Титульный лист
Выходные данные
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию
Часть первая. Аналитическая геометрия
§ 2. Направленные отрезки. Величина направленного отрезка. Расстояние между двумя точками Деление отрезка в данном отношении
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 2. Расстояние между двумя точками
§ 3. Деление отрезка в данном отношении
§ 4. Уравнение линии. Построение линии по ее уравнению
§ 5. Уравнения прямой с угловым коэффициентом, прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, прямой, проходящей через две данные точки, и прямой в отрезках. Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой
§ 6. Угол между двумя прямыми Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой. Точка пересечения двух прямых. Расстояние от точки до прямой
§ 7. Смешанные задачи на прямую
§ 8. Кривые второго порядка
§ 9. Смешанные задачи на кривые второго порядка
Глава III. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
§ 2. Элементы векторной алгебры
§ 3. Понятие об уравнении поверхности. Уравнение линии в пространстве
§ 4. Общее уравнение плоскости Нормальное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Пересечение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
§ 5. Уравнение прямой в пространстве. Пересечение прямой и плоскости
Часть вторая. Математический анализ
§ 2. Переменная величина. Функция. Область определения функции Способы задания функции, Основные элементарные функции и их графики. Сложная функция. Классификация функций
§ 3. Некоторые классы функций
§ 4. Графики простейших функций
§ 5. Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности. Предел функции
§ 6. Теоремы о бесконечно малых величинах и о пределах. Раскрытие неопределенностей вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}
§ 7. Раскрытие неопределенностей вида $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, $1^\infty$
§ 8. Смешанные задачи на вычисление пределов
§ 9. Сравнение бесконечно малых величин
§ 10. Односторонние пределы
§ 11. Непрерывность и точки разрыва функции
Глава V. Производная и дифференциал функции
§ 2. Производные основных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного функций
§ 3. Производная сложной функции
§ 4. Логарифмическая производная
§ 5. Производная неявной функции
§ 6. Смешанные задачи
§ 7. Производные высших порядков
§ 8. Применение производной в геометрии и физике
§ 9. Дифференциал функции
§ 10. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям
Глава VI. Исследование функций и построение графиков
§ 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
§ 3. Возрастающие и убывающие функции
§ 4. Максимум и минимум функций. Необходимый признак. Достаточные признаки
§ 5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
§ 6. Асимптоты
§ 7. Построение графиков функций
§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции
Глава VII. Функции нескольких переменных
§ 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
§ 3. Частные производные
§ 4. Полный дифференциал функции
§ 5. Экстремум функции многих переменных
Глава VIII. Неопределенный интеграл
§ 2. Непосредственное интегрирование
§ 4. Интегрирование по частям
§ 5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен
§ 6. Примеры интегралов, не выражающихся элементарными функциями
§ 7. Интегрирование рациональных функций
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
§ 9. Интегрирование тригонометрических функций
§ 10. Смешанные примеры на интегрирование
Глава IX. Определенный интеграл
§ 2. Замена переменной в определенном интеграле
§ 3. Интегрирование по частям
§ 4. Площадь плоской фигуры
§ 5. Длина дуги кривой
§ 6. Объем тела вращения
§ 7. Приложения определенных интегралов к решению физических задач
§ 8 Несобственные интегралы
§ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов
Глава X. Дифференциальные уравнения
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 3. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Глава XI. Ряды
§ 2. Знакопеременные ряды., Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница
§ 3. Степенныз ряды Интервал сходимости степенного ряда. Радиус сходимости
§ 4. Разложение функций в степенные ряды
§ 5. Применение рядов к приближенным вычислениям
Часть третья. Теория вероятностей и математическая статистика
§ 2. Определение частости и вероятности события
§ 3. Теорема сложения вероятностей
§ 4. Теорема умножения вероятностей
§ 5. Формула полной вероятности
§ 6 Формула Бейеса
Глава XIII. Схема повторных испытаний
§ 2. Наивероятнейшее число появлений события
§ 3. Локальная теорема Лапласа
§ 4. Интегральная теорема Лапласа
Глава XIV. Случайные величины
§ 2. Непрерывные случайные величины
Глава XV. Закон больших чисел
§ 2. Неравенство Чебышева
§ 3. Теорема Чебышева
§ 4. Теорема Пуассона
Глава XVI. Статистические распределения
§ 2. Кумулятивный ряд. Плотность распределения признака. Кумулянта и огива
§ 3. Мода и медиана
§ 4. Среднее арифметическое и степенные средние
§ 5. Меры рассеивания
§ 6. Моменты вариационного ряда
Глава XVII. Выборочный метод
§ 2. Повторная и бесповторная выборка
§ 3. Критерии согласия
Глава XVIII. Теория корреляции
§ 2. Линейная корреляционная зависимость
§ 3. Корреляционное отношение
§ 4. Множественная корреляция
Ответы
Приложения
Литература
Выходные данные
Text
                    И. И. ЛИХОЛЕТОВ, И. П. МАЦКЕВИЧ
Руководство
к решению
задач
по высшей
математике,
теории
вероятностей
и математической
статистике
Издание второе, исправленное и дополненное
\Ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА»
МИНСК 1969


Рекомендовано Министерством высшего и среднего специального образования БССР для экономических специальностей вузов
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию 7 Предисловие к первому изданию 8 Часть первая Аналитическая геометрия Глава I. Аналитическая геометрия на прямой § 1. Координаты на прямой 9 § 2. Направленные отрезки. Величина направленного отрезка. Расстояние между двумя точками Деление отрезка в данном отношении . . 10 Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости § 1. Координаты на плоскости 13 § 2. Расстояние между двумя точками 15 § 3. Деление отрезка в данном отношении 17 § 4. Уравнение линии. Построение линии по ее уравнению .... 19 § 5, Уравнения прямой с угловым коэффициентом, прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, прямой, проходящей через две данные точки, и прямой в отрезках. Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой .... 23 § 6. Угол между двумя прямыми Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой. Точка пересечения двух прямых. Расстояние от точки до прямой 29 § 7. Смешанные задачи на прямую 38 § 8. Кривые второго порядка , 40 § 9. Смешанные задачи на кривые второго порядка ........ 56 Глава III. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве § 1. Координаты в пространстве 57 § 2. Элементы векторной алгебры 61 § 3. Понятие об уравнении поверхности. Уравнение линии в пространстве 76 § 4. Общее уравнение плоскости Нормальное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Пересечение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости , , , 81
Оглавление 4 § 5. Уравнение прямой в пространстве. Пересечение прямой и плоскости 93 Часть вт орая Математический анализ Глава IV. Введение в анализ § 1. Действительные числа и числовая осы Абсолютная величина числа 104 § 2. Переменная величина. Функция. Область определения функции Способы задания функции, Основные элементарные функции и их графики. Сложная функция. Классификация функций. . . 106 § 3. Некоторые классы функций 113 § 4. Графики простейших функций 116 § 5. Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности. Предел функции 117 § 6. Теоремы о бесконечно малых величинах и о пределах. Раскрытие неопределенностей вида— и — 123 0 со § 7. Раскрытие неопределенностей вида оо — оо, 0-со, I00 . , , . 127 § 8. Смешанные задачи на вычисление пределов 131 § 9. Сравнение бесконечно малых величин , . . . . . 132 § 10. Односторонние пределы ¦. 135 §11. Непрерывность и точки разрыва функции 136 Глава V. Производная и дифференциал функции § 1. Производная функция, ее механический и геометрический смысл. Непосредственное нахождение производной 145 § 2. Производные основных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного функций 150 § 3. Производная сложной функции 153 § 4. Логарифмическая производная 157 § 5. Производная неявной функции 158 § 6. Смешанные задачи 160 § 7. Производные высших порядков 161 § 8. Применение производной в геометрии и физике 162 § 9. Дифференциал функции 166 § 10. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям 167 Глава VI. Исследование функций и построение графиков § 1. Теоремы Ролля и Лагранжа . . ¦. 169 § 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 170 § 3. Возрастающие и убывающие функции 174 § 4. Максимум и минимум функций. Необходимый признак. Достаточные признаки 176 § 5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба . . 181 § 6. Асимптоты , 184 § 7. Построение графиков функций 186 § 8. Наибольшее и наименьшее значения функции 192
Глава VII. Функции нескольких переменных § 1. Функции нескольких переменных и их области определения . . 196 § 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных . . 198 § 3. Частные производные 200 § 4. Полный дифференциал функции 202 § 5. Экстремум функции многих переменных ........... 203 Глава VIII. Неопределенный интеграл § 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла Таблица основных интегралов , 205 § 2. Непосредственное интегрирование 208 § 3. Метод подстановки (замена переменной) 213 § 4. Интегрирование по частям 218 § 5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен 221 § 6. Примеры интегралов, не выражающихся элементарными функциями 225 § 7. Интегрирование рациональных функций 225 § 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций 231 § 9. Интегрирование тригонометрических функций ......... 232 § 10. Смешанные примеры на интегрирование 236 Глава IX. Определенный интеграл § 1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Простейшие свойства определенного интеграла и его связь с неопределенным интегралом (теорема Ньютона — Лейбница) .... 237 § 2. Замена переменной в определенном интеграле 240 § 3. Интегрирование по частям 242 § 4. Площадь плоской фигуры 244 § 5. Длина дуги кривой . 250 § 6. Объем тела вращения 252 § 7. Приложения определенных интегралов к решению физических задач 255 § 8 Несобственные интегралы 261 § 9. Приближенное вычисление определенных интегралов 265 Глава X. Дифференциальные уравнения § 1. Основные понятия 269 § 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 271 § 3. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям .... 280 Глава XI. Ряды § 1. Числовой ряд. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами 282 § 2. Знакопеременные ряды., Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница 291 § 3. Степенныз ряды Интервал сходимости степенного ряда. Радиус сходимости 295 § 4. Разложение функций в степенные ряды 298 § 5. Применение рядов к приближенным вычислениям .,..,,, 303
Оглавление б Часть третья Теория вероятностей и математическая статистика Глава XII. Основные понятия и теоремы теории вероятностей § 1. События. Действия над событиями 309 § 2. Определение частости и вероятности события 311 § 3. Теорема сложения вероятностей 315 § 4. Теорема умножения вероятностей 318 § 5. Формула полной вероятности 320 § б Формула Бейеса 322 Глава XIII. Схема повторных испытаний § 1. Формула Бернулли 323 § 2. Наивероятнейшее число появлений события 326 § 3. Локальная теорема Лапласа 328 § 4. Интегральная теорема Лапласа , 330 Глава XIV. Случайные величины § 1. Дискретные случайные величины 336 § 2. Непрерывные случайные величины 345 Глава XV. Закон больших чисел § 1. Неравенство Маркова . 353 § 2. Неравенство Чебышева 354 § 3. Теорема Чебышева 357 § 4. Теорема Пуассона 361 Глава XVI. Статистические распределения § 1. Дискретный и интервальный ряды распределения Полигон и гистограмма 364 § 2. Кумулятивный ряд. Плотность распределения признака Кумулянта и огива 368 § 3. Мода я медиана 371 § 4. Среднее арифметическое и степенные средние 373 § 5. Меры рассеивания 375 § 6. Моменты вариационного ряда 377 Глава XVII. Выборочный метод § 1. Теорема Ляпунова 380 § 2. Повторная и бесповторная выборка 381 § 3. Критерии согласия 390 Глава XVIII. Теория корреляции § 1. Метод наименьших квадратов 394 § 2. Линейная корреляционная зависимость 399 § 3. Корреляционное отношение , 408 § 4. Множественная корреляция 411 Ответы 416 Приложения 447 Литература 452
Предисловие ко второму изданию Настоящее издание по своему содержанию мало чем отличается от предыдущего: лишь часть третья подверглась значительной переработке и в первых двух частях книги внесены некоторые изменения и дополнения. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам кандидатам физико-математических наук М. Б. Аксень, И. Л. Калихману, А. И. Кропотову, Ю. Н. Кузнецову, а также работникам кафедр математики Минского педагогического института, Московского и Ленинградского финансово-экономических институтов, Киевского и Белорусского институтов народного хозяйства за ценные замечания, способствовавшие улучшению настоящего пособия. Авторы получили письма от студентов заочных факультетов, в которых сообщается, что пособие «Руководство к решению задач» оказало им большую помощь в изучении математики. Обращаем внимание читателей, что для изучения математики в объеме, содержащемся в настоящем пособии, необходимо еще иметь какой-нибудь учебник по высшей математике, рекомендованный в программе, либо учебным заведением, так как одного «Руководства» к решению задач недостаточно. Известно, что научиться решать задачи можно лишь только тогда, когда будет усвоена теория, с другой стороны, решение задач способствует более глубокому пониманию теории. Авторы будут признательны за все критические замечания и пожелания. Посылать их можно по адресу: г. Минск, ул. Кирова, 24, издательство «Вышэйшая школа». Авторы
Предисловие к первому изданию Руководство предназначено для студентов экономических факультетов всех видов обучения и в особенности заочных и вечерних отделений. В соответствии с программой по высшей математике пособие содержит следующие разделы: элементы аналитической геометрии и векторной алгебры, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, теория рядов, математическая статистика и теория вероятностей. В начале каждого параграфа даны краткие теоретические сведения и примерные решения задач, с тем чтобы последующие задачи студенты могли решить самостоятельно. На вычислительные задачи даны ответы. При подготовке пособия работа между авторами была распределена следующим образом: И. И. Лихолетов написал первую и вторую части, И. П. Мацкевич написал третью часть и подобрал задачи к главам IV—VII, снабдив их ответами. При работе над пособием в той или иной степени была использована литература, указанная в прилагаемом списке. Авторы выражают глубокую благодарность профессору А. Е. Турецкому и доцентам А. А. Гусаку и Е. А. Иванову за ценные советы и замечания. Авторы
Часть первая. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ I j Аналитическая Глава I геометрия ! ! на прямой § 1. Координаты на прямой Для определения положения точки на прямой построим систему координат следующим образом: 1) возьмем на прямой произвольную точку О и назовем ее началом координат (рис. 1); 2) примем какой-нибудь отрезок (ОЕ = е) за единицу масштаба; 3) выберем положительное направление, которое на а в О Е см -5-3 0 1 Рис. 1 горизонтальной прямой обычно принимают слева направо; направление, противоположное положительному, назовем отрицательным. В построенной системе координат положение точки М будет ОМ определяться числом х = -у-, показывающим расстояние от точки О до точки М, взятым со знаком плюс, если направление от начальной точки О к точке М положительно, и со знаком минус в противном случае. Это отвлеченное число х называют координатой точки М и записывают обычно в таком виде: М(х). Так, координатами точек Л, В, О, ?, С, М (см. рис. 1) являются соответственно числа —5, —3, 0, 1, 4, х. Точка считается заданной, если известна ее координата, т. е. некоторое действительное число (рациональное или иррациональное). Поэтому когда мы говорим о точке, имеем в виду число (ее координату), и, наоборот, когда говорим о числе, имеем в виду точку. Таким образом, между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие, т. е. каждой
Глава I. Аналитическая геометрия на прямой 10 точке на числовой прямой соответствует число и, наоборот, каждому числу соответствует точка. 1. Построить следующие точки: Л (2,5), в(—1-т-)> С(|/~2), D(0, (3)). Решение. Построение точек А и В очевидно (рис. 2). Для построения точки С отложим от начала координат вправо О Л ) i -/| 0 _/ ftf 2,5 Рис. 2 отрезок, равный У 2 , найденный из равнобедренного прямоугольного треугольника, катеты которого равны выбранной нами единице длины. Точка D имеет координату х = О, (3) = 2. Построить следующие точки: Л(3), 5 (—3,5), С(]/~3), D(-l/"5). 3. Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям: 1) х2 + х — 6 = 0; 5) 6х8 — х- — х = 0; 9\ ?ц2_?и1яя1±з_1. 6) г* — 8х + 16 = 0; '!'.+,:?; 8),-+7,-о. 4. Найти координату точки, симметричной с точкой А (2), относительно: 1) начала координат; 2) точки В (—3); 3) точки С (4). § 2. Направленные отрезки. Величина направленного отрезка. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении 1. Отрезок, у которого указаны начало и конец, называется направленным отрезком или вектором. Направлением отрезка считается направление от его начала к его концу. Направленный отрезок, началом которого является точка А, а концом — точка В, обозначается так: АВ.
и § 2. Направленные отрезки 2. Величиной направленного отрезка АВ на оси называется число, равное длине отрезка, взятое со знаком плюс, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус в противном случае. A(xj) 0 В(х2) Рис. 3 Величину отрезка АВ обозначим через АВ. Очевидно, что АВ = — ВА. Длину отрезка АВ (его модуль) будем обозначать | АВ | *. Пусть заданы две точки А и В своими координатами хх и *2, тогда величина АВ направленного отрезка А В определяется по фор- 0 А(х,) С(х) В(х2) муле АВ = х2 — хъ (1) а/ A(xj) 0 В(х2) С(х) где *! —координата на- с(х) 0 A(Xj) в(хл чальной точки; х2 — координата конечной точки (рис. 3). 3. Расстояние d между двумя точками А (хг) и В (х2), т. е. длина отрезка АВ, находится по & формуле Рис 4 d = \x2 — x1\. (2) 4. Если на числовой прямой даны две точки А (хг) и В (х2), то всякая третья точка С(х) делит отрезок АВ в некотором отношении АС СВ = Х, где АС и СВ — величины направленных отрезков АС и СВ (рис. 4, а, б). * Если направление отрезка не имеет значения, то иногда его длину будем обозначать без вертикальных черточек.
Глава I. Аналитическая геометрия на прямой 12 Говорят, что точка С делит отрезок АВ внутренним образом, когда она лежит на этом отрезке (Х>0), и внешним образом, когда она лежит на его продолжении (X < О, X Ф — 1). Координата точки С(х) находится по формуле В частности, если X = 1, то АС = СВ и (3) т. е. координата середины отрезка равна полусумме координат его начала и конца. 5. Найти величины отрезков, определяемых на оси точками Л (2) и В(—5), С(—2) и D(4). Первая точка обозначает начало отрезка, а вторая — его конец. Решение. Применив формулу (1), получим: Л5= _5 — 2= —7; CD = 4 — (— 2)^6. 6. Найти расстояние d между точками Л и В в каждом из следующих случаев: 1) Л (2), В(3); 2) Л (-4), В (-8). Решение. Применив формулу (2), получим: 1) d = |3 — 2|= 1; 2) d = | — 8 — (— 4) | = 4. 7. Найти точку С, делящую отрезок между точками Л (— 1) и В (5) в отношении: 1) х=4» 2)х= -2- Решение. Применив формулу (3), найдем координату точки С: -1+-5 1М= -1—1.4; 2)*= ^(-Г °П- 1+ 3 Итак: 1) С (1,4); 2) С (11). 8. Найти величину отрезка АВ в каждом из следующих случаев: 1) Л (1), В (4); 2) Л(-2), В(3); 3) Л (1,5), В (-5,4); 4) Л(-3), В (—7). Проверить результаты построением. 9. Определить расстояние d между точками Л и В в каждом из следующих случаев: 1) Л(1), В(—3); 2) Л(—4), В(3); 3) Л (6). В (2); 4) Л (—7), В (—4). Проверить результаты построением.
13 § 1. Координаты на плоскости 10. Построить точки А (— 5), В (— 2), C(l), D(3) и найти: 1) величины отрезков АВ, ВС, CD, DA\ 2) длины этих отрезков; 3) значение суммы АВ + ВС + CD + DA; 4) значение суммы \AB\ + \BC\ + \CD\ + \DA\. 11. Докажите, что при любом расположении точек А, В, С на прямой всегда имеет место соотношение: АВ + ВС = АС. Проверьте справедливость этого равенства для точек: 1) Л (2), 5(3), С (5); 3) Л(1), В (-2), С (-4); 2) Л (- 1), В (0), С (- 3); 4) Л (хх), 5 (*2), С (х3). 12. Даны три точки: Л (—2), 5(3), С(1). Определить отношение, в котором каждая из этих точек делит отрезок между двумя другими. 13. Найти точку С, делящую отрезок между точкдми Л (— 2) о и 5(3) в отношении X, если X принимает значения 1; -у-; 0; —L -1- -3 14. Найти координату точки Л, зная, что точка М (—2) делит отрезок между точками Л (я) и 5(4,5) в отношении 15. Найти координату х середины отрезка АВ в каждом из следующих случаев: 1) Л (2), 5(5); 2) Л (—4), 5(9); 3) Л (9), 5 (-9). j г Аналитическая Глава И геометрия ! 1 на плоскости § 1. Координаты на плоскости Чтобы определить положение точки на плоскости, построим прямоугольную декартову систему координат следующим образом: 1) возьмем две взаимно перпендикулярные направленные прямые и назовем их осями координат. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу — осью ординат. Положительное направление каждой из осей координат указывается стрелкой (рис. 5); 2) точка пересечения осей координат О называется началом системы координат; 3) выберем какой-нибудь отрезок (ОЕ = е) за единицу масштаба (обычно для обеих осей принимают одну и ту же единицу масштаба). Положение точки М в достроенной системе координат
Глава If. Аналитическая геометрия на плоскости 14 (см. рис. 5) определяется парой чисел хну, называемых коорди- Г) А патами этой точки. Абсцисса точки М: х = , где О А — ве- е личина направленного отрезка О А на оси Ох, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с проекцией точки М на эту ось. Ордината точки /И: у = , где ОВ — величина направленного отрезка ОВ на оси Оу, начало которого совпадает с началом координат, а конец—с проекцией точки М на эту ось. Каждой точке М на плоскости соответствует пара чисел (г, у) и, наоборот, каждой паре чисел (х; у) соответствует точка М на этой плоскости. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством пар чисел, взятых в определенном порядке. Если числа х и у — координаты точки М, то это записывают так: М(х\ у). Заметим, что оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. Координаты точек различных квадрантов имеют разные знаки: *J " в 0 ш 1 *Щ*.ч) I 1 i 1 ? АХ IV Рис. 5 Квадрант 1 II III IV Знаки координат X + М + У ++I 1 Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю; если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю; если точка находится в начале координат, то ее обе координаты х и у равны нулю. 16. Построить точку М(—4; 3). Решение. На оси Ох отложим отрезок OR, величина которого равна —4, а на оси Оу —отрезок OQ, по величине равный 3.
15 § 2. Расстояние между двумя точками Через точку Р проведем прямую, параллельную оси Оу, а через точку Q — прямую, параллельную оси Ох. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой М (рис. 6). 17. Построить следующие^ точки: А (2; 3), В (3,5; 4), С(-3; 5), D(-l;-2), fi(/5J/3), f(0;-5), Я(-3; 0). 18. Построить точки, координаты которых удовлетворяют следующим системам уравнений: 1) 2) \2х + Ъу + 1 = 0, х — 2г/ + 3 = 0; •д» + г/2 = 80, х + у = 12; ¦2лс = 0, 3) \х2 — 2у = 0. У мн;з) а ? 1 1 J 1 1 1 1 Р ' ' 0\ \ 1 X Рис. 6 19. Построить точки, абсциссы которых равны — 2; —1; 0; 1; 3, а ординаты определяются из уравнений: 1) у = 5х — 2; 2) у = х2+1. 20. Дана точка Л(3; — 2). Построить точки, симметричные ей относительно: 1) оси Ох; 2) оси Оу\ 3) начала координат; 4) биссектрисы четвертого координатного угла. Найти координаты этих точек. 21. Найти точку, симметричную точке (3; — 5) относительно биссектрисы третьего координатного угла. 22. Дан квадрат, сторона которого равна 2 единицам масштаба. Чему будут равняться координаты его вершин, если оси координат направить по диагоналям этого квадрата? 23. Найти координаты вершин прямоугольника, стороны которого равны а и 6, зная, что начало координат помещено в точке пересечения диагоналей прямоугольника, а оси координат параллельны его сторонам. 24. Высота равнобедренного треугольника, равная 8, принята за ось ординат, а его основание, равное 5, принято за ось абсцисс. Найти координаты вершин треугольника. § 2. Расстояние между двумя точками Расстояние d между двумя точками А (хх\ ух) и В (х2\ у2) (длина отрезка АВ или отрезка ВА) равняется корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек, т. е. (о d= Y{xi — x1f + {y2 — y1)\
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 16 В частности, расстояние d точки М (х\ у) от начала координат О (0; 0) (т. е. длина отрезка ОМ) находится по формуле d = V*2 + y2. (2) 25. Найти расстояние между точками: А (2; — 3) и В ( — 1; 1); С( — 3; 4) и D(5; —2); 0(0; 0) и ?(1;—4). Решение. Воспользовавшись формулами (1) и (2), получим: длина АВ = }/¦(— 1 — 2)2 + [1 — (— З)]2 = ^25 = 5; длина CD = j/[5—(—3)]2 + (—2 — 4)2 = ]/Тб0 = 10; длина ОЕ = ]Л2 + (— 4)2 = 1/1 + 16 = 1/Т7. 26. Узнать, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами А(1; 2), В(— 3; 4), С(0; — 2) тупой угол. Решение. Воспользовавшись формулой (1), найдем длины сторон треугольника: АВ = У(— 3—1)2 + (4— 2)2 = 1/16 + 4 = 2J/5; fiC = ]/32 + (— 2 — 4)2 = ]/9 + 36 = 3>/_5; ЛС = 1/12 + [2 — (— 2)]2 = |/1 + 16 = 1/17. Найдем квадраты длин сторон треугольника Л5С: ЛВ2 = 20, ВС2 = 45, АС2 = 17. Отсюда видно, что ВС2 > ЛВ2+ АС2, следовательно, z SAC, лежащий против стороны ВС, тупой, так как он лежит против большей стороны, квадрат которой превосходит сумму квадратов двух других сторон треугольника. 27. Определить расстояние от точки А (6; — 3) до начала координат. 28. Найти расстояние между двумя точками: 1) А(3; 10) и В (2; 4); 2) С(-2;3) и D(0;-1); 3) ?(-3,4;— 1) и F(2; —2); 4) 7W(0; 2) и N(0; — 6). 29. Построить треугольник с вершинами А(3; 2), В (0; 1), С (3; 5) и найти длины его сторон. Какой угол в этом треугольнике тупой? 30. Доказать, что треугольник, заданный вершинами А(0; 0), В(3; 3), С (6; — 6), прямоугольный. 31. Доказать, что треугольник, имеющий своими вершинами точки А(—3; —2), 5(1; 4), С(— 5;0), равнобедренный. 32. Найти координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого А (2; 0), В(3;-1), С(0;-2). 33. Найти точку, равноудаленную от точек (2; 3), (5; 6) и находящуюся от начала координат на расстоянии, равном у 50. 34. На осях координат найти точки, каждая из которых равноудалена от точек (1; 1) и (3; 7).
17 § 3. Деление отрезка в данном отношении 35. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точки (—4; 4) и от начала координат. 36. Найти точку, равноудаленную от точек (0; 0), (2; 2), (0; 2). 37. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек ЛГ(3;-4) и Я (-2; 1). 38. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек Л(0; 5) и В(— 2\— 2). § 3. Деление отрезка в данном отношении Пусть две различные точки А (х^ уг) и В(х2] у2) являются концами отрезка АВ. Координаты точки С{х\ г/), делящей от- резок АВ в отношении X = -^(Х ф — 1), где АС и С В — величины направленных отрезков ЛС и СВ оси, проведенной через точки Л и В, определяются формулами * = Х1 "*Ь Х#2 У = У1 + *02 О) В частности, если точка С (х\ у) делит отрезок АВ пополам, то X = 1, и тогда у _ ХХ+Х2 , ___ У1 + У2 /пч — 2 ' У — 2 ' ^ ' т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам координат его начала и конца. У\ 4(3,2) 39. Отрезок прямой с концами в точках Л (3; 2) и В (12; 8), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления и длину отрезка АВ. Решение. Воспользуем- ся формулой (1). Для точки С (рис. 7) от- АС 1 г> ношение -^ = X = -у. Следовательно, координаты точки С выразятся так: в(ю;в) Рис. 7 з + - 12 Я = = 6; #=¦ 2 + ' = 4. ло Для точки D отношение -„ по формуле (1) - 1+- X = -г- = 2. Следовательно,
Глава 11. Аналитическая геометрия на плоскости 18 X = 3 + 2-12 = 9; У = 2 + 2-8 - = 6. 1+2 - -» * — 1 +2 Координаты точки D можно найти проще, если учесть, что точка D есть середина отрезка СВ, координаты концов которого нам уже известны. Воспользуемся формулой (2), тогда 6 + 12__о. „ 4 + 8 х = = 9; у: = 6. 2 "' * 2 АВ делится на три равные 6). Длина АВ части точками |/(12 —3)2+ (8 —2)2 Итак, отрезок C(6;J^ и D(9; = 1/117- 10,82. 40. Отрезок АВ с концами в точках А(—3; 2) и В (4; — 5) делится то'чкой С в отношении X = — 3. Найти координаты точки деления. Решение. Воспользовавшись формулой (1), получим: ¦ 3 + (-3).4 X = У = 1+(-3) 2 + (-3)(-5) = 7,5; = —8,5. С(7}5гд,5) 41. 1 + (- 3) Итак, искомая точка С (7,5; —8,5) делит отрезок АВ внеш- ЛС ним образом в отношении -^б- = = X = — 3 (рис. 8). Заметим, Рис- 8 что величины АС и СВ имеют противоположные знаки. Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ с кон- А (— 2; — 3) и В (2; 4) в отношении X = -i-, цами в точках х—*-¦ 42. Найти координаты середины отрезка ЛВ, если: 1) Л (2; 5), Я(-3; 8); 2) А (-1; 4), Я (2;-6); 3) 4(0; 0), В(1; 1). 43. Найти точку, симметричную точке А (хг\ yL) относительно точки М (х2\ у2)- 44. Даны середины сторон треугольника М (3; 2), Р(—2;0), Q(l; 3). Найти его вершины. 45. Найти середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А (2; 1), В(— 1; 3), С (4; 5). 46. Найти расстояние от точки (3; — 4) до середины отрезка, концы которого (1; 2) и (5; 4). 47. Проведен отрезок от точки (1; — 1) до точки (—4; 5). До какой точки нужно продолжить его в том же направления, чтобы его длина удвоилась?
19 § 4. Уравнение линии 48. Отрезок AD разделен на три равные части. Точки деления заданы: В (0; — 1), С (2; — 3). Найти координаты концов отрезка AD. 49. Даны вершины треугольника: А (5; 3), В (2; — 1), С(1; 4). Определить длины медиан и вычислить координаты точки их пересечения. 50. Даны точки Л(1; — 1) и В (4; 5). До какой точки нужно продолжить отрезок АВ (в направлении от Л к В), чтобы получился отрезок, длина которого была бы в три раза больше длины отрезка АВ? 51. Найти точку, делящую отрезок между точками Рг(—2; 3) 2 и Р2 (4; 6) в отношении X = -^-. 52. В точках А (4; 6) и В(—2; 7) помещены грузы весом соответственно 60 и 40 Г. Найти координаты центра тяжести этой системы. 53. В точках А (2; — 3) и В (5; 3) приложены параллельные силы, соответственно равные 20 и 30 кГ. На отрезке АВ найти точку приложения равнодействующей. 54. Даны вершины треугольника: Л(3; 2), В (6; —2), С(—5; —4). Найти точку пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС и ее длину AD. 55. В точках А(— 1; 0), В (—2; 4), С (4; — 5) помещены грузы весом соответственно 30, 50 и 70 Г. Определить центр тяжести этой системы. 56. Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике длина медианы, соединяющей вершину прямого угла с серединой гипотенузы, равна половине гипотенузы. 57. Разделить отрезок, заключенный между точками А (0; 2) и В (8; 0), в таком же отношении, в каком находятся расстояния этих точек от начала координат. § 4. Уравнение линии. Построение линии по ее уравнению Геометрическим местом точек называется множество точек, обладающих каким-либо общим для них геометрическим свойством, причем точки, не принадлежащие этому множеству, указанным свойством не обладают. Линию на плоскости можно рассматривать как геометрическое место точек. Например, окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром; биссектрисой угла называется геометрическое место точек, каждая из которых находится на одина-
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 20 ковом расстоянии от его сторон; перпендикуляр, проведенный через середину данного отрезка, есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка, и т. п. Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение между переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей ей. Уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат имеет такой вид: у = / (х) или F (х, у) = 0 (уравнение, не решенное ни относительно г/, ни относительно х). Переменные х и у называются текущими координатами. Они могут принимать значения, равные координатам любой точки данной линии. В аналитической геометрии приходится решать две основные задачи: 1) дана линия как геометрическое место точек, требуется составить ее уравнение; 2) дано уравнение, требуется построить линию, изображаемую этим уравнением. 58. Найти уравнение окружности с центром в точке С (2; 3) и радиусом R = 5 (рис. 9). Лежат ли на этой окружности точки А (5; 7), В(6; 0), ?(—1; 5) и D(l; — 3)? Решение. По определению окружности расстояние любой точки М(х; у), лежащей на ней, от ее центра С (2; 3) равно длине радиуса R = 5, т. е. СМ = R или ]/'(х—2f-\~{y—3)2=5, отсюда (х — 2)2 + (У — З)2 = 25. Можно записать и так: (х—2)2 -f- 4-(у_3)2 —25 = 0. Мы получили уравнение искомой окружности. Нетрудно видеть, что это уравнение имеет вид F(x, y) = 0. Чтобы проверить, лежит ли данная точка на окружности, надо в уравнение кривой подставить вместо текущих координат значения координат этой точки; если окажется, что координаты точки удовлетворяют данному уравнению, то точка лежит на кривой, в противном случае не лежит. Так, точка А имеет координаты х = 5 и у = 7. Подставив эти значения в уравнение окружности, получим: (5 — 2)2 + (7 — З)2 = 25, т. е. 25 = 25. Отсюда видно, что точка А (5; 7) лежит на окружности, так как ее координаты удовлетворяют Рис. 9 уравнению окружности. Мб ,7)
21 § 4. Уравнение линии Точка В (6; 0) также лежит на окружности, так как (6 — 2)2 + (0 — 3)2 = 25. Точка ?(—1; 5) не лежит на окружности, так как (-1-2)2 + (5-3)2^25, т. е. координаты точки Е(—1; 5) не удовлетворяют данному уравнению. Эта точка лежит внутри круга, границей которого является данная окружность, так как расстояние от точки до центра круга меньше длины радиуса, т. е. ]/32 + 22<5. 41 М(Х)У) F(0,2) | 0\1 А X °) X | 0 1 2 3 I ч 5 -/ ~2 '3 ~ч I. У ] / 1(k 2 №\ 5 V/ч Ф\ 2 ! ЗЩ 5 I 6) Рис. 10 Точка D(l; — 3) лежит вне круга, так как расстояние от этой точки до центра С (2; 3) больше длины радиуса, т. е. У(1— 2)2 — (— 3 — 3)2> 5. 59. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси Ох и от точки F(0; 2). Построить кривую. Решение. Пусть М (г, у) — подвижная точка, описывающая кривую (координаты х и у текущие). Тогда по условию задачи расстояния точки М от оси Ох и от точки F одинаковы (рис. 10, а), т. е. AM = FM или У = У*2 + (у-2)\ отсюда уг = х2 + (у — 2)2. Полученное уравнение приведем к виду y = f(x), т. е. решим его относительно у. Окончательно будем иметь Это уравнение параболы. Построим эту кривую. Будем придавать различные значения х и из уравнения находить соответствующие значения у. Получим несколько пар значений (х\ у)* Результаты вычислений запишем в виде таблицы (10, б).
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 22 Теперь построим в прямоугольной системе коррдинат точки, соответствующие парам чисел таблицы, и соединим их плавной кривой (рис. 10, б). 60. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси Оу и от точки F(4; 0). Построить кривую. 61. Найти уравнение окружности с центром в точке О(0; 0) и радиусом R = 6. Лежат ли на этой окружности точки Л(0; 6), В (—6; 0), С(4;-3), D(l; 6), ?(5; j/TT)? Построить кривую. 62. Какой геометрический образ соответствует уравнению (я* _ 9)2 + (у2 — 4)2 = 0? 63. Написать уравнение линии, по которой движется точка М. (х\ у), равноудаленная от двух данных точек: А (0; — 2) и В(1; 3). Построить линию по ее уравнению. 64. Написать уравнение линии, по которой движется точка М(х\ у), равноудаленная от начала координат и точки А (4; 1). Лежат ли на этой линии точки В(1; 1), C(-«-; 0 , D(5; 12,5), Е (2; 0,5)? v * ) 65. Найти уравнение геометрического места точек, каждая из которых удалена от оси Ох на расстояние в 5 раз большее, чем от оси Оу. 66. Составить уравнение геометрического места точек, расстояние которых от оси Оу в три раза больше, чем* от оси Ох. 67. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси Оу и от точки А (6; 5). 68. Проверить, проходит ли кривая, заданная уравнением Ах2 — 5ху + 2у — 10 = 0, через точки Л(0; 5), В (2; 4), С(1; 2). Найти точки пересечения этой кривой с осями координат. 69. Найти уравнения биссектрис координатных углов. 70. Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых расстояние от точки А (4; 0) вдвое больше, чем от точки В(1; 0). 71. Построить линии, данные уравнениями: 1) у = cos х; 2) у = 2Х\ 3) у = log2r, 4) у = 2х\ 5) у = х\ 6) у = —2х\ 7) у = х*\ 8) у = х4; 9) у = хь + 2; 10) у2 = хг. 72. Определить точки пересечения с осями координат линий: 1) 4х + у — 5 = 0; 2) у = Зх2 — 4; 3) у2 = х — 4; 4) у = 2х — 3; 5) 2* + 3# = 0; 6) у = sin *; 7) у = — 2% — 3; 8) у = х3 + 2. Построить эти линии.
23 § 5. Уравнения прямой § 5. Уравнения прямой с угловым коэффициентом, прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, прямой, проходящей через две данные точки, и прямой в отрезках. Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой 1. Угол а, образованный прямой / с положительным направлением оси Ох, называется углом наклона данной прямой (рис. 11). Условимся угол а отсчитывать от положительного направления оси Ох к прямой 1 против часовой стрелки. Поэтому будем считать, что 0 < а < тс. Угловым коэффициентом прямой называют тангенс угла наклона и обозначают его обычно буквой k (tga = k). Буквенные постоянные, входящие в уравнение линии, называют- У^ °\ х с я параметрами. Уравнение прямой, не параллельной оси Оу, с угловым коэф- Рис и фициентом имеет вид y = kx + b, (!) где Ъ и k — параметры (6 — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу\ k — угловой коэффициент прямой); х и у — текущие координаты. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (k = 0) с начальной ординатой Ь, имеет вид у = Ь. (2) Если 6 = 0, то у =* 0 есть уравнение оси абсцисс. Уравнение прямой, параллельной оси ординат, имеет вид х = а, (3) где а — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси абсцисс. Если а = 0, то х = 0 есть уравнение оси ординат. 2. Уравнение прямой, не параллельной оси Оу, проходящей через данную точку А{хг\ уг) в заданном направлении, можно записать так: У — Уг = к{х — хд- (4) Если угловой коэффициент k в уравнении (4) рассматривать как переменную величину, то это уравнение будет уравнением пучка прямых, проходящих через данную точку.
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 24 3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(хг\ уг) и В{х2\ у2) можно записать так: (х2фхъ УъфУг). (5) У — У1 х — хх У 2 — У\ Х2 Х1 Из уравнения (5) следует, что угловой коэффициент данной прямой определяется координатами двух любых точек А (хг\ уг) и В{х2\ у2), принадлежащих этой прямой, по формуле k = У2~У1 . (6) х2 — Х1 4. Уравнение прямой в отрезках имеет вид где а и b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. 5. Из уравнения (5) следует, что если три данные точки А{хг\ уг), В(х2\ у2) и С(х3', у3) лежат на одной прямой, не параллельной координатной оси, то выполняется условие Уз — Уг _ хз — х1 /о\ У2 — У\ х2 — х\ 73. Найти уравнение прямой, образующей с осью Ох угол 135° и пересекающей ось Оу в точке (0; 5). Выяснить, проходит ли эта прямая через точки Л (2; 3) и Б (2; — 3). Построить прямую. Решение. Из условия задачи следует, что отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, 6 = 5, угловой коэффициент & = tgl35° = — 1. Следовательно, по формуле (1) имеем У = — х + Ъ. Подставляя в искомое уравнение прямой координаты точки Л вместо текущих координат, получим 3 = — 2 + 5, т. е. 3 = 3. Так как координаты точки Л удовлетворяют уравнению прямой, то прямая проходит через эту точку. Подставляя в уравнение координаты точки В, получим — 3:? — 2 + 5, т. е. —3^fc3. Координаты точки В не удовлетворяют уравнению, следовательно, прямая не проходит через точку В. Известно, что положение прямой определяется двумя точками, принадлежащими ей. Поэтому для построения прямой по ее уравнению можно найти любые две точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, построить их и через них провести прямую. Построенная прямая будет искомой. Пусть х = 1, тогда у = — 1+5 = 4, если х = —2, то у = =2 + 5 = 7.
25 § 5. Уравнения прямой Таким образом, мы получили две точки Р(1; 4) и Q(—2; 7). Построим эти точки и через них проведем прямую (рис. 12). Заметим, что уравнение данной прямой содержит свободный член, следовательно, эта прямая пересекает оси координат. Найдем точки пересечения прямой с осями координат и проведем через них искомую прямую. Такой способ построения прямой проще. Чтобы найти точку пересечения прямой с осью Оу, надо в уравнении положить х = 0 (любая точка, лежащая на оси ординат, имеет абсциссу, равную 0), тогда у = 5. Обозначим эту точку буквой С (0; 5). Теперь пусть у = 0 (любая точка, лежащая на оси абсцисс, имеет ординату, равную 0), тогда 0 = = — * + 5, х = 5. Обозначим эту точку буквой D (б; 0). Построим эти точки и проведем через них искомую прямую (см. рис. 12). 74. Построить прямую у = Ъх. Построение. Прямая проходит через начало координат, т. е. она проходит через точку О(0; 0). Найдем вторую любую точку, координаты которой удовлетворяют уравнению данной прямой. Пусть х = 1, тогда у = 3 и, следовательно, вторая точка будет Л(1; 3). Через точки О к А проводим искомую прямую, уравнение которой у = Ъх (рис. 13). 75. Написать уравнение прямой, параллельной оси Ох и отсекающей от оси Оу отрезок, равный — 2. Проверить, лежат ли на этой прямой точки А (2; — 2) и В(3; 2). Решение. Согласно условию задачи, угловой коэффициент & = 0, начальная ордината Ь = —2, следовательно, искомое уравнение прямой у = —2. Нетрудно видеть, что координаты любой точки М (х\ — 2) удовлетворяют этому уравнению. Точка А лежит на искомой прямой, так как координаты ее удовлетворяют уравнению прямой у = — 2. Точка В не лежит на прямой, так как координаты ее не удовлетворяют уравнению прямой у = —2 (рис. 14). 76. Написать уравнение прямой, параллельной оси Оу и отсекающей от оси Ох отрезок, равный 3. Проверить, лежат ли на этой прямой точки Л(3; 4) и В(—3; 2). Решение. Согласно условию задачи, искомое уравнение
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 26 прямой х = 3. Заметим, что координаты любой точки М (3; у) удовлетворяют этому уравнению. Точка А лежит на искомой прямой, так как координаты ее удовлетворяют уравнению прямой х = 3. Точка В не лежит на этой прямой, так как координаты ее не удовлетворяют уравнению прямой х = 3 (рис. 15). Н 7 Рис. 13 °3(3,2) х А (2, -2) У-2 Рис. 14 77. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2; 2) и составляющей с осью Ох угол 60*\ Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении (4). Согласно условию, k = tg 60° = Y 3, следовательно, искомое уравнение прямой будет у — 2 = VT(* — 2) или у = х|/1Г+ 2(1 — J/1T). 78. Найти угловой коэффициент прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат, зная, что прямая проходит через точки Af(2; —1) и Р(—1; 8). Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки (5). Подставляя в уравнение вместо хъ Уъ *2> Уг координаты точек М и Р, получаем г/-(-1) х —2 отсюда У+1 9 8- я -(-1) -2 -у ИЛИ # = - — 1—2 */+1=- - Зл: + 5. ¦3(х-2), Искомое уравнение прямой мы привели к уравнению с угловым коэффициентом, т. е. к уравнению вида у = kx + 6. Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой k=—3 и начальная ордината Ъ — 5. Угловой коэффициент можно найти также и по формуле (6): У%-Уг 8-(-1). * = ¦ Х% — Х\ — !• — 3.
27 § 5. Уравнения прямой 79. Написать уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, величины которых соответственно равны 3 и —5. Решение. Воспользуемся уравнением прямой в отрезках (7). Согласно условию, а = 3, Ъ = —5, следовательно (рис. 16), + 3 ' -Б 1 или- 1. ВЫ, 2) х=3 А (3,4) Рис. 15 Рис. 16 80. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки: 1) Л(1; 2), В (2; 4), С(3; 6); 2) D(2; 3), F(-2; l), F(3; 4). Решение. Проверим выполнение условия (8). 6-2 3—1 4 2 1)т=2=Т=Т или -T=— Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой, выполнено, следовательно, точки Л, В, С лежат на одной прямой. оч 4 — 3 , 3 — 2 1/1 2)Т=ГЗ-^ -2-2 ИЛИ-^-з-. Условие (8) не выполнено, следовательно, точки D, E, F не лежат на одной прямой. 81. Прямая пересекает ось Ох в некоторой точке М и проходит через точки Л(—2; 5) и 6(3; — 3). Найти координаты точки М. Решение. Точки А(—2; 5), 6(3; —-3), М(х\ 0) лежат на одной прямой, следовательно, должно выполняться условие (8): 0 — 5 л: — С— 2) 5 х + 2 отсюда х = 1 -3-5 1 х — (— 2) 5 1=Ы ИЛИ 7" Точка Af -;о) искомая. 82. Построить прямые, заданные следующими уравнениями: 1) у = -^-х; 2) г/=Зх-2; 3) у = 1-х; 4) г/ = 5; 5) х = — 6; 6) г/ + а; = 0; 7) 2* + 3 = 0; 8) у = 2х — 3,
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 28 83. Проходит ли прямая у = Зх + 13 через точки А (5; — 1), В(-4; 1), С(3; 2), D(5; 7), ?(-5; -2)? 84. Составить уравнение геометрического места точек, расстояние каждой из которых от прямой х = 3 равно расстоянию от точки (4; —2). 85. Написать уравнение линии, по которой движется точка М(х\ у), оставаясь Бдяое дальше от оси Ох, чем от прямой х=—3. 86. Найти уравнение прямой, образующей с осью Ох угол 120° и пересекающей ось Оу в точке (0; 5). 87. Найти уравнение прямой, параллельной оси Оу и отсекающей на оси Ох отрезок, равный — 5. 88. Найти уравнение прямой, образующей с осью Ох угол 60° и пересекающей ось Оу в точке (0; —4). 89. Определить параметры k и Ъ прямой, проходящей через точку (2; 3,1) и составляющей с осью Ох угол 45°. Написать уравнение этой прямой. 90. Найти уравнение прямой, параллельной оси Ох и пересекающей ось Оу ё точке (0; 3). 91. Найти уравнение прямой, параллельной оси Оу и пересекающей ось Ох в точке (— 5; 0). 92. Составить уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент 3 и отсекающей на оси Оу отрезок, равный 4. 93. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3) и имеющей угловой коэффициент, равный — 5. 94. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; —3) и образующей с осью Ох угол, равный arctg 2. 95. Найти уравнение прямой, проходящей через точку 2; з~) и образующей с осью Ох угол 0°. 96. Равнобедренная трапеция с основаниями 6 и 2 еж имеет острый угол 45°. Написать уравнения сторон трапеции, приняв за ось Ох большее основание и за ось Оу — ось симметрии трапеции. 97. Написать уравнение пучка прямых, проходящих через точку Л(3; 4). Выбрать из этого пучка прямые, составляющие с осью Ох углы: 1) 0°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 135°, и построить их. 98. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, равные 3 и 5. 99. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (4; —5) и отсекающей от осей координат треугольник площадью 5 кв. единиц. 100. Какая зависимость должна быть между коэффициентами а и 6, чтобы прямая — + -|- = 1 образовала с осью Ох угол: 1) 45°; 2) 60°; 3) 135°?*
29 § 6. Угол между двумя прямыми 101. Найти площадь треугольника, образующегося при пересечении прямой Зх + Ау — 12 = 0 и осей координат. 102. Найти уравнение прямой, проходящей через точки Л(2; _4-)иВ(-1;4-). 103. Составить уравнения прямых, проходящих через пары точек: 1) (1; 3) и (2; 4); 2) (-1; -4) и (0; 5); 3) (1; 3) и (1; -7); 4) (2; -5) и (4; -5); 5) (0; 4) и (2; 0). 104. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку (—1; —8). 105. Построить прямую, проходящую через начало координат и через точку ( — 2; 3). Написать ее уравнение. 106. Дан треугольник с вершинами Л (2; 3), В (—2; 1), С (5; 0). Написать уравнения сторон треугольника. 107. Проверить, лежат ли три точки в каждом из следующих случаев на одной прямой: 1) (2; —3), (4; 7), (4; 17); 2) (2; -3), (4; 7), (8; 15); 3) (-4; - 1), (5; 2), (8; 3); 4) (1; 2), (2; 4), (7; 8). 108. Прямая пересекает ось Оу в некоторой точке С и проходит через точки Л (2; 5) и В(—7; —3). Найти координаты точки С. § 6. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой. Точка пересечения двух прямых. Расстояние от точки до прямой 1. Угол ф, отсчитанный против часовой стрелки от прямой с угловым коэффициентом кг до прямой с угловым коэффициентом k2, определяется из соотношения 2. Условие параллельности двух прямых: k2 = k±. 3. Условие перпендикулярности двух прямых: k2 = -г- или 4. Нормальное уравнение прямой имеет вид x-cosa + y-smoL — p== 0, (2) где р — длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала Рис 17 координат на прямую, а а — угол между положительным напряжением оси Ох и перпендикуляром ОР (рис. 17).
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 30 Чтобы привести общее уравнение прямой Ах + By + С = 0 (3) к нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель М~± уД2 , Bf (знак выбирается противоположный знаку СфО. При С = 0 можно брать любой знак). 5. Расстояние d от данной точки (х0\ у0) до прямой (2) определяется по формуле d = | х0 cos a + yQ sin а — р | (4) и до прямой (3) по формуле Ах0 + ВУо + С d = (4') ± ]/ Л2 + В2 Если в формулах (4) и (4') отбросить знак абсолютной величины (рфб и СфО), то при вычислениях будем получать число S со знаком плюс в том случае, когда начало координат и данная точка находятся по разные стороны от прямой (см. рис. 17), и со знаком минус, когда они находятся по одну сторону от прямой. В первом случае d = 8, во втором d = —о. В обоих случаях d = | 31. 6. Чтобы найти точку пересечения двух прямых, угловые коэффициенты которых к1фк2, надо решить систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых. 109. Найти угол между двумя прямыми: 1) у = —2х, у= 3* + 5; 2) Ах + 2г/ — 5 = 0,6л: + Ъу + 1 = 0; 3) \/Зх — у — 2 = 0, |/Зх + */—1 =0; 4) 2х + Зу — 1 = 0, Ъх — 2у + 1 = 0; 5) 3* + Ау — 5 = 0, Ъх — 2# + 7 = 0; 6) г/=2х + 3, г/-4 = 0; 7) 2* — Ау + 7 = 0, х — 5 = 0. Решение. 1) fex = —2, k2 = 3, следовательно, по формуле (1) получим фис. 18, а): ^ф = тт^ = ТТ:й1з- = -1'Ф=1350; 2) йх = —2, &2 = —2, следовательно, т. е. данные прямые параллельны;
31 § 6. Угол между двумя прямыми 3) ?i = ]/3, &2 = получим У 3, следовательно, по формуле (1) tg<P = -УТ-^З 4) &i= о-; &2 = -о". 1+(-/3)-^3 2 =-=|/3, ф = 60°; У*Зх+5 5) Рис. 18 Нетрудно видеть, что ^2 = — 1, следовательно, эти две прямые образуют угол 90°, т. е. они взаимно перпендикулярны; 5) оба уравнения решим относительно у. Получим уравнения прямых с угловыми коэффициентами У —Г*+ 4 5 5,7 3 5 Отсюда видно, что kx = j-, k2 = -«-, следовательно, tg<P = К) 1 + _26 7 *—3,714, ф^105°4'; 4/2 6) &! = 2, fe2 = 0, следовательно, *8 Ф = 1°-Г220 = ~ 2> Ф^ ! 16°34'' 7) fei = tga1 = -g-, отсюда a^arctg-g- (рис. 18,(5). Прямая а: — 5 = 0 параллельна оси Оу или перпендикулярна к оси Ох, следовательно, а2 = 90°. Таким образом, ф = а2 _ ч = 90° — arctg -L « 90° — 26°34' = 63°26'. ПО. Написать нормальное уравнение прямой, если длина нормали р = 3, а угол а, образованный ею с положительным направлением оси Ох, равен 45°; 315°.
Г/ава II Аналитическая геометрия на плоскости 32 Решение. Воспользуемся формулой (2). По условию: 1) р = 3, а = 45°, следовательно, x-cos 45° + у. sin 45° — 3 = О или 2) р = 3, а = 315°, следовательно, x-cos315° + t/-sin315° — 3 = О или У 2 V2 -х — Чг-у- 5"* ^*-3 = 0. 111. Привести к нормальному виду уравнения прямых: 1) 2х — Ъу — 10 = 0; 2) Ъх + 4у = 0. Решение. В первом уравнении С = — 10, следовательно, нормирующий множитель М надо взять со знаком плюс: 1 = 1 М=- ]/ 22 + 32 Умножив все члены уравнения на этот множитель, получим уравнение прямой нормального вида: 2 3 10 п /13 ]Лз уТз Во втором уравнении С = 0, следовательно, нормирующий множитель можно взять с любым знаком, например со знаком плюс: J Jl_ 5 * м = - /З2 + 42 Умножая все члены данного уравнения на этот множитель, получим уравнение нормального вида: -^х + ^у^О. 112. Найти расстояние точек: 1) А(—2; —3) от прямой 8*+ 15г/ + 27 = 0; 2) ?(2; —5) от прямой 6* + 8г/ — 7 = 0. Решение. 1) Воспользовавшись формулой (4'), получим |8(— 2)+15(— 3) + 27[ d = — 34 17 2. - У 64 + 225 Начало координат и точка А находятся по разные стороны от прямой, в соответствии с этим мы получим 8 = 2>0. 6.2 + 8(-5) —7 2) d = — 3,5 = 3,5. У 36 + 64 Начало координат и точка В находятся по одну сторону от прямой, в соответствии с этим 8 = —3,5 < 0.
33 § 6. Угол между двумя прямыми 113. Дан треугольник с вершинами А (4; 6), В(—3; 0), С (2; —3). Найти углы треугольника, уравнения биссектрисы ЛО, высоты СЕ и точку их пересечения. Решение. Угловые коэффициенты прямых АВ> ВС, АС (рис. 19) найдем по формуле (6) § 5: клв = 1 — У1 Х% Xi 0 — 6 -3 —4: 7; квс — 2-( —з) -3 — 6 _ _9_ 2 — 4 ~~ 2 ' — т-*; ^с = Теперь найдем углы треугольника, воспользовавшись формулой (1): 9 6 tgA = kAC — kAB 1 + kAC'kAB tgfi = — 1 + -9^g- = ±, A = arctg 0,75 * 36°52'; i+2-7 _6_ 7 K)f 3,B = arctg3 = 71°34'; tgC = 1 + (-4 = 3, С = arctg 3, следовательно, В = С^7Г34', т. е. Д ABC равнобедренный. Для нахождения уравнения биссектрисы угла А надо сначала написать уравнения сторон АВ и АС данного треугольника. Уравнение АВ: у — 6 х- MW) 0 — 6 —3 — 4 ИЛИ 6х — 7у+ 18 Уравнение АС: у-6 0, или * —4 ¦ 3 — 6 ~ 2 — 4 9х — 2у — 24 = 0. Рис. 19 Пусть точка М(Х; Г) лежит на биссектрисе AD(X и К — текущие координаты биссектрисы), тогда она будет одинаково удалена От сторон АВ и АС угла А.
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 34 Расстояние d± точки М(Х\ Y) от стороны АВ с учетом того, что начало координат и точка М находятся по одну сторону от прямой ЛВ(81<0), можно записать так: , * ех — iy +18 — /36 + 49 Аналогично расстояние d2 точки М от прямой АС: , й 9Х —2Г —24 ад = — о? = '". • 2 2 /81+4 Следовательно, уравнение биссектрисы AD: А А 6Х —7Г+18 9Х —2Г —24 Ui = а2, Т. е. —¦ " / = -, 1 2 -/85 /85 или после упрощений: 5Х —37-^-2 = 0. Теперь напишем уравнение СЕ. По условию прямая СЕ перпендикулярна к прямой АВ, следовательно, kcE = g—, т. е. kCE = Q-. Учитывая также, что прямая СЕ проходит через точку С (2; —3), напишем искомое уравнение прямой СЕ: у — ( — 3) = g-(* —2) или 7х + 6г/ + 4 = 0. Найдем точку пересечения F прямых AD и СЕ, для этого решим систему уравнений: 7х + 6# + 4 = 0 5^ — Зг/ — 2 = 0 , 7* + 6у + 4 = 0 + 10* — 6# — 4 = 0, 17* = 0 т. е. * = 0, следовательно, у = д-. Итак, искомая точка пересечения указанных прямых 114. Построить прямые, заданные следующими уравнениями: 1) Зх + 2г/+1 = 0; 4)— % + 2г/ = 0; 7)^-2 = 0; 2) х — 4у + 2 = 0; 5)х + 3 = 0; 8)2г/ + 3 = 0; 3)2х + Зг/ = 0; 6) Ах — 3 = 0; 9) х — у = 0; 10) х + у = 0. 115. Проходит ли прямая 2х + Зг/ + 5 = 0 через точки Л (-4; 1), В (4; -1), С (5; -5), D(7; 9)? 116. Определить параметры к и & для каждой из прямых: 1) 2х-Зг/+1 = 0; 2) 7x + 6t/ = 5; 3) -J- + -|-=l; 4) у = 2; 5) 2х + 5# = 0; 6) 2х — 5у = 0.
35 § 6. Угол между двумя прямыми 117. Уравнение прямых: 1) 2х — 7^+14 = 0, 2) х — 8у— — 12 = 0, 3) Ъх — у + 3 = 0, 4) 9л: + 10у — 30 = 0 привести к виду уравнения в отрезках. 118. Найти точки, в которых прямая 6л: — 4у — 3 = 0 пересекает оси координат. 119. Найти угловые коэффициенты прямых: 1) х — у — 5 = 0; 2) 6л: — Зг/ + 7 = 0; 3) Зх + 2у — 1 = 0; 4) 0,7х+2у—8=0; 5) 2л: + Зу = 0; 6) 0,36л: + 0, \8у + + 0,1 = 0. 120. Доказать, что следующие пары прямых параллельны: 1) 6л: + у — 3 = 0, 12л: + 2у + 7 = 0; 2) х + 2у — 1 = 0, 2л: + Ау + 3 = 0; 3) х + 3 = 0, 2л: + 5 = 0; 4) Зу-4 = 0, 4*/ + 9 = 0. 121. Доказать, что пары прямых, заданные уравнениями: 1) х — 2^ + 3 = 0, — Зх + бу — 9 = 0; 2) х = 2# + 1, 4#— 2л: + 2 = 0; 3) л: —3# = 0, 2л: — 6# = 0, совпадают. 122. Доказать, что следующие пары прямых взаимно перпендикулярны: 1) х — 2г/ + 5 = 0, 2х + г/ — 7 = 0; 2) Зл: + 5# —9 = 0, Юл: — 6*/ + 1 = 0; 3) х + у = 0, л: —г/ = 0; 4) х + 5 = 0, У+1 = 0. 123. Доказать, что следующие пары прямых пересекаются, и найти точку их пересечения: 1) х + у — 3 = 0, 2х + 3у — 8 = 0; 2) х + у + 2 = 0, 2х + 5у — 3 = 0\ 3) л: Н-1 = 0, х + 2у = 0; 4) 2л: + #-1 = 0, */ + 3 = 0; 5) х + 2 = 0, у— 1=0. 124. Среди прямых 2х — Зу + 2 = 0, 4х — 6у + 3 = 09 4х + 6у + 1 = 0, Зл: + 2z/ — 5 = 0 указать параллельные и перпендикулярные. 125. В точках пересечения прямой х — Зу — 5 = 0 с осями координат восставлены перпендикуляры к этой прямой. Найти их уравнения.
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 36 126. Найти угол между двумя прямыми: 1) # = 4"* + 3 и #=3*-5; 2) у = 2>х + 1 и у = Ъх + 2; 3) */ = 2л: — 1 иу= 2"^+1'» 4) 2х + Зу — 1 = 0 и 4х + 6у + 3 = 0; 5) 2х — у +5 = 0 и jc + Ъу — 2 = 0; 6) 4х + 3*/ — 1 = 0 и х + 2у = 0; 7) jc + Ау + 3 = 0 и 5у + 2 = 0; 8) у = 2х + 5 и х = 3. 127. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с прямой у = 2х + 3 угол 45°. 128. Найти вершины и внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями х + Ъу — 2 = 0, 2х + у-\- + 5 = 0, Ъу + 4 = 0. 129. Найти угол между прямой 2х — Ъу + 6 = 0 и прямой, проходящей через точки (4; —5) и (—3; 2). 130. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку А (5; — 1) параллельно прямой, соединяющей точки В (0; 3) и С (2; 0). 131. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (2; 3) и перпендикулярной к прямой у = 0,5л: + 3. 132. Найти уравнение перпендикуляра, восставленного в середине отрезка, соединяющего точки (— 5; —1) и ( — 3; 4). 133. Найти прямую, проходящую через точку (2; —3) и параллельную прямой Ъх — 2у + 2 = 0. 134. Найти уравнение прямой, проходящей через точку ("з"' т) и чеРез Т0ЧКУ пересечения прямых Зх — Ъу—11 =0 и 4л: + у — 7 = 0. 135. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х — 3# + 2 = 0, 5л: -f 6# — 4 = 0 и параллельной прямой 4л: + у — 7 = 0. 136. Зная уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника у = 5 и х + у + Ъ = 0, написать уравнение третьей стороны при условии, что она проходит через начало координат. 137. Построить прямую, если длина нормали р = 5, а угол а, образованный ею с положительным направлением осиОл:, равен: 1) 30°; 2) 150°; 3) 210°; 4) 330°. Написать уравнения этих прямых. 138. Привести к нормальному виду уравнения прямых: 1) 2л: — Ъу — 5 = 0; 2) х + у+ 1 =0; 3) у = 2х + 5\ 4) у= — Зх + 2; 5) 3^ — 4^—15 = 0.
