Курс теоретической механики Т.2. Динамика - Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р.

Author: Бутенин Н.В. Лунц Я.Л. Меркин Д.Р.

Tags: общая механика механика твердых и жидких тел динамика аналитическая механика учебник для студентов главная редакция физико-математической литературы

Year: 1979

Text

Н. В. БУТЕНИН, я. Л. ЛУНЦ, Д Р. МЕРКИН
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ТОМ II
ДИНАМИКА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника
для студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979
22.21
Б 93
УДК 531
Бутенин Н. В., Лунц Я. Л, Меркни Д. Р.
Курс теоретической механики: Учебник. В 2-х томах.
Т. II.: Динамика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.:
Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1979.— 544 стр.
В книге изложены динамика точки, динамика
материальной системы и твердого тела, элементы
аналитической механики и теории линейных и нели-
нейных колебаний. Более подробно, чем в традици-
онных курсах, излагаются вопросы движения мате-
риальной точки в центральном силовом поле, дина-
мика тела переменной массы, теории гироскопов.
Приводится много примеров прикладного значения.
Книга рассчитана на студентов дневных, вечер-
них и заочных отделений технических вузов с полной
и сокращенной программой по механике, а также
может быть полезной для аспирантов и инженерно-
технических работников.
Илл. 298.
20302 017 1703020000
053(02)-79
© Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1979,
с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................ 8
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Глава I. Введение в динамику. Дифференциальные уравнения дви-
жения .......................................................... 9
§ 1.1. Предмет и задачи динамики................................ 9
§ 1.2. Инерциальные системы отсчета. Основное уравнение динамики
точки ......................................................... 10
§ 1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки . 16
§ 1.4. Первая задача динамики.................................. 17
§ 1.5. Вторая задача динамики ......................... 18
§ 1.6. Прямолинейное движение материальной точки....... 24
§ 1.7. Задачи ................................................. 27
Глава II. Прямолинейные колебания материальной точки ............. 35
§ 2.1. Вводные замечания ...................................... 35
§ 2.2. Свободные колебания .................................... 37
§ 2.3. Свободные колебания при линейно-вязком сопротивлении ... 43
§ 2.4. Свободные колебания при трении скольжения .......... 50
§ 2.5. Вынужденные колебания................................... 53
§ 2.6. Вынужденные колебания при наличии вязкого сопротив-
ления ......................................................... 58
§ 2.7. Электродинамические аналогии. Понятие об исследовании коле-
баний материальных систем с помощью электронных аналого-
вых машин.................................................... 64
Глава III. Общие теоремы динамики точки........................ 68
§ 3.1. Теорема об изменении количества движения материальной
точки.......................................................... 68
§ 3.2. Теорема об изменении момента количества движения матери-
альной точки................................................... 71
§ 3.3. Работа силы. Мощность................................... 76
§ 3.4. Теорема об изменении кинетической энергии .............. 84
§ 3.5. Силовое поле. Потенциальная энергия..................... 85
§ 3.6. Интеграл энергии. Понятие о рассеивании полной механичес-
кой энергии ............................................. 96
§ 3.7. Задачи.................................................. 98
Глава IV. Движение материальной точки в центральном силовом
поле.......................................................... 102
§ 4.1. Дифференциальное уравнение траектории точки, движущейся
в центральном поле сил........................................ 102
§ 4.2. Виды траекторий. Круговая и параболическая скорости . . . 104
§ 4.3. Определение параметров околоземной траектории по начальным
условиям .................................................. . 107
§ 4.4. Траектории искусственных спутников Земли............... 109
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4.5. Определение времени полета по эллиптической орбите (урав-
нение Кеплера)................................................ . . 113
§ 4.6. Траектории, пересекающие земную поверхность . . . . .\ 116
§ 4.7. Задачи.................................................\ ' 119
Глава V. Несвободное движение....................................... 123
§ 5.1. Определение несвободного движения. Связи. Принцип освобож-
даемое™ ........................................................... 123
§ 5.2. Уравнения связей; классификация связей................ 125
3 5.3. Движение точки по гладкой неподвижной поверхности .... 127
§ 5.4. Движение точки по гладкой неподвижной кривой....... 130
§ 5.5. Естественные уравнения движения. Математический маятник . 133
§ 5.6. Теорема об изменении кинетической энергии для несвободного
движения .......................................................... 141
§ 5.7. Метод кинетостатики для точки (принцип Даламбера)......... 142
§ 5.8. Задачи на применение метода кинетостатики................. 143
§ 5.9. Явление невесомости....................................... 145
Глава VI. Динамика относительного движения материальной точки . 151
§ 6.1. Переносная и кориолисова силы инерции...................... 151
§ 6.2. Условия относительного покоя .............................. 158
§ 6.3. Применение уравнений относительного движения и покоя . . . 159
§ 6.4. Теорема об изменении кинетической энергии в относительном
движении .......................................................... 168
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Глава VII. Материальная система................................... 171
§ 7.1. Центр масс............................................... 171
§ 7.2. Внешние и внутренние силы..........................’. . . 172
§ 7.3. Свойства внутренних сил.................................. 174
§ 7.4. Дифференциальные уравнения движения системы материаль-
ных точек...................................................... 175
§ 7.5. Задача двух тел ......................................... 176
§ 7.6. Общие замечания ......................................... 179
Глава VIII. Теорема об изменении количества движения- материальной
системы .......................................................... 180
8.1. Количество движения материальной системы...............- 180
8.2. Теорема об изменении количества движения материальной
системы...................................................... 182
§ 8.3. Теорема о движении центра масс .......................... 184
§ 8.4. Теорема Эйлера.......................................... 187
$ 8.5. Задачи................................................... 189
Глава IX. Теорема об изменении момента количеств движения матери-
альной системы ................................................... 200
§9 1. Момент количеств движения материальной системы ...... 200
§ 9 2 Краткие сведения о моментах инерции...................... 202
§ 9.3. Теорема об изменении момента количеств движения м^д-ериаль-
§ 9 4. Примеры и задачи........................................ -105
§ 9.5. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг
§ 9.6. Момент количеств движения системы, участвующей в сложном
движении ................................... • ............. » 211
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 9.7. Теорема об изменении момента количеств относительного дви-
жения материальной системы..................................... 216
§ 9.8. Примеры и задачи......................................... 219
Глава X. Теорема об изменении кинетической энергии материальной
системы.......................................................... 225
§ 10.1. Кинетическая энергия материальной системы и способы ее
вычисления..................................................... 225
§ 10.2. Кинетическая энергия твердого тела....................... 227
§ 10.3. Работа сил, приложенных к материальной системе.......... 233
§ 10.4. Теорема сб изменении кинетической энергии материальной
системы ....................................................... 238
§ 10.5. Задачи.................................................. 240
§ 10.6. Закон сохранения полной механической энергии материаль-
ной системы.................................................... 245
§ 10.7. Теорема об изменении кинетической энергии относительного
движения ...................................................... 248
Глава XI. Динамика тела переменной массы...................... 252
§ 11.1. Понятие тела переменной массы............................ 252
§ 11.2. Уравнение движения точки переменной массы................ 253
§ 11.3. Количество движения тела переменной массы................ 254
§ 11.4. Теорема об изменении количества движения тела переменной
массы.......................................................... 256
§ 11.5. Уравнение Мещерского..................................... 258
§ 11.6. Задача Циолковского...................................... 259
§ 11.7. Формула Циолковского для многоступенчатой ракеты .... 262
§ 11.8 Задачи................................................... 264
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Гл а в XII. Геометрия масс ........................................ 268
§ 12.1. Введение................................................. 268
§ 12.2. Основные определения..................................... 268
§ 12.3. Примеры вычисления моментов инерции..................... 273
§ 12.4. Моменты инерции относительно параллельных осей (теорема
Гюйгенса—Штейнера) ........................................'. . 277
§ 12.5. Момент инерции относительно произвольной сси, проходящей
через данную точку ............................................ 279
§ 12.6. Эллипсоид инерции........................................ 281
§ 12.7. Свойства главных осей инерции............................ 283
§ 12.8. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей 285
§ 12.9. Вычисление тензора инерции .............................. 286
§ 12.10. Задачи на вычисление моментов инерции ................. 288
Глава XIII. Динамика простейших движений твердого тела............ 293
§ 13.1. Основные задачи динамики твердого тела.................. 293
§ 13.2. Количество движения, момент количеств движения и кинети-
ческая энергия твердого тела ................................... 294
§ 13.3. Поступательное движение твердого тела.................. 298
§ 13.4. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси и уравнения для определения реакций под-
шипников ....................................................... 299
5 13.5. Добавочные динамические реакции. Статическая и динамиче-
ская уравновешенность тела ..................................... 302
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 13.6. Задачи .......................................... 305
§ 13.7. Физический маятник........................................ 309
§ 13.8. Экспериментальное определение моментов инерции ............ 311
§ 13.9. Плоское движение абсолютно твердого тела.................. 313
§ 13.10. Задачи............................................................... 315
Глава XIV. Динамика твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку. Движение искусственного спутника относительно центра масс 329
§ 14.1. Дифференциальные уравнения движения твердого тела, имею-
щего одну неподвижную точку ................................................. 320
§ 14 2. Движение твердого симметричного тела, имеющего одну непод-
вижную точку, по инерции (случай Эйлера).......................... 322
§ 14.3. Геометрическая интерпретация Пуансо......................................... 326
§ 14.4. Устойчивость вращения твердого тела вокруг главных осей
инерции .......................................................... 328
§ 14.5. Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку, под
действием силы тяжести (случай Лагранжа).......................... 330
§ 14.6. Главный вектор и главный момент сил тяготения............................... 333
§ 14.7. Дифференциальные уравнения движения ИСЗ относительно
центра масс....................................................... 337
§ 14.8. Относительное равновесие ИСЗ............................................... 339
§ 14.9. Плоское движение ИСЗ по круговой орбите..................................... 341
Глава XV. Теория гироскопов............................................................ 343
§ 15.1. Введение................................................................... 343
§ 15.2. Основное допущение элементарной (прецессионной) теории
гироскопов.................................................. 344
§ 15.3. Теорема Резаля...................................... 346
§ 15.4. Основное свойство свободного (астатического) гироскопа . . . 347
§ 15.5. Закон прецессии оси гироскопа....................... 349
§ 15.6. Момент гироскопической реакции...................... 354
§ 15.7. Уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе .... 358
§ 15.8. Частные случаи движения гироскопа в кардановом подвесе . 362
Глава XVI. Метод кинетостатики ........................................................ 366
§ 16.1. Метод кинетостатики......................................................... 366
§ 16.2. Главный вектор и главный момент сил инерции твердого
тела.............................................................. 369
§ 16.3. Определение добавочных динамических реакций опор движу-
щегося тела....................................................... 370
§ 16 4. Задачи на определение добавочных динамических реакций . . 371
Глава XVII. Теория удара............................................................... 377
§ 17.1. Основные определения....................................................... 377
§ 17.2. Коэффициент восстановления................................................. 380
§ 17.3. Удар материальной точки об идеально гладкую поверхность 382
§ 17.4. Потеря кинетической энергии при ударе материальной точки
о неподвижную поверхность......................................... 384
§ 17.5. Теорема об изменении количества движения и теорема об
изменении момента количеств движения материальной системы
при ударе......................................................... 385
§ 17.6. Удар, действующий на тело, закрепленное в двух точках . . 387
§ 17.7. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара. 388
§ 17.8. Удар двух тел........................................ 390
6 17.9. Частные случаи удара двух тел.................. 392
§ 17.10. Задачи ......................................... 393
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Глава XVIII. Аналитическая статика................................ 400
§ 18.1. Введение............................................... 400
18.2. Связи.................................................. 401
§ 18.3. Виртуальные перемещения голономных систем.............. 405
§ 18.4. Идеальные связи ....................................... 411
§ 18.5. Принцип виртуальных перемещений ....................... 413
§ 18.6. Обобщенные координаты и обобщенные силы ............... 420
§ 18.7. Условия равновесия в обобщенных координатах............ 429
Глава XIX. Аналитическая динамика................................. 431
§ 19.1. Общее уравнение динамики .............................. 431
§ 19.2. Уравнения Лагранжа второго рода........................ 433
§ 19.3. Задачи на составление уравнений Лагранжа второго рода . . 435
§ 19.4. Особенности применения уравнений Лагранжа второго рода
к системам с неидеальными и неудерживающими связями . . 443
§ 19.5. Выражение кинетической энергии через обобщенные скорости
и координаты................................................... 447
§ 19.6. Обобщенный интеграл энергии............................ 449
Гл-ава XX. Малые колебания механических систем с одной и двумя
степенями свободы около положения устойчивого равновесия .... 453
§ 20.1. Определение положений равновесия...................... 453
§ 20.2. Устойчивость положения равновесия. Теорема Лагранжа —
Дирихле. Критерий Сильвестра .......................... 456
§ 20.3. Малые колебания консервативной системы с одной степенью
свободы около положения устойчивого равновесия................. 464
§ 20.4. Случай произвольной возмущающей силы.................. 468
§ 20.5. Определение периодических решений .................... 474
§ 20.6. Малые колебания консервативной системы с двумя степе-
нями свободы около положения устойчивого равновесия . . 478
§ 20.7. Задачи ............................................... 483
§ 20.8. Нормальные координаты ................................ 493
§ 20.9. Функция рассеивания Релея............................. 494
§ 20.10. Влияние сил сопротивления на колебания системы около
положения устойчивого равновесия .............................. 497
§ 20.11. Приближенный метод вычисления корней характеристиче-
ского уравнения................................................ 499
§ 20.12. Вынужденные колебания ................................ 504
Глава XXI. Автономные нелинейные колебания систем с одной сте-
пенью свободы.............................................. 507
§ 21.1. Введение............................................. 507
§ 21.2. Фазовая плоскость ............................ 508
§ 21.3. Методы построения фазовых траекторий .................. 517
§ 21.4. Метод припасовывания. Понятие об автоколебаниях ....... 526
§ 21.5. Метод медленно меняющихся коэффициентов (метод ван-дер-
Пол я) ................................................. 533
Предметный указатель ............................................. 541
ПРЕДИСЛОВИЕ
Второй том настоящего курса рассчитан на студентов тех-
нических вузов с полной программой по теоретической механике.
По сравнению с традиционными курсами в книге более подробно
рассматриваются общие теоремы динамики системы, движение
материальной точки в центральном силовом поле, динамика тела
переменной массы, теория гироскопов, некоторые вопросы ана-
литической механики, а также теории колебаний.
В 1972 г. авторский коллектив понес тяжелую утрату —после
непродолжительной болезни скончался Яков Львович Лунц.
При подготовке второго издания, выполненной Н. В. Бутениным
и Д. Р. Меркиным, частично или полностью переработаны и
заново изложены некоторые разделы курса, написаны новая XXI
глава, посвященная элементам теории нелинейных колебаний, и
§§ 14.6—14.9, в которых изложены основы теории движения искус-
ственного спутника Земли относительно центра масс, добавлено мно-
го новых задач, пересмотрен весь текст, исправлены замеченные
опечатки.
Учитывая, что учащиеся многих втузов нуждаются в более
углубленном изучении ряда важнейших разделов механики, Глав-
ная редакция физико-математической литературы издательства
«Наука» предприняла издание ряда книг, дополняющих настоящее
руководство. К настоящему времени изданы следующие прило-
жения: Н. В. Бутенин «Введение в аналитическую меха-
нику», Я. Л. Лунц «Введение в теорию гироскопов», Д. Р. Me р-
кин «Введение в теорию устойчивости движения» (два издания),
Я. Г. Пановко «Введение в теорию механических колебаний»,
Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев «Вве-
дение в теорию нелинейных колебаний», Я. Г. Пановко «Вве-
дение в теорию механического удара».
Авторы выражают глубокую благодарность профессорам
В. Г. Демину, Я. Г. Пановко, В. К. Прокопову, С. М. Тарту,
а также Л. М. Гриншпуну, А. Г. Мамиконову, Г. Д. Мошкову и
Г. С. Шпаку, замечания которых позволили существенно улучшить
содержание книги.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 1.1. Предмет и задачи динамики
Два предыдущих раздела курса механики— статика и кинема-
тика—в сущности, мало связаны между собой. Каждому из них
•соответствует свой особый круг понятий, задач и методов их
решения. В статике рассматриваются задачи о равновесии, а также
задачи об эквивалентных преобразованиях систем сил; при таких
преобразованиях даже не ставится вопрос о том, какое движение
тела вызывают приложенные силы. В кинематике изучается дви-
жение «само по себе», вне связи с теми силами, под действием
которых оно происходит.
Изолированное рассмотрение двух указанных проблем вызы-
вается чисто методическими соображениями построения курса
механики и, строго говоря, не вытекает из существа задач меха-
ники. Дело в том, что между действующими силами и движением
существует глубокая внутренняя связь, которая отмечается уже
в самом определении понятия силы. Эта связь принимается во
внимание в динамике, предметом которой является изучение дви-
жения с учетом действующих сил.
Среди практических задач механики лишь небольшое число
допускает чисто статическое или чисто кинематическое исследова-
ние: в большинстве случаев необходимо полное, т. е. динамическое
изучение тех или иных механических явлений. При этом исполь-
зуются установленные в статике способы приведения сил, а также
разработанные в кинематике методы описания и изучения движе-
ния; поэтому статику и кинематику можно рассматривать как
введение в динамику, хотя они имеют и самостоятельное значение.
При всем разнообразии динамических задач выделяют две их
категории. К первой категории относятся задачи, в которых дви-
жение тела (или механической системы) является заданным, и
требуется найти силы, под действием которых это движение про-
исходит {первая задача). В другую категорию входят задачи про-'
тивоположного характера: в них силы являются заданными, а
10
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ Г
движение — искомым (вторая задача). Эти задачи называются основ-
ными задачами динамики.
При формулировании основных законов динамики пользуются
понятием материальной точки. Под материальной точкой понимают
тело конечной массы, размерами и различием в движении отдель-
ных точек которого по условиям задачи можно пренебречь.
В дальнейшем будет показано, что поступательно движущееся тело
можно рассматривать как материальную точку с массой, равной
массе всего тела.
§ 1.2. Инерциальные системы отсчета.
Основное уравнение динамики точки
В основании динамики лежат законы, впервые в наиболее
полном и законченном виде сформулированные Исааком Ньютоном
в книге «Математические начала натуральной философии» (1687 г.).
В качестве первого закона Ньютон принял принцип инерции,
открытый Галилеем, который можно сформулировать следующим
образом: изолированная материальная точка находится в состоя-
нии покоя или равномерного и прямолинейного движения.
Под изолированной материальной точкой понимается материаль-
ная точка, которая не взаимодействует с другими телами или
когда силы, действующие на точку, взаимно уравновешиваются.
Важнейшим обстоятельством при изучении движения тел отно-
сительно друг друга является выбор системы отсчета, что в свою
очередь связано с принятым представлением о пространстве и
времени. Естественно поставить вопрос: по отношению к какой
же системе отсчета справедлив принцип инерции?
Ньютон, формулируя законы динамики, ввел в рассмотрение
модель пространства и времени, которая предполагает наличие
абсолютного неподвижного евклидова трехмерного пространства
и абсолютного времени, т. е. времени, одинаково текущего для
всех наблюдателей, где бы они ни находились и каково бы ни
было их движение.
Исходя из этого представления о пространстве и времени,.
Ньютон и предполагал возможность существования абсолютной,
неподвижной системы отсчета (системы координат), не связанной
с материальными телами; для такой системы отсчета он и считал
справедливым принцип инерции.
Последующее развитие представлений о пространстве привело
к полному отрицанию понятия абсолютного пространства. Поэтому
понятия «покой», «постоянная скорость» и т. п. лишены объектив-
ного смысла: пользуясь этим термином, необходимо указать,
в какой системе отсчета рассматривается движение. Но движение,
происходящее с постоянной скоростью в одной системе отсчета,
может представляться ускоренным в другой системе отсчета; по-
§ 121 ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И
этому принцип инерции не обладает универсальностью, хотя, как
показывают наблюдения, в некоторых системах отсчета принцип
инерции оказывается справедливым.
Введем определение: системы отсчета, в которых справедлив
принцип инерции, называются инерциальными системами отсчета
(инерциальными системами координат). Подчеркнем, что об инер-
циальности или неинерциальности той или иной системы отсчета
можно судить только на основе опыта. В частности, установлено,
что гелиоцентрическая система координат (т. е. система координат
с началом в центре Солнца и осями, направленными на «непод-
вижные» звезды) весьма близка к инерциальной системе.
Следует, однако, иметь в виду, что гелиоцентрическая система
отсчета может считаться инерциальной только для движений
внутри Солнечной системы, ибо центр масс Солнечной системы
движется по криволинейной траектории относительно центра
нашей Галактики с относительной скоростью, примерно равной
3-105 м/сек, и ускорением порядка 3- 10-13 м/сек2.
Легко видеть, что система отсчета Alt которая движется отно-
сительно инерциальной системы отсчета Ао поступательно и начало
которой имеет постоянную по модулю и направлению скорость,
также является инерциальной. Это вытекает из того, что ускоре-
ние точки в системе Аг не отличается от ускорения точки в си-
стеме До. В этом утверждении состоит принцип относительности
Галилея.
Наоборот, в системах отсчета, движущихся относительно инер-
циальной системы отсчета не поступательно или не равномерно,
принцип инерции не имеет места; такие системы называются
неинерциальными. Если движение некоторой системы отсчета про-
исходит с относительно малыми ускорениями относительно инер-
циальной системы отсчета, то при решении практических задач
иногда можно пренебречь малой неинерциальностью (например,
непнерциальностью геоцентрической системы, связанной с Землей);
при этом приближенно принимают, что принцип инерции выпол-
няется и в такой системе отсчета.
Развитие физики привело к концу XIX и началу XX века
к необходимости создания других моделей пространства и вре-
мени. Так, например, в специальной теории относительности,
в которой рассматриваются только инерциальные системы отсчета,
моделью пространства и времени является четырехмерное прост-
ранство-время, т. е. пространство и время уже не считаются
независимыми друг от друга.
Еще более сложная модель пространства и .времени исполь-
зуется в общей теории относительности (теории тяготения), в кото-
рой рассматриваются неинерциальные системы отсчета. Эта модель
уже предполагает зависимость пространства и времени от тяготею-
щих масс и полей.
12
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ I
Выводы как специальной, так и общей теории относительности
при скоростях тел, значительно меньших скорости света, совпа-
дают с выводами классической механики, а это значит, что клас-
сическая механика (механика Ньютона) является предельным
случаем механики, основанной на принципах теории относитель-
ности.
Фундаментальное значение для всей динамики имеет следующий
основной закон динамики (второй закон Ньютона^. сила, действую-
щая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое
в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы
и имеет направление силы. В аналитической форме этот закон
представляется в виде основного уравнения динамики
mw = F, (1.1)
где F —сила, действующая на материальную точку, w —ее уско-
рение, т — масса материальной точки, являющаяся мерой ее инерт-
ных свойств.
Из формулировки основного закона динамики вовсе не вытекает,
что в динамике исследуются движения, происходящие только в инер-
циальных системах. В главе VI мы будем рассматривать движение
в неинерциальных системах, однако таких, движение которых
относительно инерциальной системы задано; на языке кинематики
задача сведется к выражению относительных ускорений через
абсолютные ускорения.
Отметим, что равенство действия и противодействия двух мате-
риальных точек (третий закон Ньютона), о котором уже говорилось
в начале курса статики, является общим законом всей механики
и справедливо не только в задачах статики, но и в ’задачах
динамики.
Приведем еще одно фундаментальное положение механики —
закон независимости действия сил: если на материальную точку
действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех
ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из этих
сил в отдельности.
Зто значит, что при действии на материальную точку сил
Fb F2, ..., F„, каждая из которых сообщает точке соответственно
ускорения Wj, w2, ..., w„, ускорение материальной точки будет
w = w1 + w2 + ... + w„.
На основании (1.1) можно записать
mw1 = F1, mw2 = F2.......mw„ = F„.
Складывая между собой эти равенства, получим
m (wx + w2 +,.. + w„) = Fx + F2 +... + Fn,
§ 12]
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧГТА
13
или, на основании закона независимости сил,
mw = Fx + F2 + ... + Fn = 2 Fft,
k=t
n
где 2 Ffe — равнодействующая всех сил, приложенных к мате-
t = i
риальной точке.
Таким образом, движение материальной точки под действием
сил Fb F2, ..., F„ будет таким же, как и при действии одной
силы, равной их геометрической сумме (равнодействующей).
В принципе основные законы динамики играют роль постулатов,
из которых как следствие вытекают все результаты, полученные
ранее в статике, и даже некоторые из аксиом статики.
В сжатом виде законы динамики можно сформулировать следую-
щим образом:
1. Существует такая система отсчета, в которой материальная
точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно,
если на нее не действуют силы. Такая система отсчета называете}
инерциальной (иногда ее условно называют неподвижной).
2. В<Инерциальной системе отсчета вектор ускорения материаль-
ной точки пропорционален вектору силы, действующей на эту
точку.
3. Две материальные точки взаимодействуют друг с другом
так, что силы их взаимодействия равны по величине, противоположны
по направлению и имеют общую линию действия.
4. При действии на материальную точку нескольких сил ее
ускорение равно сумме ускорений, которые имела бы точка при
действии каждой силы в отдельности.
Отсюда следует, что систему сил, действующих на точку,
можно заменить их равнодействующей.
Из основного уравнения динамики следует линейная зависимость
между модулем силы и модулем ускорения
F = mw. (1.2)
Эта зависимость дает возможность опытного определения массы
материальной точки. Здесь имеются два подхода.
Массу некоторой материальной точки можно принять за еди-
ничную массу т0. Тогда, измеряя ускорения, приобретаемые под
действием одной и той же силы двумя различными материальными
точками (одна из них единичной массы), получим из (1.2)
F = mw, F = m0w0. (1.3)
Следовательно, т = mowo/w. Масса т0 установлена. Величина отно-
шения ускорений w0/w определяет количество эталонных единиц
массы, содержащихся в т.
14
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ I
При таком способе измерения массы сила выражается через
единицы массы и единицы ускорения по формуле (1.2).
В международной системе единиц СИ эталоном массы служит
1 кг. Единицы длины и времени — 1 м и 1 сек.
Единица силы называется ньютоном. Из (1.2) следует
1 н = 1 кгм/сек1'.
Заметим, что часто применяется и более мелкая единица силы —
динт,
1 дина =10-5 н = 0,001 кг-0,01 м/сек? =\ г-см/сек2.
Аналогично вводится один килоньютон (кн), который равен
1000 ньютонов.
Рассмотрим теперь другую возможность использования основ-
ного закона динамики. Можно, как и в статике, назначить эталон
силы. Для измерения сил могут, например, служить пружинные весы.
За эталон силы часто принимают силу тяжести на поверхности
Земли одного килограмма массы. Такую единицу называют кило-
граммом, но, в отличие от килограмма —массы, записывают при
помощи символа кГ. Здесь масса измеряется в производных еди-
ницах, имеющих размерность
[т] = [Е][^Г.
Если оставить без изменения масштабы длин и времени, то
получим техническую систему единиц. Единица массы называется
в ней т. е. м. (техническая единица массы),
1 т. е. м. — 1 кГ -сек?/м.
Ниже при решении задач мы будем пользоваться как между-
народной (СИ), так и технической системой единиц. Разумеется,
масштабы всех единиц в пределах той или другой системы будут
выбираться, исходя из соображений удобства решения той или
иной задачи.
Масса, определяемая из основного уравнения динамики (1.2),
называется инертной массой.
Однако существует и другой путь измерения массы.
Из закона всемирного тяготения следует, что между двумя
материальными точками массы т± и т2, отстоящими друг от друга
на расстоянии г, возникают силы взаимодействия, определяемые
формулой
F = f^, (1.4)
где / — гравитационная постоянная.
Закон всемирного тяготения открывает новую возможность
измерения массы. Пусть, например, т2 = М — масса Земли,
§ 1 2]
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ системы отсчета
15
mi = то— эталонная единичная масса, т — измеряемая масса,
из (1.4) можно получить два соотношения:
Г? С ttloAd р tn/\A
r0=l I г1 = /
Предполагается, что обе массы т() и т помещены в одной
же точке пространства.
Поделив одно из уравнений (1.5) на другое, получим
Тогда
(1-5)
и той
(1.6)
Если г —радиус Земли, то очевидно, что Fx и Fo — силы при-
тяжения на поверхности Земли. Как будет выяснено в главе VI,
эти силы мало отличаются от сил тяжести. Масса, вычисляемая
по формуле (1.6), называется «тяжелой» массой.
Таким образом, отношение масс равно отношению сил притя-
жения.
Итак, масса одной и той же материальной точки может быть
вычислена из двух совершенно различных опытов по формулам
т _ w0 т Ft
т0 ~ w ’ т0 ~ Fo'
Точные эксперименты, проведенные для проверки равенства
инертной и тяжелой масс, показали совпадение этих величин.
Они послужили отправной точкой для создания Эйнштейном тео-
рии тяготения.
В специальной теории относительности показывается, что масса т тела
зависит от его скорости:
где т0 — так называемая масса покоя, v — скорость тела, с—скорость света.
В классической механике рассматриваются движения тел, скорости которых
значительно меньше скорости света. Поэтому, пренебрегая отношением v2/c2
по сравнению с единицей *), считают массу тела постоянной.
Заметим, что если записать в обозначениях дифференциального исчисле-
ния второй закон Ньютона в том виде, как он его сформулировал, то основ-
ное уравнение динамики (1.1) примет вид
d (mv)
_dT“=F-
Эта форма основного уравнения динамики точки, в отличие от уравнения
(1.1), применима не только для тела постоянной массы, но и тел, масса кото-
рых зависит от скорости.
*) Так, например, для второй космической скорости (см. § 4.2) v =
= 11,2 км/сек и у2/с2«=: 1,4- 10-10.
16
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ I
§ 1.3. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки
Положение материальной точки М в инерциальной системе
отсчета будем определять ее радиусом-вектором г. Сила F, дей-
ствующая на точку, может зависеть от положения точки, т. е.
от радиуса-вектора г (например, сила тяготения), скорости v =
= — точки (например, сила сопротивления)
довательно, в общем случае F = F^r,
ние динамики точки (1.1) можно записать
d2r у, / dr Л
т = F г, -ту-, t\.
dt2 \ at j
и времени t *). Сле-
и основное уравне-
в следующей форме:
Это равенство, представляющее физический закон, устанав-
ливающий связь между массой точки, ее ускорением и действую-
щей на точку силой, можно рассматривать одновременно как
дифференциальное уравнение, в котором радиус-вектор г явля-
ется функцией, а время t— аргументом. Это уравнение называ-
ется дифференциальным уравнением движения материальной точки
в векторной форме.
Дифференциальное уравнение в векторной форме, естественно,
эквивалентно трем скалярным уравнениям. В зависимости от
выбора осей координат, на которые проектируется основное урав-
нение динамики (1.1), можно получить различные формы скаляр-
ных дифференциальных уравнений движения материальной точки.
Так, например, если спроектировать обе части уравнения (1.1)
на неподвижные оси декартовых координат, то будем иметь
mx = F\, mj = Fy, mz = Fz, (1.7)
где х, у, z — проекции ускорения точки на координатные оси,
FK, Fy, Тг —проекции силы, действующей на точку, на те же оси.
Если пользоваться описанием движения в естественной форме,
то нужно спроектировать основное уравнение динамики (1.1) на
оси естественного трехгранника; в результате получим соотно-
шения
mwx = Fx, mwn = F„, mwb = Fb, (1.8)
где Fx, Fn и Fb — проекции силы на касательную, главную нор-
маль и бинормаль. Вспоминая известные из кинематики выраже-
ния для проекций ускорения ®T, wn и wb на те же направления,
получим
”•5-^ ° = F»- <L9»
*) Подробнее см. в § 1.5.
§ I 41
ПЕРВАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ
17
где р —радиус кривизны в текущей точке траектории. Из послед-
него уравнения следует, что сила F, под действием которой дви-
жется материальная точка, лежит в соприкасающейся к траекто-
рии точки плоскости.
В случае плоского движения точки, рассматриваемого в поляр-
ных координатах г, <р, имеем
m(r-r<p2) =Fr, (г2Ф) = /?ф, О-10)
где Fr и Fv — проекции силы на направление радиуса-вектора и
перпендикулярное к нему направление (в сторону увеличения
полярного угла гр).
Мы ограничились наиболее употребительными случаями; ана-
логично можно получить записи дифференциальных уравнений
движения материальной точки в других системах криволинейных
координат (цилиндрической, сферической и т. д.).
§ 1.4. Первая задача динамики
Как было сказано в § 1.1, в практике возникают различные
постановки динамических задач. Прежде всего остановимся на
первой задаче, когда движение задано и необходимо найти силу,
под действием которой происходит это движение.
‘Эта задача решается следующим образом: закон движения
подставляется в дифференциальные уравнения (1.7), (1.9) или
(1.10) (в зависимости от способа задания движения) и с помощью
дифференцирования соответствующих функций определяются
проекции силы. Проследим за ходом решения на примерах.
Задача 1.1. Материальная точка массы т движется в плоскости ху, при-
чем закон движения задан в виде
х = а sin (kt-^-e), У = Ь sin (kt-}-8)-\-c,
где а, b, е, 6, с — любые постоянные параметры. Найти силу, под действием
которой происходит это движение.
В данном случае движение задано в декартовых координатах. Поэтому
выражение координат из закона движения н^жно подставить в дифференциаль-
ное уравненце (1.7). При этом находим
Fx = — mk2a sin (kf + e), Fy — — mk-b sin (kt -)- 6)
или, приняв во внимание закон движения, получим
Fx =—mk2x, Fy = —mk2y-\-mk2c.
Таким образом, сила, действуюдая на материальную точку, будет
F = — mk2r -|- mk2c\,
где r = xi-|-i/j, i и j—единичные векторы осей х и у. Следовательно, мате-
риальная точка движется под действием силы притяжения к началу коорди-
нат, пропорциональной расстоянию от начала координат до материальной
точки, и постоянной силы, параллельной оси у.
ГУ
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ Г
Задача 1.2. Материальная точка массы т движется по окружности
радиуса г с постоянной скоростью v. Найти силу, под действием которой
происходит такое движение.
Здесь движение задано естественным способом; поэтому согласно (1.9)
находим
т. е. заданное движение материальной точки происходит под действием силы,
постоянной по модулю и направленной по радиусу к ее центру.
Задача 1.3. Материальная точка массы т движется по гладкой плоскости.
Ее полярные координаты г и гр изменяются по закону (рис. 1.1)
r = at-\-b, (f = ct-\-d,
где а, Ь, г, и d — положительные постоянные. Определить силу, под дейст-
вием которой происходит это движение.
р Так как
"ХУ г = а, г = 0, ф = с, ф = 0,
р то согласно первому уравнению (1.10) получаем
Ег =—т(а/-|-6)с2 =—тс2г,
т. е. составляющая силы, действующая на ма-
/\ Ф . тернальную точку вдоль радиуса, направлена
0 2 *7 к полюсу н ее модуль растет пропорционально г.
х Согласно второму уравнению (1.10) имеем
Рис- Еф==2тас,
т. е. составляющая силы, действующая на материальную точку по перпенди-
куляру к радиусу, постоянна. Модуль силы, действующей на точку, опреде-
ляется равенством
F = = тс /с2г2 + 4а2.
§ 1.5. Вторая задача динамики
Для определенности изложения будем рассматривать движе-
ние в декартовой системе координат, опираясь на уравнения (1.7).
Как уже отмечалось ранее, сила (и ее проекции), действующая
на материальную точку, в общем случае может зависеть от поло-
жения точки, ее скоррсти и времени.
Приведем несколько примеров переменных сил. На упругой бал-
ке установлен (рис. 1.2, а) не вполне уравновешенный двигатель.
При заданном режиме работы двигателя сила давления на кон-
струкцию, обусловленная неуравновешенностью, является функ-
цией времени; заметим, что эта сила принимается нами не зави-
сящей от того, как под ее воздействием колеблется конструкция.
В этих условиях на кострукцию действует сила P(t), заданная
как явная функция времени t (здесь мы не касаемся вопроса о том,
каким образом указанная конструкция схематизируется в виде
материальной точки). Обратимся к другому примеру.
С Земли произведен пуск космического корабля. После некото-
рого, сравнительно короткого промежутка времени двигатели
4 15]
ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ
19
?(t)
М
на
выключаются и корабль продолжает движение под действием
практически единственной силы — силы притяжения Земли
(рис. 1.2, б); притяжение других небесных тел в начале движе-
ния пренебрежимо мало. Согласно закону всемирного тяготения
эта сила не постоянна и постепенно убывает с увеличением рас-
стояния г корабля от Земли. Здесь сила Р(г) притяжения зави-
сит от положения корабля, т. е. определяется его координатами.
В качестве третьего примера рассмотрим силы, под действием
которых происходит падение материальной точки в вязкой жид-
кости (рис. 1.2, в). На материальную
точку действуют сила тяжести G и
сила сопротивления жидкости R.
Как показывает опыт, сила R зави-
сит только от скорости падения,
т. е. R = R(t/). В начале процесса,
когда скоро ть мала, эта сила также
невелика, но с возрастанием скорости
растет и сила сопротивления.
Таким образом, зависимости, опре-
деляющие изменение переменных сил,
весьма разнообразны по своей при-
роде; можно указать три простейших
типа переменных сил:
а) силы, заданные как явные
функции времени и не зависящие от
движения материальной точки;
б) силы, зависящие от координат
материальной точки;
в) силы, зависящие от скорости
материальной точки.
Но возможны случаи, когда сила,
действующая на точку, может быть
одновременно функцией от несколь-
ких аргументов. Например, действующая
сила аэродинамического сопротивления при
мосфере (при взлете или снижении) зависит
рабля, и от его скорости, так как плотность атмосферы убывает
с высотой над поверхностью Земли.
Чаще всего на материальную точку одновременно действует
несколько сил .различных типов.
На рис. 1.3, а представлен пример, иллюстрирующий одновре-
менное действие сил различной природы. Неуравновешенный дви-
гатель А установлен на массивном фундаменте В, который в свою
очередь установлен на амортизаторах (на рисунке они схематично
изображены одной пружиной С и гидравлическими амортизато-
рами D).
космический корабль
его движении в ат-
и от положения ко-
20
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ Г
В такой конструкции фундамент может иметь малые верти-
кальные поступательные перемещения (за счет деформации пру-
жин), а при работе двигателя возникают колебания системы.
На фундамент действуют силы четырех типов. Во-первых, сила
тяжести самого фундамента, обозначенная на рис. 1.3, б через G:
G = const. (1-П)
Во-вторых, сила действия двигателя на фундамент, обозначен-
ная на рисунке через Р. Эта сила, меняющаяся во времени задан-
ным образом, представляет переменное динамическое давление на
б)
фундамент, зависящее от величины неуравновешенных масс дви-
гателя и угловой скорости вращения его ротора:
Р = Р(/). (1.12)
В-третьих, на фундамент действует реакция пружины, кото-
рая в любой момент времени определяется деформацией пружины
(т. е. перемещением фундамента):
F = F(y) (1.13).
((/ — вертикальное перемещение фундамента в данный момент).
Наконец, в-четвертых, на фундамент действуют реакции гид-
равлических амортизаторов D. Опыт показывает, что их реакции
полностью определяются скоростью движения поршня в цилиндре
амортизатора, т. е. скоростью самого фундамента:
R==R(y). (1.14)
При поступательном движении фундамента его можно рас-
сматривать как материальную точку; дифференциальное уравне-
ние движения этой точки (в проекции на ось у, которую будем
считать направленной вниз) имеет вид
m^Gy-VPy^ + Fy^ + Ry^. (1.15)
Для того чтобы найти движение фундамента, необходимо решить
это дифференциальное уравнение.
§ 15]
ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ
21
Подобным же образом дело обстоит и в других задачах.. Сле-
довательно, в общем случае вторая задача динамики приводит
к необходимости решения системы трех дифференциальных урав-
нений:
тх = Fx (х, у, z, х, у, z, f),
mj = Fy(x, у, г, х, у, z, t),
mz =Fz(x, у, z, х, у, z, f),
(1-16)
в которые искомые функции х, у, г входят вместе со своими
первыми и вторыми производными по времени. Уравнения (1.16}
представляют собой систему трех дифференциальных уравнений
второго порядка относительно неизвестных функций х, у и z и,
как уже отмечалось, называются дифференциальными уравнениями
движения материальной точки.
Предположим, что нам удалось проинтегрировать систему
уравнений (1.16) и получить общее решение
х = х (t, Clt ..., Св),
У~ У (A ^i> • > С6),
z = z(t, ..., С6),
(1-17)
где Ср ..., Св — произвольные постоянные интегрирования. В каж-
дую из функций (1.17) могут входить все шесть постоянных, так
как в общем случае уравнения (1.16) не являются независимыми
друг от друга.
Если теперь в соотношениях (1.17) постоянным интегрирова-
ния давать различные числовые значения, то можно получить
совокупность различных решений. Это значит, что под действием
одних и тех же сил, действующих на материальную точку, она
может совершать различные движения.
Например, тело, отпущенное без начальной скорости, будет
падать под действием силы тяжести вертикально вниз по прямой
линии. Это же тело, брошенное под углом к горизонту, будет
двигаться под действием той же силы тяжести (сопротивлением
воздуха пренебрегаем) по некоторой кривой.
Таким образом, задания одних сил, действующих на мате-
риальную точку, еще недостаточно для определения конкретного
закона ее движения. Для того чтобы выбрать из многообразия
решений (1.17) то, которое соответствует решаемой нами конк-
ретной задаче, нужно задать еще начальные условия движения.
Начальное состояние движения точки определяется ее положе-
нием и ее скоростью в начальный момент времени, т. е. радиу-
сом-вектором го = г(О) и скоростью vo = v(O) при / = 0.
В декартовой системе координат нужно задать соответствую-
щие проекции:
22
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ. I
при t = 0
х = х0, у = у0, г = г0, 1
Х = хо, у = у0, z = z0. ] v
Совокупность этих данных называется начальными условиями дви-
жения.
Для выбора значений шести постоянных интегрирования,
входящих в общее решение (1.17) и соответствующих решаемой
конкретной задаче, используются начальные условия движения
(1.18). Это делается следующим образом: во-первых, требуем,
чтобы при / = 0 значения х, у и г, определяемые выражениями
(1.17), равнялись соответственно х0, у0 и г0; во-вторых, продиф-
ференцировав по времени выражения (1.17):
х = х (t, Ct, , Сс),
У = УЦ, Ср ..., С6),
z=z(/> С1( ..., С6),
требуем, чтобы при t = Q эти х, у, z равнялись соответственно
Уо> ^о-
Таким образом, мы получим шесть уравнений для определе-
ния постоянных интегрирования:
х0— х (0, Ср С6),
Уп=у (о, Ср ..., С6),
го = г(О, Ср ..., С6),
хо = х(О, Ср ..., С6),
Уо = У (0, Ср ..., С6),
zo = z(O, Сх> ..., С6).
(1-19)
Решая эти уравнения относительно постоянных Ci, найдем
С; = А(х0, у0, г0, х0, у0, г0) (( = 1, 2, ..., 6). (1.20)
Подставляя найденные значения постоянных в общее решение
(1.17), получим решение задачи, соответствующее данным началь-
ным условиям:
х = Ф1(/, х0, у0,
y = х0, у0,
? = Фз(С х0, г/0,
г0> Х0> У О’ ^о)>
?о> Хо, у о, Zo),
г0> А), Уо> ^о). .
(1.21)
В курсах математики доказывается, что при определенных
условиях, накладываемых на правые части уравнений (1.16) (если
задача механики поставлена правильно, то эти условия обычно
выполняются), решение (1.21) единственное. Это значит, что при
данных начальных условиях и данных силах движение точки
полностью и единственным образом определено.
Следует заметить, что наибольшие затруднения обычно пред-
ставляет первый этап — получение общего решения (1.17); после
§ 15]
ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ
23
этого постоянные интегрирования определяются без особых труд-
ностей.
Покажем на примере решение второй задачи динамики, при-
чем ограничимся тем случаем, когда на материальную точку
действует постоянная сила.
Задача 1.4. Исследовать движение
материальной точки М массы т под
действием силы тяжести; сопротивле-
нием атмосферы пренебречь (рис. 1.4).
Выберем систему координатных
осей так, чтобы ее начало О совпа-
дало с начальным положением точ-
ки М, ось у направим вертикально
вверх, а оси х и г— горизонтально.
Ось х направим так, чтобы началь-
ная скорость v0 была расположена
в плоскости ху. Из рассмотрения рис. 1.4 следует, что проекции действующей
на точку силы тяжести на оси координат равны Fx = 0, Ру= —mg> Fz = 0.
Следовательно, дифференциальные уравнения движения (1.16) в данном слу-
чае будут иметь вид
mx = 0, mij =—mg, т2==0,
(1.22)
или, после сокращения на т,
х = 0, у — — g, 2 = 0.
Интегрируя эти уравнения, получим общее решение
Х = С1/-|-С4,
У = — + С5,
z = C3t~FCg. '
(1.23)
Для определения постоянных интегрирования С/ необходимо указать
начальное состояние движения точки, т. е. ввести соответствующие начальные
условия. Пусть начальная скорость v0 составляет с осью х угол а. Тогда
в силу выбора координатной системы будем иметь следующие начальные
условия:
при 1 = 0
*о = Уо = 2о == О, x = v0cosa, ;/0 = o0sina, zo = O.
В соответствии с (1.23) имеем
x = Ci, у =— gt -|- С2, z = C3. (1-24)
Используя теперь начальные условия, найдем постоянные интегрирования
С4 = 0, CS=O, Ce = 0, C1 = o0cosa, C2 = v0sina, С3 = 0.
Подставляя эти значения С; в общее решение (1.23), получим уравнения дви-
жения материальной точки, брошенной под углом к горизонту:
at2
x = v0tcosa, y = vot sin a — z = 0. (1-25)
Из этих уравнений следует, что движение точки под действием силы тяжести
происходит в вертикальной плоскости хОу (z = 0). Траекторией точки будет
парабола:
y = xtga — x2^. 8 . (1.26).
2yjcos2a v '
-24
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ I
Таким образом, задача решена Дальнейшее исследование траектории (1 26)
позволит определить дальность бросания и наибольшую высоту подъема
После этого можно поставить задачу об оптимальных условиях бросания,
например, выяснить, при каком угле а достигается максимальная дальность
(если считать значение г0 заданным).
§ 1.6. Прямолинейное движение материальной точки
Выясним, при каких условиях материальная точка совершает
прямолинейное движение.
Пусть материальная точка движется по прямой линии, которую
мы примем за ось х, тогда во все время движения будет у = г =
= 0. Следовательно, на основании уравнений (1.16) должны
тождественно выполняться равенства
/д = 0, Гг = 0, (1.27)
т. е. если точка совершает прямолинейное движение, то сила,
под действием которой происходит это движение, должна иметь
линию действия, совпадающую с прямой, вдоль которой движется
точка.
Однако необходимое условие (1.27) прямолинейного движения
не является достаточным. Например, при движении точки под
действием силы тяжести проекции силы на координатные оси,
лежащие в горизонтальной плоскости, равны нулю, а точка дви-
жется не по прямой, а по параболе.
Для того чтобы материальная точка двигалась по прямой
линии, необходимо и достаточно, чтобы действующая на нее сила
быта все время параллельна начальной скорости точки. Если же
начальная скорость равна нулю, то движение будет происходить
по прямой, параллельной направлению силы.
В самом деле, если направить координатные оси так, чтобы
ось х была направлена по начальной скорости точки, а начало
координат было совмещено с начальным положением точки, то
условия (1 27) будут соблюдены и, следователю,
my = 0, mz =0,
откуда
у ~Сг, z = С2
y = C1t-\~C3, z = C2tJrCi.
Имеем начальные условия- при
тогда
z/ = 0,
( = 0 z/ = 0, z = 0, у = 0, z = 0;
z = 0, (1 28)
т. е. траектория движения точки —прямая линия —ось х. Таким
образом, показана и достаточность условий прямолинейности
движения.
§ 1 6] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 2!у
Ниже рассматриваются некоторые задачи о прямолинейном
движении материальной точки, причем во всех случаях коорди-
натную ось х мы будем совмещать с прямой, вдоль которой про-
исходит движение. В таких задачах вектор действующей на точку
силы полностью определяется его единственной проекцией Fx.
Рассмотрим несколько случаев прямолинейного движения
материальной точки, в которых можно заранее указать методы
интегрирования дифференциальных уравнений движения, каждый
из случаев относится к определенному характеру действующей
силы.
1. Прямолинейное движение материальной точки под действием
силы, зависящей только от времени. Дифференциальное уравнение
движения в этом случае имеет вид
mx = Fx(t), (1-29)
откуда
Интегрируя, получим
х = ~ JFa (0 dt + Clt
где под $ Fx (7) dt понимается первообразная функция. Интегри-
руя далее, будем иметь
Х = + (1.30)
2. Прямолинейное движение материальной точки под действием
силы, зависящей только от положения точки. В этом случае
дифференциальное уравнение движения будет
mx = Fx(x). (1.31)
Вводя v — x, получим
.. dv dv dx dv
dt dx dt dx
и, следовательно, дифференциальное уравнение примет вид
v dv = — Fx (х) dx.
После интегрирования найдем
9 Г*
v^^F^dx + C,,
откуда
^Fxdx + Ci,
26
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ. I
или, переходя к проекции скорости,
dx
Интегрируя это уравнение, будем иметь
, (* dx
'2'
Вводя обозначение
dx
Fx(x) dx+Q
получим
/ = Ф(х, Ct, С2).
Решая это уравнение относительно х, найдем зависимость х
от времени и постоянных интегрирования:
x = q>(t, Clt С2). (1.32)
Таким образом, задача решается при помощи двух квадратур.
3. Прямолинейное движение точки под действием силы, зави-
сящей только от скорости точки. Дифференциальное уравнение
движения
тх = Fx (х)
с помощью замены v = x преобразуется к виду
= - dt’
гх (у) т
Интегрируя это уравнение, получим
? F^h + Ci = -^
i Fx(v) ' 1 tn
Если ввести обозначение
(1.33)
dv
то последнее равенство примет вид
t = Ф (v, Cj),
*) Здесь и в дальнейшем знак перед корнем выбирается в зависимости от
направления движения точки в рассматриваемом промежутке времени. Если
х0 > 0, то берется знак «плюс», при противоположном неравенстве — «минус».
Знак может изменяться на противоположный в моменты, когда х = 0.
§ 1.7]
ЗАДАЧИ
27"
ИЛИ
< = Ф(х, Ct).
Решая это уравнение относительно х, будем иметь
с,),
откуда
Если уравнение t = <$(x, нельзя
то поступим следующим образом: вводя
.. dv dv
X = -ут = у- V,
dt dx
перепишем дифференциальное уравнение
mv dv ,
x = \f(t, Cjdt + Cf
решить относительно х,
преобразование
(1.33) в виде
(1.34)-
откуда
(* v dv ,
X=m}FTW)+Ci-
Из этого уравнения находим v = x:
= Сй
и после интегрирования будем иметь
откуда и определим х как функцию времени t.
§ 1.7. Задачи
Задача 1.5. На покоящуюся материальную точку массы пг в момент вре-
мени / = 0 начинает действовать сила, проекция которой на ось х выражается
зависимостью РХ=Р sin оД. Найти закон движения и сравнить решение со слу-
чаем, когда указанная проекция изменяется по закону Рх = Р cos bit.
Совмещая начало оси х с начальным положением точки, получим диф-
ференциальное уравнение движения в виде (1.29):
mx = P sin u>t.
Согласно (1.30) записываем
х = Р sin a>t d/j dt + Ctt + C2,
t. e.
p
X==------5 sin (x)t -4- Cyt -4— Cq*
mco2 1 1 £
28
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ. I
Подчиняя решение начальным условиям:
х(0) = 0, х(0) = 0 при £ = 0,
находим
Ci = ~
та
С2 = 0.
Следовательно, материальная точка движется вдоль оси х по закону
Р
х = —г (ь>1 — sin о>Л.
ты2 ' '
Из графика функции x(t), изображенного на рис. 1.5, а, видно, что точка
постепенно удаляется от начального положения, совершая колебания около
режима постоянной скорости.
Если на материальную
точку действует косинусои-
дальная сила, то дифферен-
циальное уравнение движе-
ния (1-29) будет
тх = Р cos bit
и в соответствии с (1.30)
общее решение имеет вид
— ты2 Cos + С'/ -|-С2.
Из предыдущих начальных
условий находим
поэтому закон движения вы-
ражается при помощи соот-
ношения
р
х =----Г (1 —COS bit).
ты2 ' '
На рис. 1.5, б изображен график этой функции; движение носит колебатель-
ный характер, причем точка не удаляется от начального положения дальше
чем на
2Р
Хтах — т(02
Мы получили на первый взгляд неожиданный результат. В обоих случаях
на точку действовала периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому
закону; начальные условия также совпадали, однако отклонения точки от на-
чального положения имеют различный характер. В первом случае наблюдается
систематическое удаление точки от ее начального положения, во втором —
удаления нет, движение имеет периодический характер.
С формально математической точки зрения ничего удивительного здесь нет.
Периодичность изменения ускорения (второй производной от координаты) вовсе
не влечет за собой периодичности изменения скорости (первой производной) и
тем более самой координаты. Применительно к разобранному примеру можно
привести следующие физические соображения. В первом случае сила, а зна-
чит, и ускорение меняются по синусоидальному закону f = Psino>Z. Это зна-
чит, что в течение полупериода (0 sg Z sg л/щ) ускорение было положительно
§ 1-7]
ЗАДАЧИ
29
и точка набирала скорость. Затем направление силы и, следовательно, уско-
рение изменялись и скорость начинала убывать, так что к концу периода
/ = 2л/о) она достигла нуля. Таким образом, проекция скорости х была все
время одного знака (х:&0). Отсюда ясно, что координата х за это время
могла только возрастать и к началу следующего цикла изменения силы она
получила конечное приращение. Такое же приращение отклонения произойдет
за второй и последующие периоды.
Во втором же случае к концу первого полуперивда проекция скорости
окажется равной нулю, в течение последующего полупериода она окажется
отрицательной и, изменяясь по синусоидальному закену, в конце периода
станет равной нулю. Такая знакопеременность скорости приводит к периодич-
ности отклонения х.
Задача 1.6. На материальною точку массы т действует сила отталкивания
Fx, пропорциональная координате х и равная
Fx = сх,
где с — коэффициент пропорциональности. Найти движение точки, если в на-
чальный момент / = 0 х = 0 и х = ц0.
Дифференциальное уравнение имеет вид
тх == сх.
Уравнение движения имеет ту же форму, что и (1.31), однако здесь целе-
сообразнее воспользоваться не общим приемом, а учесть то обстоятельство,
что дифференциальное уравнение является линейным. Перенесем все члены
этого уравнения в левую часть и разделим его на массу т~.
X—— х = 0.
т
Согласно 'общей теории лийейных однородных дифференциальных уравнений
будем искать решение в форме
х = Се“(.
Отсюда
х = Са2са/.
Внесем эти значения для х и х в дифференциальное уравнение и сократим
его на Ceat, в результате чего получим характеристическое уравнение
а2_. fe2 = 0,
где _
6 = 1/" —.
у т
Решая характеристическое уравнение, найдем
«1= —/>, a,2 = k.
Так как оба корня оказались*вещественными, то общее решение дифференци-
ального уравнения будет
x = C1e_ft/-|-C2eftt,
Где Ci и С2 — произвольные постоянные интегрирования, которые определяются
из начальных условий движения.
Имеем
х = — Cike4^ + C2keki.
Подставив в эти выражения для х (/) и х (/) значения / = 0, х = 0 и х==ц0(
получим
0 = С!-|-С2> ц0= — Cjfe+С2/г,
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ. 1
Отсюда
Г Vo
С1=~2Й-
С2 =
Ур
2k'
Подставим эти значения для и С2 в выражение для х:
R I k
где гиперболический синус sh kt определен равенством
pkt — р~kt
sh kt =---g----.
Полученное решение удовлетворяет выбранным начальным условиям (при
t — 0 х = 0, x = Vt)). Если начальные условия будут при / = 0 х = х0, х = 0>
то точка будет двигаться по закону
gfcf g—kt
х ~ х0-----------= х0 ch kt
gkt _l g~kt \
ch W =------------гиперболический косинус). График этой функции изобра-
жен на рис. 1.6 сплошной линией.
При относительно больших значениях времени второй член
новится пренебрежимо малым и можно принять
ста-

(см. штриховую линию на рис. 1.6).
Заметим, что это приближенное решение не удовлетворяет начальным
условиям.
Задача 1.7. Считая, что при прямолинейном движении корабля возникает
сила сопротивления, пропорционал
чая квадрату его скорости, определить
путь, который пройдет корабль после
остановки двигателей за время, в тече-
ние которого скорость корабля умень-
шится в два раза.
Обозначим через т массу корабля и через fo его скорость в момент
остановки двигателей. На корабль действуют три силы: сила тяжести mg,
архимедова сила G и сила сопротивления F, причем F = ao2, где а —постоян-
ный коэффициент жидкостного сопротивления. Первые две силы вертикальны,
а сила сопротивления горизонтальна и направлена в сторону, противоположную
скорости корабля (рис, 1,7).
§ 1.7]
ЗАДАЧИ
31
Напишем основное уравнение динамики (1,1) для рассматриваемого
примера:
т ^ = mg+G4-F.
В проекции на горизонтальную ось х получим
dvx , /?г = — anL at х
Перепишем это уравнение в виде
т dvx ,, —= -adt. vi
После интегрирования получим
-^-=-at + Ci. (1.35) их
Условимся отсчитывать время с момента остановки двигателей корабля, Тогда
при t — 0 vx = v0 и, следовательно,
СХ=--. По
Выражение (1.35) теперь может быть записано в виде vx = (1.36)
rr. dx Так как vx = ~ t то at dx _ mv0 dt m-j-avet
И, следовательно, In (m + av0/) + C2. (1.37)
Постоянную с2 найдем из условия: х = 0 при t — 0, т. е.
Отсюда C2 = — ~ In m и a 0 = — In m-4-C2. a равенство (1.37) принимает вид m , m 4- aiU X = — In ! a m
Подставив сюда соотношение
tn 4- 0W(/ _ v0 tn vx ’ Л *
получаемое из формулы (1.36), окончательно имеем
x=—In—. a vx
Полагая иЛ = п0/2, найдем путь, который пройдет корабль за время, в те-
чение которого его скорость уменьшится вдвое:
c m 1 о S = — In 2, a
32
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ 1
Задача 1.8. Точка массы т падает на Землю из состояния покоя под дейст-
вием постоянной силы тяжести. Найти скорость и закон движения точки,
если сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости (R = k2mv2, где
k — постоянная).
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
mx = mg — mk2x2,
т. е. соответствует форме (1.33).
Последуем указанному выше пути решения и обозначим ii — v. Это позво-
лит привести уравнение движения к уравнению первого порядка
^ = g-^2.
или
g—k2V2
После интегрирования получим
1___
2/e|/g
Vg + hv
У g—kv

