], g ± l}. C1)
Если учесть соотношение (8), то последпее неравенство для
Zp A<р<оо) можно записать в следующем виде:
/и > г > 1. C2)
Относительно случая ти«=г заметим, что для E (
? (if, So {AN))P = 5J inf j | ф («) _ ц |р Л , C3)
и если if e С, то
sup i|)(*)- inf ij)(t)\ C4)
<«<f *<*<* J
143

Перейдя к равпомерпому разбиению Д2п, мы сможем в тех
же ситуациях, что и в пп. 1, 2, верхнюю грань в правой части
C2) выразить через порму стандартного силайпа <f2«, At) и
получить точные неравенства для наилучших приближений самой
функции и ее г-й производной.
Теорема 4.1.11. Если }{t)^Lrp A<р<оо) ит>г>1,
ТО
#(/> ^2n,w)l ^ || ф2п,г ||р' E(frf S2n,m-r)p, ,g~*
1/р + 1/р' = 1.
Неравенство точное.
Доказательство. В силу предложения 4.1.6
и = 1ф2п,г1Р'. C0)
Из C2) и C6) срязу получаем оценку C5), и остается убедиться
в ее пеулучшаемости. В п. 2 этого параграфа была построена
функция /0(J)eVFp A</?^«>), для которой справедливы
равенства B6). Полагая в B6) fc = r, будем иметь
W/(r> ? ^ — II /(Г)И — 4
Ll/o 1 ^>2п,т-г)р~' ||/о Ир—1*
Так как, кроме того, (см. B7)) Е(}о,$2п,тI=-\\<р2п,г1>ч то
для фупкции /(i)e/o(?) в C5) имеет место знак равенства.
При /? = 1 неулучшаемость C5) доказывается так же, как и
неулучшаемость оценки BГ) —с помощью фупкции Стеклова
ДШ, построенной для функции B8).
Теорема 4.1.12. Если /eiL и т > г> 1, го
E(f, 52n,m)c<-r-r E{fr\ 5,«im-r)co. C7)
Неравенство точное.
Действительно, в силу предложения 4.1.8 справедливо
соотношение
sup Um'+%: g<= W
-|фю.г1с-*гBяпГР, C8)
которое вместе с C2) дает оценку C7). Знак равенства в C7)
имеет место для построенной в п. 2 функции f0(t)^Wroo, для
которой выполняются B6).
Рассмотрим неравенство C2) для ДО е Lrp при m = г:
E(f, 5AAN))q^Ar(AN, p\ q')E(f{'\ So(AN))P, C9)
где для краткости положено
A (An, р, q) - sup Щ g' ||p: g e Wrq+i (\N)). D0)
С учетом соотношения C4) можно написать неравенство,
дающее оценку наилучшего приближения индивидуальной функции
144

jit) e Cr через некоторую структурную характеристику ее г-й
лроизводной:
i< (/, Sr (Ajv))e < уЛ (А*, 1, g') Q (/(r), АД D1>
где
Q (/(r), A*) - max ( sap /(r) (t) - inf /(r) (t)\ D2>
— максимальная величина колебания функции fr4t) на
промежутке (^1э U) разбиения А*. Если
<o(iM) = sup |*(O-*(OI
— модуль непрерывности функции г^еС и |Ajv| — max Uj —
— ^i-i h то очевидно, что
м для /(i) e Cr получаем оценку типа неравенства Джексона
К (/, Sr (Д^)), < 1ЛГ (Ajv, I, q') со (/г), | Л» |). D4>
Рассматривая приближение фиксированной функции fit) из
С\ можно говорить о том, чтобы приспособить разбиение А*, па
которому строится подпространство 5г(Лл), к функции fit) с
целью минимизации правой части в оценках C9), D1) и D4).
Заметим, что на жесткий сдвиг всех узлов разбиения Av на одна
и то же число а сомножитель JTr(Ajv, p\ q'), a также со(/(г), 1АЛ1)
ле реагируют, в то время как величипы Eif(r\ Soi&x))<*> и
iiif{r\ An) зависят, вообще говоря, от такого сдвига. Что касается
оптимизации лравых частей C9), D1) и D4) но узлам t{ Ц =
= 1, 2, ..., ЛГ — 1) при фиксированном ЛГ, то здесь дело
усложняется тем обстоятельством, что мнпимум величин ХХД*, р\ q')y.
с одной стороны, и Eifr\ 5о(А*))Р, Qif(r\ ДЛ) и со(/(г), А») (для
фиксированной функции f^Cr),— с другой, могут реализовать
разные разбиения А*. Однако если о функции fit) мы
располагаем только информацией общего характера (например, Н/(г)Нр^ 1
или G>(/(r\ б)^о)(б)), то оптимальным (по крайней мере, в
ситуациях, рассмотренных ниже) при ЛГ=»2/г, как правило,
является равномерное разбиение A2n. В этом случае полученные в
и. 1 экстремальные соотношения позволяют зафиксировать два
точных результата для приближения г раз непрерывно
дифференцируемых периодических функций
Теорема 4.1.13. Если fit) е С (г = О, 1, ...), то
Все неравенства точные.

Оценки D5) и D6) вытекают из общих соотношений D1) и
D4) с уметом предложений 4.1.6 и 4.1.8. Действительно,
неравенство D1) щт q =* оо имеет вид
Д (/, 4W)c< 4 Лг (А2И.1 Д) Q (/r\ А.«),
л в силу предложения 4.1.8 с учетом D0)
Я-(Агп, М) = iq>2n,r+ilc ^Цф2п,г|1с =- А'гBд/г)~\
Далее, из D1) при q^l получаем
Я (/, §.пД < у А ( Д2П, 1, оо) Q (/(r), A8n)t
м ввиду A0)
ЛГ(А2П| 1, оо) - ||ф 2n,rli -
Что касается неулучшаемости оценок D5) и D6), то этот
4>акт вытекает из неулучшаемости на множестве Сг более грубых:
неравенств
^lc D7)
В самом деле, пусть /*(*)-—фулкция Стсклова для /(/)=¦
вф2«.r(^ + l/Dw)). Легко проверить, что функции /(^) и fh(t)
подобны ±sin 2лтг^ при г нечетных и подобны rfccos 2nnt при г
четных, так что в силу 4.1.10
Ж/*, 8гп. r)q « "Л",. 1 < ? < ~. МЯ)
Ясно, что fh(t) е Сг и для малых А НД11С *1,а так как при h -* 0
Jl/Allq -»- Нф2п. rlle, то с учетом B.3.8) и B.3.11) неулучшаемость D7)
м D8) доказана. Так как, очевидно, для ifW^C при любых
6^0
(о(г|>, 6) < 2Щ\\С,
то из точности констант в неравенствах D7) и (-7i8) следует
точность констант в D5) и D6).
Отметим, что для индивидуальных функций f{t)&Cr первые
неравенства в D5) и D6) могут быть улучшены за счет сдвига
оеткц узлов разбиения Д2п, по которому С2роится
подпространство приближающих сплайнов. Так, если Д2п + а — разбиение с
узлами (i/Bn) + a), то для только что рассмотренной функции
/AU) при 0<ft< 1/(8») будем иметь
Впрочем, легко убедиться, что
146

хотя в случае приближения подпространством сплайпов S2n,r'!m
= ЗЦД2„) выполняется равенство D9).
В главе 6 будет покапано, что неравенства
•УК I >\ АК
E0>
для /(/) е С лсулучшаемы на множестве Сг в более широком
смысле: абсолютные константы в этих неравенствах пе могут
быть умепыпспы, если 52п, т заменить лео6ым другим
подпространством той же размерпости 2л.
Отметим в заключение, что нам неизвестны точные оценки
наилучшего приближения сплайнами через интегральный модуль
непрерывности приближаемой функции или ее г-ой производной.
4. Оценки приближения на классах Wrv функций, заданных
на отрезке. Как и выше, W™ (пг = 1, 2, # ..; 1 ^ р <С оо) есть
иласс заданных на [0, 1] функций /Wei™, у которых ll/(m)l!p ^
< 1, /\ — миожестпо всех алгебраических многочленов степени
«Cv, a Sm(As) (wi*=0, 1, .*.) — подпространство сплайнов
порядка m дефекта 1 по фиксированному разбиению
Имеют место включения i\n-i cz VK"\ Pm c 5т(Ал).
Подпространство 6\п(Дл-) имеет размерность iV + m (см. следствие 1.1.3)
так что, в отличие от периодическогЬ случая, повышение
порядка то сплайнов влечет увеличение размерности Sm(&N).
использование соотношений двойственности (см. C.5.19),
C.5.20)) приводит к необходимости изучения свойств функций
класса
И>[6\ЛАлI0-
- [g: g € W\n g{r) ± Sm (ДдО, g(h) @) - ?(ft) A) = 0, fc = 0,1,...
причем в силу соображений, изложенных в начале п. 1 § 3.5,
целесообразно считать, что то > г — 1.
Условие ортогональности г-й производной подпространству
&»(Дк) в определении класса WTV \Sm (Дл)!0» как и в
периодическом случае, можно охарактеризовать более явным свойством,
сиязагшым непосредственно с разбиением Д*. Введем в
рассмотрение класс функций
-I*: geWl, gw(O) = Jh)(i)*=O, A = 0,1, .... r-1,
*(*,) = <), г = 1,...,ЛГ-1}, E2)
где ti — точки разбиения ЛЛ.
147

Нам потребуется простой аналог леммы 4.1.2, который легко
выводится из леммы 4.1.1 с помощью интегрирования по мастям.
Лемма 4.1.14. Для функции g(t) из L™, удовлетворяющей
равенствам
^@) {h)(i)(\ Аг —0,1, ..., т-1,
условие ортогональности g{m) J- 6\ft(AlV) выполняется в том и
только в тол случае, когда
Ч
Связь между классами E1) и E2) дает
Предложение 4.1.15. Имеют место следующие равенства
смысле совпадения множеств функций:
^No-^I^-jNIo; E3)
r. E4)
Доказательство. Если g{t) ^Wrp (АуH1 то g^Wp и
*t
J g'{t)dtr-Q, г -lt2, ...,N. E5)
Но тогда по лемме 4.1.14 g{r) -L Sr-i(AN) u, с учетом определений
<51) и E2), g€2WrPlSr-i{bN)]f>.Обратно: ecmfe^|5M(Aw)|ei
то ^ е ТУр!^-!^^)^, и в силу леммы 4.1.14 вьшолияютси
равенства E5), так что g^Wrp(A^H.
Докажем соотношепио E4). Пусть ty{t) ^W™+{ (&яH. В силу
E3) *(Я1+1) -LSJAJ и если g{t) - V>(m"H)@. To g^Wi> и
Я _L«Sm(Ajv). Кроме того, для любого многочлена p(t)&Pm-n
учитывая, что УА)@) « -фСА>A) = 0 (ft = 0,1, ..., m) и ^'J-l,
будем иметь
так что g{t)^Wp\Sm(A^)]0 и gA-Pm-r- С другой стороны,
если g e Wrp \Sm (ДлI0 и ^JL^m-r, то функция
1
1
148

в силу 3.5.1 принадлежит классу W™+1, причем \|;(m+l> J_?m(AfV)
и \|:(А)@) = ф(Л)A) ^О ((Xfc^/n), а потому с учетом леммы
4.1.14 г|)(ОеЖ;?+1(Лл')о.
Учитывая E3) и E4), соотношения двойственности C.5.19)
и C.5.20) для 9l = 5m(Ajv) можно записать в виде
Е (*П, Sm (AN)\ = sup {1 g(m~r+%f. g <== W^ (Д„)о},
o; E6)
Таким образом, дело сводится к вычислению верхних граней
норм ||#(ш~г+1)||р' на множествах W™+1 (Ajv)o» определяемых разби-
епием Ллг. При wi = l и даже при т *= 2 это, в принципе, можно
проделать для любого &N. В общем же случае эта задача
технически трудно осуществима. Но аналогии с доказательством
теоремы 4.1.4 легко показать, что при q' =» оо решение доставляет
идеальный сплайн с пулевыми краевыми условиями,
существование которого гарантирует следствие 1.4.5.
Интересной представляется задача минимизации при
фиксированном N правой части E6) по всевозможным разбиениям AiVf
имеющая практический смысл, если узлы приближающих
сплайнов мы можем заранее выбирать по своему усмотрению. Ввиду
нулевых краевых условий, которым должны удовлетворять
функции класса W^+1 (AjvH> оптимальное разбиение заведомо не будет
равномерным, однако нам неизвестен алгоритм эффективного
отыскания узлов такого разбиения при любом т.
В § 5.1, оценивая погрешность сплайн-интерполяции на
отрезке, мы получим результаты, которые позволят в отделышх
случаях выразить величину (при фиксированном N)
длт
через нормы некоторых идеальных сплайнов, паймеггео
уклоняющихся от нуля в определенной метрике.
Здесь же мы рассмотрим равномерное разбиепие ДЛ-, при
котором сможем воспользоваться точными оценками, полученными
в периодическом случае. Из очевидного включения Wrp(&N)ocz
<=И^(Адг)и равенств E6), (8) и C.5,25) следует, что при одном и
том же разбиении AN = Д2н
^{W^Sn(AN))q^E(W;,Sm(^)\f m>r~l, E7)
так что при N = 2n и равномерном разбиении надо только
заменить в соответствующих ситуациях правую часть E7) ее
выражениями через норму эйлерова сплайна. Несложные соображения
позволяют получить такие оценки при любых N.
Пусть g {t) e WJ,(Ajv)o. Продолжим функцию g(t) (например,
четным образом) па промежуток [—1, 0), а затем с периодом 2
149

па всю ось. Если теперь положить
то, как легко проверить, }{t)^ W^(AZl\) и
llgwng e 2Г'-*НП, к - 0, 1, ..., г - 1; /
Используя оценки для нормы Н/(ЛI1„ которые дают утверждения
4.1.6—4.1.8, получим соответствующие оценки для il?(ft>l!g. Если
учесть равенство
непосредственно вытекающее из определения эйлеровых сплайнов
(§ 2.3), то можно сформулировать _
Предложение 4.1.16. Если g(t) e Wlo(ANHi to
если же g(t)<~W[(ANH, то
Wh%<hs.r-.kh = Kr-kinN)-r+\ fc = 0, I, ..., r-l.
В общем случае, когда g {t) е И^у, (Ajv)o A ^ Р ^ °°),
Из результатов § 6.1 будет вытекать, что при любом
разбиении AN и при любых т — U, 1, ¦.. и г = 1, 2, ,..
ЛГ + 1пГ|ф1,г|„ 1<д<оо,
E8)
1' = (ЛГ + и»Гг|ф1,гЬ', E9)
Оцепивая правую часть равенства E6) (при An — An) с
помощью предложения 4.1.16 и учитывая E8) и E9), получаем
такое утверждение.
Теорема 4.1.17. Справедливы асимптотические равенства
E{Wrp, SN,m)t = ЛГг|ф,,г
l,, SN>m)c = Kr (nN)~r A - ti,), m > г - 1,
оо,
где величины у\„ у\2, г\» удовлетворяют неравенствам
О < Пи Л» < 1 - #7(JV + /и)', 0 < ц3 < 1 - #
так чго ири N -*¦ оо и фиксированных m и г
150

5. Неравенства для наилучшего приближения сплайнами на
отрезке. Рассуждения, аналогичные тем, которые проводились в
и. 3, позволяют получить неравенства, связывающие
наилучшее приближение сплай-плми па отрезке функции fit) из Lrp
и ее г-й производной.
Для функции f(t)^L\ (г>1) при любом разбиении А*
в силу C.5.17) при т^г будем иметь
Я(/,?»(А*)),-
- sup Н /(r) (t) g (t) dt: g e W\, [Sm (Д*)]в, g _L Pm-r I. F0)
Если $(t)^Sm-r(AN), то i|:U)=<p(t)(*), где cptt) е?т(ДД и для
любой функции ?@, принадлежащей множеству, по которому в
F0) берется верхняя грань, будет
1 1
j" g (t) ф (*) d« = (- l)r j g(r) (t) Ф (*) dt = 0,
о о
т, e. g J- ^т-г(Алг), а потому
l l
j /r) @ g (<) rf< = J [/r) @ - «(<)] * (*) Л,
о о
где s(t) — сплайн из 5то-г(Длг), паилучшим образом
приближающий фупкцию /(Г)(О в метрике Lp в предположении, что /(i)e/>J.
Оценивая интеграл с помощью неравенства Гёльдера и учитывая
E4), придем к соотношению для / е Lrp:
F1)
Заметим, что яри т == г величина Ж/(г>, jSm.r(Air))p может быть
выражена в явном виде (см. C3) и C4)).
Перейдя в F1) к равномерному разбиению AiV и используя
предложение 4.1.16, получим неравенства, аналогичные C5) и
<37):
если / е Lp, то
Е (/, Ss%m)x <||ф^г Цр/ ^ (/(г\ Siv,m-P)p -
-^'ЦфыЦр^С/^,^,^^, т>г>1, 1<р<оо; F2)
если же /е//», то
Я (/, &Ыс < ^7 Я (/(г), 5^,т-г)оо, те > г > 1. F3)
151

С другой стороны, учитывая E9), можем написать
так что
где 0< ^i < 1 — iV7(iV + mY. Это зпачит, что неравенство F2)
неулучшаемо па мпожестве Lrp в смысле точной асимптотики
при N -+- °°. Аналогично, исходя из F3) и используя E8),
придем к соотношению
г,
где 0 < ц2 < 1 - iV7(iV + то)'.
Из общего соотпошепия F1) при т = г вытекают с учетом
C4) неравенства для функций fit) из С:
Е (/, Sr (AN)L < -i Лг (Дл> 1, д')о Й (/Г), Ал), (О7*)
Е (/, 5Г (Ал))9 < 1 Лг (Дj», 1, д'H о (/(г), | AN |; 0, l); @5)
где
Лг(Ал, р, g)e = sup IIg' |p: gs 1У5+1 (Ал),),
величина fi(/(r), AjV) определена в D2), |Ajv|= niax (ft — ft-i),
Ki<JV
©(*, б; а, Ь)«зир{|ф(П-*(Г)|: t'f Г s La,
— модуль непрерывности функции \f(f)^Cta, Ы.
Как и в периодическом случае, здесь можно ставить задачу
минимизации правых частей F4) и F5) по всевозможным
разбиениям Длг (при фиксированном N) как для индивидуальной
функции fit) из Сг, так и на всем множестве Сг. Особенность
приближения на отрезке состоит в том, что коэффициент
/MAjv, I, q')o мипимален при пекотором неравномерном
разбиении, в то время как величины й(/(г), AN) и (о(/(г), |Д*1; 0, 1)
на всем множество Сг (а вторая из пих и для каждой
индивидуальной функции f^Cr) имеют наименьшее зпачепие в случае
равноотстоящих точек tu т. е. когда |ДЛ1 == 1/N.
Считая разбиение Длг равномерным и оценивая величипу
Ar(&N, I, q')o при }' = 1и}; = », с помощью предложения 4,1.16
152

получим следующие неравенства для fit) ^ Сг:
Если/(?)е WJ», то функция Стеклова Д G Сг П Ж», а
потому
так что с учетом E8) и F6)
sup A',(/'fA'-^ = -!Ь-A _ 8l), @7)
где 0 < ei ^ 1 — N'/Ш + r)r. Аналогично устанавливается, что
sup Чйтк=-т^-г A - е*). о < в, < i - л
@8)
Здесь следует напомнить, что размерпость подпространства
SNr равна N + гу в то время как в периодическом случае
l5 /V
6. О наилучшем приближении сплайнами при наличии
краевых условий. В лп. 4—5 этого параграфа рассматривались
вопросы наилучшего приближения сплайнами функций fit), заданных:
на [0, 1] без каких бы то пи было ограничений на значения fit)
и точках 0 и 1. Можно представить ситуацию, когда кроме
глобальной информации о гладкости функции fit) на [0, 1] пам
известны некоторые уравнения, связывающие значения функции
fit) и ее производных на концах отрезка. Выбирая аппарат
приближающих сплайнов, естественно потребовать, чтобы они
удовлетворяли тем же краевым условиям. Именно так обстоит дело
в периодическом случае, который можно интерпретировать как
приближение заданных на [0, 1] функций из L\,
удовлетворяющих краевым условиям
/(»@) = /<*>A), /с = 0,1, ..., г-1. @9)
Базируясь на общих теоремах двойственности, можно
написать выражения для наилучшего приближения индивидуальной
функции fit) или заданного ограничением ll/(r)ilp^l класса
функций подпространством сплайнов по фиксированному разбиению
при наличии краевых условий па fit) и приближающие сплайны.
Получение же эффективных точпых оценок (которые должны,
разумеется, зависеть от краевых условий) в общем случае
связано с большими трудностями.
153

Можно, однако, указать нябор краевых условий отличпых от
F9), при которых дело сводится к периодическому случаю. Речь
идет об условиях вида B.6,18) — B.6.19). В п. 7 § 2.6 показано,
что функции, заданные на [0, 1] и удовлетворяющие таким
краевым условиям, можно продолжить па всю ось с периодом 2 без
потери гладкости, так что в этой ситуации можно
воспользоваться готовыми оценками для приближения периодических
функций.
§ 4.2. Наилучшее приближение сплайнами классов функций,
задаваемых мажорантой модуля непрерывности
1. Модуль непрерывности и задаваемые им классы функций.
В § АЛ получен ряд результатов по наилучшему приближению
сплайнами классов функций Wrp и Wpy которые задаются
ограничением па норму в Lp г-ж производной. Более тонкой, чем норма
Il/Hjr, характеристикой функции fit) является ее модуль
непрерывности (о(/, Ь)х в функциональном пространстве X,
Если X — нормированное пространство заданных на всей оси
(в частпости, периодических) функций fit), то по определению
полагаем для 6^0
<о(/, Ь)х == sup !/(•+ м) — /(-)ilv. A)
|u|<6
Если же X — нормированное пространство функций fit),
заданных на отрезке [а, Ы, то в определении A) при каждом и, \и\ ^
^ б, лорма вычисляется по той части отрезка [а, Ы, которая
вместе с точкой t содержит также и точку t + и, и при этом 0^6^
<Ь —а. В случае X = LP или Lp[a, b] A </?<«>) функцию A)
называют интегральным модулем непрерывности.
Модуль непрерывности A) функции /W^X, где Х~С или
Lp iK р< <х>), обладает следующими свойствами [1, с. 176]):
1) со(/, 0)* = 0;
2)со(/, 6)х не убывает по 6 в своей области определения;
3) модуль непрерывности о(/, б)* есть полуаддитивиая
функция, т. е.
4) фупкция со(/, 6)х непрерывна в своей области определения.
Отметим, что если X — пространство функций fit) периода 21,
то для б>/ (о(/, 6)jce=t(o(/, Dx, ибо если \и\>1, то для
некоторого целого числа m будет \2rnl — и\ < I и тогда
ц/(. + и) - /(-)И* в И/(• + »)-/(• + 2ml)Их < (о(/, Dx.
Результаты этой главы связаны с характеризацией классов
функций с помощью модуля непрерывности со(/, б) = 0)(/, 6)с в
154

пространствах С и С; аналогичные результаты для интегрального
модуля непрерывности нам пеизвестпы.
Свойства 1)—4) при Х=*С являются характеристическими в
том смысле, что любая функция (о(б), обладающая этими
свойствами, является модулем непрерывности некоторой фупкции
j(t) gC. В связи с этим оказалось удобным рассматривать модуль
непрерывности (о(б) безотносительно к функции /, понимая под
этим непрерывную пеубывающую и лолуадднтивпую па
некотором промежутке [0, d] или [0, +оо) функцию, в нуле равную
пулю.
В дальнейшем нам будет нужно следующее
Предложение 4.2.1 A1, с. 179—1801). Пусть ыШ
—непрерывная неубывающая и выпуклая вверх на [0, d] (или на
@, оо)) функция, и (о@)=0. Тогда 1) (о(б) есть модуль
непрерывности; 2) (о(б) — абсолютно непрерывная в своей области
определения функция, имеющая в каждой внутренней точке
односторонние производные б)'(б + О) и й)'(б —0), каждая из которых
не возрастает и
Смысл утверждения 1) в том, что из выпуклости вверх
функции о)(б) следует ее иолуаддитшшость.
Каждый модуль непрерывности о>(б), определенный на [0,
& — а], выделяет в пространстве С[а, Ь] класс функций /U), для
которых (о(/, б) ^ (оF) @^6^ 6 — а). Этот класс мы обозначим
Лш1а, Ь]; таким образом, /U)e#w[a, b] тогда и только тогда,
когда для всех t\ t" ^ [я, 6]
1/(П-/(Г)|<со(и'-П). B)
В случае [а, Ы = [0, 1] условимся вместо //"[О, 1] писять //w.
Соответствующий класс 1-иериодических функций fit) из С,
определяемый неравенством B) для всех t' и t", обозначим #w; впро-
мем, в силу сделанного выше замечания достаточно, чтобы 2)
выполнялось для \t' — t" \ ^ 1/2,
Через W 11* (г=1,2, ...) будем обозлачать класс функций
f(t)^C\ у которых /(r)(i)^//w, т. е. класс г-х интегралов от
функций, принадлежащих Я°\ WrH* (г=1,2, ...)—класс г-х
периодических иитегралов от функций из Я40. В общих
ситуациях под W0!!* и WQIi* понимаются соответственно Ны и Пы.
Предложение 4.2.2. ([1, с. 1851). При фиксированных г==
= 0, 1, ... и модуле непрерывности со(б) классы W'U* и WrH"
являются выпуклыми замкнутыми и локально компактными в С
(соответственно в С) множествами.
Важными частными случаями классов Wr//W и WrII*
являются введенные в п. 1 § 2.1 классы WrKHa и WrKIla, которые
задаются модулем непрерывности (о(б)=*#ба @<.а<1).
При каждом N=\, 2, ... с модулем непрерывности (о(б)
будем связывать функцию /*, о(со, ?), определенную на отрезке
155

[О, 1] равенствами
1
Г 1
C)
Заметим, что sgn /jv,o(<«>, 0 =" S8n Ф*д (О и И/jv.o (°>) Ие — -j ^f jv"
Предложение 4.2.3. Если соF) — выпуклый вверх модуль
непрерывности, то функция /N, 0U>, О принадлежит классу //%
причем
@(/„ 0, 6) = о)(б), 0 < б < 1/N. D)
Доказательство. Мы должны убедиться в том, что при
условии выпуклости вверх о)(б) для всех t\ t" s [0, U
-ri) E)
(для краткости мы вместо /jv, o(co, i) будем здесь писать fs%
Если 0^ ^ < ^/7 < 1Л2Л0, то в силу полуаддитивиости (оF)
/iv.o («') - /nj0 (о 1=4
®BГ) -т
<( ) (| |)
Если же 0 ^ ^ < l/BiV) < ^ < 1/iV, то с учетом выпуклости вверх
модуля непрерывности юF) будем иметь
Этим, ввиду C), доказало перавенство E), если t', t" s
е [(i- 1)/JV, i/ЛП (i = 1, .... ЛГ). В общем случае, когда t', t" e
^ [0, 11, существуют точки т' и т" па отрезке [0, 1/N] такие,
что It'-t''I^U'-П и /*..(т')-/*..(*'), /»..(т*)-/*..(Г),
а потому в силу уже доказанного
<(|тт1Х(,)(иг|).
Мы устаповили, что <>>(/*_0, 8)<«F) @<б<1). С другой
сторопы, если 0 < б *? 1/iV, то
так что справедливо D) и предложение 4.2.3 доказало.
При N четном, iV«*2n, /2я,о(со9 0) = /2n>o((o, 1), и мы будем
фушщии /2«, о(о), 0 считать лродолжеииыми с периодом 1 на всю
156

ось, причем легко убедиться с помощью предложения 4.2.3, что
при выпуклом вверх со(б) /211.0@), J + a)s#w при любом а.
Имея /л, 0U>, t), определим, далее, функции
t
/л\г (со, t) =¦= I Av.r^i (со, u) dw, r = 1, 2, ..¦,
где Yf = 0 при г нечетном и f r — 1/BЛ0, если г четно. Таким об-
ра;юм, /jv.V(со, t) = /iv,r-v(@, 0 (v —lf 2, ..., г), и нетрудно
понять, что функции fNy r(<o, О имеют пули в точках i/N A = 0, 1,...
..., Л0, если г нечетно, и в точках Bi — D/BiV) (J = 1,2,..., N) —
при г четных. Кроме того,
/*, r(co, t + 2/Л0 == /jV.r((o, *), 0< ^< 1 - 2/iV,
/я.r((o, t + 1/N) = -/я.г(ю, t), 0<t<l~ i/N.
Так как /2„, г(со, 0) =/2„, г((»>, 1), то функции /2n,r(o), О
считаем заданными на всей оси с периодом 1. В случае выпуклого
вверх модуля непрерывности о(б) справедливы включения
U г(со, 0 е Ж'//-, Л». Лео, О е Т?г//М, г = 0, 1, 2,...
Поведение функции /Л>г(со, i) напоминает поведение эйлерова
сплайна фл, r+iU), причем, если (о(б) = 6, то fN, rF, ^) =фл-,г+1(Ог
в периодическом случае /2«,г(б, i) = (p2n, r+i(t).
Из определения периодической функции /2я, г (со, ^) видно, что
при г нечетном она подобна ±siii2jittJ, а при г четном подобна
±cos2:rmJ. Но тогда ясно, что функция /2п.г(со, J+l/D./i)) при г
нечетном подобна ±cos2ka?^, а при г четном она подобна
zts\n2nnt. Учитывая предложение 4.1.10, можно сформулировать
следующее утверждение.
Предложение 4.2.4. Если оба числа т иг четны или оба
нечетны, то при всех 1 ^ q <; 00
Е (/s«,r (со), Ss»,«-vX -= 1 /*«.г (со)IU
v=- 0, 1, ,. ,t min{m, г},
ec.tu же одно из чисел m и г четно, а другое нечетно, то
E(f»lr (со, • + 1/D/0), AVm-v), - 1/^rHt
Пи5ке мы увидим что тям, где получены точные результаты
наилучшего приближения периодических классов TFr//w
сплайнами по равномерному разбиению, экстремалями в этих классах
являются функции /2„,г(со, t) или /2„, г(со, f + 1/OS/z)).
2. Приближение класса//10 сплайнами нулевого порядка.
Рассмотрим задачу наилучшего приближения функций класса //*
в метрике Lp кусочно-постоянными функциями с
фиксированными точками разрыва, т. е. сплайнами нулевого порядка по
фиксированному разбиению
А*: 0 = «о <*!<...< **=Н. F)
Мпожество таких сплайнов ооозламаем S0(Ajv).
157

При р «= оо решение тривиально, и оно уже фактически было
выписано в § 4.1. Из D.1.34) видно, что, положив 1Ддг| г
» max 11{ — ti-i | --^ Uv —. ?v_j |, для /еС будем иметь
<о»(/, |Д.у1)/2, G)
и если /М <=//<•, то
FAf, 5ДДлг))«,<(о(|Д.У1)/2, (8)
причем для функции
О,
/@ =
очевидно, принадлежащей //**, в G) и (8) будет знак равеисткя.
Далеко по тривиальной (несмотря на кажущуюся простоту)
является задача о точной оценке па классе Н* величины
E(f, 50(Д,у))р при Кр<оо. Мы приведем решение для
выпуклого вверх модуля непрерывности со(б) при некоторых (заии-
сящих от оF)) ограничениях на разбиение A.v.
Из равенства D.1.33) ясно, что дело сводится к оценке
наилучшего приближения константой функции fit) e IIй* на каждом
отрезке Uf-i, til. Поэтому основную роль играет
Лемма 4.2.5. Для функции /(Й е //и[й, Ь]у где гоF) —
произвольный модуль непрерывности, справедливы оценки
Ь Ь~а Ь—и
inf j'|/(*) —г]|p^<2~p J о)р (/, t) dt < 2"р \ ior(t)dt, (У)
1 < р< со,
не улучшаемые для выпуклых вверх о (б).
Доказательство. Чтобы упростить техническую сторону
рассуждений, воспользуемся следующим утверждением.
Предложение 4.2.6. Пусть /U)€=CLa, b] и е >0.
Существует ломаная hW^Cia, fo], не имеющая горизонтальных
звеньев и удовлетворяющая условиям 11/— h^cia, ы < s ^
6) — o>(Z«, 6I <е, 0<б^Ь-а. A0)
В самом деле, если ln(t) = /„(/, /)—ломаная, интерполируго-
щая функцию /(О в точках xk = a + (b — a)k/n (А; = 0, 1, ..., /г),
то, очевидно,
и с учетом свойств 1) и 4) модуля пепрерывпости при достаточно
большом n = nt будет |/"-'ne|qttibj<e/4. Слегка нодправии
горизонтальные звенья ломаной lne{t) (если оии есть), получим
ломаную hit) ^ Cla, b] такую, что
H/-J.4ci..6j<e/2. A1)
158

Фиксируем, далее, б е [0, ft — я], и пусть точки f и Г' из
Га, Ы такие, что U'- Г I < 6 и ю(/, б) = I/U') - /(Г)[. В
силу (И)
О)(/, б) < |J.(*') - Ш" ) I + 8 < ©(/., 6) + f.
Лип логично устанавливается, что o)(Ze, 6) ^ со(/, б) -Не, так что-
A0) вы пол не wo.
Первое из неравенств (9) может быть записано в виде
J1 / Г\ ^Г *
где Eii])x — наилучшее приближение функции fit) константой
в метрике пространства X. Учитывая предложение 4.2.G, а также
непрерывность функционала наилучшего приближения, мы вира*
не, доказывая (9), с самого начала считать, что J(t)—ломаная
мл класса Н"[а, Ь], не имеющая горизонтальных звеньев.
Последнее обстоятельство гарантирует при любом р^1 существование:
константы т]0, удовлетворяющей раиенству
ь
R силу предложения 3.4.8 А', (/)г.р[в.ы = ||/ —11о||/-рг«.Ы- Так как
вместе с функцией fit) классу //^[д, Ь] принадлежит и фупк*
ция fit) — r\ при любом r\^R\ для доказательства (9) падо
установить справедливость неравенства
Ъ Ъ-а
sup !'|/@1РЛ<2-р \ (ор(М)Л, A2)
где //©[л, Ь|— множество ломаных без горизонтальных звеньев-
из tfw[a, fo], для которых:
Для этого нам потребуется еще
Лемма 4.2.7. Пусть /(/)efla, ft] (К/><«>) и для а
КЬ
t
F it) - f | / (и) l^sgn / (и) d« ¦ h с, A4)
где с — произвольная постоянная. Коли почти всюду па (а, а)
/»)>0(<0), почти всюду па @, 6) /»)<0(>0) (
< 6) и, кроме того, F(b) =*F(a), Fia) /^()
ь- о
J|/@l"*<2-* J
положено е = (a, a) U @, 6).
159

Д о к а з а т с л-ь с т в о. Равенством
b, A5)
определена на отрезке [а, а) строго убывающая функция р(О.
Можно показать (tl, с. 1951), что р@ и обратная ей функция
p-'U) абсолютно непрерывны, а равенства A5) и
Лр-Ч*)) - Л*), а < р-ЧЙ < а, C < * < Ь, AE)
можно почти всюду дифференцировать па отрезках
соответственно (a, <xJ и [р, Ы.
Подстановки t = p(u) и ?=»p~4u) дают
f
A7)
Дифферспцируя равенства A5) и A6) и учитыпая
противоположность знаков /(/) иа (а, а) и (E, Ь), получим
A8)
1 - -|/(р-|а)I"-1(р-|(»)', Р < t < Ь.
Используя равенства A7) и A8), будем иметь
Применение неравенства Гёл]»дера дает оценку
из которой сразу следует, что
1 B0)
Полагая ^^pCw) и принимая во внимание A9), получим
6
160

так что с учетом знака функции fit) па интервалах («, а) и
C, 6) будем иметь
а
а
« J <»р (/
а 0-а
а это имеете с B0) доказывает лемму 4.2.7,
Теперь докажем соотношение A2). Пусть /(<)бЯ0ЙК&|
и /'40—функция, определенная равенством A4) при с = 0.
Тогда ввиду A3) F(a) = /<(&) = 0, а множество точек ?<^(«, 6),
в которых /'40 ^ 0, состоит из конечного числа попарно
непересекающихся интервалов (akf bh) (fe — 1,2, ..., п), причем Hah) «
F(W0
Пусть для определенности /'40 > 0 на (аА, bh). Если /(О
удовлетворяет иа отрезке lahi Ьк] условиям леммы 4.2.7 (при а = р)т
то в силу этой леммы сразу можем написать
J (op(/,i)*. B1)
В противном случае существует интервал (a, j}) <= (aft, feh) (ah <
< а < ^ < fej такой, что: 1) па миожестне eft = (aft, a) U E, fc/v)
для fit) выполнены условия леммы 4.2.7; 2) для всех ie(a, j})
F(t)>F(a) =F($), но разность F(l)-Fia) обращается п нуль
также и внутри (a, [}) (здесь полезно сделать чертеж). Примо-
няя на ек лемму 4.2.7, получим
| B2)
Для оцепени последнего интеграла выделяем на (а, (}) все ии-
тервалы (aVf pv) (v — 1, 2, ..., m) такие, что
//(av) «,/r(pj = /,'(a)f /г(^) >p{a)t av<t< pv.
Если мы установим, что
Pv"~av
j b>p(f,t)dt, v=l,2, ...,m, B3)
av о
то в силу возрастания сор(/, О будет выполняться неравенство
JI / @ I11»* < 2 2-p J со* (/, t) d^ < 2~p J cop (/, t) dt,
a v2 о о
которое вместе с B2) дает B1).
161

Итак, надо доказать B3). Но па каждом из интервалов
(ой, fiv) для /U) выполнены условия леммы 4.2.7, если в A4)
положить а — av и c = /4av). Поэтому к каждому из этих
интервалов применимы рассуждения, только что приведенные для (як, Ьк).
В результате доказательство B3) сведется к доказательству
аналогичных неравенств па конечном числе внутренних к (av, pv)
интервалов.
Продолжая рассуждения в такой последовательности и
применяя на каждом этапе лемму 4.2.7, после конечного числа
шагов мы исчерпаем весь интервал (яА, hh) и получим B1).
Таким образом, опять же в силу монотонности со(/, О,
С | / (t)\'dt = | \ | / (О |"Л < 2~" V j" со" (/, t) dt <
<2~" J ор(
О
Этим доказало соотношение A2), а вместе с ним доказана
справедливость неравенсти (9) для любой функции lit) из
7/w[fl, b]. Остается в случае выпуклости соF) указать функцию
/^//"[a, fc], которая реализует в (9) знаки равенства. Такой
функцией является единственная (с точностью до знака)
функция, задаваемая равенствами
— со (а -|- Ь — 20/2, а < t < (а -|- Ь)/2,
B
Очевидно, что функция B4) удовлетворяет A3), так что
константа наилучшего приближения для нее в метрике />р(я, Ь) есть
пуль; легко проверить, что при выпуклом нперх о>F) :>та
функция принадлежит классу 7/wla, fe], для нее о>(/, 6)^з<оF) и
b b-a
inr J i / (о - tiipd* = i/jij;(,JiW - 2-p j' «." (о л.
^ a o
Лемма 4.2.5 доказасса. Она позволяет при любом разбиении
@), исходя из равенства D.1.33) написать для j(t) ^ 11* оценку
E(j,S0 (Дл-))„ <l2]»p(«)<" . 1 < Р < °°. B5)
L J
Гдо hi — ti — ti-t. Исследуя вопрос неулучшаемости этой оценки,
as дадим фупкцию
1*(*)--(-1ГЧ(.1^1г-ик)-\-си fi_1<i<<i, 1=1,2, ...,N,
где функции 1A; ю; а, Ь) определены равенствами B/1), а
константы Ci выбраны из условия ыепрерывноост» фупкции /* (t) на
162

[О, 1L Для f(t)-zf*(t) в B5), очевидно (см. конец
доказательства леммы 4.2.5), будет знак равенства, однако гарантировать
принадлежность /* (t) классу И" и, следовательно,
неулучшаемость оценки B5) на этом классе мы можем только в случае вы-
луклого вверх модули непрерывности соF), если к тому же для
любых узлов tv и tK (to^tv<th<tK) разбиения F)
Последнее требование с учетом B0) и B4) равносильно тому, что
B7)
Условие B7) заведомо выполняется при любом разбиении Д*,
если а>F)~#6. Если лее, например, (оF)=6а @<а<1), то
для его выполнения надо на разбиение AN налагать некоторые
условия, более жесткие при малом а.
В случае равномерного разбиения Дк- неравенство B7)
справедливо, како» бы пи был модуль непрерывности соF), а,
значит, оценка B5) является точной для любого выпуклого вверх:
<о(й). Таким образом, с учетом G) доказана
Теорема 4.2.8. При любом модуле непрерывности соF) для
fit) e //w справедлива оценка
1 Г 7 , Т'Р
»\N \ o)v{t)dt
Е (/, S-v.o),, < ~ \N J оI' @ Л , 1 < Р < оо, B8)
являющаяся иеулучшаемой для выпуклых вверх со(б); з;тк
равенства в B8) реализуется на функции /A-i0(w, /).
В § G.2 будет показано, что оценка B8) не может быть улуч-
jHona, если д^же 5lV| 0 заменить любым другим подпространством
той же размерности.
Следствие 4.2.9. Для любой функции f(t)^C
справедлива пеулучшаемая оценка
Ж/, Sx. 0)р < 2"'со(/, i/N), К р< оо. B9)
Само неравенство B9) сразу вытекает из теоремы 4.2,8,
неулучшаемость его легко проверяется на функции Стеклова //ДО
для /(O'^sgncosnM, если учесть, что Z?(/h, 5», о)т> = Ч/АИР.
3. 2-перестановка функции и теоремы сравнения для 2-псрс-
етановок. Сначала — некоторые общие соображения. Запишем
справедливое для /^_/>i соотношение D.1.29), считая при
N = 2п разбиение A,Y = A>v равномерным:
}
C0)
Если Зй — некоторый класс функций fit) из LJ, задаваемый те-
103

мн или иными ограничениями па г-ю производную /(г)(?), то по-
лучить оценку величины ?(/, S2n,m)q на классе ffl можно, ;пгшь
Оптируясь па определенной информации о свойствах функций
git) из множества, но которому в C0) вычисляется верхняя грань.
Отп функции, как мы установили (см. D.1.8)), являются пронз-
нодпьемп порядка т — г Л- 1 от функций из множества W™^1 (A2n).
Иная точную оценку нормы в той пли иной метрике функции
git) (см. утверждения 4.1.6—4.1.8), мы смогли в ряде случаев
с помощью простых приемов точно оцепить в главе 4 и
величину C0) па классах функций, задаваемых ограничением па
норму г-й производной.
Однако если класс Зй задается с помощью модуля
непрерывности — характеристики более тонкой, чем норма (речь идет
о классах W'H" и WrJIw), то информации о функциях g{t),
содержащейся в утверждениях 4.1.6—4.1.8, уже недостаточно, чтобы
точно оцепить наилучшее приближение /?(/, 52п, т)д па таких
классах. Извлечь нужную в этой ситуации информацию о
свойствах функций g(t) u3WrQ*(S*ntm) удается с помощью
специального оператора, сопоставляющего функции git) некоторую ее
обобщенную перестановку, S-перестановку, ста которой и
обнаруживаются новые экстремальные свойства функций класса Wrqr('Sinym).
В этом пункте мы конспективно опишем построение этого
оператора, его основные свойства, а также приведем нужные для
дальнейшего факты, отсылая за подробностями и
доказательствами к книге [1], гл. 6.
Непрерывную на всей оси функцию cp(t) будем пазывать
простой, если ф(О = 0 вые некоторого интервала (а, (}), |ipU)l>0
для fe(a, ($) и при каждом у @ < у < шах 1ср(/)|) уравнение
t
1ф(О1 = У имеет ровно два корпя. Вместе с носителем [а, {&]
простой функции ф(О будем сопоставлять также отрезок fa', fi'] (on
может выродиться в точку — при а = ($'), на котором функция
1<р(О1 принимает стаиболыпее лначсиие.
Как и и п. 3 § 2.4, через r(cp, t) обозначим убывающую
перестановку функции |cpU)l, причем для простой функции cpU) нам
Гудет удобно считать перестановку r(cp, t) определепноп па
полуоси @, +оо). Если yd) абсолютно непрерывна на [a, pJ,
и производные ф'(^) и ф'(/2) существуют, то
причем знак равенства имеет место для симметричных простых
функций cpU), т. е. таких, что ф(а + и) =гр(^ — и).
Пусть Via, Ь\ — множество функций, имеющих па [а, Ь]
ограниченное изменение, а V\ [a, b] — множество интегралов
х
/ (/) --= j ^ (и) йщ а < t < Ь,
a
К) 4

где il>U) s Via, Ы, i|)-Ll, так что /(а) = /(h) — 0. Покажем, как
функцию /U) из Vri[a,fe] представить в виде конечной или
счетной суммы простых. Мы можем считать, что
/'(f) = [/'(f-0)+ /'(* +0I/2,
если числа /'U —0) и /'(t Ч~ 0) одного знака, и /'(/) = 0, если эти
числа разных знаков или хоти бы одно из них равно нулю. Это
соглашение пе отражается па значениях /(О, по обеспечивает
замкнутость как множества Fo нулей производной, /'(?), так и его
непрерывного образа f(F0)y причем mes /(Fo) = 0.
Положим
Л/ = шах /(?), m ~~ лип f(t),
и пусть {(#„, zn)}— система непересекающихся интервалов таких,
что
U (Уп, **)= И, ЛЛ\{/(/'0) U 0}, 2 (zn - уп) - Л/ - т.
п п
Каждому интервалу (уп, zn) сопоставим функцию /PU), опреде-
лештую в ка;кдой точке t^ia, b] по значениям /(?), следующим
образом:
если уп ^ 0, то
(О — Ут ос л it ?//t ^f(t)<Z s,-M
0, если f(t)<i!in\
cCvnii же z,, ^ 0, то
/ (f) — z,,, если
/п(*)-
п —*-,!, если /(«)<//л,
0, если
Ясно, что
причем
V (/) = S V (/»), JI / (О | л -¦ 2 51 /„
я па „ п J
И свою очередь фушпщя /п@ есть сумма конечного числа
простых функций фА (*)(* = 1,2,..., /?п) с носителями [а?'м [Уп\ а
с: |д, Ь], причем при каждом фиксированном п интервалы(aj,, %)
попарно не пересекаются, так что
V(/»)= S V(cpn),
an an
105

Перенумеровав функции Цп (I) одним индексом, получим
конечную пли счетную систему простых функций (фЛ{/)} с
носителями [а*, рА] с La, ft]. Таким образом, для /е Pj[atft| получаем
разложение
2 C1)
которое условимся называть ^.-представлением функции fit) на
[а, Ь].
Разумеется, представить функцию fit) из Va[a,b\ и виде
суммы простых .можно не единственным образом. Однако 2-нред-
ставлепне C1) имеет особые свойства. Отметим основные из них.
1) |/@1 = 21 Фа @1.
2) Если [а/мР/<]— отрезки, па которых
|фл@1 ="^ тах1 Фл@1.
t
то любые два интервала системы l(a/M a/,), (fi/M P/t)] по имеют об-
1цих точек и па каждом из них fit) = cpftU) + coast.
ь Н
3) f|/@|A-2f к* @1 Л. C2)
4) V (Л « S V Ы == 2 2 max | фА @1. C3)
а и *п k 1
Исходя из представления C1) введем оператор Д, положи»
дли j{t)e VUa, Ъ\
Л (/; а, Ь; 0 - 2r(cPfcf ?)f
- а,
где r(cpft, ^) — убывающая перестановка lipft(OI. Функцию /?(/; a,
i; t) будем называть И-перестаповпой функции fit) па [а, 61; oiiii
обладает следующими свойствами:
1) H(J; а, Ь; t) не возрастает и абсолютно непрерывна на
отрезке 10, Ь—л], причем
, 0<*<Л -, snp(p/; - а/{),
и
Я (/; а, Ь; ?) — 0 для Л < ? < 6 — я.
7, -a h
2) j Л(/;а,Ь;0
а
h
3) Д (/; я, Ь; 0) - I V (/) = ^ 1 /' 1ч<«.ь>-
Ct
100

Свойства 2) и 3) вытекают из C2) и C3), они показывают,
что 2-перестаиовка сохраняет информацию о норме в Z,,(a, b)
как самой функции /U), так и ее производной.
Условимся в случае [а, Ъ\ = [0, 1] вместо /?(/; а, Ъ\ i) писать
просто Ж/, t).
Пусть V*— множество 1-гтериодических интегралов от
функций, имеюнщх на [0, 1] ограниченное шшепетше и пулевое
среднее значение. Если fit) ^ F1 и /Ы = 0, то функция /OU) = fit + a)
@^f<l) принадлежит множеству Vo[0,lj и S-перестаповку
функции fit) определим, полагая Л(/, t) = Bifa, t). Ясно, что
свойства 1)—3) выполняются для 7?(/, t) и к этом случае — при
[а, Ь] = @, 1].
Функциями сравнения для ^перестановок 7?(/, t) будут S-ne-
рестаповки стандартных сплайнов cp,v, m(t) и g.x,m(t) =*
= A/BЛ^))ср.у,т(О, введенных в § 2.3. При N четных, когда
i$n,»M) и gN,mit) предполагаются згродолженными с периодом 1
па всю ось, а также при N нечетном, а т четном — когда в
точках 0 и 1 эти функции обращаются в нуль — ^-перестановки для
них уже определены. Если же N и т нечетны, то, считая (p,v,m(J)
продолженной четным образом на промежуток [—1, 0), под
Жфл.т, 0 будем понимать 2-перестаповку функции fit) =*
= Ф-v, mit — 1/BЛ0), для которой, очевидно, /@) = /A) = 0.
Аналогично определяется в этом случае и R(gN>m, t).
Заметим, что
, t), R(gs.m, ««Kltfml, 0/2, C6)
где ^т@ есть простая функции с носителем длины 1/N,
совпадающая с ф.у, mU) на промежутке (a, a+i/N) таком, что ф.у,т(а)=*
= Флг, т(а + 1/ЛГ) = 0; при этом очевидно, что
<-1
Нам будет удобно ввести еще рекуррептпо задаваемые
функции (зависящие от непрерывного параметра а):
A/2,
<« C?)
i J /?„,„,_, (и) йи,
О, «>в, «--=1,2, ....
Нетрудно проверить, что для всех К > О
и, кроме того,
fli/jv.m @ = ^ (^w,m, 0 = BЛ0~а Л (Ф*.«. 0. ЛГ,»» = 1, 2, ...,
C9)
167

так что с учетом (.35), B.3.12) и C7)
/? /0\ _ J_y. „ и _.- ' т N т — \ 2 СЛО\
Л1/Л,т^ г ,!?A,m-i!|i- 2 » 'V ,/Я - 1, Z, ..., \Щ
i-1-i
ЛГ = 1,2, ...; т-0,1, ... D1)
У]«ажсм еще, как выражается через 2-перестановки норма «
С и L, виедениой в п. 1 стандартной функции /*>г(ю, ^), которую
мы здесь для краткости будем обозначать /.v, At). Имеем
I! /л'.г ||с - ^ I! /а-.г-, El = ^ j /w.r-1 @ Ао @ df-
о
где ho{t) = sgn /iVf r-iU). Если положить
<Г 1 /ь — 1 ? Г
^ 1, /ь — J , ?, . . . , г,
где знак и константа cft выбираются из условия
= sga/jv^r-i @ @ ^ i < 1), то при интегрировании по частям кпе-
иитсгральныс члены будут исчезать, и мы получим в
предположении выпуклости вверх со(б)
о
1/BЛт)
J
о о
1 iV l/.V
- Y j со' @ r A hr |; 0, -1; t) dt = ] Л (glVfri«) со' (i) dt.
о о
Последнее равенство написано на основании C6),
Теперь, используя соотношения C7) — C9), для нормы H/n, г"с
можем написать следующие выражения:
1'У 1'ЛГ
0 о
1 1
- ^-Т [ Л..г @ »' (i) А =» ^7 j Л».-» A - t) со (l) dt. D2)
О О
Аналогичные равенства можно выиисать для II/у, r((o)ili, учиты-
1G8

нал, что II/,Vf r(co)ili = 2^Vii/.vt r+i(©)ilc. В частности,
1 3
t~ jr§ Rur(l-t)»[jf) dt.
о
D3)
Легко попять, что соотношении, не содержащие производной
(оЧ6), справедливы и без предположения о выпуклости «(б).
Отметим сразу, что, сравнивая перестановки функции
fff+m, До), О и /л.гСсо, ?) и используя равенства D2), нетрудно
убедиться в справедливости соотношений
11Лу+«.г(ю)!'р<1'/л-|г(©):1р> N, m = l, 2, ...; г = О, 1, ..., D3')
а также (при фиксированных т= 1, 2, ... и г = 0, 1, ...)
Нам потребуется несколько утверждений, которые можно
рассматривать как некоторые аналоги — применительно к S-переста-
иовкам — теорем сравнения § 2.4.
Пусть Wry (г— 1, 2, ¦..) — класс 1-периодических функций
fit), у которых 1{Г~1)Ш локально абсолютно непрерывна и
V(/(r))<l. Если f{t)^W[+\ то V.(/(r))-l/r+1)Ii<l,xaK4TO
W[+1czWrv.
Теорема 4.2.10 (A, с. 161]). Пусть g{t)t= Wrv (r=l, 2, ...)
и число а>0 выбрано так, что R(g, 0) = На,Л0). Тогда
Big, t) >Ва,ЛО, 0< t<l.
Теорема 4.2.11 ([1, с. 1631). Пусть g(t) zzWrv (r- 1, 2, ...)
и при некотором а > 0 liglli < !l/?e rlit. Тогда:
1 tf@</?@
2) |i?/(^0K|^fP@l,
3) разность Ba.r(t) — Rig, t) или неотрицательна на [0, И,
меняет знак с положительного на отрицательный один раз.
Нам будет удобно пользоваться не самой теоремой 4.2.11, а
легко вытекающим из нее следуюниш утверждением:
Предложение 4.2.12. В условиях теоремы 4.2.11 для
любой неотрицательной и невозрастающей функции \x(t) e Lt
выполняется неравенство
В самом деле, с учетом утверждений теоремы 4.2.11 надо
рассмотреть лишь тот случаи, когда разность
RatrU)-R(g, t)
169

меняет знак на (О, 1). Пусть
6@ > О, О ^ t ^ т|; 6@ ^ О, ц ^ t ^ 1.
Тогда
j б (*) ц (Q Л = j в (*) и (О Л -!- J 6 (О И (<) Л >
0 0"»)
-П11
> Ц (Ч) J 6(«)Л -h Ц(Л) J в(«)Л - ц (л) ^в(«)Л > О,
О П О
ибо
Теорема 4.2.13 ([1, с. 1711). Пусть g (t) е= И7« П
, 2, ...), функция gtt) имеет нули и \\g\\c <
9
:
в каждой точке интервала (О, 1) выполнено по меньшей
мере одно из неравенств
гИ|Г, ?) или |Д'(?, «I <1й'(ср2„,Г1 01;
2) разность /?((р2п, г, t) — R(g, 0 цли неотрицательна на [О, II,
меняет знак с положительного на отрицательный один раз.
11 здесь отметим вытекающее из теоремы 4.2.13 и
непосредственно используемое б дальнейшем
Предложение 4.2.14. Ясли функция g{t) удовлетворяет
условиям теоремы 4.2.13 м, кроме того, Hglii ^ 1'фгп. r"i, ?o 5ля
любой неотрицательной и не возрастающей функции \i(t) e L, ^w-
полняется неравенство
1 1
J Л (g, t) ц (О Л < J Д (ф,в,г,«) ft («) Л.
о о
Доказательство такое же, как и в 4.2.12.
4. Приближение классов \УТ IIм и \Уг11"(г^ 1) r метриках С
и Llf Считая разбиение
Ал-: Q = tQ<ti<...<t»=*l
произвольным, по фиксирован иьш, запингем вытекающее из
A.60) и A.54) соотношение дли наилучшего приближения в
метрике L4 функции f(t)aCr (г = 0,1, ...) подпространством
сплайнов 5,„(Дл\) (m&*r) порядка m дефекта 1 но разбиению Д.у:
- sup ( ( /(r) (t) g (t) dt: g @ --, ^(«-H-i> (i)f ^ e ^«-ы (AH D4)
170

