/
Author: Михеев Н.И. Беликов Б.С.
Tags: физика механика задачи по физике
ISBN: 5-7035-1314-6
Year: 1996
Text
Б.С.БЕЛИКОВ, Н.И.МИХЕЕВ
ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС ФИЗИКИ
МЕХАНИКА
«Ьсть П
ДОМАШЕЕ ЗАДАНИЕ
F
ББК 16.4.1
Б 43
Беликов Б.С.,Михеев Н.И. Практический курс физики.Механика.Ч.П.
Б43 Домашнее задание: Пособие для самостоятельной работы студентов-
Иэд.4-е-М.:1996.-92 с.:ил.
ISBN 5-7035-I3I4-6
В части П пособия помещено домашнее задание,включающее 425 зад
из семи разделов механики:кинематики,динамики точки,законов сохван
ния динамики твердого тела,поля тяготения,механических колебаний i
специальной теории относительности.
Задачи домашнего задания могут быть использованы на семинарах,
при составлении вариантов контрольных работ, а также на экзаменах.
В конце пособия приводятся ответы к задачам. Для студентов дневной
и вечерней форм обучения.
1604010000 Без объявл.
092 (02 )" 96
ББК 16.4.I
ISBN 5-7035-I3I4-6
Б.С.Беликов,Н.И.Михеев. 1996
о
Кинематика
I. Материальная точка прошла первую треть пути со скоро-
стью , вторую треть пути со скоростью У/ , а оставшуюся
часть пути за время, в три раза меньшее общего времена. ПаЯтж
среднюю за все время двпкения скорость материально# точки.
2. Точка движется по закону 'Х- = + + yt3)L*\
где ОС - I м/с, ft = 2 м/с2, У = 3 м/с3. Через сколько вре-
меня от начала движения ускорение точки будет равно ОС =22 м/с2?
Чему равно среднее ускорение точки за этот промежуток времени?
3. Небольшое тало броснли с некоторое высоты от поверхно-
сти Земли с начально! горизонтально! скоростью 1^=9,8 м/с.
Определить радиус яривизнн траектории тела через I с после
начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.
4. Точка вранается пс окружности. В кахо1-то момент вре-
мени ее вектор линеВяо! скорости составляет угол 60° с векто-
ром полного ускорения точки. Во сколько раз в этот момент вре-
мени нормальнее ускорение точки больше ее тангенциального ус-
корения?
5. Материальная точка движется пе закону
где ОС = 4 м/с, fl » 3 /Г м/с3. В иако! момент времени
угол мейлу радиусом-вектором Т и вектором ускорения будет
равен 60°?
6. Закон движения течки имеет вид : + sin (ЗГЩ .
Определить модуль среднего вектора спорости за первую сепуи-
ду движения точки.
7. Материальная точка движется по закону Т = (at-fit )1 ,
где ОС = 4 м/о, j9= 2 м/с2. Определить среднюю путевую
скорость движения точки за первые две секунды движения.
8. Движение материально! точки задано уравнением
CoSctrt+JSinivi) где А = 0,5 м, Сл) = 5 рад/с.
Определить модуль скорости и модуль нормального ускорения.
9^ Материальная точка движется по закону 7=(А + в/л)i +
♦ Cty , где А = 10 м, В = -5 м/с2, С - 10 м/с. Определить
модуль тангенциального и модуль нормального ускорения точки
в момент времени t = I е.
4
10. Тело брошено под неиоторвм утлом eL горизонту. Rain
втот угол, воля горизонтальная дальнооть полета тела в шестнад-
цать раж больше махоималькой внсотя траектории ( !/&«•* я «
16).
II. За время < =6 о топа прошла путь, равняй половив
длины окружности радиусом R » 0,8 м. Определить средни пуганув
скорость *v> за вто время ж модуль векторе средне! скорости
/<?>/•
12. Материальную точку броски под углом о*. « 60е к гори-
вонту с начальной скороотыо tr. - ю м/о. Определить радиус хри-
вивнн траектории в той ее точке, в которой вертикальная состав-
лявшая скорости материальной точки в два ража меньше начальной
окоростн. Сопротивлением вовдуха пренебречь.
13. Винт аврооаией вращается о частотой я « 360 мин“Л
Сиорооть V поступательного двпения ажрооане! равна 54 км/ч,
С какой сиороотью и движете* один п концов винта, eon ради- -
уо R вита равен I м?
14. Законы движения двух материальных точек имеет вид:
2, = otii + fiVj ; . в хахой момент
времени вектор их относительной окоростн будет направлен вдоль
оои ОУ , если оСа 4 м/с, А- 2 м/с2, г I м/с2,
8.3 м/о*?
15. Законы движения пух материальных точек имеет вид
г, • uU , г» -«*‘Г * (£ - ХЯ»
где •<- - 4 м/с, - 2 м/с2. В какой момент времени расстоя-
ние между точками будет минимальным?
16. Ракета отартует с поверхности Земли без начальной ско-
рости (вертикально вверх) с ускорением а к t , где к -
«0,03 м/с*. Определить скорость и высоту ракеты вад Земле! в мо-
мент времени б 100 с. Принять, что Земля не вранаетоя вок-
руг собственно! сои.
17. Материальная точка движется вдоль оси ОХ с ускорением
5 - - » где et “ 0,5 м”*, V - модуль скорости точки.
Начальная сиорооть точки V. - I м/с. В какой момент времени
(считая от начала движения) скорость точки уменьшится вдвое?
5
18. С воздушного шара, поднимающегося со скоростью 10 м/с,
сбрасывают тало, которое достигает поверхности Земли через 16 с.
На кахо! высоте находился пар в момент сбрасывания тела? Силой
сопротивления воздуха на движение тела пренебречь.
19. Из точки А , лежащей на верхнем конце вертикального ди-
аметра АВ , одновременно начинают двигаться небольшие тяжелые
тала до направлению различных хорд круга. Какое из тел достиг-
нет опружностп круга в наиболее короткий промежуток времени?
Трение не учитывать.
20. Искусственный спутник Земли движется по орбите оо скоро-
стью tr. в 7,75-10^ м/с. Найти путь, скорость и тангенциальное
ускорение спутника через 5 о после включения тормозных двигате-
лей при условии, что тангенциальное ускорение и время движения
на втоы участке пути представлены зависимостью «г = х t ,
где * в 2 м/с’.
21. Шарп, которому сообщена горизонтальная скорость V ,
падает на горизонтальную плиту с высоты А . При каждом ударе
о плиту вертикальная составляющая скорости уменьшается (отно-
шение вертикальной составляющей скорости после удара к ее зна-
чению до удара постоянно и равно <* ). Определить, на каком
расстоянии * от места бросания отскоки шарика прекратятся.
Считать, что трепе отсутствует, так что горизонтальная сос-
тавляющая скороотн шарика V не меняется.
22. На какое максимальное расстояние £ можно бросить мяч
в спортивном зале высотой 8 м, если мяч имеет начальную ско-
рость 20 ы/с? Кахой угол / о полом зала должен в этом случае
составлять вектор начальной скорости мяча? Считать, что высота
начальной точки траекторп мяча над полом мала по сравнению о
высотой зада. Мяч во время полета не должен ударяться о пото-
лок зала. Сопротивлением воздуха пренебречь.
23. С палубы корабля, идущего со скоростью *<, выпущен
вертикально вверх снаряд с начальной скоростью V» . Пренебре-
гая сопротивлением воздуха, найти величину и направление век-
тора скорости А* снаряда в зависимости от времени и уравне-
ние траектории снаряда в неподвижной системе отсчета.
24. Концы твердого отериня М N могут свободно скользить
1
по сторонам прямого угла MON(рис.75 ).
Какую траекторию описывает точка Р
стержня, делящая его на части МР ж
PN , длины которых соответственно рав-
ны А и В ?
25. Колесо радиуса R
26. Колеоо радиуса В
Рио.77
катится беэ скольжения по горизон-
тальной дороге оо скорости) 9»
(рис.76 ). Найти горизонтальную ком-
поненту линейной скорости дви-
жения произвольной точки А на обо-
де колеса, вертикальную компоненту
этой скорости и модуль полной
скорости для этой же точки.
равномерно катится беэ скольжения по
горизонтальному пути со скоростью -
V . Найти иоординаты * ж у
произвольной точки А на ободе ко-
леса, выразив их как функции време-
ни t и утла поворота У , пола-
гая, чтс при А в 0 f в 0 ,
X в 0, у в 0 (рис. 77).
27. Пользуясь выражением для полной скорости точек, лежалшх
на ободе катящегося колеса (см. задачу 25), найти длину полного
пути каждой точки обода колеса мешу двумя ее последовательными
касаниями полотна дороги.
28. Пассажир первого вагона поезда длины прохуливалоя
по перрону* Когда он был рядом о последним вагоном, поезд начал
двигаться о ускоренном а , Пассажир оразу же побежал со ско-
ростью V . Через какое время он догонит свой вагон?
29. Из точки А вертикально вверх бровей камень оо скоро-
стью V в ю м/с. Через какое время следует бросить о той же
по модулю скоростью второй камень из точки В под утлом * •
45° к горизонту, чтобы он попал в первый камень? Точки А к
В расположены на одной горизонтали на расстоянии ( « 4 “
друг от друга. Сопротивлением воздуха пренебречь.
7
Рио.78
30. Утка летела по горизонтальной прямой о постоянной ско-
ростью U . В нее бросил камень
неопытный "охотник", причем бро-
сок был сделан беи упреждения,
т.е. в момент броока окорооть
камня tr была направлена как
раз на утку под углом <*- к го-
ризонту (рно.78 ). На какой высо-
те Л летела утка, если камень
вое ке попал в нее?
31. Из полусферического аквариума радиуса R , наполненного
водой, о единицы поверхности воды в единицу временк испаряется
объем жидкости £ . Через какое время воя вода испариться?
32. Частица, покинув ноточник, пролетает с постоянной скоро-
стью расстояние 4 , а затем тормозится о ускорением . Най-
ти минимальное время движения частицы до остановки.
33. Из одной н той ке точки вертикально вверх о интервалом
времени At выброшены два шарика оо скоростью . Через ка-
кое время после вылета второго шарика они столкнутся?
34. Частица двигалась с ускорением а = »
где о4 н JS - положительные постоянные. Определить тангенци-
альное ускорение точки в произвольный момент времени, если при
I = 0 ? = 0 .
35. Скорость материальной точки изменяется по закону
Kiitlu/t i + bCoSu) tj , где А, В, о? - положитель-
ные постоянные. На каком расстоянии от начала координат будет
находиться точка в момент времени £ = , если при t - О
х - - . у - о .
36. Две частицы движутся с ускорением д. в однородном по-
ле тякеоти. В начальный момент частицы находились в одной точ-
ке и имели скорости 1Г< = 3 м/с и Ц, = 4 м/с, направленные
горизонтально н в противоположные стороны. Найти расстояние
между частицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся
взаимно перпендикулярными.
37. Две частицы I и 2 движутся с постоянными скоростями
- ь -
и Vt, по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пере-
сечения 0 . В момент i « 0 частицы находились на расстояни-
ях t, и от точки 0 . Через охолько времени Нееле этого
раоотояние мейлу чаотицами станет наименьшим? Чецу сио равно?
38. За промежуток времени Т • 10 с точка прошла половину
окружнооти радиуоа R « 160 ом . Вычислить за это время:
а) вреднее значение модуля окорооти <Ъ> ;
б) модуль среднего вектора окорооти р®">/ ; _
в) модуль среднего вектора полного ускорения , если
точка двигалаоь о поотоянным тангенциальным ускорением.
39. Радиуо-вектор частицы меняется оо временем t по зако-
ну (!-«££), где S - постоянный вектор, < - по-
ложительная постоянная. Найти:
а) окорооть и ускорение чаотицы в завиоимооти от времени;
б) промежуток времени , по истечении которого частица
вернется в «сходную точку, а такие путь S , который
она пройдет при этсм.
40. В момент времени t « 0 частица вышла из начала коор-
динат в пележительном направлен™ оо« ОХ . Ее скорость меняет-
ся оо временем по заходу V 5". (I - 4/г ), где Si. - на-
чальная сиорооть, модуль которой 1ц « 10 ом/о, Г* 5 о . .
Определить, в какой момент времени чаотнца будет находиться на
макоимальиом положительном раоотоянии от начала координат? Чему
оно равно?
41. Ускорение материальной точки» изменяется по заходу
5 +jl(I-Coiwt')] ,-пя^.,р,м - поло-
жительные постоянные. Определить угол между радиусом-вектором
Ъ и вектором окорооти F в момент времени t « ’
если при t - 0 |- , о) , Z { 0, ./*/&>•}.
42. Частица движется в положительном направлении оси ОХ
так, что ее скорость меняется по закону . гае
оС - положительная постоянная. Учитывая начальные условия (при
i 0 *« 0), найти:
а) завиоимооть от времени скорости и ускорения частицы;
б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она
пройдет первые S метров пути.
У
43. Точка движется по закону Т = + jit*j , где
ot в Ji - положительные постоянные. При каком условии в мо-
мент времени t = I с угол между векторами скорости н ускоре-
ния будет равен 45°?
44. Закон движения материальной точки имеет вид:
Ъ « otti + 4-t (I - Jit) J , где и Ji - положительные
постоянные. Определить угол между вектором скорости и вектором
ускорения в момент времени, когда угол между радиусом-вектором
и вектором ускорения равен /2 .
45. Частица движется в плоскости ХОУ с постоянным ускоре-
нием а , направление которого противоположно положительному
направлению оои ОУ . Уравнение траектории частицы имеет вид
у = otx - Jix,*’ , где «*• н - положительные постоянные.
Найти скорость частицы в начале координат.
46. Материальную^ точку бросили под утлом к горизонту с на-
чальной скороотью % . Найти средний вектор скорости < V >
ва первые t секунд и за вое время движения.
47. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик,чтобы:
а) радиуо кривизны начала его траектории был в ? = 8 раз
больше, чем в вершине;
б) центр кривизны вершины траектории находился на вемной
поверхности?
48. Чаотица движется по дуге окружности радиуса R по за-
ходу С = к Sin Mt, где € - смещение из начального полоиения,
отсчитываемое вдоль дуги, А и ш - постоянные. Определить
полное ускорение частицы в точках 4=0 и 4 = ± А , если
Я - I м, А = 0,8 м , « 2 о”1.
49. Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное
ускорение = «4 , а нормальное ускорение о„ = fit* , где
oL и JS - положительные постоянные. В момент t = 0 точка
покоилась. Найти вависимости от пройденного пути S радиуса
кривизны R траектории точки и ее полного ускорения.
50. Шарик падает о нулевой начальной скоростью на гладкую
наклонную плоскость, составляющую угол оС с горизонтом. Про-
летев расстояние А , он упруго отразился от плоскости. На
- .10
каком расстоянии от места падения парик отразится второ! раж?
51. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со ско-
ростью Ji = 250 м/о: первыВ - под утлом 6j » 60° к горизон-
ту, второй - под утлом 3 45° (азимут один и тот же). Найти
интервал времени между выстрелами, при котором снаряды втолк-
нутся друг с другом. Силой сопротивления воздуха пренебречь.
52. Частица движется и плоокости ХОУ со скоростью
V = + Ji * j , где и Ji - поотоянные. В начальный
момент частица находилась в начале координат. Найтн:
а) уравнение траектории чаотицы;
б) радиус кривизны траектории в зависимости от * .
53. Частица А движется по окружности радиуса В « 50 ом
©так, что ее радиус-вектор Ъ
относительно точки О
(рис. 79) поворачивается о
постоянной угловой окороотью
ш = о,4 рад/о. Найти мо-
дуль окорооти частицы, а так-
же модуль и направление ее
Pjjg.79 полного ускорения.
54. Снаряд вылетел со скоростью V » 320 м/о, оделив вну-
три ствола я 2 оборота. Длина ствола & * 2 м . Считая
движение снаряда в отводе равноускоренным, найти его угловую
скорость вращения вокруг оон в момент вылета.
55. Колеоо вращается вокруг неподвижней оон так, что угол/
его поворота задан уравнением / « J^*" • где Ji «/2* рад/о.
Найтн линейную скорооть произвольной точки на ободе колеса в
момент времени t « I с, если ее полное ускорение в этом момент
времени Д 9 м/о* .
56. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
/« «/- , где Д » 6 рад/о, / « рад/o’. Найти:
а) оредино значения угловой окорооти и углового ускорения
за промежуток времени от £ « 0 до остановки;
б) угловое ускорение в момент остановки тела.
57. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси
с угловым ускорением Ji » oc.t , где °*-- 2-ТО”2 рад/с3. Че-
- П : -
рез сколько времени после начала вращения вектор полного ускоре-
ния произвольной точки тела будет составлять угол / = 60° с
ее вектором окорооти?
58. Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной
оси с угловым ускорением Ji = , где А - постоянная, а
- угловая скорость тела. Найти среднюю угловую скорость
тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в
начальный момент времени его угловая скорость была равна и>„ .
59. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, так, что
его угловая скорость зависит от угла поворота У по закону
ш = «4- Д/ , где 4J„ и а - положительные постоянные. В
момент времени £ = 0 угол / = 0 . Найти зависимости от
времени:
а) угла поворота;
б) угловой сжорости.
_ 60. Ускорения ABjnc материальных точек заданы уравнениями
ctt = «Ci , CLK- J-j , где oC - положительная постоянная.
В какой момент времени вектор их относительной скорости состав-
ляет угол / = 60° с вектором их относительного ускорения, ес-
ли при t = 0 = ^0, -J1} , =| Ji, 0j , где jt - поло-
жительная постоянная?
Динамика точки.
61. Материальная течка массой = I кг движется по зако-
ну 2 = octi + Ji Sin bjtj . Определить модуль о илы, дейст-
вующей на материальную точку в момент времени 4= I о, если
ос я 2 м/с, Ji = 3 м , «о = Я/2 рад/с.
62. Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со
стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся
части составляет 30% всей его длины. Определить коэффициент
трения каната с стол.
63. Мелет массой т = I т падает с высоты h = 2 м на
наковальню. Длительность удара £ = 0.01 с. Определить среднее
значение силы <F> удара.
64. Материальная точка массой т = 3 кг, двигаясь равно-
мерно, описывает четверть окружности радиусом R = 2 м в те-
12 -
чение времени t = 2 с. Найти изменение л р импульса точки.
65. Тело массой = 5 кг брошено под углом at = 30° ж
горизонту с начальной скоростью % = 20 м/с . Найти измене-
ние импульса тела за время полета. Сопротивлением воздуха пре-
небречь.
66. На горизонтальной поверхности находится брусом маооой
= 2 кг. Коэффициент трения /, бруска с поверхность ра-
вен 0,2 . На бруске находится другой брусок массой 8 кг.
Коэффициент трения верхнего бруска с нижний равен 0,3 .
К верхнему бруску приложена сила F . Определить: I)значение
силы Fj , при котором начнется совместнее скольжение брусков
по поверхности: 2) значение силы , при котором верхний бру-
сок начнет проскальзывать относительно нижнего.
67. Ракета, масса жстсрсй М = 6 т /поднимается вертикаль-
вс вверх. Двигатель ракеты развивает силу тяти F = 500 кН.Оп-
ределить ускорение «X ракеты и силу натяжения Т троса, сво-
бодно свисающего с ракеты, на расстоянии, равном 1/4 его дли-
ны от точки прикрепления троса. Маооа трсоа т = 10 кг. Силой
сопротивления воздуха пренебречь.
68. На материальную точку массой действует ожла
F = A i Г , где я - положительная постоянная. В начальный мо-
мент времени скорость точки V « .в какой момент вре-
мени модуль окорооти точки будет в два раза больно первоначаль-
ного модуля ожорсоти?
69. Санкк маооой m в течение времени тянут о горизон-
тальной силой F =K"t , где К - положительная постоянная. Ко-
эффициент трения между санками и дорогой равен . Каксе рас-
стояние пройдут санки от начала движения до полней остановки?
Начальная скорость санок равна нулю.
70. Прямоугольный клин о острым утлом «30° при основании
т закреплен на горизонтальной паауплоско-
on. Три материальные точки о массами
|и«4 mt =Ю кг, /я 1=2 кг, т,=3 кг располо-
кенж.каи показано на рио. 80. Нити не-
весомы и иерастяжимы. Клоки невесомы.
Рис.80 Коэффициент трены между телом и
клином f =0,3. Найти силы натяжения
нитей.
71. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых
кубжжа массой т , соединенные невесомой пружиной жеоткости К.
Длина пружины в нерастянутом
to
состоянии равна to (рже.81).
К правому кубику привязана невесо-
мая ж нерастяжимая вить с грузом
массой 2 fn на конце. В некоторый
момент времени этот груз отпускают,
система начинает двигаться без
начальной скорости. Найти макси-
мальное расстояние между кубиками
невесом.
2 т
Рже. 81
при движении системы. Бион
72. Ijiys масоой т лежит на гладкой поверхности клина с
острым углом ос и удерживается
посредством легкой нити, закреп-
ленной у его верхнего ребра (рис.
82). Каково натяжение нити и дав-
ление груза на грань, если клин
станет двигаться вправо с ускоре-
нием а ?
73. Тело пунено вверх по наклонной плоскости с начальной
скоростью Vo . Коэффициент трения между телом н плоскостью j .
Определить угол ос , при нотором время подъема минимально, а
также это минимальное время.
74. Какую постоянную горизонтальную силу F нужно пржло-
— жить к тележке массой 3 т
F ।-----з |* *А , (рио.83), чтобы бруоки массами т
"1 я* J □ m н 2 т относительно ней не дви-
”»»гались? Треннем пренебречь. Нить
PgOa 83 иерастяжима и невесома, блок неве-
сом.
75. Недельное тало массой т расположено на клине массой
М (рис.83 а). Коэффициент трения
между телом и клином равен , а
* I М между клином и горизонтальной по-
'' A "Л ’ верхностью - ij, . При каком угле
PiC gga 06 клина он будет двигаться
равномерно?
14
76. На наклонной плоскости
расположена материальная точка
массой . Под каким углом
Ji (рис.84 ) следует тянуть
за веревку, чтобы равномерно
тащить материальную точку
вверх по наклонной плосиооти
с наименьшим уоилием? Какова
должна быть величина этой си-
лы? Наклонная плоскость ооо-
Козффициент трения равен / .
тавляет угол «X- с горизонтом.
77. Материальные точки с массами , яц соединены
нерастяжимыми нитями, переки-
нутыми через невесомые блоки
А и В .Определить ускорение
грузов относительно Земли и
натяжение нитей, если-'.
(рис.85 ):
Рис.85
•» •
78. Брусок массой. тянут по горизонтальной поверхности
под действием силы Г , направленной под углом ос к горизонту.
При «том брусок за время £ изменил свою скорость от К до
2г , двигаясь ускоренно в одну сторону. Определить коэффициент
трения /
. 79. По
бруска о поверхность.
наклонной плоскости, составляющей угол •*- о горизон-
том, движутся две материальные
точки о массами и
(рис. 86) под действием
Г , приложенной к телу
направленной под углом
наклонной плоскости. Нить,
связывающая тела <п, и
невесома и нераотяхима. Опре-
делить ускорение системы, во-
лн коэффициент трения каждого тела о плоскость равен / .
80. Два тела о массами М и *г» (М > "» ) падают с одинако-
вой высоты без начальной скорости. Сила сопротивления воздуха
силы
и
<4. к
- Ib -
для каждого тела постоянна в равна F . Сравнить время падения
тал.
81. Закон движения материальной точки имеет вид Z =
, где «м. я Ji - положительные постоянные.
При каком соотношении между «с и уз в момент времени^ =1 о
угол / между вектором скорости £ и вектором силы Г ,
действующей на точку, равен 60°?
82. По наклонней плоскости, составляющей угол ос с горизон-
том, ускоренно скользит доска массой U . Коэффициент трения
доски о наклонную плоскость равен / . На доску кладут тело мас-
сой m , которое скользит по доске без трения. Какова должна
быть минимальная масса тела , чтобы движение доски по
наклонной плоскости стало равномерным?
Рио.87
т,
Рис.88
83. Через легкий вращающийся без трения блок перекинута не-
весомая и нерастяжимая нить.
На одном ее конце привязан
груз массой *»», . По другому
концу нити о постоянным от-
носительно нее ускорением
«ж, скользит кольцо о мао-
оой кпд (рио.87 ) Найти
ускорение массы w, и
силу трения кольца о нить.
84. Система грузов, изображенная на рис. 88 , находится в
лифте, который движется вверх
о ускорением ci .
Найти силу натяжения нити,
если коэффициент трения меж-
ду грузом массы и опо-
рой равен / .
85. В условиях предыдущей задачи( > 84) найти силу натяжения
нити, если система движется с ускорением а , направленным го-
ризонтально.
86. Сва тела массами
5 f—
---«л
Рис.89
а** связаны невесомой и нерас-
тяжимой нитью, выдерживающей
силу натяжения Т , располо-
жены на гладкой горизонталь-
ной поверхности (рис.89 ). К
- I6‘ -
телам приложены силы Fj « , Fg ” 2 • ТО **’- поло-
жительная постоянная. Найти,в какой момент времени нить оборвет-
ся.
87. В условиях предыдущей задачи О 86) найти скорость сис-
темы в момент обрыва нити, если при t О V, 0 .
88. Тело массой *п прикреплено к двум соединению последо-
вательно пружинам жеоткостж */ и к расположено на гладкой
горизонтальной поверхности. К
свободному концу цепочки пру-
жин приложена постоянная оыа
------ ЛАД Л 4аадл F' * (рис. 90).
J. ,т~, Г. У,> Каково суммарное удлинение
пружин при установившемся
Рио.90 движении системы?
89. Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх
по наклонной плоскости скорость К , снова будет равна ft ?
Коэффициент трения равен / . угол между плоскостью и горизон-
том оС , •£ > f .
90. Невесомая и нерастяжимая нить перекинута через невесомый
блок и пропущена через щель.
На концах нити подивлены гру-
зы, маооа которых и
При движении на нить оо сто-
роны пели действует постоян-
ная сила трения’ J?
(рис. 91 ). Определить ускоре-
ние системы и разность сил
натяжения нити.
91 !!айти силу, действующую на вертикальную стенку оо сторо-
Рис. 92
ны клина, если на него поло-
жили груз массы ** (рис. 92 ).
Угол при основании клина ос .
Коэффициент трения между
грузом и поверхностью клина
/ . Трения между полом и
клином нет.
- 17
92. Определить закон движения материальной точки массой
т . если на нее действует осла F = + pt Я , тп.^ и
jl-поотсянные и при t = 0 , i = 0 , F = fc Z .
93. Определить траектории) материальной точки массой
« 3 кг, движущейся под действием силы Г = «<« + ptj ,
где «4 2 Н , J5 3 Ц/о и при t • 0 , Z = 0,^=0.
94. Небольшое тело т начинает скользить по наклонной плоо
кости из точки, расположенной
над вертикальным упором А
(рис. 93). Коэффициент трения
между телом и наклонной плос-
костью равен f = 0,14 . При
каком значении угла о& вре-
мя соскальзывания будет наи-
меньшим?
95. Материальную точку положили на наклонную плоскость и
сообщили направленную вверх начальную скорость % . Коэффици-
ент трения между плоскостью и материальной точкой равен / .
При каком значении угла наклона ot материальная точка пройдет
вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?
96. Бруоск маосн m тянут за нить так, что он движется о
постоянной скоростью по гори-
зонтальной плоскости о коэф-
| фициентом трения / (рис. 94).
/ > Л Найти угол «< , при ко-
тором натяжение нити будет
с* наименьшим. Чему оно равно?
97. К бруску массой , лежащему на гладкой горизонталь-
ной плоскости, приложили постоянную по модулю силу Б = *"#/з.
В процессе его прямолинейного движения угол ос между направ-
лением этой силы и горизонтам меняют по закону <х. = х Я , где
< - постоянная, X - пройденный бруском путь (из начального
положения). Найти скорость бруска как функцию угла « .
96. На покоившуюся частицу массы m в момент t = 0 на-
чала действовать сила, зависящая от времени по закону
Т= ( Т - t ), где 6 - постоянный вектор, Т- время, в
течение которого действует данная св^. Найти:
- 18 -
а) лмпульо частицы после окончания действия с или;
б) путь, пройденный частицей за время действия силы.
99. Частица масон т в момент t « 0 начинает двигать-
ся под действием сила Т = , где ?0 и ш - по-
стоянные. Найти путь, прейденный частицей, в зависимости от i .
100. В момент t »JO частица маосы /п начинает двигать-
ся под действием силы Г * То Св»**, где ?0 и а> - постоян-
ные. Сколько времени частица будет двигаться до первой оста-
новки? Кахой путь ока пройдет за это время? Какова максималь-
ная окорооть частицы на этом пути?
101. Катер массы движется по озеру сс скоростью ЙЦ .
В момент 4 = 0 выключили его двигатель. Считая силу сопротив-
ления пропорциональной окорооти катера f = - Z ? , найти:
а) время движения катера о выключенным двигателем;
б) скорость катера в зависимости от пути, пройденного о вык-
люченным двигателем, а также полный путь до остановки.
102. Пуля, пробив доску тсламной Л , изменила свою сжорость
от Эг ДО J” .Найти время движения пули в доске, считая си-
лу сопротивления пропорциональной квадрату окорооти.
103. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоо-
кооти, ооставляиаей угол оС о горизонтом. Коэффициент трения
зависит от пройденного пути * по закону / • fJt , где f -
постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, к мак-
симальную скорость его на этом пути.
104. Частила маосы т движется по внутренней глажкой по-
верхности вертикальной цилиндра радиуса R . Найти силу давле-
ния частицы на стенку цилиндра, если в начальный момент ее ско-
рость равна и составляет угол «С о горизонтом.
105. Частица массы *п движется в некоторой плоокости Р
под действием постоянной'по модулю силы F /которая поворачи-
вается в ЭТОЙ плоскости о постоянной угловой скоростью «М .
Считая, что в момент t » 0 частица покоилась, найти:
а) модуль ее скорости в зависимости от времени;
б) путь, проходимый: частицей между двумя последовательными
остановками, и среднюю скорость на этом пути.
106. Моторная лодка массой m 200 кг двигалась по
- 19
озеру оо скоростью 1га > 20 м/с. Считая сиду сопротивления
вол нропорцжоиальной квадрату скороотж, определить завиои-
мооп скорости додж* от временя жоме вмжлючеиия мотора (FQ =
- , где оС - иостояииая).
107. В условмх предыдущей задачи О 106) определить за-
висимость пройденисго лодкой пути от времени после вяжлюче-
ш мотора.
108. Ожиж женец однородного иаяата удерживают вад поверх-
ностьв Земли, второ! - касается Земли. Наоса нажата равна т,
его дхжжа £ . По какому захожу будет меняться о точением
времени сила давления палата на Землю, если его отпустить?
109. Скорость тела масон т в вязкой жидкости убивает
о пройденным расстоянием £ во закону V » Vo -fl£ , где
% ~ начальная скорость, a fl - положительная постоянная.
Как зависит вяла вязкого трения, действующая на тело оо сто-
рожи жиджооти, от скорости тела?
НО. В условиях предыдущей задачи (* 109) определить за-
кон изменения скорости тела от времени t .
III. В условиях задачи (Ж 109) определить путь, про!-
давня* телом за первую секунду его движения в вяеко! жидко-
сти, eon в начальны! момент времени начальная скорооть те-
ла равна % .
112. Сила сопротивления воздуха, действующая на капли
тумана, пропорциональна произведению радиуса на сжорость:
рв «|гг 2г , где [ - положительная постоянная. Капля ра-
диуса г - 0,1 мм, падая о большой высота, у Земля имеют
сжорость около I м/с. Какую скорость будут иметь капли, ра-
диус которых в два раза мевьме? В десять раз меиьае?
ИЗ. Стальной маржи радиусом г « 0,5 мм падает в ми-
рожи! со оуд, наполнении! глицерином. Найти скорость Тг уо-
тажевивиегося (равномерного) движения маржи*. Коэффициент
внутреннего треш в глицерине равен £ - 1,4Н.с/м2, плот-
ность глицерш _р. • 1260 кг/м*, плстжесть стали Д =
7800 кг/м*.
Указание. Дид ранения задачи необходимо воспользоваться
гидродинамической формулой Стокса.выражающей силу сопротивления
- 20
испытываемую париком в вязкой жидкости: Ffl 6 If z Ц fr,
IT4. Как будет изменяться скорость тела, движущегося верти-
кально вверх о начальной скоростью Тг, , сопротив-
ления воздуха пропорциональна окорооти тела? (Fo - я fyj),
где * = ).
115. На материальную точку маооой действует оила
Г = ти'Л УсяACoivtj , Определить путь, пройден-
ный материальной точкой за время £ » */шс , отсчитываемое
от начала дейотвия силы, если при & 0 1г » 0 .
116. Сила сопротивления воздуха, действующая на капли дож-
дя, пропорциональна произведению квадрата скорости капель на
квадрат их радиуса: Fo - J^Z* V*" , где Д *1,3 кг/м” -
плотность воздуха. Какие капли, крупные или мелкие, падают на
Землю о большей скоростью? Оцените скорость капли радиуса
Ъ = I мм при падении ее о большой высоты.
П7. Снаряд маооой т вылетает из отвода со окороотью &
под углом ос R горизонту. Считая, что окла сопротивления возду-
ха меняется по закону F » -я , определить время подъема сна-
ряда на максимальную высоту. Коэффициент пропорциональности *
таков, что при скорости 1г = 1г, F • .
118. В условиях задачи * 117 определить максимальную высо-
ту подъема снаряда.
119. В условиях задачи * 117 найти закон движения снаряда.
120. В условиях задачи *117 вывести уравнение траектории
движения снаряда.
Законы сохранения.
121. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой
длины так, что они соприкасаются. Уаоса первого шара 0,2
кг, масса второго - 100 г. Первый шар отклоняют так,
что его центр поднимается на высоту А, = 4,5 см и отпуска-
ют. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если:
I) удар упругий; 2) удар неупругий?
122. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешен-
ный на легком жестком отержне, и застревает в нем. "аосз пули
-21
л, > 5 г, масса вара /пл= 0,5 кг. Скорость пули % -500 м/с.
При какой предельной длине стержня (раоотояние от точки подве-
са до центра вара) вар от удара пули поднимается до верхней
точки окружности?
123. Льдина площадью поперечного сечения Л » I м2 и высо-
той h » 0,4 м плавает в воде. Какую работу надо совервить, что-
бы полностью погрузить льдину в воду?
124. Материальная точка массой т = 2 кг двигалась под
действием некоторой сын, направленной вдоль оси ОХ, по закону
Л - d + f t3, + St3 . где Ji = -2 м/с, f » I м/о2,
S - -0,2 м/с. Найти мощность, развиваемую силой в момент
времени t, > 2 с и - 5 с.
125. Два иеупругих вара с массами 2 кг к 3 кг
движутся со скоростями соответственно lrt 8 м/с I !£ 4 м/о.
Определить увеличение »U внутренней енергин варов при их стсл-
кновении в двух случаях: I) межьнжЯ вар нагоняет больший,
2) варн движутся навстречу друг другу.
126. В вар массой М-200 г, свободно . расположенный на го-
риаовтапиой подотавке на высоте А »20 м от поверхности
Земли, попадает пуля маооой т -Ю г,
летевшая горнаситально со скоростью
»500 м/с, н, пройдя через вар, про-
должает двигаться в том же направлении
со скоростью % -200 м/с (рно. 94а).
