Теория и практика рационального выбора - Микони С.В.

Author: Микони С.В.
Tags: математика искусственный интеллект
ISBN: 5-89035-141-9
Year: 2004
Similar
Элементы теории оптимальных систем
Элементы теории оптимальных дискретных процессов
Введение в теорию оптимального поиска
Теория и практика эволюционного моделирования
Text
                    УДК 519.4
ББК 32.813
М 594
М 594 Микони С.В. Теория и практика рационального выбора:
Монография. — М.: Маршрут, 2004. — 463 с.
ISBN 5-89035-141-9
Монография знакомит читателя с теоретическими основами принятия
решений и демонстрирует их применение на реальных задачах. Изложение
материала предваряется знакомством с основными понятиями теории
принятия решений. На основе предложенной автором классификации рас-
сматриваются три группы задач: отбора, упорядочения и выбора объек-
тов. Выбор выполняется в заданном пространстве признаков среди дис-
кретного множества объектов. Такой постановке задачи отвечает универ-
сальная модель «Объекты/Признаки», которая используется для решения
задач выбора как в условиях определенности, так и неопределенности.
Значительная роль отводится методам экспертного определения при-
оритета объектов и признаков. Приводятся формальные модели инди-
видуальных и групповых предпочтений; рассматривается индивидуаль-
ный выбор в группе в условиях противодействия и содействия.
В заключительной части изложены проблемы автоматизации подготовки
и решения практических задач на системе выбора и ранжирования СВИРЬ,
разработанной для автоматизации решения разнообразных задач рацио-
нального выбора, приведен опыт оценки деятельности кафедр университета.
Книга предназначена для научных работников, студентов и аспи-
рантов высших учебных заведений и может быть полезна практичес-
ким работникам транспорта, промышленности, сферы услуг и всем тем,
кто знаком с используемым математическим аппаратом и имеет интерес
к теории и практике принятия рациональных решений.
--------— --—,	УДК 574
I °тдел '' ББК 32.813
i питератури
Рецензенты:	1 *4 ы «Высшая математика»
ПГУПСа В.А. Ходаковский; д-р техн, наук, проф. кафедры «Компьютерная
математика и программирование» Санкт-Петербургского государственно-
го университета аэрокосмического приборостроения Б. В. Соколов.
ISBN 5-89035-141-9
© Микони С.В., 2004
© Издательство «Маршрут», 2004
© УМЦ МПС России, 2004
Светлой памяти моей бабушки,
Федосеевой Марии Эдуардовны,
и всех тех, кто помог автору вы-
жить в дни блокады Ленинграда
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пусть никто не думает, будто можно
всегда принимать безошибочные решения,
напротив, всякие решения сомнительны; ибо
в порядке вещей, что, стараясь избежать
одной неприятности, попадаешь в другую.
Мудрость заключается только в том, что-
бы, взвесив все возможные неприятности, наи-
меньшее зло почесть за благо
Н. Макиавелли «Государь»
Этот эпиграф автор решил заимствовать из последней кни-
ги недавно ушедшего видного российского специалиста, в об-
ласти принятия решений академика О.И. Ларичева по двум причи-
нам: во-первых, чтобы подчеркнуть преемственность своих ис-
следований по отношению к направлению, которое активно разви-
вал в нашей стране этот ученый, а во-вторых, по мнению автора,
трудно найти более удачную метафору для этой области знания,
тем более, что высказывание принадлежит не только известному
средневековому мыслителю, но и практику, каковым он являлся,
находясь у власти.
Несмотря на пессимистический тон этого эпиграфа, чело-
вечество не теряет интереса к проблеме принятия решений.
Действительно, жизнь любого человека — это сплошная це-
почка принятия решений: «Куда пойти учиться, а затем рабо-
тать?», «Какую квартиру приобрести (на какую обменять)?»,
«Кто подходит на роль супруга?», «Когда и сколько иметь
детей?», «Что купить из предлагаемого ассортимента?» и т.д.
И это только наиболее животрепещущие вопросы. А сколько
еще их приходится решать?
3
А сколько приходится принимать решений, касающихся
жизни не одного человека, а производственного коллектива,
муниципального образования, региона, государства! Здесь цена
решений возрастает многократно. Не удивительно, что руко-
водитель любого ранга нуждается в советующем органе: рек-
тор вуза решает вопросы с помощью Ученого Совета, а Пре-
зидент страны нуждается не в одном таком Совете. В роли
Совета может выступать группа экспертов, организованная
для решения конкретной проблемы. Здесь следует подчерк-
нуть буквальную роль Совета — он советует принять опре-
деленное решение. Последнее слово всегда остается за руко-
водителем. Именно он несет персональную ответственность
за принятое решение.
Принятие решения — психологически трудная задача, в осо-
бенности, если последствия решения затрагивают интересы многих
людей. Именно поэтому любой ответственный руководитель
заинтересован в принятии верного на данный момент решения
с помощью Совета. С другой стороны часть ответственности
за принятое решение он может возложить на Совет.
Учитывая непростой психологический аспект принятия ре-
шения, неудивительно, что существует категория граждан,
не желающих принимать решения, либо поддерживающих про-
стые, как правило, популистские, решения своего руково-
дителя. Это особенно ярко проявляется в политике. Имен-
но на такую категорию граждан опираются диктаторы,
из которых наибольшую известность в новейшей истории
получили Сталин и Гитлер1.
Несмотря на различные выдвигаемые предлоги, подсознатель-
ным уходом от ответственности можно объяснить неучастие
многих граждан в демократических выборах органов власти,
в то время как в тоталитарных режимах избиратель снимает
с себя ответственность, голосуя за единственного кандидата.
1 Автор пострадал и от того и от другого — отец, Микони Виталий Викенть-
евич, был репрессирован в 1937 г., а сам автор пережил первый, самый страш-
ный год фашистской блокады г. Ленинграда.
4
Впрочем, отказ от выбора (органов власти) — это еще
и вопрос культуры. Представители этой категории граждан
рассуждают обычно так: «Все кандидаты одинаковы (име-
ется в виду, одинаково грешны), поэтому выбирать неко-
го». Более активная часть этих граждан принимает учас-
тие в выборах, чтобы проголосовать против всех. Этот
подход предполагает наличие идеального (безгрешного) кан-
дидата, которого в природе, естественно, не существует.
Отсюда следует идеализм такого подхода. Помимо непо-
нимания или незнания приведенной в эпиграфе мудрости,
применимой ко всем вещам, эти люди не понимают еще,
что выборы власти устраиваются не для выбора идеально-
го избранника, а для организации конкуренции за власт-
ный пост. В условиях конкуренции избранник вынужден
считаться с интересами избирателей.
Однако, отказ от принятия решений в обмен на «хлеб и
зрелища» — это проблема психологов и социологов, а не специ-
алистов в принятии решений.
Фактом остается интерес многих людей к проблеме приня-
тия рациональных, т.е. обоснованных решений. И здесь также
следует упомянуть психологический фактор. Часто человек со-
мневается, насколько принятое им решение разумно и ищет
поддержки у родственников, знакомых, а иногда и у первых
встречных людей.
Автор испытал это на себе при таком ответственном ме-
роприятии, как обмен квартиры. На выбор варианта мог
повлиять радушный прием хозяина обмениваемой квартиры
и многие другие обстоятельства. Поэтому мы с супругой,
ощущая ненадежность одной интуиции, прибегли к рацио-
нальному выбору, основанному на анализе признаков,
с помощью которых можно было бы оценить любой вари-
ант обмена. Прибегнув к численной оценке свойств, мы ус-
покаивались, когда она подтверждала наше общее впечатле-
ние по оценке очередного варианта по отношению к уже
известным. Такой личный опыт, выдержавший практичес-
кую проверку, безусловно, стимулировал более глубокий ин-
терес к проблеме рационального выбора.
5
Исследования в области принятия решений были начаты
автором в 1987 г. в Ленинградском институте информатики
и автоматизации АН СССР (ныне СПИИРАН). После 1992 г.
они были продолжены в Петербургском государственном уни-
верситете путей сообщения (ПГУПС) в рамках проекта «Раз-
работка технологии создания интеллектуальных справочни-
ков» (подраздел «Интеллектуальные информационные техно-
логии» программы фундаментальных исследований по направ-
лению «Технические университеты России», 1993—1997 гг.) и
исследований ПГУПСа по фундаментальной тематике (1997—
2002 гг.). Многие результаты были получены при разработке
системы выбора и ранжирования СВИРЬ, первоначально пред-
назначавшейся для лабораторного практикума по дисципли-
не «Методы и алгоритмы принятия решений», а затем дора-
ботанной для решения практических задач. Результаты иссле-
дований получили методическое оформление при чтении курса
«Методы и алгоритмы принятия решений», а затем «Теории при-
нятия решений» (1993—2003 гг.).
Несмотря на то, что в области принятия решений опубли-
ковано много трудов и в том числе монографий, по мнению
автора, существует большая потребность в работах, имею-
щих практическую направленность. На содержание и стиль
изложения предлагаемой вниманию читателя монографии от-
ложило отпечаток стремление автора хоть в некоторой степе-
ни восполнить большой разрыв, существующий между тео-
ретическими результатами и практическими приложениями
рационального выбора, что способствовало бы более широ-
кому применению его теории и методов на практике.
В процессе работы автор ощущал влияние и помощь
коллег. В СПИИРАН это были профессора Р.М. Юсупов,
В.А. Торгашов, В.И. Городецкий. В ПГУПСе автор плодо-
творно сотрудничал с канд. физ.-мат. наук А.Н. Баушевым.
На последнем этапе написания книги автор ощутил поддер-
жку профессора В.Г. Дегтярёва. Всем перечисленным лицам
автор выражает глубокую благодарность.
Книга с практической направленностью не могла бы со-
стояться без востребования проводимых исследований. Здесь
6
важную роль сыграл управленческий опыт профессора В.И. Ко-
валёва, инициировавшего введение рейтинговой системы оцен-
ки деятельности кафедр в ПГУПСе, и активное участие в ней
профессора П.П. Якубчика. Профессор А.Е. Красковский при-
ложил немало усилий для внедрения результатов исследо-
ваний на ж.-д. транспорте. И наконец, проведенные иссле-
дования и написание этой книги были бы просто немысли-
мы без постоянной поддержки профессора В.В. Сапожнико-
ва. Всем перечисленным лицам автор выражает свою глубо-
кую признательность.
В разработку системы выбора и ранжирования СВИРЬ
наибольший вклад внесли студенты ПГУПСа Р.В. Козченко,
П.Г. Созоновский, К.А. Авраменко, А.О. Капарис, А.В. Пере-
дня. Главными помощниками автора в создании новых версий
системы были Д.П. Бураков и М.И. Сорокина (Гарина).
Исследования, результаты которых излагаются в книге,
выполнялись в непростые для отечественных ученых годы.
Поэтому огромное значение для автора играли поддержка
и понимание близких ему людей: супруги Юлии Викторовны,
брата Георгия Витальевича и дочерей Татьяны, Ольги и Ната-
льи, за что автор выражает им глубокую признательность.
ВВЕДЕНИЕ
Ключевым словосочетанием в названии книги является ра-
циональный выбор. Под ним понимается аналитический под-
ход к принятию решения, основанный на выявлении и форма-
лизации закономерностей в анализируемой предметной облас-
ти (ПО). Рациональный выбор является противоположностью
интуитивного выбора. Упрощенно их можно разделить как
решение задачи по частям и в целом. При решении задачи по
частям используются знаковые (символьные) модели, а при реше-
нии в целом — образные модели. Эта классификация имеет пря-
мую связь с левополушарным (знаковым) и правополушарным (об-
разным) способами мышления. У человека левое и правое полу-
шария головного мозга соединены мозолистым телом, обеспечи-
вающим одновременное участие обоих полушарий в мыслитель-
ном процессе. Поэтому можно говорить лишь о преобладании того
или иного способа мышления при решении конкретной задачи.
Вышеизложенное характеризует дуализм и взаимное допол-
нение рационального и интуитивного подхода в принятии ре-
шений. Именно это обстоятельство подчеркнул О.И. Ларичев
в названии своей первой книги «Наука и искусство принятия
решений» [35]. Предпочтение рациональному выбору в насто-
ящей книге отдается в силу его естественной формализации
и отсутствия опыта у автора в анализе психической компонен-
ты интуиции. Впрочем, на бытовом уровне понятие интуиции
не требует особых разъяснений.
В названии книги подчеркивается практический подход
к проблемам рационального выбора. Он накладывает отпечаток
на содержание книги и стиль изложения материала. Теоретичес-
кие знания, во многом известные, даются в ней под определен-
ным углом зрения, в конечном смысле реализующим прагмати-
ческий принцип: «Нет ничего практичнее хорошей теории».
Практика принятия решений имеет давнюю историю. Хри-
стоматийным считается Соломоново решение, которое относится
к IX в. до новой эры. Интенсивные теоретические исследова-
ния в этом направлении начались во второй половине XX в.
в рамках интегральной дисциплины «Исследование операций».
8
Эта дисциплина получила развитие в связи с необходимо-
стью получения экономического эффекта в промышленных
и транспортных технологиях и военного эффекта в боевых
операциях. Массовый характер и тех и других стимулировал
интерес промышленников и военных к решению этой пробле-
мы, а ученых — к поиску методов решения оптимизационных
задач. Здесь видная роль принадлежит отечественным ученым
Л.И. Канторовичу и А.Н. Колмогорову и зарубежным — Дан-
цигу, Форду, Веллману и др.
С появлением вычислительной техники возникла проблема
разделения функций между электронно-вычислительной маши-
ной (ЭВМ) и человеком. Возрастание роли человеческого фак-
тора при поиске оптимальных решений в человеко-машинных
(эргатических) системах послужило основанием для выделения
соответствующих моделей и методов в отдельную дисциплину
«Теория принятия решений». В развитие этой дисциплины
заметный вклад внесли О.И. Ларичев, Д.А. Поспелов,
Н.Н. Воробьев, Б.Г. Миркин, Дж. фон Нейман, О. Морген-
штерн, Г. Саймон и другие отечественные и зарубежные уче-
ные, ссылки на труды которых приведены в списке литературы.
После определенного этапа самостоятельного развития дис-
циплина «Теория принятия решений» стала изучаться в рам-
ках нового научного направления, получившего название «Ис-
кусственный интеллект», которое оформилось в последней
трети XX в. Этому способствовало усиленное исследование
интеллектуальной компоненты при решении задач оптималь-
ного выбора. Из работ, повлиявших на сближение этих дис-
циплин, следует упомянуть работы: Н. Нильсона по созда-
нию универсального решателя задач, Г. Саймона, изучавше-
го проблему неопределенности в рамках предложенной им
науки об искусственном, Л. Заде, предложившим формализа-
цию субъективной неопределенности, Д.А. Поспелова, изучав-
ших проблему выбора в рамках ситуационного управления.
Выбор наилучших объектов на основе их атрибутивного пред-
ставления является одной из разновидностей интеллектуаль-
ного анализа данных, теория и практика которого исследова-
лась Н.Г. Загоруйко в рамках искусственного интеллекта.
9
Если рассматривать решение как конечную точку некоторо-
го процесса, то оно всеохватно — его можно изучать не только
с позиций оптимизации и интеллектуализации, но и с позиций
логики, теории игр, психологии, конфликтологии и других наук.
В предлагаемой вниманию читателя монографии основной ак-
цент сделан на систематизации и объединении методов и задач
многокритериальной оптимизации с методами экспертного оце-
нивания. Этот подход в определенной степени соответствует
объединению многокритериальной теории полезности с мето-
дом анализа иерархий. Именно совмещение объективных и субъек-
тивных оценок, исследуемых в этих научных областях, позволя-
ет решать сложные практические задачи.
Наряду с данным подходом, весьма привлекательным явля-
ется также рассмотрение проблем рационального выбора, бази-
рующееся на структурно-математическом и категорийно-функ-
торном описании исследуемых задач принятия решений. В этом
случае удается с единых позиций рассмотреть как задачи груп-
пового выбора и векторной оптимизации, так и задачи каскад-
ного (иерархического), многоэтапного и игрового выбора [25].
В основу как многокритериальных, так и групповых оценок
положен принцип усреднения. Несмотря на то, что такой под-
ход встречает возражения у противников усреднения, он соот-
ветствует взгляду человека на вещи. Недостатки любого объек-
та в одних аспектах компенсируются преимуществами в других.
Это позволяет избежать гиперболизации объекта за счет отдель-
ных его свойств. Подбор свойств с целью обобщенного оцени-
вания объектов является в определенной мере искусством.
Книга преследует двоякую цель — изложение теоретичес-
ких основ принятия решений и иллюстрация их применения
для решения практических задач. Прагматический аспект под-
крепляется описанием системы выбора и ранжирования СВИРЬ,
специально разработанной для практического применения
методов рационального выбора. Указанный подход определил
содержание книги. Она состоит из 13 глав.
В 1 главе приводятся основные понятия и рассматриваются
основные этапы процесса принятия решений, систематизиру-
ются задачи выбора, из которых выделяются три группы за-
дач многокритериального выбора.
10
Во 2 главе рассматриваются формальные способы порож-
дения альтернатив, основанные на двух подходах: имита-
ционном и морфологическом. Основное внимание уделяет-
ся морфологическому анализу и синтезу вариантов пред-
метного знания. Приводятся практические примеры мор-
фологического подхода к порождению вариантов. В зави-
симости от назначения соответствующие программные си-
стемы классифицируются на интеллектуальные справочни-
ки и генераторы вариантов.
В 3 главе рассматриваются вопросы структурирования про-
странства признаков с применением аксиоматического и логи-
ко-лингвистического подхода. Структурирование пространства
признаков рассматривается как основной способ решения прак-
тических задач с высокой размерностью.
В 4 главе рассматриваются три типовых задачи отбора объек-
тов в пространстве признаков: нахождение недоминируемых
альтернатив (множества Парето), отбор на основе ограниче-
ний признаков, поиск по цели.
В 5 главе излагаются задачи упорядочения объектов. Эти
задачи решаются на основе упорядочения критериев в поряд-
ковой или интервальной шкале. 2 способ осуществляется пу-
тем нахождения весовых коэффициентов критериев, включае-
мых в функцию полезности. Большое внимание в этой главе
уделяется влиянию весовых и нормирующих коэффициентов
на функцию полезности. На основе выявленных свойств фун-
кций полезности рекомендуются области их применения. Под-
робно описывается задача упорядочения объектов относительно
требований, предъявляемых к признакам, имеющая много прак-
тических приложений. Рассматриваются особенности упорядо-
чения объектов в иерархическом пространстве признаков.
6 глава посвящена вопросам формализации предпочте-
ний эксперта. В ней рассматривается проблема вербально-
го и численного представления предпочтений. Приводятся
различные способы задания предпочтений и вычисления
на их основе приоритета сущностей. Большое внимание уде-
ляется определению приоритета признаков в иерархичес-
ком пространстве.
В 7 главе рассматриваются вопросы группового выбора.
Излагаются парадоксы систем голосования, теорема невозмож-
ности Эрроу и способы преодоления невозможности. 2 часть
главы посвящена изложению методов группового оценивания
объектов и признаков. В ней рассматриваются вопросы усред-
нения и согласования индивидуальных экспертных оценок.
В главе 8 излагаются вопросы рационального выбора инди-
видуума, находящегося в отношении содействия или противо-
действия к другим индивидуумам. Для решения задач привле-
каются методы теории игр и многоагентных систем.
В главе 9 рассматриваются задачи выбора в условиях не-
четкой неопределенности. Описывается математический аппа-
рат, применяемый для решения задач нечеткого выбора и не-
четкой классификации объектов. Излагается способ ранжиро-
вания объектов, основанный на упорядочении классов и не-
четких многокритериальных оценок внутри каждого класса.
10 глава посвящена анализу результатов оценивания. Здесь
излагаются методы нахождения сходства и различия результа-
тов многокритериального оценивания, полученных при раз-
личных условиях оценивания. Для количественной оценки
различия рейтинга объектов используется коэффициент разли-
чия, а для оценки взаимосвязи признаков — коэффициент
парной корреляции. Оценивается вклад отдельных критери-
ев в обобщенную оценку объекта. Большое внимание уделяет-
ся использованию когнитивной графики, основанной на при-
менении диаграмм и цветового стандарта качества.
В 11 главе рассматривается функциональный базис задач
рационального выбора. Он положен в основу проектирова-
ния универсальной системы выбора и ранжирования СВИРЬ.
Приводится краткое описание ее возможностей и сфер при-
менения.
12 и 13 главы имеют практический уклон. В первой из них
излагается технология решения задач рационального выбора
на системе СВИРЬ на примере покупки квартиры. Рассматри-
вается решение этой проблемы с применением различных за-
дач выбора, что позволяет сопоставить их между собой и оп-
ределить области предпочтительного применения.
12
В заключительной 13 главе приводится опыт использова-
ния системы СВИРЬ для определения рейтинга кафедр универ-
ситета. Материал, изложенный в этой главе, представляет са-
мостоятельный интерес. Он может быть использован пользо-
вателями системы СВИРЬ в качестве методических указаний
для решения задачи нахождения рейтинга подразделений
не только в университетах, но и в других любых организациях.
Поскольку содержание глав книги изложено в достаточно
сжатой форме, в конце каждой главы проводится обсуждение,
отражающее точку зрения автора на рассматриваемые вопро-
сы, и дополнительное обоснование основных положений. Од-
ной из причин этого является их дискуссионность. В процессе
работы над книгой автору не раз доводилось вступать в дис-
куссию с критиками формализации решения задач рациональ-
ного выбора. Как это не парадоксально, но в концентриро-
ванном виде и полемической форме ряд критических дово-
дов был опубликован на сайте Интернет [17] в работе, посвя-
щенной пропаганде идей рационального выбора среди широ-
кого круга специалистов по информатике. В обсуждении ряда
разделов, которых коснулась эта критика, автор обосновыва-
ет свое отношение к этим вопросам.
Для концентрации внимания читателя на основных резуль-
татах в конце каждой главы приводятся основные выводы по
его содержанию.
Автор благодарен рецензентам книги: профессорам В.А. Хода-
ковскому и Б.В. Соколову, сделавшим ряд полезных замечаний.
13
Глава 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Что человек не понимает, тем
он не владеет
Гете
1.1. Основные понятия
Проиллюстрируем сущность и основные понятия принятия
решений на примере хрестоматийного Соломонова решения.
Оно цитируется во многих источниках [93], поэтому приведем
его в сокращенном изложении.
К иудейскому царю Соломону пришли судиться две женщи-
ны. Они жили в одном доме и родили по сыну. Ночью одна из
них случайно удушила своего сына и подложила его второй,
взяв у нее ее сына. Царь должен был рассудить женщин, каж-
дая из которых утверждала, что оставшийся в живых сын при-
надлежит ей. Для этого он велел принести меч и сказал: «По-
делите ребенка пополам и отдайте им по половине». Первая
женщина воскликнула: «Не убивайте его, отдайте ей». А вто-
рая сказала: «Пусть поделят, чтобы не достался ни тебе, ни
мне». Тогда царь сказал: «Отдайте ребенка первой женщине.
Она его мать!». Он резонно полагал, что настоящая мать не
допустит гибели сына даже путем потери его для себя.
Построим модель принятия решения для рассматриваемого
примера. Для этого проанализируем варианты решения, кото-
рые были в распоряжении царя Соломона. Фактически их было
четыре:
1.	Отдать ребенка 1-й женщине.
2.	Отдать ребенка 2-й женщине.
3.	Не отдавать ни одной.
4.	Получить дополнительную информацию для принятия
одного из предыдущих решений.
Можно считать, что в отсутствие дополнительной инфор-
мации при случайном выборе одного из первых двух вари-
антов вероятность правильного решения составит/?=0,5. Желая
14
получить большую информацию, царь выбрал четвертый ва-
риант, высказав заранее неприемлемое решение («поделить ре-
бенка»), Этим царь хотел выяснить для себя, какая из женщин
проявит материнский инстинкт. И по получению реакции женщин
на свое предложение у него остался один из двух первых вариан-
тов решения.
В теории принятия решений взаимоисключающие варианты
решений называют альтернативами, а их совокупность — множе-
ством альтернатив. Процесс выбора лучшей из имеющихся аль-
тернатив называют ступенью или шагом принятия решения. В теории
игр акт выбора называют ходом, а последствие выбора — исхо-
дом. В примере была применена двухступенчатая (двухходовая)
процедура принятия решения. Признак, применяемый для сравне-
ния альтернатив на текущем шаге с целью выбора лучшей из них,
называют критерием оценки или просто критерием.
Обозначим множество альтернатив через X. Для рассматри-
ваемого примера на 1 шаге оно равно:	х2\ х3, х4}, а
на 2 шаге равно: У2={%12’ х22)- Верхними индексами помечены
номера шагов (ступеней выбора).
При принятии решения на 1 шаге в качестве критерия ца-
рем Соломоном был использован признак Информативность,
а на 2 шаге — Материнский инстинкт. Обозначим их соответ-
ственно переменными и у2, которые образуют множество
критериев K={ji, у2}. В примере критерии используются пос-
ледовательно. Моделью многоступенчатого (последовательно-
го) процесса принятия решений является дерево решений. Дере-
во решений царя Соломона изображено на рис. 1.1.
Дерево решений на рис. 1.1 имеет 2 яруса — по числу шагов при-
нятия решений. Корневой вершине дерева ставится в соответствие
исходное множество альтернатив Х^. Промежуточной вершине дере-
ва поставлена в соответствие промежуточная альтернатива х4, по-
рождающая множество альтернатив Х2 относительно критерия у2.
Каждой листовой (висячей) вершине дерева ставится в соответ-
ствие одна альтернатива, принадлежащая множеству альтернатив,
сопоставленных вершине предыдущего уровня. Эти альтернативы
называются окончательными. Альтернативы Х[ и х2, принадлежа-
щие разным ярусам дерева, называются повторяющимися.
15
Рис. 1.1. Дерево решений царя Соломона
Процесс принятия решения завершается выбором одной
из окончательных альтернатив. В дереве, изображенном на рис. 1.1,
ею является альтернатива х^. Путь до нее, начинающийся
от корневой вершины, характеризует результат выбора на каж-
дом шаге процедуры. На рис. 1.1 он изображен сплошными
линиями в то время, как пунктирными линиями помечены
возможные пути решения проблемы.
В зависимости от соотнесения критерия ярусу (уровню) дерева
либо промежуточной вершине различают безусловный иусловный поиск
решения. Это означает, что в первом случае критерий используется
для оценивания любых решений, выбранных на предыдущем шаге,
а во втором — для оценивания только выбранного решения.
В системном анализе система, в функционировании кото-
рой проявилось некоторое нежелательное явление, называется
проблемосодержащей. В примере это две женщины, обратив-
шиеся к царю. Система, предназначенная для решения пробле-
мы (в примере — царь), называется проблеморазрешающей.
В теории управления проблемосодержащая система называет-
ся объектом, а проблеморазрешающая — субъектом управления.
В автоматизированных системах управления (АСУ) в качестве
субъекта управления выступает лицо, принимающее решение (ЛПР).
На начальной стадии разработки и использования АСУ инфор-
мационные системы делились на информационно-справочные
и информационно-советующие. Советующие системы содер-
жали средства для получения и выбора наилучших альтернатив.
16
В настоящее время системы, выполняющие подобные функции,
называются системами поддержки принятия решений (СППР).
В современных интеллектуальных системах в качестве субъек-
та управления используется агент. В общей трактовке агент оп-
ределяется как «лицо или организация, наделенное юридически-
ми полномочиями представлять другое лицо или организацию
и вести их дела» [93]. В интеллектуальных системах агент воспри-
нимается как представитель ЛПР в решении конкретной задачи.
Самостоятельное принятие решений агентом обуславливается
такими его свойствами, как автономность, целенаправленность
и активность. В современной теории многоагентных систем (МАС)
агенты наделяются также и такими человеческими свойствами,
как убеждение, желание, намерение, предвидение, обязательства
и пр. (антропологический подход) [98]. На этом основании
в дальнейшем все действия, предпринимаемые ЛПР, будут также
относиться и к агенту как его представителю.
1.2.	Этапы принятия решений
I
।	Прежде, чем что-либо предпринять, обду-
>	май, и, как скоро обдумаешь, своевременно
приводи в исполнение
Саллюстий
Принятие решения не является элементарным актом. Оно
предваряется подготовительными действиями, а завершается
оценкой принятого решения. Различают следующие основные
этапы принятия решения:
1.	Формулирование проблемы.
2.	Выявление целей.
3.	Формирование критериев.
4.	Сбор информации (нахождение альтернатив и определе-
ние их свойств).
5.	Выбор одной или нескольких альтернатив на основе их
сопоставления по выбранным критериям.
6.	Оценивание последствий выбора и качества решения.
7.	Если оценка отрицательна, то возврат к 1 (2, 3).
[ . ”дел научной 5
I литегснуры !
Первые 4 этапа называют построением модели принятия
решений [76], а само принятие решения часто отождествляют
с выбором альтернативы, выполняемым на 5 этапе.
6 этап, по существу, должен подтвердить правильность при-
нятого решения, либо его неприемлемость. С этой целью оно
умозрительно сопоставляется с ближайшими к нему вариантами
и анализируются возможные последствия его реализации.
В случае отрицательной оценки предполагаемого решения
реализуется обратная связь к первым трем этапам, начиная
с 3 этапа. На этом этапе могут быть изменены критерии оценки
альтернатив. Если это не изменяет качества решения, корректи-
руются цели принятия решения. Если и это не удовлетворяет ЛПР,
может быть переформулирована сама решаемая проблема.
При решении сложных проблем и для получения высокого
качества решения заказчик привлекает специалистов различ-
ного профиля. К ним относятся специалисты в анализируемой
предметной области (предметники), системный аналитик и ЛПР,
если им не является сам заказчик, а также те лица, которых
непосредственно касается рассматриваемая проблема. Систем-
ный аналитик выступает как гарант нейтральности и обеспе-
чивает качество построения модели принятия решений.
Небезынтересно рассмотреть типичные ошибки принятия
решения, которые совершаются при ненадлежащем выполне-
нии перечисленных этапов и рекомендаций. К ним относят
следующие решения [70]:
1.	Интуитивное (не используется модель принятия решений).
2.	Необдуманное (полностью или частично игнорируются
подготовительные этапы).
3.	Неряшливое (основанное на недостоверных исходных
данных).
4.	Эгоцентрическое (модель принятия решений ориентиро-
вана на собственную выгоду).
5.	Слепое (не учитываются последствия принятого решения).
6.	Эмоциональное (влияние настроения на этапы принятия
решения).
7.	Самодовольное (игнорирование опыта специалистов).
8.	Упрямое или глупое (повторение предыдущих ошибок).
18
Решение царя Соломона было признано мудрым в силу
того, что он, не обладая теоретическими знаниями, тем не
менее выполнил все необходимые подготовительные дей-
ствия и не допустил перечисленных ошибок. Не строя в яв-
ном виде дерево решений, он реализовал его, подобрав пра-
вильные критерии оценки и выбрав по ним правильную
альтернативу. В содержательном смысле соломоново реше-
ние следует считать разумным или осмысленным, что на за-
падный манер трактуется словом «рациональное».
Теперь рассмотрим подробнее подготовительные этапы
принятия решения.
1.3. Формулирование проблемы
Гораздо труднее увидеть проблему, чем най-
ти ее решение. Для первого требуется вооб-
ражение, а для второго — только умение
Дж. Бернал
Как следует из п. 1.1, под проблемой понимается некоторое
нежелательное явление в анализируемой предметной области.
Следовательно, формулирование проблемы заключается в вы-
явлении и анализе этого явления. Анализ направлен на выяв-
ление причин нежелательности явления.
Например, пользователь компьютера расширил свою дея-
тельность на базы данных. Установка современной системы
управления базами данных потребовала от его компьютера
дополнительных ресурсов. В этом случае компьютер для пользо-
вателя превращается в проблемосодержащую систему. Пользо-
вателю необходимо выяснить, что именно нужно изменить,
чтобы компьютер можно было использовать для решения но-
вой задачи.
Для анализа проблемы строится ее содержательная модель,
включающая наряду с проблемосодержащей системой все за-
интересованные стороны.
19
Рассмотрим решение этой задачи на следующем конкрет-
ном примере. В 2000 г. ректорат Петербургского государствен-
ного университета путей сообщения взял курс на интенсифи-
кацию деятельности кафедр. В связи с этим встал вопрос о
способе оценки этой деятельности, допускающем сопоставле-
ние различных кафедр. При этом было решено применить
рациональный способ оценивания, поскольку в интуитивном
способе, использовавшемся ранее, велика доля субъективиз-
ма. Ректорат в этом примере выступил в роли заказчика, сфор-
мулировав проблему в общем виде. Для конкретизации про-
блемы потребовалось участие других заинтересованных сто-
рон. Наиболее заинтересованной из них являются кафедры
университета как объекты оценивания. В качестве субъекта
оценивания было назначено Учебное управление университе-
та. Таким образом, заказчиком ему была делегирована роль
ЛПР. В качестве системного аналитика, отвечающего за объек-
тивность модели, был привлечен автор этой книги. Модель,
содержащая проблему и участников ее постановки, изобра-
жена на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Модель формулирования проблемы
по оценке деятельности кафедр университета
20
В центре рис. 1.2 изображена проблемосодержащая систе-
ма, сверху, слева и снизу ее — стороны, заинтересованные в ее
решении (или нерешении), а справа — специалист по систем-
ному анализу. Его роль на этой стадии создания модели зак-
лючается в том, чтобы определить, кто из заинтересованных
сторон и в чем заинтересован, какие изменения в систему оце-
нивания и почему они хотят внести.
Обмен мнениями по формулированию проблемы выявил
интересы сторон. Наиболее критично были настроены пред-
ставители кафедр в лице их заведующих, что выглядело впол-
не естественным. На основе детального обсуждения проблемы
был выработан компромиссный вариант формализации проб-
лемосодержащей системы, основанный на рациональном спо-
собе оценивания деятельности кафедр.
Относительно точности модельного представления пробле-
мосодержащие системы делятся на хорошо и плохо формализу-
емые (структурируемые) [88]. К хорошо формализуемым отно-
сятся, например, системы с детерминированным поведением.
К плохо формализуемым относятся человеко-машинные (эрга-
тические) и организационные системы, характеризуемые нали-
чием «человеческого фактора». Он вносит в систему элемент
неопределенности, присущий субъективизму человеческих оце-
нок. Именно к последнему типу моделей и относится рассмот-
ренный пример.
Для автоматизации решения плохо формализуемых проблем
привлекаются математические модели, которые позволяют
учитывать имеющуюся степень неопределенности. Одним из
способов уменьшения субъективизма является коллективный
подход к построению модели, учитывающий весь спектр мне-
ний. Тем не менее важно избегать абсолютизации решений,
получаемых с помощью этих моделей, поскольку они создают-
ся для определенных условий и с определенной степенью со-
гласия всех участников.
21
1.4. Выявление целей
Когда человек не знает, к какой
пристани он держит путь, для него
ни один ветер не будет попутным
Сенека
Цель в известном смысле является антиподом проблемы. Если
проблема фиксирует то, что не хочет видеть заинтересованное
лицо, то цель формирует то, что оно хочет видеть. Поэтому
этапы формулирования проблемы и выявления цели тесно свя-
заны между собой. Эта связь имеет итеративный характер. Рас-
смотрим ее на примере Соломонова решения.
Проблему, возникшую перед царем Соломоном, можно сфор-
мулировать следующими словами: «Неизвестна мать ребенка».
Отталкиваясь от этой проблемы, он сформулировал цель: «Найти
мать ребенка». На пути достижения поставленной цели возник-
ла следующая проблема: «Для решения задачи недостаточно
информации». Царь получил эту информацию реакцией жен-
щин на его предложение. На основе полученной информации
царь правильно определил целевое состояние проблемосодержа-
щей системы, т.е. нашел верное решение проблемы.
Рассмотренный пример характеризуется неконкретностью
первоначально поставленной цели. В задачах этого типа цель
конкретизируется в процессе ее решения путем последователь-
ного уточнения пары «цель—средство» до достижения конк-
ретной цели. Этот процесс моделируется деревом решений с
альтернативными целями. Поясним это на примере сформули-
рованной ранее проблемы неудовлетворительных ресурсов
компьютера для работы с современными базами данных. Про-
блему достижения поставленной цели «Увеличить ресурсы
компьютера» можно решить как минимум двумя способами:
купить новый компьютер или модернизировать имеющийся.
После выбора первой из этих целей как значений поставлен-
ной проблемы возникают новые проблемы: «Какой компью-
тер купить, где, за какую цену и т.д.?».
Помимо рассмотренных существуют задачи принятия реше-
ний, когда цель известна изначально, т.е. поставлена конкретно.
22
Этот случай рассмотрим на примере навигационной задачи,
характеризуемой исходным и целевым состояниями системы [52].
Пусть эти состояния принадлежат противоположным верши-
нам транспортной сети — истоку А и стоку В. Вершина В
является целевой. В этой задаче решается проблема маршру-
тизации, т.е. прокладки маршрута между вершинами А и В.
При этом необходимо выбрать оптимальный в заданном смыс-
ле (по расстоянию, времени или надежности прохождения объек-
та и т.д.) маршрут. В терминах навигационной задачи решает-
ся большой класс задач принятия решений. Они различаются:
•	числом маршрутов, соединяющих вершины А и В',
•	числом шагов в маршрутах (одно и много ходовые задачи);
•	наличием тупиковых маршрутов, не приводящих в вер-
шину А (проблема блуждания в лабиринте, строго говоря,
не являющегося транспортной сетью);
•	степенью неопределенности следующего хода, например
при отсутствии карты транспортной сети.
По отношению к этим задачам предыдущие характеризуют-
ся отсутствием целевого состояния системы, которое опреде-
ляется в процессе решения последовательно формулируемых
проблем (принцип конкретизации цели).
Следует различать последовательное и параллельное выдвиже-
ние целей. Примером последовательного выдвижения цели явля-
ется попадание агента в ситуацию St, которая характеризуется
несколькими исходами. Руководствуясь общей (стратегической)
целью и своим состоянием, агент должен выдвинуть частную (так-
тическую) цель в ситуации St. В соответствии с этим агент выпол-
няет последовательный выбор для попадания в целевое состояние.
Альтернативой последовательному является параллельный спо-
соб выдвижения целей, когда на каждом шаге необходимо учиты-
вать достижение более, чем одной цели. Рассмотрим этот способ на
примере решения проблемы жилья. Захотевший решить эту пробле-
му горожанин вынужден одновременно выдвинуть более конкрет-
ные цели — такие, как характеристика квартиры, дома, района,
а также стоимости квартиры и ее обслуживания. В свою очередь,
выбор квартиры потребует выдвижения таких целей, как количество
комнат, их площадь, характеристика подсобных помещений и т.д.
Таким образом, строится дерево целей в отношении цель—средство.
23
Цель р-го яруса дерева является средством достижения вышестоя-
щей цели р-1-го яруса. Иными словами, для того чтобы найти под-
ходящее жилье, нужно определиться с требованиями к квартире, дому,
в котором она находится, и району, в котором расположен этот дом.
В свою очередь, для выбора квартиры необходимо предъявить тре-
бования к числу комнат, их площади, подсобным помещениям и т.д.,
что свидетельствует о многоцелевом подходе к принятию решения.
В этом подходе ЛПР руководствуется определенной совокуп-
ностью частных целей для решения общей проблемы, причем эта
совокупность определяется как характеристикой рассматривае-
мой предметной области, так и системой ценностей самого ЛПР.
Например, для ЛПР с экологическим восприятием мира ценнос-
тным фактором является месторасположение дома возле лесо-
парка, а не на улице с интенсивным движением. Таким образом,
в процессе выдвижения целей присутствует как объективная со-
ставляющая, присущая рассматриваемой ПО, так и субъективная
составляющая, выражающая интересы ЛПР. Очевидно, что сис-
тема ценностей ЛПР может быть различной — технократическая
или гуманистическая, альтруистическая или прагматическая и пр.