37 § 6. Угол между двумя прямыми 139. Даны уравнения прямых: 1) 2х-3*/ + 5 = 0; 2) 1х-^у-1=0; 3)|* + -iy-2 = 0; 4)Цх-^-1=0; 5) х — 5 = 0; 6) г/ — 7 = 0. Укажите, какие из этих прямых представлены нормальными уравнениями. 140. На каком расстоянии от начала координат находятся прямые: 1) 2х + 3у — 4 = 0; 2) х—2*/ + 3 = 0; 3) 2* + # = 0; 4) у^х — 2- 5) у = — 3; 6) * -f 5 = 0? 141. Найти расстояние от точки А\2\ —П до прямой х + + 2*/-4 = 0. 142. Найти расстояние между параллельными прямыми 2х + 3у — 8 = 0 и 2х + 3#—10 = 0. 143. Показать, что прямые 2х — 3# = 6 и Ах — 6у = 25 параллельны, и найти расстояние между ними. 144. Найти k из условия, что прямая y = kx-\-3 удалена от начала координат на расстояние d = j/T. 145. Найти расстояние точек: 1) А (2; 3); 2) В(0; —5); 3) С( — 2; —3); 4) D(l; 5) от прямой Зх + Ау — 3 = 0. Построить точки и прямую. 146. Найти расстояние от точек: 1) (2; 1); 2) ( — 3; 2); 3) (5; — 1); 4) (0; —3); 5) (0; 0) до прямой 2х + 3у = 0. 147. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами Л (2; 3), В (-5; 1), С(0; -2). 148. Как расположены точки А (2; —1), В( — 3; 1) и начало координат относительно прямой х + 4у —- 5 = 0? 149. Как расположены точки А(2; 1), В(—1; 3), С( — 2; — 2) относительно прямой х + 2г/ = 0? 150. Дан треугольник с вершинами А (0; 5), 6(3; 1), С( — 6; — 3). Найти уравнение медианы СЕ, биссектрисы AD и точку F их пересечения. Сделать чертеж. 151. Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми 4х — 6у + 7 = 0 и Зх + 2у — 2 = 0. Проверить, что эти биссектрисы взаимно перпендикулярны. 152. Найти уравнение геометрического места точек, удаленных от прямой 3* — 4*/+10 = 0 на расстояние, равное 2,
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 38 § 7. Смешанные задачи на прямую 153. Отрезок АВ делится в точке С( — 3; 0) в отношении 2 — X = у. Найти длину АВ, если дана точка А( — 5; —4). 154. Дано уравнение первой степени: Зх — 2 2t/— 1 __ - 4 2 ~" 1в Найти для соответствующей прямой ее: 1) общее уравнение; 2) уравнение с угловым коэффициентом; 3) уравнение в отрезках; 4) нормальное уравнение. 155. Прямая проходит через точки А(— 1; 3) и В(4; 5). Найти длину отрезка, отсекаемого ею на оси абсцисс. 156. Определить свободный член уравнения прямой 2х— — Ъу + с = 0, если эта прямая проходит через точку пересечения прямых х + 2у = 0 и л: — Зг/ + 2 = 0. 157. Найти уравнение перпендикуляра, восставленного к прямой я — у + 1 = 0 в точке ее пересечения с осью Ох. 158. Найти уравнения двух перпендикуляров к прямой 6х —- Ъу — 7 = 0, восставленных в точках пересечения ее с осями координат. 159. При каком значении параметра а уравнения 8ах — Ъу + + 2 = 0 и Ах — Ту— 1 = 0 изображают: 1) параллельные прямые; 2) взаимно перпендикулярные прямые? 160. Определить, при каком значении b прямая by+ 5 = 0 пройдет через точку пересечения прямой х + 2у — 3 = 0 с осью Оу. 161. На прямой 2х — у+ 4 = 0 найти точку, равноудаленную от точек А (4; 1) и В( — 2; —3). 162. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых х + у — 2 = 0 и Ъх + 2у — 5 = 0 перпендикулярно к прямой Ъх + Ау — 12 = 0. 163. База А берет за перевоз тонны груза k± руб. База В — k2 руб. и дополнительно b руб. за погрузку 1 т. Когда выгоднее пользоваться услугами базы А и когда базы В, если К > fe2? 164. Какая должна быть зависимость между коэффициентами а и 6, чтобы прямая ^ + -|- = 1 образовала с осью Оу углы: 1) 30°; 2) 60°? 165. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки (—1; 2) на прямую Ъх — Ъу — 21 =0. 166. При каком значении коэффициента m прямая у = tnx + 3 проходит через точку пересечения прямых 2х — у + 1 = 0 и у = х + 5?
39 § 7. Смешанные задачи на прямую 167. Найти острый угол между прямыми х + у — 5 = 0 и х + 4у — 8 = 0. 168. Определить угол между прямой 2х — Ъу + 5 = 0 и прямой х = 0. 169. Найти угол между прямой у = 0и прямой х = 0. 170. Заданы уравнения диагоналей квадрата 4# — Ъу + 3 = 0, 5л: + Ау — 27 = 0 и координаты одной из его вершин А (— 1; 8). Найти уравнения всех сторон квадрата. 171. Написать уравнения сторон квадрата, две противоположные вершины которого есть точки Л(1; 3) и С (6; —2). 172. Даны три последовательные вершины параллелограмма ABCD Л(1; 4), В(3; 9) и С (8; 9). Найти координаты вершины D и написать уравнение диагонали BD. 173. Даны координаты двух смежных вершин квадрата Л(1; 4) и В (4; 0). Найти уравнения всех его сторон, если известно, что вершина квадрата С находится на оси ординат. 174. По координатам трех вершин параллелограмма А (7; 2), В(5; —3), С(—1; 5) найти координаты четвертой вершины D, если АВ является одной из диагоналей параллелограмма. 175. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: л: + 2г/ = 4, л: + 2г/ = 10 и уравнение одной из его диагоналей у = х + 2. 176. Дана трапеция с вершинами Л(~2; —2), В( — 3; 1), С (7; 7), D(3; 1). Найти уравнение средней линии трапеции и острый угол, заключенный между диагоналями. 177* Дан треугольник с вершинами Л(7; 0), В(3; 4), С (2; —3). Найти уравнения стороны АВ, высоты CD, биссектрисы BE, медианы CF, их длины и угол А. Сделать чертеж. 178. Дан треугольник с вершинами Л(1; —1), В ( — 2; 1), С(3; —5). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В. 179. Даны уравнения сторон треугольника у — х + 2, у = = —ул: + 1 и точка D(4; 2) пересечения его медиан. Написать уравнение третьей стороны. 180. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин (1; 3) и уравнения двух медиан х — 2у + + 1 = 0, у— 1=0. 181. Даны середины сторон треугольника (2; 1), (4; 3) и (— 2; 5). Найти уравнения сторон этого треугольника. 182. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения медиан треугольника с вершинами Л(2; 5), В (5; — 1) и С (8; 3) перпендикулярно к прямой х + у + 4 = 0.
Глава П. Аналитическая геометрия на плоскости 40 § 8. Кривые второго порядка Классификация линий Уравнение линии на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат (см. § 4) имеет такой вид: F{x,y) = 0. (1) Если уравнение (1) алгебраическое (т. е. над переменными к и у производится конечное число алгебраических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем и извлечение корня), то линия, изображаемая этим уравнением, называется алгебраической. Неалгебраическая линия называется трансцендентной. Например, линия, изображаемая уравнением у2 + х2 — 2ах = 0, алгебраическая, а линии, изображаемые уравнениями у = sin х, у = cos x, у = tg#, у = ах (а > 0, а ф. 1), у = lg#, трансцендентные. Алгебраическое уравнение линии можно привести к целому рациональному виду (избавиться от иррациональностей, от дробей и все члены уравнения перенести в одну сторону), т. е. представить его в виде многочлена, членами которого будут одночлены вида AxPyQ, где А — числовой коэффициент, р и q— целые неотрицательные числа.* Линия, которая определяется алгебраическим уравнением /г-й степени, называется алгебраической линией п-го порядка. Например, уравнение у = yf x легко приводится к целому рациональному виду уъ—х = 0, оно представляет алгебраическую кри- 2х 1 вую третьего порядка. Уравнение у = 3 , 2 легко привести к уравнению Зху—2х + 2у + 1 = 0; это уравнение кривой второго порядка. Линия, изображаемая уравнением у = 2, т. е. урав- нением х2у + у — 1 = 0, есть кривая третьего порядка. Уравнение первой степени ах + by + с — 0 есть, как нам уже известно, уравнение прямой, следовательно, прямая линия первого порядка. Общее уравнение второго порядка имеет вид: Ах2 + Вху + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, (2) где по крайней мере один из коэффициентов Л, В, С отличен от нуля. 183. Алгебраические линии заданы следующими уравнениями: 1) У = |; 2) у2-3ху2+ 5х-1=0; 3) у = УТ=Г\\ 4) | = 5; 5) VT+7 — VT=T^l\ 6) yVT + 3*-l = 0. Определить порядок каждой из этих линий. * Степенью одночлена AxpyQ называется сумма р -f- q показателей степеней переменных хну. Степенью многочлена называется наивысшая из степеней слагаемых одночленов.
41 § 8. Кривые 2-го порядка Окружность Пусть точка С (а; Ь) — центр окружности, а ее радиус равен R. Составим уравнение этой окружности (рис. 20). По определению окружности расстояние любой точки М(х\ у), лежащей на окружности, от ее центра С(а\ Ь) равно длине радиуса R, т. е. СМ = R М(ЪУ) или Y(x-a)2 + (y-bY = R, отсюда (x-a)2 + (y-b)2=--R2. (3) Уравнение (3) называется нормаль- ным уравнением окружности. Если центр окружности совпадает с началом координат, т е. а — Ъ = 0, то уравнение (3) принимает вид х2 + у2 = R2. Рис. 20 (3') Это уравнение называется каноническим (простейшим) уравнением окружности. Легко показать, что если в уравнении (2) А = СфО и В = 0, то уравнение Ах2 + А у2 + Dx + Еу + F = 0 (2') в зависимости от коэффициентов Л, D, ?, F будет либо уравнением окружности, либо уравнением геометрического места точек, состоящего из одной точки. Может случиться, что вовсе не существует точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (2'). В этом случае мы будем говорить, что уравнение (2') определяет мнимое геометрическое место точек. 184. Написать уравнения окружностей: 1) с центром в точке С (— 2; 3) и радиусом R = 5; 2) с центром в точке са> *~т 1] и радиусом Решение. 1) По условию а = —2, Ъ = 3, R = 5, следовательно, по формуле (3) получим искомое уравнение окружности (х + 2)2 + (у-3)2 = 25, или х2 + 4х + 4 + у2 — 6у + 9 = 25, или х2 + у2 + 4а: — 6у— 12 = 0.
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 42 2) Здесь я = -§-, 6 = — 1, R = y> следовательно, уравнение окружности будет иметь вид: u-j)2+(*/+i)2=! или 36л:2 + 36у2 — 24* + 72у + 31 = 0. 185. Привести к нормальному виду уравнения окружностей: 1) х2 + у2 — 4х + 6у — 3 = 0; 2) Ах2 + 4у2 — 8х + Ау— 11 =0. Решение. Приведем первое уравнение к нормальному виду следующим образом: (*2_4* + 4) + (f/2 + 6# + 9)-4-9-3 = 0, отсюда (X-2)2 + (y + 3)2=l6, следовательно, центр окружности находится в точке С (2; —3), а радиус R = 4. Приведем к нормальному виду второе уравнение. Разделив все члены уравнения на коэффициент при х2, равный 4, получим х2 + у2-2х + у--± = 0. Теперь в левой части уравнения прибавим и вычтем квадраты половин коэффициентов при х и у и запишем так: (х2-2х+1) + (у2+у + ±)-1-±-±=0, отсюда (*-1)2+(у+4-)2=4- Следовательно, координаты центра окружности а=1, Ь = ?-, т. е. центр окружности находится в точке СП; —у]» а радиус R = 2. 186. Написать уравнение окружности радиуса 7? = 4 с центром в начале координат. Определить положение^ следующих точек: 1) (-1; 3); 2) (0; -3); 3) (4; 0); 4) (3;]/~7); 5) (2; -5); 6) (1; —4) относительно этой окружности. 187. Написать уравнение окружности, если 1) центр ее находится в точке С(3; —5), а радиус R = 4; 2) центр находится в точке С(0; 2), а радиус R = 3; 3) центр лежит в точке С(—3; 0), а радиус равен семи единицам длины; 4) центр лежит в точке С(1; 3) и окружность проходит через точку М( — 4; 5); 5) центр находится в точке С(0; —3), а радиус R = 0,7.
43 § 8. Кривые 2-го порядка 188. Привести к нормальному виду уравнения окружностей: 1) х2 + у2 — 6л: = 0; 2) х2 + у2 + 2х + 4у = 0\ 3) х2 + у2 — х — 5у + 3 = 0; 4) х2 + у2 + 8х — 9у + 2 = 0; 5) 2х2 + 2у2 — 2х + 7у — 1 =0. 189. Найти центры и радиусы окружностей: 1) х2 + у2 — 4х + 3 = 0; 2) л:2 + г/2 + Ъу — 2 = 0; 3) х2 + у2 + 6х = 0; 4) л:2 + г/2 — 4# = 0; 5) х2 + у2 — Зх + бу— 1 =0; 6) Зл:2 + 3#2 + 6л;—fy— 1 = 0. 190. Исследовать, какие линии изображаются уравнениями: 1) х2 + у2 = 0; 2) х2 + у2 + 1=0; 3) х2 + у2 — 4л; + 2у + 5 = 0; 4) *2 + у2 + 2х + 4у — 4 = 0; 5) л:2 + у2-2л; + 2у + 6 = 0; 6) х2 + у2-2у = 0; 7) х2 + у2+ Ux = 0; 8) х2 — у2 = 0. 191. Найти уравнение окружности, если известно, что концы одного из диаметров ее имеют координаты (2; — 4) и (—6; 2). Лежат ли на этой окружности точки Л (2; —1), В(—3; 4), С(1; 2), D(2; 1), ?(0; 3), F(-2; 4)? 192. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке (—2; 3) и касающейся прямой х — 3# + 2 = 0. 193. Составить уравнение окружности, зная, что она проходит через точки Л(0; 1), В (2; 0), С (—2; 0). 194. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются точки (0; 1), (—2; 0) и (0; -1). 195. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке (—1; —2) и проходящей через точку (3; 4). 196. Составить уравнение окружности, касающейся оси Ох в точке (6; 0) и проходящей через точку (9; 9). 197. Найти уравнение прямой, которая проходит через центр окружности х2 + у2 — 4л: + Зу + 6 = 0 параллельно прямой 2х + у — 4 = 0. 198. Составить уравнение окружности, зная, что радиус jR = 1 и что она проходит через точки Л(0; —1) и В(1; 0). Построить эту окружность. 199. Найти уравнение окружности, диаметром которой является отрезок прямой Зл: — 4у + 12 = 0, содержащийся между осями координат. 200. Определить расстояние между центрами окружностей: 1) х2 + у2 — 6х — Ъу — 3 = 0 и х2 + у2 + 4х — 2у— 1 = 0; 2) х2 + у2— 1 = 0 и х2 + у2 + 2х = 0.
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 44 201. Найти точки пересечения каждой из окружностей: 1) *2 + у2-4*/ = 0; 2) (х-2)2 + (г/ + 3)2 = 20; 3) (х_4)2 + (у-5)2 = 2 с осями координат. 202. Найти точки пересечения окружности х2 + у2 = 5 с прямыми: 1) Ъх — у+1 = 0; 2) х — у + 4 = 0. 203. Найти длину хорды окружности х2 + у2 — Ах + 2 = 0, если известно уравнение хорды у = 1. 204. Найти уравнение окружности, касающейся оси Оу в начале координат и пересекающей ось Ох в точке (5; 0). 205. Составить уравнение линии центров окружностей х2 + у2 — 4х + 2у = 0 и х2 + у2 + 2х — 6у + 1 = 0. 206. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ох в начале координат и пересекающей ось Ot/ в точке (0; —7). 207. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ох в точке (— 5; 0) и имеющей радиус г = 3. 208. Найти точки пересечения оси Ох с окружностью, диаметром которой служит отрезок, соединяющий точки (1; —4) и (3; 2). 209. Найти точки пересечения оси Оу с окружностью, диаметром которой служит отрезок, соединяющий точки (—1; 1) и (-2; -3). 210. Написать уравнение траектории точки М(х\ у), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке Л (1; 3), чем к точке 5(1; — 1). Построить траекторию движения. 211. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку (4; —2). 212. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат, если ее центр лежит в точке с координатами f-y; -9-г 213. Окружность касается прямых х—2 = 0 и л; = 6, ее центр лежит на прямой Зх — у — 6 = 0. Найти уравнение этой окружности. Преобразование координат (параллельный перенос осей) Если перенести начало координат в точку Ог (а; р) и не менять направление осей (рис. 21), то связь между старыми координатами х, у и новыми X, Y одной и той же точки выражается формулами: * = X + а, ?/ = У + р
45 § 8. Кривые 2-го порядка ИЛИ Х = х — а, К = */-(*. (4) 214. Путем преобразования координат параллельным переносом осей упростить уравнение окружности х2 + у2-4х + 6у- = 0, I I I I I О !¦ TIT V ° J L"x х X Рис. 21 принимая за новое начало центр окружности. Решение. Найдем центр окружности, т. е. найдем начало новой системы координат. Данное уравнение окружности приведем к нормальному виду (*-2)2 + (t/ + 3)2 = 81. Отсюда видно, что центр окружности лежит в точке С (2; —3), т. е. за новое начало принимаем точку Ог с координатами а = 2, Р = — 3. Воспользовавшись формулами (4), найдем: х = Х + 2, y = Y — 3 или Х = х — 2, Y = y + 3. Подставляя эти значения в исходное уравнение окружности или в нормальное, соответственно получим Х2 + У2 = 81. 215. Дана точка М(2; — 1) в некоторой системе координат. Чему будут равны координаты этой точки, если, сохраняя направление осей, переносить начало координат в точку: 1) (2; 3); 2J (2; -3); 3) (-2; 3); 4) (-2; -3)? 216. При параллельном переносе осей координат точка (— 3; 4) получила новые координаты (5; 6). Найти координаты начала новой системы координат относительно прежней. 217. Как изменится уравнение прямой 2х — 4у + 3 = 0 при параллельном переносе осей координат, если за начало новой системы координат принять точку (0; 1)? 218. Преобразовать уравнение х2 + у2 + 6х — 10у + 18 = 0 путем параллельного переноса осей координат. За начало новой системы координат взять точку (— 3; 5). Уравнение параболы с осью, параллельной одной из осей координат Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от данной точки F (фокуса) и данной прямой DE (директрисы).
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 46 Составим уравнение параболы. За ось абсцисс примем перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису DE, за начало координат — середину О отрезка от точки F до прямой DE, длину которого обозначим через р (рис. 22). По определению расстояние от любой точки М (х; у) параболы до точки F и до прямой DE одинаково, т. е. FM = МС или у 0 п X ? Рис. 22 Рис. 23 отсюда или у2 = 2рх. (5) Уравнение (5) называется каноническим уравнением параболы. Величину р > 0 называют параметром параболы, точку пересечения параболы с ее осью Ох вершиной параболы. Уравнение директрисы параболы имеет вид х = ~. Расстояние г от любой точки М(х; у) параболы (5) до фокуса определяется по формуле г = х + -тр. Уравнение (5) можно записать и так: х = ау2. Уравнение -х2 = 2ру, которое получается из равенства (5) путем изменения ролей координат, также есть уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, совпадающей с осью Оу. Уравнение директрисы у = jjp Расстояние от любой точки М(х\ у) параболы (7) до фокуса F определяется по формуле r = j/-f- + -f (рис. 23). (6) (7)
47 § 8. Кривые 2-го порядка Уравнение (7) можно записать и так: у = ах2. (8) Заметим, что если в уравнениях (6) и (8) а>0, то ветви параболы направлены соответственно вправо от начала координат и вверх. Если а < О, то ветви параболы (6) направлены влево от начала координат, а параболы (8)—вниз (рис. 24, а, б). х=ау* (а<о) а) z*ay2p>q) у-ах2(<г>о) y*ax?{a<o) Рис. 24 Уравнение у = ах2 + Ьх + с (9) преобразуем. Выделив из квадратного трехчлена полный квадрат, получим 4ас —б2 / , Ь \2 или у — р = а (х — а)2, = а отсюда о 4ас — Ь2 где р = : . а = 4а 2а' ИЛИ К = аХ2, где Х = х —а и F = y — ,8. Следовательно, уравнение (9) определяет параболу, вершина которой находится в точке Ог((х\ р), а ось симметрии ее параллельна оси Оу (рис. 25). Аналогично легко показать, что уравнение х = ау2 + Ьу + с (10) также определяет параболу с осью, параллельной оси Ох. 219. Определить координаты фокуса параболы у = g- x2 и написать уравнение ее директрисы.
Глава //. Аналитическая геометрия на плоскости 48 Решение. Данное уравнение параболы напишем в канонической форме х2 = — 6у. Сравнивая это уравнение с уравнением (7), получим 2р == — 6, р = — 3. Следовательно, фокус параболы находится в точке F(0\ —1,5) и уравнение директрисы DE у =1,5. 220. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (0; — 3) и от прямой у + 5 = 0. Построить эту кривую. y--a0ofc Рис. 26 Решение. Обозначим произвольную точку искомой кривой через М(х\ у), ее расстояние &х от точки F равно расстоянию d2 до данной прямой, т. е. &х = d2, или отсюда или Vx< + (y + 3)2 = y + 5, *2 + (У + 3)2 = (у + 5)2 У=-т-*2 — 4. Мы получили уравнение параболы, ось симметрии которой совпадает с осью Оу. Ветви параболы направлены в сторону положительного направления оси Оу, так как коэффициент а = -т- > 0. Найдем вершину параболы и точки ее пересечения 4 с осью Ох. Если х = 0, то у = — 4, т. е. вершина параболы лежит Xй — в точке Л(0; —4). Если у = 0, то -j-x2 — 4 = 0 или — 16 = 0, отсюда хх = 4, х2 = —4. Таким образом, точки пересечения параболы с осью Ох: В (4; 0), С(—4; 0). Теперь легко построить искомую параболу (рис. 26). 221. Найти координаты вершины параболы, заданной уравнением х = 2у2 + Ау — 5. Написать уравнение оси симметрии и построить параболу.
49 § 8. Кривые 2-го порядка Решение. Найдем координаты вершины параболы: А: = 2(у2 + 2у^4)==2[(У+1)2-1- отсюда х + 7 = 2 (у + I)2 или X = 2F2, где Y = у 4- 1, т. е. а = -— 7, {J = — 1 (см. формулы тельно, вершина параболы лежит в точке Ох(—7; —1). Уравнение оси параболы у = — 1. Параболу X = 2Y2 построим в новой системе координат XOjK (рис. 27). Заметим, что при построении полезно найти точки пересечения параболы со старыми осями координат. Найдем их. Пусть х = О, тогда 2у2 + 4у — 5 = 0. Решая это уравнение, получаем: = 2(у+1)2-7, Х = л: + 7 и (4)). Следова- \х1ц2*у-5 Рис. 27 У = ft = - 1 + • 2 ± у 4 + 10 = —1 ± V 14 /14 1+3,7-2,7; t/2 ^ — 4,7, т. е. парабола пересекает ось Оу в точках А (0; уг) и В (0; у2). Если у = 0, то л: = — 5, следовательно, парабола пересекает ось Ох в точке С ( — 5; 0). 222. Определить координаты фокуса параболы у2 = 8х. 223. Найти координаты фокуса параболы х2 = 6у. 224. Определить координаты фокуса параболы у2 = — 4х и написать уравнение ее директрисы. 225. Составить уравнение директрисы параболы у2 = 9х. 226. Построить параболы, заданные уравнениями: 1) у2 = х\ 2) у2 = -г, 3) х2 = у; 4) *2 = -у. 227. Составить каноническое уравнение параболы, если расстояние фокуса от вершины равно 4. 228. Составить каноническое уравнение параболы, если расстояние фокуса от директрисы равно 3. 229. Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0; 0), (—2; 3) и симметричной относительно оси Ох\ 2) проходящей через точки (0; 0), (—3; —4) и симметричной относительно оси Оу\ 3) проходящей через точки (0; 0), (2; 3) и симметричной относительно оси Оу. 230. Найти точки пересечения параболы у2 = 2х с прямыми: 1) у = х\ 2) 2у + х-6 = 0; 3) у = 3; 4) у = -4. 231. Составить уравнение параболы, если: 1) парабола симметрична относительно осц Ох, проходит через точку (2; —5)
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 50 и вершина ее лежит в начале координат; 2) парабола симметрична относительно оси Оу, фокус лежит в точке (0; 4) и вершина совпадает с началом координат; 3) парабола симметрична относительно оси Оуу проходит через точку (—6; —3) и вершина ее лежит в начале координат. 232. Арка моста имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 24 ж, а высота 6 м. 233. Поперечный разрез зеркала прожектора имеет форму параболы. Определить положение фокуса, если диаметр зеркала 60 см, а глубина его 30 см. 234. Написать уравнение параболы, если известно, что она проходит через точку (2; 2), что вершина ее лежит в начале координат, осью симметрии является ось Ох. Найти длину ее хорды, проходящей через точку (8; 0) и наклоненной к оси параболы под углом 60°. 235. Дана парабола х2 = 8у. Найти длину ее хорды, проходящей через точку (—6; 0) и наклоненной к оси симметрии параболы под углом 45°. 236. Построить параболы, заданные уравнениями: 1) у = 5л:2; 2) у = — З*2; 3) х = 2у2\ 4) х = — 4у2. 237. Найти координаты вершин следующих парабол: 1) у= 2х2 + 4х — 8; 2) х2 — 6х + у — 7 = 0; 3) у2 + 8у — 2х + 10 = 0; 4) у2 — Ау2 + х — 6 = 0 и построить их графики. 238. Привести к простейшему виду уравнения кривых: 1) у = х2 + 8* + 5; 2) у = —х2 — 4* + 3; 3) у = 2х2 + 3х; 4) х=3у2 — Ау\ 5) у2_4г/-4х = 0; 6) * = */2-6у+11. 239. Составить уравнение параболы, если даны координаты фокуса F (3; 0) и уравнение директрисы х = — 2. Полученное уравнение привести к каноническому виду. Построить параболу. 240. Парабола проходит через точку (— 1; — 1) и имеет вершину в точке ( ^-; 21 Найти уравнение параболы, если ее ось параллельна оси Оу. 241. Парабола проходит через точку (2; 3) и имеет вершину в точке (7; 8). Найти уравнение параболы, если ось ее параллельна оси Ох. 242. Найти уравнение параболы, если начало координат совпадает с фокусом и если осью параболы служит ось Ох; параметр равен р. 243. Найти уравнение параболы, если начало координат совпадает с фокусом и если осью параболы служит ось Оу; параметр равен р.
51 § 8. Кривые 2-го порядка 244. Найти координаты вершины и фокуса, уравнения оси и директрисы параболы у2 + 4г/-6* + 7 = 0. 245. Найти координаты вершины и фокуса, уравнения оси и директрисы параболы $х2 + 4х + 3у — 2 = 0. Уравнение равносторонней гиперболы с асимптотами, параллельными осям координат Прямая Т называется асимптотой кривой L, если при неограниченном удалении точки М кривой от начала координат (в том или другом направлении) расстояние d этой точки от прямой стремится к нулю (рис. 28; см. рис. 66, 67). УЬ у=§(т>о) х Рис. 28 Рис. 29 Равносторонняя гипербола, асимптоты которой являются осями координат, определяется уравнением вида ху = т или у = —, или х = -^-, (11) х у где т = const ф 0. График этой кривой есть график обратной пропорциональности*. Из уравнения (11) следует, что если т > 0, то переменные х и у имеют одинаковые знаки, т. е. гипербола расположена в I и III квадрантах. Если же т> 0, то ветви гиперболы расположены во II и IV квадрантах (рис. 29). Из уравнения (11) также следует, что если х неограниченно возрастает по абсолютной величине, то у стремится к нулю, т. е. по мере удаления точки гиперболы М(х\ у) от начала координат расстояние этой точки от оси Ох стремится к нулю. Следовательно, ось Ох есть горизонтальная асимптота гипер- Общее определение гиперболы дано в задаче 262.
Глава П. Аналитическая геометрия на плоскости 52 болы. Аналогично, если у неограниченно возрастает по абсолютной величине, то х стремится к нулю, т. е. по мере удаления точки гиперболы М (х\ у) от начала координат расстояние этой точки от оси Оу стремится к нулю. Следовательно, ось Оу есть вертикальная асимптота гиперболы. У гиперболы две вершины А и Аи каждая из них имеет равные по абсолютной величине координаты, т. е. | х | = | у | = = У | m |. Прямая, проходящая через вершины гиперболы, уравнение которой # = x(m>0), называется действительной осью симметрии гиперболы; прямая, перпендикулярная к действительной оси, уравнение которой у = — х> называется мнимой осью. Если т < 0, то уравнение действительной оси симметрии гиперболы у = — х и мнимой у = х. Расстояние d от начала координат до вершины гиперболы равно ]/ 2 | т |. Гиперболы ху = т и ху = — т называются сопряженными. Уравнение равносторонней гиперболы с асимптотами, параллельными осям координат, имеет вид y~Zrrd[x*-T' с*0' ¦ «****)• О2) Требование, чтобы хф , очевидно. Если с = 0, то получим уравнение прямой линии у = -j- х + —р Если ad = be или — = -р = X = const, то а = с\, Ъ = d\, и мы получим с а уравнение прямой линии, параллельной оси Ох: y = ME±A=l = const 13 сх-\- d Из формулы (12), разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочлена на многочлен), найдем а . be — ad ¦(-+4) ИЛИ be —ad у-- = x + — отсюда Y = 4-, (13) где m = ^.,x = x + A, Y = y-±-. (H Из выражений (14) следует, что х = X —, у = Y + —,
53 § 8. Кривые 2-го порядка отсюда с в новой с ; —Г'Р- о .(- системе а с (см. формулы (4)). Следовательно, с началом в точке координат XO±Y ) уравнение (13) представляет гиперболу, асимптотами которой служат оси координат ОгХ и 0±Y, параллельные осям координат Ох и Оу. 246. Написать уравнение равносторонней гиперболы, если известно, что она проходит через точку (1; 4). Найти координаты вершин гиперболы и расстояние между ними. Построить гиперболу. Решение. По условию задачи 1 • 4 = т или т = 4, отсюда искомое уравнение гиперболы ху = 4. Так как т = 4 > О, то ветви гиперболы расположены в I и III квадрантах. Вершины гиперболы А (2; 2) и Ах (—2; -2). Расстояние между вершинами гиперболы d = /(2 + 2)2 + (2 + 2)2 = 4 V"2 ^ 5,64. Сначала построим ветвь гиперболы в I квадранте. Составим таблицу положительных значений х, у: Рис. 30 X У 4 5 5 1 4 4 3 3 2 2 3 4 3 4 1 5 4 5 1 Построим точки В, С, D, Л, ?, F, /С, соответствующие парам чисел таблицы, и соединим их плавной кривой (рис. 30). Для построения ветви гиперболы в III квадранте можно воспользоваться составленной таблицей, в которой значения х и у следует взять со знаком минус* либо построить ряд точек (Еи Dx и др.), симметричных произвольным точкам построенной ветви кривой по отношению к началу координат, и соединить их плавной кривой линией. 2Х 3 247. Преобразовать уравнение гиперболы у = __ 1 путем параллельного переноса осей, если за новое начало координат
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 54 принята точка Ог(1\ 2). Найти вершины гиперболы, уравнения действительной и мнимой оси симметрии в новой системе координат и в прежней. Решение. Воспользуемся формулами (4). Подставив в данное уравнение х = X + 1, у = У + 2, получим: У 0_ 2Х + 2-3 1 ~t*~~ Х+ 1 — 1 ' отсюда У + 2 = 2 + -=^- или У = — -L. В новой системе координат ХОгУ ветви гиперболы расположены во II и IV квадрантах (пг = — 1 < 0). Координаты вершины равносторонней гипербода удовлетворяют условию |X| = |У| = У|m| = У1 — 11 = 1. Следовательно, с учетом квадрантов вершины искомой гиперболы А(—1; 1) и Лх(1;—1), а в прежней системе координат Л(0; 3) и А1(2; 1). Уравнение действительной оси симметрии есть биссектриса II и IV координатных углов У = -Х; в прежней системе координат у — 2 = —(х — 1) или х + у — 3 = 0. Уравнение мнимой оси в новой системе координат У = Х; в прежней системе координат у — 2 = х — 1 или х — #+1 = 0. I Зд: 248. Уравнение гиперболы у = 2 __ с помощью параллельного переноса осей координат привести к виду XY = т. Построить эту гиперболу. Решение. В данном уравнении, разделив числитель на знаменатель, получим: J_ 3 4 , - - —0,25 J/---2- Г" или #+1,5 = -^-, или У = — ^, или ХУ = —0,25, где Х = х — 0,5 и Y = y+ 1,5. Начало новой системы координат находится в точке Oi(0,5; —1,5). Так как т=--—0,25 < 0, то ветви гиперболы расположены во II и в IV квадрантах. Найдем точки пересечения гиперболы со старыми осями координат. Пусть в данном
55 § 8. Кривые 2-го порядка У\ п уравнении х = О, тогда у = — 1; если у = О, то а; = -«-, следовательно, точки пересечения: В(0; —1) и С (-о-; О). Теперь построим гиперболу (рис. 31). 249. Построить гиперболы, заданные уравнениями: 1) ху=2\ 2) ху = —2. Как называются эти гиперболы? Какой геометрический образ соответствует уравнению ху = О? 250. Написать уравнение равносторонней гиперболы, если известно, что она проходит через точку (—2; 4,5). Найти координаты вершин гиперболы и расстояние между ними. Построить гиперболу. 251. Уравнения гипербол: - ч х + 2 оч 4х + 1 с помощью параллельного переноса осей координат привести к виду XY = т. Построить гиперболы. Ч2Н ч Рис. 31 7х + 2 252. Найти координаты центра гиперболы у = ^ 2 2>х 253. Преобразовать уравнение у = _4 путем параллельного переноса осей, если за новое начало координат принята точка Oi(4; —3). Построить кривую. 254. Найти координаты вершин гиперболы У = 2х- х + 3 255. Преобразовать уравнение у = 4*+1 путем параллельного переноса осей координат, принимая за новое начало координат точку пересечения асимптот кривой. Построить эту кривую. *—11 256. Преобразовать уравнение гиперболы у ¦ по- 2* + 3 мощью параллельного переноса осей, если за новое начало координат принята точка Ох(—1,5; 0,5). Найти вершины гиперболы, уравнения действительной оси симметрии и мнимой в новой системе координат и в прежней. Построить гиперболу. 257. Найти уравнение равносторонней гиперболы, если известны точка пересечения ее асимптот Ох (— 2; 3) и одна из ее вершин А(—4; 1).
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости 56 § 9. Смешанные задачи на кривые второго порядка 258. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до двух данных точек А(—2; 1) и В(3; —4) равно ]/2. Сделать чертеж. 259. Определить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки Л(1; 0) остается вдвое меньше расстояния от точки В(—2; 0). 260. Эллипсом. называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F и F±, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Составить уравнение эллипса, зная, что расстояние между его фокусами равно 2с. 261. Определить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки F(0\ 1) остается вдвое меньше расстояния от прямой у = 4. 262. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, равная по абсолютной величине 2а(а>0). Расстояние между фокусами ра^вно 2с(а<Сс). Написать уравнение гиперболы. 263. Найти траекторию точки, которая при своем движении остается все время в два раза дальше от точки ^(О; 4), чем от прямой у = 1. 264. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки В (3; 2) и до данной прямой х + у— 2=0 равно ]/ 2. Сделать чертеж. 265. Перенесением начала координат, сохраняя направление осей, упростить уравнения: 1) ^^ + (#-2)2=1; 2) (х+1)з = 4-(г/-4)2; 3) 2*/ = -3(х + 5)2; 4) х2 = 2(у-7); 5) (*-4)2 = 5(г/ + 3); 6) (х-2) (у + 7) = 4. Построить старые и новые оси координат и кривые. 266. Построить кривые, заданные уравнениями: 1) G/-2)2 = 0,5(x+l); 2) (у_4)(*-4) = 4; 267. В уравнении параболы у *= х2 + рх + q найти значения параметров р и q. Известно, что парабола проходит через точку А (— 1; 3) и что ее ось симметрии дана уравнением х = 4. 268. В параболу у2 = 2рх вписан равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с вершиной параболы. Найти длину стороны треугольника,
57 § 1. Координаты в пространстве 269. Парабола симметрична относительно оси Оу и проходит через точки Л(3; 8) и В (2; 3). Составить уравнение параболы и вычислить площадь треугольника, одна из вершин которого совпадает с вершиной параболы, а две другие являются точками пересечения параболы с прямой у = 3. 270. Равносторонняя гипербола задана уравнением ху= — 3. Написать ее уравнение в системе координат XOxY, оси которой параллельны осям координат системы хОу, а начало находится в точке Ог (3; 5). Найти точки пересечения заданной гиперболы с осями координат новой системы. 271. Найти длину хорды, соединяющей точки пересечения двух парабол, имеющих общую вершину в начале координат, а фокусы в точках (2; 0) и (0; 2). Сделать чертеж. 272. Найти площадь треугольника, вершина которого лежит в центре окружности х2 + у2 — 4х — 8у — 5 = 0, а основанием треугольника служит вырезанный окружностью отрезок на оси абсцисс. 273. Найти уравнение окружности, проходящей через точки пересечения параболы у2 = х + 4 с осями координат. 274. Найти точки пересечения кривой х2 + у2 -{- Ах — 2у — —11 = 0 и прямой х + у — 3 = 0. Определить расстояние между этими точками. Сделать чертеж. 275. Найти расстояние от точки М(\\ 6), лежащей на параболе у = — х2 + Ах + 3, до фокуса параболы. 276. Составить уравнение прямой, которая проходит через вершину параболы у = — 2л:2 + 8л: — 5 и параллельна прямой Зх — Ау + 1 = 0. I | Элементы векторной алгебры Глава III и аналитической геометрии в пространстве § 1. Координаты в пространстве Прямоугольные координаты Положение точки в пространстве будем определять относительно пространственной декартовой прямоугольной системы координат, состоящей из трех взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в одной и той же точке О. Эта точка называется началом координат. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу — осью ординат и ось Ог — осью аппликат. Положительное направление каждой из осей указывается стрел-
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 58 кой (рис. 32). Длина произвольно выбранного отрезка (ОЕ = е) принимается за единицу масштаба. Положение точки М в пространстве определяется тремя числами — координатами х, у и z этой точки. Абсцисса х = —, ордината у = —, аппликата OR г = —, где OP, OQ, OR — соответственно величины направленных отрезков OP, OQ, OR. Каждой точке М в пространстве относительно построенной системы координат соответствует тройка чисел (х\ у; z) и, наоборот, каждой тройке чисел (х\ у; г;) соответствует точка М а пространстве. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством троек чисел, взятых в определенном порядке. Если числа х, у, z — координаты точки М, то записывают так: М(х\ у\ z). Координатные оси Ox, Оу, Oz, взятые попарно, определяют три взаимно перпендикулярные плоскости хОу, yOz, xOz, называемые координатными плоскостями. Координатные плоскости делят пространство на восемь частей (октантов). Координаты точек различных октантов имеют разные знаки. В зависимости от знаков координат занумеруем октанты следующим образом: Октант I II III IV V VI VII VIII Знаки координат X + — — + + — — + У + + — — + + — — z + + + + — — — — Если точка М лежит на координатной плоскости хОу, то ее аппликата z = 0; аналогично для точек, лежащих в плоскости yOz, абсцисса х = 0 и для точек плоскости xOz ордината у — 0. Если точка М лежит на оси Ох, то координаты у = z = 0; аналогично для точек, лежащих на оси Оу, координаты х = z = 0 и для точек оси Oz координаты х = у = 0. Координаты точки, лежащей в начале координат, равны нулю. Z / | 0. \r -/ Z / / N / Р X Рис. 32
59 § 1. Координаты в пространстве Рис. 33 277. Построить точки А (3; 2; 6), В (—2; 3; 1), С(1; —4; —2), D(l; —2; —1), ?(0; 4; 1), F(0; 2; 0), Р(0; 0; 0). Указать особенности положения точек. Решение. На оси Ох в положительном направлении отложим отрезок ОМ, величина которого равна 3 единицам выбранного масштаба, через точку М проведем прямую, параллельную оси Оу, и отложим отрезок MN в положительном направлении, равный 2. Через точку N проведем прямую, параллельную оси Ог и отложим вверх от плоскости хОу отрезок NA, равный 6. Конец этого отрезка и дает искомую точку Л (рис. 33). Остальные точки строятся аналогично. Точка А находится в I октанте, точка В— во II октанте, точка С — в VIII октанте, точка D — в VIII октанте, точка Е лежит в плоскости yOz, точка F — на оси Оу и точка Р — в начале координат. 278. Построить точки А (2; —4; 3), В (2; 0; 4), С(0; 3; —2), D(2; 1; 0), Е(— 1; 0; 0), F(0\ 2; 0). Каковы особенности их расположения? 279. Даны точки (2; —3; 1) и (а; Ь\ с). Найти координаты точек, симметричных данным относительно координатных плоскостей, осей координат, начала координат. 280. Как расположены в пространстве точки, для которых 1) х = у, 2) у = г, 3) х = 2? 281. Где расположены точки Л(0; у; z), В(х\ 0; г), С(х\ у\ 0), D{x\ 0; 0), Е(0; у\ 0), F(0; 0; г)? 282. Куб находится в I октанте и стоит на плоскости хОу9 три его ребра совпадают с осями координат. Найти координаты вершин куба, зная, что ребро его равно а. 283. Куб стоит на плоскости хОу, центр его основания совпадает с началом координат, боковые ребра лежат в координатных плоскостях. Найти координаты вершин куба, зная, что его ребро равно а. Простейшие задачи (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении) 1. Расстояние d между двумя точками А(хг\ уг\ zx) и В(х2\ уг\ z2) равно квадратному корню из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек: d = У(х2 - хгу + (У, - Ух)2 + (*2 - zx)\ (1)
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 60 В частности, расстояние d точки М(х\ у\ z) от начала координат (т. е. длина отрезка ОМ, см. рис. 32) находится по формуле d = У х2 + у2 + z2. (2) 2. Если даны две точки А(хг\ yt\ zx) и В(х2\ у%\ г2), то координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении X = АС = -?Г?-(\ф — 1), где АС и СВ — величины направленных отрезков АС и СВ оси, проведенной через точки А и В, определяются формулами: *1 + Х*2. У = #1 + ^2. z = Ч + >^2 (3) В частности, если точка С делит отрезок АВ пополам, то X = 1, и тогда 2 ' *~ 2 ! л: = </: (4) Рис. 34 — 5 + 3 т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам (одноименных) координат его начала и конца. 284. Даны вершины треугольника Л (2; 0; 3), В(— 5; 2;1), С(3; 2; 1). Найти длину его медианы, проведенной из вершины Л. Решение. Координаты точки D (рис. 34) найдем по формулам (4): -1; 2 + 2 2; г = -Ш = 1. У— 2 — ~» ~— 2 Длину ЛО найдем по формуле (1): ЛО = У 32 + (—2)2 + 22 = /17 « 4,12. 285. Определить расстояние точки Л(—-3; 4; 5) от начала координат и от осей координат. 286. Найти расстояние между точками (1; — 2; 3) и (1; 2; —2). 287. На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек Л(—3; 1; 5) и 5(2; 5; —1). 288. Найти стороны треугольника с вершинами Л(1; 0; —1), В (2; 2; -3), С(-_1; 2; 0). 289. Отрезок АВ разделен на 5 равных частей. Найти координаты точек деления, если известны точки Л' - и В (—5; 1; 3). 2' 4* 4,
61 § 2. Элементы векторной алгебры 290. Найти координаты точки С, делящей отрезок АВ внешним образом, если точки /4(2; 0; 3), 5(0; 1; 2) и точка С находятся от начала отрезка в три раза ближе, чем от его конца. § 2. Элементы векторной алгебры Скалярные и векторные величины. Коллинеарность и компланарность векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на скаляр. Единичные векторы. Разложение вектора по данным направлениям в плоскости и в пространстве 1. Величины, которые полностью характеризуются своим численным значением в выбранной системе единиц, называются скалярными или скалярами. Например, длина отрезка, площадь, объем, масса, время, температура и т. д. Простейшей скалярной величиной является отвлеченное число. Скаляры обозначают малыми или большими буквами латинского или греческого алфавита (а, 6, с, т, и, р, М9 N, Я, х, у, z, а, р, ?> • • •)• Величины, которые характеризуются численным значением и направлением, называются векторными или векторами. Например, сила, скорость, ускорение и т. д. Векторные величины изображаются геометрическими векторами, т. е. отрезками в пространстве, снабженными стрелками. Стрелка указывает направление, а длина отрезка (в принятых единицах длины) дает численное значение вектора и называется длиной или модулем, или абсолютной величиной или скаляром вектора. Заметим, что модуль вектора всегда величина положительная или равная нулю. Векторы обозначаются жирными буквами: а, в, с, А, В, С, ... или буквами с черточкой сверху: а, Ь, с, Л, В, С, ... , или двумя буквами с черточкой сверху, причем первая буква показывает начало направленного отрезка (вектора), а вторая — его конец: АВУ MN, Щ и т. д. (рис. 35). Модули (длины) векторов а, й, АВ обозначаются соответственно |а| или а, |b| или Ь, \АВ\ или |АВ|. Векторы, параллельные одной прямой, называются коллине- арными. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными. Так, векторы а, Ь, с (см. рис. 35) коллинеар- ные, векторы а и Ъ имеют одинаковое направление, векторы а и с — противоположное. Два вектора а и Ъ называются рае-
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 62 ными, если они одинаково направлены и имеют равные модули. Два вектора а и с называются противоположными, если они противоположно направлены и имеют равные модули. Вектор, противоположный вектору а, обозначается — а. Если начало вектора совпадает с его концом, то вектор называется нулевым или нуль-вектором. Направление нулевого вектора неопределенно. Все нулевые векторы равны между >В собой. Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Повторе му можно взять в пространстве за начало любую точку О и считать, что все векторы исходят из этой точки. 2. Сложение векторов. Суммой двух векторов а и Ь называется вектор с, который получается следующим образом: из любого начала О строим вектор О А = а, из конца этого вектора строим вектор АВ = 6, начало первого вектора Рис- 36 соединяем с концом второго (рис. 36, а). Вектор О В = с есть сумма векторов а и Ъ> т. е. а + Ъ= с (правило треугольника). Из определения сложения векторов следует, что сумма противоположных векторов равна нуль-вектору: а + {— а) =0. Если векторы а и Ь неколлинеарны, то сумму этих векторов можно найти по правилу параллелограмма, а именно: из произвольного начала О строим векторы ОА = а и OB = 6. На отрезках ~ОА и (Ш строим параллелограмм ОАСВ (рис. _3б, б). Вектор диагонали ОС = с есть сумма векторов а и 6, т. е. а + Ь =И. Этот же результат следует и из правила треугольника. Действительно, так как ОВ =_АС_=~ Ь (рис. 36, б), следовательно, ОА + АС = 'ОС, т. е. а + Ъ = с. Если число слагаемых больше двух, _то_для нахождения суммы, например, четырех векторов а, 6, с, d применяют правило многоугольника, состоящее в следующем: строим векторы
63 § 2. Элементы векторной алгебры О А = а, АВ = 6, ВС = с, CD = d, получаем ломаную линию OABCD (рис. 36, в); замыкающий вектор OD этой ломаной линии^ будет вектором суммы данных векторов, т. е. OD = а + Ь + + c + d (эти векторы могут и не лежать в одной плоскости). Заметим, что сумма векторов обладает свойством переместительности: а + b = Ъ + а и свойством сочетательности: а + ф + + с) = (а + &) + ? ft Рис. 37 Правило многоугольника есть следствие правила треугольника и сочетательного свойства векторов. 3. Вычитание векторов^Разность двух векторов а—b (рис. 37, а) можно заменить суммой а + ( — Ь). Отсюда следует: чтобы из вектора а вычесть вектор &, надо к вектору а прибавить противоположный вектор — 6. Следовательно, для построения вектора с = а — 6 = а + (— Ь) можно воспользоваться правилом треугольника (рис. 37, б) либо правилом параллелограмма (рис. 37, в). Правило параллелограмма применимо, как уже говорилось, при условии, что векторы а и Ъ неколлинеарны. Из построения (рис. 37, в) следует: чтобы получить разность векторов а — Ъ = с, нужно привести векторы к общему началу О, а затем построить вектор с, начало которого совпадает с концом вектора 6, а конец его — с концом вектора а. Итак, если на векторах а и Ь построить параллелограмм, то одна диагональ ОС есть сумма а + 6, а другая В А есть разность а — Ь. 4. Умножение вектора на скаляр. При умножении вектора а на скаляр а длина вектора умножается на |а|, а направление сохраняется, если а>0, и изменяется на противоположное, если а < 0. __ Деление вектора а на скаляр (3 ф ф 0) сводится к умножению вектора на обратную величину скаляра: а - 1
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 64 Умножение вектора на скаляр подчиняется: 1) закону переместительности: а а = а а; 2) закону распределительности: а (а + Ь) = аа + ab и (а + {3) а = аа + [За; 3) закону сочетательности: a (fa) = (ар) а. Из определения умножения следует, что если а и ЬффО) — два коллинеарных вектора, то всегда можно найти такое число X (скаляр), что а = ЬХ, отсюда Если вектор а0 имеет длину, равную единице масштаба, и одинаковое направление с вектором а (а ф 0), то он называется единичным вектором или ортом вектора а. Очевидно, что а = а°а или а0 == —. (1) 5. Разложение векторов. Если векторы а и b коллинеарны, то они линейно зависимы, т. е. а = ЪЬ (2) или _ __ ш + рй~= 0, (3) и наоборот, если имеет место равенство (2) или (3), то векторы а и Ъ коллинеарны (a, J3 — скаляры). Если векторы а, 6, <Г компланарны, то они линейно зависимы, т. е. имеет место соотношение с = \а + ji& (4) или _ __ аа + рб"+т7 = 0, (5) и наоборот, если имеет место равенство (4) или (5), то векторы а, 6, с компланарны (а, р, «у — скаляры, не равные нулю одновременно). _ Иначе говоря, если векторы а и 6 неколлинеарны, то всякий компланарный им вектор с можно разложить по векторам а и Ь.
65 § 2. Элементы векторной алгебры Если мы имеем три некомпланарных вектора а, Ь, с, то всякий четвертый вектор d может быть разложен по векторам а, Ъ, с", т. е. представлен соотношением d = ш + рб + чс Иначе говоря, между любыми четырьмя векторами существует линейная зависимость, т. е. аа + $Ь + чс + Ы = О, где а, р, у, X не равны нулю одновременно. 291. Найти сумму и разность неколлинеарных векторов аир. 292. Пусть даны векторы а и р" (рис. 38, а). Построить каждый из следующих векторов: о « + 2) «-{». 3). ¦а4?; 4) 2 > -/ ~§—» "> 2~ ' "*' ~2~; 5) а + Т"; 6) 2а — ?• Решение. Приведем векторы а и р к общему началу О и на них построим параллелограмм (рис. 38, б). Нам уже известно, что ОС = a -f р, В А = а — р, следовательно, OD = 2-р fiD Векторы 3 и 4 противоположны соответственно векторам 1 И 2, следовательно, вектор —^- = CD (или DO), вектор ^Р = — -^Р = AD( или DS). Построение векторов 5 и 6 ясно из рис. 38, в, г: (6P=a+i; LQ = 2a-p"). Векторы 1 — 6 можно построить и по правилу треугольника.
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 66 293. Четырехугольник ABCD есть ромб. Равны ли векторы АВ и ВС, векторы АВ и DC, векторы ВС и AD, векторы СВ и JD, векторы АВ и CD? 294. Четырехугольник ABCD — параллелограмм; О — точка пересечения его диагоналей. Обозначим векторы АВ, AD буквами р и д. Выразить через р и д следующие векторы: ВС, СВ, CD, DC, AC, CA, BD, Ш, ЛО, ОА, СО, ОС, ВО, ОВ. 295. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества: О /77 ч 2) 3) 2 ъ + а — 2 5 — 5 2 а + Ъ 2 = = 2 ' а + Ъ 2 » а — 6. 2 ' Рис. 39 4) (a + b)+-(a-b) = 2a; 5) (а+ 6) — (а — Ь) = 26. 296. В параллелепипеде ABCDA^C-JDx заданы векторы, совпадающие с его ребрами: АВ = р, АР = д, ААХ = 7. Выразить векторы диагоналей АСг и СХА, BD1 и ОхВ, AXC и СЛХ через векторы р, д, г (сделать чертеж). Построить вектор ~д — р +-g-F. 297. По сторонам ОЛ и ОВ прямоугольника ОЛСВ отложены единичные векторы тип (рис. 39). Выразить через т и п векторы ОА, Ш, ОС, 1Ё, СВ, Ж, если ОА = 3 и ОВ = 5. 298. Пусть Р —середина ОВ и Q —середина ВС (рис. 39). Найти векторы ОР, Щ, АР, AQ, PQ при ОА = 3, ОВ = 5. 299. В параллелограмме ABCD даны диагонали ЛС = а и BD = 6. Разложить по этим двум векторам все векторы, сов- падающие со сторонами параллелограмма: АВ, ВС, CD, DA, 300. В треугольнике ABC векторы АВ = с, АС ==_& и медиана AD = р. Разложить вектор р по векторам с и Ь, вектор b по векторам рис.
67 § 2. Элементы векторной алгебры 301. В треугольнике ABC сторона ВС разделена точкой D в отношении т:п,т. е. =- = — Разложить вектор AD по век- _ DC п * торам АВ = с и АС = Ь. 302. Какому условию должны удовлетворять три вектора а, Ь, с, чтобы из них можно было образовать треугольник? Проекция вектора на ось, теорема о проекциях. Состав" ляющие (компоненты) и проекции (координаты) вектора. Разложение вектора по ортам. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Выполнение операций над векторами, заданными своими разложениями по ортам 6. Прямую, на которой задан единичный вектор, будем называть осью. Проекцией точки М на данную ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось. Проекцией вектора АВ на ось называется величина AXBX направленного отрезка АгВ19 заключенного между проекциями начала и конца вектора АВ (рис. 40). Обозначение: про* АВ = A±BXилипр- АВ = АХВЪ где е = = ОЕ есть единичный вектор, т. е. \е\ = 1. Таким образом, проекция вектора на ось есть скаляр. Очевидно, что А& = \АВ\-cos (е, АВ). Если векторы АВ, CD равны, то их проекции на одну и ту же ось также равны. ^—т—? Заметим, что проекция суммы (разности) векторов равна сумме (разности) про- Рис. 40 екций данных векторов: пр (а + Ъ — с) = пр а + пр Ь — пр с. При умножении вектора а на какое-либо число а проекция вектора а умножается на это же число: пр (оса) = а пр а. 7. Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве (рис. 41). Единичные векторы (орты) осей Ох, Оу, Ог принято обозначать буквами /, /, k, причем \i\ = |/| = \k\ = 1. Вектор ОМ, идущий от начала О к точке М, называется радиус-вектором точки М. Разложим этот вектор по направлениям векторов /, /, k. Получим ОМ = 'ОМ1 + ОМ2 + ОМ3. (6)
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 68 Слагаемые векторы ОМи OM2i ОМ3 называются составляю- щими или компонентами вектора ОМ. Учитывая, что 0М1 = Х7, 0М2 = У/~(Щ = Zk, где X, У, Z — величины направленных отрезков 0МЪ 0М2, 0М3, или проекции вектора ОМ на оси Ox, Оу, Oz, можно соотношение (6) записать так: r = Xl+Y] + Zk; (7) Рис. 41 Рис. 42 X, У, Z называются координатами вектора г (в данном случае X, У, Z совпадают с координатами х, у, z точки М). Вектор г, заданный координатами X, У, Z, можно обозначать так: __ Г= {X; У; Z} или7{Х; У; Z]. Если вектор Л5 задан координатами начальной точки А{хг\ у±\ z±) и конечной В (х2\ у2\ z2), то его координаты равны разностям соответствующих координат конечной и начальной точек, т. е. X = х2 — Xi\ У = у2 — У±\ Z = z2 — Zi, отсюда ~АВ= {х2 — х±\ у2 — ух\ z2 — zt). Это следует из соотношения (рис. 42): АВ=Ш — ОА. Из свойств проекций векторов на ось вытекают свойства координат_ векторов и действия_над векторами в координатах. Если а= {Хх; Ух; Z±] и &"= {Х2; У2; Z2}, то I=t6 = { Хг ± Х2; Ух ± У2; Zx ± Z2}. Если а= {X; У; Z} и а — скаляр, то аа = {аХ; аУ; aZ}.
69 § 2. Элементы векторной алгебры 8. Скалярным произведением двух векторов а и Ъ называется произведение их длин на косинус угла между ними: ab = ab cos <p, (8) отсюда C0S? = ~S"' (9) т. е. косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, деленному на произведение их длин. Из равенства (8) следует, что ab = Ъа. Скалярное произведение аЬ = 0 тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы а и b перпендикулярны (ср = 90°). Если векторы а и Ь коллинеарны, то ab = ± ab (ср = 0 или <р = 180°). Справедливо также свойство распределительности а (Ь + с) = аЬ-\- ас и свойство сочетательности относительно скалярного множителя а (аб) = (<ш) b = а (оф). Из равенства (8) также следует, что аа = a2 cos 0 = а2, (10) т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Из равенства (10) следует, что 9. Пусть а={Х; 7; Z}, Ь = [Хг\ Yt\ Zt). Найдем скалярное произведение этих векторов: ab = (Xi + Y[+ Zk) (Xj+ Yj+ Zxk). Используя правило умножения многочлена на многочлен и учитывая, что // = 0, / k = 0, ki = 0, ii = 1, // = 1, kk = 1 (орты i, /, k взаимно перпендикулярны), получаем ab^XX1 + YY1 + ZZ1. (12) Если а = b, то a2 = X2 + 72 + Z2, (13) т. е. квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций. _ Из равенства (13) находим длину вектора а: а = VX2 + Y2 + Z2. (14)
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 70 Пользуясь равенством (14), легко получить формулу определения расстояния между двумя точками А (хг\ уг\ гх) и В {х2, у2\ z2). Нам уже известно, что АВ = {х2 — хг\ у2— Уг* z2 — Zi}, следовательно, длина АВ = У(х2 - x±f + (у2 - ytf + (z2 - Zl)\ (15) Воспользовавшись формулами (% (12), (14), выразим косинус угла ср между двумя векторами а {Хг\ Y±\ Z±) и Ъ \Х2\ Y2\ Z2\ через их координаты: C0Scp = ± _ ХгХг + YJz + ZJz * аЬ (16) yx\ + Y\ + Z\Vxl + Yl + Zl Пусть дан вектор а= {X; У; Z}. Обозначим углы от векторов г, у, & до вектора а соответственно через а, (3, у. Пользуясь формулой (16) и учитывая, что / = { 1; 0; 0}, / = {0; 1; 0}, k = { 0; 0; 1 }, получим: X cos (/, а) = cos a = cos (/, а) = cos p = cos (&, а) = cos у = Ух2 + У2 + z2' у /х2 + к2 + z2' Z (17) yx2 + K2 + z2' cos а, cosp, cos у называются направляющими косинусами вектора а. В частности, если начало вектора г совпадает с началом координат, то направляющие косинусы радиус-вектора г выразятся формулами: cos a = V*2 + у2 + *2 cosfl == У УХ2 + у2 _|_ Z2 г (18) cos т = —> , , V> + г/2 + z2 J где я, #, г — координаты конца радиус-вектора г (см. рис. 41). (19) Из полученных равенств (17) следует, что cos^a + cos2 p + cos2 у = 1. Из формулы (16) также следует, что если векторы а и Ь перпендикулярны, то ад + у^ + ад^о. _(20) Условие коллинеарности векторов а {Хг\ Yx\ Zx\ и Ъ { Хг\ Y2; Z2) нам уже известно (см. п. 4—5):
71 § 2. Элементы векторной алгебры отсюда легко получить условие коллинеарности через координаты векторов: Х2 Y2 Z2' lZ1' Если X > 0, то векторы имеют одинаковое ^направление, если X < 0, то направления противоположные. 303. Вектор а = АВ, длина которого а = 5, образует с осью Ох (с вектором 0? = е) угол 60°. Найти проекцию этого вектора на данную ось (рис. 43). 0 ? Aj Bt х Рис. 43 Решение, про* а = пру а = a cos ср = 5 cos 60° = 5 • у = 2,5. 304. Вектор b = CD образует с осью Ох, которая задана единичным вектором е, угол 120°. Длина вектора Ъ равна 4. Найти проекцию этого вектора на ось Ох (рис. 44). Решение, про* Ь = Ъ cos ср = 4 cos 120° = 4 f g-j = — 2. 305. В прямоугольной системе координат Oxyz точка М имеет координаты х = —2, # = 5, г = 0. Найти координаты ее радиус-вектора г = ОМ. Решение. Абсцисса Х = х = —2, ордината Y = у = 5, аппликата Z = z=J). Следовательно, г={ — 2; 5; 0}. Радиус-вектор г лежит в плоскости хОу. 306. Найти координаты X, F, Z суммы векторов а {2; — 3; 4}, Ъ {-5; 1; 6}, с= {3; 0; -2}. Решение. Х = 2 —5 + 3 = 0; Г = — 3+1+0 = — 2; Z = 4 + 6 —2 = 8. Следовательно, сумма векторов а + 6 + с = {0; —2; 8}. Искомый вектор параллелен плоскости r/Ог, так как его компонента по оси Ох «равна нулю. _ 307. Найти сумму векторов аг = 2i + 3/ — k, a^ = 3 k — i9
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 72 Решение. а± + а2 + а3 = 21 + 3/ — k + ЗА—i—i +j—2k = =4/. Обозначим сумму векторов аг + а2 + а3 через а и полученный результат запишем так: а {0; 4; 0} или а = {0; 4; 0}. Вектор а коллинеарен с осью 0#. 308. По данным векторам а[3; —4; 5} и Ъ {—1; 0; —2} найти координаты вектора^ с = 2а + 56. _ Решение, с = 2Й+56 = 2(37 — 4/+5Л) -f 5(—I— 2Щ = I— — 8/. Координаты вектора с: Х=1, 7 = —8, Z = 0, а его компоненты *', —8/, 0. 309. Найти координаты вектора АВ, если Л (1; —3; 4) и В (-3; 2; 1). Решение. Х = х2 — хх = — 3— 1 = — 4, Г = г/2 — г/г = =2—(—3) = 5, Z = z2 — z± = 1—4 == — 3. Следовательно, AS = = |-4; 5; -3}. 310. Найти расстояние между точками А (3; —4; —1) и В (-1; 2; -3). Решение. Воспользовавшись формулой (15), получим d = |Л5| = /(-1-3)2 +_(2 + 4)2 + (-3 + I)2 = /56 - 7,48. 311. Длины векторов а и b равны а = 8, b = 5 и угол между векторами (а, 6) = 150°. Найти скалярные квадраты векторов и их скалярное произведение. Решение. Воспользовавшись формулами (8) и (10), получим скалярное произведение векторов a-6 = 8.5cosl50° = 40 (—^ = —20УЩ скалярные квадраты векторов (а)2 = а2 = 64, (bf = b2 = 25. 312. Найти скалярный квадрат вектора а = 2/ — f—2k и его длину. Решение. Воспользуемся формулами (10), (13) и (14): (а)2 = а2 = 22 + (— I)2 + ( — 2)2 = 9, отсюда а = 3. 313. Найти скалярное произведение векторов р = F— 3/ + ^, q = i-\-j — 4&. Решение. Скалярное произведение векторов найдем по формуле (12): р?=Ы+(-3) 1 + 1 (-4) = -6.
73 § 2. Элементы векторной алгебры 314. Найти угол ср между двумя векторами a—i+j — Akn 6=7 —2/ + 2Й. Решение. Воспользуемся формулой (16): = -М.== 1—2 — 8 = VJ C0SCP ab у i + i + 16 У\ + 4 + 4 2 * отсюда ср = 135°. _ _ 315. Выразить через орты i, /, k орт а° вектора а = 3/ — 4/+ 6*. Решение. Известно, что орт вектора а равен отношению этого вектора к его модулю (см. п. 4 § 2), т. е. -0 а ЗГ—47 + б? 3 г 4 т . 6 -г а /9 + 16 + 36 7 7 ' » 7 316. Найти проекцию вектора а = 3/+ 4/—А на направление вектора Ъ = i + /. Решение. Известно, что пр^- а = a cos (й, а). Косинус угла между векторами Ъ и а найдем по формуле (16): пГ-\ 3-1 +4-1 + (— 1)-0 7 cos (&, а) = ' , = —7=-- v> ' }/32 + 42+(—1)2/1а + 1а УЪ2 Следовательно, _ ~ т/™> 7 7/2 прга = 1/26.—= -з—. Эту задачу можно решить короче, если учесть, что пр^- а = a cos (6, а) = -г-. Пользуясь этой формулой, получим пп_~_ (37 + 4/-6)(Г+/) _3 + 4 _ 7}Г2 ПрЬа~ у^ - -у2 Г"• 317. Найти длины векторов а [ 2; 5; — 1 }, 6 { 1; — 1; — 3} и скалярное произведение этих векторов. Решение. Длины векторов найдем по формуле (14): а = /22+52 + (-1)2 = 1/30, Ъ = ]Л2+ (-1)2 + (- З)2 = |/ТГ; скалярное произведение 06 = 2-1 +5 (— 1) + (— 1) ( —3) = 0. Следовательно, векторы а и Ь перпендикулярны.
