(J5GJ-0I1)
НА ЛЕНИНА
В-h ЗД31 !АЯ
[рнля АКАДЕМИЯ
ПрОСРЕССОСЙ
'8НОВСНОГО
о динамических
погрешностях приборов,
ПРЕДНАЗНАЧЕННЫХ
ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
быстроизменяющихся величин
ыиуск
233
В. А. БОДНЕР
РУДЫ
СНОЗНАМЕННОЙ
дал ЛЕНИНА
«нв-ааздушной
ёНЕРНОЗ АКАДЕМИИ
ни профессор*
таковского
О динамических
погрешностях приборов,
предназначенных для измерения
быстроизменяющихся величин
vun iruif O-tlG.
В ы п у с к
233
1;азр.к нечв23/У1С-1947 г.З^ п„л.2,1 авт „листа
_____ Изд.# 180 Зако1в 318..:------------------
Г-04231 Типо-литография ВВЙА
имени профессора Н.Е» Жуковского

1. ВВЕДЕНИЕ
Имеется большое количество приборов в ко-
торнх динамические погрешности играют взм'чдо -
?.?нную ролЬо Сюда в первую очередь относятся
приборы для измерения ускорений, вибраций,паре-
менных давлений, температур, а также все при -
боры, применяемые в качестве чувствительных
элементов в автоматических регуляторах. Вообще
говоря, всякий измерительный прибор должен без
запаздывания следить за изменениями измеряемой
величины, однако вследствие инерции его частей,
показания прибора всегда отличаются от истин -
вого значения измеряемой величины.,
Одним из основных требований, пред^явля
емых к прибору, является неискаженное воспроиз-
ведение измеряемой величины-. Не, как (Шло упо-
мянуто, прибор всегда дает погрешности.поэтому
возникает задача такого выоора параметров,
чтобы указанные погрешности были в допу тимнх
пределахо
Хотя по теории приборов имеется ряд; работ
[i~7] , однако у «огне вопросы еще требуют
своего разрешения, в частности, вопрос о соот-
ношениях между ппгреоостяни.
. э*”о.4 работе мы будем занаматься -<сле-
доварчем динамически» по- ешнбетей, по-*г*чу
ел-' ся задача т: /ого выбора динамичесякх
параметров прибора, чтобы эти погрешности были
минимальнкмн. Казалось бы, что обычный в:
решения задачи по выбору параметров пржсЧ 1 -
это постановка ваыкапжЬнисй задачи по отг з-
пню к динамической погр ,ности Одначо **
ваетяя, что,этот суть мало эффективен,.,
как *-греж$6сть обыччо является фуякци *.
4
мени и связана трансцендентными уравнениями с
параметрами прибора» Были сделаны попытки оце-
нивать динамическую погрешнее.ь прибора на
основании частотной характеристики и оператора
системы. Ниже будет установлена эквивалентность
различных методов оценки погрешностей и будут
выведены соотношениями между различными формами
погрешностей. Это позволит получить простые
соотношения меаду погрешностью прибора и его _
динамическими параметрами«
Прибор обычно представляет собой сложную
динамическую систему. Он может содержать меха-
нические, электрические, оптические и другие
элементы. При этом один или несколько элемен -
тов образуют вход прибора или ту его часть, на
которую воздействуют импульсы от измеряемой ве-
личины и которую принято называть чувствитель-
ным элементом» Та часть прибора, которая пред-
назначена для воспроизведения ивыеряемей вели-
чины в принятых единицах измерения, называ -
ется выходом его (указательная или записыва-
ющая системы)» между входом и вводом прибора
расположены промежуточные звенья, преднаэна
Ченные для преобразования, усиления, .корректи-
рования и передачи импульсов, полученных от
Измеряемой Величины
В дальнейшем изложении свойства прибора
будем описывать его характеристиками, В каче-
стве таких характеристик возьмем операционную
матрицу, переходную функцию и комплексную
частотную характеристику. При этом свойства
прибора сравниваются сосвойствами некоторого
воображаемого прибора, обладающего идваль -
ними характеристиками» В действительности по-
строить такой прибор с идеальными характера -
оводами, который воспроизводил бы любые Функ-
Мйй без искажений, не представляется возмож-
ным. однако в качестве меры для сравнения он
оказывается весьма удобным»
2. УРАВНЕНИЯ ДВОЕНИЯ ПРИБОРА '
Измерительный прибор, предназначенный для
воспроизведения быстроизменяюцихся величин
представляет собой динамическую систему со’мно-
гими степенями свободы, а в некоторых случаях
монет включать элементы с распределенными по -
стоянными. Ограничиваясь здесь рассмотрением
систем с сосредоточенными постоянными и поль -
зуясь тем, что воспроизводящие системы (и в
частности, рассматриваемые приборы) по самому
существу должны быть линейными, будем описывать
поведение их линейными диференциальными уравне-
ниями с постоянными коэфюшектами.
Уравнения движения системы можно записать
В вое „
Л*A	fc * X
d	.
где	* опеРатоР дифервизирования;
х хп - функции времени, характеризующие
/	показание прибора;
у,у.,...у- - Функции времени (измеряемые ве-
w личины), воздействующие на чув -
ствительные элементы прибора;
полиномы от D с постоянными
коэфициентами любых конечных сте-
пеней»
Коэфициентн полиномов hLti(D) u являются
динамическими постоянными прибора. В дальнейшем
функции у &»*"•• 7 У™ бУ^еы называть возмущающими.
Очевидно, что основное назначение прибора — это
неискаженное воспроизведение возмущающих функ-
ций.
В том случае, когда система на входе харак-
теризуется одной величиной у, , а на выходе
величиной х, , вместо (2.1) получаем одно
6
уравнение
~g(D) y,(t) ,	(2.Г)
где величина vp) = o(P)/Ap) называется опера-
тором системы.
Вместо системы уравнений (2.1) введем одно
матричное уравнение. Для этого введем квадрат-
ную матрицу h(D) с элементами h>,<(D) , прямо -
угольную матрицу (типа т*п ) а(я) о элементами
9U(D) и матрицы - столбцы х и и с элементами
xtt > тое.


(2.2)
Л1‘	' I I ПП У !
‘пт (^)
Г (Л
\3il
перепишем
(2.3)
. . . )
\ХП/
Пользуясь этими обозначениями,
уравнения движения (2.1) в матричном виде
h(D)x =g(n)y(t).	(г.Ч
Матрицы А(Л) и д(Р) можно представить в
виде матричных полиномов
+ ••+ рхч Д +
g(D)*B0D*+ BtD*'*+- + Вл.,д * 8Д
(25)
где д,,.... fi. а„ .... в\ - постоянные матрицы и
у и А - постоянные числа.
Степени этих полиномов и структура коэфициентов
определяются параметрами системы и числом степе-
ней свободы.
, Если обозначить через H(D) матрицу, при -
соединенную к матрице A(D) > т.е. определить
.ее из соотношения н(д)h(O)~a(D) Е , где g - еди-
7
вдчная матрица и 4(D)- определитель матрицы
h(D) я умножить на нее слева обе части урайне -
ния (2о4), то получим
' х_
*----------------------Д(О)
или, обозначив
\	П(В) =	f2.6)
Д/В1
I	x-n(D)y(tj	(г.7)
Выражение (2.6) назовем операционной матри-
Й прибора» Эта матрица характеризует динами-
кие свойства прибора и выражается через его
амические параметры. Ниже будет указан поря-
док составления операционной матрицы для кон -
кр
этных динамических систем»
Для изучения свойств измерительного прибора
необходимо решить уравнение (2»7). Перейдем к
рассмотрению некоторых методов его решения» Для
наших целей наибольший интерес представляют те
дать решению простую
методы, которые позволяют
физическую интерпретацию»
8» РЕШЕНИЕ -УРАВНЕНИЙ
Для решения уравнения (2»7) можно восполь-
зоваться любым из известных методов. Мы, следуя
А.Харкевичу [?] , воспользуемся тремя методами:
методом спектральных представлений (метод инте-
грала Фурье), методом переходной функции (метод
интеграла Дюамеля) и операционным методом. ,
Первые два метода являются разноводностями
хорошо известного в физике метода,суперпозиции.
Решения, даваемые методом интеграла Дюамеля и
операционным методом, по форма одинаковы.
Идея метода суперпозиции состоит в том,
что возмущающая функция и (-^ разлагается на ко-
нечное илй бесконечно большое число элементар-
ных составляющих вида


 w
- 8 -	- j
Если подставить составляющую в уравнег/
пие (2.7), то	-	,
(3.8),
Определив отсюда хс и просуммировав цо
всем с , получим требуемое частное решение 7
'уравнения (2„7). Если к этому добавить- общее
решение однородного, уравнения
, h(D)x = 0,	(3.3) I
то получим общее решение уравнения (2»7).	/'
Способ разложения возмущающей функции u(tj
на составляющие} вообще говоря, произволен;
Основным критерием при этом являются удобство
построения решения и возможность физической
интерпретации. Общепринятым является разложе-
ние возмущающей функции на синусоидальные
(метод интеграла Фурье) и на ступенчатые (ме- \ ч
тод интеграла Люамеля) составляющие.
