••разов
Классики отечественной науки
Л. Г. Лойцянский
А. И. Лурье
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Том второй
& У г
. DPO0Q

Классики
отечественной
науки
^

Классики отечественной науки
dUD
ЕСТЕСТВЕННЫЕ
ТЕХНИЧЕСКИЕ
ГУМАНИТАРНЫЕ
НАУКИ
j. 1.
■орофа

Классики отечественной науки
Л. Г. Лойцянский
А. И. Лурье
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Том второй
Динамика
Издание седьмое, исправленное и дополненное
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности
010500 «Механика»
МОСКВА 2006
в
Dpoc])a

УДК 531(075.8)
ББК 22.21я73
Л72
Серия «Классики отечественной науки»
основана в 2003 году
Рецензенты:
академик РАН, д-р техн. наук Р. Ф. Ганиев
(директор Научного центра
нелинейной волновой механики и технологии РАН);
чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук В. Г. Веретенников
(зав. кафедрой теоретической механики МАИ)
В оформлении обложки использованы автографы и рисунки Л. Эйлера
из его переписки с Клеро, д'Аламбером и Лагранжем
(Euleri Leonhardi. Opera omnia / Societatis Scientiarum Naturalium
Helveticae. Basileae: BirkhauserBasileae, MCMLXXX,
Ser. Quarta A. Commercium Epistolicum. Commercium
cum A. C. Clairaut, J. d'Alembert et J. L. Lagrange. Vol. quintum.)
Лойцянский, Л. Г.
Л72 Курс теоретической механики. В 2 т. / Л. Г. Лойцянский,
А. И. Лурье. — М. : Дрофа, 2006. — (Классики отечественной
науки).
ISBN 5-358-01275-3
Т. 2: Динамика : учеб. пособие для вузов. — 7-е изд., испр.
и доп. — 2006. — 719, [1] с. : 250 ил.
ISBN 5-358-01277-Х
Второй том курса теоретической механики посвящен динамике в объеме
программ высших учебных заведений, а также ряду дополнительных
вопросов.
Во втором томе, наряду с рассмотрением общих теорем динамики,
уравнений динамики материальной точки, динамики несвободной системы
и специальных задач динамики (колебания, динамика твердого тела),
предмет курса несколько расширяется в сторону сплошных
деформируемых сред и, кроме того, излагаются элементы релятивистской
механики.
Курс предназначен для студентов университетов и вузов,
обучающихся по специальности «Механика», аспирантов и преподавателей.
УДК 531(075.8)
ББК 22.21я73
ISBN 5-358-01277-Х (т. 2)
ISBN 5-358-01275-3 © ООО «Дрофа», 2006

А. И. Лурье и Л. Г. Лойцянский
в Доме ученых в Лесном. 1961 г.

Огпавление
Предисловие к шестому изданию 13
Отдел третий
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Глава XIX. Основные уравнения динамики материальной точки
§ 79. Предмет и основные задачи динамики.
Пространство и время в классической
механике Ньютона 15
§ 80. Первый закон Ньютона 18
§ 81. Второй закон Ньютона 20
§ 82. Независимость действия сил.
Третий закон Ньютона 23
§ 83. Различные формы основного уравнения
динамики точки 25
§ 84. Две задачи динамики. Простейшие примеры
первой задачи 27
§ 85. Специальная постановка первой задачи динамики.
Определение закона действия силы по заданному
классу движений. Задача Бертрана 32
§ 86. Законы сил 36
§ 87. Вторая задача динамики материальной точки 40
§ 88. Связь между первой и второй задачами динамики
материальной точки 48
Глава XX. Некоторые задачи динамики точки
§ 89. Вертикальное движение тяжелой точки в среде
с сопротивлением, пропорциональным
квадрату скорости 49
§ 90. Движение снаряда в сопротивляющейся среде 57

Оглавление
7
§ 91. Движение снаряда по настильной траектории
при сопротивлении среды, пропорциональном
квадрату скорости 61
§ 92. Движение точки под действием центральной силы . . 63
§ 93. Определение времени в эллиптическом движении ... 67
§ 94. Эллиптическое движение тела, брошенного
с Земли с большой начальной скоростью 71
Глава XXI. Прямолинейные колебания малой амплитуды
§ 95. Свободные незатухающие колебания точки под
действием линейной восстанавливающей силы 75
§ 96. Колебания точки под действием гармонической
возмущающей силы 81
§ 97. Колебания точки под действием периодической
возмущающей силы 90
§ 98. Влияние силы сопротивления, пропорциональной
первой степени скорости, на свободные колебания
точки 95
§ 99. Влияние силы сопротивления, пропорциональной
первой степени скорости, на вынужденные
колебания точки 102
§ 100. Свободные колебания точки при наличии
кулонова трения 113
Отдел четвертый
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Глава XXII. Теорема об изменении количества движения
системы материальных точек
§ 101. Предварительные замечания об общих теоремах
динамики 119
§ 102. Теорема об изменении количества движения
системы материальных точек 121
§ 103. Динамика точки переменной массы 125
§ 104. Теорема о движении центра масс системы
материальных точек 131
§ 105. Уравнения движения центра масс
одноступенчатой ракеты 140
§ 106. Теорема импульсов и ее применение
в теории удара 149

8
Оглавление
§ 107. Удар точки о преграду.
Коэффициент восстановления 153
§ 108. Прямой удар двух тел 156
§ 109. Косой удар двух тел 160
§ 110. Применение теоремы количества движения
к сплошной среде. Теорема Эйлера.
Дифференциальные уравнения динамики сплошной среды.
Распространение малых возмущений 163
Глава XXIII. Теорема об изменении момента количеств
движения системы материальных точек
§ 111. Теорема об изменении момента количества
движения материальной точки 174
§ 112. Малые колебания математического маятника 178
§ 113. Теорема об изменении главного момента
количеств движения системы материальных точек.
Теорема Резаля 180
§ 114. Главный момент количеств движения твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси 183
§ 115. Вычисление моментов инерции. Моменты инерции
относительно параллельных осей 185
§ 116. Уравнение вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси 193
§ 117. Малые колебания физического маятника 201
§ 118. Влияние внешних ударов на главный момент
количеств движения системы 203
§ 119. Главный момент количеств движения
в неподвижной и в движущейся системах отсчета . . . 205
§ 120. Теорема об изменении главного момента
количеств движения системы относительно
центра масс 209
§ 121. Теорема о сохранении главного момента
количеств движения 211
§ 122. Применение теоремы моментов к сплошной среде.
Уравнение Эйлера теории турбомашин 214
Глава XXIV. Теорема об изменении кинетической энергии
§ 123. Работа силы. Мощность 219
§ 124. Вычисление работы в некоторых частных случаях . . 223
§ 125. Кинетическая энергия системы материальных
точек. Теорема Кёнига 230
§ 126. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела .... 233
§ 127. Теорема об изменении кинетической энергии 237
§ 128. Потенциальная энергия силового поля 243

Оглавление
9
§ 129. Потенциалы силовых полей 250
§ 130. Закон сохранения механической энергии 257
§ 131. Механическая энергия при вынужденных
колебаниях 260
§ 132. Потеря кинетической энергии при неупругом ударе.
Теорема Карно 263
§ 133. Теорема об изменении кинетической энергии
сплошной среды. Теоремы Бернулли
и Борда — Карно. Общее дифференциальное
уравнение кинетической энергии. Диссипация
механической энергии 272
Глава XXV. Динамика плоского движения твердого тела
§ 134. Дифференциальные уравнения плоского движения
твердого тела 285
§ 135. Качение тяжелого цилиндра по наклонной
плоскости и криволинейной поверхности 291
§ 136. Движение самолета в вертикальной плоскости 297
§ 137. Критическая угловая скорость гибкого вала 303
§ 138. Удар в плоском движении твердого тела 307
Глава XXVI. Тензор инерции твердого тела
§ 139. Тензор инерции и его компоненты. Формула
для момента инерции тела относительно
произвольной оси 312
§ 140. Главные оси инерции 316
§ 141. Кинетическая энергия и главный момент
количеств движения 328
Отдел пятый
ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Глава XXVII. Связи. Статика несвободной системы
§ 142. Классификация связей 333
§ 143. Возможные перемещения системы.
Число степеней свободы 338
§ 144. Принцип освобождаемости. Идеальные связи 347
§ 145. Принцип возможных перемещений 353
§ 146. Применения принципа возможных перемещений . . . 359
§ 147. Устойчивость равновесия системы. Теорема
Лагранжа — Дирихле. Понятие о теоремах
Ляпунова 372

10
Оглавление
Глава XXVIII. Кинетостатика и общее уравнение динамики
§ 148. Принцип д'Аламбера 381
§ 149. Метод кинетостатики 384
§ 150. Кинетостатика плоского движения твердого тела. . . . 384
§ 151. Реакции оси вращающегося тела 392
§ 152. Реакции оси вращающегося тела при ударе.
Центр удара 401
§ 153. Метод кинетостатики в приближенной теории
гироскопа 406
§ 154. Общее уравнение динамики 416
§ 155. Применение общего уравнения динамики
к выводу основных теорем 418
§ 156. Применение общего уравнения динамики
в теории удара 420
Глава XXIX. Уравнения Лагранжа
§ 157. Уравнения Лагранжа первого рода для
голономной системы 425
§ 158. Движение точки по гладкой поверхности
или кривой 428
§ 159. Уравнения Лагранжа второго рода 436
§ 160. Интеграл энергии и циклические интегралы 440
§ 161. Примеры применения уравнений Лагранжа
второго рода 445
§ 162. Уравнение движения машины 458
§ 163. Уравнения Лагранжа второго рода
с множителями 463
Отдел шестой
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Глава XXX. Динамика относительного движения
§ 164. Уравнения динамики относительного
движения точки 465
§ 165. Относительное движение системы
материальных точек в равномерно вращающейся
системе отсчета 473
§ 166. Относительное равновесие точки вблизи
поверхности Земли 479
§ 167. Влияние вращения Земли на падение
тяжелой точки в пустоте 480

Оглавление
11
§ 168. Влияние вращения Земли на движение тяжелой
точки по горизонтальной плоскости 483
§ 169. Опыты, служащие для доказательства вращения
Земли 485
Глава XXXI. Основы механики специальной теории
относительности
§ 170. Принцип относительности Галилея. Преобразования
Галилея. Постулаты специальной теории
относительности Эйнштейна 489
§ 171. Преобразование Лоренца. Диаграмма Минковского . . 494
§ 172. Четырехмерные векторы в пространстве
Минковского 507
§ 173. Релятивистское обобщение второго закона
Ньютона 510
§ 174. Движение заряженной частицы в однородных
электрическом и магнитном полях 518
§ 175. О силовых взаимодействиях в теории
относительности. Проблема инерции и переход
к общей теории относительности 521
Глава XXXII. Свободные колебания системы с одной
степенью свободы
§ 176. Свободные незатухающие колебания системы
с одной степенью свободы 529
§ 177. Движение математического маятника 544
§ 178. Колебания при нелинейной восстанавливающей
силе 557
§ 179. Свободные затухающие колебания системы при силе
сопротивления, пропорциональной первой степени
скорости. Диссипативная функция Рэлея 562
§ 180. Колебания системы с одной степенью свободы
при наличии кулонова трения 572
§ 181. Колебания системы с одной степенью свободы
при наличии силы сопротивления,
пропорциональной квадрату скорости 575
Глава XXXIII. Вынужденные колебания системы с одной
степенью свободы
§ 182. Общее решение уравнения вынужденных
колебаний 582
§ 183. Верхняя граница отклонения при
ограниченной силе 591
§ 184. Периодическое решение уравнения
вынужденных колебаний 594

12
Оглавление
Глава XXXIV. Колебания системы с двумя степенями свободы
§ 185. Дифференциальные уравнения свободных
колебаний 602
§ 186. Интегрирование уравнений свободных колебаний . . . 606
§ 187. Главные координаты 617
§ 188. Применение коэффициентов влияния к составлению
дифференциальных уравнений свободных
колебаний 630
§ 189. Вынужденные колебания системы с двумя
степенями свободы 645
§ 190. Свободные колебания системы с произвольным
конечным числом степеней свободы 653
Глава XXXV. Некоторые задачи динамики твердого тела
§ 191. Уравнения Эйлера динамики твердого тела 658
§ 192. Вращение симметричного твердого тела
вокруг неподвижной точки 661
§ 193. Регулярная прецессия симметричного тела 664
§ 194. Уравнения движения гироскопа на подвижном
основании 669
§ 195. Гироскопы Фуко 682
§ 196. Задача о спящем волчке 688
§ 197. Устойчивость вращающегося снаряда 693
§ 198. Гироскопический маятник. Применение
уравнений Лагранжа второго рода в динамике
твердого тела 696
Литература 706
Предметный указатель 710
Именной указатель 715
А. И. Лурье. О значении теоретической механики
в развитии техники 717

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
При работе над новым изданием второго тома, посвященного
динамике, особенно остро ощущалась тяжелая утрата
безвременно скончавшегося Анатолия Исааковича Лурье, роль которого
как автора в создании настоящего тома курса была особенно
велика. Положение несколько облегчилось тем, что еще в 1956 г.
им был составлен список замечаний по переработке текста
второго тома и указаны некоторые сокращения, а незадолго до
кончины Анатолия Исааковича представилась возможность
совместного обсуждения перечня и характера предполагаемых дополнений
и изменений в содержании курса.
В связи с появлением новых задачников по теоретической
механике было решено не только не увеличивать числа примеров,
а даже сократить те из них, сложность которых не
оправдывалась их значением для иллюстрации теоретического материала.
Было также полностью опущено учение о неголономных связях,
представляющее специальный раздел аналитической механики.
Вместе с тем появились и существенные дополнения, среди
которых следует отметить написанную К. А. Лурье новую
(тридцать первую) главу, содержащую изложение основ специальной
теории относительности. В заново написанных параграфах
получили освещение вопросы полета ракеты простейшей схемы,
теории колебаний систем с произвольным конечным числом
степеней свободы, применения общих теорем динамики систем
материальных точек к сплошным средам (теоремы Эйлера, Бернулли,
Борда), а также к выводу общих дифференциальных уравнений
динамики сплошных сред и выражения мощности внутренних
сил в сплошной среде. Последнее в случае сред с внутренним
трением позволяет глубже судить о важном для механики
понятии потерь (диссипации) механической энергии при движении
среды.
Осуществленное в новом издании расширение предмета
механики в сторону модели сплошной среды не может, конечно, заме-

14
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
нить изложения тех же вопросов в специальных курсах теории
упругости и гидрогазодинамики. Здесь преследуются совершенно
другие цели. Главная из них — показать учащемуся широту
и мощь охвата теоретической механикой самых различных
движений материальных тел, включая сюда и сплошные среды
(упругие, жидкие и газообразные). С другой стороны, это
дополнение органически связывает курс теоретической механики с
непосредственно следующими за ним в учебных планах втузов
курсами сопротивления материалов и гидравлики (технической
гидродинамики), в которых обычно изложению общих основ
механики сплошных сред не уделяется должного внимания.
Чтобы не требовать от читателя обязательно изучать эти
дополнительные вопросы, в первом томе они помещены в конце
отделов статики и кинематики, а во втором томе в конце глав,
содержащих изложение общих теорем динамики. Такая структура
курса сохраняет его традиционное построение, приноровленное к
действующим программам втузов. То же относится и к разделу
«Специальные задачи динамики», начиная с гл. XXXI и до конца
курса.
Указанные выше дополнения позволяют рекомендовать
настоящее издание курса широкому кругу студентов, аспирантов и
инженеров, а также тем читателям, которые будут изучать
теоретическую механику в порядке самообразования.
С глубокой благодарностью обращаюсь я к проф. Г. Ю.
Степанову, не только взявшему на себя труд рецензирования рукописи
настоящего тома, но и сделавшему по ней много существенных
критических замечаний, которые мной с признательностью
приняты во внимание. Многим я обязан доценту кафедры
теоретической механики Ленинградского политехнического института
им. М. И. Калинина* И. Л. Лойцянской, принявшей большое
участие в нашей совместной работе над рукописью, а в
дальнейшем и в чтении корректур. Я особенно благодарен Г. М.
Ильичевой за ее большую высококвалифицированную работу по
редактированию рукописи настоящего тома.
Л. Г. Лойцянский
Ныне Санкт-Петербургский государственный технический университет.

Отдел третий
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Глава XIX
Основные уравнения динамики
материальной точки
§ 79. Предмет и основные задачи динамики.
Пространство и время в классической механике Ньютона
Предметом динамики являются те же модели материальных
тел: материальная точка, система дискретных материальных
точек, сплошная материальная среда (в том числе и абсолютно
твердое тело), что и в предыдущих отделах — статике и
кинематике. Однако задачи у них разные.
В статике рассматривались механические силовые
взаимодействия материальных тел в равновесных их состояниях. В
кинематике были установлены методы изучения происходящих в
пространстве и во времени механических движений материальных
тел и их систем, но вне связи с механическими
взаимодействиями, обусловливающими эти движения. Динамика ставит целью
изучение движения материальных тел в связи с механическими
взаимодействиями между ними. При этом динамика заимствует
у статики законы сложения сил и приведения сложных их
совокупностей к простейшему виду и пользуется принятыми в
кинематике приемами описания движений. Задачей динамики
является установление законов связи действующих сил с
кинематическими характеристиками движений и применение этих законов
к изучению частных видов движений. Лучше всего это
сформулировано самим Ньютоном, создателем классической системы
механики. Динамика должна, говорит он [40],
«по явлениям движения распознать силы природы, а затем по
этим силам изъяснить остальные явления».
НЬЮТОН ИСААК (Newton Isaac, 1643—1727)— английский физик и
математик, создавший теоретические основы механики и астрономии, открывший
закон всемирного тяготения, разработавший (наряду с Г. Лейбницем)
дифференциальное и интегральное исчисление.

16 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Эта формулировка точно передает сущность динамики и будет
подробно разъяснена в дальнейшем.
Основную роль в динамике играет отсутствовавшая в статике
и кинематике количественная материальная характеристика
тел — их масса, а в случае сплошной среды — плотность
распределения массы в теле, короче именуемая просто плотностью.
Основные законы классической механики были
сформулированы Ньютоном как законы движения по отношению к
некоторой абсолютно неподвижной системе — абсолютному
пространству — или любой другой инерциалъной или галилеевой системе,
движущейся по отношению к абсолютному пространству
поступательно, прямолинейно и равномерно; за время, в течение
которого движение протекает, Ньютон принимал абсолютное
время, не зависящее от движения тел и систем отсчета.
Понятия абсолютных пространства и времени относительны.
Лишь в некотором (достаточном для земных применений)
приближении можно вводить статистический, имеющий смысл
лишь «в среднем» образ универсальной абсолютной системы*,
относительно которой предполагаются покоящимися так
называемые неподвижные звезды. При этом следует оговориться, что
представление о такого рода абсолютной системе зависит от
числа принятых во внимание неподвижных звезд и что, собственно
говоря, нет никаких оснований считать эту систему строго
неподвижной в масштабе Вселенной.
Абсолютное время рассматривается как одинаковое во всех
взаимно движущихся системах отсчета, что находится в
противоречии с конечностью скорости света, а также скорости
распространения электромагнитных возмущений и радиосигналов.
Вопрос о связи между отсчетами времени в двух взаимно
движущихся инерциальных системах отсчета в настоящее время решается
просто и наглядно благодаря использованию радиолокационного
метода**. Об этом будет частично идти речь в гл. XXXI,
посвященной основным понятиям специальной теории
относительности. Сейчас, подчеркнем это еще раз, в классической механике
Ньютона используется абсолютное время, единое во всех
движущихся друг по отношению к другу системах отсчета.
Неванлинна Р. [39, с. 136].
См., например, Бонды Г. [30, с. 36—51].

§ 79. Предмет и основные задачи динамики
17
В основу своей системы механики Ньютон положил
следующие, приведенные в его «Началах» [40] определения времени и
пространства:
«1. Абсолютное, истинное математическое время — само по
себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к
чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется
длительностью.
2. Абсолютное пространство по самой своей сущности
безотносительно к чему бы то ни было внешнему остается всегда
одинаковым и неподвижным».
Внешняя форма этих определений, несмотря на наличие в них
явных противоречий, вполне соответствует критическому
отношению к этим определениям самого Ньютона. В своих «Началах»
Ньютон говорит:
«Возможно, не существует такого равномерного движения,
которым время могло бы измеряться с совершенной точностью»,
точно так же, как
«может оказаться, что в действительности не существует
покоящегося тела, к которому можно было бы относить места и
движения прочих».
А. Эйнштейн подверг глубокой критике представления
Ньютона о пространстве и времени, но вместе с тем указал на их
громадное мировоззренческое значение для того этапа научного
прогресса, активным участником которого был Ньютон.
В настоящее время ясно понимается, что «...воистину
трудный шаг был в свое время сделан Ньютоном и Галилеем и что
трудности, которые пришлось преодолеть Эйнштейну, были
значительно меньше... . Эйнштейн просто вернул нас к Ньютону...»,
и, далее, «...в относительности нет ничего более трудного для
понимания, чем осознание ньютоновской относительности:
существует множество инерциальных наблюдателей, каждый из
которых ничем не лучше и не хуже остальных...» (Г. Бонди, [30]).
ЭЙНШТЕЙН АЛЬБЕРТ (Einstein Albert, 1879—1955) — выдающийся физик-
теоретик, один из создателей современной физики. В 1902—1908 гг. работал
экспертом в патентном бюро в Берне, в 1909—1911 гг. — профессор
Цюрихского политехникума, в 1914—1933 гг. — профессор Берлинского ун-та, с
1933 работал в Принстонском ин-те перспективных исследований (США).
Член многих академий и научных обществ, в частности, иностр. чл. АН СССР
(1926).

18 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
С этой точки зрения стоит привести высказывание самого
Эйнштейна:
«Ясные и широкие идеи Ньютона сохраняют свое значение
фундамента, на котором построены наши современные
физические представления».
Как будет выяснено в гл. XXXI, система механики Ньютона
является частным случаем релятивистской механики
Эйнштейна, примененной к движениям в областях, малых по масштабу по
сравнению с масштабами Вселенной, и со скоростями, малыми по
сравнению со скоростью распространения света в пустоте. Такое
приближение совершенно достаточно для земной практики,
включая и современные космические полеты ракетных
аппаратов с их пока еще сравнительно малым удалением от Земли и
малыми по сравнению со скоростью света скоростями.
Это позволяет нам посвятить весь настоящий курс, за
исключением гл. XXXI, в которой излагаются основы специального
принципа относительности, изложению классической динамики
Ньютона и ее применениям к разнообразным механическим
движениям.
§ 80. Первый закон Ньютона
В основе классической механики Ньютона лежат три
установленные им и сформулированные в «Началах» закона движения.
Подчеркнем, что законы эти предполагают существование
абсолютного времени и установлены для движений материальной
точки по отношению к абсолютно неподвижной системе
координат, а согласно принципу Галилея (см. начало гл. XXXI) — и по
отношению к произвольной инерциальной (галилеевой) системе
отсчета.
ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА - ЗАКОН ИНЕРЦИИ — описывает
простейшее из возможных механических движений — движение
материальной точки в отвлеченных условиях полной ее
изолированности от действия других материальных тел. Закон инерции
в формулировке Ньютона [40] гласит:
«Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и
прямолинейного движения, пока и поскольку приложенные силы не
заставят его изменить это состояние».

§ 80. Первый закон Ньютона
19
Термин тело здесь означает материальную точку, не
имеющую размера, но обладающую массой, которая и обусловливает
указанное в формулировке движение материальной точки по
инерции. Как будет показано в следующем параграфе, масса
может быть принята за меру инертности тела.
Заметим (и в дальнейшем это будет оправдано), что движение
изолированного от внешних воздействий тела конечного размера
также может быть названо движением по инерции, но уже не
будет столь простым, как движение по инерции материальной
точки.
Закон инерции не в столь широкой обобщенной форме, как это
сделал Ньютон, был установлен ранее Галилеем [33] для частного
случая движения тела по гладкой горизонтальной плоскости.
Приведем эту формулировку:
«Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не
встречая никакого сопротивления, то движение его является
равномерным и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость
простиралась в пространстве без конца».
Чтобы достойным образом оценить заслугу Галилея в
открытии закона инерции, стоит вспомнить о борьбе против
схоластической науки Средневековья, которая выпала на его долю.
Следуя Аристотелю, средневековые ученые утверждали, что
материя косна, естественным ее состоянием является абсолютный
покой, а для поддержания движения тела необходимо
постоянное внешнее воздействие. Велика заслуга Галилея, который ввел
в механику понятие об ускорении и противопоставил
прямолинейному равномерному движению по инерции неравномерное
равноускоренное движение точки, свободно падающей в пустоте
вблизи поверхности Земли.
Прав был Лагранж (1736—1813), когда, сравнивая
достижения Галилея в области астрономии с созданием основ динамики,
писал [36]:
«Открытие спутников Юпитера, фаз Венеры, солнечных пятен
и др. потребовало лишь наличия телескопа и известного
трудолюбия, но нужен был необыкновенный гений, чтобы открыть законы
природы в таких явлениях, которые всегда пребывали перед
глазами, но объяснение которых тем не менее всегда ускользало от
изыскания философов».

20 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Открытие Галилеем законов свободного падения тел сыграло
основополагающую роль в деле создания ньютоновской
динамики и, в частности, второго закона Ньютона.
Заслуга Галилея была высоко оценена Ньютоном, который
говорил, что он
«далеко видел вперед, так как стоял на плечах у гигантов».
§ 81. Второй закон Ньютона
Основой ньютоновской механики является второй закон —
фундаментальный закон естествознания.
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА устанавливает количественную
связь между изменением движения, совершаемого материальной
точкой и приложенной к ней силой. Формулировка второго
закона (в переводе А. Н. Крылова) гласит:
«Изменение движения пропорционально приложенной движущей
силе и происходит в направлении линии действия этой силы».
Под изменением движения подразумевается отнесенное к
единице времени изменение вектора скорости точки, т. е. ее
ускорение. Такое понимание термина изменение движения можно
найти, например, в классическом, относящемся к 1743 г. «Трактате
по динамике» д'Аламбера [31, в переводе с. 108], который
называет движением «скорость тела с учетом ее направления».
Ньютон под движением понимал то, что мы сейчас называем
количеством движения, т. е. произведение массы на вектор скорости.
При ньютоновском представлении о постоянстве массы во все
время движения обе трактовки совпадают. Возникающее
различие разъясняется в специальном разделе настоящего курса
«Динамика точки переменной массы» — § 103.
Таким образом, второй закон утверждает пропорциональность
вектора ускорения точки вектору приложенной к ней силы, что
можно записать в виде
Cw = F.
(19.1)
Коэффициент пропорциональности С представляет собой
величину, зависящую не от внешних характеристик движения
(приложенной силы и наблюдаемого ускорения), а лишь от
собственного материального свойства точки — ее вещественности. Это

§ 81. Второй закон Ньютона
21
свойство Ньютон связывает с количеством вещества в точке —
характеристикой точки, не поддающейся ни строгому
определению, ни непосредственному измерению.
Чтобы избежать этой трудности, вводят представление об
инертности, понимая под ней свойство материальной точки
приобретать под действием заданной по величине силы тем большее
ускорение, чем меньше характеристика С ее вещественности, и,
наоборот, тем меньшее ускорение, чем больше эта
характеристика.
Сохраняя за константой С приписываемое ей Ньютоном
качественное понятие меры количества вещества в теле
(материальной точке), примем за количественную характеристику
вещественности материальной точки ее меру инертности; назовем эту
меру массой и обозначим ее через т. За единицу массы в системе
СИ принимают килограмм [кг] как такую массу, которая под
действием силы в 1 Н приобретает ускорение, равное 1 м/с2. В
качестве более крупной единицы массы принимают тонну [т],
равную 103кг.
Окончательной формой уравнения (19.1), в котором можно
положить С = т9 будет ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
mw
(19.2)
Рассмотрим две материальные точки с разными массами тх и
т2, движущиеся под действием двух сил F х и F 2 с одним и тем же
ускорением w согласно уравнениям
m1w = F1, m2w = F2.
Не нарушая движения, можем мысленно объединить эти две
материальные точки в одну точку массы т. Почленно складывая
два предыдущих равенства, получаем
(ml 4- m2) w = f\ 4- F2,
откуда следует ЗАКОН АДДИТИВНОСТИ МАСС
т = т1 4- т2.
Понятие массы как меры инертности, введенное для
материальной точки, применимо и к поступательно движущемуся
твердому телу: все частицы такого тела (в общем случае
обладающие разными массами) имеют одинаковые ускорения, и поэтому

22 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
масса тела в силу закона аддитивности масс равна сумме масс его
отдельных частиц.
В некоторых руководствах по механике еще можно иногда
встретиться с двумя отличными от СИ системами единиц:
физической и технической. Первая из них, система CGS (сантиметр —
грамм — секунда), отличается от СИ только количественно.
В системе CGS за единицу длины принят сантиметр, равный
10"2м, за единицу массы — грамм, равный 10"3кг, а единицей
силы служит дина, определяемая как сила, вызывающая у массы
в 1 г ускорение 1 см/с2. Единица силы в системе СИ — ньютон
равна
1 Н = 1 кг • м/с2 = 105 г • см/с2 = 105 дин.
Техническая система единиц отличается от СИ выбором
основных единиц. В технической системе основными единицами
являются сила, длина и время, причем за единицу силы принят
килограмм (силы), за единицу длины — метр, за единицу времени —
секунда. Единица массы в технической системе является
производной и определяется как масса тела, приобретающего под
действием силы в один килограмм ускорение 1 м/с2.
Чтобы установить связь между единицами силы и массы в
различных системах единиц, применим формулу (19.2) к падению
точки в пустоте вблизи земной поверхности. Обозначая силу
тяжести через G, ускорение свободного падения через g, а массу
через т, будем иметь
G = mg. (19.3)
Численная величина ускорения g изменяется в зависимости от
широты пункта земного шара и его высоты над уровнем моря.
Крайние значения g на полюсе и экваторе (на уровне моря)
соответственно равны 9,8311 м/с2 и 9,7810 м/с2. Значения g для
некоторых пунктов Советского Союза* даны в табл. 1.
При дальнейшем изложении будем пользоваться
общепринятым средним значением
£ = 9,81 м/с2,
иногда заменяя его менее точным g = 9,8 м/с2.
Здесь и в табл. 1 текст сохранен в соответствии с последним прижизненным
изданием (1983). —Ред.

§ 82. Независимость действия сил. Третий закон Ньютона
23
Таблица 1
Значения ускорения g свободного падения
для некоторых пунктов Советского Союза
Название города
Тбилиси
Одесса
Киев
g, м/с2
9,8032 1
9,8074
9,8108
Название города
Москва
Ленинград
Архангельск
g, м/с2
9,8152
9,8193
9,8218
Из формулы (19.3) следует, что в физической системе единиц
массе в 1 г соответствует сила тяжести
981 г-см/с2 = 981 дин.
Выражая массу в кг, длину в м, время в с, получаем, что вес тела
массой в 1 кг составляет 9,81 Н или 9,81 • 105дин.
В дальнейшем используется общепринятая система СИ.
Наряду с понятием о массе как мере инертности — инертной
массе — в механике приходится иметь дело также с тяготеющей
массой, входящей в формулировку закона всемирного тяготения.
Как показали многочисленные опыты и в первую очередь
опыты самого Ньютона, численные величины инертной и
тяготеющей массы для одного и того же тела равны между собой. Этот
принцип эквивалентности инертной и тяготеющей масс
был в дальнейшем обобщен и на область движений, требующих
для своего рассмотрения применения специальной теории
относительности (см. гл. XXXI).
§ 82. Независимость действия сил. Третий закон Ньютона
Если к материальной точке приложены две или несколько
сил, то ускорение, приобретаемое ею под действием
равнодействующей этих сил, построенной по правилу параллелограмма,
определится как векторная сумма ускорений точки под действием
каждой слагаемой силы по отдельности. Это заключение
является простым следствием второго закона Ньютона в принятой
векторной формулировке (19.2). При этом используется допущение,
что в динамических условиях, так же как и в статических,
приложенные к материальной точке силы действуют на нее
независимо друг от друга, т. е. наличие одних сил не вызывает
изменений в действии других. Это положение составляет
содержание принципа независимости действия сил, позволяющего

24 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
применять в динамике правило параллелограмма сил и все те
операции над системами сил, которые были установлены в
статике.
Ньютон излагает принцип независимости действия сил
совместно с правилом параллелограмма, тем самым утверждая
векторный характер силы в первом следствии законов движения;
формулировка Ньютона гласит:
«При совместном действии двух сил тело описывает диагональ
параллелограмма в то же самое время, как стороны
параллелограмма при отдельном действии сил».
В разделе статики было установлено, что действие и
противодействие (сила и реакция) представляют собой две равные по
величине, противоположные по направлению и имеющие общую
линию действия силы. Так же как и в статике, из равенства
взаимодействий по величине и противоположности их по
направлению отнюдь не следует их взаимное уравновешивание, так как
действие и противодействие приложены к различным телам.
Этот общий механический закон имеет место как в статических,
так и в динамических условиях.
Приводим формулировку ТРЕТЬЕГО ЗАКОНА НЬЮТОНА:
Действию всегда соответствует равное ему и
противоположно направленное противодействие, т. е. действия двух тел друг на
друга всегда равны и направлены в противоположные стороны.
В то время как первые два закона Ньютона относятся к одной
материальной точке, третий закон рассматривает
взаимодействие двух материальных точек и является основой динамики
системы материальных точек.
Обозначим массы двух взаимодействующих в случае
мгновенного дальнодействия материальных точек через тх и т29 векторы
их скорости через у1 и и2, а векторы их ускорения через iv1 и w2.
Тогда, согласно первому и третьему законам, предполагая, что
никаких других сил, кроме взаимодействия точек, нет, получим
т1ш1 = -m2w2, (19.4)
или, интегрируя,
m1v1 4- m2v2 = const. (19.5)
Ньютон определил количество движения материальной точки
как произведение ее массы на скорость. Количество движения

§ 83. Различные формы основного уравнения динамики точки 25
системы точек равно геометрической сумме количеств движения
отдельных точек системы. Согласно (19.5) количество движения
системы двух взаимодействующих материальных точек во время
движения сохраняется. Этот закон сохранения количества
движения в своем простейшем виде был известен еще до Ньютона
и применялся для изучения явления удара шаров.
Дифференцирование равенства (19.5) по времени приводит к
равенству (19.4), а из последнего, согласно второму закону,
вытекает третий закон. Ньютон при установлении третьего закона
использовал накопленный к его времени опыт применения закона
сохранения количества движения, о чем можно судить по
пояснению, сопровождающему формулировку третьего закона, и по
«Поучению», завершающему изложение основных законов
динамики. Однако Ньютон придает третьему закону
самостоятельное значение как общемеханическому закону, а закон
сохранения количества движения системы точек выводит из него как
следствие. В этом — принципиальное отличие механических
воззрений Ньютона от соответствующих воззрений Декарта,
считавшего закон сохранения движения основным физическим
законом.
§ 83. Различные формы основного уравнения
динамики точки
Равенство (19.2), как уже упоминалось, является основным
уравнением динамики материальной точки.
Вспоминая, что
dv d2r
где v — вектор скорости, г — вектор-радиус точки, можем
придать уравнению (19.2) один из следующих видов:
dv __ d2r __
т d7 =F> m dt* =F' (19"6)
От векторной формы этих основных соотношений можно
перейти к аналитической форме в проекциях на оси. Наиболее
принятой формой в проекциях на оси декартовой системы координат
будет
тх = Fv9 ту = F1l9 тг = F' . (19.7)

26 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Большое значение имеют также
естественные уравнения движения.
Эта форма уравнений динамики
получается проецированием основного
уравнения (19.2) на оси
натурального триэдра (§ 46), т. е. направления
касательной, нормали и бинормали
к траектории (рис. 234):
dv
Соприкасающаяся
плоскость
Рис. 234
тю^
mw„
mwh
т
dt
FT9
-т- =Fn,
р п
О
(19.8)
иъ - " - ± ь-
Из последнего уравнения следует, что сила, так же как и
ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости траектории точки.
При движении по плоской траектории естественные уравнения
приводятся к виду
md7 =F*>
т-
(19.9)
Проецируя обе части уравнения (19.2) на оси любой
криволинейной системы координат, получаем уравнения движения
точки в криволинейных координатах
mw„
я<9
i = 1, 2, 3,
(19.10)
где iv
Qi
проекция ускорения на ось qt системы криволинейных
координат ql9 q29 #3> а ^V — проекция силы на ту же ось.
Согласно § 48, имеем
-d Э(и2/2) Э(и2/2)~
J^ r_d Э(и2/2) _ Э(и2/2)-|
H,[d* dqt dqf J'
н
Если ввести в рассмотрение величину
Т=\ mv2,

§ 84. Две задачи динамики. Простейшие примеры первой задачи 27
называемую кинетической энергией материальной точки, то
уравнениям (19.10) можно придать вид
d дТ <)Т ^ ino
аЩ~<Ч=(?" » = 1.2,з, (i9.il)
где положено для краткости
Q^H^^ (19.12)
Уравнения (19.11) представляют собой уравнения движения
материальной точки в форме Лагранжа. Величины Qt носят
наименование обобщенных сил; подробнее об этом будет сказано
в гл. XXIX.
Так, например, в полярной системе координат, обозначая
индексами гиф проекции силы на направления радиуса г и
перпендикулярное к нему направление в сторону возрастания
полярного угла ф, получаем по (19.11) (вспомним формулы § 48)
m(r - гф2) = Fr, -^ (г2ф) = Fr (19.13)
В сферической системе координат (R9 ф, 0) будем иметь по
формулам того же параграфа
m(R - Яф2 sin2 0 - RQ2) = FR,
rIb ^(*2<psHi2B) =*;, (19.14)
S \li (я2ё)-я2ф28т0со80] = *V
§ 84. Две задачи динамики.
Простейшие примеры первой задачи
Имея основные динамические уравнения в одном из
указанных выше видов, можно поставить и разрешить две задачи.
■ Дано движение материальной точки заданной массы, т. е.
известны координаты точки как функции времени —
кинематические уравнения движения; требуется найти силу, действующую
на точку (первая задача динамики).
■ Дана сила, приложенная к материальной точке заданной
массы; требуется найти движение точки, т. е. кинематические
уравнения движения (вторая задача динамики).

28 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Из постановки этих двух основных задач динамики
непосредственно следует, что из трех переменных, входящих в формулу
(19.2) второго закона (масса, кинематика движения, сила),
задаются только две: масса и кинематические уравнения
движения — в первой задаче динамики, масса и сила — во второй.
Это говорит о том, что второй закон Ньютона, выраженный
векторной формулой (19.2) или аналитически системой (19.7), не
является тождеством (определением понятия силы), а представляет
собой уравнение с неизвестным вектором силы F (первая задача
динамики) или вектором-радиусом r(t) (вторая задача динамики).
Решение первой задачи в приведенной постановке не
составляет труда. Если заданы кинематические уравнения движения,
например, в декартовой системе координат
X = ftf), у = f2(t), 2 = fs(t) (19.15)
и масса точки т9 то сила, вызывающая это движение, будет,
согласно (19.7), иметь проекции
F х = тх = mf'i(t), F = ту = mf^t), Fz = mi = mf^(t) (19.16)
и, таким образом, в любой момент времени может быть найдена
простым дифференцированием по времени равенств (19.15).
Вторая задача динамики сложнее уже хотя бы потому, что
связана с необходимостью интегрирования основного
дифференциального уравнения (19.2) при заданных силе, массе и
начальных условиях движения.
Поясним это простейшими примерами. Начнем с первой
задачи динамики.
Пример 73. Тело массой т спускается по прямолинейной
направляющей, наклоненной к горизонту под углом а, с известным
ускорением wy регистрируемым специальным
прибором — акселерометром. Определить
силу F торможения.
Рассматривая тело как материальную
точку, на которую действуют три силы —
сила тяжести G = mg, сила торможения F и
нормальная реакция N направляющей,
составим уравнения его движения в
проекциях на оси Ох н Оуу указанные на рис. 235.
Будем иметь
mwx = mg sin a - F,
Рис. 235 ~ mwy = О = -mg cos а + N.

§ 84. Две задачи динамики. Простейшие примеры первой задачи 29
Отсюда сразу определяются сила торможения
F = m(g sin a- w)
и нормальная реакция направляющей
N = mg cos a.
Если, подобно тому как это делалось в статике, ввести в рассмотрение
коэффициент трения движения /, определив его отношением величины
F силы торможения к величине N нормальной реакции, / = F/N, то на
основании предыдущих формул для определения этого коэффициента
получим равенство
' b g cos a
Изменяя уклон направляющей, молено найти такое значение угла
a = ф, при котором тело будет спускаться равномерно, т. е. ускорение w
будет равно нулю. Этот угол ф, определяемый, согласно последней
формуле, равенством tg ф = /, соответствует рассмотренному в статике углу
трения (§ 21).
Решение только что рассмотренного примера можно было бы
интерпретировать иначе, а именно как решение задачи о
равновесии тела под действием сил G, F9 N и дополнительной силы,
определяемой вектором -mw9 где w — ускорение спускающегося
тела. Действительно, уравнения равновесия тела в проекциях на
оси Ох9 и Оу при этом имели бы вид
—F - mw 4- mg sin a = О,
N - mg cos a =0
и ничем не отличались бы от выписанных ранее уравнений
движения тела.
Вообще, если основное уравнение динамики (19.2) переписать
в тождественной форме
F - mw = 0 (19.17)
и ввести обозначение
-mw = S, (19.18)
то уравнение (19.17) примет вид
F + S = 0. (19.19)
Вектор S9 равный по величине произведению массы точки
на ее ускорение и направленный в сторону, противоположную
ускорению, называется силой инерции материальной точки и

30 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
считается приложенным к этой точке. Представление о силах
инерции будет расширено в гл. XXX в связи с рассмотрением
динамики относительного движения. Сейчас удовольствуемся
принятым формальным определением силы инерции и заметим,
что в результате такого подхода уравнение динамики (19.2)
свелось к уравнению равновесия (19.19) материальной точки под
действием приложенной силы и силы инерции. Изложенный
прием сведения задачи динамики к задаче статики лежит в
основе метода кинетостатики, который будет в более общем виде
изложен в гл. XXVIII. По своей сути метод этот относится к
первой задаче динамики. Как выяснится из следующих
примеров, данный метод особенно полезен при рассмотрении движений
в естественной форме.
Проекции силы инерции на декартовы и естественные оси
будут соответственно равны
Sx = -mx, Sy = -my, S2 = -m'i (19.20)
и
ST = -mwT, Sn = -mwn, Sb = 0. (19.21)
Составляющие силы инерции ST и Sn по направлению
естественных осей — касательной и главной нормали к траектории —
называются естественно касательной и центробежной силами
инерции; эти силы направлены противоположно
соответствующим составляющим ускорения точки и по величине равны m\v\
и mv2/p.
Пример 74. Определить угол крена самолета при вираже, равный
углу ф (рис. 236) между плоскостью крыльев и горизонтом, если вираж
осуществляется со скоростью v в горизонтальной плоскости; радиус
виража а.
Из условия равновесия силы тяжести самолета G = mg,
подъемной силы L, принятой равной
где С — коэффициент подъемной силы,
принимаемый пропорциональным углу
атаки, р — массовая плотность воздуха, о —
общая площадь несущих поверхностей,
и центробежной силы
Рис. 236
mv2

§ 84. Две задачи динамики. Простейшие примеры первой задачи 31
получим
"Г =Су\ osm(P'
mg = Cy^Y~ ° cos Ф-
Разделив эти два равенства почленно одно на другое, найдем угол
крена
ф = arctg — ,
а радиус виража определим по первому из предыдущих равенств:
2т
роСу sin ф
Из этой формулы вытекает, что для совершения виража по возможности
малого радиуса следует увеличивать угол крена и коэффициент
подъемной силы, т. е. вместе с углом крена увеличивать угол атаки.
Аналогичный расчет проводится в следующем примере.
Пример 75. Велосипедист описывает окружность радиусом а,
лежащую в горизонтальной плоскости, с постоянной по величине скоростью v
(рис. 237). Какой угол а должна при этом составлять плоскость рамы
велосипеда с вертикалью?
Будем предполагать силу тяжести G = rag велосипедиста и
велосипеда сосредоточенной в их общем центре тяжести С, лежащем в плоскости
рамы велосипеда. В этой же точке приложена и центробежная сила
Sn = mv2/a. Будем считать также, что силы реакции почвы: нормальная
N и боковая сила трения F', приложенные в точке пересечения линии
соприкасания колес с почвой и плоскости чертежа, приводятся к одной
равнодействующей R. Из условия равновесия тела под действием трех
сил G, Snn R заключим, что линии действия силы R должны проходить
через точку С пересечения линий действия первых двух сил. Из силового
треугольника, показанного на рис. 237 справа,
сразу следует, что
tg а;
G
—
Для движения по закруглению
велосипедист должен тем больше отклонять плоскость
рамы от вертикальной плоскости, чем больше
его скорость и чем меньше желательный
радиус поворота.
Пример 76. Кузов вагона массой т
совершает на рессорах гармонические вертикальные
колебания амплитудой а и периодом Т.
Определить максимальное и минимальное давление iV
кузова на рессоры.

32 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Направив ось Ох вертикально вниз, зададим уравнение движения
кузова в виде
х = asin(2n/T)t. (19.22)
Началу координат здесь соответствует среднее положение кузова,
а крайним верхнему и нижнему положениям — значения
х = -а, х = а.
К кузову приложены сила тяжести G = mg и реакция рессор N.
Дифференциальное уравнение движения кузова будет
mwx = G- N = mg - N.
Дважды дифференцируя обе части уравнения движения (19.22)
по времени, получаем
4к2а . 2nt
Wx = -^T sin -f~-
Давление кузова на рессоры будет
ЛТ Л (Л1 4к2а . 2nt \
N = G - mwx = mg - mwx = mg\ 1 H =% sin -=r J.
В крайнем верхнем положении
лт it (л 4к2а \
N = Nmin = mg(l - gT2 J,
в крайнем нижнем
(л , 4л;2а Л
§ 85. Специальная постановка первой задачи динамики.
Определение закона действия силы
по заданному классу движений. Задача Бертрана
Первая задача динамики материальной точки окажется не
столь простой, если ее обобщить, потребовав определить общий
закон сил, вызывающих данный класс движений, которые
отличаются друг от друга начальными условиями, т. е. начальным
положением точки и начальной ее скоростью, а следовательно,
и траекториями движения.
Простейшим примером такой специальной постановки
первой задачи динамики может служить следующий одномерный
случай.

§ 85. Специальная постановка первой задачи динамики
33
Материальная точка массой т совершает гармоническое
колебательное движение по оси Ох согласно уравнению
х = a sin ((£>t 4- s), (19.23)
где, как это было выяснено в кинематике, а — амплитуда
колебания, со — круговая частота колебания, as — начальная фаза.
Составляя выражение проекции ускорения на ось Ох
юх = х = -aw2 sin (atf 4- s) (19.24)
и подставляя его в формулу второго закона (19.7), находим
F х = тх = -mad1 sin (atf 4- s). (19.25)
Это служит решением первой задачи динамики. Перепишем
теперь равенство (19.25) на основании (19.24) в форме
Fx = -т(£>2х = -сх, с = та)2. (19.26)
В этой форме для гармонических колебаний открывается
закон пропорциональности величины силы величине отклонения
точки от центра равновесия (х = 0) и направления ее в сторону
этого центра. Такая сила будет действовать на материальную
точку со стороны упругой нити или пружины, притягивающей эту
точку к центру (х = 0). Входящий в правую часть (19.26)
коэффициент с определяется только упругими свойствами пружины
(об этом будет еще речь впереди) и никак не связан с начальным
положением точки и начальной скоростью движения точки.
Закон (19.26) является общим и может применяться для решения
разнообразных задач, служащих для предсказания
прямолинейных движений материальной точки под действием упругой силы
притяжения к данному центру.
В несколько более общем случае, когда материальная точка М
описывает в плоскости Оху фигуры Лиссажу (§ 41), согласно
уравнениям колебания этой точки по осям Ох и Оу9
х = аг sin (ю£ + 8г), у = а2 sin (ю£ + s2) (19.27)
с разными амплитудами а19 а2 и начальными фазами г19 £2» но
с одинаковой частотой со, повторяя тот же анализ, находим
F = mw = -таг(х)2 sin (atf + гг) = -тю2х = -сх,
(19.^ о)
F = mw = -та2ю2 sin (ю£ + s2) = -ты2у = -су.
Отсюда можно заключить, что движения материальной точки
по всевозможным фигурам Лиссажу, согласно уравнениям
(19.27), будут происходить по коническим сечениям независимо
от того, каковы будут значения зависящих от начальных условий

34 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
движения амплитуд а19 а2 и начальных фаз sl5 s2» если сила,
действующая на материальную точку, будет по величине
пропорциональна расстоянию от точки до начала координат и направлена
во все время движения к этому началу. Приложенная к
движущейся точке сила, линия действия которой всегда проходит через
одну и ту же неподвижную точку (в данном случае начало
координат), называется центральной силой. Итак, можно заключить,
что движения точки по коническим сечениям, параметрически
заданным уравнениями (19.27), будут происходить под
действием центральной силы притяжения к началу координат (19.28),
прямо пропорциональной по величине расстоянию от точки до
этого начала.
К такой специальной постановке первой задачи динамики
материальной точки относится задача Ж. Бертрана,
сформулированная им в следующих словах:
«найти законы центральных сил, зависящих только от
положения движущейся точки и вынуждающих ее независимо от
начальных условий описывать конические сечения».
Бертран показал, что этим условиям удовлетворяют
центральные силы притяжения к неподвижной точке Fr = -jLtr и Fr = -jLl/r2.
Первый случай был только что разобран, а второй будет
рассмотрен на следующем примере, содержащем вывод закона Ньютона
о всемирном тяготении из уравнений Кеплера.
Пример 77. Определить закон притяжения планет к Солнцу, считая
известными законы Кеплера (§ 48).
Согласно первому закону Кеплера (1571 —1630) планеты Солнечной
системы движутся по эллипсам, в общем фокусе которых находится
Солнце. Помещая начало координат в центр Солнца <S (рис. 238) и
обозначая через г радиус-вектор планеты
относительно Солнца, а через ф полярный угол,
отсчитываемый от радиуса-вектора SP
планеты в ее наиболее близком к Солнцу
расстоянии (в перигелии), будем иметь
уравнение орбиты планеты
Рис. 238
1 -+- е cos ф *
(19.29)
БЕРТРАН ЖОЗЕФ ЛУИ ФРАНСУА (Bertrand Joseph Louis Francois, 1822—
1900) — французский математик, иностр. чл.-корр. (1859) и иностр.
почетный чл. (1896) Петербургской АН, чл. Парижской АН (1856), с 1862 г. проф.
Коллеж де Франс.

§ 85. Специальная постановка первой задачи динамики
35
где р — параметр эллипса, равный отношению квадрата меньшей
полуоси Ъ к длине большей полуоси а, и е < 1 — эксцентриситет эллипса,
равный отношению фокусного расстояния к длине большей полуоси.
По второму закону Кеплера секториальная скорость планеты (§ 48)
постоянна, т. е.
г2ф = С. (19.30)
Вспоминая уравнения движения в полярных координатах (19.13),
заключаем, что искомая сила F притяжения планеты с массой т к Солнцу
имеет проекции
Fr=m{r -гф2), ^ф = 0. (19.31)
Отсюда сразу следует, что на планету действует сила, направленная по
радиусу-вектору планеты — центральная сила, а орбита (траектория) —
центральная орбита.
Остается определить величину Fr и сторону, в которую направлена
сила F. Для этого по (19.29) и (19.30) вычисляем
. _ ре sin ф • ф _ ре sin ф С Се .
(1 4- е cos ф)2 (1 4- е cos ф)2 г2 р ^'
Се .Се С С2е cos ф
г = — cos ф • ф = — cos ф • —~ = , ,
р р г1 р г1
после чего по первой из формул (19.31) с учетом (19.29) и (19.27)
находим
*v=-p£2. (19-32)
откуда заключаем, что планета движется под действием силы
притяжения к Солнцу, прямо пропорциональной массе планеты и обратно
пропорциональной квадрату расстояния от нее до Солнца.
Обозначая через т период обращения планеты и вспоминая, что
площадь эллипса равна %аЪу по определению секториальной скорости
находим
Ст/2 = паЪ,
так что
С2 = 4к2а2Ь2 = 4к2а3
р ~ т2 (b2/a) ~ х2 '
после чего вместо (19.32) получим
* = ^-3- <19-33>
Согласно третьему закону Кеплера отношение а3/х2 одинаково для
всех планет Солнечной системы. Предположив, что масса Солнца М ана-

36 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
логично массе планеты т входит в формулу для силы притяжения в виде
множителя, примем, что
4**f = /М, (19.34)
где / — коэффициент пропорциональности, который не должен зависеть
ни от массы Солнца, ни от массы притягиваемой к Солнцу планеты,
т. е. быть универсальной константой. Тогда формула (19.33) запишется
в виде
Mm
f1 .
г*
(19.35)
Таков общий вид формулы закона всемирного тяготения,
справедливого для любых двух тяготеющих масс.
Универсальная постоянная тяготения /, выражающая силу
взаимного притяжения двух масс в 1 г каждая, находящихся друг от друга на
расстоянии 1 м, была определена путем непосредственного измерения
(с помощью точных крутильных весов) силы притяжения двух шаров
впервые Кавендишем в 1798 г., позднее более точно Этвешем в 1912 г.;
по современным данным
/ = 6,67 • 10"11 м3/(кг • с2). (19.36)
§ 86. Законы сил
Установление закона силы может происходить путем
непосредственного обобщения результатов опыта, заключающегося в
определении закона силы по наблюдаемому движению.
Примером может служить только что приведенный вывод закона
всемирного тяготения Ньютона из экспериментально
установленных Кеплером кинематических законов движения планет (§ 48).
Остановимся подробнее на рассмотрении некоторых наиболее
важных законов сил.
■ Постоянная по величине и направлению сила. Таковы: сила
тяжести, т. е. сила тяготения при движении тела в области,
малой по протяженности в сравнении с размерами земного шара,
действие на электрон постоянного во времени и однородного
электрического поля, сила кулонова трения, действующая на
КАВЕНДИШ ГЕНРИ (Cavendish Henry, 1731—1810) — английский физик и
химик, чл. Лондонского королевского общества (1760).
ЗТВЕШ ЛОР АНД (РОЛАНД) ФОН (Eotvos Lorand von, 1848—1919) —
венгерский физик, президент Венгерской АН (1889).

§ 86. Законы сил
37
тело, движущееся по наклонной плоскости. Принимая,
например, вертикальное направление в данном пункте земного шара за
ось 2, будем иметь закон силы тяжести F2 = ±G9 где G — вес тела,
а знак зависит от того, будет ли ось z направлена вниз или вверх.
■ Сила, зависящая от времени. Примером может служить сила,
втягивающая (выталкивающая) намагниченный сердечник в
катушку, по обмотке которой течет переменный электрический ток.
Если предположить, что длина катушки велика по сравнению с ее
радиусом, а смещения сердечника малы по сравнению с длиной
катушки, то проекция на ось катушки силы взаимодействия
сердечника с катушкой может быть представлена формулой
Qx = 4nmni = 4nmni0 sin (2nt/T), (19.37)
где т — магнитная масса сердечника, п — число витков
проволоки на единицу длины катушки, Т — период переменного тока,
i0 — амплитуда величины тока.
■ Сила, зависящая от положения точки в пространстве
(позиционная сила). Простейшим примером такого рода силы может
служить натяжение F упругой нити, связывающей (рис. 239)
движущуюся точку М с некоторым центром О, который можно
выбрать так, чтобы при совпадении точек М и О удлинение нити
равнялось нулю. Тогда, согласно закону Гука о
пропорциональности величины упругой силы относительному удлинению нити,
будем иметь
F = -с- ОЛ? = -сг, (19.38)
где учтено, что сила упругости F направлена вдоль ОМ от точки
М к точке О. Коэффициент пропорциональности с характеризует
упругие свойства нити и численно равен силе, растягивающей
нить на единицу длины.
Проекции упругой силы на оси координат будут
Fx = -ex, Fy = -су, Fz = -cz. (19.39)
Аналогично можно найти проекции силы
тяготения двух масс или притяжения
(отталкивания) двух электрически заряженных
тел. Помещая (рис. 239) в точку О массу ml9
а в точку М массу пг29 будем иметь
лгллг9 гх
F = -f z— r, (19.40)
1 гя v } Рис. 239

38 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
причем в этой векторной формуле учитываются как величина,
так и направление силы, приложенной к точке М; проекции той
же силы на оси координат равны
~ *Ж ' (Х2 + Z/2 + 22)3/2 Х>
У ~ ' (х2 + у2 + г2)3/2 У' (19.41)
тЛтп
F = -f 2
2 ' (X2 + Z/2 + 22)3/2
■ Сила, зависящая от скорости точки. Примером силы,
зависящей по величине и направлению только от скорости точки,
может служить сила, действующая со стороны однородного
магнитного поля на частицу, несущую электрический заряд (лоренцева
сила). Если напряжение магнитного поля обозначить через Н9
скорость частицы через v9 а электрический заряд через е9 то
действующая на движущуюся частицу сила будет определяться по
величине и направлению формулой
F = evxH. (19.42)
Если для упрощения выражения проекций этой силы на оси
координат принять за ось Ох направление магнитного поля,
задаваемое вектором напряжения Н, то Hv = Н9 Hlf = О, Н9 = 0, и вы-
х у z
ражения проекций силы F примут вид
Fx = О, Fy = eHvz9 Fz = ~eHvy. (19.43)
Сила сопротивления среды движущемуся в ней
поступательно, прямолинейно и равномерно телу зависит от его скорости.
Если f(v) обозначает численную величину силы сопротивления
среды, то вектор силы сопротивления будет (по условию
противоположности его направления направлению вектора скорости v)
определяться формулой
D = -'-^ v9 (19.44)
а проекции этой силы на оси координат могут быть представлены
следующим образом:
Dx = -m», D=-f^y, D. = -™i. (19.45)
Если, например, сила сопротивления может быть принята
пропорциональной первой степени скорости, т. е. f(v) = kv9 где

§ 86. Законы сил
39
к — коэффициент пропорциональности, зависящий от
физических свойств среды и формы тела, то получим
Dx = -kx9 Dy = -ky9 Dz = -kz\ (19.46)
такова, в частности, сила сопротивления медленному движению
в очень вязкой жидкости шарика, определяемая формулой Сток-
са (jLl — коэффициент вязкости, а — радиус шарика)
D = 6n{iav, (19.47)
так что в этом случае k = 6n[ia.
■ Сила, зависящая от ускорения. Если шарик радиуса а
движется поступательно и прямолинейно с ускорением w в
идеальной (невязкой) жидкости, то сила сопротивления жидкости
(согласно ее свойству инертности) ускоренному движению шарика
будет равна по величине половине произведения массы жидкости
в объеме шарика на его ускорение и направлена в сторону,
противоположную направлению вектора ускорения. Эта сила
сопротивления D может быть выражена векторной формулой*
2
D = -г naspw = -Xw, (19.48)
где р — плотность жидкости.
Коэффициент Х9 имеющий размерность массы, носит
наименование присоединенной массы шара. Происхождение этого
наименования связано с тем, что уравнение движения шарика
собственной массой т под действием силы D и другой какой-нибудь
силы Р
mw=P+D=P -Xw
может быть переписано в виде
(т 4- Х)ги = Р.
Это уравнение допускает следующую трактовку: под действием
силы Р шарик в жидкости движется так, как шарик в пустоте, но
с массой, увеличенной на присоединенную массу, равную
половине массы жидкости в объеме шарика. Присоединенная масса
оказывает значительное влияние на движение тела в жидкости
только в случае, когда она имеет тот же порядок величины, что
и собственная масса тела, т. е. когда плотность жидкости
сравнима по величине с плотностью движущегося в ней тела.
См., например, Лойцянский Л. Г. [16, с. 320].

40 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В проекциях на оси координат сила сопротивления,
пропорциональная ускорению, будет выражаться следующим образом:
Dx = -Хх9 Dy = -Ху9 Dz = -Xz\ (19.49)
В дальнейшем нам придется иметь дело по преимуществу
лишь с силами, зависящими от времени, положения точки в
пространстве и ее скорости. При этом проекции равнодействующей
силы, приложенной к движущейся точке, будут определяться
как функции времени, координат и проекций скорости, так что
закон силы будет выражаться формулами вида
Fx = Fx(t; х,у, z\ х9 у, i),
Fy = Fy (t; x, у, z; x, у, i), (19.50)
Fz = Fz (*; x>y>2' *» #> *)'>
в полярной системе координат аналогично
Fr =Fr(t; г, ф; г, ф),
. . (19.51)
F^ = F^(f9 г, ф; г, ф);
соответствующие выражения будем иметь и в других системах
координат.
§ 87. Вторая задача динамики материальной точки
В отличие от первой задачи динамики, решение которой
позволяет найти закон силы по заданным конечным
кинематическим уравнениям движения, целью второй задачи динамики
является определение движения по заданному закону действия
сил. Изложение методов решения этой задачи составляет, по
существу, основное содержание всех разделов динамики.
Возвращаясь к основному уравнению динамики точки в
декартовых координатах (19.7), перепишем его, согласно (19.50),
в форме
тх = Fx(t; х, у, z\ x9 у, i),
ту = Fy(t; х, у, z\ x9 у9 i), (19.52)
mz =Fz(t; x,y, z\ x9 y9 i).
Совокупность равенств (19.52) представляет собой систему
трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
относительно трех неизвестных функций — координат точки x(t),
y(t), z(t) — и носит наименование основных дифференциальных
уравнений движения материальной точки.

§ 87. Вторая задача динамики материальной точки
41
Для разыскания неизвестных функций необходимо
выполнить интегрирование системы (19.52).
Общим интегралом системы дифференциальных уравнений
движения (19.52) служит система уравнений в конечной форме
ijih Х9 у9 2\ (-'-р ^2' 3' 4' 5' 6^ '
4*2(t; х, у, z\ Cv С2, С3, С4, С5, С6) = 0, (19.53)
13v ' *^' У9 ^9 1' 2' 3' 4' 5' 6^ '
связывающая время, координаты и соответственно числу
уравнений и их порядку шесть произвольных постоянных
интегрирования С19 С2, ... , С6. Уравнения (19.53) называют вторыми
интегралами уравнений движения (19.52).
Дифференцируя каждое из уравнений (19.53) по времени,
получаем систему равенств вида
vP-j^tJ X, у, 2\ X, у, 2\ С-р С2, С^з» ^4' 5' ^6/ = ^'
Ф2(£; х, у, 2\ х, у, г\ С19 С2, С3, С4, С5, С6) = 0, (19.54)
Фз^ ' *^' ^' ^' *^' ^' ^' 1' 2' 3' 4' 5' 6^ '
их называют первыми интегралами уравнений движения. В
ряде случаев такого рода равенства, связывающие время,
координаты, проекции скорости и в том или другом числе произвольные
постоянные интегрирования, получаются путем
непосредственного однократного интегрирования уравнений (19.52). Таковы,
например, интеграл площадей и интеграл живых сил, с
которыми мы познакомимся в следующем отделе.
Задавая значения координат и проекций скорости в
начальный момент времени t = t0 (начальные условия задачи)
X = Xq, У = Уо9 ^ = 2q,
. _ . . _ . . _ . (19.55)
X = Xq, у = l/0, 2 — 2q
и подставляя эти начальные значения времени, координат и
проекций скорости в (19.53) и (19.54), получаем систему шести
уравнений с шестью неизвестными постоянными С19 С2, ... , С6:
4*1 (ZqI Xq, i/q, 2q'9 Ср C2, C3, C4, C5, Сб) = U,
(19.56)
Ф1 (ZqI Xq, I/q, 2q'9 X'q, Z/q, 2q'9 C-p C2, C3, C4, C5, Cg) = U,

42 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
пользуясь которыми, выразим С19 С2, ... , С6 через начальные
координаты и проекции скорости (19.55). Подставляя эти значения
постоянных в систему (19.53) и разрешая ее относительно
координат, находим искомые конечные уравнения движения
материальной точки:
# = /1 к*'* #0' Уо* 2о'9 хо9 У о* 2о)9
y = f2 (t; х0, у0, z0; x0, у0, i0), (19.57)
2 = Тз U' хо9 Уо9 2о'9 х09 Уо9 2о)'
Определение реп1ения системы дифференциальных уравнений
движения (19.52) при заданных начальных значениях координат
и скоростей (19.55) представляет собой пример так называемой
задачи Коши. Эта задача, как доказывается в теории
дифференциальных уравнений, при весьма общих ограничениях,
накладываемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет
решение и притом единственное. В теоретической механике
могут ставиться задачи и другого типа — краевые задачи. Так,
например, можно задать положения точки, соответствующие двум
различным моментам времени t = t0 и t = tx\ при этом система
(19.53) также приведет к шести уравнениям с шестью
неизвестными, но, в отличие от задачи Коши, такого рода краевая задача
может и не иметь решения, а если будет иметь, то это решение
может оказаться не единственным.
Поясним сказанное простыми примерами; более сложные
задачи составляют содержание следующих глав. Начнем со случая
прямолинейного движения материальной точки под действием
постоянной по величине и направлению силы.
Пример 78. Тело (рис. 235, с. 28) спускается под уклон в 5°; считая
сопротивление трения постоянным и коэффициент трения равным 0,02,
определить скорость тела через 10 с после начала движения и
пройденный им к этому времени путь.
Запишем дифференциальное уравнение движения (см. пример 73)
в проекции на ось Ох:
mx = mg sin ос - F = mg sin а - fmg cos а.
Ввиду малости угла а = 5° ~ 0,087 имеем sin ос ~ ос, cos ос ~ 1, и,
следовательно,
х = 9,81 (0,087 - 0,02) = 0,657 м/с2.
Интегрируя, находим первый интеграл движения
х = 0,657* + С.

§ 87. Вторая задача динамики материальной точки
43
В начальный момент t = 0 значение х = 0, так что иС^О.
Следовательно, скорость будет равна
vv = х = 0,657£ м/с.
При £ = 10 с найдем их = 6,57 м/с. Повторное интегрирование
определит абсциссу х движущегося тела; будем иметь второй интеграл
x = Q,3285t2 + Cv
Совмещая начало координат О с положением тела в начальный момент,
т. е. полагая х = 0 при t = 0, получаем С1 = 0, и уравнение движения тела
будет
х = 0,3285£2м.
При t = 10 с найдем х ~ 33 м.
В тех случаях, когда сила задается различными функциями времени
на отдельных участках движения, интегрирование уравнений движения
приходится производить раздельно по этим участкам, а затем уже,
пользуясь произвольными постоянными интегрирования, своими для
каждого участка, сращивать полученные решения между собой на краях
участков.
Пример 79. К материальной точке массой ту находящейся в покое,
прикладывается в момент времени t = 0 сила, величина которой
меняется по гармоническому закону
F = F0 cos со£.
Определить движение точки под действием этой силы.
Принимая линию действия силы F за ось Ох и положение покоя точки
за начало координат, проинтегрируем один раз уравнение движения
тх = F = F0 cos atf.
Получим первый интеграл
-р
х = ° sin со/ + С.
/ГКО
Повторное интегрирование дает второй интеграл
-р
х = = cos со£ + Ct + С\.
Из первого интеграла следует, что С = 0, так как в начальный момент
точка находилась в покое и^0 при t = 0. Вторую постоянную С1
определим из второго интеграла, воспользовавшись условием, что я = 0 при
t = 0; будем иметь
с = Fo
1 m ю-'

44 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Окончательно находим
х — -у (1 - cos Ш).
77И02 V '
Точка соверп1ает гармоническое колебание с амплитудой F0/(m(d2)
около центра колебаний с абсциссой х* = F0/(m(d2).
Пример 80. Рассмотреть вертикальное движение материальной точки
под действием земного тяготения, обратно пропорционального квадрату
расстояния от точки до центра Земли.
Поместив начало координат О в центр Земли, направим ось Ох по
радиусу Земли, проведенному через данный пункт земной поверхности.
Дифференциальное уравнение движения, если пренебречь
сопротивлением воздуха и вращением Земли, будет
тх = -С/х2. (19.58)
Применим его к поверхности Земли, положив х = i?, где R — радиус
Земли в рассматриваемом пункте поверхности, а х = —g; тогда получим
С = mgR2.
Уравнение движения при этом перепишется в форме
х = -gR2/x2. (19.59)
Для его интегрирования произведем замену
. .. ^ c\vx _ dvx dx _ du,
Х ~ V*> X ~ dt ~ dx dt ~ V* dt '
Разделяя в уравнении (19.59) переменные, будем иметь
Vxdvx = ~gR2 r2 '
dx
~х~*
Введя начальные условия
х = х0 > i?, х = vx = ± v0 при t = 0,
проинтегрируем обе части предыдущего уравнения и получим
следующий первый интеграл уравнения движения:
vl -v* =2gR2(l - 1). (19.60)
Определим максимальное расстояние Ну на которое удалится тело,
брошенное с поверхности Земли с заданной начальной скоростью и0.
Полагая в (19.60) vx = 0, х0 = i?, я = i/, получаем

§ 87. Вторая задача динамики материальной точки
45
Из первой формулы (19.61) вытекает, что начальная скорость
движения, которую необходимо сообщить телу для того, чтобы оно удалилось
на бесконечность (Н = °°), будет равна
vX)=j2gR. (19.62)
Полагая в (19.60) х0 = °°, х = i?, u0 = 0, убедимся, что с той же
скоростью достигнет Земли тело, начавшее падение из бесконечно удаленной
точки с нулевой начальной скоростью. Скорость и^, определенная
формулой (19.62), представляет характерную для рассматриваемого
движения величину и называется скоростью из бесконечности. Как будет
показано в следующей главе, снаряд, выпущенный с поверхности
Земли с такой скоростью, не вернется на Землю независимо от того, под
каким углом будет произведен выстрел. Если принять g = 9,81 м/с2
ий^ 6,4 • 106 м, то скорость v^ будет равна
и^ = 72-9,81-6400- 103 = 11 206 м/с - 11,2 км/с.
В настоящее время скорость v^ = u2, определенную по формуле
(19.62), называют второй космической скоростью.
Понятие второй космической скорости, или скорости из
бесконечности, может быть обобщено на случаи притяжения к любой планете массой
М и радиусом R. Согласно общему закону тяготения (19.40), постоянная
С, стоящая в правой части (19.58), равна fmM. Заменяя в равенстве
(19.62)
«R=gR2 = С =Ш
ё R mR R '
получим в случае притяжения к телу массой М следующее общее
выражение для второй космической скорости:
и2 = ^ . (19.63)
Пример 81. Определить движение точки под действием силы,
постоянной по величине и направлению.
Таким будет, например, движение тяжелой точки вблизи
поверхности Земли, если отвлечься от вращения Земли и сопротивления воздуха,
или движение наэлектризованной частицы в однородном электрическом
поле.
Пусть на точку М массой т действует постоянная сила F.
Дифференциальное уравнение движения mr = F или
т
по условию постоянства вектора силы имеет первый интеграл
г = - Ft + C.