Определить, с какой скоростью вар упадет
на Землю. Пуля проходит через центр ва-
ра. Сопротивлением воздуха пренебречь.
127. Два хуока глины одинаковой массы начали двигаться по
вертикали одновременно навстречу друг другу: один с Земли с на-
чальной окороотью К , а другой с высоты А “
беа начальной скорости. Через сколько времени после абсолютно
иеупругого удара они упадут на Землю? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
128. Определить максимальную часть w кинетической энер-
гии Т, которую может передать частица массой ^/яЗ-Ю-25 кг,
оталкиваяоь упруго о частицей массой /л* »6*I0-2^ кг, которая
до столкновения покоилась.
- 22
129. Материальная точка массой in, «2 кг, движущаяся со ско-
ростью 3f -3Z + 2} - к , испытывает неупругое отолхновение о
материальней точкой массой **•» “3 »» кмеющей в момент отслижо-
вения скорость ££ * -2? + 2/ ♦ 4н ( 3fж 2^ - в метрах в секун-
ду) . Определить скорости шарой посла удара.
130. Снаряд, выпущенный дол утлом <* «30° к горизонту. раз-
рывается в верхней точке траектории ха выооте h «40 м на три
одинаковые части, импульсы которых оказались расположенным* в
одной плоскости. Одна часть снаряда падает на Землю через tt ! о
после взрыва под точкой взрыва, вторая - там же через >4 с.
На каком расстоянии от места выстрела упадет третий осколок?
131. С какой скоростью должен прыгнуть человек массой Ум ,
стоящий на краю неподвижной тележки массой М и длиной £ , что-
бы попасть на ее конец? Трением между горизонтальной дорогой *
тележкой Пренебречь. Вектор начальной скорости человека состав-
ляет угол О горизонтом.
132. Яа материальную tow массой »1 кг действовала си-
ла, изменяющаяся по закону Г - t£ + (£ + t*)/ вньютонах),
В начальный момент времени точка имела окорооть * 1где :
<* »2 м/с). Определять импульс спустя время t! о после нача-
ла действий силы.
133. На тросе о иеэффвциеитом упругости к«49 кН/м равно-
мерно опускается груз массой in «4*10* кг со скоростью 1Г •
4 м/с. В некоторый момент времени верхний конец троса останав-
ливают. Найти максимальную билу натяжения троса при торможении
груза до полной остановки.
134. На столе, овиоая на 1/3 в небольшое отверстие стола,
лежит на тарани скольжения цепочка массой и длиной з£. Ка-
кую работу нужно совершить, чтобы цепочку втащить на стой го-
ризонтальной силой, прикладывая ее в концу цепочки?
135. Дуля массой in , летящая горизонтально со скоростью
V, попадает по лйкий центра в однородный вар массой Ми ра-
диусом 7 , находящийся в покое на гладкой горизонтальной по-
верхности. Происходит неупругий удар, в результате чего пуля
проходит по дйаметру через весь «ар к застревает у его поверх-
ности. Определить среднюю силу сопротивления движения пули.
136. Кубик массой in соскальзывает без начальной скорости
о вернины незакрепленно! горы массо! М высоте! 4 (рже.95).
В конце спуска кубик ударяет о
прукжну с коэффициентом упруго-
ГтЛуЛ стн < 1 с“*»ав* ев. Чему равно
I ускорение горки в момент наж-
божие! деформации пружины?
ЛЮ»9б
137. Частица массы попадает в область, где на неё дей-
ствует встречная тормоеявая сила. Глубина -t проникновения
чаетжцн в эту область вавжент от ныцульса р частицы по зако-
ну: Л <</», где оС - заданная постоянная. Определить работу
тормозяне! силы на начальном отрезке пути дшо! & .
13в. Материальная точна масон м> начинает двигаться из
оеетаяжжя покоя в направлении оси ОХ так, что её скорость V
ввязана о координате! X еоотвомоннем IT где X. -
Const » Определить суммарву® работу всех сил. даМствухжкх на
ватермльяу* гочву, за корну® совунду после начала ев движения.
139. Ив пунхж, свободно ооскальзнваюаей по наклонно! плос-
кости к пронаява* уже дуть t , производится выстрел в горизон-
тальном направлении. Какова должна бвть скорость V снаряда
дня того, чтобы пужка оставовклаоь после выстрела? Выразить не-
кому® скорость V снаряда через ого массу , массу пушки М
ж угол об наклона плоскости к горизонту. Учесть, что лт
ж что выстрел происходит практически мгновенно.
140. Трк лодки одинаково! массы bi txyt в кильватер (друг
за другом) с одинаково! скорость® У. Из средне! лодкн одно-
временно в переднюю и заднюю лодки бросают со скорость® U
относительно лодкн грузы массы by , каковы будут скорости ло-
док после переброски грузов?
141. Навстречу друг другу летят два вара с массами **/ и
. Между варами происходит веупругн! удар. Известно, что
кинетическая энергия одного вара в b раз больше кинетической
энергии другого. При каких условиях кары после удара будут
двигаться в сторону движения вара, облалаааего меньше! аиерги-
142. В одном изобретении предлагается на ходу наполнять
платформы поезда углем, падязжвм вертикально на платформу на
соответстдухвям образом устроенного буккера. Какова должна
- 24
быть приложенная к платформе сила тяги, если иа неб погружают
М=10 т угля за £ «2 с, и за это время ова проходит равномерно
путь 5* =Ю м? Трением прв движении платформы можно пренебречь.
143. Движущаяся частица претерпевает упругое нелобовое
столкновение с покоявейоя частицей такой ве массы. Найти угол
между векторами скоростей чаотиц после отолквовевкя.
144. Определить долю энергии, теряемую частицей маосы ,
при упругом столкновении ей с неподвижной частице! массы ,
если пооле столкновения частица продолжает двигаться в прежнем
(когда или прямо противоположном (когда
направлениях. При каком соотноиенп масс потеря энер-
гии максимальна?
145. В баллистический маятник, состоящий яэ материальной
точки маосм М, подвешенной на невеоомой и нераотяиимой нити дли-
ны £, попадает онаряд (материальная точка) маооой , летеваий
горизонтально о некоторой споростью 2С > и в результате взаимо-
действия о И онаряд падает вниз, потеряв овою окррооть. Каков .
максимальный угол отклонения нити маятника от вертикали?
146. Материальная точка А соскальзывает без начальной ско-
рости с вернины гладкой горки высотой В, имение! горизонтальны!
Рио. 95а
трамплин (рно.95а). При ка-
кой выооте А трамплина
материальная точка дролетит
наибольшее раоотояние S' “Г
Чему оно равно?
147. Лодка маосм И о находящимся в ней человеком масон т
неподвижно стоит на спокойной воде. Человек начинает идти вдоль
по лодке оо скоростью й относительно лодки. С пакой скоростью
(V бпт двигаться человек относительно води? С какой скоро-
стью £ будет при зтом двигаться лодка относительно воды? Со-
противление воды движению лодки не учитывать.
148. В горизонтальной гладко! трубе имеется кольцевая петля
радиуса с (ржо.96), расположенная в
О вертикально! плоскости. С какой ми-
нимально! скоростью долкен двигать-
ся на горизонтальном участке трубы
тонки! гибки! канат длины ,
чтобы пройти через петлю? Считать
раддуо петли г много большим ра-
Рис. 96 диусов трубы и каната.
25 -
149. Ha горизонтальной плоскости лежат два бруска массами
ж *»* , соединенные ненапряженной пружиной. Какую наимень-
шув постоянную силу, направленную горизонтально, нужно прило-
жить ж первому бруску, чтобы сдвинулся ж второе? Коэффициент
трения брусков о плооность равен f .
150. Два одинаковых тела массы каждое, соединенные пру-
жине! вескости К , лежат на горизонтально! плоскости (рис. 97).
Левое тело касается вертикальной стенки. Какую минимальную ско-
рость, направленную к стенке, надо
сообщить правому телу, чтобы при об-
ратном движении ст стенки оно сдвину-
ло левее тело? Коэффициент трения
каждого тела с плоскость равен У .
Пружина в начальны! момент не дефор-
мирована.
151. Цуля массы , летевшая с начальной скоростью 1Г ,
пробивает один подвешенный груз массы и застревает во вто-
ром подвешенном грузе той ие массы. Пренебрегая временем взаи-
модействия пули с грузом, найти количество теплоты Qp выделив-
шееся в первом грузе, если вс втором выделилось количестве теп-
лоты 0-2 .
152. На покоящееся теле массой налетает со скоростью
V тело ыасссй . Сила, возникающая при взаимодействии тел,
линейно растет за время Т от нуля дс значения Fo, а затем ли-
нейно убывает до нуля за то ие время . Определить сксрссти
тел посла взаимодействия и количество выделевшейоя теплоты.
153. Ракета сечения S , двигаясь в космическом пространст-
ве со скоростью и , попадает в облако неподвижней пыли плотно-
сти у5 . Какую силу тяги должны развивать двигатели ракеты,
чтобы та могла продолжать двигаться с той ие постоянней скоро-
стью? Ударн пылинок о ракету считать абсолютно иеупругими. Из-
менением массы ракеты пренебречь.
со скоростью 1£> влетает в область
действия тормозящей силы Г под
углом к направлению этой силы.
Под каким углом <Хх (рис.98) сна
вылетит из этой области? Ширкиа об-
ласти действия силы Р равна .
Рио.98
- 26 -
При каком условии чаотица не сможет пересечь эту область?,
155. В условиях задачи М 154 тормозящая сила линейно зави-
сит от t : F = ut , где «А - положительная постоянная. Найти
oLr. При каком условии частица не вылетит иэ этой области?
156. От груза, висящего на пружине жесткости *, отроим-
ся часть массы т . На какую высоту поднимается после прекра-
щения колебаний оставшаяся часть груза?
157. Тело массы падает с высоты А без начальной ско-
рости на стоящую вертикально
на полу пружину жесткости м
и ддииы t (рис. 99 ).
Определить максимальную си-
лу давления на пол.
158. Потенциальная энергия частицы имеет вил: a) И »•'/»>
б) U » *г*/2 , где Ъ - модуль радиуса-вектора . 1 частице; -
ot и к - постоянные ( * * 0). Найти силу Г , действующую
на частицу, и работу А , совершаемую над частицей при переходе
ее из точки Mj • (1,2,3} м, в точку 11g » [2,3,4| м.
159. Потенциальная энергия частицы имеет вид:
Z/ « of. (j5*7y - У*/л ). где «С - постоянная.
Определить: а) силу F , действующую на частицу; б) работу А ,
совершаемую над частицей силами Поля при переходе частицы из
ТОЧКИ Mj • (3,2,1} м в течку Mg “ [1.2,3} м.
160. Однородный круглый конус имеет выооту А . На каком
расстоянии от плоскости основания конуса находится его центр
масс?
161. Определить работу при построении правильной усеченной
пирамиды высотой А , если нижнее и верхнее основания ее -
квадраты со сторонами а н / соответственно. Плотность мате-
риала J* .
162. Два костяных иарика одинаковых масс налетают друг на
друга со скоростями и 1* под углом оС и разлетаются
после абсолютного удара со скоростями и < и и л.. Найти угол
разлета Л (т.е. угол между скоростями й, и
163. Частица I столкнулась с частицей 2, в результате чего
возникла составная частица. Найти ее скорость 1г и модуль tr.
Z1
если маооа у частицы 2 в ц « 2 раза больше, чем у частицы I,
а их скорости перед столкновением равны F, - 2t + 3/ и
%, * 41 - 5J ГД0 компоненты охорооти даны в СИ.
164. Цепочка маосы **»,- I кг и длины £ - 1,4 м висит на
нити, касаясь поверхности стола овсим нижним концом. После пере-
жигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, кото-
рый она передала столу.
165, Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности
радиуса & , зависит от пройденного пути S по закону Т -«tf4,
где е< - постоянная. Найти модуль силы, действующей на части-
цу в зависимости от / .
166. Цепочка массы m - 0,8 кг ж длины t = 1,5 м лежит
на шероховатом столе так, что один ее конец .свешивается у его
края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающая-
ся часть составляет % » 1/3 длины цепочки. Какую работу со-
вершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном сос-
кальзывании со’стола?
167. Частица масон m 4 г движется В двумерном поле, ее
потенциальная энергия U мху , где «4 - 0,19 мПж/м2. В
точке Mj • (з, 4) ы частица имела скорость V\ « 3 м/с, а в
точке $2 • \5, -б) м — скорость Эд,- 4 м/с. Найти работу сто-
ронних сил на пути между точками и М2 .
168. На частицу массой m 100 г действует сила
f - •уг"? + К , ГДе «С 5 Н/м2 .
Определить работу этой силы по перемещению частицы ив точки
a {l,3,2) N В ТОЧКУ 1*2 Ж (3,2,1) м .
169. Замкнутая система состоит жэ двух частиц о массами ж,
и , которые движутся под прямым углом друг к другу оо ско-
ростями Ф; к Ф*. . Найти в оиотеме их центра масс: а) импульс
каждой частицы, б) суммарную кинетическую энергию обеих чаотиц.
170. Найти приращение кинетической энергии системы из двух
частиц о массами и при их абсолютно иеупругом соуда-
рении. До соударения скорости шариков составляли Г, к Ц. .
171. Цушка массы II начинает свободно скользить вниз по
гладкой наклонной плоскости, составляющей угол ос о горизон-
том. Когда пушка прошла путь t , произвели выстрел, в резуль-
- 2b
тате которого снаряд вылетел с импульоом "5 в гориеснтальнсм
направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой онаряда
по сравнению с маооой пушки, найти продолжительность выстрела.
172. На тросе -иоит небольшой ящик с песком, в котором за-
стревают пули, летящие горизонтально со скоростью V . Масса
пули много меньше масоы ящика *»*.. Трос отклоняется ст
вертикали на угол «с . Какое число пуль попадает в песок за
единицу времени?
173. Подставка массы т, о полуцилиндричеохой выемксЯ ра-
диуса R стоит на гладком сто-
ле (рис. 100). Теле массоЯ
кладут на край выемки и отпус-
кают. Определить скорость тела
и подставки, когда теле прохо-
дит нижнюю точку полусферы.
174. Частица движется вдоль оси ОХ под действием силы
f = • где * ~ модуль скорости частицы, «А - положи-
тельная постоянная. В начальный момент времени скорость части-
цы была равна >1 . Определить .работу силы за первую секунду
движения течки.
175. Частица движется вдоль оси ОХ под Действием силы
? - «4 ~-Z , где «i—п сложи тельная постоянная, i - время,
V - модуль скорости частицы. В начальный момент времени ско-
рость частицы была равна К . Определить работу силы за первую
секунду движения течки.
176. Частица движется вдоль оси ОХ с начальной скоростью
под действием некоторой силы так; что >"*=•<., где ** - мо-
дуль оксрссти частицы, л - ее координата, м. - положительная
постоянная. Определить работу силы за первую секунду движения
точки. Масса частицы равна m .
177. Чаотица массы m движется вдоль оси ОХ бее началь-
ной скорости под действием некоторой оилы так, что а ,
где сГ - модуль ускорения частицы, Г - модуль ее скорости,
JI - положительная постоянная. Определить работу силы за
первую секунду движения точки. -
178. 1л частицу массой т действует сила ? Sin*)** »
гдо ос. и - положгтелыае постоянные. При 6 = 0 скорость
- 29
чаотицы V = о . Найти работу силы к моменту времени 4
Я/(2си)Г .
179. На частицу маооой т действует сила Г =
где «С ж J3 - положительные постоянные. Прж £ » 0 окорооть
частицы £ = 0 . Найти работу силы ва очень большой промежуток
временж ( £ •* •• ).
180. На чаотицу маооой m действует сила F » L »
где - положительная постоянная, - модуль скорости части-
цы. При £ » 0 окорооть частицы # = 0 . Определить работу
силы яа серную секунду движения частицы.
Динамика твердого тала.
181. Две гири о маооами m г = 2 кг ж m * - I кг соедине-
ны невесомой и нерастяжимой нитью ж перекинуты через блок массой
I кг. Найти: I) ускорение а , с которым движутся гири,
2) натяжения Tj ж Т2 нитей, к которым подвешены гири. Блок
считать однородным диоком. Трением пренебречь.
182. На барабан маооой М - 9 кг намотан шнур, к концу ко-
торого привязан груэ массой т - 2 кг. Найти ускорение груза.
Барабан очитать оплошным однородным цилиндром. Трением пренеб-
речь.
183. Шар диаметром d - 10 ом катится без скольжения на
горизонтальной плоскости, делая п » 4 об/о. Маооа шара m »
I кг. Определить кинетическую энергию шара.
184. Карандаш, поставленный вертикально, падает на отол.
Какую угловую ж линейную окорооть будет иметь в конце падения:
I) середина карандаша, 2) верхний его конец? Длина карандаша
С = 10 ом.
185. Горизонтальная платформа маооой > 120 кг враща-
ется вокруг вертикальной оои, проходящей через центр платформы,
делая nt = 8 об/мин. Человек маооой = 60 кг стоит при
этом на краю платформы. С какой чаотстой начнет вращаться плат-
форма, если человек перейдет от края платформы в точку, распо-
ложенную от центра платформы на раоотоянии половины ее радпуоа?
Считать платформу круглым однородным диоком, а человека - ма-
териальной точкой.
- 30
166. Найти >ломент инерции плоской однородной прямоугольной
пластины маооой т 800 г относительно оон, оовпадающей о
одной из ее оторон, если длина а другой стороны равна 40 см.
187. ' Шар маосой » 10 кг и радиусом В 20 см вра-
щаетоя вокруг оои, проходящей через его центр. Уравнение вра-
щения шара имеет вид / = А + Bi* + С , где В » 4 рад/с^,
С и -I рад/с8. Найти закон изменения момента сил, действующих
ва шар. Определить момент сил в момент времени t = 2 о .
188. Сколько времени будет окатываться без окольжения обруч
о наклонной плоскости длиной t 2 м и высотой Л - 10 см?