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 74 318. Найти углы, образуемые вектором а{—2; 2; 1} с осями координат. Решение. Воспользовавшись формулами (17), получим: cos a = — 2 2 Q 2 1 ¦-7Т-, cos p=-T, cos T = -r> „ АВ- АС COS А = :=!—р=т \ab\.\ac\ |/(__2)2 + 22+12 отсюда а^13Г49', р»48°11', т^70°32'. 319. Вершины треугольника заданы радиус-векторами а = = { 1; 2 ), Ь = { 2; 5 }, с = { 3; 4}. Определить стороны и внутренние углы треугольника. Решение. Из условия задачи следует, что вершины треугольника Л(1; 2), 5(2; 5), С(3; 4). Следовательно, векторы, совпадающие со сторонами треугольника: АВ = { 1; 3 1, АС = { 2; 2 }, ВС~= ]_1^_— 1) (рис. 45). Найдем длины сторон треугольника: АВ ==]АВ\ = ]/"! + 9 = = ]/Г0, АС = |ЛС| = уТ+"4 = 21/27fiC = |ВС| = /1 + 1 = ]/2: Нетрудно видеть, что АС2 + ВС2 = АВ2. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный, гипотенуза его есть сторона АВ, угол С прямой. Для определения косинуса угла А воспользуемся формулой (16): Ь2 + ЗД=1УТ % 1/10-2/2 5 По таблицам тригонометрических функций находим Л^25°54'. Так как треугольник прямоугольный, то угол В = 90° — А ^ 90° — 25°54/ = = 64°6'. 320. Написать выражения компонент вектора { 2; 0; — 3 } по осям координат. 321. Написать разложение вектора а {0; — 2; 3} по координатным ортам. 322. Каковы координаты и компоненты векторов: 1) 27 — 3/ + 5? 2) 7+4?; 3) Zk — p 323. Даны_ве_кторы а_\ 2; 0; 3} и Ь[ — 3; 4; —5}. Найти векторы а + Ь, а — 6, За — 46. _ 324. Даны ректоры а [1; 2; 0},_6{1; 2;3}, с {2; 3; 2}. _Найти векторы р = 2а + 4 (6 — с), ? = 2а — 3 [^+ 2 (с — а)]_+ 2Ь + Зс. 325. Какие из векторов а{\\ 2; 3^ b {0; 1; 1}, с{ 1; 0; 2}, d ( 1; 2; 0 }, р [ 0; 0; 4 }, q { 0; 3; 0 }, m { — 2; 0; 0} коллинеарны *1 0 \ А Ipa X Рис. 45
75 § 2. Элементы векторной алгебры с осью абсцисс? с осью ординат? с осью аппликат? Какие из этих векторов параллельны плоскости хОу? плоскости yOz? плоскости xOz? 326. Вектор я, длина которого равна 8 единицам масштаба, параллелен плоскости хОу\ угол а между осью Ох и вектором а составляет 120°; угол р между осью Оу и вектором а составляет 30°. Найти координаты и компоненты вектора а. 327. Определить точку В, которая является концом вектора а {3; —4; 2}, если его начало совпадает с точкой А (2; — 1; 1). 328. Записать в векторной форме отрезок, соединяющий две точки А( — 2; 0; 5) и В (2; 3; 4). _ 329. Найти начало С вектора Ь {4; 6; 5}, если его конец совпадает с точкой D( — 2; 0; 3). 330. Даны точки А (2; —3; 1), В ( — 2; 2; — 4), С (3; — 1; 5). Найти координаты, компоненты и длины векторов АВ, В А, АС, ВС. 331. Выяснить, коллинеарны ли векторы а и 6, если да, то равнонаправлены ли они и каково отношение их длин: 1)^Г{4; 5; -2}, ?{4; 5; 2}; 2) а {2; -1; 1}, 6(4; 2; -2}; 3)а{4; 3; -2}, Ъ_ {8; 6; -4); 4) а {-4; 2; 0}, b {2; -1; 0}; 5)а{3; 0; 2}, 6{3; 2; 0}; 6) а {2; 4; 6), Ь {3; 6; 9}. 332. Перпендикулярны ли векторы р и q, если 1) р{2; 0; -3}, ? {3; 4; 2}; 2) р{0; 4; 1}, д{1; -2; 8}; 3) р{3; 0; -2}, qJ-2; 3; 0}; 4) р{1; -1;2}, </ {2; -2; 1}. 333. Даны вершины А (0; 0; 0), В (2; — 3; 5), С (— 3; 4; — 2) параллелограмма ABCD. Найти вершину D. 334. Проверить, являются ли точки А (—2; 3; 4), В (2; —4; 5), С(—1; 2; —3), D (7; —12; —1) вершинами трапеции. 335. Найти углы между осями координат и вектором а{-3; 0; 1}. 336. Найти углы между осями координат и радиус-вектором точки М( — 2; 3\ 1). 337. Вектор а образует с осью абсцисс и осью ординат углы а = 60° и р = 45°. Найти угол между вектором а и осью аппликат.
Глат If J. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 76 338. Длины векторов а, Ь равны а = 5, 6 = 6 и угол между векторами (а, 6) = 120°. Найти скалярные квадраты векторов и их скалярное произведение. 339. Найти скалярный квадрат вектора а = 2/ + 4/ — 3& и его длину. 340. Найти скалярный квадрат вектора а{ — 1; 3; —2}. 341. Найти скалярное произведение векторов /7{3; 2; —1}, ?{-1;0;4}. 342.^Найти скалярное произведение векторов a = i — 2/ + + ЗА, b = 2i + 3j— 4k. 343. Найти косинус угла между векторами р = 3/ — 2/ + k, q = 2]—i + k. 344. Найти угол между векторами { — 1; 0; 1}, {1; —2; —2}. 345. Найти проекцию вектора 6 = 2/ — / на направление вектора с = 3i — 4/. 346. Найти ^проекцию вектора m = 2i — 4; + k на направление вектора п = 21 — / + 2k. 347. Найти вектор а= {X; Y\ Z}, зная его две координаты У = 2, Z = — 3 и модуль a =j/"38._ 348. Выразить через орты /, /, k орт а0 вектора а = 2ь — -7+2*. 349. Та же задача для вектора Ъ = t + -~-/ — &. 350. Даны векторыа{4; —4; —2}, б"{ —1; 2; 2}, с{3;0; —4}. Найти их единичные векторы (орты). 351. Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами АВ = = {1; 2; — 1} и ВС= {2; 0; —4}, найти внутренние углы треугольника. 352. В треугольнике ABC, вершины которого лежат в точках Л(1; 1; — 1), В (2; 3; 1), С (3; 2; 1), найти: 1) внутренние углы; 2) длины сторон; 3) острый угол между медианой BD и стороной АС. § 3. Понятие об уравнении поверхности. Уравнение линии в пространстве 1. В аналитической геометрии поверхность рассматривают как геометрическое место точек. Уравнением поверхности называется такое уравнение между переменными х, у, г, которому удовлетворяют координаты лю-
77 § 3. Уравнение линии в пространстве бой точки этой поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей ей. Может случиться, что поверхность состоит из совокупности конечного числа точек, например поверхность, определяемая уравнением (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = 0. Этому уравнению удовлетворяют координаты единственной точки М (а; Ъ\ с), т. е. поверхность состоит из одной точки. Может случиться, что вовсе не существует точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F (х, у, г) = 0. Например, х2 + у2 + z2 + 1 = 0. м(*^ г) Zk И А Mx.y.Q) А \а>о 'а / Рис. 46 Рис. 47 В этом случае можно указать бесконечное множество троек чисел х, у, г, в каждой из которых по крайней мере есть одно комплексное число, удовлетворяющее данному уравнению. Такие тройки чисел называют мнимыми точками, а поверхность, состоящую из совокупности мнимых точек, также называют мнимой. Следовательно, уравнение F (х, у, г) = 0 всегда определяет поверхность действительную или мнимую. Если уравнение поверхности F (х, у, г) = 0 есть полином (многочлен) /1-й степени относительно переменных х, у> z (определение степени многочлена см. на стр. 34), то поверхность называется алгебраической поверхностью п-го порядка. Неалгебраические поверхности называются трансцендентными. Если уравнение F (х, у) = 0 с двумя переменными, то оно, как уже известно, в плоскости хОу определяет некоторую динию L (рис. 46), а в пространстве это же уравнение определяет поверхность 5. В самом деле, пусть координаты точки А (х\ у\ 0) удовлетворяют уравнению F (я, у) = 0, тогда координаты любой точки М (х\ у\ г), расположенной на прямой, проходящей через точку А и параллельной оси Oz, также удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, уравнение F (х, у) = 0 определяет цилиндрическую поверхность, направляющая которой есть
Глава 111. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 78 линия L, а образующие параллельны оси Oz. Аналогично уравнение ф (х, z) = О (ф (у, г) = 0) также является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси О у (оси Ох). Если уравнение имеет вид х = а, то в плоскости хОу оно определяет прямую, параллельную оси Оу (рис. 47), а в пространстве — плоскость, параллельную координатной плоскости уОг и проходящую от нее на расстоянии, равном а единиц. Уравнение у — Ь (z — с) есть уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОг (хОу). Возникают две задачи: 1) дана поверхность как геометрическое место точек; требуется составить ее уравнение; 2) дано уравнение поверхности; требуется исследовать форму поверхности, соответствующей этому уравнению. 2. Линия в пространстве определяется как пересечение двух поверхностей. Пусть поверхности 5Х и 52 изображаются соответственно уравнениями F (xt yt z) = 0 и Ф (х, у, z) = 0. Тогда система уравнений F(x, у, 2) = 0, Ф (к, у, z) = 0 определяет линию, т. е. геометрическое место точек, координаты которых, одновременно удовлетворяют обоим уравнениям. Например, уравнения оси Oz будут х = 0, у = 0 (х= 0 — уравнение плоскости yOz, у = 0 — уравнение плоскости xOz, пересечение этих плоскостей дает прямую Oz). 353. Определить, какие геометрические образы даны уравнениями: 1) х2 + у2 = R2\ 2) х2 + у2 + z2 == R2; 3) ху = пг\ 4) z — х2 = 0. Решение. 1) Уравнение определяет прямой круговой цилиндр с радиусом R и осью Oz. 2) Уравнение изображает сферическую поверхность с центром, совпадающим с началом координат и радиусом R. 3) Уравнение изображает цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть гипербола, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Oz (гиперболический цилиндр). 4) Уравнение z = х2 в плоскости xOz определяет параболу, расположенную симметрично относительно оси Oz, вершина которой совпадает с началом координат О. В пространстве это же уравнение определяет цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть парабола, лежащая в плоскости xOz, а образующие параллельны оси Оу (параболический цилиндр). Заметим, что каждое из уравнений 1—4 есть алгебраическое уравнение второго порядка, следовательно,
79 § 3. Уравнение линии в пространстве каждая из поверхностей 1—4 есть алгебраическая поверхность второго порядка. 354. Проверить, лежат- ли точки Л(0; 1;-!), В (1; 2; 4), С(1; 1; 2) на поверхности, заданной уравнением у3 + 2ху — 3z = 0. Решение. Точки А и В лежат на данной поверхности, так как координаты их удовлетворяют уравнению. Убедимся в этом. Подставив в уравнение значения # = 0, у=1, z = = _L найдем I3+ 2-0-1 —3--у = 0. Если подставим значения *=1, у = 2, z = 4, то получим 23 +2-1-2 — 3-4 = 0. Точка С не лежит на поверхности, так как I3 -j- 2-1-1 — 3-2ф 0. Данное уравнение поверхности есть алгебраическое уравнение 3-го порядка, следовательно, и поверхность называется алгебраической поверхностью 3-го порядка. 355. Найти уравнение сферы с центром в точке С (а; Ь\ с) и радиусом R. Решение. По определению, сферой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной данной точки, называемой центром. Следовательно, расстояние любой точки М (х; у\ z), лежащей на сфере, от центра С (а; Ь\ с) равно R, т. е. V(x-af + (у -bf + {z-cf = R, отсюда (х - af + (y- bf + (z- cf = R*. (1) Это есть искомое уравнение сферы. Если центр сферы совпадает с началом координат, то а = 6 = с = 0 и уравнение сферы будет иметь вид х2 + у2 + z2 = R2. (2) 356. Найти центр и радиус сферы х2 + у2 + z2 — 2х + 6у — 6 = 0. Решение. Данное уравнение приведем к уравнению вида (1) x* + y2 + z2-2x + 6y-6 = (x2-2x+l) + (y2 + 6y + 9) + + г2 — 1 — 9 — 6 = (а: — I)2 + (i/ + 3)а + г2 — 16 = 0 или (*-l)2 + (i/ + 3)2 + z2=16, отсюда а= 1, 6 = —3, с = 0, Я2 =16, т. е. центр сферы находится в точке С(1; —3; 0) и радиус ее /? = 4.
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 80 357. Определить, какие геометрические образы даны уравнениями: 1) х2 + у2 + гг = 1; 2) г» + г/2 — 2х — 3 = 0; 3)г/2=1; 4)г/2-х2 = 0; 5) х2 + у2 + z2 = 0; 6) хг + t/2 = 0; 7) г/2 = 2х. 358. Проверить, лежат ли точки А (0; 0; 3), В (-|-; -^-; — 4), <#. Ч> о). D(—г= -4-51). ?(х=2-. о).f (* -и 3) на цилиндрической поверхности у = sin х. 359. Определить расположение точек Л(2; 1; 1), В (0; 1;—1), С (2; 3; —1), D(l; 0; —1), ?( — 2; 2; 1) относительно сферы (*-2)2 + (y-l)2 + (z+l)2 = 4. 360. Определить, какие геометрические образы даны уравнениями: 1) г = у\ 2) */ = 0; 3) хуг = 0\ 4) *2 + */2+1 = 0; 5) z2 = 16; 6) z = 0; 7) (*-2)2 + */2 + (z + 3)2 = 0. 361. Проверить, лежат ли точки А (— 1; 0; 1), В (0; —2; 2), С(0; 0; 0), D(l; 2; 1) на поверхности 362. Составить уравнение сферы, радиус которой равен 3, с центром в точке С(1; —2; 3). 363. Найти коорданаты центра С и радиус R каждой из следующих сфер: 1) х2 + if + z2 — 4х + 2у = 0; 2) х2 + у2 + г2 + 2х — 6 = 0; 3) *2 + у2 + г2 — 8z = 0. 364. Составить уравнение сферы с центром в точке С(1;2; — 3), проходящей через начало координат. 365. Какую поверхность изображает уравнение х2 + у2 + + Ах = 0? 366. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек А (0; 1; 0) и В (0; 0; 1). 367. Определить, какой геометрический образ представляет система уравнений ^2 -f j/8 + г2 — 4* = 0 U/=l. Решение. Решая данную систему уравнений, получаем кривую х2 + z2 — 4# + 1 = 0, т. е. окружность (х — 2)2 + z2 = = 3, лежащую в плоскости у = 1, с радиусом R = У 3 и с центром в точке (2; 1; 0).
81 § 4. Уравнения плоскости 368. Определить, какой геометрический образ представляет каждая из систем уравнений: 1) # = 0, z = 0; 2) */ —а = 0; z + 26 = 0; 3) х = a, z = 0; 4) x2 + y2 + z2z=l6> y=3; 5) х2 + у2 + z2 = 16, у = 5; 6) х2 + у2 + г2 = 2az, 2x = а. 369. Найти пересечение шаровой поверхности х2 + у2 + г2 = = 25 с цилиндрической поверхностью я2 + г/2 = 9. § 4. Общее уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Пересечение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости 1. Всякое уравнение первой степени Ax + By + Cz + D = 0 (1) определяет плоскость и, обратно, всякая плоскость определяется уравнением первой степени. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости. Составим уравнение плоскости Q (рис. 48), заданной вектором нормали п {А\ В\ С} (т. е. вектором, перпендикулярным к плоскости) и какой-нибудь ее точкой М0 (х0; у0\ г0). На плоскости Q возьмем произвольную точку М (х\ у\ z). Вектор М0М лежит в плоскости Q, следовательно, векторы М0М и п перпендикулярны, т. е. Лр4 7г = 0. _ (2) Обозначим OM0=rQ, ОМ= = г, тогда MQM = г — г0. Учитывая равенство (2), получаем п{г- г0) = 0 (3) или в координатной форме А (х-х0) + В (у-у0) + С (z-z0) = 0. (4) Итак, каждое из уравнений — уравнение (3) в векторной форме, а уравнение (4) в координатной форме — выражает уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору п {А; В\ С} и проходящей через точку М0 (х0; у0; z0). Рис. 48
Глава III. Вектбрная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 82 Если обозначить через D выражение — Ах0 — By0 — Cz0y то из уравнения (4) получим уравнение (1). Уравнение (1) можно записать в векторной форме: nr + D = 0, где п={А\ В; С}; г = [х\ у; г) — текущий радиус-вектор. Рассмотрим особые случаи уравнения (1). I. Пусть свободный член D = О, тогда получим уравнение плоскости Ах + By + Cz = 0, проходящей через начало координат. II. Пусть один из коэффициентов Л, В, С равен нулю, а) А = 0 (т. е. проекция вектора п на ось Ох равна нулю), тогда By + Cz + D = 0 — уравнение плоскости, параллельной оси Ох\ б) 5 = 0, тогда Ах + Cz + D = 0 — уравнение плоскости, параллельной оси Оу\ в) С = 0, тогда Ах + Ву -f D = 0 — уравнение плоскости, параллельной оси Oz. III. Пусть один из коэффициентов Л, В, С равен нулю и D = 0: а) Л = D = 0, By + Сг = 0 — уравнение плоскости, проходящей через ось Ох\ б) В = D = 0, Ах + Cz = 0 — уравнение плоскости, проходящей через ось Оу\ в) С = D = 0, Лл; + By = 0 — уравнение плоскости, проходящей через ось Oz. IV. Пусть два из коэффициентов Л, В, С равны нулю, ИфО: а) Л = В = 0, тогда Cz + D = 0 или, что то же, г = —-^ = = с — уравнение плоскости, параллельной плоскости хОу; б) Л = С = 0, тогда By + D = 0 или у = —g- =6 — уравнение плоскости, параллельной плоскости xOz\ в) В = С = 0, тогда Лл; + D = 0 или х = —j- = а — уравнение плоскости, параллельной плоскости yOz. V. Пусть: а) Л = В = D = 0, тогда Cz = 0 или z = 0 — уравнение плоскости хОу\ б) Л = С = D = 0, тогда By = 0 или у = 0 уравнение плоскости #Oz; в) В = С = D = 0, тогда Л# = 0 илц # = 0 — уравнение плоскости yOz.
83 § 4. Уравнения плоскости 2. Нормальное уравнение плоскости в координатной форме имеет вид #cosa + t/cosp + ZCOSY — р = 0, (5) где cos a, cosp, cos?— направляющие косинусы перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на плоскость; р^>0 — его длина. Уравнение (5) напишем в векторной форме: "rfr — р = 0, (6) где n°={cosa; cosP; cos 4} — единичный вектор, перпендикулярный к данной плоскости и обращенный от начала О к плоскости; г = [х\ у; z) — радиус-вектор произвольной точки М(х\ у\ г), лежащей на плоскости. 3. Пусть в уравнении (1) свободный член ОфО. Разделим обе части уравнения (1) на — D и положим *г-= —; D ~~ ъ ; D ~~ с • Полученное таким образом уравнение — + -f + — = 1 (7) называется уравнением плоскости в отрезках. 4. Угол ф между двумя плоскостями A1x + B1y + C1z + D1 = 0; А2х + В2у + C2z + D2 = 0 _} ' равен углу между перпендикулярными к ним векторами пг =* = Иь Вг; Сг] ип2={А2, 52; С2}; cos Ф = cos (Cn2) = ^ = ЛА + ад + ад ЕСЛИ ф = -|-, ТО ЛХЛ2 + ВД + СгС2 = 0. (10) Условие (10) есть условие перпендикулярности двух плоскостей (8). Условие параллельности двух плоскостей (8) А2 В2 С2 получается из условия параллельности двух векторов пг {Аг\ Bt; С±] и п2 [А2\ В2\ С2). Если Л2 — В2 " С2 - D2' ^ то уравнения (8) равносильны, т. е. плоскости совпадают. (И)
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 84 Если условие (11) не выполняется, то плоскости (8) пересекаются. 5. Чтобы привести общее уравнение плоскости (1) к нормальному виду (5), надо его умножить на нормирующий множитель М = —r X (13) ± Ул2 + в2 + с2 т. е. уравнение (1) привести к такому виду: Ах + By + Cz + D = Q ± V Л2 + Б2 + С2 Направляющие косинусы нормали и параметр р определяются по формулам: А В cos а = — , cos р = (14) ±/Л2 + В2 + С2' г ±/Л2 + Я2 + С2! С D cos т = — р == 1 ±У А2 + В2 + С2 ' н ±У А2 + В2 + С2' Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена D уравнения (1). Если D = 0, то знак произволен. Расстояние d от точки Мг {хг\ ух\ zx) до плоскости (5) определяется по формуле d = | хг cos а + ух cos р + zx cos т — р | (15) и до плоскости (1) по формуле Ахг + Byt + Сгг + Р Г , (15') ± Va2 + в2 + с2 | v ' Если в формулах (15) и (15') отбросить знак абсолютной величины, то при вычислениях (р Ф 0 и D ф 0) будем получать 8 со знаком плюс в том случае, когда начало координат и данная точка находятся по разные стороны от плоскости, и со знаком минус, когда они находятся по одну сторону от плоскости. В первом случае d = 8, во втором d = — 8. В обоих случаях d = |8|. Формулу (15) можно написать в векторной форме: d=|n%-p|, где n°={cosa; cosp; cos 7}; радиус-вектор гг = {хг\ уг; zx) точки М1(х1; Уг\ гг). 370. Построить плоскости, заданные уравнениями: 1) 3x + 2y + 4z — 8; 2) 2* + 3t/ — 6 = 0; 3) 2z — 3 = 0; 4) 2л: — 3у = 0; 5) 2л: — у + 3z = 0.
85 § 4. Уравнения плоскости Построение. 1)Из данного уравнения видно, что плоскость не проходит через начало координат (D Ф 1) и пересекает в различных точках все три оси координат. В аналогичных задачах для построения плоскости по ее уравнению целесообразно найти эти три точки на осях, которые будут определять положение плоскости. Сначала найдем точку пересечения плоскости с осью Ох, для этого положим в данном уравнении у = 2 = 0, тогда Зх — 8 = 0, х = а = -g-. Аналогично, если х = г = 0, то у = Ъ = 4, т. е. получим координаты точки пересечения с осью Оу, если х = у = 0, то 2 = с = 2, т. е. нашли координаты точки пересечения с осью Ог. Отрезки а, Ь, с можно найти другим способом. Учитывая, что D = — 8 Ф 0, приведем общее уравнение плоскости к уравнению плоскости в отрезках + = 1, отсюда а = -о~, 6 4, с = 2. Плоскость, проведенная через найденные точки Л f-g-; 0; о) В (0; 4; 0), С (0; 0; 2) будет искомой (рис. 49, а). Теперь можно
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 86 найти линии пересечения (следы) плоскости с координатными плоскостями. Для этого соединим найденные точки Л, 5, С прямыми., которые и будут следами. Положение плоскости определяется также двумя несовпадающими прямыми, принадлежащими плоскости. Поэтому, если найти хотя бы два несовпадающих следа плоскости, то они определят ее положение. 2) Так как D = — 6ф0, то данное уравнение можно написать в таком виде: Отсюда а = 3, 6 = 2. Отложив эти отрезки на координатных осях и соединив их концы, получим след плоскости в плоскости хОу (рис. 49, б). Данная плоскость параллельна оси Oz, следовательно, ее следы в координатных плоскостях xOz и yOz параллельны оси Oz. 3) Так как А = В = О, то данная плоскость параллельна координатной плоскости хОу и отсекает на оси Oz отрезок z =» з = c = -g-. Следы плоскости на координатных плоскостях xOz и yOz параллельны соответственно осям Ох и Оу (рис. 49, в). 4) В данном уравнении С = D = О, следовательно, плоскость проходит через ось Oz. Следы плоскости в координатных плоскостях xOz и yOz совпадают с осью Ог, а в плоскости хОу ее следом будет прямая, уравнение которой 2х — Зу = 0 или у == = -j- х (рис. 49, г). 5) Плоскость проходит через начало координат (D = 0), следовательно, а = Ь = с = 0. Найдем следы ее в координатных плоскостях. Пусть х = 0, тогда Зг — у = 0 или z = -j- y\ если 2 у = 0, то 2# + Зг = 0 и z = j-x\ если z = 0, то 2л: — у = 0 и г/ = 2х. Теперь в плоскостях yOz (х = 0), #Ог (у = 0), #Оу (г = 0) построим следы плоскости, т. е. прямые, соответствующие полученным уравнениям. 371. Составить уравнение плоскости Q, отсекающей на оси Ох отрезок О А = 3 и перпендикулярной к вектору п {2; — 3; 1}. Решение. По условию задачи точка Л лежит на плоскости с координатами х = 3, у = 0, z = 0. Воспользовавшись формулой (4), получим уравнение искомой плоскости 2(х — 3) — 3у + гг=0 или 2* — Зу + z = 6. 372. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку MQ (1; 2; — 1) и перпендикулярной к вектору п {3; 0; 2}.
87 § 4. Уравнения плоскости Решение. Применив формулу (4), получим 3(*-1) + О(0-2) + 2(г+1) = О или 3x + 2z — 1 =0. Искомое уравнение плоскости не содержит у, т. е. является уравнением плоскости, параллельной оси Оу. 373. Найти уравнение плоскости: 1) проходящей через ось Ох и точку (1; 2; —3); 2) параллельной оси Ог и проходящей через точки (1; 0; 1) и (— 2; 1; 3). Решение. 1) Каждая плоскость, проходящая через ось Ох, определяется уравнением вида By + Cz = 0. Потребуем, чтобы плоскость проходила через точку (1; 2; -3): 2В — ЗС = 0 или В = Щ-. Следовательно, искомое уравнение плоскости будет иметь вид ^y + Cz = 0 или •у У + г = 0, или Ъу + 2z = 0. 2) Каждая плоскость, параллельная оси Oz, определяется уравнением вида Ах + By + D = 0. Так как искомая плоскость проходит через точки (1; 0; 1) [ A + B.0 + D = 0, и (-2; 1; 3), то \_2A + B + D = 0. Отсюда D = — А, В = ЗД следовательно, искомое уравнение плоскости Ах + ЗАу — Л = 0 или х + Зу— 1=0. 374. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0), Лф; — 1; 2), Р(0; 1; —1) и найти углы ее нормали с осями координат. Решение. Известно, что положение плоскости определяется тремя точками (не лежащими на одной прямой). Напишем уравнение любой плоскости, проходящей через точку М(1; 2; 0): А{х—1)+В(у — 2) + Сг = 0. (А)
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 88 Чтобы получить искомое уравнение плоскости, надо потребовать, чтобы уравнению (А) удовлетворяли координаты точек N и Р: Г — 35 + 2С = 0, | 35 — 2С = О, \ _Л-5-С = 0 ИЛИ 1 Л + 5 + С = 0. Отсюда В = -|-С, Л = — С — 5 = С. Подставив эти значения в уравнение (А), получим искомое уравнение плоскости: 4-c(*-i)+4- -4-C(*-l) + 4-C(y-2)+Cz = 0 или или *(x-l)-±(y-2)-z = 0, 5x — 2y — 3z—l = 0. Для определения углов, образованных вектором нормали п {5; —2; —3} искомой плоскости с осями координат, воспользуемся формулами (14): 5 51/38, cos a: cos(3 = 1/25 + 4 + 9 2 _ 1^38 ~~~ 38 1/"38 19 j 0,8111; — 0,3244; 3 =-1^^-0,4866. COS T = • ^= оо * /38 38 Отсюда а^35°48', р^ 108°56', т«119°7'. 375. Найти расстояние: 1) от точки (2; 3; —4) до плоскости 2х + 6у — 3*+ 16 = 0; 2) от точки (2; —4; 1) до плоскости х — 8# + 4г = 0. Решение. 1) Приведем уравнение к нормальному виду, умножив данное уравнение на нормирующий множитель м= , 1 =-+ — 1/4 + 36 + 9 7 Получим или 2 6,3 2х + 6г/ — Зг+ 16 4=0 0. Расстояние d найдем по формуле (15'): d = 2-2 + 6-3 — 3( — 4)+16 — 7 J50_ 7 = 7 7 '
89 § 4. Уравнения плоскости 50 По условию D = 16ф0, а 3 = ^-, следовательно, данная точка и начало координат находятся по одну сторону от плоскости. 2) М = . = = + -тг (знак можно взять любой, ±/1+64+16 ~ 9 v так как свободный член данного уравнения D = 0). Приведем уравнение к нормальному виду, т. е. умножим его на нормирующий множитель М. Получим 9 = °- Расстояние 2 — 8 (— 4) + 4 • 1 * 9 ' 9 376. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают: 1) Ах — 6у + Зг + 5 = 0 и 2х — Зу + z — 5 = 0; 2) 6х + 8у — Az — 6 = 0 и Зх + Ау — 2z + 3 = 0; 3) Зл: — 6у + Зг — 6 = 0 и — л: + 2*/ — г + 2 = 0; 4) 6л: —92 + 5 = 0 и 2л: — Зг + 1 = 0. Решение. 1) Условие параллельности (11) не выполнено, так как коэффициенты при текущих координатах не пропорциональны. Проверим: Л2 ~~ 2 "" ** В2 "~ - 3 ~~ *' С2 ~~ 1 ~ °' следовательно, А. = А ф JL. Л2 #2 С2 Данные плоскости пересекаются. 2) Условие параллельности (11) выполнено, т. е. коэффициенты при текущих координатах пропорциональны: Л1-А_9 Б1 - 8 -о С1 _-4_о Di -~6- о "ЯГ"" 3 "" ^ В2 - 4 ~~ *' С2 ~ -2 ~ А D2 - 3 - *' следовательно, Л2 ?>2 С2 Это и означает, что плоскости параллельны. 3) Уравнения равносильны, так как все коэффициенты пропорциональны, а именно:
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 90 т. е. ^1 = Вг = Сг = Рх ^2 ^2 ^2 ^2 Умножив второе уравнение на коэффициент пропорциональности X = — 3, получим первое, следовательно, плоскости совпадают. 4) По условию А = 6, Б1 = 0, Ci = -9, Ох = 5; Л2 = 2, Я2 = 0, С2 = — 3, D2 = 1, отсюда Коэффициент пропорциональности X = 3. Заметим, что соотношение (А) записано условно, тем не менее оно справедливо, если понимать его как совокупность следующих равенств: 6 = 2-3; 0 = 0-3; — 9 = ( — 3)3. Следовательно, условие параллельности (11) выполнено, т. е. данные плоскости параллельны. 377. Установить, что плоскости 2х + Зу—4z + 1 = 0 и Ъх — — 2у + z + 6 = 0 взаимно перпендикулярны. Решение. Условие перпендикулярности плоскостей (10) выполнено, так как 2-5 + 3( — 2) + ( — 4).1 = 0. Следовательно, плоскости взаимно перпендикулярны. 378. Найти угол между плоскостями: 1) х + 2у — 2г+ 1 =0 и 2x + 6y + 3z — 2 = 0; 2) х — 2у + 3 = 0 и y + 2z — 5 = 0. Решение. 1) Воспользовавшись формулой (9), получим Ь2 + 2-6 + ( —2)-3 8 пост cos ф = . ТЛ 7 = = -J7J-«0,3810, Y 1^1+4+ 4-/4+ 36+ 9 21 отсюда Ф«67°36'. ох 1-0+ ( — 2) 1+0-2 п , 2) cosф = —> ~,v ¦ ' — = — 0,4, ' Y /1 +4 -Kl+4 следовательно, Ф^113°35\ 379. Проверить, лежат ли точки Л(1; 3; 6), В (0; 0; —1), С(1; 2; 1), D(—1; 0; 1) на плоскости, заданной уравнением 2х — Ъу + г + 1 = 0.
91 § 4. Уравнения плоскости 380. Построить плоскости, заданные уравнениями: 1) х + 2у — z — 4 = 0; 2) 2y + 3z — 6 = 0; 3) 2у — 5 = 0; 4) 2у — 32 = 0; 6) 2л; + 3z = 6. 381. Указать особенности в расположении следующих плоскостей: 1) 2х + Ъг— 1 = 0; 2) За; + у + 1 = 0; 3) у — 4г+ 1=0; 4) 2х — у = 0; 5) у — Зг = 0; 6) х + z = 0; 7) у —5 = 0; 8) 2 + 3 = 0; 9) 8л; — 3 = 0; 10) х — y + z = 0. 382. Уравнение плоскости 2л; — Ъу + 4z — 12 = 0 написать в отрезках. 383. Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей: 1) 2л: —# + 22 + 9 = 0; 2) x — y + 7z — 2=*0\ 3) Зл; — 4*/ + 5 = 0; 4) х — 8y + 4z = 0. 384. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Оу отрезок ОВ = 5 и перпендикулярной к вектору п{3; —2; 4}. 385. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2; —3; 1) и перпендикулярной к вектору п {2; —1; 3}. 386. Найти уравнение плоскости: 1) проходящей через ось Оу и точку (2; —1; 1); 2) проходящей через ось Oz и точку (3; 1; 0); 3) параллельной оси Ох и проходящей через точки (0; 2; 1) и (—1; 1; 2); 4) параллельной оси Оу и проходящей через точки (1; 0; 2) и (2; 1; 0). 387. Найти расстояния: 1) точки Л(1; —1; 2) от плоскости 4л; — 4f/ + 2z + 30 = 0; 2) точки В ( — 2; 3; 5) от плоскости х — Ъу + 4z+ 1 = 0. 388. Найти расстояние от начала координат до плоскости 2х + у — 22— 15 = 0. 389. Определить взаимное расположение точек Л(1; — 1; 2), В (2; 0; 3), С (2; —1; —3) и плоскости х — 2у + 32 — 8 = 0. 390. Написать уравнение плоскости: 1) параллельной координатной плоскости хОу и проходящей через точку (1; 2; 5); 2) параллельной координатной плоскости yOz и проходящей через точку (3; 1; 2); 3) параллельной координатной плоскости xOz и проходящей через точку (0; —2; 1). 391. Написать уравнение плоскости, заданной точкой М(2\ —3; 7) и вектором нормали п (3; —2; Ik
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 92 392. Написать уравнение плоскости, если направляющие 4 7 4 косинусы нормали cos a = -^-, cos р = -g-, cos 7 = §- и плоскость проходят через начало координат. 393. Даны две точки Мх{2\ — 1; 3) и М2(4; —2; — 1). Написать уравнение плоскости, проведенной через точку Мг перпендикулярно к вектору МгМ2. 394. Построить плоскость х — 2у + 2z — 8 = 0 и найти углы ее нормали с осями координат. 395. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (3; 2; — 4) и перпендикулярной к вектору ОМ. 396. Найти расстояние d точки (2; 1; 0) от плоскости, проходящей через точки Р(1; 0; 2), Q(l; 2; —1), R(2\ —2; 1). 397. Найти угол между плоскостью 2х + у — 2г — 3 = 0 и координатной плоскостью yOz. 398. Найти угол между плоскостями: 1) х + 2у — 2z + 1 =0 и х + у — 4 = 0; 2) Зх + 4у —1 = 0 и у = 0; 3) Ах — Ту — 4z — 2 = 0 и 2х + у — 2z + 5 = 0. 399. Показать, что плоскости х — у + г — 1 = 0 и 2л; — 2у+ + 2г + 3 = 0 параллельны между собой. 400. Показать, что плоскости х + 2у — Ъг + 1 = 0 и За: — — 4у — z — 2 = 0 перпендикулярны между собой. 401. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости х — 2у + z = 3. 402. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1; —1; 2) параллельно плоскости 2х — 3# + z = 5. 403. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 0; 1) и (1; 2; —3) перпендикулярно к плоскости х — у + z— 1 = 0. 404. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1; —1; 1) и перпендикулярной к плоскостям 2х — у + + 2—1 = 0 я х + 2у — z+l = 0. 405. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (2; 0; 1) и перпендикулярной к плоскостям х + у — г = 0 и у = 2z. 406. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку (2; 1; —1) перпендикулярно к плоскости 2х — 2>z = 0. 407. Найти расстояние между параллельными плоскостями х — y + z— 1 = 0 и 2х — 2y + 2z — 5 = 0. 408. Написать уравнение плоскости, если известно, что точка (2; 1; —3) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
93 § 5. Уравнение прямой в пространстве 409. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки, соответственно равные 2; —3; 4. 410. Найти точку пересечения плоскостей х + у — г + 1 = 0; 2х — у + z + 3 = 0; л:+г/ + 2— 1 = 0. § 5. Уравнение прямой в пространстве. Пересечение прямой и плоскости 1. Прямую в пространстве можно определить, как пересечение двух плоскостей, поэтому общими уравнениями прямой будут два уравнения первой степени, составляющие систему уравнений: A^ + B^ + C^ + D^O, 1 A2x + B2y + C2z + D2 = 0. j (1) Положение прямой в пространстве можно определить также данной точкой М0 (а0; Ь\ с), лежащей на прямой (рис. 50), и направляющим вектором s [m\ п\ р). Пусть М (х\ у\ г) есть произвольная точка прямой, тогда из рис. 50 видно, что ОМ = ОМ0 + М0М или где t — параметр. Уравнение (2) называется векторным уравнением Напишем уравнение (2) в проекциях: х = а + mt\ у =^b + nt\ z = с + pt, отсюда, исключив t, получим х — а у — Ь г — с ,*. т п р * ' Проекции т, я, р вектора s на оси ОХу Оу и Ог называются направляющими коэффициентами прямой. Уравнения (3) называют параметрическими уравнениями прямой, а уравнения (4) — каноническими. Заметим, что направляющие коэффициен- Рис. 50 ты m, я, p можно заменить соответственно величинами mk, nk, pk, где k Ф 0. Ненулевой вектор ks [km\ kn\ kp) будет выполнять ту же роль, что и коллинеар- ный ему вектор s {m\ п\ р}. Если один из коэффициентов равен нулю, например т = 0, то система хТа = у~ = z~~° равносильна системе х — а =*
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 94 = о, 1=1 = 1= * п р к оси Ох. и в этом случае прямая перпендикулярна Если какие-либо два коэффициента равны нулю, например m = п = 0, то система х — а равносильна си- о ~~ о ~~ р стеме х — а = О, у — 6 = 0 и прямая параллельна оси Ог. Пусть прямая проходит через две данные точки Мг (хг; уг\ z±) и М2(х2\ у2\ z2). В этом случае можно положить направляющий вектор прямой s = МХМ2 = {х2 — хг\ у2 — у±\ г2 — г^. Подставив в уравнение (4) т = х2 — хъ п = у2 — уъ р = г2 — гъ а = хъ Ь = уъ c = zl9 получим уравнение прямой, проходящей через две данные точки, х — х1 = у —у г = z—z! .g. х2 — хг Уъ — У1 Ч — Ч% К ' Если три точки Мг(хг\ уг\ гг), М2{х2\ у2\ z2) и М3(х3\ у3\ z3) лежат на одной прямой, то выполняется условие хз — *\ Уъ— У\ zb — zi /о\ на s = или Хч — Х\ Если знаменатели У т2 + п2 + р2, то noj X — С т s и х — а У2 — У1 уравнений гучим: п s = у-ь = *2 — *1 " (4) разделим Z — C р $ z~c COS a cos[S cosy (4') где а, (3, у— углы, образованные прямой с осями координат Ox, Oy, Oz. Величины cos a, cos[3, cosy называются направляющими косинусами прямой и вычисляются при помощи формул: т cos a = — = 1 Я S |/m2+rt2 + p2 » П __ П * Vm2 + n2 + p2i cos у = -?- = ? =- 1 S ут2 + П* + р* 17) Угол между двумя прямыми r = r0 + st и г = гг + sxt,
95 § 5. Уравнение прямой в пространстве где г0 = \а\ Ь\ с)\ s = [tn\ п\ р)\ гг = [аг\ Ьг\ сх), s± = [тг\ пг\ pt}f или прямыми х — а у — Ь г — с х — ах у — &i г — сг т п р определяется по формуле Щ пх Pi COS? = COsfcii) = ?- = г тт^ПП*+Ж 1п{А,в;с} fs{m,n,p} SSl ут2 + П2 + р2у-т2 + п2 + р2 21 (8) ,• О) (Ю) (Н) Рис. 51 Условие параллельности прямых (8): т п р Условие перпендикулярности прямых (8): тт1 + ппх + ррг = 0. 2. Углом между прямой L и плоскостью Р называется угол ф(о<ф<-|-), образованный прямой с ее проекцией U на плоскость (рис. 51). Пусть направляющий вектор прямой s {m\ п\ р) и нормальный вектор плоскости п [А\ В\ С}, тогда (JL _ ) - HL - Ат + Вп + Ср cos у 2 фj — ns - уА2 + Б2 + С2 ^m2 + п2 + р2 Заметим, что cos (у — ф) = sin ф, где sin ф > 0, следовательно, (12) 81Пф = \Ат + Вп + Ср\ У А2 + В2 + С2 j/"m2 + п2 + р2 Если прямая (4) параллельна плоскости Ах + By + Cz + D = 0, (13)
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 96 то угол между ними ср = 0, отсюда и sin ср = 0, следовательно, числитель дроби (12) Am + Вп + Ср = 0 (14) (условие параллельности). Если прямая (4) перпендикулярна к плоскости (13), то векторы п [А\ В\ С) и s [m\ п\ р] параллельны, следовательно, будет выполняться условие JL.JL-jL (15 т п р v ' (условие перпендикулярности прямой к плоскости). Если условие (14) не выполняется, то прямая (4) и плоскость (13) пересекаются. Чтобы найти точку их пересечения, надо решить систему из трех уравнений с тремя неизвестными х, У, г: х — а _ у — Ь _ г —с ) т ~~ п ~ р ' (16) Ax + By + Cz + D = 0. ) 411. Построить прямые: г2*-3*/-Зг + 4 = 0, ^^ ^=JL ' 1 x + 2y + z — 5 = 0; '2 _4 3- Построение. Известно, что положение прямой можно определить двумя точками, принадлежащими ей, поэтому мы найдем следы прямой (т. е. точки пересечения прямой с координатными плоскостями) на каких-нибудь двух координатных плоскостях, например на плоскостях хОу и xOz, затем через полученные две точки проведем искомую прямую. Найдем точку пересечения прямой с координатной плоскостью хОу. Полагая в системе 12 = 0, получаем систему уравнений 2х — Зг/ + 4 = 0, х + 2у — 5 = 0, отсюда х= 1, у = 2. Следовательно, М(\\ 2; 0) —точка пересечения прямой с плоскостью хОу. Теперь найдем точку пересечения прямой с координатной плоскостью xOz. Полагая в системе 1 у = 0, получаем систему уравнений | 2х — 3z + 4 = 0, I x + z — 5 = 0, отсюда х = 2,2 и z = 2,8. Следовательно, Р (2,2; 0; 2,8) — точка пересечения прямой с координатной плоскостью xOz. Через точки М и Р проводим искомую прямую (рис. 52).
97 § 5. Уравнение прямой в пространстве 2) Аналогично, если z = 0, то —~— = -^т == 0, отсюда Х—^- = 0, -^ = 0, т. е. х = 2, у = 0. Следовательно, ? (2; 0; 0) — точка пересечения прямой с координатной плоскостью хОу. Пусть х = 0, тогда -^ = -|- = — 1, отсюда у = 4, г = — 3. Следовательно, F (0; 4; — 3) — точка пересечения прямой с координатной плоскостью yOz. Через точки Е и F проводим искомую прямую. 412. Найти направляющие косинусы прямой 2х — Зу — 3z — 9 = 0, х — 2y + z + 3 = 0. Решение. Сначала приведем уравнения прямой к каноническому виду. Для этого в данной системе уравнений исключим переменную х и выразим z через у: Г 2а; — Зг/ — Зг — 9 = 0, ( х — 2f/ + z + 3 = 0; Отсюда z = Теперь выразим z через х: | 2х — Зу — Зг — 9 = 0, \ *-2{/ + г + 3 = 0; Отсюда Учитывая выражения (А) и (В), напишем уравнения прямой в каноническом виде х —27 __ у — 15 _ г 9 — 5 ~" 1 * Нетрудно видеть, что прямая проходит через точку М (27; 15; 0), направляющие коэффициенты ее m = 9, /г =_5, р=1 и направляющий вектор s = (9; 5; 1} или s = 9/ + б/ + ?. Направляющие косинусы прямой найдем по формулам (7): m 9 9 11 2| 2х —3# —Зг — 9 = 0 — 2х + 4у — 2г— 6 = 0 t/ — 5г— 15 = 0. У-15 , 5 (J 2 -3 ж- 1 Ах — 6у — 6г — 18 = 0 1 — Зх + 6г/ —Зг — 9 = 0 х — 9г — 27 = 0. =21. Г COS a s ]/ 81 +25+1 V107* 0 /г 5 1 cos р = — = ,. ; cos 7 = ]/"Ю7' ' 1^107*
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 98 413. Найти угол между прямой | х — 2z + 3 = О, \ г/ + Зг — 1 = О (А) и плоскостью 2х — у + z + 3 = 0. (В) Решение. Уравнения прямой (А) напишем в каноническом х 4- 3 виде. Из первого уравнения системы (A) z = —к—г из второго 1—1 уравнения z= • или 3 , отсюда * + 3 1-0 2 2 — 3 — 1 # + 3 у— 1 2 2 ~ ~^Т~~ 1 Следовательно, направляющие коэффициенты прямой m = 2, п — — 3, р = 1 и по условию координаты нормального вектора плоскости (В) А — 2, В = — 1, С=1. Для определения угла воспользуемся формулой (12): sinф = ^ + (-1Н-3)+М , 1р^0,8730. Y /4 + 1 + 1/4 + 9+1 21 Этому значению sincp соответствует угол ф^60°49'. 414. Прямая L проходит через точку (2; 1; —1) и точку пересечения прямой X — 3_ У _?+1 /дч Т~ " ~ ~~ —Г ^ G ПЛОСКОСТЬЮ х — у + z — 1 = 0. (В) Найти угол, образованный прямой L с плоскостью х + 2у — z + 3 = 0. (С) Решение. Прямая (А) и плоскость (В) пересекаются, так как условие параллельности (14) не выполнено, т. е. 2-1 + + (—!)¦( — 1) + Ы ?= 0. Найдем точку пересечения прямой (А) с плоскостью (В). Напишем уравнения прямой (А) в параметрической форме: *=!=*, _?_ = *, z + l=t, отсюда x = 2t + 3, y = —t, z = t—\.
99 § 5. Уравнение прямой $ пространстве Полученные значения х, у, z подставим в уравнение (В) и найдем t 2/ + 3 — ( — t) + t— l — 1=0 или 4/+1 = 0, отсюда t = j-. Следовательно, х = -х-, у = -j-, z = —j- Теперь напишем уравнения прямой L, проходящей через точки (2; 1; -1) и (-§-; _Ь _^_ л — 2 ^_1 г+1 ИЛИ 5 ~~ 1 т-2 т—1 х — 2 г/—1 1 ~~ 3 2 ""4 f—2_у —1 "Ч-+- г+1 ~~ 1 ' —г г+1 ИЛИ "2 ~ — 3 "~ — 1 ' Угол между прямой L и плоскостью (С) найдем по формуле (12): |1.2 + 2(-3) + (-1)(-1)| _ БШф^ 1/12 + 22 + (—I)2 ]/22 + (— З)2 + (— I)2 3 - V21 --^0,3274. УбКн 14 По таблицам тригонометрических величин находим ф^ 19°7''. 415. Найти расстояние от точки 7W(2; 3; 1) до прямой * + 5_# —4_z —3 /д\ 1 ^ — 3 ~~ -2 • ^' Решение. Через данную точку М проведем плоскость Р, перпендикулярную к данной прямой. Затем найдем точку пересечения N этой плоскости g прямой (А). Отрезок MN будет лежать в плоскости Р, перпендикулярной к прямой (А), следовательно, он будет служить перпендикуляром, опущенным из точки М на данную прямую, основанием которого будет точка N. Кратчайшим расстоянием от точки М до данной прямой будет длина перпендикуляра MN, проведенного из точки М на прямую (А). Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку М: А(х — 2)+В{у — 3) + C(z — 1) = 0. (В)
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 100 Определим коэффициенты Л, В, С так, чтобы плоскость (В) была перпендикулярна к прямой (А). Воспользуемся условием перпендикулярности прямой к плоскости (15): Л_ в = с 1 ~" —з — 2* Можно положить Л = 1, В = — 3, С = — 2. Подставляя эти значения в уравнение (В), получаем уравнение плоскости Р: х — 2 — г (у — 3) — 2(z — 1) = 0 или х — Зу — 2^ + 9 = 0. (В') Теперь найдем точку пересечения этой плоскости с данной прямой. Напишем уравнения (А) в параметрической форме: х + Ь У — 4 __ г —3 1 отсюдз и x = t — 5\ */ = —3/ + 4; z = — 2zf + 3. Подставив эти значения в уравнение плоскости (В'), получим t — 5 — 3 (4 — Ы) — 2 (3 — 2t) + 9 = 0 или Ш_14 = 0, отсюда /= 1. Следовательно, точка пересечения плоскости (В') и прямой (А) будет иметь координаты л: = 1 — 5 = — 4; ?/ = — 3 + 4=1; z = — 2 + 3=1. Теперь найдем расстояние между двумя точками М (2; 3; 1) и N ( — 4; 1; 1) по формуле (1) § 1 гл. III: MN = ]/(2 + 4)2 + (3— I)2 + (1 — I)2 = ]/40 = 2 1/10. 416. Найти следы прямых: х = 4 — *, .*—! 0+1 2-4 Г 2* — г + 2 = 0, !) \3r/ + 4z-5 = 0; 2) t/ = 2 + &, 3)--3 --J--—5- г= 1—*; на плоскостях xOt/ и хОг и построить эти прямые. 417. Найти следы прямой х + у — г + 2=0, х — 2# + г — — 1 = 0 на координатных плоскостях хОу, xOz9 yOz. 418. Проверить, лежит ли точка М(2\ 3; —4) на прямой 2х + 2у + z — 6 = 0, 5л: — 2у + Зг + 8 = 0. 419. Проверить, проходит ли прямая х + у — г = 0, 2х + + 7у — Зг = 0 через начало координат.
101 § 5. Уравнение прямой в пространстве 420. Написать уравнение оси Оу. 421. Составить уравнение прямой, проходящей через точки (2; — 1; —3), (3; 1; —5) и найти ее направляющие косинусы. 422. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (— 2; 5; —3). 423. Найти параметрические уравнения прямой: 1) проходящей через точку (2; — 3; 1) и параллельной вектору s {— 2; 4; 5}; 2) проходящей через точки М(1\ — 1; —2) и Р(3; -2; 1). 424. Найти уравнения прямой, проходящей через точку М{2\ 1; —3) и образующей с осями координат углы а = 45°, р = 60°, т= 120°. 425. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (2; — 3; 4) и образующей с осями координат углы а = 45°, р = 90°, т=135°. 426. Найти направляющие косинусы прямых: п х~ 1 — ^ + 3 — г —5. о\ *+ * — у~~1 — г 1) 2 -"" — 2 — 1 ' Z' 3 ~~ 0 """ — 4" 427. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки: 1) Л(3; 5; -5), В (4; 6; -4), С(5; 7; -3); 2) D(l; 2; - 1), ?(2; -3; 3), F(4; 2; 3). 428. Найти угол между прямыми х-\- \ _ у _ z— \% х __#—2__ z 429. Привести к каноническому виду уравнения прямой х + Ъу — 2+1 = 0; 2х — Зг — 5 = 0. 430. Найти угол между прямыми \ х + у — z— 1 = 0, Г л; — 2+1=0, (х-?/ + 22+1 = 0И(# + 22—1=0. 431. Указать взаимное расположение прямых: i\ х у — 5 z— 1 J) _ г—1 * —2 __ г/ + 3 _ г + 1. ^3^ —6 — —9 И —1 2 """" 3' ( х — 5г + 2 = 0, | x + 2z — 3 = 0, 2) ( y_42 —7 = 0 И Иу —92 + 4 = 0. 432. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (2; —3; 5): 1) параллельно оси Ог\ 2) параллельно прямой х 1 if 2-1-2 —?- =-j- = zzr; ^) паРал«лельно прямой х — 2у + Зг — 1 =0, 2* + */ — г + 2 = 0.
Глава III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 102 433. Найти прямую, проходящую через точку (1; —3; 2) и перпендикулярную к прямым: х — 2 __ у __ j_% х__ _ у + 1 _ г + 3 3 ~" — 2 "" 1 ' 1 -"¦ 4 "" — 5 " 434. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую ?±1 = ^ = ^- и точку (3; 2; -1). 435. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (2; 1; — 3) и прямую х — у — г— 1=0, а: + 2у + 3 = 0. 436. Написать уравнение плоскости, проходящей через /1 гл п\ *— I (/ + I 2 точку (I; 0; — 2) и прямую —^ = -373" = ~j~- 437. Найти угол между прямой ^- = ^zy = -2— и плоскостью 2а; + у + 4г — 3 = 0. 438. Найти угол между прямой 2х — у = 3, За: — z = 2 и плоскостью 2а: — у + z + 5 = 0. 439. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (I; —2; —3) и параллельной прямым: X— I # + 2__ Z t X + 1 У 2 ~~3~~ "" "=Т "" "2~; ~^2~ ~" 2 "" "Т* 440. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые: л:—1 _ у+ 2 _ z+ 1. д^_ __ у— 1 __ г + 2 3 ~~ — 5 ~ 4 ; "3 ~~ — 5 ~~ 4 ' 441. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2; —1; 3) и параллельной прямым: х у — 1 z + 2# х — 1 у -\- I _ г ~2~ ~~ ~Т~ ~ ~~3~; ~^2~ "" ~~~3~ "" ~Т* 442. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (2; 3; — 1) на плоскость: 1) 4х + 5у — 2z + 3 = 0; 2) 2* —Зг+1 = 0; 3) у = 5. 443. Через точку (3; 1; —2) провести плоскость, перпендикулярную к прямой х -т-2 у— 1 _ z ~3~~ ~" ~^2"~"Т' 444. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (2; —1; 3) и перпендикулярной к прямой у = 3, x + z=l. 445. Найти точку пересечения: 1) прямой -|- = ^?д- = z~\ и плоскости х + у — z-j-2 = 0; 2) прямой ^-j- = ^— = ^?у и плоскости 2а: — у + Ъг = 1;
103 § 5. Уравнение прямой в пространстве \ х — f/ + z + 3 = 0, 3) прямой | - __ и плоскости х ¦+- 2у — z = 10. 446. Найти точку пересечения прямой х = 2 — ?, у = 3t, г = 1 + < с плоскостью # + 2г/ — г + 3 = 0. 447. Найти расстояние от точки М(2; 0; 3) до прямой 2х — у + г=1, л: + У + г = 3. 448. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: Х' 2 "~ "=ПГ "" 3 И "2" ~~ ~=Т " ~~3~~' р + г—1 = 0, | x + z— 1 = 0, М */ + 2г = 0 И i t/ + 2z— 1=0. 449. Найти уравнения прямой, проходящей через точку л/т/п л П\ » *—1 ^4-1 г — 2 /W(3; 1; — 2) и точку пересечения прямой -у- = ^^у = —тр- и плоскости 2л: — Ъу — Ъг = 3.
Часть вторая. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Глава IV Введение в анализ § 1. Действительные числа и числовая ось. Абсолютная величина числа 1. Числа рациональные и иррациональные называются действительными. Для наглядности принято числа изображать точками на прямой линии, на которой устанавливается начало отсчета, положительное направление и масштаб. Такая прямая, как уже говорилось, называется числовой прямой или числовой осью. 2. Абсолютной величиной числа х называется само это число х, если х > 0, и число — х, если х < 0. Абсолютная величина числа х обозначается символом \х\. Из этого определения следует, что если х > 0, то | х | = х> если х < 0, то |#| = —х. Например, 13j = 3, |—5| = —(—5) = 5, | — 8]==8, 101 = 0. Абсолютные величины обладают следующими свойствами: I. Неравенство |х|<!о равносильно двойному неравенству — S<x<8. П. Абсолютная величина суммы меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых, т. е. \* + iA<\x\ + \vV III. Абсолютная величина разности больше или равна разности абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого, т. е. \х — у\>\х\ — \у\. IV. Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей, т. е. |#-у| = |*Н{/|- V. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин делимого и делителя, т. е. [fj(^0). 450. При каких значениях х справедливо равенство | х + 61 = = - (х + 6)?
105 § 1. Действительные числа и числовая ось Решение. Из определения абсолютной величины следует, что х + 6 < 0 или х < — 6. 451. Решить неравенства: 1) |*_6|<2; 2) (х + 3)2<1; 3) \х\>х; 4) \х2 — 4х — 5\>х2 — 4х — 5. Решение. 1) Согласно свойству I, напишем — 2^.х — 6<2, отсюда 4<х<8. 2) (х + З)2 — 1 < 0, откуда х2 + 6х + 8 < 0. Трехчлен разложим на множители (х + 2) (х + 4) < 0. Произведение будет отрицательным тогда, когда л; + 2 < 0, [ х + 2 >0, , . ^ А либо { , Л . А л; + 4 >0 I * + 4 < 0. Решая первую систему, получаем х<— 2, *> —4 или — 4<x< — 2. Вторая система несовместна. 3) Неравенство 3 выполняется при х < 0. 4) Неравенство 4 имеет место для тех значений х, при которых Л;2_4а;_5<0. Решим это неравенство. Трехчлен разложим на множители (х+1)(л;-5)<0. Произведение будет отрицательным тогда, когда *+1>0, [* + 1<0, *_5<0 либ° U_6>0. Решая первую систему, получаем х > — 1, л; < 5 или — 1 < х < 5. Вторая система несовместна. 452. Найти: 1) 4) 7) -2|; log2 0,21; sinT-l 2) 5) 8) 1—V2|; sin 270° |; 1 1-* 3) 6) 9) lg0,5|; tg 135° x—\ x + l 453. Решить следующие неравенства: 1) |*|<1; 2) \х\>0; 3) \х\>2; 4) 0<|х|<3; 5) |jc —2|<1; 6) \х-а[<Ь;
Глава IV. Введение в анализ 106 7) 9) И) х — а\ > S; х\ > х— 1; > 8) 0 < | х — а | < 8; 10) \х2 — Зх — 41 > л:2 — Зх — 4; *+ТК5ТТ; 12>1*-Ч<|*-2|. § 2. Переменная величина. Функция. Область определения функции. Способы задания функции. Основные элементарные функции и их графики. Сложная функция. Классификация функций 1. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной, а принимающая только одно значение — постоянной. Постоянную величину можно рассматривать как частный случай переменной, принимающей одни и те же значения. Переменная х считается заданной, если известно множество значений, которые она может принимать. Это множество называется областью изменения переменной. Если каждому значению одной переменной величины я, взятому из области его изменения, по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение другой переменной величины у, то у называется зависимой переменной или функцией (однозначной) от независимой пере* менной (аргумента) х. Если у есть функция от х, то пишут y=f(x)9 у = &(х), V = F(x). Область изменения аргумента х называется областью определения или областью существования функции, а множество значений функции у — областью изменения функции. Обычно областью определения функции являются: замкнутый промежуток, или сегмент [а, Ь]: а <; х -< Ъ\ открытый промежуток, или интервал (а, Ь): а< х <Ь\ полуоткрытые промежутки, или полуинтервалы [а, 6), (а, Ь\. а<* <b, a <x^Lb. К ним присоединяются: (а, + со), (— оо, а), [а, + оо), (— оо, а], (— оо, +оо). Область определения функции может состоять из одного или нескольких промежутков и из отдельных точек. Область изменения функции (множество ее значений) определяется законом соответствия. Заметим, что если каждому значению аргумента х ставится в соответствие не одно, а несколько значений переменной у, то
107 § 2. Переменная величина. Функции и их графики в этом случае переменная у называется многозначной функцией. Например, из уравнения окружности х2 + у2 = г2 следует, что у = :±:]/72 — х2, т. е. каждому значению х (\х\^г) ставится в соответствие два значения у. В дальнейшем будем рассматривать однозначные функции. 2. Две функции называются тождественными, если они определены в одной и той же области и принимают одинаковые значения для каждого х из этой области. 3. Частное значение функции / (х) в точке х0, т. е. ее значение при х = А'0, обозначается символом / (х0). Например, если f(x) = х2 — Зх + 1, то /(2) = 22 — 3-2+1= — 1; /(0) = 1. Если Т(0 = ьгтг> то ? (3) = ТТз* = °'1; ?(-2) - i+c-ffl = °'2; ? (а) = TTtf и т. п. 4. Введем понятие обратной функции. Пусть функция У = /М (1) задана в области X, а множество значений ее У (X и F — промежутки). Поменяем роли переменных: будем считать у аргументом, а х функцией. Возьмем какое-нибудь значение у0 из области Y, тогда в области X необходимо найдется одно значение х0 такое, что у0 = f (x0), либо несколько значений хь (/ = 0, 1, 2, ...) таких, что у0 = / (я,). Это будет иметь место для каждого у из множества Y. Следовательно, на множестве Y уравнение (1) определяет однозначную или многозначную функцию * = Т О/). (2) которая называется обратной для функции (1) и удовлетворяет всем значениям у из Y условию у = f [? (у)]. Может оказаться, что уравнение (1) можно решить относительно х. Тогда, решив его, найдем обратную функцию (2) по отношению к данной функции (1). Заметим, что если функция (2) обратная по отношению к функции (1), то очевидно, что функция (1) обратная по отношению к функции (2). Функции (1) и (2) называются взаимно обратными. Приведем примеры. 1) у = х2 — прямая функция; х=±У у — обратная функция двузначная. Вместо двузначной функции можно рассматривать две однозначные функции х = у~у и х = — Vу, которые являются обратными для функции у = г5. Обычно аргумент принято обозначать буквой х, а функцию буквой у. В этом случае обратную функцию (2) по отношению к функции (1) можно записать так: У = ? (*)¦
Глава IV. Введение в анализ 108 2) у = 2х — прямая функция; у = log2 х — обратная функция. 3) у = 2х + 3 — прямая функция; х = ^— или у = ^ • обратная функция. 5. Если функция задана одной или несколькими формулами, то говорят, что она задана аналитическим способом. Например, функции f х2, если х < 0; I * + I, если х > 0. Функцию можно задать также при помощи графика (графический способ) или при помощи таблицы (табличный способ). Читатель неоднократно пользовался таблицами тригонометрических величин, логарифмическими и др. Заметим, что графический способ задания функции чаще всего является вспомогательным, но весьма полезным, так как график дает наглядное представление о свойствах функции, подлежащей исследованию. 6. Основными элементарными функциями называются следующие: I) степенная функция у = ха, где а — любое действительное число; 2) показательная функция у = ах (а > 0, а Ф I); 3) логарифмическая функция у = \ogax(a > 0, а Ф I); 4) тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, y = tgx, у = ctg х, а также сравнительно редко употребляемые функции у = sec х, у = esc х\ 5) обратные тригонометрические функции у = arcsin x, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х, а также у = arcsec x, у = arccsc х. 7. Функция называется сложной, если ее аргумент в свою очередь есть функции от другой переменной. Пусть функция y = f(u), u = <f(x), все значения которой содержатся в области определения функции f(u), тогда y = f[y(x)] есть сложная функция, или функция от функции. Например, у = sin а, и = \gx, тогда у = sin lgх\ у = tg и, и = Зх + I, тогда у = tg (За: + I). 8. Алгебраические операции (действия) над переменными величинами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем и извлечение корня) и трансцендентные (возведение в степень с иррациональным показателем, логарифмирование, вычисление значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций) называются элементарными. Функция у от х называется элементарной, если ее можно задать одной формулой вида у = f{x) для всех х из области определения так, что каждое ее значение может быть получено из постоянных чисел и значения независимой переменной при помощи конечного числа элементарных операций.