Ясно, что рассчитывать па получение томной оценки величины
D4) па классе WrIf" можно лишь в том случае, если нам удастся
точно оценить функционал
( 1
'f{t)g{t)dt: /si
иа множестве функций g(f), по которому в D4) вычисляется
верхняя грань. В некоторых случаях мы сможем это сделать в
предположении выпуклости вверх со(б).
Сначала докажем одну лемму, которая окажется полезной и
в других ситуациях. Соображения, из которых она выводится,
уже использовались в п. 2 при доказательстве леммы 4.2.7.
Лемма 4.2.15. Пусть суммируемая на отрезке [а, {}]
функция Op(t) удовлетворяет следующим условиям:
1) интеграл
J
доопределенный нулем вне fa, g], есть простая функция в смыс~
ле определения п. 3, т. е. YU) строго монотонна на [а, а'] и
IP', р] (а < а' < 0' < р), ЧЧр) = О, и если а < {И, го Y(*) /госго-
янпа на отрезке [а', Р'1;
2) «а промежутках (а, «') м ({}', р) функция ty(t) обращается
в нуль разве что на множестве меры нуль.
Тогда для /(ОеС[а, {}] выполняется неравенство
| а'
if (^) / (i) Л < f | \|> (*) | (о (/; р (J) — t)dt^
а
'--"¦ \ U (О Iw (/. ^ — Р @) d^i D5)
Р'
^0^ функция pit) определена для а < ^ < с == (а' + j}')/2
равенствами
~Г, а' <^<с,
а р~ЧО — функция, обратная pU).
?сли со (б) — выпуклый вверх модуль непрерывности^ то:
а) справедливы соотношения
g
«(*) = : sup J
- f |*@I°>(pW-0^= A*@|оH-р-|@)л, D0)
a Ь'
причем верхнюю грань в D6) реализуют функции из НЧа, р]
171

вида К±1Ь{1), где К — произвольная постоянная и
i С
1 — J со' ((> (I) — t) (It, a < I < с,
/о (')-{", '
D7)
что
и) величина Л/Лф) может быть записана в виде
где r{xV, t) — убывающая перестановка функции xY(t) на [a, {il.
Доказательство. Можно показать (Ш, § 7.4), что уело-
пня, наложенные на t|;(/), гарантируют абсолютную непрерывность
фушгцпй p(t) и \o~4i) соответственно на fa, с] и [с, t3J, а также
вынолнепне соотношений
D8)
jl. D9)
с ^
Полагая / = p(z), будем иметь для /U) ^С[а, ?]
? а;
j * (t) f (t) cU - - J ф (p B)) / (p (^)) p' (z) dz.
E0)
Так как ifCi) = 0 почти всюду на (a7, ?'), то, 1тспользуя E0) и
D<S), получим
|*@1©(/,Р@-*)Л. E1)
Аналогично, полагая па (a, a') f = р~4Ы и учитывая D9), пайдем
@ / (*)
< ( | if @1 о) (/, I- р @) Л.
E2)
Совпадение правых частсмт E1) п E2) проверяется с помощью
одной иа тех же .чалю» переменной. Неравенство D5) для /U) е
s CLa, f}3 доказано. Из него сраау следует, что каков бы сш был
дюдуль непрерывности со(б)
Л^о) (^) < I' 11!'( (О Iw (Р @ — 0 dt ^ \ I Ф (О Iсо A ^ р @)л-
а Р'
172

Пусть теперь соF) — выпуклый вверх модуль непрерывности.
Нетрудно проверить (подробности можно найти в книге
111, § 7.4), что тогда функции /0U), определенная в D7),
принадлежит классу //"ta, jJJ. Кроме того, исходя из D7) с помощью
замены t = р(з) легко убедиться, что
/o(ptt)) -Ш)= w(ptt) -t), a^t^c, C3)
откуда с учетом E1) следует, что
р а;
ii утверждение а) лемлты такжо доказано.
Интегрируя по мастям м учитывая, что xV(t) сохраняет знак
на (а, (J), а функции (о'(р(?) — t) и 1—.p'U) положительны на
(а, с), будем иметь
с
[ \|> (t) со (р (I) — t) с
Из определений убывающей перестановки и фупкцнн pit)
следует, что для а < t ^ а'
IH'UM = rDf, p(O- t). E'i)
Если я;е а' < f ^ с, то pU) — < ^ У — а' и для I <= [«', с]
| Ч'@1 — max |?(«)| = г(Ч',р(О-«).
так что E4) выполняется для всех а < t ^ с. Поэтому
(Т, р (*) - t) а)' (р (*) - о A - р' @)л =
= J
Лемма 4.2.15 полностью доказана. Важную роль в
дальнейшем будет играть базирующаяся на пей
Теорема 4.2.16. Пусть со(б) — выпуклый вверх модуль
непрерывности, а функция g{i) имеет на [а, Ь] ограниченное
изменение и g{t) -L 1. Тогда
sup
dt
b-a
< j R(G\a,h\t)(*'(t)dt, C5)
о
173

где
t
G (t) --- f g (u) du, a< t < fc. E0)
a
Если [a, fc]=(O, 1] w git) продолжена с периодом 1 па всю
ось, то
sup И g{t)f(t)dt
I
где
<min [i?(G<r, t)«>'(t)dt, E7)
c
Доказательство. Функции E0) принадлежит множеству
ila, fcj, и для лее справедливо Е-мредставлеиие (см. п. 3)
через простые функции cp/,U), причем почти всюду па [а,
Но тогда для любой функции /(O^Cta, fc]
ь ь P/t
f г @ / w л - f / (о [2 ф! (ol л « 2 j фИ (*) / it) dt, E9>
где [aft, pj — носитель простой фупкцпи cpft(O. Через [a'k, p,>]t
как и выше, обозначаем отрезок (он может выродиться и в
точку), на котором lq)ftU)l принимает максимальное значение.
Применив на отрезке taft, $к] лемму 4.2.15, получим в
предположении, что fit) е И*[а, Ь] и со(б) — выпуклый вверх модуль
непрерывности,
¦ It
Г '
r(<ph,t)<o'{t)dt=
1 Подставляя эту оцепку в E9), будем иметь для любой функции
6 Ь—a ?>-a
J ?@/@ Л <2 j' г(фА,0©'@Л= j JR{G;a,b;t)<u'(l)dt.
a A 0 0
Этим соотношение E5) доказано. Доказательство
периодического варианта E7) практически ничем пе отличается; надо
только при фиксированном с исходить из S-представлепия
функции E8):
174

которое возможно в силу того, что Gc(c) = Gc(c+ 1) = 0.
Теорема 4.2.16 доказана.
Считан в D4), что /(?) е |У7/« (г = 0, 1, 2, ...; М/о//<° =//»)
и (оF) —выпуклый вверх модуль непрерывности, с помощью
теоремы 4.2.16 получим оценку
supj
Аналогично в периодическом случае, отправляясь от
соотношения D.1.29) с учетом D.1.8) и иегтольлуя периодический вариант
теоремы 4.2.16, придем к оценке для /U) e WrHm:
sup j Л(ч>(т~г\ t)to'(t)dt: tfelyj'h1^) , *i>r. @1)
Положив в @1) TV == 2/? и перейдя к равномерному разбиению
Аг«, мы сможем, опираясь на результаты § 4.1 и теоремы
сравнения для 2-перестаповок, точно оценить интеграл л правой
части неравенства
U R(tfm~r\ t)<*'{t)dt: фе1?^ЧЛ2п) @2)
при q = 1 и q = оо для /п ^ г.
Теорема 4.2.17. Каков бы пи был выпуклый вверх модуль
непрерывности со(б), для всех m^r имеют место соотношения
@3)
Доказательство. Пусть в F2) q'=*l in|;e Wj4 (Д2П).
В силу предложештя 4.1.8
I V'° ti < 1<р(Л1« и 11с - ±1 <р&Г»+, Ik = I! gl№\x Ik = || ^a)l.m_, i,
k -0,1,..., m.
Поэтому если g(t) = г|-'т"гЧО, то с учетом C9)
175

Так как gir+"(t) =J:(>'lbnU)ji, следовательно, llgfr+1)!l, = Иф(т+1I1,<
<1, так что g e H^i^cW7^, то применимо предложение 4.2.12,
в силу которого
1
> J F4)
Используя в F2) при q = °° оценку F4), находим, что для любой
функции /U) е= Я?'//" при то > г
Последние равенства вытекают из C7) и C8). Со знаком
равенства F5) выполняется для одной из функций /2n, r((o, t) или
/iii»,r(co, / + 1/Dл)) — в зависимости от четности или нечетности т
]« г. Это следует из предложения 4.2.4 л равенств D2).
Теорема 4.2.17 доказана. Отметим ее частные случаи:
1 1/Bл)
SintnJc = ^§vUAdt=± J со(?)Л, /»>1,
-гЬ ( *«>(т?) dl-=i \ ^ (t) dt,
1/Ч2П)
\ (t) dt m
Теорема 4.2.18. Какое бы ли был выпуклый вверх модуль
непрерывности со (б), для всех m ^ г справедливы соотношения
-0,1,...; п-1,2,... F6)
Доказательство. Будем оценивать правую часть F2) при
qf = оо. Если я|)@^ W»+1(^2n), то в силу предложения 4.1.6
Поэтому, положив g{t) = ty{m~r)(t), будем иметь
llffllp = l!t|)(m-')lip^llVanir+IllPf
причем ge И7», так что мы вправе применить предложение
Г/О

4.2.14, которое в данной ситуации позволяет написать неравенство
1 1
j R Wm'r\ t) со' (t) dt < J R (ф2П)Г и, t) со' (*) Л. (G7)
о о
Используя оценку F7) в F2) при q = 1 находим, что для любой
функции fit) e flKW* в предиоложепии выпуклости вверх со(б)
при всех т^ г справедлива оценка
О
Неулучшаемость F8) па классе fFr//ti> вытекает из предложения
4.2.4 и равенства
1/JV
J
== J
Л^ — 1,2 F9)
которое содержится в D2). Правую часть F8) в силу C9) и C8)
можно записать в виде (см. также D3))
i 1
мом и завершается доказательство теоремы 4.2.18. В частности,
при г = 1 справедливо равенство
0 0
Замечание. Если перейти к функциям периода 2я, то
легко обнаружить, что наилучшее приближение класса W'H^n
(г = 0,1, . ..) 2я-периодическимп сплайнами порядка т>г
дефекта 1 по равномерному разбиению th=kn/n (к = 0,1, ..., 2а)
совпадает с наилучшим приближением этого класса
тригонометрическими полиномами порядка дг— 1 (т. е. размерности 2п — 1)
(Ш, гл. 7). Впрочем, аналогичный факт имеет место и во всех
случаях, когда па классах Wrp+1 получены точные результаты
наилучшего приближения сплайнами дефекта 1.
Пожертвовав чуть-чуть точностью, можно для величин
/'-({-Р//*, 82п,т)х (X есть С или Lx) получить совсем явные
оценки через значения (выпуклого) модуля непрерывности ю(б).
Положив
(Kv — копстапты Фавара), а также
/n (AVBK'),
177

заметим, учитывая D0) и D1 )„ что
1Хг@)=-Л,,г@)| Hiirlli = li/?ifrlli.
Так как функции 7?i,rU) убывает на [0,1], а производная
ю 48) не возрастает для б > 0, то
J f|*r @ - Д,., (i)l ©' (!;) А > 0, G0)
о
и, следовательно,
1
2л д
о
Подставив эту оценку в F3), получим неравенство
g), г-1,2,..., m>r. G1)
Совершенно аналогично, оценивай соответствующий интеграл и
(GO), устанавливаем, что
AЬ) г-1,2,...; «>г. G2)
Знак равенства в G0), а значит, и в G1) имеет место в том
м только том случае, когда со'(б) —const, т. е. со(б) = А'б дли
0 < б < 1/B/?). Диалогичный факт справедлив и дли G2).
Укажем еще первые из чисел г|г:
11 i = 1/2, ц> - 2/3, т|, - 5/8, ... ;
при этом цг -*¦ 2/я, если г ->- оо.
Для наилучшего приближения подпространством Sm(AN)
функций /@ из класса Wr//W (заданного на отрезке [0, ID» мы
имеем оценку F0); правая часть ее определяется (при
фиксированных т и г) разбиением Д,у и модулем непрерывности со(б),
который мы и в этом пункте предполагаем выпуклым вверх.
Разумеется, было бы интересно для заданного со(б), например для
<оF) — /?6* @<а^1), указать разбиение, при котором правая
часть в F0) имеет наименьшее значение. Нам неизвестно
решение (при любых г) этой, по-видимому, технически довольпо
трудной задачи, и мы вынуждены ограничиться тем, что, используя
результаты периодического случая, приводим оценки сверху для
равномерного разбиения.
178

В силу включения W™* (ЛЛH с W™*1 (Ал) для /(/') e Wrfl-
будем иметь
/<(/, Sw(A*))*<sup j7f(VM^\0^@^ ¦e^+1(AJVHJ<
^ sup I \/? (\|)(m '\ 0 со' (t) dt: ib e И^^? (Ад1)}, w^r. G3)
vo J
В случае равномерного разбиения Д,у и четного /V = 2п пос-
ледсгяя верхняя грань в G3) точно вычислена выше при q' — 1
ii а' = оо} так что при N == 2п мы сразу имеем оценки
E{WFir, 5Л,те)с <|| /лчг (со) |с> m > г, G4)
() w>r. G5)
Редукцией к периодическому случаю (как в п. 4 § 4.1)
нетрудно установить, что неравенства G4) и G5) справедливы и
при нечетных N.
С другой стороны, следствием результатов § 6.2 будет тот
факт, что при любом разбиении A,v
E(WrH«y Sm(A.v))* > !/*+«.Л©)»*, т> г, Z есть С или L,. G6)
Сопоставление соотношений G4), G5) с G6) с учетом D3')
и D3") приводит к следующему утверждению.
Теорема 4.2.19. Каков бы пи был выпуклый вверх модуль
непрерывности ш(б), при фиксированных натуральных m и гг
m^r выполняются асимптотические при N -*• «> равенства
°, S^m)c = 1/л.гИ1сA - вг), G7)
Е{\?Г1Г, 5lVi«)i = l/jv,r HI, A - e2), G8)
где е,>0, 82>0 и е<-* 0 (« = 1,2), если N-+<*>.
Правые части соотношений G7) и G8) можно представить в
whom, более явном виде, если воспользоваться равенствами F9),
C9) и C8), позволяющими явно выразить порядок этих величин
но N.
Отметим, что если в левых частях G4) и G5) сузить как
класс функций WrII*, так и приближающее подпространство
сплайнов Sx,m краевыми условиями вида B.6.18)—B.6.19), то
задача сводится к периодическому случаю и соотношения G4) и
G5) будут выполняться со знаком равенства.
Ясно также, что неравенства G1) и G2) останутся
справедливыми, если их левые части заменить соответственно па
EiW4I\ S2n>Jc и E(WrII», &„,„),.
Сделаем еще замечание о случае произвольного модуля пе-
прерывпости. Известно ([1, с. 1821), что каков бы пи был
модуль непрерывности ю(8)^0, существует выпуклый вверх модуль
179

непрерывности со* F) такой, что
о) (8) < о* F) < 2со F), б > О,
причем константа 2 в правой части уменьшена быть не может.
Это значит, что класс WII", задаваемый произвольным модулем
непрерывности соF), всегда содержится п некотором классе
W'H***, где со* F)— выпуклая вверх, мажоранта, причем о>*F)<;
<2ооF).
Поэтому все оценки наилучшего приближения па классах
ГГГ//Ш и VF7/W, полученные выше в предложении выпуклости
о>F), будут справедливы и в случае произвольного модуля
непрерывности (оF), если их правые части увеличить вдвое.
Разумеется, после этого точность оценки па классе уже, вообще
говоря, будет потеряна.
5. Сплайны в задаче наилучшего приближения выпуклым
множеством. Рассмотрим еще задачу, в которой сплайны появляются
в качестве экстремалей. Речь идет о задаче наилучшего
приближения функции из Сг в метрике С функциями ip(t) па класса
W'KII1^ KW'J1, т. е. функциями <pU) п= С, у которых
1Ф(Г)(П - <р(г)(Г )| ^ К\? - Г I, t\ Г е [0,1].
Класс \VrKlP можно рассматривать как частный случай класса
WV7/W — при о>F) = /Сб. Заметим, что периодический вариант этой
задачи исследован в книге [1], гл. 8; здесь мы будем
действовать по той же схеме, отправляясь от соотношения
двойственности.
Класс KW1^ \ не будучи ли ионным многообразием, является
выпуклым замкнутым локально компактным множеством,
содержащим (как и класс \?ГНЫ) множество Рг всех алгебраических
многочленов степени ^ г.
В силу предложений 3.1.2, 3.4.1 и 3.4.2 функции /@^
е= C\KWrc?1 можно сопоставить (вообще говоря, не единственным
образом) функции {po(t)s= KW7^1 и go(t) с вариацией
V (go) = 1, G9)
о
связанные между собой, а также с функцией /(/) соотношениями
?(/, Шг+Л)с - 1/ - epole = J I/ (t) - Фо @1 dgQ(t), (P.0)
о
г 1
sup J ф @ dfiTo @ fc I Фо @ ^o (О- (81)
Соотношения G9) — (81) позволяют сделать определенные
заключения о структуре функций <р«Ш и go(t), являющихся (при
фиксированной fit)) экстремалями рассматриваемой задачи:
фД?) — ближайшая к f(t) функция в KWrJx, a gQ(t) определяет
180

экстремальный функционал, фигурирующий в общей теореме
двойственности 3.3.1.
Положим
(82)
Так как Л- cz KW^1, то для любого многочлена pit) сн Рт должно
выполняться равенство
ибо иначе левая часть (81) будет paima +°°. Таким образом,
dg0J-Pr и, в частности, a#ft-Ll. ]Io аналогии с доказательством
предложения 3.5.1 легко установить, что
причем g(rr)(O= So @» так что gr^Wy. Так как, очевидно,
grit) Ф О, то на (83) следует, что производная gV {t) имеет на
интервале @, 1) но менее чем к существенных перемен знака.
Положим, далее, r\(t) — f(t) — <po(J), и пусть
e+ = {t: *<=[(), 1], TiU)-llTillc}t
e- = {t: «e[0, 1],
Для краткости точки множеств е+, е~ и с будем называть
соответственно е+-, е~- п ^-точками. Так как множество KW1^1
содержит любую константу, то существуют как е+-, так и е~-точки и,
следовательно, существует хотя бы один отрезок [а, ?] с: [О, И,
па котором выполнены условия
\r\{t)\ < IS»i;ic, a < t < ^, 1)(а) = — rj(^) == ±llrj4c.
Ввиду того, что колебание функции r\{t) па каждом из таких
интервалов равно 2llrjll(;, число их конечно.
Пусть go(t) = -фД/) + г|:2@, где t|?i(?) — неубывающая, a \f»2@ —
певозрастающая на [0, 1] функции. Из условий G9) и (83) (при
к = 0) следует, что
^i(l) —* tfi(O) = я|\@) — i\\{i) = 1/2, (84)
поэтому
I i 1
Переписав второе из равенств (80) в виде
-I- J П @ dif2
(80)
131

и сопоставив (85) с (86), придем к соотношениям
1 t
J п (t) <% @ - 41 *> к' J *> (*) d*« @ - г h lie (87)
Из (84) и (87) вытекает, что положительная мера d\fi
сосредоточена в е+-точках, а отрицательная мера б/\|г2— в ^"-точках,
иначе говоря, вся вариация <ф1(?) сосредоточена па множестве е+, а
вся вариация ф2Ш —на множестве е~.
Резюмируя, сформулируем следующие свойства функции go(*)f
вытекающие из (80) — (81):
()
2) go(t) имеет на @,1) конечное, но не меньшее чем г, число
существенных перемен знака,
3) go(t) постоянна на каждом интервале, не содержащем е-
точек, причем go(t) не возрастает (не убывает) па каждом
интернале, не содержащем е+(е~)-точек. Если, в частности, число е-то-
чек конечно, то go(t) — кусочно-постоянная функция, а функция
tfrU), определенная в (82), есть сплайн порядка г с не менее чем г
узлами на @,1).
Выясним некоторые факты, характеризующие структуру
экстремали фоШ. Если ф(t) €= XW»1, то, интегрируя г+1 раз по
частям и учитывая (83), получим
1 г
J 9 (t) dg0 (t) = (- l)r+1 f Ф<г+1) (t) gr (t) dt,
и о
следовательно,
l l l
sup \if (t)dgo(t)= sup f $(t)gr(t)dl~K\\gr(t)\dt.
^kw^'o «««<JCe о
Но тогда п силу (81)
l li
J<Po@dg0(t) - (- l)r+1 j<pir+1)(t)gr(t) dt = K$\g,{t)\dt, C8)
о о о
откуда следует, что во всех точках t ^ [0,11, в которых gr(t) ?> 0,
выполняется равенство
Таким образом, на каждом интервале (а, ?), где почти всюду
\gr(t)\ >0, ipo{t)/K есть идеальный сплайн порядка г+1 с не
менее чем г узлами.
В случае г = 0 мы сможем точно оценить погрешность
приближения индивидуальной функции f(t)^C функциями из
множества KWl^KH1.
Пусть /U) ^С\КП\ уо(г)^К1Р и g9{t) — функции,
удовлетворяющие соотношениям G9) — (81) при г = 0. Из описанных выше
182

свойств функции go(t) п <ро(/) вытекает следующий факт:
существует хотя бы один интервал (a, (i) <= [О, 1J, такой, что если па
этом интервале (a, (i) g0it)<0, то а есть е~-точка, а $ — е+-точка
и, кроме того, <ро(О~ К для a^J^fi; если же на (a, (J) ge(*) >
> 0, то аее+, ^ е е~ и фо @ -- ¦— К (а ^ ? ^ f$). (Например,
в качестве (a, (J) можно взять интервал максимальной длины, на
котором \goit)\=l\gtt\\c.)
Таким образом, на отрезке [a, (i] выполняются соотношения
/ (а) - (Ро («) -= Фо (Р) - / (Р) = ± 1 / - Фо 1с. (»»)
Фо" @ - * sgn [Фо (а) - / (а)|, а < t < р. (90)
Предположив для определенности, что ф„(а) —/(а) = II/ —фо"с и,
значит, фо (t) = /С па [а, р], будем иметь
2Е(/, /а/Ос - 211/ - фоПс - [/(^) - фо(рI + [фо(я) - /(аI =•
« /(&) - /(а) - ЛГ(р - а) < ю(/, ? - а) - Ж^ - а).
Следовательно,
Нетрудно показать, что оценка (91) останется справедливой,
если класс ЮР заменить содержащимся в нем более узким мпо-
жеством KSi сплайнов sit) порядка 1 дефекта 1 (т. е. ломапых)
с нефиксированными узлами, удовлетворяющих почти всюду на
[О, 1] условию U'U)I ^K. (Ясно, что KSi есть выпуклое, но не
замкнутое множество.)
Действительно, пусть (аА, [i*) (Л = 1,2,..., т) — все
непересекающиеся интервалы на [0, 11, обладающие только что
описанными свойствами интервала (а, ?): \go(t)\>O на (а*, (*Д ак
и $h — е-точки разного знака, причем знак е-точки а совпадает
со знаком gn(t) па (аЛ, ^). На каждом из отрезков [аА, $к] (/с =
= 1,2,..., т) функция фо(?) однозначно определена равенствами,
аналогичными (89) и (90). Ясно, что
1фо(а*)-ф«({*.I ^К\*2-^\. (92)
Если в (92) знак равенства, то ф0Ш линейна на [^, а2], если жо
н (92) строгое неравенство, то функцию ф0@ на интервале (^,а2)
можно, при необходимости, подправить так, что получим на l[51f
а2] ломаную ф*(/) с угловыми коэффициентами, но модулю по
превосходящими (при желании — равными) А", причем
сохранится неравенство |/@ —Ф* @ |^И/ -~ Фо1с« В возможности такого
построения легко убедиться, сделав чертеж. Поступая так на
каждом интервале (?А, a*+i) (если pfc<afc+l), получим сплайн
ip%(t)?=L KSly для которого
II / - Ф* Ис = II / - Фо! с =- Е (/, КЮ)С. (93)
Оценим снизу погрешность наилучшего приближения
множеством KIP той же функции j(t). Ясно, что существует число

бое= [0,1] такое, что
так [со (/, б) - A-6J = со (/, б0) - К6О,
6
а также точки V и t" из [0,11, для которых U'— *^60 и
1/(П-/(ГI = <о(/, 60). Для любой функции ср/С/У1
> со(/, б0) — ЛГ6О,
о потому
?(/, А7/')с > [©(/, So) - A6J/2,
т. с. тта самом деле в (91) имеет место знак равенства. Так как
KSi с /С//1, то с учетом (93) можно сформулировать
Предложение 4.2.20. Для любой функции j(t) ^С\КНг
справедливы равенства
Е (/, КН 1)с = А (/, /С53)с - 1 max [(о (/, б) ^ ЛГ6], (94)
причем существует сплайн ф* (^ е А"^, для которого .
В/ —4
Из (94) сразу следует, что, каков бы пи был модуль
непрерывности со F),
ЕAГ, К№)с - Е(П", KSx)c = т max [со (/, 6) - ?8].
Погрешность наилучшего равномерного приближения класса
IV"'7/to функциями класса KW1^1 при г^1 мы сможем оцепить,
(шттрпясг» па теоремы о ^-перестановках, в предположении
выпуклости вверх (оF),— ото будет предполагаться везде в этом пункта
без дополнительных оговорок.
. В силу (88)
1 1
I Фо @ dg0 @ = К \ R (gr, t) dt, (93)
о о
где R(gn i) — S-перестановка функции (82). Если fit) ^W'll®, то,
применяя теорему 4.2.10, будем иметь
1 / (<) dg0 (t) = (- 1)" J /(r) @ gr.x (t)dt^\n {gr, t)«' (t)dt, (96)
0 0 0
и теперь из (80), (95) и (96) следует, что
1
?(/> KW?1)C<1 Ico' @ - Я] Д UPI 0 Л.
о
184

Функция#r@^ Wrv% а потому если выбрать число Ь>0 ил
условия 'l/?6f r"i = WR(gr)K и учесть, что (Яь,ЛО — R(gr> О)-*-1, то
в силу предложения 4.2.12 можно паписать
1
)с < J [ш' (t) - л:] д6,г (t) at.
От функции /(*) в правой части зависит только число Ь, поэтому,
перейдя к максимуму по Ь, 0^Ь<1, мы получим оценку,
справедливую для всех функций fit) ^ VFr//w. Таким образом,
1
max
\ Ra,r{t)[<x>f {t) —K\dt,
г =1,2, ..• (97)
Опишем одну конкретную ситуацию, которая является в
известном смысле экстремальной и характеризует в какой-то
степени неулучшаемость оценки (97).
Пусть при некотором К максимум в правой части (97)
достигается при a = l/JV, N = 2, 3, .... Пусть, далее, функция FntAi)
совпадает со стандартной функцией fNt Дсо, t) при г четном и
совпадает со сдвигом /.vfr((i), t—i/BN)) нечетно продолженной па
[—1, 0) функции /а-|Г(ю, t) — при г нечетном. Тогда
/<\v, Лк/Ю = (-1 )kE\\FNt rllc, Л = 0,1,..., N,
где в==1 или —1. Существенно, что функция /'V.r(^)
удовлетворяет краевым условиям
^ty+i) @) =, ^v-'-D (!) = of v - 0,1 [(г - 1)/2],
Обозначим через /fVFJJ множество функций ф(О из KW^1,
удовлетворяющих таким >ь*е условиям.
1—выпуклое множество, и легко попять, что при N->oo
)t 1)с-+\. (98)
Пусть \fiVf r+i(O — функция, определенная по стандартной
функции /Сф.у, r+i(O точно так, как FNiM) била построена по /^,г(о>, i).
Ясно, что ^.r+^jG^C11. Пусть еще
причем знак выбран из условий
sgn ?0U) = sgn /'\t r(O = sgn $n, r+iU), 0<t< 1Л2Л0.
485

1
Очевидно, что V (#о) = 1» и с учетом выбора К
о
1
| ^Л> — t[\v,r4-l \с " ) [^Ntr (t) — ^--V.r+l @! dgo (t).
О
Положим еще
t
gk(t)---§ gh-t(u)du, 0<*<l; /c-1, 2, ...,r,
К
где cfc==0 при к четных и^« 1/BЛ0 при к нечетных. Для любой
функции <p(t)^ KW'oZ1 будем иметь, интегрируя но частям (впе-
мнтегральные члены исчезают в силу определения gk(t) и
краевых условий ла Ц)'и'~1)(О):
1 1
' Ф (t) dg0 (i) = (- l)r+1 j Ф(г+1) (t) gr (I) dt < I gr I.
о о
Л так как
i l
J H-'V.r-l-l (t) dg0 (t) = (—1)T+1 J t|)jv^! (t) gr (t) dt = I) gr |lf
о о
то
l i
snp
TaiaiAi образом, для функций /*Vfr(^), \j\v,r+i(/) и #()U)
выполнены условия критерия 3.4.2, ir, следовательно,
A1 (i< AV, 7<JK,+1)c - | FjV>r - фл',г+1 ||с @9)
•)го значит, что ciuiaiiir я|*л-, г+1(^) является функцией наилучшего
приближения для FSiM) в множестве AW»'1. В силу D2), (ЗУ)
я выбора /С
| ' Л\г — ^V,r+i [с ^ I! /Л',г (СО) |с — К 1 ф.У.г + 11 С :-
1 Л' 1
- f
Так как /\v, r e W'fl", то из сравнения (98), (99) и A00)
следует, что соотношение (97) асимптотически неулучшаемо
при тех К = Кху для которых максимум в правой части (97)
достигается для а *= 1/7V.
48E

§ 4.3. О наилучшем одностороннем приближении сплайнами
минимального дефекта
1. Вводные замечания. Наряду с задачами
сплайн-аппроксимации в классической постановке и последнее время интенсивно
исследовались задачи наилучшего одностороннего приближении
функций сплайнами. В этом направлении также получен ряд
окончательных результатов, в первую очередь, по отысканию
точных верхних граней погрешности одностороннего приближения
сплайнами на классах функций. И здесь исходным пунктом
явилось соотношение двойственности — точнее, некоторый вариант
теоремы двойственности, предусматривающий ограничения па
приближающее множество, задаваемые с помощью конуса. Надо
сказать, однако, что при сходстве общей схемы рассуждении
специфика одностороннего приближения потребовала выявления
существенно новых фактов, касающихся экстремальных свойств
функций, а также разработки новых методов и приемов
доказательств, которые, как правило, оказываются технически более
сложными, чем в классическом случае.
В этом параграфе будет сделан краткий обзор результатов по
наилучшему одностороннему приближению дифференцируемых
периодических функций сплайнами минимального дефекта в
интегральной метрике. Этим мы проведем некоторую параллель с
результатами предыдущих параграфов, полученными в сходных
ситуациях наилучшего приближения без ограничений. При этом
ограничимся только формулировками результатов (и, может быть,
некоторыми комментариями), отсылая за подробностями и
доказательствами к недавно вышедшей книге Корнейчука 11. П., Лигу-
па Л. Л., Доронина В. Г. [1], специально посвященной вопросам
аппроксимации с ограничениями.
2. Теоремы двойственности для наилучшего приближения с
ограничениями. Множество К вещественного линейного
пространства X называют конусом, если вместе с элементом х оно
содержит и элемент кх при любых к > 0. Множество {х + Ю, где
х ^ X, а К — конус в X, есть конус с вершиной в точке х.
В нормированном пространстве X рассмотрим неличину
т. е. наилучшее приближение элемента х с^ X элементами
фиксированного множества !й из X, принадлежащими конусу {х + Ю.
Заметим, что функционал КК(х, Юх (в отличие от Е(х, 3ft)x) может
и не быть непрерывным. Если множество 91 п конус К выпуклы,
то множество
также выпукло и по общей теореме двойственности 3.3.1
sup
us»(K,.r)
= sup //(*)- sup f(u)\.
187

Воспользоваться этим соотношением в конкретных случаях
не удается ввиду зависимости внутреннею supremuiiTa от х п К.
Оказалось, однако, возможным доказать другой вариант теоремы
двойственности, в котором ограничение на приближающие
элементы и ^91 сказывается только на множестве функционалов /, по
которым вычисляется внешний supremum. Л именно, имеет место
такое утверждение.
Теорема 4.3.1. Пусть X и Z — линейные нормированные
пространства, Z с: X, 91—выпуклое содержащее нуль множество
из Z, К — выпуклый конус из X. Если для xc^Z множество 9} Г)
П {х-+ К) не пусто и в точке х функционал Ек(х, 91 )х непрерывен,
то
Ек {х, Щх --= snp // (х) - sup / (и)}
где
В частности, если § — подпространство, то
Ек(х, 9l)^-sup{/U): fezZ*, Ill/Kl^l, }U)=0 для всех х
Перейдем теперь л конкретные функциональные пространства;
считаем X = L4, Z~C, 91—выпуклое содержащее нуль
множество в С. Задав в Lq копус
0, «еДс [0, U>,
мы можем наряду с уже известной нам величиной
Е{х, Щд=? inf ||ж — м|!7
рассматривать для .rU) e=C татоке величину
te^D}. A)
Чтобы гарпитировать для любой функции #U) ^С иопустоту хию-
зкестпа функций м(«)еЭ1, удовлетворяющих неравенству u(t)<
<x(t) itc-D), будем предполагать, что 91 содержит любую
константу. Легко проверить, что при этом предположении
функционал A) непрерывен па каждой функции x(t)^C.
Мы сформулируем теорему двойственности для того частного
случая, когда D = [0,1] и речь идет о наилучшем одностороннем
приближении (в данном случае — приближении снизу) функции
хш^С функциями u(t) из 91, т. е. о величине
Е-{Х% »)e = inf{lb-Mllg: и«)еЯ, u(t) <x(t), 0 < t < О.
Кудем полагать для /у@ с= />!
^+U) = max {0, /y(i)}, 0 ^ t < 1.
188

Теорема 4.3.2. Пусть 91 — выпуклое множество us С, содер*
жащее любую константу. Тогда для любой функции x(t)^C
?-(*,»),= sup \\x(t)y(t)dt-snp \u{t)y{t)dt\,
<? частности, если 9t — подпространство, содержащее все
константы, то
А'" (л?, Я),-sup ![*(«)»(«)*: |»+К1, »±як
1<<7<оо. B)
Теорема 4.3.2 выводится из 4.3.1 с учетом общего вида
линейного функционала в пространстве С = С[0, 11.
Отметим, что если 91 содержит любую константу, то, очевидно,
Е-(х, 9!)с = 2?(.г, Я)с,
так что н этом случае имеет смысл рассматривать одностороннее
приближение только в метрике Lq (I ^ q < °°).
Пусть^1У'+— класс функции у (t)e/,J,n, у которых |(у(т)Lу<
^1, a Wj?I+Cl)—множество функций #(?) hsWJI*1'''»
удовлетворяющих еще условию r/(rM)-L9l. Если.т(^)е У^^, то в силу B) для
содержащего константу подпространства 91
?-(z,R)g~suP (-1)PJ *U)(t)g(t)dt: g<=Wr4)+№)\. C)
Переходя в C) слепа и справа к верхней грани по x{t)^Wrp
и учитывай, что ,г(г)Ш -L •], получим равенство
D)
где /?i(?)/>^-- iuf II ?~ ^IL>.
3. Некоторые точные результаты по одностороннему приблн-
жопию сплайнами. Пусть, как и выше, 5m(A,v) — подпространство
1-периодических сплайнов порядка m дефекта 1 по
фиксированному разбиению B.6). Если ввести в рассмотрение множество
функций
\ «,)=--0, i = 0,l,...,#1,
то, положив в равенстве D) 9i = *Sm(Ajv) {tn^r— 1), мы сможем
привести его к виду
Е- {Щ, Зт(Л*)), = sup |^ U("'-r+1))p': ff s Г^+1'+ (Ал)}. E)
18!)

В случае равномерного разбиения Ад- = Д2п нетрудно
догадаться, что экстремалями (в смысле верхней грани в E)) при q = со
должны быть мопосплайны Dn,tn(t) (или их сдвиги), определенные
в п. 2 § 2.3, у которых
Так оно есть и па самом деле. Справедлива
Теорема 4.3.3. Для всех г = 1,2,... и т>г—1
выполняются равенства
1 < р < оо, \lp-\- Up - 1, п = 1, 2, ...;
в частности,
F~(Wr V "I — — w — 1 2
л'
//i,r - 4 f snp75i,r @ - "if D,,r (Ol.
2 L « t J
Отправляясь от соотношения C) при 91 = 3^1,™, можно
получить аналогичное A.35) неравенство
пеулучшаемое на множестве/^. В случае m = r, оценивая й(/(г),
Згп.оЗ'оо для f^Cr через модуль непрерывности производной f{r)it),
придем к неравенству
которое не может быть улучшено на множестве Сг.
Что касается наилучшего одностороннего приближения
сплайнами из S2rKm классов tFr//% то здесь точпый результат (ари
выпуклом о>F)) получен только для четных r = 2v, и выражается
он через Z-перестаиовку моносплаина 7Jlt2v+i нечетного порядка,
график которого симметричен относительно точек 0 и 1/2» (Моно-
сплайп Д.тШ четного порядка m такой симметрией не обладает,
и это затрудняет получение точной оценки для /?"(^r//tot SZn.r)i
при нечетных г.)
Теорема 4.3/i, Каков вы пи был выпуклый вверх модуль
непрерывности соF), справедливы равенства
L, \VV It ,

Глав а 5
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ
СПЛАЙНАМИ МИНИМАЛЬНОГО ДЕФЕКТА
Преимущества сплайнов перед другими аппаратами
приближения обнаружились именно в задачах интерполирования
функций. Можно указать два аспекта, и которых эти преимущества
проявились наиболее убедительно.
1) Интерполяционные сплайны в ряде важных случаев
обеспечивают минимально возможную (при фиксированной
размерности) погрешность приближения на классе функций.
Интерполяционные многочлены не обеспечивают даже наилучшего порядка.
2) Сплайны — аппарат более удобный, чем многочлены с
вычислительной или — скажем шире — с практической точки зрения.
Если говорить о сплайнах минимального дефекта по
фиксированному разбиению, обладающих наилучшими
аппроксимативными свойствами, то практические удобства связаны с наличием
л подпространстве таких сплайнов базиса из 7?-сплайиов с
конечным носителем. Именно это обстоятельство обусловливает
локальную гибкость интерполяционного сплайна, выражающуюся, в
частности,— в отличие от интерполяционного многочлена — в малой
чувствительности к погрешностям*!! исходных данных: небольшое
изменение значений функции в одной или нескольких соседних
точках интерполяции мало сказывается на поведении
интерполяционного сплайна па некотором удалении от этих точек. С этим
же связан и тот факт, что интерполяционный сплайн, хорошо
приближая функцию, одновременно хорошо приближает и ее
производную. Наконец, при вычислении интерполяционного
сплайна приходится сталкиваться со значительно меньшими
трудностями, чем при вычислении многочлена, ибо, представив
интерполяционный сплайн в виде линейной комбинации 2?-сплайпов,
мы для отыскания его коэффициентов получаем систему линейных
уравнений с неотрицательной ленточной матрицей.
Вычислительные аспекты сплайн-интерполяции освещены, па-
пример, в монографиях С. В. Стечкина и ТО. II. Субботина II],
10. С. Завьялова, Б. И. Квасова и В. Л. Мирошниченко I1J. В этих
книгах, а также в монографии Дж. Ллберга, Э. Ннльсопа н
Дж. Уолша [II, выясняются также условия сходимости
интерполяционных сплайнов и их производных.
Отих вопросов мы касаться не будем, а сосредоточим внл-
маште па задачах, связанных с оценкой погрешности сплайн-интер-
ноляции на классах функций. При этом рассматриваться будут

только те ситуации, в которых получены точные (или
асимптотически точные) результаты, т. е. решение доведено до точных
констант. Что касается порядковых оценок, то читатель сможет их
пайти в упомянутых книгах.
Следует обратить внимание еще на одну сторону дела. Точные
оценки наилучшего приближения сплайнами на классах
функций, полученные в главе 4, указывают наилучшую возможность,
по не указывают, как эту возможность реализовать в конкретном
случае, т. е. как построить сплайн из заданного подпространства,
гарантирующий для функции fit) наилучшую на классе
погрешность. Мы увидим, что во многих случаях эту наилучшую
возможность реализуют как раз интерполяционные сплайны,
которые эффективно строятся по значениям функции fit) в конечной
системе точек и, следовательно, линейно зависят от
интерполируемой функции /.
§ 5.1. Погрешность сплайн-интерполяции
на классах W™ и W?
1. Предварительные замечания. В § 4.1 при оценке
наилучшего приближения классов И7)*1 и Wp+i подпространствами
сплайнов порядка г (или порядка т> г) дефекта 1 по равномерному
разбиению получен ряд точных или асимптотически точпых
результатов. Здесь мы покажем, что в аналогичных ситуациях такие же
оценки гарантируют и интерполяционные снлайпы порядка /*,
которые, таким образом, реализуют в этих случаях на класса*
функций (точно или асимптотически точно) наилучшее
приближение.
Обращаем вшшаште читателя на следующее существенное
обстоятельство. Там, где в главе 4 получена точная оценка
наилучшего приближения класса W^1 или W*!!® подпространстволс
сплайнов 1?2л,т, эта оценка реализуется, как правило, при любом
т^г, т. е. увеличение порядка т сплайнов (начиная с т = г)
не улучшает и не ухудшает аппроксимативных свойств
подпространств S2n,m (одной п той же размерности 2п) в смысле
наилучшего приближения этих классов. Видимо, так будет в
периодическом случае всегда, хотя в некоторых ситуациях это еще не
доказано.
Для получения же оптимальных оценок сплайи-иитерполяции
порядок интерполяционного сплайна надо согласовывать с
гладкостью интерполируемой функции более тонко. Мы увидим, что
па классах W]?1 и \УГН® наилучшие оценки погрешности Стам,
где они найдены) доставляют интерполяционные сплайны в
точности порядка г. Некоторые соображения позволяют предполагать,
что при повышении.порядка сплайнов погрешность
сплайн-интерполяции на тех же классах (нрп фиксированном г) будет ухудшаться.
Отметим еще здесь один, в общем-то, простой факт,
позволяющий распространять полученные ниже оценки на существенно
более широкие классы функций. Вудем говорить, что (конечшшер-
192

пое) подпространство 91 из Ст интерполирует с кратностью у +1
а системе точек {х\
если для любых чисел yitV, y2.v, ..., i/l.v (v = 0,1,...,у)
существует единственная функция (pU)^9t, удовлетворяющая равенствам
Ф^Ы-^.v, «-1,2,....L; v-O,!,...,^
Если f(t)^Cx, то через о(/, О обозначим функцию из
подпространства 51, для которой a(v)(/, т<) —/(v)(t«). Наряду с классом Зйсз
c:fT рассмотрим также класс Зйф91 функций /U), представимых
л виде f(t) — gtt) + t|?U), где gU) е= 2Й, ф(«) е К.
Предложение 5.1.1. А'слм подпространство 91 мз Ст
интерполирует с кратностью ч + 1 в системе точек {т^ м Зй с: Cv, ro
sup |/-a(/)||,«siip||/-a(/)||gi l<g<oo. A)
В самом деле, если /U) == g(i) + iJ'Xf), j? е Зй, -ф s 9lf то
а(/, *) = a(g, « + ф(«), И/ -
так что
т. е. левая часть A) не -превосходит правой. Противоположное
неравенство очевидно.
Утверждение 5.1.1 пе представляет особого иптереса, если
гладкостпые свойства функций подпространства 91 пе хуже глад-
костных свойств функций класса Зй. Такое положение имеет
место, в частности, когда SR — подпространство полиномов
(алгебраических или тригонометрических) фиксированного порядка:
прибавление к функции git) <= Зй полинома пе ухудшает ее гладкост-
иых свойств. Иначе обстоит дело, если, например, Sft^C1", а 91 —
подпространство сплайнов порядка г дефекта к > 1; тогда
множество Яй © й принадлежит только Сг~\ В этом случае предложение
5.1.1 приобретает некоторый смысл: оценки погрешности сплайн-
интерполяции, полученные для функций класса Зй будут
справедливы также па множестве функций, имеющих гладкость па к
порядков ниже.
Пусть SM = W^, а SI^SjXAjv, /) — подпространство сплайнов
порядка г дефекта 1 по разбиению Д^ с краевыми условиями /
{например, периодическими), интерполирующее с кратностью 1 в
системе точек (т^. Легко понять, что Wr^l@ 5г(Дл, /) есть класс
функций fit) ^Сг~~17 у которых
|/<r>U')~/(r>(r)I^U'-rir
где t0, tu ..., f jv — точки, образующие разбиеиие Д*. Используя
193

обозначения § 2.7, можем написать
ИС1 0 Sr (Ад, /) = VTIP (А*),
2. Периодический случай. Фиксируем л = 1,2, . .*; г = 0Д, *.*
и через $2п.г, как и выше, обозначим подпространство 1-периоди-
ческих сплайнов порядка г дефекта 1 по равномерному разбиению»
th ==* А/Bл). (А = 0, 1, ..., 2и). Положим
т^т/г,г = А~11±Ь^1\ * = 1, 2 2и, C)
т. с. при г нечетном тА -= th, а при г четном т»-"**—1/Dга) (А:=»
= 1, 2,...,2и). Заметим (это важно для дальнейшего), что точки
хк есть нули эйлерова идеального сплайна <р2п,г+№).
В силу следствия 1.2.19 для любой функции j(t)^C
существует единственный сплайн o2n,r(f, Йе1?2Я|г, удовлетворяющий
равенствам
Л = 1,2,..., 2л.
Пудом оценивать погрешность И/ — a2n, r(/)'U na классе Wp+1. С
помощью элементарных соображений мы сможем получить точные
результаты в двух, в известном смысле, двойственных друг другу,
случаях: 1) р = <х>, 1<}<»; 2) l^p^oo, g-^Jl.
Что касается первого случая, то на классе W1^1 можно точно
оценить погрешность даже в каждой точке ЬФ хк„
Теорема 5.1.2. Если f(t)^wH\n щ д частности, если
/(OeWr«\ro справедлива оценка
l/U)-o2n.r(/, *)|<|ф2».г+1Ш1, 0<f<l, D)
lie улучшаемая в каждой точке t.
Доказательство неравенства D) сводится к простому
применению утверждения 2.7.3. Действительно, положив для /^ Wrll2n
-а2». г(/, *),
замечаем, что Ш) <^СГ~1 и для t\ t" e (th-u tk) ik= 1, 2, ...,2я)
|5(г)(^)_б(Г)(Г')|===|/(о(Г)_у(г)(^/)|<|^_гч^
т. ft. b(t)e\Vrll\n. Кроме того,
6(тк) =» (р2п, r+i(tfc) «= О, А: = 1, 2, —, 2я,
таи что в силу следствия 2.7.3 справедливо неравенство D). Знак
равенства в D) при каждом t имеет место для функции f(t) —
«^фгп, r+i(/)» принадлежащей, очевидно, классу W^1', надо только
учесть, что ф2п, r+i(tfe) = 0 (fc = 1,2,..., 2я), так что в силу един*
ствешюсти интерполяционного сплайна а2п, г(фгп, r+i, t)=0.
Из D) сразу следует неравенство
И/ — а2„. г(/)И« < Ифгп, r+i'lg, I ^ g ^ °°,
194

справедливое для любой функции / {t) ^ WrII\n и неулучшаемое
иа классе W^1.
С учетом 5.1.1, соотношения B), а также равенств D.1.22),
можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 5.1.3. Справедливы соотношения
¦ sup 1 / — <*гп
! == II ф2п,г4-1 f\4 :== II Ф1.Г+1 И Bл) »
1<д<оо.
Таким образом, если для приближения функций /U) из класса
W^'1 использовать интергтоляциоштый сплайн а2п,г(/, t)^S2n,r,
то мы не только можем гарантировать минимально возможную на
классе погрешность по норме в Lq, no можем указать точные
границы погрешности в. каждой точке t; эти границы даются
функциями + |(p2n,r+lU)l И — l(p2n,r+i(*)L
Переходя ко второму случаю A </?<«?, <7 = 1), докажем
сначала одно вспомогательное утверждение, которое потребуется паи
и в следующем параграфе.
Лемма 5.1.4. Для любой^ функции f(t)^Cr (г=»1, 2, ...)
существует функция g{t)<~WrH\n такая, что
E)
где *{г и0 при г нечетном wjr = 1/Dя) ири г четном.
Доказательство. Фиксируем /U) е С, положим
и пусть
[О. r=l,3,5f ...,
(* —l/Dn))f r = 2, 4,6, ...
Тогда при каждом г = 1, 2, ..., 6#(th) =^0 (k = 0,1, ,.., 2/г;
th = к/Bп)). Интегрируя по частям па каждом промежутке
tth-i, tfc), будем иметь
1 2П *"
jl 6!!, = I] б,. |L= I бф (/) sgn о^ (t) dt~2j \ 6^ (i) sgn 6^ (^) df =«
о ft-1 fft-i
vl *f ' f '
= — ,2j I 0* (f) "ф (Q Л = — ] 6? (f) г|> (t) at) F)
где t|)(f) — функция периода 1, вообще говоря, разрывная в точках
tk, 110 па каждом интервале Uft-If h) удовлетворяющая условию
Липшица
195

Класс таких функции в § 2.7 обозначен Н\п. Так как 6*(/)-М,
то мы вправе считать, что t|?U) -L 1.
JIIycTb g(t)— r-ii периодический интеграл от ф(/), тогда g(t)&.
^ WrIl\n. Введем в рассмотрение сплайп o2n,Ag,i) из SZn. г,
интерполирующий функцию #U) в точках тк, определенных
равенствами C), и положим
Возвратился к F). Так как
а r-я производная Оы^ (g, 0 постоянна на каждом интервале
(ffc-i, *Д ТО
- -1 ei (o u(r) («) - <v (г, *>] л - - j в: («) n(
о о
Интегрируя г—1 раз по частям (внеинтегральпые члены
исчезнут ввиду периодичности), будем иметь
' @ л. О
Если г нечетно, то тл *= *А, 6* (f) = б(?), так что S*r)(f) ^
»-/(r)(/) — aBrrl,г (/,/), причем о^г (/, 0 постоянна па (tk-uth).
Учитывая егце, что T]Uh) = O и, следовательно,
т|' (*) dt = 0, й=1
вместо равенства G) можем паписать
Hi = (- i)r j ч' @ /г) С) л =
Ь'(о/(г
о
что доказывает лемму при г== 1,3,5, ... В случае четного г
положим Т]* @ = Т] (t + 1/Dл))э тогда т]^ ($л) .-= 0, и если т0 =»

т2п — 1 ¦=¦ —-1/D/г), то, отправляясь от G), будем иметь
г
Т2П
1
J
1 ! 1
<- Dr J /г) (*) ч! W * - И ч' № /<г) (* - ^
Лемма 5.1.4 полпостыо доказала.
Наряду с Wrp+1 будем рассматривать так;ке класс Wrv (re
*= 1, 2t ...) функций /WeC, у которых j^^Kt) абсолготпо ие-
црерывпа на ДО, 1] и
Мы ужо отметали выше, что W^ cr PFjr.
Теорема 5.1.5. Имеют место равенства
JB частности, при р = 1
ЯПР |/ — О2п
лг
Доказательство. Если / (J) e 1Ур \ то в E) мы можем
пце раз проиптегрировать по частям, а затем воспользоваться
неравенством Гольдера:
1
J [g (t) - a2n>r {g, t)} /<r+1) (t - yr) dt
0
Так как g(t)^WrIl\n, то в силу теоремы 5.1.3
|| g — O*ntr (g) У < 1 ф2п,г + 1 L',
и с учетом того, что Hfir+i)llp < 1, приходим к перавепству
(8)
197

Неулучшаемость этой оценки па классе W^1 сразу следует
из того, что а2«,г(Д г)е52«,г и ^см- D.1.21)) ?(Wp+1f iS8n,r)i =¦
=||ф2п,г+1|/)'. При 1 <р ^ оо в классе Wrp+l нетрудно указать
конкретную функцию fit) = /0Ш, для которой (8) выполняется
со знаком равенства. Пусть fo(t) — функция из Wrp+1 периода 1/п
такая, что
/0Г+1> @ ^ 1ф2П.г+1 ft'' | ф2п,г+1 (* - Уг) T^'sgn ф2п§г.м (t - уг)9
где ^«=0 при г нечетном и ifr = l/U?i) при г четном. Яспо, что
/оГ+1) JL 1 и график функции/оГ+1) @ имеет ту же симметрию, что
и график (р2П| r+i(t — YrK так что функция /0Ш меняет зпак в
точках тЛ и только в них. Но тогда G2n, Л/о, t) ^ 0 и
о
1
** |] q>2n,r+l&'~P' ] I ф2п,г+1 (* ~ Yr) \P'dt = || ф2п,г
В классе W\+1 пет функции, реализующей в (8) при р' = «>
зпак равенства. В то же время оценка
^ Иф2„ Г+,11С (9)
справедлива не только на классе И^4, по (при г^ 1) и на болео
широком классе Wv. Действительно, если f(t)^Wv и fh(l) —
функция Стеклова для fit) (§ 2.5), то/л(*) еИ/;+1и ||/ - //Ji-^0
при Л-*0. Из представления A.3.1) интерполяционного сплайна
через фундаментальные видно, что тогда Но2п,г(/) — o2n,r(/*)Hi-* 0f
если fe -> 0. Поэтому, переходя в неравенстве
'I/ft — О2п, Д/л)И| < "ф2п, r+Jlc
к пределу при h -> 0, получим (9) для /^ V^,
В классе Wrv уже существует функция, для которой (9)
выполняется со знаком равенства; это функция /tU) ~ g^.M — ^r)
(§ 2.3, н. 1), которая, очевидно, принадлежит Wrv, а так как
«0 (А =• 1,2,..., 2я), то a2n, r(/i, <) = 0и
!i/i - <W (/i) ill = I ft»tr Р1=|ф2». r+i!i J
»tr Р1=|ф2». r+i!ic = ~J7TT-
Теорема 5.1.5 полггостыо доказана.
Если учесть, что функции, на которых проверялась
неулучшаемость (9), обращаются в нуль в точках интерполяции, то из
теоремы 5.1.5 немедленно вытекает сформулированное в § 2.7
предложение 2.7.4.
3 а м е ч а и и о. Полученным в этом пункте результатам можно
придать несколько иную форму, если рассматривать приближение
198