46 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Замечая, что интеграл г равен скорости, найдем, что постоянный вектор
С представляет собой начальную скорость и0, и получаем
т °
Интегрируя второй раз, будем иметь второй интеграл
r" ro" hiFt2 + v> <19-64)
где г0 — начальный вектор-радиус точки М. Это соотношение
показывает, что вектор (г — г0) расположен в плоскости векторов F и и0 и,
следовательно, траектория точки представляет собой плоскую кривую,
расположенную в этой плоскости.
Примем начальное положение точки за начало координат О (г0 = О,
хо = У о = О) > ось ®х направим перпендикулярно силе F так, чтобы вектор
начальной скорости v0 образовывал с осью Ох острый угол 90; ось Оу
будет при этом совпадать по направлению с силой F или направлена
в противоположную сторону, так что
FX = Q, Fy = ±F, F, = Q,
и0х = и0 cos 0O, u% = uosin0o, v0z = 0.
Второй интеграл в проекциях на оси будет
х = v0t cos 0O, у = ±~— t2 + v0t sin 0O, 2 = 0. (19.65)
Это — известное из кинематики (§ 44) параболическое движение.
Рассматривая, например, движение снаряда в пустоте как движение
материальной точки массой т = G/g под действием силы тяжести G и
направляя ось у в плоскости стрельбы вертикально вверх (F = -G), будем
иметь
st2
х = и0£ cos 0O, z/■ = -^ + и0£ sin 0O. (19.66)
Траектория этого движения — парабола с уравнением
У = * tg 90 - /*' (19.67)
2v0 cos ^0О
была подробно изучена в кинематике (§ 44); эта парабола симметрична
относительно вертикали, проходящей через ее вершину; угол падения
снаряда равен углу вылета; скорости падения и вылета также равны
друг другу.
Напомним формулы максимальной высоты Н снаряда над
горизонтом и горизонтальной дальности L:
i?nsin 0П vn sin 20n
Н= 2g , L= g °. (19.68)
Изменения, вносимые в это движение сопротивлением воздуха и
удалением снаряда на большие расстояния от поверхности Земли, будут
рассмотрены в следующей главе.

§ 87. Вторая задача динамики материальной точки
47
Движение, соответствующее уравнениям (19.65), будет совершать и
частица, несущая электрический заряд +е в однородном электрическом
поле напряжением Е. В этом случае надо будет положить F = +еЕ.
Пример 82. Определить траекторию заряженной частицы массой т и
зарядом е в однородном магнитном поле напряженностью Н, если сила
взаимодействия частицы и поля равна ev х Н, где v — скорость частицы.
Основное уравнение движения имеет вид
т ^ =evxH. (19.69)
Переходя к естественным уравнениям (§ 83) и проецируя на
касательную (х) и нормаль (п) к траектории, получаем
т -т- = е (и х if) • т, тп — = е (и х Н) • п. (19.70)
Замечая, что единичный вектор х параллелен v и, следовательно,
перпендикулярен вектору v х i/, находим
т.е. касательное ускорение равно нулю и скорость частицы постоянна по
величине; полное ускорение сводится к нормальному, а вектор п
параллелен v х Н. Тогда из второго уравнения (19.70) будем иметь
т — = ev0H sin ф, (19.71)
где ф — угол между вектором скорости v и вектором напряженности поля
Н. Легко показать, что этот угол также постоянен. Для этого умножим
обе части векторного уравнения движения (19.69) скалярно на
единичный вектор Н/Н; вследствие постоянства направления Н будем иметь
dvn
т , = 0, vH = v0 cos ф = const,
откуда следует, что ф = ф0. Из уравнения (19.71) при этом получим
mvQ
" еН sin ф0 "
Мы видим, что траектория имеет постоянный радиус кривизны и
образует постоянный угол с магнитными линиями. Это — винтовая линия
на круговом цилиндре с осью, параллельной магнитным линиям. Радиус
цилиндра а (§ 46) связан с радиусом кривизны соотношением
4к2а2 . « mvQ sin ф0
а = Р — , А 9 - = Р Sln ФО = ТТ У
а шаг h винтовой линии равен
2nmv0 cos ф0
h - 2ка ctg ф0 - еН

48 Глава XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 88. Связь между первой и второй задачами
динамики материальной точки
Как видно из только что приведенных простейших примеров,
при решении второй, основной задачи динамики материальной
точки приходится пользоваться как статическими законами сил
(постоянная сила тяжести, упругая сила, сила тяготения), так и
динамическими законами (сила сопротивления, лоренцева сила).
Эти законы сил устанавливаются в результате решения частных
задач и последующего обобщения этих решений на широкие
классы явлений, моделирующих движения материальных точек.
Может возникнуть мысль, что такое определение сил из
уравнения динамики и обратная подстановка этих сил в то же
уравнение представит собой порочный круг. Некоторые авторы курсов
теоретической механики вообще не признают значения
уравнения динамики как основного закона естествознания, сохраняя
за ним лишь роль определения силы.
Ошибочность такого взгляда заключается в том, что не
учитывается смысл изложенной выше специальной постановки первой
задачи динамики (в частности, задачи Бертрана), определяющей
не просто силу, а общий закон сил, соответствующий обширному
классу явлений.
Здесь уместно еще и еще раз повторить слова Ньютона, так
поясняющие основную задачу динамики:
«по явлениям движения распознать силы природы, а затем по
этим силам изъяснить остальные явления».
Согласно принципу независимости действия сил, можно
решить первую задачу в специальной ее постановке для различных
законов сил, взятых по отдельности, а затем поставить вторую
задачу динамики, т. е. найти движение материальной точки под
действием совокупности законов сил. Таким образом,
специальная постановка, определяя общие законы сил, позволяет
предсказывать движение материальной точки при разнообразных по
физической сущности силах и начальных условиях движения,
приводящих к кинематическим характеристикам движений в
конкретных случаях.
Методы решения второй задачи динамики разъясняются на
примерах, помещенных в следующих главах. Решение этих
примеров требует интегрирования некоторых простейших
дифференциальных уравнений второго порядка, для чего достаточно
первоначального знакомства с дифференциальным и интегральным
исчислениями.

§ 8Э. Вертикальное движение тяжелой точки в среде с сопротивлением 49
Глава XX
Некоторые задачи динамики точки
§ 89. Вертикальное движение тяжелой точки в среде
с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости
Примем силу сопротивления D равной по величине Xv29 где
X — постоянный коэффициент сопротивления, зависящий
только от физических свойств среды, геометрической формы и
размеров тела, a v — величина скорости. Направим ось Ох (рис. 240)
по вертикали вниз; тогда дифференциальное уравнение
движения будет иметь вид
тх = G + DX = G~ Хх2; (20.1)
заменяя G на rag и деля обе части на т9 получаем
_ X . о Xg (m _ х2Л
Х = g + — X2 = — тг- +— I, (20.2)
& т т уХ g )' v '
причем верхний знак относится к случаю движения точки вниз
(нисходящее движение), нижний — к случаю движения вверх
(восходящее движение). Введем обозначения для постоянных
X mg о
— = а, -А = с2 (20.3)
и сделаем замену переменной
X = Vx. (20.4)
Тогда дифференциальное уравнение движения (20.2) примет вид
dv:
~di
Рассмотрим отдельно случаи нисходящего и восходяще- <j»0
го движений.
■ Нисходящее движение. Такого рода движение
возникнет, если проекция на ось Ох начальной скорости
будет положительна (v0x = v0> 0). В этом случае
уравнение (20.5) интегрируется следующим образом.
Разделим переменные
9 9 = a dt9 ' х
с vx Рис. 240
а(с2 Т v*). (20.5)
D
М

50
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
\ С + V,.
7Г 1П ~
2, с с - v::
5
= at+ -
с
и проинтегрируем, обозначив через 8 постоянную
интегрирования:
с + и„| я
(20.6)
Отдельному рассмотрению подлежат два случая нисходящего
движения:
1°. Случай vx < с. Тогда, согласно (20.6), имеем
Vx =e2(act + b) (207ч
c-vx
ИЛИ
e2(act+5) _ ]_
Vv = С „, +^,, . (20.8)
Вводя гиперболический тангенс, связанный с показательной
функцией формулами
. т ez - e~z e2z - 1
th 2 = = „ , , (20.9)
ez + e-z e2z + l> V ;
перепип1ем уравнение (20.7) в виде
иЛ = cth (ас* 4- 8). (20.10)
Для определения постоянной интегрирования 8 имеем
начальное условие vx = v0 при t = 0, так что по (20.10)
V0 = С th 8. (20.11)
Устремив время к бесконечности, согласно соотношениям (20.9)
и (20.10), получим
vx -^ с при t -^ оо.
Таким образом, определенная, согласно (20.3), постоянная с,
равная
с = Jmg/X , (20.12)
имеет смысл предельной скорости, которая установилась бы по
прошествии бесконечно большого времени, если бы точка
продолжала падать вертикально под действием постоянной силы

§ 89. Вертикальное движение тяжелой точки в среде с сопротивлением 51
тяжести G в среде с сопротивлением, характеризуемым
коэффициентом X.
Гиперболический тангенс представляет собой функцию,
монотонно возрастающую от -1 до +1 при возрастании аргумента от
—оо до +оо. По (20.10) и (20.11) заключаем, что в
рассматриваемом случае скорость точки монотонно возрастает от начального
значения v0 < с до величины предельной скорости v = с.
2°. Случай vx > с. Перепишем (20.6) в виде
vv + с
ИЛИ
e2(act + S)9 (20.13)
e2(act+5) _|_ I
Vx = Ce2(act+5)_1- (20-14)
Используя гиперболический котангенс
1 ez + e~z e2z + 1
cth 2 = rz— = = -^ ,
th 2 ez - e~z e2z - 1
перепишем равенство (20.14) в форме
vx = с cth (act + 8). (20.15)
В этом случае постоянная интегрирования 8 определится из
соотношения
v0 = с cth 8; (20.16)
скорость точки будет монотонно убывать от значения v0 > с до
величины предельной скорости v = с.
Пользуясь таблицами гиперболических функций, по
формулам (20.10) или (20.15) определим скорость в любой момент
времени. При увеличении аргумента гиперболический тангенс, так
же как и котангенс, быстро стремится к единице; например,
th 3 = 0,995, cth 3 = 1,005, т. е. только на 0,5% разнятся от
единицы; таким образом, скорость падения стремится к предельной
скорости с, практически (с ошибкой 0,5%) достигая ее уже по
прошествии времени
3-5
Х= ас * <20Л7>

52
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
На рис. 241 показаны
графики скорости в случаях 1° и 2°.
В первом случае скорость
асимптотически возрастает от v0 < с до
значения v = с, во втором —
убывает от значения v0 > с до v = с.
Если с самого начала придать
точке скорость v0 = с, то,
очевидно, эта скорость будет
сохраняться во все время движения. Через
точку на оси ординат,
отвечающую заданному отношению v0/c9
проведем прямую, параллельную
оси абсцисс, до пересечения с графиком скорости. Абсцисса
точки пересечения определит значение 8, т. е. значение аргумента в
правых частях (20.11) или (20.16) при t = 0, начиная с которого и
следует пользоваться графиком скорости (см. штриховые прямые
на рис. 241).
Найдем вторые интегралы в случаях 1° и 2°. В случае 1° будем
иметь
0 0,5 1,0 1,5 2,0 act+ 6
Рис. 241
х = с th (act 4- 8),
х= с J th (act + 8) At + p.
Интеграл в правой части легко вычисляется следующим
образом:
jth(act + S)dt = j ab<-fae* + Vdt=±. J d w(gfX? =
J v ' J ch (act + 6) ac J ch (act + 6)
In ch (act + 8),
так что
x = - In ch (act + 8) + p.
Для определения постоянной интегрирования р примем
начальное условие
х = 0 при t = 0;
тогда
Р = -- Inch 8.
r a

§ 8Э. Вертикальное движение тяжелой точки в среде с сопротивлением 53
Для простоты остановимся на случае 5 = 0, т. е. v0 = 0; тогда
chS=l, Р = 0и
х = - In ch act. (20.18)
Из уравнений (20.10) и (20.18) легко исключить время и найти
зависимость v от высоты падения h. Из уравнения (20.18) имеем
ch act = еах = egh^c2;
подставляя это в равенство (20.10), переписанное в виде
sh act Jch2 act - 1 / 1
v^ = с—л = с = — = с /1 —r^ >
ch act ch act ц ch^ act
получим искомую зависимость
Vx = cjl - e-2^h/c2. (20.19)
При малых Х9 т. е. больп1их с9 разлагая e~2gh/c в ряд, будем
иметь
,,-ф-1 + &-Ф + ... -ЛЯ £-$ + ...-
.JW{i-l$).
Сопротивляющаяся среда вносит поправку в известную
формулу скорости в пустоте vn = J2gh — происходит относительное
уменьшение скорости, равное по величине
vn-vx = i gh
2 с2 '
В случае 2° аналогично получим
1 т sh(act + 6)
х = - In , ..
a sho
■ Восходящее движение. Сохраняя направление оси Ох по
вертикали вниз и выбор начала координат О в начальном положении
движущейся точки, будем иметь при подъеме vx < 0 и Dx = Хх29
так что в уравнении (20.5) следует взять нижний знак; это
приведет к интегрированию дифференциального уравнения
d = a(c2-\- vl). (20.20)

54
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Г dux 1 , »х ,J
! 9 , = - arctg — = at 4- - ,
J с2 + v* с to с с
где 8 — новая постоянная интегрирования. Из последнего
уравнения сразу следует
vx = с tg (ас* 4- 8), (20.21)
где, согласно начальному условию (vx = —v0 при t = 0),
постоянная интегрирования 8 равна
о = -arctg — . (20.22)
Повторное интегрирование (20.21) дает
t
Г 1 / , , сч 1, 1 1 cos (act + 5)
х = с J tg (act 4- 8) dt = -- In —~—-, (20.23)
0
причем здесь уже учтено начальное условие х = 0 при t = 0.
Восходящее движение будет продолжаться до тех пор, пока скорость
не обратится в нуль, т. е. по (20.21) до момента времени
t, = = — arctg — . (20.24)
1 ас ас ь с v '
При этом максимальная высота подъема h будет, согласно
(20.23), равна
2
h = |*(* х)| = - - In cos 8 = 7j- In ( 1 + -jj j. (20.25)
При малом сопротивлении, т. е. при большом по сравнению с
v0 значении предельной скорости с, будем иметь, разлагая
правую часть (20.25) в ряд и довольствуясь первыми двумя членами
разложения,
ъ — г^ - - ^h и° (л - - vh
П~ 2а U2 2 c4J * 2ас2 { 2 с2)'
Вспоминая принятые в начале параграфа обозначения, получим
2 2

§ 89. Вертикальное движение тяжелой точки в среде с сопротивлением 55
формула эта дает относительное уменьшение высоты подъема
из-за сопротивления среды по сравнению с соответствующей
высотой в пустоте Лп
hn - h Хиг0
К = 2G • (2027)
Изложенная выше теория падения тел в среде, сила
сопротивления которой пропорциональна квадрату скорости тела, может
найти применение в расчете движения спускаемых с
космических кораблей аппаратов, а также спасения самих ракет, как это
имеет место, например, в случае сравнительно небольших
метеорологических ракет. Однако на пути непосредственного
применения этой теории стоят многие трудности.
Наименьшая из них заключается в том, что спуск ракеты
тормозится системой последовательно раскрывающихся
парашютов — сначала вспомогательных, служащих для раскрытия
основного парашюта, а затем и куполом раскрывшегося
основного парашюта. Поэтапный расчет влияния этих парашютов не
вызвал бы особо больших затруднений, если бы не было
значительно большей трудности — необходимости учета влияния
переменной плотности воздуха, существенно зависящей от высоты
над поверхностью Земли, причем по законам, значительно
различающимся между собой на разных этапах спуска в атмосфере.
Так, в нижнем слое атмосферы — тропосфере (Н < 11 • 103 м)
крайние значения плотности отличаются втрое, а эмпирический
закон относительного изменения плотности воздуха в тропосфере
имеет вид
Р _м н л4'256
р0 У 44 300 J
где р0 = 1,23 кг/м3 — плотность воздуха на уровне моря при
t = 15 °С, а Н — высота над уровнем моря в метрах.
Применение современной вычислительной техники делает
решение таких задач вполне выполнимым.
Полезно на примере* спасания метеорологической ракеты
В-2А, предназначенной для исследования атмосферы на высотах
порядка 200-103м, проследить за последовательными этапами
спуска и соответствующими этим этапам изменениями
характерных параметров движения ракеты (t — время в с, v — вертикаль-
См. Королев С. П. [8, с. 368].

56 Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
ная скорость снижения в м/с, Н — высота ракеты над уровнем
моря в м, F — миделевая площадь купола парашюта в м2):
У t = О, v = 200 м/с, Н = 5 • 103 — 4 • 103 м;
S выход вспомогательного вытяжного купола (F = 0,52 м2);
S вытягивание основного вытяжного купола (F = 2 м2);
S наполнение основного вытяжного купола, отделение
вспомогательного вытяжного купола, выход парашютной камеры,
выход тормозного купола (F = 5,3 м2) из парашютной камеры,
наполнение тормозного купола;
S отделение основного вытяжного купола от парашютной
камеры:
t = 24 с, v = 65,5 м/с, Н = 3 • 103 - 2 • 103 м;
S вытягивание основных куполов из парашютной камеры,
стягивание чехлов и отделение основного вытяжного купола
с чехлами от основных куполов:
t = 27 с, v = 68 м/с, Н = 2790 — 1790 м;
S наполнение двух основных куполов площадью F = 418 х 2 =
= 836 м2:
v = 6,7 м/с, Н = 2660 — 1660 м;
S t = 452 с, v (приземления) = 5,9 м/с, Н = 0.
При малых скоростях силу сопротивления среды можно
считать пропорциональной величине скорости. Именно так обстоит
дело в случае падения тела в вязкой жидкости, которое
рассматривается в приведенном ниже примере.
Пример 83. Стальной шарик радиусом г = 10~3 м падает без
начальной скорости в глицерине. Определить движение шарика при условии,
что сила сопротивления задается формулой D = бщги; здесь jll —
динамический коэффициент вязкости глицерина, при 18 °С равный
1,07 Па-с; плотность стали р = 8 • 103кг/м3.
Дифференциальное уравнение падения шарика будет (см. рис. 240)
тх = mg - 6n\irx
или после деления на т
х +Хх =g, (20.28)
где
А, = —— = .. ,0, ч ~ 600 1/с.
т (4/3)л;г3р '
Рассматривая уравнение (20.28) как неоднородное линейное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, представим
решение как сумму общего интегралап х1 = Сх + C2e~Xt соответствующего

§ 90. Движение снаряда в сопротивляющейся среде
57
однородного уравнения и частного решения х2 = gt/X неоднородного
уравнения. Общий интеграл уравнения (20.28), т. е. второй интеграл
уравнения движения, равен
х = gt/X + С1 + С2е~и. (20.29)
Дифференцируя по времени, находим первый интеграл уравнения
движения:
х = g/X-XC2e~Xt. (20.30)
Начальные условия будут
х = 0, х = 0 при t = 0. (20.31)
Подставляя эти значения в первый и второй интегралы, получаем
g/X-XC2 = 0, СХ + С2 = Ъ,
откуда
ct = -g/\\ c2 = *д2.
Таким образом, согласно (20.29), имеем конечное уравнение движения
* = 11~ %г С1 ~e~U) (20.32)
и формулу для скорости
i = и= | (1 -е~и). (20.33)
Так лее как и в случае квадратичного сопротивления, существует
предельная скорость
c = g/Xy (20.34)
к которой с точностью до 0,5% этой скорости точка приближается по
прошествии времени
х= 5,ЗД, (20.35)
пройдя при этом, согласно (20.32), путь
h = 4,3g/X2. (20.36)
При принятом значении X = 600 1/с получим
с ^1,6-Ю-2 м/с, т^0,01 с, h= 10"4м.
Как следует из этого расчета, предельная скорость шарика невелика
и достигается за малый промежуток времени на коротком пути.
§ 90. Движение снаряда в сопротивляющейся среде
Изучением движения снаряда в воздухе занимается внешняя
баллистика. В настоящем параграфе мы рассмотрим основную
задачу внешней баллистики в схематизированной и упрощенной

58
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
постановке. Отвлекаясь от
влияния формы снаряда и его
вращения, от изменения плотности
воздуха с высотой полета
снаряда, от влияния вращения Земли,
скорости ветра и многих других
факторов, рассматриваемых во
внешней баллистике, примем
снаряд за материальную точку
М массой т9 совершающую
движение под действием двух сил (рис. 242): силы тяжести G = mg
и силы сопротивления воздуха D9 направленной по касательной
к траектории снаряда в сторону, противоположную движению,
и являющейся заданной функцией скорости v; эту функцию
обозначим через mf(v). Естественные уравнения движения снаряда
будут иметь вид
У
\ vs
Tj£
МУ\в \
„ jC 1 >л \
A G \
О \
Q
5
О
5
3
3
3
X
Рис. 242
т
dv
dt
-mf(v) - mg sin 0,
m-
mg cos 0,
(20.37)
где 0 — угол вектора скорости с осью Ох (горизонтом). Замечая,
что бесконечно малый угол d0 представляет собой угол между
касательными в двух смежных точках кривой, т. е. угол
смежности, найдем
1 d0 1 d0
-=-j-=--j7 (20.38)
р do v dt v '
(знак минус взят потому, что 0 убывает с возрастанием дуги о —
расстояния, вычисленного вдоль траектории); при этом
уравнения (20.37) перепишутся в виде
g cos 0
dv
dt
-f(v) -£sin0,
d0
d*
Исключая из этих уравнений dt9 найдем
dv
vf(v)
+ v tg 0,
d0 gcos 0
что можно переписать также в виде
vf(v)
d(v cos 0)
d0
(20.39)
(20.40)
(20.41)
Предположим, что удалось найти решение уравнения (20.40),
удовлетворяющее начальным условиям задачи (v = v0 при 0 = 0О).

§ 90. Движение снаряда в сопротивляющейся среде
59
Пусть это решение, дающее связь между величиной скорости и
углом наклона ее к горизонту, т. е. уравнение годографа скорости
в полярных координатах, имеет вид
v = \|/(0). (20.42)
Из второго уравнения (20.39) найдем
dt = - п , (20.43)
g cos 0 v '
и, следовательно, поскольку 0 = 0О при t = 0,
t = -\ V(9)fide. (20.44)
J g cos 0 v '
%
Далее, в силу (20.42) и (20.43) имеем
dx = vxdt = V cos 0 dt = -- \|/2(0) d0, (20.45)
dy = vydt = v sin 0 dt =-- \|/2(0) tg 0 d0. (20.46)
Помещая начало координат в начальном положении
движущейся точки (х = 0, у = 0 при 0 = 0О), находим
9 9
х = - \ \ v2(9) de, у = -1J \|/2(9) tg e de. (20.47)
°0 °0
Формулы (20.44) и (20.47) решают поставленную задачу в
предположении, что известно решение (20.42)
дифференциального уравнения (20.40); это уравнение приводится к квадратурам
лишь при некоторых частных предположениях о виде функции
/(и), например: f(v) = av, f(v) = bv2, f(v) = av 4- bv2 (Ньютон,
Эйлер), f(v) = cvn (И. Бернулли), f(v) = a 4- bvn (д'Аламбер) и др.
Во внешней баллистике уравнение (20.40) обычно интегрируют
численными методами.
Отметим некоторые общие свойства траектории снаряда,
которые можно установить на основании выведенных уравнений
движения.
■ Переписав уравнение (20.41) в виде
dvx = dvx pU = vf(v) ^
d0 d^ d0 g

60
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
и замечая, что dd/dt < 0, находим dvx/dt < 0, т. е.
горизонтальная составляющая скорости все время убывает. В силу (20.46)
далее имеем
^ = -1*Чв = "t* в -^ = -d [I tg»e); (20.48)
интегрируя это выражение для восходящей ветви траектории по
у от 0 до h (у = h соответствует вершине кривой) и, следовательно,
по 0 от 0О до 0, получим
\ Sdy = \_ 2
J v2 2rg Uo-
о x
Если через 0г обозначить угол падения снаряда, то,
интегрируя (20.48) по нисходящей ветви, находим
о х
второй интеграл больше первого, так как знаменатель
подынтегрального выражения, согласно только что доказанной
закономерности убывания горизонтальной проекции скорости vx,
меньше, чем в первом интеграле. Итак, tg2 0г > tg2 0О, т. е. вг > 0О —
угол падения снаряда больше угла вылета.
■ Умножая первое уравнение (20.39) на v9 получаем равенство
dv ., ч „
v -тт = -vf(v) - gv sin 0
или, вспоминая, что v sin 0 = v = dy/dt9 равенство
d[^v2)=-f(v)vdt-gdy.
Интегрируя, получаем
1 t
2 (v2- ug) J f(v)v dt-gy.
о
В частности, при t = tl9 где tx — момент падения снаряда на
Землю, имеем у = 0, v = u1 (скорость падения) и предыдущее
соотношение дает
\(v\ -v20) = -fvf(v)dt<0,
т. е. скорость падения снаряда меньше скорости вылета.

§ 91. Движение снаряда по настильной траектории в сопротивляющейся среде 61
Рис. 243
■ Угол 0 с течением времени уменьшается от начального
значения 0О, обращаясь в вершине траектории в нуль и принимая
отрицательные значения на нисходящей ветви. При 0 —* —7Г/2 из
(20.44) получаем t —* оо. При этом х9 согласно (20.47), стремится
к величине
1
g
= ± J »2d0,
-ти/2
которая вследствие ограниченности скорости падения снаряда в
сопротивляющейся среде остается конечной. Это показывает, что
траектория снаряда в сопротивляющейся среде имеет
вертикальную асимптоту (рис. 243).
§ 91. Движение снаряда по настильной траектории
при сопротивлении среды,
пропорциональном квадрату скорости
В случае сопротивления, пропорционального квадрату
скорости снаряда, примем
D = mf(v) = mbv2. (20.49)
Уравнение (20.41) приводится к виду
d (и cos 0) _ Ъ 3
d9 ~ gV'
или после деления обеих частей на cos3 0
d (v cos 0) _ b d0
(v cos 9)3
g cos3 0 '
(20.50)
Для стрельбы по хорошо видимым объектам, допускающим
прямую наводку, используют пологую, образующую малые углы

62
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
(обычно не более 15°) с горизонтом траекторию, которую
называют настильной. В этом случае уравнение (20.50) допускает
простое приближенное интегрирование. Пользуясь тем, что cos 0
слабо изменяется (обычно в пределах 0,966 — 1), положим в
знаменателе в правой части cos3 0 ~ cos 0O cos2 0 и перепишем
уравнение (20.50) в виде
d (и cos 0) = Ъ d0
(и cos 0)3 g cos 0O cos2 0 ' ( ■ )
откуда следует
d0 = g cos 0O d (и cos 0)
cos2 0 b (v cos 0)3
и, согласно (20.45),
a - v2 ла- (ucos0)2 d0 cos 0o d (u cos 0)
O.X — Q0 — — 0 _ e — т /л •
g g cos^ 0 b v cos 0
После интегрирования получим
cos 0n / Vo cos 0,
Jo
In
--)■
v cos 0
или
v cos 0 = v0 cos 0oe~^ , (20.52)
где
^ = bx/cos 0O. (20.53)
Возвращаясь к равенству (20.51), подставим в него вместо
v cos 0 его выражение (20.52); тогда будем иметь
1 d(e-5) Ь d0
v$ cos2 0О е ^ g cos 0O cos2 0 '
что после интегрирования дает
tge^tgeo-^.^^C^-l). (20.54)
Заменяя tg 0 на dy/dx и интегрируя еще раз, получаем
приближенное уравнение траектории снаряда
y = xtg%- * (е^-2£-1). (20.55)
10 и о

§ 92. Движение точки под действием центральной силы
63
Чтобы сравнить траекторию в сопротивляющейся среде с
траекторией в пустоте, разложим е2^ в ряд по степеням £, и после
очевидных сокращений получим
y = xtgQ0- 2иД82 9о - 3иДов2 9о - ... . (20.56)
Совокупность первых двух членов, не зависящих от
коэффициента сопротивления Ь9 совпадает с уравнением траектории
снаряда в пустоте, третий член дает поправку, обусловленную
влиянием сопротивления; как видно из уравнения (20.56),
действительная траектория располагается ниже параболы (рис. 243).
§ 92. Движение точки под действием центральной силы
Рассмотрим движение точки М массой т9 подверженной
действию силы F9 линия действия которой во все время движения
проходит через неподвижный центр О; такая сила называется
центральной (§ 85, пример 77). Заметим, что траектория будет
расположена в плоскости П (рис. 244), проходящей через
начальный вектор-радиус г0 и вектор начальной скорости и0.
Доказательство того, что траектория движения под действием
центральной силы является плоской кривой, будет дано ниже.
Составим уравнения движения в полярных координатах (г, ф)
в плоскости П, проведя полярную ось через центр притяжения О
и начальное положение точки М0 (рис. 245); будем иметь
т (г - rq>2) = Fr, - т- (^ф) = 0. (20.57)
Начальные условия таковы:
т* = т*п» Ф = 0,
при t = 0. (20.58)
г = г0 = u0cos а, 7*оФо = vo sin а
Из второго уравнения системы (20.57) сразу следует первый
интеграл уравнений движения, который запишем в форме
г2ф = 2С; (20.59)
Рис. 244 Рис. 245

64
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
здесь С — постоянная интегрирования, равная, как известно
из кинематики (§ 48), секториальной скорости S, т. е.
производной по времени от площади S9 описываемой радиусом-вектором.
Пользуясь начальными условиями, определим величину этой
постоянной
S =С= £ г0ф0=2 r0v0 sin a, (20.60)
после чего (20.59) может быть переписано так:
г2ф = r0v0 sin a. (20.61)
Этот первый интеграл уравнений движения носит наименование
интеграла площадей.
Выведем дифференциальное уравнение траекторий движения
материальной точки в плоскости под действием центральной
силы. С этой целью исключим время из системы (20.57), используя
интеграл площадей (20.59). Имеем
dr . 2С dr d /I \
dcp ^ r2 dtp dtp [г )у
" = — * -4С2 d2 I'l )
~ dip ™ ~ г2 d<p2 [г )'
(20.62)
Подставляя полученное значение г в первое из равенств (20.57) и
снова используя (20.59), получим искомое дифференциальное
уравнение траекторий в форме, указанной Ж. Бине,
d2 fl\ , 1 r2Fr
d^ \}) + -r =-4mC*- (20"63)
Вектор ускорения, а следовательно, по второму закону
Ньютона и сила всегда направлены в сторону вогнутости траектории.
В рассматриваемом сейчас движении под действием центральной
силы можно заключить, что в случае притяжения (Fr < 0)
траектория обращена вогнутостью к полюсу (центру притяжения),
а в случае отталкивания (Fr > 0) — выпуклостью к полюсу
(центру отталкивания). Траектория в центральном движении
может иметь точку перегиба только в той точке пространства, где
сила обращается в нуль.
БИНЁ ЖАК ФИЛИПП МАРИ (Binet Jacques Philippe Marie, 1786—1856) —
французский математик и астроном, чл. Парижской АН (1843).

§ 92. Движение точки под действием центральной силы
65
Из уравнения Бине при этом вытекает следующий известный
из дифференциальной геометрии признак; если выражение
d<p2 [г) г
положительно, то кривая обращена к полюсу вогнутостью, в
противном случае — выпуклостью.
Обратимся теперь к рассмотрению частного случая —
движения точки под действием тяготения к центральному телу, массу
которого т0 будем считать сосредоточенной в центре О. В этом
случае будем иметь
т 7П0
Fr = ~f —Г. (20.64)
Уравнение Бине (20.63) примет вид
d2 П \ 1 = К = 1
dq>2 [г) г ~ 4С2 ~ р
+ Z = ^=7- (20-65)
Введенная для краткости величина р, имеющая размерность
длины, может быть выражена через начальные данные движения
при помощи соотношения (20.60) и введенного выше понятия
скорости из бесконечности v^ (19.63). Используя указанные
формулы, получаем
4С2 Л / v
,2
р = тк= 2r° IZ)sin2 а; (20-66)
геометрический смысл величиныр будет сейчас выяснен.
Общее решение уравнения (20.65) складывается из общего
решения однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения; составив характеристическое уравнение,
убедимся, что корнями его будут ±£, так что
- = C1cos ф 4- C2sin ф + - . (20.67)
Это — второй интеграл уравнения (20.65); первый интеграл
получим дифференцированием:
d fl \ 1 dr ~ , ~
dkp \~Г ) = "Г2 dkp = "ClSm Ч> + C2COS Ф" <20"68)

66
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Для определения произвольных постоянных Cj и С2 подставим во
второй и первый интегралы начальные условия (20.58) и найдем
г0 1 Р 1 г0 р
С =-— ^— =-— ^° = _ct£a
2 ~ rl Фо ~ го гоФ0 ~ го
Равенство (20.67) принимает вид
1 fl 1Л ctga , 1
-— sin ф + -
^0 Р
| cos ф - ^*-п sin ф _|_ - . (20.69)
о Р)
Введем в рассмотрение новые постоянные 8 и 8, положив
1 1 ~ ctg a ~ .
— — = о cos е, =-о sine, (20.70)
^0 Р Г0
так что
1 1 Л2 ctg2 a / 1 12
ro PJ rl л/г* sin2 a Pz roP
s = arctg
о ч 'о ■
p ctg a
r0~P '
(20.71)
Уравнение (20.69) может быть теперь переписано в виде
- = 5 cos (ф - е) + - ;
г VY ' р
если ввести новую постоянную е = р59 равную, согласно (20.66)
и (20.71),
/ /!7п Ч2
е
jM.dLH.^j]8111^' <20-72>
то предыдущее равенство приведется к уравнению конического
сечения в каноническом виде
г= - , Р , (20.73)
1 + е cos w
где введен новый угол
IV = ф - 8, (20.74)

§ 93. Определение времени в эллиптическом движении
67
которой носит наименование
истинной аномалии. Как следует из (20.73),
величины р и е служат основными
параметрами, определяющими форму
конического сечения. Таким образом:
S если начальная скорость v0
меньше скорости из бесконечности v^,
то е < 1 и траекторией будет
служить эллипс;
S если v0 = v^, то е = 1 и точка полетит по параболе;
S если v0 > v^, то е > 1 и траекторией будет служить гипербола.
Имея выражение е ир через начальные данные и скорость из
бесконечности, можем по известным формулам геометрии
определить полуоси эллипса:
Рис. 246
р = Ч>
1-е2 2 [1-(и0/О2]
h =
_ Р_
г0 О0/и°°) sin а
(20.75)
VI - е2 V1 " (*></02
а также и расстояние между фокусами, равное
г0 ^1 " 4(и0/ито)2 [1 - (и0/уоо)2] sin2 a
2с = 2ае = — —-—;—-„ . (20.76)
1 - О0/иооГ
Точка Р (рис. 246) на эллиптической орбите, находящаяся на
наименьшем расстоянии от притягивающего центра О, называется
перигелием, наиболее удаленная от центра О точка А — афелием.
При прохождении точки М через перигелий Р
ю = 0, г =
в афелии А
w = к, г
1+е9
Р
1 - е
(20.77)
(20.78)
§ 93. Определение времени в эллиптическом движении
Обозначим через т момент прохождения планеты через перигелий.
Согласно уравнению (20.60), имеем (рис. 246)
nab
-C(t-z)= (t-z)
ah £,
(20.79)

68
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
где <S — площадь сектора РОМу
отсчитываемая от вектора-радиуса
перигелия, Т — период полного
обращения точки, т. е. время, за которое
вектор-радиус опишет площадь
эллипса nab. Через £, равное
2л
Т
С =
(t - т),
(20.80)
Рис. 247
обозначен угол, на который
повернулся бы за время (t - т) вектор-
радиус точки, описывающей
окружность с постоянной угловой
скоростью и периодом обращения Т. Угол £
называется средней аномалией.
Вычисление времени сводится к нахождению площади сектора РОМ.
Для этого вводят в рассмотрение еще один угол иу называемый
эксцентрической аномалией. На большой оси эллипса, как на диаметре, строим
окружность L (рис. 247) и продолжаем ординату эллипса в точке М до
пересечения с этой окружностью в точке Mv Эксцентрической
аномалией и будет служить угол Р01М1 между вектором-радиусом точки М19
проведенным из центра эллипса Ol9 и больпюй осью эллипса. Эллипс
молено рассматривать как проекцию круга L, плоскость которого
наклонена к плоскости эллипса на угол с косинусом, равным b/а; площадь
какой-либо части эллипса равна площади соответственной части круга,
умноженной на Ь/а:
h h
S = пл. POM = - пл. РОМх = - (пл. РОхМх - пл. ОхМхО).
Заметив, что
пл. РОхМх = « а2и>
пл. ОхМхО = -X са sin и = ~
а*е sin и,
получим
S = - • п а2 (и - е sin и) = ~ ab (и - е sin и),
и соотношение (20.79) после сокращения на общий множитель аЪ/2
приводит к уравнению Кеплера, связывающему эксцентрическую и
среднюю аномалии:
у 2и
и - е sin и = с, = — (t - 1).
(20.81)

§ 93. Определение времени в эллиптическом движении
69
Выражение истинной аномалии w через эксцентрическую найдем,
рассматривая отрезок ON, равный
ON = -rcos w = OOl - 01Л^ = с — acos и = ае - acos uy
откуда, воспользовавшись уравнением эллипса, получим
pcos w
rcos w + ае = z—; + ае = acos w.
1 + ecos z#
Замечая, что
a a2 i e '
будем иметь
e + cos w
cos и - 3— . (20.82)
1 + ecos w
Если выразить косинус через тангенс половинного угла, то это
соотношение приведется к виду
w /1 + е , и
ё Ъ = iY^e ё 2 ; (20-83)
2
перед корнем взят знак плюс, так как углы w/2 и и/2 всегда лежат в
одном и том же квадранте.
Для решения уравнения Кеплера (20.81) было предложено большое
число методов. Наиболее совершенный из них был дан в 1824 г.
В. Бесселем. Из уравнения Кеплера следует, что разность функций и - £
представляет собой периодическую функцию от £, обращающуюся в
нуль в точках Р и А, т. е. при значениях £, кратных п. Поэтому ее молено
представить в виде ряда Фурье по синусам кратных углов
оо
и - £ = 2 -Ад, sin k^y
k=i
и дело сведется к вычислению коэффициентов Ak по формулам,
определяющим коэффициенты ряда Фурье:
Ak=\\ (и- О sin К dC-
о
БЕССЕЛЬ ФРИДРИХ ВИЛЬГЕЛЬМ (Bessel Friedrich Wilhelm, 1784—1846) —
немецкий астроном, геодезист и математик, иностр. почетный чл.
Петербургской АН (1814), чл. Берлинской АН (1812).
ФУРЬЕ ЖАН БАТИСТ ЖОЗЕФ {Fourier Jean Baptiste Joseph, 1768—1830) —
французский математик, иностр. почетный чл. Петербургской АН (1829), чл.
Парижской АН (1817).

70
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Интегрируя по частям, получаем
Ak ---fr \ (и " О cos kt, |0 - J cos kt^du - dQ
— —г cos kt^ cos и du =
о
г % %
= —т J cos (&£ + w) dw + J cos (&£ - w) dw L
'-о о J
или после замены £ его выражением по уравнению Кеплера (20.81)
л
е
Ak = —г \ cos [ke sin w - (& + 1) и] du +
о
e r
H—т cos [&e sin и - {k - 1) u] du.
0
Оба интеграла в правой части этого равенства имеют вид
1 п
- \ cos (х sin w - пи) du.
о
Функция от х и тг, представляемая этим интегралом, называется
бесселевой функцией п-го порядка и обозначается e/n(x). Именно таким образом
Бессель и ввел впервые в рассмотрение функции, впоследствии
названные его именем. Итак,
К=\ Wb + i(ke)-Jb-i(ke)], k = 1,2,....
В теории бесселевых функций доказывается рекуррентное соотношение
2п
Jn + !(*) - Jn _ ^х) = — Jn(x),
позволяющее записать выражение коэффициента Ад, в форме
2
Решение уравнения Кеплера принимает окончательный вид
оо ^
и = £ + 2 X т Jjike) sin kt,. (20.84)
Согласно уравнению Кеплера имеем также
2 °° 1
L т Jk(ke) sin AC- (20.85)
£ & = l ™

§ 94. Эллиптическое движение тела
71
Полученные ряды сходятся при любых значениях параметра е, как
меньших, так и равных или больших единицы, что соответствует
движениям по эллиптическим, параболическим и гиперболическим орбитам.
Определив по (20.84) эксцентрическую аномалию и как функцию
средней аномалии £, пропорциональной времени, вернемся к
соотношению (20.83) и найдем зависимость от £ истинной аномалии w, а затем по
уравнению траектории (20.73) и радиус-вектор г.
§ 94. Эллиптическое движение тела, брошенного с Земли
с большой начальной скоростью
Изложенная в § 92 теория, имеющая основное приложение в
небесной механике (движение планет), может быть применена
также к исследованию движения тел, бросаемых с большой
начальной скоростью с поверхности земного шара. В этом случае
скорость из бесконечности равна v^ = j2gR. Вместо угла а
между направлением начальной скорости и начальным
радиусом-вектором, т. е. вертикалью данного пункта поверхности
Земли, удобнее ввести угол бросания X (рис. 248) между вектором
начальной скорости и горизонтальной плоскостью. Основной
формулой, связывающей начальную скорость v0 и эксцентриситет
эллипса е9 является равенство (20.72), которое может быть
переписано в виде
Г
2
* 2
2
v0
cos2 X .
(20.86)
Будем менять начальную скорость
v0 от нуля до максимального ее
значения v0 max = l^, при котором, как уже
ранее было выяснено, траектория
перестает быть замкнутой (при v0 = v^
имеем параболу, при v0 > v^ —
гиперболу). В интервале 0 < v0 < v^
эксцентриситет е убывает от значения е = 1 до
некоторого минимального значения
emin и затем вновь возрастает до е = 1.
Минимальное значение emin легко
определяется и оказывается равным
е- = sin X
ЛГ
Мп
/
/
/
\
\
V
\
\
^х
r\
--'Я^
№
чм,
ч4*
>
/
/
>о
72
U,v у
при v0 = -= = «JgR
(20.87)
- о -
Р
Рис. 248

72
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Максимальная скорость v0 = vl9 которая определяется вторым
равенством (20.87) и при превышении которой траектория
перестает быть замкнутой, называется первой космической
скоростью. В земных условиях она равна
их = 79,81 -6400- 103 = 7925 м/с - 7,9 км/с.
Если угол бросания X = 0, то при этом emin = 0.
При малых v0 траекториями тела служат эллипсы, близкие к
параболе, что вполне соответствует ранее изученному
параболическому движению в однородном поле тяжести, которое
является, таким образом, первым приближением к действительному
движению в поле тяготения. Наиболее удаленный фокус этих
эллипсов находится в центре Земли, ближайший — близ
поверхности Земли. При возрастании начальной скорости
^эксцентриситет уменьшается, что соответствует удалению ближайшего
фокуса от поверхности Земли вглубь. Если начальный угол бросания X
выбрать равным нулю, то е при v0= JgR станет равным нулю и
траектория превратится в окружность; тело, брошенное
горизонтально с начальной скоростью v0 = JgR, будет описывать
круговую орбиту с постоянной скоростью v0 вокруг Земли, став тем
самым ее спутником. Если же X > 0, то, достигнув своего
минимального значения (20.87), е начнет вновь возрастать вместе с
начальной скоростью, пока не достигнет значения единицы,
эллипс превратится в параболу и далее при е > 1 — в гиперболу.
Рассмотрим случай эллиптического движения тела несколько
детальнее. Пусть тело М (рис. 248) брошено из точки М0 земной
поверхности с начальной скоростью v0 < v^, образующей с
горизонтом угол X. Поверхность Земли показана на рисунке
штриховкой, траектория тела — сплошной линией, остальная часть
эллипса — штриховой линией. Поставим задачу: по данным v0 и X
определить максимальную высоту траектории Н над
поверхностью Земли, а также горизонтальную дальность, отсчитанную по
дуге круга М0Мг и по хорде M0MV
Высоту Н определим как разность
Н = ОМ' - R = с 4- а - R = а(1 4- е) - R,
равную по (20.75)
ТТ г (1+е)/2 Л~\ „ (е-l)/2 + (v0/voo)2

§ 94. Эллиптическое движение тела
73
В случае малых скоростей Vq/v^ <$C 1. Разлагая радикал
(20.86) в ряд по степеням малой величины (Vq/v^)2 и отбрасывая
величины в степенях выше четвертой, получаем
= 1-2(^2 cos2^ + 2(^Y cos2 A, sin2 A,.
Подставляя эту величину е в равенство (20.88) и используя
малость (Vq/v^)2 в знаменателе, находим
2 2
= ^Rsin2Xh + [^-) (l + cos2A,)l,
или, заменяя v^ его выражением v^ = 2,gR,
и* sin2 X г Vr. -i
2 . 2 , 4 (20.89)
u0 sinz A v0
28 + 4**Д ^ + COS ^ Sin *"
Первое слагаемое соответствует максимальной высоте
подъема тела — первая из формул (19.68) — в параболической теории
движения в однородном поле силы тяжести. Учтя уменьшение
силы притяжения с удалением от центра Земли, мы, естественно,
пришли к увеличению высоты подъема; второе слагаемое дает
соответствующую поправку.
Для определения максимальной дальности по дуге круга
М0Мг заметим, что, сравнивая рис. 245, 246 и 248, в принятых
раньше обозначениях будем иметь
Z М0ОР = е, а = Зтг/2 4- X,
и, следовательно, обозначая угол М0ОМ' = со, получим, согласно
(20.70),
■ / ч tgX p tgX
sin ю = sin (я - е) = sin s = с. „ = „

74
Глава XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
или по (20.66)
sin ю = - [ — | sin 2Х.
Отсюда находим
М0Мг = R-2u> = 2R arcsin I ± (— 1 sin 2Х I. (20.90)
-1 /^оч2
е
При малых Vq/v^, пользуясь разложением арксинуса в ряд
и отбрасывая члены, содержащие (Vq/v^)6, будем иметь
М^ = ~f [fj Sin 2^ = ^— . (20.91)
Вспоминая разложение величины e, заключим, что с той же точ-
о
un sin 2 А,
V ' (;п S1I1 4Л г / Un у rt ■
МоМ^^— [l + 2(j^) cosU
(20.92)
Сравнивая этот результат с параболической теорией — вторая из
формул (19.68) — убеждаемся, что за счет уменьшения силы
тяжести с высотой горизонтальная дальность несколько
увеличивается.
Заметим, что расстояние М0М19 отсчитанное по хорде, будет
равно
2 2
2Rs v» sin 2X va sin 2A,
М<МЛ = 2R sin ю = —^ • — = — , (20.93)
0 1 и S, eg eg
т. е. совпадает с приближенным выражением (20.91). Как
показывает последнее выражение, кратчайшее расстояние между
точкой вылета и падения тела на Земле только множителем 1/е
отличается от известной величины горизонтальной дальности в
параболической теории движения тела в однородном поле тяжести.
Рассмотренное эллиптическое движение материальной точки
под действием земного тяготения совпадает с движением центра
масс ракеты на пассивном участке ее траектории, где отсутствует
тяга двигателя, а сопротивлением разреженного воздуха на
больших высотах полета можно пренебречь. В этом случае начальное
положение центра масс ракеты и начальная скорость этого
центра определяются их значениями, соответствующими концу
активного участка полета ракеты и исчезновению сопротивления
воздуха. Этому вопросу, а также некоторым начальным
представлениям о динамике ракеты будет далее посвящен
специальный параграф — § 105.

§ 95. Свободные незатухающие колебания точки
75
Глава XXI
Прямолинейные колебания малой амплитуды
§ 95. Свободные незатухающие колебания точки под действием
линейной восстанавливающей силы
Колебания представляют собой один из наиболее
распространенных видов движений. Изучение свойств колебательных
движений необходимо для понимания многих физических и
механических явлений, но особенно велика роль теории колебаний в
инженерном деле. Движение машин, транспортных средств,
приборов и механизмов всегда сопровождается колебаниями, или,
как еще говорят, вибрациями. Возрастание интенсивности
колебаний выше допустимой нормы грозит катастрофой; в задачи
теории колебаний и ее разнообразных приложений в технических
науках входит указание причин этих опасных явлений,
например резонанса, и мер борьбы с ними. Колебания с успехом
используют и как полезный процесс в вибромашинах:
дробилках, упрочнителях, обогащающих руду ситах и т. п.
В настоящей главе рассматривается лишь простейший вид
колебательного процесса в механике — прямолинейные колебания
материальной точки. Более сложные задачи будут рассмотрены
в гл. XXXII—XXXIV.
Рассмотрим (рис. 249) прямолинейное движение
материальной точки М массой т под действием силы Р9 направленной к
неподвижному центру О и пропорциональной первой степени
расстояния ОМ от точки М до центра О:
Р = -сг; (21.1)
здесь с — положительный коэффициент пропорциональности,
а знак минус показывает, что сила всегда направлена в
сторону, противоположную вектору-радиусу г, т. е. к центру О,
соответствующему равновесному положению точки.
Силу, стремящуюся вернуть точку в положение равновесия,
называют восстанавливающей. Примерами восстанавливающей
силы могут служить силы
разнообразной природы. Такова реакция растяну- ^ j^
той пружины. При колебаниях маятни- О г х
ка в вертикальной плоскости роль вое- Рис. 249

76 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
станавливающей силы, стремящейся вернуть маятник в
равновесное вертикальное положение, играет составляющая силы веса
по направлению касательной к траектории центра тяжести
маятника. При колебаниях жидкости в U-образной трубке
восстанавливающей силой служит вес столба жидкости, возвышающейся
в одной части трубки над уровнем во второй.
Отклоним точку М из положения равновесия и отпустим без
начальной скорости или с начальной скоростью, направленной
по прямой Ох9 проходящей через начальное положение точки и
центр О. Ускоряясь, если скорость направлена в ту же сторону,
что и сила, т. е. к центру О, и замедляясь в противном случае,
точка по инерции будет проходить мимо центра О, совершая
около него прямолинейное колебательное движение. Если кроме
восстанавливающей силы других сил, в частности сопротивлений
движению, нет, то такие движения носят наименование
свободных или собственных незатухающих колебаний точки;
восстанавливающую силу, пропорциональную первой степени
отклонения точки от равновесного положения, назовем линейной
восстанавливающей силой, сами колебания — линейными.
Принимая прямую, вдоль которой происходит движение, за
ось Ох и помещая начало координат в центр равновесия О,
составим основное дифференциальное уравнение свободных
незатухающих колебаний точки; согласно равенству (21.1) будем иметь
тх = -сх. (21.2)
Разделив обе части нати обозначив через k2 отношение
— = k2, (21.3)
приведем уравнение (21.2) к виду
X + k2X = 0. (21-4)
Это линейное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами легко решается обычным приемом составления
характеристического уравнения. Замечая, что корни
характеристического уравнения в данном случае будут чисто мнимыми и
равными ±ki9 заключаем, что общее решение (второй интеграл)
уравнения движения (21.4) будет
х = Сг cos kt 4- C2 sin kt. (21.5)

§ 95. Свободные незатухающие колебания точки
77
Подставляя начальные условия
х = х0, х = х0 при t = 0 (21.6)
во второй интеграл (21.5) и в первый интеграл
х = -Сгк sin kt 4- C2k cos kt, (21.7)
получаемый из второго интеграла (21.5) путем
дифференцирования, находим постоянные интегрирования:
Xq = С-р Xq /fc = С2-
Таким образом, конечное уравнение движения будет
х = х0 cos kt + -г sin kt. (21.8)
Вводя амплитуду а и начальную фазу а, запишем
х = a sin (kt 4- a), (21.9)
где
а= V*o + *оА2>
sin а = , , cos а = , . . (21.10)
4XQ ~*~ XQ/k k*]XQ + XQ/k
Итак, рассматриваемое прямолинейное движение точки под
действием линейной восстанавливающей силы представляет
собой гармоническое колебательное движение с частотой k и
периодом Т9 равными
k = Jc/m , Т = 2n/k = 2njm/c , (2l.ll)
не зависящими от начальных условий, а зависящими только от
коэффициента пропорциональности в линейном законе
восстанавливающей силы и массы колеблющейся точки. Условимся в
дальнейшем такую частоту называть собственной частотой
колеблющейся точки или ее частотой свободных колебаний.
Амплитуда и фаза колебания определяются по формулам (21.10) и
зависят от начальных условий движения.
Свойство независимости частоты или периода колебаний от
начальных условий (свойство изохронности колебаний) связано
с линейностью восстанавливающей силы (оно было открыто
Галилеем). В случае нелинейной восстанавливающей силы свойство
изохронности не имеет места.

78 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
О
м
Mt
х
Рис. 250
Подвесим на пружине (рис. 250) груз М
массой т. Положение равновесия груза
примем за начало координат О оси Ох
(отнесенной на рисунке для удобства влево от
прямой, на которой происходит колебание).
Если АМХ обозначает длину нерастянутой
пружины, то отрезок ОМг представляет
собой статическое удлинение 8СТ пружины
под нагрузкой G = mg. По закону Гука о
пропорциональности нагрузки и деформации
будем иметь
5„
mg/c, (21.12)
где коэффициент с (жесткость пружины) равен отношению
нагрузки к статическому удлинению
c = mg/dCT, (21.13)
или, что то же самое, нагрузке, вызывающей деформацию,
равную единице длины. Отклоним груз из положения равновесия О
до положения М0 и сообщим ему некоторую начальную скорость.
Груз придет в движение около состояния равновесия и будет
совершать свободные (собственные) колебания.
Дифференциальное уравнение движения груза, висящего на
пружине, при выбранном направлении оси будет иметь вид
тх = mg 4- Рх,
где Рх представляет собой проекцию на ось Ох реакции пружины
при длине ее ЛМ9 соответствующей текущему положению груза
М. Имеем по (21.13)
Рх = -с(х + 8СТ) = -сх - с8ст = -ex - mg;
таким образом, предыдущее дифференциальное уравнение
принимает вид
тх ■■
-сх,
соответствующий общему уравнению (21.2). По формуле (21.3)
заключим, что частота и период свободных колебаний груза на
пружине равны

§ 95. Свободные незатухающие колебания точки
79
Число колебаний в секунду определяется как
1 Т 2я ^б„"
Величина / измеряется в герцах [Гц]. Число колебаний в минуту
п составляет
п = 60/ = — //-. (21.16)
Те же формулы справедливы и для вертикальных колебаний
груза, расположенного на горизонтальной упругой балке или
рессоре. При этом, если I — пролет балки, J — момент инерции
поперечного сечения и Е — модуль упругости материала, то
статический прогиб под действием груза при различных способах
закрепления концов балки и расположения груза вычисляется
по следующим формулам, которые выводятся в курсах
сопротивления материалов:
S оба конца заделаны, груз находится на середине балки:
8 = Х °13-
ст 192 EJ'
S оба конца оперты, груз находится на середине балки:
ст 48 EJ '
S один конец заделан, груз находится на свободном конце:
я = I GlS
ст 3 EJ '
Пример 84. Тележка двадцатитонного четырехосного пассажирского
вагона имеет сложную систему рессор. Статический прогиб всего
рессорного устройства равен 0,24 м. Определить число колебаний в минуту
такого вагона на рессорах.
По формуле (21.16) имеем
30 6i 1
7^240 *ин '
т. е. пассажирские вагоны имеют плавные колебания с периодом Т,
приблизительно равным 1 с. Товарные вагоны имеют более жесткие
рессоры: у них 5СТ около 0,03 м, так что
- 3° =173 г
V0,03 ™ин
а период Т равен 0,35 с, т. е. почти в три раза меньше, чем у
пассажирских вагонов.

80 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Пример 85. При испытании упругой рессоры на удар на ее середину
падает с высоты 1 м груз. Зная, что статический прогиб рессоры под тем
же грузом, сосредоточенным на ее середине, равен 10~3м, найти
уравнение колебания рессоры с грузом, после того как груз упадет и будет
двигаться совместно с рессорой; массой рессоры пренебрегаем; ось х
направлена вертикально вниз.
В этом случае начальные условия движения таковы:
х = 0, х = v0 = J2gh * 4,4 м/с при t = 0.
Частоту колебаний найдем по формуле (21.14):
k = 79,81/0,001 « 99 1/с.
Частота / в герцах будет равна
f = k/(2n)= 15 Гц.
Уравнение движения, согласно (21.8), будет
х = 4,44 -10"2 sin 99*.
По первой из формул (21.10) амплитуда колебаний равна
/
а= J6jl + ^ «^«4,4-10-
(ввиду относительной малости 5СТ). Обратим внимание на большую
разницу в данном случае между амплитудой колебаний и статическим
прогибом рессоры. Амплитуда колебаний почти в 45 раз превосходит
статическую деформацию рессоры.
Пример 86. Определить отношение периодов колебаний груза,
висящего на двух одинаковых пружинах с жесткостями с1 и с2 при
последовательном (рис. 251, а) и параллельном (рис. 251, б) соединении
пружин.
Если G — вес груза, то в первом случае статическое удлинение 51
будет равно сумме статических удлинений первой и второй пружин:
V
G
«V
во втором случае статическое удлинение 52
равно удлинению каждой из пружин по
отдельности:
s N' N"
62 = т = 7~ >
где N' и N" — натяжения пружин при
статическом равновесии; очевидно, что
Рис. 251
N' + N"

§ 96. Колебания точки. Гармоническая сила
81
Согласно второй из формул (21.13), отношение соответствующих
периодов колебаний будет
В частном случае, когда с{ = с2 = с, находим Т{ = 2Т2-
§ 96. Колебания точки под действием
гармонической возмущающей силы
Предположим, что наряду с восстанавливающей силой на
точку действует еще возмущающая сила, являющаяся заданной
функцией времени. Рассмотрим сначала наиболее простой
случай периодической возмущающей силы F(t)9 меняющейся по
гармоническому закону:
F(t) = H sin (pt 4- 5),
где Н— амплитуда, р — частота, 8 — начальная фаза
возмущающей силы. Не нарушая общности, будем всегда считать Н > О,
так как в противном случае этого всегда можно добиться
изменением фазы 8. При наличии возмущающей силы
дифференциальное уравнение движения будет иметь вид
nix 4- сх = Н sin (pt 4- 8),
или, если разделить обе части на пг9
х 4- k2x = h sin (pt 4- 8), (21.17)
где, как и раньше, m — частота свободных колебаний,
h = H/m.
Общий интеграл дифференциального уравнения (21.17), как
известно, является суммой общего интеграла хх
соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения свободных колебаний
(21.4), и какого-либо частного решения х2 уравнения (21.17)
■Ли JL-л I Xq;
причем, согласно (21.5),
Х1 = ^1 COS kt + ^2 S^n ^'
Частное решение х2 ищем в виде
х2 = a sin (pt 4- 8). (21.18)

82 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Подстановка х2 в (21.17) приводит к соотношению
a(k2 - р2) = h,
откуда при k i^p находим
a=k2h_p2. (21.19)
Следовательно, общий интеграл будет
х = Сг cos kt 4- С2 sin kt 4- 2 2 sin (pi 4- 8). (21.20)
Правая часть этого равенства представляет собой результат
наложения свободных колебаний на колебания, происходящие
с частотой возмущающей силы и называемые вынужденными
колебаниями.
Если к > р, т. е. частота собственных колебаний больше
частоты возмущающей силы} то а > 0 и} согласно (21.18), вынужденные
колебания имеют ту же фазу, что и возмущающая сила.
Если же k < р9 т. е. частота собственных колебаний меньше
частоты возмущающей силы, то а < 0 и из формулы (21.18) для
вынужденных колебаний получим, согласно формуле (21.19),
Х2 = ~ 2 _ k2 Sin (Р* + §) = р2- k2 Sin (Р* + § + Я)*
Таким образом, при k < p вынужденные колебания сдвинуты по
фазе относительно возмущающей силы на п.
Отметим, что по формуле (21.19) амплитуда вынужденных
колебаний не зависит от начальных условий движения.
Как будет выяснено в дальнейшем, силы сопротивления,
которые здесь не учитывались, гасят свободные колебания и почти не
изменяют амплитуд вынужденных колебаний, если частота р
возмущающей силы значительно отличается от частоты k
свободных колебаний. Поэтому при указанном условии для
определения движения точки по истечении достаточно большого
промежутка времени от начала движения — установившегося режима
движения — можно ограничиться рассмотрением только
вынужденных колебаний, сохранив в выражении (21.20) лишь
последнее слагаемое.
Для изучения начальных режимов движения или режимов,
переходных к установившемуся движению, необходимо рассмат-

§ 96. Колебания точки. Гармоническая сила
83
ривать полностью общее решение (21.20). Зададимся вновь
начальными условиями
х = х0, х = х0 = v0x при t = 0
и подставим их во второй интеграл (21.20) уравнения движения
(21.17) и в первый интеграл
х = -kCx sin kt 4- kC2 cos kt 4- —£-—2 cos (pt 4- 8),
который получим дифференцированием второго интеграла.
Тогда постоянные интегрирования выразятся через
начальные данные следующим образом:
г = — ^ Я г = ^ — Р*1 Я
1 ~Х° к2- р2 Sm °' 2 " k k (k2 ~ р2) C°S °'
и равенство (21.20) приведется к окончательному виду
х = х^ 4- х^ 4- х^ = х0 cos kt 4- -г sin kt -
- 2 _ 2 f sin 8 cos kt 4- ^ cos 8 sin &£ ) 4- 2 _ 2 sin (pt 4- 8).
fZ ~ P \ rv ) ft ~ p
(21.21)
Движение, представленное равенством (21.21), можно
рассматривать как результат сложения:
S свободных колебаний точки, которые возникли бы при
отсутствии возмущающей силы, если точку вывести из равновесия,
х^ = х0 cos kt 4- -г- sin kt;
S вызванных возмущающей силой колебаний с собственной
частотой
х^ = -—т. ^ (sin 8 cos kt 4- 7 cos 8 sin kt);
k2 - p2 v k "
S вынужденных колебаний, совпадающих по частоте с частотой
возмущающей силы,
*(3) = рТГ^2 sin (Pf + 5>-
Если частота возмущающей силы р совпадает по величине
с частотой собственных колебаний k9 то возникает явление, кото-

84 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
рое называют резонансом. При резонансе возмущающая сила
действует «в такт» с собственными колебаниями точки, что
приводит к особенно интенсивному раскачиванию точки. При
резонансе колебания нарастают, в чем можно убедиться следующим
образом. Устремим в равенстве (21.21) р к k; при этом
совокупность двух последних колебаний, описываемая выражением
(2) _и (3) — ^ [~(sin 6 cos kt + (p/k) cos 6 sin kt) + sin (pt + 6)]
k2 - p2 '
при^> = k представляет собой неопределенность вида 0/0.
Раскрывая эту неопределенность по известному правилу (заменяя
числитель и знаменатель их производными пор), находим
г ,0\ , ^о\-. т \'-(l/k) cos 6 sin kt + t cos (pt + 6)"|
[х^ + хЩр = к = h | _2p F ^
[cos 8 sin kt - kt cos (kt 4- 8)].
Итак, в случае резонанса (р = k) движение точки определяется
уравнением
х = х0 cos kt + -г sin kt + [cos 8 sin kt - kt cos (kt 4- 8)],
(21.22)
содержащим в числе составляющих колебаний характерное для
резонанса слагаемое
-^ cos(kt 4- 8),
в котором время t стоит множителем перед косинусом. Благодаря
наличию этого множителя абсцисса х точки, переходя от
положительных значений к отрицательным, будет вместе с тем
неограниченно возрастать. Если коэффициент при косинусе в
последнем выражении условно принять за амплитуду и отвлечься от
остальных сравнительно малых членов в (21.22), то можно сказать,
что колебания при резонансе происходят
с возрастающей пропорционально
времени амплитудой. В частном случае 8 = 0,
х0 = 0, х0 = 0 график резонансного
колебания показан на рис. 252. При
неизбежном наличии сопротивлений (или нели-
Рис. 252 нейности восстанавливающей силы) вы-

§ 96. Колебания точки. Гармоническая сила
85
нужденные колебания не увеличивают безгранично свою
амплитуду (§ 99).
Явление резонанса, сопровождающееся колебаниями
нарастающей амплитуды, может служить причиной разрушения
конструкции или создавать в ней опасные напряжения. Поэтому
важной задачей является избежание возможности
возникновения резонанса. Для этого частоты возмущающих сил, которые
мы можем предвидеть в сооружении или машине, должны быть
по возможности далеки от частот собственных колебаний.
Представим амплитуду вынужденных колебаний (21.18)
h
а
№
как произведение двух сомножителей
А 1
k2 '
а
(21.23)
д-(р/*)2Г
Заметим, что первый множитель представляет собой
статическое смещение точки под действием постоянной силы Н.
Действительно, согласно (21.3) и (21.12), имеем
А
н
mk2
Н
с
Назовем коэффициентом динамичности величину Х9
определяемую отношением амплитуды вынужденных колебаний А к
тому статическому смещению h/k29 которое имело бы место, если
бы возмущающая сила была постоянной величиной Н.
Отношение z = p/k назовем коэффициентом расстройки. Тогда в новых
обозначениях равенство (21.23) примет вид
Х-
1
ll-z2
(21.24)
Зависимость X от 2 представлена
графически на рис. 253 (см. также
два первых столбца табл. 3 в § 99).
При 2 = 0 имеем X = 1; при 2=1,
что соответствует резонансу, X = °°.
Надо, однако, иметь в виду, что в
области частот возмущающей
силы, близких к частоте свободных
колебаний, нельзя рассматривать
только вынужденные колебания и
отбрасывать свободные, так как
Рис. 253

86 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
при взаимодействии свободных и вынужденных колебаний при
р = k возникает движение с возрастающими пропорционально
времени отклонениями; резонанс представляет собой явление
наложения движений, а не «вынужденное колебание с бесконечно
большой амплитудой».
Отметим еще, что X —* 0 при 2 —* оо, т. е. при весьма большой
частоте возмущающей силы вынужденные колебания весьма малы.
Пример 87. Индикатор. Явление вынужденных колебаний покажем
на примере движения поршня индикатора — прибора, служащего для
записи переменных давлений в цилиндрах поршневых двигателей.
Устройство индикатора схематически показано на рис. 254. Цилиндр
индикатора 1 сообщается при помощи патрубка 2 с цилиндром двигателя.
В цилиндре 1 ходит плотно притертый поршень 3, к которому
прикреплены штанга 4 и нижний конец пружины 5, верхний конец которой
упирается в крышку цилиндра. Движение, получаемое поршнем под
действием изменяющегося давления p(t)y записывается в увеличенном
масштабе на барабан, вращающийся с угловой скоростью, пропорциональной
угловой скорости главного вала машины.
Положим
P(t) = Po+Pi(t)>
гдер0 — среднее давление, отнесенное к моменту t = 0. Пусть в
положении равновесия пружина под действием веса поршня и среднего
давления р0 изменила свою длину на 5СТ. Если с — жесткость пружины, т —
масса поршня и о — его площадь, то
сдСТ = mg - ср0.
Направим ось Ох вверх, взяв начало отсчета в положении равновесия
поршня. Тогда уравнение движения поршня, абсциссу которого
обозначим через х, будет (пренебрегаем массами пружины и стержней
пишущего механизма)
тпх = -с(х- 6СТ) - mg + ср0 + срх (t),
\}4
Рис. 254
или, принимая во внимание предыдущее равенство,
х + k2x = ^ р1 (t),
где k = Jc/m — частота свободных колебаний поршня
индикатора.
Обозначим через го частоту колебаний давления в
цилиндре и рассмотрим простейший случай:
р1 = a sin го£, р = р0 + a sin ro£.
Уравнение движения будет
X + kzX = Sill ГО£.
m

§ 96. Колебания точки. Гармоническая сила
87
Полагая, что х = 0 к х = О при * = О, найдем по (21.21)
* = —,.., , I sin со* - - sin
о а
m fc2 (о2
w
/г
/г*1
с А2
sin со*
k
sin &*
(21.25)
Перемещения поршня абсолютно точного индикатора должны в
каждый момент определяться по формуле
sin со*,
что соответствовало бы статической деформации пружины под
действием силы ср1. Разность между этим значением и полученным выше дает
погрешность индикатора
ас ас
X] S1I1 СО/ . а
1 с с Ла
„ (sin со*
sin kt -
с 1- ((О/А)2 \k
sin kt ■
sin со*
(21.26)
Эта погрешность будет мала} если частота свободных колебаний
индикатора к весьма велика по сравнению с частотой возмущающей
силы со (пропорциональной угловой скорости двигателя).
В качестве примера для случая &/со = 20 на рис. 255 построен график
движения поршня индикатора, согласно уравнению (21.25), причем
масштабный множитель
k*
k2
or
принят за единицу длины. На
том же графике штриховой
линией показана полуволна
синусоиды, построенной по ординатам,
пропорциональным
действительному изменению давления р1(*).
Кривые дают наглядное
представление о погрешности,
вносимой свободными колебаниями
индикатора в его показания.
Благодаря сопротивлению,
которое будет гасить свободные
колебания, отклонения значений х от
значений, соответствующих
кривой давления, будут на самом
деле еще меньше.
sin со/ - — sin kt
k
sin со/
Рис. 255

88 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Пример 88. Виброграф. В качестве
другого примера разберем теорию
вибрографа, служащего для записи
вертикальных колебаний фундаментов
машин, перекрытий зданий и других
сооружений.
Задача о регистрации вертикаль-
jj£\ ных колебаний могла бы быть
разрешена принципиально весьма просто, если
Рис. 256 бы, жестко соединив с колеблющимся
телом пишущее приспособление, мы
могли бы регистрировать колебания на ленте барабана, не связанного с
колеблющимся телом. При записи сотрясений почвы, вибраций корабля
или фундамента больших размеров мы не можем воспользоваться этим
приемом, так как неподвижного предмета, на котором молено было бы
установить барабан, не имеется. Приближенно молено решить задачу
записи колебаний так, как это схематически показано на рис. 256. Груз ёГ
подвешен к пружине, другой конец которой жестко связан с
платформой Ж/Г. Очевидно, что чем тяжелее груз и чем слабее его связь с
колеблющейся платформой, или, иными словами, чем мягче пружина, тем
менее груз принимает участие в движении платформы, т. е. с тем
большим приближением пишущее приспособление Ж, жестко связанное
с грузом, молено считать точкой, неподвижной относительно Земли.
Обратно, при абсолютно жесткой пружине груз будет воспроизводить
то лее двилеение, что и платформа, т. е. оставаться относительно нее
неподвижным, и на барабане, установленном на платформе, записи
колебаний не будет.
Из этих сообралеений вытекает основное требование, предъявляемое
к приборам для записи колебаний: частота свободных колебаний
такого прибора должна быть весьма малой (большая масса, малая
жесткость) по сравнению с частотой колебаний платформы.
Составим дифференциальное уравнение двилеения груза в проекции
на неподвиленую вертикальную ось О^ (на рисунке ось опущена). Если
через х обозначить смещение груза относительно платформы,
совершающей относительно неподвиленой среды, например Земли, вертикальное
гармоническое колебание
£n = asin/rt,
то абсолютное смещение груза относительно Земли будет ^ = х + ^п;
при этом проекция на ось О^ абсолютного ускорения груза w*
составит
w*= с, = х + \п = х - pa2 sin pt.
Силами, действующими на груз, являются сила тялеести G = rag
(т — масса груза) и реакция пружины N; направляя ось О^ вертикально
вниз и пренебрегая силами сопротивления, получаем
mwt = mg + Nt.
х^
■г
лп:
\М

§ 96. Колебания точки. Гармоническая сила
89
Но по предыдущему 7Vt = —с (х + 5СТ) = -сх - mg, где с — жесткость
пружины. Таким образом, из предыдущих равенств находим
тх + сх = тар2 sin pt,
или (k = Jc/m — частота свободных колебаний груза на пружине)
х + k2x = ар2 sin р£.
Рассмотрим установившийся режим колебаний. Как указывалось
ранее, колебания с частотой свободных колебаний при наличии
сопротивлений быстро затухают. Обратимся поэтому к вынужденным
колебаниям. Согласно (21.18) и (21.19) уравнение этих колебаний имеет
вид
* = « кгР1рг ашр* = -« ! _ (1/р)2 ашр* - г _ {k)p)2 • (21-27)
Движение это записывается с некоторым изменением масштаба, так что
запись на барабане будет характеризоваться уравнением
Х 1- (k/p)2 ^п'
в котором А — масштабный коэффициент. Искажение, вносимое
прибором, определяется множителем
1 (k/p)'
Этот множитель, помимо постоянных прибора (А и k)y зависит еще от
частоты возмущающей силы р. Однако влияние последней будет
невелико, если отношение k/p мало. Например, при k/p = 0,2 найдем
l-(k/p)2 ~ 0,96 а1»04А»
т. е. ошибка, даваемая прибором, не превысит 4% .
Таким образом, приборы, предназначенные для записи
колебательных движений, — вибрографы и сейсмографы — должны иметь
частоту свободных колебаний, весьма малую по сравнению с
частотой регистрируемых ими колебаний; как было показано перед этим,
приборы, измеряющие периодически изменяющиеся усилия
(индикаторы, динамометры), наоборот, характеризуются высокими
отношениями частоты собственных колебаний к частоте изменения
измеряемой силы.