Начальная скорость обруча 14=0,
189. Определить момент инерции полого шара маосой m »0,б хг
относительно касательной. Внешний ралиуо В» 0,02 м, внутрен-
ний - i» 0,01 м .
190. Кинолента движется оо скоростью **. Момент инерции
катушки без пленки . Определить зависимость момента инерции
катушки о пленкой от времени. Ширина пленки 4 , плотность ее
jb , толщина в , первоначальный радиус бобины .
191. К точке, радиус-вектор которой относительно начала ко-
ординат 0 равен ? « (tG 6/ , приложена оила f -Al + в),
где d , / , А, В - постоянные. Найти момент М силы F отно-
сительно точки 0 .
192. Шарик масон *1 бросили под углом «С к горизонту о
начальной окороотьш Ъ» . Найти модуль момента импульса шари-
ка относительно точки брооания в зависимости от времени движе-
ния. Вычислить Х> в вершине траектории, если ей - 130 г ,
«С - 45°, V,- 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
193. Схема демонстрационного прибора (диск Максвелла) изо-
бражена на рис.101. На валик
радиусом * нагдухо насажен
оплошной диок радиуса В и
маосой М . Валик и диск сде-
ШЕ
НИ
ланы из одного материала, при-
чем выступающие ив диска час-
ти оси илеют массу т . К ва-
лику прикреплены нитк опт а-
Рио.101
- 31
ковой длины, при помощи которых прибор подвешивается к штативу.
На валик симметрично наматываются нити в один ряд, благодаря че-
цу диок поднимается, а затем предоставляют диску свободно опус-
каться. Найти ускорение, о которые опускается диок.
194. По наклонной плоскости,составляющей угол - 30° с
горизонтом,окатывается боз окольжон.ш полый цилиндр, маоса кото-
рого равна -- 0,5 кг. Внешний радиус цилиндра в два рази
больше внутреннего радиуса. Найти величину силы трения цилиндра
о плоскость.
195. Па шероховатой доске на расстоянии € от ес правого
конца находится сплошной ци-
Q л ин др (рис.Ю2). Лоску начина-
ют двигать о ускорением ав
L ।______ влево. С какой скоростью отно-
w у L.----------~сительно доски будет двигаться
* 1 • ' центр масс цилиндра в тот мо-
Рли 102 мент, когда он будет находить-
ся над краем доски?
Движение цилиндра относительно доски происходит без скольжения.
Т96. На горизонтальный диок, вращающийся вокруг геометричес-
кой оои о угловой скоростью , падает другой диск, вращающий-
ся вокруг той хе оои о угловой скоростью . Моменты инерции
дисков относительно указанной оои равны соответственно Л и .
Оба диска при ударе сцепляются друг о другом (при помощи острых
пипов на их поверхностях). На сколько изменится общая кинети-
ческая энергия вращения оиотемы после падения второго диска?
197. !'а полый тонкостенный цилиндр массы fn намотана тон-
кая и невесомая нить (рио.ТОЗ).
Свободный конец ее прикреплен
к потолку лифта, движущегося
вниз с ускорением а, . Цилиндр
представлен сам себе» . Най-
ти ускорение цилиндра отноои-
Рвс-103 тельно лифта и силу натяжения
нити. Во время движения нить считать направленной вертикально.
198. Определить момент инерции однородного куба относитель-
но оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса
куба т , длина ребра а .
32 ~
199. Вычислить момент импульса Земли 4в , обусловленный
ее вращением вокруг своей оси. Сравнить этот момент о моментом
импульса 4 , обусловленным движением Земли вокруг Солнца. Зем-
лю считать однородным шаром, а орбиту Земли - окружностью.
200. Горизонтальный тонкий однородный стержень АВ маооы
т и длины £ может свободно вращаться вокруг вертикальной
оси, проходящей через его конец А . В некоторый момент на конец
В начала действовать постоянная сила Г , которая вое время пер-
пендикулярна к первоначальному положению покоившегося отержня и
направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорооть
стержня как функцию его угла поворота У из начального положе-
ния.
201. На однородный оплошной цилиндр массы М и радиуса &
плотно намотана легкая нить, к
концу которой прикреплен грув
маосой (рис, 104). В момент
£ = О оистема пришла в дни-'
жение беэ начальной окорооти.
Пренебрегая трением в оси ци-
линдра, найти зависимость от
времени: а) модуля угловой ско-
рости цилиндра, б) кинетической энергии воей системы.
202. Человек массы стоит на краю горизонтального одно-
родного диска массы т± и радиуса R , который может свободно
вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через
его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю
диска, оовершил перемещение на угол У, относительно диска и
остановился. Пренебрегая размерами человека, найти угол, на ко-
торый повернулся диск к моменту остановки человека.
203. В оиотеме, изображенной на рис.105 , считать блок мао-
сой М сплошным цилиндром, тела
и тл, ~ материальные точ-
ки, нити невесомы и нераотяжимы.
Трение не учитывать. Найти силы
натяжения нитей Tj и Tj в
процессе движения.
33 -
204. В системе, изображенной на рис. 106 , считать блок мас-
Рио.106
оой М сплошным цилиндром,
тела *»/ и - материальные
точки, нить невесома и нерас-
тяжима. Трение не учитывать.
Определить силу давления груза
на mt в процессе
движения.
205. В системе, изображенной
Рис. 107
на рис.107 , считать блок мас-
сой М сплошным цилиндром,
тела и - материальные
точки, нить невесома и нераотя-
жима. Трение не учитывать. Клин
о углами и закреплен.
Найти ускорение системы.
206. Система (рис. 108
состоит из двух одинаковых однород-
ных цилиндров, на которые сим-
метрично намотаны две легкие
нити. Найти ускорение оои ниж-
него цилиндра в процессе дви-
жения. Трения в оои верхнего
цилиндра нет.
207. В системе, изображенной на рис.109 , известны масса
т груза А , масса М сту-
пенчатого блока В , момент
инерции 3 последнего отноои-
Рио.109 тельно его оси и радиусы сту-
пеней блока R и
нитей пренебрежимо
ти ускорение груза
208. Сплошной однородный цилиндр А массы т,
бодно вращаться вокруг гори-
зонтальной оои, которая укреп-
лена на подставке В массы
(рис.ПО). На цилиндр
плотно намотана легкая нить, к
концу к которой приложили
2R<. Масса
мала. Най-
А .
может ово-
3-1
•есгоянную горизонтальную силу Г . Трения между подставкой и
(норной горизонтальной плоскостью нет. Пайти: а) ускорение точ-
। л к , б) кинетическую энергию этой системы чероз £ секунд
...о'.по начала движения.
209. Ось симметрии сплошного однородного цилиндра маооой ft
0i о радиусом основания В и длиной
_________________I________________ _ £ расположена горизонтально.
\_________________________£) _ Определить момент инерции цилинд-
J ра относительно вертикальной оои
® **'-----00j (рио.Ш), проходящей через
Гио.Ш центр основпкпя цилиндра (точка А).
Обербека (рпс.112) прикреплена невесо-
мая нить, к которой подвешен груз
маооы М а I кг. Груз опускается
до нижнего положения, а затем начи-
нает подниматься вверх• Найти натя-
жение нити Т при опускании или под-
. нятии грузе. Радиус шкива Z • 3 см.
Ня кресте укреплены четыре груза о
массой 250г каждый на расстол
нии R « 10 см от его оси. Мо-
ментом
(.р’нрбречь по сравнению с моментами
инерции самого креста и шкива
инерции грузов.
21I. Когда диск Максвелла (см.задачу М 1УЗ) достигает
нижнего положения, ок начинает подниматься вверх. С каким
ускорением поднимается диск ? Найти натяжение нити во время
опускания и поднятия д ска. Масса диска М • 1 кг, его радиус
£ - 10 см, радиус валика Т - I см. Массой валика пре-
небречь.
212. Цилиндр (или шар) радиусом X и массой +г» катится
...» плоскости, наклоненной под углом ei. к горизонту. Опреде-
bb -
лить, при каком значении утла «с начнется качение со скольжени-
ем, если коэффициент трения скольжения между катящимся телом ж
плоскостью равен / .
213. По наклонной плоскости, образующей угол «4 с горизон-
том, скатывается массивный по-
лый цилиндр массой М и радиу-
сом г . По поверхности цилин-
дра бежит собака таким образом,
что она все время занимает на-
ивысшее положение на поверхно-
сти цилиндра (рис. ИЗ). Масса
собаки т . Определить, о каким ускорением л скатывается ци-
линдр.
214. По поверхности большого полого цилиндра, лежащего на
гориионтальной плоскости, начинает бежать собака массой лт в
направлении к высшей точке А
(рис.114) и притом так, что
она все время находится на од-
ном и том же расстоянии от
этой точки. В результате ци-
линдр начинает катиться по го-
ризонтальной плоскости без
скольжения. Масса цилиндра рав-
на М , угол AOm = «L
Определить: I) ускорение оси цилиндра а , 2) силу трения меж-
ду цилиндром и плоскостью во время качения.
215. Определить ускорение,
с которым цилиндрическая бочка
массой М , целиком заполнен-
ная жидкостью массой т ,
скатывается без скольжения с
наклонной плоскости, образую-
щей угол оС с горизонтом
(рис.115). Трение между жидко-
стью и стенками бочки считать
пренебрежимо малым.
Считать бочку тонкостенным цилиндром.
216. Твердый цилиндр или шар, положенный на твердую горизон-
тальную плоскость, катится по ней со скольжением. Показать, что
во время качения поступательная и вращательная скорости этого
тела связаны соотношением « conit.
217. Согласно соотношению, приведенному в задаче Л 216, каче-
ние твердого тела по горизонтальной плоскости не монет прекра-
титься, если нет никаких дополнительных сил, помимо горизонталь-
ной силы трения, действующей в точке касания. В чем причина рас-
хождения этого вывода с опытом?
218. Сплошному цилиндру радиуса R- сообщено вращение вокруг
его оси с угловой скоростью . Вращающийся цилиндр кладут на
горизонтальную плоскость и предоставляют самому себе. Он начи-
нает двигаться по плоскости, причем коэффициент трения скольже-
ния между цилиндром и плоскостью равен / . Определить, через
какое время , движение цилиндра перейдет в чистое качение
без скольжения. Сила трения скольжения предполагается не завися-
щей от скорости, а трение иачения отсутствует. Какое ускорение
будет иметь цилиндр при € »t, ?
219. Сплошной цилиндр, ось которого горизонтальна, движется
беэ вращения по гладкой горизонтальной плоскости в направлении,
перпендикулярном его оси. В некоторый момент цилиндр достигает
границы, где поверхность становится шероховатой и возникает по-
стоянная (не зависящая от скорости) сила трения скольжения, а
тренве качения отсутствует. Каково будет движение цилиндра пос-
ле перехода границы? Ках распределится кинетическая энергия по-
ступательного движения цилиндра?
220. Сплошному однородному шару радиуса % и массой т ,
лежащему на горизонтальной плосиости, сообщается в начальный
момент времени поступательная сжорость Zb беэ вращения. Учи-
тывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, найти
угловую скорость шара, когда его движение перейдет в чистое ка-
чение. Определить потерю кинетической анергии на трение.
221. Сплошной однородный пар радиуса Z и массой т, вра-
щающийся вокруг горизонтального диаметра о угловой скоростью
СОо, ставится на горизонтальную плоскость без сообщения ему
поступательного движения. Учитывая трение скольжения, но прене-
брегая трением качения, найтв линейную скорость Г центра ша-
ра, когда его движение перейдет в чистое качение. Определить
потерю кинетической энергии на трение.
222. Вращающийся о угловой окорооти, оплошой однород-
ный цилиндр раджуса ? ставится des начальной поступательной
скорости у основания наклонной плоскости, образующей угол <Z
с горизонтальной плоскостью, и начинает вкатываться вверх. Опре-
делить время, в течение которого цилиндр достигает наивысшего
положения на наклонной плоскости.
223. Считая в задаче * 222 коэффициент трения скольиения У
цилиндра о наклонную плоскость заданным и постоянным, опреде-
лить: 1)ускорение цилиндра ар когда качение происходит со
скольжением; 2) ускорение ag-при чистом качении.
224. Вращающийся о угловой скоростью оЛ сплошной однород-
ный цилиндр маосы ставится без начальной поступательной ско-
рости на длинную доску маооы , лежащую на гладкой горизон-
тальной плоскости. Начальная скорость доски равна нулю. Прене-
брегая силой трения качения, но учитывая трение скольжения меж-
ду доской к цилиндром, найти угловую скорость вращения цилин-
дра после того, как его движение перейдет в чистое качение. Дос-
ка предполагается настолько длинной, что чистое качение успева-
ет установиться до того, иак цилиндр скатится с доски.
225. Однородный тонкий тяжелый стериень длины £ висит на
горизонтальной оси, проходящей через один из его жонцов. Какую
начальную угловую скорость и)о надо сообщить стержню, чтобы он
повернулся на 90°?
226. Сплошной однородный диск радиуса R.« 10 ом, имевший
начальную угловую окорооть о>0 =50 гад/о (относительно оси,
перпендикулярной плоскости диска и проходящей через центр масс),
кладут основанием на горизонтальную поверхность. Сколько оборо-
тов диск сделает до остановки, если коэффициент трения между
основанием диска и горизонтальной поверхностью f =0,1 и не
зависит от угловой скорости вращения диска?
227. Однородный стержень массой »» и длиной £ (рис. ПС)
Рио.Пб
Г
верт.
падает без начальной скорости
из положения I, вращаясь без тре-
ния вокруг неподвижной горизон-
тальной оси 0. Найти горизонталь-
«У® Frop. и вертикальную FBepT.
составляющие силы, с которыми
ось действует на стержень в гори-
зонтальном положении 2.
228. Абсолютно твердая однородная балда массой tn и джи-
Рио.117
ной лежит на двух абсолют-
но твердых симметрично распо-
ложенных опорах, расстояние
между которыми равно t (рио.М7).
Одну из опор выбивают. Найти
начальное значение силы давле-
ния Fj , действующей на ос-
тавшуюся опору. Рассмотреть
частный случай, когда I ь •
229. Гимнаст на перекладине выполняет большой оборот ив
стейки на руках, т.е. вращается не сгибаясь вокруг перекладины
под действием собственного веса. Оценить приближенно наибольшую
нагрузку F на его руки, пренебрегая трением ладоней о пере-
кладину.
230. На гладкой горизонтальной плоскости лежит тонкий одно-
родный стержень длины t * I м и массы mt . По плоскости
перпендикулярно стержню со скоростью & 20 м/о скользит ша-
рик (материальная точка) массы tn ж ЛЧ</3 . Как ж с какой ско-
ростью будет двигаться после удара стержень, если шарик после
удара останавливается? Рассмотреть два случая: I) шарик ударя-
ется в середину стержня; 2) течка удара отстоит от середины
стержня на расстоянии л - ^/4. Найти долю 7 анергии, кото-
рая израсходовалась на работу против сил неупругой деформации.
231. Стержень массы М ж длины t , который может свободно
вращаться вокруг неподвижней горизонтальной оси, проходящей че-
г, *________________.□ рев один из его концов, под дей-
I ----------1 ствием силы тяжести переходит из
| । горизонтального положения в
1 ' вертикальнее (рис.118). Преходя
, через вертикальное положение,
пуп । нижний ионец стержня упруго уда-
'II............ r г ряет 0 малое тело массы tn ,
Рис.118 лежащее на гладком горизонталь-
ном столе. Определить скорость тела tn после удара.
232. Большой однородный свинцовый шар массы М лежит на
плоской горизонтальней поверхности. Небольшая пуля массы т
выпущена из ружья горизонтально со скоростью % в направлении
к центру шара. После выстрела пуля застревает внутри шара. Оп-
ределять линейную окорость шара 1г после того, как его двиие-
ние перейдет в чистое качение. При рассмотрении движения шара
после удара считать его однородным, пренебрегая массой застряв-
шей пули. Трением качения пренебречь.
233. Шар массой Ы а I кг, лежащий на горизонтальной плоско-
сти, пробивается по диаметру пулей, летящей горизонтально с на-
чальной скоростью = 500 м/о. После удара шар начинает
скользить по плоскости. Спустя некоторое время его движение пе-
реходит в чистое качение с постоянной скоростью 1г = 3 м/с.
Определить ожорость пули V после вылета ее из шара, если мас-
са пули т = 10 г. Трением качения пренебречь.
234. Тонкий стержень массы т и длины L подвешен за один
конец и монет вращаться без тре-
ния вокруг горизонтальной оси.
К той же оси подвешен на нити
длины € шарик такой же массы
т . Шарик отклоняется на неко-
торый угол и отпускается. При ка-
кой длине нити шарик после удара
о стержень остановится? Считать
удар абсолютно упругим (рис.119).
235.
Математический маятник маооы т и стержень массы М
(рис.120) подвешены к одной и той же точке А , вокруг которой
они могут свободно колебаться.
Длина нити маятника равна длине
стержня. Шарик маятника отклоня-
ется в сторону, так что он при-
поднимается на высоту А отно-
сительно своего нижнего положе-
ния. Затем и шарик отпускают, и
он сталкивается неупруго со
стержнем. Ках будут двигаться
шарик и нижний конец отержня после удара и на какие выооты они
поднимутся?
236. Решить предыдущую задачу в предположении, что до уда-
ра был отклонен стержень (нижний конец его был полнят на высо-
ту h ).
- 40
237. Вертикально висящая однородная доска джины 4 =1,5м
и масон М = 10 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси,
проходящей через ее верхний конец. В нижний конец доски ударяет
пуля, летящая горизонтально с начальной скорости* % «600 м/о.
Нуля пробивает доску и летит далее со скоростью 1г . Определить
окорооть 1г , если после удара доска стала колебаться с угловой
амплитудой «с = 0,1 рад. Масоа пули = 10 г.