фупкций /(f)e/^,+1 и оцепивать погрешность через норму в
Лр (г4-1)-й производной /(г+1)Ш. Например, утверждением,
равносильным теореме 5.1.5, является следующее.
Если /(?)€=/>p+1 (l^p^o°)) то справедливо неравенство
В/ - ог,».г (/Ж <! ф»,.г+1 !!,/ i/(r+1)IU (И)
неулучшаемое на множестве /^,+1.
Стоит отметить, что при // = <» оценка A1) останется не-
улучшаемой, если считать /(?)^СГ+1 и заменить 11/(г+1М!ад па
И/(г+1)|'с
Это замечание относится и к другим результатам,
содержащим оценки нормы погрешности приближения на классах W™
ИЛИ УУр .
3. Некоторые обобщения. Утверждения теорем 5.1.2 и 5.1.5
допускают обобщение на случай неравномерного раабиеиия A.v,
правда, при этом вместо стандартной функции ф2п,г+ДО появится
некоторый идеальный сплайн порядка r-М, определяемый
разбиением Ал или системой точек интерполяции. Об эффективном
построении этого силайна (при любом г) мы, однако, ничего ска-
аать не можем. Кроме того, при переходе от равномерного
разбиения к неравномерному (с сохранением размерности)
погрешность сплайн-иптерполнции на рассматриваемых нами классах
функций обязательно увеличится.
Чтобы воспользоваться теоремой 2.7.1, надо обеспечить
существование идеального 1-периодического сплайна порядка гЧ-1
по разбиению A.v, имеющего на периоде ровно N простых нулей
(они будут точками интерполяции). Это возможно (если N^2n)
для достаточно широкого класса разбиений, которые мы в § 1.2
назвали {г+ 1)-пормальными, причем точки интерполяции т;
однозначно определяются разбиением А*. Проще обстоит дело (по
крайней мере, с теоретической точки зрения), если мы имеем
возможность приспосабливать разбиение А?п к выбранной системе
точек интерполяции. В силу следствия 1.4.3 для любого набора
из 2п точек 0 ^ т, < т2 < ... < тгп < 1 существует единственное
разбиение А2п и единственный (с точностью до знака) 1-периодн-
ческий сплайн ср(О порядка т = 1,2,... по этому разбиению,
имеющий в точках tj, и только в них, простые нули.
Заметим, что в силу предложения 1.2.5 ни сам сплайн, пи его
производные cp(v)U) (v = 1, 2,..., т — 1) не могут иметь на
периоде более чем 2п пулей с учетом их кратности, следовательно,
каждая из функций cp(v)U) (v = 0,1,..., т — 1) имеет па периоде
ровно 2п простых нулей; в которых она меняет знак.
Теорема 5.1.6. Пусть cpU) — идеальный {-периодический
сплайн порядка г+1 по разбиению А2п, имеющий на периоде 2п
нулей Tji
0^т1<т2<...<т2л<1, .A2)
109

Тогда:
1) для любой функции /(/)^С существует единственный
сплайн с(/, ?)^Зг(Д2п), удовлетворяющий интерполяционным
условиям
о(/, т;)~/(тА /-1,2,.,.,2л; A3)
2) если /(ОеТГг//1(Д2„) м, в частности, если
то справедливо неулучшаемое в каждой точке t неравенство
3) имеют место соотношения
sup J/ —о(/)|7 =-= sup |/-o(/)fc = ||<p|lfi A4)
Доказательство. Производная срЛ(О есть идеальный
сплайн порядка г.но разбиению A2n с 2п простыми пулями хк на
периоде. Ясно, что для нулей tj спланиа cpU) и пулей хк его
производной <р'Ш выполняются неравенства ^_!<^<^ (/=»
в1, 2, ..., 2/г), и тогда существование сплайна о(/, f) ^ »?Г(Д2„),
удовлетворяющего условиям A3), сразу следует из теоремы 1.2.1N.
Далее, ослы /е Я7Г77ЧД2„), то разность 6W»/W-a(/, О
тоже прииадлолсит классу TFr//4Ain), причем б(т,) ~ 0 (/ =•
a 1, 2,..., 2«). В сплу теоремы 2.7.1 для всех t |6(?)I < 1ф(*I,
а так как ц>A)^ W& !,и а(ср, О23 0, то утверждение 2) теоремы
тоже доказано. Из него, опять с учетом того, что(р@^^^ , ио-
медлешю вытеклгот соотношения A4).
Теорему 5.1.5 удается обобщить па неравномерные рязбнешш
А2п при наличии ;кестких условий, снизывающих систему точек
{^}оп разбиения Л2« с системой {fj}\n узлов интерполяции A2).
Нам будет удоб/ю считать систему {^j}\n продолженной с
периодом 1 на всю ось с помощью равенств
-Tjil, 7 = 1,2, ..., 2/г.
В продолженном виде эту систему обозначим {тД, а образуемое
ею 1-периодическое разбиение числовой оси — через Д^.
Теперь наряду с подпространствами 5т(Д2в) (^г = 0,1, 2t...)
по разбиению
Д2п: 0 — ?в < «1 < ... < *ап — 1 A5)
будем рассматривать подпространства ?т(д?л) 1-нсриодическпх
сплайнов порядка т дефекта 1 по разбиению Агп-
Теорема 5.1.7. Пусть подпространство ЗЛ&гп)
интерполирует в системе точек ixj) и пусть существует идеальный сплайн
г|) {t) г iSV-m (Д«п) с нулями в точках U U « 0, 1,..., 2/г) рал-
биения A5). iiV.tu o(/, J) — сплайн из 8Л&2Л\ удовлетворяющий
200

для fit) e С интерполяционным условиям
о</,т,)-/<тА /-1,2, ...,2л,
то Оля функций ](t) e TFp+1 справедлива оценка
пеулучшаемая на классе 1У?И в случае, когда при р>1
\$Ъ)\Р'~* s%n$(t) -L 1, a при р = 1 тахг|;Ш ¦=—minifM.
Доказательство. Заметим сначала, что так как яф'(?)
ость идеальный сплайп из *SV(A«n) с 2/г нулями х{ па периоде,
удовлетворяющими неравенствам Xi < ti < xi+i (i = 1, 2,..., 2»;
^*2n+i «^i +1), то в силу теоремы 1.2.18 подпространство
Sr(Aln) интерполирует в точках U (i = 0,1, ..., 2л).
Положим
-/(О~а(/, О,
и пусть То == т2п — 1. Тогда
6(t;) = G, ;-0, 1, ..., 2/г, A7)
п, считая, что Д0е ™р > мы можем написать
.l*!i- 1 в(/)88пв(од= S j в@senв(од«
fcS J б'(')*(')* = - JI 6'('Ж')*. A8)
где Я @ €3 //'(Aj,,), причем в силу A7) можно считать, что
gU)J-t. Пусть gr(t) — r-й периодический интеграл от git) и
s(gr, О —сплайн из Sr{&ln), удовлетворяющий
интерполяционным условиям
s(gr9 tt) = gr(ti), i == 0,1, .,., 2п.
Впсдсм обозначение
ф) ~ gr(t) - sigr, t).
Снова, учитывая равенства A7), продолжим цепочку равенств
A8):
16^ - - С б' (о [g(r) (о - «(г) (*„ *I Л - - j б' (о nfr) @ dt«
1 1
- - i б' (О П(Г) @ dt - (- l)r j 6<r) @ г)' (О (К -
201

Но
Ч
f i\'(t)dt=O (« = 1,2 2л),
о(г)(/, *)= const
На интервале Uf-i, f,-), поэтому
161!, = (- l)r j /(r) @ r,' (t) dt = (- l)r " J /<r+1) (О r) (*)
Так как #г^ WT/^A^), то п силу теоремы 5.1.6 \\gr —
— *(?г)|1р'^ЦФ!р'« Таким образом, доказано, что для любой
функции f^W'p+l выполняется неравенство AС).
Если /?>1 и j\|)(f)|p'"sgmf)(i) _[_ 1, то но аналогии со случаем
равномерного разбиения (см. доказательство теоремы 5.1.5)
строится функция /(*)=И^рх1, для которой в A6) будет знак
равенства. В случае p^l, когда max\|;U) =—min^U), неулучшаемость
A@ устанавливается с помощью функций Стеклова.
/j. Сплайн-интерполяция на отрезке. Точную, хотя и не
совсем эффективную оценку погрешности сплайн-интерполяции на
©трозке можно получить в довольно общей ситуации,
определяемой условиями, обеспечивающими в теореме 1.2.15
существование и единственность интерполяционного сплайна s(t) из
подпространства Sr(&N) сплайнов порядка г дефекта 1 по раз-
биению
AN: о = *о<*1<...<** = 1. A9)
Зафиксировав точки (узлы интерполяции) 0 < тг < т2 < ...
...<Т/, <1, сопоставим, как и в п. 6 §1.2, каждой точке т,- число
f, (O^Yi^r— I; 7 = 1,2, ..., L)y характеризующее кратность
интерполирования. Затем выделим из набора целых чисел
(?,._! = {(), 1, ..., г—1} подмножества /0 и /t (они могут быть и
пустыми), задающие интерполяционные краевые условия
соответственно в точках 0 и 1; общее число краевых условий
обозначим через L Пусть, далео, а, (<7~0, 1, ..., г—1) — число
интерполяционных условий для s{q)(t) на [0, 11, (J0|4 и pti< — число
интерполяционных условий для s(J), $'(t)y ..., s(r~i}(t) па
полуинтервалах соответственно [0, U) и (th 1]. Заметим, что
^-^(yH-IJ + Z. B0)
202

Если выполнены соотиошепия
2(Yj + l)+J=tf+ г, B1)
5
а0 + а, + ... +ай > к + 1, к = 0, 1,..., т - 1, B2)
pOil>i, hti>N-i, i = l,2,...,iV-l, B3)
то п силу теоремы 1.2.14 для функции fiO^C7 существует
единственный сплайн о(/, J)^Sr(A.v), удовлетворяющий
интерполяционным условиям
/, /, це/0) о(х)(/, 1)«/<к)A), хе/1( B5)
Считая условия B1)—B3) выполненными, положим
cptt) = грШ - о(^ t), 0 < ^ < 1, BG)
где \р(О — функция из класса l^^, у которой
ф<"-м>(*)-(-1)', ti-^Ktt, i = l,2, ..., Лг. B7)
Ясно, что ф(О ^ 1Уг//4(Дл') и выполняются равенства
Ф(*>(т,) = 0, v-0,1 Tj; /«!,..., ?,
B8)
ф(и) @) = ф<«> A) = 0, ii е /0; у- € /1в
Функция ф(О с точностью до знака однозначно определяется
разбиением An, системой точек Tj и характеризующими
кратность числами Yj» a также краевыми условиями /0 и /,.
Теорема 5.1.8. При выполнении условий B1)—B3) для
функции fit) е Н^г//ЧДл) ^ сплайна о(/, ?)^Sr(AN),
определяемого равенствами B4) — B5), справедливы неулучшаемые оценки
!/(*)-o(/f «)l^lcpU)lt 0<«<lf B9)
l/(v)@)-o(v)(/, 0I <|cp(v)(O)l,
l/(v)(l)-o(v)(/, l)l<|cp(v)(l)I, v = l, 2 r-1. C0)
Доказательство неравенства B9) проводится по схеме, ис-
пользовавшейся при доказательство теорем 2.7.1 и 2.7.5.
Полозки м
о(/, *), 0 < f < 1,
и пусть вопреки B9) в некоторой точке ^ ^ [0, 1] выполняется
неравенство 16(?I > 1ф(^I. Если
то g(i) е Сг~*, и число разделенных нулей функции g(t) на
10, 1] но меньше чем ао+ 1, а число таких нулей у прон.шодпон
#'(О на [0, 1] в силу иредлозкепия 1.2.2 не меньше чем ао + аи
Применяя предложение 1.2.2, заключаем, что ?(г~и(О имеет на
203

[О, 1] по меньшей мере а0 + at + ...+ ar-t — (г — 2), т. е. ппиду
B0) и B1), N + 2 разделенных пуля, а следовательно, gir)(t)
должна существенно па @, 1) менять знак N+1 раз. Однако
так как IXl < 1 и, значит,
то (подробности — в доказательстве теоремы 2.7.1) с учетом BG)
и B7) заключаем, что gXr){t) может иметь на @, 1) не болео чем
N существенных перемен знака. Противоречие доказывает
справедливость B9).
Неравенства C0) доказываются совершенно аналогично
рассуждением от противного. Неулучшаемость оценок B9) и C0)
на классе WrIP(\N) следует из того, что функция ф(О
принадлежит этому классу, причем о((р, t) = 0.
Следствие 5.1.9. В условиях теоремы 5.1.8
II/ - a (/) |7 - | ср |„ 1 < q< oo. C1)
)
Следствие 5.1.10. Пусть выполнены условия теоремы
5.1.8, и, кроме того, существует идеальный сплайн <pU) о
^Sr+ii&x), удовлетворяющий равенствам B8). Тогда для
f(t) €=WrIIl(&N) справедливы иеулучшаемые оценки B9) и C0),
а также соотношение C1).
Отметим теперь два наиболее, пожалуй, важпых частных
случая интерполирования на отрезке.-
Пусть разбиение Д*г =* Ajv — равномерное, т. о. tt = i/N (Ie
— 0,1, .., Ю, а множества /0 и /t, задающие интерполяционные
краевые условия, а также внутренние точки интерполяции х$
определены следующим образом:
.. [ {1>3,5, ..., г —1}, если г четно,
0 1 ~ 1 {0, 2, 4, . .., г - 1}, если г иочогно, (°-)
|B/—1)/BЛг), / = 1,2,..., Лг-Л, если г четно,
Т?' = 1//ЛГ, 7 = 1, 2, ..., Лг — 1 = Л, если г нечетно. C3)
Краевые условия, задаваемые множествами C2), называют
иногда условиями Лидстоиа (см., например, Дэвнс [1, с. 281).
Легко проверить, что при ч, = ^2 =*. •• — ^ь — О условия B1)—
B3) здесь выполнены, и для jit) ^ С1""*1 существует сплайн
Одг4г(/, t)€=SNtTi удовлетворяющий равенствам
7 = 1,2, ...,L, C4)
7. C5)
Заметим, что если /(OelfJ или /(t)elffijv, то разность
j(t) — o.vr(/, J) принадлежит классу РКГ//^, введенному в
и. 7 § гл.
204

Этот случай приобретает интерес ввиду того, что экстремалью
здесь является эйлеров сплайн флг. r+iU\ удовлетворяющий, оче-
впдио, равенствам
Флг,г+1 (Ti) e °» 7 =- 1, 2, ..., L,
Использование следствия 5.1.10 (при ft ==. • .= *?*- ^ 0) с Учетом
того, что ф^(Г+1@е И^ П ^iv.r+it приводит к следующему
утверждению.
Предложение 5.1.11. .Если f(t)^WrHlN и, тем более,
если / (/) е И^\ то справедливы неулучшаемые оценки
I /(v) @) - oft (/, 0) | < | Ф^+1 @) |, C6)
| /(v) A) - <>r (A 1) | < I (pivv,V+i A) |, v = 0,1, ..., г - 1.
Кроме того,
Второй важный частный случай теоремы 5.1.8 связан с
выбором оптимального разбиения Алг (при фиксированном N),
обеспечивающего минимальную погрешность сплайн-интер-
нолиции.
Пусть Г*,m W-l, 2, ...; m=*0, 1, ...) — мпожество
заданных на отрезке [0, 1] идеальных сплайнов ф(О порядка т,
«метоидих иа интервале @, 1) не бодео чем iV — i узлов; иначо
говоря, существует разбиение
такое, что производная ^im4t) па интервалах (^-lt ?<) (/==»
*=1,2, ..., ^Vt) принимает значения +1 или —1, существенно
меняя знак в точках tl912> . •», ^v,-i- Множество Глг, m зависит от
iVt + m — 1 параметров, по оно не является линейным мпогооб-
разием. Через Fjv.m обозначим подмножество идеальных сплай-
jiOB из r.vtm, имеющих на @, 1) ровно N — I узлов, а па отрезке
10, 1] — максимальное число, т. е. N + m — 1 нулей, которые,
очевидно, могут быть только простыми. То, что Г^.тя не пусто,
вытекает из 1.4.5.
Пусть tf^mC?, t) — идеальный сплайн из 1\,т, имеющий ми-
шшалытую норму ъ L4 (I ^ q ^ «>):
i C3)
205

Факт существования такого сплайна, интуитивно но вызывающий
сомнения, в силу нелииемпости множества I\ m, не выводится
из традиционных соображений; мы но будем останавливаться па
доказательстве этого факта (ссылки на литературу можно найти
в комментариях к главе). Отметим только, что при любом
q A ^ q < оо) экстремаль i|x«* (G, t) e Гдг.те, причем все
JV'bm—1 простых нулей сплайна ^хт(G, t) ложат внутри
интервале @, 1). Пусть т = г+ 1 и
C9)
— нули сплайна ^,т+Лд, t) на @,1), а
д? 0=«;<^<...<^=1 (Щ
— разбиение, определяемое его узлами. (Стоит подчеркнуть, что
как разбиение Д#, так и множество нулей C9) зависят от д.)
Подпространство ?г(Д!у) интерполирует в точках т* (/=
— 1, 2, ..., N + r) — это следует из теоремы 1.2.14 с учетом
утверждения о расположении нулей идеального сплайна в 1.4.5.
Если s(/, t) — сплайн из ?г(Длг), интерполирующий функцию
/(/) е С в точках tJ, т*, ..., т,* +г, то в силу единственности
s(i|v, г+ЛдО, О Е 0. Воспользовавшись теоремой 5.1.8, все
условия которой здесь выполнены, придем к следующему
утверждению.
Предложение 5.1.12. При каждых N>2, r>0 и К
< q < оо существуют разбиение D0) и система точек C9),
обладающие следующими свойствами.
1) Точки т^Тг, • • • у TJv+r являются единственными простыми
нулями идеального сплайна^х r+1 {q> t) e Sr+i (Дд), который
имеет минимальную норму в Lq среди всех идеальных сплайнов
порядка г+ I с не более чем N — 1 узлами на интервале @, 1).
2) Подпространство ?г(Д]у) интерполирует в точках т*, т*, ....
3) Если /(*)€= WV/^Ajv) и, тем более, если f(t)e=WrJ\
а «(/, t) — сплайн из 5Г(Д^) такой, что s(/, т*)= /(т*) (i =. 1, 2, ...
..., N + r), то
1/@ -s(/, *I<Ц*,г+1(д, 01, 0<*<1.
4) Справедливы равенства
1 / - s (/) I, - sup | / - «(/) |, - 1 ч|)^>г
Перейдем к двойственной ситуации, когда оценивается
погрешность сплайн-аппроксимации в метрике Lt на классе
W^1 (i*^p<<x>). Будем параллельно рассматривать два раз-
206

биения:
Д*: 0^to<tt<...<tN^U D1)
Al: 0 = т0 < тх<... < tl = 1; D2)
соответствующие подпространства сплайнов порядка т дефекта
i обозначаем Sm{&N) и Smi\L). Пусть <?г = {0,1, ••., г), /j или
/j (/ = 0,1) — иодмпожества из Qr (опи могут быть и пустыми),
задающие краевые условия в точках 0 и 1, 1A s) и l(Jj)—
количество элементов в /j, соответственно в JJm Краевые условия
/ = (/0, /i) будем пазывать дополнительными к краевым условиям
/=»(/0, /j), если множество Jj (/ = 0,1) состоит из тех и только
тех элемептов v&Qr, для которых r~v не принадлежит /j (т. е.
r-ve Qr\Ij), так что 1A$) + !(/>)«= г + 1. В частности, если /у
пусто, то /, = Qr. Ясно, что из дотюлиитслыюсти условий / к
условиям / следует дополнительность / к / и наоборот.
Считая г = 0,1,2,... фиксированным, будем, как и выше,
говорить, что подпространство SAAn) интерполирует во впутрен-
них точках Tt, r2t ..., Tl-i разбиения D2) при краевых условиях
/ =* G0, /t), если для любой функции j(t)&Cr в Sr(A.Y) существует
единственный сплайн о(/, t) ^oC/, {tJ, /, О, удовлетворяющий
условиям
Ясно, что в этом случае выполняется равепство
Заметим, что под о(г)(/, 0) и о(г)(/, 1) понимаются односторонние
пределы о(г)(/, 0 + 0) и о(г)(/, 1—0) соответственно.
Аналогично, скажем, что подпространство Sr(AL)
интерполирует во внутренних точках tu t2,..., tN-t разбиения D1) при
краевых условиях /—G0, Л), если для f(t)&Cr существует в StC^l)
единственный сплайн s(/, t) = s(/, {^,}, /, О, для которого
«(/,*!>-/««>, * —1,2 iV—1,
*(v)(/, 0)«ГЧ0), v^/o, ^>(Д1)-
при этом
L +г = Л-1 +К/в)+ «/!). D3)
Ниже мы сохраним обозначения о(/, (tJ, /, t) и s(/, {^,}, /, t)
для интерполяционных сплайнов в только что описапных
ситуациях.
Теорема 5.1.13. Пусть подпространство сплайнов 5г(Ддг)
интерполирует во внутренних точках хк (/*=» J,..., L— 1) рал-
биения D2) и/нг краевых условиях /=(/0, Л), причем r&I0Ulit
а подпространство Sr(kL) интерполирует во внутренних точках
U U= 1, 2,..., ЛГ— 1) разбиения D1) ири дополнительных к I
207

краевых условиях J = (/0, /t). Тогда для любой функции
^ выполняется неравенство
*(Ф.{^Ь'I1р'. Р'=РПр-1), D4)
функция (pit) us класса WT<?X определена равенствами
Оценка D4) «л классе W1^1 точная.
Доказательство. Пусть }<==Wrp+1 и б(/) /
-о(/, {т*}, /, *); тогда
6(tJ-0, *=!,..., ?-1,
D5)
6(v)@) = 0,
Пусть, далее, gU) -= g(fy f) — функция из И^, у которой
jf<M14t) = sgneft> @<<<1)$ и 5(g, UJ, /, О —сплайн h:i
Л\(Лг,), интерполирующий функцию g(t) в точках tu ..,, ^v-f при
краевых условиях /, дополнительных к /. Так как по условию
г Ф /0 U /lt то Os/oflJi, Если положить T|(f)-»^(O — s(gr, (^Л
У, /), то
T|«i)-Ot * —1 ЛГ—1,
D6)
Vv)@)-0, ve/lf <п(и)И) = О, |ie/le
Предположим сначала, что 0 е /0 П ft и, следовательно,
6@) = 6A) = 0. Мптегрируа по частям и замечая, что
0, k=l,2,...9L, D7)
a s<T4g, Ш, /, О = const на (Tft-f, rfc), будем иметь
I «It«| б («) ^(г+1) @ л - - J ft' (t) /г) W л - - J б' («) т)(г) («) л.
о
J
о оо
Если О0/оиЛ, тоге/0П/1И, значит, Т](г>@) « i!(r)(l) = 0.
С учетом этого обстоятельства и равенств D5) интегрированием
по частям на каждом промежутке (т*-!, тЛ) (к = 1, 2,..., />)
получим
О
Ч 1-1
208

К такому же результату придем и в случаях, когда пуль пе
содержится только п одном из множеств /0 или /t и,
следовательно, 6Ш не обращается, вообще говоря, в нуль лишь на одном:
конце отрезка [0, 11; в силу дополнительности краевых условий
/ на том конце обращается в нуль т)(г)Ш. Таким образом,
Последовательно интегрируя по частям еще г— 1 раз, получим
6(v) (i) Vr"v) (i) - 6(v) @) Vr~v)@)] +
= 2 (-
V - 1
В силу D5), Dfi) и взаимной дополнительности краевых
условий I n J виеиптегральпые члены в правой части исчезают.
Заметив, что
U
<а-1
и 0{r)(/, {xj, /, t) =const на (f«_ft tX будем, далее, иметь
D8>
Ясно, что rj(O е= Т'РЯЧДх,) и для оценки пормы^Цр' мы
можем применить теорему 5.1.8, а точнее — следствие 5.1.9, в
силу которых
Этим доказано неравенство D4). Зафиксируем содержащееся в
D8) и справедливое для любой фупкцин fit) e С соотношение
где g@e W~ Х» ^(^) определяется по /, которое мы будем пс-
пользовать в дальнейшем.
Доказывая неулучшаемость оценки D4) на классе Wp*1\
яаметим, что так как cpU) есть идеальный сплайн с узлами rlt
т2, -.., T^-i, то, рассуждая от противного, с учетом D3) легко
убедиться, что разность ф№) «=ф@ — s(<p, {jjf /f 0 имеет па
209

(О, 1) пули, причем простые, только в точках tu t2j ..., f*r-i.
Поэтому если fo(t) — фупкция из Wp+1 A </?<«>), у которой
 sgn ф (О,
то /оГ)@ строго монотонна на каждом промежутке Ua-i, ftj»
а потому разность 60@ — fo№ ~ о(/0, (тл>, /, t) кроме нулей
^ (&—1, ..., L—1), п которых опа меняет знак, других нулей
на @, 1) не имеет, т. е.
где е =* 1 или е = —1. Повторяя для fit) =* J0(t) проведепные
выше выкладки и замечая, что в этом случае роль функции
g(t) играет =fc<pU), так что т)(О в±г|;(О, будем иметь
о
В случае р = 1 леулучтаемость оценки D4) можпо
установить, привлекая функции Стсклова, как это мы уже не однажды
делали в сходных ситуациях; предлагаем читателю выполнить
соответствующие выкладки. Теорема 5.1.13 доказана.
Может случиться — это зависит от разбиений Длг, Дь и
краевых условий Т и J, что существует идеальный сплайп ф(Ов
eSr^tii), для которого
<p(O-0f i— 1, ..., ЛГ— 1,
E0)
причем такой сплайн с точностью до знака единствен. Тогда
sitpi, iti), Jy 1)^*0 и справедливо
Следствие 5.1.14. Если в условиях теоремы 5.1.13
существует идеальный сплайп ф(?) е iSr+ДДх,), удовлетворяющий
условиям E0), то
яир+1||/-а(/э{тЛ},/)||1 = ||ф||р,.
Рассмотрим две ситуации такого рода. Т5 первой из них
разбиение Ддг —Д,у — равномерное, т. е. U=*i/N (t = 0,1, ..., N)f
а разбиение Д,, = Д/, при г печетном сопадает с Д* (тА = /c/iV;
k =. 0f 1, ..., ^V; N == L), а при г четшш определяется точками
т:0»0, xfc = B/c-l)/BiV)f fc = 1,. •., iV; ть«1; />==
Краевые условия: при г нечетном
/о «?i = /о - Л » @,2,4,..., г - 1},
а при г четном
/о -h = A,3,5f..., г- 1), ?о - Л « Ю, 2, 4,..., г).
-210

Легко проверить, что краевые условия /=(/0, Л) и /=(/0, /t)
являются взаимно дополнительными.
Мы уже знаем, что при краевых условиях / подпространство
А\(Длг) = Л\Г интерполирует в точках Th — k/N (fc«=l, 2, ...
..., iV—1), если г нечетно, и в топках тЛ= BЛ— 1)/BЛ0 (Л =
1,2,..., ЛО, если г четно; интерполяционный сплайн для
) e Cr в этом случае, как и ранее, будем обозначать o.v>r(/, О.
Идеальным сплайном из Sr+1(AL), удовлетворяющим условиям
E0) при /> = /;, является при г нечетном эйлеров сплайн
cp^.r+iU), а при г четном—его сдвиг ф*? r+iU — 1Л2ЛО) (в
предположении, что cpN,Г+1(О продолжен четным образом па [—1,0)).
Перенося на этот случай утверждение 5.1.14, получим
Иредложенио 5.1.15. Справедливо соотношение
Отметим соответствующий нашему случаю вариант
соотношения D9) (для j{t) е= СО:
В/ —^v,r(/)Hi= JГ«г#@ — of'(«r» J, t))fr)(t)dt , E1)
где g^Wlt1, a о(#, /, t) — сплайн из 5r(SL), интерполирующий
функцию g(t) в точках k/N (к — 1, 2,..., N— 1) при краевых
условиях /. (Существование и единственность такого сплайна
следует, например, из теоремы 1.2.14).
Второй валшый случай и здесь связан с минимизацией
погрешности, по уже в метрике Lt и на классе W7^1 A </?<«>).
Теперь у нас будет L = iV + r+l, мпожества /0 и It пусты, а /0 в
Пусть Гл>гл, о — множество заданных на [0, 1] идеальных
сплайнов ф(?) порядка то, имеющих на интервале @,1) не более
чем N Л-m — i узлов и удовлетворяющих краевым условиям
= 0, v = 0,1,..., то- 1.
Ясно, что число пулей сплайна cpU) е 1\ m 0 па иптервалс @,1) не
может быть больше N—1. Через TNt7no обозначим подмножество
идеальных сплайпов фШ из Гл^,т,о, имеющих максимальное
число, т. о. N+m— 1, узлов и максимальное число N — I нулей па
интервале @, 1). Непустота множества Глг,т,о следует из
предложения 1.4.6. Пусть при фиксированных N, то и р A«^р<<»}
4n. ™(Pi *) — сплайн из Глг,т, о, удовлетворяющий соотношению
= min
Ф-гЛ',т,о
Известно (ссылки есть в комментариях к главе), что такой
сплайн существует и принадлежит Г^,т,о- Таким образом, при
211

m=>r+l существуют разбиения
A?v: O = /S<*?<...<&, E2)
М =» ASr+r+i: 0 - т$ < т? < ... < T?v+r+1 » 1 E3)
такие, что
4Vfr+i(P.0e'Sr+1(Al),
%;+1(р,'!)аО, *= 1 -V —1, E4)
T|!v!r+i(p, 0) « ^vlr+itp, 1) = О, v - 0,1, 2 г.
Предложение 5.1.16. /7/нг каждых N *> 2, г «О, 1,... м
1 ^ р < «> существуют разбиения E2) и E3), обладающие
следующими свойствами.
1) Существует идеальный сплайн TiYrfl(p'(f)eSr+,(Aj),
удовлетворяющий условиям E4) и имеющий наименьшую норму
•в Ьрг (р'= р/(р — 1)) среди всех идеальных сплайнов s(t)
порядка г + 1, имеющих не более чем N' + г узлов на интервале
@, 1) и удовлетворяющих условиям
.s(v>(l)=0, v = 0, 1 г.
2) Подпространство Sr{A%) интерполирует в системе точек
3) Если s(f, t) — сплайн из S,(h%) такой, что
<*»1,2, ..., ЛГ + г), то
В пояснении здесь нуждается только утверждение 2),
которое сразу следует из теоремы 1.2.14 и утверждения в 1.4.6
относительно расположения узлов и пулей идеального сплайна.
5. Об одновременном приближении производной. В начале
главы было отмечено, что наличие п приближающем
подпространстве сплайнов Sm{&N) базиса с локальными носителями
обусловливает хорошее приближение интерполяционными сплайнами
<j(/, ?) €Еб'т(Длг) одновременно и производной интерполируемой
функции fit). Известны результаты (см., например, С. Б. Стеч-
кин и 10. II. Субботин [1, гл. 3]), показывающие, что в важных
случаях погрешность H/(v) ¦—o(v)(/)U, имеет наилучший порядок.
Что касается получения точных оценок величины ll/(v) —
—o(v)(/Lg (q^l) па классах функций, то задача эта оказалась
в общем случае чрезвычайно трудной; некоторые окончательные
результаты такого рода появились лшпь в самое последнее
время. Точные оценки одновременного приближении функции
/(О е WiHi* и их производных интерполяционными ломаными
будут приведепы в следующем параграфе. Здесь же мы
рассмотрим приближение производных функций /U) из классов W'J~l
212

и W^1 производными интерполяционных сплайнов по
равномерному разбиению.
Пусть 0лг, Л/, t) — сплайн из S# Гу определяемый для /sCr
интерполяционными и краевыми условиями C4), C5), где точки
интерполяции tj и множества /=»/(г) определены в C2), C3);
02п.г(/, *)» как и выше,— периодический ипторполяцшшпьш
сплайн из S2n.ry совпадающий с функцией f(t)&C в точках
tj=^j/Bn) при г нечетном ив точках тл=» B/— 1)/Dгс) при г
четном, cp.vr^) — идеальные сплайны Эйлера.
Теорема 5.1.17. При всех г =1,2,... справедливы
равенства
sup l/'-a^r(/)),« sup \f-<JN
j j l
; E5)
sup I/' —</,«.»•(/) I* ==¦
— IIФ w.r b-= II Фы к Bл)"г, 1<<7<°о. E6)
Известное автору доказательство соотношении E5) и E6)
г=1 они очевидны) базируется на следующем
вспомогательном утверждении.
Лемма 5.1.18. Если f(t)€=WrHh или (при N
и 6(t) = /(O-aiV,r(/,*)> mo
E7)
О О
ОС X
U E8)
еде ^+(f)=max{0, ^(/)}, g-(O = ruin {0, g(t)}, a r{(gy t)
—убывающая перестановка функции \g(t)\ на отрезке [т*-!, tJ между
соседними точками интерполяции.
В общем случае, т. е. при любых г доказательство леммы
5.1,18 технически сложно и потребовало бы слишком миого
места. Мы подробно остановимся па сравнительно простом (но,
пожалуй, практически наиболее важном) случае г=*3, когда
доказательство удается локализовать рассмотрением одного
промежутка Lxi-i, tJ. Ниже мы приведем осповпые соображения, на
которых основано доказательство в общем случае, хотя о некоторых
идеях, положенных в основу используемого метода, молшо
составить представление и по случаю г = 3.
В силу отмеченной возможности локализовать ситуацию, при
г = 3 вместо леммы 5.1.18 можно доказать несколько более
общее и не связанное со сплайн-интерполяцией утверждение, ко-
213

торов может представить и самостоятельный интерес с точки
врения исследования экстремальных свойств дифференцируемых
функций.
Лемма 5.1.19. Пусть функция ф(О определена па отрезке
la, Ь\ условиями
{t K
Ф'(в) = Ф'(Ь) - 0,
а функция f(t) из С2[а7 Ь] удовлетворяет соотношениям
Тогда для О < х < Ь — а выполняются неравенства
E9)
еде r(g, t) — убывающая перестановка функции \g(t)\ па [a, fol*
fif+(O и g~(t) — соответственно положительная и отрицательная
части g(t) на [а, Ь\.
Доказательство. Ради упрощения выкладок и, очевидно,,
не в ущерб общности будем считать, что К = 1, [а, &] = tO, /г]*
h
В этом случае cp'"U) = l на [О, Я q>'(O)=,q>'(A)~O,
о
так что ф(О монотонно убывает на [О, Л], <p(fe/2) = 0, ф+(О
«ф(О @<г</г/2) и г(ср+, *)=г(Ф_, ^) (П @
Отиосителыто функции fit) предполагается, что
/еСЧО, Ы, l/"a')~/"(t")l<U'-r'l, r.t'
ft
\
0
1/@I <1ф
Нужно доказать, что для
справедливы неравенства
ос
О
X
f (t) dt = 0,
.@I, 1/(Л)Ь
убывающих
к
;|ф+(*)Д, о
0
X
S |ф(й)|.
перестановок на
@0)
F1)
[0, А1
F2)
\^ F3)
о о
214

Заметим сначала, что в силу F0) и F1) разность 6(/) = fit) —
— q>(?) обязательно меняет знак на @, h), если, разумеется,
/(*)^<р(О. Важпо, однако, что 6U) меняет знак па @, h),
причем с отрицательного на положительный, ровно один раз. В
самом деле, если это не так, то па @, h) найдутся два интервала
(alf f^) и (а», ?2) таких, что
0 < а, < ^ < a2 < fa < К б(а<) = 6 (ft) = 0, i = 1, 2,
причем 6U)>0 на (alt ft) и Ш) <0 на (а2, ft). Если положить
Л(а, р; 0 = ~(t-a){t - р), а< t <p,
то, интегрируя два раза по частям, получим
( б (Q Л - \ В (аъ pl5 t) б" @ Л > 0,
j б («) Л = J Л (ос2) р2; 0 б" (О Л < 0.
«2 «2
Следовательно, существуют точки ?( е (а„ ^,) и |2 = (а«, ра)
такие, что /*(s,)<<p"Fi), /*(|») >Ф Ft) и> значит,
/" (Ы " Г (|.) > Ф" Fi) ~ ф" F.) = 6» - 5.,
что невозможно. Ясно, что функция fit) + ф(О ровно один раз
меняет зпак па @, h) с положительного на отрицательный.
Приступая к доказательству неравенств F2) и F3), обозпа-
чим через (О, Y+) и @, ^-) наибольшие интервалы, на которых
соответственно г(/+, t)>0 и r(/^, J)>0; заметим сразу, что
Y+ + y- ^ ^, так что хотя бы одно из чисел у+ и у_ пе
превосходит /г/2. Неравенства F2) и F3) почти очевидны, если
предположить, что производная j" it) сохраняет знак па @, М.
Действительно, если, например, f"(t)>6 для 0<*</г, то функция jit)
выпукла вниз на @, /г) и в силу F0) f+ < ft/2, перестановка
r(/+, ?) выпукла вниз на @, ^+)» а г(/-, t) выпукла вверх на
40, Y-). Учитывая F0), F1), а также выпуклость вверх ф(О на
<0, /г/2), сразу имеем
/_, *)Л < J г(/+, t) dt< J ф+ @ Л,
Теперь считаем, что /"(?) принимает на @, /г) как положи-
ггельпые, так и отрицательные значения.
Пусть для определенности f+ < /г/2. Если для некоторого
.#g@, /г) неравенство F2) ие выполпяется, то найдется точка
215

o, 0 < х„ ^ f+, в которой выполняются следующие соотношения:
г (Ли х0) = ф (х0), {Щ
г'я {U, zo)~ : lim r^^)~_r}U'Xn) < Ф' (х.), @5)
«О
FG)
О О
Здесь могут представиться два случая.
а) Существует иптервал (а, р) <^ @, /г) такой, что
<[5, F7)
причем р — а< гг0 ^ f+ <fe/2. Учитывая определение перестаиов-
ки г(/+, О и переходя к обратным функциям, заключаем, что
причем /'(а)>0, /Ч^)<0. Таким образом,
ибо если числа а п b имеют разные знаки, то
Из F5) и F8) вытекает, что
\f'{a) ~ f'{$)\ > 4\у'(хо)\ =2xo(h- to). F9)
С другой стороны, так как /"(?) хотя бы в одной точке на
[О, /г] обращается в нуль и 0 — a < x^ то
~0
G0)
Для яо^(О, й/2) одновременное выполнение неравенств F9) и
G0) иевозмончио, так что F2) доказано.
б) Интервала (а, р), па котором выполняются соотношения
F7), не существует. В этом случае, если учесть, что ч+^Ы2 и
8{t) меняет знак на @, /г) один раз, зпачение перестановки
r(/+, t) па отрезке [0, х0] определяется значениями функции fit)
у концов промежутка [0, /г], поэтому в силу F1) К/+, 0) < ф@).
Так как разность f(t) — y(t) меняет зпак на @, К) один раз,
причем с — на +, то случай, когда для (Х?«^х0 r(/+, t)*=f{t)
или г(/+, t) = /(/г — t), отпадает. Следовательно, существуют точки
хх и хг @<xi<x2< h) такие, что
/(ж,) - /(ж2) = ф(х0), f(t) > ф(х0), t € @, xt) U (*2f Л), G1)
и /r(^t)<0, /Чх2)>0. Повторив приведенные в случае а)
рассуждения, придем к неравенству \f'{xi) — f'{x1)\>2xQ(h — Xb),
210

однаico получить противоречие тем же путем здесь не удается,
ибо разность х% — xt мы можем сверху ограничить только
числом h. Будем привлекать более топкие соображении.
Так как функции f(t) на (хи хг) принимает и отрицательные
значении, то существуют точки zt и zt (xt < zx < z2 < x2), для
которых
/Ui) « /(za) - 0, /(*) > 0, * e @, 2.) U (z2i Л).
В силу G1)
zl X2 ft/2
f f {t) Л .~ J /' (i) Л = f q/ (t) dt% G2)
причем (так как f+ < /г/2 и r(/+, х0)
(zt — xj + (хг — z2) ^ /г/2 — х0.
Но теореме о среднем значении
Л/2
и так как функции ф'(О строго выпукла вниз, то
G3)
Применив теорему о среднем значении и к остальным интегралам
в G2), получим
Обозначим ради краткости f.it 4az^ — xu \iz == л*2 — s», pi
/г/2 — я0. Учитывая, что jxt + \х2 ^ M*t будем иметь
откуда
и с учетом G3) приходим к неравенству
где 0 < х, < gi < g2 < х2 < /г.
С другой стороны, в рассматриваемом случае
217

причем Xi + (h — xz) =» Xq. Поэтому, обозначив через lit)
линейную функцию, иптерполирующую <jpU) в точках 0 и х0, а через
lxit) и 12Ш—линейные функции, интерполирующие fit)
соответственно в концах промежутков @, xt) и (ж2> ft), из соотношений
F1), F4) и F6) выводим, что
*i h *?
J f/ @ - *i @1 Л + f [/ (t) - l2 (t)\ dt > J [q> (t) - Z (г)] Л.
Интегрируя два раза по частям и привлекая введепные выше,
функции В(я, Р; f), получим
J В @, Л1; t) Г (О Л + J В (^ Л; *) Г (О Л > [ В @, ж0; t) цГ {t) dt.
о к2 о
Последний интеграл легко вычисляется; применив к первьш двум
теорему о среднем, придем к неравенству
- 4г (у - (h - ъ?гat) > *°(*2~Ч
Легко проверить, что предположение /7/(|з)^0 и /''(^4)^0 пе-
совместимо с G4), поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда
одно из чисел /"(?8) или /г/(?4) положнтельпо. Пусть, например^
///(^4)>0. Тогда должно выполняться неравенство —ж1/"Eз)>
>xl(h — дго)/2, из которого, учитывая расположение точек х0
и xlf находим, ^ito //7 (|,)>< Uo — Л)/2. Но \fw(t)\^i> и поэтому
/" Ш < \t~ У - ih - *в)/2, 0 < * < /г,
max \f(t)dt< f [^(ft^x
G5)
Простые вычисления показывают, что неравенства G4) и G5)
при 0 < х0 < й/2 противоречат друг другу.
Таким образом, в предположении f + ^ h/2 соотношение F2)
доказано. Из пего, в частности, следует, что
max / ь (t) < ф @) = max | Ф (^) |,
h V+ Л/2
j
о о
Отсюда и из F0) вытекает, что
Т- Л Л/2
218

и, тем более,
Л/2
О О
Поэтому, если предположить, вопреки F3), что
то точка ## может лежать только на интервале @, h/2) и тогда
должна найтись точка х0 @<х0< h/2), в которой
г (/_, х0) - ф (я0), | Гл (/_, ж0) | > | ф' (ж0) |f
о о
Т1тобы прийти к противоречию, надо повторить приведенные
выше рассуждения для К/+, О, заменяя, разумеется, в нужных
местах знак на противоположный. Лемма 5.1.19 доказана. Заметим,
что соотношения E9) останутся справедливыми, если <pU)
заменить на — ф(?).
Более явный характер имеет вытекающее из леммы 5.1.19
Предложение 5.1.20. В условиях леммы 5.1.19
справедливы неравенства
11Я|с[«,Ы <|!ф|1с[а,Ы = Ф (а) = 74 ' GG)
JJ*, 1<?<оо. G7)
а а
Действительно,
!1/11С1а,ы-тал'И/,, 0), г(/., 0)},
а из F2) и F3) вытекает, что каждое из чисел г(/+, 0) и г(/~, 0)
ив превосходит ф(а). Чтобы получить G7), надо воспользоваться
еще леммой 2.4.13, в силу которой из F2) и F3) следуют пера-
вонства
ь ъ
а а
Ъ Ъ
выполнение которых равносильно G7).
Замечание. Если проследить доказательство леммы 5.1.19
(а также леммы 2.4.13), то легко убедиться, что знак равенства
в G6) и G7) будет только в случае fit) =* ±ф(^)#
219

Лемма 5.1.19 и предложение 5.1.20 позволяют получить
оценки приближения производпой при иптерполировапми
кубическими сплайнами дефекта 1 как при краевых условиях,
предусмотренных теоремой 5.1.17, так и при других краевых условиях
интерполяционного типа.
Пусть s(f, t) сплайн из SNt^ однозначно определенный по
функции fit) е С2 интерполяционными условиями
*(/, i/N)=f{i/N), i-0, I, .... N,
а также одним из паборов краевых условий
*"(/, 0)-Г@), *"(/, 1)-/"A); G8)
s'(f, 0)-/'@), *'(/, 1)-/'A); G9)
*'(/,.0)«/'@), *"(/, 1)-ГA); (80>
s"iU 0)=/'/@), /(/, 1) =/'(!). (81)
Существование и единственность такого силанпа вытекают нз
общей теоремы 1.2.14.
Предложение 5.1.21. Для функции f(t)^WzH]f и тем
более для / е W\o справедливы оценки
|| /'-*'(/) 1с <|Фл-.з 1с = 2^5, (82)
неулучшаемые при краевых условиях G8).
Доказательство. Если положить
в(/)
то
б(/|) - *(«i) - 0, f, - i/Л^, i« 0, 1, ..., N,
и при любых краевых условиях G8) —(81) в силу теоремы 5.1.8
выполняется неравенство
|( 0<t<i. (84)
В случае краевых условий G8) $(ф*|4, t) ™ 0, так что
^Ф^, 4«) и, значит, в силу (84)
(*0|. * = 0,1 "ЛГ. (85)
В ост«*>лы1ых случаях $(ф*, 4, i) ^ 0. Однако учитывая структуру
функции ф*г, 4(^) и ее производной, а также тот факт, что
220

s'"(qv 4, <) = const па каждом интервале U<_t, U), нетрудно
покапать (рекомендуем читателю провести соответствующие
выкладки), что при краевых условиях G9) —(81) выполняются
соотношения
sgn if(/) = sgn s(<pNt 4, 0 = sgn ф*, k(t), 0< f < 1,
Sgns'^V|4, ^^.^Пфх.з!^), 0< U'(<Pwi4f *i)I < 1ф*,|(*|I,
*-0f 1, ...,7V.
Отсюда с учетом (84) находим, что
а, следовательно, и в этих случаях справедливы неравенства (85).
Теперь яспо, что при любом паборе краевых условии G8) —
(81) па каждом промежутке U,_t, tt] (i=l, 2, ..., Лг)
выполняются условия леммы 5.1.19 (при /tt) = 6'U) и ф@ 8=±фх,«(<)>
и неравенства (82) и (83) сразу следуют из предложения 5.1.20,
В случае краевых условий G8) знак равенства в (82) и (83)
реализует функция ф*,4(*), принадлежащая W«, для которой
тогда, как уже отмечалось, s($Nti4 t) = а,у, »(ф*. к, <)в0.
При Лг==2/г., привлекая вместо теоремы 5.1.8 теорему 5.1.2,
аналогичным образом легко вывести из предложения 5.1.20
оценки вида (82) и (83) для погрешности /' (t)—or2n 3 (/»*)» где
Возвращаясь к общему случаю, отметим, что при г=2 лемму
5.1.18, как и при г=3 можно получить, сведя дело к локальной
экстремальной задаче для функций /(/)еСЮ, А], у которых
/"(/)< К при is@, A/2) U (A/2, А). Однако при произвольном
г^4 доказательство леммы 5.1.18 значительно усложняется, так
как приходится привлекать к рассмотрению поведение разпости
ft(/) =/(/) — o.v. r(/,.0 и ее производных не только на промежутке
[li-i, xj, для которого доказывается лемма, но и па соседних
промежутках между точками интерполяции.
При этом существенно используется следующее свойство
функции Ш) и ее производных (мы его сформулируем для
периодического случая): если и?.Ш = Ф*. т+М — Kbit) (Лг = 2/г), то при
любом 0<Я<1 функция [Х?.Ш и каждая из ее производных до г-го
порядка включительно имеет на периоде ровно N существенных
перемен знака, причем каждый пуль функции и^}@ (v = 0,1,...
..., г—1) является простым, в нем u\v)@ меняет знак, а между
соседними пулями есть ровно один пуль производной.
Что касается теоремы 5.1.17, то она легко выводится и-t
леммы 5.1.18. В периодическом случае в силу леммы 2.4.13 из
неравенств E7) и E8) вытекают соотношения при I — 1, 2, ..., 2п
max |6'@1<||ф2«.г11с
*'
221

ч
J |б'_
Tt-1
из которых непосредственно следует оценка
и остается заметить, что ф2п,г(?) ¦••¦= Фап.г-м и Ф2п,г-и(*)е W?"\
В непериодическом случае при нечетном г (когда т< = ?<)
достаточно этих же соображений, а при г четном надо
отдельно получить нужные оценки на промежутках 10, 1/B7V)] и
Н~1/BЛ0, 11, что с учетом краевых условий сделать нетрудно.
Впрочем у автора есть основания считать, что самое простое
доказательство теоремы 5.1.17 (которое и должно закрепиться в
монографиях), еще пе найдет).
Сопоставление равенств E6) с D.1.22) с учетом того, что
<?2п,г (/, /) е 52п,г-1 и / (t) <= WrJl влечет /' (/) s W'oo,
показывает, что сплайн cr2n,r(/, t) обеспечивает такую погрешность при-
блюкепия производной fit) иитериолируемой функции fit) из
W», которая но может быть улучшена па классе W^j, если
<*2п,г(/»0 заменить любым сплайном sit) из 52п,г-1- В
следующей главе выяснится, что доставляемая сплайном 02n,r(/, t)
погрешность не может быть уменьшена на том же классе и за
счет выбора любого другого приближающего подпространства
той же размерности.
В заключение заметим, что вторая производная crL,nr(/, /) ужо
не осуществляет (по крайней мере, в равномерной метрике)
наилучшего (с точной константой) приближения производной f'it)
функции /(/) е И^о1. Соответствующий пример петрудио
построить, в частности, для г =2.
§ 5.2. Оценка погрешности сплайн-лнтерполяцин
через модуль непрерывности
1. О наилучшей сплайн-интерполяцни на классе //". В 4-й
глаье получены оценки наилучшего приближения сплайнами
пулевого и более высокого порядка па классе //", точныо при
выпуклом вверх модуле непрерывности соF). Может ли эти оцепки
реализовать построенный па сплайнах той же размерности
линейный метод, в частности, интерполяционный? Па этот вопрос мы
дадим здесь ответ в случае приближения в метрике LPi где
3
Легко убедиться, что сплайн s(/, t) любого порядка, но
фиксированной размерности 7V, интерполирующий значепия функции
222

/U) e Я® в TV точках О < tt < т2 < ... < t.v < 1, пе может на
классе Н* при (о(б)т^Лй обеспечить погрешность, не превосходящую
?(//", 5jv|0)p. В самом деле, функция
/*(') = ™in о>(|*-тЛ|), 0<*<1,
принадлежит //w, и так как /*(Tf) = O, то $(/*,?) = (), и,
значит, (см. ниже лемму G.2.1)
а последняя величина при строго выпуклом со(б) строго больше,
чем (теорема 4.2.8)
Есть однако линейный оператор из С0 в ?*, ©, обеспечивающий
наилучшую иогреппюсть в Lp при 1^/?^3. Этот метод можно
паивать интерполяционным, если понимать этот термин в
обобщенном смысле, когда интерполируется не обязательно значение
функции /(/) в фиксированной точке, а вообще некоторая
величина, характеризующая поведение функции /(/) в окрестности
о той" точки.
Пусть, как и выше, 5,.(Д,у) — множество сплайнов нулевого
иорядка по фиксированному разбиению
Л*: 0 = t9 < U < ... < t* = 1. A)
Сопоставим функции /(/)s=?j=?ilO, 1] кусочно-постоянную
функцию "ф(/, /)=$(/, Длг, t) из ?УДЛ'), совпадающую па каждом
интервале (/<-i, /») со средним значением фупкцше па этом
промежутке, т. е. положим
Яспо, что этим задан линейный оператор из Lx в S0(AN). Мы
оценим сверху величину
для /еС через модуль пепрерыппости о>(/, 6), причем наш метод
позволит получить неулучшаемую оценку при 0 < р < 3.
Заметим, что при 0</?< 1 иод /*p = Lp[0, 1] понимают линейное
метрическое пространство измеримых па [0, 1] функция /(/),
223

у которых
о
с расстоянием
о
Лемма 5.2.1. Если fit) <=C[ay b\ и
го при О < р < 3 справедливо неравенство
ь ь-а
| «.'(/,0Л, C)
о>(/, 6)—модуль непрерывности функции fit) na Гя, ft]. Знак
равенства в C) имеет место, в частности, для функций fit) из
С\а% Ь], которые убывают на la, b\, выпуклы вверх па la, d,
с== ia + b)/2, и удовлетворяют условию симметрии
fie + к) = —fie — к), 0 ^ и < с — а.
J7/?u зо >3 неравенство C) может и не иметь места.
Сначала получим пужттую оценку в более простой ситуации,
когда fit) меняет знак на (a, b) один раз.
Лемма 5.2.2. Если fit)^Ciay Ы, выполняется равенство B),
4Х функция
строго монотонна на отрезках [а, а'\ и [b\ b\ ia<a'^bf <b)t
причем fit) ¦=» 0 для a' *^t < Ь\ то при 0 < р < 3
Ь-а
J upu,t)dt.
Ъ'-а'
Доказательство. Как и в лемме 4.2.15, введем
равенством
Fix) = F(pix)), а^х^а'^Ь' ^ р(х) ^ Ь,
функцию р(#), которая па отрезке [а, а'] строго убывает и
абсолютно пепрерывна, так что почти всюду па [а, а']
224

Замена переменной х = pit) дает
Ь а'
$\f(x)\4x-$\f{(>{t))\»\(>'{t)\dt
bf< a
и с учетом D) будем иметь
. E)
Точную оценку интеграла справа мы получим с помощью одного
элементарпого неравенства.
Лемма 5.2.3, При всех и X) и 0 < р ^ 3 справедливо
неравенство
2р(цр + а)<A+и)р+1, F)
которое при р > 3 для некоторых и > 0 уже не выполняется.
В самом деле, рассмотрим функцию
Ч(и, р) — A + и)*+1-2Чи* + и)9 u>0, р>0,
и покажем, что
г\(щ р)>0, и>0, 0<р<3. G)
Считая и>0 (при м = 0 неравенство G) очевидно), заметим, что
т](м, р) =*up+ir\Wu, p)f
а потому достаточно доказать неотрицательность т](ц, р) при и~2*
^ 1 и 0 < р < 3. Так как
Я A, р) =с х\и A, р) » 0, lim n (и, р) « + оо, р > О,
то нужное неравенство будет установлено, если мы покажем, что
для и> 1 иО<р<3
(8)
Но
Чин (и, Р) = Р [(Р + 1) A + ")Р-1 - 2Р (р - 1) и"-2]
и в случав 0 < р < 1 все тривиально. Если же 1 < р < 3, то (8)
следует из того, что тогда
и, кроме того, для и> 1 и 1<р<3
Q; П {и, р) - р (р - 1) [(р + 1) A + и)»~2 -2P{P- 2) ир~3] > 0.
ди
Последнее неравенство нри 1 < р ^ 2 очевидио, а при м>1 и
2 < р < 3 вытекает из того, что в этом случае
и)р~2 XI + рJр-г > 2Чр - 2) > 2р(р - 2)цр"\
225