Так как движение начинается из состояния покоя, то v = 0 при t = 0 и ^ = 0.
Следовательно, имеем
1 1пГ|+^ = <,
2Hzg У g—kv
откуда
V~"k e2ktV&+l.
что ц -> gjk при t -> со, т. е. скорость падения
пределу.
Из этой формулы следует,
стремится к определенному
dx
Перейдем теперь к нахождению закона движения, Так как v == —, то
dx — -------—----dt,
k e2ktVg_^x
или
i_ d(^L±£2!J2)
~k2 ^e-ktVg ;
отсюда
X 1 ln(^-H-wrg‘)+Ca.
kl
При / = 0 x=0, следовательно, C2 = — In 2. Таким образом, имеем
1 , ^tVg+e-ktVg
x~~k2 n 2
§ 1.7]
ЗАДАЧИ
33
Даже при сравнительно небольших значениях времени ktVgi
поэтому, пренебрегая слагаемым е~к*^, получим приближенно
• 1 , ektVi ^g, In 2
X~k* П 2 “ k 1 k* '
т. e. движение по истечении некоторого промежутка времени становится прак-
тически равномерным.
Как н в предыдущем примере,
иости не удовлетворяет начальным
это решение вследствие своей приближен-
условиям; это можно понять, рассматривая
рис. 1.8, где графически представлены
точное и приближенное решения.
Задача 1.9. Материальная точка начинает движение в вязкой жидкости
с горизонтальной скоростью, равной по модулю ц0. Движение начинается
из точки с координатами х = 0, y=h, z=0 (рис. 1.9). На точку действуют
сила тяжести и сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости
(R — kmv, где k — коэффициент пропорциональности). Найти закон движения
точки.
В качестве координатной плоскости ху примем вертикальную плоскость,
проходящую через направление начальной скорости точки; ось у направим
вертикально вверх.
Силы, действующие на точку, равны
P = mg, R = — kmv.
Дифференциальные уравнения движения имеют вид
mx=.—kmx, my——kmy — mg, m2=—kmi,
или
х + &х = 0, y-\-ky=—g, 2-{-k2 = G.
Система уравнений движения распадается на три линейных уравнения, общие
решения которых будут
x = C±-^-C,ie~kt, у — С3-]-С^~к1—2=С^-\-С^~к^,
К
Так как
х= — Cake~kt, у=~С^ке~к1 — ^-, 2= — Ceke~kt,
то при начальных условиях:
2 Н, В. Бутенин и др.
04
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
[ГЛ I
при t = 0
*о = О. y»=h, zo=0, х0 = п0> г/о = °. А> = 0
получим
C* = -JT’ С^+¥’ С^~12’ С* = °- С« = °
и тогда
1 —e~kl
х=Оо-т--
y = h+g
\—e~ht — kt
№
z = 0.
Отсюда следует, что движение точки будет происходить в вертикальной плос-
кости.
Для получения закона движения при отсутствии сопротивления среды
следует k устремить к нулю; тогда получим
0^2
x = vot y=h~-^-, z = 0.
ГЛАВА II
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§2.1. Вводные замечания
Среди различных сил, которые могут действовать на мате-
риальную точку, особое место занимают восстанавливающие силы,
т. е. силы, стремящиеся вернуть
точку в положение равновесия.
Такие силы зависят от отклоне-
ния точки от положения равно-
весия и направлены к положе-
нию равновесия.
Как мы увидим ниже, вос-
станавливающие силы придают
движению материальной точки
колебательный характер. При-
рода этих сил весьма разнооб-
разна. Три случая показаны на
рис. 2.1.
В первом случае (рис. 2.1, а)
восстанавливающая сила обу-
словлена упругими свойствами
пружины и возникает вследствие
деформации пружины. Во вто-
ром случае (рис. 2.1, б) при вер-
тикальных отклонениях плаваю-
щего понтона от положения
равновесия возникает допол-
нительная (архимедова) сила,
также направленная против от-
клонения и играющая роль вос-
станавливающей силы. В третьем
случае (рис. 2.1, в) имеется в
виду материальная точка, нахо-
дящаяся в прямолинейном сквоз-
ном канале, который проходит внутри Земли. Если тело отклонено
от положения равновесия, возникает составляющая силы притя-
жения, направленная к положению равновесия.
2*
36 прямолинейные колебания материальной ТОЧКИ [ГЛ. II
Однако, кроме восстанавливающих сил, в подобных случаях
одновременно действуют, как правило, также силы сопротивления
R(x), зависящие от скорости движения; таково в схеме рис. 2.1, а
трение между телом и горизонтальной поверхностью, в схеме
рис. 2.1, б —зависящее от скорости сопротивление воды, в схеме
рис. 2.1, в —сопротивление воздуха и трение скольжения. Наконец,
возможно, что к материальной точке приложена возмущающая
сила, т. е. сила, являющаяся заданной функцией времени.
Настоящая глава посвящена систематическому исследованию
всех вариантов сочетания указанных сил в случае прямолинейного
движения материальной точки. Хотя эта задача представляет
практический интерес и сама по себе, но еще более важно, что
ее решение можно почти без всяких изменений использовать для
многих других случаев колебаний.
Дело в том, что различные по своему физическому содержанию
колебательные явления описываются одинаковыми дифференциаль-
ными уравнениями, поэтому выводы, полученные при изучении
колебательного движения в какой-либо одной области, могут быть
использованы и в других областях.
Наиболее просты для исследования те случаи колебательных
движений, когда восстанавливающая сила пропорциональна откло-
нению точки от положения равновесия, а сила сопротивления
пропорциональна скорости точки. Соответственно проекции вос-
станавливающей силы и силы сопротивления на ось х имеют вид
Fx —— сх, Rx =— bx.
В этих случаях дифференциальные уравнения движения линейны;
соответственно такие колебания также называются линейными *).
В зависимости от того, какая комбинация сил действует на
материальную точку, колебательное движение приобретает те или
иные типичные особенности. В следующей таблице дана сводка
различных изучаемых в дальнейшем типов линейных колебаний:
Действующие силы Дифференциальное уравнение Наименование вида колебаний
Восстанавливающая сила F(x): Fx= -сх тх + сх = 0 Свободные колебания
Восстанавливающая сила F (х) + сила сопротив- ления R (х): Fx= — сх, Rx= — bx тх Ьх + сх = 0 Свободные колебания при наличии вязкого трения
*) Термин «линейные колебания» никак не связан с прямолинейностью
траектории точки и определяется исключительно линейностью дифференциаль-
ных уравнений.
§ 2.2]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
37
Действующие силы Дифференциальное уравнение Наименование вида колебаний
Восстанавливающая сила F (х) + возмущающая сила Q (/): Fх — — сх, Qx = Qx (t) тХ + сх = Qx (t) Вынужденные колебания
Восстанавливающая сила F (х) -|- сила сопротив- ления R (х) + возму- щающая сила Q (/): Fx= — сх, Rx (х) = = — bx, Qx = Qx(t) тХ + bx + сх = Qx (t) Вынужденные колебания при наличии вязкого тре- ния
Возможны и более сложные случаи, когда сила зависит одно-
временно от координаты х и времени t и не может быть пред-
ставлена в виде суммы Fx (х) и Qx (t), а также когда сила зависит
от координаты х и скорости х, причем силу нельзя представить
как сумму F (х) и R (х). Эти случаи здесь не рассматриваются.
§ 2.2. Свободные колебания
Рассматриваемая задача характеризуется тем, что на мате-
риальную точку действует только восстанавливающая сила', в линей-
ных задачах ее модуль пропорционален отклонению точки от
положения равновесия. Проекция восстанавливающей силы на
ось х равна
Fx =— сх, (2.1)
где с — коэффициент пропорциональности, а дифференциальное урав-
нение движения точки имеет вид
тх = — сх.
Положив с/т — k2, получим
Jc + fe2x = 0. (2.2)
Таким образом, движение материальной точки под действием вос-
станавливающей силы описывается линейным однородным диффе-
ренциальным уравнением второго порядка с постоянными коэф-
фициентами.
Характеристическое уравнение этого дифференциального урав-
нения имеет вид
а2-Н2 = 0.
38
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ. П
Так как его корни —чисто мнимые числа:
= ki, «2 = — ki,
то общим решением дифференциального уравнения (2.2) будет
х = Сх sin kt-\-C2 cos kt, (2.3)
где Cj и C2 — постоянные ийтегрирования.
Для большего удобства анализа этого решения введем новые
постоянные интегрирования а и е, положив
C1 = acose, C2 = asine,
Это можно сделать, так как из этих соотношений постоянные
а и е определяются через С\ и С2 с помощью формул
а=УС| + С|, tge = -g-.
Тогда
х = a cos е sin kt ф- a sin е cos kt,
или
х = а sin (kt ф-е). (2.4)
Постоянные а и е (или постоянные CL и С2) определяются
заданными начальными условиями — начальным положением и
начальной скоростью движущейся точки.
Таким образом, под действием восстанавливающей силы мате-
риальная точка совершает движение по синусоидальному закону,
т. е. гармоническое колебательное движение. Такие колебания
называются свободными колебаниями.
Из уравнения (2.4) видно, что наибольшее отклонение мате-
риальной точки от положения равновесия (амплитуда колебаний)
равно а.
Аргумент (/г^ф-е) называется фазой колебаний, а величина
е — начальной фазой.
Величина k называется угловой частотой колебаний и опреде-
ляет число колебаний, совершаемых точкой за 2л секунд. В даль-
нейшем величину k для краткости будем называть просто часто-
той. Частота колебаний k не зависит от начальных условий и
определяется только параметрами системы (величинами с и т).
По этому признаку частоту свободных колебаний называют также
собственной частотой.
Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний вос-
пользуемся начальными условиями, которые должны быть заданы
(в противном случае колебательный процесс не полностью опре-
делен). Пусть в начальный момент i = 0 известны начальное поло-
жение материальной точки х = х0 и начальная скорость х = х0.
“S 2.2]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
39
Тогда, подставив в уравнение движения (2.4) и в выражение для
скорости
х = ak cos (kt + е) (2.5)
t — Q, х = х0 и х = х0, получим для определения а и е два урав-
нения:
x0 = asine, x0 = afecos8.
Отсюда находим
а=Ух1 + ^-, tge = -^* *) (2.6)
и поэтому закон движения точки определяется следующим урав-
нением:
х= j/"xg + ^"-sin^Z + arctg^. (2.7)
График свободных колебаний материальной точки представлен
на рис. 2.2; здесь отмечены начальное отклонение х0, амплитуда
колебаний а, а также промежуток времени Т, в течение которого
происходит одно полное колебание. Этот наименьший промежуток
времени, по истечении которого движение точки полностью повто-
ряется, называется периодом колебаний. Зависимость между перио-
дом колебаний и частотой определится из условия периодичности
движения:
k (t 4-Т) 4- 8 = kt 4- 8 + 2л,
Т = 2л]/-^. (2.8) Рис. 2.2.
Таким образом, период колебаний, так же как и частота, не
зависит от начальных условий. Это свойство колебаний называется
изохронностью. Как видно из (2.8), период и частота колебаний
определяются величиной колеблющейся массы т и коэффициентом
пропорциональности с, причем с увеличением массы и уменьшением
Коэффициента с период колебаний увеличивается.
*
•^0 л л - «ГС Х0 л «П
> о 0 е -X-, а при -А < 0
хи 2 ’ н х0 2
£сли х0<0, то при -£->0 я е -Д а при — <0
*о 2 г х0 2
40
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ. 1Г
Задача 2.1. Груз массы т подвешен на пружине, массой которой можно-
пренебречь (рис. 2.3). На колеблющийся груз действуют две силы: сила
тяжести mg и сила упругости F, создаваемая пружиной. Составить дифферен-
циальное уравнение движения.
Отметим на рис. 2.3 три положения: Ot— положение нижнего конца пру-
жины в ее недеформированном состоянии (/0 — длина пружины в недеформиро-
ванном состоянии), О —положение равновесия груза, висящего на пружине,
М — текущее положение груза при его движении. Обозначим расстояние ОгО
через 6СТ (статическая деформация пружины) и направим ось х вертикально
вниз, выбрав начало отсчета в положении равновесия груза (точка О).
По закону Гука при относительно небольших перемещениях модуль силы
упругости пропорционален деформации пружины. В нашем случае деформация
пружины равна |6ст4-х|, поэтому F = с | ост + х |, где с—коэффициент пропор-
циональности, называемый коэффициентом жесткости пружины. Очевидно, что
коэффициент жесткости численно равен силе, которую нужно приложить к концу
пружины, чтобы
деформировать ее на единицу длины. Проекция силы F на
ось х равна — с (бст + %). Дифференциальное уравнение дви-
жения груза имеет вид
mx = mg —с (6СТ х).
Если груз находится в равновесии, то сила тяжести mg
уравновешивается силой упругости, которая в положении
равновесия равна сбст (так как в этом случае х=0). Следо-
вательно,
mg = cb„. (2.9).
Принимая это во внимание, приведем дифференциальное
уравнение движения груза к виду
или
тх = — сх,
"х где
Рис. 2.3.
Полученное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением (2.2).
Поэтому груз, подвешенный к пружине, совершает гармонические колебания
с частотой k-
Если начало координат взять в точке или в верхнем неподвижном
конце А пружины, то дифференциальное уравнение движения усложнится. Так,
если начало координат выбрано в точке (Д, то Fx =—сх и уравнение движения
груза примет вид
mX = mg—cx,
или
xA-k'2X = g.
Если начало координат выбрать в неподвижном конце А пружины, то
Fx = c(x—10), где 10 — длина пружины в недеформированном состоянии, Диф-
ференциальное уравнение движения груза
mx = mg—с (х —10)
после упрощения приводится к форме
x + k4=g+k40.
Таким образом, рациональным выбором начала отсчета можно упростить форму
дифференциального уравнения движения и, следовательно, его решение,
$ 2.2]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
41
Задача 2.2. На понтон (рис. 2.1, б) действует его вес G и архимедова
выталкивающая сила F. Исследовать вертикальную качку понтона.
В состоянии равновесия вес понтона О уравновешивается архимедовой
силой F. Если это состояние по какой-либо причине нарушается и понтон
дополнительно погрузится в воду, то согласно закону Архимеда выталкива-
ющая сила возрастет, т. е. получит приращение, направленное вверх. Понятно,
что при любых отклонениях понтона от положения равновесия приращение
силы F будет направлено против отклонения. Если понтон прямостенный (в пер-
вом приближении это можно принять), то приращение архимедовой силы про-
порционально отклонению х и определяется соотношением
AF = — ySxi,
где у — удельный вес воды, S — площадь, ограниченная ватерлинией (площадь
сечения понтона горизонтальной плоскостью на уровне поверхности воды).
Действительно, произведение Sx определяет дополнительно вытесненный объем
воды, так что произведение ySx равно «потере веса» по закону Архимеда, т. е.
приращению модуля силы F.
Допустим, что после нарушения состояния равновесия понтон будет предо-
ставлен самому себе. В любой момент последующего движения на понтон дей-
ствуют две силы: сила тяжести G = /ng (направленная вниз) и архимедова сила
F + AF (направленная вверх). Дифференциальное уравнение движения в проек-
ции на ось х имеет вид
тХ= mg—F—ySx.
Учитывая, что tng — F, найдем
mx-|-ySx=0,
т. е.
Полученное дифференциальное уравнение совпадает с подробно исследо-
ванным уравнением (2.2). Поэтому, независимо от начальных условий, можно
сразу найти период (2.8) вертикальной качки понтона:
Пусть, например, площадь ватерлинии понтона равна 20 л2 и его вес
/ 30 \
составляет 30 Т. Тогда находим fy=l T/xfi, m=g~g -сек2/*) Т = 2-3,14Х
п / 30 000 о л_
Х У 9,8 • 1000 • 20 ~ 2,45 сек"
Приведенное решение грубо приближенное, так как выталкивающая сила
определялась по закону Архимеда, справедливому лишь для условий покоя.
В данном случае следовало бы рассмотреть более сложные явления гидродина-
мического характера, связанные с движением воды при качке. Как показывают
более подробные исследования, эти дополнительные обстоятельства можно учесть,
условно добавляя некоторую массу воды («присоединенную массу») к массе
понтона.
В заключение рассмотрим еще одну задачу.
Задача 2.3. Для определения коэффициента сухого трения может быть
использована установка, изображенная на рис. 2.4. Она состоит из двух валов,
вращающихся с одинаковыми угловыми скоростями в разные стороны, на кото-
рые кладется пластина. При совпадении центра тяжести пластины С с середи-
ной расстояния между осями (точкой О) пластина находится в равновесии под
42
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ. 1Г
действием равных и противоположно направленных сил трения FA и Ffl,
Исследовать движение пластины, если в начальный момент ее равновесие было
нарушено.
Если каким-либо способом нарушить состояние равновесия пластины, то
она придет в движение в горизонтальной плоскости. Вследствие смещения
центра тяжести С давления на диски окажутся неодинаковыми. Соответственно
нарушится равенство сил трения, причем
Рис. 2.4.
равнодействующая сил трения ока-
жется направленной к точке О,
т. е. в сторону положения равнове-
сия, и будет восстанавливающей
силой. Благодаря действию этой
силы возникает процесс свободных
колебаний, период которых зарисит
от свойств трения между пласти-
ной и валами. Это позволяет по
опытным значениям периода коле-
баний определить коэффициент тре-
ния f.
Для вывода соответствующей
формулы составим дифференциаль-
ное уравнение горизонтальных ко-
лебаний пластины. Вдоль оси х действуют сила трения, приложенная в точ-
ке А, равная fNA и направленная вправо, и сила трения, приложенная
в точке В, равная fNB и направленная влево. Если центр тяжести пластины
смещен от положения равновесия на величину х, то
Na = L2T^ NB = iirQ’
где Q — вес пластины, 21— расстояние между осями валов *).
Дифференциальное уравнение движения пластины имеет вид
.. 1 — х _ , 1-\-х _
Положив fgll — k2, получим
£'+&гх = 0;
отсюда сразу следует, что период колебаний равен
Т = 2л ~\f
Г fg
Разрешая последнее уравнение относительно /, получим окончательную формулу
4л^
gT*
Определив из опыта период колебаний Т и зная расстояние между осями колес
2/, найдем отсюда коэффициент трения скольжения.
*) Здесь мы, в сущности, использовали уравнение статики. Уравновешен-
ность сил, направленных перпендикулярно к оси Ох, следует из того, что
ускорение пластины в этом направлении равно нулю.
§ 2 3]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ
43
§ 2.3. Свободные колебания при линейно-вязком сопротивлении
Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под
действием линейной восстанавливающей силы и линейной силы
сопротивления. Совместим начало координат с положением равно-
весия точки. Проекция восстанавливаю-
щей силы F на ось х равна — сх. Так О R F и
как сила сопротивления R всегда на- *
правлена в сторону, противоположную
направлению скорости точки, то проек- Рис. 2.5.
ция силы сопротивления на ось х рав-
на — Ьх, где b — коэффициент пропорциональности, характеризую-
щий сопротивление среды (рис. 2.5).
Таким образом, дифференциальное уравнение движения точки
запишется следующим образом:
тх = — сх — Ьх. (2.10)
Вводя обозначения c/m = k2, blm=2h, получим
х 2hx + k2x = 0. (2.11)
Это—линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое
уравнение имеет вид a2 -j-2/их + й2 = 0, и его корни равны
«! = — й + ]/й2 —й2, а2 =— h~yh2 — k2.
Характер движения точки существенно зависит от соотношения
величин h и k.
Если h<k (случай малого сопротивления), то корни харак-
теристического уравнения комплексно сопряженные. Если h^-k
{случай большого сопротивления), то корни вещественные. Рас-
смотрим подробно каждый из этих случаев.
1. Случай малого сопротивления Корни характеристи-
ческого уравнения будут
= — h + i У k2 — /г2, <х2 = — h — г У k2 — h2.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
х = е~ы (Сх sin k*t^ С2 cos k*t), (2.12)
где k* — Ук2 — h2, Cj и C2 — постоянные интегрирования.
Для большей наглядности введем новые постоянные а, е при
помощи формул
У —a cose, C2 = asine.
Тогда получим
x = ae’wsin (2.13)
44
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ 1Г
Из этого уравнения видно, что х->0 при /->оо (так как е~ы->0)^
т. е. движение является затухающим. Это затухающее движение
носит колебательный характер, так как, приближаясь (при /->оо)
к состоянию равновесия, система будет проходить через это
состояние бесконечное число раз в моменты времени, равные
4 _ пл —е
Г" — k* ’
где п = 1, 2, ... (рис. 2.6).
Движение, описываемое формулой (2.13), не является периоди-
ческим, так как с течением времени последовательные максималь-
ные отклонения точки от положения равновесия уменьшаются.
Важно, что максимальные отклонения точки от положения равно-
весия хотя и уменьшаются с течением времени, но промежуток
времени между двумя любыми последующими отклонениями
(например, в сторону положительного направления оси х) есть
постоянная величина, равная 2n/k*. Эту величину условно назы-
вают периодом затухающих колебаний.
Рассмотрим подробнее график движения (см. рис. 2.6). На
этом рисунке кривые х = аегы и х= — ае~ы являются границами
области, внутри которой располагается график движения.
Вычислим моменты времени, соответствующие максимальным
отклонениям точки от положения равновесия. С этой целью най-
дем скорость точки
х = — hae~ht sin -\-ak*e~ht cos (fe^-f-e) (2.14)
и приравняем ее нулю. Будем иметь
А*
tgr/+8)=v
§ 2.3] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ 45
Отсюда следует, что если t’ (наименьший корень полученного
уравнения) соответствует первому максимальному отклонению
в положительном направлении оси х, то последующие максималь-
ные отклонения в положительном направлении оси х будут дости-
гаться в следующие моменты времени:
где п = 1, 2, .... а
/у, * * 2 л 2л
~k* “ Уд2-д2’
Из этой формулы видно, что при вязком трении период зату-
хающих колебаний больше периода незатухающих колебаний,
равного 2л/6.. Максимальные отклонения а0, alt соответст-
вующие моментам времени
t', t' + T*, t' + 2T*, ..., t' + nT*,
равны
Од =ae~ht' sin (k*f -фе), at = ae-h,-t’+T>'> sin (k*t’ -pe), ...,
an = ae~hV'+nT*'1 sin (k*f -f-e),
при этом учтено, что
sin [ft* (f+ mT*)4-8] =
= sin [k* (t’ + m^ + ej = sin (k*f 4-8 + 2лт) = sin (k*t' 4-e),
где m = 1, 2, 3, ...
Из формул для tz0, alt ... видно, что отношение последующего
максимального отклонения вдоль положительного направления
оси х к предыдущему постоянно и равно
n=-^- = e-ftr. (2.16)
°zn-l
Таким образом, амплитуды затухающих колебаний при вязком
сопротивлении убывают в геометрической прогрессии. Величина
т] (знаменатель геометрической прогрессии) называется декремен-
том колебаний (или фактором затуханий), а модуль натурального
логарифма этой величины
А = йТ (2.17)
называется логарифмическим декрементом колебаний *).
-Hl ут*
*) Иногда вводят г) = е 2 и Л=—g- > т . е. сопоставляют два последова-
тельных наибольших по модулю отклонения в разные стороны.
46 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. И
Заметим, что если t-=t" является положительным корнем уравнения
sin 1> то моменты времени, в которые график движения касается
кривой ae~ht, будут:
t", t’ + T*, t" + 2Т*, ...
Декремент колебаний можно определить как отношение отклонения при
t—t"^-nT* к отклонению при — 1) Т*.
Для определения постоянных интегрирования используем
начальные условия: х = х0, х = х0 при / = 0.
Подставляя эти условия в уравнения (2.13) и (2.14), получим
уравнения для определения постоянных а и е:
x0 = £sine, хп = — ha sin 8 Д-ak* cos 8,
откуда
„ , l/"v2 I (Xo + ^Xo)2 о _ k*X0
o+ ........’ tg8-17+7«0 •
2. Граничный случай (й = й). Корни характеристического
уравнения в этом случае будут вещественными и кратными:
<хх = а2 = — h,
и, следовательно, общее решение уравнения движения (2.11) имеет
вид
х = е-«(С1 + С20, (2.18)
где Сх и С2 — постоянные интегрирования. Принимая во внима-
ние, что
х = — he~ht (Сх 4- C2Z) + C2erht,
получим при начальных условиях: х = х0, х = х0 при / = 0 сле-
дующие уравнения для определения постоянных интегрирования
Сх и С2:
%0 — Cj, х0 = hC2-\-C2.
Отсюда
Сх = х0, С3 = х0+hx0.
Таким образом, для заданных начальных условий уравнение
движения точки запишется в виде
х = е ы [х0 + (х0 + /гх0) /]. (2.19)
Из этой зависимости следует, что в рассматриваемом случае
движение точки уже не носит колебательного характера, но оста-
ется затухающим движением, так как х—>• 0 при /~>оо*).
*) При t -> оэ множитель стремится к нулю, а множитель, стоящий
в квадратных скобках, стремится к бесконечности. Раскрывая неопределенность
(например, по правилу Лопиталя), найдем, что х -» 0 при t -> оэ.
§ 2.3]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ
47
Такое движение называется апериодическим.
Для построения графиков этого движения найдем момент вре-
мени, соответствующий максимальному отклонению точки от поло-
жения равновесия, и момент времени прохождения точки через
положение равновесия. ггч
Приравнивая производную по времени
от х нулю:
-h[xQ + (xo + hxo)t] + xo + hxo = 0, ° I
О
имеем -Н ЭН , t
f
э h (%о И-
Из условия х = 0 получим
1 *0 ~)- >1Хо
Для х0>0, *о>О имеем t3>0,
/]<0 и график движения имеет вид, по- °
казанный на рис. 2.7, а.
Если х0 > 0, то при х0 -С 0 и | х01 < hx0
будет /э<0, ^<0, т. е. экстремальных Рис. 2.7.
точек нет и график движения имеет вид,
показанный на рис. 2.7, б; при хо<0 и | .r0 | > hx0 получаем, что
;э>0, t1>0- Это значит, что точка, получив начальную скорость,
пройдет в дальнейшем движении положение равновесия (при t-t^
и при t — t3 достигнет положения, соответствующего максималь-
ному отклонению точки от положения равновесия. Далее точка
будет асимптотически приближаться к положению равновесия.
График движения для этого случая показан на рис. 2.7, в.
Отметим, что при х0<0 характер графиков не изменится.
3. Случай большого сопротивления (h > k). В этом случае корни характе-
ристического уравнения
^ = — ^ + //12 — ^2, а2 = — h — / /С-/О
являются действительными и отрицательными. Общее решение уравнения дви-
жения (2.11) имеет вид
х=С1е^‘+ Сгеа^. (2.20)
Так как
х = afije0,11 + а2С2еа2‘,
то при начальных условиях: х = х0, Л = х0 при t = 0 уравнения для определения
постоянных интегрирования будут
Xq = Ci 4~ cciCi 4~ ocgCg.
Найдя отсюда
„ а2Хо— х0 х0 — ajXo
С1 =-------- И G о =-----------
«2 — «1 а2 —«1
48 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. II
и годставив эти Cj и С2 в выражение (2.20), получим
у_а2Хо—catt . *о—ai*o eatt (2.21)
а2 —он ~ а2 —ccj ' ' ’
Это уравнение описывает апериодическое затухающее движение (х->0при
t -> со, так как и а2 отрицательны).
Продифференцировав выражение (2.21) по времени и приравняв получен-
ный результат нулю, получим значение t = t3, соответствующее максимальному
отклонению точки от положения равновесия:
t 1 1п “з (А> —«рсо)
9 «! — а2 (хо —ОЗД,) ‘
Принимая во внимание, что о^а^й2 и а2 — а2 = —2 Уh2 — k2, это выражение
можно переписать в виде
t = 1 in Г1 + 2K'^fe2|a2|x0-
3 ЧУ h2-k2 L ^(xo+|a2|x0)
Счевидно, что t3 будет больше нуля для тех значений х0 и ха, для которых
_________>0.
^0 + I a2 I х0
Момент времени flt в который координата х, определяемая формулой (2.21),
обращается в нуль, найдем по формуле
= —!----in xo~aix°. = *------In Г1 - _
dj — a2 х0 — a2xo 2 Уh2 — k2 [_ *o +1 a2 I xo J
Отсюда следует, что будет больше нуля при
. , । <0.
+ I a2 I х0
Виды графиков 'движения для рассматриваемого случая (h>k) представ-
лены соответственно
для х0 > 0, х0 > 0 на рис. 2.7, а;
для ха > 0, х0 sg 0, но I х0 I 0, х0 < 0, но | х0 j > | a21 хо на рис. 2.7, в.
Задача 2.4. При наблюдении колебаний груза весом 3 кГ по виброграмме *)
было установлено, что «огибающая» графика затухающих колебаний имеет вид
графика показательной функции (экспоненты), причем за один период ампли-
туда колебаний уменьшается вдвое. По той же виброграмме определено, что
период колебаний равен 0,3 сек. Определить коэффициент жесткости пружины
я коэффициент h силы вязкого сопротивления.
Для решения задачи используем следующие соотношения:
Т* = am-i _chT* k —
s yk^h2' am ’ V « '
Подставив в эти формулы числовые данные, получим
= 0.3. =
yk2~h2 V 3
*) Виброграммой (или осциллограммой) называется полученный в экспе-
рименте график колебаний.
§ 2.3] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ 49
Решая эти уравнения относительно с, h и k, находим
/1 = 2,31 сек-1, & = 21,1 сек-1, с =1,36 к.Г!см.
Задача 2.5. Пользуясь данными предыдущей задачи, определить, во сколько
раз следует уменьшить массу груза, чтобы свободное движение системы стало
апериодическим,
г-, , . т ,
Пусть — новая масса, тогда, вводя обозначение л=— , будем иметь
__________________________ _ т1
, b Ьк -и Г с ~i ск
hi — л— = я— и *1 = I/ — =1/ — •
1 2nti 2т У mi Ут
Условия задачи будут удовлетворены, если hi = ki< т. е.
^- = 1/'— или hk = kyrk.
2т Ут’
Используя данные предыдущей задачи, получим, что массу следует умень-
шить в
. /й\2 /21,1\2
раза'
Задача 2.6. Материальная точка совершает затухающие колебания под
действием линейной восстанавливающей силы и силы сопротивления, пропор-
. „ , b
циональнои первой степени скорости, причем постоянная /г = ^— составляет
одну десятую от частоты k незатухающих колебаний (/г/Jfc = 0,1). Определить
разность между периодами затухающих Т* и незатухающих Т колебаний, а
также во сколько раз уменьшится амплитуда затухающих колебаний через во-
семь полных колебаний.
Составим отношение периодов колебаний
2л !
Т* Vk2 — h2 _ ! hi\~'2
Т~ 2л ~V к2)
k,
Так как по условию задачи число h/k мало, то, пользуясь хорошо извест-
ной приближенной формулой (1 -|-х)а як 1 -|-ах, справедливой при малых зна-
чениях | х | и любых а, получим с достаточно хорошей точностью
Т ~ 1 + 2 k2 ’
Отсюда
Т*-Т _ 1 /г2
Т ~ 2 k2'
Следовательно, период затухающих колебаний Т* превышает период неза-
тухающих колебаний Т всего на 0,005 = 0,5% (по условию задача Л/£ = 0,1).
Рассмотрим теперь ряд последовательных амплитуд затухающих колебаний:
По, Qi, ... , ап. Так как эти амплитуды убывают по закону геометрической про-
грессии, то
а„ = аог]л,
где г] —декремент колебаний, определяемый формулой (2.16). Отсюда
°о =ghT’n
ап
50
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ И
Заменив период затухающих колебаний Т* на его приближенное значение
Т = 2я/й, получим
2лЛл
а°
— = е R ,
«а
Внеся сюда /1 = 8 и йД = 0,1, найдем
Таким образом, при относительно небольшом значении сил сопротивления
(Л/fe = 0,1) период затухающих колебаний мало отличается от периода незату-
хающих колебаний, но колебания гасятся весьма интенсивно — через восемь
колебаний амплитуда уменьшается в 152 раза, т. е. колебания практически
прекращаются.
§ 2.4. Свободные колебания при трении скольжения
Для простоты рассуждений рассмотрим движение прикрепленного к пру-
жине тела весом mg по шероховатой горизонтальной плоскости. Совместим
начало координат с точкой, соответствую-
щей положению тела при недеформиро-
ванном состоянии пружины (рис. 2.8).
, Дифференциальное уравнение движе-
X ния тела имеет вид
tnx = Fx + Тх>
рис 2 8 где = — сх— проекция на ось х силы,
действующей на точку со стороны пру-
жины (с — коэффициент жесткости пру-
жины), 7\-— Проекция на ось х силы сухого трения. Сила сухого трения
направлена в сторону, противоположную направлению скорости тела, и по
модулю равна fN — fmg, где / — коэффициент трения.
Таким образом, окончательно дифференциальное уравнение движения тела
распадается на два знакомых нам линейных уравнения:
тх =— cx-\-fmg (х<0),
тх = — сх—fmg (х > 0),
или
(х<0),
i' + ^x = — fg
(х > 0),
(2.22)
(2.23)

где по-прежнему к2 = с!т.
Допустим, что груз смещен от исходного положения вправо на расстояние
Хо — ао и затем свободно, без начальной скорости, отпущен. Тогда движение
начнется при следующих условиях:
х = п0>0, х = 0 при Z = 0.
Предполагается, что в указанном смещенном положении восстанавливающая
сила больше силы трения, т. е. ca0>fmg, или a0>fg/k'i. При нарушении
этого условия 'движение не начнется. Для интегрирования уравнения (2.22)
введем новую переменную
Тогда
Ё+^ = 0.
§2 4]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ТРЕНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ
51
Общее решение этого уравнения имеет вид
£ = а sin (ki -f- е),
т. е.
х = а sin (« + 0 + ^-,
(2.24)
где а и 8 — постоянные интегрирования. Для их определения воспользуемся
приведенными начальными условиями, тогда получим
fg л
« = е=т.
Следовательно, груз будет двигаться по закону:
х—(ао—^-^cos£Z + ^|. (2.25)
Однако это справедливо лишь до тех пор, пока скорость
х = — (а0——\ksmkt (2.26)
остается отрицательной, т. е. до момента ti = n/k.
При этом значение х, соответствующее крайнему левому положению, равно
_fg (a'_fg\_ (а 2fg\
Амплитуда Oi = —Xx первого отклонения влево определяется равенством
Я1 — а0 —
Vg
№ ‘
В рассмотренном интервале времени тело совершит половину колебательного
цикла относительно среднего положения fg/k^-
Дальнейшее (обратное) движение возможно, если
Допустим, что это условие соблюдается; тогда начнется движение вправо при
новых начальных условиях
x = xt = —at, х = 0 при / = 0.
Дифференциальное уравнение движения на этом участке имеет вид
х+*2х=-&. (2.27)
Решение дифференциального уравнения (2.27) при указанных начальных
условиях запишется следующим образом:
х = COsW-||,
* = fai — sin kt (x>0).
\ /
(2.28)
В конце второго участка движения х = 0, откуда следует, что промежуток
времени, в течение которого происходит движение во втором этапе, равен
t2—n!k, т. е. =
52 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. 1Г
Подставляя значение t = t2 в уравнение (2.28), получим наибольшее откло-
нение в конце второго этапа:
а- а -У^-
аг—аг—^-.
Если при этом а2>^-, то вновь начнется движение влево. Здесь нужно снова
обратиться к дифференциальному уравнению (2.22) и решать его при следую-
щих начальных условиях:
х=а2, х = 0 при / = 0.
Понятно, что при этом вновь приходим R уравнениям (2.24) — (2.26),
в которых а0 следует заменить на а2. Легко заметить, что на каждый полу-
период максимальное отклонение тела от начала координат уменьшается на
величину, равную причем длительность каждого полупериода равна л/й.
Имея в виду сказанное, можно записать следующую последовательность
максимальных отклонений через каждый полупериод:
2fe 2fg
ai=a0--^, a2 = ai—^,
„ _n 2fs n 2fe
a3—°2—^2 , ••• > an — an-l ^2 •
Складывая почленно все равенства, найдем
2fgn
ап = аа—
Таким образом, при сухом трении последовательные амплитуды колебаний
убывают по закону арифметической прогрессии, разность которой равна 2/g/ft2;
период затухающих колебаний при сухом трении равен периоду незатухающих
колебаний 2л/й. Напомним, что при вязком трении амплитуды колебаний
убывают по геометрической прогрессии,
а период затухающих колебаний
больше периода незатухающих ко-
лебаний.
Колебания будут происходить
до тех пор, пока сила упругости сап
в одном из крайних положений не
сделается меньше силы трения fmg:
сап <fmg,
или
a <fS-
Пользуясь выражением для ап,
получим
аа = хо < (2л + 1) .
Это неравенство может служить . для определения числа полуколебаний до
остановки груза, или начального отклонения х0 по известному числу полуко-
лебаний п.
На рис. 2.9 построен график колебаний. Параллельно оси времени про-
ведены две прямые: x—fgjk2 = b и х = — fg!№ = —Ь. Около верхней прямой
располагаются косинусоиды, соответствующие движению влево (нечетные полу-
периоды), а около нижней прямой— косинусоиды, соответствующие движению
§ 2.5]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
53
вправо (четные полупериоды). Если какой-либо полупериод заканчивается
в полосе, расположенной между двумя прямыми, то движение прекращается;
эта полоса называется зоной застоя. «Огибающие» графика движения имеют
вид наклонных прямых.
Задача 2.7. В системе, изображенной на рис. 2.8, коэффициент жесткости
пружины с = 2 кГ!см, вес груза 3 кГ и коэффициент сухого трения /=0,1.
Какому условию должно удовлетворять начальное отклонение х0 груза, чтобы
до полной остановки он совершил не более 10 полных колебаний?
По условию задачи должно выполняться неравенство
х0< (2л+ 1)
где п—число полупериодов. Подставляя сюда п = 20,
с 9
*2 = 981 = 654 сек~2,
т 3
получаем
41/g 41.0,1-981 £
=------654----= 6’15 СМ-
§ 2.5. Вынужденные колебания
Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под
действием восстанавливающей силы и внешней возмущающей силы.
Возмущающая сила может быть произвольной функцией времени,
однако мы ограничимся простейшим, но практически весьма важ-
ным случаем, когда сила изменяется по гармоническому закону.
Пусть проекция возмущающей силы на'ось х равна /fsin(p/ + 6),
где Я —амплитуда и р — частота возмущающей силы, б —началь-
ная фаза. Тогда дифференциальное уравнение движения матери-
альной точки вдоль оси х имеет вид
тх — — сх-\-Н sin (р/4-б),
или
x-)-£2x = /70sin (р(ф-б), (2.29)
где
Решив дифференциальное уравнение (2.29), мы определим закол
движения материальной точки. Общее решение неоднородного
линейного дифференциального уравнения (2.29) равно сумме реше-
ний: частного решения уравнения (2.29) и общего решения одно-
родного уравнения
х + k2x — 0.
Общее решение последнего уравнения мы уже знаем!
Xl — a sin (kt + e),
54 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. II
где а и е — постоянные интегрирования. Если p=£k, то частное
решение уравнения (2.29) будем искать в виде
ха = Л* sin (р/ + б),
где А* — неизвестная постоянная. Для ее определения подставим
выражения х2 и х2 =— А*р2 sin (pt-\-ty в уравнение (2.29):
— А*р2 sin (р(-)-б) + А*£2 sin (pt + б) = Но sin (pt 4-6),
или
А * (k2 — р2) sin (pt + б) = Но sin (pt + б).
Для тождественного выполнения этого равенства должно быть
д *
№ — рг’
Частное решение имеет вид
x2 = ^-2sin(^ + 6). (2.30)
Следовательно, общее решение уравнения (2.29) запишется
в форме
x = asin (fe^ + e)+fe2^°^sin (p/-j-6). (2.31)
Постоянные а и е зависят от начальных условий. Таким обра-
зом, искомое движение материальной точки является суммой гар-
монических колебаний, происходящих с собственной частотой k,
и гармонических колебаний, происходящих с частотой возмущаю-
щей силы р. Подробно исследуем второе слагаемое в (2.31), опи-
сывающее чисто вынужденные колебания и не зависящее от началь-
ных условий.
Амплитуда чисто вынужденных колебаний равна
А - |,Д°- г (2.32)
I — рг I '
Перепишем решение (2.30), используя формулу (2.32):
х2 — A sin (п^Ц-б) (k>p),
х2 = — A sin (pt + б) = A sin (pt + б — л) (k < р).
Из полученных соотношений следует, что при р</г фаза
вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы;
при р>& вынужденные колебания сдвинуты по фазе от возму-
щающей силы на л.
Проследим зависимость амплитуды вынужденных колебаний
от отношения частот p/k. Для этого преобразуем выражение
. амплитуды вынужденных колебаний
§ 2.5]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
55
где хСт = Н/с — величина статического отклонения точки от поло-
жения равновесия при действии силы,
значению возмущающей силы. Обозна-
чим
Величина ц представляет собой коэф-
фициент динамичности', он показывает,
во сколько раз амплитуда колебаний
превосходит статическое отклонение.
Из графика (рис. 2.10) видно, что при
р/£->1 коэффициент динамичности рез-
равной максимальному
ко возрастет.
Вернемся теперь к общему решению (2.31). Записав его в виде
х = Сг cos kt-(-C2 sin kt+ sin (pt + 6), (2.34)
определим постоянные интегрирования, если х = х0, х = х0 при
t = 0.
Подставив начальные условия в уравнение (2.34) и в выра-
жение для скорости движения
х = — kCx sin kt + kC2 cos kt + cos (pt + 6),
К Рй
получим
С1 = *о-Д^пб, C2 = ^-f^cos6.
Подставляя Сх и С2 в соотношение (2.34), будем иметь
х = х0 cos kt ф-у sin kt —
~ sin ftcos kt+ cos 8 sin kt) + ^-5sin (pi4-6). (2.35)
К -p \ rC ] К p
Такая запись решения позволяет установить, что даже при
нулевых начальных условиях (.го = О, Д, = 0) точка будет совер-
шать колебания, происходящие с собственной частотой; они опре-
деляются членом —Нп (k2 — р2)1 [sin б cos kt Ц-у cos б sin kt'j, при-
чем амплитуда этих колебаний не зависит от начальных условий.
При частоте р, близкой к собственной частоте k, благодаря
сложению двух колебаний близкой частоты, одинаковой ампли-
туды и противоположных по фазе, наступает своеобразное явле-
ние, называемое биением.
56 прямолинейные колебания МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ и
Пусть p/kt^X, тогда выражение (2.35) при хо = О и хо = 0
примет вид (приближенно полагаем р/6=1, но ft2 — р2#=0)
х = tsin (pt + б> - sin + б)ь
ИЛИ '
х = 2^5 sin ^-t cos (р/ + 6). (2.36)
График этого движения представлен на рис. 2.11.
Показанные здесь биения представляют собой колебания, про-
исходящие с частотой р возмущающей силы, причем амплитуда
этих колебаний медленно меняется, следуя также периодическому
закону.
Рис. 2.11.
Рассмотрим теперь случай, когда собственная частота совпа-
дает с частотой возмущающей силы, т. е. p = k. Частное реше-
ние уравнения (2.29) в этом случае нужно искать в виде
x2 — At sin (pt + y). (2.37)
Подставив выражение (2.37) в дифференциальное уравнение
(2.29), получим
2Ар cos (pt + у) — Но sin (pt + 6).
Введя обозначение ф = р^ + у, перепишем это соотношение
в виде
2Ар cos q> = Но sin q> cos (б — у) + 7/0 cos ф sin (б —у).
Это равенство будет тождественно удовлетворено, если
Но cos (б — у) = 0, Hosin (б — у) — 2Ар.
Отсюда
Л ~ 2р ’ Y 0 2
и, следовательно,
х2 sin (pf + 6~y) =- cos (р/ + б).
§ 25]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
5Г
Общее решение имеет вид
х = a sin (pt + е) — ~ cos (pt + б).
При начальных условиях х = х0, х = х0 имеем*)
х = х0 cos pt-\-~- sin pt +Да[cos 6 sin pt — pt cos (pt + 6)]. (2.38)
На рис. 2.12 показан график функции х2. Как видно, при
k = p происходит неограниченное возрастание амплитуды колеба-
ний, причем рост амплитуды линеен q __
во времени. Это явление носит назва- 1*
ние резонанса.
Задача 2.8. Груз М веса Р прикреплен к нижнему концу В вертикально-
расположенной пружины, жесткость которой равна с, а длина в ненапряжен-
ном состоянии 10. Верхний конец пружины А перемещают по закону a sin pt
в вертикальном направлении (рис. 2.13).
Определить вынужденные колебания груза М, приняв /* = 0,4 кГ, с —
= 0,04 кГ/см, /о=30 см, р — 7 сек-1, а = 2 см. Выберем начало координат
в точке О и проведем ось х вертикально вниз. Если 10 — длина пружины
в ненапряженном состоянии, то удлинение пружины равно х — a sin pt—10 и,
следовательно, сила, действующая на груз со стороны пружины, равна
Fx = —с (х — a sin pt — /0).
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
или
£4-£2x=g4-/70 sin Р^ + ^,
где
Я Р » ло р •
Введем новую переменную z согласно равенству
_________________ г = х-(Р/с + 10У,
*) Это решение можно получить из (2 35), раскрывая неопределенность,
которая возникает при p-t-k.
58 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ II
тогда дифференциальное уравнение движения преобразуется к следующей
форме:
= sin pt.
Введение новой переменной г равносильно переносу начала координат
в положение равновесия груза. Вынужденные колебания груза определяются
формулой (2.30):
Подставляя сюда числовые значения параметров, получим
г==4 sin It см.
Так как x=z-j-Р/с-[-1, то
х==(4 sin 7/4-40) см.
В этом случае амплитуда колебаний груза (4 см) вдвое больше амплитуды
колебаний точки подвеса пружины. Заметим, что груз колеблется около сред-
него положения, удаленного от верхнего конца пружины на 40 см; этому по-
ложению соответствует состояние равновесия груза.
§ 2.6. Вынужденные колебания
при наличии вязкого сопротивления
Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси х под
действием линейной восстанавливающей силы, вязкой силы сопро-
тивления и возмущающей силы, проекция которой на ось х равна
/7 sin (р/-(-б).
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
тх =— cx — bx + H sin (pt-]- б).
Положив c/m = k2, bltn = 2h, = получим
x-|-2/ix + fe2x = /yosin (р( + б). (2.39)
Решение дифференциального уравнения (2.39) складывается из
двух решений: общего решения соответствующего однородного
уравнения и частного решения х2 уравнения (2.39).
Как показано в § 2.3, при k>h решение однородного урав-
нения записывается в виде
х1 = е ht (Сх sin k*t + С2 cos k*t),
где Clt С2 — постоянные интегрирования, a fe* = prfe2 — h2.
Частное решение уравнения (2.39) будем искать в виде
х2 = А sin (pt + y), (2.40)
где А и у — неопределенные постоянные величины. Таким обра-
зом, мы предполагаем, что частное решение описывает колебания
постоянной амплитуды, происходящие с частотой возмущающей
силы.
§ 2.6] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ
5?
Т‘2 = —рМ sin(p; + y)
х2 в уравнение (2.39), получим;
Находя х2 и х2:
х2 = рА cos (pt + y),
и подставляя значения х2, х2,
— р2А sin (pt + у) + 2hpA cos (pt + у) +
+ k2A sin (pt + y) = Ho sin (pt + 6).
Положив р/4~У = Ф и воспользовавшись соотношением
sin (pt 4-6) = sin (ф + 6 — у) = sin q> cos (6 — у) -)-cos cp sin (6 — y),
для определения Л и у будем иметь следующие уравнения:
A (k2 — р2) = Но cos (6 — у), 2phA — Но sin (6 — у),
откуда
Но
(2.41)-
А —
V (^—p^p+Wp2
tg(6-y) = ^. (2-42).
Подставив найденные значения А и у в частное решение, по-
лучим
х2 = г Я|1"_ sin (pt + 6 + у'),
2 К(^2—p2)2+w2
где
у' = у — 6.
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения.
(2.39) имеет следующий вид:
х — е~м (Сг sin k*t-\-C2 cos k*t) -|-
+ sin (^ + 6 + y'). (2.43}
у (k2—p2)2 + 4/i2p2
Для определения закона движения материальной точки нужно-
найти постоянные Сх, С2. Пользуясь начальными условиями: х = х0,
х = х0 при t = 0, получим значения постоянных
ci = ^[x0 + hx0-hA sin (6 +у')-Др cos (6 +у')],
С2 = х0 — A sin (6 +у'),
где А — амплитуда вынужденных колебаний.
Подставив значения Сх и С2 в уравнение (2.43), найдем закон
движения материальной точки в рассматриваемом случае:
х = е sin k*t + %оcos k*t^ —
— e~ht -^7 [h sin (6 + y') + p cos (6 + y')] sin k*t +
+ Л sin (6 + y') cos k*t\ ф-Л sin (pt 4-6 + y')’
60
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ и
Следовательно, движение материальной точки складывается:
из свободных затухающих колебаний (первое слагаемое), обуслов-
ленных начальными условиями; из затухающих колебаний (вто-
рое слагаемое), имеющих собственную частоту, но вызванных
действием вынуждающей силы, и чисто вынужденных колебаний
(третье слагаемое). Так как первые два движения с течением вре-
мени затухают, то основным колебанием, определяющим характер
движения материальной точки, является чисто вынужденное ко-
лебание с амплитудой А и частотой р. Следует заметить, что
при наличии сопротивления вынужденные колебания сдвинуты
по фазе относительно возмущающей силы на у'.
Вводя обозначения z — p/k, $ = h/k, перепишем формулу (2.41)
в виде
А = — , 7==^ = Хет ...= (2.44)
Р- K(1-zT+W '
У \ &J k2 &
где хст = Hjk2 = Н/с представляет собой статическое перемещение,
вызываемое постоянной силой Н.
Введем в рассмотрение коэффициент динамичности
р = — = =, (2.45)
хст К(1-г2)2 + 4^
который характеризует динамический эффект, вызываемый вы-
нуждающей силой.
Исследуем зависимость коэффициента динамичности от г —
отношения частот вынуждающей силы и собственных колебаний
в среде без сопротивления, а также от коэффициента (3, харак-
теризующего сопротивление среды. Очевидно, что, найдя зависи-
мость коэффициента динамичности от г и (3, мы тем самым опре-
делим и зависимость от них амплитуды вынужденных колебаний.
Найдем экстремум функции
^ = (1-г2)2 + 4р2г2. (2.46)
Для этого приравняем нулю производную
^- = 2(1-г2) (—2г) + 8р2г = 0. (2.47)
Корнями этого уравнения будут
г1 = 0, г2 = /Г^2р, г3 = -/Т^2Г2. (2.48)
Так как г 5=0, то корень г3 должен быть отброшен. Найдем вто-
рую производную от у
2 = 12г2-4(1-2р2).
§2 6] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ 61
Для гх = 0 при 1— 2р2<0, т. е. при р>|/'2/2,
g = 4(2P2-l)>0
и, следовательно, функция у имеет минимум, а коэффициент ди-
намичности р —максимум. Других действительных корней при
этих значениях р уравнение (2.47) не имеет.
Если р<^г, то для Zj = 0 ^<0- Это значит, что р при
этом имеет минимум. Для корня же г2 = ]/1 — 2р2
g = 8(l-2Р2) > 0,
т. е. при г=г2 коэффициент динамичности имеет максимум.
Заметим, что всегда г2 1 и, только когда р = 0 (среда без
сопротивления), г2=1. Ранее было показано, что при р = 0 и
г3=1 решение (2.40) не имеет смысла и его нужно искать в виде
(2.37).
Максимальное значение коэффициента динамичности найдем,
подставив г2 = ]/1—2р2 в формулу (2.45):
|imax =--J_____ (2.49)
г 2рК1-Р2
На рис. 2.14 показаны кривые, определяющие зависимость
коэффициента динамичности от z = plk. Каждой из кривых coot-.
ветствует определенное значение fi — h/k. Пунктирная линия про-
ходит через точки максимума.
Из рассмотрения этого рисунка следует, что амплитуда вы-
нужденных колебаний при г, достаточно большом и достаточно
малом по сравнению с г=1, очень мало зависит от сопротивле-
ния среды. При г, близких к г=1, влияние сопротивления на
амплитуду вынужденных колебаний весьма существенно.
При ?->со амплитуда вынужденных колебаний асимптотиче-
ски стремится к нулю. Это значит, что при большой частоте воз-
мущающей силы по сравнению с собственной частотой амплитуда
вынужденных колебаний весьма мала.
На рис. 2.15 представлена зависимость сдвига фазы вынуж-
денных колебаний относительно возмущающей силы в зависимо-
сти от г и р. Отметим, что при г=1 сдвиг фазы равен л/2 при
любом значении р. Резонансом при колебаниях в среде с сопро-
тивлением называют вынужденные колебания при z=l, т. е. при
p = k, что отвечает примерно максимальному значению амплитуды
вынужденных колебаний.
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
(ГЛ. II
$ 2.6] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ
63
Задача 2.9. Под двигатель В (рис. 2.16) требуется подвести фундамент.
Необходимо определить такую толщину кладки а, чтобы коэффициент дина-
мичности не превышал единицы для всех частот вынужденных колебаний,
передаваемых от двигателя фундаменту. Сопротивление грунта можно схема-
тизировать как реакцию упругих сил F и вязких сил R, вызванных внутрен-
ними силами сопротивления. Отнесенные к единице площади фундамента,
коэффициенты жесткости и вязкости соответственно равны с=2000 Т/л3 и
6 = 60 Т -сек.)аР. Плотность фундамента р = 0,25 Т сек?!м*.
Введем систему координат хОу, выбрав ее начало О в положении равно-
весия центра тяжести фундамента.
Обозначим через S площадь
основания и представим проекцию
вынуждающей силы Q на ось х в
виде QX = H sin pt. Тогда уравне-
ние движения
mw = F -f- R -f- Q + mg
в проекции на ось х дает
aSpx =— cS (х+Л0) —6Sx-f-
+aSpg+// sin pt.
Здесь мы воспользовались очевид-
ными равенствами
m=aSp, Fx = — cS(x-f-X0),
Rx^ — bSx,
где Xo — статическая осадка фунда-
мента.
Приведем уравнение движения
его на aSp и воспользуемся равенством aSpg = c).„:
, b . с Н . ,
х-4---хН-----х= —5— sin pt.
ар ар aSp
Д7
Рис. 2.16.
к нормальному виду. Для этого разделим
Сравнивая с уравнением (2.39), найдем
2ар ’
й2 = —-
ар
Следовательно, безразмерный коэффициент вязкости равен
в=А = —
k 2 К пре
Коэффициент динамичности р при всех частотах р не будет превосходить еди-
ницы, если потребовать, чтобы кривая р (г) не имела максимума при г2 =
= 1—2f}2. Следовательно, должно выполняться неравенство р >= фл2/2 или
b V2
. 2 арС 2
Отсюда получим толщину кладки а:
Ь2
а 2рс •
Подставляя в это неравенство данные числовые значения параметров, получим
3600
а 2 • 0,25 • 2000 м'
64
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ. II
§ 2.7. Электродинамические аналогии.
Понятие об исследовании колебаний материальных систем
с помощью электронных аналоговых машин
Колебательные процессы, происходящие в различных физи-
ческих системах, описываются часто одинаковыми математиче-
скими уравнениями. Это обстоятельство дает возможность уста-
новить аналогию между системами различной физической при-
роды. Наиболее полно эта аналогия установлена между механи-
ческими и электрическими системами.
Рис. 2.19.
Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы,
движение которой описывается следующим дифференциальным
уравнением:
тх 4- Ьх 4- сх = Q (t). (2.50)
Здесь х —координата, т — масса точки, b — коэффициент сопро-
тивления среды, с — коэффициент жесткости пружины, Q(t)—
возмущающая сила. Символически систему, отвечающую уравне-
нию (2.50), изображают обычно схемой, показанной на рис. 2.17.
Рассмотрим теперь электрический контур, в котором индук-
тивность L, омическое сопротивление R, конденсатор емкостью С
и внешний источник энергии э. д. с. Е (/) соединены последова-
тельно (рис. 2.18). Согласно второму закону Кирхгофа сумма
падений напряжений на отдельных участках цепи равна разно-
сти потенциалов на концах зажимов, т. е. э. д. с. источника
г di
энергии. Падение напряжения от индуктивности равно L-^~, где
i — сила тока, падение напряжения от омического сопротивления
равно Ri, а падение напряжения в конденсаторе определяется
§2 7]
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ
65
1 г-
равенством -^-q, где q — заряд конденсатора. Следовательно, по
второму закону Кирхгофа будем иметь
или, учитывая, что
1 dt ’

(2.51)
Сравнивая с уравнением (2.50), видим, что колебания меха-
нической системы с одной степенью свободы и изменение заряда
в электрической цепи описываются с точностью до обозначений
совершенно одинаковыми дифференциальными уравнениями. Сле-
довательно, между этими системами можно провести аналогию,
сопоставив заряд q с координатой х, индуктивность L с массой т,
омическое сопротивление R с коэффициентом сопротивления среды,
величину, обратную емкости , с коэффициентом жесткости с и
электродвижущую силу Е (t) с возмущающей силбй Q(t).
Для электрического контура с параллельно соединенными
элементами (рис. 2.19) на основании первого закона Кирхгофа
будем иметь (складываются токи)
w । 1 (* । /“> du • /у»
-R + г j u = 1(0 >
где « — напряжение.
' Дифференцируя по времени, получим
С , I du . I di
+ Tu ~~dE-
Здесь мы имеем другую систему аналогий, в которой коорди-
нате х соответствует напряжение и, массе т соответствует
емкость С конденсатора, коэффициенту сопротивления среды b
отвечает проводимое ь коэффициенту жесткости пружины с—
величина, обратная индуктивности у, и возмущающей силе
Q (/) — скорость изменения тока
3 Н. В. Бутенин и др.
66
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ. II
Сведем результаты в таблицу электродинамических аналогий.
Механические величины Электрические величины
1-я аналогия: сила- напряжение 2-я аналогия: сила—ток
1. Координата х Заряд q Напряжение и
2. Масса т Индуктивность L Емкость С
3. Коэффициент жесткос- ти с Обратная величина ем- кости —Q- Обратная величина индук- 1 ТИВНОСТИ -д-
4. Коэффициент сопротив- ления среды b Омическое сопротивле- ние R 1 Приводимость
5. Сила Q (/) Э. д. с. Е (t) di Скорость тока
Для того чтобы электродинамическими аналогиями можно было
пользоваться без употребления переходных коэффициентов, доста-
точно выразить все величины в международной системе единиц СИ.
Пользуясь электродинамической аналогией можно для каждой
механической системы построить соответствующую электрическую
цепь, уравнения которой будут с точностью до обозначений сов-
падать с уравнениями движения механической системы. Электри-
ческая цепь, в отличие от механической системы, компактна;
кроме того, процессы, происходящие в ней, хорошо наблюдаются
на осциллографе. Эти соображения лежат в основе конструкции
электронных аналоговых (моделирующих) машин*).
Аналоговые машины имеют набор смонтированных быстро
настраиваемых элементов индуктивностей, емкостей, сопротивле-
ний или других элементов, создающих аналогичный эффект. Сое-
диняя эти элементы в соответствующие цепи, можно определить
все параметры, характеризующие движение механической системы,
для которой собранная цепь является аналогом. В частности,
весьма просто определяются частоты собственных колебаний
системы. Для этого достаточно включить в цепь э. д. с. Ео sin at
и увеличивать частоту о> до тех пор, пока не наступит резонанс.
*) Электронные аналоговые машины выпускаются промышленностью мно-
гих стран, в том числе промышленностью СССР.
§2 7] ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ ' 67
Соответствующая частота —собственная частота системы. Эта
работа не требует высокой квалификации (сложность работы на
собранной схеме примерно та же, что и сложность настройки
радиоприемника) и может быть выполнена за сравнительно корот-
кий промежуток времени с относительно большой точностью.
С помощью электронных аналоговых машин можно решать
нелинейные задачи, когда линеаризация дифференциальных урав-
нений движения по каким-либо причинам недопустима, а также
задачи, приводящие к линейным дифференциальным уравнениям
с переменными коэффициентами. В заключение отметим, что
в современных аналоговых машинах устанавливается, как пра-
вило, не электродинамическая, а электроматематическая анало-
гия, когда математическим операциям сложения, умножения,
дифференцирования, интегрирования и т. п. отвечает соответст-
вующий электрический элемент. Такие машины более универ-
сальны.
ГЛАВА III
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§ 3.1. Теорема об изменении количества движения
материальной точки
При интегрировании дифференциальных уравнений движения
в конкретных задачах эти уравнения подвергаются различным
однотипным преобразованиям, зависящим от характера действую-
щих сил. Поэтому целесообразно проделать такие преобразова-
ния в общем виде. Общие теоремы динамики точки и представ-
ляют собой преобразования дифференциальных уравнений дви-
жения, причем в различных теоремах выделены и связаны между
собой те или иные характеристики движений. В результате по-
лучаются удобные зависимости, широко используемые для реше-
ния конкретных задач динамики.
Заметим, что в основном уравнении динамики
mw = F (3.1)
„ dv
масса материальной точки — величина постоянная и что w = ^.
Это позволяет переписать уравнение (3.1) в виде
d4(mv) = F,
откуда следует, что
d (mv) = F dt. (3.2)
Вектор Q=mv, равный произведению массы точки на ее ско-
рость, называется количеством движения материальной точки.
Произведение силы на элементарный промежуток времени ее
действия, т. е. F dt, называемся элементарным импульсом силы.
Уравнение (3.2) выражает теорему об изменении количества
движения материальной точки в дифференциальной форме:
элементарное изменение количества движения материальной
точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой
точке.
Рассмотрим теперь движение материальной точки на конеч-
ном промежутке времени. Пусть в момент t = 0 скорость точки
? 3.1]
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
69
равна v0, а в момент t равна v. Тогда, интегрируя уравнение
(3.2), можно записать
t
mv — mv0 = ^Fdt. (3.3)
о
Интеграл, входящий в правую часть этого соотношения, назы-
вается импульсом силы за промежуток времени [О, I]. Таким об-
разом,
изменение количества движения материальной точки за конеч-
ный промежуток времени равно импульсу силы, приложенной в точке,
за тот же промежуток времени.
Если воспользоваться декартовой системой координат, то бу-
дем иметь
г = xi + у j + zk, v = xi + yj + zk, F = F J + Fyj + Fzk,
где x, у, г —координаты точки, х, у, z — компоненты ее скорости,
Fx, Fy, Fz — проекции силы, a i, j, к —единичные векторы осей
координат. Тогда, проектируя векторное равенство (3.3) на оси
декартовой системы координат, получим три скалярных соотно-
шения:
/ t t
тх — mx0 — ^Fxdt, my — my0 = \)Fydt, mz — mi0 = ^Fz dt. (3.4)
ooo
Здесь, как и ранее, х, у, z — проекции скорости материальной
точки на оси координат в момент времени t, х0, у0, z0 — те же
проекции в момент / = 0, Fx, Fy, Fz — проекции силы F.
Как отмечалось в § 1.2, в общем случае F может быть функ-
цией координат точки, ее скорости и времени, т. е.
F = F (х, у, z, х, у, z, t)
и, следовательно, проекции силы также являются функциями этих
величин:
Fx = Fx(x, у, г, х, у, z, /),
Fu — Fv{x, у, г, х, у, z, 0,
Ег = Ег(х, у, г, х, у, z, t).
Поэтому для фактического вычисления интегралов, с:оящих
в правых частях уравнений (3.4), нужно знать координаты ма-
териальной точки как функции времени. Но определение х, у
и г как функций времени и ееть то, к чему мы стремимся,
решая вторую задачу динамики. Если эти функции откуда-либо
известны, то отпадает необходимость пользоваться уравнениями
(3.4). Таким образом, в общем случае теорема об изменении
количества движения новых возможностей для решения задачи
не открывает.
70
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ III
Однако, если сила является функцией только времени, инте-
гралы в правых частях уравнений (3.4) могут быть вычислены
и можно получить первые интегралы уравнений движения
тх — тх0 = Фг (t), ту — ту0 = Ф2(/), mz — т?0 = ф3 (/), (3.5)
где
t t
Ф} (t) F( dt, Ф2 (t) = ^Fydt,
о о
Ф3 (0 = $F* dt
о
•—проекции импульса силы на оси координат.
Дальнейшее интегрирование также не представляет принци-
пиальных трудностей:
t t
х-х0 = xot + J Ф1 (0 dt, y-yo=-yot + ^ J ф2 (0 dt,
О о
I
z-zo = zot + ^- у Ф3(() dt.
о
Здесь х0, у0, г0 —начальные значения координат в момент вре-
мени t = 0.
Если сила постоянна, т. е. Fx = ЛП Fy=-A2, FZ = A3 (4lt Л2, A3—посто-
янные величины), то
mx—mx0 = Ait, my — my0 = A3t, tnz — mz3 = A^
и
Д /2 Д /2 До/2
х = х0 + х0/ + -2^-, У^Уа + М + -^-, г = г0 + ^+-^~.
В частном случае при z/o = io = O, Л2 = Л3 = 0 будем иметь
тх —тх0 = Л1< (3.6)
и
х=х0-|~Х(/ -f- > (3.7)
т. е. материальная точка совершает равнопеременное прямолинейное движе-
ние вдоль оси х.
Задача 3.1. Определить промежуток времени Т, необходимый для того,
чтобы материальная точка веса Р, Движущаяся по горизонтальной прямой
под действием постоянной силы F, увеличила свою начальную скорость
в п раз. •
Примем прямую, вдоль которой движется точка, за ось х; тогда на осно-
вании (3.6) имеем
у (nv0—v0)= FT,
откуда
Т = -^-(л-1).
Fg
-§ 3 21
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА
71
§ 3.2. Теорема об изменении момента количества движения
материальной точки
Вновь вернемся к основному уравнению динамики (3.1) и
умножим его векторно слева на радиус-вектор точки г, опреде-
ляющий положение материальной точки относительно какой-либо
точки О, которую будем называть центром:
rxmw = rxF. (3.8)
Принимая во внимание, что w = преобразуем левую часть
этого уравнения следующим образом:
dv d , , dr
rxmw = rxm-^ = j (гх mv) — x mv.
TT dr
Ho — v и векторное произведение параллельных векторов
vxmv равно нулю. Поэтому rxmw = -j (rxmv) и уравнение
(3.8) можно записать в виде
^-(rxmv)=rxF. (3.9).
Вектор Ko = rxmv называется моментом количества движения
материальной точки относительно центра (точки О).
Вектор M0 = rxF нам известен из курса статики и представ-
ляет собой момент силы, приложенной к точке, относительно
центра.
Таким образом,
dKn
-^ = мо. (3.10)
Это уравнение выражает собой теорему об изменении момента
количества движения материальной точки:
производная по времени от момента количества движения
материальной точки относительно какого-либо центра равна
моменту силы, приложенной к точке, относительно того же
центра.
Векторное уравнение (3.10) эквивалентно трем скалярным
равенствам.
Принимая точку О за начало системы координат xyz и запи-
сывая векторные произведения в виде определителей третьего
порядка, вместо (3.10) получаем
i j k
х у г ,
Р X Ру р£
i 1 k
xyz
mx my tnz
d
dt
72
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ III
откуда
т ~ = уРz - zFy,
m^(zx — х2) = zFx — хРг,
m^(xy-yx) = xFy~yFx.
(З.И)
Полученный результат можно сформулировать следующим образом:
производная по времени от момента количества движения
материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту
силы, приложенной к точке, относительно той же самой оси.
Как видно из уравнений (3.11), при их интегрировании необ-
ходимо вычисление интегралов от правых частей. Однако вычис-
ление этих интегралов возможно только тогда, когда х, у и z
известны как функции времени, но тогда отпадает вообще надоб-
ность в применении равенств (3.11).
Тем не менее существуют случаи, когда теорема об изменении
момента количества движения дает возможность эффективно
решать задачи динамики.
К ним относится прежде всего случай действия центральной
силы. Этим термином мы будем пользоваться применительно
к любой силе, линия действия которой проходит через некоторую
фиксированную точку пространства *) (полюс). Так, например,
при изучении движения Земли в Солнечной системе на Землю
действует сила притяжения Солнца, все время направленная
к центру Солнца.
Изучим действие центральной силы. Момент силы относительно
точки, через которую проходит линия действия, тождественно
равен нулю. Следовательно, согласно равенству (3.10) момент
количества движения материальной точки относительно полюса
является постоянной величиной:
Ко = г х mv = const.
(3.12)
Таким образом, мы получим сразу три первых интеграла дви-
жения:
m (r/z - zy) = clt
m (zx — xz) = c2,
m {xy - yx) = c3.
(3.13)
На основании этих результатов можно сделать некоторые
общие выводы о характере движения материальной точки.
*) В § 3,5 будет дано несколько более узкое определение центральной
силы.
§3 2]
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА
73
Для этой цели введем понятие секторной скорости. Секторная
скорость вводится как вектор, характеризующий быстроту изме-
нения площади поверхности, описываемой радиусом-вектором.
Пусть в момент времени t материальная точка находится
в точке А траектории, а в момент времени t-\-Ы — в точке At
(рис. 3.1). Площадь До треугольника OAAt равна половине мо-
дуля векторного произведения радиуса-вектора г на вектор пере-
мещения Ar = г (i + Д/) — г (0, т. е.
До = у | г х Дг I.
Разделив обе части этого соотношения на Д/ и переходя к пре-
делу при Д/->0, получим
<7 = lim S = lim 4lrxSI = -flrxvl> -(3.14)
д/-»о д/->о z I I z
так как lim д-? = v — скорость точки в момент времени t.
Д/->0
Формула (3.14) определяет модуль секторной скорости. Заме-
тим, что величина секторной скорости может быть вычислена как
площадь треугольника, по-
строенного на векторах г
и V. За направление век-
тора секторной скорости
примем направление век-
торного произведения ра-
диуса-вектора на скорость
точки. Тогда вектор сек-
торной скорости равен
q = y(rxv), (3.15)
т. е. секторная скорость равна половине векторного произведения
радиуса-вектора точки на ее скорость.
Сравнивая (3.15) с основным выражением для Ko = rxniv,
можем написать интеграл (3.12) в следующей форме:
Ко = 2mq = const. (3.16)
Следовательно, в случае действия центральной силы сектор-
ная скорость точки есть постоянная величина, т. е. радиус-вектор
точки описывает равные площади в любые одинаковые промежутки
времени. Этот результат называется законом площадей. Но, кроме
того, из (3.16) следует, что траектория точки является плоской
кривой. В самом деле, вектор q сохраняет постоянное направле-
ние в пространстве, поэтому на основании формулы (3.15) можно
74
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ ИГ
утверждать, что вектор г будет все время расположен в пло-
скости, перпендикулярной к вектору q, т. е. траектория точки
лежит в этой плоскости *).
Предположим, что движение происходит в плоскости и поло-
жение точки определяется полярными координатами г и ф. Тогда
г = гг°, v = гг°-J-r<fр° (том I, § 9.4) и формула (3.15) может быть
записана в виде
q = ~2 г2ф (г°хр°) = у г2фк, (3.17>
где к = г°хр° — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости,,
в которой происходит движение.
Если вектор q является постоянной величиной, то его проек-
ция на направление, определяемое направлением вектора к, также
постоянная величина, т. е.
<7* = уГ2Ф = с, (3.18)
где с —постоянная величина.
Соотношение (3.18) называется законом площадей. Это соотно-
шение может быть получено и другим путем. Если плоскость,
в которой расположена траектория, будет плоскостью ху, то
вместо векторного равенства (3.16) можно записать
2т<?г = т (ху — ух) = const,
или
1 . . ..
<7z = у (ху - ух) = с,
где с —постоянная величина.
Так как в полярных координатах
x = rcos<p, r/ = rsin<p,
то, принимая во внимание, что
х = г cos <р — гф sin ф, у = г sin ф 4-гф cos ф,
получим
1 2-
<7г = у Г2ф = С.
*) Возможно и другое доказательство. Умножим обе части каждого и»
уравнений (3.13) на х, у, г и сложим. В результате получим
С1Х + С1У + сз2 = 0.
Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости.
Следовательно, траектория есть плоская кривая.
'§ 3.2]
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА
75
Задача 3.2. Траектория наиболее удаленной от Солнца планеты Плутон
имеет вид эллипса, причем расстояние от Солнца до Плутона меняется от
4,46 • 10s км до 7,4 • 109 км (рис. 3.2). Определить отношение между макси-
мальной и минимальной скоростью Плутона.
Секторные скорости точки, движущейся по эллипсу, в моменты прохожде-
ния через положения максимального и минимального удаления одинаковы:
1 1
— и г • = — и . г
2 max min 2 min max •
Следовательно, искомое отношение составляет
^max /^mln = rmax /rminj
т. е.
ymax/%in = 7,4/4,46= 1,66.
Задача 3.3. Шарик, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по глад-
кой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной
скоростью и в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение ша-
рика, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой,
расстояние между шариком и отверстием равно /?, а проекция начальной ско-
рости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна о0 (рис. 3.3).
На шарик действует сила, направленная вдоль нити. Так как эта сила
центральная, то момент количества движения шарика относительно точки О
является постоянной величиной и справедливо соотношение (3.18).
Постоянную с найдем из начальных условий: при Z = 0 r — R, <f = v0/R,
Подставляя эти выражения в (3.18), находим
/?Фо = ^оЯ-
Таким образом, для всего последующего процесса движения имеем *•
г2ф = Rva,
По условию задачи скорость, с которой втягивается нить, равна и, откуда
следует, что ? = —и. Приняв во внимание начальные условия, после интег-
рирования получим
r = R — ut.
Тогда уравнение для определения ф примет вид
dq __ Rv0
dt ~ (R—uty'
76
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ III
Интегрируя и имея в виду, что ф = 0 при t=0, находим
vet
ф R — иГ
Чтобы построить траекторию шарика, исключим из уравнений для г и <р
время /; тогда получим величину радиуса-вектора г в функции полярного
угла <р:
r=_E^L_
ucp uq
Траектория шарика представляет собой свертывающуюся спираль. С прибли-
жением шарика к началу координат угол ср растет все быстрее и быстрее,
т. е. скорость вращения радиуса-вектора возрастает. При t -> R/u эта скорость
стремится к бесконечности.
§ 3.3. Работа силы. Мощность.
Перейдем к понятию работы, с помощью которой мы получим
еще одну общую теорему динамики материальной точки.
В элементарном курсе физики понятие работы вводится сле-
дующим образом. Пусть материальная точка М движется по пря-
мой линии ВС и F — некоторая
постоянная по модулю и направ-
лению сила, приложенная к точ-
ке М. Будем считать, что точка
М движется в одном направле-
нии от положения ЛК до поло-
жения М2. Обозначим наимень-
ший угол между силой F и
скоростью v точки М через а
(рис. 3.4). Тогда работой постоянной силы F на прямолинейном
отрезке MtM2 называют произведение модуля силы на величину
перемещения з = Л11Л12 и на косинус угла между ними
Alt2 = Fs cos~b. (3.19)
Конечно, это равенство можно записать в форме скалярного
произведения
41>2 = F-s, (3.20)
где s = МгМ2 — вектор перемещения точки.
Напомним, что единицей измерения работы в системе СИ
является джоуль (1 дж= \ нм), а в технической системе — ! кГм
(1 кГм 9,81 дж).
Приведенное определение работы силы применимо только
в том случае, если сила постоянна по модулю и направлению,
а точка приложения силы перемещается прямолинейно.
Перейдем к общему определению работы силы, считая, что
сила может изменяться по модулю и направлению, а точка М
§3 3]
РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ
77
приложения силы F перемещается по любой криволинейной тра-
ектории ВС от до М2 (рис. 3.5, а). Разобьем отрезок кривой
МгМ2 на п произвольных, но малых участков, обозначив длину
участка с номером k через As*. Не внося больших погрешностей
в вычисление, можно считать каждый участок прямолинейным
отрезком и что при перемещении точки /И вдоль этого участка
сила F остается постоянной по модулю и направлению. Тогда
согласно формуле (3.19), работа силы на k-м участке будет при-
ближенно равна Fk cos ак As*, а на всем пути от ЛД до М2 —
сумме работ на отдельных участках
41,2^ У F* cos a* As*.
k = i
Точное значение работы получим, переходя к пределу, при
условии, что число участков п неограниченно возрастает, а длина
каждого участка As* неограниченно убывает:
п
Л1>2 = lim У, F* cos a* As*.
As ^O й
Такой предел называется криволинейным интегралом первого
рода по дуге МГМ2 и обозначается следующим образом *):
Л112= Feos a ds. (3.21)
Для того чтобы, пользуясь формулой (3.21), вычислить работу
силы, нужно выразить произведение F cos а как функцию длины
дуги s. В подавляющем большинстве случаев это очень трудно
*) Происхождение этого термина очевидно: подынтегральная функция
F cos а вычисляется на кривой, а в качестве переменной интегрирования
берется длина дуги s.
78
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ III
выполнить, поэтому обычно пользуются криволинейным интег-
ралом второго рода. Для того чтобы сделать этот переход, вве-
дем в рассмотрение элементарную работу силы (это понятие имеет
самостоятельное значение, и мы будем неоднократно пользовать-
ся им).
Под элементарной работой d'A силы F понимается выражение,
стоящее под знаком интеграла (3.21):
d'A = F cos a ds. (3.22)
В кинематике было показано, что дифференциал пути ds равен
модулю дифференциала радиуса-вектора г, т. е. ds — \dr\. Сле-
довательно, элементарную работу силы можно представить сле-
дующим образом:
d'A — F | dr | cos a,
или, через скалярное произведение векторов F и dr,
d'A^F-dr. (3.23)
Теперь, сравнивая выражения (3.23) и (3.20), можно опреде-
лить элементарную работу силы как работу ее на прямолиней-
ном перемещении dr при условии, что величина и направление
силы на этом перемещении не меняются. Напомним, что dr =
— vdt. Это означает, что вектор dr совпадает по направлению
с вектором скорости v точки (рис. 3.5, б).
Запишем выражение (3.23) через проекции векторов, входя-
щих в скалярное произведение:
d'A =FX dx-\-Fy dy-\-Fz dz. (3.24)
Даже в тех случаях, когда сила F зависит только от поло-
жения точки М, т. е. от координат х, у, z точки М, правая
часть этого равенства не представляет, как правило, полный
дифференциал некоторой функции координат А (х, у, г). Поэтому
в обозначение элементарной работы d'A после буквы d ставится
наверху знак «штрих» *) (в § 3.5 будет рассмотрен особый класс
сил, для которых правая часть равенства равна полному диффе-
ренциалу функции координат).
Все три выражения (3.22), (3.23) и (3.24) для элементарной
работы силы эквивалентны. Поэтому, пользуясь равенствами (3.21),
(3.22) и (3.24), получим другую формулу для вычисления работы
силы F на отрезке MjM2 дуги ВС
Л112= J FxdxA-FydyA-Fzdz. (3.25)
м ,м2
*) В некоторых книгах элементарная работа обозначается символом 6Д.
В настоящем руководстве символ 6.4 применяется для обозначения работы
силы на виртуальном перемещении 6г (см. § 18.3).
§3 3]
РАБОТА СИЛЫ МОЩНОСТЬ
79
Правая часть этого равенства называется криволинейным ин-
тегралом второго рода (все функции Fx, Fy и Fz вычисляются
на кривой МгМ2, а дифференциалы координат dx, dy, dz связаны
между собой через ее уравнение).
Если сила F зависит только от положения точки, т. е. от
координат х, у, z точки М приложения силы, то работа вычис-
ляется непосредственно по формуле (3.25) и при этом совершенно
не нужно знать закон движения точки М по кривой. Если же
сила F зависит не только от координат точки приложения, но
и от ее скорости и от времени t, то для вычисления работы
силы нужно знать уравнения движения точки
x = x(0. y = z = z(t). (3.26)
Отсюда
dx = xdt, dy = ydt, dz — zdt. (3.27)
Подставив в формулу (3.25) вместо координат точки их зна-
чения из (3.26), вместо проекций скорости производные по вре-
мени от этйх величин и вместо дифференциалов координат их
значения из (3.27), мы сведем криволинейный интеграл (3.25)
к обычному определенному интегралу
Л,2= $ (Fx^ + Fyy + P^)dt, (3.28)
п
где и ^ — моменты времени, в которые точка М проходит
положения и М2 соответственно (см. рис. 3.5, а).
Пусть теперь на материальную точку М действует несколько
сил Fb F2, ..., F„. Легко доказать (читатель без труда сделает
это самостоятельно), что работа равнодействующей сил, приложен-
ных к материальной точке, на некотором перемещении равна сумме
работ составляющих сил на том же перемещении
Д = Д1 + Д2 + - • • +
Прежде чем перейти к примерам, рассмотрим один частный
случай, когда действующая на точку М. сила сохраняет постоян-
ное направление и модуль (F = const). Вычислим работу такой
силы при перемещении точки М по некоторой траектории ВС
от положения /И, до положения /И,2 (рис. 3.6, а). Для этого
воспользуемся формулой (3.21), учтя, что F cos ads = F dr.
Имеем
Alt 2 = J F-dr.
м,мг
Вынесем постоянный множитель F за знак интеграла и при-
мем во внимание, что при движении точки /11 от ЛД до Л1а
80
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ III
радиус-вектор г меняется от гх до г2 (см. рис. 3.6, а). Тогда
последовательно получим
A,2 = f-$ dr = F-(r2-r1),
или, учитывая, что г2 —r1 = M1M2,
2 = F • /И1Л12 = Fs cos а,
где s = M1M2 и а —угол между неизменным направлением силы F
и вектором перемещения М^М2-
Так как последнее равенство совпадает с (3.19), то это озна-
чает, что при постоянной силе формулу (3.19) можно применять
при перемещении точки Л1 по любому криволинейному пути,
если только под s понимать кратчайшее расстояние между началь-
ным и конечным положе-
этой
ниями точки приложения
силы.
Применим полученный
вывод к вычислению ра-
боты силы тяжести P = mg.
Сила тяжести направлена
вертикально вниз; произ-
ведение s cos а равно
модулю вертикальному
ремещению Н точки М
(рис. 3.6, б). Поэтому
Alfi = ±PH, (3.29)
т. е. работа силы тяжести
равна произведению моду-
силы на вертикальное перемещение точки, взятому со
по
пе-
ля
знаком «плюс», если точка М опускается, и со знаком «минус», если
точка М поднимается. Формулой (3.29) для вычисления работы
силы тяжести мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.
Рассмотрим две задачи на непосредственное применение полученных ранее
формул.
Задача 3.4. Проекции силы определены равенствами
Fx=—py, Fy = px, Fz = 0,
где р — некоторое положительное число, ахи у — координаты точки приложе-
ния силы F. Определить работу силы F при движении точки приложения ее
от начала координат О до точки М с координатами х, у в трех случаях:
1) точка приложения силы перемещается от О к А! по кратчайшему пути;
2) точка приложения силы перемещается сначала по оси х, а затем по прямой,
параллельной оси у; 3) точка приложения силы перемещается сначала по оси у,
а затем по прямой, параллельной оси х (рис. 3.7).
§33]
РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ
81
Прежде всего заметим, что сила F перпендикулярна к радиусу-вектор у г
точки приложения силы. Для того чтобы доказать это, достаточно составить
скалярное произведение векторов г и F. Имеем
г • f =xFx + yFy + zFz = x(— ру) + У (px)=0.
Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы г и F перпенди-
кулярны *). Отсюда следует, что при движении точки по первому пути от О
до М по прямой ОМ работа Ai силы F будет равна нулю. Покажем это ана-
литически, пользуясь формулой (3.25). Для этого напишем прежде всего урав-
нение прямой ОМ
y = kx,
где k — угловой коэффициент. Отсюда
dy = k dx.
Применим теперь формулу (3.25), учтя при
этом заданные проекции сил, уравнение прямой ОМ
и значение dy. Последовательно получим
Д1= ( Fxdx + Pydy-\rPzdz= $ (— py)dx-F
ом ом
Рис. 3.7.
X
-ф (рх) dy — j [(— pkx) + (рх) k] dx = 0.
о
Во втором случае разобьем весь путь интегрирования на два участка:
от О до В и от В до М (см. рис. 3.7). На первом участке от О до В у = 0
и dy = 0, на втором участке от В до М х = const и dx = 0. Имеем
х у у
Д2 = $ = + $ =<\Pxdx+<\Pydy= \pxdy = pxy.
ом о'в вм о о о
В третьем случае разобьем весь путь интегрирования тоже на два участка:
от О до С и от С до А1 (см. рис. 3.7). На учгстке от О до С х=0 и dx — 0,
на втором участке от С до М у = const и dy=0. Имеем
У X X
Аз= $ = $ + $ =\ру dy + \Fx'dx = ^(—py)dx= — pxy.
ом ос см о о о
Итак, работа рассматриваемой силы F на первом пути равна нулю, на
втором пути рху и на третьем пути — рху. Этот пример наглядно показывает,
что в общем случае работа силы зависит не только от начального и конечного
положений точки приложения силы, но также и от пути, по которому эта
точка перемещается. Отметим еще, что во всех трех случаях данного примера
для вычисления работы силы не нужно знать закона движения точки, ее массу
и скорость.
Задача 3.5. Вычислить работу силы сопротивления, действующей на
корабль, за время, в течение которого скорость корабля после остановки дви-
гателей уменьшится вдвое (см. задачу 1.7).
Так как сила сопротивления направлена в сторону, противоположную дви-
жению корабля, то угол а=180°. Пользуясь формулой (3.21) и значением
*) Силы такой структуры встречаются весьма часто (следящие силы, дей-
ствующие на упругие стержни, силы радиальной коррекции в гироскопиче-
ских устройствах и т. п.). См., например, Мерки нД. Р. Введечие в теорию
устойчивости движения, изд. 2-е. —М : Наука, 1976.
82
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ. III
„ / dx'
модуля СИЛЫ F, получим I Vx = 2l
А =— а j vzdx = — a j vl dt,
0
где t — значение времени, при котором скорость корабля уменьшилась вдвое.
Для дальнейших вычислений нужно знать закон движения корабля.
Воспользуемся результатами задачи 1.7 (стр. 31). При решении этой задачи
была установлена следующая зависимость скорости корабля от времени t
(см. равенство (1-36)):
v - mv° .
х т + <хг>(/
Подставив это выражение для скорости в последнее равенство, будем иметь
т3и°;
А = ~а \ —I'1—» dt.
J (m + апоО3
о
После интегрирования получим выражение для работы как функции времени
1________11
2 [(m-|-at>(/)2 maJ’
Пользуясь выражением для скорости, найдем
(3.30)
mA-avot = —
v
Теперь равенство (3 30) приводится к виду
Д==®([,2_1,2). (331)
Для того чтобы найти работу силы за время, в течение которого скорость
уменьшится вдвое, нужно в последнем равенстве положить о = и0/2. Получим
Д = —-|.,ОТ2
О
В отличие от предыдущей задачи, здесь работа силы зависит от массы н
скорости тела.
В § 3.4 будет показано, что формула (3.31), полученная здесь путем ана-
лиза конкретной задачи, является общей для любых сил, действующих на
материальную точку.
Остановимся теперь кратко на понятии мощности силы. В эле-
ментарном курсе физики мощность определяется как количество
работы, производимой в единицу времени. Это определение при-
менимо, конечно, только в том случае, если в равные промежутки
времени сила производит равные работы. Нам остается распро-
странить это определение на общий случай, когда работа произ-
водится не равномерно.
Вычислим работу силы F от некоторой фиксированной точки ML
до точки М (см. рис. 3.5а)
. А ='5 Fxdx-\-Fydy-vFsdz.
§3 3]
РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ
83
При движении точки М работа А силы F будет с течением
времени t меняться. Для того чтобы получить работу А как
явную функцию времени t, достаточно воспользоваться форму-
лой (3.28), заменив в ней фиксированный верхний предел интег-
рирования /2 на переменный предел t:
t
A (t) = (Fxx + Fyij + Fzt) dt. (3.32)
Теперь мощность N силы F легко определяется как скорость
изменения работы:
lim
м — о
АЛ dA
At dt ’
(3.33)