109 § 2. Переменная величина. Функции и их графики Например, значение элементарной функции (в данном случае сложной функции) t/ = lg(x2 + 5x-4) при х = 2 равно 1. Это значение найдено при помощи пяти операций. Указанное число операций сохранится при любом х из области определения функции, т. е. если функция элементарна, то число элементарных операций для нахождения значений функции не зависит от ее аргумента. Значение функции у = sin x -при х = -jj- равно у. Здесь потребовалась только одна операция. Примерами неэлементарных функций могут служить следующие: [ xsу если х < 0; у = п!; у==\ x+U если *>0. Нетрудно видеть, что количество операций, необходимых для определения значений первой функции, неограниченно возрастает с возрастанием п. Вторая функция задана в промежутке (—оо, 0] одной формулой, а в промежутке (0, + оо) — другой, т. е. функция определена различными формулами на различных промежутках изменения аргумента х. Элементарная функция у = f (x) называется алгебраической, если каждое ее значение может быть получено из постоянных чисел и значения независимой переменной — при помощи конечного числа алгебраических операций. Алгебраические функции делятся на рациональные и иррациональные. К рациональным функциям принадлежат: 1) Целая рациональная функция, т. е. функция вида у = а0хп + агхп~х + ...+ап, где п — неотрицательное целое число, называемое степенью многочлена; а0, аъ а2, ... , ап — действительные числа. Например, у = х2 — Зх + 1; у = х + 3; у = 5; у = х3 — — 4х + V 2; у = х + lg 5; у = ах + Ъ. 2) Дробная рациональная функция, т. е. функция вида Ь0х™ + Ь,хт-1 + ... + Ьп 2х 1 х Например, / (х) = з^Г2; f M = F+T
Глава IV. Введение в анализ ПО Алгебраические функции, не являющиеся рациональными, называются иррациональными алгебраическими функциями. Например, у = V х\ у = Ъх2 + Зх — у/'х + 1. Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называются элементарными трансцендентными функциями. Например, / (х) = Зх + sin х + 1; / (х) = 2 + 3 lg x\ f (х) = «= 2х + 3; / (х) = arcsin #. 454. Дана функция (дробная рациональная) / (х) = 3 2___ 1 • Найти/(-2); /(0); /(1). Решение. /Н2) = |^|^| == -1; /(0)==3;/(1)--|. Функция f (х) в точках л^ = -j=r и л:2 = ^=- не определена, так как в этих точках знаменатель обращается в нуль. 455. Найти области определения следующих функций: 1) у = ]/3"+2^; 2) f(x) = 1 + j/~9^=?2; 5л: — д;2 ,n пАо , л: — 2 3) ?(^)=|/ig Ji_^; 4) t/ = /3-x + arccos з ' Решение. 1) Функция определена в тех точках, в которых з 3 + 2#>0 или 2х>- — 3, откуда *>-— у. Итак, функция определена в промежутке —у, оо]. 2) Функция принимает действительные значения в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком корня, будет иметь неотрицательные значения: 9 — х2 >- 0 или х2 < 9, откуда |#|<3, т. е. —3-<x<3 (рис. 53, а). Таким образом, функция определена на сегменте [—3, 3]. 5# х* Ъх х2 3) Надо потребовать, чтобы lg —^— > 0, откуда —j— > 1 или х2 — 5х + 4 <; 0. Решая это неравенство, получаем 1 <;* <;4* Функция определена на сегменте [1, 4]. 4) Функция ]/ 3 — х определена в тех точках, в которых 3 — х>0 или х<3 (рис. 53, б). Функция arccos —5— определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенствам х—2 <1 или — 1<^Ц— < 1, откуда — 3<х — 2<3 или — 1<.;г<;5 (рис. 53, в).
Ill § 2. Переменная величина. Функции и их графики Таким образом, данная функция у определена на сегменте [—1, 3] (рис. 53 г). 456. Тождественны ли функции: !)/(*) = ? и g<x) = JL; ¦/=¦ -^v- г Л: 2) f(x) = XKg(x) = Vx2? Решение. 1) Обе функции определены на всей чис- у ловой прямой, за исключе- г) -/ о з ' нием точки х = 0. Таким образом, области определения Рис 53 обеих функций совпадают. Функции принимают одинаковые значения при любом х из области определения Следовательно, данные функции тождественны. 2) Области определения обеих функций совпадают (функции определены на всей числовой прямой, т. е. в интервале (—оо, +оо)). Функции принимают одинаковые значения для #>0: g(x) = Y!? = xj=f(x) (имеется в виду функция g (х) = Ух2 однозначная, т. е. берется арифметическое значение корня) и различные значения для х<0: __ g (х) = Ух2 = | х | ф х = / (х). Следовательно, функции f(x) к g(x) в интервале (— оо, + оо) нетождественны. 457. Дана функция f(t) = 2t3 — 3^ + 4. Найти /(—2); ДО); /(1); /W. 458. Дана функция 9(t) = ,2_9 . Найти ср(— 1); <р(1 + а). В каких точках функция не определена? 459. Дана функция <|> (*) = 51_*. Найти <|>(0); ф(1); 6(2); <|>(-2); ф(1,5). 460. Дана функция /(х) = х2 + 3. Найти /(0); /(1); /(—2); f(K2); /(3]/3); f(|/2-l); /(j/2+1). 461. Дана функция /(х) = sin х. Найти f (х) + /2 ("г" — #); Д*)-/^ Г- 2/(*--?-)/(* + *); /(1); /(-2). / (*-*)'
Глава IV. Введение в анализ И2 462. Дана функция /(*) = lg*. Чему равно 10/ {х\ /(101+/2)? 463. Объем куба равен кубу его стороны. Какие числа могут быть значениями аргумента? 464. Урожайность зерновых в СССР в 1922—1934 гг. приближенно определяется по формуле у = 6,467 + 0,176 (^ — — 1921), где t — год; у — урожайность в ц/га. Составить таблицу значений этой функции при /=1922, 1923, ..., 1934. 465. Найти области определения следующих функций: 1) у = х\ 2) у = У~х\ 3) у = 1/5^21; 4) y=l-lg*; 5) y = lg(-^)__^; 6) У= х2+\+1; 7) У = lg (х2 -Ъх + 5); 8) у = log2 (%3 - 6х2 + 5*); 9) y^lo&iVx-i+tfe-x)', Ю) y=Y*f-Q% И) у = l/cosr, 12) у = arcsin —; 13) у = arccos (lg x); 14) у = ]/"sin * + —; 15) г/ = log5 [1 — log3 (*2 — 5л:)]; 16) у = arcsin ?±у; 17) у = arcsin ~ + arcsin —. 466. Тождественны-ли следующие функции: 1)/(*)=-? и g(x)=U 2) f(x) = \gx2 и g(x) = 21gr, 3) f(x) = V7* и g(*) = *2; 4) /W = ^- и ?(*) = *; 5) / (*) = sin2 л: + cos2 я и g (л:) = 1; 6) f(x) = a°eaX и g (*) = *; 7) f(x) = Vx l/*=T HgW= Vx{x—\)\ 8) /(*) = loga(*-l)+loga(x-2) и g(x)=log2[(*-l)(*-2)]; 9) / (*) = sin (arcsin x) и g (x) = x\ 10) /(*) = tg(arctg*) и ? (*) = *?
113 § 3. Некоторые классы функций п 1 0 U \ / X § 3. Некоторые классы функций 1. Функция у = f(x) называется ограниченной сверху (снизу) в некоторой области значений аргумента, если существует такое число А (В), что /(хХЛ (f(x)^>B) для любого х из этой области. Если такого числа А (В) не существует, функция называется неограниченной сверху (снизу). Функция называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. В противном случае функция называется неограниченной. Приведем примеры. 1) Функция у = = sin х определена на всем множестве действительных чисел, ограничена, так как при любых значениях х по абсолютной величине не превосходит 1, т. е. Рис. 54 2) Функция у = — в промежутке (0, 1] ограничена снизу, например, числом 1, но не ограничена сверху (рис. 54). 3) Функция y=tgx на интервале (—g~» ~тг) не ограничена, т. е. — сю < у < + со. 2. Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) в некоторой области, если для любой пары чисел хг и x2i принадлежащих этой области, из х± < х2 следует / (хг) < / (х2) lf(x1)>f(x2)]. Если же из хг<х2 следует /(*i)</(*2)[/(*i)>/(*2)h то функция f(x) называется неубывающей (невозрастающей). Функции, удовлетворяющие первому условию или второму, называются монотонными. Например, функция / (х) = х3 возрастает в интервале (— оо, + оо); функция f(x) = — убывает на интервалах (— оо, 0) и (0, +оо). 3. Область определения Е функции / (л:) называется симметричной относительно начала координат, если, каково бы ни было число х из ?, число —х тоже принадлежит этой области. Функция f{x)y определенная в симметричной области, называется четной, если /(*) = /(-*). О) и нечетной, если /(-*) = -/(*), (2)
Глава IV. Введение в анализ 114 Как для четных, так и для нечетных функций очевидно, что справедливо равенство |/(*)|Н/(-*)|. (3) Приведем примеры. 1) Четные функции: f(x) = x2n, в частности, f(x) = x2 (рис. 55, a); f(x) = cosx (функции определены в интервале (—оо, + оо)). 2) Нечетные функции: f(x) = х2п~~\ в частности, f(x) = x3 (рис. 55,6); /(*) = sin*. Легко убедиться, что не всякая функция будет удовлетворять условию (3), т. е. не всякая функция будет либо четной, либо нечетной. *) Рис. 55 Приведем примеры. 1) f(x) = Зх + 4; /(1) = 7; /(— 1) = 1; f(2) = 10; /(—2) =—2. Условие (3) не выполнено. 2) f(x) = 3*; /(1) = 3; /(—1) = -?-. Условие (3) не выполнено. График четной функции расположен симметрично относительно оси Оу (см. рис. 55, а). График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (см. рис. 55, б). 4. Функция / (х) называется периодической, если существует такое число ш^О, что вместе с любой точкой х области определения / (х) принадлежат также все точки х + Ы (k = =t 1; ±% ...) и /(* + о>) = /(*). Число со называется периодом функции f(x). Наименьший положительный период, если он существует, называется основным периодом. Например, функции sin x и cos x периоди ческие с периодом (основным) 2тг, tg* и ctg# имеют период тт. 467. Доказать, что следующие функции ограничены в области их определения: 1) cosx; 2) arctg*; 3) x2 + l 4) x2 + l 5) e~x; 6) X
115 § 3. Некоторые классы функций 468. Доказать, что следующие функции не ограничены в области их определения: 1) f{x) = x\ 2) f(x) = ctgr, 3) f(x) = ^zr- 469. Доказать, что функция у = 2х ограничена снизу и не ограничена сверху. 470. Доказать, что функция у = 1 — х2 ограничена сверху и не ограничена снизу. 471. Построить графики следующих функций и, пользуясь этими графиками, определить промежутки их убывания и возрастания: 1) f(x) = x*; 2) у = х*\ 3) y=log2*; 4) r/ = tg*; 5) /(*) = 3*; 6) f(x) = sin*. 472. Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие нечетными: 1) fix) = -^~L; 2) fix) = x + cos*; 3) fix) = x2 + cos*; 4) f ix) = lg я; 5) fix) = x + sin *. Решение. Заменяя х на —я, получаем: , v р, ч sin (— х) — sin л: sin х ч I (— *) = —z:—L = —z— = —¦—» отсюда следует, что f{—*) = /(*)> T- e- функция четная; 2) f (— х) = — х + cos (— х) = — х + cos я, отсюда / (— х) =? -¦^fix) и /(—*)^: — fix), т. е. функция не является четной и нечетной; 3) f (— *) = (— х)2 + cos (— х) = х2 + cos я, отсюда /(—*)== = / (*), т. е. функция четная; 4) функция определена на интервале (0, + °°) и не определена на интервале (—оо, 0), следовательно, она задана на несимметричной области. Поэтому эта функция не будет четной и нечетной; 5) / (— х) = — х + sin (— х) = — х — sin х, отсюда / (— х) = = —fix), т. е. функция нечетная. 473. Доказать, что следующие функции четные: 1) fix) = \x\; 2) /(*) = *«; 3) /ix) = 3X+23~X ; 4) /ix) = ?^4; 5) /(*) = * sin —; 6) / ix) = V ~x2\ 7) fix) = xtgx; 8)/(*) = ii±pi.
Глава IV. Введение в анализ 116 474. Доказать, что следующие функции нечетные: х 1)/(*) = *»; 2)/(х) = -^-; 3) f(x) = sin±-\ 4) f(x) = tgx; 5)f{x) = 2x-2~x; 6)/(*) = -—^ 475. Какие из указанных ниже функций четные, какие нечетные и какие из них не обладают этими свойствами: 1) у = Ьх\ 2) у = х*Зх; 3) у = х — х3; 4) у = х2 + Зх + 2; 5) у = х* + 2х+1; 6) r/ = sin2*; 7) у = ^; 8) г/= ^гт; 9) у = х4 + х2 — 5; 10) / (*) = const. 476. Доказать, что произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная. 477. Доказать, что произведение двух нечетных или двух четных функций есть функция четная. 478. Доказать, что всякая функция f (x), заданная на некотором симметричном относительно начала координат множестве, может быть представлена (и притом однозначно) в виде суммы четной и нечетной на этом множестве функций. 479. Доказать, что следующие функции периодические: 1) f (х) = constat); 2) / (х) = | sin x |; 3) f (х) = sin Зх\ 4) / (х) = tg 2x\ 5) / (х) = sin (6х — 2); 6) / (х) = 3C0S *. Найти их основные периоды. § 4. Графики простейших функций Графиком функции у = f(x) называется геометрическое место точек, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению у = /(*). 480. Построить графики следующих функций: 1) у = -3*+1; 2) у = х2 + х; 3) у = х2 + х + 1; 4) у = 2х2 — 8* + 3; 5) У = -л-; 6) у= х~~1 *2' } * х + 1' *7\ 2х о\ 2х—\ 9) у = cos 2x\ 10) у = 2~х\ 11) у = log0,5A:; 12) г/ = |*|+* на сегменте [—3, 3].
117 § 5. Числовая последовательность 481. Рост национального дохода в СССР в 1932—1938 гг. приближенно определяется с помощью показательной функции 0 = 43,1-1,167', где t — целое число лет, прошедших после 1932 г.; у — национальный доход, выраженный в млрд. руб. * Построить график этой функции. § 5. Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности. Предел функции 1. Функцию, заданную на множестве натуральных чисел, обычно называют числовой последовательностью. Вместо f(n) (л = 1, 2, ...) пишут хп. Числа хъ хг, х3, ... , хп, ... называют членами последовательности, а хп — общим членом последовательности. Числовая последовательность считается заданной, если мы знаем закон ее образования. В частности, закон образования последовательности будет известен, если общий член ее хп выражен формулой. Например, если хп = —, то соответствующая последовательность будет 1 _L _L JL J_ 2. Переменная хп называется бесконечно малой, если она становится и остается с некоторого номера N по абсолютной величине меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа е, т. е. \хп\ <е для n^N (номер /V зависит от г). Например, переменная хп = — есть бесконечно малая величина. 3. Переменная хп имеет своим пределом число а, если разность между ними есть бесконечно малая величина, т. е. если хп — а = ая, где <хп — бесконечно малая. Это обозначают так: Mm хп — а или хп -> а при п -> оо, или П-—+О0 хп — а -> 0 при п->оо. Говорят также, что последовательность хп сходится к а. В частности, если хп есть бесконечно малая, то хп — 0 также бесконечно малая величина, т. е. lim хп = 0 или хп -> 0 (п -> оо), п—>оо Таким образом, предел бесконечно малой величины равен нулю. * См.: О. Ланге. Введение в экономику. М., 1964.
Глава IV. Введение $ анализ П§ 4, Переменная уп называется бесконечно большой, если она становится и остается с некоторого номера N по абсолютной величине больше любого наперед заданного сколь угодно боль» шого положительного числа М, т. е. | уп | > М, для п > N (номер N зависит от М). Если уп — бесконечно большая величина, то пишут lim yn = Я—>00 «= оо или уп-+оо при п->оо. Например, переменная уп = *= (— 1)п~1п, значения которой 1, — 2, 3, —4, 5, ... , (— \)п~1й есть бесконечно большая величина, так как она становится и остается с некоторого номера N по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа | М |, | уп | > М при n^N ** Пусть М=100, тогда \уп\> 100 при n>N, где N>101 (в качестве номера N можно взять любое натуральное число большее 100). Если М = 500, то Л/>501 и \уп\>500 для п^N. Следовательно, можно написать, что lim уп = оо или я—юо Уп->оо при я -> оо. Заметим, что если переменная #я:?0 есть бесконечно малая, то ее обратная величина уп = — будет бесконечно большой величиной, и, наоборот, если уп есть бесконечно большая величина, то ее обратная величина хп= — будет бесконечно малой. Уп 482. Доказать, что следующие переменные величины бесконечно малые: 1) *„= --L 2) «.« (-1Г1 -1; 3) ft, = sr=T Решение. Полагая л=1, 2, 3, 4, ... , напишем последовательность значений переменных: 1) — 1, 2"! 3"' Г' * " ' — Т' "" ; 2) 1, 2", "з", 4", •.. , ( 1) —> .•. ; зм -L ± -1 1 отсюда видно, что с возрастанием п значения переменной хП приближаются к нулю так, что с некоторого номера N абсолютные значения переменной будут меньше любого наперед за- * Если бесконечно большая величина уп с некоторого номера п сохраняет определенный знак, то говорят, что переменная уп имеет предел + °° или — оо, и записывают это следующим образом, lim уп = + оо, lim yn = — оо. л—>оо_ п—»оо Очевидно, что бесконечно большая величина у =У п стремится к + °°» а бесконечно большая уп = — п стремится к — оо при п —> + оо. Иногда вместо + оо пишут оо, так, например, мы будем писать п -* оо вместо п-*-{-оо.
119 § 5. Числовая последовательность тогда п данного сколь угодно малого положительного числа г. Докажем это. Пусть дано г > 0, тогда \хп | = < s или — < s, отсюда п>—, следовательно, можно принять номер N >—, при значении которого для любых номеров п^>N будет выполняться неравенство \хп\ <е. Пусть, например, s = 0,01, < 0,01 для всех номеров n>N, где /V > -g-щ = 100 (можно взять N == 101). 3 18 Если е = -тр то N > -д- = -у, т. е. можно принять номер N = 3. Следовательно, значения переменной по абсолютной ве- з личине | хп | < -g- для всех номеров п > 3. Это и означает, что переменная хп есть бесконечно малая величина. Аналогично доказывается, что переменные сип и рЛ также будут бесконечно малыми величинами. 483. Пользуясь определением предела последовательности, 2 доказать, что а = -^- есть предел последовательности, л:Л = __ 2гс — 1 ~ 3/г + 5 ' п г» 2 2/1-12 Решение. Рассмотрим разность хп —^-= Зп , 5 g" == """ и оценим ее абсолютную величину 3 (3/г + 5) — 13 13 3 (3/г — 5)* I 3 (3/г + 5) | Нетрудно видеть, что _^)<-gJ^<^. 13 Величина >0 при я->оо, т. е. бесконечно малая, сле- 2 довательно, разность хп—g-^0 при я->оо. Это и означает, что 1\тхп = -^. 5. Определение 1. Пусть функция /(х) определена в некотором интервале: а) число А называется пределом функции f(x) при стремлении а: к а (в точке а), если для любой последовательности значений X\t Хоу ... , Хп, . . . (входящих в область определения функции, но отличных от а), стремящейся к а, соответствующая последовательность значений функции /(*!), /(#2)> ••• . f(xn)> ••• стремится к Л.
Глава IV. Введение в анализ 120 Этот факт записывают в таком виде: lim / (х) = А или / (х) -> А при х -> а; х—>а б) если последовательность значений функции f(*x), /(*2)» ... , / (хЛ), ... стремится к + оо или — оо при любой последовательности значений хъ х2, ... , xnJ ... (отличных от а), стремящейся к а, то говорят, что функция в точке а имеет предел, равный + оо или — оо. В этих случаях записывают так: lim f(x)= +00 или f(x)-+ +00 при х -> а, lim f (х) = — оо или / (дс) -> — оо при л; -> а; в) если последовательность значений / (яД ... , f (хп\ ,.. стремится к оо при любой последовательности значений хъ ... , хп, ... (хпфа> п= 1, 2, 3, ...), стремящейся к а, то будем считать, что функция в точке а имеет предел, равный оо, т. е. функция f(x) в этом случае, так же как и в случае «б», будет бесконечно большой величиной при х -> а или иначе функция в точке а обращается в бесконечность. Это записывают так: lim / (х) = оо или / (х) -> оо при х -> а. х—>а Например, lim т = °°, так как при любой последова- тельности значений хъ ... , хп, ... , стремящейся к 3, последовательность значений функции стремится к оо (см, п. 4). Следовательно, функция /(х) = _3 бесконечно большая величина при х -> 3. Определение 2. Пусть функция определена в интервале (6, + оо). Число А называется пределом функции / (*) при стремлении х к + оо, если для любой последовательности значений хъ #2, ... , хт ... (входящих в область определения функции), стремящейся к + оо, соответствующая последовательность значений функции / (хг)> f (х2), ... , / (хп), ... стремится к Л. Это запишем в таком виде: lim / (а:) = А или / (х) -> А при х -> + оо. х—»+оо Дайте определение предела функции для следующих случаев: lim / (х) = + °о> 1™ / (х) = — оо, lim / (х) = Л, lim f(x)= + со, X—»-}-00 ^—у-^ОО х—>—ОО X—¦>—-00 lim/(*) = — 00, lim / (х) = Л, lim/(x) = + оо, lim / (я) = — оо, X—>—00 ДГ->00 X—V00 «—>00 Ь'т/(д;) = оо. Приведите примеры на все эти случаи. х—>оо
121 § 5. Числовая последовательность Заметим, что если функция / (х) стремится к конечному пределу А при х->а, to разность f(x) — А будет бесконечно малой величиной при х->а и наоборот. О у 1 1 484. Доказать, что lim . . Q =—. При каких значениях л: значения функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01? Решение. Рассмотрим абсолютную величину разности I f (у\ а | — I 2*~"1 LI — 5 I/ W Л1 ~ I 4^ + 3 2 | ~~ 2|4х + 3| " В правой части равенства в знаменателе дроби — бесконечно большая величина при х -> со, а в числителе — постоянная, следовательно, дробь 2.4 3. есть бесконечно малая величина (обратная величина бесконечно большой величины есть бесконечно малая). 2х 1 1 Итак, разность между функцией 4 , 3 и числом_2~ есть бесконечно малая величина. Это и означает, что предел данной ФУНКЦИИ — ЧИСЛО -тр Теперь найдем значения х, при которых значения функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01. Решим неравенство -Ufr--г|<0'01 или 2|4/+з| <0'01' отсюда | 4jc -Ь 3 j > 250. Это неравенство выполняется при условии 4х + 3 > 250 или 4х + 3 < — 250. Решая эти два неравенства, соответственно получим х > 61,75 и х < — 63,25. Следовательно, при \х\> 63,25 функция будет отличаться от своего предела меньше чем на 0,01. 485. Написать последовательности значений: 1) *л = тй 2) *п= (-и*-1-^; 3) *я--й^гг; 4) хп = п2; 5) хп = -з^гг- 486. Доказать, что следующие переменные величины бесконечно малые: 1) ** - —; 2) $п = -^; 3) Ъг = —j-; 4) *л = 7iqr3-; -ч _ л А\ — _L 7\ — sinn! Э) *л - л2 + 1 > О) *„ — 2* ' 1) Хп ~ о,01 /л *
Глава IV. Введение в анализ 122 487. Пользуясь определением предела последовательности, доказать: _ 1) а = -д- есть предел последовательности хп = — ^ 2 ]/ п. + l 2) а = g- есть предел последовательности ял = 2__зк' оч ,. Зя—l 3 3) Л™ ЕЙП " ТТ' 4) lim ¦. ^ = 1. 488. Доказать, что следующие переменные величины бесконечно большие: 1) хп = п\ 2) *л = л2; 3) хп = ^+1 ; 4) *я = 2»; 5) *„ = lgn. 489. Написать последовательности значений переменных: V Хп~ п+\' Z> Хп - п . ^ ^ - я + ! > 4) *я = (- 1)«-1; 5) *„ = ^+1; 6) *„ = У п. Существует ли предел переменной в каждом примере при п -> оо и чему он равен? 490. Доказать, что lim x2 = 9. х->3 Указание. Положить х = 3 + а, где а — бесконечно малая, составить разность х2 — 9 = (3 + а)2 — 9 и показать, что она есть бесконечно малая величина. 491. Доказать, что lim (Зх + 1)= 10. Указание. Положить х = 3 + а. 492. Доказать, что lim—— = 2. Указание. Надо показать, что разность —^ 2 при х -> со есть бесконечно малая величина. 493. Доказать, что lim ,Т * = —т- *->оо 4* +1 4 При каких х значения функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,001? 4^-4-3 494. Доказать, что lim 0 . = 2. При каких х значения функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01? 495. Доказать, что lim sin л: не существует. х—>+оо
123 § 6. Теоаемы о бесконечно малых величинах и о пределах 496. Доказать, что lim sin — не существует. Указание. Возьмите последовательности хп = -—>0 при п -> оо и хп = —^ > 0 и проследите, будет ли функция / (х) = sin -?- стремиться к одному и тому же пределу. § 6. Теоремы о бесконечно малых величинах и о пределах. Раскрытие неопределенностей О оо вида г и s 1. Сумма конечного числа бесконечно малых есть также величина бесконечно малая. 2. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая. 3. Предел постоянной равен Самой постоянной: lim с = с. х->а 4. Если существуют конечные пределы l\mf(x) = A и х—^ а lim ср (х) = Б, то имеют место следующие теоремы; * *l) \im[f(x)3z<t{x)] = A±B\ 2) \im[f(x)c?(x)] = AB; х—>а 3) lim [cf (*)] = dim / (x) = с А; x—>a 4) ЦтШ-=*(ВфО). 2) J|% 2/+б**-5 ; ., ,. x2 — 2*+l 4) Urn—-—^—1 •*) x-+a *(*) 497. Найти 1) 3) Ъ\ °) lim lim x-*2 lim- (3x2- - Б ^ пределы: -2*+ 7); x — 2 X2 + Зд; __ 1 » 5л;3-f -2л:2 — а: Зл; c\ и л;2 —бл; + 8 6) hm v2_5vT4; 7) lim .Т.—-—; 8) lim л; sin—; *_>! У 4л; —2 *->0 * пч ,. 2л;3 —л:+1 1т r Vn^+T+Vn 9) hm ,0 , 9y2_i ; 10) limT -T --- *—»оо 5л;3 + 2л;2 — 1 ' 'п-+*> V п* + п -
Глава IV. Введение в анализ 124 Решение. 1) Применяя теоремы о пределах, получаем lim (Зх2 — 2х + 7) = 3 lim х • lim х — 2 lim х + lim 7 = 3 • 2 • 2 — Х-+2 х—>2 х->2 х—*2 х-^2 — 2-2 + 7= 15. 2) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, получаем о о , lim(3*2—1) г Зх2 — 1 х-+з 3-9—1 _ 26 i™3 2л:3 + 6л;2 —5 lim (2х3 + 6л;2 — 5) 2-27 + 6-9 —5 "" 103' х—>3 3) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим, что ,. х — 2 о п ;™*+з*-1 =-9-=а Полученный результат можно записать и так: я 2 Следовательно, величина ^2 ¦ зл — 1 есть бесконечно малая при я->2. 4) Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю (в знаменателе есть бесконечно малая величина при х -> 3). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины х2 — 2х + 1, отличной от нуля, на бесконечно большую величину __3 при х -> 3 как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому х2 — 2х + 1 о ^ > оо при х -> 3. X —• О Это можно записать и так: ,. х2 — 2х+\ lim—-—^— = со. *->3 Х — 6 х2 2а; 4- 1 Следовательно, величина тг— есть бесконечно боль- X О шая при х -> 3. 5) В этом примере также нельзя непосредственно применять теорему о пределе частного, так как пределы знаменателя и чис- 0 лителя равны нулю и мы имеем неопределенность вида -д-. В подобных примерах, когда в числителе и в знаменателе многочлены, их необходимо разложить на множители, после этого дробь сократить и затем перейти к пределу.
125 § 6. Теоремы о бесконечно малых величинах а о пределах Сделаем это: г 5х3 + 2*2 — х ,. х (5х2 + 2х — 1) ,. 5x2 + 2*—1 1 х-^0 бХ х->0 *х х-*0 d * Следует заметить, что х стремится к нулю, но не равен нулю, предел его равен нулю. 6) Здесь также неопределенность вида -^-: Х2__бд:-Ь8 г (х — 2)(* — 4) v х — 2 2 7) В этом примере неопределенность -д-. Если под знаком предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности вида -^- необходимо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, а иногда и то и другое, полученную дробь сократить и перейти к пределу Нш УП^-З = 1{т (УТ+р - з) {УТТъх + з) {УТх + 2) = х-+1 VTx-2 x->i jf4x - 2) (]Л+ 8х + з)(/4* + 2) = Пт 0+8*-9) (УТх + 2) = Ит 2 (yi; + 2) ^ _?_ х->\ 0/Т+8х + 3)(4* —4) х->\ У"1+8^ + 3 3" 8) При х -> 0 переменная х есть бесконечно малая величина, sin — < 1 при любых значениях л: =? 0. Следовательно, величина #sin~— произведение бесконечно малой на ограниченную величину — будет также бесконечно малой величиной, поэтому ее предел limjKsin—=- 0. *-*о х 9) Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как числитель и знаменатель конечного предела не имеют. В этом случае говорят: имеем неопределенность вида —. В подобных примерах для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу 2—L + -L ,. 2х3 — х4- 1 ,. ' х2 "•" Xs 2 iS, w + w-i -J™ _ , A _L = т- &+ X ~ Л* 10) Имеем неопределенность вида —• Разделив числитель и знаменатель на п, получим
Глава IV. Введение в анализ 126 нт ?Щ±У± = 1,ш }^±k±}?jk = _L_ . _ и п->оо уп* + П — П п-*оо -7/11 -1 V п +W1 *2 + 1 Найти пределы: 498. lim (5л:2 + 3* _ 4). 499. lim 500. lim , *7* , ¦ 501. lim *2 + *~1 л:->1 л:2 + 5д: — 1 ' ' ^_3 х + 3 ело г 4л? —*2 + л: гло ,. х2 — х — 12 502. lim g-^-. 503. lim . en/i i: tt2—1+я~2 -nc «. я3 + /г2 + п + 1 504. lim ¦ =-. 505. lim -=-!—Н —г. «->ооп2 + 1+п~2 «-*оол3-/г2 + п-1 -лс г 100000 л3+ 600 РП- г я + 3я2 + 4п3 506' }lZ 0,00001»* ' 507- Я^П ^Зп2 + 4яЗ> 508. lim <п + ** + <*+1\ n-^oo (« + 3)! 1 1 1 509. im 2 4 2 Я-»00 1 I JL I _ I I _ 1 "т 3 + 9 + • • • "Г 3я 41П lim 1+2 + 3+ ... +« 510' nlZ 1+4 + 9+...+П»- 511. lim !1~3 ¦ 512. lim x + 2 „^i^+T °1'- Л^.з + 2, + 12- 513. lim*2T3'-10. 514. lim ^1+;-1 3/i 3 ъ г 2х Ух~+2>-Уъ^~х \ Ух*+\Ь- 2 Yx+v^+T х-*Ь *"—125 JC_>0 л 515. lim- . 516. lim-* tut— 517. Hm xl~at . 518. lim x-*a > X*- ; x3- , ^* x -a* -a3 * — 2 519. lim y.l~ . 520. lim _-_ ,-Иб К л: - 4 *->+<» У х + 2 521. Шп-^+Ь^Э-. 0 Для раскрытия неопределенности вида -^- часто применяется первый замечательный предел 1. Sin a * ,_. hm-T-=lf (1) a-+0 a где угол a выражен в радианах.
127 § 7. Раскрытие неопределенностей вида оо—оо, 0 • оо, / сэ 522. Найти пределы: 1\ 1- х n\ I- sin 4л; о\ 1- 1 — cos л; 1) IlmHn~T; 2) ЬтЖ57; 3) llm —^— • ^о sin * ^_^0 sm о* х_+0 x X 11 Решение. 1) lim —-—= lim —-— = — = l. ' sin x „_^п sin x 1 at—>0 ЪШЛ x-+0 X 2) Преобразуем данное выражение так, чтобы задача была сведена к пределу (1): sin 4л: , sin 4л: •Ах ,. sin4л: ,. 4л: 4 t. 4л: lim . е = Ит -г-ё = -Him х^о sin5* *->о sin 5л: 5 r_^n sin 5* 5 * 5х 'ох Бх QN v 1-cos* r 2sin2^- 2-sin-f--sin-f j 3) hm —-2— = hm —-g = lim — = -T- q' 2 ' 2 Найти пределы: 523. lim ^?. 524. lim x 525. Hm45L. 526. lim^ 527. lim -g? (p ^fc 0). 528. lim ^F1. r-лл r 1—cos (sin л:) гол т tgx — sin л: 529. lim f -• 530. hm ——5 x-+0 x x—>0 X' ro< i. sin л: —sin а -ол ,. cos л: 531. lim 532. lim . x~>a sin I x — -я-1 X-+T x~ 2 533. iim \ й> . 534. lim tgx~tga ¦ „. 1 — 2 cos л: v_Jk„ x — a 3 535. lim l-Vcosx_^ 536< ^f/l-sinx-1 x~>0 I —COS)/ X x-+0 x -0_ ,, 1 + x sin x — cos2 л: -}- sin2 x do i. um r-g . x-*0 sin* л: § 7. Раскрытие неопределенностей вида оо — оо, О-оо, 1 оо 1. Неопределенности вида оо — оо и 0 • оо раскрываются путем преобразования и сведения их к неопределенности -q-или—.
Глава IV. Введение в анализ 128 1) lim (- 538. Найти пределы: 3) lim 2" sin ^ 4) lim (1 — х) tg ^. Решение. 1) Нетрудно видеть, что в этом примере мы имеем разность двух бесконечно больших положительных величин, т. е. неопределенность вида со — оо: 2) Рассмотрим два случая: а) lim (Yx2 +1 — х). Имеем неопределенность вида оо—оо. х—>+оо Перенеся иррациональность из числителя в знаменатель, получим lta (^jr+T-*)= lim (У? + Т-х)(^?нГГ + ^д *->+оо *-Н-оо у х2 + 1 + * = lim , ' — = 0; *-Ч-оо у я2 + 1 + л; б) lim (|/x2+l—x) = +оо. 3) Неопределенность вида 0-оо легко свести к неопределен- 0 оо ,, 0 ности вида -д- или —. Мы сведем к неопределенности вида -^: X X xsin-rpr sin-g/T sina lim2"sin-™- = lim = xlim —-— = *lim = x. Я-ЮО ^ /I—>00 _ Л—>00 _ a—>0 a 4) Неопределенность вида O-oo сведем к неопределенности 0 вида -д-: . ъх lim (l-x)tg^ = lim(l — x)- x-+i * x->i cos 71X = lim sin ^- • lim 7 =1 — = 2 sin ^ 2 2 Здесь можно также произвести замену переменной, положив 1 — х — t, тогда х= 1 — ?. Отсюда видно, что если х-> 1, то *->0: lim(l-x)tg-f-lim^tgf-f ?.f) = limfctg-f* = x-+l Z t-+0 \ * z J t-+0 *
129 § 7. Раскрытие неопределенностей вида оо—оо, 0. оо, 1 оо П 7С = lim = lim cos -^-t- lim *-* sin-f t <-* 2 ^° те ~2~ 2 •sin i — i • я -г' 2 2 ' те "" те # Найти пределы: 539. lim(l/F+T— Ух2 — l). -хэо 540. lim 541. lim х—»оо ' 542. lim (J/*2 + * — V хг — *). к—>+оо 543. lim (^A?ZT^_rt). 544. lim (|Лс3 — х2 — Ух* — х). X—»00 545. lim * sin —. 546. lim 1 'х-sin —. 547. lim л • 2гп. 548. lim (sec x — tg х). 549. lim л;2 fcos -^ 1 550. Нт/г(1/и4 + /г~/г2). Я—>0О ББ|- iis, (-2^ 1 2л: Н- 1 2. Пусть функция имеет такой вид: y~\f(x)]*<*. Если при а: -> а (х -> оо) f (х) -> 1, а ср (х) -> оо, то говорят, что имеем неопределенность вида I00. Для раскрытия этой неопределенности пользуются вторым замечательным пределом lim (1 + -1-У = lim (1 + а)~ = б. (1) Число е иррациональное (е = 2,71828...). Известно, что если между действительными числами a(a>0, azpl), x, у имеет место соотношение аУ = я, то число у называют логарифмом числа х по основанию а и пишут # = loga х. Вели а = е, то логарифмы называют нашу-
Глава IV. Введение в анализ 130 ральными и пишут у = \пх, если а= 10, то логарифмы называют десятичными, и в этом случае принято писать так: у = lg х. От натуральных логарифмов легко перейти к десятичным и, наоборот, воспользовавшись формулами lg X = М In Х\ In X = -гт- lg Xf где М = . ю = \ge = 0,43429... называется модулем перехода. Обратная величина модуля -J- = In 10 = 2,30258... 552. Найти пределы: 1) ton '1+ -?-)*; 2) lim(-^f+1; 1 3) lim^i-L-3*; 4) lim (cos 2x)sin2 \ Решение. Имеем неопределенность вида I00. Каждое из данных выражений под знаком предела преобразуем так, чтобы задача сводилась ко второму замечательному пределу. х а 1) limfl+4-^ = lim IT^-T-Vr =**. так как lim A + х_ 1 _)_ — J = Нт (1 + ос)а = е, где а = —, а показатель степени х а — х = а. х а->0 оч .. /Л— 1 \2я+1 .. / п— 1 Л2**1 з^т-З-**' 1 / о \ з = е~6 = —, так как lim f 1 + „ , 9 1 = е по формуле (1) ,. — 3(2л + 1) с и lim \0Т =-6. п->ап П + 2 l.ar.-! 3) lim/1 + 3* = lim(l + 3*)* = lim [(1 + 3х)3*] ' х = es, х->0 х-*0 х—+0 1 _1_ так как lim (1 + Зх)3* = lim (1 + а)а == е, где а = Зх, а пока- *—>() *—>0 затель степени Зх = 3. х
131 § 8. Смешанные задачи на вычисление пределов 4) Здесь также неопределенность вида I00: 1 lim (cos 2x)sin2 * = lim (1 + cos 2x — l)sin2 * = x—>0 x—>0 {—1 i — 2sin*jc [1 + (— 2 sin2 л:)]2 sin2 * sin* * = e-2 = -i. • J б Мы воспользовались формулой 1 — cos 2x = 2 sin2 x и вторым замечательным пределом. Найти пределы: 553. Hm(l —-IT- 554. lim Л __ Л Г- Л->00\ Л / Л->00 \ П I 555. lim (1 + sin л;)"^" 556. lim i—^-r 557. lim (|^)2П+1. 1 561. lim (1 +olx)x. x—>0 563. lim /?±4Г'. 564. lim /?±if" 558. 560. 562. Л (^) * lim (1 + tg *)sin * . x-±0 1 lim (1 + ctg x)cos * . *-*т ¦№+3 1 267. lim(cos*)*\ 568. lim (sin *)*«*. Jt-»0 к 2 § 8. Смешанные задачи на вычисление пределов Найти следующие пределы: 569. 570. 571. 1} "Л|2 0»-1)' 1 \ 1 • x2 — Vx *_>! у х—\ X X cos -q~ — sin -х- П tim !' Iim. cos* *-+т 2) lim- "0 д:2— 12л: -Ь 20 2) UmJSTpi. оч ,. У" 2 cos х — 1 2) lim 4
Глава IV. Введение в анализ 132 572. 1 573. 1 574. 1 575. 1 2 576. 1 577. 1 678. 1 579. 1 2; 580. 1 3' lim 2) lim 1 — COS3 X 2) Hm *y-*^r**W'* *_>+„ узх - 2 + f/2x-3 я 1 + cos x' ' ~x_^ x sin x- cos x у (X—\f xl™o02x* + 3x-V „ ln(2*« + *2+D. 9ч Hm lg(8*'-6x« + l) , ™e In (3** + *-!)' *> 11™^ Ig (ЗХЮ+ x» - 1) lim (]/T+T — /*); lim (j/*2 + a; + 1 — V x2 — x +1). lim [ ctg # :— x^o\ s sin* lim sin 2x ctg 3*; *-»0 2) lim^tgje + gJ . tg 2л; — sin 2л: cos 2л: ' lim 2) Hm i^. 7 ^ cos 2л: 2) lim sin (tu ]/n2 + l). lim x2 In cos —; lim n—>oo 1+2 + 3+ ... +n n + 2 2 ' limy 1 +sin3A:; *-»0 2> ЫЫт) *i lim(l+A;+*2)sln*. *-»0 § 9. Сравнение бесконечно малых величин Пусть а (#) и р (х) — бесконечно малые величины при х -> а (а — конечное число или а = оо). 1. Если lim — = 0, то бесконечно малая р будет более высокого порядка, чем а. 2. Если lim-1— = оо, то бесконечно малая р будет более л:->а а низкого порядка, чем а. а 3. Если lim — = с (конечен и не равен 0), то бесконечно х-*>а а малые аир считаются величинами одного порядка.
133 § 9. Сравнение бесконечно малых величин 4. Если lim — = 1, то бесконечно малые аи^ называются эквивалентными, в этом случае пишут: а ~ р. Если бесконечно малые аир эквивалентны, то разность а — Р = т есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из бесконечно малых аир. 5. Вычисление предела отношения бесконечно малых — (неопределенность вида -д-) очень часто можно значительно упростить, воспользовавшись теоремой: если а ~ ах, р ~ рх, то lim— = lim— = lim— = lim—, т. е. предел отношения *_>а а х-*а а х->а а1 х->а а1 бесконечно малых величин не изменяется при замене их эквивалентными им бесконечно малыми величинами. 581. Доказать, что при а->0: 1) sin а ~ а; 2) tg а ~ а; 3) In (1 + а) ~~ а; 4) arcsin а ~ а; 5) arctg а ^ а; 6) |/1 + а — 1 ~ -^-. Решение. 1) sin а ~ а, так как известно, что lim 5^= 1. а-»0 а 2) tga^a, так как lim -^- = lim sin* = 1. ' a->0 a a->0aCOSa 3)ln(l+a)~a, так как lim ]n(1+g) = lim In (1+a)fl « a-»0 a = lne= 1. 4) Полагая arcsin a = cp, находим sin cp = a и lim^^= lim -^ = 1. a^0 a <p-*0 SInc? 5) Полагая arctg a = cp, получаем tg cp = a и limaiEga==lim^=l. 6) Y\ +a— 1 ~-4-, так как lim = 2 ,. 2(/l+a—l)(Kl+a+l) ,. 2 - = lim —— Гг Mr— , = lim— = 1. a_^0 «(Kl+a+0 a.>0^1+a+l 582. Пользуясь теоремой 5 данного параграфа, найти пределы: 1Ч ,. sin3* о\ 1- sin 9* оч «. cosx— cos 2х V hm~5T"; 2) llm Ж5Р 3) llm 1? ;
Глава IV. Введение в анализ 134 4) цт -Й^; 5) ton 1п(1+ад ; 6) lim —„ arcsin bx sin 3v Решение. 1) sin3;e~3A:, следовательно, lim bx 3 bx 3x 3 = lim -=- = -=-. Бесконечно малые величины p = sin Ъх и a = 5* одного и того же порядка. оч ,. sin 9* ,. 9л: 9 2) lim . - = lim v~ = -=-. ' x->0 sin 5* x_0 bx 5 Ъх х Sx x Q4 .. cosx-cos2x ,. ZMn 2 *sin 2 n1. 2 ' 2 3 3) hm -3 = lim 3 = 2 lim—3— = -r- Таким образом, бесконечно малая р = cos л: — cos 2* есть величина второго порядка по сравнению с бесконечно малой a = х. 4) tg р* ~ рх, tg до ~ qx, следовательно, lim ,gA* = lim — = —. ^о ^ ?* *->о ?* ? 5) In (1 + Ъх) ~ Зл:, следовательно, ,. In (1+3*) г 3* 3 hm ' = hm ¦=- = -у. 6) arcsin Ъх ~ Ъх, arcsin 2x ~ 2х, следовательно, t. arcsin bx *. bx 5 hm r-s- = hm 7Г- = -n-. ^^q arcsin 2* ^^q 2* 2 583. Доказать, что при х -> 0: 1) V 1 +4x — 1 - 2x\ 2) YY+lc— 1 - -J-; л:2 1 3) 1 — cos x — -y-; 4) tg x - sin x ^ Л'3- 584. Пользуясь теоремой 5 и результатами задачи 581, найти пределы: , ч *. arctg 7x 1) hm —?—; оч .. sin 8x • sin Зх 3) hm х—>0 х* -j- Xй arcsin - 5) lim. Ш:-* 1п(1+дг) /1 + 2л:— 1 *-»0 2) 4) 6) lim 1ё • lim tg^-2^- 11111 у2 __ Д ' .. 1п(1<—Зх) 11111 . о , ,-*0 Sin6x Um sin 2a arctg Ъг 7) lim ; -; »«»о tg 3a arcsin 4д
135 § 10. Односторонние пределы § 10. Односторонние пределы Если х < а и х -> а, то принято писать х -> а — 0. Если х > а и х -> а, то пишут х -> а + 0. Пределы lim / (х) = / (а — 0) и lim / (х) = f (а + 0) (если они существуют) называют соответст- х-+а+0 венно пределом слева функции f(x) в точке а и пределом справа функции f(x) в точке а. Для существования предела («двустороннего») функции f(x) в точке a (lim / (х) = Л) необходимо и достаточно, чтобы одно- сторонние пределы существовали порознь и равнялись бы между собой, т. е. lim / (л:) = lim / (х) = А (см. § 5, п. 5, а). 585. Найти односторонние пределы функции / (х) = arctg yhj (хф1) при х-+1. Решение. /(1+0)== lim arctg-—г = lim arctgz = -^-, Jt->l-|-0 X l 2-+ + 00 * <*>D где z = _ 1; отсюда видно, что если # ~> 1 -f 0, то z -> +<х>. 1 те /(1—0)== lim arctg . = lim arctg г = —^-. U<1) Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке а = 1 не существует. 586. Найти пределы справа и слева функции / (я) = _ (х Ф 0) при х -* 0. 5 + Зт Решение. /(+0)= lim р- = 0, 5 + 3* так как lim 3х = lim 3*= +oo; х—>Ч-0 г—>+оо /(-0)= lim_ Ц--4" -о 5 + 3* так как lim 3 х = lim 3* = 0. дг—> —0 г—> —оо Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке а = 0 не существует.
Глава IV. Введение в анализ 136 Найти следующие односторонние пределы: 587. lim-pr. 588. lirn-^ *->-Н) 1*1 AT-*—О \Х\ 1 589. ton е х"1 . 590. lim е х~1 . 591. lim УШПс. 592- lim у&Гха х->-о *-++° 593. Пусть ( — х + 1 при *<2, / W - \ 2л: + 1 при х > 2. Найти /(2 + 0); /(2 — 0). 594. Пусть f/v\_/ *2 ПРИ *<3' /W-\ х Н- 6 при *>3. Найти /(3 + 0); /(3 — 0). § 11. Непрерывность и точки разрыва функции 1. Пусть функция / (л:) определена в некотором промежутке X и точка х0 принадлежит этому промежутку, следовательно, функция в указанной точке имеет определенное значение f(x0). Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если lim/(*) = /(*>). (1) х—>х0 Определение непрерывности функции можно дать в других терминах. Напишем приращение функции в точке х0: &У = f(*) — f(x0) = fQc0 + Ах) — f(x0). Пусть функция в точке х0 непрерывна, тогда по условию (1) имеем: lim Ay = lim [/(лг0 + Д*) — / (х0)] = 0 или (2) НтДг/==Нт[/(х)-/(х0)]==0, X ^Х(} X—^Xq т. е. если функция непрерывна в точке х0, то бесконечно малому приращению аргумента Дл: в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции Ау. Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна, так как в этом случае из соотношения (2) следует предел (1). Следовательно, для того чтобы функция / (х) была непрерывна в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы
137 § П. Непрерывность и точки разрыва функции стремилось к нулю вместе (последняя при ср (х0) Ф 0). »| °\ 1 У-№ у^*У\ ^ 1 1 >У*ЛУ \y*f(x) I 1 ' 1 \) х х+Ах ZT Рис. 56 ее приращение Ау в этой точке с приращением аргумента А*. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. 2. Если две функции f(x) и <?(*) непрерывны в точке х01 то в этой же точке непрерывны и функции / (х) + ср (я); Если функция у = f(u) непрерывна в интервале (Д В), а функция а = ср (х), значения которой содержатся в интервале (Л, В), непрерывна в интервале (а, 6), то и сложная функция у = / [ср (х)] непрерывна в интервале (а, Ь). Заметим, что если функция у = f(x) непрерывна и возрастает (убывает) в промежутке X, а множество ее значений — промежуток У, то для данной функции существует обратная однозначная функция х = ср (у) в промежутке Y также непрерывная, возрастающая (убывающая) и удовлетворяющая для всех значений у из Y условию # = /[?(#)]. 3. Если условие непрерывности (1) функции в точке х0 не выполнено, то функция имеет разрыв в этой точке. Говорят, что функция у = f(x) имеет разрыв в точке х0 первого рода, если существуют конечные пределы lim f(x)= x->xQ-\-0 = f(x0 + 0)n lim /(*) = / (*o — 0), причем: 1) / (x0 + 0) ф f (x0— - 0); 2) / {xl +T)°= f(xo-0)-fif (xQ). В последнем случае x0 называется устранимой точкой разрыва. Функция f(x) имеет в точке х0 разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует либо равен бесконечности. Если / (х0 + 0) Ф f (х0 — 0), то разность f (xQ + 0) — / (х0 — 0) называется скачком функции в точке х0. 595. Пользуясь определением непрерывности функции, доказать, что: 1) функция f(x) = x2 + 3 непрерывна в точке а: = 2; 2) функция / (х) = _с (х ф 5) непрерывна в точке х = 3. Решение. 1) Воспользуемся определением п. 1: функция f(x) непрерывна в точке *, если бесконечно малому при-
Глава IV. Введение в анализ 138 ращению аргумента Ах соответствует бесконечно малое приращение функции Д */, т. е. если Ах -> 0, то и Ау -> 0 (рис. 56). Найдем значение функции в точке х = 2: / (2) = 7 (начальное значение функции); / (2 + А*) = (2 + А*)2 + 3 = 7 + 4Д* + Ах2 (новое значение функции); А у = / (2 + А*) — / (2) = 4Дл: + Дл:2, отсюда следует, что если Ах -> 0, то и А у -> 0. Непрерывность данной функции в точке х = 2 доказана. 2) /(3)- —-1-; /(3 + А*)= 3 + д*-5; ЛУ = /(3 + Д*)- — f(3) = д^^~(~ "2") д 2 (А*~2); отсюда следует, что если Да: -> 0, то и Ау -> 0. Непрерывность функции в точке д: = 3 доказана. 596. Доказать, что каждая из следующих функций; 1) у = = с; 2) г/ = г, 3) # = sin г, 4) г/ = cos x\ 5) у = tg x\ 6) # = ctg л: непрерывна в своей области определения. Решение. 1) Функция у ~ с (с = const) определена в интервале (— оо, + со). Дадим приращение аргументу в произвольной точке х. Получим приращение функции: у = с (начальное значение функции), у + Ау = с (новое значение функции), отсюда Ау = 0. Таким образом, бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции (Ау = 0). Непрерывность функции доказана в произвольной точке х и этим самым доказана непрерывность во всем промежутке. 2) Функция у = х определена в интервале (—оо, + оо). Дадим приращение аргументу Дл: в произвольной фиксированной точке х0, тогда и функция получит приращение Ау, а именно Уо = *о, Уо + Ау = х0 + Ах. Отсюда Ау = Дл:. Теперь ясно, что если Ал: -> 0, то и Ау -> 0. 3) Функция у = sin х определена в интервале (—оо, + со). Аналогично дадим аргументу в произвольной точке х приращение Ал:, тогда и функция получит приращение Ау: у = sin х, у + А у = sin (x + Ах). Отсюда Ах j | Ау | = | sin (х + Ах) — sin х | = 12 sin -у cos I x + Ах I cos | х + Ах 2 2 sin Ах 2 Ах 2 <2 1 = |Д*| (из теоретического курса известно, что |sinA:|< ясно, что если Дл: -> 0, то и Ау -> 0. 4) Функция определена в интервале (— ооу + оо). аргументу х приращение Ал:, получим у -f А у = cos (x -f Дл:) и у = cos x. Теперь Дадим
139 § 11 Непрерывность и точки разрыва функции Отсюда | Ду | = | cos (х + Ах) — cos л: | Ах \ &х — 2 sin (х + -^-\ • sin -"§— <2.1.J?U|A;c|. Следовательно, при Дл: -> 0 и Ау -> 0. Непрерывность функции доказана в произвольной точке х интервала (—со, +оо), этим самым доказана непрерывность функции в этом интервале. Докажем непрерывность функции иначе: у = cos x = = sinf —^ х). Функция у = sin(-| х) есть сложная функция, ее можно представить так: у = sin и, и = ~ х. Функция и = -| * непрерывна как алгебраическая сумма непрерывных функций (см. п. 2), у = sin и непрерывна по доказанному для функции 3, следовательно, функция у = sin (-^ — *) также непрерывна как непрерывная функция от непрерывной функции. 4) —5) Функции tg* = -^?-jj- и ctgx = -^- непрерывны в промежутке (— со, -f oo) как отношение двух непрерывных функций, кроме точек х = -^-+-п и Л'=~я(п=0, z±zl; ±2\ ...), в которых функции соответственно не определены и имеют разрыв второго рода. Например, точка х = -^- (п = 0) есть точка разрыва второго рода функции tg<t, так как lim tg* = +oo, lim tgx== *"*_—а *-*—-ьо = — со и х = 0 — точка разрыва второго рода функции ctg #, так как lim ctgx = + °°> Hni ctg* = — со. Точки х = -?- + я (п= 1) и ^ = т: — точки разрыва второго рода функции соответственно tgx и ctg л: и т. д. В теоретическом курсе доказывается, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках области их определения. Поэтому, учитывая теоремы п. 2, можем утверждать, что каждая элементарная функция в области ее определения непрерывна, т. е. область определения элементарной функции совпадает с областью ее непрерывности. Отсюда, чтобы найти предел элементарной функции f(x) в точке Л'0, принадлежащей области определения функции, надо найти частное значение функции в этой точке. Отсюда
Глава IV. Введение в анализ 140 также следует, что точками разрыва элементарной функции, очевидно, могут быть те точки, в которых функция не определена, но определена вблизи них. Если функция неэлементарная, то ее точками разрыва также могут быть те точки, в которых она не определена, если же функция задана несколькими разными формулами на различных промежутках изменения аргумента, то точками ее разрыва могут быть те, в которых меняется аналитическое выражение функции. 597. Пользуясь свойствами непрерывных функций, доказать непрерывность при любом х следующих функций: 1) f{x) = x* + Zx + 5; 2) f(x) = x2sinx--^. Решение. 1) Функция непрерывна в каждой точке х, так как состоит из суммы непрерывных функций (см. п. 2). Функция л:4 непрерывна как произведение непрерывных функций хххх = х*. Функция Зл: также непрерывна как произведение двух непрерывных функций. Третье слагаемое 5 есть постоянное. 2) Функция непрерывна в каждой точке х как разность двух непрерывных функций. В самом деле, функция х2 sin л: непрерывна как произведение двух непрерывных функций, а функция 2 3 непрерывна как частное двух непрерывных функций, причем знаменатель не равен нулю, так как уравнение х2+3= = 0 действительных корней не имеет. 598. Найти пределы: 1) lim5*2 + 3V~4; 2) \im]/x2 + 3x — 4\ 3) \ime?inx+l\ 4) limcos2*. тс х—>0 Решение. 1) Функция элементарная, определена и непрерывна при любых значениях хФ±\. Следовательно, она непрерывна в точке х = 2 и поэтому 5jc2 + Зл: — 4 5-22 + 3-2-4 __ 22 !™ х2 — 1 = 22 — 1 ~ 7 ' 2) Точка х = 3 принадлежит области определения данной элементарной функции, поэтому функция непрерывна в точке х = 3, следовательно, ton ]/х2 + 3* — 4 = 1/32 + 3-3 —4 = ]/!4. х->3 3) Функция элементарная и определена в интервале (—со, + ос), т. е, она непрерывна в любой точке этого интервала и в частности в точке х — -^-, следовательно,
141 § 11. Непрерывность и точки разрыва функции sin—+1 lim e5ln x+l = e 4) Аналогично lim cos2 x = cos2 0=1. 599. Исследовать на непрерывность функции: 1) V-^l 2)*, = ^; 3)У = ^; 4) у - cos 3,; 5) у = -?=^-, 6) у = (f ^ Х * °> х — 1х + 4 ^0 при я = 0. Решение. 1) Функция элементарная, определена и непрерывна на интервале (—оо, + оо). 2) Функция алгебраическая, дробная, определена на всем множестве действительных чисел, за исключением точек, в которых знаменатель дроби равен нулю: х2 — 4 = 0, отсюда хг = 2, х% = — 2. В этих точках функция имеет разрыв второго рода. Убедимся в этом: ИтТ24г4= + °°> *—2+0* * (х>2) так как при х-+ 2 + 0 знаменатель <х = х2 — 4 > 0 есть бесконечно малая величина; следовательно, обратная величина 2 __4 бесконечно большая величина, т. е. стремится к бесконечности. Аналогично находим предел lim -2—j = — оо. U<2) В этом случае бесконечно малая величина а = х2 — 4 < 0, обратная ей величина есть бесконечно большая величина. 3) Функция определена на всей числовой прямой, за исключением точки а: = 1, в которой знаменатель данной дробно- линейной функции равен нулю. В этой точке разрыв второго рода, так как t • X ~T"«J ¦ f X "т- О lim —— = + оо, lim . = —оо. *-*i+o*"~-1 x-*i—о*~~l 4) Функция элементарная (сложная), определена и непрерывна в интервале (— оо; +оо). 5) Функция алгебраическая, дробная, определена и непрерывна в интервале (— оо, + оо). Заметим, что трехчлен знаменателя дроби имеет комплексные корни, следовательно, при
Глава IV. Введение в анализ 142 3) ?(*) = { _! "i любых значениях х он не равен нулю. В данном случае х2—2х + + 4 = (х — I)2 + 3 > О при любых х. 6) Функция неэлементарная, задана двумя формулами, определена на всем множестве действительных чисел, имеет разрыв в точке х = 0, так как lim sin — не существует (см. задачу 496). л—0 х 600. Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций: П *<у\ ( Зх при х =? 2, _ *«-1б. 1) /(*)-{ 1 при* = 2; 1> / (*)- х-4 • х2 при л:<!0, х + 1 при х > 0; 1,5 при х < — 2, 4)<М*) = | 4" при-2<*<0, 5)/(x) = li^ji. 2л: при х>0; Решение. 1) Функция определена на всей числовой прямой, неэлементарная, так как задана двумя различными формулами. При переходе в точку х = 2 аналитическое выражение функции меняется. Поэтому исследуем непрерывность функции в точке х = 2. Очевидно, что lim Зл: = lim Ъх = С, следова- д:->2+0 лг-*2—2 тельно, /(2 + 0) ==/(2 — 0)^/(2), где /(2)= 1 по условию. Итак, в точке х --= 2 имеем устранимый разрыв, во всех остальных точках числовой прямой функция непрерывна. График функции состоит из двух ветвей и одной точки (рис. 57, а). 2) Функция элементарная, определена на всем множестве действительных чисел, за исключением точки х = 4, следовательно, в этой точке функция имеет разрыв. Нетрудно видеть, что в точке х = 4 предел справа равен пределу слева /(4 + 0) = = /(4 — 0), так как х2 15 lim -т- = lim (x + 4) = 8. Таким образом, в точке х = 4 функция имеет устранимый разрыв (рис. 57,6). Если эту функцию доопределить в точке х = 4, положив / (4) = 8, то функция будет непрерывной на всей числовой прямой. 3) Функция 9 (х) неэлементарная, определена на всей числовой прямой. В точке х = 0 аналитическое выражение функции изменяется, следовательно, в этой точке функция может иметь разрыв. Исследуем непрерывность функции в точке х = 0. Найдем предел функции слева в точке х = 0: ср (— 0) = lim <р (х) = lim х2 = 0. х-* —О* х-+ —0
143 § И. Непрерывность а точки разрыва функции Теперь найдем предел справа в этой же точке: 9(+0) = lim?(*) = lim(*+ 1)= 1, х-+ 4-0 *- +0 U>0) отсюда <р (— 0) ф f (+ 0). У, •2 ! 0 ' гЛ y-f(x) / . / х Рис. 57 Следовательно, в точке х = 0 функция ? (х) имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке х == 0 равен разности (рис. 57, в). ср (+ 0) — ср (— 0) = 1 — 0 = 1. Во всех остальных точках числовой прямой функция ср (л:) непрерывна, так как обе формулы, которыми она задана, определяют элементарные (алгебраические) непрерывные функции. 4) Функция ф (х) неэлементарная, определена на всем множестве действительных чисел, задана разными тремя формулами на различных промежутках изменения аргумента. Исследуем непрерывность функции в точках х = — 2ил'=0: ф (— 2 — 0) = lim (jc+1,5)= — 0,5; ф (— 2 + 0) = lim — = —0,5. *^_2—0 %-— 2+0 х По условию ф (— 2) = — 0,5, следовательно, ф (— 2 — 0) =
Глава IV. Введение в анализ 144 = 6 (— 2 + 0) = ^ (— 2), т. е. функция ф (х) непрерывна в точке х = —2: ф (— 0) = lim— = — со. Таким образом, в точке х = 0 функция имеет разрыв второго рода (рис. 57, г). В остальных точках числовой оси функция непрерывна. 5) Функция элементарная, определена на всей числовой прямой, кроме точки я =1. Исследуем непрерывность функции в этой точке: f (l-0) = lim1*"?1 =-l, *->1—0 х ~~ 1 так как при любых значениях хф 1 числитель равен абсолютной величине знаменателя, а знаки их различные. Найдем предел справа: /(1+0)== Нт1;-; ' = 1. Следовательно, функция в точке х = 1 имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен разности /(1+0)-/(1-0)=1-(-1) = 2 601. Пользуясь определением непрерывности функции, доказать: 1) функция f(x) = х2 непрерывна в точке х = 0; 2) функция ср (х) = —т-у непрерывна в точке х = — 2; 3) функция ф (х) = У х непрерывна в точке х = 4; 4) функция / (х) = cos х непрерывна в точке х = 0. 602. Доказать, что каждая из следующих функций: 1) # = К^б; 2) / (*) = sin Зх; 3) ср (*) = ¦9» 4) г/ = г> —5*; 5) y = lg(x2 + 2x + S) непрерывна в своей области определения. 603. Пользуясь определением непрерывности функции и свойствами непрерывных функций, доказать непрерывность следующих функций при любом х: 1) у = *'°° - sin (*2 - 3* - 1); 2) у = х1++ХхГ+\ +tg sin *; 3) у = х3 cos (1 + х + х>); 4) у = ?li e^"arct^; 5) у = 2-* cos -j^ з.Г+3-^ • 604. Найти пределы: »Дт_тШ^ 2, lim Ж х- .-2 ^ + 4 ' */ ;-j <2_4
145 § 1. Производные функции 3) lim sin lg (3* + 4); x—>2 c\ i- sin* 5) lim—-; 4) lime008*-1; 605. Исследовать на непрерывность функции: 3) О = *+1 5) и = ^2 __ 2х — 3 » 1 4) у = cos —; 6) ?(х) = 2 1 JC—1. 7) У= — 5 + 3 sin л; при x^fcO, 1 при х = 0. 606. Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций: х ' х, х ^* — 1 ; — х, х< — 1; г, *<1, 1) </ = 3) у = 5) t/H*-1' 13л;, *> 1; 7) У~ \2х\ х<\\ ГЗ-*, *>-3, 9)^-Ux<-3; ID 0 = lg|*|; 2) */ = 1 —я, *> 2, 6) у=> 8) </ = 10) у = [I + х, л;<2; 4) у-|дс-2|; (2х + 3, л: < 3, Ь— х\ х>3; 1х+\, х>2, \2-*у х<2; (х2, х<0, \2х, х>0; \хг, хфО, j j Производная Глава у и дифференциал 1 1 функции § 1. Производная функция, ее механический и геометрический смысл. Непосредственное нахождение производной 1. Производной функцией y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
Глава V. Производная и дифференциал функции 146 limJ^=lim/(* + ^)-/(*> , Ах Ьх Дл:->0 ^Л Длг->0 ал Если существует конечный предел (1) в точке х (т. е. существует конечная производная в точке *), то функция называется дифференцируемой в этой точке. Производная обозначается у' или /' (*), или-^-, или '^ . *| у/в х/ 1 Wy> Mj /^ /v\ ДХ Уо 'хт ш 1 / А XQ Х0+АХ X Рис. 58 Нахождение производной называют дифференцированием функции. Значение производной функции f(x) в точке х = х0 обозначают /' (л:0) или ^*° . 2. В механике производная от пройденного пути s по времени / есть скорость v. Пусть точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s — пройденный путь за время t. Тогда скорость v движения точки в момент времени t0 определяется по формуле u = s'(Q. (2) В геометрии производная функции у = f(x) есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции (рис. 58). Как видно (см. рис. 58), /(*о + А*)-/(*Ь) *g? Ах Ах где Q — Угол наклона секущей М0М, и tg а = lim tg <p = lim -|f- ~ ? (*о)' (3) Ллг—>0 Ллг—>0 где tga — угловой коэффициент касательной М0Т к графику функции y — f(x) в точке М0 (xQ\ yQ). Заметим, что если каса-
147 § 1. Производные функции тельная параллельна оси Ох, то угол ее наклона а с положительным направлением оси Ох равен нулю, и тогда tg a = = Г (*о) =-- о. Если касательная в точке M0(xQ\ yQ) параллельна оси Оу, то а = 90° и тогда tga = f'{x0) = °°. Заметим также, что если в точке х0 существует конечная производная, то функция непрерывна в этой точке. Обратное предложение не всегда справедливо. Например, функция у = \х\ (рис. 59) в точке х = 0 непрерывна, так как приращение функции Ау = \х + Ах | — \х\ и в точке х ~ 0 Ау = \ Ах |, стало быть, при Ax->0 и Ду-> 0, а производной в этой точке функция не имеет. Убедимся в этом: lim -г^- = lim Дх:-*0 ах Дл->0 не существует, так как |Д*1 /(О-f Ах) —/(0) А* = lim - Ах—>0 Ал: 1 Ах lirti J Д*->+0 Ах 1; lim Д*- \_Ах\ Ах Ал; Следовательно, предел справа в точке х = 0 не равен пределу слева, т. е. предел (1) в точке х = 0 не существует, это и означает, что функция в данной точке производной не имеет. Если существуют односторонние пределы jim f(x0 + Ax) — f(x0) и 1{m f(xQ + Ax) — f(xQ) Дл;->+0 Дл: Д*->-0 Av не равные между собой, то говорят, что существуют односторонние производные функции в точке xQy а точку х0 называют угловой точкой графика функции. В приведенном примере односторонние производные (справа и слева) в точке х = 0 существуют. 3. Пользуясь определением производной, можно найти производную (непосредственное нахождение ПРОИЗВОДНОЙ). ДЛЯ Рис. 59 этого надо: 1) дать аргументу х произвольное приращение Ах и найти соответствующее новое значение функции у + Ау\ 2) определить приращение функции Ay = f (х + Ау) — / (*); 3) составить отношение-^-; 4) найти придел lim -^-\ д*->о *х
Глава V. Производная и дифференциал функции 148 607. Точка движется по прямой, согласно закону s=3t2-\-2t, где t— время в секундах, s — путь в метрах. Найти скорость точки в моменты t = 3 и t = 4. Решение. Руководствуясь п. 3, последовательно находим: 1) s + As = 3(t + At)2 + 2(t + At)\ 2) As = 3 (t + At)2 + 2(t + At) — (St2 + 2t)= 6Ш+2Д/+ЗД/2; 3) «,„--?- A^6^J + 3^=6/ + 2 + 3A/ (средняя скорость за промежуток времени Д^ от /до (/ + ДО; 4) теперь найдем скорость в момент времени /: v = lim 4г = 11т (6* + 2 + ЗДО = 6/ + 2; в частности, при t = 3 t; = 20 (м/сек), при t = 4 v = 26 (м/сек). 608. Пользуясь определением производной, найти производные следующих функций: 1) у = 3* + 5; 2) / (*) = -i- в точке л: = 2; 3) / (л:) = sin (2л; — 3) в точке х = 1. Решение. 1) Дадим аргументу л: приращение Дл;, тогда получим новое значение функции y + Ay = Z(x + Ax) + 5. Вычтем из этого равенства начальное значение функции 1. Получим приращение функции Ау = ЗДл:. Теперь найдем предел отношения -д^- при Ал: -> 0: Дл:->0 ах Дл:-+0 ах т. е. у' = 3. 2) Вычисляем приращение функции в точке х: д 1 1_== Ал: ^ х + Ал: л: л: (а: + А*) Находим предел отношения -—- при Дл: -> 0: г —Ал: r 1 1_ т. е. f (х) = 2 • Производная в точке х = 2 равна /' (2)= ^-. 3) Af/=sin [2(x + Да:)—3]—sin(2x—3) = 2sinA*cos (2х—З+Дх); -^- = 2~^cos(2* — 3 + Ajk)->2cos(2* — 3) при Д*— 0, т. е. /' (л:) = 2 cos (2х — 3). Производная в точке х = 1 равна Г (1) = 2cos(— 1) = 2 cos 1 ^2 cos 57°18' ^2 . 0,5402 = 1,0804. 609. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе / (л:) = х2 + 4: 1) в точке (2; 0); 2) в точке (0; — 4); 3) в точке (3; 5).