Соотношение G), а с иим и первая пасть утверждения леммы
5.2.3 доказаны. Если р>3, то iw(l, p)<0 и в окрестности
прямой ц=1 функция ц(и, р) обязательно принимает
отрицательные значения.
Вернемся к доказательству леммы 5.2.2. В силу леммы 5.2.3
почти всюду на (а, а) при 0<р^З
и так как ввиду D)
\*[i±\i)'(t)\]
1/(р(/))И1 -p'U)lp+1 - !/(p(t))U -р'ШI'll -p'U)I
то, оценивая интеграл в правой части E) при 0<р^З, будем
иметь
Ь
(ор(/,р @-*) 11 -Р' @1 * = 2^Р J (ор(/,0^
Лемма 5.2.2 доказана. Теперь доказательство леммы 5.2.1
проведем по схеме, которую мы использовали в аналогичной
ситуации заканчивая доказательство леммы 4.2.7. Разница состоит
только в том, что там конечность итерационных шагов
обеспечивалась переходом к полигональным функциям, здесь же мы для
той же цели поступим иначе.
ь
Пусть /U) е С[а, Ни]/ (t) dt = 0. Зададим 8 > 0 и выделим
а
множество Е*=Е(г), Еа[а1 Ь], такое, что
#=* 0, |
Е Q
где Q —[а, Ы\^. Ясно, что Е состоит из конечного чис^ла
непересекающихся промежутков. Положим
g{t)-f(t),
Па конечном числе интервалов, а нмешю там, где g(t)~f(t)y
фупкция Fi(x) строго монотонна. Выделим (попарпо
непересекающиеся) интервалы (ал, bk) (/с= 1, 2, ,.., п) на (а, Ь),
удовлетворяющие условиям
/\(fl*> = *¦,(&*) = 0, 1^(а:)|>0, ah<x<bh.
226

Теперь буквальным повторением построенных на идее
итерации рассуждений, с помощью которых в § 4.2 доказывалось
соотношение D.2.21), установим, что
Отсюда с учетом монотонности о>(/, I) находим, что
Ъ n bk~ak Ь-а
С — V1 С — Г
а к~1 О О
Так как
ь ь
а е может быть выбрано сколь угодно малым, то неравенство C)
доказано. То, что для функций /(/), о которых говорится в фор^
мулировке -леммы 5.2.1, в C) будет знак равенства, проверяется
элементарно, и мы предоставляем это читателю.
Приведем еще пример функции, для которой условия леммы
5.2.1 выполняются, по при /?>3 неравенство C) не имеет места.
Фиксируем р>3, и пусть
|2 — 25, 0<*<6,
Тогда
1 1
J / (б, t) dt - О, J | / (б, /) \4t = 2Р [A - б)рб + бр A -¦ б)] - : ф(б).
о
Так как ср'A/2)==0 и при р>3 ф/'A/2)>0, то в точке 6
функция (р(б) имеет строгий минимум, а потому
max Ф E) = Ф (б0) > Ф A/2) = 1, 0 < 60 < 1/2.
0«61
Если fhti) @ < h < бо) — функция Стеклова для /(б0, t), то Д
е С, Д -i-1 и при h -+• О
J | /а (О Г* -v Ф (б0), J сор (/л, *) Л -v 2Р,
о
J
о о
так что для достаточно малых h
«>P{fh,t)dt.
о
Лемма 5.2.1 доказана. Если /W^C, то на каждом
интервале Ui-t, *<) (i = 1,2, ..., N) разбиения A) разность f(t) —
227

— if(/, A*, t) удовлетворяет условиям этой леммы и для 0 < р < 3
получаем оценку
f I/(*)-*(/, Ал, *)Г<й<2"» S ' ( \v<J,t)dt.
Особо отметим наиболее важный случай равномерного разбиения
Ajv, _когда ti^i/N (i = 0,1, ..., N), ?0(Д^) = Я*, „. Полагая
Ajv, t) = 4>(/i *)i получим следующее утверждение.
Теорема 5.2.4. Для функций /U)eC при 0<р<3 ся/?а-
ведлива иеулучшаемая оценка
J I / (*) — ¦* (/. *) R* < 2-"W ] «*(/,«) Л, # = 1,2,... (9)
О О
Орц р > 3 оценка (9) для /(J) е С может и не иметь места.
Заметим, что соотношение (9) выполняется со знаком
равенства для стандартной функции JN% о((о, ?), определенной в п. 1
§ 4.2 но выпуклому модулю непрерывности (о(б) равенствами
D.2.3).
Следствие 5.2.5. Если fit) е С, го /г/ж 0 < /> <3
1
JI / (*) — "ФА' (
О
Неравенство точное.
Чтобы убедиться в неулучшаемости оценки A0), достаточно
рассмотреть функцию Стеклова (при малых Ю для fit) =
= sgncosnNt @<t^l).
Соответствующий теореме 5.2.4 результат для класса /7ю
формулируется следующим образом.
Теорема 5.2.6. Каков бы ни был модуль непрерывности
со(б), для функций /U)e//W при 0<р^З справедлива оценка
1 1/N 1
JI / О - ^ (/. *) |Р* < 2~^ 1 ^ С) Л = 111«* (©. 0 РЛ» (И>
О 0 0
иеулучшаемая в случае выпуклого вверх со(б). При р>3 можно
указать выпуклый модуль непрерывности (оF), 5ля которого
неравенство A1) /*а всеж классе //w выполняться не будет.
Заметим, что при выпуклом со(б) знак равенства в A1)
реализует стандартная функция /*т,о(а>, О, которая в случае четного
N=*2?i принадлежит ffw, так что оценка A1) при iV = 2/г неулуч-
шаема и на классе Вш периодических функций.
Ниже (в гл. 6) мы увидим, что никакой онератор со
значениями в iV-мерном нодпространстве пе моя^ет обеснечить в Lp (I ^
^ р < 3) лучшую оценку приближения, чем (9), на классе Нш и
A0) на мнолсестве С. Что касается приближения функциями
228

*M/, t) в метрике Lv при р>3, то можно привести точный ре-*
яультат только для р — °°:
1/JV
I / - Ы/) К^Г j <о (t) dt, f e H\ A2)
о
Неравенство A2) немедленно вытекает из того, что если /э
ь
, Ы и
-- U, то
ъ
Ь-о
(/.о л.
Неулучшаемость A2) проверяется тривиально.
С учетом иолуаддитивпости модуля непрерывности со(б) при
О < а < 1 будем иметь
а а/2 а
j (о @ с// - [ (о (/) Л -|- j со (/) (П <
О 0 а/2
а
Поэтому
¦i j (о (i) A < min {со (а), у (о (|
и для /(f) <= С справедливы неравенства
со (/, 1/iV),
Iе0 (/'А')'
каждое из которых неулучшаемо на С.
Наилучший линейный оператор со значениями в SN> 0 для
класса Н" в нространствах Lp (p>3) и С пам неизвестен.
Однако рассуждениями, аналогичными тем, которые приведены в
[1], § 7.7, можно показать, что если (о(б) — выпуклый и
нелинейный па [0, i/N] модуль пенрерывпости, то не существует
линейного оператора из С в SNt 0, реализующего паилучшее приблн-
зкепие класса /iw в метрике L«> (равпое <j>(i/N)/2).
2. Интерполяция ломаными. Пусть, как и выше, SNt, —
множество сплайпов порядка 1 дефекта 1 но равномерпому ра;*би-
счшю ti^i/N (i«=0, I, ..., iV), о^.Д/, /) —онлайн из S#tl,
229

определяемый для /(/) е С интерполяционными условиями
о*,i(/, UN) « fWN), i = 0,i,...tN.
Заметим, что если fit) абсолютно непрерывна на 10, 11, то
^(/«^"^(/''О» гДе чЫ#» *) — кусочпо-постояппые
функции, введенные ви. 1.
Будем оценивать уклопенис функций fit) е С1 от иитерполя-
Ц4ЮНПЫХ ломаных o\v,i(/, ?) в метрике ?„ (р>0). Нам
потребуются вспомогательные утверждения, связанные с неравенствами
для убывающих перестановок г(/, /), определенных в н. 3 § 2.4.
Лемма 5.2.7. Если
X
f(t)<=C[a,b], F{x)--=\f{t)dtf a<*<6,
a
причем Fib) = 0, то почти всюду на отрезке [0, Ъ — а\
Доказательство. Из абсолютной непрерывности функции
Fix) на отрезке [а, Ы следует абсолютпая непрерывность
перестановки riFy х) на [О, Ь — а]. Фиксируем точку xQ^@> b — a)y
в которой производная r'iF, х0) существует, и пусть ril\ х0) = у0.
Из определения перестановки следует, что на интервале (a, b)
найдутся точки х{ и х2 {х\<хг) такие, tito \Fixi)\ == l^(^2)l =•
«KF, д:0), \Fix)\ > г/о (j:i < #< ^2), причем ^2 — ^i < ^0 и
sgn/y*(.r,) = sgn F(.r2). Если число /г < 0 и достаточно мало по
абсолютной величине, то для некоторых чисел hi > 0 и /г2<0
таких, что \fii- h2\ <\h\ будет (здесь полезно сделать чертеж)
sgn [Fixt + ht) — Fizi)] = sgn [Fix2 + h2) - Fix2)].
Тогда
<4
F(*l+hl)-F(*l)
*. ».
ибо ввиду сделанных предположений о числах ft, /г4 и /г2
13 пределе при h -^ 0 получим оценку левой производной
функции KF, #) в точке ж0:
j со(/, л:2 — ^)<^(о
Аналогичным образом придем к такой же оценке для правой
производпой Гц (F, д:0), так что лемма 5.2.7 доказана.
230

Функции /(/), удовлетворяющей условиям леммы 5.2.7,
сопоставим функцию
J4-»(/,oH- b-2t),
И ПОЛОЖИМ
Легко проверить, что /^(Ь) =• 0, (о(/, б) < со(/0, 6) и
-а. A3)
Лемма 5.2.8. В условиях леммы 5.2.7 справедливы неравен-
ства
r(F, x)<HF9, x), 0^x<b-a, (И)
ь ъ
^\F(x)\"dx^^\F0(x)iTldx, p>0. A5)
а а
Действительно, из леммы 5.2.7 и равенства A3) следует, что
почти всюду па (О, Ь — a) r'(F, x)>r'(F*, #), и так кяк
HF, Ь — a) = r(F0, b — a) — 0, то A4) доказано. Далее, используя
A4) и равенство B.4.19), будем иметь
b fc—a Ъ—а Ь
j | F (х) fdx= J rp (F, x) dx < J r11 (Fo, ж) dx = j | Fo (x) \p dx.
a о о a
Следствие 5.2.9, В условиях леммы 5.2.7
ь
Это сразу вытекает из неравенства A5) и того очевидного
факта, что график r(F0, x) лежит ниже прямой у=*ч(х)9
определяемой условиями
- а) == 0, ч'(х) - -(о(/, Ь - о)/4.
Основной результат этого пункта составляет следующее
утверждение (функции /*, r(@, i) определены в п. 1 § 4.2).
Теорема 5.2.10. Каков бы ни был модуль непрерывности
соF), для функций /U) ^ ТУ1//® справедливы оценки
231

В случае выпуклого модуля непрерывности со(б) оценки A6) и
A7) пеулучшаемы на классе VK1//*, а при N четном —и на клас*
се W41*.
Доказательство. Положим
g(A t)-/U)-aWil(/f t)> A8)
тогда для /(/) е= С1
gV,t)=f'{t)-tAf',t), t + t/N, * = 0,1 ЛГ. A9)
Рассматривая функцию g'{ff t) па отрезке Ш —О/ЛГ, S/ЛП
(доопределив ео на концах но непрерывности), в предположении
f(t) & IV1//* имеем очевидные соотношения
ю(?'# б) = со(/', 6) ^ ©(б), 0<6^ 1/ЛГ.
К функциям ff'(/f ^) и g(f, t) на каждом промежутке Ш — 1)/ЛГ,
r/iVJ (/«=1,2, .#м iV) примонима лемма 5.2.8, причем роль функ-
j^hh /%(<) будет играть стандартная функция /iy,i((of t), так что
неравенство AG) следует и« A5). Что касается соотношения A7),
то оно сразу вытекает из A9) и теоремы 5.2.6. Остается заметить,
чтф при выпуклом вверх со(б) /лг.Дсо, t)&WlII*9 а при N четном
также /n.iUo, t) e fF1//^.
Теорема 5.2.11. А'сди f(t)&C\ то
B0)
',]7). 0<р<3. B1)
Оценки B0) и B1) пеулучшаемы па множестве С\ а при четных
N — и на С\
Чтобы получить B0), надо на каждом отрезке Ш — D/iV, f/ЛП
к разности A8) применить следствие 5»2,9 (полагая #(/, t)~F(t)).
Неравенство B1) сразу вытекает из A9) и следствия 5.2.5.
Неулучшаемость оценок B0) и B1) проверяется на функциях Стек-
лова (при малых А) для непрерывной на [0, 1] кусочно-линейной
функции
= ] sgn cos nNu duf
Из A6) и B0) в частности следует, что при всех р>1
справедливы неравенства
232

первое из которых пеулучшаемо на классе WiHiu при выпуклом
вверх (оF), а второе неулучшаемо на всем множестве С1.
Предельным переходом при р -*• оо получим соответствующие оценки
погрешности интерполяции в метрике С:
B2)
неулучшаемые па тех же множествах функций.
Впрочем, неравенства B2) и B3) можно вывести
непосредственно, используя простые рассуждения, которые
позволяют к тому же получить оценки погрешности в каждой точке
*е[0, 11.
Лемма 5.2.12. Пусть /(*)е=С[а, ft],
Ь of
J /(/) dt - О, F(х) - j /(/) <?/, д < о;< Ь.
Тогда справедливы неулучшаемые неравенства
)
. B4)
Доказательство. Фиксируем д:^ (rt, fc) и определим
функцию рШ равенством
b, B5)
где функция g(t) определена на [а, Ь\ соотношениями
г [Ъ — х, а<и<х,
j * 1а — #, х<и<Ь.
Дифферепцируя B5), найдем, что
p'tt) = (Ь- х)/(а-х), q<t<x.
Записав очевидное равенство
\dt
233

и положив в последнем интеграле t = р(м), будем иметь
!*'(*)! =
-/(р ('))!
а
ос ъ-а
а ^ ^ О
^. (Ь — х) {х — а) ,, , v
Неулучшаемость неравенств B4) проверяется на функции
f(t)*=gh(t), где gh(t) — функция Стеклова (при малых ft) для
заданной равенствами B6) функции g(t).
Если обозначить через со(/, [а, р], /) модуль непрерывности
функции fit) из С = С[0, 1], рассматриваемой только на отрезке
[a, jJ] cr [0, 1], то из леммы 5.2.12 сразу вытекает
Предложение 5.2.13. Пусть /(/) е С1 и о(Д t)—сплайн
из 6\(Д^), интерполирующий функцию /(О в точках ti (i =»
= 0, 1, ..., Ю разбиения A). Тогда в каждой точке х (ti~l<x<L
< ti) выполняются неравенства
|/(*)-о-(/,
«-И 'Л «« - '«-!
неулучшаемые на всем множестве С1.
Отметим еще следующий факт. При равномерном разбиении
ti = i/N (i = 0t 1, ..., АО в силу леммы 5.2.12 для функций /(О
из \VlN" справедлива в точке х (f<~i < x< ti) оценка
1/iV
\f(x)- oNtl (/, *) | <G* -*)(*- Ii-0 ^ j со (t) dt,
которая, конечно, сильнее оценки B2), однако она не является,
вообще говоря, пеулучшаемой (в точках) на классе 1?1НШ даже
при выпуклом со (б).
Выше рассматривалась интерполяция ломапыми функций /(/)
из С1 и погрешность оценивалась через модуль непрерывности
(или его мажоранту) производной fit). Сравнение с
соответствующими оценками наилучшего приближения сплайнами первого
порядка показывает, что интерполяционные ломаные гарантируют
наилучшее приближение в метриках С и Li как самой функции,
так одновременно и ее производной. Позже мы увидим, что они
реализуют наилучшее приближение и в метрике Lv A </?<«>).
534

Можно показать, что повышение гладкости интерполируемых
ломапымп функций не влечет соответствующего повышения
порядка погрешности. С другой стороны, если при равномерном
разбиении интерполировать ломаными просто непрерывные
функции, то на классах Лш и на всем множестве С получим ту же
погрешность, что и при интерполировании кусочно-постоянными
функциями. В частности,
sup II / - оЯл (/) «с/со (/, i/BN))] = 3/2, B7)
а в случае выпуклого вверх со (б)
sup 1 / - oNtl (/)\\c = со A/BЛГ)), B8)
*0
A/BЛт) \l/p
2N \ <*p(t)dt) , 1<р<оо. B8')
о /
Заметим, что при (о(б)=^7^б интерполяционные ломаные не
доставляют на классе Нш наилучшее приближение, которое, как
мы видели, в метрике Lp (I ^ р ^ 3) реализуется липейным
методом if.v(/, t).
3. Интегральное представление погрешности. До сих пор нри
оцепке погрешности сплайн-интерполяции мы не пользовались
аналитическим представлением интерполяционного сплайна
(например, через фундаментальные), а обходились непосредственно
фактом совпадения его с интерполируемой функцией в
фиксированных точках. Другой подход к оцепке погрешности
интерполирования лежит через интегральное представление этой
погрешности. Здесь мы рассмотрим с этой точки зрепия
интерполирование периодических фупкций.
Будем исходить из справедливого для /(/)eZ™ тождества
1
/ (*) = с0 + f Dm (x - t) /(m) (t) dt, B9)
0
I»
где c0 = J / {x) dx, a Dm(u) — моноенлайн Берпулли, определен-
o
иый равепством A.1.12) (см. также § 2.3).
Обычно соотношепие B9) выводят, используя разложение
функции /(#) в ряд Фурье но тригонометрической системе, но
можно его получить из иных соображений. Фиксируем х и пусть
для 0<й<1/2 g(h, i) — 1-периодическая функция, равная —1
для х + h<t<x — fe+1 и равная l/Bfe) — 1 для х — h h
Легко проверяется, что g{h, t) J- 1, а функция
совнадает с —D^x — i) (см. A.1.14)) вне интервалов (
235

h) (& = 0, ±1, ±2, .,.), причем если Л-+-0, то gi(ft, t) -*¦
-*¦ —jDi(x~~ ?) в каждой точке ?.
Если теперь f{t)^Z™ (т=»1,2, • ..), то, интегрируя но
частям и учитывая, что [/(#) — col -1- 1, будем иметь
- j gE (/г, *) /' (t) dt * J g(fc, t) f/ (t) - co| dt ^
о о
1 к-Л
« J [^ (ft, *) + 1] f/ @ - col dt = 1 j [/ @ - ce] Л.
О «-Л
В пределе при й -+ 0 получим
о
о проинтегрировав слева г раз по частям и используя равепство
Dh (и) = Dk-i (w)» придем к соотношению B9).
Пусть AN: 0 =* t0 < ?i < ... < tN =« 1 — произвольное разбиение
if подпространство SA&n) (г=1, 2, •..) интерполирует в ЛГ
точках и на периоде: 0 < ti < xt< .¦¦ < rN ^ 1. Если s,(#) (i=»
=«1,2, ,.., iV) — фундаментальные силайны из 5Г(&#),
определяемые равенствами
*«(т,)«6«ь *• / — 1, 2 ЛГ,
то сплайп а(/, i) из 5Г(А«), интерполирующий функцию j{t)<^C
в точках т>, запишется в виде
JV
Если в частности /(/) «¦ 1, то в силу единственности о(/, х) ^ lf
гак что справедливо тождество
Считая, что /(QsLrb и подставляя в C0) выражения для
/(т<), которые дает формула B9), с учетом C1) будем иметь
°(f,z) - со + }2 »Г (Ti - t) 9i (x) fr) (t) dt,
о l^L
а положив
получим представление погрешности интерполирования в виде
О L i^l
236

Таким образом, дело сводится к исследованию свойств
функции
N
К (г t\— Г) (г П У *.(т\ П (г. t\ H9\
имеющей период 1 но каждой переменной. Сразу видно, что при
фиксированном t сумма в C2) есть сплайн из 5г(Ая),
интерполирующей функцию DAx — t) в точках xiy и, следовательно,
КЛхи 0-0, /-1, 2, ..., N.
Далее,
[N Т
Dx (х — t) — ^J 5j (ж) Dx (Т| — J)
i^i J
и ввиду C1) применима лемма 1.1.4, в силу которой при хФх\
Kr(x1 t) по переменной t есть сплайн порядка г—1 дефекта 1
но разбиению А*, дополненному точкой х.
Более полно удается описать свойства ядра интегрального
представления погрешности в случае, когда разбиение А^ = Д2Л —
равномерное. Пусть
tt = i/Bn)t S = 0,1,..., 2/г,
C3)
т< _. f ,у i = 12 2/г
где «у»-в 0 пРи г нечетном и ^гe 1/Dи) — при г четпом;
O2n,r(j,t)—сплайн из Sin. г, интерполирующий функцию f(t)&C
в точках т< (? = 1, 2f ..., 2п). Заметив, что в силу периодичности
подынтегральных функций в B9)
/ И = ce + f DP (* - t - Yr) /(r) (* + Yr) Л,
для /e/^i будем иметь
б (/, *) = / (х) - <j2n,r (/, ж) = J Кг (х, t) /(r) (t + Yr) dt, C4)
о
где
2П
К, (*f t) = Л (* - * - Yr) - 2 *i И Дг (т4 - * - Yr). C5)
i=l
Если положить
Fr(xy i)= J ~Kr(x,u)du,
?37

то
«= Dr-n (х) — Dr+г {x — t — Yr)~2 *i (*) [Дч-i (**)—Л-+1 (т4—t—Yr))
C6)
и для }{t)^L\+1 погрешность б(/, х) можно записать в виде
о
Лемма 5.2.14. В предположении, что узлы t{
интерполяционного сплайна o2n.r(fi t)^S2n%r и точки интерполяции т< заданы
равенствами C3), функция Fr(x, t) обладает следующими*
свойствами.
1) Для 1 = 1,2, ...,2л Fr(rh i)*=0 при всех t и Fr(x, f,)»=O
при всех х.
2) При t Ф %i Fr(x, t) как функция от х есть сплайн порядка
г дефекта 1 по разбиению Д2п, дополненному точкой ? + чг; при
этом
г). C7)
3) При хФх< Fr{x, t) как функция or t есть сплайн порядка
г дефекта 1 по разбиению А2п, дополненному точкой х — уг; при
этом
r(;r, /) = ±cp2n,oU + 4r). C8)
4) При всех х и t выполняются равенства
F»-i (х, t) « ^2Л-1 (t, x), F2k (x, t) = F2h (t,« - 1/Bл)),
/c-1,2, ... C9)
5) Справедливы тождества
Fr (x, t) | Л --1 ф2„.г+, (*) |, j | Fr (x, t) | <te = | ф2».г+1 (О |. D0)
о о
Доказательство. При фиксированном t положим
gtix) - ДГ+1Ы - DT+i(x - t - fr).
Тогда, как видио из C6),
Fr{x, t)*=*gt(x) — o2ntT(gh х)
и, следовательно, F,(t<, i)s0 (i ¦»» 1, 2,..., 2л). Далее,
так что (см. A.1.14)) g\r) (x) есть кусочно-постоянная функция
с разрывами в точках х=*0 и # = f + (yr. Поэтому если t == т4 =
¦= fi — ifri то разрывы gjr) (^) попадают в точки разбиения Д2* и,
238

значит, gXi (х) е S2nj. Но тогда в силу единственности
<W(?Ti, я)^ %х{(х), т. е. FAx, т<)**0 О — 1, 2,..., 2/г). Если
же *^т<, то Frix, t) как разность двух сплайнов gt(x) и
<Т2п, r(g/, х) также _есть сплайн порядка г дефекта 1 по
объединению разбиений A2ftUU + Yr}. Кроме того, кусочпо-постоянная
функция
может иметь па периоде не более чем 2п + 1 разрывов, а,
значит, в силу периодичности имеет на периоде не более чем 2п
существенных перемен знака. Отсюда следует (это легко
установить, рассуждая от противного), что нули дг = т< (i = 1, 2,..., 2п)
функции Prix, t) являются простыми, в них Fr(xf. t) меняет знак
и других пулей на периоде у нее пет, так что справедливо
равенство C7).
Фиксируем теперь хФхи Так как разность т< — y*- равна г{~х
или t{ (i — 1, 2,. •., 2гс), то
- (- l)r+1 [Pl (х - t- Yr) - g*i{*) Dx (xi-t- T
[2П 1
Dl(t-x + Yr) - 2i *i И ^i (* - т* -|- Yr) I.
п если учесть C1), то лемма 1.1.4 позволяет заключить, что
dTFr(x, t)/dtr по переменной t есть кусочно-постояпиая функция
с возможными разрывами в точках U (t^O, 1,..., 2п) и с обяза-
тельпым разрывом в точке t^^z — ^r* Следовательно, Fr(x, t) Kaif
функция от t есть силайц порядка г дефекта 1 по разбиепию
&2nUix — Чг) и имеет на периоде ровно 2п простых нулей т< ($«
»1, ...,2л), в которых она меняет зпак, так что справедливо C8).
Докажем равенства C9), причем в силу утверждения 1)
леммы доказывать их надо только в предположении, что хФ-zi и
t Ф т^ (? = 1,...,2/i). Если г нечетно, то в силу утверждений 2)
и 3) при каждом фиксированном хФх< функции фШ =/%(#, /)
и г|:(/) — Fr(Z, ж) являются сплашгами порядка г дефекта 1
по одному и тому же разбиению Д2п -U ix). Предположив, что
(р(/)^^(^), папример, что ф(г)>"ф(^)>0 (i^t<), мы должны
заключить, что сплайн
также принадлежит лпнейпому многообразию SA&mU ix}) и
кроме нулей / = Тг имеет еще нуль в точке t, что, как уже отмеча-
239

лось, невозможно. Следовательно, фШ^фШ, и этим доказано
первое из равенств C9).
Пусть теперь г четно. Рассуждая аналогично, ааключаем, что
при фиксированном хФхк функции FAx% t) и FAt, х — 1/Bп))
по переменной t являются в силу 2) и 3) сплайнами порядка г
дефекта 1 по одному и тому же разбиению А2п U {х — чЛ, а
потому, имея общие нули в точках т4, ..., т2п, должны
тождественно совпадать, т. е. справедливо и второе из равенств C9).
Далее, используя C8), C6) и вамечая, что <р2П| «U + Чг) -L 1»
можем написать
f Dr+l (x-i- yr) ф2п>0{t -Ь yr) dt
2П *
Но в силу определения функций ф2п m(t) и общего представления
B9)
1
J Dr+\ {t\ — t — Yr) Фгп,о (* ~\~ Yr) dt = ф2п,г+1 (тч) = 0, i =¦-1, ..., 2ny
0
j Dt+\ {X—t — Yr) Ф2П.0 (^ + Yr) dt =* ф2П,Г + 1 И,
0
т. е. первое из соотношений D0) доказано. А теперь, учитывая
C9), будем иметь при всех г = 1,2,...
1 1
Лемма 5.2.14 полностью докааапа. Иа нее немедленно
вытекают некоторые точные оценки погрешности
сплайн-аппроксимации, полученные в § 6.1 иным путем. Действительно, если
/(t)e WrJl, то в силу D0) при каждом х
to
1
j'l/-V (*,
S40

Если же
р < со), то
- j I «p4«,r+, @ 11 /(r+1) (* -h yr) I dt <|| ф2я.г+1 lp, I/
1
<r+1)
llp't
где p' =p/(p- 1). ^
4. О погрешности сплайн-интерполяции на классах ТУГЯШ и
WfH**mСлучаи г = 0 и г=1 были довольно подробно исследованы
в п.п. 1 и 2. Для любых гявя2, 3,... мы приведем здесь
некоторые оценки в метриках С и Lt при равномерном разбиении, имея
ориентирами точные значения наилучших приближений для
выпуклого вверх модуля непрерывности <оF) (§ 4.2):
3sn.r)c = |/2n.r (СО) ||с, E(W'H», S2n,r)i - |/.»,г И,,
где Лп,у((о, i) — стандартные функции, определенные в § 4.2, п. 1.
Отправляясь от представления погрешности C4), заметим,
что при фиксированном хч^ъ ядро К Ах, t) на каждом
промежутке [т«^|, т<1 в среднем равно нулю и меняет внак один раз.
В силу утверждения в) леммы 4.2.15 имеем (<оF) везде ниже
предполагается выпуклым вверх):
sup
J Kr(x,t)g(t)di
- I
где ri(Fr(x,-), <)—убывающая перестановка функции \Fr(x, t)\
по переменной t на [T<~i, tJ, причем экстремальная функция
(зависящая, конечно, и от х) gM) е 1Мт{~и tJ, определяется с
точностью до аддитивной постоянной и удовлетворяет соотношениям
<— 1 2п,
«= —SgTl [gi(Ti) — ?f<(T<-|)J«
Следовательно, функции g№) можно «склеить» в точках т<
что получим функцию g# (*) е #*\ g* (Q J_ 1, для которой
811Р
, о е @
j.
241

Таким образом,
sup | / (*) - а2П|Г (/, х) I - | Kr (*, t) ?* (*) dt
1/B) 2П 1/B)
- J Sn (^r (*, •), 0 ю' (О Л - ) R (Fr (*, .), t) ©' (I) dt, D2)
0 tJ=1 0
где R(Fr(x, ¦), f) — 2-перестановка (§ 4.2) функции I/'VU, J)| no
переменной ?.
Здесь возникают два допроса: чему равен максимум по я
правой части D2) и будет ли этот максимум больше величины
?(TPr//w, Szn.r)c Учитывая тонкие свойства ядра Kr(x, t),
которых мы здесь не касаемся, можно предположить, что максимум
по х будет достигаться в точках т^^ Bi—1)/Dп) при г нечетном
и в точках U = i/{2n) при г четном, т. е.
1/B
Строгое доказательство этого факта автору, однако, неизвестно.
На второй вопрос имеется вполне определенный ответ: если
<оF) ?* Кб @^6^ 1/B/г)), то при г> 2 справедливо строгое
неравенство
2n,r)с - || hn, (o>) |с. D3)
Поясним, откуда это вытекает. Так как /2п,г((«)? Т() = 0_и, значит,
о2п, rifm, г(о>), i)s0, то, положив для краткости i|)U) =/ГгA/Dп) —
— Afr, <), в силу общего представления C4) можем написать
1 Ims И 1с = I /а«.г (со, 1/Dп) - уг) Н
J Ф @ /8».о (©.' + Тг) Л < J ф (t) ^0 («) Л, D 4)
о о
где go(t) — построенная выше экстремальная функция g* (t) из
j/<» при х = 1/Dп) + 7г. Теперь достаточпо показать, что в
последнем из соотношений D4) при г = 2, 3, .,. должен быть знак
строгого неравенства, а это будет так, если хотя бы на одном из
промежутков [т<_ь tJ пи одна из функций ±/2»,о(о), t) не
совпадает с экстремалью go(t). Но при о)(б) Ф К8 функция =Ь/2п> 0((о, t)
может реализовать верхнюю грань в D1) тогда и только тогда,
когда (см. лемму 4.2.15)
ф(т,-1 + и) = —^(xf - и), 0 < и < 1/Dп). D5)
Можно показать, что это не выполпяется, если не на всех, то
на некоторых промежутках [т<-!, tJ. Подробное доказательство
этого факта достаточно сложно и мы его не приводим, по суть
242

в том, что при г = 2, 3, ... график ty(t) изображает колебания,
затухающие но мере удаления точки t от t»1/Dп) + уГ1 так что
значения ^(т<), чередующиеся по знаку, убывают но абсолютной
величине и равенство D5) не выполняется, в частности, при и = 0.
Итак, в метрике С интерполяционные сплайны из Sin. г но
реализуют на классе Wrlla (г>2) наилучшее приближение,
если только выпуклый вверх модуль непрерывности о)F) не
линеен на [0, l/Bn)J, хотя уже грубые оценки позволяют
заключить, что
sup 1 /- 02П,Г (/)\\с<|
vPrHw
По-иному будет обстоять дело, если мы перейдем в метрику
Li. Интегральная метрика усредняет несимметричность ядра, и в
LK погрешность сплайн-интерполяции на классе flPr//w (r^l) не
превосходит погрешности наилучшего приближения. Справедлива
Теорема 5.2.15. Каков бы ни был выпуклый вверх модуль
непрерывности о)(б), при всех п, г«=»1,2,... выполняются
соотношения
(^<0,^n,r)i-|/2»)r(«)||l, DG)
еде f2n, r(o), t) — стандартная функция, определенная в § 4.2.
Покажем, как теорему 5.2.15 можно вывести из леммы 5.1.18.
Пусть fit) е= Wll1* (г == 1, 2,...). Лемма 5.1.4 позволяет
написать представление для погрешности сплайн-интерполяции в
метрике Lx\
|jV(o-<w(g,o]/(r)(t-Y
I/ - <W (У)It =
D7)
WrII\
где g\i)^ w JJ2n, а Чг, как и выше, есть пуль при г нечетном
и 1/D/г) при г четном. Для краткости будем ниже полагать
6U) = fit) - o2n> AU t), r\it) = git) - 02n, rig, t).
Очевидно, что
sup
В предположении выпуклости вверх о)(б) в силу D.2.69)
J I fins (О), *) I * = J ^о (ф2«,г+1, *) ©' (*) Л,
где fe=al/Bn), а го(ф2„,г.м, 0 —убывающая перестановка
функции ф2п,г.н(*) на [0, /iJ. С другой стороны, теорема 4.2.16
позволяет написать оценку
sup
243

где R(r\\ Ti-i9 xu t) — 2-нерестановка функции r\(t) на
промежутке fiv-i, rj» Таким образом, чтобы доказать неравенство
||/ -02П.г (/)|]i <!]/,n.r(O))|tt D8)
достаточно установить, что при каждом i == 1, 2,.. ,f 2n
Шц; tf-t, т<; а:)<го(ф2ПрГ.м, л:), О^я^й. D9)
Фиксируем х*= (О, fe). Как легко видеть,
v v
Г0 (ф2п,г+1» ^) = J Г0 ((ф2п.г) + | t) dt « j Г< ((ф,п,г) И 0 d*i E0)
О О
где "у ^ (А — #)/2, a rf(g, i) — убыкающая перестанокка функции
g(^) па [т,_,, tj.
Оценим левую часть D9). Иг* определения 2-иерестаиовки
Я(ч\; Tf-lT Ti\ t) следует, что на (r<-i, т<) существует интерпал
(с%1, Pi) или система непересекающихся интервалов (aft, pft)
таких, что
C) <Э) 1(О1>1()! а* < t < рл.
При этом (подробнее с\т. 11, с. 144—1401)
E!)
где Fx — [x^lt ti]\ U (a/{? P/t)» так что mes /^ < Л - х. Пусть
/^ и Fx — подмножества из ^х, па которых соответственно
т)'(/)>0 и т)'(/)<0. J3 силу того, что T](r»-i) =* т](т<) =»0 и
() ^^(р^), выполняется равенство
\ ц (t) dt - О
л, следовательно,
j К @1 * = J I Ч' @1 * - у JIЧ' (*) I dt. E2)
Ясно, что мера хотя бы одного из множеств Fjt и /'V не
превосходит 7- Считая для определенности, что rnes/'» ^ у,будем иметь
у
f |тГ (<)!*< 1»ч(т|+.0Л. E3)
Из соотношепий E0) —E3) и неравенства (лемма 5.1,18)
у
244

следует неравенство D9), а, значит, справедливо и D8).
Остается заметить, что /2п, г(<а, t)^WrHa и а2», г(Дп, Дй>), *)"«0.
Аналогичным образом с помощью A.51) и леммы 5.1.18 можно
доказать также справедливость (при выпуклом вверх о)(б))
равенств
4|j4rMI|i, r=l,2, ,.., E4)
где On, r(/f t) — интерполяционные сплайны из SNt r,
определяемые интерполяционными условиями A.34) и краевыми
условиями Лидстопа A.35).
Замечание. Пример функции
min
для которой, очевидно, o-v, 0(/, t) аз 0, показывает, что при г^О
соотношения D6) и E4) не выполняются, если только выпуклый
модуль непрерывности соF) не линеен иа [О, 1/N].
Интересно, что нужные оценки сверху можно получить почти
тривиальным образом для функций fit) из \?ГНШ (или из WrHa)f
у которых разность б(/, t) —fit) — c-v, r(/, t) меняет злак в точках
интерполяции и только в этих точках. Действительно, в этом
случае
где, как и выше, уг ~ fl + (—1)г]/DЛ0, а стандартная фупкция
(p4vt о при г четном предполагается продолженной нечетным образом
на [—1, 0). Интегрируя г раз по частям (внеиитегральные члены
исчезнут в силу условия периодичности (при N = 2п) или краевых
условий Лидстона), получим
E5)
ибо
Так как /(г) ^ Я", то, оценивая последние интегралы в E5) с
помощью леммы 4.2.15, получим неравенство 11в(/I14 < II/w,r(fi>Li.
Таким образом, если бы удалось установить, что при
вычислении верхних граней в D6) и E4) можно ограничиться (а это,
видимо, так и есть) только теми функциями fit) из WrH" и
245

W'tf", у которых 6(/, t) имеет перемены знака в точках
интерполяции т» и только в них, то мы получили бы новое (и,
возможно, более простое и естественное) доказательство этих
соотношений.
5. О неравенствах типа Джексона для интерполяционных
сплайнов. В п. 3 § 4.1 были получены неравенства, точно
оценивающие наилучшее приближение сплайнами из S2n, г функций
/(/)eCf через модуль непрерывности или другую величину,
характеризующую колебание производной /(г;(/). Посмотрим, что
могут дать в этой задаче интерполяционные сплайны <т2п,г(/, t)
(случаи г^О, 1 уже рассмотрены в иль 1 и 2).
Записав представление погрешности б(/, х) «= fix) — а2п, г(/, х)
(см. C4)) в виде
2« Ч
налхетим, что в силу утверждения 1) леммы 5.2.14 Krixh t)^0 и
•ч
Kr(x,t)dl = 0, i =--1, ...,2л.
Поэтому для любых констант с<
2» Т« _
Пусть с4 « IГ sup /(r) (/) - inf /(r) (/)]. Тогда для
^ (Tf-i, Tf)
где, как и в § 4.1, fi(/(r)t Д2п) — максимальное колебание
функции /(Г)Ш на промежутке U<~i, fj (г=-1, ..., 2п) равномерного
разбиения Д2п. Таким образом,
^ (*» *) 1Л •й ^(г) - ^2»)- E6>
Нетрудно убедиться, что на множестве Сг иеудучшаемо при
любом х пе только неравенство E6), но и более слабое
неравенство, которое получим, заменив в E6) fi(/(r), Л2») на со(/(г), 1/B/г)).
В самом деле, при х « т< имеем просто 0 = 0, если^жо х ?* xh то
пусть fh(t) — функ]^ия Стеклопа для функции/ (t) e Loo, у которой
246

1 17
fr) (t) = — sgn Kr (Xi t — yr) -\~ d, где константа d выбрана из
условия j(r)(t) -L1. Тогда /леСг, при достаточно малом h
и^ 6 (//„*) = 8 (/,*), где
1 1
л ^ . шшт \ {*
" щ) ** «у
О О
Итак, установлено
Предложение 5.2.16. При каждом х справедливы пеулуч-
гиаемые на множестве Сг (г— 1, 2, ...) неравенства
E7)
В связи с оценками E7) интерес представляет поведение
функции (при фиксированном п)
Легко проверить, учитывая C5), что х?Лх +1/Bп)) = у?г(х),
ко, чтобы сравнить E7) с соответствующим неравенством (ЛЛ/ы)
для наилучшего приближения, надо найти шах Х1;г(х) или, по
.г
крайней мере, определить, может ли этот максимум превышать
величину 1!ф2П1 ГИС = КтBпп)~г. Если -фг(^) = ф2п,т{1 + \/{\п)), то
^г(т,) ==0 (i ^ 1,..., 2п) и, следовательно,
р*п.г 11с == | (^ ) |
Последний интеграл при г>2 по модулю строго меньше числа
\Fr(l/Dn) — 7^> "бо, как показывает более топкое исследокапио,
точки перемены знака функций /?гA/Dп) — */Г| йи^ + ]г) не
совпадают.
Таким образом, интерполяционные сплайны ааП)Г(/, 0 при г^
^ 2 пе реализуют наименьшую константу в неравенстве D.1.45) для
?(/, S2n r)c в том смысле, что @/0 везде понимается как нуль)
247

Соотношения E7) с практической точки зрения все же
предпочтительнее неравенства D,1.45), так как, во-первых, получены
для конкретного линейного метода, и, во-вторых, эти
соотношения дают'оценку в каждой точке х и эта оценка точнее, чем
D.1.45), вблизи точек интерполяции. К тому же, левая часть в
E8) совсем не намного превосходит правую.
Если проинтегрировать неравенства E7) по х от 0 до 1, то
полученная усредненная оценка уже улучшена быть не может:
никакой сплайн из Е%п г но обеспечит на всем множестве Сг
меньшую константу в соответствующем неравенстве.
Теорема 5.2.17. При всех п, г=*1, 2, ... справедливы
соотношения
Действительно, положим в представлении D7) x\(t) = g(t)
— o2n, r(g, t). Заметив, что из г)(т*) = 0 следуют равенства
U
J ry {t + yr) dl = 0, 1 = 1,..., 2п,
будем иметь
где ^о(^) — сплайп из 52п,о, определяемый равенствами
13 силу такого выбора кусочно-постоянной функции so(t) разность
fr)(t) —$o(t) на интервале (^-t> U) по абсолютной величине не
превосходит половины колебания функции /(r)(f) на этом
промежутке. Следовательно,
(r) (*) - *e @1 =•
Но функция g(t) в представлении D7) принадлежит классу
WrBln, а потому в силу теоремы 5.1.17 (равенства A.56))
248

Таким образом, для любой функции f(t) sC справедливы оценки
Неулучшаемость этих неравенств на множестве Сг
непосредственно вытекает из неулучшаемости соответствующих соотношений
D.1.46) для наилучшего приближения ?(/, S2n, r)i.
Отправляясь от равенства A.51) и используя соотношения
A.55) (или редукцией к периодическому случаю), можно
получить соответствующий результат для сплайнов aw,r(/, t) из SNrf
интерполирующих функцию f(t)^Cr в точках A.33), при краевых
условиях A.35), определяемых множествами A.32). А именно,
при всех г= 1, 2, ... справедливы равенства
/-«/^(лц^ r-t 6

Глава 6
СПЛАШ1Ы В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ
НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Эта глава занимает особое место в общем плане книги. Если
в предыдущих главах исследовались аппроксимативные свойства
сплайнов, так сказать, в локальных ситуациях, не
затрагивающих других приближающих подпространств, то теперь мы должны
обратиться к задачам глобальиого характера и выяснить места
сплайнов среди всех методов приближения той же размерности
ь общих задачах оптимизации. Мы должны сопостакить
полученные в 4-й и 5-й главах оцеики погрешности
сплайн-аппроксимации па классах функций с минимально возможными оценками
приближения, которые можно реализовать на этих классах
подпространствами, имеющими ту же размерность. Особенность этой
глакы и состоит в том, что будут исследоваться
аппроксимативные возможности не самих полиномиальных сплайнов, а всей
совокупности подпространств фиксированной размерности N.
Ясно, что решая эту задачу, мы не можем использовать
свойства того или иного коцкретного метода приближения, так как.
нужна точная оценка снизу одповременпо для всех
приближающих подпространств. Здесь нужно опереться на некий
совершенно общий факт, и таким фактом является сформулированная в
§ 1.4 топологическая теорема Борсука об антиподах
(предложение 1.4.1). С помощью этой теоремы общую задачу оценки снизу
наилучшего приближения ЕШУ FK)X класса фупкций Зй
произвольным iV-мерным подпространством FN в ряде случаев удается
свести к задаче шшимизации нормы на некотором нелинейном
множестве функций из класса Зй, зависящих от N параметров.
При рассмотрении классов т раз дифференцируемых
функций основное вшшапие будет уделепо периодическому случаю,
где получены точные и эффективно выражаемые результаты.
§ 6.1. Поперечники классов функции
с ограниченной m-й производной
1. Минимизация нормы идеальных сплайнов в метрике Lq.
В § 2.6 было введено в рассмотрение множество Г2„, г 1-периоди-
чееких идеальных сплайнов порядка г, у которых
кусочно-постоянная r-я производная имеет на периоде не более чем 2п сущест-
250

венных перемен знака. Там было доказано (теорема 2.6.9), что
W
причем этот факт совсем просто выведен из неравенства Стейна
B.5.6). Теперь, привлекая аппарат перестановок, получим
соответствующее соотношение в метрике Lq.
Мы существеиио используем то обстоятельство, что сплайн
fit) из Г2п,г и все его производные до (г—1)-го порядка могут
иметь на периоде не более 2п локальпых экстремумов, каждый
из которых реализуется в одной точке. Это следует из того, что
почти всюду l/(r)tt)l«*l и f{r)(t) существенно меаяет знак на
периоде не более чем 2п раз.
t
Пусть VJ — множество фупкций /(/) вида
где а — любое число, g(t)— 1-периодическая функция с
ограниченным изменением и нулевым средним значением па [0, 11.
В § 4.2 указан способ Z-представления функций/(?) & V$ в виде
конечной или счетной суммы
/(*)*= 2 Ф* (О* «</<а + 1, A)
К
где ф*(*) — простые функции (т. е. пепрерывныо финитные фупк-
дли, имеющие ровно два промежутка строгой монотонности);
при этом выполняется ряд специфических спокств, в частности
Там же но разложению A) была определена функция
2> <1 B)
(г(ф, t)—убывающая перестановка функции ф@ па @, l))t
которую мы назвали 2-перестаповкой функции /(f)eFj.
Отмеченное выше свойство сплайнов fit) из Г2п,г (спязаииое
с количеством экстремумов па периоде) позволяет оцепить число
простых функций в 2-представлении A).
Л е Ai м а 6.1.1. Пусть fit) s Cia, b] и
t
j(t)^\g(u)du, «<<<*>,
a
где g(u) имеет ограниченное изменение и нулевое среднее
значение на fa, Ы, причем почти всюду |?(и)|>0 и число ytig) =*
*=* [i(g; (a, Ю) существенных перемен злака функции g(t) на
(a, b) конечно» Тогда существует ^-представление A) функции
/U) на la, Ь], содержащее не более чем \i(g) простых
функций фк(^).
251

Доказательство. Выделим на la, b] все непересекающие*
ся интервалы (аи й<) U-» 1,2,..., А), на каждом из которых
fit) сохраняет знак, причем
Так как каждая точка, в которой git) меняет энак, есть точка
строгого экстремума функции fit), то
2 Ц(Я (<И.*0)<!*(*)•
и лемма будет доказана, если мы установим, что на каждом
промежутке [аи ftj fit) допускает 2-представление череэ не более
чем [iig; (ah bt)) простых функций.
Итак, достаточно доказать лемму в предположении, что fit)
сохраняет знак на интервале (а, Ь). Пусть для определенности
/U) >0 для a<t<b. Если \iig)«1, то все очевидно, ибо тогда
fit) простая функция. Рассуждаем далее но индукции. Считая,
что лемма верна при \iig) — 1, 2, .•.,#, предположим, что (i(?) =¦
«=Л^+1. Пусть уо*—наименьшее из чисел у, для которых
разность fit) — у имеет на (а, Ь) более двух нулей. Ясно, что у0 > О
и если с и 5 —крайние нули функции fiit) -» fit) — j/q на U» b),
ю функция
If it), tez[a,c] \)ld,b)f
является простой и
Пусть, далее, (a,, pj) (/« 1,..., m) — все непересекающиеся
интервалы из (с, d) такие, что /Да,) «/iCPj) =0 и /,(?)>0 для
а, < f < Pj. На каждом из этих интервалов функция ftit)
удовлетворяет условиям леммы, причем
и (/1; (aj, Pi)) = ii (g; («i, Pi)) - лг j < лг#
В силу предположения индукции /t(i) на каждом промежутке
faj? p>] 2-представима в виде суммы не более чем Nj простых
функций, а так как Ni + Nz + ... + Nm <N, то с учетом C)
функция fit) 2-представима на Га, Ы в виде не более чем N +1
простой функции. Лемма 6.1.1 доказана.
Лемма 6.1.2. Пусть f it) s Fj, fia) = 0 и m — число простых
функций в ^-представлении A). Тогда выполняется неравенство
U,t)dt, 0<*<
о о
252

Доказательство. Фиксируем х (О < х < i/m). В силу B)
J Д(М)
М)
о *"
Из определений простой фупкции уМ) и ее перестановки г(ф*, О
следует, что существует промежуток (я,, ft*) такой, что Ъ{ — а<«- х и
9П
Если J?== U (fli,bi)i то
i
г Л р1 г
Л(/,0Л-2 1Ф|(О|Л« \\1(t)\dU
Учитывая, что п\ъъЕ<.тх и используя предложение 2.4.10,
будем иметь
ос
in г» Е
Теперь мы сможем доказать основное утверждение этого
пункта.
Теорема 6.1.3. Яри всех п = 1,2, ,.• и г = 0,1, ,*а
справедливо соотношение
оо. D)
Доказательство. При г == 0 равенство D) очевидно,
поэтому считаем г > 1. Так как <p2», r(f) s Г2п>г, то надо установить,
что для любой, функции /U) е Г2п>г
ИЛ>11ф2».Л. E)
Ясно далее, что неравенство E) достаточно доказать только для
тех функций fit) е Г2п, г, которые имеют пули.
Фиксируем /(*) el'1*,,г, /(а)-«О и пусть /*(*) = f{t)/{in). Про-
и:шодн<ш /^@ меняет знак на периоде не более чем 2п раз и в
силу леммы 6.1.1 существует 2-иредставлепие функции /^ (t):
где m < 2n. Применив далее лемму G.1.2, можпо написать
к/т х/( 2п)
j' j R(U,t)di, 0<*<l. F)
253

Чтобы оценить снизу последний интеграл, воспользуемся
одной теоремой сравнения для 2-перестановок из § 4.2. Выберем
число а > 0 из условия R (/*, 0) = 11а,г @), где Ла, г — функции,
определенные равенствами D.2.37). Учитывая D.2.35), это
условие можно записать в виде
@). G)
В силу теоремы 2.G.9 и равенств D.2.40)
||/'Л - Гп\ГЬ>Ь\ч™-*1 " Ui».r-ili = 2Л1/Aя)>г@). (8)
Из G) и (8) следует, что Ra, г@) > Л|/B|»( ДО), а тогда, как это
видно из определения функций Я«, г(?),
а > 1/B/г) и Ла, r(t) > /?1/BпК Л*), 0 < t ^ 1.
Теперь теорема сравнения 4.2.10 с учетом выбора числа а
позволяет паиисать для любого z^@, 1)
z г z
f Л (/*, <) dt > f Ла>г (t) dt > f Л1/BП),Г @ dt. (9)
0 0 0
Если учесть еще тождество D.2.39), а также вид 1/и-периодиче-
ской функции gzn, r(t), то будем иметь
ъ
r (t) dt-=\lt (*„,, t) dt= \r {gm.r, t) dt,
i о (iO)
Сопоставив F), (9) и A0), получаем неравенство
О О
из которого в силу леммы 2.4.13 следует, что
а так как 1{t)~bnf*{t), ф2п,г@ = ^gzntr(t), то
справедливо нерапенство E). Теорема G.1.3 доказана.
2. Четные поперечники класса W^> *Lq. В § 3.2 введены
определения поперечникоп dN($Ry X) (по Колмогорову), а также
линейных поперечников А,Л>(ЗЙ, X) множества 9Й в иормироваппом
пространстве X. Здесь мы найдем точные значения этих величин
при метпых iV = 2tt для классов W^ (г==1, 2,...) 1-периодиче-
ских функций в пространстве t4 (l<f/<oo). Оценки сверху
для Й2П(ИС, Lg) и X2n{^Vroo, L<j) mw уже имеем: их дают
результаты, полученные в главах 4 и 5 при исследовании погреш-
пости сцлайн-апироксимации. Теперь нужно оценить снизу наи-
254

лучшее приближение в метрике Lq класса W^ произвольным
подпространством FN c= Lq размерности < 2п. Ясно, что
поскольку речь идет об оценке снизу, то можно рассматривать
подпространства FZn максимальной размерности 2п. Основную роль
здесь играет следующее утверждение, позволяющее свести задачу
к отысканию минимума нормы в Lq на множестве Г2„, г
идеальных сплайнов.
Лемма 6.1.4. Для любого подпространства F2n&?q (К
< q ^ <х>), dim F2n *= 2п, справедливо соотношение
о# A1)
Доказательство. Заметим сначала, что при г>1 A1)
подо доказывать только для тех подпространств /<\„, которые
содержат тождественную единицу и значит содержат любую
константу. Действительно, вместе с функцией fit) множество J^r
(г>1) содержит и функцию вида /Ш+Я, где Я — любая
константа. В силу полуаддитивности и положительной однородности
функционала наилучшего приближения (предложение 3.1.1)
ЛЛ. A2)
Если F2n не содержит константу, то /?A, F2Jq>0 и за счет
увеличения Ш при фиксированной fit) правая часть A2) может
быть сделана сколь угодно большой, т. е, в втом случав
№ F)
Теперь утверзкдение 6.1.4 будет сразу вытекать из
следующей леммы.
Лемма 6.1.5. Каково бы ни было содержащее константу
подпространство Fin с Гд, при каоюдом q > 1 в мпоокестве Г2„, г
существует функция f*(t), для которой
Доказательство. Рассмотрим (^V + 1 )-мерпое
пространство RNhl векторов ? = {§„ g8, ¦.., ?Лг+1} с нормой
JV+1
|Б|- 2 16*1
и пусть SN — единичная сфера в R
Каждому вектору | s SN сопоставим систему неотрицательных
чисел
*о = О, Т4=2|БЙ|, г-1,2,...,ЛГ + 1, A3)
fti

(ttf+i^l» т<вти| когда |i==»0)t а также функцию ?*(?, ?),
определяемую на L0, 11 следующим образом;
ft(E, т,)«0, < —0. i JV-b 1. A4)
и если |<=^0, то
?в(б, 0 = Sgn 6<f Ti-i < * < Т,-. A5)
Таким образом, lga(?, 01 = 1 для f^x* и функцию ge(|t t)
можно считать идеальным сплайпом нулевого порядка с не более чем
N узлами на интервале @, 1). Ясно, что
*•(-&• *)«-«Г.E, 0. 0<t«lf 6e5ff. A6)
Положим
t
ft (Б. 0 - J ft-iF, ») ^ + cj (?), /-1,2 rt A7)
0
где при j — 1, 2,..., г— 1 константы с,(?) выбраны из условия
*Д, /) ± 1, т. в.
dz, /~l,2l.,.,r —1, A8)
о \o J
H cr(|) —О. Пусть, далее,
где константа с(|) однозначно определяется условием
fl/G.Or'sgn/d, *)<**=--О, A9)
О
что, в силу предложения 3.4.8, равносильно соотношению
ЦЛ\) + с(Е)П. — inf IIйГг(|) — Ли«. B0)
х
При q =» 1 здесь существенно то, что функции &(?, f) (/ *» 1,.. ¦
..., г), также как и ^0(s» t)f могут обращаться в нуль на [О, II
лишь в конечном числе точек, и, следовательно, функция #Д|, t)
(О < / < г) не может быть константой на множестве
положительной меры.
Из определений ясно, что
так что /(|, t) есть идеальный сплайн па [0, 11 порядка г, при*
чем, как легко проследить
/С—В. *) ——/Cft, *)• 0<t^l, 1&S\ B1)
Докажем, что функция /(g, t) непрерывно зависит от вектора
\&SN в том смысле, что если последовательность векторов
t(m) it<™> t(m)
5 — Ibl t Ъ2 ¦
256