где А рассматривается как функция времени t.
Легко видеть, что полный дифференциал работы, выраженной
как функция времени t по формуле (3.32), равен элементарной
работе силы d'A. Действительно, если рассматривать работу как
функцию времени t, то, пользуясь формулой (3.32), найдем
dA (/) = (Fxx + Fvij + Fzz) dt ~ Fx dx A- Fу dy A- Fz dz,
что совпадает с выражением (3.24) для элементарной работы.
Таким образом, имеем
dA(f)=d'A, (3.34)
или, пользуясь равенством (3.23),
dA(/) = F-dr. (3.35)
В этих равенствах предполагается, что правые части выражены
с помощью соотношений (3.26) и (3.27) через время t. Теперь
мощность W силы F можно записать следующим образом:
или
дг = F v =FxxA-FyijA-Fzz, (3.36)
т. е. мощность W равна скалярному произведению силы F на
скорость v точки приложения силы.
Теперь под знак интеграла в формулу (3.28) можно внести
мощность:
^2
Alf2 = \N (t)dt. (3.37)
ц
Если изменение работы происходит равномерно, т. е. мощ-
ность постоянна, то A=Nt и тогда
д
N=~. (3.38)
84
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ ИГ
В этом случае, как уже отмечалось, мощность равна количе-
ству работы, производимой в единицу времени.
Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт
(1 em=l дж/сек), а в технической системе —1 кГм-сеьг1. В тех-
нике применяются также более крупные единицы мощности:
1 кет = 1000 ет и так называемая лошадиная сила (1 л. с. =
= 75 кГм сек).
§ 3.4. Теорема об изменении кинетической энергии
Найдем связь между работой сил, приложенных к материаль-
ной точке, и изменением скорости точки. Для этого воспользуемся
основным уравнением динамики
dv с
т Щ =
где F — равнодействующая всех сил, приложенных к материаль-
ной точке. Умножим обе части этого равенства скалярно на диф-
ференциал радиуса-вектора dr.
m~J-dr = F-dr. (3.39)
В правой части стоит элементарная работа d'A равнодейст-
вующей всех сил, приложенных к материальной точке; левую
часть можно представить в следующей форме:
dv , dr , , , fmv2\
т ,, • dr = т-п- dv — ту av=d -д- ;
dt dt \ 2 J
при этом учтено, что скалярный квадрат вектора равен квадрату
его модуля (y-v = v2). Теперь равенство (3.39) примет вид
d(^) = dM. (3.40)
Половина произведения массы точки на квадрат ее скорости
называется кинетической энергией материальной точки
Т = т^. (3.41)
Уравнение (3.40) дает дифференциальную связь между кине-
тической энергией и элементарной работой: полный дифференциал
кинетической энергии материальной точки равен элементарной
работе всех действующих на эту точку сил.
Будем рассматривать все члены, входящие в равенство (3.40),
как функции времени t. Тогда, учитывая соотношения (3.33),
(3.34) и деля обе части равенства (3.40) на dt, получим
Ж)”"’ <3-«)
§3 5]
СИЛОВОЕ ПОЛЕ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
85
т. е. полная производная по времени от кинетической энергии'
материальной точки равна суммарной мощности всех действую-
щих на точку сил.
Пусть теперь материальная точка М перемещается по кри-
вой ВС от положения М1 до положения Мг (см. рис. 3.5, а).
Обозначим через vt и v2 скорость точки М в положениях Мг и
М2 соответственно и проинтегрируем обе части равенства (3.40)-
по кривой Л41Л42:
J У d'A.
М,М2 М,М2
Правая часть этого равенства равна работе ЛЬ2 силы F на-
пути МгМ2, при вычислении левой части следует иметь в виду,,
что криволинейный интеграл от полного дифференциала некото-
рой функции равен самой функции. Таким образом, будем иметь
= (3.43)
т. е. изменение кинетической энергии материальной точки при
переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно
сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.
С помощью только что доказанной теоремы об изменении кине-
тической энергии можно решать следующие две основные задачи.
В первой определяется скорость материальной точки в конце
или начале движения. Решение этой задачи с помощью равен-
ства (3.43) имеет смысл, конечно, только в том случае, если
работу всех сил, приложенных к материальной точке, можно
вычислить, не зная закона движения, т. е. не интегрируя урав-
нения движения. К задачам второго типа относится вычисление
работы силы по заданной скорости. Использование формулы (3.43)
для решения задач такого ,рода особенно полезно в тех случаях,,
когда трудности, связанные с определением закона движения и
вычислением интеграла (3.28), сравнительно велики (см. задачи 3.12
и 3.13) или когда неизвестна аналитическая зависимость силы
(см. задачу 10.4).
§ 3.5. Силовое поле. Потенциальная энергия
В этом параграфе рассматриваются позиционные силы, кото-
рые зависят только от положения материальной точки в прост-
ранстве.
Будем называть силовым полем область (часть пространства),
в каждой точке которой на помещенную в ней материальную
точку действует сила, однозначно определенная по величине
и направлению в любой момент времени. Таким образом, в
86 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ [ГЛ III
силовом поле должна быть известна одна векторная функция F,
зависящая от радиуса-вектора точки г и времени t’.
F = F(r, t)
или три скалярные функции — проекции силы F
Fx = Fx(x, у, г, 0. Fy = Fy(x, у, г, t), F2-=Fz(x, у, z, t),
где х, у, 2 —координаты точки.
Силовое поле называется нестационарным, если сила F зави-
сит явно от времени t, и стационарным, если сила не зависит
от времени / явно. В дальнейшем будем рассматривать только
стационарные силовые поля, когде сила зависит только от поло-
жения точки, т. е. от ее радиуса-вектора
F=F(r),‘
а ее проекции являются функциями координат точки
Fx = Fx(x, у, г), Fy — Fv(x, у, г), Fz = Fz(x, у, г). (3.44)
Отметим два общих свойства таких полей:
1. Работа сил стационарного поля зависит в общем случае
от начального Мг и конечного М2 положений и траектории, но
не зависит от закона движения материальной точки по траекто-
рии.
2. Имеет место равенство
^2.1 ~ ^i,2> (3.45)
где A1j2 —работа сил стационарного поля при движении мате-
риальной точки от Mi к Л42, а А2, х — работа сил поля при дви-
жении точки по той же траектории в обратном направлении от
М2 к
Первое свойство следует непосредственно из формулы (3.25),
а второе — из формулы (3.21) (модуль и направление силы F
в каждой точке траектории не зависят от направления движения
и времени t, а угол а между скоростью v и силой F при изме-
нении направления движения перейдет в л —а). Заметим, что
для нестационарных силовых полей эти свойства не имеют места.
Рассмотрим какое-нибудь стационарное поле и вычислим работу
сил поля при перемещении материальной точки из положения Mt
в положение М., по двум различным траекториям (рис. 3.8).
Работу сил поля при движении по первой траектории обозначим
через А}, г, а работу сил поля при движении по второй траек-
тории обозначим через А]И2. В общем случае эти работы не равны
между собой:
А], 2 7= Ацг
„(см. задачу 3.4).
§3 5] ' СИЛОВОЕ ПОЛЕ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Среди стационарных силовых полей важное место занимают
поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) дви-
жения материальной точки и определяется только положением
начальной и конечной точек пути. Такие силовые поля называ-
ются потенциальными (консервативными). Согласно определению*
для потенциальных сил работа не зависит от пути и,
следовательно, для них имеет место равенство М}
А>\ 2 = А^2 = А1<2, (3.46)
где I и II — любые пути, по которым материаль- \ \
ная точка может перейти от к М2, а Л12— \ W
общее значение работы. \ \
Пусть точка М с координатами х, у, z яв-
ляется точкой в области заданного потенциаль-
ного силового поля. Выберем в этом же силовом рис gg
поле произвольную точку Мо, зафиксируем ее
положение и назовем нулевой точкой. При движе-
нии материальной точки от положения М до нулевой точки Мо
работа сил потенциального поля будет зависеть только от поло-
жения точки М, т. е. от ее координат х, у, г, так как положе-
ние точки Л40 неизменно, а работа сил потенциального поля не
зависит от пути. Следовательно, работа сил потенциального поля
Амм* при движении материальной точки от точки поля М до
точки Мо является некоторой функцией координат х, у, z точки М.
Эта функция называется потенциальной энергией и обозначается
греческой буквой П. По определению
П (х, у, z)—Amm0', (3.47)
при этом предполагается, что функция П (х, у, г) однозначна и
непрерывна вместе со своими производными до второго порядка
включительно.
Из приведенного определения потенциальной энергии вытекает,
что нулевая точка —это точка, в которой потенциальная энергия
условно принимается равной нулю.
Покажем, что потенциальная энергия определяется с точностью
до аддитивной постоянной.
Действительно, выберем вместо точки Л40 другую нулевую
точку — точку Ми и обозначим соответствующую потенциальную
энергию через ГР. По определению будем иметь
П* = А
1 пммр
Так как работа сил потенциального поля не зависит от пути,
то выберем путь от М до М(- так, чтобы он проходил через точку
88
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ. III
Л40 (рис. 3.9). Разбивая весь путь от М до AfJ на два участка:
от М до Мд и от Л40 до М*, получим
П * ~ I. ./ -4- А.. ..*
ММо 1 AfoAf о •
Первое слагаемое равно потенциальной энергии П при старой
нулевой точке Мд, а второе слагаемое постоянно (не зависит от
координат х, у, z точки М). Обозначая это слагаемое через С,
получим
п* = п + с,
что и доказывает сделанное замечание.
Предположим, что потенциальная энергия силового поля изве-
стна, т. е. известно значение функции П в каждой точке области
существования силового поля. Найдем, чему равна работа сил
Рис. 3.10.
потенциального поля при переходе материальной точки из поло-
жения Мх в положение М2. Для вычисления работы выберем
путь от точки Mi до точки Мо проходящим через точку М2
(рис. 3.10). Разбивая путь МгМ2Мд на два участка МгМ2 и /И2Л10,
получим
AmiM„ = АмгМг + Ам2м0-
По определению Ам,м(, = П1, а АЛ(2Л1о = П2, где Щ —потен-
циальная энергия в точке П2 — потенциальная энергия
в точке /И2, следовательно,
А m,m, -- П1 — П2, (3.48) i
т. е. работа сил потенциального поля при перемещении мате-
риальной точки равна разности потенциальных энергий в началь-
ной и конечной точках пути.
Силовое поле задается обычно проекциями силы на оси коор-
динат, т. е. функциями (3.44).
Для того чтобы решить вопрос о том, является ли это данное
силовое'поле потенциальным, докажем предварительную теорему;
§ 3 5]
СИЛОВОЕ ПОЛЕ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
89-
Для того чтобы силовое поле (3.44) было потенциальным, необ-
ходимо и достаточно, чтобы существовала такая непрерывная-
однозначная функция координат П (х, у, z), называемая потен-
циальной энергией поля, частные производные от которой удовлет-
воряют равенствам
х~ дх ’ ду ’
= (3-49)
Докажем сначала необходи-
мость этих условий. Предполо-
жим, что силовое поле является
потенциальным, т. е. работа от
пути не зависит.
Вычислим работу сил поля
на перемещении точки из поло-
жения М с координатами х, у, z
в положение Мг с координатами
хДДх, у, г (рис. 3.11), выбрав за путь прямолинейный отрезок,,
соединяющий точки М и (он параллелен оси х). Пользуясь
формулами (3.48) и (3.25), получим
П (х, у, г)-П(х + Дх, у, г) = ( Fxdx-\-Fydy-\-Ftdz.
'мм,
Так как при выбранном пути координаты у и г не меняются, то
dy = dz = 0 и полученное выражение примет вид
* +Дх
$ Fxdx = II(x, у, г) —П(х4-Дх, у, z).
X
По теореме о среднем
х4-Ах
Fx (х, у, z) dx = Fx (х + 6 Дх, у, г)Дх,
X
где число 0 удовлетворяет условию 0<6<1. Следовательно,
после деления на Дх будем иметь
Fx(x + t\x, у, г) = — П .
Переходя к пределу при Дх->0, найдем
r t \ дП
Рх(Х, у, 2) = -^.
Аналогично получаются и два других равенства (3.49).
90
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ. III
Перейдем к доказательству достаточности условий (3.49). Пред-
положим, что условия (3.49) выполнены.
Используя условия (3.24) и (3.49), получим
d'A =Fxdx + Fydy + Fz dz=:~^dx + ^dy + ^ dz\
Так как потенциальная энергия П зависит только от коорди-
нат точки, то выражение, стоящее в скобках, равно полному
дифференциалу &П; следовательно,
d'A = —dn. (3.50)
Пусть точка переместилась из положения в положение Л42,
'тогда
п2
^4i,2= $ d'A ~dll = Пг — П2, (3.51)
MMG П‘
что совпадает с формулой (3.48). Это доказывает достаточность
условий (3.49) (работа зависит только от значений потенциальной
энергии в точках и Мг и не зависит от пути).
Условие (3.49) часто берут в качестве определения потенциаль-
ного поля. Тогда из соотношения (3.51) вытекает независимость
работы от пути.
Перейдем теперь к решению поставленной задачи: как, зная
только проекции силы (3.49), определить, является ли силовое
поле потенциальным. Продифференцируем первое равенство (3.49)
частным образом по у, а второе по х. Имеем
dFx дШ dFy <М1
ду дх ду’ дх ду дх *
Так как смешанные частные производные не зависят от порядка
дифференцирования, то из равенства правых частей следует
равенство и левых частей; иначе говоря, если поле потенциально,
то проекции сил должны удовлетворять условию (два других
равенства получены аналогичным методом)
дрх dF.; dFy dF, dF, dF v
= = = (3-52)
Справедливо обратное утверждение (мы не будем останавли-
ваться на доказательстве его): если условие (3.52) выполнено, то
силовое поле потенциально.
При решении задач на исследование силовых полей вначале
по условию (3.52) проверяют, является ли заданное поле потен-
циальным, а затем, если окажется, что условие (3.52) выполнено,
то определяют потенциальную энергию поля, пользуясь опреде-
лением (3.47): потенциальная энергия П в данной точке М (х, у, г)
равна работе сил поля на перемещении от точки М до нулевой
§3 5]
СИЛОВОЕ ПОЛЕ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
9Г
точки, в которой потенциальная энергия условно принимается
равной нулю. Так как путь интегрирования не имеет значения,
то его выбирают обычно так, чтобы все вычисления свести
к минимуму.
Проиллюстрируем сказанное двумя простыми задачами чисто методического-
характера.
Задача 3.6. Проверить является ли силовое поле
Fx = — РУ, Fy — px, Fs = 0
(3.52). Имеем
dFy
дх Р'
(3.52) не выполнено, то заданное поле
потенциальным.
Воспользуемся первым равенством
dFx
ду ~~ Р’
Так как первое равенство условия
не потенциально (в задаче 3.4 непосредственными вычислениями было пока-
зано, что работа такой силы
не потенциальна).
Задача 3.7. Проверить,
силовое поле
Fx = xy2, Fy = x2y,
и если оно потенциально, то
ную энергию
Так как
зависит от пути движения и, следовательно, сила
потенциально ли
найти потенциаль-
поля.
dFx dFu
-ч— = 2ху,
дх а
dF, dFx
= 0,
ду '
дГг
Рис. 3.12.
^=—_=_ = _
дг ду дх дг
то условие (3.52) выполнено и заданное поле
потенциально.
Для определения потенциальной энергии
поля нулевую точку выберем в начале коорди-
нат, а путь интегрирования построим следующим образом: из точки М с ко»
ординатами х, у, г будем двигаться сначала параллельно оси г до точки В,
расположенной в плоскости ху, затем из точки В — параллельно оси у до точ-
ки С, находящейся на оси х, а затем по оси х от точки С до начала коорди-
нат (рис. 3.12). Пользуясь определением (3.47), последовательно получим
МВ ВС со
На первом пути х — const dx = 0, у = const, dy = O, а г меняется от г до 0;
на втором пути z = 0, dz = O, х = const, dx = 0, а у меняется от у до 0; на третьем
участке у — 0, dy = O, г —О, dz — О, а х меняется от х до 0. Имеем
ооооо
П = j Fг dz + j Fу dy + j Fх dx = j г2 dz + j х2у dy
z у х г у
(в третьем интеграле Fx = xy2 = 0, так как у — 0). Интегрируя и учитывая,
что во-втором интеграле х — const, получим
П = -|х2!/2-1гз.
“92 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ [ГЛ III
Легко проверить, что если вычислить от этой потенциальной энергии част-
ные производные по х, затем по у и г, то получим заданные проекции сил
с обратным знаком, что соответствует равенствам (3 49).
Наряду с потенциальной энергией многие авторы вводят в рас-
смотрение силовую функцию U (х, у, г), которая отличается от
потенциальной энергии только знаком, т. е.
(/ = —П.
Условия потенциальности силового поля (3.49) в этом случае
имеют вид
р —дЛ р —dLL р —д£
х~~ дх ' ду ’ г дг ‘
Потенциальное силовое поле допускает удобную и наглядную
геометрическую интерпретацию.
Геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия
сохраняет постоянное значение, т. е. П (х, у, z) = C, образует
поверхность, которая называется эквипотенциальной поверхностью.
Через каждую точку потенциального поля можно провести только
одну такую поверхность (рис. 3.13).
Ясно, что работа сил поля при перемещении материальной
точки из начального положения в конечное, когда оба эти поло-
жения находятся на одной и той же
эквипотенциальной поверхности, равна
нулю, так как
/к = Пх — П2 — С — С = 0.
1 Эквипотенциальные поверхности об-
I ладают еще одним интересным свойст-
вом. Допустим, что материальная точка
перемещается вдоль произвольной кри-
Рис. 3.13 вой на эквипотенциальной поверхности,
и пусть закон движения точки x = x(t),
>y = y(t), z = z(t). Тогда для любого момента времени t должно
,выполняться равенство Г1|х (/), y(t), г(1)] = С.
Продифференцируем обе части этого тождества по t:
ЭП dx . dll dy . йП dz „
дх dt ' ду dt ' дг dt
'Согласно (3.49) будем иметь
+ Fyij + Fzz = 0,
«ли
F-v = 0.
'Следовательно, в любой момент времени действующая на точку
сила перпендикулярна к скорости точки. Но вектор v лежит
5 3 5]
СИЛОВОЕ ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
93
в касательной плоскости к эквипотенциальной поверхности,
поэтому сила F нормальна к эквипотенциальной поверхности
(см. рис. 3.13).
Введем понятие силовой линии как кривой, в каждой точке
которой касательная коллинеарна с силой данного силового поля.
Очевидно, что уравнение такой линии может быть записано так:
______Эх_ _____dy_______ __ dz__ ,г~ о.
Fx(x, у, z) “ F^(x, у, z) — Fz (x, у z) '
Уравнения (3.53) выражают условия пропорциональности проекций
двух векторов: силы F и дифференциала радиуса-вектора силовой
линии dr (этот вектор всегда направлен по касательной линии).
Из уравнений (3.53) следует система двух дифференциальных
уравнений с двумя неизвестными функциями у и z\
dz _ Fz (х, у, г) dy _ Fy (х, у, z) *
dx ~~ Fx (х, у, г)' dx ~ Fx(x, у, г) ‘ ( • /
Через каждую точку силового поля проходит одна и только
одна силовая линия, являющаяся решением системы (3.54), кроме
особых точек — состояний равновесия, где Fx = Fy = Fz = Q.
Из определения силовых линий следует, что они пересекают
все эквипотенциальные поверхности ортогонально (см. рис. 3.13).
В заключение остановимся на понятии градиента силового
поля. Если задана какая-либо скалярная функция Ф (х, у, z), то
вектор Е, образуемый по формуле
_ ЭФ . , ЭФ , , ЭФ ,
Е = -ч- 1 + дг j + -s-k,
дх ' ду 3 ' дг
называется градиентом функции Ф. Обычно пользуются таким
обозначением:
grado=-^’ + ^J+эгк-
Выражение для силы
F = Fxi4-FJ4-FJ<
в случае потенциального поля с помощью (3.49) можно преобра-
зовать к виду
с /эп. эп, эп. \ , „
F = — =- 1 + л- J + а- к == — grad П.
\дх ' ду 3 ' dz / °
Таким образом, в потенциальном поле силу можно рассматривать
как взятый с обратным знаком градиент функции П (х, у, г).
Покажем, как вычисляется -потенциальная энергия для неко-
торых часто встречающихся силовых полей.
94
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ. III
1. Потенциальная энергия поля силы тяжести. Совмещая пло-
скость хОу с какой-либо горизонтальной плоскостью (рис. 3.14),
для проекций силы тяжести будем иметь
Fx = 0, Fy = 0, Fz = — mg.
Можно проверить, что условия (3.51) выполняются.
Элементарная работа равна
d' А = Fx dx 4- Fy dy-\- Fz dz = — mg dz.
Следовательно, работа силы тяжести при перемещении матери-
альной точки из точки О в какую-либо точку М равна согласно
(3.25)
г
АОм — — $ mg дг — — tngz.
о
(3.55)
Но так как потенциальная энергия в точке М поля
работе, которую совершает сила при перемещении точки
ложен и я
равна
из по-
М в положение О, то
П = ЛЛ10 = ш^?. (3.56)
Эквипотенциальные поверхно-
сти mgz = C образуют семейство
горизонтальных плоскостей, а си-
ловыми линиями являются пря-
мые, параллельные оси г.
2. Потенциальная энергия поля
центральных сил. Центральной си-
лой будем называть силу, которая
в любой точке пространства на-
через некоторую точку поля
правлена по прямой, проходящей
(центр), причем модуль силы F
зависит только от расстояния г точки до центра.
Если этот центр выбрать за начало координат, то для цент-
ральной силы можно написать
F(r) = Fr (г) у,
(3.57)
где Fr(r) = ±F(r) (знак « + » для силы отталкивания, а знак
« —» для силы притяжения).
Проверим, выполняется ли условие (3.52). Так как
Fx = />(r)y, Fy = Fr(^4’ ^ = ^(r)y
и, кроме того,
г = /х2 4-,/2 4-гг,
$3 5]
СИЛОВОЕ ПОЛЕ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
95
то
dFх__ d Г Fг (г)1 дг___ху d rfr (г)1
ду —Х dr [ г J ду г dr [ г J ’
9Fу__ d Г Fг (г) 1 дг _ху d Г Fг (г)~|
дх У dr L г J дх г dr г J'
Следовательно,
dF У = дрх
дх ду ‘
Остальные равенства (3.52) также выполняются.
Для вычисления потенциальной энергии найдем работу цент-
ральной силы при перемещении точки из некоторого произволь-
ного положения М в фиксированное положение Л10.
Элементарная работа имеет вид
d' А = F • dr = Fr (г) ~ = Fr (г) dr.
Тогда потенциальная энергия будет равна
П (г) = Амм0 — $ F, (г) dr. (3.58)
Г
Здесь эквипотенциальные поверхности П (г) = С —сферы с центром
в начале координат, а силовые линии образуют пучок прямых,
выходящих из начала координат.
В частности, центральной силой является гравитационная сила.
Согласно закону всемирного тяготения
F = -/^L Fr(r)^-f^,
где f — постоянная тяготения, и т2 — массы притягивающихся
материальных точек, а г —расстояние между ними.
Примем за точку Мо бесконечно удаленную точку; тогда, при-
меняя (3.58), получим
со
П(г) = —= — . (3.59)
Г
3. Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружины.
Примем за фиксированную точку Мо, в которой потенциальная
энергия равна нулю, положение конца недеформированной пру-
жины (положение самой пружины не играет роли). Пусть длина
пружины в недеформировапном состоянии равна г0, а в положе-
нии М равна г (рис. 3.15). Тогда величина Fr(r), входящая
в равенства (3.57) и (3.58), имеет вид Fr(r) = — c(r — ru). При
96
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ IIJ
г <г0 упругая сила пружины является по отношению к центру
(точке крепления) отталкивающей, при г > г0 — притягивающей.
Подставляя Fr (г) в (3.58), получим
II(r) = -C^(r-r0)dr = ^^,
Y ИЛИ
Уо# П (г) = с4. (3.60)
„У Здесь к = | г — г01 — модуль прира-
z щения длины пружины.
Рис. 3.15. Из формул (3.51) и (3.60) сле-
дует, что работа восстанавливаю-
щей силы пружины при перемещении конца пружины из поло-
жения Л^! в Л42 равна
(3.61)
Здесь Xj и Х2 —деформации, соответствующие начальной и конеч-
ной точкам пути.
§ 3.6. Интеграл энергии.
Понятие о рассеивании полной механической энергии
Предположим, что все силы, действующие на материальную
точку, потенциальны. Тогда элементарная работа сил, приложенных
к точке, будет d'A —— сЕП и равенство (3.40) принимает вид
Интегрируя обе части этого равенства, найдем
Т4-П = /1, (3.62)
где /г — постоянная интегрирования (она называется постоянной
энергии).
Равене во (3.62) называется интегралом энергии. Интеграл
энергии показывает, что при движении точки в потенциальном
поле сил сумма кинетической и потенциальной энергий (полная
механическая энергия) есть величина постоянная (закон сохранения
механической энергии).
Равенству (3.62) можно придать и такой вид:
Л+п^л + щ, (3.63)
§ 3 61
ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ
97
где 7\ и Т2, rtj и П2 —значения кинетической и потенциальной
энергий в положениях Mt и М2 соответственно.
Интеграл энергии (3.62) справедлив при условии, что все
силы, действующие на материальную точку, потенциальны. Если
хотя бы одна из сил не потенциальна, то равенство (3.62) будет
нарушено. Рассмотрим, какое влияние оказывают силы сопротив-
ления (они, как правило, имеются всегда) на полную механичес-
кую энергию. Итак, будем считать, что
на материальную точку действуют по- У,
тенциальные силы (их потенциальная
энергия равна П) и силы сопротивле-
ния Fc. Относительно последних мы не р уу
будем делать никаких ограничений: €*/
они могут быть постоянны по модулю /
(сухое трение), пропорциональны любой |
степени скорости (вязкое трение) или
любым иным образом зависеть от ско- Рис- 3,16‘
рости точки, ее положения и времени t.
Единственное предположение (оно для сил сопротивления есте-
ственно) состоит в том, что сила сопротивления всегда направ-
лена противоположно скорости v точки (рис. 3.16).
Элементарная работа потенциальной силы F равна —dll, а эле-
ментарная работа силы сопротивления будет Fc-dr. Равенство
(3.40) принимает вид
dT = — dll + Fc • dr.
Перегруппируем члены, разделим обе части равенства на dt и
dr
учтем, что ^- = v:
i(T+n) = Ft.v.
Угол между силой сопротивления Fc и скоростью v равен 180°;
скалярное произведение Fc • v=Fcv cos 180° = — Pcv. Следовательно,
^(Т + П) = -Есц<0. ' (3.64)
Так как производная по времени отрицательна, то полная меха-
ническая энергия под действием сил сопротивления убывает или
рассеивается, переходя, конечно, в другие формы энергии, напри-
мер в тепловую.
Модуль мощности |Fc-v| = Fcv силы сопротивления может
служить мерой убывания полной механической энергии. Если
модуль силы сопротивления равен \Ьх\ (линейно-вязкое сопро-
тивление), то Fcv =— bx2 =—2^-. Величина bv2/2 называется
диссипативной функцией Релея, удвоенная величина которой
в данном случае служит мерой рассеивания (диссипации) энергии.
4 Н. В. Бутении и др.
98
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ. П1
§ 3.7. Задачи
Задача 3.8. Какова длина разбега самолета, вес которого Р=18 000 кГ,
тяга, развиваемая двигателем, Ф = 4000 кГ, общая сила сопротивления R —
= 1000 кГ, взлетная скорость ц = 216 км/час.
Применим теорему об изменении кинетической энергии
mv2 mvl
-------f^_R}S.
вертикальную
Полагая начальную скорость ц0 = О, получим
mv2 1 8 000 - 602 ,,nn
s ~2 (ф-R)- 2-9,81 -3000 00 М'
Задача 3.9. Самолет, вес которого Р=10 Т, совершает посадку, имея
скорость снижения п0=2 м/сек. Подъемная сила при посадке
N = 6 Т, жесткость амортизационной системы с=1 Т/см. Со-
противление в амортизационных стойках шасси при прямом
ходе постоянно и равно Д = 3 Т. Определить наибольшую
осадку самолета, считая, что за время срабатывания стойки
горизонтальная скорость v остается неизменной (рис. 3.17).
Применим теорему об изменении кинетической энергии.
В начальный момент вертикальная составляющая скорости
и6 —2м/сек, в конечный момент —Ui = Q. Работу восстанав-
ливающей силы пружины определим по формуле (3.61). По-
лагая 0М = к, получим для работы всех сил (силы тяжести mg,
силы сопротивления R, подъемной силы N и силы упругости
амортизаторов)
Рис. 3.17.
Л0Л1=тгА,-7?А,-^---NK.
Величина полной начальной скорости равна + величина скорости
в конце процесса сжатия амортизационной системы равна v. Поэтому прира-
щение кинетической энергии составляет
mv2 m(u2-|-u|) mu|
_ ___ .
По теореме об изменении кинетической энергии имеем
mul гм А2 »и
---^ = mgA,—ДА,----g---Nt"
откуда
А, (mg—R—N ± \T[mg^R^Ny+m^l:).
Для крайнего нижнего положения следует перед корнем взять знак «плюс».
Тогда, после подстановки численных значений, найдем
А,=0,01 ^1 + у 1+д~4001 = 21,2 см.
Задача 3.10. На какую высоту Н над поверхностью Земли поднимется
ракета, запущенная в вертикальном направлении с поверхности Земли, если
?е начальная скорость равна и0? Какую начальную скорость надо сообщить
ракете, чтобы она неограниченно удалялась от Земли? Сопротивлением атмос-
феры пренебречь, Радиус Земли Д = 637О км (рис, 3,18),
5 3.7J
ЗАДАЧИ
99
механической энергии, имея в виду, что
а потенциальная энергия силы тяготения
fmM fmM
~~R~ R + lT'
Применим закон сохранения
конечная скорость ракеты и = 0,
определяется по формуле (3.59):
mvj
2
Здесь т — масса ракеты, /И—масса Земли, f — гравитационная постоянная.
От двух последних постоянных можно избавиться, заметив, что при r = R
(т. е. на поверхности Земли) сила притяжения приближенно равна силе тяжести
t тМ
откуда fM=gR2. Тогда
~2—m§R=-R + H-
Разрешая уравнение относительно H, получим
Н Rv‘‘
2gfl-c/
Теперь нетрудно ответить на второй вопрос. Согласно условию задачи должно
быть Н = со и, следовательно,
4gR — V2 = 0, v0 = V 2gR = /2-9,81 10 3 • 6370 =11,2 км/сек.
Задача 3.11. С какой скоростью должна быть запущена с поверхности
Земли ракета, чтобы она могла достигнуть той точки С между Землей и
Рис. 3.18.
Луной (рис. 3.19), где силы притяжения Земли и Луны равны. Расстояние между
центрами Луны и Земли d = 370 000 км, а отношение их масс Мл и А43 равно
1/80. Радиус Земли 7? = 6370 км.
В точке С должно выполняться равенство
mfM3 fmMn
(d-r0)2'
fmM г.
Потенциальная энергия силы притяжения Луны Пл -—При-
меним закон сохранения механической энергии (полагая, что в точке С ско-
рость ракеты равна нулю)
mug fmM3 fmM л
~2 R d—R =
fmM3 fmM л
Го d — ro‘
4*
100
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
[ГЛ. III
^=2
Используя равенство [M3=--gR2, получим
gR2 R2
80(d-R) 8 rQ '
и =11,1 км/сек.
gR2 1
8O(d-r0)J
Задача 3.12. Сани спускаются с горы. Начиная с точки А (рис. 3.20),
их притормаживают силой F таким образом, что до конца спуска (точки В)
скорость саней остается постоянной. Определить работу, совершаемую силой F,
если вес саней Р, а высота горы h.
В отличие от предыдущих задач, здесь наряду с потенциальной силой —
силон тяжести Р — действует непотенциальная сила F. На основании теоремы
об изменении кинетической энергии имеем
mv2 mv/ р F
~2 2~“ /1ЛВ"глАВ-
Так как начальная и конечная скорости
саней одинаковы, то
4лв + /|лв=0-
Для работы силы тяжести имеем
Л₽в=М.
откуда Afab=—Ph. Найдем эту работу путем непосредственного вычисления.
Так как скорость саней постоянна, то сумма проекций сил на направление
скорости равна нулю, т. е. В sin а — F = 0, и, следовательно,
F = Р sin а.
где sin а
можно определить из равенства
dy
sin а = ~
ds
Вычислим мощность силы торможения;
.,F с г dy ds
N F • v= — Fv= — p~r -r..
' ds dt
Здесь мы приняли во внимание, что сила торможения F и скорость v имеют
противоположные направления. Работа силы торможения за время спуска
саней выражается следующим образом:
Т Th
,VF (t)dt=-P §^dt=-P dy——Ph,
О 0 0
Задача 3.13. Материальная точка совершает прямолинейные затухающие
колебания под действием линейной восстанавливающей силы, создаваемой
пружиной жесткости с, и силы сопротивления, пропорциональной первой
степени скорости (R=—bv). Определить работу силы сопротивления за одно
полное колебание материальной точки, а также максимальную работу этой
силы при неограниченной продолжительности колебаний.
В момент времени, когда материальная точка достигает максимального
отклонения, скорость ее равна нулю. Поэтому, применяя теорему об измене-
нии кинетической энергии для перемещения от начального до последующего
максимального отклонения, получим
0 = Дуп-|-Дс,
§ 3.7]
ЗАДАЧИ
101
где Луп —работа упругой силы пружины, а Ас — работа силы сопротивления.
Так как деформация пружины X при максимальных отклонениях материальной
точки равна соответствующей амплитуде, то согласно формуле (3.60) будем
иметь
£
^уп=~2” а$)’
где а0 — начальная, а — последующая амплитуды.
Следовательно, работа силы сопротивления за один период будет равна
Дс= — у («о —а!)-
Если выразить последующую амплитуду аг через предыдущую а0 с по-
мощью фактора затухания г] по формуле (2.16), то последнее равенство при-
мет вид
(1- п2)>
где
—hT*
т) = е
причем й = (т — масса точки), Т* — период затухающих колебаний.
За п полных колебаний работа силы сопротивления будет равна
£
= 2" (ао~ап),
или, учитывая, что а„ = аот]л,
Лс= --|° (1 -П2")-
Так как г)< 1, то при п->-оо будем иметь
л max_
2 ‘
Такова максимальная работа, которую совершат силы сопротивления при
неограниченной продолжительности колебаний.
Работу силы сопротивления можно, конечно, вычислить и путем непос-
редственного применения формулы (3.25). Для этого нужно воспользоваться
решением (2.13) дифференциального уравнения затухающих колебаний матери-
альной точки:
x — ae~hl sin (k*2 = k2 — h2 = ~—h,2
Отсюда нужно найти х, а затем Rx — — bx (Ry — RK = 0). После чего рабо<
та силы сопротивления определится путем вычисления интеграла
т*
Лс=—ba2 § e-2W [—h sin (й*/ + е)+&* cos (й*/+ в)]2 dt.
Этот путь непосредственного вычисления работы по общим формулам
требует, очевидно, значительно большей затраты труда, чем применение тео-
ремы об изменении кинетической энергии,
ГЛАВА IV
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
§4.1. Дифференциальное уравнение траектории точки,
движущейся в центральном поле сил
В § 3.2 были установлены свойства движения точки в поле
центральной силы. Напомним эти свойства.
Во-первых, траектория движения точки — плоская кривая.
Центр, через который всегда проходит линия действия силы,
лежит в плоскости траектории. Удобно описывать движение
такой материальной точки в полярной системе координат с полю-
сом в центре силового поля. Полярную ось направим пока про-
извольно. Тогда положение точки в плоскости ее движения будет
определяться полярными координатами г и ср. Для центральной,
силы имеем выражение
F = Fr(r)y, . (4.1)
где Fr (г) — проекция силы на радиус-вектор точки.
Во-вторых, имеет место закон площадей (секторная скорость
остается постоянной). В полярных координатах соблюдается
равенство (3.18):
уг2ф = с. (4.2)
Перейдем к составлению дифференциального уравнения движе-
ния материальной точки в центральном поле.
Воспользовавшись найденным в кинематике (том I, глава IX)
выражением для радиального ускорения точки wr = r — гф2, запи-
шем общее уравнение динамики
m\v = Fr (г)
в проекции на радиус-вектор г:
т(г — гф2)= F, (г). (4.3)
4 П ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ ТОЧКИ ЮЗ
В соответствии с интегралом площадей (4.2) уравнение (4.3)
может быть переписано в виде
= (4-4)
Для определения траектории движения в полярных коорди-
натах перейдем в этом уравнении от независимой переменной t
к полярному углу ф.
В силу интеграла площадей (4.2) имеем
dr _ dr dtp _ 2с dr _ _д d / 1 \ . г.
dt ~ dtp dt ~ r2 dtp ~ dtp\r Г >
Продифференцируем это выражение по времени п вновь восполь-
зуемся интегралом площадей (4.2):
d2r d / dr \ dtp 2с d / dr \
dt2 dtp \ dt / dt r2 dtp \ dt )'
Приняв во внимание соотношение (4.5), перепишем этот результат
в виде
d2r = _ 4с2 da / ц
dt2 г2 dtp2 \ г /' ' ' '
Подставляя это выражение в уравнение (4.4), получим
г2 dtp2\r) г3 ~ т
Вводя теперь новую искомую функцию u = i/r, будем иметь
d‘iu 1 у г (“) it о\
Полученное соотношение (4.8) и есть дифференциальное урав-
нение траектории материальной точки, движущейся под действием
центральной силы (уравнение Бинэ).
Наиболее важным случаем центральной силы является грави-
тационная сила планеты или любого другого небесного тела.
Ньютоновская сила притяжения планеты, принимаемой за шар
с радиальным распределением плотности, действующая на мате-
риальную точку, находящуюся вне пределов шара, равна
F —(4-9)
где f — гравитационная постоянная, /и —масса материальной точки,
М — масса планеты, г —расстояние точки от центра планеты.
Можно избавиться от произведения [М, если известна сила
притяжения на поверхности планеты, т. е. при r — R. Для Землй
эта сила притяжения равна mg, где g —ускорение свободного
104
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
[ГЛ IV
падения тела относительно невращающейся Земли. Аналогично
определяется g и для других планет.
Таким образом, при г = R из равенства (4.9) получим
= fM=gR2,
после чего (4.9) принимает вид
F = (4.10)
Следовательно, в данном случае Fr (г) = Fr = — mgR2u2.
При движении точки вне пределов земной атмосферы, но в дос-
таточной близости к ее поверхности, можно пренебречь действием
гравитационных сил со стороны других небесных тел и считать,
что на точку действует только сила (4.10). В этом случае диф-
ференциальное уравнение траектории (4.8) примет вид
4с2 ,
где р = -^5-= const.
§ 4.2. Виды траекторий.
Круговая и параболическая скорости
Исследуем решение основного дифференциального уравнения
(4.11). Общее решение этого уравнения можно представить в сле-
дующей форме:
« = у + a cos (ср —е), (4-12)
где а и е —постоянные интегрирования. Вспоминая, что w = l/r,
перепишем уравнение (4.12) в виде
г = т----(4.13)
1 +е cos (ср —е) ’ ' г
где е = ар — постоянная величина.
Уравнение (4.13) определяет траекторию материальной точки,
движущейся под действием ньютоновской силы притяжения.
Для упрощения анализа введем новую переменную ф = <р — е.
Очевидно, что теперь угол ф будет отсчитываться не от перво-
начально взятого фиксированного направления, а от некоторого
нового направления Oxlt повернутого относительно первого на
угол е (рис. 4.1). Конечно, вид траектории от такой формальной
замены переменных не может измениться.
§ 4 21
ВИДЫ ТРАЕКТОРИЙ
105
Теперь уравнение (4.13) примет вид
Таким образом, вид траектории определяется единственным
образом через постоянные р и е. Несколько дальше будет пока-
зано, как определить эти по- к
стоянные по начальным уело-
виям. V"/'
Из курса аналитической гео- \ rldtx
метрии известно, что кривые \ /v\x
(4.14) представляет собой кони-
ческие сечения ). 0 Фиксированное
Тип траектории определяет- направление
ся значением величины е, назы-
ваемой эксцентриситетом кони- Рис. 4.1.
ческого сечения.
В дальнейшем примем, что е > 0; это соответствует выбору
положительного направления полярной оси Охг (гр = О) от центра О
на ближайшую к О точку траектории, называемую перицентром
(для земных спутников — перигеем).
Если е<1, то знаменатель в правой части (4.14) никогда не
•обращается в нуль, следовательно, кривая второго порядка не
имеет бесконечно удаленных точек. Это может быть только эллипс.
В часгном случае, когда е = 0, получаем r = p = const, т. е. эллипс
превращается в окружность.
Если е>1, то появляются бесконечно удаленные точки при
двух значениях угла ip, полученных из уравнения
1 -|-е cos ip = 0, ,
т. е. при
1|; == ± arccos ( — у) •
Таким свойством обладает только гипербола.
Наконец, при е = 1 знаменатель обращается в нуль при г]? = л.
Кривой второго порядка, имеющей бесконечно удаленную точку
только при одном значении полярного угла гр, является парабола.
На рис. 4.2 изображены возможные траектории при е:>0 и
одинаковом для всех траекторий расстоянии от центра О до пери-
центра. Это расстояние в соответствии с уравнением (4.14) равно
г -г - р
Гтш- Го— 1+е .
*) В декартовой системе координат, для которой x1 = rcosip, yi — r sin гр,
уравнение (4.14) приводится к виду х? 4-у* = (р — extf, т, е, все траектории
могут быть только кривыми второго порядка.
106
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
[ГЛ IV
Установив, что тип траектории определяется значением эксцен-
триситета е, найдем зависимость эксцентриситета от начальных
условий.
Сначала сделаем это, отнеся начальные условия к тому моменту
времени, когда точка пересекает ось*! (см. рис. 4.1), т. е. при г]? = 0.
В соответствии с формулой:
(4.14) имеем
dr ____ ре sin г|>
dip (1 + е cosip)2 ’
Следовательно, при ф = 0 по-
лярный радиус г достигает экс-
тремума ^— = 0^. Это значит»
что при ф = 0 и любом е скорость
точки перпендикулярна к ра-
диусу-вектору г0, определяю-
щему положение точки.
Имея в виду, что ф = ф и по-
перечная скорость ир = гф, пере-
пишем интеграл площадей в виде
1
~2 пр = с.
Пусть теперь r = r0, v = v0 при ф = 0. Для этих начальных
условий в соответствии с уравнением (4.14) будет
г = р
Г° 1+е •
Отсюда находим
е = -^--1. * (4.15>
Так как для рассматриваемых начальных условий v„~v0, то>
1 4с2
с= 2 rovo и, учитывая, что р = ^, получим
« = ^-1- (4.16>
Это соотношение является основным и позволяет найти интервалы
скоростей, которым соответствуют те или иные виды траекторий-
Эллиптические траектории (е<1) определяются неравенством
В частности, если е = 0, то траекторией будет окружность;
при этом начальная скорость vQ имеет значение
^1 = ^0
>§4 3]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОКОЛОЗЕМНОЙ ТРАЕКТОРИИ
107
и называется круговой скоростью. Круговая скорость, вычисленная
из условий движения вблизи Земли (r0 = R), называется первой
космической скоростью'.
= 7,9 км!сек.
Параболической траектории соответствует значение е = 1, т. е.
по формуле (4.16) скорость
Найденное значение скорости называется параболической скоростью.
Если начальная скорость задана-вблизи Земдщ то параболическая
скорость
р2 = У 2gK = 11,2 км/сек
называется второй космической скоростью.
При сообщении такой начальной скорости точка неограниченно
удалялась бы от Земли.
Гиперболические траектории характеризуются неравенством
€>1, которому соответствуют начальные скорости

§ 4.3. Определение параметров околоземной траектории
по начальным условиям
Найдем теперь зависимость эксцентриситета от начальных усло-
вий в случае, когда материальная точка в некоторый момент вре-
мени начинает движение из точ- ,
ки Ао вне пределов атмосферы . s'
(рис. 4.3).
Пусть материальная точка в ____''х
некоторый момент времени начи- 'х?
нает движение из точки Ло вне / \ \
пределов атмосферы только под / 1
действием силы притяжения Земли Г 1
(рис. 4.3). \ • /
Определим параметры траекто- У
рии р и е, если известны: г0 —
расстояние от центра Земли до Рис. 4 3.
точки Ло, и0 —величина скорости
материальной точки в положении Ло, 0О —угол наклона вектора
скорости к местному горизонту, т. е. к плоскости, перпендику-
лярной к радиусу-вектору точки До.
Найдя параметры траектории, мы затем легко определим началь-
ный полярный угол i|;0 (см. рис. 4.3) и тем самым узнаем пока
не известное направление оси Oxlt
108
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
[ГЛ IV
Так как в точке Ло скорость ур = ц0со5 90, то согласно фор-
муле (4.2) секторная скорость равна
с = у ПА cos (4.17)
Подставляя это выражение в формулу для р, получим
4с2 f2vs cos2 0 / Uo \2
Р = = = cos2 90 = rov cos2 60, (4.18)
где v1 = ']^gR2/г0 — круговая скорость в точке Ао, a v = (-—) .
\vi J
Из формулы (4.14) следует, что
есозф = у — 1. (4.19)
После дифференцирования этого выражения по времени получим
, dip р dr
— е sin ф -%- =---Ч- -дг.
т dt г2 dt
г-, dr , .
Принимая во внимание равенства -др — Уг (радиальная скорость),
ф = ф и г2ф = 2с, перепишем полученное выражение в виде
esinip = -^-or. (4.20)
Для рассматриваемых начальных условий ф = ф0, г = r0, vr ~
==o0sin90 (рис. 4.4) выражения (4.19) и (4.20) с учетом формул
(4.17) и (4.18) примут вид
/'V'Ur
\ . r0V COS2 6n , , - .
\ е cos Фо = -2—^-—— — 1 = v cos2 90 — 1 ,
0 <4-21)
е sin фо = r°v С-- и0 sin 90 —
Х>р \________ т Г0и0 cos 60 0 0
/\^Фо\ = V sin 90 COS 90. (4.22)
। 1 Отсюда находим
е=]/ (v cos2 90 — 1 )2 + v2 sin2 90 cos290=
Рис. 4.4. =1^1—v (2 — v) cos2 90. (4.23)
Зная параметры траектории р и е, можно найти из формулы (4.19)
начальный полярный угол ф0, т. е. положение полярной оси Охр.
cos фо = Lp_ _ 1 \ 1 = — # (4.24)
\ г0 ] е К1 — v (2 — v) cos2 0О '
Иногда удобно ввести дополнительный угол фо = л — ф0 (см. рис. 4.3),
для которого
С05ф;= г (4.25)
К1— v (2 — v) cos2 0О
§4 41 ТРАЕКТОРИИ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ 109
Таким образом, траектория точки полностью определяется тремя
параметрами ra, v и 0О и формула (4.14) может быть записана
в виде
г___________vr0 cos2 б0____
1 +cos ip К1 — у (2—v) cos2 60
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Пусть
е = ]/1 — v (2 —v) cos20o = 0.
Отсюда имеем
v2 — 2v + sec2 0О = 0
и, следовательно,
v = 1 Д- — sec2 0О.
Это значит, что е = 0 может быть только при 0о = О и v = l. При
этом г = г0, т- е- орбита будет окружностью, а необходимая началь-
ная скорость равна
Для параболической траектории
е = ]/1 — v (2 — v) cos2 0О = 1,
что выполняется при
v = 2
и любом угле 0О. Начальная скорость v0, необходимая для дви-
жения по параболической траектории, равна
Уо = У1/2 = |Л®.
§ 4.4. Траектории искусственных спутников Земли
Пусть рассматривается движение материальной точки из положения Ао.
В этом положении точка расположена на высоте h над земной поверхностью и
обладает начальной скоростью ц0, направленной под углом 90 к местному гори-
зонту.
Как установлено, при ц0<и2 траектория материальной точки есть эллипс,
один из фокусов которого находится в центре Земли.
Из уравнения траектории (4.14) видно, что максимальное расстояние мате-
риальной точки от центра Земли достигается при
cosipOT = —1 (4.26)
и равно
'max = TZT. ’ (4-27)
по
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
[ГЛ IV
Соответствующая точка траектории называется апогеем. Минимальное расстоя-
ние точки от центра Земли достигается в перигее и равно
'•т1п=-ГТр7- ' (4-28)
Таким образом, максимальное расстояние точки от поверхности Земли
составляет
йтах=~г^------
ГПаХ J ~ g
а минимальное расстояние равняется —
к Р_________п
"min 1_|_г к-
В зависимости от конкретных значений и0 и 60 траектории могут оказаться
пересекающимися либо не пересекающимися с поверхностью Земли. Найдем,
при каком значении <?0 и фиксированном значении угла 0О траектории не будут
пересекать поверхность Земли, т. е. могут быть траекториями искусственных
спутников Земли.
Для траектории, не пересекающей поверхности Земли, должно выполняться
неравенство
^min
т. е. согласно (4.28)
-Г^>Я. (4.29)
Принимая во внимание (4.22), получаем
rov cos2 So > R (1 + К1 —v (2 —v) cos2 60),
или, так как rQ = R-}-h,
[(R+h) v cos2 0O-R]2 > R2 [1 -v (2-v) cos2 0O].
После небольших преобразований и подстановки v = v%/vl найдем
-^-[(R+A)2cos260-R2]>2/?/i. (4.30)
Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы
cos 60 > cos 6J,
где
D
Из соотношения (4.30) получаем значение и0, при котором траектории
1очки не будут пересекать поверхность Земли:
Ко > vk,
где _____
gR2
R ~\~h
Отметим, что при Й = 0 это условие имеет смысл только при 0о = О и прини-
мает вид ___
Vo > VgR-
Y (R + й)2 cos2 60 —R2 ' (4,31)
§4 4] ТРАЕКТОРИИ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ Ш
Определим величины большой и малой полуосей эллипса (4.14). Величина боль-
шой полуоси
'•тах + ''mln ₽ I 1 1 \ _ ₽
а~ 2 — 2\1— е ф 1+е/ 1— е* ’
или, учитывая соотношение (4.22),
°- v(2 —v)cos2 60 “ 2-v (4,32)
Из формулы (4.32) следует, что величина большой полуоси не зависит от
угла 0О и определяется только величиной начальной скорости р0.
Найдем теперь расстояние между фокусами эллипса 2с:
2с = 2 (0-rmin) = 2ае. (4.33)
Отсюда, кстати, видно, что эксцентриситет е-с/а. Малая полуось эллипса
b связана простым соотношением с величинами а и с:
Ь = = а уТ^=/ар. (4.34)
Изучим характер
v = t'o/t'i При v0>vk.
изменения траекторий спутников в зависимости от
Для простоты положим- что 0О = 0. Из (4.20) тогда
следует
sinipo = O, cos q>o = —~ (—-1V (4.35)
в \ Г Q /
Имея в виду, что прн 0о = О согласно (4-23)
е = ]/1 — v (2—v)== | V— 11 и, кроме того,
p = rov, получим
С05фо= | (4-36)
Прежде всего остановимся на случае, когда
v> 1; из (4.36) имеем
। v— * 1
cos ф0=_—=1.
Следовательно, ф0 = 0 и положительное на-
правление полярной оси совпадает с направ-
лением ОА0 (рис. 4.5). Напомним, что мы ус-
ловились считать е >. 0. Это эквивалентно
выбору положительного направления поляр-
ной оси от притягивающего центра через пе-
ригей.
На рис. 4.5 показаны три траектории
спутников при различных значениях начальной
скорости (цх < г?о < и2) и 6о = О- Это семейство
в точке О и перигеем в Ао.
эллипсов с общим фокусом
Обратимся теперь к случаю v<l. При этом е = 1— v и в соответствии
с (4.36)
' V — 1
со8ф0 = т—_=_],
т. е. фо=л. Следовательно, направление на перигей противоположно ОА0,
Точка Ао становится апогеем, и семейство эллипсов (o*<vo<Vi) имеет вид,
изображенный на рис. 4.6,
112
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
[ГЛ IV
Уравнения эллипсов (4.14) при 6о = О принимают вид
г____________________________трУ
(4.37)
1 + I V — 1 I cos ф ’
Перигейное расстояние находится из (4.37) при ф = 0. Заметив, что при у>1
|v—l|=v— 1, а при v<l |v— 1 | = 1—v,
получим
min 'о
Полагая в
_ Г0У
min 2______v
последней формуле = найдем
Аналогично,
расстояние
ГрУ
'max — 2 —V
2R
4R + h-
при ф = л, определим
апогейное
max 'о
Большая полуось эллипса
(4.34); при этом е2 —(1—v)2,
r0
а~2—у ’
определяется по формуле (4.32), а
b = a]f 1 — e2 = a]/rv (2 — v).
малая из
(4.38)
Найдем теперь период обращения спутника по эллиптической орбите.
Исходя из интеграла площадей, имеем
S=ct,
где S —площадь, описываемая радиусом-вектором точки за время t, с —сектор-
ная скорость.
За время Т полного оборота спутника радиус-вектор опишет полную пло-
щадь эллипса S = nab. Следовательно, должно выполняться равенство
лаЬ = сТ.
Вспомним, что согласно (4.18) и (4.34)
Ь = \'ар, с = у Кpg/?2 •
Теперь получим
Г = яТ = 2л]/^2- (4.39)
Таким образом, для двух спутников, движущихся по различным эллипти-
ческим орбитам с большими полуосями ах н а2 и периодами обращения Тх и
Т2, имеем
Отсюда выводится известное соотношение
TJ
Т1 а* •
§4 51
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПОЛЕТА
113
Эга формула справедлива не только для задач о движении спутников Земли,
но и вообще для -случаев движения материальной точки по эллиптической
орбите вокруг любого притягивающего центра. Применительно к Солнечной
системе эту формулу установил путем обработки наблюдений И. Кеплер (тре-
тий закон Кеплера).
§ 4.5. Определение времени полета
по эллиптической орбите (уравнение Кеплера)
Пусть движение спутника происходит по эллипсу с полуосями а ч b
(рис. 4.7). Опишем из центра эллипса окружность радиусом, равным большой
полуоси. Через точку А на эллипсе проведем линию, перпендикулярную
к линии апсид (оси х). Пусть точка пересечения этого перпендикуляра с окруж-
ностью будет Al. Угол Е между отрезком О1Д1 и линией апсид называется
эксцентрической аномалией. Найдем связь между углами Е и if (истинной
аномалией). Из рассмотрения рис. 4.7 следует, что
a cos Е — г cos ф = с,
где с—половина фокусного расстояния. Подставляя в это выражение (см. фор-
мулу (4.14))
Р
1 -j- е cos ф ’
будем иметь
„ р cos ф
a cos Е----------—г
1 + е cos ф
Так как е = с/а и р/а=1—е2, то
„ с , р cos ф е -4- cos ф
cos —_____ - *___. — ___ 1 ♦
а 'а 1 + е cos ф 1 + е cos ф ’
(4.40)
= с.
отсюда следует, что
Рис. 4.7.
, cos Е — е
cos ф = 1(4.41)
т 1 — е cos Е
Если теперь в уравнении траектории (4.14) заменить угол ф с помощью
выражения (4.41) иа угол Е, то получим
г = а(1—ecosE). (4.42)
Для дальнейшего нам необходимо определить еще и sin ф. По свойству эллипса
имеем (см. рис. 4.7)
В соответствии с рис. 4.7 получим
AiB = asmE, ДВ = гзшф
и, следовательно,
a sin Е
Используя выражение (4.42), будем иметь
sin ф
_ К1 — е2 sin Е
1 — е cos Е ‘
(4-43)
114
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
Перейдем теперь к определению времени полета спутника. Для этого вос-
пользуемся интегралом площадей (4.2):
г2 г2
^~2с^~2с^’
так как -ф = <р—е. В соответствии с формулой (4.42) получим
а2(1— ecosE)2
dt = —i----------->- йф. (4.44)
На основании зависимости (4.41) имеем
. ... sin Е (1 —е2) dE
sin ф dip = ——----4—_.
т (1—ecosE)2
Отсюда, учтя соотношение (4.43), получим
,, КТ-’-ё2 dE
йф = -i-------FT.
1 — е cos Е
Следовательно, выражение (4.44) может быть переписано в виде
Д2 1/[ — е2
d< = (1 — е cos Е) dE,
или
Е
— = \ (1 —е cos Е) dE,
О
где t0 — момент времени прохождения через перигей,
2с 2с(1—е2)3^2
а2 КТ^ё2 “ р2
После интегрирования найдем
Е—е sin Е — п (t^t0). (4.45)
Полученное уравнение носит название уравнения Кеплера.
Уравнение Кеплера устанавливает связь между эксцентрической анома-
лией Е и временем движения точки.
Для того чтобы определить положение точки в данный момент времени,
следует по уравнению Кеплера определить угол Е, соответствующий данному
моменту времени, затем по найденному Е, используя формулы (4.41) и (4.42),
определить фиг.
Решению уравнения Кеплера посвящено много работ. Изложение спосо-
бов его приближенного решения можно найти в курсах небесной механики.
В качестве примера применения уравнения Кеплера определим период
обращения точки по эллиптической орбите.
Так как /0 —момент времени прохождения через перигей, то при / =
где Т — период обращения, Е = 2л. Из уравнения Кеплера получаем
пТ = 2л.
Отсюда
Г = —
п
Так как
_ 2с (1 — е2)3/2
— р2 >
§ 4.5]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПОЛЕТА
115
а р2 = а(1—е2)= — (см. § 4.3), то п=у и
Г = 2Л
Эта формула была уже нами получена в § 4.4.
В заключение этого параграфа найдем выражения для проекций скорости
и ускорения точки на радиальное и поперечное направления при ее движении
по эллиптической траектории через эксцентрическую аномалию.
Так как иг = Л и ур = гф —гф, то в соответствии с формулой (4.42) имеем
. „dE Z1 r^W'dE
vr=aesmE^, Op = a(l-e cos E)-^.
Ранее было найдено
dip ]/1 —e2
dE 1—e cos E ’
а из уравнения (4.45) следует, что
Отсюда
dE _ п ап
dt 1—е cos Е г
Таким образом
a2en sin Е а2п К1 —е2
vr =----------, v„ =-----------------.
г г > р г
Морулъ скорости будет
_ т—- а2п i/~i--------5---гк 1 Г 1 +е cos Е
v = T/ и2 + и2 = —- V 1 — е2 cos2 Е = ап I/ т—!---—,
’ ' р г К 1—ecosE
Косинус угла между вектором скорости и радиусом-вектором материальной
точки равен
, „ vr е sin Е
cos (v, г) = — = - .....-
и ]1—e2cos2E
Для получения проекций ускорения на радиальную и поперечную оси
используем равенства
mwr=Fr, mwp = Fp,
где Fr— — mgR , Ер = 0. Отсюда
wr = -^-, wp — 0
Модуль ускорения равен
gR2 п2а3
w = = —s—.
г2 г2 ’
так как
у а3-
116
движение точки в центральном силовом поле
[ГЛ. IV
§ 4.6. Траектории, пересекающие земную поверхность
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением только тех эллип-
тических траекторий (е < 1), которые
где
все
Рис. 4.8.
пересекают земную поверхность.
Условием пересечения траектории
с земной поверхностью является нера-
венство (см. § 4.4)
и2
-|[(R+/i)2 cos® 0О—Z?2J <
и1
Это условие будет выполнено, если
cos 60 < cos 6*,
cos 6*
_R_
R + h'
Следовательно, если 60 > 0*, то
траектории (эллипсы) пересекут
земную поверхность.
Если же 60 < 6J, то земную по-
ектории, для которых начальная
верхность пересекут только те тра-
скорость удовлетворяет неравенству
2Rh
и° 1 V (Я + /г)2соз20о-Я2 •
(4.46)
Рассмотрим траекторию, которая изображена на рис. 4.8.
Найдем угол ф! (см. рис. 4.8) между прямой ОА0 и большой осью эллипса.
Для апогея созфт =—1, следовательно, фт = л; но фт = ф0-|-ф1, значит,
ф1 = л —ф0. (4.47)
Так как в точке До выполняется равенство
Г° 1 -|- е cos фо ’
то
' , Р — Го , р — Го
cos фо = ог и Фо = arccos —
ег0 его
Таким образом, учитывая, что p = rov cos2 60, имеем
, v cos2 0о—1
фг = л — arccos---------------
или
ф! = arccos
1 — у cos2 0р
е
(4.48)
Выразим длину дуги окружности радиуса г0> проходящей через точки До
и Во, через величину v0 и угол 0О. В силу симметрии эллипса относительно
его большой оси имеем
S« о =2г ф .
Ао&о 0’1
Принимая во внимание формулу (4.48), получим
SAoBo=2/'»arccos
1 — V COS2 00
е
(4.49)
§ 4 6]
ТРАЕКТОРИИ, ПЕРЕСЕКАЮЩИЕ ЗЕМНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
117"
Длина дуги АВ определяется формулой
sab — •
(4.50>
При h R эту величину будем считать дальностью полета на пассивном
участке траектории (см. рис. 4.8).
Исследуем характер зависимости угла ipj от угла 0О при различных фикси-
рованных у, т. е. Vq.
Запишем формулу (4.48) в виде
cosip!
1 — v cos2 So
К1 — v (2 — v) cos2 So
(4.51>
При v = 2 формула (4.51) принимает вид
cos ipt = 1 — 2 cos2 60=— cos 26o
и, следовательно,
ip! = n— 26O.
При v=l имеем _________
cos ipi = К1 — cos2 60 = sin So,
t. e.
ip! = f - So-
Найдем теперь значение угла 0O, при котором грх имеет максимальное зна-
чение при данном фиксированном у. Введя в формуле (4.51) замену z = cos2 60»
получим
, 1 — ZV
cos гр, — ..... .
j/l-v(2-v)z
(4.52)-
Продифференцировав это выражение по г, найдем
— sin ipi ~v (2~v) г] + (1—уг) (2 —у) у
dz
[1—у(2—у) г]3/2
Приравняв нулю числитель правой части этого равенства, получим урав-
нение для определения того значения z, при котором грх имеет максимальное-
значение:
2 [1 — у (2 —v) г] —(1 —vz) (2 —у) = 0.
Отсюда
г = cos2 60 = 2~(;- (4.53)
Следовательно, ipi имеет экстремум только при v< 1. Формулу для опре-
деления максимального значения грх найдем, подставив результат (4.53) в вы-
ражение (4.52): ____
cosip^ax = --|^~V . (4.54)
Определив из выражения (4.53) у и подставив это в формулу (4.54),
получим cos ip™ax = sin 260.
Отсюда 1р7ах=у-2б0. (4.55)
sai8
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
[ГЛ IV
Из этой зависимости вытекает, что угол будет максимальным при за-
данном v, если
ео = Т“¥- (4-56>
На рис. 4.9 построены зависимости ipi от 0О при различных значениях v.
•Пунктиром показана линия максимумов (4.55).
Рис. 4.10.
е. v0) задано, определим угол 0О для получения
Предполагая, что v (т.
необходимого угла фи при условии пересечения траекторией земной по-
верхности.
D
Рассмотрим сначала случай v = Vi < 1. По формуле cos 0*= , находим
R-\-h
угол 0* (заметим, что при h < R угол 0J близок к нулю). Из рассмотрения
рис. 4.10 видно, что при Vi < 1 заданный угол фп < л/2 может быть достиг-
нут при двух значениях угла 0О:
0o = 6oi> 60 = 602 (Ooi < 0о2).
Если 0Q2 < 6*> то обе траектории пересекут земную поверхность только при
(см. условие (4.46))
2Rh
поверхность только
1 (R + /i)1 2cos20ol-R2 ’
то траектория, полученная при 6o = 0oi» пересечет земную
при
2Rh
1 (R + Л)2 cos2 0О1 - R- '
.При 0М > 0* обе траектории пересекут земную поверхность.
S 47]
ЗАДАЧИ
11»
Этот же заданный угол фц -может быть достигнут при
, л Фи
(4.57>-
но уже при v2 < Vi, т. е. при меньшей начальной скорости (см. рис. 4.10),
Значение v = v2, при котором заданное значение фи достигается при 0О —
Л _Ф11
4 2
, найдем, используя формулу (4.53):
1 __ 2 cos 260____2 sin фи
cos2 So ~ l+cos20o 1 + sin фи '
Отсюда следует, что начальная скорость должна быть равна
1/ 2 sin фи
(4.58>-
Формулы (4.57) и (4.58) даю' возможность по заданному углу "Ф11 найт»
угол 0О и минимальную начальную скорость о0, обеспечивающие получение-
этого угла фи-
Пусть v = v3>l. В этом случае заданное ф1 = фп или ф1=ф12 может
быть достигнуто только при одном значении угла 0о = 0$з или 0О = 0’8 (см,
рис. 4.10). При этом, если 0* <0« (0* <0оз)> то траектория пересечет земную
поверхность при любом v < 2. Если же 0J > (0£>0„3), то пересечение
произойдет только при выполнении условия (4.46).
§ 4.7. Задачи
Задача 4.1. Спутник движется по круговой орбите на высоте h от поверх-
ности Земли. Какую дополнительную скорость нужно сообщить спутнику,
чтобы он перешел на параболическую орбиту?
Спутник, двигаясь по окружности вокруг Земли на высоте h, имеет кру-
говую скорость, равную
v .... Л Г sR2
1 V R+h'
Для того чтобы спутник перешел на параболическую орбиту, он должен при-
обрести параболическую скорость, соответствующую высоте h, т. е.
v
2 V R + h-
Следовательно, спутнику нужно сообщить дополнительную скорость, равную-
рд = р2-Н1=1/'(К2-1).
Г К ~Г<1
Пусть Л = 200 к,и = 2-105. м, радиус Земли R = 6,37 • 10е м, g = 9,81 м]сек?,
тогда
Рд = 3219 м]сек.
Задача 4.2. На какой высоте h следует запустить спутник по круговой
орбите, чтобы период обращения его равнялся периоду обращения Земли во»
круг своей оси (24 часам) *).
*) Если орбита спутника лежит в плоскости экватора и направление дви-
жения совпадает с направлением вращения Земли, то спутник будет все время
располагаться над одной и той же точкой земной поверхности; такой спутник ,
называется стационарным,
120
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
Из формулы для периода обращения (4.39) следует, что
аз=т.2
4л2 •
Так как орбита круговая, то a = R-srh,
. Подставляя g-=9,81 м'сек1-, R = 6,37 10е м, Т =8,64- 104 сек, находим
h = 35 630 км.
Задача 4.3. Найти начальную скорость, необходимую для того, чтобы тра-
ектория спутника представляла собой эллипс с заданным отношением между
максимальным и минимальным расе оянием от центра Земли. Принять, что
0о = О, т. е. в начальный момент спутник находится на главной фокальной оси
(линии апсид).
При решении будем различать два случая: 1) начальная скорость больше
круговой скорости, т. е. начальная точка является перигеем орбиты; 2) началь-
ная скорость меньше круговой скорости, т. е. начальная точка является апо-
геем орбиты.
В первом случае, когда v> 1, обозначим
rmax=,<r<)’ rmin = ro>
где х> 1—заданное число. Пользуясь формулой (4.37), имеем
v _
гтах 2____V Г°’ rmin г°’
отсюда
v 2х
X=S----- и v=7-;-----.
2—v 1-|-х
'Так как v = vl/vf, где Oi = Kg/?2/ro > то искомая начальная скорость равна
1 Г 2х
1 + X
Большая и малая полуоси соответственно равняются а==—г0, Ь=Гцух.
На рис. 4.5 возле каждого эллипса указаны соответствующие значения х=
= 1,4, 9.
Во втором случае, когда v < 1, удобно обозначить
rmax=r°’ rmin х1г0'
причем xj является заданным числом, меньшим единицы. Пользуясь формулой
.(4.37), найдем, что
_ _ v
^max r°' rmin 2______v Г°
и Xj выражается формулой
v
^=2=Т-
Отсюда находим
2х! Г 2xi __
v=i+^ и w
§ 4.7]
ЗАДАЧИ
121
При этом, если Xi> RJra, то эллипсы не пересекают поверхность Земли
(см. рис. 4.6); если же HiCR/ro, то эллипсы пересекаются с поверхностью
Земли (такие траектории могут быть использованы для так называемых субор-
битальных полетов). Соответствующие эллипсы изображены на рис. 4.11 при.
Xi = 0,2; 0,4.
Задача 4.4. Спутник, движущийся по круговой орбите А радиуса rAt
переводят на круговую орбиту В радиуса гв (гв> гл).
Для этого сначала переводят спутник с круговой орбиты А на эллипти-
ческую орбиту, апогей которой расположен на расстоянии гв от центра Земли
(рис. 4.12); а затем, сообщив дополнительную скорость, переводят на круговую
орбиту В. Определить величины дополнительных скоростей, которые следует
сообщить спутнику на орбите Айв апогее переходного эллипса, чтобы выпол-
нить предполагаемый переход с орбиты А на орбиту В.
При движении по орбите А спутник имеет скорость
V = 1/^-
1Л У га'
Для перевода спутника на эллиптическую орбиту, расстояние апогея-
которой от центра Земли равно гв, его скорость должна быть увеличена.
Величина необходимой скорости была найдена в задаче 4.3 и равна
-1 Г 2х
где Х = г/
Следовательно, добавочная скорость, которую нужно сообщить спутнику,
будет
Скорость спутника vB в апогее эллипса найдем из интеграла площадей
VArA = vBrB-
Отсюда
rA VA / 2
Vj3~Va^b~^~V1AV
122 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ [ГЛ. IV
Так как иа орбите В круговая скорость спутника должна быть равна
то величина дополнительной скорости, которую следует сообщить спутнику
для перехода на орбиту В, будет равна
^=^-^="14 V ~~V1A У мгЬо)-
Суммарное увеличение скорости спутника при переходе с орбиты А иа
орбиту В определяется соотношением
л , * /х — 1 1 / 2 , 1
Д1о + Дас; = о1д —т— 1/ -j— + —11.
1л\^х г 1+х /х /
ГЛАВА V
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§5.1. Определение несвободного движения. Связи.
Принцип освобождаемое™
В первой главе при формулировке основных задач динамики*
точки мы исходили из предположения, что на движение точки
не наложено никаких ограничений, т. е. все ее три координаты
могут меняться любым образом. Надлежащим выбором закона
изменения силы F и начальных условий можно заставить мате-
риальную точку двигаться по любой траектории. Примером может
служить движение управляемого космиче-
ского корабля. В подобных случаях мате- О__________
риальная точка называется свободной, а ее &
движение — свободным движением. / \i
В других случаях на движение могут \
быть наложены те или иные ограничения. •
Рассмотрим, например, материальную точ-
ку, находящуюся на конце нерастяжимого Рис. 5.1.
стержня длины I, другой конец которого
с помощью шарнира закреплен в неподвижной точке О (рис. 5.1).
При любых силах, приложенных к материальной точке, она совер-
шает движение по поверхности сферы, радиус которой равен длине
стержня. Координаты точки не будут независимыми, так как он»
должны удовлетворять уравнению сферы
х24-г/24-г2 —/2 = 0. (5.1)
Из этого уравнения одна из координат, например координата
х, может быть выражена через остальные две:
х = ± К/2 — У2 — г2. (5.2)
Скорость точки всегда располагается в касательной плоскости,
проведенной к сфере в точке, где находится в данный момент
материальная точка.
Таким образом, в рассматриваемом примере начальные усло-
вия не могут быть выбраны произвольно, так как координаты
начального положения должны удовлетворять уравнению (5.1),
424
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ V
а начальная скорость должна быть расположена в касательной
плоскости, проведенной к сфере в точке начального положения
материальной точки.
Итак, существуют случаи движения материальной точки, когда
некоторые ограничения вынуждают точку совершать движение по
строго фиксированной поверхности (в рассматриваемом примере
таким ограничением является стержень). Можно привести при-
меры, когда ограничения принуждают материальную точку дви-
гаться по строго определенной линии (например, кольцо, наса-
женное на изогнутую проволоку, будет двигаться только вдоль
проволоки). Ограничения также вынуждают материальную точку
двигаться лишь в некоторой части пространства. Во всех этих
случаях независимо от действующих сил координаты точки опре-
деленным образом связаны между собой и выбор начальных
условий не может быть произвольным.
Будем называть материальную точку несвободной, если вслед-
ствие тех или иных ограничений она при действии на нее любых
сил совершает движение по строго фиксированной линии, поверх-
ности или находится все время в строго фиксированной части
пространства. Движение такой точки называется несвободным, дви-
жением.
Ограничения, благодаря которым материальная точка вынуж-
дена совершать несвободное движение, называются связями; это
понятие уже встречалось в курсе статики.
При изучении несвободного движения пользуются также зна-
комым из курса статики принципом освобождаемости, который
заключается в следующем, при рассмотрении несвободного движе-
ния следует действие связей на материальную точку заменить
реакциями этих связей и рассматривать материальную точку
как свободную, но находящуюся под действием как сил активных,
так и реакций связей. Если обозначить через F равнодействую-
щую всех активных сил, приложенных к точке, а через R —рав-
нодействующую всех реакций связей, то основное уравнение
динамики примет вид
mw = F-|-R. (5.3)
Следует иметь в виду, что реакция связи неизвестна и может
возникнуть задача об определении этой силы.
В проекциях на оси системы координат Охуг в соответствии
с уравнением (5.3) получим
mx — Fx-\-Rx, ту = FU + Ry, mz = Fz + Rz.
Эти уравнения позволяют решать задачи, когда заданы дви-
жение и активные силы и требуется определить реакции, а также
когда заданы активные силы и требуется определить закон дви-
жения и реакции.
§ 5 2]
УРАВНЕНИЯ СВЯЗЕЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ
125
§ 5.2. Уравнения связей; классификация связей
Независимо от фактической реализации тех или иных связей,
наложенных на материальную точку, они могут быть заданы
аналитически. Уравнения линии или поверхности, по которым
совершает движение точка, называются уравнениями связи. Если
точка принуждена оставаться в некоторой области пространства,
то связь аналитически задается в виде неравенств.
Если материальная точка движется по линии, то уравнения
связи имеют вид
fi(x, у, г) = 0, f2(x, у, z) = 0, (5.4)
где /у (х, у, г) = 0 и f2(x, у, г) = 0 —уравнения тех поверхностей
линией пересечения которых является траектория точки. В слу
чае плоского движения по заданной кривой уравнение свя
зи можно записать в форме
f(x, у) = 0. Например, в кри-
вошипно-шатунном механизме
(рис. 5.2) точка А шатуна движет-
ся по окружности радиуса, рав-
ного длине кривошипа. Уравне-
ние связи получает вид
х*а + у*а-г2 = 0.
Рис. 5.2.
Ползун В движется по прямой, и для него уравнение связи имеет •
вид ув = ®- Неизменность расстояния между А и В выражается
уравнением
(хл —хв)2 + г/д =/2.
При движении точки по поверхности уравнением связи является
уравнение этой поверхности
f(x, у, z) = 0. (5.5)
Уравнение сферы (5.1) в рассмотренном выше примере и является
уравнением связи. Заметим, что если в этом примере вместо
стержня взята гибкая нерастяжимая нить, то точка получит воз-
можность совершать движение не только по поверхности, но и
внутри сферы радиуса, равного длине I нити. Вместо уравнения
связь в этом случае аналитически задается неравенством
х2 + у2 + г2-/2^0. (5.6)
Следовательно, если “какая-либо поверхность, определяемая урав-
нением f (х, у, z) = 0, ограничивает область движения точки, то
вместо уравнения связи следует взять одно из неравенств:
f(x, у, z)«sO (5.7)
126
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
(ГЛ. V
ИЛИ
fix, у, z)2s0.
Перейдем теперь к классификации связей.
Если связь со временем не меняется, т. е. время t явно1
в уравнение связи не входит, то связь называется стационарной
(склерономной). Таковы, например, связи, удовлетворяющие усло-
виям (5.4), (5.5) и (5.7).
Если же связь изменяется во времени заданным образом, то
уравнение связи содержит явно время t. Такие связи называются
нестационарными (реономными).
Например, если длина стержня I на рис. 5.1 будет изменяться
по какому-либо заданному закону, в частности, пусть / = /оф-
-J- a sin at (10>а), то уравнение связи будет иметь вид
х2 + у2 + г2 — (/0 + a sin at)2 = 0.
Следовательно, в общем случае при изменении связей во вре-
мени они могут быть заданы следующим образом:
при движении точки по поверхности
f(x, у, г, Z) = 0; (5.8)
при движении точки по кривой
0(х, у, г, 0 = 0, f2(x, у, г, 0 = 0; (5.9)
при движении точки в ограниченной области
~f(x, у, г, /)=с0 или f(x, у, г, 0^0. (5.10)
Связь называется удерживающей, если уравнение связи имеет
вид равенства, как, например, уравнения (5.4). Это означает,
что при любых условиях точка движется по заданной поверх-
ности или кривой. Связи, которые задаются с помощью нера-
венств, например, в виде (5.7) или (5.10), называются неудержи-
вающими.
Примером неудерживающей связи служит связь, определяемая
неравенством (5.6). Следовательно, связь является неудерживаю-
щей, если точка может покидать ее в какую-либо одну сторону.
Наконец, введем еще понятие об идеальной связи. При дви-
жении точки по поверхности или по кривой реакция связи может
быть разложена на нормальную и касательную составляющие.
Касательная составляющая реакции представляет собой силу
трения. Очевидно, что чем более гладкой будет поверхность или
кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции.
Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция
будет направлена по нормали.
Для точки идеальными связями будем называть связи без тре-
ния, реакции которых не имеют касательных составляющих *).
*) Более полное определение идеальных связей будет приведено в главе XVIII.
§5 31 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 127
§ 5.3. Движение точки по гладкой неподвижной поверхности
Для изучения движения материальной точки по поверхности
используем уравнение (5.3).
В проекциях на оси системы координат Охуг имеем
mx = Fx-\-Rx, ту =Fy + Ry, mz = Fz-\-R1,. (5.11)
Эти три уравнения содержат шесть неизвестных: три координаты
точки (х, у, г) и три неизвестные проекции Rx, Ry, Rz реакции.
Но, как мы видели, координаты точки должны также удовлетво-
рять уравнению поверхности, по которой движется точка. Это
дает четвертое уравнение
f(x, у, z) = 0. (5.12)
Конечно, четырех уравнений для определения шести неизвестных
недостаточно. Для получения двух недостающих уравнений
используем условие идеальности связи.
Так как поверхность, по которой движется точка, идеально
гладкая, то реакция направлена по нормали к поверхности.
Г радиент
grad/^i+fj + fk
6 ' дх 1 ду ’ 1 дг
представляет собой вектор, который также направлен по нормали
к поверхности.
Условие коллинеарности реакции R и grad/ и дает недостаю-
щие два уравнения:
Rx__Ry__Rz _
дх ду дг
Таким образом, уравнения (5.11) —(5.13) в принципе дают
возможность решить задачу о движении точки по гладкой непод-
вижной поверхности. Из уравнений (5.11) и (5.13) можно исклю-
чить реакции связей. Для этого обозначим равные Отношения
(5.13) через X, т. е.
Rx__Д,/ __Rz_«
5/ ~д£~дГ~^'
дх ду дг
Тогда-
и уравнения (5.11) теперь примут такой вид:
mxx=Fx + ^x, my = Fy + Xdl, mz = Fz + ^. (5,15)
128
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
Присоединяя к этим уравнениям уравнения связи (5.12),
получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными
х, у, z и После отыскания этих неизвестных по формулам
(5.14) можно определить проекции реакции. Модуль реакции равен
R = VRi + Rl+Rl = IX11/" (|)2 + Ш + g)2. (5.16)
Реакция определяется выражением
R = + = X grad f.
\dx 1 ду 3 дг / ь '
Уравнения (5.15) называются уравнениями Лагранжа первого рода.
Задача 5.1. Рассмотрим движение тяжелой материальной точки массы tn
но внутренней поверхности цилиндра
радиуса г; ось цилиндра горизонтальна
(рис. 5.3). Совместив начало коор-
динат с какой-либо точкой оси ци-
линдра, направим ось х вертикально
вниз, ось у — горизонтально по ра-
диусу цилиндра, а ось г —по оси ци-
линдра.
Примем, что в начальный момент
положение точки определяется коор-
динатами х=0, у —г, z = 0. Положим
также, что начальная скорость на-
правлена параллельно оси цилиндра
и равна у0. Это значит, что в началь-
ный момент
х = 0, д/ = 0, z~u0.
На материальную точку действуют сила тяжести mg и реакция R, направ-
ленная по радиусу. Уравнение связи (цилиндрической поверхности) имеет вид
f (х, у, г) = х2+$/2 —г2=0.
Подставим Fx=mg, Fy = Fz = Q, ^=2х, -|~ = 2У и -|j-=0 в уравне-
ния (5.15). В результате получим
mx = zng-|-2Xx, ту = 27.у, mS = 0. (5-17)
Из третьего уравнения системы (5.17) после интегрирования и использо-
вания начальных условий получим
т. е. расстояние от начальной плоскости ху растет пропорционально времени.
Умножая первое уравнение системы (5.17) на у, второе уравнение — на х
и вычитая из первого уравнения второе, найдем
т (xy — yx) — mgy.
Умножая теперь первое уравнение системы (5.17) на х и складывая его
о вторым уравнением, умноженным на у, будем иметь
tn(xx+yy) = mgx+2‘k (х2+у2). (5.18)
§5 3] ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 129
Перейдем к цилиндрическим координатам
х=гсо8ф, У —г sin ф, 2 = 2.
Так как
Х = —Гф Sin ф, // = гфсСвф,
X — — rq> sin ф — гф2 cos ф, у = гф cos ф — гф2 sin ф,
то уравнения (5.17) и (5.18) примут вид
тгг ф=— mgr sin ф,
или
<р-|-у8Шф=0 (5.19)
и
— /пг2ф2 = mgr cos ф+2V2. (5.20)
Записав уравнение (5.19) в виде
0
ф с!ф =—у- sin ф dtp,
после интегрирования получим
Ф2 £
-77- = — COS ф + С.
2 г т
Так как ф = л/2, ф = 0 при t = 0, то с = 0 и, следовательно,
ф2 = -у^-со8ф. (5.21)
Из этого уравнения видно, что при выбранных начальных условиях дви-
, , л л л
жение будет происходить в области, где со8ф>0, т. е. при —^-СфС-^-.
Подставляя выражение (5.21) в уравнение (5.20), будем иметь
. 3/ng
Л =----н-5 cos <р.
2г
В соответствии с формулами (5.14) получаем
Rx = k 'gr=— 3/ng cos2 ф,
Ry = X = — 3mg sin ф cos ф,
/?г=0.
Модуль реакции равен
R = 3mg cos ф.
Реакция равна нулю при ф = ±л/2. Максимальное значение реакции будет
при ф = 0 и равно R — 3mg.
Для определения закона изменения угла ф нужно проинтегрировать урав-
нение (5.19). Это'будет сделано в § 5.5.
6 Н. В. Бутении в др.
130
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
§ 5.4. Движение точки по гладкой неподвижной кривой
При движении материальной точки по кривой уравнения связей имеют вид
fi (х, У, z)=0, /2 (х, у, г) = 0, (5.22)
где fi(x, у, г) = 0 и f2(x, у, г) = 0 — уравнения поверхностей, линия пересе-
чения которых является траекторией точки (рис. 5.4).
В этом случае в уравнении (5.3) реакцию R следует рассматривать как
сумму реакций, т. е.
R = Ri+R2, (5.23)
где Ri и R2—реакции, заменяющие действие соответственно первой и второй
связи, уравнения которых имеют вид (5.22). Поэтому дифференциальные урав-
нения движения запишутся в виде *
mx = F x4"Rix + ^2x>
тУ—Fy-f- + (5.24)
m2 = Fz -J- /?1г R2z.
Эти уравнения содержат девять неизвестных: три координаты и шесть проекций
реакций.
Присоединяя к уравнениям (5.24) два уравнения связи (5.22) и условия
идеальностей связей
Riy Riz
(5’25)
дх ду дг
и
дх ду дг
получим девять уравнений с девятью неизвестными. Из этих уравнений можно
исключить проекции реакций. Для этого отношения в выражениях (5.25) и
(5.26) соответственно обозначим через и Х2 и получим
р A dfl р б д/1 (5.27)
р 1 р Л ^2 R -1 (5,28)
§ 5.4]
движение точки по гладкой кривой
131
Следовательно, уравнения (5.24) примут следующий вид
mx = Fx + lkl — + A-2 3^ ,
A * dx dx ’
my = Fy + ^ + ^d^,
(5.29)
Система (5.29) совместно с уравнениями связи (5.22) образует систему
пяти уравнений с пятью неизвестными х,
Реакции Rj и R2 определяются формулами
i+4i
dy
i-Ji- j + -^-kj = A.2grad f2.
Модули этих реакций равны
Ri = b,
R2 — Х2
Ri = i Ki |
r2=im

