Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Биченков Е.И.

Author: Биченков Е.И.

Tags: физика механика задачи по физике естественные науки

ISBN: 5-88119-120-X

Year: 1999

Similar

Сборник задач по общему курсу физики. Механика

800 задач по физике. Сборник задач по физике для учащихся средних школ и поступающих в вузы

Методика решения задач в общем курсе физики. Механика

Сборник задач по общему курсу физики. Часть 1. Механика. термодинамика и молекулярная физика

Text

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
Б.И. БИЧЕНКОВ
ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
КУРС ФИЗИКИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ШКОЛ
НОВОСИБИРСК
1999

ББК 22.36 я 7
УДК 530.1
Б 67 Биченков Е.И. Законы механики. Курс физики для учащихся
физико-математических школ / Новосибирск: Издательство
ИДМИ, 1999 -168 с.
ISBN 5-88119-12C-X
Первая часть курса физики для учащихся Новосибирской
физико-математической школы при НГУ. Содержит материал
первых полутора семестров обучения на двухгодичном потоке
школы, неоднократно излагавшийся автором ученикам ФМШ
с 1965 года и по настоящее время. Часть материала использо-
использовалась для проведения факультативных занятий с учениками,
проявляющими повышенный интерес к изучению физики. В
пособие включено 225 задач.
Предназначено для специализированных школ. Может
быть использовано на первых курсах вузов.
Рецензент профессор М.Е. Топчиян.
© ЕЙ. Биченков, 1999
ISBN 5-88119-120-Х

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 1
ВРЕМЯ, ПРОСТРАНСТВО, ДВИЖЕНИЕ
I ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ 3
II ДВИЖЕНИЕ 14
ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
Ш СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА 30
IV ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ 39
V СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 55
VI СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 76
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ИЗУЧЕНИЕ СИЛ
VII ИЗУЧЕНИЕ СИЛ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ И НАБЛЮДЕНИЯХ 80
VIII ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ 100
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
IX ЗАДАЧА КЕПЛЕРА 105
X КОЛЕБАНИЯ 117
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ
XI ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 131

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие содержит сведения, излагаемые учащимися 9-го
класса ФМШ в течение первых полутора семестров обучения на двухго-
двухгодичном потоке. Первый вариант его был издан 30 лет назад небольшим
тиражом и сегодня сохранился почти исключительно в памяти моих уче-
учеников.
За прошедшие годы в Новосибирской физико-математической школе
сформировалось несколько подходов к изложению учебного материала,
некоторые из них опубликованы. Отличаясь деталями, все они ориентиро-
ориентированы на изложение основных, наиболее существенных понятий и законо-
закономерностей физической науки на уровне, доступном учащимся двух стар-
старших классов школы. Многолетний опыт убедил нас, что этот уровень мо-
может быть достаточно высоким, чтобы у ученика сложилось цельное пред-
представление о физике как науке о наиболее глубоких закономерностях при-
природы и понимание внутренней логики этой науки. Мы исходим из того, что
при изучении физики ученик получает не только определенный набор
конкретных знаний, но - и это, наверное, более важно для формирования
его личности и интеллекта - у него воспитывается характерный для не
только для физической науки, но и для науки вообще особый стиль и склад
мышления: творческий, аналитический и рациональный.
Изучение физики позволяет научить:
• создавать модель явления и формулировать необходимые для нее по-
понятия,
• делать минимум посылок и получать из них возможный максимум ре-
результатов,
• анализировать полученные результаты и замечать возникающие в них
противоречия, в нужный момент видеть границы используемой модели
и уметь, изменив модель, рассмотреть новые стороны анализируемых
явлений,
• видеть за деталями и частностями проявление небольшого количества
фундаментальных закономерностей и, наконец,
• воспринимать всякую ситуацию не изолировано, а в ее связи с окру-
окружающим миром.
Представленный в пособии учебный материал предназначен для уче-
учеников с разным уровнем подготовки и разным личным интересом к изуче-
изучению физики и потому не может рассматриваться как обязательный для
всех учащихся. Мне кажется, что задача учителя состоит вовсе не в том,
чтобы заставить своих учеников выучить какое-то обязательное количе-
количество определений и теорем и натренироваться в решении стандартных за-
задач. По-моему, главное в обучении - это показать ученику наиболее цен-
ценные стороны предмета и научить ставить правильную последовательность
1

вопросов и находить на некоторые из них ответы. В определенном смысле
работа учителя в школе должна быть подобна работе экскурсовода в соб-
собрании выдающихся сокровищ, созданных гением человека. Такой экскур-
экскурсовод знакомит посетителей с шедеврами, созданными мастерами про-
прошлого, воспитывает вкус, стимулирует интерес к предмету и не претендует
на большее. При этом он поставит самую высокую оценку своей аудито-
аудитории, если увидит в ней живой интерес к предмету, искреннее желание по-
понять о чем идет речь и подумать. Это - минимальный уровень задач, свя-
связанных с обучением.
С другой стороны, среди посетителей музея всегда оказываются не-
несколько особенно предрасположенных к представленному там. Таким по-
посетителям надо дать нечто большее, чем внешнее знакомство, - им надо
позволить заглянуть в глубину. Из-за этого любой учебник должен быть
выполнен на нескольких уровнях изложения материала. Поэтому в предла-
предлагаемом пособии популярный рассказ почти всегда переходит в изложение
тонких деталей и подробностей. Особенно это относится к разделам о ме-
методах изучения сил, колебаниях и движению жидкости.
Решение задач - необходимая компонента изучения физики. Трудно
переоценить умение думать над задачей для становления физика. В свои
студенческие годы мне довелось слышать от академика П.Л. Капицы, что
задачу о распределении молекул по скоростям Дж. К. Максвелл получил в
качестве вопроса на вступительном экзамене в университет. Конечно,
юноша не смог ответить на него. Да и его экзаменатор тоже не знал ответа.
Но в университет Максвелл был принят, окончил его и спустя немного лет
после этого решил-таки задачу, полученную на вступительном экзамене.
Сегодня это решение называется распределением Максвелла.
В пособие включено 225 задач, большая часть которых заимствована
из известного задачника, составленного преподавателями нашей школы и
изданного под редакцией профессора О.Я. Савченко. Этого количества
задач достаточно для решения в классе и для самостоятельной работы.
Часть задач предлагается в качестве семестрового задания.
В качестве дополнительных учебников рекомендуются:
1. А.П. Ершов, В.Г. Харитонов. Механика. Новосибирск. СУНЦ НГУ,
1998, ч. 1-2.
2. Дж. Орир. Популярная физика. М. Мир. 1968
3. Фейнмановские лекции по физике.
Автор благодарен своим ученикам, а ныне коллегам по преподаванию
за сотрудничество, совместные размышления и споры, за дружескую по-
мошь при исправлении допущенных иногда ошибок.
Август 1999 года
Новосибирск

ГЛАВА I
ВРЕМЯ, ПРОСТРАНСТВО, ДВИЖЕНИЕ
I. ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ
Время, единицы измерения времени. Эталон
Каждый может утверждать о временной последовательности событий,
классифицируя их по отношению к некоторому определенному событию
как предшествующие, одновременные или последующие. События между
собой разделены интервалами, для количественного определения которых
нужна единица измерения времени и измерительный прибор - часы. Еди-
Единицей измерения времени выбирается длительность некоторого периоди-
периодического процесса, повторяющегося без изменений неограниченно долго.
До недавнего времени единицей измерения времени считался 1 год, и
точность всех приборов, созданных человеком для измерения времени,
определялась сравнением с периодом обращения Земли вокруг Солнца.
По мере возрастания точности измерений выяснилось, однако, что про-
продолжительность одного оборота Земли вокруг Солнца не постоянна, а воз-
возрастает примерно на 1С секунды за год. Это заставило избрать в качестве
эталона времени более регулярный процесс - атомные колебания. В на-
настоящее время единица измерения времени 1 секунда определена как
промежуток времени, в течение которого происходит 9 192 631 770 коле-
колебаний электрона атома цезия в некотором вполне определенном состоя-
состоянии.
Производными от секунды единицами времени являются:
• 1 минута = 60 с.
• 1 час = 60 мин.
• 1 сутки = 24 часа=86 400 с.
. 1 год = 3.1536 10'с. « я 10'с.
• 1 миллисекунда (мс) = 103 с.
• 1 микросекунда (мкс) — 10' с.
• 1 наносекунда (не) = 10' с.
Шкала времен
Характерные длительности ряда процессов в природе:
• 10" с - возраст ближайшей к нам части Вселенной.
• 10" с - возраст Земли.
• 10" с - возникновение первого человека на Земле.
• 2 10* с - продолжительность жизни человека.
• 5 102 с - свет проходит от Солнца до Земли.
• 1 с - пульс человека.
• 103 с - период звуковых колебаний.
• 106 с - период колебаний в радиоволне.
• 10|г с - период вращения молекулы.
• 10ls с - период атомных колебаний, видимый свет.
• 10 " с - свет пересекает поперечник атом, рентгеновское излучение.
• 10'' с - период ядерных колебаний, у - лучи.

ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ
• 10 ы с - свет проходит через поперечник ядра.
Двигаясь по ступенькам шкалы времен, мы попадаем последовательно
в сферу разных явлений природы: космогонических, геологических, архео-
археологических, физиологических, акустических, радиоволновых, молекуляр-
молекулярных, атомных и, наконец, ядерных. Каждый шаг ко все более коротким
или, наоборот, к длинным временам приводит к качественно новым явле-
явлениям природы.
Измерение времени
В своей повседневной деятельности мы умеем измерять кое-какие интер-
интервалы времени. Все умеют пользоваться часами с их тремя стрелками. Но
обычными часами можно измерять времена не менее 1 секунды и не более
нескольких лет (срок службы одних часов). Тщательно изготовленные се-
секундомеры позволяют измерять времена порядка 0.1 сек.
Более короткие времена меряют с помощью осциллографа. Осцилло-
Осциллограф - это прибор, на экране которого светящийся зайчик, получаемый
попаданием пучка электронов на специальное вещество, движется с ог-
огромной скоростью, рисуя на экране некоторую стандартную кривую.
Обычно это прямая линия или спираль, сходящаяся к центру экрана. Если
на пластины, управляющие движением пучка электронов, подать электри-
электрический импульс, одновременный с некоторым явлением, а затем другой
импульс, одновременный с другим явлением, то на стандартной кривой
появятся выбросы. Измерив длину развертки между этими выбросами, не-
нетрудно по известной скорости развертки установить, какое время разде-
разделяет два рассматриваемых явления. При помощи осциллографов удается
измерить интервалы времени до 100с. Для измерения более коротких вре-
времен надо придумывать новые методы и строить новые приборы. Так,
время жизни атомных частиц, движущихся со скоростью, близкой к скоро-
скорости света, определяют по длине пробега их в фотоэмульсии и известной
скорости света.
В качестве часов для измерения больших интервалов времени следует
воспользоваться процессами, продолжительность которых сравнима с
длительностью измеряемых интервалов. Здесь подходящими оказываются
процессы радиоактивного распада, дающие в наше распоряжение бога-
богатейший набор скоростей распада. Закон радиоактивного распада прост:
доля атомов, распадающихся за единицу времени, постоянна. Это значит,
что если за время Т распадается половина атомов, то за следующий интер-
интервал времени длительностью Т распадется еще половина от оставшихся
атомов, т.е. количество не распавшихся атомов N по истечении t сек от на-
начала распада будет
J • A)
Здесь No - количество радиоактивных атомов в начальный момент вре-
времени. Величина Т называется периодом полураспада радиоактивного
атома.
График зависимости N/No от t/T приведен на рис.1. Из него можно,
зная отношение N/No, найти отвечающую ему величину t/T и тем самым

05 1 U 1 15 3
Рис.1. Зависимость количества
радиоактивных атомов от
времени. Т - период полураспада
глава i
установить возраст образца, содержащего радиоактивный материал. Опи-
Описанный метод называется радиоизотопным. Он был с успехом применен
для датировки абсолютного возраста археологических находок, геологиче-
геологических пород и самой Земли.
В археологии для этого был использован
изотоп радиоактивного углерода С14 с пе-
периодом полураспада 5730 лет. Этот изотоп
постоянно образуется в верхних слоях атмо-
атмосферы под действием нейтронов космиче-
космического излучения из стабильного изотопа
азота N14. Дальнейшая судьба радио-угле-
радио-углерода: сначала окислится, затем с помощью
растений войти в состав того или иного ор-
органического соединения и там начать распа-
распадаться. Процентное содержание радио-уг-
радио-углерода в начальный момент времени во вся-
всяком органическом соединении равно доле
радио-углерода в атмосфере в тот же мо-
момент времени. Если предположить, что ин-
интенсивность космического излучения, а вместе с ней и относительное со-
содержание радио-углерода в атмосфере за последние несколько десятков
тысячелетий не изменялись (к этому есть все основания), то, измерив со-
соотношение интенсивности радиоактивного излучения из 1 кг угля, найден-
найденного на стоянке первобытного человека, к интенсивности излучения из 1
кг угля, полученного из столько что сгоревшего костра, можно тем самым
сразу определить отношение N/No и установить возраст первобытной сто-
стоянки.
Возраст древних геологических пород определяют по долгоживущим
изотопам урана V238 (Т =4.5109 лет), результатом распада которых в ко-
конечном итоге является возникновение одного атома свинца вместо одного
атома урана. Есть породы, в которых первоначально вовсе не было свинца.
Определив в таких породах количество урана и свинца в настоящий мо-
момент времени, нетрудно подсчитать, сколько времени прошло с момента
образования породы. Так было установлено, что возраст самых старых по-
пород на Земле порядка 5,5 миллиардов лет. Интересно, что возраст метео-
метеоритов, выпадающих на Землю, того же порядка, что позволяет предполо-
предположить общность происхождения Земли и метеоритов.
Относительный характер одновременности двух событий
При измерении момента времени, когда происходит событие, важнейшим
является установление одновременности этого события с некоторым рас-
расположением стрелок наших часов. Утверждение: "Звонок прозвенел в
9:00" - означает, что звук от звонка достиг моего слуха в тот момент, когда
малая стрелка моих часов стояла точно против цифры 9, большая - против
цифры 12, и секундная тоже указывала на цифру 12. Любому понятно, что
если звук от звонка достиг его слуха в 9:00, то сам звонок звенел немного
раньше, т.к. для прохождения звуком расстояния от звонка до уха требу-
требуется некоторое время, зависящее от расстояния и от скорости звука. Наи-
5

ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ
более просто момент работы звонка фиксируется, если и звонок, и наблю-
наблюдатель, и часы находятся рядом, в идеале, в одной точке. Тогда не надо
вносить никаких поправок в показания часов, чтобы установить момент
звучания звонка. Но наблюдать явления природы только у себя под носом
- дело не очень привлекательное. Как же установить момент времени, если
событие происходит на некотором расстоянии от наблюдателя?
Для решения этой задачи придется послать из того места, где происхо-
происходит событие, сигнал к наблюдателю, одновременный с событием. Зафик-
Зафиксировав момент прихода сигнала, наблюдатель измерит затем скорость
сигнала и расстояние и внесет необходимую поправку в показания часов,
определив точно, когда же на самом деле событие произошло. Если бы
существовали сигналы, распространяющиеся с бесконечной скоростью, то
использование таких сигналов для оповещения о моменте, когда происхо-
происходит событие, очень упростило бы дело определения времени события, т.к.
наблюдатель получал бы такой сигнал точно в момент совершения собы-
события. Однако, эксперименты установили, что в нашем мире сигналы рас-
распространяются с конечной скоростью. Можно построить очень хорошую
теорию, предположив существование некоторой предельной скорости
распространения сигналов с и взяв за основу экспериментальный факт,
что ни одним физическим экспериментом нельзя отличить покой от рав-
равномерного прямолинейного движения, и из этой теории получить, что
электромагнитные колебания распространяются в пустоте именно с пре-
предельной скоростью с. Частным случаем электромагнитных колебаний яв-
является свет. Измерение скорости света дает для предельной скорости ве-
величину близкую к с=3-10'° см/с.
Теперь можно дать точное определение одновременности двух уда-
удаленных друг от друга событий: два события А и В одновременны, если све-
световые сигналы, оповещающие об этих событиях, приходят в один момент в
точку С, находящуюся точно посередине между точками, где происходило
каждое из событий.
Является ли это определение одновременности абсолютным, т.е. все-
всегда ли события А к В будут восприниматься как одновременные? Рассмот-
Рассмотрим один пример.
Пусть наблюдатель Я находится на железнодорожной платформе, а
пассажир П едет в поезде с постоянной относительно платформы скоро-
скоростью V. В некоторый момент в голову и хвост поезда ударяют две молнии,
оставляющие на платформе и на поезде следы. Пусть после этого Я и Я
обнаруживают, что каждый из них находится точно посередине между
следами, оставленными молниями. На рис.2 отметки молний обозначены
А, В к А', В', а расположение наблюдателей С и С. Верхний рисунок отно-
относится к моменту удара молний, нижний к моменту прихода световых сиг-
сигналов к пассажиру. Нетрудно видеть, что скорость световых сигналов
должна быть одинаковой относительно Я и Я, несмотря на то, что один из
них движется, а другой покоится. В противном случае наблюдатели уста-
установили бы, что предельная скорость сигналов относительно каждого из
них разная, и по этому результату могли бы определить, кто из них дви-
движется, а кто покоится, что противоречит фундаментальному опытному

ГЛАВА 1
факту, утверждающему, что никаким способом нельзя отличить покой от
равномерного прямолинейного движения.
Из нижнего рисунка видно, что если вспышки молний приходят в С
одновременно, т.е. если удары молний воспринимаются пассажиром П как
одновременные, то наблюдатель Н на платформе воспримет удар молнии в
голову поезда как событие более позднее, чем удар молнии в хвост поезда.
С другой стороны, если удары молний одновременны для наблюдателя вне
поезда, то для пассажира молния ударила в голову поезда раньше, чем в
хвост.
•А/
Я,С
О О
'А'
•с
J2.
#' С
о о
'В'
в
Рис.2. Пример, иллюстрирующий относительность одновременности
двух удаленных событий. Если световые вспышки, произведенные уда-
ударом молний в голову и хвост поезда достигают пассажира П в один и
тот же момент времени, то П определяет удары молний как два одно-
одновременных события. Для наблюдателя же Н вне поезда событие в хво-
хвосте поезда происходит раньше события в голове.
Из рассмотренного примера следует, что одновременность событий не
абсолютна, и события, одновременные в одной системе отсчета, оказыва-
оказываются неодновременными в другой системе отсчета, движущейся относи-
относительно первой с некоторой постоянной скоростью. Поэтому, говоря об од-
одновременности двух событий, всегда надо указывать по отношению к ка-
какой системе отсчета она определена.
Расстояние, единицы измерения. Эталон
Пространственное расположение предметов определяется расстоянием
между ними. Единицей измерения расстояний принят 1 метр. Долгое
время специальным международным соглашением метром называли рас-
расстояние между двумя штрихами, нанесенными на линейке из специального
сплава, хранимой при строго определенной температуре. В 1960 году метр
был переопределен как длина отрезка, на котором укладывается 1 650
763.73 длины волны светового излучения, создаваемого атомом криптона-
86 в определенном состоянии. В 1983 году метр был переопределен еще
раз через скорость света в вакууме как расстояние, проходимое светом за
1/299 792 458 секунды.
Производные единицы от метра:
• 1 километр = 10' м.
• 1 световой год = 9.46 \0" м.

ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ
• 1 сантиметр — 102 м.
• 1 миллиметр = 103 м = 10"' см.
• 1 микрон = 10'" м = W'см.
• 1 миллимикрон = 1 «ж = 109л = 1Осл4.
• 1 ангстрем ( а ) = 10'°м = 10~8ел.
• 1 Ферми = 10'15 л = 10'" см.
Шкала расстояний
Характерные размеры ряда объектов природы:
• 10н см - расстояние до наиболее удаленных галактик.
• 1025 см - расстояние между галактиками.
• 1022 см - размер средней галактики.
• 10" см • расстояние между соседними звездами.
• 1016 см • размер Солнечной системы.
• 1.5-10" см - расстояние от Земли до Солнца.
• 4-Ю10 см - расстояние от Земли до Луны.
• 6.4-108 см - радиус Земли.
• 106 см - высота полета пассажирского самолета.
• 10s см - высота гор на Земле.
• 103 см - высота зданий.
• 1.7102 см - рост человека.
• 10"'-10~3 см - размер клетки.
• 10'6 см - размер вируса.
• 108 см - размер атома.
• 1013 см - размер ядра.
Измерение расстояний
Небольшие расстояния просто измеряются линейкой: подсчитывается,
сколько делений линейки укладывается на измеряемом отрезке. С помо-
помощью линейки измеряются расстояния от 1 мм до нескольких десятков мет-
метров. Большие расстояния или размеры недоступных объектов измеряют
методом триангуляции. Для
триангуляции необходима точно
измеренная база ( отрезок OiOs
на рис.3) и точные измерения
углов а.\ и аг, после чего не
представляет труда найти все
расстояния, построив подобный
треугольник и пересчитав
7Т "" /Т длины его сторон на натуру по
1 2 известному коэффициенту по-
Рис.3. Схема триангуляции на плоскости для ,- X
измерения положения точки Ми расстояния до ДобиЯ' Либ° РеШИВ 3адаЧУ оть'-
нее. Для проведения триангуляции необходимо СКания сторон треугольника ме-
задать положение двух базисных тел О, и Ог Тодами тригонометрии.
Триангуляцией измерены

ГЛАВА I
все расстояния на Земле и было определено расстояние до Луны. В по-
последнем случае в качестве базы для триангуляции был выбран диаметр
Земли.
Расстояние до Солнца простым триангуляционным методом измерить
не удается, т.к. диаметр Земли мал по сравнению с расстоянием Земля -
Солнце, и точное измерение этого расстояния требует недостижимой точ-
точности измерения углов и наводки телескопов на некоторую точку Солнца.
Первоначально астрономическая единица (расстояние Земля - Солнце)
была определена следующим образом. Известно, что квадрат времени об-
обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу расстояния от этой
планеты до Солнца. Поэтому, измеряя период обращения какой-либо пла-
планеты в годах, нетрудно получить, что расстояние ее от Солнца в астроно-
астрономических единицах R = т'ъ. Так оказалось возможным построить план
Солнечной системы в каком-то произвольном масштабе. Последний был
точно измерен недавно путем радиолокации Венеры, а в прошлом веке пу-
путем триангуляции маленькой планетки Эроса, которая временами подхо-
подходит достаточно близко к Земле. Измерив астрономическую единицу, ас-
астрономы получили возможность провести триангуляцию некоторых звезд,
взяв в качестве базы диаметр земной орбиты и проводя два измерения
ровно через полгода.
Для далеких звезд метод триангуляции не может дать точных результа-
результатов. Расстояние до них было определено другими методами. В частности,
из наблюдений за близкими звездами удалось установить, что период из-
изменения блеска переменных звезд однозначно связан с количеством лучи-
лучистой энергии, излучаемой звездой за единицу времени, которую называют
абсолютной светимостью звезды J. Расстояние до звезды с известной аб-
абсолютной светимостью нетрудно оценить, измерив количество лучистой
энергии е, попадающей ежесекундно на приемник излучения, и восполь-
воспользовавшись соотношением
где R - расстояние до звезды и S - площадь приемника излучения.
Другой способ измерения астрономических расстояний состоит в том,
что опять же из наблюдений за ближними звездами удалось установить за-
зависимость между цветом звезды и ее абсолютной светимостью. Эту зави-
зависимость дает так называемая диаграмма спектр - светимость, или диа-
диаграмма Герцшпрунга - Рассела. Знание абсолютной светимости позволяет
измерить расстояние по соотношению B). Точность описанных методов
измерения расстояний была проверена путем измерения расстояний до
нескольких ярких звезд, входящих в одно скопление. Результат оказался
достаточно хорошим.
Изучение распределения звезд в пространстве показало, что они груп-
группируются в скопления, называемые галактиками. Размеры разных галактик
оказались близки друг к другу и составляют около 1022см. Это позволило
опять вернуться к триангуляции и по угловому размеру далеких галактик
определить расстояние до них. Так последовательно, шаг за шагом чело-
человеку удалось раздвинуть границы познаваемого им мира до колоссальных
расстояний - 10*8сл4.

ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ
Малые расстояния измеряют при помощи микроскопов. Оптический
микроскоп позволяет измерять объекты, размер которых порядка длины
световой волны. Наиболее совершенные электронные микроскопы разре-
разрешают объекты размером в несколько ангстрем. Более короткие расстояния
определяют по рассеянию атомных частиц.
Относительность длины движущихся тел
При измерении длины движущегося стержня необходимо отметить поло-
положение концов этого стержня в некоторый момент времени, а затем опре-
определить расстояние между этими метками. Но мы уже знаем, что одновре-
одновременность определена только по отношению к конкретной системе отсчета.
Рассмотрим измерение длины какого-то стержня, находящегося в поезде,
наблюдателем Н и пассажиром П из раздела, в котором обсуждался во-
вопрос об одновременности событий. Пусть наблюдатель Н на платформе в
какой-то момент времени одновременно отмечает положение концов
стержня. Пассажир в поезде П заметит, что по его часам Я сначала засе-
засекает положение головы стержня, а затем, спустя некоторое время, отме-
отмечает положение конца измеряемого стержня. Для наблюдателя в поезде
окажется естественным, что по измерениям наблюдателя на платформе
длина стержня окажется несколько меньше, чем получит он сам, будучи
неподвижным относительно стержня. С другой стороны, если П в какой-то
момент времени по своим часам отмечает положение концов стержня, то
наблюдатель на платформе Н увидит это как два события, происходящие в
разные моменты времени: сначала отмечено положение конца стержня, а
затем положение головы. Для него будет совершенно понятно, почему П
получил длину стержня большую, чем дали его собственные измерения с
платформы. Таким образом, оказывается, что наблюдатель, неподвижный
относительно стержня, будет получать длину стержня большую, чем лю-
любой другой наблюдатель, относительно которого стержень движется. Этот
эффект называется релятивистским сокращением длины движущегося
тела.
10

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА
тановленной на запущенной на орбиту спутника Земли
автоматической обсерватории. В результате их установ-
установлено, что /7=70 км/с на один Мегапарсек.
Выразите эту постоянную в стандартной системе еди-
единиц. Какова размерность постоянной Хаббла?
Одним из краеугольных оснований современной физики
является утверждение о том, что ни один объект нашего
Мира не может двигаться со скоростью большей скоро-
скорости распространения световых сигналов в вакууме - ее
обозначают с. Приняв, что самые удаленные галактики
движутся как раз со скоростью с, вычислите на основе
закона Хаббла радиус Мира R. Определите его возраст
как время, прошедшее от момента Большого Взрыва. В
каком отношении находится это время с постоянной
Хаббла?
3. Геометрия Евклида не единственная и никак нельзя
считать, что всегда и везде в физическом мире свойства
геометрических объектов описываются исключительно
геометрией, основы которой установил великий грек и
его менее известные предшественники. Чтобы немного
представить, к каким радикальным переменам привыч-
привычных нам представлений приводит переход в неевклидов
мир, рассмотрим два классических двумерных объекта -
треугольник и окружность, - но не на плоскости, как у
Евклида, а на сфере.
Ограничиваясь лишь самым необходимым и никак не
претендуя на полноту, начнем с обязательных для науки
первичных представлений - их называют определениями
и аксиомами. Прямой линией будем называть линию
наименьшей длины, проходящую через две заданных
точки. На плоскости - это известная из школьной гео-
геометрии прямая. На сфере прямой оказывается дуга
большого круга, или - в понятиях Евклида - линия пере-
пересечения поверхности сферы с плоскостью, проведенной
через две точки на сфере, определяющие прямую, и
центр сферы. Как и на плоскости, через две точки А п В
можно провести единственную прямую, исключая слу-
случай, когда эти точки и центр сферы О лежат на одном
диаметре: через полюса Р и Р' сферы можно провести
сколь угодно много разных прямых. Длина всех прямых
на сфере в отличие от евклидовой конечна, и - еще более
странно - одинакова А расстояние между двумя лю-
любыми точками на сфере не может превзойти некоторую
постоянную. Чему равна эта постоянная9
Назовем окружностью на сфере геометрическое место
точек, находящихся на одинаковых расстояниях от за-
заданной точки - центра окружности. Нетрудно видеть,
12

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1
1. В астрономии в качестве единицы длины исполь-
используются парсек, и световой год. 1 парсек - это расстояние
до звезды в зените, параллакс которой при перемешении
Земли на одну астрономическую единицу ( а.е. ) состав-
составляет одну угловую минуту. 1 световой год - это расстоя-
расстояние, которое свет проходит за один год. Вычислите в ки-
километрах эти единицы длины. Среднее расстояние
Земли от Солнца составляет 1.000 000 23 а.е. и равно 149
598 019 900 м; 1 год содержит 365.242 198 78 средних
солнечных суток ; скорость света в вакууме - с= 299 792
458 м/с. Сколько световых лет в одном парсеке"?
2. По современным представлениям Вселенная образо-
образовалась в результате взрыва сверхплотной горячей смеси
излучения и вещества, приведшего к разлету и охлаж-
охлаждению этой смеси. В результате последовательных пре-
превращений входивших в состав первичного сгустка эле-
элементарных частиц и охлаждения вещество и излучение
на некотором этапе разделились. Затем при дальнейшем
охлаждении вешества электрон и протон соединились в
простейший атом водорода. Далее под действием грави-
гравитации атомы стали собираться в звезды, звезды - в галак-
галактики. В звездах при гравитационном сжатии вспыхнула
термоядерная печка: начались превращения водорода в
гелий и другие процессы, приведшие к рождению ато-
атомов тяжелых элементов и излучению энергии. Интен-
Интенсивность процессов в недрах звезды, а следовательно и
ее эволюция определяется массой. В звездах умеренной
массы выгорание водорода происходит довольно спо-
спокойно: такие звезды не спеша сжигают свое горючее,
уплотняются, остывают и умирают в виде сверхплотных
холодных образований. Массивные звезды эволюциони-
эволюционируют быстро и бурно и, как правило, заканчивают свою
жизнь взрывом, наполняя космос новыми запасами ве-
вещества, из которого всемирное тяготение в свое время
сформирует новые звезды и галактики.
Измерения скоростей движения галактик привело к за-
замечательному открытию: галактики разлетаются друг от
друга и скорость их разлета пропорциональна расстоя-
расстоянию между галактиками - v=H*R. Такой вывод первым
сделал Эдвин Хаббл в 1929 году на основе своих наблю-
наблюдений. В его честь этот результат называют законом
Хаббла, а постоянную Н - постоянной Хаббла.
Измерения постоянной Хаббла имеют исключительное
значение для определения возраста и восстановления
прошлой истории нашего Мира. Наиболее точные изме-
измерения постоянной Хаббла были проведены в самое по-
последнее время с помощью специальной аппаратуры, ус-

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
что для Евклида - это точки, расположенные на линии
пересечения сферы с плоскостью, перпендикулярной к
радиусу, соединяющему центр сферической окружности
с центром сферы. В географии эту линию называют ши-
широтной окружностью на поверхности сферы. Длина этой
окружности зависит от радиуса. Но в отличие от евкли-
евклидовой планиметрии отношение длины окружности на
поверхности сферы к ее диаметру не постоянная вели-
величина, а изменяется с ростом диаметра. Определите, рас-
растет или уменьшается это "число тс" на сфере при увели-
увеличении радиуса окружности. Рассмотрите для этого ок-
окружность бесконечно малого радиуса, окружность, со-
соответствующую экваториальной линии, и окружность
наибольшего диаметра на сфере. Выведите, если смо-
сможете, формулу для "сферического числа тс" в зависимо-
зависимости от широтного угла 9 , отсчитывая его от полярной
оси, проходящей через центр окружности на сфере и
центр сферы.
После определения окружности на сфере не составляет
труда определить угол между двумя пересекающимися
прямыми как отношение длины дуги окружности беско-
бесконечно малого радиуса, стягивающей эти прямые, к ра-
радиусу. Докажите, что это определение приводит к той
же величине угла, что и в евклидовой геометрии.
Угол между двумя произвольными пересекающимися
линиями определим как угол между касательными к
этим линиям прямыми в точке пересечения, а сами каса-
касательные определим как предельное положение прямо-
прямолинейных секущих при сближении точек пересечения к
точке, в которой строится касательная.
Назовем треугольником на сфере фигуру, образованную
тремя отрезками прямых, соединяющих три точки на
поверхности сферы. На рисунке показан один из таких
треугольников APWS. Для плоского треугольника сумма
внутренних углов треугольника равна 2тс. Постоянна ли
сумма внутренних углов треугольника на сфере? Чему
она может быть равна?
И, наконец, что следует назвать параллельными пря-
прямыми на сфере и существуют ли они?
4. Что можно сказать относительно геометрии на по-
поверхности прямого кругового цилиндра? В чем ее ос-
основные особенности? Составьте список вопросов, на ко-
которые следует получить ответ в первую очередь.
13

ГЛАВА II
II. ДВИЖЕНИЕ
Перемещение тела. Траектория. Путь
2 Движение тела в пространстве со-
состоит в изменении со временем его
положения относительно других
тел. Описать движение можно, за-
задав положение тела в каждый мо-
момент времени. Начнем с рассмот-
рассмотрения движения достаточно малого
тела - материальной точки. Поло-
Положение точки М в пространстве оп-
определено заданием трех ее коорди-
координат. В качестве координат могут
быть выбраны декартовы коорди-
координаты х, у, z - расстояния от начала
Рис 1 Цешртова система координат х, у, z отсчета О до проекций точки М на
в пространстве ОМ - радиус-вектор точки взаимно перпендикулярные ОСИ
М, ОМК - его проекция на плоскость XOY OX, OY И OZ (рис.1).
Существует много других возможностей описания положения точки в
пространстве. При этом оси координат могут быть прямыми линиями, но
углы между ними могут быть выбраны непрямыми. Можно в качестве ко-
координатных поверхностей выбирать любые подходящие поверхности. На-
Например, положение точки М определено однозначно, если задано ее рас-
расстояние от начала отсчета г, угол в, который составляет отрезок ОМ с не-
некоторой заранее выбранной осью OZ, и угол а между плоскостью, прохо-
проходящей через ось OZ и точку М, и некоторой ранее выбранной плоскостью,
проходящей через ось ту же ось
(рис. 2). Такая система координат
называется сферической. В геогра-
географии угол в называется широтой,
угол а - долготой точки М на сфере.
Координатные поверхности опре-
определяются условием постоянства
одной из координат. В сферических
координатах это сфера с центром в
начале отсчета и с радиусом г -
const, конус с осью OZ и углом в
между осью и образующей в - const
и плоскость, проходящая через ось
OZ под углом а к некоторой опре-
определенной плоскости, начальной для
отсчета углов долготы. На рис.2 это
плоскость XOZ Задание трех сфе-
сферических координат - это задание
Рис.2 Сферическая система координат r,q,a
в пространстве ОМ - радиус-вектор точки
М, | ОМ | =г - радиус сферы, | О,М | = r-sini? -
радиус окружности q=cons) на поверхности
сферы
трех определенных координатных
14

ДВИЖЕНИЕ
поверхностей, точка пересечения которых определяет положение точкиМ
Новый пример описания поло-
положения точки в пространстве дает
цилиндрическая система коорди-
координат, в которой задаются: расстоя-
расстояние г от оси OZ, расстояние г от не-
некоторой плоскости, перпендику-
перпендикулярной оси OZ, и угол а между на-
начальной плоскостью, проходящей
через ось OZ, и плоскостью OZM,
проходящей через ось OZ и точку
М (рис.3). Координатные поверх-
поверхности в цилиндрической системе:
Рис 3 Цилиндрическая система координат
r,a,ze пространстве ОМ -радиус-вектор
точки М, /О^Ч/- г -радиус цилиндра
прямой круговой цилиндр радиуса
г с осью OZ, перпендикулярная оси
OZ и отстоящая на расстоянии г от
начала этой оси плоскость, и плос-
плоскость OZM, проходящая через ось OZ и точку М, составляющая угол а с
начальной плоскостью XOZ.
Рассмотренные примеры показывают, что существует много разных
способов задания положения одной и той же точки в пространстве. С дру-
другой стороны, понятно, что законы природы не должны зависеть от произ-
произвола в выборе системы координат и для их формулировки надо воспользо-
воспользоваться математическим аппаратом, который тоже не зависит от указанного
произвола. Необходимый аппарат дает векторная алгебра Правила дейст-
действия над векторами, свойства векторных величин, естественно, должны от-
отражать объективные свойства пространства. Опыт показывает, что в на-
нашем мире свойства пространства в большинстве случаев описываются евк-
евклидовой геометрией.
Вектором а будем называть прямолинейный отре-
отрезок, определенный заданием его длины а = |а| и на-
направления. Длину вектора называют модулем.
Положение точки в пространстве можно опреде-
определить, задав вектор ОМ, т.е. задав направление пря-
прямой, проходящей через начало отсчета О и точку М.
„ „ _ Вектор положения точки называют радиусом-векто-
Рис4 Сумма векторов г г
ром точки и обозначают г.
Определим две алгебраические операции над векторами.
1. Произведение вектора а на число X есть новый вектор Ь = Х&, на-
направление которого совпадает с направлением а, если ?^>0, и про-
противоположно а, если Х<0, а длина в X раз больше длины вектора а,
т.е. b = Хз..
2. Суммой векторов а + b назовем новый вектор с, который получа-
получается замыканием двухзвенной ломаной, построенной на векторах а
и b так, что конец вектора а является началом вектора Ь, а начало
вектора с = а + b совпадает с началом а, и конец - с концом вектора
b (рис 4).
15

ГЛАВА II
Нетрудно видеть, что если свойства пространства описываются геомет-
геометрией Евклида, то
a + b = b + a A)
Из рис.1 видно, что r=OM = OMt *МХМ^+М,,,М. Если направле-
направление оси ОХ задать вектором i, длина которого равна единице, направле-
направление оси OY - единичным вектором j, направление оси OZ - единичным
вектором к, то ОМ^ = ix, М^М^, = ]у, М^М = kz и
г = ix + ]у + kz B)
Такая запись радиуса-вектора называется записью в координатной форме,
а х, у, z называют декартовыми координатами радиуса-вектора. Это част-
частный случай задания вектора.
Представление вектора в декартовых координатах единственно, т.к.
проекции его на оси координат ах, Оу, а* определены единственным обра-
образом. Поэтому векторное равенство а = b эквивалентно трем скалярным
равенствам
ах — Ьх, пу —by', az — bz C)
Выбор системы координат для записи векторного равенства в виде
системы скалярных равенств определяется соображениями удобства этой
системы для рассматриваемой конкретной физической задачи, но само
векторное равенство, естественно, от такого выбора никак не зависит. В
этом и состоит преимущество использования векторных величин для за-
записи физических закономерностей.
Из теоремы Пифагора следует, что
При движении тела положение его в пространстве меняется. Это зна-
значит, что радиус-вектор положения тела зависит от времени, что записы-
записывают в виде г = r(t) и говорят, что г есть функция времени. Задание одной
векторной функции времени эквивалентно заданию трех скалярных функ-
функций времени. В декартовых координатах это {x(t),y(t), z(t)}, в сферических
{r@, 6(t), al,t)}, в цилиндрических {r(i), z(t), a(t)} и т.д.
Соединим все точки пространства, в которых на-
находилось тело при движении линией. Эта линия на-
называется траекторией движения тела. Если при дви-
движении тело переместилось из точки А в точку В, то
будем называть перемещением тела вектор
Лг = АВ = ОВ-ОА (рис.5). Этот вектор, вообще го-
Рис.5. Перемещение воря, не совпадает с участком траектории, который
прошло тело в своем движении. Но достаточно малые перемещения могут
быть сколь угодно близки к криволинейной дужке АБ траектории, причем,
чем меньше перемещение, тем ближе хорда АВ к дужке АБ. В пределе
бесконечно малых перемещений направление вектора перемещения сов-
совпадет с направлением касательной к траектории. Таким образом, задание
траектории движения позволяет путем построения касательной опреде-
определять направление движения в каждой точке траектории.
16