При решении уравнения (2.7) операционным
методом исходим, как обычно, из преобразования
Лапласа Г8]
i(Pl^e-ny(t)dt, (ЗА) 1
-О
трактуя оператор р как комплексное число»
а) Метод -спектральных представленийо Если
матричная или скалярная функция 'y(t) уд о влотво-
ряет условиям Дирихле и абсолютно интегри-
руема в промежутке (-о®,со) , то имеет место
представление
©о оо
^(Z)e'L'"(T ^dT ,	(3.5)
- ©О - рО
называемое интегралом Фурье [9].
Если ввести обозначение
_ро
4 Г	-iu Т	---7
*оо
9
то формула (3О5) примет вид
y(t)-J fi(oj)eLa>t da>\	(37)
'	-со
Величина flfo)), характеризующая спектраль-
ные свойства возмущающей функции u(t) > назы-
вается комплексным спектром ее. 3 общем еду -
чае этот спектр будет сплошным. Таким образом
с помощью интеграла Фурье функция у ft)пред -
ставлена как бы в виде суммы бесконечно боль-
шого числа гармонических колебаний с беско
нечко малыми. амплитудами f^Tofo и частотами
~~Иногда приходится встречаться сГтакими
функциями ^(t), которые не удовлетворяют усло-
виям Дирихле или не являются абсолютно интегри-
руемыми в бесконечном промежутке. К числу та -
ких функций относятся, в частности, единичная
функция, определяемая условиями t<o y(t)*-o
и taso w(t) = i й периодическая функция при
УСЛОВИЯХ tco yft)«o И tSO ^(t + Tjs^ft),
где Т - период, обе эти функции не являются
. абсолютно интегрируемыми. Несмотря на это, они
могут быть представлены интегралом Фурье. В ка-
честве примера рассмотрим единичную функцию.
Для представления единичной функции инте -
гралом Фурье рассмотрим вместо нее функцию f
где ^ft)=-^-expst для tso и /,ft>£ exp f-st),
для t - о s - вещественное положительное
число о Легко видеть, что единичная функция бу-
А0Т	=^ofr+ ^(t)] • г /3»8)
Так как функция" ft(t) абсолютно интегриру -
емая, то она может быть представлена интегралом
Фурье. Найдем комплексный спектр ее
ЛМ’Д™Хр,(т)е-‘“т<Ут=-^.-	(3.3)
10
, Следовательно, единичная'функция может
быть представлена интегралом Фурье в виде
1	1 л iajt
У(*>Г Г + ‘гл J ~^Г' du- f3M>
Как легко заметить, идея представления
интегралом Фурье неабсолютно интегрируемых
функций состоит в разложении эти функций на
две составляющие “ одну неабсолютно интегриру-
емую к вторую абсолютно интегрируемую, эта
после’дияя по обычным правилам поедставляется
интегралом Фурье.
Для нахождения частного решения уравне-
ния (2.7) подставим в efo правую часть ’’состав-
ляющую” возмущающей функции из (Зо-б)
dy = е L~t J? (со) da>.	(З.и)
Частное ращение уравнения (2.7), соответ -
ствующее правой части (3.11), будет
с/х = n(i.w)y?(co)e iut du>.	(3.f2)
Проинтегрировав это выражение в пределах
от - о© до ©о , получим частное решение при
условии, что интеграл существует
х «f С(со) fi (w) е Lwt da) ,	(3^3)
ГД6	~С( w) « П (iw).	(3.t4)
Интеграл (ЗЛЗ) будет сходящимся только в >
том случае если рациональная функция С(а>)	*
правильная дробь и степень знаменателя, по край- 7
ней мере, на две единицы больше степени числи
теля [to] о Это обстоятельство является основным
недостатком решения уравнения (2.7) методом ин-
теграла Фурье.
Величина c(w) = /7(t.w) характеризует спектраль- а-
ныв свойства прибора и называется его комплекс-
ной частотной характеристикой. Модуль с (и>)
-
- 11 -
называется частотной характеристикой, а аргу-
мент -фазовом характеристикойо
В общем, случае комплексная частотная
характеристика С(о») представляет собой матрицу
равную операционной матрице П(О), при условии/
что в последней оператор # заменен величиной
ССО „
Частотная характеристика прибора с (со) пока-
зывает, как прибор реагирует на периодические
возмущения различных частот, прибор обладает,
вообще говоря, определенными избирательными
свойствами. Из непрерывного спектра частот
внешней возмущающей функции он избирает только
частоты, расположенные в определенных областях.
В зависимости от назначения прибора его-
комплексная частотная характеристика должна
быть различной. Если прибор предназначен для
неискаженного воспроизведения возмущающей
функции u(t) > то еР0 частотная характеристика
в рабочем^дианазоне частот не должна зависеть
от частоты, т.е.	•	; иг 1
. С(со) = С (о) - Со .	(3.t$)
Если прибор предназначен для н-еиснажен -
ного воспроизведения к-й производной от y(t)
(такой прибор называется диференийрующим),то
его частотная характеристика должна быть
C(u>) = с; w*	(3,16)
Наконец, если прибор предназначен для
неискаженного воспроизведения к - повторного
интеграла, то его частотная характеристика
должна-иметь вид
Величины С'а и с" вещественны или мнимы
в зависимости ст того, четное или нечетное-Л.
Таким образом, е ели соответствующие при.' т
боры имеют частотные характеристики, опреде-
ляемые выражениями/(3« 15)„, (3.1б) или (3,17)
для всего диапазона частот возмущающей функции
y(t), то их показания будут неискаженными.,
12
Рассмотрим пример, Предположим, что прибор,
имеющий частотную характеристику С-(ш) = Сош+,с, .
предназначен для воспроизведения первой произ-
водной от функции u(t) ‘f частотный диапазон «ft}
функции y(t) ne-WT в пределах от до си, „ Из
уравнения (8о1б) при л « 1 следует, что в це-
лях уменьшения динамической погрешности пара -
метры прибора необходимо выбирать из условия
с<>", *> с0 ;	_
Обратимся'опять к формуле (ЗЛЗ)О Если счи-
тать, что xft) является известной функцией вре-
мени, то на эту формулу можно смотреть, как на
интегральное уравнение относительно неизвестной
Функции С(ы)А(и)о Решение этого интегрального
уравнения можно представить в ваде fs]
Cfw) =	dt. (3,f8)
Отсюда следует, что если известен спектр
сигнала fi (и?) и имеется его запись xft), как
функция времени, то можно определить комплекс-
ную частотную характеристику прибора С(а>) я
обратно, если имеется запись сигнала xft)и из -
, вестна частотная характеристика прибора с(и>) ,
то можно произвести спектральный анализ сигнала
В частности если С(ы)~с0=const , то из (ЗЛ8)
следует (Зоб)е
Приведенная выше формула (3,13) дает част -
ное решение уравнения (2Л)о Для получения об -
щего решения этого уравнения следует прибавить
к частному решению (3,13) общее решение одно -
родного уравнения. (3.3К Обозначив это последнее
через x,(t) , получим
x(t)»x1(t)+JС(ы)й(ш)е twtс/о< f-S./s)
— ©О
Явное выражение для x,(t) будет дано ниже =
Так как параметры приборов (и вообще воспро-
изводящих систем) выбираются из ч?ого условия,
чтобы вещественные части корней характеристиче-
ского уравнения были отрицательными, то при
13
записи периодических процессов член
Представляющий собою собственные колебания
сиотемы, моллет не учитываться. Однако в слу-
чае записи непериодических импульсов этот
член монет носить значительные искажения,
особенно в начальный момент записио
В качестве примера применения метода ин-
теграла Фурье решим задачу: требуется запи -
сатъ функцию, заданную уравнением
t < о
t 9 о
(И)

при помощи приборов, операторы которых есть
1/D425 D *ы/ - И1/Ъ +	.
Рассмотрим сначала запись этой функции
первым прибором. Комплексный спектр функции
(*) , согласно (3.6), будет
'е ' 2JtJ dT~2Jt fi + Сш
-ее	0
Комплексная частотная характеристика пер-
вого прибора будет
О
Подставляя и С(ш) в формулу (Зе 13),
получим запись, даваемую прибором
7 Х"* а со	е'^-е ^(^slncJt+CM&'t)
’ijfj (J3 + L<j3)[cp^+Z5Cu)	J* * + С^- Z5J3
	{-о < t < С©)	(мм)
Если бы в операторе прибора отсутствовали
диференциальные члены (тсе< членнл D )то
14
неискаженная запись была бы
o(t)	(0<t<ao)
°	О
СледозаТельно, качество записи можно оце-
нить погрешностью
г	-fit	-ft
I	/О < t < °= )
Комплексная частотная характеристика второго
прибора	.