90 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 97. Колебания точки под действием
периодической возмущающей силы
Если возмущающая сила F(t) является произвольной
периодической функцией времени с периодом х = 2к/р9 то при весьма
общих предположениях (выполнении условий Дирихле) функция
F(t) может быть представлена тригонометрическим рядом вида
F(t) = -z а0 + аг cos pt 4- а2 cos 2pt 4- ... 4- as cos spt 4- ... 4-
4- Ьг sinpt 4- b2 sin 2pt 4- ... 4- bs sin spt 4- ... (21.28)
(рядом Фурье). Коэффициенты этого ряда определяются
формулами
2 т
as= - J F(t) cos spt dt, s = 0, 1, 2, ... ,
о
2 T
&s = - J F(£) sin spt dt, s = 1, 2, ... .
о
Если ввести обозначения
^s = лК2 + Ч > sin §s = W > cos §s = Jf
s ±s s
то ряд (21.28) можно представить в виде
F(t) = £ а0 4- ^ ifs sin (spt 4- 8S). (21.29)
1
s = l
Отдельные члены этого ряда называются гармониками;
значениям s = 1, 2, 3 и т. д. соответствуют гармоники первого, второго,
третьего и т. д. порядков.
Дифференциальное уравнение движения (21.17) принимает
вид
оо
х 4- k2x = h0 4- X us sin (spf 4- 8S), (21.30)
s = l
где
/i0 = a0/2m9 hs = HJm.
Частное решение, соответствующее постоянному свободному
члену, представляет постоянное отклонение h0/k2; оно
несущественно, и в дальнейшем мы будем предполагать, что h0 = 0.

§ 97. Колебания точки. Периодическая сила
91
Общий интеграл уравнения (21.30) будет
х = хп cos kt 4- -г sin kt - Z тъ—^г~о I sin S0 cos kt 4- 7 cos S0 sin &£ | 4-
u k s = i &2 - s2p2 vs k s )
+ 2 Ь2 _ Ч2„2 Sln (S^ + §S)- <21-31)
s = l /г ь p
Как и выше, мы получили
S свободные колебания, обусловленные наличием начальных
отклонений и скоростей:
х^ = х0 cos kt + -£■ sin kt;
S колебания, происходящие вследствие наличия возмущающих
сил, но имеющие собственную частоту:
ОС fa s jj .
х(2) = - X ,« sо о (sin S0 cos kt 4- 7 cos S0 sin &£ |;
s=i &^ - szpz v « у
S вынужденные колебания с частотами, кратными р:
Х& = f i ^ _ ss^2 Sin (sp* + Se). (21.32)
Свободные колебания х^ 4- x^ даже при малом
сопротивлении быстро становятся пренебрежимо малыми, так что во многих
случаях можно ограничиться рассмотрением только
вынужденных колебаний х&\
Если частота собственных колебаний равна целому кратному
частоты возмущающей силы k = пр9 где п — целое число, то
возникает резонанс п-го порядка.
Члены разложения (21.31) с номером s ^ n сохраняют свой
вид, что же касается членов с номером s = п, то они, аналогично
изложенному в предыдущем параграфе, приводят к
неопределенности вида 0/0 и после раскрытия неопределенности дают
hn hn
-рт i cos (kt 4- 8^) 4- ^Tg cos 8^ sin kt,
так что в случае резонанса п-го порядка будем иметь решение
х0 hn hn
-7- sin kt 4- 2 cos 8^ sin kt - ^7
x0 hn hn
x = x0 cos kt 4- -7- sin kt 4- 2 cos 8^ sin kt - rrt cos (kt 4- 8^)
£' тъ—Ч~~^ I sin 80 cos kt 4- 7 cos 80 sin kt 1 4-
s=i £2 - s2p2 Vs k s )
=1 k2 - s2p2
+ 2 .2_c2n2 Sin (S^ + 8S), (21.33)

92 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
где штрих при знаке суммы указывает, что при суммировании
следует опустить член, соответствующий s = п. При достаточно
большом t всеми членами, в которых t входит только под знаком
тригонометрических функций, можно пренебречь, и мы получим
т. е. х возрастает здесь неограниченно вместе с t. В общем случае
периодической силы колебания точки представляют собой
результат наложения колебаний, соответствующих каждой
гармонической составляющей возмущающей силы по отдельности;
резонанс имеет место при k = пр, п = 1, 2, ... , т. е. при равенстве
частоты свободных колебаний целому кратному частоты
возмущающей силы.
Если в разложении периодической силы в ряд Фурье
отсутствует гармоника одного из порядков, то соответствующего ей
резонанса не будет. Пусть, например, F(t) разлагается в ряд, в
котором отсутствуют все четные гармоники; резонанс будет иметь
место при k = р9 Зр, 5р и т. д., но не при k = 2р, 4р и т. д.
Вернемся к рассмотренным в примере 88 (с. 88) колебаниям
вибрографа с грузом на пружине. Если предположить, что
платформа совершает вертикальные колебания
^п = аг sinpt 4- a2 sin 2pt + ... ,
то дифференциальное уравнение колебаний груза по отношению
к платформе будет
тх 4- сх = —т\п = та^р2 sinp£ 4- 4та2р2 sin 2pt + ... ,
или
х 4- k2x = агр2 sin pt 4- 4а2р2 sin 2pt + ... .
Согласно (21.30) и (21.32) уравнение вынужденных колебаний
запишется в виде
Х = ~i tut 42 Sllljrt - 1 Т,//0 Ч12 Sill 2pt - ... .
1 - (k/p)2 * l-[k/(2p)]2 *
Из этого равенства видно, что гармоники высших порядков
записываются на ленту вибрографа с тем меньшим искажением,
чем выше их номер. Если, исходя из высказанного в предыдущем
параграфе соображения, выбрать отношение k/p настолько
малым, чтобы погрешность записи первой гармоники не выходила

§ 97. Колебания точки. Периодическая сила
93
за заданные тесные пределы, то относительная погрешность
записи второй гармоники будет в четыре, третьей — в девять и т. д.
раз меньше, чем первой.
Не всегда возмущающие силы представляют непрерывные
функции времени. Часто приходится иметь дело с
кусочно-непрерывными возмущающими силами, задаваемыми различными
непрерывными функциями в следующих друг за другом
интервалах времени. Примером этого может служить постоянная по
величине, но периодически меняющая свое направление
возмущающая сила. Возмущающая сила может представлять также
ряд периодических толчков, сообщаемых движущейся точке.
Пример 89. Определить вынужденные колебания материальной
точки массой т под действием постоянных по величине и направлению
периодически повторяющихся через промежутки времени т импульсов <S,
если частота собственных колебаний равна k.
Как известно, импульсом постоянной по величине и направлению
силы называют произведение силы на время ее действия. В данном случае
к точке прикладываются мгновенные толчки (удары),
продолжительность действия которых ничтожна, а сила соответственно настолько
велика, что произведение величины силы на промежуток времени ее
действия, т. е. импульс, конечно и задается величиной S. Мгновенно
приложенный к точке импульс не успевает за время своего действия вызвать
заметное изменение в положении точки, но приводит к резкому
изменению ее количества движения, по величине и направлению равному
приложенному импульсу:
S = mAv. (21.34)
Теорема о связи между изменением количества движения точки и
приложенным к ней импульсом, выражаемая формулой (21.34), будет
доказана в следующей главе.
Вынужденные колебания под действием периодических импульсов
молено рассматривать как установившийся в интервале времени (£0, t0 + т)
режим колебаний при наличии восстанавливающей силы (-mk2x) с
периодически повторяющимися начальными условиями
х = дг0, i* = х0 при t = tQf (21.35)
причем, нисколько не нарушая общности, молено считать начальный
момент t0 этого интервала равным нулю.
Согласно условиям задачи, мы знаем величину <S и период т
повторяющихся импульсов, но ничего не можем сказать заранее о том, какова
будет начальная абсцисса х0 и начальная скорость х0 в установившемся
режиме колебаний. Для определения этих величин рассмотрим
бесконечно малый интервал времени (т - е, т + е), в течение которого точка

94 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
претерпевает толчок. Как уже было указано, за этот интервал времени
абсцисса точки не успевает измениться и, следовательно,
х (т + е) = х (т - е);
скорость же изменится, согласно (21.34), на величину
х (т + е) - х (т - е) = S/m.
Используя периодичность процесса и переходя к пределу при е = 0 со
стороны положительных е, перепишем последние два условия в виде
х(0) = х(т), х0 (0) - £ (т) = S/m, (21.36)
где х0(0) — скорость в момент, следующий за сообщением импульса,
ах(т) — скорость в момент, предшествующий последующему импульсу.
Решение уравнения колебаний
х 4- k2x = 0
при начальных условиях (21.35) будет, по предыдущему, иметь вид
х = х0 cos kt 4- -г sinkt. (21.37)
Используя условия (21.36), получим систему двух уравнений для
определения неизвестных х0 и х0:
х0 = xQ cos kx 4- -г sin kx,
x 0 4- &x0 sin &т - x0 cos kx = iS//n,
решения которой будут
_ *S sin /ex _ S sin /ex _
0 mk[(l - cos /ex)2 4- sin2 kx] 2mk (1 - cos kx)
2S sin (kx/2) cos (ux/2) S , kx
ctg -5- ,
4m/e sin2 (kx/2) 2mk
. = S (1-cos/ex) = _S_
0 m[(l - cos /ex)2 4- sin2 kx] 2m'
Таким образом, уравнение (21.37) принимает окончательный вид
*<*> = 2^ (Sin Ы + ct* ¥ C°S **) = 2mAsif(AT/2) C°S Л (* " I
(21.38)
Резонанс имеет место при kx/2 = пк (п — целое число), т. е. при
совпадении собственной частоты с целым кратным частоты
прикладываемых импульсов. Полученное выражение годно для промежутка 0 < t < х;
чтобы найти x\t) в любой момент времени, вследствие периодичности
решения следует повторить график функции x(t), построенный в
интервале (0, т), в соответствующем интервале (т, 2т), (2т, Зт) и т. д.

§ 98. Свободные колебания точки. Влияние сопротивления
95
Пример 90. Каков должен быть статический прогиб рессор
железнодорожных вагонов для того, чтобы при скорости v = 16,7 м/с
(приблизительно 60 км/ч) и длине I каждого рельса в 12 м вагон не попадал в
резонанс с толчками на стыках?
Период возмущающей силы в данном случае будет т = l/v * 0,7 с.
Резонанс будет иметь место при k = 2ятг/т, или
Jg/d„ = 2ятг/т,
откуда получим
* = 1? .10-2М>
П
Во избежание резонанса необходимо подобрать рессоры так, чтобы
6 >13-10"2м.
§ 98. Влияние силы сопротивления,
пропорциональной первой степени скорости,
на свободные колебания точки
При наличии силы сопротивления D9 пропорциональной
первой степени скорости, к уравнению свободных колебаний (21.2)
в правой его части добавится еще член
DX = -$X, (21.39)
где р — коэффициент сопротивления, а знак минус означает, что
сила сопротивления всегда направлена в сторону,
противоположную движению точки. Дифференциальное уравнение движения
точки будет иметь вид
тх = -ex - pi:, (21.40)
или после деления обеих частей уравнения на массу точки т и
переноса всех членов в левую часть
х 4- 2пх + k2x = 0, (21.41)
где, кроме введенного обозначения величины k2 = c/m9 положено
Р
2п = — . (21.42)
т
Обращаясь к интегрированию уравнения (21.41), составим
характеристическое уравнение
s2 + 2ns + £2 = 0,
корнями которого будут величины
S1 2 = -П ± Jn2 - k2 . (21.43)

96 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Естественно рассмотреть отдельно следующие три случая
движения.
■ Затухающее колебательное движение (n < k). Если п < k9 то
корни характеристического уравнения (21.43) представятся так:
s-l = —п 4- i Jk2 - п2, s2 = —п - i Jk2 - п2,
и, следовательно, общий интеграл уравнения (21.41) будет
х = e~nt(C1 cos Jk2 - n2t-\-C2 sin Jk2 - n21). (21.44)
Составим первую производную по времени
х = e~nt [(-nC1 4- Jk2 - п2 С2) cos Jk2 -n2t +
4- (- Jk2 - n2 C1- nC2) sin Jk2 - n21] (21.45)
и используем для определения постоянных интегрирования
начальные условия
х = х0, х = х0 при t = 0.
Подставляя эти значения координаты и проекции скорости в
(21.44) и (21.45), находим
1 *^0'
VQ
2
4k
так что интеграл (21.44) уравнения движения (21.41) принимает
вид
С I ^^0 0 I Л
х = e~nt I xn cos Jk2 - n2t H—^=^= sin Jk2 - n2t I, (21.46)
V ° Jk2-n2 J
или после выделения амплитуды
х = ае nt sin (Jk2 - n2t 4- a), (21.47)
где для краткости положено
' 2 (*0 + ПХ0)2 Х0 4 ПХ0
■N^i^?-1 ctga^^y^^- (21-48)
Из уравнения движения в конечном виде (21.47) следует, что х
периодически меняет знак, так что движение точки имеет
колебательный характер. Период колебания равен

§ 98. Свободные колебания точки. Влияние сопротивления
97
где Т0 = 2n/k — период свободных колебаний точки при
отсутствии сил сопротивления. Если отношение n/k мало, то
г -г.[1+ !(=)%...]
и относительное увеличение периода свободных колебаний за
счет сопротивления будет иметь порядок квадрата малого
отношения n/k9 т. е. очень мало.
Абсолютные величины av а2, ... максимальных отклонений от
центра колебаний образуют, как было выяснено уже в
кинематике (§ 43), геометрическую прогрессию со знаменателем
П =
опТ/2
иногда называемым фактором затухания колебаний.
Натуральный логарифм отношения двух последовательных
амплитуд носит наименование логарифмического декремента;
он равен
А = In Г| = п^ =
Jk2
(21.50)
Сравнивая последнее равенство с (21.49), найдем выражение
периода колебания через логарифмический декремент
Т I А2
(21.51)
Зависимость между г\ и Т/Т0 изображена на рис. 257.
Например, Т/Т0 = 1,024 при г\ = 2, т. е. введение сопротивления, при
котором каждый последующий размах вдвое меньше
предыдущего, изменяет период колебания только на 2,4% .
Увеличение периода на 10% будет иметь место при г\ = 4,2;
при этом по истечении, например, двух периодов отклонение
станет в 4,24 = 311 раз меньше первоначального, т. е. точка
практически остановится. Таким
образом, небольшое
сопротивление весьма мало изменяет
период , но интенсивно гасит
свободные колебания. Это
позволяет, с одной стороны, при
вычислении периода
свободных колебаний пренебрегать
Li
То
1,2
14
1,0
0 1
2 3 4 5
Рис. 257
6 7 8 9л

98 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
силами сопротивления, с другой стороны, считать свободные
колебания по истечении достаточно большого промежутка
времени от начала движения при установившемся режиме
практически исчезнувшими. Первое соображение имеет существенное
значение, так как расчет периода свободных колебаний с
учетом влияния сопротивления был бы весьма неопределенной
задачей, поскольку почти никогда заранее ничего нельзя сказать о
величине коэффициента сопротивления р. Второе позволяет в
теории вынужденных колебаний не усложнять рассмотрения
вопроса введением членов, соответствующих свободным
колебаниям.
■ Апериодическое движение (п > k). При достаточно большом
сопротивлении, когда (п2 - k2) > 0, общий интеграл уравнения
(21.41) будет
х = e~nt (Cxch Jn2 - k21 4- C2sh Jn2 - k21). (21.52)
Движение не будет носить колебательного характера (оно
называется апериодическим). При большом t имеем
ch Jn2 - k21 ~ sh Jn2 - k21 ~ ^ e*Jn2 ~ k* l
и, следовательно,
x ~ \ {Cx 4- C2) e-<" " ^2 " *2)';
здесь использован знак ~ асимптотического (при t —* оо)
равенства. Так как (n - Jn2 - k2) > 0, имеем х —* 0 при t —* оо.
Вследствие быстрого убывания показательной функции величина х
будет весьма мала уже при небольших t9 и систему можно
практически считать вернувшейся в положение равновесия.
Характер движения зависит от начальных условий. Пусть
х = х0, х = х0 при t = 0. Тогда, аналогично предыдущему случаю,
получим
I X л i fLJCr\ i
х = e~nt (x0 ch Jn2 - k21 H—" sh Jn2 - k21)9
Jn2 - k2
(21.53)
x =e-nt[ inch Jn2-k2t - 1 sh Jn2 - k2t L
V ° Jn2 - k2 )

§ 98. Свободные колебания точки. Влияние сопротивления
99
Из последнего уравнения следует, что х обращается в нуль,
т. е. точка достигает максимального отклонения от положения
равновесия в момент времени tm, определяемый из уравнения
x0Jn2 - k2 _ J\ - (k/n)2
th Jn2 - k2 t
ПХг\ i fv X c\
1 + k2x0/(nx0) '
причем в этот момент времени значение х будет
(21.54)
Л
1 + х0/(пх0)
ch Jn2 - k2 t
Xm e X0 ^ T X + k2X0/(?lX0) I
Будем считать х0 > 0. Так как при 0 < z < оо функция th z
монотонно возрастает от 0 до 1, уравнение (21.54) может иметь
положительный корень tm, и только один, лишь при выполнении
неравенства
0<
Vl - (k/n)2
<1.
(21.55)
1 + k2x0/(nx0)
В дальнейшем различаем три случая.
1°. Неравенство (21.55) соблюдается при х > 0. Тогда хт
также положительно и характер движения можно изобразить
графически (рис. 258, а): точка сначала отклоняется до некоторого
максимума хт > х0, а затем постепенно начинает приближаться
к положению равновесия, не достигая его.
2°. Если х < 0 и притом
>
HI
1,
\х0\ > х0 (п 4- Jn2 - k2),
то неравенство (21.55) также имеет
место; при этом хш < 0 и график
движения имеет характер,
представленный на рис. 258, б: точка
проходит один раз через положение
равновесия и, удалившись от него
в отрицательную сторону на хт,
в дальнейшем движении
приближается к положению равновесия.
3°. Если х <0 и притом
*
*0
*т
.
\ '"
V \Хт^
а)
t
7
<
HI
1,

100 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
для |ir0| получаем
|£0| < х0 (п 4- Jn2 - k2);
тогда неравенство (21.55) не имеет места; х монотонно
уменьшается, тогда точка приближается к положению равновесия, не
достигая его; этот случай движения изображен на рис. 258, б.
Случаи 1° и 2° соответствуют апериодическому движению
первого рода, случай 3° — апериодическому движению второго рода.
■ Предельное апериодическое движение (n = k). Общий
интеграл уравнения (21.41) в этом случае будет иметь вид
х = e~nt (C1 + C2). (21.56)
Очевидно, х —* 0 при t —* оо, т. е. точка постепенно (практически
весьма быстро) возвращается в положение равновесия. Примем
следующие начальные условия: х = х0 > 0, х = х0 при t = 0.
Получим
х = e~nt [x0 4- (х0 4- пх0) £],
(21.57)
х = e~nt [х0 - п (х0 4- пх0) t\\
х обратится в нуль при
171 п(х0 + пх0) '
соответствующее значение координаты х будет
Если при этом х0 > 0, то tm > 0, а также хш > 0.
Соответствующее движение (первый случай предельного апериодического
движения первого рода) изображено на рис. 258, а. Другой случай
предельного апериодического движения первого рода (рис. 258, б)
имеем при х0 < 0, но |£0| > пхо и' следовательно, tm > 0, хш < 0.
Наконец, при х0 < 0 и \х0\ < пх0 имеем предельное
апериодическое движение второго рода (tm < 0) (рис. 258, б).
Пример 91. Гидравлический демпфер. Разберем движение груза,
подвешенного на пружине, при наличии тормозящего
приспособления — демпфера, или катаракта. Демпфирование может
осуществляться различными механическими, в частности гидравлическими,
электромагнитными (например, вихревыми токами Фуко) и другими

§ 98. Свободные колебания точки. Влияние сопротивления 101
способами. Гидравлический демпфер (рис. 259)
представляет собой закрытый цилиндр С с поршнем Р,
соединенным жестким стержнем <S с телом М. В
цилиндр налита вязкая жидкость; при движении груза
и связанного с ним поршня жидкость перетекает из
одной части цилиндра в другую через перепускные
трубки К (которых может быть несколько) или
непосредственно через просверленные в поршне
отверстия.
Обозначим, как и ранее, через х вертикальное
смещение тела (груза со стержнем и поршнем) из
положения равновесия. Поскольку жидкость
практически несжимаема, объем ее, прошедший сквозь
перепускные трубки К за время d£, в течение которого
поршень сместится на расстояние dx, будет равен
О dx (о — площадь поршня); следовательно,
секундный объемный расход Q через трубки равен
Л о dx
Q- df -ex.
(21.58)
Рис. 259
С другой стороны, секундный объемный расход q через одну трубку или
отверстие в поршне может быть выражен через разность давлений Ар на
концах трубки (или отверстия) и динамический коэффициент вязкости jll
жидкости по известной формуле Пуазёйля [16, с. 382, формула (63), где
а = d/2]
<7"
KdAAp
128ц/ '
(21.59)
где d — внутренний диаметр трубки (или отверстия), I — ее длина;
коэффициент вязкости jll в системе СИ выражается в паскалях-секундах:
1 Па-с = 1 кг/(м-с). Предполагается, что движение вязкой жидкости в
трубке происходит квазистационарно (как бы с постоянной скоростью в
каждый момент времени) и ламинарно. Это предположение
справедливо, если длина трубки или отверстия во много раз превосходит диаметр
сечения.
Если 2 — число перепускных трубок (отверстий), то Q = zqy и,
сравнивая (21.59) и (21.58), получаем
Ы
= 128]liZg|jc|
~~ ndAz
(21.60)
Эта же разность давлений будет иметь место между объемами цилиндра,
разделенными поршнем. Силу i?, действующую на поршень, определим
как произведение Ар на площадь поршня о. Замечая, что направление
этой силы противоположно направлению движения поршня, находим
ПУАЗЁЙЛЬ ЖАН ЛУИ МАРИ {Poiseuille Jean Louis Marie, 1799—1869)
цузский врач и физик, чл. Французской мед. академии (1842).
фран-

102 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
искомое выражение проекции силы сопротивления жидкости движению
поршня в виде
или, вспоминая определение (21.39) коэффициента сопротивления р,
Если через т обозначить массу движущегося тела, включая сюда
груз М, стержень <S и поршень Р, то, согласно (21.42), будем иметь
п = ± = **]Ц«=а&(Г)*; (21.63)
2т к mdAz mz \d ) ' v '
здесь d* — диаметр поршня; в случае наличия отверстий в поршне
уменьшением площади поршня за счет этих отверстий пренебрегаем.
Из формулы (21.63) вытекает, что основное значение для изменения
коэффициента п имеет отношение диаметра поршня к диаметру
перепускных трубок или отверстий. Пользуясь формулой (21.63), молено
рассчитать конструкцию демпфера и выбрать жидкость для его заполнения
под заданное торможение. Пусть, например, число перепускных трубок
у демпфера 2 = 10, длина каждой из них I = 5 • 10~2 м, отношение d*/d
примем равным 10. Из жидкостей, имеющих сравнительно малую
вязкость, выберем толуол с коэффициентом вязкости, приблизительно
равным 0,0613- 10~2Па-с при 18 °С (вязкость воды при 18 °С равна
0,105-10"2 Па-с).
Подставляя эти числа, получаем
0,0365 1 1
п ~ -, д = 31,3-.
тс с
Если, например, т = Ю-1 кг, 5СТ = 10~2 м, то k = 31,3 1/с, а п = 0,365 1/с;
движение будет колебательным. Затухание амплитуд определится
логарифмическим декрементом (21.50)
А- , °'365л ~ 0,037.
л/31,32 -0,3652
§ 99. Влияние силы сопротивления,
пропорциональной первой степени скорости,
на вынужденные колебания точки
Пренебрегая влиянием сил сопротивления, мы пришли к
выводу, что при резонансе амплитуды вынужденных колебаний
растут пропорционально времени, вследствие чего должно было
бы наступить разрушение системы, как бы ни была мала ампли-

§ 99. Вынужденные колебания. Влияние сопротивления
103
туда попавшей в резонанс гармоники возмущающей силы. Это
противоречие с опытом может быть устранено, если учесть
влияние сил сопротивления; ограничимся рассмотрением
сопротивления, пропорционального первой степени скорости.
Остановимся сначала на случае гармонической возмущающей
силы
F(t) = H sin (pt 4- 5).
Добавляя в левую часть дифференциального уравнения (21.17)
член 2пх, соответствующий силе сопротивления,
пропорциональной первой степени скорости, и обозначая h = H/m9 получаем
х + 2пх 4- k2x = h sin (pt 4- 8). (21.64)
Общее решение этого уравнения представим в виде суммы
общего решения хх соответствующего однородного уравнения и
частного решения х2 неоднородного уравнения; хх при k > n
представляет свободное затухающее колебание, а при k < п —
апериодическое движение. Займемся поисками частного решения х2;
положим
х2 = D sin (pt 4- 8) 4- Е cos (pt 4- 8),
х2 = p[D cos (pt 4- 8) - Е sin (pt 4- 8)],
*2 = ~P2 \-D Sin (Р* + §) + E COS (Pf + §)]'
Подстановка в дифференциальное уравнение (21.64) дает
(k2D -p2D - 2прЕ) sin (pt 4- 8) 4- (k2E - p2E 4- 2npD) cos (pt 4- 8) =
= h sin (pt 4- 8),
откуда находим два уравнения, определяющие неизвестные D и Е:
(к2 -p2)D - 2прЕ = К 2npD 4- (к2 - р2) Е = 0.
Решив эти уравнения, получим
h(k2-p2) 2nph
[к2 - р2)2 4 4п2р2 ' (к2 - р2)2 4 4тг V
и, следовательно,
h
[(k2 -p2) sin (pt 4- 8) - 2я£ cos (pt 4- 8)].
2 (k2 - p2)2 + 4n2p2
Полагая
fc2-p2 2тгр
= cos s, , = sme, (21.65)
J(k2 - p2)2 4 4тг V V(^2 -р2)2 + 4тг2р2

104 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
т. е.
, 2пр
*ве=£пф, (21.66)
получаем
х2 = a sin (pt 4- 8 - е), (21.67)
где амплитуда а определяется формулой
h
а = . (21.68)
J(k2 - р2)2 + Ап2р2
В случае малого сопротивления (k > n) общий интеграл будет
х = е nt (Сх cos Jk2 - n2t 4- С2 sin Jk2 - n2t) 4- a sin (pt 4- 8 - s),
и если jc = jc0, £ = i:0 при t = 0, то, определив произвольные
постоянные C-l и С2, найдем
х = е-"* I xn cos V&2 _ n21 4- , sin Jk2 - n2t -
V ° V&2 - я2 J
- ae~nf sin (8 - s) cos Jk2 - n2t -\-
+ pcosi5-£) + nsini5-£) sinjk^^t] +asm(pt + 8-£).
Jk2 - n2 J
(21.69)
■ Первое слагаемое в этом выражении
e~nt[ x0 cos Jk2 - п21 4- sin Jk2 - n2t\
\ Jk2 - n2 J
представляет затухающие свободные колебания, происходящие
вследствие начального отклонения системы от положения
равновесия и сообщения ей начальной скорости. Частота этих колебаний
меньше собственной частоты.
■ Второе слагаемое
-ае
sin (8 - s) cos Jk2 - n2 t +
. ~— «Jk2-n2t~\
Jk2 - n2 J
p cos (5 - e) + n sin (6 - c) .
представляет затухающие колебания той же частоты, что и
свободные, но возникающие вследствие наличия возмущающей силы.

§ 99. Вынужденные колебания. Влияние сопротивления
105
■ Наконец, третье слагаемое
a sin (pt 4- 8 - s)
представляет вынужденные колебания, имеющие частоту
возмущающей силы. Эти колебания происходят с постоянной амплитудой,
не зависящей от времени, тогда как амплитуды колебаний,
соответствующих первым двум слагаемым, вследствие наличия
показательного множителя e~nt будут более или менее быстро
затухать. Поэтому, ограничиваясь рассмотрением установившегося
режима, т. е. рассматривая движение, установившееся по
истечении достаточно большого промежутка времени от момента t = 0,
к которому отнесено начало движения, мы можем пренебречь
первыми двумя слагаемыми в формуле (21.69). Конечно,
сказанное относится и к случаю большого сопротивления (n > k).
Итак, при установившемся режиме
х = a sin (pt 4- 8 - s), (21.70)
т. е. движение происходит с частотой возмущающей силы и с
некоторым сдвигом относительно силы по фазе.
Займемся исследованием зависимости амплитуды а
установившегося режима от частоты р возмущающей силы. Имеем
h h l
J(k2 - р2)2 + \п2р2 k2 J[l - (p/k)2]2 + 4 (n/k)2 (p/k)2 '
Назовем, как и ранее, отношение
а , 1
— =Х= , (21.71)
ао J[l - (p/k)2]2 + 4 (n/k)2 (p/k)2
коэффициентом динамичности (а0 = h/k2 — отклонение
системы от положения равновесия под действием постоянной силы Н).
Обозначив отношения
p/k = z, n/k = v,
получим
Х= . (21.72)
J(l~22)2 + Av222
Считая v постоянным параметром, построим график
зависимости X от z в области 2 > 0.

106 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Максимуму X соответствует минимум подкоренного
выражения в знаменателе
# = (l-22)2 + 4v222.
Вычисляем производные у по 2\
у' = -42(1 - 22) 4- 8v22,
у" = -4 + 1222 + 8v2.
Находим, что у' = 0 при 2 = 0 и при 2 = 2m = Jl - 2v2 . Если
1 - 2v2 > 0, v < 1/V2 « 0,707, т. е. п < 0,707/г, то второй корень
действителен; если же п > 0,707&, то 2Ш — мнимое число и у при
2 > 0 является монотонно возрастающей, а А, — монотонно
убывающей функцией 2. Подставляя 2^ = 1 — 2v2 в выражение для
у'\ находим
у" = -4 4- 12 (1 - 2v2) 4- 8v2 = 8 (1 - 2v2) > 0.
Так как у" > 0, то 2^ = 1 — 2v2 соответствует минимуму у и,
следовательно, максимуму А. Вычислив этот максимум, получим
2v VI _ v2
Максимальное значение амплитуды колебаний
установившегося режима получается при 2 = 2т= Jl - 2v2 , а не при резонансе;
под резонансом здесь можно понимать как случай 2 = 1, т. е.
совпадение частот возмущающей силы и свободных колебаний при
отсутствии сопротивления, так и случай 2 = Jl
вующий совпадению частоты р с частотой Jk2 - п2 = k Jl - v2
свободных колебаний при наличии сопротивления. Следуя
установившейся терминологии, сохраним наименование резонанс за
первым случаем. Значения коэффициента динамичности X при 2 = 1 и
2 = Jl - V2 соответственно будут
Xr = X(l)= ^, V = MJl -v2)= f 1 ;
r 2v 2vVl-3v2/4
конечно, Xr и Х* меньше, чем Хтак; иными словами, при наличии
силы сопротивления имеет место сдвиг максимума амплитуды в
сторону меньшего значения р. Надо, впрочем, отметить, что при
малых сопротивлениях этот сдвиг максимума амплитуды, равно как
и разности X -Хги X - Х*9 невелики, как показано в табл. 2.

§ 99. Вынужденные колебания. Влияние сопротивления
107
Таблица 2
Влияние сопротивления на характерные значения
коэффициента динамичности
V
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,40
0,50
0,707
zm=Jl- 2v*
0,9975
0,9899
0,9772
0,9695
0,9357
0,9055
0,8246
0,7071
0
К>**
10,013
5,025
3,371
2,552
2,065
1,747
1,366
1,155
1,000
К
10,000
5,000
3,333
2,500
2,000
1,667
1,250
1,000
0,707
л-
10,010
5,019
3,362
2,538
2,049
1,726
1,333
1,102
0,894
Отметим еще, что Х(0) = 1, Х'(0) = 0 при 2 = 0 независимо от
значения v; Х(°°) = 0 при 2 -^ оо.
После сказанного нетрудно отдать себе отчет в характере
зависимости X ОТ 2\
S если V2 > 1/2, то X монотонно убывает от значения Х(0) = 1 до
?t(oo) = 0 (рис. 260);
S если v2 < 1/2, то X имеет максимум при 2 = 2т = Jl - 2v2 ,
выраженный тем более резко, чем меньше V. При 0 < 2 < 2Ш
(область малых частот возмущающей силы) X возрастает от
^(0) = 1 до ^max = l/(2v Jl - v2 ), а при 2т < 2 < оо (область
больших частот) убывает от XmSiX до нуля (рис. 261).
Рис. 260 Рис. 261

108 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Сдвиг фаз е между колебанием при установившемся режиме
и возмущающей силой определяется формулой
_ 2пр _ 2м 2
g S ~ k2-p2 ~ Г^2 •
При 2 = 1 имеем tg е = оо, £ = я/2, т. е. при резонансе сдвиг фаз
равен я/2; при 2 = 0 и 2 = оо также независимо от v находим
s(0) = 0, е(оо) = я. Вычислив производную
рг = 2V^(1 + г2),
убеждаемся, что она положительна при любых 2 и v; s монотонно
возрастает при частотах возмущающей силы, соответствующих
2 < 1, от нуля до 7Г/2 и при 2 > 1 — от л/2 до л. При v = 0 сдвиг фаз
8 представляет собой разрывную функцию от 2, причем 8 = 0 при
2 < 1 и s = к при 2 > 1. В табл. 3 (с. 110) даны значения X и е при
различных v и 2.
На рис. 262 и 263 приведены графики зависимости X и е от 2
для различных V. Табл. 3 и графики показывают, что в случае ма-

§ 99. Вынужденные колебания. Влияние сопротивления
109
лых сопротивлений в области, достаточно удаленной от
резонанса, значения X весьма мало зависят от V. Это позволяет при малом
сопротивлении и при 2, значительно отличающемся от 1, не
учитывать влияния сопротивления на амплитуды вынужденных
колебаний.
Во многих приложениях (см., в частности, приводимый ниже
пример 92 расчета вибрографа) амплитуда^ возмущающей силы
оказывается пропорциональной квадрату частоты р:
Н = Кр2.
Обозначая К/т = h19 получаем для амплитуды колебаний
установившегося режима вместо (21.71) и (21.72) выражение
hlP*
hx22
J(k2-p2)2 + \п2р2 V(l -22)2 + 4v222
Рис. 263

110 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Таб ли ца 3
Зависимость коэффициента динамичности и сдвига фазы от 2 и v
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,925
0,95
0,975
1,000
1,025
1,05
1,075
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,40
1,50
1,75
2,00
2,50
3,00
4,00
5,00
v-0
X
1,00
1,01
1,04
1,10
1,19
1,33
1,56
1,96
2,28
2,78
3,60
5,26
6,95
10,26
20,50
оо
19,76
9,76
6,45
4,76
3,11
2,27
1,78
1,45
1,04
0,80
0,49
0,33
0,19
0,125
0,067
0,042
v-0,05
X
1,00
1,01
1,04
1,10
1,19
1,33
1,55
1,94
2,25
2,71
3,44
4,76
5,85
7,33
9,16
10,00
8,73
6,80
5,31
4,22
2,94
2,19
1,74
1,42
1,03
0,80
0,48
0,33
0,19
0,125
0,067
0,042
е°
0,0
0,6
1,2
1,9
2,8
3,8
5,3
7,8
9,7
12,5
17,0
25,3
32,7
44,1
63,4
90,0
116,5
134,8
145,3
152,3
160,3
164,8
167,4
169,3
171,8
173,2
175,1
176,2
177,2
177,8
178,5
178,9
v-0,10
X
1,00
1,01
1,04
1,10
1,18
1,32
1,54
1,89
2,16
2,53
3,07
3,82
4,27
4,67
4,98
5,00
4,73
4,28
3,77
3,29
2,53
1,99
1,63
1,36
1,00
0,77
0,48
0,33
0,19
0,125
0,067
0,042
е°
0,0
1,3
2,4
3,7
5,4
7,6
10,6
15,4
18,9
23,9
31,4
43,5
52,2
62,7
75,9
90,0
104,0
116,5
125,8
133,7
144,8
151,4
156,0
159,4
163,9
166,5
171,5
172,4
174,5
175,7
177,0
177,6
v = 0,15
X
1,00
1,01
1,04
1,10
1,18
1,30
1,50
1,82
2,03
2,31
2,65
3,03
3,20
3,30
3,36
3,33
3,20
3,02
2,80
2,55
2,17
1,76
1,48
1,26
0,96
0,75
0,47
0,33
0,19
0,123
0,066
0,042
е°
0,0
1,9
3,6
5,6
8,1
11,3
15,7
22,4
27,2
33,7
42,5
55,0
62,5
71,0
80,5
90,0
99,4
108,3
115,7
122,3
133,0
140,6
146,3
150,5
156,4
160,2
166,7
168,7
171,9
173,5
175,5
176,4
v = 0,20
X
1,00
1,01
1,04
1,09
1,17
1,29
1,46
1,72
1,88
2,08
2,28
2,46
2,52
2,55
2,55
2,50
2,42
2,31
2,19
2,05
1,78
1,54
1,33
1,16
0,90
0,72
0,45
0,32
0,19
0,123
0,065
0,042
е°
0,0
2,5
4,7
7,5
10,8
15,0
20,6
28,8
34,4
41,7
50,8
62,2
68,7
75,5
82,9
90,0
97,1
103,9
109,8
115,5
125,4
132,5
138,2
143,0
149,7
154,3
161,3
165,0
169,2
171,5
174,0
175,3
v = 0,25
X
1,00
1,01
1,04
1,09
1,16
1,26
1,41
1,62
1,72
1,86
1,98
2,06
2,07
2,06
2,04
2,00
1,94
1,87
1,79
1,70
1,52
1,36
1,19
1,06
0,84
0,69
0,45
0,32
0,18
0,123
0,066
0,042
е°
0,0
2,9
5,9
9,4
13,4
18,5
25,2
34,5
40,6
48,0
56,8
67,2
72,7
78,3
84,2
90,0
95,6
101,1
106,2
110,8
119,3
126,3
132,0
136,7
143,8
149,0
157,0
161,6
166,6
169,5
172,3
174,0

§ 99. Вынужденные колебания. Влияние сопротивления
111
Графики отношения
%- =X,=Xz2= . - (21.74)
hx i 7(l"22)2 + 4v222
для различных v в зависимости от г представлены на рис. 264.
Числа, показанные на отдельных кривых, дают отношение двух
последовательных размахов при свободных колебаниях, т. е.
величину, обозначенную в § 98 через г\ и связанную, согласно
(21.50), с логарифмическим декрементом А и с v соотношениями
А = lnrj
(21.75)
7IV
В общем случае периодической силы F(t) представляем ее
рядом Фурье
F(t) =ЪН8 sin (spt 4- 6e)
s = l
и при установившемся режиме получаем
22 h„
* = 1 k2 7(1 " S222)2 + 4V2S22
_ sin (spt + 5S - es):
oo h8
L^ -2 Xs sin (spt + 5S - ee),
(21.76)
2,0
1,5
1,0
0,5
| l V(l-*2)2-4vV
1
2:1 ^
l:l|JI
,5:1 jlj
2:lA\\
3:1 \
4:1 "
:^бТГ
10(Ы^-
1:1
\ 1,5:1
0,5
1,0
1,5
Рис. 264
2,0
2,5
3,0

112 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
где hs = Hs/m, а сдвиг фаз ss s-й гармоники вынужденного
колебания относительно той же гармоники возмущающей силы
определяется формулой
2S2V
tgS*= l-*222' (21"77)
Вычисление Xs и tg ss можно производить по приведенным
выше формулам и таблицам.
При равенстве частоты свободных колебаний целому
кратному sp9 s = 1, 2, 3, ... , частотыр возмущающей силы имеется
резонанс соответствующего порядка. Амплитуда какой-либо
гармоники вынужденного колебания будет максимальной не при
резонансе, а при k = sp Jl - 2v2 что при малых v, впрочем, мало
отличается от sp. При большом сопротивлении (v > 0,707)
понятие резонанса теряет смысл, так как все Xs, s = 1, 2, ... ,
монотонно убывают при возрастании р.
Пример 92. Виброграф, снабженный затуханием, установлен на
платформе, совершающей периодическое колебательное движение в
вертикальном направлении. Определить, с каким искажением записываются
отдельные гармонические составляющие колебательного движения
платформы при условии, что затухание прибора доведено до границы
апериодичности.
Предположим сначала, что платформа колеблется по гармоническому
закону
^п = a sin pt.
Уравнение движения груза относительно платформы будет
х 4- 2пх 4- k2x = ар2 sin pt;
х — вертикальное перемещение груза относительно платформы.
При установившемся режиме по формуле (21.74) имеем
ар2 sin (pt - е) z2 , , ч
~ - ^ v^ = _ a sin (pt - e).
J(k2 -p2)2 4- 4n2p2 J(l - z2)2 +- 4.\2z
На границе апериодичности v = 1 и, следовательно,
z2
X = 1 + 2 a S^n (P* ~ £)>
т. е. виброграф записывает амплитуду колебаний платформы с
искажением
z2 1
1 +22 ~ (k/p)2 4- 1

§ 100. Свободные колебания точки при наличии кулонова трения 113
и со сдвигом фазы, определяемым формулой
, 22
В случае произвольного периодического движения платформы
оо
^п = X as sin (spt + 6S).
s = l
При установившемся движении груза и при v = 1 получим
Х = Jl [k/(sp)V "• Sln iSpt + ^ " ^' tg 6« = 1 ^z2 ■
Искажение амплитуды отдельных гармоник записываемого
колебательного движения здесь различно; однако если взять 2 достаточно
большим, например 2 = 5, то уже для второй гармоники
[й/(2р)]2 + 1 ОД2 - 1 и'^
и искажением ее амплитуды молено пренебречь. Сдвиг фаз es при
больших 2 для гармоник высших порядков мало отличается от 180°;
например, при 2 = 5 имеем е2 = 180° - 11°, е3 = 180° - 7° и т. д.
Здесь подтверждается указанный выше факт: для записи
колебаний фундаментов, машин, платформ и т. п. при помощи
упруго связанного с ними груза выгодно применение приборов
с малой частотой свободных колебаний.
§ 100. Свободные колебания точки при наличии
кулонова трения
Рассмотрим движение тела М (рис. 265), способного
перемещаться по горизонтальной шероховатой плоскости и
находящегося под действием двух пружин АВ и AXBV
При движении тела в горизонтальном направлении (вдоль
оси Ох) к нему будут приложены, во-первых,
восстанавливающая сила F пружин, проекция которой на ось Ох равна (~сх)9
во-вторых, сила трения R9 равная * яра
по величине произведению коэф- '
фициента трения / на нормальную 1 I I
°М\ ^^^^
реакцию плоскости N; в рассматри- О F М
ваемом случае реакция N равна ~^~
силе тяжести тела G = rag. Так как то*
сила R всегда направлена проти- х > 0 х < 0
воположно скорости (рис. 265), то, Рис. 265

114 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
вводя для обозначения знака какой-либо величины а символ*
sign а, можно записать
Rx = -fN sign x = -fmg sign x ,
т. e.
Rx = -fmg при x > 0,
Rx = fmg при x < 0.
Уравнение движения имеет вид
тх 4- сх = -fmg sign x . (21.78)
При х = 0 сила трения не должна превосходить предельной
величины силы трения покоя fxN9 где f1 — коэффициент трения
покоя (/ < Д).
Переходя к интегрированию уравнения движения (21.78),
заметим, что наличие в правой его части разрывной функции,
меняющей в точке х = 0 свой знак на противоположный, т. е.
претерпевающей конечный скачок на величину 2/G, заставляет
вести интегрирование в пределах каждого размаха отдельно.
Кулоново трение представляет собой пример сопротивления с
нелинейным законом зависимости от скорости движения.
Рассмотрим последовательные этапы колебаний тела М,
начиная с момента t = 0, в который х = х0, а х = 0. Движение
начнется, если реакция пружин, возвращающая тело в положение
равновесия, будет по величине больше силы трения покоя:
, , f\G
с\х0\ > frG9 \х0\ > — . (21.79)
Будем предполагать, что это неравенство имеет место, т. е. что
тело достаточно удалено от положения равновесия. Пусть х0 > 0;
движение начнется в сторону отрицательной оси Ох9 sign х = —1.
Уравнение движения (21.75) будет при этом иметь вид
тх + сх = fmg
или с введением параметра k2 = с/т
X + k2X = fg. (21.80)
Интеграл этого уравнения, удовлетворяющий указанным выше
начальным условиям, будет
х = fg/k2 + (х0 - fg/k2) cos kt, (21.81)
Сигнум (от лат. signum — знак) — функция действительного переменного:
sign а = +1 при а > 0, sign а = 0 при а = 0, sign а = -1 при а < 0; допустимо
написание sgn a.

§ 100. Свободные колебания точки при наличии кулонова трения 115
откуда найдем
X = -k(x0 - fg/k2) Sin kt. (21.82)
Проекция скорости х остается отрицательной, пока sin kt > 0,
т. е. при 0 < t < n/k. В момент t = t1 = n/k величина х обращается
в нуль, меняя свой знак; в этот момент времени значение х будет
хх = х(гг) = -х0 4- 2fg/k29
и движение не прекратится, если — см. неравенство (21.79) —
с\хг\ > f^mg9 т. е.
с\-х0 + 2fg/k2\ >f1mg
или, замечая, что mg/c = g/k29
\xl\ = \~х0 + Vg/k2\ > fxg/k2. (21.83)
Предположим, что это неравенство выполняется; в таком
случае должно быть хх = -х0 4- 2fg/k2 < 0. Действительно, в
противном случае мы имели бы {х-^ = хх и, согласно (21.83),
l^il = *i = -*о + 2/£/*2 > f\e/k2>
т. е.
2fg/k2 > fxg/k2 + х0.
Если заменить здесь х0 величиной, заведомо меньгпей ее —
см. (21.79), — то это неравенство усилится:
2fg/k2>flg/k2 + f,G/c
ИЛИ
fg/k2 > Ug/k2,
что неверно, так как f1 > /. Итак, хх < 0, и движение в момент tx
начнется в положительную сторону оси Ох9 т. е. при t > tx в
течение некоторого промежутка времени х > 0, sign x = +1.
Уравнение движения (21.78) примет вид
X + k2X= -fg, (21.84)
причем начальные условия будут таковы: х = х19 х = 0 при t = tv
Как и выше, получим
X = 'fg/k2 + (*! + fg/k2) COS k(t ~ tj,
или, подставляя значения tx и хх\
X = -fg/k2 - (Sfg/k2 - Х0) COS kt9 (21.85)

116 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
откуда найдем
х = k(3fg/k2 - х0) sin Ы. (21.86)
Так как хг < О, по (21.83) имеем х0 - 2fg/k2 > fxg/k2, т. е.
x0>2fg/k2 + f1g/k2,
и поскольку f1 > /, то тем более х0 - 3fg/k2 > 0. Поэтому будет
х > 0 при t1< t < 2n/k. В момент t2 = 2к/к величина sin kt9 а
следовательно, x обращается в нуль. В этот момент
х2 = x(t2) = х0 - £fg/k2. (21.87)
Движение не прекратится, если (см. выше)
\х2\ = |*0 - 4fg/k2\ > fxg/k2. (21.88)
Если это неравенство выполняется, то, как и выше, можно
доказать, что х2 > 0, а следовательно, скорость х в момент t2
изменит знак и в течение некоторого промежутка времени будем
иметь sign х = -1. Мы снова возвращаемся к
дифференциальному уравнению (21.80) с новыми начальными условиями:
х = х2 > 0, х = 0 при t = t2.
Итак, максимальные по абсолютной величине
последовательные отклонения от положения равновесия будут
х0, хг = -х0 + 2fg/k2, x2 = x0- 4fg/k2,
xs = -x0+6fg/k2, ... , хп = (-1Г (*0 " 2nfg/k2)9
а соответствующие им моменты остановок тела
t = 0, к/k, 2к/к, ... , пк/к.
Каждое последующее отклонение по абсолютной величине на
2fg/k2 меньше предыдущего. Промежуток времени между
моментами двух остановок по одну сторону от положения
равновесия равен
T = tn-tn_2 = 2n/k,
т. е. периоду колебаний при отсутствии силы трения.
Итак, сила трения не влияет на период колебания;
последовательные отклонения уменьшаются в арифметической прогрессии на
величину 2fg/k2 за полупериод.
При некотором п отклонение хп должно стать по абсолютной
величине меньше f^/k2 и в соответствующий момент времени tn
движение прекратится, так как реакция пружин окажется мень-

§ 100. Свободные колебания точки при наличии кулонова трения 117
лг, м-Ю"2!
4
3
2
1
Л ^
■ \ / \ " - „
и
II-
-1
-2
-3
-4
::д:;::1.:;:1::2::х-»~~4*~:~
\ / \^/'
\ / ""
Рис. 266
~JL~
****_ i
*,с
II
ше, чем сила трения покоя. Поэтому рассматриваемые колебания
являются останавливающимися.
В качестве примера построим график движения (рис. 266) при
следующих условиях:
Г=2с,
Получим
х0 = 4,6 • Ю"2 м, / = 0,005, fx = 0,007.
k2
fgT2
4я2
0,005-981.4 2
, 9 « 0,5 -10 z м,
4я^
^f -0,7-10-2 м.
За полупериод колебания амплитуды уменьшаются на 10 2м.
Находим
х0 = 4,6 • 10"2 м,
хх = (-4,6 4- 1) • 10"2 = -3,6 • 10"2 м,
х2 = (4,6 - 2) • 10"2 = 2,6 • 10"2 м,
х3 = (-4,6 4- 3) • 10"2 = -1,6 • 10"2 м.
Все эти отклонения по абсолютной величине больше 0,7,
поэтому движение будет продолжаться; но в момент времени t =
= t4 = 4 с мы уже получим
х4 = (4,6 - 4) • 10"2 = 0,6 • 10"2 < fxg/k2
и движение прекратится. Назовем заштрихованную на рис. 266
область шириной 2flg/k2 мертвой зоной. Если скорость обраща-

118 Глава XXL ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
ется в нуль во время прохождения мертвой зоны, то тело
останавливается и движение далее не происходит.
Согласно (21.81), график движения в промежутке времени
О <t < t1 представляет собой отрезок косинусоиды амплитудой
4,1 • 10"2м; осью косинусоиды является прямая I—I,
параллельная оси абсцисс и проведенная на расстоянии fg/k2 = 0,5 • 10"2 м
от нее; в интервале tx < t < t2 имеем отрезок косинусоиды
амплитудой 3,1 • 10"2 м, причем осью является прямая II—II,
проведенная снизу от оси абсцисс на том же расстоянии, и т. д. (рис. 266).
В момент времени t = t4 = 4 с вершина соответствующей
косинусоиды окажется внутри мертвой зоны, и точка останется в покое,
т. е. график движения при t > t4 представляет собой прямую,
параллельную оси абсцисс.
Вершины косинусоид х0, х29 х4 и т. д. должны лежать на
одной прямой; если это свойство можно заметить на заснятой
диаграмме свободных колебаний, то причиной уменьшения разма-
хов является кулоново трение.
В настоящей главе мы имели дело с прямолинейными
колебаниями материальной точки, причем такими, которые
описываются линейными дифференциальными уравнениями. Такие
колебания называют линейными. Они наиболее просты с
математической стороны и поэтому вынесены в начало этого тома.
В некотором роде исключением является случай прямолинейных
колебаний при наличии кулонова трения, которые следует
отнести к нелинейным колебаниям, описываемым
кусочно-линейными уравнениями. Более сложные случаи колебаний системы
материальных точек и абсолютно твердых тел, как линейных,
так и нелинейных, будут рассмотрены в шестом отделе курса
(гл. XXXII—XXXIV).

Отдел четвертый
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Глава XXII
Теорема об изменении количества движения
системы материальных точек
§ 101. Предварительные замечания об общих теоремах
динамики
Задача об интегрировании дифференциальных уравнений
движения материальной точки, представляющая даже в случае
одной точки некоторые трудности, становится подчас непосильной,
когда приходится иметь дело с движением системы
материальных точек. Силы, приложенные к отдельным точкам системы,
могут зависеть от положения и движения остальных точек
системы, так что правые части дифференциальных уравнений,
написанных для каждой точки в отдельности, будут содержать время,
координаты и проекции скорости всех точек системы. В
результате вопрос сводится к интегрированию системы
дифференциальных уравнений, что далеко не просто.
Если по существу поставленной задачи необходимо изучить
движение каждой точки системы в отдельности, то полное
интегрирование уравнений движения системы точек, приводящее к
определению координат точек системы в зависимости от
времени, неизбежно. Таковы, например, задачи о движении двух, трех
или нескольких тяготеющих друг к другу тел в небесной
механике. В других случаях оказывается достаточным определить
изменение некоторых суммарных мер движения системы в целом
(количества движения, момента количества движения,
кинетической энергии) в зависимости от суммарных мер действия сил
(главный вектор и главный момент приложенных сил, работа
сил, потенциальная энергия).
Такого рода соотношения между изменениями во времени
суммарных мер движения системы материальных точек и суммарными
мерами действия приложенных к точкам совокупности сил
выражают общие теоремы динамики системы материальных точек,
применяемые как для отдельных точек и их систем, так и для
сплошных сред.

120 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Общие теоремы динамики могут быть выведены из
дифференциальных уравнений движения как в дифференциальной, так
и в конечной (интегральной) формах.
К числу общих теорем динамики относятся:
S теорема об изменении количества движения с ее
модификациями — теоремой импульсов и теоремой о движении центра
масс;
S теорема об изменении момента количеств движения,
сводящаяся в частном случае центральных сил к теореме площадей;
S теорема об изменении кинетической энергии (теорема живых
сил), при консервативности сил (см. ниже) выражающая
закон сохранения механической энергии.
В основе вывода первых двух общих теорем динамики —
количества движения и момента количества движения — лежит
идея выделения из всех сил, приложенных к системе,
внутренних сил взаимодействия между материальными точками
системы. Внутренние силы в своей совокупности не могут влиять на
такие суммарные меры движения, как главный вектор и
главный момент количеств движения точек системы. Только
внешние силы, действующие на точки системы со стороны внешних
тел, не принадлежащих к рассматриваемой системе, могут
изменять главный вектор и главный момент количеств движения
системы. В использовании этого свойства внутренних сил,
представляющего собой одно из важнейших следствий третьего закона
Ньютона, заключается главное значение двух первых общих
теорем динамики.
Теорема об изменении кинетической энергии устанавливает
связь между изменением основной меры движения системы
материальных точек — кинетической энергии — и мерой действия
сил на протяжении путей движения точек системы — работой
сил; для широкого класса сил, носящих наименование
консервативных, работа может быть выражена как изменение
потенциальной энергии. Таким образом, в круг вопросов механики
вводится понятие энергии. Значение этого понятия состоит в том, что
им определяется единая физическая величина, проявляющаяся
в различных физических явлениях и, таким образом,
связывающая их между собой. Понятие энергии объединяет механику
с термодинамикой, с учением об электрических явлениях и т. п.
Преобразование механической энергии в другие формы энергии

§ 102. Теорема о количестве движения системы точек
121
и обратное преобразование этих форм в механическую энергию
представляет собой важную задачу современной техники.
В отличие от изменения количества движения и момента
количества движения изменение кинетической энергии
материальной системы зависит от работы как внешних, так и внутренних
сил. Однако и в этом случае выделение класса внутренних сил
оказывается полезным, так как, например, в случае движения
абсолютно твердого тела или системы абсолютно твердых тел
работа внутренних сил равна нулю, а в случае сплошной среды
она позволяет судить о потерях механической энергии за счет
внутреннего трения.
Применением общих теорем динамики можно удовольствоваться
лишь при изучении наиболее простых движений систем или при
рассмотрении лишь какой-либо одной стороны сложных движений.
Исчерпывающие сведения о движении системы может дать только
полное интегрирование дифференциальных уравнений ее движения.
§ 102. Теорема об изменении количества движения
системы материальных точек
Положение системы материальных точек Мп i = 1, 2, ... , п,
будем определять векторами-радиусами гь этих точек
относительно неподвижного начала координат О; скорости и ускорения
точек системы обозначим соответственно через
vt=i,i> wt=6i = fi-
Тела, не включаемые в рассматриваемую систему, назовем
внешними по отношению к системе. Такое разделение тел на
входящие в систему и не входящие в нее зависит от способа
рассмотрения. Мы можем (и в дальнейшем будем так неоднократно
поступать) то включать некоторые тела в данную систему, то
исключать их из этой системы.
Таким образом, силы, приложенные к данной системе, мы
разбиваем на две категории:
S внутренние силы — силы взаимодействия материальных
точек, входящих в данную систему;
S внешние силы — силы взаимодействия системы с телами,
внешними по отношению к системе.
Так, например, если рассматривать поезд как одну систему, то
внутренними силами будут упругие силы, возникающие в тягах

122 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
и в буферах, силы давления груза на пол вагона, силы трения в
осях; внешними силами будут реакции рельсов, силы трения
между колесами и рельсами, сопротивление воздуха.
Обозначим равнодействующую всех внешних сил,
приложенных к точке Mi9 через Fi9 а всех внутренних — через F[\ тогда
дифференциальные уравнения движения системы материальных
точек могут быть представлены совокупностью основных
уравнений динамики для отдельных точек системы
miwi = Ft+ F\9 £ = 1,2, ... , n, (22.1)
или в проекциях на оси неподвижной (или инерциальной)
декартовой системы координат
Ш£х = Fix + Кх> т1Уь = Fiy + *"iy> mi2i = Fiz + Kz
i = 1, 2, ... , n. (22.2)
Проекции Fix9 Ft , Fiz равнодействующей внешних сил,
приложенных к £-й точке, так же как и проекции F'ix9 F't , F\z
равнодействующей внутренних сил, представляют собой заданные
функции времени, координат и проекций скоростей не только
£-й, но и в общем случае всех точек системы. Таким образом,
уравнения (22.2) образуют систему Зп обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка с Зп неизвестными
величинами xi9 yi9 zi9 которые должны быть определены как функции
времени. Начальные условия, необходимые для определения
произвольных постоянных интегрирования, представляют собой
совокупность начальных условий для каждой точки системы в
отдельности. Оставляя пока в стороне вопрос об интегрировании
уравнений (22.2), займемся применением этих уравнений к
выводу первой основной теоремы динамики — теоремы об изменении
количества движения системы.
Вывод теоремы об изменении количества движения системы,
или, как ее кратко называют, теоремы количества движения,
основан на идее исключения внутренних сил из
дифференциальных уравнений движения системы материальных точек (22.1).
Пользуясь третьим законом Ньютона о равенстве действия и
противодействия, можно утверждать, что главный вектор
внутренних сил V равен нулю:
V = £ F\ = 0. (22.3)
i = l

§ 102. Теорема о количестве движения системы точек
123
Действительно, для определения главного вектора
внутренних сил мы должны сложить все силы взаимодействия между
точками рассматриваемой системы. Но каждому действию,
приложенному к одной точке от другой, соответствует равное по
величине и противоположно направленное противодействие,
приложенное ко второй точке от первой. При сложении этих
действий и противодействий в один главный вектор они все
попарно уничтожаются, что и приведет к равенству (22.3).
Просуммируем уравнения (22.1) по всем точкам системы:
п п п
X 7П^= I^+I F-. (22.4)
1 = 1 1 = 1 1 = 1
В силу уравнения (22.3) второе слагаемое в правой части этого
равенства обращается в нуль. Векторная сумма
п
Z Ft=V (22.5)
i = l
представляет собой главный вектор внешних сил. Заметим, что
эту сумму внешних сил, приложенных к различным точкам
системы, выражаемую одним вектором — главным вектором
внешних сил, — нельзя рассматривать как равнодействующую
внешних сил. В случае системы отдельных материальных точек,
движущихся одна относительно другой, само понятие
равнодействующей лишено смысла.
Уравнение (22.4) на основании (22.3) и (22.5) принимает вид
п
Ъ m^w^ V. (22.6)
i = l
Вспоминая еще, что ivt = dvt/dt9 перепишем уравнение (22.6)
в форме
d n
X m-V: = V. (22.7)
d*
i-1
Вектор q9 равный по величине произведению массы т
материальной точки на вектор скорости v и имеющий направление
скорости, называется количеством движения точки:
q = mv. (22.8)
Количество движения измеряется в кг • м • с-1.
Главный вектор Q количеств движения точек системы
п п
Q = X qt = X mlvl (22.9)
t=l t=l

124 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
называют количеством движения системы; его проекции на оси
неподвижной декартовой системы координат будут
п п п
Qx = X mixi, Q = X mlyl, Q2 = Ът1г1. (22.10)
Из равенств (22.5), (22.7) и (22.9) следует, что
f =К=Ь(. (22.11)
Это соотноп1ение выражает теорему количества движения.
ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. Векторная производная по
времени от количества движения системы равна главному вектору
внешних сил, приложенных к системе.
Равенство нулю главного вектора внутренних сил приводит к
заключению, что внутренние силы не могут влиять на изменение
количества движения системы.
Проецируя векторное равенство (22.11) на неподвижные оси
декартовой системы координат, получаем систему трех равенств
dQr c\Qu c\Q.
dt =v" dt'=vr dt=v-' (22"12)
Предположим, что внешние силы, приложенные к системе,
таковы, что проекция их главного вектора на одну из осей
координат равна нулю. Тогда, как это сразу следует из равенств
(22.12), проекция вектора количества движения системы на ту
же ось будет во все время движения сохранять постоянную
величину. Это предложение называют законом сохранения проекции
количества движения системы.
Если главный вектор внешних сил равен нулю, т. е. система
изолирована от воздействий внешних по отношению к ней тел, то
количество движения системы будет сохраняться во времени как
по величине, так и по направлению. В этом заключается закон
сохранения количества движения.
Поясним закон сохранения количества движения простым
примером. Рассмотрим систему «орудие — снаряд», причем для
простоты будем пренебрегать массой пороховых газов,
образующихся при выстреле. Пусть тело орудия имеет массу т ,
снаряд — массу тси. Будем предполагать, что конструкция лафета
такова, что ствол расположен горизонтально и откат его
происходит также в горизонтальном направлении. Примем ось ствола

§ 103. Динамика точки переменной массы
125
в направлении выстрела за ось Ох; тогда силы тяжести не дают
проекций на эту ось, точно так же, как и опорные реакции
лафета, если пренебречь трением ствола в направляющих и реакцией
гидротормоза, возникающими при откате орудия. При этих
условиях, применяя закон сохранения количества движения в
проекции на ось Ох и обозначая соответственно через v и vcu
абсолютные величины скоростей орудия и снаряда после выстрела, будем
иметь
-™ор% + ™сн"сн = COnst'
Для определения постоянной заметим, что до выстрела и орудие
и снаряд были в покое, так что
—т v 4- m v = 0.
op op сн сн
Отсюда следует простое соотношение между скоростью вылета
снаряда и скоростью отката орудия в момент непосредственно за
выстрелом (в дальнейшем скорость отката уменьшается
благодаря трению и действию гидротормоза):
v : v = т : т ,
сн op op сн»
т. е. обратная пропорциональность этих скоростей массам орудия
и снаряда.
§ 103. Динамика точки переменной массы
Под словом точка в дальнейшем, как и выше, понимается
тело, кинематическими элементами вращательного движения
которого при рассмотрении данного вопроса можно пренебречь по
сравнению с кинематическими элементами его поступательного
движения. Точка переменной массы — это тело, некоторая часть
массы которого в процессе движения отделяется от него или,
наоборот, к массе которого присоединяются новые массы.
Примерами могут служить ракетный снаряд, отбрасывающий продукты
сгорания топлива, самолет, сбрасывающий бомбовую нагрузку,
привязной аэростат, поднимающий канат, все новые части
которого включаются в движение, плавающая льдина, масса которой
возрастает вследствие намерзания или убывает вследствие
таяния, и многое другое.
Динамика точки переменной массы представляет собой раздел
общей динамики постоянной массы. Следует заметить, что
излагаемый в настоящем параграфе метод расчета реактивных дви-

126 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
жений никак не связан с изучаемым в релятивистской
механике изменением массы при движении со скоростями, близкими к
скоростям света (см. гл. XXXI). Являясь лишь своеобразной
интерпретацией классических методов механики постоянной
массы, метод механики переменной массы получил свое развитие
и широкое распространение главным образом благодаря своим
важным применениям к расчету реактивных движений.
Следуя одному из основоположников динамики переменной
массы И. В. Мещерскому* [22], будем в дальнейшем
предполагать, что
«...к системе непрерывно присоединяются частицы бесконечно
малых масс таким образом, что скорости точек системы
изменяются непрерывно, тогда как скорости частиц в момент их
присоединения к системе изменяются на конечные величины».
Рассмотрим в момент времени t две точки: одну массой m(t)9
имеющую абсолютную скорость v9 другую массой dm(t) с
абсолютной скоростью и; в дальнейшем принимается, что масса m(t)
представляет собой непрерывную дифференцируемую функцию
времени. В момент времени t 4- dt эти две точки образуют одну
точку массой т 4- dm (в случае присоединяющейся массы dm > О,
в случае отделяющейся массы dm < 0), скорость которой равна
v 4- dv. Применим теорему количества движения к системе,
состоящей из этих двух точек. Количество движения равно
mv 4- udm в момент t и (т 4- dm) (v 4- dv) в момент t 4- dt.
Приращение количества движения за время dt будет
т dv 4- dm(v - u),
и, следовательно, переходя к производной количества движения
системы по времени и обозначая через F равнодействующую
внешних сил, приложенных к точке с конечной массой, получаем
du , , ч dm _
т-^_ +(u-u) -^ =F. (22.13)
Вектор
U - V = С (22.14)
* МЕЩЁРСКИЙ ИВАН ВСЕВОЛОДОВИЧ (1859—1935) — профессор механики
Санкт-Петербургского имени Петра Великого, а впоследствии
Ленинградского политехнического института. Его научная и педагогическая деятельность
оставила глубокий след в развитии теоретической механики и в деле
преподавания ее в нашей стране.

§ 103. Динамика точки переменной массы
127
представляет собой относительную скорость
присоединяющейся массы.
Вектор
^ dm
Ф = , с (22.15)
назовем реактивной силой. Уравнение (22.13) может быть
записано в виде основного уравнения динамики точки переменной
массы
mf=F + 0.
at
(22.16)
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ. Уравнение движения точки переменной массы приводится
к виду уравнения движения точки постоянной массы} если к
приложенным к точке сипам присоединить реактивную сипу".
Если абсолютная скорость присоединяющейся массы равна
нулю (и = 0), то уравнение (22.13) преобразуется к виду
^ (mv) = F. (22.17)
Если обращается в нуль относительная скорость с
присоединяющейся массы, то Ф = 0 и уравнение (22.16) принимает
обычную форму уравнения движения точки постоянной массы
dv _
Надо, конечно, иметь в виду, что во всех этих уравнениях т
не является постоянной величиной, а зависит от времени как
явно, так и неявно через посредство величин, определяющих
Уравнение это по справедливости приписывается И. В. Мещерскому, который
не только дал строгий его вывод, но и решил с его помощью ряд интересных
задач. Исследования Г. К. Михайлова, изложенные в его докторской
диссертации (Развитие основ динамики системы переменного состава и теории
реактивного движения. — М., 1977), показали, что аналогичное уравнение
впервые было установлено Г. Букуа в работах 1812—1814 гг.
БУКУА ГЕОРГ ФРАНЦ АВГУСТ ДЕ ЛОНГЕВАЛЬ, ГРАФ ФОН (Buquoy (Вис-
quoy) Georg Franz August de Longueval, Graf von, 1781—1851)— чешский
ученый.
МИХАЙЛОВ ГЛЕБ КОНСТАНТИНОВИЧ (1929) — российский механик, Ученый
секретарь Российского Национального комитета по теоретической и
прикладной механике.