149 § 1. Производные функции Решение. Сначала найдем производную в точке х: Ау = (х + Ал:)2 + 4 — (х2 + 4) = 2*Дл: + Д*2; lim -%- = lim &Ltp^± = Hm (2jc + д*) = 2x, т. е. /' (х) — 2х. Угловые коэффициенты искомых касательных к данной кривой в указанных точках равны значениям производной соответственно при х = 2, х = 0 и л: — 3, т. е. /'(2) = 2-2 = 4; Г(0) = 2-0 = 0; /'(3) = 2-3 = 6. 610. Определить приращение функции у = х2 + х + I в точке х0 = 1, если Ах = 1; Дя = — 0,5. 611. Определить приращение функции у = sin х в точке #0= л, полагая приращение Ал: рабным: 1) тс; 2) -^-; 3) -^-. 612. Найти отношение-д^- для функций: 1) у = х2 при л:0 = 1 и Дх равным 1; 0,1; 0,01; 2) у = 6х + 5 при х0 = 2 и Ая равным 1; 0,1; 0,01. 613. Пользуясь определением производной, найти производные следующих функций: 1) У = 2; 2) у = sin л:; 3)г/ = 7*2; _ 4)у=|/Т; 5) у = Зх 4- )/ 2; 6) # = cos #. 614. Показать, что следующие функции не имеют конечных производных в указанных точках: 1) у = \/ х в точке х = 0; 2) у = ]/х — 2в точке х = 2. 2 615. Вычислить ср'(0,1), ср' (—2), если ср (х) •=—. 616. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности fix) точки х = 0, /(0) = 0 и существует lim-^1-^, то чему равен *->о х последний? 617. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе у = х2: 1) в начале координат; 2) в точке (1; 1); 3) в точке (—2; 4). 618. В какой точке касательная к кубической параболе у = х3: 1) параллельна оси Ох; 2) образует с осью Ох угол 30°, 45°? 619. Точка движется по прямой Ох, согласно закону x=x(t). Какой физический смысл имеет в этом случае отношение -гг? 620. Какова средняя скорость изменения функции у = х% в промежутке 2<;#<;5?
Глава V. Производная и дифференциал функции 150 621. Тело движется вдоль прямой Os по закону s = t + sin t, где расстояние s дано в метрах, а время / — в секундах. Найти скорость движения при t = -^-. 622, Свободно падающее тело (в пустоте) движется по закону s= —-, где g (^980 см/сек2) есть ускорение свободного падения. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от t0 = 10 сек до (t0 + М) сек, полагая At = 1 сек и скорость падения в момент времени: 1) t= 10; 2) ^= 12 сек. § 2. Производные основных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного функций 1. Таблица производных основных элементарных функций: (с)' = 0 (с = const); (1) (хУ = 1; (2) (х*)' = our-1 (a = const); (3) (ахУ = ах In а, (е*)' = е*\ (4) (sinx)' — cosx; (6) (cos л-)' = — sin x; (7) <**>' = ^ (8) (ctg^r тфг; (9) (arcsin*)f = __ ; (10) (arccos*)' = -^J_; (11) (arctg*)'»^; (12) (arcctgxy^-j-I^. (13) 2. Приведем основные правила нахождения производных. Если функции и = Цх), v = <р (х) и до = ф (я) имеют конечные производные и', v' и до' в некоторой точке #, то справедливы следующие правила: I. (си)' = ш' (с = const). II. (и + v — до)' = и' + г/— до'. III. (wu)' = и'а + uv'. v.fo—?<»*<».
151 § 2. Производные основных элементарных функций 623. Найти /'(О), /'(О, Г (2), если / (х) = 2х3 + Ах — 5. Решение. Сначала найдем производную в общем виде. По правилу II, а затем I будем иметь /' (х) = (2*3)' + (4*)' — (5)' = 2(х3У + 4 (*)' — (5)'. Воспользовавшись формулами производных (I), (2), (3), окончательно получим* /' (х) = 6х2 + 4. Теперь найдем значения производной в указанных точках: ПО) = 4; ГО) =Ю; Г (2) = 28. 624. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производные следующих функций: 5 1) у = х* +7; 2) «/ = -^—^+2^; 3) У = х\П+-^ + 0,1л:10; 4) у = (2л;3 + У~5)7*; i у х К\ — х ** 5 , In л; ' ^ ~~ 2 — cos х ~ "тГТ> 6) У = sin х • х2 * 2 — cos х у 7 ' w/ i/ — sin дс Решение. I) у' = (*6 )' + (7)' = 4" * * [II; (3)' (1)]' _I3 _2_ 5_ _8_ __5_ 2) y' = (3x5)'-(9x 3)' + (2x6)' = f-*5 + -?* 3 + + "F* 6=7-|-л:5+6х 3 + l-§-* 6 [П, I; (3)]. 3) Перейдем к дробным показателям: i_ _ JL z/ = *3 +* 2 + 0,1*10; rft/ 4 3 1 2 , 9 "Ж" "- ~з~ * — ~TX +x или -|- = 4_^-1^Т-+^911;11;(3)]. 4) y[_ = (2л;3 + У 5)' -7* + (2*4- У 5) (7*)' = 6л;27* + (2л? + + J/ 5)-7*1п7 = [6х2+(2л;3+К 5) 1п7] 7* [III, II, I; (1), (3), (4)]. rs , I х у I х3 \' (х)' (2 — cos х) — х (2 — cos л;/ 2 — cos х) \Y~Tj (2 ~ cos *)2 W*3)' = 2~^*~*?"* -JtlH, IV, I, II; (2), (1), (7), (3)]. VTK (2 —cos*)2 у 7 «'-(тЬОЧт)'- 5<S'n" (sin я)2 * В дальнейшем в скобках будем указывать номера формул и правил, которыми мы воспользовались.
Глава V. Производная и дифференциал функции 152 х2{\пх)'- (х2)'\пх_ _ 5 cos* . ** х 2х]пх "+" (х2)2 sin2* > х4 = -5 со5*С5С2* + Ц^ [II, V, IV; (6), (5), (3)]. 625. Найти производную функцию у = х tg* + ctgx. Решение, у' = (л: tg л:)' + (ctg х)' = (л:)' tg х + х (tg x)' + + (ctg*)' = tg* +-^г-х ^L- [II, III, ; (2), (8), (9)]. 626. Найти /'(0), если / (л:) = ех arcsin х + arctg х. Решение, f (х) = (^arcsin х)' + (arctg х)' = (ехУ arcsin x-f- ех + е* (arcsin х)' + (arctg х)' = ех arcsin* -\ ===- + j 1 х 1 + V1 — х2 arcsin х | 1 Подставив значение х = 0, получим /' (0) = 1 + 1 = 2. 627. Вычислить производную функции у *= x3\og5x. Решение, у' = (л;3)' log5л: + л:3• (log5л:)' = Зл:2 log5x + Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производные от данных функций. а) Алгебраические функции 628. f{x) = ах2 + Ьх + с. 629. у=1х1—3x3+j/* 2+л;-2—Злг"7. 630. г/ = 8х5 — х2 + х2 + х + 1 — 100л;-100 . 631. r/=-ir. 632. у- x + l х+1' * х- Г X2 — 1 «л, Г/ , X 633. г/ = ^\. 634. /(д) = j^i-j; вычислить /'(1). 635. у = . 5 , . . 636. у = Q~1 • x2 — x + 1 * * a + x2 637. cp (и) = u2 + 2u + 3; вычислнть ?' (0). 2f* con x10+3 638 s = — 639. у = „ T , . 640. 0=_JL_. 641. y = 8|/T+4+3. X2 + * ^ * _ YT 642. r/ = / x + ^ *• 643' f W = 77TJ; вычислить /44). 644. у = j/1? — хуПс. 645. у = lJrV*.
153 § 3. Производная сложной функции 646. у = х>(|/Т+ 3). 647. у = х (\/х> - bV 2). 648. /(х) = рт+т1 |/ л: б) Трансцендентные функции 649. у = sin х + cos x. 651. y = tg* + ctg*. «-о sin* 653. у = . 655. у -¦= Y x cos x. 657. у =4^. 659. #=arcsin Ar-f-arccos a;. 661. у = xarctgx. 663. # = sin a; arcsin *. 665. y==_i??i^_. 27 arcctg л; 667. у = log7 л:. 669. y= 10х. 671. #= 24n*. 673. у = ^ • sin л;. 675. у = 650. у = xsinх. 652. j/= x 654. # = sin л: sin t 1 -f cos Г 656. г/ = x tg л:. 658. y = tg a: + sin x ' 660. # = x arcsin л:. 662. j/ = ]/"л; arc tg*. arccos я 13' 664. y = 666 668. y = 670. у = 672. у — ex cos a:. 674. г/ = вл"- 10л". e* — In л: arcsin л: + 1 У = lg*. л: In a:. In л: 13*+1 676. r/ = ex + In x' § 3. Производная сложной функции 1. Пусть дана сложная функция (функция от функции) г/ = / [ср (*)], причем промежуточная функция и = ср (а:) имеет в некоторой точке # производную а'=ср' (*), а функция ?/=/(#)— в соответствующей точке и производную уи = /' (и). Тогда #*= = /' (и) ср' (а:) или ух = r/'M г4, т. е. производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной. 2. При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных в такой форме (и — дифференцируемая функция от некоторой переменной): y = c = const, у' = 0; (l) у = и, У' = и'; (2)
Глава V. Производная и дифференциал функции 154 у = и*(я = const), 1 y = au{ajzl, a>0), У = еа, y = \ogau, у=\пи, у = sin и, у — cos и, y = tg«, y = ctgu, у = arcsin ы, у = arccos и, у = arctg и, у = arcctg и, у' = аи*—'и', 1 +и Найти производные следующих функций: 677. у = (т~т) . т. е. у = и2, где и _ х+\ х—1 (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (Ю) (И) (12) (13) Решение, у' = 2ии' или у' = 2±±j (т=т)' = 2 T^f X X (*+!)'(*-!)-(*+1)(*-1)' = 2 Х+1 (*_!)_(*+ 1) 1 (*-1)2 = -1^г#[(3); IV, II; (1), (2) § 2]. 678. у = (2 — 5л:)100, т. е. у = и100, где и = 2 — 5*. Р е ш е н и е. у' = 100 и"«' или г/' = 100 (2 — 5л:)99 (2—5л:)' = ==_500(2-5л:Г [(3); И, I; (1), (2) § 2]. 679. г/= 102*-3, т. е. # = 10», где и = 2л: —3. Решение, у' = 10"1п 10ы' или у' = 102*-31п10 (2л: —3)' = = 2-102-зЩ10 [(4); II, I; (1), (2) § 2].
155 § 3. Производная сложной функции 680. у = log5(*3— 1), т. е. у = log5a, где и = у?— 1. Решение. у' = —^или y'=,(f~ТУ,= , ?*\* g [(5); II]. 57 «In5 ^ (jc3—1)1п5 (л^— 1 )1п5 LV '* J 681. у = cos 5*, т. е. у = cos w, где и = 5*. Решение, у' = — sin и • w' или у' = — sin 5* (5*)' = = — 5* sin 5* In 5 [(7); (4) § 2]. 682. у = tg 5а:, т. е. j/ = tg и, где и = 5а:. и' (ЪхУ 5 Решение, г/ = —г- или г/' = v ' = —5^— = 5sec2 5л;. * cos2 w y cos2 5a: cos2 5a: 683. у = arctgj/*, т. е. t/ = arctga, где и = У~х. 1 г» / и' г (|/"л7")' 9Т/"Т 1 Решение, у =тп—аи™у = Ао= к =—т= . * 1+и2 •* 1+(]/^)2 1+* 2^*0+*) пол 2л: — 1 2л: — 1 684. j/=arccos А_ , т. е. и = arccosw, где и = —т=-. * /з * /з Решение. #' =¦ г или у' у 1 — и2 V 1- 2 2л: — 1\2 \ V~3 ) ~~~ у 3 — (2а; — I)2 /У [(H); I, И]. |/"3 —(2л:— 1)2 685. у = sin2 (2а: — 1), т. е. у = и2, где и = sin (2л; — 1). Решение. у' = 2ш' или у' = 2 sin(2л: — 1)• [sin(2л; — 1)]' = == 2 sin (2*— l)-cos(2* — 1) (2jc—1)' = 4sin(2A; — 1)-cos(2a:— 1)— = 2 sin 2 (2л:— 1). 686. у = In3 (5л: + 2), т. е. у = и3, где и = In (5л: + 2). Решение, у' = 3aV или г/' = 3 In2(5л: + 2)[1п(5л: + 2)1'« 687. /(a) = ln|/ il'1^; вычислить /' (-J-J. Решение. Здесь целесообразно сначала прологарифмировать. После логарифмирования получим f (а) = A- [In (1 — sin а) — In (l + sin а)]. Теперь вычисляем производную г / / ч 1 [ — cos я cos а 1 1 * \ ' 2 L 1 — sina 1 + Sin а J COS а * Полагая а = -?-, найдем /' (-^-) = — = — |/ "2". cos-r-
Глава V. Производная и дифференциал функции 156 688. г = In t , 1; вычислить г' (0). Решение, г = In ef — In (et + 1) = t — In (et + 1); A- i («*+*)' _ i ^ __ l ^ ~~ x ~ e(+l l et +1 "" e* + l' Полагая ? = 0, найдем r' (0) = ^ 1 = -^-. 689. у = sin2 (ax + 6). Решение. y' = 2sin(ад: + b) [sin(ax + &)]' = == 2 sin (ax + b) cos (ax + fe) (ax + b)' —~ = 2 sin (ax + fe) cos (ax + b)a = a sin 2 (ax + 6). 690. у = sin (3x + 1), т. е. у = sin и, где и = Зл: + 1. 691. у = (1 + 2л:)8, т. е. у = а8, где и = 1 + 2л:. 692. s = sin at, т. е. s = sin &, где и = at. 693. у = lg (ал:2 + их + с), т. е. # = lg ut где г/ = ах2+Ьх-\-с. 694. у - (- т. е. у = ау, где и = Зд:+1 / ' *' "' * - , .м- - 3*+1 ' 695. у = sin л:2, т. е. y = sinw, где и = х2. 696. у = tg(cosx), т. е. у= tgu, где u = cosx. 697. у = arcsin |/ л:, т. е у = arcsin &, где и = |/ л:. 698. у = cos2 л:, т. е. у —и2, где г/ = cos л:. 699. у = In3 х, т. е. у = а3, где а = In х. 700. у = е-*2, т. е. у = е", где и = — л:2. 701. у = arctg(tgx), т. е. # = arctgw, где u=tgx. 702. у = arcsin (sinл:), т. е. у = arcsin&, где и = sinx. 703. у = sin (sinx2), т. е. у = sin и, где w = sinx2. 704. у = а100, где а = 2 — 5х. х 4- 1 705. у = и\ где и = -^=Гр 706. t/= 10м, где и = 2х — 3. 707. у = log5 и, где и = х3 — 1. 708. г/ = cos2 х + sin2 x. 709. у = arcsin x +1/ 1 —х2 710. у = (arcsinх)2. 711. у = sin(x + sinx). 712. у = cos (3* + 3-А). 713. у = 5 sin (2 — Зх). 714. у = cosj6x — -1-1 715. у = sin(x2 + 2*). 716. y = tg(3x+ l)3. 717. r/ = ctg(xs'nx). 718. у = 10**+*+i. 719. s = e°'cos bt. x sin * 720. z = (2а + 3604- 721. i/ = 7 »-* . 722. г/ = 6arcsin x. 723. г/ = 2C0S x\ 724. г/=^. 725. */ = ln *+ * 3sin2x- у а2 — х* ' 726. 2 = In |/ -j^ir. 727. r/ = cos2 x -f In tg -?-
157 § 4. Логарифмическая производная 728. у = In -^. 729. / (*) = In ?±?. 730. y=\n(x + V а2 + х2). 731. f(x) = ex\nsinx. § 4. Логарифмическая производная Логарифмической производной функции у = f(x) называется производная от логарифма этой функции, т. е. (1пг/)' = -|1(при у>0). Нахождение производных от функций, которые допускают операцию логарифмирования (произведение, частное, возведение в степень и извлечение корня), значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. Заметим, что логарифмическую производную будем применять формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при у>0. 732. Найти производную показательно-степенной функции y = uv(u> 0), где и = / (*), v = ср (х). Решение. Сначала логарифмируем данную функцию (по основанию ё): In у = v In и. Теперь дифференцируем обе части равенства по правилу дифференцирования сложной функции. Получаем отсюда или 733. Найти у\ если у = хх. Решение. In у = х In x. Производную от левой части равенства находим по правилу дифференцирования сложной функции, а от правой — по правилу дифференцирования произведения: или и ~- = х* \пх + х(Inх)' У -^—= \nx-\-x—, У ' X » отсюда У' = У(\ +\пх) или */' = **(! +In*).
Глава У. Производная и дифференциал функции 158 734. Найти у', если у= (*_ 1)^(5*+!)'(*+1). 2 1 Решение. In у = In (х — 1) + -j- In (5a: + 1) + -о- In (а: + 0; г/' 1 . 10 . 1 2(15^2 + 7.x: — 4) у а—1 ' 3(5а + 1) • 3(а+1) 3(а2- 1)(5* + 1) ' отсюда У = з2?- о?+ О (*- l)fr(5«+ 0'(* + 1) - 2(15j^2 + 7x —4) З3/ (х+1)»(5х+1) 735. Найти г', если г = (sin cp)cos 2(р. Решение. In г = cos 2? In sin cp; = (cos 2ф)' In sin cp + + cos 2cp (In sin cp)' = — 2 sin 2? In sin cp + cos 2? • CQS,y , отсюда r' = (sin cp)cos 2? (ctg cp cos 2cp — 2 sin 2? In sin ?). 736. Найти z', если 4a2 г — V~W >xY 3 Решение. In z = In 4 + 2 In jc g- In (2 — a:); z' _ 2 3 (2 — A')' __ _2_ , 3 _ 20 — 7x v I г x 5(2 —a) a ~ 5(2 — a) 5a (2 — a) ' отсюда , _ 20 — 7a 4a2 __ 4a (20 —7a) ""5a (2 —a)' / (2 - Xf ~~ 5(2->x)k'\2- *)3' Пользуясь логарифмической производной, найти производные следующих функций: 737. у = A:sin *. 738. у = (sin *)¦*. 739. у = ^7 74°- У = л""2- 741. „ _ (*+1)»Т^. 742e e _ JO+F . * у (Х _ 1)2 3* + 5 743. у=(х+ I)2 (х — I)3 ^/(а: + 2)4. 744. г/ = (sin л:)1п *. § 5. Производная неявной функции Функция у (х) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x, у) = 09 (1) не разрешенным относительно у.
159 § 5. Производная неявной функции Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение (1) продифференцировать, считая у функцией от х, и вновь полученное уравнение решить относительно производной у'. 745. Найти производные от следующих функций: 1) f — 3# + 2ах = 0; 2) х2 + Ъху + у1 + 1 = 0. Вычислить у в точке (2; — 1);. 3) sin <р + лр — Ъг = 0. Вычислить ~^-\ т 4) еУ + ху = е. Вычислить у' в точке (0; 1). Решение. 1) Дифференцируем обе части равенства no x с учетом, что у есть функция от х, получаем 3*/У-3*/' + 2а = 0, отсюда ' — 2а У ~ 3(1+0»)' 2) Дифференцируя по х, получаем 2х + Ъу + Ъху' + 2уу' = 0, отсюда , _ 2* + 3i/ * ~ Зх + 2i/ • Теперь подставив х = 2, # = — 1, найдем 1/(2) = ^ + 3(-Р д L У W 3-2 + 2 (—1) 4 * 3) Дифференцируя по <р, получаем i dr . г dr n отсюда dr г + cos ф d(p ~~ 5 — ф 4) Дифференцируя по х, находим откуда t/' = ^^ ,ш/'(0)=— —. Найти производные от следующих неявных функций: 746. 2х — Зу + 1 = 0. 747. *2 + у2 = 5^. 748. -iL + Jj-^l. 749. х* — 5у*+ 4ху—1 « 0. 750. л;8 + г/3 — За**/ = 0. 751. у = sin (x + 2#). Найти производные от следующих неявных функций в указанных точках: 752. х2 + у2=\ в точке (—^-; *тр-).
Глава V. Производная и дифференциал функции 160 753. у2 = 2рх в точке (-~; р). 754. х = у + sin у в точке (0; 0). 755. х2 + ху + у2 = 3 в точке (0; —1/3)- 756. уеу — хех = у(х— 1) в точке (1; 1). 757. t?y + ху = t? в точке (0; 1). 758. ехУ + х2 + у3 = 2 в точке (1; 0). § 6. Смешанные задачи Найти производные: 759. у = ахЛ:ЪЛ . 760. и = f У * cx + d \l-y 761. j/= *7- . 762 z = * 763. у = -:—-? . 57 sin х + cos л; 764- г = 62_ф2 ; вычислить -^р 765. ср(а) = у=^-; вычислить ср'(1); ср'(0). 766. у = |/(а+ *)(& + *). 767. у = 3*2e~*. 768. s = а sin со/ + b cos orf. 769. z = ]/ ctg -|-. 770. у = In (1 + x) + arccos -J-. вычислить /' (1); /' (0). 771. у = In (x + ]/a2 — x2). 772. s = 2-«sin (<?0 + Ы). 773. z = [/ l+y2 . 774. */ = sin2x\f 1 -f cos2*. 775. y = VТ+УТ+Т 776. у = cos(*5 + Inx). 777. t/= In sin 3*. 778. */ = tg (*7 + Iх). 779. */ = lg cos 3x. 780. / (/) = cos t • sin (* + <p0). 781. r/ = lnln (3* + 2). 782. у = arctg In x. 783. z = (1 + V *)6- 784' s - ln -fW=T • 785. у - (* - 1)' 1/F+T 786. (^-)2+ (-J-)*- 1. 787. */ = (ln *)In \ 788. r/ = 2sin (Jt+^ 789. г/ = 23X- 790. jfy = у*; вычислить -?-. 791. у2 — sin Ъх = 0. 792. у = tg (л: + г/). 793. sin (2л: -f- Ъу) — 2# = 0; вычислить у' в точке (0; 0).
161 § 7. Производные высших порядков § 7. Производные высших порядков Производную у' от функции у = f(x) будем называть производной иервого порядка; производную от производной первого порядка называют второй производной или производной второго порядка от функции y = f(x) и обозначают у" или f"(х)\ производную от производной второго порядка называют производной третьего порядка и обозначают уш или /"''(х). Если производные выше третьего порядка, то обычно их обозначают так: у^ или /<4> (х), у& или /<5> (х) и т. д. Иногда пишут ylv или / lv (х), yv или /v (х) и т. д. Производная от производной (п—1)-го порядка называется производной п-го порядка от функции у = / (х) и обозначается у{п) или f(n) (Х)и 794. Найти производные указанного порядка от данных функций: 1) у = х* + 2х2 — 4х + 1; у"' = ? 2) у=\пх\ у<4> = ? 3) s = t2 — t+l\ s"(0) = ? 4) /(*) = sin2*; /<«>(-?-) = ? Решение. 1) Найдем первую производную у' = Зх2 + 4х — 4. Теперь найдем вторую производную у" = (у')' = (Зх2 + Ах — 4)' = 6х + 4. Продифференцируем еще один раз и получим производную третьего порядка Ут = (/)' = Ф* + *)' = 6. 2) Аналогично найдем производную первого порядка, а затем производные более высокого порядка: у'" = (_ л~2)' = _ (х-2)' = 2д~3; z/<4> = (2л~3)' = = 2(*-3)' = -6*-4 = -А. 3) s' = 2t— 1; s" = 2, следовательно, s"(0) == 2, так как вторая производная данной функции s" (t) = 2 при любом t. 4) f (х) = 2 cos 2х; /" (jc) = — 4 sin 2х; /'" (ж) = — 8 cos 2х\ /(4) до = 16 sin 2л;; /<5> (х) = 32 cos 2лг. При х = -у- найдем /(«(-5-) = 32 cos я = —32. 795. Показать, что функция г/ = cos 2х удовлетворяет дифференциальному уравнению у" + 4г/ = 0.
Глава V. Производная и дифференциал функции 162 х—1 Решение. Определяем у' и у": у' = — 2 sin 2х\ у" = — 4 cos 2х. Подставив у' и г/" в данное уравнение, получим тождество — 4 cos 2х + 4 cos 2х = 0; 0 = 0. 796. Найти производные второго порядка от данных функций: 1)у = ]/7; 2)у = |/7; 3)»=*+1. 4) у = esin *; 5) у = е™ *; 6) z = 1~пс^. 797. Найти производные указанного порядка от данных функций: 1) у = *я + * + 7; */'" = ? 2) у = хъ; у& = ? 3) / (*) = х9; /'" (1) = ? 4) у = sin r, */<4) = ? 5) у = cos *; z/<4) = ? 6) # = sin 4x\ yW = ? 7) у = cos (ax + 6); */<4> = ? 8) у = е5*+3; уш (0) = ? 9) у = sin л:2; г/'" = ? 10) у = ех\ у<*> = ? 11) у = 23*+5; #<«> = ? 12) г/ = lg*; #е»> = ? 13) у = sin2 *; у&) = ? 14) г/ = **; z/<"> = ? 798. Убедиться в том, что функция у = A sin (o^ -f <Ро)> гДе А, со, ср0 — постоянные, удовлетворяет уравнению у" + ы2у = 0. 799. Убедиться в том, что функция у — Ae~kx + ??**, где А, В, k — постоянные, удовлетворяет уравнению у" — k2y = 0. 800. Чему равна n-я производная от многочлена у = а0хп + агхп-1 + . •. + ап? § 8. Применение производной в геометрии и физике 1. Уравнение касательной и нормали. Пусть кривая задана уравнением у = f(x) к в точке х0 существует производная /' (х0). Тогда уравнение касательной к этой кривой в точке M0(xQ\ y0) имеет вид У — Уо=?(Хо)(* — Хо)> (1) где n*o) = tga. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной (рис. 60), называется нормалью к кривой. Ее уравнение имеет вид У — Уо= у {ч) (* — х0). (2) 2. Угол между кривыми. Угол между двумя кривыми у = f(x) и у = ср (х) в их общей точке М0 (х0\ у0) определяется как
163 § 8. Применение производной в геометрии и физике угол ср между двумя касательными / и 2 к этим кривым в точке М0 (рис. 61) и по формуле (1) § 6 гл. II находим ?' w-rw tgcp: (3) i+/'(WW 3. Механический смысл второй производной. Пусть точка движется прямолинейно по закону s = /(0- Ч 1 \? /1 0 ~^С^ /fM\\ WfCtf Z Рис. 60 Рис. 61 Выше уже говорилось (§ 1 гл. V), что скорость равна производной пути по времени: v = s't, а ускорение есть произ- dv „ водная от скорости v по времени: а = —п- или a — sv т. е. ускорение есть вторая производная пути по времени. 801. Написать уравнение касательной и нормали к параболе f(x) = x2 — 2х + 5 в точке, абсцисса которой х = 2. Решение, Воспользуемся формулами (1) и (2). По условию л:0 = 2, подставляя это значение в данное уравнение параболы, найдем у0: у0 = 22 — 2-2 + 5, у0 = 5. Следовательно, точка касания М0(2; 5). Теперь найдем угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке х = 2: f (х) = 2х — 2, отсюда Г (2) = 2. Уравнение касательной М0Т: у — 5 = 2(х — 2) или 2х — у + 1 = 0. Уравнение нормали MQN (рис. 62): у — 5 = — -\-{х — 2) или х + 2у— 12 = 0. 802. Написать уравнение касательной и нормали к кривой Х2_2ху + 3у2 — 2у— 16 = 0 в точке (1; 3).
Глава V. Производная и дифференциал функции 164 Решение. Подставляя значения координат данной точки в уравнение, убедимся, что точка (1; 3) лежит на кривой 1—2- ЬЗ + 332 — 23— 16 = 0 или 0 = 0. Дифференцируя по х, находим 2х-2у- 2ху' + буу' - 2у' = 0, откуда и'= х~у У х_3*/+1 ' Производная в точке (1; 3) </'(!) =-f- Уравнение касательной: у — 3 = -у-(х— 1) или 2х — 7у+ 19 = 0. Уравнение нормали: 2-(х— 1) или 7х + 2у— 13 = 0. 803. Найти угол между двумя кривыми у = 2л:2 и у = х3 + + 2х2 — 1 в точке их пересечения. Решение. Найдем точку пересечения этих кривых. Решив систему уравнений У = 2х\ y = x3 + 2x2—U получим х = 1 и у = 2. Таким образом, точка пересечения кривых M0(U 2). Найдем угловые коэффициенты касательных к кривым при х= 1: у' = Ах, у' (1) = 4, т. е. Лх = 4, у' = 3х2 + 4х, */'(1) = 7, т. е. ?2 = 7. По формуле (3) получим te*-TW = i~0'1034' отсюда ?ж5°54\ 804. Точка движется прямолинейно по закону s = At + t3. Найти скорость и ускорение движения точки для моментов времени ^ = 0» *i=l, t2 = 2 (s дается в сантиметрах, t—в секундах). Решение. Скорость v = s't = (At + t3)' = 4 + З^2; ускорение а = s"t = (4 -j- З^2)' = 6t. Следовательно, в момент времени /0 = 0 v0 = 4 см/сек, а0 = 0 см/сек2. При ^ = 1 t/x = s' (1) =
165 § 8. Применение производной в геометрии и физике = 7 см/сек, аг = 6 см/'сек2. При t2 = 2 а2 = s' (2) = 16 см/сек, а2 = 12 см/сек2. 805. Написать уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках: 1) у = х2 + 4л: — 3 в точке (1; 2); 2) у = —2л:2 + За: в точке, абсцисса которой равна 2; 3) f(x) = x2 + 3 в точке, ордината которой равна 4; 4) у(х) = — в точке, абсцисса которой равна 1; 5) y = tgx в точке, абсцисса которой равна -~; 6) у = In х в точке пересечения с осью Ох\ 7) х2 + у2 + 2у — 3 = 0 в точке (2; — 1); 8) л:4 + #4 — 2ху = 0 в точке (1; 1). 806. Написать уравнения касательной и нормали к кривой уь = Зл:4 + 2ху в точке (— 1; 1). 807. На линии у = —2 , . найти точку, в которой каса- тельная параллельна оси абсцисс. 808. Показать, что касательные, проведенные к гиперболе х 4 у = х_2' в точках ее пересечения с осями координат, параллельны между собой. 809. На кривой у = х3 найти точку, в которой касательная параллельна биссектрисе первого координатного угла. 810. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: 1) у = х2 и у = х2\ 2) у = х2 и у = kx\ 3) х2 + у2 = 4 и х + 2у = 2. 811. Точка движется прямолинейно по закону s = 3t2 + t—l. Найти скорость и ускорение движения точки для моментов времени 4 = 0, ^=1, t2 = 2 (s дается в метрах, t — в секундах). 812. Точка совершает колебательное движение по оси абсцисс, согласно закону х = cos Ы. Найти момент времени, когда скорость равна нулю. Чему в это время равно х? 813. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента t = 0, определяется формулой Q = 2/2 + + 3/ + 1 (к). Найти силу тока в конце десятой секунды. 814. Имеется тонкий неоднородный стержень АВ длиной 20 см. Известно, что для любой точки С стержня, отстоящей от А на / см, масса куска стержня АС определяется по формуле М = З/2 + Ы (г). Найти линейную плотность стержня: 1) в точке Л; 2) в точке В\ 3) на середине стержня.
Глава V. Производная и дифференциал функции 166 § 9. Дифференциал функции Пусть функция у = f(x) в точке х имеет конечную производную, т. е. существует предел тогда по определению предела следует где а — бесконечно малая величина, т. е. а -> 0 при Ах -> 0. Из формулы (1) получаем Ау = у'Ах + аДх. (2) Линейная часть приращения функции относительно Ах называется дифференциалом функции и обозначается символом dy = у'Ах или df (х) = /' (я) Ах. Учитывая, что дифференциал независимой переменной х равен ее приращению, т. е. dx = Ал:, можно написать dy = y'dx. (3) Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал независимой переменной. Функция / (х) называется дифференцируемой в точке х, если она имеет в этой точке дифференциал или, что равносильно этому, конечную производную. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то она называется дифференцируемой в этом промежутке. Из формулы (3) следует, что у' = -^-. Формула (3) верна и в том случае, когда функция сложная. 815. Найти дифференциалы функций: 1) у = х3 в точке х = 0, если Ах = 0,3; 2) у = х3 — х2 + + 3*—1; 3) r = <p* + 2sta3*; 4) у = 1п(*2 + 1) + arctgy^ в точке х= 1, если А* = 0,1. Решение. 1) Найдем приращение данной функции в точке х: А у = (х + А*)3 — *3 = 3*2Дл: + 3*2Дл:2 + Ал:3. Первый член приращения функции содержит Ал: в первой степени, т. е. является линейной частью приращения функции относительно Ал:, следовательно, по определению dy = Зл:2Дл:. Если х = 0, Дл: = 0,3, то df (0) = 0. В последующих примерах дифференциалы функций найдем значительно проще, воспользовавшись формулой (3):
167 § 10. Геометрический смысл дифференциала 2) dy = y'dx = (v3 — х2 + Зх - 1)' dx = (Зх2 — 2х + 3) dx. 3) dr = (?4 + 2sin **)'d<f = (4ср3 + 3 cos 3? 2sin 3? In 2) dtp. 4) dy = (\n(x2+ 1) + arctg/Г)' d* = f^+^ Jj dx. Полагая x = 1 и d# = 0,1, находим dy = l-g- + -272-) 0,1 = 0,125. 816. Найти дифференциалы следующих функций: 1) г/ = sin х в точке xQ = 0, если Ах = -^-; п 2) г/ = tg а: в точке *0 = —, если Дл: = 0,5; 0,1; 0,01; 3) у = х2 в точке л:0 = 1, если Длг = 2; 1; —0,1; —0,01, Найти дифференциалы следующих функций: 817. у = 2 sin х. 818. у = 6х2 + 2. 819. s = ^-. 820. z/ = tg2x. 821. s = acos(/ + 2). 822. y = i=l. 823. s = asin(arf + cp0). 824. P = 4"- 825. у = y/T+l. 826. у = *. 10х. 827. у = arcsin J/7. 828. у = tg x3. 82a у = cos (x2 + 3x + 1). 830. */ = 2arcsin *. 1 831. g = 1 . 832. 0 = In sin (л:+1). § 10. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям 1. Из рис. 58 видно, что АМ = Ау\ АВ = Дл: tg а, т. е. ЛВ = у'Дх, или ЛВ = dy. Таким образом, приращение функции Ау есть приращение ординаты кривой, а дифференциал функции есть приращение ординаты касательной. 2. Из равенства (2) § 9 следует (см. также рис. 58), что при достаточно малых \Ах\ Ay^dy. (1) Перепишем выражение (1) иначе: f (xQ + Ax) — f (x0)« /' (х0) Ах, тогда f(x0 + Ax)^f(x0)+f'(x0)Ax. (!')
Глава V. Производная и дифференциал функции 168 833. Вычислить приближенно: 1) ^26; 2) cos60°6'; 3) In 1,05. Решение. 1) Воспользовавшись формулой (Г), получим 1^*0+ Д*~ \/х~0 + ] Ах. Пусть х0 = 27, тогда Дя = — 1, следовательно, f26^fl7 + ^r(-l) = 3-^^2,96. 2) Воспользовавшись формулой (Г), найдем cos (x0 + Ax)^rcos xQ + (— sin xQ) Ax. Градусную меру переводим в радианную: _6_ я я* 60 я •*о — Т"» А^ — о — з » ^Л ~ 18о — 1800 ' /jc L я \ ^ я .я я ^ г У^З" я C0S \~Т ' Т800"/ ~ C0S ~3~ _ Sln "3 1800" ~U,D 2~"'Т800"' Будем вычислять с точностью до четвертого десятичного знака: -^-^0,8660; тг^3,1416; cos60°6/ ^ 0,5— 0fiJ^ = = 0,5 т^" — 0.5 -0,0015 = 0,4985. Результат вычисления совпал с табличным значением (см. таблицы Брадиса). 3) In (х0 + Д*) ^ In (х0) + —- Ах\ _1_ 1 х0= 1; Ах = 0,05. 834. Вычислить приближенно: 1) j^26; 2) j/24; 3) j/T24; 4) f 33; 5) v^82; 6) cos 91°; 7) tg44°; 8) ctg29c30'; 9) ln(e + 0fl); 10) arcctg 0,98; 11) (3,03)5; 12) In 0,97. 835. Зная, что sin 60° = -^- « 0,8660, cos60° = 0,5, найти приближенно sin60°3', sin60°12'. Полученные приближенные значения сравнить с табличными данными. 836. Найти приближенные значения функций: 1) у = х3 + х2 при х = 2,01; 2) у = • при х = 2,9; ' * у Х2 + 1б ^ In 1,05 « In 1 +4-0,05 = 0,05; з) у = Yt+j при * = 3j02;
169 § 1. Теоремы Ролля и Лагранжа 837. Ребро куба равно 10 см. Найти приближенное значение приращения объема куба при увеличении его ребра на 0,01 см. 838. Скорость частиц жидкости при вытекании из малого отверстия в сосуде определяется по закону Торичелли о=/2^Я, где Н — высота поверхности жидкости над отверстием. На сколько изменится скорость истечения, если Н изменится на ДЯ? Глава VI Исследование функций и построение графиков § 1. Теоремы Ролля и Лагранжа 1. Теорема Ролля. Если функция y = f(x) непрерывна на сегменте [а, 6], имеет конечную производную внутри этого сегмента и f(a) = /(&), то существует по крайней мере одна точка с на интервале (а, 6), в которой Г(с) = 0. 2. Теорема Лагранжа. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь] и имеет конечную производную на интервале (а, Ь) то f(b) — f(a) = f (с)ф — а)9 где а<с<Ь. 839. Дана функция f(х) = 1 —Ух2. Удовлетворяет ли эта функция условиям теоремы Ролля на сегменте [—1, 1]? Если теорема неприменима, то почему? Решение. Функция непрерывна на сегменте [— 1, 1] и на концах этого сегмента принимает равные значения /(1) = = f (— 1) = 0. Однако внутри сегмента имеется точка х = 0, в которой производная не существует. Следовательно, условия теоремы Ролля не выполнены, поэтому теорема Ролля неприменима к данной функции. 2 И действительно, /' (х) = д-= ^0 на сегменте [ — 1, 1], 3 у х т. е. не существует точки с(— 1 <с < 1), в которой /' (с) = 0. 840. Удовлетворяет ли функция / (х) = х2 + 3 условиям теоремы Лагранжа на сегменте [— 1, 2]? Если теорема применима, то найти точку с, в которой f(b)—f(a)~f'(c)(b — а), где а = = —1, 6-2. Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, так как она непрерывна на сегменте [—1, 2J и имеет
Глава VL Исследование функций и построение графиков 170 конечную производную в интервале (—1, 2). Точку с найдем из уравнения /(2)_/(_1) = /'(с)[2-(-1)], отсюда 7 — 4 = 2^-3, с = ^г. 841. Проверить справедливость теоремы Ролля для следующих функций: 1) у == х3 + 4я2 — 7х — 10 на сегменте [ — 1, 2]; 2) */ = 4sin* на сегменте [0, тс]. 842. Функция у = —2" принимает одинаковые значения на концах сегмента [—1, 1]. Убедиться, что производная от этой функции на интервале (—1, 1) нигде в нуль не обращается. Объяснить это отклонение от теоремы Ролля. 843. Из теоремы Лагранжа определить значение с для следующих функций: 1) f(x) = 4x2— 5х+ 1 на сегменте [0, 2]; 2) у=\пх на сегменте [1, а] при а> 1. 844. Можно ли к функции f(x) = 2 — Ух* применить на сегменте [ — 2, 2] теорему Ролля, теорему Лагранжа? § 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей fix) Пусть имеем частное двух функций -Ч^г, где функции / (х) и (р(х) определены в промежутке (а, 6], имеют конечные производные /' (х) и q/ (x) в этом промежутке, причем <р'(х)ф0. Тогда если обе функции бесконечно малые или бесконечно fix) большие при х -> а, т. е. если частное J~^r при х -> а пред- 0 оо ставляет неопределенность -у или —, то при условии, что предел отношения производных существует (конечный или бесконечный). Правило применимо и для случая, когда а = оо. Раскрытие неопределенностей вида оо — оо, (Ьоо и 0°, оо°, 1°° при помощи алгебраических преобразований и логарифмиро- 0 оо вания сводится к раскрытию неопределенностей вида — и —.
171 § 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 845. Найти пределы: 1\ г л:2 — 16 о\ i; *3 — Зл + 2 0ч «. х3 — 6x+6sin* 1) ^,8_5х + 4' 2) ^ «.-*-.; +Г» 3) hm ? ; 4) Hm tg*T* ; 5) lim-4±^; 6) lim-lnsin5* ' - V Sin Y » ' ГУ2 J- rf ' ' ^0 x — sin x ' ' x__>OQ ex2 + d ' ' x_^0 In sin 2л Решение. В примерах 1—4 неопределенности вида О - п ОО -Q-, а в примерах 5 и о — вида —. 1) Применяя правило Лопиталя, получаем r jcz—16 ,. 2х 8 lim —5—г—г~г = iim о с = -о-- оч ,. х3 — Зл + 2 v Зл:2 —3 «. 6л б 1 - 2) ^з_х,_;+1 = ^-2,-1=1™6^2 = Т=1>5- В этом примере правило Лопиталя применили дважды. о\ 1 • х3 — 6* + 6 sin х !. За:2 — 6 + 6 cos x 3> llnJ F = 11П^ 5л? = ,. 6а: — 6 sin а; ,. 6 — 6 cos а: ,. 6 sin а: 1 = 1™0 Ш ^^—Ш* =1™0-Т2бГ = ^0- Здесь правило Лопиталя применили четыре раза, а затем воспользовались первым замечательным пределом. л\ г tgx — x «. sec2а:— 1 «. 1 — cos2а: 4) lim ——:— = hm —л = lim -^ г—-2— = х-^0 x~~smx х-*о * — cosx х-+о (1— cos a:)-cos2 л: = Ит1±421? = 1+1 = 2. *_>о cos * х Здесь правило Лопиталя применили один раз. с. ,. ах2 + 6 ,. lax a 5)iimwi-=i1I"-2Er = — x-+so • #-»оо Здесь правило Лопиталя применили также один раз. In sin Ъх «. / 5 cos 5л: 2 cos 2a: Ач ,. In sin Ъх у ( о) hm -:—. 0 = lim - sin 5a: ' sin 2a: ,. 5 cos5a:-sin2а: 5 ,. cos5a: ,. sin2a: =* hm -^—^—г-F— = -тг-lim тг- • lim• х_^0 2 cos 2a:-sin5л: 2 ^0 cos 2л: sin 5л: 5 «. cos 5л: ,. 2 cos 2л: 5 2 , = -pr- lim о lim-? e— = -?r " ~F" = 1« 2 0 cos 2л: х_^0 5 cos 5л 2 5 Здесь правило Лопиталя применили два раза. 846. Найти пределы: 9~*2 3) lim л; 1п *; 4) lim (тс — 2а) tg a.
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 172 Решение. В каждом из первых двух примеров имеем разность двух бесконечно больших положительных величин, т. е. неопределенность вида сю — оо, а в примерах 3 и 4 — произведение бесконечно малой на бесконечно большую величину, т. е. неопределенность вида 0-оо. Данные выражения представим в виде дробей и сведем О оо к неопределенности вида -д- или —, а затем применим правило Лопиталя. 1) Km li^—An) =lim *L"l!i7iinv* =lim ¦ r x—1 r 1 1 = lim—= ; r- = lim x^{ x\nx-\-x— 1 х->1 lnx + 2 2 * n\ i • / * \ i • 1 — sin ф ,. — cos ф 0 n 2) lim (sec ф — tg(p) = lim = lim г--*-= — = 0. / ^ v т ь т/ ^ С05ф ^ — 5Шф i J_ 3) lim x In x = lim -~- = lim —^Ц- = lim (— x) = 0. *-»0 *^0 _L x-0 __L *-+0 л: л:2 4) lim (it — 2a)tg a = lim "" g/*slng = lim sin a lim """" = 7 _ v ' & n COS a ^ ^ COS а 2 = lim sin a lim : = 1-2 = 2. „ — Sin a a-»—- <*—*-rr 2 2 847. Найти пределы: l 1) lim**; 2) Hmf—Vlnx; 3) limXх"1. Решение. В данных примерах имеем соответственно неопределенности вида 0°, оо°, I00. В каждом из указанных случаев логарифм от функции принимает неопределенность вида 0-оо. Раскрывая эту неопределенность, находим предел логарифма функции, отсюда получаем и предел самой функции. 1) Полагаем у = хх и логарифмируем обе части этого равенства: In у = х In х. Найдем J_ lim In у = lim x In x = lim -^- = lim —^Ц- = — lim x = 0, X X2 отсюда limy = е° = 1.
173 § 2 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей I t \sin x 2) Положим У = [—) и прологарифмируем обе части полученного равенства: In у = sin x In— =s — sin x In x. Найдем предел In у: lim In у = — lim sin x In x. Полученную неопределенность вида 0«со преобразуем к неопределенности вида —, а затем применим правило Лопиталя: limlny = -lim-^ = -lim —^— = lim-^- = sin x sin2 x = lim (— ^-.sinx) «1.1-0 = 0, x-+0\cosx x } отсюда lim у = e° = 1. 1 3) У =¦= **"\ In у = -J37J- In *; lim In у = lim r = lim-|-= 1, l отсюда limr/ = e, т. е. limx* l = e.- X-*\ X-+1 Заметим, что правило Лопиталя применимо тогда, когда выполняются условия теоремы, и в частности, когда существует предел отношения производных. Однако может оказаться, что предел отношения функций существует, а предел отношения производных не существует, в этом случае надо раскрывать неопределенность другим способом. sin д; ^^ у sin х х Приведем примеры. 1) lim = lim ^j = 1, а от- 1 — COS * ношение производных 1 , cqs х при х -> со предела не имеет. Кроме этого, производная знаменателя ф' (х) = 1 + cos x при х = тг (2? — 1) равняется нулю (& = ziz 1; z= 2; . ..), следовательно, производная ф' (х) в некоторых точках промежутка [с, ее) обращается в нуль, что является также нарушением условия теоремы.
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 174 sin л; у 1 Qlfl У I у 2) lim—— = lim = = 1, а отношение производных 1 -4~ cos х —Lj при х -> оо предела также не имеет. Найти пределы: *+1 с.о ym tf-2x* + x-2 1 \ In л: MS. Ita^f. 849. to ,„„_„ _2_ 850. lim 4^- 851. lim § 3 * x*0 sin Зл: * x^O sin 4* 852. lim-^Ц^.. 853. lim tg2*~'n2(1+2x) x-+0 x x->0 x —3x __ sin x psin x __ x 854. lim-? . 855. lim-?—^—. х-*.0 x x-*0 856. lim *™-. 857. lim !п^ + *"| . 858. lim ~(a>0). 859. lira-*^-. jt^+OO ** Х-+0 lUZX 860. lim !nlg^ . 861. lim*4n*(a>0). х-л Intg(fo) ^0 v ^ / 862. lim ***-* (а > 0). 863. lim (—Цг — -т^-тД 3 864. lim/rVL-—T^-V 865- Hm*I + ln*. &66. lim(sin2;t)cos*. 867. lim (In*)*. *-»4-oo 868. lim (ctg *)'"*. 889. llm(l+i-Y". 870. lim/—arcosx)*. 871. lim(tgx)*. § 3. Возрастающие и убывающие функции Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция f(x) возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: 1) /' (х) > 0 (/' (х) < 0) в каждой точке интервала (а, Ь)\
175 § 3. Возрастающие и убывающие функции 2) f (х) не обращается тождественно в нуль ни на каком промежутке, составляющем часть интервала (а, Ь), 872. Найти промежутки возрастания и убывания следующих функций: 1)у = х2\ 2)у = х3; 3) f(x) = х* + 2х — 5; 4)у = \п(х2 + + 2* + 3); 5) у = 2х*-\пх- 6) у = ^-. Решение. 1) Данная функция определена на всем множестве действительных чисел. Найдем производную функции у' = 2х. Функция убывает, если 2х < 0, т. е. х < 0, и возрастает, если 2х > 0, т. е. х > 0. Следовательно, в интервале (—сю, 0) функция убывает, в интервале (0, + оо) возрастает (см. рис. 55, а). 2) Функция определена в интервале (— оо, + оо). Найдем производную у' = Ъх\ Производная у' > 0 (обращается в нуль только в одной точке х = 0), следовательно, функция возрастает в интервале — оо < х < + оо (см. рис. 55, б). 3) Функция определена на всей числовой прямой. Находим производную функции /' (х) = Зх2 + 2. Величина За:2 + 2 > 0 при всех значениях х, т. е. функция возрастает в интервале (— оо, + оо). 4) Функция определена в интервале (— оо, + оо). Находим производную У х2 + 2х + 3 ' Знаменатель дроби х2 + 2х + 3 > 0 при любых значениях х (так как корни трехчлена комплексные), следовательно, знак производной совпадает со знаком числителя: у' < 0, если 2х + 2 < 0, т. е. х < — 1; у' > 0, если 2х + 2 > 0, т. е. х > — 1. Функция убывает в интервале (—оо, —1) и возрастает в интервале (—1, +оо). В точке х = —1 убывание сменяется возрастанием. 5) Данная функция определена при х > 0. Найдем производную у' =4х — —. * X Функция возрастает, если Ах > 0, т. е. 4х2 — 1 > О {х > 0), или Ах2 > 1, т. е, х2 > -^-, или х > -^-. Функция убы-
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 176 вает, если Ах < 0, т. е. Ах2 — 1 < О, или х2 < —, т. е. Итак, в интервале О < х < -^ функция убывает, в интервале -о~< х < + °° возрастает. В точке х = -у убывание сменяется возрастанием. 6) Точка х = 2 есть точка разрыва второго рода: У' = — (л-_2)2 <0 ПРИ *:?2- Следовательно, функция убывает в интервалах (— оо, 2) и (2, + оо). Определить интервалы убывания и возрастания функций: 873. у = х2 + х+1. 874. у = Зх — Зх2. 875. у = *3 + Зд:2 + Зх + 1. 876. у=\—х + 2х\ 877. у- ^ . 878. у = х*ет*. 879. у = х\пх. 880. у = я — ех. 881. у = е~х\ 882. г/= л: + cos *. § 4. Максимум и минимум функций. Необходимый признак. Достаточные признаки 1. Функция y = f(x) имеет в точке х0 максимум (минимум) /(х0), если в некоторой окрестности* этой точки (при x-^zx0) выполняется неравенство f(x)<f (xQ) (f(x)>f (xQ)). Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка, в которой функция имеет минимум или максимум, называется точкой экстремума функции. 2. Если функция f(x) в точке х0 имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю либо не существует (необходимое условие существования экстремума). Точки возможного экстремума функции f(x) называются критическими точками для f(x). Заметим, что если х0 есть критическая точка, то касательная в соответствующей точке М0 (х0\ у0) графика функции параллельна оси Ox (f (x0) = 0) или Оу (/' (х0) = оо) либо вовсе не существует (см. гл. V, рис. 59). Заметим также, что критические точки лежат внутри области определения функции. 3. Сформулируем достаточные признаки существования экстремума. * Окрестностью точки х0 называется интервал с центром в точке х{
177 § 4. Максимум и минимум функций Правило U Если при переходе (слева направо) через критическую точку х0 производная /' (х) меняет знак с плюса на минус, то в точке х0 функция f (x) имеет максимум; если с минуса на плюс, то минимум; если знака не меняет, то экстремума нет. Итак, чтобы найти экстремум функции, надо: 1) определить критические точки, т. е. найти действительные корни уравнения /' (х) = О, а затем найти и те точки из области определения функции, в которых производная не существует; 2) исследовать на экстремум каждую критическую точку по правилу 1. Правило 2. Пусть /' (х0) = 0 и в окрестности точки xQ существует конечная первая производная, а в самой точке х0 — вторая производная /" (х0), тогда: 1) если /" (х0) > 0, то в точке х0 имеем минимум; 2) если f" (хе) < О, то имеем максимум; 3) если Г (хо) — 0, то это правило ничего не дает, для решения вопроса надо применить правило 1. 883. Исследовать на максимум и минимум следующие функции. 1) f(x) = х3; 2) f(x) = V^\ 3) 0=|*|; 4) f(x) = = -1-л;4 — 2х2 + 3; 5) / (x) = x3 — 6x2 + 9x — 4; 6)^ = 3 1/? — x2\ 7) q>(*) = *]/2 — x2. Решение. 1) Функция определена и непрерывна в интервале (— оо, + оо). Находим производную /' (х) = Зх2. Решаем уравнение: Зх2 = 0; х = 0 (критическая точка). При переходе через точку х = 0 производная знака не меняет, например, если х = — 1, то /' (— 1) = 3 > 0, если х=\% то /' (1) = 3> 0. Следовательно, экстремума нет (см. рис. 55, б). 2) Функция определена и непрерывна в интервале (— оо, + оо): Приравняв знаменитель к нулю, получим 3 J/j? = 0, отсюда находим критическую точку х = 0, где производная не существует (/' (0) = оо). При переходе через критическую точку х = 0 производная знака не меняет, следовательно, экстремума нет (рис. 63, а). 3) Функция определена и непрерывна в промежутке (— оо, + со). Как мы уже знаем (см. гл. V, § 1), эта функция непрерывна в точке х = 0, но производной в этой точке не существует, однако в точке х = 0, функция имеет минимум (см. рис. 59).
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 178 4) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдем производную, приравняем ее к нулю и определим действительные корни: f'(x) = x* — 4x = x(x2 — 4); х(х2 — 4) = О, следовательно, хг = 0; х2 = 2; д:3 = — 2 — критические точки. н X) Рис. 63 Теперь исследуем знак производной в окрестности каждой из этих точек (рис. 63, б). Так как левее точки х = — 2 критических точек нет, то можно взять любое значение х слева от точки —2, например,
179 § 4. Максимум и минимум функций х — — 3. Производная в этой точке имеет знак минус (/' (— 3) = = —15 < 0), справа при х = — 1 — знак плюс (/' (— 1) = 3 > 0), следовательно, в точке х = — 2 будет минимум. Слева от точки 0, как уже установлено, производная имеет знак плюс, справа можно брать любое значение х между 0 и '2, например при х = 1 знак производной будет минус (max). Слева от точки 2, как мы уже знаем, знак производной минус, теперь можно взять любое значение х справа от точки 2 (так как справа от этой точки критических точек нет), например х = 3, в этой точке производная больше нуля (/' (3) = = 15 > 0), следовательно, в точке х = 2 будет минимум. Итак, имеем два минимума / (— 2) = — 1, / (2) =» — 1 и максимум / (0) = 3. Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох. Пусть у=г-0, тогда-i- *4 — 2х2 + 3 = 0, *4 — 8л;2 + 12 = 0. Решая это уравнение, получаем л:1 = ]/""б~2,4; х2 = — j/~6да — 2,4; *8 = У2« 1,4; *4 = —J/ "2 да — 1,4. Воспользовавшись результатами, записанными в следующей таблице: X У У' вывод —2 —1 0 - + min 0 3 0 + - max 2 —1 0 -+ 1 min а также найденными точками пересечения кривой с осью Ох, построим график функции (рис. 63, в). 5) Функция определена и непрерывна в интервале (—оо, +оо). Находим критические точки: /' (х) = Зх2 — 12* + 9; х2 — 4х + 3 = 0, хг = 3, х2 = 1. Воспользуемся правилом 2. Найдем вторую производную и значение второй производной в этих точках: f(*) = 6(* —2); f" (3) = 6 > 0, значит, имеет минимум, равный / (3) = — 4, /" (1) = — 6 < 0 — максимум, равный / (1) = 0.
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 180 6) Функция определена и непрерывна в интервале (—оо, +оо). Найдем производную: »'=2(w-4 Решив уравнение -г-=- — х = 0 или л:4 — 1=0, получим кри- у/ X тические точки хг = 1, х2 — — 1. Теперь найдем точки, в которых производная не существует. Приравняв знаменатель производной к нулю, получим отсюда находим третью критическую точку х = 0(у' (0) = ос). Исследуем знак производной в окрестности точек хх = — 1, #2 = 0, хъ = 1 (рис. 63, г). Составим таблицу: X У У' вывод —1 2 0 + - max 0 0 00 - + min 1 2 0 + - max Итак, функция имеет два максимума у(—1) = 2, г/ (1) = 2 и минимум */(0) = 0 (рис. 63, д). 7) Функция определена и непрерывна на сегменте [—]/ 2, |/ 2]: ,, х 2(1— х2) ф {х)=т^т- Найдем критические точки: 2(1-х«) =0 1 _** = (), /2-х2 отсюда atx = 1, лг2 = — 1. Теперь приравняем к нулю знаменатель выражения q/ (х). Получим 1/2 —д:2 = 0, 2 — х2 = 0, отсюда х3 = У 2, *4 = — ]/ 2. Точки a:3 и х4 не будут критическими, так как они не являются внутренними точками области определения функции. Итак, критические точки функции: х1 = — 1, х2= 1. Исследуем знак производной в окрестности этих точек. Из выраже-
181 § 5 Выпуклость и вогнутость графика функции ния q/ (х) видно, что знак производной совпадает со знаком числителя, так как знаменатель в любой точке внутри области определения функции положительный. Пусть ?>0 (рис. 63, е), тогда ф' (— 1—г) < 0, так как 1 — (— 1 — г)2 < 0; ф' (_ 1 + е) > 0, так как 1 — (— 1 + а)2 > 0. Следовательно, при прохождении через точку х = — 1 производная меняет знак с минуса на плюс, имеем минимум Ф(—1) 1- Аналогично ф' (1—г) > 0, так как 1 —(1 — г)2> 0, ф' (1 + г)<? <0, так как 1 —(1 + ?)2 < 0. Следовательно, в точке х — 1 имеем максимум ф (1) = 1 (рис. 63, ж). Исследовать на экстремум следующие функции: 884. у = х2 + х + 1. 885. у = 2х3 — З*2. 886. у = х2 + ах + а2. 887. у = 2х3 — 6х2 — 18* + 7. 888. у = . , х , . . 889. у - Ах — х\ У X2 -\- X + 1 * 890. у = \х2\/ Ьх — 1. 891. у = х4 + 4л:3 — 2х2 — \2х + 5. 892. у = — х2[/х2 + 2. 893. # = 2sin\ 894. у = х3 — 6х^+_[2х. 895. у = х2е х . 896. y = x + Vx2 + a2. 897. y = x\og7x. 2 Т_ 899. у. \п2х 898. у = х6—х. - х 900. у = е*-**-х\ 901. у = х — arctgx. 902. / (.v) = Ух2 — Ах — 5. 903. у = ]/3* —7. § 5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 1. График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (а, 6), если дуга кривой у z= f (х) (а < х < b) расположена ниже (соответственно выше) касательной, проведенной в любой точке этой дуги. Если на (а, Ь) существует /"(*)» то достаточным условием выпуклости (вогнутости) является выполнение неравенства /" (х) < 0 (/" (х) > 0) при а < х < 6. 2. Точки, в которых выпуклость изменяется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба (рис. 64). Если М(х0\ у0) — точка перегиба графика функции y = f(x), то вторая производная /" (х0) = 0 или не существует. Чтобы найти точки перегиба непрерывной кривой у = / (л:), надо определить значения х, при которых /" (х) = 0, а затем найти и те точки из области определения функции, в которых
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 182 вторая производная не существует. Эти точки называются критическими точками второго рода. Заметим, что критические точки лежат внутри области определения функции у = f (х). Если при переходе через критическую точку xQ вторая производная меняет знак, то точка М(х0\ у0) есть точка перегиба. У i Выпунлость\ Вогну/пясть щ Перегид 8точкеМ Рис. 64 Рис. 65 904. Найти точки перегиба и интервалы вогнутости (выпуклости) графиков следующих функций: 1) у = х* — 6х2 + 5; 2)г/ = #3; Ъ)у = У~х. Решение. 1) Найдем вторую производную: у' = 4х3 — 12*; у" = 12х2— 12 = 12 (х2 — 1). Решим уравнение 12 (х2 — 1) = 0; х = ±1. Исследуем знак второй производной в окрестности точек Xi = 1, ЛТ2 = 1. При х < — 1 у"> 0 и при х > — 1 у" < 0. При х < 1 у" < 0 и при х > 1 у" > 0. Следовательно, точки перегиба: М± (— 1; 0) и м2(1; 0). Результаты исследования записаны в таблице: X У У" 1 вывод —1 0 0 + - перегиб 1 0 о ! + перегиб
183 § 5. Выпуклость и вогнутость графика функццй В интервале (— оо, — 1), где у" > 0, кривая вогнута, в интервале (—1, 1), где у" < 0, выпукла и в интервале (1, + оо), где у" > 0, вогнута (рис. 65). 2)у' = ±хТ>У" = 1Гх~Т = ф- <а> Производная у" нигде в нуль не обращается. Приравнивая знаменатель дроби (а) к нулю, получаем 9 Ух2 = 0, откуда х = 0. В точке х = 0 вторая производная не существует (у" (0) = = оо). Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки: /(0-е) > 0, /(0 + в)>0 (е>0). Точек перегиба нет. На интервале (— оо, + оо) вогнутость кривой направлена вверх. 3)У'=4^^" = -^х"Т = -9-^=- (б) Приравнивая знаменатель дроби (б) к нулю, находим 9 j/V = 0, откуда х = 0. В точке х = 0 вторая производная не существует (у" (0) = = оо). Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки: /(-*)> 0, */"(*)< 0. Следовательно, в точке М (0; 0) имеем перегиб. На интервале (—оо, 0) кривая вогнута, а на интервале (0, оо) выпукла (рис. 63, а). Найти точки перегиба и интервалы вогнутости (выпуклости) графиков следующих функций: 905. у = Зх2 — 2. 906. у = х3+1. 907. у = In (1 + х2), 908. у = 3х3 — х. 909. f(x) = -1JL—. 910. y = V** 911. */ = sin*. 912. у = е~х\ 913. Чему должно быть равно h, чтобы абсциссами точек перегиба кривой Гаусса были х = :±: о? 914. Кривую # = 3x4 — 8*3 -f 6x3 -f 12 исследовать на выпуклость и вогнутость. Найти точки перегиба.