и запись, даваемая им, будет
оо i,cut	-fit -oL,t
f е da) е - е ,	\ ,	\
x(t)= ,----———-ч =----------‘—	/o<t<eo) /хим)
1	oC»~Js	•	7 1 '
Так как неискаженная запись дается выра-
жением	~fi>t
Лгг >
то мгновенная погрешность будет
-esl,t -fit
ФйГо!
- 16 -
На фигЛ даны графики функции С*) Ск₽и -
ная 1) и записанных кривых (мн) и (***){соответ-
ственно кривые 2 и 3) при частных значениях
параметров., Из рассмотрения этих'графиков
следует, что оба прибора дают недопустимо
большие погрешности, особенно' в начале запасi
Для уменьшения погрешностей следует в первом
приборе увеличивать &?0 } а во втором ol1 .
В обоих случаях это ведет к уменьшению чувст-
вительности приборов»
б) Метод переходной функциио Решение
уравнения (2.7) методом переходной функции
или, что. все равно, методом интеграла .Дюамеля,
заключается в представлении возмущающей функ-
ции u(t) в виде суммы -бесконечно большого
числа ступенчатых импульсов бесконечно малой
ширины (фиг.2). и в применении принципа супер-
позиции к частным решениям, соответствующим
каждому импульсу в отдельности. Представление
функции y(t) в виде суммы импульсов основано
на следующей теореме.
Всякая функция ^(t)переменного t , удов-
летворяющая условиям Дирихле, может быть пред-
ставлена с любой наперед заданной точностью в
виде ступенчатой функции	где
» t = l,2,...,n	(фиг.2).
Фиг. 2
16
Не приводя доказательства этой теоремы [и]
дадим только некоторые физические соображения?
Для "этого воспользуемся понятием единичной
функции, определяемой из соотношения
'	Ct) t t;
(5-20)
(е t * t.
Эта функция равна нулю для всех t<tif а в
точке t = tc она скачком принимает значение,
равное единичной матрице Е .
Напишем для функции u (t) приближенное вы-
ражение	.
Если функция u(t) непрерывна, то переходя
'К предел'у при	получим -
lf(«) = 3{o)Kt)+Jl(t-T) ty(T).	(3.21)
а
В том случае, если функция y(t) имеет раэ-
' рывы, формулу (Зо21) 'можно переписать в виде
s(t)=s(o)l(t)+Li(t-tK)g(tJ + £:fl(t-T) dy(z), (г,и)
где t* - абсциссы точек разрыва и
значения функции в этих точках»
Так как в дальнейшем придется применять
оператор а(о}с положительными степенями Е>
к единичной функции I(t), то следует огово-
рить смысл этой операции» Операцию
OlftJ-IJt)
будем понимать как обратную операции
или-
С-' IJt) = I(t)
J It(t) dT^I(t).
17
Функция • I,(t) называете*? импульсной функцией
Хевисайда-Дирака первого рода. Она равна
«производной*» от единичной функции. 1(±),причем
ее значение при t и t >г равно нулю, а в
точке t-Z она скачком принимает бесконечно
большое значение о
Импульсные функции Хсвисайда-Дирака вто -
рого, третьего и тод<, рода определяются из
соотношений	z
Iz(t)-O I(t)
i*(tj=b4(t)
G точки зрения операционного исчисления,
импульсные функции Хевисайда-Дирака можно
трактовать как первообразные положительных сте-
пеней оператора Р , т,ев
Р°-^ I ft)
Р I,(t)
рг —le(t)
IJt)
гДе знак —н- обозначает трансформацию Лапласа
(Зо4)о
Перейдем к решению уравнения (2.7)в Взяв
«составляющую» возмущающей функции u(t) из
(3.21) или (3=22) и подставив в уравнение (2О7)?
получим - _
h(n)dx^g(n)l(t-Z) dyft).	(s ^3)
Если обозначить частное решение уравнения
=	(з,гЧ
соответствующее правой части I(t-r) через 6(t-z)}
то решение уравнения (3=23) будет
. dx^6(t-T)d^(Z)>
а3н . Институт ГВФ
БИБЛИОТЕКА
	*ГЖ. ' f
... ~
“..*?ч-	.
л -• ‘4/. Лн?Д •	*
а резеЕие уравнения (2?7)i£
х^) =	e (t-T) оГуГт )	(3.25)
иди, если функция y(t) имеет разрывы
tK-l
Формулы (3.25) и (3.25* ) дают решение
уравнения (2.7) в форме интеграла Дюамеля.
Функция 6(t) , являющаяся частным решением
уравнения (3.‘24), называется переходной функ~
I Дней системы. Она характеризует поведение
। " системы при действии единичной возмущающей
функции и служит характеристикой прибора по -
I добно частотной характеристике его.
I Для фактического вычисления интегралов
к,_ (3®2б) и (3.25’) необходимо знать переходную
Функцию системы 6(t) » Нахождение этой Функ-»
I ции не менее сложно, чем решение уравнения
I (2.7)о Следует только помнить, что не всегда
необходимо давать решение уравнения (2.7) в '
форме (3.25) для того, чтобы судить о кач'е -
। стве воспроизведения. Ниже будет показано.
I что в определенном смысле переходная функция
I &(t) и решение x(t) эквивалентны, поэтому
I знание функции <5(t) достаточно для суждения о
I свойствах системы.
Для определения переходной функции дадим
решение уравнения (2.7J символическим мето -
лом fij.
Перепишем уравнение (2.7) в виде
I-	H(D)g(D)
Оперируя с матрицей —дТюТ" как с обык -
I новенной алгебраической дробью и “выделяя
I целую часть (в общем случае степень числя -
теля мо--гвт быть, выше степени знаменателя),
19
где S(o)“ полином с положительными степенями
ои u у]- правильная дробь.
Предположим, что уравненгэ
&(£)) = О	(’з,27)
имеет простые корпи V,»VZ>... fS)n
дробь Jga на простейшие
2(0) £ fiL
Д(3)	2?-9с ’
и разложим
(3,28)
где
"Will
. “д к VL/ л/тй /.
d(*>) 1
(i =/,2,••,")
Таким образом уравнение (Зо2б) принижет
вид	г Д й • 7
x=[s(o>+£ d^-]	(з'гб‘>
Пользуясь тем что (81
найдем решение уравнения (3,26)
t п
x(t) = s(a)y(t-)+j y(r)EALe*i(t~z) cli:.

Подставим в (3O29) вместо y(t) единичную
функцию I(t)= Так как частное решение урав -
нения (3,261, соответствующее правой части
^(t)=I(t) , есть 6(t) 3 то
» n
G(t)~s(T))l(t)+ I(t)E Дсе dr. (з.зо^^
о
Это и есть искомое выражение для переходной
функции системы. Преобразуем его. Так как
I(t) - £
20
для t г о f то
t
;п ч	п а. п A. J.+
I*»	i=f Vt 1м *i
о ,
С другой стороны,
= *(»)№> п, ,. А h(W(i>£)
«#» д (о) -П(о)> — -	
Окончательно получим
6(t)«s(O)l(t)+n(o)+f	ем. (3.31)
В этом выражении член s(D)I(t) содержит
сумму импульсных Функций Хевисайда-дииака
различных порядков о
Переходная функция, подоено комплексной
частотной характеристике, вполне характеризует
систему в смысле реагирования ее на различные
возмущающие функциио Если по виду частотной
характеристики можно судить о том, как система
реагирует на синусоидальные (и вообще перво -
дические) возмущения, то переходная функция,
показывает, как система реагирует на кратко*»
- временные импульсы и быстронарастающие (или
быстроубывающие) функции^-
Комплексная частотная характеристика и
переходная функция системы эквивалентны в
том смысле, что если система воспроизводит
без искажения гармонические возмущающее функ-
ции всех частот от нуля до беоконечности, то
она будет воспроизводить без искажения и -
единичную функцию и наоборот. Аналогично этому,
если система неискаженно воспроизводит произ -
водную какого-либо порядка от синусоидальной
возмущающей функции в диапазоне частот от нуля
до бесконечности, то она будет давать неиска-,
жеиное воспроизведение; импульсной функции
Хевисайда-Дирака того же порядка= С другой
стороны, если система воспроизводит только
определенную- область частот, гомона будет
воспроизши ить единичную Функцию с лекаже -
нйяйи/'пфйчеи; искажения будут тем больше, чем
уже указанная область частот.
. . Обра'Мйся опять к уравнению (3О25). Здесь
известными являются обычно и и 6(t) - а пока -
зание прибора х подлежит определению . При
измерениях свойства прибора, характеризуемые
переходной функцией G(t) , известны и известно
'т.з. наблюдается) его показание х , поэтому •
можно определить неизвестную величину u(t).