238. Тонкая прямоугольная пластина может свободно вращаться
вокруг горизонтальной оои AAj (рис.121), совпадающей с одной ив
ее длинных сторон. Короткая сторона 6 ж 0,6 м. В точку В , на-
холящуюся нике оои вращения на
расстоянии х 0,5 м ; ударя-
ет пуля массы т, >10 г, ле-
тевшая горизонтально перпенди-
кулярно пластине оо скоростью
« 200 м/о. Масоа пласти-
ны » 8 кг. Какую угловую
скорость приобретет пластина,
если удар абсолютно упругий?
При каком значении X в момент удара не возникнет горизонталь-
ная сила реакции оси, действующая на пластину?
239. Каким учаотком сабли следует рубить лозу, чтобы рука
не чувствовала удара? Саблю считать однородной плаотинкой.
240. На идеально гладкой горизонтальной поверхности лежит
который может скользить по этой
поверхности без трения (рис.
122 ). В одну ив точек стерж-
ня ударяет шарик массы г* ,
движущийся перпендикулярно к
стержню. На каком расстоянии
от оередины стержня дол-
жен произойти удар, чтобы ша-
рик передал отержню всю свою
кинетическую анергию?
Удар считать абсолютно уп-
ругим. При каком соотношении
стержень длины с и маосы и ,
- г-, Я-
----i-1»
Рио:122
масо М и т это возможно?
- 41
Гравитационное воле.
241. Как велика сила К взаимного притяжения двух космичес-
ких корабле! маосой tn >10 т каждый, если они сблизятся до
расстояния % «100 м?
242. Найти силу гравитационного взаимодействия F между дву-
мя протонами, находящимися на расстоянии =10~16 м друг от
друга. Масса протона tn «1,67-ю-27 кг.
243. Найти силу гравитационного взаимодействия между тон-
кой однородной ниты) длиной £ и массой II и материальной точ-
кой маосой tn > лежащей на отрезке перпендикуляра длиной 2ге ,
восстановленного к середине нити. Рассмотреть также случай
244. Найти выражение для напряженности поля и силы грави-
тационного взаимодействия между тонким однородным кольцом ра-
диусом R и масоой II и материальной точкой масоой tn , лежа-
щей в центре кольца.
245. Имеется бесконечная однородная пластина толщины
ct 0,1 м, плотность которой У* « 10 г/см3. с какой силой
F действует эта пластина на находящееся вблизи от нее тело
массы tn » I кг?
246. Найти выражение для напряженности поля и сиды грави-
тационного взаимодействия между тонким однородным кольцом ра-
диуоом R и маосой М и материальной точкой массой tn , лежа-
щей на выооте А на перпендикуляре, восстановленном из цен-
тра кольца < его плоскости.
247. Имеется очень тонкий однородный прямой стержень дли-
ны £ « 2а и массы М. На прямой, перпендикулярной к оси стер-
жня и проходящей через его центр, находится на расстоянии
/ 2а частица маосн tn . I) Найти модуль F силы, о которой
стержень действует на частицу. 2) Сравнить F о силой F.'o кото-
рой взаимодействовали бы материальные точки с массами И и
tn , находящиеся на расстоянии в .« 2а друг от друга.
248. С какой силой F (в расчете на единицу площади) при-
тягивает друг друга две параллельные бесконечные однородные
пластины плотности f « 10 г/см8 и толщины d « 0,1 м каж-
дая?
- 42
249. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу И. Оп-
ределить силу гравитационного взаимодействия между зтжм диском
и материальной точкой массой , лежачей: I) на оси инока на
расстоянии А от него; 2) в центре диска.
250. Имеется очень тонкий однородный слой в виде полусферы
радиуса К и массы К. В центре полусферы находится частица
массы -йм . Найти модуль F силы, о которой слой действует на
частицу.
251. Тонкий однородный диск радиусом Р имеет массу М. Оп-
ределить зависимость силы взаимодействия Р между этим диском
и материальной точкой масоой от ей расстояния А от плос-
кости диска в направлении его оси симметрии. При каких h си-
ла Р будет максимальной и минимальной?
252. Найти вес тела массой *»
Землей и Луной на расстоянии X «
I кг, иаходяцетооя между
10° м ст центра Земли.
253. Два предмета одинаковой массы во время лунного затме-
ния находятся в диаметрально противоположных точках вейкой по-
верхности на прямой, проходящей через центры Луны, Земли и
Солнца. Вес какого из них будет больше?
254. Найти изменение ускорения свободного падения тела на
глубине А от поверхности Земли. На какой глубине ускорение
свободного падения составит 0,3 от ускорения свободного паде-
ния на поверхности Земли? Плотность Земли считать постоянной.
Считать, что оо стороны вышележащего слоя тело не испытывает
никакого притяжения.
255. Сравнить ускорение свободного падения у поверхности
Дуны с ускорением свободного падения у поверхности Зем-
ли .
256. Найти зависимость уоноренкя свободного падения
от высоты Л над поверхностью Земли. На какой высоте А уо-
ксрение свободного падения ^4 составляет 0,25 ускорения сво-
бодного падения у поверхности Земли?
257. Ускорение свободного падения на поверхности некоторой
планеты равно I м/с^. С каким ускорением начнет свободно па-
дать тело, поднятое над поверхностью планеты иа высоту, равную
радиусу планеты? Равную 0,001 радиуса?
- 43
258. Два медных шарика с диаметрами = 4 сы и -
6 ом находятся в соприкосновении друг с другом. Найти гравита-
ционную потенциальную энергию Wa этой системы.
259. Каково соотношение между высотой Н горы и глубиной X
шахты, если на вершине горы и на дне шахты ускорение свобод-
ного падения одинаково?
260. На каксй высоте Н над поверхностью Земли напряжен-
ность псля тяготения Е = I Н/кг?
261. Доказать, что для случая точечной массы М поток векто-
ра £ напряженности гравитационного поля через замкнутую сфери-
ческую поверхность произвольного радиуса, охватывающую масоу М,
равен V «
262. Вычислить напряженность гравитационного поля в про-
странстве между двумя тонкими бесконечными, однородными плоско-
стями и вне их. Масса единицы поверхности равна S’ .
263, Радиус планеты Марс К =3,4-10а км, масса -
6,4'I0Zs кг. Определить напряженность Е псля тяготения на по-
верхности Марса.
264. Вывести выражение для напряженности гравитационного
поля, создаваемого тонкой сферической оболочкой радиуоом В
внутри и вне оболочки. Масса единицы поверхности оболочки & .
Построить график зависимости Е
265. На каком расстоянии Z от центра Земли находится
течка, в иотсрсй напряженность Е суммарного гравитационного по-
ля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса М Земли в 81 раз
больше маооы •*» Луны и что расстояние £ от центра Земли до
Центра Лунн равно 60 радиусам £ Земли.
266. Определить напряженность гравитационного поля, созда-
ваемого тонкой бесконечной однородней нитью на расстоянии ,
Используя принцип суперпозиции. Масса единицы длины нити & .
267. Определить напряженность гравитационного поля, соз-
данного тонкой бесконечной однородной нитью иа расстоянии 2^ .
Масса единицы длины нити S . При решении использовать ана-
лог теоремы Гауоса для электростатики.
. 268. Определить значение потенциала У гравитационного
поля на поверхности Земли и Солнца.
- 44
269. Найти напряженность Е и потенциал гравитационного
ноля, создаваемого однородным варом, масоа которого И, радиуо
£ . Нарисовать графики зависимостей Е(? ) и У (к ) для этого
случая.
270. Во сколько раз кинетическая энергия Мс. исжусотвенно-
го спутника Земли, движущегося по круговой орбите, меньше его
гравитационной потенциальной энергии И4 ?
271. Определить работу А, которую соверват ожив гравита-
ционного поля Земли, если тело масоой *7 «I кг упадет ня по-
верхность Земли: I) с высоты 4 , равной радиусу В Земли;
2) из бесконечности.
272. Метеорит падает на Солнце с очел большого расстоя-
ния, которое практически можно очжтать бесконечным. Начальная
скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую скорость V* ву-
дет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца бу-
дет равно среднему расстоянию Земли от Солнца (1,4 9*1^ м)?
273. Найти приближенно третью космическую скорость -
наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу относи-
тельно поверхности Земли, чтобы оно смогло покинуть Солнечную
оистему. Вращением Земли вокруг ей оои пренебречь.
274. Бур поднимают на поверхность Земли ив окважииы глуби-
ной h . Вычислить относительную погрешность, допускаемую при
определении работы по поднятию бура без учета изменения его
веса.
275. Каким должен быть радиуо однородной сферы плотностью
Р - 5500 кг/м8, чтобы потенциал её гравитационного поди в
точке, лежащей на поверхности сферы, был равен У’»104 Дж/кг?
276. Каким должен быть радиус однородной сферы плотностью
5500 кг/м9, чтобы потенциальная энергия молекулы азота, распо-
ложенной у поверхности сферы, в гравитационном поле этой сферы
была равна I,6-I0“^° Дж?
277. Какую работу необходимо совершить, чтобы вывести тело
маооой 500 кг на орбиту искусственной планеты Солнечной систе-
мы?
278. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы за-
бросить тело на Дуну? Масса тела tn . Считать, что в Процессе
движения взаимное положение Лунн и Земли не меняется.
- 45
279. Космический корабль движется вокруг Земли по круговой
орбите, радиус которой в £ «2,5 раза больше радиуса Земли.
Какую дополнительную скорость надо кратковременно сообщить ко-
раблю в направлении от центра Земли пс её радиусу, чтсбы он
смог покинуть поле тяготения Земли?
280. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на вы-
соту Н=3200 км и начала падать. Какой путь h прейдет ракета
за первую оекунду своего падения?
281. Планета Марс имеет два спутника - Фобос и Деймос. Пер-
вый находится иа расстоянии Т, «0,95«Ю4 км от центра масс
Марса, второй - на расстоянии «2,4-Ю4 км. Найти периоды
обращения Tj и Т2 этих спутников вскруг Марса.
282. Искусственный спутник Земли обращается вокруг неё пс
окружности на высоте 4- «3600 км. Определить линейную сксрссть
спутника. Радиус Земли Ви ускорение свободного падения
считать известными.
283. Искусственный спутник Луны движется по круговой орби-
те на высоте «20 км от поверхности Луны. Найти линейную
скорость ТГ внаяввя этого спутника, а также период его обра-
щения Т вокруг Луны.
284. Найти первую и вторую космическую скорость для Луны.
285, Луна движется вокруг Земли ос окороотью 2£ =1,02
км/с. Среднее расстояние Луны от Земли равно 60,3 радиуса Зем-
ли В . Определить по этим данным, с какой скоростью ?£ должен
двигаться искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли на
незначительной высоте.над её поверхностью?
286. Ближайший спутник Марса находится на расстоянии
? « 9 tti от центра планеты и движется вокруг неё сс скоростью
V » 2,1 км/с. Определять наосу И Марса.
287. Найти период обращения Т вскруг Солнца искусственной
планеты, если известно, что больная полуось Bj её эллиптичес-
кой орбиты превыжает больную полуось Bj земной орбиты иа
А В - 0,24’J0® км.
288. Одни из спутников планеты Сатурн находится приблизи-
тельно на таком же расстоянии *2= от планеты, как Луна ст Зем-
ли, ио период Т его обращения вокруг планеты в 10 раз меиьне,
чем у Дуны. Определить отношение масс Сатурна я Земли.
” 46
289. Большая полуось Ry эллиптической орбиты первого в ми-
ре искусственного спутника Земли меньше большой полуоои R£
орбиты второго спутника на 4 В • 800 rm. Период обретения во-
круг Земли первого спутника в начале его движения был Tj »
96,2 мин. Найти большую полуось В орбита второго иокуоотвен-
ного спутника Земли и период Т2 его обращения вокруг Земля.
290. Период обращения одного из спутников Питера Tj=2 го-
да, его среднее расстояние от планеты *% - 23,5 млн.км. Пери-
од обращения Юпитера вокруг Солнца Т.^12 лет, его вреднее*рас-
стояние от Солнца =777 млн.км. Определить отношение маооы
Солнца к массе Юпитера.
291. Минимальное удаление от поверхности Земли коомичеоко-
го корабля-спутника "Восток-2" составляло - 183 км, а
максимальное удаление - = 244 км. Найти период обращения
корабля-спутника вокруг Земли.
292. Какова будет скорость V ракеты на выооте, равной ра-
диусу Земли, если ракета запущена о Земли с начальной скоростью
Tfo ~ 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать.
293. Космический корабль вывели на круговую орбиту вблизи
поверхности Земли. Какую дополнительную скорость в направлении
его движения необходимо кратковременно сообщить кораблю, чтобы
он смог преодолеть земное тяготение?
294. Ракета запущена с Земли с начальной скоростью *
15 км/о. К какому пределу будет отремиться скорость ракеты,
если расстояние ракеты от Земли будет бесконечно возрастать?
Сопротивление воздуха и притяжение других небеоных тел, кроме
Земли, не учитывать.
Земли по эллипсу. Находясь от
центра эллипса на рас-
стоянии малой полуоси
£ , он имел скорость
V (рис.123). Вывести
расчетную формулу для
длины большой полуоси CL
этого эллипса.
295. Спутник движется вокруг
Рис.123
- 47
296. С какой линейкой скоростью V бзльч двигаться искус-
ственный спутник Земли до круговой орбите: а) у поверхности
Земли; б) на высоте h « 200 км и Л 7000 км от поверхно-
сти Земли? Найти период обращения Т спутника Земли при этих ус-
ловиях.
297. Найти центростремительное ускорение , о которым
движется по круговой орбите искусственный спутник Земли, нахо-
дящийся на высоте 4 • 200 км от поверхности Земли.
298. Радиус Луны Е,« 0,27 R*- радиуса Земли. Средняя
плотнооть * О,61уо^ ~ °Р0ДН0Й плотности Земли. Зная ускоре-
ние свободного падения на поверхности Земли, определить по
этим данным ускорение свободного падения на поверхности
Луны.
299. Период обращения искусственного спутника Земли Т«2 ч.
Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте h'
над поверхностью Земли движется спутник.
300. Космическая ракета Движется вокруг Солнца по орбкте,
почти совпадающей о орбитой Земли. При включении тормозного
устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать
на Солнце. Сколько времени будет падать ракета?
Механические колебания.
301. Написать уравнение гармонического колебательного дви-
жения с амплитудой А₽50 мм, периодом Т=4 о и начальной фазой
4«5Г/4. Найти смещение л колеблющейся точки от положе-
ния равновесия при t 0 и t > 1,5 с.
302. Как изменится период колебания математического маят-
ника при перенесении его о Земли на Дуну?
303. Точка равномерно вращается по окружности против ча-
совой стрелки о периодом Т=12 с. Диаметр окружности d >20 см.
Написать уравнение движения проекции точки на прямую, касатель-
ную к окружности. За начало отсчета времени принять момент,
когда точка, вращающаяся по окружности, проходит через точку
касания.
304. Через какое время от начала движения точка, совершаю-
щая гармоническое колебание, сместятся от положения равнове-
сия на половину амплитуды? Период колебаний Т=24 о, начальная
*аза */0 = 0.
- 48
305. Точка совершает гармонические колебания о амплитудой
А»Ю ом и периодом Т-2 с. Напиоать уравнение этих колебаний,
считая, что при t -О вменение х=0. Определить также фазу /
дм двух моментов времени: I) когда смешение точки х-бсм;
2) когда скорость ТОЧКИ V -10 см/с.
ЗОв. Точка колеблется гармонически по закону
Л» *<4)-
Найти максимальные значения скорости и ускорения точки.
307. Начальная фаза гармонического колебания Л «0. Через
каку» дол» периода скорость точки будет равна половине ев мак-
симальной скорости?
ЗОв. Найти амплитуду А, период Т, частоту i и начамдую
фазу /• колебания, заданного уравнением м.
Здесь * - в секундах.
309. Найти зависимость окорооти гармонического колебания
материальной точки от омовения.
310. Через какое время от начала движения точка, соверше-
ны колебательное движение по уравнению А » 7/сд t , прохо-
дит путь от положения равновесия до максимального смешения?
3X1. Точка колеблется гармонически. Амплитуда колебаний
А-5 ом, круговая частота м -2 о-1, начальны фаза Л-0.Опре-
делить ускорение точки в момент, когда ей скорость Г -8 см/о.
312. Построить график зависимости скорости гармонического
колебания материальной точки Л SSinfitf-t */.) от омовения.
3X3. Уравнение движения точки дано в виде
X » Л Ил + •
Найти период колебаний Т, макошалькуо скорость и макси-
мальное ускорение атаа tovsx.
3X4. Точка совершает гармонические колебания по закону си-
нуса. Наибольшее смецение точки А=10 см, наибольшая скорость
V « 20 ом/c. Написать уравнение колебаний к найти макси-
мальное ускорение л точки.
315. Найти запоимость ускорения гармонического колебания
« - */. ) от смешения,
3X6. Уравнение движения точки дано в виде «-ДО
Найти моменты времен” i ,в которые достигаются максимальная
скорость и максимальное ускорение.
- 49 -
317. Найта мхов, по которому изменяется со временем натяже-
ние Р нити математического маятника, совершающего колебание
/ '* 4* Cotuti. Масса маятника «г , длина м .
318. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси X
около положения равновесия х = 0 . Частота колебаний ш =4 о**1.
В некоторый момент координата частицы х0 = 25 ом и ее скорооть
% «100 см/о. Найти координату X и скорость йг частицы
черев С * 2,4 с после этого момента.
319. Точка совершает гармоническое колебание. Период колеба-
ний Т - 2 о, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза У.» 0. Най-
ти скорооть V точки в момент времени, копи смешение точки к
от.положения равновесия х - 28 мм ‘
320. Точка совершает гармонические колебания. Максимальная
скорость точки » 10 см/о. максимальное ускорение а«.м «
ТОО см/о2. Найта циклическую частоту &•> колебаний, их период
Т и амплитуду А ; Написать уравнение колебаний. 1
321. Найти зависимость ускорения гармонического колебания
X • einfai*/,) от скорости.