128 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
положение или движение точки
(координат, скорости). Если,
например, т = f(x9 х9 t)9 то
dm _ dm dm . dm ..
Рис. 267 d*" " "Э7 + Э^ Х + Э1 X'
В качестве иллюстрации применения уравнения (22.16)
рассмотрим поступательное движение ракетного снаряда, причем
отвлечемся от влияния сил тяжести и сопротивления воздуха.
Обозначим через тк постоянную массу корпуса I (рис. 267), через тт
переменную массу топлива II и, наконец, через М = -dmT/dt
массовый расход газов, проходящих через выхлопное отверстие
сопла III. Будем предполагать, что скорость истечения газов
постоянна и равна с. Согласно (22.16) уравнение движения ракеты будет
, , ч dv dmT
(mK + mT)Tt=c dt .
Проецируя на ось Ох и замечая, что vx = v9 сх = —с9 находим
ч dv оЖ
откуда, умножая на dt и интегрируя, получаем
0
mh + т„
V = С 1П
mk + тпт
где положено, что mT = m®, v = 0 при t = 0.
В конце горения тт = 0; обозначая скорость в этот момент
через v19 получим первую формулу Циолковского*
о
v, = с In 11 4- Шу L
1 I тк )
Пример 93. Составить уравнение движения аэростата,
поднимающегося вертикально вверх и непрерывно сбрасывающего балласт с
постоянной относительной скоростью. При каком законе изменения массы
балласта подъем аэростата будет равномерным?
Действующие на аэростат силы суть: сила тяжести mg, подъемная
архимедова сила Q, равная весу вытесненного объема воздуха, и сила
сопротивления, которую примем пропорциональной квадрату скорости.
ЦИОЛКОВСКИЙ КОНСТАНТИН ЭДУАРДОВИЧ (1857—1935) —
выдающийся русский изобретатель и исследователь в области реактивного движения.
(Вторая формула Циолковского соответствует вертикальному старту ракеты
с учетом действия постоянной силы тяжести.)

§ 103. Динамика точки переменной массы
129
Относительная скорость с сбрасываемого балласта направлена вниз,
поэтому ее проекция на направление восходящей вертикали (оси Oz) равна
(-с). По основному уравнению (22.16) получаем
dm
Это дифференциальное уравнение первого порядка относительно £,
в котором т — функция времени (уравнение Риккати), не
интегрируется элементарно. Обратимся к рассмотрению частной задачи об условиях
равномерного подъема. Пусть г = и0 = const; тогда предыдущее
уравнение приведется к виду
dm Л j 2
с -^ = Q - kv0 - mg,
или
с dm т.
= at.
Q - kvo - mg
После интегрирования получим
In (Q - kv0 - mg) = In С - gt/c.
Произвольную постоянную С находим по условию: т = т0 при t = 0;
будем иметь
т= Vn (1 - е~**/с) + т0е~**/с.
Обозначим через М постоянную массу снаряжения, а через jll —
переменную массу балласта; предыдущее выражение примет вид
M + \L= — (1 - е-&с) + (М + Щ))е-^с. (22.18)
Предположим, что весь балласт будет сброшен по истечении достаточно
большого промежутка времени, когда практически молено будет считать
e~gtlcравным нулю (jll —^ 0 при t —* °°). Получаем соотношение
Q ~ kvQ
М =
g
выражающее условие равновесия сил веса снаряжения, силы
сопротивления воздуха и подъемной силы аэростата. Условие (22.18) принимает
вид
M + \L = M(1- е~**/с) + (М + \10)е~^с
или
\i = \L0er#/',
т. е. масса балласта должна уменьшаться по показательному закону.
РИККАТИ ЯКОПО ФРАНЧЕСКО (Riccati Jacopo Francesco, 1676—1754) —
итальянский математик.

130 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Пример 94. Вывести закон движения тяжелой цепи, конец которой
свешивается с горизонтального стола, тогда как не вступившая еще в
движение часть цепи свернута в клубок у самого края стола. (Эта задача
была рассмотрена Кэйли в 1857 г.)
Пусть х обозначает длину свешивающейся и движущейся части
цепи; присоединяющаяся масса— это масса того элемента цепи dx,
который вступает в движение в момент t; его абсолютная скорость в момент
присоединения к движущейся части цепи становится равной общей
скорости х этой части, а непосредственно до этого момента была равна
нулю.
Итак, в данном случае (р — масса единицы длины цепи)
п тл / \ dm . р
т = рх, и = 0, F = pgx, (и - и) -г- = рх
и уравнение (22.13) приводится к рхх + рх2 = pgx или
хх = gx - х2. (22.19)
Легко найти первый интеграл этого уравнения. Имеем
« di; dx . _ 1 d . . 2ч _ 1 dz _ ■ 2
Х~ d7 ~ dxX ~ 2 die1* '" 2й' г- * >
так что предыдущее уравнение становится линейным уравнением
первого порядка
1 dz ,
общий интеграл которого будет
с _l 2 -2
*=^ + agx=x ■
Примем в качестве начальных условий: х = 0, х = 0 при t = 0; тогда
из последнего равенства следует, что С = 0. Получим
dx /2 dx /2 lf
Tt=hgx' Tx = hgdt
и после вторичного интегрирования найдем
2^ - J(2/3)gt
или
Полученное реп1ение не единственно; тем же начальным условиям и
дифференциальному уравнению (22.19) молено удовлетворить, полагая
х = 0. В обсуждение этого на первый взгляд парадоксального для задач
КЭЛИ, КЁЙЛИ АРТУР (Cayley Arthur, 1821—1895)— английский математик,
иностр. чл. Петербургской АН (1870), чл. Лондонского королевского общества
(1852).

§ 104. Теорема о движении центра масс системы материальных точек 131
динамики результата мы подробнее вдаваться не будем, укажем лишь,
что полученный результат не противоречит сказанному в § 87 об
единственности решения задачи типа Коши. Точка t = 0, х = 0 является особой
точкой, так как в ней обращается в нуль коэффициент при старшей
производной в уравнении (22.19). В этой точке ускорение неопределенно:
нетривиальному решению х = gt2/6 при t = 0 соответствует, как легко
убедиться, ускорение х0 = g/39 в то время как решение х = 0 дает х0 = 0.
§ 104. Теорема о движении центра масс
системы материальных точек
Рассмотрим систему п материальных точек с
векторами-радиусами гь и массами ть. Массой системы точек назовем сумму
М= £ т}.
По аналогии с понятием о центре тяжести твердого тела (§ 26)
введем в рассмотрение точку С с вектором-радиусом
П I П А 71
гс = £ тьгь/ £ mt= ш 1^ mtri9 (22.20)
или в декартовых координатах
°°С = М /?! т1*1* УС= М ,?! т&1* 2С= М ,?! ША; (22"21)
назовем эту точку центром масс системы материальных точек.
Понятие центра масс является более общим, чем понятие
центра тяжести: в отличие от понятия центра тяжести понятие
центра масс не связано с наличием однородного гравитационного
поля.
Взяв производную по времени от обеих частей равенства
(22.20), определяющего вектор-радиус центра масс, получим
п п
X тгс.г, = X mivj = Q = Mrc = Mvc. (22.22)
i=l ' i=l
Из этого следует, что количество движения системы
материальных точек равно произведению массы системы на скорость
движения ее центра масс} или} иными словами^ количеству движения
центра масс} в котором предположена сосредоточенной вся масса
системы.

132 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Дифференцируя (22.22) еще раз по времени и вспоминая
теорему количества движения (22.11), будем иметь
п
Mwc = Mrc = V= X F}. (22.23)
i = l
Уравнение это можно рассматривать как основное уравнение
динамики точки — центра масс С системы, — если в этой точке
считать сосредоточенной массу М и к ней приложенной силу
V — главный вектор внешних сил. Отсюда вытекает теорема
о движении центра масс.
ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС. Центр масс системы
движется как точка, в которой сосредоточена вся масса системы
и к которой приложен главный вектор внешних сил, действующих
на систему.
Из приведенной формулировки следует, что внутренние силы
не влияют на движение центра масс; только внешние силы могут
изменять его движение.
Если система находится в покое, то внутренними силами
нельзя вывести из покоя ее центр масс; вызванное внутренними
силами движение системы будет происходить так, что центр масс
останется неподвижным. Точно так же, если центр масс находился
в движении, то внутренними силами нельзя изменить его
движение.
В частном случае абсолютно твердого тела,
представляющего собой неизменяемую систему материальных точек (и
находящегося в однородном гравитационном поле), центр масс
совпадает с центром тяжести; приведем формулировку предыдущей
теоремы для этого случая.
ТЕОРЕМА. Центр тяжести твердого тела движется так, как
будто в нем сосредоточена вся масса тела и на него действует
главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу.
Пользуясь этой теоремой, можно трактовать материальную
точку как центр тяжести твердого тела, схематически
представляемого материальной точкой, безотносительно к тому, движется
ли тело поступательно или вращается. Замена движущегося
твердого тела материальной точкой допустима во всех случаях,
когда вращательное движение тела не представляет интереса.
Рассмотрим некоторые частные случаи движения системы.

§ 104. Теорема о движении центра масс системы материальных точек 133
1°. Главный вектор внешних сил равен нулю. В этом случае
из уравнения (22.23) следует, что
гис = 0,
т. е. центр масс находится в покое или движется прямолинейно и
равномерно. Будет ли иметь место покой или движение, зависит
от начальных условий.
2°. Проекция главного вектора внешних сил на некоторое
направление равна нулю.
Пусть Vх = 0; тогда, проецируя основное уравнение (22.23) на
эту ось, будем иметь хс = 0, т. е.
хс = at 4- Ъ = v0xt 4- хсо;
это означает, что проекция центра масс на ось Ох неподвижна (при
v0x = 0) или Движется равномерно вдоль оси Ох со скоростью v0x.
Перейдем к описанию некоторых явлений, иллюстрирующих
содержание теоремы движения центра масс.
■ Рассмотрим движение тепловоза по горизонтальному пути;
внутренние силы не могут привести его в движение, так как
только внешние силы создают изменение движения центра масс.
Этими внешними силами являются: сила тяжести тепловоза,
реакции рельсов, сопротивление воздуха и сопротивление
вагонного состава. Последние два сопротивления тормозят движение
тепловоза, сила тяжести по направлению вертикальна и по
предыдущему не может вызвать горизонтального движения центра масс
тепловоза. Остается рассмотреть реакции рельсов.
Реакции эти можно разложить на направления,
перпендикулярное и параллельное рельсам. Первая составляющая
вертикальна и горизонтального ускорения тепловоза не создает.
Единственной движущей силой является горизонтальная
составляющая реакции, т. е. сила трения скольжения между ведущими
колесами и рельсами. Ведущие колеса сцепляются благодаря
силам трения скольжения с рельсами (рис. 268) и отталкиваются от
них вперед силой ^вед. Главный вектор этих ведущих сил и дает
двигательную силу тепловоза.
Ведомые колеса, наоборот, Ведомое колесо Ведущее колесо
лишь тормозят движение. Снача- N>
ла приводятся в движение
ведущие колеса и получают двига- ^_
тельную силу за счет трения их
о рельсы. Между колесом и рель-
сом развивается трение скольже- Рис. 268
F N
_вед '
n/*

134 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
ния, причем если колесо скользит по рельсу, как это бывает в
первый момент приведения в ход тепловоза, то двигательная
сила будет равна произведению коэффициента трения скольжения
/ на ту часть G1 силы тяжести тепловоза, которая приходится на
оси ведущих колес. Если же ведущие колеса не скользят, а
катятся по рельсам, то можно только утверждать, что
равнодействующая ведущих сил Z ^вед меньше fG19 так как при отсутствии
скольжения сила трения может иметь любое значение от нуля до
максимального своего значения в момент начала скольжения*.
При условии fGx > W9 где W — полное сопротивление всего
поезда, тепловоз приведет в движение поезд, в противном случае
ведущие колеса будут буксовать.
Силы трения ведомых колес о рельсы при незаторможенных и
хорошо смазанных осях сводятся к силам трения качения,
главный момент которых можно принять равным kG9 где k —
коэффициент трения качения, G — полный вес поезда с тепловозом,
уменьшенный на G1 (вес, приходящийся на ведущие оси). Вес G
обычно в десять и в большее число раз превосходит Gl9 но
отношение коэффициента k к радиусу колес значительно меньше, чем
/. За счет этой разницы и получается избыток сил, создающий
ускорение при приведении поезда в движение. Обстоятельства
несколько изменяются в сырую погоду, когда коэффициент /
уменьшается; при этом тепловоз часто буксует. Подсыпая под
колеса песок, можно довести коэффициент трения / до больших
значений. Желая затормозить поезд, тормозят вращение колес,
заставляют их частично скользить по рельсам и за счет
появляющегося трения скольжения, значительного при большом весе
поездного состава, получают большую тормозящую силу.
■ Человек при отсутствии трения не мог бы перемещаться по
горизонтальной гладкой плоскости усилиями собственной
мускулатуры. Только благодаря силам трения подошв о пол возникает
горизонтальная реакция, переносящая центр масс тела в
горизонтальном направлении. Человек, стоящий на абсолютно
гладком горизонтальном полу, может привести себя в движение,
бросая в горизонтальном направлении предметы в сторону,
противоположную желательному направлению движения, и тем самым
создавая реактивную силу. При этом часть массы системы
перемещается, остальная часть массы системы должна переместиться
Мы несколько упрощаем задачу, не различая коэффициентов кулонова
трения при покое и при движении.

§ 104. Теорема о движении центра масс системы материальных точек 135
в противоположном направлении так, чтобы сумма произведений
масс на их абсциссы осталась прежней и центр масс сохранил
свое начальное положение. И наоборот, если бы пол был
идеально гладок, движущийся человек не мог бы остановиться. Но
бросая предметы в сторону своего движения, человек мог бы
затормозиться и при отсутствии трения.
■ Колебания поршней и других возвратно-поступательно
движущихся масс служат источниками периодических
возмущающих сил, вызывающих вибрации фундамента двигателя
внутреннего сгорания. Упругие реакции грунта или балочного настила
вместе с силами тяжести являются единственными внешними
силами, приложенными к системе «машина— фундамент». Если
сосредоточить внимание на движении только фундамента со
станиной и неподвижными частями машины, а
возвратно-поступательно движущиеся массы в машине отнести к числу внешних
тел, то воздействия этих тел на фундамент перейдут из класса
внутренних сил во внешние и станут играть роль возмущающих
сил, вызывающих вынужденные колебания фундамента. Такого
рода вибрации особенно велики в нестационарных двигателях,
например у автомобиля. При работе мотора кузов автомобиля
совершает колебания на рессорах. Взаимное движение поршней
рассчитывается так, чтобы их общий центр масс при этом по
возможности смещался незначительно; этим добиваются
уменьшения вибраций кузова.
■ В непоршневых двигателях, например электромоторах,
вибрации статора объясняются тем, что при недостаточной центровке
ротора его центр тяжести не совпадает с осью вращения.
Перемещение центра тяжести ротора вызывает вибрации статора
с фундаментом и переменность опорных реакций точно так же,
как и в поршневых двигателях.
■ Особого внимания заслуживает случай резонанса, когда
период обращения вала машины (будь то поршневой двигатель,
электромотор или другой тип машины) совпадает с периодом
колебаний упругой системы (стол, кронштейн, фундамент), на которой
машина закреплена. В этих условиях машина, попадая в такт
колебаниям фундамента, может раскачать фундамент до
значительной амплитуды.

136 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Фундамент
/ I
а)
Рис. 269
б)
Поясним сказанное с помощью ряда примеров.
Пример 95. Электромотор (рис. 269, а), массы статора и ротора
которого соответственно равны М и ту может свободно скользить по
неподвижным горизонтальным направляющим. Ось вращения ротора проходит
через центр тяжести 01 статора, а центр тяжести 02 ротора (рис. 269, б)
расположен на малом расстоянии г (эксцентриситет ротора) от оси
вращения. Пренебрегая силами трения между статором и направляющими,
определить колебания статора и реакцию направляющих. Какова будет
эта реакция, если мотор жестко прикреплен к направляющим?
Координаты центра масс С системы, состоящей из статора и ротора,
будут
Мхг 4 тх2 _ Му}
Хг =
М 4 т
Ус'
ГПУ 2
М
м
У2>
где х1 и z/1 = 0 — координаты центра тяжести 01 статора, а х2, z/2 —
координаты центра тяжести 02 ротора (рис. 269, б)у причем все координаты
берутся по отношению к системе координат Охуу связанной с
неподвижным фундаментом.
Внешними силами, приложенными к системе, будут: сила тяжести
статораР, сила тяжести роторар и реакция R опоры.
Дифференциальные уравнения движения центра масс при
незакрепленном моторе имеют вид (Р = Mg, p = mg)
(М + т)хс = О,
(М + т)ус = R- Mg - mg.
Если через оо обозначить угловую скорость ротора, то координаты центра
масс ротора будут
х2 = xi + r cos Ф = х\ + r cos ш^ У2 = r s^-n Ф = r s^-n ш^>
подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения
центра масс, получаем
Мхх + т'х\ - mrco2 cos cot = 0,
8
sin cot = R- Mg - mg.

§ 104. Теорема о движении центра масс системы материальных точек 137
Из первого уравнения молено найти уравнение движения статора, из
второго — переменное давление мотора на направляющие. Имеем
т 9
хл = , r rar cos Ш,
1 М i m
откуда следует
т
* л ,, , roo sin Ш + С-,, X, = -irri— г cos Ш + СЛ 4- С0.
1 М + т 1У 1 М + m 12
Замечая, что в начальный момент (до запуска мотора) статор был
неподвижен, т. е. что хх = 0 при £ = 0, находим С^ — 0. Помещая начало
координат О в начальное положение (при ф = 0) центра масс С системы,
будем иметь (индекс 0 характеризует начальный момент движения)
Г + т = М*ю + т(*ю + г> = = п
Ч *ю + м + тГ М + т ХС0 и'
Окончательное уравнение колебаний статора будет
т
1 М + т
Это — гармонические колебания с амплитудой
m
а =
М + т
и частотой, равной угловой скорости вращения ротора.
Из второго уравнения находим
R = (М 4- m)g - mrod2 sin art.
Максимальное и минимальное значения опорной реакции будут
Условие отсутствия вертикального движения статора будет иметь вид
М + т\1- Г(°2 ]>0,
т.е. угловая скорость должна удовлетворять условию
а2<М + т g
т г
При невыполнении этого условия, т. е. при достаточно больших угловых
скоростях, статор придет в вертикальное движение.
Если мотор закреплен в направляющих, то центр статора 01 будет
неподвижен и его молено принять за начало координат (х1 = z/1 = 0).
Опорная реакция R будет иметь в этом случае две проекции:
горизонтальную Rx и вертикальную R (рис. 269).
Дифференциальные уравнения движения центра масс будут иметь
вид
(М + т) хс = Rx, (М + т)ус = Ry-Mg- mg,
причем

138 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Рис. 270
с М + т
Из этих уравнений находим реакции
Rv = тх9 = -тпгоо2 cos оо£,
ту2
Ус^ М + т
R = (М + m)g - тпгоо2 sin cat.
Вертикальная реакция сохранила прежний вид, а за счет уничтожения
горизонтальных колебаний появилась горизонтальная реакция.
Реакция эта переменна по величине и направлению; максимальное ее
значение по абсолютной величине равно
R,
тгсо*.
Пример 96. В вертикальном одноцилиндровом дизеле (рис.270),
имеющем частоту вращения п = 300 об/мин (с угловой скоростью
вала оо= пп/30 1/с = 10я 1/с), длина кривошипа г = 10_1м, шатуна
I = 5 • 10_1м. Масса дизеля вместе с фундаментом М = 100 т, масса
дизеля без поршня М1 = 10 т, масса поршня т = 250 кг; массами шатуна
и кривошипа пренебрегаем. Зная, что упругое основание, на котором
покоится фундамент, дает под дизелем осадку 5СТ = 2-10~2м, определить
вынужденные колебания фундамента и максимальное и минимальное
давление дизеля на фундамент.
Рассмотрим сначала движение центра масс системы, состоящей из
фундамента, станины и поршня. Дифференциальное уравнение
движения центра масс по вертикальной оси составим, принимая за начало
координат положение центра тяжести фундамента со станиной при не-

§ 104. Теорема о движении центра масс системы материальных точек 139
подвижном поршне. При этом в правой части уравнения силы тяжести и
составляющая упругой реакции, соответствующая статической осадке
фундамента, нагруженного дизелем, взаимно уничтожатся, так что
будем иметь
(М + т)ус = -су19
где у1 — ордината центра масс дизеля с фундаментом, с — коэффициент
упругости основания, на котором покоится фундамент, определится из
условия
с6ст = (М + m)g.
По формуле для координаты центра масс системы двигателя,
фундамента и поршня будем иметь
= (М + т) уг 4- ту2
Ус М + т
где у2 — ордината центра тяжести поршня, равная
/' е2 е2 |
у2 = у1 + 1\1- -г +£ cos оо£ + -г cos 2go£ + const;
здесь е = r/ly а выражение справа (вывод его дан в § 40) выписано с
точностью до е2.
Подставляя это значение у2 в формулу для z/c, дифференцируя ус два
раза по времени и подставляя результат в дифференциальное уравнение
движения центра масс всей системы, получаем
(М + т)'^ = -сух + тпгоо2 (cos atf + e cos 2a>£),
или, деля на коэффициент при у19
ух = -k2yx + &(cos Ш + е cos 2a>£),
где
, 9 с g , mrco2
M + m 5CT ' M + m'
Вынужденные колебания по формуле (21.32) будут определяться
равенством
h . , Кг п .
V л = тъ ъ cos 0)t + т*—-л—ъ cos Zo)t.
VI к2 - ю2 А* - 4ю2
Подставив численные данные, получим уравнение движения
фундамента
уг = (-0,050 cos 31,4* - 0,0014 cos 62,8*)• 10"2м.
Фундамент будет совершать малые периодические колебания. Если
ограничиться первым членом, то амплитуда колебаний будет равна
0,5 мм.
Перейдем к определению давления дизеля на фундамент. Для этого
рассмотрим движение системы, состоящей только из дизеля и поршня,

140 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
а фундамент будем рассматривать как внешнее тело; тогда реакция N
фундамента будет внешней силой, и мы получим следующее уравнение
движения центра масс С" дизеля (с поршнем):
(Мх + т)ус, = (Мх + m)g - N,
где N — искомая реакция, а ус, — известная функция времени,
определяемая равенством
Мхух + ту2
ус ~У М1 + т '
Из последних двух равенств следует
N = (M1 + m)g - Mlyl - ту2.
Подставив сюда вместо у2 его значение, а вместо у{ полученное ранее
выражение, найдем
-А(Л#, + т)
п ГЛ(М, + т) -1
N = (М1 + m)g + ю2 ,2 2 + mr\ cos art +
г 4/i(i
L *2
4A(M, 4- т)
- 4 (о2
cos 2го£,
или, принимая во внимание численные значения,
N = (100,55 + 23,35 cos 31,4* + 4,36 cos 62,8*) кН.
Отсюда имеем
Nmax = 100,55 + 23,35 + 4,36 = 128,26 кН,
Nmin = 100,55 - 23,35 + 4,36 = 81,56 кН.
Отметим, что в многоцилиндровом двигателе переменная
(динамическая) часть реакции меньше и что задача ее уменьшения называется
задачей уравновешивания динамических нагрузок (см. далее § 151).
§ 105. Уравнения движения центра масс
одноступенчатой ракеты
Решение задачи динамики полета ракет представляет
значительные расчетные трудности, связанные с необходимостью
использования в уравнениях движения ракет эмпирических
членов, количественно определяемых при испытаниях ракетных
двигателей (а также по результатам опытов в натурных
условиях) и задаваемых графиками или таблицами. В связи с этим
уравнения динамики полета ракет приходится интегрировать
численными методами с широким привлечением для этой цели
современной вычислительной техники. Обработка результатов

§ 105. Уравнения движения центра масс одноступенчатой ракеты 141
Траектория
такого рода вычислении позволяет
установить некоторые общие
закономерности, использование
которых при проектировании ракет
оказывается существенным.
В настоящем курсе мы можем
лишь вкратце объяснить
постановку задач динамики ракет и
осветить некоторые выводы из
решений этих задач, полностью опуская
вопросы численного
интегрирования основных дифференциальных
уравнений движения ракет.
Ограничимся в дальнейшем
простейшим случаем
одноступенчатой ракеты или — по
формулировке С. П. Королева* —
«нормальной баллистической схемы».
В общепринятой схеме расчета траектория полета ракеты
разбивается на два основных участка:
S «активный участок» движения ракеты под действием
реактивной тяги, тяготения и взаимодействия ракеты с
окружающим ее воздухом;
S «пассивный участок» движения ракеты под действием только
тяготения и взаимодействия с окружающей средой при
выключенном двигателе (исчерпании ресурсов топлива).
Пассивный участок траектории при достижении ракетой
достаточно большой высоты и выхода ее из плотных слоев атмосферы
соответствует тому свободному от сопротивления воздуха участку
полета ракеты, который был рассмотрен ранее в § 92—94.
Для упрощения расчета принимаются следующие допущения:
S на активном участке траектории полета (рис. 271)
направление вектора скорости v центра масс С совпадает с осью ракеты
и касательной к траектории в данной точке. Вдоль этой
касательной направлена сила тяги Р, а в противоположную сторону
В изложении настоящего параграфа мы следуем содержанию первой лекции
С. П. Королева, прочитанной им в МВТУ в 1949 г. [8, с. 208—290].
КОРОЛЁВ СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ {1906—1966) — советский ученый, конструктор
ракетно-космических систем, акад. АН СССР (1958).

142 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
сила лобового сопротивления воздуха D движению ракеты —
см. далее формулу (22.27). Вектор ускорения силы тяжести g
на активном участке считается направленным по местной
вертикали;
S в той части пассивного участка траектории (Р = 0), где еще
заметно влияние сопротивления воздуха, коэффициент
сопротивления — см. далее формулу (22.27) — принимается
постоянным, не зависящим от угла атаки ракеты;
S пренебрегается изменением лобового сопротивления за счет
поворота газовых рулей;
S не учитывается влияние вращения Земли вокруг ее оси и
движения ее по орбите;
S секундный расход топлива на активном участке траектории
полагается неизменным;
S движение центра масс ракеты считается происходящим в
одной и той же плоскости;
S не учитывается смещение (за счет сгорания топлива) центра
масс ракеты относительно ее корпуса.
В данной точке земной поверхности выберем неизменное
начало координат О (рис. 271). Земные оси координат направим по
местной горизонтали и местной вертикали. Координаты центра
масс ракеты С обозначим через х и у9 угол касательной к
траектории с местной осью Ох — через 0. Уравнения движения центра
масс ракеты в проекции на касательную к траектории на
активном участке движения могут быть записаны в следующем виде
(кривизна поверхности Земли не учитывается):
тп-тт = Р - D - mg sin 0;
а а (22.24)
-гт = V COS 0, -77 = V Sin 0.
at at
Тяга в полете Р связана с тягой на Земле Р0 формулой
P = P0 + Sa(p0-p), (22.25)
где Sa — площадь выходного сечения сопла, р0 — атмосферное
давление у поверхности Земли, р — давление на данной высоте.
Тягу на Земле Р0, в свою очередь, определяют равенством
РЛ = Р - F
О ст газ'
выражающим разность между стендовой тягой самого двигателя
без газовых рулей Р и сопротивлением газовых рулей Ргаз-

§ 105. Уравнения движения центра масс одноступенчатой ракеты 143
Переменная на активном участке масса ракеты
представляется разностью
т = т0 - mt (22.26)
между начальной ее массой т0 (включающей и начальную массу
топлива) и массовым расходом топлива к моменту t (m
обозначает секундный массовый расход).
Величину силы лобового сопротивления D выражают
принятой в аэродинамике формулой
D = Сх Р^2 S, (22.27)
учитывающей зависимость этой силы от скорости движения v
ракеты и плотности р воздуха на данной высоте. Величину
коэффициента сопротивления Сх принимают в некотором приближении
за постоянную, зависящую от формы корпуса ракеты, S —
площадь миделя ракеты.
Изменение в полете угла 0 определяется программой полета
ракеты на активном участке ее траектории.
Уравнения движения ракеты на той части пассивного участка,
где нельзя пренебрегать действием на ракету окружающего
воздуха, в указанных земных координатах будут иметь вид
dvx du,.
т at =mgx-D*> m &t =mgy~Dy>
(22.28)
dx dz/
u* d/ ' у dt '
Масса ракеты т здесь уже постоянна; если через R обозначить
радиус Земли, то проекции Dx9 D , gx9 g определятся формулами
DX = D^= \cxSpvvx, Dy = D^ = \cxS9vvy,
(22.29)
R + у
= re si.
X X
gx g R + h ™ g R' gy g R + h ~g'
Последние два равенства выводятся из треугольника О'КС
(рис. 271), если рассмотреть высоту центра масс ракеты над
поверхностью Земли СН = h [м] и заметить, что
cos (gJDx) = O'K : (О'Н 4- НС) = х : (R 4- /г),
cos (g?Oy) = СК : (О'Н 4- НС) = (R + y):(R + h).

144 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Из того же треугольника можно найти выражение высоты
ракеты над поверхностью Земли h через земные координаты центра
масс ракеты х9 у и радиус земли R при х9 у <$С R:
h = CH = 0'C-R= J(R 4- у)2 4- х2 -R~y +
с2 +
У
2R
В правых частях первых двух равенств системы (22.29) можно
выделить влияние высоты полета на плотность воздуха р,
переписав их в форме (индекс 0 означает величину плотности на
поверхности Земли)
\ CxSp0 £ vvx
lcxSp0^uvy
где отношение р/р0 может определяться из эмпирических
данных или по таблице стандартной атмосферы.
В результате численного интегрирования систем уравнений
движения ракеты на активном участке (22.24) и на той части
пассивного участка, где должно учитываться влияние силы
сопротивления воздуха движению ракеты, находятся координаты
центра масс ракеты, а также величина и направление скорости,
которые должны быть использованы как начальные условия
движения ракеты в области свободного полета под действием только
силы тяготения. В несколько отвлеченной, более близкой к
задачам небесной механики форме, движение это было описано в
§ 92—94. Однако для
приближения к вопросам динамики ракет
повторим это решение методом,
заимствованным из первой
лекции С. П. Королева [8] и не
использующим классическое урав -
нение Бине — формула (20.63), —
а главное, дающим наглядное
представление о действительных
этапах прохождения ракеты по
траектории. Само собою
разумеется, что входить в детали
этого специального вопроса
ракетной динамики в настоящем
общем курсе теоретической
механики нет возможности. Инте-
Рис. 272 ресующиеся этими деталями мо-

§ 105. Уравнения движения центра масс одноступенчатой ракеты 145
гут непосредственно ознакомиться с лекциями С. П. Королева.
Вместо земных координат х9 у введем полярные координаты г, ф
(рис. 272) и выпишем уравнения движения центра масс ракеты в
той же форме (20.57), что и ранее, но для частного случая земного
тяготения, когда радиальная компонента ускорения, стоящая в
правой части первого уравнения и равная (~g)9 может быть
представлена как (-g0R2/r2)9 где g0 — ускорение свободного падения
тел на поверхности Земли.
Будем иметь следующую систему уравнений:
r[dt ) g g°r*9
d2r
dt~2
(22.30)
rdt\' dt) V'
Второе уравнение дает интеграл площадей (см. далее § 111)
г2 ^ = const = Clf (22.31)
после чего первое уравнение может быть переписано в форме
d2r C\ g0R*
d*» - Гй = - г> ■ (22"32)
Вместо использованного ранее приведения к уравнению
Бине — формула (20.63) — можно пойти другим путем,
заметив, что последнее уравнение имеет интегрирующий множитель
2dr/dt. Действительно, умножая обе части уравнения (22.32) на
этот множитель, приходим к уравнению
?2
d/ id/J d* r dt[r2)9
или, интегрируя (С2 — новая постоянная интегрирования),
,dr\2 2g0R* C\
(di) = r "^+(V <*««
Отсюда можно найти dt, равное
dr
dt = ±
JC2 + 2gQR2/r + C2/r2'

146 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
и исключить его из уравнения (22.33), что приведет к уравнению
, Ci r\r „ dr
о!ф==-т = =СЛ —- .
г2 JC2 + 2g0R2/r + C*/r2 rJ-Cf + 2g0Rr + C2r*
Почленное интегрирование обеих частей этого равенства не
составляет труда, причем интеграл, стоящий в правой части, будет
иметь обычный табличный вид и сведется к арксинусу. Выбором
подходящего начала отсчета углов ф результат интегрирования
предыдущего равенства можно привести к виду
C./igoR2)
(22.34)
1 + Л/1 + С2[С1/(^0Я2)]2со8Ф
Введем обозначения
g0R2' -~ Г ' ^{g0RV (22l35)
и получим, как и в § 92, уравнение эллипса
г= Р
1 + е cos ф *
если вместо ф ввести угол р (рис. 272): ф = к - р, то предыдущее
уравнение примет форму
г = Р - . (22.36)
1-е cos p
Условимся обозначать индексом «нуль» значения величин на
выходе из активного участка, но сохраним все же обозначение g0
для величины ускорения на поверхности Земли. Выразим
постоянные Сг и С2, входящие в (22.34), через параметры движения в
начальном положении ракеты на выходе ее из активного участка.
Введем отличный от предыдущего угол 0 между
направлениями вектора скорости v и координатной оси г. Из рис. 272 следует,
что г с1ф = v dt • cos 0, или
с!ф _ v cos 9
dt ~ г '
так что постоянная Сг определится как
Ci = го (я?1 = uoro cos ео- <22-37)

§ 105. Уравнения движения центра масс одноступенчатой ракеты 147
Постоянную С2 определим из уравнения (22.33), приняв для
всех входящих в него величин их значения в конце активного
участка. Найдем
с>=№.
drf 2g0R* C{
/о 'о
а по тому же рисунку dr = v0 dt • sin 0O на выходе из активного
участка, так что окончательно
С2 = и0 -
2*0Д2
(22.38)
Введем безразмерную величину
2
(22.39)
связанную с использованным в § 92 отношением Vq/v^ — здесь
уос = J%£oR — очевидным равенством
<ип \2 2гп
f-T
'о
R '
По определению параметра эллипса р и эксцентриситета е
будем иметь
С, ynrn cos29ft
'\ у0'0
оР = ТУ9 = Г0У COS ^0»
g0R2 g0R2 ° °
(22.40)
KNi+
2
r0 cos20o
1 +
'Wo
So*2
з2 0О = Jl - (2 -V) V COS2 0O . (22.41)
Далее, исходя из уравнения эллипса (22.36), переписанного
в виде
cos P0
1 ~ Р/го = ! _ ro v cos2 %/ro
е Jl - (2 -v) vcos2 0О '

148 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Траектория
выразим cos p0 через v:
1 — v cos2 0o
cos p0
Jl - (2 -v) v cos2 0O
или, переходя от cos Р0 к tg p0,
. n vtg90
Jl- v + tg2 0O
Введем в рассмотрение угол
Ч)
% + Ро
и после простых преобразований
получим
tg§o
tge0
l
(22.42)
Пользуясь выведенными формулами, можно решать вопросы,
относящиеся к расчету свободного полета ракеты в пустоте. Так,
задаваясь значением параметра V, определенного по начальным
условиям в конце активного участка, найдем по (22.42) угол 80,
а следовательно, и угол р0, равный
Ро = §о-0о
(22.43)
По известному углу р0 определим эллиптическую дальность
полета (рис. 273)
а затем и полную дальность L, равную сумме эллиптической
дальности и дальностей /акт на активном участке и /нисх на
нисходящей ветви траектории:
L = l +1+1
акт эл нисх
Максимальная высота Нх
шений гтах = (г)о =0 = р/(1 - s) определится равенством
р „ rov cos2 эо
Н„
-R
1
R
1 -J1 - (2 - v) v cos 0O
(22.45)
R. (22.46)
Как показывают расчеты, при полных дальностях, не
превышающих 5 км, суммарная поправка на дальности в активном /акт
и нисходящем LHCX участках траектории будет иметь порядок
I +Z
акт нисх
-(0,1-0,15)1,,

§ 106. Теорема импульсов в теории удара
149
80
60
40
20
0 20° 40° 60° 80° 0О
Рис. 274
так что с достаточным приближением в этом случае можно
считать
L = kl3Jl9 k = 1,10—1,15. (22.47)
В цитированной первой лекции С. П. Королева [8] приводится
сетка кривых (рис. 274), позволяющая по заданным v и 0О
определять р0, т. е., согласно (22.44), эллиптическую, а по (22.45) и
полную дальности. По той же сетке можно при заданном v
находить 0О, при котором эллиптическая дальность будет
максимальна. Это возможно лишь при 0О < 45°. Из диаграммы на рис. 274
можно также при заданном 0О найти значение v (т. е. v0)9 при
котором дальность будет максимальна.
Диаграмма на рис. 274 может быть использована в
ориентировочных расчетах на начальной стадии проектирования ракеты.
§ 106. Теорема импульсов
и ее применение в теории удара
Вернемся к основному уравнению (22.11), выражающему
теорему количества движения, и проинтегрируем обе его части по
времени в пределах (t19 t2)- Получим
tf^dt=tfiFidt,

150 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
или
п .2
Q2~Qi= £ J Ftdt. (22.48)
i = l t
Векторное приращение количества движения системы точек
за промежуток времени (tl9 t2)9 стоящее в левой части уравнения
(22.48), обозначим через AQ.
Предполагая в общем случае, что сила F переменна во
времени, назовем элементарным импульсом силы бесконечно малый
вектор
dS = Fdt, (22.49)
а импульсом силы за конечный промежуток времени (t19 t2) —
вектор
t2
S = J Fdt. (22.50)
*i
Импульс силы характеризует эффект действия силы в
зависимости от ее величины и времени действия; он измеряется в Н • с.
Импульс векторной суммы сил равен векторной сумме импульсов
слагаемых сил, или, иначе, импульс главного вектора сил равен
главному вектору импульсов сил — это следует из определения
понятия импульса силы.
Равенство (22.48), переписанное в виде
п
Q2~Qi = AQ= X St = S, (22.51)
представляет собой теорему импульсов.
ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ. Векторное приращение количества
движения системы за некоторый промежуток времени равно главному
вектору импульсов внешних сил, приложенных к системе.
Из теоремы следует: на изменение количества движения
системы влияют только импульсы внешних сил} или} как будем для
краткости в дальнейшем говорить, внешние импульсы; внутренние
импульсы не могут изменять количество движения системы.
В частном случае отдельной материальной точки имеем ту же
формулу (22.51), но слева будет стоять изменение количества
движения одной этой точки, а справа — импульс
равнодействующей всех приложенных к точке сил.

§ 106. Теорема импульсов в теории удара
151
Обратимся к рассмотрению
применений теоремы импульсов при
изучении явления удара.
Если движущаяся материальная
точка мгновенно изменяет свою
скорость на конечную величину, то
говорят, что она претерпевает удар.
I
а)
Рис. 275
Пусть, например, материальная
точка М при своем движении
встречает преграду в виде неподвижной стенки АА (рис. 275).
Ударившись о нее со скоростью v^ в момент tv точка через
небольшой промежуток времени х отразится с другой скоростью и2,
причем изменение скорости представляется вектором Av
конечной величины, хотя продолжительность удара х была мала.
На рис. 275, а показан прямой удар точки о преграду. В этом
случае величина Av равна сумме величин скоростей отражения v2
(несколько меньшей скорости падения) и падения v19 т. е.
\Av\
>1 + V2>
а это — величина того же порядка, что и сами скорости. Точно
так же и в случае косого удара, изображенного на рис. 275, б9
величина \Av\ является конечной.
В качестве другого примера рассмотрим пулю, пробивающую
доску. В первый момент пуля имеет скорость иг (рис. 276); после
прохождения сквозь доску пуля в значительной мере теряет свою
скорость, причем величина изменения скорости будет равна
|Av\ = vx - l>2.
Продолжительность удара — в данном случае
время прохождения пули сквозь доску — весьма
мала; между тем скачок скорости (а
следовательно, и скачок количества движения) пули
конечен.
Явление удара тела о неподвижную преграду
или соударения двух движущихся тел между
собой связано с процессом деформации тел вблизи
точки их соприкосновения и распространением
волн сжатия внутри этих тел. Этот процесс не
может быть изучен в рамках механики
абсолютно твердого тела, отвлекающейся от
действительных физических свойств тела и, в частности,
Av
Рис. 276

152 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
от деформируемости тел. Предметом изучения теоретической
механики служит лишь сравнение движения точки или системы
точек до удара и после него; при этом явление удара
рассматривается как некоторый скачкообразный процесс, продолжительность
которого бесконечно мала. На самом деле продолжительность
удара представляет собой хотя и очень малую, но конечную
величину, зависящую от многочисленных физических факторов:
упругих характеристик материала соударяющихся тел, их формы и
размеров, относительной скорости сближения и др. В качестве
примера укажем, что продолжительность соударения двух
латунных шариков диаметром 26-10"3м при относительной скорости
их сближения 74 • 10"3 м/с равна х = 2 • Ю-'1 с.
Применим теорему импульсов к точке, испытывающей удар,
причем за интервал времени (£, t 4- х), в течение которого
вычисляется импульс, примем продолжительность удара х. По (22.48)
будем иметь
t+x
AQ = S= J Fdt. (22.52)
t
По ранее принятому определению удара вектор AQ (а
следовательно, и импульс S за время удара равнодействующей F сил,
приложенных к точке) конечен. Поскольку интервал
интегрирования х бесконечно мал, это может быть только в том случае,
когда интегрируемый вектор имеет по модулю порядок, обратный х,
т. е. сила!*1 бесконечно велика. Отсюда следует, что во время
удара в точке соприкосновения соударяющихся тел должны
возникать бесконечно большие по величине, но мгновенно
действующие мгновенные силы, приводящие к конечному изменению
количества движения точки. Конечный импульс мгновенной силы
за время удара условимся называть кратко ударом. Так, будем
говорить: «к точке приложен удар», «к системе точек
приложены внешние удары» и т. п., понимая под этим, что к точке или
системе точек приложены мгновенные силы с конечными
импульсами за время удара.
На систему материальных точек наряду с мгновенными
силами, возникающими только в процессе соударения, действуют
конечные по величине силы, например сила тяжести и др.;
импульсы этих сил за бесконечно малое время удара будут бесконечно
малы и при наличии конечных по величине импульсов
мгновенных сил могут быть опущены.
Пусть система точек с главным вектором количеств движения
Q подвергается в момент времени t совокупности ударов со сторо-

§ 107. Удар точки о преграду. Коэффициент восстановления 153
ны внешних по отношению к рассматриваемой системе тел.
Применяя к этой системе теорему импульсов (22.51) и замечая, что
по предыдущему импульсы конечных по величине сил могут
быть опущены, приходим к следующей формулировке теоремы
об изменении количества движения системы за время удара.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕ
МЫ ЗА ВРЕМЯ УДАРА. Изменение количества движения системы
материальных точек} подвергшейся в некоторый момент времени
ударам со стороны внешних тел, равно главному вектору внешних
ударов.
Скорости точек системы в результате соударения
претерпевают конечные изменения и остаются конечными по величине;
следовательно, за бесконечно малое время удара точки системы
могут получить лишь бесконечно малые перемещения.
При использовании принятой схемы явления удара можно счи-
тать} что точки системы остаются неподвижными^ а скорости их
претерпевают скачкообразные, конечные по величине изменения.
При рассмотрении движения системы материальных точек,
в некоторые моменты времени подвергающейся ударам, мы
каждый раз, зная координаты точек системы в момент удара и
определив проекции скоростей после удара, принимаем эти
координаты и скорости за новые начальные условия и можем изучать
последующее непрерывное движение до следующего удара и т. д.
Таким путем, например, мы уже шли при рассмотрении задачи о
вынужденных колебаниях точки под действием периодических
импульсов (§ 97).
§ 107. Удар точки о преграду.
Коэффициент восстановления
Разберем явление удара материальной точки о преграду.
Пусть в некоторый момент времени точка встречается с
преградой (рис. 277), имея скорость v19 образующую с нормалью к
стенке угол падения а; по прошествии малого промежутка времени х
точка отскакивает от стенки со скоростью v29 причем угол
отражения равен р.
Возникает задача: зная направление и величину скорости
падения, найти величину и направление скорости отражения,
а также вектор удара.

154 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
п^ Проведем нормальное сечение к
поверхности преграды плоскостью, содержащей вектор
скорости vv и отметим направления
касательной t и нормали п к поверхности преграды в
сечении. Пренебрегая импульсом силы трения
между точкой и поверхностью преграды за
время удара, будем иметь по теореме
импульсов в проекции на касательную и нормаль
mv2t - mvu = St = 0, (22.53)
mv2n ~ mvin = s,r <22-54)
Рис. 277
Эти два уравнения содержат три
неизвестные величины: v2t9 v2n и Sn. Чтобы сделать задачу определенной,
необходимо ввести дополнительное допущение о физических
свойствах ударяющейся точки и преграды. Простейшим
допущением, позволяющим определить нормальную составляющую
скорости после удара, является допущение, высказанное для общего
случая соударения двух тел еще Ньютоном.
Отношение абсолютных величин проекций относительной
скорости тел после удара и до удара на направление общей нормали
к поверхности тел в точке соприкосновения есть постоянная вели-
чина} не зависящая ни от относительной скорости^ ни от размеров
тел} а лишь от их материала.
Это отношение называется коэффициентом восстановления и
будет в дальнейшем обозначаться через k. В рассматриваемом
случае удара точки о преграду будем иметь v2n/\ vln\ = k9 или
V2n = -kvin> <22-55)
так как по определению k — положительная величина, a vln
(рис. 277) и v2n имеют разные знаки (vln < 0, v2n > 0).
Коэффициент восстановления k характеризует, насколько
восстанавливается нормальная составляющая скорости после удара.
Удар называется абсолютно упругим, если нормальная
составляющая скорости сближения соударяющихся тел равна по
величине нормальной составляющей скорости удаления их друг от
друга после удара, т. е. k = 1. Если тела после удара не
отделяются друг от друга, то удар называется абсолютно неупругим
и k = 0. Для реальных физических тел
0<£<1.

§ 107. Удар точки о преграду. Коэффициент восстановления 155
В табл. 4 приведены значения к для Таблица 4
некоторых материалов, которые, как и Коэффициенты
сама гипотеза Ньютона, представляют восстановления для
_. „ ,_ ,_ некоторых материалов
собой весьма грубое приближение к
ДеЙСТВИТеЛЬНЫМ Закономерностям СО- Соударяющиеся
ударения реальных тел. Значения
тела
к
0,26
0,50
0,56
0,94
Коэффициентов ВОССТаНОВЛеНИЯ Суще- Дерево о резину
СТВеННО ЗаВИСЯТ ОТ ОТНОСИТеЛЬНОЙ СКО- Деревянные шары
рОСТИ СОудареНИЯ Тел. При МаЛЫХ СКО- Стальные шары
рОСТЯХ ЭТИ значения независимо ОТ ма- Стеклянные шары
териалов тел близки к единице.
Приведенные в табл. 4 значения приближаются к асимптотическим,
соответствующим большим скоростям соударения.
Для определения величины коэффициента восстановления
можно использовать следующий простой опыт. С высоты hx над
горизонтальной массивной плитой из испытуемого материала,
представляющей преграду, опустим без начальной скорости
шарик из другого или того же самого материала и заметим высоту h2
которой достигнет шарик, отскочив от плиты. Если пренебречь
сопротивлением воздуха, то скорости падения и отражения
шарика определяются равенствами
и, следовательно, коэффициент восстановления определится
отношением
к = v2/v± = JJh2/h1. (22.56)
Согласно (22.54) и (22.55) найдем нормальную составляющую
импульса
Sn = ~mVln (I - V2n/Vln) = ~mVln (1 + *); <22"57)
знак минус при vln < 0 указывает, что Sn —* 0.
Коэффициенту восстановления можно придать динамическое
истолкование. Разобьем продолжительность удара на два
интервала: хх — от момента первого соприкосновения до
максимального сближения тел при деформации их поверхностей и х2 — от
момента максимального сближения до отделения тел друг от друга;
при этом недеформированное состояние полностью или частично
восстанавливается.

156 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
В интервале хх нормальная составляющая количества
движения шиХп уменьшается до нуля, что соответствует нормальной
составляющей импульса
Sln= J 4^ = -mu1;l;
во втором интервале нормальная составляющая импульса —
S2n = I Fn dt = mV2n-
t+Xy
Отношение нормальных составляющих импульсов второго
и первого этапов удара равно коэффициенту восстановления
St. _ _mvia _ _оЯя =
Sln mvln vln
Из равенства (22.53) следует, что при отсутствии
мгновенного трения касательные составляющие скорости точки до удара
и после него равны между собой:
vlt = v2t. (22.59)
Найдем связь между углом падения точки а и углом
отражения р. Замечая, что
tgoc = -^, tgp=^, (22.60)
Vln V2n
из (22.55) и (22.59) получим
tgP = "*U|T = ktga- (22"61)
В частном случае абсолютно упругого удара (k = 1) будем иметь
tg Р = tg а, (22.62)
т. е. угол падения равен углу отражения.
§ 108. Прямой удар двух тел
Прямым ударом двух тел называется такой удар, при котором
точка соприкосновения тел лежит на прямой, соединяющей их
центры тяжести, а скорости центров тяжести направлены вдоль
этой прямой.

§ 108. Прямой удар двух тел
157
Обозначим вектор скорости центра
тяжести Сг тела I (рис. 278) через и,
массу — через т9 а для тела II —
соответственно v и М.
Для того чтобы удар был возмо- РИС# 278
жен, необходимо прежде всего, чтобы
до удара относительная скорость центра тяжести одного из тел,
например первого по отношению ко второму, была направлена
к центру тяжести второго, причем
Ulx>Vlx, (22.63)
в противном случае тела не будут сталкиваться; условие (22.63)
будет выполняться:
S если первое тело нагоняет второе (и1х > 0, vlx > 0),
S если тела движутся навстречу друг другу (и1х > 0, vlx < 0).
Направляя соответственно ось Ох9 можно считать и1х > 0.
Для определения абсолютных скоростей и2х, v2x после удара,
а также импульсов мгновенных сил, развивающихся при ударе,
применим теорему импульсов. Внешних ударов нет, поэтому
количество движения системы до удара и после удара — одно и то
же; таким образом, проецируя векторы количеств движения на
ось Ох9 получим
ти1х 4- Mvlx = ти2х 4- Mv2x. (22.64)
В этом уравнении две неизвестные: и2х и v2x; задача
останется неопределенной, если не задаться дополнительно
характером удара, т. е. коэффициентом восстановления, определяемым
как частное от деления относительной скорости отражения на
относительную скорость падения, т. е.
v2y - u9y
k = — '- ; (22.65)
"i*-yi*
здесь знаки выбраны так, чтобы коэффициент k был
положительным. Из уравнений (22.64) и (22.65) находим
(т - kM)ulx + М(1 + k)vlx
U2*= М + т *
(22.66)
_ М(1 + k)ulx + (М - km)vlx У }
°2х~ М + т

158 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Для определения вектора удара S применим теорему
импульсов только к первому телу; тогда внутренний удар в системе
станет внешним ударом по отношению к первому телу и мы получим
Sx = m(U2x ~ Ulx)>
откуда по (22.66)
S*=-(1+*)}^("1*-»!*)■ <22"67>
Рассмотрим частные случаи.
■ Абсолютно упругий удар (k = 1). В этом случае формулы
(22.66) и (22.67) дают
(т - М)и1х + 2Mvlx
U2x = М + т '
= 2mulx + (M-m)vlx (22б8)
2х М + т
0 0 тМ
Если, кроме того, массы тел равны, то
U2x = Vlx> V2x = Ulx>
т. е. тела при ударе как бы обмениваются скоростями и
количествами движения. Таким путем происходит перенос количеств
движений в идеальных газах при столкновении молекул. Если
второе тело было неподвижно, а первое ударилось о него, то второе
тело придет в то движение, которое было у первого, а первое
останется на его месте неподвижным.
■ Абсолютно неупругий удар (k = 0). Уравнения (22.66)
принимают вид
тилх + Mvlx
»2х = »2х= м + т . (22-69)
т. е. после удара скорости тел становятся одинаковыми; тела
после удара двигаются совместно. Если одно тело до удара было
неподвижно (vlx = 0), то после удара устанавливается скорость
_ _ т
и2х - V2x ~ М + т Ulx-

§ 108. Прямой удар двух тел
159
Импульс силы при ударе равен
тМ _
Л* М + т [U*x V^h
т. е. вдвое меньше, чем при абсолютно упругом ударе.
Рассмотренный в § 107 удар точки о преграду можно получить
из формул (22.66), если положить vlx = 0, М = оо. Деля
числитель и знаменатель на М и переходя к пределу, когда М —* оо,
получаем
U2x = ~kulx> V2x = 0
в полном соответствии с изложенным выше.
Выражения (22.66) скоростей после удара можно привести к
более наглядной форме, если ввести в рассмотрение скорость
движения центра масс системы соударяющихся тел. Если все удары
внутренние, т. е. возникают между телами, входящими в
систему, то центр масс системы сохраняет свою скорость — обозначим
ее через с — неизменной по величине и направлению. Это
позволяет интерпретировать соударение двух тел как совокупность
отдельных их ударов о движущуюся со скоростью с преграду. По
формуле (22.66), принимая во внимание, что в данном случае
следует говорить об относительных скоростях тел по отношению
к преграде, движущейся со скоростью с, и что роль нормали
играет ось Ох9 получим для первого и второго тела
(22.70)
U2x ~Сх = ~k(Ulx ~ Сх)>
откуда следует
U2x = Cx+ k(Cx - и1х)>
V2x ~Cx = ~k(Vlx ~ Сх)>
V2x = Сх+ к(Сх ~ Vlx)-
(22.71)
По определению скорости центра масс входящая сюда
величина сх выражается через скорости тел до удара или после него по
формулам
тпи1х + Mvlx ти2х + Mv2x
С*= т + М = т + М * (22"72)
Введенное понятие скорости центра масс позволяет дать
динамическое истолкование коэффициенту восстановления.
Рассмотрим первый этап удара от момента начального соприкосновения
поверхностей тел до наибольшей деформации их, когда
относительная скорость тел станет равной нулю, а общая их скорость —

160 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
равной с. Применяя теорему импульсов к этому первому этапу
удара, получим
Sl* = m(Ulx ~ Сх)-
Аналогично для второго этапа удара, очевидно, получим
S2x = т(Сх - и2х)-
Составляя отноп1ение S2x ' Slx, используя формулы (22.72) и
сравнивая результат с кинематическим определением
коэффициента восстановления, получаем
S2.r = Сх ~ U2x = (ти2х + Mv2x)/(m + М) ~U2x = V2x ~ U2x
&ix и\х ~ сх uix —(muix + Mvlx)/(m + М) иХх - vlx
Таким образом, коэффициент восстановления при прямом
ударе двух тел с динамической точки зрения можно трактовать
как отношение импульсов мгновенных сил, возникающих между
телами на втором и первом этапах удара.
§ 109. Косой удар двух тел
Если абсолютные скорости центров масс тел до удара не
направлены вдоль прямой, соединяющей эти центры, то удар
называют косым. Обозначим вновь через и и v векторы скоростей
центров масс тел I и II (рис. 279) и через с — скорость центра
масс системы; индексом п будем отмечать проекции векторов на
общую нормаль п к поверхностям тел в точке их
соприкосновения при ударе. Тогда, используя указанный в конце
предыдущего параграфа прием рассмотрения скорости центра масс как
скорости движения преграды, о которую ударяется каждое из
рассматриваемых тел, получим, согласно определению
коэффициента восстановления (22.31),
U2n=Cn + k (Cn-Uln)>
V2n = Cn + k(Cn- Vln)>
(22.73)
где
muln + Mvln
Сп= т + М ' <22"74>
а индексы 1 и 2 относятся к движению
Рис. 279 до удара и после него.

§ 109. Косой удар двух тел
161
Рассматривая изменение проекции количества движения
одного из тел, например первого, на направление нормали и
используя формулы (22.54), (22.73) и (22.74), получим выражение
проекции на нормаль импульса мгновенной силы,
развивающейся при ударе
sn = m (и2п ~ иы) = m[cn + k (cn - и1п) - и1п] =
тМ
т
т (1 4- Щсп - и1п) = -т + м (1 + k)(uln - vln),
(22.75)
причем условием осуществимости удара является
положительность величины, стоящей в последней скобке.
Если отвлечься от разницы между составляющими скоростей
в плоскости соприкосновения тел до удара и после него, т. е.
предположить отсутствие импульса мгновенного трения, то
формулы (22.73), (22.70) и (22.71) дают искомое решение
задачи об определении скоростей центров тяжести тел после удара
и импульса мгновенной силы при ударе.
Для частного случая, когда векторы скоростей центров
тяжести тел до удара лежат в одной плоскости, можно привести
простое графическое построение скоростей после удара, предложенное
Максвеллом в 1860 г. По заданным иг и vx построим вектор с, для
чего соединяем концы векторов иг и vx на диаграмме (рис. 280)
и на полученном отрезке откладываем, согласно (22.70), точку,
делящую отрезок обратно
пропорционально массам тел. Далее, из
конца вектора vx опускаем
перпендикуляр на касательную t в
точке соприкасания тел и,
продолжив его, отложим отрезок,
который относился бы к длине
перпендикуляра, как k : 1; конец
отрезка определит конец вектора и2,
проведенного из общего полюса
скоростей О. Проведя затем через
концы векторов v2 и с прямую до
пересечения с перпендикуляром,
1
1
к
При косом ударе возникает вращение тел, что требует применения теоремы
моментов при ударе (см. далее § 118).
МАКСВЕЛЛ ДЖЕЙМС КЛЕРК (Maxwell James Clerk, 1831—1879)—
английский физик, чл. Лондонского королевского общества (1860).

162 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Vl = 0 \£—
а) б)
Рис. 282
опущенным из конца вектора щ на ту же ось £, получаем в точке
пересечения конец вектора и2, начало которого также находится
в полюсе диаграммы.
Правильность построения следует из того, что, во-первых,
проекции ии и u2t равны между собой, точно так же vu = v2v так
что условия сохранения касательных составляющих скоростей
при ударе выполнены; во-вторых, проекции на ось п векторных
разностей ц2 - с и с - и19 а также v2 - с и с - vl9 относятся между
собой как k : 1, что соответствует уравнениям (22.73).
Указанное построение упрощается, если удар абсолютно
упруг. В этом случае k = 1 и концы векторов и2 и v2 получаются
зеркальным отображением концов векторов иг и vx относительно
оси £, проведенной через конец вектора с (рис. 281).
На рис. 282 дано построение диаграмм Максвелла для
случая, когда одно тело, например тело II (см. рис. 279), до удара
неподвижно и удар абсолютно упругий. Диаграмма а)
относится к случаю неравных масс, диаграмма б) — к случаю равных
масс.
Не будем сопровождать настоящую простейшую теорию
соударений поступательно перемещающихся абсолютно твердых
тел, рассматриваемых как материальные точки, численными
примерами. Они обычно рассматриваются в общем курсе
физики. Более сложные задачи, связанные с ударом вращающихся
тел, приведены в следующей главе. В дальнейшем будут
рассмотрены и задачи с учетом изменения кинетической энергии при
ударах.

§ 110. Применение теоремы количества движения к сплошной среде 163
§ 110. Применение теоремы количества движения
к сплошной среде. Теорема Эйлера.
Дифференциальные уравнения динамики сплошной среды.
Распространение малых возмущений
Рассмотрим некоторую сплошную среду, например жидкость.
Выделим в ней жидкий* объем х, ограниченный поверхностью о,
и будем следить за движением этого объема.
Внешние силы, действующие на объем х и поверхность о со
стороны остальной жидкости, а также и других внешних тел,
можно разбить на две группы.
1°. Силы массовые или объемные, т. е. такие, которые
действуют на все частицы объема х, как внутренние, так и находящиеся
на поверхности объема; таковы, например, силы тяжести частиц.
2°. Силы поверхностные, действующие только на частицы,
лежащие на внешней поверхности объема, как, например, силы
давления на поверхность о со стороны окружающей жидкости
или твердых стенок, между которыми движение происходит.
К этой же группе сил относятся и силы трения выделенного
объема об окружающую его жидкость или твердые стенки.
Обозначим главный вектор внешних объемных сил через Fo6,
а внешних поверхностных сил через VnoB.
Если количество движения жидкого объема в данный момент
равно Q, то по теореме количества движения имеем
^=v +v
(j£ Об ПОВ'
(22.76)
Предположим, что жидкость течет по
трубе переменного сечения (рис. 283).
Рассмотрим объем х жидкости между
какими-нибудь двумя плоскими
сечениями трубы аг и о2,
перпендикулярными стенкам трубы, — если сечения трубы
малы, то с известным приближением это
всегда возможно. При этом, отвлекаясь
от разницы скоростей в данном сечении
вблизи стенок и на оси трубы (такой
приближенный подход принят в
гидравлике), обозначим через v± скорость жидкос-
Рис. 283
То есть состоящий из частиц жидкости.

164 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
ти в сечении ог и через v2 — скорость жидкости в сечении о2.
Скорости v± и v2 можно представить себе как некоторые средние
скорости в сечениях аг и о2. Обозначим через р плотность среды,
т. е. массу единицы объема в данной точке среды; плотность в
сечении аг будет р19 а в сечении о2 будет р2.
Произведение р^с^ определит массу жидкости,
протекающую в единицу времени сквозь сечение cv По закону сохранения
массы эта же масса будет протекать и через сечение о2, так что
p1v1a1 = р2о2о2.
Массу жидкости, протекающую в единицу времени через
любое сечение трубы, обозначим через М:
М = p1v1a1 = p2v2a2 (22.77)
и будем называть секундной массой или массовым расходом
в единицу времени.
Вычислим теперь изменение dQ количества движения
выделенного объема х за время dt. Для этого заметим, что за время dt
частицы объема х сместятся по трубе (на рис. 283 показано
штриховыми линиями) и изменят свои скорости в связи с переходом
в другие сечения. Если движение установившееся, т. е. средняя
скорость в данном сечении трубы не зависит от времени, то за
время dt в объеме между сечениями аг и о2 останутся частицы
прежнего объема х, и новое количество движения в этой части
объема будет то же, что и раньше. Таким образом, изменение
количества движения произойдет только за счет потери количества
движения в объеме между сечениями с19 о\ и прибавления
количества движения в объеме между сечениями о2, о2. Определив
количество движения в бесконечно малом объеме как
произведение массы на вектор скорости, получим
dQ = p2L>2o2d£i;2 - p1u1o1dii;1
или по (22.77)
dQ = M(v2-v1)dt.
Отсюда следует, что секундное изменение dQ/dt количества
движения в выделенном объеме будет равно
С^ =M(v2-v1), (22.78)
т. е. разности секундных количеств движения, переносимых
через сечения трубы, ограничивающие выделенный объем.

§ 110. Применение теоремы количества движения к сплошной среде 165
к I
А
V^£D
Рис. 284
Рис. 285
Подставляя полученное значение изменения количества
движения в уравнение (22.76), получим
MVi-MVb + V^+V^.
0.
(22.79)
Отсюда следует теорема Эйлера (1707—1783)*.
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. Главные векторы объемных и поверхностных
сил вместе с векторами секундных количеств движения жидкости,
протекающих через два каких-нибудь сечения трубы и направленных
внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоугольник,
т. е. геометрическая сумма их равна нулю (рис. 284).
Пример 97. Определить величину горизонтальной составляющей R
силы динамического (дополнительного к гидростатическому) давления
воды на колено трубы (рис. 285) диаметром d = 0,3 м, если скорость
движения воды по трубе равна v = 2 м/с. Плотность воды принята равной
р = 1000 кг/м3.
Замечая, что по закону равенства действия и противодействия
искомая сила равна по величине соответствующей составляющей давления
стенки трубы на жидкость, по теореме Эйлера получим
Kd2
R = Mv = pv v = pv
Kd2
4
Подставляя числовые данные, находим
Я=283Н.
Пример 98. Определить давление R струи, вытекающей со скоростью
vl из трубы сечением о на безграничную стенку, плоскость которой пер-
Подробнее о Л. Эйлере см. т. I, с. 159.

166 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Рис. 286
Рис. 287
пендикулярна направлению струи (рис. 286) или образует с нею угол а
(рис. 287).
Применяя теорему Эйлера в проекции на ось х (ось струи), получаем
при а = я/2
R = Mvx = pL^a;
эта формула была впервые дана Даниилом Бернулли* в 1736 г.
Простота этого решения обусловлена тем, что стенка предполагается
безграничной. В случае удара струи о пластинку конечной ширины
явление усложнилось бы за счет необходимости учета обтекания ее концов.
Выведенная формула Бернулли приближенно верна, если считать
ширину пластинки значительно превосходящей ширину струи.
В том же допущении можно рассмотреть и косой удар струи
о стенку, образующую с направлением струи угол а (рис. 287).
В этом случае будем иметь векторы секундных количеств
движения Mv19 (-M2u2), (—M^v^) и давление стенки на струю R9
которое, пренебрегая трением жидкости о стенку, будем считать
перпендикулярным стенке.
Проецируя сумму вышеуказанных векторов на направление
нормали к стенке, находим величину реакции
2
R = Mv1 sin a = opvl sin a;
при a = 7Г/2 вернемся к предыдущей формуле Бернулли.
Положение точки приложения реакции R можно было бы уточнить,
применяя теорему моментов; для нас это сейчас не существенно.
Подробнее о Д. Бернулли см. т. I, с. 412.

§ 110. Применение теоремы количества движения к сплошной среде 167
Проецируя ту же векторную сумму на направление стенки,
можно определить секундные количества движения M2v2 и М'2 v2
вдоль стенки. По теореме Эйлера будем иметь
Mvx cos a 4- М2 v2 - M2v2 = 0,
а из условия сохранения массового расхода всей струи найдем
м2 + м2= м.
В грубом приближении можно принять
^2=^2= vl>
т. е. считать, что различие между массовыми расходами М2 и М2
определяется лишь разницей в сечениях растекающихся струй.
Тогда из предыдущих равенств будет следовать
М2- М2= Mcos а, М2 + М2= М,
откуда найдем
л/г л/г 1 + cos а л/г 9 а л /г' л/г1~ cos а л/г ■ 9 а
М2 = М = Mcosz 2 » М2 = М = Msin^ g •
Пользуясь теоремой об изменении количества движения,
можно вывести и общее уравнение динамики сплошной среды —
так называемое уравнение в напряжениях. Уравнение это
служит обобщением аналогичного уравнения статики сплошной
среды, которое было выведено в § 38. Приводимый далее вывод
уравнения в напряжениях предполагает знакомство читателя с
содержанием этого параграфа.
Выделим в движущейся сплошной среде произвольный объем
X, ограниченный поверхностью о. Обозначим через 8х бесконечно
малую часть объема х и будем называть ее элементом объема х;
аналогично под So будем понимать элемент поверхности о.
В § 29 было пояснено, что в сплошной среде вместо обычных
объемных и поверхностных сил вводятся плотности их
распределения соответственно в объемах и на поверхностях: F — для
объемных и рп — для поверхностных сил; в последнем случае рп
представляет собой напряжение, приложенное к внешней стороне
элементарной площадки So, единичный вектор нормали к
которой обозначен через п.
Главный вектор количества движения сплошной среды Q,
равный векторной сумме элементарных количеств движения

168 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
v 5т = pv St (p — плотность распределения массы в объеме х),
будет определяться вычисленным по объему х интегралом
Q = \ pv 8x. (22.80)
СО
Теорема об изменении со временем количества движения
среды в объеме х запишется следующим образом:
^ = J pFSx + J pn8a. (22.81)
at (т) (а)
Производная по времени, стоящая слева, понимается как
индивидуальная (субстанциональная) производная (см. § 76), т. е.
производная, которая следует за всеми изменениями со
временем — локальными и конвективными (§ 76) — некоторой
величины, в данном случае главного вектора количества движения
среды в движущемся вместе со средой объеме х. Эту производную
можно вычислить по общим правилам дифференцирования
интеграла
ш = ш J pu5x = //и 5х + J vii (p5x)- (22-82)
(т) (т) (т)
Но в силу общего закона сохранения массы р 8х движущегося
элементарного объема 8х и только что поясненного смысла
символа d/dt будет
^ (р5х) = 0. (22.83)
Таким образом, по (22.82) имеем
dQ г dv ~
ш = уш*- (2284)
Согласно известным равенствам Коши (§ 30), представленным
в тензорной форме (§ 36), и формулам Гаусса — Остроградского
(§ 37) найдем значение последнего члена в равенстве (22.81) в
форме интеграла по объему
1 Рп^° = \ ^PSo = J Div PSx, (22.85)
(а) (а) (т)
где Р — тензор напряжений (§ 36), а символ Div представляет
операцию пространственного дифференцирования в поле тензора
Р, с которой уже нам приходилось иметь дело при выводе
уравнений статики сплошной среды.