3 свою,очередь, если известны или могут быть
измерены величины x(t) и u(t) , то выражение
(3.25), рассматриваемое как интегральное урав-
нение, может,, быть‘использовано для определения
переходной функции g'(t).
Для приближенного определения ^(,t),no из -
вестным x(t) и u(t)/известен'простой прием»
Пусть u(t) и x(t) построены в виде графиков
(ФМг.З-Г. Разобьем ось времени на* и /равных
отрезков и отметим соответствующие значения хк
и приращения гГЬ* . Вместо интаграль'ШЯЧ»
уравнения (3.25т можно написать п алгебраи-
ческих
ir(t) = 6y06'n+S^6n_K й^к	(п-0,1,2,...) (3.32).
22
или в раскрытом виде
Х, =	+ Д «/А
х*’ йЦобг. +	+ *Угбо
(з.зг','
хо= й^обп+дуА-г+--*ЛУп-Л*Д^Л
Порядок решения этих уравнений состоит и
следующем. Из первого уравнения определяем ба
и подставляем во второ'© уравнение. Из этого
последнего определяем x5t* о Найденные значе -
ния <50 и б, подставляем в третье уравнение ^и
т.До Этот процесс следует продолжать до тех
пор, пока последующее значение бп не будет
отличаться от предыдущего <5п_, на допустимую
величину.
Интересно отметить, что если x(t) и u(t)
совпадают, т.е. прибор воспроизводит без
искажения, то уже первое уравнение дает точ-
ное значение для <5(t) -i (t>o) .
Возвращаясь к уравнению (3.29), преобра-
зуем его. Интегрируя второй член правой части
этого выражения по частям и полагая для про-
стоты у(о) = о , получим
l33i)
О
Если прибор предназначен Для воспроизве -
дения возмущающей функции u(t) t то первый
член правой части (3.33) кай раз дает неиска-
женное воспроизведение ее, а остальные члены
представляют собой существенную часть динами-
ческой погрешности. Для получения полной дина-
мической погрешности следует прибавить к
частному решению, представленному выражением
(3.33), общее решение однородного уравнения
(3.3).
Остановимся несколько подробнее на про -
блеме неискаженного воспроизведения отупев -
чатых функций (т,в.функций, имеющих разрывы),
а также производных и интегралов от них.
23
Аакой додана быть переходная функция системы
для гого^ чтобы сна (система) воспроизводила
оез искажения упомянутые ступенчатые функции ?
Оказывается, что все дело зависит от назначе-
ния приборао Если прибор предназначен для '
неискаженного воспроизведения ступенчатой
возмущающей функциито его переходная функ-
ция должна совпадать с единичной функцией,тоео
Если прибор предназначен для неискажен -
кого воспроизведения к-и производной от сту-
пенчатой возмущающей функции, то йго переход-
ная функция должна быть
sK(t)«	(345)
То©о должна совпадать с импульсной функцией
Хевисайда-Дирака к — порядкао
Наконец, если прибор .предназначен для
неискаженного воспроизведения к-иовторного
интеграла от ступенчатой, функции, то его
переходная функция должна быть
«,(«) -о”	(3.3S)
На фиг о4 приведены ступенчатые функции и
их первые производные. Следует указать, что
в измерительной технике очень важно иметь
импульсы весьма малой продолжительности. Для
получения таких импульсов достаточно проди -
ферёнцировать прямоугольные импульса, как это
доказано на фигс4= Такое диференцирование вы-
полкяетоя соответствующими диференцирующими
приборами, например, электрическими, дифербн -
пирующими контурами.,
8 качестве примера найдем переходную
функцию системы, уравнение, которой имеет вид
h(Z?)x = I(t)}	(*)
24
/ h„(0) о М°) J
о Ьа(о) 0
ь51(а) о h3i(v)l
ФИГ Ле
где
h(D) =
h„(Z>)=O+A., ,he(O)’°+AB	V'’»'4* >
Е - единичная матрица<
Так как переходная функция является
частным решением уравнения (*) соответст -
зующего единичной возмущающей функции l(t)t
то ее составляющие, как легко видеть, будут
Az,-!	. А/‘*
и ~ 8l I

%(t)=-±- -
лгг
/ + \_ А .,-6
i е J'«t
В 'Л Вг
^е- *тг >
(**Ю
где
Итгк, переходная функция рассматриваемои
систем^ имеет вид
S(tM e'j(t) ]	(**и;
‘ \®з (Р/
в) Операционный метод» Предположим. кцИ
обычно, что матричной.(Или скалярной) функции
x(t)вещественной переменней t ставится в
соответствие матричная (или скалярная) функ-
ция Х(Р)комплексной независимой переменной Р ,
согласно преобразованию Лапласа
^ = [Г-?‘хМЛ.
о9/	1
Это соответствие принято обозначать симво *
лически так:
XfP)~ x(t).
Функция Х(Р) называется изображением
функции x(t)е Эта последняя называется перво-
рбразяойо
Функция х(г) имеет изображение в том слу-’
чаеерли еда удовлетворяет условиям Дирихле й
интеграл Ja x(t)exp(-6t) dt ? где Rep > 6 exo -
дится абсолютно о
Для решения уравнения (£о4) операционным
методом следует найти изображения выражений ь7ю)
и	Для этого воспользуемся формулой [ 12]
О"»— Р"^) - х(.)- X Х'М-------------J_,x 1""ДД.
Нахбдим
h(O)x-T-h(P)X(P)-P?(P) ;	(3,37)
, Гз.з8)
где	/z)\L	у_д
*'(°), «(₽)•?•§9с(рКг) 9(°)
°.=Й/ы0;	Л.(Р)=ад-Р, ,
х(ор'и t*(o) - начальные значения,
J7K(K=o,f,2,...jy) - коэфициенты полинома h(P)\
полинадш ,J; (Р)' имеют тот не вад, что и поли -
немы hTvb
Подставляя (ЗоЗ?) и (3»38) в (2О4), полу-
чим	.. г	,
Н(р)х(р)=?(р) Y(P)+p[?(Pi) - а (Р)].	(3.53)
Обозначив, как и выше, через Н(Р) матрицу,
присоедйнЬниую к h(P) , согласно соотношению
H(p)hfp)«^fp)E , можем, написать операционное
- 2?
репение уравнения (2.4)
xfP),₽rt£^+2»Y(P?. fM0)
где д(р) - определитель матрицы h(pj.
Для того чтобы найти x(t) как;функцию
времени, следует интерпретировать йнра&ение
(3.40), что сейчас и будет сделано!
Предположим, что уравнение
Д(Р) & 0)
имеет .корни	, ym кратности as (в част-
ности простые корни). Разложим правую 4асТь
(Зо40) на простейшие дроби:
'I
где s(p\ и целые час» и
<j(P) и ё(р) - правильные дроби вида
t k
j Sal JxC (P vs)<?	s = i J-0	»/
Л<SJ_ i [/ d Н(Р)[У(Р)-а(Р)](Р-^М
&(p) fp^s
«(S)
и аналогично для 8] .
с
Так как [г]
. j yst
р	t.e & s
yr" ’
М«Нп-
28
Таким образом
Pfi{P)-+-~ x.(t),
(З.Ъ)
где матричная функция
соотношением
Л e^st Г/ d х^'1
&(Р)
x,(t) определяется
► (Xfc).
»я
Диалогично интерпретируется изображение
^В(Р)
PB(p)~^e(t),
№)
где
dp' &(?)
JP=1?5
Так как нас интересует изображение B(p)\’(p)t
то, пользуясь известным соотношением [в] ,
uafceii B(^Y(P)^-j'gff-T)S(T)<K;	(з,«5)
Б.Булгаков показал ff2j у что выражение
s(p)Y(p)-pR (р) интерпретируется следующим об-
разом;'
S(P)^{P)-PR(R)^s(7)}y(t).

2Р
Пользуясь соотношениями (3,41), (3 43) и
(3»4б), получим общее решение уравнения (2»4)
xft) = x,(t)+sfD)^t)+f E(t-T:)y(T)dT^	(з,Ь?}
О
Первый член правой частя (з»4?) пред -
ставляет собой собственное движение системы
и выражается черэз начальные значения x(t)
и его производные.,
, Второй и третий члены дают вынужденные
движения системы при действии на нее вынуж-
дают е 2 фун нции у (t).
Реакцию системы на внешние возмущения
можно характеризовать операционной матрицей
П(Р)= HCP£^pf~—* S зависимости от вида матрицы
'П(Р) система будет по разному реагировать
на внешние воздействия.