ДВИЖЕНИЕ
Траектория - это след движения тела, и как всякий след она дает ин-
информацию о направлении движения, но ничего не говорит о времени, ко-
когда тело находилось в той или иной точке траектории. Характер движения
во времени будем описывать длиной участка траектории, пройденного те-
телом от начального момента времени к моменту t, и будем называть его пу-
путем тела.
Зависимость пути от времени можно изобразить
на графике, откладывая по оси абсцисс время, а по
оси ординат путь. На рис.6 приведен пример гра-
фика пути. В начальный момент тело находилось на
расстоянии So от начальной точки на траектории и
двигалось по направлению к ней. К моменту вре-
времени ti тело приблизилось к начальной точке на
минимальное расстояние и сменило направление
_ „ „ движения. В момент U тело находилось на том же
Рис.6 Зависимость
п тиотв вмени расстоянии от начальной точки траектории, что и в
момент начала движения, и продолжало удаляться
от нее. Знание траектории и пути тела дает полную информацию о его
движении.
Скорость
Движение материальной точки характеризует скорость. При равномерном
движении скорость просто равна пути, пройденному телом за единицу
времени. В общем случае скорость есть предельное значение отношения
малого перемещения Лг к соответствующему малому отрезку времени At,
в течение которого произошло перемещение Дг, при Д?-*0. Записывают
это в виде
, Дг dr
v = km — = —- з г (с\
и называют такой предел производной от г по L Нетрудно видеть, что
скорость - векторная величина, направление которой совпадает с направ-
направлением касательной к траектории тела. Для уяснения смысла величины
скорости рассмотрим часть графика пути, соответствующую движению от
момента времени t до t + At (рис.7).
Величина перемещения за промежуток времени Д* изображается от-
отрезком AS, а отношение AS/At представляет собой тангенс угла наклона
секущей, проведенной через рассматриваемые точки графика пути. При
At-+O секущая вырождается в касательную к графику пути в момент вре-
времени t, и величина скорости
v = tga , F)
где а - угол наклона касательной к графику пути. Так как
Дг = i/lx + jAy + кДг, то
dr ,dx .dy dz
~dl = v = 1~dT+3~dl^~dl' (?)
и составляющие вектора скорости по осям координат
dx _ dy _ dz (8)
х~ dt y dt z dt
17

ГЛАВА II
/ Т
Рис.7. Определение величины скоро-
скорости по графику зависимости пути
от времени.
Итак, если движение задано, т.е. если
задана траектория и путь в зависимости
от времени, то, построив касательную к
траектории, можно узнать направление
скорости, а по тангенсу угла наклона ка-
касательной к графику пути найти величину
скорости. Следует подчеркнуть, что на-
направления векторов v и г не совпадают.
Поставим обратную задачу: по изве-
известной зависимости скорости от времени
найти путь, пройденный телом, и опреде-
определить траекторию. Рассмотрим сначала
прямолинейное движение тела. Пусть за-
зависимость v(t) задана графиком (рис.8).
Разобьем интервал времени от 0 до t на п
малых интервалов Аи и предположим, что
на каждом из этих интервалов скорость
постоянная, т.е. заменим график скорости
показанной на рисунке ломаной. Легко
видеть, что за интервал времени Аи тело
пройдет отрезок пути Asi=v(ti)At. Геомет-
Геометрически это произведение представляет
площадь заштрихованного на рис.8 пря-
прямоугольника. Путь, пройденный телом к
моменту t при скорости, изменение кото-
которой задано ломаной линией, представится
как сумма путей, проходимых телом на
каждом интервале времени:
(9)
Геометрически As - площадь фигуры, ограниченной ломаным графиком
скорости, осью времени, осью скорости и ординатой в конечный момент
времени. При неограниченном увеличении числа звеньев ломаного гра-
графика скорости и одновременном уменьшении длины самого большого
звена ломаный график скорости как угодно близко подойдет к истинному
графику скорости, и сумма (9) будет стремиться к пределу, равному пло-
площади криволинейной фигуры, ограниченной графиком скорости, осью
абсцисс и ординатами начала и конца движения. Этот предел называют
определенным интегралом и обозначают
Рис.8. Вычисление пройденного пути
по известной зависимости скоро-
скорости от времени.
= lim
п t
= lim X^Atj = {v(t)dt.
Так как As=s-so, где so - начальное положение тела, то
t
A0)
A1)
18

ДВИЖЕНИЕ
В случае движения не по прямой линии задание вектора скорости оз-
означает, что известны ее декартовы составляющие. Вычисляя перемещение
тела вдоль осей координат, нетрудно получить:
' \ ' О2)
х =xq + J vx(t)dt; у = у$ + \Vy (i)dt\ z = zq + \ vz(t)dt,
0 0 0
или
' A3)
Тем самым определено положение тела в любой момент времени, и по-
поставленная задача решена до конца. Исключив время из уравнений A2),
т.е. выразив, допустим, из первого из них время t как функцию х и под-
подставляя в два остальных, получим в явном виде уравнение траектории {у =
у(х), z - z(x)}.
Ускорение
Скорость тела, вообще говоря, изменяется во времени. Это изменение ха-
характеризует вектор ускорения
dv
а =
d2r
dt dt2
= r
A4)
Компоненты вектора ускорения в декартовых координатах
dvy _ d2y _ .. dvz
d2x
dt
-'X;
d2z
dt2
¦SZ.
A5)
Вектор ускорения не совпадает по на-
направлению с вектором скорости, т.к. при-
приращение скорости Av, вообще, не парал-
параллельно самой скорости v. Удобно разла-
разлагать вектор ускорения на две составляю-
составляющие: ar - вдоль вектора скорости и а» - по
нормали к скорости. Так как скорость v
направлена по касательной к траектории,
то а, - составляющая ускорения вдоль
траектории, а» - по нормали к траектории.
Для уяснения смысла касательной (тангенциальной) составляющей ус-
ускорения вычислим изменение величины скорости, происшедшее за малый
интервал времени At. Легко видеть, что скорость получит приращения:
aAt вдоль траектории и аЛ1 в нормальном направлении (рис.9). За рас-
рассматриваемый интервал времени величина скорости изменится на
Рис.9. Нормальное и тангенциальное
ускорения и создаваемые ими при-
приращения скорости
2+(апМJ
A6)
Пренебрегая при достаточно малых At квадратичными членами под кор-
корнем и записывая с той же степенью точности Ji + 2axAt/v * 1 + at At/v
19

ГЛАВА И
(это равенство легко проверить взведением в квадрат правой и левой час-
частей его), получаем Ди « ах At. В пределе при Д4-Я)
_ .. Ди _ dv
д<-»о дг dt (!')
т.е. тангенциальная компонента ускорения описывает изменение только
величины скорости.
Отношение anAt к v + axAt определяет изменение направления скоро-
скорости. Если Да - угол, на который повернулся вектор скорости за время At, то
axAt
При малых Да tg(Aa)"Aa и слагаемым QzAt в знаменателе можно пренеб-
пренебречь по сравнению с и. Тогда
anAt Да
Да»—-—иа„«и—. /1Я\
и п At (ls)
Построив перпендикуляры к векторам
скорости в двух соседних точках траекто-
траектории А и В, получим, что они пересекутся в
какой-то точке О, причем, угол АОВ ока-
оказывается равным углу поворота вектора
скорости при переходе из точки А траек-
траектории в точку В (рис.10). Если At - малая
величина, то OB»OA»R, Aw*AB/R<vvAt/R
Рис.10. Радиус кривизны и центр и в пределе при Дг->0 A9) переходит в
кривизны траектории. точное равенство
an=Y' О9)
Величину R называют радиусом кривизны траектории в точке А Таким
образом, нормальная компонента ускорения описывает изменение на-
направления скорости A8) и зависит от радиуса кривизны траектории и ве-
величины скорости.
Движение с постоянным ускорением
Рассмотрим два частных случая движения с постоянным ускорением.
1. Пусть при движении и скорость и ускорение постоянны по величине.
Такое движение возможно лишь в случае, когда ускорение перпендику-
перпендикулярно скорости. Из A9) следует, что в таком случае радиус кривизны тра-
траектории постоянен, т.е. движение происходит по окружности. Это до-
довольно распространенный случай движения.
2. Рассмотрим движение тела из начального положения с начальной ско-
скоростью v0 под действием постоянного ускорения g.
Введем декартову систему координат на плоскости, проходящей через
вектора v0 и g, выбрав в качестве направления оси OYнаправление, про-
противоположное направлению g, и поместив начало системы координат в
точку, из которой начало двигаться тело. В этой системе отсчета движение
по оси ОХ (в дальнейшем будем называть его движением по горизонтали)
20

ДВИЖЕНИЕ
происходит без ускорения, т.е. горизонтальная составляющая скорости иг
постоянна и равна
своему начальному
значению vx=vocosa,
где а - начальное зна-
значение угла наклона
вектора скорости к
горизонту. Движение
по оси OY происходит
с постоянным уско-
ускорением -g и скорость
по вертикали в любой
момент времени
vy = VyQ - gt = uq cosa - gt. Графики компонент скорости и* и vy изобра-
изображены на рис. 11. Вычисляя площадь фигур под этими графиками, можно
получить координаты тела в любой момент времени
gt2
x = v0tcosa; y = votsma——. B0)
Исключив из первого уравнения время и подставляя во второе, получим
уравнение траектории
Рис.П. Зависимость компонент скорости тела, брошенного
под углом к горизонту, от времени.
у = xtana --
8
B1)
2i>o cos a
Это уравнение параболы.
Найдем точки пересечения траектории с горизонтальной осью. Для
этого надо в B1) положить у=0 и найти решения полученного уравнения
8
—
cos a
х =
х,=0; х, =
2i>p sin a cos а ц
B2)
8
= —sin2a.
8
A.5 1 1.5 2
Рис.12. Траектории тел, брошенных под углом к горизонту,
для углов вылета {15°, 30°, 45°, 60°, 75"}
21

ГЛАВА II
Нетрудно видеть, что xi - начальная точка траектории, да - точка падения
тела на горизонтальную плоскость. Дальность полета тела, брошенного со
скоростью vo под углом а к горизонту
L = — sin2a. B3)
g v
Максимальная дальность полета при заданной начальной скорости
достигается при 2а=л/2, т.е. при бросании под углом л/4=45° к горизонту.
При движении по траектории горизонтальная составляющая скорости ос-
остается постоянной, а вертикальная убывает до нуля, а затем меняет знак,
т.е. тело сначала подымается, а потом падает вниз. Максимальной высоты
тело достигает в момент времени, когда vy=0, т.е. спустя время
т=%зша. B4)
от начала движения. Подставляя B4) во второе из уравнений B0), полу-
получаем максимальную высоту подъема тела
Одновременно по горизонтали тело перемещается на расстояние
/ = — sinacosa =^-sin2a = —. B7)
g 2g 2 к '
т.е. максимальной высоты тело достигает как раз посредине траектории.
Графики траекторий тел, выброшенных под разными углами к горизонту,
приведены на рис. 12.
Так как по горизонтали тело движется с постоянной скоростью, то
время полета
К '
и при падении
Vy = Uyo ~ gT - -f о sin a = -VyQ, B8)
т.е. в момент падения скорость тела равна начальному значению скорости,
а направление ее симметрично относительно оси ОХ с направлением ско-
скорости в начальный момент.
Рассмотренный пример движения с постоянным по величине и на-
направлению ускорением осуществляется при движении тел вблизи поверх-
поверхности Земли.
Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси
При вращении вокруг оси скорости разных точек тела оказываются раз-
различными. Однако, все точки тела поворачиваются на один и тот же угол
Дф за промежуток времени At, если тело не деформируется при движении.
Поэтому удобно рассматривать угловое перемещение Дф вместо линей-
линейного перемещения, угловую скорость
<о = ^ = ф B9)
22

ДВИЖЕНИЕ
вместо скорости, и угловое ускорение
dm
a = = a> -
вместо ускорения.
У
dt2
C0)
Если вращающаяся точка находится
на расстоянии г от оси и за время At пе-
перемещается на As=rAcp, то нетрудно заме-
заметить из рис. 13, что компоненты переме-
перемещения рассматриваемой точки по осям
координат просто выражаются через рас-
расстояние ее от оси и угловое перемещение
У
Ах = -As sin <p = -гД<р — = -;уДф,
Ay = As cos <p = гДф — =
откуда
C1)
Рис.13. Вращение материальной
точки вокруг оси перпендикулярной
плоскости рисунка.
vx=-ya, vy=xa.
Ускорение точки вращающегося твердого тела состоит из составляю-
составляющей ат = гш , касательной к траектории точки, т.е. к окружности радиуса г,
и составляющей ап =ч2/г = ш2г, нормальной к траектории, т.е. направ-
направленной по радиусу к оси вращения. Компоненты ускорения в декартовых
координатах оказываются
C2)
2
-<й х,
• 2
ау = <ах-оз
При вращении с постоянной угловой скоростью а = <и = 0 и
ах=* = -«А, ау=^ = -оЛ. C3)
В заключение подчеркнем важные для дальнейшего отношения между
радиусом-вектором точки, скоростью и ускорением при вращении с посто-
постоянной угловой скоростью:
1. Вектор скорости перпендикулярен к радиусу-вектору точки и повернут
относительно последнего на я/2 в положительном направлении.
2. Величина вектора скорости равна радиусу-вектору, умноженному на
угловую скорость <й.
3. Вектор ускорения перпендикулярен к вектору скорости точки и повер-
повернут относительно последнего на я/2 в положительном направлении.
4. Величина вектора ускорения равна вектору скорости, умноженному на
угловую скорость а, или радиусу-вектору, умноженному на квадрат уг-
угловой скорости со знаком минус (~шг).
Сложение скоростей
Положение тела определяется относительно других тел, которые образуют
так называемую систему отсчета. Так, в вагоне поезда можно описать дви-
движение тела относительно вагона, установив зависимость положения тела
f' от показаний часов V в этой системе отсчета. Каким будет это движе-

ГЛАВА II
ние относительно платформы? Для описания движения в системе отсчета,
связанной с платформой, необходимо учесть перемещение вагона, т.е. оп-
определить его положение tq в зависимости от времени t Допустим, что та-
такие измерения сделаны, т.е. известны rg(i) и г'(*'). Каково будет положе-
положение рассматриваемого тела r(i) в момент времени ? по часам, находя-
находящимся на платформе? Пример, рассмотренный в 1. 4, 8, показывает, что
нельзя отождествлять показания подвижных часов с показаниями непод-
неподвижных, т.е. V *t, и нельзя отождествлять измерения длин в разных сис-
системах отсчета, т.е. г' * г - tq . Для того, чтобы получить возможность ис-
использовать измерения подвижного наблюдателя r'{t') для определения
движения тела относительно платформы, необходимо установить соответ-
соответствие между показаниями часов в вагоне V и показаниями часов на плат-
платформе t и соответствие между положением тела г' относительно вагона и
положением его относительно платформы г. Это соответствие должно
быть задано какими-то формулами
t' = t'(t,r,V), r' = r'(i,r,V), C4)
которые называются законом преобразования координат и времени. Здесь
V - скорость движения вагона относительно платформы. Такие формулы
преобразования были получены Г. Лоренцем. Их смысл правильно понял и
объяснил А. Эйнштейн в так называемой специальной теории относитель-
относительности.
Не будем пока касаться этих общих формул преобразования коорди-
координат и времени, а рассмотрим лишь предельный случай движения со скоро-
скоростями, малыми по сравнению с предельной скоростью распространения
сигналов с. Будем считать с бесконечной по сравнению со скоростью ва-
вагона Уи скоростью тела относительно вагона i/. В этом случае сигналы от
двух молний в тот же момент достигнут наблюдателей Я и Я, поезд не ус-
успеет сместиться ни на миллиметр, разности в приходе сигналов из головы
и хвоста поезда ни наблюдатель на платформе Я, ни пассажир в поезде Я
не заметят. Одновременность событий окажется абсолютной. Часы обоих
наблюдателей всегда будут показывать одинаковое время, а измерения
длин тоже не будут различаться, т.е.
t'=t; r' = r-ro=r-V«. C5)
Формулы C6) представляют собой предельные формулы преобразования
одной системы отсчета к другой при V/c«l. Они были известны еще Гали-
Галилею и называются его именем. Из C5) следует, что г = rg +г', т.е. переме-
перемещение за время At окажется Дг = Дго + Дг', откуда следует правило сложе-
сложения скоростей
v = V + v'. C6)
Таким образом, скорость тела относительно платформы просто равна век-
векторной сумме переносной скорости движения вагона V и скорости v'
тела относительно вагона.
24

м
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
1. Выведите формулы преобразования декартовых коор-
координат точки на плоскости при повороте осей координат
на угол а. Найдите обратное преобразование. Покажите,
чтох'+у^ х2+у2.
Решите задачу геометрически, рассмотрев проекции ко-
координатных отрезков на соответствующие оси, и алгеб-
алгебраически, представив радиус-вектор точки М через ко-
координаты и единичные вектора в обеих системах коор-
координат и записав представление единичных векторов
преобразованной системы координат в исходной коор-
координатной системе.
2. Выведите формулы преобразования декартовых коор-
координат точки на плоскости при повороте оси х на угол а,
оси у на угол C и изменении масштабов: вдоль оси х в ?,
раз, вдоль оси,у в 1г раз. Найдите обратное преобразова-
преобразование. Воспользуйтесь алгебраическим методом для реше-
решения задачи.
3. Перепишите полученные в предыдущей задаче фор-
формулы для случая одинакового изменения масштабов
1%-1г=1 и поворота осей навстречу друг другу C =-а.
Выведите соотношение между параметрами преобразо-
преобразования а и 1, чтобы обратное преобразование получалось
из прямого подстановкой штрихованных координат вме-
вместо нештрихованных и наоборот и заменой знака у а.
Покажите, что в этом случае х1'- у'г= х2- у2.
4. Одна из точек пространства (точка О )покоится, а все
остальные разлетаются от нее со скоростями пропор-
пропорциональными расстоянию от О. Какую картину движе-
движения обнаружит наблюдатель, находящийся в движу-
движущейся точке А?
5. Спортсмены бегут колонной длиной I с одинаковой
скоростью v. Навстречу им идет тренер со скоростью и.
Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, развора-
разворачивается и бежит в противоположном направлении с той
же по величине скоростью и. Найти длину колонны, по-
после того, как все спортсмены развернутся.
25

КООРДИНАТЫ. ВЕКТОРА. СКОРОСТЬ. УСКОРЕНИЕ
6 С погружающейся с постоянной скоростью подвод-
подводной лодки подаются короткие звуковые сигналы дли-
длительностью То. Длительность отраженного от дна им-
импульса, принимаемая на лодке, равна Т. Скорость звука
в воде с. С какой скоростью погружается лодка?
7. Сверхзвуковой самолет летит горизонтально. Два
микрофона, находящиеся на расстоянии h друг от друга
на одной вертикали, фиксируют приход звука от само-
самолета с интервалом времени т Скорость звука в воздухе с.
С какой скоростью летит самолет?
8. Два стержня пересекаются под углом 2а и движутся с
равными скоростями v в перпендикулярном стержню
направлении. Найти скорость перемещения точки пере-
пересечения стержней. Связано ли с этой точки движение
каких-либо точек стержней?
9. Автомобиль движется со скоростью v мимо длинной
стены под углом а к ней. В момент, когда расстояние до
стены равно I, автомобиль подает короткий звуковой
сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до мо-
момента, когда шофер услышит эхо? Скорость звука в воз-
воздухе с.
10. При упругом ударе шара о гладкую неподвижную
стенку угол падения равен углу отражения. На какой
угол у развернется вектор скорости шара после двух со-
соударений со стенками, угол между которыми равен а?
Как будет двигаться шар, если а=тс/2? Движение проис-
происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам
11. Между вертикальными стенками, установленными на
расстоянии L друг от друга, упруго отражаясь от стенок,
очень быстро движется диск радиуса R. По диску произ-
производится стрельба наугад, так что пули направляются в
пространство между стенок на высоте R и перпендику-
перпендикулярно скорости движения диска. Нарисуйте график ве-
вероятности попадания в диск в зависимости от расстоя-
расстояния точки прицеливания от стенок Чему равна эта ве-
вероятность? Рассмотрите случаи: L>4R, 4R>L>2R.
26

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
12 Из сферического аквариума радиуса R, заполненного
водой наполовину, с каждой единицы поверхности за
секунду испаряется объем жидкости д Через какое
время вода в аквариуме испарится?
13. Тело начинает движение из точки А, в течение вре-
времени т движется равноускоренно, после чего продол-
жает движение, изменив знак ускорения на противопо-
противоположный. Спустя какое время от начала движения, тело
вернется в исходную точку А?
14. Камень бросают со скоростью v под углом а к гори-
горизонту. Через какое время скорость будет составлять угол
C с горизонтом?
15. Шар радиуса R стоит на земле. При какой наимень-
наименьшей скорости на поверхности земли брошенный камень
может перелететь через шар? На каком расстоянии от
шара и под каким углом к горизонту он должен быть
брошен?
16. Из лежащего на земле шланга бьет под углом 45° к
горизонту вода с начальной скоростью 10 м/с. Опреде-
лите массу воды, находящейся в воздухе.
17. По внутренней поверхности гладкого вертикального
цилиндра радиуса JR запускают шарик под углом о к об-
образующей цилиндра. Какую начальную скорость надо
сообщить шарику, чтобы он вернулся в исходную точку?
18. Начальное положение и векторы скоростей двух ко-
кораблей показаны на рисунке. Корабли движутся без ус-
ускорения. Как найти наименьшее расстояние между
ними. Решите задачу, произведя необходимые геомет-
геометрические построения циркулем и линейкой.
27

КООРДИНАТЫ. ВЕКТОРА. СКОРОСТЬ. УСКОРЕНИЕ
19 Тело движется по окружности радиуса г со скоро-
скоростью, которая линейно увеличивается во времени: v^at.
Найдите зависимость от времени модуля ускорения тела
и угол между вектором ускорения и радиусом-вектором
положения тела.
it 1
90*
20. Корабль следует прямым курсом, проходящим на
расстоянии 1 мили от порта, со скоростью 20 узлов. Ка-
Катер, скорость которого 12 узлов, выходит из порта в са-
самый последний момент, когда он может проплыть рядом
с кораблем. Где пересекутся курсы корабля и катера? На
каком расстоянии от порта находится корабль, когда ка-
катер покидает порт?
21. Буер представляет собой парусные сани и может
двигаться лишь по линии, вдоль которой направлены его
коньки. Ветер дует со скоростью v, перпендикулярной
движению буера, парус установлен под углом 30° к на-
направлению коньков. Определите максимальную воз-
возможную скорость буера.
22. При лобовом упругом ударе тела о неподвижную
стенку скорость v изменяется лишь по направлению.
Найдите, как изменится скорость тела после удара, если
стенка движется: а) со скоростью и навстречу телу; б) со
скоростью w<u в направлении движения тела.
23. Шарик, которому сообщена горизонтальная скорость
и, падает на горизонтальную плиту с высоты h и после
удара отскакивает. При каждом ударе горизонтальная
компонента скорости не меняется, вертикальная v
уменьшается, принимая значение ecu. Определить, на
каком расстоянии прыжки шарика прекратятся.
24 Тело начинает падать с высоты h без под действием
своего веса на горизонтальную плиту, движущуюся
вверх с постоянной скоростью и. Определите время ме-
между последовательными ударами тела о плиту. Удары
абсолютно упругие.
28

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
25. На клине с углом <х лежит монета. С каким наимень-
наименьшим ускорением должен двигаться клин вдоль горизон-
горизонтальной плоскости, чтобы монета свободно падала вниз?
26. На рисунке показан вектор скорости тела, соскаль-
соскальзывающего с клина. Геометрическим построением най-
найдите скорость клина.
к_ 27. Привязанная к лодке веревка переброшена через
v столб. Лодка движется со скоростью и, образуя в неко-
некоторый момент угол а с веревкой. С какой скоростью
надо в этот момент выбирать свободный конец веревки,
чтобы она не провисала?
28. Четыре черепахи, расположенные в вершинах квад-
квадрата со стороной а, одновременно начинают ползти друг
за другом со скоростью v. Каждая черепаха ползет точно
по направлению к соседней слева от нее. Определить,
где и когда встретятся черепахи.
29. Верхний конец бревна длиной L, опирающегося
своими концами о пол и стену комнаты, поднимают со
скоростью v. Найдите скорость второго конца бревна. В
начальный момент бревно лежало на полу перпендику-
перпендикулярно стене и упиралось своим концом в стену.
30. Цилиндр выталкивают из угла между стержнем и
плоскостью, поворачивая стержень с угловой скоростью
<й. Найти угловую скорость цилиндра в зависимости от
угла а. Проскальзывания между цилиндром и горизон-
горизонтальной плоскостью нет.
29

ГЛАВА III
ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
III. СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА
Закон инерции
В 17 веке Галилей ставил опыты по скатыванию шаров с наклонной плос-
плоскости. Оставляя высоту вертикальной стойки АВ постоянной и меняя
длину наклонной плоскости ВС (рис.1) он заметил, что на более пологой
плоскости движение шарика происходит дольше, а изменения его началь-
начальной скорости оказываются небольшими. Одновременно Галилей заметил,
что результат зависел от качества поверхностей шарика и плоскости. На
основании таких наблюдений Галилей предположил, что в предельном
случае очень пологой наклонной плоскости движение идеального шарика
q по идеальной плоскости будет
С, происходить неограниченно
долго с постоянной скоростью.
Этот вывод, что раз начавшееся
движение тела всегда продол-
n \^i ^-о-^ жается с постоянной скоро-
Рис! Схема опытов Г Галилея с движений ' стью- если на тело не Действуют
тела по наклонной плоскости другие тела, получил название
закона инерции.
Глубокие соображения о сохранении движения были у Аристотеля. Он
полагал, что в пустом пространстве тело, приведенное в движение, не ос-
остановится: "Ибо почему оно остановится здесь, а не там?" Действительно,
если пространство само по себе однородно, т.е. ни одна точка в нем не от-
отличается от другой, то почему некоторая точка в нем может оказаться
предпочтительнее другой для остановки тела или для изменения направ-
направления движения тела вправо, а не влево? Поэтому в однородном про-
пространстве движение тела, не испытывающего никаких воздействий со сто-
стороны других тел, должно происходить с постоянной по величине и на-
направлению скоростью.
Масса тела
При взаимодействии тел закон движения их уже не сводится просто к со-
сохранению скорости. Однако, некоторые величины, характеризующие дви-
движение тел, сохраняются. Выясним, какие это величины, и сформулируем
соответствующие законы, описывающие взаимодействие тел.
Закон инерции - простейший закон движения. В его формулировке нет
никаких характеристик тела: нет размеров, не учитывается, из каких ато-
атомов построено тело и т.п. С другой стороны, понятно, что взаимодействие
тел должно определяться не только их скоростями, но и самими телами.
Используя движение на воздушной подушке, можно поставить опыты,
в которых воздействие других тел на движущее тело почти целиком ском-
скомпенсированы. Для этого насверлим в трубе прямоугольного сечения боль-
большое количество мелких отверстий, сквозь которые продувается воздух. На
трубу поместим тело с угловым пазом, которое под действием струек воз-
30

СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА
духа повисает на некотором расстоянии от трубы (рис.2). При движении
тело испытывает очень малое воздействие со стороны других тел, трение
почти отсутствует, и, многократно отражаясь от пружинок, закрепленных
на концах трубы, тело очень долго продолжает двигаться с почти постоян-
постоянной по величине скоростью.
Поставим на таком устройстве (будем
называть его воздушным желобом) опыты
по приведению в движение двух тел пу-
путем расталкивания их сжатой пружинкой,
помещенной между телами. Если взять
два совершенно одинаковых тела, сде-
сделанных, допустим, из алюминия, то ясно,
что в симметричном опыте движение та-
таких тел окажется симметричным, т.е. ско-
скорости каждого из них после расталкива-
расталкивание 2 Воздушный желоб Ния будут одинаковыми. С другой сто-
Струйки воздуха создают давление, poHb!i п „ СТОЛ1Шовении Двух совершенно
друг другу с одинаковыми скоростями,
тело, образующееся после удара и слипания соударяющихся тел, должно в
силу симметрии покоиться, т.к. нет причин для предпочтения движения в
одну сторону перед движением в другую. Опыт на воздушном желобе по-
показывает, что после расталкивания из середины желоба тела отражаются
от концов прибора и снова сталкиваются как раз посередине трубы, при-
причем при слипании соударяющихся тел образовавшееся тело покоится.
Можно нарушать полную симметрию опыта, заменив одно из тел на
тело, сделанное из другого материала, например, плексигласа. Можно за-
затем подобрать одно из этих плексигласовых тел так, что при расталкива-
расталкивании пружинкой оно приобретет ту же скорость, что и другое тело из алю-
алюминия. Тем самым устанавливается, что способность тела приобретать
скорость не зависит от атомов и молекул, из которых сделано тело, не за-
зависит от формы тела, а является некоторой объективной характеристикой
самого тела. Назовем эту характеристику массой. Будем считать, что два
тела, получающие при расталкивании пружинкой на воздушном желобе
одинаковую скорость, обладают и одинаковой массой. Выбрав в качестве
эталона массы некоторое определенное тело A кг есть масса 1 литра чис-
чистой воды при 0°С и давлении 760 мм рт столба), можно на воздушном
желобе сравнивать другие тела с этим эталоном и изготовить сколько
угодно копий эталона. Отдельными опытами можно убедиться, что масса
сложного тела равна сумме масс составных частей, что позволяет создать
тела, масса которых кратна массе эталона, - создать разновесы в 2 кг, 5 кг,
10 кг, 100 г и т.д. После таких действий можно определить массу любого
тела и приписать каждому телу определенную количественную характери-
характеристику, определяющую способность тела изменять свою скорость под влия-
влиянием толчка пружины Масса тела оказывается количественной мерой
инертности тела, т.к. опыт показывает, что более массивное тело меньше
изменяет свою скорость под действием того же толчка пружины.
31

ГЛАВА III
Закон сохранения импульса
Импульсом тела называют векторную величину
p = mv. A)
Опыт показывает, что как бы ни взаимодействовали тела, импульс системы
тел сохраняется, т.е. если в результате взаимодействия тел т», двигавшихся
со скоростями V;, образовались тела массами /4, имеющие скорости Uj, то
V V B)
Закон сохранения импульса при взаи-
взаимодействии двух тел следует из экспери-
экспериментов. На рис.3 показано последователь-
последовательное положение двух одинаковых бильярд-
бильярдных шаров через равные промежутки вре-
времени при их соударении. До удара один из
шаров покоился. Такую картинку можно
РисЗ. Соударение двух шаровой- получить, фотографируя соударение при
наковой массы Второй шар до освещении шаров светом мигающей
удара покоился Изображены поло- лампы. Так как вспышки происходят через
жения шаров через равные проме- равные промежутки времени, то расстоя-
жутки времени ние между последовательными положе-
положениями шаров на фотографии пропорциональны скоростям. В рассматри-
рассматриваемом опыте массы шаров одинаковы, и их импульсы пропорциональны
перемещениям каждого из шариков. Векторная диаграмма перемещений
приводит к закону сохранения импульса.
В экспериментах, подобных описанному, можно убедиться, что закон
сохранения импульса выполняется для любых взаимодействующих тел и
любых скоростей этих тел перед соударением, т.е. справедлив всегда.
Принцип относительности Галилея
Многочисленными опытами установлено, что механические явления про-
протекают одинаково в любых системах отсчета, если их скорость относи-
относительно друг друга постоянна по величине и направлению. Это означает,
что если бы опыты, описанные в предыдущем параграфе, были проведены
в какой-то лаборатории и в вагоне поезда, движущегося относительно ла-
лаборатории равномерно и прямолинейно, то результаты опытов ничем не
отличались бы друг от друга. Так, при разлете одинаковых масс их скоро-
скорости относительно вагона были бы одинаковы, а при столкновении и слипа-
слипании одинаковых тел, двигавшихся перед ударом с одинаковыми скоро-
скоростями, образовавшееся тело оставалось бы в покое относительно вагона,
независимо от того, с какой скоростью движется вагон. Ни один экспери-
эксперимент в движущемся вагоне не противоречил бы закону сохранения им-
импульса. Опыты на кораблях, движущихся без качки и вибраций, в вагонах,
движущихся без ускорения по прямому пути, в самолетах, летящих с по-
постоянной скоростью, все без исключения приводят к одинаковым резуль-
результатам, если тела, участвующие в опытах, и начальные условия опыта были
одинаковы. Этот замечательный результат, что законы природы не изме-
32

СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА
няются от того, движемся ли мы прямолинейно с постоянной скоростью
или стоим на месте, получил применительно к механическим явлениям на-
название принципа относительности Галилея.
Принцип относительности и закон сохранения импульса
Принцип относительности, правило Галилея для преобразования скоро-
скоростей и предположение, что инерциальные свойства тел не зависят от ско-
скорости движения, приводят вместе с законом сохранения импульса B) к
одному интересному выводу. Рассмотрим столкновение масс т., результа-
результатом которого будет разлет масс juj, из движущейся со скоростью V сис-
системы отсчета. В этой системе отсчета скорости тел до соударения были
vj = v; - V , а после удара uj = Uj - V. Закон сохранения импульса в дви-
движущейся системе отсчета дает
„1 ,.\ l-\ jml
откуда
1-1 1=1 у-1 У«1
и в силу B) немедленно следует равенство суммы масс тел перед ударом
сумме масс тел после удара
Z Z, C)
.•1 J.I v '
Следует подчеркнуть, что вывод о сохранении суммы масс взаимодейст-
взаимодействующих тел получен в предположении справедливости закона сложения
скоростей (II, 36) и определения импульса тела просто как произведения
массы тела на его скорость. Эти предположения, в определенной мере
произвольны, и при необходимости могут быть уточнены. В частности,
правило Галилея для сложения скоростей неверно при больших скоростях
движения, а вместе с ними оказывается неверным и вывод C) о сохране-
сохранении суммы масс. Обратим внимание так же на то, что так как правило
сравнения масс двух тел было сформулировано применительно к случаю
движения этих тел в противоположных направлениях, но с одинаковыми
по величине скоростями, то ему никак не противоречит предположение,
что импульс тела может быть представлен более сложным, чем A) соот-
соотношением
P = if(|v|)mv, D)
где g(|v|) - некоторая функция от модуля скорости '>.
Закон сохранения импульса, принцип относительности и предположе-
предположения об однородности пространства связаны между собой. Покажем это на
нескольких примерах. Рассматривая столкновение двух одинаковых масс,
движущихся навстречу друг другу с одинаковыми по величине скоро-
скоростями, мы установили, что результатом удара и слипания тел будет покой
образовавшегося тела. Посмотрим на то же столкновение из вагона, дви-
движущегося с одним из тел. В этой системе отсчета мы наблюдаем столкно-
столкновение тела, движущегося со скоростью 2v с покоящимся телом такой же
33

ГЛАВА 111
массы. Тело 2m, образовавшееся в результате удара, в подвижной системе
отсчета имеет скорость v в направлении налетающего тела. Легко видеть,
что в рассматриваемом случае выполняется равенство
m2u + mO = 2тои.
Если два тела с одинаковыми массами сталкиваются, имея скорости vj
и V2, то в системе отсчета, связанной с телом 2, это будет наблюдаться как
столкновение тела 1, налетающего со скоростью (vj - v2) на равное ему
по массе покоящееся тело 2. После столкновения образуется тело массой
2т, скорость которого равна половине скорости налетавшего тела, т.е.
равна (v} - v2)/2. В неподвижной системе отсчета скорость тела 2т будет
(vj-v2)/2 + V2 =(v| + Уг)/2, откуда следует закон сохранения импульса
при соударении тел одинаковой массы
v. + v,
mv, +mv, = 2m—-—.
Этим показано, что закон сохранения импульса для двух тел одинаковой
массы следует из принципа относительности и предположения об одно-
однородности пространства.
Рассмотрим взаимодействие тел разной
массы. Покажем, как некоторыми рассуждениями
можно придти опять к закону сохранения им-
импульса. Начнем с распада покоящегося тела Зто
на т и 2т (рис.4). Пусть т двинулось после рас-
распада со скоростью -и. Какова скорость тела 2т?
Представим, что распад произошел следующим
образом: сначала образовались три тела с одина-
одинаковыми массами т, затем два соседних одинако-
одинаковых тела двинулись в противоположные стороны
с одинаковыми по величине в силу симметрии
скоростями v, и, наконец, в результате столкнове-
столкновения и слипания второго тела с третьим образовалось тело массой 2т. Из
предыдущего следует, что после соударения второго тела с третьим ско-
скорость образовавшегося тела массой 2т будет и/2. Этими рассуждениями
удалось показать, что при распаде на два тела разных масс импульсы обра-
образовавшихся тел равны по величине и противоположны по знаку друг
другу, а общий импульс системы тел остался без изменения.
Рассматривая описанный процесс из системы отсчета, движущейся
вправо со скоростью и/2, мы увидим, как тело массой Зто, движущееся
влево со скоростью и/2, распалось на тело массой 2т, которое останови-
остановилось, и на тело массой /п, движущееся влево со скоростью 3/2и. Нетрудно
заметить, что импульс системы тел при таком распаде остался неизменным
Зт- = то— + 2тО.
Рассматривая распад и столкновение тел в несколько этапов, можно
всегда приходить к закону сохранения импульса. Так, столкновение m и
Зт можно рассмотреть сначала как столкновение т+т=2т, а затем столк-
Ът
т
т
т
т+т=2т
u=v/2
Рис.4. Распад покоящегося
тела Зт на тела т +2т.
34

СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА
т
Зт
т=2
и=0
т+т=2т
0
2т+2т=4т
/4
Рис.5. Неупругое соударение
тела т с телом Зт.
новение 2т+2т (рис.5). Если рассмотрение
проводится из системы отсчета, в которой тело
Зт покоилось до удара, а тело Зт двигалось
со скоростью v, то в результате рассматривае-
рассматриваемой последовательности соударений тело 4т
получит скорость и/4 и будет двигаться в ту же
сторону, в которую двигалось налетающее
тело, т.е. опять выполняется закон сохранения
импульса mu + 3mO = 4m-.
Проявив достаточную изобретательность в разложении некоторого
взаимодействия на последовательные взаимодействия тел одинаковых
масс, можно из принципа относительности и предположений об однород-
однородности пространства придти к выводу о сохранении импульса взаимодейст-
взаимодействующих тел.
Движение ракеты
Закон сохранения импульса позволяет проанализировать движение ра-
ракеты. Ракета - тело переменной массы, т.к. часть ее массы постоянно вы-
выбрасывается в виде продуктов сгорания. Пусть ракета массой т, выбросив
массу газов Дт, со скоростью и относительно ракеты, увеличивает свою
скорость на Аи. Сохранение импульса приводит к уравнению
тДу-Дтгм = 0.
Так как истечение Д/пг означает изменение массы ракеты на величину
Дт=- Дтг, то уравнение движения ракеты имеет вид
Дт
Ди
E)
Рассмотрим процесс ускорения ракеты, предполагая, что выброс газов
происходит небольшими порциями, всякий раз составляющими lln долю
массы ракеты в момент выброса, т.е. &т=-т/п. Тогда после каждого вы-
выброса скорость ракеты возрастает на величину Av=u/n, а масса ее умень-
уменьшается в A-Ш) раз. Спустя некоторое время, в течение которого про-
произошло k таких выбросов, скорость ракеты будет v=ku!n, а масса тоA-
l/n)k, где то - стартовая масса ракеты с топливом, пассажирами и послед-
последней ступенью. Исключив из полученных соотношений к, можно получить,
что к моменту времени, когда скорость ракеты равна v, ее масса будет
В действительности истечение газов происходит не порциями, а не-
непрерывно, и ракета ускоряется плавно, а не толчками. К этому случаю
можно перейти, предположив порцию выбрасываемых газов малой, т.е.
совершив в F) предельный переход при п.-*». Математики доказали, что
lunfl--
/I—>ool П
= е
-1
G)
35