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 184 915. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой § 6. Асимптоты Умение находить асимптоты кривой (см. гл. II, § 8) облегчает построение графика функции. Мы ограничимся нахождением горизонтальных и вертикальных асимптот. У\ О \ JW*> У- Г - X У-'tix) Рис. 66 Рис. 67 Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции У~!(х)> наД° отыскать пределы lim f(x) = b и lim / (х) = bv (1) Если пределы (1) конечные и различные, то прямые Y = b и Y = &! будут горизонтальными асимптотами. Может оказаться, что только один из этих двух пределов конечный либо ни одного, тогда будет одна горизонтальная асимптота (рис. 66) либо ни одной. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х0 равен бесконечности / (х0 + 0) = сю или / (х0 — 0) = = оо, то прямая х = х0 есть вертикальная асимптота графика этой функции (рис. 67). 916. Найти асимптоты кривых: !) У = 7^2"'' 2) У = arctS **» 3) /(*) = 2х 4) у = -е:
185 § 6. Асимптоты Решение. 1) Кривая имеет горизонтальную асимптоту У = О, т. е. ось Ох, так как lim _Q =0, и вертикальную асимптоту х = 2, так как lim ~" = оо. х-*2 х~г 2) Кривая имеет две горизонтальные асимптоты Y = -|- и К =» = 2_, так как lim arctg x = -^- и lim arctg л: = ^-. *-»+<» У* Я </=-?* ./»-/ Рис. 68 3) Данная кривая имеет вертикальную асимптоту #= 1, так как lim / (х) = lim _ « = — с>о и lim __ 1 = + оо (х = 1 есть х-*\—0 х-М— 0 х х x—l+O* 1 точка разрыва функции второго рода). Найдем горизонтальную асимптоту (рис. 68, а): lim/(jc) = lim-7^T = 2, т. е Y = 2. 4) Найдем горизонтальную асимптоту: lim(—0 = —1, т. е. Г=-1. Х-*СО Теперь найдем вертикальную асимптоту: lim (— е х) = — lim е' = — оо, х-Ч-0 *-+«> lim (—ex)=--— lim ef = 0, лг^—О t-+—« следовательно, л: = О, т. е. ось Or/ есть вертикальная асимптота (рис. 68, б), 917. Найти асимптоты кривых: !> ^ = ^; 2> ^/ = 1п(лг— 1); 3)/(*) = ?У; 4) у. Зх2 х2 -4' х2 +5'
Глава VI. Исследование функций а построение графиков 186 § 7. Построение графиков функций При построении графика функции следует: 1) найти область определения функции; 2) определить четность (нечетность), периодичность функции; 3) найти точки разрыва; 4) определить точки пересечения графика с осями координат; 5) найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках; 6) определить интервалы возрастания и убывания функции; 7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости; 8) определить асимптоты; 9) найти предельные значения функции при х, стремящемся к граничным точкам области определения. В ходе построения графика по мере необходимости можно получить дополнительно ряд значений функции при некоторых частных значениях аргумента х% т. е. еще ряд точек графика. Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно стрЬго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно изменить порядок плана. 918. Исследовать функции и построить их графики: 1) f(x) = 3x-x3; 2) f(x) = x*-2x2 + 3; 3) у = —f^; 4) у = 1_уГ^\ 5)у = зУ7* + 2х. Решение. 1) Функция / (х) = 3х — х3 определена и непрерывна на интервале (— со, + оо), нечетна, поэтому ее график расположен симметрично относительно начала координат. Найдем точки пересечения графика с осью Ох. При у = О из данного уравнения найдем: Зх — х3 = О, откуда х± = О, х2 =* = ]/ 3, х3= — V 3, т. е. график функции пересекает ось Ох в точках (0; 0), (]/~3; 0) и (— ]ЛЗ; 0). Найдем первую и вторую производные: /' (х) = 3 — Зх2 = = 3(1— х2), 3(1— х2) = 0; откуда х±= —I, х2= I — критические точки; /" (л:) = — 6х\ — 6х = 0, х = 0 — критическая точка второго рода. В точке х±= — 1 имеем минимум, так как /" (— 1) = 6 > 0, и в точке х2 = 1 — максимум, так как f (1) = — 6 < 0. Точка О(0; 0) есть точка перегиба, так как при переходе через значение х = 0 вторая производная меняет знак с плюса на минус: /" (— в) = — 6-(— в) = 6s > 0; f(?) = —6s<0. Следовательно, в интервале (—оо, 0) график функции вогнутый, а в интервале (0, + со) выпуклый. Асимптот нет. Составим таблицу:
187 § 7. Построение графиков функций х У У' вывод —1 —2 0 - + min 0 0 3 перегиб 1 2 0 + - max -/Т 0 ут\ 0 Из таблицы видно, что функция в интервале (— со, — 1) убывает (у' < 0), в интервале (— 1, 1) возрастает (у' > 0) и в интервале (1, + со) убывает (у' < 0). Теперь построим график функции (рис. 69, а). у*х*~2х2+з Рис. 69 2) Функция / (х) = л:4 — 2х2 + 3 определена и непрерывна на всей числовой оси, четная, поэтому ее график расположен симметрично относительно оси Оу. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Пусть в данном уравнении
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 188 х = 0, тогда у = 3. Пусть у = 0, тогда х4 — 2х2 + 3 == 0. Нетрудно видеть, что корни этого уравнения комплексные, т. е. ось Ох график не пересекает. Находим первую и вторую производные: /' (х) = 4х3 — — 4х = 4х (х2 — 1), 4х (х2 — 1) = 0, откуда хх = — 1, х2 = 0, х3 = 1 — критические точки; f" (х) = 12а:2 — 4 = 4 (Зх2 — 1), т/"*3" Т/~ЗГ 4 (Зх2 — 1) = 0, откуда хг = —3—, хг = » критические точки второго рода; Г(— 1) = 8 > 0, П0)= -4<0, Г(1) = 8>0. Следовательно, в точках хх — —1, х3 минимум и в точке х = 0 — максимум. При переходе через точки хг = 1 функция имеет УТ 3 , -2— з производная меняет знак, отсюда следует, что Мг (J——; и Л12( g—; -Q-,* — точки перегиба. Составим таблицу: вторая 22_\ 9 ) X У у' вывод —1 2 0 - + min Уз 3 22 9 8 Уз 3 перегиб 0 3 0 + - max J^jL (^0,58) 3 22 9 8 УЗ 3 перегиб 1 2 0 - + min 2 11 Из таблицы видно, что функция на интервале (—оо, — 1) убывает (у' < 0), на интервале (— 1, 0) возрастает (у' > 0), на интервале (0, 1) убывает (уг < 0) и на интервале (1, + оо) возрастает (у' > 0). Асимптот нет. Теперь построим график (рис. 69,6). 2 3) Функция у = ] _ х2 определена и непрерывна на всей числовой оси, за исключением точек хх = 1 и х2 = — 1, в которых функция имеет разрыв второго рода. Функция четная, поэтому график ее расположен симметрично относительно оси Оу. График пересекает ось Оу в точке (0; 2). Найдем первую и вторую производные: 4х Зх2 + 1 Г (*) — (1 _ X2f ; Г (*) — 4 (1 - xtf
189 § 7. Построение графиков функций Из второй производной видно, что точек перегиба нет. Далее, /' (х) = 0 при к = 0; \" (0) = 4 > 0, следовательно, в точке х = 0 имеем минимум, равный / (0) = 2. Составим таблицу: X У у' вывод —со 0 0 2 0 - + min -j-oo 0 1 2 8 3 2 2 1 ~~ 3 Значения х, равные -^ и 2, взяли дополнительно. Найдем асимптоты кривой: lim j^—-2 = 0, следовательно, имеем горизонтальную асимптоту Y — 0, а также две вертикальные х = 1 и л: = — 1. Теперь построим график функции (рис. 69, в). 4) Функция у = г определена при условии, если 1—*;>0, т. е. при всех х<!1,за исключением точки х = 0, в которой функция имеет разрыв второго рода. Область определения состоит из двух промежутков: (—оо, 0) и (0, 1]. Функция в области определения убывает, так как в указанных промежутках ее производная /' (х) = , *—- ч2 < 0. Критических точек нет. Вертикальная асимптота х = 0, т. е. ось Оу, так как lim/(#) = oo. Горизонтальная асимптота Y = 0, так как lim / (х) = lim = 0. Х-»—оо х-*—оо 1 — у 1 — X
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 190 Составим таблицу: X У — 00 0 1 1 1 2 3,41 -1 —2,41 — 3 — 1 где/(-1)«-2,41; /(-^)~3,41. Теперь построим график (рис. 69, г). 5) Функция у = 3 Ух2 + 2х определена и непрерывна интервале (— со, + со). Функция не является ни четной, нечетной. Найдем первую и вторую производные: 2(1+?/*). Г(х) = г.-^х ° +2 = V х 2 — » Найдем критические точки: /' (х) = 0, т. е. ъ\Г#' на ни (а) (б) з/— — и» у-х откуда 1 + >^ # = О, * = — 1. Приравняем знаменатель дроби (а) к нулю: |/~х = 0, х = 0. Нашли точку х = 0 из области определения функции, в которой производная не существует. Следовательно, точки хх= — 1, #2 = 0 критические. Найдем критические точки второго рода. Вторая производная /" (х) =? 0. Приравняем знаменатель дроби (б) к нулю: 3 у/'З? = 0, х = 0. В точке х = 0 вторая производная не существует, следовательно, это критическая точка второго рода. 2 Исследуем критические точки: f"(—1) = —з~<0> т* е* в точке хг = — 1 функция имеет максимум. Далее, в точке х2 = 0 функция имеет минимум, так как при переходе через эту точку первая производная меняет знак с минуса на плюс (второе правило в данном случае неприменимо, так как в точке х = 0 вторая производная не существует). При переходе через критическую точку второго рода х = О вторая производная не меняет знак, следовательно, точки перегиба нет.
191 § 7. Построение графиков функций Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Если в данном уравнении х = О, то у = 0. Если у = 0, то 3 ]/ х2 + 2х = 0, откуда х1 = 0, х2 = ^-. Следовательно, 27 график пересекает оси координат в точках (0; 0) и (— -д-; 0). Составим таблицу: X У у' вывод —1 1 0 + - max 0 0 оо - + min 27 ~~ 8 0 1 5 Из таблицы видно, что в интервале (— оо, — 1) функция возрастает (у' > 0), в интервале (—1, 0) убывает (у' < 0), в интервале (0, + оо) возрастает (у' > 0). В интервале (—оо, 2 + оо) кривая выпуклая, так как у" = jj= < 0 в этом интервале. Асимптот нет (рис. 69, д). Исследовать функции и построить их графики: 919. 1) у = х2 — 6х + 3; 920. 1) у = — 2х2 + Зх + 1; 2) у = х2 + х + 5. 2) г/ = л: (2 — #)2. 921. 1) у = ±-(х3 — б*2+ 25); 922. у = х3 — 5*2 + 8*. 2) 0 = 2*» —3*+1. 923. У = ^Лт- 925. у = У 927. */ = *з-^-. 929. у — х + sin а:. 931. У = х + ±. 933. j/ = *ln|*|. 935. 0 = «2*. 937. */ = **-, 926. 928. 930. 932. 934. 936. 938. у - У = У = У = У = У = У = У = х2 + х + 1 * х— 1 = х2 — 4* = |(*+1)«(*_ = 2tg*. = j/ *3 —3*. 1п(х + Уа2 + х8е~х. е2х~х\ -2)8. ?)(а>0).
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 192 § 8. Наибольшее и наименьшее значения функции 1. Чтобы найти наибольшее значение непрерывной функции в промежутке [а, Ь], надо определить все максимумы и значения функции на концах промежутка f (а) и /(6); наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции / (х) в указанном промежутке. Наименьшее значение функции находится аналогично. 939. Найти наибольшие и наименьшие значения данных функций в указанных промежутках: 1) у = х* — 8л;2 + 3 на сегменте [-2, 2]; я 4J 2) y = tgx— х на сегменте —-r, -j| Решение. 1) Найдем критические точки: f {х) = Ах3 — 16*, Ах(х2 — 4) = 0, хх = 0, х2 = — 2, х3 = 2; Г (х) = 4 (З*2 — 4); Г (0) = — 16 < 0. В точке хг = 0 имеем максимум, равный / (0) = 3. Точки х2 = — 2 и х3 = 2 принадлежат концам промежутка. Найдем значения функции на концах: / (— 2) = — 13, / (2) = — 13. Итак, наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно— 13. 2) Найдем производную S/' = -A 1. я cos2 х Внутри сегмента экстремума нет, так как у' > 0 в — ~, -j (за исключением точки х = 0, в которой у' = 0), т. е. функция на этом промежутке монотонно возрастает. Наименьшее значение функции достигается на одном конце промежутка, оно равно /(— т) ^ т—*' а наибольшее — на другом конце, оно равно /(т) = 1-т- 940. Найти наибольшие и наименьшие значения данных функций в указанных промежутках: 1) у = х3 на сегменте [—2, 3]; 2) у = 2х — Y х на сегменте [0, 4]; 3) f(x) = x2 — Ах + 1 на сегменте [— 3, 3]. 2. До сих пор мы находили экстремум данной функции, а теперь по условию задачи будем составлять функцию и исследовать эту функцию на экстремум. 941. Изготовить из куска картона 30 X 14 (см2) коробку (без крышки) наибольшей вместимости, вырезая равные квадраты по углам и затем загибая картон для образования боков коробки (рис. 70).
193 § 8 Наибольшее и наименьшее значения функции Решение. Площадь основания коробки 5 = (14 — 2х)(30 — —2х), высота Н = х. Объем коробки V = SH = Ах (7—лг)(15—х). Исследуем эту функцию: V (х) = 4 (Зх2 — 44л; -f 105). Корни ПрОИЗВОДНОЙ будут A:x = 1 1 -?-, *2 = 3. Далее, V" (х) = 8 (3* — 22), V" (3) < 0. В точке х = 3 имеем максимум. Из условия задачи видно, что значение ^=11-?. для о данной задачи не имеет смысла. Следовательно, при х = 3 см наибольший объем V = 576 см2. и ¦згг П Рис. 70 ^^ 942. Проволокой длиною 20 ж требуется огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора. Какой следует взять радиус круга, чтобы площадь клумбы была наибольшей? Решение. Обозначим радиус круга через х, а длину дуги сектора — через у (рис. 71). Площадь кругового сектора 5 = -к ху. Функция S подлежит исследованию на максимум. Заметим, что 5 зависит от двух переменных х и у. Выразим у через х (можно и наоборот). Согласно условию задачи, периметр кругового сектора равен 20 ж, т. е. 2х + у = 20 (уравнение связи), отсюда у =2 (10 — х). Следовательно, S(x) = а: (10 — х), S' (х) = 10 — 2х, 10 — 2х = 0, х = 5, S" (х) = _ 2, S" (5) = — 2 < 0 (max). Таким образом, надо взять радиус, равный 5 м. 943. Бак цилиндрической формы должен вмещать V л воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы поверхность (без крышки) была наименьшей? Решение. V = пх2у (уравнение связи), (а) где х — радиус основания цилиндра, а у —его высота (рис. 72). Поверхность 5 = т:х2 + 2тш/ (б)
Глава VI. Исследование функций и построение графиков 194 (функция, подлежащая исследованию на минимум). Из уравнения (а) определяем у = —?. Подставив в формулу (б) значение у, получим: S(X) = кл* + Ц^ S' (х) = 2кх-^ = 0; х = f^; S»(x) = 2, + ^ ^(fll)>0, i3/"У" т. е. в точке х = у — функция S (х) имеет минимум. Итак, радиус цилиндра х = I/ —, высота у = —г = ¦в —д. = I/ —, следовательно, л: = у = I/ —. 944. Из всех прямоугольников, имеющих периметр, равный 2а, найти тот, площадь которого наибольшая. 945. Число 12 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей. 946. Число 36 представить в виде двух положительных сомножителей так, чтобы сумма их была наименьшей. 947. Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность. 948. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 м. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим? 949. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R. 950. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь? 951. Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты и диаметра), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести? 952. Каковы должны быть коэффициенты р к q трехчлена х2 + рх + ?, чтобы этот трехчлен при х = 2 имел минимум, равный 1? 953. В треугольник с основанием b и высотой h вписать прямоугольник с наибольшей площадью.
195 § 8. Наибольшее и наименьшее значения функции 954. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R, чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости? 955. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр с полушарием сверху. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен V? 956. Резервуар, который должен иметь форму прямоугольного параллелепипеда (сверху открытого) с квадратным основанием, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его лужение пошло наименьшее количество олова, если он должен вмещать 108 л воды? ю А Рис. 73 957. Доказать, что конический шатер данной вместимости требует наименьшего количества материи, когда его высота в ]/~2 раз больше радиуса основания. 958. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сектора). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей. 959. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр задан. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света? 960. Город В стоит на железной дороге, идущей с юга на север. Завод А расположен южнее города В на b км и отстоит от железной дороги на а км. Под каким углом ср к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из Л и В была наиболее экономичной, если стоимость провоза 1 т груза на расстояние 1 км по подъездному пути обходится в k раз дороже, чем по железной дороге (произвести исследование) (рис. 73)? 961. Расходы на топливо для парохода пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб/ч. Остальные же расходы
Глава VII. Функции нескольких переменных 196 (не зависящие от скорости) составляют 480 руб/ч. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова при этом будет общая сумма расходов в час? 962. Над центром круглой площадки радиуса R = 10 м нужно повесить фонарь. На какой высоте нужно это сделать, чтобы края площадки были максимально освещены (степень освещенности некоторой площадки пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света)? 963. Из круглого бревна диаметром d требуется вытесать балку прямоугольного поперечного сечения так, чтобы она, находясь в горизонтальном положении, оказала наибольшее сопротивление на изгиб (известно, что сопротивление прямо пропорционально произведению ширины сечения на квадрат высоты). Каковы должны быть размеры сечения балки? Глава VII Функции нескольких переменных § 1. Функции нескольких переменных и их области определения Переменная z называется однозначной функцией от переменных х и у, если каждой паре значений х и у из области их изменения по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение г. Переменные х и у называются независимыми переменными или аргументами, z— зависимой переменной. Функциональная зависимость обозначается так: z = f(x, у). Областью определения функции г = f(x, у) называется множество точек (х, у) плоскости хОу, в которых данная функция определена, т. е. принимает действительные значения. Геометрическим изображением функции z = f(x, у) является некоторая поверхность в пространстве. Частное (числовое) значение функции f(x, у) при х = х0, у = у0 обозначается так: f(x0, y0). Аналогично определяются функции от большего числа переменных: и = f (xl9 x2l ..., хп). 964. Найти частное значение функций: 2х 1) /(*, У) = .,,-= . при х = 5, у = 3; у х2 — у2
197 § I Функции нескольких переменных 2) ф (х, у, г) = Зх + lg f4-r- при * = 1, # = — 1, 2 = 99. Решение. 1) /(5; 3) = ^L=r = -? = 2,5. 2) Ф(1; — 1; 99) = 3.1 + lg^^ = 3 + lg 0,1=2. 965. Найти области определения следующих функций: 1) г = х + у-\\ 2) /(х, 3) 2 = |/4-*2 — */2; 4) ы = 1 5) ф С*, у) = х — arcsin г/; 6) z = |/ 9 — л;2 — I/2 1 Решение. 1) Функция определена на всей плоскости хОу. Геометрическим изображением данной функции будет плоскость в пространстве. 2) Функция определена на всей плоскости за исключением точки О(0; 0), в которой знаменатель дроби обращается в нуль. 3) Функция определена при значениях х и у> удовлетворяющих неравенству 4 — х2 — у2 >- 0, откуда х2 + у2 <; 4. Таким образом, область определения функции есть круг с центром в начале координат и радиусом г = 2 (включая и его границу— окружность х2 + у2 = 4). Геометрическим изображением данной функции является полусфера, расположенная в октантах I—IV (2 > 0). 4) Функция существует лишь для тех пар значений х и у, которые удовлетворяют неравенству 9_х2-?/2>0, откуда х2 + у2 < 9. Следовательно, область определения функции есть круг с центром в начале координат и радиусом г = 3 (не включая границу круга, т. е. окружность х2 + у2 = 9). 5) Функция определена при условии, что— 1 ><#<< 1, и при любых значениях х. Следовательно, область определения функции есть полоса, заключенная между двумя прямыми у = —1 и г/=1, включая и эти прямые (рис. 74, а). 6) Функция определена при значениях х и у, удовлетворяющих неравенству ху > 0 (х ф 0, уф 0). Следовательно, область определения функции есть множество точек, лежащих внутри 1 и III квадратов (рис. 74, б). 966. Найти частное значение функции: 1) /(*, 0 = 7=7 ПРИ * = 3, У== 1; 2) 2=]/^Т^2 при х=— 3, #=4;
Глава VII Функции нескольких переменных 198 3) ф (х, у, z) = xy — y+j ПРИ х = 2, у = 1, 2 = 6. Найти области определения следующих функций: 967. z = /l— х2 — у2. 1 969. 2 = х + у-1 968. 2 = ]Л: — 2у. 970. 2= ! (^-1)(г/-2) • Н '/////ЛУ//ХУ/А У--1 шжш?. Рис. 74 971. 2 = ]/л:г/. 972. z = -^-^ — In (xy). 973. г = In х + Vy~. 974. 2 = In (x2 + y2— 1). 975. 2 = у + arcsin (a: + 2). § 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных 1. Говорят, что последовательность точек {(хп, уп)} сходится к точке (л:0, у0), если lim4 = 0 (dn = У(хп-хоу + (уп-уоУ).
199 § 2. Предел функции нескольких переменных Пусть функция / (х, у) определена внутри некоторого круга К с центром в точке (х0> у0), за исключением, может быть, самой точки (#0, у0). Число А называется пределом функции z = f(x, у) в точке MQ(x0, y0), если для любой последовательности точек {(хп, уп)} области определения функции, отличных от (хОУ yQ) и сходящихся к (х0, г/0), последовательность значений функции {f{xn,yn)} сходится к А В этом случае пишут: limf(x, y) = A. 2. Если х->х0 У-+Уо \imf(x, {/) = /(#<>, yQ), (1) x-+xQ У-^Уо то функция f(x, у) называется непрерывной в точке (х,„ у{)). Из предела (1) следует, что lim / (х0 + Ах, у0 + Ау) = / (*0, y0) Д*->0 &у->0 ИЛИ lim Дг = lim [/ (xQ + Ах, у0 + Ну) — / (*0, у0)] = 0, (2) Д*-»0 Д*->0 Д#-*0 Ау-*0 т. е. если функция непрерывна в точке (xQ, yQ), то бесконечно малым приращениям аргументов Ах и Ау в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции Дг. Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малым приращениям аргументов отвечает бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна, так как в этом случае из соотношения (2) следует предел (1). Разумеется, функция определена в точке (х0, у0) и вблизи этой точки. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. 976. Найти следующие пределы: 1) lim J?*b 2) \im^±JL. х->2 У x-±Q x r/-»0 у->0 Решение. 1) lim -^L = цтх JEM. = 2.1 = 2, лг->2 У х->2 ХУ У—>0 у—v0 так как lim-^=l. *о
Глава VII. Функции нескольких переменных 200 2) Воспользуемся определением предела функции в точке. 1 1 Возьмем последовательности* х = ——^0, у = > 0 (п —> оо), тогда lim ^у = lim = = 2. V-+0 п 1 2 Теперь возьмем * = > 0, # = ^0(п —> оо), тогда JL А lim ^ J = hm 1 = 3. 0->о п Итак, при различных последовательностях точек, сходящихся к точке (0; 0), получаем различные пределы. Это означает, что предел функции в этой точке не существует (см. п. 1). Заметим, что данная функция в точке (0; 0) не определена. Найти следующие пределы: 977. lim(*2 + {/2). 978. lim l/F=Tj/. У->] V—>—1 979. lim {х2 — у2). 980. lim lg (x + у). х->1 л:-»3 у->—2 у >7 981. lim 9 , \ , , . 982. lim*+1 1/->СЮ (/-> 1 983. НшЛ^- 984. Нт-^. Доказать непрерывность следующих функций в указанных точках: 985. f(x, у) = х2-\-у2 в точке (х\ у). 986. f(x, У) = \х\ + \у\ в точке (0; 0). 987. / (*, у) = | х + у | в точке (*; г/). 988. /(*, y) = xsiny в точке (1; я). § 3. Частные производные Если существует предел lim /<*o + A*' yo) — f(xo> У<» д*->о Да:
201 § 3. Частные производные то он называется частной производной функции 2 по л: в точке (х0\ у о) и обозначается символами -? или М*0, у0). Аналогично определяется частная производная по у: 989. Найти частные производные следующих функций: 1) г = х* + х2у + у*\ 2) f(x, y) = V~^lf в точке (5; -3); 3) ср (х, у) = 2*у в точке (0; 3). Решение. 1) Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х. Используя известные формулы и правила гл. V, находим Аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получим дг ду - *2 + 3^ 2) U*, */) = 2* 2 yV — у2 Ух2 — */2' Л (*> У) - — fif ]Л'2-*/2' Теперь найдем частные производные в указанной точке: -(-3) 3 /52 - (— З)2 4 ' 3) ?л (*, У) = 2^ (**/), In 2 - №» In 2; <pi (*. У) = 2^ (*y)„ In 2 = х2*у In 2; ?x(0; 3) = 3.2°Mn2 = 31n2; ^(0; 3) = 0.2°4n2 = 0. Найти частные производные следующих функций: 990. г = ху в точке (0; 0). 991. z = x2+y2 в точке (—2; 0,5). 992. z = х2 + ху + у2 в точке (1; 2). 993. 2 = х tg (*/ + 1) в точке (1; — 1). 994. 2 = ^ + у8 в точке (3; 3).
Глава VII. Функции нескольких переменных 202 995. 996. 998. 000. z = —— в точке sin у г = хУ. х + У х — у z = -*?-. (о; +). 997. г = ysin x. 999. г = л: In у + arcsin у. 1001. 2= arctg-2-. § 4. Полный дифференциал функции 1. Полным приращением функции 2 = f(xt у) называется разность Д2 = /(л:-ЬДл;, y + Ay) — fU, у). (1) 2. Линейная часть приращения функции z = / (х, у) относительно приращений аргументов Да: и Ау называется ее полным дифференциалом и обозначается символом dz или df (х, у). Функция f(x, у) называется дифференцируемой в точке (х\ у), если она имеет полный дифференциал в этой точке. Полный дифференциал функции z = / (х, у) обычно находится по формуле dz=*f'x(x, y)dx + f'y(x, y)dy, (2) где dx = Ал: и dy = Ay. 3. При достаточно малых J Ал: | и \Ау\ Az^zdz или f (х + Да:, # + А #) » / (л:, j/) + fx (х, у) Ах + f'„ (х, у) Ау. (3) 1002. Найти полное приращение и полный дифференциал функции 2 = х2 + ху при х =2; у=1; Да: = 0,01; Ау = 0,02. Решение. Воспользуемся формулой (1) и определением полного дифференциала функции 2 = f(x, у): Az = (х + Ах)2 + (х + Ах) (у + Ау) - (х2 + ху) = = (2а: + у) Ах + хАу + Ах2 + АхАу, откуда dz = (2а: + у) Ах + хАу. Подставляя в эти выражения данные значения х, у, Ах, Ау, получаем: Д2 = (2-2 + 1) 0,01 + 2-0,02 + (0,01)2 + 0,01-0,02 = 0,0903; dz = (2-2 + 1)0,01 + 2-0,02 = 0,09. 1003. Найти полные дифференциалы функций: 1) 2 = 5*Y; 2) 2 = arctg (x2 + Зу). Решение. 1) Сначала найдем частные производные:
203 § 4. Полный дифференциал функции По формуле (2) получим dz = I0xy3dx + Ybx2y2dy = Ъху2 (2ydx + 3xdy). „. дг_ (*2 + ЗуУх _ 2х дг_ _ (*2 + *у\ z> дх 1 +(х2 + Зу)2 "" 1 + (л:2 -f Зг/)2' <fy 1 + (*2 + З*/)2 3 1 = 1 + (^2 + зг/)2; d2 = l+(x2 + 3i/)2 (2*d* + 3dy)- 1004. Вычислить приближенно: 1) (0,96)2(1,02)3; 2) (1,02)3>05. Решение. 1) (0,96)2 (1,02)3 есть частное значение функции f(x> у)~х2у3. Воспользовавшись формулой (3), получим (х + Ах)2 (у + Ау)в ях х2уъ + 2ху3Ах + Зх2у2Ау. Пусть х = 1, у = 1, тогда Лх= — 0,04, так как 1 + &х = 0,96, Дг/ = 0,02, так как 1 + Ду = 1,02. Следовательно, (0,96)2 (1,02)3« I2-13 + 2-1.13. (— 0,04) + + 3-12-12-0,02 = 1 — 0,08 + 0,06 = 0,98. 2) (1,02)3«05 есть частное значение функции г = хУ. Воспользовавшись формулой (3), получим (х + &х)у+*у « хУ + (ху)х Д* + (ху)у Ау=хУ + ухУ~хАх-\- хУ\пхАу. Пусть х = 1, у = 3, тогда Ах = 0,02, Ау = 0,05. Следовательно, (1.02Р5» 13 + 3-13-1.0,02 + 131пЬ0,05 = = 1 +0,06 + 0= 1,06. Найти полные дифференциалы следующих функций: 1005. и = х + у + г. 1006. z=2x + Зу. 1007. u = xyz. 1008. /(*, ?/) = — в точке (1; 2). 1009. г = у*. 1010. г = *2>'. 1011. z=x2 + siny. 1012. г = In {х2 + г/2). 1013. Вычислить значение полного дифференциала функции г = х3 + t/4 при л; = 1, j/ = 2, dx = 0,03, dy = — 0,01. Вычислить приближенно: 1014. 0,98^05. Ю15. 1,03-9,98. 3/ 1016. ]Л,024 + 1,983. 1017. j/2,013+ 117,1. 1018. }A2 + (2,02)Mg44o. 1019. (6,03)3sin 29°. § 5. Экстремум функции многих переменных 1. Функция г = /(#, у) имеет в точке М0(х0\ у0) максимум (минимум) f(xQy y0), если вблизи этой точки для всех точек М9 отличных от М0, выполняется условие /(*. y)<f(*o> Уо) (/(*, y)>f(xQf Уо))-
Глава VII. Функции нескольких переменных 204 2) Рассмотрим необходимое условие экстремума. Если функция г = / (х, у) дифференцируема в точке М0 (х0; у0) и имеет экстремум, то частные производные в этой точке равны нулю, т. е. U (*о. Уо) = 0, fy (*0, у0) = 0. 1020. Исследовать на экстремум функцию f(x, y) = x2 + y2-4y + 4. Решение. Найдем частные производные: fx (*, у) = 2х\ fy (*, у) = 2у — 4. Приравняем их к нулю, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными: \2х = 0, j2y-4 = 0, отсюда х = 0, у = 2. Данная функция в найденной критической точке М0 (0; 2) имеет минимум /(0; 2) = 4 — 8 + 4 = 0, так как вблизи этой точки для любых точек М (х\ у), отличных от /И0 (0; 2), значения функции больше нуля. Например, пусть л: = 0, у=1, тогда / (0; 1) = 1 — 4 + 4 = 1 > 0; пусть х = — 1, у = 3, тогда /(_1; 3)= 1 +9—12+ 4 = 2 >0. 1021. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая. Решение. Пусть х, у, z — размеры данного параллелепипеда. Тогда объем его V = хуг (уравнение связи). Полная поверхность параллелепипеда S = 2xy + 2(x + y)z. Из уравнения связи найдем z= — и полученное значение ху подставим в выражение функции S, подлежащей исследованию на экстремум: S = 2ху + 2 (х + у) JJ- = 2 (ху + + + -J-). Найдем частные производные dS _9 (у—Р-)'Ж"2(х--7-) а составим систему уравнении У jr = 0, Г х2у — V = 0, X X у л ИЛИ i 2 т/ П 4- = 0 { xy2 — V=0, У2
205 § 1 Первообразная функция и неопределенный интеграл откуда х = у = j/ V. Подставляя значения х и у в уравнение связи, получим z frV2 — V, откуда z = YV. Следовательно, искомый параллелепипед есть куб. Исследовать на экстремум следующие функции: 1022. z= х2 + у2. 1023. 1024. 2= ху. 1025. 1026. г == e-^+A 1027. г= 2ху— Зх2 — 2г/2+ Ю. 2=(х-1)2 + у2. г~ а2 + Ь2* z = 4(х — у) — х2 — у2. 1028. 1029. z = 2х2 + Зу2 — х — 7у. 1030. г = 1 — х + 2у — 6л:2 — у2. 1031. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную диагональ /, найти тот, объем которого наибольший. 1032. Стоимость сооружения 1 м2 стен фасада равна р, а 1 м2 остальных стен — q, стоимость крыши за 1 м2 ее основания—s. Каковы должны быть соотношения между длиной, шириной, высотой для углового дома объемом V м3, чтобы стоимость его стен и крыши была минимальной? 1033. В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. 1034. Определить размеры прямоугольного бассейна данного объема V так, чтобы на облицовку его поверхности потребовалось наименьшее количество материала. 1035. Определить размеры прямоугольного бассейна так, чтобы при данной площади его поверхности S объем был наибольшим. Глава VIII Неопределенный интеграл § 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов 1. В дифференциальном исчислении одной из основных задач является нахождение производной или дифференциала от данной функции F (х): F' (Х) = Mm ^* + A*)-FW =Hx) ИЛИ dF (х) = F' (x) dx = / (х) dx.
Глава VIII. Неопределенный интеграл 206 В интегральном исчислении основной является обратная задача — отыскание функции F (х) по заданной ее производной f(x) или дифференциалу f(x)dx, т. е. для данной функции f(x) надо найти такую функцию F(x), что F'(x) = f(x) или dF (х) = / (х) dx. Функция F(x), производная которой равна f(x), а дифференциал / (х) dx называется первообразной функцией для функции f(x). Приведем примеры. 1) Если f(x) = xs, то первообразная будет F(x) = -\~, так как F' (х) = (-^-) = Xs. 2) Если / (х) = sin xf то F (х) = — cos х, так как F' (х) = = (—cos л:)' = smx. Заметим, что если F (х) — первообразная функция для функции / (дс), то и Ф (х) = F (x) + C (С — произвольная постоянная) есть также первообразная функция, так как <f>'{x) = [F{x) + C]'=f(x). Например, пусть / (х) = cos х9 тогда Ф (х) = sin x + С будет первообразной функцией для данной функции f(x), так как Ф'(х) = (sin л: + СУ = cos *. Общее выражение F (х) + С совокупности всех первообразных функций для данной функции /(*) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом lf(x)dx = F (х) + С, где F' (x) = /(*). Функция / (х) называется подынтегральной функцией, f (x) dx — подынтегральным выражением. 2. Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами. I. Постоянный множитель (а Ф 0) можно выносить за знак интеграла: faf (x) dx = of/ (x) dx. II. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: J I/i (x) + U (*)-fs (x)] dx=lh (x) dx + $f2 (x) dx — lh (x) dx. III. [J / (x) dx]' = f (x) или d J / (x) dx = / (*) dx. IV. J F' (x) dx = F(x) + C или J dF (x) = F {x) + C. 3. Таблица основных интегралов: jO-dx^C; (1) Jbd* = * + C; (2)
207 § 1 Первообразная функция и неопределенный интеграл Jx«dx = JL_ + c (a#_l); (3) /-Г^=Й^ = 1пМ + С; (4) $a*dx=^r + C (а>0, аф\); (5) 5 е* dx = е* + С; (6) J sin xdx = — cos x + С; (7) J cos xdx = sin л: + С; (8) 1 dx = —ctgx + C; (9) Sill4 Ж 1 !^йх = *ёх + С; (10) /5= d* = arcsin -?- + С = - агссоз-|-+Сг (а >0); (11) / J-?^H* = ^.arctg-f + С = - 4- arcctg JL+d^O); (12) Ьст** = -г-Чй1Н + С(ачЬ(* (13) 5Ле = 1п|дс + 1/"}?Та| + С (a#0). (14) /i |/"x2 + a Справедливость формул можно проверить путем дифференцирования, т. е. надо убедиться в том, что производные от правых частей формул будут равны соответственно подынтегральным функциям. Так, если if(x)dx=F(x)+C, то F'(x) = f(x). Остановимся сначала на формуле (4). Эта формула применима для любых х Ф 0. Действительно, если х > 0, то Г—— = In x + С, так как F(x) = \nx и F'(x) = (\nx)' «=-i-. Если же х < 0, то 1 = In (— х) + С, так как F (х) = In (— х) и F (я) = —— (— 1) = —. Обе эти формулы объединены в формуле (4). Итак, если J -^- = In | х \-\-C, то /7(^) = 1п|х| и F (х) = —¦, Теперь убедимся в справедливости формулы (14): F(x) = ln\x ±Vx2^-ct\i
Глава VIII. Неопределенный интеграл 208 /(*) = _L=; FW= j (х + V х2 + а)' = 1 (Л . 2х \ х + Ух2 + а ;(' + х + /х2 + а \ 2/х2+а ) (х + Ух2 + а) Ух2 + а Аналогичным способом можно проверить и все остальные формулы. Заметим, что каждая из формул таблицы справедлива в любом промежутке, содержащемся в области определения подынтегральной функции*. Интегралы таблицы называются табличными. § 2. Непосредственное интегрирование Пользуясь таблицей интегралов и I и II свойствами неопределенного интеграла (основными правилами интегрирования), можно вычислить многие интегралы. При проверке результата интегрирования, как уже говорилось выше, надо помнить, что если Sf(x)dx = F(x) + C, то F {х) = / (х) или dF (х) = / (х) dx. Приведем примеры. 1) j xbdx = -g- + С. Воспользовались формулой (3)*. з,2 _2_ ЗхУТ V + c = -^= + c [(3)]. 3) | Зх2 (x + 2)dx = $ (Зх3 + бх2) dx = J 3x3dx + J 6x2dx = = 3 \хЧх + ЩхЧх = 3-f + Ci + 6-J- + С, = =ф*4 + 2*3 + С [II, I; (3)]. Замечание 1, Несколько постоянных интегрирования можно объединять в одну, например вместо суммы Сг + С2 + С3 можно написать С. * В дальнейшем будем указывать в скобках номера формул и правил, которыми мы воспользовались.
209 § 2. Непосредственное интегрирование 4) Jfr+oy-3) dx = J* + X*-Jx-3 dx - = Д4 х + it—т-*-2)** = 4-J^ + -r/^-J-r— - J**-»d* = -J- *2 + ±-x - In | x | + 4" + С [II; (1), (3), (2), (4)]. Замечание 2. Для применения правила II часто бывает необходимо подынтегральную функцию преобразовать к виду алгебраической суммы, что и было сделано в примерах 3 и 4. = bjdx-BJ1?Y = ax-5]n\x + 2\ + C[II,I;(3), (2), (4)]. Фактически мы здесь разделили числитель на знаменатель, т. е. из неправильной алгебраической дроби выделили целую часть*. 6) Найти интеграл f* Хх*4-5—^х' Решение. Данная дробь неправильная. Разделив числитель на знаменатель (исключив целое), получим: J* + 2*: + lx+l3dx = J(x + 2 + ^)dx = fxdx + 2$dX+ + 3 jjsq^ = "Г" + 2х + 7tarctglh + С [П' 1; (3)' (2)> (12)Ь 7) J2*dx = -?r+C [(5)]. arcsin-4-+C [(H)]. 8>ir 16 —x2 "*^"4 4 1 УТ + ]/T + C [(13)]. l0)<jyJ^== = ln|x + l/*2-3| + C [(14)]. 1036. Найти следующие интегралы и результаты проверить дифференцированием: 1) И*3 — 2 sin х -|- Зе*) d*; 2) J (sec2 л; — 3cos x + 1) d*; 3) j (esc2 я + 7 sin x — 2) d#. * Алгебраическая рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, если же степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь называется неправильной).
Глава VIII. Неопределенный интеграл 210 Решение. 1) J (л:2 — 2 sin х + Зе-*) dx = —«—Ь 2 cos я-f- + Зе* + С [I, II; (3), (7), (6)]. Проверка. Найдем производную полученной функции F (х) + С и убедимся, что она равна подынтегральной функции f(x): (-у- + 2 cos х + Ъе* + С )' = (-?-)' + (2 cos *)' + (Зе*)' + (Q' = = а;2 — 2 sin я + Зе*. 2) I (sec2* — 3 cos x + 1) d# = I -^ 3 I cos xdx + Idx — = tgx-3sinx + x + C [II, I; (10), (8), (2)]. Проверка. Найдем дифференциал полученной функции F (х) + С и убедимся, что он равен подынтегральному выражению / (х) dx: d(tgx — 3 sin x + х + С) = (tg x — 3 sin x + x + C){ dx = = (sec2 x — 3 cos x + 1) dx. 3) I (esc2 x + 7 sin x — 2) dx = I . ^ -f 7 I sin xd* — 2 ] <ix; = ^-ctgx — 7 cos a: — 2x + C [II, I; (9), (7), (2)]. Проверка, d (C — ctg x — 7 cos x — 2x) = (C — ctg *— — 7 cos л: — 2*)' d* = (-^j + 7 sin * — 2J dx. 1037. Найти интегралы: *) J 2x2 + 9 ' 2^ J ]/" 5-4x2 ; 3) J 1/ 2*2-3 ; 4) /т^гг'' 5) /cos2-f dx> 6) /tg2 *d*' Решение. 1) Данный интеграл приведем к табличному следующим образом: [dx__ Г dx -А-С dx д здесь а2 = "2-(см. формулу 12), следовательно, 7 = -2"'Тarctg —Г- + С = "У"arctg"V +С- К 2" УТ
211 § 2. Непосредственное интегрирование Аналогичные преобразования сделаем и с интегралами 2, 3 и 4. dx = -2-arcsm |Л5 1 р ¦ — *2 dx J l/*2- + С [(14)]. -^=1п Ответ можно написать и в другом виде. Преобразуем xj/T+|/2x2 — 3 + C=?Tln ^=- In | л; ут + т/2^="3 | + Ct. V2 +С= Таким образом, / dx __ 1 . Y2x2-3 ~~ ]/Т 1 * + /'-4 + С = = -у-Гln U И 2 + К 2^а — 31 + Сх. Оба ответа эквивалентны, что можно проверить дифференцированием. лхГ <** _lf dx _1 ]_ V 4^-3 -4j х2_^.-4- 2у _3_ In -^ К4 + с = - 2 _ in 12л: ~ "^J- 4 ]/ 3" 2* + YT + С [(13)]. 5) Данный интеграл не является табличным. Подынтегральную функцию представим в виде алгебраической суммы, а затем применим формулы и правила интегрирования: I cos2 -^-dx= I +2C0S* dx = -?-( / dx + / cos xdx J = = -L(x + sinx) + C [II, I; (2), (8)]. 6) J tg2 xdx = J (sec2x—l)dx = J -^Y~Jdx = = tg*-x + C [II; (10), (2)].
Глава VIII. Неопределенный интеграл 212 Пользуясь основными правилами I, II и формулами интегрирования (1) —(14), найти следующие интегралы и результаты проверить дифференцированием: 1038. \Ых. 1039. \х*йх. dx ,„40. jJ%L. .04,. f.trr 1042. j" (Зх2 + Ъх — 1) dx. 1043. ]{2х + V х )Чх. 1044. 1046. 1048. f** + У—- dx. 1045. |4л (а;2 — 3) dx. f(x-l)f + 3) dx. mi. jctgxdx. Jsin2-J-d*. 1049. J2xdx. Пользуясь основными правилами I, II и формулами интегрирования (1) — (14), найти следующие интегралы: 1050. |(2^7— У5х + 1) dx. 1051. J** + ^ + 5 dx. 1052. \{V^— ~yr)dx- ,053- f^J~ld;c- Ю54. f-^^-dx. 1055. ГМ- + ?]?1Ь*. . J(sin -J- — cos-?ff dx. 1057. \e*{\ + -^-) d*. 1056. 1058. J" (a+ &*)*<**. 1059. J2*3*dx. 1060. J (a - ?>x)3 dx. 1061. J(y==- 4^) 1062. \ {у^гЩ-^г ^ZTQJ dx. 1063. J(3 sin л: + sec2*) d*. 1064. J- dx. 1066 1068 3*2 dx • JVrfb" '067. J- J_^. Ю69. /(4—f)d*. . f ..** , • Ю71. fi J Sin2* COS2* J sin^x /ftt^- 1073-J: 1072. l-^r-rdA:. 1073. 1^4 dx. x + 4
213 § 3. Метод подстановки (замена переменной) § 3. Метод подстановки (замена переменной) Если интеграл непосредственно не берется, то во многих случаях метод интегрирования заменой переменной приводит к цели. 1. Пусть требуется найти интеграл / [ср (*)]q/ (*) dx, где подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку t = ср (х), получим 5fll(x)W(x)dx = tt®dt- (1) В найденном интеграле перейдем к прежней переменной х, воспользовавшись известным нам равенством t = 9 (х). Полезно запомнить частный случай: JJL&-dx=\n\f(x)\ + C. (Г) Интеграл дроби, числитель которой есть дифференциал знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя. Действительно, положим / (х) — t, тогда /' (х) dx = dt. Получим JlgLdx- j-%- =\n\t\+C = ]n\f{x)\ + C. 2. Найти интеграл \f(x)dx. Пусть функция f(x) непрерывна. Полагая х = v (/), dx = ср' (t) dt, где производная ср' if) есть функция непрерывная, получаем Sf(x)dx = til<P®W®<U. (2) Для получения искомого результата в найденном интеграле с новой переменной / переходим к переменной х, пользуясь исходной формулой х = ср (t). Приведем примеры. 1) Найти I , dx. Решение. Наличие множителя xdx дает возможность применить подстановку |/х2 + 1 = t, откуда х2 + 1 = t2. Дифференцируя, получаем 2xdx = 2tdt, следовательно, J^-j^-J'-' + C-VTTT+C. 2) Найти lVbx — 2 dx. Решение. Полагаем 5х — 2 = t, тогда dx = -g- dt, следовательно, \\/5x — 2dx = -Lfyidt = -g-Г <ТД = 4 ЬЗ ,з , п 3 *3 +С = 4^(5^-2)4 + С. 5.4 ^ w ~ 20
Глава VIII. Неопределенный интеграл 214 3) Найти J (3* + 4)*°dx. Решение. Полагаем Зл: + 4 = t, имеем dx = -у dt, следовательно, j(3;c + 4)^о dx = ±J V» dt = -g-L. f« + С = JL (Зх + 4)« + С 4) Найти J3sin * cos xdx. Решение. Полагая sin x = t, имеем cosxdx = dt, следо- гательно, В этом примере наличие множителя cosxdx дало возможность применить подстановку sin x = t. 5) Найти f^ffidx. dx Решение. Множитель . 2 позволяет применить подстановку arctg x = t. Имеем * 2 = d/, следовательно, 6) Найти J sin 5 лг^л:. Решение. Положим Ъх = ?, тогда с?л: = -^-dt, следовательно, I sin bxdx = -g-\ sin tdt = =- cos / + С = g-cos 5л: + С. Короче: I sin 5л:йл: == — I sin 5#d (5x) = g- cos 5л: + С. 7) Найти J sin8* cos xdx. Решение. Полагая sin x = и, имеем cos xdx = du, следовательно, j sin3 x cos xdx = I u3du = -^—f- С = S1^ * + C. Короче: I sin8*cos л:с?л: = I sin3 xd sin x = sl1^ * + C. Проверка. Убедимся, что F' (x) — /(л:). Находим / sin4 л: У I-4~/ = (sin4 x)' = -j- • 4 sin3 л: (sin *)' = sin3 * cos x9 4 v-*" ~/ 4 следовательно, интегрирование произведено правильно.
215 § 3. Метод подстановки (замена переменной) 8> Най™/т|7- = In | In л: | + С. Проверка. Убедимся, что dF(х) = /(х) dx. Находим следовательно, интегрирование произведено правильно, cos xdx f со 9) Найти J |7= sin'5 л; Р /cos xdx Г dsinx Г dt f— — tz i = 3/3 + C = 3]/sinx + C. 10) Найти /-(з^тр Решение. Применим подстановку Зх — 4 = /, тогда d# = -х*. ,—6 ¦ с = f__dx__ __ _1_ Г_Л_ _ J_ f, 7 ,, f J (Зх - 4)' - 3 J ,7 - 3 J Ш - 3 18(3* —4)« ^°" 11) Найти J" ctg xdx. Решение, [ctgxdx = [-?^-dx = In|sinxI¦+ С [(1')]. J J sin x Проверка. (In I sin * I)' = —— (sin xY = cosx = ctg a:, ^ r v ' '' sin x v ' sin л: ь ' следовательно, интегрирование произведено правильно. юч тт « Г (2*4- l)d* 12) Найти j ^^ . Решение. Числитель дроби равен дифференциалу знаменателя, следовательно, по формуле (Г) имеем JV+M-i Л*=1п(*2 + *+1) + С. Проверка. d[ln(*2 + *+ 1)] = [1п(х2 + л: + 1)]' dx = а;2 -f х + 1 л:2 + a: -f 1 ' следовательно, интегрирование произведено правильно.
Глава VIII. Неопределенный интеграл 216 +J: 13) Найти J^. Решение. J^ = ^fl^ = ^-\n\x*-l\ + Cl(V)]. 14) Найти J2*digd*. _8_ Решение. J^^dx --g-j-^-j-^-d* = ^j-^dx + '-^5dx = ^.ln(x* + 5) + ^aTctgl-±=r + c [(!'), (12)]. Замечание. Выражения, содержащие |^а2 — x2 или Уx2 + а2, можно интегрировать с помощью тригонометрических подстановок. Так, если содержится "[Лг2 — х2, то применяется подстановка * = а sin / или х = a cos tf, если содержится "j/"*2 -1- а2, то подстановка х = а tg t или % = а ctg *, если /—з о a a же содержится у х2 — а2, то подстановка х = , или х = . , . 15) Найти jVl~^x2 dx. Решение. Применим подстановку x~s'mtf тогда dx= = cos tdt\ eJ(csc4— 1)Л = —ctg/ —* + C = C— ^1-s!n2< sin/ = С — - arcsin л:. Найти следующие интегралы и результаты проверить дифференцированием: 1076. Jsii^xd*. 1077. [ cos (3* + 4) d*. 1078. J(3x —5)30Ле. 1079. Jxe^djc. г» • *ло* Г arc sin* , 1080. ]xV2x2 + bdx. 1081. J T=_dx. Найти интегралы: 1082. J*j/7+~2d.x. Подстановка Yx + 2 = t. 1083. $xVa+lc2dx. 1084. j d* sin2 5*' '«•• JsfW 1086- /rrrfe 1087. Г , smjc rJy Подстановка ]/l + 2 cos x = *, J^l+2cosx
217 § 3. Метод подстановки (замена переменной) '®**®* / з/3 , 5 . ~ dx. Подстановка \/Ъ + 5 sin x = /.. 1089. Г—* ,090. f JHL& djc. 1091 П \ — 2^ Г-т===-« Подстановка х3 = 2. i;Jx(2 + lnx)» ^Jj/*e__i Применяя формулу (Г), найти интегралы: 1092. ligxdx. 1093. J- f-^-. 1095. f- J ax + b Jx Применяя подходящие подстановки, найти интегралы: р у Ay 1100. [x\/x — 2dx. П01. __. Подстановка х2 = *. /sin л: , - , |71 , , 2 ^ 1103. [(л:— 1)К* + 1 dx- У1 + 4 cos2* J v ' r ' 1094 1096, jc + 3' xdx )x2 — Г d* d* 1102. 1,04./j^. "05./-^ 1,06' / ttf« • n07' 1^^Т2 Л. 1108. $хУа? — х2с1х. 1109. J"|/l6 — x2dx. x 1112. 1 3-. Подстановка x = atg/. (a2 + x2)2 J^1 + *° ¦ dx. 1114. JV — e~*)2 dx. 1113 1115 Jx2+4dx- ' J xyx-\ 1П7. Г d* Ш8. f ^L= J xj^-l J1 + у 1-; 1119. Г /"** dx.
Глава VIII. Неопределенный интеграл 218 § 4. Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям имеет вид j udv = uv — J vdu, (1) где и (х) и v (x)—дифференцируемые функции. Если подынтегральное выражение содержит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на целую рациональную, то за и принимают логарифмическую функцию или аркфункцию, а все остальное за dv. Такая замена дает возможность получить более простое подынтегральное выражение vdu по сравнению с выражением udv, так как после дифференцирования функции и, равной логарифмической функции или аркфункции, мад находим функцию, которая значительно проще и поэтому может оказаться, что в правой части равенства (1) получим интеграл, берущийся одним из рассмотренных уже методов. Если же подынтегральное выражение есть произведение целой рациональной функции на тригонометрическую или показательную функцию, то за и следует принять целую рациональную функцию. Интегрирование по частям применяется и в некоторых других случаях. Неудачное применение формулы (1) приводит к более сложному интегралу J vdu, чем исходный J udv. В этом случае надо принять за и и dv другие выражения или применить иной метод интегрирования. 1120. Найти интегралы: 1) J (х + 2) In л; dx\ 2) J x2 arcsin x dx\ 3) J arccos x dx\ 4) J ex sin x dx\ 5) } (x2 + 2* + 1) sin 3x dx\ 6) j x2eSx dx. Решение. 1) Воспользуемся формулой (1). Полагая и=1п х, dx х^ dv = (х + 2) dx, имеем du = —; v = J (x + 2) dx = -~- + 2х = = х 1~y + 2), следовательно, J (x + 2) 1 n xdx = x (-f + 2 ) 1 n x - f x (-J- + 2) Ц. = = -f- (x + 4)\nx--^-2x+C. dx 2) Полагая и = arcsin x, dv = x2dx, имеем du = , у l — *a у == i x2dx = At-, следовательно,
219 § 4. Интегрирование по частям Г х2 arcsin xdx = JL х3 arcsin л; — Г-^- . . (а) Теперь найдем интеграл правой части способом подстановки 1 — х2 = ^2. Дифференцируя, получаем — 2xdx = 2tdt или xdx= = — /d/, следовательно, ±!тё?<*-±!*=*1=*±—Ц —-f'-x 4-/1-^+4 /i-x2+4-]/(i-^2)3. Подставляя этот результат в равенство (а), находим 1 /.«>_,_ .. , ./1 -зг 1 J х2 arcsin xdx = -i" (x*arcsin * + Vl ~ x* — 4" V(l — *2)3 j + c- dx 3) Полагая и = arccosx, da = dx, имеем du = ,. , v = J dx = x, следовательно, arccos xdx = x arccos x — I -^i 2- (6) Интеграл правой части найдем способом подстановки 1 — х2 = /2; xdx = — tdt\ ЫЬ"/*—/*--'--"1^ Подставляя этот результат в равенство (б), получаем J arccos xdx = х arccos x — "j/l — х2 + С. 4) Полагая и = sin x, da = e*dx, имеем du = cos xdx, у = J exdx = e*, следовательно, je* sin xdx = e* sin x — j" e* cos xdx. (в) Интеграл в правой части снова берем по частям. Полагая и = cos х, dv = e*dx, имеем dw = — sin xdx, v= §exdx = ex, следовательно, J e* cos xdx = ex cos x — j — e* sin xdx = ex cos x + J e* sin xdx. Подставляя этот результат в равенство (в), получаем J б* sin xdx = e* sin x — ех cos х — j* e* sin xdx, откуда 2 J ех sin xdx = е* (sin х — cos х) + 2С. Следовательно, / ех sin xdx = -у (sin x — cos x) 4- С.
Глава VIII. Неопределенный интеграл 220 5) Полагая и = х2 + 2х + 1, dv = sin Sxdx, имеем du = = 2 (л: + 1) dx, v = g- cos Зя, следовательно, / (л;2 + 2x + 1) sin 3*d* = i- (a;2 + 2x + 1) cos 3x + + -g- I (x + 1) cos Зл^х. (г) Интеграл в правой части снова берем по частям. Полагая и = х + 1, cfo = cos ЗЫх, имеем du = dx, v = J cos Заг^л: = = -g- sin Sx, следовательно, I (x+ I) cos ЗЫл: = -g- (* + 1) sin 3* ^-1 sin Sxdx. Подставляя этот результат в равенство (г), получаем Г\х2 + 2х + 1) sin3xdA; = —-i- (*2 + 2х + 1) cos3* + 2 2 Ч—g- (д: + 1) sin За: + "27" cos Зле + С. 6) Полагая и = л;2, dv = e^dx, имеем du = 2xdx, v = -ft- е3*, следовательно, Г Л3* d* = -i- Л3* — x / xe3xdx- (д) Вычисляем интеграл правой части равенства (д): и = х, dv = e3*dx, du = dx, v = -g- ?3*, следовательно, Г*е*й* = -J- e3* J-J e3*d* = -J- e3^ i- e3* + Cx = Подставляя этот результат в равенство (д), получаем J x2e**dx = 4" *2е3* — -gf е3х (Зх — 1) + С = = JL. ез* (9л:2 _ 6л: + 2) + с. 1121. Jarsinxd*. 1122. \xexdx. 1123. Sexcosxdx. 1124. J In *d*. 1125. J л:2 cos xdx. 1126. §x\n2xdx. 1127. J *2 In *d*. 1128. J ^ dx. 1129. $arcigVxdx. ИЗО. J * arctg xd*.
221 § 5. Интегрирование некоторых выражений И31. J(*» + 3)e-*d*. Ш2 ieY7dXt 1133. [xcosSxdx. 1134. f — dx J cos2 л: 1135. J^?dx. 1136. J*«cosfowte. 1137. Jsin(ln*)d*. 1138. f агс51п^,^у e/ У 1 —Я 1139. [у a2 — x2dx. 1140. \)/lF+adx. § 5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен Для вычисления интегралов вида Г о f "У ,— dx\ | _ =• dx; Г У ах2 + bx + c dx, J ax2+ bx + c J у 0x2 +bx + c J содержащих квадратный трехчлен, применим следующее преобразование: выделим полный квадрат из квадратного трехчлена, в результате чего получим квадратный двучлен и* + bx + c = a(x* + ^rx+-^) = a[[x + ^J + После этого применяют формулы и уже известные методы интегрирования. 1141. Найти интегралы: ^ J Зх*-6* + 5; 2) J *2 + 4*-l dx' Решение. В / 3**-б* + 5 = "Г/" dx 5 _ i Г d* _ i Г <tt ... т/Т д-,^^3 с_ 6 & 2 2) Полагая л: + 2 = ?, имеем х = t — 2, dx = dt, тогда
Глава VIII. Неопределенный интеграл 222 Г dt J Р-Б _L In 1t2 — 5 | + T^7? In 2/5 t — Vb = ~2~ In | x2 + 4# - П + - In * + V 5 * + 2 — У Б + c = + c. 2 j/5 \ x + 2 + У Б 3) Подынтегральная дробь неправильная. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть и представим данную дробь в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби: х3 — 2х2 + х — 1 , 4х I Ъ-\-2х — х2 , 4х К + 3 + 2* — х2 Найдем интеграл •х + -/| 3 + 2х — х2 dx = — I xcU + 4 I - xdx 2x — x2 4- + 4/le 2 *+l 'l J 4-(x-l)2 "J ^ _ 4 «f — J t2-4 J t2-4 3-lnl^1 —41 J-ln t — 2 — -^- In | л:2 — 2x — 3| 1 * + 2 In 4 1 ¦3|- X+l (x—l=t, x = t+ I, dx Следовательно, / = C — ^- — 2 In | д:2 — 2л: Пусть л; — 1 = t, тогда л: = t + 1, dx = dt\ dt) [II; (1) § 3; (13) § 1]. ' x — 3 — 6 | — 1П I - 2x~ 1 + 4-in t— 1 + С = In I a:2 — 2x \ + 1 In + 2 1142. Найти интегралы ¦ 5 1) f-7=^ 3x- 4x + 5 Решение. 1) | — J Ух2 — 4л: + C [II; (1) § 3; (13) § 1]. dr. 2) JTJ dx / Ы + 1 "j/"*2 1 dt ¦i Vt* + i dt J V(x- P dt_ J V^+ + 2х — Ъх* 3x — 5 2)2+1 dx ¦¦ = 3 Yf + 1 +
223 § 5. Интегрирование некоторых выражений + \n(t + Vt2+ 1) + C= ЗУх2 — 4х + 5 + + In (х — 2 + V~x2 — Ах + 5) + С. Применили подстановку ?==# — 2, dt — dx. 2) Г_==^^== = Г- J ]/ 1 + 2* - 3x2 J dx /* dx /•(+ + -Q- a: — л: dx \ (* dt V±-h±)' "ЧК4--<- . ut , о 1 • OX — 1 , s> arcsm -к- + С = —т=- arcsin —~ [- С, Т/Т 2 ' /3" где л: о- = U dx = dt. 1143. Найти интегралы: 1) \Yx2 — 2x—\dx\ 2) J]/5 + 4л: — х2. Решение. Интеграл J j/ax2 + Ьх + с dx в зависимости от знака коэффициента а можно свести к интегралу fyt2 + zdt или JKP2 — P&U каждый из которых вычисляется с помощью тригонометрических подстановок (см. замечание § 3 и пример 15) либо методом интегрирования по частям. 1) / = ]У*2 — 2х— ldx = $V(x— l)2 — 2dx = SVi*=2dtt тле t = х — 1. Последний интеграл вычислим способом интегрирования по частям. Полагая и = ]/72 — 2, dv = Л, имеем dw = r dt, v = /, следовательно, /*а —2 / = ^|/^zT2_ f< ^ ' d/^yT2^— Г *2~2 + 2 ^ = V J Vt*-2 r J Vt* — 2 = t/F=2—f f~2 dt— f 2 dt = tVF=2 — l — J Vt*-2 J Vt*-2 V — 2\n\t + yt* — 2\, откуда 2I = tVF^2 — 2\n\t+ V12~^2\ + 2C или / = JL YF=2 — In 11 + ]/l*~2\ + C. Учитывая, что t = x—1, получаем
Глава VIII. Неопределенный интеграл 224 Применим тригонометрическую подстановку: t = 3 sin 2, dt = 3 cos zdz\ I = J1/9 — 9sin2z3 coszda = 9 J cos2 г^г = + cos 2z , 9 / . sin 2z \ . ^ . ч dz=-^- г + —s— +C. (a) -л- 2 "* 2 \* ' 2 Перейдем к переменной ?, а затем и к переменной х: t . t sin г = ~g-, 2 = arcsin -<p sin 22 = 2 sin 2 • cos z = 2 sin 2 ]/1 — sin2 2 = Подставляя найденные значения г и sin22 в равенство (а), имеем / = -|- (arcsin 4" + 4-/9=?) + С. Учитывая, что ? = х — 2, получаем / = -1-[9arcsin-^- + (* — 2) /5 + 4* — *»] + С. Найти интегралы: 1144. 1146. J ^ + 8х + 7- И45. J f x* + 7x + 5 dx. "47. J d* 4a:2 + 4x — 3 9 + 8* — x2 ' П48. J-^Tdx. Ш9. J % + 43xxZl dx. use. JlMdx. im. f 2xf+2xxzl dx. 1154. 1156. 1158. 1160. Г dx r dx J Y* + 6x + b ' ,155' J Кйх* + 6х-1' J У7(7Тз)- 1157- Jyi-x-x*dx' Г -у—1 , Г (х +1)d* JVlF=Txdx' »59- J t^t^ • JyS^E»^ 1161,J^-4,+ l^ 1162. j"|/2 — л: — x*dx. 1163. JY *a + 6* d*. 1164. ]y2x — x2dx. 1165. 1/3 + 2*; — *2 d*.