Отсюда следует желательность привлечения ЛПР с разными (вза-
имодополняющими) системами ценностей для решения обществен-
но значимых и производственных проблем.
При конкретизации целей мы неизбежно сталкиваемся
с измеряемыми величинами — такими, как площадь комнаты,
стоимость квартиры и т.п. Оперирование этими величинами
требует их правильного измерения, которое, прежде всего, зак-
лючается в грамотном выборе надлежащей шкалы.
1.5. Измерение и шкалы
Всякое рациональное творчество должно
основываться на числе и мере.
Академик А.Н. Крылов
Принятие решения осуществляется на основе сопоставления
объектов, результатом которого является либо их отождеств-
ление, либо различение. Информация для сопоставления объек-
тов получается с помощью измерения характеризующих
их признаков (атрибутов, показателей, параметров).
24
Под измерением понимается операция, которая данному наблю-
даемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соот-
ветствие определенное обозначение: символ, номер или число [76].
Различимым состояниям ставятся в соответствие разные обозна-
чения, а неразличимым состояниям — одинаковые обозначения.
Установление тождества между состояниями А, В и С удов-
летворяет следующим аксиомам:
1.	А=В, либо А*В.
2.	Если А=В, то В=А (аксиома симметрии).
3.	Если А=В и В=С, то А=С (аксиома транзитивности тож-
дества).
В зависимости от требований, предъявляемых к различению
(отождествлению) состояний, а также к способам обработки изме-
ренных величин, для измерения используются различные шкалы.
Рассмотрим их в последовательности ужесточения требований.
1.5.1. Шкала наименований
Шкала наименований называется также номинальной или
классификационной шкалой. Задача измерения в шкале наиме-
нований сводится лишь к различению (отождествлению) объек-
тов. Каждому объекту ставится в соответствие уникальное имя,
позволяющее отличить этот объект от других. Имя может вы-
ражаться словами естественного языка, числами и графически-
ми образами (например, иконки в компьютерных программах).
Нередко одновременно используются разные виды обозначе-
ний. Например, фирменный поезд, отправляющийся из г. Санкт-
Петербурга в г. Москву, называется «Красная стрела» и имеет
номер 1. Это позволяет отличить его от всех других поездов,
курсирующих между этими городами. Для различения направ-
лений, в которых может двигаться приведенный в примере по-
езд, его обратному маршруту присвоен номер 2. В компьютер-
ной системе каждая иконка имеет словесную интерпретацию,
которая появляется во всплывающем окне.
В номинальной шкале измеряются также классы объектов.
В структуре классов имена подбираются таким образом, что-
бы было легко установить отношения между соседними клас-
сами. Для различения экземпляров внутри класса им также
придаются уникальные имена.
25
Для обработки данных, представленных в номинальной
шкале, можно использовать только операцию их совпадения
или несовпадения:
6,7={1:х,=ху; 0: x^Xj}.
Обработка результатов этой операции может включать:
1)	подсчет числа совпадений или несовпадений;
2)	вычисление относительной частоты совпадений (несов-
падений);
3)	сравнение частот между собой;
4)	определение номера наиболее встречающегося класса
(мода).
Если требуется выявить не только факт различия двух объек-
тов, но и определить степень их различия, используются более
сильные шкалы.
1.5.2. Порядковая шкала
Порядковая шкала позволяет реализовать факт предпочте-
ния одного объекта перед другим (х>х). Для реализации это-
го свойства измерения аксиомы тождества дополняются двумя
аксиомами упорядоченности:
4. Если А>В, то В<А (аксиома антисимметрии);
5. Если А>В и В>С, то А>С (аксиома транзитивности пред-
почтения).
Этим аксиомам удовлетворяют шкалы строгого порядка.
В том случае, когда не представляется возможным устано-
вить предпочтение между элементами какой-либо пары, они
признаются равноценными. Такого рода измерение выполня-
ется в шкале нестрогого (слабого) порядка. Реализуемые ею
аксиомы 4 и 5 видоизменяются следующим образом:
4'. Если А^В, то BsA (аксиома антисимметрии);
5'. Если А^В и BzC, то AzC (аксиома транзитивности пред-
почтения).
Примером измерения в шкале нестрогого порядка является
установление родства относительно поколений (отец=мать>
> сын=дочь). В этой шкале одновременно реализуются отно-
шения предпочтения и тождества.
26
При возможности определения предпочтения между всеми
парами объектов они образуют решетку предпочтений с един-
ственным минимумом и максимумом.
В том случае, когда сопоставление двух объектов лишено
смысла («в огороде бузина, а в Киеве дядька»), оно не выпол-
няется. Измерения с учетом частичной невыполнимости пред-
почтений производятся в шкале частичного порядка, в кото-
рой аксиомы 1—5 выполняются не для всех пар объектов.
Для количественного измерения предпочтения между раз-
личными сопоставимыми объектами используется величина,
характеризующая расстояние между любой парой объектов.
С этой целью паре сопоставимых объектов х-, XjE.X в шкале
строгого порядка ставится в соответствие число а^.
а..
ij
1, если х >х -
i j’
О, если х. < х ..
'	7
(1-1)
Расстояние </• к между двумя не соседними сопоставимы-
ми объектами xz, хк £ X определяется числом предпочтений
в соединяющей их цепочке объектов:
(1.2)
Если объекту х; сопоставить число rz, то сопоставляемый с
ним объект хк, отстоящий на dt к позиций, будет характеризо-
ваться числом:
rk=ri+di,k-
Числа г; и гк называются рангами (рейтингами) объектов х;
и хк. Ранги представляют собой натуральные числа. Для шкалы
строгого порядка величина максимального ранга гтах=.У=|.¥|,
а для шкалы нестрогого порядка, в которой имеет место ра-
венство рангов для групп объектов (связанные ранги), rmax<
<2V=|A3. Поскольку присвоение объектам рангов весьма удоб-
но для их сравнения и выполняется практически всегда, по-
рядковые шкалы называются также ранговыми.
Разновидностью ранговых шкал являются целочислен-
ные балльные шкалы. При измерении в них одинаковым
по предпочтению объектам присваивается одинаковый балл.
27
Предложен ряд балльных шкал для измерения предпочтений
между объектами различной природы. К ним относятся, на-
пример, балльные шкалы оценки испытуемых, и в том числе
наиболее популярная из них 5-балльная шкала успеваемости.
Несмотря на то, что балльные шкалы относятся к порядковым
шкалам, к измеренным в них величинам часто применяются
такие операции, как расчет средней арифметической величи-
ны. Такого рода оценки не отражают реального соотношения
между объектами в том случае, когда величины предпочтений
между ними не являются одинаковыми.
Если существует информация о величине предпочтения меж-
ду объектами и Xj, она может выражаться действительным
числом dtjfE'L. В этом случае применяются более сильные шкалы,
отражающие величину интервалов между объектами.
1.5.3. Интервальная шкала
Она используется в тех случаях, когда известны расстояния
J. j между любыми двумя объектами и х^ Для интервальной
шкалы характерно сопоставление равным интервалам одинако-
вых по длине отрезков шкалы. Следствием равномерности этой
шкалы является независимость отношения двух интервалов от
единиц длины, что позволяет использовать пропорции в рам-
ках одной шкалы. Вместе с тем величина у, измеренная в ин-
тервальной шкале, зависит от начала отсчета:
у=ах+Ь.	(1.4)
где х — измеряемая величина;
а — масштабный коэффициент (коэффициент пропорциональности
между х и у);
b — начало отсчета величины х.
Частным случаем интервальной шкалы является шкала разно-
стей или периодическая (циклическая) шкала. В этой шкале нача-
ло отсчета пропорционально периоду b и числу периодов п:
y=ax+nb.	(1.5)
Свободу выбора точки начала отсчета имеют такие призна-
ки, как время, расстояние и температура. Например, началом
общепринятого в мире летосчисления является рождество
Христово, хотя существуют и другие системы отчета време-
28
ни. Температура может измеряться по шкалам Цельсия и Фа-
ренгейта. Значениям 9° и 18° в шкале Цельсия соответствуют
значения 37° и 42° в шкале Фаренгейта.
Нетрудно видеть, что отношения между величинами 9° и
18° и 37° и 42°, измеренными в разных шкалах, не совпадают.
Поэтому нельзя утверждать, что температура увеличилась вдвое,
не указав, что это имеет место только для шкалы Цельсия.
Величины, измеренные в разных шкалах, сопоставимы только
при использовании коэффициентов пересчета. При переходе
от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта таковым является вы-
ражение F=32+5C/9. Очевидно, что сопоставимость отноше-
ний величин, измеренных в разных шкалах, можно обеспечить,
задав им общее начало отсчета. Этому требованию отвечают
шкалы отношений.
1.5.4. Шкала отношений
Величина у, измеренная в шкале отношений, зависит толь-
ко от выбранных единиц измерения. Они выражаются через
коэффициент а>0.
у=ах.	(1.6)
За начало отсчета в этих шкалах принимается О (6=0). Это
позволяет сопоставлять отношения величин, измеренных в
разных шкалах:
yilyj=y'ily’j-	(1-7)
Примерами величин, природа которых соответствует шкале
отношений, являются длина, вес, величина тока, деньги и т.д.
Все они имеют нуль в качестве точки начала отсчета.
Величины, измеряемые в шкале отношений, удовлетворяют
аксиомам аддитивности:
6.	Если А=Р и В>0, то А+В>Р;
7.	А+В=В+А;
8.	Если А=Р и B=Q, то A+B=P+Q',
9.	(А+В)+С=А+(В+С).
Для выполнения любых арифметических операций над ве-
личинами, измеренными в разных шкалах, используется абсо-
лютная шкала, характеризуемая наличием как абсолютного нуля,
так и единицы. Этими свойствами обладает числовая ось [0,1].
29
Наличие 1 позволяет оперировать не только над прямыми,
но и над дополнительными величинами (Л’=1-Л). В абсолют-
ной шкале относительные величины интерпретируются доля-
ми от 1. Это позволяет выполнять над ними любые действия,
что объясняет универсальность шкалы.
1.5.5. Полярная шкала
Полярная шкала представляет собой шкалу специального вида.
Она получила широкое применение в области искусственного
интеллекта. Эту шкалу называют также оппозиционной, поскольку
она используется для различения противоположных полюсов,
таких, например, как «холодно—жарко», «белое—черное»,
«за—против» и т.п. При словесном (вербальном) задании полю-
сов шкала называется также лингвистической.
Два противоположных полюса представляются числами
{-1; +1}, либо {0; 1}. Полярная шкала часто имеет срединное значе-
ние, характеризующее безразличие, нейтральность и т.д.:
{-1; 0; +1}. В качестве промежуточных значений могут исполь-
зоваться слова с модификаторами, например, «не очень холод-
но» на отрицательном отрезке шкалы температуры, «не очень
жарко» — на ее положительном отрезке. Ее численный аналог:
{-1; 0,5; 0; +0,5; +1}. Число значений лингвистической шкалы ог-
раничивается числом слов, выражающих промежуточные точки между
ее полюсами.
Поскольку в полярной шкале существует направленность от -1
к +1 (или наоборот), она относится к классу порядковых шкал.
В предельном случае полярная шкала имеет непрерывное
множество значений между полюсами: [-1; +1]. Подобная шка-
ла применяется для измерения корреляции, характеризующей
степень зависимости—независимости двух величин.
Приведенные свойства шкал необходимо учитывать при их
выборе. Чем сильнее (по числу свойств) шкала, тем большую ин-
формацию дает измерение. Использование более слабой шкалы
влечет не только потерю информации, но и искажение результа-
тов измерений. Например, распространенной ошибкой является
переход от интервальной шкалы к ранговой для обработки ре-
зультатов измерений, полученных в интервальной шкале. Исполь-
зование более сильной шкалы для обработки результатов, в свою
очередь, влечет искажение реальной наблюдаемой картины.
30
В тех случаях, когда для получения значения величины
невозможно применить измерительный прибор, прибегают
к «субъективным измерениям». В качестве измерительного при-
бора используется эксперт. Под экспертом понимается специ-
алист в подвергаемой анализу области знаний.
1.6. Формирование критериев
Одним из значений греческого слова критерий (kriterion)
является «мерило». В этом смысле понятие критерий можно
рассматривать как количественную модель цели1 [74].
Согласно пункту 1.5, если цель представляется в номиналь-
ной (обозначающей) шкале, то соотносимый ей критерий дол-
жен измеряться в более сильной шкале. Это дает возможность
сопоставлять оцениваемые сущности (объекты, варианты, аль-
тернативы) по значениям этого критерия. При этом необходи-
мо выполнять 2 базовые аксиомы сопоставления объектов А,
В и С, справедливые для принятия решения, как в условиях
определенности, так и неопределенности [71]:
1. Упорядочение — два объекта либо уступают один другому
в отношении предпочтения, либо одинаково предпочтительны:
(A>B)v(B>A)v(A~B).
2. Транзитивность по предпочтению — как отсутствие по-
рочного круга в предпочтениях:
(А>В)л(В>С)=>(А>С).
Для сопоставления сущностей вводится отношение предпоч-
тения на выбранной количественной шкале. Критерий у трак-
туется как функция (функционал) у. X—*Z, отображающая
множество сущностей X в поле скаляров Z и удовлетворяющая
обеим аксиомам сопоставления объектов:
1. (А> В)=>у(А)> у(ВУ, (В>Я)=>у(В)>у(Я);
(Л~В)^(Л)~у(В).
2. Ср(Л)>^(Д))л(^(В)>^(С))^(Л)>у(С).
1 В ряде задач критерий рассматривается в качестве не величины, а правила
(функционала).
31
Поскольку символ «>» имеет смысл предпочтения, функция
у(х) может не только возрастать, но и убывать, первый случай
касается критериев эффективности, а второй — ресурсных
критериев. Отсюда следует необходимость задания для крите-
рия у направленности предпочтения: max или min.
Пример 1.1. Пусть спортсмен поставил перед собой цель —
победить в соревновании штангистов. Заданной цели сопоста-
вим вес W поднимаемой штангистом штанги. Он принимается
в качестве критерия оценивания штангистов и измеряется
в шкале отношений (в кг). В соревновании штангистов А и В
побеждает первый, если W(A)>W(B).
Использование единственного критерия для упорядочения
некоторого множества объектов представляет собой задачу
однокритериальной оптимизации.
Однако на практике, как правило, не ограничиваются ис-
пользованием единственного критерия. Даже в простой задаче
соревнования штангистов бывают случаи, когда необходимо
привлечение дополнительного критерия. Это бывает тогда, когда
несколько спортсменов поднимают одинаковый вес. В этом
случае действует дополнительное правило — победителем счи-
тается спортсмен, имеющий наименьший собственный вес, что
равносильно постановке дополнительной цели — иметь мень-
ший собственный вес w. Таким образом, при Ж(Л)=Ж(В)
и w(A)>w(B) победителем объявляется штангист В, поскольку
критерий w подлежит минимизации: и’(Х) -» min.
Резонно предположить, что в случае однозначного соответ-
ствия целей и критериев дерево целей можно интерпретиро-
вать деревом критериев. В этом случае сопоставляемым сущ-
ностям х-, х^Х ставится в соответствие не один критерий у,
а несколько критериев y^Y, k=\,...,n, — по числу поставлен-
ных целей. Переход от целей к критериям осуществляется при-
менением адекватных шкал и единиц измерения для каж-
дого критерия. Нелишне отметить, что соотнесение критерия
цели является нетривиальной задачей.
Пример 1.2. Пусть поставлена цель Повысить качество препода-
вания курса. В качестве критерия этой цели можно поставить в со-
ответствие экспертную оценку лекций другими преподавателями.
32
Также можно оценить качество преподавания числом сту-
дентов, посещающих лекции, по отношению к численности
потока. И тот и другой критерий имеют свою область приме-
нения, которая устанавливается в каждом конкретном случае.
Пример 1.2 показывает, что формирование критериев явля-
ется неформализованной задачей и требует не только практи-
ческих навыков, но и определенного искусства.
Таким образом, для решения реальной задачи сопоставле-
ния объектов привлекается некоторая совокупность критери-
ев, к которой предъявляются следующие требования:
1)	полнота;
2)	независимость (в пределах одного уровня иерархии);
3)	непротиворечивость;
4)	неизбыточность.
Полнота совокупности критериев обеспечивает объектив-
ность оценки объектов, чему способствует учет всех имею-
щих отношение к решаемой проблеме критериев, в том чис-
ле отражающих личный интерес ЛПР. Например, помимо
прочих, наиболее значимым показателем рабочих мест, пред-
лагаемых на бирже труда, для ее клиентов является показа-
тель оплаты труда.
Предъявляемое к критериям требование независимости обес-
печивает ортогональность образуемого ими критериального
пространства. Этот показатель ситуативен в силу зависимости
значений критериев от конкретной выборки объектов, поэто-
му взаимозависимость критериев следует проверять путем рас-
чета коэффициента парной корреляции.
Противоречивость критериев проявляется при наличии близких
по смыслу или одинаковых критериев, которым заданы проти-
воположные направления оптимизации. Например, требование
максимизации площади комнат может вступать в противоречие
с требованием минимизации общей площади квартиры.
Избыточным считается критерий, не обеспечивающий раз-
личения объектов. Например, при выборе лучшей квартиры из
числа двухкомнатных показатель «Число комнат» является
избыточным.
33
Многокритериальное оценивание вариантов выполняется в
условиях определенности, если оцениванию подлежат все ва-
рианты на каждом уровне дерева решений. Если состав вари-
антов, подлежащих оцениванию на следующем шаге, зависит
от результата выбора на предыдущем шаге, оценивание вари-
антов сопряжено с неопределенностью. Фактически этим слу-
чаям соответствует поиск в ширину и в глубину [52].
1.7. Функция полезности
Чтобы решить, что делать, чтобы получить
добро и избежать зла, необходимо рассмот-
реть не только сами по себе добро и зло,
но и вероятности их появления, на основа-
нии чего определить надлежащие доли того
и другого
Арнольд, Port-Royal Logic, 1662
Неопределенность существования альтернатив в рассмат-
риваемый момент времени может измеряться в терминах веро-
ятности или возможности. Неравная вероятность их появле-
ния оказывает влияние на выбор одной из них.
Рассмотрим постановку задачи выбора в условиях неопре-
деленности на следующем примере.
Пример 1,3, В процессе подготовки к очередному летнему
сезону перед садоводом встала задача: «Что посадить на сво-
ем участке — помидоры или картофель?». Известно, что поми-
доры, в отличие от картофеля, — теплолюбивые растения и
дают высокий урожай в зоне умеренного климата только жар-
ким летом. Садовод подсчитал, что в случае жаркого лета он
получит прибыль от выращивания помидор в 2 тысячи руб-
лей, а картофеля — в 1 тысячу рублей. В случае холодного
лета прибыль составит соответственно 0,5 и 1,5 тысячи руб-
лей. На основании долгосрочного прогноза погоды он оценил
вероятность жаркого лета величиной 0,6, а холодного — 0,4.
Исходные данные задачи представлены в табл. 1.1.
34
Эта задача относится к классу задач «Игра с природой»
и решается в теории игр путем нахождения выигрышей «в сред-
нем» для каждого хода игрока [9, 46]:
п
i =	(1-8)
М
где — выигрыш игрока при выборе /-го хода в предположении, что
природа находится в у-м состоянии;
pj — вероятность нахождения природы в у-м состоянии;
п.
Таблица 1.1
	Жаркое лето	Холодное лето	Средняя прибыль	Жаркое лето	Холодное лето	Средний риск
Помидоры	2	0,5	1,4	0	1	0,4
Картофель	1	1,5	1,2	1	0	0,6
Вероятность	0,6	0,4		0,6	0,4	
Пользуясь формулой (1.8), садовод может на основе матри-
цы выигрышей Я=||а(у|| (левые 3 столбца табл. 1.1) вычислить
выигрыш «в среднем» для случаев посадки помидоров и кар-
тофеля (см. 4 столбец табл. 1.1):
= 2 • 0,6 + 0,5 • 0,4 = 1,4;
а2 =1 0,6 + 0,5- 0,4 = 1,2.
На основе сопоставления ожидаемой прибыли (у^^) садо-
вод делает выбор в пользу помидор. При этом необходимо
помнить, что ожидаемая прибыль yt не гарантирована в силу
неопределенности летней погоды. Минимальная прибыль составит
0,5 тысяч рублей в случае посадки помидор в холодное лето.
Эту же задачу можно решить в терминах риска. Для этого
на основе матрицы выигрышей вычисляется матрица рисков
Я=|к,7Н (правые 3 столбца табл. 1.1) по формуле:
Гу = max «у -йу, i = 1,...,т, j = 1,....,п.	(1-9)
35
Средний риск садовода при посадке им помидоров и карто-
феля (см. последний столбец табл. 1.1) вычисляется по форму-
ле (1.10):
п
ri = ^Pirij’ i =	(1.10)
j-1
Из условия минимизации среднего риска (ft min) в силу
линейности преобразования матриц предпочтение также отда-
ется посадке помидор.
В теории игр функция (1.8) называется критерием Байеса,
а в экономической теории она получила название функции по-
лезности [71]. Это объясняется не «игровым», а утилитарным
взглядом на проблему выбора альтернатив в условиях неопре-
деленности. Рассмотренная модель выбора названа лотереей,
что подчеркивает случайный характер выбора и выдачу призов
(или невыдачу), сопоставленных различным исходам выбора.
Лотерея L с двумя возможными исходами А и В и вероят-
ностями их появления р и 1-р обозначается как:
L=[р, А; 1-р, В].	(1.11)
В теории полезности к двум аксиомам сопоставления объектов
А, В и С, приведенным в предыдущем разделе, добавляются
четыре аксиомы, обосновывающие рациональность выбора
в условиях неопределенности [71]:
3.	Неразрывность предпочтений — для крайних по пред-
почтениям объектов А и С в цепочке А>В>С найдется неко-
торая вероятность р, при которых ЛПР безразличен выбор
между средним объектом В и лотереей с исходами А и С:
L=[p, А; 1-р, С]:
А>В>С=>Зр[р, А; 1-р, С]~В.
4.	Замещаемость — если два объекта А и В равнозначны,
то и их лотереи с участием третьего объекта С равнозначны:
А~В=^[р, А; 1-р, С]~[р, В; 1-р, С].
5.	Монотонность — если ЛПР предпочитает А>В, то из лоте-
рей с вероятностями исходов p^q для А он выберет первую:
A>B=>(p^qo[p, А; 1-р, B]z[q, А; 1-р, В]).
36
6.	Декомпозиция — нельзя предпочесть одну лотерею дру-
гой только потому, что она имеет больше точек выбора
(«не шутить с риском»):
[р, А; \-р, [q, В- l—q, С] ]-[/>, Л; (l-p)q, В; (l-p)(l-q), С].
Ввиду сложной записи последнюю аксиому поясним рисунком:
Рис. 1.3. Равнозначность лотерей с разным числом точек выбора
Равнозначность двух лотерей на рис. 1.3 объясняется зако-
ном умножения вероятностей независимых событий.
В [71] была доказана теорема, гласящая о том, что при ус-
ловии соблюдения аксиом 1—6 существует численная функция
U{x), определенная на множестве исходов лотереи, которая
ставит в соответствие каждому исходу число и удовлетворяет
следующим аксиомам полезности:
1. U(A)>U(B)oA>B', U(A)=U(B)<*A~B.
п
2. и(р}, ,..., рп, Sn) = 2 Pi ‘ u{si)max.
i=l
Теория полезности не ограничивается изучением линейных
функций полезности U(S). Бернулли, например, доказал ее лога-
рифмический характер для игры с подбрасыванием монеты [71].
1.8.	Сбор информации
1.8.1.	Содержимое информации
В состав информации, собираемой для принятия решения,
входят:
•	сущности и явления, подлежащие оцениванию;
•	свойства (атрибуты) сущностей и явлений;
37
•	вероятность (возможность) взаимоисключающих исходов
выбора.
Сущности и явления могут иметь любую природу: материаль-
ную, энергетическую, информационную, духовную и т.п. Их так-
же называют вариантами (выбора) или объектами. Относитель-
но исключения нелучших объектов из рассмотрения по результа-
там оценивания они делятся на альтернативные или альтернати-
вы (исключаемые) и неальтернативные (неисключаемые).
Альтернативы (исходы выбора) делятся на следующие виды:
1.	Относительно формы их существования:
•	существующие;
•	создаваемые (порождаемые).
2.	Относительно возможности реализации:
•	осуществимые (реализуемые);
•	неосуществимые.
2.	Относительно ожидаемости появления:
•	штатные (ожидаемые);
•	нештатные (неожидаемые).
3.	Относительно возможности использования:
•	допустимые (полезные);
•	недопустимые	(бесполезные).
4.	Относительно взаимозависимости:
•	зависимые;
•	независимые.
5.	Относительно возможности сопоставления:
•	сопоставимые;
•	несопоставимые.
6.	Относительно вероятности реализации:
•	равновероятные;
•	неравновероятные.
В качестве примера осуществимых, штатных, допустимых,
независимых, сопоставимых, равновероятных и численно оце-
ниваемых альтернатив приведем двух претендентов на одно
место в аспирантуре, окончивших вуз в текущем году. К не-
штатной альтернативе можно отнести выпускника другого вуза
в качестве претендента в эту же аспирантуру.
38
Из перечисленных свойств альтернатив обязательными
являются осуществимость, сопоставимость, допустимость,
независимость.
Относительно мощности (числа элементов) различают сле-
дующие виды множества альтернатив:
1.	Пустое (Аг=0), характеризующее вырожденную задачу
выбора.
2.	Единичное (|А1= 1), характеризующее вырожденное реше-
ние задачи выбора.
3.	Конечное — перечислимое множество альтернатив.
4.	Счетное — неперечислимое множество альтернатив.
5.	Континуальное — непрерывное (бесконечное) множество
альтернатив.
Конечное множество альтернатив задается перечислением
(экстенсионально). Континуальное множество альтернатив за-
дается системой ограничений, формирующей границы области
существования альтернатив.
Основным требованием к формированию множества альтер-
натив является обеспечение его полноты, так как среди упу-
щенных альтернатив могут оказаться наилучшие. Если мощ-
ность множества чрезмерно велика, рекомендуется рассматри-
вать его по частям (декомпозиция), либо провести «грубое
отсеивание» нежелательных альтернатив по заданным свойствам,
например, не рассматривать варианты приобретения квартир
на первом и последнем этажах дома.
При сопоставлении альтернатив по их свойствам необходи-
мо выявить те свойства (признаки), которые позволяют разли-
чать альтернативы. Например, человека, решающего жилищ-
ную проблему, интересует характеристика как самой кварти-
ры, так и дома, в котором она находится, а также района,
в котором находится дом. Значения признаков (показателей,
параметров) могут быть как количественными, так и качествен-
ными. Например, количество комнат определяется числом,
а их отделка — словесным значением, оценивающим качество
отделки (отличная, хорошая, удовлетворительная).
Совокупность признаков определяется решаемой пробле-
мой. Например, взгляды на квартиру с позиции ее хозяина
и съемщика могут различаться в силу различия их интересов.
39
Однако при любом взгляде на оцениваемые объекты необходи-
мо обеспечить полноту совокупности оценивающих признаков.
В этом проявляется компетентность «предметника», собираю-
щего информацию об анализируемой предметной области (ПО).
При выборе повторяющихся взаимоисключающих вариан-
тов необходимо найти вероятность их появления. С этой це-
лью собирается соответствующая статистика. В отсутствие
статистики численная оценка возможности появления вариан-
тов оценивается экспертным путем.
Сбор информации считается завершенным, если найдены
значения признаков, характеризующие каждый рассматривае-
мый объект. Значения делятся на объективные и субъективные
в зависимости от способа измерения. К первым относятся зна-
чения, получаемые с помощью измерительного прибора, на-
пример, термометра — для измерения температуры. Субъек-
тивные значения свойственны человеческому восприятию сре-
ды, например, теплая или холодная квартира.
1.8.2.	Источники информации
Первичными источниками информации, собираемой для
принятия решения, являются внешний и внутренний мир ЛПР.
Информация о внешнем мире воспринимается человеком
с помощью органов чувств, причем из него отбираются толь-
ко те сущности и явления, которые относятся к решаемой про-
блеме. Информация о внутреннем мире ЛПР появляется
в процессе мышления, обдумывания рассматриваемой пробле-
мы. То же самое относится и к агенту как представителю ЛПР
в искусственном мире.
Все другие источники информации являются опосредован-
ными по отношению к первичным. К ним относятся:
•	различного рода документация (плановая, отчетная, тех-
ническая и т.п.);
•	статистическая отчетность;
•	различного рода публикации (книги, журналы, газеты и т.п.);
•	сводная информация (каталоги, прейскуранты и т.п.);
•	изобразительная информация (картины, фильмы, видео-
материалы и т.п.).
40
Перечисленные материалы могут храниться как в бумаж-
ной, так и электронной форме — в виде баз данных, в сети
Интернет и т.д.
Перечислим основные способы получения множества аль-
тернатив. К ним относятся:
1.	Выделение альтернатив на основе восприятия первичной
информации.
2.	Заимствование из опосредованных источников информации.
3.	Сбор статистики.
4.	Моделирование вариантов.
5.	Морфологический синтез.
6.	Экспертиза.
В качестве примера первого способа фиксации альтернатив
приведем обнаружение персонажем компьютерной игры дру-
гих персонажей, из которых нужно выбрать объект нападения.
Это пример непосредственного восприятия информации в ре-
альном времени.
Форма заимствования альтернатив из опосредованных ис-
точников информации определяется их особенностями. Напри-
мер, для извлечения альтернатив из компьютерной базы дан-
ных должны использоваться специальные программные сред-
ства и технологии.
Сбор статистики предполагает повторяемость явлений.
Например, статистика заболеваний в определенной местности
позволяет выявить наиболее характерные для местных жите-
лей болезни.
Моделирование вариантов выполняется на основе формаль-
ной модели предметной области. Например, если на основе
карты дорог региона построена модель транспортной сети,
моделирование различных путей позволяет воспроизвести все
варианты достижения пункта В из пункта А.
Морфологический синтез вариантов выполняется на основе
морфологического анализа предметной области. Его рассмот-
рению посвящается следующий раздел книги.
К экспертным методам порождения альтернатив относятся [10]:
1.	Мозговой штурм.
2.	Синектика.
41
3.	Разработка сценариев.
4.	Деловые игры.
5.	Модифицированный метод Делфи.
Мозговой штурм характеризуется разнообразием позиций
участников. Допускается выдвижение любых альтернатив («су-
масшедших идей»). Этот метод порождения альтернатив приме-
няется в условиях высокой степени неопределенности. Он, в част-
ности, применялся физиками при выдвижении новых теорий.
Метод синектики реализуется группой специалистов, ото-
бранных по признаку гибкости мышления и практическому
опыту и обученных для совместной работы. В основе метода —
поиск аналогий, что дает возможность решения новых про-
блем известными средствами.
Сценарии рассматриваются как возможные пути развития
системы. Важным этапом при их создании является составле-
ние перечня факторов, влияющих на ход событий и контроль
за ними. Этот метод, связанный с прогнозированием, получил
распространение в политике, военном деле и экономике.
В основе деловой игры находится имитационное моделиро-
вание штатных ситуаций на специальных тренажерах. В част-
ности, деловые игры применяются для обучения операторов
различных технологических процессов принятию правильных
решений. Широкое распространение они получили для обуче-
ния операторов различного вида транспортных систем.
Модифицированный метод Делфи характеризуется аноним-
ностью опроса экспертов и регулируемой обратной связью.
Он итеративен в силу возможности выдвижения новых альтер-
натив на каждом шаге анализа проблемы. Это способствует
формированию независимых от руководства мнений экспер-
тов и повышает творческий потенциал группы.
Важную роль для оценивания альтернатив играет достовер-
ность измерения характеризующих их атрибутов. Она особен-
но актуальна при использовании субъективных, т.е. эксперт-
ных измерений, а также в тех случаях, когда информация го-
товится самими оцениваемыми людьми или коллективами. Здесь
интерес оцениваемой стороны весьма очевиден, что создает
соблазн игнорирования моральных норм. По этой причине
необходимо принимать меры контроля исходной информации.
42
1.9. Классификация задач выбора
В процессе знакомства с основными понятиями и положе-
ниями теории принятия решений затронут ряд научных та-
ких областей, как теория управления, теория оптимизации,
теория игр, экономическая теория полезности, искусствен-
ный интеллект, информатика. Они формируют инструмен-
тарий теории принятия решений. Что касается объектов
применения теории принятия решений, к ним относятся лю-
бые научные и предметные области. Иными словами, тео-
рия принятия решений охватывает различные научные дис-
циплины и направления. Это влечет огромное разнообразие
задач, решаемых методами теории принятия решений, пере-
числить которые не представляется возможным. Поэтому
рассмотрим лишь классы этих задач.
Разделение задач на классы выполним на основе следую-
щих классифицирующих признаков первого уровня:
1.	Тип множества вариантов X.
2.	Число шагов выбора /.
3.	Степень принадлежности элемента х; множеству А': (Х;-, х).
4.	Структура множества ЛПР или экспертов Z.
5.	Вид предпочтения R.
6.	Назначение задачи.
1.	Относительно вида множества альтернатив различают
задачи принятия решений в дискретном и континуальном мно-
жествах. Принятие решения в континуальном множестве пред-
ставляет собой оптимизационную задачу, решаемую методами
математического программирования. В дальнейшем основное
внимание уделяется вопросам рационального выбора в конеч-
ном дискретном множестве.
2.	По числу шагов / различают одноступенчатый (/=1)
и многоступенчатый (/>1) или последовательный выбор. Мно-
гоступенчатый выбор в общем случае характеризуется оцени-
ванием не всех альтернатив, а только тех, которым предше-
ствует выбранная промежуточная альтернатива.
43
3.	Относительно степени принадлежности X- элемента х;- мно-
жеству X различают выбор в условиях определенности (\=1) и
неопределенности (Х <1). В первом случае при количественном
оценивании предпочтений не учитывается степень принадлеж-
ности Х;. элемента х(- множеству X, поскольку для любого эле-
мента х^Х Х=1. Во втором случае величина Х(<1 учитывается
при вычислении функции полезности t/(Xp Хр...,	х^.-.А^, xN).
Выбор в условиях неопределенности (\<1) определяется ее
величиной и природой. Различают следующие виды неопреде-
ленности:
3.1.	Полная неопределенность имеет место в том случае, когда
величина \ неизвестна, например, в антагонистической игре
до выбора противником первого хода.
3.2.	Стохастическая неопределенность: Х(=^;. Она имеет слу-
чайную (вероятностную) природу и определяется на основе
статистической обработки исходов в повторяющихся процес-
сах. В частности, мера стохастической неопределенности как
вероятность нахождения природы в состоянии х;- использу-
ется при оценивании ходов игрока в игре с природой.
3.3.	Расплывчатая или нечеткая неопределенность: Х=ц;.
Величина задается экспертами в процессе субъективного
оценивания степени принадлежности элемента х- множеству X.
4.	Относительно мощности множества Z различают задачи
нахождения индивидуальных (|Z|=1) и групповых (|Z|>1) пред-
почтений. Вид группового предпочтения определяется струк-
турами множеств Z и Х\
4.1.	Экспертное оценивание — все представители множества
Z оценивают все варианты из множества X.
4.2.	Взаимодействие сторон — элементы множества Z раз-
биваются на к групп (А:г2), преследующих свои интересы. Мно-
жество X разбивается на к подмножеств по числу групп:
Х={Х1,..., Хк}. Элемент каждого подмножества интерпретиру-
ется ходом соответствующей группы в А:-сторонней (коалици-
онной) игре. В частном случае, при к=2 и	имеет
место игра двух лиц — антагонистическая в случае противо-
речия интересов сторон (игра с нулевой суммой) и игра с
природой — в случае отсутствия интереса у одной из сторон.
44
5.	Различают ординальный или кардинальный виды предпочте-
ния R. Ординальное предпочтение характеризуется прямым (каче-
ственным) сопоставлением вариантов на множестве X: Rord СХхХ.
Для любой пары вариантов х-, хкЕХ устанавливается отношение
предпочтения х>хк. Кардинальное предпочтение устанавливается
на множестве критериев У: RcorJZYxY. Каждому варианту х. ста-
вится в соответствие величина yj j-ro критерия с применением
функции /: Х-*У. На основе кардинального предпочтения у>ук
устанавливается ординальное (порядковое) предпочтение х>хк.
По числу критериев, привлекаемых для оценивания объек-
тов, задачи выбора делятся на одно- и многокритериальные.
6.	Относительно назначения задачи рационального выбора
делятся на задачи классификации и упорядочения.
6.1. Отношение классификации делит множество вариантов
А' на Л: подмножеств (классов). В важном частном случае отно-
сительно полезности альтернатив множество X делится на два
подмножества: допустимое и недопустимое (k=2, z = l,..., N).
В первое из них включаются допустимые по каким-то сообра-
жениям варианты, а во второе — недопустимые варианты. Опе-
рация разделения вариантов на допустимые и недопустимые
называется отбором или селекцией вариантов.
6.2. Упорядочение вариантов (объектов) выполняется внутри
множества X с применением ординального или кардинального пред-
почтения R. По результатам упорядочения объектов выполняет-
ся их ранжирование. Оно заключается в присвоении каждому
объекту х^Х целого числа из диапазона [1, У], соответствую-
щего числу вариантов У=| А'|: RnumCXxN, R^^^x^ 1),...,
(xk, р),..., (х5, У)}- Число р задает рейтинг (ранг) объекта, указы-
вающее его место среди остальных вариантов. Отношение Rnum
фиксирует предпочтения ЛПР. Если вариант х- более предпочти-
телен, чем вариант хк (х>хк), то ему присваивается меньший по
величине ранг: г(х()<р(х^.). Если Ртах=Лг, то Rord называется от-
ношением строгого порядка Л>, а в случае Pm^N— отношени-
ем нестрогого порядка Последнее включает отношение I рав-
нозначности вариантов: Лг=Л>и I. В соответствии с ним равно-
значным вариантам ставится в соответствие одинаковый номер:
Xj=xk -* ^{(Xj, р), (хк, р)}. Отношение строгого порядка Л>,
наоборот, не содержит отношения равнозначности I: R^R^I,
т.е. всем вариантам сопоставлены разные номера.
45
Задача выбора наилучшего (оптимального) варианта может
решаться либо путем последовательного отбора вариантов до
получения единственного варианта, либо на основе предвари-
тельного упорядочения. Таким образом, выбор можно считать
реализацией одного из видов предпочтений.
Изложенное выше деление задач выбора относительно клас-
сифицирующих признаков наглядно приведено на рис. 1.4
в форме дихотомической классификации. Классифицирующие
признаки первого уровня выделены на рис. 1.4 жирным курси-
вом, а задачи представлены в виде их значений. Связи между
задачами, направленные слева направо, реализуют отношение
«общее—частное». Двенадцать классов задач, образующие шесть
групп по числу наиболее общих классифицирующих призна-
ков, расположены в левой части рис. 1.4. В силу независимо-
сти классифицирующих признаков (по вертикали) конкретные
задачи могут порождаться путем комбинирования их значе-
ний. Теоретически число комбинаций признаков первого уровня
равно 2-64. Например, одна из комбинаций признаков обра-
зует задачу выбора, которая характеризуется следующими зна-
чениями классифицирующих признаков: дискретным множеством
вариантов, одноступенчатым оцениванием, условиями опреде-
ленности, использованием одного эксперта (индивидуальное
оценивание), кардинальным упорядочением объектов. Далее она
будет рассматриваться в классе задач упорядочения объектов.
В порождении конкретных задач могут принимать участие
значения признаков любого уровня дерева (слева направо),
но только одного из каждой ветви дерева. Такие сочетания
позволяют порождать большое многообразие задач принятия
решений, многие из которых используются на практике. В силу
их большого количества в книге рассматриваются лишь часть
задач из этого многообразия.
Выводы
Отметим наиболее важные положения изложенного раздела.
• Рациональный выбор имеет давнюю историю и много-
численные приложения. На содержательном уровне рациональ-
ность выбора объясняется соблюдением всех этапов принятия
решений. Их игнорирование или неправильное исполнение
влечет известные ошибки в принятии решений.