ГЛАВА III
где е=2.71828...- некоторое
число, выражающееся бес-
бесконечной непериодической
десятичной дробью. Из F)
предельным переходом по-
получаем
т = тое-°/и (8)
Зависимость т/то от v/u
приведена на рис.6. Для
достижения ракетной ско-
скорости, равной скорости га-
газов, необходимо чтобы
масса ракеты на старте пре-
превосходила полезную на-
нагрузку в е раз, т.е. в 2,7 раза.
Для достижения 2и необхо-
необходимо на старте иметь массу ракеты то 7,4 раза большую полезной нагрузки
ракеты. При v=3u то=е?*3&.
Пример. Полезный груз спутника 100 кг. Найти стартовую массу ракеты,
если и = 1 км/сек. Так как скорость спутника вблизи поверхности Земли
и=8 км/сек, то из F) т«=100е8=100е3е3е2=100-20-20-7.4а300 тонн.
Если v = 2 км/сек, то ото=100е4=100е3е=100-20-2.7=5 4 тонн
Из этого примера видно, что совершенствование ракетного топлива,
приводящее к удвоению скорости истечения газов, существенно умень-
уменьшает стартовый вес ракеты.
т 1
т0
о.в
0.6
0.4
0.2
у
Ts 1 П a iti Г и
Рис 6. Зависимость отношения полезной нагрузки
ракеты к стартовой массе от отношения скорости
ракеты v к скорости истечения газов и.
36

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III
Р,
ч-т
1. Какую массу топлива нужно выбросить со скоростью
Зи относительно ракеты массой М, чтобы ее скорость
увеличилась от v до Liu?
2. Определите отношение масс соударяющихся тел, одно
из которых до столкновения покоилось, если после ло-
лобового удара они разлетаются с одинаковыми по вели-
величине скоростями.
3. Движущееся тело распадается на два осколка с им-
импульсами pi и рг, направленными под углом в друг к
другу. Определите импульс распавшегося тела.
4. Тело массой М, летящее со скоростью и, распалось на
два осколка, массы которых равны m и М-пг. Скорость
тела массой т равна v и направлена перпендикулярно
скорости и. Чему равна скорость второго тела?
5. На гладком полу стоит сосуд, часть объема которого
величиной Vo заполнена водой с плотностью ро. На дне
находится жук, тело которого сделано из материала с
плотностью р и занимает объем V. С какой скоростью
будет двигаться сосуд, если жук начнет бежать по дну со
скоростью и относительно сосуда? Массой сосуда пре-
пренебречь.
6. Человек находится на конце доски, лежащей на абсо-
абсолютно гладком льду. Под каким углом он должен прыг-
прыгнуть, чтобы попасть на другой конец доски. Масса пры-
прыгуна М, его скорость при прыжке с места на грунте v,
масса доски т, длина I. Во сколько раз изменится даль-
дальность прыжка по сравнению с прыжком с места на
грунте?
im.
7. Деревянный шар массой М лежит на тонкой под-
подставке. Снизу в шар попадает вертикально летящая пуля
массой т и пробивает его, после чего шар подскакивает
на высоту h. На какую высоту поднимется пуля над под-
подставкой с шаром, если ее скорость перед ударом о шар
была ио? Считать, что скорость пули при прохождении
ее сквозь подставку не изменяется.
37

СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА
8. Артиллерист стреляет из пушки ядром массой т так ,
чтобы оно упало в неприятельской крепости на расстоя-
расстоянии L от пушки. В момент выстрела на ядро вскакивает
барон Мюнхгаузен, масса которого М=5т. Определите,
какую часть пути до неприятеля ему придется идти пеш-
пешком.
9. В сферической оболочке проделаны две расположен-
расположенные противоположно друг другу дырки, видимые из
центра сферы под малыми телесными углами 6П, и 6П2.
В центре оболочки разрывается на мелкие осколки ядро.
Взрыв сферически симметричен. Осколки, попавшие на
внутреннюю поверхность оболочки прилипают к ней.
Определите скорость сферы после взрыва, если масса ее
равна массе ядра, а скорость осколков и.
Как изменится ответ, если дырки расположены не про-
противоположно друг другу? Какие изменения в него сле-
следует внести, если телесные углы нельзя считать малыми?
10. На дне маленькой пробирки длиной I сидит муха,
масса которой равна массе пробирки. Пробирка подве-
подвешена над столом на нити, расстояние от дна пробирки
до стола I. Нить пережигают и во время падения муха
перелетает со дна в самый верх пробирки. Определить
время, через которое нижний конец пробирки стукнется
о стол.
38

ГЛАВА IV
IV. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
Сила. Определение и закон динамики
Изолированное тело движется по инерции, т.е. с постоянной по величине
и направлению скоростью, импульс его постоянен. Он изменяется только
при взаимодействии с другими телами. В этом случае говорят, что на тело
подействовала сила. И. Ньютон предложил назвать силой вектор f, опре-
определяемый соотношением
,dp A)
df
Изучая взаимодействие тел, можно определить скорость изменения
импульса р одного из тел и, использовав A), установить, какая сила по-
подействовала на это тело со стороны других тел. Так, наблюдая движение
планет вокруг Солнца, можно изучить гравитационную силу и установить,
какими характеристиками тел она определяется и как зависит от взаимного
расположения этих тел. Наблюдая взаимодействие движущихся электри-
электрических зарядов, можно определить силы, действующие между ними.
Опыты по взаимодействию частиц с атомом или ядром дают информацию
об атомных или ядерных силах. Оказывается, в природе существует совсем
немного основных типов взаимодействий и соответствующих им так назы-
называемых фундаментальных сил. Опыт показал, что кроме названных ранее
гравитационного и электромагнитного к фундаментальным следует отне-
отнести взаимодействие массивных элементарных частиц типа протона или
нейтрона, являющихся основными "кирпичиками", из которых построены
ядра атомов, и взаимодействие, ответственное за превращение изолиро-
изолированного нейтрона в протон с одновременным образованием в этой реак-
реакции электрона и легкой нейтральной частицы - так называемого нейтрино.
Первое из этих взаимодействий назвали сильным, второе - слабым. При-
Природа распорядилась так, что абсолютно все взаимодействия в нашем Мире
можно представить как комбинацию перечисленных фундаментальных.
Тем самым оказалось, что выделив и изучив фундаментальные взаимодей-
взаимодействия, можно из самой физической природы тел заранее сказать, какая
сила будет действовать между ними. После этого возникает новая ситуа-
ситуация: теперь, когда сила заранее известна, определение Ньютона A) можно
прочитать справа налево, обратив его в уравнение
<2р
dF B)
Проинтегрировав это уравнение по времени один раз (дело сводится к
вычислению площади криволинейной фигуры на графике зависимости
силы от времени), можно получить импульс тела в зависимости от вре-
времени. Затем нетрудно определить скорость и еще одним интегрированием
определить положение тела в пространстве в любой момент времени, ре-
решив задачу о движении тела до конца. Тем самым предложенное И. Нью-
Ньютоном соотношение A) из определения силы превратилось в закон дина-
динамики B). Исторически сложилось, что этот закон называют основным за-
законом динамики, или по имени автора вторым законом Ньютона.
39

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
При малых скоростях движения уравнение B) упрощается до
тя={. C)
Свойства сил
Проанализируем, к каким последствиям приводит определение силы и пе-
перечислим основные свойства, которыми должна обладать эта новая мера
физического взаимодействия между телами в природе.
1. Так как импульс и его производная по времени - вектора, то сила тоже
вектор.
2. Из закона сохранения импульса при взаимодействии только двух тел
т.е. сила fjj, действующая на первое тело со стороны второго, равна по
величине и противоположна по направлению силе f%i действия на второе
тело со стороны первого. Соотношение D) выражает так называемый за-
закон равенства действия и противодействия, тоже установленный Ньюто-
Ньютоном (третий закон Ньютона). Надо подчеркнуть, что силы f12 и f2j - раз-
разные силы и приложены к разным телам, а факт их равенства - один из уди-
удивительных законов мира, в котором мы живем, и следует этот факт из за-
закона сохранения импульса, который, в свою очередь, связан со свойствами
пространства.
3. Из закона сохранения импульса для системы тел следует
Здесь fj - сила, действующая на i-тое тело со стороны всех остальных тел.
Полную систему всех взаимодействующих тел будем называть замкну-
замкнутой. Силы, действующие между телами, входящими в рассматриваемую
систему, назовем внутренними. Соотношение E) выражает закон равен-
равенства нулю суммы внутренних сил замкнутой системы.
4. Применение закона о сумме внутренних сил к системе из трех тел дает
fIB+3) + f2(l+3) + f3(l+2) =0,
где fjB+3)" сила, действующая на первое тело со стороны второго и
третьего тел, и т.д. Безусловно, сила fiB+3) определяется силами f12 и fj3
попарного взаимодействия первого тела со вторым и третьим. Но как? За-
Заранее это неизвестно. Эксперимент показывает, что взаимодействие двух
тел не зависит от наличия третьего ( во всяком случае при не чересчур
сильных взаимодействиях) и
^1B+3) =^12 +fl3> F)
Это свойство выражает очень важный закон силового взаимодействия,
называемый принципом суперпозиции сил.
Справедливость принципа суперпозиции приводит к тому, что взаимо-
взаимодействие любого тела с другими телами можно представить как геометри-
геометрическую сумму сил по парного взаимодействия, каждая из которых не зави-
зависит от того, взаимодействует ли рассматриваемое тело только с одним те-
телом или сразу с большим количеством тел. Закон равенства действия и
40

противодействия приводит при этом сразу к равенству нулю суммы внут-
внутренних сил любой системы тел. Покажем это на примере взаимодействия
трех тел
flB+3) + f2(l+3) + f3(l+2) = fl2 + f13 + f21 + f23 + f31 + f32 =
= (fl2 + f2l) + (fl3 + hi) + (f23 + h2) = 0
Внешние силы. Движение системы тел
Рассматривать только замкнутые системы оказывается не всегда возмож-
возможным, т.к. количество взаимодействующих тел может быть столь большим,
что практически нельзя учесть все возможные взаимодействия. В этом
случае рассматривается только часть замкнутой системы, а взаимодействие
рассматриваемых тел с остальными телами, не входящими в систему, ха-
характеризуется внешней силой F,, приложенной к i- тому телу. Уравнение
движения любого тела в этом случае следует записать в виде
dPi - f + F
"dT"^ Fl" G)
Здесь fj - внутренняя сила, действующая на i-тое тело со стороны всех тел,
входящих в рассматриваемую систему. Сложив все п уравнений системы
G), получаем
| (8)
at . . .
n n
Ho ^Pi = P- полному импульсу системы тел, а ?fj = 0 в силу равенства
i i
действия и противодействия и принципа суперпозиции. Сумму внешних
п
сил ^Fj обозначим F и будем называть равнодействующей внешних сил.
i
Теперь (8) запишется в виде
Ap-F
dt (9)
Таким образом, полный импульс системы тел определяется только равно-
равнодействующей внешних сил, а уравнение (9), описывающее это изменение,
эквивалентно основному закону динамики для одного тела B). Нетрудно
видеть, что если равнодействующая внешних сил равна нулю, то полный
импульс незамкнутой системы постоянен, т.е. в таком случае незамкнутая
система ведет себя в смысле сохранения импульса как замкнутая.
Центр масс. Движение центра масс под действием внешних сил
Пусть положение массы mi в некоторый момент времени описывается ра-
радиусом-вектором г,, а положение тг радиусом-вектором тг. Назовем цен-
центром масс системы mi и тг точку
7П1+7П2
Скорость центра масс
41

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
Р
V Т .
7П1+/П2 m.i+m.2 M
Здесь Р- импульс системы тел, М- сумма всех входящих в нее масс.
Обобщение формул A0) и A1) на случай п масс приводит к
2Х
A2)
v = -J = -L A3)
rt м
I
Введение центра масс позволяет переписать закон движения системы
тел под действием внешних сил (9) в виде
M"? = F' A4)
Это уравнение по форме совпадает с уравнением движения одной массы
М под действием силы F. Таким образом, действие внешних сил на сис-
систему тел сводится к тому, что центр масс системы движется как матери-
материальная точка массы М, на которую действует равнодействующая внешних
сил. Этот результат называется теоремой о движении центра масс.
Рассмотрим один пример. Снаряд, вылетевший из ствола орудия, ра-
разорвался на большое количество осколков, каждый из которых полетел по
своей траектории и где-то упал на землю. Оказывается, что как бы ни ле-
летели осколки , какими бы они ни были, их центр масс упадет на землю
именно в ту точку, куда упал бы неразорвавшийся снаряд.
Если равнодействующая внешних сил равна нулю, то из A4) следует,
что центр масс системы будет двигаться без ускорения, т.е. как материаль-
материальная точка по инерции. В частности, если система тел первоначально нахо-
находилась в покое, центр масс ее под действием внутренних сил не может ни-
никуда переместиться из своего начального положения, хотя части системы
могут совершать как угодно сложные движения. Так, при разгоне ракеты
из покоя газы улетят с разной скоростью на разных участках траектории,
сама ракета будет непрерывно увеличивать свою скорость и удаляться как
угодно далеко от места старта, но в любой момент времени центр масс га-
газов и ракеты будет оставаться в точке старта, если на ракету не действуют
внешние силы.
Импульс силы
В ряде задач оказывается необходимым описывать движение тела, проис-
происходящее под действием силы, приложенной к телу в течение короткого
промежутка времени т. Назовем импульсом силы величину
42

A5)
На графике зависимости силы от времени
(рис.1) - это площадь заштрихованной фигуры.
Проинтегрировав уравнение движения B) по
времени, нетрудно получить, что под действием
импульса силы импульс тела изменится на вели-
величину
t т
Др=П = \i{t)dt A6)
Fuel Импульс силы о
Полученное уравнение оказывается полезным при решении задач, в кото-
которых известна сила как функция времени, и особенно в задачах, в которых
движение начинается толчком.
Импульс силы можно записать в виде
П-? х (I7)
Здесь ?,фф- эффективное значение силы, действовавшей на тело в течение
времени т. ?эфф равна высоте прямоугольника с основанием т, равновели-
равновеликого криволинейной фигуре, образованной осью времени и графиком f(t).
Измерив изменение импульса и определив время действия силы, нетрудно
из соотношений A6) и A7) определить эффективную силу, подействовав-
подействовавшую на тело.
Силы в природе
Силы характеризуют взаимодействие тел и определяются самими телами,
расстояниями между ними и скоростями движения тел. Основу для изуче-
изучения сил составляет наблюдение за движением тел.
Предоставленное само себе тело падает вблизи поверхности Земли с
постоянным ускорением #=9.8 м/с\ причем это ускорение одинаково для
всех тел. Тем самым устанавливается, что со стороны Земли на всякое тело
действует сила притяжения
p = mg, A8)
которую называют весом тела.
Внимательное наблюдение за движением планет вокруг Солнца позво-
позволило установить, что на любое тело массы mi со стороны другого тела мас-
массой тгдействует сила
~^Ге12'' е'2 = пГ" A9)
Здесь Ti2 - расстояние от первого до второго тела, вектор е12 - единичный
вектор направленный от первого тела ко второму и G=6.67 10* дин(см/гJ -
гравитационная постоянная. Силу притяжения A9) называют гравитаци-
гравитационной силой. Удается доказать, что однородный шар радиуса г притяги-
притягивает другие тела как точечная масса, сосредоточенная в центре шара. Это
значит, что вес тела на поверхности Земли
43

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
GM3m
и ускорение свободного падения
GM3 B1)
g= Rl '
Здесь М3- масса Земли, R3 - радиус Земли.
Гравитационная сила - одна из фундаментальных сил природы. Ей мы
обязаны фактом существования звездных и планетных систем, она форми-
формирует галактики и управляет движением всех небесных тел.
Другой фундаментальной силой является сила взаимодействия между
заряженными телами. Из опыта удалось установить, что между точечными
зарядами qi и qs, находящимися на расстоянии ris друг от друга, действует
кулоновская сила
р _ Q|<?2 **12
»и - ^ ei2. еи - Г]2 . B3)
В природе встречаются заряды двух сортов: положительные (<?>0) и отри-
отрицательные (д<0). При подсчете кулоновской силы в формуле B2) рас-
расстояние измеряют в см, заряд в так называемых единицах заряда СГС, а
силу в динах. Наименьший отрицательный заряд, существующий в при-
природе имеет электрон е = 4.8-Ю-10 единиц заряда СГС. Наименьший поло-
положительный заряд равен по величине заряду электрона. Им обладает пози-
позитрон - маленькая частичка, отличающаяся от электрона только знаком за-
заряда, а также массивный протон - одна из основных частиц, входящая в
состав атомного ядра.
При движении заряда вокруг него возникает магнитное поле В, кото-
которое действует на другой движущийся заряд с силой
/ = — ихВ, или в векторных обозначениях f = —[v x В], /241
С С V /
называемой силой Лоренца. Здесь заряд q измеряется в единицах СГС,
скорость и - в см/с, магнитное поле В - в Гауссах, сила /- в динах. Постоян-
Постоянная с называется электродинамической постоянной и равна скорости рас-
распространения электромагнитных волн в пустоте, 1л - проекция скорости
заряда на направление, перпендикулярное к магнитному полю. Сила Ло-
Лоренца перпендикулярна векторам v и В и направлена так, что с ее конца
поворот от вектора v к вектору В виден происходящим против часовой
стрелки, если заряд положителен.
Развитие физической теории позволило выяснить, что силы Кулона и
Лоренца тесно связаны между собой и представляют собой разные сто-
стороны проявления одного из фундаментальных взаимодействий в природе
- электромагнитного.
Механика Ньютона не может объяснить устойчивость атома или его
ядра. По классическим представлениям между электроном и ядром в
атоме действует только кулоновская сила притяжения, а это значит, что
электрон должен быстро упасть на ядро, а атом уменьшить свой размер в
сотни тысяч раз. Все тела поэтому не могут противодействовать сжатию, а
человек, стоящий на поверхности Земли должен немедленно провалиться
44

сквозь нее. Лишь в квантовой механике удается понять, почему подобная
катастрофа не происходит, и получить необходимую силу отталкивания,
обеспечивающую устойчивость атомов, а вместе с ними и способность
твердых тел противодействовать изменению их формы и размеров.
Опыты по растяжению и сжатию стержней, пружин и т.д. показывают,
что при небольших деформациях всегда возникает упругая сила, пропор-
пропорциональная деформации х и направленная в сторону, противоположную х,
/ = -**. B5)
Закон упругих сил называют законом Гука, а постоянную k - коэффициен-
коэффициентом упругости. При растяжении или сжатии тонких стержней
B6)
где Е - модуль Юига, характеризующий свойства материала стержня, S -
поперечное сечение стержня, I - его длина.
Движение тела по поверхности другого тела, а также в жидкости или
газе сопровождается действием на тело силы, препятствующей движению,
так называемой силы трения. При движении твердого тела в жидкости
(газе) происходят столкновения поверхности тела с молекулами, из кото-
которых состоит жидкость. При этом тело передает импульс частицам жидко-
жидкости, что и приводит к возникновению силы, противодействующей движе-
движению. Примем, что после каждого удара молекула прилипает к телу и под-
подсчитаем силу трения, предположив, что молекулы движутся в направлении
тела с некоторой средней скоростью и, но из-за непрерывных столкнове-
столкновений друг с другом перемещением жидкости как целого можно пренебречь.
Пусть скорость тела равна v. Перейдем в систему отсчета, связанную с
телом. Тогда молекулы жидкости будут налетать на тело со скоростью u+v
и сообщать ему после каждого удара импульс Др = т(и + и). За единицу
времени тело столкнется со всеми молекулами, находящимися на его пути,
т.е. число столкновений будет равно числу молекул, находящихся в объеме
Sv, где S - поперечное сечение тела. Если в единице объема жидкости на-
находится п молекул, то число столкновений за секунду будет nvS, а сила
трения окажется равной импульсу, переданному за секунду молекулам
жидкости, т.е.
/ = т(и + v)nvS.
Нетрудно видеть, что пт = р - плотности жидкости, и сила трения
f = (pSu)v + pSv2. B7)
Она состоит из двух слагаемых: одно пропорционально скорости тела, дру-
другое - квадрату скорости. Проведенный расчет слишком грубо учитывает
взаимодействие молекул жидкости с телом и движение самих молекул, а
потому может рассматриваться только как качественный. Из него ясно,
что при скоростях движения в жидкости, малых по сравнению со средней
скоростью движения молекул, сила трения пропорциональна первой сте-
степени скорости тела
f = *iv- B8)
а при больших скоростях пропорциональна квадрату скорости тела
/ = к2и2. B9)
45

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
Рис.2 Зависимость силы трения
твердых тел от приложенной к ним
силы
Трение твердых тел зависит от
материалов, качества поверхности, за-
загрязнений на ней и большого количества
других факторов. Если поверхности тел
тщательно обработаны и очищены, то
трение возникает из-за молекулярного
сцепления между частицами твердых тел.
При качении трение обусловлено
деформацией поверхностей. Очень важно
состояние поверхностей. При движении
неровных поверхностей друг по другу вы-
выступы ударяются друг о друга, проис-
происходит деформация их, возникают ко-
колебания и т.д. Все это создает силу трения
твердых тел.
Эмпирический закон трения прост
f = )iN. B9)
В этой формуле N - сила, прижимающая одно тело к другому, ц - коэффи-
коэффициент треиия, который не зависит от скорости и площади соприкоснове-
соприкосновения тел. Приведенное соотношение дает правильное значение силы тре-
трения лишь при движении одного тела по поверхности другого. Если тело
неподвижно, то сила трения просто равна равнодействующей внешних
сил, стремящихся сдвинуть одно тело относительно другого (рис.2).
Упругая сила и силы трения возникают из-за деформации электронных
оболочек атомов и молекул при деформации тел или при соударении дви-
движущихся атомов и молекуч на поверхности тел, т.е., по существу, пред-
представляют собой некоторый осредненный результат проявления главного в
нашем мире фундаментального взаимодействия - электромагнитного.
Сложности вычисления этих осредненных сил при взаимодействии огром-
огромного количества молекул обрекают на неудачу любую попытку получить
из теории значения упругой силы и сил трения и привели к тому, что в
список сил, действующих в природе, рядом с фундаментальными взаимо-
взаимодействиями вошли и их производные, описываемые достаточно простыми
эмпирическими закономерностями.
46

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
1. Тело было брошено вертикально вверх с начальной
скоростью vo=2Q м/с и достигло высшей точки подъема
через ?=2 с. Каково было среднее значение силы сопро-
сопротивления воздуха во время подъема? Масса тела т=4 кг.
2. Реактивный самолет массой т, развивающий тягу F,
движется от места старта по прямой, направленной под
углом а к горизонту. На каком расстоянии от места
старта будет находиться самолет спустя время t после
старта? Изменением массы самолета и сопротивлением
воздуха пренебречь.
3. Искусственный спутник в виде сферы диаметром 60
см и массой 80 кг движется по круговой орбите на вы-
высоте 500 км над поверхностью Земли. Каковы его ско-
скорость и период обращения? Найдено, что период обра-
обращения спутника за сутки уменьшается на 1.85 с. Опреде-
Определите соответствующее уменьшение высоты и оцените
приближенно плотность атмосферы на орбите спутника.
Вычислите, увеличивается или уменьшается скорость
спутника при этом? Почему это происходит?
т,
т,
4. Два тела массами mi и тг связаны нитью, выдержи-
выдерживающей натяжение Т. К телам приложены силы Fi=at и
Fs=2at (a. - постоянный коэффициент, t - время). Опре-
Определить момент времени, когда нить порвется.
5. Три одинаковых шарика связаны одинаковыми неве-
невесомыми пружинами и подвешены на нити. Найти уско-
ускорения шариков в момент пережигания нити.
6. Определите ускорение грузов в системе, изображен-
изображенной на рисунке. Массами блоков, нити и трением пре-
пренебречь.
47

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
7. Маляр массой 72 кг работает в подвесной люльке. Ему
понадобилось срочно подняться вверх, и маляр начал
тянуть веревку с такой силой, что его сила давления на
дно люльки уменьшилась до 400 Я. Масса люльки 12 кг,
ускорение свободного падения 10 м/с2. Чему равно ус-
ускорение маляра и кресла и сила, действующая на блок?
8. К концу нити, прикрепленной к стене и огибающей
ролик, укрепленный на бруске массой М, подвешен груз.
Брусок может скользить по горизонтальной плоскости
без трения. В начальный момент груз отводят на угол а
от вертикали и отпускают. Определите ускорение бру-
бруска, если угол, образованный нитью с вертикалью, не
меняется при движении системы. Чему равна масса
груза?
9. Во вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой
скоростью ш сфере радиуса R находится тело массой т.
Найти минимальный коэффициент трения, необходи-
необходимый для того, чтобы грузик держался на стенке под уг-
углом а?
10. Два одинаковых шарика связаны нитью длины I и
движутся по горизонтальному полу с одинаковыми ско-
скоростями v. Центр нити налетает на гвоздь. Чему равно
натяжение нити в момент соприкосновения ее с гвоздем,
если скорости шариков направлены под углом а к нити.
11. С какой угловой скоростью должен вращаться вокруг
горизонтальной оси цилиндр, чтобы мелкие частицы
внутри него не соскальзывали с его поверхности? Ко-
Коэффициент трения между поверхностью и частицами
равен 1, внутренний радиус цилиндра R.
48

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
12. В сосуде, наполненном водой плотностью р с уско-
ускорением а всплывает пузырек воздуха объемом V. Най-
Найдите силу давления со стороны сосуда на опору. Масса
сосуда с водой равна М.
13. Тяжелый шарик соскальзывает без трения по на-
наклонному желобу, образующему "мертвую петлю" ра-
радиуса R. На какой высоте шарик оторвется от желоба и
до какой наибольшей высоты после этого он подни-
поднимется, если он начал спускаться по желобу без началь-
начальной скорости с высоты Я=2Й?
14. Небольшое тело лежит на горизонтальной поверхно-
поверхности диффузора громкоговорителя, питаемого перемен-
переменным током. Амплитуда тока постоянна, но частота мо-
может изменяться. Найдите максимальную частоту со, при
которой тело будет находиться в постоянном контакте с
поверхностью диффузора, если для любой частоты ам-
амплитудное смещение диффузора S равно 103 см.
15. На подставке лежит тело, подвешенное на пружине.
В начальный момент пружина не растянута. Подставку
начинают опускать с постоянным ускорением а. Через
какое время тело оторвется от подставки?
16. На горизонтальном гладком столе расположена сис-
тема ГРУЗОВ> показанная на рисунке. Коэффициент тре-
ния между грузами Мат равен ц. Правый нижний груз
тянут вдоль стола силой F. Найдите ускорение всех гру-
грузов.
17. Определите силу, действующую на стенку со сто-
стороны клина, при соскальзывании с нее груза массой т.
Угол при основании клина а, коэффициент трения ме-
между грузом и поверхностью клина ц, трения между кли-
клином и плоскостью нет.
49

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
mg
18. Между двумя одинаковыми брусками массами т
вставлен клин массой М с углом а. Определите ускоре-
ускорения тел. Трения нет, действует сила тяжести.
19. На горизонтальной доске лежит брусок массой т.
Один из концов доски медленно поднимают. Нарисуйте
график зависимости силы трения, действующей на бру-
брусок, в зависимости от угла наклона доски а. Коэффици-
Коэффициент трения между бруском и доской ц, ускорение сво-
свободного падения g.
20. По деревянным сходням, образующим угол а с гори-
горизонтом, втаскивают за веревку ящик. Коэффициент тре-
трения ящика о сходни ц. Под каким углом р к горизонту
следует направить веревку, чтобы с наименьшим уси-
усилием втаскивать ящик?
21. На крыше с углом наклона улежит однородный пря-
прямоугольный лист из свинца. Днем при повышении тем-
температуры до Ti лист удлиняется за счет теплового рас-
расширения, ночью при понижении температуры до Тг лист
укорачивается. Приняв коэффициент линейного расши-
расширения свинца равным а и длину листа при минимальной
температуре равной I, найдите остающуюся неподвиж-
неподвижной при начинающемся с восходом Солнца повышении
температуры. Какая точка листа станет неподвижной
после прохождения температуры листа через максимум
и начинающимся понижением ее при заходе Солнца?
Как изменится положение листа на крыше за сутки?
Что произойдет с листом спустя N суток?
22. Человек массой m уравновешен противовесом, блок
Bi уравновешен грузом 2т на блоке Вг. Как будет дви-
двигаться груз 2т, если человек начнет выбирать веревку со
скоростью v относительно себя? Массой блоков, ве-
веревки и трением пренебречь.
50

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
23. На закрепленный цилиндр радиусом R намотано п
витков веревки. К одному концу веревки приложена
сила Т. Покажите, что ко второму концу надо прило-
приложить силу ТехрBтцт), чтобы стало возможным про-
проскальзывание веревки. Здесь ц - коэффициент трения
веревки о цилиндр.
I
24. В цилиндре под поршнем массой М прыгают, упруго
ударяясь о поршень и дно цилиндра N шариков массой
тп каждый. Система находится в равновесии, расстояние
между дном цилиндра и поршнем К. На какую высоту Н
будут подпрыгивать шарики, если поршень быстро уб-
убрать? Атмосферным давлением пренебречь.
25. На чашке весов прыгают N шариков массой m каж-
каждый. Что покажут весы, если при ударе шарика о чашку
их скорость не теряется?
26. Оцените силу давления ветра, дующего со скоростью
64 км/час, на стену дома длиной 12 м и высотой 6 м.
27. Водометный катер движется в спокойной воде, сила
сопротивления F=kv, скорость выбрасываемой воды от-
относительно катера и. Определить установившуюся ско-
скорость катера, если сечение потока захватываемой двига-
двигателем воды S и плотность воды р.
28. Ракета массой М с работающим двигателем висит
неподвижно над поверхностью Земли. Сколько топлива
в единицу времени расходует при этом ее двигатель,
если скорость истечения газов равна и? Как изменится
результат, если ракета будет подниматься вверх с уско-
ускорением а?
51

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
29. Определите тягу воздушно-реактивного двигателя
самолета, летящего со скоростью и. Скорость продуктов
сгорания на выходе из двигателя и, массовый расход то-
топлива (Xi, захватываемого двигателем воздуха - цг.
30. Струя жидкости плотностью р с поперечным сече-
сечением So падает со скоростью vo на наклонную плоскость,
расположенную под углом а к оси струи, и растекается
по плоскости. Пренебрегая весом жидкости, определите
силу, действующую со стороны струи на плоскость.
31. Нить, охватывающую гладкий гвоздь, протаскивают
со скоростью v через щель. Сила трения в щели F, масса
единицы длины веревки р. Определите силу, действую-
действующую на гвоздь, если концы веревки образуют угол а.
32. Ведро массой т тянут из колодца на веревке с посто-
постоянной силой Р. Вода, первоначальная масса которой т,
вытекает из ведра с постоянной скоростью, так что за
время t, меньшее полного времени подъема ведра, вся
вода вытекает. Чему равна скорость ведра в момент
времени ??
33. Однородная цепь висит вертикально, касаясь своим
концом поверхности стола. Цепь отпускают. Показать,
что сила давления цепи на стол увеличивается со време-
временем квадратично, достигая величины в три раза большей
веса цепи, в момент, когда верхний конец ее падает на
стол.
34. Ядро летит со скоростью v и попадает в поток пес-
песчинок, которые движутся с одинаковыми скоростями
под углом а=150" к скорости ядра и прилипают к нему.
После вылета из потока скорость ядра уменьшилась в 4
раза и составляет угол C=90° направлением потока. Ка-
Какова скорость песчинок и сколько их прилипло к ядру,
если масса отдельной песчинки в 1000 раз меньше
массы ядра?
52

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
35. Найдите ускорение и скорость тележки в зависимо-
зависимости от времени при движении ее под действием посто-
постоянной силы F, если из нее сквозь отверстие в платформе
ежесекундно высыпается масса песка ц. В начальный
момент тележка покоилась, масса ее была Мо
36. На брусок массой М, находящийся на горизонталь-
горизонтальной плоскости, действует поток частиц, летящих под уг-
углом а к горизонту. Масса в единице объема потока р ,
скорость частиц в потоке v, коэффициент трения бруска
о плоскость ц. Чему равна установившаяся скорость
бруска, если удар частиц с бруском неупругий? Пло-
Площадь горизонтальной поверхности бруска S, высота бру-
бруска пренебрежимо мала.
37. Канат перекинут через блок, часть каната лежит на
столе, часть - на полу. После того, как канат отпустили,
он начал двигаться. Найдите установившуюся скорость
движения каната. Высота стола h.
38. Модели корабля массой т=0.5 кг сообщили скорость
ио=1О м/с. При дальнейшем движении модели на нее
действует сила сопротивления, пропорциональная ско-
скорости: F=kv (&=0.5 кг/с). Найдите путь, пройденный мо-
моделью за время, в течение которого ее скорость умень-
уменьшилась вдвое, и путь, пройденный моделью до полной
остановки. Сколько времени будет двигаться модель?
39. Определите установившуюся скорость тела на на-
наклонной плоскости, которая с большой частотой изме-
изменяет скорость с -и на и. Коэффициент трения n>tga,
плоскость наклонена под углом а к горизонту.
40. На наклонной плоскости, для которой tga=n, лежит
монета. Монете сообщают скорость vo в горизонтальном
направлении. Найти установившуюся скорость монеты.
53

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
/\ /\
P.S.
41. Определите установившуюся скорость тела на на-
клонной доске, скорость которой в продольном направ-
\/i' лении изменяется с большой частотой так, как показано
на рисунке. Амплитуда скорости vo, коэффициент тре-
трения ц, доска наклонена под углом а.
42. Труба радиуса R заполнена пористым веществом
плотностью ро. Невесомый поршень, на который дейст-
действует сила F, двигаясь в трубе со скоростью и, уплотняет
вещество до плотности р. Это уплотнение происходит
скачком, т.е. в трубе перед поршнем со скоростью Д
превышающей скорость поршня, перемещается поверх-
поверхность уплотнения, на которой происходит мгновенное
возрастание плотности от величины ро до р. Каким соот-
соотношением должны быть связаны скорости скачка,
поршня, и плотности материала?. Вычислите, как свя-
связано давление в сжатом материале с его плотностью,
скоростью поршня и и скоростью скачка D.
43. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи,
определите, какое давление возникает при ударе сталь-
стальным молотком по стальной плите. Плотность стали
Ро=7.8 г/см', скорость звука в стали с=5.5 км/с, скорость
молотка vo=lO м/с. Вычислите, на сколько процентов уп-
уплотнилась сталь.
44. На металлической пластинке плотностью р и толщи-
толщиной 5 находится слой взрывчатого вещества плотностью
ро и толщиной 50. Определить скорость пластинки после
взрыва и давление в продуктах взрыва, если скорость их
разлета vo и давление на пластинку действует в течение
времени т=6о/со, где со - скорость звука в продуктах
взрыва. Провести расчет при р=9 г/см1, 5=2 мм, ро=1.8
г/см3, 5o=1Ojh.m, ио=2.5 км/с, со=4км/с.
45. Пластинка предыдущей задачи после взрыва ударя-
ударяется о неподвижный плоский образец из металла. Оце-
Оцените давление, возникающее при этом, если скорость
звука в материале налетающей пластинки с=5 км/с.
54

ll
ГЛАВА V
V. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Использование рычага для подъема грузов
В практической деятельности человеку довольно часто приходится зани-
заниматься подъемом груза на некоторую высоту. В быту обычно это делается
за счет личных мускульных усилий. При строительстве, загрузке корабля
или вагона и другой подобной деятельности для подъема грузов использу-
используются какие-то машины. Назовем эти машины грузоподъемными и разбе-
разберемся в некоторых принципах, лежащих в основе их работы. Начнем с рас-
рассмотрения простейшей из грузоподъемных машин - рычага. Рычаг пред-
представляет собой стержень, вращающийся вокруг оси О, которая делит
стержень рычага на два плеча: левое длиной У и правое длиной Х(рис.1).
Поместим на левый конец стержня груз
Q. Чтобы поднять его вверх, на правый конец
стержня придется поместить какой-то другой
груз. Возьмем маленький груз. Машина не
работает. Увеличим груз - подъем произой-
Рис.1. Рычаг как грузоподъемная Q гом дел0 обстоит Q.
машина. v v
груза на левом плече не происходит сам со-
собой - он совершается за счет опускания другого груза на правом плече ры-
рычага. При этом очевидно, что величина перемещаемых грузов должна на-
находиться в определенном отношении с конструкцией машины. Конструк-
Конструкция рычага определена длиной его плеч. Попробуем разобраться, в каком
отношении должны находиться грузы и плечи рычага для его оптималь-
оптимального функционирования как грузоподъемной машины. Ясно, что при
заданном грузе Q на левом плече на правое надо поместить какой-то груз,
превосходящий определенную минимальную величину Р. Если груз на
правом плече хоть на долю миллиграмма меньше Р, рычаг не будет подни-
поднимать груз Q. Если груз справа превысит Р, подъем произойдет. Очевидно,
что наилучшим для подъема груза Q надо признать рычаг с минимальным
грузом Р на противоположном плече.
Обдумаем детали работы такой наилучшей грузоподъемной машины. В
ней на правом плече находится минимальный груз, необходимый для
подъема определенного груза, помещенного на левое плечо рычага. Это
значит, что стоит только на правое плечо добавить сколь угодно малый
груз, чтобы машина начала функционировать, поднимая груз на левом
плече. А что произойдет, если чуть-чуть уменьшить этот минимальный
груз на правом плече? Ясно, что после этого левое плечо рычага перетянет
правое, груз Q на нем станет опускаться, поднимая груз Р на правом плече,
- машина двинулась в противоположном направлении. Таким образом,
оптимальная машина для подъема грузов оказалась очень странной: она
вовсе не занимается подъемом одних грузов за счет опускания других. Эта
машина просто стоит. Однако достаточно сколь угодно малого изменения
величины груза на одном из плеч рычага или сколь угодно слабого толчка
с одной стороны, чтобы машина стала работать. При этом она будет дви-
двигаться очень медленно и будет способна работать в любую сторону в зави-
55