г, Aq и Х2.
А.1 grad fi,
f, (5.30)
О
Рис. 5.5.

Задача 5.2. По проволоке, имеющей форму параболы,
уравнения связи (параболы) имеют вид (рис. 5.5)
Л(х, у, г) = 2у — х2 = 0,
/2(х, у, г) = г = 0.
Найти реакцию связи при нулевых начальных
Подставляя
условиях,
движется
колечко;
(5.32)
*L = - 2x,
dx
ox
в уравнения (5.29), получим
dfi о
ду
> = 0,
dy
^=o,
dz
dfz .1
dz
mx = mg—2А-1 х, 1
mj( = 2A,1, У
/nz = A,2. J
Из второго уравнения связи имеем 2 = 0 и, следовательно, к2 = 0.
Умножая теперь второе уравнение на х и складывая его с первым урав-
нением, получим
(5.33)
x + xy=g.
Так как согласно уравнениям (5.32) у = ^х2, то
у=хх и у = х2-]-хХ.
Подставим полученное выражение у в уравнение (5,34);
X (1 +x2) + xx2=g.
(5,34)
Заменив
dx dx .
* = -^- = т~ x>
dt dx
б»
132
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
найдем
(хх2—g) dx-J-x (1 + х2) dx = 0.
Это уравнение в полных дифференциалах, и его решение имеет вид
x2(l+x2) — 2gx = C,
где С — постоянная интегрирования.
При нулевых начальных условиях (х = у = 0, х=у = 0 при t = 0) полу-
чаем, что С =0 и, следовательно,
х2(1+х2) —2gx=0,
или
2gx
1+х2 '
(5.35)
Продифференцировав выражение (5.35) по времени, найдем
2хх
_ 2g (1+х2) —2gx2x *
(1 + х2)2
откуда
,, g(l-*2)
(1 + Х2)2 •
Учитывая, что у — х2 + хИ, получим
g*(3 + *2)
у (1+х2)2 ‘
Тогда на основании второго уравнения системы (5.33) имеем
. _ /ng х(3 + х2)
1 2 (1+х2)2 •
Конечно, это же выражение можно получить и из первого уравнения системы
(5.33). На основании формул (5.27) можно выразить проекции реакций через
абсциссу колечка:
О дК_________*2(3 + х2)
Rx K1 дх ~~ 8 (1+х2)2 ’
n %т х (3 + х2)
Ry~^ ду 8 (1 + х2)2 •
Найдем скорость колечка в зависимости от его абсциссы. Так как у=х& и
учитывая, что х>0, имеем
v = Ух2 + у2 = х V1 + х2>
или, принимая во внимание равенство (5.35),
o = K2gx-
Этот результат можно было получить и сразу, применяя теорему об изме-
нении кинетической энергии. Действительно, так как работа реакции, направ-
ленной по нормали к кривой, равна нулю, то
ти2
~2~ = mgx
и
v = V 2gx>
§5 5]
ЕСТЕСТВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
133
Рассмотренный пример показывает, что нахождение реакций с помощью
уравнений Лагранжа первого рода (уравнений (5.29)) приводит к громоздким
выкладкам. Поэтому этот метод и не нашел широкого практического приме-
нения. В следующем параграфе будет показано, как эту задачу можно решить
значительно короче.
§ 5.5. Естественные уравнения движения.
Математический маятник
При изучении несвободного движения материальной точки по
неподвижной кривой иногда удобно использовать уравнение (5.3)
в проекциях на оси естественного трехгранника (глава I, § 1.3).
Эти уравнения имеют вид
mwx = Fx + Rx, mwn = Fn + Rn, mwb = Fb + Rb.
Подставляя сюда проекции ускорения
dvx v2 п
получим
= + m^ = Fn + Rn, Q = Fb + Rb. (5.36)
Уравнения (5.36) называются естгственными уравнениями дви-
жения. Из третьего уравнения следует, что бинормальная состав-
ляющая реакции определяется статически через бинормальную
составляющую активной силы и от закона движения точки не
зависит.
При заданных активных силах и известных уравнениях связи
уравнения (5.36) позволяют определить закон движения точки
и реакции связей. Заметим, что между проекциями реакции Rx,
Rn, Rb обычно существует простая связь.
При движении точки по шероховатой кривой проекция Rx
представляет собой силу трения скольжения. Модуль силы тре-
ния скольжения равен
\R,\=fVRn + Rl,
где / — коэффициент трения скольжения.
Сила трения скольжения всегда направлена противоположно
скорости, следовательно,
Rx = -fVRn + Rl>^-.
Если движение происходит по идеально гладкой кривой, то
Rx — 0 и естественные уравнения движения принимают вид
m^- = Fx, m^- = Fn + Rn, 0 = Fb + Rb. (5.37)
134
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
Отметим, что в этом случае первое уравнение служит для
определения закона движения, а второе и третье —для определе-
ния реакции связи.
При движении точки по плоской, неподвижной шероховатой
кривой уравнения (5.36) запишутся в виде
m^-^Fx+Rx = Fx-f^Rl + Rl^t
(5.38)
Для примера, рассмотренного в предыдущем параграфе, второе уравнение
системы (5.38) можно записать следующим образом (см. рис. 5.5):
mv2 п
——- = R — mg sm а,
где а — угол, образуемый касательной к параболе с осью х.
Исходя из уравнения параболы
</ = -*-*2-
имеем
p' = x = tga. (5.39)
Отсюда
X 1
sin ct = . cos ot = (5.40)
/1+%2 К i+*2
Из курса высшей математики известно, что радиус кривизны кривой нахо-
дится по формуле
(1+/2)3/2
у"
Учитывая соотношение (5.39), получим
Р= (1+х2)3'2 •
Так как v = ]/2gx, то
г, mv2 , 2gx х x(3 + %2)
R = ---F mg sin a = m -s ;y- + mg = mg —*——Лг .
p (l+%2)3/2 K* + *2 (l-j-x2)3/2
Следовательно,
„ x2(3 + x2) D x(3 + %2)
R*~ me (i+X2)2 • Ry~mg (i-p^ •
Применим теперь уравнения (5.38) для изучения движения
математического маятника.
Математическим маятником называется материальная точка,
движущаяся под действием силы тяжести по гладкой окружности,
расположенной в вертикальной плоскости. Практически это можно,
§ 5-5]
ЕСТЕСТВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
135
например, осуществить, подвесив материальную точку к невесо-
мой нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен. При
этом начальная скорость подвешенной точки должна распола-
гаться в вертикальной плоскости перпендикулярно к радиусу.
Положение точки будем определять углом <р, образованным
нитью с вертикалью (рис. 5.6). Если т — масса точки, то дей-
ствующая на точку сила тяжести равна mg. Пусть длина нити
равна I.
Так как
1Ч = ^Ф> = — mg sincp, Fn — — mg cos g),
то уравнения (5.37) будут иметь вид
mlip = — mg sin<p, т/ф2 =— mg cos g> + Rn‘,
при этом учтено, что реакция направлена вдоль нити и, следо-
вательно, Rx = 0.
Перепишем эти уравнения в следую-
щей форме:
g> + y sing> = 0, (5.41)
= т/ф2 +mg cos д>. (5.42)
Уравнение (5.41) служит для опреде-
ления закона движения маятника, а урав-
нение (5.42) —для определения реакции
нити.
Пусть в начальный момент (t = Q) нить
отклонена от вертикали на угол д> = гр0 и
отпущена с начальной угловой скоростью Ф = ФО. Определим ре-
акцию в зависимости от угла д>, а также и закон движения точ-
ки д> = д> (0-
Согласно уравнению (5.42) для определения Rn в зависимости
от угла д? нужно выразить величину ф2 через этот угол.
Представив ф в уравнении (5.41) в виде '
..___ d dg>.
Вспоминая, что при g> = g>0 Ф = Ф0, можем записать так:
1 Г ?
—-1 \ йф2 = — g I sin<р dg>,
<р*о «’»
136
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ V
откуда
/ф2 = 2g (cos <р — cos <р0)-НФо *)• (5.43)
Подставляя этот результат в уравнение (5.42), получим
Rn = m/фо + mg (3 cos <р — 2 cos <р0).
Пусть ц0 = /ф0 —начальная скорость точки; тогда
Rn = + mg (3 cos ф — 2 cos <p0). (5.44)
В частности, формула (5.44) позволяет найти угол ф = ф],
при котором для заданных начальных условий связь перестает
быть удерживающей (нить сомнется). Это произойдет, если Rn — Q'.
+ mg (3 cos q>x — 2 cos <р0) = 0.
Отсюда следует, что
cos фх = у (2 cos
Если потребовать, чтобы связь была удерживающей вплоть
до значения (р] = л, то начальная скорость должна равняться
Vo = r(3 + 2 cos (p0)gl\
при этом маятник будет совершать круговое движение. В частно-
сти, при фо = О получим
v0 = V5gi-
Если начальная скорость равна нулю, то фо = О и формула
(5.43) примет вид
/ф2 = 2g (cos <р — cos<p0). (5.45)
Следовательно, во все время движения должны выполняться
неравенства cos <р Sa cos ф0 и (рс <р0.
Перейдем к определению закона движения маятника. Вводя
обозначение k2 = gll, перепишем уравнение (5.41) в виде
ф + £2 sin <р = 0.
Рассмотрим сначала случай малых отклонений, когда можно
принять
Sin ф «а ф.
В этом случае дифференциальное уравнение движения
Ф ф- £2ф = 0
*) Этот результат можно получить короче, используя теорему об измене-
нии кинетической энергии (см. § 5.6).
§ 55]
ЕСТЕСТВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
137
совпадает по форме с дифференциальным уравнением свободных
линейных колебаний.
Следовательно, угол <р меняется по гармоническому закону
Ф = Фо cos kt 4--у sin kt.
Период малых колебаний маятника равен
Т = -^-=2л)Л-, (5.46)
т. е. при малых углах отклонения период не зависит от началь-
ного отклонения ф0 (колебания маятника изохронны).
Теперь найдем период колебаний маятника при любых углах отклонения <р.
Рассмотрим случай, когда колебания начинаются вследствие начального откло-
нения <ро, причем начальная скорость ф0 равна нулю.
Из уравнения (5.43) следует
-^- = ± у /2 (cos Ф —cos фо).
При возрастании угла ф здесь должен быть взят знак «плюс», а при обратном
движении — знак «минус».
При указанных начальных условиях движение начинается от значения
ф = ф0 в сторону уменьшения угла ф. В течение первого полупериода скорость
отрицательна и в последнем выражении должен быть взят знак «минус». Если
длительность полупериода обозначить через tlt то из выражения для скорости
следует равенство
«1 __— Vo
С <#=_/L С .
J г g J у 2 (cos (р — cos (ро)
отсюда находим
________________________________фо
~ S У 2 (cos ф —cos фо)
При обратном движении, т. е. при изменении угла ф от значения — фо до
значения ф0, скорость ф>0 и, значит,
to _Фо
С L С .... .
J г g J у 2 (cos (р — cos (ро)
О —(ро
где t2— время движения.
Отсюда
г-------------------------- Фо
^2 = 2 1/ - ( rf(P
2 ' g К 2 (cos ф — cos ф0) *
Период колебаний Т равен
_--- <Ро
1 = ^ = 2f d(f .
Г g J у cos (р — COS (ро
138
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ V
Входящий сюда интеграл не относится к числу элементарных. Преобразуем
его следующим образом. Так как
cos <р = 1 — 2 sin2 -2- f
то
Введем новую перемеииую ip:
• Ф
sm у
sin ib =-----------
• фо
s,n 2
Тогда
d<p =
2 sin cos ip dip
1 — sin2 sin2 ip
и, следовательно,
Интеграл
л/2
(5-47)
dip
sin2 <p
называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Значения этого
интеграла зависят только от начального угла <р0 и могут быть найдены в таб-
лицах специальных функций.
Приближенное значение Д' при достаточно малых значениях <р0 можно
найти путем разложения подынтегрального выражения в ряд
1 — sin2 -у-
sin2ipj !/ = 1sin2-^-sin2ip + ...
Ограничиваясь двумя написанными членами, получим
л/2
'< =« j +4sin2 IF sin2 ^==у + уsin2
О
и, следовательно,
Ги«2«1/±(1+±!,пЛ).
§ 5.5]
ЕСТЕСТВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
139
„ . Фо Фо
Если можно принять sm =« , то
(!+<). (5.48)
Формулы (5.46) и (5.48) для периода колебаний различаются множите-
/ П)2 \
лем (l+~jg )• Значение этой поправки зависит от начального угла <р0 и
приведено в следующей таблице:
10° 20° 40’ 60° 90’
1,0019 1,0076 1,0304 1,0684 1,1539
Рассмотрим задачу о движении точки
Задача 5.3. Лыжник спускается с горы,
принять за окружность радиуса г (рис. 5.7).
Коэффициент трения скольжения равен f-
Определить скорость лыжника в точке В, если
в начальной точке А его скорость равнялась
нулю.
Так как в данном примере нормальная
реакция 7?„>0 и vx=v, то уравнения (5.38)
будут иметь вид
dv СП
т = mg cos tp — fRn,
niifl
mg sin <p+Rn. (5-49)
по шероховатой кривой.
причем его траекторию можно
Рис. 5.7.
Для исключения реакции умножим второе уравнение на f и сложим с пер-
вым уравнением:
dv , .mv2 . , .
т ~dt+ ~Г = ms <COS ф — Sm ф)’
Учитывая, что о = гф, имеем
* '^ + M’2=g(c°s<p — f sin <p),
но так как
йф йф dtp _ 1 d (ф2)
dt dtp dt 2 dtp ’
то
+ 2/Ф2 =~ (cos <p—/ sin <p). (5.50)
Уравнение (5.50) представляет собой неоднородное лннейиое дифферен-
циальное уравнение первого порядка относительно фа.
Общее решение однородного уравнения
У + 2/ф2=0
dtp
140
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
имеет вид
ф?=.Се”“2/'р, (5.51)
где С — постоянная интегрирования.
Частное решение уравнения (5.50) будем разыскивать в виде
ф| = A cos <р + В sin <р, (5.52)
где А и В — неопределенные коэффициенты. Для их определения подставим
выражение (5.52) в дифференциальное уравнение (5.50); тогда получим
(2fA + В) cos ф + (2/В — Л) sin ф=у^ созф —f sin ф.
Для тождественного удовлетворения этого равенства необходимо, чтобы коэф-
фициенты при sin ф и cos ф в обеих частях равенства были соответственно
равны друг другу. Это позволяет получить два уравнения относительно неиз-
вестных А и В:
2Af + B=^, -А + ЩВ = —^-.
Отсюда
6g/ . 2g (1-2Н
г (1+4/2)’ r(i+4f2)-
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
ф2 - 6g/ cos ф’ + 2g<1~2^
ф2~г(1+4/2) ф+г(1+4/2) ф>
Складывая решения (5.51) и (5.53), получим общее решение дифференциального
уравнения (5.50):
ф,2_ Се-+- I 6g/ СОЗ ф 1 2g Sin ф (554)
ф °® +г(1+4/2) ф+ г (1+4/2) •
По условию задачи ф = 0 при ф = а, следовательно,
Ce~2fa + cos a I 2g ‘ sin а — 0 г
Le +r(i+4/2) Cosa+ г (1+4/2) sma-0.
Отсюда находим постоянную
С = — r^4f2) e2fa [3/ cos a + (1 2/2) sin a].
Подставляя полученное выражение в формулу (5.54) и учитывая, что г>2=
— г2ф2, окончательно получаем следующую зависимость v2 от угла ф:
V2 = — е2/<a- [3/ cos a + (1 _ 2/2) sin a] +
+ [3/ cos ф+ <* ~2/2) sin фЬ (б-55)
Нормальная составляющая реакции Rn равна
Rn = sin ф = —y-^^-e-2/«p-a> [3/cos a + (l — 2/2) sin a] +
H-[3/cos ф + (1 — 2/2) sin ф1 + т^ sin ф* (5-56)
§ 5 6]
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
141
В последний момент рассматриваемого интервала движения, т. е. при
<р = л/2, получим
и2 = -Т+5р е ’ 2 “Wos а 441-2Н sin а]+1^-0-2/3), (5.57)
Rn = — уу%р е cosа4-(1 — 2/2) sinа]4-(1 — 2f2)4-/ng.
(5.58)
Если трением пренебречь и принять /=0, то по формулам (5.57) и (5.58)
ггйдем
v3 = 2gr(l—sin а), Rn = mg(3— 2 sin а).
§ 5.6. Теорема об изменении кинетической энергии
г .-я несвободного движения
Пользуясь принципом освобождаемое™, запишем соотношение
(3.40) для случая несвободного движения в виде
d = F • dr + R dr,
(5.59)
где R —реакция связи.
Результат (5.59) формулируется следующим образом: элемен-
тарное изменение -'".нетической энергии при несвободном движении
равно элементарной работе как активных сил, так и реакции связи.
Но при наличии идеальной стационарной связи работа реак-
ции на перемещении точки равна нулю и теорема об изменении
кинетической энергии для несвободного движения имеет тот же
вид, что и для свободного движения.
Если же связь идеальная, но нестационарная, то вектор пере-
мещения dr может быть не перпендикулярен к реакции R. В зтом
случае реакция направлена перпендику-
лярной вектору относительной скорости.
Поэтому при нестационарных связях
'работу реакции следует учитывать.
Задача 5.4. Тяжелое кольцо М веса Р
может скользить без трения по дуге окруж-
ности радиуса г, расположенной в вертикаль-
ной плоскости. К кольцу привязана упругая
нить МО А, проходящая через гладкое непо-
движное кольцо О и закрепленная в точке А.
Дано, что натяжение нити равно нулю,
когда кольцо М находится в точке О, а коэф-
фициент жесткости нити равен с (рис. 5.8).
В начальный момент кольцо находится в точке В и имеет скорость, рав-
ную нулю. Определить давление N, производимое кольцом на окружность. На
кольцо действуют сила Р, сила натяжения нити F и реакция R. Выразим
модуль силы F через угол ф (см. рис. 5.8). По условию задачи F=c-0M
(ОЛ1 — удлинение упругой нити). Так как ОМ =2r cos ф, то
F = 2cr cos ф.
142
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
Следовательно,
Fn = 2cr cos2 ф,
Рп =— Р cos ------------2<р1 = — Р sin 2<р.
• Второе уравнение системы (5.36) в данном случае имеет вид
^-Р.+Г.+К..
т. е.
----=— Р sin 2q> + 2cr cos2 ф + Д„.
(5.60)
Используем теорему об изменении кинетической энергии для нахождения
скорости о, принимая во внимание, что начальная скорость кольца о0 = 0:
. = + (5.61)
где Ар, Ар, Ар — соответственно работа сил Р, F и R. По условию задачи
связь стационарная и идеальная, следовательно, Д^ = 0. Для определения Ар
заметим, что
h = г sin 2ф.
Значит,
Ap = Ph = Pr sin 2ф. (5.62)
Далее находим
где и Хк— удлинения нити при положении кольца в точках В и М.
По условию задачи длина нити в нерастянутом положении равна О А, сле-
довательно,
Хн = 2г, ХК = ОА4 =2г cos ф.
Поэтому
Ар— 2сг2 (1 — cos2 ф) = 2cr2 sin2 ф. (5.63)
С помощью выражений (5.62) и (5.63) преобразуем соотношение (5.61)
к виду
— = Pr sin 2ф + 2cr2 sin2 ф.
Подставляя найденное значение mv2 в выражение (5.60), найдем нормальную
реакцию Rn:
Rn = 3P sin 2ф +cr (1 —3 cos 2ф)
и, следовательно, так как R =—N,
Nn=— 2Р—cr — 3 (P-f-cr) cos 2ф.
§ 5.7. Метод кинетостатики для точки (принцип Даламбера)
Наряду с рассмотренными методами изучения несвободного
движения точки удобным для решения первой задачи динамики
несвободной точки является метод кинетостатики. Особенно удобен
§ 5 8]
ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КИНЕТОСТАТИКИ
143
этот способ, когда требуется определить реакцию связи при задан-
ных законе движения точки и активных силах.
Содержание этого метода заключается в следующем. Перепи-
шем уравнение (5.3) в виде
F + R + (— М = 0. (5.64)
Введя обозначение — mw = J, (5.65)
получим F + R + J = O. (5.66)
Вектор J, равный по модулю произведению массы точки на ее
ускорение и направленный противоположно вектору ускорения,
называется силой инерции.
Равенство (5.66) представляет собой уравнение движения
материальной точки,-записанное в форме условия равновесия сил.
В этом и заключается существо метода кинетостатики.
На основании уравнения (5.66) можно утверждать, что в каж-
дый момент движения сумма активной силы, реакции связей и силы
инерции равна нулю. При этом следует иметь в виду, что к мате-
риальной точке приложены только силы F и R, т. е. активная
сила и реакция. Сила же инерции к точке не приложена.’Поэтому
на уравнение (5.66) нельзя смотреть как на условие равновесия
активной силы, реакции и силы инерции.
Метод кинетостатики является лишь формальным приемом
сведения уравнения динамики к уравнению статики, однако при
решении практических задач
такой прием может обладать
рядом достоинств.
Реакция связи в соответ-
ствии с уравнением (5.66)
равна
R = -(F + J).
§ 5.8. Задачи на применение
метода кинетостатики
Задача 5.5. Самолет, двигаясь
в вертикальной плоскости, выходит
из пикирующего полета на гори-
зонтальный полет по окружности
радиуса г (рис. 5.9). Скорость са-
молета в момент выхода на горизонтальный полет максимальна и равна v.
Определить, каким должен быть радиус г, чтобы реакция связи, действую-
щая на летчика, была в п раз больше нормального веса летчика (число
п называется перегрузкой).
На летчика, находящегося в самолете, действует сила притяжения к Земле
Q и реакция R, Нормальное ускорение самолета (и летчика) равно v2[r и
144
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
направлено к центру окружности. Сила инерции, равная Qv2/(gr), направлена
по радиусу окружности в сторону, противоположную нормальному ускорению.
Запишем уравнение (5.66) в проекции на вертикаль в точке выхода
самолета:
«-<5-^-0.
По условию задачи R — nQ, следовательно,
nQ — Q — ^ = 0.
gr
Отсюда находим
r-g(n-l)
Если, например, ц = 900 км/час = 2Ъ0 м/сек, п = 5, то
2502 ~ 1АОО
9,81 .(5-1)= 600 М’
В этом случае давление тела летчика на сиденье в пять раз больше его
нормального веса и летчик будет чувствовать себя так, как если бы его вес
возрос в пять раз.
Любопытен другой частный случай, относящийся к условиям, имитирующим
ощущение невесомости. Для этого нужно, чтобы реакция сиденья равнялась
нулю; при этом давление летчика на сиденье также равно нулю. Здесь следует
принять п = 0 и тогда по полученной выше фор-
у муле найдем
у г V2
у Г
Знак «минус» означает, что траектория полета
—* —------------------*- должна иметь выпуклость сверху, как это пока-
J 4 <27 зан0 на рис. 5-9, б.
Задача 5.6. Летчик на самолете выполняет
,,р правильный вираж со скоростью v. Угол крена
равен у. Определить радиус виража г.
р iQ Правильным виражом называется полет са-
молета без скольжения по дуге окружности в гори-
зонтальной плоскости с неизменным углом крена.
Будем рассматривать самолет как материальную точку, к которой прило-
жены следующие силы: сила притяжения к Земле Р, подъемная сила F, сила
тяги Ф и сила лобового сопротивления Q (рис. 5.10). Согласно (5.66) будем
иметь
P + F + ®+Q + J = O. (5.67)
Ускорение центра тяжести самолета wn = v2/r, а модуль силы инерции
J = Pv2/(gr).
В проекциях на оси координат уравнение (5.67) дает
pv2
---—+ Fsiny = 0, —P4-Fcosy = 0, Ф — Q = 0. (5.68)
Из последнего уравнения следует, что при выполнении правильного виража
Ф = <2, т. е. сила тяги уравновешивается силой лобового сопротивления. Из
второго уравнения можно найти, что сила притяжения к Земле уравновеши-
вается вертикальной составляющей подъемной силы;
P=Fcos у.
§5 9]
ЯВЛЕНИЕ НЕВЕСОМОСТИ
145
Из первого уравнения определяется радиус виража
Pv2 v2
gF sin у ~ gtgy '
Если будет нарушено какое-нибудь из равенств (5.68), то правильный
вираж станет неосуществимым (возникает скольжение, а также снижение или
подъем самолета). Следует иметь в виду, что данному углу крена у соответ-
ствует определенная скорость полета (она определяет подъемную силу).
Задача 5.7. Шарнирно-стержневая система (рис. 5.11) вращается вокруг
вертикальной оси АВ с угловой скоростью <о. Стержни МА и МВ считать
невесомыми и имеющими длину / каждый. Определить усилия в стержнях,
если в точке М находится сосредоточенная масса т и угол Z АМВ — Ъа..
Ускорение массы т равно <о2/ cos а и направлено по горизонтали к оси
вращения. Соответственно сила инерции равна
7 = m(1)2/cosa и направлена по горизонтали от оси
вращения. Обозначая через 7\ и Т2 усилия в
стержнях, напишем уравнение (5.66):
w J —J— Ti —1~ Т2 —J —0.
В проекциях на оси х и у получим
—1\ cos а —- Т2 cos а + mo2 I cos а = 0,
— mgA-T-i sin а — Т2 sin а = 0.
Решив эту систему, найдем
_ _ muPl mg _ _ ma>2l _ mg
1 2 2 sin а ’ 2 2 2 sin а '
Заметим, что при малых значениях угловой скорости со усилие Т2 отрица-
тельно, т. е. нижний стержень сжат (силой тяжести). При со = ^/~у
усилие Т2 равно нулю, а при больших значениях со оно положительно.
§ 5.9. Явление невесомости
В этом параграфе рассматривается явление, которое по уста-
новившейся традиции, хотя и не вполне точно, называется неве-
сомостью.
Предположим, что платформа А движется по вертикали с задан-
ным ускорением w, причем на платформе установлены пружинные
весы, на которых лежит груз С. Стрелка весов фиксирует силу,
с которой груз давит на весы (рис. 5.12). Когда платформа нахо-
дится в покое (или движется равномерно), стрелка весов устанав-
ливается против деления шкалы, соответствующего весу груза С.
В дальнейшем это показание пружинных весов будем называть
истинным весом. Выясним, какое давление оказывает груз на весы,
если платформа движется вниз с ускорением w.
На груз действуют две силы: сила тяжести mg и реакция R
(рис. 5.13) со стороны чашки весов. Уравнение движения груза
имеет вид
R 4- mg — mw,
(5.69)
145
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
или, в проекции на вертикальную ось х (положительное направ-
ление—вниз),
mw = mg — R.
СледовательнЬ, величина реакции весов равна
R = m{g—w). - (5.70)
Такую же величину имеет направленное вниз давление R',
которое тело оказывает на весы.
Понятно, что деформация пружины под действием силы R'
окажется меньше, чем в состоянии покоя. Стрелка весов остано-
вится против деления шкалы, на котором мы прочтем новый «вес»
груза; он окажется равным mg — mw. Его отношение к истинному
У
R
W []
- mq
весу составляет п — 1 ——
(н — коэффициент перегруз-
ки). Конечно, сила притяже-
ния тела к Земле не изме-
нилась, так как гравитацион-
ное поле Земли не зависит
от того, движется ли груз
или находится в покое. Из-
менились лишь силы взаимо-
действия между грузом и
чашкой весов.
Рис- 5-12. Рис. 5.13. Продолжим опыт далее и
будем увеличивать ускорение
w. При этом реакция, как это видно из (5.70), уменьшается. Нако-
нец, при w = g она станет равной нулю и стрелка весов уста-
новится на нулевом делении шкалы. Взаимодействие между грузом
и чашкой весов исчезает. Говорят, что наступила «невесомость».
Если ускорение w превзойдет значение g, то груз оторвется
от весов и будет свободно падать. Платформа, опускающаяся
с большим ускорением, будет удаляться от падающего груза.
Если же груз связан с весами, то платформа будет увлекать его
вниз, причем перегрузка станет отрицательной и сила действия
груза на весы окажется направленной вверх.
Вернемся к состоянию видимой невесомости, когда перегрузка
равна нулю. Это состояние приводит к непривычным ощущениям
у человека, находящегося в лифте, в космическом корабле или
самолете. Он действительно перестает чувствовать вес своего тела.
Для того чтобы объяснить смысл этого явления, разберемся
в причине ощущения веса (или весомости), к которому привыкает
человек в обычных земных условиях.
В обычных условиях между отдельными частями человеческого
тела существуют силы взаимодействия. Рассмотрим, например,
§ 5.9]
ЯВЛЕНИЕ НЕВЕСОМОСТИ
147
силы, действующие на голень стоящего на полу человека (рис.
5.14).
На голень, кроме силы тяжести Р, действует реакция N,
приложенная в коленном суставе, и реакция пола R (речь идет
о весьма схематичном представлении действительных сил).
Силы Р, N и R уравновешены. Аналогичная картина распре-
деления усилий может быть изображена и для всех других
мысленно выделенных частей тела.
Таким образом, массовые силы (силы тяжести) и поверхностные
силы (реакция пола), приложенные к сложной системе материальных
точек — человеческому телу, вызывают появление многочисленных
внутренних сил.
Именно появление этих внутренних сил (натяжение
мышц, реакции суставов, давление на нервные оконча-
ния вестибулярного аппарата и т. п.) вызывает у чело-
века ощущение весомости. Человек привыкает к ощуще-
нию всей этой совокупности сил.
Предположим теперь, что человек опускается вниз
с ускорением g. Как было установлено выше, при этом
исчезает реакция со стороны опоры, т. е. R = 0.
Следовательно, уравнение движения голени примет
вид
P + N = ^g. (5.71)
Рис. 5.14.
Отсюда получим N = 0. Рассматривая уравнения движения
других мысленно выделенных частей человеческого тела, придем
к аналогичному результату: исчезают внутренние силы взаимодей-
ствия между отдельными частями тела. Исчезает и ощущение
весомости. В этих условиях теряют смысл привычные понятия
«верх» и «низ».
Оттолкнувшись от опоры, человек приобретает дополнительную
скорость и движется до тех пор, пока не натолкнется на преграду.
Конечно, внутренние силы могут возникнуть и в таких усло-
виях. Однако их происхождение на этот раз не связано с тяго-
тением. Человек может, например, взять в руки эспандер и
растягивать его обеими руками. При этом обязательно возникнут
внутренние силы — силы натяжения многочисленных мышц, которые
будут возрастать по мере растяжения пружины эспандера.
На каплю воды (рис. 5.15) продолжают действовать силы
поверхностного молекулярного натяжения, и они не дадут ей разру-
шиться. Эти внутренние силы вызовут появление давления в капле,
т. е. опять возникнут силы взаимодействия между отдельными
материальными точками механической системы.
Перейдем теперь к выяснению более общих условий, при ко-
торых возможно появление невесомости. Для этого определим,
148
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ V
пользуясь полученным уже представлением, более точно понятие
невесомости.
Представим себе, что тело Q (рис. 5.16) движется поступательно
с ускорением w относительно инерциальной системы координат
в поле массовых сил, т. е. сил, действующих на все точки тела.
Обозначим через F равнодействующую этих массовых сил, дейст-
вующих на точки тела.
Выделим в теле Q произвольный объем массы т. На этот объем
будет действовать две силы: внешняя сила f и равнодействующая
всех внутренних сил R.
Определим состояние невесомости следующим образом: тело Q
находится в невесомости, если равнодействующая всех внутренних
сил, приложенных к любому элементу, выделенному в теле, равна
нулю.
Найдем, каким условиям должны удовлетворять силы f, чтобы
тело находилось в состоянии невесомости.
Напишем уравнения движения для всего тела и для выделенной
части тела Q массы т; массу всего тела примем равной М:
Mw = F, mw = f+R. (5.72)
Используя условие невесомости R = 0, из (5.72) получим
F f
= /5-73>
Условие (5.73) должно выполняться для любой массы т, выде-
ленной в теле. Это условие является также и достаточным. Исполь-
зуя условие (5.73), получаем из уравнения (5.72)
/ F f \
R = mw — f = m--------| = 0.
\ т т )
Условие (5.73) имеет простой смысл.
Для обеспечения невесомости необходимо и достаточно, чтобы
внешние массовые силы, приложенные к выделенным элементам
тела, были пропорциональны массам этих элементов, а их направ-
ление для всех элементов было одинаковым.
§ 5 9]
ЯВЛЕНИЕ НЕВЕСОМОСТИ
149 '
Этими замечательными качествами как раз и обладают силы
гравитации. Они пропорциональны массам тех тел, на которые
действуют, и если тела достаточно малых размеров, то направления
сил можно считать для всех точек одинаковыми.
Таким образом, тело будет находиться в состоянии невесомости,
если равнодействующая всех внутренних сил, обусловленных нали-
чием сил гравитации, приложенных к любому элементу, выделенному
в теле, равна нулю.
Напомним, что равнодействующая внутренних сил, обуслов-
ленных наличием других причин (не силами гравитации), может
быть при этом и не равна нулю.
При полете стабилизированного космического аппарата с выклю-
ченным двигателем и вне пределов атмосферы его экипаж нахо-
дится в условиях, близких к невесомости. Условие (5.73), если
пренебречь размерами тел, для него выполняется, так как един-
ственные активные силы, действующие на аппарат и его экипаж, —
гравитационные. Разумеется, это условие соблюдается только при
Рис. 5.17.
поступательном движении аппарата (иначе ускорения всех точек
нельзя считать одинаковыми и условие (5.73) оказывается неспра-
ведливым).
Предположим теперь, что включен реактивный двигатель, разви-
вающий силу тяги Ф (рис. 5.17). Тогда к космическому кораблю,
кроме силы тяготения F, приложена еще сила Ф. В то же время
активные силы, действующие на тело Р, не изменились. Нарушено
условие невесомости (5.73).
При включении двигателей все тела, не закрепленные в кабине,
переместятся в сторону, противоположную вектору тяги. Опять
возникнет ощущение «весомости», хотя при этом сила тяготения
может и не действовать.
Такое же явление возникает и при торможении аппарата
в атмосфере. Сила сопротивления S (рис.5.18) действует только
на аппарат и приложена к его поверхности. К человеку, находя-
щемуся в кабине, она не приложена, поэтому нарушается условие
невесомости — космонавта отбрасывает в сторону, противополож-
ную S, т. е. в направлении вектора скорости v (рис. 5.18).
Следует отметить, что на участке торможения реакция R может
достигать значительной величины. Ее можно определить, исходя
из обычного уравнения движения (5.72), если только пренебречь
150 НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ V
силой тяготения f, которая мала по сравнению с R. Из (5.72)
имеем
R = mw.
Отношение 7? к весу mg (перегрузка) здесь окажется равным
tnw W
п =---------------------------= —.
mg g
Перегрузки нередко достигают величин порядка 8 ->-10.
В предыдущей главе было показано, что при маневре самолета
в вертикальной плоскости может быть достигнута нулевая пере-
грузка или невесомость. Для этого должен быть осуществлен
маневр типа «горки» с радиусом кривизны траектории в верхней
точке, определяемым по формуле
у2
Р=у. (5.74)
Например, при v — 720 км < ас = 200 м/сек радиус кривизны должен
быть равен 4,08 км.
В окрестности этой точки условие невесомости строго не будет
соблюдаться, тем не менее состояние человека окажется близким
к невесомости Такой имитацией явления невесомости пользуются
при тренировках летчиков-космонавтов.
Совершенно аналогичное явление может наступить и в земных
условиях —при движении автомобиля по мосту. В средней точке
моста при соответствующей скорости
u = ]/gp,
определяемой в зависимости от кривизны пролета по формуле (5.74),
наступит мгновенное состояние невесомости.
Состояние, довольно близкое к невесомости, испытывает пара-
шютист при свободном падении с большой высоты с нераскрытым
парашютом. Пока сопротивление атмосферы мало (в начальный
период и на большой высоте), ускорение падения близко к g и
поэтому состояние парашютиста мало отличается от невесомости.
Более длительное состояние невесомости можно получить при
помощи так называемого «баллистического броска» самолета. Для
этого самолет должен выдерживать строго скорость и траекторию
полета тела, брошенного под углом к горизонту в пустоте.
ГЛАВА VI
ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 6.1. Переносная и кориолисова силы инерции
В предыдущих главах мы опирались на основное уравнение
динамики точки (второй закон Ньютона), которое справедливо
только в инерциальных системах отсчета. Напомним, что инер-
циальной называется такая система отсчета, в которой справедлив
принцип инерции (первый закон Ньютона). Во многих случаях
задачи динамики сводятся к исследованию движения в той или
иной неинерциальной системе. В сущности, неинерциальной явля-
ется и привычная для нас система отсчета, связанная с Землей.
Впрочем, только весьма тонкие опыты (например, наблюдения
за отклонением падающих тел к востоку, за вращением плоскости
качания маятника) могут обнаружить неинерциальность геоцент-
рической системы отсчета. В большинстве приложений систему
координат, жестко связанную с Землей, можно считать инерциаль-
ной.
Значительно заметнее проявляется неинерциальность систем
отсчета, связанных с ускоренно движущимися техническими объек-
тами—от ускоренно поднимающегося лифта до искусственного
спутника или космического корабля, совершающего взлет с Земли.
Если связать систему отсчета с кораблем, автомобилем или само-
летом, движущимися по криволинейным путям или тем более с рото-
ром быстроходной турбины, то неинерциальность окажется столь
значительной, что основное уравнение динамики окажется неверным.
Значит, окажутся неверными и многочисленные следствия из этого
уравнения, доказанные в предыдущих главах.
Настоящая глава посвящена изучению движения материальной
точки в неинерциальных, системах отсчета Ниже будет дан метод
составления уравнений движения материальной точки в неинер-
циальной системе отсчета. В этом, собственно, и состоит основная
задача, которую предстоит решить.
Главная идея, которая положена в основу вывода соответст-
вующих динамических уравнений, связана с задачей чисто кине-
матического характера, которую мы рассматривали в кинематике:
152 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ VI
по заданному относительному движению точки и при известном
движении подвижной системы координат определить абсолютную
скорость и абсолютное ускорение точки. Мы воспользуемся этими
результатами для того, чтобы научиться составлять уравнения
движения материальной точки в не-
мики
инерциальных системах отсчета.
Предположим, что известны силы,
которые действуют на материальную
точку, а также задано движение по-
движной системы координат относи-
тельно некоторой инерциальной си-
стемы (в дальнейшем будем называть
ее неподвижной системой).
Поставим своей задачей найти
относительное движение точки, т. е.
движение в неинерциальной системе
отсчета.
Напомним, что задать движение
подвижной системы координат можно
при помощи трех координат ее начала (рис. 6.1): x0(t), y0(t),
z0(f) и трех углов Эйлера: 6, <р.
В неподвижной системе справедливо основное уравнение дина-
mw = F-|-R.
(6-1)
Здесь, как и выше, F — равнодействующая всех активных сил,
R — равнодействующая реакций связей, tn — масса материальной
точки, w —ее ускорение.
Используем теперь теорему Кориолиса (том I, § 13.3) и вы-
разим абсолютное ускорение через относительное, переносное и
кориолисово:
w = wr + we4-wc. (6.2)
Подставляя (6.2) в (6.1), получим
mwr + tnwe + tnwc = F + R.
Перенося часть членов в правую часть, придем к векторному
уравнению
mwr = F + R + (— mv/e) + (—mwc). (6.3)
Отсюда ясно, что произведение массы материальной точки на
ее относительное ускорение не равно сумме равнодействующей
всех активных сил, действующих на нее, и равнодействующей
реакций связей.
Последние два вектора в правой части уравнения (6.3) должен
ввести наблюдатель, находящийся в неинерциальной системе отсче-
§ 61]
ПЕРЕНОСНАЯ И КОРИОЛИСОВА СИЛЫ ИНЕРЦИИ
153
та, для того, чтобы в этой системе отсчета основное уравнение
динамики сохранило форму второго закона Ньютона.
Векторы —mwe и —mwc называются «силами инерции». Первый
называется переносной силой инерции, второй — кориолисовой силой
инерции.
Будем в дальнейшем пользоваться обозначениями
Je = —mwc, Jc = —mwc = —2m(«>xvr), (6.4)
где co — угловая скорость переносного движения.
Таким образом, уравнение (6.3) приобретает привычную форму
основного уравнения динамики (второго закона Ньютона):
mwr=F 4- R + -L + •!<:• (6-5)
Мы получили следующее правило:
Для того чтобы составить дифференциальное уравнение дви-
жения материальной точки в неинерциальной системе координат
в форме второго закона Ньютона, необходимо к действующим на
точку активным силам и реакциям связей присоединить перенос-
ную и кориолисову силы инерции.
В неинерциальной системе координат силы инерции проявляют
себя как обычные силы, с которыми мы имеем дело в инерциаль-
ной системе отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции
вызывают относительное ускорение, они могут деформировать тело
и даже разрушать его, они совершают работу и т. п. Вместе с тем
необходимо помнить, что, в отличие от обычных сил, например
силы тяготения, величина и направление которых зависят только
от характера взаимодействия тел и не зависят от выбора неинер-
циальной системы отсчета, переносная и кориолисова силы инерции
определяются выбором неинерциальной системы координат.
Кроме того, мы не можем указать внутри Солнечной системы,
с которой связана гелиоцентрическая инерциальная система, тела,
в результате взаимодействия с которыми возникают силы инерции.
В общей теории относительности согласно принципу эквива-
лентности, выдвинутому А. Эйнштейном, природа сил тяготения
и массовых сил инерции в относительном движении тождественна.
Остановимся на способах определения сил инерции и напомним
правила вычисления соответствующих ускорений.
Для того чтобы найти переносное ускорение, необходимо знать
движение подвижной системы координат. Формула для определения
переносного ускорения имеет вид (том I, § 13.3)
we = w0 + «>x (ыХр) + ехр. (6.6)
Здесь (о, е — угловая скорость и угловое ускорение подвижной
системы координат, w0 — ускорение ее начала и р — радиус-вектор
точки в подвижной системе координат (см. рис. 6.1),
154 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ VI
Во всех случаях вычисления переносного ускорения и пере-
носной силы инерции полезно представлять переносное ускорение
как абсолютное ускорение точки, закреплен-
/ с ной в подвижной системе координат.
/ Для определения кориолисова ускорения
/ каждый раз необходимо перемножать два
вектора ш и vr (рис. 6.2), так как
vic = 2«> X vr.
*6’ При составлении уравнений движения
w материальной точки относительно поступа-
Рис. 6.2. тельно движущихся систем отсчета следует
иметь в виду, что кориолисовы силы инер-
ции отсутствуют (ш=0); а переносные силы инерции не зависят от
положения, занимаемого точкой в подвижной системе отсчета.
Рис. 6.3.
Задача 6.1. Точка М неподвижна в неподвижной системе отсчета х10у1
{рис 6.3) и находится на расстоянии ОМ от ее начала. Система координат хОу
вращается равномерно против хода 4acoi "
лярной к плоскости рисунка, с угловой
движения точки М в подвижной (вра-
щающейся) системе координат хОу.
Так как точка М неподвижна, то
ее абсолютная скорость равна нулю. Пе-
реносная скорость ve = (&xOM. Таким
образом,
v = ve + vr = 0, vr = —ve = —g>xOM.
Следовательно, в относительном дви-
жении точка движется по окружности
с центром в О, но Гв направлении, про-
тивоположном вращению подвижной си-
стемы координат. Для наблюдателя она
будет двигаться по ходу часовой стрел-
ки В соответствии с этим изобразим век-
тор относительной скорости (см. рис.
6 3) vr.
Переносное ускорение найдем, за-
крепив мысленно точку в подвижной
системе координат. Тогда точка будет вынуждена участвовать во вращательном
движении подвижной системы. Поскольку вращение равномерное, то враща-
тельное ускорение равно нулю и остается только осестремительное ускорение,
равное по величине
we = a2R.
Оно направлено к точке О.
Переносная сила инерции Je = —mwr направлена в противоположную сто-
рону (от центра), ее часто называют центробежной силой инерции. Величина
этой силы Je=-imMR.
Перейдем теперь к определению кориолисовой силы инерции. Вектор
•угловой скорости вращения системы хОу направлен перпендикулярно к пло-
скости рисунка на читателя. Следовательно, векторное произведение 2e>xv,
направлено в ту же сторону, что и переносная сила инерции. Однако корио-
лисова сила инерции противоположна по направлению wc и поэтому направлена
стрелки вокруг оси, перпендику-
скоростью и. Составить уравнение
§ 6.1] ПЕРЕНОСНАЯ И КОРИОЛИСОВА СИЛЫ ИНЕРЦИИ
155
к центру О. Величина кориолисовой силы инерции определяется из равенства
Jс = 2т о) X vr \ = 2ma>vr sin ~ = 2тшиг = 2тш2Я.
точка М
составить
оси АВ (рис. 6.4). Внутри
Таким образом, кориолисова сила инерции оказалась противоположной
переносной силе инерции. Равнодействующая этих сил направлена к центру
и равна по величине ma>2R. Уравнение относительного движения принимает вид
mwr ——mco2R, где R — ОМ.
Задача 6.2. Трубка, изогнутая по окружности радиуса R, равномерно вра-
щается с угловой скоростью <о вокруг вертикальной '" ' "
трубки находится материальная
массы т. Пренебрегая трением,
дифференциальное уравнение движения мате-
риальной точки М в трубке и определить ха-
рактер этого движения, если в начальный
момент точка М, находясь на одной горизон-
тали с центром трубки, была отпущена без
начальной скорости.
Свяжем с трубкой координатные оси Охуг,
выбрав начало координат О на оси враще-
ния АВ трубки в ее центре. Ось х проведем
горизонтально так, чтобы она пересекла труб-
ку, ось у построим перпендикулярно к трубке
(на рис. 6.4 ось у не показана — она направ-
лена на читателя),
вращения. Положение точки М будем опреде-
лять углом q> (см. рис. 6.4).
Выбранная система координат Охуг яв-
ляется неинерциальной системой отсчета, по-
этому движение точки М относительно трубки следует написать в виде
нения (6.5). Так как на точку действуют сила тяжести mg и нормальная
ция трубки N, то уравнение движения будет
mwr = mg + N4-Jg + Jc-
При равномерном вращении трубки переносное ускорение we точки М
состоит только из одной осестремителыюй составляющей, модуль которой равен
Rco2 sin ф. Следовательно, переносная сила инерции Je, численно равная
т/?<о251Пф, направлена перпендикулярно к оси вращения от нее (см. рис. 6.4).
Так как относительная скорость vr = RcpT, то кориолисово ускорение
а ось z совместим с осью
урав-
реак-
wc = 2Rcp (со хт)
направлено параллельно оси у. Следовательно, и кориолисова сила инерции
Jc = —2m /?ф (со ХТ)
направлена параллельно оси у в сторону, противоположную направлению wc.
Нормальную реакцию N разложим на две составляющие: одну направим по
главной нормали к относительной траектории от М к О, а вторую N2—перпен-
дикулярно плоскости трубки (на рис. 6.4 силы Jc и N2 не показаны).
Уравнение движения теперь можно записать в виде
mwr= mg + Ni N2 Je Jc.
Запишем это уравнение движения в проекциях на направление т, учитывая,
что проекция относительного ускорения точки М на касательную т равна Rep, а
проекции на т векторов Nt, N2, Jc равны нулю:
mR + <о2 sin ф cos ф.
(6-7)
Это и есть дифференциальное уравнение движения точки М внутри вращаю-
щейся трубки.
Заметив, что
d® dip dtp .dm Id,. m
ф - dF ~ d<p ~df "" ф dip ~ “2 Ity
получим
(ф2) = — 8Шф + «2 sin ф COS ф.
После интегрирования имеем
1 s 1
Ф2 = d cos Ф + тг 0)2 sin2 ф + С.
£ t\ Z
По условию задачи ф = л/2, ф = О/при t = 0. Значит, С = —ы2/2 и
— <о2соз
cos ф.
Значения угла ф, при которых скорость точки М обращается в нуль,
получим из условия
2 f—<о2со5ф ] cos ф = 0. (6,8)
Рассмотрим два случая.
1. Угловая скорость вращения трубки <о мала и удовлетворяет условию
R '
2 ст
В этом случае > 1
в нуль:
и только второй
cos ф = 0.
множитель может обратиться
Отсюда
л л
ф1 — у фз — — у
(индекс «два» временно пропускаем).
Корень ф1 соответствует начальному положению точки М,
Из выражения (6.7) найдем
О- 0
Фф = ф1= R фФ = Фз=#' > °’
2 ст
Это означает, что при точка М будет совершать во вращающейся
г\
трубке колебания от одной до другой горизонтали.
2, Угловая скорость трубки удовлетворяет условию
2g
Я *
§ 6.1]
ПЕРЕНОСНАЯ И КОРИОЛИСОВА СИЛЫ ИНЕРЦИИ
157
В этом случае уравнение (6.8) имеет три корня:
зх 2g эт
ф1=-2> Ф2=атссо8—, ср3 = ——.
Согласно уравнению (6.7) будем иметь
Фф=ф1 = -|, ФФ=ф2=-ртфг>0.
Следовательно, при со2 > точка А4 совершает во вращающейся трубке
л 2g
колебания только в первой четверти от ф1 = -% до ф2 = arccos .
Задача 6.3. Балка ЛС равномерно вращается с- угловой скоростью ш
в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси АВ. Одновременно по
балке движется с постоянной относи-
тельной скоростью и ползун м массы т
(рис. 6:5). Определить: 1) изгибающий
момент относительно оси вращения,
действующий на балку; 2) закон из-
менения движущей силы F, обеспечиваю-
щей равномерное движение ползуна по
балке, если коэффициент трения между
ними равен f.
Построим систему координат Ахуг,
жестко связанную с балкой: ось х на-
правим по балке, ось у — горизонтально,
перпендикулярно оси х, ось г — по вер-
тикальной оси вращения вниз.
На ползун действуют движущая си-
ла F, сила тяжести mg, сила трения FTp,
нормальная реакция N балки АС. Эту
нормальную реакцию балки разложим
иа вертикальную N, и горизонталь-
ную N2 составляющие.
Основное уравнение динамики отнс
случае имеет вид
mw/. = mg+F+FTp + N1 + N2+J(, + Jc.
По условию задачи ползун движется равномерно по прямолинейной балке;
следовательно, wr = 0,
mg+F + FTp+Nl + N2+Je+Jc = 0.
Действие кориолисовой силы инерции Jc передается на балку, в резуль-
тате чего создается изгибающий момент А4”зг относительно вертикальной оси г,
модуль которого равен Jcx, где х — расстояние от оси вращения до ползуна
(см. рис. 6.5). Модуль кориолисова ускорения равен 2ии, следовательно,
модуль изгибающего момента относительно оси вращения будет
Al“3r = 2mwux = 2mu (хо + «О.
где хв—начальное расстояние ползуна от оси вращения.
Перейдем к определению силы F. Для этого запишем полученное ранее
уравнение в проекциях на оси координат х, у, г. Имеем (см. рис. 6,5)
F—77Тр-|-7е = 0, —7V 2Jc — G, mg — Л\ = 0>
158 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖ. МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. VI
Из второго и третьего уравнений найдем
Ni=mg, N2 = J с = 2т<£>и.
Найдем полную нормальную реакцию балки и силу трения:
N = + F,p — jN = fm j/g2 + 4w2u2.
Модуль переносной силы инерции при равномерном вращении балки опре-
деляется равенством
Je = mwe = тхьр = т(х0^-и1) <о2.
Учитывая полученные значения для силы трения и переносной силы
инерции, найдем '
F ~ т [/ Kg2 + 4<o2u2 — (x0 + ut) <o2].
По такому закону должна изменяться движущая сила F, чтобы в сделан-
ных предположениях ползун равномерно двигался по вращающейся балке АС,
§ 6.2. Условия относительного покоя
Из основного уравнения (6.5), в частности, вытекают условия
относительного покоя. В этом случае относительная скорость и
относительное ускорение точки равны нулю (vr = 0, wr = 0), сле-
довательно, и кориолисова сила инерции обращается в нуль
(так как vr = 0). Уравнение относительного покоя приобретает вид
F + R + Je = 0. (6.9)
Если выполняется условие равновесия (6.9), то отсюда вовсе
не следует, что после придания материальной точке начальной
скорости точка будет двигаться равномерно и прямолинейно, как
это имеет место в инерциальных системах. Дело в том, что при
сообщении точке относительной скорости, во-первых, появляется
кориолисово ускорение Jc = —2m(&xvr)=£0 и, во-вторых, может
измениться переносное ускорение (оно зависит от положения
точки в подвижной системе отсчета) и, следовательно, изменится
переносная сила инерции.
Из уравнения (6.5) можно вывести еще одно следствие. Най-
дем такие системы координат, в которых выполняется первый
закон Ньютона. Для этого достаточно потребовать, чтобы при
отсутствии сил точка двигалась равномерно и прямолинейно.
Из (6.5) следует, что
J, + JC = O. (6.10)
Отсюда ясно, что условие (6.10) будет выполняться, если
переносная сила инерции в любой точке равна нулю:
Je — — mvie — 0.
Действительно, в этом случае подвижная система отсчета
должна двигаться поступательно равномерно и прямолинейно, но
§ 6.3]
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
159
тогда ее угловая скорость равна нулю и кориолисова сила инер-
ции также обращается в нуль. Уравнение (6.10) выполняется.
Другими словами, для того чтобы подвижная система коорди-
нат была инерциальной, достаточно, чтобы ее начало двигалось
с постоянной скоростью, а угловая скорость системы все время
равнялась нулю:
w0 = 0, (о = 0.
В этом случае всегда равны нулю обе силы инерции и основ-
ное уравнение (6.5) приобретает вид
mwr = F + R.
Следовательно, в этом случае соблюдается и второй закон Нью-
тона.
Таким образом, если существует хотя бы одна система от-
счета, в которой выполняются законы Ньютона, то существует
бесчисленное множество таких систем. Все они движутся друг
относительно друга поступательно равномерно и прямолинейно.
§ 6.3. Применение уравнений относительного движения и покоя
1. Вращающийся космический аппарат. Создание искусствен-
ного поля тяготения. Космонавты недалекого будущего, находясь
в продолжительном межпланетном
вестные трудности физиологиче-
ского характера, в частности, из-
за явления невесомости. Имеются
проекты космических кораблей,
в которых предполагается исполь-
зовать вращение вокруг центра
масс всего аппарата или его
кольцевой кабины для создания
искусственного поля тяготения
(рис. 6.6).
Определим, с какой угловой
скоростью должна вращаться
кольцевая кабина, наружный ра-
диус которой R, чтобы имитиро-
полете, будут испытывать из-
Рис. 6.6.
вать силу земного тяготения.
Предполагаем, что аппарат вращается с угловой скоростью ш от-
носительно оси г некоторой инерциальной системы координат и
летит с выключенными двигателями.
Тогда во вращающейся кабине на человека, находящегося
в относительном покое, действует сила реакции опоры N. Кроме
того, необходимо согласно уравнению (6.9) приложить переносную
160 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖ. МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ (ГЛ. VI
силу инерции Je. Получим уравнение равновесия
N + Je = O. (6.11)
Здесь Je —центробежная сила инерции. Если пренебречь разме-
рами человека по сравнению с радиусом R, то
Je = mm2R. (6.12)
Реакция опоры должна быть направлена к оси вращения.
Отсюда ясно, что человека будет прижимать к наружной
боковой стенке корабля. Эта стенка станет для него «полом».
Величина реакции на основании выражений (6.11) и (6.12) равна
N = та2 R.
Потребуем, чтобы эта величина была равна весу mg в земных
условиях:
mg = ma2R.
Отсюда найдем угловую скорость вращения