322. Написать уравнение гармонического колебательного движе-
ния, если максимальное ускорение точки * 49,3 ом/о2 .
период колебаний Т » 2 о и смешение точки от положения равно-
весии в начальный момент времени х,, 25 мм.
323. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый
момент времени £ омецение точки Xj «6 ам. При увшмчмппг фа-
смещение точки стало Xj » 8 ом. Найти амплитуду А
324. Начальная фаза колебаний точки равна ®7з . Период
колебаний Т « о,06 о . Определять ближайшие моменты времени, в
которые скорооть и ускорение в два раза меньше амплитудных зна-
чений.
325. Шарик массы m = 50 г подвешен на пружине о коэффи-
циентом жесткости * • 49 Н/м. Шарик поднимают до такого поло-
жения, когда пружина не напряжена, и отпускают без толчка. Пре-
небрегая трением и массой пружины,
а) найти период Т и амплитуду « возникших колебаний;
б) направив ось X вниз и ссвмеотив точку х 0 о начальным
положением шарика, написать закон движения шарика.
- 50 -
326. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колеба-
ний чаотицы, если на расстояниях Xj и х2 ст положения равно-
весия ее скорость равна соответственно V, и %, .
327. Начальная фаза гармонического колебания 4 0 . При
смещении точки от положения равновесия Xj « 2,4 ом скорость
точки trf 3 см/с, а при смещении х2 2,8 ом ее оксрсоть
%, 2 ом/о. Найти амплитуду А и перисд Т этого колеба-
ния.
328. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый
момент времени i, смещение течки х « 5 см , ее скорость tr «
20 ом/о и ускорение а = 80 ом/с . Найти амплитуду А , цикли-
ческую частоту а» , период колебаний Т и фазу / колебаний
в рассматриваемый момент времени.
329. При сложении двух одинаково направленных гармонических
колебаний о одной и той же частотой и амплитудами, равными 2 и
4 ом, подучается гармоническое колебание о амплитудой 5 см. Най-
ти разность фаз складываемых колебаний.
330. Пренебрегая трением, определить частоту малых коле-
баний ртути, налитой в V-образную трубку о внутренним сечени-
ем g * 0,5 ом*. Масса ртути <« = 136 г.
331. Найтн графически амплитуду А колебаний, которые воз-
никают при сложении следующих колебаний одного направления:
Л, * 3Cej(aJi* и. •
332. Найти графически амплитуду А колебаний, которые воз-
никают при сложении следующих колебаний одного направления:
М, ~ 3 Cost* .
333. Уравнение колебаний материальной течки маооой т =10 г
имеет вид х «ГЛя/f-е * гм .
Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию
£ колеблющейся точки.
334. Материальная точка массой <п = 0,05 кг совершает
гармонические колебания, уравнение которых имеет вид:
* • о,1 tin. Si * . Найти силу F , действующую на точку:
I) в момент, когда фаз колебаний / = 30°; 2) в положении
наибольшего отклонения точки.
335. Материальная точка одновременно участвует в двух вза-
имно перпендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями
х * 2Cet&- в у » -Cotm . Определить уравнение траек-
тории точки.
336. Точка участкуот одновременно в двух колебаниях одного
направления, которые происходят по законам •*, в
Хх« acosibi-t . Найти максимальную окорооть точки.
337. При сложении пух гармонических колебаний одного направ-
ления уравнение результируадего колебания точки имеет вид
^^a.Cott,itCos ro,ot , где Ь - в секундах. Найти круГо-
дае частоты складываемых колебаний и период биений.
338. Точка движется в плоскости ху по закону х
। - ЪСвхы1 , где А, В, ю - постоянные. Найти: а) уравнение
Траектории точки у(х); б) ускорение о- точки в зависимости
ф ее радиуса-вектора € относительно начала координат.
339. Найти уравнение траектории у (к) точки, если она пи-
шется по закону: х » aSifi , у « a3in Z<*>t . Изобразить
трафик найденной траектория.
340. Найти уравнение траектории у(х) точки, если она дви-
жется по закону: . Изобразить
урарик найденной траектории.
341. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х
по закону x^aCos<*>t . Считая вероятность Р нахождения
частицы в интервале от -а до + а равной единице, найти
зависимость от X плотности вероятности , где dp -
вероятность нахождения частице в интервале от * до л. + d*.
Изобразить график в зависимости от * .
342. Однородный стержень длины t совершает малые колеба-
ния вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и
проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний.
Трения нет.
343. Математический маятник длины to 40 см и тонкий од-
(ЮродяыЙ стержень длины t = 60 см совершают синхронно малые
колебания вокруг горизонтальной оси. Найти расстояние от центра
стержня До этой оси.
344. Материальная точка массой т = 0,1 г колеблется сс-
- 52 -
гласно уравнению X = 5 Si г» 20 4 см. Определить максимальные
значения возвращающей силы Г и кинетической анергии
точки.
345. Точка совершает гармонические колебания, уравнение ко-
торых имеет вид л = 5Л/»Л4 ем . в момент, когда возвращаю-
щая сила впервые достигла значения F = + 5 мН , точка обладает
потенциальной энергией П = 100 мкДж . Найти этот момент време-
ни t и соответствующую ему фазу колебаний / .
346. На концах тонкого стержня длиной t = 30 ом укрепле-
ны одинаковые грузики по одному на каждом конце. Стержень о
грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через
точку, удаленную на = 10 ом от одного из концов стержня.
Определить приведенную длину 4*. и период Т • колебаний такого
физического маятника. Маооой стержня пренебречь. *
347. На стержень длиной t = 30 см укрепили два одинако-
вых грузика - один в середине стержня, другой - на одном из его
концов. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной
оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить при-
веденную длину и период Т колебаний такой системы. Мао-
оой стержня пренебречь.
348. Горизонтальный однородный диск масон fn и радиуса R
укреплен на конце тонкого стержня АО (рис. 124). При повороте
диска на угол / вокруг оои
АО на него действует момент
упругих сил
где * - постоянная. Найти ам-
плитуду
баний и
чальный
на угол
новесия
вую скорость
маятник совершает малые колебания вокруг го-
о частотой &>, = 15 с-'1. Воли в положении
малых крутильных коле-
ях энергию, если в на-
момент диск отклонили
иэ положения pas-
te сообщили ему угло-
349. Физический
риэонтальной оси О
равновесия к нему прикрепить под осью 0 на расстоянии I «20 ом
от нее небольшое тело массы = 50 г, то частота колебаний
становится *4, = 10 Найти момент инерции первоначального
маятника относительно оси 0 .
- 53
350. Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего
Треугольника С высотой А совершает малые колебания вокруг
Горизонтальной оои, совпадающей о одной из его сторон. Найти пе-
риод колебаний и приведенную длину данного маятника.
351. Найти частоту малых колебаний оиотемы, показанной на
Рио.125
m(j
рио. 125 . Известны радиуо блока
R , его момент инерции 7 относи-
тельно оои вращения, масса тела
tn и жесткость пружины К . Мас-
сы нити и пружины пренебрежимо ма-
лы, нить по блоку не скользит,
трения в оои блока нет.
352. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонталь-
но в стену, элеблетоя в плоскости, параллельной стене. Радиуо
обруча R з 30 ом. Шчиолить период колебаний.
353. Диок радиусом R « 24 ом колеблется около горизонталь-
ной оои, проходящей через одну из образующих цилиндрической по-
верхности диска. Каков период его колебаний?
354. Из тонкого однородного диска радиусом R = 20 ом выре-
Рио.126
зана часть, имевшая вид круга ра-
диуоом ъ = 10 ом так, как это
показано на рио. 126 . Оставшаяся
часть диока колеблется относи-
тельно горизонтальной оои 0 , со-
впадающей о одной из образующих
цилиндрической поверхности диска.
Найти период Т колебаний такого
маятника.
355. Определить отношение потенциальной энергии гармоничес-
ки колеблющейся точки к ее кинетической энергии, если известна
фаза колебаний.
356. Материальная точка совершает колебания по закону
X = X.SinfZ'tt *%) .В какой момент времени ее потен-
циальная энергия равна кинетической?
357. Тело масоой движется поп действием силы
- 54
F = F0Caxo?£ , Найти выражение для кинетической энергии тела.
Определить максимум кинетической энергии (при t = О, V = 0).
358. На тело действует сила, изменяющаяся по закону
F • kCotu/t , (А и - постоянные числа). Найти закон дви-
иения тела при условии, что при 4=0 х = 0 , v = 0 -. Уста-
новить, чтс такое движение является колебательным. Определит» пе-
риод колебаний, наибольшее значение смещения и наибольшее значе-
ние скорости.
359. На тонкой нити длиной I .подвешен шар радиусом 1 =
= 0,1 t Какова относительная погрешность в определении
периода колебаний, если маятник считать математическим?
360. Обруч радиуоа 2R имеет массу tn и приварен к друго-
му такой же маооы и радиуса
R< (рио.127 ).
Рио.127
Система стоит на горизон-
тальном отоле. Определить пе-
риод Т ее малых колебаний.
361. Шарик радиусом Ъ скатывается по сферической поверх-
нооти из точки А (рио.128 )•
Определить радиуо кривизны
Рио.128
О, поверхности, если АВ = а .
Период колебаний шарика Т'.
362. Период колебаний крутильного маятника То = 4 о . Если
на расстоянии а = 0,5 м от оои колебаний к нему прикрепить
шар массой = 0,3 кг (радиуо шара г** л '), то период коле-
баний станет равным Tj = 8 о. Определить момент инерции маят-
ника.
363. Начальная амплитуда колебаний механического маятника
Aj = 20 ом, амплитуда после 10 полных колебаний равна А(о = I
ом. Определить логарифмический декремент затухания и коэффици-
ент затухания, если период колебаний Т = 5 о . Записать урав-
нение колебаний.
364. Гиря маосой "ч = 500 г подвешена к спиральной пружи-
не жесткоотьв * = 20 Н/м и совершает упругие колебания в не-
- 55
которой орале. Логарифмический декремент затухания А = 0,004.
Сколько колебаний долина совершить гиря, чтобы амплитуда А
колебаний уменьшилась в два раза? За какое время t произой-
дет это уменьшение?
365. Хеоткооть пружин ресооры вагона К я 481 кН/м. Маооа
вагона о грузом л» = 64 т. Вагон имеет четыре ресооры. При ка-
кой окорооти V вагон начнет сильно раскачиваться вследствие
толчков на отыках рель о, если мина рельса t = 12,8 м ?
366. За время, в которое оиотема оовершает N = ТОО коле-
баний, амплитуда уменьшается в ? = 5 раз. Найти добротнооть
оиотемы & .
367. Добротнооть некоторой колебательной оиотемы ©= 2,
чаотота свободных колебаний ш = 100 о"1. Определить собствен-
ную частоту колебаний оиотемы .
368. В гс.че плавает льдина в виде параллелепипеда о площадью
основания л =1 м^ и высотой Н 0,5 м . Льдину погружают в
воду на небольшую глубину Хд = 5 ом и отпускают. Определить
период ее колебаний. Силой сопротивления воды пренебречь.
369. Затухающие колебания точки происходят по закону
X = • Найти: а) амплитуду смещения и ско-
рость точки в момент i = 0 ; б) момент времени, когда точка
достигает крайних положений.
370. Тело оовершает крутильные колебания по закону
У = Найти: а) угловую скорость и угловое ус-
корение у тела в момент t « 0 ; б) момент времени, когда
угловая скорость максимальна.
371. Найти добротнооть математического маятника длины
t « 50 ом , если за промежуток времени Т «5,2 мин его
полная механическая энергия уменьшилась в Ц = 4-Ю4 раз.
372. Найти добротнооть осциллятора,у которого:
а) амплитуда смещения уменьшается в ? = 2 раза через каж-
дые п = НО периодов колебаний; б) собственная чаотота
4?о « 100 о-1 и время релаксации € « 60 о .
373. '’^тематический маятник совершает затухающие колебания
с логарифмическим декремэнтом затухания А = 0,2 . Во околько
раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положе-
нии за одно колебание?
- Ь6
374. Тало маооой tn = 10 г совершает затухапвие колебания
о максимальной амплитудой Ажв1 = 7 ом, начальной фазой Д = О
и коэффициентом затухания _р = 1,6 о"1. На зто тело начала дей-
ствовать внешняя периодическая сила В под действием которой ус-
тановились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колеба-
ний имеет вид * = 5 Sin (/094 - 3/tS/) см . Найти (о числовы-
ми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение
внешней периодической оилм.
375. Осциллятор масон *** движется по закону * cotsioufi
под действием вынуждающей силы ?х - Гос<?г^4 . Найти коэффици-
ент затухания Ji осциллятора.
Специальная теория’относительности.
376. Мезон, входящий в ооотав космических лучей, движется
оо скоростью, составляющей 95? окоростн света. Кахой промежуток
времени лТ по часам неподвижного наблюдателя соответствует
одной оекунде "собственного времени" мезона.
377. Отношение заряда движущегося электрона к его наосе, оп-
ределенное из опыта, равно 0,88- Юп Кд/кг. Определить массу
движущегося электрона и его скорость.
378. На сколько процентов изменится продольный размер прото-
на и электрона после прохождения ими разности потенциалов / =
I06 В?
379. Стержень движется в продольном направлении о постоянной
скорость» V относительно инерциальной К -системы отсчета. При
каком значении tr длина стержня в этой системе отсчета будет
на = 0,5? меньше его собственной длины.
380. На сколько увеличится масса «4 -частицы при ускорении
ее от начальной скорости, равной нулю, до скорости, равной 0,9с?
381. Кинетическая энергия электрона Т = 10 МэВ. Во сколько
раз его масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для
протона.
382. Найти скорость частицы, если ее кинетическая энергия
составляет половицу энергии поиоя.
383. Во сколько pan релятивистская масса частицы, скорость
которой отличается от скорости овета на 0,01?,превйшаеТ ее Мас-
су покоя?
- 57
384. Найти отношение й/ж заряда электрона к его маоое
для скоростей: a) V<*C ; d) V» 2*10® м/о ; в) V «2,4-10®
м/с; г) tr = 2,8-10® м/о. Построить графики зависимостей *я и
</*п от величины Ji « V/c для указанных скоростей.
385. Во сколько раз масса протона больше массы электрона, ес-
ли обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т - I ГэВ?
386. Найти окорооть космической частицы, если ее полная энер-
гия в пять раа больше энергии покоя.
387. До какой кинетической анергии можно ускорить частицы в
циклотроне, если относительное увеличение массы частицы ие долж-
но превышать 5% ? Задачу решить для электронов и протонов.
388. Электрон летит оо скоростью, равной 0,8 скорости света.
Определить кинетическую энергию электрона в мегаэлектрон воль-
тах.
389. Какую разность потенциалов должен пройти электрон, что-
бы его собственное время стало в 10 раа меньше лабораторного? То
ке для протона.
390. Какую ускоряющую разность потенциалов и должен прой-
ти протон, чтобы его продольные размеры стали меньше в два раза?
391. При какой скорости кинетическая анергия любой частицы
вещества равна ее энергии покоя?
392. Маооа движущегося протона в 1,5 раза больше его маооы
покоя. Определить полную и кинетическую ввергни этого протона. '
393. Имеется двое одинаковых часов. Часы I покоятся в систе-
ме оточета Kf , чаом 2 покоятся в системе отсчета . Систе-
мы движутся друг относительно друга. Какие часы идут быстрее:
а) в системе , б) в системе к* ?
394. Электрон движется оо скоростью, равной 0,6 скорости све-
та. Определить импульс электрона.
395. С какой окороотью движется частица, импульс которой ра-
вен ее комптоновскому импульсу т.С ?.
396. Найти импульс р релятивистской, частицы маооы m ,
кинетическая энергия которой равна Т . .
397. Найти изменение масоы < происходящее при обгазо-
- 58
вании 1) = I моль воды, воля реакция образования воды такова:
2 Hjj + 02 - 2 BjO + 5,75.10® Ди .
XWi,
398. При делении ядра урана “ освобождается энергия
IV » 200 МэВ. Найти изменение маоон л при делении
9-1 моль урана.
399. Электрон движется по окружности в однородном магнитном
поле оо скороотьв V = 0,8 о. Индукция поля В = 0,01 Т . Опре-
делить радиуо окружности: I) не учитывая увеличения маосы оо
скороотьв; 2) учитывая это увеличение.
400. Кажу» ускоряющую разность потенциалов должен пройти
протон, чтобы его масса была такой же, как у «а -частицы о ки-
нетической анергией 1000 МэВ ?
401. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет
а = 5,00 м i угол между этим катетом и гипотенузой <А «30°.
Найти в система отсчета К' , движущейся относительно этого тре-
угольника со скоростью V - 0,866 с вдоль катета et -
а) соотзетотиующеа значение угла W? ; б) длину £' гипотенузы
в ее ответим к собственной длине.
402. Электрон движется в магнитном поле по окружности радиу-
сом г •> 2 ом. Индукция поля В « 0,1 Т. Определить кинетичес-
кую энергию електрона.
403. Протон и о*- -частица проходят одинаковую ускоряющую
разность потенциалов U , после чего масса протона составила
треть маоон «с. -чаотжцы. Определить разность потенциалов.
404. Пользуясь преобразованиями Лоренца, вывести релятивист-
ский закон сложения скоростей.
405. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной
оиотеме отсчета его скорость V = с /2 , длина f = I м и
угол между ним и направлением движения сА = 45°.
406. Имеются два одинаковых стержня. Стержень I покоится в
оиотеме отсчета К, , стержень 2 покоится в оиотеме отсчета
Л*. . Системы движутся друг относительно друга вдоль совпадаю-
щих осей X . Стержнг параллельны этим осям. Какой стержень
будет короче: а) в системе К, , б) в оиотеме X*, ?