Если операционная матрица п(р) не содержит
оператора р , то, как следует из уравнения
<S*7)’	x(t)=n(o)y(t)!	р.ЗД)
воспроизводит возмущающую функ-
искажений-»
к от
т»е. система
пию u(t) без
Для получения производной порядка
функции u(V ->че рацио иная матрица должна
имет** ПИ!Т •,	' .	, к
П(Р)~с'р,
где е' ~ постоянная матрица.,и
к - положительное числоо
Легко видеть, что вбспроизвенение , к -пов-
торного интеграла от u(t) возможно в том слу-
чае, когда
П(Р) « С“Р
В за^ничение следует еще раз подчеркнуть
что операционная матрица п(Р) 9 подобно ком-
плексной частотной хпр.лктериотике cf^)- v
30
 	,	•	I
переходной функции 6(t), является основной
характеристикой прибора» Знание ее вполне '
достаточно для оценки качества прибора»
4« СООТНОШЕНИЯ МЕВДУ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
ПРИБОРА
Во всех трех, методах решения, изложенных
в предыдущем параграфе,' решение уравнения
(.2»7) выражается через определенные характе- '
ристики, описывающие поведение системы? Та ~
ними характеристиками являются комплексная
частотная характеристика^ переходная функция
и, операционная матрица системы., Знание одной
из этих характеристик вполне достаточно для
описания динамических свойств системы» ДрУ -
гими словами, по известным СМ,б(о)и П(р) '
можно определить реакцию-системы x(t)
(например, показание прибора) на внешнее воз-
мущение ^(t).	. ’
В некоторых, случая^ возникает обратная
задача: но известным показанию прибора x(t)
и измеряемой величине u(t) требуется окреде ~
лить одну из его характеристик» Выше уже
указывалось, что по известным x(t) и
можно определить комплексную частотную харак-
теристику и переходную функцию системы» здесь
заметим, что'можно ташке определить и опера-
ционную матрицу, если заданы x(t)и y(t) как -
функции времени. Для этого до^татрчно найти
изображения функций x(i) и u(t) при нулевых
начальных условиях и воспользоваться соотно-
шением	'/1(Р) - Х(Р) Y'^P). Ki)
Таким образом, любая из характеристик
системы может быть определена по известным
x(t) и u(t) &г наоборот, показание приборах^)
может быть найдено при 'наличии одной из ха -
рактеристйк	или П(Р) и при условии,
что измеряемая величина u ft) известна, по
крайней мере, приближенно^
~ 31 —>
I
Так как характеристики Цы) t б(т) и п(Р)
дают представлениео реакции системы на раз-
личные внешние возмущения, то между ними
должны существовать определенные соотношения
Сейчас приведем некоторые из этих соотношений
[?] так как они понадобятся в дальнейшем.
.Предположим, что на систему (2.4) дей -
ств/ет возмущающая функция вида u(t)^ exp(pt)
T’S- W)z.j(0)Z;	(«)’
где p - комплексное число с положительной
вещественной частью.
Решение уравнения (4О2) можно записать в виде
(частное решевне)	±
x(t) - П(Р)еР ,	(42’)
где П(р) - введенная выше операционная матрица
системы.
С другой стороны решение уравнения (4»2)
можДо представить вtформе интеграла Дюамеля
’jc(*t).«€(t)+P ' 6(T)eP(t'r) с/Т,	(43)
1	•Л ‘	.	ч
Прира^айвая правые части выраявяяй (4*2 )
и (4,з ),:';.'й^лучим	;	, .
П(Р)ёр =6(t) + P/<5(T)e 1 dr.
Умножим обе части этого выражения на exp(-pt)
и устремим t — Тогда} как легко видеть,
наймем	п(р} r°° t
ПШ । б(т)еР dT	(4*)
Выражение (4О4) представляет собой не что
иное, как преобразование Лапласа. Таким обра-
зом j операционная матрица системы П(Р) ардя. “
ется йзЬбражением~пёреходной функции о (t)
’Если проинтегрировать левую часть (474Z
по Частям, то получим другой вид той же формулы
п(р) = S(O) + /~е'eT6'm dT .	(‘•s)
О
32
На выражение (4.4) моШо смотреть как на
интегральное уравнение относительно функции
e>(t)o, При определенных условиях [8] г которые
будем считать выполненными, решение интеграль-
ного уравнения (4.4) дается формулой обращения
Римана-Мелина [8]
S+t°°
^dPl (4.6)
S-i«
где S - вещественная часть -р , а интегри-
рование ведется но любой прямой, параллельной
мнимой оси плоскости p-s+iA-и расположенной
вправо I от всех особых точек функции
Таким образом соотношениями (4.4) и (4*б)
устанавливаете^ искомая связь между переходной
функцией 6(t) и о да рационной, матрицей П(Р)
системы.
Если в операционной матрице П(Р) заменить
оператор Р на ёси , то получим комплексную
частотную характеристику системы с(и>) .Сде *
лав указанную замену в уравнениях (4б4),(4.б)
и (5.6),найдем
О©
C(w) = LW 6(z)e dZ ?	147)
О яо
C(w) = 6(o)+| 6'(z)e'L<alTdT 7	(4.8)
Lblt
I C(w)	M)
“Op
Преобразуем формулу (4.9). Полагая
f(w) = /C(o>yerp(,ty), где/c(w)/“ частотная характе
ристика и	- фазовая характеристика,
.33
получим вместо (4О9)
6(t)=
или* пользуясь- тем,- что
Г -С{р~ Stnfwf-t- у) с1ш -0 ?
найдем	у
cos (cut + У) d со.
(4о10)
частот-
(4.и)
Соотношения (4Л), (4,8), (4^9) и
устанавливают связь менку комплексной
ной характеристикой и' поре?, одной функцией
системые
. Для полноты картины приведем также очеввдА
ные соотношения между частотно* характеристи-
кой и операционной матрицей
С(“) - П(Р)^Ш
-П(Р) - C(w)/iu.P
Из выражений (4об)‘, (4о 8). и (4»9) моыю
получить некоторые предельные соотношения [?].
В частности предположим в (.4 = 6) Р =0 и F —*».
Находим	ч
П(о)
Л(<») =б (о) .
(4.0)

С другой стороны, если В (4ор) ПОЛОЖИТЬ t~O9
то получим	“ k znj и	(4.0)
Пользуясь .выражениями (4\ 11), . !ч4в13) и (4о 14), можем написать	(4Л2),
С(о) = в(«*»),	(4.0)
С(°°) =^(о).	(4.<7)
84
Отсюда следует, что переходная функция
системы ведет себя при малыл временах так же,
как частотная характеристика при оолыпих
частотах и наоборот»
Следует напомнить, что соотношения (4»13)
и (4Л4) являются частным случаем общей тео -
ремы, состоящей в следующем [»з] » Поведение
Функции f(t) при t—» о аналогично поведению
ее изображения, F(p) при Р—и наоборот? Таким
образом аргументы t и Р* как бы взаимно обратны»
Пользуясь этой Теоремой, доказательство
которой можно найти в соответствующей литера-
туре [is], дадим приближенное выражение для
переходной функции при малых значениях t.
Предполагая, что П(Р) - правильная дробь,
дадим для нее асимптотическое разложение [г]
П(Р)^Х
К5К. £
причем предполагается, что р - большее число»
Учитывая то, что
I	t*
~Р^ ” ТГ ’
получаем
оа- П -	~	+**
n(P)=Z^—.	(«.'*)
к»к, г	к = к,,	л‘	г—О
Если степень полинома />(£) есть X , а сте-
пень полинома д(Р)~ А , причем у*А, то ряд
(4»18) будет начинаться с члена к,=у-А , а пе-
реходная функция при малых t будет нара-
стать по кривой к,' - порядка» -*ем выше сте -
пень к 1 у тем при прочих равных Условиях
будет медленнее нарастать переходная функция
б(*)при малых значениях t » Хотя отсюда еще
нельзя сделать заключения о том, что с цоз -
растанием -к, погрешность записи нрпериоди -
35
ческой быстронарастающей кривой будет воз -
светать, во одно ясно, что начальная часть
записываемой кривой будет воспроизведена с
значительными погрешностями»
оо ПОСТАНОВКА'ЗАДАЧИ О ПОГРЕШНОСТЯХ
ОТБОРОВ
Основной задачей теории прибо’ров, пред-
назначенных для измерения ^быстроизменятихся
величин, является анализ погрешностей и уста-
новление условий, при которых эти погрешности
будут Минимальнымио Для решения этой задачи
следует остановиться несколько подробнее на -
понятии "погрешность прибора” и 'установить
методы оценки погрешностей.