принадлежащих сфере S*v, сходится в метрике RN+l к вектору
lGSiV, ? = {?i, ..M Ь-иК то
linn|/E(m0-/(g)|c-O. B2)
В силу определения функций ^(д, Л, ..., ?,(?, 0 для / = 1, 2,,.., г
Ы?<да\ 0-^U)|<JUi-iU(m\ «О-*;-i (?,«)!<*« +
о
\ (г \
+ JI f Ift-iU^.u)- ff;-i(S,K)|du Uz<
О \О /
j^_1U('n),0-^-ia.0l^. B3)
о
Положим
50>m-U: te[()f 11, go(s(w), *)^Л(Б, *)>.
Так как сходимость в RNhi эквипалеитпа сходимости по
координатам, то ?(т) -*¦ I означает, что при кая^дом к = 1, 2,..., N + 1
?лп)-*"?а и значит T/tm)~>Tft, где числа т^т) определены по
вектору §(т> аналогичпо A3). Следовательно, mes i?0, m~^0 и с
учетом A5) и B3) при ; = 1 будем иметь
а так как, опять же в силу B3),
(е)Ис, /«2, з,..., rt
то при m -*• оо llft(g(m)) — ft(|)lic "*- 0 (; = 1, ..., г). Заметив, что
из B0), в силу непрерывности функционала наилучшего
приближения, вытекает, что с(?("°) ~+ с(%), будем, наконец, иметь
0
при т -*- оо.
Итак, из §(тп) -*¦ | следует B2),. и, таким образом, каждому
вектору §^5* одпозначпо сопоставлепа функция /(§, t),
непрерывно и нечетно зависящая от §.
Теперь, считая N = 2n, фиксируем подиространстпо ^„сГ,
(dim F2n=32n) и его базис A, e2(t), елШ, ..., е2п(^)}. С помощью
этого базиса и функций go(§, i) и /(§, t) зададим на сфере S2n
2л-мерное векторпое поле T|(g> = (л^С^)» ¦ •., Л2п(§)}, полагая
j edt)\f ^t)]"-1 sgnf {l,t)dt, 1 = 2,3 2n.
257

Нетрудно убедиться, что поле rj(?) непрерывно и нечетно па 52п.
Соотношение
очевидпо, если учесть A6) и B1). Непрерывность T]f(§) следует
из того, что, как уже отмечалось, |(т) -*¦ | влечет mestfo,™->• 0.
Прогорим непрерывность но |^S~n интегралов т]Д§) U = 2, 3,...
..., 2/г). Пусть §(w) -> ?. Имеем
г
о
где
Л(О«11/(Б(Ж), «I'-'sgn/^, rt-l/(|, /)!«-• sgn/F, «I.
I [оложим
Tai< как функция /(§, t) может обращаться в нуль на [0, 1] лишь
в конечном числе точек (ото ясно из ее построения), то
lim mesBm=--0. B4)
ГП-»оо
Еслп q = i, то А Ш - Isgn /(l<m), t) - sgn {(I, t) | и
так что соотношение ц<(|(м)) -*• т]((|) сразу следует из B4).
Пусть д > 1. Записав для 2 < i < 2п
, что /т~>0опять же в силу B4). Чтобы установить
сходимость к нулю интеграла 1т заметим, что, как следует из
определения функции /(|, t), существует абсолютная константа М
такая, что l/(§, t)\<M при любых ^eS2n и t^lO, U. Теперь,
если telo il\Iim то A(t)=*\\f(l{M\ *)|*—* — !/<?• /)le"M и
соотношение l"m ~> 0 следует из B2) и того факта, что если а и Ь —
числа одного знака, то при 0<а<1 Пл|а - \Ъ\а\ < \а — Ыа,
а если, кроме того, |а| ^М и 1Ы ^М, то при а> 1 Па|а— 1Ыа1 ^
<Ма-Ш-\Ъ~а\1\
Итак, 2п-мерпое векторпое поле tj(^) непрерывно и нечетпо
на 52п. В силу теоремы Борсука (см. предложение 1.4.1)
существует вектор §* е 52", для которого т](§*) = 0, т. е.
Ч«<Б*)-О, i = l, 2, ..., 2п.
Это значит, во-первых, что
258

и с учетом A7) и A8) все функции &(?*, i) (j = 0, 1,.. .,r — 1)
в среднем на [0, 1] равны пулю. Следовательно, функцию /(§*, t)
можно продолжить без потери гладкости с периодом 1 па всю
ось и считать, что /(§*, t) s Г811(Р. Далее, из соотношений
T|i (?*) =¦ \ei(t)\f(t*,t)\q-lsgnf(^,t)dt = O, 1 = 2,3,....2п
и равенства A9) (справедливого для любого вектора |е?2п)
и силу критерия 3.4.8 вытекает, что для функции /(§*, t)
функцией наилучшего приближения в подпространстве F2n
относительно метрики Lq (I ^ q < оо) является тождественный пуль.
Таким образом, если /* (I) = / (§*, t), то Е (/*, l*\n)q = |j/* |,
и лемма 0.1.5 доказана. Из нее немедленно следует
справедливость A1) при 1 «^ q < оо4 Для д = оо неравенство A1) легко
теперь получится, учитывая, что если ?U)^/r*>, то ilgllff< II?"*,
и (С. М. Никольский [2, с. 12J) при q -*¦ «> Hgll,-* UglL- В самом
доле, если /U)—любая функция из Г2п, г и ?4/, F2n)oo =* II/ — <p'L
(фе^2«), ТО
и при достаточпо больших
где е > 0 может быть заранее выбрано сколь угодно малым.
Сопоставив лемму 6.1.4 с теоремой 6.1.3 и учитывая, что
Ггп.геИ^м, приходим к утверждению, дающему оценку спизу (как
мы ниже увидим — точную) для колмогоровского пштеречника
и Ея (К q < с») множества Г2п§ г и класса функций W^.
Теорема 6.1.6. При всех п, г = 1, 2, ... справедливы
неравенства
2n (Г2П,Г, XJ > ] ф2п,г 1„ 1 < q < оо. B5)
В § 5.1 доказано (теорема 5.1.3), что для п, г —1, 2,...
sup 1 / — агп.г-1 (/)fl2 = 1 Фа».гк, 1<д<оо, . B0)
где 02», r-i(/, ') — сплайн из 2/г-мерного подпространства *?2n,r-i,
интерполирующий функцию /@ в равноотстоящих точках и
определяющий, следовательно, линейный оператор из С в SZn, т~\-
Из B6) и определения линейного поперечпика КАШ, X)
следует, что
Я2п(Й^, ^)<1ф2П|Г|1.7, и, г = 1, 2, ...; 1<д< оо. B7)
Если учесть общее соотпошеиие dN($fl, Х)^ХК(Ш, X), то из B5),
B6) и B7) получаем следующий основной результат.
23Э

Теорема 6.1.7. При всех я, г=1, 2, ...в 1<}^«
справедливы равенства
=•-- su p IJ / — or2n,r-i (/) J, = \ ф2п,г 1Г B8)
Таким образом, подпространство сплайпов S2n, r-\ является
экстремальным (наилучшим) для класса Wlo относительно
метрики Lq (l^g<oo) среди всех приближающих подпространств
размерности <2дг, а линейный метод, доставляемый
интерполяционным сплайном о2п, г-1(/, /) является в этой ситуации наилуч-
шилс методом приближения, реализуя на классе W7» не только
линейный, но и колмогоровекнй поперечники в пространствах
Eq (Ug<oo),
Отметим, что при q = <*> известны и поперечники нечетной
размерности класса VV», они реализуются подпространствами
тригонометрических полиномов и совпадают с четными (Шг
с. 260):
С) ^ Х2п-г (Wr^ С) =
С) = Кг BппГ\ п, г = 1, 2,
3. Поперечники классов И^> в Lv И здесь задачу оценки
снизу колмогоровского поперечника четной размерности мы
сведем к экстремальной задаче минимизации нормы на множестве
1\п, г идеальных сплайнов. Но для этого придется привлечь
соотношение двойственности.
Так как класс WTP содержит любую константу, то (слт. п. 1
§ 3.5) достаточно при оценке снизу поперечника d2n(VKp, At)
рассматривать только поди ростра ыства t\n a Lx (dim F2n = 2ai),
содержащие константу. В силу соотношения C.5.25) для такого
подпрострапства
Ь\п\ = sup { Ег{д)рг. ^gE, g(r) ± /<2«}, B9)
где р'~р/(р— 1), a Ei(g)q — наилучшее приближение функции
g(t) константой в метрике Lqm Теперь нам потребуется
Лемма 6.1.8. Каково бы пи было содержащее константу
подпространство FZn e Et размерности 2п, при любом </, 1 < q < оО>
в мподкестве Г2„, г существует идеальный сплайнg*{l),
удовлетворяющий условиям gV A^Fw и Ei{g*)g = llgfcll,.
Доказательство. Сначала мы должны повторить
построения, выполненные в начале доказательства леммы 6.1.5:
в пространстве RN+i векторов |=={li, ..., In+J с пормой Н|Н =•
=* l|il +... + 1|»+11 выделим единичную сферу SN и каждому
вектору ?^SW однозначно сопоставим функцию ^0(^, t) равен-
260

ствами A4) и A5), где числа т< определены в A3). Затем
фиксировав подпространство F2n<=:Ei с базисом ieM), е2Ш, .,.
..., егп{1)}, где et(/) = l, векторное поле tj(|) = {ц^Ф, ..., Цгп(Ъ)}
па S2n зададим уже по-иному: положим
Л* (?) = J ек @ ?0 (?, О Л. * =* 1, 2, ..., 2и. C0)
о
Ясно, что т)(—?) == —1](|). Непрерывность поля tj(|) вытекает
из тех же соображении, что и в лемме 6.1.5: если g(m) ->-1
(J(mNf, |e52w) и
i?0, m - «Г * S [0, 1], ?о(!(
то при т -> °° mes i?0, m -* 0, и потому
J
В силу теоремы Борсука существует вектор |* ^ 52п, для
которого г](|*)==0. Эго означает в силу C0), что go(l*9 O-LFm и,
в частности, что
Используя последнее обстоятельство, можно функцию #0(!*» ^
продолжить с периодом 1 на всю ось и однозначно определить
по ней r-й периодический интеграл g* (/), удовлетворяготций
условию ?\(g#)e = 11^* "9. Важно при этом, что число существенных
перемен знака функции go(?*, f) на периоде не будет
превышать 2/г, а потому идеальный сплайн g* (t) принадлежит
множеству Г2п, г. Лемма 6.1.8 доказана.
Так как Г2п,гс:И^^, то из B9) и леммы 6.1.8 следует, что для
любого 2и-мерного подпространства ?2псГ| при всех 7?, г=»
«1, 2, ... справедливы соотношения
Е AП, Ь\п\ > sup {Ex(g)pr. g e F2n,r, ^(r) i. F
> inf ||/||pS 1</?<
/er2n>r
|Нз этого факта с учетом теоремы 6.1.3 вытекает
Теорема 6.1.9. При всех п, г—1, 2, ... имеет место оценка
,rfp,, 1<р<оо, р' = р/{р-1). C1)
Равенство
SUP I! / — а2а,г^ 1
261

доказанное в теореме 5.1.5, дает оценку сверху для линейного
поперечника Х2п{УУгр, Lx) и мы можем уже формулировать
окончательный результат для четных поперечников классов W]} в L1#
Для полноты присоединим сюда и значения колмогоровских
поперечников нечетной размерности. Эти значения сразу получим,
сравнивая C1) с равенством ([1], стр. 125)
E\\Vrpi F2n-i)i ~ ||фгп,г Ь'»
где F2n-\— Bл—1)-мерное подпространство тригонометрических
полиномов порядка п — 1, и учитывая тривиальное соотношение
4*-,(аЯ, X)>dK№, X).
Теорема 6.1.10. При всех и, г=1, 2, ... справедливы
равенства
d2n(Wrp, ?х ) = d2n-x (Wrp, Lt) = %2n(Wl, Lx) =*
- sup 1 / - or^-! (f)l = I ф2„,г |jps 1< p < oo, -i-|~= 1. C2)
P P
Таким образом, интерполяционные сплайны о2п, r-i(/, i)
доставляют наилучший (притом линейный) метод приближения
класса Wrp в метрике Г'4 среди любых методов, определяемых
операторами (не обязательно линейными), отображающими С в
любое 2л-мериое подпространство. Следовательно
подпространство сплайнов 52п, г-м и здесь, т. е. для класса Wrp относительно
метрики Tju является наилучшим как в смысле колмогоровского,
так и в смысле линейного поперечников. В силу теоремы 4.1.9
экстремальным в смысле поперечника d2n\Wrp, Lx) является
также любое подпространство S'2n,m сплайнов порядка m^r—i
дефекта 1 но равномерному разбиению, т.е. при всех m^r—1
Е (WrPf S2n.m)i - d2n (Wrp
p,
4. О поперечниках классов Wp функций, заданных на
отрезке. Аналогичные соображении, связанные с применением
теоремы Борсука, позволяют оценить снизу поперечники классов W^
и Wrp соответственно в Lq и Lt через норму идеального сплайна,
наименее уклоняющегося от нуля. Однако в отличие от
периодического случая этот сплайн не строится оффективпо (при про*
пзволътюм г).
В § 5.1 введено множество Гл,т заданных на отрозке [0, 1]
идеальных сплайнов порядка т, имеющих па @, 1) не более
iV — 1 узла, и отмечен факт существования сплайна $л(т(?9 t) &
е Гд-, т с минимальной /^-нормой:
\f\q. C3)
Существенно, что экстремальный сплайн t|v, ™(</, t) имеет на
интервале @, 1) ровно N — 1 узел и ровно N-rm— 1 различных
262

простых пулей; расположение узлов и нулей зависит от q. Там
же было установлено (предложение 5.1.12), что если ?г(Дд-)—
подпространство сплайнов на [0, 1] порядка г дефекта 1 по
разбиению Дд', определяемому узлами сплайна tftffr+i(G, t)y то для
fit) е С существует сплайн s (/, t) e Sr (Ал'Л
интерполирующий функцию fit) в N + r пулях сплайна ^Xr+i(<7, tI при этом
sup |/-*(rtfcr = l*N,r+i(G)|g, 1 <?<<*>. C4)
Так как подпространство 5г(Лдг) имеет размерность N + r, то
имеем оценку сверху для лииейпого поперечника
\ L4) < I ^Nir+1 (?) 1,, 1 < q < oo. C5)
Оценку снизу для поперечинка с/л'ьДИ^1,/^) дает
Лемма 6.1.11. Для любого подпространства FN+r из Lq,
содержащего множество Рг алгебраических многочленов степени
«^г, справедливо соотношение
<оо. C6)
Докажем сначала неравенство C6) при 1 < q < <».
Рассмотрим iV-мерное пространство RN векторов ? = {?,, ..., ?w} с
нормой llgll = |?tI + ...+ |?w| и в нем единичную сферу SN~\
Положив то = О, тА= Ilil +...+ 11Л| (/с = 1, ..., iV), (tjv = 1),
сопоставим вектору ^eS^ функцию #„(%, ^), равную sgngA на
интервале (xA-i, т/{) (если |А^0) и равную нулю в точках тЛ.
Пусть
о
Ясно, что ^(|, rier.v,r+i, причем на сфере 5'лг~| функция g(?, ^)
пепрерывпо и нечетно зависит от |.
Фиксируем подпространство FN+r с базисом {lt t, ..., Г,
с4@, ..., eN-x(l)}. Пространство Lq при 1 < q < <*> имеет строго
выпуклую норму, поэтому для g(|, /) в подпространстве Fw+r
существует единственная функция наилучшего приближения
ф(#(?), ^); ее молено записать в виде
Лт-1
* F, 0 = : * («f (?)* 0 = Рг F, 0 + 2 afc (E) ek (t),
где /?r(l, t) — многочлен степени г с коэффициентами,
зависящими от g(?, /) и, значит, в коленном счете, от |, а aA(|) =ahigi%)).
Зададим па SN~l (N — 1)-мсрнос векторное поле a(|)e{at(S), ...
..., aw-i(^)}. В силу следствия 3.1.6 поле а(?) непрерывно и
нечетно на SNmmi it по теореме Борсука для некоторого вектора
аД*)«0, А-1,2, ..., iV-1.
263

Но тогда
и так как функция [g(|*f t) — рЛ!*, *)] принадлежит 1\г+1, то
при 1 < q < °°
Справедливость C6) для qe «> устанавливается предельным
переходом но <? — как при доказательстве леммы 6.1.4. В случае
q =* 1 придется сначала сгладить (например, оператором Стекло-
ва) функции приближающего подпространства, чтобы обеспечить
включение Fn+r^Lq при всех g^l, а затем воспользоваться
следующим утверждением.
Предложение 6.1.12. Если Ш — компакт, a F —
конечномерное подпространство в ?«, или в С, то для любого q ^ 1
lim E(m,F)P
В самом деле,, величина 2?BЙ, F)p монотонно убывает вместе
с р, ибо если Рх>Рг> /еЗй и J?(/, F)Pl = |/ —ф||рх,, то в силу
монотонности нормы II-Ир по р
Следовательно, предел lim Е(ЯЯ,Р)Р существует и он >ЕШ, F)q.
Предположим, что
lim Е (ЗЯ, F)p = Е BЯ, *% + а, а > 0. C7)
Тогда каждому р> q можно сопоставить функцию /р(/)е2Я) для
которой
Так как 3R —компакт в X, где X есть С или ?«,, то в 2Й
существует последовательность [fPh (t)] (k = 1, 2, ...), ph -* q + 0,
функций, сходящаяся в метрике X к некоторой функции f#
е= 2И. Пусть Е {U,F)q =- ||/* — g\^ g e F- Имеем
\\fpu - 8\ph<\U - Slk + \U - fvnlh<«/• - ^'k + [/•
При достаточно больших к || /.4. — /P/i |[ V<C a/8 и (в силу
непрерывности нормы II-Нр по р)
тлк что
204

— в противоречии с C7). Предложение 6.1.12, а с ним и
лемма 6.1.11 доказаны.
Если заметить, что при оценке снизу поперечника dpf+^W^i
L(J) мы можем ограничиться рассмотрением только
подпространств FN+r, содержащих множество Рг алгебраических
многочленов степени ^г (§ 3.5, п. 1), а также учесть тот факт, что
Гл'(Г+1 с ^» » то из леммы 6.1.11 и C3) следует неравенство
dN+r(Wr+\ Lq) >||^§г+1 (q) \\qi 1 < q < oo ,
сравнение которого с C4) и C5) позволяет сформулировать
следующее утверждение.
Теорема 6.1.13. При всех Л^ = 2, 3, ... и г «О, 1, ...
справедливы равенства
dx+r (Wr+\ Lq) - XN.,r (ИС\ Lfl) -
= sup \f-s(f)h=* inf l/t = ;!tv.r+L(ff)l9f i<g<co,
C8)
где s(f, t) сплайн из (N + г)-мерного подпространства ?г(Дл'),
построенного по разбиению, определяемому узлами идеального
сплайна \fW|r+i(^> t), интерполирующий функцию j(t) в нулях
( t)
Перейдем к оценке поперечников классов W™ в пространстве
LXu Здесь нам придется привлечь к рассмотрению множество
Г*, т, о (§ 5.1) заданных на [0, 1] идеальных сплайпов s(t)
порядка m с не более чем N + m — 1 узлом на @, 1),
удовлетворяющих условиям
Сплайн r|ivt m(<7» fi из Гл'.т, о, для которого
En-v.m(?)||ff= inf
/еГЛ',т,о
имеет при т = г+1 па интервале @, 1) ровно N + r узлов и
N—1 нуль. Эти нули определяют разбиение А% такое, что
подпространство ?г(Дд') интерполирует в N + r узлах сплайна
"П*. r+\(q, t), причем если s(/, t) — интерполяционный сплайн из
*SV(Ajv)» т0 (предложение 5.1.16)
Так как dim 5r (Л?/) = N + г, то
WWb\ L,)<| niv.r+1 (p')Ip'. D0)
Чтобы оценить поперечник йлм-ДТУр ,L1) снизу, в
пространстве /?w+r+1 векторов I = {gt, g2, ..., liv+r+i) с нормой llgll —
265

«= IStl+...+l?w+r+jl выделяем единичную сферу SN+r и на пей,
аналогично предыдущему определим функцию go(%, t). Тогда
функция
1
О
непрерывно и нечетно зависящая от |, является идеальным
сплайном порядка г + 1 с не более чем N+r узлами на @, 1).
Зафиксирован содержащее Рг подпространство Fs+rczLx с
базисом {etU), e2it), ..., влг+г(О), где
екШ = 1*-\ /с = 1, 2, ..., г+1,
определим на сфере SN+r непрерывное и нечетное векторное поле
Рд (?) = jе* @?0(i, t)dt, к = 1,2,..., N + г, D1)
О
По теореме Борсука найдется вектор g* ен Sr*v+r, для которого
рЛA*) = 0 (й = 1, ..., Л^ + г). Это ;та4пт, ввиду D1), что
?<>(|*, t)±FK+r и, в частности, go(?*, О-1-Л, а тогда в силу
предложения 3.5.1
т. е. g(l*, ^rN,r+u.
Таким образом установлено, что для любого подпространства
FN+r из Ьи содержащего множество многочленов Рг степени <г,
существует функция g(l*, t)y принадлежащая TV.r+i, о, у которой
^(г)(|*, t)-±-FN+r. Учитывая этот факт, воспользуемся
предложением 3.5.2, а точнее равенством C.5.19), в силу которого (см.
еще C.5.12))
v = 0,1, ..., г} > inf || /1|;/ - I1, n.v.r+1 (/>') F^.
'erJV,r+l,0
Так как это верпо для любого подпространства F^+r из Z^,, то
и объединяя C9), D0) и D2), приходим к утверждению:
Теорема 6.1.14. При всех N>2, г = 0, 1, ... имеют место
равенства
\L) >(^+1,L1)= sup |/-
, + i,
D3)
260

еде s(f, t) — сплайн из (N' + г)-мериого подпространства Sr{&%),
построенного по разбиению, определяемому нулями идеального
сплайна r\N r+1(//, t), интерполирующий функцию fit) в узлах
(' )
},+p,
Отметим попутно, что положив в C8) д = 1, а в D3)
получим равенство
I4
причем пули сплайна tfw,r+i(l, t) являются узлами r]jvtr+i(l, t)
и наоборот.
Таким образом, в обеих рассмотренных ситуациях
экстремальными подпространствами являются подпространства сплайнов
порядка г дефекта 1 но некоторому (неравномерному) разбиению,
а наилучшим мотодом приближения — линейный метод,
определяемый интерполяционными сплайнами.
Следует отметить, однако, что отсутствие явных выражений
как для узлол оптимального ризбпеппн, по которому строится
экстремальное подпространство сплайнов, так и для точек ип-
терполяцни делает затруднительным использование наилучшего
метода па практике. В связи с этим естественно
поинтересоваться, много ли мы потеряем (в смысле точности оценки),
используя вместо наилучшего метода сплайны по равномерному
разбиению, которые, как установлено в п. 2, в аналогичных слу^
чаях гарантируют минимально возможную погрешность на
классах периодических функций.
Так как любую функцию /(/) е Lq — L7[0, 1] A<д<°°) мож-
по считать продолженной с периодом 1 на всю вещественную
ось, то наборы подпространств FN одной и той же размерности N
одинаковы в Lq и в Lq. Но класс 1-периодических функций Wrp
содержится в классе Wrpy поэтому всегда dis:{Wrv, bq)^d^{WrPf
Lq), и с учетом периодических результатов B8) и C2) можем
написать
Av+r-i {Wl>, Lq) > dv-br-i (Й^о, Lq) >
>l<Pw+r.rlff = (N + ГПФ1Л, KG< oof D4)
dx+r-i (Wrp, Lj > d.v+r-i (Wrp, Z,)>
>\\ <px+r.rb>' = (N + r)"ril Фы У, D5)
причем аналогичные соотношения справедливы и для липейтшх
поперечников.
С другой стороны, для подпространства 5^|Г-1 сплайпов
порядка г—1 дефекта 1 по равномерному разбиению ^ = /AV
U = 0, 1, ..., N), u\mSNr_l=zN + r-' i, было установлено
(теорема 4.1.17), что
Кроме того, в силу предложения 5.1.11, погрешность приближе-
267

ник в Lq сплайнами (b, r-t(/, t) из S^.r-i, интерполирующими
функцию fit) e С1"" в равноотстоящих точках при краевых
условиях Лидстопа (см. E.1.32)—E.1.35)), на классе W1^ тоже не
превосходит ЛМ1ф1, r\\q. Точно так же из теоремы 4.1.17 и
предложения 5.1.15 следует, что при т>г—1
Sa>0i< sup I/ — ajV.r-
Эти факты, в сопоставлении с неравенствами D4) и D5),
приводят к следующему утверждению, позволяющему в
рассматриваемых ситуациях сравнить аппроксимативные возможности
сплайнов по равномерному разбиению с наилучшими из
возможных (при даппой размерности).
Предложение 6.1.15. При всех N>2 и г=1, 2, ...
имеют место соотношения
Y r—i )i ^ SUP I II / — aN r—1 (f) iii
' ,r i /1 ^^- "Ml ¦•' »' i 111
Таким образом, при фиксироваппом г линейный метод
aA',r-i(/, /) является асимптотически (при N-* <х>) наилучшим
для классов W^ и Wrv соответстненно в метриках Lq и Lt. Если г
мало, то при достаточно мелком разбиепии интерполяционные
сплайны Gyt r~i(/, t) в указанных ситуациях дают практически
минимальную погрешность.
§ 6.2. Поперечники классов функций, задаваемых
с помощью модуля непрерывности
1. Поперечники в Lv классов непрерывных функций. У нас
есть ряд точных результатов, связапных с оценкой погрешности
сплайн-аппроксимации в метрике Ьр через мажоранту модуля
непрерывности самой функции или ее первой производной.
Наилучшее приближение кусочно-постоянными функциями
рассматривалось в § 4.2, липейные методы приближения сплайнами
нулевого и первого порядка — в § 5.2. Здесь и в п. 2 мы оценим
снизу наилучшее приближение классов //* и WXH* любым
подпространством фиксированной размерности, что позволит выяс-
пить, в каких случаях сплайны пулевого и первого порядка
реализуют поперечник (колмогоровский или линейный), т. е.
доставляют наилучший метод приближения.
268

Для сокращения записей сразу введем обозпачстшо
Г Я* 11/р
1 \N) cop {t) dt ,
и заметим, что Л^р(со) »ll/^0(©)llPf где /*, 0(со, 0 — стандартная
функция, определенная в § 4.2 но модулю непрерывности со(б).
Для произвольного модуля непрерывности со (б) теоремы 4.2.8
и 5.2.6 дают соответственно оценки:
^(Яю,/>р)<2?(^,5^о)р<Д^Р(о))) 1<р<оо, A)
Ху ( tf w, Lp) < sup I/ - ^ (/) I < Л v,,; (со), 1 < p < 3, B)
где \|Ы/, t) —кусочно-постоянная функция по равномерному раз-
бнепию, интерполирующая па каждом промежутке разбиепия
среднее значение функции fit).
Мы сейчас покажем, что и случае выпуклого вверх модуля
непрерывности со(б) оценки A) и B) для dw(//w, Lp) и ХлШ*, Lp)
являются точными. Схема оценки спизу поперечника dN{H*, Lp)
<1</?<°о) в общих чертах совпадает с той, которая
^применялась в предыдущем параграфе при оцепке снизу d2n(WL, ?р)*
Существенно отличается, одпако, метод построения функции
g{\, t), сопоставляемой вектору ?•€=?*, так как теперь эта
функция должпа принадлежать классу Я" и множество этих функций
должпо в определенном смысле сохранять экстремальные
свойства этого класса.
Итак, пусть SN — единичная сфера в (N + 1)-мерном
пространстве RN+i векторов | = {|i, ...т 1*+|} с нормой Ugll =¦ |?t|+...
...+ liv+tl. Для Z^S" положим то-0, тА=|^| + ...+ 1Ы
(/с==1, 2, ..., N+1), причем так как II|Н = 1, то Tw+i = l.
Положим при фиксированном со(б)
х - 21) sgn |lf т0 < t < Tlf
2t — 2тА«,), о) Bxft — 2/
x(o B^ — 2tjy) sgn
Мы предполагаем само собой разумеющимся, что если ?^==0
A < k^N+ 1), то отрезок Lt^-i, t,.! выпадает из определения
функции g(?, t)f— можно считать, что оп стягивается в точку.
Непосредственно из определения видно, что #(?, тА)=0 (/с«
= 0, 1, ..., N+1) и g(—^, t) = —g(%, l). Из непрерывной
зависимости вектора {т0, т1? ..., xN+i) от i следует, что g(|, /) также
непрерывно зависит от g: если g(m) -> g(^(m), |e5w), то ll(?(m))
()ll0

Если юF) — выпуклый вверх модуль непрерывности, то для
любого вектора i,^SN функция g(|, /) принадлежит классу //**
(проверку этого факта предоставляем читателю). Фупкцию
/*г,о(со, t), которую мы определили в § 4.2, будем считать
стандартной функцией в множестве функций #(?, ?), где ?eSv; ясно,
что /^, о(со, t) определяется вектором ? с координатами ?t =»
l/BiV), ^ = (-l)ViV U = 2, 3, ..., N) fcx+1 = (-l)*+V<2tf).
Весьма существенно для нас, что
VleS* ИШр>Ц/а\о(со)|!р, 1<р<оо. D)
Этот факт вытекает из следующей леммы, которую мы, имея
ввиду и последующие ее применения, докажем в двух вариантах.
Лемма 6.2.1. Пусть (pit) — неубывающая и неотрицательная
для О < t «^ b — а функция. При фиксированном иг = 1, 2, ...
вектору
Т « {xi, ХгУ ..., тД а < Ti < т2 < ... < тт < Ь,
сопоставим функции
w, полагая дополнительно т0 == а,
*= min <
KkKm
где вектор 7\ определяется координатами rh=:a+ Bk — i)(b — а)/
/Bяг), а вектор Т2 — координатами rh = a + k(b — a)/(m+ I).
Действительно, из определения фупкций \ix(T, l) и ^г^?7, О
следует, что вектору Т можно сопоставить наборы чисел а4, а2,...
..., а2т, а также р„ ..., pm+i такие, что
at +... + a2m = b - a, j}t + ... + pm+1 = (b - a)/2
2m ° m-H
V=l a v^1
ГДО
t
ф (t) = \ q>(u)du, 0 <; t ^ fe —• a.
Функция ФШ выпукла вниз и и силу известного неравеп-
ства для выпуклых функций (см., например, Г. Г. Харди,
270

Дж. Е. Литтльвуд и Г. Полна [1, с. 92])
1
+ 1 Г шЫ \
2 Ф (&,)>("» + 1) oUj 2 М'
ш-Ы
v-i
что в силу F) эквивалентно E).
Положив в варианте \ix(T, t) леммы 6.2.1 (pit) = 2~pcop{2t),
сразу получим неравенство D) при ? €= S* для 1 ^ р < °°.
Случай р =* оо получается предельным переходом.
Фиксируем теперь подпространство FNczTJp A</?<оо) с ба-
зисохм {et(/), ..., ^л'(^)} и равенстиами
1
%(S) = Jeft(OUE.*)lPS!rng(S,*)^, Л = 1,2,...,ЛГ, G)
О
зададим на S* Л7-мерн«е векторное поле ц(Ц). Яс1Ю, что т](—?) =*
«—т)(|). Непрерывность полк т)(|) на 5W при р > 1 следует из
непрерывности функции |g(g, O^^sgn/jfg, 0 по параметру ?,
а при р = 1 — из того, что если |(т) -* | (|(т), ^G«S'W), to мера
множества
при w ->- °° стремится к нулю.
Таким обра.чом, опять применима теорема Борсука, в силу
которой для некоторого g*eS*v т|Л(^*)=0 (/с = 1, 2, ..., /V),
а это в силу G) и D) означает,
При выпуклом вверх модуле непрерывности со (б) g(|*, t) ^ //м
и, следовательно, для любого подпространства F^ (dimF iV
причем опять с помощью предельного перехода справедливость
этого неравенства распространяется и на случай р = °°. Этим
установлено, что
d*(//w, /,р) ^ 1!/^ о(со)!1р —Ллг. р(о>), К р < oot (8)
и сравпетнте A) и B) с (8) приводит к утверждению:
Теорема 6.2.2. Для выпуклого вверх модуля
непрерывности со(б) при всех /V — 1, 2, ... справедливы равенства
= sup || / — *л- (/) 1р = D /iv.o («) |р,
(9)
271

Таким образом, в пространстве Lv наилучшим для класса П"
при всех 1«^/?<°о является подпространство SNt 0 кусочно-по-
стояштых фушщий с возможными разрывами в точках i/N (i —
= 1, 2, ..., N— 1), а при 1 < р < 3 функции фл(/, t) из SNt о,
интерполирующие на Ш — i)/JV, г/Л^) средпее зпачеиие функции
/(/), доставляют наилучший (притом лииенпый) метод
приближения функций класса II* подпространством размерности N.
Остается открытым вопрос о значении линейного понеречпика
^(Н*, ЬР) при /?>3. Некоторые соображения позволяют
предполагать, что для /?>3 поперечник X.v(//e, Lp) уже не будет
совпадать с колмогоровским поперечником dxdl1*, Lp).
Перейдем к периодическому случаю. Для четных
поперечников класса Яй оценки сверху дают те же теоремы 4.2.8 и 5.2.6,
ибо функция /2п,о(о>, t), реализующая в D.2.28) и E.2.И) при
N = 2п и выпуклом соE) знак ранеиства, принадлежит Л40. Таким
образом, ((оE) ниже предполагается выпуклым вверх)
d2n (^w, Lp) < 1/2Яэв (со) I = Л2П>Р (со), 1 < р < оо, A0)
Х2„ (F0, Lp) < sup || / - яр* (/) ||р - || /2п,0 (©)]р, 1 < р < 3. A1)
Оценить поперечник й2п(Лй), LP) снизу можпо попытаться по
схеме непериодического случая, однако теперь надо заботиться
о-том, чтобы функция g(|, t) в точках 0 и 1 принимала равпые
значения. Это можно обеспечить, задавая по вектору ?е?*
функцию g(?, i) равенствами
g (Е, t) = 1 min {со B* - 2т*-,), со Bт^ - 2/)} sgn ^,
тл-1<<<тл, й= 1,2, ...,2п +1.
Так определенная функция непрерывно и нечетно зависит от |,
однако неравенство H^(|)H,,^ И/2п, о(«I'р может и не
выполняться, например, при ?л=1/Bл+1) (Л = 1, 2, ..., 2п+1). Выйти
из затруднения можно, используя периодичность. Функция
g{%9 t), задапная в A2), обращается в нуль во всех точках т* и
состоит па отрезке [О, 1], образпо говоря, из т (т^2п+ 1)
«тапочек», где т есть число координат ?А, не равных нулю.
Положив для краткости
1
зафиксируем следующий факт, сразу вытекающий из леммы 6.2.1
(вариант р,2(?\ t)).
Лемма 6.2.3. Если хотя бы одна компонента вектора \у
принадлежащего S2n, равна нулю, то
Jplg(Vl>lp.tnt p>0. A3)
272

Следовательно, надо сосредоточить внимание па случае,
когда ?л^0 для всех fe = l, ..., 2п + 1. Но тогда «шапочек» на
10, 1] будет ровно 2ai + 1, т. е. почетное число, а так как
периодическая функция может на периоде менять знак только четное
число раз, то иайдутся, по крайней мере две соседние
«шапочки» одного знака. Используя это обстоятельство, можно
подправить функцию g(?, t) так, чтобы, сохранив непрерывпую и
четную зависимость от ?, обеспечить выполнение неравенства
вида A3). Пусть
<?! - Ц: & е S>\ Jp[g(l)] > JPt 2n}, Q2 = S^\Q{.
Фиксируем | e Qz, тогда Jplg{\)] <JPt гп и в силу леммы 6.2.3
Ift^O (fc = l, ..., 2n+l). Если #(g, t) не меняет знака, то
полагаем g# (?, t) = g(?>,t) + c (?), гдо с(|) — константа того же знака,
что и g(%, ?), выбранная из условия /*[#(?)] =/р, 2п. Если же
g(?, t) принимает как положительные, так и отрицательные зна-
чепия, то пусть [т^, Tj+Vl (v^l) — промежуток, обладающий тем
свойством, что в точках Tj и Tj+V функция ^(g, t) меняет знак,
а в точках т^+1, ..., Tj+v-i пе меняет знака. Полагаем при h > 0
(здесь полезно сделать чертеж)
g (S
= ± min {-- со Bt - 2т;), 1 со Brj+v -
A4)
причем знак g(?, fe, t) доллсеп совпадать
со знаком g(%, t). Ясно, что g(%, 0, t) =
некотором (достаточно большом) А>0
имеет вид
на интервале (tj, t^+v)
f) na [tj, Ti+V] и при
fe, ^) па [rjy Ti+Vl
g (б, А, *) = ± mm {1 (о B« - 2т,), -j (о Brj+v - 2/)},
т. е. представлена па этом промежутке одной «шапочкой».
Заменив g(|, t) на g(|, й, t) па каждом максимальном
промежутке, содержащем «шапочки» одного знака, получим
функцию g(%, fe, t), принадлежащую Яш, причем ^(|, 0, t)""gFt ^),
и при некотором h > 0 количество «шапочек» на периоде станет
меньше 2п+1; тогда по лемлсе 6.2.3 будет /?[#(&¦ h)]^JPt 2n.
Л так как ?^(р2 и, значит, /P[g(?)] </p,2n, то существует един-
стнешюе число Ло = /го(|) такое, что /p[g(l, foo)] =/p,2n. Положим
и заметим, что функция
виде
(?>, t) может быть представлена в
273

где 6(?, t) ¦¦ 0, если
если 6 е ^2-
Таким образом, вектору ?е ^2п поставлена в соответствие
функция #*E,$)еЯш (соE) мы везде здесь предполагаем
выпуклым иверх), для которой справедливо неравенство вида A3),
причем ?* (—?, t) = —g* (?, t). Что касается непрерывности
?«(?)?) по 6, то надо, очевидно, это свойство проверить только
на множестве
на котором /р [?*(?)] =/pan. Пусть fc<°> e $. и |(гп> -+ ?@). Тогда
/Л^и(т))]^/РиЛ?@))]и так как llg(g<»») - ?(^>)ИС-, О, то с
учетом структуры поправки б(?, t) также Н5(|(т)) — 5(|@)I'с^*" О,
а тогда и1г#Ц(т)) — ^(S^Jlc-^O. Смысл поправки б(?, «) в том,
что при |(т) ->- ^@) oua позволяет непрерывно перейти от двух
или большего числа «тапочек» одного знака к одпой: «шапочке»,
сохраняя при этом неравенство
Теперь, фиксировав подпространство F2ni по его базису и
функции ?#(?, 0 строим 2п-мерное векторное поле г|(|) точно
так же, как и в пепериодическом случае. Поле т)(|) будет печет-
по н непрерывно на S2n и, используя теорему Борсука,
заключаем, что для некоторого ? е 52п
так что с учетом A5) и того факта, что ?*(?)
оо.
Предельным переходом это неравенство распространяется на
случай р = оо? так что ввиду произвольности Ь\п
dzn (Яш, Lp) >|/2П|0 (со)||р, 1 < р < оо.
Отсюда и из соотношений A), B) сразу вытекает
Теорема 6.2.4. Каков бы пи был выпуклый вверх модуль
непрерывности со(б), при всех п = 1, 2, ... справедливы
равенства
d2n (Яю, Lv) = ? (Я", 52п,0)р = Л2П,Р (со), 1 < р < оо, A6)
() . A7)
8(,^) p||/
/ед®
Соотношения A6) и A7) показывают, что подпространство
сплайнов нулевого порядка по равномерному разбиению является
наилучшим для класса Яй и пространстве ЬР при всех 1^р<°°,
274

а кусочно-постоянные функции \|,v(/, t)t интерполирующие
среднее значение /U) на каждом промежутке разбиения, доставляют
для этого класса в метрике Lp при 1 ^ р < 3 наилучший
линейный метод приближения.
2. Поперечпики в!р классов непрерывно дифференцируемых
функций. Приближая функции J(t)^Cx интерполяционными
ломаными GNtt(/, t), в § 5.2 мы получили оценки погрешности на
классе И^Я", неулучшаемые в случае выпуклого вверх модуля
непрерывности (оE). В силу теоремы 5.2.10, где в
периодическом случае при N*=2n aWpt(/, i)^SN,u d\m.SNi = N, имеем
siip ||/-aAM(/)|p<!!M,i((o)|U l<p<co.
A8)
Покажем, что при iV = 2n и выпуклом соE) справедлива оценка
d2n (W4I», Lp) > 11 /2ПД (со)|iP, 1 < р < оо. A9)
В предыдущем пункте вектору ? s 52n была сопоставлена ра-
вепствами A2) функция g(g, i). Положим при /?^ 1
t
о
где константа ct(|) выбрана из условия
B0)
Ясно, что ct(|), а также функция С(|, ^) непрерывно и нечетно
зависит от ?.
Лемма 6.2.5. Если хотя бы одна компонента вектора ?
(I е Sln) равна пулю, то WG{\)WP ^ Н/2„, t(a>)llP (p ^ D.
Доказательство. Пусть 0 < z0 < zt < ... < zm «= 1 — все
пули функции #(?, 0 на [0, 11; в предположении леммы т<2п.
Имеем
г т *г
Пусть ?/л =* (zh-x + z,t)/2. Из монотонности функции G(?, i) па
lzA_lt zk] и симметрии ее графика на этом промежутке
относительно точки A/л, G(?, i/ft)) следует, что
|G(g,/)~V/l|pd^ J
min
где ^«=[0A, zft-!) + G(g, zft)]/2. Таким образом, если положить
18* 275

(при фиксироваыпом
*, ft «1,2,..., го,
то IIG(|)llp>IIGtllp; остается доказать, что IIGtllp^ IIGOIIP, где
функция G0(t) соответствует случаю ek*=zk = k/m (/с=0, 1, ..., яг),
так что
Заметив, что
- и) | = | Gt (yh + и) |, 0
yk — Zk-l
будем иметь
I
и теперь неравенство liGJIp^ IIG0Hp сразу будет вытекать из
следующего утверждения.
Лемма 6.2.6. Пусть (р(и)—неубывающая неотрицательная
на [0, 1] функция и
h
0
h) = J ф (и)
1, ¦.., пь) и кг
==а, го
2 JV(*.
В самом деле, обозначим через st и s2 множества индексов
{iy 2, ..., m}, для которых, соответственно, hh&*a/m и /гк<|
. Так как /? ^ 1, то для k e ^
Если же /с ^ s2j то
Учитывая эти оценки и положив для краткости
т hb ° m
= 2 J *р (*.й") * - т J ^p(f > i) <"•
276

будем иметь
>р\2 ¦(?.*.)-2 +М11 v-(«.i
ибо в силу молотошюсти <рШ и определения функции tJiU, h)
Лемма 6.2.6, а вместе с ней и лемма 6.2.5 доказаны.
Пусть
рх = {|: %<=: S2\ WG(l)\\p > 1!/а„.t((o)llP}, Рг = S2n\Px
Если ^Р2, то в силу леммы 6.2.5 ?=5^0 (г = 1, 2, ...,
и хотя бы в одном из своих нулей rh = gt + ... 4- ^ (к =¦ 1, ...
. ,м 2/г+1) 1-иериодическая функция ^(|, i) не меняет знака.
Как и при оценке снизу поперечника ^(Я®, Lp), переходим к
функции g(?, /г, г) (см. A4)), по которой теперь строим
функцию
t
где константа c2(fe, ?) выбрана из условия минимальпости
нормы в Lp, аналогичного B0). С помощью леммы 6.2.5 заключаем,
что при некотором fo = /io = foo(g) будет HG(|, /го)Ир = H/2«, i(co)l!
Полагаем
(?, й0, t), ? e P2;
тогда
причем по определепню
j ! G# (g, 01""*1 sgn G,, (g, 0 * - 0. B2)
о
277

Как видим, наилучшим для класса TFr#" приближающим
подпространством в С размерности 2п является подпространство
сплайнов S2n, т при любом т > г.
Что касается линейных поперечников XmiWH*, С), то, как
мы обнаружили в п. 2 этого параграфа, при г = 1 они совпадают
с колмогоровскими и реализуются интерполяционными сплайнами
из S2n, 1. При г = 0 и г>2 точные значения линейных
поперечинкой X2n(WrH<01 С) для произвольного выпуклого вверх соE) нам
неизвестны, а интерполяционные сплайны а2п, Л/, f), как отмеча-
лось в § 5.2, не реализуют на классе WH" наилучшее
приближение B6).
В метрике L\ ситуация иная. Из результатов § 4.2 и § 5.2
следует, что
Е(№Н", S2n|«)i - amp I!/ - <W(/)К = I!hns (©) I,
r-12 • m>r (]
так что
>i2n Wtf", ^) < H/2». r((o)"i, w, г == 1, 2, ...
В п. 1 и 2 этого параграфа было установлено, что 2гс-мерпые кол-
могоровские поперечники классов Н* и WK1I* в Ер не могут быть
меньше, чем соответственно Н/2п, о(©)Ир и И/2П| i((o)HP. Оказывается,
что аналогичный факт справедлив для класса Я^Я* при всех
г =* 0, 1, 2, ..., т. е. справедливо общее неравенство
й2п(Я?г//(й, ЕР) > II/2П.r(©)llPf г = 0, 1, ...; К/?<оо# B8)
Доказательство этого результата основано на изучении
топологических свойств отображений особого типа, рассмотрение которых
слишком далеко увело бы нас от круга «опросов, очерченного
заглавием книги. Ссылки можно найти в комментариях к главе.
Соотношения B7) и B8) позволяют сформулировать
следующее утверждение.
Теорема 6.2.10. Для любого выпуклого вверх модуля
непрерывности (о(б) справедливы равенства
d/fj/Г тт© г" \ Л / Т/Г/** Г/О) Г \
Таким образом, в пространстве -Ti для класса
интерполяционные сплайны a2n, r(/, t) из Szn, r реализуют как
линейный, так и Колмогорове кии поперечинки; линейный метод,
определяемый сплайнами а2Пг г(/, О, является наилучшим для
класса ТТ^Я* (г^ 1) в Lx среди нсех методов приближения, по-
280

строенттых на подпространствах размерности 2п. Отметим, что
наилучшим для класса Я?г#й в смысле колмогоровского
поперечника является и здесь подпространство 52п, т при любых т &* г,
однако наилучший линейный метод на этом подпространстве мы
умеем строить только при т =» г.
Теперь о непериодическом случае. Из D.2.74) и A2.75),
учитывая что dim SN> m = N + т, получаем
dN+m(W'H\ С) < WfN, г(ю)!1* т > г,
B9)
dN+m(WrIl\ Li) < В/*, Д(о)Им т > г.
С другой стороны, любую функцию f(t)ezLp (К /?<«>),
продолжив ее с периодом 1 па всю ось, можно включить в
пространство LPt поэтому если ЗИ с= С, а Зй — соответствущий класс
из С, т. е. Ш = 2Й П С, то Ш а Ш и
dm(SKf LP) ^ dM®i, Г,), К^оо, C0)
Учитывая, что Cctw и для f(t)<=C l!/llc == И/И», будем иметь
йтBИД>со)-: inf ?BM,Fm)oo< inf ?BM,Fm)c-dmBR,C),
7Л = 1, 2, . . ,
Пусть iV' = N, если N + m — число четное, и N' «= iV + 1, если
N + m нечетно; таким образом, N' + т>N + т и N' + т —
число четное. Из C0) следует, что
dN.vm{WrH«, Lx) > dN,+n {W'H*, lx) - t /iV4miP ((o) L, C2)
а учитывая тот факт, что неравенство B8) предельным
переходом (как это мы уже не однажды делали) распространяется и
па случай р = °о, из C0) и C1) выводим, что
^, 7^) > jj/iV,+fW|P (со) fie. C3)
Сравпнвая оценки B9) с C2) и C3) и вспоминая асимптотику
поведения нормы ll/^t г((о)Нр стандартной функции (§ 4.2),
заключаем, что для фиксированных г и т ^ г при Лг -*¦ «> справедливы
соотношения
dN+m(W'H«, С) = 11/я,г((о)ИсA - е'),
dN+m(W4I\ Lt) - Il/Wi r(cD)lli(l - e"),
где е'>0, г" > 0, e' и е/7 стремятся к нулю, если iV ^- <». Хотя
при каждом iV и т^г>1 подпространство 5^, то сплайнов по
равномерному разбиению не реализует поперечник dN%m класса
РР//40 в С или в Lt, однако при /V -+¦ оо 5^ m является
асимптотически наилучшим в том смысле, что
Km
281

§ 6.3. Сплайны в задачах минимизации точной константы
в неравенстве Джексона
1. Общая постановка задач, связь с поперечниками. В §§ 6.1
и 6.2 речь шла об оптимизации паилучшего (или наилучшего
липейпого) приближения па фиксированном классе функций,
задаваемом ограничениями па норму в Lp или на модуль
непрерывности самой функции или ее г-й производной; результаты
выражались через характеристики, задающие весь класс
функций. Если отказаться от такого задания класса функций, то
задачу оптимизации погрешности приближения на всем множество
Ст или Lrp можно сделать корректной, если в оценку этой
погрешности включить некоторую характеристику самой
приближаемой функции или ее некоторой производной,— скажем,
модуль непрерывности о)(/^г), 6). Например, в случае паилучшего
приближения функций fit) e Ст подпространством FN будем
оценивать через не зависящие от / характеристики не величину
E(ff FN)C, что в данном случае не имеет смысла, а величину
Ж/, ^jv)c/o)(/(r\ y) (в предположении, что fr) Ф const) на всем
множестве Сг. Это, конечно, равносильно задаче получения из-
вестпого неравенства Джексона для функций f(t) efr с
константой, не зависящей ot /.
Сформулируем задачи, связанные с такой постановкой, в
общем виде, привлекая введенное в § 4.2 понятие модуля
непрерывности в произвольном нормированном пространстве функций.
Правда, конкретные результаты мы сможем привести только для
модуля непрерывности в С.
Под X и Y будем понимать ниже пространства С, Lp A <
<:р<<х>) или их периодические аналоги С и Гр; Хг
(г=1, 2, ...)—множество функций /(^)еХ, являющихся г-ми
интегралами от функций из Х\ Х° в соотношениях общего
характера есть X. Если Хт cz Y и FN — iV-мсриое подпространство в F,
то в общем случае под неравенством Джексона (или типа
Джексона) понимают соотношения вида
'l)Xi /еГ, A)
а также
II/ - Afh < M'o)(/(r\ t)x, f es X% B)
где А — некоторый линейный оператор из Y в FN. Копстаиты М
и М' при заданных X и Y не зависят от /, по зависят, вообще
говоря, от г, 7» а также от подпространства F*, а в неравенстве
B) — еще и от оператора Л.
Здесь надо сделать оговорку о возможности обращения в пуль
о)(/(г), у)т> что будет так, если /(r)U) ^ const, т. е. /еРг (в
периодическом случае /еР0). Но так как 1 <= X, то в соответствии
с соображениями, высказанными в начале § 3.5, мы должны в
задачах оптимизации брать в расчет лишь те приближающие
подпространства F^ которые, так же как и Хг, содержат Рг
282

(в периодическом случае — константу). Тогда в A) и B) в пуль
могут обратиться лишь обе части одновременно,
В главах 4 и о рассматривались задачи о точной константе
М или М' в неравенствах A) и B) в случае, когда Fjr —
подпространство сплайнов, а А — оператор сплайп-иптерполирова-
пия. Здесь речь будет идти о нахождении, при фиксированных
iV, г и у» минимально возможной константы М или М' для
всевозможных подпространств F^ размерности N и — в неравенстве
B) — для всевозможных линейных операторов Л из У в FN.
Таким образом, задача состоит в отыскании величин
, C)
X' Y) ^ illf inf SllP (.ir) 'Г
FAYF Ы\Р}у)
причем отношение 0/0 понимается как 0.
Оказывается, что величины C) и D) совпадают с
поперечниками dN и lx некоторых множеств в пространстве У. Пусть
Ху— множество функций fit) еГсК,у которых о)(/(г\ у)х < 1.
Предложение 6.3.1. Имеют место равенства
XxtV(Xr,Y) = dN(Xry,Y), E)
x'N>v(r,Y) = XN(Xrv,Y). F)
ДсЛствителъпо, пусть /е=Хг и «в(/(г), у)х = ($ > 0. Положим
/i(^) = /(О/?; тогда(о(/!1Г),у)х= 1, т. е. fi(t)<= Xrv, причем в силу
пололштелыюй однородности функционала наилучшего прибли-
жсшш ?(/, Fx)Y — Ъ^Ци F^r, а потому
Переход к нижним граням но подпространствам FxV cz Y
размерности N дает неравенство K^iV{Xry Y)^LdN(X'v, Y). С другой
стороны, если / {t) e Xyj fr) Ф const, то
и так как это верно для любой фунтсции / ^ Х^ и любого
подпространства F,v, то ds(Xrv,}")^Xjv,v(Xr, 1"). Этим доказано E),
paitei-TCTBO (С) устанавливается аналогично.
Точные значения величин к:у,т(Хг,У) и Xjv,v(Xr, У)
известны лишь в немногих ситуациях (см., например, [1], гл. 9).
Здесь мы рассмотрим те случаи, которые связаны с полученными
в главах 4 и 5 неравенствами вида A) и B) для подпространств
сплайнов минимального дефекта.
283

Яспо, что G#(—g, /) = —G%(?,,i), а если учесть рассуждепия,
связапные с доказательством непрерывности по § фупкции
?*(?>*) в п. 1, то легко попять, что функция ?*(?,?) пепре-»
рывпа по § па сфере S'in.
Пусть F2n — подпространство из LP A<р<°°) размерности
2nf {e^t), e2it), ..-, e2nit)}— его базис. Так как класс WiHiA
содержит любую константу, то можно считать etit) sa 1. Положив
П^Е)-^ F,1)-С* F,0),
Л*F) - jeh(t) \Gt (g, t) I'-^gn G* (|, *)Л, к = 2, ..., In,
0
определим на S2n векторное поле т](?) = {т]^), ..., TJn(s)}, пе-
прерывное и нечетное па S2n._J.io теореме Борсука сутцествует
вектор ?<^?2п, _для которого г](|)«0. Это значит, во-первых, что
G*(lA)~G*(t,0)_n можно считать, что G* F, *) 6= И^Я*.
Далее, условия т)А(|) — 0 (fc«2, 3, ..., 2п) вместе с равепством
B2) означают, что E(G% (g), F2n)p = 1C# (|)|jp. Ввиду перавогь
ства B1) имеем оценку при 1 < р < оо
которая справедлива и при р — °°, что, как и выше, легко
устанавливается предельным переходом.
Итак, справедливость оценки A9) установлена, и сравпеште
A8) и A9) приводит к следующему утверждению.
Теорема 6,2.7. Для любого выпуклого вверх модуля
непрерывности со(б) справедливы равенства
d2n{W1^, Lp) = Х2п {Wl /Г, Lp) -
sup \\f-e2nilA)\\p = Wf2n,i((»)\\p, 1<р<оо. B3)
Если учесть еще равенства A7), где для f^C1 *ф^ (/'» 0 е*
= (Ttv.i (/» 0» т0 можно сформулировать еще
Следствие 6.2.8. При выпуклом вверх о)(б) для любой
функции fit) €= ТГ'Я" имеют место оценки
И/- а,„
И/#- <
Здесь мы сталкиваемся с исключительной ситуацией, когда
интерполяционные сплайны о2п, i(/, t) реализуют на классе W41*
как липейиый, так и колмогоровский поперечники в
пространстве Lp при всех 1 ^ р ^ °°, т. е. доставляют паилучший (причем
линейный) метод приближения этого класса любыми
подпространствами размерности 2п. Более того, наилучшим образом
приближая в метрике Lp (l^p<°o) функции класса WiIIa>y
сплайны o2n, i(/, t) одповременло обеспечивают наилучшее
приближение производпой f(t) в метрике Ьр Ц<р<3).
278