46
Задачи выбора
Тип множества вариантов
Дискретное множество
Континуальное множество
Число шагов выбора
Одноступенчатый выбор
Многоступенчатый выбор
Степень принадлежности элемента множеству
Определенность оценивания
Неопределенность оценивания
Полная
Частичная
Стохастическая
Нечеткая
Структура множества ЛПР или экспертов
Индивидуальный
Групповой
Экспертное оценивание
Взаимодействие сторон (игра)
Л-сторонняя(коалиционная)
2-сторонняя
Антагонистическая
Игра с природой
Вид предпочтения
Ординальное
Кардинальное
Однокритериальное
Многокритериальное
Назначение задачи
Классификация
На к классов
На 2 класса (отбор)
Упорядочение
Рис. 1.4. Классификация задач рационального выбора
•	Несмотря на то, что принятие решения часто отождеств-
ляется с этапом выбора, следует помнить о всех этапах приня-
тия решения. Способы реализации всех этапов в значительной
мере зависят от решаемых задач.
47
•	Наибольшее разнообразие наблюдается в способах сбора
информации о предметной области (ПО). Они оцениваются сте-
пенью достоверности исходных данных и источниками их полу-
чения. Большей достоверностью обладают данные, полученные
с помощью объективных измерений. В задачах оценивания объек-
тов основным источником исходных данных являются докумен-
ты. В задачах, решаемых в реальном времени, основным источ-
ником исходных данных является окружающая среда.
•	Практические задачи принятия решений характеризуют-
ся учетом многих свойств объекта (многокритериальностью).
Выбор критериев оценивания объектов, с одной стороны,
характеризуется неоднозначностью и субъективизмом, а с дру-
гой стороны, связан с целями оценки.
•	Поскольку критерий рассматривается как количествен-
ная характеристика цели, важную роль играет достоверность
его значений. Она, в свою очередь, зависит от правильного
выбора шкалы.
•	В задачах с неопределенностью исходов критерий оцен-
ки является функцией исходов. В теории игр она трактуется
как критерий оценки хода игрока, а в экономической теории —
как функция полезности.
•	В конечном счете, принятие решения — это реализа-
ция предпочтений ЛПР. Ввиду многообразия задач приня-
тия решений их перечисление не представляется возможным.
Более плодотворной является систематизация задач на осно-
ве предложенных в гл. 1.9 шести классифицирующих призна-
ков 1 уровня. Она позволяет не только классифицировать из-
вестные задачи, но и выдвигать новые.
48
Глава 2. ПОРОЖДЕНИЕ АЛЬТЕРНАТИВ
Мы тогда уверены в познании всякой вещи,
когда узнаем ее первые причины, первые на-
чала и разлагаем ее вплоть до элементов
Аристотель
2.1.	Способы порождения
Согласно пункту 1.8 для выбора наилучшей альтернативы
Xj* £ X дискретное множество X должно быть нетривиальным
(|У|>1) и конечным. Если множество X формируется на основе
существующих альтернатив, эта задача решается в рамках сбо-
ра информации о предметной области (ПО). Если информация
для формирования множества X отсутствует, решается задача
по созданию (порождению) альтернатив. Поскольку в этом раз-
деле нас интересует не выбор наилучшей альтернативы, а спо-
собы порождения альтернатив для формирования дискретного
множества X, будем называть их далее вариантами ПО.
Существуют два основных способа порождения вариантов
ПО: модельный и морфологический. Модельный способ основан
на модификации модели ПО с целью получения различных
вариантов. Для моделирования на компьютере применяются
математическая и имитационная модели ПО [75]. Они описы-
ваются входными, выходными и управляющими переменными,
связанными функциональными зависимостями:
yx=f^X{,...,Xm,U{,...,Uk},
Уп=/п(х1,--,хт, ux,...,uk).
Порождение вариантов ПО заключается в нахождении за-
висимостей J|=(yi,...,J„),	для каждого фиксирован-
ного набора управляющих переменных m=(m],...,w5,...,w^.) на
заданной последовательности воздействий х=(Х],...,Х£) длины
L. Значения функций используются в качестве критериев для
выбора наилучшего варианта настройки модели:
Uopt~(uopt, 1 ’' • ',uopt,k)'
49
Количество вариантов N, порождаемых комбинированием
числа значений z , 5=1,..., к, управляющих параметров, опре-
деляется произведением:
к
(21)
5=1
Если число значений для всех управляющих параметров
одинаково: Z[=,...,=z5=,...,=z^, то количество вариантов N вы-
числяется как степень от числа значений: zk.
Примером порождения вариантов на основе имитационной
модели является построение графиков движения поездов мет-
рополитена [99]. В основе метода лежит многократное модели-
рование движения поездов в линии метрополитена при раз-
личных значениях управляющих параметров. Одним из крите-
риев оценки получаемого расписания является равномерность
интервалов движения поездов, а одной из управляющих пере-
менных — количество используемых оборотных станций в ли-
нии. Для ограничения количества вариантов на часть управля-
ющих переменных накладываются ограничения, играющие роль
фильтра на входе генератора вариантов.
Морфологический способ порождения вариантов основан
на выделении «морфов» — структурных единиц ПО. Этот этап
носит название морфологического анализа ПО. На следующем
этапе осуществляется синтез вариантов путем комбинирования
структурных единиц. Каждая комбинация структурных единиц
образует свойства, присущие только данному варианту.
Морфологический способ порождения вариантов известен
издавна. Одни ученые, как Р. Луллий (1235—1315 гг.), превоз-
носили его, считая за универсальный принцип решения мно-
гих проблем. Другие ученые, как Р. Декарт, критиковали его
за механистичность подхода к решению проблем. С появлени-
ем вычислительной техники исследования в этом направлении
получили новый импульс, поскольку появилась возможность
решать комбинаторные задачи высокой размерности. Цвики
[106] предложил новые методы морфологического анализа.
Проблемы сокращения перебора при порождении вариантов
рассматривались в работах Эйреса [97], Дубова и др. [6].
50
Что касается практического применения морфологического
подхода, им пользуются, даже не подозревая о наличии соответ-
ствующей теории. В строительной индустрии известны разные
серии зданий, которые строят из одного набора строительных
блоков. Писатели пользуются одним наборов сюжетов для со-
здания различных детективов. Люди из одного набора слов со-
ставляют предложения, имеющие различный смысл, пользуясь
одним набором словообразующих морфов, изменяют смысл слов
и т.д. И все это находит широкое практическое применение.
Еще более впечатляющие примеры имеются в научных ис-
следованиях. К наиболее революционным из них можно от-
нести разработку Д.И. Менделеевым периодической таблицы
элементов. Она позволила не только объяснить строение есте-
ственных соединений элементов, но и создавать искусственные
соединения. В биологии исследования в этом направлении
завершились расшифровкой генома человека.
Неудивительно, что в технике морфологический способ
порождения вариантов получил применение в теории изобре-
тений [2], а затем и в системах автоматизированного проекти-
рования [4]. Различные вычислительные устройства проекти-
руются на ограниченном базисе логических элементов, а про-
граммы представляют собой комбинации стандартного для
каждого языка программирования набора операторов.
Естественным выглядит применение морфологического спо-
соба порождения вариантов в задачах, решаемых на компью-
тере, из-за использования программных средств в качестве
эффективного инструмента для комбинирования информаци-
онных единиц. Учитывая вышеизложенное, рассмотрим мор-
фологический способ порождения вариантов более подробно.
2.2.	Морфологический анализ предметной области
Цель морфологического анализа заключается в том, чтобы
сформировать базис ПО. К базису, помимо общесистемных тре-
бований, таких, как: полнота, независимость элементов и их
непротиворечивость, предъявляются требования неизбыточнос-
ти и неделимости элементов. Последнее свойство позволяет на-
зывать элементы базиса (или базисные элементы) примитивами.
51
Однако необходимо понимать относительность этого термина.
Если в качестве порождаемого варианта принять предложение,
выражаемое на естественном языке, то в качестве примитивов
выступают слова этого языка. Если же целью является состав-
ление слов (чем занимаются при разгадывании кроссвордов),
то совокупность примитивов представляется алфавитом этого
языка. Эти примеры объясняют возможность вложенности ба-
зисов по принципу детализации свойства примитивов.
Пусть базис, элементы которого обладают указанными свойствами,
представляет собой множество B={Bl,...,Bi,...,Bj,...,Bn}.
Базис назовем однородным, если на каждом шаге комбини-
рования может участвовать любой из элементов множества В.
Базис В, в котором выделяются непересекающиеся подмноже-
ства для каждого шага комбинирования, будем называть нео-
днородным. Неоднородный базис описывается совокупностью
однородных базисов: B=BxU,...,UBl\J,...,\JBl, В^С},...,С}ВГС\...,
ПВ;=0,
где: Bl={Bl,...,Bi},...,B={Bi+l,...,BJ},...,Bl={Bj+l,...,Bn}.
Иными словами, неоднородный базис В может быть секци-
онирован относительно / шагов комбинирования примитивов.
Требованиям однородного базиса удовлетворяет, например,
алфавит русского языка, состоящий из 33 букв. Примером
неоднородного базиса являются следующие словоизменяющие
части слова: приставка, суффикс, окончание.
Очевидно, что выделение базисных элементов предметной
области представляет собой нетривиальную процедуру и тре-
бует хорошего знания соответствующей области. В силу того,
что эта процедура плохо формализуема, возможность ее авто-
матизации весьма ограничена. А это означает, что морфоло-
гический анализ должен выполняться высококвалифицирован-
ными специалистами-предметниками.
Неоднородный базис удобно сводить в морфологическую таб-
лицу, строки которой представляют собой секции B^,...,Br,...,Bi,
а столбцы — содержимое этих секций. В качестве примера приве-
дем фрагмент морфологической таблицы, предназначенной
для порождения вариантов детективного романа (см. табл. 2.1).
52
Как известно, этот жанр включает следующие компоненты: глав-
ного героя, убитого (или убитую), причину смерти, место про-
исшествия, убийцу, мотив преступления, метод раскрытия, исход.
Представим их 8 секциями базиса В. В каждый однородный
базис включим по 5 элементов (примитивов).
Таблица 2.1
Морфологическая таблица детективного романа
Компо- нента романа	Значения компонент					
Главный герой	Сотрудник угрозыска		—Студент	Профес- _ сор	Врач	Журналист
Убитый (ая)	Супруга		^Супруг--	-Директор	Шпион	Солдат
Причина смерти	ЗастреЛйй—		-Одщвлен	Повешен	Утоплен	Травма головы
Место происше- ствия	Спорт- площадка		Театр	Квартира	Парк	—~_^ание —''’'’банка
Убийца	Наследник		Бандит.		---УЧеный	Инженер	Шпион
Мотив убийства	Алч(	ость	Месть	Сохране- ние тайны	Ревность	Состояние аффекта
Метод раскрытия	Сле	ды'--'-	Показа- *-ище сви- детеля—	Интуиция	Логиче- ский анализ	Предатель- ство
Исход	Убийца мертв		Убийца сбежал	Убййца пойман	Убийца раскаялся	Убийца явился сам
При необходимости число столбцов таблицы может быть
увеличено относительно компоненты с максимальным числом
элементов. При этом в других секциях часть клеток могут
оказаться пустыми.
Один из вариантов детективного романа представлен лома-
ной линией в табл. 2.1. Сюжет романа заключается в том, что
директор банка был убит в своем рабочем кабинете. Бандит
застрелил его с целью ограбления. Сотруднику уголовного
розыска по обнаруженным следам на месте преступления уда-
лось найти и поймать убийцу.
53
2.3.	Морфологический синтез вариантов
Как следует из рассмотренного примера, на основе морфо-
логической таблицы можно породить не единственный вари-
ант, а множество конечных последовательностей а; длины /,
i=l,...,N. В терминах математической лингвистики они обра-
зуют перечислимое множество слов V* в алфавите V. Учиты-
вая регулярный характер порождения вариантов ПО, для его
описания применим формальную порождающую грамматику
G (далее грамматика) [32].
Грамматика G — это формальная система, определяемая
четверкой множеств < V, W, I, Р >, V — алфавит терминаль-
ных (основных) символов; W — алфавит нетерминальных (вспо-
могательных) символов; I — начальный символ (аксиома грам-
матики); Р — конечное множество правил вывода 5; -» л,
где и г) — цепочки в алфавите РЪИ7. Правило вывода -* л
представляет собой правило подстановки (^ есть г]).
Цепочка 0 выводима из а, если существует последовательность
ео=а,е1,Е2,...,Еп=0, такая, что для всех ;=0,1,...,и-1 £,=> е(+1.
Эта последовательность называется выводом 0 из а, а п (число
ее элементов, отличных от а) — длиной вывода. Длина цепоч-
ки 0 обозначается /(0) или |0|. Языком L(G), порождаемым
грамматикой G, называется множество всех цепочек в терми-
нальном алфавите Г, выводимых из Z.
Опишем правила порождения сюжетов детективного рома-
на с помощью контекстно-свободной грамматики (?2. Ее мож-
но использовать для данного примера как не укорачивающую
длину цепочки и рекурсивную. Для соблюдения традиции те-
ории грамматик обозначим представителей секций В±, В2, В2,
в4, в5, в6, в7, в* малыми латинскими буквами a, b, с, d, е, f,
g, h. Они образуют алфавит V этого примера. Алфавит вспо-
могательных символов обозначим большими латинскими бук-
вами W={A, В, С, D, Е, F, G}. Порядок порождения цепочек
для данного примера отражают следующие 8 правил:
1.	I	аА	а0=а.
2.	А	ЬВ	aj=ab.
3.	В	-»	сС	а2-abc.
А. С	-»	dD	a^=abcd.
54
5.	D -* eE	OL^=abcde.
6.	E fE	a5=abcdef.
7.	F -» gG	a6=abcdefg.
8.	G -* h	a-]=abcdefgh.
Перечисленные правила характеризуют операции присоеди-
нения (конкатенации) очередного символа к текущей цепочке.
Применяя их при порождении варианта сюжета по шагам,
получим процесс наращивания цепочки, изображенный спра-
ва от правил. Эти правила диктуют строгую очередность вклю-
чения представителей секций в цепочку.
Если в качестве начального символа цепочки использовать
представителя любой секции, аксиома I должна включать всех
представителей:
I a\btfdlelflg\h.
Здесь в качестве вспомогательного использован символ «|»,
принятый в металингвистических формулах Бэкуса—Наура
для обозначения перечислительной связки. Если на каждом шаге
порождения цепочки допускается повторение уже использован-
ных символов алфавита V, то аналогичным образом формиру-
ются вспомогательные символы А, В, С, D, Е, F, G, использо-
ванные в предыдущей грамматике. Если повторение использо-
ванных ранее символов не допускается, грамматика должна
отражать запреты на их включение в цепочку.
Из сказанного следует, что для порождения вариантов ПО
на основе морфологической таблицы могут применяться раз-
личные порождающие грамматики. Их различие заключается
в выборе начального элемента цепочки (постоянный или про-
извольный), очередности использования секций базиса (посто-
янная или произвольная) и возможностью повторения в це-
почке уже использованных символов (с повторением и без
повторения).
Поскольку приведенные правила вывода сформулированы
только для представителей секций базиса ПО, а не для конк-
ретных элементов, они не отражают правила выбора после-
дних для включения в цепочку. Этот выбор может быть как
последовательным в порядке следования примитивов в секции,
так и случайным и должен отражаться другими формализмами.
55
Применение морфологической таблицы в качестве модели
порождения вариантов ПО предполагает генерацию конечных
последовательностей а- одинаковой длины /. Включение в це-
почку представителя каждой секции гарантирует нужные свой-
ства полученного варианта. В примере им является сюжет
романа, включающий в себя восемь обязательных компонен-
тов. Между тем в общем случае длина цепочки а(. может быть
произвольной, если она определяется не числом заданных
свойств, а некоторым общим свойством. Это требует задания
правила остановки порождения варианта.
В морфологической таблице детективного романа предпо-
лагается совместимость каждого нового свойства (элемента
последовательности) с предыдущими. Между тем условие со-
вместимости соблюдается не всегда. И в таких случаях новый
элемент должен считаться недопустимым.
И, наконец, не каждый элемент, включаемый в цепочку, может
оказаться полезным, если он не дает дополнительного свой-
ства варианту в случае применения не секционированного базиса.
Назовем такой элемент (примитив) неинформативным. Таким
образом, на каждом шаге процедуры помимо проверки завер-
шения порождения цепочки необходимо проверять включае-
мый в цепочку элемент на допустимость и информативность.
До положительного исхода проверки он является только кан-
дидатом на включение в цепочку. Рассмотрим перечисленные
проблемы на примере словообразования.
Пример 2.1. Пусть требуется образовать слово формаль-
ным способом. Известно, что не все последовательности букв
в русском языке совместимы. Например, после гласных букв
не ставятся мягкий и твердый знаки. В этом случае они явля-
ются недопустимыми кандидатами на включение в цепочку.
Пусть порождается слово, в котором после каждой соглас-
ной должна следовать гласная буква. Тогда к цепочке КАР
на четвертом шаге нельзя присоединить букву П, поскольку
слово КАРП не удовлетворяет поставленному условию. С этой
точки зрения буква П для слова КАР является допустимой,
но неинформативной. После присоединения отвечающей усло-
вию буквы А образуется слово КАРА.
56
И, наконец, необходимо вовремя остановить процесс по-
рождения слова. С этой целью после присоединения очеред-
ной буквы выполняется сопоставление со словами из словаря.
Слово КАРА в словаре найдется, и это будет основанием
для завершения порождения одного из слов, отвечающих за-
данному условию.
Если условия допустимости и информативности в этом при-
мере можно реализовать правилами порождающей граммати-
ки, т.е. синтаксическим путем, то условие остановки здесь ре-
ализуется с помощью семантического анализа с использовани-
ем внешних средств. В общем случае условие допустимости
присоединения элемента ег к цепочке аг_[ на r-м шаге проце-
дуры можно реализовать правилами порождающей граммати-
ки, а проверка условий информативности и завершенности по-
лученной цепочки аг:=а еЛ требует ее семантического ана-
лиза. При этом каждое из этих условий может быть не един-
ственным. Таким образом, помимо синтаксических необходи-
мо реализовать семантические правила порождения цепочек.
Этому условию отвечает формальная система: F-< Т, Р, А, В >.
В ней цепочка, построенная в алфавите T=PU W по синтак-
сическим правилам Р, принимается за аксиому А. Из нее по
семантическим правилам В порождается новая цепочка.
Семантическое правило Ви, проверяющее информативность
цепочки аг, представим логической формулой, представляю-
щей собой разновидность правила вывода Modus ponens.:
h
“r-b v Л far)
k-l
вк--------------.	(2.2)
ar
Числитель логической формулы интерпретируется как по-
сылка, а знаменатель — как заключение. Она читается следу-
ющим образом: «цепочка аг, полученная присоединением эле-
мента ег к цепочке аг-1, истинна, если истинна исходная це-
почка ar_j и элемент ег добавляет цепочке аг хотя бы одно
новое свойство из А возможных свойств». Последнее условие
можно выразить также квантором существования.
57
Семантическое правило Во, проверяющее завершение порожде-
ния цепочки аг (правило остановки) в случае нефиксированного
числа шагов, представляется следующей логической формулой:
аг_ь л Рк(аг)
к=\
В0 =------------.	(2.3)
а,
В отличие от формулы (2.2) правило Во проверяет цепочку
на обладание всеми требуемыми свойствами и при истинности
этого условия завершает процесс порождения цепочки.
В случае искусственного ограничения длины порождаемой
цепочки она не получает всех требуемых свойств (целевого
свойства варианта). В этом случае недостающие свойства мо-
гут компенсироваться некими внешними факторами. Посколь-
ку они не входят в базис В, такая цепочка оказывается неодно-
родной (гетерогенной) в отличие от однородной (гомогенной)
цепочки, порождаемой формальной системой F.
2.4.	Множество альтернатив
Порожденные с помощью порождающей грамматики G
или формальной системы F варианты образуют перечислимое мно-
жество слов V* в алфавите V. Наглядной моделью порождения
вариантов является дерево перебора. Число его уровней (ярусов)
равно длине цепочек /. В случае фиксированной длины цепочек
все ветви дерева имеют одинаковую длину /. Каждой ветви соот-
ветствует вариант ПО. Ширина r-го яруса определяется количе-
ством пг используемых на этом ярусе элементов базиса В.
Модель дерева позволяет оценить мощность 7V=|IZ*| порождае-
мого множества V*, т.е. число вошедших в него вариантов.
Случай 1. Базис ПО разделен на / секций; задан порядок
обхода секций; число элементов, используемых на разных яру-
сах, не одинаково; базисные элементы всех ярусов совмести-
мы. Этому случаю соответствует формула вычисления числа
вариантов, аналогичная формуле (2.1):
/
(2’4)
7-Т
58
Случай 2. Сделаем произвольным порядок обхода секций
базиса В. Количество вариантов увеличивается в /! раз:
1
=	(2.5)
Г=1
Случай 3. Базис ПО однороден и состоит из п элементов.
Каждый из них может использоваться на r-м шаге порождения
цепочки. Этому случаю соответствует формула размещения с
повторениями:
N=nl.	(2.6)
Формула (2.6) может быть также применена для случая 1,
когда количество базисных элементов в каждой секции равно:
и1=,...,=иг=,...,=«/=«, т.е. заполнены все клетки морфологичес-
кой таблицы. Так, например, комбинирование базисных эле-
ментов, входящих в табл. 2.1, позволяет теоретически создать
58=390625 сюжетов детективного романа.
Случай 4. Базис ПО однороден, но использованный элемент
базиса повторно не используется при порождении варианта.
Этому случаю соответствует формула размещения без повторений:
N=n(n-1)...(п-1+1).	(2.7)
Во всех 4 случаях полагалось, что элементы всех ярусов дерева
совместимы, т.е. отсутствуют недопустимые сочетания элемен-
тов. При наличии недопустимого сочетания элементов соот-
ветствующая ему ветвь дерева исключается, уменьшая число
вариантов в множестве V*. При этом формулы (2.4)—(2.7) могут
использоваться как асимптотические оценки получаемых мно-
жеств вариантов. Это имеет место также для тех случаев, ког-
да длина цепочек не фиксирована, поскольку оценка выполня-
ется на основе максимальной длины цепочек.
На размерность множества вариантов помимо исключения
недопустимого сочетания элементов влияет ограничение дли-
ны цепочек, поскольку длина I входит во все перечисленные
формулы.
Формальная система, как и аксиоматическая теория,
способна порождать только замкнутое множество выводи-
мых формул. Это означает, что в каждом цикле порождения
множество вариантов остается неизменным. В тех случаях,
59
когда множество вариантов требуется изменить, например, рас-
ширить, следует обеспечить возможность изменения любой
или всех компонент формальной системы за счет приращений
АТ, АТ, АЛ, АВ: TUAT, TUAT, ЛиДЛ, BUAB [82].
Варианты, принадлежащие множеству X=V*, обладая об-
щим целевым свойством, различаются другими, например,
потребительскими свойствами, что проистекает из различия
состава, порядка следования и количества входящих в них
примитивов. Это позволяет рассматривать их как альтерна-
тивы в задачах выбора. Задавая определенные требования
к потребительским свойствам, можно осуществлять выбор наи-
лучшей альтернативы из множества X.
2.5.	Интеллектуальные справочники
Свойство неизменности состава множества вариантов X,
порождаемого формальной системой, было использовано ав-
тором для разработки программных систем, получивших на-
звание интеллектуальные справочники (ИС) [43—45]. По назна-
чению ИС представляет собой базу данных, специализирован-
ную в узкой предметной области. На основе морфологическо-
го анализа ПО и применения формальной системы представ-
ляется возможность не хранить, а выводить различные вари-
анты предметного знания [52]. Это позволяет считать программ-
ную систему с этими свойствами разновидностью базы зна-
ний, что является основанием для использования термина «ин-
теллектуальный» в названии ИС. Различие с общепринятой базой
знаний заключается в выводе не единственного заключения,
соответствующего некоторой совокупности условий, а всех
заключений для заданных совокупностей условий.
В ИС хранятся не сами варианты ПО, а правила их порож-
дения. Такой способ хранения информации позволяет эконо-
мить память компьютера и упрощает поиск нужной информа-
ции. Реальной проблемой для ИС, как для справочника, яв-
ляется размерность порождаемого множества X. Приемле-
мая размерность для дальнейшего анализа и выбора вари-
антов не должна превышать нескольких десятков вариантов.
60
Для многих практических приложений она может значительно
превышать эту границу. С целью сокращения размерности мно-
жества X предусматривается управление режимом генерации
и целевыми свойствами вариантов, что позволяет порождать
подмножества вариантов ПО допустимой размерности.
На рис. 2.1 приведена типовая блок-схема ИС.
Рис. 2.1. Типовая блок-схема интеллектуального справочника
61
Генератор слов управляет синтезом цепочек. Режим генера-
ции цепочек задается следующими параметрами:
•	структура базиса (однородный, секционированный);
•	способ выбора очередного элемента (в порядке следова-
ния, случайный);
•	длина цепочек;
•	размерность порождаемого множества цепочек;
•	способ порождения цепочки (автоматический, пошаговый).
Если существует необходимость в расширении порождае-
мого множества, то используется модификатор, который по-
зволяет изменять компоненты формальной системы.
Задание целевого свойства вариантов специфично для каж-
дой предметной области. Здесь определяются также элементы,
дополняющие базис при синтезе неоднородных цепочек.
Синтаксический анализатор проверяет каждого кандидата
на возможность его включения в цепочку. Он не подлежит
включению в цепочку, если не отвечает ни одному из правил
порождающей грамматики. Эти правила могут задаваться
совокупностью продукций типа «ЕСЛИ, ТО».
Семантический анализатор проверяет цепочку с элементом,
прошедшим синтаксический контроль, на присутствие смысла.
Смысл, подобно синтаксису, задается совокупностью условий,
которым должна отвечать цепочка с включенным в нее эле-
ментом. Не отвечающий этим условиям проверяемый в соста-
ве цепочки элемент считается неинформативным и исключает-
ся из цепочки.
Если фиксированная длина цепочки гарантирует обладание
целевым свойством конкретной ПО, анализатор завершения
синтеза слова определяет момент завершения синтеза по вели-
чине I. Если предусмотрена возможность синтеза неоднород-
ных цепочек, используются необходимые внешние по отноше-
нию к базису факторы. При нефиксированной длине цепочки
для анализа завершения синтеза слова может использоваться
словарь «осмысленных» слов.
Расчет значений признаков заключается в количественной
оценке «потребительских» свойств синтезированной цепочки.
Если возможность получения объективной количественной оценки
отсутствует, эти свойства подлежат экспертной оценке.
62
Отображение вариантов заключается в представлении каждо-
го варианта в привычной для предметника форме (текст, табли-
ца, график, рисунок и пр.). Все множество вариантов представля-
ется в виде таблицы «Варианты/Свойства». В ее столбцах приво-
дятся значения «потребительских» свойств каждого варианта.
Сохранение множества вариантов позволяет запоминать
порожденные множества в файлах. При этом файлы содержат
не сами варианты, а характеризующие их параметры. По этим
параметрам воспроизводится нужное изображение варианта.
Несмотря на то, что типовой блок-схеме, изображенной
на рис. 2.1, могут отвечать многие системы, порождающие альтер-
нативы на основе морфологического синтеза примитивов, не всем
из них подходит название интеллектуального справочника. Если
система предназначена для отбора наилучшей альтернативы и имеет
высокую степень изменчивости исходных данных и результатов,
она играет роль генератора альтернатив (ГА). Рассмотрим два при-
мера построения ИС и ГА для разных предметных областей.
2.6.	ИС «Методы диагностирования
вычислительной сети»
2.6.1.	Разработка модели диагностирования ВС
Под вычислительной сетью (ВС) понимается совокупность
параллельно функционирующих и взаимодействующих между
собой автономных вычислительных устройств, далее называе-
мых вычислительными модулями (ВМ) [94]. Эти свойства вы-
числительной сети позволяют выполнять рабочее диагности-
рование ВМ, т.е. распознавать их техническое состояние
по результатам решения задач [42]. Для проверки результатов
используется либо повторение вычисления на том же ВМ (пов-
тор), либо вычисление задачи на другом ВМ (дублирование).
Правильный результат (true) получается при вычислениях
на исправном ВМ (Good). Неисправное состояние ВМ проявляет-
ся различным образом. Если результат вычисления при проверках
повторяется, но является неправильным (false) ВМ находится
в состоянии отказа (Failure). Если при нескольких проверках наблю-
дается единственный неправильный результат (malfunction),
то произошел сбой (самовосстанавливающийся отказ) ВМ (Malfunction).
63
Если все результаты различаются между собой, отказ ВМ на-
зывается динамическим (Dynamic). Неизвестное состояние ВМ,
которое существует до завершения проверок, обозначается
символом «?».
Поскольку диагноз ВМ ставится на основе сопоставления не-
скольких результатов вычислений (РВ), один из них (первый
по счету) считается основным, а остальные дополнительными. Сфор-
мулируем условия диагностирования ВМ в вычислительной сети.
1.	Состояние ВМ оценивается по большинству одинаковых
РВ (принцип большинства или мажоритарный).
2.	Во время решения основной задачи и диагностирования
в используемых для этих целей ВМ может произойти только
один сбой или отказ.
3.	ВМ не обладает свойством самовосстановления — отка-
завший ВМ не может выдать правильный результат.
4.	Процесс диагностирования выполняется на ВМ, использу-
емым для вычисления основного РВ или в специальном блоке.
Исходя из первого условия, определим размерность простран-
ства «Дублирование/Повторы» вычислений. Минимальное число
РВ, требуемое для реализации принципа большинства, равно
трем. Модуль, на котором выполняется основное вычисление,
обозначим ВМО. Модуль, используемый для дублирования
результата, обозначим ВМ1. Модуль, используемый для реа-
лизации принципа большинства, обозначим ВМ2. Аналогич-
ным образом нумеруются повторы вычислений. Основной РВ
обозначается цифрой 0, а следующие за ним два повтора обо-
значаются цифрами 1 и 2 соответственно. Количество комби-
наций цифр 0, 1 и 2 в пространстве «Дублирование/Повторы»
составляет 32=9. Таким образом, для представления всех ком-
бинаций оценок РВ достаточно использовать матрицу оценок
размерности 3x3.
Исходя из второго и третьего условий, рассмотрим допус-
тимые комбинации оценок результатов вычислений. Обозна-
чим оценки РВ первыми буквами латинского алфавита: t (true),
f (false), m (malfunction). Число размещений этих значений
по двум РВ равно 32=9, а сами размещения образуют множество:
M(2)={tt, tf, tm,ff,ft,fm, mm, mf, mt}.
64
Однако не все из этих комбинаций являются допустимыми.
К недопустимым относятся f t (ВМ не обладают свойством
самовосстановления), fm, mf (один ВМ не может находиться
в двух различных состояниях, а два ВМ не могут быть одно-
временно неисправными), тт (сбой не может повториться
за время диагностирования и не может случиться одновремен-
но в двух различных ВМ). Таким образом, имеется всего пять
разрешенных комбинаций:
M(2)={tt, tf, mt}.
Каждая из них может встретиться при дублировании или
повторе вычислений. Поэтому для моделирования всех возмож-
ных комбинаций используются пять матриц оценок РВ раз-
мерности 3x3.
В случае моделирования динамических отказов (D) 5 разре-
шенных комбинаций оказываются недостаточными, посколь-
ку для фиксации изменчивости результатов используются до-
полнительный символ d. Он позволяет моделировать три раз-
ных РВ, например комбинацией tfd. В случае обнаружения
динамического отказа при повторе вычислений применяется
одна дополнительная матрица оценок РВ, а при использова-
нии повтора и дублирования — два дополнительных матрицы
оценок. Поскольку символ d может характеризовать результа-
ты вычислений, только начиная с третьего, на начальном эта-
пе достаточно использовать пять базовых матриц оценок РВ.
Таким образом, для моделирования всех возможных комбина-
ций оценок РВ требуется от пяти до семи матриц размерности
3x3. Они и позволяют воспроизвести все методы диагностиро-
вания вычислительной сети.
2.6.2.	Диагностика состояния вычислительных модулей
Постановка диагноза состояния ВМ осуществляется
на основе содержимого матриц оценок РВ, причем содер-
жащаяся в них информация позволяет диагностировать не
только основной модуль ВМО, но и дублирующий модуль
ВМ1. Диагноз выполняется на основе сопоставления РВ.
Существенным фактором для постановки диагноза являет-
ся использование повторения или дублирования вычислений.
65
Например, равенство оценок двух РВ, полученных на одном
и том же ВМ, не позволяет оценить его состояние, посколь-
ку одинаковым оценкам соответствуют комбинации tt и ff.
Если же эти оценки относятся к разным ВМ (дублирование
вычислений), то равенство оценок РВ означает исправность
обоих ВМ, так как комбинация ff недопустима согласно
первому условию.
При использовании для постановки диагноза более двух
оценок РВ используется принцип большинства. Например,
комбинация tmt, полученная по результатам трех вычисле-
ний на одном и том же ВМ, означает, что причиной отли-
чия второго РВ от двух других является сбой ВМ, посколь-
ку два других РВ одинаковы. Для диагностирования всех
возможных состояний ВМ каждое очередное сравнение двух
РВ должно быть результативным, т.е. выполнять хотя бы
один дополнительный диагноз. Рассмотрим процесс диаг-
ностирования модулей ВМО и ВМ1 на основе матриц оце-
нок РВ. Для этого возьмем более простой случай отсут-
ствия динамических отказов.
1.	Сопоставление результата основного вычисления с по-
вторным в модуле ВМО не позволяет установить ни одного
диагноза (рис. 2.2). В первых строках матриц оценок РВ этому
случаю соответствуют символы «?».
Y(00) = Y(01)?
ВМО	t
ВМ1
ВМ2
Y(00) = Y(01)?				
ВМО	т t -	?	t f -	?
ВМ1	- - ~		- - -	
ВМ2	_ _ _		_ _ _	
Рис. 2.2. Матрицы оценок РВ, моделирующие первый повтор вычислений
66
2.	Варианты оценок РВ после сопоставления основного РВ
со вторым повтором
вычислений приведены на рис. 2.3.
Y(00) = Y(01)?
Y(00) = Y(02)?
ВМО	t	t	t	?
BM1	_	_	_
BM2	_	_	_
Y(00) = Y(01)?	и
Y(00) = Y(02)?	и
ВМО	m	t	t	?
BM1	_	_	_
BM2
моделирующие два повтора вычислений
Рис. 2.3. Матрицы оценок РВ,
На рис. 2.2 и 2.3 над матрицами указываются сопоставляе-
мые РВ. Их координаты в матрицах выражаются через номера
строк и столбцов. В строках, соответствующих сопоставляе-
мым РВ, знаками «=» и «*» помечаются возможные резуль-
таты сравнений. Они обозначают соответственно равенство
и неравенство РВ. Содержимое матриц используются для по-
становки диагноза ВМО и ВМ1. Комбинация tmt, которая по-
лучилась в третьей матрице на рис. 2.3, влечет постановку
диагноза «Сбой ВМО».
3.	Варианты оценок РВ после выполнения третьего и чет-
вертого сравнений приведены на рис. 2.4.
Поскольку на рис. 2.4 диагнозы поставлены для всех вари-
антов оценок РВ, процесс диагностирования на этом заверша-
ется. Полученный метод диагностирования ВС требует выпол-
нения в худшем случае четырех сравнений РВ (при отказе ВМО),
а наличие сбоя в модуле ВМО потребует всего двух сравнений РВ.
Наглядно возможные результаты диагностирования ВС с при-
менением полученного метода представляются деревом диаг-
нозов, изображенным на рис. 2.5.
67
Y(00) = Y(01)?
Y(00) = Y(02)?
Y(00) = Y(10)?
Y(00) = Y(20)?
BMO
BM1
BM2
Y(OO) = Y(O1)?
Y(OO) = Y(O2)?
Y(OO) = Y(O1)?
Y(OO) = Y(02)?
BMO
BM1
BM2
Рис. 2.4. Матрицы оценок PB, моделирующие четыре сопоставления РВ
Координаты ОРВ и БС
ОРВ	00	00	00	00	00
БС		01	02	10	20
--------------------------------- GG
* *
--------------- FG
# =
---------— м
--- FG
*
-----MG
Рис. 2.5. Дерево диагнозов метода диагностирования ВС
В верхнем ряду приведены координаты (00) основного РВ,
который играет роль оцениваемого результата вычислений (ОРВ),
а во втором ряду — координаты других РВ, выполняющих роль
базы сравнения (БС). В листовых вершинах дерева приводятся
все возможные диагнозы модулей ВМО и ВМ1. Пять ветвей дерева
диагнозов соответствуют пяти матрицам оценок РВ.
68
Для сравнения приведем дерево диагнозов (рис. 2.6), полу-
ченное для одной из комбинаций сравнений, рассчитанных на
диагностику динамических отказов.
Координаты ОРВ и БС
ОРВ 00	00	10	00
БС 10	01	01	11
10	00
11	20
GG
GM
--FG
*
---GD
MG
------ DG
Рис. 2.6. Дерево диагнозов с учетом динамических отказов ВС
Согласно вышеизложенному, моделирование динамических
отказов модулей BM0 и ВМ1 требует двух дополнительных
матриц, а дерево диагнозов имеет семь ветвей. Динамический
отказ ВМ1 находится по результатам третьего сравнения РВ
(вершина DG), а такой же отказ BM0 — по результатам пято-
го сравнения РВ (вершина GD).
2.6.3. Порождение методов диагностирования ВС
Из сравнения деревьев диагнозов, изображенных на рис. 2.5
и 2.6 следует, что методы диагностирования ВС различаются
как количеством требуемых диагнозов состояния модулей BM0
и ВМ1, так и вариантами сравниваемых РВ. Эти различия
порождаются составом и порядком следования пар ОРВ-БС.
69
Следовательно, именно их и следует принять за элементы ба-
зиса предметной области «Методы диагностирования ВС».
Далее, с целью сокращения записи будем представлять РВ
их координатами в пространстве «Дублирование/ Повтор», на-
пример, основной РВ представляется координатами 00.
К результатам вычислений в парах ОРВ-БС, включаемых в
базис ПО, предъявляются следующие требования:
1.	На роль ОРВ могут претендовать только уже известные РВ.
2.	На роль БС могут претендовать еще неиспользованные
для диагноза РВ.
3.	После использования в качестве ОРВ РВ не может слу-
жить базой сравнения.
Первому требованию не удовлетворяет, например, пара
01-00, поскольку повторное вычисление не может предшество-
вать основному. А если пара 00-01 уже включена в цепочку,
то пара 01-00 с PB00 в роли БС не дает нового диагноза.
Согласно первому требованию, в качестве начального ОРВ
должен использоваться основной результат вычисления, полу-
ченный в модуле BM0 в основной (нулевой) отрезок времени
(РВ с координатами 00). С учетом этого свойства и требова-
ний 1,2 в базис ПО включаются следующие пары:
Ввс= {00-01; 00-10; 00-02; 01-02; 00-20; 10-20; 00-11; 01-11;
10-11; 01-10; 01-20; 10-01; 10-02).
Удовлетворение предъявляемых к ОРВ и БС требований вли-
яет также на порядок пар в синтезируемой цепочке. Начальной
парой в цепочке не может являться, например, пара 00-02,
поскольку РВ02 не может предшествовать РВ01. Исходя из этих
требований, генератор цепочек подбирает следующую пару
таким образом, чтобы Хэммингово расстояние между коорди-
натами использованных РВ и новым претендентом не превыша-
ло 1. Другим правилом является запрет на повторное включе-
ние в пару РВ, уже игравших роль БС. Изложенные ограниче-
ния следует рассматривать как синтаксические правила ПО.
Согласно указанным ограничениям в качестве первой пары вы-
бираются только 00-01 (сравнение с первым повторным вычисле-
нием) или 00-10 (сравнение с первым дублированием вычислений).