Приборы имеют ряд погрешностей, на оста-
навливаясь на анализе всех-погрешностей,,
займемся исследованием динамических погреш-
ностей, а также погрешностей-, вызываемы*,
вредными возмущающими функциями (помехами)<>
Эти два вида погрешностей в рассматриваемых
прибора;; имеют решающее значениев
Известно, что всякий измерительный при -
бор но может в точности следовать за измене-
ниями измеряемой величины. Причиной этого
является тот факт, что прибор представляет
собой материальную систему, поведение которой
описывается интегродиференниальными уразне -
ниями. Такая система реагирует на внешнюю
возмуцаюдую функцию ве непосредственно (тоев
не воспроизводит в точности изме яемую вели-
чину а как оы_.\йферевцкрует и интегрирует
ев. 3 общем случае прибор отзывается -на внеш-
ние возмущения суммарно: ею показания про -
порциоыальны сумме возмущающей функции, произ
водных и интегралов от Бее.
В зависимости от того, что желательно вы-
- делить из -внешней воэмушаюшей функции - самую
ли функцию, ее производную (какого-либо
36
порядка) 1'ди интеграл, получаем восиропэво -
дяаие (показания которых нгопорциональнп из -
меряемой величин») диферевцирующие (иоказанин
которых фопордиойнльнз производной от изме -
ряской величины) или интегрирующие (.показания
которых пропое-1’нопаяыш интегралу от изморяе-
емой величины). В последнее „ремя возникает
задача создания приборон, показания которых
пропорциональ^и суше возмущающей функции y(t)
ее л парных р.рсизнОкК’л > и m первых. повтор-
ных интегралео, твев
xo(t)=F(o)y(t)	(Л1)
где
а*пк	<Sz)
K--m
ач - постоянные. Догнивая задача возникает,
например, яри создании автоматически:?. регуля-
торов, j которых измерительное уетройс^зо
долгаяо хаэать на выходе волмчин/, пропорпио -
нальную регулируемой зелмчине и ее пронзаодякй
(а иногда н. интеграламJ о
Величину x0(t) , оироделяемую из
назоыем ге йсказенным во о про из а ед екием или
иеишсаггенным показанием ириоора. Эту величину
прибор мог бы дать на зыходе при подаче на
вход сигнала u(t) s если бы он не обладал
погрешностямиЛ В действительности прибор будет
давать на выходе величину x(t), определяемую
из уравнения (2О7), тоео
x(t) = nfD)y(t).	(53)
Если Сы матрицы F(D) и П(П) были пропорцио-
нальны друг Другу, Т?0о
Л(Д) = kF(D);	(5.4)
где к - постоянное число, то прибор .не
имел бы погрешностейо
В самом деле, если условие (ь<>4) выполнено, то
- 37 ~
. ч
вираженее (5.3) принимает ыид
x(t) = KFfD)y(t)
или, на. основании (5.1)
x(t) = *X0(t) ,
т.€г; показание прибора в этом случае от,лича -
ется только масштабом от измеряемой величины.
В общем случае условие (5Л) не выполняет-
ся, вследствие чего в приборе появляются
погрешности.. Погрешности, возникающие, в при-
боре при невыполнении условия (5.4)\ называ -
ютея динамическими. В частном случае для
неискаженного воспроизведения возмущающей
функции u(t) матрица F(D) превращается в по -
стоянную величину
FfD) = а0 ,	(S.5)
Отсюда- следует, что неискаженное воспроизве -
дение возмущающей функции при помощи прибора
с операционной матрицей П(£) возможно только
в том случае, если эта последняя не содержит
диференциальных членов (т.е. членов с опера-
тор ом'диференциро вания © ).
Рассмотрим простой пример. Предположим,
. что требуется воспроизвести вторую производ-
ную от функции y(t) при помощи прибора, опе-
ратор которого имеет вид 1/о*+£80+$, т.е.
необходимо решить уравнение
x(t)” пргйГТД'	(£6)
Всматриваясь в структуру оператора, легко
заметить, что в кем нет члена, пропорциональ-
ного второй производной от y(t) поэтому
этот прибор на может быть использован для
воспроизведения второй производной. Однако он
пригоден для приближенного воспроизведения
38
как самой функции y(t)t гак и одно- и Авукоат-
ного интеграла от t.ss£
Если аараме?ръ. прибора i к ..'-ать дадим обра-
зом,- szoos иоэфициепт v* -ж! значительно
больно 2 8 и 1, то прибор буцог приближенно
воспроизводить функцию y(t) (точнее говоря,
для этого необходимо присоединить еще одно
условия, а именно;
где - t, - время нарастании функции y(t) 9
мн принимаем, что это условие выполняется)о
Если Z8 иг 9/ малы по сравнению с единицей,то
прибор будет воспроизводишь двукратный пет© -
грал от v(t)o В первом случае динамическая „
погрешность, как разность между неискаженным
воспроизведением x0(t), определяемым из соотно-
шения xjt)=J^|2 и x(t), определяемым из (боб),
будет:	°
}/(t) _ _ W) _	Д*+2<5Т	{} , }
дх=хе-х	Z)2-h2S,D+9e2" фг+28О + 9‘)90г	,}
 Во втором случае неиснажендое воспроизведение
определяется из уравнения ~xoft) = у
поэтому погрепность оудет
9(t)	У(±)	_	28П + 12	-п/+) (5 8)
Здесь не лишне подчеркнуть, что погрешность
прибора, как.эго следиз соотношений (боГ)
и (5о8), определяется не только параметрами при
Збора, по и видом функции ^(t).
На основании воес о излеченного можно офор-
мулировать. след уюз-ес предложзкиео
Для того чтобы npaooji воспроизводил, хотя
бы приблидзияс, выражение x(t)=F(D)y(t), его one-
39
рационная матрица n(D)должна содержать члени,
аналогичные членам в матрице f(d)(аналогич-
ными называются такие члены, которые содержат
оператор о в одинаковой степени), Таким
образом, качественная оценка динамических по-
грешностей прибопа основана на сходстве мат-
риц П(п) и F(z>).
Вполне очевидно, что качественная оценка
динамических погрешностей может быть произве-
дена также на основании комплексной частотной
характеристики и переходной функции,, В самом
деле, если c0(w) и 60(t)- комплексная частот-
ная характеристика и переходная функция, ко -
торне прибор должен иметь для того, чтобы
давать неискаженное воспроизведение функции u(t)
а С (си) и &(t) - действительные частотная харак- 7
теристика и переходная функция прибора, то
отсутствие равенств
С0(^) = кС(ш)7	(5.9)
60(t)=K6(t)?	(з.ю)
будет обозначать, что в приборе имеются дина- ,
ыичеокие погрешности.,, заметим, что на основа-
нии выражений (3О13), (3,2&) и (3,47), а
также соотношений между характеристиками (4=4)—
(4О1?2? равенства (5,9) и (5„10) эквива-
лентны равенству
xo(t)=xx(t).	(5.н) -
»
6, О СООТНОШЕНИЯХ МЕВДУ ПОГРЕШНОСТЯМИ
И КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ИХ
Выше была установлена эквивалентность трех
характеристик прибора: операционной матрицы П(П)
Комплексной частотной характеристики	и
переходной функции <y(t)0 Наряду с этим, на
решение x(t) уравнения (2,7) можно смотреть
как на своеобразную характеристику прибора.
40
Действительно, величина x(t) , подобно вели-
чинам Ибо), С(о>) и 6(t) , указывает на то
как реагирует система на внешнее воздействие
•
В соответствии с четырьмя тинами харак -
тористик П(О) j C(aj)36(t)^. x(t) можно ввести
понятие^четырех типов погрешностейв
Под погрешностыа-црйбора будем подразуме-
вать разность между требуемой и действитель-
ной характеристикамиD Таким образом, динами-
чески а погрешности прибора могут быть выра —
жены по одной из формул
ДХОХ0-Х,	(6.1)
сП ^F(D)- n(D)f-	(6.2)
a6=<=>0(t)-6(t),	(6.3)
ДС=С0(бы)-С(си).	(6.4)
Погрешность д х , являющаяся разностьк?
между значениями x9(t) и x(t), определяемыми
соответственно из уравнений (Ь„1) и (2О7),
называется погрезностью формы0 эта погрев -
ность является функцией времени, поэтому ее
также называют мгновенной погрешностьюв По -
грешность формы непосредственно характеризует
искажения формы' записываемой кривой * . -
Погрешность дП , определяемую из выра-
жения (б»2), будем называть операционной по-
грешностью приборао Эта погрешность также .
может служить мерой качества воспроизведения,
если известны свойства воспроизводимой функ-
ции u(t)* В самом деле, свойства любой си -
стемы, предназначенной для воспроизведения
быстроизменяющихся величин, вполне опенива -
ются ее матрицей П(.0)« Если эта матрица
равна F(0) , то система не имеет погрешностей*
В противном'случав появляются погрешности,тем
более значительные, чем больше отличаются
матрицы Л(ц) И Р(п) друг от друга*
Погрешности и а с , определяемые из
выражений (6О3) и (6.4), называются соответ -
ственно переходной погрешностью и комплексной
частотной погрешностью приборао
Следует отметить количественную разницу
между погрешностями дп ,дс и йб , с одной
стороны, и погрешностью а х,- с другой..,
В то время как погрешность a х характеризует
качество воспроизведения, одновременно' учиты-
вая как свойства прибора, так и*возмущающей
функции uft) , погрешности й/7,лОй дб оце -
нивают только свойства прибора. Для оценки
величины погрешности воспроизведения необхо -
димо кроме того, знать свойства функции y(t).