Пусть, например, наружный радиус кольца R = 20 м; тогда
/9,81 л *7 1 6,7 л 11» е:!
^-0,7 сек-1, п = -9--^0,11 аоб/сек.
Таким образом, один полный оборот будет совершаться при-
мерно за девять секунд.
2. Измерение ускорений движущихся тел. Для управления
движением ракеты
Z|Z/
на активном участке, самолета, подводной
лодки ит. п. необходимо знать положение
и скорость какой-либо точки аппарата, а
также угловые координаты аппарата. По
вектору ускорения некоторой точки аппарата
можно путем интегрирования найти скорость,
а затем и координаты этой точки.
Рассмотрим принцип действия простей-
шего измерителя ускорений — акселерометра
(рис. 6.7). Допустим, что аппарат подни-
мается вертикально вверх. Тогда на груз М,
укрепленный на пружине, ось которой (ось
чувствительности) совпадает с направлением
движения аппарата, действуют две силы:
сила тяжести Р и сила упругости пружины F.
Если аппарат поднимается равномерно,
то эти силы взаимно уравновешиваются и
стрелка акселерометра устанавливается на делении mg, ука-
зывая вес груза М.
§6 3] ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 161
При ускоренном движении, когда ускорение направлено вверх,
в уравнение относительного покоя необходимо включить еще пере-
носную силу инерции Je = — mw. Тогда уравнение равновесия
согласно (6.9) примет вид
P+F + Je = 0.
В проекции на вертикаль это дает
— —mw) = 0, F = m(w-}-g).
Стрелка установится против соответствующего деления, изме-
ряя силу F. Величина ® + называется кажущимся ускорением.
Шкалу можно градуировать не в масштабе сил, а в масштабе
ускорений, так как кажущееся ускорение wK пропорционально
силе, действующей на пружину:
w* = w + g = ~. (6.13)
Отсюда ясно, что при непрерывном измерении &ук *) можно опре-
делить из (6.13) ускорение аппарата относительно Земли
w = wK — g. (6.14)
Теперь, чтобы получить текущее значение скорости, нужно
проинтегрировать сигнал w, начиная с момента начала движения:
v(0 = $IA (t)-g] dt.
о
Эта операция может выполняться электронным прибором. С по-
мощью второго такого прибора интегрируется скорость и опреде-
ляется координата г точки крепления акселерометра:
i
z = \v (/) dt.
о
Для получения трех координат аппарата, очевидно, необхо-
димо иметь три акселерометра. Их можно расположить по трем
взаимно перпендикулярным осям. Измеряя кажущееся ускорение
по каждой из осей, определяют затем проекции скорости и коор-
динаты движущегося аппарата.
Следует, однако, заметить, что при повороте тела на ось
чувствительности акселерометра проектируется только часть уско-
рения g. Для определения проекций этого вектора необходимо
знать угловые координаты (например, углы Эйлера) аппарата.
Такую информацию могут дать другие бортовые приборы —гиро-
скопы.
*) Колебаниями массы М пренебрежем,
в Н. В. Бутеннн и др»
162 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖ. МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. VI
3. Размыв берегов рек. Замечено, что в северном полушарии
правые берега рек обрывистые, а левые пологие. Это явление
может быть объяснено следующим образом (правило Бэра).
На некоторый объем воды, заключенный между двумя сече-
ниями реки, текущей с юга на север (рис. 6.8), действуют три
силы: сила тяжести Р, реакция дна Q, реакция берега F. Для
записи уравнения динамики в неинер-
циальной геоцентрической системе ко-
ординат, которая равномерно вращается
с угловой скоростью со (один оборот в
сутки), необходимо ввести в уравнение
переносную и кориолисову силы инер-
ции. Тогда согласно (6.5) получим урав-
нение движения
,nwr = F + P + Q + J₽ + Je. (6.15)
Переносное ускорение направлено
к оси вращения Земли. Следовательно,
переносная сила инерции направлена
в противоположную сторону. Кориоли-
24z
Рис. 6.8.
сово ускорение находится по правилу векторного произведения
2coxvr и поэтому направлено по параллели на запад. Кориоли-
сова сила инерции направлена в противоположную сторону —на
восток.
Если спроектировать (6.15) на направленную на запад каса-
тельную к параллели, то получим
F — Jc = 0.
(6.16)
Здесь мы воспользовались тем, что относительное ускорение рас-
положено в плоскости меридиана. Оно направлено при равномер-
ном течении к центру Земли.
Из (6.16) получим (см. рис. 6.8)
F — 2mavr sin ср, (6-17)
где ф — геоцентрическая широта места (угол между радиусом ОМ
и экваториальной плоскостью).
Итак, реакция берега направлена налево, если смотреть по
течению реки. Значит, сила давления воды на берег по третьему
закону Ньютона должна быть направлена противоположно, т. е.
она действует на правый берег реки.
Заметим, что это правило справедливо для всех рек, текущих
в северном полушарии. Это объясняется тем, что в северном
полушарии при любом движении точки по поверхности Земли
горизонтальная составляющая кориолисова ускорения всегда
направлена влево от относительной скорости (см. том I, задачу 13.7).
§ 6.3] ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 163
В южном полушарии размываются левые берега рек.
Формулу (6.17) можно привести к виду
F 2Pvr® sin <р
Т~ gl ’
где / — расстояние между сечениями реки, Р — вес выделенного
объема воды. Величина q = Pvr/l называется секундным сбросом
реки. Величину FH = f назовем погонным давлением. Тогда
£ _ 2со<? sin <р
' ~ g '
Для реки со сбросом </ = 2000 Т/сек на широте ф = 60°
( 2-2000 Кз 2л nnoI- .zp,
^ = -^8T--2--247W = 0'025 Т’М-
Если правый берег считать отвесным с подводной частью глуби-
ной в 10 м, то на каждый квадратный метр будет действовать
сила
Р = = 2,5 кГ.
В результате длительного воздейст-
вия таких сравнительно небольших сил
берег с .течением времени размывается.
Река «наступает» на правый берег,
оставляя слева по течению низменные
луга, а справа крутые обрывы.
4. Уклонение линии отвеса от на-
правления радиуса Земли. Рассмотрим
силы, действующие на материальную
точку М, подвешенную на нити (рис.
6.9). Будем предполагать, что точка
находится в покое относительно Земли.
Обозначим силу тяготения через F (F = mg0, причем g0 —
гравитационное ускорение), переносную силу инерции, обуслов-
ленную вращением Земли, через Je и силу натяжения нити
через Т. Тогда условием равновесия точки М будет векторное
равенство (6.9). В нашем случае
T+F + Je = 0.
(6.18)
На рис. 6.9 геоцентрическая широта обозначена через ф. Угол ф
между линией отвеса и экваториальной плоскостью называется
географической широтой. Из чертежа ясно, что угол у между
радиусом Земли и линией отвеса связан с ф и ф соотношением
ф = Ф + у-
6*
164 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖ. МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. VI
Спроектируем (6.18) на направление нити и на перпендикуляр
к этому направлению:
Т — F cos уф-Je cos (ф + у) = 0,
F sin у — Jе sin (ф + у) = 0.
Пренебрегая малой величиной у по сравнению с геоцентри-
ческой широтой -ф, из первого уравнения получим
Т F— Je cos ф = mg0 — ma2R cos2 ip = m (g0 — co2p cos ф), (6.19)
где p —радиус географической параллели.
Силу, равную по модулю и направленную противоположно
натяжению Т, называют силой тяжести и обозначают через mg.
Из этого определения следует, что сила тяжести равна геомет-
рической сумме силы притяжения F и силы инерции переносного
движения, вызванной вращением Земли.
Из равенства (6.19) можно найти ускорение силы тяжести на
поверхности Земли
g = gb(l _5C0SA*’)'
Таким образом, g — переменная величина, зависящая от широты
места.
Наименьшее значение она имеет на экваторе:
=9>82 - (2А00У6370 •105=9’78 ^2-
Из второго уравнения можно найти угол отклонения у отвес-
ной линии от радиуса Земли, т. е. разность между географической
и геоцентрической широтами:
о2/? sin 2ib
Slny^Y№—
Например, на широте Ленинграда (ф = 60°)
_ со2/? КЗ _ |Сз _
4^0 1160
Максимальное отклонение наблюдается на широте ф = 45° (у ^6').
Переносной силой инерции, вызванной вращением Земли,
объясняется также и сжатие Земли. Земля имеет форму геоида,
т. е. тела, ограниченного поверхностью, в каждой точке которой
потенциальная энергия силы тяжести (равнодействующая силы
притяжения и силы инерции переносного движения Земли при
ее вращении вокруг своей оси) имеет постоянную величину.
Такой поверхностью будет поверхность океанов и морей в рав-
§6 3]
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
165
новесном положении. Поверхность геоида заменяют обычно эллип-
соидом вращения, сжатие которого по данным измерений равно
а — Ь 1
а ~ 298,3 ’
Как правило, сжатием Земли пренебрегают и считают, что сила
тяжести mg направлена вдоль радиуса к центру Земли.
5. Маятник Фуко. В 1851 году Фуко продемонстрировал
в Пантеоне опыт с маятником, подвешенным на длинной нити.
Плоскость качания маятника медленно вращалась в направлении,
противоположном вращению Земли.
Для объяснения эффекта Фуко воспользуемся уравнениями
относительного движения в системе координат, связанной с Землей.
Направим ось г по линии отвеса в данной точке Земли вверх,
ось х — перпендикулярно к оси г
Проекции угловой скорости Земли на оси прямоугольной
системы координат выражаются через географическую широту
места ф (рис. 6.10):
сож = 0, = со cos ф, сог = м sin ф.
Уравнение движения маятника имеет вид
mwr= F-J-T-p Je4- Jt. (6.20)
Здесь Т —реакция нити, F —сила притяжения Земли, Jc —кори-
олисова сила инерции, Je— переносная сила инерции.
Выше было показано, что сила притяжения F, складываясь
с переносной силой инерции Je, дает силу тяжести mg, направ-
ленную параллельно линии отвеса, т. е. параллельно оси г.
Введем цилиндрическую систему координат (рис. 6.11) и будем
определять положение маятника при помощи трех координат: р,
биг (см. также т. I, § 9.10). В положении равновесия маятник
находится в начале координат.
166 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖ. МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ VI
Спроектируем на 'оси ер, е0, к угловую скорость вращения
Земли
сор = со cos <р sin 6, со0 = со cos ф cos 9,
сог = со sin ф.
Проекции линейной скорости будут
vP = p, Ve = p9. vg = z.
Поэтому кориолисова сила инерции принимает вид
Jc = — 2mo)xvr = — 2т
еР
сор
ее
«о
fe
к
“г
«г
(6.21)
Реакция нити Т имеет проекции на оси цилиндрической
системы, определяемые равенствами
Тр=-ТРГ, Т0 = О, TZ = T~. (6.22)
Запишем теперь уравнение (6.20) в проекциях на оси ер, е0, к.
При этом воспользуемся тем, что сумма F4-Je = mg направлена
по оси г и, следовательно, проекции ее на ер и е0 равны нулю.
Используя (6.21), получим
mwp = 2mcop9 sin ф — 2mai cos ф cos 9 — T у,
mw& = 2mcoz cos ф sin 9 — 2mcop sin ф,
• (6.23)
. £__2
mwz = — mg + 2mcop cos ф cos 9 — 2mcop6 s in ф sin 9 ——.
Заметим, что г = / — ф^/2 - p2 = / (1 — у 1 —а проекции
ускорения на оси цилиндрической системы координат будут
шр = р —62р, ®0 = p9 + 2p9, w2 = z.
Уравнения (6.23) содержат три неизвестные функции р, 9, Т
(г выражается через р). Интегрирование этой системы в общем
виде оказывается довольно сложным. Поэтому мы ограничимся
приближенным интегрированием. При отклонениях маятника от
вертикали, малых по сравнению с его длиной (р«С0, можно счи-
тать z = i = z = 0.
Тогда из второго уравнения получим
р9 ф- 2р9 = — 2сор sin ф,
или
(р26ф-®р2 sin ф) = 0.
§6 3] ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 167
Отсюда следует первый интеграл (интеграл площадей)
р26 сор2 sin <р = с.
Предположим, что в какой-нибудь момент времени маятник
проходил через начало координат; тогда р = 0 и с = 0. Следова-
тельно,
9 + со sin ф = 0, 0 = — со sin ф.
Отсюда видно, что плоскость качания маятника вращается в сто-
рону, противоположную вращению Земли, но с меньшей угловой
сила
к плоскости меридиана
скоростью.
6. Отклонение падающих тел к востоку. При падении мате-
риальной точки вблизи поверхности Земли на нее действует
тяготения F = mg0. Присоединяя к ней
переносную и кориолисову силы инер-
ции, напишем дифференциальное ура-
внение относительного движения для
свободной материальной точки
mwr= F 4- Je+Jc.
Сумму переносной силы
и силы тяготения можно
силой тяжести F -ф Je = mg,
mwr = mg + Jc.
Вектор скорости свободно падаю-
щего тела близок к вертикали места.
Поэтому кориолисова сила инерции
Jc = — 2mo)Xvr почти перпендикулярна
(рис. 6.12) и направлена на восток. Спроектируем последнее урав-
нение на ось г, направленную по вертикали вверх, ось х, направ.
ленную на восток, и ось у, направленную на север:
инерции
заменить
и тогда
тх = — 2та (z cos ф — <лу sin ф),
ту = — 2гшх sin ф,
mz = — mg-\-2mx cos ф.
(6.24)
Здесь ф — географическая широта места, g — ускорение силы
тяжести на широте ф.
Интегрирование системы проведем сначала для <в = 0. Полагая,
что в начальный момент времени х0 (0) = у0 (0) = z0 (0) = 0, получим
хо(0=0, у) = 0, zo(0= — gt.
Найдем теперь поправки к этому приближенному решению, полагая
х = х0 + х1( У = УоЛ-Уи z = z0 + z1.
168 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖ. МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. VI
После подстановки в (6.24) получим
х\ == 2agt cos ср, i/i = 0, z1 = 0.
Отсюда при нулевых начальных условиях имеем
jq = agt2 cos <р, %! cos ф, (/i = 0, г1 = 0. (6.25)
При падении с высоты h время падения связано с t равенством
, , / 2Л\1/2
h = ^~, t={ —
2 \ g J
Полное отклонение на восток получим, подставляя в (6.25) время f:
1 ( 2h \з/2
X = у Mg- COS ф J .
§ 6.4. Теорема об изменении кинетической энергии
в относительном движении
Все общие теоремы динамики точки сохраняют свою форму
и в относительном движении. Не надо только забывать присое-
динять в разряд действующих на точку сил переносную и корио-
лисову силы инерции. Некоторое исключение составляет теорема
об изменении кинетической энергии в относительном движении.
Покажем, что при ее использовании нет необходимости учитывать
кориолисову силу инерции.
Уравнение движения имеет вид
= F-(- R + Je — 2т (wxv,). (6.26)
Умножим левую и правую части (6.26) скалярно на относительную
скорость
mvr • = F vr + R • vr + Je • vr — 2m (w x vr) • vr.
Последнее слагаемое равно нулю, так как вектор vr перпен-
дикулярен к векторному произведению axvr.
Отсюда получим
где N — мощность активных сил, сил реакции и переносной силы
инерции. Знак относительного дифференцирования теперь опущен,
так как дифференцируется скалярная функция времени.
Обозначив кинетическую энергию относительного движения
через Тг, т. е,
т - mv"
ir~ 2 >
§ 6.4]
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
169
перепишем (6.27):
dt
(6.28)
Интегрируя по времени (6.28) от некоторого начального момента
времени t0 до текущего t, получим
t
Trl,-V?' = \N dt.
to
Но интеграл, стоящий справа, — работа всех сил при перемещении
точки из начального положения в конечное. Таким образом,
Т(1) _ Т(0) = Ло1 = + ЛЯ + д/.
Изменение кинетической энергии в относительном движении
равно сумме работ всех действующих сил и переносной силы инер-
ции. В некоторых случаях переносные силы инерции могут быть
консервативны (поле однородных сил инерции, поле центробежных
сил).
Доставка груза на стационарный спутник. Спутник, движущийся по кру-
говой экваториальной орбите в направлении вращения Земли с периодом, равным
одним суткам, называется стационарным (рис/
6.13). Такой спутник «висит» над экваториальной
точкой Земли. Он может быть использован для
решения задач глобальной связи, а также удобен
в качестве межпланетной станции.
Ранее в § 4.7 был найден радиус орбиты ста-
ционарного спутника. Оказалось, что г0 = 42 000 км.
Если теперь из г0 вычесть радиус Земли, то полу-
чим высоту орбиты над поверхностью Земли
Я = г0 —Д = 42 000—6371 =35 629 км.
Решим следующую задачу.
Задача 6.4. Какую работу необходимо затра-
тить, чтобы доставить груз с поверхности Земли
на стационарный спутник, полагая, что
исходит в экваториальной плоскости?
Свяжем с Землей и спутником вращающуюся систему координат.
К грузу следует приложить силу тяготения F, силу инерции Je перенос-
ного ускорения и силу тяги Т. Будем считать, что в начальный и конечный
моменты относительная скорость равна нулю. Тогда на основании теоремы об
изменении кинетической энергии в относительном движении можно записать
Дп + Д/а + ДГ3 = О,
где Xf2 — работа силы тяготения, она отрицательна, и Д/3— работа центро-
бежной силы инерции — положительная величина. Отсюда работа силы тяги
дТ дЕ д.1
<*12 л12 ^12’
Для гравитационных сил потенциальная энергия была вычислена ранее
(§ 3.5):
движение
ракеты с
грузом про-
1Ь=-^
170
ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖ. МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ VI
Найдем потенциальную энергию центробежной силы инерции. В условиях
задачи (спутник «висит» над Землей, ракета движется в экваториальной плос-
кости) имеем
Je = та2г.
Эти силы центральные, поэтому их поле консервативно.
Примем в качестве фиксированной точки для вычисления потенциальной
энергии центр Земли, тогда, по определению потенциальной энергии,
о г
С С
IIj (r) = Амо= I ma2rdr =— i ma2rdr =----------—,
r 0
Отсюда работа силы тяги окажется равной
_ _ f mgR2
Д12 I г
to2r2 \ ! mgR2 , rrus>2rl \
D /, , ®2₽\ 3mgR2 , со2₽
=^(1+-2г)—^r=m^(1+-v

Заметим, что
со2Я 1
2g — 580 ’
~ 0,226,
2г0
следовательно,
Д?2 = 0,776 mgR.
Для подъема одного килограмма груза потребуется затратить работу
4^=6371.109.0,776 = 5,13- 10» кГм,
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
ГЛАВА VII
МАТЕРИАЛЬНАЯ СИСТЕМА
§7.1. Центр масс
В первой части курса динамики мы изучали законы движения
одной материальной точки, находящейся под действием прило-
женных к ней сил. В практике чаще встречаются более сложные
случаи, когда движение одной материальной точки или одного
тела нельзя изучать изолированно от движения других мате-
риальных точек (тел). Так, например, движение Луны относи-
тельно Земли существенным образом зависит от движения Земли
относительно Солнца, вращение коленчатого вала двигателя внут-
реннего сгорания зависит от движения его поршней и т. п. Эти
и многочисленные другие примеры заставляют нас перейти от
изучения движения одной материальной точки к изучению дви-
жения материальных систем.
В механике под материальной системой понимают совокупность
материальных точек, движения которых взаимосвязаны. Твердое
тело рассматривается как неизменяемая материальная система
с распределенной по объему массой. Эта модель представляет,
конечно, некоторую идеализацию твердого тела, так как при этом
не учитываются расстояния между молекулами или кристаллами
тела. Однако эти расстояния настолько малы по сравнению с раз-
мерами самого тела, что предположение о сплошном распределении
массы не вносит сколько-нибудь заметных погрешностей в вычис-
ления.
Массой М материальной системы называется сумма масс всех
точек, входящих в систему:
- (7.1)
*= I
где mk — масса материальной точки с номером k, ап —число всех
точек системы.
Центром масс или центром инерции материальной систе-
мы называется геометрическая точка, радиус-вектор г которой
172
МАТЕРИАЛЬНАЯ СИСТЕМА
[ГЛ. VII
определяется равенством
п
гс=4’2"гл’ <7-2>
4=1
т. е. точка с декартовыми координатами
п п п
= mkXk, Ус = ~м^ mkyk’ гс= лГ 2 <7’3)
4=’| 4 = 1 4 = 1
В этих формулах rk и xk, £4 — соответственно радиус-вектор
и координаты fe-й материальной точки.
При непрерывном распределении массы суммы, стоящие в пра-
вых частях формул (7.2) и (7.3), переходят в соответствующие
интегралы.
Легко видеть, что центр масс твердого тела, находящегося
в однородном поле силы тяжести, совпадает с его центром тяжести.
Действительно, умножим числитель и знаменатель правой части
формулы (7.2) на модуль ускорения силы тяжести g:
п
4 = 1
Учитывая, что произведение Mg равно весу Р тела, a mkg —
весу pk k-n материальной точки, получим
п
Гс=~р 2рьГь'
4=1
что совпадает с выражением для радиуса-вектора центра тяжести
твердого тела (том I, глава VIII).
В динамике следует говорить о центре масс материальной
системы, а не о центре тяжести. При определении центра масс
материальной системы можно пользоваться методами, установлен-
ными в статике для определения центра тяжести (метод симметрии,
метод расчленения, метод отрицательных масс и т. п.). Необхо-
димо отметить, что положение центра масс твердого тела не
меняется относительно точек тела. Если же система состоит из
перемещающихся друг относительно друга материальных точек,
то положение центра масс системы относительно ее точек может
изменяться.
§ 7.2. Внешние и внутренние силы
В курсе статики мы делили все силы, приложенные к твердому
телу или к системе тел, на активные силы и реакции связей,
понимая под первыми силы, не зависящие от связей. Там же
§ 7.2]
ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ
173
было показано, что силы можно разделить и на две другие группы,
а именно на внешние и внутренние.
Напомним еще раз определения внешних и внутренних сил.
Силы, действующие на точки системы, называются внешними, если
они вызваны действием тел, не входящих в систему. Силы, выз-
ванные взаимодействием точек, входящих в систему, называются
внутренними. Обозначаются внешние силы верхним индексом «е»,
а внутренние — верхним индексом «i» (от начальных букв фран-
цузских слов exterieur —внешний и interieur — внутренний):
Fe —внешняя сила, F‘ — внутренняя сила.
Для иллюстрации введенных понятий рассмотрим силы, приложенные
к движущемуся прямолинейно по горизонтальной дороге автомобилю (рис. 7.1).
Прежде всего на автомобиль действует сила тяжестй G. Эта сила внешняя,
так как она вызвана действием Земли — тела,
не входящего в рассматриваемую материальную
систему (автомобиль). Она одновременно яв-
ляется и активной, так как не зависит от свя-
зей. К активным внешним силам относится
также аэродинамическая сила сопротивления
воздуха Fc; эта сила непосредственно не зависит
от связей и вызвана сопротивлением окружаю-
щей среды. Применим теперь принцип осво-
бождаемое™ и заменим действие связи (дороги)
ее реакциями Nx, N2, F1f F2. Первые две силы
Рис. 7.1.
дороги
трения,
представляют равнодействующие нормальных составляющих реакций
к передним и задним колесам, а силы Fj и F2 — равнодействующие сил
вызванных вращением ведомых и ведущих колес (см. раздел Статика, стр. 95).
Силы Nx, N2, Fx и F2 — внешние, так как они обусловлены действием дороги,
которая в систему не входит. Таким образом, к авто-
мобилю приложены шесть внешних сил: G, Fr, N,,
n2, fv f2.
Сила давления газов на поршни двигателя, силы
давления поршней на шатуны и шатунов на криво-
шипы коленчатого вала, силы трения на осях колес
и т. п.—это все внутренние силы системы.
F/
Рис. 7.2.

Отметим, что в некоторых случаях внеш-
ние силы появляются за счет действия внут-
ренних сил. Так, например, внешняя сила
трения скольжения F2 между задними коле-
сами автомобиля и дорогой (см. рис. 7.1) не
может возникнуть без внутренних сил, пере-
дающих вращающий момент на ведущие ко-
леса. Точно так же внешние силы трения F*
и F2 между подошвами ботинок и полом не
могут возникнуть без внутренних мускуль-
ных усилий человека (на рис. 7.2 показаны все внешние силы,
действующие на идущего вправо человека).- Если выключить двига-
тель автомобиля или если человек не будет создавать мускульных
усилий, то соответствующие внешние силы трения обратятся в нуль.
174
МАТЕРИАЛЬНАЯ СИСТЕМА
[ГЛ VII
Рассмотрим еще один пример. Если пренебречь силами притя-
жения звезд, то нашу Солнечную систему можно рассматривать
как изолированную механическую систему, на которую не дей-
ствуют никакие внешние силы. Силы притяжения между отдель-
ными телами всей Солнечной системы являются активными внут-
ренними силами.
§ 7.3. Свойства внутренних сил
Из третьего закона Ньютона следует, что внутренние силы
входят попарно, причем, если точка В действует на точку А
с силой F‘i, а точка А действует на точку В с силой F^, то эти
силы равны по модулю и направлены по одной прямой в проти-
воположные стороны (рис. 7.3):
F^ = -F;. (7.4)
Из этого следуют два свойства внутренних сил системы.
Первое свойство. Геометрическая сумма всех внутренних
сил системы {главный вектор внутренних сил) равна нулю'.
2 F*=°-
k=i
(7.5)
где F* — равнодействующая внутренних сил, приложенных к точке
с номером k.
Второе свойство. Геометрическая сумма моментов всех
внутренних сил относительно произвольной точки пространства
(главный момент внутренних сил) равна нулю'.
2 rfexF^ = °. (7.6)
\ s' k= 1
Г; \ Для системы, состоящей из двух точек А
\< и В с силами взаимодействия FJ и F‘2 (см.
О рис. 7.3), это свойство очевидно. Действи-
Рис. 7.3. тельно, так как F^ = —Fi, а плечи относи-
тельно точки О у обеих сил равны, то мо-
менты этих сил численно равны, но направлены в противополож-
ные стороны. Доказательство первого и второго свойств для лю-
бого количества внутренних сил следует теперь из того, что они
входят в систему попарно.
Равенство нулю главного вектора и главного момента внут-
ренних сил материальной системы не означает, что эти силы урав-
новешены. Это объясняется тем, что внутренние силы приложены
к разным материальным точкам, которые в общем случае могут
перемещаться друг относительно друга. Хорошим примером, иллю-
§ 7.4] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 175
стрирующим сделанное замечание, может служить Солнечная
система, планеты которой и их спутники совершают весьма слож-
ные движения под действием одних внутренних сил.
§ 7.4. Дифференциальные уравнения движения
системы материальных точек
Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек.
Применим принцип освобождаемое™ и заменим связи их реак-
циями. Обозначим через F* и F* равнодействующие всех внешних
и внутренних сил, приложенных к fe-й материальной точке. Тогда
каждую точку можно рассматривать как свободную, движущуюся
под действием сил F* и F*. Применим к каждой точке второй
закон Ньютона:
~ Fl + Fl’
^^- = F« + F-
(7.7)
или, в проекциях на неподвижные оси декартовых координат,
mkXk — -Х* +
= (fe = l, 2, .... п).
mkzk = Zek± Zlk
(7-8)
Векторные уравнения (7.7) или эквивалентные им скалярные
уравнения (7.8) представляют дифференциальные уравнения дви-
жения материальных точек всей системы. Число диф-
ференциальных уравнений в векторной форме равно п,
а число дифференциальных уравнений в координатной
форме равноЗп. Следовательно, общее решение зависит
от 6м произвольных скалярных постоянных. Ко-
нечно, если все точки движутся параллельно одной
плоскости или одной прямой, то число дифферен-
циальных уравнений (7.8) в первом случае будет
равно 2м, а во втором п.
Проиллюстрируем методы составления дифферен-
циальных уравнений (7.8) на элементарном примере.
Задача 7.1. Два тела веса Q и G связаны между собой
тросом, перекинутым через блок (рис. 7.4^. Пренебрегая
силами трения, а также массой троса и блока, определить
закон движения грузов и натяжения троса.
Система состоит из двух материальных точек (оба тела
поступательно), движущихся параллельно одной прямой. Следовательно, мы
будем иметь два дифференциальных уравнения движения в проекциях на ось х.
Предположим, что правый груз движется с ускорением xt вниз; тогда левый
Рис. 7.4.
перемещаются
176
МАТЕРИАЛЬНАЯ СИСТЕМА
[ГЛ. VII
груз будет двигаться вверх с ускорением х2 =— хг Мысленно освободимся от
связи (троса) и заменим ее реакциями и Т2. Считая теперь оба тела свобод-
ными, составим дифференциальные уравнения движения в проекции на ось х:
— 7\, iti2x2 = G— Т'з-
Учтем теперь, что Я2= — Х1, rn^Qjg, m2 = G/g и Т1 = Т2 = Т (так как
силами трения, а также массой троса и блока пренебрегаем; строго последнее
равенство будет доказано в примере § 19.1); тогда получим
l-g^Q-T, -2-x^G-T.
g g 1
Решая эти уравнения относительно ускорения хг и натяжения Т троса, найдем
,, Q-G о QG
^-q+gs' t~2q+g-
Из этого решения видно, что правый груз движется равноускоренно вниз,
если Q > G, и вверх, если Q<G. При Q = G оба груза находятся в покое или
движутся равномерно (это зависит от начальных условий). Отметим, что натя-
жение троса при Q G не равно весу соответствующего груза.
§ 7.5. Задача двух тел
В качестве второго примера на составление дифференциальных
уравнений движения материальной системы рассмотрим следующую
задачу. Две свободные материальные точки М± и М2 с массами
т1 и т2 соответственно движутся под
Z1 л/А действием сил ньютоновского притя-
жения. Определить закон движения
1* / системы.
/ В небесной механике и теории
2 Движения искусственных спутников
— —-----------Земли эта задача является одной из
/О & основных (она называется задачей
двух тел). В главе IV решалась ана-
логичная задача в предположении,
Рис- 7-5, что тело, обладающее большей мас-
сой, неподвижно (в теории движения
больших планет —это Солнце, в теории движения искусственных
спутников — небесное тело, вокруг которого движется искусствен-
ный спутник).
Введем инерциальную систему отсчета Охуг и обозначим через
гх и г2 радиусы-векторы соответствующих точек, а через г — радиус-
вектор точки М2 относительно Afx. Из рис. 7.5 видно, что
Г = Г2-Гр
По закону всемирного тяготения имеем
р _р - г mim*
Г1 —Г2~~1 г2
(7.9)
(7.10)
где ^ — гравитационная постоянная.
§7 5]
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
177
Направление силы Fx определяется единичным вектором г/г,
а силы F2 —единичным вектором —г/г (обе силы направлены по
одной прямой в противоположные стороны).
Дифференциальные уравнения движения в векторной форме
(7.7) для рассматриваемой системы будут таковы:
сРг! пцт^ г
“ (7.11)
<йг2 _ , тхтг г
т2 dt2 I Г2 г '
где вектор г определен равенством (7.9), а г = | г |. Умножим пер-
вое уравнение (7.11) на т2, а второе на тА и после этого вычтем
почленно из второго уравнения первое:
miO12 (dt2 dt2) ' г2 г '
или, сокращая на т1 и преобразовывая левую часть,
т d2 r \ f + г
т2 dp И а — Г11-----------------/ г
Учтем теперь равенство (7.9):
ml2!— f т*(т1+тд r 17 1
"*2 dt2 ’ r2 r ' - \•1 z ’
Из этого уравнения видно, что материальная точка /И2 дви-
жется относительно точки как относительно неподвижного
центра, масса которого равна не mlt а М = т1-]-т2. Следова-
тельно, пренебрежение движением точки большей массы вносит
в расчеты погрешность, относительная величина которой опреде-
ляется равенством
е= М-т1 _
т1 тг ’
Если т2 — масса искусственного спутника, а т^ — масса Земли,
то относительную погрешность е можно только вычислить, но не
измерить (так как мы не располагаем столь чувствительными при-
борами). Если же т2 — масса планеты, а т^ — масса Солнца, то
эта ошибка для Земли равна 0,000003, а для Юпитера (самой
большой планеты Солнечной системы) —0,001.
Перейдем теперь к исследованию движения двух тел относи-
тельно их центра масс. Для этого прежде всего покажем, что
центр масс С рассматриваемой системы находится в покое или
движется равномерно и прямолинейно. Действительно, сложив
почленно оба уравнения (7.11), получим
или, интегрируя,
л- + т2ДГ = Л1А’ <7-13)
178
МАТЕРИАЛЬНАЯ СИСТЕМА
[ГЛ. VII
где А —произвольный постоянный вектор (скалярный множитель
М=т1-\-т2 введен для удобства).
Воспользуемся формулой (7.2) и найдем радиус-вектор центра
масс системы
гс = (т1г1+т2г2)-
Дифференцируя по времени, получим скорость vc центра масс С:
drc 1 / dr dr \
Сравнивая с первым интегралом уравнения (7.13), найдем
vc = А.
Пусть при t — 0 vc = voC. Тогда последнее равенство примет вид
Vc = voC,
т. е. центр масс находится в покое (если в начальный момент
vc = 0) или движется равномерно и
прямолинейно (если в начальный мо-
мент vc =/= 0) *).
г Очевидно, что центр масс С рас-
сматриваемых точек и М2 находит-
г/ ся на прямой, соединяющей эти точки
рис 7.6. (рис. 7.6). Будем теперь откладывать
радиусы-векторы гх и г2 точек и М2
от точки С. Тогда дифференциальные уравнения движения (7.11)
примут вид
rf2ri = _ f n
1 dt2 1 (Zl+rs)2 /-! ’
d2r2 ______, mtm.2 r2
2 dt2 I (Г1 + г2)2 r2-
(7.14)
Центр масс делит расстояние между точками Мг и М2 на
части, обратно пропорциональные массам:
1-1 _ тг
Г2 mt
Составим из этой пропорции две производные пропорции!
ri _ т2
4~ г2 mi 4~ т2 ’
/~1+г2 _ mi + m2
r2 mt
Отсюда
_mt + m2r
т2 11
mt+m2
mt 2
'•i + G
*) Установленное здесь свойство центра масс в задаче двух тел является
частным случаем теоремы о движении центрй масс материальной системы
см. § 8.4. следующей главы.
5 7.6]
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
179
Внесем эти равенства в дифференциальные уравнения движе-
ния (7.14):
(Ртг _ f ml mpn2гх
id/2 ' ("h + mtf г* Г1’
с!2г2 _ , ml т^2 г2 ' ‘ '
m2-dP~ —1(т1 + т2у ri )
Из этих уравнений видно, что движение каждой точки отно-
сительно их центра масс происходит как движение вокруг непод-
вижного притягивающего центра с мас-
„ ml
сои (mx+m2)2
для первой точки и
-—J——для второй. При соответст-
(mi + m2)2
вующих начальных условиях обе точки
движутся по эллипсам, имеющим общий
фокус С, совпадающий с центром масс
системы (рис. 7.7). В частности, траек-
тория планеты представляет эллипс,
фокус которого совпадает не с центром рис. 7.7.
Солнца, а с центром масс системы
Солнце — планета (влиянием других небесных тел пренебрегаем).
Эта точка отстоит от центра Солнца на небольшом расстоянии,
которым в первом приближении можно пренебречь.
§ 7.6. Общие замечания
На первый взгляд может показаться, что изучение движения
материальной системы можно свести к составлению и анализу
дифференциальных уравнений (7.7) или (7.8). В принципе эта
точка зрения справедлива, но практически реализовать такой путь
исследования удается только для систем, состоящих из небольшого
числа материальных точек (свободных или имеющих сравнительно
простые связи, как это имело место в рассмотренных примерах).
Сложность использования дифференциальных уравнений движения
(7.7) или (7.8) состоит прежде всего в том, что, как правило, мы не
знаем аналитического выражения внутренних сил и реакций связей.
В теоретической механике разработаны методы, которые позво-
ляют обойти основные трудности, возникающие при использовании
дифференциальных уравнений движения материальной системы
в форме (7.7) и (7.8). С этой целью прежде всего вводятся
некоторые векторные и скалярные величины, характеризующие
в какой-то степени движение всей материальной системы (так
называемые меры движения). К ним относятся вектор количества
и вектор момента количеств движения, а также кинетическая
энергия материальной системы. Зная характер изменения этих
величин, можно составить частичное, а иногда и полное пред-
ставление о движении материальной системы.
ГЛАВА VIII
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
§8.1. Количество движения материальной системы
В конце предыдущей главы было отмечено, что о движении
материальной системы можно составить частичное, а иногда и пол-
ное.представление по характеру изменения некоторых векторных
или скалярных величин, называемых мерами движения. В каче-
стве первой такой меры мы рассмотрим вектор количества дви-
жения материальной системы.
Количеством движения материальной точки называется, как
известно, векторная величина, равная произведению массы точки
т на ее скорость v, т. е. вектор mv. Количеством движения
материальной системы называется вектор Q, равный сумме коли-
честв движения {главный вектор количеств движения) точек, вхо-
дящих в систему.
Q=YimkNk. (8.1)
fe=i
Так как vA = rA, где rfe — радиус-вектор й-й точки, проведенный
из начала инерциальной системы отсчета, то равенство (8.1) можно
преобразовать следующим образом (массы точек постоянны):
Q = 2 5=2 mkTk-
k=i k=i
Пользуясь выражением (7.2), сумму, стоящую под знаком про-
изводной, заменим произведением Мгс, где М — масса всей системы,
а гс — радиус-вектор центра масс:
О Ч
или
drr
Q = M-£.
at
§ 8.11
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ системы
181
UI р
Производная есть скорость Vc центра масс системы. Окон-
чательно имеем
Q = Mvc,
(8-2)
т. е. количество движения материальной системы равно массе
всей системы, умноженной на скорость ее центра инерции.
Равенство (8.2) можно прочитать также следующим образом:
количество движения материальной систе- ____
мы равно количеству движения ее центра аЛ^/^ААк
масс, если сосредоточить в нем массу всей АаА<^ААа\
системы. г//А
Задача 8.1. Однородный полый цилиндр мае- хА/Л А/А1
сы т = 20 кг катится без скольжения по гори- \ААА7АА/А/
зонтальной плоскости со скоростью ц = 2 м/сек ^^ААЛ/А'
(конечно, это скорость центра цилиндра; рис.
8.1). Определить количество движения цилиндра.
Количества движения отдельных -точек ци- Рис. 8.1.
линдра имеют различные направления. Их главный
вектор Q (количество движения всего цилиндра) совпадает по направлению
со скоростью центра масс цилиндра, а его модуль определяется равенством
Q = moc = 40 кг • м/сек — 40 н- сек = 4,08 кГ -сек.
Вектор количества движения Q может быть задан своими про-
екциями, выражения
для которых непосредственно следуют из
формул (8.1) и (8.2) и теоремы о проек-
ции суммы векторов:
Рис. 8.2.
п
Qx= У, mkvkx = MvCx,
п
Qy = У "Wky = Ml>Cy,
п
Qz = У rnhVhs =MvCz.
k = l
(8.3)
Кроме инерциальной системы отсчета О&у^, построим посту-
пательно перемещающуюся систему координат Сх2у2г2, начало
которой совпадает с центром масс С (рис. 8.2). Теперь движение
каждой материальной точки можно рассматривать как сложное
движение: переносное вместе с осями Сх^у^г2 и движение относи-
тельно этих осей. Поэтому количество движения можно предста-
вить как сумму количеств переносного и относительного движения
Q = Q'rQ\
182
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Так как в относительном движении vCr = 0 (центр масс системы
С совпадает с началом координат подвижной системы отсчета
Сх^гг2), то согласно формуле (8.2) Qr = 0 и, следовательно,
Q = Qe.
Таким образом, количество движения материальной системы
характеризует ее поступательное движение вместе с центром масс.
§ 8.2. Теорема об изменении количества движения
материальной системы
Теорема. Производная по времени вектора количества движения
системы материальных точек равна главному вектору всех внеш-
них сил, действующих на систему.
Для доказательства теоремы перепишем дифференциальные
уравнения движения (7.7) материальной системы в следующей
форме:
mre^ = K + F‘
(8-4)
и сложим почленно все уравнения:
П П Н
2 к+2F>-
= 1 - I ' I
Первая сумма, стоящая в правой части равенства, равна глав-
ному вектору Fe всех внешних сил, а последняя сумма по первому
свойству внутренних сил равна нулю (см. формулу (7.5)). После
преобразований левой части получим
п
d? 2 ^=FF,
k=l
или, учитывая равенство (8.1),
<3T=F*. (8.5)
что доказывает теорему.
В проекциях на неподвижные оси декартовых координат век-
торное равенство (8.5) эквивалентно трем скалярным:
§ 82]
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
183
Из этой теоремы вытекает несколько следствий.
1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение
количества движения материальной системы (они могут оказать
косвенное влияние через внешние силы; см. окончание § 7.2).
2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на
систему, равен нулю, то вектор количества движения материаль-
ной системы остается постоянным по величине и направлению.
Действительно, по условию Fe = 0. Тогда из равенства (8.5)
будем иметь
^ = 0.
dt
Отсюда
Q = Q0 = const, (8.7)
где Qo —начальное значение вектора Q.
3. Если проекция главного вектора всех внешних сил, прило-
женных к системе, на некоторую неподвижную ось равна нулю,
то проекция количества движения материальной системы на эту
ось остается постоянной.
Пусть проекция главного вектора всех внешних сил на ось х
равна нулю: Xе = 0. Тогда из первого равенства (8.6) будем иметь
Отсюда
Qx = Qox = const, (8.8)
где Qo* — начальное значение проекции Qx.
Первые интегралы (8.7) и (8.8), определяющие второе и третье
следствия, называются законами сохранения количества движения
материальной системы.
Пользуясь введенным ранее понятием импульса силы, преоб-
разуем равенство (8.5). Для этого умножим обе части на dt и
проинтегрируем в пределах от t0 до t:
t t
\d§= \ Fe dt,
to to
ИЛИ
Q(0-Q(*o)=i dt.
to
Обозначим количество движения материальной системы в мо-
мент времени t через Q, а в момент t0 — через Qo, и воспользуемся
выражением (3.3) для импульса силы. Тогда окончательно получим
Q —Q0 = Se, (8.9)
где Se = 2 — главный вектор импульсрв всех внешних сил.
184
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ VIII
Таким образом, приходим к теореме об изменении количества
движения материальной системы в интегральной форме (теорема
импульсов)- изменение количества движения мат°риальной системы
за промежуток времени [70, /] равно главному вектору импульсов
всех внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежу-
ток времени.
Векторное уравнение (8.9) эквивалентно трем скалярным
равенствам в проекциях на оси инерциальной системы координат:
Qx Qox =
Qy-Qoy=Sey, (8.10)
Qz Qoz =
В этих формулах Sex, Sey и S| — проекции главного вектора
импульсов всех внешних сил на оси координат, a Qx, Qu, Qz и
Qox, Qoy, Qoz —значения проекций количества движения мате-
риальной системы в момент времени t и t0.
Теорема импульсов широко применяется в теории удара.
§ 8.3. Теорема о движении центра масс
Внесем в равенство (8.5) выражение для количества движения
материальной системы (8.2):
или, учитывая, что масса системы постоянна^ получим
dvr
M^=F‘. (8.11)
Это равен тво по виду совпадает со вторым законом Ньютона,
dvc
записанным для точки с массой М и ускорением wc = ~,
к которой приложена сила Fe. Равенство (8.11) представляет
математическую запись теоремы о движении центра масс: центр
масс материальной системы движется как материальная точка,
в которой сосредоточена вся масса системы и к которой прило-
жены все внешние силы, действующие на систему.
Напомним, что Fe — главный вектор всех внешних сил, при-
ложенных к системе.
Векторное равенство (8.11) эквивалентно трем скалярным:
dvr„ r dvr. „
М^=Хг, M~ = Ze. (8 12)
Здесь предполагается, что оси декартовых координат неподвижны.
§ 83]
ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
185
Необходимо помнить, что центр масс представляет геометри-
ческую точку (см. рис. 8.1). Кроме того, внешние силы фактиче-
ски приложены не к центру масс, а к точкам системы. Вместе
с тем эта геометрическая точка при движении системы перемеща-
ется по закону, определенному приведенной теоремой.
Из этой теоремы вытекает несколько следствий.
1. Одними внутренними силами нельзя изменить характер
движения центра масс системы. Внутренние силы могут оказать
косвенное влияние на движение центра масс только через внеш-
ние силы.
2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на
систему, равен нулю, то центр масс материальной системы нахо-
дится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Действительно, если Fe = 0, то из равенства (8.11) будем иметь
dv,,
М-£ = 0.
at
Сокращая на М и интегрируя, получим
Vc = voc = const, (8.13)
где voC — начальная скорость центра масс.
3. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы
на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости
центра масс системы на эту ось не изменяется
В самом деле, если Xе = 0, то из первого уравнения (8.12)
найдем
, dvr.
М-^ = 0.
at
Отсюда
vCx = const. (8-14)
4. Пара сил, приложенная к твердому телу, не может изме-
нить движение его центра масс (она может вызвать только вра-
щение тела).
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон движения центра
масс.
Пример 1. Движение с помощью сил трения. На человека,
стоящего на горизонтальном полу, действуют две внешние силы:
сила тяжести G и нормальная реакция пола N. Для движения
в горизонтальном направлении (перемещения центра масс чело-
века) этих сил недостаточно. В начале движения при перемещении
одной ноги вперед за счет мускульных усилий вторая нога стре-
мится переместиться назад, так как центр масс человека должен
остаться в покое. В результате этого между подошвой второй
ноги и ‘полом возникает сила трения, направленная вперед
(см. рис. 7.2). Эта сила трения является движущей для человека.
186
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Если пол будет абсолютно гладким, то одними мускульными уси-
лиями человек не сможет перемещаться.
Точно так же движение автомобиля по горизонтальной дороге
осуществляется с помощью внешних сил трения скольжения,
которые возникают между полотном дороги и ведущими колесами
автомобиля (см. рис. 7.1). Эти внешние силы трения возникают
за счет внутренних сил, создающих вращающий момент на оси
ведущих колес, и наличия шероховатой связи (дороги). Если
полотно дороги достаточно гладкое (например, при гололеде), то
даже при большом вращающем моменте, создаваемом внутрен-
ними силами, автомобиль не сможет начать движение.
Спортсмен, опускаясь на парашюте, может управлять движе-
нием центра масс своего тела, в частности, при известном опыте
он может приземлиться вчзаданном круге. Осуществляется это
управление за счет изменения внешних сил сопротивления воз-
духа. Это достигается подтягиванием с помощью мускульных
усилий (внутренних сил) строп парашюта.
Пример 2. Движение тел Солнечной системы в неподвижной
системе координат. Пренебрегая притяжением далеких звезд,
нашу Солнечную систему можно считать изолированной, т. е.
считать, что на тела Солнечной системы действуют только внут-
ренние силы. По второму следствию теоремы о движении центра
масс центр масс Солнечной системы, расположенный вблизи центра
Солнца, находится в покое или двигается прямолинейно и рав-'
номерно. Наблюдения показывают, что он перемещается со ско-
ростью 20 км/сек к некоторой точке небесной сферы, расположен-
ной вблизи звезды Веги и называемой апексом. Таким образом,
движение планет Солнечной системы является сложным: их тра-
ектории относительно системы отсчета, связанной с центром масс
Солнечной системы, — эллипсы (если пренебречь силами взаимного
тяготения планет), а траектории относительно далеких звезд —
пространственнее эллиптические спирали.
Пример 3. Движение искусственного спутника Земли при выходе
из его кабины космонавта. Пусть центр масс С всей системы
(искусственного спутника Земли вместе с находящимися в нем
космонавтами) движется под действием сил тяготения Земли по
некоторой траектории LL' (рис. 8.3, положение /). При выходе
космонавта из кабины спутника их общий центр масс будет пере-
§ 8.4]
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
187
мешаться с той же скоростью и по той же траектории (так как
внешние силы не изменились), но спутник и космонавт разойдутся
по разные стороны от нее (см. рис. 8.3, положение II). Когда
космонавт возвратится в кабину спутника, последний перейдет
на прежнюю траекторию (положение III). Конечно, эти явления
будут происходить только в том случае, если космонавт не поль-
зуется микрореактивными двигателями.
§ 8.4. Теорема Эйлера
Дифференциальная форма теоремы об изменении количества
движения материальной системы имеет важные и интересные при-
ложения в механике сплошной среды. Рассмотрим одно, самое
простое, но очень интересное приложе-
ние *).
Пусть некоторая сплошная среда (жид-
кость, газ) движется внутри трубы перемен-
ного сечения. Выделим часть трубы объе-
мом w (рис. 8.4). Будем считать, что этот
объем ограничен боковой поверхностью
трубы и двумя ее поперечными сечениями
ох и сг2, причем Oj и сг2 означают одновре-
менно и площади поперечных сечений (см.
рис. 8.4). Обозначим через vlt v2 и v
средние скорости частиц среды, протекаю-
щих соответственно через сечения <т1, ст2
и некоторое среднее сечение <т. Тогда в
единицу времени через сечение будет
кости, равная p^Vi, а через сечения ст2 и сг —массы р2<т2ц2 и рсгц,
где Pi, р2 и р —плотность среды в соответствующих сечениях.
Будем считать, что движение среды установившееся. Это озна-
чает, что скорости отдельных частиц среды и ее плотность
в каждом сечении не изменяются с течением времени I. В этом
предположении (оно является основным) через каждое сечение
в единицу времени будут протекать равные количества массы
среды, т. е.
Мс = Pi^i = Р2а2у2 = P<w. (8-15)
где через Mz обозначена секундная масса — масса среды, проте-
кающей через любое сечение трубы в единицу времени. Размерность
секундной массы в системе СИ равна кг-сект1, а в технической
системе — кГ м~1 сек.
протекать масса жид-
*) Доказательство будет вестись в упрощающих предположениях (см., на-
пример, Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1976; Лой-
цянский Л. Г. Механика жидкости и газа,—М.: Наука, 1978,
188
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. V1H
Перейдем теперь к вычислению изменения количества движе-
ния среды, заполняющей объем w. Пусть в момент времени t
рассматриваемая среда занимала объем w, заключенный между
сечениями и <т2, а в момент времени t-\-dt эта же масса среды
занимает объем, ограниченный сечениями crj и <т2 (см. рис. 8.4).
Тогда изменение количества движения рассматриваемой массы
среды произойдет только за счет потери количества движения
в объеме между сечениями и и возрастания количества дви-
жения в объеме между сечениями <т2 if <т2.
Так как при установившемся движении в единицу времени
через сечения и <т2 проходят одинаковые массы, равные Л4С, то
за время dt через эти сечения пройдут массы Л1с dt. Их количе-
ства движения будут Mzdtvr и Mcd/v2, а изменение количества
движения dQ рассматриваемой массы среды за то же время опре-
делится равенством
dQ = Л4С dt v2 — Mz dt vx.
Отсюда
^ = Mcv2-McV1.’ (8.16)
В этом равенстве произведения и Mcv2 называются секунд-
ными количествами движения среды в сечениях <т1 и <т2.
Внешние силы, действующие на среду, можно разбить на две
категории:
1) силы массовые, или объемные, т. е. такие, которые дейст-
вуют на каждую частицу рассматриваемой среды независимо от
того, находятся ли эти частицы внутри выделенного объема или
на его поверхности;
2) силы поверхностные — силы, действующие только на частицы,
лежащие на поверхности объема.
К массовым силам относятся прежде всего силы тяжести.
Поверхностные силы —это силы давления стенок на среду, силы
трения выделенного объема среды о стенки и т. п.
Обозначим через Fo6 главный вектор всех внешних объемных
сил, а через Fn0B —главный вектор всех внешних поверхностных
сил. Тогда, применяя к рассматриваемой массе среды теорему об
изменении количества движения материальной системы в ее диф-
ференциальной форме (8.5), получим
__р । р
1 об Т 1 пов»
или, пользуясь соотношением (8.16) и перенося все члены в одну
сторону,
Роб Рдов 4~ McVi — Л1су2 = 0. (8.17)
§85]
ЗАДАЧИ
189
Это равенство представляет математическую запись теоремы
Эйлера, которую можно прочитать следующим образом: сумма
главных векторов объемных и поверхностных сил, а также секунд-
ных количеств движения среды, протекающей через два поперечных
сечения трубы, равна нулю, если векторы секундных количеств
движения направить внутрь выделенного сечениями объема.
В проекциях на неподвижные оси декартовых координат век-
торное равенство (8.17) дает
^об + Апов + Л4су1л- — = О,
Гоб + ^пов + — Л1СУ2Й = О,
20б + ^пов + Л1с1»1г —Л4сцгг = 0.
(8.18)
§ 8.5. Задачи
Задача 8.2. На корме находящейся в покое баржи установлен автомобиль.
В некоторый момент времени автомобиль начал перемещаться по палубе,
направляясь к носу баржи. Пренёбрегая сопротивлением воды движению баржи,
определить ее скорость v в зависимости
от скорости автомобиля и относительно aq
баржи (учет сил сопротивления будет »- u Т
дан в следующей задаче 8.3). Масса I 7 _
баржи равна mt, а масса автомо-
б иля т2. --------- -—: ~u --------
Рассмотрим систему, состоящую Т777,д
из баржи и автомобиля. В условиях
задачи внешними силами, действую- р g g
щими на систему, будут вертикальные ' ' '
силы тяжести mg, mg и архимедова
сила G (рис. 8.5). Проекция этих сил на горизонтальную ось х равна нулю,
и, следовательно, проекция количества движения всей системы на эту ось
сохраняет постоянное значение, равное начальному:
Qx = Qxo = const.
Количество движения баржи равно mg, а количество движения автомо-
биля m2(u-|-v) (при вычислении нужно иметь в виду, что количество движе-
ния определяется для абсолютных скоростей). Считая, что баржа движется
в сторону, противоположную автомобилю (см. рис. 8.5), найдем проекцию
количества движения всей системы на ось х-
Qx = — mg + m2(u — v). (8.19)
Будем отсчитывать время с начала движения автомобиля. Тогда при / = 0
«=0, и=0. Внося эти значения для и и v в выражение для Qx, получим
Qxo = О-
Учитывая, что проекция на ось х количества движения системы не ме-
няется, будем иметь
— mg т2 (и — п) = О
Отсюда найдем скорость движения баржи v как функцию скорости авто-
мобиля
т,
v= —-—и.
т!-^-тг
(8,20)
190
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Так как полученное выражение для скорости v положительно, то сделан-
ное предположение о том, что баржа движется в сторону, противоположную
движению автомобиля, является верным.
Из формулы (8.20) видно, что в условиях задачи (отсутствие сил сопротив-
ления) скорость баржи v прямо пропорциональна относительной скорости авто-
мобиля и. В частности, в момент остановки автомобиля остановится и баржа.
। При отсутствии сил сопротивления эта остановка баржи должна произойти
в результате динамического эффекта, вызванного взаимодействием внутренних
сил между баржей и автомобилем. Заметим, что за все время движения количе-
ство движения системы не изменяется, а происходит перераспределение скоро-
стей тел, входящих в систему.
. В заключение этого примера отметим, что сделанное предположение ^£>6
отсутствии сил сопротивления движению несущего тела (баржи) является,
конечно, идеализированным и на практике, за исключением аналогичной ситуа-
ции в космосе (см. § 9.8), оно не оправдано. Поэтому формула (8.20) спра-
ведлива только при сделанных предположениях и в реальных земных условиях
она дает весьма приближенное решение, которым не всегда можно пользоваться.
В частности, вывод, что баржа остановится одновременно с прекращением дви-
жения автомобиля, не подтверждается наблюдениями — после остановки авто-
мобиля баржа, изменив "предварительно направление движения на противопо-
ложное, будет продолжать движение в сторону перемещения автомобиля. Это
явление, вызываемое взаимодействием внутренних сил системы с внешними
силами сопротивления, будет разобрано в следующей задаче.
Задача 8.3. В условиях предыдущей задачи определить скорость движе-
ния баржи, считая, что при ее движении возникает сила сопротивления, про-
порциональная первой степени скорости, а автомобиль перемещается относи-
тельно баржи по закону, график которого изображен на рис. 8.6, б (в началь-
ном промежутке времени 0 sg t < /] автомобиль движется равноускоренно,
затем в промежутке равномерно и, наконец, на третьем этапе t2
равнозамедленно).
Рис. 8.6.
В отличие от предыдущей 'задачи, теперь, кроме внешних вертикальных
сил тяжести mjg, m2g и архимедовой силы G, приложенных к системе, на
баржу действует еще одна внешняя сила — сила сопротивления F=<xv, где
,а— коэффициент пропорциональности. Эта сила направлена в сторону, про-
тивоположную скорости баржи v (рис. 8.6, а). Проекция количества движе-
ния системы на ось х была определена в предыдущей задаче —см. формулу (8.19):
Чх = — (mi 4- т2) v + т2и.
Внося это выражение для Qx в первое уравнение (8.6) и учитывая значе,
ние силы сопротивления F, получим
, , , dv du
— (nh + mz) м ±т2 - =av,
§ 8.5J
ЗАДАЧИ
191
ИЛИ