Использование РВИ на первом шаге порождения цепочки невоз-
можно, поскольку до него необходимо получить РВ01 и РВ10.
70
На следующем шаге порождения цепочки сравнений допу-
стимыми являются пары 00-02 и 01-02, если первой парой была
00-01, и пары 00-20 и 10-20, если первой парой была 00-10.
На третьем шаге наряду с неиспользованными до него парами
базиса можно выбрать пару 00-11, если уже включены в цепоч-
ку пары 01 и 10.
К специфическим правилам выбора единственной пары от-
носится случай «связанных пар», который имеет место при
диагностировании динамических отказов. Оно называется пра-
вилом «треугольника» и позволяет выявить соотношение трех
оценок РВ при одинаковых результатах сравнения. На рис. 2.7
показан пример применения правила «треугольника» для раз-
личения первый и третий матриц оценок РВ по результатам
сравнений их содержимого.
Y(00) = Y(01)?						
Y(00) = Y(10)?			=			
ВМО	tn t -		t f -	?	f d -	?
BM1	t - -	G	t - -	G	t - -	G
BM2	- - -		_ _ _		— "• —	
Рис. 2.7. Пример применения правила «треугольника»
В обеих матрицах за два сравнения (00-01 и 00-10) выявлено
неравенство сопоставляемых РВ. Для выявления различия меж-
ду содержимым этих матриц в цепочку сравнений включается
безальтернативная пара 01-10, сопоставляющая базы сравнения
предыдущих пар. В 1 матрице выявляется равенство элементов
01-10 (/=/), в третьей матрице — их неравенство (d # z). Это
позволяет поставить диагноз сбоя (М) модуля BM0 в первой
матрице и динамического отказа (D) в третьей матрице.
Возможность получения хотя бы одного нового диагноза
ВМ в матрицах оценок РВ при включении в цепочку очеред-
ной пары ОРВ-БС является условием информативности этой
пары и заключения о правомерности включения ее в цепоч-
ку. Условия выявления новых диагнозов ВМ по матрицам
оценок РВ представляют собой семантические правила по-
рождения цепочек.
71
Проблема завершения синтеза цепочки сравнений в этой
задаче решается двумя способами: пока не будут найдены все
варианты диагнозов состояния модулей ВМО и ВМ1 (исключе-
ны неизвестные состояния ВМ), либо ограничением на длину
цепочки. Исключению неизвестных состояний ВМ соответствует
замена всех вопросительных знаков в матрицах оценок
на диагнозы состояний ВМ. При ограничении длины цепочки
для дальнейшей диагностики используются тесты ВМ. Мини-
мальная длина цепочки равна четырем при диагностировании
нединамических отказов и шести в противном случае.
Наглядной моделью порождения методов диагностирования
ВС является дерево генерации цепочек. На рис. 2.8 приведено
дерево генерации методов диагностирования, не обнаружива-
ющих динамические отказы ВМ.
Рис. 2.8. Фрагмент дерева генерации цепочек
72
Корневой вершине дерева поставлены в соответствие все
пары из базиса Ввс. Но согласно изложенным синтаксическим
правилам на первую пару цепочки сравнений могут претендо-
вать только пары 00-01 и 00-10. Из них на рис. 2.8 выбрана
первая пара. Кандидатами на включение в цепочку на вто-
ром шаге являются четыре неиспользованных пары из ВЁС.
На третьем шаге порождения цепочки на роль БС претендует
всего один кандидат (РВ10), отстоящий от PB00 на одного
по Хэммингу. На роль ОРВ претендуют три вычисленных
на этот момент РВ: PB00, РВ01 и РВ02. На четвертом шаге
на роль ОРВ претендуют четыре использованных РВ, а на роль
БС — два еще неиспользованных РВ (всего восемь пар). Выде-
ленная на рис. 2.8 ветвь дерева показывает последовательность
порождения метода ДВС, представленного на рис. 2.5.
Не все пары — претенденты на включение в цепочку явля-
ются информативными. На последнем ярусе дерева такие пары
помечены четырьмя пунктирными ветвями.
При ручном способе синтеза метода диагностирования из-
ложенные правила используются для формирования подска-
зок с целью выбора очередной пары ОРВ-БС. На рис. 2.9 показан
интерфейс ручного ввода координат ОРВ и БС с пустыми окна-
ми ввода. В правой части интерфейса перечислены уже вклю-
ченные в цепочку пары ОРВ-БС, а в нижней части приводятся
рекомендуемые варианты РВ для ввода в окна ОРВ и БС.
Они формируются на основе синтаксических правил формаль-
ной системы.
Практическое применение методов диагностирования ВС,
порождаемых интеллектуальным справочником ИС МДВС,
обуславливается в каждом конкретном случае их «ресурс-
ными» свойствами, т.е. потребляемыми ими ресурсами сети.
В табл. 2.1 представлены ресурсы, потребляемые методами ДВС
одного из порожденных на ИС МДВС множеств.
Методы в таблице идентифицируются порядковыми номерами.
Аббревиатуры, приведенные в верхней строке таблицы, оз-
начают следующие ресурсы сети, потребляемые в процессе ди-
агностирования ВМ:
ВМ — число ВМ;
73
ЕНЕРАЦИЯ
ПРОСМОТР СЕЛЕКЦИЯ ВЫБОР	ФАЙЛ	ВЫХОЛ
Ввод координат				Введенные пары 1 08-81 2 08-18
3-я пара		ВН Повтор		
0 Р БС	В			
СРАВНИТЬ РВ	ВНО	С	ПОВТОРНЫМ	Подсказка РВ 82
РВ	ВМО	С	РВ 28 РВ	ВНЕ С РВ 28
Введите номера ВМ и повтора (от В до 2-х>.наминая с 88
Рис. 2.9. Интерфейс ручного ввода координат ОРВ и БС
ВЧСЛ — число вычисляемых результатов;
МКСПВТ — максимальное число вычислений на одном ВМ;
ПРС — число пересылок РВ между ВМ для их сопоставления;
СРВН — общее число сравнений РВ;
ИСПР — число сравнений РВ, требуемых для проверки
исправности ВМ;
Сбой — число сравнений РВ, требуемых для обнаружения
сбоя ВМ;
НОРВ — число сравнений РВ, требуемых для обнаружения
отказов ВМ;
НРРВ — число сравнений РВ, требуемых для обнаружения
динамических отказов ВМ;
ЗТ — запрос на тестирование ВМ;
ПТ — периодическое тестирование ВМ.
В двух нижних строках таблицы приведены минимальные и
максимальные значения перечисленных признаков.
Пустые клетки таблицы означают отсутствие соответствую-
щих свойств методов ДВС. Например, отсутствие ряда значе-
ний признака НРРВ означает неспособность соответствую-
щих методов диагностировать динамические отказы ВМ.
Методы 10-12, порожденные с ограничением на число сравне-
ний, требуют тестирования для получения части диагнозов ВМ.
74
Ресурсы, потребляемые методами
Таблица 2.1
N мет	ВМ	вчсл	мкспвт	ПРС	СРВН	ИСПР	- СБОИ	НОРВ	НРРВ	н го	Н С
1	3	5	2	4	4	2	2	4		0	п
2	3	5	2	4	4	2	2	3		0	п
3	3	5	2	4	4	3	3	4		0	п
4	3	5	1	6	4	1	2	4		0	п
5	3	5	2	6	5	2	3	5	3	0	п
6	3	5	2	6	5	2	3	4	3	0	п
7	3	5	2	4	5	4	4	5	3	0	п
8	3	5	1	8	6	1	3	6	3	0	п
9	3	5	1	8	6	1	3	4	3	0	п
10	2	4	2	2	3	2	2			2	п
11	2	4	2	4	4	2	3		3	2	п
12	2	2	0	2	1	1				8	п
Min	2	2	0	2	1	1	2	3	3	0	
Мах	3	5	2	8	6	4	4	6	3	8	
Числа 2, 2 и 8 в столбце ЗТ определяют число ситуаций, в ко-
торых привлекается тестирование ВМ. Представление о про-
центе допустимых методов из всех перебираемых вариантов, дает
выделение девяти методов из тридцати девяти порождавшихся.
С помощью настройки параметров порождения методов, ИС
МДВС дает возможность формировать как автоматически, так
и вручную, множества методов, отвечающих различным тре-
бованиям. Содержимое таблицы, характеризующей методы из
порожденного множества, позволяет выполнять выбор нужно-
го метода в пространстве ресурсных признаков.
2.7. Составление учебных расписаний
2.7.1. Постановка задачи
Составление учебных расписаний является трудоемкой ком-
бинаторной задачей. Она учитывает много факторов и имеет много
вариантов решения. Ее сложность определяется количеством групп,
75
для которых составляется расписание, числом предметов, пре-
подаваемых в каждой группе, видом занятий с группой, мето-
дикой проведения занятий, обуславливающих их последова-
тельность. Кроме того, необходимо учитывать такие специфи-
ческие ресурсы, как количество лекционных аудиторий, дисп-
лейных и других специальных классов, которые могут рассмат-
риваться как критические.
В качестве исходных данных используются также: учебная
нагрузка преподавателей на семестр, требования со стороны
других кафедр, объективные и субъективные (устанавливаемые
преподавателями) требования к последовательности занятий.
Несмотря на высокую трудоемкость, эта задача до сих пор
решается, как правило, вручную, что требует больших трудо-
затрат и не всегда позволяет обеспечить приемлемое качество
расписания и пожелания к нему со стороны преподавательско-
го состава. Для конкретности будем рассматривать составле-
ние учебного расписания на семестр для выпускающей кафед-
ры университета. Эта задача сводится к составлению расписа-
ния на неделю, причем недели делятся на четные и нечетные.
Такое разделение позволяет учитывать нечетное число часов
преподавания дисциплины в неделю, например, 1 час, что оз-
начает проведение занятий через неделю.
Для составления учебного расписания в качестве исходных
данных используются:
•	учебная сетка недели;
•	сведения об обучаемых группах;
•	изучаемые группами дисциплины;
•	сведения о преподавателях;
•	учебные ресурсы (лекционные аудитории, компьютерные
классы и т.д.).
Представим исходные данные в виде следующих множеств:
1.	D={Dl,...,Dnd} — дни недели (пять или шесть рабочих
дней).
2.	Р={Ру,...,Рпр} — множество учебных пар (от трех
до пяти пар в день).
3.	G={Gl,...,Gng} — множество групп, изучающих дисцип-
лины кафедры.
76
4.	S={Sl,...,Sns} — множество дисциплин (для каждой груп-
пы).
5.	K={LC, LW, SM, СР} — вид или категория занятий (лек-
ция, лабораторная работа, семинар или практическое занятие,
курсовое проектирование).
6.	Н={\, 2, 3, 4, 5, 6} — часовая нагрузка по дисциплине в
неделю.
7.	T={T\,...,Tnt} — список преподавателей кафедры.
8.	А = {А х,...,Апа} — список аудиторий.
Учебная сетка недели описывается бинарным отношением Ryc,
определенным на декартовом произведении DxP: RycCDxP.
Представим отношение Ryc в привычной табличной форме.
Заполненные клетки табл. 2.2 отображают учебную сетку для
j-й группы Gj для случая пятидневной рабочей недели.
Таблица 2.2
Понедельник	Вторник	Среда	Четверг	Пятница	Суббота
Gj	Gj	Gj	Gj	Gj	
Gj	Gj	Gj	Gj	Gj	
Gj	Gj	Gj	Gj	Gj	
	Gj		Gj		
Жирным шрифтом помечены учебные пары, занятые дис-
циплинами, которые преподаются на других кафедрах. К та-
ковым относятся дисциплины, преподаваемые, как правило,
студентам разных специальностей. На младших курсах —
это, например, общие курсы математики и физики, на старших —
философия, охрана труда и обеспечение жизнедеятельности
и пр. Эти дисциплины читаются большим потокам студентов
и должны планироваться в первую очередь. Начальную учеб-
ную сетку, заполненную другими кафедрами, представим
как бинарное отношение /?„„0СЛ .
Решением задачи составления учебного расписания по дис-
циплинам, преподаваемых на специальной кафедре, является
заполнение оставшихся пустыми клеток учебной сетки конк-
ретным видом занятий по каждой изучаемой дисциплине.
При этом необходимо выполнить следующие условия:
1. Количество учебных пар в неделю не должно превысить
3-6=18 (исходя из шестидневной рабочей недели).
77
2. Количество аудиторных часов в группах должно совпа-
дать с учебной нагрузкой преподавателей кафедры на семестр:
ng ns	ns	nt
2 S Njk -	-1)= 2 Nr
k=Aj=l	7=1'	i=l
где Njk — число аудиторных часов, планируемых по у-й дисциплине
для к-й группы;
ngnj— число групп в потоке на лекциях по у-й дисциплине;
Nj — аудиторная нагрузка Z-го преподавателя на семестр.
В левой части формулы (2.8) из общего объема аудиторных
часов в группах вычитаются лекционные часы для потоков,
состоящих более чем из одной группы.
2.7.2. Планирование преподавания дисциплин
Пространство решения задачи составления недельного рас-
писания для ng обучаемых на кафедре групп на семестр оп-
ределяется декартовым произведением из восьми множеств:
DxPxGxSxKxHxTxA. Размерность входящих в декартово
произведение множеств позволяет оценить максимальное ко-
личество вариантов недельного расписания. Положим количе-
ство учебных пар в неделю равным восемнадцати (DxP). Пусть
на кафедре преподается двадцать дисциплин («5=20) для пят-
надцати групп («g=15) двадцатью преподавателями. Число спе-
циальных аудиторий равно шести. С учетом четырех катего-
рий занятий и шести вариантов часовой нагрузки по дисцип-
лине в неделю число вариантов недельного расписания со-
ставляет величину 15552000. В реальности эта величина зна-
чительно меньше, прежде всего, за счет того, что преподава-
тели преподают не все дисциплины из списка, а в среднем от
трех до пяти дисциплин.
Помимо указанного естественного ограничения размерность
задачи уменьшается на стадии планирования учебного процес-
са. За каждой дисциплиной обычно закрепляется штатный
лектор. Для проведения лабораторных работ и курсового про-
ектирования в группу добавляется второй преподаватель.
С учетом числа часов, отведенных на все виды занятий по учеб-
ному плану у-й дисциплины, планирование ее преподавания
описывается бинарным отношением Rnpj, определенным
на декартовом произведении КхНхТ: R сКхНхТ.
“Pv
78
Пусть, например, профессор Иванов читает лекции (один
раз в неделю) и руководит курсовым проектированием (через
неделю) по дисциплине «Теория принятия решений» (ТПР).
В помощь ему для проведения один раз в неделю лаборатор-
ных работ (ЛР) и курсового проектирования (КП) назначают-
ся преподавательницы Петрова и Сидорова. В теоретико-мно-
жественной форме эти условия записываются как:
/?прТПР={(ТПР, лекция, 2), Иванов; (ТПР, КП, 1), Иванов;
(ТПР, КП, 1), Петрова; (ТПР, ЛР, 2), Петрова; (ТПР, ЛР, 2),
Сидорова}.
В более наглядной табличной форме отношение /?пр тпр
имеет вид:
Таблица 2.3
—	ТПР, лекция	ТПР, КП	ТПР, ЛР
Иванов	2	1	
Петрова		1	2
Сидорова			2
В клетках табл. 2.3 проставлена часовая нагрузка всех препо-
давателей, участвующих в преподавании дисциплины. Аналогич-
ным образом планируется преподавание остальных дисциплин,
закрепленных за кафедрой, с учетом учебной нагрузки препода-
вателей. Формально планирование преподавания всех дисцип-
лин описывается тернарным отношением RnpCSxKxHxT.
Этап планирования учебного процесса даже в пределах одной
кафедры является весьма трудоемкой и многовариантной за-
дачей. Формирование отношений R j, j=\,...,ns, для каждой
группы Gi, i=\,...,ng, значительно облегчается, если для хране-
ния списков групп G, дисциплин S, и преподавателей Т ис-
пользовать базу данных. Поскольку эти списки могут ме-
няться, в особенности список групп, необходимо иметь воз-
можность их редактирования. На рис. 2.10 приводится ва-
риант интерфейса системы подготовки исходных данных для
составления учебного расписания1.
1 Пример интерфейса заимствован из дипломного проекта И. Румянцевой
79
Рис. 2.10. Интерфейс системы подготовки данных для составления расписания
е
80
Следующим этапом составления учебного расписания
является распределение элементов тернарного отношения R
по клеткам табл. 2.2. Множество вариантов заполнения учеб-
ной сетки характеризуется декартовым произведением отно-
шений RyCxRnp. Именно этот этап и может быть реализован ме-
тодом морфологического синтеза. Рассмотрим его подробнее.
2.7.3. Порождение учебных расписаний
Вроде не бездельники и могли бы жить,
Им бы понедельники взять да отменить
Из кинофильма «Бриллиантовая рука»
Поставленную выше задачу по составлению учебного рас-
писания можно рассматривать как задачу о назначениях. Если
принять пустые клетки таблицы R как вакансии, а элементы
тернарного отношения Лпр как предложения, то модель задачи
можно представить полным взвешенным двудольным графом
G(ryc’ кпр’ ® с равными долями лус=лпр, «ус=| Гус|, ипр=|Гпр|.
Равенство свободных пар расписания на неделю и занятий
по всем дисциплинам объясняется соблюдением двух условий,
сформулированных в разделе 2.7.1.
Доли V и Кпр определяются свободными клетками четного
(нечетного) недельного расписания и изменяемыми клетками не-
четного (четного) расписания. Пусть, например, число клеток,
заполненных другими кафедрами, равно шести, а расписание
двух соседних недель различается содержимым пяти клеток.
Исходя из ресурса в восемнадцать пар в неделю, для составле-
ния расписания необходимо заполнить 18+6-5=19 клеток, т.е.
назначить девятнадцать пар «Вакансия (d,p) / Предложение
(s,k,h,t)», (d, p)E.Ryc, (s,k,h,t)E.Rnp.
При условии произвольного порядка назначений в полном
двудольном графе задача составления расписания имеет ппр!
вариантов решения. Однако в действительности, порядок на-
значений не является произвольным. Он ограничивается сово-
купностью условий, характеризующих учебный процесс.
81
Разделим их на обязательные и необязательные. К первым
относятся:
1.	Совмещение нескольких групп в одном лекционном потоке.
2.	Ограниченное число специальных аудиторий (лекцион-
ных, компьютерных классов и др.), па < ng.
3.	Чтение для группы не более двух лекций в день.
4.	Чтение преподавателем не более двух лекций подряд.
5.	Учебные часы преподавателя ограничиваются тремя па-
рами в день.
Последние три условия регулируются внутренним распорядком.
К необязательным условиям относятся:
1.	Приоритет в очередности занятий отдается лекциям.
2.	Пожелания преподавателей по очередности и времени
проведения занятий (см. рис. 2.10):
2.1.	последовательность «Лекция/Нелекционное занятие» или
наоборот;
2.2.	желательное время занятия {(<^ж1, рж ]),..., (4/ЖЛ1-, Рж,т)}’’
2.3.	нежелательное время занятия {(</нж1,рнжга)}.
Поскольку перечисленные условия представляют собой
не критерии, а ограничения, составление учебного расписания
не относится к классу многокритериальных задач о назначе-
ниях [5, 37]. Ограничения правомерно отнести к синтаксичес-
ким и семантическим правилам формальной системы. Эта модель
позволяет формировать синтаксически и семантически правиль-
ные последовательности (цепочки символов). За элементы ба-
зиса Врп принимаются четверки (s,fc,/M)G/?np.
Процесс порождения варианта расписания состоит из сле-
дующей последовательности действий:
1.	В учебной сетке выбирается пустая клетка (d, р\.
2.	Из базиса В выбирается неиспользованный элемент
(s,k,h,t^Bpn.
3.	Если выбранный элемент удовлетворяет всем обязатель-
ным и необязательным условиям учебного процесса, он вклю-
чается в учебную сетку, образуя элемент ((</,/?),,
и помечается как использованный, иначе перейти к п. 2.
4.	Если все элементы базиса Врп использованы для состав-
ления расписания, то вариант включается в множество допус-
тимых вариантов Мдв, иначе перейти к п. 2.
82
5.	Если множество Мдв допустимых вариантов достигло
заданной размерности, то процесс порождения вариантов рас-
писания завершается, иначе перейти к п. I.
6.	Если множество допустимых вариантов осталось пустым
(Мдв=0), следует последовательно ослаблять ограничения,
начиная с необязательных.
Для сокращения перебора вариантов расписания, связанных
с пожеланиями преподавателей, целесообразно выполнять пред-
варительный анализ на их совместимость. Пусть, например,
все преподаватели заявили, что понедельник является нежела-
тельным днем для аудиторных занятий. При обнаружении этой
ситуации на этапе предварительного анализа пожелания ис-
ключаются из рассмотрения в следующем порядке: вначале
игнорируются пожелания, высказанные, исходя из личного
рабочего плана преподавателя, затем по причине семейных
обстоятельств, и, в последнюю очередь, несущественные по-
требности в организации работы руководителей.
Очевидно, что допустимость варианта расписания и его
качество зависят от последовательности заполнения клеток
учебного расписания и очередности выбора элементов базиса.
Здесь могут быть использованы три способа очередности вы-
бора: случайный, в порядке следования свободных клеток учеб-
ной сетки и элементов базиса, по предпочтению элементов.
Предпочтения устанавливаются исходя из приоритета элемен-
тов. Наивысший приоритет устанавливается для тех занятий,
которые могут совпасть с проведением внешних мероприятий
по причине участия в них ведущего занятие преподавателя.
Например, если для заседаний диссертационного совета отве-
дено время после завершения третьей учебной пары по четвер-
гам, то на четвертую пару не должны планироваться занятия
членов этого совета. Приоритет занятий, не связанных с вне-
шними мероприятиями, может определяться с помощью экс-
пертных оценок.
Число порождаемых вариантов расписания зависит от чис-
ла и совместности условий организации учебного процесса,
выступающих в качестве ограничений. Оно может колебаться
от сотен до единиц. В предельном случае (при несовместности
исходных условий) не может быть порожден ни один вариант.
83
При большом количестве вариантов они порождаются груп-
пами, например, по пять вариантов. Лучший вариант группы
сохраняется и заменяется на более лучший, если он обнару-
жится в следующей группе. Проблема наилучшего варианта
может решаться как формальным, так и экспертным путем.
Первый путь требует формирования целевой функции, что
не всегда осуществимо при оценивании качества в «рыхлой»
предметной области. Экспертное заключение может составляться,
например, по количеству согласных (несогласных) с качеством
расписания преподавателей.
Обсуждение
Из двух способов порождения вариантов предметного знания —
имитационного моделирования и морфологического синтеза —
основное внимание в настоящем разделе было уделено второму.
В основу имитационной модели кладется имитация изучаемого
явления или объекта. В русском языке имеется образный эквива-
лент иностранного слова «имитация», а именно, подражание.
Подражать можно уже существующему явлению или объекту.
В противоположность такому подходу морфологический син-
тез нацелен на порождение несуществующих сущностей. Неда-
ром он лег в основу теории изобретений Альтшуллера [2].
Это не означает, что морфологический синтез не способен вос-
производить существующие сущности. Можно сказать, что он
дополняет имитационные модели в области «неведомого».
Как имитационный, так и морфологический подходы тре-
буют анализа изучаемой сущности, т.е. ее детализацию. При-
веденная в качестве примера задача построения графиков
движения поездов метрополитена решается путем имитации
функционирования станций. Имитационная модель линии мет-
рополитена отражает как поведение отдельной станции,
так и взаимодействие их между собой для решения общей задачи,
что характерно при использовании многоагентной парадигмы.
Морфологический подход имеет принципиально иной
характер. Если имитационная модель уже «сложена из ку-
биков», то морфологический синтез основан на комбини-
ровании «кубиков», полученных в процессе анализа ПО.
84
Свойства получаемых вариантов зависят как от состава, так и
от последовательности слагаемых элементов. Независимо от изу-
чаемых сущностей морфологический синтез использует общую
математическую модель формальной системы. Особенности пред-
метной области отражают базис и правила синтеза вариантов.
Синтаксические и семантические правила формирования цепо-
чек ограничивают свободу комбинирования базисных элемен-
тов. Следовательно, чем этих правил больше и чем они жестче,
тем меньше количество вариантов порождаемых системой.
Системы порождения вариантов предметного знания могут
существенно различаться по назначению. Одни из них могут
использоваться для справочных нужд. Количество порождае-
мых ими вариантов ограничивается, как правило, десятками,
а состав вариантов отличается стабильностью. Из возможных
вариантов выбирается наиболее подходящий для конкретных
условий. Такие системы, автором были названы интеллектуаль-
ными справочниками. В отличие от них генераторы вариантов,
используемые в планировании и проектировании, например,
в составлении учебных расписаний, подвержены существенным
изменениям. Количество порождаемых ими вариантов может быть
большим, а состав вариантов может значительно меняться.
Представляет интерес сравнение морфологического подхода
с получившими большое распространение в решении оптимизаци-
онных задач генетическими алгоритмами (ГА) [33]. Решение опти-
мизационных задач с использованием ГА также основано на по-
рождении вариантов предметного знания. Несмотря на внешнюю
аналогию между генами хромосомы и элементами цепочки прин-
ципы порождения вариантов в рассматриваемых подходах суще-
ственно различаются. В то время, как состав хромосомы меняется
за счет скрещивания с другой хромосомой или мутации генов,
ее длина, как правило, остается постоянной. Наоборот, состав це-
почки элементов при морфологическом синтезе остается постоян-
ным, а длина цепочки увеличивается за счет присоединения новых
элементов. Сравниваемые подходы преследуют и разные цели.
В то время, как целью морфологического подхода является по-
рождение множества допустимых вариантов, генетический алго-
ритм осуществляет поиск наилучшего варианта, а, следовательно,
обладает целевой функцией для сравнения качества вариантов.
85
Выводы
1.	Порождение альтернатив для решения задач рациональ-
ного выбора стимулируется разработкой систем поддержки
принятия решений и связано с широким применением компью-
теров в решении научных и управленческих задач. В качестве
методов порождения альтернатив наибольшее распростране-
ние получили имитационное моделирование и морфологичес-
кий синтез вариантов предметного знания.
2.	Имитационное моделирование позволяет имитировать свой-
ства моделируемой сущности (явления, объекта и т.п.) в различ-
ных ситуациях. Это достигается комбинированием значений па-
раметров, управляющих свойствами сущности. Для каждой ком-
бинации вычисляются значения функций, используемые как аль-
тернативы для выбора наиболее подходящих свойств.
3.	Морфологический способ порождения вариантов заклю-
чается в определении элементарных свойств, включаемых в базис
предметной области (морфологический анализ), и поиск до-
пустимых комбинаций элементов базиса, рассматриваемых
в качестве вариантов предметного знания (морфологический
синтез). Различие в составе и последовательности элементов
в порождаемых комбинациях влечет различие свойств получа-
емых вариантов. Важной особенностью этого способа порож-
дения альтернатив является получение, кроме известных, но-
вых вариантов предметного знания, что послужило стимулом
к развитию теории изобретений.
4.	Несмотря на то, что имеются определенные аналогии
между морфологическим и генетическим способами порожде-
ния вариантов, они существенно отличаются друг от друга.
Их различие заключается как в постановке решаемых задач,
так и в способах их решения. Если генетические алгоритмы
имеют целью нахождение квазиоптимальной хромосомы из числа
порождаемых путем скрещивания и мутаций, то морфологи-
ческий синтез рассчитан на порождение множества вариантов
предметной области путем комбинирования элементов базиса
ПО, из которых в последующем выбирается вариант, в наи-
большей степени отвечающий предъявляемым требованиям.
86
5.	При решении практических задач морфологический син-
тез реализуется в программных системах различного назна-
чения. Для решения справочных задач система оформляется
в виде интеллектуального справочника, что дает экономию
ресурсов в результате замены базы данных на базу знаний.
Системы этого класса характеризуются высокой степенью ста-
бильности состава вариантов предметного знания. В отличие
от них генераторы вариантов, применяемые для решения за-
дач проектирования и планирования, характеризуются боль-
шим числом и изменчивостью вариантов.
Глава 3. СТРУКТУРИРОВАНИЕ
ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ
Расчлените каждую изучаемую Вами задачу
на столько частей, сколько потребуется, что-
бы их было легко решать
Р. Декарт
3.1.	Иерархическое пространство признаков
Сложные объекты характеризуются десятками показателей.
Их число может превышать сотню. Например, для оценивания
деятельности кафедр университета привлекается свыше шести-
десяти показателей. Для случая подлежащих оцениванию трид-
цати кафедр размерность задачи составляет 30 х 60. Такая зада-
ча не решается вручную, поскольку психологами установлен порог
«7 ± 2», выше которого человеку трудно творчески осмыслить
задачу, и он вынужден переходить на механический счет.
Расчленение задачи на части является универсальным при-
емом, используемым при решении практических задач, имею-
щих, как правило, высокую размерность. Применительно
к многокритериальному оцениванию объектов решение про-
блемы размерности заключается в создании такого многослой-
ного признакового (критериального) пространства, которое по-
зволяло бы просто выполнять автоматическое оценивание
объектов и облегчало умозрительный анализ его результатов.
Сокращение размерности признакового пространства
при многокритериальном оценивании объектов заключается
в его структурировании. Родственные признаки группируются,
а между группами устанавливается отношение соподчинения.
Группы, в свою очередь, могут объединяться по принципу бли-
зости, образуя следующий уровень общности признаков и т.д.
Такая структура образует отношение иерархии (подчинения).
Графически она представляется графом типа «дерево». Корню
дерева ставится в соответствие признак, обобщенно характери-
зующий объекты ПО. Он называется глобальным. Признаки (кри-
терии), образующие промежуточные уровни иерархии, называ-
ются локальными, а нижний уровень иерархии — первичными.
88
Пример 3.1. Структурировать семь признаков, шесть
из которых можно объединить в две равные группы по прин-
ципу семантической близости.
Согласно условию задачи семь признаков разбиваются на сле-
дующие подмножества: {Ри, Р12, Р13}, {Р21, Р22, Р23}, Р33. Такое
разбиение представляется 3-х уровневой структурой. Все семь пер-
вичных признаков образуют нижний уровень иерархии. Из них
первые 6 признаков объединены в две группы с именами Р31 и Р32.
Соответствующие им локальные признаки образуют первый уро-
вень иерархии по отношению к нулевому уровню глобального
признака Р, используемого для обобщенной оценки объектов.
Помимо них его аргументом является принадлежащий второму
уровню первичный признак Р33. На рис. 3.1 иерархическая струк-
тура признаков для этого примера представлена графом.
Рис. 3.1. Граф иерархической структуры признаков
3.2.	Оценивание объектов в иерархическом
пространстве
В иерархии каждый служащий стремится
достичь своего уровня некомпетентности.
Принцип Питера
Для оценивания в пространстве признаков каждый объект
характеризуется своим вектором значений критериев. Множе-
ство из N объектов представляется массивом векторов, разме-
щаемым в таблице «Объекты/Признаки», что соответствует
записям в базе данных реляционного типа. Иерархии критери-
ев соответствует иерархия таблиц, число которых определяет-
ся числом локальных критериев с добавлением глобального.
89
Таким образом, для хранения информации, используемой для
оценивания объектов, можно использовать таблично-иерархи-
ческую базу данных.
Пример 3.2. Представить структуру признаков, изображен-
ную на рис. 3.2, в виде таблично-иерархической базы данных
(см. рис. 3.1).
Таблица 3
Рис. 3.2. Пример таблично-иерархической базы данных
Согласно рис. 3.2 таблично-иерархическая база данных
состоит из трех таблиц. Каждая из них содержит оценивае-
мые объекты а^а2,а2 и по три оценивающих их критерия.
В табл. 1 и 2 нижнего уровня иерархии сгруппированы шесть
из семи первичных критериев. Значения локальных крите-
риев Р31 и Р22, используемых в качестве аргументов гло-
бального критерия в табл. 3, рассчитываются в табл. 1 и 2.
В качестве третьего аргумента в табл. 3 используется первич-
ный критерий P-q. В связи с этим табл. 3 иллюстрирует случай
смешанных критериев — двух локальных и одного первичного.
90
Этот случай нежелателен с точки зрения строгости иерархии,
поскольку критерием Р33 пропускается первый ярус дерева.
Для устранения этого недостатка для критерия Р33 создается
таблица с одним столбцом, демонстрирующая вырожденный
случай группировки критериев.
Вычисление глобального критерия выполняется с использо-
ванием многокритериальных функций полезности Р{, Р2 и Р3
последовательно по ярусам дерева «снизу-вверх». Весовые
коэффициенты, используемые в функциях полезности, разме-
щаются в верхней строке каждой таблицы в виде векторов и»],
w2 и и’з- Результаты вычислений, фиксируемые в предпослед-
нем столбце таблиц нижнего уровня иерархии, являются аргу-
ментами для таблиц следующего уровня. При переходе на сле-
дующий уровень иерархии общность оценок возрастает, а кон-
кретность убывает. На основе упорядочения значений функ-
ций полезности определяются ранги (места) объектов, разме-
щаемые в последнем столбце каждой таблицы.
3.3.	Построение дерева признаков
Процесс построения дерева признаков заключается в выде-
лении групп признаков и установлении связи между ними.
Признаки, входящие в группу, должны обладать свойствами
однородности и семантической близости. В образовании групп
признаков участвуют процессы интеграции (объединения)
и дифференциации (различения), основанные на анализе свойств
сходства и различия, присущем процедуре классификации.
В зависимости от способа структурирования меняется при-
оритет использования свойств сходства и различия. Если изве-
стен перечень признаков ПО, то первичным является поиск
признаков на основе отношения общности с целью их интег-
рации, а затем их различение от остальных (поиск границы —
решающего правила). При последовательном наращивании
совокупности признаков группы выделяются поэтапно (диф-
ференциация). Здесь играет роль количественный фактор (пе-
реход количества в качество), поскольку группа должна со-
держать не менее одного признака.
91
При построении дерева признаков в зависимости от имею-
щихся исходных данных решается одна из двух задач. Если
первичные признаки не заданы, т.е. не представлены в явном
виде, то дерево признаков строится сверху вниз, от общих
признаков к частным с привлечением информации о ПО.
На практике часто решается обратная задача — дерево
строится снизу вверх на основе заданного перечня призна-
ков. В этом случае первичные признаки представлены в явном
виде (каталоги, прейскуранты, реляционные базы данных и т.д.).
В обоих случаях на нижнем ярусе дерева оказываются пер-
вичные признаки анализируемой ПО. Естествен симбиоз двух
задач, когда в процессе построения дерева снизу вверх в него
включаются дополнительные признаки.
В обеих задачах возникает проблема формирования локаль-
ных признаков (критериев). Они могут принадлежать другой
предметной области — более общей или, наоборот, более
специальной в зависимости от направления обхода дерева.
Это согласуется с теоремой Гёделя о полноте, гласящей в од-
ном из изложений, что в рамках любой теории всегда найдут-
ся утверждения, истинность которых невозможно ни доказать,
ни опровергнуть средствами данной теории. В данном случае
к внешним теориям относятся области знания, понятия кото-
рых привлекаются для группировки понятий анализируемой
предметной области, система понятий которой недостаточна
для построения иерархии признаков.
Пример 3.3. Отобрать работника для выполнения ответствен-
ного проекта.
Прежде всего, нас интересует его квалификация, характери-
зуемая рейтингом оконченного учебного заведения. Однако
образование могло быть получено давно, и для отслеживания
текущего уровня работника необходимо знать, когда он про-
шел переподготовку по специальности. Эти показатели могут
быть обобщены как Уровень подготовки. Помимо этого пока-
зателя нас интересует, сколько и какого качества продукцию
произвел работник. Эти показатели могут быть обобщены как
Эффективность работы. Далее могут представить интерес
человеческие качества работника такие, как исполнитель-
ность, аккуратность, инициативность, контактность и др.
92
Они могут быть объединены в локальный показатель Харак-
тер работника. Ярусы полученного в примере трехъярусно-
го дерева признаков характеризуются величиной отступа от
левого края, на котором размещен глобальный признак.
Характеристика работника
Уровень подготовки:
квалификация;
переподготовка.
Эффективность работы:
количество продукции;
качество продукции.
Характер:
исполнительность;
аккуратность;
инициативность;
контактность.
Обычным шрифтом представлены первичные признаки,
а жирным — глобальный и локальные признаки.
Продвижение по дереву признаков осуществлялось как
в глубину (от общего к частному), так и в ширину до достиже-
ния полной характеристики работника. В качестве начальных
условий построения дерева был принят глобальный признак
Характеристика работника. Если его принять за ядро ПО,
то рассмотренный подход можно назвать структурированием
предметной области методом раскрутки от ядра.
Признаки, относящиеся к различным ярусам дерева, имеют
разную степень общности и, следовательно, могут принадле-
жать к различным областям знания.
Проиллюстрируем эту мысль на примере 3.3. В то время
как локальный признак Уровень подготовки относится к сфере
образования, признак Эффективность работы относится к сфере
производства, а признак Характер — к сфере психологии.
Отсюда можно сделать следующие выводы:
1. Дерево признаков является гетерогенным (неоднородным)
относительно анализируемой системы понятий ПО.
2. Для построения дерева требуются тезаурусы разных пред-
метных областей.
93
3.4.	Реструктурирование пространства признаков
Как и все в нашем меняющемся мире структура признаков,
характеризующих объекты, со временем может изменяться
на основе приобретенного опыта. Причинами изменения струк-
туры признаков могут стать:
1.	Неполнота системы оценивания (в ней отсутствует ряд
существенных показателей).
2.	Есть показатели, практически не влияющие на результат
оценивания (избыточность).
3.	Не все показатели в группах однородны.
4.	Некоторые показатели включены не в свою группу.
Устранение неполноты системы оценки может потребовать
образования новой группы признаков. Исключение избыточ-
ных признаков может привести к появлению групп, состоящих
из единственного признака. Для устранения третьей и четвер-
той причин требуется перенос показателей из одной группы
в другую, либо образование новой группы. Все эти операции
сопряжены с изменением первоначальной структуры призна-
ков, что и позволяет называть процесс ее изменения реструк-
турированием исходного пространства признаков (критериев).
Рассмотрим этот процесс на следующем примере.
Пример 3.4. На основе опыта оценки деятельности кафедр
Петербургского государственного университета путей сообщения
за 2001 год подсистема показателей Научно-исследовательская
работа была признана несовершенной. Ее структура имела
следующий вид:
Научно-исследовательская работа
Научные труды:
монографии;
статьи и доклады;
тезисы докладов;
участие в изобретательской деятельности.
Подготовка научных кадров:
научная работа студентов;
подготовка аспирантов;
эффективность аспирантуры;
эффективность работы по подготовке докторов наук;
участие в советах по защите диссертаций.
94
Для обеспечения надлежащей полноты этой подсистемы было
решено ввести два новых показателя:
•	участие профессорско-преподавательского состава в хоз-
договорных НИР;
•	получение российских грантов и программ.
Учет специфики этих показателей потребовал включения
в структуру новой группы, названной Научная работа (ППС).
Анализ группы показателей Научные труды показал двой-
ственность показателя Участие в изобретательской деятельно-
сти. С одной стороны полученный патент фиксируется в спис-
ке научных трудов (формальный аспект), а с другой стороны
(по существу) этот показатель характеризует научную работу
преподавателя. Поэтому с появлением соответствующей груп-
пы было решено перенести его в эту группу показателей.
Анализ группы показателей Подготовка научных кадров показал
неоднородность входящих в нее показателей. Первый из них имеет
существенное отличие от показателей, характеризующих получение
ученых степеней. Было решено детализировать его на два показателя:
•	участие в хоздоговорных НИР;
•	доклады на Неделе науки и конференциях.
Четыре остальных показателя анализируемой группы также
являются неоднородными. В то время как показатели эффек-
тивности характеризуют результативность подготовки квали-
фицированных ученых, два других фиксируют обеспечение это-
го процесса. Поэтому было решено разделить их на две группы:
•	эффективность подготовки научных кадров;
•	участие преподавателей в подготовке научных кадров.