Между погрешностями а х , д П }йС и д б
можно установить ряд соотношений, которые мо-
гут оказаться полезными при расчете приборове
бели подставить в формулу (6,1) вместо х0
И х их значения из (5.1) и (2О7), то получим
fix = х0~х = F(o)y(t)-n(D)^tJ^pn{D)]у (t)
УЛИ	йХ-ЛП^(1).	(6.5)
Таким образом, погрешность формы равна
произведению операционной погрешности на &ла-
чепие возмущающей функции y(t).
Для установления связи*между погрешностью
формы и частотной погрешностью дс воспользу-
емся выражением (3,13), а такие выражением
(5Л), в котором вместо подставим'его зна
чение из (3.7/	у
^)^F(D)^t)^F(Z))J ^(ш)есы с/си. (6.6)
/Предполагая здесь законность перестановки
местами операции Р(П) и интегрирования, а
также пользуясь тем, что
F (П) е= F () е1 wt - СХ) еi6,t,
- 42
можем написать
Lot
или
LU>t I -
аш —
Д X = J* Д Cfi(cd) е Lut dcD .
Выражение (6O7)'будем записывать так:
к
Д X — Д С Д ( ш) }
рассматривая это последнее кйк преобразова-
ние Фурье функции д с fi (cd).
Таким образом, погрешности форь(ы д х
ставится в соответстзие погрешность частот-
лая ZJ cfl(cD)o Вполне очевидно, что качество
воспроизведения функций y(t) при помощи при-
-бора с частотной характеристикой C(w) можно
оценивать комплексной частотной погрешно*-
отью &сА(ы)
Предположим•, что в заданном диапазоне
частот частотная погрешность дс достигает
наибольшего значения дсто ’тогда, восполь -
зоваваись теоремой о среднем f/4j , можем
написать вместо (6 Л)'
дх$ д	La)tc/co
или, пользуясь формулой (Зо7),
4 X £. Л С у (t).	бб-8)
Хотя эта формула дает грубую оценку погреш-
ности формы, однако при выборе параметров
прибора она’может найти применение»
Выразим операционную погрешность прибора
д п через переходную погрешность д б о Для
этого воспользуемся формулой (4е4)«- Если в
43
этой формуле вместо п(Р) подставить величину
F(P) , а вместо G(t) величину б ft) , то
можно напнсат^ «>	0
^> .J6i(t)e'nЛ. (6.9)
После этого получаем^
-	^f6c(t)endt-fi(t)e -etdl.
оо о	.0
= [&(*)-<3(t)]endz
ИЛИ	о те
ДЛ Г _ 4# ,	,
у-=р6е cl?.	(б.ю)
О
Это не что иное, как преобразование Лан-
ласа для функции г б ft)»/Каким. образом, опе-
рационная погрешность а П(р) является изображе-
нием переходной погрешности a6(t).
Если воспользоваться формулой обраде я ия
Римаиа-Мелина [s] , то - а б можно выразить
через, дП , решая уравнение (6.10)
£+£.<»
-	f Г А Л РЪ,	,	1
~р~е dp •
s-i"
Меаду операционной и частотной погрешно -
стями, как легко видеть, имеют место соотно -
венвя	ЛП(Р)-ЛС(«)/еи.р>	(б«)
й С (со)^П П(р)/Р=-Сы .	(613)
Для установления связи мевду погрешностью
формы дх и переходной .погрешностью лб вое -
пользуемся решением уравнения'(2.7) в форме,
интеграла Дюамеля (3,25) и, кроме того, оче -
44
видным соотношением
*B№>y(o)6o(t) 60(t-t) dy M, (б./4)
О
где х0 и б0 - характеристики прибора, при
наличии которых прибор будет ывискахеяво вос-
производить возмужавшую функцию Кмеем
t
4 XX x.ft) -x(t)=J(0)6G(t)+ГSt(t~T)dy(T)y(o)e(t) -
t	в t
или	t
A X	+^4<©ft-T)d,yft).	(6 j5)
&
Помимо написанных соотношений можно полу-
чить и другие. В частности, если-обратить
формулу (6.7), то получим
со
acfw)/7(w)==“rJ*A(t/e dt. (6-f6)
- <3*3
Искажения, вносимые воспрои-з'водйщей систе-
мой, часто оцениваются суммарной квадратичной
погрешностью, определяемой из соотношения
8 ~ Г/ax/* dt,	(6У?)
о со	'	%
где ах погрешность формы0 Не останавливаясь
здесь на вопросе использования квадратичной
погрешности, установим ее связь с частотной
погрешностью. Эта связь могла бн быть установ-
лена на основании соотношения (6Л), однако
мй. -воспользуемся другими сообра^ниямИс
Известно, что если две^ функции /(х) и- F(^)
45
удовлетворяют интегральным уравнениям Фурье [э]
со
- со
со
>(У)' ^х)е •
- о©
то имеет место соотношение
©а	со
1^(у)1г <ty (6,81
- ео	- со
Пользуясь этим соотношением, а также
фор мулами (6.7) и - (6 л6), может'напиоать
[ /zix(t)/*c/t	du. (s.ia)
Таким образом/ суммарная квадратичная по -
грешность формы, может быть непосредственно
выражена через частотную суммарную квадратич-
ную погрешность□
На выражение (6О5) можно смотреть как на
дифбренциальное уравнение для погрешности bx(t).
Если в выражении дх = х0-чх вместо х взять
его значение из (3.47), а вместо хо - его
значение из (5.1), то найдем
t
дх =F(D^(t)-xt(t)-S(a^(t)-/g(t-r)^(T)dT.	(6.Z0)
Q
Это самое общее выражение для погрешности
формы как функции времени* Преобразуем его для
частного случая воспроизведения функции ^(t).
В этом случае F(o)/B =ОД, поэтому
4х = п(о; ?(t) -x/t) - s(a)j/(t)-J £(t-r)s(т) dz. (s.zi)
' Проинтегрируем последний член правой части
(6О21) по частям и введем обозначение
£,{t)=Je{t)dt,
46
тогда-
Так как (о) ~tl{o) то, полагая и(о)-о^
найдем	’	\	«	>
^x = -.xi(t)-S(D)^(t)^81(t-Z)^(T)clT^	(6.2г)
Из рассмотрения этого жра&ения видно, что
динамическая погрешность прибора состоит из
двух частей: погрешности вызванной соботвен-
fl ши к ол ебаниями
ЛХ, = -Х,(±)д	(6.23)
я называемой собственной погрешностью прибора
и погрешности *
,	(6.24)
называемой главной погрешностью прибора»
Из вырааения (6.£4; для погрешности ахг
следует, что яозкожен такой выбор параметров,
при котором эта погрешность обратится в нуль,
хотя это справедливо только для функции 'y(t)
определенного видао	J
В то нремя как собственная погрешность
целиком определяется параметрами прибора и
начальными данными, главная погрешность зави-
сит от вада возмущающей функции. Следовательно,
динамические погрешности не столько характе -
ризуют прибор сам но<с-ебе, сколько его реак -
цию на различные возмущающие функции (измеря-
емые величины)о
Установленные соотношения между погрет -
костями дх , дп ,дс и д значительно облег -
чают решение задачи выбора параметров прибора»
В. самом деле, при измерении возмущающих функ-
ций, где существенное значение имеет форма
кривой, качество измерительного прибора лучше
всего оценивать погрешностью формы» Однако,
если учесть, что эта погреыность является
47
функцией времени и связана с параметрами си-
> стемы посредством трансцендентных уравнений,
то ясно, что определить со ней параметры в
сколько-нибудь сложных случаях.затруднительно.
Если же воспользоваться соотношениями между
погрешностями, то вместо погрешности формы дх
можно рассматривать частотную д с или опера-
ционную &п погрешности, связанные дробно -
- линейными соотношениями с параметрами системы.
В последнем случае выбор параметров прибора
значительно упрощается.
7. О ПОГРЕШНОСТЯХ ПРИБОРОВ,ВЫЗВАННЫХ
ПОСТОРОННИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
Работа измерительного устройства всегда
со провожается в гой или иной мере воздей -
ствйем на него наряду с измеряемыми посторон-
них возмущающих функций, которые будем назы-
вать помехами. Этот последний термин, займ -
ствоваиыый из радиотехники, указывает на то,
что измерению полезного сигнала, создаваемого
возмущающей функцией y(t), мешают сигналы,
создаваемые посторонними возмущениями. Чем
это мешающее действие меньше, тем при прочих
равных условиях с большей точностью будет -
измерена величина» В качестве примера укажем
на случай измерения давления в цилиндре дви-
гателя о На приемный элемент прибора будет
врздействовать на только полезная возмущаю -
щая функция - измеряемое давление, но и по -
стороанйе возмущения в виде вибраций стенок
цилиндра, ускорений, переменных температур и
т.д. При неудачном выборе параметров прибора
перечисленные факторы могут внести погрей -
нести, совершенно искажающий измеряемое дав-
ление.