(8.21)
В этом уравнении коэффициент k и функция / (() определены равенствами
mi + tn2 mx + тг dt
Учитывая, что автомобиль движется относительно
ускоренно (и =const > О), затем равномерно (и =0) и,
ленно (ii = const <0), получим
баржи сначала равно-
наконец, равнозамед-
а,
f(t) =
О,
— а,
О,
О === t - tit
tr^t^t2,
t2^t^T,
t^T,
(8.22/
где положительное число а пропорционально ускорению автомобиля на первом
интервале Os£(C:(i времени его движения:
а = — = = ——— tg S (8.23)
гп-^ ^2 dt -ф- ti -ф-
(значение иа и угла Р видно на рис. 8.6, б). Для простоты мы считаем, что
время разгона автомобиля равно времени его торможения Т — t2:
tt = T-t2. (8.24)
Поэтому на третьем этапе f(t) =— а.
Для первого промежутка времени O^t^ti уравнение движения (8.21)
согласно (8.22) примет вид
~i-kv = a. (8.25)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка
с постоянными коэффициентами решается очень легко и его общее решение
можно записать в следующей форме:
n = C1e-fc< + |- (O^t^tr) (8.26)
(читателю полезно самостоятельно получить это решение).
Произвольную постоянную интегрирования Cj найдем из начальных усло-
вий: в начале движения при ( = 0 скорость баржи о = 0. Подставим эти зна-
чения для (нов общее решение (8.26):
о=с1+|.
Отсюда Ci = — a/k. Внеся это значение для Ct в (8.26), получим скорость баржи
на первом интервале времени
o = y(l-e-w) (O^isS/j). (8.27)
В конце этого промежутка времени скорость баржи будет
01-(8.28)
192 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
На участке равномерного движения автомобиля дифференциальное уравне-
ние (8.21) на основании равенства (8.22) примет вид
g + te = 0.
Общее решение этого уравнения запишем в следующей форме *):
о = С2с-* (8.29)
Постоянную интегрирования С2 найдем из условия: при t=ti v — t^.
После подстановки получим C3 = v1. Следовательно, на втором интервале вре-
мени скорость баржи изменяется по закону
п = (8.30)
где определено равенством (8.28).
В конце этого периода скорость баржи будет
= (8.31)
На третьем интервале времени (участок торможения автомобиля) дифферен-
циальное уравнение (8.21) принимает вид
dn । .
+ = — a
Его общее решение запишем в следующей форме:
п = Сзв~*(/~м-у (/а«/^Т).
Произвольную постоянную С3 найдем из условия: при /=/8 v = vs- После
подстановки получим
„ । а
С3 = v2 + -у,
Следовательно, на третьем интервале времени скорость баржи изменяется
по закону
(8.32)
Скорость баржи в конце этого периода (при остановке автомобиля) будет
v*+~k)e k(T 2>-у
Внесем в это равенство значение н2 из (8.31), затем учтем значение
из (8.28) и примем во внимание равенство (8.24). После элементарных преобра-
зований получим
V3 = —V1(l (8.33)
Из этого выражения видно, что н3<;0. Это означает, что на участке тор-
можения автомобиля баржа изменяет направление движения на противополож-
ное и начинает двигаться в сторону движения автомобиля, причем в момент
остановки автомобиля баржа не останавливается, а продолжает движение.
*) Эта форма решения совпадает ио существу с решением (8.26) уравне-
ния (8.25) при а=0. Действительно, решение (8.29) можно записать так:
v =C3ekt'e-ki =Ce-kt,
что совпадает с (8.26) при а = 0 (C' = C2ew‘ —новая постоянная).
§ 8.5)
ЗАДАЧИ
193-
Момент времени t3, когда баржа изменяет направление движения, можно иайти.
из равенства (8.32), положив в нем / = /3 и о = 0:
.-*(/,-/,)_ А
k '
0=
е
Отсюда
, , , 1 , kv2-\-a
'з^ + yln-^-.
Перейдем к определению закона изменения
новки автомобиля Уравнение (8.21) при
В общем решении этого уравнения
о = С4г‘('-7'! (t
произвольную постоянную интегрирования С4
п = о3. Следовательно, С4=п3 и скорость
баржи будет изменяться по закону
„=^-*(/-7) (t^T). (8.34)
На рис. 8.7 по равенствам (8.27), (8.30),
(8.32) и (8.34) построен график закона из-
менения скорости баржи v = v(t) (на гра-
фике учтено, что за положительное направ-
ление движения баржи принято направле-
ние, противоположное направлению движе-
ния автомобиля).
Рассмотрим теперь случай, когда про-
межуток времени tt = T —12 очень мал и
его практически можно считать равным нулю
малый промежуток
навливается — рис.
скорости баржи после оста-
t^T принимает вид
условия: при t—T'
найдем из
времени набирает скорость
8.8, а).
(автомобиль за пренебрежимо
ц=«о и так же быстро оста-
Воспользуемся равенством (8.28) и подставим в него значение а из (8.23)г
т2 ив 1— е~ы*
П1=—- , ,----—
т!-\-т2 k ti
При 0 имеется неопределенность вида 0:0. Для раскрытия ее вос-
пользуемся правилом Лопиталя:
Dm п1 = —Игл ~е
7 Н, В, Бутевин в др.
т2
т!-^т2
194
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Таким образом, при /j->0 будем иметь
Pi =------;----«о-
(8.35)
После набора автомобилем этой скорости баржа будет двигаться по
закону (8.30), если положить в нем /1 = 0:
v = v1e-ftz (0<t<T). (8.36)
Скорость баржи перед началом торможения автомобиля определяется равен-
ством
п2 = п1е-*7'. (8.37)
Скорость движения баржи в конце торможения автомобиля найдем из
равенства (8.33) при t2 — T:
= — (\—e-kT) = v2~vli
где Vi и v2 определены равенствами (8.35) и (8.37).
График скорости баржи при /1 = Т — Л>->0 показан на рис. 8.8,6.
Явления, описанные в этом примере, читатель может наблюдать самостоя-
тельно; при переходе человека с кормы лодки к ее носовой части (или наобо-
рот) лодка сначала начнет двигаться в сторону кормы, а затем при остановке
человека движение лодки будет происходить в обратном направлении.
В заключение этого примера отметим, что качественная сторона закона
изменения скорости движения не зависит от сделанных предположений (7 —
— F = au). Читатель может убедиться в этом самостоятельно, разобрав
для примера случай, когда сила сопротивления воды пропорциональна не пер-
вой, а второй степени скорости дви-
жения баржи (Г = р.о2, где р, —коэф-
фициент пропорциональности).
Задача 8.4. Груз веса Р = ЗТ
скользит вниз по наклонной эстакаде,
свободно лежащей на земле. Вес эста-
кады G — 2T, коэффициент трения
скольжения между грузом и эстака-
дой / = 0,2, угол наклона а = 30°.
При каких условиях эстакада остается
неподвижной?
Эстакада будет находиться в по-
кое до тех пор, пока сила трения F
между землей и эстакадой не достиг-
нет своего предельного значения,
равного /0Л', где /0 — коэффициент трения покоя, а Л? —сила нормаль-
ного давления. Для определения силы трения F н нормального давления V
рассмотрим систему, состоящую из груза и эстакады. На эту систему дей-
ствуют следующие внешние силы: сила тяжести груза Р, сила тяжести эста-
кады G, нормальная реакция земли N и сила трения между землей и эстака-
дой F (рис. 8.9, а).
Обозначим скорость движения груза через v. Очевидно, что скорость v
направлена параллельно наклонной плоскости и поэтому проекции количества
движения груза, а следовательно, и всей системы (количество движения эста-
кады равно нулю, так как она находится в покое) на координатные оси х и у
будут (рис. 8.9, а)
Qx = — v cos ct, Q.y — — v sin a.
§ 8.5]
ЗАДАЧИ
195
Применим теперь теорему об изменении количества движения системы
в дифференциальной форме и равенства (8.6). Пользуясь выражениями для
и Qy, с помощью рис. 8.9, а получим
Р dv г Р dv . п , ,,
----— cos а = F, т-sin а = —G — P4-N,
g dt g dt
Отсюда найдем силу нормального давления
W = G-J-f) —— — sin а.
g dt
Эстакада будет находиться в покое, если сила трения F не превышает
своего предельного значения f0N, т. е. при F<faN.
Из полученных соотношений найдем
Р dv < Р dv .
----cos а < f0 G 4- Р ,~7 sin а
g dt g dt
или
P dv
f ~gdiC°Sa
G + P-L^sina'
g dt
Для полного решения задачи необходимо определить ускорение dvjdt.
Для этого рассмотрим движение одного груза (рис. 8.9, б). На груз действуют
сила тяжести Р, нормальная составляющая реакции наклонной плоскости
и сила трения Fj, по модулю равная fNv Составим дифференциальные уравне-
ния движения груза в проекциях на оси х' и у’:
— = Р sin а — Т7,, 0 = Л', — Р cos а.
g dt
Из второго уравнения найдем Nr = P cos а, следовательно, F1 = fN1=:
= fPcosa,- Внесем это выражение для F± в первое уравнение и определим
из него ускорение груза:
dv . .
= (sin а — f cos a) g.
После подстановки в неравенство, определяющее f0, получим
, Р (sin a—f cos a) cos а
0 G + Р cos а (cos а Д- f sin а) '
Этому условию должен удовлетворять j0 — коэффициент трения покоя
между землей и эстакадой, чтобы последняя не пришла в движение. В усло-
виях примера (G = 2T, Р = ЗТ, f = 0,2 и а = 30°) найдем
/о >0,19.
В главе XVI мы решим эту задачу другим методом.
Задача 8.5. Электромотор прикреплен с помощью четырех болтов к гори-
зонтальному основанию. В результате затяжки каждый болт создает вертикаль-
ное давление Р1=12,5к/'. Коэффициент трения покоя между мотором и осно-
ванием /о = 0,2. Определить величину бокового давления на болты, если ротор
электромотора, имея небольшой эксцентриситет е = 0,5 мм, равномерно вра-
щается с угловой скоростью со==50л сект1 (п=1500 об/мин). Вес статора
Gj= ЮО кГ, вес ротора G = 50kP (рис. 8.10).
7»
196
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. УНГ
При вращении ротора центр тяжести его (точка С) будет описывать окруж-
ность, радиус которой равен эксцентриситету е. В результате этого корпус
электромотора будет стремиться совершать горизонтальные колебания. Этому
стремлению препятствуют болты и сила
трения между электромотором и основа-
нием (фундаментом).
Обозначим через FTp силу трения
между основанием и статором мотора,
через Fj —суммарную горизонтальную
составляющую силы давления болтов на
статор мотора и через F — равнодействую-
щую сил FTp и Fi- Так как последние на-
правлены всегда в одну сторону, то
F = F Tp-\-F !•
Нужно иметь в виду следующее: если
сила трения FTp по модулю меньше
своего предельного значения /q/V, где
N—величина нормального давления, то
покое только за счет сил трения. В этом
Рис. 8.10.
в
корпус мотора будет удерживаться
случае 771 = 0 и F = FTp. Как только сила трения достигнет своего предельного
значения, в работу вступят болты, причем модуль силы Fx можно будет опре-
делить из последнего равенства
F1 = f-TTp = T-^.
Таким образом, имеем
(8.38)
_ ( 0, если F sg fvN,
1~~(F — f0N, если F^zf0N.
Рассмотрим теперь систему, состоящую из статора и ротора. Количество
движения статора равно нулю (он неподвижен), а количество движения ротора
равно — vc где vc — скорость его центра тяжести С. Модуль скорости точки С
равен еа, а проекции вектора vc на оси х и у будут (рис. 8.10)
t>Cy~— s'n
движения всей системы равны
Q
Qu=------еа sin at.
у g
vCx — ea cos at,
Следовательно, проекции количества
n G
Qx — — ea cos cor,
g
Внешними силами для системы будут: сила тяжести статора Gj, сила
тяжести ротора G, четыре силы Рх затяжки болтов (их равнодействующую
обозначим через Р), нормальная составляющая реакции основания N, сила
трения FTp и боковые составляющие давления болтов Ft (F= FTp+ F]). Вос-
пользуемся теоремой об изменении количества движения системы в дифферен-
циальной форме и применим уравнения (8.6). Пользуясь полученными выра-
жениями для и Qy, с помощью рис. 8.10 получим (рассматриваем первый
полуоборот, в течение которого сила F будет направлена влево)
«О COS at
P-Gi-G,
d / G . :
-3-------ею sin cor
dt \ g
или, выполняя дифференцирование и умножая первое уравнение на — I
— «о2 sin at =F,-------ею2 cos at —N — P — Gi — G,
g g
« 8.5]
ЗАДАЧИ
197
(8,39)
Найдем из второго уравнения силу нормального давления
N = Р 4- Gi -}- G —ею2 cos mt.
Будем считать, что У всегда положительно, и введем в рассмотрение функцию
ф (и/) = F — f0N = — есв2 sin со/ —/0 (р 4- Gi + G-— еар cos со/ j.
ё \ ё /
Отметим, что входящая в это выражение предельная сила трения покоя
f0N является величиной переменной (так как N изменяется).
Учитывая соотношение (8.38), найдем (Osgce/^n)
( 0, если Ф (со/) sg О,
1 I Ф (со, /), если Ф(со/)Э;0.
Преобразуем функцию Ф (со/):
Ф (со/) = есо2 (sin со/ 4- /о cos со/) — fa (Р 4- Gi -|- G),
Воспользуемся равенством
Zo=tgT,
в котором ф — угол трения. Функцию Ф (со/) можно привести теперь к виду
/у
4 Ф (со/) — — sin (со/ 4-ф) — /о (Р 4- G1 -J- G).
Максимальное значение функции Ф (со/) достигается при sin (св/-|-ф) = 1:
G £0)2
Если это выражение неположительно, то при любом значении угла со/
функция Ф (со/) 0. В этом случае сила трения не превосходит своего пре-
дельного значения и болты не оказывают давления на мотор (Е1 = 0). Это имеет
место при условии
(8,40)
ecB2sg-y (P-J-Gx-j-G) sin <p.
(8.41)
Если же неравенство (8.41) будет иметь обратный смысл, то при некото-
ром a>t = со/х функция Ф (со/) обратится в нуль. Угол поворота со/х легко нахо-
дится из уравнения Ф(со/х) = 0, или, после очевидных преобразований,
sin (со/х + ф) = (Р 4- Gi + G) sin ф. (8.42)
С момента времени / = /х функция Ф (со/) начнет возрастать и сделается
положительной (4— наименьший корень уравнения (8.42)). С этого же момента
болты начнут оказывать давление на мотор, равное Ех = Ф(со/).
При угле св/2, определяемом уравнением
со/2-|-ф = л: — (св/х4-ф), (8.43)
функция Ф (св/) опять сделается равной нулю, давление болтов прекратится
и мотор снова будет удерживаться одной силой трения. При св/ > л характер
распределения сил будет повторяться в обратном порядке,
198
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
В данном примере
го)2 = 0,0005 (50л)2 = 1,25л2 м/сек2,
-g- (Gx + G+Р) = 39,2 м/сек2, fo = tg ф = 0,2,
sin ф~ 0,196, <р ~ 0,198 (11°).
Условие (8.41) не выполняется и, следовательно, одной силы трения недо-
статочно для удержания в горизонтальном положении мотора. Значение угла a/j
найдем из уравнения (8.42):
sin (ю<х + ф) = • 0,196 0,64,
со/х + ф = 0,695 (40°), otf х ~ 0,497 (29°).
Таким образом, при 0 at g; Oj/ мотор удерживается одной силой тре-
ния. Начиная с момента времени в работу вступают болты, действие кото-
рых прекращается в момент времени t2; угол ш/2 определяется равенством (8.43):
ы/2 = л — иГх — 2ф = 2,247 (129°).
В промежутке u>t1 < <в/ < <а/2 суммарная сила давления болтов найдется
из равенств (8.39) и (8.40):
?х = 63 sin (со/ + ф) — 40.
При со/$= со/2 сила Ft снова обращается в нуль. График проекции силы Fj]
на ось х изображен на рис. 8.11.
М
О
Рис. 8.11.
Максимальное давление, приходящееся на один болт (сила давления мотора
на болты равна по модулю /д и направлена в сторону, противоположную Fx),
равно 5,75 кГ, а при отсутствии трения (/о = О) оно составляет 15,75 кГ. Сле-
довательно, сила трения снимает в данной системе две трети всей нагрузки
на болты и существенно облегчает условия их работы.
При большом эксцентриситете сила давления Fx, меняющая свое направ-
ление с каждом полуоборотом ротора (в нашем примере 3000 раз в минуту),
может достигнуть величины, прн которой болты будут сломаны.
Если увеличить затяжку болтов, т. е. увеличить силу Р, то можно соз-
дать такое нормальное давление N, при котором мотор будет удерживаться
в горизонтальном положении одной силой трения и болты не будут испыты-
вать горизонтальных давлений. Критическое значение для силы Р найдем из
неравенства (8.41):
В рассматриваемом примере будем иметь Р 170 кГ. Следовательно, каж-
дый болт нужно затянуть с силой 42,5 кГ (напомним, что Р — суммарная сила
затяжки всех четырех болтов), т. е. затяжку болтов нужно увеличить в 3,4 раза.
§ 8.5]
ЗАДАЧИ
199
Задача 8.6. Горизонтальный участок
гнутое под углом 90° колено. Определить
изогнутую часть трубопровода,
если его диаметр равен 60 см,
удельный вес пульпы у =
= 1,2 Т/м3 и скорость ее тече-
ния у = 6 м/сек.
Рассмотрим изогнутуючасть
трубопровода и обозначим че-
рез Oj и о2 площади попереч,
ных сечений его в начале и
конце изгиба, а через vi и
v2— векторы соответствующих
скоростей пульпы (рис. 8.12, а).
Ось х направим вдоль оси сим-
метрии изогнутой части трубо-
провода, а ось у — перпендику-
лярно к ней. По условию за-
дачи модули о1 = п2 = п, а век-
торы vj и v2 составляют с осью
х углы, равные 45°. Силы
тяжести направлены вертикаль-
но, и их проекции на оси х
и у равны нулю (на рис. 8.12,
проекции главного вектора сил
и составим первые два уравнения
и Гпов
пульпу
Отсюда находим
трубопровода
динамическое
а.)
показан
земснаряда
давление Р
имеет изо-
пульпы на
6)
Рис. 8.12.
сверху). Обозначим через Хпов
ВИД
давления стенок трубопровода на
(8.18):
Хпов — М.zv cos 45° — Л4со cos 45° = 0,
Гпов — sin 45°-|-Л1со sin 45° = 0.
а
Хпов = Л4^|/2, Гпов = 0.
Таким образом, главный вектор поверхности сил направлен по оси х (это
очевидно из соображений симметрии). Сила добавочного динамического давле-
ния Р на трубопровод равна по модулю Хпов и направлена в противополож-
ную сторону (рис. 8.12, б):
P = l'MU. (8.44)
По определению имеем (см. формулу (8.15))
A4c = ptiti.
Плотность пульпы р связана с ее удельным весом равенством
а площадь поперечного сечения трубопровода a = nd2/4.
Внося выражения для Л4С, р и а в равенство (8.44), получим
4g
После подстановки численных значений у= 1,2 Т/м3, d = 0,6 м, v — б м/сек,
найдем динамическое давление пульпы на трубопровод:
Р= 1,76 Т,
ГЛАВА IX
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ
ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
§9.1. Момент количеств движения материальной системы
В предыдущей главе было показано, что, исследуя вектор
количества движения материальной системы, можно составить-
представление о ее поступательном движении. Вращательное дви-
жение материальной системы характеризуется другой векторной
величиной, а именно — моментом количеств движения. В этой
главе мы рассмотрим способы вычисления этой величины и ее-
связи с другими динамическими характеристиками системы,,
с помощью которых можно составить частичное, а иногда
и полное описание вращательных движений материальной си-
стемы.
Момент количества движения Ко одной материальной точки
определяется равенством Ko = rxmv. Моментом количеств дви-
жения Ко материальной системы относительно центра О назы-
вается сумма моментов (главный момент) количеств движения
всех материальных точек, входящих в систему, относительно того-
же центра-,
п п
Ко = У, Кол = У, Г* Xmkvk. (9.1)
Л=1 А=1
В этом равенстве гк — радиус-вектор материальной точки М*
с началом в центре О, тк и v* —масса и скорость этой
точки. Если материальная система представляет непрерывно
распределенную материальную среду, заполняющую некото-
рый объем, то сумма, конечно, переходит в соответствующий
интеграл.
Как всякий вектор, момент количеств движения Ко может
быть задан своими проекциями. В частности, равенство (9.1)
в проекциях на оси системы координат Охуг записывается
S 9.1]
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
201
следующим образом:
п
Кх~ У1 WlkfjjkVkz 2kVky)>
k = \
п
S mk{zhVkx—XkVkl),
k = 1
п
Кг= S т* (XkVky— ykVkx),
k = I
(9-2)
где Ху, ук, zk — координаты точки Mk.
По этим формулам можно определить проекции Кх, Ку, Кг
(моменты количеств движения материальной системы относительно
координатных осей), а следовательно, и сам вектор Ко.
Момент количеств движения твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси. В этом примере нас интересует не момент
количеств движения Ко твердого тела
как вектор, а только одна его проек-
ция Kz на ось вращения г тела.
Пусть твердое тело вращается с уг-
ловой скоростью со вокруг неподвижной
оси z (рис. 9.1). Выделим в теле эле-
мент объема М с массой dm и будем
рассматривать его как материальную
точку. При вращении тела вокруг не-
подвижной оси элемент объема М будет
двигаться по окружности с центром в
точке О и радиусом, равным расстоя-
нию hz от точки М до оси вращения.
Проекция скорости v элемента объема М
на касательную к окружности равна ®г/1г, а проекция количества
движения на ту же ось будет vx dm = сог/1г dm. Так как плечо век-
тора v dm относительно оси вращения равно hz, то момент ко-
личества движения элемента объема М относительно оси г равен
vT dm hz = azhz dm. Для всего тела будем иметь
Кг — $ oizhl dm,
где интегрирование распространено на массу всего тела.
Проекция угловой скорости сог одинакова для всех точек тела,
и, следовательно, ее можно вынести за знак интеграла:
Kz — az^hldm.
Получившийся интеграл зависит только от характера распределе-
ния массы в теле и не зависит от его кинематического состояния
202
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IX
Он называется моментом инерции тела относительно оси г
и обозначается символом Iz (в § 9.5 будет показано, что момент
инерции тела представляет меру его инерции во вращательном
движении):
= (9.3)
В этих обозначениях будем иметь
ZCz = / Z^Z
(9.4)
т. е. момент количеств движения твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения равен произ-
ведению момента инерции тела относительно этой оси на проек-
цию угловой скорости тела на ту же ось.
§ 9.2. Краткие сведения о моментах инерции
Теории моментов инерции будет посвящена специальная
глава XII. Здесь же мы весьма кратко остановимся на основных
определениях и сообщим некоторые формулы, не останавливаясь
на их выводах.
Моментом инерции материальной точки относительно неко-
торой оси называется произведение массы т этой точки на квад-
рат ее расстояния h до оси, т. е. величина mh2. Моментом инер-
ции материальной системы относительно оси называется сумма
моментов инерции всех точек системы относительно той же оси.
Так, например, момент инерции материальной системы отно-
сительно оси г равен
п
/г= 2 mkhlz,
k = i
где hkz — расстояние от точки с номером k до оси г.
При непрерывном распределении массы сумма переходит
в интеграл (9.3).
По определению момент инерции представляет существенно
положительную величину. В нуль момент инерции может обра-
титься только в одном частном слу-
чае, когда все точки системы распо-
ложены на оси, относительно кото-
рой вычисляется момент инерции.
Размерность момента инерции в
системе СИ равна кг-м2, а в техни-
ческой системе — кГ м -сек2.
Для примера определим момент
1
dx
hz=x
Рис. 9.2.
инерции однородного тонкого стержня
массы М и длины I относительно оси г, проходящей перпендику-
лярно к стержню через его конец (рис. 9.2).
§ 9.3] ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 203
Направим ось х вдоль стержня и выделим на нем элемент длины dx. Рас-
стояние fiz от этого элемента до оси z равно х, масса единицы длины стержня равна
м
М/1, а масса выделенного элемента dm — —j~dx. Внесем эти значения для hz
и dm в выражение (9.3) и учтем, что переменная интегрирования X изменяется
от 0 до L Тогда
г L 12 j L 9 м ,
/ = 1 hi dm = I х2 -г- dxt
J J I
о
или, интегрируя,
/г = 4 MP.
Таково значение момента инерции однородного тонкого
стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно
к стержню через его конец.
Момент инерции /Сг однородного тонкого стержня
длины / и массы М относительно оси г, проходящей пер-
пендикулярно к стержню через его центр тяжести С,
будет равен
/Сг=4м/2- (9-б)
Не останавливаясь на выводе (см. § 12.3), заметим, что момент инерции
однородного кругового цилиндра массы М и радиуса R относительно оси г
цилиндра (рис. 9.3) определяется формулой
Iz = ~MR*. (9.7)
Это выражение для момента инерции не зависит бт высоты цилиндра Н и
поэтому оно справедливо и для однородного кругового диска.
Оче.нь часто вводят радиус инерции тела относительно оси,
понимая под ним расстояние р от оси до точки, в которой нужно
сосредоточить массу М всего тела, чтобы момент инерции точки
относительно данной оси равнялся моменту инерции тела отно-
сительно той же оси. По определению имеем
/ = Мр2. (9.8)
Здесь М — масса материальной системы, I — ее момент инерции
относительно данной оси, р —радиус инерции системы относи-
тельно этой же оси.
§ 9.3. Теорема об изменении момента количеств движения
материальной системы
Рассмотрим материальную систему, состоящую из п мате-
риальных точек. Мысленно освободимся от связей, заменим их
действие реакциями и разобьем все силы (включая реакции свя-
зей) на внешние F* и внутренние F*. Тогда все точки системы
204
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ IX
можно считать свободными и к каждой из них применима теорема
об изменении момента количества движения (см. (3.10)):
-^- = M0(Fe„) + M0(F‘).
Складывая почленно, получим
П J|Z ” л
2m°(fo+ 2m°(f*)«
fc=l fe=l й = 1
В левой части равенства вынесем знак производной за знак
суммы; в правой части равенства первая сумма равна главному
моменту Mq всех внешних сил относительно центра О, а вторая
сумма, на основании второго свойства внутренних сил, равна
нулю (см. формулу (7.6)). Имеем
* = 1
или, учитывая выражение (9.1),
(9-9>
Это уравнение представляет математическую запись теоремы
об изменении момента количеств движения материальной системы:
полная производная по времени вектора момента количеств движе-
ния материальной системы, вычисленного относительно неподвиж-
ного центра, равна главному моменту всех внешних сил относи-
тельно того же центра.
В проекциях на неподвижные оси декартовых координат,
начало которых совпадает с центром О, векторное равенство (9.9)
эквивалентно трем скалярным:
Т = Т = (9.10)
Из этой теоремы вытекает несколько следствий.
1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение
момента количеств движения материальной системы (они могут
оказать косвенное влияние через внешние силы; см. § 7.2).
2. Если главный момент всех внешних сил относительно неко-
торого неподвижного центра равен нулю, то момент количеств
§9 4]
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
205
движения материальной системы относительно того же центра
не изменяется по модулю и направлению.
Действительно, если Мо = 0, то равенство (9.9) принимает вид
отсюда
Ко = Ко = const, (9.11>
где Ко —начальное значение вектора Ко-
3. Если главный момент всех внешних сил относительно неко-
торой неподвижной оси (например, оси х) равен нулю, то момент
количеств движения материальной системы относительно этой
оси не изменяется в процессе движения.
Если Mx = 0, то согласно первому равенству (9.10) будем иметь
отсюда
Кх = К.х — const. (9.12)
Первые интегралы (9.11) и (9.12), определяющие второе и
третье следствия, называются законами сохранения момента коли-
честв движения материальной системы.
§ 9.4. Примеры и задачи
Теорема об изменении момента количеств движения материаль-
ной системы имеет очень интересные и практически важные при-
ложения. В этом параграфе мы" рас-
смотрим примеры и задачи, иллюстри-
рующие применение теоремы и ее след-
ствия, причем некоторые из них имеют
самостоятельное значение.
1. Плоскость Лапласа. Солнечная система
является изолированной (если пренебречь вли-
янием других звезд), и ее движение опреде-
ляется только внутренними силами притяже-
ния. Так как внешние силы отсутствуют, то
на основании второго следствия момент коли-
честв движения Ко всей Солнечной системы
сохраняет постоянное направление относительно далеких «неподвижных»
звезд. Поэтому сохраняет неизменное положение и плоскость л, пер-
пендикулярная к вектору Ко (рис. 9.4). Эта плоскость (ее называют плоско-
стью Лапласа) имеет большое значение в астрономии, так как относительно
нее ориентируют орбиты планет.
2. Скамейка Н. Е. Жуковского. Для демонстрации теоремы об изме-
нении момента количеств движения материальной системы и ее следствий
206
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ IX
Н. Е. Жуковский построил прибор, состоящий из горизонтальной платформы,
которая может вращаться вокруг вертикальной оси с пренебрежимо малым
трением. Мы опишем два опыта, хорошо иллюстрирующих теорему.
а) В примере 1 § 8.3 было показано, что при отсутствии внешних сил
человек не может изменить положения своего центра тяжести. Покажем, что,
находясь в аналогичных условиях, человек может повернуться. Предположим,
что человек стоит на скамейке Н. Е. Жуковского и держит над головой колесо
или какой-нибудь другой предмет, который может вращаться вокруг верти-
кальной оси (рис. 9.5).
Будем считать, что вся система, состоящая из человека, платформы и
колеса, сначала находилась в покое; затем внутренними силами колесо рас-
кручивается (это можно сделать, например, второй рукой). Так как моменты
всех внешних сил относительно вертикальной оси вращения равны нулю (силы
тяжести параллельны оси вращения, а линии действия реакций опор плат-
формы пересекают ее), то момент количеств движения Кг всей системы отно-
сительно этой оси должен сохранять постоянное значение, равное начальному:
Кг = К1г + К1 = 0, (9.13)
где Кг и Кг — моменты количеств движения относительно оси z колеса и
человека с платформой.
Равенство (9.13) должно сохраняться все время. Поэтому, если одно из
слагаемых, например Кг> положительно, то второе слагаемое отрицательно.
Это означает, что при вращении колеса в одном направлении человек вместе
с платформой будет вращаться в обратном направлении. Если, повернув
колесо на некоторый угол, затем прекратить его вращение, то платформа
с человеком, повернувшись в обратном направлении на некоторый другой угол,
также прекратит свое вращение.
В § 9.8 будет показано, как используется этот метод космонавтами для
поворота и ориентации при свободном полете в космосе.
б) Второй опыт, хорошо демонстрируемый на скамейке Жуковского, состоит
в следующем. Человек стоит на платформе, держа в руках гантели. Его рас-
кручивают, после чего вращение происходит по инерции. Моменты внешних
сил, действующих на систему «человек — платформа», относительно вертикаль-
ной оси вращения равны нулю. Поэтому момент количеств движения К2 системы
§9 4]
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
207
относительно этой оси сохраняет постоянное значение. Предположим, что
человек, держа руки с гантелями по швам, вращается с угловой скоростью wL
(рис. 9.6, а). Обозначим момент инерции всей системы в этом положении
через It. Тогда согласно формуле (9.4) будем иметь Если человек,
расставив руки с гантелями, будет держать их на уровне плеч (рис. 9.6, б),
то момент инерции всей системы относительно оси вращения z увеличится
(увеличатся расстояния от гантелей до оси г). Обозначим новый момент инер-
ции через /2 и новую угловую скорость через и2. Согласно той же формуле
(9.4) в новом положении Кг = 1^г- Так как момент количеств движения К?
относительно оси вращения не изменяется, то
/2со2 = A.wi-
Из этого равенства следует, что oj2<wl (ибо /2> Д). Таким образом, человек,
поднимая руки до уровня плеч, уменьшает свою угловую скорость, а при
опускании рук увеличивает ее.
Задача 9.1. Тележка D поворотного подъемного крана движется с постоян-
ной по модулю скоростью и относительно стрелы ВС крана. Мотор, вращаю-
щий кран, создает осносительно оси вращения АВ крана постоянный
Л4рр. Определить угловую скорость и вращения
стояния s тележки D до оси АВ, если вес
тележки вместе с грузом равен Р, а момент
инерции крана (без тележки и груза) отно-
сителЗно оси вращения АВ равен /. Враще-
ние крана начинается в момент времени,
когда тележка находилась на расстоянии s0
от оси АВ (рис. 9.7).
Рассмотрим систему, состоящую из вра-
щающейся части крана и тележки с грузом.
Для решения задачи применим теорему об
изменении момента количеств движения си-
стемы относительно неподвижной оси вра-
щения крана (см. третье уравнение (9.10)):
dK.^ =ме
dt *
На рассматриваемую систему действуют
следующие внешние силы и моменты: сила
тяжести тележки с грузом Р, сила тяжести
крана Q, вращающий момент Л1вр и реак-
ции опор А и В крана (на рис. 9.7 показаны их составляющие). Моменты от-
носительно оси z сил тяжести Р и Q и реакций опор А и В равны нулю
(силы Р и Q параллельны оси г, а линии действия реакций пересекают ее).
Поэтому
момент
от рас-
крана в зависимости
(9-14)
*П = ^вр-
(9.15)
Перейдем теперь к определению момента количеств движения системы
относительно оси вращения крана. Система состоит из двух движущихся тел:
вращающегося крана и тележки с грузом (тележка и груз движутся одина-
ково, и их можно рассматривать как одно тело). Следовательно,

(9.16)
где и К*г— моменты количеств движения относительно оси z крана и те-
лежки соответственно.
Кран представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной
оси. Поэтому согласно формуле (9.4) /С* = ^иг.
208
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ IX
Тележка участвует в сложном движении Ее относительная скорость
равна и, а модуль переносной скорости уе равен swz, где s —расстояние от
тележки до оси вращения (размерами тележки пренебрегаем). Абсолютная
скорость тележки
v = u + ve,
а количество ее движения
mv=mu + mve.
Следовательно,
где KTzr и 1Сге — моменты количеств относительного и переносного движений
тележки относительно оси г.
Так как вектор ти пересекает ось г, то = Вектор количества пере-
нрсного движения mve находится в горизонтальной плоскости и перпендику-
лярен к оси г. Поэтому
или, учитывая, что t>e = wzs,
К} = та/.
Внося найденные значения для К* и в (9.16), найдем
Аг = /сог + тсог52 = (/ + т«2) а,- (9.17)
Подставив выражения (9.15) и (9.17) в равенство (9.14), получим дифферен-
циальное уравнение движения рассматриваемой системы
~ + ms2) шг] = Мвр . (9.18)
В этом уравнении величина s является переменной, причем S = us, где us—
проекция относительной скорости и тележки на ось стрелы ВС (us = u, если
-тележка ’'валяется от оси вращения крана, и us — — и в противном случае).
Так как по условию задачи и — величина постоянная, то
s — s0 = ust.
Интегрируя уравнение (9.18), получим
(/-\-rns2) сог = Л1Вр/Ц-С. (9.19)
В начальный момент (/ = 0) по условию задачи = Поэтому из формулы
(9.19) следует, что С = 0. Заменим в равенстве (9.19) время t через расстоя-
ние s и найдем ы2:
Угловая скорость может быть выражена также как функция времени:
Мвр t '
= у-.----------ТУ, (9-21)
/ + m(s0 + us/)2 v /
В частности, при неподвижной тележке us = 0
_ Л4вр/
Шг ~~ I + ms2 ‘
$ 9 51 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ 209
Из соотношений (9 20) и (9 21) видно, что знак совпадает со знаком Л1вр.
Это означает, что направление вращения крана всегда совпадает с направле-
нием вращающего момента Л4вр— факт физически очевидный.
§ 9.5. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси
Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной
оси г.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси обеспечи-
вается специальными приспособлениями (подшипниками и под-
пятниками). Освободимся мысленно от связей и, заменив их соот-
ветствующими реакциями, будем в дальнейшем счита.ть вращаю-
щееся тело свободным. Обозначим через 1г момент инерции этого
тела относительно оси вращения и через шг —проекцию его угло-
вой скорости на ту же ось. Тогда момент количеств движения
Kz твердого тела относительно оси вращения будет равен (см.
формулу (9.4))
/Сг =
Внося это выражение в третье равенство (9.10), получим диффе-
ренциальное уравнение вращения твердого тела вокруг непод-
вижной оси
= (9.22)
При вычислении главного момента всех внешних сил, прило-
женных к твердому телу, относительно оси вращения нужно
учитывать, что реакции идеальных (без трения) опор в уравнение
(9.22) не войдут, так как линии их действия пересекают ось вра-
щения и, следовательно, их моменты относительно этой оси равны
нулю. Если же опоры создают моменты трения,' то последние
необходимо учитывать.
Сравним дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси с дифференциальным уравнением прямо-
линейного поступательного движения твердого тела
(9.23)
Сравнивая уравнения (9.22) и (9.23), видим, что между ними
можно провести глубокую аналогию: линейной скорости v посту-
пательного движения тела соответствует его угловая скорость оз
при вращении вокруг неподвижной оси (в уравнениях рассматри-
ваются соответствующие проекции скоростей); силам, вызывающим
поступательное движение тела, соответствуют моменты сил, вызы-
вающих его вращение; массе тела в уравнении (9.23) соответ-
ствует момент инерции в уравнении (9.22). Так как масса тела
210
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ IX
представляет меру его инерции в поступательном движении, то
из сделанного сопоставления следует, что момент инерции тела
представляет меру его инерции во вращательном движении.
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси (9.22) полезно сопоставить с формулировкой
второго закона Ньютона: произведение массы точки на ее уско-
рение равно сумме всех сил, приложенных к точке. Аналогично
можно прочитать и -уравнение (9.22): произведение момента инер-
ции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил,
приложенных к телу.
Задача 9.2. К ротору электромотора приложен вращающий момент Л1вр,
изменяющийся по закону Л1вр = Л10 — хсо, где Мо и х— некоторые положитель-
ные постоянные, характеризующие двигатель (постоянная х называется кру-
тизной характеристики мотора), а со — угловая скорость ротора. Определить
закон изменения угловой скорости со в период разгона ротора, если его мо-
мент инерции относительно оси вращения равен I.
Совместим положительное направление оси вращения г с направлением
вращающего момента Л4вр. Тогда Л1г = Мвр = Л10 — хсо и сог = со (направление
вектора угловой скорости в период разгона ротора совпадает, конечно, с на-
правлением вращающего момента).
Силы трения учтены постоянными Л40>и х, поэтому сумма моментов всех
внешних сил, приложенных к ротору, будет равна Л1вр = Л40 —хсо. Дифферен-
циальное уравнение вращения твердого тела (9.22) в данном случае прини-
мает вид
= —хсо. (9.24)
Для определения закона изменения угловой скорости со от времени нужно
решить это дифференциальное уравнение. Ддя этого~разделим переменные
I d
т?-----= “‘
Л40 —хсо
и проинтегрируем обе части равенства .
— 1п (Мо—хсо) = ?-|-С.
В начале разгона при ? = 0 со = О. Подставляя это условие в полученный
первый интеграл, найдем постоянную интегрирования
С = — — In Мо.
х
Внесем это значение для С в последнее равенство
— ~ 1п (Л40—хсо) = [—1п Мо,
Группируя члены с логарифмами, получим
|"тг? = -т'- ‘925>
Отсюда
21*
, х ‘
1 —» = е
Мо
§9 6]
СИСТЕМА, УЧАСТВУЮЩАЯ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ
211
и, следовательно,
(9.26)
Это равенство и определяет закон изменения угловой скорости. С ростом
времени t второй член в скобках стремится к нулю. Поэтому угловая ско-
рость ротора, монотонно увеличиваясь, стре-
мится к своему предельному значению, со-
ответствующему установившемуся режиму:
йуст = ^. (9.27)
Процесс разгона двигателя называется
переходным процессом (его график показан
на рис. 9.8). Переходный процесс считается
для большинства электродвигателей закон-
ченным, когда угловая скорость и> достиг-
нет 0,95 своего предельного значения. Про-
определить,
должительность ?|1ер переходного процесса легко
формулой (9.25). Имеем
пользуясь
(9.28)
При со/сОуСТ = 0,95 время rf = Znep. Следовательно,
, / , 3/
^пер — х 1п 20 ~ —
Момент инерции ротора / и крутизну характеристики двигателя х подби-
рают из условия, чтобы время переходного процесса находилось в заданных
пределах (для электроприводов большинства механизмов ^пер не превышает
2 — 3 секунд).
§ 9.6. Момент количеств движения системы,
участвующей в сложном движении
Во многих случаях движение материальной системы относи-
тельно инерциальных осей рационально представить как сложное
и разложить его на простейшие
движение материальной системы
осей так и относительно
движения, при этом очень часто
удается упростить вычисление
момента количеств движения.
Введем подвижные коорди-
натные оси Cx2y2z2, перемещаю-
щиеся поступательно относи-
тельно инерциальных осей
®1%1У121’> начало отсчета подвиж-
ных осей совместим с центром
масс С материальной системы
(рис. 9.9). Будем рассматривать
как относительно неподвижных
поступательно перемещающихся
212
ТЕОРЕМА об изменении момента количеств ДВИЖЕНИЯ (ГЛ IX
осей Cx2y2z2. Пусть Mk— одна из точек материальной системы.
Еведем обозначения: mk — масса точки Mk, rk — ее радиус-вектор,
проведенный из начала Ог неподвижных осей, pfc — радиус-вектор
той же точки, проведенный из начала С подвижных осей, гс —
радиус-вектор начала подвижных осей (т. е. центра масс) в си-
стеме OiXjt/iZi. Очевидно, что
г* = гс + р*. (9.29)
Из кинематики известно, что скорость vk точки Mk относи-
тельно неподвижных осей складывается из переносной vek и
относительной vrk скоростей:
vft~ veft +
Учитывая, что подвижные оси перемещаются поступательно,
будем иметь
dpk
Vek = VC, =
Следовательно,
vft = vc + vrft. (9.30)
Момент количеств абсолютного движения Koi материальной
системы относительно неподвижного центра Oj равен
Кщ = 2 Г* у (9.31)
k = i
Аналогичным образом определяется момент количеств относитель-
ного движения К£ материальной системы относительно начала
С подвижных осей Cx2y2z2 (абсолютная скорость vk заменяется
относительной скоростью v^, абсолютный радиус-вектор г* точки
Мь ее радиусом-вектором pfe в подвижной системе координат):
п
Кс= S p*xmftvrft. (9.32)
k = i
Установим два тождества, которым должны удовлетворять ра-
диусы-векторы р* и относительные скорости vrk. Положение
центра масс системы в осях Cx2y2z2 определяется равенством (см.
формулу (7.2))
п
РС~~М mkPk'
k^i
Так как начало подвижной системы координат совпадает с цент-
ром масс, то рс = 0; следовательно,
п
2 mftpft = 0. (9.33)
к = 1
§9 6]
СИСТЕМА, УЧАСТВУЮЩАЯ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ
21?
Дифференцируя это соотношение по времени и принимая во вни-
мание, что =Vrk, получим
п
У Wv,* = 0. (9.34)»
k= 1
Таким образом, движение любой материальной системы в по-
ступательно перемещающихся осях, начало которых совпадает
с центром масс системы, удовлетворяет тождествам (9.33) и
(9.34).
Преобразуем теперь выражение для момента количеств абсо-
лютного движения Koi- Для этого внесем в формулу (9.31) значе-
ния г* и vft из равенств (9.29) и (9.30):
Koi= У (rc + P*)xm*(vc + vr*).
k = i
Раскроем в правой части скобки и разобьем все выражение на че-
тыре суммы:
Koi= Srcxm*vc+ ypkXmkvc+ У rcX mkvrk+ PkXmkvrk..
k ~1 k = 1 k = 1 k — 1
Учтем следующие обстоятельства; а) множители rc и vc не зави-
сят от индекса суммирования k, и их можно вынести за знак
суммы; б) скалярный множитель тк можно отнести к любому
векторному множителю; в) последняя сумма в правой части в соот-
ветствии с (9.32) равна Ко- На этом основании выражение для Kqj
можно представить в виде
Ко1 = гсх( 2 S m»Pk} Xvc + гсх У mkVrk + V<rc,
'k= i / k ~ i / k = i
Согласно тождествам (9.33) и (9.34) второе и третье слагаемые-
п
равны нулю, а ть = М, где М — масса всей системы. Следова-
А = 1
тельно,
Koi = rcx4fvc+K^ (9.35)-
или
K0i=M01(Mvc) + K/c. (9.36)
Это равенство можно прочитать следующим образом: момент
количеств абсолютного движения Koi относительно неподвижного
центра Ог равен сумме момента относительно того же центра
214 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ IX
количества движения центра масс системы, в предположении, что
в нем сосредоточена вся ее масса, и момента относительно центра
масс количеств относительного движения системы, причем послед-
нее движение рассматривается по отношению к поступательно
перемещающимся координатным осям, начало которых совпадает
с центром масс системы.
В проекциях на неподвижные оси координат векторное равен-
ство (9.36) эквивалентно трем скалярным:

(9.37)
Задача 9.3. Эпициклический механизм состоит из неподвижной шестерни /,
кривошипа OjC и сателлита II (рис. 9.10). Кривошип СЦС массы пц вращается
с угловой скоростью и
Рис. 9.Ю.
вокруг оси, проходящей через центр О1 ше-
стерни / радиусом R. Считая сателлит //
однородным диском массы т2 и радиуса г,
а кривошип однородным тонким стержнем
длины [ = 7?4-г, определить момент коли-
честв движения механизма относительно не-
подвижной оси вращения кривошипа.
Построим две системы координат: не-
подвижную OiXtt/tZj и поступательно переме-
щающуюся систему Сх2у2г2, начало которой
совпадает с центром тяжести сателлита II;
д координатные оси OjZj и Сг2 направлены на
читателя. Так как шестерня I неподвижна,
то момент количеств движения КЛ эпици-
клического механизма относительно непод-
вижной оси Zj будет

где и К*1 — моменты количеств движения относительно оси OjZj криво
шипа и сателлита соответственно.
Кривошип представляет твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной
оси 0^. На основании формулы (9.4) имеем
К*р = /*рсо,
где и = иг —проекция угловой скорости кривошипа на ось гь а 1*р — его
момент инерции относительно той же оси. Для однородного тонкого стержня
согласно формуле (9.5)
/кр = ^т1/2= 1 {R + r}2'
Следовательно,
^Р= ‘-^(Я + ^со.
Подвижная шестерня участвует в сложном движении. Поэтому для вы-
числения момента количеств движения сателлита относительно оси СЦг^
§ 9.6]
СИСТЕМА, УЧАСТВУЮЩАЯ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ
21&
воспользуемся третьей формулой (9.37):
(m2V с) + Ксг,-
Построим в центре тяжести С шестерни II вектор количества движения
т^С (см- Рис- 9.10). Плечо вектора т^с относительно оси O1z1 равно 1 =
= R-]-r. Следовательно,
;W;1(ra2v'c) = fflr'c (Я + О-
Движение шерстени II относительно осей Сх2у2г2 представляет вращение
вокруг оси Сг2. Поэтому согласно формуле (9.4)
^C'z2 = /Z2 Ю1Ь
В этом равенстве~ m2r2 — момент инерции относительно оси Сг^ ше-
стерни II (см. формулу (9.7)) и Ы]|—ее угловая скорость.
Внося Л4г1 (m2vc) и К.гСг в выражение для К”, получим
/<‘;=т2(Я + г)пс+ *
Для полного решения задачи нам осталось вычислить модуль скорости ос
центра тяжести С шестерни II и ее угловую скорость а>1ь
Точка С принадлежит одновременно и кривошипу OZC. Поэтому
vc = a> (R-\-r).
Мгновенный центр скоростей Р шестерни // совпадает с точкой касания обеих
шестерней. Скорость точки С, как точки шестерни II, определяется равен-
ством
пс = гсоп.
Сравнивая оба выражения для скорости точки С, найдем
R + r
«п=—
Подставим значения для vc и а>ц в выражение для R*1 и сгруппируем члены:
R‘J=m2(R + r)^R + y 'ум .
Теперь найдем момент количеств движения Кг всего механизма относи-
тельно оси OiZi.
Г 1 / з \1
К2, = (/?+г) |^-д- mi (R-\-r) т2 f R+^ ю •
Это выражение можно записать в форме (9.4):
Кг, = /*₽«, (9.38)
где величина
^пр = (#+г) £ g- т, (R -j-r) +m2 ^R + tj' (9.39)
называется приведенным к оси OrZi моментом инерции механизма.
Заметим, что приведение момента инерции механизма к одной и той же
оси можно производить различными методами. В данном примере это приве-
дение выполнено при вычислении момента количеств движения системы,
*216
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IX
-'§ 9.7. Теорема об изменении момента количеств
«относительного движения материальной системы
Доказанная в § 9.3 теорема относилась к абсолютному движе-
нию, т. е. к движению материальной системы относительно инер-
циальных осей. Кроме того, предполагалось, что точка, относи-
тельно которой вычислялся момент количеств движения, непод-
вижна. Эти ограничения вносят известные неудобства при изучении
вращательных движений тел, не имеющих неподвижных точек
«(самолеты, корабли, ракеты, приборы, установленные на них и
т. п.). В этом параграфе мы рассмотрим, какой вид принимает
теорема об изменении момента количеств движения для относи-
тельного движения.
Будем изучать движение материальной системы относительно
подвижных осей О2х2г/2г2, перемещающихся поступательно относи-
тельно инерциальных осей О&у^. Напомним, что все законы
.динамики, установленные для материальной точки, движущейся
в инерциальной системе отсчета, остаются справедливыми для ее
-относительного движения, если только к силам, действующим
на точку, присоединить переносную и кориолисову силы-инерции
(см. главу VI).
Подвижные оси О2х2у2г2 перемещаются по условию поступа-
тельно. Поэтому ускорения Кориолиса wkc и соответствующие
Кроме того, при поступа-
(2%2l/222 переносные ускорения
всех точек одинаковы и
равны ускорению wo2:
Wfee = Wo2.
Следовательно,перенос-
ная сила инерции k-и точки
определяется равенством
ike = — mkv/ke = — mkwOi,
(9.40)
где mh — масса точки.
На рис. 9.11 показаны
координатные оси О1х1г/1г1
k-я точка материальной си-
стемы, к внешней F* и внутренней F* силам которой присоеди-
силы инерции, mkwkc, равны
'тельном движении подвижных
нулю,
осей О
;нена переносная сила инерции —mkwo2-
Теперь координатные оси O2x2y2z2 можно считать неподвижными.
В применении к теореме об изменении томента количеств дви-
жения это означает, что в равенстве (9.9) момент количеств абсо-
.лютного движения Ко,, вычисленный относительно неподвижной
-.точки, нужно заменить на момент количеств относительного дви-
§ 9,7] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 217
жения Ко,, вычисленный относительно начала 02 подвижных осей:
О2х^2гг, и к моментам внешних сил нужно присоединить моменты
переносных сил инерции всех точек системы:
п
k=1
Согласно (9.40) имеем (см. рис. 9.11)
5 Mo, (J*<J = 5 Р*х(—/nftwo2).
k= i * — i
Скалярный множитель mk отнесем к вектору р*, а общий'
множитель—wo, вынесем за знак суммы:
У Мо, (Jfte)= 2 W*X(—w0,).
k = 1 ft = 1
В соответствии с формулой (7.2) сумма, стоящая в скобках,
равна Мрс, где М — масса всей системы, а рс — радиус-вектор
центра масс в подвижной системе координат. Следовательно,
У Мо, (J*e) = МРс X (— WOs) = Pc X (—Aiwo,).
k = 1
Произведение — Mwo, назовем переносной силой инерции
центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса М
всей системы. (При поступательном движении осей О2х2у2г2 пере-
носное ускорение центра масс С равно ускорению полюса wo,-)
Будем считать, что сила инерции —Mwo, приложена в центре
масс. Тогда произведение РсХ(—Mwo2) представляет собой момент
силы —Mwo, относительно подвижного центра О2:
Мо, (—Aiwo,) = Pc X (—A4wo,). (9.42)-
Учитывая введенные обозначения, равенству (9.41) можно при-
дать следующий вид:
^22- = Мо, + МО2(— Afw0,). (9.43}
Это уравнение представляет математическую запись в векторной
форме теоремы об изменении момента количеств относительного
движения. В проекциях на поступательно перемещающиеся оси
218
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IX
Д, у2, га оно дает следующие три скалярных уравнения:
^ = Ml2 + MX2(-Mw02),
^ = < + M,2(-MwO2), } (9.44)
^ = ML + M22(-Mw0J.
В частном, но весьма важном случае, когда начало О2 посту-
пательно перемещающихся осей совмещено с центром масс С ма-
териальной системы, уравнение (9.43) существенно упрощается.
Действительно, в этом случае рс = 0,
Mo, (— Mwo2) = рс X (— Mwo2) = О
и уравнение (9.13) принимает вид
dKr
-дГ = Мс- (9-45)
В проекциях на поступательно перемещающиеся оси х2, у2, г2
будем иметь
dKrx „ dKr , dKr,
-dT-^ -dT = ^. (9.46)
Сравним уравнение (9.9) с уравнениями (9.43) и (9.45). В пер-
вом из них при вычислении момента количеств движения Ко,
учитываются абсолютные скорости точек материальной системы
и за центр выбирается неподвижная точка. В уравнениях (9.43)
и (9.45) при вычислении момента количеств движения Ко2 учи-
тываются скорости точек материальной системы относительно
поступательно перемещающихся осей O2x2y2z2 (или Cx2y2z2) и за
центр выбирается начало подвижной системы координат.
В правой части уравнения (9.43) к моментам внешних сил
нужно присоединить момент относительно подвижного центра
переносной силы инерции—Mwo2.
Отметим, что если за полюс выбрать центр масс, то теорема
об изменении момента количеств относительного движения (урав-
нение (9.45)) по своей форме полностью совпадает с аналогич-
ной теоремой об изменении момента количеств абсолютного дви-
жения (уравнение (9.9)).
Остановимся подробнее на уравнении (9.45). Так как оно
по своей форме в точности совпадает с уравнением (9.9), то дви-
жение материальной системы относительно ее центра масс про-
исходит так же, как если бы последний был неподвижен. Все следствия
теоремы моментов количеств движения относительно неподвижной
§ 9.8}
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
219
точки остаются справедливыми и для момента количеств движе-
ния относительно центра масс. В частности, если сумма моментов
всех внешних сил относительно центра масс равна нулю, то момент
количеств движения Кс сохраняет постоянную величину и направ-
ление; если сумма моментов всех внешних сил относительно оси,
проходящей через центр масс и перемещающейся поступательно,
равна нулю, то момент количеств движения относительно этой
оси сохраняет свое первоначальное значение.
§9.8. Примеры и задачи
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих доказанные
теоремы.
Пример 1. Псворот космонавта. Предположим, что космонавт
вышел из космического корабля и совершает свободный полет.
Будем считать, что космонавт отделился от корабля без враще-
ния и что силы тяготения небесных тел (например, Земли), дейст-
вующие на космонавта, сводятся к одной равнодействующей F,
проходящей через его центр масс С. Тогда момент сил тяготения
относительно центра масс С будет равен нулю и, следовательно,
момент количеств движения относительно точки С сохраняет по-
стоянную величину и направление. Возникает вопрос: может ли
космонавт без применения реактивных микродвигателей повер-
нуться в нужном направлении?
Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним первый опыт на
скамейке Жуковского, в котором поворот человека достигался
поворотом колеса (или руки). Так как движение материальной
системы относительно центра масс происходит по тем же законам,
что и относительно неподвижной точки, то любая прямая, прохо-
дящая через центр масс космонавта и перемещающаяся поступа-
тельно, играет ту же роль, что и ось скамейки Жуковского. По-
этому поворотом руки космонавт может повернуть свое тело
в противоположном направлении.
Пример 2. Изменение угловой скорости спортсмена. Рассмот-
рим вращение спортсмена, совершающего прыжок с вышки в воду.
Во время прыжка на спортсмена действует одна внешняя сила
(сопротивлением воздуха пренебрегаем) — сила тяжести. Эта сила
приложена к центру масс С спортсмена и, следовательно, она не
создает момента относительно точки С. Поэтому момент количеств
движения Kez спортсмена относительно горизонтальной оси г,
проходящей через его центр масс перпендикулярно к плоскости
движения, остается без изменения:
Kcz = const.
Движение спортсмена относительно поступательно перемещаю-
щейся оси г представляет собой вращение вокруг этой оси. Тогда
'220 ТЕОРЕМА ОВ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ (ГЛ. IX
согласно формуле (9.4)
Ксг = 1сг®,
где Icz — момент инерции относительно горизонтальной оси г, а со —
угловая скорость спортсмена (направление оси г выберем так,
чтобы со = сог).
В начале прыжка спортсмен, отталкиваясь от трамплина,
сообщает телу угловую скорость coj, имея момент инерции ICz = Л-
Затем в процессе прыжка он группируется (складывается), умень-
шая тем самым момент инерции Icz — Iz- Учитывая, что Ксг = const,
получим
^2®2 = ^1®1‘
Так как /2</1, то сорх^, т. е. в середине прыжка, когда спорт-
смен группируется, его угловая скорость увеличивается.
Перед входом в воду спортсмен снова выпрямляется, увели-
чивая момент инерции I и уменьшая тем самым свою угловую
скорость.
Весь процесс изменения угловой скорости спортсмена за счет
изменения его момента инерции совпадает со вторым опытом
на скамейке Жуковского (см. § 9.4). Роль оси скамейки играет
горизонтальная ось г, проходящая через центр масс спортсмена.
Пример 3. Методы стабилизации вращения космического аппа-
рата. В силу различных случайных причин космический аппарат при
отделении от последней ступени ракеты получает небольшую уг-
ловую скорость По. Для выполнения различных работ (фотогра-
фирования Земли и небесных тел, изменения орбиты, стыковки
с другим космическим аппаратом, торможения перед посадкой
и т. п.) космический аппарат необходимо надлежащим образом
ориентировать, для чего прежде всего необходимо прекратить его
вращение.
Рассмотрим два метода, с помощью которых можно остановить
вращательное движение аппарата.
а) Первый метод основан на введении реактивного момента Л4р.
Предположим, что космический аппарат вращается вокруг оси Сг2,
проходящей через его центр масс и перемещающейся поступа-
тельно относительно инерциальных осей координат. Два парал-
лельно расположенных сопла реактивного микродвигателя уста-
навливаются на некотором расстоянии друг от друга (на рис. 9.12
ось Сг2 направлена на читателя, а сопла А и В находятся
в плоскости рисунка). При отделении продуктов сгорания созда-
ется момент Мр (см. главу XI), управляя которым можно сначала
остановить вращение космического аппарата, а затем повернуть
его таким образом, чтобы ось Сх, жестко связанная с ним, приняла
нужное направление (например, была бы направлена по вектору
«скорости центра масс или на какое-нибудь небесное тело).
§ 9 8]
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
221
Так как вращение космического аппарата может происходить
вокруг любой оси, то он должен иметь три пары таких реактив-
ных двигателей, расположенных в трех взаимно перпендикулярных
плоскостях.
б) Второй метод основан на применении вращающихся масс.
Пусть по-прежнему космический аппарат вращается с угловой
скоростью Q вокруг поступательно перемещающейся оси Сг2,
проходящей через центр масс аппарата С. Будем считать, что
силы притяжения, действующие на космический аппарат, приво-
дятся к одной равнодействующей F, проходящей через точку С.
Рис. 9.12.
Рис. 9.13.
Тогда момент внешних сил (сил притяжения) относительно центра С
будет равен нулю.
Поместим внутри космического аппарата небольшой маховичок
Г. Для простоты будем считать, что жестко связанная с аппаратом
ось вращения маховичка Г совмещена с осью Cz2 (рис. 9.13).
Рассмотрим систему, состоящую из маховичка Г и космического
аппарата (без маховичка). Так как сумма моментов всех внеш-
них сил, относительно поступательно перемещающейся оси Сг2
равна нулю, то момент количеств движения всей системы относи-
тельно этой оси сохраняет постоянное значение. Поэтому, если
заставить вращаться маховичок Г в ту же сторону, что и косми-
ческий аппарат,- вращение последнего начнет тормозиться.
Остановимся на этом явлении несколько подробнее.
Система состоит из двух тел, вращающихся вокруг поступательно переме-
щающейся оси Сг2. Момент количеств движения всей системы относи-
тельно оси Сг2 будет равен сумме моментов количеств движения относительно
этой же оси космического аппарата и маховичка Г. В соответствии с форму»
Лой (9.4) будем иметь
/<CZ2 = /0Q4-/(Q + со),
где /0 и / — моменты инерции относительно оси Сг2 космического аппарата
(без маховичка Г) и маховичка Г соответственно, Q — угловая скорость косми-
ческого аппарата относительно системы осей Сх2у2г2, перемещающихся посту-
пательно в инерциальной системе отсчета, и со —угловая скорость маховичка Г
222
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ IX
относительно космического аппарата; при этом предполагаем, что оба тела
вращаются в одну сторону, QZa = Q и сог2 = со.
Так как = const, то
(Q-(-со) = /qQq +1 (^о_Ь°Со). (9-47)
Здесь Ро и <оо —начальные значения Q и со.
Будем отсчитывать время с момента запуска маховичка. Тогда ыо = О.
Решим теперь полученное уравнение относительно Q:
Q = Q0— , , со. (9.48)
'о + '
Положив Q=0, найдем
<о = ^±/-й0. (9.49)
Таким образом, для того чтобы остановить вращение космического аппа-
рата (Q=0), маховичку Г необходимо сообщить угловую скорость со, опреде-
ляемую равенством (9.49), причем вращение маховичка должно происходить
в ту же сторону, что и вращение космического аппарата (знаки со и Qo одина-
ковы). Отметим, что торможение космического корабля происходит не за счет
сил трения, а путем использования динамического эффекта, при котором осу-
ществляется перераспределение угловых скоростей тел, входящих в систему.
Конечно, так же как и в первом методе, на космическом аппарате нужно
установить три маховичка, оси вращения которых должны быть взаимно пер-
пендикулярны.
Первый способ стабилизации, в отличие от второго, требует одновремеииой
затраты энергии. В этом состоит основное его преимущество.
Покажем, что с помощью маховичков космический аппарат можно повер-
нуть на заданный угол.
Предположим, что до запуска маховичка Г космический аппарат ие вра-
щался (Qo = 0). Тогда равенство (9.47) примет вид (соо = О)
(/0 -(-/) Q -|- /со = 0,
или
«'•+z>3+'f-0-
Здесь ф— угол поворота космического аппарата, отсчитываемый в поступа-
тельно перемещающейся системе отсчета Схгу2, а ср—угол поворота маховичка
относительно аппарата. '
Интегрируя последнее равенство, получим
(/о+/) (Ф—Фо) + / (ф сро) = О,
где фо и ср0 — начальные значения углов ф и ф. Отсюда
ф — фо = — 1-^- (Ф — Фо)-
т. е. для того, чтобы повернуть космический аппарат на угол ф—ф0, нужно
повернуть маховичок в противоположную сторону на угол (ф —Фо)-
Задача 9.4. Для поворота космического аппарата используется электродви-
гатель-маховик, уравнение вращения которого на движущемся аппарате
имеет вид
^ + 1ш = и, (9.50)
at 1
§ 9.81
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
223
где со — относительная угловая скорость ротора электродвигателя (маховика),
Т — его постоянная времени*), и — управляющее воздействие, принимающее
значения ± «о-
Определить продолжительность разгона tly когда u = u0, и торможения
(и =—По) маховика, если первоначально невращающийся космический аппарат
при неподвижном маховике требуется повернуть иа заданный угол др и оста-
новить. Ось вращения маховика проходит через центр масс космического ап-
парата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата
относительно общей оси вращения соответственно равны / и /0.
Интегрируя уравнение (9.50) при u = u0 = const (период разгона) и началь-
ных условиях: <о = О при £ = 0, получим (см. решение уравнения (8.25))
<о = 7'к0(1-е-//т) (9.51)
В конце разгона угловая скорость маховика сщ будет равна
<о1 = 7'и0(1—е—(9.52)
Интегрируя уравнение (9.50) при и = —(период торможения) и учиты-
вая, что со=<ох при t = tlt получим (см. решение (8.32))
<о = —• Т и0(сох-|-Те (Zx (9.53)
В конце торможения маховик останавливается. Внося в равенство (9.53) <о = 0,
найдем
В условиях задачи космический аппарат и маховик должны вращаться
в разные стороны, поэтому из уравнения моментов будем иметь
(Й —<о) = 0;
при этом учтено, что в начальный момент Й = <о = 0 (Q — угловая скорость
космического аппарата). Полагая Si — d^/dt, найдем
/ dt
или
(9.55)
--1--Ар = со dt,
о
где др — заданный угол поворота аппарата.
Разобьем промежуток интегрирования (0, /j-}-^) на Два промежутка: (О, 4)
и (^i, G + ^з)- В первом промежутке со определяется равенством (9.51), а во
втором — равенством (9.53). Следовательно, равенство (9.55) принимает вид
с,
^±1аР= J Ги0(1-е-1'т) dt + [ [-Пго + (со1 + 7Ч)е-(/-/',/7' ] Л,
о £
или, после интегрирования,
Ь±1^=Ти0 [t1 + T(e-f^T- 1)]_7-Ио/2_7-(а1 + 7-Ыо) {е~^т - 1).
*) Постоянный параметр Т имеет размерность времени t. В теории автома-
тического регулирования и теории управления такие параметры называются
постоянными времени.
224
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ IX
Пользуясь (9.52) и (9.54), найдем из последнего равенства
/1 = т + <2, (9.56)
где
’-Ш*- - <957)
Внесем значение /х из (9.56) в равенство (9.52) и полученное значение
для <ох подставим в (9.54). Тогда после сокращения иа Тиа получим
e-t,/T = 1 .
2 —е~(<2 + т,/7' ’
отсюда
-цте-^1Т _2g-t.IT + 1=0
Решим это квадратное уравнение относительно e~t2lT. Имеем
е-<!/7'=ет/7' (l-l/l-e—с/г)
(перед радикалом взят знак «минус», так как е~*г/Т < 1).
Последнее равенство преобразуем к следующему виду:
а— Х/Т
et./T = е ___________.
1_]/1-е-г/г ’
или, умножая и деля иа сопряженное выражение,
Логарифмируя это равенство, найдем /2, затем из (9.56) получим fx:
;х = т+ Т In (1 +У1 -е~т/7'), <2= Т In (1 +У"1 -е“т/г). (9.58)
Эти равенства определяют время, в течение которого электродвигатель — махо-
вик должен работать в режиме разгона (и = и0) и режиме торможения (и =—и0)
для того, чтобы повернуть космический аппарат на заданный угол ф.
ГЛАВА X
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
§ 10.1. Кинетическая энергия материальной
системы и способы ее вычисления
Как известно, кинетической энергией одной материальной
точки называется половина произведения массы т точки на квад-
рат ее скорости. Кинетической энергией материальной системы
называется сумма кинетических энергий всех точек, входящих
в систему. Обозначается кинетическая энергия символом Т. По
определению имеем
п
T = ~^mkvl. (10.1)
л —1
Стоящие в этом выражении скорости vk точек материальной си-
стемы определяются относительно инерциальной системы отсчета.
Во многих случаях движение
материальной системы относитель-
но инерциальных осей целесооб-
разно представить как сложное и
разложить его на простейшие дви-
жения. При этом очень часто
удается упростить вычисление ки-
нетической энергии системы.
Введем подвижные координат-
ные оси Ох2г/2г,2, перемещающиеся
поступательно относительно инер-
циальных осей Будем
рассматривать движение материальной системы как относительно
неподвижных осей О^у^, так и относительно поступательно
перемещающихся осей Ох2//2г2. Пусть Mk — одна из точек мате-
риальной системы массы mk. Введем обозначения: г* — радиус-
вектор точки Mk, проведенный из начала Oj неподвижных осей,
р/г — радиус-вектор той же точки, проведенный из начала О по-
движных осей, г0 — радиус-вектор начала подвижных осей в си-
стеме Ор^у^ (рис. 10.1).
8 Н. В. Бутенин в др.
226
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
В соответствии с формулой (9.30)
v* = v0 + vftr, (10.2)
где vft—скорость точки Mk, v0 —скорость начала О подвижных
осей, vkr — скорость точки Мк относительно поступательно переме-
щающихся осей Ох21/2г2.
Под кинетической энергией относительного движения будем
понимать выражение
п
Тг=^тЛ, (10.3)
4 = 1
получающееся из (10.1) заменой абсолютней скорости vk точки Мк
ее относительной скоростью vAr.
Учтем теперь, что скалярный квадрат любого вектора равен
квадрату его модуля, т. е. а2 = а2. Поэтому выражение (10.1)
для кинетической энергии можно записать следующим образом:
т = 2 m^Vk’
4 = 1
или, пользуясь равенством (10.2),
п
Т = У 2 mh(yo + Vft^2'
4=1
Возведем скобку в квадрат и разобьем сумму на три части:
Т2 m*(vo + 2vo,v*'- + v^)==
Л = 1
п п п
=4 2 2 2
4 = 1 4 = 1 4=1
Последняя сумма равна кинетической энергии Тг относительного
движения; в первой и второй суммах множители Vo и v0 не зави-
сят от индекса суммирования и их можно вынести за знаки сумм:
п п
T = \-vb 2 mft + v0- mkvkr+Tr.
k = 1 й = ]
n n
Выражение У, mk равно массе всей системы М, а У mkvkr =
4=1 4=1
= MvCr, где vCr — скорость центра масс С относительно поступа-
тельно перемещающихся осей Ох2г/2г2. Докажем последнее утвер-
ждение.
§ 10 2|
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
227
В соответствии с формулой (7.2) имеем
п
Рс=М 2 ш*р*>
4 = 1
где рс — относительный радиус-вектор центра масс.
Дифференцируя по времени, получим
dpc 1 у dpk
dt ~ М Z dt ’
4 = 1
ИЛИ
п
Vc'=i 2 mkNkr'
4 = 1
что и доказывает справедливость сделанного замечания.
На этом основании последнее выражение для кинетической
энергии можно привести к следующему виду:
T = lMt>20 + Mv0-vCr + 7\. (10.4)
Если начало подвижных осей О совпадает с центром масс
С системы, то v0 = vc и оС/. = 0. В этом случае последнее равен-
ство упрощается:
T^^-Mvl + Tcr. (10.5)
Словами его можно прочитать следующим образом (теорема
Кенига): кинетическая энергия материальной системы в ее абсо-
лютном движении складывается из кинетической энергии (1/2Mvc)
центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса
всей системы, и кинетической энергии ТСг системы в ее движении
относительно поступательно перемещающихся в инерциальном про-
странстве вместе с центром масс осей Сх^у2г2.
В следующем параграфе мы рассмотрим, как используются
полученные формулы для определения кинетической энергии мате-
риальной системы.
§ 10.2. Кинетическая энергия твердого тела
Очень часто материальная система представляет твердое тело
или' совокупность твердых тел. В связи с этим нужно уметь опре-
делять кинетическую энергию твердого тела при различных видах
его движения.
Так как твердое тело рассматривается как непрерывно распре-
деленная масса, то все суммы, входящие в выражения для кине-
8*
228
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
тической энергии материальной системы, переходят в интегралы,
а масса m,t отдельной точки заменяется дифференциалом dm.
Поэтому для твердого тела формула
(10.1) примет вид
T = (10.6)
где интегрирование производится по
массе всего тела.
1. Кинетическая энергия твердого
тела, движущегося поступательно. При
поступательном движении твердого тела
скорости всех его точек одинаковы (рис. 10.2). Вынося о2 в фор-
муле (10.6) за знак интеграла, получим
Т = у v2 j dm,
или, учитывая, что [dm = M, где М — масса всего тела,
Т = уМи2. (10.7)
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела, движу-
щегося поступательно, равна половине произведения массы тела
на квадрат его скорости.
Формула (10.7) применима также для
случая, когда скорости всех точек материаль-
ной системы равны между собой по модулю.
Например, по такой формуле можно вы-
числить кинетическую энергию ремня, уча-
ствующего в передаче вращения от одного
шкива к другому.
2. Кинетическая энергия твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси.
Модуль скорости любой точки твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси,
равен со/1г, где со —модуль угловой скорости
твердого тела, a h, — расстояние от точки
до оси вращения г (рис. 10.3). Подставляя в формулу (10.6) зна-
чение скорости точки v — <ahz, получим
Т = у У M2hi dm,
или, вынося за знак интеграла со2 (угловая скорость одинакова
для всех точек тела и от переменной интегрирования не зависит),
Т = у<в2 у hi dm.
§ 10 2]
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
229
Полученный интеграл согласно формуле (9.3) представляет
момент инерции тела 1г относительно оси вращения. Следова-
тельно,
(10 8)
т. е. кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции
тела относительно оси вращения на квад-
рат угловой скоррсти тела.
3. Кинетическая энергия твердого тела,
имеющего одну неподвижную точку. При
сферическом движении твердого тела мо-
дуль скорости любой его точки М опре-
деляется равенством (рис. 10.4)
v =
где © — угловая скорость тела, a ha — Р«с- 10-4-
расстояние от точки М тела до его мгно-
венной оси вращения. Сравнивая с предыдущим случаем, когда
v = a>h2, получим выражение для кинетической энергии твердого
тела при его сферическом движении

(10.9)
где /и —момент инерции тела относительно мгновенной оси
вращения.
Заметим, что, несмотря на внешнее сходство формул (10.8)
и (10.9), между ними имеется и существенное различие. Положение
оси вращения z неизменно отно-
сительно тела, поэтому момент
инерции 12 в формуле (10.8) с те-
чением времени не меняется. По-
ложение мгновенной оси вращения
в общем случае меняется относи-
тельно тела, вследствие чего момент
инерции в формуле (10.9) есть ве-
личина переменная.
4. Кинетическая энергия твер-
дого тела, движущегося произ-
вольным образом. Пусть твердое
тело движется произвольным образом относительно инерциальных
осей. Введем поступательно перемещающуюся систему координат
Сх,г/2г,, начало которой совместим с центром масс С тела, и вос-
пользуемся теоремой Кенига (формула (10.5)):
Т =4л1иЬ + Гг.
230
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
Движение тела относительно поступательно перемещающихся
осей Сх2у2г2 представляет собой вращение с угловой скоростью со
(рис. 10.5). Поэтому кинетическая энергия относительного дви-
жения определится формулой (10.9):
Т,/- = -2/са><°2,
где —момент инерции тела относительно оси, проходящей
через его центр масс С и совпадающей с вектором угловой ско-
рости (О.
Подставляя значение Тг в выражение для Т, получим
Т =1л1^ + |/Сисо2.
(10.10)
Это равенство представляет математическую запись теоремы Ке-
нига для свободного твердого тела, которую можно прочитать
следующим образом: кинетическая энер-
гия твердого тела складывается из ки-
нетической энергии поступательного
движения вместе с центром масс и ки-
нетической энергии в его движении
относительно центра масс.
В общем случае момент инерции /Со
представляет переменную величину.
5. Кинетическая энергия твердого
тела при плоском движении. При плос-
ком движении твердого тела вектор уг-
ловой скорости го всегда перпендикулярен к плоскости движения,
совпадая с поступательно перемещающейся координатной осью Сг2
(на рис. 10.6 оси О& и Сг2 не показаны).
Заменив в моменте инерции 1Сю формулы (10.10) нижний
индекс Сео на Сг2, получим выражение для кинетической энергии
твердого тела в случае плоского движения:
Т Mvc + ^ /сгга2. (10.11)
Ось Сг2 ще меняет своего положения относительно тела, и,
следовательно, момент инерции 1сгг не меняется с течением вре-
мени. Это обстоятельство существенно упрощает все вычисления.
Прежде чем перейти к примерам,'сделаем два замечания.
а) При вычислении кинетической энергии твердого тела, дви-
жущегося произвольным образом или участвующего в плоском
движении, формулы (10.10) и (10.11) не всегда являются самыми
простыми. Иногда удобнее пользоваться более общей формулой (10.4)
(см. пример в конце параграфа).
§ 10.2]
кинетическая энергия твердого тела
231
б) Если материальная система состоит из нескольких тел, то
ее кинетическая энергия Т будет равна сумме кинетических
энергий Т] всех тел, входящих в систему (это непосредственно
вытекает из определения):
Т = 7\ + Т2 + ... + 7\. (10.12)
Рассмотрим примеры на вычисление кинетической энергии мате-
риальной системы.
Задача 10.1. Каток К массы mi лежит на горизонтальной плоскости.
Каток обмотан тросом, перекинутым через блок Б радиуса г. К свободному
концу троса прикреплен груз Г массы т3. При опускании груза со скоростью о
трос, разматываясь, приводит в качение
без скольжения каток К (рис. 10.7).
Определить кинетическую энергию си-
стемы, если момент инерции блока Б
относительно оси вращения равен /2;
каток считать однородным круглым ци-
линдром, массой троса пренебречь*
Система состоит из трех тел: кат-
ка К, блока Б и груза Г. Поэтому ее
кинетическая энергия Т будет равна
7' = 7'к + 7'б+7'г,
где ТБ и Тг —кинетические энергии катка, блока и груза соответственно.
Груз Г движется поступательно. Его кинетическая энергия Ту согласно
формуле (10.7) будет равна
Tr = ~mav2.
Блок Б вращается вокруг неподвижной оси. Согласно формуле (10.8) его
кинетическая энергия
= ~2. ^2ШБ,
где <оБ—угловая скорость блока.
Скорость точки касания блока с тросом равна скорости v груза Г. Следо-
вательно, ц = Отсюда соБ=ц/г и
1 '
Каток К участвует в плоском движении. Кинетическую энергию Тк катка
найдем по теореме Кеиига (см. формулу (10.11)):
ТК ^~2 т^с + Т lCz^K,
где vc—скорость центра С катка, сок—угловая скорость катка, 1Сг —его
момент инерции относительно оси Сг2 (на рис. 10.7 ось Сг2 направлена на
читателя).
Скорость верхней точки Е катка К равна v- Точка Р касания катка
с горизонтальной плоскостью является мгновенным центром скоростей. Поэтому
v
VC~2'
232
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
Угловую скорость <ок найдем из равенства
vc = 7?(0k,
где R — радиус катка. Отсюда
vc v
Момент инерции катка относительно его оси Сг2 определяется формулой
(9-7):
/Сг =4^2-
Внося значения vc, сок и /Сг,2 в выражение для Тк, после очевидных
преобразований получим
3
ГК=~16 т^~'
Теперь находим кинетическую энергию Т всей системы:
7- = AmiU2 + l/2^ +-1тзц2,
или
Л4про2,
(10.13)
где величина
3 /
М п р = у т1 + + т3
(10.14)
называется приведенной массой системы.
Рассмотрим задачу на применение формулы (10.4).
Задача 10.2. Твердое тело массы М вращается вокруг горизонтальной
оси О?г (ось 02j перпендикулярна к плоскости рис. 10.8); момент инерции тела
относительно оси вращения Ог равен /. Определить кинетическую энергию тела,
если ось подвеса Ог перемещается гори-
зонтально со скоростью v0 (эта скорость
может быть переменной).
Построим неподвижные оси О±х1у1 и
подвижные оси Ох2р2. Движение тела
относительно осей Ох2у2 представляет
вращение вокруг оси- Ог^. Обозначив
через ср угол между осью х2 и прямой
ОС, где С —центр тяжести тела, найдем
кинетическую энергию в относительном
движении
7\ = у/ф2-
Модуль скорости точки С относительно осей Ох%у2 равен Лф (считаем ф > 0);
направление скорости vCr показано иа рис. 10.8. Скалярное произведение
векторов vQ и vc будет vQ • vCr~ voh<f cos <p. Пользуясь формулой (10.4), най-
дем кинетическую энергию тела
Т = Mvl±Mvoh<fcos(p+ g /ф2, (10,15)
§ 10.31 РАБОТА СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ 233
Применение теоремы Кенига потребовало бы больших выкладок, так как
нужно было бы определить абсолютную скорость точки С и перейти от момента
инерции относительно оси Сг к заданному моменту инерции относительно оси Ога.
§ 10.3. Работа сил, приложенных к материальной системе
В дальнейшем нам нужно будет вычислять суммарную работу
внешних и внутренних сил, приложенных к материальной системе.
При этом возникает ряд особенностей, на которых полезно оста-
новиться подробнее.
Предположим, что при своем движении материальная система
перешла из одного положения, которое она занимала в мойент
времени t0, в другое положение, соответствующее моменту времени
t. Обозначим Через А полную работу, которую совершают при
этом перемещении системы все приложенные к ней силы, причем
работы внешних И' внутренних сил будем обозначать соответст-
венно через Ае и А‘, так что
А = Ае + А‘. (10.16)
Если через А* и А* обозначить работу, которую совершают
внешние и внутренние силы, приложенные к k-и точке системы,
при переходе ее из первого положения во второе, то по опреде-
лению будем иметь
A'=-£Aek, А‘=2Х
k=i k=i
1. Работа сил тяжести. Если материальная система находится
в однородном поле тяжести, то на каждую ее точку Мк массой mk
действует внешняя сила F®=mZ;g, элементарная работа d'Aek ко-
торой равна mkg-drh. Направим ось z вертикально вверх.
Тогда проекции силы F* будут равны 0, 0, — mkg и
d'Aek = mkg drk = —mhg dzk.
Найдем теперь сумму элементарных работ всех сил тяжести,
приложенных к системе:
У, d'Aeh = — У mkg dzk = — gd^ mkzk
*=1 4=1 * = I
или, учитывая третье равенство (7.3), будем иметь
У d'Aek == — gM dzc,
k=\
где M — масса всей системы, а гс — аппликата ее центра тяжести.
234
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
Полная работа сил тяжести при переходе системы из первого
положения во второе определится равенством
гс
Ae = — Mg $ dzc = — Mg(zc — Zqc),
гос
или
A^Mg(z,c-zc)=P(zoC-zc). (10.17)
В этом равенстве гс и гоС — значения аппликаты центра тяже-
сти системы в ее конечном и начальном положениях, а Р — вес
всей системы.
Таким образом, полная работа сил тяжести системы
равна весу всей системы, умноженному на вертикальное пере-
_________________ мещение ее центра тяжести.
~~i х 2. Работа внутренних сил твер-
\ дого тела. Докажем, что сумма ра-
[ I б°т всех внутренних, сил абсолютно
у В*—/ твердого тела на любом его переме-
щении равна нулю.
-----.—-— Пусть Fj и Fj — внутренние силы
Рис. 10.9. взаимодействия точек В и D твердого
тела (рис. 10.9). По третьему закону
Ньютона они равны по модулю и направлены по одной прямой
в противоположные стороны:
F.j = — Fj. (10.18)
Составим сумму мощностей этих сил:
Nl = f; • vB + Fa • VD = F; • vB — Fj • vD = Fj • (vB — VD),
где vB и vD — скорости точек В и D соответственно.
Примем точку D за полюс. Тогда согласно известной формуле
кинематики __
vb = Vd + &XDB,
где со —угловая скорость тела. Внося это значение для скорости
точки В в последнее равенство, получим
№<=Fj-(w/DB).
Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных век-
торов Fj и eaxDB равно нулю (так как вектор etxDB перпен-
дикулярен к вектору DB, коллинеарному с силой Fj). Поэтому
№‘ = ^j = 0,
/=1
§ 10.31
РАБОТА СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
235
причем полную мощность можно распространить, конечно, на все
внутренние силы твердого тела (они входят попарно).
Так как сумма мощностей внутренних сил твердого тела равна
нулю, то будет равна нулю и сумма работ этих сил:
А‘=^А- = 0, (10.19)
/=1
что доказывает сделанное утверждение.
Аналогично можно доказать (мы не будем останавливаться на
этом), что сумма работ внутренних сил абсолютно гибкой и нера-
стяжимой нити равна нулю.
3. Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся
вокруг неподвижной оси. Пусть сила Fe приложена к некоторой
точке тела, отстоящей от неподвижной
оси вращения г на расстоянии h. Точка
приложения силы описывает при движе-
нии тела окружность радиуса h. Разло-
жим силу Fe по осям естественного трех-
гранника и обозначим ее составляющие
через Ft, F)j и F* (рис. 10.10). Работа
составляющих сил Fn и F* равна нулю,
так как эти силы перпендикулярны к пе-
ремещению точки их приложения. Следо-
вательно, работа силы Fe равна работе ее
касательной составляющей F£. Для эле-
ментарной работы будем иметь
d'Ae = Fxds = Fxhdq,
где ds = h dq> — дифференциал дуговой координаты точки прило-
жения силы, a dip — дифференциал угла поворота тела.
Учитывая, что произведение Fxh равно моменту силы Fe отно-
сительно оси вращения тела, получим
d' Ае = Mez dip,
(10.20)
т. е. элементарная работа силы, приложенной к твердому телу,
вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна моменту этой силы
относительно оси •вращения, умноженному на дифференциал угла
поворота тела.
Работа силы Fe на конечном угле поворота определится
равенством
ф
Ae=\Mzd(p, (10.21)
Фо
236
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
где ф0 и ф — начальное и конечное значения угла ф, определяю-
щего положение тела (если момент Мег зависит не только от угла
поворота ф, но также от угловой скорости со и времени t, то
нужно перейти к новой переменной интегрирования).
Если момент внешней силы не изменяется во время движения
тела, т. е. = const, то
Ле = Мг(ф-ф0). (10.22)
Деля обе части равенства (10.20) на dt, получим выражение
для мощности силы, приложенной к твердому телу, вращающе-
муся вокруг неподвижной оси:
Ne = Nzaz. (10.23)
4. Работа потенциальных сил. Понятие потенциальных, или
консервативных, сил, действующих на систему материальных точек,
вводится как естественное обобщение понятия потенциальной
силы для одной материальной точки.
Позиционные силы, зависящие только от положения системы,
называются потенциальными, если работа их на перемещении
системы из начального положения в конечное положение не за-
висит от пути, по которому происходит это перемещение.
Потенциальная энергия определяется как работа всех сил при
переходе системы из данного положения в положение, условно
принимаемое за нулевое (положение, при котором П = 0):
П-Лм,Мо, (10.24)
где М и Л40 символически обозначают положения системы в дан-
ном и нулевом положениях.
Так же как и для одной точки, легко показать, что работа
потенциальных сил при перемещении системы из одного положе-
ния в другое определяется равенством
4,2^-Щ, (10.25)
где Щ и П2 — значения потенциальной энергии системы в ее
начальном и конечном положениях.
Потенциальная энергия зависит от координат материальных
точек, составляющих систему, т. е.
П = П (xlt уг, zt, ..., хп, уп, zn).
Предполагается, что функция П однозначна и непрерывна
вместе со своими производными до второго порядка включительно.
Легко показывается, что частные производные от потенциаль-
ной энергии, взятые с обратным знаком, равны соответствующим
проекциям сил:
—f‘» = ~I? = (10.26)
§ 10.31
РАБОТА СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
237
Часто можно найти потенциальную энергию отдельных сил,
входящих в систему. В этом случае потенциальная энергия систе-
мы будет равна сумме потенциальных энергий:
П=2П/. (10.27)
/=1
Наконец, во многих случаях полезно разделить потенциальную
энергию на энергию внутренних и внешних сил. Общая потен-
циальная энергия будет равна их сумме:
П = ГВ + Пг. (10.28)
Так же как и для одной точки, рационально иногда пользо-
ваться силовой функцией U, которая отличается от потенциальной
энергии только знаком:
U = — П.
5. Работа внутренних сил трения скольжения сочлененных тел.
В различных устройствах между движущимися телами возникают
силы трения скольжения. Эти
силы приложены к обоим трущимся
телам. Вычислим полную работу
внутренних сил трения сочленен-
ных тел.
Предположим, что тело В
движется поступательно со ско-
ростью v, а тело С скользит по Рис- 1011-
нему с относительной скоростью и
(рис. 10.11). Между этими телами возникают силы трения F^p
и Ftp, работу которых нужно определить.
При указанном на рис. 10.11 направлении относительной ско-
рости и сила трения FtP будет приложена к телу С, а сила тре-
ния FtP —к телу В. Конечно,
F'i __ ____
Тр ------г тр*
(10.29)
Мощность Mi-р этих сил будет равна
N‘p = N4 + N* = FtP • (u + v) + Fip • v(
при этом учтено, что абсолютная скорость тела С равна u + v
(направление скорости v тела В не имеет значения).
Принимая во внимание равенство (10.29), получим
Мтр = Fip (u + v) — Ftp • v = Fip и.
238
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ .КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
Сила трения FjP, приложенная к телу С, направлена всегда
в сторону, противоположную относительной скорости и. Следова-
тельно, угол между векторами FtP и и равен 180° и их скалярное
произведение будет равно —F‘Tpu. Таким образом,
А4р = — KpU, (10.30)
т. е. полная мощность внутренних сил трения скольжения двух
сочлененных тел равна взятому со знаком минус произведению модуля
силы трения на модуль относительной ско-
рости.
Из равенства (10.30) найдем сумму эле-
ментарных работ d'Ayp внутренних сил тре-
ния (d'A — Ndt и и=-^-\:
d'ArP = —Ftp dxr, (10.31)
где dx,. —элементарное относительное пере-
мещение.
Рис. 10.12. Аналогично доказывается, что для вра-
щающихся сочлененных тел (рис. 10.12)
полная мощность и элементарная работа всех внутренних сил
трения определяются равенствами
Л^тр-----ЛДрй),,
d'A‘p = —МТр dcpr,
(10.32)
(10.33)
где Л4тр —модуль момента сил трения относительно оси вращения,
со,. —модуль относительной угловой скорости и dq>r — элементарное
относительное угловое перемещение тела С.
§ 10.4. Теорема об изменении кинетической энергии
материальной системы
Рассмотрев методы вычисления работы сил, приложенных
к материальной системе, и ее кинетической энергии, перейдем
к установлению зависимостей, связывающих эти величины. Для
этого освободимся мысленно от связей, заменив их соответствую-
щими реакциями. Обозначим через F* и F), равнодействующие
всех внешних и внутренних сил, приложенных к материальной
точке Mk системы. Рассмотрим два момента времени: начальный tQ
и текущий (или конечный) t. Пусть модуль скорости точки Mk
в момент времени t0 равняется vok, а в момент времени t — vk.
Тогда для каждой точки материальной системы будет справедлива
§ 10 4]
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
239
теорема об изменении кинетической энергии:
mnvn mnV0n
2 2
Аеп + Ап,
где Aek и А* —работа сил F* и F* на действительном перемещении
точки Mk.
Складывая почленно все равенства, получим
п п п п,
12 -у 2 = 2+ 2
fe=i k=i k=i k=i
или, учитывая выражение для кинетической энергии (10.1),
Т - То = Ае + А1', (10.34)
где Тп — начальное значение кинетической энергии, а Ае и А‘ —
работа всех внешних и внутренних сил системы.
Равенство (10.34) представляет математическую запись теоремы
об изменении кинетической энергии материальной системы: изме-
нение кинетической энергии материальной системы при переходе
ее из начального в текущее (конечное) положение равно сумме работ
на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, приложен-
ных к точкам системы.
Продифференцируем равенство (10.34) по времени:
dT __ dAe dA1
dt dt dt '
Учитывая, что производная от работы по времени равна мощно-
сти У* силы Fft, получим
(Ю.35)
Это уравнение представляет собой аналитическую запись теоремы
об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:
полная производная кинетической энергии по времени равна сумме
мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.
Необходимо подчеркнуть, что в правую часть равенства (10.34)
входит работа (в равенство (10.35) — мощность) всех внутренних
и внешних сил, приложенных к системе.
Рассмотрим несколько простых примеров.
При движении автомобиля, оснащенного двигателем внутрен-
него сгорания, движущей силой является сила трения F2 между
ведущими колесами и полотном шоссе (см. рис. 7.1). Без этой силы
движение автомобиля осуществить нельзя (см. пример 1 § 8.3).
240
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
(ГЛ. X
Однако сила трения F2 при отсутствии проскальзывания колес
работу не производит (так как эта сила приложена в мгновенном
центре скоростей Р ведущего колеса, элементарное перемещение
dr? которого равно нулю). Полезную работу при перемещении
автомобиля производят внутренние силы давления газов, образо-
вавшиеся при сгорании горючей смеси.
Точно так же при движении человека по горизонтальному полу
или при его подъеме по лестнице движущими силами являются
силы трения между полом и подошвами ног человека или реакции
ступеней лестницы. Однако полезную работу производят не эти
внешние силы, а внутренние мускульные усилия человека.
Прежде чем перейти к задачам, отметим два класса сил, кото-
рые не нужно учитывать при применении теоремы об изменении
кинетической энергии системы (так как их работа равна нулю):
I) реакции связей без трения;
2) внутренние силы абсолютно твердого тела и абсолютно
гибкой и нерастяжимой нити (см. п. 2 § 10.3).
§ 10.5. Задачи
С помощью теоремы об изменении кинетической энергии
в интегральной форме определяют:
скорости точек материальной системы (в тех'случаях, когда,
зная перемещение системы, можно вычислить работу всех прило-
женных к ней сил);
работу одной из сил, приложенных к системе (когда по усло-
вию задачи скорости точек материальной системы известны или их
можно определить другими методами).
Дифференциальная форма теоремы об изменении кинетической
энергии системы применяется для составления дифференциальных
уравнений движения, а также для
определения ускорений (линейных
или угловых).
Мы начнем с задачи, иллю-
стрирующей метод определения
скоростей.
Задача 10.3. В системе, рассмотрен-
ной в § 10.2, груз Г под действием
силы тяжести опускается из состояния
покоя вниз. Определить скорость v
груза Г при опускании его на вы-
и трением на оси блока пренебречь.
Рассмотрим внешние силы, действующие на систему. На груз Г действует
сила тяжести m3g, на блок Б действуют сила тяжести m2g и реакция опоры
(на рис. 10.13 показаны ее составляющие X и Y), на каток К действуют сила
тяжести mjg и реакция горизонтальной плоскости, которая разложена на нор-
мальную составляющую N и силу трения F (без силы треиия F каток не ка-
Рис. 10.13.
соту h. Трением качения катка
§ 10.5]
ЗАДАЧИ
241
тился бы, а скользил). Внутренние силы учитывать не нужно, так как согласно
§ 10.3 сумма их работ равна нулю.
Применим теорему о конечном изменении кинетической энергии материаль-
ной системы:
Т — Та = Ае.
Воспользуемся выражением для кинетической энергии рассматриваемой
системы (10.13):
Г = уЛ4прц®,
где приведенная масса определяется равенством (10.14):
3 /
34 Пр = -g- m1 + + m3-
Движение начинается из состояния покоя, поэтому 7'0 = 0. Перейдем
к вычислению работ сил, приложенных к системе. Работа сил ’m2g, X и Y
равна нулю, так как точка их приложения неподвижна. Работа силы тяжести mtg
катка К равна нулю, так как эта сила перпендикулярна к перемещению точки
ее приложения С. Работа нормальной реакции N и силы трения F равна нулю,
так как эти силы приложены в мгновенном центре скоростей Р катка К>
элементарное перемещение которого <4гр = 0. Таким образом, осталась одна
сила тяжести m3g груза Г, работа которой равна m3gh. Итак,
Ae = m3gh.
Внося выражения для Т и Ае в уравнение энергии и учитывая, что То = О,
получим
Mnpv2 = m3gh.
Отсюда находим скорость груза в зависимости от высоты h:
Простота решения задачи объясняется прежде всего тем, что все элементы,
входящие в уравнение (10.34) (работа сил и кинетическая энергия системы),
вычисляются без интегрирования дифференциальных уравнений. *
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда с помощью
теоремы о конечном изменении кинетической энергии материальной
системы вычисляется работа сил.
' Задача 10.4. Космический аппарат вращается вокруг оси Сг2, проходящей
через его центр масс и перемещающейся поступательно относительно инер-
циальной системы координат. Определить работу, которую необходимо затра-
тить, чтобы с помощью вращающегося маховичка Г прекратить вращение кос-
мического аппарата (см. рис. 9.13). Угловая скорость вращения космического
аппарата до запуска маховичка равнялась Qo, его момент инерции (без махо-
вичка) относительно оси вращения Сг2 равен /0; маховик вращается относи-
тельно оси Сг2, его момент инерции относительно этой оси равен / (см. § 9.8).
Маховичок Г вращается под действием внутренних сил для системы «кос-
мический аппарат —маховичок». Характер этих сил нам неизвестен, поэтому
вычислить их работу непосредственно мы не можем. Так как работа сил входит
в уравнение (10.34), которое при Ае = 0 принимает вид
Т-Тй = А1,
242
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
то будет естественно воспользоваться им для определения искомой величины.
Внутренние силы, под действием которых вращается маховичок Г, не
изменяют движение центра масс С системы, поэтому при вычислении кинети-
ческой энергии достаточно учесть только ее вращательное движение.
Система состоит из двух тел, вращающихся вокруг оси Сг2- Ее кинети-
ческая энергия Т определяется равенством
Г=1/0Й2+у/(Й+®)2.
Здесь первое слагаемое — кинетическая энергия аппарата, второе — кинетическая
энергия маховичка, й —угловая скорость аппарата относительно инерциальной
системы координат, со— угловая скорость маховичка относительно аппарата,
В начальный момент до запуска маховичка й = й0 и со = 0. Поэтому
Ео=4(7о + /)
В момент прекращения вращения космического аппарата Q = 0. Следова-
тельно, для этого момента времени
г=-2-/(л
Внося эти выражения в Т — — получим
(/„ + /) Щ = Д*‘,
где Д’ — искомая работа внутренних сил системы.
Для полного решения задачи необходимо знать величину угловой ско-
рости <о, которую нужно сообщить маховичку, чтобы остановить вращение
космического аппарата. Для этого достаточно воспользоваться теоремой об
изменении момента количеств движения относительно оси Сг2. Такая задача
решалась нами в § 9.8. Воспользуемся полученной там формулой (9.49):
После подстановки значения со и элементарных преобразований найдем
д«‘=У А (/<>+/) й§.
Такую работу должны совершить внутренние силы системы, приводящие во
вращательное движение маховичок, чтобы прекратить вращение космического
аппарата (конечно, здесь учтена только полезная работа).
Отметим, что применение теоремы об изменении кинетической
энергии позволило вычислить работу внутренних сил, несмотря
на то, что нам не известна их аналитическая структура.
В заключение этого параграфа рассмотрим задачу на составле-
ние дифференциального уравнения движения материальной системы
с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в диф-
ференциальной форме.
Задача 10.5. Груз Г весом Р поднимается с помощью электрической лебедки
(рис. 10.14). Барабан Б приводится во вращение электромотором, который
§ 10 5]
ЗАДАЧИ
243
создает вращающий момент Л4вр, изменяющийся по закону
' Л/вр = Л/0 —хы,
где Л4о и х — положительные постоянные, характеризующие мотор, а ы— угло-
вая скорость барабана.
Моменты инерции блока В в барабана Б относительно их осей вращения
соответственно равны /2 и [г-, радиус блока равен, г, радиус барабана R.
Определить закон движения груза и на-
тяжение троса. В начальный момент
система находилась в покое; массой троса
пренебречь.
Для того чтобы определить харак-
тер движения груза, нужно прежде всего
составить дифференциальное уравнение
движения всей системы. Конечно, для
этого можно расчленить систему, мыс-
ленно разрезав трос, ввести силы натя-
жения троса и затем составить три диф-
ференциальных уравнения движения:
одно для вращения барабана, второе
для вращения блока и третье для прямо-
линейного движения груза. Все уравне-
ния нужно решать совместно, причем
прежде всего необходимо исключить силы
натяжения троса. Такой метод решения
задачи требует хотя и не сложных, но
утомительных преобразований.
Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы в диф-
ференциальной форме