- 59 -
407. Электрон, влетевший в камеру Вильоона, оставил след в
виде дуги окружности радиусом в - 10 ом. Камера находится в
однородном магнитном поле с индукцией В -ЮТ- Определить ки-*
нетическую анергию электрона.
408. Плотность покоящегося тела равна j»o . Найти скорооть
. системы оточета относительно данного тела, в которой его плот-
,<йооть будет на ф - 25# больше Д .
409. а) Чему равно относительное приращение длины отерхня
, если ему сообщить скорость V - 0,1 с в направле-
нии, образующем о осью стержня угол «с ? б) Вычислить **/i
juu* «А , равных 45° и 90° .
' 410. Кинетическая энергия «4 -частицы Т » 500 МэВ. Части-
ца движется в однородном магнитно! поле по окружности радиуоа
т = 80 ом. Определить индукцию поля.
411. Протон движется о импульсом р » 10 ГэВ/c , где С -
скорость овета. Па сколько Процентов отличается скорость этого
протона от скорости света?
' 412. В системе л' , относительно которой он покоится,
«стержень имеет длину t' » I м и образует с осью -*>* угол
»*•' - 45°. Определить длину отерхня в системе X и угол «4 ,
который стержень образует о осью * . Относительная окорооть
систем равна 1гв 0,5 С .
413. Электрон, кинетическая энергия которого Т 1,5 МэВ
движется в однородном магнитном поле по окрухнооти. Индукция
поля В » 0,02 Т . Определить период Т обращения. Энергия
покоя электрона =• 0,51 МэВ .
414. Найти окорооть, при которой релятивистский импульс ча-
стицы в Ц • 2 раза превышает ее ньютоновский импульс.
415. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющего фор-
му куба, равна 8» . Чему равна поверхность 8 того хе тела,
если оно движется в направлении одного из своих ребер оо ско-
ростью tr 0,968 6 ?
416. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить окорооть
чаотицн о маосой fn от 0,66 до 0,8 6 ? Сравнить получен-
ный результат оо значением, вычисленным по нерелятивиотской
формуле.
- 60
417. Имеются две системы отсчета и К' , относительная
скорость которых не известна. Параллельный оси л' стержень,
двилуцийоя относительно системы К со окороотыо 1г£ = 0,1 с ,
имеет в этой системе длину й - 1,1 м . В системе К длина
стержня равна t » I м . Найти скорость стержня V* в системе
К и относительную окорооть оиотем 14 .
418. При каких значениях отношения кинетичеокой энергии час-
тицы к ее енергии покоя относительная погрешность при расчете ее
скорости по нерелятивиотской формуле не превышает = 0,01 ?
419. Энергия покоя частицы равна . Чему равна полная
энергия частицы в системе отсчета, в которой импульс частицы
равен р ?
420. Найти зависимость импульса частицы о массой т от ее
кинетической энергии. Вычислить импульс протона о кинетической
энергией 500, МэВ.
421. При окорооти частицы V. импульс частицы решен р0 .
Во сколько ров Ц нужно увеличить окорооть частицы для того,
чтобы ее импульс удвоился?
422. Ckoj&ko энергии (в расчете на единицу массы) необходи-
мо затратить, чтобы сообщить первоначально покоившемуся косми-
ческому кораблю окорооть V 0,98 с ? Сопротивления нет.
423. На пожояяуюся частицу массы налетает чаотица массы
тл , кинетическая энергия которой равна Т2 • После столкно-
вения чаотицыслипаются и движутся как целое. Найти массу обра-
зовавшейся частицы. При каких условиях эта масса приблизитель-
но равна сумме масс исходных частиц? Найти окорооть образовав-
шейся частицы.
424. При раопаде некоторой частицы появляется две частицы
о массами tri, в эй* . Из опыта известны абсолютные величины
импульсов Pj и р2 этих чаотиц и угол V между направле-
ниями их разлета. Найти массу распавшейся частицы.
425. Покояиееся тело массы М распадается на две части о
массами а *«* . Вычислить кинетические энергии Tj и ?2
продуктов распада.
-61' -
ОТВЕТЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ
Кмнематмка
1. < v >= I»»-
2. t = 1 с ; < а >= 13 м/с3
3. R = 2>/2vl/g « 28 м
4. ап/от « 1.7
6. I < v > I ss а
' 7. < v >== 2 м/с
3. |й| = Ли- -- 2.5 м/с ; ]£'| = Aw3 = 12.5 м/с3
3. |di| « 7.07 м/с3 ; |<£Ц « 7,07 м/с3
10. а = arctan м 14®
11. < v >= irR/t м 0.84м/с ; | < v > | * 2Д/< и 0.27м/с
12. R «7.2 м
13. U = y/4ir^n3R? 4-о2 « 40.6 м/с
14. t = а/2? = 2с
15. t = a/0==2 с
16. v = fct5/3 = 10 км/с ; х = fct4/12 = 250 км !
17. t = Al = 2c
<rVQ
18. h as 1120 м
19. Время одинаково для всех теп и равно
t = где D - диаметр.
20. S = vot—3940*м; и * «о—« 7725м/с; ас » —10м/с3
- 62
21.
22.
23.
24.
25.
26.
» = Vyj2h/g(\ + a)/(l - a)
t « 40 м ; <p « 38’40'
|«|3 = v? 4- v3 “ 2gvot + gW ; где tga = (v0 - gt)/vi
где a-угоп вектора г? с горизонтом;
уравнение траектории у ж — ^я3
Эллипс (я3/А3) 4- (у3/В3) = 1
v, ж vo(l + cos р) » 2v« cos3 </>/2; v, = — vosin <р',
гоми « 2vo сов <?/2
я = R(tp — sin у») ж R(wt — sin art);
у «= Я(1 •• сов 9?) = Я(1 — сов art),
где «= art и о> = есть угловая скорость вращения колеса.
27. S »= 8R
28. t ж J [1 ± /1 — 2al/v*\ при v3 > 2at
29. т ж t - « 1.2с, где * « « + [(})* - ^tga + (^Ь)’]
30. h « ^(v cosa — U)tg*a
31. t “ Л/<
32. «„fa ж 2\/аГ/а
•33. t = у/д — A't/2
34. ас ж t(2a3t3 + 3/33)/>/iast3 + д^
35. г » Л/2а>
36. I» (vi 4- ш 2.5м
37. tm » (t>i4 + V3/j)/(vJ + vj), Zm в |Zivj - ZjvjI/Л? 4- vj
38. »)< v >ж иД/т ж 50см/с; б)| < > | = 2Д/г ж 32 см/с
в)| < 3 > | = 2-KR/ri ж 10см/с’
- 0.t -
99. a)tf “ 5(1 — 2Л), It» —2d • S * const*, 5)At w S » £
40. tm w т ; rm - vqt/2
41. p “ ж/2
42. a)v — a*t/2 ; о « a’/2 8)< v >» (a/2)v*3
43. a— 20
44. у “ 49*
45. vo “ y(i + a’Ja/2/J
46, < 0 >t« Vo + #t/2; < 0 >» - ^(t%^)/g9
47. а)соа a * 1/n1/*, a w 80*; 6)tga Л, а *• 54.9"
48. a)ao А’оЯ/Я — 2.8м/с; 6)ax => Aw* ш 3.2м/с1
49. Я - a*/2/3S; a == +
50. £a*8b«ina
52. a)y « (/3/2a)e* ; б)Я - (a/0)Jl + (•0/a)’)’/’
53. v ш 2Йш “ 0.4 м/с ; a » 4Яш* =“ 0.32 м/с*
54. w « 2irnv// « 2 • 10* рад/с
55. v » (atJ/Vl 4*'4/IM «• 3 м/с
58. a)< tv >= 2a/3 » 4 рад/с ; < /3 >« y/S^ “ в.рад/с3;
8)/3 = 2V3ai « 12 р*Д/с*
57. t » ty(4/a)tg<p — 7c
58. < w >* шо/3
59. а)^ “ (1 — «““*)“ i б)о» ш wo*”**
80. t -
- 64 -
Динамика точки
61. |/*| «/5u?eintart ж Зж’/4 «7.5 Н
62. / - 0.43
63. < v >«“ (m/t)iflgK « 626
64. Др “ (*y/%mR)/2t » 6.65 кг м/с
65. Др “ 100 кг м/с
66. Ft ж /1(*П1 4* тз)р “ 19.6 Н;
A — (Л - /|)(т> 4- mj)p = 39.2 Н
67. а ж — д » 73.5 м/с1; Т ж “ 025 Н
68. t » flmvo/h
6в- ® " Й (I + <fc)
70. 7\ “ m>(p — а) й» 44.1 Н; Tj = mj($ 4- а) « 44.1 Н;
_ м <»-/« a)-mah
я»1+"М+"»Э
71. /m«-i» + (mp)/2fc
72. T«»m(0 sin а 4-в сова) ; W = т(0со<а— а ain а)
73. ctga - / ; * ж йг 1.8 с
74. F > 12тр
75. Угол а определяете* ио уравнения
tp’« - 4- Uit/^уЛМ = о
76. 0 ж arctan / ; F ж щд ein(a 4- Д)
,Ж 4+mi/mj+mi/ms)’ aI — 9 ^1 ^«пч/м^яч/**)
в>" J (l-Mmj/int +тз/яч ~ 1)« ж 4/т1+1/и»»+1/тз
78. f ж (Ft сов а — (v — vo)ml/(t(mp — Fein а))
79. аж (F(coea4-/sina)—(mi4-mj)(Bina4-/coea)g]/(mi4-mj)
- 65 -
80. h —
81. /9 «^a\/3
83.
83 a, "»11-"ч(|-<ч) . s> . ахлиЙеЫ
***’ ei mi+m* ’ r*F mi+M»
84. T ж ^S2-(l 4- /)(<* 4tf) при /mi < mj 5
T »' ms(o 4- g) при /mi > mj
88. T * ^^(^^+74- fg a) » саучае движения системы
относительно стола,
Т » т1у/а^+ д* 9 <яучао полон системы
относительно стола*
м-
90. a » 0 при |mj — mil? < Fvp;
|а| к при |mj - mi|p > F^i
F’BJ
01. F mtf cos a(ein a — / сое a) при / tga\
F “ 0 при / > tga
92. F «t>o*? 4 4
93. v “ f y/te
- 66 -
94. tf2а “ —Iff ; а « 43*
96. При tga ~ 1/f - vj/2y/i 4- /*
96. tya w/; Тяй» “ f mf/vl 4 /’
97. v Д3у/Эк)в1па
98. a)/ « Sr’/б ; 6)S » 5r4/12m
99. 3 — (tat — tin wt)F\)/mw*
100. t “ */w i 3 * ЭЛ/тш*; vma« “ Fo/mw
101. a)v“ vea“r*/'" , t-* w ; 6)v v»-^ i SM —
102. t “ h(o» — v)/«ev ln(vo/v)
103. S ш (2/?)tja , «м. - i/(g/y)dbatga
104. F >
105. a)« • j|£/tin(urt/2) ; 6)S ;J5f » < v >- ;*£;
1Ов**Гн5*7т
107. 3 w ®ln(l 4*av»t/m)
108. F **3mg'l1?ttil
109. F«^mv
110. v
111. S-
112. v«> * Лг’д-де г-радиус жаплх, A * ^плотяоста м-
щвстаа тумака (вода), th ш 0.25 м/с ; vj — 0.01 м/с
113. v — [2r*(£s — /n)f]/99 * 0.25 см/с
114. v9 - ®о{2е-**/’» - 1)
115. 5-4Я
- 67 _
Ив. V<B ж я» б м/с, где Р» ж 10* кг/м’-ппотность воды
117. t ж »ln(l +iina)
j Ив. ifaw ж ^[»ina — ln(l 4- «ina)]
j 119. « - 3*^(1 - e“*»/w); y . 4(1 + »ina)(i _ «-*/••) - vot
f
Законы сохранения
Y
121. 1) hl * 9.005м ; ha ж 0.08м ; 2) h ж 0.02м
1122. t - 0.64 м
J 123. А ж 5уЯ’(ро—Pi)a/2po ’ 7.84 Дж, где ро-плотность воды,
pi-плотность льда.
124. 0.32 Вт ; 56 Вт
125. да Ж ; 1) 9.6 Дж ; 2) 86.4 Дж.
126. w = ж 25 м/с
! 127. t Ж « 1.75 с
128. ш ж 4mim9/(mi 4- mj)a ж 0.75
129. 0 ж = (2; + 2fc) м/с
130. «785 м
' 131 ®° “
132. f ж той + mvtj где v. ж £ ; v9 ж £ 4- £) + а;
при t=lc v, ж 0.5 м/с ; ve = м/с.
- 66 -
133. F = vy/mh 4- mg ж 93.3 кН
134. Л ж tmgl/12
13S-< •*>-
136
137. Л- ^у
13в. л - S
139. у =
140. V! - Vj = у ; у, .
141. mi/my > п, где mi- масса шара, имевшего меньшую
анергию.
142. F - mS/*a == 2.5 • 10* Н
143.0*90*
144. ф « Потери анергии максимальна при mi = та
145. сова »1 -
146. ж Я/2 ;
147. Я =
148. vnua * 2rJ*g/t
149. Fmin Ж fg(mi + ma ty
150. иж.» “/f ^15m/fc
151. Qi ж avW&lv — 27Qs/m]
152. vi ж Рот/m; vj ж у — For/mj; Q ж Fovt —
153. F = pSU*
154. tgaa = ctga^l - при Я >
- 60
155. tgai « ctgai^l — прж a >
156. h = mg/k
157. F = mg(l 4- /1 4- 2k(h — t)/mg)
158. a)# (a/ra)e~, где е7-вджнжчнын вектор направлен-
ный вдоль радиуса-вектора F (£ » F/r); А = 0.082а
б)/«-*F; А »-7.5*
1S9. # . а [-!•?+ + Ь) J - ЭД, Л - 1и
160. I» */4
161. Л» ^((а-ь5)’4-25’]
162. сое/З.ши
163. F = (VJ 4- »Н$)/(14- ч) ; *“4 м/с
164. р “ (2m/3)>/5g7 « 3.5 кг м/с
165. F-2aSynWKF
166. А “ —(1 — т|)фп;//2 “ —1.3 Дж
167. Астор “ m(®J — v?)/2 4- a(»jyi — « f мДж
168. As>k)
169. a)p - 4- v| ; 6)Ek = p(v? 4- о^)/2,где p =•
170. ДЕ» = -p(vi - v?)2/2, где P =
171. т = (pcoea — My/igt sin а)/Мg sin a
172. n » (m39t0a)/(miv)
173. m » JjtoiB. , V1 зх aj./iinA
174. A » a
175. A*a/2
- 70 -
1МЛ--5&
177. А - (3m0)/(2V3J?)
178. А « at/(2mut)
179. А - a’/(2m03)
180. А - 0V(32m*)
Динамика твердого тела
>« >)«• - - ’•»“/«’; ад - - И и
”124 н.
где J к в*£-момент инерции блока.
182. « * 2тд/(М + 2m) в 3 м/с3
183. В* вв Тму^1 > 1.1 Дж
184. l)wi «в fog/t м 17 рад/с; vi *uzj/2 м м/с
2)w> at on ; V, = wj/ = 1.7 м/с
185. nj * а 12 8 об/мин
188. J» ш'4.27 • 10~3 кг-и*
187. М ш + 3et) = -0.84 Н м
188. t 2t/^ffK « 4.04 с
189. J - + тЯ3 « 2.9 • Ю~* кг и3
190. J - Л + (Во*3 + 2лф)
191. «« (аВ — ЬЛ)£, где к~ орт оси OZ
- 71
192. L » mgvtfi* со» а/2 ; L « matin’а сое a/2j » 37 кг-м’/с
1M> ® ” тИтйЭДЙ-тН
IM. Лгр > бт^ипа « 0.94 H
198. v » 27/ао/З
196. Кннетнчвсжая енергмя вращения уменьшится на
[ 4*.^
to- a - (f— ai)/2 ai)/2
iw.' j - op '
|l99. JDo a* 7'10м хг»м|/с; L « 3.9 • 10*£o » 2.7 • 10^® жгм’/с
П0О. w '*» /61^* ein <p(ml
₽•*>- TOfesr j .
НЮ. V e -2mi¥>i/(2mi + Й)
В»- а - • я - да^йи
Ц^' * Цяч+я^+И/t)
MOS. a « (minnaj — mjeinafj)jr/(mi 4- mt + А//2)
аОв. a « 4jr/5
to. a-^m-Af)/(A/ + m4-J/Я’)
в*, ф - зкж; w
гаю. J «
|10-г-Л8^Е.“0'вн
.0.192 »/«2; .<.8«
- ?г
313. tga > гд* J-момавтжворции цвцввдра вам шара
1)« - n/Jaftt.); 3)F„ - (М+т)«
315.«-И^Й
216. Указание: применить теорему о движении центра, масс
. и уравнение моментов.
217. Ужаоание: учесть реальную деформируемость теп. На
плоскости, во которой движется тело, вооникает
углубление.
218. й - $ ; а-0
219. Движение после перехода границы будет сначала равно-
оамедлеяное, а затем с постоянной скоростью; 1/3 анергии
превратится в тепло, 2/9- во вращательную анергию и
4/9 останется в виде энергии поступательного движения.
220.
221. v-2^-1
222. t —
223. «и в у(/соеа — sin а) ; аз *
224. ш -
»w|
228. ы » у/Зд/^.
2М *-йй«и
227. /га? в ш *5*
- 73
4
228. Fi == » при i » L Fi « O*
229. F ® (1 + 4a*mfJ)mg, где J - момент инерции человека
относительно перекладины, а - расстояние между
осью вращения и центром масс человека. Если при
оценке момента инерции моделировать человека
однородным стержнем, вращающимся вокруг одного
по его концов, то F * 4тд.
230. Скорость поступательного движения стержня
не зависит от точки удара к равна
«о * яв 8.7 м/с; 01» 2/3; rjj • 5/12
232.