Прибор должен обладать определенной изби-
рательностью но отношению к измеряемым вели-
48
чинам, не, реагируя в то же время на посторон-
ние возмущения. Создание таких приборов пред-
ставляет громадные-трудности ,и в настоящее
время подооная Задача разработана мало. Не
останавливаясь здесь на выборе параметров
приборов с точки зрения релекгивности их к
измеряемым величинам, дадим только оценку по-
грешностей, вызываемых помехами»
Переходя к оценке помех, будем полагать,
что посторонние возмущения воздействуют не
только' на вход прибора (т.е» его чувствитель-
ный элемент), ио также и на другие части его.
Например, при измерении давления в цилиндре
двигателя вибрации стенок воздействуют не
только на приемный элемент, но также на про-
вода, идущие от приемного элемента к усили -
Телю. Это приводит к' изменению емкости про -
водов и в некоторых типах приборов (например,
s емкостных индикаторах)-может внести значи-
тельные погрешности.
Если попрежнему обозначить через y(t) воз-
мущающую функцию, для измерения которой при -
бор предназначен и через /(t) постороннюю воз-
мущающую функцию, вносящую погрешности, то
уравнение движения, прибора можно записать в
НМЛ G
h(D)x =	(7i)
где х - показание прибора, искаженноеккроме
динамических погрешностей,помехами,
h(D)ug(n)- операционные матрицы, данные выше и
о ,(2) - матрица, характеризующая воздей—
* ствие помех на систему»
Вводя, как и выше, матрицу н(П) > присоединен-
ную к h(n)t получим
+	(7.г)
где
(7.з)
49
В общем случае матрицы Пф) и П,(&) не
равны друг другу. В том частном случае, когда
Л(Р)=/7,(Д), т.е. когда помехи воздействуют на
вход прибора, уравнение (7.2) упрощается и
принимает вид
x(t)-n(tn[y(t)*f(t)].	(7Л)
Отсюда следует, что если погрешность изме-
рения за счет помех не должна превышать ы- X,
то должно выполняться условие /(t)$ Opi<±u (t).
Решение уравнения (7.4). состветствьхщее
второму члену правой части (7.2), представляет
собой погрешность, вызванную помехами.-обозна-
чив это решение через дх„, найдем
ДХП- n,(O)f(t).	(7.5)
Таким образом, если известны свойства
Прибора [т.е. известна операционная матрица
П(В) и величина помех	то вычисление
погрешностей, вызванных помехами, не предста «-•
вит затруднений.
Здесь мы ограничимся этими краткими заме-
чаниями о погрешностях, вызванных помехами,
'предполагая возвратиться к этому вопросу в
другом месте.
8. П.Р.ИМЕР
Предполомим, что дай прибор, представ -
ляйщий собой систему с одной степенью свободы.
Многие записывающие и измерительные приборы
как раз и являются такими системами. Опреде -
лим погрешность, допускаемую прибором’ при
измерении величин типа единичной функции при
условии, что затухание в приборе критическое.
Уравнение двинения прибора при указанных
условиях Судет f2z + 2ota^I<ft}? (8.1}
где ot>0 и I (t) - единичная функция.
50
Произведем оценку качества воспроизведе-
ния при помощи погрешности формы и комплекс-
ной частотной погрешности.
Для ойределения погрешности формы еле -
дует решить уравнение (8.1). Это решение бу-
дет (нулевые начальные условия)
x =	+	(8.2)

51
Погрешность формы, на основании (8.2) и (8.3)
можно представить в виде	’
ДХ = Хо-Х = ~	(1 4 oi-t).	(8.4)
На фиг о 5 а и б б даны графики функций x(t)
xjt) и ax(t)o Легко видеть, что погрешность из- 1
меронИя будет тем больше, чем меньше «с ,т.ео
чем меньше собственная частота приборао Если
взять ос' = 100 и об" = 1О, то в первом случае
погрешность измерения будот составлять 10% че-
рез 0,04 сек., а во втором случае через О, 4 сек.
Теперь оценим качество воспроизведения с
точки зрения частотных соотношений. Комплек -
спаи частотная погрешность имеет вид
дС = ео-с(ш))	(8.5)
где с(о>)-'частотная характеристика прибора.
Легко задеть, что с, , I
_ i (k + tw)*
с»' о&'
Подставляя (9.6) и (8О7) в (8.5),
(8.6)
(8.7)
найдем -
(8.S')
согласно
(8.8)
Комплексный спектр единичной функции,
(3»9), имеет вид
Умножая (ЗоЗ) на (8.5 ), получим частотную
погрешность воспроизведения единичной функции
ДС(ш)Я(а>)= -—у
или
AC(id)/7(w)= —т
а>*
— 62 *
где
На фигс 6 ириведенн модули частотных харак-
теристик IfiCol, /ЛС/и/исЛ/, причем первая пред -
ставляет неискаженное воспроизведение единич-
ной функции, вторая - ее шлсаженное воспроиз-
ведение и третья - погрешность воспроизведе -
пия» Мн не приводим здесь фазовых соотношений,
не представлявших особого интереса в рассмат-
риваемом случае» Из рассмотрения фиг»6 еле -
дует что низкочастотные составляющие единич-
ной функции воспроизводятся-о налами искаже -
ниями, в то время как высокочастотные (начи -
пая с -д- = 1) почти совершенно не воспроиз -
водятся» Следовательно, по спектру возмущаю-
щей функции u(t) и по частотной характери -
стике прибора С(ш) можно сделать такие ие
заключения о качестве воспроизведения,как и
на основании погрешности формы»Преимущество ,
частотных соотношений -состоит ,в, том,что отпа-
дает необходимость интегрирования уравнения
движения и связанное с этим вычисление корней
характеристического уравнения.,
ЛИТЕРАТУРА
io АоКрылов. Дифере ациалыше уравнения
математической физики. Изд «АН,Л. ,1933.
2 fl. BtondeE. Theozte des oscl&ogzaphes
Ж'есЕатаде e'dectzifyue . i90Z.
3o J/. Buch, Elne enfache JlBPeCtuna dez
ifoC£standi.ngen Th^ozle des OszitPogzaphe t
«Phys Zs*> Bd. 3J3U.
4о А о Крылов И По Боголюбов o Зиг £а thepzie
rnathematC<iue des osccttogzaphes « Comptes
zendues de E'Jlcod.des Sciences de ZuRSS» (87,191$.
So АоХаркевич. О применении критерия
квадратичной погрешности к оценки линейных
искажений, ’’ЗЛТоФо", т.УП, BJ5,1937«
6о АоХаркевич. Об одном методе расчета
приборов, "^оТоФо*, т.УП, Во 10/ 1937о
7о АоХаркевич, Теория электроакустиче-
ских аппаратов, Свяэьтехиздат, м„, 1940о
В. А.Лурье, Операционное исчисление,
ОНТИ, Ло-Ио,.1938о .
9о АоЗигмундо Тригонометрические ряди,
ОНТИ, И.-Л», 1939о -
10о В.,Смирнов„ Курс высшей математики, ;
т.2, ГТТИ, М.-Ло, 1932о
11. ФвФранк и РоМизес. Диференциальные и
интегральные уравнения математической фи-
зики", часть П, ОНТИ, Ло-Йо>1937 (статья
СоСобслева) о
12.. Б.Булгаков. Об операционных решениях
систем линейных диференциальных уравнений с
ностоянннми;коэфициентами НДАЙИ, т.ХП,» 6,
1943»
13 о А.Эфрос и А«Данилевский» Операционное
исчисление и контурные интегралы» ОНТИДарько
1037»
14. ЕоУитекар и Г»Ватсон» Курс современ -
кого-анализа, ч»1, ГТТИ, Л«~М»', 1933»
*1 Институт
j	1 ЕКА
I Ж-^0 »2-
СГЛАВ JLILJL JUS-
о ВВ ВДВ НИС ••ееоо*«*о*в»«9ооеоооо 3
2. уравнения движения прибора .»..	5
Зо Решение уравнений ...........    7
4. соотношения меаду характери-
стиками	i....... . . . . о . о ..	30
5о Постановка задачи о погрешностях
приборов • оо.Ь.*.о.о«......«*о.	36
6.	О соотношениях между погрешно-
стями и количественная оценка их 39 »
7.	о погрешностях, приборов,вызван-
ных посторонними возмущениями... 47
8.	Пример ... ......................	49
Л и Т е р а т у р а.............. 53