После внесения изложенных изменений в первоначальную струк-
туру дерево показателей подсистемы приобрело следующий вид:
Научно-исследовательская работа
Научная работа:
участие ППС в хоздоговорных НИР;
российские гранты и программы;
участие в изобретательской деятельности.
Подготовка научных кадров
Научная работа студентов:
участие в хоздоговорных НИР;
доклады на Неделе науки и конференциях.
95
Подготовка соискателей ученых степеней
Эффективность подготовки:
эффективность аспирантуры;
эффективность работы по подготовке докто-
ров наук.
Участие в подготовке:
подготовка аспирантов;
участие в советах по защите диссертаций.
Научные труды:
монографии;
статьи и доклады;
тезисы докладов.
Число первичных показателей в новой структуре увеличи-
лось с девяти до двенадцати, число групп второго яруса иерар-
хии возросло с двух до трех, а число ярусов дерева — с трех
до пяти. Возросшая сложность системы оценки повысило
ее информативность, а, следовательно, и качество оценки.
3.5.	Семантическое сопоставление признаков
При построении и изменении дерева признаков выполняются
две противоположные операции: нахождение существенно различаю-
щихся неизвестных признаков (движение по дереву сверху вниз) и груп-
пировка известных признаков нижнего уровня на основе их сходства
(движение по дереву снизу вверх). И в той и в другой операции вы-
полняется сопоставление признаков. Для этого используются их име-
на. Поскольку для именования признаков используется естественный
язык, будем представлять их лингвистическими переменными [82].
Учитывая неоднозначность естественного языка [86], струк-
турирование признаков, основанное на анализе лингвисти-
ческих переменных, относится к классу плохо формализуе-
мых проблем. Тем не менее существует возможность форма-
лизации анализа лингвистических переменных, выполнявше-
гося в двух предыдущих разделах эмпирическим путем.
Целью анализа лингвистической переменной является вы-
явление ее смысла (семантики). В качестве способа семанти-
ческого анализа используется выражение одних лингвисти-
ческих переменных (неизвестных) через другие — известные.
Для этого привлекается содержание (интенсионал) понятия, со-
ответствующего имени анализируемого признака.
96
Сопоставление понятий на основе анализа их содержания
позволяет устанавливать отношения «общее—частное» или «це-
лое—часть» [52], присущие сетям классификационного типа,
к каковым относится граф типа «дерево». При построении де-
рева признаков, используемого для оценки объекта по различ-
ным свойствам, применяется отношение «целое-часть» или парти-
тивное от оригинального «Part of». При этом понятия-части не
являются однородными и на них не распространяются свойства
понятия-целого. В этом нетрудно убедиться, анализируя свой-
ства глобального и локальных признаков из примера 3.3.
Неоднородность понятий-частей Уровень подготовки,
Эффективность работы, Характер работника подтверждает-
ся тем, что их главные существенные признаки Образование,
Производство и Психология не совпадают. Вместе с тем
ни один из локальных признаков не может быть выведен
из глобального признака Характеристика работника, как
из родового, добавлением видовых отличий.
Неоднозначность трактовки понятий существенными при-
знаками, присущая естественному языку, требует семантичес-
кой нормализации содержания понятий перед их сопоставлени-
ем. Эта процедура аналогична поиску общего знаменателя,
выполняемому в операциях над дробными числами. Рассмот-
рим специфику этой процедуры применительно к признакам,
выраженным на естественном языке.
Нормализация содержания понятий заключается в приведе-
нии существенных признаков сопоставляемых понятий к общему
виду, т.е. выражении их через общие слова и в упорядочении по
значимости. В тех случаях, когда выражение понятий через об-
щие слова оказывается невозможным, приходится анализировать
степень близости слов (степень синонимии) с привлечением меры
неопределенности. Например, слова удаление и исключение (фай-
ла) можно считать практически полными синонимами, а переме-
щение (move) и удаление (delete) — частичными. Первое из них
более информативно, поскольку требует получения ответов
на три вопроса: Что перемещается? Откуда! и Куда!, в то время,
как для второго понятия третий вопрос не существен. Замена
понятия перемещение на удаление уменьшает информативность
признака, поскольку исключается ответ на третий вопрос.
97
При обратной замене необходимо учитывать введение неопре-
деленности. В этом случае соответствие понятий можно выра-
жать с привлечением функции принадлежности, например уда-
ление=перемещениеА),66. Значение 0,66 характеризует общность
понятий по двум вопросам из трех.
Если для установления иерархической связи между поняти-
ями в примере применено различие их главных существенных
признаков, то при объединении понятий в группу использует-
ся степень их семантической близости. Она должна превышать
степень семантической близости понятий, относящихся к дру-
гим группам. Поэтому для сопоставления понятий необходи-
мо ввести количественную оценку их близости/различия, зада-
ющую метрику понятий.
Поскольку свойства близости и различия сопоставляемых
понятий противоположны, достаточно оценивать одно из
свойств. Для количественной оценки различия понятий введем
расстояние d(A, В) между сопоставляемыми понятиями А и В,
представленными своим содержанием (интенсионалами) [52].
Наиболее простая метрика отражает различие между поня-
тиями А и В в порядковой (ранговой) шкале. Оно выражается
через число различающихся существенных признаков (СП):
к
dx(A,B)-^Pi(A,B\	(3.1)
м
где Pj(A, В) — предикат неравенства (-го признака понятий А и В:
Pj(A, В)=1, если AfBj и р,(А, В)=0, если А^-В^ При d{(A, В)=0 понятия
А и В совпадают, а при dx(A, В)=1 являются соседними, т.е. различа-
ются на один ранг. При этом понятие с меньшим количеством СП счи-
тается более общим.
С целью сопоставления понятий, характеризуемых различ-
ными совокупностями признаков, расстояние dx(A, В) норма-
лизуется с помощью коэффициента \1к, где к — число СП
в понятии с большим содержанием:
к
d2(A,B)=(l/k)-2Pi^,B\	(3.2)
98
Нормированное расстояние измеряется в абсолютной шка-
ле [0,1]. Нормирование расстояния d(A, В) обеспечивает про-
стой переход от меры различия двух понятий к мере их сход-
ства: l-d(A, В), что соответствует принципу двойственности
(взаимной дополнительности).
Расстояние, учитывающее степень существенности (зна-
чимость или вес), Wj i-ro признака, i=\,...,k, вычисляется по
формуле:
к
d3(A,B^^wiPi(A,B}	(3.3)
1=1
к
причем w, = 1.
м
Из формул (3.1)—(3.3) последняя является наиболее информа-
тивной. Все они отвечают аксиомам метрики: d(A,A)=0, d(A,B)=
=d(B,A) и d(A,B)+d(B,C) г d(A,Q.
При оценке значимости признаков в порядковой (ранговой)
шкале вес представляется целыми числами, изменяющимися
в диапазоне [1, &]. Если ранг r( i-ro признака возрастает
с убыванием его важности, то вес wt в формуле (3) вычисля-
ется по формуле, также задающей линейную шкалу:
^=(^,.+ 1).	(3.4)
В качестве нормирующего множителя для w(. используется
l/(fc-l).
Подробно способы вычисления меры существенности (зна-
чимости) признаков излагаются в главе 6.
Предикат Pi(A, В) в формулах (3.1)—(3.3) отражает полное раз-
личие г-го признака в понятиях А и В. При необходимости пред-
ставления частичного различия понятий по г-му признаку преди-
кат Pi{A, В) измеряется вещественными числами в шкале [0,1].
Признаком, частично различающим понятия, является, на-
пример, цвет. Он имеет следующие основные значения, упоря-
доченные в частотной шкале: < красный, оранжевый, желтый,
зеленый, голубой, синий, фиолетовый >. Между соседними цве-
тами красный и оранжевый различие минимально, а между
противоположными красный и фиолетовый — максимально.
99
Упорядочение значений позволяет перейти, игнорируя интер-
валы между рангами, от шкалы отношений к более простой
порядковой шкале. Для определения значений цвета использу-
ется линейная шкала. Ее граничным значениям сопоставим цвета
красный и фиолетовый соответственно. Цена деления в линей-
ной шкале вычисляется с помощью формулы 1/(ш-1), где т —
число значений признака. Тогда соседние значения, например
оранжевый и желтый различаются на:
1/(7-1)=0,166 единиц.
Поскольку СП являются лингвистическими переменными,
их сопоставление необходимо предварить максимальным умень-
шением семантической неоднозначности.
3.6.	Логико-лингвистический анализ признаков
Признаки рассматриваемой ПО могут представляться
не только отдельным словом, но и словосочетанием. После-
днее может выражаться простым повествовательным предло-
жением. Для извлечения смысла оно подвергается логико-линг-
вистическому анализу.
Для понятий, выражаемых предложениями, необходимо
выявить логическую структуру предложения, представив ее
5-местным предикатом />(у1,.., у5). Предикат выявляется на ос-
нове анализа предикаторов (глагольных форм) предложения,
а в качестве его аргументов используются управляемые преди-
катором части предложения. С этой целью используются воп-
росы, учитывающие типы связи между частями предложения.
Для первичной формализации понятия, выраженного пред-
ложением, может быть использован специализированный
язык, предложенный для представления определений поня-
тий (ЯОП) [41]. Его достоинством является сохранение струк-
туры предложения.
Язык ЯОП состоит из трех множеств:
T=T1UT2U7’3.	(3.5)
Множество лингвистических единиц Т\ = {А,В,С,...} пред-
ставляет собой совокупность терминов конкретной пред-
метной области и связывающих их слов естественного языка.
100
В отношении конкретизации все слова делятся на идентифи-
каторы (поясняемые понятия) и конкретизаторы (поясняю-
щие понятия). Множество Г2 включает все виды отношений
конкретизации (в скобках приводятся поясняющие примеры):
(3«)
где г/1) — одноместная модификация справа (контроль параметра)-,
гП^ — двухместная модификация справа (сопоставление термина
понятию)',
гл — модификация слева (параметрический контроль);
гг — глагольная конкретизация (свойства, характеризующие объект).
Для упрощения записи будем обозначать безглагольные
отношения конкретизации идентификатора В конкретизатора-
ми С и D следующим образом:
В гп<^С=В(С)-,
В гп<2) (C,D)=B(C, D);
СглВ= СВ.
Выражение типа CrtB называется синтагмой.
Множество Ту включает логические связки и вспомогатель-
ные символы:
T3={v, л, >,(,)},	(3.7)
где v, л — логические связки ИЛИ и И;
> — отношение временного следования (слева направо);
(,) — символы, используемые для объединения элементов из Т\.
Установление связи между понятиями требует приведения
их к виду, пригодному для сопоставления, что достигается путем
эквивалентных преобразований лингвистических выражений.
Для этой цели используются следующие свойства языка ЯОП.
I. Распределительный закон относительно логических свя-
зок1 :
1)	модификация справа:
Л(5)лС(5)=(ЯлС)(5);
Я(5)лЯ(С)=Я(5лС);
2)	модификация слева:
ВАкВ-С=В(АкС)-,
В-АкС-А=(ВкС)-А-,
(3-8)
(3.9)
1 Все свойства, демонстрируемые относительно связки л, справедливы также
для связки v.
101
(З.Ю)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
3)	двухместная модификация справа:
А (В, D) л С(В, D)=(А л С)(В, D);
A(BaC,D)=A(B,D)aA(C,D);
4)	одно- и двухместная модификация справа:
A(D)aA(B, С)=А ((О)л(В, С));
5)	глагольная конкретизация:
а)	с одним глагольным отношением:
АггВлСггВ=(АлС)ггВ;
АггВлАггС=Агг(Вл С);
б)	с двумя глагольными отношениями (rrj * rTj):
A rTiBKCrTjB=(A rriA CrTj)B;
A rTiB л A rTjC=A (rTiB л rTjC).
II.	Конкатенация синтагм (о — символ операции):
(Ar^oBrjC^Ar^rjC. (3.14)
III.	Свойства отношения следования:
а)	рефлексивность А>А=А;
б)	несимметричность -<(В>А) D А>В;
в)	транзитивность А>В, В>С □ А>С.
При формировании выражений на языке ЯОП лингвисти-
ческие переменные представляются аббревиатурами использу-
емых слов. Количество букв минимизируется с учетом требо-
вания о различении используемых слов. Например, изделия —
ИЗД, каждое изделие — ЮКДИЗД. Аббревиатуры глагольных
отношений записываются прописными буквами. В их состав
помимо букв, представляющих корень и словоизменяющий морф,
должны входить представители залога и времени. Например,
выполняющая — вплщ, выполняемая — вплм, выполнявшая — вплш,
выполнявшаяся — вплшс, выполненная — вплн и т.д.
Для формирования содержания понятия, представленно-
го на ЯОП, выражение расчленяется на синтагмы вида XrY
с применением вышеизложенных свойств этого языка. С этой
целью раскрываются скобки выражения и опускаются логи-
ческие связки и отношения следования. Преобразование син-
тагмы XrY в предикат r(X, Y) осуществляется переходом от ее
афиксной записи в ЯОП к префиксной записи в исчислении
предикатов.
102
Пример 3.5. Формализовать показатель, характеризующий
работу вагонных депо «Количество вагонов, пропущенных через
пункт технического осмотра (ПТО) за рассматриваемый период».
Показатель выражается на ЯОП следующим образом:
Вагон прпщ ПТО л Вагон прпщ Рассматриваемый период.
Выражение состоит из двух синтагм. Вторая из них несуще-
ственна, если значения всех показателей даются для одного
периода времени. После ее исключения преобразуем оставшу-
юся синтагму к двухместному предикату:
Пропустить (Вагон, ПТО).
3.7.	Методика структурирования пространства
признаков
В том случае, когда известен перечень первичных показате-
лей (признаков), характеризующих предметную область, воз-
никает задача построения дерева признаков снизу вверх. От-
ношения между признаками не ограничиваются классифика-
ционными (общее—частное, целое—часть). К ним могут отно-
ситься также отношения «причина—следствие», «функция—
аргумент», «цель—средство» и др. Связь между признаками с
использованием разнородных отношений реализуется в виде
неоднородной семантической сети как одной из моделей пред-
ставления знаний. В этом случае задача построения дерева
признаков решается в следующей последовательности.
1.	Выявляются основные понятия (ключевые слова) пред-
метной области путем первичного анализа показателей.
2.	Формализуются показатели, выраженные предложениями.
Результаты анализа представляются «-местными простыми или
вложенными предикатами. Местность предиката определяется
числом детализирующих его слов (валентностью глагольной
формы). При логико-семантическом анализе показателей, вы-
раженных предложениями со словами число, количество, сколь-
ко, эти слова опускаются в силу их тавтологичности, поскольку
эти показатели итак имеют численные значения.
3.	Устанавливаются связи между предикатами различных по-
казателей с привлечением понятий более общих областей знания.
103
В установлении связей участвуют не только предикаты, но и
их аргументы. В процессе установления связей выполняется
нормализация понятий, используемых в предикатах.
4.	В процессе установления связей строится сетевая модель
ПО как совокупность бинарных отношений между детали-
зируемыми и детализирующими понятиями, отвечающими
на определенные вопросы.
5.	Анализируется семантическая близость ключевых поня-
тий ПО. При их принадлежности разным системам компонен-
ты неоднородной семантической сети делятся на внутренние
и внешние. Внутренний компонент непосредственно характе-
ризует ПО, а внешний — ее окружение (внешнюю среду).
6.	Путем установления связи первичных показателей с обоб-
щающими понятиями они объединяются в группы.
7.	На основе установления связей между обобщающими
понятиями строится иерархическая структура показателей.
Рассмотрим эту задачу на примере анализа предметной
области, относящейся к производственной деятельности. В этой
сфере выполняются следующие действия над объектом техни-
ческой природы (изделием): разработка, изготовление, использо-
вание, обслуживание, хранение, транспортировка, проверка,
восстановление.
Каждый из перечисленных процессов характеризуется сво-
ей совокупностью показателей (признаков), которые для всех
процессов можно разделить на следующие основные группы:
технологическую, ресурсосберегающую, трудовую (персонал)
и экономическую.
Конкретизируем первые три группы для производственных
процессов, к которым относятся изготовление и восстановле-
ние изделий (объектов).
К технологическим показателям здесь относятся: количество
и качество обработанных изделий, производственную мощность
предприятия (количество изделий, выпускаемых за единицу
времени), трудоемкость (количество времени, затрачиваемого
на обработку изделия).
В группу показателей, характеризующих ресурсосбережение,
входят: материалоемкость (количество материала и-го вида,
104
затрачиваемого на изготовление или восстановление изделия),
энергоемкость (количество энергии, затрачиваемой на изготов-
ление или восстановление изделия), экологичность (количество
отходов, возникающих после обработки изделия).
Трудовые ресурсы характеризуются количественными пока-
зателями — количество работников, производительность труда
(количество изделий, обрабатываемых работником за единицу
времени) и качественными — квалификация (абсолютная — раз-
ряд и относительная — отношение числа квалифицированных
работников к общему числу работников), стаж работы, —
а также специфическими показателями для людей (возраст, се-
мейное положение и т.д.).
Относительно единиц измерения перечисленные показатели
делятся на три группы: абсолютные, относительные и удель-
ные. Для относительных и удельных показателей в скобках
приведены единицы измерения в виде числителя и знаменателя
дроби. Единицы измерения числителя и знаменателя относи-
тельного показателя, в отличие от удельного, одинаковы.
Качество обработки изделий может характеризоваться так-
же показателями системы, в которую включено изделие или
процесс его обработки. Эти показатели следует отнести к внеш-
ним, косвенно характеризующим производственный процесс
через влияние, оказываемое им или качеством продукции на
внешнюю систему.
3.8.	Практический пример
Построим иерархическую структуру показателей, характери-
зующих работу вагонного депо. В качестве исходных данных
будем использовать показатели, приведенные в аттестационном
листе вагонного депо без изменения их формулировки1 .
1.	Количество вагонов, отремонтированных плановыми
видами ремонтов, к числу работников основных профессий.
2.	Число отцепок в текущий ремонт к общему числу отре-
монтированных вагонов.
'Данные представлены профессором А.Е. Красковским.
105
3.	Количество сварщиков, имеющих личное клеймо, к об-
щему числу сварщиков.
4.	Сколько вагонов пропущено через ПТО за рассматрива-
емый период.
5.	Количество нарушений безопасности движения, допущен-
ных по вине депо.
6.	Задержки грузовых поездов на ПТО в часах по отправле-
нию и по проследованию.
7.	То же к числу пропущенных через ПТО вагонов.
8.	Сколько осмотрщиков вагонов работает с талонами
предупреждений № 2 или без талонов к общему количеству
осмотрщиков.
9.	Число отказов, обнаруженных на гарантийном участке
ПТО данного депо.
10.	То же к числу пропущенных через ПТО поездов.
Поскольку показатели представлены повествовательными пред-
ложениями, для их формализации можно использовать логико-
лингвистический анализ. Применим методику структурирования
предметной области, изложенную в предыдущем пункте.
1.	Выявление основных понятий ПО. Функционирование ва-
гонного депо относится к сфере производственной деятельно-
сти. Объектом воздействия депо являются железнодорожные
вагоны. Из действий, выполняемых над объектами техничес-
кой природы, в депо производится восстановление вагонов, что
характеризует его основное назначение (роль). Синонимом по-
нятия восстановление в области технических знаний является
понятие ремонт. Таким образом, ролевым предикатом ПО Депо
является Ремонт {Вагон).
К подразделениям железнодорожного депо относится пункт
технического осмотра (ПТО). Как следует из его названия,
назначением ПТО является осмотр вагонов. Отсюда роле-
вым предикатом предметной подобласти ПТО является Ос-
мотр {Вагон).
Результатом осмотра вагонов является установление их ис-
правного или неисправного (отказного) состояний. Таким обра-
зом, отрицательный результат осмотра вагонов, характеризую-
щий качество ремонта, описывается предикатом Отказ {Вагон).
106
Помимо внутренней оценки продукции депо (отремонтиро-
ванных вагонов) оценивается влияние депо на систему Движе-
ние поездов (предикат Движение (поезд)), в состав которой депо
входит в качестве компонента.
Субъект производственной деятельности депо выражается
предикатом Работник (Депо).
В качестве примера формализации показателей приведем
предикат первого показателя работы депо, аргументы которо-
го отвечают на вопросы: Чего? К чему?: Отношение (Отремон-
тированый Вагон (Плановый ремонт), Работник).
2.	Формализация показателей. Результатом формализа-
ции рассматриваемых показателей являются следующие пре-
дикаты.
2.1.	Отношение (Отремонтированый вагон (Плановый ре-
монт), Работник). Аргументы внешнего предиката отвечают
на вопросы: Чего? К чему?
2.2.	Отношение (Отцепка (Текущий ремонт), Отремонтиро-
ваный вагон).
2.3.	Отношение (Сварщик (Личное Клеймо), Сварщик).
2.4.	Осмотренный вагон (ПТО).
Предикат Осмотренный вагон (ПТО) сформулирован отно-
сительно ролевого предиката ПТО: Осмотр (Вагон), так как
пропустить вагон через ПТО означает осмотреть его. Аргу-
мент Рассматриваемый период не вошел в качестве базы пре-
диката Отношение, так как значения всех показателей отно-
сятся к этому периоду.
2.5.	Нарушение (Безопасность (Движение), Вина (Депо)).
Аргументы предиката отвечают на вопросы: Чего? По какой
причине?
2.6.	Задержка (Грузовой поезд, ПТО, Отправление).
Аргументы предиката отвечают на вопросы: Что? Где?
В каком режиме?
2.7.	Задержка (Грузовой поезд, ПТО, Проследование)
Аргументы предиката отвечают на вопросы: Что? Где?
В каком режиме?
2.8.	Отношение (Задержка (Грузовой поезд, ПТО, Отправ-
ление), Пропущенный вагон (ПТО)).
107
Внешние и внутренние аргументы сложного предиката от-
вечают на вопросы, сформулированные для составляющих его
предикатов.
2.9.	Отношение (Осмотрщик (Вагон, Талон предупреждения
№ 2), Осмотрщик (Вагон)).
Аргументы внутреннего предиката Осмотрщик (Вагон,
Талон предупреждения № 2) отвечают на вопросы: Чего! Какой!
2.10.	Обнаруженный отказ (Вагон, ПТО).
Первый аргумент этого предиката, пропущенный в предло-
жении, введен на основании контекста предложения. Во вто-
ром аргументе предиката опущено поясняющее словосочета-
ние Гарантийный участок, поскольку ему ничто не противопо-
ставляется в других показателях. Аргументы этого предиката
отвечают на вопросы: Чего! Где обнаружен?
2.11.	Отношение (Обнаруженный отказ (Вагон, ПТО), Про-
пустить (ПТО, Поезд).
На основе перечня показателей работы депо сформировано
одинадцать предикатов, поскольку в строке шесть фактически
присутствуют два показателя. Шесть предикатов из одинадца-
ти имеют непредметноориентированное имя Отношение. Из них
третий и девятый являются относительными, так как имеют
одинаковые единицы измерения в числителе и знаменателе,
а остальные четыре показателя — удельные.
3.	Построение сетевой модели ПО. Сетевая модель показа-
телей вагонного депо позволяет наглядно показать их взаимо-
связь. Она построена путем объединения предикатов, сформи-
рованных выше, и приведена на рис. 3.3.
Предикатам и их аргументам отведены отдельные вершины
графа сетевой модели. Полужирным шрифтом выделены глав-
ные характеризуемые понятия ПО (Депо, ПТО, Движение).
Курсивом выделены имена предикатов, соответствующих аб-
солютным показателям. Цифра указывает порядковый номер
абсолютного показателя в сформированном списке предика-
тов. Исключение составляет раздвоенный показатель Задержка.
Цифрами помечены уточняющие его аргументы.
108
Отцепка —> Отремонтированный -------> Работник
Вагон
Сварщик
Отказ---------> Осмотренный Сварщик
Осмотрщик
9|
Осмотрщик
(Талон № 2)
Нарушение--------> Безопасность
Рис. 3.3. Сетевая модель показателей вагонного депо
Пунктирными дугами на рис. 3.3 показаны отношения
(Предикат, Аргумент). Двойными дугами помечены отно-
шения (Общее, Частное) [55], установленные между исполь-
зуемыми понятиями. Например, Отремонтированный и
Осмотренный вагон являются видовыми понятиями по от-
ношению к понятию Вагон, что иллюстрируется их связью
двойными дугами.
Относительные и удельные показатели представлены дуга-
ми, направленными от числителей к знаменателям отношений.
Цифра у дуги указывает порядковое место показателя в списке.
4.	Построение иерархической системы показателей. Ключевые
понятия Депо и ПТО связаны отношением «Целое—Часть»
и относятся к одной ПО. Понятие Движение характеризуется при-
знаками: {Отправление, Проследование, Грузовой поезд}. Понятия
Депо и ПТО характеризуется признаками {Ремонт, Осмотр, Вагон}.
109
Семантическая связь обнаруживается между признаками Гру-
зовой поезд в понятии Движение и Вагон — в понятии Депо.
Первый признак является частным по отношению ко второму,
поскольку поезд составляется из вагонов, в том числе грузовой.
Найденная связь между признаками понятий Движение
и Депо опосредована через отношение (Общее, Частное) и, сле-
довательно, является слабой, что позволяет отнести понятия
Движение и Депо к разным предметным областям. ПО Движе-
ние является внешней по отношению к ПО Депо.
Сгруппируем показатели этих ПО на основе семантической
близости.
Показатели 1 и 4 характеризуют пропускную способность
депо и ПТО соответственно. Это дает основание для их объе-
динения в группу Пропускная способность.
Имена показателей Отцепка (1) и Отказ (абсолютный 10
и удельный 11) означают несоответствие норме. Это характе-
ризует их как показатели качества, что позволяет объединить
их в группу Качество ремонта.
Относительные показатели 3 и 9 отражают квалификацию
работников, что позволяет объединить их в одноименную группу.
Показатели Нарушение {Безопасность движения) и Задерж-
ка {Грузовой поезд) по отправлению и проследованию имеют
отношение к качеству движения, на которое оказывает влия-
ние деятельность депо. На этом основании они объединяются
в одноименную группу.
Иерархическая структура, представляющая полученные груп-
пы, изображена на рис. 3.4.
Показатели депо
Пропускная
способность
Качество
ремонта
Квалификация
работников
Качество
движения
9	5	6	7	8
42	10	11 3
Рис. 3.4. Иерархическая структура показателей ПО Депо
110
Если первые три группы показателей отнести к внутренним
показателям работы депо, а четвертую — к внешним показа-
телям, количество ярусов дерева признаков увеличится на 1.
В другой форме представления оно приведено ниже.
Показатели депо
Внутренние показатели:
Пропускная способность {1,4};
Качество ремонта {2,10,11};
Квалификация работников {3,9}.
Внешние показатели:
Качество движения {5,6,7,8}.
Обсуждение
Как следует из содержания главы, структурирование пред-
метной области относится к плохо формализуемому классу
задач. В этом процессе велика роль субъективного фактора.
Тем не менее существуют принципы, которые позволяют проек-
тировать структуру, в достаточной степени отражающую взаи-
мосвязь компонентов ПО. Прежде всего, задача облегчается тем,
что структура признаков любой ПО относится к узкому классу
графов — ациклическим помеченным графам типа «дерево». Графы
этого типа используются для описания иерархических структур.
Граф типа «дерево» отражает расслоение пространства при-
знаков на вложенные друг в друга подпространства. Признаки
играют роль «пометок» вершин дерева. Их смысл совпадает
со смыслом пометок дерева целей (см. пункт 1.4). Иным спосо-
бом интерпретируется отношение между вершинами соседних яру-
сов — вместо «цель—средство» оно рассматривается здесь как
«целое—часть». Но эти отношения принадлежат обобщенному
отношению детализации (конкретизации) признаков и потому де-
ревья признаков и целей можно считать эквивалентными. А это
означает, что все сказанное применительно к дереву целей отно-
сится и к дереву признаков. Из пункта 1.4 следует, что дерево
целей (признаков) в общем случае является неоднородным.
Неоднородность дерева имеет три аспекта: два структур-
ных и один смысловой. В смысловом аспекте неоднородность
дерева обуславливается необходимостью всестороннего рассмот-
рения цели, что требует использования разнородных признаков.
111
Структурные аспекты неоднородности порождаются неравно-
мерным объемом информации по каждому из детализируемых
признаков, что влечет неравномерное расширение дерева
в ширину и глубину. Первое свойство характеризуется степе-
нью вершин графа, а второе — длиной ветвей дерева.
Поясним сказанное на следующем примере. При покупке
квартиры покупателя интересует не только сама квартира, но
и дом, в котором она находится, и район, в котором построен
дом. Эти признаки разнородны, хотя и относятся к одной
предметной области. Каждый из них может характеризоваться
разным количеством признаков на следующем уровне детали-
зации и различным числом уровней в зависимости от системы
ценностей покупателя. Для одного покупателя более важны
все детали квартиры, а для другого, например, — все аспекты
экологии района. Это влияет на разветвленность и длину со-
ответствующих ветвей дерева признаков.
Реализация отношения детализации «сверху—вниз» не яв-
ляется единственным способом построения дерева признаков.
В том случае, когда в качестве исходных данных используется
перечень первичных признаков, возникает задача их группи-
рования. А это соответствует способу построения дерева «сни-
зу—вверх». Поскольку признаки обычно выражаются на есте-
ственным языке, задача группирования решается с привлече-
нием семантической метрики понятий. Для определения смыс-
лового расстояния между понятиями выполняется логико-лин-
гвистический анализ выражающих их словосочетаний.
Пусть, например, в каталоге квартира характеризуется сле-
дующим списком признаков: {общая площадь, количество
комнат, высота потолка, наличие лифта, мусоропровода, га-
ража}. Представляя признаки через более общие понятия «квар-
тира» и «дом», можно формальным способом отнести первые
три признака к понятию «квартира», а следующие три —
к понятию «дом». Таким путем будет получена трех уровневая струк-
тура с первичными признаками из заданного перечня, локальными
признаками «квартира» и «дом» и глобальным признаком «Покуп-
ка квартиры». Для сложной ПО способы структурирования «сверху—
вниз» и «снизу—вверх» применяются совместно.
112
Помимо требования семантической близости к группируемым
признакам предъявляется требование независимости. Оно соот-
ветствует принципу ортогональности пространства признаков.
Независимость признаков определяется двумя способами — со-
держательным (интенсиональным) и количественным (экстенси-
ональным). Первый применяется на стадии проектирования струк-
туры ПО, а второй — после определения значений признаков
(стадия сбора данных). Для реализации первого способа исполь-
зуется логико-лингвистический анализ понятий, а для второго —
вычисление коэффициентов парной корреляции1.
Рассмотрим в качестве примера признаки «общая площадь»,
и «высота потолка». Логико-лингвистический анализ этих
понятий покажет их независимость, поскольку рассматрива-
ются различные измерения в пространстве. Этого не скажешь
о паре признаков «общая площадь» и «количество комнат»,
поскольку количественные оценки этих признаков пропорцио-
нальны друг другу. Эту связь можно проверить, вычислив ко-
эффициент парной корреляции численных значений признаков
на представительной выборке квартир.
При включении зависимых признаков в функцию полезно-
сти имеет место эффект усиления того общего свойства, кото-
рое они в разной степени отражают. В примере — это про-
странство, занимаемое квартирой, которое косвенно учитыва-
ется более одного раза, увеличивая долю занимаемого про-
странства в общей оценке квартиры. Этот эффект можно избе-
жать, относя зависимые признаки к разным группам — одна
включается в функцию полезности, а другая - в систему огра-
ничений. Другой способ учета — аналитический, который
должен вносить поправку в функцию полезности на основа-
нии величины коэффициента парной корреляции.
Выводы
1.	Структурирование пространства признаков является наи-
более эффективным способом борьбы с высокой размернос-
тью задачи оценивания альтернатив.
1 Рассматривается в главе 13.
113
2.	Структурирование предметной области относится к пло-
хо формализуемым проблемам и подвержено влиянию субъек-
тивного фактора. Помимо него на детальность структуриро-
вания ПО влияет такой фактор, как объем имеющейся инфор-
мации. Он влияет на неравномерность расширения дерева
в ширину и глубину.
3.	При структурировании ПО способы построения дерева
«сверху—вниз» и «снизу—вверх» применяются совместно. Пер-
вый из них отдает приоритет локальным признакам, а второй —
первичным.
4.	Представление признаков на естественном языке требует
логико-лингвистического анализа понятий для их группирова-
ния на основе семантической близости.
5.	Для определения независимости признаков, входящих
в одну группу, применяется логико-лингвистический анализ по-
нятий и корреляционный анализ признаков по их значениям
на представительной выборке.
6.	Зависимость признаков, включенных в общую груп-
пу на основе семантической близости, может учитываться либо
распределением ролей признаков (использованием в качестве
критерия, либо ограничения), либо путем корректировки зна-
чений функции полезности.
Глава 4. ОТБОР ОБЪЕКТОВ
В ПРОСТРАНСТВЕ ПРИЗНАКОВ
Каждое ограничение способствует
счастью. Чем уже круг нашего зрения,
наших действий и сомнений, тем мы
счастливее
А. Шопенгауэр
4.1. Задачи отбора объектов
Выделение подмножества объектов Xs С X, отвечающих предъяв-
ляемым к ним требованиям, представляет собой отбор или селек-
цию объектов из исходного множества X. Эту задачу можно рас-
сматривать как частный случай задачи классификации.
Классификация объектов представляет собой отнесение их
к одному из известных классов, обладающих заданными свой-
ствами. Свойства двух смежных классов разграничиваются либо
решающими правилами [105], либо функциями принадлежнос-
ти при нечеткой классификации. Число классов должно быть
не менее двух, а сами классы предполагаются равноценными.
При решении задачи отбора объектов исходное множество
X делится на два класса: класс допустимых объектов (допусти-
мое множество), отвечающих заданным требованиям, и класс
недопустимых объектов, не представляющих дальнейшего ин-
тереса. По отношению к недопустимым объектам процесс раз-
деления на два класса называется отсеиванием, а по отноше-
нию к допустимым объектам — селекцией или отбором. Таким
образом, задача отбора характеризуется прагматическим под-
ходом — отбираются только полезные (допустимые) объекты.
Отсеиваемые объекты, отнесенные к бесполезным, исключа-
ются из рассмотрения.
Полезность объектов оценивается в пространстве характе-
ризующих их признаков. Отсюда задачи отбора различаются
видом требований, предъявляемых к этим признакам (рис. 4.1).
115
Рис. 4.1. Классификация задач отбора в пространстве признаков
Рис. 4.2. Графичес-
кая иллюстрация
функции выбора
Результатом отбора объектов из исходного множества X
является некоторое его подмножество Xs, обладающее требуе-
мыми свойствами. Здесь следует упомянуть один из специфи-
ческих подходов, применяемых к получению
подмножества Xs. Он основан на использо-
вании функций выбора специального вида
[39]. Функция выбора ставит в соответствие
множеству X некоторое его подмножество
Xs С X без поэлементного отображения эле-
ментов одного множества в другое (рис. 4.2).
Функции выбора предлагается использовать в следующих
случаях:
1) предпочтение между двумя вариантами зависит от осталь-
ных (например, предпочтение покупателя между чайником и ко-
феваркой может зависеть от наличия в продаже кофемолки);
2) выявление предпочтения между двумя вариантами вооб-
ще лишено смысла (выбор «типичного», «среднего», «ориги-
нального», например, среднего студента).
Несмотря на интересные теоретические исследования, опуб-
ликованные, в частности, в [39], автору неизвестно использо-
вание функций выбора для решения практических задач.
Задачи отбора объектов различаются между собой требо-
ваниями, предъявляемыми к допустимому множеству объек-
тов X* С X. Одним из требований, выдвигаемым к допус-
тимым объектам, является обладание ими не худшими зна-
чениями показателей по сравнению с другими объектами.
116
Эту задачу поставил итальянский экономист Парето [Pareto].
Объекты, отобранные по этому принципу, образуют область
Парето. По месту, занимаемыми ими в области X, они являют-
ся граничными объектами.
Другим требованием к объектам является обладание ими
заданными значениями признаков (атрибутов). Например,
покупаемый телевизор должен иметь размер экрана по диаго-
нали не менее 17 дюймов, быть цветным, потреблять не более
50 вт и т.п. Эта задача сводится к формированию допустимого
множества объектов на основе ограничений (constraints), предъяв-
ляемых к свойствам (признакам) объекта. Если ограничения
на значения признаков называть уровнями притязаний, то ме-
тод выделения объектов, удовлетворяющих этим уровням,
называется методом притязаний [76].
Важной разновидностью метода притязаний является поиск
объекта по цели, когда задаются только точечные, либо ин-
тервальные значения признаков, которым должен удовлетво-
рять объект. Эта задача имеет различные приложения. К ним
относятся:
•	поиск товара в прейскуранте по заданным значениям
показателей;
•	установление медицинского диагноза;
•	поиск неисправности по результатам тестирования;
•	поиск объекта по известным свойствам.
Последняя задача решается, например, в экспертных систе-
мах путем вывода заключения на основе ответов на заданные
вопросы.
Следует отметить, что все перечисленные задачи имеют
целью выбор единственного объекта из исходного множества X,
что и является, как правило, конечной целью отбора объек-
тов. К выбору единственного объекта, например, сводится выбор
хода игрока в игре с противником или природой.
Особняком выделяется задача отбора совокупности объектов,
обладающих некоторым общим свойством. К ней относится,
например, минимизация теста по таблице обнаружения неисп-
равностей [42]. В этой задаче тестовые воздействия отбираются
с применением критерия информативности. Отбор заканчивает-
ся после покрытия единицами всех неисправностей в таблице.
117
Характерной особенностью задач отбора объектов является
равная важность оценивающих признаков, обусловленная их не-
зависимостью. Действительно, при оценивании объектов они
используются порознь. Математически независимость признаков
объясняется их векторным представлением:у=(у1г..., ц,...,уп) при
условии, что порядок следования в векторе не отражает важно-
сти признаков. Согласно теории оптимизации задачи этой груп-
пы относятся к задачам векторной оптимизации.
Поскольку задачи отбора решаются, как правило, путем
сопоставления векторов, характеризующих объекты в призна-
ковом пространстве с заданным вектором (притязаний, резуль-
татов тестирования и пр.), достаточным является применение
номинальной шкалы. Исключением являются комбинирован-
ные задачи выбора, использующие функции полезности.
4.2. Отбор недоминируемых объектов
Кто разбрасывается на много вещей,
проявляет себя в каждой слабее. Так сила
и образование находятся всегда в обрат-
но-пропорциональном отношении
В. Гумбольт
В основе этого способа оптимизации лежит соглашение о том,
что предпочтение одному объекту перед другим отдается только
в том случае, когда первый объект по всем критериям не хуже
второго и хотя бы по одному из них лучше. При истинности этого
условия первый объект считается доминирующим, а второй —
доминируемым. Два объекта, для которых предпочтение хотя бы
по одному критерию расходится с предпочтением по другому,
считаются несравнимыми. По отношению к доминируемым доми-
нирующие несравнимые объекты относятся к недоминируемым.
При количественном представлении критериев предикаты
не хуже и не лучше интерпретируются соответственно как больше
или равно (а) и меньше или равно (s). Упорядочение двух объек-
тов по у'-му критерию уу,у=1,..., п, относительно предиката «а»
соответствует максимизации этого критерия (уу-*тах),
118
а упорядочение объектов относительно предиката «s» — ми-
нимизации этого критерия (у- -» min). Таким образом, для
установления отношения доминирования между объектами
в «-критериальном пространстве необходимо каждому крите-
рию задать направление оптимизации.
На языке исчисления предикатов условие доминирования объек-
та х(- над объектом хк (х{ & хк) формулируется через условие доми-
нирования представляющих их векторов у(=(уц,..., уу,..., yin)
и Ук=<Ук1’-> Укр-’ УкпУ
У{ * У к’ если V(j(? ykj), Уу е у,., ук/Еук (у у г ykJ). (4.1)
В этом выражении символ «г» интерпретируется как НЕ ХУЖЕ
(у(у, укр при вербальном представлении предпочтения и как
больше или равно при его количественном представлении. Ана-
логичным образом представляется обратное условие домини-
рования объектов и хк (xz s хк):
У, S Ук, если у(уу, ykj), У у е у,., Ук. е Ук (уу s ykj). (4.2)
Если оба условия (4.1) и (4.2) ложны, объекты х( и хк, харак-
теризуемые векторами у(. и ук, считаются несравнимыми (хк ~ х-).