§ 110. Применение теоремы количества движения к сплошной среде 169
Подставляя в равенство (22.81) выражение (22.84) для члена
в левой части и выражение (22.85) для второго члена в правой
части и собирая все члены под знак общего интеграла по объему,
получаем
\(pft-pF-Divp)bT = 0.
Пользуясь произволом в выборе объема х — обычным приемом,
использованным ранее в § 38, — убедимся в равенстве нулю
выражения, стоящего в круглых скобках под знаком интеграла,
и придем к уравнению
р -т^ = pF 4- Div P, (22.86)
которое и представляет собой искомое уравнение динамики
сплошной среды «в напряжениях». Перепишем его в
аналитической форме, взяв проекции левой и правой частей равенства
(22.86) на оси прямоугольной декартовой системы координат.
Вспоминая выражения проекций ускорения в эйлеровых
переменных (§ 76) и проекций вектора Div P (§ 38), получаем
(dvx dvx dvx dvv
P[dt +vx ^ +vu Й1# +иг
дх У dy г dz
dt х дх У ду г dz
д»г , диг диг dvz
dt х дх У ду г dz
PFX +
Р^ +
PFZ +
дРхх дРух дРгх
дх ду dz
дрху + ЪРуу + ^PZy
дх ду dz
dPxz dPyz dPzz
dx dy dz
(22.87)
К уравнениям (22.87) нужно присоединить еще одно, также
динамическое, уравнение, которое легко выводится из уравнения
сохранения (22.83) элементарной массы 5т = р 8х.
Продифференцировав обе части уравнения (22.83), получаем
^8т + р£(8т) = 0.
В конце § 78 было показано, что скорость объемного
расширения элемента объема 8х при движении среды равна
-т- (Sx) = div v 8x,
где div v — дивергенция вектора скорости v — символ
скалярной пространственной производной (§ 75) в векторном поле век-

170 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
тора и. Используя последнее равенство, перепишем предыдущее
в виде
I -ту + р div v St = 0,
или, в силу произвольности выбора элемента объема 8х,
-ту + р div v = 0. (22.88)
Это уравнение можно было бы записать в развернутом
(вспомним § 75)виде
-ту + v - grad р 4- р div v = 0
и, пользуясь известной формулой векторного анализа
v • grad р 4- р div v = div (pv)9
легко выводимой из символического равенства
V(pv) = v (Vp) + p(V-u),
переписать в следующем виде:
-£ + div(pu) = 0, (22.89)
или, выразив оператор div в прямоугольных декартовых
координатах, в виде:
Эр , Э(рух) Э(ру ) Э(риг)
Э* + Эх + Э„ + Ъг = °" (22-90)
Уравнение (22.88) или другие виды того же уравнения ((22.89),
(22.90)) носят традиционное наименование уравнения
сплошности или неразрывности, хотя выражают, собственно говоря,
закон сохранения массы.
Уравнения (22.87) и (22.90) не образуют замкнутой системы
уравнений для определения тринадцати неизвестных: р, vx, v ,
vz> Рхх> Рух> Pzx> Рху Руу Ргу> Pxz> Pyz> Pzz- Для замыкания этой систе-
мы уравнений необходимо применять те или иные допущения
о математических моделях среды: идеально упругая среда,
подчиняющаяся линейному закону Гука, идеальная жидкость,
лишенная внутреннего трения, вязкая жидкость, движение
которой описывается законом Ньютона, и т. д. Так, например, если
принять модель идеальной жидкости как жидкости, в которой
нет внутреннего трения, то все касательные составляющие
тензора напряжений будут равны нулю
Рху = Pyx = Pyz = Pzy = Pzx =Pxz = °>

§ 110. Применение теоремы количества движения к сплошной среде 171
а тогда, как это будет следовать (ср. § 38) из равенств Коши, все
нормальные составляющие тензора напряжений будут равны
между собой и можно положить
где р — скалярная величина, выражающая гидродинамическое
давление или просто давление. Согласно принятой модели
идеальной жидкости, совокупность уравнений (22.87) и (22.90)
перейдет в следующую замкнутую систему уравнений:
д°Х _L ^ _L Э^, Э^ _ 1? _ 1 ?р
dt + v* dx + Vy dy + v* dz ±x p дх '
dvy , dvy , duv duv v I dp
Э* * Эх у 9z/ 2 dz у р Эг/ *
Ъ^1 i ^5 4- ^. ^£ = р _ 1 д-1 (22"91)
Э* ^ ^ Эх Uy ду "*" V* dz ** р dz '
Э£ Э (puj Э (риу) Э (риг)
dt Эх dy dz '
Р = Р (р);
здесь зависимость плотности от давления задается последним
уравнением этой системы, представляющим собой уравнение баротропности
движения (если р = const, то жидкость несжимаема; если ppk = const,
где k — показатель адиабаты, то происходит адиабатическое
движение).
Если мы вернемся к векторной форме уравнений, то получим
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ:
(22.92)
Можно заметить, что при равновесии (р = 0, dp/dt = 0)
уравнения (22.91) перейдут в ранее выведенные уравнения Эйлера*
статики идеально текучей среды (9.38).
Применим уравнения Эйлера (22.91) к представляющей
принципиальный интерес задаче одномерного распространения
малых возмущений в неподвижном газе.
dv
dt
Эр
Tit
р =
Эю Mi
+ div (pv)
Р(Р).
V)v
= 0,
= F-
1
Р
grad p,
" См. т. I, §38, с. 157.

172 Глава XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Пусть в безграничной вдоль оси Ох цилиндрической трубе
покоится (и0 = 0) газ с параметрами р0, р0. Зададим в газе малые
возмущения этих параметров: давления р\ плотности р',
скорости и\ так что
Р = Ро +Р'> Р = Ро + Р'> vx = и = и'-
Подставим эти значения в уравнения (22.91), предварительно
заметив, что при допущении о баротропности последующего
движения (заключающейся в зависимости плотности р только от
давления р9 но не от температуры) будет
Э£ =dp Эр ,ч1рл Эр^
дх dp дх [dp )0 дх ' v " '
причем, как обычно, в газах с повышением давления возрастает
и плотность (dp/dp > 0), что позволяет положить
fp\=al (22.94)
Пренебрегая малыми величинами второго порядка и опуская
объемную силу, приходим к линейной системе уравнений
ди' _ 2 Эр' ди' _ Эр'
ро ~dt ~ "ао Э^ ' ро¥" ~~Э7 '
которую, исключая р', можно привести к одному уравнению
д2и' 2 д2и' Л
^"«0^2=0. (22.95)
Уравнение (22.95), как легко проверить непосредственным
дифференцированием, имеет общий интеграл д'Аламбера
и' = /г(х 4- a0t') 4- f2(x - a0t), (22.96)
где f1 и /2 — произвольные функции.
Введем преобразование
X + a0t = ^1» х ~ а$ = ^2» (22.97)
обладающее простым кинематическим смыслом: ось 0^х
движется в отрицательном направлении оси Ох со скоростью (~а0)9
а ось 02^2 — в положительном направлении оси Ох со скоростью
а0. Тогда решение (22.96), переписанное в виде
и' = fi&i) + /2Й2)» <22-98)

§ 110. Применение теоремы количества движения к сплошной среде 173
будет означать сумму двух фиксированных в плоскостях (и\ ^)
и (и\ ^2) произвольно заданных кривых (шаблонов), движущихся
со скоростями а0 вдоль отрицательного и соответственно
положительного направлений оси Ох.
Каждое из этих двух движений, взятое по отдельности,
характеризует движение простой волны, а совокупность их (22.98)
или, что то же самое, (22.96) — наложение двух движущихся
навстречу друг другу волн с равными по абсолютной величине
скоростями а0 каждая*. Контуры этих волн определяются видом
функций /1(^1) и /2(^)' в частности, волны могут быть
синусоидальными, описывающими колебательный процесс возмущений
скорости, плотности или давления в газе. К таким процессам
относится распространение звука в газе с характерной для него
последовательностью повышений и понижений давления в данной
точке. В связи с этим принято скорость распространения малых
возмущений в среде коротко называть скоростью звука.
Процессами распространения звуковых волн занимается акустика. Для
нас сейчас важен сам факт конечности скорости распространения
малых возмущений в среде или скорости распространения в ней
звука.
Формула (22.94) показывает, что скорость звука зависит от
вида уравнения состояния среды р = р(р). Так, например,
замечая, что скорость звука велика по сравнению со скоростью отвода
тепла, образованного сжатием газа при прохождении звуковой
волны через данную точку, считают процесс сжатия газа
адиабатическим и используют известную из курса физики формулу
p/pk = const.
Если, кроме того, газ является совершенным, т. е.
удовлетворяет уравнению Клапейрона
±р =kp-= km,
dp p
где R — газовая постоянная, а 0 — абсолютная температура,
согласно (22.94), получим формулу Лапласа — Пуассона
а= *jk - = <Дкё;
здесь индекс «0» при а опущен.
Уравнение (22.95) и совершенно аналогичные по форме уравнения дляр л р
называются волновыми уравнениями.

174 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Адиабатическая скорость звука в совершенном газе
пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры газа.
Замечая, что величину dp/dp можно принять за
характеристику сжимаемости среды — роста плотности с давлением, —
заключим, что чем больше сопротивляемость среды сжатию, тем
больше скорость распространения звука в ней. Приведем
округленные значения скорости распространения звука в разных средах:
в воздухе — 340 м/с, в воде — 1500 м/с, в твердом теле —
5000 м/с (вопрос о распространении малых возмущений в
твердых телах представляет особые трудности, так как требует
рассмотрения уравнений динамики упругого тела с характерными
для него двумя скоростями распространения возмущений). Очень
малые скорости распространения звука наблюдаются в легко
сжимаемых жидких пенах.
Предположение о несжимаемости среды, в частности
жидкости в гидродинамике и гидравлике, оправдываемое большой
скоростью распространения звука в ограниченной области течения
при сравнительно малых скоростях движения среды, приводит
к бесконечной скорости распространения звука
yap Jp = const
что может рассматриваться как допустимое в этих условиях
приближение.
Глава XXIII
Теорема об изменении момента количеств
движения системы материальных точек
§ 111. Теорема об изменении момента количества движения
материальной точки
Напомним (§ 11), что момент силы F относительно точки был
определен как вектор (точнее псевдовектор), по величине и
направлению равный векторному произведению вектора-радиуса г

§111. Момент количества движения материальной точки
175
точки М приложения силы и вектора силы F (за начало
вектора-радиуса принят центр момента О (рис. 288):
m0(F) = rxF. (23.1)
Так же, как момент силы, может быть определен момент
вектора количества движения q = mv материальной точки.
Моментом количества движения будет вектор fe, величина и
направление которого определяются векторным произведением г и q:
k = r xq = r х mv. (23.2)
Проекции вектора момента количества движения на оси
координат будут
kx = m(yvz - zvy)9 ky = m(zvx - xvz), kz = m(xvy - yvx), (23.3)
где x9 y9 z — проекции вектора-радиуса г, т. е. координаты дви-
V> vz
проекции вектора ско-
жущеися точки, &vx = x, v
рости v этой точки.
Вспомним, что проекция на некоторую ось вектора момента
силы относительно точки, взятой на оси, представляет собой
момент силы относительно этой оси (§ 11); аналогично величины kx,
k , kz являются моментами количества движения точки
относительно осей х9 у9 2.
Дифференцируя выражение (23.2) момента количества
движения по времени, получаем
dk dr da
(23.4)
но первое слагаемое правой части равно нулю, так как
сомножители параллельны:
dr
-тт xq = vx mv = 0.
Далее на основании теоремы
об изменении количества
движения материальной точки имеем
dq - f
d* "F'
где F — равнодействующая сил,
приложенных к точке. Итак,
по (23.4)
dk
dt
rxF = m0(F).
(23.5)
m()(F)

176 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Соотношение (23.5) представляет собой теорему.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕ
НИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА.
Векторная производная по времени от момента количества движения
материальной точки относительно центра равна моменту
равнодействующей приложенных к точке сил относительно того же центра.
Проецируя (23.5) на неподвижные оси координат, получаем
dkv dk„ dk7
d; = mx(F), d/ = my(F), d/ = mz(F) (23.6)
и приходим к другой теореме.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕ
НИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ. Производная по времени от момента
количества движения материальной точки относительно
неподвижной оси равна моменту равнодействующей сил} приложенных к
точке, относительно этой оси.
Теорема об изменении момента количества движения в
приложении к одной материальной точке представляет собой простое
следствие основного закона Ньютона. Это следствие оказывается
полезным при решении некоторых задач динамики; характер
этих задач подсказывается формой уравнений (23.5) и (23.6).
1°. Если сила!*1 все время остается в одной плоскости с
некоторой прямой, например с осью Ох, т. е. пересекает эту ось или ей
параллельна, то момент силы относительно этой оси равен нулю,
и уравнение (23.6) дает
dkv
d*" =0;
интегрируя, находим
kx = m(yvz - zvy) = const.
Применение теоремы об изменении момента количества
движения относительно оси позволило получить зависимость между
проекциями скорости и координатами движущейся точки,
т. е. один из первых интегралов уравнений динамики (его
называют — вспомним формулы (20.59), (20.60) — интегралом
площадей в проекции на плоскость yz; происхождение названия
станет понятным из следующего пункта).

§111. Момент количества движения материальной точки 177
2°. Случай центральной силы. Напомним, что центральной
называется сила, линия действия которой во все время движения
проходит через один и тот же неподвижный центр.
Обозначая через Fr проекцию силы F на направление вектора-
радиуса г = ОМ движущейся точки М и замечая, что г/г
представляет собой единичный вектор направления г, мы можем
записать выражение силы в виде
F= -r Fr, (23.7)
причем Fr положительна в случае силы отталкивания и
отрицательна для силы притяжения к центру О.
Возвращаясь к теореме о моменте количества движения,
в случае центральной силы получаем
dk _ Fr
-гт =rxF=rx— г = О,
dt r
и, следовательно, вектор момента количества движения
сохраняет постоянное направление и имеет постоянную величину. Таким
образом, векторы г и v все время остаются в неподвижной
плоскости, перпендикулярной вектору fe, т. е. траектория
движущейся точки представляет собой плоскую кривую. Это уже было
использовано в § 92.
Заметим далее, что
dr
k = г х mv = mr х -гт, (23.8)
но векторное произведение (l/2)r x dr по величине равно
площади dS = (l/2)r|dr| sin (r, dr) = (l/2)r2d(p (рис. 289), описываемой
вектором-радиусом г за промежуток времени dt9 и, следователь-

178 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
но, dS/dt есть секториальная скорость (§ 48) рассматриваемой
точки. Таким образом,
Ц=| г2ф = 2^=С = const, (23.9)
откуда следует, что
S = Ct 4- S0. (23.10)
В движении под действием центральной силы площадь,
описываемая вектором-радиусом, изменяется пропорционально времени.
Это — закон площадей, включающий как частный случай второй
закон Кеплера движения планет.
Проецируя соотношение (23.8) на оси координат, получаем
интегралы площадей
kx = m(yvz - zvy) = С19 ky = m(zvx - xvz) = C2,
kz =m(xvy-yvx) = CS9
выражающие постоянство секториальнои скорости проекции
движущейся точки соответственно на плоскости yz9 zx9 ху;
последние равенства дают, таким образом, три первых интеграла
уравнения движения точки под действием центральной силы.
При действии на точку силы, пересекающей в течение всего
времени движения одну из осей координат, имеет место один первый
интеграл, выражающий сохранение секториальнои скорости
проекции точки на плоскость, перпендикулярную этой оси.
§ 112. Малые колебания математического маятника
Применим теорему об изменении момента количества
движения к составлению уравнения движения материальной точки,
принужденной двигаться в поле силы тяжести по окружности,
расположенной в вертикальной
плоскости. Такое движение осуществляет
математический маятник, т. е. тяжелый
груз (рассматриваемый как материальная
точка М), подвешенный при помощи
нерастяжимой и невесомой нити к
неподвижной точке и движущийся в
вертикальной плоскости (рис. 290).
На груз действуют сила тяжести G и
Рис. 290 реакция нити N. Вектор количества дви-

§ 112. Малые колебания математического маятника
179
жения q по величине равен произведению массы т груза на его
скорост /|ф| и имеет направление скорости; при возрастании
угла ф, т. е. при движении от оси Ох к оси Оу9 когда ф > О,
q = т1ф,
если же движение происходит в обратную сторону, то ф < О,
и величина вектора q будет
q = -mlq>.
В том и другом случае момент количества движения груза
относительно перпендикулярной плоскости чертежа оси Oz9 равный
произведению величины вектора q на расстояние I от него до оси
Oz9 взятому с соответствующим знаком, будет
k2 = ml2q>. (23.il)
Момент силы тяжести относительно оси Oz равен
т2 = -Gy = —Gl sin ф = -mgl sin ф.
Момент натяжения нити N равен нулю; применение теоремы
моментов позволяет исключить эту неизвестную силу из уравнения
движения. Согласно (23.6) будем иметь
тп/2ф = -mgl sin ф,
или
ф + | sin ф = 0. (23.12)
В начальный момент маятнику дается отклонение от
положения равновесия и сообщается начальная скорость, что
соответствует следующим начальным условиям:
Ф = Фо> Ф = Фо ПРИ t = 0-
Рассмотрим малые колебания маятника; в этом случае в
уравнении (23.12) можно (с точностью до малых величин порядка ф3)
заменить sin ф на ф. Тогда придем к уравнению
ф + - ф = 0, (23.13)
решение которого при указанных начальных условиях будет —
формула (21.8) —
Ф = ф0со8 ^t + ^l- <p0sin^ft. (23.14)

180 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Период малых колебаний маятника выражается формулой
Т=2к J-, (23.15)
из которой следует независимость периода малых колебаний
математического маятника от начальных условий: малые
колебания маятника изохронны. Этот факт был экспериментально
установлен еще Галилеем в 1583 г., хотя формулы, определяющей
период колебаний, Галилей не дал.
Более полно задача о движении маятника будет рассмотрена
далее в § 177.
§ 113. Теорема об изменении главного момента
количеств движения системы материальных точек.
Теорема Резаля
Наиболее интересные приложения теоремы об изменении
момента количества движения связаны с ее обобщением на случай
системы материальных точек.
Пусть М19 М2, ••• , Мп — точки, входящие в
рассматриваемую систему. Через Ft обозначим равнодействующую внешних
сил, приложенных в точке Мь; равнодействующая F\
внутренних сил, приложенных в этой точке, определяется векторной
суммой
F't = F'n + F'i2 + ... + F'u г_! + Fl i+l + ... + F\n = p F'ik ,
в которой F'ik представляет воздействие на точку Мь со стороны
точки Mk9 также включенной в систему; звездочка при знаке
суммы указывает, что слагаемое, для которого k = i9 при
суммировании исключается. По закону равенства действия и
противодействия имеем
Flk =~Fki> i = 1, 2, ... , ti; k= 1, 2, ... , n; i±k.
Согласно теореме Вариньона (§ 11) главный момент совокупности
сходящихся сил относительно произвольной точки О равен
моменту равнодействующей силы относительно той же точки;
применяя эту теорему к точке Mi9 получаем выражение момента
внутренних сил, приложенных к этой точке,
mo(f;) = £*mo(f;A).

§113. Главный момент количеств движения системы
181
Составим теперь геометрическую сумму моментов всех
внутренних сил
X m0(Fl)=I. ?m0(F'tk).
1 = 1 1=1 k=l
Слагаемые этой двойной суммы будем рассматривать попарно:
m0{F'lk) и m0(F'ki). Эти моменты представляют собой векторы,
равные по величине и противоположные по направлению, т. е.
дающие равную нулю векторную сумму; сказанное следует из
того, что силы F'ik и F'ki равны по величине и направлены в
противоположные стороны по прямой, соединяющей точки М-{ и Mk.
Итак, векторная сумма моментов всех внутренних сил равна
нулю:
п
X m0{F[) = 0. (23.16)
i=i
Теорема об изменении момента количества движения в
применении к точке Mi9 согласно уравнению (23.5), записывается
в виде
dfe7
d7 = m0(Ft) + m0(*\).
Просуммировав эти уравнения по всем точкам системы и
учитывая соотношение (23.16), получим
п dfe7- ZL
I , = I m0(FJ. (23.17)
Главным моментом количеств движения системы относительно
центра (или кинетическим моментом) называется векторная
сумма моментов количеств движения всех входящих в систему
материальных точек относительно того же центра.
Обозначая главный момент количеств движения через К9 т. е.,
полагая
п п
К = Ъ kt= Ъ гьхтьУ19 (23.18)
i=l i=l
по (23.17) получаем
d/ =m<°>, (23.19)

182 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
где
/I /I
т<°>= X m0(F^= Ъ rtxFt (23.20)
i=l i=l
обозначает главный момент внешних сил, приложенных к
системе (§ 13); при К = 0 возвращаемся к известному условию
равновесия в статике — главный момент приложенных сил равен
нулю.
Формула (23.19) выражает, коротко говоря, теорему
моментов.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ
ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. Векторная
производная по времени от главного момента количества движения
системы равна взятому относительно того же центра главному моменту
внешних сил, приложенных к системе.
Проецируя уравнение (23.19) на неподвижные оси, получаем
Кх = тх, Ку = ту, К2 = mz. (23.21)
Производная по времени от главного момента количеств
движения системы относительно некоторой оси неизменного направления
равна главному моменту внешних сил относительно этой оси.
Если внешние силы лежат в одной плоскости, например,
с осью Ох9 то
тх = £ тх (Ft) = 0;
/ —1
при этом
Кх = const (23.22)
и имеет место следующая теорема.
ТЕОРЕМА СОХРАНЕНИЯ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ
ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. Главный момент
количеств движения системы относительно оси сохраняет
постоянное значение, если главный момент внешних сил относительно этой
оси равен нулю.
При обращении в нуль главного момента внешних сил
относительно некоторой точки главный момент количеств движения
системы К относительно этой точки будет иметь постоянную
величину и неизменное направление.
Теореме об изменении главного момента количеств движения
можно придать геометрическую форму, если заметить, что про-

§ 114. Главный момент количеств движения твердого тела 183
изводная вектора по времени представляет собой скорость конца
этого вектора на его годографе; в частности, вектор
dK
dt
К
(23.23)
представляет собой скорость конца вектора К9 если началом
вектора является неподвижный центр моментов О. Теорема об
изменении главного момента количеств движения, таким образом, дает
К
i.(°)
(23.24)
т. е. теорему об изменении момента количеств движения в форме,
носящей наименование теоремы Резаля.
ТЕОРЕМА РЕЗАЛЯ. Скорость конца вектора главного момента
количеств движения системы материальных точек относительно
некоторого центра равна главному моменту относительно того же
центра внешних сил, приложенных к системе.
Отметим, что величина К9 как следует из (23.24), имеет
размерность момента силы [Н • м], так как изображает скорость
конца отрезка, представляющего вектор К9 т. е. величину,
измеряемую в Н • м • с.
§ 114. Главный момент количеств движения твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси
Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Oz (рис. 291) и вычислим главный момент количеств движения
твердого тела относительно этой оси.
Момент количества движения
материальной точки массой ть
относительно оси Oz будет
К = hi4i = htmivv>
вспоминая, что vt = (bhi9 где ю
угловая скорость, получим
Ф
К
~ 2 ~ 2 2
^mhi = оыпь(хь + уь ).
(23.25)
Главный момент количеств
движения относительно оси будет, согласно
Рис. 291
РЕЗАЛЬ ЭМЕ АНРИ (Resal Aime Henry, 1828—1896) — французский ученый
в области механики, чл. Парижской АН (1873).

184 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
(23.18), равен алгебраической сумме этих выражений для всех
точек системы
п п п
Kz= Ъ ki2 = & X mihi . (23.26)
i=l i=l
Величина
П n Tl 0 0
Jz = X mlhi = X mlXi + yt ), (23.27)
/=1 /=1
т. е. сумма произведений масс частиц тела на квадраты их
расстояний от некоторой оси называется моментом инерции тела
относительно этой оси.
Момент инерции зависит только от формы тела и
расположения масс в нем, но не зависит от состояния движения тела.
Момент инерции тела имеет размерность массы, умноженной
на квадрат длины (кг • м2), так что отношение
JJM,
где М — масса тела, имеет размерность квадрата длины.
Обозначим его через р2:
р2= д|, J2 = Mp2. (23.28)
Величина р называется радиусом инерции тела относительно
оси Oz.
Возвращаясь к формуле (23.26), получаем
Kz = Jz(b9 (23.29)
т. е. главный момент количеств движения твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно этой оси равен
произведению момента инерции тела относительно той же оси на
взятую со знаком плюс или минус угловую скорость вращения тела.
Моменты количества движения твердого тела относительно
осей х и у9 перпендикулярных неподвижной оси вращения z9
в общем случае не равны нулю. Поэтому было бы ошибкой
считать, что вектор главного момента количеств движения К
твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, направлен по
этой оси.
Формулы, служащие для вычисления проекций главного
момента количеств движения К твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной точки, приводятся далее в § 141. Из них,
в частности при wv = ю„ = 0, следуют выражения проекций JiT и К„
х у х у
вектора К для случая вращения вокруг неподвижной оси Oz.

§115. Вычисление моментов инерции
185
§ 115. Вычисление моментов инерции.
Моменты инерции относительно параллельных осей
Вычисление моментов инерции однородных тел правильной
геометрической формы производится с помощью методов
интегрального исчисления. В случае тел, не имеющих правильной
формы, моменты инерции определяются или экспериментально,
или приближенно путем вычислений, для чего данное тело
разбивают на несколько тел, имеющих правильную геометрическую
форму. О способах экспериментального определения моментов
инерции будет сказано ниже.
По определению момента инерции имеем
J*
t = l
При непрерывном распределении масс следует заменить ть
на dm, ht — на расстояние h от рассматриваемого элемента
массой dm до оси, относительно которой берется момент инерции.
Сумма заменяется интегралом, распространенным по всей
массе М тела
Jz= \ h2 dm. (23.30)
(М)
Обозначая* плотность через 8, элемент объема через dx, будем
иметь
dm = 8 dx, Jz = J h2b dx.
CO
В случае однородного тела имеем 8 = М/х =
Jz=™ \ A2dx.
Т СО
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1°. Момент инерции однородного
тонкого стержня постоянного сечения
относительно оси, перпендикулярной
стержню и проходящей через его конец.
Согласно формуле (23.31) имеем (рис. 292)
/
Л/Г г АЛ
Х СО 1 о
const;
\2
следовательно,
h
Рис.
(23.31)
/
dh
_i_
\
dx = cdh
2
92
J h2dx = ™ J h2dh = I Ml2,
(23.32)
Это обозначение принято потому, что общепринятое обозначение плотности р
здесь уже использовано для столь нее общепринятого обозначения радиуса
инерции.

186 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
ь-
Рис. 293
так как в рассматриваемом случае dx = о dh9
X = 8/, где о — площадь поперечного сечения
стержня; интегрирование по объему
заменяется интегрированием по длине. По (23.28)
радиус инерции стержня будет
Р = k =-k =0,577/.
MM
Уз
2°. Момент инерции однородного
кругового цилиндра относительно его оси. За
элемент объема примем цилиндрический слой,
образуемый двумя коаксиальными
цилиндрами радиусами h и h 4- dh (рис. 293).
Получим
dx = Н- 2nh dh,
2кМН R
J
J Л3 dh
о
nMHR*
2т
С другой стороны, для цилиндра радиусом R
х = nR2H;
следовательно,
1
J„
;М#2.
(23.33)
Момент инерции полого цилиндра с внешним радиусом R и
внутренним R0 найдем как разность моментов инерции
сплошных цилиндров этих же радиусов:
nR2m • \r2 - kR20H5 • \r20 = \ кН5 (R4 - R*) =
= \ n(R2- R20)H5(R2+ R20).
Итак, момент инерции полого цилиндра массой М равен
jz=\m{r2 + rI).
(23.34)
3°. Моменты инерции однородного тела вращения. Примем
ось вращения за ось Oz и будем пользоваться
цилиндрическими координатами г, 2, ф. Сечение тела плоскостью меридиана,
т. е. плоскостью, проходящей через ось вращения, ограничено

§115. Вычисление моментов инерции
187
>^Г* "1*
ш $
^
2
X г'
щ
1 о
N2 di
- т f >сГХ v"
г—7 rV
"V J/
Nt >-
Рис. 294
кривой С (рис. 294); пусть
уравнение этой кривой на участке
г' = А(2),
а на участке N2N"N1
г" = Ш-
Момент инерции тела
относительно оси Oz равен (М — масса
тела, х — его объем)
Jz= J (jc2 4- i/2) dm = 8 J r2 dx;
(М) (т)
в цилиндрических координатах элемент объема dx равен
dx = г dr d(pd2.
Получаем
Jz = 8 J dcp J dz J r^dr = b\ J {[/2(2)]4 - [/.(г)]^ dz.
0 zL r' zL
Если известна масса телаМ, то, замечая, что 8 = М/х и
2% 2% г" 2%
Т = J dx = J d(pj dz\ rdr = 7l\ {[f2(2)f ~ [Д^)]2} dz,
(T) О 2Х Г' 2X
получаем
f {[/2(2)]4-[/i(2)]4}d2
J2=^M ^
r{[/2(2)]2-[/!(2)]2}d2
(23.35)
Для вычисления моментов инерции относительно осей Ох и
Оу9 перпендикулярных оси вращения, заметим, что для тела
вращения
| х2 dm = \ у2 dm = -z J (jc2 4- у2) dm = -z Jz,
(M)
(M)
(M)
так как расположения масс относительно осей Ох и Оу не
отличаются друг от друга. Получаем
Jx = J = J (у2 4- 22) dm = \ (z2 -\- х2) dm = ) z2 dm 4- ~ J2.
(M)
(M)
(M)

188 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Остается вычислить интеграл
г.,
\ Z2dm = Kb\ 22 {[/2(2)]2 - [f^z)]2} 62.
(М) zL
Подставляя вместо плотности 8 ее значение, находим момент
инерции относительно осей Ох и Оу:
Jx-Jy-2J' + M
\ гЧШ*)]2 ~ [U(z)]2}dz
2Х
(23.36)
Для тела вращения момент инерции Jz относительно оси
вращения называют аксиальным моментом инерции, а момент
инерции относительно оси, перпендикулярной оси вращения и
проходящей через центр тяжести тела, — экваториальным
моментом инерции.
Применим формулу (23.35) к случаю конуса. Имеем (рис. 295)
Ц
/и--г- - -
. 2^,
\ VW "
;д-\\
V_Ju>
•см
г' = 0, Г// = /2(2) = Г0[1
21 = 0,
К
и вычисление по формуле (23.35) дает
j r\{\-zlhY&z
Т М ° П ОЛ/Г 2
J2= "2 а = 0,ЗМг0,
Рис. 295
| rj|(l-2/A)2ci2
Располагая оси Ох и Or/ в плоскости основания конуса, по (23.36)
также найдем
\г20 (1 - z/h)2z2dz
Jv = J„=\j, + M -\ = 0,15Мго 4- ОДЛГй2.
у 2
J Го (1 -z/h)2dz

§115. Вычисление моментов инерции
189
Рассмотрим случай тиара (рис. 296).
Применение формулы (23.35) привело бы
к излишне сложному вычислению;
поэтому воспользуемся следующим
приемом. Вследствие симметрии имеем
J x2dm = | у2 dm = J z2 dm,
(М) (М) (М)
и, следовательно,
Рис. 296
| (х2 4- у2) dm = | (у2 4- 22) dm = \ (z2 -\- х2) dm = ~ J0,
(М) (М) (М)
где J0 — полярный момент инерции
J0= J (#2 + z/2 + 22) dm = J r2 dm.
(М) (М)
За dm можно принять элементарную массу, заключенную между
двумя концентрическими сферами радиусами г и г + dr:
dm = — 4кг2 dr = -=^- г2 dr,
т fld
где М — масса, R — радиус шара. Получаем
J* = Jy = J,
2™ f r4dm = |мя2.
Rs J 5
Для полого шара с внутренним i?0 и внеп1ним R радиусами
получаем аналогично
2 Л - Лп
JX = J=JZ=-=M з з •
* У 5 i?3"i?n
Момент инерции однородного цилиндра или призмы
произвольного поперечного сечения относительно оси Oz9
параллельной образующим цилиндра (призмы) и перпендикулярной его
основаниям, не зависит от высоты цилиндра h. Действительно,
в этом случае выражение элемента массой dm имеет вид
dm = — dx dy dz = — dz dx dy;

190 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
здесь S — площадь поперечного сечения тела. Поэтому
Jz= -^ \ dz J (х2 4- у2) dx dy.
° (S)
Величина
J (x2 4- у2) dx dy = Js,
(S)
не зависящая от z9 представляет собой полярный момент
инерции площади поперечного сечения цилиндра (призмы), причем
полюсом является точка пересечения оси Ог с плоскостью
сечения. Эта величина имеет размерность четвертой степени длины.
Итак,
М _ ? - М _ _- 2
J* = SA Js J d2 = S" J^ = Mp^ ' (23"37)
о
где ps — полярный радиус инерции сечения. Величина h не
входит в выражение (23.37), что и доказывает сказанное.
Например, в случае прямоугольного параллелепипеда со
сторонами a, b9 h момент инерции относительно оси z9 проходящей
через центр основания параллельно ребру h9 равен по (23.37)
м а/2 ь/2 м
Jz=fb \ dx J (x* + y*)dy=^(a* + b*).
-a/2 -b/2
В табл. 5 приведены моменты инерции некоторых тел. Более
подробные таблицы можно найти в справочных изданиях.
Докажем теорему о моментах инерции относительно
параллельных осей (теорему Гюйгенса — Штейнера).
ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА — ШТЕЙНЕРА. Момент инерции тела
относительно некоторой оси равен моменту инерции
относительно параллельной оси} проходящей через центр масс тела}
сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между
осями.
ШТЁЙНЕР ЯКОБ (Steiner Jacob, 1796—1863)— швейцарский математик, чл.
Берлинской АН (1834); о Гюйгенсе см. т. I, с. 393.

§115. Вычисление моментов инерции
191
Таблица 5
Моменты инерции однородных тел
Форма
тела
Схематическое
изображение
Момент
инерции J
Радиус
инерции р
Стержень весьма
малого поперечного
сечения
Ml2
3
-Р =0,577/
73
Круглая пластинка
весьма малой
толщины
Mr2
4
0,5г
Прямоугольный
параллелепипед
(относительно оси
симметрии)
ч
X*'—•--
, 1
ъ '
S
<£
у
м
a2 f Ъ*
12
Ja2 + Ь* =
2л/3
• 0,289 Ja2 + fe2
Полый шар
со стенкой весьма
малой толщины
Mr2
г = 0,816г
Круглый диск
и круговой цилиндр
(относительно оси)
Mr2
2
72
= 0,707г
Круговой цилиндр
(относительно
поперечной оси)
Шл
й*'*18^
//2 + Зг2
12
Шар
■Mr*
0,632г
Тор
r :
М*+я-г)
0,5 74Л2 * Зг2

192 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Введем две системы осей: Oxyz
и Cx'y'z', причем вторая система
имеет начало в центре масс С тела,
а оси ее параллельны
соответствующим осям первой системы. Через
а, Ь9 с обозначим координаты
центра инерции С в системе осей Oxyz;
тогда (рис. 297)
d= Ja2 + b2
будет расстоянием между осями Oz и Cz'. Координаты точки Мь
в рассматриваемых системах осей связаны соотношениями
хь = х\ + а, уь= у[ + Ь, zt= г\ 4- с.
По определению момента инерции имеем
J, = £ mt ( xf + yf) = £ mi[(x't + a? + (y't + Ъ)Ц =
1 = 1
1 = 1
X mt (x2 4- y'2 ) + (a2 4- b2) X mt 4- 2a X тьх[ 4- 2b X тьу[.
/=l /=l /=l /=l
Остается заметить, что
Ъ тпьх[ = Мхс = О,
i = l
X тьу\ = Мус = О,
t=i
так как началом системы осей Cx'xfz' является центр масс тела.
Обозначив далее
Ъ т.=М9
1ть(х;2 + y'2) = Jz>,
i=\
где М — масса тела, Jz> — его момент инерции относительно оси
Сг\ придем к требуемому соотношению
J=J, + Md2.
(23.38)
Очевидным следствием доказанной теоремы является то, что
момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс
тела, меньше момента инерции относительно любой другой
параллельной оси.

§ 116. Вращение тела вокруг неподвижной оси
193
В качестве примера найдем момент инерции однородного
прямоугольного параллелепипеда относительно его ребра. Имеем
в этом случае
Jz = j-2 (a2 + b2), й*=\(а* + Ъ*)
и по формуле (23.38) получим
Jz=f (а* + Ъ*).
Более подробные сведения о моментах инерции будут
приведены в гл. XXVI.
§ 116. Уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси
Приложенные к телу заданные внешние силы обозначим через
Fv F2, ... , Fn (рис. 298). Кроме этих сил, к числу внешних
принадлежат также реакции JV1 и N2 закрепленных точек Ог и 02;
моменты этих реакций относительно оси вращения равны нулю.
Поэтому в правую часть уравнения моментов количеств
движения относительно оси Oz войдут только моменты заданных сил
Ft. Подставив в последнее из уравнений (23.21) вместо Kz
выражение (23.29), получим (е = ш — угловое ускорение тела)
дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси
JzZ = Jz& = Jz<?
т„
I mz(Ft).
(23.39)
Оно представляет полную аналогию с
дифференциальным уравнением прямолинейного
движения точки
тх
2 Flx
(23.40)
Из сопоставления этих уравнений видно,
что момент инерции в уравнении (23.39)
вращательного движения твердого тела играет
ту же роль, что масса в уравнении (23.40)
прямолинейного движения материальной
точки.
Рис. 298

194 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Таким образом, момент инерции характеризует инертность
тела при вращательном движении.
Выводы и предложения, относящиеся к прямолинейному
движению точки (и поступательному прямолинейному движению
тела), могут быть перенесены на случай твердого тела,
вращающегося вокруг оси, если заменить термины в соответствии с
таблицей.
Прямолинейное движение
Абсцисса
Скорость
Ускорение
Масса
Сила
Вращение вокруг оси
Угол поворота
Угловая скорость
Угловое ускорение
Момент инерции
Момент силы
Эта аналогия представляет собой частный случай так
называемых обобщенных координат, скоростей, ускорений и др. (см
далее § 142).
Допустим теперь, что
£ mz(F>) = 0;
из (23.39) находим ш = const. Иными словами, вращение тела с
постоянной угловой скоростью (по инерции) имеет место в том
случае, когда главный момент относительно оси вращения всех
сил, приложенных к телу, равен нулю. Так, при равномерном
вращении вала машины моменты движущих сил и сил
сопротивления равны по величине. Если первый момент превосходит по
величине второй, то угловая скорость машины возрастает;
обратное имеет место, когда момент движущих сил меньше момента
сил сопротивления, и машина замедляет ход. Вращение с
постоянным угловым ускорением возможно, если вращающий момент
тг = Е mz(Ft)
(23.41)
имеет постоянное значение.
Имея в виду указанную аналогию между движением твердого
тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и прямолинейным
движением материальной точки, не будем останавливаться на
примерах, относящихся к первой задаче динамики и покажем
несколько примеров решения второй задачи динамики,
относящейся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси.

§ 116. Вращение тела вокруг неподвижной оси
195
Будем искать закон вращения твердого тела при действии
заданного вращающего момента и начнем с простейшей задачи
определения времени Та9 по истечении которого твердое тело,
находящееся в состоянии покоя, приобретает под действием
постоянного вращающего момента т20^ заданную угловую
скорость б)0.
Из дифференциального уравнения вращения
deb (0)
непосредственно получаем
Jz(b= го<°4
и, следовательно,
J76b0
Т^-Ш- (23.42)
Примем ш0 за угловую скорость вращения тела в некотором
режиме и назовем ее номинальной угловой скоростью; Та будет
временем разгона* до номинальной угловой скорости при
действии постоянного вращающего момента т20^ . В общем случае
действия на тело какого угодно вращающего момента mz
дифференциальное уравнение вращения
J2u = mz
бывает удобно выразить в безразмерных величинах. Для этого
вводят в рассмотрение относительную угловую скорость
дд - щ
V= fto . <23-43)
представляющую собой отклонение угловой скорости от
номинального значения, выраженное в долях последнего; обозначим
через jLl относительное значение вращающего момента:
Ц = -(0} ■ <23-44)
Дифференциальное уравнение вращения примет вид
Tjf = ц; (23.45)
Термин, принятый в теории регулирования машин.

196 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
здесь время разгона Та вычислено для принятых значений
номинальной угловой скорости й0 и вращающего момента т^0).
Пример 99. Маховое колесо приводится во вращение
электромотором постоянного тока, зависимость вращающего момента которого от
угловой скорости дается соотношением
М = М0
мл
в котором М0 — вращающий момент при ш = О, ое^ — угловая скорость
холостого хода (при го = 6Ь1 вращающий момент М^Ои электромотор
не совершает полезной работы). Принимая момент трения в
подшипниках М известным, найти закон изменения угловой скорости колеса.
Главный момент всех сил относительно оси вращения маховика будет
™, = M„[l-|J-MTp = M0-MTp-M0|>.
За номинальное значение го0 угловой скорости примем значение го,
обращающее выражение mz в нуль, т. е.
М о М.
ио -1 Мо
тр
Тогда по (23.43) будем иметь
mz = (М0 - Мтр) (^ 1 - -^ | = -(М0 - MTp)V.
Полагая тп^ = М0 - М , получаем по (23.44) jll = -\|/, и уравнение
вращения в безразмерной форме (23.45) принимает вид
Г>=-у. (23.46)
Его решением будет
\\f = Се
Начальное значение угловой скорости го примем равным нулю, тогда по
(23.43) \|/ = -1 при t = 0, и мы получаем
у = -е
причем время разгона определяется по (23.42) и будет равно
71 — 2 ц — / L
Время разгона Та в рассматриваемой задаче представляет
промежуток времени, по истечении которого
\|/ = -1/е, го = го0(1 - е~1) = 0,632го0.

§ 116. Вращение тела вокруг неподвижной оси
197
Угловая скорость тела по истечении времени Та станет приблизительно
равной 63% от ее номинального значения.
При t —* °° имеем \|/ —* 0, т. е. угловая скорость приближается к
номинальному значению ш0, определенному выше.
Пример 100. Разгон электрического двигателя постоянного тока.
Вращающий момент электрического двигателя постоянного тока
представляется формулой
м = смФ1я,
где iR — величина тока в якоре двигателя, Ф — магнитный поток, См —
постоянная величина. Обозначая через М момент сопротивления на
валу якоря и через Jг его момент инерции относительно оси вращения,
можем написать уравнение вращения якоря в форме
Jzb> = M-MTV = СМФ1Я - Мтр. (23.47)
К зажимам двигателя подведено напряжение е; уравнение
электрической цепи якоря может быть записано в форме
е = L* if + ЛА + СеФ&, (23.48)
выражающей, что внешнее напряжение е затрачивается на преодоление
электродвижущей силы самоиндукции LRdiR/dt, омических потерь RRiR
и обратной электродвижущей силы СеФЙ). Через ЬяУ ЯяУ Се обозначены
соответственно самоиндукция, омическое сопротивление цепи якоря и
постоянный коэффициент пропорциональности в выражении обратной
электродвижущей силы. В дальнейшем будем считать, что магнитный
поток Ф и внешняя электродвижущая сила е сохраняют постоянные
значения.
Рассмотрим сначала установившийся режим работы двигателя, в
котором угловая скорость и величина тока в цепи якоря имеют постоянные
значения й)0 и i® и приведенные выше уравнения принимают вид
СмФ1°я-Мтр = 0, е = Дя1° +СвФш0. (23.49)
Введем в рассмотрение безразмерные величины — ср. (23.43) —
ю- 5>о ? = гя- il
Тогда, заметив, что
Ю=&о¥> -^ = i° i, со = 6Ь0(1 + \|f), *я=*°(1+£),
перепип1ем уравнения (23.47) и (23.48) в виде
&0Jzy=CMQi°(l+fy-MTp,
Ljo t, + RRil(l + {,) + СеФю0 (1 + V) = е.

198 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Свободные члены (не содержащие Vj/, ^ и их производных) сокращаются
на основании уравнений (23.49), с помощью которых был определен
установившийся режим. Получаем однородную систему двух линейных
дифференциальных уравнений первого порядка
(23.50)
Исключим из этих уравнений <;, для чего продифференцируем первое
уравнение по времени и подставим в него значение ^ из второго
уравнения; тогда получим
ао^яУ = "смФ(яя *2 % + с,ф «МО-
Заменив в этом соотношении ^ его значением из первого уравнения
(23.41), будем иметь
®о^А ¥ = ~СеСмф2 «W - ДЯ®<Л¥- (23.51)
Введем теперь обозначения
Х,я J2RK
Т*~1ГЯ' CeCMW ~T"> (23"52)
при которых уравнение (23.51) примет вид
vj/ + ^ + ;Дг = 0. (23.53)
* я * а ' я
Постоянные Та и Тя имеют размерность времени. Чтобы выяснить их
смысл, предположим, что двигатель заторможен, т. е. й)0 = 0. Из второго
уравнения (23.50) получим
и сравнение с уравнением (23.46) позволяет заключить, что Тя является
постоянной времени (временем разгона) электрической цепи якоря.
Примем, что молено пренебречь индуктивностью Ья цепи якоря;
тогда Тя = 0, и уравнение (23.53) будет
* + £=о,
т. е. Та представляет собой время разгона электродвигателя при
пренебрежении индуктивностью электрической цепи якоря.
Интегрирование уравнения вида (23.53) рассмотрено в § 98, характер
движения существенно зависит от соотношений между постоянными
времени Таи Тя. Остановимся на предположении, что
Т„ > АТа.

§ 116. Вращение тела вокруг неподвижной оси
199
Тогда общее решение будет иметь вид
\|/ - e~nt(Cl ch Jn2 - k2 t + C2 sh Jn2 - k2 t), (23.54)
где 2n = 1/Тя, k2 = 1/(ТаТя). Угловая скорость якоря будет изменяться
апериодически.
Если же соблюдается неравенство противоположного знака
та < 4гя,
то угловая скорость изменяется по закону затухающих колебаний.
В том и в другом случае при t —* °° имеем \|/ —* 0 и \[г —* 0, т. е. по первому
уравнению (23.50) и определению величин \)/и^
00
шп
Таким образом, установившийся режим теоретически наступает по
истечении большого промежутка времени от начала движения, каковы бы
ни были начальные условия. Практически состояние электродвигателя
будет уже мало отличаться от установившегося по истечении конечного
промежутка времени, тем меньшего, чем меньше Тя.
Пример 101. Определение момента инерции но способу
крутильных колебаний. Испытуемое тело подвешивается в центре масс С на
проволоке к неподвижной точке О (рис. 299). Проволока закручивается на
некоторый угол, после чего тело предоставляется самому себе.
Предполагая, что тело будет совершать крутильные колебания вокруг оси ОА
проволоки, составить дифференциальное уравнение вращения тела.
Момент силы тяжести относительно оси вращения равен нулю, так
как эта ось вертикальна. Моментом сил сопротивления воздуха, а также
сил сопротивления, возникающих в материале проволоки при
колебаниях, пренебрегаем. Не учитываем так лее массы проволоки. Момент
упругих сил проволоки, пропорциональный углу ее закручивания,
принимается равным (~сф), причем коэффициент пропорциональности с зависит
от размеров проволоки и упругих свойств ее материала.
Обозначая через J момент инерции тела
относительно оси ОАу получаем дифференциальное
уравнение гармонических колебаний ^
О
Jcp = -сф, (23.55)
и выражение периода колебаний будет
Т = 2л JJ/c.
Для определения постоянной с находят период
крутильных колебаний Т0 на той же проволоке
эталонного тела с известным моментом инерции JQ
относительно оси ОА. Имеем
гг
Ащ
Рис. 299

200 Глава ХХШ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Таким образом,
Т2
J = J{
J- n
Рис. 300
Пример 102. Колебания магнитной
стрелки в однородном магнитном ноле. Поместим
в однородное магнитное поле элементарный
магнитный диполь, т. е. воображаемый
магнит, магнитные массы которого +тп и -лг
сосредоточены в его концах, отстоящих друг от
друга на расстояние I (рис. 300); пусть ось магнита
составляет угол ф с направлением магнитного
поля. Если обозначить через Н напряженность
поля, т. е. силу, действующую на единицу
положительной магнитной массы, помещенной в магнитное поле, то к
концам элементарного магнита будут приложены равные и противоположно
направленные силы пгН и -пгН. Эти силы образуют пару, момент
которой по величине равен
mlH sin ф = МН sin ф.
Произведение ml = М называется магнитным моментом диполя.
Приведенная формула имеет место и для всякого физического магнита,
если под М понимать магнитный момент этого магнита, т. е. сумму
моментов элементарных магнитных диполей, на которые молено мысленно
разложить физический магнит.
Допустим теперь, что магнит, помещенный в магнитное поле Земли,
может вращаться вокруг вертикальной оси Ozy проходящей через центр
тяжести магнита. Сила Н будет в этом случае горизонтальной
составляющей магнитного поля Земли, ее направление определит магнитный
меридиан в данном месте, и угол ф будет отсчитываться теперь от
плоскости этого меридиана.
Обозначим через Jz момент инерции магнита относительно оси
вращения. Дифференциальное уравнение вращения магнита будет
J\,cp = -МН sin ф;
оно отличается от уравнения колебаний математического маятника
(23.12) только заменой постоянной g/l на MH/JZ. Поэтому период
малых колебаний магнита определится формулой (23.15):
Т - 2тг
*1мн
Момент инерции Jz не может быть с достаточной точностью
определен путем вычисления вследствие неоднородностей материала магнита.
Поэтому Jz находят опытным путем. Для этого определяют сначала
период Т1 малых колебаний магнита, а затем, присоединив к магниту

§ 117. Малые колебания физического маятника
201
эталонное тело правильной геометрической формы с известным
моментом инерции Jг относительно оси вращения, находят новый период
колебаний Т2. Имеем в первом и втором случаях
. = 47C*J, 2 _ 4K4J, + J?>)
1 МН ' 12 МП
откуда следует
§ 117. Малые колебания физического маятника
Физический маятник представляет собой тяжелое твердое
тело произвольной формы, имеющее неподвижную
горизонтальную ось вращения; эта ось называется осью подвеса маятника.
Пусть плоскость чертежа (рис. 301) представляет
вертикальную плоскость, перпендикулярную оси подвеса и проходящую
через центр тяжести С тела. Расстояние ОС от центра тяжести до
оси подвеса обозначим через s, угол между ОС и вертикалью
Ох — через ф. Радиус инерции тела относительно оси,
параллельной оси подвеса и проходящей через центр масс С, обозначим
через р; тогда момент инерции относительно оси подвеса, согласно
(23.38), будет
J = 7tt(p2+ S2).
Если пренебречь силами
сопротивления воздуха и моментом трения в оси, то
внешними силами, приложенными к
телу, будут реакция оси и сила тяжести G.
Однако момент реакции относительно оси
подвеса равен нулю, момент же силы
тяжести равен —Gs sin ф. Дифференциальное
уравнение вращения тела принимает вид
Ф = -^Т72 sin(P-
В уравнение колебаний
математического маятника вместо gs/(p2 + s2) входило
g/L Поэтому длина I эквивалентного по рИс. 301

202 Глава ХХШ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
периоду математического маятника — приведенная длина
физического маятника — будет
7 р2 + s2
I = . (23.56)
Период малых колебаний определяется формулой
Т=2к Г***' • (23.57)
Вдоль ОС отложим от оси подвеса отрезок ООг = L Прямая,
проходящая через конец Ог этого отрезка параллельно оси подвеса,
называется осью качаний физического маятника.
Отметим свойство взаимности этих двух осей. Для вывода его
перепишем уравнение (23.56) в виде
s2 - Is 4- р2 = 0.
Обозначая корни этого квадратного уравнения через s и s', будем
иметь
s + s' = 1, ss' = р2. (23.58)
Величины shs' входят в эти соотношения симметрично.
Поэтому данную длину I эквивалентного математического
маятника, или, что то же, данный период колебаний Т можно получить,
поместив ось подвеса на расстоянии s или на расстоянии s'
от центра тяжести тела; в первом случае ось качаний будет
находиться на расстоянии s' = I - s, а во втором — на расстоянии
s = I - s' от центра тяжести. Иными словами, ось качаний станет
во втором случае осью подвеса, а ось подвеса — осью качаний.
Это свойство физического маятника используется в оборотном
маятнике, служащем для определения ускорения силы тяжести
g. Построение отрезка s' по известным s и р показано на рис. 301.
Теория физического маятника является исторически первой
разрешенной задачей динамики системы. Интерес к этой задаче
возник в связи с вопросом об усовершенствовании часов.
Создание теории физического маятника на заре развития динамики
принадлежит Гюйгенсу (1629—1695).
По экспериментально определенному периоду малых
колебаний физического маятника можно вычислить его момент
инерции относительно оси подвеса; этим пользуются при
экспериментальном определении моментов инерции тел. Зная расстояние от
оси подвеса до центра тяжести тела, найдем момент инерции Jz
тела относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей

§118. Влияние внешних ударов
203
через центр тяжести С. Вычисление проводится по формуле
(23.57), из которой по известным Т и s находим р2, а потом Jz :
9 ( Т2 S )
J2 = mp2 = mgs —= - - .
zc r ^ 4nz g I
§ 118. Влияние внешних ударов
на главный момент количеств движения системы
Пусть на систему материальных точек начинают в момент
времени t0 действовать мгновенные силы, прекращающие свое
действие в момент t0 4- х = t9 где х — весьма малый промежуток
времени. Результатом действия мгновенных сил будет, как
известно, резкое изменение скоростей точек системы, а следовательно,
и ее главного момента количеств движения.
В течение короткого промежутка времени х действия
мгновенных сил следует пренебречь действием всех прочих сил, кроме
мгновенных; поэтому, записывая равенства (23.19) и (23.20) для
этого промежутка времени, будем под внешними силами Ft
подразумевать только мгновенные силы, а под m0(Ft) = г. х Ft —
моменты этих сил.
Из уравнения (23.19) получаем
п
dK = X rtxFtdt9 (23.59)
i = l
или, интегрируя в пределах от t0 до t,
п !
К-К0=Ъ\ r.xF.dt,
1 = 1 '
где К и К0 — значения главного момента количеств движения
в моменты t и t0. Вспоминая, что за время действия мгновенных
сил можно пренебречь перемещениями точек системы, иными
словами, что векторы-радиусы гь можно при интегрировании
считать постоянными, получаем
t t
| rlxFlAt = rlx\ Fldt = rlxSl,
*() *n
t
где St = J Ftdt — импульс мгновенной силы Ft. Таким образом,
будем иметь
п п
К - К0= X Г; х S,= X rn0(St). (23.60)
i=l ' i=l

204 Глава ХХШ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Векторное приращение главного момента количеств движения
системы за время удара равно векторной сумме моментов импульсов
всех внешних мгновенных сил (ударов).
Если, в частности, речь идет о вращении твердого тела вокруг
неподвижной оси, то, проецируя уравнение (23.60) на ось
вращения (ось Oz)9 получаем
J2((b - ю0) = X m2(St)9
где J7
(23.61)
момент инерции тела относительно оси вращения Oz9
ю и ю0 — угловые скорости его в моменты t и t0; в правой части
уравнения стоит сумма моментов импульсов внешних
мгновенных сил относительно оси Oz; отметим, что к числу таких сил
принадлежат и мгновенные силы реакций в подшипниках,
появляющиеся вследствие действия мгновенных сил; в уравнение
(23.61) импульсы этих реакций не входят, так как их моменты
относительно оси вращения равны нулю.
Пример 103. Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг своих
осей с угловыми скоростями ob10 и 6Ь20 (рис. 302). Определить угловые
скорости (Ь1 и ш2 после того, как на шкивы будет накинут ремень.
Радиусы шкивов равны соответственно Rl и R2; их моменты инерции —
JlnJ2. Скольжением ремня пренебрегаем.
Применяя формулу (23.60) к вращению первого шкива, имеем
<Ма>Г
О) ~~ ^Щ 9
где <S — импульс мгновенной силы натяжения ремня (помимо этого
импульса, к шкиву приложен импульс мгновенной реакции оси; его
момент относительно оси вращения равен нулю). Для второго шкива
получим
J2(q)2- (h20) = -SR2,
и так как скольжение ремня
отсутствует, то
oo1-R1;
ш2Д2.
Таким образом,
Ю2 Ю1 ^1^2^10 ~^~ ^2^1^20
R\ я2 jiR* . ,/2я*
Рис. 302
откуда находятся оо1 и оо2.

§119. Главный момент в неподвижной и в движущейся системах отсчета 205
§ 119. Главный момент количеств движения
в неподвижной и в движущейся системах отсчета
В выражение главного момента количеств движения
п
К = X г- х mivi (23.62)
i = l
входят величины, определяющие абсолютное движение точек
системы, т. е. векторы-радиусы гь и скорости vt относительно
неподвижной (или любой инерциальной) системы отсчета Oxyz, по
отношению к началу О которой вычислен вектор К.
Введем наряду с абсолютной системой Охуг движущуюся
систему 0'x'y'z'\ вектор-радиус начала О' этой системы относительно
начала О неподвижной системы обозначим через г0, скорость
точки О'— через v0 = f0; угловую скорость системы O'x'y'z'
обозначим через со*.
Пусть г\ — вектор-радиус некоторой точки Мь по отношению
к О'. Тогда
rt = rQ+ т\ (23.63)
и после подстановки в (23.62) выражение К разобьется на два
слагаемых:
п п
К= г0 х X mivi + X г- х трь. (23.64)
i=l i=l
В первом члене вектор г0, одинаковый для всех слагаемых,
стоящих под знаком суммы, вынесен за знак этой суммы. Вспоминая
определение главного вектора количеств движения
п
Q = X mivi = Mvc, (23.65)
i = l
п
здесь vc — скорость центра масс, М = Z ть — масса системы,
получаем
п
К = г0 х Q 4- X г- х трь. (23.66)
i = l
По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость vt
точки Мь определяется соотношением
vt = v\ 4- v\ = v\ 4- v0 4- w x rt, (23.67)
(r)
где vt — относительная скорость этой точки, т. е. ее скорость
в подвижной системе Ox'y'z\ a vte — переносная скорость, т. е.

206 Глава ХХШ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
скорость точки системы O'x'y'z' с вектором-радиусом г\. Как
указано в формуле (23.67), переносная скорость складывается из
двух слагаемых: скорости v0 начала О' подвижной системы и
вращательной скорости со* х г\. Остается подставить выражение
скорости (23.67) во второе слагаемое правой части (23.66).
Рассмотрим частный случай, когда начало О' подвижной
системы осей помещено в центр масс исследуемой системы
материальных точек, а подвижная система движется поступательно,
т. е. со* = 0. Тогда
го = rc> v\e) = vo = vc> vt = VV + vc <23-68)
и подстановка в (23.66) дает
К = гс х Q 4- Z г- х m-v) + ( Z гП;г'( I x vc. (23.69)
/-1 V/-1 )
В этом случае последнее слагаемое в правой части равенства
(23.69) будет равно нулю. Это следует из определения центра
масс. В самом деле, согласно этому определению и соотношению
(23.63) имеем
п п п
Мгс= X т.г.= Ъ mXro + r\;) = ro^ + ^ тУс>
i=i ' ' i=i ' i=i
так что
п
X ть г ■ = М(гс - г0) = М г ■, (23.70)
i = l
где г'с — вектор-радиус центра масс относительно начала
подвижной системы O'x'y'z'. Но, по предположению, гс = г0, т. е.
г'с = 0 и, следовательно,
Введем еще обозначение
К' = Ъ г- х тп^ . (23.71)
Этот вектор представляет собой главный момент количеств
движения системы материальных точек в их относительном
движении в подвижной системе O'x'y'z', вычисленный относительно
начала О' этой системы. По (23.69) получаем
К = гс X Q + К'. (23.72)

§ 119. Главный момент в неподвижной и в движущейся системах отсчета 207
Это значит, что главный момент количеств движения системы
материальных точек относительно некоторого неподвижного
центра равен векторной сумме момента относительно этого центра
главного вектора количеств движения системы, помещенного в
центр масс и главного момента относительно центра масс
количеств движения материальных точек в их относительном движении
в системе, поступательно движущейся вместе с центром масс.
Вернемся теперь к общему случаю. Подставив выражение
(23.67) для скорости vt во второе слагаемое правой части
соотношения (23.66), получим по (23.70) и (23.71)
п
t = l
« (г) { п , \ п
= X г- х mtv\ + Е mi г\ хи0+ X щг\ х (со* х г\) =
i = l V = l / t = l
= К'+ r'cx Mv0 4- X mi r- x (со* х г■).
Итак, при произвольно движущейся системе O'x'y'z' имеем
п
К = r0xQ-\- К' -\- r'cx Mv0 + 1 mt r\ х (со* х г\). (23.73)
/=1
Если, в частности, система материальных точек представляет
собой твердое тело, имеющее угловую скорость со, а система осей
O'x'y'z' неизменно связана с этим телом, т. е.
со* = со, (23.74)
то по отношению к этой системе осей твердое тело неподвижно,
т. е. вектор К' = 0. Формула (23.72) примет вид
п
К = r0xQ + r'c xMv0+ X щ г- х (со х г-). (23.75)
i = l
Если при этом начало подвижной системы помещено в центр
масс твердого тела, то второе слагаемое в (23.75) исчезает (г'с = 0)
и мы получаем
п
К = rcxQ + X mt г[ х (со х г[). (23.76)
i = l
Известно (§ 64), что движение твердого тела в общем случае
можно рассматривать как результат сложения поступательного
движения его вместе с некоторым полюсом и вращения вокруг
этого полюса. Формула (23.76) показывает, что если за полюс
принят центр масс тела, то можно разбить вектор К на два
слагаемых, соответствующих этим двум движениям.

208 Глава ХХШ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Главный момент количеств движения
твердого тела относительно неподвижного
центра равен векторной сумме момента
относительно этого центра главного вектора
количеств движения тела, помещенного в его
центр масс, и главного момента
относительно центра масс количеств движения
тела в его вращении вокруг центра масс.
Пример 104. Определить главный момент
количеств движения относительно неподвиж-
Рис. 303 нои оси Oz системы, изображенной на рис. 303,
состоящей из двух тел: из рамки I,
вращающейся вокруг оси Oz с угловой скоростью ше и несущей подшипники оси Cz'y
и из тела II, вращающегося вокруг оси Cz' с угловой скоростью сог
относительно рамки. Центр тяжести тела II расположен на оси Cz'.
Расстояние между осями Oz и Cz' равно с.
Если обозначить моменты количеств движения относительно оси Oz
т тт еЛ1) еЛ2)
рамки I и тела II соответственно через Кz и Кz , то
;
с^_
°Л
с
ш
<
2'
J
L
1 °с| Щи
п
1_
Г I
к, = к{}] + к\
Л*)
Из формулы (23.29) следует (J1
оси Oz) соотношение
момент инерции рамки I относительно
К\
Jl®e
Для вычисления К^
мое дает
(rcxQ) =с*М2с(ЬеУ
(2)
применим формулу (23.76); первое ее слагае-
так как М2с ше представляет величину вектора количества движения
тела II, равную произведению его массы М2 на величину скорости сше
центра масс — формула (22.22). Проекция на ось Oz второго слагаемого
в формуле (23.76) в рассматриваемом примере будет равна
J2a>= </2(<ае+ й>г),
где J2 — момент инерции тела II относительно
оси Cz'. Получаем
Кг = (J1 + М2с2) ше + J2( ше + шг). (23.77)
Пример 105. В эпициклическом
механизме (рис. 304) подвижное колесо II радиусом г2
катится без скольжения по неподвижному
колесу I радиусом гх. Колесо II приводится в дви-
Рис. 304 жение кривошипом III, вращающимся с угло-

§ 120. Главный момент относительно центра масс
209
вой скоростью ш3 вокруг неподвижной оси 01. Составить выражение
момента количеств движения Кг системы относительно неподвижной
оси 01 вращения кривошипа.
Имеем
кг= *? + *?,
где момент количеств движения кривошипа
к[3) =j3®3,
aJ3 — момент инерции кривошипа относительно его оси вращения,
проходящей через точку 01. Момент относительно той же оси количества
движения колеса II по (23.76) будет
К(*] = т2(г1 + г2)2 ш3 + J2Q)2,
причем J2 — момент инерции колеса II относительно оси, проходящей
через точку 02, т2 — его масса, ш2 — абсолютная угловая скорость
колеса. Она определяется из соотношения
Щг2= 0)3(7^ +г2),
выражающего равенство линейных скоростей точки 02, если
рассматривать ее как принадлежащую одновременно колесу II и кривошипу III.
Получаем
Кг = [V3 + ^2 ^7р + тЖГ1 + Г2)2] US-
§ 120. Теорема об изменении главного момента количеств
движения системы относительно центра масс
В левой части выражения теоремы моментов
d# юл
= т(0) (23.78)
заменим главный момент количеств движения К его
выражением (23.72), а в правой части выразим главный момент т^
внешних сил относительно неподвижного центра О через главный
момент этой системы сил т^ относительно центра масс С. Для
этого используем соотношение, доказанное в статике (§ 17):
т(0) = т(С) _|_ Гс х V, (23.79)
где V — главный вектор системы сил. Получаем
(J7 <rcxQ) + С"ат~ = m(C) + rcxF* <23-80)

210 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Теперь заметим, что
^ (rcxQ) = r с х Q +rcxQ,
и воспользуемся выражением (23.65) главного вектора количеств
движения Q, причем учтем, что rc = vc. Получим
rc xQ = rc x Мгс = 0.
Далее, по теореме об изменении количества движения
(§ 102, с. 124) имеем
Q =V.
Таким образом,
d7 (rc xQ) = rcxV,
и соотношение (23.80) дает
rcxV + К' = т<с) 4- гс х V;
окончательно
d = к' = mSc\ (23.81)
Производная по времени от главного момента количеств
движения системы материальных точек относительно центра масс в их
относительном движении в системе отсчета, движущейся
поступательно вместе с центром масс} равна главному моменту внешних
сил относительно центра масс.
Теорема об изменении главного момента количеств движения
сохраняет формулировку в относительном движении по отношению к
центру масс, причем количества движения точек системы и их
моменты вычисляются в системе осей, движущейся поступательно
вместе с центром масс.
В том случае, когда движущаяся система материальных точек
представляет собой твердое тело, можно в левой части (23.78)
заменить К его выражением (23.76). Тогда, повторив проведенное
выше рассуждение, снова придем к уравнению (23.81), если под
К' будем понимать второе слагаемое в (23.76), т. е. вектор
п
К' = Ъ гп.г{ х (со х г,'), (23.82)
/ =1
равный главному моменту количеств движения твердого тела
относительно его центра масс.

§ 121. Теорема о сохранении главного момента
211
§ 121. Теорема о сохранении главного момента
количеств движения
При равенстве нулю главного момента внешних сил
относительно некоторой неподвижной точки (т^ = 0) главный момент
количеств движения К относительно этой точки должен
оставаться постоянным, т. е. сохранять неизменные величину и
направление. То же самое на основании теоремы предшествующего
параграфа может быть повторено в случае обращения в нуль
главного момента внешних сил относительно центра масс
системы (т<с) = 0). Тогда неизменные величину и направление будет
сохранять главный момент К' количеств движения системы
относительно центра масс в системе отсчета, движущейся
поступательно вместе с центром масс.
Если момент внешних сил относительно неподвижной точки О
(или центра масс С) не равен нулю, но обращается в нуль его
проекция на ось неизменного направления Ог (или Cz)9 то
неизменной при движении будет проекция главного момента К2 (или К2)
на эту ось.
Солнечная система, т. е. Солнце, планеты и их спутники,
представляет собой пример изолированной системы: силы
взаимного притяжения между телами, входящими в систему,
являются внутренними силами, внешние же силы, если пренебречь
действием неподвижных звезд, отсутствуют. Возьмем звездную
координатную систему, т. е. направим оси координат к трем
«неподвижным» звездам. Главный момент количеств движения К
Солнечной системы относительно ее центра масс должен
оставаться постоянным по величине и сохранять неизменное
направление в звездной системе координат. Направление вектора К
определяет перпендикулярную к нему плоскость, называемую
неизменяемой плоскостью планетной системы. Существование этой
плоскости было установлено Лапласом (1749—1827)*.
Ранее уже было указано на невозможность перемещения
человека по абсолютно гладкому полу. Возникает вопрос, может ли
стоящий на абсолютно гладком полу человек повернуться вокруг
вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести.
Внешними силами, приложенными к человеку, являются
сила его тяжести и реакция пола. Обе эти силы вертикальны,
О П. С. Лапласе см. т. I, с. 403.

212 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
и их моменты относительно вертикальной оси Cz равны нулю;
по предположению, отсутствует и трение. Итак,
т2 = 09
откуда следует, что
К2 = const.
Постоянная равна нулю, так как сначала человек
неподвижен. Предположим теперь, что человек начнет вращать над
головой руку с угловой скоростью (Ь19 описывая ею круги в
горизонтальной плоскости. Если обозначить через Jx момент инерции
руки относительно оси Cz9 то момент количества движения
относительно этой оси будет J^Wp тело человека начнет вращаться в
противоположную сторону так, чтобы момент количества
движения тела компенсировал момент количества движения руки.
Обозначим через J2 момент инерции тела человека относительно оси
Cz9 через ю2 — его угловую скорость. Получим
J1«1 + J2G)2 = 0,
откуда найдем
Й2 = -Ю1 I"'
Чтобы ускорить вращение тела, нужно или увеличить (Ь19 или
же увеличить Jv для чего человек должен взять в руку какой-
либо предмет, например длинный стержень или вращающееся
колесо. Для иллюстрации сказанного служит опыт Жуковского.
Круглая площадка может поворачиваться вокруг вертикальной
оси, причем влияние трения сведено к минимуму; человек,
стоящий на площадке и имеющий в руке вращающееся колесо или
просто вращающий рукой, будет поворачиваться вместе с
площадкой в сторону, противоположную вращению колеса.
Способность кошки, падающей с большой высоты лапками
вверх, переворачиваться в воздухе во время падения и
становиться на землю также может быть объяснена с точки зрения теоремы
сохранения момента количеств движения. Внешняя сила — сила
тяжести — не создает момента относительно центра тяжести.
Быстро вращая хвостом, кошка поворачивает свое тело в
противоположную сторону: момент количеств движения в относительном
движении по отношению к центру тяжести остается при этом
равным нулю, как и в начале падения.

§ 121. Теорема о сохранении главного момента
213
1
El
<£Ь" <£Ь
I
со.
I
0)„
О
Рис. 305
Б
Акробат, совершающий сальто,
отталкиваясь от земли, сообщает
своему телу угловую скорость
вокруг горизонтальной оси,
проходящей через центр тяжести его тела.
Так как внешняя сила — сила
тяжести — приложена в центре
тяжести, момент количеств движения
относительно этой оси сохранит
постоянное значение. Акробат может
изменить свою угловую скорость,
поджимая ноги и руки и уменьшая
тем самым момент инерции своего
тела относительно горизонтальной оси, проходящей через центр
тяжести; угловая скорость при этом увеличивается, так как
произведение ее на момент инерции должно оставаться постоянным.
В,
Пример 106. Рамка АВА1В1 может вращаться вокруг проходящей
через ее центр тяжести вертикальной оси Oz; в рамке симметрично
относительно оси Oz укреплены вертикальные оси двух одинаковых дисков
массами т (рис. 305). Момент инерции рамки относительно оси Oz равен
Jv момент инерции каждого диска относительно собственной оси равен
J2. Сначала система находится в покое, а затем диски начинают
вращаться в одну сторону с одинаковыми угловыми скоростями шг
относительно рамки. Чтобы осуществить это, не вводя внешних по отношению
к системе сил, в рамке имеется (не показанный на рисунке) часовой
механизм, отпускающий в некоторый момент первоначально
напряженную пружину. Определить угловую скорость рамки.
При вычислении главного момента количеств движения системы
относительно оси Oz используем результат § 119. Удваивая в формуле
(23.77) слагаемые, определяющие главный момент количеств движения
тела (II), получаем
Кг = JxV)e + 2J2((be + юг) + 2тс2(йе.
Заметив теперь, что главный момент количеств движения системы
относительно оси Oz должен оставаться постоянным и равным нулю,
получим
2./2юг
2,/., i ./, • 2тс2
Знак минус указывает, что рамка вращается в сторону,
противоположную вращению дисков.