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
симости от направления начального толчка. Эта способность одинаково
функционировать около положения равновесия как в одном, так и в про-
противоположном направлениях в физике называется обратимостью. Поме-
Помешать обратимости может трение на оси рычага.
Правило рычага
Рассмотрим идеальный рычаг. Для использования его как оптимальной
машины при подъеме грузов надо для начала добиться равновесия рычага,
а затем слабейшим толчком вывести
его из этого положения и получить
желаемый результат: за счет опуска-
опускания груза на одном плече поднять
другой груз на противоположном.
Начнем с нахождения условия равно-
равновесия рычага. Из основного закона
динамики - второго закона Ньютона -
следует, что в покое равнодействую-
равнодействующая всех сил, приложенных к телу,
должна быть равна нулю. На рычаг в
равновесии действуют три силы: две
силы веса грузов Р и Q, направлен-
направленные вниз, и уравновешивающая их
Рис.2. Вывод правила рычага. К концам г,
коромысла прикладываются одинаковые СИЛа F- приложенная к коромыслу
по величине и противоположные по на- рычага СО стороны ОСИ. ^должна быть
правлению силы/, находится тонка при- равна векторной сумме сил веса.
ложения равнодействующей, а затем Мы знаем, как складывать вектора -
совершается предельный переход f^O п0 правилу параллелограмма. Для
этого надо:
• перенести два суммируемых вектора в точку их пересечения,
• построить параллелограмм на этих векторах,
• диагональ этого параллелограмма, выходящая из точки пересечения
векторов, окажется искомой суммой.
Применение этого правила не встречает ни каких затруднений, если век-
вектора направлены под каким-то углом друг к другу. Но как быть в случае
параллельных векторов? Ведь они нигде не пересекаются. Точнее - пере-
пересекаются в бесконечности. Как такое пересечение построить?
Бесконечность - особая сущность, определяемая предельным перехо-
переходом. Построим предельный переход, который позволил бы нам доопреде-
доопределить правило сложения двух векторов и при параллельности этих векто-
векторов. Поступим следующим образом. Приложим к правому и левому кон-
концам рычага две одинаковые по величине, но противоположные по направ-
направлению силы f и -? Равновесие рычага при этом не нарушится. Построив
сумму двух перпендикулярных векторов Q и -f на левом конце рычага и
подобную же сумму векторов Р и f справа, сведем задачу к нахождению
равнодействующей двух непараллельных векторов. После этого предель-
предельным переходом при /->0 получим решение искомой задачи. Подобие тре-
треугольника сил слева треугольнику &QHO приводит к соотношению
56

f=QY/H для величины / (рис.2). Из подобия для такой же пары треуголь-
треугольников справа {-РХ/Н, откуда следует правило рычага.
PX=QY. A)
Отметим, что полученное соотношение не зависит ни от /, ни от h, т.е.
справедливо и в пределе f-*0.
Правило рычага удобно переформулировать, введя в него не длину
плеч, а перемещения грузов при работе рычага. Наиболее простые соот-
соотношения получаются для бесконечно малых поворотов коромысла рычага
из равновесного горизонтального положения. Пусть рычаг повернулся на
угол 5а. Нетрудно видеть, что при этом перемещение левого плеча будет
dhcf=-Yba, а перемещение правого плеча dhp=X5a. Умножив правило ры-
рычага A) на 5а, несложно получить соотношение
P5hP+QShQ=0. B)
Грузоподъемные машины. Обратимые машины
Можно придумать и изготовить бесчисленное множество грузоподъемных
машин, отличающихся друг от друга своим устройством, но поднимающих
груз Q на высоту Hq за счет опускания груза Р с высоты Нр. При этом
одни машины будут хорошо работать, другие, сложно устроенные, не бу-
будут работать вовсе. Но оказывается, что результатом их работы в самом
лучшем случае будет выполнение соотношения B), независимо от степени
сложности и конкретного устройства машины. И самое важное - можно
строго показать, что это соотношение следует из некоторого общего прин-
принципа, который можно провозгласить как закон природы - принципа невоз-
невозможности вечного движения. К изложению этого принципа и самых общих
выводов из него мы сейчас переходим.
Целый ряд выводов из проведенного ранее рассмотрения работы
примитивнейшей грузоподъемной машины - рычага оказывается справед-
справедливым для абсолютно всех грузоподъемных машин. Повторим их.
• Очевидно, что во всех случаях наилучшей мы будем признавать та-
такую машину, в которой подъем заданного груза на заданную высоту
произойдет за счет опускания наименьшего возможного груза с оп-
определенной высоты.
• Как и рычаг, такая машина будет работать очень медленно и, оста-
остановившись в каком-то промежуточном положении, будет неограни-
неограниченно долго пребывать в этом положении, т.е. любое промежуточ-
промежуточное положение наилучшей грузоподъемной машины является рав-
равновесным.
• Достаточно малейшего толчка, чтобы наилучшая машина вышла из
положения равновесия и медленно двинулась в ту или иную сто-
сторону, т.е. идеальная машина способна сама по себе производить ра-
работу в прямом и обратном направлениях. Это свойство идеальной
машины называют обратимостью, а саму машину обратимой.
Невозможность вечного движения
Работу машины в прямом, а затем в обратном направлениях назовем цик-
циклом. В результате цикла машина совершила движение грузов вниз - вверх
57

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
и вернулась в исходное состояние. Обратимая машина совершает цикл
сама по себе, без постороннего воздействия. Необратимая требует для
возвращения в исходное состояние внешнего воздействия. Можно думать,
что результатом цикла грузоподъемной машины может быть возвращение
грузов в первоначальное состояние и перемещение какого-то третьего гру-
грузика Ар на некоторую высоту h вверх. Было бы замечательно, если бы уда-
удалось построить такую машину! Эта машина могла бы цикл за циклом под-
поднимать грузик Ар вверх, а мы по своему усмотрению использовали бы это.
Например, всякий раз по окончании цикла мы могли бы прикреплять под-
поднятый грузик к веревочке, переброшенной через блок, и опускать его, за-
заставляя вращаться какой-то маховик. Тем самым было бы осуществлено
вечное движение маховика. К маховику мы могли бы присоединить ди-
динамо-машину и вечно получать электричество. Вечное движение маховика
можно было бы использовать для приведения в движение станков, трам-
трамваев, для подъема воды в водонапорную башню. Да мало ли для каких по-
полезных дел можно использовать вечное движение! Идея создания вечного
двигателя в течение веков преследовала изобретателей и ученых. Но все
попытки реализовать это заманчивое устройство неизбежно заканчивалось
полным провалом. Каждодневный опыт убеждал людей, что вечное дви-
движение невозможно. Примем поэтому в качестве закона природы утвер-
утверждение, что вечный двигатель создать невозможно. Применительно к рас-
рассматриваемым грузоподъемным машинам это означает, что нельзя осуще-
осуществить машину, чтобы в результате цикла работы ее какой-то грузик Ар
оказался поднятым на некоторую высоту h.
Наилучшие грузоподъемные машины
Основываясь на понятии обратимой машины и принципе невозможности
вечного движения, можно установить две общие теоремы, относящиеся к
любым грузоподъемным машинам, независимо от того, как эти машины
устроены.
Теорема 1. Пусть обратимая машина О, опуская груз Р с высоты Нр,
поднимает груз Q на высоту Hq. Пусть другая не обязательно обратимая
машина М, опуская тот же груз Р с той же высоты Нр поднимает груз Q на
высоту H'q. Докажем, что H'q<Hq.
Для доказательства допустим противоположное, т.е. что H'q>Hq. Включим
машину М на опускание груза Р. Груз Q при этом поднимется на высоту
H'q>Hq. Опустим его на каком-то устройстве с высоты H'q на высоту Hq,
совершив за счет этого подъем грузика Ар на высоту h. Включим затем об-
обратимую машину О так, чтобы она опускала груз Q и поднимала Р. В итоге
грузы Р и Q вернутся в исходное состояние, т.е. машины совершили цикл,
а грузик Ар оказался поднятым вверх. Осуществилось вечное движение.
Невозможность его доказывает теорему.
Таким образом, обратимая машина за счет опускания определенного
груза с заданной высоты поднимает заданный груз на максимальную вы-
высоту.
58

ГЛАВА V
Теорема 2. Любые две обратимые машины О и О', работающие на
опускании одно и того же груза Р с высоты Нр, поднимают груз Q на одну
и ту же высоту.
Пусть машина О поднимает груз Q на высоту H'q. В силу предыдущей
теоремы H'q<Hq. Предположим, что H'q<Hq. Тогда, включив машину О на
опускание Р, поднимем Q на высоту Hq>H'q. Опустив Q с высоты Hq на
высоту H'q, поднимем грузик Ар вверх, а затем при помощи обратимой
машины СУ (здесь обратимость второй машины существенна) вернем
грузы в исходное состояние. Как и в предыдущей теореме, предположе-
предположение, что H'q<Hq. приводит к противоречию с принципом невозможности
вечного движения, и приходится принять, что обе машины смогут поднять
груз Q на одинаковую высоту независимо от того, как устроена каждая из
машин.
Это очень важный результат. Он позволяет проводить рассмотрение
работы грузоподъемных машин на примере одной конкретной машины,
конструкция которой достаточно проста и удобна для количественных
расчетов, а результаты рассмотрения затем распространять на все мысли-
мыслимые машины. При этом не имеет значения, изготовлена ли эта машина из
металла и пластмассы или из чистого золота и даже изготовлена она вовсе
или построена только в нашем воображении. Единственное, что требуется,
- это твердая гарантия обратимости работы такой машины. Эту уникаль-
уникальную возможность распространения частного вывода для одной даже вооб-
воображаемой обратимой машины на абсолютно все случаи жизни дает прин-
принцип невозможности вечного движения, провозглашенный самым общим
законом природы и доказанные на его основе две теоремы о грузоподъем-
грузоподъемных машинах.
После изложенного очевидно, что если для рычага выполняется соот-
соотношение B), то оно справедливо абсолютно для всех механизмов, в кото-
которых подъем одного груза в поле тяжести осуществляется за счет опускания
другого. Однородность поля тяжести вблизи поверхности Земли позволяет
переписать дифференциальное соотношение B) и для конечных переме-
перемещений любых грузов по вертикали
PHP+QHQ=0. C)
Потенциальная энергия
Назовем произведение веса телар, на высоту его над поверхностью Земли
tu потенциальной энергией U, t-того тела в поле тяготения вблизи поверх-
поверхности Земли, а сумму ZU, = ЕрЛ. - потенциальной энергией системы тел
вблизи Земли. Обозначим вес опускаемого груза pi, его начальное поло-
положение ую, конечное положение yi, а вес поднимаемого груза pi, его на-
начальное положение узо и конечное положение^, нетрудно установить, что
Hq- у2 - ут ,Hf = y1- yl0 и переписать соотношение C) в виде
PiU->rio) + P2(>'2->'2o) = 0,
или
Р\У1 + Р2У2 = А^О + Р2^20 ¦ D)
59

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Полученное соотношение показывает, что потенциальная энергия тел при
работе идеальных грузоподъемных машин сохраняется:
U = U0 E)
независимо от того, каковы грузы, каковы их перемещения и как устроены
машины. Сохранение потенциальной энергии при работе грузоподъемных
машин является законом природы.
Нетрудно видеть, что потенциальная энергия взаимодействующих тел
определяется взаимным расположением этих тел, а изменение ее равно
произведению силы на перемещение в направлении, противоположном
действию силы, т.е.
Д ?/ = -/>¦ F)
Это определение позволяет записать потенциальную энергию тел, сила
взаимодействия которых зависит от расстояния между телами, в виде
где интеграл берется по пути тела из точки О в точку S,aUo- значение по-
потенциальной энергии в начальной точке О траектории. Перемещение в на-
направлении действия силы считается положительным.
Равновесие
Закон сохранения энергии может быть применен для изучения равновесия
тел в поле тяжести. Равновесие грузов можно рассматривать как одно из
состояний некоторой обратимой машины. При перемешении грузов из со-
состояния равновесия можно записать закон сохранения энергии и получить
тем самым уравнение, связывающее веса грузов.
Рассмотрим пару примеров. Пусть на наклонной плоскости находится
грузр, удерживаемый в покое грузом q, привязанным к веревке, перекину-
перекинутой через блок (рис.3). Каков должен быть этот груз q?
Представим, что система грузов совер-
совершила малое перемещение, и груз q сдви-
сдвинулся на 5 вниз. Если веревка нерастяжи-
нерастяжимая, то груз р переместился вдоль наклон-
наклонной плоскости на то же расстояние 5 (рис.
3). При этом он поднялся вверх на высоту
5-Sin а. Закон сохранения энергии приводит
к <j5=p5Sina, откуда
(8)
В качестве второго примера рассмот-
рассмотрим, какую силу р надо приложить к пра-
I I, I ;„ i i \ | вому концу балки длиной I, чтобы уравно-
jJL I \Р~2 §| весить грузы pi и рг, находящиеся на рас-
расстояниях h и h от ее опертого конца
(рис.4). Допустим опять, что произошло
смещение грузов в результате поворота
балки на малый угол 5а. Тогда груз р опус-
опустился на 1Ьа, а грузы pi и рг поднялись на
Рис.3. Равновесие грузов на
наклонной плоскости
q = p sin a.
РисЛ.Рравновесие грузов на опер-
опертой одним концом жесткой балке
60

/;-5а и /г-5а. Закон сохранения энергии дает
р/бсс = р^ба + р24$а,
откуда после сокращения на 5а
pi = рх\ + р4г, (^)
Аналогично можно рассчитать равновесие произвольной системы гру-
грузов. Программа такого расчета:
1. предполагаем, что один из грузов совершил сколь угодно малое пе-
перемещение;
2. рассчитываем вызванные этим перемещения остальных грузов и,
3. составляя уравнение энергии, приходим к уравнению, определяю-
определяющему равновесие сил.
Изложенный алгоритм расчета механического равновесия называется ме-
методом виртуальных работ.
Кинетическая энергия тела
Рассмотрев работу грузоподъемных машин, мы установили, что груз р,
поднятый на высоту h, обладает запасом потенциальной энергии U=ph.
Можно использовать этот запас для подъема другого груза. При этом по-
потенциальная энергия двух грузов окажется неизменной, если производить
работу на обратимой машине. А куда денется потенциальная энергия под-
поднятого груза, если этот груз бросить со скоростью vo вниз? Из опыта из-
известно, что вблизи Земли груз будет падать вниз с ускорением g. Перемес-
Переместившись за время t с высоты h до высоты у груз приобретет скорость
v=vo+gt и пройдет nyvbh-y^gffe + VQt. Исключением t из этих двух
формул нетрудно получить
h У~ 2g ~2p/m'
откуда
mv2 mvl
ph-py = — —,
т.е. изменение потенциальной энергии тела при падении равно приросту
величины mv2/2. Назовем mv2/2 кинетической энергией тела и будем обо-
обозначать ее Т. Соотношение A0) можно теперь переписать в виде
L mv\ mv2 (И)
и толковать его как закон сохранения кинетической и потенциальной
энергий тела при переходе одного вида энергии в другой.
Работа силы. Мощность
Пусть тело массой т движется по некоторой криволинейной траектории и
под действием силы f изменяет свою скорость как по
величине, так и по направлению. Разложим силу на
составляющие fT по касательной к траектории и fn по
нормали к траектории. Под действием силы fr изме-
изменяется величина скорости, под действием fa изменя-
изменяется только направление. Рассмотрим два соседних
61

COXPAHFHHE ЭНЕРГИИ
положения тела на траектории, разделенных очень малым промежутком
времени At (рис.5). Пусть в первом положении скорость тела была и. Во
втором она будет v+a^At, причем в соответствии со вторым законом Нью-
Ньютона a,=f/m. Рассмотрим изменение кинетической энергии тела Т при пе-
переходе из точки 1 в точку 2 траектории
_ m(v + Avf mv2 (Avf ( а, }
АГ= ——- —- = mvAv + m^—— = отиДи 1 + —-At I,
При малом At вторым слагаемым в скобках можно пренебречь по сравне-
сравнению с 1. Поэтому
AT = mvAu = f^vAt,
Для бесконечно малых перемещений uAt=As и
AT = f,As. A2)
Произведение перемещения на проекцию силы на направление переме-
перемещения называют работой силы и обозначают ДА.
AA=f,As = fAscosa. A3)
Величину
N = /ту = fv cos a A4)
называют мощностью. Здесь а - угол между векторами f и v.
Из A2) следует, что изменение кинетической энергии тела равно ра-
работе силы на том пути, на котором рассматривается изменение Т, т.е.
АТ = АА. A5)
Скалярное произведение векторов
Рассмотрим два вектора а = ахех +ауеу +агег и b = bxex + byey + btez. Со-
Составим для них величину аб-cosa, где а - угол между векторами а и Ь. Эта
величина называется скалярным произведением векторов а и b и обозна-
обозначается (аЬ). Нетрудно видеть, что
(аЬ) = а6„=6аь=(Ьа). A6)
где Ьа - проекция вектора b на направление вектора а, аь - проекция а
на направление Ь.
Из определения скалярного произведения следуют два его свойства:
1. Если а = а, + а,, то аь=а1ь+агь и
2. Если а = А.а,, то аь=\сн и
)
Полученные свойства скалярного произведения A7)-A8) позволяют при-
применять при вычислении его известные алгебраические правила раскрытия
скобок и получить для скалярного произведения
(аЬ) = (ахех +ауеу +агег\ьхех +byey +bzez) =
агЬг(ехег) +
62

+ aybx(eyex) + ayby(eyey) + ауЬг{еуех) +
+ аг6х(е1ех) + azby[ezey) + аг6г(егег) =
= ахЪх+ауЪу+агЪг ,
потому что
(ехеу) = (е,ег) = (еуег) = 0, B0)
из-за перпендикулярности векторов и
как произведения параллельных векторов единичной длины.
Формула A9) дает выражение скалярного произведения векторов а и
b через их декартовы координаты.
Теперь можно записать, что мощность
N = fxv = (fv) B2)
и работа перемещения тела по бесконечно малому пути
ДА = ДД8 = (?Лв). B3)
Нетрудно видеть, что работа при произвольном движении тела будет
A = |(fds), B4)
s
где интеграл берется вдоль пути перемещения тела. Заметим, что сила,
перпендикулярная пути, работы не производит.
Консервативные силы и потенциальная энергия
Работа силы, вообще говоря, зависит от пути . Это понятно всякому, кто
захочет один раз протащить санки от своей школы до дому по кратчай-
кратчайшему пути, а другой раз проделать то же самое, заехав по дороге на проти-
противоположный конец города.
Однако есть силы, работа которых не зависит от пути, а определяется
лишь положением начальной и конечной точек пути. Силы такого сорта
называют консервативными. Признаком консервативных сил является то,
что работа этих сил по замкнутому пути равна нулю. Действительно, пусть
работа перемещения тела из точки А по замкнутому пути равна нулю. Это
значит, что работа перемещения тела из
точки А в какую-то точку В на пути I (рис 6)
равна с обратным знаком работе перемеще-
I / } ния того же тела из В в А по пути И. Так как
прохождение одного и того же пути в проти-
противоположном направлении сводится к измене-
изменению знака перемещения, то Ав>л=- Ал>в, из
чего следует, что работа перемещения тела из
А"* " точки А в точку В одинакова для верхнего и
Рис 6 Работа консервативных нижнего путей, т.е. силы, работа которых по
сил т замкнутом пути равт замкнутому пути нуль, оказываются консер-
нулю вативными.
63

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Примером консервативных сил является сила тяжести. Действительно
при подъеме вверх вдоль наклонной плоскости (рис.7) сила тяжести со-
совершает работу A--pkosa=-ph. При опускании вниз Ah=ph, и при пере-
перемещении по горизонтали Ao=pbcos90°=0. Таким образом, работа силы тя-
тяжести по замкнутому пути A-Ai+Ал+Ао =0, и сила тяжести консерва-
консервативна.
Консервативные силы, их величина и на-
направление не зависят от скорости движения
у aJq^^ тела, т.к. в противном случае мы могли бы раз-
разные участки замкнутого пути проходить с раз-
разной скоростью и получать в результате не нуль
Рис.7. Консервативность силы для работы по замкнутому пути. Неконсерва-
тяжести тивной является сила трения: стоит изменить
направление скорости, как она изменит свое
направление, и работа по замкнутому пути при наличии трения всегда не-
ненулевая.
Определим для консервативных сил величину U, изменение которой
Д[/=-ДА. Тогда изменение кинетической энергии A5) записывается в виде
Д71 = ДА = -AU,
или
Д(Т + ?/) = 0, B5)
т.е. при движении тела сохраняется сумма T+U. Определенная таким об-
образом величина U получила название потенциальной энергии тела. В поле
тяжести вблизи поверхности Земли работа силы тяжести по подъему тела
весом р на высоту h равна -ph и U=ph=mgh в соответствии с данным опре-
определением потенциальной энергии.
Вычисление работы и потенциальной энергии просто, если сила посто-
постоянна. Если же сила меняется в пространстве от точки к точке, то надо вы-
вычислить работу ДА, = fjAS; на малом отрезке пути Дв;, где сила изменяется
мало и суммировать все эти работы Z,fjASj, а затем переходить к пределу
при i-*x>. Графически задача сводится к нахождению площади под графи-
графиком зависимости силы от положения тела. Так, при сжатии или растяже-
растяжении пружины f=-kx где х -смещение из положения равновесия. Работа уп-
упругой силы на пути х равна площади треугольника с катетами -kx и х , т.е.
A~kx2/2, а потенциальная энергия сжатой пружины U=kx2l2.
В поле тяжести Земли сила притяжения любого тела к Земле пропор-
пропорциональна массе этого тела т, массе Земли М, и обратно пропорцио-
пропорциональна квадрату расстояния тела от центра Земли г, т.е.
Г =G——.
График этой силы в зависимости от расстояния показан на рис.8. По вер-
вертикальной оси изображено отношение гравитационной силы к ее величине
// на единичном расстоянии, по горизонтальной - расстояние, измеренное
в выбранных единицах длины. Положим потенциальную энергию тела на
бесконечности равной нулю. Работа силы тяжести по перемещению тела
из бесконечности в какую-то точку г вычисляется путем нахождения пло-
64

ГЛАВА V
щади заштрихованной на рис.8 фигуры и оказывается A=GMjnlr, а потен-
потенциальная энергия тела в поле тяжести
Рассмотрим, с какой скоростью vo надо
толкнуть тело на поверхности Земли, чтобы
оно смогло улететь от Земли неограниченно
далеко. Запишем закон сохранения энергии
для начальной точки траектории тела и для
бесконечно удаленной точки:
Рис.8. Гравитационная сила. ° _ Q —5— _ 2. B(Л
2 г 2 v ;
Положим vx = 0, т.е. будем искать минимальную скорость vo, достаточную
для того, чтобы тело покинуло Землю навсегда (эта скорость называется
второй космической). Из B6) вторая космическая скорость
Vo={~W B7)
Для подсчета второй космической скорости воспользуемся уравнением,
связывающим ускорение свободного падения g с гравитационной посто-
постоянной, массой и радиусом Земли (IV.21), откуда
„ GM3
B8)
Подставляя Д3 = 6400 ot Hg = 9.8л/с2, получаем vo=ll.2 км/с.
В электрическом поле точечных зарядов qi и <з>2 сила взаимодействия
зависит от расстояния так же, как и в поле тяжести. Поэтому потенциаль-
потенциальная энергия двух зарядов
Решим задачу. Пучок электронов облучает проводяший шар радиуса
о. Определить заряд Q, который накопится на шаре, если электроны
имеют скорость vo. Последний электрон, попадающий на шар, израсходует
всю свою кинетическую энергию на преодоление сил отталкивания со сто-
стороны заряда Q. Закон сохранения энергии дает
mvl Qe
откуда
C0)
Q~ 2e п-
Другие виды энергии
Поднять тело вверх можно, если поместить это тело на поршень, плотно
закрывающий цилиндр с газом, а затем нагреть газ. При этом молекулы
газа начнут сильнее соударяться с поршнем и заставят его подняться
65

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
вверх. Если подсчитать изменение кинетической энергии молекул газа и
работу по подъему поршня с грузом, то они вместе окажутся равными ко-
количеству тепла AQ, подведенного к цилиндру. На этом примере мы позна-
познакомились с новым видом энергии - тепловой энергией и увидели, что она
переходит в известные нам виды энергии.
Зарядив тело в пушку, можно подбросить это тело вверх. При горении
пороха электроны в молекулах как-то перестроятся, их кинетическая энер-
энергия и энергия положения относительно других зарядов изменится, что
приводит к уменьшению так называемой химической энергии вещества и к
увеличению кинетической энергии пули, вылетающей из ствола. Исследо-
Исследование химических реакций показывает, что и здесь выполняется закон со-
сохранения энергии: сколько убыло химической энергии Ux , сколько при-
прибыло энергии другого сорта.
Можно извлекать энергию не только из-за перестройки расположения
атомов и электронов в молекулах, но и из-за перестройки самих ядер. При
этом ядерная энергия ?/я переходит в тепло, в движение тел и в другие из-
известные нам виды энергии.
Интересно отметить, что электрическое поле само по себе связано с
некоторым запасом энергии Un в пространстве, где это поле создано. Об
этом свидетельствует перенос энергии излучением, нагрев тел излучением.
Все сказанное в настоящем параграфе заставляет записать закон со-
сохранения энергии в виде
T + U+Q+UK+U,+{/„+¦¦¦= const, C1)
Неупругие взаимодействия. Распад частиц
Законы сохранения энергии и импульса позволяют рассмотреть целый ряд
явлений. Начнем с распада частиц. Пусть некоторая частица покоилась и
обладала внутренней энергией е0 , а затем распалась на осколки массами
mi и 7712 с внутренней энергией Sj и е2. В силу закона сохранения импульса
обе частицы разлетятся в противоположные стороны с одинаковым по ве-
величине импульсом р = TnjVj = -7712V2. Их кинетические энергии T\—p2l2mi
и Т2=р2/2тпг. Закон сохранения энергии дает
Р2 Р2
2ml+2m2+Cl+e2-e°'
откуда
Легко видеть, что для осуществления распада необходимо, чтобы
Де = е0 -е, -?2 > 0. C3)
Такого типа взаимодействия, при которых изменяется внутренняя энергия
тел, называются неупругими.
Если распадающаяся частица двигалась со скоростью V, то скорость
осколка Uj найдется путем прибавления к скорости vj, получаемой пер-
первым телом при распаде покоившейся частицы, вектора V. Изобразим это
графически на рис.9. Так как направление вылета распадной частицы про-
66

извольно, то ориентация vt относительно V тоже произвольна. При V>v\
угол между V и Uj не может быть больше некоторого Qmai, который опре-
определяется соотношением
. . Щ C4)
sin3max = —.
Примером неупругих взаимодей-
взаимодействий является взрыв, выстрел из
ружья, а в атомных явлениях радио-
радиоактивный распад. При распаде ядра
его энергия уменьшается на некото-
некоторую определенную величину Де.
Измерения энергии частиц, возни-
возникающих в результате радиоактивного
Рис.9. Скорость осколка при распаде яе- распада показали, что при некото-
тящей частицы- рых типах распада сумма кинетиче-
кинетических энергий осколков непостоянна. Неужели законы сохранения неверны
в мире микрочастиц? А может они верны, но недостающую энергию унес
какой-то невидимка? Такое предположение спасает законы сохранения и
позволяет предположить существование какой-то неизвестной ранее час-
частицы, появляющейся при радиоактивном распаде. Но надо обнаружить
эту неизвестную частицу. Двадцать пять лет физики решали эту проблему,
и, наконец, обнаружили неуловимого невидимку - нейтрино. Драматиче-
Драматическая ситуация в физике, угрожавшая законам сохранения, закончилась,
еще раз подтвердив незыблемость этих законов.
Упругие взаимодействия
Если при взаимодействии внутренняя энергия тел не изменяется, то такие
взаимодействия называют упругими. Упругое взаимодействие сводится к
одновременному сохранению импульса и просто кинетической энергии.
Рассмотрим два случая упругого взаимодействия: столкновение двух
одинаковых частиц, из которых одна до удара покоилась, и лобовой удар
движущейся и покоящейся частиц. При столкновении одинаковых частиц
выполняются соотношения между скоростями их после удара vj и v2 и
скоростью налетающей частицы vg:
vo = v,+v2
Первое уравнение показывает, что скорости v0, vtn v2 образуют
треугольник, последнее уравнение - что этот треугольник прямоугольный
и скорости частиц после удара оказываются его катетами, т.е. после удара
скорости частиц перпендикулярны друг другу.
При лобовом ударе движение частиц происходит вдоль той же прямой,
как и до удара. Уравнения сохранения импульса и кинетической энергии
имеют вид
m2v2 = /я, (v0 - у,), m2v\ = тх [Vq ~vf),
откуда нетрудно получить, что V2= vo + vi и
67

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
/71) — ТПо
Если масса налетающей частицы больше массы покоящейся, то после
удара она продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара.
Если наоборот т,2>т\ , то ударяющаяся частица изменяет направление
движения. Энергия движущейся частицы, которая передается неподвиж-
неподвижной при лобовом ударе
nu,v\
~~7 =
*2 -
а доля передаваемой энергии
То
и определяется только отношением их масс. Если массы частиц одина-
одинаковы, то Тг=Тго и после удара налетающая частица останавливается, а по-
покоившаяся забирает всю ее энергию.
Если массы сталкивающихся частиц сильно отличаются друг от друга,
то передача энергии при лобовом столкновении невелика. Пусть тг> >т\.
Тогда в знаменателе C7) можно пренебречь mi по сравнению с тг, и
Т2 4лг,
В случае
т.е. всегда доля передаваемой энергии порядка отношения массы легкой
частицы к массе тяжелой.
68

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V
1. Шарик массой т., укрепленный на невесомом стержне
вращается с постоянной линейной скоростью и. Его ки-
кинетическая энергия в системе отсчета неподвижной от-
относительно оси вращения постоянна и равна mv2/2. По
отношению к системе отсчета, движущейся в плоскости
вращения со скоростью и относительно оси вращения,
кинетическая энергия шарика изменяется от 0 до
4mv2/2. Какая причина вызывает такое изменение кине-
кинетической энергии?
2. На цилиндр радиуса г с жестко закрепленными на нем
колесами радиуса R давит пресс с силой Р. Коэффици-
Коэффициент трения между цилиндром и прессом, а также между
колесами и горизонтальной плоскостью равен ц. Какую
минимальную работу нужно совершить, чтобы сдвинуть
ось системы вправо на расстояние I, меньшее, чем рас-
расстояние до края пресса.
U
3. Автомобиль массой т с двигателем мощность N тро-
трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу ц.
Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость ско-
скорости от времени и нарисуйте качественный график
этой зависимости.
4. Предлагается наполнять вагоны поезда углем на ходу.
Подсчитайте работу, совершенную локомотивом за
время погрузки некоторой массы т, и сравните ее с ки-
кинетической энергией, полученной этой массой угля, если
скорость поезда и. Объясните результат.
5. Зависимость потенциальных энергий от координаты х
имеет вид: a) U=Uo(x/xo); б) U=Uo(.x/xoJ; в) U=Uo(xo/x).
Определите, как силы зависят от координаты.
6. Зависимость силы от координаты х имеет вид: a) F-Fo\
б) F=Fo(x/xo); в) F=Fo(xo/xJ. Определите зависимость
потенциальных энергий от координаты
69

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
1. Глубина проникновения частиц массой т в область
действия тормозящей силы пропорциональна импульсу:
l-ар. Найдите зависимость силы от глубины.
8. На блоках подвешены три груза, как показано на ри-
рисунке. Найти установившуюся скорость после того, как
грузы отпустили из состояния покоя.
9. Систему тел, изображенную на рисунке, приводит в
движение центральный груз массой т. Определите мак-
максимальную скорость и максимальное удаление этого
груза от первоначального положения.
10. Однородная веревка длиной / и массой т перебро-
переброшена через небольшой блок и в начальный момент на-
находится в равновесии. После самого незначительного
толчка веревка начинает соскальзывать с блока. Трения
нет. С какой силой действует веревка на блок в тот мо-
момент, когда длина отрезка веревки на одной стороне
блока составляет Z/3?
11. На двух катках разных радиусов лежит тяжелая
доска, образующая угол а с горизонтом. Найдите уско-
ускорение доски. Массой катков пренебречь. Проскальзыва-
Проскальзывания нет.
12. На гладкой горизонтальной поверхности лежит
длинный брусок массой М. На кубик массой т, лежащий
на бруске, в течение короткого времени т действует го-
горизонтальная сила F. Коэффициент трения между куби-
кубиком и бруском р.. Какой путь пройдет кубик по поверх-
поверхности бруска?
70

ЗАДАЧИ К ГЛАВЬ V
Н
k
м
Ш
13. На полый цилиндр намотана нить, конец которой за-
закреплен на стойке в верхней точке наклонной плоскости
так, что при соскальзывании цилиндра нить все время
параллельна наклонной плоскости. Определить ско-
скорость цилиндра в конце плоскости, если длина ее I, угол
наклона к горизонту а, коэффициент трения ц.
14. Автомобиль с работающим двигателем, имеющий
начальную скорость и въезжает на обледенелую гору,
поверхность которой наклонена под углом а к гори-
горизонту. Какой высоты гору может преодолеть автомо-
автомобиль, если коэффициент трения колес о гору ji<tgot ?
15. Человек, стоящий на движущемся со скоростью и
вниз эскалаторе, решил подняться вверх. Какую работу
он должен совершить, чтобы подняться на высоту Я за
время т? Масса человека т, угол наклона эскалатора а.
16. Определите максимальную силу давления на пол,
если тело массой т падает с высоты Я на пружину дли-
длиной I и жесткостью к. Объясните, почему при увеличе-
увеличении жесткости эта сила возрастает.
М '
k
> M
17. На гладком столе лежат два одинаковых тела массой
М, соединенных пружиной жесткости к. В правое тело
попадает и застревает в нем пуля массой п, летевшая со
скоростью vo. Определить максимальное сжатие пру-
пружины.
18. По стоящему на плоскости клину массой М соскаль-
соскальзывает тело массой п. Найти скорости тела и клина, ко-
когда тело опустится на высоту К. Угол наклона клина а,
трения нет.
19. С какой силой нужно надавить на верхний груз мас-
массой пи, чтобы прекращения действия этой силы нижний
груз массой mi оторвался от подставки?
71

СОХРАНЫШЬ ЭНЬРГИИ
20 На доске лежит тело, прикрепленное к нерастянутой
пружине. Доску начинают опускать с ускорением а.
Чему будет равно удлинение тела в тот момент, когда
доска оторвется от тела? Каково максимальное растя-
растяжение пружины? Масса тела т, жесткость пружины - к.
21. На неподвижный шар со скоростью ш> налетает шар,
масса которого в k раз больше. Чему равны отношения
скоростей шаров к скорости ш после лобового удара?
Нарисуйте графики этих зависимостей от к. К какой ве-
величине стремятся эти отношения при ?-»«>?
22 Что произойдет в цепочке из п шаров, в которой
масса каждого последующего шара в k раз меньше
массы предыдущего, после удара по первому шару, в ре-
результате которого этот шар получил скорость ш>? Все
удары считать лобовыми
23. а-частица, летящая со скоростью 108 см/с сталкива-
сталкивается с неподвижной а-частицей. Каковы минимальное
сближение частиц и их движение после взаимодействия?
24. Тяжелая частица массой М сталкивается с покоя-
покоящейся легкой частицей массой п. На какой максималь-
максимальный угол может отклониться тяжелая частица при
\ ударе9
25 В камере Вильсона а-частицы сталкиваются упруго с
неподвижными протонами. Покажите, что угол между
треками меньше прямого и что а-частицы не могут от-
отклоняться на угол, больший 14 5°
26. Ядро с массой 20 аем двигалось со скоростью 3*108
см/с и распалось на два осколка с выделением энергии
105 эрг Траектория тяжелого осколка с массой 16 аем
перпендикулярна первоначальной траектории ядра
Чему равна скорость легкого осколка9
72

ЗАДАЧИ К HIABF V
cri_n_n
ППОг
u=vJ2
27. Два шара массой Мит подвешены в одной точке на
нитях длиной I Шар т отклоняют на угол а от верти-
вертикали и отпускают. После соударения он отклонился на
угол р. Найти полное количество энергии, перешедшей в
тепло. Удар центральный.
28. Локомотив с постоянной тягой F начал двигаться
стоящему вагону и столкнулся с ним через время т.
Спустя какое время произойдет следующее столкнове-
столкновение? Удар упругий, трением пренебречь. Массы локо-
локомотива и вагона одинаковы. Найдите время между по-
последующими столкновениями.
29. Внутри лежащей на столе и изогнутой в виде буквы
U трубки массой М находится нить массой т. В началь-
начальный момент нить и трубка движутся так, что скорость
конца нити А равна ио , а конца В равна нулю. С какой
скоростью будет двигаться трубка, когда нить вылетит
из нее? Трение не учитывать, радиус изгиба трубки счи-
считать малым.
30. Частица массой т налетает на покоящийся брусок
массой М под углом а к поверхности бруска. Опреде-
Определите, под каким углом C отскочит частица. Удар упругий.
31. На горизонтальной плоскости находится клин массой
Ми высотой К. Поверхность клина наклонена под углом
а к горизонту и нижней своей части плавно сопрягается
с плоскостью. На клин со скоростью ио налетает частица
массой т. На какую высоту поднимется тело после от-
отрыва от клина9 Трением пренебречь.
32. Стальная пуля массой п пробивает подвешенный на
тонкой нити пластиковый шар массой М, из-за чего ско-
скорость пули уменьшилась вдвое Какая часть кинетиче-
кинетической энергии пули перешла в тепло.
73

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
33. Реакцию синтеза тяжелого и сверхтяжелого изотопов
водорода (D2+T3-*He'+n) изучают, направляя ускорен-
ускоренные до энергии so=2 МэВ ионы дейтерия на тритиевую
мишень. Детектор регистрирует нейтроны, вылетающие
перпендикулярно направлению пучка дейтонов. Опре-
Определить энергию этих нейтронов, если в реакции выделя-
выделяется энергия е=14 МэВ.
34. На бруске длинной I и массой М, расположенном на
горизонтальной плоскости, находится тело массой п. С
какой минимальной скоростью должна двигаться эта
система тел, чтобы после упругого удара бруска о стенку
тело упало с бруска? Коэффициент трения между телом
и бруском ц.
35. Какова должна быть мощность насоса, поднимаю-
поднимающего воду по трубе на высоту К, если сечение трубы S и
насос за секунду перекачивает Q литров воды?
36. Оцените мощность двигателя вертолета массой 500
кг с лопастями длиной 3 м. Считайте, что под вращаю-
вращающимися лопастями весь воздух движется однородным
потоком вниз.
37. Оцените минимальную работу, затраченную на
строительство Великой пирамиды, в основании которой
квадрат со стороной 230 м и высота которой 150 м. Как
долго строилась бы пирамида, если бы при строитель-
строительстве использовалась электростанция мощностью 60
МВт?
38. Оцените высоту струи фонтана, к которому подво-
подводится вода под давлением 3 атм.
74

ЗАДАЧИ К ГЛАВГ V
39. Реактивный самолет независимо от скорости сжигает
40.8 кг топлива и 2720 кг воздуха, выбрасывая продукты
сгорания со скоростью 487 м/с относительно самолета.
Покажите, как зависит сила тяги и развиваемая самоле-
самолетом мощность от скорости самолета. Пренебрегая со-
сопротивлением воздуха, найдите максимальную тягу,
мощность и скорость самолета.
40. На закрепленный цилиндр радиусом R намотано п
витков веревки. К одному концу веревки приложена
сила Т, к другому уравновешивающая ее сила /. Между
веревкой и цилиндром действует сила трения, опреде-
определенная коэффициентом ц. Найдите работу, необходи-
необходимую для поворота цилиндра на один оборот.
75

ГЛЛВЛ VI
VI. СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент импульса материальной точки. Сохранение его
Кроме импульса и энергии в замкнутой системе сохраняется еще и так на-
называемый момент импульса. К закону сохранения момента импульса, как и
к любому физическому закону, приводят наблюдения и эксперимент. На-
Наблюдения за движением планет вокруг Солнца позволили И. Кеплеру ус-
установить в начале 17 века три закона, описывающие движение планет.
Один из этих законов - второй утверждает, что прямая, соединяющая
Солнце и какую-либо планету, за равные промежутки времени описывает
одинаковую площадь, т.е. площади заштрихованных на рис.1 секторов, за-
заметаемых радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки вре-
времени равны.
В соответствии с законом Кеплера пла-
планеты затрачивают одинаковое время для про-
прохождения каждого из отрезков пути OBi, РВг,
и АВз. Отсюда следует, что когда Земля нахо-
находится ближе всего к Солнцу (в начале ян-
января) скорость ее движения по орбите мак-
максимальна, в связи с чем зимний период в се-
северном полушарии оказывается несколько
короче, чем в южном.
Закон равных площадей можно сформу-
сформулировать в виде закона сохранения некоторой
Рис.1. Второй закон И. Кеплера, величины. Пусть заштрихованные на рис.1
Площади заштрихованных тре- площади проходятся радиусом-вектором
планеты за малый отрезок времени At, что по-
позволяет считать путь, проходимый планетой
за этот отрезок времени, прямолинейным и
угольников, проходимые плане-
планетой за одинаковые промежутки
времени, равны
пренебрегать изменением скорости на малом участке орбиты, хотя в точ-
точках Bi и Вг траектории скорость планеты разная. При таких предположе-
предположениях OBi =viAt и РВг =V2At, а площади треугольников (FOBi) и (FPBs) бу-
будут OBj^/2 и РВ2хг2/2, где ОВ,Х и РВ2Х - проекции векторов переме-
перемещения ОВ, и РВ2 на направления, перпендикулярные к ri = FO и
r2 = FP. Нетрудно получить, что (у,Дг)±Г[ = (\2At)±r2, откуда
(mV,)_Lr1=GnV2)J_r2. A)
Такая запись закона равных площадей позволяет интерпретировать его
как закон сохранения величины
L = (mv)xr, B)
называемой моментом импульса материальной точки. Момент импульса
точки относительно некоторой оси есть произведение расстояния от оси
до тела на проекцию импульса тела на направление, перпендикулярное
76

СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
направлению от оси к телу. Если а - угол между векторами р и г, то
L=prsina. Это соотношение можно переписать в виде
L = pd, C)
где d=r-sina - проекция радиуса-вектора г на
перпендикулярное к вектору импульса р на-
направление (рис.2). Величина d называется пле-
плечом импульса относительно центра, из которого
Рис.2. Определение момента Построен радиус-вектор.
импульса относительно оси, Законы сохранения импульса, энергии и мо-
проходящей через точку О. мента импульса представляют собой точные за-
законы природы. До сих пор не было обнаружено
ни одного случая отступления от этих законов. Применение законов со-
сохранения к рассмотрению взаимодействия тел позволяет получить ряд
сведений о явлениях, происходящих при взаимодействии.
Рассмотрим в качестве примера
одну задачу. На Землю налетает по-
поток метеоритов со скоростью \св от-
относительно Земли. Плотность ме-
метеоритов в потоке п, т.е. в кубиче-
кубическом сантиметре пространства нахо-
находится п метеоритов. Подсчитаем,
сколько метеоритов будет выпадать
Рис.3. Траектории двух метеоритов, ле- на поверхность Земли ежесекундно.
тящих к Земле с одинаковой скоростью из Движение каждого метеорита про-
бесконечности, но с разными прицельными ИСХОДИТ ПОД действием СИЛЫ ГраВИ-
параметрами р. тационного притяжения к Земле, и
траектория представляет собой до-
довольно сложную кривую, которую можно определить, преодолев значи-
значительные трудности вычислительного характера. Однако, подсчет числа
выпадающих на Землю метеоритов произвести несложно. Ясно, что не все
метеориты потока упадут на Землю. Часть пролетит мимо.
Нарисуем траектории метеоритов, касающихся поверхности Земли.
Эти траектории образуют некоторую поверхность вращения с осью, па-
параллельной vM и проходящей через центр Земли (рис.3, 4). Все метеориты,
попавшие внутрь этой поверхности, упадут на Землю. Все находящиеся
снаружи пролетят мимо. На бесконечности рассматриваемая поверхность
представляет собой круговой цилиндр радиусом р. Через поперечное се-
сечение этого цилиндра за 1 сек пролетят метеориты, находящиеся на рас-
расстоянии не далее у„ от этого сечения. Поэтому искомое число выпадаю-
выпадающих на Землю метеоритов будет
Для нахождения р запишем уравнения энергии и момента импульса за-
захватываемого метеорита для двух точек его траектории: бесконечно уда-
удаленной и точки соприкосновения с Землей
nw\ тип Мгт
2 ~ 2 R3 ' пи"Р-тио з- E)
77

ГЛАВА VI
Здесь т - масса метеорита, vo - скорость его у поверхности Земли, М3
масса Земли. Решая систему уравнений E), получим
Рис.4 К расчету потока метеоритов, выпадающих на Землю
где V2- вторая космическая скорость для Земли (V, 27). Окончательно
J =
Момент импульса тела
G)
Материальная точка массой Am, вращающаяся с угловой скоростью <а во-
вокруг неподвижной оси, обладает моментом импульса
AL = шг2Дт. (8)
Определим момент импульса тела как сумму моментов импульса матери-
материальных точек Amt, из которых состоит это тело, т.е.
L = a>Znt?bm,. (9)
Величину
называют моментом инерции тела. Он зависит от распределения масс в
теле и тем больше, чем дальше от оси вращения отстоят массы, состав-
составляющие тело. Момент инерции обруча массой М и радиусом R относи-
относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости об-
обруча
I = MR2. (И)
Определив момент инерции, можно1 записать момент импульса тела в виде
L = Iw. A2)
Опыт показывает, что момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Приведем несколько примеров.
78

СОХР\НЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
1. Человек поскользнулся и падает назад. Повседневная практика за-
заставляет его резко выбросить руки назад. Почему? При падении тело че-
человека поворачивается так, что голова, плечи, руки его движутся назад.
Выброс рук назад сообщает им некоторый момент импульса. Такой же по
величине момент импульса получает тело человека, но направление вра-
вращения тела противоположно направлению вращения рук. Тем самым тело
человека поворачивается вперед и падение удается предупредить.
2. Фигурист на льду делает очень красивый элемент своей комбинации:
раскинув руки, он вращается вокруг оси а затем, прижимая руки к груди,
сильно увеличивает скорость вращения. Можно объяснить, почему это
происходит, исходя из закона сохранения момента импульса. Запишем ус-
условие сохранения момента импульса для начала - индекс 0 - и конца ком-
комбинации - индекс/
Учитывая, что при перемещении рук спортсмена к груди момент инерции
тела уменьшается, т.е. If <Io, из закона сохранения момента импульса A3)
получаем
Cu/=c°ojr">cuo- A4)
Список примеров, иллюстрирующих сохранение момента импульса,
можно продолжить, включив в него описание движения акробата при ис-
исполнении сальто, движений гимнаста при исполнении упражнений на пе-
перекладине, брусьях и других снарядах и т.д.
Кинетическая энергия вращения
Пусть масса Am, движется по окружности радиуса п с угловой скоростью
и. Ее кинетическая энергия
? к Ьт,- A5)
Кинетическая энергия системы масс Am,, вращающихся с одинаковой уг-
угловой скоростью вокруг некоторой оси, равна сумме их кинетических
энергий, т.е.
v?Aml со2 „ 2
откуда, используя определение момента инерции системы масс A0),
Исключив угловую скорость из A2) и A7), приходим к
Т
Уравнение динамики вращательного движения. Момент силы.
Пусть за время At угловая скорость изменилась на Дсо. Нетрудно вычис-
вычислить, что
A9)
79

ГЛАВА VI
С другой стороны, изменение кинетической энергии равно работе сил,
приложенных к телу (V. 15)
ДГ = ДА = f'As = fxta + fyAy. B0)
Воспользовавшись соотношениями между линейной и угловой скоростями
(II. 31), получаем
&А=(- ЪУ + /,х)дв = (- fxy -
после чего из A9) - B1) следует
или
d(Im) , ч B2)
-&- = [-te+f*h
Величину
называют моментом силы. Как и момент импульса, момент силы определен
своим плечом d по отношению к оси вращения.
После определения момента силы уравнение B2) записывают в виде
d(/cu) dL
~dT=d7 = T" B4)
Это основное уравнение динамики вращательного движения.
Если на тело действуют несколько сил, то ДА = ?, ДД откуда
т = 1,т,. B5)
Здесь х» - момент i -той силы.
Для уяснения смысла момента силы рассмотрим
еще раз работу, производимую силой / при пово-
As=rA6 роте тела на угол А9. Нетрудно видеть (рис. 5), что
^ ДА = (f&s) = {fr sin а)Дв = тДв, B6)
Г откуда момент силы
dA
Рис.5. Работа силы при т = = fr sin a. = fd , B7)
повороте тела. da
и мощность
*-?«». B8)
at
Вращательное движение системы тел
Основное уравнение динамики вращательного движения может быть за-
записано для любой материальной точки вращающегося тела
dt"T'' B9)
Если просуммировать все эти уравнения, то
dL t
dt'X ' C0)
где !, = ?,?, - момент импульса системы тел, т" момент внешних сил, т.к.
моменты внутренних сил при сложении взаимно уничтожаются из-за ра-
80

СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
венства действия и противодействия, если парные взаимодействия цен-
центральны.
Из C0) следует сохранение момента импульса системы тел в случае ра-
равенства нулю момента внешних сил.
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ.
Для равновесия тел необходимо, чтобы при малом перемещении системы
произведенная работа была равна нулю. В случае произвольной системы
сил работа перемещения может быть записана в виде
AA = fAs+x'A9. C1)
Условие равенства этой величины нулю при любых перемещениях As и
поворотах Д9 приводит к условиям равновесия любой системы тел
f=0,
т'=0. <32>
Решая эту систему уравнений, можно определить величины сил, уравно-
уравновешивающих друг друга.
81

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
1. Тонкий обруч радиусом R раскрутили вокруг его оси
до угловой скорости и>о и положили на горизонтальный
стол. Через какое время обруч остановится, если
коэффициент трения между столом и обручем равен ц?
Сколько оборотов сделает обруч до остановки?
2. На наклонную плоскость, составляющую с
горизонтом угол а, кладется сплошной цилиндр
радиусом R, вращающийся вокруг своей оси с угловой
скоростью то- Определите, на какую высоту поднимется
цилиндр, если коэффициент трения между цилиндром и
плоскостью /i>tg a.
3. Докажите, что ускорение однородного шара,
скатывающегося с наклонной плоскости, равно 5/7gsma,
где а -угол наклона плоскости к горизонту.
СО
4. Гантель с шариками массами mi и тпг, соединенными
невесомым стержнем длиной I, вращается с угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси 00', проходящей
через середину стержня. Под каким углом к оси
вращения наклонен стержень?
5. Найдите ускорение, с которым будет скатываться без
проскальзывания по наклонной плоскости с углом а:
1. тонкостенный цилиндр,
2. сплошной цилиндр.
Найдите силу трения между цилиндром и плоскостью в
обоих случаях.
6. Оси тонкостенного и сплошного цилиндров
соединены невесомой штангой. Цилиндры скатываются
без проскальзывания по наклонной плоскости с углом а
Радиусы цилиндров одинаковы, масса каждого из них -
т. Найдите натяжение штанги. Зависит ли оно от
порядка, в котором расположены цилиндры на
плоскости, и если зависит, то как?
82

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
7. На ступенчатый цилиндрический блок намотанные в
противоположных направлениях две легкие нити с
прикрепленными к ним массами тт и тг. Найдите
ускорения грузов и натяжения нитей. Момент инерции
блока I.
8. На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток
массой те и с моментом инерции I относительно ее оси.
Катушку тянут за нить силой F. При каких углах а
между нитью и горизонтом катушка будет двигаться
ускоренно в сторону натянутой нити? Какова должна
быть сила F, чтобы отсутствовало скольжение?
Коэффициент трения между катушкой и плоскостью ц.
9. Тонкая однородная доска длиной I и массой т лежит
симметрично на двух опорах, расстояние между
которыми равно d. Одну из опор мгновенно убирают.
Найдите силу реакции оставшейся опоры в начальный
момент времени.
10. Невесомый стержень с массами т и М на концах
опирается своей серединой на подставку, в начальный
момент расположен горизонтально и неподвижен. С
какой силой давит он в этот момент на подставку?
11. Тонкостенный цилиндр массой т и радиусом R
начинает скатываться без начальной скорости с
наклонной плоскости, наматывая на себя лежащую
вдоль плоскости тонкую липкую ленту, масса которой М
и длина /. Какую скорость будет иметь цилиндр, после
того, как вся лента намотается на него?
т
12. В одной точке подвешена однородная линейка
длиной I и шарик на нити. Массы линейки и шарика
одинаковы. Какой длины должна быть нить, чтобы при
ударе о линейку шарик остановился?
В какую сторону надо изменить длину нити, если
увеличить массу шарика?
83

ЗАДАЧИ К I ЛАВЕ VI
13. Какой частью длинной однородной палки следует
ударить по небольшому предмету, чтобы рука не
почувствовала удара?
14. Однородная тяжелая веревка закреплена своими
концами на вертикальной стенке и охватывает
невесомый обруч. Определите, с каким ускорением он
будет падать.
15 Два тонкостенных цилиндра с массами тти и т% и
радиусами R\ и Ri приводятся в соприкосновение так,
что их оси вращения параллельны. В начальный момент
первый из них вращался с угловой скоростью <в0, второй
был неподвижен. Из-за трения через какое время после
соприкосновения цилиндры начинают вращаться без
проскальзывания. Найти, какое количество энергии при
этом перешло в тепло.
16. Телу, привязанному нерастяжимой нитью к столбу
радиусом R, сообщена перпендикулярная к нити
скорость vo. Опишите движение тела и найдите его
скорость в зависимости от времени.
17. Найти высоту подскока обруча радиусом R, после
удара о вертикальную стенку высотой h<R, если до
удара обруч скользил без вращения по горизонтальному
гладкому полу со скоростью vo. Рассмотрите случай
удара без трения и удар с трением, предполагая в
последнем случае, что в момент отрыва обруча от стенки
проскальзывание отсутствует.
А
т,
I
\
ч
м
S
^**
\
^
)
у
18. В цилиндр массой М и радиусом R, покоящийся на
плоскости, ударяет летящая со скоростью ио на высоте h
над плоскостью пуля массой т. Считая удар абсолютно
неупругим и т«М, найти скорость центра цилиндра и
угловую скорость вращения его. Трения нет

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЬНИК. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
19 Тонкий стержень массой М и длиной I лежит на
абсолютно гладкой поверхности. Шайба такой же массы,
скользящая по плоскости с перпендикулярной к
стержню скоростью vo, ударяет по одному из концов
стержня Считая удар абсолютно неупругим , найдите
выделившееся тепло. Для упругого удара найдите
скорость шайбы после удара.
20. Гантель из двух шариков равных масс подвешена
между двумя горизонтальными направляющими так, что
верхний шарик может свободно скользить по этим
направляющим. В нижний шарик упруго ударяется
горизонтально летящий шарик такой же массы. Какова
должна быть скорость налетающего шарика, чтобы
гантель могла занять горизонтальное положение?
Расстояние между центрами шариков /.
21. Аэроплан массой М=104 кг с двумя посадочными
колесами диаметром d=2 мне моментом инерции 7=100
кем2 каждое садится на посадочную полосу на скорости
ио=2ОО км/ч так, что колеса одновременно касаются
поверхности аэродрома и начинают от трения о полосу
раскручиваться. Самолет при этом тормозится.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, при
какой скорости самолета проскальзывание колес
относительно полосы прекратится.
22. У пилота летящего в воздухе воздушного шара
имеется тяжелое колесо с осью и мотор, который может
раскрутить колесо до большой скорости. Разберите
качественно, что произойдет в каждом из следующих
случаев:
1. Колесо неподвижно, ось его вертикальна. С
помощью мотора колесо быстро раскручивается.
2. После этого пилот разворачивает ось вращения в
горизонтальное положение.
3. Проделав предыдущие операции, пилот отключает
мотор, и колесо постепенно останавливается из-за
трения.
85

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
1. На горизонтальной плоскости стоит куб массой т. С
s. какой минимальной силой и под каким углом к
^"^^ горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он
^* опрокинулся без проскальзывания, если коэффициент
^^^н трения равен ц?
2. К плоской вертикальной стенке прислонен кубик,
удерживаемый за ребро веревкой. При каких значениях
угла а между стенкой и веревкой кубик находится в
равновесии, если коэффициент трения материала кубика
о стенку ц?
3. Землекоп передвигает с постоянной скоростью тачку
весом Р по горизонтали. Один раз он тянет ее за собой,
другой - толкает впереди себя. В обоих случаях ручки
тачки составляют один и тот же угол а с горизонтом,
центр тяжести тачки О находится точно над осью
колеса. В каком из этих случаев человек должен
прикладывать большую
колеса тачки о грунт - ц.
силу? Коэффициент трения
4. Легкая лестница длиной I опирается на пол и
прислонена к стене. Коэффициент трения между
лестницей и стеной такой же, как между лестницей и
полом, и равен ц. Определите, на какую высоту сможет
подняться по такой лестнице человек. Угол наклона
лестницы к стенке равен а.
5. Стороны ромба ABCD, подвешенного в точке А,
сделаны из тяжелых однородных стержней,
соединенных шарнирно. Середины сторон ВС и CD
соединены невесомой распоркой, которая фиксирует
ромб. Покажите, что если Т - осевое напряжение в
распорке и Р - вес ромба, то TiP=BDiAC.
86

СТАТИКА
6. Через три отверстия в крышке стола пропущены нити,
связанные с одного конца общим узлом. К другому
концу каждой нити прикреплены одинаковые грузы.
Найдите углы между нитями. Трения нет.
7. Два одинаковых невесомых кольца свободно скользят
по обручу, расположенному вертикально. Через кольца
пропущена веревка с грузами на концах и посередине. В
положении равновесия кольца находятся на угловом
расстоянии 30° от вершины обруча. Как относятся друг к
другу массы грузов?
8. Катушка подвешена к потолку на нити, намотанной
по малому радиусу г. По большому радиусу катушки R
тоже намотана нить, на конце которой подвешен груз.
Какой должна быть масса груза, чтобы система
находилась в равновесии? Масса катушки М.
9. Шарик радиусом г и массой т удерживается на
неподвижном шаре радиуса R нерастяжимой нитью
g длиной I, закрепленной в верхней точке шара N. Других
точек соприкосновения между нитью и шаром нет.
Пренебрегая трением, найдите натяжение нити.
10. Каким должен быть коэффициент трения между
шариком и плоскостями, чтобы шарик не выскочил из
двугранного угла а, при попытках уменьшить этот угол?
87

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
mg
11. Цепочка массой т подвешена к горизонтальной
балке за концы. Натяжение в нижней точке равно Т.
Найдите натяжение в точках подвеса.
12. Концы однородной веревки подвешены в двух
расположенных на одном уровне точках, расстояние
между которыми 3 м. Угол наклона веревки к вертикали
в точках закрепления равен 30°. Насколько провисает
веревка и какова ее длина?
13. На три пружины одинаковой длины и с жесткостями
k, 2k и k положили однородную балку массой М, как
показано на рисунке. Определите силы, действующие на
балку со стороны пружин.
14. Дан тетраэдр ABCD с ребрами единичной длины.
у Вдоль ребер АВ и CD действуют силы, равные по
'С величине единице. Заменить действие этих сил на
эквивалентные пару сил и равнодействующую,
направленную к центру тетраэдра.
15. Однородный брусок толщиной 2h и весом Р
сбалансирован на неподвижном горизонтальном
цилиндре радиусом R, ось которого перпендикулярна
длинной грани бруска. Покажите, что при повороте
бруска от горизонтального положения на угол S без
проскальзывания изменение потенциальной энергии
бруска равно DU=P(a sin в- (а - К) A - cos 9>), и найдите
условие устойчивости.

ИЗУЧЕНИЕ СИЛ
VII. ИЗУЧЕНИЕ СИЛ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ И НАБЛЮДЕНИЯХ
Метод изучения сил
Сила связана с взаимодействием тел и проявляется в возникновении ус-
ускорения. Всякое отступление от равномерного прямолинейного движения
означает, что на тело действует какая-то сила. Анализ этих отступлений от
закона инерции составляет основу метода изучения сил. Исторически
первым примером изучения сил на основе наблюдений и эксперимента
было установление Ньютоном закона всемирного тяготения. В своих вы-
выводах Ньютон использовал законы движения планет, сформулированные
И. Кеплером после упорного 16-летнего труда по анализу очень тщатель-
тщательных наблюдений голландского астронома Тихо Браге.
Законы Кеплера
Следующие утверждения называются законами Кеплера:
1. Все планеты движутся вокруг Солнца по эллипсу, в фокусе которого
находится Солнце.
2. Радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, заметает за равные
промежутки времени одинаковые площади. Так как фигура, покрывае-
покрываемая при этом радиусом-вектором планеты, представляет собой сектор
на графике орбиты планеты, то второй закон Кеплера обычно назы-
называют законом постоянства секторной скорости планеты.
3. Квадрат времени обращения планеты вокруг Солнца пропорционален
кубу большой полуоси ее орбиты, т.е.
R3 = K*T\ A)
где Т - период, R - большая полуось радиус орбиты , К - коэффициент
пропорциональности. Важно подчеркнуть, что он один и тот же для
всех тел, движущихся вокруг Солнца.
Законы Кеплера устанавливают, что траектория планеты криволи-
криволинейна, и скорость ее на орбите изменяется как по направлению, так и по
величине. Это значит, что на планету действует какая-то сила. Рассмот-
Рассмотрим, с чем она связана, как зависит от взаимодействующих тел и их взаим-
взаимного расположения.
Выводы из законов Кеплера
Из первого закона сразу видно, что Солнце притягивает планеты, искрив-
искривляя их траектории. Направление этой силы устанавливается из второго за-
закона Кеплера, который, как мы видели в главе VII означает просто закон
сохранения момента импульса планеты при движении по орбите.
Основной закон динамики вращательного движения (VI.24) позволяет
утверждать при этом, что момент силы притяжения планеты к Солнцу ра-
равен нулю, т.е. плечо этой силы равно нулю, откуда следует, что сила при-
притяжения направлена по прямой, соединяющей планету и Солнце.
Величина силы притяжения планеты к Солнцу определяется из
третьего закона Кеплера. Предположим, что планета движется по круго-
89

ИЗУЧЕНИЕ СИЛ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ И НАБЛЮДЕНИЯХ
вой орбите радиуса R (это действительно довольно близко к
наблюдаемому движению большинства планет). Тогда ее скорость
v~2nRIT и ускорение a=v2lR=4niRITi. В соответствии с основным законом
динамики при этом на планету действует сила
= ma =
B)
Исключив период обращения планеты по орбите Г из третьего закона Ке-
Кеплера A) и из B), получаем
f = 4nK^, C)
т.е. сила притяжения планеты к Солнцу оказалась пропорциональной
массе планеты к обратно пропорциональной квадрату расстояния.
Но что такое постоянная К в формуле для силы, с чем она связана?
Совершенно неясно. Можно думать, что это какая-то характеристика
Солнца, определяющая его способность притягивать планеты. Назовем
эту характеристику гравитационной массой Солнца и обозначим Ms. По-
Положим
D)
где G - некоторый коэффициент пропорциональности. Тогда
Инертная и гравитационная массы. Всемирное тяготение
Естественно предположить, что не только Солнце, но и любое другое тело
обладает способностью притягивать все тела в соответствии с законом E).
Эта способность характеризуется гравитационной массой тела rrig . В ка-
каком соотношении находится гравитационная масса тела с другими харак-
характеристиками его, в частности с известной нам мерой инертности тела ml
Это не простой вопрос. Чтобы разобраться в нем, рассмотрим силы, дей-
действующие между телами 1 и 2 с массами mi, msi и тг, mg2 и предположим,
что их взаимодействие определяется законом E). Тогда
Гц m2msl r21
Ь 2 ~- F)
Г21 '21
Равенство действия и противодействия приводит к mi mS2= тг mgi, откуда
m
g\
тх т2 (')
для любых двух тел. Это значит, что гравитационная масса ms всегда про-
пропорциональна инертной т и, выбрав соответствующую единицу измере-
измерения гравитационной массы, можно добиться, чтобы
mg=m. (8)
Вот уж действительно неожиданный вывод, что притяжение определяется
инерциальными свойствами тел и не зависит из чего эти тела сделаны: из
водорода и гелия, как Солнце, или из чистого золота!
На основании изложенного можно предположить, что между любыми
телами действует сила гравитационного взаимодействия
90

ln -1* 2 • (9)
rl2 I2 v >
Закон тяготения (9) сформулирован на основе наблюдений за движением
планет. Экстраполяция его на взаимодействие других тел без проверки
экспериментом недопустима.
Впервые такая проверка была сделана самим Ньютоном, который
предположил, что именно закон (9) определяет силу, действующую на все
тела не только со стороны Солнца, но также и со стороны Земли. Ускоре-
Ускорение тела, создаваемое притяжением Земли,
Z = (j~p~- A0)
На поверхности Земли r=RJ=6.37- 108сл» и #=9.8л»/с2. В соответствии с (9)
ускорение движения Луны по ее орбите вокруг Земли будет в (RjjRJ1 раз
меньше g. Здесь i?3JJ=3.84 10'°сл» - расстояние от Земли до Луны. Расчет по-
показывает, что в случае справедливости закона (9) для взаимодействия
Земля-Луна ускорение Луны на орбите в 3600 раз меньше g.
Возможен прямой подсчет ускорения Луны из астрономических наблюде-
наблюдений за ее движением. Луна совершает один оборот вокруг Земли за время
Г=29 суток=2.36-Vfc. Отсюда следует, что ускорение Луны
лзл
см
« = ^=0.273^,
и эмпирическое отношение g/a=3580 находится в очень хорошем согласии
с вычислениями в предположении справедливости закона тяготения (9).
К закону (9) приводят астрономические наблюдения за движением
спутников Юпитера, анализ движения Плутона, проведенный Адамсом и
Леверье и приведший к открытию новой планеты Нептун, объяснение
приливов в морях и океанах Земли, объяснение формы Земли, наблюде-
наблюдения за двойными звездами и шаровыми скоплениями звезд. Все это ут-
утверждает нас в мысли, что закон тяготения Ньютона (9) верен всегда и
везде и как всеобщий закон природы по праву должен быть назван зако-
законом всемирного тяготения.
Изучение сил в экспериментах по рассеянию частиц
Из-за малости размеров микрочастиц траекторию отдельно взятой
частицы невозможно наблюдать в эксперименте. Метод, с успехом
примененный при изучении гравитационного взаимодействия, в мире
микрочастиц не работает. Поэтому применяются другие методы, с одним
из которых мы сейчас познакомимся. В этом методе поток известных
(пробных) частиц, вылетающих в определенном направлении с известной
скоростью v облучает мишень, состоящую из частиц, взаимодействие с
которыми изучается. После взаимодействия с мишенью направление
движения пробных частиц изменяется, и , изучая угловое распределение
их после взаимодействия, можно получить информацию о самом
взаимодействии.
Типичная схема опыта по рассеянию приведена на рис.1. В таких экс-
экспериментах с помощью некоторого источника создается направленный уз-
узкий поток пробных частиц известной природы, которые направляются на
91

ИЗУЧЕНИЕ СИЛ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ И НАБЛЮДЕНИЯХ
Рис.1. Схема опытов Э. Резерфорда. Т- фольга из золота, облучаемая по-
потоком а.-частиц, С -экран, покрытый ZnS, при попадании а-частиц на
который возникали наблюдаемые световые вспышки - сиинцилляиии, R -
расстояние от мишени до экрана, 6 -угол рассеяния а-частиц
мншень Т. До мишени пробные частицы проходят через систему диа-
диафрагм, вырезающих узкий пучок бомбардирующих частиц. Поток рассе-
рассеянных частиц регистрируется специальным приспособлением С • счетчи-
счетчиком, установленном на некотором расстоянии R от мишени. Измеряется
зависимость потока рассеянных частиц от угла рассеяния в. Так как счет-
счетчик имеет определенный размер а, то он регистрирует частицы, испытав-
испытавшие отклонение в интервал углов рассеяния в- в + Ав, где Ав = alR - уг-
угловой размер счетчика, видимый из точки, в которой находится мишень.
Если ежесекундно в интервал углов 6+ в + Ав рассеивается An частиц, то
счетчик регистрирует лишь часть их Ъп, пропорциональную отношению
площади счетчика а к площади кольца, находящегося между коническими
поверхностями с образующей R и углами раствора ви в +Ав
(И)
Именно эта величина измеряется в опытах по рассеянию частиц.
Предположим, что между пробной частицей и частицами мишени
действует сила
-
A2)
где а -некоторая неизвестная постоянная взаимодействия и г - расстояние
между пробной частицей и частицей мишени. Угол отклонения пробной
частицы 0под действием силы A2) может быть вычислен, если известны
ее масса т, скорость и и прицельное расстояние р, определяющее началь-
начальный момент импульса ее относительно рассеивающего центра, а также из-
известна масса частицы мишени (рис.2). Понятно, что при больших при-
прицельных параметрах р угол рассеяния Сбудет мал, и взаимодействие проб-
92

ной частицы с частицей мишени окажется небольшим, т.е. пробная час-
частица пролетит мимо мишени , почти не изменяя своей скорости. Для уп-
упрощения выкладок рассмотрим рассеяние на малые углы, полагая во всех
формулах
tgctssmasoc, A3)
Рис.2. Схема рассеяния пробной частицы на силовом центре О. р-
прицельнып параметр налетающей частицы, в- соответствующий
ему угол рассеяния, С - счетчик рассеянных частиц, R -расстояние от
рассеивающего центра до счетчика. Изображен случай отталкивания
пробной частицы силовым центром
и вычислим величину An, показывающую, сколько пробных частиц рас-
рассеивается ежесекундно в интервал углов в+ в + Ав. Дополнительно будем
предполагать, что масса частицы мишени много больше массы прсбной
частицы, т.е. будем пренебрегать движением рассеивающих частиц во
время взаимодействия. Наиболее существенно воздействие силы A2)
скажется лишь при максимальном сближении частиц, т.е. при г~р . Эту об-
область наибольшего взаимодействия пробная частица пролетит за время
x~p/v, приобретя в поперечном к первоначальному направлению движе-
движения импульс
Значок а используется для обозначения порядка величины. Это значит,
что при расчете по порядку величины мы не претендуем на точность вы-
вычислений, но все-таки гарантируем правильность полученных результатов
с точностью до не слишком большого сомножителя порядка нескольких
единиц.
Угол рассеяния пробной частицы
Получив эту формулу, можно вычислить долю частиц, рассеивающихся в
интервал углов в- в + Ав. Нетрудно видеть, что это будут те частицы, ко-
которые проходили на расстоянии р - р + Др от рассеивающего центра на
мишени, т.е. попадали в кольцо площадью 27фДр вокруг каждого рассеи-
рассеивающего центра. Если на каждый квадратный сантиметр поверхности
мишени приходится N рассеивающих центров и поток пробных частиц на
1 см' поверхности мишени составляет п частиц в секунду, то
An = nN2KpAp. A6)
93

ИЗУЧЕНИЕ СИЛ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ И НАБЛЮДЕНИЯХ
Выразив из A5) р как функцию в
можно показать, что изменение р на величину Др происходит при измене-
изменении в на величину Ав, причем
Эта формула следует из правила дифференцирования степенной функции
dy
у = Ах^, согласно которому — = р*Агм, откуда при малых Дс
Теперь из A6)- A8) следует
2
2nnN( а
Дге* Н—г
1-k \mv2
Подставляя A9) в A1), получим поток частиц, регистрируемых счетчиком
в эксперименте по рассеянию
_ 1+* , 2 2А B0)
9е
\mv2) {\-k)R2\mv2
Измеряя отношение потока рассеянных частиц при двух разных углах
рассеяния в и в0, нетрудно получить из B0), что
2*
i2.-fi.y~* B1)
и тем самым из экспериментальных измерений иайти показатель к, опре-
определяющий неизвестное силовое взаимодействие A2).
ОПЫТ РЕЗЕРФОРДА
В 1911 году Э. Резерфорд провел опыт по рассеянию положительно заря-
заряженных частиц (а-частиц) при прохождении через тонкие металлические
фольги. В результате опыта было установлено, что при рассеянии на ма-
малые углы скорость счета обратно пропорциональна углу рассеяния в 4
степени, т.е. 5«ос1/в4, откуда следует, что 2k/(l-k)= -4 и k—2, т.е. сила взаи-
взаимодействия а-частиц с атомом обратно пропорциональна квадрату
расстояния.
При измерении потока частиц рассеивающихся прямо назад выясни-
выяснилось, что такой поток есть, но составляет он примерно 10 ю от потока
падающих на мишень а-частиц. Отражение назад некоторых частиц пока-
показывает, что изучаемая сила отталкивает а-частицы, а малость доли частиц,
рассеянных назад, позволяет утверждать, что положительный заряд атома
сосредоточен в малой области пространства внутри атома. Из измерений
Э. Резерфорда следовало, что размер этой области в атоме составлял при-
примерно 10s поперечника атома. Тем самым было установлено, что в атоме
есть маленькое положительное ядро, взаимодействующее с заряженными
94

ГЛАВА VII
частицами по закону Кулона. Тщательные эксперименты позволили изме-
измерить постоянную а в B4) и установить, что заряд ядра равен порядковому
номеру элемента в таблице Менделеева, умноженному на заряд электрона.
Отметим, что при k=2 в формуле B0) поток рассеянных частиц ока-
оказывается обратно пропорциональным квадрату кинетической энергии на-
налетающей частицы
5лх^2"- B2)
т.е. увеличение кинетической энергии сильно уменьшает эффективность
рассеяния.
95

ЗАДАЧИ К HIABF VII
1. Две тяготеющие массы тщ и тг движутся так, что рас-
расстояние между ними остается постоянным и равным о.
Найдите энергию системы.
а * -"-'
2. Определите время падения Земли на Солнце, если ее
внезапно остановить.
3. Как бы изменилась продолжительность земного года,
если бы масса Земли увеличилась и стала равной массе
Солнца, а расстояние между ними осталось прежним?
4. Две звезды в результате действия гравитации описы-
описывают круговые траектории вокруг центра масс с перио-
периодом Т=2 года. Сумма масс звезд равна двум солнечным
массам М>. Найти расстояние между звездами, приняв
среднее расстояние от Земли до Солнца равным 150
млн. км и пренебрегая массой Земли по сравнению с
массой Солнца.
5 Среднее расстояние от Земли до Солнца 1.5 10е км.
Оцените массу Солнца.
6 Определите, во сколько раз масса планеты Марс
меньше массы Земли, если известно, что спутник Марса
Фобос обращается вокруг него по орбите радиусом 9400
км с периодом 7 ч 39 мин.
96

изучении: сил
7. Из следующих приближенных данных установите, как
относятся средние плотности Земли и Солнца. Угловой
диаметр Солнца, видимый с Земли, составляет 0.5°,
длина Г долготы на земной поверхности равна 100 км, 1
год равен 1075 с, ускорение свободного падения на Земле
g=10 л/с'.
8. Спутник Земли массой т движется по круговой ор-
орбите, радиус которой равен удвоенному радиусу Земли.
Какой импульс нужно мгновенно передать спутнику,
чтобы плоскость орбиты повернулась на угол а , а ра-
радиус орбиты не изменился? Радиус Земли R.
9. Спутник планеты движется по круговой орбите на вы-
высоте h над поверхностью планеты. Его переводят на эл-
эллиптическую орбиту с максимальным удалением от пла-
планеты Я и минимальным h. На сколько при этом надо из-
изменить скорость спутника и каким станет период обра-
обращения спутника по этой новой орбите? Радиус планеты
R и масса ее М.
v _ 10. Найти минимальное расстояние гтт, на которое мо-
| жет приблизится протон к первоначально покоивше-
Г муся протону. Начальная скорость и прицельный пара-
J ^^ метр р столкновения заданы. В какую сторону изменится
это минимальное расстояние при уменьшении р.
11. При облучении кристалла нейтронами обнаружено,
что с противоположной поверхности образца вылетают
атомы элемента, из которого построен кристалл, причем
направление вылета этих атомов зависит лишь от ориен-
ориентации кристалла и никак не зависит от направления по-
потока нейтронов. Попробуйте объяснить явление
97

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VII
{:- *,*,
12. Проанализируйте, какие силы действуют на лыж-
лыжника, скатывающегося с горки, имеющей форму полу-
полусферы. Покажите, что при достижении некоторой ско-
скорости лыжник не сможет следовать за кривизной горки и
оторвется от ее поверхности. Упростив задачу и пренеб-
пренебрегая трением, определите положение точки отрыва.
Как после этого будет двигаться лыжник и как далеко он
улетит? Какова будет скорость приземления и как она
будет направлена?
Сила веса направлена вертикально. Действием какой
силы вы объясните, что при приземлении у лыжника бу-
будет определенная горизонтальная скорость?
13. Гантель, составленная из двух шариков с массами пи
и mi , соединенных невесомым стержнем длиной 21,
прислонена к гладкой вертикальной стенке и стоит на
гладком горизонтальном полу. После маленького толчка
верхней массы гантель начинает падать. При этом ниж-
нижняя масса упирается в стенки и вначале остается непод-
неподвижной. Как вы думаете, останется ли нижнее тело не-
неподвижным вплоть до удара верхнего о пол?
Если нижнее тело начнет двигаться, то когда это про-
произойдет и с какой скоростью? Зависит ли результат от
отношения составляющих гантель масс? Сравните с
предыдущей задачей.
14. Рассмотрите предыдущую задачу, предположив, что
начальный толчок был сообщен нижнему телу.
15. Рассмотрите падение гантели из вертикального по-
положения на гладком полу. Будет ли нижнее тело сохра-
сохранять контакт с полом вплоть до момента удара верхнего
тела о пол? Начните с обдумывания случая, когда масса
нижнего тела пренебрежимо мала по сравнению с мас-
массой верхнего.
Если нижнее тело оторвется от пола, то когда это про-
произойдет и с какой скоростью? Проведите вычисления
для падения симметричной гантели с одинаковыми мас-
массами.
98

ИЗУЧЕНИЕ СИЛ
16. Продолжите анализ предыдущей задачи для симмет-
симметричной гантели. Что произойдет в результате удара
верхнего тела о пол? Какой станет скорость центра масс
гантели и угловая скорость вращения ее вокруг оси,
проходящей через центр масс?
17. Закончим анализ задачи о падении симметричной
гантели на гладком полу.
Обдумайте, как стала бы двигаться гантель после удара
верхнего тела о пол, если бы веса не было?
К чему приведет наличие веса? Чем в конце концов за-
закончится падение гантели, если трения нет?
Получите формулы для окончательной скорости центра
масс гантели и угловой скорости вращения ее вокруг
центра масс для случая падения произвольной гантели.
18. После решения предыдущих задач о падении гантели
на гладком полу вернитесь к рассмотрению задачи о па-
падении опертой о вертикальную стенку гантели.
Опишите, чем закончится падение гантели. Выведите
окончательные формулы для симметричной гантели и,
если есть желание, попробуйте обобщить их на случай
произвольной гантели.
19. Попробуйте получить решение предыдущей задачи
для случая гантели с большой разницей масс.
99

ГЛАВА VIII
VIII. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ И НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
Системы отсчета, в которых выполняется закон инерции, называют инер-
ииалышми. В инерциальных системах отсчета движение тел описывается
основным законом динамики
ma = f, A)
и движение по инерции происходит при f = 0.
В главе П мы выяснили, что если положение начала отсчета подвиж-
подвижной системы S' относительно инерциальной системы S задано в виде Го(г)
и r'(t') - положение некоторого тела относительно S', то при малых скоро-
скоростях движения положение этого тела относительно инерциальной системы
отсчета
t = t'; r(t) = ro{t) + V(t). B)
Отсюда нетрудно вычислить, что ускорение тела относительно инерци-
инерциальной системы отсчета
а = ао + а', C)
т.е. просто равно сумме переносного ад и относительного а' ускорений.
Подставляя C) в A), получим закон движения тела относительно под-
подвижной системы отсчета S'
7na' = f-7na<). D)
Он отличается от A) наличием в правой части слагаемого (-/nag), при-
прибавляемого к силе f, т.е. основной закон динамики изменяет свой вид при
переходе к ускоренно движущимся системам отсчета. При ао = 0 уравне-
уравнение движения относительно подвижной системы отсчета ничем не отлича-
отличается от исходного уравнения A). Это означает, что в полном соответствии
с принципом относительности Галилея движение тела одинаково относи-
относительно любых систем отсчета, движущихся без ускорения друг по отноше-
отношению к другу.
Появление слагаемого (-/nag) в уравнении движения относительно
ускоренной системы отсчета можно интерпретировать как возникновение
некоторой фиктивной силы
fi = -OTa0, E)
которую называют силой инерции. Такое название не совсем правильно
передает существо дела. Действительно, сила есть мера взаимодействия
тел и поэтому должна определяться только самими телами и ничем дру-
другим. В этом смысле сила инерции не может называться силой, т.к. она воз-
возникает не как результат взаимодействия тел, а как кинематическое явле-
явление, связанное с ускоренным движением системы отсчета. Достаточно ав-
автомобилю, в котором едет экспериментатор, двинуться с ускорением, как
для объяснения всех явлений природы этому экспериментатору придется
предположить, что мгновенно на все тела в мире подействовала сила fj,
возникшая только из-за того, что человек нажал на акселератор автомо-
автомобиля.
100