225 § 7. Интегрирование рациональных функций § 6. Примеры интегралов, не выражающихся элементарными функциями Известно, что при дифференцировании элементарных функций мы снова получаем элементарные функции. Естественно, возникает вопрос, всегда ли будет неопределенный интеграл от элементарной функции также элементарной функцией. Оказывается, что не всегда. Известны интегралы, как, например, (п=1, 2, 3, ...), (1) которые не являются элементарными функциями, т. е. эти интегралы не могут быть выражены никакой конечной комбинацией элементарных функций. Общих признаков, на основании которых можно было бы определить, берется ли данный интеграл в конечном виде, т. е. выражается ли первообразная функция для данной функции через элементарные функции при помощи конечного числа операций (без предельного перехода), не существует. Упомянутые интегралы (1) называют неберущимися. § 7. Интегрирование рациональных функций 1. Если подынтегральная рациональная дробь пу непра- вильная (степень числителя больше или равна степени знаменателя), то при помощи деления, по правилу деления многочленов, надо представить ее в виде суммы целой рациональной Р (х) функции R(x) и правильной дроби ^ ' , т. е. Q(x) -KW-T- Q(x), !^dx = fRwdx+Jiwdx- Целая рациональная функция интегрируется непосредственно: j (а0хп + %**-* + ...+an)dx = a0 -—j +а1^- + + ...+апх + С. Следовательно, задача интегрирования неправильной дроби сводится к задаче интегрирования правильной дроби. Р (х) 2. Если знаменатель правильной рациональной дроби ^> разлагается на множители вида (х — а)а (х — Ь)? ... (x2+px+q)i,
Глава VIII. Неопределенный интеграл 226 где корни трехчлена комплексные, то правильная дробь разлагается на сумму простых дробей: **(*> = л1 . Л2 ^ Б, Q(*) *-а ' (х-а)2 ^•••^(jc_fl)« ^x-b^ -г {Х2 + рх + ф2 -1-...-1- {x2 + px + q)t • u; Для фактического вычисления коэффициентов в разложении (1) обычно применяют метод неопределенных коэффициентов (способ сравнения коэффициентов). Этот способ состоит в следующем. Пусть дана правильная рациональная дробь Q|*| . Знаменатель этой дроби разлагаем на простые действительные множители, и по виду этого разложения пишем для данной дроби разложение с неопределенными коэффициентами (1). В правой части этого разложения приводим простые дроби к общему знаменателю, которым будет Q(x), складываем их и получаем правильную дробь*, после чего знаменатель Q(x) в левой и правой частях отбрасываем. Получим тождество (2), в левой части которого полином Р(х), а в правой — полином (п—1)-й степени с неопределенными (буквенными) коэффициентами: Р (х) = a0xn-i + ах?"-* +...+ a„_i. (2) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества (2), получаем систему из п уравнений с п неизвестными. Решив ее, найдем искомые коэффициенты. 1166. Найти интегралы: 1) J(5*»-4* + 2)d*; 2) J^i Решение. 1) Целая рациональная функция интегрируется непосредственно: j (5х3 — 4*2 + 2)dx = Ь\хЧх — Ь\хЧх + 2\&х = = -|-*4 — -^-х* + 2х + С. 2) Интеграл от простой дроби dx / ¦ = ln|x-2| + C [(1) § 3]. * Сумма правильных рациональных дробей есть также правильная дробь.
227 § 7. Интегрирование рациональных функций 3) Интеграл также от простой дроби 5 +С. 6 (х + З)6 4) Подынтегральная дробь простая, так как она правильная и знаменатель ее квадратный трехчлен, корни которого комплексные. Применим известное уже нам преобразование квадратного трехчлена в квадратный двучлен: / — Г 2х -5 н — Г 2х —5 а __ Г 2t —9 ^ '—J %2 + 4х + 8 аЛГ — J (^ + 2)2 + 4 aX~J *2-И ' где а: + 2 = /, л: = t — 2, dx = dt\ ^ = /7^-4^ — Q/^rf-T = In (^2 + 4) — -|- arctg4" + С = = In (x2 + Ax + 8) -4 a^g^T1 + c- 1167. Найти интегралы: 3)j J-4, ^- 4) J-4 *3 + a? _ 5 dA:. Решение. 1) Данный интеграл с помощью преобразования квадратного трехчлена в квадратный двучлен можно привести к табличному интегралу, после чего найти его. Найдем интеграл способом разложения правильной дроби на простые дроби. Знаменатель подынтегральной правильной дроби имеет корни хх = 2, х2 = — 3. Следовательно, х2 + х — 6 = (х — 2) (х + 3). Напишем разложение х—\ _ А В х2 + х — 6 х — 2 ~*~ х + 3' W Дроби приводим к общему знаменателю и, освободившись от него, находим х— 1 = А(х + 3) + В(х — 2) = (А + В) х + ЗЛ — 2S. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: А+ В= 1, j ЗЛ — 2В= — 1, откуда
Глава VIII. Неопределенный интеграл 228 Подставляя найденные коэффициенты в формулу (а), находим искомое разложение: JL А- х—\ 5 5 х2 + х — 6 х — 2 ** + 3 Следовательно, Г 1 Г 4 /¦ X~l dx= \*dx+ \-^dx = ±\n\x-2\ + х2 + х — б J л: — 2 ' J x + 3 + -J- In | x + 3 |+ln С = In | cjf(x — 2)(* + 3)4|. 2) Разложим знаменатель дроби на простые действительные множители: х3 — Зх2 + 4 = (х3 — 2л:2) — (х2 — 4) = (х — 2) (*2 — * — 2). Корни трехчлена х2 — х — 2 есть —1 и 2, поэтому окончательно имеем д;3_ 3*2 + 4 = (* — 2)2 (л; + 1). Напишем разложение 2л: — 5 _ А , Б С , . *8_3*2 + 4 ~~ (л: —2)2 +х—2 + *+Г W Корень л; = 2 имеет кратность, равную двум, поэтому ему в разложении (б) и соответствуют два слагаемых. Теперь приведем это разложение к общему знаменателю, а затем, освободившись от него, получим 2х — 5 = А (х + 1) + В (х — 2) (х + 1) + С (х — 2)2 = = (В + С) х2 + (Л — В — 4С) л: + А — 2В + 4С. (в) Из этого тождества определяем коэффициенты Л, 5, С. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными х2\В+ С = 0, х Л— В — 4С = 2, *0|Л — 25 + 4С = — 5 (слева в равенстве (в) коэффициент при х2 равен 0), откуда 17 7 Л = g-, В = -д-, С = д-. Окончательно имеем 2х — 5 1,7 7 + ¦ х3 — Зх2 + 4 3(х —2)2 ~ 9(х —2) 9(*+1)' Следовательно, 2х —5 , I f dx , 7 f dx йХ~ 3 J (x-2)2 + 9 J 7=~2~~~ (* —2)»(*+l) ТГ = ^Г2Г + 41п1л;-21-41п1^+11+с = _ 1 | 7 , |x—2| , r _ 3(*-2) + "9~ Ш "7+Т "*" °'
229 § 7. Интегрирование рациональных функций 3) Подынтегральная дробь неправильная. Надо сначала исключить целую часть; для этого путем деления многочлена на многочлен данную дробь представим в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби: s а = X2 + X + 4 Н \ а . х3 — 4х ' ' ' х3 — 4х Корни знаменателя дроби действительные. Напишем разложение 4л* + \6х — 8 4х2+ 16л: — 8 __ А В С (. Xs —4х ~~ х(х — 2)(л;+ 2) " х + х — 2 + х + 2 * ^ Дроби приводим к общему знаменателю и, освободившись от него, получаем 4х2+ 16* — 8 = Л (а;2 — 4) + В(х + 2)х + С(х — 2)х = = (Л + В + С)*2 + 2 (В — С)х — 4Л. Теперь напишем систему из трех уравнений с тремя неизвестными хг X х° А + В + С = 4, 2(5 —С) = 16, — 44 = — 8, откуда А = 2, 5 = 5, С = — 3. Окончательно имеем х3 — 4х ] ' * х * х — 2 * х + 2' Следовательно, +/f^=4-^+-Fx2+4;t+21ni^i+51n^-2i- -31п|х + 2| + С = -L*3 + "Г*2 + Ах + 1п | Х\х + ф | + С' 4) Подынтегральная дробь неправильная. Исключим целую часть л? + *2 —А = 1 i х* + 3 х8 —8 ~~ х ' л:3 —8" Разложим знаменатель дроби на простые действительные множители: л;3 — 8 = (х — 2) (л:2 + 2* + 4) и напишем разложение х2 + 3 ___ а Вх + С , . х3 — 8 ~~ х— 2 + х2 -I- 2* + 4 ' W откуда л;2 + 3 = Л (л:2 + 2х + 4) + (S* + С) (* — 2) = (Л + В)х2 + + (2Л — 2В + С) а: + 4Л — 2С.
Глава VIII. Неопределенный интеграл 230 Напишем систему уравнений: Л + В=1, 2А — 2Б+С = 0, 4Л —2С = 3, 5_ 12 откуда Л = -12", В = л* + л;2 Следовательно, = 1 + С = g-. Окончательно имеем 7 , 5д; — 4 12(л: — 2) ^ 12(*а + 2* + 4)* 1=j4^dx = jdx + iJ^ + '-/¦ + 12 Ъх- Ъх- х3 + 2х + 4 4 dx=* + -^ln|x —2| +-k-Ii, 12 (е) dx "J с — 9 <х + 1)2 + 3 где х + 1 = /, jc = ^ — 1, dx = dt; 7х=/^Тз^-/^ТзЛ = 41п^ + 3)-1^-агс1§ТГ + + Сх = -§- In (*2 + 2* + 4) - 3 )/ 3arctgi±i + Cv Подставляя значение /х в равенство (е), найдем / = * + ^ln|*-2| + ^ln(*2 + 2* + 4)-^arctg^+C. Найти интегралы: 1168. J (За:4—х2+5х— \)dx. И7°- J*=T 472. J^g^- 1169. /^ 1171. / Ых_ Б' dx 1173. / Х2 _ 5л; + 9 д;2 — 5л: + 6 d#. '•/¦ х dx 1176. 1178. J-^t_ ,I8°- Jl^2x^+bx- x(x+ l)2 1)3 1 — 15 »75' /"FT — 4 dx. 1182. f x» J (*M + *-l + 2)(*-l) dx. 1179. 1181. 2+D x2dx dx. 1 x3 + 5x2 + 8x + 4 — 7л:3+ 6л:2+ 6л: — 12 Зл;3 (х — 2) "83. /-5±±-Л. d#.
231 § 8. Интегрирование иррациональных функций § 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегралы вида где R — рациональная функция; р, q, ... , s, t — целые числа, находятся с помощью подстановки , ™/ах~+Ъ . ч где m — наименьшее общее кратное чисел q, ..., t. Рассмотрим два частных случая: 1) если в интеграле (1) с = 0, то он будет иметь вид J R U (« + Р)Т> ...,(« + P)TJ <**, (2) a D b гдеа = ^-, р = —; 2) если 6 = с = 0, a = d=l, то интеграл (1) примет вид J#(*f х\ ... , x')d*. (3) Интегралы вида (2) или (3) находятся с помощью подстановки t = у^м + р (б) или * = у х- (в) 1184. Найти интегралы: Решение. 1) Применим подстановку (в): \/х = ^, откуда л: = ?4, d* = 4?3<#. х[4--^ + 1п(/ + 1)] + с = 4^~^ + 1п(1 + ^)] + с- 2) Применим подстановку (б). Наименьшее кратное показателей корней подынтегрального выражения m = 6, следовательно, * = ^1 + *, откуда 1 + а: = Л # = f — 1, d* = 6/бЛ и г dx ['в~1 + *36№ = 6 J tf9 + /• — /3) Л =
Глава VIII. Неопределенный интеграл 232 -•(•&+*-4)+с-«етп^{4^+-Ц^ -Ь) +с. 3) Применяем подстановку (а): t - у -—f, откуда х = p—j, dx = (<> _ 1)2 dt; tl—dx= f±vrZ*ZdXss-rt«t-ir*dt. J Проверка. F(*) = 2 Y^T^' F'(*) = 2' /i — 1 X X ——§ = 7Г j/ 7~р следовательно, интегрирование произведено правильно. Найти интегралы: д; х 1185. $yx3(l + V*)2dx. 1186. Г |/уз П89- /wd^ ,19°- /" dx J/2* + 1 + У2х + 1 • § 9. Интегрирование тригонометрических функций 1. Интегралы вида J sin ax cos bxdx\ J cos ax cos &ю?х; \ sin a* sin &#d;t, где афЬ, находятся с помощью формул: sin ах cos bx = ~Y Ип (а — ^) * + s*n (a + 6) х]\ cos a* cos б* = -^ [cos (а — 6) л; + cos (a + 6) *]; sin ax sin 6jc = -^- [cos (а — 6) л: — cos (а + Ь) х]. 2. Некоторые интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции, с помощью преобразований приводятся к интегралам вида
233 § 9. Интегрирование тригонометрических функций / cos2* dx J / (sin x) cos x dx\ I f (cos x) sin x dx\ ff^^ier или Ш<* *)<**. которые находятся соответственно с помощью подстановок: sin х = t, cos x dx = Л; (1) cos x = t9 sinxdx= — dt\ (2) tg* = f, 7^Y = dt или tgл: = /, * = arctg?, dx ctg# = ?, . 2 = — dt или ctg# = ?, * = arcctg/, d* = —-j-q^s (0<*<*). (4) 3. Интегралы вида J sin*7* x cos" x dx, где m и n—положительные четные числа, вычисляются с помощью формул: 1 . 0 о 1 + cos 2х sin х cos x = -g- sin 2a:, cos2 x = —4g , . о 1 — cos2 дс sin2 x = g • 4. Интегралы вида J # (sin я, cosA;)d#, где /? — рациональная функция, можно найти с помощью универсальной подстановки '-tg-f (-*<*<*), (5) откуда л: = 2arctg t, dx = утг^» sin х = 2 sin Т *cos T = 2tg-f 2tg-?- 2* 1 — t2 cosa: = л: ~ * - 1+*» wo л~ 1-М2* sec2 -ер 1 + tg2 у Следовательно, интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t. Заметим, что универсальная подстановка обычно приводит к сложным выкладкам, поэтому она используется в тех случаях, когда другие подстановки применить нельзя.
Глава VIII. Неопределенный интеграл 234 1191. Найти интегралы: 1) J sin Зл: cos 7xdx\ 2) j* cos 6x cos x dx; 3) j sin2#sin-^-<iA:. Решение. Воспользуемся формулами п. 1: 1) I sin Ъх cos Ixdx = -у J ls'n (— ^x) + sin 10*] dx = 1 г / • i r\ ' л \ j cos Ax cos 10* , ^ = -у] (sin 10a: — sin 4a:) dx = —g ^ J" C- 2) j cos 6л: cos xdx = -9- J* (cos 5ac + cos 7x) dx = sin5x , sin 7jc , ^ + 10 ] 14 3) jsin2A:sin-^-dA: = -2-Ucos -?- — cos-^-)dA: = 3sln~T 3sln"3" , n 3 (0 . 4* . a*\ . ~ + C =-^ 2sin-^-sin-^ +C 8 16 ' w 16 1192. Найти интегралы: С cos x l> Jкз+sin»ж dx> 2> Jsin5^^; 3>IW5'^ 4)fctg^x Решение. 1) Воспользуемся подстановкой (1): = In (sin* + /3 + sin2*) + C. 2) Применим подстановку (2): j sin6 xdx = J(l — cos2 xf sin *d* = —J(l — /2)2 dt = — J(l — 2*2 + + <*)Л = ^. — -?¦ — / + С =-§-cos3* Lcos5* — cos* + C. 3) Применим подстановку (З): Г l dx _ С dt _ 1 С dt _ j3tg2* + 5* cos2* — J»» + 5— 3 J _5_ * + 3 = . arctg .— + С = —=-arctg * h С 4) Воспользуемся подстановкой (4): e"f f—' — arctg/-f-C = -g-ct§3;c rctg8x~ — ctg* — * + C (0<л:<тг).
235 § 9. Интегрирование тригонометрических функций 1193. Найти интегралы: 1) J sin2 x cos4xdx; 2) cos4 xdx; 3) j-g-r- dx 3cos x Решение. 1) Применяя формулы п. 3, получаем / = Jsin2xcos4xdx = -j-J sin2 2x g * ^* = = -g- sin2 2xdx+—) sin2 2* cos 2xdx = -yg- j (1 — cos 4x) dx -f + -^2d/, где ? = sin 2x\ dt = 2 cos 2xdx. Окончательно находим sin 4* / = 16 64 1 + cos 2* + sin3 2x 2) Jcos4xdx = |(1+з°з2*рх = -i-jo + 2cos2x + + cos2 2л:) dx = -4-j dx + -^-j cos 2xdx + -g- j (1 + cos Ax) dx = x . sin 2* , л: , sin 4* , ^> ^x , sin 2* , sin 4* , ^ -"4" + ~X~+"8" + "^2~+C — ~8~ "J 4 ' 32 ^ C- 3) Для вычисления данного интеграла воспользуемся универсальной подстановкой ? = tg-|-, откуда dt = -ysec2—-^; г ?& 2 + 3 cos x i dx sec2-^4' dx 2 + 3 cos2-4- —3sin2-4- c^-ydx sec4 2(tg2-?-+l)+3-3tg2JL J 5-tg2 2sec2-|- + 3~3tg2J 'dx С 2dt x =— J^_5 - 2}/ 5 In t — YT / + K5 + C-^ln + "^5" —/T + c. Найти интегралы: 1194. Jcos bx cos xdx 1196. Jsin 3x sin xdx. 1198. j X X , cos -g- cos -g- ax. 1195. Jsin 6x cos 2 xdx. 1197. fsin-^cos-J-dx. 1199. Jcos x cos 3x sin 5 xdx.
Глава VIII. Неопределенный интеграл 236 1200. 5sin3xdx. 1201. Г . а cos*dx , -, J J sin2 a; — 6sin x -f 5 1202. jcos6*d;t. 1203. Jtg5;^*. 1204. fctg5^^. 1205. [•***%*-dx. J ь J cos4;: 1206. f ^. з . 1207. [-r===dx. J cos x sin3 x J у 4 — cos2 x 1208. Jsin -J-cos -J- dx. 1209. Jsin2 -y- d*. 1210. Jcos23*d;t. 1211. Jsin2 x cos2 xdx. 1212. Jsin3 * cos3 xdx. 1213. f-^—. J J sin x cos x 1214. Jsin4A:dx 1215. f-^- 1216. [™sx dx. 1217. f- J 1 + COS X J sin«p dx cos* § 10. Смешанные примеры на интегрирование 1218. ^x-2fdx. 1219. /,ь,_*? + „• 1220. J-^ dx 1221. }^*1)+Дз **• *222- J ,(Лз) • ,223- /тёЬ «*• 1224. J|/3 — 2л: — x2dx 1225. j5Vdx. 1226 1228 1230 )yr=T*- 1227' I(^s + a: — 1)e "dx. Jln(>;-1) ^ ,229> J^^^p-J^ .p^HU. 1281. /fp=f^- 1232. Jsin» x^-^I dx 1233. ftg!!J5tg, • ^-. 1236. J-g^ dx 1237. J(tg x -f ctg xf dx. dx 2 + sin x' 1238. J- dx
237 § J. Определенный интеграл. Теорема Ньютона — Лейбница 1239 1240, • f sin*cos3* • Подстановка tg x = t. Г sin3* Р dx в Глава - -v i Определенный интеграл § 1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Простейшие свойства определенного интеграла и его связь с неопределенным интегралом (теорема Ньютона—Лейбница) 1. Пусть функция f(x) определена на отрезке [а, Ь]. Этот отрезок разделим на п произвольных частей (рис. 75). Обозначим абсциссы точек деления через а = х0<х1<х2< ...0?<*/+1 < ... <хп = Ь. В каждом частичном промежутке [xif xi+\] возьмем произвольную точку ^. Умножив значение функции в точке Ъ{ на длину соответствующего частичного промежутка, получим / (У (xt+i — */) = f (У А*, (*, < 6/ < Xi+i). Составим сумму о = / &) Ьх0 + / (у Ахг + f (у А*2 + ...+/ (У А*, + ... + Ч- / (^-i) A^_! = 2/(У А*,, /«о I 1 НН 1 1 1 ' \и a xi *г xi \x xut ° Рис. 75 которую называют интегральной суммой функции f (x) отрезка [а, Ь], и перейдем к пределу HmS/fcJA*,, (1) где X — наибольшая из разностей Axt = Xi+\— xt. Если существует конечный предел (1), не зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точек it в соответствующих частичных промежутках Lxti то он называется определенным
Глава IX. Определенный интеграл 238 интегралом функции f(x) в промежутке от а до & и обозна- ь чается §f(x)dx, где число Ь называют верхним пределом, а чи- а ело а — нижним пределом интеграла*, f(x) — подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением их — переменной интегрирования. Обозначение определенного интеграла весьма удачно. Легко видеть, что в интеграле остаются следы интегральной суммы, т. е. по виду интеграла всегда можно написать соответствующую интегральную сумму данной функции и, наоборот, по виду интегральной суммы можно написать интеграл. Если функция f (х) непрерывна в промежутке [а, 6], то предел (1) заведомо существует, т. е. непрерывная функция интегрируема. 2. Простейшие свойства определенного интеграла. I. )f(x)dx = ]f®dt = ]f(z)dz. а а а И. f/(*)dx«=0. а Ь а III. J7(*)d* = — $f(x)dx. а Ь IV. ]f{x)dx=\fix)dx+]f{x)dx. а а с Ь Ь V. $kf{x)dx = k\f{x)dx. а а Ь Ь Ь VI. HfiM+f2(x)-h(x)]dx = ^1(x)dx + Sf2(x)dx- а а а Ь — J/s (*)<&- а 3. Рассмотрим формулу Ньютона—Лейбница. Если функция f(x) непрерывна в промежутке [а, &], то $f(x)dx = F{x) = F(b)-F(a), (2) где F(x) — первообразная функция для /(*), т.е. F'(x) = f(x). 1242. Вычислить интегралы: 8 1 1) ЦУ 2х + рТ) dx\ 2) jy 1 +1 di\ * Здесь термин предел не имеет отношения к понятию предела функции.
239 §1. Определенный интеграл. Теорема Ньютона — Лейбница о dx У 5 + 4х — х2 4) J sec2ada. Решение. Применяя формулу Ньютона—Лейбница (2) и свойства определенного интеграла, получаем: 8 1 8 1 1) hV%x + ?*)dx =V2 f х2dx + §х3dx = -(^/+±/) 2/2 3 ^p 3 3-l/83 + -ff8* = 334-. 2) Jyi+tdt = /(!+*)' <*(!+*) = -fd +02|o= xtt^-D, 3)1 dx / 5 + 4x — x2 l l 6 Г dx =]у9-(х-2У = arcsin x —2 = arcsin -g arcsin f g-j = 2 arcsin -g- ^ 0,6794. 4) I esc2 а:йа; = — ctg x I = — (ctg -^ ctg -g-J = e_(i_/3) = yT-i. Вычислить интегралы: 1243. J2*d*. з 1245. J (2*3 + *2 — 5)dx. -2 4" 1247. / 2 I 0 2 I 3 1244. J cos xdx. 6 2 1246. J (x3 + 4x)dx. dx cos2 л; * 1248. /xdx x2 + : + r 1249. fsin-J-cos-y-d*. 1250. fyf==p 1251. U dx 2 + 2x + 2 • 1252. f tg4*d*, о
Глава IX. Определенный интеграл 240 2 4 1253. f sm22xdx. 1254. J sm2xdx. о о 1255. \e**dx. 1256e ?_*=-. о /3-1 1257. Г у * § 2. Замена переменной в определенном интеграле Если функция f(x) непрерывна в промежутке [а, Ь] и функция х = ф (t) непрерывна вместе со своей производной х' = = <р'(*) в промежутке [я, р], причем ф(а) = а, ф((3) = 6 и при изменении t в промежутке [а, J3], значения л: = ср (^) не выходят за пределы промежутка непрерывности функции f(x), то ь з J/(*)d*=J/[q>(/)]?'ЮЛ. д а 1258. Вычислить интегралы: 2" J 0 2" ln2 7 1) J sin3 xdx; 2) \V ex—\dx\ п О 3) J x2 Vtf=J? dx; 4) /^ l dx. -a j Решение. 1) Данный интеграл легко приводится к интегралу вида §f(cosx)sinxdx, поэтому применим подстановку cos х == t, sin xdx = — dt. Определим новый промежуток интегрирования. Если х = 0, то cos 0 = t и t = 1; если х = -^-, то cos -^- = * и * = 0, следовательно, "2 "2 О f sin3 xdx = Г (1 — cos2 x) sin xdx = — f(l — t2) dt = о о i l о ч ' 1 1 2 [0 е 1 аГ^ТР
241 § 2. Замена переменной в определенном интеграле 2) Применим подстановку t = Ye* — 1» ^ — ^ — Ь 2ЛЙ = = exdx, dx = .я , , dt. t2 + l Если х = 0, то / = 0; если х = In 2, то * = ]/е1п2 — 1 = = ]/2— 1 = 1, следовательно, 1п2 1 1 0 0 0 = 2# — arctgoT = 2(1 — arctg 1) == 2 —-?-. 3) Применим подстановку х = a sin t, dx = a cos /Л. Если х = — а, то — а = а sin t, sin/ = — 1 и t = —1~, если л; = а, то а = a sin ?, sin ^ = 1 и t = -^-, следовательно, а 1 J х2]/а2 — л:2 dx=* J а2 sin2 * ]/а2 — а2 sin2 / а cos tdt = —Д U те тете "2 Т 7 = а4 J sin21 cos2 f Я = if- J sin2 2*Л = -?- j (1 — cos At) dt = те тете ~2 2 """2 а4 Л sin4*\ |JL а4 Г « / тс \1 1 d те ""2 4) Применим подстановку ]/х2 — 1 = /, x2—l = t29 2xdx = = 2tfdf или xdx = /d/. _^ Если x = 1, то t = 0, если x = 2, то / = ]/3, следовательно, 2 2 VT 1 1 0 YT 0 С помощью подходящих подстановок вычислить интегралы: 1259. ^TT^dx. 1260. J/^ld*. о
Глава IX. Определенный интеграл 242 2 1261. $cos3xdx. 4 1263. fw-^W d*- 1262 1?U?,. 1264. 2 Г 1 J* dx — 4x + 5 ' Yx2 + 4dx —1 T 1265' Jl+sin»^ П°Дстановка tg* = *. 0 б i j/—±_п?^ Подстановка f^l + In x = ?. о 1266. l l о /xdx С dx YT=W ,268' JV^ + 2x + 9- 0 —2 § 3. Интегрирование по частям Если функции и (х) и v(x) непрерывны вместе со своими производными и'(х) и v'(x) в промежутке [а, 6], то имеет место следующая формула интегрирования по частям: ь ъ §udv = uv\ — J vdu. (1) a a 1269. Вычислить интегралы: 1 2 e 1) }xe~*dx\ 2) \^x\og%xdx\ 3) Jln2*^. 0 1 1 Решение. 1) Воспользуемся формулой (1). Полагая и = х, dv = e-xdx имеем du = dx, v=—етх, следовательно, [хе-х dx = — хе~х |0 -J- [e~x dx = (— хе-* — егх) |0 « 1 . 2) Полагая и = log2;t, &> = xdx, имеем dtf = —ру, с; = -g-, следовательно, 2 2 J л: log2 xdx = 4"^ 1о§2^ |, — J ТЖ1" == = (^^Мо§2д:-^)|;=(2-^)-(-^) = 2-т|т. 2 3) Полагая и = In2 я, da = dx, имеем du = — In х<?к, у = х, следовательно, *
243 § 3. Интегрирование по частям 1 е \ In2 xdx = х In2 x I — 2 J In xdx. Интеграл J In xdx снова находим по частям. Пусть и = lnx, 1 da = dx, тогда du = —, v = х я е е е J In xdx = х In #| — J dx = (a: In x — x) \ {. Окончательно получим e Jin2xdx = (xln2x —2xlnx + 2x) |* =6 — 2. Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить интегралы: е 1 1270. JVlnxdx. 1271. farcsinxdx. i о 1272. f ex sin xdx. 1273. J J/ x2 + 2x dx. Вычислить интегралы: JC 1 2 f xdx 1274. J cos2 xdx. ,275' J \ + yj' о о 7 9 1276. Jcos2xdx. ,277' JV^nxdx. 0 3 5 Г dx Г dx l278- J7U=? 1279" J-F+5T=1 1 2 1280. J x2 cos xdx. о 2fl 1281. I "7a dx. Подстановка x = a sec*. a 4,5 Г dx 3 1282. J j _j_ Y^zzy Подстановка j/2x — 1 = t. l те 1283. I 4/ . о .-* Подстановка tgx = f. J |/ sm3 x cos5 x & 4
Глава IX. Определенный интеграл 244 § 4. Площадь плоской фигуры Известно, что к понятию определенного интеграла привели задачи практического характера. Рассмотрим одну из них. Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией #=/ (х) (/(х)>0), ординатами х = а, х = Ъ и отрезком оси абсцисс (рис. 76); подобную фигуру будем называть криволинейной трапецией. Основание трапеции АВ разделим на п произвольных частей. Обозначим абсциссы точек деления через а = х0< хг <х2< < ... <*/<*;+! <... <Хп = Ь. Составим сумму \Xq4T хг х/ х/*/ bsxn Рис. 76 о = / (*0) Длг0 + / (хг) Д*х + ... + / (*,) /±xt + + ¦ + / (*„_!) ДдГЯв1 = 2/ (*/) Д*/- 1=0 Полученная сумма есть значение площади ступенчатой фигуры, приближенно равной площади криволинейной трапеции я—1 ABCD, т. е. S * 2/(*|)Д*|. Предел этой суммы я—1 & ft 5 =та!^0 2/ (**) А*< = J / (*) ^ ИЛИ 5 = j ^ (1) *«М) a a определяет площадь упомянутой криволинейной трапеции и вместе с этим формула (1) дает возможность вычислить эту площадь. УЧ(х) П d Ф*ПУ) Рис. 77 Рис. 78 Площадь криволинейной трапеции с основанием, лежащим на оси Оу (рис. 77) выражается интегралом S = \ ®{y)dy или 5=1 xdy. (2)
245 § 4. Площадь плоской фигуры Площадь криволинейной фигуры (рис 78), ограниченной двумя непрерывными кривыми у = / (х) и у = ф (х) (f (х) ^ ? (х)) и прямыми х = а, х = 6, определяется формулой & & Ь 5 = |/(*)Лс— J9(*)d*= j [/(*) —q> (*)] d*. (3) \ у 0 г; 1 с/ /у4*г 2 fiO х X Рис. 79 1284. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 1) осями координат, прямой х = 3 и параболой у = я2 + 1; 2) осью ординат, прямыми у = — 2, j/ = 3h параболой л: я = — i/2- 3) параболами г/ = х2 и л: = г/2; 4) параболами г/ = л;2 + 1, у = -i-*2 и прямой # = 5. Решение. 1) Искомую площадь криволинейной трапеций ОСВА (рис. 79, а) найдем по формуле (1): з S = j (х* + 1) dx = [^- + x)f = 9 + 3 = 12.
Глава IX. Определенный интеграл 246 2) Площадь криволинейной трапеции ABCD (рис. 79, б) найдем по формуле (2): -fy'dy- —2 Ml 6 — 2 27 6 35_ 6 ' 3) Найдем точки пересечения данных кривых (рис. 79, в). Для этого решим систему уравнений: У2 = х, ¦х=0, Ч = О, уг = 0, *2=1» #2=1- Следовательно, параболы пересекаются в точках О(0; 0) и В(1; 1). Теперь легко определить площадь фигуры ОАВСО, рассматривая ее как разность площадей двух криволинейных трапеций ODBCO и ODBAO. Воспользовавшись формулой (3), получим S = ^(Yx-x2)dx = (^- — 4) Фигура расположена симметрично относительно оси Оу (рис. 79, г), поэтому можно вычислить половину площади, а затем полученный результат удвоить. Площадь фигуры OABCD равна разности площадей криволинейных трапеций О ABE и DCE. Воспользуемся формулой (2). Из уравнений кривых найдем х=\'2у и х = У у— 1. Промежутки интегрирования определяются легко (см. рис. 79, г). Итак, половина искомой площади S = fV2ydy-fVy-ldy = -l^ 20/-1) -(5 J/10-8), откуда 5 = 4"(5 У 10 — 8) » 10,41. Вычислим площадь другим способом. Будем интегрировать по переменной х. Сначала найдем половину площади, для этого вычислим площади OACD и ABC. Сумма этих площадей и составит половину искомой площади. Решив системы уравнений U-5, ^ = 5' U = *2+l у = J-Y*
247 § 4. Площадь плоской фигуры найдем координаты точек С (2; 5) и B(V 10; 5). Следовательно, промежутки интегрирования теперь известны. Применив формулу (3), получим 2 VTo ±-S = J(*2 + 1 Lx^ dx+ f (5 - 4~*2) dx = = Mr+* x3 = 4- + 2 + 5yT0- J-^- 6 5/TO ЛЛ 4 /ю 10- 2 /С1/-?7Г 3 7 = -f (51/10-8) S = J-(5J/10 — 8) «10,41. Нетрудно видеть, что интегрирование по переменной у быстрее приводит к искомому результату. 1285. Найти площади двух фигур, ограниченных параболой у2 = 2х и окружностью у2 = 4х — х2. Решение. Преобразуя уравнение окружности, получаем (х-2)2 + у2 = 4, откуда следует, что центр окружности лежит в точке С (2; 0) и ее радиус i? = 2 (рис. 80). Решив систему уравнений { у2 = Ах — х2, \у2 = 2х, получим следующие точки пересечения данных кривых: О(0; 0), Л (2; 2), В (2; —2). Из рис. 80 видно, что площадь заштрихованной фигуры 2 2 2 __ S = 2/(}/4* — х2 — ]/2x)dx = 2(j ]/4х — x2dx— ]/2 j'|/*d*). 0 0 0 Первый интеграл в правой части равенства равен -^- площади круга, т. е. равен гс, поэтому Рис. 80 ' = 2 L ¦ 2/2 2" —^—х = 2(тт —
Глава IX. Определенный интеграл 248 Площадь незаштрихованной фигуры Sx = iri?3 _ S = 4ти — 2 (тг 1-) = 2(*+-|-j. 1286. Найти площадь фигуры, ограниченной линией у2== х(х — I)2. Решение. Функция у2 = х (х — I)2 четная относительно переменной у, следовательно, фигура, ограниченная этой линией, расположена симметрично относительно оси Ох (рис. 81). Найдем промежуток интегрирования. Пусть у = 0, тогда хг = О, *2= 1. Воспользовавшись формулой (1), получим 1 1 3_ j_ -^- S = j У х(х — 1) dx = J(x2 —х2)с1х = — ^ О G Знак минус означает, что фигура, площадь которой найдена, расположена ниже оси Ох. Это можно было и предвидеть, так как подынтегральная функция Ух(х— 1)<!0 на сегменте [0, 1]. Следовательно, полученный результат надо взять с противопо- 1 о 4 ложным знаком, т. е. положить — S = -уг, площадь S = -jg-. 1287. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = — х2 + + 6л: — 5 и осями координат. Решение. Если фигура расположена по разные стороны от оси Ох (рис. 82, а), то площадь S следует вычислять по формуле S = lf(x)dx + Uf(x)dx\. (4) отсюда искомая Рис. 81 Рис. 82 У*-х2+6х'5
249 § 4. Площадь плоской фигуры Из рис. 82, б видно, что площадь заданной фигуры будет равна 1 5 S = | J (— х2 + 6х — 5) dx | + j (— х2 + 6х — 5) dx = i 15 -4-+з*2—5*)[+ (—х+з*2—5*) = 13. 1288. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 1) окружностью х2 + у2 = R2; 2) одной полуволной синусоиды у = sin х и осью Ох\ 3) гиперболой ху = 7 и прямыми л: = 2, л: = 5, у = 0; 4) кривой г/ = In л: и прямыми # = е, у = 0; 5) параболой у = 4 — л;2 и осью абсцисс; 6) полукубической параболой у2 = х39 осью ординат и прямой у = 2; * х 7) цепной линией г/ = -~-(ва + в °) и прямыми х = —а, х = а; 8) кубической параболой у = я3, прямой у = 2 и осью Оу; 9) кривыми г/ = ех, у = е~х и прямой г/ = 4; 10) эллипсом iL + JL = 1; 11) линиями # = х2 и у = 2. 1289. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) У = *\ У = *\ 2) г/2 + 8*=16, 0а-24*=48; 3) */==х2-6* + 9, -?-_-?= 1; 4)г/ = *2-2*, 0 — 3 = 0; 5) г/ = *2, ху = 8, * = 6; 6) у = х3, у = 2*, t/ = #; 7) г/ = — л:2 + 4л: — 3, г/= 0. 1290. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой 1 L h j& , з з 1291. Вычислить площадь фигуры, заключенной между локоном Аньези у = 1 ^2 и параболой у = -у *2. 1292. Найти площади двух фигур, ограниченных параболой у2 = 6х и окружностью х2 + у2 = 16. 1293. Найти площади двух фигур, ограниченных кривыми у = ~y х2 и х2 + у2 = 8. 1294. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у2 = = *8(2 — х).
Глава IX. Определенный интеграл 250 § 5. Длина дуги кривой Если дуга кривой задана уравнением у = f(x) в промежутке [а, Ь] и функция f(x) имеет непрерывную производную в указанном промежутке, то длина дуги кривой, содержащейся между двумя точками с абсциссами х = а, х = Ь, определяется по формуле ь ь s = J i/i + in*)]» d* = JVr+7"2 d*. (i) Если кривая задана уравнением х = <р (у) в промежутке [с, d] и функция <р(у) имеет непрерывную производную в этом промежутке, то длина дуги будет определяться по формуле d d s « JVl + W(y)f dy=l 1/TT7"2 dy. (2) 1295. Вычислить длину окружности х2 + у2 = Я2. Решение. Дифференцируя данное уравнение, находим xdx + ydy = 0, отсюда -^ = — —-. Воспользуемся формулой (1), найдем длину дуги АВ, т. е. -j- часть окружности (рис. 83): 4— 1\ГГ^<,-реш*- 4 о * \1* 1 (arcsin -я '' о |о = T** откуда s = 2тг#. В этой задаче можно было применить формулу (2). 1296. Вычислить длину дуги параболы у2 = Ах от вершины до точки М{\\ 2). Решение. Применим формулу (2). Из уравнения параболы х = -^-, х' = -|-, по условию у изменяется от 0 до 2, следовательно, 2 2
251 § 5. Длина дуги кривой Известно, что J]/*2 + adx = -? /х2 + а + у1п|л; + ]/ х2 + а\ (см. ответ задачи 1140). Воспользуемся этим результатом: = l/2 + ln(2 + 2j/2) — In 2 = }/2 +In (1 -f /2). Рис. 83 Рис. 84 1297. Вычислить длину дуги кривой у = In x± содержащейся между точками, для которых х = УЪ и х = ]/8. Решение. Воспользуемся формулой (1). Из уравнения кри- 1 вой найдем у = —, следовательно, /8 Уй Уз Уз dx. Применим подстановку ]/ х2 + 1 = t, х2 + 1 = t2, xdx = tdt. Если х = ]/8, то t = 3, если х = ]/ 3, то ^ = 2, следовательно, = (' + 4ln7+T 2=l3+ilnil- — (2+ + 1п+)= l+ + ln 1298. Найти длину астроиды 3,3 * + у = а
Глава IX. Определенный интеграл 252 Решение. Применим формулу (1), вычислим длину дуги АВ, т. е. -j- часть астроиды (рис. 84). Найдем производную от неявной функции у по переменной х, получим 1 1 2 " . 2 т ' п откуда 1 — Г 2 ^ = --V и l/l + t/'a= Следовательно, К? 1 з" I / 3" , з" Лз 3 2 За с _--- и s = 6а. о 2 J-s = fy\+y'2dx= \аъх ъ&х = аъЪ\ о о 1299. Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 = = хъ от начала координат до точки (5; 51/5). — — 1300. Найти длину цепной линии у = -^-(е +е ), содержащейся между точками, для которых х = 0 и х = а. 1301. Найти длину параболы у = 4 — я2 между точками пересечения ее с осью Ох. 1302. Вычислить длину дуги параболы х = у* от // = 0 до 0=1- 1303. Найти длину дуги кривой у2 = (х + I)3, отсеченной прямой х = 4. 1304. Вычислить длину линии {/—lncosx от * = 0 до л: = 7Г = а(^0<а< 2 1305. Вычислить длину линии у2 = 9 — л: между точками пересечения ее с осью Оу. 1306. Вычислить длину линии х2 = 4 — # между точками пересечения ее с осью Ох. § 6. Объем тела вращения Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции (рис. 85), ограниченной прямыми х = а, х = 6, непрерывной кривой у = f(x) и отрезком оси Ох, определяется по формуле ь ъ V = n^y2dx или V=:7z$f2(x)dx. (1)
253 § 6. Объем тела вращения Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции (рис. 86), ограниченной прямыми у = с, у = d, непрерывной кривой х = ф (у) и отрезком оси Оу, определяется по формуле d d V = n\x2dy или К = *1ф2(#)^. (2) y*f<*) Рис. 85 Рис. 86 1307. Эллипс, большая ось которого равна 2а, малая — 26 (а > 6), вращается: 1) вокруг большой оси; 2) вокруг малой оси. Найти объемы получающихся эллипсоидов вращения. В частном случае определить объем шара. Решение. Напишем уравнение эллипса: *L j-i?_- 1 а2 "Г Ь* """ 1ш Воспользовавшись формулой (1), найдем объем тела, образованного при вращении эллипса вокруг оси Ох, Из уравнения эллипса 0« = |1-(а2 — *2). По условию большая полуось эллипса равна а, следовательно, промежуток интегрирования будет от —а до а (рис, 87): а а -TV = 7Г f^("2-x2)dx = ^!JV-x*)dx = т.Ь2 = -5- (a6x з r-T*ab\ откуда |/ = -J-*a6*.
Глава IX. Определенный интеграл 254 Найдем объем тела, образованного при вращении эллипса вокруг оси О у. Воспользуемся формулой (2). Из уравнения эллипса По условию малая полуось эллипса равна Ь, следовательно, промежуток интегрирования будет от —Ъ до Ь\ ъ ь Рис. 87 Рис. 88 откуда У = -1-тса2&. Частный случай эллипсоида вращения, когда а = Ь, есть 4 шар. Таким образом, объем шара V = -g- яа3, где а — радиус шара. 1308. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у = х1 и х = у2. Решение. Решив систему уравнений # = *2, . У2 = х, получим хг = 0, *2=1» t/i = 0, #2=1, откуда точки пересечения кривых О(0; 0) и 5(1; 1). Как видно (рис. 88), искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ох криволинейных трапеций ОСВА и ODBA:
255 § 7. Приложения определенных интегралов V = Уг — V2 = «j xd* — tcj x*dx = те (~2 5" о 1 1 \ 3 2 5/ ~~ Ю w# 1309. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой ху = 4, прямыми у = 1, у = 2 и осью 0#. Решение. Применим формулу (2). Из уравнения кривой 4 находим я = —, пределы интегрирования даны по условию: с'= \f d = 2. Следовательно, d 2 v = * J*»dy= « j-I?-dy = *(--?-) 1 = 16тг —Г= 16icfl— 4-) = 8те. У 12 \ 2 / Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями. 1310. х = у2, я = 1, у = 0 вокруг оси Ох и оси Оу. 1311. л:у = 4, *== 1, # = 2 и осью Ох вокруг оси Оу. 1312. ху= —2, *=1, х = 2, у = 0 вокруг оси Ох. 1313. у = *3, * = 2, г/ = 0 вокруг оси Ох и оси Оу. 1314. у2 = (а: + 4)3 и * = 0 вокруг оси Ох и оси Оу. 1315. y = sinx (одной полуволной) и у = 0 вокруг оси Ох. 1316. у = sin2 * JO < #_< те) и у = 0 вокруг оси Ох. 1317. ]/? + У у = Va, х = 0 и у = 0 вокруг оси Оу. 1318. у = 4х— х2 и у = х вокруг оси Ох. 1319. у = хех, х=1 и у = 0 вокруг оси Ох. 111 1320. л:3 + у3 = а3 вокруг оси Ох. X X 1321. у = -тг(еа+е а), #= —а, л: = а и у = 0 вокруг оси О*. 1322. Найти объем тора, образованного вращением окружности х2 + (у — б)2 = а2 (6 > а) вокруг оси О*. § 7. Приложения определенных интегралов к решению физических задач Выше (§ 4) была рассмотрена задача о нахождении площади криволинейной трапеции, приведшая к понятию определенного интеграла. Рассмотрим еще одну задачу, которая также приво-
Глава IX. Определенный интеграл 256 дит к понятию определенного интеграла. Решим эту задачу по аналогии с первой. Пусть материальная точка М движется под действием непрерывно меняющейся силы, направление которой совпадает с направлением движения точки по прямой Os (рис. 89). Положение точки на прямой Os и значение переменной силы F(s), являющейся непрерывной функцией от s, определяются координатой этой точки. Наша задача — найти работу, произведенную переменной силой F (s) на пути от а до 6. Если бы сила была постоянной по величине и направлению, F(s) -цд._ 1 1 1 с-^Н 1 1 1 Н—| 1 ^» О a Ms, ^{Si*i ь $ Рис. 89 совпадающему с движением точки, то работа выразилась бы произведением силы F на пройденный путь: A = F(b — a). (1) Однако если сила F(s) есть переменная, то формула (1) неприменима. Определим работу переменной силы F (s) на указанном пути следующим образом. Промежуток [а, Ь] разделим на п частей. Пусть координаты точек деления будут а = s0 < Si... < St < s/+i < ... < sn = b. На элементарном пути [st, s/+i] будем считать приближенно силу F (s) постоянной и равной значению функции в некоторой точке lt сегмента [sh sl+\], т. е. s, <?,•<$/-и, тогда элементарная работа, произведенная силой на пути Asi = s/4.1—st, выразится по формуле (1): и вся работа, произведенная силой на пути от а до Ь, приближенно будет равна п-\ п—1 ^^2^~2F(WASt" (2) 1=0 1=0 Из выражения (2) видно, что чем меньше длины частичных промежутков As, (г = 0,1, ..., я— 1), тем сумма (2) будет ближе к истинному значению работы, произведенной силой на пути [а, Ь]. Следовательно, естественно принять за работу А предел
257 § 7. Приложения определенных интегралов суммы (2) при стремлении наибольшего из частичных промежутков к нулю, т. е. п—\ A = \imy%F&)Asi, (3) где As = max As,. Следовательно, работа равна интегралу ь A=\f(s) ds. (4) а Нетрудно видеть, что задачи на вычисление площади криволинейной трапеции и работы переменной силы с математической точки зрения одинаковы. Решение этих задач и многих других сводится к составлению интегральных сумм л—1 о = 2/в) Л*, *=о с последующим предельным переходом, т. е. к нахождению определенного интеграла. Однако при решении задачи с применением определенного интеграла, аналогичной разобранным выше, обычно интегральную сумму по условию задачи не составляют, а находят дифференциал (элемент) интересующей нас величины, являющейся функцией некоторой переменной. После этого путем интегрирования (суммирования с предельным переходом) получают искомую величину. Например, в задаче на определение площади криволинейной трапеции (рис. 90) сначала находят дифференциал переменной площади S (х) dS = f(x) dx (dx = Ax), (5) приближенно равный приращению площади AS при условии что х получило приращение Ах. Из равенства (5) находят ь S = j / (x) dx. а Аналогично в задаче на определение работы, произведенной переменной силой F(s), сначала находим элементарную работу dA = F (s) ds (As = ds), (6) приближенно равную приращению работы АА на элементарном пути As = (s-f As) — s, и из равенства (6) получаем работу, произведенную силой F (s) на всем пути от а до Ь: ь A=^F{s) ds.
Глава IX. Определенный интеграл 258 1323. Определить силу давления воды на стенку, имеющую форму полукруга радиуса R = которого находится на поверхности воды. Решение. Сила давления жидкости на площадку щадью S при глубине погружения х равна Р = т*5, где -у — удельный вес жидкости. вертикальную 6 ж, диаметр пло- У ~~о \S(x) ч^—]</=/W а х jc+ax ь х Рис. 90 Рис. 91 Полукруг разделим на элементарные полоски прямыми, параллельными поверхности воды. Заштрихованную полоску приближенно примем за прямоугольник с основанием АВ и высотою dx (рис. 91) и допустим, что все точки этой полоски находятся на одной глубине х(0<*</?). Такое допущение сделать можно, так как dx мало. Элементарная площадь полоски dS = ABdx = 21/OB2 - -OC2dx = 2]/^2 — x2dx. Давление воды на полоску, находящуюся на глубине х, равно будет откуда dP = txdS = 2 V R2 — х2 ~[xdx, R R P = j'27^ V R2 — x2dx = 2T J x]/#2 — x2dx = о о о я = — 2T ffttf = 2Tf*2d* = я о 2-jt3 3 2y^3 (применили подстановку = t24 xdx = :2=/, #2- — fctt; если x = 0, то" * = #, если x = R, то t = 0). Известно, что удельный вес воды (вес 1 см3) равен 1 Г, следовательно, вес 1 м3 воды равен 1000 кГ. В полученном результате R выражено в метрах (R = 6 ж), поэтому надо положить ? = 1000 кГ. С учетом этого получим p=J^6M000_ ^г= 144000 кГ^ 144000-9,81 я = = 1412640 ««14,13 бар
259 § 7. Приложения определенных интегралов (н (ньютон) — единица силы (веса) в Международной системе единиц (СИ); 1 кГ^9,81 я; 1 бар = 0,987 атм). 1324. Скорость движения точки v = 0,5/3 м/сек. Найти путь s, пройденный точкой за время 7 = 8 сек после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток? Решение. Из дифференциального исчисления известно, что v = -—-, следовательно, -~- = 0,5^3, откуда ds = Qt5t3dt. Учитывая, что 0<^<;8, имеем: « Jo, 5ЛЙ = 0,5 - *ср S 512 512 м\ 64 ж/шс. 1325. Котел имеет форму пароболоида вращения (рис. 92). Радиус его основания R = 3 м, глубина Н = 5 м. Котел наполнен жидкостью, удельный вес которой 0,8 Г/см3. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла. Решение. В плоскости сечения хОу АОВ есть парабола, уравнение которой у = ах2. Найдем параметр а. Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению, т. е. Н = aR2, Н н 2 отсюда а = -^-, следовательно, у=-щ-х*. Разделим параболоид на слои плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глубине Н — у равна dy. Тогда, принимая приближенно слой за цилиндр, получим его объем dV = KX2dy. Из уравнения параболы найдем х2 = -^р- значение в формулу (а), получим (а) Подставив это dV- nyR* dy, т. е. Я вес слоя жидкости ра- ?2V вен ^dV = 'н ' dy. Следовательно, чтобы выкачать жидкость с глубины Н — у, потребуется затратить элементарную работу dA= «У«*-«»-У±-с1у. Рис. 92
Глава IX. Определенный интеграл 260 Учитывая, что 0 < у < Я, получаем - ^(?-+)i:=•=?-(-?- '-$¦) -4-w»"- Подставляя значения R к Н, выраженные в метрах, и ] = = 800 кГ, находим искомую работу А = -J- тиЗ2 • 800 • 52 = ЗООООтг (/сГж) ^ 30000.9,8Ь (дж) = = 294300т: (д#е) (дж (джоуль) — единица работы в Международной системе единиц; 1 кГж^9,81 дж). 1326. Скорость движения тела задана формулой v = = Y\-\-2t м/сек. Найти путь, пройденный телом за первые 10 сек после начала движения. 1327. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0, без учета сопротивления воздуха определяется формулой v = v0 — gt, где t — время; g— ускорение силы тяжести. На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через t сек от момента бросания? 1328. Определить давление воды на погруженную в нее вертикально треугольную площадку, вершина которой расположена на поверхности жидкости, основание треугольника равно а и параллельно поверхности жидкости, высота треугольника равна h. 1329. Плотина имеет форму трапеции. Вычислить давление воды на плотину, если известно, что верхнее основание плотины а = 400 ж, нижнее Ъ = 100 ж, а высота h = 20 ж. 1330. Определить давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 10 ж и высотой 6 ж. Определить также давление на нижнюю половину шлюза. 1331. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из котла полусферической формы, имеющего радиус R = 10 ж. 1332. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость из вертикальной цилиндрической цистерны, имеющей радиус основания R = 2 м и высоту Н = 4 ж. Удельный вес жидкости 0,9 Г/см3. 1333. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз; радиус основания сосуда R = 3 ж и высота Я = 8 ж.
261 § 8. Несобственные интегралы § 8. Несобственные интегралы 1. Рассмотрим интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция / (х) непрерывна в промежутке [а, + «>), тогда полагают +оо Ъ f/(*)d*= lim \f(x)dx. (1) Если существует конечный предел (1), то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае интеграл расходится. Аналогично ь ь 4-°° с f (x) dx = lim / (x) dx и \ f (x) dx = lim / (л:) dx + b + lim / (x) dx. Ь^ + ooZ 2. Исследуем интегралы от неограниченных функций. Если функция / (х) не ограничена в любой окрестности точки с промежутка [а, Ь] и непрерывна в этом промежутке за исключением точки х = с, то полагают Ь с—г Ь j / (x) dx = lim j / (x) dx + lim j / (x) dx. (2) Если в правой части равенства (2) существуют конечные пределы, то несобственный интеграл сходится, в противном случае— расходится. При с = а или с = Ь имеем ь ь ь ь—г \ f (x) dx = lim J / (х) dx, ) / (х) dx = lim J / (x) dx. 1334. Найти несобственные интегралы: -j-oo -j-°° -j-oo f +oo С с dx с dx г dx 1) J e~*dx; 2) J fzfT* 3) j —; 4) J ir. 0 — oo 1 1 Решение. 1) Подынтегральная функция непрерывна в промежутке [0, -|- оо), следовательно, по определению +оо Ь \e-xdx= lim \e~xdx= lim (— e~x) = lim (— e~b+ 1) = 1. ? b-+ + x>Q 6-*4oo |0 6^+00 Известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = / (#), прямыми х = а, у = Ь и от-
Глава IX. Определенный интеграл 262 резком оси Ох, выражается интегралом ) / (х) dx. В этом и СО- стоит геометрический смысл определенного интеграла (см. § 4). Если интеграл несобственный сходящийся, то его геометрический смысл тот же, что и собственного определенного интеграла. Так, вычислив данный несобственный сходящийся интеграл, мы получили значение площади плоской фигуры, ограниченной графиком функции / (х) = е~х, прямой х = 0 и осью Ох (рис. 93, а). о) у*е~х 5) 'А У-и& Рис. 93 2) По определению имеем +ОС J if* -.Mir? +Л?^ТТТ* - Itaaretg* + lim arctg* 6-*Ч-со + -arctg(-oo) + arctg( + oo) = -( %.\ + + i—. Геометрически данный несобственный сходящийся интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции и осью Ох, являющейся горизонтальной асимптотой (рис. 93, б). 3) Подынтегральная функция непрерывна в промежутке [1, + со), следовательно, +оо Ъ — = lim i —i- == lim In x Данный интеграл расходится. 4) \ -4r = lim i—4-== lim ( se lim (ln&— lnl) = + oo. i 6-»+°° = 4limJ-4-+l)=l.
263 § 8. Несобственные интегралы Интеграл сходится и выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 1, у = 0 и графиком функции 1 у=-*- 1335. Найти несобственные интегралы: р dx Л ,'• dx r dx 4Ч с dx о о о г о Решение. 1) Подынтегральная функция терпит разрыв (обращается в бесконечность) в точке *= 1, во всех остальных точках промежутка [0, 1] она непрерывна. Пользуясь определением п. 2, имеем 1 , IT» А.. = lim [arcsin(l — Г dx = lim f" , dx = lim arcsin x JV 1-х* s-o J V 1-х2 ,-o 0 e-*0 те — г) — arcsin 0] = arcsin 1 = -^ Получили значение площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Оу, графиком подынтегральной функции и вертикальной асимптотой х = 1 (рис. 94, а). 2 * 2) [— - lim f — = lim \nx lim (In 2 —Ins) = ln2 + «—o + oo = + oo. Интеграл р. 3) t^ = \im\x~Tdx=\im2Vx ' j V X e-0 J ?-0 Интеграл расходится. 4 . 4 1 *= lim 2 (И 4 — /г) =4. g-0
Глава IX. Определенный интеграл 264 Интеграл сходится. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = —т=, прямой х = 4 и асимптотой х = О, Ух равна 4 (рис. 94, б). 4) Подынтегральная функция непрерывна в промежутке [0,2] за исключением точки х= 1, в которой знаменатель дроби обращается в нуль, следовательно, в окрестности этой точки функция не ограничена: 2 1 2 Г dx __ Г dx Г Л* J х2 — 4а: + 3 — J х2 — Ах + 3 + J х2 — 4л: + 3 * о 'о 'l ' Если оба интеграла в правой части равенства сходятся, то сходится и данный интеграл: 1 1-S L2j?-f3 =iimJ (х-2)*-1 =У]ШЛ1П Х~3 '4* + 3 ?"o0J (*-2)2-1 Г/о 2 *-1 2 "п 3s >0\ е / Z e—0 откуда уже следует, что рассматриваемый интеграл расходится. Найти несобственные интегралы: о +» 1336. J е*Жс. 1337. J -^d*. — с» 1 -f-o° -J-00 1338. \e-v-*dx. 1339. j -(TTW~ о о v ~ ' оо 1 1340. J cos*d*. 1341. J In xdx. о о 1342- b-*-2- 1343- 1 dX _ x2 —4x + 7 l -oo ' 1344-1-лЙг- ,345-1)Ii^V; 2) dx i (*_2)2. -/ 4jx]t=t 1346. Найти объем тела вращения, образованного враще- о о о 1 нием криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = —, х = 1 (лс> 1), # = 0, вокруг оси О*. 1347. Скорость движения точки v = ter*M м/сек. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полной остановки.
265 § 9. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9. Приближенное вычисление определенных интегралов ъ Известно, что определенный интеграл J / (х) dx от любой не- а прерывной функции f(x) существует, однако не для всякой непрерывной функции, как уже говорилось выше, первообразная функция выражается через элементарные функции в конечном виде. В этих случаях формула Ньютона — Лейбница неприменима, поэтому для вычисления интегралов обычно используют один из способов приближенных вычислений. Впрочем методы приближенного вычисления интегралов применяют и в некоторых других случаях. Рассмотрим две формулы приближенного вычисления определенных интегралов. 1. Формула прямоугольников. Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а, 6], то определенный интеграл приближенно равен интегральной сумме Ь /1—1 Данный промежуток [а, Ъ\ разделим точками на п равных частей. Обозначим абсциссы точек деления через а0 = х0 < х1 < х2 < ... < xt < Xi+\ < ... < хп = 6, где xi+x —xt = ~~па =Л (/ = 0, 1, 2 п— 1). Составим следующие интегральные суммы, которые будут приближенными значениями интеграла. Пусть в выражении (1) \L = хь тогда / (у = / (*,) = у( и ь п—\ п—\ j / (x) dx^^hfixj) = h 2% = ^г~(Уо + У1 + У2 + -.- + + ifc-i). (2) Пусть теперь \t = xi+u тогда /(?,) = / (xt+i) = yi+\ и b n—\ n a '-=-0 i= 1 + </„)• (2') Геометрически по формуле прямоугольников площадь криволинейной трапеции приближенно равняется площади ступен-
Глава IX. Определенный интеграл 266 чатой фигуры, состоящей из прямоугольников (рис. 95, см. также рис. 76). Погрешность формулы прямоугольников д („Х-?=?-| л, (3) -наибольшее по абсолютной величине значение производной функции f(x) в промежутке [а, Ь]. y-f(x) Рис. 95 2. Формула трапеций имеет вид lf(X)dx^^(^^- + y1 + yi + + Уп-\ = Уо + Уп /2-1 1 = 1 (4) Геометрически по формуле (4) площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей трапеций (рис. 96). Погрешность формулы трапеций M"><-w%'l> (5) где \у"\ — наибольшее по абсолютной величине значение второй производной функции f(x) в промежутке [а, Ь]. 6 1348. Вычислить интеграл J (x2 + S)dx по формуле Ньюто- о на — Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников и трапеций, разбивая промежуток интегрирования на 6 равных частей (п = 6). Найти абсолютную и относительную погрешности результатов вычисления по приближенным формулам. Решение. По формуле Ньютона — Лейбница 6 / = J (х2 + 3) dx = Зх) 90.
267 § 9. Приближенное вычисление определенных интегралов Промежуток [0, 6] разделим на 6 равных частей и составим таблицу значений подынтегральной функции у = х2 + 3: #о = О у0 = 3 *4 = 4 ?/4 = 19 #i = I #i = 4 #5 = 5 у5 = 28 #2 = 2 г/2 = 7 #6 = 6 #в = 39 3 1 Г» / ^ Л 6 0 - Уз =12 й= Л =—— = 1. По формуле прямоугольников (2) 5 '~ 2& = 0о + 0i + 02 + 0з + 04 + 05 = 73. Абсолютная погрешность А = 90 — 73= 17. Относительная погрешность 8= -—-^0,189= 18,9%. По формуле прямоугольников (2') б /« 2*0/ = 01 + 08 + 08 + 04 + 06 + 08 = 1°9' Абсолютная погрешность А = 109 — 90 = 19. Относительная погрешность 8 = -|^ 0,211 =21,1%. По формуле трапеций /^^4^ + 2^=^ + 70 = 91; 1 = 1 Д = 91 — 90 = 1; 8 = -1-^0,011 = 1,1%. 2 (dx — = In 2, вычислить приближенно 1 х значение In 2, воспользовавшись формулами прямоугольникоз и трапеций (при я =10). Оценить абсолютную погрешность полученных результатов. Решение. Промежуток [1, 2] разделим на 10 равных частей и составим таблицу значений подынтегральной функции 1 у=—: х0 = 1,0 у0 = 1,0000 #б = 1,6 у6 = 0,6250 #1=1,1 уг = 0,9091 х7 = 1,7 у7 = 0,5882 #2 = 1,2 у2 = 0,8333 #8- = 1,8 i/8 = 0,5556 #з = 1,3 г/з = 0,7692 #9 = 1,9 у9 = 0,5263 #4=1,4 #4 = 0,7143 #10 = 2,0 г/10 = 0,5000 #5=1,5 у5= 0,6667 ft = _-^ = JL=± = _^_.
Глава IX. Определенный интеграл 268 По формуле прямоугольников (2) 9 /~Л2^ = Ж^+ .•• + %) = 4-7,1877^0,7188. По формуле прямоугольников (2') ю ' = ft2 Vi = io fa + • • • + Ую) = io'6>6877 ~ °>6688- Оценим абсолютную погрешность по формуле (3). Найдем производную у' = (—) = — —?-. Отсюда видно, что наибольшим значением \у'\ = -g- в промежутке [1,2] будет \у' (1)| = 1. Следовательно, Д (10)< v 1Q -l = 0,1. По формуле трапеций (4) 9 ^0,6938. Оценим абсолютную погрешность по формуле (5). Найдем вторую производную у" = [——г) = ~зг- Наибольшим значением \у"\ в промежутке [1, 2] будет |#"(1)| = -^- = 2. Следовательно, AdPx-^X-^-rar5*0'0017- В таблицах Брадиса дается значение In 2 ^ 0,6931, близкое к полученному по формуле трапеций. Вычислить интегралы по формуле Ньютона — Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников и трапеций, найти абсолютную и относительную погрешности результатов, полученных по приближенным формулам*: 5 1350. J (x2 — 2)dx (л = 6). 4 1351. \V~xdx (л = 8). * В задачах 1350— 1354 все вычисления выполнить с тремя десятичными знаками.