214 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
§ 122. Применение теоремы моментов к сплошной среде.
Уравнение Эйлера теории турбомашин
В качестве примера применения теоремы моментов к
сплошной среде приведем вывод известного уравнения Эйлера теории
турбомашин, выражающего вращающий момент, сообщаемый
рабочему колесу турбины протекающей сквозь него жидкостью.
В дальнейшем будем предполагать, что колесо вращается с
постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной оси.
Применим теорему моментов к совокупности частиц
жидкости, заполняющей в момент времени t один из каналов между
лопастями турбин. Имеем
с\Кг
d/
т7,
где т2 — главный момент относительно оси турбины
(вертикальной оси Ог) внешних сил, приложенных к рассматриваемому
объему жидкости. Этими внешними силами являются сила
тяжести жидкости и реакции на нее стенок канала. Но момент
силы тяжести относительно оси Ог равен нулю, и, следовательно,
т2 является моментом реакции стенок; последний же равен по
величине и противоположен по знаку искомому вращающему
моменту т* , отнесенному к одному каналу колеса; получаем
тп„
-7П„
с\Кг
Остается вычислить dKz. Жидкость, заполняющая в момент t
канал abed (рис. 306), к моменту t 4- dt получит некоторое
перемещение, причем частицы,
находившиеся в сечении ab9 займут
положение а-J)-^; частицы,
занимавшие положение ed9 окажутся
в exdx.
Обозначим через М секундный
массовый расход, т. е. массу
жидкости, протекающую через канал
в единицу времени.
В момент времени t главный
момент количеств движения
частиц жидкости в канале относи-
Рис. 306

§ 122. Применение теоремы моментов к сплошной среде
215
тельно вертикальной оси (перпендикулярной плоскости чертежа)
можно представить состоящим из двух слагаемых:
S главного момента количеств движения Kz жидкости в объеме
аЪа^Ь^
S главного момента количеств движения в объеме a-fi-^ed.
Если обозначить через сг абсолютную скорость жидкости
(относительно Земли, а не относительно вращающегося канала) при
входе в колесо, то при обозначениях, указанных на рис. 304,
получим
Kz = М dt r1c1 cos av
В момент времени t 4- dt главный момент количеств движения
жидкости, занимающей теперь объем a-fi^d^ будет слагаться из:
S главного момента количеств движения K'J частиц жидкости
в объеме edexdx\
K'z = M dt r2c2 cos a2,
причем c2 — абсолютная скорость жидкости в выходном
сечении канала;
S главного момента количеств движения жидкости в объеме
Считая угловую скорость турбины постоянной и движение
установившимся, мы должны принять, что скорости и,
следовательно, моменты количеств движения жидкости в объеме
a-fi-^ed одинаковы для двух рассматриваемых моментов времени
t nt -\- dt. Поэтому приращение dKz момента количеств движения
за промежуток времени dt будет обусловлено только разностью
моментов количества движения объемов edexdx и aba^bv Получаем
dKz = Kz - Kz = М dt (r2c2 cos a2 - r1c1 cos оц);
отсюда находим искомый вращающий момент
dKz
mz = - , = М (r1c1 cos аг - r2c2 cos a2). (23.83)
Вращающий момент оказывается не зависящим от формы канала
и обусловливается значениями величин и направлений
абсолютных скоростей жидкости во входном и выходном сечениях.
Формула (23.83) дает выражение момента, вращающего турбину, ее-

216 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
ли под М подразумевать секундный массовый расход жидкости
через все каналы колеса турбины.
Аналогично тому, как это было сделано в конце предыдущей
главы (в конце § 110), применим теорему об изменении момента
количеств движения системы к произвольному объему х,
ограниченному поверхностью о. Замечая, что момент количества
движения элемента объема 8х относительно некоторого центра О
будет равен г х v 5т = г х pv 8х, где г, по предыдущему, вектор-
радиус элемента объема 8х, будем иметь выражение главного
момента количеств движения в виде суммы (интеграла)
К= \ (г X pv) 8x. (23.84)
СО
Сохраняя обозначения F и рп для плотностей распределения
внешних объемных сил по объему х, а поверхностных сил
(напряжений) по поверхности о, будем иметь векторное представление
теоремы об изменении момента количества движения в
движущемся объеме х:
-г- = -т- J (г X pv) 8х = J г X pFSx 4- J rxpn5c. (23.85)
(т) (т) (а)
Интеграл, стоящий в левой части этого равенства, в развернутом
виде может быть записан следующим образом:
A J гхр«5т =
СО
= J rXP d7 5x+ J a7 хРи5х + 1 rxv h (Р 5x)-
(т) V аГ .' (т) ttr (т) ЛТ
Заметим, что второй интеграл в правой части здесь равен
нулю, так как dr/dt = v9 a v x v = 0. Третий интеграл также равен
нулю в силу равенства d(pSx)/d£ = 0, выражающего закон
сохранения массы 5т = р8х.
Таким образом, получим
сТ7 J (гХРи)§х = 1 (ГХР 57 ]§х' (23"86)
(т) (-с) V 'У
Сложнее обстоит дело с преобразованием интеграла по
поверхности J г хрп5о в интеграл по объему. Используя равенство Коши
(<0

§ 122. Применение теоремы моментов к сплошной среде
217
[т. I, § 30, формула (7.11)], будем иметь в проекциях на оси
координат с единичными векторами £, /, k
J (rxPn)x8a= J (rxnP)x8a = J [y(nP)z - z (rcP) ]So,
(a) (a) (a)
или, вспоминая определение произведения вектора на тензор
«слева» [т. I, § 33, формула (8.17)],
1 (гхрп)х?>° =
(а)
1 ЫПуРх2 + ПуРуг + ПгРгг) ~ 2(ПхРху + ПуРуу + "zPzy)]§°
(а)
= I [лх(йР« " грху) + пу(доу2 - гр^) + nz(ypzz - zpzy)]bo.
(а)
Применяя в правой части формулу Гаусса — Остроградского
преобразования интеграла по поверхности в интеграл по объему
[т. I, § 37, формула (9.24)], перепишем предыдущее равенство
в форме
1 (гхрп)х^ =
СО
= \ Г ^ (УРхг ~ 2Рху) + |} (УРуг ~ 2Руу) + ^ (ИР22 " ^> I &С
откуда, замечая, что ду/ду = дг/дг = 1, а ду/дг = дг/ду = 0,
получаем
1 (rXiO*8a =
(a)
Напомним формулы проекций Div Р на оси координат:
Di Р=Ц-ж+%*+*_£*,
У ах ду az
TV D дрх* _ь дРУ* _l_ Э^
Divz Р = з- + "з + з- ■
2 ах ay az
Тогда предыдущее равенство приведется к виду
(а) (т)

218 Глава XXIIL ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
и аналогично в проекциях на другие оси:
1 (гХРп)у^= \ [(rxDivP)y+Pzx-PtJfc,
(а) (т)
1 ('■xpIl)25o= J [(rxDivP)2+p -p ]8т.
(а) (т)
Умножая обе части этих трех равенств соответственно на
единичные векторы осей координат £, /, k и почленно складывая
результаты, находим
1 (гхрп)Ьо-
(а)
= J (rxDivP)5x+ J [(Py2-p2y)i + (p„-p«)/ + (p^-p^)*]8r.
(23.87)
Вернемся к основному уравнению (23.85). Подставляя в него
выражения (23.86) и (23.87) интегралов, стоящих в левой части
и на последнем месте в правой части, получаем
(J [rx(pg-PF-Divp]]8T =
= 1 [(Pyt-Pty)i + (Pgx-pXt)] + (PXy-pyx)b]Srz.
СО
Величина, стоящая в круглых скобках в левой части,
обращается в нуль в силу уравнения динамики в напряжениях —
уравнение (22.86), — так что левая часть предыдущего равенства равна
нулю. В силу произвольности выбора объема х предыдущее
равенство приведется к векторному равенству
(Руж ~ Ргу) 1 + (Р2Х- Рхг) J + (Рху~ Pyx) k = 0
или к равенствам в проекциях
Руг =Ргу> Ргх = Рхг> Рху = Рух> (23-88)
в которых нетрудно узнать уже знакомые нам по § 31 выражения
теоремы о взаимности касателъных напряжений или условия
симметричности тензора напряжений, справедливые как в
статике, так и в динамике сплошной среды при отсутствии,
конечно, распределенных объемных пар, о чем уже упоминалось в § 31.
Итак, теорема об изменении момента количества движения
системы дала три дополнительных равенства (23.88). Это
приводит к уменьшению числа неизвестных в уравнениях динамики
в напряжениях на три, что все же сохраняет его незамкнутость,
о которой шла речь в конце предыдущей главы.

§ 123. Работа силы. Мощность
219
Глава XXIV
Теорема об изменении кинетической энергии
§ 123. Работа силы. Мощность
Для характеристики действия силы на материальную точку
на протяжении некоторого пути вводится мера этого действия,
называемая работой силы.
Работа W силы F 9 имеющей постоянные величину и
направление, на прямолинейном перемещении и определяется как
произведение величины F силы на величину и перемещения и на
косинус угла а между ними, т. е. (рис. 307)
W = Fu cos а.
(24.1)
Если сила перпендикулярна перемещению, то а = я/2, cos а =
= 0 и работа равна нулю; если сила направлена по перемещению,
то а = 0, cos а = 1 и работа равна произведению величины силы
на величину перемещения, и, наконец, если сила направлена
против движения, то cos а = —1, работа равна произведению
величины силы на величину перемещения, но произведение уже
берется со знаком минус. Таким образом, в определении работы
учитывается зависимость эффекта действия силы от направления
ее по отношению к перемещению.
По определению (24.1) работа равна скалярному произведению
векторов силы и перемещения:
W = F-u.
(24.2)
Измеряется работа в джоулях [Дж], равных 1 Н • м.
Отметим некоторые свойства,
непосредственно следующие из определения работы
как скалярного произведения силы и
перемещения.
■ Работа постоянной по величине и
направлению силы F9 имеющей проекции Fx9
F , Fz на оси Oxyz9 на перемещении и с
проекциями и , и , и на те же оси равна
W = Fu
+ *>, + *>*
Рис. 307

220
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
■ Работа равнодействующей нескольких сил, приложенных к
движущейся точке, равна сумме работ слагаемых сил на общем
для них перемещении точки приложения сил. Если к точке,
совершающей перемещение и, приложены силы Fl9 F2, Fs, ... с
равнодействующей R9 то работа равнодействующей равна
W =R-u = (F1+F2 + Fa+ -~)-и =
= Fl-u + F2-u + Fz-u + ... = W1+W2 + W3 + ... -
■ Работа силы на совокупности последовательных перемещений
равна работе силы на результирующем перемещении.
Доказательство аналогично предыдущему.
Данное выше определение работы обобщим на случай силы,
переменной по величине и направлению, и криволинейного пути.
Характер этого обобщения основан на общих приемах анализа
бесконечно малых.
Сначала введем в рассмотрение понятие элементарной работы.
Будем определять положение точки М на кривой МгМ2
(рис. 308) дугой s, отсчитываемой от точки Mv Вектор-радиус г
точки М будет вектором-функцией r(s) от s, и элементарное
перемещение по бесконечно малой дуге ds определится бесконечно
малым вектором
dr = -г- ds.
ds
Работа силы F на этом элементарном перемещении, или
элементарная работа 5W9 определится выражением
SW = F • dr = F ds cos a = Fx dx 4- Fy dy 4- F2 dz. (24.3)
Работу силы на конечном пути
МгМ2 найдем как сумму
элементарных работ на отдельных бесконечно
малых путях, т. е. как интеграл
м2 м2
^1,2 = J F 'dr = \ Fcos a ds. (24.4)
Индексы при W показывают, что
работа вычисляется на пути от
положения Мг до положения М2.
Интегрирование в выражении (24.4)
производится по величинам, отнесен-

§ 123. Работа силы. Мощность
221
ным к бесконечно малым дугам кривой М1М2. Интеграл (24.4)
называется криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги
кривой от точки Мг до точки М2. Он определяет циркуляцию
вектора F по дуге М1М2- Такие интегралы часто встречаются в
различных вопросах механики, гидродинамики и электродинамики.
Работа силы на криволинейном пути равна циркуляции силы по
этому пути.
Заменив дугу МгМ2 замкнутым контуром С, в котором точки
Мг и М2 совпадают, получим работу силы F на замкнутом
контуре С. Она определяется контурным интегралом
W =ф F -dr, (24.5)
с
носящим название циркуляции вектора F по замкнутому
контуру С (в частности, циркуляции силы по замкнутому контуру).
Этот интеграл, вообще говоря, отличен от нуля. Случай
равенства нулю циркуляции силы по замкнутому контуру
рассматривается далее.
Покажем, что вычисление работы по формуле (24.5) может
быть сведено к вычислению простого определенного интеграла.
Для этого предположим, что движение точки задано уравнением
X = f^t), у = f2(t), 2 = fs(t), (24.6)
и, кроме того, задан закон изменения силы в зависимости от
изменения времени, координат и скорости:
Fx = Fi(t'^ х9у9г; х9 у9 г)9
Fy = F2(t; х9у9г\ х9 у , i ), (24.7)
Fz = F3(t; x9y9z\ x9 у, i).
Тогда, записав выражение (24.4) элементарной работы силы
через проекции силы и перемещения на оси координат
bW = Fxdx + Fydy + F2dz (24.8)
и подставив всюду вместо х9 у9 2 и х , у, i их выражения через
время t9 получим
bW = F1[f,f1(t), f2(t), f3(t); f[(t), f'2(t), f'3(t)]f'1(t)dt + ...,

222
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
или, вынося dt за скобку,
8М = Ф(0 dt,
где Ф(£) — известная функция времени, равная
Ф(*) = FJt; f,(t), ...]/i(0 + W* fi(t), ...]/a(*) +
+ Fa[t;f1(t),...]f'3(t).
Чтобы найти работу на пути МгМ29 надо просуммировать
значения SW; таким образом, будем иметь
Щ t2
Wlt2= J dW=\ 0(t)dt;
M, t,
здесь t1 и t2 — моменты, соответствующие прохождению
движущейся точкой положений Мг и М2. Задача свелась к вычислению
определенного интеграла по аргументу t.
Обозначение элементарной работы через bW объясняется тем,
что символ dW мог бы привести к неправильному представлению
об элементарной работе как дифференциале от некоторой
функции W. Если бы движение происходило по прямой, например по
оси Ох9 и сила являлась функцией одного только х, то
элементарная работа
SW = Fx(x)dx
действительно представляла бы дифференциал от величины
х
\ Fx(x)dx.
х1
В общем случае выражение
Ш = Fvdx 4- Fdy 4- FAz
X (J *s Z
не представляет собой полного дифференциала и символ 8 следует
понимать только как символ бесконечно малой величины, а отнюдь
не дифференциала.
В дальнейшем будет выяснено наличие частных классов сил,
элементарная работа которых является полным дифференциалом
некоторой функции от координат точки.
Желая охарактеризовать работу с точки зрения времени, в
течение которого она производится, вводят понятие мощности как
отношения произведенной работы к протекшему времени или

§ 124. Вычисление работы в некоторых частных случаях
223
как работы, отнесенной к единице времени. Обозначая мощность
через N9 можем написать
dW dr
^= =f.— =f.u = Fv +Fv +Fv
(24.9)
Мощность равна скалярному произведению векторов силы и
скорости.
За единицу мощности принят ватт (джоуль в секунду),
1 Вт = 1 Дж/с.
В случае движения системы точек работу и мощность
определяют как сумму работ или мощностей сил, приложенных к
отдельным точкам системы, т. е. по формулам
м.
Wh2 = X J (Fix dxt + Fly dVl + Flz dZi),
i = l m,
N=l(Fixvix + Fiyviy + Fi2v^
(24.10)
§ 124. Вычисление работы в некоторых частных случаях
1°. Работа силы тяжести материальной точки и сил тяжести
системы материальных точек. Вычислим работу силы тяжести G
отдельной материальной точки. Пусть точка М (рис. 309) массой
т переместилась по некоторой траектории L из точки Мг в точку
М2. Элементарная работа на перемещение dr будет равна
Ш = G • dr = Gxdx 4- Gydy 4- Gzdz,
но при выбранном направлении осей
-G
Gx = 0, Gy = 0, Gz
-mg,
так что элементарная работа имеет вид
полного дифференциала:
8W=-d(Gz). (24.11)
Полная работа силы тяжести на
конечном участке траектории MXM2 будет
равна
М2(х2у у2у 22)
W.
1,2
J d(Gz) = G(z1-z2)
'О
mg(z1 - 22).
Рис. 309

224
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Замечая, что разность ординат {zx - z2) определяет разность
высот начального и конечного положений точки над
горизонтальной плоскостью хОу (причем эта разность положительна,
если точка опускается вниз), можем высказать положение.
Работа силы тяжести материальной точки равна произведению
силы тяжести на разность высот начального и конечного положений
точки, причем работа положительна, если конечное положение ниже
начального, и отрицательна — в противном случае. В частности,
если точка вернется вновь на ту же высоту над горизонтом, то
работа силы тяжести будет равна нулю.
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по
которой точка перешла из начального положения в конечное; работа
определяется весом и начальным и конечным положениями точки.
Это свойство силы тяжести оказывается характерным и для
широкого класса других сил, которые в дальнейшем получат
наименование потенциальных или консервативных; отметим, что
элементарная работа силы тяжести выражается полным
дифференциалом некоторой функции координат, и именно поэтому
работа на конечном участке оказалась не зависящей от формы
траектории.
В случае системы материальных точек работу силы тяжести
следует определить как сумму работ сил тяжести отдельных
точек, составляющих систему, т. е.
^1.2 = .2 <*,<*„ " Zl2) = ( £ G,Z, ) - ( £ G,Z,. )
Здесь индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному
положениям системы. Вспоминая определение центра тяжести
(т.1, §26)
£ G>; = Gzc, G = £ Gt,
1=1 1=1
где zc — ордината центра тяжести, & G = Mg (M — общая масса
системы), находим
п
Wx 2 = G(zcl - zC2) = Mg(zcl —zC2), M= E mt. (24.12)
1 = 1
Учитывая, что в данном случае центр тяжести совпадает с
центром масс, мы приходим к следующему выводу.

§ 124. Вычисление работы в некоторых частных случаях
225
Работа сил тяжести на конечном участке пути при любом
движении системы равна произведению суммарной силы тяжести
системы на разность высот начального и конечного положений центра
масс системы, причем работа отрицательна при поднятии центра
масс и положительна при опускании его.
При вычислении работы силы тяжести любую систему
материальных точек, как бы ни было сложно ее движение, можно
рассматривать как материальную точку, которая находится в
центре масс, в которой сосредоточена вся масса системы и к
которой приложена сила тяжести всей системы. Это положение еще
раз подчеркивает значение понятия центра масс в динамике.
2°. Работа сил, приложенных к абсолютно твердому телу.
Пусть силы F19 F2, ... , Fn приложены к твердому телу в точках
М19 М2, ... , Мп. Выбирая произвольную точку тела О за полюс и
обозначая вектор-радиус £-й точки тела через ОМ. = г[, получаем
dr. = dr0 + 0 х г\,
т. е. перемещение dr. точки Мь равно геометрической сумме
перемещения полюса dr0 и перемещения поворота 0 х г\ вокруг
полюса (0 — бесконечно малый вектор поворота). Элементарная
работа силы Ft будет
8T^ = Frd,v = *ydr0 + *y(©x r[).
Второе слагаемое, согласно свойству скалярно-векторного
произведения, может быть записано в виде
Ft(® х r't) = 0 • ( r\ x Ft) = 0 • m0(Ft);
обозначим через d(p бесконечно малый угол поворота тела вокруг
его мгновенной оси, т. е. величину вектора поворота. Тогда
получим
0 • m0(Ft) = m0(Ft) cos (m0, 0) dq>.
Но согласно известной теореме статики проекция момента силы
относительно точки на какую-либо ось, проходящую через точку,
равна моменту силы относительно этой оси; поэтому предыдущее
выражение представляет произведение бесконечно малого угла
поворота d(p на момент силы Ft относительно оси L, параллельной
мгновенной оси и проходящей через полюс О. Находим
bWt = Ft • dr0 + m0(Ft) • 0 = Ft • dr0 4- mL(Ft) dcp. (24.13)

226
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Элементарная работа всех сил будет
SW = ( £ Ft)• dr0 + Г £ mo(FJ\ • © = { £ FJ • dr0 + Г £ mL(Fj\ dcp.
V i = 1 J L i = 1 .1 \[ = 1 J L i = 1 _l
n
Обозначая через V = 2 Ft главный вектор совокупности сил,
/=i
через т(°) — ее главный момент относительно полюса О и через
mL — главный момент относительно оси L, получим
SW = V • dr0 + m(°)*0 = V • dr0 + тпьо!ф. (24.14)
В частном случае поступательного движения твердого тела
SW =V-dr, (24.15)
где dr — элементарное перемещение, одинаковое для всех точек
тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси (пусть это
будет ось Oz)9 выбирая за полюс точку, лежащую на оси вращения,
получим dr0 = 0 и, следовательно,
SW = mLdq>. (24.16)
В случае плоского движения твердого тела имеем
SW = V • dr0 + mzdq>, (24.17)
где mz — главный момент совокупности сил относительно оси Oz9
перпендикулярной плоскости движения и проходящей через
полюс О.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной точки
вектор ® бесконечно малого поворота определяется, как следует
из § 61, следующей формулой:
0 = Ы\|/ + шИ> + fe'dq),
где fe, n9 k' — единичные векторы соответственно неподвижной
оси Oz9 линии узлов ON и подвижной оси Oz\ a d\|/, d$, d(p —
дифференциалы углов прецессии, нутации и чистого вращения.
Получаем
8W = лг(°) • ® = mzd\\f + mNd$ + mzdq>,
где
mz = m(°> • fe, mN = m^ • n, mz> = m^ • ft (24.18)
представляют собой главные моменты совокупности сил
относительно трех указанных (не взаимно ортогональных!) осей.

§ 124. Вычисление работы в некоторых частных случаях
227
В общем случае движения твердого тела получаем
8W = V • dr0 4- mzd\\f 4- mNd$ 4- тп2Лф. (24.19)
Работа сил, приложенных к твердому телу, выражается через
главный вектор и главный момент этих сил.
Работа внутренних сил взаимодействия частиц твердого тела
равна нулю} так как главный вектор и главный момент этих сил
равны нулю.
3°. Работа упругой силы. Остановимся сначала на случае
прямолинейного движения, т. е. будем рассматривать схему упругой
пружины (§ 95), коэффициент жесткости которой обозначим
через с. Вычислим, какую работу произведут упругие силы при
растяжении конца пружины на длину / из натурального
(нерастянутого) состояния.
Вспоминая, что при удлинении пружины на х проекция силы
упругости на ось х равна -сх9 получаем
dW = Fxdx = -ex dx = d \—$- ) *
и, следовательно, полная работа силы упругости при переходе
конечной точки пружины из положения Мг с абсциссой хх в
положение М2 с абсциссой х2 определится интегрированием:
^1,2 = 1 5W= [ d {-'I ) = 2С (*1 " **>'
Работа силы упругости пружины при переходе конца ее из
натурального положения (х = 0) до некоторого отклонения / будет
равна
cf2 1
W0tl = —^-=-^Pf9 (24.20)
где через Р обозначена нагрузка, соответствующая удлинению /.
Работа упругой силы при переходе точки, к которой
приложена сила упругости, из положения, соответствующего недеформи-
рованному состоянию, в данное деформированное оказалась
пропорциональной квадрату перемещения. Работу W0 1 можно
также выразить как произведение перемещения на силу, равную
среднему арифметическому сил упругости до деформации и в
конечный момент деформации.

228
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Рис. 310
Упругие постоянные материала
и геометрические размеры
деформируемого тела (пружины) входят
в формулу (24.20) через
коэффициент жесткости с. Последний
может быть определен как
отношение силы Р, приложенной к
пружине, к производимому ею
статическому удлинению / :
О
f '
' ст
Рассмотрим теперь работу
силы упругости при движении точ-
у^Ч^" /х—*J7/ ки по любой кривой. Предполо-
xr \ vM / жим, что к точке, выведенной из
положения О, соответствующего
отсутствию деформации,
приложена сила упругости,
направленная к центру О и
пропорциональная удалению точки от этого
центра (рис. 310). Такая сила будет
действовать, например, на массу
М, закрепленную на
отклоненном от положения равновесия
свободном конце упругого стержня
(рис. 311), другой конец которого заделан, при условии, что
моменты инерции поперечного сечения стержня относительно
любой оси, расположенной в плоскости этого сечения, равны друг
другу. (Таково, например, круговое сечение.) Тогда проекции
силы упругой реакции изогнутого стержня на две
взаимно-перпендикулярные оси х9 у9 лежащие в плоскости поперечного сечения
стержня, будут пропорциональны смещениям х9 у конца оси
стержня:
Рис. 311
-сх9
-су,
причем постоянная с, одинаковая по условию для любых
направлений, определится формулой
SEJ

§ 124. Вычисление работы в некоторых частных случаях
229
где I — длина стержня, J — момент инерции поперечного
сечения относительно оси, лежащей в этом сечении, Е — модуль
продольной упругости.
Обозначая вектор-радиус точки М через г и коэффициент
упругости через с, будем иметь
F = -СГ. (24.21)
Элементарная работа силы F равна
8W = F • dr = -с (г • dr) = -с d -^- = -с d -=-.
Подобно силе веса элементарная работа силы упругости
представляется полным дифференциалом, а следовательно, работа
упругости на конечном участке MXM2 легко вычисляется и
оказывается равной
W1,2=J ?>W=~\ Cd~ = ^C(r\ - r\). (24.22)
Mx rx
Результат получается аналогичным случаю прямолинейного
движения.
Работа силы упругости при отклонении из недеформированного
состояния пропорциональна квадрату отклонения от этого
состояния.
Как и в случае силы тяжести, работа силы упругости зависит
не от траектории, а только от начального и конечного положений
точки. Если начальное и конечное положения точки находятся на
одном и том же расстоянии от центра, то работа на
соответствующем перемещении равна нулю. При удалении от центра работа
упругой силы отрицательна, при приближении к центру —
положительна.
Аналогичным путем определяется работа упругих сил при
кручении. Если сечение упругого вала (проволоки, нити)
закручено на угол ф по отношению к недеформированному сечению, то
образующийся в этом сечении момент упругих сил относительно
оси вала пропорционален углу кручения, т. е.
mz = -£ф,
где коэффициент k зависит от упругих свойств тела,
геометрических размеров сечения и его положения, причем знак минус
показывает, что момент всегда создает вращение, противоположное

230
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
закручиванию (упругие силы стремятся восстановить
равновесие). Элементарную работу момента кручения найдем по формуле
(24.16):
8W = -Щ d(p,
и, следовательно, полная работа при кручении от начального
угла фг до конечного угла ф2 будет
ф2
Wl, 2 = " J *Ф о!ф = ^ k (q>i " фз),
что аналогично выражению (24.22).
§ 125. Кинетическая энергия системы материальных точек.
Теорема Кёнига
Мера движения материальной точки, называемая
кинетической энергией, определяется формулой
Т = 2mv2> (24.23)
в которой через m и v обозначены соответственно масса и
величина скорости рассматриваемой точки. Очень часто кинетическую
энергию называют живой силой (лучше избегать этого термина,
так как речь идет не о силе, а об энергии).
Кинетической энергией системы материальных точек
называется сумма кинетических энергий всех входящих в систему точек
1 "
Т= ^ X ШЛ).2. (24.24)
^ i = l
Кинетическая энергия, согласно этому определению, является
существенно положительной величиной, обращающейся в нуль
лишь в том случае, когда скорости всех входящих в систему
точек обращаются в нуль, т. е. в случае покоя системы.
Так как квадрат величины вектора может быть представлен
как скалярное произведение вектора на самого себя, формулы
(24.23) и (24.24) могут быть в случае одной материальной точки
переписаны в виде
Т = о mv<v (24.25)

§ 125. Кинетическая энергия системы точек
231
и в случае системы материальных точек — в виде
1 п
Т= ^ X тп.и.-и.. (24.26)
^ ^=1
Как это следует из определения (24.23), за единицу
кинетической энергии следует принять ту же единицу, что и для работы:
1 кг-м2 кг-м
2 = 1 —y~ " м = 1 Н ■ м = 1 Дж.
При вычислении кинетической энергии оказывается
полезным прием разложения движения системы на поступательное
движение ее вместе с центром масс и относительное движение
вокруг центра масс. Докажем следующую теорему.
ТЕОРЕМА КЁНИГА. Кинетическая энергия системы
материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы,
мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся со
скоростью центра масс} и кинетической энергии системы в ее
относительном движении по отношению к поступательно движущейся
системе отсчета с началом в центре масс:
Т =\ Mv2c + Т. (24.27)
Эта теорема была установлена С. Кёнигом в 1751 г.
В формуле (24.27) через М обозначена масса всей системы,
через ос — скорость ее центра масс; кинетическая энергия системы
в ее относительном движении равна
Т=\ £ mt(u\r))29 (24.28)
^ i = l
(г)
где vt — величина скорости массы mi по отношению к системе,
поступательно движущейся с центром масс.
Отбросим сначала предположение, что начало О
поступательно движущейся системы Ох'у'г' взято в центре масс движущейся
системы материальных точек.
Абсолютную скорость vt точки системы представим как гео-
(г)
метрическую сумму ее относительной скорости и в системе
КЁНИГ ИОГАНН САМУЭЛЬ (Konig Johann Samuel, 1712—1757)—
швейцарский математик и механик, с 1744 г. работал в Голландии; чл. Берлинской
АН (1749), чл.-корр. Французской АН, чл. Лондонского королевского
общества (1751), чл. Гёттингенской АН.

232
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Ox'y'z' и переносной скорости vte , т. е. скорости точки системы,
через которую в рассматриваемый момент проходит точка Мь;
при поступательном движении системы скорости всех ее точек
одинаковы; поэтому, обозначая через v0 скорость начала О этой
системы, имеем
v\ = V0 (24.29)
и далее
Vt= v\r) + vQ. (24.30)
Подстановка этого выражения в (24.26) дает
Т = \ ±imi[vY> +v0).[v\r> +v0) =
П
Теперь, заметив, что 1L тпь = М, вынося за знаки сумм множите-
i = l
ли, не зависящие от £, и воспользовавшись обозначением (24.28),
получим
Т = Г 4- v0 • £ m,.^r) + | Muq . (24.31)
Преобразуем выражение суммы, стоящей во втором слагаемом
в правой части этой формулы. Для этого вспомним, что по
формуле (22.20)
п
X тгг,' =М(гс-г0). (24.32)
/ — 1
С другой стороны, при поступательном движении системы Ox'y'z'
(г) .,
V\ = rt . (24.33)
Поэтому, продифференцировав выражение (24.32) по времени
и заметив, что
гс = ис го = ио>
где vc — скорость центра масс, a v0 — скорость начала системы
отсчета, получим
I т^[г) = M(vc - v0) = Mv^ , (24.34)
i = l

§ 126. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела
233
(г)
где vc , согласно (24.30), представляет собой скорость центра
масс по отношению к движущейся системе Ox'y'z''. Подстановка
в (24.31) приводит теперь к соотношению
Т=Т 4- Mv0 • v(c] 4- \Mv\ . (24.35)
Это представление выражения кинетической энергии в ряде
случаев может оказаться полезным, но чаще всего следует
предпочтительнее принять за начало отсчета подвижной системы
осей центр масс движущейся системы; тогда
vo = vc> vc] = °>
и из (24.35) получаем теорему в вышеприведенной формулировке
(24.27):
Т=Т'+ \mv2c.
Отметим, что в (24.35) через Т" обозначена кинетическая
энергия системы в ее движении относительно поступательно
движущейся системы Ox'y'z' с началом в точке О, а в (24.27) — такая
же величина, но при условии, что началом системы отсчета
является центр масс.
§ 126. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела
Ограничимся рассмотрением простейших случаев движения
твердого тела.
■ В случае поступательного движения твердого тела,
обозначая через v скорость, одинаковую для всех точек тела, и через
М — массу тела, согласно формуле (24.24) находим
1 " 2 1" 1
Т= ~ X mivi = ^v2 Ъ mt = t;Mv2. (24.36)
■ В случае вращения тела вокруг неподвижной оси Oz9
обозначая угловую скорость через со, расстояние элементарной массы ть
от оси вращения — через hi9 момент инерции тела относительно
оси вращения — через Jz9 имеем

234
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
и формула (24.24) дает
1 " 1 п 2 1
Т = ъ Ъ mi((x)hi)2 = оЮ2 2 mihi = o^w2. (24.37)
■ В случае плоского движения твердого тела относительным
движением по отношению к поступательно движущимся осям
является вращение тела с его угловой скоростью со. Поэтому,
поместив начало поступательно движущейся системы в центр масс
тела С, можем применить для вычисления величины Т",
входящей в выражение (24.27), только что полученную формулу
(24.37):
Т = 2Jz w
л2
т(С)
где Jz — момент инерции тела относительно оси,
перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс.
Применив (24.27), найдем
Т = \ Mv2c + \ J(2C) W2. (24.38)
Эту формулу можно преобразовать к виду, более удобному для
некоторых приложений. Напомним, что
vc
где PC — расстояние между мгновенным центром скоростей Р
(С) 2
и центром масс С; заменив Jz на Мрс , найдем
T=\m\\+(^\^V2c, (24.39)
где рс — радиус инерции относительно оси, перпендикулярной
плоскости движения и проходящей через центр масс.
Величина
Мс = м[1+[^) ], (24.40)
не зависящая от скоростей точек тела, называется массой,
приведенной к центру масс; воображаемая масса jllc, движущаяся со
скоростью центра масс, имела бы ту же кинетическую энергию,
что и тело в рассматриваемом плоском движении. Так как
мгновенный центр меняет в процессе движения свое положение, со-

§ 126. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела
235
впадая с различными точками фигуры, отрезок PC изменяет
свою длину, зависящую от положения фигуры, т. е. |LLC не
является постоянной величиной.
В некоторых случаях за начало поступательно движущейся
системы осей принимают не центр масс, а какую-либо другую
точку тела О, совершающего плоское движение. Тогда по (24.35)
будем иметь
Т = \ J(20) ю2 + \Mv\ 4- Mv0 • v(c} , (24.41)
т(О)
где Jz — момент инерции тела относительно оси,
перпендикулярной плоскости движения и проходящей через точку О.
Вектор v£ представляет вращательную скорость центра масс
С, когда за полюс фигуры, совершающей плоское движение,
принята точка О (рис. 312). Поэтому
vo ' vc} = vo' (<° х roc ) = <° ' (roc x uo)>
где г'ос — вектор-радиус точки С по отношению к полюсу О.
Предположим (рис. 312, а), что вектор v0 отклонен от вектора
г'ос на угол а (меньший л) в сторону вращения фигуры (или —
во втором случае — в сторону, противоположную этому
вращению: рис. 312, б). Тогда вектор r'oc x и0, равный по величине
r'oc vo s^n а = ^^' vo s^n а» бУДет иметь направление вектора со
(противоположное вектору со во втором случае). Итак,
(г)
v0 ' VC = — ОС ' WL,0 sin a» (24.42)
причем тот или иной знак нужно выбирать в соответствии со
сказанным выше. Замечая, что со = v0/OP9 где ОР — отрезок, соеди-
Рис. 312

236
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
няющий полюс О с мгновенным центром скоростей Р, получаем
по(24.41)
2
T = \mvI^I + [^] ±2§£ sin a], (24.43)
где р0 — радиус инерции тела относительно оси,
перпендикулярной плоскости движения и проходящей через полюс О.
Величину
[10 = М
1+ (ор) ±2^р Sinai (24.44)
можно назвать массой, приведенной к полюсу О.
При аналитическом рассмотрении плоского движения
положение фигуры, как известно, задается координатами х0, у0
полюса О и углом поворота ф. Тогда
V0x= *0> V0y = У0> Ю = Ф-
Обозначая через х'с, у'с координаты центра масс в системе
осей Ох'у'9 связанных с плоской фигурой и имеющих начало в ее
полюсе О, получаем
(г) - / (г) . /
vcx> =-<Wc> vcy> = <Vxc
и далее
vo' vc} = Ф (~v0x> Ус + voy> хсУ>
здесь v0x> и v0 , — проекции на указанные оси скорости полюса,
равные (т. I, § 55, формула (14.14))
"О*' = V0x COS Ф + V0y Sin Ф> V0y' = ~V0x Sin Ф + V0y COS Ф'
Выражение кинетической энергии Т записывается, согласно
(24.41), в виде
Т = \ 40)Ф2+|М(Х? +i,20)-My(v0x,y'c-V0y,x'c). (24.45)
Оно значительно упростится, если полюс О поместить в центре
масс; тогда хс = у'с = 0, и мы получаем
T=\jf} ^+\M(xl+yl). (24.46)

§ 127. Теорема об изменении кинетической энергии
237
Вычисление кинетической энергии твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижного центра, а также в общем случае
движения твердого тела будет дано ниже, после того как мы более
подробно разовьем учение о моментах инерции.
§ 127. Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема об изменении кинетической энергии, или, как еще
иногда ее называют, теорема живых сил, связывает изменение
кинетической энергии системы точек с работой сил,
вызывающих это изменение.
Для вывода этой теоремы сначала в случае одной
материальной точки умножим обе части основного дифференциального
уравнения динамики точки
dv r,
т-г- =F (24.47)
скалярно на элементарное перемещение точки dr. Получим
т гП " dr = F • dr. (24.48)
Замечая, что dr = v dt9 находим
m -г- • v at = mdv • v = d-~ (vv) = d 9 ;
в правой части равенства (24.48) стоит выражение элементарной
работы 5W; следовательно,
d = dW, (24.49)
или, вспоминая определение кинетической энергии,
dT = SW. (24.50)
Это соотношение представляет собой теорему в
дифференциальной форме.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МА-
ТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ.
Приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном
перемещении равно элементарной работе приложенных к точке сил
на этом перемещении.

238
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Интегрируя уравнение (24.49) между пределами,
соответствующими начальному Мг и конечному М2 положениям
движущейся точки, и обозначая соответственно через vx и v2 скорости
точки в этих положениях (рис. 313), получаем
1
1
2 mv2 ~ 2mv
mz
J bW
м,
W-
1,2»
ИЛИ
т2 - тг
W
1, 2»
(24.51)
причем через Wx 2 обозначена работа сил, действовавп1их на
точку на перемещении МХМ2. Уравнение (24.51) представляет собой
теорему в интегральной форме.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ИН
ТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ. Приращение кинетической энергии
материальной точки на конечном перемещении равно сумме работ сил,
действовавших на точку на этом перемещении.
Для ряда приложений имеет значение другая формулировка
доказанной теоремы.
ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетической энергии
материальной точки равна мощности действующих на точку сил:
d/
(24.52)
Для доказательства умножим обе части уравнения (24.47) ска-
лярно на вектор скорости и. Получим
dv
mdi'v
F-v = N;
замечая, что
dv d mv2
mdimv=Tt-2-s
dT
dt '
Рис. 313
приходим к сформулированному
в теореме соотношению (24.52).
Теорема об изменении
кинетической энергии материальной
точки легко обобщается на случай

§ 127. Теорема об изменении кинетической энергии
239
системы материальных точек. Для этого предположим, что
уравнение (24.49) составлено для каждой точки Мь системы
d-L-L =SW,
Суммируя эти уравнения по всем точкам, включенным в
систему, и вспоминая, что кинетическая энергия системы есть сумма
кинетических энергий всех ее точек
1 п 2
получаем
п 771 V^ n
dT = d X Чт-1 = £ SW-.
Здесь 2 SWt представляет собой сумму элементарных работ
i = l
сил, действовавп1их на рассматриваемом элементарном
перемещении на каждую точку системы. На данную точку действуют
внешние по отношению к системе силы — воздействия на нее со
стороны тел, не принадлежащих системе, и внутренние силы —
воздействия на ту же точку со стороны точек, принадлежащих
п
этой системе. Поэтому величина Z SWt может быть представлена
i = l
как сумма двух слагаемых: элементарной работы внешних сил —
обозначим ее через 5W — и элементарной работы bW внутренних
сил. Итак, получаем теорему в дифференциальной форме:
AT = bW+bW\ (24.53)
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕ
МЫ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ. Приращение кинетической
энергии системы материальных точек на элементарном
перемещении равно сумме элементарных работ внешних и внутренних сил}
действовавших на систему на этом перемещении.
Интегрируя между пределами, соответствующими двум
положениям системы — начальному 1 и конечному 2, — и обозначая
через Тг и Т2 кинетические энергии в этих положениях, получим
теорему в интегральной форме:
(2) (2)
Т2 - 7\ = J 5W 4- J 5W = WU2+ W'1% 2 . (24.54)
(1) (1)

240
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕ
МЫ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ — ТЕОРЕМА ЖИВЫХ СИЛ.
Приращение кинетической энергии системы на конечном перемещении
равно сумме работ внешних и внутренних сил, действовавших на
этом перемещении.
Теорема об изменении кинетической энергии в форме (24.52)
также может быть обобщена на случай системы материальных
точек.
ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетической энергии
системы материальных точек равна мощности внешних и внутренних
сил, приложенных к системе:
d/ i=i l l , = i l l
(24.55)
Пример 107. Определить кинетическую энергию снаряда при
вылете из дула орудия, принимая следующие данные*: масса снаряда
М = 360 кг, полукалибр R = 0,152 м, радиус инерции снаряда
относительно оси вращения рс = 0,735 i?, угловая скорость снаряда вокруг оси
(начальная) го0 = 552 1/с, скорость центра масс (в начальный момент)
и0= 800 м/с.
По формуле (24.27) имеем
Т =\ Mvl + \ Мр2с &1 = ^ (8002 + 0,7352 • 0Д522 • 5522) =
= 1,16-108Дж.
Кинетическая энергия вращательного движения в этом случае
составляет лишь 0,6% от энергии поступательного движения.
Полученный результат дает представление об
огромной разрушительной работе, которую далее не
разрывающийся снаряд может произвести при ударе о
препятствие. Товарный поезд в составе 50 груженых вагонов
(скорость принимаем 24 км/час, масса груженого
вагона 25 т) при двух тепловозах (считаем кинетическую
энергию тепловоза равной удесятеренной энергии одного
вагона) имеет запас кинетической энергии, равный
только 38% энергии снаряда. Это объясняется громадной
скоростью снаряда, в два с лишним раза большей скорости
звука в воздухе; кинетическая же энергия
пропорциональна квадрату скорости.
Пример 108. Груз массой М опускается на канате
с постоянной скоростью vQ. Определить растяжение
каната при мгновенной остановке его верхнего конца; мас-
Рис. 314 сой каната пренебрегаем (рис. 314).
См. Крылов А. Н. [10, с. 200].

§ 127. Теорема об изменении кинетической энергии
241
Рассмотрим два положения: начальное — в момент остановки
верхнего конца каната — и конечное — в момент остановки груза. В
начальном положении кинетическая энергия системы, если пренебречь массой
каната, равна
Tx=Mvl/2,
а в конечном положении кинетическая энергия Т2 = 0.
При равномерном движении груза со скоростью v0 канат растянут
грузом на некоторую длину /ст (статическая деформация), определяемую
соотношением
с/ст = G = Mg.
После остановки верхнего конца каната груз продолжает двигаться,
растягивая канат. Обозначим через у смещение груза, отсчитываемое от
его положения в момент остановки верхнего конца каната, и через /
дополнительную деформацию каната к моменту остановки груза
(динамическую часть общей деформации каната). Тогда работа приложенной
к грузу упругой реакции каната будет равна
-с J (/ст + z/)dz/ = -с(/ст/д + | /д2 \
Работа силы тяжести G на рассматриваемом участке равна
Gf^Mgf^cfJ^.
Применяя теорему об изменении кинетической энергии, находим
-T^Mgf^-cfJ^lcfl =-cf\.
Подставляя начальное значение кинетической энергии, получаем
В канате возникнет дополнительное (по отношению к первоначальному
статическому) напряжение, которое по известной формуле
сопротивления материалов составляет
Е/л =Е
I I
-В-
Замечая, что жесткость каната с равна с = EF/1, получаем
Здесь I — длина свешивающейся части каната в момент остановки
верхнего конца его, Е — модуль Юнга материала, F — площадь поперечного
сечения каната. Из полученной формулы следует, что опасной является
внезапная задержка верхнего конца каната при малой 1У т. е. в
начальный период движения груза; вместе с тем при малой I масса каната будет
невелика, и молено довольствоваться полученным приближенным
результатом.

242
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
т
^
■<
Рис. 315
Пример 109. Копер представляет собой
физический маятник (рис. 315), состоящий из
однородного стержня массой ту на конце которого
закреплена тяжелая отливка массой М; длина
стержня от оси вращения до центра тяжести отливки
равна I. Отливка падает с пренебрежимо малой
начальной скоростью из вертикального верхнего
положения. Пренебрегая размерами отливки,
определить угловую скорость копра в момент
прохождения через нижнее положение равновесия и
усилие в стержне в этот момент времени.
Для определения угловой скорости го стержня в
момент прохождения через нижнее положение
равновесия применим теорему об изменении
кинетической энергии. Имеем
Г! = 0,
r2=±J,(J>2,
где момент инерции Jz системы относительно оси вращения слагается из
момента инерции стержня (l/3)ml2 и момента инерции отливки, равного
Ml2. Работа силы тяжести стержня и отливки равна
W
1}2-(тп 4- 2M)lg.
Находим
2 _ 6(тп - 2М) g
ГО'
М + ЗМ I
(ос)
Максимальное натяжение <S будет иметь место в сечении стержня,
примыкающем к оси вращения. По теореме о движении центра масс С
системы
п
(М 4- m)wc = X Ft;
i = l
проецируя это уравнение на главную нормаль к траектории в момент
прохождения системой нижнего равновесного положения, получаем
(m 4- M)hc(£>2 = -mg - Mg 4- S,
m 4- 2M
здесь
hc~ 2{m + Af)1
Отсюда имеем
(P)
S = (m + M)(g + hca2)y
или после подстановки выражений (а) и (р)
т 4- М +
3(т + 2М)2
т 4- ЗМ

§ 128. Потенциальная энергия силового поля
243
Пример 110. Цепь шахтного
подъемника (рис. 316) приводится в
движение воротом, находящимся на одном
валу с электромотором. Определить
мощность электромотора N, принимая
следующие данные: подъем груза весом
Gl начинается с ускорением w;
достигнув значения и1||ах, скорость груза далее
остается постоянной. Диаметр ворота
2г1? диаметры блоков 2г2, 2г3, момент
инерции ворота Jl9 моменты инерции
блоков J2 и с/3, вес поднимаемой
вагонетки с грузом Gl9 вес опускающейся
вагонетки G2, вес единицы длины цепи
д, общая длина цепи I. Моменты
инерции даны относительно осей вращения
соответствующих тел.
Теорема об изменении кинетической
энергии, записанная в форме (24.55),
дает
%=N-(G1-G2)o,
где второе слагаемое в правой части представляет мощность сил
тяжести. При этом предполагается, что центр тяжести цепи сохраняет при ее
движении неизменное положение, так что работа силы тяжести цепи
равна нулю. Подставляя значение
и замечая, что v = wy получаем
KG, ♦ G. \ ql J. J, J, \ -i
/ +7 +7 + -£)*> +G\-G2\*>-
В период установившегося движения с постоянной скоростью v = итлх
имеем
„, = 0, N = (G1-G2)vmax.
§ 128. Потенциальная энергия силового поля
Среди сил разнообразной природы, с которыми приходится
иметь дело в механике, особое место занимает класс сил,
величина и направление которых зависят только от положения точки
Ч_У

244 Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
пространства, в которой находится рассматриваемая
материальная точка, или от взаимного расположения взаимодействующих
точек.
Примером может служить сила тяготения двух точечных
масс, обратно пропорциональная квадрату расстояния между
этими массами и, следовательно, зависящая от их взаимного
расположения. Точно так же сила, действующая на электрически
заряженную частицу в электростатическом поле, зависит лишь
от положения частицы в этом поле и также принадлежит к
рассматриваемому классу сил. В качестве еще одного примера
можно привести упругие силы.
Если точка или система точек движется в пространстве под
действием сил, однозначно определяемых положением тех точек
пространства, в которых в данный момент находятся точка или
система, то говорят, что точка или система движутся в силовом поле.
Силовое поле может быть как одинаковым в разные моменты
времени, так и изменяться с течением времени. В первом случае
поле называется стационарным, во втором — нестационарным.
Так, например, силовое электростатическое поле вокруг
заряженного тела будет стационарным, если заряд тела постоянен во
времени, и нестационарным в противоположном случае. В
дальнейшем будут рассматриваться лишь стационарные силовые поля.
Класс сил, зависящих от положения, принципиально
отличается от сил, зависящих от скорости, каковыми являются силы
сопротивления среды движению в ней тела или сила, с которой
магнитное поле действует на движущийся электрический заряд.
Это различие выражается в том, что проекции силы F9 с
которой силовое поле действует на движущуюся в нем материальную
точку, являются наперед заданными функциями координат
Fx = Fx(x, у, г), Fy = Fy (х, у, г), Fz = F2(x, у, г) (24.56)
независимо от того, какое движение совершает материальная
точка в этом поле.
Через точку поля М проведем вектор силы F9 с которой поле
действует в этом месте на данную материальную точку. Возьмем
на направлении этого вектора смежную точку М\ через нее
проведем соответствующую ей силу F' и т. д. (рис. 317); получим
ломаную ММ'М" ... , которая в пределе при неограниченном
сближении смежных точек М, М\ М", ... превращается в
кривую, называемую силовой линией поля.

§ 128. Потенциальная энергия силового поля
245
Рис. 317
Согласно этому определению сила,
действующая в силовом поле на точку,
направлена по касательной к силовой
линии} проходящей через данное
положение движущейся точки.
Через каждую точку поля можно
провести единственную силовую
линию*, и поле можно считать
заполненным силовыми линиями. По
силовой линии будет двигаться в первый момент точка, если ее
отпустить без начальной скорости.
Пусть в заданном равенствами (24.56) силовом поле движется
материальная точка М. При переходе точки из положения М0
в положение М совершается, по предыдущему, работа
м м
W01= \ F-dr = \ (Fxdx 4- Fydy + Fzdz). (24.57)
Криволинейный интеграл, стоящий справа, в общем случае
силового поля зависит от формы траектории, по которой точка
переходит из положения М0 в положение М. Но уже в § 124 было
отмечено существование сил (сила тяжести, упругая сила),
работа которых не зависит от траектории точки, а определяется
только координатами ее конечного и начального положений.
Докажем общую теорему.
ТЕОРЕМА. Необходимым и достаточным условием того} чтобы
работа силы F не зависела от формы траектории материальной
точки в силовом поле, а определялась только конечным и начальным
положениями точки в этом поле, является существование
однозначной функции координат, частные производные которой по х, у, z
равны проекциям силы F на соответствующие оси координат.
Обозначим эту функцию через [—П(я, у, z)]. Таким образом,
указанные условия имеют вид
эп _ эп _ эп
F* = -Tx> *V = "^' ^ = -Э1- (24"58)
Как известно из т. I, § 75, эта система равенств эквивалентна
одному векторному равенству
F = -grad П. (24.59)
Исключения представляют особые точки силового поля. Через особую точку
или совсем не проходят силовые линии, или проходит не единственная линия.

246
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Функция Т\(х, у, г) называется потенциалом или
(происхождение второго термина станет ясным в дальнейшем)
потенциальной энергией силового поля, а само силовое поле при этом —
потенциальным.
Предполагается, как указано, что функция И(х, у, г)
определена единственным образом в любой точке рассматриваемой
области изменения переменных х, у, 29 т. е. однозначна. Так,
например, из рассмотрения исключается выражающая полярный
угол точки функция ф = arctg (y/x)9 принимающая в любой
точке, отличной от точки х = 0, у = 0, в которой она не определена,
бесчисленное множество значений, отличающихся целым
кратным 2я.
■ Достаточность условий (24.58) доказывается тем, что при
соблюдении их выражение (24.57) работы W0 г принимает вид
м м
где dn — полный дифференциал потенциальной энергии.
Обозначая через х9 у9 2 координаты точки М и через х0, у09 20 —
координаты точки М0 и замечая, что интеграл от полного
дифференциала функции равен разности значений ее при значениях
переменных, соответствующих верхнему и нижнему пределам, получаем
W0 г = Щх0, у09 г0) - Щх9 у9 2). (24.60)
Таким образом, работа действительно оказалась зависящей не
от траектории перехода точки из положения М0 в положение М,
а только от координат, определяющих эти положения. Фиксируя
начальное положение М0, можно сказать, что работа является в
рассматриваемом случае функцией координат х, у, 2 конечного
положения точки.
Следствием предположения об однозначности потенциальной
энергии является обращение в нуль работы при совпадении
начальной и конечной точек пути интегрирования.
Работа в потенциальном силовом поле по любому замкнутому
пути равна нулю.
Этот признак может быть принят за определение
потенциального силового поля. Можно сказать также, что циркуляция
вектора силы по замкнутому контуру в потенциальном поле равна
нулю.

§ 128. Потенциальная энергия силового поля
247
■ Для доказательства необходимости следует предположить,
что
м
W0^= \ (Fxdx + Fydy + Fzdz) = -Щх, у, г) + П(*0> у0, г0),
(24.61)
и доказать справедливость равенств (24.58).
Зафиксировав положение М0, рассмотрим работу W0 у на
пути М0ММ\ где М' — точка, бесконечно близкая к М и имеющая
координаты (х 4- dx9 у 4- dy9 z 4- d-г). По (24.60) будем иметь
м
W0wr = \ (Fxdx + Fydy + Fzdz) =
= -Щх + Ах9у + dy, z 4- dz) 4- Щх09 у0, г0).
Разность работ W0 у - W0 1 представляет собой элементарную
работу на пути ММ':
dW = Fxdx 4- Fydy 4- Fzdz =
= -Щх 4- dx, у 4- dy, z 4- dz) 4- Щх, у, z).
Но величина справа с точностью до малых высших порядков
равна полному дифференциалу (-dll):
Fxdx + Fydy + Fzdz = -dn = - (|П dx + Щ dy + |^ dz ), (24.62)
или
Дифференциалы dx9 dy9 dz независимы друг от друга; можно,
например, взять dy = 0, dz = 0, dx ^ 0, что соответствует
смещению конца пути интегрирования в интеграле (24.60) на
бесконечно малый отрезок, параллельный оси х. Тогда из предыдущего
равенства получим
отсюда, поскольку dx ^ 0, получаем первое из равенств (24.58).
Аналогично приходим к двум остальным равенствам, что и
доказывает теорему.

248
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Из соотношения (24.60) следует, что работа силы в
потенциальном силовом поле при перемещении точки из некоторого
начального положения (0) в конечное (1) равна уменьшению (падению)
потенциальной энергии между этими двумя положениями точки.
В выражение работы потенциальная энергия входит как
разность ее значений в двух точках. Поэтому потенциальную
энергию можно определять с точностью до некоторой аддитивной
постоянной, значение которой совершенно произвольно.
Распоряжаясь этим, выберем значение потенциальной энергии в
начальном положении точки (0) равным нулю, т. е. примем
Щх0, у0, 20) = 0.
Тогда, переписывая (24.60) в виде
Щх9 у, г) = -W0f! = Wh 0, (24.63)
заключим, что потенциальная энергия в данной точке равна
работе, которую совершили бы силы поля при перемещении точки
из данного положения в начальное.
Элементарная работа потенциальной силы по (24.61) равна
взятому со знаком минус полному дифференциалу функции П.
Поэтому если вычисление элементарной работы приводит к
выражению, являющемуся полным дифференциалом, то сила будет
потенциальной.
Вспоминая введенную в т. I, § 75 операцию вихря rot а, можем
на основе известного тождества
rot grad ф = 0
записать условие потенциальности силового поля в форме
rotF = 0,
или в проекциях на оси координат
ZF dFz dFz dFx dFx dF
-^ = it5 » ir1 = T"5 > т-5 = ir* • <24-64)
oz ay ox oz ay ox
Рассмотрим однопараметрическое семейство поверхностей
Щх, у, г) = const = С. (24.65)
На каждой из таких поверхностей, соответствующей некоторому
фиксированному значению параметра С, потенциальная энергия
сохраняет одно и то же значение С. Такая поверхность
называется поверхностью уровня потенциальной энергии или изопотен-
циальной поверхностью.

§ 128. Потенциальная энергия силового поля
249
Возьмем какую-нибудь точку Мх с координатами xl9 у19 гх и
проведем через нее изопотенциальную поверхность. Уравнение
такой поверхности будет, очевидно,
Щх, у, г) = Щх19 у19 гг). (24.66)
Через каждую точку силового поля можно провести
поверхность уровня потенциальной энергии, так что все поле будет
заполнено поверхностями уровня. Из соотношения (24.60) теперь
следует, что работа в потенциальном силовом поле не зависит не
только от траектории, но также и от точного указания
начального и конечного положений точки; для определения работы
достаточно задать поверхности уровня, на которых точка находилась в
начальный и конечный моменты движения. Выбирая вновь
значение потенциальной энергии на начальной изопотенциальнои
поверхности равным нулю, делаем следующее заключение.
Потенциальная энергия в данной точке поля равна работе сил
при переводе движущейся точки с данной поверхности уровня на
некоторую условно «нулевую» поверхность уровня. Таким образом,
потенциальная энергия характеризует возможность силового поля
совершать работу.
Вспоминая т. I, § 75, где вектор градиента скалярной функции
по направлению определен перпендикуляром (нормалью) к
поверхности уровня скалярной функции, отложенным в сторону
возрастания скалярной функции, а по величине — производной
скалярной функции по положительному направлению
нормали — внешней нормали, — и принимая во внимание
определяющее силу равенство (24.59), можем сделать следующий вывод.
В потенциальном силовом поле сила направлена по нормали к
изопотенциальнои поверхности в сторону убывания потенциальной
энергии и по величине равна абсолютному значению производной
потенциальной энергии по нормали к изопотенциальнои поверхности.
В случае системы материальных точек потенциальной
энергией называется функция координат (xi9 yi9 zt) точек системы
И \х1> У\9 219 Х29 У29 %29 '" ' Хп9 Уп9 2п)9
частные производные которой по координатам точки, взятые со
знаком минус, равны соответствующим проекциям силы,
действующей на эту точку:
ЭП ЭП _ ЭП
Fix = -5—, Fhj = -5—, F}z = -5—. (24.67)

250
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
При этом выражение элементарной работы будет
SW = £ (Fixdxt + FlyAVl + Fizd2i) =
" (эп , an, an, > JTT
Интегрируя это выражение элементарной работы при
перемещении точек системы из некоторого положения 1 в положение 2,
получаем
Wh2 = II1-II2. (24.69)
Работа потенциальных сил при переходе системы из одного
положения в другое определяется уменьшением (падением)
потенциальной энергии от значения в начальном положении системы до
значения в конечном ее положении.
§ 129. Потенциалы силовых полей
Рассмотрим некоторые простейшие силовые поля.
1°. Потенциальная энергия поля силы тяжести. Выбирая
систему координат так, чтобы горизонтальная плоскость на
заданном произвольно уровне была плоскостью хОу9 а ось Oz была
направлена вертикально вверх, будем иметь в случае одной точки
весом G (и массой т)
bW = -dn = -Gdz = -mg dz, (24.70)
откуда
П = Gz = mgz. (24.71)
Постоянную интегрирования можно, как было указано, выбрать
совершенно произвольно, например опустить.
Потенциальную энергию системы тяжелых точек Мь с
весами Gt (массами ть) и ординатами гь определим интегрированием
равенства
bW = -dn = i (-Gtdzt) = £ (-m.gdz^
/=1 i=l
откуда
n n
П= X Gtzt = Gzc= X rntgzt = Mgzc, (24.72)
i=l i=l
где zc — ордината центра масс системы, G — сумма весов
отдельных точек системы (М — сумма масс этих точек).

§ 129. Потенциалы силовых полей
251
Работу силы тяжести при переходе системы из положения 1
в положение 2 найдем по формуле (24.69):
Wh 2 = Пг - П2 = G (2Ci ~ ZC2) = Mg (2Ci - 2C2). (24.73)
Работа силы тяжести не зависит от траекторий точек системы;
поле тяжести — потенциальное поле. Поверхностями уровня
будут, очевидно, являться горизонтальные плоскости, силовыми
линиями — вертикали.
2°. Потенциальная энергия упруго деформированного тела.
В случае растянутой пружины, удлинение которой из
натурального (недеформированного) состояния равно х9 определяя
потенциальную энергию как работу, совершаемую упругими силами
при возвращении пружины в недеформированное состояние,
будем иметь
о о
Щх) = \ Fxdx = -с \ xdx = £ сх2. (24.74)
X X
В этом случае потенциальная энергия упруго деформированного
тела пропорциональна квадрату величины, характеризующей
перемещение из натурального состояния. Точно так же
потенциальная энергия скрученного стержня определяется формулой
П = 2^ф2> (24.75)
где k — жесткость при кручении, ф — угол кручения между
крайними сечениями стержня.
Рассмотрим точечную массу, закрепленную в точке некоторой
упругой конструкции, которая может состоять из пружин,
стержней, плит и т. п. Предположим, что начало координат
помещено в этой точке при натуральном состоянии конструкции.
При малом отклонении массы из начала координат в точку с
координатами х, у, 2 возникнет упругая реакция, проекции
которой на оси координат, согласно закону Гука, будут линейными
функциями координат:
*■* = "(а11* + а12# + а132)'
Fy = ~(а2\х + а22У + а232)> (24.76)
Fz = -(а31* + аг2у + а332).
Коэффициенты аь- зависят от размеров элементов
конструкции, упругих постоянных их материалов и выбора направлений

252
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
осей взятой системы координат. Они обладают важным
свойством взаимности
а\2 = а21' а23 = а32' а31 = а13' (24.77)
являющимся следствием потенциальности упругих сил.
Действительно, для потенциальных сил имеют место соотношения
(24.64), первое из которых в нашем случае дает
dFx __ _ dFy __
ду а12 дх а21'
т. е. а12 = а21. Аналогично получаются остальные равенства (24.77).
Чтобы найти выражение потенциальной энергии,
проинтегрируем ее полный дифференциал:
dn = -(Fxdx 4- F Ay 4- Fzdz) = (а1гх 4- а12у 4- alsz)dx 4-
4- (а21х 4- а22у 4- a2Sz)dy 4- (а31х 4- aS2y 4- assz)dz
и получим
П = р (апх2 4- 2а12ху 4- 2alsxz 4- а22#2 + %а2зУ2 + азз22)' (24.78)
Потенциальная энергия упругой конструкции, подчиняющейся
закону Тука, является однородной квадратичной формой координат
точки, отсчитываемых от положения ее при недеформированном
состоянии конструкции.
Принятое выше физическое допущение, что упругие силы
потенциальны, является выражением свойства идеально упругого
тела накоплять при постепенном нагружении потенциальную
энергию и возвращать ее без потерь, когда тело вернется в
исходное натуральное состояние при постепенном разгружении.
Как пример рассмотрим стержень, нижний конец которого
заделан (рис. 311). При сообщении верхнему концу малого
перемещения £, в направлении одной из главных осей инерции
поперечного сечения* возникает упругая реакция, направленная
противоположно смещению и пропорциональная ему по величине;
такое же явление будет иметь место, если сообщить концу
стержня малое перемещение г\ в направлении второй главной оси.
Таким образом, на точечную массу, закрепленную в конце стержня,
при смещении ее в положение с координатами £, г\ в плоскости,
Понятие о главных осях инерции сечения предполагается известным из курса
сопротивления материалов (см. также § 140). В случае однородного стержня с
симметричным относительно двух взаимно перпендикулярных осей сечением
эти оси будут главными осями инерции.

§ 129. Потенциалы силовых полей
253
перпендикулярной оси стержня в недеформированном
состоянии, будет действовать упругая сила!*1, проекции которой равны
Ft = -c£9 ^ С2Л- (24.79)
Коэффициенты сг и с2 определяются формулами
3EJ^ 3EJ?
сх = 13 •, с2 = 13 >, (24.80)
где J и Jt — моменты инерции сечения относительно
соответствующих главных осей, I — длина стержня, Е — модуль Юнга.
В общем случае, когда J* ^ J , упругая сила F не является
центральной.
Потенциальная энергия изогнутого стержня равна
П = ^ (с£2 + с2ц2). (24.81)
Если оси координат х и у не совпадают с главными осями
инерции, то по формулам преобразования координат имеем
£, = х cos а - у sin а, ц = х sin а 4- у cos а, (24.82)
где а — угол оси х с главной осью £. Выражение потенциальной
энергии принимает в соответствии с общей формулой (24.78) вид
П = р (anje2 + 2a12jq/ 4- a22x2); (24.83)
здесь
an = ci cos2 a + c2 s^n2 a» a22 = ci s^n2 a + c2 cos2 a»
al2 = (C2 ~~ Cl) S^n a COS a'
Проекции упругой силы на оси х и у поэтому будут — ср. (24.76)
и (24.77) —
Fx = -(а11Л: + al2#)> Fy = ~(а\2Х + а22У)' <24"84)
3°. Потенциальная энергия системы тяготеющих масс.
Рассмотрим массу т9 находящуюся в точке М с вектором-радиусом г
в поле притяжения, создаваемом системой п масс mi9
находящихся в точках Мь с векторами-радиусами гь
(рис. 318). На массу т действует
совокупность сил
здесь / — постоянная тяготения. Рис. 318

254
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Элементарная работа этих сил при перемещении dr массы т
равна
п (г. - г) . dr п (г - г7.) • (dr - dr7.)
dW = fm X m} —. r^— = -fm X m} = r^ =
i = l l |r - rt\6 t = i l \r - rt\6
n d(|r,-r|V2) n d|r-rj
= -//n 2. m, —: тт.— = -fm X m, =
i = \ \r - rt\6 i = \ \r - rt\z
= -fmd X . (24.86)
i = l r - rt
Приравнивая это выражение элементарному уменьшению -dn
потенциальной энергии поля, находим
п /п.
П = -fm X ■ ■ . (24.87)
i = \ \r - rf\
Каждое слагаемое этой суммы представляет собой
потенциальную энергию тяготения, создаваемого точкой массы ть
в точке М; но таково же выражение потенциальной энергии
тяготения, создаваемого массой т в точке Мь. По этим
соображениям выражение
т i m тп 7-тп,
"^кг^г-^Г' (24-88)
в котором
\ri - rj\ = rij = J(xi - xj)2 + (Уг ~ У>)2 + (*i ~ 2j)2 > <24-89)
можно назвать взаимной потенциальной энергией системы двух
притягивающихся масс ть и т-. Взаимная потенциальная
энергия системы п точечных масс т19 т29 ... , тп поэтому будет
1 п п -| п п 771; 771
П= 9 X X ntj = —zf X X \ 1*1 (24.90)
Множитель 1/2 нужен потому, что, раскрывая двойную сумму,
мы каждое слагаемое берем дважды (например, задавая i = 1,
7 = 2 иу = 1,1 = 2).

§ 129. Потенциалы силовых полей
255
Пример 111. Упругий подвес состоит из
стержней О1М0, О2М0, ... , ОпМ0, соединенных
в вершине М0 и прикрепленных с помощью
сферических шарниров Ol9 02, ... , Оп к
неподвижной опоре (рис. 319). В начальном
состоянии стержни не напряжены и имеют длины
1Х у /2 , ... , 1п . Требуется составить
выражение потенциальной энергии системы,
предполагая, что вершина М0 получила малое
перемещение.
При деформации k-й стержень OkM0
(рис. 320) приобретет удлинение fk = M0Mk и,
совершив малый поворот вокруг центра
шарнира OkJ займет положение OkM.
Потенциальная энергия этого стержня по (24.74) равна
_EFk
ck 7о •
^k ~ 2°к^к '
Рис. 319
В треугольнике M0MMk угол MQM'kM
молено (с ошибкой второго порядка малости
относительно угла поворота стержня ОкМ0)
считать прямым; при этом отрезок M0Mk
будет проекцией отрезка М0М. Обозначая через
х, у, 2 проекции перемещения М0М на оси
неподвижной системы координат с началом в
точке М0 и через ай, рй, yk косинусы углов
стержня OJS/Lq с теми же осями, получаем
fk = xak + yh + 2Ъ-
Выражение потенциальной энергии примет вид
П н П
п = 2 Щ = 2 2 ck(xak + y$k + 2yk)z,
k-\
k-\
Рис. 320
и в соответствии с формулой (24.78) потенциальная энергия оказывается
квадратичной формой координат х, z/, 2 точки М, коэффициенты
которой вычисляются по формулам
аи ^л ckak
k = l
а12 ,^. С/еа/еР/е»
k = l
а13 ^л Ckakik>
k = l
k = l
2 CfcPfcYft,
/г = 1
/2 = 1

256
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Пример 112. Найти
приближенное значение потенциальной
энергии поля тяготения, создаваемого
системой притягивающих масс
тп1, т2, ... , тп в точке поля М,
расположенной на весьма большом
Рис. 321 расстоянии от этих масс (рис. 321).
Надо рассмотреть выражение
(24.87) при условии, что отношения rt/r9 i = 1, 2, ... , п, значительно
меньше единицы. При таком условии в разложении выражения
. | = , = - 1 - 2 - cos 8, + —
I 'I Jr* ~ 2ГГ, COS 0/ - Г, '
в ряд по степеням этого отношения молено ограничиться небольшим
числом членов. Так, сохранив только члены первой и второй степени,
получим*
i ; - - 1 + - cos 0.. - - -^ + - 4 cos2 в, + ... I
\r - r\ r \ r l 2 r2 2 r2 ' /
и далее найдем
X i '—i = - X m, H—5 X /n,r, cos 0,- - ^—^ 2 /n,- r7- +
= 1|г~г/| r i = l l r2 i = l il l 2r* i = l
vl' I
+ ~—o X /ra,r, cos2 07. + ... .
2r3 j = i l l l
Можно представить это выражение в более простой форме, заметив, что
п
1 = 1
где М — сумма масс притягивающих тел; далее имеем
П -I П П
X ТП-Г- COS 0- = - X ТП-Г- • Г = - • X ТП-Г-.
1=1 г 1=1 г 1=1
Эта сумма будет равна нулю, если за начало отсчета векторов rt
принять центр масс С системы притягивающих масс mly m2, ... , тп. Наконец,
1 п 2 3 п п 2 3 п
- 7> X miri +f Ъ т (rt cos dt)2 = X miri - = X mt (rt sin 0^)2 =
V 2 6 V i.5
Л™^ - 5 X ^A
t=i z t=i
Согласно формуле (23.27)
X mr/ir -Jc
/=1
Коэффициент при (г/1//*""1"1) в этом разложении представляет собой известный
полином Лежандра Pa(cos 0J.