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ
Мир в неинерциальных системах отсчета загадочен и сложен. Тело, не
взаимодействующее ни с чем на свете, в неинерциальной системе отсчета
движется с ускорением ад, а для удержания тела в покое приходится при-
прикладывать силу f = mag. Симметрия и однородность пространства исче-
исчезают в неинерциальных системах отсчета.
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
Введение инерциальных сил позволяет описывать явления природы в не-
неинерциальных системах отсчета, используя известные представления о си-
силах и их равновесии. Это описание оказывается эквивалентным описанию ,
проводимому в инерциальной системе отсчета, а в отдельных случаях мо-
может показаться даже более простым.
Рассмотрим несколько примеров такого описания, называя инерци-
альную систему отсчета системой S, неинерциальную - системой S'.
1. Груз подвешен на нити, прикре-
прикрепленной к тележке. При ускоренном
движении тележки нить отклоняется от
вертикали (рис.1). В S на массу т дей-
действуют две силы: вес р и натяжение
нити Т. Их равнодействующая создает
ускорение ад по горизонтали, равное
ускорению тележки, что обеспечивает
покой груза относительно тележки. В
системе S' те же силы р и Т уравновешиваются силой инерции, и масса m
остается в покое относительно тележки.
2. Шарик без трения лежит на те-
тележке, движущейся с ускорением а0
(рис.2). В инерциальной системе от-
отсчета S вес шарика уравновешен реак-
реакцией со стороны тележки, и шарик ос-
остается в покое, когда тележка выскаль-
выскальзывает из-под него. В неинерциальной
системе отсчета S' шарик движется ус-
ускоренно относительно тележки, т.к. на него действует сила инерции, соз-
создающая ускорение (-ад).
3. На дощечке лежит цилиндр.
Трение качения отсутствует, трение
скольжения так велико, что проскаль-
проскальзывание невозможно. Если дощечку
дернуть, сообщив ей ускорение ад,
цилиндр начинает вращаться. Объяс-
Объяснение очень просто в неинерциальной
системе отсчета S': сила инерции при-
приложена к центру цилиндра и создает
врашаюший момент относительно оси
вращения, проходящей по линии со-
а,
)mg (j
Рис.]. Равновесие подвешенного грузика
на тележке, движущейся с ускорением.
Рис.2. Движение шарика при ускорении
тележки
Рис.3. Положение мгновенного центра
вращения в момент, когда тележка на-
набрала скорость vo
прикосновения цилиндра и дощечки.
101

ГЛАВА У111
В инерциальной системе отсчета S вращение цилиндра на первый
взгляд объяснить не удается. Действительно, момент сил трения относи-
относительно оси, проходящей по линии соприкосновения цилиндра и дощечки,
равен нулю. Почему же тогда возникает вращение9 Оказывается, что
мгновенная ось вращения совпадает с линией соприкосновения лишь в
системе отсчета, связанной с дощечкой. В системе отсчета S', относи-
относительно которой дощечка движется со скоростью v мгновенная ось враще-
вращения проходит через такую точку О на вертикальном диаметре цилиндра, в
которой скорость вращения цилиндра вокруг оси, совпадающей с линией
соприкосновения, равна поступательной скорости движения дощечки
(рис. 3). Относительно этой оси сила трения создает момент, что и объяс-
объясняет наблюдаемое вращение цилиндра.
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ДИСКЕ
Если тело т покоится относительно вращающегося диска, то относи-
относительно инерциальной системы отсчета S оно движется по окружности ра-
радиуса г с угловой скоростью ш, для чего на тело должна действовать сила
f = -ma>2r, F)
направленная к оси вращения. Экспериментатор, находящийся на диске,
для объяснения этого факта должен будет принять, что в его системе от-
отсчета на всякое тело действует инерциальная сила
fi = moA, G)
направленная от центра, для уравновешивания которой ему пришлось
приложить к покоящемуся телу силу F). Эту силу называют центробеж-
центробежной. _
При движении по вращающемуся
диску приходится вводить в рассмотрение
особый тип сил инерции. Пусть масса т
движется относительно диска точно по ра-
радиусу с постоянной скоростью vr. В инер-
инерциальной системе отсчета тело при этом
Рис 4 Появление силы Кориолиса совершает движение по некоторой дуге
прирадиальном движении тела ш AQB в смзи с чем на него должна дейст.
вращающемся диске
^ вовать какая-то сила, направленная по
нормали к этой дуге (рис.4), т.е. для осуществления такого движения экс-
экспериментатор на диске должен прикладывать к телу силу fc, перпендику-
перпендикулярную к радиусу, по которому он перемещает тело. Вычислим эту силу.
В инерциальной системе отсчета S момент импульса тела L=mr2(a, и
момент поперечной силы
dL „ dr „ (8)
х = fcr = — = 2mmr — = 2mcnrvr,
откуда
fc = 2mmr (9)
Сила fc направлена перпендикулярно к скорости тела относительно диска.
Наблюдателю в инерциальной системе отсчета понятно происхождение
этой силы: подтягивая тело по радиусу из точки А к центру диска О, экспе-
102

ИНИЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ
риментатор на диске должен будет погасить скорость тела при его движе-
движении по окружности, а перемешая тело из центра диска по радиусу, нужно
будет ускорять тело в перпендикулярном к радиусу направлении до ско-
скорости v=mr. Все это неведомо наблюдателю на диске, но, поставив опыты,
он обнаружит, что в его мире на движущееся строго по радиусу тело дей-
действует поперечная сила (9).
Рассмотрим движение тела по окружности радиуса г со скоростью и'
относительно диска Относительно инерциальной системы отсчета тело
движется по окружности радиуса г со скоростью ii=cor+i/. Для осуществле-
осуществления такого движения к телу должна быть приложена радиальная сила
. mv2 m(c*r + vf 2 , mv'2 A0)
/ = = —1 '— = mco r + 2mcav + ———
г г г
Наблюдатель на диске поймет слагаемое mw2r в A0) как известную ему
инерциальную силу F). Третье слагаемое mv'2/r тоже понятно: это сила,
необходимая для того, чтобы двигаться по окружности радиуса г со скоро-
скоростью и' относительно диска. Второе слагаемое 2таг ему непонятно, но
любой эксперимент на диске будет давать такое слагаемое.
Произвольное перемещение тела на диске можно представить в виде
суммы определенного перемещения вдоль радиуса и в перпендикулярном
к нему направлении. Объединив полученные только что выводы для двух
таких перемещений, придется принять, что во вращающейся системе от-
отсчета на всякое тело действует сила
/с = 2/ПШ1/, A1)
перпендикулярная скорости движения тела относительно этой системы
отсчета. Эту силу называют инерциальной силой Кориолиса.
103

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ УЩ
ИИЕРЦИАЛЬИЫЕ СИЛЫ
1. Если бы Эйфелева башня была построена на экваторе,
на какое расстояние от основания отклонилось бы сво-
свободно падающее с нее тело? Высота башни - 300 м.
2. Верхний конец легкого шеста длиной I закреплен в
шарнире. Обезьяна массой т раскачивается на шесте,
держась за его нижний конец, и в некоторый момент так
быстро перепрыгивает с конца шеста к его середине, что
за время прыжка шест практически не успевает сколь
нибудь заметно передвинуться. Найдите связь между
угловыми амплитудами раскачиваний до прыжка и по-
после него в двух случаях:
1. обезьяна перемещается в момент прохождения
шеста через положение равновесия и
2. обезьяна прыгает в момент наибольшего отклоне-
отклонения шеста.
104

ГЛАВА IX
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
IX. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Введение
Утверждение, что физическая наука началась после того, как И Ньютон
на основе предложенного им закона гравитационного взаимодействия по-
получил в качестве решения сформулированных им же уравнений движения
все три эмпирических закона Кеплера, вряд ли является чрезмерным пре-
преувеличением, хотя и представляет собой большое упрощение. Такое дос-
достижение должно было убедить не только автора, но и всех его возможных
оппонентов в правильности изложенных представлений о природе и за-
законах, управляющих движением, произвести громадное впечатление на
научный мир и то, что сегодня принято называть общественным мнением,
возбудить энтузиазм исследователей и породить у них желание следовать
блестящему примеру первопроходца. Достижение И. Ньютона в решении
задачи о движении тел под действием гравитационного притяжения - эту
задачу сегодня называют задачей Кеплера - представляет собой событие
намного большее, чем решение частной задачи. По существу, оно оказа-
оказалось одной из величайших вершин в познании окружающего Мира, под-
поднявшись на которую человечество увидело новые горизонты, о существо-
существовании которых до того времени не подозревало. Сравнить это достижение
с чем-нибудь другим трудно. Может быть, что-то похожее испытали люди
полтора-два столетия раньше в эпоху великих географических открытий.
Но то были открытия на поверхности Земли. А здесь, подлинно
"открылась бездна" . И открылась она не только в бескрайность Вселен-
Вселенной, но и внутрь самого человека, показав ему бездонные глубины разума
и его собственного интеллекта. Такое открытие, без всяких сомнений, из-
изменило самого человека, необратимо сделало его другим.
Понимая таким образом значение решения задачи Кеплера, попро-
попробуем повторить работу Ньютона и на примере этой великой задачи по-
поучиться тому, как должна делаться наука. Некоторые из последующих раз-
разделов могут показаться трудными и перегруженными излишними выклад-
выкладками. Эти места можно при первом чтении спокойно пропустить, обратив
внимание и запомнив лишь постановку задачи, применяемые к ее реше-
решению подходы и полученные результаты. Но спустя некоторое время, если
возникнут внутренние побуждения, можно вернуться к прочитанному и
еще раз перечитать этот раздел. От этого выйдет большая польза
Постановка задачи
Сформулируем задачу и запишем необходимые уравнения. При этом бу-
будем использовать современные представления, терминологию и обозначе-
обозначения. Будем рассматривать движение тела массой т под действием притя-
притяжения другого тела, масса которого М»т Сделанное предположение о
массах упрощает задачу и позволяет считать большое тело неподвижным.
Приняв закон Ньютона для гравитационной силы и поместив начало ко-
координат в силовой центр, запишем векторное уравнение движения
105

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
dv_ GMrn
В этом уравнении ег - единичный вектор в радиальном направлении. Не-
Нетрудно сообразить, что в случае, когда этот вектор составляет угол <р с
осью ОХ,
er = es cos<p + ey зшф. (?)
Выберем полярную систему координат для описания положения тела, т.е.
станем описывать его расстоянием г от силового центра О и углом ф между
полярной осью и радиусом-вектором положения тела.
Сила тяготения центральна. Это немедленно ведет к сохранению мо-
момента импульса и постоянству секторной скорости, т.е. второй закон Кеп-
Кеплера выполняется уже самой записью уравнения движения в виде A). За-
Запишем уравнение сохранения момента импульса
mv±r = L. C)
Здесь введено обозначение L = const для момента импульса.
Выписанных уравнений достаточно, чтобы разрешить задачу и опре-
определить траекторию тела. Однако, прежде чем приступить к решению, по-
полезно внести в задачу некоторые упрощения, уточнив определения для
перпендикулярной к радиусу-вектору компоненты скорости их и для мо-
момента импульса L. Так как поперечная компонента скорости создается по-
поворотом радиуса-вектора, то
V±=r~dt' D)
Далее очевидно, что при любой траектории движения на ней можно
отыскать самую близкую к силовому центру точку. Как это принято в ас-
астрономии, назовем эту точку перигелием и будем обозначать Р. Направим
полярную ось и ось ОХ вдоль линии ОР. Расстояние от силового центра до
ближайшей точки траектории обозначим г0. Из закона сохранения мо-
момента импульса следует, что в перигелии величина г минимальна, a vx-
максимальна. Обозначим скорость тела в перигелии vQ. Максимум попе-
поперечной скорости означает, что скорость перпендикулярна к радиусу-век-
радиусу-вектору положения тела, т.е. vL =v0. Из приведенных рассуждений следует,
что L - mvoro, после чего из определения поперечной скорости D) и за-
закона сохранения момента импульса C) можно получить
~&~~7~ E)
Сформулируем результат проведенных рассуждений: задача Кеплера
будет решена, если мы сумеем найти решение системы из двух уравнений
A) и E), удовлетворяющее в точке Р условиям срР =0, vP = vQ, rp =r0 .
Решение задачи
Годограф скорости
Обратим внимание, что как ускорение тела, так и угловая скорость оказа-
оказались обратно пропорциональными квадрату расстояния. Это позволяет
исключить г из задачи, поделив A) на E). В результате получаем
106

ГЛАВА IX
dv_ GM_
йф~"гоУоег- F)
Появившуюся в правой части этого уравнения постоянную удобно пред-
представить следующим образом
GM GMm I v0 GMm 2 е_
г0и0~Щ r0 mvl' 2 r0 mv20~V°2' (?)
где через s обозначено отношение абсолютной величины потенциальной
энергии в перигелии к кинетической энергии тела в этой же точке
GMm 2 \UU\
е = — r = -jT- (8)
Напомним, что потенциальная энергия в поле тяготения двух тел отрица-
отрицательна, из-за чего в (8) появился знак абсолютной величины. Назовем е
параметром задачи. Он - безразмерный. Как мы увидим в дальнейшем,
именно параметр задачи сосредоточил в себе основные особенности дви-
движения и определяет индивидуальность траектории Он же определяет и
величину полной энергии взаимодействующих тел
После подстановки вместо ег его величины из B) и замены коэффи-
коэффициента правой части в соответствии с G) задача сводится к уравнению
Полученное уравнение очень простое и его легко решить.
Прежде всего проведем разделение переменных, переписав A0) в виде
dv = -v0 ¦r(ex cos<p + ey
He составляет труда проинтегрировать полученное уравнение
е , I \
v = const - v0 —J ^ coscp + еу sin <p|a<p =
= const - и0—^ех sin<p-ey coscpj.
Векторную постоянную const, появляющуюся после интегрирования,
определим из начальных условий. Использовав в качестве последних <ро=0
и v0 =eyy0, нетрудно найти из A1), что const = eyu0(l-e/2) Подставим
это значение в уравнение годографа A1) и, чтобы уяснить геометрический
смысл полученного решения, проведем некоторые простые преобразова-
преобразования тригонометрических функций, перейдя от угла ф к углу на л/2 боль-
большему,
-f J + uo f [e, cos(J | ^|
107

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
R
v=OC+CV
Рис.1. Годограф скорости тела. Это - окружность радиусом CV с центром в точке С. За
время, в течение которого тело переместится из начального положения на полярной оси
в точку R, вектор скорости повернется из вертикального положения в положение OV
При этом радиус окружности на годографе скорости повернется на тот же угол, что и
радиус-вектор тела. Вектора CV и г всегда перпендикулярны.
В результате описанных действий нам удалось найти из уравнений движе-
движения зависимость скорости от углового положения тела на траектории.
Если зависимость г(<р) представляет собой полярное уравнение траекто-
траектории тела на координатной плоскости {х, у}, то аналогичная зависимость
для скорости v(<p) представляет полярное уравнение так называемого го-
годографа скорости на плоскости {и*, vy}. Немного поразмышляв, нетрудно
сообразить, что геометрически формула A2) представляет собой окруж-
окружность радиусом v0 е/2 с центром на вертикальной оси в точке eyu0(l-e/2)
(рис.1). При движении тела по траектории радиус-вектор его положения
поворачивается из начальной точки на угол <р. Вектор, изображающий
скорость тела, поворачивается при этом из начального положения на вер-
вертикальной оси в положение 0V и представляет собой векторную сумму
постоянного вектора ОС, направленного вдоль вертикальной оси, и век-
вектора CV, направленного вдоль радиуса из центра окружности С. Самое
важное в том, что это второе слагаемое в векторе скорости поворачивается
вместе с радиусом-вектором положения тела и всегда ему перпендику-
перпендикулярно, опережая радиус-вектор на тс/2.
Траектория тела
Разобравшись с годографом скорости, можно найти поперечную к ра-
радиусу-вектору положения тела компоненту скорости
после чего из уравнения сохранения момента импульса получить траекто-
траекторию тела в полярных координатах {г, <р}
г v 2/е
Г~ vL ~rol + B/e-l)cos<p' A4)
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ
Перейдем к заключительной и важнейшей части решения физической за-
задачи - анализу полученного решения. При этом мы рассмотрим несколько
108

ГЛАВА IX
частных случаев, постараемся заметить и сформулировать некоторые об-
общие закономерности.
Общие закономерности движения
Из-за четности coscp из полученного решения A4) следует, что траектории
не изменяются при замене знака у ср. Геометрически это приводит к сим-
симметрии траектории относительно полярной оси.
Периодичность coscp приводит к тому, что если тело по истечении ка-
какого-то времени Т возвращается в исходную точку траектории, то после
этого движение повторяет все ранее пройденные фазы, т.е. оказывается
периодическим с постоянным периодом по времени Т.
Очевидно, однако, что при достаточно большой скорости в перигелии
полный запас энергии может оказаться достаточно большим, чтобы дви-
движущееся тело могло уйти от силового центра в бесконечность, сохранив
там некоторую скорость. Ясно, что такое тело никогда не вернется назад, и
будет удаляться от силового центра с постоянной скоростью, навсегда по-
покинув его. Движение по такой траектории продолжается неограниченно
долго, результат его - распад системы гравитирующих тел на два свобод-
свободных разлетающихся тела. Условие распада очевидно - полная энергия сис-
системы тел должна быть положительной. Из (9) при этом следует
е<1, A5)
т.е. в самой близкой к силовому центру точке кинетическая энергия тела,
способного улететь в бесконечность, должна превосходить потенциаль-
потенциальную.
Движению с постоянной скоростью соответствует прямолинейная тра-
траектория. Значит, траектория движения при распаде системы гравитирую-
шнх тел имеет прямолинейную асимптоту в бесконечности.
Круговая траектория
Простейшее решение соответствует значению параметра задачи е=2. Не-
Нетрудно видеть из A2), что для такого значения е годограф скорости - ок-
окружность с радиусом v0 и с центром в начале координат. Так как эксцен-
эксцентриситет траектории при 8=2 обращается в нуль, то столь же проста и тра-
траектория - тоже окружность с радиусом г0.
Внешние траектории
Следующим шагом проанализируем, как изменится траектория движения,
если в момент прохождения телом перигелия ему мгновенно будет сооб-
сообщаться некоторое приращение скорости. Кинетическая энергия при этом
возрастает, а так как потенциальная энергия в перигелии остается без из-
изменений, то параметр задачи е уменьшается. Полная же энергия возрас-
возрастает. Это должно привести к тому, что движущееся тело покинет преды-
предыдущую траекторию и за счет полученной дополнительной кинетической
энергии сможет уйти дальше от силового центра - его траектория окажется
снаружи исходной. Назовем поэтому анализируемую в настоящем разделе
ситуацию внешними траекториями.
На рис.2 для разных значений параметра задачи е приведены
несколько замкнутых внешних траекторий. Соответствующие им графики
годографа скорости показаны на рис.3.
109

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
8=1.1
Рис.2. Внешние замкнутые траектории.
Значения параметра задачи указаны рядом
с соответствующей орбитой. Все размеры
отнесены к радиусу исходной круговой ор-
орбиты. С увеличением скорости в перигелии
параметр ? уменьшается. Орбита при
этом вытягивается.
Рис.3. Годограф скорости для внешних
замкнутых траекторий. Значения пара-
параметра задачи указаны рядом с соответст-
соответствующим графиком. Единицей скорости вы-
выбрана скорость на круговой орбите. С рос-
ростом скорости в перигелии окружность
годографа скорости смещается вверх и
радиус ее уменьшается.
На каждой траектории наряду с точкой Р на полярной оси, которая со-
соответствует полярному углу <р = 0, может быть определена точка А, отве-
отвечающая полярному углу <р = я. Из уравнения траектории нетрудно опре-
определить, что эта точка находится на расстоянии
2/е 1
ГА=Г°Т^Гг^Г°~1 A6)
от центра. В астрономии для замкнутых траекторий эту точку принято на-
называть афелием. Нетрудно видеть, что афелий - наиболее удаленная точка
замкнутой траектории. Скорость в ней минимальна и противоположна по
знаку скорости в перигелии.
При увеличении кинетической энергии тела параметр задачи s умень-
уменьшается. Это приводит к удалению афелия от силового центра. При е=1
афелий уходит в бесконечность - гравитационная система тел распалась.
При дальнейшем увеличении кинетической энергии гА становится отрица-
отрицательной, и точка, соответствующая афелию замкнутых траекторий появля-
появляется с той же стороны разомкнутой траектории, что и начальная, но рас-
расположена она на другой ветви кривой, описываемой уравнением A4).
Смысл этого формального следствия из найденного уравнения траектории
предлагается разобрать в одной из задач к настоящей главе.
Пройдем от перигелия до афелия замкнутой внешней траектории по
кривой годографа скорости. Перигелий - точка Р - самая высокая точка го-
110

ГЛАВА IX
дографа. Скорость в ней максимальна. При движении по траектории соот-
соответствующая точка годографа скорости перемещается вдоль окружности.
Величина скорости - расстояние от точки О до некоторой точки окружно-
окружности годографа - уменьшается и достигает минимума в самой нижней точке
графика. Это точка - афелий траектории. Обратим внимание, что в ней
знак скорости противоположен скорости в перигелии.
-6 -4
-2
Рис.4. Внешние траектории, уходящие в
бесконечность. Все размеры отнесены к ра-
радиусу исходной круговой орбиты. Значения
параметра еравны 1и 0.75.
-0.6-0.4-0.210.2 0.4 0.6
Рис.5. Годографы скорости внешних тра-
траекторий, уходящих в бесконечность, для е=
1 и в= 0.75. Скорость отнесена к скорости
на исходной окружности.
При е < 1 запаса кинетической энергии оказывается достаточным,
чтобы тело ушло в бесконечность. Внешняя траектория при этом пере-
перестает быть замкнутой и движение перестает быть периодичным. Соответ-
Соответствующие этому случаю траектории и годографы скорости для критиче-
критического значения е = 1 и для е = 0.75 приведены на рис.4 и рис.5.
Для уходящих в бесконечность траекторий
годограф скорости находится выше полярной
оси. Это показано на рис.6. Особый интерес
представляет точка В касания прямой, проведен-
проведенной из начала координат, с окружностью годо-
годографа скорости. Отрезок ОВ представляет вектор
скорости. Определим направление радиуса-век-
радиуса-вектора положения тела г для этого момента. Из
A2) следует, что г перпендикулярен к радиусу
Рис.6. Годограф скорости окружности годографа скорости, проведенному в
уходящей в бесконечность ТОчку наблюдения. В нашем случае это значит,
траектории ч?0 г перПендиКуЛЯрен к радиусу СВ, Т.е. ПО на-
правлению совпадает с касательной ОВ. Оказывается, в точке В скорость
тела направлена вдоль прямой, соединяющей его с силовым центром, т.е.
траектория улетающего в бесконечность тела выходит на прямую и даль-
дальнейшее движение происходит вдоль этой прямой. В этом как раз и
проявился отмеченный ранее выход траектории распадающейся системы
тел на прямолинейную асимптоту в бесконечности. Понятно, что точке В
на годографе скорости отвечает бесконечно удаленная точка траектории.
111

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Внутренние траектории
Рис.7. Внутренние траектории. Все раз-
размеры отнесены к радиусу исходной круговой
орбиты.
Рис.8. Годограф скорости для внутренних
траекторий. Единицей скорости выбрана
скорость на круговой орбите.
Завершим рассмотрение возможных траекторий, предположив, что в мо-
момент прохождения телом точки на полярной оси его скорость мгновенно
уменьшается. При этом кинетическая энергия тела уменьшается, полная
энергия следует за кинетической и уменьшается тоже, параметр задачи s
возрастает. При уменьшении полной энергии тело начинает падать на си-
силовой центр, и траектория его при уменьшении скорости располагается
внутри исходной. На рис.7 и рис.8 приведены несколько внутренних тра-
траекторий и соответствующие им годографы скорости. Все внутренние тра-
траектории оказались замкнутыми. При этом самой близкой к силовому цен-
центру оказалась точка, полярный угол которой ф = п.
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
Пришло время показать, что из полученного решения следуют законы Ке-
Кеплера. Это значит, нам надо показать, что замкнутая орбита представляют
собой эллипс с Солнцем в одном из фокусов, и что квадрат времени обра-
обращения по эллиптической орбите пропорционален кубу большой полуоси
орбиты.
Второй закон Кеплера
Ранее, при постановке задачи мы отметили, что центральность силы тяго-
тяготения уже сама по себе приводит в сохранению момента импульса тела,
откуда немедленно следует постоянство секторной скорости, т.е. второй
закон Кеплера.
Первый закон Кеплера
Полученное уравнение траектории A4) хорошо известно в математике с
давних пор. Обычно в него вводят традиционные обозначения
p = 2/s, e = 2/s-l A7)
и переписывают в виде
112

ГЛАВА IX
г _ Р
г0 1 + есовф
Величину р называют параметром траектории, е - эксцентриситетом. Как
следует из решения задачи Кеплера, обе эти характеристики траектории
определены параметром задачи s и между ними существует соотношение
р = 1+е. A9)
Удобно все размеры отнести к расстоянию г0, используя его в качестве
масштабной единицы. При этом все величины, представляющие линейные
размеры, превратятся в безразмерные числа, показывающие сколько вы-
выбранных нами масштабных отрезков располагаются на длине той или дру-
другой линии. Сохранив для радиуса-вектора и декартовых координат тела
прежние обозначения, перепишем уравнение траектории в виде
1 + е
1 + есовф
Введение естественных для конкретной физической задачи масштабов
называется переходом к безразмерным переменным. Это - стандартный
прием анализа решения физической задачи.
1 + е
= 1
X л — —
1-е
1-е
2е
1-е
Рис.9. Основные точки орбиты и их координаты: РиА- вершины, для замкнутой орбиты
- перигелий и афелий; OuF- фокусы; С - центр; aub- большая и малая полуоси.
Все размеры отнесены к гг
Разберемся, какие кривые представлены уравнением B0). Отметим,
что кривая, заданная этим уравнением, пересекает полярную ось в точках
Рк Ас координатами хР =1 и хА =-(l + e)/(l-e), соответствующими зна-
значениям полярного угла ф = 0 и ф = л (рис.9). Назовем эти точки верши-
вершинами орбиты.
Полезно ввести представление о центре орбиты, поместив его как раз
посередине между вершинами, т.е. в точке на полярной оси с декартов-
декартовской координатой хс =(хР +хА)/2 = -e/(l-e). Определим на полярной
оси точку F, симметричную силовому центру О относительно центра ор-
орбиты. Ее декартова координата окажется xF =-2e/(l-e). Учитывая, что
гсовф = х, перепишем уравнение траектории тела B0) в виде
г + е* = 1 + е . B1)
Рассмотрим некоторую точку М на орбите с координатами {х, у}. Оп-
Определим расстояния Г] и г2 от точек О и ^до М. В соответствии с теоремой
Пифагора окажется
113

?АДАЧА КЕПЛЕРА
г?=х3+у2.
B2)
Преобразуем г| следующим образом
2_ 2 2 4еж 4е2 2 ^l + e-rj 4e2
2 4г, 4 4 4A+ е) 4е2 f 2
2
откуда немедленно следует, что
Полученное соотношение показывает, что орбиты могут быть двух ти-
типов. Для первого из них орбита представляет собой геометрическое место
точек сумма расстояний которых от двух заданных точек О и F постоянна.
Это известный еще древним грекам эллипс. Точки О и F для него называ-
называются фокусами. Таким образом, нам удалось показать, что решение задачи
приводит к первому закону Кеплера.
Орбиты второго типа представляют собой геометрическое место точек
разность расстояний которых от двух заданных точек О и F постоянна.
Это тоже известная еще от античных времен гипербола. О существовании
таких орбит до работы И. Ньютона никто не знал. Математика оказалась
выдающимся творцом и привела к открытию новой, ранее неизвестной
стороны гравитационного взаимодействия.
Третий закон Кеплера
Найдем период обращения планеты по эллиптической орбите. Проще
всего воспользоваться для этого постоянством секторной скорости
_1 2^Ф_1 B4)
Так как секторная скорость представляет собой площадь, заметаемую ра-
радиусом-вектором планеты за единицу времени, то период обращения
тл, B5)
где S - площадь эллипса. Из геометрии известно что эта площадь опреде-
определяется длиной большой а и малой Ъ полуосей эллипса
S = nab. B6)
Большая ось определена как отрезок прямой между вершинами эллипса.
Используя результаты предыдущего раздела и умножив для перехода к
размерным переменным все линейные размеры на длину масштабного от-
отрезка г0, нетрудно установить, что большая полуось
'о Ъ гд е rg \U0\/% r0 \U0\ GMm
Оказалось, что этот размер орбиты определяется только полной энергией.
114

ГЛАВА IX
Малая полуось поперечна к большой и проходит через центр эллипса.
Из треугольника ОСВ на рис.9, нетрудно получить ее величину
1 Г2 е2 /Г+в"
Используя вычисленные размеры полуосей эллипса B7)-B8), можем найти
площадь, ограниченную орбитой планеты
B9)
Теперь не составит труда найти период обращения планеты по орбите:
_ S 2 лг02 /177 2кг0 1 /177 2пго(а^3/2
и0 1-eVl-e
з/
Л-е =
и0 [rj Ve u0 Vr0J ]||f/0| "о Vr0.
откуда после возведения в квадрат следует третий закон Кеплера
C0)
115

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1X
ЧАЛАЧА КЕПЛЕРА
1. Известно, что эллипс можно получить пересекая пря-
прямой круговой цилиндр плоскостью, наклоненной к оси
цилиндра под некоторым углом. Используя это, выве-
выведите формулу для площади эллипса.
2. Траектория движения тела, уходящего в бесконеч-
бесконечность, состоит из двух ветвей. Какой смысл имеет вторая
ветвь этой кривой? Нарисуйте годограф скорости, соот-
соответствующий этой ветви.
3. Вычислите угол между полярной осью и прямоли-
прямолинейной асимптотой уходящей в бесконечность траекто-
траектории для заданных р, и uq.
4. Выведите формулу Резерфорда для угла отклонения
ос-частицы в поле ядра в зависимости от ее скорости в
бесконечности и прицельного параметра.
5. Подумайте, как по расположению Луны на небосводе
определить направление орбитального движения Земли
в пространстве. Для упрощения задачи предположите,
что плоскости орбит Земли и Луны совпадают.
k*l
6. Попробуйте качественно понять, как изменились бы
траектории движения, если бы сила тяготения изменя-
изменялась с расстоянием не по закону обратных квадратов.
116

ГЛАВА X
X. КОЛЕБАНИЯ
Колебательное движение. Амплитуда. Период и частота
Рассмотрим движение массы т, прикрепленной к пружине с жесткостью
к. При отклонении от положения равновесия на расстояние х потенци-
потенциальная энергия U=kx2/2, и закон сохранения энергии приводит к
mv2 kx2
—+-г=Е- о)
Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае масса т будет совершать
периодическое движение вокруг положения равновесия, отклоняясь от
него на расстояние а0, определяемое уравнением
ka2
-f = ?' B)
Максимальное отклонение а0 от положения равновесия называется ампли-
амплитудой, а время Т, по истечении которого процесс повторяется, -периодом
колебаний. Обратная периоду величина называется частотой
v = r- C)
Качественные методы анализа колебаний
Существует много разных периодических движений. Нетрудно сформули-
сформулировать условия, когда происходят колебания. Для этого надо, чтобы по-
потенциальная энергия системы Щх) имела минимум, а полная энергия не
превосходила некоторой величины. Для случая, изображенного на верхней
части рис.1, колебания возможны возле точки О, соответствующей х=0,
если полная энергия не превосходит величины ближайшего к точке О мак-
максимума йп- При s>?m система в своем движении будет проходить положе-
ние равновесия и уйдет к минимуму потенци-
потенциальной энергии при я-»оо.
Размах колебаний определяется реше-
решением уравнения
U{x-) = c. D)
В окрестности минимума потенциальной
энергии это уравнение имеет два корня: х{ и
\
х\, отвечающие одному и тому же значению
энергии. В этих точках потенциальная энер-
энергия равна всей энергии системы и на кинети-
кинетическую ничего не остается, т.е. скорость об-
обращается в нуль и в следующий момент вре-
времени меняет знак - происходит изменение
Pud. Потенциальная энергия и направления движения. Поэтому точки х\ и
фазовые траектории механике- х* называют точками поворота.
скоп системы
117

КОЛЕБАНИЯ
Другой взгляд на колебательное движение можно составить, если рас-
рассматривать одновременно положение и скорость тела. Воспользуемся для
этого уравнением энергии
Здесь T{v) - кинетическая энергия тела. Уравнение E) при заданной энер-
энергии e(x,v) = const представляет какую-то кривую на плоскости (x,v). Эту
плоскость называют фазовой плоскостью, кривую z(x,v) = const - фазовой
траекторией. На нижней части рис.1 изображено несколько фазовых тра-
траекторий. Так как положению равновесия отвечает минимум потенциаль-
потенциальной энергии, кинетическая энергия, а вместе с ней и скорость макси-
максимальны при прохождении точки равновесия. При движении справа к точке
равновесия и<0. Поэтому точка, изображающая движение механической
системы, проходит фазовую траекторию по часовой стрелке. Из рис.1
видно, что колебаниям соответствуют замкнутые фазовые траектории, ох-
охватывающие точку равновесия О. Непериодическому движению отвечают
незамкнутые траектории. Границей между этими двумя возможными ти-
типами движений оказывается фазовая траектория е(л,у)=Ет, где ?т - зна-
значение потенциальной энергии в
точке максимума. Ее называют се-
паратриссой. Отметим, что сепа-
ратрисса имеет характерную точку
самопересечения, которая соот-
соответствует приходу системы в точку
максимума на графике потенци-
потенциальной энергии с нулевой скоро-
скоростью.
Наиболее общее представле-
представление о движении механической
системы можно получить из трех-
трехмерного графика зависимости
энергии системы от положения
тела х и скорости v. На рис.2 изо-
изображен такой график для потен-
потенциальной функции, показанной на
рис.1. Сечение поверхности на
рис.2 плоскостью v=Q дает график потенциальной функции Щх), пересе-
пересечение плоскостью е = const- график фазовой траектории.
Малые колебания
Из предыдущего ясно, что выбором физических тел и их расположения
можно осуществить огромное разнообразие потенциальных функций и
вместе с тем получить еще большее разнообразие возможных движений
этих тел. Пусть на потенциальной кривой оказалось несколько минимумов.
Каждый из них определяет некоторое положение устойчивого равновесия.
При умеренных отклонениях из любого положения равновесия система
окажется способной совершать колебательное движение вокруг него. Если
отклонение превзойдет некоторый предел, станут возможными более
Рис.2. Зависимость энергии механической
системы от координаты и скорости.
118

ГЛАВАХ
сложные периодические движения, охватывающие сразу несколько поло-
положений равновесия. При очень больших отклонениях некоторые механиче-
механические системы могут распасться - составляющие их тела окажутся способ-
способными уйти в бесконечность.
При малых отклонениях от равновесия, потенциальную
функцию можно почти всегда достаточно хорошо аппрок-
аппроксимировать квадратичной параболой. Для грузика на пру-
пружинке это справедливо до тех пор, пока верен закон Гука,
т.к. пока возвращающая сила пропорциональна отклоне-
отклонению. Другой пример такой аппроксимации дает рассмотре-
рассмотрение колебаний под действием силы веса массы т, подве-
подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной I.
\т\ (Рис-3)- Такая колебательная система называется матема-
математическим маятником. Считая потенциальную энергию в
PucJ. Маятник положении равновесия (ф=0) равной нулю, получим, что
при отклонении на угол ф
?шр) = mgh - m,g\l — lzabm — 2mglsva.2 — »——— ф2,
т.е. действительно потенциальная энергия математического маятника при
малых отклонениях квадратично зависит от ф.
Гармонические колебания
Уравнение гармонических колебаний. Общее решение
Колебания, при которых и<ххг называются гармоническими. При гармони-
гармонических колебаниях сила пропорциональна первой степени отклонения от
положения равновесия и направлена в положение равновесия, из-за чего
ее называют возвращающей. Изучим гармонические колебания, понимая,
что их можно рассматривать как наиболее типичный и часто встречаю-
встречающийся случай малых колебаний любых систем.
Продифференцировав уравнение энергии A) по времени, нетрудно
получить mvv + kxx = 0, откуда после сокращения на v = x следует
уравнение гармонических колебаний:
х+со2д: =
Здесь
2
Ш°=^Г (8)
постоянный численный коэффициент, называемый собственной частотой
гармонического осциллятора.
Полученное уравнение представляет собой дифференциальное урав-
уравнение, особенностью которого является пропорциональность второй про-
производной по времени от неизвестной функции x(t) значению этой функции
с обратным знаком. С подобным уравнением мы встречались, рассматри-
рассматривая декартовы проекции ускорения точки, вращающейся с постоянной уг-
угловой скоростью со вокруг оси A1.33), что позволяет записать решение
уравнения гармонических колебаний в виде
119

колебания
Метод векторных диаграмм
Сделанное замечание относительно совпадения уравнения гармонических
колебаний с соотношением, связывающим положение вращающейся
точки с ее ускорением, позволяет изображать гармоническую величину
как проекцию вращающегося с угловой скоростью <в0 вектора на некото-
некоторую неподвижную ось. Длина этого вектора равна амплитуде колебаний
а0, а начальное положение относительно оси на которую производится
проектирование, определяется углом (ро - так называемой начальной фазой
колебаний. Представление гармонической величины как проекции вра-
вращающегося вектора называется векторной диаграммой. Принято на век-
векторной диаграмме изображать положение векторов, относящееся к на-
начальному моменту времени. Так как сумма проекций нескольких векторов
равна проекции их векторной суммы, построение векторной диаграммы
представляет удобный метод решения массы задач, связанных с суммиро-
суммированием гармонических функций с одинаковой частотой.
Суть этого метода состоит в:
1. построении векторных диаграмм для каждой из рассматриваемых
гармонических величин;
2. геометрическом суммировании этих векторов путем построения со-
соответствующей ломаной и ее замыкающей
3. и, наконец, построения проекции этой замыкающей при ее враще-
вращении с нужной угловой скоростью относительно некоторой непод-
неподвижной оси.
Дифференцированием общего решения гармонических колебаний (9)
нетрудно получить
x(t) = -аомо sin(coo? * ф0) = аосоо ^ |J
x(t) = -аоа>о cos(cu0i + ф0) = аос»о cos(co0i + ф0 + п).
Из полученного соотношения для
скорости следует, что изображающий
ее вектор повернут на тс/2 вперед по
отношению к вектору положения ко-
колеблющейся точки и имеет в (Во раз
большую амплитуду. Аналогично,
вектор, представляющий ускорение
опережает вектор положения на л и
Рис.4. Векторная диаграмма положения, имее? в ^2 большую амплитуду.
скорости и ускорения тонки при гармо- и г ' ' '
ническихколебаниях. На рис.4 приведены векторные диа-
диаграммы для координаты, скорости и
ускорения при гармонических колебаниях.
Период и частота гармонического осциллятора
Так как период косинуса равен 2тс, то период колебаний
Он не зависит от амплитуды.
120

ГЛАВАХ
Сформулируем рецепт, следуя которому можно определить период
колебаний. Для этого нужно записать уравнение колебаний в стандартном
виде G) и, извлекая квадратный корень из коэффициента в правой части
его, найти сначала частоту собственных колебаний <и0> а затем с помощью
соотношения A1) определить период колебаний Т.
Для массы на пружинке
соп=,— и
2тг
и i= —
\т <и0
Для малых колебаний математического маятника уравнение энергии
mv2 / ¦, _ ml2 . 2 mgl
2 + W ~ 2 ф + 2
=const-
После дифференцирования его по времени и сокращения на ф приходим
к стандартному уравнению гармонических колебаний ф = ~(g/l)<?, откуда в
соответствии с определениями частоты и периода
и Т = — = 2л,(— . И31
Рассмотрим колебания физического маятника, пред-
представляющего собой тело с моментом инерции /, вра-
вращающееся вокруг оси, проходящей через точку О. Центр
тяжести тела находится в точке С, расстояние которой от
оси вращения OC=d (рис.5). При малых отклонениях от
положения равновесия энергии физического маятника
может быть записана в виде
•2 / ч /ф2 mgd
mv2
=const,
Рис.5. Физический
маятник
откуда получаем уравнение колебаний ф =
^-
него частоту и период
mgd „ 2тс _ I I
, а из
A4)
Величину I = —- называют приведенной длиной физического маятника.
md
Энергия гармонического осциллятора
Воспользовавшись решением (9) задачи о движении гармонического ос-
осциллятора, можно получить, что его энергия
v2 kx2
mv2
Sco"
A5)
Кинетическая энергия осциллятора пропорциональна sin2(co0i + <po), по-
потенциальная пропорциональна cos2(co0i + <p0). Когда одна из них увеличи-
увеличивается, другая убывает. Нетрудно сообразить, что среднее значение кине-
121