233. v > оо — “ 80 м/с
234. I»1/<Д
235. После удара шарик и стержень будут подниматься
как единое тело,
Н “ (M+2^(M+Sm) !
238. После удара шарик поднимется на высоту
h'<
а нижний конец стержня - на высоту
237. v =s vo — ^Vy£/3sin j « 380 м/с
238. w = 2miVj ^mjb2 4- mi®2) « 2.1м/с2; ® as Й
239. ® = 2//3
- 74 -
240. » “ /М/т —1, при М >т
Гравитационное попе
241. 667нН
242. F « 1.86 • 10“” И
ш- Гж;^ЖТ’в<дал><г’тоГ*аЬ$£
244. F*0; Е»0
248. F » 4.2 • 10**’ Н
247. а)Г-^; б)Г »
248. F « 4.2 • 10"4 Н
240. ^«^-пржЬ-О
250. F- 3QP
. 251. F w ’ пр» Ь«0; Б —♦ О при Л —* оо
252 р ж 0.04 И
253. Вес тепа со стороны Луны больше.
254. ft w 9^j^'i Л в Л(1 т **•); * я 0.3 при h«0.7R
255. д» я 0.165$,
256. = pS+XJJ» 9b = 0.25р при h=R
257. 0.25 м/с3; 0.998 м/с3
258. Ж. » —3.8 • КГ1® Дж
259. Ь-2 Н
260. В - 13.6 Мм
- 75 -
281. N »
262. Вне плоскостей Е » 4ж7<т, между ними Е«0.
263. £«7#«3.7Н/кг
264. Е » *s$t№ - вне оболочки,
Е*0 - внутри оболочки (см.рис.129)
266. Г » -7i;t . » 344 Мм
«•г
Рис.129
260. F » fcga ; Е « &
2.7.К-*
268. ==• — J; = —7^ = —62.6 МДж/кг ;
= “7^ » -190 ГДж/кг
269. б « (при т < Я), 2Н
й1
Ё as — igtf (прМ г > Д) (сМ.риС.130).
у>(г) « + fgjr1 (при г < Я), 0
^(г) =» —(при г > Я) (см.рис.131).
270. W,/WM « 2
271. Л1 - = 31.3 МДж ;
А, = =» в2.в МДж
272. v У27М/Я =» 42.1 км/с
Рис.130
273. «» == У2«? + (>/2 - 1)М «
274. г = ¥ = Ji
Л ЛЛ"^Л
275. Я = ,/3¥>/4ж7р = 8.06 • 104 м
- 76
276. Я ж /3.&/4ir7im ж 4.7 • 10* м
277. А » m 5.33.10» Дж ,_____
278. А - -ттп (А + - £ - ^fc); где г0 ж
279. v, * /9Л/9 ж 5 км/с
280. h ж 5$*^ » 2.18 м
281. Tt ж 7.8 ч; 7Ь ж 31.2 ч
282. 8.33 км/с
283. v =з 1.7 км/с ; Т«1 ч 50 мин
284. «1 ж 1.7 Км/с ; щ ж 2.4 км/с
285. v ж ш/Л1/А ж 7.9 км/с
286. М * « 6.21 • 10м кг
287. Т1 ж ^ВДЛ/Л»)» » 15 мес
индекс 1 отноститск к Сатурну и его спутнику,
2 - к Зимов ж
389. Я> ж 1.46 • 10* км ; Ti ж 104 мня
390. 1000
|91. Т ж 88 мин
392. v ж — 7М/Я ж 6.12 км/с
|93. Av.» — 1) ж 3.27 км/с
|94. v ж — Jff/l в Ю км/с
|95. А ж чМ/v*
- 771 -
296. Ьдм ▼дм/с Т
0 7.91 1 ч 25 мая
700 7.79 1 ч 28 мая
7000 5.46 4 ч 16 мяя
297. 9.2 м/с*
298. 0» » < 1.61 м/с*
299. г * » 8.06 Мы ; h « г — Я “ 1.89 Мы
300. 68 су»ож
. Мвхалоггасжад жшвбашш
301. s в 50 «in 4. |) мы ; ®i в 35.3 мм j ®з « 0
302. Т. «2.4вТо
303. я ш lOeinсм
304. t=2c
ЗОБ. я = 0.1 rin*t м; ¥?1 “ arcein »36О52/;
tpt «агссоа * 71°26' 306. V^aa W ®ow ; Оты я 307. t * f 308. 5 см ; 0.8 с ; 1.25 Гц ; 1.04 рад. 309. с » — а3. 310. t=l с 311. 12 см/с’ 312. v = «7®? — «’ (см.рис.132) 5. * ' < г 7 3 'Ч . А .. '*.' -? 311 3 5 Рис. 132
-.78 -
313. Т«4 с ; Vmu ж 3.14 см/с ; (Цш ж 4.93 см/с3
314. х = 10 ein 2t см ; 40 см/с3
315. а ж —w3xq
316. Уям. при А ж пи, где п ж 1,2,3...; при & ж (2п4-1)|
317. F »» mg coe(^mo/t) 4- m/ш3^3, sin3 wt 1
318. и ж асоа(сЛ 4- а) ж —29 см ; v, ж —81 см/с ;
где а ж у»j 4- (vao/ш)3 ; а ж аг&д(—^/шхо).
319. v ж 13.6 см/с
320. ш ж Ояыш/Viimm ж 10с"1 ; Т ж 2ж/иг ж 0.628 с
Ам, ж 1 см ; * ж «in 10t см
321. а ж «Уи| — V3
322. х ж 5ein(*t 4- f) см
323. 8.3 см
324. t> ж 0 ; ts ж £ к 0.025 с
325. а)Т ж 0.2 с; аж0.01 м; б)х ж 0.01(1 - сое 31t)
326. w « ; а «
327. Аж3.1 см ; Тж4.1 с
328. 7.07 см ; 4.0 с"» ; 1.57 с ; 0.785 рад.
329. - у>1 ж 7146'
330. ш ж 9.9 с“*
331. А»7
332. А«7
333. Кмм ж 197 мкН ; W»4.93 мкДж
334. F ж — mAw’ainwt; Fi ж —62.5 мН ; Ft » —125 мН
335. sb3/2 + у = 1 - уравнение параболы
336. «яма як 2.7 Заш
337. 47.9 н 52.1 с"1 ; 1.5 с
338. а)^ + я 1 ; 6)5 «* —w’r
339. у1 = 4®3 (1 — (см.рис.133)
340. у = а (1 — j (см.рис. 134)
’«• i -
342. Т як 2*J2l/3g
343. ® « (1 ± ^1 - Л/34)/о/2 = 10 и 30 см Рнс.134
344. (Fmoal = тпш3А як 2 mHjV/^п»*» — mA’w3/2 = 50 мкДж
345. 0.463 с ; 0.927 рад.
346. L » * 50 см ; Т » 2я/£/у » 1.42 с
347. L = 5£/6 = 25 см ; Т » Зт^/д = 1 с
348. y>m as ipoyj'i. + тп1&<рУ2кч>1 ; Е = Ь?1/2
349. J » mZ3(wj — y/Z)/(w3 — Wj) = 0.8 г м3
350. Т *mt^2h/g ; 1пр я* h/2
351-^»^W
352. Т » 2* » 1.55 с
353. L =*371/2 » 36 см ; Т » 2-K^L/g = 1.2 с
ЗМ. т =
355. Ел(Еь — tg3(a>t 4- у?)
356. t=l/24 с
- 80 -
357. 2S* » tin3 wt ; Em*» =
358. ® = -^Jjcoawt; »mu = ; vma4 ж £ ; T = J*
359.
360. т » & * 2*yiW?
ж. я-И5+«нН^+г
362. Л * e 0-025 кг-м3
363. А ж 0.264 ; 6 ж 0.05с'1 ; х « 20е'00“соа 1.264
364. п ж |1п ж 173 ; Т = 2irn/m/i ж 2 мин 52 с
365. v ж ж 11.2 м/с
366. Q-105
367. we ж 103 в"1
368. То я %*^рл$1р»9 1-3 с
369. а)ао и aow • 6)4» ж 1[агс±д(ш//3) 4- пя], где п ж 1,2
370. а)у(0) ж ; ф(0) в -(/>’ - «’)¥>о ;
бХ» “ J Je^^" + n<j , где п ж 1,2,...
371. Q nt ^^gr^/i • — 1 ж 1.3 • 103
372. а)<? ж кп/t^ri ж б • 101 ; 6)(? ж 1/wjr4 — 1 ж 3 • 10*
373. В 1.22 рапа
374. » ж 7 • e“l w • tin 10.5xt см ; F ж 72 sin 10»4 мН
375. Дж^
- 81 -
Специальная теория относительности
376. Ат “ 3.2 с
377. т = 2тпо ; v=260 Мм/с
378. (*)е~ 0.661; $«0.001
379. v = — т)) я 0.1 с
380. Ат = 8.6 • 10-57кг
381. 20.6 ; 1.01
382. v = 2.22 • 10s м/с
383. >.u » 70
384. См.рис.135
385. 1.94
386. v = 2.94 • 10s м/с
387. W* « 25.6 кэВ - для электронов ;
W* ss 47 МэВ - для протонов.
388. 0.341 МэВ
389. U, = 4.61 МВ ; U, я 8450 МВ
390. U»510 кВ
391. v=260 Мм/с
392. Ея1410 МэВ ; 2?* я 470 МэВ
393. а)часы 1 ; 6) часы 2.
394. 2.05 • 10"м кг* м/с
395. v=212 Мм/с
396. p«iyr+5^?7T
397. Атпр = 3.2 • 10“* г/моль
_ ,82 _
39в. Дтпя = 0.217 г/моль
390. 1) 13.7 см ; 2) 22.8 см
400. U » 3.78 • 10е В
401. л)а! = 49’ ; б)/' = 3.8 м ; в)/'/£ = 0.66
402. 0.28 МэВ
403. U ж = 912 МВ
«и. W - _
405. Zo я» Z|/(l —/32ят3а)/(1 —/З2) = 1.08 м , где /3 ж v/c
406. а) стержень 2 ; 6) стержень 1.
407. 300 МэВ
408. v=0.06c ; под плотностью понимается отношение
массы покоя тела к его объему.
409. а)£ «8 0.005 соя3 а ; 6) -0.0025 ; 0.
410. 4.2Т.
411. 7 = 1 - [1 + = 0 44 %
412. а)£ •» 0.94 м ; б)а = 49°.
413. т = 7.02 нс
414. v ж — 1 = с>/3/2
415. S = O.5So
416. А ж 0.42ГПС3, вместо О.14тс2
417. и» ж с^1 — (Z/Zi)2(1 — vji/c3) = 0.43с,
vq ж (v, — vj/(l — v.v^/c2) = 0.34с
418. При 1) < 1 0.013
419. Е “ У]Е?Ч-р,са
- 83 -
420. р « s= 109 ГеВ/с, где с - скорость света.
4И""7й^Я
с? - 3.6 -10*’ Дж/кг
423. Суммарная масса прибпножтельно равна сумме масс
исходных частиц, усни Фр < (n*i 4- m>)’ ;
г ж £р «
5 t" (mj+mj^+Tj
424. Af’c? ж» (т|+т|)с3+2(У(И 4- т|<?)(р| + т^с2) -ЯР> сое «]
_Ь4 _
Приложения.
Приложение I. Некоторые астрономические величины.
Радиус Земли .................................. 6,37-10® м.
Маоса Земли.................................... 5,98-1024 кг.
Радиус Солнца . . . .•......................... 6,95-Ю8 м.
Масса Солнца .................................. 1,98-I030 кг-
Расстояние от центра Земли до центра Солнца . . 1,49-10^ и.
То же до центра Лунн........................... 3,84-Ю8 м.
Период обращения Лунн вокруг Земли ............ 27,3 сут.
Приложение 2. Фундаментальные физичеокие константы.
Гравитационная постоянная.........f = 6,672-Ю"^1 Й*2 /кг2.
Скорооть света в вакууме ........... С « 3-I08 м/о.
Магнитная постоянная..............12,57-I0“7 IWm.
Электрическая постоянная..........£0= 8,85-Ю-12 Ф/м.
Маоса покоя электрона............. 9,11-Ю”31 кг.
Маоса покоя протона...............ffi. 1,67-Ю”27 кг.
Отношение маоса покоя протона ж
маоое электрона................ = 1836,15.
Элементарный заряд ................. е = I.6-I0"19 Кл.
Отношение заряда электрона к
его массе......................Кл/кг.
Атомная единица массы ... I а.е.м. = I.66-I0"27 кг.
Приложение 3. Множителя и приотажжи ям образования десятич-
ных кратных и дольных единиц и их наименования.
Множитель Пржотавха Обозначение приотавки
Междуна- родное fyooxoe
I01 дека 0^ да
I02 гекто h г
I03 хило К К
I06 мега м м
I09 гига а г
1СТ2 тера т т
I015 пета р п
I018 зхса в э
I0"1 деци d д
IO-2 санти 0 0
IO"3 милли tn м
IO-6 микро f* ми
IO-9 нано ft и
Ю-I2 ПИКО p п
10-15 фемто / ф
I0“18 атто a а
- 86
Домашжее оадажже
Студент группа
Вариант N __________
Дата выдача оаданжв________
Преподаватель_______________________________ ________________
(Ф.Ж.О.)
(Поалев)
Домашнее оаданне пршшто :
(Д*~)
(Поалев)
-87 -
Экзаменационные вопросы к разделу "Механика"
I. Кинематика поступательного движения.Перемещение,путь,
с корос ть,ус корение.Нормальное,тангенциальное.полное
ускорение.
2. Кинематика вращательного движения.Угловое перемещение,
скорость,ускорение. Связь между линейными и угловыми величинам»
3. Динамика поступательного движения материальной точки. За-
коны Ньютона. Понятие массы и силы.
4. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Га-
лилея. Преобразования Галилея.
5.. Основное уравнение динамики поступательного движения мате-
. .риальной точки и системы материальных точек. Понятие
центра масс. Уравнение движения центра масс.
6. Импульс. Закон сохранения импульса.*
7. Динамика вращательного движения материальной точки.
Понятия: момент инерции, момент сил, момент импульса.
8. Расчет м. -ента инерции тел правильной Формы (стержень,
диск). Теорема Штейнера.
9. Основное уравнение динамики вращательного движения ма-
териальной точки (выврд) и твердого тела относительно
неподвижной оси.
Ю.Момент импульса материальной точки, твердого тела. Закон
сохранения момента импульса.
II .Полная кинетическая энергия движущихся,вращающихся тел.
Работа при вращательном движении.
12 .Работа постоянной и переменной силы.Мощность.
13 .Консервативные,неконсервативные силы.Примеры.
14 .Энергия.Кинетическая,потенциальная,полная механичеикая
энергия. Закон сохранения энергии в механике.
15 . Потенциальная энергия. Расчет потенциальной энергии
сжатой пружины. Взаимосвязь силы и потенциальной
энергии.
16 .Потенциальное поле сил.Работа сил поля тяготения. По-
тенциальная энергия поля тяготения.
17 .Закон сохранения импульса,закон сохранения энергии при
абсолютно упругом и абсолютно неупругом ударах.
18. Механические колебания. Дифференциальное уравнение не-
затухающих гармонических колебаний, его решение.
Скорость,ускорение, полная энергия колеблклпйся точки.
- 88 -
19. Физический, математический маятники, вывод формулы для
периода малых колебаний этих маятников.
20. Затухающие гармонические колебания. Дифференциальное
уравнение затухающих колебаний, анализ его решения.
Период колебаний, логарифмический декремент затухания.
Энергия затухающих колебаний.
21. Вынужденные гармонические колебания.Дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний, его решение. Устано-
вившиеся вынужденные гармонические колебания (уравнение
кинематики этих колебаний).
22. Явление резонанса. Зависимость амплитуда установившихся
вынужденных колебаний от чистоты. Условие резонанса.
Резонансная частота.
23. Сложение одинаково-направленных гармонических колебаний.
Биения.
24. Сложение эзаимно-перпендикулярных колебаний. Фигуры
Лиссажу.
25. Дифференциальное уравнения плоской волны и его решэние.
Волны продольные и поперечные.
26. Фазовая и групповая скорости (понятия). Стоячие волны.
27. Принцип относительности э классической и релятивистской
механике. Постулаты специальной теории относительности
(постулаты Эйнштейна). Преобразования Лоренца.
28. Преобразования Лоренца. Преобразования Галилея. Закон
сложения скоростей в релятивистской и классической ме-
ханике (вывод).
29. Следствия Из преобразований Лоренца: сокращение длины,
замедление времени, одновременность событий.
30. Релятивистская динамика, масса, импульс, энергия.
Закон взаимосвязи массы и энергии.
31. Пространственно-временный интервал, его свойства.
- 89 -
Содержание
Кинематика ................................... 3’
Динамика точки ................................ и
Законы сохранения . ...............................
Динамика твердого тела ...... ............... 29
Гравитационное поле .............. 41
Механические колебания ..47
Специальная теория относительности ............ 56
Ответы к "Домашнему задании
Кинематика............................. 61
Динамика точки . . . . з. .
Законы сохранения . ....
Динамика твердого те
А’ Г.Й
Гравитационно». ЯШИН
Механические колебания
Специальная теори#
Приложения .......
Экзаменационные вопросы к
W
64
67
70
74
77
81
84
67
Учебное издание
Борис Сергеевич Беликов
Николай Иванович Михеев
ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС »i. МЕХАНИКА. Ч.П.
Домашнее задание
Пособие для самостоятельной работы студентов
Подписано в печать >
Бумага офсетная Формат 60хЬ4 I/16 Печать офсетная
Усл.печ.л. 5,35 Уч.-изд.5,35 Тирах 1000 Заказ 25?
Издательство МАИ, 125671, Москва, болоколамское ш.,4
Отпечатано с готового оригинала-макета е авторской редакции