§ 130. Закон сохранения механической энергии
257
представляет собой момент инерции притягивающих масс относительно
прямой СМ у проходящей через центр масс и притягиваемую точку.
Точно так же
t =1
молено назвать полярным моментом инерции притягивающих масс
относительно центра масс С.
С указанной выше степенью точности получаем
п = _fmM _ fm(Jc - (S/2)JCM)
Этот результат остается справедливым и при непрерывном
распределении притягивающих масс, т. е. при рассмотрении притяжения,
создаваемого сплошным телом. Следует лишь при вычислении величин М, JCJ JCM
заменить суммы соответствующими интегралами по объему тела.
В простейшем случае притяжения точки сплошной однородной
сферой вследствие симметрии имеем
п п п 1
L rrijXj = z, miyi = z, ш121 = ^Jt
. 1 . . . 1 . 1 . . з с'
t=l t=l t=l °
откуда следует, что
Т -Ъ-Т
и в выражении потенциальной энергии исчезнут слагаемые, обратно
пропорциональные кубу расстояния г. Молено доказать, что в этом
случае исчезнут также все последующие члены. Выражение потенциальной
энергии примет вид
п = _fmM
г '
т. е. сфера массой М притягивает внешнюю точку так лее, как
материальная точка с такой лее массой, помещенная в центре сферы.
§ 130. Закон сохранения механической энергии
Если все (внутренние и внешние) силы, под действием
которых происходит движение системы, являются потенциальными,
то согласно равенствам (24.54) и (24.69) теорема об изменении
кинетической энергии может быть записана в виде
T2-T1 = U1- П2. (24.91)

258
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Равенство (24.91) показывает, что приращение кинетической
энергии на некотором участке пути системы в потенциальном
силовом поле равно уменьшению потенциальной энергии на том
же участке.
Если в числе сил, действующих на систему, наряду с
потенциальными силами имеются и непотенциальные, то вместо (24.91)
будем иметь
Т2 - Тх = Пх - П2 4- Wu 2 + W[ 2 , (24.92)
где Wr 2 и Wi 2 — работа непотенциальных внешних и
внутренних сил. В дифференциальной форме можно написать
&Т = -dn 4- bW 4- SW\ (24.93)
Возвращаясь к движению в потенциальном поле сил,
перепишем равенство (24.91) в форме
7\ 4- Щ = Т2 4- П2. (24.94)
При движении в потенциальном силовом поле сумма
кинетической и потенциальной энергий системы сохраняет постоянную
величину.
Сумму кинетической и потенциальной энергий системы
назовем полной механической энергией системы и обозначим буквой
Е9 так что
Е = Т + П. (24.95)
При этом (24.94) переписывается в виде
Е1 =Е2
или вообще
Е = const, (24.96)
что приводит к закону сохранения механической энергии.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. Если
система движется под действием только потенциальных сил, то полная
механическая энергия ее во время движения сохраняет свою величину.
Значение постоянной в равенстве (24.96) определяется
заданием координат и скоростей в каком-нибудь промежуточном
состоянии системы, в частности в начале движения. Помещая
систему при начале движения в определенное положение в
потенциальном силовом поле и сообщая начальные скорости точкам
системы, тем самым сообщают системе некоторую начальную

§ 130. Закон сохранения механической энергии
259
механическую энергию; во все остальное время движения в
заданном поле система сохранит сообщенную ей энергию.
Так, например, подвешивая к пружине груз и давая грузу
начальный толчок, тем самым сообщают системе начальную
потенциальную энергию, определяемую начальной деформацией
пружины, и начальную кинетическую энергию, зависящую от
приданной грузу скорости. Груз придет в колебание, причем
в крайних положениях его кинетическая энергия будет равна
нулю, а в среднем положении будет иметь максимальное значение.
Так как полная механическая энергия постоянна, там, где
кинетическая энергия равна нулю, имеется максимум потенциальной
энергии, а там, где кинетическая энергия максимальна,
потенциальная энергия будет минимальной.
Важно отметить, что на основании закона сохранения энергии
можно заранее указать связь между координатами любого
промежуточного положения груза и его скоростью, если известна
начальная энергия. Это — отличительная особенность движения
в потенциальном силовом поле.
С математической точки зрения закон сохранения энергии
дает один из первых интегралов уравнений движения, так как
уравнение, представляющее закон сохранения энергии,
содержит только координаты и скорости, т. е. первые производные
от координат по времени, и не содержит ускорений (вторых
производных от координат по времени); поэтому иногда выражение
закона сохранения энергии называют интегралом энергии или
интегралом живых сил.
Наблюдая действительно происходящие движения, можно
заметить, что полная механическая энергия не остается
постоянной. С одной стороны, часть энергии движения уходит на
преодоление всевозможных вредных сопротивлений, так что с течением
времени полная энергия системы уменьшается; с другой
стороны, для поддержания движения или для его ускорения
необходимо создать приток энергии, уходящей частично на
компенсацию потерь энергии на преодоление вредных сопротивлений,
частично на увеличение кинетической энергии системы. Таким
образом, никогда не приходится наблюдать движения в
потенциальных силовых полях, удовлетворяющие закону сохранения
механической энергии в чистом виде, а всегда наблюдается
наложение друг на друга нескольких сложных процессов, среди
которых процесс движения в потенциальном поле играет более или
менее значительную роль.

260
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Этот дополнительный приток и расход энергии не всегда
проявляется в виде механической энергии. В большинстве случаев
приходится иметь дело с превращением механической энергии в
различные другие виды: энергия уходит в виде тепла, звука,
света и электричества; обратный приток энергии может
происходить также в виде тепла, электричества и других видов энергии,
превращаемых в механическую энергию. Поэтому в наиболее
общей форме уравнение, выражающее теорему об изменении
кинетической энергии, может быть записано в виде
dT = -dn 4- 8W' - 8W". (24.97)
Здесь dT — приращение кинетической энергии системы, -dn —
уменьшение потенциальной энергии, т. е. элементарная работа
потенциальных сил, 8W' — элементарная работа
непотенциальных сил, совершенная за счет притекшей энергии, и, наконец,
—bW" — потеря энергии на преодоление вредных сопротивлений.
Переходя к конечному перемещению, будем иметь
(2) (2)
Е2-Е1= \ SW' - \ 5W" = Е' - Е". (24.98)
(1) (1)
Приращение механической энергии на некотором перемещении
равно разности притекшей и рассеявшейся энергии.
Весьма существенна возможность измерять приходящую и
уходящую энергию, в каких бы видах она не проявлялась, в
механических единицах.
§ 131. Механическая энергия при вынужденных колебаниях
В установившемся режиме вынужденных колебаний при
наличии силы сопротивления (§ 99) приращение механической
энергии за один период изменения возмущающей силы должно
равняться нулю, так как в противном случае движение не могло
бы быть установившимся. Поэтому из (24.98) следует, что
Е' = Е'\ (24.99)
т. е. работа Е' возмущающей силы за один период ее изменения
X = 2к/р равна абсолютному значению работы силы
сопротивления Dx = —pi; за тот же промежуток времени. Эту работу легко
вычислить, зная движение точки в установившемся режиме.

§131. Энергия при вынужденных колебаниях
261
В случае синусоидальной возмущающей силы F = Н sin (pt 4- 8),
воспользовавшись формулой (21.70), получим
Е" = Е'=
i i i
-\ fix dx \ = $а2р2 \ cos2 (pt 4- 8 - s) dt = = $a2p2%.
Средняя мощность N9 подводимая для преодоления силы
сопротивления, поэтому будет
Е' 1
N= ^ =^а2р2'
(24.100)
При резонансе (р = k)9 использовав зависимость между
амплитудой колебаний а и амплитудой возмущающей силы
Н
Н Н
а k2 Kr~ 2mk2v ~ 2mkn ~ /ф '
получающуюся из соотношений § 99, найдем
1Уг 2Р
(24.101)
В общем случае периодической возмущающей силы по
формуле (21.70) можем записать:
оо
х = X spas cos (spt 4- 8S - ss),
s = l
oo
dx = X opa cos (apt 4- 8 - e ) dt9
c = l
и подстановка в выражение Е" дает
Е"
-\ pi dx
s = l a = l о
оо оо .
Р X X sap2asaG J cos (spi 4- 8S - ss) cos (opi 4- 8a - sa) df =
1 °° 2
= о Px I s2^2as ,
^ s = l
так как
л Г(1/2)т при о = s,
J cos (spt + 6e-ee) cos (opt + 8a - ea) dt= -jQ прио^ s.

262 Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Поэтому
N=eT = Т =1$* (spy A2S = X N8, (24.102)
v v ^ iS = ] S=l
о
где Ns= (l/2)p(sp)2Afi на основании формулы (24.100)
представляет собой среднюю мощность, соответствующую s-й гармонике
частоты sp.
Уравнения (24.97) и (24.98) являются основными в расчетах
движения систем с потерей и притоком энергии. Представляя
собой обобщение закона сохранения механической энергии на
случай любых видов энергии, эти уравнения расширяют круг
рассмотрения явлений за пределы, которые ставятся другими
теоремами механики.
Потенциальные силы, для которых справедлив закон
сохранения энергии, называются иначе консервативными* силами, все
остальные — неконсервативными. Входящие в число
неконсервативных сил силы вредных сопротивлений, при наличии
которых энергия системы рассеивается или диссипируется, называют
диссипативными силами. С точки зрения механики диссипация
механической энергии есть потеря энергии, уход ее из поля
механического использования. В действительности энергия, конечно,
не исчезает, а превращается в другие виды (тепловую,
электрическую и др.).
Пример 113. В опыте Зоммерфельда, иллюстрирующем поглощение
энергии двигателя колеблющимся фундаментом, неуравновешенный
мотор установлен на столе (рис. 322), ножки которого прикреплены к полу.
Р,
30
20
10
0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 А
Рис. 322
При наличии этих сил сохраняется (консервируется) механическая энергия,
откуда и происходит название этого класса сил.
1
-
-
.о.
I [
л = 310
^11 Вт
п = 750 1
23 Вт/7
-
об/мин
700
600
500
400
300
200
100

§ 132. Потеря кинетической энергии при ударе
263
При 310 об/мин верхняя доска стола начинает совершать
горизонтальные колебания с амплитудой 5 мм, причем число оборотов мотора
остается неизменным до тех пор, пока мощность Р не повышается с 11 до
23 Вт. Определим по этим данным коэффициент сопротивления р.
Угловая скорость 310 об/мин как раз соответствует частоте
свободных горизонтальных колебаний системы; мощность, расходуемая на
колебания при резонансе, равна 12 Вт. В тот момент, когда она
повышается до 23 Вт, число оборотов резко увеличивается и колебания стола сразу
уменьшаются, так как при изменившемся числе оборотов резонанс уже
не имеет места. При 750 об/мин снова наступает резонанс с
вертикальными колебаниями стола и число оборотов мотора остается постоянным,
несмотря на увеличение подводимой мощности (см. на рис. 322 графики
изменения угловой скорости и потребляемой мощности в зависимости от
величины тока).
Коэффициент сопротивления р может быть определен по формуле
Nr = \ PaW,
откуда при заданных численных значениях Nr= 12 Вт, а = 5 • 10~3 м,
оо = 310 я/30, получим
Р« 912 кг/с.
§ 132. Потеря кинетической энергии при неупругом ударе.
Теорема Карно
Вернемся к случаю прямого центрального удара двух
поступательно движущихся тел, рассмотренному в § 108. По теореме
импульсов имеем
т(и2х ~ и1х) = Sx, M(v2x - vlx) = -Sx, (24.103)
где u2x9 v2x9 ulx9 vlx — проекции скорости первого и второго тел
соответственно после удара и до удара на ось х9 т. е. на
направление линии удара. К этим соотношениям присоединим уравнение,
определяющее коэффициент восстановления при ударе k9
которое по (22.65) можно записать в виде
и2х + kulx = v2x + bvlx. (24.104)
Величины, стоящие в каждой из частей этого равенства,
вообще говоря, отличны от нуля. Допустив противное, т. е. что
U2x = ~kulx> V2x = ~kvlx>
мы пришли бы из этих соотношений и теоремы количества
движения
ти1х + Mvlx = ти2х + Mv2x (24.105)

264
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
после сокращения на общий множитель (1 + к) к заключению,
что
ти1х + Mvlx = О,
т. е. что количество движения тел до удара равно нулю. Но это
в общем случае не соответствует условию задачи. Итак,
и2х + kulx = V2x + kvlx * 0. (24.106)
Умножим обе части первого соотношения (24.103) на
отличный от нуля множитель (и2х + kulx)9 а второго — на равный ему
множитель (v2x + kvlx); после сложения результатов, пользуясь
(24.104), получим
т(и2х - Ulx)(u2x + Ы1х) + M(V2X - V1X)(V2X + kvlx) = 0. (24.107)
Таким образом, возможны два способа исключения импульсов
из уравнений (24.103); первый, когда эти уравнения просто
складываются, приводит к теореме сохранения количества движения
(24.105); второй — к соотношению (24.107), которое после
алгебраических преобразований дает выражение, определяющее
потерю кинетической энергии при ударе. Отметим, что соотношение
(24.107), в противоположность теореме сохранения количества
движения, содержит коэффициент восстановления при ударе и,
следовательно, зависит от предположения о физических
свойствах соударяющихся тел.
Для преобразования выражения (24.107) напишем тождества
(и2х ~ и1х)и2х = ^ [Ах ~и\х ]+2 <ui* " u2*)2>
k(u2x ~ Ulx)Ulx = \k [Ах ~ Ах ] " \ k(Ulx - U2x)2'
Складывая их, находим
(U2x - Ulx) (U2x - kulx) =
= 2 (1 + *> (U2* " Ах ] + о (1 " Ю(и1х ~ U2x)2,
и уравнение (24.107) принимает вид
^ (1 + k) \rnAx + Mv22x - I mAx + Mv\x П +
+ \ (1 - ft) [т(и1х - ч2х? + M(vlx - v2x)2] = 0.

§ 132. Потеря кинетической энергии при ударе
265
Выражения
?! = \ [ти\х + Mv\x ), Т2 = \[mu22x + Mv\x \ (24.108)
представляют кинетические энергии системы до удара и после
него, а выражение
Г* = 2 m<Ul* " U2x)2 + 2 Щи** " У2х>2 (24.109)
можно назвать кинетической энергией, соответствующей
потерянным скоростям. Итак, соотношение (24.107) приводится
к виду
Тг~Т2= \~+\т*. (24.110)
1 - k
Кинетическая энергия, теряемая при ударе, равна 1 , — доле
кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям.
Результат, полученный здесь для частного случая
центрального удара двух тел, выражает общую ТЕОРЕМУ КАРНО О ПОТЕРЕ
ЭНЕРГИИ ПРИ УДАРЕ.
При абсолютно упругом ударе k = 1 и
Тх = Т2, (24.111)
т. е. абсолютно упругий удар не сопровождается потерей энергии;
другой крайний случай имеет место при абсолютно неупругом
ударе, когда k = 0 и потеря энергии (переход механической
энергии в другие формы) будет максимальной:
Т1-Т2 = Т*. (24.112)
Соотношение (24.110) является следствием равенств (24.104)
и (24.105). В соединении с одним из этих равенств оно может
служить для определения скоростей тел и2х, v2x после удара. Для
этого придется решать систему, состоящую из одного линейного
уравнения и одного квадратного, а по исключении одного из
неизвестных — квадратное уравнение. Из двух решений этого урав-
КАРНО ЛАЗАР НИКОЛА МАРГЕРИТ (Carnot Lasare Nicola Marguerite, 1753—
1823) — выдающийся французский математик и военный министр эпохи
Французской буржуазной революции 1789—1794 гг., чл. Парижской АН
(1796).

266
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
нения одно соответствует обращению в нуль величин (24.106), на
которые производилось умножение в ходе вывода. Это решение
следует отбросить. Конечно, определить скорости после удара
можно непосредственно из двух линейных уравнений (24.104),
(24.105), и для этой цели соотношение, выражающее теорему
Карно при прямом центральном ударе двух тел, не дает ничего
нового. Оно имеет, однако, существенное значение, так как
выражает в отчетливой форме энергетическое соотношение при ударе
тел.
В частном случае неупругого удара, когда и2х = v2x9 теорема
Карно дает наиболее простой способ для определения общей
скорости тел после удара. При составлении выражения
кинетических энергий устраняется возможность сделать ошибку в знаке,
которая не исключена при использовании теоремы количества
движения.
Чтобы выразить потерю энергии через заданные начальные
скорости тел, заметим, что, как легко вывести из уравнений
(24.104) и (24.105),
M(l +k) ( _ .
U2x Ulx т + М ^lx Ulx'9
(24.113)
V2x ~ Vlx ~ т _|_ М ^Ulx ~ Vlx''
Кинетическая энергия, соответствующая потерянным
скоростям, поэтому будет
_* тМ(1 + k)'z , ч?
Т = 2(m + M) <и1- '"Л* <24Л14>
и, следовательно,
Т, - Т2= \ (1 - А*) ™™м {Ulx - Vlxf. (24Л1б)
В частном случае, когда одно из тел до удара неподвижно, т. е.
vix = 0» будем иметь
Т -Т = - (1-k2) mM и2
(24.116)
, 1 2 m + k2M
l 2 mul*' 22 m + M ii"
Пользуясь этими формулами, определим в качестве примера
коэффициент полезного действия молота массой пг9 ударяющего

§ 132. Потеря кинетической энергии при ударе
267
по наковальне массой М. В этом случае полезной является
потерянная кинетическая энергия Тг - Г2, затрачиваемая на
деформацию отковываемого куска; энергия Г2, сохраняющаяся после
удара и определяемая скоростями, которые будут после удара
иметь молот и наковальня, является бесполезной. Коэффициент
полезного действия молота поэтому равен
Л
Тх-Т2 = M(l-k2)
Г, тп + М
т. е. для получения высокого коэффициента полезного действия
масса молота должна быть малой по сравнению с массой
наковальни. К противоположному выводу придем, рассматривая
случай копра с бойком массой пг9 забивающего сваю массой М.
Теперь под коэффициентом полезного действия следует понимать
отношение
П1= йг =
m + k2M
m + M
так как полезным является запас механической энергии,
который остается в системе, не переходя в иные формы энергии.
Потерянная энергия Тг - Т2, идущая преимущественно на
деформацию сваи, должна быть по возможности уменьшена. Вес бойка
должен быть велик по сравнению с весом сваи. В первом случае
коэффициент полезного действия увеличивается при неупругом
ударе, во втором — при упругом.
Удовольствуемся пока настоящей, простейшей трактовкой
теоремы Карно для случая прямого удара двух тел. Теорема эта
на самом деле имеет гораздо более общее значение в динамике
систем материальных точек и твердых тел. К этому вопросу мы
еще вернемся при описании применений общего уравнения
динамики несвободной системы (§ 156).
Соотношения, выведенные
выше, относятся к прямому ?
центральному удару двух
поступательно движущихся тел.
Они могут быть
распространены на случай соударения двух
тел, вращающихся вокруг
неподвижных осей (рис. 323),
при условии, что линейные
скорости точек соударяющих-

268
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ся тел направлены по одной прямой, являющейся нормалью к
поверхностям, по которым происходит соприкасание. Сказанное
следует из аналогии, существующей между уравнением
прямолинейного движения материальной точки и уравнением
вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (§ 116)
Приведем вывод, не основывающийся на указанной аналогии. Для
этого составим уравнения моментов количеств движения при ударе для
первого и второго тела (§ 117):
Jl (CQl -©10) = r1 XS,
т < \ vq (24.117)
J2 (a>2 - a>20) - -r2 x S.
Здесь Jl9 J2 — моменты инерции тел относительно их осей вращения,
со10, со20 — их угловые скорости до удара, со1, со2 — угловые скорости
после удара. Через S обозначен импульс, прикладываемый к первому телу
со стороны второго при ударе; тогда на второе тело будет действовать
импульс противоположного направления -S; г1нг2 — векторы-радиусы
общей точки тел, в которой прикладывается удар, причем начала этих
векторов-радиусов расположены на осях вращения соответствующих тел.
Умножая обе части первого равенства (24.117) скалярно насо1 + &ю10,
второго — на со2 + &ю20 и складывая результаты, получаем
J1((Q1 ~ Ю10) • (©J + /WD10) + J2(G>2 " Ю20) • (©2 + k(Q2Q) =
= (С01 + &GD10) • (Г: X S) ~ (C02 + k(Q2Q) • (r2 X S).
Применив правило преобразования скалярного произведения
вектора на векторное произведение двух векторов, преобразуем правую часть
к виду
[(С01 + &GD10) XrJ'5" [(C02 + k(Q2Q) X Г2] • S =
= (i^ + kv10 -v2- kv20) • S = [(v1 - v2) + k(v10 - v20)] • S, (24.118)
где vl9 v2, u10, v20 — линейные скорости после удара и до удара точек
первого и второго тела, вступающих в соприкасание при ударе.
Относительные скорости vl - v2 и и10 - и20 направлены, согласно условию, по общей
нормали к поверхности соприкасания. Поэтому, по определению
коэффициента восстановления, имеем подобно (24.104)
v1-v2 + k(v10 - v20) = 0 (24.119)
и по (24.118) получаем
с/1(с01 - Ю10) • (©J + k<dl0) + J2((U2 ~ G>2o) * (^2 ~*~ ^20) = ^"
Полагая со1 = ш1е1, со2 = го2е2, где е19 е2 — единичные векторы,
направленные по осям вращения, можем также записать
J^©!- ai0)-(©1 + Afl)10) + Jr2(a2- ш20)-(ш2 + /гш20) = 0. (24.120)

§ 132. Потеря кинетической энергии при ударе
269
Дальнейшее преобразование не отличается от
проведенного выше. Приходим к соотношению
(24.112), в котором теперь кинетические энергии
системы до удара
9 (^1^10 +с/2Ю20)>
Т2 = g (Jl Wl +J2 Ю2>
(24.121)
и кинетическая энергия, соответствующая
потерянным скоростям, —
г = \ [^(й)! - а10 )2 + j2(g>2 - ш20 )2]
м
m
(24.122)
Рис. 324
Пример 114. Груз массой М падает с высоты h на платформу массой
тп, опирающуюся на пружины с общей жесткостью с. Пренебрегая
массой пружин и считая удар абсолютно неупругим, определить
максимальное перемещение / платформы при ударе (рис. 324).
Кинетическая энергия системы после удара определяется по
последней из формул (24.116); получим
М
М
Mgh.
В момент времени, когда платформа с грузом на ней в результате
действия удара достигнет максимального отклонения / от начального
положения, кинетическая энергия системы станет равной нулю, а изменение
потенциальной энергии к этому моменту станет равным
nt - п0 >
U (/„ + f0)2-!/S]-(M+,»)«/„,
причем слагаемое в квадратных скобках представляет собой
приращение потенциальной энергии пружин, а второе слагаемое — уменьшение
потенциальной энергии силы тяжести груза и платформы; через /0
обозначено статическое сжатие пружин под действием тяжести платформы
(в течение акта удара платформа не сместилась!). Применив закон
сохранения механической энергии, получим
м
М-
Mgh = iK+c /д/о " (М + ™)8h-
(24.123)
Пусть /ст обозначает статическое сжатие пружин под действием общей
силы тяжести груза и платформы; тогда
(M + rn) g
mg
/о "

270
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
т. е. /0 = fCTm/(M + т)у и соотношение (24.123) принимает вид
М
М • т
(М 4- т) g
2/ст
(М + т) g M
f„ 'д'^ M \ т
Mgh = -" „'"' s fa + -" , '"' s /л/я „7 m - (М + тп)я/д
^i^fa-Mgf,
Таким образом, максимальное перемещение /д определяется как
больп1ий по модулю корень квадратного уравнения
f*~2 М \ т f™f* " 2hfa* [м i m J = °'
равный
/* =
м
М + m
/„
(Wi+£>
(24.124)
В частности, при h = 0, т. е. при мгновенном (динамическом)
присоединении массы груза М, получим
2М
7Д М - т ,СТ'
а в случае платформы пренебрежимо малой массы (тп = 0)
'л = 2/ст>
(24.125)
(24.126)
т. е. перемещение верхнего конца пружины пренебрежимо малого веса
при мгновенном присоединении массы М вдвое больше статического
перемещения при присоединении постепенно нарастающей от нуля до
М массы.
Пример 115. Мишень представляет собой однородную призму массой
М с квадратным основанием (сторона равна а) и высотой Ь; в центр С
боковой грани, противолежащей ребру АВ, ударяет пуля массой m со
скоростью v0 (рис. 325). Считая удар неупругим, определить, с какой
угловой скоростью оо начнет вращаться мишень вокруг ребра АВ после удара.
В данном случае
1 т „ , mv2
2 Jffl^ + —
причем
J = | М(а2 + Ъ2)
момент инерции мишени
относительно ребра АВ; скорость v пули после
удара равна скорости точки мишени,
в которую попадает пуля, т. е.
Рис. 325
v = Ja2 + fe2oo/4 .

§ 132. Потеря кинетической энергии при ударе
271
Кинетическая энергия, соответствующая потерянным скоростям
мишени, равна
так как до удара мишень находилась в покое; для пули имеем
К = \ [(%- о/ + А1 = 1 [К- \ъа f + («о»2] •
Соотношение (24.112), выражающее теорему Карно, дает
1 М(аг f Ьг) 2 , ( 1 , Л2 , 2 2-
- - —-—= со"1 + тп I u0 - = feoo I + та4-®* ,
откуда находим
6mi;0b
Ш = 4М(в2 - Ь2) + т(12а2 + ЗЬ2) *
К этому же результату молено прийти, выразив неизменность
главного момента количеств движения системы при ударе, в частности
неизменность его проекции на ось х:
Л. „ — Л. „
Имеем
Kf = [f (а2 + Ь2) + |й^2+ £j
где величина в квадратных скобках представляет собой момент инерции
относительно оси х массы мишени вместе с точечной массой пули. Итак,
mv0 ^ = Г-3" (я2 + Ь2) + т (а2 + j jl го,
откуда получаем приведенное выше значение го.
Считая, что после удара мишень и пуля движутся вместе, определим,
при какой начальной скорости пули произойдет опрокидывание
мишени. Для этого заметим, что кинетическая энергия системы после удара
определяется равенством
m 1 гМ(а2 4- Ъ2) , (Ъ2 „ \\
Т*=2 [а +т (т +а JJ
3m2b2z;2
2[(12а2 4- 3fr2)m 4- 4(а2 4- Ь2)М]

272
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Опрокидывание мишени может иметь место при условии, что центр
тяжести системы пройдет через вертикальную плоскость, проведенную
через ось вращения. По теореме об изменении кинетической энергии
имеем
Т" -T = W,
где Т" — кинетическая энергия в момент прохождения центра тяжести
системы через указанную вертикальную плоскость, Т" — начальное
значение кинетической энергии, ранее обозначенное через T2,kW — работа
сил тяжести.
Центр тяжести мишени и пули находится на расстояниях
а М + 2т Ь
ХЦ 2 М 4- т ' 2ч 2
от граней призмы, проходящих через ребро АВ. Поэтому в момент
прохождения через указанную плоскость центр тяжести поднимается на
высоту
7x' + 6V4 -6/2,
и работа W будет равна
Теорема об изменении кинетической энергии дает теперь
3m2b2vi _ „
2[(12а2 - ЗЬ2) т - 4(а2 - b2)M] ~T ~
-$<»*->[^(»+*-")■"-']*
Отсюда находим
(Т, (М 4- 2mY , Л
§ 133. Теорема об изменении кинетической энергии
сплошной среды. Теоремы Бернулли и Борда — Карно.
Общее дифференциальное уравнение кинетической энергии.
Диссипация механической энергии
Проведем в установившемся потоке (т. е. таком, что поле
скоростей в нем не зависит от времени — стационарно) однородной
идеальной несжимаемой жидкости бесконечно тонкую трубку
4 М(а2
Ъ2) 4- т (12а2
Зт2Ь2
ЗЬ2)
(М + т)

§ 133. Теорема для сплошной среды
273
тока (рис. 326). Если жидкость однородна и несжимаема, то
плотность ее одинакова во всем потоке. Идеальная жидкость
представляется такой моделью сплошной среды, в которой при ее
движении полностью отсутствуют касательные напряжения
(внутреннее трение). Выделим в трубке в данный момент времени
t объем, заключенный между двумя ортогональными к боковой
поверхности трубки сечениями аг и о2. В смежный момент t 4- dt
выделенный объем жидкости сместится вдоль трубки тока и
займет положение, ограниченное сечениями о[ и о2.
В установившемся движении новый объем будет отличаться
от предыдущего только тем, что к верхней части трубки
присоединится элементарный объем, заключенный между сечениями
о2 и о2 , а от нижней вычтется такой же объем между сечениями
о и о^. Изменение кинетической энергии в рассматриваемом
объеме трубки сведется к разности
Mdt
Mdt -=-,
(24.127)
где М — секундный массовый расход жидкости, одинаковый для
всех сечений трубки тока, а произведение М dt — масса
жидкости, протекающая через любое сечение трубки за время dt.
Замечая, что перемещения частиц в сечениях аг и о2 будут
соответственно равны v^dt и v2dt9 составим выражение
элементарной работы приложенных к сечениям аг и о2 сил давления,
равных по величине^?1о1 и^?2о2, в виде
p1G1-v1dt-p2c2-v2dt,
или, замечая, что по определению
секундного массового расхода М =
= piCT^ = p2o2v2 (p — постоянная
плотность), в виде
•Р2
Mdt.
(24.128)
Работа сил давления,
приложенных к боковой поверхности
трубки тока, очевидно, равна нулю,
так как перемещения жидкости
вдоль боковой поверхности трубки
тока перпендикулярны силам
давления.
2.
о
/
X
.
Ply,
vl
/V
^^|Д |?|"*>
°1
2,
<
а;
z2
^
У
Рис. 326

274
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Работу сил тяжести получим как уменьшение потенциала при
перемещении выделенного объема жидкости из начального
положения в конечное. При расчете этого уменьшения потенциала
примем во внимание, что потенциал общей части начального и
конечного объемов при этом выпадает и работа сил тяжести будет
равна
Mdt • g (z1 - z2). (24.129)
Приравнивая, согласно теореме об изменении кинетической
энергии, выражение (24.127) сумме выражений (24.128) и
(24.129), а затем сокращая обе части полученного равенства на
Mdt9 получаем
2 2
V\ P\ V2 P2
2"+-+ g2l= ~2 + ^ +g22- (24.130)
Выражение
j + £ +gz = B (24.131)
называют трехчленом Бернулли. Этот трехчлен можно
трактовать как отнесенную к единице массы полную механическую
энергию жидкости в данной точке. Действительно, первое и
третье слагаемые в левой части (24.131) представляют собой
отнесенные к единице массы соответственно кинетическую
энергию и потенциальную энергию сил тяжести. Второе слагаемое
представляет собой потенциал объемной силы -(l/p)gradj>,
выражающей в уравнении Эйлера (§ 38, (9.37)) объемное действие
поверхностных сил давления. Отсюда следует, что слагаемое р/р в
уравнении (24.131) является потенциалом этой объемной силы,
так как
-(1/р) gradp = -grad (p/p).
Таким образом, трехчлен Бернулли В действительно является
суммой кинетической и потенциальной энергий тяжести и
объемного действия сил давления, т. е. отнесенной к единице массы
полной механической энергией жидкости в данной точке потока.
Согласно равенству (24.130) полная механическая энергия В
сохраняет свою величину вдоль трубки тока или — что то же
самое в случае стационарного поля скоростей — вдоль траектории.
Приведем простейшую формулировку классической теоремы
Бернулли.

§ 133. Теорема для сплошной среды
275
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ. Равенство
В = -г 4- - +gz = const (вдоль линии тока) (24.132)
выражает закон сохранения полной механической энергии единицы
массы идеальной однородной несжимаемой жидкости вдоль трубки
тока, а следовательно, и вдоль линии тока.
Следует еще отметить, что равенство (24.132) служит первым
интегралом уравнений Эйлера — уравнения (22.91) при F = g
(тяжелая жидкость!), — вследствие чего равенство (24.132)
можно еще именовать интегралом Бернулли.
Разделив обе части равенства (24.132) на ускорение
свободного падения g и обозначив через у удельный вес жидкости, у = pg,
преобразуем это равенство к виду
В v2 v
- = Н = ~- Н— 4- z = const (вдоль линии тока). (24.133)
Все члены равенства (24.133), как легко убедиться, имеют
размерность длины и им в технической гидромеханике
(гидравлике), по аналогии с последним слагаемым г, приписывают термин
высота. Так, слагаемое v2/(2g) принято называть скоростной
высотой, р/у — пьезометрической высотой, z — нивелировочной
высотой или, просто, высотой, а сумму этих высот Н —
гидравлической или полной высотой.
В частном случае движения жидкости параллельно
горизонтальной плоскости потенциальная энергия сил тяжести
сохраняется и может быть введена в константу. Уравнение Бернулли
(24.132) тогда перепишется в форме
р Н ~- = const = p0, (24.134)
где^?0 — давление в покоящейся жидкости (v = 0).
В этом случае отдельные слагаемые равенства (24.134)
называют напорами, а именно: р — пьезометрическим напором,
pv2/2 — динамическим или скоростным напором, р0 — полным
напором.
О применениях теоремы Бернулли подробно говорится в
курсах технической гидромеханики; здесь мы отметим лишь роль
этой теоремы в объяснении некоторых широко
распространенных явлений.

276
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Рис. 327
Рассмотрим однородный
горизонтальный воздушный
поток, набегающий на крыло
самолета, наклоненное к потоку
под некоторым углом (углом
атаки). Верхняя поверхность
крыла при этом является
выпуклой, и при ее обтекании
линии тока сближаются, трубки
тока утоныпаются, а это при
сохранении расхода воздуха вдоль трубок тока вызывает
увеличение скоростей потока вблизи верхней поверхности крыла по
сравнению с потоком вблизи нижней поверхности, где трубки тока,
наоборот, расширяются, а поток подтормаживается (рис. 327).
Согласно теореме Бернулли, выраженной в этом случае в
форме (24.134), местное увеличение скорости на верхней
поверхности крыла приводит к уменьшению давления, или, что то же
самое, к увеличению разрежения в потоке по сравнению с
давлением вдалеке от крыла. На нижней поверхности сохранятся
положительные разности давлений. За счет этой разницы
давлений возникает подъемная сила крыла Р (рис. 327). Аналогичная
подъемная сила образуется и на лопатках рабочих колес турбин и
насосов. Сумма моментов этих сил относительно оси вращения
колеса определяет вращающий момент, приложенный к
рабочему колесу турбины или насоса.
Определение величины и направления подъемной силы
сводится к нахождению главного вектора сил давления, в случае
обтекания замкнутого контура идеальной жидкостью
перпендикулярных поверхности контура, что можно сделать с помощью
теоремы количества движения (теорема Эйлера, § 110) и
кинетической энергии (теорема Бернулли).
Не приводя здесь вывода, отошлем интересующихся к книге
Л. Г. Лойцянского «Механика жидкости и газа»*. Из этого
вывода следует, что величина главного вектора сил давления, а вместе
с тем и подъемной силы Р определяется формулой Жуковского
Р = Р^ооГ,
где Г — циркуляция скорости потока V по контуру профиля С,
определяемая контурным интегралом
с
* [16, § 54, с. 192—195].

§ 133. Теорема для сплошной среды
277
аналогичным контурному интегралу (24.5), который
представлял работу силы по замкнутому контуру как циркуляцию
вектора силы по этому контуру; V^ — скорость набегающего на контур
потока, р — плотность жидкости. Если условно назвать
«направлением циркуляции» направление такого обхода контура при
интегрировании, чтобы циркуляция оказалась положительной, то,
по Жуковскому, вектор подъемной силы Р направлен по вектору
скорости набегающего потока V^, повернутому на 90° в сторону,
противоположную направлению циркуляции.
При плавном стекании жидкости с задней кромки крылового
профиля, как это показано на рис. 327, циркуляция Г
определяется формулой
Г = const • V^ a sin a,
где а — хорда крылового профиля, а— «теоретический» угол
атаки между хордой профиля и вектором V^, причем
направление хорды (направление нулевой циркуляции) выбирается так,
чтобы Г = 0 при а = 0; постоянный множитель зависит от формы
крылового профиля.
В принятых в аэродинамике обозначениях величина
подъемной силы, согласно только что приведенным формулам, может
быть выражена в виде
где с — коэффициент подъемной силы, в случае идеальной
несжимаемой жидкости зависящий от угла атаки и формы
крылового профиля. Для тонкого профиля зависимость с от а близка к
линейной (с » 2шх) и по уклону несколько превышает опытную.
За деталями отсылаем к с. 196 и далее цитированного курса [16].
Из условия перпендикулярности главного вектора сил
давления к вектору скорости набегающего потока следует, что в случае
плоского потока идеальной жидкости составляющая главного
вектора по направлению вектора скорости набегающего
потока — сила сопротивления движению крылового профиля —
независимо от его формы равна нулю. Это утверждение
представляет собой частный случай более общего парадокса д'Аламбера.
При сужении канала рабочего колеса средние скорости в его
сечениях возрастают, что, согласно теореме Бернулли, вызывает
появление разрежений в местах сужения. На этом явлении осно-

278
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Рис. 328
вано применение трубки Вен-
тури, представляющей собой
сначала сужающийся, а
затем расширяющийся канал.
Такая трубка служит для
отсасывания жидкости или
воздуха через ниппель,
соединенный с узким сечением
канала. Так, например, если
такую трубку повесить на
кран водопровода, а к
ниппелю присоединить камеру,
заполненную воздухом, то,
пустив воду, получим водоструйный насос, откачивающий воздух из
камеры. Такой прибор может использоваться как форвакуумный
насос, создающий в камере сравнительно слабое разрежение.
Теорему Бернулли совместно с теоремой Эйлера, изложенной
в § 110, можно применить для вывода теоремы Борда— Карно
(рис. 328). Теорема эта служит аналогом теоремы Карно (§ 132).
ТЕОРЕМА БОРДА - КАРНО О ПОТЕРЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕР
ГИИ ПОТОКА ЖИДКОСТИ ПРИ ВНЕЗАПНОМ ЕГО РАСШИРЕНИИ.
Потеря полной механической энергии потока идеальной жидкости
при внезапном его расширении равна кинетической энергии,
соответствующей «потерянным» скоростям.
Под отнесенной к единице объема полной механической
энергией потока будем, согласно (24.134), понимать величину
Ро = Р + ~2 •
Потерей отнесенной к единице объема полной механической
энергии на участке внезапного расширения потока является
разность
Poi~Po2=Pi
= Pi +
2
pv1
iV
2
P^2
(24.135)
ВЕНТУРИ ДЖОВАННИ БАТТИСТА (Venturi Giovanni Battista, 1746—1822)
итальянский физик.
БОРДА ЖАН ШАРЛЬ {Borda Jean Charles, 1733—1799)
и геодезист, чл. Парижской АН.
французский физик

§ 133. Теорема для сплошной среды
279
где индексы 1 и 2 относятся к сечениям потока 1 — 1 и 2—29
показанным на рис. 328 штриховыми линиями.
Докажем, что эта отнесенная к единице объема потеря равна
кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям,
т. е. величине
| (Vx - 02)2. (24.136)
Применим теорему Эйлера (§ 110) к объему, ограниченному
сечениями 1 — 1 и 2—2. Обозначая через аг площадь сечения
потока до его расширения, а через о2 — после расширения, находим
2 2
р1о2 -\- pv1a1- р2а2 - р v2 о2 = 0. (24.137)
В этом равенстве первое слагаемое соответствует
предположению о том, что во всем сечении 1 — 1 давление практически
постоянно. Во втором слагаемом использовано сечение av так как
только через него переносится количество движения.
Замечая, что из условия постоянства массового расхода при
р = const следует, что
v1a1 = v2c2,
заменим второе слагаемое в равенстве (24.137) равной ему
величиной pv1v2c2- Будем иметь, сокращая обе части полученного
равенства на о2,
Pi-P2 = Pv2(v2-vi)-
Подставив значение (рг - р2) в правую часть выражения
(24.135), придем к искомому результату:
2 2
Ри1 Ри2
Poi~Po2 = pv2(v2-v1) + 2 " 2 =
Р / 2 2|02 п ч р.2.2 п ч
= 2 ^1 " U2 + 2v2 ~ 2vlv2) = 2 (Ul + V2 ~ 2ulu2) =
= \(V1~ V2)2, (24.138)
доказывающему справедливость теоремы Борда — Карно.
Так же как в конце двух предыдущих глав были показаны
применения теорем об изменениях количества движения и мо-

280
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
мента количества движения систем к выводу основных
дифференциальных уравнений механики сплошных сред, так и в конце
настоящей главы применим с этой целью теорему об изменении
кинетической энергии системы.
Снова рассмотрим произвольный объем х движущейся среды,
ограниченный поверхностью о, обозначим через 8х и So элементы
объема х и соответственно поверхности о. Кинетическая энергия
элементарного объема 8х будет равна (1/2) 5т • v2 или (1/2) ри25х,
а кинетическая энергия всего объема х определится как сумма
этих элементарных кинетических энергий, т. е. как интеграл
Т= \ \ pv2 8т.
ГО А
Теорема об изменении во времени кинетической энергии
движущегося объема х приведет к равенству
Ш =& $1 Pv2^= JpF-uSx + jpn-v8a + JiVBH5x, (24.139)
x x a x
где интегралы в правой части представляют суммарные
мощности внешних объемных и поверхностных сил, а также, в отличие
от теорем количества и момента количества движения,
суммарную мощность внутренних сил, причем NBU — мощность
внутренних сил, отнесенная к единице объема среды, или, что то же
самое, объемная плотность распределения мощности внутренних
сил по среде. Как и в предыдущих двух главах, приведем
интеграл по поверхности к интегралу по объему, но прежде всего
преобразуем выражение для мощности с учетом закона сохранения
элементарной массы 5т = р 8х
в|р;"*-Ья(*>+/тг<р*>-
Несколько сложнее обстоит дело с интегралом по
поверхности, равным, согласно формуле Коши — формула (9.3), —
J рп • v 5а = \ (пР) • v So. (24.141)
a a

§ 133. Теорема для сплошной среды
281
Записав выражение подынтегральной величины в правой части в
проекциях на оси координат, получим, по определению операции
умножения вектора на тензор слева,
(пР) • v = (nP)xvx + (nP)yvy + (nP)zvz = (nj)xx + Пурух + nzPzx)vx +
+ (ПхРху + nyPyy + nzPzy)Vy + (nxPxz + nyPyz + nzPzz)Vz =
= nx(PxxVx +PxyVy+PxzVz) + ny(PyxVx +PyyVy +PyzVz) +
+ nz(PzxVx +PzyVy +PzzVz) =
= nx(Pv)x + ny(Pv)y + nz(Pv)z = n • (Pv).
Тогда с учетом (24.141) интеграл по поверхности в правой части
(24.139) по формуле Гаусса — Остроградского (§ 37)
преобразуется в интеграл по объему:
J рп • v So = \ п • (Pv)8a = \ div (Ри)5Ч. (24.142)
Принимая во внимание (24.140) и (24.142), перепишем
(24.139) в виде
J[PS (j)-pF-v-div(Pv)-NBU]8x = 09
откуда в силу произвольности выбора объема х получим искомое
уравнение изменения кинетической энергии в
дифференциальной форме
р ii ( j J= pF 'v + div (Pv) + N**- <24Л43>
Чтобы выяснить зависимость плотности распределения
мощности внутренних сил NBU от характера движения, умножим ска-
лярно на вектор скорости v обе части уравнения динамики «в
напряжениях» (22.86) и полученное уравнение
vp ^ =р ^(-2 )=pF-v + vDiv P (24.144)
почленно вычтем из обеих частей уравнения (24.143). Тогда
найдем
NBU = v • Div P - div (Pv). (24.145)
Полученное выражение NBU можно преобразовать к более
простому виду. Чтобы избежать длинных выкладок, перейдем к число-

282
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
вой индексации и, раскрывая векторные и тензорные символы
(см. гл. VIII), получим (суммирование по £, у = 1, 2, 3)
iv = и. -л — =;— (о о ) = и. -л — и. -л — р ^—i = —р.. =ч—^ .
вн / dxt Ъхг ^ч У J dxi J dxi уч Ъхг *ч Ъхг
Раскладывая дифференциальный тензор &vJ&xt на
симметричную S tj и антисимметричную Аь части (§ 34, 78), будем иметь
Nm = -PaSirPljAir
Вспоминая, что А .■ = -А -., а^?.- = pit, убедимся, что второе
слагаемое в правой части тождественно равно нулю. Итак,
Nm = -ptjSlr (24.146)
Сумму попарно взятых компонент двух тензоров («свертку»
по обеим индексам) примем за определение скалярного
произведения двух тензоров и перепишем равенство (24.146)
окончательно в виде
NBU = ~P- S. (24.147)
Обратим внимание на некоторое сходство структуры
выражения (24.147) с мощностью силы F — равенство (24.9), —
приложенной к точке, движущейся со скоростью и. В последнем случае
мощность равна скалярному произведению F • v вектора силы на
вектор скорости, в случае же сплошной среды плотность
мощности внутренних сил равна также скалярному произведению
тензора напряжений на тензор скоростей деформаций (§ 78).
В абсолютно твердом теле деформации отсутствуют, тензор
скоростей деформаций равен нулю, равна нулю и отнесенная к
единице объема мощность внутренних сил. Об этом было уже
упомянуто ранее.
В случае движения идеальной жидкости, в которой можно
положить Р = -рЕ (р — давление, Е — тензорная единица),
мощность внутренних сил (касательных напряжений нет) будет
определяться формулой
Nm = -P-S=pE-S.
Вспоминая, что Еь- = 0, если i ^у, и 1, если i = у, найдем
NBu = PSu =P div v, i = 1, 2, 3. (24.148)
Если жидкость, кроме того, несжимаема (div v = 0), то
плотность распределения в ней мощности внутренних сил равна нулю
так же, как и в абсолютно твердом теле.

§ 133. Теорема для сплошной среды
283
Разделив обе части последнего равенства на р, т. е. перейдя к
мощности iV*H , отнесенной к единице массы (удельной
мощности), получим
iV*H =S divu. (24.149)
Вспомним уравнение неразрывности в форме (22.88), согласно
которому
j- I dp
div v = - - -77 -
р dt
Тогда выражению удельной мощности (24.149) можно
придать вид
р_ dp _ ^ /1
* =_р_ dp d. /1\
iVBH p2 dt P dt [p )
Величина, обратная плотности р, носит наименование удельного
объема V= 1/р. Предыдущая формула может быть записана как
«- -р £ ■
а элементарная работа внутренних сил за время dt — см. (24.9) —
iV*H dt = 8W'=p dV. (24.150)
Эта формула используется в термодинамике. Вспомнив, что
S dt = S представляет собой тензор деформаций (§ 78),
элементарную работу внутренних сил можно записать также в
следующем виде:
iV*H dt = SW' = -P-S. (24.151)
Формулы (24.146), (24.147), (24.151) имеют важное значение
в теории упругости, гидродинамике и других разделах механики
сплошных сред. В теории упругости тензор напряжений Р
заменяется линейной функцией тензора деформаций (обобщенный
закон Гука), в гидродинамике вязкой жидкости — также линейной
функцией тензора скоростей деформаций (обобщенный закон
Ньютона). Покажем это на простом примере вязкой
несжимаемой жидкости.
Обобщенный закон Ньютона имеет вид [16, § 84, с. 362, 363]:
Р = 2{iS -рЕ, (24.152)

284
Глава XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
где jLl — динамический коэффициент вязкости, а Е — тензорная
единица.
Подставив это выражение тензора напряжений Р в равенство
(24.147), получим (по условию несжимаемости div v = 0)
NBU = -2{iS2 -pdivv = -2{iS2; (24.153)
здесь применено краткое обозначение S 2 для S • S , равного
s2=s.s=sijSij=(^) +(^j + (^J +
2 Ux2 9*J 2 1.Э*3 Эдг2 J 2 {dxx дхг) *
i = 1, 2, 3; y=l, 2, 3. (24.154)
В отличие от теории упругости, где при использовании
выражения Р по обобщенному закону Гука формула (24.151) дает
элементарную работу упругих взаимодействий в теле и,
следовательно, приводит к выражению потенциальной энергии упругого
взаимодействия, которая в процессе деформирования обратима,
мощность внутренних сил вязкости (трения) в жидкости
необратима [16, § 93, с. 412, 413]. Механическая энергия, затраченная
на преодоление сил вязкости, переходит в тепловую, т. е. дисси-
пируется в жидкости. Диссипированная мощность N
определяется как NBU с противоположным знаком. Она выражает
отнесенную к единице объема и времени потерю механической
энергии, превращающуюся в тепло и другие виды энергии. Об этих
потерях в настоящей главе уже упоминалось. Судя по
выражению S2 в виде (24.154), представляющему собой сумму
квадратов, потери исчезают только при квазитвердом движении
несжимаемой вязкой жидкости, когда деформации, а следовательно,
и скорости деформаций полностью отсутствуют.
Вернемся в заключение к уравнению (24.144), причем сделаем
несколько предположений.
1°. Жидкость идеальна, т. е. отсутствуют касательные
напряжения (вязкости).
2°. Жидкость несжимаема, и плотность ее всюду одна и та же
(р = const).
3°. Объемные силы имеют потенциал, т. е. F = -grad П,
причем, в частности, в случае сил тяжести П = gz (ось z вертикальна
и направлена вверх).

§ 134. Дифференциальные уравнения плоского движения 285
4°. Движение стационарно, т. е.
Кроме того, по 1°
Р = -рЕ, Div Р = -gradр.
Уравнение (24.144) в этих предположениях принимает вид
,2^
v - grad ( 9 I = -pv • grad П - v • grad^?,
или, если собрать все члены под общий оператор grad и заменить
П на gz, вид
( р v ^ I
v • grad ( 9 + pgz +p = 0.
Вводя символ d/ds для дифференцирования вдоль линии тока,
вспоминая определение производной по направлению как
скалярного произведения градиента на единичный вектор (в данном
случае v/v) этого направления и сокращая обе части равенства на
pvg (у = pg — удельный вес), получаем
2 Р s)
+ z + - = const (вдоль линии тока),
откуда следует выведенная ранее другим путем формула Бернул-
ли (24.133).
Глава XXV
Динамика плоского движения твердого тела
§ 134. Дифференциальные уравнения
плоского движения твердого тела
Кинематика плоского движения абсолютно твердого тела была
изложена в гл. XIV. Динамике этого сравнительно простого
случая движения твердого тела посвящается настоящая глава.

286 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
У[ Предположим, что масса
рассматриваемого твердого тела распределена
симметрично относительно плоскости Оху9
что все внешние силы Fv F2> ... » F n>
приложенные к телу, действуют в этой
плоскости и что начальные скорости
точек тела ей параллельны. При этих ус-
0\ х ловиях тело будет совершать плоское
Рис. 329 движение, и для изучения его
достаточно рассмотреть движение плоской
фигуры, получающейся в сечении тела плоскостью Оху (рис. 329). В
последующем, если не оговорено противное, предполагается, что
начало координат системы осей х', у\ связанных с телом, помещено
в центре масс С тела.
Движение плоской фигуры определяется уравнениями
движения полюса
и уравнением вращения фигуры вокруг полюса
ф = fa(t).
Задачей динамики плоского движения твердого тела является
нахождение этих уравнений по заданным силам — вторая задача
динамики — или определение сил в заданном движении — первая задача.
Очень часто встречаются также смешанные задачи, когда
между величинами, определяющими положение тела, имеются
наперед известные соотношения, а действующие силы частью
известны, частью должны быть определены по ходу решения задачи.
Теорема о движении центра масс дает соотношение
Mwc = V, (25.1)
где М — масса тела, гис — ускорение его центра масс, V —
главный вектор внешних сил, действующих на тело:
V = £ Fr (25.2)
/ = 1
Векторное равенство (25.1) можно проецировать на те или
иные оси. Проецируя его на оси неизменного направления х, у9
получаем два уравнения
Мхс = Vx, Мус = Vy9 (25.3)
в которых хс и ус обозначают координаты центра масс.

§ 134. Дифференциальные уравнения плоского движения
287
При проецировании векторного равенст- ук
ва (25.1) на оси х\ у\ связанные с телом,
следует воспользоваться леммой § 68 о
дифференцировании вектора по времени
dvc d'i;c
dt ~ dt
Wr
+ (ОХУл
Первое слагаемое в правой части этого
соотношения представляет собой вектор,
проекции которого на оси х\ у' равны
производным по времени от проекций vCx> и vc ,
вектора vc на эти оси; заметив также, что
GV = 0)„/ = 0, ю2 = й) = ф, получим
У
'JCx' = »Сх' ~ шиСу'
WCy> = "Су* + ®VCx> ■
Уравнения движения центра масс
принимают вид
М(6Сх.
(X)V
Су
)
M(vCv, + &»с*')
V
(25.4)
О
у\
о
а)
б)
Рис. 330
Эта форма уравнений движения центра масс используется в
динамике самолета.
Часто применяют также проецирование на касательную (т) и
главную нормаль (п) плоской траектории центра масс (рис. 330):
МЬг
VT9 М
2
VC
tMvce =vn.
(25.5)
Здесь р — радиус кривизны траектории центра масс, 0 — угол
между вектором скорости v = vx и неизменным направлением оси
Ох; при 0 > 0 берется знак плюс, при 0 < 0 — знак минус. В
первом случае угол 0 возрастает с течением времени, а во втором —
убывает. При составлении уравнения движения неизвестно, как
с ростом времени будет изменяться 0; но это не может
представить затруднения, так как предположение, что О, например,
возрастает (рис. 330, а), определяет направление единичного
вектора п главной нормали (в сторону вогнутости траектории); при
обратном предположении придется изменить знак в левой части
второго уравнения (25.5), но при этом изменится на
противоположное предполагаемое направление п (рис. 330, б) и,
следовательно, знак V в правой части того же уравнения.

288 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Дифференциальное уравнение вращения составим, применив
теорему об изменении момента количеств движения
относительно центра масс (§ 120). В случае плоского движения твердого тела
относительным движением по отношению к центру масс является
вращение тела с его угловой скоростью со вокруг оси z9
перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс С.
Поэтому вектор К' в выражении (23.81) определяется равенством
т(С)
(25.6)
где Jz — момент инерции относительно указанной оси. К этому
соотношению можно прийти, воспользовавшись формулой
(23.82); действительно, при плоском движении
г j х (со х rt) = ю rt — г i (со • r{) = со rt
и, следовательно,
п
К' = Ъ т. г- х (со х г-)
.=1 i i i
.=1 I I 2
Получаем по формуле (23.81)
причем
Т(С) Л
еУ _ СО
(25.7)
l(C):
(25.8)
представляет собой главный момент внешних сил относительно
центра масс. Проецируя векторное равенство (25.7) на ось 2,
получаем дифференциальное уравнение вращения плоской фигуры
Т(С) ..
m
(С)
г=1 у
(25.9)
где дг;, у( — координаты точки
приложения силы Ft в системе осей Сх'у'.
Могут представиться случаи, когда при
составлении уравнения вращения
предпочтительно принять за полюс не центр масс С,
а какую-либо другую точку О тела. При
обозначениях рис. 331 получим
г(С)
£ riC xFt= X (г,' -r'c)xFt
Рис. 331
= m(O) ■
хУ,

§ 134. Дифференциальные уравнения плоского движения
289
что выражает известную теорему статики о переносе центра момента.
Заменив V согласно равенству (25.1) и вспомнив формулу распределения
ускорений в плоском движении (§ 58), можем записать также
m(C) = m(0) _ r'c x Mwc = m<°) - Mr'c x [w0 - oo2 r'c + <b x r'c] =
= mP) - Mr'c xw0 + Mod2 r'c x r'c - Mr'c x (ш х r'c).
Замечая, что
rc x rc = ®> rc x (& x rc ) = & r'c >
получаем
m(C) = m(0) -Mrc x ш0 - Mr'c2 ©,
и подстановка в равенство (25.7) дает
(jf] + Mr'c2 )<b+Mr'c x w0 = m<°).
Остается заметить, что по теореме о моментах инерции относительно
параллельных осей
и, следовательно,
Л°] <Ь + Mr'c xw0 = m<°). (25.10)
Уравнение (25.10) упрощается, если за полюс О выбрать точки
плоской фигуры, в данный момент времени совпадающие с мгновенными
центрами скоростей Р или ускорений Q (см. § 56 и 58). Обозначим через
vp скорость перемещения мгновенного центра Р по плоскости фигуры.
Тогда Up = drp/dt. По формуле (14.18')* имеем
a xvQ
откуда
vp= ж = It + ©* [ш2 (£ х Vq) + ш2 (ш х Wq) " (ш х Vq) h (ш2)] •
Из условия параллельности гит следует, что е/ё = ©/го, так что
последний член в квадратной скобке справа преобразуется к виду
-(©xi70) ~ (©•©)=-2(©xi70)(©-e) = -2l |exi7c )(© • ^ © ) =
= -2го2(е х v0).
См. т. I, § 56, с. 270.

290 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Подвижная
центроида
Получим
"р ~ "о ' (Q2 [(ю х wo) - (£ х ио)]-
Up = Vn +
^Неподвижная
центроида
Выберем за полюс О ту точку Р
фигуры, которая в данный момент
времени совпадает с мгновенным центром
скоростей Р (рис. 332); тогда v0 = 0,
w0 = wp и предыдущее равенство
примет вид
Рис. 332
(ю х wp)y
откуда, векторно умножая обе части
на ш и замечая, что ш • wp = 0, получаем ускорение точки фигуры, в
данный момент времени совпадающей с Р,
wp = vp хш. (25.11)
При таком выборе полюса уравнение (25.10) перейдет в следующее:
j[P) ш + Мг'рС х (i7p х ©) = m<p), (25.12)
или в иной форме
J{zP)g> ~ М(й(грс -vp) = m(p). (25.13)
В частном случае, когда центр масс лежит на общей нормали к
центроидам в точке Р,
грс -vp = 0
и уравнение (25.13) имеет вид
J(/)ffi=m(p).
(25.14)
(25.15)
Если за полюс О принять мгновенный центр ускорений Q, то в
соотношении (25.10) будем иметь w0 = Wq = 0, поэтому
jf)b=n№>. (25.16)
Таким образом, уравнение вращения (25.7) сохраняет свой вид при
переносе полюса из центра масс в мгновенный центр ускорений.
Два уравнения движения центра масс и уравнение вращения,
взятые в одном из указанных выше видов, представляют полную
систему дифференциальных уравнений плоского движения
твердого тела. При действии потенциальных сил следует
использовать соотношение, даваемое теоремой об изменении
кинетической энергии и представляющее собой один из первых
интегралов указанной системы дифференциальных уравнений.

§ 135. Качение тяжелого цилиндра по наклонной плоскости 291
§ 135. Качение тяжелого цилиндра по наклонной плоскости
и криволинейной поверхности
Сначала рассмотрим сравнительно простую задачу.
Однородный круговой цилиндр, ось которого горизонтальна, скатывается
по неподвижной плоскости, наклонной к горизонту (рис. 333).
Пренебрегая моментом сил трения качения, определим движение
цилиндра: а) при отсутствии скольжения и б) при наличии
скольжения. Коэффициент трения скольжения / считаем известным.
Внешними силами, приложенными к цилиндру, являются:
сила тяжести G = mg9 нормальная реакция плоскости N и сила
трения Fv
В случае качения без скольжения точка Р соприкасания
цилиндра и плоскости есть мгновенный центр скоростей.
Обозначая угловую скорость цилиндра через ш, а его радиус через а,
получаем
х = aw = аф,
(25.17)
где vx= х — скорость центра тяжести цилиндра (v = 0).
Располагая неподвижные оси Ох и Оу так, как указано на
рис. 333, будем иметь
у = -а = const,
V = У =0,
Vx = mg sin a - F19 V = mg cos а - N,
x = аф
(С)
т^ =
Рга;
дифференциальные уравнения плоского движения (25.3) и (25.9)
примут вид
(С) ..
та ф = mg sin а - i*\, 0 = mg cos а - N, Jz $=F1a. (25.18)
Второе уравнение определяет нормальную реакцию; первое и
третье служат для определения углового ускорения ф и силы
трения Fv Решая эти уравнения, получаем
Ф
ga
а* + рс
sin а, (25.19)
2
: mg 2
а2 + рс
jLi mg sin а;
sin а :
(25.20)
Рис. 333

292 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ускорение центра тяжести цилиндра равно (ivu = 0)
а2
wx = х = aq> = —2 g sin a = vg sin a, (25.21)
pc + a2
где
2
Рс ., a2
[1= , v = l-H= 2 . (25.22)
pc + a2 Pc + a2
Все сказанное относится в равной мере и к тем случаям, когда
катящееся тело является не цилиндром, а шаром или колесом; в
последнем случае будем считать массу колеса сосредоточенной на
его ободе (обруч). Коэффициенты jLL и v имеют в этих случаях
значения, приведенные в табл. 6.
Таблица 6
Коэффициенты в выражениях силы трения и ускорения
центра тяжести тела, скатывающегося но наклонной плоскости
Форма
тела
Шар
Цилиндр
Обруч
2
Р_
а2
2
5
1
2
1
91
а2 4- рс
\ -0,29
\ - 0,33
\ =0,50
а2
V= 2^_ 2
а2 4- рс
\ -0,71
1 ^°'67
\ =0,50
/
a0 = arctg -
/ = 0,05
10°
8°30'
5°40'
/ = 0,10
19°20'
16°40'
11°20'
/ = 0,15
27°30'
24°10/
16°40'
Определим путь, пройденный центром тяжести цилиндра. Так
как ускорение wx постоянно, то, считая начальную скорость
равной нулю, получаем
X = -|- = 2 Vgt2 Sin a. (25.23)
За то же время t тело (любой формы), скользя по абсолютно
гладкой плоскости, прошло бы путь
х* = (gt2/2) sin a.
Таблица показывает, что шар проходит при чистом качении 71%
этого пути; цилиндр, двигаясь немного медленнее, сделает 67%,

§ 135. Качение тяжелого цилиндра по наклонной плоскости 293
наконец, всего медленнее станет двигаться обруч — его путь
составляет только 50% от х*.
Рассматриваемый случай чистого качения может иметь место
при условии, что сила трения при качении Fx не превосходит по
величине силы трения скольжения F2. Последняя же, согласно
закону Кулона, определяется формулой
F2 = fN = fG cos a = fmg cos a,
и вышеуказанное условие принимает вид
\\G sin a < fG cos a,
откуда получаем
jitga</, (25.24)
т. е. качение не будет сопровождаться скольжением, если угол a
не превосходит некоторой величины а0, определяемой этим
неравенством. Значения а0 при различных / даны в приведенной
выше табл. 6.
Если a > a0, то качение сопровождается скольжением и
трение тела о плоскость будет трением скольжения, определяемым
законом Кулона. Уравнения движения при этом будут
2 ..
тх = mg sin a - F2, mPc Ф = F2a\
подставив сюда значение F2, получим
x = g (sin a - / cos a), ф = -^ / cos a, (25.25)
Pc
откуда x и ф можно определить интегрированием.
Разность
l>* = х - aq>
есть скорость скольжения точки соприкосновения Р цилиндра
с плоскостью. Имеем
l>* = х - а'ф = g I sin a - / cos a - / -5 cos a =
V Pc )
= g cos a (tg a - tg a0).
При a > a0 величина в скобках положительна и скорость
скольжения будет возрастать по мере опускания тела по плоскости.
Рассмотрим теперь задачу о качении тяжелого цилиндра по
шероховатой наклонной плоскости, учитывая момент сил
трения качения. В последнее уравнение (25.18) — уравнение враще-

294 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ния — следует внести слагаемое, выражающее момент трения
качения, равный произведению нормального давления N цилиндра
на плоскость на коэффициент k трения качения, имеющий
размерность длины. В дальнейшем полагаем k = f'a9 где а — радиус
цилиндра; тогда /' будет безразмерным коэффициентом трения
качения. Уравнения (25.18) после исключения N примут вид
таф= mg sin a - F19 тРс Ф = (^i ~~ / т£ cos а) а»
и вместо соотношений (25.20), (25.21) получим
Fr = mg (jLt sin а 4- f'v cos а), x = vg (sin а - /' cos a).
Неравенство (25.24), выражающее условие отсутствия
скольжения, перейдет в
jLt sin a 4- f'v cos a < / cos a
или
/ " f'v / - f'v
tg a < = .
6 ц 1 - v
В рассматриваемом движении проекция ускорения центра
тяжести цилиндра на ось х должна быть положительной (х > 0);
поэтому
/' < tg a,
и для осуществимости скатывания по наклонной плоскости без
скольжения тяжелого цилиндра при учете момента
сопротивления качению должны выполняться неравенства
/- fv
Рассмотрим более общую задачу (рис. 334). Однородный круговой
цилиндр с горизонтальной осью скатывается без скольжения по
криволинейному цилиндрическому
желобу PqPi', кривая PqPi
задана, т. е. известны, например, ее
координаты х9 у как функции
дуги Р0Р = s; угол \|/ касательной
к кривой с осью х при этом опре-
" делится из соотношений
COS \|/ :
dx
dz/
(25.26)

§ 135. Качение тяжелого цилиндра по наклонной плоскости 295
Отметим также, что
где 1/р — кривизна кривой (\|/ уменьшается с ростом s). Радиус
цилиндра СР0 в начальный момент движения был расположен вдоль С0Р0, где
отсутствует, то s = Р'0Р . Угол ф прямой СР0 с неизменным
направлением вертикали молено принять за угол поворота цилиндра. Поэтому
s = а (ф - \|/), ф - - + \|/. (25.28)
Внешними силами, действующими на цилиндр, являются сила тяжести
G, касательная (трение при качении) F\ и нормальная N составляющие
реакции. Молено сразу исключить неизвестные силы F{ и N, составив
уравнение вращения в форме (25.15), что возможно, так как нормаль
в точке Р к центроидам проходит через центр тяжести цилиндра.
Замечая, что по (25.27)
s dw . s / а > t s / а > s2 dp
<D=(P=- + -r:S=-l--L Ю=-1--+-5-л» (25.29)
^ a ds ay p / а \ р J p2 ds v ;
получаем, согласно (25.15),
J z Ю = тп(рс +а2)
М\ Р
s2 dp
+ ~* d s
/ngtt sin \|/. (25.30)
Как уже указывалось, угол \|/ молено считать известной функцией дуги s.
Кинетическая энергия цилиндра по (24.39) и (25.29) имеет
выражение
о2
Т"2т1рс+а 1^2 И'р) ' (25"31)
а потенциальная энергия определяется равенством
П = mgyc = mg (a cos \|/ + у). (25.32)
Работа реакций F] n N равна нулю, так как с точностью до малых
второго порядка перемещение точки их приложения в каждый момент
времени обращается в нуль. Принимая, что цилиндр начал движение из
состояния покоя, по закону сохранения механической энергии получаем
1/2 0\ к2 (л а \2 , ч о
^ т I рс + a2 ] —2 I 1 - - ] + mg (a cos у + у) = mgyc . (25.33)
Это соотношение представляет собой первый интеграл уравнения
(25.30), что молено проверить, определяя s из (25.33)
дифференцированием и учитывая (25.26) и (25.27).