КОЛЕБАНИЯ
тической энергии за период равно среднему значению потенциальной и
каждое из них равно половине полной энергии гармонического осцилля-
осциллятора, т.е.
Ломаные скобки ( ) обозначают среднее значение физической величины.
Затухающие колебания
При перемещении Ах из-за трения теряется энергия. Рассмотрим малые
скорости движения. Тогда (IV, 27)
/тр = ~KV и
, 2к mv2
Д? = -югДг = ;г-Д*.
т Z
Усредняя A9) по периоду и полагая, что движение слабо затухает за один
период, можно использовать соотношение A6) и получить уравнение,
2к ?
описывающее медленно затухающие колебания (Де) = —Д( = -2уеД(,
где _ _к_ A9)
коэффициент затухания.
С уравнением типа A8) мы встречались, рассматривая движение ра-
ракеты (III, 5). Его решение имеет вид
г = Че'2-". B0)
Так как энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды, то из
B0) следует, что амплитуда
а = аое^. B1)
За время г = 1/у амплитуда колебаний убывает в е раз, а энергия в е^в, т.е.
почти на порядок. Поэтому время т называют временем затухания колеба-
колебаний. Нетрудно подсчитать, что за время т осциллятор совершит
jr_J_ __1_Шо. B2)
колебаний. Величину
Q = fj" B3)
называют добротностью колебательной системы. Из B2) следует, что по
порядку величины она равна количеству колебаний, которые совершит
осциллятор за время затухания.
Рассматривая затухание колебаний, мы предполагали, что оно доста-
достаточно мало, т.е. предполагали, что т>>Т, или Q»l. При сильном затуха-
затухании движение изменяет свой характер и полученные в настоящем пара-
параграфе результаты не могут быть применены к случаю сильного затухания.
122

ГЛАВАХ
Чтобы точно рассмотреть зату-
затухание колебаний любого осцилля-
осциллятора с трением, запишем уравнение
движения его, полагая, что на ко-
колеблющееся тело действует упру-
упругая сила и сила трения
mx = -kx-KX.
Разделив это уравнение на т и
вводя собственную частоту ш0 и
затухание в соответствии с (8) и
Рис.6. Затухающие колебания. Графики по- ^9), приводим уравнение движе-
строены для движения из начального откло- „„..„„„.. „_„ „ ,.„„,,„ ,, „ ~„„,,
* , , -П1СПС11/1О ния осциллятора с трением к стан-
нения и добротностеи .0.25,0.5,1,2,4,8 г г
дартному виду
х + 2ух + а>1х = 0. B4)
Учитывая полученный результат для осциллятора с малым затуханием, по-
попробуем отыскать решение этого уравнения в виде
ж = а0е-7'и@, B5)
где u(t) - неизвестная функция времени. Дифференцируя предполагаемое
решение B5), получаем
х = -уаое""иA) + аое""п;
y2ae""u(t)-2yaoe""u + ae'ylu
x = y2aoe""u(t)-2yaoe
и после подстановки полученных выражений для х, х и ж в уравнение
движения B4) приходим к уравнению
и + Ц-у2)и = 0 B7)
для неизвестной функции u(t). Нетрудно заметить, что уравнение B7) сов-
совпадает с уравнением движения гармонического осциллятора G), если в
последнем заменить х на и и в>\ на \<л% -у2)- Это значит, что искомая
функция имеет вид
а общее решение задачи о затухании колебаний в соответствии с B5) мо-
может быть записано в виде
x(t) = аое "'' cos((B« + *р0). B8)
Здесь
П г" B9)
собственная частота осциллятора с трением. Нетрудно видеть, что зату-
затухающие колебания происходят, если в>\ >у2, т.е. если добротность сис-
системы Q = о>0/Bу) > 0.5. При малой добротности Q < 0.5 разность [а>1 - у2)
меняет знак, и вместо гармонических функций решением уравнения B7)
становятся показательные функции - движение становится апериодиче-
апериодическим.
123

КОЛЕБАНИЯ
-0.5
Рис 7 Затухание колебаний во времени На
третьей координатной оси представлена
добротность
Затухание колебаний показано
на рис.6, где приведены графики
зависимости отклонения от времени
при движении после начального от-
отклонения д;0=1 для колебательных
систем с добротностью 0.25,0.5,1, 2,
4, 5. При Q<0.5 движение аперио-
апериодическое. С возрастанием доброт-
добротности происходят колебания и всего
за время "жизни" колебаний проис-
происходит примерно Q периодов коле-
колебаний.
Наиболее наглядную картину
затухания колебаний дает трехмер-
трехмерный график положения колеблю-
колеблющегося тела в зависимости от вре-
времени и добротности, представлен-
представленный на рис.7.
Вынужденные колебания
Для поддержания колебаний в системе с трением необходимо воздейство-
воздействовать на нее внешней силой. Колебания, происходящие при этом называют
вынужденными. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид
mx = -kx-KX + f(t). C0)
Здесь -kx - возвращающая сила, -юс - сила трения, ДО - внешняя
сила. Естественным движением осциллятора являются колебания. Рас-
Рассмотрим поэтому вынужденное движение при действии на осциллятор пе-
периодической силы /=/0cosa)t. Понятно, что вынужденные колебания
должны происходить с частотой вынуждающей силы, которая в общем
случае отлична от собственной частоты осциллятора со0, и решение урав-
уравнения движения C0) должно иметь вид
Здесь неизвестны амплитуда а0 и начальная фаза ф0 вынужденных коле-
колебаний. Поделив C0) на т, получим уравнения движения в виде
«о* = — • C2)
По своей структуре это уравнение представляет ускорение тела как
сумму ускорений, порождаемых вынуждающей, упругой и силой трения, а
именно: сумма ускорения тела и компонент ускорения, создаваемых упру-
упругой и силой трения должна быть равна ускорению от внешней силы. Так
как все четыре ускорения в уравнении C2) - гармонические функции с
частотой вынуждающей силы, их можно представить на одной векторной
диаграмме и свести тем самым решение дифференциального уравнения
C2) к некоторой геометрической проблеме сложения векторов.
Две такие диаграммы приведены на рис.8. На них ускорение, создан-
созданное вынуждающей силой изображено горизонтальным вектором длиной
124

ГЛЛВЛ X
/0/те, а ускорение, порождаемое упругой силой, - вектором длиной а^а,
повернутым относительно вынуждающей силы на угол ф0. Сила трения
пропорциональна скорости и потому создаваемое ей ускорение
опережает по фазе упругое на п/2. Ускорение тела в свою очередь опере-
опережает скорость на 7С/2 по фазе и оказывается противоположным по направ-
направлению упругой силе.
Рис 8. Векторные диаграммы вынужденных колебаний Решение уравнения C2) на
диаграмме превращается в геометрическую задачу построения суммы векторов
В соответствии с уравнением C2) амплитуда ускорения, создаваемого
силой трения 2усоа, амплитуда ускорения со2а. Рассматривая в соот-
соответствии с C2) векторную сумму представленных на диаграмме ускорений,
нетрудно получить из теоремы Пифагора
(шо -ю2) а2 +4у2со2а2 =(fo/m) ,
откуда следует, что амплитуда вынужденных колебаний
(/о/"О
а= vo/ ; C3)
2) 22
и начальная фаза
2уо>
^V- C4)
Амплитуда вынужденных колебаний C3) пропорциональна амплитуде
вынуждающей силы и сложным образом зависит от частоты вынуждающей
силы ев, собственной частоты колебательной системы <и0 и затухания у
При малом затухании Bу <<<в0) максимальная амплитуда колебаний дос-
достигается, если частота внешней силы равна собственной частоте осцилля-
осциллятора СО = (Во
При приложении постоянной силы /0 осциллятор отклонится от положе-
положения равновесия на
C6)
и отношение максимального отклонения при совпадении частот к статиче-
статическому при заданной величине вынуждающей силы
а0 ~ 2у ' C7)
125

КОЛЕБАНИЯ
В случае малого затухания Q»l, и отношение ama!t к а0 может быть очень
большим. Рассмотренное явление сильной раскачки колебаний при совпа-
совпадении частот называется резонансом. При резонансе <р0 = л/2 и вынуж-
вынуждающая сила всегда работает в такт с колебаниями, совпадая по фазе со
скоростью, а коэффициент усиления колебаний amajl /a0 оказывается рав-
равным добротности осциллятора Q.
Вблизи резонанса, когда (ш0 -со) «<а0
ю2, - со2 = (<и0 - <аХ<а0 + ш)« 2<и0(й>0 - <а)
и 4у~(в «4у щ
Поэтому вблизи резонанса
_ /о щ
2maiQ
\2 2
) +Y
откуда
ш0
°о ^o-o)J+Y2
C8)
0.5 1 1.5 2 2.5
Рис.9. Амплитуда вынужденных колебаний Рис.10. Амплитуда вынужденных колеба-
в зависимости от отношения частоты ний в зависимости от отношения час-
вынуждающей силы к собственной. Доб- тоты вынуждающей силы к собственной
ротность осцилляторов: 1, 2, 4, 8. частоте и от добротности
На рис.9 и рис.10 изображены резонансные кривые, соответствующие
формуле C8). Увеличение затухания у приводит к уширению резонансной
кривой. Введем ширину резонансной кривой До, определив ее условием
уменьшения амплитуды вынужденных колебаний bV2 раз по сравнению с
резонансным значением атах. Положив в C8) а/а0 =Q/V2 , можно полу-
получить
Ди = 2у C9)
и затем из C9) и C7) вычислить, что произведение коэффициента усиле-
усиления атяк/а0 =Q резонансного осциллятора на ширину полосы Дю = 2у
постоянно:
D0)
126

ГЛЛВЛ X
Это общее свойство резонансных систем: чем выше усиление, тем уже по-
полоса частот, пропускаемых осциллятором.
При уходе от резонанса в сторону высоких частот амплитуда вынуж-
вынужденных колебаний уменьшается к нулю
/о
Г- D1)
а = -
mat
127

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ X
1. Найдите период и частоту малых колебаний доски,
лежащей на круглом бревне.
21
2. Доска лежит на двух катках, вращающихся с большой
скоростью навстречу друг другу. Расстояние между
осями катков 21, коэффициент трения - ц. Найдите час-
частоту колебаний.
-©-
3. Измерения частоты собственных колебаний массы т,
закрепленной посередине струны длиной 21, дали зна-
значение св. Найдите натяжение струны.
4. Тележка скатывается с ускорением а по наклонной
плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Найдите
период малых колебаний маятника длиной /, установ-
установленного на тележке.
5. Однородный диск подвешивается в горизонтальном
положении на трех одинаковых нерастяжимых нитях
длиной I, находящихся на равном расстоянии друг от
друга и закрепленных на краю диска (такая подвеска на-
называется трифилярной). Покажите, что при малом по-
повороте вокруг вертикальной оси диск начинает совер-
совершать колебания, период которых такой же, как у мате-
математического маятника длиной 112.
6. Грузик висит на пружинке с упругостью k. Верхний
конец пружинки прикреплен к коромыслу, которое от-
отклоняется на величину <хР при нагрузке Р. Покажите,
что колебания грузика будут такими же, как на пру-
пружинке с жесткостью k/(l+ak).
128

КОЛЕБАНИЯ
М
7. Через отверстие в центре стола пропущена нить, на
одном конце которой подвешен груз массой М, а к дру-
другому прикреплен груз массой т, вращающийся по по-
поверхности стола с угловой скоростью П. Ось вращения
проходит через центр отверстия. Найдите период малых
вертикальных колебаний груза М.
8. Четыре одинаковых массы соединены одинаковыми
пружинками с жесткостью k. Всем этим массам мгно-
мгновенно сообщили равные скорости, направленные к цен-
центру квадрата. Спустя какое время пружины будут:
сильнее всего сжаты;
сильнее всего растянуты?
9. На подставке лежит тело массой т, подвешенное на
пружине с жесткостью k. Подставку мгновенно уби-
убирают. Опишите движение тела после этого, если в ис-
исходном состоянии пружина была:
не деформирована;
сжата на I.
10. На чашку пружинных весов с лежащим на ней гру-
грузом массой т действует сила /=Fo cos at. Определить
минимальную величину Fa, при которой груз отрывается
от чашки. Масса чашки весов М, жесткость пружины k.
Вычислите высоту подскока груза относительно поло-
положения равновесия при заданной величине Fo.
11. По горизонтальной плоскости со скоростью v сколь-
скользят два шарика с одинаковыми массами т, связанные
недеформированной пружинкой с жесткостью k. Ша-
Шарики налетают на упругую вертикальную стенку. Опи-
Опишите дальнейшее движение шариков. Произойдет ли
129

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ X
12. Рассмотрите предыдущую задачу, предположив, что
масса первого по движению шарика больше массы вто-
второго.
13. Рассмотрите качественно задачу об упругом ударе
двух шариков на пружинке о стенку, предположив, что
масса второго по движению шарика больше массы пер-
первого. Попробуйте получить приближенное решение для
шариков с очень разными массами.
130

ГЛАВА XI
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ
XI. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Сплошная среда
В предыдущих разделах курса рассматривалось почти исключительно
движение недеформируемого твердого тела, представление о котором в
большинстве случаев можно было упростить до предельной ситуации:
точки, как ее понимает геометрия Евклида, с самыми примитивными меха-
механическими характеристиками - массой и моментом инерции. Однако, да-
далеко не все существующие в природе механические процессы и взаимо-
взаимодействия можно описать моделью материальной точки.
Все тела состоят из атомов и молекул - на этом стоит физическая
наука. Казалось бы, надо просто рассматривать любое тело как набор ма-
материальных точек со связями, соответствующими межатомным силам,
применять к каждой из них законы Ньютона, и - получится решение любой
задачи механики. Абсурдность такого подхода очевидна: уже для несколь-
нескольких частиц число подлежащих решению уравнений становится столь
большим, что ни о какой возможности их решения нельзя говорить. Да и
для описания движения огромного количества молекул вовсе не надо
знать, как движется каждая из них и какие силы на нее действуют. Тела,
содержащие огромное число плотно упакованных молекул, можно рас-
рассматривать как сплошные, не принимая в расчет движение отдельных ато-
атомов и молекул. Такая физическая модель для описания тел, содержащих
громадные количества составляющих их частиц, называется моделью
сплошной среды. Свойства сплошной среды описываются осредненными
характеристиками ее. Для описания инерциальных свойств используется
плотность р, определенная как масса в единице объема
dm A)
Силовое взаимодействие в сплошных средах описывается давлением р, оп-
определенным отношением силы, действующей на некоторую площадку, к
величине этой площадки
df B)
Понятие о поле физической величины
Если в механике материальной точки масса и сила определялись самой ма-
материальной точкой, то в механике сплошных сред плотность и давление
должны представляться как некоторые функции пространственных коор-
координат и времени. Такие функции, определенные в некоторой области про-
пространства, в физике называют полем, и о распределении плотности в среде
говорят как о поле плотностей, о распределении давлений - как о поле
давлений. Понятно, что движение сплошной среды должно быть описано
полем скоростей. В отличие от поля плотностей, описывающего распреде-
распределение скалярной величины - массы ,- поле скоростей векторное. Для его
131

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
задания надо в каждой точке пространства и для каждого момента вре-
времени определить вектор скорости, т.е. задать три функции времени и ко-
координат для каждой из компонент этого вектора. Задача о движении
сплошной среды сводится к определению распределений в объеме тела
скорости, плотности, давления и других физических величин, т.е. к нахож-
нахождению соответствующих им физических полей.
Гидростатика. Законы Паскаля и Архимеда
Главной особенностью жидкости является способность течь, под которой
мы понимаем способность изменять свою форму под действием сколь
угодно малой силы, направленной вдоль поверхности жидкости. Ограни-
Ограничивают движение жидкости твердые тела - стенки, со стороны которых на
жидкость действуют какие-то силы, уравновешивающие давление в жид-
жидкости. Покой жидкости возможен лишь в том случае, когда вдоль поверх-
поверхности жидкости нет разницы давлений. Это значит, что в покое сила, дей-
действующая со стороны жидкости на любое сопри-
соприкасающееся с ней тело, должна быть строго пер-
перпендикулярна поверхности тела. Нетрудно пока-
St а\. зать' что из условия отсутствия касательных на-
пряжений в покоящейся жидкости следует, что
давление не зависит от направления. Это утвер-
Рис.1. Равновесие призмы в ждение называют законом Паскаля. Для доказа-
окно кости и
тельства рассмотрим равновесие малой треуголь-
треугольной призмы, грани которой имеют площади Si, S2, S3, а поперечное сече-
сечение представляет собой прямоугольный треугольник с острым углом а
(рис.1). Пусть давления на гранях будут pi, рг ирз. Записав условия равно-
равновесия, получаем
p3Sg cos a = p^Si, P3S3 sin а = p2S2. C)
Нетрудно видеть, что S, = S3 cos а и S2 = S3 sin а, откуда
Pi = Рг = Рг. D)
т.е. действительно давление не зависит от ориентации площадки.
При движении жидкости скорость ее частиц изменяется от точки к
точке, и давление в жидкости должно изменяться соответствующим обра-
образом, чтобы обеспечить необходимое изменение скоростей в жидкости.
В разных точках покоящейся жидкости, если она находится в поле ка-
каких-то сил, давление может быть разным. Так, у поверхности Земли давле-
давление на глубине h в покоящейся жидкости постоянной плотности р должно
уравновешивать вес столба жидкости и атмосферное давлениеро:
Р - Pa +pgh- E)
Разница гидростатических давлений на верхнем и нижнем основаниях по-
погруженного в жидкость цилиндра (рис.2) приводит к тому, что на цилиндр
действует сила
выталкивающая цилиндр из жидкости. Так как SAh=V - объему цилиндра,
то величина выталкивающей силы может быть записана в виде
/ = P*V, (в)
т.е. оказалась равной весу объема вытесненной телом жидкости.
132

ГЛАВА XI
Можно доказать это утверждение для тела произ-
произвольной формы. Для этого вообразим, что в объеме, в
точности повторяющем форму и размеры тела вместо
материала тела находится жидкость. Этот объем нахо-
находится в покое. Значит, его вес pgV уравновешен ка-
какой-то силой. Единственная сила, действующая на рас-
рассматриваемый объем со стороны окружающей жидко-
жидкости создается давлением. Следовательно, равнодейст-
Рис.2.Платние тела вующая сил давления равна весу жидкости в объеме
е жидкости тела. Этот результат о величине выталкивающей силы
называют законом Архимеда. Он составляет основу для изучения плава-
плавания тел.
Гидродинамика
Мы понимаем под жидкостью среду, способную легко изменять свою
форму под действием сколь угодно малых касательных к ее поверхности
сил. В отличие от жидкости твердое тело обладает способностью противо-
противостоять изменению его формы. Приложение внешних сил к твердому телу
вызывает появление сил реакции, противодействующих деформации. Пока
внешние силы невелики, деформация мала, и после снятия нагрузки тело
восстанавливает свою первоначальную форму - произошла обратимая уп-
упругая деформация. Однако, при достижении некоторых критических на-
напряжений а происходит необратимая пластическая деформация - тело на-
начинает течь. При очень больших напряжениях - р»а - влиянием сил, про-
противодействующих деформации, можно пренебречь и рассматривать де-
деформацию любых тел как течение жидкости. Поэтому будем называть
жидкостью любую среду, в которой напряжение р многократно превосхо-
превосходит прочностные характеристики о , независимо от того, в каком агрегат-
агрегатном состоянии эта среда находится в отсутствии внешних сил. Так, высо-
высокоскоростное соударение твердых тел, поведение металла под действием
взрыва и тому подобные явления следует рассматривать как движение
жидкости. Поэтому гидродинамика может быть определена как наука,
описывающая поведение сплошных сред при высоких давлениях. Так как
давление по порядку величины оказывается равным плотности энергии в
единице объема, то гидродинамику можно определить как раздел физики,
занимающийся изучением поведения веществ и материалов при высоких
плотностях энергии.
Описание движения жидкости
Под действием распределения давления, отличного от статического, жид-
жидкость начинает двигаться и в ней создается некоторое поле скоростей. При
движении происходит изменение плотности р, которое в свою очередь
приводит к изменению потенциальной энергии молекул и к нагреву или
охлаждению тех или иных объемов в жидкости. На процесс движения
жидкости будет накладываться передача тепла из одних мест потока в дру-
другие (теплопроводность) и трение одних слоев жидкости о другие из-за раз-
разницы их скоростей (вязкость). Полное описание движения жидкости тре-
требует знания в каждый момент времени распределения скорости,
133

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
плотности, внутренней энергии, а уравнения движения должны включать
в себя не только закон изменения скорости под действием давления, но и
законы сжимаемости, передачи тепла, трения. Кроме того, необходимо
знать, как изменится внутренняя энергия W при изменении плотности и
давления. Это знание содержится в так называемом уравнении состояния
вещества. Уравнение состояния определяется характером взаимодействия
молекул, и установление его - одна из самых трудных и серьезных задач
физики.
Очевидно, что задачи гидродинамики принципиально отличны от за-
задач механики точки или недеформируемого тела, а течение жидкости
должно обладать рядом специфических особенностей, присущих исключи-
исключительно движению идеально деформируемой сплошной среды. С некото-
некоторыми простейшими из них мы ознакомимся в следующих разделах.
Стационарное движение несжимаемой и невязкой жидкости
Рассмотрим установившееся движение жидкости. Будем предполагать, что
потери на вязкое трение невелики и ими можно пренебречь. Такое пред-
предположение сильно изменяет существо дела, и нужно быть достаточно ос-
осмотрительным, применяя выводы из теории такой придуманной идеальной
жидкости к движению реальных жидкостей.
В стационарном потоке частицы жидкости движутся друг за другом,
проходя определенные установившиеся траектории. Их называют линиями
тока. Вектор скорости направлен по касательной к линии тока. В каждой
точке траектории скорость и ускорение могут быть разными, но важно, что
при стационарном движении в заданной точке пространства они всегда
одни и те же, т.е. не зависят от времени.
Уравнение неразрывности
Выделим объем жидкости, ограниченный совокупностью линий тока,
проходящих через некоторый замкнутый контур поперечный к скорости
жидкости. Этот объем называют трубкой тока. Рассмотрим два попереч-
AS, ных сечения достаточно малой трубки тока ASi
и AS2 (рис.3). Пусть жидкость течет слева на-
направо. Тогда через левое сечение I трубки тока
за единицу времени протекает масса жидкости
PiUiASi, через правое II - p2t>2AS2. Боковая по-
поверхность трубки тока состоит из линий
Рис.3. Трубка тока тока. Это значит, что скорость жидкости на
боковой поверхности направлена по каса-
касательной в этой поверхности, и через нее жидкость не протекает. Так
как при стационарном движении распределение плотности жидкости
между рассматриваемыми сечениями I и II во времени не изменяется,
то сохранение массы жидкости приводит к уравнению неразрывности
стационарного потока:
p^ASj = p2v2AS2, G)
откуда следует, что в узкой части потока скорость и плотность жидкости
должны возрастать.
134

ГЛАВАХ!
Уравнение Берну или
Подсчитаем работу, которую совершают силы давления при перемещении
в течение времени At массы жидкости Am=p\ViASiAt= p2V2ASzAt через се-
сечения I и II. Нетрудно видеть, что
- — \Am.
Pi Рг )
Эта работа, естественно идет на изменение энергии жидкости, и если е -
полная энергия единицы массы жидкости, то
.Pi I
откуда следует, что на каждой линии тока сохраняется величина
р
е + — = const. (g\
Энергия е состоит из кинетической vV2, потенциальной U и внутренней
энергии Wединицы массы жидкости. Подставляя в (8) вместо е сумму этих
величин, приходим к уравнению Бернулли
2
— + — + U + W = const. (9)
Если сжимаемостью жидкости можно пренебречь, то внутренняя энергия
ее не меняется при движении, и уравнение Бернулли для идеальной не-
несжимаемой жидкости приобретает вид
Р у2
—+ — + U = const. (Ю)
При движении вблизи поверхности Земли U=gh и A0) превращается в
— + — + gh = const. (ш
р 2 v '
Примеры
Рассмотрим несколько задач о движении жидкости, которые можно про-
просто решить, применяя уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.
Истечение жидкости через отверстие в стенке сосуда
Найдем скорость v, с какой жидкость будет вытекать из сосуда с попереч-
поперечным сечением S через дырку в стенке сечением s, находящуюся на глубине
h от свободной поверхности жидкости (рис.4). Из уравнения неразрывно-
неразрывности нетрудно получить для несжимаемой жидкости скорость опускания ее
свободной поверхности
И = У| A2)
и при малом сечении дырки составит пренебрежимо малую величину, т.е.
поверхность жидкости можно считать неподвижной. В таком случае
вполне допустимо рассматривать вытекание жидкости через как стацио-
стационарное течение.
135

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Записав уравнение Бернулли для линии тока, начинаю-
начинающейся на свободной поверхности и заканчивающейся в
вытекающей струе, и учитывая, что давление на свобод-
свободной поверхности и в струе просто равно атмосферному ро,
можно получить
Рис.4. Вытекание
жидкости
Ex h v Pa
P 2 p '
Из этого уравнения следует, что скорость в струе
A3)
Рис.5. Распределение
скорости с струе на
выходе из отверстия
feg A4)
В результате скорость истечения жидкости оказалась в точности равной
той величине, которую приобрели бы частицы жидкости при свободном
падении с высоты К. Этот результат впервые был получен итальянским
ученым Торричелли и формула A4) названа его именем.
Не следует думать, что сечение струи а равно се-
сечению отверстия в стенке сосуда. Дело в том, что на
выходе из сосуда давление становится равным атмо-
атмосферному только на поверхности струи. В глубине
струи оно остается выше атмосферного. Из-за этого
скорость жидкости при вытекании из сосуда только
на поверхности струи становится равной своему ус-
установившемуся значению A4). В самой струе она
меньше. На рис.5 качественно показано это распре-
распределение скоростей по сечению струи с минимумом на оси в момент выхода
жидкости за стенку сосуда.
После истечения из сосуда и при последующем течении в атмосфере
давление в глубине струи выравнивается с атмосферным. В результате
жидкость на оси струи ускоряется. Понятно, что произойдет это довольно
быстро и на небольшом расстоянии от отверстия по порядку величины
равному нескольким диаметрам струи. На поверхности же струи скорость
остается постоянной. Это следует из уравнения Бернулли, так как давле-
давление на поверхности всегда равно атмосферному, а влиянием силы тяжести
на небольшом пути горизонтально вытекающей струи можно пренебречь.
Значит, процесс распространения струи после истечения из сосуда сопро-
сопровождается разгоном только внутренних слоев жидко-
жидкости, что приводит к увеличению средней скорости
движения жидкости и в силу неразрывности потока к
сжатию струи к оси.
Сжатие струи можно точно вычислить для случая
истечения из цилиндрического насадка, заглублен-
заглубленного в жидкость (рис.6).Сечение насадка s будем
предполагать малым по сравнению с сечением со-
сосуда S, чтобы не принимать в расчет движение жид-
жидкости на стенках сосуда. Тогда на стенки со стороны
жидкости действует просто гидростатическое давле-
давление, и из-за наличия в правой стенке сосуда отвер-
отверстия площадью s на сосуд в целом действует сила
Рис.6. Сжатие струи
при вытекании из за-
заглубленного насадка.
Сечение струи o=s/2.
136

ГЛАВА XI
/ = pghs, направленная налево. Такая же сила действует на жидкость и
вызывает ее ускорение. При этом струя сечением а ежесекундно уносит
dp ,
импульс —г- = puov = peril" .
at
В силу уравнения движения эти две величины должны быть равны.
рот2 = pghs. A5)
Используя A4) для скорости истечения, нетрудно получить, что сечение
струи должно быть ровно в 2 раза меньше сечения насадка, т.е. ct/s = 1/2.
Соударение струи с плоскостью
Пусть плоская струя сечением ho падает на плоскость под углом а, имея на
большом расстоянии от плоскости скорость 1л (рис.7). После соударения
струя растекается по плоскости. Пренебрегая весом, покажем, что при
этом образуются две струи, текущие по плоскости в противоположных на-
направлениях, определим толщину этих струй, найдем силу и максимальное
давление, действующее со стороны струи на плоскость, и оценим ширину
площадки, подвергающейся действию этого давления.
Применяя уравнение Бернулли для свободной
поверхности, получим, что скорость жидкости со-
сохраняет свою величину на свободной поверхности.
Это естественно, так как действие сил давления в
q q pr*" стационарном случае создает перпендикулярную к
Рис.7. Соударение струи свободной поверхности силу, а такая сила изменяет
с плоскостью. Величина только направление, но никак не величину скоро-
скорости на свободной Сти частиц жидкости, текущих вдоль поверхности.
поверхности постоянна Если предположить, что после соударения с
плоскостью образуется одна струя, то из уравнения неразрывности и усло-
условия постоянства скорости на свободной поверхности следует, что ее тол-
толщина должна быть равна толщине падающей струи ha. Предположим, что
трения между жидкостью и плоскостью нет. Это значит, что на жидкость в
горизонтальном направлении не действуют никакие внешние силы, а так
как распределение скоростей в жидкости стационарно, то изменение гори-
горизонтальной составляющей импульса жидкости, заключенной между сече-
сечениями Inline, рис.7, должно быть нулевым. Но с падающей струей в рас-
рассматриваемый объем жидкости через сечение / ежесекундно вносится по
горизонтали импульс pvahovncosa, а с вытекающей струей через сечение II
по горизонтали выносится импульс pvohovo, т.е. в рассматриваемом объеме
жидкости импульс не сохраняется.
Полученное противоречие показывает, что в рассматриваемой задаче
обойтись одной струей нельзя: надо ввести обратную струю ОС. Так как в
силу уравнения Бернулли скорость на ее поверхности изменяет только на-
направление, но не величину, в этом случае из уравнения непрерывности для
струй ОА, ОВ и ОС следует
K-fh+fh, A6)
а из сохранения потока импульса по горизонтали
pvohgvo cos а = pi»0V0 + РЧЛгЧ) >
или
137

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Ло cos а =/ц +/IJ. A7)
Теперь нетрудно получить толщину струй, на которые разбивается па-
падающая струя
fti = у A + cos а) = Ло cos21-,
К = у A - cosa) = /ц, sin2 у
Нарисуем линию тока, разделяющую часть потока, уходящего в левую
струю ОВ, от потока, поворачивающего направо в струю ОС. Понятно, что
частицы жидкости, двигающиеся вдоль этой линии тока при соударении с
плоскостью остановятся, а затем под напором набегающего потока разой-
разойдутся и вправо, и влево. Записав уравнение Бернулли для точек А и О на
этой линии тока и положив скорость в точке О равной нулю, получим, что
в точке раздела потока на плоскости достигается максимальное давление
Ртах = "у- A9)
В обе стороны от точки остановки О давление плавно спадает, стремясь к
нулю. Сила, действующая со стороны плоскости на струю, равна суммар-
суммарному эффекту этого распределения давления, т.е. интегралу от давления
по всей плоскости. Для струи, ширина которой равна единице, условие ра-
равенства действия и противодействия имеет вид
»
/¦= jp(x)dx. B0)
Величину интеграла в этом уравнении можно представить как произведе-
произведение максимального давления A9) на некоторую эффективную ширину
зоны высокого давления 8. Нетрудно вычислить 8 из условия, что сила /
гасит вертикальную составляющую импульса в падающей струе, т.е.
откуда
B1)
Пробивание жидкости струей
Пусть струя жидкости с плотностью р,^ и длиной L, движущаяся со ско-
скоростью Цдр, пробивает покоящуюся жидкую преграду с плотностью рпр.
На первый взгляд задача представляется достаточно сложной. Попробуем
внести в нее возможные упрощения. Будем считать струю высокоскорост-
высокоскоростной. Это значит, с одной стороны, что скоростной напор материала струи,
определяемый давлением рт„ = р^и^/2 , многократно превышает давле-
давление на поверхности струи р0 и последним в задаче можно пренебречь, по-
положив его просто равным нулю. С другой стороны, достаточно высокая
скорость струи позволяет пренебречь и силой веса и тем самым еще
больше упростить задачу. Действительно, время проникновения струи в
преграду определяется временем, в течение которого струя проходит свою
длину, т.е. в задаче есть собственный естественный масштаб времени
138

ГЛАВА XI
,. За это время под действием силы веса скорость изменится на
'др. Для высокоскоростной струи это приращение скорости может
оказаться много меньше самой скорости, т.е. при v\^ » gL, влияние силы
тяжести на движение можно не учитывать. Приняв высказанные предпо-
предположения относительно высокоскоростной струи, определим скорость про-
проникания струи в материал преграды и глубину пробития.
При соударении струи с преградой
материал струи тормозится. Под дейст-
действием возрастающего при этом давления
материал преграды начинает течь - струя
размывает в преграде каверну, по стенкам
которой растекается и материал струи и
на пробивание каждого сантиметра пре-
преграды расходуется определенная длина
струи. Из-за растекания струи по каверне
ее голова проникает в преграду с некото-
некоторой скоростью и, отличной от скорости
Рис.8. Пробивание жидкости струей струи. Чтобы найти эту скорость, рас-
в стационарной системе отсчета, смотрим пробивание преграды ИЗ СИС-
и- скорость внедрения головы струи темы отсчета7 движущейся вместе с голо-
в преграоу bq., СТруИ q (рИС g) в этой системе от-
отсчета точка О неподвижна. На нее слева налетает струя со скоростью
Пор -и и плотностью р,^, а справа со скоростью и материал преграды с
плотностью рпр. Уравнения Бернулли для линий тока АО и ВО (это две
разные линии тока) и естественное условие одинаковости давления как
слева, так и справа от точки О, дают рстДистр - цj =2р = р„ри2, откуда
скорость проникновения головы струи в материал преграды
и =
B2)
Получился интересный результат: скорость проникания струи в преграду
всегда меньше скорости струи в полете. В случае одинаковой плотности
струи и преграды скорость пробивания составляет половину от скорости
струи. Произошло это из-за упомянутого выше явления растекания мате-
материала струи по стенкам размываемой в преграде каверны.
Получив скорость пробития, нетрудно сосчитать и глубину размытой в
преграде каверны. Пробитие продолжается в течение времени т, пока не
израсходуется вся струя
За это время голова струи внедрится в преграду на глубину
139

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
h = ит =
B3)
Получился замечательный по своей простоте результат. Оказывается,
струя пробивает в материале одинаковой с ней плотности каверну, глубина
которой просто равна ее длине.
Вспоминая замечание, сделанное в начале настоящей главы, что при
достаточно высоких давлениях любой материал течет как жидкость, можем
распространить только что полученные результаты о пробивании слоя
жидкости струей на высокоскоростное взаимодействие твердых тел, и при
достаточных скоростях на пробивание снарядом даже самой крепкой и
дорогой брони. Оказывается, плотность, а вовсе не прочность брони при
достаточной скорости снаряда станет определять ее стойкость, а глубина
пробоины просто определяется только длиной струи. В соответствии с
этим самые совершенные современные противотанковые средства- так на-
называемые кумулятивные заряды - созданы в соответствии с изложенными
принципами. При их разработке есть две основных проблемы: как полу-
получить нужную для реализации гидродинамического бронепробивания ско-
скорость и как сформировать достаточно длинную струю из плотного мате-
материала. Успешное решение этих задач было найдено опять же в гидродина-
гидродинамике. Оказалось, что движению жидкости присуща интересная особен-
особенность, состоящая в том, что в определенных условиях заметная доля энер-
энергии большой массы жидкости может быть передана небольшой части ее,
что приводит к концентрации энергии в малом объеме и увеличению ско-
скорости жидкости в нем в несколько раз. Это удивительное явление полу-
получило название кумуляции энергии. Два течения жидкости, приводящих к
кумуляции энергии, рассматриваются в следующем разделе.
Гидродинамическая модель высокоскоростного соударения была раз-
разработана выдающимся советским ученым М.А. Лаврентьевым.
Гидродинамическая кумуляция
Кумуляция энергии при схлопывании цилиндра из жидкости
Рассмотрим инерциальное движение цилиндра не-
несжимаемой жидкости после воздействия на нее ко-
короткого импульса давления, сообщившего мате-
материалу скорость в направлении к оси. В начальный
момент времени внутренний радиус оболочки был
го, наружный - Rq, скорость жидкости на внутрен-
внутренней поверхности - vq. Определим скорость внут-
внутренней поверхности оболочки по мере схлопыва-
ния ее.
Пусть в некоторый момент времени (рис.9)
внутренний радиус оболочки равен г, скорость на
Рис.9. Охлопывание ци-
цилиндра к оси.
внутренней поверхности и, наружный радиус оболочки R. Из уравнения
неразрывности следует, что в этот момент времени скорость жидкости в
слое, отстоящем от оси оболочки на расстоянии х
140

U = vLx> B4)
а кинетическая энергия цилиндрического слоя толщиной dx и единичной
высоты в осевом направлении
dT = 2xxdxp— = rep dx.
Интегрируя это выражение по ж от г до R, получим кинетическую энергию
оболочки в некоторый момент времени
2 2 , ^
vr In—. B5)
Далее из условия сохранения энергии можно получить искомую скорость
схлопывания в зависимости от положения внутренней г и наружной R по-
поверхностей оболочки и начальных условий
B6)
In —
г
Воспользовавшись условием несжимаемости
Я2-г2=Я02-г2,
можно вычислить наружный радиус при схлопывании в зависимости от
внутреннего:
р2 _2
• = 1 +
г
2 -— „2 B7)
и после подстановки в B6) получить
Исследовав эту зависимость, можно убедиться, что при г —> 0 скорость
внутренней поверхности оболочки и -> оо.
Воспользовавшись распределением скоростей по толщине оболочки
B4), сосчитаем скорость наружной поверхности
,л
2 2 Ш
„2 _ „2 ? Он2 -5Г0
R ff2 ° ff2
Inl
откуда нетрудно получить, что при г->0 R2 -> i?| - г02, а скорость на
внешней поверхности жидкости yR-»0, т.е. действительно, наружные
слои жидкости затормозились, отдав свою кинетическую энергию внут-
внутренним слоям. Произошло это потому, что из-за напора внешних слоев
жидкости в ее объеме формируется область повышенного давления. Так
как на обеих поверхностях слоя жидкости давление отсутствует, этот внут-
внутренний пик давления действует против скорости наружных слоев жидко-
141