Если в качестве предиката принимается отношение НЕ ЛУЧШЕ
(уу, уку), что соответствует минимизации j-го критерия, домини-
руемый и доминирующий объекты при выполнении условий
(4.1) и (4.2) меняются местами.
Множество Ха, состоящее из недоминируемых объектов, назы-
вается по имени исследовавшего его свойства итальянского эконо-
миста множеством Парето. Применительно к континуальному
(непрерывному) множеству X оно называется областью Парето.
Оптимум по Парето можно считать «демократическим» по отно-
шению к критериям оптимизации, поскольку «права» любого
из них не могут ущемляться в пользу других критериев [69].
Как следует из определения множества Парето, условием
его получения является исключение из исходного множества X
всех доминируемых объектов (альтернатив). Эта цель реализу-
ется путем попарного сопоставления всех объектов, принадле-
жащих исходному множеству X, через сравнение представляю-
щих их в «-критериальном пространстве векторов ук z=l,..., N.
При каждом сопоставлении объектов выполняется две опера-
ции сравнения; вначале анализируется условие (4.1), а в случае
его отрицательного исхода — условие (4.2).
119
Результатом сравнения двух объектов х; и хк является уда-
ление из множества X объекта хк при выполнении условия (4.1)
или объекта х- при выполнении условия (4.2). В результате
попарного сравнения всех объектов доминируемые объекты
отсеиваются, а доминирующие несравнимые остаются. Каж-
дый объект в полученном множестве Хп не может быть улуч-
шен по какому-либо критерию без ухудшения по другому.
Очевидно, что наилучшие объекты по заданным направлени-
ям оптимизации критериев следует искать среди элементов
множества Хп. В этом смысле нахождение множества Парето
можно интерпретировать как фильтрацию исходного множе-
ства X относительно оптимальных значений признаков.
Максимальная сложность сопоставления всех N объек-
2
тов из множества X равна числу Cn операций сравнения.
Она определяется, исходя из наихудшего (крайнего) случая,
когда в процессе сопоставления ни один из объектов не был
удален, что означает ХП=Х. Другим крайним случаем явля-
ется удаление из множества X всех объектов кроме одного.
Это происходит в том случае, когда множество X содержит
объект, превосходящий все остальные (или не хуже их) по всем
значениям критериев. Очевидно, что множество Хп должно вклю-
чать не менее одного объекта, т.е. оно не может быть пустым.
Рассмотрим получение множества Парето Хп из исходного
дискретного множества X на следующем примере.
Пример 4.1. По результатам сдачи экзаменов по математи-
ке, физике, русскому и иностранному языкам выбрать из ше-
сти абитуриентов наиболее успевающих. Результаты экзаме-
нов приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
№ п/п	Абитуриент	Математика	Физика	Русский язык	Иностранный язык
1	Иванов	4	5	4	3
2	Петров	3	3	5	4
3	Сидоров	4	4	3	3
4	Кузнецов	3	4	3	5
5	Молодцов	4	5	3	4
6	Храбрецов	3	3	5	5
120
Лучшие оценки по каждому предмету выделены жирным
шрифтом. Естественным направлением оптимизации для от-
бора лучших абитуриентов является максимизация получен-
ных ими оценок. Исходя из этого, для получения множества
Парето используется предикат НЕ_ХУЖЕ(у;у, ykj).
Максимальное число операций сопоставления абитуриен-
тов для данного примера равно тридцати. Однако реальное
число операций оказывается меньшим в силу своевременного
отсеивания двух доминируемых абитуриентов: Сидорова, а затем
Петрова. Сидоров отсеивается на второй операции сопостав-
ления (с Ивановым), а Петров — на восьмой операции сопо-
ставления (с Храбрецовым). В результате выполняется лишь
22 операции сопоставления.
Таким образом, по результатам экзаменов в множество
Парето вошли следующие абитуриенты: Иванов, Кузнецов,
Молодцов и Храбрецов.
Рассмотрим свойства области Парето на примере решения за-
дачи для случая континуального множества. Для этого выберем
наиболее наглядное его изображение на плоскости, представляю-
щей двухкритериальное пространство (рис. 4.3), в котором область
точек X ограничена частично выпуклой замкнутой кривой.
Рис. 4.3. Области Парето в континуальном множестве
121
Как было отмечено выше, для нахождения области Парето
необходимо задаться направлением оптимизации для каждого
критерия. Количество возможных комбинаций значений min
и max в «-критериальном пространстве равно 2”. Для рассматри-
ваемого случая оно равно 22=4. Перечислим их:
1.	y1-»max, y2-»max.
2.	^j-»max,
3.	^j-»min, <y2“*min.
4.	^j-»min, y2-^max.
Очевидно, что каждому сочетанию направлений оптимиза-
ции должна соответствовать своя область Парето. Найдем
области Парето для всех перечисленных сочетаний. С этой це-
лью проведем касательные, параллельные осям координат,
ко всем точкам перегиба кривой, ограничивающей область X
(см. рис. 4.3). Фигура, изображенная на этом рисунке, имеет
шесть точек перегиба: {1, 2, 3, 5, 6, 7}. Они наряду с точкой
пересечения четвертой кривой с касательной задают границы
областей Парето, определяемых различными направлениями
оптимизации критериев yt и у2.
Для первого варианта оптимизации область Парето пред-
ставляет собой геометрическое место точек, принадлежащих
участкам [1, 2] и [4+е, 5] на границе области X, где е — сколь
угодно малая величина, позволяющая различить точки 2 и 4
на касательной к кривой в точке 2. Граничные точки 1 и 5
этих участков соответствуют максимальным значениям крите-
риев у2 и у^. По мере удаления от точки 1 вправо к точке 2
значение у2 убывает, но зато возрастает значение ур Эта тен-
денция продолжается на отрезке [4+е, 5]. Таким образом, точ-
ки, принадлежащие этим отрезкам кривой, представляют собой
несравнимые альтернативы области X. Все точки, лежащие ниже
и левее этих участков кривой, представляют собой доминируе-
мые альтернативы, поскольку имеют меньшие значения крите-
риев у! и у2. Аналогичным образом определяются области Парето
для остальных сочетаний направлений оптимизации.
Для случая ^|-»max,	область Парето ограничена
точками 5 и 6, поскольку в первой из них критерий yt имеет
максимальное значение, а во второй — критерий у2 имеет
минимальное значение.
122
Для случая ^j-»min,	область Парето ограничена
точками 6 и 7, поскольку в первой из них имеет минимальное
значение критерий у2, а во второй — критерий ур
Для случая j>1-»min, ^2^гаах область Парето ограничена
точками 7 и 1, поскольку в первой из них критерий имеет
минимальное значение, а во второй — критерий у2 имеет мак-
симальное значение.
Анализ полученных областей Парето в континуальном мно-
жестве X позволяет сформулировать следующие утверждения.
Утверждение 4.1. Независимо от направления оптимизации
критериев область Парето располагается на границах конти-
нуального множества.
Отсюда принадлежащие ей объекты также называются
граничными.
Утверждение 4.2. Области Парето, порождаемые различны-
ми направлениями оптимизации критериев, охватывают все
выпуклые части кривой, ограничивающей область X.
Это утверждение наглядно подтверждается рисунком 4.3,
где вогнутый участок [2, 4] границы области X не входит
в объединение областей Парето.
4.3.	Отбор объектов на основе ограничений
Если хочешь что-нибудь сделать,
умей себя ограничить
Гете
Задача отбора (селекции) вариантов предполагает выделе-
ние подмножества вариантов XCQX, удовлетворяющих некото-
рому набору требований С. Например, в подмножество Xs
включаются элементы х-ЕХ, обладающие некоторым свойством
р(х(): Хс={х(|р(х(), х(еХ}.
Пример 4.2. Список претендентов в аспирантуру вуза вклю-
чает наряду с его выпускниками выпускников других вузов. Пос-
ледние могут быть не допущены к конкурсу, если в качестве
условия для приема принято решение о необходимости реко-
мендации Госкомиссии по результатам защиты дипломного
проекта и оценки успеваемости выпускника во время обучения.
123
Отбор вариантов в пространстве признаков Y представляет
собой нахождение допустимого множества ХД^Х (множества
допустимых вариантов), удовлетворяющего перечню заданных
ограничений {ЛД, RtC.YxC, /=1,2,3,4. Отношение Rt устанавли-
вает соответствие между значениями признака Y и ограни-
чения (constraint) CjE.C. Различают четыре типа соответствия
yjRtcp-
1)	ограничение по равенству (уу=Су);
2)	ограничение снизу (у-гсу);
3)	ограничение сверху (у^с]у,
4)	ограничение в интервале (ск^у^сър или [с сву].
Первое из ограничений представляет собой точечное зада-
ние желаемого значения признака. Второе и третье ограниче-
ния задают полуинтервалы допустимых значений признака (вер-
хний и нижний соответственно), а четвертое — интервал допу-
стимых значений.
Таким образом, для отбора объектов необходимо знать
значение и тип ограничения для каждого ограничиваемого
признака. Используемые ограничения задают границы пред-
почтительных объектов (вариантов). За пределом границ ока-
зывается множество недопустимых объектов, подлежащих от-
севу. Все удовлетворяющие ограничениям варианты предпола-
гаются равноценными.
Способ отбора объектов по ограничениям имеет название
метода притязаний [76], поскольку соответствия типа yjRtCj
устанавливают уровни притязаний к объекту.
Пример 4.3. Выдать дипломы с отличием студентам, не
имеющим удовлетворительных оценок, а количество хороших
оценок не превышает 10% от всех п оценок. Этим требованиям
соответствуют следующие ограничения:
1) у*4, у=1,...,я (ограничения «снизу»по всем предметам).
2) «Ду < 5)s0,1-я,у(ограничение «сверху» по числу
хороших оценок для z-ro студента).
Рассмотрим отбор объектов на основе ограничений на при-
мере континуального множества. Пусть признак yt имеет ог-
раничение «сверху»:	а признак у^ — ограничение «сни-
зу»: у2г<?2 (рис. 4.4).
124
Рис. 4.4. Отбор на основе ограничений в континуальном множестве
Допустимая область объектов Хс для этого примера огра-
ничена сверху границей области X, а справа и снизу — прямы-
ми линиями [1, 2] и [2, 3] соответственно.
Задание ограничений Cj, j=i,...,n, в «-признаковом про-
странстве, входящих в диапазон изменения у-го признака
(jy min^^y.max)’ еще не гарантирует получения непустого до-
пустимого множества Хс. Случай Хс=0 иллюстрируется на
рис. 4.4 заданием двух ограничений «снизу»: уг г Су и у2 г с2.
Области, соответствующие первому ограничению (находится
правее прямой С|') и второму ограничению (находится выше
прямой с2), не пересекаются, т.е. Хс=0.
Для получения непустого допустимого множества Хс необ-
ходимо снизить требования к признакам. Это достигается по-
этапным смягчением ограничений на величину Дсу, у=1,...,«,
начиная с менее существенных признаков, до тех пор, пока
не появится непустая допустимая область Хс.
Аналитически существование непустого допустимого мно-
жества Хс для заданных ограничений определяется подстанов-
кой их значений в уравнения линий, ограничивающих область X.
125
Если граничная линия представляется уравнением /(j](x),...,
J?„(x))=c, то возможны следующие случаи:
•	f{cj',...,сп')-с=0 — допустимое множество Хс совпадает с
линией;
•	,...,сп’)-с>0 — допустимое множество Хс находится
за верхней границей области X;
•	/(су ,...,сп')-с<0 — допустимое множество Хс находится
за нижней границей области X.
4.4.	Поиск объекта по цели
Эта задача является разновидностью метода притязаний, т.е. отбора
объектов на основе ограничений. Она характеризуется заданием
только одного типа ограничений — по равенству Су7=с7), так
как для каждого признака задается свое точечное значение.
Эта задача решается в том случае, когда известны точные зна-
чения всех признаков, которыми должен обладать предпола-
гаемый объект. По существу, метод отбора объектов в этой
задаче сводится к методу поиска. Вначале находится подмно-
жество объектов XjCX, имеющих значение У]=С]. Затем в
нем осуществляется поиск объектов со значениями ^2=<?2- Если
они существуют, формируется множество Х12^Хг и т.д.
Пример 4.4. Пусть покупатель определил следующие требо-
вания к телевизору. Он должен иметь размер экрана по диаго-
нали ровно 17 дюймов, быть цветным, потреблять точно 50 вт.
На основе этих данных осуществляется последовательный по-
иск предполагаемого объекта в множестве X.
При задании точечных значений признаков допустимая
область X сводится в единственную точку с=(с1,...,Су,...,сп)
в n-мерном пространстве. Эта точка называется целевой или
целью [76]. Если целевая точка оказывается внутри области X,
цель считается достижимой, а иначе — недостижимой. Дости-
жимость цели определяется структурой дискретного множества
или границами континуального множества.
Целевая точка с входит внутрь дискретного множества X,
если 7;	щах для всех 7= Ъ•••>«• Однако эти условия
не обеспечивают точного совпадения с целью, если в множе-
стве отсутствует объект с заданными значениями признаков.
126
В этом случае возможен поиск приближенной цели. Степень
близости задается диапазоном ±Д<?у, который может различаться
для разных признаков. Одна из стратегий поиска приближен-
ной цели — итеративное расширение диапазона ±Д<?у пооче-
редно для каждого признака.
Примером достижимой цели в континуальном множестве X
является точка , а недостижимой цели — хн& (см. рис. 4.4).
Для нахождения приближенной цели на основе недостижимой
необходимо определить положение точки с относительно гра-
ниц области X по условиям, сформулированным в предыдущем
разделе. В зависимости от координат точки с задается диапазон
изменения переменных со знаком, противоположным знаку
при коэффициенте Cj. Процесс выполняется итеративно до по-
падания точки с в область X. Наиболее близкой целью по от-
ношению к заданной является точка на границе области X.
Это условие определяет точность и время поиска. Чем большим
выбирается диапазон ±Дсу, тем меньшее число итераций требует-
ся, но тем более вероятным является уход от границы области X.
И наоборот — чем меньше шаг и больше число итераций,
тем поиск цели точнее, но возрастает время поиска.
Покажем, что прямой итеративный поиск не всегда дает
оптимальный результат. Если начать приближение к грани-
це области X уменьшением координаты с2 на величину | Дс2|
(см. рис. 4.4), то, двигаясь от точки хнд' мы не достигнем гра-
ницы области X по координате у2. Оставив точку х на новом
месте, уменьшим координату С| на величину | AcJ =| Дс2|.
При этом новая точка хд2 окажется на границе области X.
Но она уступает по признаку у2 точке хд2, в которую можно по-
пасть, начав приближение к границе области X с координаты у{.
Это можно осуществить, если выполнять итеративный поиск
с возвратом. Он характеризуется возвратом предыдущей коор-
динате предыдущего значения. Если цикл приближения к гра-
нице области X по всем координатам не увенчается успехом,
он повторяется с новой величиной Дс.’>Дс- и т.д. Эта страте-
гия может применяться и при нахождении непустого допусти-
мого множества Хс в случае неприемлемых первоначальных
ограничений признаков.
127
4.5.	Отбор объектов в иерархическом
пространстве признаков
Отбор объектов в иерархическом пространстве признаков
выполняется в листовых таблицах иерархии. Структурирова-
ние признаков в разных таблицах нередко вызывает проблему
противоречивости требований, предъявляемых к объектам.
Проблема заключается в том, что объекты, отобранные по тре-
бованиям к признакам, входящим в одну таблицу, могут
не совпадать с объектами, отобранными в другой таблице
по требованиям к входящим в нее признакам. При этом
не имеет значения, каким методом выполняется отбор объектов.
Рассмотрим теоретический аспект этой проблемы. Пусть
нижний уровень иерархии состоит из к таблиц. В сумме они
содержат всю совокупность признаков, характеризующих объек-
ты рассматриваемой предметной области: У1и,...,иК^=У.
Ко всем или к части признаков, входящих в каждую таблицу,
предъявляются требования: CjU,...,UC^=C, где С — совокуп-
ность всех требований, предъявленных к объектам. Результа-
тами отбора в каждой таблице становятся следующие сово-
купности объектов: X^QX,...,XkQX.
Утверждение 4.3. К объектам из множества X, оценивае-
мых в иерархическом пространстве признаков Y^,..,Yk, все-
гда можно предъявить такую совокупность требований
Ci,...,Ck, что ХуО,...,ПХк=0.
Справедливость этого утверждения следует из того, что
для каждой таблицы в отдельности можно так ужесточить тре-
бования, что результат отбора станет пустым. Следовательно,
это можно сделать и для нескольких таблиц путем подбора
требований С\,...,Ск- Но если этого можно добиться специаль-
но, то аналогичный результат может появиться при случайном
подборе требований, если их задавать для каждой таблицы
автономно, не обращая внимания на другие.
Проиллюстрируем утверждение 4.1 следующим примером.
Пример 4.5. Выбрать студентов, имеющих хорошие и от-
личные оценки как по естественно-научным, так и по гумани-
тарным дисциплинам (см. табл. 4.2 и 4.3).
128
Таблица 4.2
Успеваемость по естественно-научным дисциплинам
Студент	Математика	Физика	Химия	Отбор
Иванов	5	4	3	
Петров	4	3	4	
Сидоров	3	5	5	
Кузнецов	4	5	4	V
Молодцов	4	4	4	V
Таблица 4.3
Успеваемость по гуманитарным дисциплинам
Студент	Русский	Английский	История	Отбор
Иванов	4	5	4	V
Петров	5	4	4	V
Сидоров	4	5	5	V
Кузнецов	4	3	3	
Молодцов	4	3	5	
По естественно-научным дисциплинам не имеют троек Кузне-
цов и Молодцов, а по гуманитарным — Иванов, Петров и Сидо-
ров. В столбце Отбор они помечены галочками. Следовательно,
отсутствуют студенты, не имеющие троек по всем дисциплинам.
Решить проблему противоречивости требований можно,
задавая приоритеты таблицам и снижая уровни притязаний
к признакам. Если, например, отдать предпочтение естествен-
но-научным дисциплинам, то не имеющих по ним троек Куз-
нецова и Молодцова можно сопоставить затем по гуманитар-
ным дисциплинам. Здесь преимуществом обладает Молодцов,
имеющий тройку лишь по одному предмету (английскому язы-
ку). Снизив требование по этой дисциплине, получим непустое
решение задачи отбора в иерархии. При таком решении про-
блемы отбора следует фиксировать все условия получения
непустого результата. А именно, при выборе Молодцова было
отдано предпочтение естественно-научным дисциплинам
и ослаблено требование к английскому языку.
129
Обсуждение
Рассмотренные в этой главе задачи являются наиболее про-
стыми и очевидными. Их решение не вызывают каких-либо
дискуссий. Они хорошо разработаны как для случая контину-
альных множеств в рамках математического программирова-
ния, так и для случая дискретных множеств.
Проблемным может оказаться задание значений признаков
в задачах отбора объектов на основе ограничений и поиска по
цели. Точность задаваемых значений признаков определяются
знаниями эксперта в соответствующей области. Проблемы,
которые приходится решать при задании значений признаков,
рассматриваются в частности в [91].
Следует подчеркнуть, что задачи отбора носят, как правило,
вспомогательный характер, поскольку основной задачей раци-
онального выбора является выделение одного, а не нескольких
объектов. Тем не менее используемые здесь методы позволяют
устранять недостатки критикуемых в [17] методов рациональ-
ного выбора, в частности аддитивной свертки критериев. Сам
этот метод подробно рассматривается в следующей главе. Оста-
новимся только на предъявляемой к нему претензии.
В [17] правомерно указывается, что аддитивная свертка крите-
риев основывается на неявном постулате: «низкая оценка по одному
критерию может быть компенсирована высокой оценкой по дру-
гому». Этот постулат, кстати, никем не оспаривается. Отсюда
делается вывод о том, что «этот постулат верен не для всех мо-
делей сравнительной оценки качества». В подтверждение приво-
дится следующий пример: «ухудшение качества изображения те-
левизора не может быть компенсировано улучшением качества
его звука». Но оценка качества телевизора и его выбор — это
разные задачи. Если первая призвана оценить сущее, то вторая
сводится к практическому действию, а именно к приобретению
телевизора. Именно здесь и оказываются полезными задачи от-
бора. Необходимо, лишь определить минимальные требования к
качеству изображения и звука и отсечь все телевизоры, не удов-
летворяющие этим требованиям, а затем уже заняться ранжиров-
кой приемлемых телевизоров. Для предварительной селекции
телевизоров и используется задача отбора по ограничениям.
130
Заметим, что для решения поставленной цели (приобретение
телевизора, удовлетворяющего набору ограничений) может ока-
заться непригодным нахождение множества Парето в качестве
предварительной задачи отбора. Это объясняется тем, что на-
бор требований может не соответствовать значениям призна-
ков в недоминируемых альтернативах. В других случаях отбор
недоминируемых альтернатив может оказаться хорошим сред-
ством сокращения размерности задачи рационального выбора.
Любопытно отметить также связь задачи отбора по ограни-
чениям с морфологическим синтезом альтернатив, рассмотрен-
ным в главе 2. При использовании этого подхода отбор осу-
ществляется в процессе порождения варианта, а роль ограни-
чений выполняют не значения признаков, а синтаксические
и семантические правила порождения цепочек.
Выводы
1.	Отбор (селекция) объектов основан на принципе полез-
ности отбираемых и бесполезности отсеиваемых объектов.
2.	В рассмотренных задачах полагается равная важность всех
признаков, используемых для отбора объектов. По этой при-
чине они решаются методами векторной оптимизации.
3.	Признакам, используемым для отбора объектов, при-
дается либо роль критерия, либо ограничения. В первом случае
решается задача нахождения недоминируемых объектов,
а во втором — задача отбора по ограничениям.
4.	Глубокий смысл задачи нахождения недоминируемых
объектов заключается в том, что, как правило, одна функция
не имеет экстремального значения там (для того объекта),
где имеет его другая. А, следовательно, надо сохранить
для дальнейшего выбора все недоминируемые объекты.
5.	Другой стороной задачи нахождения недоминируемых объек-
тов является отсеивание доминируемых объектов. А это равно-
значно фильтрации исходного множества объектов, т.е. избавле-
нию его от объектов, бесполезных с точки зрения оптимальных
значений. Отсюда следует, что наилучшие в смысле заданных на-
правлений оптимизации объекты содержатся в множестве Парето.
131
6.	В том случае, когда известны граничные значения оце-
нивающих признаков, для сокращения исходного множества
вариантов используется отбор объектов по ограничениям.
7.	Использование лишь одного типа ограничений (по ра-
венству) сводит задачу отбора по ограничениям к задаче поис-
ка по цели, а использование интервальных ограничений обес-
печивает нахождение приближенной цели.
8.	При задании жестких ограничений отбор может дать
пустой результат. Для получения непустого результата следу-
ет смягчать требования, начиная с менее значимых признаков.
9.	Пустой результат отбора в иерархическом пространстве
признаков может получаться не только из-за жестких требова-
ний к признакам, но и за счет несовпадения результатов отбо-
ра в разных таблицах иерархии. Для получения непустого ре-
зультата помимо снижения требований к признакам можно
управлять процессом отбора, задавая приоритет таблицам.
Глава 5. УПОРЯДОЧЕНИЕ ОБЪЕКТОВ
В ПРОСТРАНСТВЕ ПРИЗНАКОВ
Нет ничего более упорядоченного,
чем природа
Цицерон
5.1.	Задачи упорядочения объектов
В этой главе рассматриваются задачи кардинального упоря-
дочения объектов в многомерном пространстве признаков. Ре-
шение задач этого класса основано на измерении объектов
в порядковой шкале, так как целью упорядочения является при-
своение каждому объекту места среди остальных. Поскольку этому
требованию не удовлетворяет векторное представление объектов,
для решения задачи упорядочения объектов по их признакам
необходимо либо упорядочить сами признаки относительно их
важности (значимости), либо сопоставить каждому вектору ска-
ляр, учитывающий соотношение значимости признаков.
Первый подход реализуется методом приоритетов, который
осуществляется поиском объектов с оптимальными значения-
ми критериев в направлении убывания значимости критериев.
Поскольку нахождение оптимума гарантировано только для
наиважнейшего критерия, значения остальных критериев для
наилучшего объекта являются условно-оптимальными.
Для отображения вектора в скаляр используется функция свертки
исходных критериев:/:Кх...хК-^У, вид которой является предме-
том соглашения между заинтересованными лицами. Функция
свертки f названа в [76] суперкритерием, что характеризует две ее
особенности: объединяющий и надкритериальный характер по
отношению к исходным критериям. В силу произвольного ха-
рактера функции свертки суперкритерий не обеспечивает од-
нозначности решения задачи упорядочения. Поэтому выбор функ-
ции свертки f является важным этапом решения задачи упорядо-
чения. В соответствии с используемым принципом задачи этой
группы относятся к задачам скалярной оптимизации.
133
Упорядочение объектов может выполняться не только отно-
сительно значений характеризующих их признаков, но и отно-
сительно требований, предъявляемых к этим значениям. В этом
случае упорядочению подлежит степень отклонения значений
признаков от предъявленных к ним требований.
Упорядочению могут подлежать не только все объекты
из множества X, но и их часть, предварительно отобранная
в множество Xs. При этом на метод упорядочения оказывает
влияние использованный для получения Xs метод отбора.
На рис. 5.1 приведена классификация задач упорядочения
объектов в n-мерном пространстве признаков. Согласно изло-
женному выше, в качестве классифицирующих выбраны следу-
ющие признаки:
•	использование предварительного отбора объектов;
•	исходные данные для упорядочения;
•	способ упорядочения.
Рис. 5.1. Классификация задач упорядочения
Задачи нижней ветви классификации являются комбинированны-
ми, поскольку совмещают задачи отбора и упорядочения объектов.
5.2.	Одномерное упорядочение объектов
Эта задача является простейшей в рассматриваемой группе, поскольку
оптимизация объектов выполняется по единственному критерию.
134
В информационных системах метод решения задачи получил
название сортировки объектов по возрастанию (убыванию)
значения признака, принятого за критерий оценки. Указанным
двум случаям упорядочения соответствуют отношения лекси-
кографического и антилексикографического порядка.
В качестве исходных данных этого метода используются
перечень объектов X={xx,...,xi,xi+^,...,xN} и поставленный ему
в соответствие вектор значений признака у(х^: у=у(х\),...,у(х1),
y{xl+y),...,y{xN). Исходный порядок объектов в множестве X оп-
ределяется пользователем, например, объекты могут быть упо-
рядочены в алфавитном порядке. Целью кардинального упо-
рядочения объектов является их размещение в соответствии с
возрастанием (убыванием) величины у{х^.
Метод реализуется путем сопоставления величин y(Xj) и у(х )
при заданном бинарном отношении предпочтения К(у(х^,у[хр),
i,j=l,...,N. Пусть R означает Больше(у(х(),^(ху)). Если предикат
Больше (j(x(),^(xy))=false, то объекты х( и х}- должны поменяться
местами. В полученном после сопоставления всех пар объектов
по признаку у векторе x(y)=(xr,...,xj,xj+y,...,xs) все объекты упо-
рядочены в соответствии с отношением y(xi)>y(x +j).
5.3.	Упорядочение по приоритету критериев
Этот метод применяется в случае «-мерного пространства
признаков | К|> 1, У= {yi,---,yk,...,y„}  Для выполнения «-мер-
ного упорядочения объектов необходимо определить порядок
их сортировки. С этой целью критерии нумеруются в по-
рядковой шкале в направлении убывания их значимости. При
этом совокупность критериев представляется вектором
y=(yi,---,yn,---,yic), компоненты которого упорядочены в поряд-
ке убывания их значимости слева направо, что соответствует
отношению порядка Я0/у/={(у(., 1),...,(уп,р),...,(ук,п)}. Определе-
ние мест (рангов) путем последовательного упорядочения объек-
тов относительно убывающих по значимости критериев назо-
вем многомерной сортировкой объектов.
Многомерная сортировка объектов начинается и заверша-
ется на первом — наиболее значимом критерии yt, т.е. вырож-
дается в одномерную сортировку, в том случае, если число
значений этого критерия т^ больше числа объектов N: m^>N.
135
Таким образом, условием продолжения сортировки по крите-
рию у.+1 является неравенство nij<N. Отсюда сформулируем
условия строгого упорядочения объектов относительно числа
критериев. Минимальное число критериев, необходимое для
обеспечения строгого порядка объектов, обуславливается мак-
симальным различием оценок по соседним критериям и опре-
деляется формулой:
^min
(5.1)
У=1
Максимальное число критериев, необходимое для обеспече-
ния строгого порядка объектов, обуславливается различием
оценок по соседним критериям на 1 и составляет N-1.
В частном случае, когда все критерии имеют двоичные зна-
чения, формула (5.1) преобразуется в следующее соотношение:
2	*N.	(5.2)
Отсюда минимальное число критериев nmin для строгого
ранжирования N объектов определяется по формуле:
nmm*tog2N-	(5’3)
В том случае, когда число значений наиболее значимого
критерия у^ меньше половины числа ранжируемых объектов,
т.е. mx<NI2, то результатом их ранжирования являются т, групп
объектов с одинаковыми (связанными) рангами. Как минимум,
по два объекта х( и хк среди N объектов образуют группу со
связанным рангом р- |=р^ р если у( \=ук р
Пусть z-й и к-й объекты имеют’ одинаковый ранг pt =Pfc •
после упорядочения по j-му критерию. Это означает, что y^-y^j,
с первого по j-й критерий. Условием различения z'-го и к-го
объектов по у+1 критерию является У^+\ ykj+\- Если при
максимизации у+1 критерия У^+^У^+х, то Pij+i-=Pij, a pkj+i=
= pfc -4-1, т.е. ранг z-го объекта, как лучшего по j+1 критерию,
остается прежним, а ранг к-го объекта ухудшается, увеличива-
ясь на 1. В случае минимизации /+1-го критерия, наоборот:
P<j+1:= Pz/1’ а P-u+iW
Процесс ранжирования завершается на j+1-м критерии, если
после упорядочения по нему р+1 тахгУ.
136
Пример 5.1. Упорядочим 6 абитуриентов по результатам сдачи
экзаменов по математике, физике, русскому и иностранному
языку (см. табл. 4.1 в главе 4) с целью обнаружения их спо-
собностей к точным наукам. Установим приоритет этих дис-
циплин, используемых в примере в качестве критериев, т.е.
присвоим им места с первого по четвертое. Таблицу 4.1 преоб-
разуем к следующему виду:
Таблица 5.1
Приоритет		1		2		3		4	
№ п/п	Абитуриент	Математика		Физика		Русский язык		Иностранный язык	
		Балл	Ранг	Балл	Ранг	Балл	Ранг	Балл	Ранг
1	Иванов	4	1	5	1	4	1	3	1
2	Петров	3	2	3	4	5	5	4	6
3	Сидоров	4	1	4	2	3	3	3	3
4	Кузнецов	3	2	4	3	3	4	5	4
5	Молодцов	4	1	5	1	3	2	4	2
6	Храбрецов	3	2	3	4	5	5	5	5
В верхней строке табл. 5.1 приведены приоритеты дис-
циплин, задающие последовательность упорядочения объек-
тов. Процесс упорядочения иллюстрируется содержимым
столбцов «Ранг» в каждой дисциплине (цифры выделены
жирным шрифтом). Поскольку оценки по математике име-
ют всего два значения, абитуриенты этой дисциплиной
делятся на две группы: на занявшие первое и второе места
соответственно. Сопоставление оценок по физике позволи-
ло выполнить дополнительное упорядочение абитуриентов,
доведя число мест до четырех. Различение рангов продол-
жилось по гуманитарным дисциплинам. Таким образом,
для получения строгого упорядочения абитуриентов в этом
примере потребовалось учитывать оценки, полученные
по всем дисциплинам.
Для определения зависимости результатов упорядочения от
приоритета критериев решим обратную задачу: «Упорядочить
абитуриентов по склонности к гуманитарным дисциплинам»
(табл. 5.2).
137
Таблица 5.2
Приоритет		1		2		3		4	
№ п/п	Абитуриент	Иностранный язык		Русский язык		Физика		Математика	
		Балл	Ранг	Балл	Ранг	Балл	Ранг	Балл	Ранг
1	Иванов	3	3	4	5	5		4	
2	Петров	4	2	5	3	3		3	
3	Сидоров	3	3	3	6	4		4	
4	Кузнецов	5	1	3	2	4		3	
5	Молодцов	4	2	3	4	5		4	
6	Храбрецов	5	1	5	1	3		3	
В табл. 5.2 дисциплинам присвоен обратный порядок приори-
тетов при сохранении оценок по экзаменам. Здесь для достиже-
ния строгого порядка среди абитуриентов понадобилось упоря-
дочивать их всего по двум гуманитарным дисциплинам, причем,
как и следовало ожидать, рейтинг абитуриентов изменился.
В табл. 5.3 абитуриенты, способные к точным наукам («фи-
зики»), и гуманитарии («лирики») расположены по порядку
в двух соседних столбцах. Максимальная ассиметрия способ-
ностей наблюдается у Иванова и Храбрецова (разница в груп-
пах на четыре места), а минимальная — у Кузнецова и Молод-
цова (разница в группах на два места).
Таблица 5.3
№ п/п	Физики	Лирики
1	Иванов	Храбрецов
2	Молодцов	Кузнецов
3	Сидоров	Петров
4	Кузнецов	Молодцов
5	Храбрецов	Иванов
6	Петров	Сидоров
Рассмотрение примера 5.1 позволяет сделать два важных
вывода:
1. Результат упорядочения объектов зависит от приоритета
критериев.
2. Количество критериев, участвующих в многомерной сор-
тировке, зависит от числа и соотношения значений критериев.
138
В том случае, когда трудно согласиться с результатом упо-
рядочения объектов при заданном приоритете критериев, ис-
пользуется метод уступок. Приведем один из вариантов реа-
лизации метода.
1.	Выбирается не самый приоритетный критерий у-, j> 1, значе-
ние которого с(у для /-го (лучшего) объекта нас не устраивает.
2.	Задается уступка Ayyq со стороны предыдущего критерия
у._1 в направлении, противоположном направлению оптими-
зации. Она определяется исходя из ближайшего значения
(mindc^j-c^.il)) для k-го объекта. Максимальная величина
уступки зависит от числа значений критерия. Она не должна быть
слишком большой, чтобы не вызвать существенного перераспре-
деления приоритетов (не должна превышать 50%). В противном
случае целесообразно переопределить приоритеты критериев.
3.	Для всех объектов со значением j-1 критерия с^<.
значение cjA заменяется на cjA'-.=yjA min+\yH
при минимизации y-q и на Cyq':=yyq тах—^Уу-1 — ПРИ максими-
зации Уу.р
4.	Далее повторяется упорядочение методом приоритетов.
Результатом реализации этого алгоритма является новое
упорядочение объектов, удовлетворяющее заданным приори-
тетам критериев и требуемому значению c-q', играющему роль
ограничения.
Пример 5,3. Рассмотрим реализацию метода уступок
на примере «физиков» Иванова и Молодцова, занявших соот-
ветственно первое и второе места (см. табл. 5.1). Выделим
их в табл. 5.4.
Таблица 5.4
№ п/п	Абитуриент	Математика	Физика	Русский язык	Иностранный язык
1	Иванов	4	5	4	3
2	Молодцов	4	5	3	4
Пусть нас не устраивает слабое знание Ивановым иност-
ранного языка. Тогда необходимо найти другого абитуриента
с лучшим значением этого показателя. Этот абитуриент будет
неизбежно иметь худшее значение по предыдущему показателю.
139
Следовательно, именно по нему необходимо сделать уступку
в пользу иностранного языка. Учитывая, тот факт, что оцен-
ки выражаются целыми числами, ухудшим значение оценки
по русскому языку на 1 для всех абитуриентов, имеющих хоро-
шую оценку по этому показателю. Это равносильно условной
замене вектора оценок Иванова с (4, 5, 4, 3) на вектор (4, 5, 3, 3),
что позволяет сравнивать Иванова с группой абитуриентов,
имеющих одинаковые оценки по более приоритетным дисцип-
линам и тройку — по русскому языку. К ним в примере отно-
сится получивший второе место Молодцов. Но он имеет луч-
шее значение оценки по иностранному языку и, следователь-
но, перемещается в результате уступки по русскому языку
на первое место, меняясь с Ивановым местами.
5.4.	Упорядочение объектов по функции
полезности
Для решения этой задачи применяется многокритериальная
функция полезности /, которая позволяет свести многокрите-
риальную задачу к однокритериальной путем свертки п крите-
риев в один обобщенный, названный в [76] суперкритерием.
При этом векторная оценка jz=(j(-p ...,.у(„), /-го объекта
заменяется скалярной оценкой у*которая используется
для упорядочения N объектов в n-мерном пространстве с по-
мощью одномерной сортировки.
В [27] были предложены аддитивная и мультипликативная
свертки критериев, которые получили наиболее широкое рас-
пространение. Они выражаются следующими формулами со-
ответственно [76]:
Z =	(5.4)
у=1 SJ
140
где уj — значение j-ro критерия;
s- — нормирующий коэффициент, равный максимальному значению
шкалы для j-ro критерия и переводящий его в безразмерную величину;
Wj — весовой коэффициент (вес) j-ro критерия, пропорциональный
его значимости.
Обычно весовые коэффициенты w , j=\,...,n, нормируются:
п
7-1
(5-6)
Так же, как и отдельному критерию, суперкритерию при-
дается направление оптимизации (у-»шах или j>-»min), что
позволяет считать его целевой функцией задачи выбора. Если
критерии, входящие в составной, имеют различные направле-
ния оптимизации, необходимо свести их к единому направле-
нию. Пусть максимизации подлежат р критериев, а осталь-
ные q=n-p критериев подлежат минимизации. Для перехода
от минимизации критерия у. к максимизации, как того требу-
ет общее направление оптимизации, следует максимизировать
его дополнение до максимального значения: (у} тах -уу)-*тах.
С учетом смешанного направления оптимизации критериев фун-
кции свертки принимают следующий вид:
= /(у) = ^ Wjyj +
-1 Sj j^\
(s-»>
7-1 \ SJ 7-1 \ Sj t
Метод суперкритерия отличается от метода приоритетов
не только переходом от векторной оценки объектов к скалярной,
но и использованием для учета значимости критериев интерваль-
ной шкалы вместо порядковой. Эта шкала более информативна,
чем порядковая (ранговая), так как позволяет учитывать нелиней-
ную зависимость между значимостью различных критериев. Напри-
мер, оценкам значимости трех критериев в процентной шкале: 100,
50 и 45 процентов соответствуют места 1, 2 и 3 в ранговой шкале.
141
При этом в ранговой шкале утрачиваются неравные интервалы
величиной 50 и 5 соответственно, характеризующие неравномер-
ность соотношения коэффициентов 100, 50 и 45. Учет такого
различия важен в тех случаях, когда необходимо учитывать
не только место критерия среди других, ему подобных, но и ин-
тервал значений между соседними по значимости критериями.
В более сложных случаях вес j-го критерия может представлять-
ся не переменной w-, а функцией внешних аргументов. Задание ве-
сов при использовании метода суперкритерия осуществляется экс-
пертным способом, так же, как и рангов в методе приоритетов.
Упорядочение точек в «-мерном пространстве не может быть
однозначным. Оно зависит как от структуры множества X,
так и вида упорядочивающей функции. В определенных случаях
даже небольшое варьирование коэффициентов при переменных
может привести к значительному различию выбираемых объек-
тов, что характеризует неустойчивость процедуры оценки.
На рис. 5.2 показан такой случай для функции y=w1y1+w2y2,
представленной в двухмерном пространстве (на плоскости).