296 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Реакции F{ и N находим из уравнений движения центра тяжести
в форме (25.5):
2
т iv л 2
= т
Р
— <p2 = ml 1 - - ] - = N - mg cos \|/,
т v с = та ф = т
(л а V- , s2 dp "I _, .
(25.34)
откуда после исключения S и s с помощью (25.30) и (25.33) получим
Г/ а \ ус - ус
Fx = \img sin у, JV = mg I 1 + 2v - cos V|/ + 2v
(25.35)
где сохранены обозначения (25.22). Условие отсутствия скольжения
принимает вид Fl < /iV, т. е.
]ltg\\Kf
к
о
1 , 0 а ) Ус Ус
1 + 2v - + 2v
р ) р cos \|/
(25.36)
Если, в частности, желоб представляет собой поверхность кругового
цилиндра радиусом Ry то, согласно рис. 335, имеем s = R(y0 - \|/), и
уравнение (25.30) приводится к виду уравнения движения математического
маятника
\ц
R- а
g sin у,
(25.37)
имеющего длину
l = (R- a)/v.
Пример 116. Центр тяжести кругового цилиндра радиусом а,
катящегося без скольжения по внутренней поверхности неподвижного цилиндра
радиусом R, расположен на расстоянии ОС = е от оси цилиндра (рис. 336).
Составим уравнение движения цилиндра.
Рис. 335
Рис. 336

§ 136. Движение самолета в вертикальной плоскости
297
Повторив рассуждение, приведенное выше, получим
РР0 = Р'0Р = Р'Р0 = s = афх = Л^, ср = фх - у,
где ф— угол поворота цилиндра. Соотношение (25.14) теперь не имеет
места, и уравнение движения надо записать в форме (25.13), причем
aR . , „ aR
vp = i?\|/ = „ _ ф, rpc -Up =-Up-PC sin a = -„ _ фев1Пф1.
XL Li/ XI Li/
Заметив также, что
Jz = m(pc + PC2) = m(pc + a2 + e2 - 2ae cos фх),
/n^ = -(a sin \|/ + e sin ф) mg,
получим
(pc + a2 + e2 - 2ae cos фх)ф + „ ф2 sin фх = -g (a sin \|/ + e sin ф),
причем ф1 и \|/ связаны с ф соотношениями
При весьма малых отклонениях от положения равновесия уравнение
движения принимает вид
г 2 , t .«, .. а2 + е (R- а)
[рс + (а - е)2] ф = -g- д-5^ -' ф,
и период весьма малых колебаний будет
1 = 2л
\r- а Рс + (Д ~ е)2
V g а2 + е (R- а)'
§ 136. Движение самолета в вертикальной плоскости
Рассмотрим плоское движение самолета, при котором траектория его
центра масс расположена в некоторой фиксированной вертикальной
плоскости, служащей плоскостью материальной симметрии самолета.
Силами, действующими на самолет, являются сила тяги винта Р,
направленная по оси винта и составляющая с хордой крыла постоянный
угол \|/, сила тяжести G и аэродинамические силы. Совокупность
последних может быть приведена к главному вектору, приложенному в центре
масс С самолета, и паре с моментом Mz относительно оси Czy
перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс.
Составляющая главного вектора по направлению, противоположному скорости v

298 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Линия хорды крыла
центра масс, представляет собой
силу сопротивления D, а
перпендикулярная ей составляющая —
подъемную силу L (рис. 337).
Назовем углом атаки ос
острый угол между хордой крыла и
вектором скорости центра масс
самолета и, отсчитываемый от
вектора скорости против часовой
стрелки для наблюдателя,
смотрящего на плоскость рисунка.
Угол между горизонтальной
осью х и вектором скорости v —
угол подъема траектории центра
масс — обозначим через 9. Тогда
ф = 9 + а определит угол между
осью х и неизменным
направлением в движущемся теле; ф называется углом тангажа.
Дифференциальные уравнения движения самолета составим, пользуясь (25.5)
и (25.6); это — уравнения движения центра масс в естественной форме
Рис. 337
v = Р cos (а - \|/) - D - G sin 9,
и9 = Р sin (а - \|/) + L - G cos 9
(25.38)
и уравнение вращения
J,0 <p = J(2C)(Q + a) = Mz
(25.39)
Силы D и L и момент Mz определятся известными
аэродинамическими соотношениями
D=\pcxSv*,
L-\pcj$v\
(25.40)
в которых <S — площадь несущих поверхностей, Ъ — длина хорды
крыла, р — плотность воздуха. Коэффициент сопротивления сх и
коэффициент подъемной силы с являются функциями угла атаки а, а
коэффициент момента стг зависит еще от угла установки руля высоты,
угловой скорости самолета ф = а + 9 и отдельно от а. Зная еще закон
изменения силы тяги, которая при заданном режиме работы двигателя

§ 136. Движение самолета в вертикальной плоскости
299
зависит от скорости, мы, проинтегрировав уравнения движения
самолета, могли бы найти и, 9, а как функции времени, после чего координаты
центра масс были бы выражены с помощью соотношений
хс = { v cos 9 dt,
(25.41)
ус = \ v sin 9 dt.
Однако интегрирование системы уравнений (25.38), (25.39)
представляет значительные трудности.
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением фугоидных колебаний
самолета, представляющих собой малые колебательные движения,
накладывающиеся на режим поступательного равномерного прямолинейного
горизонтального полета и возникающие при нарушении этого режима по
какой-либо причине. Через и0 обозначим величину скорости в
установившемся режиме, через ос0 — постоянное значение угла атаки; угол 9
при горизонтальном полете равен нулю. Уравнения движения (25.38),
(25.39) превращаются в уравнения равновесия:
Р cos (ос0 - \|/) = D0,
Р sin (ос0 - у) + L0 - G = 0, (25.42)
Из двух первых уравнений находятся значения и0 и ос0 при данных
условиях работы двигателя, а последнее определит соответствующий угол
установки руля.
Предположим теперь, что вследствие какого-либо возмущения,
например попадания самолета в поток воздуха или изменения тяги
двигателя, произошло малое нарушение рассматриваемого равновесного
режима. В последующем движении самолета скорость уже не имеет
прежнего значения и0, а становится переменной и равной
v = v0 + i/, (25.43)
причем i/ — малая по сравнению с v0 величина. Угол подъема также
будет отличен от нуля, но мал настолько, что молено считать sin 9 = 9,
cos 9=1. Должно измениться также и значение угла атаки а. При
изменении угла атаки возникает стабилизирующий момент, стремящийся
уменьшить это изменение, и если этот момент достаточно велик (самолет
обладает, как говорят, значительной статической устойчивостью), а мо-
(с)
мент инерции Jz достаточно мал, то угол атаки а практически
сохранит в возмущенном движении то же значение, что и в исходном
невозмущенном; его малые изменения могут быть скорректированы с помощью
соответствующих движений руля высоты.
Перейдем к составлению дифференциальных уравнений
возмущенного движения. Для упрощения мы предположим, что угол (а - \|/)
настолько мал, что молено принять cos (ос - \|/) = 1 и пренебречь слагаемым,

300 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
содержащим sin (a - \|/), во втором уравнении (25.38). Уравнения (25.38)
и уравнения равновесия (25.42) примут вид
mv' = Р - \ cxpS (v0 + z/)2 - mgQ, (25.44)
771 (VQ + V') § = ^ PC^ (V0 + U')2 ~ ^^»
1 2 1 2
0 - P0 - g cxpSu0, 0=2 pcyiSi;0 - /ng\ (25.45)
Вследствие предположения о неизменности угла атаки
коэффициенты схн сц в уравнениях движения имеют те лее значения, что и в
уравнениях равновесия. Уравнения моментов (25.39) выписывать не надо,
поскольку было принято, что оно выполняется и в возмущенном
движении. Почленно вычитая уравнения (25.45) из (25.44), отбрасывая
произведения малых величин i/ и Э, а также (i/)2> получаем
mv' = Р - Р0 - cxpjSi?0i/ - G0, mvQ 0 = рс <Sl?0i/. (25.46)
Разность Р - Р0 молено представить в виде
P-P0 = P(v0 + v')-P (u0) - CU )() у'. (25.47)
причем постоянная (дР/ди)0, определяющая быстроту изменения силы
тяги при изменении скорости установившегося режима,
отрицательна, так как сила тяги при данном режиме работы двигателя
уменьшается с ростом скорости. Замечая еще, что по второму уравнению равно-
2
весия рс S = 2G/v0 , приходим к уравнениям возмущенного движения
самолета
Г!;0 (ЭР/Эи)0 _ 2су] г/ _ ^ ^ _ 2g
2 '
^0
rl?0 (dP/dv)n 2с-] V' • 2g ,
v 'g [J^H - 7f] 5". - Л е = iv- (25"48)
Исключив из них величину 0, получим одно дифференциальное
уравнение второго порядка вида
2я2
v' + 2nv'+-E£- v'=Q, (25.49)
уо
где
Vе х v0 fdP
с7(
причем тг > 0. Общее реп1ение этого уравнения имеет вид (§ 98,
формула (21.47))

§ 136. Движение самолета в вертикальной плоскости
301
Величина, стоящая в квадратных скобках под знаком радикала, всегда
мала, и квадратом ее по сравнению с единицей молено пренебречь.
Получаем
i/ - Ce~ni sinf — t + е | -
= e~nf I С, sin g**2 t + C2cos g**2 t I. (25.52)
Таким образом, скорость изменяется по закону затухающих колебаний
с периодом
Т = " . (25.53)
gj2
Интересно отметить, что длина эквивалентного математического
маятника составляет h = v0 /(2g), т. е. равна высоте, на которую поднялась
бы материальная точка, брошенная вертикально вверх со скоростью v0.
Период колебаний, совершаемых самолетом при возмущении
прямолинейного горизонтального полета, велик; это — длиннопериодические,
или фугоидныеу колебания. Если бы мы учли изменяемость угла атаки,
то получили бы наложение на эти длиннопериодические колебания
другой группы колебаний — короткопериодических.
Коэффициент при g/v0 в выражении п (25.50) обычно является малой
величиной (порядка 0,1). Поэтому длиннопериодические колебания
затухают медленно, например, для сх = 0,027, с = 0,4 и v0 = 124 м/с при
Р = 0 (в режиме планирования) имеем*: т = 56 с, п = 5,35 • 10~3 1/с.
Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится вдвое, будет
равно
t9 = 103- *П,Д - 119 с -2,12т.
z 5,35
При учете изменения угла атаки было получено для длиннопериодиче-
ских колебаний т — 65,7 с при времени уменьшения амплитуды вдвое,
равном t2 — 113,5 с; на них налагаются быстро затухающие короткопе-
риодические колебания с периодом 4 с; амплитуда их уменьшается вдвое
за 0,5 с. Таким образом, предположение о постоянстве угла атаки
приводит по крайней мере к качественно верному представлению о движении,
хотя и не позволяет учесть быстрозатухающих и сравнительно
высокочастотных колебаний.
Имея выражение скорости (25.52), из первого уравнения (25.48)
найдем угол подъема Э. Произвольные постоянные С1 и С2 определяются по
начальным условиям. Примем, например, что самолет, двигавшийся
Данные взяты из книги И. В. Остославского, Г. С. Калачева [25].

302 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
равномерно по горизонтальной прямой со скоростью v0 относительно
Земли, попадает во встречный горизонтальный равномерный поток
воздуха, имеющий скорость W; уравнения движения (25.48) остаются
справедливыми в системе отсчета, движущейся вместе с потоком, причем
скорость самолета в этой системе в момент встречи с потоком,
принимаемый за начальный, будет v0 + W. Поэтому начальные условия по (25.43)
будут
и' = W, 0 = 0 при t = 0. (25.54)
С помощью первого из уравнений (25.48), которое при введенном
обозначении (25.50) может быть представлено в виде
Э = -- (и' + 2nv% (25.55)
8
второе начальное условие дает
v0 = -2nW.
Постоянные С1 и С2 в решении (25.52) будут
СЛ=-?—^, C9 = W. (25.56)
1 gj2 2
Таким образом, скорость самолета относительно Земли и угол подъема
определятся выражениями
= vn - W + We-nt\ cos *Ш t - ^ sin =^ t 1,
J2W „_nf^gj2
._fl gjb . nv0 . gjl
nt* cos ^-3L- t = sin ^-^— с „
^o gj2 vQ I
(25.57)
2
причем в выражении 0 множитель [1 + ji2Vq /(2g2)] заменен единицей.
Уравнения движения центра масс самолета в конечной форме получим
из соотношений — см. (25.41) —
t t
хс= } vdt, yc = v ) Qdt. (25.58)
0 0
Проинтегрировав, найдем
хс = v0t -Wt\l- е-*' ™(^*/"о)1
L (gj2/v0) t J
Wv*[* -ntl еЛ t , nv0 . gj2 VI
yr = 1-е nt\ cos + —-=r sin / .
yt g L I vo gj2 "о I]
(25.59)

§ 137. Критическая угловая скорость гибкого вала
303
Заменив t в выражении ус его приближенным значением xc/v0,
получим уравнение траектории центра масс самолета
Ус
- 7 ['
-п*с/»о [ cos Х< + nV° sin *с
/t72 ^72
Wu»
u
hj2
Л
(25.60)
где h = Vq /(2g), sin e ~ e = nv0/(gj2 ) и, как выше, множитель
1+ Л2 172/(2^)
[енен единицей.
При значениях
xc^hj2+i2k+r1)K
Л,
Л = 0, 1,2,
(25.61)
(т.е. через каждый полупериод) самолет попадает на уровень с высотой
Wu0/g над первоначальным и с ростом t асимптотически приближается
к этому среднему уровню, опускаясь ниже него и поднимаясь над ним.
§ 137. Критическая угловая скорость гибкого вала
Рассмотрим вращающийся вертикальный
вал кругового поперечного сечения (рис. 338).
При изгибе вала касательная в средней точке
оси вала будет параллельна неизогнутой оси
вала; при этом плоскость диска, насаженного
на вал в среднем сечении перпендикулярно его
оси, не будет перекашиваться, если вал
изогнется.
Пусть точка С — центр тяжести диска.
Через М обозначим точку пересечения оси
изогнутого вала с плоскостью диска; е = МС
представляет собой эксцентриситет диска.
Наконец, О есть точка пересечения плоскости диска
с прямой, соединяющей центры подшипников
вала; прогиб вала в его середине равен ОМ.
Внешней силой, приложенной к диску,
является реакция F изогнутого вала; эта сила
имеет направление отМкО (рис. 339) и, если,
как принято в дальнейшем, масса вала
пренебрежимо мала по сравнению с массой диска,
по величине пропорциональна прогибу ОМ:
Рис. 338
F = -с • ОМ = -сг»
(25.62)
Рис. 339

304 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Коэффициент пропорциональности с зависит от упругих свойств и
размеров вала, а так лее от способа закрепления его концов.
Дифференциальные уравнения движения центра тяжести диска
будут (т — масса диска):
т,л,с - г х-
Замечая, что
myc = Fy = -cyM. (25.63)
(25.64)
хм = хс - е cos ф, ум = ус - е sin ф, (25.65)
приведем уравнения (25.63) к виду
хс + k2xc = ek2 cos ф, ус + kzyc = ek2 sin ф, (25.66)
где
k2 = c/m. (25.67)
Величина k представляет собой частоту свободных колебаний диска.
Остается составить дифференциальное уравнение вращения диска.
Обозначая через р радиус инерции диска относительно оси Cz,
проходящей через центр тяжести, получим
тр2 ф = т[С) (F). (25.68)
Предполагается, что вращающий момент уравновешивается моментом
(С)
сил сопротивления. Момент mz (F) представляет собой проекцию на ось
Cz вектора момента силы m^c\F) относительно точки С; замечая, что
m^c\F) --exf-gx crM = е х с(гс - е) = се х гс,
получаем
(С)
mz (F) = се (ус cos ф - хс sin ф). (25.69)
Уравнение вращения принимает вид
р2 ф = k2e (yc cos ф - хс sin ф). (25.70)
Точное интегрирование полученной системы уравнений (25.66)
и (25.70) представляет значительные трудности. Решение может быть
упрощено, так как в дисках паровых турбин эксцентриситет е и
отклонения хс и ус не превышают нескольких тысячных долей радиуса инерции
р; поэтому отношение ф /к2 имеет порядок не выше 10~5. Такой же
порядок будет иметь и отношение ф/оо2, поскольку нас будут интересовать
угловые скорости диска, имеющие тот же порядок, что и к. Поэтому,
если угловое ускорение сохраняло бы далее постоянную величину ф /го2
в продолжение всего времени оборота диска, то возникающее при этом

§ 137. Критическая угловая скорость гибкого вала
305
относительное изменение угловой скорости Аоо/оо имело бы порядок
2я-10~5. Это дает основание пренебречь в уравнении (25.70) правой
частью. Тогда получим
р2ф = 0, (25.71)
откуда следует, что
ф = Ш + ф0, (25.72)
где оо — угловая скорость диска; константу ф0 примем равной нулю.
Уравнения движения центра тяжести в этом приближении
принимают вид
хс + k2xc = k2e cos oo£, ус + k2yc = k2e sin oo£. (25.73)
Общее решение этих уравнений состоит из слагаемого,
соответствующего свободным колебаниям:
х1 = с1 cos (kt + а:), у1 = с2 cos (kt + ос2), (25.74)
и слагаемого, представляющего вынужденные колебания:
k2 б k^б
х9 = cos oo£, z/9 = sin oo£. (25.75)
/г2 - со2 /г2 - со2
Резонанс имеет место при
ю = шкр = /г = Jc/m. (25.76)
Значение оо, соответствующее резонансу, называется критической
угловой скоростью. Критическая угловая скорость равна частоте
свободных колебаний диска. Переходя от критической угловой скорости к
частоте вращения в оборотах в минуту, получаем
rtKP= 7Г об/мин> (25.77)
где статический прогиб вала /ст должен быть выражен в сантиметрах.
Наличие сил сопротивления должно способствовать быстрому
исчезновению свободных колебаний. При установившемся ходе турбины с
угловой скоростью, значительно отличающейся от критической, эти
колебания никакого значения иметь не будут. Пренебрегая ими, получим
хс = х2у ус = у2, к так как оо£ = ф, то
k2e k2e
cos ф, ur =
k2 ~ (Л* Y' УС k2 ~ (fl=
Xr- —, rcoscP> Ус = Т7, гйШф, (25.78)
k2
, e. (25.79)

306 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Но в таком случае
m^c\F) = се хгс-
ck2
ехе-0,
и уравнение (25.70) в точности
удовлетворяется. Это показывает, что только
при наличии значительных свободных
колебаний молено ожидать изменения
угловой скорости диска и что точность рассмотренного приближенного
решения тем выше, чем с большим основанием молено пренебречь
свободными колебаниями. Получаем
гм~е-
k2 -ю2
Г\г-
А'"|А'-«о'|
(25.80)
Векторы гм = ОМ и гс = ОС (рис. 340) имеют, таким образом,
одинаковое направление, т. е. три точки О, М, С лежат на одной прямой; эта
прямая вращается с угловой скоростью № вокруг точки О, т. е. центр
тяжести диска, а также точка М описывают окружность.
Если оо < оо , то гс > гм; точки О, С, М расположены так, как указано
на рис. 340, а; если же оо > оо , то гс< гмн эти точки располагаются, как
указано на рис. 340, б.
Центр тяжести диска приближается к точке О; если к тому же
оо > оо J2 , то гс < е, т. е. при достаточно больших угловых скоростях
диск, насаженный на гибкий вал, автоматически центрируется;
центр тяжести диска приближается к геометрической оси
вращения вала.
Пусть, например, оо = 5оо = 5k; получим
-24<>
(Ю/Юкр)2 " 1
т. е. погрешность в центровке диска уменьшается в 24 раза.
Явление самоцентрирования быстро вращающегося диска на гибком
валу было замечено JIавалем. Изложенное выше объяснение этого
явления было дано А. Фёпплем в 1895 г. вскоре после открытия Лаваля.
Н. Е. Жуковский (1847—1921) в работе «Об упругой оси турбины
Лаваля и об осях с качающимися подшипниками» (1899) [4] распространил
теорию Фёппля на задачу о критической скорости вала (центрифуги,
веретена и т. п.), снабженного упругими подшипниками.
ЛАВАЛЬ ГУСТАВ ДЕ (Laval Gustaf Be, 1845—1913) — шведский инженер.
ФЁППЛЬ АВГУСТ OTTO (Foppl August Otto, 1854—1924) — немецкий физик.

§ 138. Удар в плоском движении твердого тела
307
§ 138. Удар в плоском движении твердого тела
Если к твердому телу, совершающему плоское движение, в
некоторый момент времени прикладываются такие мгновенные
силы, что в результате действия их движение остается плоским,
то для определения скорости центра тяжести и угловой скорости
тела после удара имеем два уравнения, выражающих теорему
импульсов (§ 106):
m(vx
J0x.
) = 2 su
/ = 1
m(vu
J0y
n
Z S
iy>
(25.81)
и уравнение изменения момента количества движения в
относительном движении вокруг центра тяжести при ударе (§ 118, 120)
Т(С) t . - ч
Ъ ml (£■).
i =1
(25.82)
Здесь S19 S2, ... , Sn — импульсы внеп1них мгновенных сил, v и
ю — скорость центра тяжести С и угловая скорость тела после
удара, v0 и ю0 — те же величины до удара. К уравнениям (25.81)
и (25.82) должны быть добавлены условия, определяющие
характер удара.
Рассмотрим случай удара плоской фигуры о неподвижную
преграду (рис. 341). Внешней мгновенной силой является
реакция преграды, приложенная в точке О, в которой соприкасаются
поверхности преграды ММ и ударяющего тела в момент удара.
Импульс этой реакции обозначим через S и, выбрав начало
координат в точке О, направим ось у по нормали к ММ внутрь тела,
а ось х — по касательной к этой поверхности. Координаты
центра тяжести в этой системе осей обозначим хс, уС9 а его
вектор-радиус гс. Скорость точки О до удара обозначим через VQ9 а после
удара — через V; по известным формулам кинематики имеем
(Ос
v - со х г.
с»
причем знак минус объясняется тем,
что вектор-радиус СО равен —гс.
Проецируя эти уравнения на оси х9 у9
получаем
V0x = V0x + ЩУс>
V(
0у
J0y
(ЯпХ,
о-^с»
Vx =Vx +<Щ/С,
(25.83)
ХМ
V,
шхг
Рис. 341

308 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Нормальные к преграде составляющие скорости точки О до удара
и после него связаны соотношением
Vy + bV0y = 0, (25.84)
где k — коэффициент восстановления.
Уравнения (25.81) и (25.82) запишем в форме
1 (25.85)
w = w0 - (xcS - ycSx).
трс
Заменяя в выражениях Vх и V проекции скорости центра
тяжести и угловую скорость этими значениями, получим
Vx = V0x+ 12 [(PC + УС )Sx ~ XcVcSyl
1 (25.86)
Vy = V0y+ \2 [~xcycSx + (р2с + х2с )S ],
трс
и соотноп1ение (25.84) приведется к виду
-тр2с (1 4- k)V0y = -xcycSx 4- (Рс + х2с )Sy. (25.87)
Четыре уравнения (25.85) и (25.87) содержат пять неизвестных:
uv, l> ,, ш, Sv9 S„. Недостающее уравнение получим, приняв то или
х у х у
иное предположение о характере поверхности преграды.
Ограничимся рассмотрением двух предельных случаев.
1°. Поверхность преграды абсолютно гладка; тогда
sx = o
и мы находим
2
трг (1 + к)
о = _ гс 1 у
°у 2,2 у 0у>
рс+ хс
Рс(1 + *) ,,
и* _ u0jc' ^у _ % 2 2~ К0у> (25.88)
рс + хс
(1 + к) хс
0>=(00 + 2^ 2 V0y
Рс + *г;
В этих формулах величину V0 надо заменить ее значением
(25.83).

§ 138. Удар в плоском движении твердого тела
309
2°. Поверхность преграды абсолютно шероховата, т. е. не
допускает скольжения по ней ударяющего тела; тогда
или, согласно (25.86),
~mp2cvox = (Рс + Ус )Sx ~ хсУс$у <25-89)
Из двух уравнений (25.87) и (25.89) находим неизвестные Sx и S :
ТП 2 2
$х = ~а [(Рс + хс) vox + (1 + *) xcycV0l
Ро
(25.90)
S„ = --2 [хсУсУ0х + d+k) (р2с + у2с )V0y],
Ро
где
Ро = Р? + *с + Ус- <25-91)
Очевидно, что р0 представляет собой радиус инерции тела
относительно оси 2, проходящей через точку соприкасания тел. Теперь,
согласно уравнениям (25.85), получаем
vx = v0x —2 [(Рс + хс ) v0x + (1 + Ь)*сУсуОу1>
Ро
vy = V0y ~ ~2 1ХсУсУ0х + (1 + А) (Рс + УС )V0y\> (25-92)
Ро
ю =ю0+-^ [(i + ^^oy-^oJ-
Po
Здесь F0:c и F0 можно заменить их значениями (25.83);
ограничимся написанием формул, относящихся к случаю неупругого
удара (k = 0); они легко приводятся к виду
Vx = -®Ус> Vy = Й*С> & = "г (XCV0y - Ус»0х + РС ©о) <25"93)
Ро
и дают решение задачи об определении движения плоской
фигуры после того, как одна ее точка О была мгновенно остановлена;
фигура станет, очевидно, вращаться вокруг точки О, причем
угловая скорость ю находится из последнего уравнения (25.93),
которое другим путем будет получено в конце § 156 (с. 425).

310 Глава XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
п
;4
'.
: i
А\_
Со
<2
в_^
~оЖ
:=0,
= 1
2
Рис. 342
(L - L),
Ус*
Пример 117. Однородный брусок
длиной АВ = I (рис. 342), падающий
поступательно , встречает неподвижное
препятствие О, отстоящее на
расстояния 1Х и 12 от А и Б. Скорость бруска до
удара равна и0. Определить скорость
центра тяжести бруска и его угловую
скорость после удара. Коэффициент
восстановления равен k.
В данном случае
сЬп = 0,
0,
Ч ь2
По (25.83) и (25.92) получаем
Ро
где по (25.91)
2
Рс
12
I2.
-Sgft-V-.g].
2Ро
170(1 + Л),
2
Ро
■ / ^2 + —
При 1Х
■ (3/4)/ находим
-\ (3-4Л)и0,
I2.
12 /1 _L_ ЬЧ ^0
у (1 + &) у
При абсолютно неупругом ударе получаем и = -(3/7)и0, а при абсолютно
упругом и = (1/7) и0; в последнем случае скорость центра тяжести
меняет свое направление на противоположное.
Пример 118. При падении полого шара радиусом а на землю скорость
центра равна по величине v0 и направлена под углом а к вертикали
(рис. 343). Определить движение шара после удара о землю, если в
момент падения шар имел угловую скорость ш0 вокруг оси,
перпендикулярной вертикальной плоскости, содержащей скорость и0.
Будем предполагать, что скольже-
ние по поверхности земли отсутствует.
В рассматриваемом примере имеем
хг = 0,
*,с
vn
Ус
а,
vn sin a,
2
Рс
Vn
= %а2
-vn cos а.
Выражения проекций скорости центра
шара и его угловой скорости после
удара по (25.92) и (25.83) будут
1
г (Зи0 sin а - 2аш0),
Рис. 343
и = kv0 cos а,
а

§ 138. Удар в плоском движении твердого тела
311
Угол отражения шара от земли определится из соотношения
* " vy 5/г ^ ё vQ cos a J
При условии tg p = -tg а niap отразится по направлению падения. При
абсолютно упругом ударе (k = 1) это будет иметь место, если
со0 = * sin a.
Теннисный мяч, которому сообщена такая угловая скорость,
отразится по направлению падения, имея скорость центра тяжести, равную по
величине скорости падения и0, и угловую скорость
vx vQ sin a i .
а а 4. °
Пример 119. Платформа АВ массой т опирается в точках А и Б на
рессоры одинаковой жесткости с. Центр тяжести С платформы
находится в середине отрезка АВ; радиус инерции платформы относительно оси,
проходящей через С перпендикулярно рисунку, равен рс; АВ = 21. Под
действием импульса S точка А приобрела скорость v0. Определить
последующие колебания платформы, считая ее отклонения от положения
равновесия весьма малыми и пренебрегая силами сопротивления (рис. 344).
Сначала определим скорость и центра тяжести платформы и
угловую скорость оо после удара. Это даст начальные условия для
последующего движения платформы. Имеем
2
mv = S, тл-Рс ou=IS,
причем ось Оу направлена вертикально вниз, а го считается
положительной при вращении против часовой стрелки. Далее имеем
V0 = Vy + ®L
Из этих уравнений находим
Рс - I
* Рс ' '2 Рс + ^ и
При движении, возникающем после удара, силами, действующими
на платформу, будут сила тяжести G = mg и реакция рессор. Пусть ус —
перемещение центра тяжести, ф — угол поворота платформы. Обозначая
статическое укорочение рессор через /ст и замечая, что полные осадки
рессор Б и А при малых колебаниях
платформы в произвольный момент
движения соответственно равны
U = /ст + УС~ *Ф- /А = /ст + УС + *Ф>
получаем уравнение движения центра
тяжести ^ ^
тУс = ~cfb ~ cfA + G- Рис. 344

312
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Замечая, что 2с/ст = mg, приведем это уравнение к виду
Ус + к1уС = °>
где кх = 2с/т.
Составим теперь уравнение вращения платформы
тпрсФ =cl(fB-fA),
Ф + &2Ф^
где
2 2d2
^2 ~~ 2
Остается :
Ф = 0,
Ус=°>
Получим
= о,
i2
Р2с
k\.
вайти реп1ение
Ф -
Ус =
1
P2c + i*u°'
pI
УС
этих
/2 0
уравнений при
при t -■
= 0.
начальных
условиях
[т Рс 'и* [ж Рс j л.
Глава XXVI
Тензор инерции твердого тела
§ 139. Тензор инерции и его компоненты.
Формула для момента инерции тела
относительно произвольной оси
В предыдущей главе при рассмотрении динамики плоского
движения абсолютно твердого тела, при котором ось вращения
тела сохраняет перпендикулярное плоскости движения
направление, можно было довольствоваться простейшим понятием
момента инерции тела относительно данной оси или оси, ей
параллельной, как мер инертности тела в его вращении вокруг оси.

§ 139. Тензор инерции и его компоненты. Формула для момента инерции тела 313
Рис. 345
В специальных задачах динамики
твердого тела (теория гироскопов и др.)» °
которых будет идти речь далее, необходимо
изложить учение об инертности абсолютно
твердого тела в его вращении около
неподвижного центра и в более общих случаях,
включающих такое вращение как
составляющую.
В § 119 была указана общая формула
(23.62) главного момента количеств
движения системы материальных точек. В случае
сплошного твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки (центра вращения), эта формула заменяется интегральным
выражением
К = } г х (со х г) dm, (26.1)
(М)
где г (рис. 345) — вектор-радиус точки N тела, со — вектор
угловой скорости вращения тела вокруг неподвижного центра О,
dm — элементарная масса тела в точке N; интеграл берется по
всей массе М тела.
Раскрывая тройное произведение по известному правилу
г х (со х г) = со(г • г) - г(со • г) = г2со - (со • г) г
и замечая, что скорость со одинакова по всему объему твердого
тела, приведем равенство (26.1) к виду
(26.2)
К = со | г2 dm- J (cu-r)rdm.
(М) (М)
Проецируя обе части этого равенства на оси координат и
собирая в каждом из полученных трех равенств члены при ю^, со и (02,
получаем
Кх = Jxx®x
J*y%
КУ
~JyX®X + Jyy®y
JXZ®2>
Jyz®z>
(26.3)
-J2X®X
Jzy%+Jzz®z>
где введены обозначения
Jxx= \ (У2 + z2) dm> Juu= I (#2 + 22)dm, j^= J (x2 + i/2) dm,
J
xy
(M)
J
yx
J xydm, J„Z = JZ = I yzdm, JXZ = JZ
(M)
zy
(M)
J xz dm.
(M)
(26.4)

314
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Совокупность равенств (26.3) выражает вектор К как
линейную вектор-функцию от со с коэффициентами, представленными
таблицей (матрицей)
хх ху xz
~Jxy Jyy ~Jyz
\
(26.5)
Поскольку векторы К и со представляют собой объективные
физические величины: главный вектор момента количеств
движения твердого тела в его вращательном движении вокруг
неподвижного центра О и вектор угловой скорости со [точнее говоря,
К и со являются псевдовекторами (см. § 34 и указанные там
примеры псевдовекторов)], совокупность коэффициентов при ю^, со ,
(0г в системе равенств (26.3), представленная матрицей (26.5),
образует физический (объективный) тензор второго ранга, который
мы обозначим буквой J и назовем тензором инерции тела в
данной его точке.
По определению операции умножения вектора на тензор
слева или справа (в данном случае это безразлично, так как
тензор инерции, очевидно, симметричен) системе равенств (26.3)
можно придать (см. § 33) тензорную форму
К = Jco. (26.6)
Замечая, что суммы у2 4- z29 x2 4- z29 x2 4- у2 представляют собой
квадраты расстояний от точки N соответственно до осей Ох9 Оу9
Oz9 заключим, что диагональные компоненты матрицы (26.5) —
их для сокращения записи принято обозначать через J\ , Jll9 J, —
х у z
представляют собой моменты инерции тела относительно осей
Ох9 Оу и Oz. Недиагональные компоненты матрицы (26.5),
взятые с положительными знаками, называют центробежными
моментами инерции или произведениями инерции в
соответствующих плоскостях.
Подчеркнем, что моменты инерции J\ , Jll9 JV, так же как и
х у z
произведения инерции J 9 J , Jxz9 зависят от выбора в теле осей
координат, но совокупность этих величин в целом представляет
собой не зависящую от этого выбора единую физическую
величину — тензор инерции J.
Сравнивая формулу (26.6) с выражением вектора количества
движения для поступательно движущегося тела или
материальной точки q = mv9 видим, что подобно массе т9 характеризующей

§ 139. Тензор инерции и его компоненты. Формула для момента инерции тела 315
инертность тела в его поступательном движении, тензор
инерции J выражает инертность абсолютно твердого тела при его
вращении вокруг некоторого центра. В этом заключается
физическое значение тензора инерции. Тензор инерции имеет
различные значения в разных точках твердого тела; он является
функцией точки, т. е. образует в твердом теле тензорное поле.
Связь между тензорами инерции в разных точках твердого тела
будет установлена далее.
При изложении основ тензорной алгебры (§ 33) было
выяснено, что определение тензора как совокупности коэффициентов в
выражении линейной связи между двумя физическими
векторами не является единственным. Возможно и другое определение
тензора как совокупности величин, преобразующихся при
переходе от одной прямоугольной системы координат к другой по
формулам преобразования произведений проекций двух
векторов. Переходя от буквенной индексации к цифровой (х = xv
у = х2, 2 = хг, причем в следующих формулах предполагается
суммирование по дважды повторяющимся в одночленах немым
(§ 33) индексам г и s, а знак ± принят в соответствии с матрицей
(26.5), где плюс относится к случаю р = q9 а минус — к случаю
р ^ д), будем иметь
**pq ~ VLpr^qs \—^rs)9 **pq ~ ^rp^sq\—^rs)'
p= 1, 2, 3, q= 1, 2, 3, (26.7)
где it/' — компоненты тензора инерции в новой системе
координат Оххх2х^ a ±J" — в старой системе Охгх2хг. Величины
0Lmn9 m = 1,2, 3, п=1,2, 3, представляют собой косинусы углов
между осями Ох'т и Охп согласно следующей таблице (§ 32):
х2
х'з
х1
ап
«21
«31
х2
а12
а22
«32
*з
«13
«23
«Ж*
Формулы (26.7) можно непосредственно использовать для
составления выражения момента инерции JL тела относительно
произвольной прямой LL (рис. 345), проведенной через точку О

316
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
в теле. Для этого достаточно представить себе прямую LL как ось
новой системы координат, например как ось Ox'v Тогда из
первой формулы (26.7) при р = q = 1 будет следовать (суммировать
по г и s)
Jn =jl = ulrals(±Jrs),
или, если записать эту двойную сумму в развернутом виде,
2 2 2
^ь = aii^i+ а12 J2 + а1з^з ~~ 2ос11а12е/12 ~~ 2а12а13е/2з ~~ 2а11а13е/13- (26.9)
Если обозначить косинусы углов прямой LL с осями системы
координат Охгх2хг через а, р, у и вернуться к буквенной
индексации, то формула (26.9) примет вид
JL = Jxa2 + Jy№ + Jzf - 2J^ap - 2Jy£y - 2JzJa. (26.10)
При помощи этой формулы момент инерции тела
относительно оси, произвольно проведенной через некоторую точку тела,
выражается через моменты инерции относительно трех
пересекающихся в этой точке взаимно-перпендикулярных осей и
соответствующие этим осям центробежные моменты инерции.
Выражение (26.10) представляет собой однородную
квадратичную функцию — квадратичную форму — от направляющих
косинусов оси, относительно которой определяется момент
инерции, в выбранной в данной точке оси системе осей координат.
Шесть инерционных характеристик тела в рассматриваемой
точке — три момента инерции относительно осей координат и три
центробежных момента — образуют коэффициенты этой
квадратичной формы.
§ 140. Главные оси инерции
В § 35 было показано, что симметричный тензор второго ранга
в каждой точке пространства обладает тремя
взаимно-перпендикулярными главными осями. Если принять эти оси за оси
координат, то недиагональные компоненты будут равны нулю, а три
отличные от нуля диагональные компоненты образуют систему
главных значений тензора. В рассматриваемом случае тензора
инерции главные оси тензора инерции именуются главными
осями инерции, а главные значения тензора инерции — главными
моментами инерции.

§ 140. Главные оси инерции
317
Приведем здесь применительно к
тензору инерции другое доказательство
существования главных осей инерции,
основанное на геометрическом
представлении тензора инерции.
Итак, докажем, что в любой точке
твердого тела существуют три
взаимно-перпендикулярные главные оси
инерции.
Для доказательства используем еле- р ~4fi
дующую геометрическую
интерпретацию формулы (26.10): вдоль оси OL (рис. 346) отложим
отрезок ON = 1/ JJL . Координаты конца этого отрезка в системе осей
Oxyz будут
х = ON cos (OL, x) = a/ JJl,
у = ON cos (OL, у) = $/Jj~L,
z = ON cos (OL, z) = J/JJ~L,
откуда
a = xJTL, § = У^Ь, y=zJTL.
Подставляя эти выражения в (26.10) и сокращая общий
множитель JL, получаем
Jx*2 + JyV2 + ^>2 - 2Jxyxy - 2Jy2yz - 2J2Xzx = 1. (26.11)
Поверхность второго порядка, представляемая этим
уравнением, дает геометрическое место концов отрезков ON при
всевозможных направлениях оси OL. Вектор-радиус, проведенный
из начала координат к любой точке поверхности (26.11), по
величине обратно пропорционален квадратному корню из момента
инерции относительно оси, имеющей направление этого вектора-
радиуса. Поскольку момент инерции относительно любой оси
есть величина существенно положительная и не обращающаяся
в нуль, поверхность (26.11) не имеет бесконечно удаленных точек
и, следовательно, представляет собой эллипсоид. Этот
эллипсоид называется эллипсоидом инерции тела в рассматриваемой
точке О (рис. 346).
Изображение тензора инерции в форме эллипсоида не
является чем-то специфическим для тензора инерции. Аналогичные

318 Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
интерпретации возможны и для всех других симметричных
тензоров второго ранга. Так, тензору напряжений (§ 36) можно было
бы сопоставить эллипсоид напряжений, тензору деформаций —
эллипсоид деформаций (§ 78), тензору скоростей деформаций —
эллипсоид скоростей деформаций (§ 78). Происхождение
названия сферический тензор для тензора, обладающего изотропией,
т. е. такого, что все его диагональные компоненты в данной точке
равны между собой (единичный тензор, тензор напряжений в
идеально текучей жидкости), связано с тем, что в геометрической
интерпретации такому тензору соответствует сфера.
Уравнение эллипсоида (26.10) можно привести к более
простому (так называемому каноническому) виду, если оси координат
направить по осям эллипсоида. В новых осях координат Ox'y'z'
вместо (26.11) получим
-—ь -—ь — = 1
а2 Ъ2 с2
где а, Ъ9 с — полуоси эллипсоида. Если обозначить через Jl9 J2,
J3 моменты инерции относительно осей Ох' 9 Оу'9 Oz'9 то по
построению эллипсоида инерции
a=l/JT1, b=l/JT2, c=l/JT3,
и подстановка дает
Jrx'2 4- J2y'2 4- J3z'2 = 1.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (26.11),
видим, что все центробежные моменты инерции в системе осей
Ox'y'z' обратились в нуль. Этим доказывается существование в
каждой точке твердого тела трех взаимно-перпендикулярных
главных осей инерции; они совпадают по направлению с осями
эллипсоида инерции тела в этой точке. Моменты инерции J19 J2,
J3 представляют собой главные моменты инерции.
Метод определения направлений главных осей и величин
главных значений любого симметричного тензора второго ранга
был уже описан ранее (§ 35), причем метод этот носил чисто
аналитический характер, не связанный с образом эллипсоида,
геометрически изображающего рассматриваемый тензор.
Приведем другую постановку того же вопроса, исходящую
из геометрической интерпретации тензора инерции.
Направлениям главных осей инерции соответствуют оси симметрии эл-

§ 140. Главные оси инерции
319
липсоида инерции, а следовательно, экстремальные значения
моментов инерции. Поэтому дело сводится к нахождению
значений а, р, у, связанных соотношением
/(а, р, у) = а2 4- Р2 4- у2 -1=0 (26.12)
и сообщающих экстремальное значение однородной
квадратичной форме (26.9)
F(a, р, у) = J = Jxo? + Jy№ + Jzf - 2JxyaV - 2Jy£y - 2Jzxya.
Эта задача на условный экстремум сводится к задаче о
нахождении безусловного экстремума функции
Ф(а, р, у) = Да, р, у) - Xf(a9 Р> Y). (26.13)
где X — пока неопределенный множитель. Для решения
последней задачи приравниваем нулю частные производные Ф по а, р, у;
получаем
Эа Эа ЛЭа U' Эр Эр ЛЭр U' Эу Эу ЛЭу U'
(26.14)
Чтобы выяснить значение множителя Х9 умножим каждое из
этих уравнений соответственно на а, р, у и сложим результаты;
учитывая (26.12), получаем
dF ^dF a^dF п,
Эа Эр ^ Эу '
Левая часть по теореме Эйлера об однородных функциях
равна 2F = 2J. Таким образом, для значений а, р, у,
удовлетворяющих уравнениям (26.14), т. е. сообщающих экстремум
функции F(a9 p, у), имеем
X = J,
т. е. множитель X равен искомому экстремальному значению
момента инерции.
В развернутом виде уравнения (26.14) записываются в виде
(Jx-X) a -Jxy p -J,xJ = 0,
-JxyU +(<V^)P -JyzJ = 0, (2615)
-J2xa -Jy!p + (JZ-X)Y = 0.
Эта однородная система линейных относительно а, р, у
уравнений может иметь отличные от нуля решения только в том случае,

320
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
когда ее определитель равен нулю. Для определения X будем
иметь, таким образом, уравнение
Jx ~ ^ ~Jxy ~Jzx
~Jxy Jy~^ ~Jyz
-J2X -Jy2 J2~^
0. (26.16)
Раскрывая определитель, получаем полином третьей степени
относительно X. В § 35 было доказано, что все три его корня
вещественны. Предположим, что они различны, и обозначим их, как
выше, через J19 J2, J3 — это и будут искомые главные моменты
инерции.
Обозначим через а-, р,, у. косинусы углов с осями координат
Ох9 Оу9 Oz той главной оси, которой соответствует момент
инерции Jt (индекс i может быть равен 1, 2 или 3). Для определения
а-, р., у. получаем уравнения
{Jx-Jt)at -Jxy$t -Jzxyt = 0,
~ ^Щ + (Jy-Jb) P, " Jyzli - 0, (26 17)
-Jzx<4 -^*Pi+(^-^)Yi = o.
af + Pf + yf = 1. (26.18)
Из трех уравнений (26.17) одно является следствием двух
других, так как Jt определено так, чтобы определитель (26.16)
системы уравнений (26.15) обращался в нуль. Поэтому для
определения трех неизвестных имеем три уравнения: уравнение
(26.18) и два из уравнений (26.17).
Таким образом, решая кубическое уравнение (26.16), можно
определить три главных момента инерции и для каждого из них
найти направление соответствующей оси. Проверим, что эти
направления взаимно-перпендикулярны. Для этого примем в
системе (26.17) i = 1 и, умножив каждое из уравнений соответственно
на а2, р2, у2, сложим результаты; получим
Jxara2 + Jy№2 + J2yfl2 - Jxy(^a2 + р2аг) -
" Jyz(YiP2 + Y2P1) " Jzx(Jia2 + T2ai) = ^i(aia2 + PiP2 + у^).
Если проделать то же самое с системой уравнений (26.17) для
i = 2, умножив каждое уравнение соответственно на а19 р15 у19 то
слева получим то же самое выражение (это очевидно вследствие
симметрии его относительно индексов 1 и 2); справа же будет
стоять
J2(a2a1 4- Р2рг 4- у2уг).

§ 140. Главные оси инерции
321
Итак, получается
(Jx - J2) (о^осз 4- PiP2 4- 7iY2) = 0,
и поскольку по условию Jx и J2
различны,
а1а2 + р1р2 + 7x72=0,
что и доказывает
перпендикулярность первой и второй осей.
Если Jr = J2, то это заключение Рис. 347
отпадает; в этом случае эллипсоид
инерции представляет собой эллипсоид вращения вокруг третьей
главной оси и любая прямая в плоскости, перпендикулярной этой
оси и проходящей через точку О, может быть принята за главную
ось инерции. Наконец, при ^\ = ^2 = ^з эллипсоид инерции
вырождается в сферу и любая прямая, проходящая через
рассматриваемую точку, является главной осью инерции.
Эллипсоид инерции с центром в центре масс тела называют
центральным эллипсоидом инерции, его оси — главными
центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих
осей — главными центральными моментами инерции.
Обозначим их через
Ас) Ас) т
(с)
Пользуясь теоремой § 115 о моментах инерции относительно
параллельных осей, легко выразить момент инерции
относительно произвольной оси через главные центральные моменты
инерции. Согласно упомянутой теореме, момент инерции
относительно произвольной оси ОАг (рис. 347), направление которой
характеризуется косинусами а, р, 7 углов, составляемых ею
с главными центральными осями инерции Cxyz, будет
J = J<c) 4- Md2,
где J(c) — момент инерции относительно оси СА9 параллельной
ОАг и проходящей через центр масс тела, d — расстояние между
осями, М — масса тела. Но по формуле (26.10)
АО
(с),
г(Ол
jW = jf}a2 + Jf'^ + Jff,
(26.19)

322
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
г, г к
М
так как центробежные моменты
относительно главных осей равны нулю;
следовательно,
т[Оп2
(С)о2
Г<С)Л,2
J = Md2 4- J\C)a2 4- Jf^2 4- J3 У2- (26.20)
Предположим, что в точке О твердого
у тела определены направления главных
осей Oxyz. Если перейти из точки О в
другую точку М, лежащую на оси Oz на
расстоянии ОМ = а, то ось z уже не останется
главной осью инерции в точке М. В самом деле, построим в точке
М систему осей Mx'y'z', параллельных главным осям в точке О
(рис. 348); тогда координаты какой-либо точки тела в системе
осей Mx'y'z' будут равны
"О
Рис. 348
X,
а,
У =У, * =
где х9 у9 z — координаты этой точки тела в системе Oxyz.
Центробежные моменты инерции Ju>z> и Jz>x> будут
J >г> = J i/z'dm= J y(z-a)dm= J yzdm-a J у dm,
(M) (M) (M) (M)
Jz>x> = J z'x' dm = J (z - a)x dm = ) zx dm - a ) x dm.
(M) (M) (M) (M)
Ho Oz есть главная ось инерции в точке О, т. е.
(26.21)
J zx dm = Jz
(М)
с другой стороны,
] х dm = Мхс,
(М)
0, J yzdm = Jyz
(М)
J ydm = Myc,
(М)
0;
где хс, i/c — координаты центра масс, М— масса тела. Поэтому из
равенств (26.21) получаем
J„
-Маус,
J,
-Махг,
(26.22)
т. е. главная ось инерции Oz в точке О уже не является таковой
в точке М. Это будет иметь место только в том случае, когда
хс = ус = 0, т. е. когда ось Oz проходит через центр масс тела.
Главная центральная ось инерции является главной осью инерции
во всех своих точках.

§ 140. Главные оси инерции
323
Направления главных осей инерции тела часто можно
определить из соображений симметрии.
Пусть, например, тело имеет ось материальной симметрии;
примем ее за ось г; на этой оси лежит центр масс тела. Легко
доказать, что ось 2 будет главной центральной осью инерции. В
самом деле, поскольку ось 2 является осью материальной
симметрии, для всякой точки М с координатами (х9 у9 2) можно будет
найти симметрично расположенную относительно оси 2 точку М'
с координатами (-х9-у9 2)9 причем массы dm, сосредоточенные в
точках М и М'9 в силу предположений симметрии равны. Таким
образом, в интеграле
Jyz= \ y2dm
(М)
каждому слагаемому Ц2 dm будет соответствовать равное по
величине и противоположное по знаку слагаемое (-Ц2 dm);
следовательно,
и аналогично
J*x = о,
т. е. ось 2 является главной центральной осью инерции тела.
Если тело имеет плоскость материальной симметрии П, то
любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, будет главной
осью инерции в точке О пересечения ее с плоскостью П.
Действительно, если принять эту прямую за ось 2 и О за начало
координат, то для любой точки М с координатами х9 у9 2 можно найти
точку М' с теми же координатами х9 у и с третьей координатой
(-2); массы, сосредоточенные в точках М и М'9 равны, так как по
предположению П — плоскость материальной симметрии. Таким
образом, интегралы
Jyz= \ yzdm> Jzx= J 2X dm
(М) (М)
и в этом случае обращаются в нуль, т. е. 02 является главной
осью инерции в точке О.
Рассмотрим также однородное тело вращения с осью
симметрии 2. Так как ось 2 — ось симметрии, она является главной
центральной осью; две любые взаимно-перпендикулярные
прямые, перпендикулярные оси 2 и пересекающие ее, могут быть
приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси
вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая плоскость,

324
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
У\> У
Рис. 349
проходящая через ось 2, является
плоскостью симметрии; значит,
перпендикулярная этой плоскости прямая, т. е. любая
прямая, является главной осью. Эллипсоид
инерции в любой точке оси 2 является
эллипсоидом вращения. Момент инерции
относительно оси вращения эллипсоида
~, .- инерции называется аксиальным; моменты
У инерции относительно осей,
перпендикулярных оси вращения эллипсоида инерции,
называются экваториальными. Очевидно,
экваториальные моменты равны между собой, так как равны
соответствующие полуоси эллипсоида инерции.
Пусть J3 обозначает аксиальный, 8lJ1=J2 — экваториальные
моменты инерции однородного тела вращения с осью
симметрии 02v Выразим через них моменты инерции и центробежные
моменты в системе осей Оху29 получающейся при повороте
системы главных осей инерции Оххух2х на угол $ вокруг главной
оси Оуг (рис. 349).
По формуле (26.10) находим
Jх = Jr cos2 # 4- J3 sin2 u» J у = J i9 Jz = J i sin2 # 4- J3 cos2 #.
Для определения центробежного момента J zx заметим, что по
формулам преобразования координат будет
х = хг cos # - 2г sin d, у = yv 2 = хг sin # 4- 2г cos д,
и получим
Jzx = J 2X dm = | (хг sin 0 4- г1 cos 0) (хг cos 0 - г1 sin 0) =
(М) (М)
Г 2 2 Г
= sin 0 cos 0 J (хг - 2Х ) dm 4- (cos20 - sin20) J x121dm.
(M) (M)
Последний интеграл равен нулю, так как оси 2Х и хх являются
главными; далее
\ (хг -21)dm= \ (хг 4- yx)dm- \ (гх 4- ух) dm = J3 ~Ji*
(М) (М) (М)
и, следовательно,
Jzx = р (J3 - J\) sin 2#. (26.23)
Центробежные моменты J\ и J" _ обращаются в нуль, так как
ху yz
ось Оу (или Ог/х) является главной осью.

§ 140. Главные оси инерции
325
Пример 120. При каком отношении радиуса г прямого кругового
однородного цилиндра к его высоте h центральный эллипсоид инерции
обратится в сферу? Тот же вопрос — для прямого кругового конуса.
В случае однородного кругового цилиндра момент инерции относи-
(г)
тельно оси вращения J3 , а также моменты инерции относительно двух
других главных центральных осей J\' , J2 (см- табл. 5, § 115)
определяются формулами
г(с)
\Мг2:
^1
(с)
г(с)
\мг2 + ^Mh2.
4 12
Условие равенства моментов инерции J\ и J3 дает
г/А= 1/л/З.
В случае прямого кругового конуса имеем
4С) = ^,
г(с)
г(С)
jr-Ac'-*iiM'*+mMb2
80'
Центральный эллипсоид инерции будет сферой при условии
r/h = 1/2.
Пример 121. Тело состоит из двух одинаковых однородных круговых
цилиндров с параллельными осями, вделанных в тонкую доску;
серединная плоскость доски параллельна основаниям цилиндров и делит
высоту цилиндров на равные части (рис. 350). Масса каждого цилиндра
равна М, высота 2НУ радиус Ry расстояние между осями цилиндров рав-
№;*
Рис. 350

326
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
но 2Ъ. Определить, пренебрегая массой доски, главные центральные
моменты инерции тела, а также его моменты инерции относительно
системы осей Оху2у параллельных главным центральным осям и имеющим
начало в точке О, расположенной на главной центральной оси,
перпендикулярной плоскости, проходящей через оси цилиндров. Найти такое
положение точки О, чтобы Jx = J' = 2JZ.
Система главных центральных осей Cxlylzl показана на рис. 350.
Применив теорему о моментах инерции относительно параллельных
осей, найдем выражения главных центральных моментов инерции
J{f = 2М[\& + Ъ2 ),
jf -2М[\Н*+ \&).
Оси системы Oxyz (причем ОС = а) также представляют собой
главные оси в точке О. Это следует из того, что ось Сх является главной
центральной осью, а ось Oz перпендикулярна в точке О плоскости симметрии
тела. Снова применив упомянутую теорему, получим
Jx = Jxc) , Jy = J{yc) + 2Ma2, Jz = Jzc) + 2Ma2.
Подчинив теперь выбор размеров а и Ъ требованиям
получим уравнения
\н2 + \R2 + b2= \R2 + h2 + a2 = \н2+ \R2 + 2a2,
из которых найдем
а2=\н2- \r2, Ъ2 = Н2- -aR2.
3 4 ' 4
Положительность величин а2 и Ъ2 следует из очевидного условия
Ь >R.
Приняв указанные значения а2 и fe2, найдем
Эллипсоид инерции тела в точке О представляет собой эллипсоид
вращения вокруг оси Oz с отношением полуосей 1:1: J2 ; центр тяжести
этого тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции
(в точке х = -а, у = 0). Если в точке О поместить острие, предоставив
телу возможность вращаться вокруг этого острия, то придем к реализации

§ 140. Главные оси инерции
327
классического интегрируемого случая вращения твердого тела под
действием силы тяжести, открытого С. В. Ковалевской [7, с. 153—220].
Пример 122. Колесо ветряной мельницы состоит из п одинаковых
лопастей, расположенных по кругу на одинаковых угловых расстояниях
друг от друга. Масса лопасти равна т и считается равномерно
распределенной по радиусу колеса г и сосредоточенной в его средней плоскости.
Убедиться, что при п > 2 центральный эллипсоид инерции колеса
обращается в эллипсоид вращения (ось вращения перпендикулярна
плоскости колеса). Чему равно отношение осей эллипсоида? Во что вырождается
эллипсоид инерции при п = 2?
Расположим оси х и у в средней плоскости колеса и обозначим через
ос0 угол одной из лопастей с осью х. В таком случае другие лопасти будут
составлять с этой осью углы
«о+-.
Находим
тг2
тг2
сх0+ —,..., «о+ ^Г
£08Ш 1а°+ п )" 6
V1 9 ( , 2л;/г Л тг2
fe?0coslao+^rrir
1)7С
,- п — 1
\п- X
|- П — 1
п+ X
L fe-o
Z cos 2 осп + L
cos 2 ocn H
F F Г ИГ
Но
Y cos 2 (u0 + 2Kk )= \ e2ia* Y e*«W» + \ e~2ia» Y с
суммируя эти геометрические прогрессии, получаем
-1
при тг > 2 знаменатели слагаемых дробей отличны от нуля, а числители
равны нулю; поэтому
X cos 2 | осп Н 1=0, п = 3, 4, ... .
Итак,
1 Mr2
Jx = Jy = 2 f/* = ~3~ '
где М = тптг — масса всех лопастей. Эллипсоид инерции — эллипсоид
вращения. Отношение осей эллипсоида равно V2 .

328
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
При п = 2, направив ось х вдоль общей оси лопастей, получим
т - о т - j -Ш1 .0-^11
Jx-U> Jy-JZ- (} ^~ 3 >
и эллипсоид инерции вырождается в круговой цилиндр.
§ 141. Кинетическая энергия и главный момент
количеств движения
Для вычисления кинетической энергии твердого тела в общем
случае его движения представим скорость vt любой точки тела
как геометрическую сумму скоростей полюса О и вращательной
скорости:
Vt = V0 + CD X г ■ . (26.24)
Если за полюс принять центр тяжести С тела, то v0 = vc и по
формуле (24.27) выражение кинетической энергии может быть
представлено в виде суммы двух слагаемых:
Т= ^ Mv2c 4- Т', (26.25)
причем первое слагаемое представляет кинетическую энергию
массы М тела, мысленно сосредоточенной в центре тяжести и
движущейся со скоростью последнего, а второе Т" —
кинетическую энергию вращательного движения с угловой скоростью со
вокруг мгновенной оси, проведенной через центр тяжести.
Повторив в точности вывод формулы (24.37), найдем
Т = ij </(С)0>2, (26.26)
где J(c) — момент инерции тела относительно мгновенной оси.
При движении тела мгновенная ось перемещается в теле и J(c)
меняется с течением времени. Желая перейти к постоянным во
времени характеристикам инертности тела, свяжем с телом систему
координат Cxyz, обозначим через а, р, у косинусы углов
мгновенной оси с этими осями и выразим момент инерции JW через
моменты инерции и центробежные моменты инерции по
формуле (26.10)
j(C) = jx0? + Jyp2 + jzf _ 2j ap _ 2j ^ _ 2j^ya.

§141. Кинетическая энергия и главный момент
329
Подставляя это выражение в предыдущую формулу и
замечая, что
юа = ю^, а>р = юу, юу = ю2,
получаем
2T = Jx(o2x +Jy% +JZ®1 - 2Jxyaxay- 2Jyzayaz- 2Jzxazax.
(26.27)
Если, в частности, за оси координат Cxyz принять главные
центральные оси инерции тела, то J\ = J1I9 = J91l = 0 и выражение
ху yz zy
(26.27) упрощается; будем иметь
2T = j[C) (02х + j£C) «J + J{3C) 0)f , (26.28)
где Jx , J2 9 е^з — главные центральные моменты инерции.
Формула (26.27) дает также выражение полной кинетической
энергии Т твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки О, если под Jx9 ... , J zx подразумевать моменты инерции и
центробежные моменты в системе осей Oxyz9 связанных с телом
и имеющих начало в точке О. Если, в частности, за оси Oxyz
принять главные оси инерции в точке О, то придем к выражению
(26.23), в котором J19 J2, J3 (индексы С нужно опустить) —
главные моменты инерции в точке О.
Возвращаясь к общему случаю движения твердого тела, по
(26.25) и (26.28) находим
Т = \Mv2c + \ (j[C) (02х + 4С) CD* + 4C) of ). (26.29)
Выразим проекции угловых скоростей в формуле
кинетической энергии через производные эйлеровых углов (§ 61).
Ограничимся случаем, когда тело, имеющее неподвижную точку О,
представляет собой тело вращения вокруг оси Oz; кинетическая
энергия Т дастся формулой
Т=2 1^1 (wf + % ) + Jz®l ]• (26-3°)
Также выразится кинетическая энергия Т" во вращательном
движении вокруг центра тяжести; в этом случае

330
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Пользуясь выражениями проекции угловой скорости на оси,
связанные с телом, через производные эйлеровых углов
ю^ = \j/ sin 0 sin ф + 0 cos ф,
W = \j/ sin 0 cos ф - 0 sin ф,
w2 = >j/ cos 0 + ф
получаем
T = \ W1 (<\f2 sin2 0 + 02) + J3 (ф + \j/ cos 0)2]. (26.31)
Если в общем случае движения твердого тела выбрать за
полюс произвольную точку тела О, то для вычисления
кинетической энергии тела следует использовать выражение (24.35), в ко-
тором v0 — скорость полюса О, a vc — скорость центра тяжести
тела по отношению к системе отсчета, движущейся
поступательно вместе с полюсом, т. е. в рассматриваемом случае
(г) ,
Vc = CD X Гс ,
где со — угловая скорость тела, г'с — вектор-радиус центра
тяжести по отношению к полюсу О. Замечая, что
vo ' vc] = vo ' (© х rc) = rc ' (vo x ©)»
получаем
1 2
T = 2 Mvo + M[xc(v0yG>2 - v0z(oy) + yc (v0z(ox - v0x(oz) +
+ 2C (V0x% ~ %<»*)] + Г' (26-32)
где xc, yC9 zc — координаты центра тяжести С в системе осей
Oxyz, связанных с телом, (0Х, (0у, ю2 и v0x, v0y, v0z — проекции на
эти оси соответственно векторов со и v0; T" вычисляется по
формуле (26.27) или же (26.28), если оси Oxyz — главные оси в точке О
[причем в (26.28) надо опустить индексы С].
Для вычисления главного момента количеств движения
твердого тела относительно неподвижного центра следует
обратиться к одному из выражений (23.76) и (23.75). Остановимся
сначала на формуле (23.76) как более простой; получим
п
К = rcxQ + X гп*г\ х (со х г ■ ) = rcxQ 4- К\ (26.33)

§141. Кинетическая энергия и главный момент
331
где вектор К' уже был определен ранее формулами (26.2) и (26.3).
В формулах (26.3) моменты инерции и центробежные моменты
вычисляются относительно осей, связанных с твердым телом и
имеющих начало в неподвижной точке. В частности, при
вращении вокруг неподвижной оси Oz имеем wv = ю„ = 0 и
х у
Если за оси координат принять главные центральные оси
инерции,то
К'х = j[C) (йх, К'у = J(2C) (йу, К = J(2C) Юг. (26.35)
В случае твердого тела, имеющего неподвижную точку О, имеем
Кх = J1W*> Ky = J2%> K2 = J3«V (26-36)
Здесь Oxyz — главные оси инерции тела в точке О; Кх, К , Kz —
проекции на эти оси главного момента количеств движения тела
относительно неподвижной точки.
Не представит труда составить по (23.75) формулы, дающие
проекции главного момента количеств движения твердого тела
относительно неподвижного центра, выбрав за полюс
произвольную точку О. Получим
Кх = M(r0yVCz ~ r0zVCy) + М(Ус»0г ~ 2CV0y) + Jx®x ~ Jxy% ~ Jxz®z
(26.37)
и два аналогичных выражения для проекций на оси Оу9 Oz. Здесь
r0x» r0w» r0z» v0x9 V0u9 v0z — проекции на оси Oxyz, связанные с
телом и имеющие начало в полюсе О, векторов г0 (вектора-радиуса
полюса О относительно центра момента) и v0 (скорости полюса);
через vCx, vc , vCz обозначены проекции на те же оси вектора
скорости центра тяжести тела С, а через хс, ус, zc — координаты
центра тяжести в этих осях; наконец, в трех последних
слагаемых моменты инерции и центробежные моменты должны быть
вычислены в указанной системе осей, связанных с телом; wv, ю„,
х у
(х)2 — проекции вектора угловой скорости со на эти оси.
Пример 123. Бегун представляет собой тяжелое тело вращения,
вращающееся с угловой скоростью со0 вокруг своей оси, которая в свою
очередь вращается от привода с заданной угловой скоростью со* (рис. 351).
Составить выражение кинетической энергии бегуна; радиус инерции
бегуна относительно оси ОС равен р, масса бегуна Му углы а и О,
указанные на рисунке, известны; ОС = с.

332
Глава XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рис. 351
Кинетическая энергия поступательного движения бегуна равна
М 2
М
у vc - -£ со*2с2 siii2 d.
Переходя к составлению выражения кинетической энергии
вращательного движения бегуна, примем ось вращения ОС за ось Cz, а
перпендикуляр к ней в плоскости векторов ш0 и ш* — за ось Су; ось Сх направим
перпендикулярно этой плоскости. Начало системы осей Cxyz помещено
в центре тяжести бегуна С. Так как бегун представляет собой тело
вращения, оси системы Cxyz будут главными центральными осями
инерции. Мгновенная угловая скорость бегуна ш определится как сумма
угловых скоростей ш0 и ш*. Имеем
оох = 0, оо = оо* sin г}, ooz = оо0 + оо* cos t>,
и формула (26.28) дает
2Г = J{3C) (оо0 + оо* cos Ъ)2 +j[c) оо*2 sin2 О.
Считая, что мгновенная ось проходит через среднюю точку Р бегуна,
из треугольника угловых скоростей находим
sin (# - а)
000
оо
sin а
и, следовательно,
оо0 + оо* cos 7^ = оо* sin $ ctg a.
Замечая, что
1 Лс)
2^3
J?
а
ps
получаем
т=Мс*
co*2sin2^fl + gctg2a+^ \

Отдел пятый
ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Глава XXVII
Связи. Статика несвободной системы
§ 142. Классификация связей
Положение системы п материальных точек определяется
совокупностью Зп декартовых координат:
х1> У\* 21> Х29 #2' 229 '•• ' Хп9 Уп9 2п
этих точек. Положение твердого тела задается тремя
координатами х0, у0, 20 одной из его точек, принятой за полюс, и тремя
эйлеровыми углами \|/, ф и 0 (§ 64). Если система состоит из
нескольких твердых тел, то для определения положения такой системы в
пространстве достаточно задать координаты полюсов и значения
эйлеровых углов для каждого из тел.
Для определения положения точки в пространстве пользуются
также криволинейными координатами (§ 47); положение
твердых тел можно задавать не только эйлеровыми углами, но и
другими параметрами, играющими аналогичную роль. Таким
образом, для определения положения материальной системы в
пространстве применяют самые разнообразные приемы.
Любая совокупность параметров, достаточная для определения
положения системы в пространстве; называется обобщенными
координатами системы.
При этом не предрешается вопрос о том, все ли координаты
необходимы для указанной цели, нельзя ли определить положение
системы при помощи только части этих параметров или вообще
меньшего числа параметров.
Так, например, положение системы п материальных точек,
абсолютно жестко связанных между собой, может быть задано
при помощи Зп декартовых координат (#., z/., 2.); с другой
стороны, поскольку точки системы образуют абсолютно твердое тело,
для этой цели могут служить шесть параметров: три координаты

334 Глава XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
полюса (#0, z/0, z0) и три эйлеровых угла (\|/, ф, 0). При этом две
совокупности координат связаны следующими соотношениями:
хь = хь (х0, у0, 20; \|/, ф, 0), yt = yt(xQ9 у0, z0; \|/, ф, 0),
гь = гь (х0, у0, z0; \|/, ф, 0), i = 1, 2, ... , п. (27.1)
Вообще, если положение движущейся системы п
материальных точек М. с прямоугольными координатами (#., z/., 2.) в любой
момент времени может быть задано при помощи какой-нибудь
совокупности обобщенных координат (qv q2, ... , qr)9 то между
первой и второй совокупностями должны существовать
соотношения вида
xt = xt(t; q19 q2, ... , qr), yt = yt(t; q19 q2, ... , qr),
2t = 2t (t; ql9 g2, ... , gr), i = 1, 2, ... , n, (27.2)
в общем случае явно содержащие время.
Если материальная система не свободна, то ее обобщенные
координаты qv q2, ... , qr, так же как и их производные по
времени — обобщенные скорости q v q 2, ... , q r, — подчиняются
ограничительным условиям, которые мы называем связями.
Аналитически связи выражаются равенствами, заключающими время,
координаты и их производные, иногда сопровождаемые знаками
неравенств; последние указывают на возможность прекращения
действия связей. Остановимся на случае связей, выражаемых
равенствами.
Связи, выражаемые аналитически уравнениями вида
<*>*(*'> 2i> ?2> ••• > ?г5 2i> ?2> ••• > <1г) = °> (27-3)
носят общее наименование кинематических; обобщенные
скорости в соотношение (27.3), как правило, входят линейно.
Если время не входит явно в уравнения связей, то такие связи
называют стационарными, в противном случае —
нестационарными.
Кинематические связи, уравнения которых не содержат
обобщенных скоростей или путем интегрирования могут быть к
такому виду приведены, называют голономными или
интегрируемыми, в противном случае — неголономными или неинтег-
рируемыми.
Голономные связи накладывают ограничения только на
координаты точек системы, т. е. на ее положение в пространстве.
Вместе с тем будучи продифференцированы по времени,
уравнения голономных связей представляют ограничения, накладывав-

§ 142. Классификация связей
335
мые на скорости точек системы. В противоположность этому не-
голономные связи ограничивают и координаты, и скорости точек
системы, так как уравнения связей не могут быть
проинтегрированы и, следовательно, не существует конечных соотношений
между координатами, соответствующих неголономным связям.
Примером голономной нестационарной связи может служить
математический маятник переменной длины. Тяжелая точка М
привешена на нити, верхний конец которой проходит через
отверстие О, причем нить может укорачиваться по заданному
закону так, что длина нити I будет известной функцией времени l(t).
Уравнение связи, налагающее ограничение на координаты х и у
точки в вертикальной плоскости, будет
х2 + у2 = Z2(^
или в полярной системе координат
r=l(t).
Если нить не изменяет свою длину (Z = const), то мы придем к
стационарной голономной связи
х2 + у2 = I2
или г = 19 соответствующей движению несвободной точки по
вертикальной окружности (математический маятник постоянной
длины).
Физический маятник (§ 117) представляет собой твердое тело,
подчиненное голономным связям, выражающим условия
вращения тела вокруг неподвижной оси. Уравнения голономных
стационарных связей в этом случае можно представить в виде
следующих условий, налагаемых на обобщенные координаты
твердого тела:
х0 = 0, У0 = 0, 20 = 0; \|/ = 0, 0 = 0.
Вращение тела определяется
VL
изменением одного угла ф — угла т
чистого вращения.
В качестве примера
голономной несвободной системы,
состоящей из нескольких тел,
рассмотрим плоское движение четырех-
звенного механизма 01М1М202
(рис. 352). Если для заданий
положений движущихся его звеньев Рис. 352

336 Глава XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
ОгМ19 М1М2 и 02М2 пользоваться координатами точек М1 и М2,
то уравнения связей будут (размеры звеньев указаны на рисунке)
2,2 2
(а - х2)2 + у2 = г2
(х2 - хх)2 + (у2 - ух)2 = Z2.
(27.4)
Эти уравнения связывают между собой четыре обобщенные
координаты системы: xl9 yl9 х29 у2. Если принять за координаты
системы три угла ф, 0 и \|/, образованных стержнями с осью Ох9 то
соответствующие этим координатам уравнения связей получим,
рассматривая вектор 0102 как замыкающую сторону векторного
многоугольника O^M^Mtft^ Проецируя на оси, находим
гг cos ф + I cos 0 - r2 cos \|/ = а,
гг sin ф + I sin 0 - r2 sin \|/ = 0;
(27.5)
при том и другом выборе координат число независимых
координат будет равно единице.
Гладкая горизонтальная плоскость Н9 по которой катится
идеально отполированный шар (рис. 353), дает также пример
голономной связи. Положение шара в пространстве ограничено
условием сохранения расстояния от его центра С до плоскости
равным радиусу шара а. При этом центр его может перемещаться
только в плоскости, параллельной Н9 а вектор скорости центра
шара должен лежать в этой плоскости. В остальном положения и
перемещения шара произвольны: шар может скользить по
плоскости или катиться по ней с любым скольжением;
единственным голономным условием будет служить равенство
а.
(27.6)
Если плоскость абсолютно шероховата, то возникает
дополнительная связь — условие отсутствия скольжения,
заключающееся в том, что скорость точки М
niapa, которая в данный момент
соприкасается с плоскостью (вектор-
радиус этой точки относительно
центра шара обозначаем через г),
равна нулю. Это условие может
быть записано в виде равенства
Рис. 353
+ CD X Г = 0.

§ 142. Классификация связей
337
Здесь vc — скорость центра шара, со — угловая скорость шара,
имеющая проекции на неподвижные оси (§ 61):
(Од. = ф sin \|/ sin 0+0 cos \|/,
CD = - ф cos \|/ sin 0+0 sin \|/,
сог = ф cos 0 + \j/,
а вектор г = СМ имеет проекции на неподвижные оси (0, 0, -а),
так что предыдущее векторное условие эквивалентно следующим
трем:
хс +