ГИДРО/1ИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2 0.4 0.6 0.8
сти, тормозя их, и разгоняет внутренние слои, примыкающие к свободной
поверхности.
р Эти качественные соображения
подтверждаются представленными на
рис.10 графиками распределения дав-
давления в жидкости при схлопывании
оболочки к оси, которые получены ре-
решением гидродинамической задачи для
распределения давления в объеме
жидкости. На вертикальной оси пока-
показано давление, отнесенное к началь-
начальному скоростному напору жидкости
ро=рУо/2, на горизонтальной - ра-
радиус, отнесенный к внутреннему ра-
радиусу оболочки ^ в начальный момент
времени. Графики соответствуют мо-
моментам времени, когда внутренняя по-
поверхность оболочки занимает положе-
положение: {1, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2,
0.1}. Так как давление в процессе сжа-
сжатия очень сильно возрастает, пришлось
представить графики на трех отдель-
отдельных рисунках с разными масштабами
по оси давлений.
Обратите внимание, что:
• давление на внутренней и внеш-
внешней поверхностях оболочки
равны нулю,
• внутри кумулирующей оболочки
находится пик давления,
• при сжатии этот пик увеличива-
увеличивается в сотни раз и смещается к
внутренней поверхности.
Это значит, что толщина ускоряюще-
ускоряющегося слоя жидкости в процессе сжатия
становится меньше и в пределе лишь
слой нулевой толщины приобретет бесконечную скорость, сосредоточив в
себе всю начальную кинетическую энергию жидкости.
Для полноты информации отметим, что представленные на рис.10 ре-
результаты расчетов относятся к сжатию достаточно толстой оболочки, на-
начальный наружный радиус которой был i?0 = 1.1г0. При уменьшении тол-
толщины оболочки эффект кумуляции энергии проявится на более поздних
стадиях сжатия и будет носить более резкий характер.
Для понимания масштаба возникающих при кумуляции давлений рас-
рассмотрим оболочку из меди с плотностью р=8.9 г/см1 и с типичной для об-
обжатия взрывом скоростью 2.5 км/с. Начальный диаметр ее выберем соот-
соответствующим калибру очень небольшой пушки - 100 мм. Скоростной на-
р
2
1.5
0.5
0.2 0.4 0.6 0.8
Рис.10. Распределение давления в ма-
материале схлопывающегося к оси ци-
цилиндра.
142

ГЛАВА XI
пор для такой оболочки оказывается рт=2.8«105 атм - почти треть мил-
миллиона атмосфер. Из приведенных рис.10 графиков можно видеть, что при
уменьшении внутреннего размера оболочки до 60 мм максимальное дав-
давление в ней достигает примерно 6 тыс. атм. При дальнейшем сжатии до
10 мм давление возрастает почти в 100 раз и превышает полумиллион ат-
атмосфер! Перемещению внутренней поверхности оболочки на последних 5
миллиметрах отвечает возрастание давления в 4 раза - со 140 тысяч атмо-
атмосфер до почти 600 тысяч атмосфер. Дальнейшее сжатие сопровождается
еще более быстрым возрастанием давления в ней вплоть до бесконечности
при полном схлопывании оболочки.
Бесконечная скорость бывает только в теории. На самом деле при
больших скоростях движения, приближающихся к скорости звука в жид-
жидкости, начинает сказываться сжимаемость материала, и энергия внешних
слоев схлопывающейся к оси оболочки будет переходить во внутреннюю
энергию сжатого материала, а не в ускорение внутренних слоев оболочки.
Кумуляции энергии при столкновении двух пластин
Другой пример кумуляции энергии дает столкновение двух пластин, рас-
расположенных под углом 2а друг к другу и движущихся со скоростью у0 по
нормали к своей поверхности (рис.11).
Так как за одну секунду поверхность каждой из пластин смещается на рас-
расстояние и0, точка их пересечения за то же время пробегает путь
v C0)
и = — .
sin a
Это - скорость точки контакта пластин О. В системе отсчета, движущейся
вместе с точкой контакта, пластины сталкиваются в одной и той же точке
О, т.е. движение стационарно. Материал пластин при этом движется вдоль
их поверхностей со скоростью
v = ucos<x = u0ctg<x, C1)
что очевидно из показанного на рис.11 разложения скорости у0 на компо-
компоненты вдоль линии соударения и вдоль пластины.
Puc.ll.Формирование кумулятивной струи при высокоскоростном
соударении двух пластин
Возникающие при соударении высокие давления вызывают течение
материала пластин, аналогичные течению жидкости при столкновении
двух струй. При этом часть материала пластин продолжит движение впе-
вперед, часть будет отброшена назад. Возникнут две струи, как в рассмотрен-
рассмотренной ранее задаче о соударении струи с плоскостью, которая как нетрудно
сообразить, в точности описывает верхнюю половину задачи о соударении
двух пластин. Принято называть струю, идущую вперед, просто струей,
идущую назад - пестом. Так как при стационарном движении невесомой
143

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
жидкости скорость вдоль свободной поверхности изменяет лишь направ-
направление и сохраняет свою величину, то скорость струи и песта в системе от-
отсчета, связанной с тоской соударения, будет равна скорости течения жид-
жидкости в соударяющихся струях C1). Скорость струи в исходной системе
отсчета
^="+y = i + L'oCtga = l'oCt8f- C2)
Скорость песта
Нетрудно видеть, что при малых углах соударения скорость летящей впе-
вперед тонкой струи окажется много больше начальной скорости пластин Vq,
а скорость массивного песта много меньше ее.
Подъемная сила крыла самолета
На рис.12 показано обтекание профиля
крыла самолета воздухом. Оказывается,
скорость воздуха над крылом выше, чем
Рис.12. Обтекание крыла сажленш.. П°Д ним' Это Приводит к тому, что над
Пунктиром показан циркуляционный крылом давление оказывается меньше,
поток, возникающий вокруг крыла, чем под крылом, из-за чего создается
подъемная сила крыла самолета. Причину возникновения такого распре-
распределения скоростей первым объяснил Н.Е. Жуковский, который понял, что
при движении вокруг крыла создается циркуляционный поток воздуха та-
такой, что над крылом он складывается с набегающим потоком, а под кры-
крылом вычитается из него.
Можно провести объяснение несколько иначе, рассмотрев взаимодей-
взаимодействие крыла и воздуха. При полете крыло отбрасывает воздух вниз, сооб-
сообщая ему ежесекундно импульс, равный весу самолета. Для этого крыло
расположено под некоторым углом к направлению движения - углом атаки
а. Из-за этого под крылом создается давление, превышающее атмосфер-
атмосферное, - воздух отбрасывается из-под крыла вниз. Над крылом появляется
разрежение - воздух из атмосферы подсасывается к крылу и тоже отбрасы-
отбрасывается вниз. Так крылом самолета создается струя воздуха, направленная
вниз. Давление в струе несколько ниже атмосферного. Из-за этого проис-
происходит подсос окружающего воздуха в генерируемую крылом струю, и ее
диаметр увеличивается. В конце концов воздух в струе достигает поверх-
поверхности Земли и на ней тормозится. При этом возникает местное повышение
давления. Так вес самолета передается на Землю, приводя к соответст-
соответствующей реакции земной поверхности. Так как диаметр струи воздуха, соз-
создаваемой крылом самолета, возрастает при удалении от крыла пропорцио-
пропорционально этому удалению, то при большой высоте полета вес самолета рас-
распределится на поверхности Земли на круг, площадь которого пропорцио-
пропорциональна квадрату высоты полета, отчего избыточное давление , возникаю-
возникающее при пролете самолета над некоторой точкой земной поверхности,
оказывается ничтожным, и самолет, летящий над головой человека не раз-
раздавливает последнего своей тяжестью.
144

ДА XI
Волны на поверхности жидкости
Под действием ветра, при падении тела в жидкость, при движении судна и
в массе других случаев на поверхности жидкости возникают и распростра-
распространяются во все стороны от исходного возмущения волны. Волновое движе-
движение - фундаментальное явлений природы и изучение его составляет одну
из важнейших задач физики. Природа волн может быть разной, но некото-
некоторые закономерности волнового движения могут оказаться универсаль-
универсальными. Поэтому отнесемся к рассматриваемым в настоящем разделе во-
вопросам как к первому примеру, открывающему нам дверь в изучение но-
нового, очень важного и богатого новыми понятиями и идеями разделов фи-
физики.
Основные понятия
Волна на поверхности жидкости представляет чередующиеся повышения
и понижения уровня жидкости, распространяющиеся по поверхности
жидкости. Будем называть повышения уровня гребнями волны, пониже-
понижения - впадинами. Линию, проходящую по гребню волны, будем называть
фронтом волны. Перпендикулярные к фронту волны линии назовем лу-
лучами. Опыт показывает, что волна распространяется вдоль лучей. Будем
описывать распространение волны скоростью с, с которой перемещается в
пространстве фронт волны. Следует сразу же подчеркнуть, что скорость
волны представляет собой скорость наблюдаемого изменения формы по-
поверхности. Так как поверхность жидкости состоит из массы индивидуаль-
индивидуальных частиц, то понятно, что волновая скорость с никак не совпадает со
скоростью индивидуальной жидкой частицы, и определяется как результат
совокупного движения всех частиц, находящихся на поверхности. Во из-
избежание возможной путаницы при рассмотрении волнового движения
скорость самой жидкости называют массовой скоростью, и обычно обо-
обозначают и.
Наиболее прост для рассмотрения случай периодических волн, когда
последовательность гребней волн образует периодическую пространст-
пространственную структуру. Периодические волны наблюдаются достаточно часто.
Расстояние между двумя соседними гребнями периодической волны назы-
называют длиной волны и обозначают X. В заданный момент времени переме-
перемещение в пространстве на одну длину волны переносит наблюдателя в но-
новое место с теми же параметрами движения, что и в исходной точке. С
другой стороны, наблюдение периодического волнового движения в неко-
некоторой фиксированной точке показывает, что через определенный интер-
интервал времени Т движение в этой точке начинает повторять те же последо-
последовательные фазы, что и пройденные на Т секунд раньше. Отрезок времени
Т называют периодом волны. Волновая скорость, период и длина волны
связаны очевидным соотношением
\=сТ. C4)
Наряду с периодом вводят частоту волны со, определив ее так же как и для
периодических колебаний
2к
Ш=У- C5)
Вместо длины волны в ряде случаев удобно использовать волновое число k
145

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
k = f- C6)
При этом соотношение C4) между волновой скоростью, периодом и дли-
длиной волны переходит в соотношение
ш
С = Г C7)
между волновой скоростью, частотой и волновым числом.
Перемещение жидкости по вертикали от невозмущенногр уровня на-
называют амплитудой волны а.
Кинематика стационарной волиы ил поверхности жидкости
Волновое движение происходит, если при деформации поверхности появ-
появляются силы, стремящиеся вернуть жидкости исходную форму. Так как
природа сил при этом может быть различной, то и возникающие волны
будут обладать различными характеристиками. Рассмотрим, к чему может
привести сила веса. Под ее действием покоящаяся жидкость заполняет ог-
ограничивающий ее бассейн так, чтобы поверхность жидкости стала строго
горизонтальной. При этом в жидкости возникает распределение гидроста-
гидростатического давления, уравновешивающее вес каждой частицы жидкости.
При создании некоторого возмущения на поверхности этот баланс рас-
распределения давления в жидкости и веса нарушается, причем в такую сто-
сторону, что при подъеме жидкости вес преобладает над давлением и жид-
жидкость начинает опускаться вниз, а при появлении ямки на поверхности,
наоборот, силы давления преобладают над весом и жидкость начинает за-
заполнять образовавшуюся впадину, т.е. во всех случаях происходит воз-
возвращение к исходной равновесной горизонтальной форме поверхности -
возникает волна. Так как ее создает сила веса, называют эту волну грави-
гравитационной волной на поверхности жидкости.
Рассмотрим распространение плоской гравитационной волны, созда-
создаваемой периодическим источником в бассейне с горизонтальным дном.
Такая волна окажется периодической, будет характеризоваться опреде-
определенным периодом и длиной и станет распространяться с постоянной ско-
скоростью. Наиболее просто провести рассмотрение из системы отсчета,
движущейся с волновой скоростью с вместе с одним из гребней волны. В
этой системе отсчета форма поверхности жидкости не будет изменяться,
т.е. движение жидкости станет стационарным, а жидкие частицы будут
скользить вдоль изогнутых линий тока. Одной из таких линий тока ока-
окажется свободная поверхности жидкости, другой - дно бассейна.
Обдумаем, как направлены силы, действующие на некоторую движу-
движущуюся жидкую частицу. С силой веса просто: она направлена по верти-
вертикали. Будем считать вязкость жидкости ничтожной, так что касательные
напряжения вдоль линии тока из-за вязкости можно не принимать в рас-
расчет. Казалось бы, можно принять, что силы давления действуют строго по
нормали к линии тока. Но движение жидкости определяется не давлением,
а разницей давлений в соседних точках жидкости. А вот с ней-то дело об-
обстоит значительно сложнее и, вообще говоря, можно представить себе та-
такое распределение давления в жидкости, которое создает как нормальную,
146

ГЛАВА XI
так и касательную компоненту результирующей силы, действующей на
частицу жидкости.
Поступим в этой ситуации, как обычно поступают в физике: не затруд-
затрудняя себя поисками точного решения сложной проблемы, попробуем
сформулировать какое-то приближенное утверждение, справедливое для
некоторого предельного случая. Таким случаем является движение беско-
бесконечно мало отличающееся от невозмущенного потока жидкости.
Если волны нет, то в потоке невязкой жидкости действует только гид-
гидростатика и давление постоянно на каждой линии тока. Перепад давления
в слоях жидкости при этом направлен по вертикали, т.е. перпендикулярен
к скорости частицы. Можно думать, что для достаточно пологой волны с
малой амплитудой, результирующее силовое поле, создаваемое распреде-
распределением давления в жидкости и силой веса, будет мало отличаться от рав-
равновесного потока, и принять в качестве первого приближения для реше-
решения задачи предположение, что давление попрежнему остается постоян-
постоянным на всякой линии тока и результирующая сила, действующая на любую
частицу жидкости перпендикулярна к скорости частицы. После такого
предположения кинематика массовой скорости становится очевидной:
частица движется со скоростью с и совершает движение по окружности
радиуса а с угловой скоростью <о.
ВОЛНЫ НА ГЛУБОКОЙ ВОДЕ
Продолжим рассмотрение задачи, предположив глубину бассейна неогра-
неограниченной. В этом случае можно не принимать в расчет ограничения, воз-
возникающие из-за необходимости конструировать решение задачи, в кото-
котором вертикальная скорость жидкой частицы на дне обращается в нуль, так
как кажется почти очевидным, что любое возмущение на поверхности
жидкости затухает с глубиной и в бассейне неограниченной глубины вер-
вертикальная компонента скорости жидкости сама по себе должна обратиться
в нуль при удалении от поверхности.
Запишем уравнение траектории движения некоторой частицы жидко-
жидкости, находившейся в невозмущенном потоке на глубине Лив точке с гори-
горизонтальной координатой X,
х = Х+ ct + a(h)cos(?>t, у = h + a(h)smci>t. C8)
Начало координат поместим на свободной поверхности, т.е. примем, что
ей соответствуют h=Q и а@)=а0. Форму свободной поверхности жидкости
можно получить, рассмотрев траекторию одной единственной частицы.
Возьмем частицу с Х=0, после чего уравнение поверхности жидкости сле-
следует записать в виде:
X =Ct + 00COS?Ot, >> = O0Smcui (-ac<i<oc). C9)
Построив точки с координатами, заданными этими уравнениями, для
большого набора достаточно близких моментов времени и соединив их
плавной кривой, получим изображение поверхности жидкости. Кривые,
описываемые уравнениями C9), в математике хорошо известны и называ-,
ются циклоидами. Их форма зависит от отношения параметров с и а0. На
рис.13 приведены графики семейства этих кривых при увеличении ампли-
амплитуды волны а,. Каждый из графиков во избежание наложения друг на
друга несколько сдвинут по вертикали. Обратим внимание, что волна об-
147

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
ладает вертикальной симметрией и не симметрична относительно горизон-
горизонтали.
Далее, при достаточно большом значении амплитуды волны появля-
появляются физически бессмысленные кривые с самопересекающейся петлей
вблизи вершины.
Главный вопрос, на который следует
получить ответ в первую очередь, состоит
в том, насколько сконструированное нами
решение соответствует уравнениям гидро-
гидродинамики и сделанному при его построе-
построении предположению, что давление просто
постоянно на линии тока. Проверим это,
рассмотрев удовлетворяют ли уравнения
Рис.13. Изменение формы свободной C8) закону Бернулли. Дифференцируя
поверхности жидкости с ростом C8) по времени получим компоненты
амплитуды волны.
скорости частицы жидкости в потоке
vx =e-a(fo)a>smcot, vy =a(h)a>cosa>t. C8)
В соответствии с уравнением Бернулли давление на линии тока, заданной
параметром h,
P Vx+Vy
- = const-—-—-gy =
с2 -2eo(/i)cosincut + a2(/i)cu2sin2(Bt + o2(/i)cu2 cos2cot
= const gy =
= const - + ca(h)a> sin cot - gh - ga(h) sin tot =
c2+a2(hW Г И „.
= const gh +1 с - —J a(ft)co sin cot.
Нетрудно видеть, что последнее слагаемое в полученном выражении для
давления исчезнет, если
после чего в правой части C9) исчезнет какая-либо зависимость от вре-
времени и останутся лишь величины, зависящие от параметра линии тока h.
Тем самым мы пришли к интересному результату: давление действительно
может быть постоянным на каждой линии тока, если скорость волны удов-
удовлетворяет соотношению D0), т.е. при выполнении D0) построенное нами
решение задачи удовлетворяет уравнениям гидродинамики при любых
амплитудах волны.
Посмотрим, к чему приводит уравнение для скорости волны D0). Из
C7) можно получить со = ck и после подстановки в D0) получить, что ско-
скорость волны зависит только от ее длины
148

ГЛАВА XI
и не зависит от амплитуды и плотности жидкости. Скорость волны длиной
60 м достаточно велика - 10 м/с, а волна длиной 300 м мчится со скоростью
поезда.
Последнее, что следует
рассмотреть, это как движение
частиц жидкости изменяется с
глубиной, т.е. найти зависи-
зависимость амплитуды вращатель-
вращательного движения частицы жид-
жидкости от глубины. Чтобы выяс-
б=ДА-Да *~ ~~ нить, какова эта зависимость
Рис.14. К выводу уравнения для зависимости ом- a(h), рассмотрим трубку тока,
плитуды движения жидкой частицы в зависимо- составленную двумя близкими
ста от глубины. Рассматривается непрерыв- линиями тока> середины КОТО-
ность потока, ограниченного двумя соседними
линиями тока. Скорость определяется как ре- РЫХ ОТСТ0ЯТ ДРУГ 0Т ДРУГа На
зупыпат сложения скорости волны со скоростью &h по вертикали. При этом
вращения частицы по окружности с радиусом, радиус окружности,
равным амплитуде волны. описываемой частицей на
нижней линии тока примем равным о, на верхней - (о + До) (рис.14).
Нетрудно установить, что во впадине, где скорость жидкости равна (с +
<ьа), расстояние между рассматриваемыми линиями тока составляет (Д& -
Да), а на гребне скорость жидкости (с - шо) и ширина трубки тока (Ah
+До). Записав уравнение неразрывности, можно получить
(с + oco)(M - До) = (с - асй)(ДЛ. + Да) и далее придти к уравнению
da ош
Ж = Т = в*' D2)
интегрирование которого приводит к искомой зависимости амплитуды
волны от глубины
а = о0е*\
D1)
Рцс.15. Свободная поверхность и линии Рис.16. Траектории движения частицы
тока жидкости при заглублении 0.032, жидкости на свободной поверхности и на
0.064, 0.128 и 0.256 от длины волны. глубине четверть и половина длины волны.
Здесь а0 - амплитуда волны на свободной поверхности. Учитывая, что в
жидкости h<0, получили очень быстрое - экспоненциальное - затухание
поверхностной волны с глубиной. Характерный масштаб этого затухания
по вертикали определяется длиной волны и равен 1/к. На глубине, равной
одной длине волны, амплитуда колебаний уменьшается очень сильно - в
е21=535 раз!
149

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Проиллюстрируем полученные результаты графиками. На рис.15 при-
приведены форма свободной поверхности и линии тока на разной глубине.
На рис.16 изображены траектории собственного движения частиц жидко-
жидкости на свободной поверхности, на глубине четверти и половины длины
волны при прохождении волны мимо них. Оказывается, при набегании
волны частица жидкости просто совершает один оборот по окружности с
радиусом, равным амплитуде волны, и возвращается в исходную точку.
Приходит следующая волна, и частица делает следующий оборот.
ВОЛНЫ В БАССЕЙНЕ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
Решим в заключение задачу о волнах на поверхности жидкости конечной
глубины. В отличие от предыдущей, в этом случае надо сконструировать
решение так, чтобы на дне вертикальное перемещение частиц обращалось
в нуль. Сделать это можно, если обратить внимание на то, что во всех пре-
предыдущих рассуждениях нигде не требовалось предполагать, как мы, ни го-
говоря об этом ни слова, сделали во всех предыдущих выкладках, что враще-
вращение жидкой частицы происходит так, чтобы на гребне волны скорость
вращательного движения была направлена против набегающего потока
жидкости, т.е. чтобы скорость на гребне была меньше, а во впадине
больше скорости потока. С равным правом можно предположить и обрат-
обратное направление вращения, из-за чего скорость частицы на гребне станет
больше скорости ее во впадине. С энергетической точки зрения это выгля-
выглядит странновато, но если предполагать, что поток создан за счет работы
какого-то источника энергии, то нетрудно понять, что ничто не мешает не-
некоторой части этой работы быть использованной на то, чтобы поднять
жидкую частицу со впадины на гребень и при этом еще и увеличить ее
скорость. Повторив выкладки предыдущего раздела, а проще всего просто
изменив в них знак угловой скорости, нетрудно получить, что в волне с та-
таким направлением вращения амплитуда обязана экспоненциально возрас-
возрастать с глубиной. Значит, на глубине и должен находиться источник, застав-
заставляющий частицы жидкости двигаться столь странно. По существу, появле-
появление дна в задаче сопровождается появлением сил, действующих со сто-
стороны дна на поток жидкости.
После сделанных замечаний попробуем отыскать решение задачи,
представив кинематику движения жидкой частицы на свободной поверх-
поверхности в виде суммы поступательного движения со скоростью с, вращения
в положительном направлении с угловой скоростью ш и амплитудой а0 и
вращения в отрицательном направлении с той же по величине угловой
скоростью ш, но с амплитудой Ьо. Именно в таком виде можно с наиболь-
наибольшей общностью представить весь класс движения частиц в силовом поле
перпендикулярном к их траекториям.
Параметрическое уравнение свободной поверхности в этом случае
имеет вид
х = ct + [a0+b0) cos tot, y = (a0 -b0)sincot. D4)
Учитывая закон изменения амплитуд о и Ъ с глубиной, можно записать
уравнение линии тока, соответствующей дну, в виде
x = c* + (a0e**+60e~**)cosa>i, y = -h + {aoekh-bve'l!k)sinait. D5)
150

ГЛАВА XI
Условию, что на дне нет движения по вертикали, можно удовлетворить,
потребовав, чтобы (аое*л-Ьое"*'') = О, откуда следует, что ао/Ьо =е~2кк, и
после подстановки в D4) получить уравнение свободной поверхности
жидкости
у = ao(l-e2kl>)sina>t. D6)
Рис.17. Поверхность жидкости и линии тока на глубине 0.25, 0.5, 0.75 для волн,
длина которых равна двум, одной и половине глубины бассейна. Отношение ам-
амплитуды волны на поверхности к длине во всех случаях одинаково.
Основное отличие от предыдущей задачи состоит в том, что траектория
частицы на поверхности из окружности превращается в эллипс. Не пред-
представляет особых затруднений, записав необходимые формулы с экспонен-
экспонентами для амплитуд а и b на некоторой глубине у, получить уравнение для
линии тока на этой глубине. Чтобы не перегружать изложение избыточ-
избыточными деталями, не станем приводить эти несколько громоздкие формулы,
а просто изобразим результаты расчетов на графиках на рис.17. При уг-
углублении в жидкость вертикальные перемещения частиц для длинной
волны затухают значительно быстрее, чем горизонтальные, и на дне пере-
перемещения по вертикали вообще обращаются в нуль. Короткие волны,
длина которых меньше глубины бассейна, быстро затухают на глубине
порядка длины волны и разница между перемещениями по горизонтали и
вертикали для них исчезает.
Более отчетливо это видно на
рис.18, где приведены графики траек-
траекторий отдельной жидкой частицы на
поверхности, на 1/4, 1/2 и 3/4 глубины
бассейна и на дне. Чем длиннее волна,
тем более вытянута траектория час-
частицы и тем сильнее эта вытянутость
проявляется при углублении в жид-
жидкость. На дне траектория частицы - го-
горизонтальный отрезок, вдоль которого
частица совершает гармонические ко-
колебания.
Для короткой волны эллипс пре-
превращается в окружность, радиус кото-
ее
О
Рис.18 Траектории частиц жидкости
на поверхности, на глубине О.25А, 0.5А,
0.75/г и на дне для волн длиной 2h,hu
0.5А.
рой уменьшается в е2к раз при заглублении всего на одну длину волны.
Тот факт, что собственные траектории частиц жидкости перестали
быть окружностями имеет глубокие последствия, главное из которых за-
заключается в том, что давление перестало быть постоянным на линии тока
и вдоль нее появились перепады давления, вызывающие в длинной волне
преимущественное движение частиц по горизонтали при малых переме-
151

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
щениях в вертикальном направлении. Действуя аналогично с предыдущим
разделом, можно увидеть, что исключить зависимость давления от вре-
времени можно лишь, положив обе амплитуды а и b в сконструированном ре-
решении просто равными нулю. Это значит, что все результаты настоящего
раздела можно с очень большой осмотрительностью отнести лишь к вол-
волнам очень малой амплитуды.
Чтобы найти зависимость скорости волны от длины волны и глубины
бассейна, поступим следующим образом. Продифференцировав коорди-
координаты частицы на свободной поверхности по времени, можно найти компо-
компоненты скорости этой частицы в некоторый момент времени
vx = c-ao(l + e2**)a>sina>t, vy = a0(l-e2*A)fflcosoat. D7)
Удобно во всех дальнейших формулах явно записать знак минус перед
глубиной бассейна, т.е. с настоящего момента символ h воспринимать как
абсолютное значение глубины. Воспользуемся формулами D7), чтобы
найти скорость потока жидкости на гребне волны и во впадине. Верти-
Вертикальная компонента скорости в этих точках обращается в нуль. Горизон-
Горизонтальная на гребне меньше скорости потока и оказывается равной
it+ =c-ao(l + e**), во впадине - больше скорости потока и равна
it, =c + ao(l + e~2**). Перемещение по вертикали от гребня до впадины со-
составит 2ao(l-e'2kh). Из уравнения Бернулли для этих двух точек на сво-
свободной поверхности следует
и для волны малой амплитуды можно получить
1 ~t
1 ~t>2kl>
4gao(l-e-2kh) = ul-ul = 2o0(l +eM)co2c => сое « g :2kh = gthkh-
Далее с помощью соотношения C7) находим скорость волны в бассейне
конечной глубины
, gthkh I gthkh г-г- Ithkh
с =__=>c = j__=jeAy_. D8)
Здесь используется обозначение th/гДдля функции
е** -е-*А
thkh = -
D9)
На рис.19 приведен график зависимости отношения скорости волны к
Jgh от произведения kh, которое по сути представляет отношение
глубины бассейна к длине волны, умноженное на 2тс.
152

ГЛАВА XI
Используя представление
ег ~{\ + z) при малых г, нетрудно полу-
получить thz = 2, если z «1, и установить,
что скорость распространения длинных
(k->0) волн с =
¦ Она не за-
2.5 5 7.5 10 12.5 15
Рис.19. Скорость волны в зависимости
от длины волны и глубины бассейна.
висит ни от амплитуды, ни от длины
волны и определяется исключительно
глубиной бассейна. Для океанов со
средней глубиной 2 км это огромная
величина около 500 км/час, сравнимая со скоростью полета самолета
среднего класса.
Так как thz -л 1 при г -> =о, то для коротких волн формула D8) об-
обращается в известный для глубокого бассейна результат D1), что абсо-
абсолютно естественно.
153

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ XI
1. Под каким углом к горизонту расположится поверх-
1. ность жидкости в сосуде, соскальзывающим с коэффи-
коэффициентом трения ц с наклонной плоскости, составляю-
* щей угол а с горизонтом?
2. Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия
в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давле-
давлении р. Радиусы отверстий г и R. Определите силу, дейст-
действующую на пробку со стороны жидкости.
3. Сферический баллон радиусом R со стенками толщи-
толщиной Д < < R разрывается внутренним давлением Р. Оп-
Определите предел прочности материала стенок.
4. На дне сосуда, наклоненного под углом а к горизонту,
стоит куб с ребром а, сделанный из материала с плотно-
плотностью р. Найдите силу, с которой куб действует на дно,
если в сосуд налита жидкость плотностью ро. Верхнее
ребро куба находится на глубине h от поверхности жид-
жидкости. Между дном сосуда и кубом жидкости нет.
5. В полусферический колокол, плотно стоящий на гори-
горизонтальном столе, через отверстие сверху наливают
жидкость. Когда жидкость доходит до отверстия, она
приподнимает колокол и начинает из-под него вытекать.
Найдите вес колокола, если радиус его внутренней по-
поверхности равен R, плотность жидкости- р.
154
6. Решите предыдущую задачу для случая, если проте-
протекание жидкости началось при заполнении полости коло-
колокола до высоты h.
Обобщите задачу для колокола произвольной формы.

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
7. Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жид-
жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциаль-
потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах
совпадают.
8. В цилиндрическом сосуде радиусом R, наполненном
жидкостью плотностью р, в боковой стенке имеется от-
отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно со-
совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину № Пробка
представляет собой цилиндр радиусом г. Центр отвер-
отверстия находится на глубине h. Сосуд достаточно высок,
чтобы жидкость из него не выливалась. Трения нет.
9. Найдите давление на расстоянии г от центра жидкой
планеты, если плотность жидкости р. Планету считайте
шаром радиусом R.
Подсчитайте давление в центре Солнца и в центре
Земли.
10. Найдите форму поверхности жидкости в вертикаль-
вертикальном стакане, вращающемся вокруг оси с угловой скоро-
скоростью ш.
11. На границе раздела двух жидкостей плотностями р( и
Рг плавает шайба плотностью р (р(<р<р2>. Высота
шайбы h. Определите глубину погружения шайбы во
вторую жидкость.
155

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ XI
12. В сообщающиеся сосуды диаметрами di и <?• налита
жидкость плотностью р. На сколько поднимется уровень
жидкости, если в один из сосудов положить тело массой
тп из материала, плотность которого меньше р?
13. Определите натяжение нити, связывающей два ша-
шарика объемом 10 см\ если верхний шарик плавает, на-
наполовину погрузившись в воду, и нижний шарик в три
раза тяжелее верхнего.
14. Шар радиусом R перекрывает круглое отверстие ра-
радиусом г в дне сосуда, наполняемого жидкостью с плот-
плотностью р. Чему должен быть равен вес шара, чтобы он
не всплывал при изменении уровня жидкости в сосуде?
15. Определите минимальное натяжение двух канатов,
связывающих широкий плот, состоящий из двух слоев
бревен массой m каждое. Верхний слой бревен погру-
погружен в воду наполовину.
16. Сосуд с водой подвешен к потолку. Высота слоя
воды в нем h., плотность - р. На сколько изменится на-
натяжение подвеса, если в дне сосуда сделать небольшую
дырку, из которой станет вытекать струя сечением S?
156

ГИДРОДИНАМИ КА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
17. Из широкого сосуда через узкую цилиндрическую
трубку вытекает жидкость плотностью р. Как распреде-
распределены скорость и давление на оси сосуда и трубки? Дав-
Давление воздуха ро.
18. Во сколько раз увеличится сброс воды через широ-
широкую плотину, если уровень воды над кромкой плотины
увеличится в 2 раза?
19. Рассмотрите захлопывание пустой сферической по-
полости в большом объеме жидкости. Давление в жидко-
жидкости Р, начальный радиус До, плотность жидкости - р.
Определите скорость жидкости на границе полости в
момент, когда ее радиус окажется равным г.
157

ПРИЛОЖЕНИЯ
функция
uv
и
v
и = и{х),
х = х(и)
и = и(у(х))
lnx
ПРИЛОЖЕННИЯ
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
производная функция
С}и' + C2v' sinx
cos х
tgx
ctgx
arcsinx
arccosx
arctgx
arcctgx
и v+uv
u'v-uv'
~~?
du J_
dx ~ dx
du
du du dy
dx dy dx
axa
1
x
производная
cosx
-sinx
1
cos2
1
sin:
1
1
1
1 + x
1
X
2x
c2
x2
2
J udv =uv - J vdu
„a+l
\xdx = ,o.*
a + 1
\exdx = e*
\sinxdx = -cosx
f cte
J—T- = tgx
cos x
r rfx
I i = arcsmx
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
J udv =u.f - J ydit
ludx=lv(x(t))x(t)dt
,dx
— = lnx
X
Jtgxcte = -In cosx
jcosxdx =sinx
,dx
sin x
г ^
lI7xT
л/х2+1
= arctgx
¦4
x + \lx2
158

ЕДИНИЦЫ
ВЕЛИЧИНА
Длина
Время
Площадь
Объем
Скорость
Ускорение
Масса
Плотность
Сила
Давление
Работа, энергия
Мощность
Импульс
Момент импульса
Момент силы
ВЕЛИЧИН В СИСТЕМАХ <
:и и сгс
ЕДИНИЦА ИЗМЕРЕНИЯ
СИ
м
с
м2
3
м
м/с
м/с
кг
кг/м3
Н
Па
Дж
Вт
кг* м/с
кг'м2/с
Н'М
СГС
см
с
см2
смъ
см/с
см/с
г
г/см
дин
дин/см
эрг
эрг/с
г* см/с
г'см2/с
дин'см
ПРИЛОЖКНИЯ
ед. СИ
ед.СГС
102
1
104
106
ю2
ю2
ю3
ю-3
ю5
10
10'
10'
105
10'
10'
ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
СИ СГС
Скорость света в вакууме с 2.998* 108м/с 2.998* 1010 см/с
Гравитационная постоянная G 6.67* 10" мъ/(кг'сг) 6.67*10"8сл3/(г*с2)
Элементарный заряд
Масса электрона
Масса протона
Атомная единица массы 1 аем
е 1.602»10™Ал
те 0.911* 10'30 кг
тр 1.672* 10'27 кг
,27
Солнце
Земля
Луна
1.660*10 кг
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
масса, кг
4.8*100СГС
0.911*10'2'г
1.672* 104 г
1.660* 10 иг
1.97* 1030
5.96* 1024
1.97* 1022
средний радиус, средний радиус
м орбиты,м
6.95 *108
6.37*10
1.74* 106
1.5*10"
3.84* 108
159

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 1
ВРЕМЯ, ПРОСТРАНСТВО, ДВИЖЕНИЕ 3
I ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ 3
ВРЕМЯ, ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ ЭТАЛОН 3
ШКАЛА ВРЕМЕН 3
ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ 4
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ОДНОВРЕМЕННОСТИ ДВУХ СОБЫТИЙ 5
РАССТОЯНИЕ, ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ. ЭТАЛОН 7
ШКАЛА РАССТОЯНИЙ 8
ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ 8
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДЛИНЫ ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ 10
ЗАДАЧИ 11
U ДВИЖЕНИЕ 14
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТЕЛА. ТРАЕКТОРИЯ. ПУТЬ 14
скорость 17
УСКОРЕНИЕ 19
ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ 20
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ 22
СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ 23
ЗАДАЧИ 25
ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ 30
ш сохранение импульса 30
закон инернии 30
масса тела 30
закон сохранения импульса 32
принцип относительности Галилея 32
принцип относительности и закон сохранения импульса 33
движение ракеты 35
ЗАДАЧИ 37
IV ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ 39
СИЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЗАКОН ДИНАМИКИ 39
СВОЙСТВА СИЛ 40
ВНЕШНИЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ 41
ЦЕНТР МАСС ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНИХ СИЛ 41
ИМПУЛЬС СИЛЫ 42
СИЛЫ В ПРИРОДЕ 43
ЗАДАЧИ 47
V СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 55
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЫЧАГА ДЛЯ ПОДЪЕМА ГРУЗОВ 55
ПРАВИЛО РЫЧАГА 56
ГРУЗОПОДЪЕМНЫЕ МАШИНЫ. ОБРАТИМЫЕ МАШИНЫ 57
НЕВОЗМОЖНОСТЬ ВЕЧНОГО ДВИЖЕНИЯ 57
НАИЛУЧШИЕ ГРУЗОПОДЪЕМНЫЕ МАШИНЫ 58
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 59
160

РАВНОВЕСИЕ 60
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА 61
РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ 61
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 62
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 63
ДРУГИЕ ВИДЫ ЭНЕРГИИ 65
НЕУПРУГИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РАСПАД ЧАСТИЦ 66
УПРУГИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 67
ЗАДАЧИ 69
VI СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 76
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. СОХРАНЕНИЕ ЕГО 76
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТЕЛА 78
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ 79
УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МОМЕНТ СИЛЫ 79
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ 80
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ 81
ЗАДАЧИ 82
ИЗУЧЕНИЕ СИЛ 89
VI ИЗУЧЕНИЕ СИЛ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ И НАБЛЮДЕНИЯХ 89
МЕТОД ИЗУЧЕНИЯ СИЛ 89
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА 89
ВЫВОДЫ ИЗ ЗАКОНОВ КЕПЛЕРА 89
ИНЕРТНАЯ И ГРАВИТАЦИОННАЯ МАССА. ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ 90
ИЗУЧЕНИЕ СИЛ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ ПО РАССЕЯНИЮ ЧАСТИЦ 91
ОПЫТ РЕЗЕРФОРДА 94
ЗАДАЧИ 96
VI ИНЕРЦИАДЬНЫЕ СИЛЫ 100
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ И НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 100
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ 101
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ДИСКЕ 102
ЗАДАЧИ 104
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 105
IX ЗАДАЧА КЕПЛЕРА 105
ВВЕДЕНИЕ 105
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 105
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 106
ГОДОГРАФ СКОРОСТИ 106
ТРАЕКТОРИЯ ТЕЛА 108
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ 109
ОБШИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДВИЖЕНИЯ 109
КРУГОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ 109
ВНЕШНИЕ ТРАЕКТОРИИ 109
ВНУТРЕННИЕ ТРАЕКТОРИИ 112
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА 112
ВТОРОЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА 112
ПЕРВЫЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА 112
ТРЕТИЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА 114
ЗАДАЧИ 116
161

X КОЛЕБАНИЯ 117
колебательное движение. амплитуда. период и частота 117
качественные методы анализа колебаний 117
малые колебания 118
гармонические колебания 119
уравнение гармонических колебаний. общее решение его 119
метод векторных диаграмм 120
период и частота гармонического осциллятора 120
энергия гармонического осциллятора 121
затухающие колебания 122
вынужденные колебания 124
задачи 128
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ 131
XI ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 131
СПЛОШНАЯ СРЕДА 131
ПОНЯТИЕ О ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ 131
ГИДРОСТАТИКА. ЗАКОНЫ ПАСКАЛЯ И АРХИМЕДА 132
ГИДРОДИНАМИКА 133
ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 133
СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ И НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 134
УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ 134
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 135
ПРИМЕРЫ 135
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ В СТЕНКЕ СОСУДА 135
СОУДАРЕНИЕ СТРУИ С ПЛОСКОСТЬЮ 137
ПРОБИВАНИЕ ЖИДКОСТИ СТРУЕЙ 138
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ КУМУЛЯЦИЯ 140
КУМУЛЯЦИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ СХЛОПЫВАНИИ ЦИЛИНДРА ИЗ ЖИДКОСТИ 140
КУМУЛЯЦИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ДВУХ ПЛАСТИН 143
ПОДЪЕМ НАЯ СИЛА КРЫЛА САМОЛЕТА 144
ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 145
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 145
КИНЕМАТИКА СТАЦИОНАРНОЙ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 146
ВОЛНЫ НА ГЛУБОКОЙ ВОДЕ 147
ВОЛНЫ В БАССЕЙНЕ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 150
ЗАДАЧИ 154
ПРИЛОЖЕНИЯ 158
СОДЕРЖАНИЕ 160
162

Учебное издание
БИЧЕНКОВ Евгений Иванович, д.ф.-м.н., профессор
ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
Курс физики для учащихся физико-математических школ
Оригинал-макет подготовили Е.И. Биченков, Л.И. Юферова
Подписано в печать 1.09.99 Формат 60x84/16
Заказ № 57 Уч-изд. л. 10,5
Тираж 250 экз.
Лицензия ЛР № 020853 от 31 января 1999 г.
Издательство ИД МИ
Отпечатано на полиграфическом участке издательства ИДМИ
630090, Новосибирск - 90. Пирогова, 2