269 § 1. Основные понятия Вычислить приближенно по формуле трапеций следующие интегралы, которые не могут быть найдены в конечном виде с помощью элементарных функций: з 1352. §УГ+Т3с1х (л = 6). о TZ 3~ 1353. Jj/cos;ak: (n =10). о /dx % I _[_Х2 = ~4"> вычислить приближенно чис- о ло тг, воспользовавшись формулами прямоугольников и трапеций (при п = 10). 1355. На сколько частей надо разделить промежуток инте- 2 г dx * грирования интеграла J —, чтобы вычислить его с точностью 1 до 0,001 по приближенным формулам прямоугольников и трапеций? . Дифференциальные Глава |_xj уравнения § 1. Основные понятия Уравнение вида F(x, у, у\ у", ..., */<»>) = 0, (1) связывающее аргумент х, неизвестную функцию у(х) и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в уравнение (1), называется порядком этого уравнения. Дифференциальное уравнение (1) будет n-го порядка при условии, что yW обязательно входит в это уравнение. Так, например, уравнение у" + ху' — х2 = 0 — второго порядка, r/IV = 0 — четвертого порядка, у' — х = 0 — первого порядка. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция у = у(х), которая, будучи подставлена в уравнение (1), обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде / (я, у) = 0, то его обычно называют интегралом.
Глава X. Дифференциальные уравнения 270 Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения. В общем случае нахождения решений уравнения (1) потребуется п последовательных интегрирований, поэтому общее решение будет содержать п произвольных постоянных, т. е. иметь вид у = <р(х, Съ С2, ..., Сп) (2) или Ф(*. У, Съ С2, ..., Сп) = 0. (3) Соотношение (3) называется общим интегралом уравнения (1). Придавая в соотношениях (2) или (3) произвольным постоянным Съ С2, ..., Сп конкретные числовые значения, получим частное решение или частный интеграл. 1356. Проверить, что следующие функции являются решениями дифференциальных уравнений: 1) ху' — у = 0, у = Сх\ 2) у"-^у' + -^г = 0, у^Сгх + С^ 3) иГ + ±т/=0, v = -^ + C2. Решение. 1) Уравнение первого порядка, так как оно содержит производную первого порядка. Найдем производную от данной функции у' = С. Подставив в данное уравнение у = = Сх и у' = С, получим тождество хС — Сх = 0, 0 = 0. 2) Уравнение второго порядка, так как оно содержит производную второго порядка. Найдем первую и вторую производные от данной функции, а затем функцию и ее производные подставим в данное уравнение и убедимся, что уравнение обратится в тождество у'=Сг + 2С2х, у" + 2С2; 2С2 - \ (Сг + 2С2х) + -Jr (С,х + С2х*) = 0, 0 = 0. 3) Находим производные по переменной г: V = ?-, V = — г2 ' " ~ г3 ' Подставив производные и данную функцию в уравнение, получим тождество 2СХ + -?-(—§ь) = о, о-о. 1357. Проверить, что функция у = х2 + С является решением дифференциального уравнения —р- = 2х. Построить се-
271 § 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка меиство интегральных кривых и выделить интегральную кривую, проходящую через точку (1; 2). Решение. Найдем производную ~j- = -р (х2 + С) = 2хи подставим ее в данное уравнение. Получим тождество 2х = 2*. Следовательно, у = х2 + С является решением данного дифференциального уравнения и притом общим, так как оно содержит произвольное постоянное. Уравнение У = х2 + С (а) определяет семейство парабол (рис. 97), которое и будет семейством интеграль- рис. 97 ных кривых. Найдем интегральную кривую (параболу), проходящую через заданную точку (1; 2). Подставив координаты этой точки в уравнение (а), получим 2 = = I2 + С, откуда С = 1, следовательно, функция у = х2 + 1 является частным решением данного дифференциального уравнения, а ее график (интегральная кривая) будет проходить через заданную точку. Проверить, что указанные функции являются решениями дифференциальных уравнений: 1358. f — 2у'+у = 01 у = (d + C2x) ex. 1359. 2хуу' =У2 — х\ х2 + у2 = 2Сх. 1360. у" + у = 0, у = Сх sin х + С2 cos x. 1361. ху' — у + хУ х2 — у2 = 0, arcsin— = С — #. 1362. Проверить, что общим интегралом дифференциального уравнения —р- = — будет х2 + у2 = С. Построить семейство интегральных кривых и выделить интегральные кривые, проходящие через точки (1; 1), (3; — 4) и (0; 1). § 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y') = 0 (1) или y'=f(x, У). (2) где у — неизвестная функция; х — независимая переменная.
Глава ff. Дифференциальные уравнения 272 Общее решение уравнений (1) или (2) имеет вид 0 = Ф(*. С) (3) или Ф(*. У. С) = 0. (4) Соотношение (4), как уже говорилось, называют общим интегралом. Чтобы получить частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения (1) или (2), надо задать значение у09 которое искомая функция принимает при определенном значении независимого переменного х0 (начальные условия). Подставляя х0 и у0 в (3) или (4), найдем соответствующее значение С = С0 из уравнений у0 = ф (х09 С) или Ф (xQ9 у0, С) = 0. Подставляя найденное значение С в уравнение (3) или (4), получим частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее начальным условиям. Геометрически это означает, что найдена интегральная кривая у = <р(х, С0), которая проходит через точку (х0\ у0) и имеет касательную в этой точке, составляющую с положительным направлением оси Ох угол а0 такой, что tga0 = у'0. Впрочем, еще до нахождения решения у = qp (x, С0), направление касательной в точке (х0; у0) нам уже было известно из уравнения (2), так как это уравнение определяет направление касательной интегральной кривой в любой точке (х\ у) области определения функции f(x, у). Заметим, что могут быть случаи, когда из общего решения уравнения некоторые решения не получаются ни при каких значениях С. Такие решения могут быть двух видов: частные или так называемые особые решения. Признаком особого решения служит нарушение свойства единственности, т. е. если интегральная кривая является особым решением у = ф (*), то через каждую точку этой кривой будет проходить, по крайней мере, еще одна интегральная кривая того же уравнения, имеющая в этой точке ту же касательную. 2. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида М (х) N (у) dx + P (x) Q (у) dy = 0. (5) Разделив обе части уравнения (5) на произведение Р (х) N (у) и проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (5) в * Функции М (х), N (у), Р (х) и Q (у) непрерывны.
273 § 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 1363. Проинтегрировать уравнения: 1) (l+y2)d*-(l+*2)^{/==0; 2) Хуу'+х2-1~0\ 3) sec2 x tg ydx + sec2 у tg xdy = 0; 4) yy' = -Цр2Ь, у 5) y' = e**lny; 6)-g- = 2*/*. Решение. I) Разделим обе части равенства на произведение (1+*2)(1 + */г): Переменные разделены. Почленно интегрируя, получаем искомый общий интеграл J т+1? = J Г+*р- ЛУ> arctgJc = 4-ln(1+f/2)+!nC (C>°) или arctg л: = In С1/1 + у2. 2) Известно, что у' = -—-, следовательно, *</-f- + *2-i=o. Умножим обе части равенства на dx: xydy + (x2 — 1) dx = 0. Разделим обе части равенства на х: ydy -\ — dx = 0. Почленно интегрируя, получаем искомый интеграл §ydy + §(x--±-))dx = \nC1 (ci>°)> ^+-^-ln|*| = lnClf откуда x2 + y2 = In C\x2 или x2 + у2 = In Cx2 (C = C?). 3) Разделим обе части равенства на произведение igy-\.gx\ sec2* , , sec2*/ , Л tgJc tgy Интегрируя, находим ln|tgA;| + ln|tgf/| = ln|C| (C=t0), откуда ln|tg*tg0| = ln|C|,
Глава X. Дифференциальные уравнения 274 следовательно, |tg* tgy| = |C|, tgxtgy=±C, igxtgy = C1 (Сг=± С). 4) Учитывая, что у' = -т~> получаем dy _ \+2х У dx ~ у Умножим обе части равенства на произведение ydx: y2dy = (l + 2x)dx. Интегрируя, находим \y2dy = J (1 + 2х) dx, -?- = х + х2 + С19 откуда у* = Зх2 + 3х + ЗСг. Общее решение будет иметь вид i/ = j/Зл;2 + 3* + С. 5) -р- = ех* In л:, откуда dy = ex* In у dx. Разделим обе части равенства на In у: dy =e"dx. In t/ Интегрируя, получаем Интегралы \-у^— и Cex*dx не берутся в элементарных функциях, однако исходное дифференциальное уравнение считается проинтегрированным, так как задача сведена к квадратурам (интегралам). Заметим, что у = 1 есть частное решение уравнения (проверяется подстановкой в уравнение), из общего решения оно не получается ни при каких значениях С. Это решение было потеряно при делении уравнения на In у (уф 1). 6) Обе части равенства умножим на dt и разделим на J/*: dx r_ - 2tdt. Vx Интегрируя, получаем общее решение: Г-^| = 2jtdt, 2\/x =t* + C, x = -^(t* + С)\ h Ух Данное уравнение имеет еще одно решение х = 0, в чем можно убедиться непосредственно подстановкой его в уравнение. Это решение не получается из общего ни при каких значениях С. Оно является особым.
275 § 2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка Построив семейство интегральных кривых х = -^- (t2 + С)2 и интегральную кривую х = 0, можно убедиться, что прямая х = 0 состоит сплошь из точек касания с интегральными кривыми упомянутого семейства. 1364. Проинтегрировать следующие уравнения и найти частные решения, удовлетворяющие указанным начальным условиям: 1) (х + 2)dy + (y-\)dx = 0, 0(1) = 2; 2) t/' = (2f/-l)ctg*, */(-f) = 5. Решение. 1) Находим сначала общий интеграл: In |* + 2| + In \у- 1| = 1п|С|,1п |(* + 2) (у- 1)| = In |C|, откуда \(х + 2)(у-1)\ = \С\ и (* + 2)&-1)=±С ИЛИ (х + 2)(у-1) = С! (СХ=±С). (а) Подставив в равенство (а) х = 1, у = 2, получим 3 (2 — 1) =з = Clf откуда Сг = 3. Подставляя найденное значение Сг = 3 в общий интеграл (а), находим частный интеграл (х + 2) (у — 1) = 3, удовлетворяющий начальным условиям. Имеется еще два частных решения х = —2 и {/ = 1, которые не получаются из общего решения. Интегральные кривые х = — 2 и у = 1 будут асимптотами семейства интегральных кривых (постройте это семейство и их асимптоты). 2) Находим общее решение: -§- = (2у - 1) ctg х, -Jj^. = ctg xdx, f'^rf = /ctg xdx, -L In |2y - 1| = In |sin x\ + In |q (С ф 0), In |2y — 11 = 21n \C sin x\ = In C2 sin2 x, откуда 2y— 1 = ± C2sin2*, 2y— 1 = Cxsin2* (d = ± C2) и _ 1+dsin»* ^ У = 2 ' W Подставляя в равенство (б) # = -~, г/ = 5, получаем 5 = /.
Глава X. Дифференциальные уравнения 276 откуда Ct — 36. Это значение Сх подставим в общее решение (б). Получим частное решение у = 18 sin2 х ¦+- -к-, удовлетворяющее начальным условиям. Проверьте, что у = -у будет частным решением, которое не получается из общего решения. Проинтегрировать уравнения: 1365. 1) у' = cos л;; 2) {/' = sin2x; 3) у' = cos3*; 4) / = б*3; 5) у' = VI—**; 6) */' = ln*_+ l; 7) У' = 1+ jr; 8) g- = 1/1 -1/2; 9) dt/- 2Vy dx=0. 1366. 1) «/' cos2 x = sin2 л:; 2) у' = 3*+». 1367. 1) VT=3?dy + УП=^1* = 0; 2) xVT^pdx + yVT^x2dy = 0. 1368. 1) tg xdy — (1 -r */) Ле = 0; 2) (1 + у2) у' — у = 0. 1369. 1) t2s' — t+l= 0; 2) dp — p2tgq>dq> = 0. 1370. 1) y'smx = y\ny; 2) ]/6у — уЧх — (4: + x2) dy = 0. Проинтегрировать следующие уравнения и построить интегральные кривые, проходящие через заданные точки: 1371. 1) ydx + xdy = 0; (2; -3), (-2; -4), (2; 3); 2) х*у'+у* = 0; (1; - 1); 2)tf = V? (0; 1); 4) у'= -2ху; (0; 3). Найти частные решения (или интегралы) уравнений, удовлетворяющие данным начальным условиям: 1372. 1) хJ/T+"? + {/ /ТТ*У = 0; у = — 2 при л: = 0; 2) (l+e-W=e*; 0(0) = 2; 3. Функция f(x, у) называется однородной нулевой степени, если при любом t ф 0 выполняется тождество f(tx, ty) = f(x, у). Например, такими функциями будут У „ */„ „\ *2 — г/2 /(л:, */) = ln-f- и /(*, у) = *2 + */2 так как ty _,„ У „ {txf-(tyf v2_f In-2*- = In-?-и tx ~ * (**)2 + (*J/)2 a:2 + f/2
277 § 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Уравнение вида V*=f(x.y) (6) называется однородным, если f (x, у) — однородная функция нулевой степени. Однородное уравнение с помощью подстановки у = их, где и (х) — новая неизвестная функция, приводится к уравнению с разделяющимися переменными. 1373. Проинтегрировать уравнение xdy = (х + у) dx и найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у = 2 при х = — 1. Решение. Данное уравнение решим относительно производной. Получим уравнение вида (6): у =—г^- В правой части этого уравнения функция однородная нулевой степени, следовательно, исходное уравнение однородное. Применим подстановку у = их. Найдем производную у' = и'х 4- и и в уравнение вместо у и у' подставим их новые значения. Получим уравнение с разделяющимися переменными , , х + их и'х + и = ¦ , 1 X ' отсюда и'х = 1, du = , X и = In \х\ + С, -^- = In \х\ + С, у = х In |*| + Сх. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Если х = — 1, у = 2, то 2 = — llnl —С, С =—2, у = х\п\х\ — 2х. 1374. Проинтегрировать уравнения: 1) (у — х) ydx +¦ x2dy = 0; 2) if' = -?- + tg-?-; 3) (y2 — x2)dx + 2xydy=:0. 1375. Проинтегрировать следующие уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через данную точку М{х0; г/„): 1) (х + у) dx + (х + 2у) dt/ = 0; М (1; 0); 2) y2dx + (х2 — ху) dy = 0; М(1; —5); 3) j/' = -J-+-b, M(l; 1); М(-1; 0).
Глава X. Дифференциальные уравнения 278 4. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида y' + p(x)y = f(x), (7) где р(х) и f(x) — непрерывные функции в некотором интервале. Если функция f(x) тождественно равна нулю, то уравнение у'+р(х)у = 0 (8) называется однородным, при / (х) Ф 0 — неоднородным. Уравнение (8) — уравнение с разделяющимися переменными. Уравнение (7) интегрируется с помощью подстановки У = uvy (9) где функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные и' (х) и х/ (х). Найдем производную функции (9): у' = u'v + uv'. (10) Подставив выражения (9) и (10) в уравнение (7), получим u'v + uvr + р (х) uv = / (а:). Сгруппируем члены в левой части равенства u'v + u[v' +p(x)v] = f(x). (11) Определяем функцию v так, чтобы коэффициент при и обратился в нуль: v' + p(x)v = 0. (12) Интегрируем это уравнение: -J- = — p(x)v9 -?- = —p(x)dx, \nv = — ^p(x)dx, -\p(x)dx v = e J . (13) Функция (13) есть частное решение уравнения (12). Учитывая (13), (12) и (11), получим уравнение u'v~f(x), из которого находим функцию и= ^Ш-dx + C. (14) Найденные функции (14) и (13) подставим в (9), получим искомое решение уравнения (7). 1376. Проинтегрировать уравнение *У + ху = 1 (хфО) и найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям: у = 3 при х = 1; у = — 5 при х = — е. Решение. Данное уравнение приведем к виду (7): У +—У = -х2-
279 § 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Применим подстановку у = uv. Найдем производную у' = u'v + uv'. Подставив эти значения j/ и/ в данное уравнение, получим u'v + uv' Н uv = -2- 1 ' х х2 или u>v + u(v>+JL)=l (a) X ) X* Потребуем, чтобы функция v обращала в нуль выражение, стоящее в скобках уравнения (а). Такой функцией может быть любое частное решение уравнения o' + JL = 0. (б) Интегрируем это уравнение и находим частное решение: dv и_ dv dx , ^ _ , _l_ dx x ' v ~~ x * ~ ~~ x * откуда V = . (B) X V ' Подставив в (а) полученное значение v, получим 1 , _ 1 X X2 ' отсюда du = -^-, Jrfu = j-^Ч it = In 1*1 + С. Следовательно, общее решение данного уравнения будет In | х I + С Найдем частные значения, удовлетворяющие начальным условиям. Если у = 3 при х = 1, то 3= 1п11+С, С=3, у = 1п|*| + 3. Если у = — 5 при х = — е, то — 5 = Inl-^l-fC ^ c = 5g_if у==1п|^| + 5в—1. 1377. Проинтегрировать уравнения: 1) х2у' + 2ху = In *; 2) е* (у + у') = 1; 3) у' sin л: — у = 1 — cos x.
Глава X. Дифференциальные уравнения 280 1378. Проинтегрировать следующие уравнения и найти интегральную кривую, проходящую через данную точку М (х0\ у0): 1) ху' + 2у = х*{хФ% М(-1; 1), М(1; -2); 2) y'-"f =3r, М(1; 3), М(1; -5); 3) у' + ху = х\ М(0; 2), М(-1; 1). § 3. Задачи, уравнениям приводящие к дифференциальным Для нахождения неизвестной функции по условиям задачи составляют дифференциальное уравнение, интегрируют его и находят искомую функцию. При составлении дифференциального уравнения учитывают геометрический и физический смысл производной. 1379. Найти кривую, проходящую через точку (2; 3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания. Решение. Пусть М(х\ у) — произвольная точка искомой кривой, тогда по условию AM = MB (рис. 98), следовательно, ОС = СВ, ОВ = 20С== = 2х и аналогично О А = 20D = 2у. Рис. 98 Далее, так откуда ОА какф-л—а, то tgф = tg (тг—а) = — tga = яд=4> О В' tga: --^- или у _У_ X (а) Интегрируя дифференциальное уравнение (а), получаем dy у dy . dx n р dy . р dx 1 r Чх- = -—> ~+—=0> J~7~ + J~ = lnC' 1п|#| + 1п|л:| = In С, 1п|аг^| = lnCt ху = С или у = -±-(СфО). (б) Итак, общим решением уравнения (а) является семейство равносторонних гипербол с асимптотами, совпадающими с осями координат. Теперь найдем гиперболу, проходящую через заданную точку (2; 3). Подставив в уравнение (б) координаты этой точки, получим 2-3 = С, откуда С = 6, Следовательно, искомая кривая ху = 6,
281 § 3. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 1380. Скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству R. Найти зависимость R от t\ составить дифференциальное уравнение и определить коэффициент пропорциональности из опытных данных, согласно которым через 1600 лет останется половина наличного количества радия. dR Решение. По условию задачи -тг = kR (скорость изме- dR нения есть производная по времени), откуда —^- = kdt, \nR = kt + lnC, \nR = \nekt + In С = = \nCekt9 R = Cekt. (в) Пусть в начальный момент времени t = 0 количество радия R = RQ, тогда RQ = Cek0, откуда С = RQ. Подставляя это значение С в выражение (в), получаем R = RQekt. (г) Коэффициент k находим из условия, что если t= 1600, то R = -у-. Подставляя эти значения в формулу (г), получаем 2 = R0e Ro __ d о!600/г 2 откуда -i- = emok, — In 2 = 1600A, й = ~^2 « — 0,00043. Следовательно, искомая функция R = ^Ое-0'00043/. 1381. Найти кривую, в каждой точке которой касательная перпендикулярна к радиус-вектору точки касания. 1382. Найти кривые, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат. Выделить и построить кривую, которая проходит через точку (2; 4). 1383. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, тангенс наклона которой в каждой точке равен 1 +х2 • 1384. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 2), тангенс наклона которой во всякой точке равен -^~т- 1385. Тело, выйдя из состояния покоя, движется со скоростью, которая определяется в каждый момент времени t по формуле v = Ы2 + 2 м/сек. Найти закон движения тела и путь, пройденный телом за 3 сек. 1386. Найти закон движения и скорость движущегося тела, если скорость его возрастает пропорционально пройденному пути и если в начальный момент движения тело находилось в 8 ж от начала отсчета пути и имело скорость 24 м/сек.
Глава XI. Ряды 282 1387. Если температура воздуха равна 10° и тело в течение 30 мин охлаждается с 80° С до 30°, то через сколько времени его температура понизится до 20°? (По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды.) Глава XI Ряды § 1. Числовой ряд. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами 1. Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение #1> #2> ^ап = аг + а2 + а3 + ... +ап + (1) (2) Л=1 ¦ членами называется числовым рядом, а числа а19 а2, а3, ... ряда. Суммы Si = аъ S2 = аг + а2, 53 = ах + а2 -f а3, ..., Sn = ах + + а2 + а3 + ... + ап9 ... называются частичными суммами ряда (2). Если последовательность частичных сумм имеет конечный предел S = Hm Sn, (3) то этот предел называется суммой ряда. В этом случае ряд называется сходящимся. Если же предел (3) не существует или равен бесконечности, то ряд расходится и суммы не имеет. 2. Рассмотрим необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то его общий член ап стремится к нулю при неограниченном возрастании номера п: lim ап = 0. (4) При нарушении условия (4) ряд заведомо расходится. Заметим, что из сходимости ряда (2) следует сходимость его остатка rn = art+i + Лл+2 + -. - и, наоборот, из сходимости
283 § 1. Числовой ряд. Сходимость ряда остатка ряда следует сходимость исходного ряда. Иначе говоря, если отбросить конечное число п начальных членов ряда, то это не отразится на сходимости (расходимости) ряда. 3. Разберем достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак сравнения рядов. Пусть имеем два ряда с положительными членами 01 + сг2 + ... + ап + ... (5) и bt + b2 + ...+bn + ... (6) Если, начиная с некоторого номера п > N, выполняется неравенство то из сходимости ряда (6) следует сходимость ряда (5) и из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (6). Признак Даламбера. Если существует предел lim^±i-=/( Л-К» аП то при / < 1 ряд (5) сходится, а при / > 1 расходится. При / = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным. Признак Коши. Если существует предел то при / < 1 ряд (5) сходится, а при I > 1 расходится. Если /= 1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным. 1388. Написать пять первых членов ряда по данному общему члену ап = n(nl+iy Решение. Полагая п = 1, получаем аг = у-н- Если п = 2, то а2 — "273' если п ^ 3, то а3 = -т^у и далее (при п = 4; 5) а4 = -t-f> аь = -g-g-. Следовательно, 2j п(п + 1) ~~ 1-2 + 2-3 + 3-4 + 4-5 + 5-6 + ••' op 1389. Написать пять первых членов ряда \* {— 1)п~1 *. . Решение. Общий член ап = (—1)п~1 пП,1- Полагая п = 1, получаем аг = (— 1)°уху = -у. Если п = 2, то а2 =
Глава XI. Ряды 284 = (— *) Т+Т ^ 3" и далее (при п = 3; 4; 5) °3 = = (— 1)45 , 1 = -g-. Следовательно, 2/ ' л+1 2 3^4 5^6 /2=1 1390. Написать формулу общего члена для каждого ряда: 1) 1+-Т + ТГ+-ПГ + -"' z' 5 8 ^ 11 14 т^" Решение. 1) Знаменатели членов данного ряда — квадраты натуральных чисел, следовательно, общий член ряда _ 1 п ~~ п2 ' 2) Числители членов этого ряда — четные числа вида 2п, а знаменатели — числа, получающиеся по формуле Зп + 2 (п=1, 2, 3,...). Учитывая также, что знаки членов ряда чередуются, получим 1391. Найти для каждого ряда частичную сумму первых п членов (Sn)\ показать, пользуясь определением, сходимость (расходимость) ряда; найти сумму ряда (5): 1) a + aq + aq2+ ... + aqn~l + ... ; 2' Т^ ^ $ГЗ + 3^4 ~*~ • " " "^ п(п+ 1) + • • • Решение. Рассмотрим несколько случаев. 1) Пусть \q\< 1, тогда частичная сумма Sn определяется по известной формуле суммы убывающей геометрической прогрессии 5— а~1Я ~" 1 — <?' где а — первый член; / — последний; q — знаменатель прогрессии. Следовательно, частичная сумма ряда S = а — аап q \-q \-q- Сумма ряда S = lim Sn = lim M , . — , ,
285 § 1. Числовой ряд. Сходимость ряда так как под знаком предела первое слагаемое постоянное, а второе — бесконечно малая величина (qn -> 0 при п -> оо). Ряд сходится. Если |д|> 1, то частичную сумму Sn найдем по формуле суммы возрастающей геометрической прогрессии 5 = '-^. я— 1 Следовательно, частичная сумма данного ряда с _ аяп — а Сумма ряда "п ^r^w-1 я- так как первое слагаемое под знаком предела — бесконечно большая величина (qn-^oo при п-^ + оо). Ряд расходится. Если <7=1, то Sn = а + а + ... + а = па, следовательно, \imSn = \im an = оо. Ряд расходится. «->ОО П~*00 Если q = — 1, то S1 = a, 52 = а — а = 0, 53 = а — а + + а = а, 54 = О, 55 = а, ... , откуда видно, что последовательность частичных сумм предела не имеет, следовательно, ряд 1 расходится. Итак, данный ряд сходится при | q | < 1 и расходится при Ы>1. 2) Общий член ряда а„ = —t—r-тг- запишем иначе: ' г Л я (/г + 1) 1 А В 5 = HmS„= lim (т^-r ггт) ^ °°> п(п + 1) ~~ л ' л + Г Определяя коэффициенты Л и В, получаем 1 1 а„ = п п + Г Следовательно, оо оо /2=1 Л=1 Напишем частичную сумму ряда 2 у 1 V 2 Зу^\3 4 5 = lim5, = lim (l_i)=l, я -оо м >оо \ '* т^ 1/ отсюда следует, что ряд 2 сходится и его сумма 5=1.
Глава XI. Ряды 286 1392. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда: оо оо 2) >?2^__з, A, _L4- 1 2у|+1 1 Решение. 1) Данный ряд называется гармоническим. Необходимое условие сходимости для этого ряда выполняется: lima-= lim — = 0, ** /i /г~*оо я->со '* тем не менее гармонический ряд расходится. Убедимся в этом. Найдем последовательность частичных сумм: S-i = 1, о2 = 1 + ~2~ == "*~2~» seeSi.>44+x+4-+T-+T>4-4-+ ~1-8~i"8*i~8~t"8 2' 52л >- (я + 2) • -g- (n =5 1,2,...), следовательно, S2n -> оо при n -> со, так как -у (n + 2) -> оо при п -> со. Итак, гармонический ряд расходится. 2л+ 1 «. 2 + ~7Г 2 2) lim с-—х = Ьт = -s-. Необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится. 1393. Исследовать сходимость ряда, пользуясь необходимым признаком и признаком сравнения: ОО 00 3) —JШ = ?2" + йГз" + • •'; 4) jL~W> л=2 л-1
287 § 1. Числовой ряд. Сходимость ряда 5) JL(/i + l)5« ~ 1 +25+ 3-52 + 4-53 + '•' I (я + 1) Решение. 1) Общий член данного ряда ап = -т= при у п п -> со стремится к нулю, т. е. необходимый признак сходимости выполняется. Сравним ряд 1 с гармоническим рядом, общий член которого ап = —. Нетрудно видеть, что -= ;> — п у п п (л=1, 2, 3, ...), т. е. каждый член данного ряда больше соответствующего члена расходящегося гармонического ряда или равен ему. Следовательно, по признаку сравнения ряд 1 расходится. 2) Общий член данного ряда ап = j^ri не стремится к нулю при п -> со: lim ——-г = lim =—= 1. я-*оо п "¦ * п-+со 1 , JL ~г п Необходимый признак сходимости не выполняется. Ряд 2 расходится. 3) Сравним данный ряд с гармоническим. Для всех п > 2 выполняется неравенство у-^ > —^ следовательно, ряд 3 расходится. 4) Сравним данный ряд V_L~14-J>4-JL.JLjl 4--L-U jS^ n2 — L ~Г 22 ~Г 32 "Г 42 ' * ' ' * П2 ' * " # со сходящимся рядом 2 (задача 1391). Как видно, каждый член данного ряда, начиная со второго, меньше соответствующего члена сходящегося ряда, т. е. (п + l)^ < n(n+\) (n = *» 2' 3' '" Л' поэтому ряд 4 сходится. 5) Сравним данный ряд с бесконечной геометрической прогрессией, общий член которой ап = -^ \а = -^- < 1J. Для всех 00 п выполняется неравенство 1 5Д < -g^. Ряд JV-gjr сходится, поэтому, согласно признаку сравнения, и ряд 5 также сходится.
Глава ff/. Ряды 288 1394. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда: 2Л Решение. 1) ап = -^-, следующий за ним член ряда о^-ц = ¦ , i 1). . Последующий член ряда делим на предыдущий и переходим к пределу ijT =lim 1о = lim -oft—, 1ч, = ит —гт = 0. Л->00 2Я(/1+1)! я^оо Л+1 Получили Z = 0 (/ < 1), следовательно, ряд 1 сходится. Зп зп+1 2) ап = ^> Я*+1 = ¦ /i2»' ^ (я+1)2"+г Разделив последующий член на предыдущий, получим an+l _ 3n+ln2n = Зп ап "" (Л+1)2Л+13Л 2 (/г + 1)в Найдем предел 1. ап+\ 1- Зп 3 г 1 3 11т _t. = hm ^^ = hm _ = Получили /= 1,5 (/> 1), следовательно, ряд 2 расходится. Q4 l l <*) ап = -=Г» ал+1 = Ая — пз » -л-t-i (/г + 1)8 • Найдем предел lim —— = lim ^—?Ц^ = lim -7 гтз~ = 1. «-.оо */* л->оо <Л + 1)3 п-оо (1 + -М Получили / = 1, следовательно, вопрос о сходимости ряда остается открытым. Применим признак сравнения. Данный ряд с общим членом ап = — сравним со сходящимся рядом 4 с общим членом ап = —? (задача 1393). Легко видеть, что -^<^ (л=1, 2, 3, ...). Поэтому, согласно признаку сравнения, ряд 3 сходится.
289 § 1. Числовой ряд. Сходимость ряда 1395. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда: 2п + 1 Решение. 1) Общий член данного ряда ап= —. Найдем предел lim ]/^= lim jZ-Jr = lim 4" = 0. я-*оо я->оо " /г-»оо "• Получили /=0 (/< 1), следовательно, ряд 1 сходится. 2) Общий член данного ряда ап = (2 Л, J . Найдем предел iU ^7= Л |/(^тг)" =*Й *г+т - = lim =— = -к-. n-t-oo n _L z_i~ n Получили / = -у (/ < 1), следовательно, ряд 2 сходится. 1396. Написать четыре первых члена ряда по данному общему члену: l)fl» = 7^fnr; 2)a„ = (-l)«-' !" (л + 1)!' ; я ~ v ' n2' 00 1397. Написать пять первых членов ряда ^j-^—- 00 1)п 1398. Написать формулу общего члена для каждого ряда: 1) 1-Т- + 4-—f+•••'. 2) l + i-+-L + ^+...; 3>-F + -T+-r + -!-+ •••'' 4)1-1 + 1-1+...; „j_ , _1_ , l.l, °' ЬТ^З-Э"1" 5-11 "^ 7-13 "i" Для каждого ряда найти частичную сумму первых п членов (Sn); показать, пользуясь определением, сходимость (расходимость) ряда; если ряд сходится, то найти сумму ряда (S): 1399. 1 + 1 + 1 + 1 + ... 1400. 1 + 2 + 3 + 4 + ... 1401. 1 + 4" + зг + 4г+ •••
Глава XL Ряды 290 ,402e 1 -3 + 3-5 + 5-7 + # * ' + (2л — 1) (2л + 1) "•" "' ' 14Uo. j2#22 "г 22.з2 ' 32-42 • • * • Исследовать сходимость ряда, пользуясь необходимым признаком и признаком сравнения: ОО 1404-SttS- ,405- 1+Ж + Ж+-" ОО ,406- Sf^t- ,407' пи + *ет + sis + • • ¦ ,408-S7^lf ,4°9- 1+2L3+3JP+4i3-3+. п—\ Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда: 1410.^ + 1^ + 1^1 + 14п.4-+4+^+.- оо 3/г + 1 1412. 53 г— • -*¦* Vn2n 14П 2 4-2*5Д-2-5-8-1- 2.5-8... (Зп-1) та. —+П5 + Г^9"1" ••• + 1.5-9.-. (4л-3) + •" Исследовать по признаку Коши сходимость ряда: СО ,414' 2j 1п»(1+л) • и=1 .415. l+(4)' + (-|-), + ...+(s^)*+... «««.4 + (4)'+(4-)'+-+(^Г+- Исследовать сходимость ряда: 00 1419. -з- + -зГ+зз- + "зГ+ .
291 § 2. Знакопеременные ряды Признак Лейбница 1420.1+^ + -!-+...+^+... 1421. !+».+ ?+*.+ ... 1422. 1 +1оТ + 20Т+ * * • + 100п+1 + ' * ' 1423. sin -Ц- + sin -^- + sin -^- + ... 1424. sin 1 + sin -^- + sin -g- + sin -rg- + ... 1425. 1+-!- + -!-+... +J^+... 1426.4 + 4 + (^)4 + ... + (|-f+... § 2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница 1. Если члены числового ряда с разными знаками (ряд содержит положительные и отрицательные члены), то такой ряд будем называть знакопеременным. Знакопеременный ряд аг + а2 + а3+ ... +ап+ ... (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: |flil + |fli| + |fle|+ .-• + KI+ ... (2) Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся. Признаки абсолютной сходимости знакопеременного ряда те же, что и сходимости ряда с положительными членами. 2. Ряд аг — а2 + а3 — а4 + ... +(— l)«-ia„+ ... (3) или -ах + а2-а3 + ... +(-1)пйп+ ..., (3') где ап > 0 (я = 1, 2, 3, ...) называется знакочередующимся. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда. 3. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (3) убывают по абсолютной величине а± > а2 > а3 > ... > ап > ... и lim an = 0, П > оо
Глава XI. Ряды 292 то такой ряд сходится и сумма его 0 < S < аг. Пользуясь этим неравенством, можно оценить остаток ряда (3), который тоже является знакочередующимся рядом. Напишем остаток в таком виде: гп = (— 1)" (ап+г — 0/1+2 + ап+г — ...). Тогда сумма ряда в скобках будет положительная и меньше ап+\. Следовательно, в любом случае остаток знакочередующегося сходящегося ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т. е. |гл|<аЛ+ь где ап+\ абсолютная величина первого члена остатка гп. Этой оценкой будем пользоваться в приближенных вычислениях с помощью рядов. 1427. Исследовать сходимость знакопеременного ряда: 1) 1—?- + х-т+ ... +(-i)*-14-+ •••; 2) 1—Т + -Т- 4-+---+(-1)n-12T^i+---' 0ч sin а , sin 2а sin За t ^ ч 3) ——f- ~22—I—р- + ... (а — любое целое число); 4) 2—§-+4--4 + ••• +(-1)л-1^+ ••• Решение. 1) Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются и общий член с возрастанием п стремится к нулю. Поэтому, согласно признаку Лейбница, ряд 1 сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда есть гармонический ряд, который, как нам уже известно, расходится. Следовательно, ряд 1 сходится условно (неабсолютно). 2) Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются и предел lim 2n « = 0. Поэтому ряд 2 сходится. /г->0° Составим ряд 1 + 4- + Т+-+5ГГТ+- <а> и сравним его с расходящимся рядом Каждый член ряда (а) больше соответствующего члена ряда (б), следовательно, ряд (а) расходится, поэтому данный ряд 2 сходится условно.
293 § 2. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница 3) Составим ряд из абсолютных величин данного знакопеременного ряда 1 sin а | J sin 2д 1 , | sin За | , | sin па | , ,v I i~ 22 п §2 г ... i ^2 г • • • VB/ Сравним ряд (в) со сходящимся рядом Каждый член ряда (в) не превосходит соответствующего члена ряда (г), поэтому, согласно признаку сравнения, ряд (в) сходится. Следовательно, данный ряд 3 сходится абсолютно (безусловно). 4) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, однако общий член не стремится к нулю ft —L 1 с возрастанием /г, lim = 1, т. е. необходимое условие /г->оо п сходимости ряда не выполнено, поэтому ряд расходится. оо 1428. Дан сходящийся знакочередующийся ряд "V (— l)"-1 -j. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда: 1) суммой первых его трех членов; 2) суммой первых его четырех членов. Решение. 1) S = Sn + rn, где 5 — сумма ряда; Sn — частичная сумма; гп — остаток ряда. Находим S = *S3 + >з 11 31 или S = 1 — -22- + -§г + гз» откуда 5 = -^ + г3. По теореме Лейбница абсолютная погрешность | гп | < | ап+\ |, следовательно, кз1<К1> т. е. |г8|<| — -^-|, откуда |г8|<-^- = 0,0625. Из данного ряда видно, что г3 < 0, следовательно, — 0,0625 < 31 < г3 < 0. Таким образом, сумма ряда S ^ -^ с избытком. 2) Аналогично S = 54 + г4 или S = 1 — -^ + -^— "jr + г4> откуда S = J~ + r4, |г4|<|а5|, т. е. | г41< ±- = 0,04 (г4 > 0), следовательно,- 0 < г4 < 0,04. Таким образом, сумма ряда с 115 144 С неД°статком- ОО V -р=— СХОДИТСЯ. СКОЛЬКО У п нужно взять членов этого ряда, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01?
Глава XI. Ряды 294 Решение. Для данного ряда все условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится. Напишем сумму ряда в таком виде: S = Sn + rn, \ rn I < I ап+\ I- Найдем такое п, чтобы \ап+\\ = г <0,01. Решив уравнение = 0,01, получим п = 9999, следовательно, | Г99991 < 0,01. Учитывая условия задачи и этот результат, находим 0 <Г99ээ< 0,01. Таким образом, S = S9999 + /9999, откуда S^ S9999 c точностью до 0,01 (с недостатком). Заметим, что данный ряд сходится очень медленно, как и все другие условно сходящиеся ряды. ОО (2 4-1)5* НУЖНО ВЗЯТЬ, п=\ чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится: 0,1 "" 3-5 "¦ 15' а2 ~~ 5-52 "" 125» йъ *~~ 7-53 ~~~ = g^g<0,01. Следовательно, надо взять два члена: S = S2 + r2, S«S8 = a1 + fla==-jg- —^25 = ^ с точностью до 0,01 (с недостатком, так как г2>0). Исследовать сходимость следующих знакопеременных рядов: оо оо \п+\ 1431. >;vZV, . 1432. ^(-\)n-i-l (-1)" _ __ 2п+ 1 ' "*"" j?Jk ч 2п' я=1 я=1 1433. 1 y + "га— "23" + • • • (найти сумму этого ряда). 00 ,434- -т-т + ъ»-т*+ ••• 1435- Ц(-*Г^. л=2 I486. \J<-!)->?. Ш7'Ш~Ш + Ш-!к+- 4 доо sin a sin2x sin За sin па 00 1439. Дан ряд ^ ^ "/"->«• ¦ Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой первых его четырех членов, суммой первых его пяти членов.
295 § 3. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости 1440. Дан ряд Zj , + i) (" + «>)• 0l*eHHTb ошибку, допус- каемую при замене суммы этого ряда суммой первых его трех членов, суммой первых его шести членов. 00 ,^ (_ If—] 1441. Сколько членов ряда У, р— нужно взять, чтобы п=1 вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? со 1442. Сколько членов ряда ^(— l)n+1 -^— нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? § 3. Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Радиус сходимости Степенным рядом называется ряд вида ОО 2janx" = а0 + ахх + а2х2 -f ... + апхп -+• (1) я=0 числа а0, аг, а2, ап называются коэффициентами ряда. Общий член степенного ряда будем обозначать Число R называется радиусом сходимости ряда (1), если при | х | < R ряд сходится, а при | х | > R расходится. Радиус сходимости R можцо найти по признаку Даламбера: lim п-*оо Un+\W ия(х) = lim «->ОО ип+1* vn+l ' = [ х | lim '«+! зависит), отсюда следует | х | < lim ип+\ < 1 (# от п не (2) Следовательно, ряд (1) сходится при любых х9 удовлетворяющих условию (2), и расходится при | х | > lim л-»со сюда следует, что ил+1 /?= lim "а+1 (ал=?0, n=lf 2, 3, ...) От- (3) и ряд (1) сходится при \x\<R или в интервале — R < # <#, который называется интервалом сходимости. Если предел (3) равен оо (/? = оо), то ряд (1) сходится абсолютно на всей
Глава XI. Ряды 296 числовой оси, т. е. в интервале (— оо, -foo). Если предел (3) равен нулю (R = 0), то ряд (1) сходится в единственной точке х = 0. На концах интервала ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может расходиться. Сходимость ряда при х = R и х = — R надо исследовать по какому-либо признаку сходимости. Рассматривают степенные ряды и более общего вида: 00 ^ап(х — х0)п = а0 + а1(х — х0) + а2(х — х0)2 + + ... +ая(х — х0)»+ ... (4) Если в ряду (4) положить х0 = 0, то получим ряд (1), следовательно, ряд (1) есть частный случай ряда (4). Ряд (4) легко приводится к ряду (1) с помощью замены переменной х — л:0 = = у. В полученном ряду а0 + а±у + а2у2 + ... + апуп + ... найдем по формуле (3) радиус сходимости R. Тогда — R<y<R или — R <x — xQ<iR, откуда х0 — R < х < х0 + R. Из последнего двойного неравенства видно, что центром интервала сходимости ряда (4) служит точка х0. 1443. Найти область сходимости ряда: l) ?±n\ II ^ 2! ^ 3! ^ • ' * ^ п\ ^ '' • ' 00 2) 2п! хП==и * +2! *2 +3! *3 + • • • + п| хП + • • •; 00 Л=1 + (-i)n-,5-+ •••; оо 4) 22Я(Л— 1)я=1+2(*— 1) + 22(л — 1)2+ ... 4- п=0 + 2"(*—1)" + ...; 5)2*- п=1 Решение. 1) ал = -^, fl„+i = (я + 1}|. По формуле (3) Я= lim «—00 -ъ+i ,. (л+1)! 1- 1-2-3.. .п(л Ч- 1) ,. , , = hm к „, ; = lim 1 9 ч и *= llm (n +
297 § 3. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости + 1) = ос. Следовательно, интервал сходимости (— оо, -J- оо), т. е. данный ряд сходится на всей числовой оси. п\ 2) ап = п\, ааМ = (п + 1)!, R = lim -^ = lim ?Z> ("+1)1 = lim ¦—i-j = 0. Ряд сходится только в одной точке х = 0. 3) |flnl = 7F» 1а"-и1д (л+iy По Ф°РмУле (3) Л = Hm L&J = нт fi! + i? = lim i!±IL«l. /г-*оо I а/И-1 l л->оо п /г—оо * Исследуем сходимость ряда на концах интервала (— 1, 1). Под- оо ставляя значение *=1 в ряд (3), получаем ряд^\(— l)**""1—., который сходится абсолютно. Подставив # =— 1, получим ряд Ь-1г*<=г--Ь-чг*± П=\ /1=1 который также сходится абсолютно. Следовательно, областью сходимости данного ряда будет промежуток [—1, 1]. 4) Положив в данном ряду х — 1 = у, получим ряд /1=0 Найдем радиус сходимости этого ряда: 2п 11 ап = 2п, ап+1 = 2"+*, R = lim -m- = lim -*- = -^-. Исследуем /г->оо <? /г-* оо ^ ^ поведение ряда на концах интервала ( ^", ~\. Пусть у = 00 00 = -у, тогда получим расходящийся ряд ^j 2Л (-у)" = ^j 1- /1 = 0 ^ ' /2=0 оо оо Пусть у = — 1, тогда получим ряд ^j 2" ( g" J = ^j (— 1)", /г=0 ч ' /г=0 который также расходится. Следовательно, ряд (а) сходится в интервале ^ < У < ~2~' Заменив переменную t/ через переменную х, получим искомую область сходимости данного ряда: — -2" <*—1 < -g- или -2"<^<-2".
Глава XI. Ряды 298 1 1 (п 4- l/1^-1 5) ап = -п, ап+1= (п+1)П+[, * = Ит j^— - = Hm f^Y* (л + 1) = lim (1 + -?-)" (л + 1) = е-оо = оо. Следовательно, данный ряд сходится в интервале (—оо, -f ос). Найти область сходимости ряда: СО 1444. У\(— I)"-1—. 1445. х ^L + -? — JL + ... 1446 14-^ + ^ + — + + (га+1>*" + 1447. 1 + 10* + 102*2 + 103х3 + ... + 10п*я + ... 1448 ^ + {х~2)2 + (х-2>'' + + (*~2)* + 00 1449. 2<-l)n+1?? 1450. 1 +(* — 3) + (лг — З)2 + (д: —З)3 f (х — 3)* + ... 1451. 1 + 2л:2 + 4л:* + ... + 2п-*х2п-2 + ... 1452. Найти интервал сходимости ряда § 4. Разложение функций в степенные ряды Формула Тейлора: f(x) = f(x0) + ^(x-x0)+f^(x-xoy + + ... +J^-- (х-х0Г + гп(х)9 (1) f(n+l)(c\ где остаточный член гп (х) = ' *' (х — х0)п+1 и С = х0 + + (х — Хц) 0 (0 <0 < 1), т. е. С— среднее значение между xQ и х. Формула Маклорена: f(x) = f(0)+?f-x+I^P-x*+ ... + flp-xn+rn(x),(2) f{n+l)(c) где гл (х) = ' , |' хп и С = 0х, т. е. С — среднее значение между О и х.
299 § 4. Разложение функций в степенные ряды Если функция f(x) имеет производные любого порядка в окрестности точки х0 и lim rn(x) = 0, (3) то из формулы (1) получается ряд Тейлора /(*)=/ W + ^ (х - х0) + ^ {х - x0f + + ... +-^- (х-*о)"+ .... (Г) сходящийся к f(x) при тех значениях х, при которых выполняется условие (3). При х0 = 0, будем иметь ряд Маклорена Д*)=/(0) + -ф-* + 4г *2 + ••• +-Т-*"+-«- (2') как частный случай ряда Тейлора. Ряд (2') напишем иначе: / (х) = Sn (х) + гп (х) или / (х) - Sn (х) = гп (х). (а) Пусть радиус сходимости R > 0 ряда (2') и условие (3) выполняется в интервале (— R, R), тогда из равенства (а) следует, что ряд (2') будет сходиться к функции f (х) в этом интервале и, наоборот, если ряд (2') сходится к функции f(x) в интервале (— R, R), то выполняется условие (3) в этом интервале. Пусть радиус сходимости ряда (Г) R > 0. Для того чтобы ряд (Г) сходился в интервале (х0 — R, x0 -j- R) к функции / (л:), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (3) в этом интервале. Заметим, что условие (3) выполняется в некотором промежутке [ — а, а] для функции / (л:), если ее производные любого порядка ограничены по абсолютной величине одним и тем же числом в указанном промежутке. Этим предложением мы будем пользоваться при решении задач. Если функция f(x) в окрестности точки xQ имеет производные любого порядка, то для этой функции можно написать ряд Тейлора, который будет единственным для данной функции f(x) при любом способе нахождения его, причем этот ряд может сходиться к функции f{x), а также может сходиться, но не будет воспроизводить исходную функцию, либо расходиться. Ряд будет сходиться, как уже говорилось, к функции f(x), если выполняется условие (3). 1453. Разложить в ряд Маклорена следующие функции: 1) (1 +х)п\ 2) ех\ 3) sin*; 4) cos*; 5) In(1 + х).
Глава XI. Ряды 300 Решение. 1) Для нахождения ряда Маклорена вычисляем значения функции f(x) = (1 + х)т (тфЬ, тфпу где п — натуральное число) и ее производных при х = 0: /(*) = (!+*)"W(0)=1; f'(x) = m(l+x)<*-K П0) = т; f (*) = m(m —1)(1 + *)"1-2, f (0) = m(m-l); Г(х) = т(т— l)(/n — 2)(l-b*)™-3, Г(0) = m(m— l)(m — 2). Отсюда видно, что /(") (x) = m(m— 1)... [m — (n— 1)] (1 + x)m-n, /<*>(0) = m(m—l)...[m — (л— 1)1 («=1. 2, 3, ...). Подставив эти значения в ряд (2'), получим ряд Маклорена данной функции, называемый биномиальным: т т(т— 1).. .(т- т(т— 1) + ¦ 2! ¦л + 1) *2 + + п! Хп + (4) Найдем радиус сходимости этого ряда: т(т — 1)... (т — п + 1) I Яя+11 = т(т- Я = lim я->оо "л+1 = lim л-»оо ft! -1) ... (т — п + 1) (т — п) | (я + 1)1 Г (п + 1)1 т(т— l)...(m —ft + 1) п\т{т — 1)... (т — /г + 1) (т — п) = lim Я-*0О ft+ 1 m —ft lim «-¦00 1 + m л 1 1 ft - 1 = 1. Следовательно, ряд сходится в интервале (—1, 1). В граничных точках при х — — 1 и х = 1 ряд может сходиться или расходиться в зависимости от показателя степени т. В теоретическом курсе доказывается, что ряд (4) при | х | < 1 сходится к функции (1 + х)т, т. е. сумма его равна этой функции. Заметим, что если т — натуральное число, то биномиальный ряд примет вид формулы бинома Ньютона. 2) Вычисляем значения функции и ее производных при х = 0: /(*) = е*. /(0) = 1; f'{x) = e\ Г(0)= 1; /"(*) = е*, Г(0)=1. Очевидно, что fw {х) = е\ р) (0) = 1 (п = 1, 2, 3, .. .)•
301 § 4. Разложение функций в степенные ряды Подставив эти значения в ряд (2'), получим ряд Маклорена данной функции R= lim 1-^-1= Hm UlL+HL = цт (п + 1) = oo. n-*ao I an-\-\ I n-+oo nl «-+00 Ряд (5) сходится к функции ех при любых значениях х, так как в любом промежутке [ — а, а] функция ех и ее производные по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, например числом еа, следовательно, условие (3) выполнено. 3) f(x) = s\nx, /(0) = 0; /'(*) = cos*, Г (0) = 1; /"(*) =-sin*, Г(0) = 0; r(*) = -cos*f Г(0) = -1; /Iv(*) = sin*, fv(0) = 0. Нетрудно заметить, что производные четного порядка рп) (0) = 0, а производные нечетного порядка р*-1) (0) = (—1)п~1 (п=1, 2, 3, 4, ...). Подставляя эти значения в ряд (2'), получаем разложение синуса sin^=T-4+^-4+---+(-1)n"1(?n]!+---(6) R = оо, т. е. ряд сходится в интервале (— oo, -f со). 4) /(jc) = cosjc, /(0)=1; /'(*) = _ sin ж, f (0) = 0; /"(*) =-cos х, Г (0) 1; f"'(x) = sin*, Г(0) = 0; /IV(x) = cos*, /,v(0) = l. Здесь замечаем, что Р*> (0) = (— 1)" и /<2"-Ч (0) = 0 (я = 1, 2, 3, .. .)• Следовательно, X2 X1 Xе Xin С0^=1--2Г+-4Г-'бГ+ ••• + (-1)Л(ЗД1+ ••• '• (?) #=оо, т. е. ряд сходится в интервале (— оо, + оо). В примерах 3 и 4 производные /м (я) (п = 1, 2, 3, ...) данных функций sin х и cos л: в любом промежутке ограничены по абсолютной величине, например числом, равным 1, отсюда условие (3) для этих функций выполнено. 5) /(*) = ln(*+l), /(0) = In 1=0; П*)вГП. Г(0) = 1;
Глава XL Ряды 302 /(4,м = --^ж,/<4,(0)=—3!- Отсюда видно, что /<"> (х) = (- I)-' -g^$-. /(л> (0) = (- I)""1 • (л - 1)! (п=1, 2, 3, ...). Следовательно, in(i+*) = -f-4 +4-4+ ••• + (-i)n-lir+--- (g) Радиус сходимости находим по формуле (3) § 3: R = 1. При х = 1 ряд (8) сходится как знакочередующийся ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница. Следовательно, 1п2= 1—i- + i-i+ ... + (-1)-++ ... При х — — 1 ряд расходится. Стало быть, ряд сходится в промежутке — 1 < х <! 1. Можно показать, что в этом промежутке остаточный член гп (х) -*¦ 0 при п ->- оо, т. е. условие (3) выполнено. 1454. Разложить в ряд Тейлора функцию sin л: при х0 = -j-. Решение. Находим значения функции и ее производных при х = -J-: /(*) = sin*, /(-J-) = ~T"; f'(x) = COSX, f {-?-] = -?-; f"{x) = -smx, f(-f) = rw = -cos*. r(-f) = --?-; P(*) = sin*, /*(-=-)=-^. Подставляя эти значения в ряд (Г), получаем ряд Тейлора данной функции sin х = -тг" V*. 1 + И 21 *' ~*~
303 § 5. Применение рядов к приближенным вычислениям Радиус сходимости /?= lira 1-^4= lim ^r^-= lim(n+l) = oo. я—>оо J an+\ I п->оо т л->оо Сумма полученного ряда 5 (я) = sin x9 так как условие (3) для данной функции выполнено (| /<Л>(х) |< 1 (п = 1, 2, 3, ...)). 1455. Разложить в ряд Маклорена следующие функции: 1) хе*\ 2) 2Х\ 3) е*2\ 4) е-*2; 5) sin2*; 6) sin2x. 1456. Разложить ех в ряд Тейлора при х0 = —2. 1457. Разложить "j/д: в ряд по степеням я— 1. 1458. Разложить cos л: в ряд по степеням х ~. 1459. Разложить х3 — 2х в ряд по степеням х — 2. 1460. Разложить хв в ряд по степеням х+\. 1461. Разложить — в ряд по степеням х + 3. 1462. Написать три первых члена, отличных от нуля, разложения функций в ряд Маклорена: 1) esin*; 2) e*cosx; 3) secx. 1463. С помощью биномиального ряда получить разложения в ряд функций: 1)^ТТ> ^ТТТТ' 3)^П^; 4)FT=- § 5. Применение рядов к приближенным вычислениям Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно, причем радиус сходимости ряда не изменится. Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилу сложения и умножения многочленов. При этом полученный новый ряд будет иметь промежуток сходимости, совпадающий с общей частью промежутков сходимости исходных рядов. 1 -I- х 1464. Разложить In jzri в Ряд по степ^ням х- 1 4- х Решение. In yztj = ln(l + *) — In(1 —x). Нам уже известно, что
Глава XI. Ряды 304 Следовательно, ln(l-x) = --f-4-^--T-...(-K^<l)- Вычитая почленно из первого ряда второй, получаем 1465. Разложить arctg* в ряд Маклорена. X dx г ах Решение. Известно, что arctg х = ) ± _|_^2* 6 Подынтегральную функцию разложим в ряд, воспользовавшись биномиальным рядом (4) § 4: 1^—2 = (I + х*)-> == I -х* + х*-х* + ... Интегрируя этот ряд внутри промежутка его сходимости (— 1, 1), получаем х arctg х = f (1 —х2 + х* — х6 + ...)dx = 6 = *—? + Т~Т- + "- (-К*<1). 1466. Вычислить J е~х2 dx с точностью до 0,001. 6 Решение. Данный интеграл, как уже говорилось выше, не выражается в конечном виде через элементарные функции. Тем не менее с помощью степенных рядов его можно вычислить с любой степенью точности. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Воспользуемся уже известным рядом Заменив в этом ряде х на — л:2, получим отсюда о TT + ~2i ~зГ+ ••• + (—О" "йг+ ••• » * dx= ]{!-— + —-—+ —-ж+ ...] d* =
305 § 5. Применение рядов к приближенным вычислениям Вычисляя члены этого ряда с точностью до 0,001, замечаем, что шестой член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, для решения данной задачи, согласно признаку Лейбница, надо взять сумму первых пяти членов, что обеспечит требуемую точность: 1 \е-*2 dx^ 0,747. о 1467. Вычислить sin 10° с точностью до 0,0001. Решение. Воспользуемся рядом (6) § 4, выразив градусы в радианной мере: . 1АО .71 71 / 7С \3 1 / Л \6 1 sin 10 =8т-пг=ж- (ls-j-gr + (-gj__... ; -^ < 0,2, следовательно, третий член разложения / тс \5 1 . (0,2)5 25 32 . п АППП1 Поэтому, если положим sin 10° ^а! + а2, то погрешность, согласно признаку Лейбница, не превзойдет по абсолютной величине третьего члена а3, т. е. будет меньше заданной. Вычисляя с точностью до четвертого десятичного знака, находим а1 = -JL« 0,1745, а2 = (^-)3-1--0,0009, sin 10°^0,1745— 0,0009 = 0,1736 (полученный результат сравните со значением sin 10° в таблицах Брадиса). 1468. Вычислить число е с точностью до 0,001. Решение. Воспользуемся рядом (5) § 4: у уа уО yfl При х = 1 получим е= 1 + 1+^+4- + .... +^+... или Воспользовавшись формулой (2) § 4, оценим остаток числового ряда (а): м*> - С+ 7 xn+i —jktw^1 <° <е < ц
Глава XL Ряды 306 При х= 1, учитывая, что 2<г<3 (см. гл. IV § 7), получим гп = , * 1}| < , 1)? . По условию задачи надо выбрать такое и, чтобы выполнялось неравенство гп < 0,001 или (п | ц| < 0,001. Нетрудно проверить, что если я = 6, то ^=4<4 = i4<0'001- Итак, г = 2 + 4-+4+-? + ^Г + -§Г + гв, отсюда е^2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181 вычисление произвели с одним лишним знаком). Окончательно получим в^^ 2,718 с точностью до 0,001. 1469. Вычислить V 1,004 с точностью до 0,0001. Решение. Воспользуемся формулой (4) § 4: 1 1/1,004 = У\ + 0,004 = (1 + 0,004)2. 2 Здесь т =-$-, x = 0,004; 0,004 , 2 \ 2 V ^1,004 = 1 + ^f- + ^-4, L (0.004)2 + ... - = 1 +0,002- -*§?-+... Заметим, что знаки полученного ряда, начиная со второго, чередуются. Ограничившись суммой первых двух членов, получим 1/1,004^1,002. Оценим абсолютную погрешность А< (°У =0,000002. Следовательно, значение корня найдено с заданной точностью. 1470. Вычислить У 30 с точностью до 0,001. Решение. ^30 = 3]^ = 3]/ 1 + -^ = 3(l + -i")3 • Здесь
307 § 5. Применение рядов к приближенным вычислениям *Я_з[. + 4---А-н-Ш-0(т)"т + +-И4--')(4-»)(+)Ч+-]- о (\ 4- J 2 , 2-5 ^ — ° ^ "Г 27 2! 93 "Г 31 3*9» ' " ')' Получили знакочередующийся ряд (после первого члена), поэтому если отбросим все члены, начиная с четвертого, то абсолютная погрешность ^ < 3! 3393 = 3393 = 19 683 ^ ^01, отсюда ^ЗО^З + ^ — ^я^З + 0,1111 — 0,0041 =3,1070 (вычисление произвели с одним лишним знаком). Итак, j/30^ 3,107 с точностью до 0,001. ех 4- е~~х 1471. Разложить —-^ в ряд Маклорена. ех — е~~х 1472. Разложить ^ в ряд по степеням х. 1473. Почленным интегрированием ряда функции /(#) = = написать ряд Маклорена для arcsin х. у 1-х2 1474. Разложить х cos 2л: в ряд по степени х. 1475. Пользуясь разложением arctgA: в ряд по степеням х, вычислить число тг с точностью до 0,01 1см. задачу 1465, положив х = ,- ). 1476. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,0001: 1) \\ 2) У1\ 3) cos 10°; 4) cos 18°; 5) sin 18°; 6) sin 0,3; 7) sin 1; 8) cos 0,4. 1477. Пользуясь биномиальным рядом, вычислить с точностью до 0,001: 1) КП006; 2) УТ&\ 3) |/404i 4) ^=- 5) \ПЪ. 1478. С помощью биномиального ряда (взяв сумму первых двух членов разложения) найти: 1) 1/0^92; 2) */Щ 3) ]/1.
Глава XI. Ряды 308 1479. Воспользовавшись разложением функции In (1 + л:) в ряд Маклорена, вычислить с точностью до 0,0001: 1) In 1,02; 2) In 1,06. 1480. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,0001 следующие интегралы: DfjiHiLd*; 2) f-rJL^i 'Jx ' J |Л+**' 0,5 4 3) j xe~x dx; 4) f l/Г+Т3 dx. о о
Часть третья. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Глава XII Основные понятия и теоремы теории вероятностей § 1. События. Действия над событиями То, что при наличии некоторого комплекса условий S может произойти или не произойти, называется случайным событием. То, что при реализации данного комплекса условий S никогда не наступит (наступит всегда), называется невозможным событием (достоверным событием). В дальнейшем случайные события будем обозначать буквами А9 В, С, ... , достоверные — (У, а невозможные — V. Суммой событий А и В называется такое событие, которое состоится при появлении или события Л, или события В, или обоих событий вместе. Сумму событий обозначают символом А+В. Произведением событий А и В называют событие, которое происходит при одновременном наступлении обоих событий. Его обозначают символом АВ. Аналогично определяются сумма и произведение большего числа событий. Событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет, называется разностью событий А и В и обозначается символом А — В. Если при каждой реализации комплекса условий S, когда происходит событие А, происходит и событие В, то мы будем говорить, что А влечет за собой В, и обозначать этот факт символом А С В или В ) А. Если имеет место одновременно иЛ(ВиВ(Д то события А и В называются равносильными. В этом случае пишут Л = В. События А и В называются несовместимыми, если их совместное наступление невозможно, т. е. если АВ = V. Два несовместимых события А и В называются противоположными, если при всякой реализации комплекса условий S9
Глава XII Теория вероятностей 310 одно из них обязательно происходит; иначе А и В будут противоположными событиями, если для них одновременно выполняются два соотношения: AB = V и A + B = U. В этом случае пишут: В = А. Очевидно, А — А, 1481. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта. Что представляют собой следующие события: А + В; Л + С; АС\ АВ + С? Решение. А + В — это событие, которое состоится при наступлении хотя бы одного из событий А и В. Следовательно, А + В в нашем случае — деталь первого или второго сорта. Так как А + С — деталь первого или третьего сорта, то противоположное этому событие Л + С— деталь второго сорта. АС — невозможное событие, поскольку деталь одновременно не может быть и первого и третьего сорта. АВ + С как сумма невозможного события и события С равно С, т. е. АВ + С — деталь третьего сорта. 1482. Доказать, что А + В = ~АВ. Доказательство. Если произошло событие А + В, то это означает, что ни одно из событий Л и В не наступило, т. е. произошло событие Лё. Отсюда Л + В Q АВ. Пусть теперь наступило событие АВ, т. е. ни одно из событий Л и В не произошло. Это означает, что осуществилось событие, противоположное Л + В. Поэтому всегда АВ Q Л + В. Одновременное выполнение доказанных соотношений и означает, что всегда а~+в = ав. Докажите более общее соотношение: Аг + А2 + ... + Ап = ЛД2 ... Ап. 1483. В урне 5 красных, 2 синих и 3 белых шара. Все они пронумерованы цифрами 1,2, ... , 10. Из урны берется наудачу 1 шар. Событие — шар с четным номером — обозначим через А, с номером, кратным 3, — через В, шар красного цвета — через С, синего — через D и, наконец, белого — через Е. Что представляют собой следующие события: Л + В, С + Е, AD, А —В, BE, AD — E? 1484. Доказать равенства: 1) А + В = АВ] 2) А + АВ = А' 3) А + В = (А — В) + (В — А) + АВ- 4) (А + В) — В = А — В;
§ 2. Определение частости и вероятности события 5) (А-В) + В = А + В; 6) (А + В)С = АС + ВС] 7) (А + С) (В + С) = АВ + С. 1485. При каких условиях справедливы следующие соотношения: 1) Л-f В = АВ; 3) А + А = А; 2) (А + В) -В = А; 4) Л-Л - А? 1486. Установить, какие из следующих соотношений