В пепериодическом случае дело обстоит следующим образом.
Оценка
sup l/-aN
которую дает теорема 5.2.10, позволяет утверждать только, что
b*(W7/"f L,) <l/*-lf ^©Jllp, 7V = 2, 3, ..., B4)
ибо подпространство SNt i заданных па отрезке [0, 1] сплайпов,
которому принадлежат интерполяционные сплайны oN, i(/, t),
имеет размерность N+1. С другой сторопы, сравнительно простыв
рассуждения, использующие теорему Борсука, приводят в
случае выпуклого вверх соF) к неравенству
dAW4I% Lp) > II/*, i(©)ll,; 1 ^ p < oo# B5)
Хотя не исключено, что пи одна из оценок B4) и B5) в общем
случае, когда @F)=^ Я6, не является точной, из них во всяком
случае следует, что для выпуклого модуля непрерывности юF)
ири N -+ оо
dAW4I*t Lp) ^ХЯAУ1Н", L,)[
3. О реализации сплайпами поперечников классов WrII® и
WrH® в С и Llu Здесь мы ограничимся (правда, по разным
причинам) лишь формулировками результатов. Если о)(б) —
выпуклый вверх модуль непрерывности (это будет предполагаться и
везде ниже), то (теорема 4.2.17) справедливо равенство
г-0, 1, ...; т>г, B6)
дающее для <1гп(№г11ы, С) оценку сверху. Известна и точпая
оценка этого поперечинка снизу:
<1гп(\?г11», С) >«/,».r(ffl)IU r=»0f 1. ..i
Доказательство этого факта, которым автор располагает,
построено на иных идеях, чем те рассуждения, с помощью которых
оценивались снизу поперечники в предыдущих случаях. Это
доказательство довольно подробно изложено в книге Ш, глава 10,
куда мы и отсылаем заинтересованного читателя.
Таким образом, справедлива
Теорема 6.2.9. Для любого выпуклого вверх модуля
непрерывности о)(б) имеют место равенства
d2n{WrIl«, С) =
279

2. Точные результаты в периодическом случае. Оцепки спизу
для отношения 2?(/, FN)Y/<d(f(r\ у)х в периодическом случае
получим, оценивая отношение ?"(/, FN)y/^fr)^x, т. е. оцепивая спизу
константу в более грубом, чем A), неравенстве для /еХг:
Установленные ранее экстремальные свойства идеальных
периодических сплайнов позволяют получить точные оценки в
ситуациях, когда X есть С или &, a F есть ЕР A < р < «>).
Предложение 6.3.2. Для любого подпространства Fzn^Ep
(dimF2n = 2п) при всех п = 1, 2, ... и г = 0, 1, ... справедливы
неравенства
р if v \
Ц ^!|ф'| КР<°° G)
(8)
ф2п? г (О и g*n, r-i(O — стандартные сплайны, введенные в § 2.3,
Доказательство. Мы уже знаем, что можно
ограничиться рассмотрением только подпространств F2n из Ер, содержащих
копстапту# Из леммы 6.1.5 и теоремы 6.1.3 немедленно вытекает
нужное нам здесь
Следствие 6.3.3, Пусть F2n — содержащее константу
подпространство из Ер (р>1). Для каждого w^=0, 1, 2, ...
существует (зависящая от Fln) функция ?(^)еЙ, обладающая
следующими свойствами:
1) lg(m)(OI = 1 почти всюду;
2) g(m)(t) существенно меняет знак на периоде не более чем
2п раз;
3) \/(gim))<in;
4) Е (?, F2n)p « || ^Цр > I! ф2п,т Jp, Р > 1*
Пусть теперь m — r и #л(?) — функция Стеклова для g(t).
Тогда ^л(^) еСг и в силу 1) и 2) при достаточно малых h > 0
будет \gWlc = 1-Но так как (см. п. 2 § 2.5) при h -*¦ 0 ligfc - gllP -*>
-^- 0, то, используя непрерывность функционала наилучшего
приближения, с учетом свойства 4), будем иметь
lim Е (gh, F2n)p = Е (g, F2n)p > || ф2П|Г ||р.
Следовательно, для всех достаточно малых h > 0
где е(/г)>0, е(/г)-^О при Л-*-0. Этим неравенство G)
доказано при 1 ^ р < °°. Для р = оо справедливость этого неравен
ства легко устанавливается предельным переходом.
Доказательство (8) в общем-то аналогично. Пусть в следствии
6.3.3 гп = г — 1 и опять #ли) — функция Стеклова для функции
284

удовлетворяющей условиям D—4) при m = r—1. Тогда
о о
Jim E (gh, F2n)p ^ E (g, F2,
Следовательно,
где еД/г) -*- 0 при /г -** 0. Остается учесть, что g21lt m(t) *=*
= Фгп, m(^)/Dw). Случай р = о° присоедшшется предельпым
переходом.
Так как в силу определения модуля непрерывности для
любого ч > 0 о)(/, ч)х ^ 2ll/llx, то из предложения 6.3.2 вытекает
Следствие 6.3.4. При всех г— О, 1, ..¦ для любого
содержащего константу подпространства F2n из ЕР имеют место не-
равенства
(9)
Так как для любого подпрострапства 91с=
то справедливо также
Следствие 6.3.5. Если F2n — содероюащее константу
подпространство из Ер, dim F2n =»* 2w, yo
91 — любое подпространство соответственно из ?«, или Ег.
Что касается оценок сверху, то у пас есть несколько
результатов, связанных с получением пеулучшаемых неравенств вида
A) и B) в случае, когда F2n = S2n, r — подпространство сплайнов
порядка г дефекта 1 по равномерному разбиению иХ»С, т, е,
для модуля непрерывности в пространстве С. Как и в главах 4,
5, вместо о)(/, 6)g будем писать просто о)(/, б). Кроме того,
условимся полагать
к* (*r, Y) - xn>1,n (Г, У), к'гг (Г, У) = x».1/w (Xr, У).
285

Теоремами 4.1.13 и 5.2.17 установлено, что для
2 (
Если сравпить эти оценки с неравенствами (9) соответствеипо пря
р = оо и р — 1, то придем к следующему утверждепиго.
Теорема 6.3.6. При всех п = 1, 2, ... и г = 1, 2,
ведливы равенства
х2п(Сг, С) - sup E?'S\ ^
» « (/(г
—^—,
2Bли)г>
Таким образом, минимально возможную на множестве Сг кон-
стапту в перавепствах
E(f, F2n)x < Мо)(/(г), 1/Bй)), X = CVLU
среди всех подпространств F2n размерности 2п реализует
подпространство сплайнов S2n, г, причем в метрике Lt эту наименьшую
константу реализует линейный метод, задаваемый интериоляци-
онпымн сплайнами о2п, г(Д ^) из Sintr-
При г = 0 и г = 1 мы можем дополпить теорему 6.3.6
некоторыми точными результатами в метрике Lp. В § 4.2
установлена (следствие 4.2.9) для fit) e С справедливость неравенства
E{f9 SNtQ)p^2-%(fy i/N), iV-1, 2, ...; 1<р<^ (Ю)
а в § 5.2 (следствие 5.2.5) доказано, что для fit) & С
«/-iMflllp^-1©*/, i/N)t iV=l, 2, ...; l^p<3, (И)
где 4>(/» *) —линейный метод из С в 5aY>0. Кроме того, в
теореме 5.2.11 утверждается, что для f(t) e С1
1<Р<оо, A2)
где o,y, i(/, t) — интерполяционные сплайны из S,Y| t. Сравпив
A0), A1) и A2) с (9), можем сформулировать такую тоорему.
Теорема 6.3.7. При всех п=* 1, 2, ... имеют место равенства
286

Отметим, что и здесь наилучшими являются подпространства
сплайнов соответствующего порядка, а наилучший лилейный метод
доставляют интерполяционные сплайны.
3. О непериодическом случае. В случае, когда рассматривается
приближение функций fit) из Ст (заданных па отрезке [О, Ш,
мы сможем привести точный результат в рассматриваемой
задаче лишь для г = 0. Дело в том, что при г ^ 1 имеющиеся в пашем
распоряжении эффективные оценки сверху и снизу для величин
Хдт(Хг, У) и Xjv(Xr, У) не совпадают; правда, эти оцепки
позволяют в ряде ситуаций указать для них точную асимптотику по N.
В силу предложения 6.3.1 Идт (сг, Ьр) = dN \C\jn, Lv\ где
C\in — множество функций /U) €= Сг, у которых о)(/(г), 1/N) < I.
Но ввиду B.30)
v) ^ d.-v (Ci/дт, Lv) = xy (Cr, Lv\
Таким образом,
%AC\ Ьр)>кАС% Ер), Л^=1,2,...; г = 0,1, ...;
и для оценки снизу величины x^(Cr, Lp) можно воспользоваться
полученными выше точными зпачепиями к*(Сг, Lp) при четных
N. В частпости,
С другой стороны, соотношения D.1.67) и D.1.68), приведсп-
пые в конце § 4.1, позволяют написать оцепки сверху:
Из A3) и A4) вытекает справедливость асимптотических равенств
(,1) %,
причем, как это видпо из D.1.67) и D.1.68), эту точную
асимптотику реализуют подпространства сплайнов SN> r порядка г
дефекта 1 по равпомериому разбиению.
Отдельпо рассмотрим случай г = 0. Оценку сверху для
Кл(С, Lp) при Кр<°° и для xN(C,Lp) при Кр<3 дают
соответственно неравенства A0) и (И). С другой стороны, пусть
е>0 и
Тогда класс Я0*8 содержится в множестве Ci/N и в силу теоремы
287

6.2.2 и равепства E) будем иметь
к*(С, L9) = dviCw Lp) > dN(Il\ Lp) »
= il/,Y,o(o)e)l!p, l^p^oo, A6)
где /^o(o)e, t) — стандартная фупкция, построенная по модулю
пепрерывпостп о)е(б). Легко попять, что при г-> 0 И/jv, о(о>е)Ир ~*"
->- 1/2, а потому kn(C, Lp) > 1/2 A ^ р < °°). Этим установлена
Теорема 6.3.8. ///ж всех N — 1, 2, ... справедливы равенства
- sup
Заметим, что в выписаппых соотношениях xjv (С, Lp) и
X7v(C ,i^p) пе зависят от р. Но это «привилегия» только случая
г = 0; при г^1 величипы x^iC.Lp) и ^(С.Ьр) от р уже
зависят. Например, в случае, r=»lf используя модуль пепрерыв-
пости A5), можно аналогично A6) получить оценку
из которой при е -* 0 следует, что
В сопоставлении с A2), где сплайп oN, i(/, ^) принадлежит под-
пространству 5jv, i размерности N + i9 это приводит к перавеи-
ствам
§ 6.4. Сплайны в задачах оптимального
восстановления функций
1. Постановка задач оптимального восстановления функций.
Многие экстремальные задачи теории приближения, если
рассматривать их с конструктивной точки зрения, можно
интерпретировать как задачи оптимального восстановления функций или
линейных функционалов по неполной информации. Например,
когда мы говорим о наилучшем (или наилучшем линейном)
приближении функций fit) из класса ЯЯ функциями фиксированного
подпространства FNi то это можно понимать так, что требуется,
используя некоторую информацию о функции fit) и, в частпости,
то, что fit) eSK, указать в FN функцию git), наименее, в том или
ипом смысле, отличающуюся от fit) и, следовательно, наилучшим
образом представляющую функцию fit) в подпространстве FN.
Для эффективного построения git) обычно используется диск-
288

ретная информация о функции fit), задаваемая числовым вок-
тором {\iu |х2, ..., [InK координаты которого могут означать
значения функции fit) и (или) ее производных в фиксированной
системе точек, коэффициенты Фурье функции fit) no некоторой
ортогональной системе и т. п. Это наводит па мысль о
правомерности постановки задачи в следующем общем виде.
Пусть X— липейное нормированное пространство задапиых
на некотором промежутке функций fit). Набор Mjv =* {|Ль ...» \1*)
заданных па X функционалов, который можно рассматривать как
метод кодирования, сопоставляет функции /(/) s X вектор
пи м*)- W/), М/),..., М/)>, (I)
содержащий N единиц информации о функции fit). Задачу
восстановления функции fit) по информации A) естественно решать,
сопоставляя вектору Г(/, MaY) функцию
N
g (/; MiV> Ф^; t) - 2 |xfc (/) щA), B)
ft
где Ф^г = {q>i(*)f •.., ф*B)} — некоторая система линейно
независимых фупкций из X. Ясно, что набор именно из N липейпо
независимых функций может дать возможность эффективно
использовать имеющиеся у нас N единиц информации. В качестве
меры погрешности восстаповлония возьмем величину
ИДО-*(/; М„, Ф„; ОИх. C)
Если кроме вектора Г(/, MN) никакой другой информацией
о функции fit) мы не располагаем, то задача оценки
погрешности восстановления не имеет смысла. Чтобы эта задача стал»
корректной, надо иметь еще априорную информацию (например,
о гладкости /(/)), которая гарантировала бы, по крайней мере,
ограниченность величины C) для функций fit) с одним и тем
же вектором информации 74/, MN). Априорная информация
определяет пекоторый класс функций 9Й, и величина
% (W; MiVf ФдО* = s»P II / - g (/; Ma
есть погрешность восстановления на классе 9Й.
Теперь можно ставить следующие задачи.
1) При фиксированном методе кодирования Мл- найти
систему функций Ф*, для которой величина D) принимает
минимальное значение.
2) При фиксированной системе фупкций ФаУ найти пабор
функционалов М^, минимизирующий погрешность восстановления
D) иа классе 9Й. Эта задача хорошо известна в теории
аппроксимации; если ограничиться рассмотрением только линейных
функционалов щ, то речь идет об отыскании наилучшего линейного
метода приближения для класса 9Й при фиксированном
приближающем подпрострапстве /''л.
2т

3) Минимизировать погрешность D) одновременно по Мд- и
#, т. е. найти величину
^Фл-)*. E)
Речь идет, таким образом, об отыскании наилучшего метода
восстановления функций класса 2Я среди всех методов вида B),
использующих N единиц информации о функции /(?). Введем еще
величину
где Mjv— набор заданных на X лииейпых функционалов \ih (к =
= 1,2, . .., ДО; таким образом, задача F) предусматривает
отыскание наилучшего линейного метода восстановления.
В задачах E) и F) угадывается связь с поперечниками и эта
связь действительно существует.
Предложение GA1. Справедливы соотношения
), G)
Х). (8)
9Й еегь сумма компакта и конечномерного подпространства,
то в G) имеет место знак равенства.
Действительно, неравенство G) сразу следует из того, что при
любых М* и Ф* &Ш; Мл, Флг)х ^ djv(9W, Z). Далее, если M^v =«
^Ifij, ...,{i,v}—набор линейных фулкциопалов, заданных па X,
то опять же пз определений вытекает, что для любой системы
<D,v 9 (Ш; Мл-, Фл)х > X.v (ЗЯ, X), так что #'л- (ЭД, -Y) > Х^ (Mf X).
С другой стороны, пусть {ср,Ш, ф2(^), ..., флг(О> — базис
подпространства FxV, тогда любой линейный оператор Л из Jt в Fjv
представим в виде
N
Af-~ S in. (Л Ф* @. (9)
т. е. в виде B) с пабором M.v = Mn лииейпых функционалов*
Следовательно,
и потому Я/v (SW, X) ^ S*'v BЙ, ^). В случае, когда 9М есть сумма
компакта и конечномерною подпространства, то (В. М.
Тихомиров [1, с. 2181)
dK (ТО, X) = inf inf sup|/
*> aacf /едя
где пижппе грапи распространены па все подпространства FN^X
размерности N и все пепрерывпые операторы из X в FN% Так как
290

и здесь оператор А представим в виде (9), где \ih — уже
непрерывные функционалы, то dx(SK, X) > ё\у(9Ю, X), и в этом случао
в G.) падо оставить знак равенства.
Отметим следующее обстоятельство. Как мы только что
убедились, задачи о поперечниках и об оптимальном
восстановлении в смысле E) и F) в важнейших случаях с формальной точки
зрения эквивалентны. Однако, если в первой задаче требуется
вычислить именно величины поперечников,.то в задаче
оптимального восстановления речь идет, в первую очередь, об отыскании
и эффективном построении наилучшего метода восстановления,
т. е. набора (M;v, Фл), гарантирующего минимально возможную
погрешность па классе Ш.
Если производные функций fit) из Зй и (p*U) (/с«=1, ..., Л')
из Фл принадлежат некоторому нормированному пространству Г,
то можно ставить задачу об оптимальном восстаповлешш по
информации A) как самой функции /(?)<^5Й, так одновременно и
ее производпой, оценивая на классе 2R как погрешность C), так
и погрешность И/' — #'(/; Мд-, ФкЖ восстановления производной.
Уравновесив эти величины с помощью, например, зпачений
соответствующих попереч пиков, можно ввести общую меру
погрешности одновременного восстановления функции /^Зй и ее
производпой в видо
(пли наибольшего из этих отношений), где Ж — класс функций
из F, являющихся производными функций /B)еЗЯ. В случае,
когда Mjv == Mjv-~ набор линейных функционалов, в A0) вместо
d# естественно взять линейные поперечники Х#.
До сих нор речь шла о глобальном восстановлении функции
/ е 2R по информации 74/, М*) сразу на всем промежутке, т. с.
ставилась задача восстановить функцию f(t) одновременно в
каждой точке t; погрешность измерялась нормой C) в
соответствующем пространстве. Можно представить реальную ситуацию, когда
по информации 7'(/, My) требуется восстановить значение
функции fit) в некоторой фиксированной точке ?*. Речь идет, таким
образом, об оптимальном восстаиовлепии линейного функциопала
(i (/) = /(?*) но известному вектору информации Мл в (щ(/), . ¦..
..., \лА])У при условии, что fit) нрипадлелшт некоторому
задаваемому априорной информацией, классу Ш.
ь
В случав \i (/) =* ) / it) dt мы уже сталкивались с такой зада-
чей в § 2.2. Надо сказать, что существует глубокая связь между
экстремальными свойствами сплайнов и задачей оптимального
восстановления интеграла по дискретной информации. В этом
паправлешш разработаны достаточно эффективные методы
исследования, получено пемало окончательных результатов»
Исчерпывающее их изложение требует отдельной книги, и здесь мы
291

ггих вопросов касаться не будем; в комментариях к главе можно
найти некоторые ссылки на литературу.
Вернемся к задаче оптимального восстановления функционала
М(/)~:/(**) по информации У(/, MiV). Если кодирующий набор
функционалов М# фиксирован, то приближенное значение /(**)
естественно искать в виде числа
2))> (И)
где с~{си с2, ..., cN} — вектор коэффициентов, находящийся в
нашем распоряжении. Задача состоит в том, чтобы пайти
величину
jv;c)| A2)
и указать минимизирующий вектор коэффициентов с — {сь ...
..., ?А'}, определяющий наилучший метод восстановления.
Ясно, что оптимальный вектор с зависит от точки ?#, в
которой восстанавливается значение функции fit) ^ 2R, т. о. с =
= с (t%). Если мы заставим (при одном и том же наборе М*)
точку t — ?* пробегать промежуток, на котором заданы функции
класса ЗЙ, то получим некоторый набор фупкций ck(t) (/с «=»
= 1, 2, ..., iV), определяющий метод оптимального восстановления
функции /@ е аи в каждой точке t по информации Г(/, \ГУ).
О функциях сЛ(/) мы знаем только то, что они в каждой точке t
неявно определяются равенствами
snp
N _
/(*)- 2 с*@м*'
= iuf sup
N
- S^Wi**1
fc-~l
и вряд ли можно предполагать, что для фупкций ch(/) может быть
указано явное и единообразное представление. Тем не менее,
мы ниже увидим, что в одном из важных случаев оптимальным
набором функций {ch{t)} является набор фундаментальных:
енлайпов.
Укажем базирующийся ло простых соображениях общий
прием оценки величины A2) снизу. Пусть
Зй(Мдг) - {/: /е Ш, |iA(/) « 0, к - 1, ¦.., JV).
Тогда для /(О е !М(МЯ) ?(/; MN; с) - 0 п
|, A3)
т. е. оцепить величину A2) снизу можно, изутлн функции
из ЗИ, которые кодируются пулевым вектором. Ниже мы
убедимся в том, что этот прием иногда позволяет получить точную на
классе 9й оценку.
202

2. Конкретные результаты. Если 2Я есть любой из классов
W/1 пли WTH* (г = 0, 1, . ..), то множество
ая„ = (/: / е аи, /(о) = о)
есть, очевидно, компакт в пространстве С, поэтому 2Я можно
рассматривать как сумму компакта ЗЯ0 и конечномерного
подпространства Рг алгебраических многочленов степени г. Аналогично,
каждый из классов Wrp+l и WrHi0 Апериодических фупкций есть
сумма компакта и одномерного подпространства констант. В силу
предложения 6.4.1 во всех этих случаях выполняется равенство
«\v(gnf X) - ds№, X), A4)
где X есть С, Lp пли С, ГР, а Ш — соответственно класс
\
; ?
Как и выше, S,v, г будет обозначать подпространство заданных
на 10, 1] сплайнов порядка г дефекта 1 по равномерному
разбиению ti~i/N U = 0, 1; ..., АО, S2n,г — соответствующее иод-
прострапство 1-иориодическнх сплайнов по разбиению t{ = i/{2n);
П2п, г(/, t) — сплайн из Son, г, интерполирующий функцию / е С
в точках
i - 1, ..., 2л. A5)
Так как сплайн а2п, г(/, 2) можно представить в виде
in
где t9A(i) — фундаментальные сплайны из SlritT, т. е.
определяемые равенствами /?А(т<) = 6W, то в связи с введенной в и. 1
терминологией G2n.Afi i) есть линейный метод восстановления вида
B) функции /U) по вектору информации
r(/,Mjnt0 = {/(Ti), /(т,), ..м/(т,„)}, A7)
задаваемому набором Мдт функционалов jik(/) «= /(tJ (ft •»
-1, ..., 2л).
Результаты § 6.1 в связи с равенством A4) позволяют
указать ряд конкретных ситуаций, в которых оптимальный метод
глобального (т. е. по норме) восстановления фупкций
реализуется интерполяционными сплайнами o2n, r(/, t). Из теорем 6.1.7,
0.1.10, а также 5.1.17 следует, что этот факт имеет место в
задачах оптимального восстановления фупкций класса ИР»1 и
одновременно их производных в метрике LPi а также функции
класса W1^^ в метрике Lu Кроме того, у пас есть (теорема 5.1.2)
для f{t) e Wn1 оценка погрешности
1/(*) - О2„, r(/, t)\ ^ |ф2„,г+1(*)|
к каждой точке /. Оказывается, что по информации A7) в любой
точке t никакой другой метод восстановления вида A1) не обес-
293

печит па всем классе W1^1 меньшую погрешность.
Действительно, фиксируем точку i~i*, тогда в силу A3) для любого
вектора коэффициентов с = {си с2, ..., сгп)
sup
| , A8)
а в силу теоремы 2.7.1 правая часть в A8) не может быть
больше чем |<p2n,r+i(**)|-
Таким образом, справедлива
Теорема 6.4.2. Среди всевозможных методов вида B) {при
#«=2и), использующих 2п единиц информации о функции f(t)f
наилучшим методом восстановления функций f (t) e W^1 и
одновременно их производных в метрике Lv (l<p^oo)t а также
функций f{t)^.Wrvvl A^р^<*>) в метрике LK является
линейный метод, доставляемый сплайнами о2п, г(/, t) из S2n, rf
интерполирующими, функцию f(t) в равноотстоящих точках A5).
При этом
= SUP || / — O,ntr (/) ||p =* |1 фгп.г+1 U * < P <
sup |f —• '
- о2П|Г
«=Вф2П.г+1(!р'» 1</><°О, I//? + 1/У r= 1-
Для каждого фиксированного t ?* xk метод o2n, r(/, ^) является
наилучшим методом восстановления значения функции / мл
класса W^1 в точке t no информации A7); при этом
Что касается оптимального восстановления функций,
заданных ыа отрезке 10, 1J, то из результатов п. 4 § 6.1 с учетом
общих равенств (8) н A4) вытекает, что оптимальные в смысле
E) и F) методы восстановления функций fit) из класса Wr?l
в метрике Lp и функций класса Wrp+1 в метрике Lt реализуются
интерполяционными сплайнами порядка г дефекта 1 по
некоторому неравномерному разбиению AiV, различному в каждом
случае и зависящему от р. Погрешность оптимального
восстановления определяется нормой связанного с этим разбиением
идеального сплайна порядка г+1. С помощью теоремы 2.7.5 можно
294

точно оценить и погрешность оптимального восстановления
знамения функции / из W^1 в фиксированной точке t e 1Д И,—
опять же через значение идеального сплайна. В отличие от
периодического случая эффективно построить оптимальное
разбиение &# и определяемые им интерполяционные сплайны мы не
можем. Если в качестве метода восстановления функций,
заданных на отрезке, взять сплайны ojV, Л/, t) из Sxr,r по равномерному
- разбиению Д*, интерполирующие функцию fit) eCr в
равноотстоящих точках при краевых условиях Лндстопа (см. E.1.32) —
E.1.35)), то используя предложение 6.1.15 легко убедиться, что
эти сплайны доставляют асимптотически (при N -+ <*) наилучший
метод восстановления функций класса W^1 в Lv и функций
класса Wprl в Lt.
Теперь об оптимальном восстановлении функций классов
WrH" и WrH". Имеются и здесь ситуации, в которых эффективное
решение задами дают интерполяционные сплайны. Из
результатов § 6.2 и равенства (8) вытекает такое утверждение.
Теорема 6.4.3. Пусть <аF) — выпуклый вверх модуль
непрерывности. Оптимальное восстановление функций fit) из
класса II* в метрике Lv (l^p^3) осуществляют
кусочно-постоянные функции i|v(A t), интерполирующие среднее значение fit) на
каждом промежутке (U— D/iV, i/N) (i»l, ..., N); при этом
*N (Ям, Lp) - g'K AГ\ /,р)- sup \ f - $x (Л2р = I!/*.о И!p.
Интерполяционные сплайны агп.т(Д t) из 52п,г доставляют
оптимальный метод восстановления функций ' fit) e WTIV* (r «
= 1,2, ...) в метрике Lu а при г =* 1 также функций fit) ив
W17/" в Ьр A <р^оо) и одновременно их производных в
метрике Lp A < р < 3);
«= sup |/ — аа„,г (/) |x = | /2n,r (о) Ь;
fwrna
f Lp) ~ %[n {W4Ib\ Lp) -
= sup ||/-~ a2n
T
\ Lp) - || /2n>0 F>) !|p, 1 < p < 3.
Из результатов § 5.2, п. 4, и § 6.2 можно вывести, что
интерполяционные сплайны Grr,r(f, t) из SN,r с краевыми
условиями Лидстоиа являются асимптотически наилучшим методом вида
B) восстановления функций fit) e WrH* в метрике Lj.
Обратим внимание на то, что теоремами 6.4.2 и 6.4.3
охвачены как раз те случаи, в которых известен линейный попереч-
293

пик класса, реализуемый интерполяционными сплайнами, и он
совпадает с поперечником по Колмогорову. Есть две ситуации —
приближение класса Л" в Lp при р > 3 и класса WrH" (r ^ 2)
в С -— когда колмогоровский поперечник известен, причем он
реализуется па подпространствах сплайнов, соответственно Sx, 0 и Згп ,г,
а линейный поперечник не известен. В этих случаях в силу
равенства A4) оптимальный метод восстановления вида B)
доставляется сплайнами наилучшего приближения, одршко этот метод
пе является линейным и не строится эффективно.
3* Оптимизация взвешенной погрешности. Результаты § 6.3,
связанпые с минимизацией точной константы в неравенствах
типа Джексона, также можно интерпретировать с точки зрения
оптимального восстановления,— если вместо C) рассматривать
для fit) e Хг взвешенную погрешность
В такой постаповке мы можем говорить об оптимальном
(наилучшем) методе воестаиовления для всего множества Хг. Этот
метод определяется набором (MNy Ф?г) функционалов \ik и базисных
функций ф/ДО, на которых реализуется нижняя грань
lof ^iLzimspUk. B0,
(МФ«>\г Ку)
Используя теоремы 6.3.6 и 6.3.7, можно показать, что в
случаях X = Cf"r-.r» (г«1, 2, ...), а также Х = С, Y~Lp (К
^/?<о°; г = 1) оптимальное восстановление при N — 2п и ^ «=
¦» \/{2п) осуществляют интерполяционные сплайпы o2n, r(/, t),
а нри Z«C, F«LP A^р^3; г = 0), ^ — 1/iV —
кусочно-постоянные функции ifiV(/f f). 8 случаях Х^У25^^ (г==0, 1, ...),
а также Х = С, Y = LP (p>3; r = 0), 7 = 1/iV оптимальный
метод в B0) реализуют сплайны наилучшего приближения из
соответствующих подпространств. Точные оценки погрешности
оптимального восстановления, определяемые величиной B0),
совпадают в указанных ситуациях с найденными в § 6.3
значениями величии nN{X\Y) и хДХг, Y).
В связи с результатами п. 3 § 6.3 можно сформулировать
соответствующие утверждения об асимптотически оптимальном в
смысле погрешности A9) восстановлении функций, заданных па
отрезке, сплайнами по равномерному разбиению.
4. Об оптимальном кодировании функций, В задаче,
сформулированной в начале параграфа, функция fit) из класса ЗЯ
восстанавливалась по вектору информации 74/, М*) с помощью
функций B) из некоторого iV-мериого (по числу единиц
информации) подпространства исходного пространства X. Можно ставить
задачу иначе — пытаться оптимальным образом восстановить fit)
по вектору Г(/, Мл) с помощью функций того же класса ЯЯ,
которому принадлежит fit). В такой постановке, как мы сейчас вы-
296

ясппм, это скорее задача оптимального кодирования, и и ней
сплайны тоже играют определенную роль.
Вектор Г(/, M#) определяет, как правило, пе одну функцию
fit) И8 Sft, а целый пучок функций этого класса, и, пожелав
«вспомнить» fit) по вектору 74/, Mw), мы должны будем иметь
дело со всем этим пучком, т. е. с прообразом в классе 3ft вектора
Г(/, Мят) при отображении f-+Tif, М*Л Этим прообразом
является множество
и если о функции fit) кроме вектора 7Т(/, MJ и того факта, что
/еЗЙ, никакой другой информацией мы пе располагаем, то
любую функцию g(f) s у-^/, Mjv) можно с одинаковым правой
взять в качестве приближенного восстаповленпя fit). О
погрешности восстановления, под которой естественно понимать И/ —g'1*,
мы ничего не можем сказать, кроме того, что она пе превосходит
диаметра множества T^if, Мл0 в метрике X. Чтобы использовать
при оценке этой погрешности характеристики, задающие класс
3R, введем величину
К(ЯЯ, MN)X = supdiam „ T~l if, MjV) =-
^U: /1,/2еаЯ, Г(/,,М.у) - Г(/81 МдО), B1)
которую можно истолковать как погрешность метода
кодирования на классе 34. Ограничившись наиболее важным случаем,
когда M/v = Мл —набор линейных функционалов, сформулируем две
задачи.
1) Найти величину (при фиксированном N)
xN (зет, X) - ini к (зет, Мл-)х B2)
Мдг
и указать набор линейных функционалов Mjv — {|i|, ..., ^л?}»
реализующий в B2) нижнюю грань и, следовательно,
определяющий наилучший метод кодирования функций класса 3R.
2) Указать способ эффективного восстановления прообраза
T~l(fy M'v) по вектору 7'(/, M/v) оптимального кодирования.
Сверху величина B2) легко оценивается через введенную »
начале параграфа величину <?f jv (ЭД, X) й, значит, в силу (8)
через линейный поперечник класса ЗЯ. В самом деле, если
Tifu Мл) «= Г(/2, МЛ0, то для любого набора функций Фк =*
=^{ф1(^), ..., фл(/)) для функции B) выполняется тождество
gifu M», Ф^; t)**gift; MiVl ФЛ-; t).
Следовательно,
297

и ввиду определений D) и B1)
Так как это верно для произвольного набора функций Ф#у то
хлчзи, х) < ггг'сая, х) = 2ызк, х). B3)
Получение точной оценки ХЛЧ9И, X) снизу может облегчить в
конкретных случаях.
Предложение 6.4.4. Если 2Я— выпуклое и центрально-
симметричное множество функций в нормированном пространстве
X, то
XN(ТО, X) - 2inf sup lii/i|x: /el,7(/,M*) - 0]. B4)
В самом деле, вместе с функцией fit) множеству 2Я
принадлежит и —/U), поэтому из определения величины B1)
следует, с учетом линейности функционалов \ik e Мд-, что
К (SM, MkO* >sup (!)/ - (- /)Iy: /е ОТ, Г (/, М^) = 0} «
M:Y>-0}. B5)
С другой стороны, пусть /ь /2е=2Я и r(/i,M]v) =* jT(/2,M!v)-
Тогда функция g(rt — ifM) — f2(t)]/2 также принадлежит классу
JW, причем T(g,M'N) =^ 0, а потому, опять же в силу B1)
i'N)*=O}. B6)
Из B5) и B6) следует, что в условиях предложения 6.4.4 для
любого набора Mn линейных функционалов справедливо
равенство
К (Зй, M'N)X = 2 sup {J / \х: f e SW, 7' (/, МЛ-) - 0} B7)
и, чтобы получить B4), надо перейти в B7) к нижней грани по
Соотношение B4) позволяет в ряде конкретных ситуаций
точно оценить снизу величину VYCfl, X) с помощью теоремы Борсу-
ка. Рассмотрим для примера один случай, который можно
считать, в известном смысле, моделышм для классов периодических
функций. Покажем, что
p) > 21 ф2п,г U 1 < Р < «>. B8)
для чего достаточно установить, что для любого набора М2П
линейных функционалов \xh U=l, ..., 2и), заданных иа Гр>
ФиксируемМ'2п ==» {H^i, ...»\i2n}- Если |якAЬ=0 (Л» 1, 2, ...,2?г),
то в силу B7) A' (VFL>,M2n)p = оо, ибо класс Wlo содержит любую
константу. Пусть |Xi(l) Ф 0. В п. 2 § 6.1 па сфере ?2п простраы-
298

ства /?2n+1 определена функция gr(|, t) ((Xf^Sl), непрерывно и
нечетно зависящая от ? и удовлетворяющая условиям:
1) | g^} (h t) I = 1 почти всюду, причем ?гГ)A, t) меняет зпак
па 10, 1] пе более чем 2п раз;
2) выполняются равенства
1
о
Положим
и определим на сфере S2n 2я-мерное векторное поле
1
1
B9)
Поле i](|) непрерывно и нечетно па 52п и для некоторого g*e»52n
^(|*) = 0, Это значит, во-первых, что g{rr (?,t)_\_l9& поэтому
С(|*, i) принадлежит множеству t-пернодических идеальных
•сплайнов Тгп, г, Так как в силу B9) [i,(G©)-0npn любом ? «=
^ S2n, то f(G (|*)f Мл) — 0. Заметив, что Ггп.г cz ТУ^о и используя
теорему 6.1.3, будем иметь
что и требовалось.
Из B3) и B8) с учетом теоремы 6.1.7 следует, что
Л2П(Й^ Lp) - 21ф2п,Лр, 1 < р < оо. C0)
Придерживаясь при оценке снизу, в основном, той же схемы и
используя теорему 6.1.10, можно получить также равенство
'^-L C1)
Пусть, как и выше, MJn.r ^ М?п — набор функционалов
И»(/)-/(тк), Л-1, .... 2», C2)
где тА — Тл, г — равноотстоящие точки A5), в которых
интерполирует сплайн o2n,r(/, t). Из B7) в силу следствия 2,7.3 вытекает,
что
K(Wr+\ Mln)p = 2 sup (I /\jp: / e Wot1, / (тЛ) = 0, к = 1 2« I -
Аналогично, из B7) и предложения 2.7.4 следует, что
к(w;+l, MjnX = 2«ф2„,г+11, - я2" (^'\ /,,).
Это озпачает, что наилучший метод кодирования функций класса
W^1 относительно метрики Ьр и фупкций класса Wpri отяоси-
29а

тельно метрики L, достапляот набор МоП функционалов C2),
которыми в то же время однозначно определяется
интерполяционный сплайн Ozn.Afj t). Последнее обстоятельство позволяет с
помощью сплайна о2П|г(/, t) эффективным образом восстановить
в указанных случаях прообраз вектора Т (/, MJ7l), причем с
минимальной на классе погрешностью.
^ Рассмотрим сначала задачу восстановления функций класса
W^1. Фиксируем fifyeWS*и пусть (?(/) — множество
функций git) из W^T1, удовлетворяющих при нсех t перавепству
Io2n.r(/, t)-g(t)\ ^ Icp2ri,r+IU)|.
Мы утверждаем, что множество Q(f) наилучшим образом,
причем в каждой точке, восстанавливает в классе W^1 прообраз
вектора ^(ДМгп) — {/(т^), ... ,/(т271)} в том смысле, что, во-
первых,
V/efPS-1 T-l(f,Mln)<=QU), C3)
а, во-вторых, в любой точке t
sup supl|/(«)-g(«)|: ^еГЧ/.м;,))»
= sup
В самом деле, осла g 6= W'*1 и Г(^, МТ„) = Т(/, Mjn), то
°гп,г {g, t) ^ <^2п,г (/, t), и в силу теоремы 5.1.3
т. е. g^Q(f), и включение C3) доказано. Из него следует, что
для / (i)sTy^f при любом t
< sup {|/(l)-«(J)Ms<? (/)} < 21 ф-гп.гм (t) |, C5)
ибо, если g^Q(f), то с учетом определения множества Q{j) u
опять же теоремы 5.1.3
- f Ш\ ^ 1/(«) - а2п.г(/, 01 + 1*(» - о2я.г(/, t)\ ^
Для функции fit) = <jp2n, r+i(<), принадлежащей классу РК», в C5)
будет везде 'знак равенства, так что C4) справедливо. Из него
сразу следует, что
sup diara^ <?(/)=, K(Wrj\Mxln)p=* 2!|ф2п,гН11р,
1 ^ р ^ оо,
где diartixD есть диаметр множества D в метрике X. Таким
образом, определяемое сплайнами огп(г(/, *) и (p2n,r+iU) множество
300

Qif) восстанавливает прообраз вектора Г(/, М^п) с наименьшей
на классе W^ х погрешностью в метрике LP, причем эта погреш-
ность не может быть уменьшена за счет выбора иного
кодирующего набора M2rt и другого метода восстановления.
Аналогичные соображения, использующие уже теорему 5.1,5,
позволяют заключить, что множество
Г (/) = [g: g е \Т+\ | g - огап, (/) 1, < I ф2„.Н-11|р'1
наилучшим образом в метрике /^ восстанавливает прообраз
вектора Г (/,М$п) функции fit) e Wr9H A^/?^оо), т. е.
sup diamLj7>(/) -
Tv^fI
l<p<bo, l/p + l/p' = 1.
Мы можем получить результаты аналогичного характера в
задачах оптимального кодирования и восстановления функций
классов Н" и W4I* в тех ситуациях, в которых линейные
поперечники этих классов реализуются сплайнами. Нетрудно доказать,
что при выпуклом вверх со(б) (это предполагается и везде ниже)
X* (Я(о, Lp) = 21 /Wi0 (со) IL 1 < р < 3f
Оценки сверху следуют из B4), B.9) и B.23); снизу величины
Л/Ч//*, LP) и ^"(^Д", Lp) точно оцениваются с помощью
теоремы Борсука, если, отправляясь от предложения 6.4.4,
воспользоваться построенными в пп. 1 и 2 § 6.2 функциями g(g, t) и
G* (?f t).
Оптимальным методом кодирования функций fit) класса //*
в Lp (l</?<3) является метод, определяемый набором Млг
функционалов
H(J) = N J f(t)dt9 к = 1 N. C0)
Т1тобы восстановить функцию fit) по ее вектору T(f,M^) с
наименьшей на классе Я* погрешностью в ?р A^/?^3), следует
сопоставить этому вектору множество
где г|;Л(/, i) —-сплайп из *?лг в, принимающий на интервалах
(U- 1)/ЛГ, fe/iV) значения C0).
Оптимальное кодирование функций fit) ^ Я71//* осуществляет
набор функционалов Mon.i; восстановление функции /е^Я* но
вектору ?Л/, MJn.Oc наименьшей на классе TF1//* погрешностью
в метрике Lp A </?<«>) осуществляется с помощью сплайна
&2п. i(/, 0, если вектору 7Т(/, M-Jn,i) сопоставить множество
{g(th g e if'//-, llg - a2n,»(/)!!, ^ И/2„, t(©)U.
301

5. Об оптимальном восстановлении без потери информации.
11 заключение мы должны обратить виимаппе на следующее
обстоятельство. Общая идея оптимального восстановления состоит
в том, чтобы максимальным образом используя имеющуюся
о функции fit) информацию, «выжав» из нее все, что можно,
восстановить функцию fit) (пли значение на ней некоторого
линейного функционала) с минимально возможной погрешностью. Если
говорить о восстановлении иидивидуальпой фупкции /U), то
надо сказать, что сформулированными в этом пункте результатами
этой цели мы не достигли. Дело в том, что, как только мы
переходим к верхней грани погрешности по классу SO?, мы теряем
вектор 74/, МлО информации о той конкретной фупкции, которую мы
должны восстановить, так как ориентируемся на самую «плохую»
функцию в классе 271.
Методы восстановления, доставляемые интерполяционными
сплайнами, являются оптимальными для того или иного класса
Ш в целом, они строятся единообразным и эффективным
способом, например, по значениям функции fit) в фиксированных
точках. Однако гарантируемая этими методами точная на всем
классе 30? оценка погрешности восстановления для индивидуальной
фупкции fit) из 30? является, вообще говоря, завышенной, ибо
при ее получении не учитывается информации, содержащаяся в
векторе Т (/, М^>) = {/ (т^, / (т2), ..., / (тл)}, которым
закодирована именно эта функция.
В связи со сказанным возникают, в частности, такие задачи.
1) Научиться точпо оценивать погрешность восстановления с
помощью интерполяционных сплайнов по вектору информации
Т (/, Млг.г) индивидуальной фупкции /(*)*= 30?, т. е. получать
оценки погрешности, точные пе на всем классе 30?, а лишь на
множестве функций f(t) из 30?, имеющих один и тот же вектор Д/, Млг.Д
2) Указать метод иостроепия в классе 30? фупкции gjit)y
которая обеспечивает восстановление функции fit) из 30? по вектору
^(/» М]у§г), с минимально возможной для этого вектора
погрешностью в каждой точке или хотя бы по норме.
Обе задачи в общем случае, по-видимому, очень трудны, по
крайней мере, технически. Решение просматривается лишь в
простейших ситуациях, например, когда 30? = Я®, а вектор
информации Г(/, Млг) задается значениями функции fit) в N
фиксированных точках; в задаче 2) дело сводится к отысканию чебышел-
ского центра пучка функций git) ^ //*, определяемого ралепством
Л МОЯ/ МЛ
302

Глава 7
ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ
В главах 4—6 исследовались аппроксимативные свойства
сплайнов минимального дефекта. Именно такие сплайны, как
выяснилось в гланс 0, доставляют в ряде важных ситуаций
наилучший аппарат приближения, если оценивать методы приближения
одной и той же размерности но величине погрешности на классе
функций. Разумеется, это не единственный критерий, который
может приниматься «о внимание при выборе на практике того или
иного приближающего аппарата. В некоторых случаях
предпочтение отдается так называемым локальным сплайнам. К их
категории относятся, в первую очередь, эрмитовы сплайны, с
которыми мы уже имели дело в первых двух главах.
Отличительная особенность локальных сплайнов (в широком
смысле) состоит в том, что при их построении используется
информация о поведении функции fit) не во всей области ее
определенен, а на некоторой, может быть, достаточно малой ее
части. Этим фактом обусловлены, по крайней мере, два
обстоятельства, которые выгодно отличают локальные сплайны, скажем, от
интерполяционных сплайнов минимального дефекта порядка т > 2.
1) Локальные сплайны могут учитывать разную гладкость
функции на разных участках ее области определения.
2) Локальные сплайны, как правило, легче исследовать и
удобнее вычислять. В связи с последним обстоятельством локальные
сплайны находят широкое применение в вычислительной
практике.
В этой главе изложены некоторые результаты, связанные с
оценкой погрешности приближения локальными сплайнами, —
как эрмитовыми, так и локальными сплайнами минимального
дефекта. Наряду с приближением функций одной переменной
затрагиваются вопросы сплайн-аппроксимации функций двух
переменных. В отличие от предыдущих глав изложение будет носить
скорее характер не претендующего на полноту беглого обзора, па что
есть свои, впрочем, разные причины: одномерные эрмитовы
сплайны достаточно хорошо описаны — как в теоретическом, так
и в прикладном аспектах — в ранее вышедших монографиях по
сплайнам, а другие вопросы локальной сплайн-аппроксимации еще
недостаточно разработаны, по крайней мере, в теоретическом
плане. Как и в предыдущих главах, мы отметим только результаты,
в которых получены точные оценки.
803

§ 7.1. Приближение эрмитовыми сплайнами
1. Предварительные замечания. Наиболее выражено свойство
локальности у эрмитовых интерполяционных сплайнов, которые
строятся независимо на каждом промежутке разбиения но
значениям функции и ее производных на концах этого промежутка.
Интерполяционные ломаные, т. е. сплайны первого порядка, тожо
обладают этим свойством, однако эрмитовым обычно называют
интерполяционный сплайн порядка больше 1, который
однозначно определяется на каждом1 промежутке разбиения но задаппым
значениям на его концах самого сплайна и его производных.
В § 1.2 были определены эрмитовы сплайны нечетного и
четного порядков и установлены интерполяциолные условия,
обеспечивающие их существование и единственность. Множество
S?n-i(Ajv) состоит из заданных на [0, 1] сплайнов порядка 2п— 1
дефекта п по фиксированному разбиению
Д«: О = *0<*!<...<***=!. A)
Если /Wef1 (Cm = Cm [О, Ш, то существует единственный
сплайн s (/, t) e S2n-i(Ajv), удовлетворяющий условиям
^Ч/, t,)W<v4t,), v = 0, I, ..., n-1; i = 0, 1 Л^. B)
Чтобы по функции j(t)e=Cn однозначно определить эрмитов
сплайн четного порядка, вводит дополнительные узлы дефекта 1
(см. § 12). Разбиение A) дополняем точками zt = (?<_! + U)/2
U=l,2, ..., АО и обозначим через S%n\^is) мпожество сплайнов
s(i) порядка 2и, имеющих узлы дефекта п в каждой точке tu
KKN—1, разбиения A) и узлы дефекта 1 в точках zu
Функции j(t) €= Сп сопоставляется сплайн s (/, t) e S"n (Длг), однозначно
определяемый условиями
s(v)(/? и)ш*рЧи), v-0, lf ..., щ 1 = 0,1,...,^ C)
2. Оценки погрешности на классах функций с ограниченной
производной. Тачные оценки эрмитовой сплапп-иптерполяции на
классах функций W^ в метрике Lp и па классе Wrp в метрике
Li при определенных значениях г, согласованиях с порядком
сплайна, можно получить с помощью приемов, уже
применявшихся в главе 5 в сходных ситуациях. При фиксированном
разбиении A) введем в рассмотрение многочлены степени 2п:
К <0 = да К*-*i-i) ('•-*)]". *=Н,2,...,ЛГ. D)
Заметим, что
g?°(*i-i) = fl*v>fa) = of v = o,i,...,n-i,
*Г (о = (- D".
Пусть еще
qti) = qt(t)9 ti-l<t<tit i = l,2, ..., N. (G)
SG4

Теорема 7.1.1. Пусть j(l)^W™ и s(/, t) — сплайн из
«$?n-i(A]v), определяемый условиями B). Тогда
!/(/)-s(/, *I< !<?(*)!, О <*«?!. G)
Оценка G) пеулучшаема на классе W%? в каждой точке t.
Доказательство. Если положим bit) = /U) — s(/, О, то
в силу B)
6(v4^) = 0, v-0,1, ..., л-1; i = 0,l, ..., Л. (8)
Пусть, вопреки G), в некоторой точке t=t (ti-i<t<ti) выиол-
шгется неравенство
|б(?)| |()| \qt(t)\.
Можно выбрать X @< |А) < 1) таким образом, что будет
%Щ) = q?i). Так как \%\ < 1, то, учитывая вид производных
q{iU)(t) и бBп) (t) на иптервале (/,_„ U), заключаем, что
разность y\{t) «= Qiit) —^би) не может обратиться тождественно в
пуль иа каком-нибудь интервале из (?i-.f, /<), а потому r\(t) имеет
на отрезке [<<-.,, <<] по меньшей мере 3 разделенных нуля. В
силу (8) и E) производная у)(п~1Чг) тогда имеет на [*,-<, fj не
меньше чем п + 2 разделенных нуля, а тогда y\{2n~l)(t) должна менять
знак на интервале (U-u U) по мепьшей мере 2 раза, что
невозможно, пбо на этом интервале \g(?n) (t)\ «=* 1, |^6B7l)(f)| =
4B)l
Неулучшаемость оценки G) в фиксированной точке
t ^ (<<_!, t{) сразу следует из того, что q% e W2<? и для ?<-f < t < t<
«s4^<, <) "s 0. Впрочем, для любой из функций D) знак равенства
в G) имеет место п каждой точке t е [0, 1], Для простоты вместо
<7iU) рассмотрим мпогочлеи
очевидно, также принадлежащий классу И^. Нетрудно
убедиться, что
l/o(O-s(/o, *)!-?(*), O^/^l. • (9)
Действительно, разность 6(i) =/0(f) — s(/0, /) па отрезке U<_,, /J
есть многочлен степени 2/г со старшим коэффициентом
(—1)п/Bи)!, имеющий в точках Ъ-г и ?< w-кратные пули. Но тогда
Теорема 7.1.1 доказана. Положим
hi^ti — ti-u i--1,2, ...,.V, A--^ max h^ A0>
30S

Подсчет нормы llgrllp приводит к равенствам
г \1/р
A1)
где
а Г(и) — гамма-функция.
Если JV фиксировано, то правые части в (И) принимают
минимальное злачение при fe, =«...== hN = h, т. о. при
равномерном разбиении Л* = Длг. С учетом (9) можно сформулировать
Следствие 7.1.2. Для эрмитовых сплайнов s(/, t) из
5гп~1 (Aiv) справедливы соотношения
n1^^j 1<р<оо. A4)
В случае равномерного разбиения Л^ = Д^ правые части A3) м
A4) принимают наименьшие значения, равные соответственно
1/(Bл)!BЛ02л) и Mn,p/({2n)\N2n).
Соотпошения A3) и A4) позволяют уже известным пам
приемом получить точные оценки эрмитовой сплайн-иптериолящш на
классе W^1 в метрике Lim Пусть f{t) s Iff, s(/, t) —сплайн ш*
iT2n-i (An),определяемый равенствами B). Если
/(г) -
то в силу B)
0, v = 0,l,...,»-l; * = 0f 1 iV. A5)
Пусть g(t) — функция из класса W2?, у которой giZn){t) =
=*sgn6(i), a s(#, i) —эрмитов сплайн из S^u-i(&n) для g(?).
Тогда если
ф) = gU) - s(g, t),
то
r)(i)Ui) = 0, / = 0, 1, ...,«- 1; i = 0fl /V. A6)
Так как
f 8'(t)dt-^Of *= I ЛГ.
306

то
I I 1
111 = J б (t) g(in) (t) dt - f б' (о g*211-1» (t) dt =
О I 0
2 1 *'
„BП-1)
Далее, будем иптегрировать на промежутке (^-.и U) по частях^;
i»|)H этом впеинтегральпые члены будут исчезать сначала ввиду
A5), а затем ввиду A6). Получим
—m(t)dt
f (tn)
0
i-1
Т«к как /eWjn, то l/an)t<l. Учитывая, что
A3), A4) и A1) будем иметь
ln\\p' = \\g - s
в силу
где функция qU) оиределепа равенствами (А) и F). Мы пришли
к оценке
справедливой для f(t) e Wp\ При 1 < р < оо функция
у которой
принадлежит классу Wp", и для нее
В случае /? = 1, p' = °° легко построить фупкшпо/8 @ e Win*
для которой ll/e~-s(/e)ll» > llff'lc —e, где е>0 заранее задано.
Итак, установлена
Теорема 7.1.3. Для приближения эрмитовыми сплайнами
s(/, l) из «$2п_1 (A;v) справедливы равенства
h2n
«г. A7>
A8)
807

где hu h и Мпу определены соответственно в A0) и A2). При
фиксированном^ величины A7) и A8) в случае равномерного
разбиения принимают наименьшие значения, равные
соответственно 1/(Bл)! BЮгп) и МЯ|Р'ЛBп)! N2n).
Обратимся теперь к эрмитовым сплайнам четного порядка
(с дополнительными узлами), определение которых приведено п
конце п. 1. Сопоставляя функции /Йей7^1 сплайп s(f, t) иа
^2л(Алт)» однозначно определяемый равенствами C), получим
точные на классе оценки погрешности в метрике Lq в тех же
случаях: 1) р —> «>, 1 ^ q <, «>; 2) 1 < /? < oot g =« 1. Рассуждения
проводятся но той же схеме, существенное отличив имеется
только в выборе стандартных функций.
Пусть tyi(t) U=»l,2, ..., iV) — заданные на [0,11 идеальные
сплайны порядка 2п+1 с единственным узлом в точке zt=^
«=¦• (ti-i + U)/2$ определяемые (с точностью до знака) равенствами
Viv) («i-0 « ^iv) (/0 - 0f v « 0,1 п. A9)
Положим
¦(ЙГ*Д *,-.<*<*!, *-lf2f ...f JVf B0)
и пусть еще q>(t)—идеальный сплайн па [0,1] порядка 2и + 1,
у которого
Ясно, что
Теорема 7.1.4. Ясли /(?) <= W%+1 и s(f, t) — сплайн из
*5?n(^iv), удовлетворяющий условиям C)f га
0<<<1. B1)
Оценка B1) пеулучшаема на классе W?*+1 в каждой точке f,
ибо
lq>(t)-s(q>, i)l = !*«)!, 0<«<1. B2)
Чтобы не повторяться, наметим лишь основные моменты
доказательства. Предположив, что для разности 6(i) = /(i) — ^(Д t)
в точке F«U<-it О выполняется перавепство |6(DI > |фШ1 ~
«¦ l\|?i(F)l, мы придем к выводу, что при некотором К (|Х| < 1)
функция
меняет знак на (it-i, t() по менее трех раз, в то время как на
самом деле разность <фBп+1)(Г) — Хргп*1){0 меняет знак на этом
интервале ровно один раз. Противоречие доказывает справедливость
B1); тождество B2) устанавливается аналогичными
рассуждениями.
Из теоремы 7.1.4, если вспомнить,что q>(t) <= W^?+lf немедленно
вытекает
308