При изменении коэффициентов и w2 на и и>2' с сохране-
нием соотношения и'1+и,2=1 функция y=Wiyi+w2y2 преобразу-
ется в функцию y'=wl'yl+w2'y2. Сравнительно небольшое (не
более 20°) изменение угла наклона градиента функции у' по от-
ношению к градиенту исходной функции у приводит к су-
щественному изменению решения задачи оптимизации в двух-
мерном пространстве. Например, расстояние между выбран-
ными объектами Xj* и х2 по оси у2 составляет около 40%.
Заметим, что оба решения получены в области Парето
на выпуклых участках границы области X, что наглядно про-
демонстрировано на рис. 5.2. Это объясняется тем, что уровни
функций у и у' могут являться касательными к границе обла-
сти X только на ее выпуклых участках.
Из двух коэффициентов при критерии у^ на практике основ-
ное внимание уделяется весовому коэффициенту w в силу субъек-
тивного характера его определения (см. главу 6). Однако нор-
мирующий коэффициент Sj также заслуживает отдельного
внимания как аргумент, влияющий на значение функции у.
Его роль в формулах (5.4) и (5.5) заключается в следующем:
•	перевод абсолютных значений критериев в относитель-
ные для обеспечения возможности сопоставления разнородных
критериев (например, таких как длина и вес);
142
Рис. 5.2. Геометрическая иллюстрация устойчивости оценки
•	нормирование значения критерия к диапазону [0,1],
что позволяет использовать свойства абсолютной шкалы;
•	выделение доли от максимального значения >утах
(при максимизации) для обеспечения возможности сопостав-
ления оценок, полученных в разных шкалах.
Для выполнения функции нормирования необходимо соблю-
дать условие s^yj. Оно истинно при 5)=^>тах- Однако более
общий характер имеет формула:
sj~ -У/,max-JVmiir	(5-9)
При использовании формулы (5.9) значение критерия также
сопоставляется с у^ min:
(5.Ю)
у=1 У7,max У у,min

yj ~yj,mm
wj----~----------
У J,max ~ У j, min ,
(5.И)
143
Разность (5.9) характеризует диапазон изменения величины у..
Возможны 3 источника установления этого диапазона:
•	эмпирический;
•	теоретический;
•	субъективный.
Эмпирический диапазон [Уут;пв, >’/тах В1 обычно определяет-
ся граничными величинами из выборки значений критерия у^
Теоретический диапазон величины у- задается, как правило,
от 0 до теоретически возможной величины y, _„v  [0, J,
при условии, что y^yjtmaK<T-
Субъективный диапазон задается, исходя из пожеланий
пользователя относительно интервала изменения величины yj.
Теоретический и субъективный интервалы изменения величи-
ны yj, j=\,...,n, используются в случае непредставительной
выборки объектов или при необходимости оценки единствен-
ного объекта.
Исходя из возможности изменения диапазона [у. min, у^ max],
рассмотрим различные модификации формул (5’4) и (5.5),
позволяющие расширить область применения многокритери-
альной оценки объектов.
5.5. Анализ свойств функций полезности
Для аддитивной функции свертки критериев представляет
дополнительный интерес ее сходство с математическим ожи-
данием выборки. Такое сопоставление правомерно при усло-
вии однородности критериев У^У- Это позволяет отождествить
критерии и игнорировать нормирующий коэффициент Sj в фор-
муле (5.4) в роли перевода абсолютных значений критериев в
относительные. Иными словами, в отличие от выборки объек-
тов рассматривается ортогональная ей выборка критериев. Для
устранения различия между весовыми коэффициентами w- в
формуле (5.4) и вероятностями в формуле математического
ожидания положим Wj=\/n. При этом формула математическо-
го ожидания сводится к формуле вычисления среднеарифмети-
ческого значения выборки критериев:
y=fc(y) = -^yj,	(5.12)
П 7-1
144
а формула (5.4) имеет следующий вид:
Z=/G)=-V—	(5.13)
П SJ
В ней коэффициент Sj используется для выделения доли
крит&рия у. в диапазоне [0, Уутах], а значение функции у*,
в отличие от у , подлежит максимизации (минимизации).
Очевидно, что значения оценок у и у*, вычисляемых по
формулам (5.12) и (5.13), различны и зависят как от величин
коэффициентов Sj,j=\,..., п, так и от их соотношения. Различ-
но и их назначение. Среднеарифметическое значение выборки
усредняет значения входящих в нее показателей, а аддитивная
свертка агрегирует различия между фактическими и максималь-
ными значениями показателей при их максимизации. То есть,
имеют место следующие функциональные зависимости:
У	Уп, п),	(5.14)
<515)
Учитывая тот факт, что минимизации показателей соответ-
ствует максимизация дополнений их значений до максималь-
ных, для нее имеет место аналогичная зависимость:
/=/3(Тр---. Уп, У1 .min—’ Timin’ «)•	<516)
В зависимостях (5.15) и (5.16) важны не абсолютные значе-
ния экстремальных значений показателей, а их соотношение.
В частном случае при у1 extr=,...,=yn eXtr Различия между экст-
ремальными значениями показателей в оценках не проявляют-
ся, делая зависимость между оценками у и у* линейной.
Теперь рассмотрим влияние величины нижней границы уу min
диапазона [V min, yj max] на значение оценки у. На основании
формул (5.10) и (5.13) при y/ mjn>0 получим:
п	Уj,max.	У/,min
145
Если положить Jy>min=o, формула (5.13) упростится следую-
щим образом:
(5.18)
* 1 v У]
уг =- У--------
п	J2./',max
При использовании формулы (5.17) соотношение между
неравными экстремальными значениями показателей проявля-
ются в большей мере. Различимость оценок у*2 г- и у*2 к i-ro
и к-го объектов, вычисленных по формуле (5.18), изменяется
в сторону уменьшения, поскольку появляется постоянная со-
ставляющая. Действительно, если значение j-го критерия рав-
но минимальному min, то в формуле (5.17) он исключает-
ся из свертки (дробь обращается в 0), а в формуле (5.18) доля,
соответствующая минимальному значению У^У}вклю-
чается в общую оценку.
Для анализа результатов, получаемых с помощью мульти-
пликативной функции, по аналогии с формулой (5.18) введем
равные весовые коэффициенты в формулу (5.5):
(5-19)
Использование в мультипликативной свертке вычитаемых
Jy min согласно формуле (5.11) увеличивает до 1 величину со-
множителей, для которых уу=уу min, выводя тем самым соответ-
ствующие признаки из оценки. При этом величина у увеличи-
вается по сравнению с формулой (5.19).
Поскольку в формуле (5.19), так же, как и в (5.18), учиты-
вается вклад каждого критерия в общую оценку, получаемые
с их использованием результаты являются сопоставимыми.
Различие заключается в обратном порядке значений функции
1-у м, поскольку она является дополнительной по отноше-
нию к исходной функции у*м. Использование дополнения
функции у*м позволяет предотвратить значительное умень-
шение ее величины с ростом числа сомножителей.
146
Проанализируем оценки, получаемые с помощью функций
(5.17), (5.18) и (5.19), на двух примерах. Условием сопоставле-
ния этих оценок со среднеарифметическими значениями вы-
борки (5.12) является однородность критериев, используемых
для оценивания объектов.
Пример 5,4. Сопоставим знания трех студентов, проявлен-
ные ими на экзаменах по математике, физике и иностранному
языку.
В столбцах правой части табл. 5.5 приведены расчеты оце-
нок по указанным в верхней строке формулам. Пример, приве-
денный в табл. 5.5, характеризуется доминированием (в смыс-
ле Парето) оценок Сидорова над оценками Иванова и Петро-
ва, одинаковыми в среднем согласно формуле (5.12).
Таблица 5.5
Студент	Мате- матика	Физика	Иност- ранный язык	(5.12)	(5.17)	(5.18)	(5-19)
Иванов	3	4	4	3,67	0,333	0,533	0,53
Петров	4	3	4	3,67	0,167	0,516	0,55
Сидоров	5	4	4	4,33	0,667	0,67	0,44
При использовании функций свертки критериев студенты
упорядочиваются по знаниям в следующей последовательнос-
ти: Сидоров, Иванов, Петров. Она соответствует уменьшению
значений функций в формулах (5.17) и (5.18) и увеличению
дополнительных величин 1-у*м в формуле (5.19).
Анализ табл. 5.5 позволяет сделать два важных вывода:
1) Иванов и Петров, имеющие одинаковый средний балл,
получили неодинаковые общие оценки;
2) различие между их общими оценками наиболее существен-
но (вдвое) при использовании формулы (5.17).
Выявленное различие со средней оценкой объясняется следу-
ющим образом. Иванов и Петров превосходят друг друга по одной
из дисциплин, но Иванову отдается предпочтение за счет того,
что его лучшая оценка (по физике) совпадает с максимальной
оценкой по этому предмету. Отсюда следует, что улучшение об-
щей оценки обуславливается максимальным приближением к луч-
шим значениям критериев и числом этих приближений.
147
Существенное различие в общих оценках Иванова и Петро-
ва при использовании формулы (5.17) объясняется игнориро-
ванием вклада в общую оценку критериев, значения которых
совпадают с минимальным значением из диапазона min, yj max].
Поэтому применение формулы (5.17) предпочтительнее, когда
требуется обеспечить максимальное различие между объекта-
ми. Формулы (5.18) и (5.19) дают более усредненные общие оценки
за счет учета ненулевых значений критериев. Критерий, значе-
ния которого равны yj~yj min=Jy max>0 Для всех объектов, ис-
ключается из расчета, поскольку он не влияет на сопоставление
объектов. В примере 5.4 им является иностранный язык.
Проанализируем сопоставление равномерных и неравномерных
значений критериев с помощью примера 5.5, приведенного в табл. 5.6.
Пример 5.5. Сопоставим знания трех студентов, получив-
ших одинаковый средний балл в результате экзаменов по ма-
тематике, физике и иностранному языку.
Таблица 5.6
Студент	Матема- тика	Физика	Иност- ранный язык	(5.12)	(5.17)	(5.18)	(5.19)
Иванов	4	4	4	4	0,333	0,866	0,358
Петров	5	4	3	4	0,500	0,849	0,367
Сидоров	5	5	2	4	0,667	0,833	0,371
Согласно формулам (5.18) и (5.19) студенты упорядочивают-
ся по знаниям в следующей последовательности: Иванов, Пет-
ров, Сидоров, причем формула (5.18) дает большие относитель-
ные различия между оценками по сравнению с формулой (5.19).
Формула (5.17) задает иную последовательность: Сидоров, Пет-
ров, Иванов, демонстрируя большую чувствительность к прибли-
жению критериев к лучшим значениям и числу этих приближений.
Таким образом, многокритериальные оценки объектов,
вычисляемые по формулам (5.17), (5.18) и (5.19) имеют следу-
ющие особенности соответственно:
•	аддитивная свертка, использующая в качестве нормиру-
ющего коэффициента диапазон шкалы J-ro показателя [у/ пцп,
Уу тахЬ7=1,(см. формулу (5.17)), отдает предпочтение объек-
там с наибольшим числом приближений к экстремальным зна-
чениям признаков (с «максимальными достижениями»);
148
•	аддитивная свертка, использующая в качестве нормирую-
щего коэффициента диапазон шкалы j-ro показателя от ее начала
до максимального значения у-го показателя [0, уу тах], у=1,...,и,
(см. формулу (5.18)), учитывает «минимальные достижения» объек-
тов, т.е. диапазон шкалы [0, min]. Это уменьшает разброс оце-
нок объектов. Заметим, что началом интервальной шкалы не
обязательно должен быть 0. Например, для более четкого разли-
чения возраста людей год их рождения не обязательно отсчиты-
вать от Рождества Христова, что равносильно уменьшению по-
стоянной составляющей соответствующих чисел;
•	мультипликативная свертка критериев (см. формулу (5.19))
отдает предпочтение объектам с наиболее равномерными зна-
чениями показателей, что согласуется с принципом максимума
энтропии. Этот принцип наглядно иллюстрируется следующим
простым примером. Перемножим любую пару слагаемых чис-
ла 10. Максимальное значение даст произведение 5-5=25,
а минимальное — 9-1=9. Следовательно, произведение чисел
является индикатором их равномерности.
Заметим, что усреднение относительных оценок в формуле
(5.17) и предпочтение равномерности в формуле (5.19) влечет
сближение получаемых в них оценок.
5.6.	Балльная оценка объектов
К недостатку перехода от векторной оценки объектов к ска-
лярной следует отнести абстрактный характер последней,
поскольку скалярная оценка измеряется в абсолютной шкале.
При желании этот недостаток устраняется путем пересчета мно-
гокритериальной скалярной оценки объекта из абсолютной
в более привычную балльную шкалу, например, в пятибалльную.
Лучшей оценке ставится в соответствие высший балл Ев, на-
пример Ев=5, а худшей оценке присваивается низший балл Ен.
Он может устанавливаться в пределах от 1 до Ев-1, например
ен=ев-2=з.
Пересчету подвергается каждый оптимизируемый признак. Обозна-
чим j-e максимизируемое слагаемое из формулы (5.16) через Дуутах:
У) ~ У],min	/с па\
ДУу.тах ~	•	(5.20)
У у,max ~ У у,min
149
Пересчет в баллы при максимизации критерия yj осуществ-
ляется от низшего балла Ен по формуле:
Ej~EHj+^yj,max^E3j~EnJ^-	(5-21)
Минимизируемое j-e слагаемое из формулы (5.3) обозна-
чим через Ay>min:
.	У},тах.~У]	/стох
AFy.min------'	(5-22)
У у,max У у,min
Для него пересчет в баллы осуществляется от высшего бал-
ла Eg по формуле:
ЕГЕъ,Г^У],т^Еъ,ГЕн^-	(5-23)
Общая оценка объекта вычисляется путем аддитивной сверт-
ки оценок, полученных для каждого признака с учетом его веса.
В силу однородности слагаемых, являющихся балльными оцен-
ками, их нормирование не требуется, т.е. Sj=l, j=\,...,n.
Пример 5.7. Сопоставим знания трех студентов из примера 5.6
в пятибалльной шкале: Е =1, Е=5.
п	В
Таблица 5.7
Студент	Матема- тика	Физика	Иност- ранный язык	(5-12)	(5-17)	(5.18)
Иванов	4	4	4	4	2,333	4,333
Петров	5	4	3	4	3,000	4,222
Сидоров	5	5	2	4	3,667	4,111
Показателен тот факт, что балльность оценок вычислен-
ных на основе формул (5.17) и (5.18) условна, поскольку они
не имеют ничего общего с каждой из исходных оценок в от-
дельности. Меньшая величина оценок, вычисленных по фор-
муле (5.17) по сравнению с формулой (5.18), объясняется ис-
ключением из оценок «минимальных достижений» объектов.
Оценки, вычисленные в баллах, отражают те же закономерно-
сти упорядочения студентов, что и относительные нормиро-
ванные оценки (см. табл. 5.6). Таким образом, балльные оцен-
ки всего лишь более привычны, а для кого-то и более удобны
для анализа результатов.
150
5.7.	Упорядочение отобранных объектов
К этому классу задач относятся задачи, совмещающие от-
бор и упорядочение объектов. Здесь упорядочению подлежат
только отобранные по заданным требованиям объекты. Это
позволяет разделять решение этих задач на два этапа. На пер-
вом из них осуществляется отбор объектов относительно за-
данных требований, а на втором — упорядочение отобранных
объектов. Таким образом, для решения этих задач необходимо
задавать исходные данные сразу для обоих этапов.
Для упорядочения отобранных объектов необходимо исполь-
зовать признаки, характеризующие объекты, в роли критериев
и согласно формулам сверток (5.4) и (5.5) задавать для них:
вид функции свертки критериев (аддитивную или мультипли-
кативную), весовые коэффициенты и диапазоны изменения
значений.
Информация, задаваемая для отбора объектов, различается
характером требований к признакам:
•	всем признакам задаются направления оптимизации;
•	всем признакам задаются ограничения;
•	части признаков задаются ограничения, а остальной ча-
сти — направления оптимизации.
Рассмотрим особенности совмещения условий отбора
и упорядочения для разных способов отбора объектов.
5.7.1.	Упорядочение граничных объектов
Эта задача сочетает отбор объектов с упорядочением. При
этом признаки, выбранные для оценивания объектов, исполь-
зуются в роли критериев дважды: первый раз при отборе гра-
ничных (недоминируемых) объектов, а второй раз — при их
упорядочении. Таким образом, условия оценивания объектов,
заключающиеся в задании критериям направлений оптимиза-
ции не меняются при переходе от отбора к упорядочению. При
упорядочении к ним добавляется задание весовых коэффици-
ентов, участвующих в функции полезности.
Другим отличием рассматриваемой задачи от обычной задачи
упорядочения заключается в том, что упорядочению подвергаются
не все объекты, а только те, которые входят в множество Парето.
151
При этом возникает проблема задания диапазонов значений
критериев, которые используются для нормирования оценок.
Более естественным для сопоставления отобранных объектов
является диапазон изменения значений [уу- min s, yj max s] в мно-
жестве Парето XfLX, чем диапазон значений в исходном мно-
жестве объектов X. С этой целью вычисляются экстремальные
значения показателей в выборке Xs.
5.7.2.	Упорядочение объектов, отобранных
по ограничениям
Условия отбора объектов, используемые для решения этой
задачи, не совпадают с условиями упорядочения объектов,
поскольку признакам здесь задается роль ограничений с ука-
занием их типа и значения. По этой причине возникает про-
блема использования ограничений для задания признакам на-
правления оптимизации.
Из четырех используемых типов ограничений два типа
не позволяют определить направление оптимизации признака.
К таковым ограничениям относятся типы: равно (у^ср и ин-
тервал [vy.mjn, vy. max], y;>n,insv7.min, vy. maxsyy. max, поскольку удов-
летворяющие этим ограничениям объекты, признаются равно-
ценными по соответствующим признакам.
К ограничениям, неявно содержащим направление оптими-
зации, относятся ограничения, задающие полуинтервалы: сни-
зу и сверху (yjsc). Направленность полуинтервала по-
зволяет установить следующие соответствия:
•	ограничению снизу соответствует направление максими-
зации критерия;
•	ограничению сверху соответствует направление миними-
зации критерия.
Таким образом, после нахождения объектов, удовлетворя-
ющих ограничениям снизу и сверху, соответствующие им при-
знаки принимают участие в вычислении значений общей оцен-
ки с учетом неявной направленности их оптимизации.
Свойства изложенного метода позволяют использовать его
только при наличии ограничений, задающих полуинтервалы
значений. Если всем признакам заданы, например, только ог-
раничения типа равно (поиск объекта по цели), упорядочение
объектов этим методом становится невозможным.
152
Проблемы задания весовых коэффициентов и диапазонов
значений признаков здесь решается так же, как и в предыду-
щей задаче.
5.7.3.	Условная оптимизация
Эта задача характеризуется четким разделением роли при-
знаков. Часть из них играет роль ограничений, а другая —
роль критериев с заданными в явном виде направлениями оп-
тимизации.
С помощью ограничений осуществляется предварительный
отбор объектов, а на основе свертки критериев выполняется
упорядочение отобранных объектов. В теории выбора этот ме-
тод носит название метода суперкритерия с ограничениями, либо
условной оптимизации [76]. Ее частным случаем является опти-
мизация одного (важнейшего) критерия, в то время как осталь-
ные признаки используются в роли ограничения. Пользуясь этим
принципом, преобразуем поиск по цели в условную оптими-
зацию. При минимизации критерия у^ нахождение объекта х
с условным минимумом описывается следующим выражением:
x* = arg min(д^)|уд. =ck, к=\,...,п,	(5.24)
Ограничения типа «равенство» в формуле (5.24) являются
жесткими, что, как правило, ухудшает результат оптимизации.
Улучшения результата можно добиться использованием огра-
ничений «снизу» и «сверху»: У^С] и У&с? Этот вид условной
оптимизации называется пороговым. Для наглядного рассмот-
рения изложенных вариантов условной оптимизации в конти-
нуальном множестве можно воспользоваться рис. 5.2.
5.8.	Упорядочение объектов относительно
требований
В случае жестких притязаний отбор по ограничениям мо-
жет приводить к пустому результату (Xs=0), особенно в
случае поиска по цели (см. главу 4). Даже использование
симметричного допуска на точное значение признака и
замена точных ограничений {по равенству) Vj-Cj
153
на ограничения «снизу» (j ac ) или «сверху» (у-$с.)
не всегда позволяют получить достижимую цель (х3£л).
Это не позволяет решать задачи, постановка которых ис-
ключает существование пустого результата. Для устране-
ния этого недостатка введем допущение о возможности
невыполнения притязаний.
Для решения задачи упорядочения всех объектов относи-
тельно требований, предъявляемых к их признакам, автором
был разработан специальный метод, названный методом мяг-
ких притязаний или приближением к образцу [100]. В отличие
от «жестких притязаний» этот метод исключает отбраковку
объектов, не удовлетворяющих предъявленным требованиям.
Все объекты, даже если ни один из них этим требованиям не
соответствует, подвергаются упорядочению на основе степени
приближения к заданным требованиям.
Представим притязания векторами значений признаков
с=< C\,...,Cj,...,ck> и предикатов р-<рх,...,рр...,рк>, определен-
ными в ^-мерном пространстве Y. Компоненты вектора р
принимают значения руЕ{«=»; «г»; «s;»}. С их помощью ре-
ализуются ограничения типа: «равно», «снизу», «сверху» и
«интервал» (одновременное ограничение значений снизу и
сверху).
Оценку анализируемого объекта х^Х будем рассматривать
как функцию отклонений характеризующих его признаков yj,
от предъявляемых к ним требований. Количественно
отклонение значения j-го признака у^ от заданного значения су-
определяется величиной Уу-Cj- Отклонения специфичны для
каждого типа ограничения. Наибольший интерес представля-
ют два из них: «снизу» и «сверху», которые можно принять за
базовые, поскольку остальные два представимы как их частные
случаи. Ограничение типа «интервал» можно рассматривать как
совмещение ограничений «снизу» и «сверху»:	_у-scB •,
а ограничение типа «равно» — как частный случай интервала:
CHj=yr^,j-
Варианты отклонений при ограничениях признака «снизу»
и «сверху» рассмотрим с помощью графического представле-
ния ограничений относительно числовой оси (рис. 5.3).
154
а Ограничение снизу (уу > су)
Зона нарушения	Зона превышения
I----------1.1	.1------------------г
У), min	У],1 Cj	У]. 2	У/, max
yj.<+	У}.2
б Ограничение сверху (у < су)
Зона превышения	Зона нарушения
I----------1ДД " ' '• 'Л-----------------------1—
У}, min	У), I cj	У), 2	У], max
Уу>' yj.1
Рис. 5.3. Варианты нарушения и превышения ограничения с-
Числовая ось разделена на зоны [у- min, су] и [су, Уутах] отно-
сительно заданного значения Cj. В зависимости от типа огра-
ничения и того, в какую из зон попадает значение уу, одну из
них назовем зоной нарушения, а другую — зоной превышения.
В случае ограничения снизу диапазон значений [уу min, су]
представляет собой зону нарушения, а диапазон [су, у,тах] —
зону превышения значения у. над заданным значением Cj
(рис. 5.3, а). При ограничении сверху эти зоны на числовой
оси меняются местами (рис. 5.3, б). На рис. 5.3, а значение
признака у у j находится в зоне нарушения, а значение у у 2 —
в зоне превышения, а на рис. 5.3, б — наоборот.
Найдем оценки отклонений объекта х^Х по у-му признаку
для всех типов ограничений.
1.	Ограничение снизу (yj^cj).
Относительное отклонение /-го объекта по у-му признаку
Дугу равно:
W,=(C y^^max-^min)-	<5'25)
При попадании значения у у в зону нарушения разность Ду;у
оказывается положительной, а при попадании в зону превы-
шения — отрицательной.
155
2.	Ограничение сверху (yj s Cj).
Относительное отклонение Лу~ сохраняющее знак разности
при попадании значения у у в вышеозначенные зоны, при огра-
ничении сверху имеет вид:
=<Уу ~ CjV(ymaK-ymia).	(5.26)
3.	Интервал (cH js,yj*cB j).
Если предположить, что все точки интервала равноценны и
при попадании значения у- внутрь интервала относительное
отклонение Ду;у=0, то его величина положительна при выходе
значения у~ за любую границу интервала. Этим предположе-
ниям соответствуют следующие формулы:
если (cHj-yij)>0, то Ауг7и=(с„гугу)/(уу. max-yy,min), (5.27)
если (yif-c3j)>0, то	7-cBi/)%max-J y,min)’ (5-28)
иначе Дугу“=О.	(5.29)
4.	Равно yj=Cj.
Поскольку в этом случае знак величины Уtj—Cj не имеет зна-
чения, в формулу относительного отклонения входит его абсо-
лютная величина:
Aji7P= \yircj\Ky j,max-y j, min) •	<5’3 °)
Интегральная оценка отклонений объекта х^Х от предъяв-
ляемых к нему требований выполняется с использованием
принципа формирования суперкритерия как аддитивной сверт-
ки нормированных значений всех признаков с учетом их зна-
чимости (веса):
I	к	s	е
. 2* 2+2"’/4- г5 311
7=1	7=1	7-1	7-1
Верхние индексы сумм соответствуют количеству признаков
с заданным типом ограничения, причем l+k+s+e=n, где п —
размерность пространства признаков. Веса признаков удовлетво-
к
ряют условию 2^w7 =1- Если все признаки равнозначны,
их веса равны Wj=\/n, j=\,...,n.
156
Вычисление интегральных оценок всех объектов
i=\,...,N, позволяет упорядочить их, начиная с объекта с
минимальным значением Ajy
х =arg	(5.32)
Ix&x J /
Величина Ду;, рассчитанная для ограничений типа «сни-
зу» и «сверху», в случае превышения признаками y;yj=l,...Z и
7=1,...и, пределов сну и сву может оказаться отрицательной,
что не позволяет относить оценки к метрическим. Поэтому
ранжирование объектов выполняется с учетом знака Ajy
Однако, все оценки можно свести к положительным, добавив
к ним величину | -Ауу- тах|.
В том частном случае, когда все признаки ограничиваются
только снизу, либо сверху, результаты, полученные методом
мягких притязаний и методом суперкритерия, могут совпадать.
Пример 5.8. Упорядочить студентов из примера 5.5 относи-
тельно требований к их хорошей успеваемости (оценки по всем
дисциплинам должны быть не менее четырех баллов) при ус-
ловии одинаковой значимости всех дисциплин. Результат это-
го оценивания приведен в табл. 5.8.
Таблица 5.8
Студент	Математика	Физика	Иност- ранный язык	Приближение	Ранг
Иванов	4	4	4	0,00	1
Петров	5	4	3	0,02	2
Сидоров	5	5	2	0,03	3
Только Иванов удовлетворил поставленным требованиям (об-
щее отклонение от требований равно 0). У Петрова оценка по ма-
тематике оказалась в зоне превышения (+1 балл), а по иностранно-
му языку — в зоне нарушения (-1 балл). У Сидорова оценки
по математике и физике превысили заданные требования (в сумме
+2 балла), а оценка по иностранному языку оказалась в зоне на-
рушения (-2 балла). Несмотря на равенство отклонений оценок
Петрова и Сидорова в лучшую и худшую стороны на последнее
место Сидорова повлияло наибольшее отклонение в зоне нарушения.
157
Увеличение общей величины отклонения от требований на по-
ложительной оси можно интерпретировать увеличением сум-
мы штрафа за невыполнение требований.
5.9.	Упорядочение объектов в иерархическом
пространстве признаков
Упорядочение объектов в иерархическом пространстве при-
знаков отличается от отбора двумя особенностями:
•	процесс упорядочения выполняется во всех таблицах
иерархии, а не только в листовых таблицах в случае отбора
объектов;
•	результат упорядочения не может быть пустым — любо-
му объекту ставится в соответствие занимаемое им место сре-
ди остальных объектов.
Не требует особых доказательств тот факт, что рейтинги
объектов в разных листовых таблицах в общем случае не со-
впадают между собой. Действительно, если рейтинги объектов
в двух листовых таблицах совпадают, резонно предположить,
что одна из таблиц является избыточной, поскольку рейтинг
объектов устанавливается и в ее отсутствие.
Если же рейтинги в таблицах одного уровня иерархии
не совпадают, возникает проблема определения рейтинга объектов
на следующем уровне иерархии. Тогда как рейтинг объектов
в листовых таблицах устанавливается на основе первичных кри-
териев, вычисление его на последнем и промежуточных уровнях
иерархии выполняется на основе локальных (искусственных)
критериев. Для исключения потери информации их вычисление
должно выполняться в интервальной, а не порядковой шкале,
т.е. в качестве аргументов функции свертки должны использо-
ваться не рейтинги объектов, вычисленные на предыдущем уровне,
а общие оценки этих объектов (значения суперкритерия).
С точки зрения однородности оценок на каждом уровне
иерархии резонно использовать одну и ту же функцию сверт-
ки. По крайней мере, это относится к способу свертки —
аддитивному или мультипликативному. Что же касается диа-
пазонов нормирования оценок, влияющих на рейтинг объек-
тов, возможность их подбора должна присутствовать.
158
Важным является вопрос выбора направления оптимизации
в локальных таблицах. Он должен выполняться только для
первичных критериев, т.е. только в таблицах нижнего уровня
иерархии. Направление оптимизации локальных критериев (имен
таблиц) определяется (по умолчанию) выбранным способом
многокритериальной оценки:
•	Мах — для метода суперкритерия;
•	Min — для метода мягких притязаний.
Например, если в таблице «Стоимость» очевидным является на-
значение направления минимизации стоимостным критериям, то пси-
хологически напрашивается минимизация этого локального крите-
рия на следующем уровне иерархии. Однако минимизация стоимос-
тных критериев уже считается выполненной в таблице нижнего уровня
иерархии через максимизацию дополнений их значений. Локальный
критерий «Стоимость» на следующем уровне иерархии фактически
выполняет транзитную функцию. С учетом значимости критерия
«Стоимость» среди других локальных критериев своего уровня
он представляет долю стоимостных критериев в свертке этих крите-
риев. А свертки критериев на всех уровнях иерархии подлежат мак-
симизации. Полученный в результате очередной свертки критерий
представляет стоимостные критерии на следующем уровне иерар-
хии. Очевидно, что с каждым уровнем относительная доля стоимо-
стных критериев в общей оценке объектов снижается. Аналогичным
образом объясняется выбор по умолчанию направления минимиза-
ции для локальных критериев в методе мягких притязаний.
При упорядочении объектов методом приоритетов (с зада-
нием значимости критериев в порядковой шкале) в качестве
аргументов локального критерия используются рейтинги объек-
тов из таблиц нижнего уровня. Для упорядочения объектов
по этому критерию определяется приоритет (места) критериев
нижнего уровня. Всем им задается направление оптимизации Min,
с учетом предпочтения первого места перед последующими.
При совместном использовании упорядочения и отбора
объектов на локальном уровне можно выполнять отбор объектов
после их упорядочения на предыдущих уровнях. Упорядоче-
ние объектов после отбора в таблицах предыдущего уровня не
представляется возможным, поскольку при отборе не выпол-
няется свертка признаков.
J59
5.10.	Упорядочение сложных объектов
На практике часто возникает задача сопоставления слож-
ных объектов. Под ними будем понимать объекты, состоящие
из некоторых других объектов, необязательно однородных. Эти
объекты, в принципе, также могут быть составными. Задача
формулируется следующим образом: «Упорядочить сложные
объекты по результатам оценки составляющих их объектов».
Приведем пример постановки такой задачи.
Пример 5.9. Определить рейтинг факультетов технического
вуза по результатам оценки деятельности входящих в них ка-
федр. В каждый факультет входит несколько выпускающих
и несколько естественно-научных (общепрофессиональных) или
гуманитарных кафедр. При этом оценка деятельности каждой
кафедры выполнена в рамках одной из перечисленных групп,
которой принадлежит эта кафедра.
Структура объектов, представленных в примере, является
трехуровневой. Верхний уровень образуют факультеты, как
наиболее сложные объекты. Средний уровень образуют груп-
пы кафедр, а нижний — сами оцененные в своих группах ка-
федры. Возьмем эту структуру за основу и построим модель
сложного объекта, отвлекаясь от содержимого примера (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Структурная модель сложного объекта
Для упрощения модели рассмотрим две группы объектов,
входящих в сложный объект Gk.
Представители всех трех уровней образуют разные группы
объектов.
1.	Верхний уровень составляют сложные объекты G={Gl,...,
Gk,...,GN}.
160
2.	Средний уровень образуют подгруппы объектов S2k,
принадлежащие группам S', и S2: Sl = {Sll,...,Slk,...,SiN},
и распределенные по всем сложным
объектам так, что:
Ъ,	N	Nki	N
U^=sb А^=0> lXt=52’ A52k = 0-
k~l	fc-1	As»l	fc=l
3.	Нижний уровень составляют объекты, входящие в каж-
дую из групп к-го сложного объекта: Xki={xkii,..., хк^,..., xfcwi},
Xk2={xk2l’-’x k2j’->xk2Nl}> причем
Nlcl	X	Nkl	N
и*Ц/ = Xkl’	ПХк1=0>	UXk2j	=Xk2>	A^1=0-
fc=l	fc=l	fc=l	fc-1
Количество объектов, входящих в каждую из групп к-го
сложного объекта, в общем случае различается как по группам
Sj и S2, так и относительно объектов: |2^il=A^i, l^2l=^2>
k=\,...,N.
В качестве исходных данных для оценивания сложных объек-
тов будем использовать оценки объектов, полученные внутри
каждой из групп и S2, соблюдая следующие принципы:
1.	Сопоставимость оценок в группах Sj и S2 безотноситель-
но их разбиения по сложным объектам.
2.	Сопоставимость групп, принадлежащих разным сложным
объектам.
3.	Оценивание сложных объектов представителями обеих
входящих в них групп.
Согласно первому принципу будем использовать оценку Е^
(E2j) объекта х1у- (х2у), полученную в своей группе, без измене-
ний в соответствующей подгруппе, относящейся к к-му слож-
ному объекту: Ек1]:=Ец, Ek2j;=E2j.
Для обеспечения сопоставимости подгрупп Slk, (S2k), при-
надлежащих разным сложным объектам, k=\,...,N, будем ис-
пользовать средние оценки объектов, вычисляемые в каж-
дой подгруппе: Eki’ Ек2'
161
Сопоставление сложных объектов будем осуществлять
на основе средних оценок, полученных в каждой подгруппе:
> Ёк2  С этой иелью необходимо вычислить общую среднюю
оценку £^2 к~г° сложного объекта, k=\,...,N, по формуле:
Ё,=(^1+^2)/2.	(5.33)
Использование формулы (5.33) правомерно только в том
случае, если средние оценки Ек\ и приведены к общей
шкале. Это необходимо делать по той причине, что в об-
щем случае средние оценки вычислены в разных шкалах:
Ек\£2,min’ Ек\,max#^2,max‘
Изложим алгоритм ранжирования сложных объектов, осно-
ванный на приведении средних оценок Ек\ и Ек2 к общей шкале.
1.	Выберем одну из подгрупп объектов за базовую. Пусть
ею будет группа Skx. Тогда оценка Ек2 будет приводимой
к шкале ,min> ^fcl,maxb
2.	Вычислим относительную оценку приводимой величины
Ек2 в своей шкале [fumin’ ^Jtamaxb пользуясь формулой:
к2 к2,ш1п
ДЕ,- ---------------
к2 е - Е
fc2,max &2,min
3.	Пересчитываем относительную оценку приводимой вели-
чины Ек2 в шкалу базовой подгруппы объектов:
^Ек21 “ £fcl,min + ЕЕк2 ' Arl.max “	)	(5.35)
4.	Пользуясь формулой (5.33), рассчитаем общую среднюю
оценку Ек к-го сложного объекта, k=l,...,N.
5.	Выполним упорядочение сложных объектов по их общим
средним оценкам Ек, k=l,...,N.
6.	Присвоим рейтинги сложным объектам согласно установ-
ленному порядку следования.
Формулами (5.34) и (5.35) можно пользоваться для пересчета
не только средней, но и индивидуальных оценок Ek2j, j=l,...,Nk2,
объектов, принадлежащих подгруппе Sk2, для сопоставления их
с объектами, принадлежащими базовой подгруппе объектов Sk2.
(5-34)
162
Изложенная методика применима также в случае большего
числа групп объектов, входящих в сложные объекты. Оценки
объектов, не принадлежащих базовой подгруппе, пересчиты-
ваются в ее шкалу.
Обсуждение
Материал этой главы в теории принятия решений является
наиболее дискуссионным. Обычным аргументом оппонентов
изложенного подхода к упорядочению объектов является от-
рицание правомерности сопоставления числа вектору значе-
ний признаков, характеризующих объект. Посмотрим, как этот
тезис обосновывается в [17].
С одной стороны, говорится, что «взвешенная сумма есть
любимый всеми народами и во все времена способ обработки
критериальной таблицы». А далее доказывается, что «эта схе-
ма не всегда дает верный результат». С этим можно было бы
и согласиться — задачи рационального выбора многообраз-
ны. Но автор в азарте полемики со сторонниками здравого
смысла идет дальше: «наука начинается там, где кончается
здравый смысл»?! Каламбур неплохой! Но как его увязать
с менталитетом лица, принимающего решение? Ведь конечный
выбор делает он, руководствуясь, именно, здравым смыслом!
Для обоснования своей позиции автор ссылается на автори-
теты, цитируя Е.С. Вентцель [8]: «Здесь мы встречаемся с ти-
пичным для подобных ситуаций приемом — переносом произ-
вола из одной инстанции в другую. Простой выбор компро-
миссного решения на основе мысленного сопоставления всех «за»
и «против» каждого решения кажется слишком произвольным,
недостаточно «научным». А вот маневрирование с формулой,
включающей (пусть столь же произвольные назначенные) коэф-
фициенты — совсем другое дело. Это уже «наука»! По существу
же никакой науки тут нет и нечего обманывать самих себя».
Процитированное суждение весьма уязвимо для критики.
Естественно, что формула более «научна», чем «мысленное сопо-
ставление всех «за» и «против»», тем более такая, как аддитивная
свертка, лежащая в основе теории рядов. Здесь суть не в формуле,
а в коэффициентах, а именно, в их произвольном назначении.
163
На самом деле здесь произвол не больший, чем в других чело-
веческих решениях, в том числе в приложении математических
моделей к конкретным задачам. Известно, что не всегда они
приемлемы, например, по размерности, а иногда и ошибочны.
Что касается произвола в назначении весовых коэффициентов,
то там своя «наука». Она излагается в главе 6. Конечно, пред-
почтения, выражаемые человеком, всегда неточны и субъек-
тивны. Тем не менее они есть и их можно измерять, хотя и не
с такой точностью как в точных науках. Именно поэтому эти
проблемы названы слабоформализуемыми.
При переходе от функции полезности к аддитивной свертке
критериев в задаче многокритериальной оптимизации осуществ-
ляется переход от одного вида неопределенности к другому: ве-
роятность появления /-го исхода pj в роли коэффициента полез-
ности U(Sj) j-ro исхода заменяется весовым коэффициентом Wj
при /-м критерии. При этом весовой коэффициент Wj сохраняет
свою случайную природу в силу того, что он назначается экспер-
тами. В отличие от коэффициента Pj он может быть интерпрети-
рован как субъективная вероятность значимости /-го критерия.
Фактически позиция критиков отрицает правомерность свертки
критериев в суперкритерий, а поскольку он представляет собой
разновидность, изучаемой в рамках многокритериальной тео-
рии полезности (MAUT), то отрицается и само применение этих
функций. Можно сослаться на мнение не менее авторитетных
ученых Джона фон Неймана и О.Моргенштерна в пользу этой
теории [71]. Они аргументированно аппелируют к физическим
аналогиям. Не следует снимать со счетов и опыт «всех народов
во все времена». Неужели все дружно заблуждались? Автор этой
книги сам использовал рассматриваемую формулу при обмене
квартиры и результатами оказался доволен, сравнивая их
с оценками целостных образов (гештальтами).