представляет большие удобства, так как в это уравнение не войдут силы натя-
жения троса (сумма работ, а следовательно, и мощностей реакций троса и дру-
гих внутренних сил равна нулю).
Воспользуемся этим уравнением. Кинетическая энергия рассматриваемой
системы
Т = Л + Т2 + Тз,
где Тг, Т2 и Т3 — кинетические энергии барабана, блока и груза соответственно.
Барабан Б и блок В вращаются вокруг неподвижных осей, поэтому согласно
формуле (10.8)
о
где сов — угловая скорость блока. Очевидно, что сов= следовательно,
т 1 , Я2 2
Г2 = у Л -~т® .
Груз Г движется прямолинейно и поступательно со скоростью v = Ra, его
кинетическая энергия
1 Р
Та= g RW,
244
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
(ГЛ. X
Подставляя значения 7\, Т2 и Т3 в выражение для кинетической энергии
системы, получим
г=1/пр®2,
где приведенный к оси вращения барабана момент инерции системы опреде-
ляется равенством
/?2 Р
Л1р=Л+ уг Л+— Я2.
Перейдем к вычислению мощностей. Мощность сил тяжести барабана и
блока, а также реакций их опор равна нулю, так как точки приложения этих
сил неподвижны. Мощность силы тяжести Р груза Г будет
Л\ = Р • v=Pv cos 180° = — Pv = — PRu.
Мощность Л'2 сил, создающих вращающий момент Л4вр, вычислим по фор-
муле (10.23):
N2 = Л4вр® = (Л40 — х<в) <о.
Таким образом,
Ne = (Мо — PR — хы) ы.
Подставляя значения Т и Ne в уравнение = Ne-\-Nl и учитывая, что
в данном примере Л'‘ = 0, получим
/при — = (M0-PR -х<в) и,
или, сокращая на со,
/пр-^- = М0-Р/?-х(о.
Это дифференциальное уравнение движения системы отличается от рас-
смотренного ранее уравнения (9.24) только значением входящих в него постоян-
ных. Поэтому воспользуемся решением (9.26) уравнения (9.24), сделав в нем
соответствующие замены:
(в
к х '
Груз Г будет подниматься со скоростью
о = (в/? = /?
M0 — PR
X
По прошествии
ничтожно малым
ной скоростью
некоторого
промежутка времени член е п₽ сделается
и движение груза будет происходить практически с постоян-
D M0—PR
VytT — R z
Перейдем к вычислению сил натяжения троса на участке груз —блок.
Мысленно разрежем трос и заменим его действие реакцией SP Теперь груз Г
движется под действием силы тяжести Р и натяжения троса St (рис. 10.15, а).
Груз движется вверх с ускорением w=dvjdt. Состарим дифференциальное урав-
§ 10.61
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
245
нение движения груза в проекции на ось у, направленную вертикально вверх.
Имеем
Отсюда
g dt
Вычислим производную скорости по времени
и
пр
dv M0 — PR
~тг = к----------е
dt /Пр
и подставим ее в выражение для Sf
__—t
е "Р
51=р 1+АЛ!^
' g 'пр
Для вычисления силы натяжения троса на участке барабан — блок мысленно
разрежем трос в двух местах (на участке барабан —блок и на участке блок —
груз), заменив его реакциями S[ и S2 (рис. 10.15, б). Составим дифферен-
циальное уравнение вращения блока вокруг
неподвижной оси
h-^-^S2r-S'r.
Учитывая» что SJ = S1} получим
/ 2 ЛОп
s2=si+7-_dr-
S7
Ц)
Имеем
R
сов =----<0,
а-)
dcoB
~~dT
R da R Mq — PR “T”*
_ — —_______e "P
Рис. 10.15.
/пр
Пользуясь выражением для Sj, найдем натяжение троса
блок
г di
на участке барабан —
S2=P + P

пр

И
С течением времени множитель е ПР станет достаточно малым и в уста но-
вившемся режиме Si = S2 = P.
§ 10.6. Закон сохранения полной механической энергии
материальной системы
Из теоремы об изменении кинетической энергии материальной
системы вытекает закон сохранения полной механической энергии.
Предположим, что все силы (внешние и внутренние), действую-
щие на систему, консервативны. Пусть система под действием.
246
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
этих сил перешла из начального в некоторое текущее положение.
Обозначим значение кинетической энергии системы в начальном
положении через Тп, а в рассматриваемом через Т. Применим
к этой системе теорему о конечном изменении кинетической энергии:
Т-Т0 = Ае + А‘ = А.
Так как по условию силы, действующие на систему, консерва-
тивны, то будет справедливо равенство (10.25):
Л = П0 —П,
где По и П — значения потенциальной энергии в начальном и теку-
щем положениях.
Тогда будем иметь первый интеграл
или
Т — Т0 = П0 —П,
T + n = /[,
(10.36)
где постоянная
h — Л> + По
равна начальному значению полной механической энергии (напом-
ним, что полной механической энергией называется сумма потен-
циальной и кинетической энергий).
Уравнение (10.36) называется интегралом энергии и оно выра-
жает закон сохранения полной механической энергии системы:
если система движется под действием одних консервативных сил,
то сумма кинетической и потенциальной энергии сохраняет постоян-
вую скорость движения стержня, если
ное значение. Интеграл энергии
(10.36) и некоторые его обобще-
ния имеют большое значение в
теории устойчивости движе-
ния *).
Рассмотрим пример на при-
менение интеграла энергии.
Задача 10.6. Однородный тонкий
стержень АВ длиной I движется в вер-
тикальной плоскости, скользя своим
концом А по гладкой горизонтальной
прямой (рис. 10.16). Определить угло-
в начальный момент она равнялась ф0
и стержень составлял с горизонтом угол q>0.
Освободимся мысленно от связи (гладкой горизонтальной плоскости) и
заменим ее реакцией N д. Теперь можно считать стержень Свободным, находящимся
под действием двух вертикально направленных сил: силы тяжести стержня Afg
*) См., например, Мер кин Д. Р. Введение в теорию устойчивости дви-
жения,— 1-е изд. —М.: Наука, 1971,—2-е изд.—М.: Наука, 1976,
§ 10.6]
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
247
и реакции Мд. Работа реакции Мл равна нулю, а сила тяжести Afg— консер-
вативная сила. Поэтому будет справедлив интеграл энергии (10.36):
т+п=л.
Выбрав за нулевое положение горизонтальную плоскость, по которой
движется точка А стержня, найдем потенциальную энергию силы тяжести Afg
n = Mgt/c,
где Ус — ордината центра тяжести стержня.
Имеем (см. рис. 10.16)
I .
</с=уSln Ф’
следовательно,
П = ~ Afg/ sin ф.
Кинетическую энергию стержня найдем, пользуясь теоремой Кенига для
плоского движения твердого тела (см. формулу (10.11)):
Здесь vc — скорость центра масс С стержня, a ICz — его момент инерции отно-
сительно оси, проходящей через точку С перпендикулярно плоскости движения.
Согласно формуле (9.6) /Сг=— Ml2. Кроме того, и2с = х^-1~Ус’ где
„ -г I . I .
хс — абсцисса центра масс стержня. 1ак как ус = --^ sm^>, то ус — -g- cos ф • ф.
Внося эти значения для /Сг, vfc и ус в выражение для кинетической энергии,
получим
1 / п \ 1
Т = "2 М V+ Т Ф2 COS2 Ф ) + ^4 М12Ч2'
ИЛИ
1 Л4/2
г = у Afx^ + -g^-( 14-3 cos2ф) ф2.
Учитывая полученные выражения для Т и П, найдем интеграл энергии
для рассматриваемой системы
1 Ml2 1
У 24“ (Ч-Зсо82ф) ф24- — Mgl япф = й,
где h — постоянная энергии, которую можно найти из начальных условий:
при / = 0 ф = ф0, ф = фо, хс = хоС;
здесь xqC — начальное значение проекции скорости центра масс стержня на
ось х (эта величина по условию задачи не задана).
Внося начальные условия в интеграл энергии, получим
1 Ml2 1
й = у Ш2С +~^~ (* + 3 cos2 ф0) ф2 + -2 Mgl sin ф0.
248
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИКсТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
После подстановки найденного значения h в интеграл энергии, приведем
последний к виду
Z2 Z2
х*с + -|2“ (1 + 3 c°s2 Ф) Ф2+Sl sin ф = х\с + jy (1 + 3 cos2 qj») ф2 + gl sin <p0.
Покажем, что проекция хс скорости vc центра масс С стержня остается
постоянной во время движения. Действительно, сумма проекций всех внешних
сил на неподвижную ось х равна нулю. Поэтому согласно третьему следствию
теоремы о движении центра масс (см. формулу (8.14))
vCx = xc = const,
т. е.
*С = *оС-
Тогда последнее выражение для интеграла энергии упрощается и прини-
мает вид
-^2 (1 + 3 c°s2 ф) Ф2+g sin (р = (1 + 3 cos2 ф0) Фо + g sin фо-
Отсюда найдем угловую скорость стержня
। . । _ -1 /~ (1+3 cos2 фр) Zcpg + 12g (sin <р0 — sin ф)
™ г Z (1 +3 cos2 ф)
В момент падения на горизонтальную плоскость (ф = 0) угловая скорость
стержня будет
ф = у’|/Л (14-3 cos2 фо) ф2 + 12 япфо.
Любопытно отметить, что угловая скорость стержня не зависит от началь-
ной скорости его центра масс (если бы горизонтальная плоскость была не
абсолютно гладкой, то это было бы несправедливо).
В заключение этого параграфа сделаем одно замечание.
Интеграл энергии в форме (10.36) имеет место для систем,
движение которых определяется только консервативными силами.
Если, помимо консервативных сил, система подвержена действию
сил сопротивления, то происходит убывание полной механической
энергии; если же материальная система соединена с источником
энергии (например, двигателем), то полная механическая энергия
возрастает.
§ 10.7. Теорема об изменении кинетической энергии
относительного движения
Если движение материальной системы рассматривается в системе
координат Охуг, перемещающейся по данному закону относительно
инерциальной системы отсчета, то в правую часть уравнения энер-
гии (10.34) необходимо ввести работу переносных и кориолисовых
сил инерции, а в левую часть должна входить кинетическая энер-
§ 10.7] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 249
гия относительного движения системы. Тогда вместо уравнения
(10.34) получим
п п
тГ — Тг0 = Ае + А1 + У, У Акс,
k=1 4=1
где Аке и Акс — работа переносных и кориолисовых сил инерции.
Но в соответствии с результатами § 6.4 работа кориолисовых сил
инерции равна нулю. Поэтому уравнение- энергии примет вид
п
Тг-Тго = Ае + А‘+ % Аке. (10.37)
• k = i
Если подвижные оси координат перемещаются поступательно
относительно инерциальной системы отсчета, то последнюю сумму
в (10.37) можно упростить. Действительно, в этом случае пере-
носные ускорения всех точек будут одинаковы и равны ускорению
начала подвижных осей О, т. е. wfee = w0. Имеем (для поступа-
тельно движущихся осей dp = dp)
У d'Ake = У Jfce-dpA = — У mkwke • dpk = — У mkw0-dpk.
k= i k=i k = i k=i
Так как ускорение w0 полюса О от индекса суммирования не
зависит, то его можно вынести за знак суммы:
У d Аке = — ( У, tnk dpk}' w0.
k=\ 4 = 1 '
Из формулы (7.2) следует 2 тк dpk = M dpc, где M — масса всей
системы, а рс — радиус-вектор ее центра масс в подвижной системе
координат. Поэтому
У, d'Ake = — Mwodpc-
k = ।
При переходе системы из начального положения в текущее
положение сумма работ переносных сил инерции будет равна
У Аке= У \d'Ake = (—Mwodpc) = X (—A4w0),
k=i A=i
где символом А (— Alwn) обозначена работа переносной силы инер-
ции центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса
всей системы.
Уравнение (10.37) можно записать теперь в следующей форме:
Тг-Тг1)^Ае + А' + Д(— Mw0). (10.38)
250
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
[ГЛ. X
В этом равенстве кинетическая энергия и работа всех сил,
включая переносную силу инерции центра масс, вычисляются для
движения системы относительно подвижных осей Oxyz, переме-
щающихся поступательно относительно инерциальной системы
отсчета.
В дифференциальной форме уравнение (10.38) принимает вид
^ = № + №-A1w0.vaC, (10.39)
где vrC — относительная скорость центра масс.
Если w0 = const, т. е. ускорение полюса постоянно по модулю
и направлению, то сила инерции переносного ускорения центра
масс будет консервативна с потенциальной энергией
П*=—Mw0-pc. (10.40)
Если, кроме того, силы, приложенные к системе, тоже потен-
циальны, то будем иметь интеграл энергии
7\ + П + П*=/1, (10.41)
где П — потенциальная энергия всех внешних и внутренних сил,
приложенных к системе.
Задача 10.7. К потолку железнодорожного вагона подвешен физический
маятник (твердое тело, имеющее горизонтальную ось вращения, вокруг которой
оно колеблется под действием силы тяжести).
В начальный момент маятник удерживался в
положении, при котором прямая ОС была го-
ризонтальна (см. рис. 10.17; Ог— ось враще-
J7 ния, С—центр масс маятника). Затем маятник
был отпущен без начальной скорости. Опре-
делить угловую скорость маятника в момент
прохождения его центра масс через вертикаль,
если масса маятника равна М, его момент
инерции относительно оси вращения равен /,
а железнодорожный вагон движется прямоли-
нейно с постоянным ускорением w и ОС = 1.
Пусть ось г укреплена на движущемся '
вагоне (на рис. 10.17 вагон не показан). На-
правим подвижную ось у горизонтально в сто-
рону ускорения вагона w, а подвижную ось х
вертикально вниз. Мысленно будем считать вагон
неподвижным, введя одновременно переносную силу инерции центра масс маят-
ника—Mw. Кинетическая энергия Тг относительного движения маятника
вычисляется по формуле (10.8) как кинетическая энергия твердого тела, вра-
щающегося вокруг оси г;
гг=Х/ф2.
В начальный момент прямая ОС была горизонтальна, в конечный момент—,
вертикальна. Работа силы тяжести Mg на заданном перемещении будет равна Mgl,
а работа силы инерции + Mwl (знак «+», если в начальный момент центр
§ 10 7] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 251
масс С находился на положительной части оси у, и знак «—» в противопо-
ложном случае). Поэтому (7,г0 = 0)
~ = ± Mwl\
отсюда найдем угловую скорость маятника в момент прохождения им вертикали
ф у 2Ml (g
Для рассматриваемой системы имеет место интеграл энергии (10.41). При-
мем положение маятника, при котором прямая ОС горизонтальна и ордината
точки С положительна, за нулевое. Тогда при перемещении маятника из дан-
ного положения в нулевое работа сил Afg и — Afw будет
Ag = Ug = — Mgl coscp, Лда = П* = — Mwl(\ — sin ср).
Следовательно, интеграл энергии (10.41) примет внд
X /ф2—Mgl coscp— Mwl (1 — sin ф)=й1,
или
X iqz—Mi (gcoscp — w sin <p)=/i,
где h^ht+Mwl.
ГЛАВА XI
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
§ 11.1. Понятие тела переменной массы
В теоретической механике, как правило, рассматривается дви-
жение материальных систем и твердых тел, масса которых пред-
полагается постоянной. Однако можно привести большое коли-
чество примеров, когда при движении тела его масса вследствие
присоединения или отделения от него материальных частиц зна-
чительно изменяется. Например, на активном участке движения
ракеты от нее отделяются продукты сгорания топлива, составляю-
щего значительную часть исходной массы заправленной ракеты
на старте. Решение задачи о движении ракеты как о движении
тела постоянной массы в этом случае будет неверным.
В связи с этим возникает проблема разработки методов реше-
ния задач на движение тел с переменной массой, т. е. задач
механики тела переменной массы *).
Перейдем теперь к определению понятия «тела переменной
массы».
Будем считать массу материальных точек, из которых состоит
тело, постоянной. Исходя из этого, под телом переменной массы
будем понимать тело, масса которого изменяется вследствие про-
цесса отделения от него или присоединения к нему материальных
точек.
Это значит, что точки, изменяющие массу тела, не возникают
и не исчезают, а лишь вводятся в рассмотрение или исключаются
из него.
Введенное определение тела переменной массы позволяем рас-
сматривать механику тела переменной массы как один из разде-
лов механики системы материальных точек, так как все исследо-
вания движения такого тела можно выполнить методами класси-
ческой механики.
В дальнейшем рассматривается только тот случай, когда
весьма малы как масса каждой отделяющейся или присоединяю-
*) В настоящее время вместо термина «тело переменной массы» часто поль-
зуются термином «тело переменного состава».
§ 11.2]
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
253
щейся точки, так и время между последовательными отделениями
или присоединениями точек. Это предположение делает возмож-
ным такую предельную идеализацию процесса изменения массы, при
которой последняя может быть принята непрерывной и дифферен-
цируемой функцией времени.
Хотя при мгновенном изменении массы тела на величину
массы отделяющейся или присоединяющейся частицы скорость
тела меняется скачкообразно, величина этого изменения также
будет убывать с убыванием массы этой точки и в пределе ско-
рость тела можно считать также непрерывной и дифференциру-
емой функцией времени.
Пусть масса тела в начальный момент времени / = 0 равна т0.
Обозначим через т1 (t) массу отделившихся частиц к моменту
времени t и через т2 (/) — массу присоединившихся к телу час-
тиц к этому же моменту времени t. При непрерывном присоеди-
нении и отделении частиц от тела функции т1 (t) и тг (I) будут
возрастающими положительными и при / = 0 mj(0) = 0, m2(0) = 0.
Таким образом, массу тела в момент времени t можно опре-
делить по формуле
т = т0 — т1 (/)ф-т2(/). (11.1)
Если т1(/) = 0, то происходит только процесс присоединения
частиц; если т2 (0 = 0 — только процесс отделения.
§ 11.2. Уравнение движения точки переменной массы
Рассмотрим простейший случай, когда тело движется посту-
пательно и, следовательно, его можно принять за материальную
точку. Предположим также, что происходит процесс только отде-
ления.
Пусть масса тела в момент времени t равна т, а скорость
равна v. Количество движения тела в этот момент времени
равно
Q = mv. (И.2)
Так как рассматривается случай отделения частиц, то масса
тела будет уменьшаться. Следовательно, изменение массы за про-
межуток времени Д/ определится равенством
Дт = т (i ф- Д/) — т (t) <; 0.
Предположим, что к моменту времени отделившаяся
°т тела частица массы |Дт| приобрела скорость и'. Скорость же
тела переменной массы к моменту времени /ф-Д/ обозначим через
254
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
[ГЛ. XI
Количество движения тела и отделившейся частицы в момент
времени t-{-At будет
Q (/-}- А/) — (т — | Am {) (v±Av) + ! Ат | ц' =
= (т + Am) (v+Av) — Amu'. (11.3)
Согласно теореме об изменении количества движения имеем
]im Q(/ + AQ-Q(Q
ДГ-»0
где Fe — равнодействующая всех сил, приложенных к телу.
Перепишем это выражение, используя формулы (11.2) и (11.3):
1- Г Av Am . , , Am Av]
lim lm-rr—rr(u — v)H—гг- = F
д<_01 Az & Az J
Отсюда получаем
mw — (u — v) — F\
или
mw = Fe4-O, (П-4)
dv _ dm
где w = ^ — ускорение точки, Ф = ^-у1г, vlr = u — v— относитель-
ная скорость отделяющейся частицы, и —скорость отделяющейся
частицы в момент времени t.
Вектор
® = (11.5)
называется реактивной силой.
Уравнение (11.4) получено, независимо друг от друга, раз-
личными авторами. Обычно это уравнение называют уравнением
Мещерского, так как его работа *) оказала наибольшее влияние
на развитие механики тела переменной массы. Более подробно
уравнение Мещерского будет рассмотрено в § 11.5.
§ 11.3. Количество движения тела переменной массы
Рассмотрим общий случай и не будем считать тело перемен-
ной массы материальной точкой. Кроме того, будем считать, что
частицы не только отделяются, но и присоединяются к телу.
Переменная масса тела в момент времени t определяется
равенством (11.1).
*) Мещерский И. В, Динамика тела переменной массы.—С.-Петер-
бург, 1897.
§ 11.3] КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 255
Согласно формуле (8.2) количество движения любой системы
материальных точек постоянной массы, а следовательно, и твер-
дого тела вычисляется по формуле
Q = myc, (П-6)
где т — масса материальной системы, a vc —скорость центра масс
этой системы.
Рассмотрим теперь тело переменной массы. Благодаря про-
цессу присоединения и отделения частиц в теле происходит пере-
распределение масс и поэтому центр масс тела может не оста-
ваться в какой-либо фиксированной точке тела. Он будет совер-
шать сложное движение: будет двигаться со всем телом (переносное
движение) и будет перемещаться по отношению к телу (относи-
тельное движение). Так* например, по мере выгорания топлива
центр масс ракеты перемещается относительно ее корпуса.
Итак, абсолютную скорость центра масс можно представить
формулой
Vc = VeC + VrC, (11.7)
где veC — переносная скорость центра масс тела, т. е. скорость
той точки тела, с которой в данный момент t совпадает центр
масс, a vrC — скорость центра масс по отношению к телу, т. е.
по отношению к системе координат, жестко связанной с телом.
Рассмотрим наряду с телом переменной массы тело постоянной
массы и предположим, что в момент времени t массы точек, их
расположение и скорости для обоих тел одинаковы. Тогда коли-
чество движения определится равенством
Q = У mkvk,
k=i
где п — число точек, составляющих тело, mk — масса й-й точки,
a vA —ее скорость. Так как, по предположению, массы и скорости
точек обоих тел одинаковы, то количества движения этих тел
также будут равны.
Поэтому количество движения тела переменной массы будет
определяться формулой (8.2), но вместо скорости vc следует
поставить veC, так как для тела переменной массы это и есть
скорость той точки тела, с которой совпадает в данный момент
времени центр масс тела. Следовательно, количество движения
тела переменной массы будет равно
Q = mveC.
Эта формула, конечно, верна и для тела постоянной массы, так
как для этого случая vc = vec-
256
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
[ГЛ. XI
Если тело движется поступательно, то veC = v, где v —ско-
рость тела, и, следовательно, количество движения определится
формулой
Q = mv. (11.8)
§ 11.4. Теорема об изменении количества движения
тела переменной массы
Для системы материальных точек постоянной массы теорема
об изменении количества движения (см. формулу (8.5)) имеет вид
^ = Fe, (11.9)
где Qo — количество движения, Fe —главный вектор всех внешних
сил. Эту формулу можно записать в виде
litn Qo - Qo (О = Р (11.10)
Рассмотрим теперь тело переменной массы. Предположим,
что в процессе движения этого тела к нему присоединяются и
одновременно отделяются от него частицы. Одновременно с этим
телом рассмотрим систему постоянной массы, причем предположим,
что в момент времени t обе эти системы совпадают, т. е. массы
и скорости точек этих систем одинаковы.
Следовательно, количества движения тел переменной и посто-
янной масс в момент времени t будут равны
Q(0 = Qo(0. (П-11)
где Q (t) — количество движения тела переменной массы.
Пусть к моменту времени /-]-Д/ от тела отделятся частицы
с общей массой, равной Дтп и присоединятся частицы с общей
массой, равной Дт2. Тогда в момент времени t 4- Д/ масса тела
будет равна
т (I + Д/) = т (t) — \т14- Дт2- (11.12)
Если обозначить через QT (t 4- Д/) количество движения в момент
времени всех частиц, отделившихся за время Д/, а через
сиа+до — количество движенца в момент времени всех
частиц, присоединившихся за время Д/, то количество движения
системы постоянной массы в момент времени /4-Д^ будет равно
Qo (t 4- М) = Q (t 4- Д/) 4- Qj (/ 4- ДО - Q, (t 4- ДО. (11.13)
где Q (t 4- ДО — количество движения тела переменной массы
в момент времени /4-Д(.
Обозначим через и( скорость в момент времени /ф-Д^ центра
масс отделившихся частиц, а через щ — скорость в тот же момент
§ 114]
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
257
времени центра масс присоединившихся частиц; тогда на основа-
нии формулы (11-8), получим
Qj (t-\- &t) = AmjuJ, Q2 (t-\- kt) = Дт2и2.
Используя эти выражения, перепишем равенство (11.13) в виде
Qo (14- Д/) = Q (1 + ДО + Д/^uf — Дт2и'>.
Подставляя теперь это выражение в формулу (11.10) и учитывая
ртвенство (11.11), получим
lim Q (^ + Др ~ Q (0 + AwtU'; — Am2u' р
д/—*о л/
Д/
или
lim
Д/->0
откуда
Q(*+*p-Q(0=Fg_ lira lim
Д/->0 Д/-.0 д‘
dQ __ ре dm-t dm2
dt Г dt U1‘‘ dt °2’
(11.14)
где ut и u2 —скорости центров масс соответственно отделяющихся
и присоединяющихся частиц в момент времени t.
Соотношение (11.14) и представляет собой математическую запись
теоремы об изменении количества движения тела переменной
массы.
Для случая только одного отделения частиц тела
т = т0 — (t)
и, следовательно,
dm ______________________ dm± dm2_______«
IT dF’ ~dF'~'J‘
Тогда уравнение (11-14) примет вид
^ = Fe + fU1. (11.15)
Для случая только присоединения частиц
т = т0 4- т2 (/)
dm2 ___dm
dt dt ’
уравнение (11-14) будет
dQ
dt
। dm
= F + diU*
(11.16)
9 H. В. Бутенин и др.
258
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
[ГЛ. XI
Для случая равенства секундного расхода и секундного при-
роста масс
, ... п dm, dm„
-m1(0 + m2(/) = 0, =
и
t/Q Е1 I / \ /1 1 « -7\
~dt = Fe+“dT(U2~Ul)- (И.17)
В заключение этого параграфа отметим, что вывод теоремы
об изменении количества движения тела переменной массы нами
получен в предположении, что отделившиеся частицы сразу же
после отделения прекращают свое взаимодействие с точками тела
переменной массы,. а влияние присоединившихся частиц начи-
нается только с момента их присоединения к телу.
§ 11.5. Уравнение Мещерского
Пусть тело переменной массы движется поступательно, тогда
согласно формуле (11.8) имеем
(11.18)
Q=mv.
Дифференцируя это соотношение по времени, получим
dQ dm , dv
Ей = ’дт v + m Ш •
dt dt 1 dt
Так как согласно соотношению (11.1)
dm dm± dm2
~di = dt~ ' ~dt~'
a yi = dvldt, to
Подставляя это выражение в уравнение (11.14), будем
dm, . . . dm2 , .
mw = F -дг(и1-у)+тг<и*-у)-
Это уравнение получено И. В. Мещерским и носит его
тор
dm, , . . dm., , .
ф=-дг(и1-у) + дг^-у)
называется реактивной силой.
В дальнейшем будем рассматривать только случай
частиц, имеющий наибольший технический интерес.
иметь
(11.19)
имя. Век-
(11.20)
отделения
Для него
уравнение (11.19) сводится к виду
„е dm1 . .
mw = Fe--^-(u1-v).
§ 11.6]
ЗАДАЧА ЦИОЛКОВСКОГО
259
Так как vlr = u1 —v есть относительная скорость отделяющихся
частиц, а
dm, _ dm
dt dt '
то предыдущее уравнение движения можно записать следующим
образом:
mw = ре + ^У1, = Ре + ф, (Н.21)
где Ф определяется формулой (11.5). Так как при отделении
частиц dm/dt<_0, то реактивная сила Ф направлена в сторону,
противоположную направлению скорости vlr.
§ 11.6. Задача Циолковского
Рассмотрим движение ракеты, запущенной с поверхности Земли
вертикально вверх (рис. 11.1). Будем предполагать, что ракета
движется поступательно. Движение ракеты будем рассматривать
в системе координат с началом в точке пуска, ось х которой
направлена вертикально вверх. х
В проекции на ось х уравнение (11.21) будет
.. dm
mx — Fx — -^ vlr,
(11.22)
так как vlr направлена в сторону, противопо-
ложную положительному направлению оси х.
Здесь Fex представляет собой результирующую
силу земного притяжения и силу аэродинамиче-
ского сопротивления атмосферы. Реактивная сила
будет направлена в сторону положительного направления оси х,
dm , а
так как < 0.
dt
Как уже было сказано, при доказательстве теоремы об изме-
нении количества движения предполагалось, что отделившиеся
частицы между собой и телом не взаимодействуют. Но в действи-
тельности в отбрасываемой газовой струе частицы взаимодействуют
Друг с другом и с ракетой.
Кроме того, -на ракету действует сила атмосферного давления,
зависящая от высоты х над поверхностью Земли. Эта сила не
входит в состав силы аэродинамического сопротивления и не
зависит от скорости ракеты v.
Пусть s —площадь выходного сечения сопла, р — давление
в газовом потоке на срезе сопла, а р (х) — статическое атмосфер-
9*
260
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
[ГЛ. XI
ное давление. Тогда сила, обусловленная давлением газового
потока и статическим давлением атмосферы, будет
s[P~P (*)]•
Прибавляя эту силу к реактивной силе, получим тягу дви-
гателя
Рх = — + S [Р - Р Wk
При движении в пустоте р(х) = 0 и тяга будет
dm
Рх = — ~^ Vlr + sp.
Это соотношение записывают в виде
’ dm
P* = ~liiV‘
где
. sp . dm „
Ve = Vlr + J-, q =— -77 >0.
e Lr'q dt
Величина ve называется эффективной скоростью истечения
(ve>vK).
Таким образом, при решении задачи о движении ракеты нужно
вместо уравнения (11.22) взять следующее:
mx = Fx-d~ iv + s[P-P(x)L
Решение этого уравнения в общем виде представляет значитель-
ные трудности из-за сложности .закона изменения аэродинами-
ческого сопротивления, входящего в Fex, и находится за рамками
курса теоретической механики.
При отсутствии атмосферы это уравнение примет вид
mx = Fex-d-^ve, (11.23)
где Fsx представляет собой силу тяготения.
Если пренебречь сиЛой притяжения Земли и сопротивлением
атмосферы, то уравнение (11.23) упрощается:
dv dm
т-п = — -ту Ve-
dt dt e
Поставленную таким образом задачу впервые решил К. Э. Циол-
ковский.
Предположим, что масса ракеты m = m(t) является непрерыв-
ной функцией времени, а эффективная скорость истечения
постоянна (ve = const). Отметим, что т (0) = ти — стартовая масса
ракеты.
§ 11-6]
ЗАДАЧА ЦИОЛКОВСКОГО
261
Перепишем уравнение движения ракеты в виде
Интегрируя это уравнение, получим
v (/) = — ve In т + С,
где С — произвольная постоянная интегрирования.
По условию, при / = 0 и(0) = 0; тогда
О = — ve In пг0 + С
и, следователвно,
С = ve In т0.
Итак, скорость ракеты в момент времени t равна
= 1п^.
Эта формула называется формулой Циолковского.
Пусть к моменту времени t = tK произошло полное сгорание
топлива в ракете. Скорость ракеты в этот момент времени будет
и (/к) = ve In —,
где mK — т(tK) — масса ракеты без топлива.
Введем в рассмотрение число Циолковского
тк’
тогда формула для скорости ракеты в момент сгорания всего
топлива примет вид
v = ve In z. (11.24)
Эта формула также называется формулой Циолковского.
Из рассмотрения формулы (11.24) следует, что скорость ракеты
в момент, когда весь запас топлива будет израсходован, пропор-
циональна эффективной скорости истечения газов и натуральному
логарифму от числа Циолковского.
Формула Циолковского (11.24) указывает на два возможных
пути увеличения скорости ракеты к моменту сгорания топлива.
Первый путь —это увеличение эффективной скорости истечения
газов, второй путь — увеличение числа Циолковского.
В настоящее время для используемых в ракетах химических
топлив эффективная скорость истечения газов ve 2500 м/сек
и несколько выше. Получение химических топлив, позволяющих
получить более высокую эффективную скорость истечения газов,
связано с большими трудностями. Увеличение числа z также
представляет трудную техническую задачу.
262
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
, [ГЛ XI
Найдем^ каким должно быть г, чтобы ракета к моменту сго-
рания топлива при уе = 2400 м/сек получила первую космическую
скорость («« 8000 м/сек).
При рассмотрении этой задачи, запуская ракету с Земли,
нужно иметь в виду, что вследствие земного тяготения, сопро-
тивления атмосферы, затрат на осуществление программного дви-
жения ракеты фактическая скорость ракеты после сгорания топ-
лива будет меньше скорости, даваемой формулой (11.24). По
некоторым данным потери в скорости составляют 10—15%.
Поэтому определение числа г проведем, исходя из необходимости
получения скорости v = 9000 м/сек.
Согласно формуле (11.24) найдем
V
z~eVe= е3’75 42,5.
Это значит, что m0 = 42,5 тк, т. е. стартовая масса ракеты
должна быть в 42,5 раза больше массы ракеты без топлива. Иначе
говоря, вес топлива должен составлять примерно 98% от старто-
вого веса ракеты. Для современных ракет число Циолковского
значительно меньше 42,5.
Как следует из приведенного расчета, получение космических
скоростей с помощью одноступенчатой ракеты в настоящее время
вряд ли возможно. Для этих це-
лей используются многоступенча-
тые ракеты.
§ 11.7. Формула Циолковского
для многоступенчатой ракеты
На рис. 11.2 приведена при-
мерная схема многоступенчатой
ракеты.
Многоступенчатая ракета со-
стоит из нескольких ступеней и
полезного груза.
После израсходования топлива
в ступени она отделяется от ос-
тальной конструкции.
Введем понятие субракеты.
Под субракетой понимается сово-
купность работающей ступени, всех неработающих ступеней и
полезного груза, причем для данной субракеты все неработающие
ступени и полезный груз являются «полезным грузом», т. е.
каждая субракета рассчитывается как одноступенчатая ракета.
На рис. 11.2 указана нумерация ступеней и субракет.
§ П.7]
ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО
263
Применяя формулу Циолковского (11.24) к каждой субракете,
получим;
после полной отработки первой ступени скорость второй суб-
ракеты
Пх = v'e' In гх,
где v'e’ — эффективная скорость истечения в первой ступени, г± —
число Циолковского для первой субракеты;
после отработки второй ступени скорость третьей субракеты
и2 = И1 + иё21 In г2 = v'e" In гг 4- nJ.21 In га,
где nJ.21 — эффективная скорость истечения во второй ступени,
г2 —число Циолковского для второй субракеты;
наконец, после отработки п-й ступени скорость полезного груза
v = v(el) In гх + v(e‘’ In г2 + .. v(en)\nzn, (11.25)
где v™ — эффективная скорость истечения из п-й ступени, гп—
число Циолковского для п-й субракеты.
Если приближенно считать, что для всех ступеней относи-
тельная скорость истечения одинакова:
п(1) = у(2) = — у(«) — 71
е е ' е е1
то согласно формуле (11.22) будем иметь
v = ve In (гхг2... г„) = ve In Z, (11.26)
где
Z = V2...z„. (11.27)
Для упрощения выкладок положим, что у всех субракет числа
Циолковского также одинаковы:
zx = г2 =... = гп,
тогда формула (11.26) примет вид
v = nvelnz. (11.28)
Отсюда видно, что конечная скорость полезного груза про-
порциональна числу ступеней (конечно, при условии, что и zi
одинаковы).
Найдем число г, которое должна иметь каждая ракета для
достижения полезным грузом скорости v = 9000 м/сек (ve =
= 2400 м/сек).
При п= 1 (одноступенчатая ракета)
9000
г = е2400^42Д
264 ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ [ГЛ. XI
при /1 = 2 (двухступенчатая ракета)
9000
г = е2-2400 ^6,48,
при п = 3 (трехступенчатая ракета)
9000
г = е3'2400 ^ 3,49.
Из этих данных видно, что при реальных числах Циолков-
ского космических скоростей можно достигнуть, применяя только
многоступенчатые ракеты.
§ 11.8. Задачи
Задача 11.1. Ракета движется в однородном поле сил тяжести вертикально
вверх с постоянным ускорением а> (см. рис. 11.1). Сопротивлением атмосферы
пренебрегаем. Эффективную скорость истечения газов ve считаем постоянной.
Определить: 1) закон изменения массы ракеты; 2) время Т, за которое масса
ракеты уменьшится вдвое. Определить также закон изменения массы при от-
сутствии поля тяготения.
В рассматриваемой задаче Fex =—mg (g—ускорение силы тяжести), по-
этому уравнение (11.23) имеет вид
dm
mw==~~dF v^~mS-
Разделяя в этом уравнении переменные, получим
4m = w + g dt
m ve
Интегрируя и принимая во внимание, что стартовая масса ракеты m(0) = m0,
будем иметь
1 1 w+g,
In m — In ma =---— t,
ve
откуда
a>+g }
v
m = m«e e .
Для момента времени T по условию задачи
_ 5L+A т
m0 v
~£=тое е
и, следовательно,
Еслв ракета движется вне поля тяготения, то g = 0 и
- — t
v„
т — т$
§ 11.8]
ЗАДАЧИ
265
Задача 11.2. Ракета движется вертикально вверх в однородном поле тя-
жести. Эффективная скорость истечения газов ve постоянна. Изменение массы
ракеты происходит по закону
т = tnae~al
(а и т0— постоянные величины).
К моменту времени = топливо сгорает. Определить, при каком значе-
нии а ракета достигает максимальной высоты подъема *).
Уравнение движения ракеты (11.23) для рассматриваемого случая имеет вид
тое~а1Х = — moe~atg + am^~atve,
или
*'=— g-\-ave = (k— l)g,
где
g
Интегрируя, получим
х=(й-1)^ + и0, (11.29)
где о0 —начальная скорость ракеты. Считая, что при /=О х=0, найдем
x==(k-\)^- + v(lt. (11.30)
Полученное выражение описывает движение ракеты при работающем двигателе.
Пусть масса ракеты после сгорания топлива равна тк; тогда момент вре-
мени сгорания tK найдется из условия
— аС
тк = тое к>
откуда
/K = lin/ZZ» = A,
а тк а
где |т = 1пг (г — число Циолковского).
Скорость ракеты в момент времени t = tK определится из формулы (11.29):
Xi = (k — \ ) gt & + v0= (k — 0 ~~ + ио-
К этому моменту времени высота подъема ракеты согласно уравнению (11.30)
будет равна
<r = (*-1)g+^-
Начиная с момента времени t = tK, ракета будет двигаться только под
действием силы притяжения Земли. Высота, на которую поднимется ракета
после момента времени / = /к, равна
JC? 1 Г,. 14 Iх , I2
= 2^= + Ч •
Таким образом, полная высота подъема ракеты будет
й = х1+л = (^1)^ + ^ + 1[(4-1)^ + ^.
*) Космодемьянский А. А. Экстремальные задачи для точки пере-
менной массы,—ДАН СССР, 1946, т, 53, № 1, с. 17—19,
266
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
[ГЛ XI
Найдем теперь максимальную высоту подъема, считая И функцией а.
Применяя обычный способ отыскания максимума функции, т. е. находя про-
изводную от И по а и приравнивая ее нулю, мы определим значение а, при
котором достигается максимальная высота подъема. Эта максимальная высота
равна
(УгЦ + ^о)2
Птах —------5----
2g
и достигается при а = оо, т. е. при мгновенном сгорании топлива. Мгновен-
ное сгорание топлива влечет за собой бесконечно большое ускорение ракеты
в начале движения, и, следовательно, полученное условие максимального подъ-
ема ракеты (а = со) практически невыполнимо и недопустимо.
При постепенном сгорании топлива ускорение ракеты будет конечным, но
при этом неизбежен проигрыш в достигаемой высоте. Коэффициент k = avelg
называется коэффициентом перегрузки (давление любого груза в ракете на
свою опору точно в k раз превосходит величину силы притяжения груза
к Земле) *).
Зададимся каким-либо фиксированным значением коэффициента пере-
грузки k. Тогда a = kg!ve. При этом значении а и при vo = O высота подъема
ракеты будет.
|л2и2
При Уо = О
Следовательно,
рМ
Wr . е
max = .
2g
W =//max —-г—~ .
К
Из этой формулы (формулы Космодемьянского) следует, что уменьшение
коэффициента перегрузки влечет за собой уменьшение максимальной высоты
подъема ракеты. При 6 = 4 она будет на 25% меньше, чем Дтах.
Задача 11.3. Ракета движется вертикально вверх с постоянной скоростью
(см. рис. 11.1)г Эффективная скорость истечения газов постоянна. Сила
притяжения к Земле обратно пропорциональна
до центра Земли. Сопротивлением атмосферы
изменения массы
Так как для рассматриваемой задачи
Fe - mSR2
х (R + *)3 ’
то уравнение (11.23) будет иметь вид
dm _ mgR2
1Г Ve ~ (R + x)2
По условию задачи скорость ракеты v0 постоянна, т. е.
dx
~dt
ракеты.
квадрату расстояния от
пренебречь. Определить
и! = 0,
= 0.
== v0~ const,
ракеты
закон
(11.31)
откуда
х — v^t+С •
*) Пусть груз, находящийся в ракете, имеет массу mt; тогда на основа-
нии принципа Даламбера имеем
— niig (k — 1) — nirg+R = 0,
где R — реакция, действующая на груз. Следовательно, R = kmxg.
§ 11.8]
ЗАДАЧИ
267
При / = 0 х=0, следовательно, С — 0 и
x—v^.
Подставляя это выражение в соотношение (11.31), получим
1 dm ______________________________________g/?2
т dt — ve (R + УоО2 ‘
Интегрирование дает
In т =
gR2 . . c.
vove (R + u(/)
Так как при t = 0 m(O) — mo, то
0,= In m0 —
vove
Подставляя это значение в предыдущее равенство, найдем после очевидных
преобразований закон изменения массы ракеты
gHt __
о„(« + ао0
т = тое ' 0 •
Задача 11.4. Ракета движется в поле земного тяготения вертикально вверх
так, что ее масса изменяется по закону m = mrf~at, где а и т0 — постоянные
величины. Эффективная скорость истечения газов постоянна. Начальная ско-
рость равна нулю (ио = О)- Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить
скорость ракеты как функцию х, где х—высота подъема ракеты над поверх-
ностью Земли (см. рис. 11.1).
По условию Ft = ~ уравнение движения ракеты (11.23) имеет вид
dv
т ~di ~ '
Так как m = moe~at, то после
dv
dt (R + x)2
Принимая во внимание, что dx=vdt, и умножая обе части полученного
уравнения на v dt. будем иметь
mgR- dm
" (Я + х)2 ~ ~dt~ Ve'
подстановки получим
ctD2
vdv=- (R+xy dx+ave dx-
Интегрируя уравнение
о
I v dv =
о
о о
получим
1
V2
отсюда найдем закон изменения скорости ракеты от высоты х ее подъема

или
1
,Я + х
2(o»e-g/?2)
V R(R + X) •
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
глава хп
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
§ 12.1. Введение
Динамика твердого тела является важным разделом теорети-
ческой механики, что объясняется прежде всего теми приложе-
ниями, которые она имеет в самых различных вопросах техники.
Так, например, конструирование и расчет станков, железнодорож-
ного и автомобильного транспорта, управление полетом, самолетов
и космических аппаратов, борьба с качкой судна, конструирова-
ние и расчет гироскопических приборов, сохраняющих заданную
ориентацию или автономно определяющих нужное направление
(гироскопические компасы, гировертикали), и т. п. основаны на
динамике твердого тела.
Движение тел существенным образом зависит от характера
распределения масс. В этом мы уже убедились на ряде примеров.
Так, спортсмен при прыжке в воду, группируясь (т. е. меняя
распределение масс), увеличивает свою угловую скорость (см.
пример на стр. 219), время установления угловой скорости ротора
электромотора зависит от момента инерции ротора (см. пример
на стр. 210), скорость вращения маховичка, которую необходимо
сообщить ему для прекращения вращательного движения косми-
ческого аппарата, зависит от соотношения моментов инерции (см.
пример на стр. 221—222) и т. д. Поэтому изучение динамики
твердого тела начинается, как правило, с вводной главы, посвя-
щенной геометрии масс. Из самого названия видно, что в этой
главе изучается не движение твердого тела, а только характер
распределения его массы.
§ 12.2. Основные определения
Как уже отмечалось, в теоретической механике считается, что
масса твердого тела распределена непрерывно (см стр. 171).
Возьмем в теле некоторую точку и выделим небольшой объем
Дц с массой Дт так, чтобы выбранная точка находилась внутри
§ 12 2]
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
269
этого объема. Отношение
_ Дт
Vcp—
называется средней плотностью объема Ап тела, а предел этого
отношения
. v Дт
у= lim -т-
Др-»0 Ди
— плотностью тела в данной точке (предполагается, что при
Аи->0 выбранная точка остается все время внутри объема Ди)
Если тело неоднородно, то его плотность меняется от точки
к точке. Отнесем тело к системе координат Охуг. Тогда для не-
однородного тела плотность у будет функцией координат
у = у(х, у, г).
Масса неоднородного тела вычисляется по формуле
М = § у dv = $ jj (j у (х, у, г) dx dy dz.
Плотность однородного тела одинакова во всех его точках,
причем
(12.1)
М .
у = у = const,
где М — масса тела, а V — его объем.
В § 9.2 было дано определение момента инерции относительно
оси- моментом инерции материальной системы относительно оси
называется
точек системы
от точек до
распределении
в интеграл.
Возьмем в
dm = у dv и координатами х, у, г. Квад-
раты расстояний от этого элемента до
координатных осей х, у, г будут соот-
ветственно равны (рис. 12.1)
h2x = y2-\-z2, hl — z2-\-x2, hl = x2-\-y2.
сумма произведений масс
на квадраты расстояний
оси. При непрерывном
массы сумма переходит
теле элемент с массой
(12.2)
Следовательно, моменты инерции тела относительно коорди-
натных осей определяются равенствами
Ix = \(y2 + z2)dm, Iy = ^(z2+ х2) dm, 1г = ^(х2 + у2) dm. (12.3)
В этих формулах * под символом $ F (х, у, г) dm подразумевается
интеграл, распространенный по массе всего тела. Такое условное
обозначение вводится для простоты записи. Конечно, при непо-
270
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ ХИ
средственном вычислении интеграла нужно перейти к тройным
интегралам по объему, причем дифференциал массы dm = ydv —
— ydxdydz. В дальнейшем будет показано, что в некоторых слу-
чаях тройной интеграл можно заменить двойным или даже обыч-
ным определенным интегралом.
Одновременно с осевыми моментами инерции введем полярный
момент 10, определив его как сумму произведений масс точек
материальной системы на квадраты их расстояний до данного по-
люса О. Если за полюс взять начало координат О, то квадрат
расстояния от элемента dm до точки О будет равен г2=х2+(/2+?2
и, следовательно, полярный момент инерции твердого тела можно
вычислить по формуле
/0 = $ (*2 + У2 + z2) dm. (12.4)
По самому определению полярный момент инерции зависит только
от выбора полюса и не зависит от направления координат-
ных осей.
Сравнивая равенства (12.3) и (12.4), легко установить формулу
/л + ^ + Л = 2/0. (12.5)
Оть етим два свойства моментов инерции относительно трех взаимно пер-
пендикулярных осей.
1. Момент инерции относительно любой из осей всегда меньше суммы
моментов инерции относительно двух других осей, но больше их разности,
Действительно, например,
1х + 1у~ Iz — 2^ & dm>0,
/х—/у—/2 = —2 j х2 dm < 0;
отсюда
hdx + Iy. Iz>lx-ly. (12.6)
Этому свойству можно дать простое геометрическое толкование: из трех
отрезков, длины которых пропорциональны моментам инерции относительно
трех взаимно перпендикулярных осей, всегда можно построить треугольник.
2. Сумма моментов инерции относительно трех взаимно перпендикулярных
осей не зависит от направления этих осей.
Это свойство вытекает из равенства (12.5).
Из первого свойства следует, что моменты инерции тела относительно трех
взаимно перпендикулярных осей нельзя задать произвольно — они должны
удовлетворять соотноштн1ям (12.6).
Напомним, что радиусом инерции тела относительно данной
оси называется расстояние р от оси до точки, в которой нужно
сосредоточить массу М всего тела, чтобы момент инерции точки
относительно данной оси равнялся моменту инерции / тела отно-
сительно той же оси:
/ = Л4р2.
(12.7)
§ 12 2]
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
271
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны,
так как они представляют сумму положительных чисел. В нуль
осевой момент инерции может обратиться только в одном частном
случае, когда все материальные точки системы расположены
на оси, относительно которой вычисляется момент инерции.
Для полной характеристики распределения массы тела отно-
сительно данной системы координат, кроме осевых моментов инер-
ции Ix, Iу и 1г, вводят еще центробежные моменты инерции. Для
одной материальной точки центробежным моментом инерции
1Х1) называется произведение ее координат х и у на массу точки
т, т. е. величина хут (аналогично определяются центробежные
моменты инерции 1уг и Iгх). Центробежными моментами инерции
твердого тела называются величины, определенные равенствами
lxy — ^xy dm, I yz — ^yz dm, IzX = \zxdm. (12.8)
Как видно из (12.8), центробежные моменты инерции симмет-
ричны относительно своих индексов-
Iху ~ Iух> Iyz = Izyi Izx = 1xz-
Центробежные моменты нельзя задавать произвольно. Действительно,
из неравенства
j (*— УУ1, dm^O
следует
j (№ + у2) dm 2 j ху dm,
или, пользуясь формулами (12.3) и (12.8),
Ixy *2“ Iz' Iyz "2" Ц' Гх
(два других неравенства получаются аналогично).
Центробежные моменты инерции зависят не только от направ-
ления координатных осей, но и от выбора начала координат.
В связи с этим часто говорят о центробежных моментах инерции
в данной точке, понимая под этим, что начало координат сов-
падает с данной точкой.
В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут
иметь любой знак и обращаться в нуль. Главной осью инерции
тела называется ось, для которой оба центробежных момента
инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю. Например,
если /хг = I^ = 0, то ось г —главная ось инерции тела. Главной
центральной осью инерции называется главная ось инерции, про-
ходящая через центр масс тела.
Отметим два частных случая, когда можно сразу определить
характер оси.
ЧП
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ XII
1. Если тело имеет плоскость материальной симметрии*),
то для всех ее точек ось, перпендикулярная к плоскости сим-
метрии, является главной осью инерции.
2. Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось
является главной центральной осью инерции и называется осью
динамической симметрии.
Докажем для примера второе свойство (первое доказывается
аналогично). Возьмем на оси материальной симметрии произволь-
ную точку О и построим систему координат с началом в этой
точке, направив ось г по оси симметрии, а оси х и у перпенди-
кулярно к оси г произвольным образом. В силу материальной
симметрии относительно оси z каждой точке А тела с коорди-
натами (хА, уА, гА) и массой dm
будет соответствовать другая точка В
такой же массы и с координатами
(— хА, — уА, гА) (рис. 12.2). При
составлении интегральных сумм для
центробежных моментов инерции Iхг
И /уг будем иметь
xz dm + (— х) z dm - О,
yz dm + (— у) z dm = 0.
Следовательно,
/« = 0, /9г = 0,
т. е. ось г —главная центральная ось инерции (она будет цент-
ральной, так как центр масс тела находится на оси симметрии).
Осевые и центробежные моменты инерции часто обозначаются
первыми буквами латинского алфавита:
/Х = Д, Iy = B, IZ = C,
Iyz = D, IZX = E, lxy = F. (12.9)
Матрица, составленная из осевых Ix, Iy, Iz и взятых с обрат-
ным знаком центробежных моментов инерции — Ixy, — Iyz, — 1гх,
называется тензором инерции в данной точке **):
(О Оу ОЛ
-lyx ly -lyz\ (12.10)
Ох Оу О /
*) Под материальной симметрией понимается не только геометрическая
симметрия, но и симметричное распределение плотности.
**) Для того чтобы матрица была тензором, необходимо, чтобы ее элементы
(в данном случае моменты инерции) удовлетворяли некоторым условиям инва-
риантности относительно преобразования поворота осей координат Рассмот-
рение этого вопроса выходит за рамки данного курса. Заметим только, что
моменты инерции удовлетворяют этим условиям.
§ 12 3]
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
273
В силу симметрии центробежных моментов инерции этрт тен-
зор имеет шесть составляющих. Тензор инерции характеризует
распределение масс тела относительно данной точки.
Размерность всех моментов инерции (осевых, полярных и
центробежных) в международной системе СИ равна кг м2, а в тех-
нической -кГ-м- сек2.
§ 12.3. Примеры вычисления
моментов инерции
Приведем несколько примеров
вычисление моментов инерции.
1. Моменты инерции однородного пря-
моугольного параллелепипеда. Вычислим
моменты инерции относительно осей Сх,
Су, Сг, проведенных через центр масс
параллельно ребрам; масса параллелепипеда
Воспользуемся первой формулой (12.3):
на
Рис 12 3
М, длины ребер 2а, 26, 2с (рис. 12.3).
lx=\ (У2+ г2) dm.
Г, , J . . . ММ
Заменим дифференциал массы dm на у dv = y dx dy dz, где у = р- = , и
перейдем к тройному интегралу
1Х— j j j ?(!/2 + г2) dx dy dz =
а Ъ
Этот интеграл можно представить следующим образом.
М
8abc
или, интегрируя,
М Г 63 с31 М
^ = 8^(2а2с2-з+2а262т] = -3 <62+с2>-
Таким образом, моменты инерции однородного прямоугольного парал-
лелепипеда относительно центральных осей определяются равенствами (Iу и 1г
получены круговой перестановкой букв)
М * М М
G=4-(b2 + c2), = (<? + &), /^-„(а2 + П (12 11)
О О О ete
Из этих формул следует, что момент инерции прямоугольного параллеле-
пипеда относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно
к некоторой грани, равен одной трети массы тела, умноженной на квадрат
половины гипотенузы рассматриваемой грани.
Центробежные моменты инерции равны нулю, так как координатные плос-
кости являются плоскостями материальной симметрии.
Очень часТо выбором соответствующего элемента можно сразу свести вычис-
ление момента инерции к обычному интегралу.
Проиллюстрируем это на следующих примерах.
274
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ XII
Тело
Момент инерции
Отрезок прямой
1Х=^ГМ^ !Х'=^ГМ1*
Площадь прямоугольника
1Х=~МЬ\ 1у = ~Ма*,
О о
/«=4-м +ь2)
Площадь эллипса.
Прямоугольный
параллелепипед
1Х~±-МЬ*, /у = ~Ма\
/сг = ~М(а* + Ь°)
/х=4гм(Ь2+с2)> 1у = ~М(а^ + с2),
о <5
/г = 4~М (аз -р Ь2}
О
Прямоугольная пирамида
а—*-<«’+»>
§ 12 3]
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
275
Тело
Момент инерции
Прямой, круглый цилинйр

Прямой круглый конус
О / 1 \ о
^=^=20 M(~THi + R2), h = ~^MR*
276
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ XIГ
2. Момент инерции однородного цилиндра относительно его оси. Пусть
радиус цилиндра равен /?, а его масса М. Построим цилиндрическую трубку
радиуса р (р < R) и толщиной dp (рис. 12.4). За элемент массы dm возьмем
массу этой трубки. Такой выбор элемента массы объясняется тем, что рас-
стояния от всех его точек до оси цилиндра одина-
ковы и равны р.
Обьем трубки с точностью до членов высшего
порядка равен
dv = 2npH dp,
Рис. 12.4.
а ее масса
dm = V dv = у 2лрН dp.
В этих равенствах Н — высота цилиндра, а у —его
плотность.
Объем всего цилиндра V = nR-H. Следова-
тельно,
М М
V “ nRW