Следствие 7.1.5. Для приближения эрмитовыми
сплайнами s(j, t) из 1?2п(А.\) справедливо соотношение
sup 5/-*(/Iр-Н1р. Кр<<*>, B-)
где функция \\{t) на каждом промежутке Ui-i, tt] есть
идеальный сплайн y\\{t) порядка 2п + 1 с одним, узлом. zt =» itt-x + ?<)/2,
определяемый равенствами A9). В частности,
max (ii — ti-г
Используя B3), тем же приемом, что и в случае
приближения эрмитовыми сплайнами нечетного порядка, получим
оценку погрешности эрмитовой интерполяции сплайнами s(/f )
^ ?Г2П(Дл) nsi классе l-Fpl+1 в метрике L{:
Неулучшаемость на классе VVpW+1 этой оценки устанавливается
также аналогичным образом. Таким образом, справедлива
Теорема 7.1.6. Если s(/, t)—эрмитов сплайн из «Уо1п(Д/у).
определяемый по функции fit) условиями C), то имеет место
равенство
sup iiZ-M/VitHHI//, 1<Р<°о, 1/> + 1/р' = 1, B4)
в частности,
BГ>)
IIpa фиксированном N величины B4) и B5) принимают
наименьшее значение в случае равномерного разбиения Д^ = А^, т. е.
когда ht = h2 = ...:=ahN =* 1/Л7; б правой части B5) гогда надо
написать 1/(Bи + 2)!BЛ02"+1).
3. Интегральное представление погрешности. Пусть /(I)gIJ1
(д<т^2я), s(/, f) — эрдштов сплайн из «Угп-1(Длг)»
определяемый интерполяционными условиями B). С помощью формулы
Тейлора (см. C.5.3)), нетрудно получить для fit) следующее
представление на отрезке [Л-1, ti\:
fit) - - 2 J- [fh) fa-i) it — ti-t)h + fu) (ti) it — ti)h] -f
K{t,u)f(m)iu)duy B6)
ЗОЭ

где
—1)! '
2 (да — 1)! '
О, и ^ \ti
B7)
Функцию Omit, и) пазывают ядром Пеапо. Сплайп s(/, t) можно
представить на отрезке Ui_i, *J в виде (§ 1.3)
h=O
B8)
где Hntk(u) — Hnthti(u) — эрмитов мпогочлен степени 2п — 1,
определяемый условиями
Если учесть, что для любого многочлена pU) степени, не пре-
росходищсй 2п — 1, s(p, t)^p(t), то из B6) и B8) для
погрешности 6U) = 6(/, *) — /(О — s(/, i) получим следующее
представление для ^-1 < t <: tt:
6 (t) = j [Фт (/, и) - s (Фт (., м), t)] /(т) (и) с/ц, /г < т < 2л.
Положим
B9>
C0>
Ясно, что при ttSMfi-i, /J Qm.nit, tt)=0. Для функции
(^т, п(^, и) можно написать явное выражение через многочлены
Яп, *(?). Мы ограничимся тем, что приведем те свойства этой
функции, которые позволяют точно оценить норму погрешности
6U) на тех или иных функциональных классах.
1) Из C0) и определения сплайна s(/, t) вытекает, что
и при /*-4 < f, и •¦
310

2) При TO«=2n для функции QZnt „U, и) справедливы
соотношения
U
<?*n.n (*, U) du « (~ 1)" [(^^^0Г\ *,-! < * < *,.
(?2n,n (tf U) « (- l)nf /i-! < «, И < tlf
Причем ДЛЯ фиксированного fs(fw, О ФУНКЦИЯ Q*n-ltn{tt и) =¦
»= —*7Г C^2n,n (^ м) меняет знак на интервале (?4-f, U) ровно один раз.
Используя представление B9) и отмеченные свойства его
ядра Qm,n(t, ы), можно точно оценить норму погрешности в
ситуациях утверждений 7.1.2 и 7.1.3, а также получить другие
результаты, которые не удается установить методами п. 2 этого
параграфа. В частности, справедлива
Теорема 7.1.7. Для погрешности приближения эрмитовыми
сплайнами s(fy t) из S%n -j (Ay) имеют место равенства
sup max |/(f)—s(/, f)|==2 sup max |/(*) — *(A 01 ""
Г1 Ч*'Ч f *<«<«
-1.2 ЛГ,
Bл — l)lBrt — 2)!!J222fl~1
еде fe< = ft — ti~i.
Действительно, фиксировав t s (ff_b tj и отправляясь от
представления B9), будем иметь для / (t) <
= 2 max
^-, «i_l + Щ= 2pnii. C2)
Аналогично, для
4
l<?2n,n(^w)||/Bn)Hl^< max
C3)

Неулучшаемость оценки C2) проверяется на функции
€=JV«~\ у которой /<2я-1)(О равна 1 для *,-t < t< Uf-, + ?,)/2 и
равпа —1 дли Ut-i + t4)/2< t < А. Неулучшаемость C3) па
классе W\n устанавливается, как обычно в этих случаях,
построением функции с сипгуляриостыо в окрестности точки U4~j + ti)/2.
Оценим еще погрешность приближения функции jit) ^ Сгп~*
эрмитовыми сплайнами нечетного порядка через колебание или
модуль непрерывности последней производной.
Теорема 7.1.8. Если /(fleC2»-1 и $(f, t)—эрмитов сплайн,
из ^^(Ajv), m0
шах \f(l)-s (/, t) | < pM
<*<4 C4)
i — 1 2 N
аде $nti определено в C1), a Qig; а, р) — колебание функции
git) па (а, р). Оценка точная.
Доказательство. Фиксируем <е(^_ь td и пусть с< —
единственный нуль функции Qzn-\,n(t, и) (по переменпой и) на
Ui-i, ?*). Определим на [f^j, cj функцию p(w) равенством
<?2n, nit, U) = ^2n, n(*, p(tt)), ^ ^ р(^) < U.
Положив, как и выше, 6il) =* fit) — sij, tL используя B9) и рас-
суждения начала доказательства леммы 4.2.15, будем иметь
U
'1-1
| (?2я-1 ,п («, ") I I /BП~1) (Р (")) — /B?W) (W)i ^ <
Ч
\Q2n-un(t,u)\du =¦
~\Q2n,n(t,Ci)\Q{f{i>ii\tl-Uti\
и, чтобы получить оценку C4), надо учесть C1).
Установить пеулучшаемость C4) на мпожестве С2'1" можно
рассматривая при фиксированном i (I ^ i <*N) и достаточно
малых е > 0 функции /eU), у которых
Замечал и е 1. Ясио, что в правой части C4) вместа
2"^ tt-.u U) можно написать G>(/<2n-f), *f) или даже a)(/Bn-f)tfe)t
312

лде А= паахЛ*; точность неравенства C4) па множестве CZn~l со
1 •< i« Л'
хранится и и этих случаях.
Замечание 2. Предложение 5.1.1 позволяет точные оценки
эрмитовой снлаин-интерноляцни, полученные в ип. 2 и 3 для
классов ЗИ, распространить на множества SO? $ 91, где 91 есть
приближающее подпространство эрмитовых сплайнов SJm-^Ajv) или
*5гп(Алг). Таким образом, например, теорема 7.1.1 и следствие
7.1.2 останутся справедливыми, если класс W^ заменить
множеством W™ © iSjn-i (An) функций fit) e Cn~\ у которых на
каждом интервале U<-lt U) U=» I,..., N) существуют
непрерывные производные до Bп— 1)-го порядка включительно, причем
а одиостороппие пределы /(v)(^ —0) и /(v)(?,+ 0) при Vs3 и,...
..., 2rc—l в точках f< U=l, ..., TV—1) могут и пе совпадать.
Аналогично, теорема 7.1.8 будет справедлива не только для
fit) €= С2п~\ по и для функции fit) из Сп"*, которые принадлежат
?2п~* (а, &] лишь на любом отрезке [а, р] с= (*<_,, г,) U=-
— !• 2 iV).
4. Об эрмитовой сплайн-интерполяции функций малой
гладкости. Эрмитов сплайн s(/, t) из S^n-i^v) одпозначно
определяется равенствами B) в предположении, что /(i)sCn"*\ т. е.
функция fit) пмеет ту же гладкость па [0,1], что и сплайн s(/, t).
Может возникнуть необходимость прринтерполцровать силайпОхМ
s(/, t) e 5on-i (Длг) функцию fit)y о которой известно, что она
принадлежит С\ где 0^ч<п—1. В этом случае возникает
вопрос, как задать значения производных s{v){f,U) при f + l^v<
<п—1. Если известно, что fit) принадлежит некоторому классу
ЗЯс:Ст, задаваемому теми или иными гладкостными
характеристиками, то можпо рассмотреть задачу о таком выборе свободных
параметров yit v — s(v)(/, U) (^ + 1 ^ v < n — 1), при котором
погрешность интереполяции па всем кладсе SJt была бы
минимальной. Нетрудпо догадаться, что если класс SO? есть центрально-
симметричное множество (т. е. вместе с функцией fit) содержит
и функцию —fit)), то оптимальными будут пулевые значения.
Приведем обосновапие этого факта (в несколько более общей
ситуации). Пусть 5т(Лл) — мпожество сплайпов sit) порядка т
дефекта к по разбиению A), которые однозначно определяются
условиями
«cv)tti)-ffi.v, v = 0, lt ..., Ъ; ?-0, 1, .., N, (ЗЛ)
где ^i,v — любые наперед задапиые числа, а 5Я —класс фунтами»
нз С\ где O^'Y < Ч* =: min ft. Функции /(/)<= ЭД и пектору
г
у = {yit v), v = ^ + 1, ..., -к*; i - 0, 1, ..., 4Y, C6)
313

сопоставим снлайп $(/; у; t) из5т(Дл), для которого равенства
C5) выполпяются при
В случае, когда все компоненты вектора C6) равны нулю,
пишем s(f; 0; t).
Предложение 7,1.9. Если 9И — центрально-симметричное
множество функций из Ст (СК^^ч*), то для любого
вектора C6)
о. C7)
В самом деле, фиксируем вектор у вида C6) и функцию
/^ЗЯ. Представление s(f;y;t) через линейную комбинацию
фундаментальных сплайнов (§ 1.3) распадается на сумму
*(/; у; t)«s(/;O; *) + *(*), C8)
где функция 4'Ш зависит от вектора у, но не зависит от fit).
Теперь заметил!, что но крайней мере одно из чисел II/—s(/;0) —
-ijrllp и «/-*(/; 0) + 4*"р **с меньше, чем ll/-s(/; 0)Н,. Ввиду C8)
а в силу однородности оператора s(/; 0; J)
"/-«(/; 0) + *11, - й(-/) - s((-f); y)UP9
причем функция /Д<)=— Jit) также принадлежит классу SO?; по-
ятому
/ —e(/; y)WP, Я/.-«(Л; у)М
1
и неравенство C7) доказано.
Предложение 7.1.9 остается справедливым, если считать, что
вектор у недостающей информации может быть составлен из
любого набора чисел i/<<v в соотношении C5). Доказательство не
меняется.
Приведем точные оценки приближения эрмитовыми еялайна-
ми непрерывных функций. Сопоставим функции /(/)еС сплайн
«(/; 0;f) из ??n-i(Aiv) или из »?2^2(Д^), однозначно
определяемый равенствами
*(/;0; 0 «/(*,), *«0, !,...,#,
s(v)(/; 0; ft) = 0, »= 0,1,..., Л7; v =» lf 2,.... n - 1.
Предложение 7.1.10. Если j(t)*=C, то для сплайна
s(f;O;t) при любом га = 1,2,... выполняются неравенства
гаах |/(/)-в(/;О;0к4©(/.-т1 * = 1,...,ЛГ, C9)
314

неулучшаемые па С. Каков бы пи был выпуклый вверх модуль
непрерывности юF), справедливы соотношения
sup max |/@ —*(/;0;01 = юНгЬ *=^i, ...,лг, (Щ
li/-s(/;0)ll = 2S J «(<)Л. D1)
(Ссылки на доказательство сформулированного утверждеиия
можно найти в комментариях к этой главе.)
Таким образом, повышение гладкости (и одновременно
размерности) эрмитовых сплайнов пе влечет повышения точности
(в смысле оценок C9) — D1)) приближения функций из С и //"'.
Действительно, при любом и = 1, 2, ... сплайны «(/; 0; t) w-\
Szn-i (An) дают ту же погрешность, что и интерполяционные)
ломаные, которые, как мы уже знаем (§ 5.2), не являются
наилучшим аппаратом приближения для класса tfw, если только
модуль непрерывности м(б) пе является линейной фушецией.
Отметим, однако, что локальный характер эрмитовых сплайпон
позволяет оптимизировать глобальную погрешность на отрезке
[0, 1], приспосабливая разбиение Д* к поведению приближаемой
функции па различных участках этого отрезка.
5. Об оптимальном восстановлении по кратной информации.
Результаты предыдущих пунктов по оценке погрешности
эрмитовой сшшш-нптерноляции можно интерпретировать с точки
зрения задачи оптимального восстановления функции fit) по
вектору кратной информации
ГТ(Д., /)«¦{/"(«,)>, v = 0fl 1 -y; i «0,1 N,
где t{ — точки, образующие разбиение А*. Пусть необходимо
восстановить fit) локально на каждом отрезке [tt-u t(] с помощью
функций вида
Hi (A t) « 2 [/<V) (ti-,) /i-i.v @ + /(v) (/0 Z,.v (<)], D2)
v=o
где ili^it)) — набор фупкций из С\ задающий метод
восстановления. Если при ^ = м —1 или ч ==¦ п оценивать погрешность на
классах, которые рассматривались в пи. 2 и 3, то наилучшим
оказывается метод восстановления, доставляемый
соответствующими эрмитовыми сплайнами. Идею доказательства этого факта
проиллюстрируем на случае локального восстановления функций
/(i)e= ИЦ? по информации TWA*, /).
Фиксируем точку t^iti-uti) и пусть W^t0—множество
фупкций fit) из W%,\ у которых
/(v)(f,-,) = r}iti) = 0, v = 0,1,..., п - 1.
315

Тогда для /еТУ^0 и любого метода вида D2) с *{~n—t
будет giif, t) = 0, и, следовательно,
\i{t)-gi(Ut)\> sup \f(t)\>\gi(t)l D3)
где 0fU) — функция, определенная равенством D), н, очевидно,
принадлежащая множеству W&\0. Сравнение оценки D3) с G),
где сплайн s(/,()eS2H(A,v) и имеет па [fc_,, /J вид E2),
показывает, что наименьшую па классе W?? погрешность локального
восстановления функции /f/Je^» по информации {/(V)U<)}
(i = 0,1,.. ., N; v«=0,1, .,., ?г— 1) в каждой точке отрезка [0,11
обеспечивают интерполяционные эрмитовы сплайны i\aS%n-i(&N)-
§ 7.2. Локальпые сплайны минимального дефекта
1. Определения и общие оценки. Высокая томность
приближения функций эрмитовыми сплайнами, о которой говорят
оценки, полученные в § 7.1, достигнута за счет значительного
увеличения размерности приближающего подпространства. В частности,
подпространство *S72rt_1 (Ajv), эрмитовы сплайны нз которого
использовались для приближения функций fit) из W'jf1 и С271",
имеет размерность (N+\)n.
Нам также известно, что при фиксированной размерпостн
наилучшее приближение функций классов Wrvri и H'JT1 в ряде
ситуаций осуществляют иптерполяцнопные сплайны Ом, r(/, t)
порядка г дефекта 1 по равномерному разбиению. Обладай
наилучшими аппроксимативными свойствами, эти сплайны с
вычислительной точки зрения при г^2 представляют определенные
неудобства, связанные с тем, что значение сплайна a.v, Д/, t) ъ
каждой точке t, не являющейся узлом интерполяции тл, зависит
от значения функции jit) во всех точках xk промежутка [0,11.
То обстоятельство, что эта зависимость довольно быстро
ослабевает по мере удаления тА от точки t, привело к'идее построения
сплайнов минимального дефекта, использующих информацию о
зпачениях функции fit) лишь в точках, близких к t. Впрочем,
па эту идею мог навести и уже отмеченный в начале главы 5
факт наличия в подпространствах таких сплайнов базиса с ко-
иечпыми носителями. Ясно, что локальные сплайны минимального
дефекта могут строиться как линейные комбинации /?-спламнои
порядка г:
где при фикспроваппом t = ?* коэффициенты chif) определяются
значениями /(т{) пе на всем отрезке [0, U, а лишь в некоторой
316

окрестности (<xft, [U точки f*, определяемой носителями тех В*
сплайнов /?,,»(?), которые в точке t* не обращаются в нуль.
Самый простой и самый удобпый с вычислительной точка
ареиия вариант ch(J) «= /(т*) приводит к локальному сплайну
Отим сплайном определяется положительный оператор из С в
Л7Г(Д^): если jit)>0, то и s{f, t)>0, а такие операторы, как
известно, не могут обеспечить порядок погрешности выше, чем
()(N~2), как бы мы ни увеличивали г. На более высокую
точность можно рассчитывать, привлекая для определения
коэффициентов ch(f) значения фупкции /U) в точках т<, близких к xbr
т. е. полагая, например,
п
СцЦ)= 2 Т*/(*/ж),
где ч* — некоторые числовые коэффициенты. Самым иптересным
здесь является следующий факт: обеспечить наилучший порядок
погрепшостн можно только при га > г/2, а при п==*1г/2]
существует единственным набор коэффициептов ^<, обеспечивающий
отот наилучший порядок.
Перейдем к точным определениям. Для нростоты_будем
рассматривать сплайны по равномерному разбиению Д^: U^i/N
(i«= 0,1, ...,#), хотя идейная сторона приводимых ниже построе-
пий пе связана с характером разбиения. Фиксируем
подпространство SNir сплайнов порядка г дефекта 1 по разбиению Л#
и пусть нам известны значения фупкции fit) в точках
xh-xktr-k/N~ 11 +(-1У]/(АЮ. A)
Считая системы точек UJ и {тк} продолженными на всю ось с
шагом 1/N, введем систему #-сплпйпов Br. ftU) ^SNt r (см. § 1.3)t
каждый из которых фиксирован и нормирован условиями
Везде ниже череп п обозначаем целую часть г/2: га = [г/2], и
полагаем /г-=1/ЛГ. Носитель сплайна Вг%кЦ) определяется
неравенствами U— тА| ^ (n + \)h при г нечетном и \t — т^| < Ы + 1/2)Л
при г четном. Положим для /еС и
= 2 2 Yi/(T^)^(O, B)
ft i
ft
где коэффициенты ч< = ^г(г) выбраны из условия точности
формулы sN%r(f, t) ~ f(t) для многочленов степени г: s^r(/?, t)()
317

если p(t)&Pr (Pr — множество алгебраических многочленов
степени г). Такой яыбор при каждом г можно осуществить
единственным образом, причем *f< допускают явное выражение через
симметрические многочлены от переменных Tft+< и не зависят от
fit) (ссылки па подробности имеются в комментариях).
Чтобы определить сплайн s,v, г(/, t) на всем отрезке [0, 1], падо
задать значения функции fit) еще в точках т^, ие принадлежащих
отрезку [0,1], но принадлежащих наименьшему (зависящему от
г) интервалу (а, 6), содержащему носители всех 2?-сплаипов
Brih(t), не обращающихся тождественно в нуль на [0,1]. Для
упрощения рассуждений будем считать, что рассматриваемые
ниже функции fit) из Ст или из U% доопределепы па нужный
промежуток [а, Ъ\ без потери дифференциальных и гладкостных
свойств. Подчеркнем, что приближение функции fit)
осуществляется на отрезке @, 1] сплайнами B), принадлежащими
подпространству S/t. г-
Функцию f(i) из Ь(™*1) [а,Ь\ можно представить в виде (см.
§ 1.3)
ъ
/ (*) == Рт (*) + ^г J (t - и)т, /(т+1) (и) du, C)
а
где pmit) — многочлен степсам т и при фиксированном t
Если т<г, то, подставив в B) значения /(тА+<), полученные ил
формулы C), и учитывая то, что Sff.ripmiti^pmit), для
погрешности приближения получим представление
/ (*) - SN.r (ht) = J Kr,m (I, U) /"" H) (U)AU, 0 < t < 1, E)
a
где
Kr,m (t, u) = Л \(t - u)X -22vi Ы+i ~ «)? »r.ft @ L @)
Ясно, что задача оценки погрешности E) в различных
ситуациях сводится к изучению свойств ядра Kr,mitfu) и вычислению
его количественных характеристик. Сразу отметим одно свойство
ядра F), отражающее его локальный характер.
Предложение 7.2,1. При каждом фиксированном t& [0,1]
ядро КТ mUf и) im < г) как функция от и есть тождественный
нуль вне отрезка la,, (U e lar(t)f M*)], длина и расположение
которого относительно точки t определяются при нечетном г
равенствами
f[т,-_Г| тя-г-J для т,-_4 < / < Tjt
tWW G)
318

а при четном г — равенствами
для tj-i
для t-
где th*=k/N, a xh определены в A).
Действительно, пусть г нечетпо и Tj-i <t<. Xj. В точке t
отличны от пуля только г+1 2?-сплайнов Z?fi bn-i(f), ,,., Z?P,j+n(?);
следовательно, в правой части B) могут быть отличными от нуля
только слагаемые, содержащие значения fit) в 2г точках т*-*.
Tj-r+j, ..., Tj+r-i. Таким образом, в построении ядра Kr,mU, м>
при Tj-t < * < tj будут участвовать только функции
(тКг - иO, (т,-^г+1 - и)?, ..., (Tj+r-l - «)?. (9)
Если M>Tj+r~j, то в силу определения D) все функции (9)
обращаются в пуль, если же и^ хНг, то опять же в силу D)
(Tv - и)? - (tv - u)m, v - / - г, ..., 7 + г- 1,
а тогда разпость в квадратных скобках F) обращается в нуль
и силу точности формулы s.v, r(/, ^) ~ fit) для мпогочлеяов
степени ^г. Остальные случаи исследуются аналогично.
Таким образом, положив Ir(t) «= (агШ, $>ГШ), вместо E) мо-
жем написать представление
0 < t < 1, т < г,
из которого видно, что погрешность f(t) — Sff,r(f,t) определяется
поведением производной /(m+1)U) лишь в окрестности hit) точки t.
Это дает возможность учитывать разные ограничения на норму
или на модуль непрерывности некоторой производной
приближаемой функции /U) на разных участках ее области определения.
Выбирая при тех или иных t из [0,1] соответствующим образом
число яг, мы можем учесть и разный порядок гладкости функции
fit) на различных участках отрезка [0, U.
Длина и расположение окрестности IT{t) определены
равенствами G) и (8), длина |/rU)l зависит от г и h; при t?*xj она
равна Bг— 1)й, если г нечетно и 2rh — если г четно; для t=*Xj
длина !/,(*)! равна соответственно Bг —2)А и Br—\)h. При
фиксированном шаге й — 1/iV с увеличением г ядро
«расплывается» • и эффект локальности, таким образом, ослабевает; поатому
с практической точки зрения наиболее целесообразно исиолг>:ю-
капие локальных сплайнов минимального дефекта малой
гладкости: 2^г^5.
Отметим еще два соотношения для ядра ЯГ|ТП(/, и), если его
рассматривать как функцию двух переменных, определенную на
31Э

всей плоскости:
Kr,m (t + h,U + h)^ Kr,m (*, M)t A1)
?yKr.m{t, U) « (- l)V^r,m-v (t,U), V = 1, . . . , m. A2)
Равенства A1) и A2) также непосредственно вытекают из
определения F); при получении A1) надо учесть, что ?r#( + fe)
*=*Br ft_i(if).
Положим
= ( f
Из A0) сразу вытекает, что если /eLj+1|ar (t), pr(OI» то
li/(wfl)ls[W],
Если f(t)e=Cm A^ттг^г), то, используя представление A0)
с замепой m па лтг — 1, получим
f(t)-SN.r(f,t)= f ^.m^^^/^W*. A4)
В силу A2) и предложения 7.2.1 среднее значение Кг%т-М,и) по
переменной и равно пулю, а потому, прибавляя к /(m)(a)
соответствующую константу, легко получим оценку погрешности через
колебание /(m)U) на интервале (artt), ЩШ
или — более грубо — через модуль непрерывности о)(/(т),б):
sN,r (/, 01 < •jKW*, -)lli«</(m). I ^ @1)-
Неулучшаемость оценки A6) (а зпачит и A5)) устанавливается
обычным путем. Заметим, что и здесь мы можем в разных
точках ?^[0, 1] учитывать различную гладкость приближаемой
функции fit).
Используя для оценки правой части A4) теорему 4.2.16, легко
получить при условии выпуклости вверх о)(б) соотношение
sup |/(t)-»:v(M)|=* j H{Krtm{t9-),u)u'{u)du, A7)
S20

где R{Kr, m(t, •), и) — 2-иерестановка функции Krtm(t,u) по
переменной и при фиксированном /е К), 11.
Установлено (см., например, Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов,
В. Л. Мирошниченко 11, с. 262]), что, если в B) коэффициенты
7« выбрать из условия точности формулы для многочленов
степени т (т<г), то величины
при h -> О имеют на классе ИР™1 порядок 0(Am+1~v), а па
множестве Ст — порядок Olhm-Vw{f{m\ A)]f т. е. порядок наилучшего
приближения подпространством Sx, г. Правда, зависящие от г.
константы при этом довольно быстро растут с увеличением г —
это связано с ослаблением эффекта локальности.
2. Некоторые точные оценки. Отыскание точных копстапт в
неравенствах A3), A5) и A6) сводится к вычислению нормы
WKrm(ty -)\\q пли ее максимума по J, что является в общем случае
технически трудной задачей. Имеются точные оценки лишь в
некоторых случаях, для малых г; несколько таких результатов
мы приведем ниже, наметив только идейную сторону
доказательства. Остановимся па наиболее важном случае т = г, когда
гладкость приближаемой функции наиболее рациоттальпо
согласована с гладкостью сплайна sN>r(f,t). Ядро интегрального
представления A0) запишется при этом в виде
*г (',«) =
A8)
- Кг^ (t, и) ^ 1 \(t - ц)г+ - 2 2 V* (Ъм - и)\ Br%h (t) \.
' L к г-~—п J
Рассматривая правую часть A8), легко попять, что функция
КМ, и) по каждой иоромеиной есть локальный сплайн порядка г
дефекта 1 но сетке Uh} = {к/N}, дополненной узлом t — u или
и = ?; при г нечетном выполняется тождество Kr(tyu)z~Kr{u,t).
Если исходить нз представлении для fit) eii
то с помощью обычных приемов придем к соотношению
sup i|/-SN
I-1
1 j
+ ^
Теперь обратимся к частным случаям.
1) г = 3. В этом случае п = 1 и
*л,8(М) = 2 S Yi/(TA+i)B8fft@.
где Tj = j/N. Коэффициенты 7м обеспечивающие точность па
кубических многочленах, имеют такие значения: f-i = fi = —1/0,
321

f0 «=4/3. Ядро Ks(t, и) при каждом фиксированном t
положительно как функция от и па интервале (a3U), f}3U)), равно нулю вне
этого интервала, имеет на (a3U), M*)) один строгий максимум.
Каждая из производных dvKz(t, u)/duv (v =* 1, 2, 3) является ло-
кальпым сплайном (по переменной и) порядка соответственно
2, 1, и 0. Знание коэффициентов fj позволяет аналитически
записать каждый из этих сплайнов, а исследование их поведения
при различных t e ttj-i, Tj] позволяет вычислить максимум по
t нормы \Kz(ty -)\\Р' при р' = 1 и р' = оо. Это приводит к
соотношениям
/ — 5,v,3 (/) lie = tfb/г4'
JOE
sup !!/-5N,3(/Iilc-2supl/-SNt3(/)itc-^A3. B0)
Заметим, что верхнюю грань в A9) реализует функция
Отметим для сравнения, что для интерполяционных кубических
сплайнов о*, з(/, t) с краевыми условиями Лидстона справедливо
равенство (см. § 5.1)
sup И / — cr^>3 (/)!! с = 514/г4-
2) г «2. И здесь й-1,ав иредстаБлеттин локального сплайна
влм(М)~2 2 yifD+i)B2,k{t),
Y-1 = YI = -l/8, Yo = 5/4.
Ядро Kz{t, и) при фиксированном ^ на интервале (az(t), $2(t))
меняет знак один раз. Исследуя производные функции #2(?, и)
по переменной и, можно, как и в случае г = 'Л, точно вычислить
max ||/С2 (?, «Jjlp/ при р' = 1 н р'=* °°, что позволяет получить
равенства
«up |/-**,,(/)|с = |А\ B1)
sup I / - *л\« (/) 1с - 4 sup | / - аКл (/) 1с « | Л«. B2)
l
Соотношение B1) полезно сравнить с равенством (см. § 5.1)
sup
322

§ 7.3. О приближении двумерными сплайнами
1. Вводные замечания. По сравнению с одномерным случаем
исследование вопросов приближения функций двух и большего
числа переменных значительно усложняется ввиду появления
принципиально новых обстоятельств, связанных с
многомерностью. Во-первых, область, па которой осуществляется
приближение, может иметь весьма сложную структуру, даже если это
одпосвязпый компакт. Трудности возникают при описании
дифференциально-разностных свойств функций многих переменных,
ибо эти свойства могут быть различными^по разным
направлениям. Наконец, усложняется и приближающий аппарат. Все это
вместе взятое приводит к тому, что методы исследования
экстремальных задач, существенно использующие специфику
одномерного случая, не удается перенести па функции двух переменных.
В связи с этим точных результатов в задачах оценки погрешности
приближения в многомерном случае, в том числе и в задачах
многомерной сплайн-аппроксимации, совсем мало.
Цель этого параграфа — привести некоторые результаты
окончательного характера, связанные с оценкой погрешности сплайн-
аппроксимации па классах функций двух переменных и
касающиеся приближения локальными сплайнами. При этом мы
ограничимся минимумом предварительных сведений, как правило,
без строгих обоснований, которые читатель сможет найти в
других монографиях по сплайнам.
2, Двумерные сплайны. Понятие полиномиального сплайна,
введенное в § 1.1, естественным образом обобщается на случай
двух и большего числа независимых переменных. Двумерный
сплайн — функция, склеенная из «кусков» двумерных
алгебраических многочленов. Однако, если в одномерном случае стыковка
многочленов, а также нужные краевые условия
обеспечивались задапием их значений в конечном числе точек на
прямой, то па плоскости все это надо делать на некоторых кривых,
чем аначительпо усложняется процедура построения сплайнов.
Самый простой вариант — склеивать многочлены и задавать
краевые условия вдоль прямых, параллельных осям координат. На
таких прямых мы уже будем иметь дело с одномерными
сплайнами, а, кроме того, будет облегчено использование информации
о гладкости функции /(#, у), описываемой с помощью частных
производных.
Пусть / — квадрат 0^*, у < 1, С'1'2 == С*4'2 [Л--
множество функций /U, у), имеющих на квадрате / непрерывные
частные производные /A|i) = . ./, i = 0,1, ..., г,; / = 0,1, ..., г2.
oxJoyJ
Фиксируем два разбиения
A О == 1, A)
==l B)
323

отрезка 10, 11, которыми задается разбиение Длч.л-г квадрата I на
ячейки
Двумерным сплайном порядка т дефекта k (l<fc<m) no
переменной х и порядка п дефекта I il^l^n) no у относительно
разбиения Ai\rt,jv2 называют функцию six, у), принадлежащую
Cm-k'n-\ которая на каждой ячейке Iiti есть алгебраический
многочлен степени m по х и степени п по у. Линейное многообразие
таких сплайнов обозначим через Sm4n{&NvNo)' Параллельно с
ним будем рассматривать линейные многообразия Sm(Ajvt) и
S[n^A^2) одномерных сплайнов по переменным хну
соответственно.
Если ф] (х), ..,, Фрд(^)— некоторый базис ЯтЦАд^), a <p?(j/). . .
...фр2(.у)— базис Sn(AN2), to базисом линейного многообразия
Sm,n(&NvN2) будет система функций, образованная из
всевозможных произведений фу [х) ф^ (у) A ^ v ^ pj, 1 <! \i ^ р2). Этот
факт позволяет, сопоставляя некоторым образом функции fix, у)
двумерный сплайн (в частности, интерполяционный),
конструировать его па базе одномерных сплайнов, а задачу оценки
погрешности приближения в ряде случаев свести к соответствующей
задаче приближения па прямой.
3. Некоторые общие соотношения. Подойдем к этому вопросу
с более общей точки зрения. Пусть 311 и 912 — конечномерные
подпространства из С = ?10,1.1, At и А2 — линейные операторы,
действующие из С соответственно в SI1 и 9J2. Пусть fix, у) еС0-0 =
= СG). Условимся считать, что на fix, у) оператор Ах действует
как па функцию от х (при фиксированном у), сопоставляй ей
функцию Лх\{1\х,у), а оператор А2 на fix, у) действует как на
функцию от у (при фиксированном х) л сопоставляет ей функцию
-^2 (Л* #i #)• Оператор Ait 2=*AiA2 сопоставляет функции fix, у)
функцию Ait2.{f\ х, у), которая является результатом
последовательного действия на fix, у) сначала оператора Лг = A'i по
переменной у, а затем оператора Ах == Л* по перемой пой х. Будем
считать, что операторы At и А2 перестановочны в том смысле,
что для любой функции fix, у) е C[I\ A*Af!zf --•-= A\A\j.
Если операторы Ai и А2 удовлетворяют интерполяционным
условиям
А\ (ф> th) =¦ ф (th), Л2(ф»хг) = ф(т;) у ф ^ С,
где {ift) и {т/} — некоторые системы точек из [0,1], то для
fix, у) б CI/J
324

Чтобы распространить это свойство на Интерпол прошито
производных, потребуем, чтобы операторы А* и А{ были морг-
становочтты с операцией взятия частной производном но другой
переменной:
) ^(,у),
^Alf{x,y)-Al^f{x,y). C)
да. ох*
(Предполагается, что все производные существуют и непрерывны.)
Пусть Qr{ -- {0, 1, .. ., rj (г = 1,2) и каждой из точек th и xt
сопоставлены подмножества х,< ^ Qr^ xj ^= Qr2 соответственно.
Если для операторов А\ \\ Л2, удовлетворяющих C), в
фиксированных системах точек UJ и {т;} из 10, J] выполняются
равенства
^а)(ф;**) = ф(?а)(М| vfcexj уф^Л D)
4Ц/)(Ф,тг) = Ф(^(т0, wexj уф€СЛ, E)
ТО ДЛЯ VA ^ xj, [jt/S X/
Л1,2 \f\hiri)~ I (tk.Ti) \/j^C . (и)
В самом деле, зафиксировав точки th и xi u полагая для краткости
v = vA, fi = |ы,, будем иметь
Из? Л
Иногда приближающий аппарат для функции fix, у) из С(Л
задается оператором Л, который сопоставляет ей функцию
А (/; *, у) - A*(f; х, у) + А$ (/; х, у) - Аи2 (/; х, у). G)
Если операторы 4, и Л2 интерполируют в системах точек Uh) и
{т/} в смысле D) и E) и удовлетворяют C), то оператор Л
обеспечивает интерполирование функции J (х,у)^ С l' 2 по
прямым х = fh, i/ = тг:
(8)
325

Действительно, фиксировав tk и полагая v* = v, будем иметь
А (v0) (/; h, у) - il [Л?/ (*, j,) + Л|/ (*, у) - AiA\f (х, У)] U,k -
ie) <**,») - ^/(v-0) <**, y) = /(Vl0) (**
Перейдем к вопросу оценки погрешности приближения
функций двух переменных операторами, построенными па базе
одномерных операторов А{ и Аг. Мы ограничимся рассмотрением
операторов, допускающих мптегралъпое представление погрешности.
Введем множество М v 2 заданных па квадрате / функций
/(#! У\ У которых частные производпые /(l>j)(;r, у) (/ = 0,1,...
. •., г, — 1; ] — О, 1, ..., г2 — 1) пепрерывпы на /, а частные
производные / * @<7<г2) и / 2) (°<^<^i) всюду па /
существуют, существенно ограничены и кусочно-непрерывны,
при этом смешанные производные допускают перемену порядка
дифференцирования; Л/о> ° — множество существенно
ограниченных и кусочпо-непрерывпых па / функций.
Предложение 7.3.1. Пусть для линейного оператора Аг
(f«"l,2), переводящего функцию (p(t)&C в -4<(ф, i)sCt
справедливо, в предположении, что cp(^)eL1t, представление
г
ф (t) - A, (q>, 0 - J Кг (t, s) Ф(г° (.9) ds, f = 1,2, (9)
о
где КАх, у) е Д/°« \ Тогда, еелгг Л1|2 (/; х, у) = 4^/ (л:, у), то
для любой функции f (#, у) е Л/ *' 2
- J Kx (x, и) /ril0) (и, у) du + f Kt (у, v) /@>Г2) (х, v) dv -
О О
1 1
- J J Кг (х% и) Кг {у, v) /(ri |Г2) (u, v) du dv. A0)
о о
В самом деле, если Е — единичный оператор в С, то, очевидно,
/-Л|,1/-(Я-Л1)/ + (Я-Л.)/-(Е-Л|)(Я-4В)/. A1)
В силу (9)
(Я - Л4) / - f ЛГ, (*, и) /Pl'°) (ttf у) du, U2>
U.V)f 2 BГ| У) ЙУ, A4^
О
г
326

J j Kx (*, u) K2 (y, v) /(r"r2) (u, i;) da <fo. A4)
Подставляя выражения A2) — A4) в A1), получаем A0).
Нетрудно проверить, что при наличии представлений (9) операторы At
и Аг удовлетворяют условиям C).
Применяя при фиксированных х и у к каждому из интегралов
н A0) обычные приемы оценки (в частности, неравенство Гёль-
дера), будем получать различные оценки погрешности \f(x,y) —
— Л1|2(/; х, у)\ в точке (х,у)^1 через нормы в той или иной
метрике ядер Idix, у) (?= 1, 2) и старших производных функции
j(x,y). Так как sup | ср(?) — -4*(ф» *I = II^i(^ ')\\p'j to мы имеем
p
возможность оцепить сверху погрешность \f(x, у) — Ait 2(/; л^, у) I
через величины, которые дают оценки в соответствующих
одномерных задачах и в некоторых случаях точно вычислены.
Если входящие в равенство A0) функции допускают
дифференцирование по х и у, то можно аналогичным образом оценить
погрешность одновременного приближения частных производных
функции /(#, у) соответствующими частными производными
функции AitZ(j\ x,y).
Сложным является вопрос о неулучшаемости полученных
таким путем неравенств. При таком грубом методе оценки, когда
каждое слагаемое в правой части A0) оценивается по абсолютной
величине независимо от других, трудно рассчитывать на точность
полученных оценок. И тем не менее можно указать ситуации,
отнюдь не являющиеся исключительными, когда такая оценка
оказывается неулучшаемой на достаточно широком классе
функций fix, у). Одну такую ситуацию дает теорема, которую мы
сейчас сформулируем.
Фиксируем v и ц @ < v ^rj — 1;0^fi<r2— 1) и 8ададим
класс Dv^Wrpx'r2 функций / {х, у) е Л/1^2, у которых
supvrai||/(V'''2)(;r, -Iр<1. 81фУга
Xi. A5)
Теорема 7.3.2. Пусть
827

Gx (*, u) /(Pl^ (и, У) du + j G2 („, i?) /(v'r2) (x, r) dv -
i г
- f f C, (*, u) G2 (y, v) /(ri'r'2) (u, v) du dv,
0 0
где Gi{x,y)s=M°>Q (/ = 1,2). Тогда в каждой точке (х,
sup 16 (/; х, у) | - | Ox (*, •) |!p' + 1G2 (y, -) (p, +
1()LI!2( o, |+^7 = 1. A6)
Доказательство. Фиксируем точку (х0, у о) ^ / и пусть
1 < /? < оо. Положим
go (и) - \GX (х0, .)$ГР' \G± (дг0, м) I73' sgn Ct (л-0, и), 0< и < 1,
в предположении, что I Gi (то> ') Ир' > °5 если || Gx (х0, •) |р/ == О,
то полагаем go(u) ==0. Аналогично, пусть
если ||С2(ув1 .)!!// =7^ 0, и /?оИ^0> если ||С2(г/0, .)t' = 0.
Легко проверить, что
||lfollp=-=llftoPp=l» A7)
1
\ Gx (z0, и) g0 (u) du ^ II Gi («о, ') Ь'.
о
1
Теорема будет доказана, если, считая 0^v<rt-3, 0< ц <
< г2 - 3, мы предъявим функцию /0 (я, У)^ D^W^2, для которой
/Г''2) (*о, у) =* /го (у)» /оГ11|1) (", у0) = ^о («). A8)
По функции ?о(и) определим функции gt(u), g2(u), ..., gr(w),
полагая
и
gi(u) -= i gi-i@^— Сь * = 1» 2, .. .,rlf A9)
о
S28

где константы с< (i = 1, ..., rt) выбраны следующим образом:
и
с1= min \go(t)dt, c2 = с3 = ... = cr v-2 •-= О,
0
cri-v-i = J ^-v-2 @ dt, Crx~v = min j gri-v-i @ A,
Cri_v-rl = • • • = Crx = 0.
Такой выбор постоянных cf в A9) с учетом A7) обеспечивает
выполнение для функций gi(t) следующих свойств:
1) g\ И = g\-\ W, i =^ 1, 2, ..., гх;
2) 0<gri_v(M)<l> 0<и<1;
3) gri_v(^0)-0.
Совергаешто аналогично по функции ho(v) определим па
[0, 1] функции hx (и), ..., hr2 (v), для которых:
1) ^A7) = ^, (у);
2H <ЛГ^A (i;)<1;
3) Аг^Ы-0.
Теперь положим
С учетом свойств 1) — 3) функций gt(u) и А,-(у), а также равенств
A7) тривиальным образом проверяется выполнение для /0(я, г/)
соотношений A8), а также неравенств A5), обеспечивающих вклю-
чсиие /,6ВХ
При р == 1 в классе ^^W7!1' 2це существует функции,
реализующей в A6) верхнюю грань. Однако, действуя по той же
схеме и используя обычный для такого случая прием, нетрудно,
фиксировав (я, у)е/, построить функцию^ (и, u)^.Dv%^Wxv 2,
для которой |б(/; х, у)\ будет сколь угодно мало отличаться от
дравой части A6).
Следствие 7.3.3. При выполнении условий теоремы 7.3.2
sup I б (/) 1^ =
- 33Gi (^ Oil;/ + iiG2(», •)!!// + 4Gi (^, -)h>\G2(у, OL'kood)-
3 а меча ни е. Можно показать, что если функции СД#, у)
(г = 1, 2) сохраняют знак на /, то утверждения 7.3.2 и 7.3.3
справедливы и при v = rt — 2, ц = г2 — 2.
Если по операторам А^ ж Аг, допускающим представление
(9), приближающая функция для f(x^ у) е= Мг»г* задается
оператором А в виде G), то совсем просто обстоит дело с оценкой
329

погрешности па классе
Действительно, в этом случае
1 1
/ (х, у)-А (/; х, у) = f J Кх (х, и) К2 (у, v) /(Г1>Г2) (м, v) du dv, B0)
о о
и, если /е Wp' 2, то
U(^y)-A(f;x,y)\^lK1(x, .Iр'1*«@. -)Ь'. B1)
причем обычными методами легко установить, что оценка B1) в
Г1»;>2
каждой точке (х, у)^1 пеулучшаема па классе Wv .Если в
B0) возможно дифференцирование но х и (или) т/, то получим
аналогичную и тоже неулучшаемую оценку для приближения
частных производных функции / через нормы частных
производных функций К{ и* К2.
Замечание. Множества и классы функций f(x, у), для
которых справедливы приведенные выше соображения, можно
расширить, привлекая аппарат обобщенных производных.
4. Примеры. Проиллюстрируем применение общих
утверждений предыдущего пункта на некоторых конкретных ситуациях,
связанных с приближением функций двумерными сплайнами.
1) При фиксированных разбиениях A) и B) пусть Aq (g =
«= 1, 2) оператор эрмитовой сплайп-шттериоляции,
сопоставляющей функции ф(*)еС5 сплайн sq(if, t) e S2?iq-i(&NqL
определяемый условиями
, v=0,l 11,-1; « = 0,1, -..,#1,
«L%,W)«q>(|i>(JO), !i = 0,1,...,11,-1; / = 0,1, ...,Л'2.
Считаем, как и выше, что на функцию/(я, у) е С 1 ' 2
оператор Ai действует по переменной х, а оператор Аг — по
переменной у. Тогда AiAtfix, у) «=«(/; х% у), где s(f; x, у) — двумерный
сплайн Ha^n^-i.ang-^^A'i.iVg) и для него выполняются равенства
*(Vl|l>(/;*i,»j) = /Vt|l)(*i,^). B2)
v-0,1 «j-i; t-0,1,...,^,;
Если f(x,y)&M l< 2 («, «S m, < 2«,; q — i, 2), то, имея
представление погрешности в одномерном случае (см. A.29)), по
330

общей формуле A0) можно написать
С (т о\ С
J Qmvnx (*, U) / V > (U, у) du + ] Qm2,n2 (l/, i;]
(ж, v) dv ¦
о
l l
"И &
41 W B3)
о о
где функции Qmqynq {х, y)(q=t 1,2) определены равенствами
A.30) и A.27).
Применяя теорему 7.3.2, получим точные па классе ti*MW™vm%
(О ^ v ^ ni — 3; 0 ^ \i ^ пг — 3) оценки погрешности в каждой
точке (#, у) или (см. следствие 7.3.3) по норме в ?«>(/) через
нормы функций Qmqinq- В тех случаях, когда эти нормы
вычислены (§ 7.1), сразу можем написать соответствующие эффективные
точные оценки для приближения двумерными эрмитовыми
сплайнами. _ _
2) Пусть AiVx и An2 — равномерные разбиения отрезка [0, 1]
соответственно точками#i =» t/Nu У;, = ]/N2\ [В{ {х)} и {fi|(j/)} —
системы ^-сплайнов порядка г, и г2, соответственно, по этим
разбиениям, продолженным за отрезок [0, 1], Считаем, что
сплайны В] (х) и В) (у) нормированы условиями
2*1 (*)-i, 2*5@-1
i i
и имеют максимумы в точках х{ и ^ соответственно, где #<=*#<
при ri нечетном, #**= (^?-! + л:»)/2, если rt четно; ^ определяется
по г2 аналогично.
Выделим внутри отрезка [0, 1] промежуток [at, AJ такой, что
носители В-сплайнов В\ (ж), имеющие общие точки с [<хь Е*Л,
полностью лежат на [0, 1]. Аналогично, по В-сплайнам Bj(y)
определим отрезок [а2, $2] с Ю, 11.
Положим /г, = [^/2), пг~[г2/2] и введем операторы At и А2,
сопоставляющие функции ф(^) е С одномерные локальные
сплайны (см. § 7.2)
2 2 yU(*i+k)BUt), B4)
i ft—-nx
2(Ф, 0 2 2 Y?q(ftri)?()i
B5)
где числовые коэффициенты у\ и у* выбраны из условия точ*
331

ности формул 5,(ф, t) ~ (fit) и $2(ф, J) ~ ф(/) для многочленов
степени соответственно г, и Гг.
Если опять условиться, что па функцию f(x, г/)е=С[Л А
действует по переменной х, ai- по переменной //, то результатом
их последовательного действия будет двумерный локальный
сплайн
AxAj(x,y) = * (/; я, ,у)----
принадлежащий Sl\\r2 (Дл^Л*)*
Используя интегральное представление погрешности для
одномерных сплайнов B4) и B5) (см. B.5)), па основании общих
соображений и. 3 можем написать представление погрешности
fix, y) — sif; x, у) в виде A0), а теорема 7.3.2 сразу дает
возможность получить для этой погрешности точную на классе
D0>0V/p ' '2' оценку через нормы ядер вида B.0). При r^ = r.^-=
= 2 или 3 эти нормы в некоторых случаях вычислены (п. 2 § 7.2).
3) В приведенных двух примерах операторы Ах и Аг
задавались однотипным образом. Вполне реальной представляется
ситуация, когда ввиду разных глпдкостпых свойств функции fix, ц)
но переменным х и: у целесообразно и методы приближения
определять ио-разпому: по х и по у. В частности, оператором /1,
можно задать сплайн эрмитовой интерполяции, а оператором
Аг — локальный сплайн B5). И в этом случае наличие
одномерных интегральных представлении погрешности позволяет дли
получения точной оценки разности fix, у)— AtA2fix, у)
воспользоваться теоремой 7.3.2 и свести дело к одномерным
экстремальным задачам.
4) Если в формуле G) Л, и Л2 — операторы из С в
подпространства сплайнов, то в правой части этой формулы функция
^\{1\хчУ) е<'ть сплайн только по переменной ху A\(f\ x, у) --
сплайн только по у, a Ai:>if: х, у) — «чистый» двумерный сплайн.
В связи с этим функцию G) в этом случае называют
смешанным сплайном (blending-spline). Пусть, например, А{ и Аг —
интерполяционные операторы из С, соответственно, в
подпространства «^(Atfj) ii 5,\(Дл2), определяемые равенствами
/1(ф, tli)=(pitkI Л2(ср, Т/) = ф(тД B0)
где Uk} и {т/} — некоторые системы точек из (О, U. Тогда для
функции fix, ?/)еб1Л в соответствии с G)
х, y)=oxih х, y) + oy{f; х, у) - sif; x, у), B7)
где $(/; х, у) — двумерный сплайн изЙ^Ал^,^),
удовлетворяющий условиям s(f; tk, ъ) = f(tky ц), qx(f\ x, у) и оу(/; х, у)—
332

функции, являющиеся интерполяционными сплайнами только по
одной переменной: ах(/; х, //) при каждом фиксированном у есть
сплайн по х из 5т(Дл,), а ау(/; #, jy) при каждом фиксированном
х есть сплайн по у из Si(A?v2); при этом
охЦ\ tk, y) = Kh, у), о,(/; x, ii) = f(x, xi).
Учитывая, что в B7) ax(f; x, y)=zAif, су(/; #, y) = A2f и
s(f\ х, у) =А{А2'1, легко проверить (см. также общие соотноше-
ипя (8)), что для смешанного сплайна B7) выполняются
равенства
A(f; th, у)-/(**, у), 0<г/<1,
Из общих соотношений B0) и B1) видно, что если
операторы Ai и Ло допускают интегральное представление разностей
фШ — Л,(ф, 0 и <р(/)—л42(ф, ^), то при оценке погрешности
Кх, у) — Л(/; я, г/) по сравнению с одномерным случаем не
возникает никаких проблем: г)та погрешность оценивается
произведением одномерных оценок. Ясно, что получаемый при этом
высокий порядок точности объясняется тем, что функция
Л(/; х, у) не является «чистым» полиномиальным сплайном и
множество таких функции бесконечномерно.
Отметим, что и здесь линейные операторы Л, и Л2 могут
задаваться различным образом. В частности, иногда бывает смысл
рассматривать комбинированное приближение функции fix, y)y
когда, например, ЛДф, t) ость силаГш, а Л2(ф,
^—тригонометрический иолшюм фиксированного порядка,—если fix, у) но нере-
л;енноп у является периодической функцией.
5. Эрмитова сплапн-иитерполяция периодических функций
двух переменных. Приведем еще один точный результат по
оценке приближения двумерными сплайнами, не укладывающийся в
схему, связанную с применением теоремы 7.3.2. Кстати, здесь
лишний раз можно будет наблюдать существенные особенности,
возникающие при переходе к двумерному случаю.
Пусть Н^ " — класс заданных на всей плоскости
Апериодических по каждой переменной функций }кх9 у), -сужение которых
на квадрат / принадлежит М *' , причем
Для погрешности приближения функции /(^, у) е Н^ 2 дву*
мерными эрмитовыми сплайнами $(/; х, у) из S2n\li,2n2-\ (&nv n2)
при п{ < mv ^ 2п{, lit ^ m2 ^ 2n2 справедливо равенство B3).
333

Используя для / и / иптегральпое представление
дифференцируемой периодической функции через моносилайн Берыул-
ли (см. E.2.29)), вместо B3) получим соотношение
t 1
/ (х, у) - s (/; х, у) = J J <?mi%ni (х, и) /(TOll0) (и, у) du +
о о
f <?m2,n2 (У, v) /@lI) (ж, v) dv - j fV (ж, у; и, „) /(mi>m2) (и, v) du dp,
00 00
B9)
где
У (*> .V; к, v) =-- Dmi (x — и) Q^,n2 {у, v) +
+ Dm2 (У - V) Qmvnx (X, U) + Qmltni (*, и) Qm^n2 (У, v). C0)
Тщательное исследование фупкции C0) приводит к заключению,
что если max | х{ — хг„х | <; р и max | у^у:^х |^р, где ^ — первый
i J
пуль ДЛт) на [0,. 1], то при mq = 2nq (r/ = l, 2) для каждой
точки (ж, г/) знак Ч^(^ у; гг, у) определяется первыми двумя
слагаемыми. Этот факт позволяет «без потерь» оценить правую
часть B9) при mq = 2nq в каждой точке (я, i/)e/ и построить
функцию f{x.y)(= 11 оо , которая реализует эту оценку (эта
фуикция зависит от точки (х, у)). В результате, учитывая
одномерный точный результат, приведенный в теореме 7.1.1, придем
для Xi-i < х ^ х{, г/j-i* ^у ^У) к соотношению
г) (г - h-i)} l(Vj - У) ('/ ~ yj-t
(ifv — константы Фавара).
Особенность результата C1) состоит в том, что если в
примерах 1) и 2) п.4 общий порядок погрешности определялся лишь
слагаемыми интегрального представления, соответствующими не-
r(ml'°) Л°>т2)
смешанным частным производным / и / , то здесь сла-
Jmvm2)
гаемое с / вносит в оощую оценку тот же порядок, что и
остальные слагаемые. Заметим, что если в условиях B8),
определяющих класс Hot' 2, последнее из них заменить на|/ *' 2|k(j)^
«i 1, то на полученном классе порядок погрешпости приближения
теми же эрмитовыми сплайпами в метрике С[1] (при rq=*2nq) бу-
334

дет определяться только слагаемым», соответствующими смешал-
нои производной /
6. Интерполирование непрерывных функций. Аналогом
интерполяционных ломаных в Двумерном случае естественно считать
непрерывные поверхности, склеенные из плоских кусков, каждый
из которых определяется значениями функции fix, у) в трех не
лежащих па одной прямой точках. Например, фиксировав
разбиение &nun9 (см. A), B)), сопоставим функции fix, у) е СИ]
функцию /(/; х, у) еСШ, удовлетворяющую следующим условиям:
1) «/; *«, й) - /(*«, У>) (* — 0,1, .. м Ni\ / — 0,1 JVa);
2) каждую ячейку /,-, j = {#*-! ^ х ^ #<, j/j-i < у < 2/Д можно
разделить диагональю на два треугольника, внутри каждого из
которых Z(/; х, у) совпадает с пекоторой плоскостью.
Ясно, что значения функции l(f; x, у) в фиксированной
точке (ж0, ,Уо) е / определяются значениями fix, у) в вершинах
соответствующего треугольника, поэтому погрешность можно
оцепить локально па каждом из таких треугольников.
Специфика двумерного случая позволяет фупкции fix, у) в
^ СИ] сопоставить как полный модуль непрерывности:
<*(/; б, ti>^sup{|/U', у')-fix", y")U 1ж'-*"[^6,
\y'-y"\^4h C2)
где {х\ I/'), (х", ?у")^/, так и частные* модули непрерывности:
u(/j б, 0) = sup (I/U% y)-fix", y)\: |*'-*"|<et0<p^l>,
©(/; 0, t|) = sup{l/U, /)-/U, ?/")l: ly'-y^l^Tj, O^^^l),
характеризующие изменение fix, у) вдоль каждой переменной.
Функция C2) обладает характеристическими свойствами,
аналогичными тем, которые были отмечены в п. 1 § 4.2 для
одномерного модуля непрерывности, поэтому и здесь о функции ю(б, ц)
говорят как о модуле непрерывности (безотносительно к fix, у)),
если она удовлетворяет условиям: о@, 0) =0; о>(б, г\) не
убывает по б и tj, непрерывна и иолу аддитивна, т. е.
Рассматривая разность
8(/; х, у) -fix, »)-«/; *, у)
на половипе ячейки Ii}, где Z(/; л:, у) линейна, и учитывая, что
и вершинах этого треугольника б(/; х, у) обращается в пуль,
можно оценить б(/; х, у) через полный и частные модули
непрерывности функции / или же их мажоранты — при этом
используются соображения, сходные с теми, которые привлекались в
одномерном случае. Приведем некоторые результаты, полученные в
случае равномерного разбиенияДл^^. Справедливо соотношение
Wf-Hf)\\cirt . _ 3
' 0) + со (/; 0, l/B/V2)) - 2 •
333

ЕслиЯ х> 2 — класс функций ((х, у)^СИ], у которых
о>(/; б, 0) ^ o)iF), со(/; 0, ц) < о>2(г]),
где G)tF) и оJ(г]) — заданные модули непрерывности, то при
условии выпуклости вверх юДб) и о>2(г]) имеет место равенство
II/ - J(/)||c[i] = о, A/C27V,)) + о2A/B^2)). C4)
Определив класс //"[/] функций / из СИ] условием ©(/; б, т|) <
^ о)(б, г]), где о)(б, г]) — двумерный модуль непрерывности, в
предположении выпуклости со (б, т\) можно доказать, что
|/— i(/)|cuj == « A/B^0, 1/BЛГ2)). C5)
Заметим, что в соотношениях C4) и C5) правые части не
уменьшатся, если вместо функции Z(/; x, у) взять эрмитов сплайн
5(/; х, у) е Запг^ьг^-ДЛ^,.^), определяемый равенствами B2),
где надо положить /(V*M>(^ уд = 0 при v > 0 п \х > 0. Таким
образом, как и в одномерном случае, повышен tic гладкости
приближающих сплайнов не сказывается на оценке погрешности для
классов if1' п /Г [/].

КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Глава 1
Параграфы 1.1—1.3 содержат традиционную вводную информацию о
сплайнах. Термин «сплайн-функция» был введен Шенбергом ft]. Вопросы
аналитического представления сплайнов, так же как и условия
существования и единственности интерполяционных сплайнов, в той или иной
мере освещаются в каждой посвященной сплайнам монографии — см., па-
пример, Ллберг, Нильсон и Уолш [1]; С. Б. Стечкин и 10. Н. Субботин fl].
Но поводу теоремы 1.2.14 можно сослаться па работу Мслкмапа [1], где
задача рассматривается в более общей постановке. Теоремы 1.2.16 и 1.2.18
содержатся в статье II. П. Корнейчука [17], утверждение 1.2.19 (для
равномерного разбиения) ранее установили Алберг, Нильсон и Уолш [2] —
при нечетных т — и 10. Н. Субботин [2] — при т четпых. Представление
через Я-сплаииы впервые изучал, по-видимому, Шенберг [3]; о
вычислительных аспектах таких представлений см., например, Де Бур [2J;
10. С. Завьялов, Б. И. Квасов и В. Л. Мирошниченко [1]. Об использовании
сплайнов для построения базисов в функциональных пространствах см. Це-
сельский fl].
Первым предложил применить теорему Борсука для доказательства,
существования идеального сплайна с заданными пулями, по-видимому,
В. И. Рубан (см. В. Л. Великий [4]). Утверждения 1.4.2 и 1.4.4 содержатся
и работе Н. П. Корнейчука [17]. С помощью иных соображений
существование идеальных периодических сплайнов с кратными пулями в
заданных точках устаповил В. П. Моторпып [1], рассматривая более широкое,
чем идеальные сплайны, множество функций. Близкие по содержанию
факты общего характера выводится из теорем выпуклого анализа в работе,
В. М. Тихомирова и Б. Д. Бояпова [1].
Глава 2
§ 2.2. Первый результат типа теоремы 2.2.1 (случай г = 2) установлен
Холлпдеем [1]. Свойство минимальности нормы в L2 r-u производной
сплайна порядка 2г — 1 обобщалось в различных направлениях (см.,
например, Лоран [1], Варга [I]). Результаты п. 2 § 2.2 принадлежат Голомбу
и Вайнбергеру [1] (утверждения 2.2.4 и 2.2.5), а также Шепбергу [2].
Более подробно об атом круге вопросов см. Лоран [1].
Более общая (чем сформулировано в начале § 2.2) задача: при
фиксированных точках ti е [0, 1), целых числах *у* (O^Y*^7* — *» i = l,
2 ..., п) и таблице значений {j/fj} (i = 1, ..., п\ / = О, 1, ..., fi) найти
inf {|| р> \\р: / € Lrp, P ft) = yip t~ 1, ..., #i; / =--- 0, 1, ... ,Vi},
известна как интерполяционная задача Фавара. Впервые (при р = оо) она
}>ассмотрепа Фа варом [3], детально исследовалась, в частности, в работе
Де Бура [1] и —с общих позиций — В. М. Тихомировым и Б. Д. Боятю-
иым [1]. При р = оо решение доставляет некоторый идеальный сплайн
порядка г. Подробный обзор результатов по интерполяционной задаче
Фавара можно найти в последней из цитированных работ.
§ 2.3. Идеальные сплайны Эйлера и мопосплапны Бернуллп, как эта.
видно из их определения, порождаются хорошо известными многочленами
337-

Эйлера и, соответственно, многочленами Бернулли (см., например,
Данилов и др. [1]).
§ 2.4. Теорема 2.4.1 принадлежит А. Н. Колмогорову [2];
доказательство в книге проведено по схеме Банга (см. Мандельбройт [1]).
Утверждения 2.4.8 и 2.4.9 установил Хё'рмапдер fl]. Теорема 2.4.11 доказана
Н. П. Корпейчуком [3], [1]. Лемма 2.4.13 принадлежит Конг-Мииг
Шойгу [1].
§ 2.5. Как отмечалось в основном тексте, неравенство A) установлено
А. Н. Колмогоровым [2], теорему 2.5.2 доказал Стейн [1]. По поводу
других точных неравенств типа A) см. В, М. Тихомиров [1]. Теорема 2.5.3
принадлежит Хёрмапдеру fl].
§ 2.6. С помощью иных соображений неравенство A) получил В. М.
Тихомиров [3], а неравенство B) —10. Н. Субоотии [3]. Соотношение (9)
теоремы 2.6.2 установлено 10. Н. Субботиным [4], соотношение (9') содержится
в работе А. А. Лигуна [1], в которой доказаны также теоремы 2.6.8 и
2,6.10.
§ 2.7. При доказательстве теорем 2.7.1 и 2.7.5 использована схема
рассуждений из работы В. М. Тихомирова [3], с помощью которой там
получена точная оценка сплайн-интерполяции в метрике С (гл. 5). Утвержде-
яие 2.7.4 принадлежит Н. П. Корнейчуку [10].
Глава В
Содержащиеся в § ЗЛ общио факты хорошо известны. Понятия,
которые вводятся в § 3.2, общеприняты в современной теории приближения.
Отметим, что линейный поперечник Я,^(9Й, X) введен в рассмотрение
В М Т [2] (
, р ^(, ) д рр
B. М, Тихомировым [2] (в основном тексте указывалось, что поперечник
d*(9fl> X) введен А. Н. Колмогоровым ft]).
Теорема 3.3.1 есть частный, но, по-видимому, наиболее важный
случай общего соотношения двойственности для локально выпуклых
топологических пространств, базирующегося на теореме Фенхеля — Моро
(см. Л. Д. Иоффе и В. М. Тихомиров fl], f2], В. М. Тихомиров [1]). Как
мы видели, в этом частном случае нужное соотношение (равенство A))
удается получить, используя просто теорему отделимости,—без
привлечения специального аппарата выпуклого анализа. Теорема 3.3.6 доказана
C. М. Никольским [3].
Результаты §§ 3.4 и 3.5 представляют собой конкретизацию общих
теорем для функциональных пространств С и Ьр и классов функций,
задаваемых ограпичеиием на норму r-п производпой.
Г л а в а 4
§ 4Д. Часть результатов п. 1 можно пайти в статьях автора [8] и fi3].
Соотношение B1) и B3) теоремы 4.1.9 получены А. Л. Лнгуиом [2],
теоремы 4.1.11 и 4.1.12 доказаны Н. П. Корнейчуком [И], [13]. В теореме
рибл
на отрезке,— в частности, теорема 4.1.17 — принадлежат II. П. Корнейчуку
4.1.13 неравенство D5) установил А. А. Лигун [2], перавенство D6) —
Н. П.Корнейчук [И], [13].
Результаты п. 4, связанные с наилучшим приближением сплайнами
[12]. О характеризации сплайна наилучшего равномерного приближения
см., например, Шумейкер [2], В. Н. Малоземов и А. Б. Певный [1].
§ 4.2. Утверждения п. 2, в частности теорема 4.2.8, доказаны Н. П.
Корнейчуком [4]» 2-перестановки введены автором в работе F3], в которой
содержится, в частности, теорема 42.16; более подробно свойства 2-переста-
ловок, а также вопросы, связанные с их применением при решении
экстремальных задач изложены в монографиях Н. П. Корнейчука [1], Н. П.
Корнейчука, А, А. Лигула и В. Г. Доронина [1]. Теоремы 4.2.17 и 4.2.18
принадлежат автору [6], [8], первая из них (при w = r) получена в [6] из других
соображений.
По поводу результатов п. 5 заметим, что периодический случай
исследуемой задачи рассмотрен в работе автора [5] (см. также [1]).
338

§ 4.3. Теоремы 4.3.1 и 4.3.2 доказаны И. П. Корнейчуком, Л. Л. Лигу*
ном и В. Г. Дорониным [2], теоремы 4.3.3 и 4.3.4 установлены В. Г.
Дорониным и Л. Л. Лигупом [1J, [2], [3]; все эти результаты содержатся
также в монографии Н. П. Корнейчука, А. А. Лнгуна и В. Г. Доронина [1],
где дается систематическое изложение вопросов приближений функций при
наличии ограничений типа неравенств. О наилучшем приближении сплайиа*
ми при ограничениях интерполяционного типа см. также А. А. Васильев fl].
Гла в а 5
§ 5.1. Утверждение теоремы 5.1.2 (в несколько иной форме) содержит*
ся в работе А. А. Женсыкбаева [2], где оно выводится из свойств
интегрального представления погрешности. Теорему 5.1.3 при д s oo ранее
доказал В. М. Тихомиров [3] методом, который использован в книге при
доказательстве теоремы 5.1.2. Теорему 5.1.5 установил Н. П. Корнейчук
[10], используя интегральное представление погрешности (см. п. 3 § 5.2)*
Утверждения 5.1.8—5.1.11 получены Голичеком [2], соотношение C7)
в предложении 5.1.11 при г нечетном ранее установлено Холлом и Мейе-
ром [1]. Теорема 5.1.13 и вытекающие из нее утверждения 5.1.14 и 5.1.15
доказаны в работе Н. П. Корнейчука и А. А. Лигуна [1]. Об идеальных
сплайнах с минимальной Lp-пормой см., напр., Мичелли и Пинкус fl].
Теорема 5.1.17 и другие точные результаты по оценке одновременного
приближения производной принадлежат Н. П. Корнейчуку [18], за
исключением соотношения (82) из предложения 5.1.21, которое при краевых
условиях G8) и G9) ранее иным методом (с привлечением ормитовых
сплайнов) установили Холл и Мейер fl].
§ 5.2. Лемма 5.2.1 сначала была доказана автором [2] при р = 1,
затем В. Ф. Сторчаем [3], [5] при /? = 2иЗ; общий результат для 0< р <
^;3 содержится в работе Н. П. Корнейчука [15], где доказаны и все
утверждения 5.2.4—5.2.11. Неравенства A2), B2) и B3) получены В. Н. Ма-
лоземовым [1], [2]; соотношения B7) и B8) установил А. С. Логинов [1];
более тонких рассуждений потребовало доказательство равенства B8)
(В. Ф. Огорчай [1]). Вопросы интерполяции в среднем суммируемых
функций сплайпами минимального дефекта изучались 10. Н. Субботиным [5J.
Систематическое исследование интегрального представления
погрешности сплайн-интерполяции в периодическом случае с целью получения
оценок на классах функций проводилось в работах А. А. Женсыкбаева [1],
[2], [3]; в первой из них, в частности, получены представления и оценки
для констант Лебега оператора сплайн-интерполирования. Эти
исследования существенно базируются па интересной работе Голомба fl],
построенной на иных, чем в этой книге, идеях. Утверждения леммы 5.2.14
содержатся в работах А. А, Жеисыкбаева [1] — [3] и Н. П. Корнейчука [10].
Неравенство D3) для г четных установил И. П. Корнейчук [6], [7];
для г нечетных — А. А. Женсыкбаев [4]. Теоремы 5.2.15 и 5.2.17, так же
как и соотношение F0) принадлежат Н. П. Корнейчуку [18].
Отметим еще работу В. Л. Великина [2], в которой найдена точная
асимптотика погрешности приближения интерполяционными кубическими
сплайнами дефекта 1 по равномерному разбиению на классе WlHa и
множестве С1. Ранее Чоньи и Шурер [1] получили точную оценку
приближения такими сплайнами па мпожестве G.
Глава в
§ 6.1. Задача отыскания поперечников того или иного класса функций
обычпо сводится к получению точной оценки снизу (соответствующая
оценка сверху, как правило, бывает уже известна). Что касается
реализуемых подпространствами периодических сплайнов четных поперечников
классов И^р, го первый результат здесь получил В. М. Тихомиров [3], точпо
оценивший снизу d2n(R^f '<?). Для din{Wrp, 2^) при р =* oo, g e 1, а
также р «« q = 1 соответствующий результат принадлежит В. И. Рубану (см.
монографию автора [1], гл. 10). В случаях же р = оо, 1 < g < оо и 1 <
339

< р < оо, q е-, 1 задачу решили независимо и разными методами Л. Л. Ли-
гул [5], Ю. И. Маковоз [11 и II инк ус fl]. Заметим, что работа Л. Л. Лигупа
[о] сдана в печать по крайней мере на год раньше, чем работы 10. И. Ма-
ковоза [1] и Пнпкуса [1].
Теорема 6.1.3, на которой существенно базируется доказательство
основных утверждений 6.1.6 и 6.1.9, в общем случае установлена Л. Л. Лигу-
пом [5]; при д = 1 она была известна ранее (см. монографию автора [1],
гл. 10).
Что касается классов Wrp функции, заданных на отрезке, то первый
результат, выражающий колмогоровский поперечник через норму
идеального сплайна, получил В, М. Тихомиров [3] для^(И^, ?*), Предложение
6.1.12 и приведенное в книге его доказательство сообщены автору В. И. Ру-
Паном. Утверждения теорем 6.1.13 и 6.1.14 установлены с помощью иных,
чем здесь, соображений Мичелли и Пннкусом [1].
§ 6.2. Результаты, содержащиеся в пп. 1 и 2, принадлежат II. П.
Корнейчуку [41, [14], [15], за исключением случаев /> = 1 и р = <х> в
соотношении (8), которые были ранее рассмотреть! В. М. Тихомировым [2]
(р = оо) и Ю. И. Маковозом (р = 1) (см. книгу автора [1]). 'Георемы 6.2.9
и 6.2.10 вытекают из результатов Н. П. Корнейчука [6], [8], (8] о
приближении сплайнами и оценок снизу, полученных В. II. Рубаном [1], [2]. О
других результатах, связанных с вычислением поперечников, можпо прочесть
в монографиях И. М. Тихомирова [1] и автора [1].
§ 6.3. Основные результаты отого параграфа, в частности
утверждения теорем 6.3.6—6.3..8, принадлежат II. П. Корнейчуку [12] —[15].
§ 6.4. Задачи оптимального восстановления функций, как они
ставятся в пп. 1—5, сформулированы в работах автора [14], [1Г>1. И этих же
работах, а также в статье автора {18] содержатся и результаты,
сформулированные в теоремах 6.4.2, 6.4Д а также в п. 3 § 6.4. Точные
результаты, связанные с оценкой погрешности оптимального восстаповлепия
функций /(/) изИ7^, в фиксированной точке, получены в работах В. JL Ве-
ликипа [4] и А. Л. Лигупа [4]. О применении сплайнов в задачах
приближения функций при неполной информации см. также 10. II. Субботин |6].
Задачи оптимального восстановлении линейных операторов и
функционалов в более общей (или иной) постановке рассматривались в работах
С. Б. Сточкииа |Т|, II. С. Бахвалова [1], К). IT. Субботина [С], В. В. Арес-
това [1J, Л. Г. Марчука и К. 10. Осипенко [1], А. И. Гребошшкова и
13. Л. Морозова [1|. В цитированных работах Ю. II. Субботина, а также
А. И. Гребенникова и В. А. Морозова отмечены случаи, когда
оптимальный метод всотаповлетшн строится с помощью сплайнов.
По поводу свн:ш задач оптимального восстановления определенного
интеграла с экстремальными свойствами сплайнов см. книгу С. М.
Никольского [2] (с добавлением автора), а также обзорную статью А. А. Жеи-
сыкбаова [5]. Относительно отыскания чебышевского центра в связи с
задачами оптимизации см., например, В. В. Пианов [1].
Глава 7
§ 7.1. Равенство A3) установлено в работе Чарлета, Шульца и Варги [1],
соотношение A4), а также теорему 7.1.3 доказал В. Л. Великин [3J,
используя интегральное представление погрешности. Утверждения 7.1.4 и 7.1.5,
а также равенство B5) доказаны (иным путем) в статье 11. А. Пазарспко
и С. В. Пероверзева [11.
Содержатциеся в п. 3 свойства ядра интегрального представления
погрешности vi теоремы 7.1.7 и 7.1.8 установлены В. Л. Воли кип ьгм [3].
Результаты п. 4, в частности, утверждения предложения 7.1.10, для сплайнов
нечетного порядка, принадлежат В. Л. Всликину [1]: для сплайнов
четного порядка соотношения C9) —D1) получил Н. А. Иазарепко [2].
Точные оценки приближения эрмитовыми сплайнами порядка 2п — 1 на классе
ТУ1//", а также эрмитовыми кубическими сплайнами па классах 1У7/Ш
(г = 2,3) содержатся в статье В. Л. Великииа и II. II. Корнейчука [1].
340

В связи с содержанием п. 5 отметим, что задачи оптимального вое-
-становления по кратной информации рассматривались и в более общей
постановке (см., например, 10. Н. Субботин [6]).
§ 7.2. Аппроксимативные свойства локальных сплайнов минимального
дефекта исследовались в работах Лича и Шумейкера [1], Л. И.
Гребенникова [1], [2], В. С. Юферсва [1]; этим сплайнам уделено много внимания
в монографиях Ю. С. Завьялова, ]>. С. Квасова л В. С. МироиШиченко [1]
и Шумейкера [1]. Утверждение 7.2.1 и общие оценки погрешности
содержатся в работе II. II. Корнейчука [19], там же приведены и точные
оценки A9) — B2) для случаев г = 3 и г = 2.
§ 7.3. Общие факты п. 3 содержатся в статье 1Г. П. Корнейчука и
С. В. Лсревсрзсва [J]. Утлерждеш/я 7.3.2 п 7.3.3 доказал Л. М. Лиакяп {!].
В некоторых частных случаях точные опенки приближения двумерными
эрмитовыми сплайнами на классах функций были ранее получены в работах
Бпркгофа, Шульца и Варги [1L ('метанные сплайны (blending-splines)
ввел в рассмотрелпе Гордон [1]. Для частных случаев некоторые точные
оценки'приближения смешанными сплайнами содержатся в работе М. Ша-
бозова [1].
Результаты, о которых говорится в п. 5, в частности, соотношение C1),
принадлежат С. IJ. Лереверзову [1], [2]. Равенства C3) — C5) установил
В. Ф. Сторчап [2], I7!]. Оценки, связанные с наилучшим выбором точек
интерполяции функции j(x, у) многогранными функциями, содержатся в
работе В. Ф. Бабепко и Л. Л. Лигуна [1]. Задачу интерполяции
непрерывных отображений кусочно-линейными с этой точки зрепин рассматривал
В. Ф. Бабепко [1].
В последнее время начали появляться работы, содержащие точные
оценки приближения эрмитовыми сплайнами параметрически заданных
кривых и поверхностей (см., в частности, Н. Л. Напарепко [1], С. Б. Ва-
карчук [I], [2]), причем здесь естественным оказалось применение хаусдор-
фовои метрики. Систематическое изложение вопросов приближения (в
частности, сплайнами) в хаусдорфовой метрике содержится в монографии
Б. Сепдова [1], неулучшаемые оценки приближения многогранными
функциями в этой метрике имеются в работе В. Т. Мартышока и В. Ф. Стор-
чая [1].
О с ел аи между полиномиальной и сплайн-аппроксимацией
В книге не затронут один интсреспьш аспект связи
сплайн-аппроксимации с классической теорией приближения, контуры которого начали
вырисовываться лишь в самое последнее время. Речь идет о предельных
соотношениях, связывающих приближение одной я тон же функции
полиномами и сплайнами растущего порядка.
В 1972 г. Шенбергом \Л] и Голичеком [1] установлен следующий факт.
Пусть l(t)<=ECk (/с = 1, 2, ... фиксировано) и {s2»hi(/, 0} (т =* к,
к -{- 1, к + 2, ...)—-последовательность 1-периодических сплайнов порядка
2т + 1 дефекта к но произвольному, но фиксированному разбиению
AN- ° -='о < ^ < • • ' < fN =-' 1 (*2ги i-i (/» О е ?2m4-l(-ViV))> ОДПОЗНачпо ОП-
])еделяемых условиями (теорема 1.2.9)
4m-i (/• Ч) " 1С>) 00' /,1 A; i~- 0, 1, ... ,Л'.
Тогда равномерно по t
Jim ^т+П''*)^7*0 (Л*). v = 0,1,...,
m->oo
где 1 n{U 0 —тригонометрический полином:
[iV/2l
tn (/, 0^2 (ай cos 2ли' + &й sin
341

интерполирующий функцию f(t) в тех же узлах tt с той же кратностью:
ДО U) ' /= 0,1, ...,*; 1 = 0,1 Л',
единственность которого при четном N обеспечивается условием
минимальности суммы flty/2 + ^/2. Для слУчая ft «О, четного iV и
равномерного разбиения это утверждение содержится еще в работе Кваде и Кол-
латца [1].
Недавпо В. Л. Великии [5], отправляясь от разложения
периодических сплайнов по тригонометрической системе (Голомб [1], А. А. Жен-
сыкбаев [2]), получил соотношения, характеризующие предельную связь
тригонометрической и сплайн-аппроксимации в случае произвольных ли-
нейпых методов, а также для наилучшего и наилучшего одностороннего
приближения подпрострапствами сплайнов с произвольными (но
фиксированными) узлами и дефектами. В частности, если F^ — подпространства
тригонометрических полиномов вида
] N
(а^ cos 2n\xt + &й sin 2n\kt) + * + (~~ *) aN/2 cos яЛ7,
a 52n,m —подпространство 1-периодических сплайнов порядка т дефекта
4 по равномерному разбиению 0/B/2)}, то для любой функции /A)е^Р
(l^^)
Этот факт вместе с теоремой 4.1.9 позволяет получить новое
доказательство известных результатов о точном значении величин #(^?о> ^2n-i)c
(Фавар [2]) и Е{Wrp, Р1п^\ (С. М. Никольский [3] (р«1), Л. В. Тай-
ков [1] (р !> 1), см. также монографию автора [1]). Соотношение (¦)
дает возможность также, используя известные конструктивные
характеристики периодических функций, получать новые обратные теоремы для
приближения сплайнами. Для построенных на базе ортогональной системы
сплайнов линейных методов приближения выводятся признаки сходимости,
оценки погрешности приближения па классах функций, аналогичные
соответствующим результатам для хорошо изученных (см., например,
В. К. Дзядык [1], А. И. Степанец [11) линейных методов по
тригонометрической системе. С другой стороны, из результатов по сплайи-интерполя-
ции предельным переходом удается получить" некоторые новые оценки
погрешности интерполирования тригонометрическими полипомами.
Что касается других аспектов связи полипомпалытой аппроксимации
с теорией сплайнов, то можно отметить соотношения
где ^L[-ifu— класс заданпых на f—1, 1] г-х интегралов от функций
•/(*) б!Н,' 1J с нормой ||/!Il[-i. и < ti Pn —подпространство
алгебраических мпогочленов степени <^ м, а sn.rU) —идеальный сплайн:
[п+1 1
с узлами ^|= — сos-j^ttj. Первое равенство в (**) содержится еще в
работе С. М. Никольского [4], второе совсем недавно установлено В. А. Кофа*
новым [1].
842

ЛИТЕРАТУРА
Л в а к я н А. М.
1. О приближении функций двух переменных линейными методами.—
Укр. матем. журнал, 1983, 35, № 4, с. 409—414.
Ал бе р г Дж., Нильсон Э., Уолш Д ж. (Ahlberg J. H., Nilson E. N.t
Walsh J. L)
j. Теория сплайнов и ее приложепия.—М.: Мир, 1972.
2. Best approximation and convergence properties of higher order splino
approximations,— J. Math. Mech., 1965, 14, p. 231—244.
Арестов В. В.
1. Приближение лилейных операторов и родственные экстремальные
задачи.— Труды МИАН СССР, 1975, 138, с. 29—42.
Б а б е н к о В. Ф.
1. Иптсрполяция непрерывных отображений кусочно-линейпыми.—
Матем. заметки, 1978, 24, № 1, с 43—51.
Б а б е н к о В. Ф., Л и г у н А. А.
1. Об иптерполяции многогранными фупкциями.— Матем. заметки, 1975,
18, № 6, с. 803—814.
Бахвалов Н. С.
1. Об оптимальпости линейных методов приближения операторов па
выпуклых классах функпий.—ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 4, с. 1014—1018.
Бпркгоф, Шулъц, Варга (Birkhoff G., Schultz M. IL, Varga R. S.).
1. Piecewise Hermite Interpolation on one and two variables with
applications to pattiai differential equations.— Numer. Math., 1968, 11, № 3,
p. 232—256.
Б о р с у к (Borsuk К.)
1. Drei Satze iiber die ra-dimensionale euklidische Spare.— Fund Math.,
1933, 20, p. 177-191.
Б о я ii о в Б. Д.
1. Наилучшие методы интерполирования для некоторых классов
дифференцируемых функций.—Матем. заметки, 1975, 17, Лг 4, с. 511—524.
В а к а р ч у к СБ.
1. О приближении параметрических поверхностей билипейными
поверхностями,— В кн.: Моногенные функции и отображения, Киев, 1982,
с. 103-113.
2. О приближении кривых, задаппых в параметрическом виде, при по*
мощи сплайн-кривых.—Укр. матем. журнал, 1983, 35, № 3, с. 352—355.
Варга Р.
1. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном апа-
лизе.— М.: Мир, 1974.
Васильев Л. Л.
1. Аппроксимация с интерполяцией сплайнами произвольного дефекта.—
Матем. заметки, 1981, 29, № 5, с. 743—748.
Великий В. Л.
1. О наилучшем приближении сплайп-функциями на классах
непрерывных функций.—Матем. заметки, 1970, 8, № 1, с. 41—46.
2. Приближение кубическими сплайнами на классах непрерывно
дифференцируемых функпий.—Матем. заметки, 1972, 11, № 2, с. 215—226.
343

3. Точпъте зиачопия приближения эрмитовыми сплайпами на классах
дифференцируемых функций.—Изв. АН СССР, Сор. матем., 1973, 37,
№ 1, с. 165—185.
4. Оптимальная интерполяция периодических дифференцируемых
функций с ограниченной старшей производной,— Матем. заметки, 1977, 22,
№ 5, с. 663-670.
5. О предельной связи между приближениями периодических функций
сплайнами п тригонометрическими полиномами,—ДЛИ СССР, 1981,
258, № 3, с. 525-529.
Велики н В. JI., К о р н е й ч у к II. П.
1. Точные оценки приближения сплайн-фушшиями па классах диффс-
репцируемых фупкций.— Матем. заметки, 1971, 9, № 5, с. 483—491
Г о л и ч е к (Golitschek M. V.)
1. On the convergence of interpolating periodic spline functions of high
degree.— N inner. Math., 1972, 19, p. 146—154.
2. On /г-widths and interpolation by polynomial splines,— J. Approx. Th.,
1979, 26, p. 133—141.
Г о л о м б (Golomb M.)
1. Approximation by periodic spline interpolations on uniform meshes.—
J. Approx. Th., 1908, 1, p. 26—65.
Г о л о м б, В а й и б е р r e p (Golomb M., Weinberger II.)
1. Optimal approximation and error bounds.—On numerical approximation,
Proc, Symp. Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, 1958, p. 117—190.
Гордон (Gordon W. J.)
1. Spline-blending surface interpolation through curve networks.— J. Matlu
Mech., 1969, 18, p. 931—951.
Г p e 5 e it н и к о в А. И.
1. О явном методе аппроксимации функций одной и многих
переменных сплайнами.—ЖВМ п МФ, 1978, 18, № 4, с. 853—859.
2. Об одном методе построения интерполяционных кубических и
бикубических сплайнов тта равномерных сетках.— Вести. МГУ. Вычислит.
матем. п кибернетика, 1978, вып. 4, с. 12—17.
Гребенников А. И., Морозов В. Д.
1. Об оптимальном приближении операторов.—ЖВМ и МФ, 1977, 17,
№ 1t с. 3—14.
Данилов В. Л. и др.
1. Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби.—
М.: Физматгии, 1961.
Дан форд П., Шварц Д ж. Т.
1. Линейные операторы. Общая теория.— М.: ИЛ, 1964.
Де Бур (De Boor С.)
1. On best interpolation.—Т. Approx. Th., 1976, 16, p. 28—42.
2. Л practical quide to splines, New York, 1978.
Дзядык В. К.
J. Введение, в теорию равномерного приближении функций
полиномами.— М.: Наука, 1977.
Доропин В. Г., Лигун А. А.
1. Верхние грани паилучших односторонних приближений сплайнами
классов WrL{.— Матем. заметки, 1976, 19, № 1, с. 11—17.-
2. О точных значениях наилучших односторонних приближений
сплайпами.—Матем. заметки, 1976, 20, № 3, с. 417—424.
3. О наилучшем одностороннем приближении классов Wr//°\— Матем.
заметки, 1977, 21, >& 3, с. 313—327.
Д э в и с (Davis P. J.)
1. Interpolation and approximation.— Now York, 1963.
Жене ы к баев А. А.
1. 1 очные оценки рапномерпого приближения непрерывных
периодических функции сплайнами г-го порядка.—Матем. заметки, 1973, 13,
№ 2, с. 217—228.
2. Приближение дифференцируемых'периодических функций сплайпамп
по равпомерпому разбиению.— Матем. заметки, 1973, 13, № 6, с. 807—816.
844

3. Приближение пекоторых классов дифференцируемых: периодических
функций интерполяционными сплайнами по равпомерпому
разбиению.—Матем. заметки, 1974, 15, № 6, с. 955—966.
4. Сплайп-интерполяция и наилучшее приближение
тригонометрическими многочленами.—Матем. заметки, 1979, 26, № 3, с. 355—366.
5. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные
формулы.- У МИ, 1981, 36, № 4, с. 107-159.
Завьялов 10. С.
1. Интерполирование У>сплайп-фупкциями многих переменных.—Матем.
заметки, 1973, J4, Д& 1, с. 11—20.
Завьялов 10. С, Квасов В. И., Мирошниченко В. Л.
1. Методы сплайн-функций.— М.: Наука, 1980.
II в а н о в В. В.
1. Об оптимальных по точности алгоритмах приближенного решения
операторных уравнений I рода.—ШВМ и МФ, 1975, 15, № 1, с. 3—11.
Иоффе А. Д., Т и х о м и р о в В. М.
1. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи.— УМИ,
1968,27, №'6, с. 51-116.
2. Теория экстремальных задач.— М.: Наука, 1974.
К в а ;\е , Ко л л а т ц (Quade \V., Coilalz L.)
1. Zur Intcrpolationstheorie dor reelen peviodischen FunkUonen.—Sit-
zungsber. dor Preuss. Akad. der VViss., Phys. Math., 1938, 30, k. I,
p. 383—409.
Колмогоров Л. II.
1. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktion-
klassen.—Ann. of Math., 1936, 37, p. 107—110.
2. О неравенствах между верхпими гранями последовательных
производных функции на бесконечном интервале,—Учен. зап. МГУ, 1939,
№ 30, с. 3—16.
Колмогоров А. Н., Ф о м и н С. В.
1. Элементы теории функций и функционального апализа,— М.:
Наука, 1972.
К о и г - М и и г Ш о и г (Kong-Ming Shong)
1. Some extensions of a theorem of Hardy, LHtlcwood and Polya and their
applications.—Can. J. Math., 1974, 26, p. 1321—1340.
Корн е и ч у к Н. П.
1. Экстремальные задачи теории приближения.— М.: Наука, 1976.
2. Точные значения норм дифференцируемых периодических функций
в метрике L.— Матем. заметки, 1967, 2, № 6, с. 569—576.
3. Экстремальные значения функциопалов и наилучшее приближение
на классах периодических функций.— Изв. Abf ССОР, Сер. матем.,
1971, 35, Да 1, с. 93—124.
А. О поперечинках классов непрерывных функции в пространстве ?«.—
Матем. заметки, 1971, 10, Л» 5, с. 493—500:
5. Неравенства для дифференцируемых периодических функций и
наилучшее приближение одного класса функции другим.— Изв. АН
СССР. Сер. матем., 1972, 36, № 2, с. 423—434.
6. О равномерном приближении периодических функций
подпространствами конечной размерности,— ДАН СССР, 1973, 213, № 3, с. 525—528.
7. On extremal subspaces and approximation of periodic functions by
splines of minimal defect.—Analysis Math., 1975, 1, № 2, p. 91—1Э1.
8. Наилучшее приближение сплайнами па классах периодических
функций в метрике L.— Матем. заметки, 1976, 20, № 5, с. 655—664.
9. Экстремальные свойства сплайнов.— В кн.: Теория приближения
функций, М.: Наука, 1977, с. 237-248.
10. Exact error bound of approximation by interpolating splines on ?-met-
ric on the classes WT A < p < oo) of periodic functions.—Analysis
Math., 1977, 3. JVs 2, p. 109-117.
11. Точные неравенства для наилучшего приближения сплайнами.—
ДАН СССР, 1978, 242, № 2, с. 280-283.
345

12. О наилучшем приближении на отрезке классов функций с
ограниченной г-й производпой копечномерными подпространствами,— Укр,
матем. журнал, 1979, 31, № 1, с. 23—31.
13. Неравепства для наилучшего приближения сплайнами
дифференцируемых периодических функций.—Укр. матем. журн., 1979, 31, № 4,
с. 380-388.
14. Поперечники в Lp классов непрерывных и дифференцируемых
функций и оптималъпое восстановлепие функций и их производпых.— ДЛИ
СССР, 1979, 244, № 6, с. 1317—1321.
15. Поперечинки в Lp классов непрерывных и дифференцируемых фупк-
ций и оптимальные методы кодирования и восстаповлепий функций*
и их производных.—Изв. АН СССР, Сер. матем., 1980, 45, № 2,
с. 266-290.
16. Аппроксимация сплайнами в интегральной метрике.— В кп.:
Конструктивная теория функций, София, 1980, с. 99—104.
17. О существовании и единственности иптерполнционпых сплайнов.—-
В кн.: Геометрическая теория функций и топология, Киев, 1981,
с. 42—55.
18. О приближении интерполяционными сплаилами функций и их
производпых.— ДАН СССР, 1982, 264, № 5, с. 1063—1066.
19. О приближении локалъпыми сплайнами минимального дефекта.—
Укр. матем. журпал, 1982, 34, № 5, с. 617—621.
Корнейчук Н. П., Л и г у н А. А.
1. Об оценке погрешности сплайв-иптерполяции в иптегральной
метрике.— Укр. матем; журнал, 1981, 33, № 3, с. 391—394.
Корнейчук Н. П.. Л и г у н А. А., Доронин В. Г.
1. Аппроксимация с ограпичепиями.-— Киев: Наукова думка, 1982.
2. Двойственность для наилучших приближений с ограничениями.—
В кп.: Исследов. по современ. проблемам суммирования и
приближения фупкций и их приложениям, Днепропетровск, 1980, с. 35—48.
Корнейчук Н. П., И е р е в е р з е в СВ.
1. К вопросу о приближении функций двух перемепных операторами,,
построенными па базе одномерных операторов.— В сб.: «Теория
функций и топология*, Киев, 1983, с. 43—49.
К о ф а п о в В. А.
1. Приближение классов дифференцирумых функций алгебраическими
многочленами в среднем.—ДАН СССР, 1982, 262, Л1* 6, с. 1304—1306.
Лигун А. А.
1. Точные неравенства для сплайп-функций и наилучшие квадратурпые
формулы для некоторых классов функций.—Матем. заметки, 1976, 19,
Л* 6, с. 913-926.
2. Inequalities for upper bounds of functions,—Analysis Math., 1976, 2,
№1, p. 11-40.
3. Об одном неравенстве для сплайн-функции минимального дефекта.—
Матем. заметки. 1978, 24, № 4, с. 547—552.
4. Optimal methods for the approximate calculation of functional on
classes W"X«>.- Analysis Math., 1979, 5, № 4, p. 269-286.
5» О поперечпиках некоторых классов дифференцируемых периодических
функций.— Матем. заметки, 1980, 27, № 1, с. 61—75.
6. О приближении периодических функций сплайнами минимального
дефекта.—Укр. матем. журпал, 1980, 32, № 3, с. 388—395.
7. Об одном свойстве интерполяционных сплайн-функций.— Укр. матем.
журпал, 1980, 32, Кг 4, с. 507—514.
Лич, Шумейкер (Lych Т., Schumaker L. L.).
1. Local spline approximation methods.— J. Approx. Th., 1975, 15, M 4t
p. 294-325.
Логинов А. С.
1. Приближение непрерывных функций ломаными.— Матем. заметки,.
1969, 6, № 2, с. 149-160.
Лоран П.-Ж.
1. Аппроксимация и оптимизация,— М.: Мир, 1975,

Л ю с т е р н и к Л. Л., Соболев В. И.
1. Элементы функционального анализа.— М.: Наука, 1965,
М а к о в о з Ю. И.
1. Поперечники Соболевских классов и сплайпы, наименее
уклоняющиеся от нуля,— Матем. заметки, 1979, 26, № 5, с. 805—812.
Малоземов В. Н.
1. Об отклонении ломаных.— Вестн. Ленинградок, ун-та, 1966. № 7,
вып. 2, с. 150-153.
2. К полигоналъпой интерполяции,—Матем. заметки, 1967, 1, № 5.
с. 537—54С.
Малоземов В. Н., П е в н ы й Л, Б.
1. Аппроксимация сплайнами произвольного дефекта.—ДАН СССР, 1978,
243, № 3, с. 572-575.
М а я д е л ь б р о й т С.
1. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей.
Применения.- М.: ИЛ, 1955.
М а р т ы и гок IJ. Т., С т о р ч а й В. Ф.
1. Приближение мпогогранными фупкциями в хаусдорфовой метрике.—
Укр. матем. журнал, 1973, 25, № 1, с. 115—120.
М а р ч у к Л. Г., О с и п е п к о К. Ю.
i. Наилучшее- приближение функций, задаппых с погрешностью в
конечном числе точек.— Матем. заметки, 17, № 3, с. 359—368.
Мелкмап (Melkman А. А.)
1. Hermile — Birkhoff Interpolation by splines.—J. Approx. Th., 1977, 19,
№ 3, p. 259-279.
M и ч е л л и, П и л к у с (Miccelli Ch. A., Pinkus A.)
1. Some problems on the approximation on functions of two variables and
JV-widths of integral operators.—J. Approx. Th., 1978, 24, p. 51—77.
M о т о р н ы й B. IL
n
1 О наилучшей квадратурной формуле вида 2 V}j (xk) Для некоторых
классов периодических дифференцируемых фупкций.— Изв. АН СССР,
Сер. матем., 1974, 38, № 3, с. 583—614.
Моторный В. П., Рубан В. И.
j. Поперечники некоторых классов дифференцируемых
периодических фупкций в пространстве ?.— Матем. заметки, 1975, 17, № 4,
с. 531—543.
Н а з а р е н к о Н. А.
1. О приближении плоских кривых параметрическими эрмитовыми
сплайнами.—Укр. матем. журп., 1979, 31, № 3, с. 201—215.
2. О приближении сплайпами с дополнительными узлами склейки на
некоторых классах функций.— В кн.: Вопросы теории аппроксимации
функций, Киев, 1980. с. 120—127.
II а з а р е н к о Н. А., П е р е в е р з е в СВ.
1. Точные значепня приближения эрмитовыми сплайнами четной
степени на классах дифференцируемых функций.—Матем. заметки, 1980,
28, № 1, с. 33—44.
Никольский СМ.
1. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения,—М.:
Наука, 1977.
2. Квадратурные формулы.— М.: Наука, 1979.
3. Приближение фупкций тригонометрическими полиномами в среднем.—
Изв. АН СССР. Сер. матем., 1946, 10, с. 207—256.
4. О наилучшем линейном методе приближения мпогочленами в
среднем дифференцируемых функций.—ДАН СССР, 1947, 58, № 2,
с. 185-188.
Иереверзев СВ.
1. Точные значения приближения эрмитовыми сплайнами на одном
классе функций двух переменных,—Укр. матем. журнал, 1979, 31,
№ 5, с. 510—516,
347

2. Точпая оценка приближения эрмитовыми сплапнамп па одиом
классе дифференцируемых функций двух переменных.—Изв. вузов.
Математика, 1981, № 12, с. 58-66.
П и ик у с (Pinkus A.)
1. On n-widths of periodic functions.—J. Anal. Math., 1979, 35, p. 209—23Г>.
V у б а и В. И.
1. Четные поперечники классов И^г//Ш в пространстве Сил.—Матем.
заметки, 1974, 15, № 3, с. 387—392.
2. Поперечники множеств в пространствах периодических функций,—
ДАН СССР, 1080, 255, № 1, с. 34—35.
Сеидов Б.
1. Хаусдорфовые приближения.—София, 1079.
Стой » (Slcin Е. М.)
1. Funktions of exponential type.—Ann. Math., 1957, 65, p. 582—592.
Стелапец А. 11.
1. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами.
Линейные методы.—Киев: Наукова думка, 1981.
С т е ч к и п С. Б.
1. IIaviлучшее приближение линейных операторов.— Матем. заметки,
1967, 1, № 2, с. 137—148.
Стечкил С. Ь., Субботин К). IL
1. Сплайны в вычислительной математике.— М.: Паука, 1976.
С то рч а и П. Ф.
1.06 отклонении ломаных в метрике Lр.~ Матем. заметки, 1969, 5,
№ 1, с. 31-37. '
2. Приближение функций двух переменных многогранными
функциями в равномерной, метрике.—Изв. вузов. Математика, 1973, 8
= - с. 84-88.
3. Точные оценки для норм дифферепцируемых периодических фупкций
в метрике /-2.— Укр. матем. журнал, 1973, 25, № 6, с. 835—840.
4. Приближение непрерывных функций двух переменных
многогранными функциями и енлайп-фулкциями в равномерной метрике.— В кн.:
Мсглед. по соврем, проблемам суммиров. и приближ. фупкций и vix
приложениям, Днепропетровск, 1975, с. 82—88.
5. О точных оценках норм дифференцируемых периодических
функций.— В кн.: Псслед. по соврем, проблемам суммиров. и приближ.
функций и их приложениям, Днепропетровск, 1976, с. 50—54.
Суббот и н К). II.
1. О свя:ш между конечными разностями п соответствующими
производными.—Труды МИЛН ССОР, 1965, 78, с. 24-42.
2. О кусочно полиномиальной интерполяции.— Матем. заметки, 1967,
1, № 1, с. 63-70.
3. Поперечник класса WrL в />@, 2д) и приближение сплапп-функция-
ми.— Матем. заметки, 1970, 7, № 1, с. 43—52.
4. Приближение сплайн-фупкциями п оценка поперечников.— Труды
МИЛН СССР, 1971, 109, с. 35—60.
5. Октремалыше задачи функциональной интерполяции п
интерполяционные в среднем сплайны.— Труды МИАН СССР, 1975, 138,
с. 118—173.
6. Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной
информации.—Труды МИАН СССР, 1980, 145, с. 152—168.
Тай ко в Л. В.
1. О приближении в среднем некоторых классов периодических
фупкций.— Труды МИЛН СССР, 1967, 88, с. 61—70.
Тихо м и р о в В. М.
1. Некоторые вопросы теории приближений.— М.: Изд-во МГУ, 1976.
2. Поперечники множеств в функциональных пространствах п теория
наилучших приближений.— УМН, 1960, 15, № 3, с. 81—120.
3. Наилучшие методы приближения п Интерполироваппя дифферепци-
руемых фупкций в пространстве С[—1, 11.—Матем. сб., 1969, 80,
Л» 2, с. 290-301
348

T i! х о м и |> о I) II. М., Поя л о в Г>. Д.
1.0 некоторых ныпуклых задачах теории приближений.— Ордика,
li'i.juiipcivo мигом, скис, 1979, 5, с. 83—96.
Фа на р (fttvanl J.).
1. Applimiioii do la formula soramatoire d'Eulor a la demonstration de
quelqnes proprielos exlreinales des integrals des fonclions periodiqu-
os.-- Miiih. Tidskrifl, 1936, 4, p. 81—04.
2. Sur lus meilleurs procedes d'approximation de ccrtaines classes de
fonclions par des polynomes trigonometriques.— Bull. Sc. Math., 1937, 61,.
p. 209—224, p. 243—2Г>6.
3. Sur Interpolation.— J. math, pures et appl., 1940, 19, p. 281—306.
X a p д и L.. Л и т т л ь в у д Д ж., Полна Г.
1. Неравенства,—М.: Ш1, 19'i8.
Хёрмандер (Hormandor L.).
1. Л new proof and a generalization of inequality of Bohr.— Math. Scand.,
19Г>1 2, p. 33—45.
X о л л, Al с и с р (Lfall Ch. A., Meyor W. ^\^).
1. Optimal error bounds for cubic spline interpolation.—J. Approx. TI\.r
197B, t<>, p. 105—122.
Холл идей (lloiladay J. C.)
1. Smoothest curve approximation.— Malh. Tables Aids Comput., 1957, 11,
p. 233-243.
Ц е с е л ь с к и ii (Cieselski Z.)
1. Kqmvalence and shift property of spline bases in Lp spaces.—In:
Конструктивная теория функций, София, 1980, с. 281—291.
¦Чарлет, Шульд. Варга (Ciarlet Р. (»м Schultz M. H., Varga R. S.)
1. Numerical methods of high-order accuracu for nonlinear boundary
value problems.— Numer. Math., 1908, 12, p. 394—430.
4 e n bii, Ш у p e p (Cheney E. \VM Schurer F.)
1. On interpolating by cubic splines with equally-spaces nodes.—Indag.
Math., 1908, 30, p. 517—524.
Шабозов М.
1. Оценки приближения дифференцируемых периодических функций
двух переменных итерполяционными елгешанными сплайнами.—
В кн.: Вопросы теории аппроксимации функции, Киев, 1980, с. 166—
172.
Ш ё н б е р г (Schoenbevg I. J.)
1. Contributions to problem of approximation of equidistant data by
analytic functions.—Quart Appl. Math., 1946, № 4, p. 45—99, 112—141.
2. On best approximation of linear operators.— Kon. Neder Akad. We-
tensch., Proceedings, Ser. A, 19E4, 67, p. 155—163.
3. Cardinal interpolation and spline functions.—J. Approx. Th., 1969, 2,
p. 167—206.
4. Notes on spline functions I. The limits of the interpolating periodic
spline functions as their degree tends to finity.— Indag. Math.-, 1972r
34, p. 412—422.
Ш у ai e ii к e p (Schumaker L. L.)
1. Sj)line luinclions. Ba^ic theory.—New York, 1981.
2. Approximation by Splines.— In: Theory and Applications of Spline
Functions. !S\— Y,— London, 1969, p. 65—85.
IO ф с р с в В. С.
1. Локальная аппроксимация кубическими сплайнами.— ЯШМ и МФ,
1981, 21, № 1, с. 5—10.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Базис из 5-сплайнов 46
Ближайший элемент 102
Вектор информации 289
Выпуклое множество 103
Двумерпые сплайны 324
Дефект сплайпа 7
Задача оптимального восстановления
289
кодирования 297
Идеальный сплайн 8
, аналитическое представление
12
Идеальпый спглайп периодический 16
, аналитическое
представление 16
Интегралъпое представление
погрешности интерполирования 237
эрмитовыми сплайнами 310
Интерполяционные условия 22
внутренние 28
краевые 33
Класс функции //wf #<* 155
Я«[а, Ъ] 155
КП\ КП« 58
ы) 97
KW™ 58
И^, W™ 58
Й^ 85
W™ (— оо , оо) 69
W™H<», WmHu 155
58
97
97
Класс функций W™ (»H 127
\У™(Я) 130
^D
Константа cmj 65
- dm,} 68
-Л,т 67
— Km (Фавара) 65
Краевые условия 22
JI ид стона 204
Критерий ближайшего элемента
общий 116
в LP 123
Линейное многообразие сплайнов
*«(An [«.Ч) 8
15
)
14
25
127
Sw(AjV) 95
Локальные сплайпы 303
минимального дефекта 316
Мпожество идеальных сплайнов
TN,m 205
?2п,т 93
— лилейных операторов 5^(Х, SR) 108
— мпогочлепов Ящ^ 126
— моиосплайнов Ж л, m 94
— существования 102
— функций Ст, Ст 58
Afr(—оо, оо) 68
Модуль пепрерывпости шF) 155
функции /@ 74 , 154
интегральный 154
Моносплайн 8
350

Мопосплашг, аналитическое
представ лепие 12
— Вернулли Dm (t) 13
Dx,m(t) 66
DXf m (t) 67
— периодический 16
, аналитическое представление
16
Наилучшее приближение фиксиро-
ваппого множества 107
элемента 101
одностороннее 188
Наилучший (оптимальный) метод
восстановления фупкций 290
кодирования функций 297
Натуралъпые сплайпы 25
Неравенство Джексопа 282
для приближения сплайнами
445
— Колмогорова 82
Норма строго выпуклая 103
Оператор паилучшего приближения
104
Оптимальное восстановление
интеграла 61
по кратной информации 315
фупкцин 289
— кодирование функций 296
Оптнмалъпый (паилучший) метод
восстаповления функции 200
кодирования фупкций 297
Отрезок 104
Перестановка функции убывающая
76
Погрешность сплайн-иптерполяции
192
Подпространство сплайпов ?,„(Дл) 8
Sm(AN) 15
Полиномиальпый сплайн 7
Поперечник лнпешшй 109
— по Колмогорову 109
Порядок сплайна 7
Пространство строго нормированное
104
— функций С[а, &], Lp[af b] 57
Cilp 58
Разбиение отрезка A<v[a, 6] 7
Ддг 13
• m-пормалъпое 37
равпомерпое AN 9
Разделенные нули функции 17
Сплайп 7
~, аналитическое представление 10
— периодический 13
, аналитическое представление
14
Существенная перемена зпака
функции 18
Теорема Борсука 48
— двойственности в пространстве С
118
LP 120
общая НО
— сравнения для перестановок
сплайнов 91
Колмогорова 69
Теоремы сравнения для 2-перестапо-
вок 169
Точпые констапты в теоремах
Джексона 283
Узлы сплайпа 7
Условие Липшица 97
Фупдамепталыше сплайны 41
Фупкционал наилучшего приближе*
пия 101
Функция Стеклова 83
— <Pvm@ 64
— 4>N,m{t) 9
~<P2n.m@ 16
—/n.«(co, t) 157
-gN,m(t) 66
~г(/;а, Ъ; t) 76
-Л(/; а, Ь; 0 166
-Д«,т@ 167
Чебышевское множество 102
Число v(/; [д, Ь]) разделенных
нулей функции 17
~-М-(/; f«, &]) существенных пере-
меи зпака 18
Эйлеров идеальный сплайн 9
периодический 16
Экстремальное подпространство 109
Элемент паилупшего приближения
102
Эрмитовы сплайны 27
В-сплайн 44
m-определяющий набор {(*j, vj)} 52
2-перестановка функции 166
2-представление функции 166
851

СПИСОК ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ОБОЗНАЧЕНИЯ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА
V — квантор общпости: «для всех»
3 — кваптор существования: «существует»
0 — пустое множество
леД — элемент х принадлежит множеству А
x&lA — элемент х не принадлежит множеству А
А и В — объединение множеств А и В
А П В — пересечение множеств А и В
А\ В — разность множеств А и В
А X В — декартово произведепие множеств Ли/?
А а В — множество А содержится в множестве В
{.г: Рх) — совокупность элементов х, обладающих свойством Р
sup/(я) (или sup {/(.г): х е А}) — точная верхняя грань значении
XGA
функционала / па множестве А
itrfl(x) (или inl{f(x): х е А})— точная пижияя грань значений
функционала / на множестве А
= : — равно по определению
sgn а — величина, ранная 1, если а > 0, равпая —1, если а < 0, и нулю,
если а = 0.
sup vrai — существенная верхняя грань
mes^ — лебегова мера множества Е
dim X — размерность линейного пространства X
[а] — целая часть числа а
6ik — символ Кропекера: 6ц = 1, 6** = 0 (i Ф к)
АПИРОКСИМАЦИОШ1ЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Е(х, Щх 101 Е\Ц)п 131
- 107 <*лг(ЯИ, х) 109
;, ЯЕ) х 108 X.v(SW, X) 109
" f26 A,N(SW, X) 297
. 126 ХлОХ', У) 285
'« ^89 х,у(Хг,У) 285
СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ
tp* m@ 64 о)(/, 6) 74
<p.V,m(«) 9 О)(/, 6)х 154
ф2«,т@ 16 йя m{t) 167
/лг.тК 0 157 г(/; л, 6; О 76
gN.m(t) 66 Д(/; в, 6; I) 166
О)(б) 155 жп 9