Умножим элемент массы на квадрат его расстоя-
ния до оси цилиндра р2. Тогда
R
f 2М С
/= \ р-dm=-R3 j р3 dp.
О
Вычислив интеграл, найдем момент инерции одно-
родного круглого цилиндра относительно его оси:
(12.12)
3. Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через
его центр. Построим прямоугольную систему координат, начало которой сов-
падает с центром шара О. В силу симметрии все три осевых момента инерции,
1Х, 1у и 1г, равны между собой:
lx = ly=l^l.
где / — их общее значение.
Из формулы (12.5) найдем
3/ = 2/0;
отсюда
9
/ = у/0. (12.13)
Таким образом, задача свелась к вычислению полярного момента инерции
шара относительно его центра.
За элемент массы возьмем массу шарового слоя радиусом р и толщиной
dp. Выбор такого элемента массы объясняется тем, что расстояния от всех
точек шарового слоя до его центра О равны р.
Объем слоя du = 4np2dp, а его масса dm-—ydv, где
_Л1 _ М
§ 12 4] МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ 277
Здесь М—масса шара, у — его плотность, R— радиус. Полярный момент инер-
ции шарового слоя относительно его центра О равен р2 dm, следовательно»
R *
/0= j pMm= J р2 А21з4ЛрМр = 3^ J p4dp,
0 0
или
• Q I
/0 = yAH?2.
Зная полярный момент, найдем "из равенства (12.13) момент инерции I
однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:
/=-| МРг.
о
На стр. 274 н 275 приведена таблица моментов инерции простейших одно-
родных тел.
12.4. Моменты инерции относительно параллельных осей
(теорема Гюйгенса — Штейнера)
Существует простая связь между моментами инерции тела
относительно параллельных осей, одна из которых проходит через
центр масс. Эта связь устанавливается теоремой Гюйгенса —Штей-
нера: момент инерции 1 тела отно-
сительно некоторой оси равен сумме
момента инерции 1С тела относи-
тельно оси, проходящей через центр
масс параллельно данной, и произве-
дения массы тела на квадрат рас-
стояния между осями.
Действительно, пусть оси / и II
параллельны, причем ось / проходит
через центр масс С тела. Возьмем
начало координат в точке С, сов-
местим ось г с осью /, а ось у на-
правим так, чтобы она пересекала
ось II (рис. 12.5). Выделим в теле
произвольный элемент массой dm и опустим на него перпенди-
куляры на оси I и //, обозначив их соответственно через р и рх.
Согласно определению моментов инерции будем иметь
1с = $Р2 dm,
I = $ pi dm.
По теореме косинусов найдем
• pi = р2 + d2 — 2pd cos а,
или, учитывая, чго pcosa = z/, где у —ордината элемента/
pi =p2-j-d2 — 2dy.
278
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ XII
Рис. 12.6.
Подставим это выражение для pf в формулу, определяющую мо-
мент инерции /:
/ = (р2 + d2 —• 2yd) dm р2 dm -)-d2^ dm— 2d^ у dm.
Первый интеграл равен Ic, второй —массе тела М, а третий—
нулю (согласно формуле (7.3) у dm = Мус = 0, так как начало
координат совпадает с центром масс). Следовательно,
I = Ic + Md2, (12.14)
что доказывает теорему.
Формула (12.14) широко используется в практиче-
ских расчетах при определении моментов инерции тел
относительно осей, не проходящих через центр масс.
Кроме того, применяя метод разбиения, с помощью
этой формулы можно определить осевые моменты инер-
ции тел сложной формы. Поясним это примером.
Задача 12.1. Маятник, изображенный на рис. 12.6, состоит
из тонкого однородного стержня длиной I и массой т1 и круг-
лого однородного диска радиусом R и массой тг. Определить
момент инерции /г маятника относительно оси его вращения Ог (ось Ог на-
правлена перпендикулярно к плоскости рисунка).
Маятник состоит из двух тел: стержня и диска. Поэтому
где и —моменты инерции относительно оси соответствующих тел.
Момент инерции стержня /°т = mtP, а момент инерции диска найдем
по формуле (12.14):
/« = /£+
где /® = m2R2 — момент инерции диска относительно оси, проходящей через
его центр масс параллельно осн Ог, a d = l-\-R — расстояние от центра диска
до оси Ог. Имеем
/?=lm2J? + ffi!((+R)>.
Пользуясь выражениями для моментов инерции стержня и диска, найдем
момент инерции маятника относительно оси Ог:
Д =у тУ2 + т2 [1 Ra-H/4- R)2].
Установим формулы для центробежных моментов инерции,
аналогичные формуле (12.14). Для этого построим две системы
координат со взаимно параллельными сторонами: Ох1у1г1 и Схуг,
где С —центр масс тела (рис. 12.7). Обозначим через а, b и с
§ 12 5] МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ 279
координаты точки С в системе Ох^^. Тогда формулы перехода
от одной системы координат к другой системе будут
х± = а + г, У1 = Ь-\-у, Z1=c-\-z.
По определению центробежных моментов инерции имеем
/Х1Л = $ х±у± dm = (а ф- х) (Ь ф-у) dm,
илг, раскрывая скобки, группируя
члены и вынося постоянные мно-
жители за знак интеграла,
1Х,У, = ab\dm ф- а у dm +
- b ^х dm ф- ху dm.
Первый интеграл равен массе тела
М, два средних интеграла равны нулю
(так как они соответственно равны Рис. 12.7.
Мус и Мхс), а последний интеграл
равен 1ху. Таким образом, имеем (две другие формулы получены
аналогично)
/Mctb ф- /Ху, /y,z, = Ьс ф- Iуг, I— ас1 хг. (12.15)
§ 12.5. Момент инерции относительно произвольной оси,
проходящей через данную точку
Возьмем в теле точку О и примем ее за начало системы коор-
динат Oxyz. Проведем через точку О произвольную прямую OL,
составляющую с осями х, у, z
/L углы а, Р и у соответственно.
/ Требуется определить момент
р/ инерции / тела относительно оси
/\Р OL, считая, что известны его
1 X осевые \х, Iу, Iz и центробеж-
ные IХу, Iyz и 1гх моменты инер-
------------ции.
У Для решения задачи возьмем
“'х в теле произвольную точку М
Рис- 12-8- массой dm и с координатами х,
у, г и опустим из нее перпенди-
куляр NP на прямую OL (рис. 12.8). Момент инерции тела отно-
сительно оси OL определяется равенством
1 = р2 dm,
где р —длина отрезка NP.
280
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
(ГЛ XII
Из треугольника ONP найдем
р = rsin а = 11охг
где 10 —единичный вектор оси L.
Имеем
10 X Г = cos а cos 3
к
cos у
• i
X у Z
= (г cos р — у cos у)
+ (х cos у — г cos а) j 4- (у cos а — х cos Р) к.
Отсюда
р2 = 110 х г |2 = (г cos р — у cos у)2 4-
4- (х cos y — z cos а)2 -ф (у cos а — х cos р)2,
или, раскрывая скобки и группируя члены,
Р2 = (^2 _|_ г2) cos2 а _|_ ^2 _|_ д-2) cqs2 р _|_ (%2 _|_y2j COS2 у _
— 2 ху cos a cos р — 2yz cos р cos у — 2zx cos у cos ct.
Подставим это значение для р2 в выражение для момента
инерции /, разобьем интеграл на сумму интегралов и вынесем
в каждом из них cos a, cos р и cos у за знаки интегралов. Тогда
получим
1 = cos2 а (у2 4- z2) dm 4- cos2 р (г2 4- х2) dm 4-
4- cos2 у (х2 4- У2) dm — 2 cos а cos р \ху dm —
— 2 cos р cos у yz dm — 2 cos у cos a § zx dm.
С помощью соотношений (12.3) и (12.8) найдем
I = lx cos2 а 4-1у cos2p 4- /г cos2 у — 2/ху cos а cos р —
— 21 уг cos р cos у — 21 гх cos у cos а. (12.16)
Формула (12.16) является искомой. Пользуясь ею, можно
найти момент инерции / относительно оси OL, зная осевые и
центробежные моменты инерции.
Если координатные оси являются главными относительно сво-
его начала, то центробежные моменты будут равны нулю и фор-
мула (12.16) примет более простой вид:
/ = Ix cos2 а 4- 1и cos2 Р 4- /г cos2 у. (12.17)
Задача 12.2. Дана однородная прямоугольная пластинка с массой М и
«сторонами 2а и 26. Требуется определить момент инерции / относительно диаго-
нали.
Построим систему координат Схуг с началом в центре масс пластинки.
«Ось х направим параллельно стороне 2а, ось {/ — параллельно стороне 26,
§ 12 6]
ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ
281
а ось г — перпендикулярно к плоскости пластинки (на рис 12 9 ось г не пока-
зана— она направлена на читателя).
Координатные оси являются главными центральными осями инерции, так
как тело симметрично относительно этих
осей Имеем (рис. 12 9)
а „ Ь
cos а = , cos В =
}/a2_|_ft2> |/а2_^2-
у = 90°, cos у = 0.
Пользуясь таблицей моментов инерции,
найдем
/„ = 4-44*2, / * Ма?,
6 * о
Рис. 12 9
/л = у Л1(а2 + *2).
Внося эти значения в формулу (12.17), полу^йм момент инерции одно-
родной пластинки относительно ее диагонали:
1
3
/ = 2-41*2
Ц2
Я2-]- *2
41а2
*2
Я2-]- *2 ’
или, после упрощения,
/ = -| 41
Я2*2
ц2-|-*2-
§ 12.6. Эллипсоид инерции
Возьмем в теле точку О и проведем через нее ось OL. Пусть
момент инерции тела относительно этой оси равен I. При изме-
нении направления оси' OL будет изменяться момент инерции 1.
Простое и вместе с тем очень нагляд-
ное представление об изменении мо-
мента инерции в зависимости от из-
менения положения оси, проходящей
через данную точку О, дает следую-
щее геометрическое построение.
Отложим на прямой OL отрезок
ОМ (рис. 12-. 10), длину которого в
соответствующем масштабе определим
равенством
OM = r=-U. (12.18)
Построим систему координат Ох1у1г1 (на рис. 12.10 оси хъ
уг и г, не показаны). Обозначим координаты точки М в этой
координатной системе через хх, ух и гР Так как точка М при-
надлежит прямой OL, то будем иметь
cos а = у = хх ]Л7, cos р = у = ух ]Л7, cos у = у- = гх У7,
где а, р и у —углы, определяющие направление оси OL.
282
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ ХИ
Внесем эти выражения для направляющих косинусов прямой
0L в формулу (12.16) и сократим полученное выражение на Г.
IXlxl + Iyiy'i + /г121 - 2/X1,/1x1z/1 - 21 - 2/21Х,г1х1 = 1. (12.19)
Этому уравнению второго порядка удовлетворяют координаты
точки М на прямой 0L. Следовательно, оно определяет поверх-
ность, которую описывает точка М при изменении направления
прямой 0L.
Расстояние от начала координат О до точки М, принадлежа-
щей поверхности (12.19), определяется равенством (12.18). Так
как момент инерции I тела относительно любой оси всегда поло-
жителен и в нуль не обращается, то все точки поверхности (12.19)
находятся на конечном расстоянии от начала координат (случай
бесконечно тонкого стержня из рассмотрения временно исключа-
ется). Из всех поверхностей второго порядка этому условию удов-
летворяет только эллипсоид. Поэтому построенная указанным обра-
зом поверхность называется эллипсоидом инерции.
Из аналитической геометрии известно, что уравнение эллип-
соида может быть упрощено, если за координатные оси взять три
взаимно перпендикулярных направления главных диаметров по-
верхности. В таких осях уравнение эллипсоида не содержит членов
с произведениями координат и имеет вид
М2 + /# + Л?2=1- . (12.20)
На рис. 12.10 показаны эллипсоид инерции, построенный для
точки О, и координатная система Охуг, в которой уравнение
эллипсоида инерции имеет вид (12.20).
Из формы уравнения видно, что в этих осях все центробеж-
ные моменты равны нулю. Следовательно, для каждой точки
существуют три главные оси инерции.
Сравнивая уравнение эллипсоида в канонической форме
х2
а2
с уравнением эллипсоида
ным осям инерции, найдем
1
а = —_
Vix ’
Из этих равенств следует, что большему главному моменту инер-
ции соответствует меньшая ось эллипсоида инерции.
Если среди моментов инерции тела относительно главных осей
в данной точке нет равных, то эллипсоид инерции называется
с2
инерции (12.20), отнесенного к глав-
b = —L-. с =
§ 12.7] СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ 283
трехосным. При двух равных моментах инерции (например,
7* = /^) эллипсоид инерции превращается в эллипсоид вращения.
Если же 1Х = 1У = 1г, то эллипсоид инерции вырождается в сферу;
соответствующие точки называются шаровыми.
Так как между моментами инерции 7 v, 1У и Iг должны суще-
ствовать соотношения (12.6):
I х~Р 1и^> 1 г. 1 у + 1/л, +
то не всякий эллипсоид может служить эллипсоидом инерции.
Для бесконечного тонкого стержня эллипсоид инерции вырожда-
ется в бесконечный круговой цилиндр.
В заключение этого параграфа отметим, что для эллипсоида
вращения любая ось, лежащая в экваториальной плоскости (плос-
кости равных полуосей эллипсоида) и проходящая через данную
точку, является главной осью инерции. Это следует из того, что
за главный диаметр эллипсоида вращения можно взять любой
диаметр, лежащий в экваториальной плоскости. Этот же резуль-
тат можно получить и из формулы (12.17).
§ 12.7. Свойства главных осей инерции
В предыдущем параграфе было показано, что в каждой точке
можно построить главные оси инерции, т. е. оси, относительно
которых центробежные моменты инерции равны нулю.
Пусть некоторая ось, например ось z, является главной для
точки О. Поставим следующий вопрос. Существуют ли на этой
оси точки, для которых ось Oz также будет главной осью инер-'
ции? Для решения этой задачи построим
в точке О главные оси инерции Oxyz.
По определению главных осей будем
иметь
Ixy = \ху dm = 0, 1уг = \yz dm = 0,
lzx — \^x dm = 0. (12.22)
Покажем прежде всего, что при по-
вороте вокруг оси г осей х и у ось г
останется главной осью инерции. Дей-
ствительно, построим систему коорди-
нат Ox1z/1z1, в которой ось Zj совпадает
с осью z, а оси хх и ух составляют с осями х и у угол а соот-
ветственно (рис. 12.11). Возьмем в теле произвольную точку.
Между ее координатами х, у, z и xlt ух, гх существует очевидная
связь:
%! = х cos а -)-у sin а, уг= — х sin а 4- у cos а, гх — г.
284
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ. XII
Вычислим центробежный момент инерции IXtZi. Имеем
JX1Zi = х1г1 dm = J (х cos а + у sin а) z dm —
— cos a^xz dm 4- sin a yz dm.
Так как оси x, у и z—главные оси инерции и для них спра-
ведливы равенства (12.22), то /X1Z1 = 0. Аналогично показывается,
что 7</1Z1=0- Таким образом, при пово-
роте вокруг главной оси инерции z двух
других осей х и у ось г остается главной
осью инерции.
Перейдем теперь к рассмотрению ос-
новного вопроса. Если данная ось, на-
пример ось г, является главной осью
инерции для точки О, то существует ли
на этой оси другая точка, для которой
ось z является главной осью инерции?
Для ответа на этот вопрос выберем на
оси г точку 0г и построим систему ко-
ординат O1x1z/1z1, в которой ось Zj совпа-
дает с осью г, а оси х1 и уг параллельны осям х и у соответ-
ственно (рис. 12-12). Формулы перехода имеют вид
Xi = х, У1 = у, zY = z- h,
где h — 00r.
Имеем
I x,z, = -Vi dm = ^x(z — h) dm = J xz dm — h § x dm,
ly,Zl = § yxZi dm=^ у (z — h.) dm= \ yz dm — у dm.
или, учитывая равенства (12.22) и (7.3),
7x1Z1 = — Mhxc, l4lZl = —Mhyc,
(12.23)
где M — масса тела, a xc и yc — координаты центра инерции тела
в системе Охуг.
Для того чтобы ось z (zj была главной осью инерции для
точки Ог, необходимо и достаточно, чтобы оба центробежных мо-
мента инерции Ix,z, и Iy,z, равнялись нулю. Но согласно форму-
лам (12.23) это возможно только при хс = 0 и ус = ®, т. е. если
центр масс тела находится на оси г и, следовательно, ось г яв-
ляется главной центральной осью инерции. Таким образом, глав-
ная центральная ось инерции является главной центральной
осью инерции для всех своих точек, а нецентральная главная
ось инерции является главной осью инерции только для одной
своей точки.
§ 12 8]
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
285
§ 12.8. Вычисление моментов инерции
относительно произвольных осей
При вычислении моментов инерции обычно стремятся восполь-
зоваться таблицами моментов инерции и теоремой Гюйгенса —
Штейнера. Однако очень часто ось, относительно которой необ-
ходимо определить момент инерции, не параллельна ни одной из
главных центральных осей инерции и не проходит через центр
масс. В этих случаях наиболее
рационально комбинировать фор-
мулу (12.17) с теоремой Гюйген-
са — Штейнера и данными таблиц.
Пусть для тела известны глав-
ные центральные моменты инер-
ции 1Х, 1у и 1г. Предположим да-
лее, что дана прямая LL', отно-
сительно которой требуется вы-
числить момент инерции I тела.
Проведем через центр масс тела
прямую //', параллельную LL'.
Так как прямая LL' задана, то
Рис. 12.13.
должны быть известны углы а,
Р, у между этой прямой (или, что то же самое, прямой 1Г) и
главными осями инерции х, у и z (рис. 12.13). Вычислим по фор-
муле (12.17) момент инерции Д тела относительно оси //':
= lx cos2 а + 1У cos2 р ф- 1г cos2 у. (12.24)
Тогда по теореме Гюйгенса— Штейнера момент инерции отно-
сительно оси LL' будет равен
I^ + Md*, (12.25)
где М — масса тела, a d — расстояние между осями LL' и W.
Углы а, р и у, а также расстояние d необходимо определить
из условия задания прямой LL'. Конечно, не представляет труда
найти эти величины, если заданы уравнения прямой LL', но
обычно их значительно проще определить из условий задачи.
Задача 12.3. Требуется определить момент инерции / прямого кругового
конуса относительно образующей SB (рис. 12.14); радиус основания конуса
равен R, высота равна Н.
Построим систему координат Cxyz. Центр масс С конуса находится на его
высоте OS, причем ОС = -^-OS = i Н. Ось z направим по оси конуса, ось у —
параллельно основанию так, чтобы она пересекла образующую SB, ось х—пер-
пендикулярно к плоскости yz. Координатные плоскости yz и xz являются
плоскостями симметрии, поэтому оси х, у и z—главные центральные оси инер-
286
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ XII
ции конуса. Построим прямую sb, параллельную образующей SB; углы между
Прямой sb и осями х, у, г соответственно равны; а = 90°, р = 90° + (р, у = <р,
Z
Рис. 12.14.
где tp — угол полураствора конуса. Внося эти зна-
чения углов а, р и у в формулу (12.24), получим
/1 = Iу sin2 q> +1z cos- tp.
По таблице моментов инерции найдем
3/1 \ 3
;* = 20M(4-H2 + n- ^ = T0MR2-
Из рис. 12.14 определяем
R Н
Sin (р = -7-— , COS (В = ------ -,
VH2 + R2 ^H2 + R2
Подставляя эти выражения в формулу для /у,
получим
- / Д] R2 (.£. //2 | 02 \
1-20 + \ 4 П +R )
Расстояние d от центра масс С конуса до образующей найдем из тре-
угольника CES:
Я р
d = CS sin ср = —Я-—.
4 ^H2 + R2
Теперь с помощью формулы (12.25) легко находим момент инерции I конуса
относительно его образующей;
•“ 3 R2
§ 12.9. Вычисление тензора инерции
При решении различных задач динамики, в частности, при определении
динамических реакций опор твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, необходимо знать не только осевые,
но и центробежные моменты инерции
относительно вполне определенных ко-
ординатных осей; короче говоря, необ-
ходимо знать тензор инерции / в про-
извольно выбранной координатной си-
стеме (см. формулу (12.10)). Конечно,
при вычислении составляющих тензора
инерции можно пользоваться основны-
ми формулами (12.3) н (12-8). Однако
в тех случаях, когда известны моменты
инерции тела относительно главных цен-
тральных осей, задача может быть суще-
ственна упрощена.
Пусть тензор инерции / тела тре-
буется определить для прямоугольной
системы координат Охуг. Будем считать, что нам известно положение центр;
масс С тела, т. е. известны координаты хс, ус, гс в системе Охуг, направле-
ния главных центральных осей инерции х', у', z' и соответствующие моменты
инерции /х,, 1у,, /2, — см. рис. 12-15 (в отличие от ранее применявшихся обо-
значений, главные центральные оси обозначены штрихами). -
§ 12 9]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ
287
Построим вспомогательную систему координат Cx"y"z\ оси которой парал-
лельны соответствующим осям системы Oxyz. Тогда направления главных
центральных осей Сх'у'г' будут определяться таблицей направляющих коси-
нусов:
X’ у' 2’
X, х" «11 «12 «13
У’ у” «21 «22 «23
г, z" «31 «32 «33
02.26)
В этой таблице осу—косинусы углов между соответствующими осями; так,
например, oc32=cos(z, z/') = cos(z", у').
Моменты инерции Iх, Iу и Iz относительно осей х, у и г можно вычислить
по формуле (12.25). По формуле (12.24) имеем
/1Л. = ОС^ Ix, -J- ОС^/у, -J- 0С^/г,.
Квадрат расстояния между осями х и х” равен, очевидно, расстоянию от
точки С до оси х, т. е. y£-f-z£. Поэтому согласно формуле (12.25) будем иметь
(две другие формулы получаются аналогично)
!х= М (Ус +гс) + а111х' + + а131г"
'у = М (гС + 4) + ^х' + + 4з7л'>
= м (х2с + у2с) + a.-3iIx, + + a23Iz,.
(12.27)
Перейдем к вычислению центробежных моментов инерции тела относи-
тельно осей х, у, г. Рассмотрим произвольную точку N тела. Пусть ее коор-
динаты в системе Сх'у'г' будут х', у' и г', а в системе Охуг — х, у, г. Этй
координаты связаны формулами преобразования
х = хс + апх' + «12У' + ос18г',
у = ус + а21х'+а22у' + а23г',
г = гс + а31Х'+а32^+а33г‘-
Так как оси х', у', г' являются главными центральными осями инерции
тела, то все центробежные моменты инерции относительно этих осей и все
статические моменты равны нулю:
= ? x'z/'dm = 0, /= f у'г' dm — Q, I_,„, = fz'x' dtn = 0,
^x'dm = Q, ^y'dm = Q, ^z'dtn — G. (12.28)
По определению центробежных моментов инерции имеем
lxy = \xydm.
288
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ XII
Подставим сюда значения х и у из формул преобразования, раскроем
скобки и сгруппируем члены:
!ху = хсУс 5 A'!+(Vc + “nM 5 х' dm +
+ (а22хс + а!гУс) 5 У' dm + (Vc + ai3f-'c) dm +
H-OC11<Z21 J Х'* dm + «12^22 j У'2 ^ + ana23 j Z/2 +
4“ (^11^22 “b ^12^21) J X'y' dm 'i“
+ (осцОСгз + ^13^21) J x dm + (^12^23 + ^13^22) J y'z' dm,
или, учитывая равенства (12.28),
/Ху = МХсУс + а11а21 J dm + ai2a22 У’" dm + ai3a23 j Z'2 dm-
Так как оси х и у взаимно перпендикулярны, то
°Ч 1а21 + а12а22 + а13а23 = 0;
отсюда
а13а23 =--- (а11а21 + а12а2г)'
Подставим это выражение в последнее равенство для I ху.
/Ху = Л1хсУс + а1Л1 J dm + ai2a22 5 У'2 dm-(aiia3l + a!2a22) 5 Лт’
или, группируя члены,
,ху = МхсУс + а-ца21 У U'2-z'2) dm + a12a225 (у'2-г'2) dm.
Добавляя н вычитая в первом интеграле у'2, а во втором х'2, будем иметь
1ху = МхсУс + апа21 (Х'г+У'!} dm — ^ (г'2 + У'2) dm] +
+ «12«22 (у'2 + х'2) dm — j (z'2-i-x'2) dm].
Пользуясь выражениями (12.3) для осевых моментов инерции, найдем (две
другие формулы получены аналогичным методом)
1ХУ = МхсУс + аиа21 U2- - М+«12«22 (/г< - 1у,).
'у. = МУсгС + a2ia31 ( ‘г’ - Ч + a22a32 ('г - 1 У') ’
1гх = мгсхс + ana31 (/г, - /х,) + a12«32 (Z2, -
(12.29)
Формулы (12.27) и (12.29) дают решение поставленной задачи об определе-
нии тензора инерции / в произвольной системе координат Охуг.
§ 12,10. Задачи на вычисление моментов инерции
Задача об определении тензора инерции сводится к определению осевых
и центробежных моментов инерции. Если нам известен тензор инерции для
главных центральных осей инерции, то его составляющие для произвольных
осей определяются формулами (12.27) и (12.29). Однако нередко направления
главных центральных осей инерции нам не известны. В этих случаях прихо-
дится прибегать к основным формулам (12.3) и (12.8).
Задача 12.4. Однородный диск D радиусом г и массой М насажен на вал,
установленный в подшипниках А и В (рис. 12.16). При сборке были допущены
§ 12.Ю]
ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
289
погрешности, в результате которых ось вала
в точке О, не совпадающей с центром С диска;
пендикулярна к плоскости диска и составляет с
момент инерции диска относительно оси вра-
щения АВ и его центробежные моменты инер-
ции 1хг и Iуг (положение осей Ох и Оу будет
указано в дальнейшем).
Пусть прямая ОЕ представляет проекцию
оси вращения АВ на плоскость диска. Опустим
из центра С диска на прямую ОЕ перпенди-
куляр и примем его за ось Су'; ось Сх' по-
строим в плоскости диска перпендикулярно
к оси Су'; ось Сг’ перпендикулярна к плос-
кости диска. Очевидно, что оси Сх', Су' и
Сг' — главные центральные оси инерции дис-
ка. Через точку С проведем ось Сг", парал-
лельную оси вращения г, ось Су" совместим
пересекает плоскость диска
кроме того, ось вала ие пер-
ней угол 90° — а. Определить
с осью Су', а ось Сх" проведем перпендику-
лярно к осям Су" и Сг”. При таком построении координатные оси г, г”, х'
и х" будут лежать в одной плоскости, причем уюл между осями х’ и х"
равен а. Оси Ох и Оу параллельны осям Сх" и Су".
Таблица направляющих косинусов имеет вид
х' y’ z'
%* х" cos a 0 —sin a
У’ у" 0 1 0
Z, zff sin a 0 cos a
Обозначим координаты точки О в осях Сх'у'г', связанных с диском, через
е, 6, 0 (см. рис. 12.16). Тогда координаты центра С диска в системе Охуг будут
хс = —ecosa, Ус = —zc = —esina.
Из таблицы моментов инерции найдем (§ 12.3)
/х- = /м- = 4'л1г2> lz. = ^Mr\
л у 4 г 2
Воспользуемся далее третьей формулой (12.27):
1г=М (х2с + Ус) + «з/х' + “за7// + азз7г''
В нашем случае согласно таблице направляющих косинусов a3i= sin а,
«32 = 0, a33 = cosa. Пользуясь соответствующими выражениями, получим
1г — М (е2 cos2 a + б2) +Mr2 sin2a-|—Mr2 cos2 а,
или, группируя члены,
/л = Л1 |^62 + ^е2 + у r2j cos2a4-i г2 sin2aj, (12.30)
10 Н. В. Бугеннн и др.
290
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ XII
Теперь с помощью формул (12.29) найдем после очевидных преобразований
центробежные моменты
= Me2 sin 2а4- Mr2 sin 2а, /уг = Л4бе sin а. (12.31)
При правильной сборке будем иметь е = 6 = 0, а = 0. Следовательно,
1г= у Mr2, /хг = 1уг = 0, что очевидно.
Задача 12.5. Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы KF
длиной L и весом G, противовеса Г
D весом Q и груза Е весом Р. Стрела состав-
ляет с вертикальной осью вращения угол а.
Определить момент инерции 1г крана отно-
сительно оси вращения z и центробежные
моменты, считая противовес D и груз Е
точечными массами, а стрелу — однородной
тонкой балкой. Оси координат и геометри-
ческие размеры показаны на рис. 12.17;
оси х и х' перпендикулярны к плоскости
рисунка.
Система состоит из трех тел: стрелы KF,
противовеса D и груза Е. Поэтому
Для точечных масс имеем
= — L2 sin2 а.
z g
/? = — d2,
г g
Момент инерции IFF стрелы KF относительно оси вращения крана вычислим
по формуле (12.17):
/^=/^соз2(хСг) + /^соз2([/', z) + /£Fcos2(z', г).
В нашем случае (х^?г) = 90э и cos(x', z) = 0, /£F = 0 (по условию задачи
стрела KF представляет собой тонкую балку), cos(z', z) = sina и I^,F —
= -}-—L2, Следовательно, момент инерции /г всего крана относительно оси
3 g
вращения г будет
/г==^-б12 + у sin2a(j- + Pj. (12.32)
Центробежные моменты инерции 1 ху и 1хг равны нулю, так как вся си-
стема находится в плоскости уг. Учитывая, что система состоит из трех тел,
будем иметь
yz ‘yz i‘yz^‘yz'
Для точечных масс D и Е
= —— d/i
уг g
е __
уг
Р_
g
L sin a (h— I + L cos a).
§ 12.10] ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ 29]
Центробежный момент инерции стрелы KF найдем путем непосредст-
Q
венного интегрирования. Для этого выделим элемент dy' с массой dm = —:- dy',
gL
Координаты этого элемента —
y = z/'sina, г = у'cosa-]-/i,
где у' — расстояние вдоль стрелы от точки К до элемента dy'. Имеем
L
iKF С j & С /и ' ' • j ! GL . / h L \
Цг =J Vzdm~gL. \ (h+y cosa) У sma dV — — smaly + ycosa).
о
Для всей системы будем иметь
LsinaTGL | h ! . GL . „,\
Iуг = —-— cos a + P (L cos a — I) j -f- — PL sin a + -g- sin a — Qdj.
Если центр масс лежит на оси вращения, то
PL sin а Ц- sin a — Qd = 0
и выражение для центробежного момента упрощается:
, L sin a TGL , n '
Iуг =--------- cos a + P (L cos a — I)
S о
(12.33)
Задача 12.6. Определить тензор инерции однородной тонкой пластинки,
имеющей форму прямоугольного треугольника, для осей координат, связан-
ных с его катетами; длины катетов равны а и Ь
(рис. 12.18).
Так как плоскость пластинки совпадает с
плоскостью ху, то для всех точек г = 0; формулы''
(12.3) и (12.8) принимают вид
Ix = ^y2 dm, ly = ^x2 dm, —
lXy=^xydm, / jf£ = O, Iyz = ®*
Пусть у — поверхностная плотность пластинки,
Тогда ее масса М будет равна
М =— yab.
В качестве элемента пластинки возьмем прямоугольник со сторонами dx
и dy, его масса dm = y dx dy.
Уравнение гипотенузы можно записать как уравнение прямой линии
в отрезках, отсекаемых на осях:
а Ь
Отсюда найдем
Ь ,
У=^(а-х),
10«
292
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
[ГЛ XII
Пусть х будет внешней переменной интегрирования, а у—внутренней.
Тогда пределы интегрирования по х будут 0 и а, а пределы интегрирования
по у суть Ои (а—х). Имеем
а
О
(а — х)3 dx
yb3
За3
yb3 (а — х)4
За» 4
Так как y = 2M/(ab), то
1Х = ~МЬ3,
fy=~Ma2, lg=~M(a*+bZ) (12.34)
1у получено надлежащей заменой букв).
Перейдем к вычислению центробежного момента инерции
b ь
— (а—х) — (а-х)
а а а а ' f
1ху=^ *У dm = y dx § xydy=-¥-$xy2 I dx =
0 0 0 0
a a
==^2 x(a“"x)2^x==2o2 У (a2x — 2ax2 + x3) dx=
о о
a
yb2 / „ x2 2 _ x4\ v
=h(a3 2--з“3 + т =й°262'
(
Подставляя значение у, найдем
М
1ху = -^аЬ, (12,35)
Тензор инерции имеет такой вид:
/ м .. м и
I 6 ь 12 аЬ
/ м а м
\2аЬ Та
о о
о
о
ъ («2+^
ГЛАВА XIII
динамика простейших движений твердого тела
§ 13.1. Основные задачи динамики твердого тела
В статике нами были рассмотрены условия равновесия систем
сил, приложенных к абсолютно твердому телу, и условия, при
которых твердое тело находится в покое. Задание движения твер-
дого тела и определение скоростей и ускорений точек твердого
тела было рассмотрено в кинематике. При изучении динамики
твердого тела встают более сложные задачи. Эти задачи делятся
на две основные группы. К одной группе относятся задачи,
в которых по заданному движению твердого тела требуется опре-
делить систему сил, под действием которых происходит это дви-
жение. К другой группе относятся задачи, в которых по задан-
ным силам, действующим на твердое тело, требуется при опреде-
ленных начальных условиях найти закон движения тела, а для
несвободного тела найти также реакции связей.
Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, следо-
вательно, для определения положения в пространстве требуется
шесть независимых между собой
параметров. В качестве таких
параметров чаще всего выби-
рают координаты центра масс
твердого тела и углы Эйлера
или какую-либо другую систему
углов, наиболее удобных в рас-
сматриваемой конкретной задаче.
Пусть твердое тело движет-
ся по отношению к неподвиж-
ной (инерциальной) системе ко-
ординат O1x1y1z1 (рис. 13.1).
Предположим, что система ко-
ординат Cx2y2z2, имеющая на-
чало в центре масс тела, движется поступательно, а система
координат Схуг жестко связана с твердым телом.
Очевидно, что координаты центра масс (ххс, Ую 2ic) и углы
Эйлера 9, чр, <р, которые составляет система координатных осей
Рис. 13.1.
294 ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ХИГ
Схуг с осями системы Сх2у2г2, полностью определяют положение
твердого тела.
Для того чтобы решать сформулированные задачи динамики
твердого тела, следует найти уравнения, связывающие эти пара-
метры с силами, действующими на твердое тело. Этих уравнений
должно быть шесть, так как число независимых параметров равно'
шести.
Для получения этих уравнений воспользуемся теоремой о дви-
жении центра масс (§ 8.3) и теоремой об изменении момента
количеств движения в относительном движении по отношению
к системе координат, движущейся поступательно и имеющей
начало в центре масс твердого тела (§ 9.7).
Согласно теореме о движении центра масс:
Alwc = Fe
имеем
Ш1С = ГХ1,
Wic = ^>
Mz1C = F*„
(13-1)
где хгс, УгС' г1С — координаты центра масс в неподвижной системе
отсчета Ox1y1zl, a Fl,, Feyt, /’tI —проекции главного вектора всех
внешних сил на .те же оси.
Используя теперь теорему об изменении момента количеств
движения в относительном движении (§ 9.7):
dKc
Т = Мс’ (13.2)
аналогично можно получить три соотношения, связывающие углы
Эйлера с моментами сил относительно координатных осей. Вывод
этих соотношений будет приведен в главе XIV.
Эти соотношения и уравнения (13.1) и дают возможность ре-
шать сформулированные выше задачи динамики твердого тела.
§ 13.2, Количество движения, момент количеств
движения и кинетическая энергия твердого тела
Для составления дифференциальных уравнений движения твер-
дого тела при различных случаях его движения нам придется,
как уже говорилось, пользоваться общими теоремами динамики
системы. Поэтому в этом параграфе приводятся выражения для
количества движения, момента количеств движения и кинетиче-
ской энергии твердого тела для различных случаев его движения.
§ 13 2] КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
295
Количество движения твердого тела выражается в соответствии
с формулой (8.2) следующим равенством:
Q = Mvc, (13.3)
где М — масса тела, vc —скорость центра масс.
Если твердое тело имеет одну неподвижную точку, то ско-
рость его центра масс определяется формулой
vc = о х гс,
где ю — угловая скорость, а гс — радиус-вектор центра масс, про-
веденный из неподвижной точки тела.
Проекции вектора количества движения на оси координат,
имеющих начало в неподвижной точке тела, найдем из соотно-
шения
Q = М (<й X Гс) = М
Ох
ХС
j
Оу
Ус
к
ог
гс
i
где ых, му, —проекции угловой скорости, хс, ус, гс — коорди-
наты центра масс, i, j, к —единичные векторы координатных
осей. Проекции вектора количества движения будут равны
QX = M (шугс — а>гус),
Qy = M (агхс — и>хгс),
QS = M (ахус - <£>ухс).
(13.4)
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси вектор
его угловой скорости направлен по оси вращения. Если теперь
ввести систему координат с началом в какой-либо точке оси вра-
щения, а ось г совместить с осью вращения, то вектор угловой
скорости представится в виде
м = ыгк = фк,
где ср-?угол поворота тела.
Формулы (13.4) в этом случае будут иметь вид
Qx = — Мус®, Q.y = Mxcq, Qz = 0. (13.5)
Момент количеств движения системы относительно начала
координат определяется формулой (9.1):
К= У, г4хтл,
fc = i
где rft —радиус-вектор k-й точки системы, и vh — ее масса и
скорость.
296
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ ХИГ
Проекции момента количеств движения на координатные оси
имеют следующий вид (9.2):
п
Кх = У ^к (Ук^кг 2к®кд)>
k = i
п
Ку = У, mk(zkvkx —xkvks),
k = t
п
Кг “ У^ ttlh (ХуОуу Ук^кх)'
(13.6)
Если твердое тело имеет одну неподвижную точку, то скорость
его любой точки находится по формуле
v = (й X г,
где ю — угловая скорость.
Выражения для проекций скорости v имеют вид
vx — a>yZ— агу,
иу = соре — Сйл2,
= Сйх1/— СЙ^Х, .
(13.7)
где х, у, z —координаты рассматриваемой точки.
Подставляя эти формулы в первое равенство (13.6) и переходя
для твердого тела от суммы к интегралу, получим
Кх = 5 [У (ыхУ — аух) — z (шлх — сйх?)] dm =
= $ [“ж (у2 + г2) — ауху — ыгхг] dm.
Так как сйх, ау и а>г не зависят от переменных интегрирования,
то
Кх = 5 (У2 + ?2) dm — <£>y^ ху dm — az^ хг dm.
В этом равенстве 1Х — $ (у2 ф- z2) dm — момент инерции твердого
тела относительно оси х, Ixy = ^xydm и Ixz = J xz dm — центробеж-
ные моменты инерции. Проделав аналогичные выкладки с выра-
жениями для Ку и Kz, получим
КХ ~ Х^Х Iху^у 1XZ^Zi
Ку = 7 ху®х + 7 у<йу 7 уг(£>г,
Кг — 1хг^х 7уг<йу ф* 7г(йг.
(13.8)
Если оси координат, имеющие начало в неподвижной точке О
тела, будут главными осями инерции тела, то lxy = lxl=x lyg = Q
§ 13 2] КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
297
и формулы (13.8) примут вид
Кх—I Ку— I у®У' Кг— К^г‘ (13.9)
Формулы (13.9) определяют проекции момента количеств дви-
жения абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвиж-
ную точку, на оси координат, жестко связанные с телом. Из
формул (13.8) и (13.9) видно, что в общем случае проекции вектора
<» и проекции вектора К не пропорциональны между собой, сле-
довательно, направления векторов К и ю не совпадают.
При движении тела вокруг неподвижной оси при условии,
что ось г направлена по оси вращения тела, имеем
Кх= 1 хг®г — ЛггФ,
Ку— 1 уг^г= 1 угФ,
Кг — I г^г = I лФ •
(13.10)
Перейдем теперь к нахождению кинетической энергии абсо-
лютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Кине-
тическая энергия твердого тела определяется формулой (10.6):
Т = у J и2 dm,
или (так как v v = и2)
Г = у j* v -v dm.
Подставляя в эту формулу выражение для скорости точки твер-
дого тела v = <oxr, получим
Г = у j v-(<axr)dm.
Вспоминая свойства скалярно-векторного произведения
v • (ю X г) = w (г X v),
будем иметь
Т = f <й • (г х v) dm = ~ ю • Г (г X v) dm,
но так как K = $(rxv)dm есть момент количеств движения, то

(13.11)
298 ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ. ХИГ
Используя формулы (13.8), перепишем выражение (13.11}
в виде *)
Т = -g- (<&ХКХ + <вг/Сг) =
= У ~ — 21 уг<£>у<£>г). (13.12}
Если оси координат х, у и г совпадают с главными осями
инерции, ТО 1ху= 1хг = 1уг = ^ И
7, = y(/xoJ + 7^4-7^). (13.13).
При вращении тела вокруг неподвижной оси,' например оси z,
имеем
®x = ®y = 0
и, следовательно,
Т = ~1г^=^1г^. (13.14}
Примечание. Из формулы (13.12) следует, что
-- I х^х ^хуау Ixz(,)z- Kxt I
Ixy^x + I уыу 1уг(лг — Ку> ( (13.15}
дТ г , . , 1Z
=--- ‘xz^x — 1угыу + 1г<»г = Кг, j
т. е. частная производная от кинетической энергии твердого тела,,
имеющего неподвижную точку, по проекции угловой скорости
на какую-либо ось, равна моменту количеств движения относи-
тельно этой оси.
§ 13.3. Поступательное движение твердого тела
Рассмотрим сначала решение первой задачи динамики. Пусть
тело движется поступательно и координаты центра масс тела
являются известными функциями времени. Это значит, что отно-
сительно поступательно движущейся системы координат Cx2y2zt
тело находится в покое. Следовательно, угловая скорость и мо-
*) Формулу (13.12) можно получить и другим путем. Представив выраже-
ние для кинетической энергии в виде
7’ = 4 j (vx + vl + vl) dm
и подставляя сюда выражения для vx, vy и уг из (13.7), получим формулу
(13.12).
<§ 13.4]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ
299
мент количеств движения тела относительно центра масс равны
нулю и в соответствии с (13.2)
М£ = 0.
Таким образом, для осуществления поступательного движения
необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно
центра масс был равен нулю.
Отметим, что условие Мс = 0 не является достаточным для
поступательного движения тела, так как при этом тело может
совершать движение относительно центра масс. Характер этого
движения будет рассмотрен подробно в главе XIV.
Легко показать (мы не будем останавливаться на этом), что
если главный момент всех внешних сил относительно центра
масс и начальная угловая скорость тела равны нулю, то тело
будет двигаться поступательно (необходимое и достаточное усло-
вие поступательного движения).
Так как координаты центра масс (х1С, ylC, г1С) являются
известными функциями времени, то, вычисляя вторые производ-
ные (х1С, у1С, г1С) и используя соотношения (13.1), получим про-
екции главного вектора всех внешних сил (F£,, F^, Fezj).
При решении второй задачи динамики, если заданы FeXl, Feyi
и Fz,, соотношения (13.1) будут представлять собой уже диффе-
ренциальные уравнения движения, и решение их при определен-
ных начальных условиях определит движение центра масс.
Если заранее известно, что тело движется поступательно, то
на уравнения (13.1) можно смотреть как на дифференциальные
уравнения поступательного движения твердого тела.
§ 13.4. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси
и уравнения для определения реакций подшипников
Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, является
примером несвободного твердого тела. Следовательно, при изуче-
нии его движения необходимо применить принцип освобожда»
емости, т. е. действие связей (в данном случае подшипников)
следует заменить реакциями этих связей и рассматривать твер-
дое тело как свободное.
Введем две системы координат с началом в какой-либо точке О
оси вращения (рис. 13.2): неподвижную OxjZ/jZj, где ось гх совпа-
дает с осью вращения тела, и подвижную Охуг, жестко связан-
ную с твердым телом (ось z совпадает с осью вращения тела).
Положение тела будем определять углом ср между плоскостями
х10г1 и хОг,
300
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ХИТ
Отметим, что направления реакций подшипников заранее не
известны. Пусть ХА, УА, ZA — проекции реакции Ra; Хв, У в,
Zb —проекции реакции RB на оси подвижной системы координат
Oxyz\ тогда можно записать
Ra = -Ха* + Ya] + 2дк, Rb — 4--f-Z^k, (13.16)
подшипни-
где i, j, к —единичные векторы осей Oxyz.
Для нахождения закона движения тела и реакций
ков воспользуемся теоремами об изменении количества движения
и момента количеств движения си-
стемы:
(13.17)
^ = Fc+Ra + Rb,
<2К
^ = Mc0 + M0(R4) + M0(Rb).
(13.18)
Чтобы получить уравнения для
определения движения и реакций
подшипников, необходимо векторные
уравнения (13.17) и (13.18) записать
в проекциях на оси координат.
Так как координаты центра масс
хс, ус и центробежные моменты инер-
ции 1хг и 1уг в подвижной системе
координат будут постоянными, то
(13.17) и (13.18) целесообразнее проектиро-
векторные уравнения
вать на оси подвижной системы координат.
Итак, определяем векторы Q и Ко в подвижной системе коор-
динат:
Q — Од 4- Qy] 4~ Qzk,
Ко = Ад + Ху j + Агк.
(13.19)
(13.20)
Из курса кинематики известно, что если какой-либо вектор а
задан в подвижной системе координат, то абсолютная производ-
ная от этого вектора
da___da
dt ~ dt
(13.21)
где <o — угловая скорость подвижной системы координат; ==
•=-^-i-|--^-j+-^-k — относительная производная.
5 13.4] . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ 301
Поскольку векторы Q и Ко определены в подвижной системе
координат, то согласно формуле (13.21) имеем
£Q_dQ
dt ~dt
dK0 dK0
dt — dt
<BXK0,
(13.22)
где о —угловая скорость твердого тела (система Охуг с ним
жестко связана), причем
dQ dQx . . dQy , dQz
dK0 dKx . dKy . dKz,
~dT ~ ~dt~ 1 + ~dF J + dt k
(13.23)
Уравнения (13.17) и (13.18) с учетом (13.22) принимают вид
т w '7 Ко = Mo + мо (Ra) + Mq (Rb) •
(13.24)
Пусть координаты подшипников А и В соответственно будут
0, 0, гА и 0, 0, гв (на рис. 13.2 приведен случай, когда гА =—а,
гв — Ь); тогда
Гд = гдк, Гв = г£к.
Моменты реакций подшипников определяются по формулам
M0(Rд) = ГдХ Rд =
1
о
*А
j k i j
0 г* , Mo (Rb) = Гв X Rb = 0 0
Ya ZA XB yB
к
гв
ZB

откуда
Мх (Кд) = — ЗдУд,
Mx№B) = -zBYB,
My(RA) = zAXA, A/HRa) = 0, |
Му (Rb) = zBXB, M2(Rb) = 0. J
(13.25)
Учитывая, что ю==фк, а также соотношения (13.19), (13.20)
и (13.25), запишем уравнения (13.17) и (13.18) в проекциях на оси
302 ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIII
подвижной системы координат:
^-ф^ = ^ + Хл + Хй,
+ 4>Qy = + А + УBi
0 = F‘ + Za + Zb,
^-фКу==Мех-гдУА~гР1Ув, '
фМл = Му гдХд 4- ZbXb,
ме
dt lvlz'
В соответствии с (13.5) и (13.10) получим
— мУсФ — Мхсф2 = Fx 4- ХА 4- Хп,
Мхс§ — Мусу2 = F у-\- У д 4* У в,
0 = К4-2д4-2в; (13.26)
— Ixzty + I угф2 = Мх — гАУ а — гвУ в,
— ~ IхгФ? — My-^-ZAXA ~У ?вХв,
7г<р = Мег.
Последнее уравнение системы (13.26) реакций не содержит и
было уже получено раньше (§ 9.5). Оно позволяет по заданному
закону вращения тела <р (t) определить момент главного вектора
внешних сил Мег относительно оси г или по заданному моменту
Мег при заданных начальных условиях определить закон движе-
ния тела.
Первые пять уравнений служат для определения реакций.
Продольные реакции ZA и ZB входят только в третье уравнение
и от характера движения не зависят, т. е. будут такими же, как
и при неподвижном теле. Мы можем определить только их сумму.
Если предположить, что продольная реакция в подшипнике В
равна нулю, то реакция ZA — — Fez.
§ 13.5. Добавочные динамические реакции.
Статическая и динамическая уравновешенность тела
Поперечные составляющие реакций, определяемые из первого,
второго, ^четвертого и пятого уравнений (13.26), обусловливаются
характером приложенных сил, законом движения тела, а также
расположением оси вращения относительно тела.
§ 13.5]
ДОБАВОЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ
303
Предположим, что ось вращения тела является главной цент-
ральной осью инерции, т. е. xc = yc = 0, Iхг = I^ = 0. Тогда, урав-
нения для определения поперечных реакций подшипников (13.26)
примут вид
о=К+хелт+х£, .
0 = FH^ + ^T, ^27)
0 = М-глУ?-гвУвт,
0 = М + глУ7 + гвУсвт. J
Реакции, определяемые из этих уравнений, обусловливаются
действующими на тело активными силами. При этом следует
иметь в виду, что силы, действующие на тело, могут зависеть
от закона движения тела (например, силы сопротивления, зави-
сящие от скорости вращения).
Уравнения (13.27) имеют такой же вид, как и уравнения
VCT VCT Х/СТ
статики для неподвижного тела; поэтому реакции Ал, Ав, гд,
Увт условно называют «статическими» реакциями. Употребляя
этот термин, следует помнить, что реакции, определяемые из
уравнений (13.27) при движении тела, могут отличаться от чисто
статических реакций, определяемых по уравнениям (13.27) для
неподвижного тела, так как силы, действующие на вращающееся
тело, как было уже сказано выше, могут зависеть от характера
движения тела.
Возвращаясь к рассмотрению уравнений (13.26), представим
реакции Хл, Хв, Ул, Ув в виде суммы реакций, определяемых
уравнениями (13.27) и реакциями Хд, Х§, Ул, У^, обусловлен-
ными как характером распределения масс в теле, так и харак-
тером движения тела, которые назовем добавочными динамическими
реакциями'.
хл = хдл+хс;, хв=Хв4-хв, 1
ул = удл + услт, Ув = У^ + Ув- / ’ ’
Тогда в соответствии с уравнениями (13.27) и соотношениями
(13.28) получим из (13.26) уравнения для определения добавочных
динамических реакций
-М£/с<р-Мхсф2 = Х^ + Хдв,
? I О «у
— 1хД> + 1уЛ2 = — ZAYaA-ZBYi,
— lyzty ~ Iхгф2 = ^ЛХЛ ф- гвХй.
304
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ, XII!
Выясним теперь, при каких условиях добавочные динамические
реакции равны нулю. В этом случае уравнения (13.29) будут
иметь вид
*сФ2 + УсФ = 0, хсф - г/сф2 = 0,
Ixzi? - W2 = 0, /хгф2 +1yzi? = 0.
(13.30)
Эта система однородных линейных алгебраических уравнений
относительно хс, ус, 1хг, 1уг распадается на две независимые
системы уравнений с одинаковым определителем, не равным нулю:
|Ф
|ф2
ф2| = Ф2 + Ф4¥=0,
так как для вращающегося тела угловая скорость ф и угловое
ускорение ср одновременно в нуль не обращаются.
Следовательно, единственным решением уравнений (13.30)
является
%с = Ус = ®, Ixz = Iyz = Q- (13.31)
Если же теперь принять, что условия (13.31) выполнены, то
уравнения (13.29) примут вид
хяА-\-хяв = о, П + г§=о,
гдХд ф-= 0, zaYa -\-ZbYb = 0,
единственным решением которых является Хд = Хв = У^ — У в =0,
так как гв — гА =ф=0.
Остановимся на условиях (13.31) несколько подробнее. Усло-
вие хс = 0, ус —означает, что центр масс тела находится на оси
вращения. Если оно выполнено, то говорят, что тело стати-
чески уравновешено. Как видно из приведенного анализа, для
уничтожения динамических реакций одной статической уравнове-
шенности тела недостаточно. Необходимо, кроме того, чтобы
центробежные моменты инерции относительно оси вращения рав-
нялись нулю (/хг = 0, /уг = 0). Таким образом, для того чтобы
при вращении тела вокруг неподвижной оси не возникали добавоч-
ные динамические реакции, необходимо и достаточно, чтобы ось
вращения была главной центральной осью инерции.
Как будет показано в следующем параграфе, динамические
реакции иногда во много раз превосходят статические реакции.
Поэтому во всех случаях, когда это возможно, стремятся умень-
шить или полностью уничтожить их. В особо важных случаях
это достигается специальной балансировкой.
? 13 61
ЗАДАЧИ
305
§ 13.6. Задачи
Задача 13.1. Центр тяжести махового колеса, вес которого Р = 300 кГ,
находится на расстоянии 1 мм от горизонтальной оси вала; расстояния под-
шипников от колеса равны между собой.
Найти реакции подшипников, если вал вра-
щается равномерно, делая я = 1200 об/мин.
Маховик имеет плоскость симметрии, перпен-
дикулярную к оси вращения.
Возьмем начало координат в точке О
пересечения оси вращения с маховиком. Ось х
подвижной системы координат направим по
прямой, проходящей через точку С. Оси г
и Zj направим по оси вращения (рис. 13.3).
Очевидно, что при таком выборе подвижной
системы координат хс =—1 мм, ус = 0.
Так как маховик имеет плоскость сим-
метрии, перпендикулярную к оси вращения,
то центробежные моменты инерции равны нулю, т. е, /хг = 0, /уг = 0.
Для рассматриваемой задачи
.. . ЯП л - 1200
<р = °, ср= _ = = 40л сак-».
Поскольку маховик находится в середине между подшипниками, то
I I
гд-----2 > гв ~ 2 >
Где / — расстояние между подшипниками.
Статические реакции равны:
х1Л=4=150 кг> =4=150 кр-
Для определения добавочных динамических реакций воспользуемся урав-
нениями (13.29). Для данной задачи они имеют следующий вид:
-~ХС^^Яа + ^В’
о~у*а+у*в,
о=_|ха+4-хд.
Решая эти уравнения, получим
^ = ^ = -4хсФ2 = -240 ^> УЯа = УЛв = 0-
Таким образом, добавочные динамические реакции в 1,6 раза превосхо-
дят статические; направления их линий действия вращаются вместе с махови-
ком, оставаясь все время параллельными линии ОС.
Задача 13.2. Вычислить добавочные динамические реакции в подшипни-
ках Л и В при вращении вокруг оси АВ однородного тонкого кругового
306
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIII
диска CD, предполагая, что ось АВ (рис. 13.4) проходит через центр диска,
но вследствие неправильного рассверливания втулка составляет с перпенди-
куляром к плоскости диска Z. АОЕ = а = 0,02 рад. Дано: вес диска Р =
3,27 кГ, радиус его г = 20 см, число оборотов п = 30 000 об!мин, расстояния
40 = 50 см, ОВ = 30 см. Ось АВ считать
абсолютно твердой и ' положить sin 2а =
=2а.
Начало подвижной системы коорди-
нат Oxyz, жестко связанной с диском, вы-
берем в центре диска О (см. рис. 13.4).
Из условий задачи следует
хс = 0, ус = 0, гд = — «=—50 см,
zB = b = 30 см.
Статические реакции равны 1,23 кГ и
2,04 кГ.
Момент инерции Iг диска и его цен-
тробежные моменты Ixz и lgZ были по-
лучены в задаче 12.4 § 12.10. По формулам (12.30) и (12.31) для нашего
случая (е = 6 — 0) найдем
lz = у 44r2cos2a + у Mr2 sin2a, Mr2 sin 2a, Iyz = 0.
Так как угол a мал, то, ограничиваясь членами первого порядка малости
относительно а, получим
=“2-44 г2, 4д.г = —44г2а, 1 уг = 0,
Имеем далее п = 30 000 об/мин.
ф = "г = ЮООл сек"1.
oU
Уравнения (13.29) примут вид (cp = const и ф —0)
о=х$+х$, 0=гд+уд,
0 = aY^-bY^, -1л4г2аф2 = -аХд+&Хд,
откуда получим
уд_____уд _ Л4г2аф2
ЛА лв 4(а + &)>
ГД=г£=0,
или
Х& ______хд — ^r2grl2 ‘ Ю8
А в 4g (a-j-Ь)
820 кГ,
Реакции опор свелись к паре сил; модуль каждой реакции в 250 раз
превосходит вес самого диска и в 400 раз максимальную статическую реакцию.
Задача 13.3. С какой угловой скоростью должна равномерно вращаться
вокруг катета АВ — 1 однородная пластинка, имеющая форму равнобедренного
прямоугольного треугольника ABD, чтобы полное боковое давление на ниж-
нюю опору равнялось нулю? Расстояние между опорами считать равным длине
катета АВ,
« 13 0)
ЗАДАЧИ
307
Начало подвижной системы координат возьмем в точке В. Ось г напра-
вим по вертикали вверх, а ось у проведем в плоскости пластинки. Следова
тельно, в этом случае гА ——I, гв = 0.
Из рис. 13.5 следует, что хс = 0,
ус = 1/3. Найдем сначала поперечные
статические реакции. Уравнения для их
определения имеют вид
Х"+Х" = 0, У£ + У£=0,
у^-р£=о, -х^=о,
где Р— вес пластинки.
Из этих уравнений следует
р
ХСТ VCT___л VCT___ VCT___
А=лВ—и’ Y A—~Y В— “У"
Так как по условию задачи ф = 0, то уравнения (13.29) запишутся следующим
образом:
о=хд+х£, -^Ф2=П+^,
'И>2='П.
Центробежные моменты инерции были найдены в задаче 12.6 § 12.10. При
ч равных катетах и выбранном направлении осей из формулы (12.35) найдем
12 “ 12g’ 1хг °’
Поскольку /хг = 0, то будем иметь
ХЗ=Х£ = 0.
Реакции Уд и У^ определяются из уравнений
__— гё2—уД-1_уД ____д2 /уд
3gf + yb> ~i%;4-1yA’
•откуда
У5=—— Ф2. У »== — ——Ф2
12g '₽ ’ yb~ 12g4>-
В задаче требуется определить угловую скорость ф, при которой полная
^реакция
гл=>7+У^=о.
©ту угловую скорость найдем из соотношения
откуда
Ф=2]/Ь
308
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ХИГ
Задача 13.4. Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы KF
длины L, противовеса D и груза Е (рис. 13.6). При включении постоянного
Рис. 13.6.
оси вращения вертикально вверх,
а = 0, &=Я.
по модулю тормозящего момента кран,
вращавшийся до этого с угловой ско-
ростью п=1,5 об/мин, останавливается
через две секунды. Считая стрелу KF
крана однородной тонкой балкой, а про-
тивовес D и груз Е точечными массами,
определить динамические реакции опор А
и В крана в конце его торможения. Длина
стрелы /. = 30 м, расстояние между опо-
рами крана // = 3 м, длина свисающей
части троса 1= 18 м, вес стрелы G = 8 Т,
вес груза Р = 10 Т, угол а = 45°; центр
тяжести всей системы находится на оси
вращения крана (предполагается, что
груз Е находится все время в плоскости
крана).
Начало подвижной системы координат
возьмем в опоре А, ось г направим по
ось у проведем в плоскости крана. Тогда
По условию центр тяжести всей системы лежит на оси вращения. Поэтому
хс — 0, Ус~®-
Так как система плоская, то /хг = 0. Кроме того, в конце вращения
крана ф=0.
Добавочные динамические реакции опор вращающегося крана найдем из
уравнений (13.29), которые в нашем случае примут вид
о=х^+х$,
0 = Г^ + Г£, о = -яг«, =
Отсюда находим *
Угловая скорость вращения крана в начале торможения была
При постоянном по модулю тормозящем моменте ф —const. Так как время
торможения t = 2 сек, то
ф л .
ф = __=__ сек 2.
Центробежный момент инерции !уг для рассматриваемой системы был най-
ден в задаче 12.5 § 12.10. Для статически уравновешенного крана имеем (см,
формулу (12.33))
, L sin a [GL , „ .,
1уг ——-— |^-у cos а + Р (L cos а — Z)j.
Подставляя числовое значение величин, входящих в полученные формулы,
найдем
/^=1927’ мсек2, = — Х^ = — 5,ОТ,
§ 13.7]
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
309-
Таким образом, в конце торможения добавочные динамические реакции-
опор вращающегося крана образуют пару сил, лежащую в плоскости, перпен-
дикулярной к плоскости крана. В менее благоприятных условиях (например)
при меньшем времени торможения или меньшей длине I свисающего троса,
добавочные динамические давления резко возрастают.
§ 13.7. Физический маятник
Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся
вокруг неподвижной оси под действием силы тяжести. Рассмот-
рим случай, когда ось вращения горизонтальна. Проведем через
центр тяжести С тела плоскость, перпендикулярную к оси вра-
щения. Точка пересечения О этой плоскости
называется точкой подвеса. Примем эту точку
нат. Ось г направим по оси вращения,
оси х и у расположим в плоскости, прохо-
дящей через центр тяжести и точку под-
веса, перпендикулярно к оси вращения
(рис. 13.7). Дифференциальное уравнение
вращения тела вокруг оси г согласно § 9.5
запишется следующим образом:
где ср —угол между неподвижной осью хх и
линией ОС (см. рис. 13.7).
Так как в этом случае
с осью вращения
за начало коорди-
Рис. 13.7.
Ме2 = — Mga sin ср,
где М — масса тела, а —расстояние от точки О до центра тяже-
сти (а = ОС), то дифференциальное уравнение движения тела:
примет вид
= — Mga sin ср,
или
.. , Mga . п
cp-t-’-jS-sin ср = 0.
'г
Рассмотрим случай малых колебаний, для которых можно при-
нять sincp^cp. Тогда уравнение движения можно записать в сле-
дующей форме:
<р + ^(р = 0, (13.32)
а его общее решение имеет вид
ср = A sin t + е^.
310
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIII
Отсюда следует, что угол ср изменяется по гармоническому за-
кону с периодом колебаний, равным
Г = 2л/яг«- <13'33>
Сравнивая дифференциальное уравнение движения математи-
ческого маятника
cp + y-sincp = O (13.34)
с уравнением движения физического маятника, можно утверждать,
что математический маятник, имеющий длину
'-jfe. (1S.35)
будет двигаться так же, как и физический маятник.
Величина I, определяемая формулой (13.35), называется при-
веденной длиной физического маятника.
Представляя по теореме Гюйгенса— Штейнера (§ 12.4) момент
инерции тела относительно оси z в виде
/г = /с + А4«2,
где 1С — момент инерции тела относительно оси, проходящей через
центр тяжести тела параллельно оси г, получим для приведенной
длины физического маятника выражение
(i3-36)
Откладывая эту величину от точки подвеса в направлении
центра тяжести, получим точку 0г (см. рис. 13.7), которая на-
зывается центром качания. Расстояние от центра тяжести до
центра качания равно
= (13.37)
Покажем, что точка подвеса и центр качания обладают свой-
ством взаимности (теорема Гюйгенса).
Пусть ось вращения проходит через центр качания; тогда для
.новой приведенной длины согласно формуле (13.36) получим
1Г
1 Мб?! 1 1
На основании равенства (13.37) имеем
следовательно,
— а + ai —
§ 13 81
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
311
Таким образом, если старый центр качания сделать новой
точкой подвеса, то старая точка подвеса станет новым центром,
качания, что и доказывает свойство взаимности.
§ 13.8. Экспериментальное определение моментов инерции
Рассмотрим два способа экспериментального определения мо-
мента инерции неоднородных твердых тел или тел сложной кон-
фигурации: способ качания с использованием теории физического-
маятника и способ крутиль-
ных колебаний.
Способ качания проиллю-
стрируем на следующем при-
мере. Пусть требуется найти
момент инерции шатуна отно-
сительно оси, проходящей
через центр тяжести С ша-
туна параллельно осям его
проушин. Для определения
момента инерции шатуна от-
носительно оси, проходящей
через точку А параллельно
оси проушины, шатун подве-
шивают на призму А (рис.
13.8, а) и, отклонив его на
сия, измеряют период колебания шатуна. Зная период колеба-
ния, по формуле (13.33) определяют момент инерции шатуна
относительно оси качания:
. QciT-
1а~ 4л2 ’
где а —расстояние центра тяжести шатуна от оси качания, Q —
вес шатуна.
Затем по теореме Гюйгенса — Штейнера вычисляют момент
инерции относительно центральной оси:
1с = 1А-^а2 = (13.38)
g g \4л2 } ' '
Для определения величины а шатун подвешивают на нити
в точке В и определяют реакцию R давления шатуна на штырь
динамометра D (рис. 13.8, б). Затем из формулы
Rl — Q (а — г) = О,
где г — радиус проушины, находят величину
Rl + Qr
а = —Д-*-.
Рис. 13.8.
малый угол от положения равнове-
'312
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ХИГ
Подставив значения а в формулу (13.38), вычисляют 1С.
В рассмотренной схеме эксперимента наибольшую ошибку дает
определение величины а, поэтому применяют иную схему экспе-
римента.
Если требуется найти момент инерции тела относительно про-
извольной оси (рис. 13.9), то способом качания сначала опреде-
ляют период колебаний тела относительно оси, на которую жестко
насажены два цилиндра, с известными моментами инерции. Затем
определяют период колебаний исследуемого тела относительно
той же оси без цилиндров. Тогда, если период колебания тела
совместно с цилиндрами равен
г Mga ’ '
а период колебаний тела без цилиндров
то, исключив величину а, получим
О J'f2___р2
где Го — момент инерции цилиндра относительно его оси.
Рассмотрим теперь способ крутильных колебаний.
При определении момента инерции тела способом крутильных
колебаний тело подвешивают на упругом стержне или струне так,
чтобы центр масс тела лежал на продолжении оси стержня
(рис. 13.10). Закрутив стержень, жестко связанный с телом, на
малый угол ср, измеряют период колебания системы. Так как при
малом угле закручивания момент упругих сил пропорционален
углу закручивания, то дифференциальное уравнение крутильных
..колебаний системы имеет вид
/сФ = —
§ 13.91
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
313
где /г — постоянный коэффициент, характеризующий упругие свой-
ства стержня (струны).
Период колебаний, очевидно, будет равен
, Т = (13.39)
Затем на тот же стержень подвешивают тело (например, диск),
момент инерции которого относительно оси ОС известен и равен /с,
и измеряют период колебаний Т' в этом случае. Этот период ко-
лебаний определяется формулой, аналогичной формуле (13.39):
Г = 2я/^.
(13.40)
Исключая из равенств (13.39) и (13.40) неизвестный коэффи-
циент k, получим формулу для определения момента инерции
, / Т \2
Ic~lc•
§ 13.9. Плоское движение абсолютно твердого тела
Свободное твердое тело будет совершать плоское движение,
если в нем существует плоское сечение, относительно которого-
масса тела распределена симметрично; силы, действующие на тело.
расположены в плоскости этого сече-
ния, а начальные скорости всех точек
тела расположены в плоскостях, парал-
лельных плоскости сечения. Движение
тела можег быть плоским также и
в силу наложенных на него связей, но
это уже будет несвободное движение.
В кинематике было установлено, что
положение твердого тела, совершающего
плоское движение, определяется тремя
параметрами. За эти параметры выбе-
рем координаты центра масс тела и
угол поворота тела относительно оси,
Рис. 13.11.
перпендикулярной к рас-
сматриваемому плоскому сечению тела.
Пусть система координат Сх2у2, имеющая начало в центре
масс тела, движется поступательно относительно неподвижной си-
стемы координат Орсд/г Положение тела будет полностью опре-
делено, если известны координаты центра масс тела (х1С, г/1С) и
угол ср между осью х2 и осью х системы координат Сху, жестко
связанной с телом и имеющей начало в центре масс тела
(рис. 13.11).
В соответствии с теоремой о движении центра масс из урав-
нений (13.1) получаем зависимости, связывающие координаты
314
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIII
центра масс тела и проекции главного вектора всех внешних сил
(Л'х,, Fey^, приложенных к твердому телу:
MxlC = FeXl, 1
Му 1С =Feyt, J
(13.41)
где М — масса тела.
Используя теперь теорему об изменении момента количеств
движения в относительном движении (13.2), получим зависимость
между углом ср поворота тела и силами, действующими на тело.
Так как в системе координат Сх2уг твердое тело совершает
вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр масс
перпендикулярно к плоскости движения тела, то момент количеств
движения тела относительно этой оси в соответствии с равенством
(13.10) будет равен Лс = Л?Ф- Следовательно, на основании тео-
ремы (§ 9.7) имеем
1с(р = Мес, (13.42)
где /с —момент инерции тела относительно оси, перпендикуляр-
ной к плоскости движения тела и проходящей через центр масс
тела, а Мс — главный момент всех внешних сил относительно
той же самой оси. Уравнения (13.41) и (13.42) позволяют решать
задачи динамики плоского движения твердого тела.
Если движение твердого тела задано, т. е. координаты центра
масс (хгс, Угс) 11 угол ср являются известными функциями вре-
мени, то в результате подстановки вторых производных от этих
функций (х1С, Ухе» ф) в уравнения (13.41) и (13.42) находятся
силы, под действием которых происходит движение тела.
Если же заданы силы, т. е. известны FXl, Feyi и Мс, то урав-
нения (13.41) и (13.42):
Mx1C = FXt,
Му1С = РеУ„
Icif = Mec
(13.43)
будут представлять уже систему трех обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, определяющих плоское движение твердого
тела*). После решения этих уравнений и определения постоянных
интегрирования получим закон плоского движения свободного
твердого тела
XlC — X1C(t), У1С—У1С({), Ф = Ф(О-
*) Если траектория центра масс задана, то вместо первых двух уравнений
системы (13.43) иногда целесообразно взять уравнения в проекциях на каса-
тельную и нормаль к траектории центра масс.
§ 13.10]
ЗАДАЧИ
315
Если тело совершает несвободное движение, то в число дей-
ствующих сил следует включить реакции связей. Уравнения,
движения тела в этом случае будут
М-Чс — FXl
Му 1С — Fexi + Ryt >
(13.44)
где RX1 и Ryt — суммы проекций всех реакций соответственна
на оси и ylt а Мс — сумма моментов всех реакций относи-
тельно центра масс. В этих уравнениях FXl, Fe,,.
к внешним активным силам. К уравне-
ниям (13.44) следует еще добавить урав-
нения связи.
Заметим, что иногда вместо одного из
дифференциальных уравнений (13.44)
бывает целесообразно применить теоре-
му об изменении кинетической энергии.
§ 13.10. Задачи
Задача 13.5. Однородный стержень длины 21
и массы М за один из своих концов подве-
шен на нити длины а, массой которой можно
пренебречь, к неподвижной точке О. Стержень
вместе с нитью отклонили влево от вертикали
на угол а и отпустили без начальной скорости
(рис. 13.12). В момент, когда стержень, пройдя
и Мес относятся
Рис. 13.12.
положение равновесия, составлял с вертикалью
угол Р(Р<а), нить оборвалась. Определить закон движения стержня после-
обрыва нити.
Найдем сначала угловую скорость стержня, координаты и проекции ско-
рости центра масс стержня на неподвикные координатные оси Ояцц в момент
обрыва нити. В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии
имеем
/ош2
— (a-j-l) (cos р — cos а),
где
/0 = /с + Л4(а + /)2 (/С=^г)
— момент инерции стержня относительно точки О, 1С — момент инерции стер-
жня относительно его центра масс.
Следовательно, угловая скорость стержня в момент обрыва нити равна
„ _ ж _ 1 /" 2A?g +О (cos Р —cos «т
ф V /С + Л4(а + /)2
Координаты центра масс стержня в момент обрыва нити будут
x1C = (a-H)cos0, ylC = (а + /) sin 0,
316
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIH
а проекции его скорости на оси координат
х1С = — (а + 0 <о sin р, с/1С = (<*-(-/) со cos
Угол между стержнем.и осью хг в момент обрыва равен <р = р.
Дифференциальные уравнения движения стержня после обрыва нити имеют
вид (единственная внешняя сила — сила тяжести Mg — приложена в точке С)
МХ1С = Mg, Mi/1C = 0, lc(f = 0,
и, следовательно, общее решение этих уравнений будет
\С = ^ + С1, ^1С = С2> *₽ = сз.
Х1С = ^2~+С/ + С4, Z/1C = C2/+C5.
<р = С3/ -|- С$.
Произвольные постоянные интегрирования определим из начальных усло-
вий: при / = 0
x1C = (a4-Z) cos р,
х1С = — (а + 0 со sin р,
Ф = Р>
У1с = (а + 1') sin Р>
с/1С = (а-Н) w cos р,
ср = со.
Значения произвольных постоянных будут
(?! = —(a-f-Z) а> sin (3, C2 = (c? + Z) со cos (3,
С4 = (с? + /) cos р, С5 = (а + /) sin р,
Подставив эти значения в общее решение, получим закон движения стержня
после обрыва нити
Сд — со,
св=р.
вижной
st2
х1С = -^2-(«4-Z) (<о/ sin р — cos р),
у1С = (а + 1) (со/cos Р + sin Р), ср = со/ + р.
Задача 13.6. Конец В невесомого стержня АВ соединен шарнирно с непод-
опорой. К другому концу стержня прикреплен тяжелый однородный
диск радиуса г. В начальный момент стержень зани-
мал вертикальное положение. Получив ничтожно ма-
лую скорость, стержень начинает вращаться вокруг
шарнира.
Определить угловую скорость диска и угол ме-
жду вертикалью и стержнем в момент, когда состав-
ляющая реакции шарнира, направленная вдоль
стержня, равна нулю.
Центр масс диска движется по окружности
радиуса I -ф г с центром в точке В, следовательно,
уравнение движения центра масс диска в проекции
на нормаль к его траектории будет иметь вид
(рис. 13.13)
pV2
H7+Ij=pcosq>+^.
v — скорость центра масс, Rn — нормальная реакция,
где Р — вес диска, с л л "...
направленная от точки В вдоль стержня. Из этой формулы следует, что
Pv2
Rn =“ —г-н— Р cos Ф>
§ 13.10]
ЗАДАЧИ
317
Для определения скорости о в любой момент времени воспользуемся тео-
ремой об изменении кинетической энергии.
Так как стержень вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей
через точку В, то
1 = Р (/ф-г) (1 — cosqp),
где /д — момент инерции диска относительно точки В, равный
Р/-2 р р г ! г \21
^=2? + 7(г+/)2=^(г+/)2[2+Ы]-
Следовательно,
ф,_ 2 (r-t-Z) Р (1 — cos <р)
1В
Принимая во внимание, что v2 = (l-|-r)2 ф2, имеем
К„ = ^-[4-(44-п)со9ф],
где
/ г \2
"=2+(т+г) •
Пусть в момент, когда Рп=0, угол ф = а, тогда
4 — (4-|-zi) cosa=0.
Отсюда
4
COS « = ,
4-|-n ’
а угловая скорость в момент, когда /?„ = 0, будет
Ф 2УГ (4 + «) (/ + /)’
Задача 13.7. Однородный стержень длины I и веса Р одним концом укреп-
лен при помощи идеального шарнира в точке А, другой конец стержня удер-
живается нитью ВС, образующей со стержнем угол 90э (рис. 13.14). Стержень
составляет с горизонтом угол а. Определить, насколько изменится давление
балки на шарнир А в момент внезапного обрыва нити
Для определения реакции в шарнире А
и натяжения нити составим уравнения ста-
тики (см. рис. 9.14):
— RgSina=0, ^i^ + ^ficosa — Р = 0,
' Pl
--g-cosa-|-PB/ = 0,
откуда
riA = -f-(1 + sin2 “)
VCT Р • о П Р
Х1Л=sm 2a, /?B = -g-cosa.
Если нить оборвется, то стержень начнет
ние вокруг шарнира А,
ВС.
совершать вращательное движе-
318
ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIГГ
Дифференциальные уравнения движения можно записать в виде *)
У Х1С — Х1А,
~^У1С'=У1А~Р’
г •• Pl
/дф = —-уСОвф.
Из очевидных зависимостей
I
Х1С= 2 С0Яф’
(13.45)
I
У1С = ~2 sin<₽
найдем
«... « ..
*1С = — <Р Sin <р — ср2 COS ф,
I .. I .
У1С = ~2~ фсозф-----g- ф2 sm ф.
Т