Что касается того, что не всегда верны результаты оценки,
с этим можно согласиться. Помимо возможной недостовернос-
ти исходных данных здесь могут иметь место парадоксы, как и
в любой теории. Вспомним основной парадокс канторовской
теории множеств, когда множество может быть подмножеством
по отношению к самому себе. Однако такие парадоксы ничуть
не мешают конструктивному применению теории множеств.
164
Приведем некоторые дополнительные аргументы. При оце-
нивании объектов в пространстве признаков можно было бы
остановиться на множестве Парето Хп. С математической точ-
ки зрения получение Хп безупречно, поскольку оно является
результатом применения отношения доминирования к призна-
кам, характеризующим объекты из исходного множества X.
Однако получение множества Парето не решает главную зада-
чу рационального выбора — нахождение наилучшего объекта
(альтернативы). Следовательно, приходится прибегать к такой
искусственной операции, как свертка критериев. Она представ-
ляет, по существу, некоторую смесь критериев. Но в природе
ничто не существует в чистом виде (вспомним таблицу хими-
ческих элементов Менделеева). Действительно, подбор и сме-
шивание критериев имеют искусственное происхождение, по-
скольку эти операции выполняются человеком. Но тогда мож-
но отрицать многое, сделанное руками людей.
Трудно возражать против того факта, что экстремум мно-
гокритериальной функции выглядит искусственным по отно-
шению к экстремуму конкретного критерия. Действительно,
свертка критериев вторична по отношению к своим составля-
ющим и, следовательно, искусственна. Она является предме-
том соглашения экспертов — людей, которым делегированы
соответствующие полномочия. Они выбирают перечень крите-
риев, их структуру, вид свертки, значение весовых и нормиру-
ющих коэффициентов. Фактически они создают правила оце-
нивания подобно правилам игры в спортивных состязаниях.
Конечно, правила игры бывают несовершенны. Но они могут
совершенствоваться на основе опыта. На первом этапе резуль-
тат упорядочения, полученный по этим правилам, сопоставля-
ется с оценками объектов, полученными другими способами,
например экспертным упорядочением объектов в целом. Пос-
ле применения системы оценивания на практике полезно учесть
замечания и предложения заинтересованных лиц, что равно-
* сильно использованию обратной связи. Следует только помнить,
что нет предела совершенству и что правила оценивания мо-
гут и должны меняться вместе с изменением взгляда на оцени-
вание объектов.
165
Выводы
1.	Векторные оценки, характеризующие объекты в заданном
пространстве признаков, могут напрямую использоваться для упо-
рядочения объектов только с привлечением порядковой шкалы.
Начиная с важнейшего критерия, осуществляется многомерная
сортировка объектов. Она вырождается в одномерную сортиров-
ку при отсутствии критериев с повторяющимися значениями.
2.	Менее грубый и более универсальный подход к упорядо-
чению объектов обеспечивается на основе применения скаляр-
ных оценок, получаемых из векторных оценок с помощью сверт-
ки критериев.
3.	Для вычисления скалярных оценок на основе векторных
наиболее часто применяются аддитивная и мультипликатив-
ная функции полезности. Обе они отражают вклад каждого
критерия в общую оценку объекта с учетом его значимости,
представляемой весовым коэффициентом.
4.	Возможность оценивания объекта с разнородными при-
знаками обеспечивается применением нормирующих коэффи-
циентов, которые осуществляют перевод абсолютных единиц
измерения в относительные.
5.	На результат упорядочения объектов оказывают влия-
ние: вид функции полезности, значимость критериев и величи-
на диапазона нормирования.
6.	Аддитивная функции полезности наиболее естественным
образом отражает вклад каждого критерия в общую оценку объек-
та. Ей присущ эффект компенсации достоинств и недостатков
объектов, который в ряде задач может рассматриваться как не-
достаток. В зависимости от выбора диапазона нормирования
значений критериев с помощью аддитивной функции можно учи-
тывать и не учитывать «минимальные достижения» объектов.
7.	Мультипликативная функции полезности отдает предпоч-
тение объектам с равномерными значениями показателей.
8.	Упорядочение объектов, выполняемое путем сопоставле-
ния значений критериев, реализует принцип «от достигнуто-
го». Принцип упорядочения объектов от «желаемого» реали-
зуется относительно требований (ограничений), предъявляемых
к значениям признаков.
166
9.	Объекты, занявшие первые места при их упорядочении
относительно требований к признакам, необязательно принадле-
жат множеству Парето, поскольку на упорядочение объектов
оказывает влияние не близость значений признаков к экстремаль-
ным значениям, а их близость к предъявленным требованиям.
10.	При упорядочении объектов в иерархическом простран-
стве признаков роль промежуточных таблиц сводится к объе-
динению признаков нижних уровней с заданием весовых коэф-
фициентов и установлением диапазонов шкал.
11.	Решение разнообразных задач рационального выбора
достигается путем комбинирования задач отбора и упорядоче-
ния объектов.
12.	Увеличение числа признаков, привлекаемых для оцени-
вания объектов, способствует усреднению оценок за счет бо-
лее полного представления объектов. Усреднение оценок каса-
ется в большей степени тех объектов, чьи недостатки по од-
ним признакам уравновешиваются достоинствами по другим.
Глава 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ
Каждому больше всего подобает то,
что больше всего ему свойственно
Цицерон
6.1.	Методы определения приоритетов
В отличие от предпочтения, которое может выражаться
качественными оценками, такими, как «лучше», «сильнее», «пред-
почтительнее» и т.д., приоритет, как первенство одной сущно-
сти по отношению к другим, будем выражать количественны-
ми оценками, измеренными в порядковой шкале или более
сильных шкалах. Так же, как и предпочтение, понятие «при-
оритет» используется при сопоставлении, по крайней мере, двух
сущностей. В терминологии многокритериальной теории по-
лезности под сущностями будем понимать как оцениваемые
объекты, так и характеризующие их признаки.
Как и в теории множеств, при формулировании понятия
«приоритет» невозможно избежать парадокса. В теории мно-
жеств он возникает при представлении множества X, как под-
множества по отношению к себе самому. Приоритет послед-
ней по предпочтению сущности по отношению к остальным
сущностям также можно рассматривать как вырожденный слу-
чай. Фактически он означает отсутствие приоритета или нуле-
вой приоритет.
Количественное представление приоритета позволяет исполь-
зовать его как для численного выражения предпочтений, так и
при вычислении многокритериальной функции полезности.
При численном выражении предпочтений приоритет обыч-
но выражается в порядковой шкале через ранг (рейтинг), при-
чем наименьший ранг, равный 1, считается наиболее важным
(«приоритетным»). При решении многокритериальной опти-
мизационной задачи ранг может присваиваться как объектам,
так и признакам — при упорядочении объектов по приоритету
критериев (см. главу 5.3).
168
Присвоение ранга некоторой сущности зависит от способа ее
оценивания. При решении многокритериальной оптимизацион-
ной задачи ранг объектам присваивается по результатам их упо-
рядочения на основе значений многокритериальной функции
полезности. Альтернативой ранжированию объектов по значе-
ниям функции полезности является прямое назначение рангов на
основе экспертных оценок объектов. Оно используется также
применительно к критериям в методе приоритетов. Прямое экс-
пертное ранжирование сущностей осуществляется на основе со-
поставления каждой сущности (объекта или критерия) с другими
сущностями. При этом эксперт руководствуется не значениями
функции полезности, а некоторыми своими соображениями.
Прямому ранжированию объектов и признаков присущ та-
кой недостаток, как малая размерность решаемой задачи.
Действительно, для того, чтобы определить место одного из
N объектов среди других, нужно сопоставить его с N-1 ос-
тальными объектами. Следовательно, для ранжирования всех
N объектов необходимо выполнить N(N-1)I2 сравнений.
При большом N трудоемкость прямого ранжирования быстро
увеличивается, что ограничивает объем решаемой задачи по
той причине, что предпочтения определяются человеком и, сле-
довательно, эта задача не подлежит автоматизации.
Другим недостатком прямого ранжирования является сопостав-
ление объектов «в уме» (имплицитно), поскольку все промежуточ-
ные действия не фиксируются. Для устранения этого недостатка
переходят к попарному сопоставлению объектов. При этом количе-
ство сопоставлений объектов остается тем же, но результат каждого
сравнения представляется в явном виде. Этот процесс занимает большее
время, что позволяет увеличить достоверность конечной оценки.
Но, что не менее существенно, при фиксации результатов всех срав-
нений появляется возможность анализа их согласованности.
Недостатком метода попарных сравнений является то, что сами
по себе они недостаточны для установления приоритета объектов,
так как не дают количественной оценки. Она вычисляется на ос-
нове количества и интенсивности предпочтений каждого объекта
по отношению к остальным. Эта оценка измеряется в интерваль-
ной шкале и, следовательно, является более точной, чем ранг объекта,
измеренный в более грубой порядковой шкале.
169
Для использования приоритета pz z-й сущности, i=l,...,N,
в вычислениях он подвергается нормированию:
(6-1)
Нормированные приоритеты отвечают условию: ^j?wz =1.
>1
Нормированные оценки приоритета объектов и признаков
используются в методе анализа иерархий [87]. При многокри-
териальном оценивании объектов нормированные оценки при-
оритета признаков играют роль их весовых коэффициентов
(весов) в функции полезности.
Таким образом, приоритет i-й сущности, представленный
правильной дробью, используется, как правило, в вычислениях
оценок объектов. Представленный целым числом, он указывает
место (ранг) i-й сущности среди остальных ЛМ сущностей.
Поскольку одним из источников вычисления приоритета
некоторой сущности являются предпочтения эксперта, рассмот-
рим вопросы их измерения.
6.2.	Измерение предпочтений
Формулирование предпочтений является прерогативой че-
ловека. Органичным для человека способом выражения мыс-
лей является естественный язык. Поэтому для сопоставления
меры предпочтения используются вербальная или словесная
шкала. В качестве градаций этой шкалы используются слова
естественного языка, характеризующие меру предпочтения.
Вербальные или лингвистические шкалы используются как для
измерения некоторых свойств объекта, так и для сопоставле-
ния этих свойств или самих объектов.
В табл. 6.1 приведены две получившие наибольшую попу-
лярность пятизначные словесные шкалы, используемые для
оценки качества объектов и знания субъектов.
170
Таблица 6.1
Шкалы оценки качества и знаний
Ранг	Шкала качества	Шкала знаний	Балл
1	Очень высокое	Отличное	5
2	Высокое	Хорошее	4
3	Среднее	Удовлетворительное	3
4	Низкое	Неудовлетворительное	2
5	Очень низкое	Плохое	1
Словесные значения этих шкал упорядочены по убыванию
меры предпочтения. Следовательно, несмотря на нечисловые
значения, они относятся не к номинальным, а к порядковым
шкалам. Однако оперирование значениями, представленными
в словесной порядковой шкале, сопряжено с определенными
трудностями. Поэтому естественным в табл. 6.1 выглядит со-
поставление словам чисел из порядковой шкалы. Уровень каче-
ства принято измерять в рейтинговой шкале, а уровень знаний —
в балльной шкале. Эти шкалы являются взаимообратными,
так как их значения следуют в противоположном порядке.
Порядковая шкала не является единственной числовой шка-
лой, сопоставляемой словесной шкале. На основе статистичес-
кого анализа большого массива данных Харрингтоном пред-
ложен интервальный эквивалент словесной шкалы качества
(табл. 6.2). Эта шкала используется в задачах классификации
относительно критерия качества.
Таблица 6.2
Интервальная шкала качества
Ранг	Шкала качества	Интервал числовых значений
1	Очень высокое	0,80—1,00
2	Высокое	0,64—0,80
3	Среднее	0,37—0,64
4	Низкое	0,20—0,37
5	Очень низкое	0,00—0,20
Очевидно, что число значений в словесных шкалах не обя-
зательно ограничиваются пятью. Их может быть и меньше (до
двух) и больше, хотя запас слов, характеризующих уровень
качества, несопоставим с запасом чисел.
Для сопоставления свойств объектов и самих объектов Т. Саати
предложил сравнительную шкалу, представленную в табл. 6.3 [87].
171
Таблица 6.3
Сравнительная шкала качества (в разах)
№ п/п	Словесная мера превосходства	Кратность превосходства
1	Равная важность	1
2	Умеренное превосходство	3
3	Существенное превосходство	5
4	Значительное превосходство	7
5	Очень сильное превосходство	9
За меру превосходства в этой шкале принята кратность
(интенсивность) предпочтения, измеряемая в разах. Первый
элемент пары (xz, ху) может превосходить второго в к раз,
к=\, 3, 5, 7, 9. Предложенная Саати шкала также имеет пять
значений, возможно из-за ограниченного запаса слов для вы-
ражения степени превосходства. Впрочем, автор не отрицает
использование промежуточных (четных) значений: 2, 4, 6, 8.
Максимальное значение шкалы 9 принято исходя из психо-
логической границы размерности задачи 7±2. Эта величина
близка к числу 10, которым принято оценивать существенную
разницу величин: «меньше (больше) на порядок». Это означа-
ет возможность пренебречь меньшей величиной в случае мак-
симального значения кратности предпочтения.
Использование сравнительной шкалы сопряжено для чело-
века с определенными трудностями. Например, чем можно
обосновать такой выбор, как «х- превосходит х- в пять раз»,
а не в 7 и не в 6? Эти градации шкалы близки для того, чтобы
обеспечить приемлемую точность субъективного измерения.
Попытка расширить интервалы значений может являться вто-
рой причиной выбора Саати только нечетных градаций шка-
лы. Другой трудностью рассматриваемой шкалы является не-
линейность соотношения значимостей двух объектов, выражен-
ных в шкале отношений (табл. 6.4).
Одним из способов задания предпочтений является опреде-
ление доли j-ro признака от важнейшего признака, выражен-
ной в процентах от 100%.
Отношение превосходства объекта xz над Xj выражено в табл. 6.4
через важности (значимости) этих объектов в долях от 1
и в процентах от 100. Нелинейность шкалы отношений иллю-
стрируется графиком на рис. 6.1.
172
Таблица 6.4
Сравнительная шкала качества
№ п/п	Словесная мера превосходства	Превосходство		
		в разах	В долях	в %
1	Равная важность	1,0	0,500:0,500	100 :100
2		1,5	0,600 : 0,400	100 : 66,0
3		2,0	0,670 : 0,330	100 : 50,0
4	Умеренное	3,0	0,750 : 0,250	100 : 33,0
5		4,0	0,800 : 0,200	100: 25,0
6	Существенное	5,0	0,830 : 0,170	100 : 20,0
7		6,0	0,860 : 0,140	100:17,0
8	Значительное	7,0	0,875 : 0,125	100:14,0
9		8,0	0,890:0,110	100 : 12,5
10	Очень сильное	9,0	0,900 : 0,100	100:11,0
173
Верхняя кривая на графике показывает рост важности пер-
вого объекта, а нижняя кривая — снижение важности второго
объекта. Наиболее ощутимые изменения относительной важнос-
ти объектов происходят при увеличении кратности до 6 раз.
В правой части шкалы кратности изменение соотношения важ-
ности объектов незначительно. Это свидетельствует о доста-
точной различимости кратности 2 и 4 и малой различимости
кратности 6 и 8 по отношению к базовым (нечетным) кратно-
стям. Более полезной представляется кратность 1,5, обеспечи-
вающая за счет отношения 0,6 : 0,4 недостающую градацию
на начальном отрезке шкалы кратности.
Каждый из числовых эквивалентов предпочтений имеет свои
особенности. Общим для них является сводимость к важности
сопоставляемых объектов, выражаемой в долях от 1. Это позво-
ляет сделать вывод о полезности присутствия отношения в долях
при использовании любых других показателей предпочтения.
6.3.	Задание предпочтений
Все науки по мере совершенствования
становятся по своему характеру
математическими
А.Н. Уайтхед, 1911 г.
Базируясь на содержании двух предыдущих глав, рассмот-
рим следующие способы задания числовых эквивалентов пред-
почтений:
прямое задание приоритета как доли от 1, причем
jw7=l;
7=1
•	задание в баллах в произвольной целочисленной шкале
в виде соотношения величин приоритетов;
•	задание в процентах к одному из объектов, принятому
за базовый, приоритет которого составляет 100%;
•	задание кратности предпочтения по отношению к наиме-
нее важному признаку, принимаемому за единицу.
174
Задание приоритетов вторым способом основано на пря-
мой пропорциональности между ними и представляющих их
числами. Например, знания трех учеников оценены соответ-
ственно в 15, 10 и 5 баллов. К недостатку этого способа отно-
сится отсутствие максимального значения целочисленной шкалы.
Этого недостатка лишен третий способ, в котором макси-
мальное значение шкалы фиксировано (100%). Оно присва-
ивается важнейшему признаку. Остальным признакам при-
сваиваются любые значения в шкале [0, 100%], в том числе
и 100%, но не выше.
Перечисленные способы задания предпочтений требуют
выполнения всего ЛМ оценок, поскольку сопоставление вы-
полняется только с одним из объектов, принятым за базу срав-
нения (наиболее или наименее важным). Результаты фиксиру-
ются в виде векторов приоритетов р=(р\,...,р^), компоненты
которых выражаются соответственно в долях от 1, баллах,
процентах и кратностях. Из всех способов только первый за-
дает абсолютные значения приоритетов. Компоненты векто-
ров имеют сопоставительный характер. Нормирование каж-
дой компоненты осуществляется путем ее сопоставления с суммой
всех его компонент.
Рассмотренные способы задания предпочтений нельзя при-
знать полными, поскольку сопоставление выполняется только
относительно одного объекта, принимаемого за базу сравне-
ния. Выбор за базу сравнения каждого объекта из множества
X позволяет сопоставить все пары объектов, что требует выяв-
Л7(Л7-1)
ления ------- предпочтений. Они фиксируются в треугольной
подматрице матрицы парных сравнений (МПС) размерности
WxN. Содержимое второй треугольной подматрицы, симмет-
ричной относительно главной диагонали, вычисляется в зави-
симости от вида задаваемых предпочтений. Рассмотрим три
вида предпочтений, фиксируемых в МПС: без учета и с уче-
том величины (интенсивности) предпочтения, а также турнир-
ное предпочтение.
175
В зависимости от используемой шкалы предпочтения, зада-
ваемые без учета их величины, делятся на строгие и нестро-
гие. Первые характеризуют два противоположных варианта —
либо объект х- предпочтительнее объекта X: (Xj>Xj), либо на-
оборот: х>х^ В первом случае элементу МПС,' находящемуся
на пересечении z-й строки и у-го столбца, присваивается значе-
ние 1 (а^=1), а противоположному элементу относительно глав-
ной диагонали — значение 0 (ау;=0). Для второго случая их
значения меняются на противоположные: а;у=О, ^=1.
Нестрогое предпочтение отличается от строгого наличием
третьего варианта, заключающегося в равноценности объек- /
тов xz- и х-: x^Xj. Этому случаю соответствуют значения МПС:
azy=ayz=0,5. Итак, значения элементов МПС, не учитывающей
величину предпочтения, формируются по следующему правилу:
1, если х. > х
Z J
а.. =. О, если х. < х ,	(6.2)
0,5, если х. = х ..
1 J
На основании соотношения а/у4-а/7=1 значения элементов
матрицы, симметричных относительно главной диагонали,
вычисляются по правилу: а~=\-а^. Если принять 1 за целое,
правило (6.2) распространяется на случай задания предпочте-
ний в долях от 1 следующим образом. Условию х>х- ставится
в соответствие доля 0,5<v«s 1, а условию х<х-— доля 1-v. Пра-
вило вычисления элементов матрицы, симметричных относи-
тельно главной диагонали, остается прежним. Задание пред-
почтений в долях от 1 позволяет использовать вероятностные
и нечеткие оценки сопоставляемых объектов.
Сумма элементов z-й строки матрицы А, отражающая пред-
почтения объекта xz- по отношению к остальным объектам,
характеризует его приоритет:
ai=(б-3)
у=1
Элементы МПС, отражающие величину предпочтения объекта
х- над объектом Ху через кратность отношения х- к Ху, согласно
пункту 6.2 формируются по правилу:
176
2*9, если х, > Xj;
1, если Xj = Xj;
1/2*1/9, если Xj<Xj.
(6-4)
Более удобным является косвенный способ определения а^.
Он заключается в оценивании значимостей Е(х-) и £(ху) сопо-
ставляемых сущностей Xj и Xj и в вычислении на их основе
величины отношения предпочтения: ajj=E(Xj)IE(xj).
Правило определения значений элементов, симметричных
относительно главной диагонали, как обратную величину
кратности ajj=].lajj, характеризует матрицу с кратными пред-
почтениями как ооратносимметричную, что отличает ее свой-
ства от матрицы, не учитывающей величину предпочтения.
Матрица, отражающая турнирное предпочтение, позволяет
описывать, например, итоги соревнований в игровых видах спорта,
состоящие из побед, ничьих и поражений участников. Значения
элементов матрицы парных сравнений, отражающей результаты
турнира, формируются на основе очков, присуждаемых за результат
отдельного состязания. Например, если объекту х(- за победу над
объектом х дается два очка, за поражение — 0, а за ничью — 1,
элементы МПС формируются по следующему правилу:
2, если Xj > Xj;
1, если Xj = Xj;
О, если Xj < Xj.
(6.5)
Элементы матрицы, симметричные относительно главной
диагонали, вычисляются по правилу a/J-=2-a|y.
6.4. Нетранзитивность предпочтений
Неучет остальных объектов при сравнении каждой пары
объектов влечет такой недостаток, как несовместность пред-
почтений. Он проявляется в нетранзитивности бинарных
отношений. Для трех объектов А, В, С нетранзитивность
предпочтений выражается следующими отношениями
превосходства: А>В, В>С, С>А. В графе доминирования эта
нетранзитивность предпочтений выражается циклом А >В>С>А.
177
Отсюда следует, что количество циклов d, определяемое относи-
тельно всех троек вершин графа доминирования, можно исполь-
зовать для количественной оценки несовместности предпочтений.
Число циклов d в орграфе определяется по формуле [26]:
1	Л1 /	\
(6.6)
Уменьшаемое определяется как произведение числа всех
сравнений (число дуг полного графа) N(N-l)/2 на число усло-
вий возникновения цикла длины 3: (У-2)/3. Вычитаемое опре-
деляет число дуг в анализируемом графе через полустепени /
исхода его вершин pz, 1=1,Величина pz=az- вычисляется
суммированием недиагональных элементов z-ой строки матри-
ЛГ-1
цы A: az = ^ау.
После преобразований получаем:
1	1 NA
d = -N(N-\)(2N-\)--^.	(6.7)
Сопоставление показателей несовместности предпочтений
для граф, имеющих различное число вершин N, требует норми-
рования показателей. За нормирующий множитель (делитель)
принимается максимальное количество циклов в орграфе z/max 0.
Для нечетного числа вершин N он определяется по следующей
формуле [26]:
^тах.нч =	-у)	(6.8)
а для четного:
<Апах,ч=^3-4у).	(6.9)
Совместность оценок т] определяется как вычет относи-
тельной несовместности предпочтений из 1, характеризующей
полную совместность. Величина г| вычисляется для нечетных N
по формуле:
^тах.нч № - N
178
а для четных N — по формуле:
d t 24rf
‘Апах.ч TV^ — 42V
(6.H)
Пример 6.1. Дана матрица А парных сравнений для 2V=6.
Определить рейтинг ности оценок т].			объектов и найти			коэффициент совмест-			
	А	в	С	D	Е	F	а		г
А	—	1	1	0	1	1	4	16	1
В	0	—	0	1	1	0	2	4	2
. С	0	1			1	1	1	4	16	1
А= D	1	0	0	—	0	0	1	1	3
Е	0	0	0	1	—	1	2	4	2
F	0	1	0	1	0		2	4	2
15	45
1.	Рейтинг объектов, приведенный в правом столбце и оп-
ределенный на основе суммарных предпочтений включа-
ет две группы связанных рангов.
2.	Число полученных циклов вычисляется по формуле (6.7):
6 5-11
12
----27,5-22,5 = 5.
12
3.	Согласно формуле (6.9) <7тах ч=(216-24)/24=8.
4.	Коэффициент совместности оценок т]=1-5/8=0,375. Его
величина свидетельствует о неудовлетворительных парных
предпочтениях, больше половина из которых нарушает требо-
вание транзитивности оценок.
6.5.	Диагностика нетранзитивных
предпочтений
6.5.1.	Циклы в графе предпочтений
Для более наглядной диагностики нетранзитивных предпоч-
тений будем интерпретировать матрицу парных сравнений А
матрицей смежности графа. С этой целью МПС из примера 6.1
представим графом предпочтений (рис. 6.2).
179
в
Рис. 6.2. Граф предпочтений
для примера 6.1
Граф предпочтений может ис-
пользоваться не только для пред-
ставления результатов парных
предпочтений, но для оценки про-
межуточных предпочтений в про-
цессе их ввода. Ввод каждого
предпочтения сопровождается
изображением новой дуги в
строящемся графе предпочтений.
Это позволяет визуально отсле-
живать нарушение транзитивно-
сти оценок при вводе очередно-
го предпочтения. Как следует из расчетов в примере 6.1, его
граф предпочтений имеет пять циклов. Они обнаруживаются
при вводе следующих предпочтений:
1)	B>D (вторая строка матрицы А) -* A,B,D,A;
2)	C>D (третья строка матрицы А) -» A,C,D,A-,
3)	D<E (четвертая строка матрицы А) A,E,D,A;
4)	D<F (четвертая строка матрицы А) A,F,D,A;
5)	E>F (пятая строка матрицы А) B,E,F,B.
В графе, изображенном на рис. 6.2, эти дуги выделены мел-
ким пунктиром. Для устранения циклов их направленность
должна быть изменена на обратную. Следует подчеркнуть, что
эти дуги в полученных треугольниках не являются замыкаю-
щими (транзитивными). Замыкающими дугами являются соот-
ветственно: DA (для первых двух треугольников), АЕ, AF, FB.
Очевидна большая роль дуги DA в образовании циклов.
На рис. 6.2 она выделена крупным пунктиром. Помимо замы-
кающей дуги в треугольниках A,B,D и A,C,D она входит также
в треугольники A,E,D и A,F,D. Изменение ее направленности
устраняет сразу четыре цикла в графе. Следовательно, устра-
нение нетранзитивностей удобнее выполнять после ввода всех
предпочтений по результатам анализа частоты вхождения ка-
кой-либо дуги в максимальное количество циклов.
6.5.2.	Условия возникновения циклов в орграфе
В графе с большим числом дуг визуальное нахождение циклов
является непростой задачей, что служит основанием для ее авто-
180
матизации. С этой целью рассмотрим условия возникновения
циклов4 относительно значений элементов а^, ajk и cijk матри-
цы А. Анализ на нетранзитивность начинается после ввода
первой строки матрицы, в результате которого оказываются оз-
наченными элементы и aik. Он выполняется по шагам после
каждого означивания элемента Яд, j>i, в результате ввода пред-
почтения. Всего выполняется ((AM)/2)-(2V-l) операций ввода пред-
почтений в верхнюю треугольную подматрицу матрицы А с
проверкой троек элементов a-, ajk и ajk на нетранзитивность.
В табл. 6.5 приведены все варианты значений анализиру-
емой тройки элементов матрицы. Каждому вектору значе-
ний в четвертом столбце таблицы поставлен в соответствие
анализируемый треугольник дуг. Пунктиром выделена замы-
кающая дуга. В треугольнике с циклом (третья и шестая строки
матрицы) все дуги являются замыкающими. Этому случаю
соответствует пятой столбец табл. 6.5. Последние три столбца
указывают на замыкающую дугу треугольника.
Таблица 6.5
ач	Oik	ajk	Варианты предпочтений	Цикл Ус	Замыкающая дуга		
					Уи		У/.*
0	0	0	j	0	0	1	0
0	0	1	j i	0	1	0	0
0	1	0	J i	1	0	0	0
0	1	1	j i	0	0	0	1
1	0	0	j	0	0	0	1
181
Окончание табл. 6.5
а,7	aik	О/Л	Варианты предпочтений	Цикл J'c	Замыкающая дуга		
					ytj	yi.k	У1.к
1	0	1	j i^^^k	1	0	0	0
1	1	0	j	0	1	0	0
1	1	1	j	0	0	1	0
Принимая табл. 6.5 за таблицу истинности булевых
функций, нетрудно установить условия возникновения
цикла и определить замыкающую дугу.
1. Цикл имеет место при следующем условии:
(6.12)
2. Замыкающие дуги определяются следующими условиями:
Уу‘^уК\кка1к^{а..ка.кка.кУ,	(6.13)
(6-14)
= (аи Л aik К ajk ^^aijKaikhaj0-	(6.15)
6.5.3.	Нетранзитивность при нестрогих предпочтениях
Нестрогие предпочтения характеризуются присутствием
равенств в матрице парных сравнений, выражаемых соотно-
шением а^=а^. В графе предпочтений этому случаю соответ-
ствует ребро как эквивалент двух противоположно направлен-
ных дуг (хг-, ху) и (х^, хг). Граф, содержащий наряду с дугами
ребра, относится к смешанному типу.
Очевидно, что использование ребра вместо дуги создает боль-
шую возможность для возникновения цикла, а следовательно
максимальное число циклов в смешанном графе может в оп-
ределенных случаях превышать это число в орграфе:
^шах сг^тах о- ® связи с этим необходимо вычислять число е/тах с
для каждой разновидности смешанного графа предпочтений.
182
Рассмотрим предельный случай, когда соотношение а^=а^=\
имеет место для всех пар вершин графа. Этому случаю соответ-
ствует неориентированный полный граф (неорграф), содержащий
одни ребра. Для него справедлива следующая теорема.
Теорема 6.1. Максимальное число циклов предпочтений
в полном неорграфе с N вершинами и т ребрами равно его
циклическому рангу:
rfmax,H=v=w-^+1-	(616)
Теорема доказывается на основе способа анализа циклов в МПС.
Поскольку анализ на наличие цикла начинается со ввода
второй строки в верхнюю треугольную подматрицу МПС
(см. пример 6.1), максимальное число циклов соответствует числу
вводимых с этого момента предпочтений рпц. Оно равно числу
всех парных сравнений рп за вычетом N-1 предпочтений, вве-
денных в первую строку МПС:
1 )=( w-1 )Z2)-(^V-1 )=
= m(G)-N+l.	(617)
Правая часть выражения представляет собой формулу цик-
лического ранга полного неорграфа. Равенство выражений (6.16)
и (6.17) доказывает равенство ^maxH=v=pnu для полного неор-
графа. Справедливость теоремы 6.1 проиллюстрируем табл. 6.6,
содержащей значения параметров рп, v, </max о для матриц раз-
мерностью N=3—7.
В нижней строке табл. 6.6 приведены значения максималь-
ного числа циклов в орграфе, вычисленного по формулам (6.8)
и (6.9). Очевидно, что максимальное число циклов в смешан-
ном графе находится в диапазоне [</тах о, </тах н]. Оно не может
быть рассчитано по формулам (6.8), (6.9) и (6.16), поскольку
зависит от совокупности равнозначных предпочтений (ребер
графа). По этой же причине нельзя использовать для расчета
фактического числа циклов d в МПС формулы (6.6) и (6.7).
Таблица 6.6
N	3	4	5	6	7
pn = m(G„)	3	6	10	15	21
<1ах.н = V	1	3	6	10	15
	^max.0	1	2	5	8	14
183
Для расчета величин </тах с и d можно использовать ре-
зультаты анализа циклов при пошаговом вводе предпочте-
ний. За нижнюю границу </тахс примем максимальное число
циклов в орграфе ^тах с:=^тах о- К ней будет добавляться каж-
дый цикл, полученный за счет ребер графа. Фактическое чис-
ло циклов d в МПС будем фиксировать на основе табл. 6.5
с учетом дополнительных циклов, возникающих при вводе
ребер. В качестве исходных данных помимо всех троек зна-
чений элементов МПС (см. табл. 6.5), для анализа ребер будем
использовать значения элементов, симметричных относительно
главной диагонали МПС.
Для анализа каждой тройки предпочтений будем использо-
вать следующие утверждения.
Утверждение 6.1. Если все три анализируемых предпочте-
ния являются строгими (три дуги графа):
Ус=^а1^ ajJ & (aij * aji> & (aik * aki)’ (6-18)
то для анализа наличия циклов используется выражение (6.12),
причем при обнаружении цикла d:=d+l, a </maxC=const.
Утверждение 6.2. Если все предпочтения в графе являются
нестрогими, то ^maxH=v=^ и Л=0-
Утверждение 6.3. Если две из трех анализируемых пар являют-
ся нестрогими предпочтениями (два ребра и одна дуга графа):
У1?=(а1Гар) & (aik=akd v (aij=ajt) & (ajk=akj> v
v (atk=aki) & (ajk=akj)’	(6-19)
то цикл имеет место независимо от вида введенного третье-
го предпочтения ctjk (дуга или ребро):<7:=б7+1.
Утверждение 6.4. В случае одного нестрогого предпочтения из
трех (одно ребро и две дуги графа) условия возникновения цикла
(t/:=t/+l) определяются относительно каждого ребра (см. табл. 6.7):
y(i,j} =	= aji )&	Л aik л aik )v л aik л ajk ))’ (6.20)
y(i,k) = (aik = aki	л aik л aik )v [aij л aik л ajk))’	(6.21)
У(1,к) = (aik = ®ki )& л aik л &1к )v &ik ^Jk )) •	(6.22)
Утверждение 6.5. Циклический ранг смешанного графа уве-
личивается при выполнении условия (6.22): ^max с:=^тах с+1-
184
Справедливость утверждения 6.5 следует из того, что
введенное ребро при выполнении условия (6.22) добавит цикл
при любых двух остальных предпочтениях — строгих (дуги)
или нестрогих (ребра). Все варианты добавления цикла
при внесении одного ребра представлены в табл. 6.7.
Таблица 6.7
Ребро	a,j	aik	ajk	Варианты предпочтений	Дополнительный цикл		
					T(v)	у«л>	У w
dij — dji	0	0	1	j	1	0	0
	1	1	0	J i	к	1	0	0
aik = aki	0	0	0	J i	к	0	1	0
	1	1	1	J	0	1	0
ajk - akj	0	1	1	J i	к	0	0	1
	1	0	0	j i	к	0	0	1
На основе утверждений 6.1—6.5 следует алгоритм пошагово-
го анализа нетранзитивностей при построении МПС любого вида.
1.	По формулам (6.8) или (6.9) вычисляется максимальное
количество циклов в орграфе </тах о.
2.	Формируется начальное значение максимального коли-
чества циклов в смешанном графе	_.
* А 111аА,С illaA,U
185
3.	Если выполняется условие (6.18), то для анализа наличия
циклов используется выражение (6.12) и при его истинности
d:=d+l, иначе:
3.1.	По аргументам условия (6.18) подсчитать число ребер к.
3.2.	Если £>1 ИЛИ к=1 И выполняется условие (6.20) ИЛИ
(6.21) ИЛИ (6.22), то d:=d+l
3.3.	Если (ajk=akp И Аг>1 ИЛИ к-\ И выполняется условие
(6.22) , ТО d.— (Z+1 и если ^maX;C<<^maX;H> то ^тах,с- — ^тах.с'*’’’
4.	Если dmax =d, ТО г]=0, иначе т]= 1-^тах>с-
Выполненный анализ нетранзитивности предпочтений осно-
вывался на использовании матрицы смежности ориентированно-
го или смешанного графа, которая совпадает с матрицей парных
сравнений, не учитывающей величины предпочтений. Для вы-
полнения этого анализа на основе матриц парных сравнений,
учитывающих величину предпочтений, их элементы преобразу-
ются в двоичные переменные по следующему правилу:
а.. =
у
1,	если а.. > 0,5, что соответствует дуге (х., х.)\
0, если а „< 0,5, что соответствует дуге (х^., х.).
Равенство элементов, симметричных относительно главной
диагонали «„•=«,, означает наличие ребра (х,-, х,)=(х,-, х,), харак-
lJ J1	1 J J 1
теризующего равноценность объектов.
6.6. Определение нормированных приоритетов
Как было отмечено ранее, конечной целью выявления пред-
почтений является определение приоритетов объектов, принад-
лежащих множеству X. Рассмотрим способы расчета нормиро-
ванных приоритетов для всех способов задания предпочтений.
6.6.1. Расчет приоритетов на основе вектора
предпочтений
В пункте 6.3 было приведено несколько способов задания
предпочтений, представляемых векторомp=(pit...pN). Они раз-
личаются свойствами компонент вектора.
186
Вначале рассмотрим переход от ранговой оценки объектов
r=(r1,...,rJV) к нормированным приоритетам. Особенностью
расчета нормированных приоритетов в этом случае является
противоположная направленность их величин в порядковой и
интервальной шкале. В порядковой шкале наилучшему объекту
сопоставляется наименьший ранг, равный 1, а в интервальной
шкале —максимальный нормированный приоритет. Для уни-
фикации направленности предпочтений объектам присваива-
ются обратные ранги, вычисляемые по формуле r'-N-r+\.
Нормированный приоритет вычисляется путем нормирования
обратных рангов их суммой. Величина нормированных при-
оритетов согласно формуле вычисления обратных рангов оп-
ределяется лишь числом ранжируемых объектов N и характе-
ром шкалы (строгий или нестрогий порядок).
Пример 6.2. Рассчитать вектор нормированных приоритетов
для шести объектов, измеренных в шкале строгого порядка.
Вектору рангов г=(1, 2, 3, 4, 5, 6) сопоставляется вектор
обратных рангов /=(6, 5, 4, 3, 2, 1). На основе вектора г' рас-
считывается вектор нормированных приоритетов и»=(0,285; 0,238;
0,19; 0,143; 0,095; 0,047).
При задании вектора предпочтений p=(pi,...,pN) в баллах
или процентах для нормирования приоритетов также исполь-
зуется сумма компонент вектора.
Если компонентами вектора	pN) является кратность
предпочтения по отношению к наименее важному объекту, его
кратность принимается за 1. Нормирование осуществляется по
отношению к максимальной кратности. Она принимается за
знаменатель дроби, к которому приводятся величины всех
предпочтений. Для нормирования используется сумма числи-
телей всех дробей, приведенных к общему знаменателю.
Пример 6.3. Определим приоритет научной работы доктора,
кандидата наук, магистра и бакалавра, приняв приоритет пос-
леднего за наименее значимый, т.е. за 1. Пусть по отношению
к работе бакалавра работа доктора наук значимее в 9 раз, кан-
дидата наук — в 3 раза, а магистра — в 1,5 раза. Это соотноше-
ние можно выразить через кратности предпочтения работы док-
тора к остальным исследователям как 3, 6, и 9 соответственно.
187
Выразим значимость работ всех исследователей через наи-
большую кратность, приняв ее в качестве знаменателя дроби:
9/9; 3/9; 1,5/9; 1/9. Сумма числителей всех дробей равна 14,5.
Используя ее в качестве нормирующего коэффициента, опреде-
ляем приоритеты работ доктора, кандидата наук, магистра и ба-
калавра: 9/14,5=0,62; 3/14,5=0,21; 1,5/14,5=0,1; 1/14,5=0,07.
Таким образом, вектор предпочтений р=(9; 3; 1,5; 1) преоб-
разуется в вектор нормированных приоритетов и’=(0,62; 0,21;
0,1; 0,07). Такой же результат получается при использовании в
качестве нормирующего коэффициента геометрического сред-
него (см. формулу (6.24)).
6.6.2. Расчет приоритетов на основе МПС
Способы вычисления приоритетов зависят от вида предпоч-
тений, фиксируемых в матрице парных сравнений. Рассмот-
рим каждый из них.
Строгое предпочтение. Величина приоритета, характеризу-
ющего значимость объекта хг-, вычисляется по формуле (6.3).
Она нормируется суммой всех приоритетов:
/ N
wi=ai/2lai-	(6.23)
/ Z«1
Для наименее значимого объекта число предпочтений йг=0,
поскольку он не превосходит ни одного объекта. Рассчитан-
ный по формуле (6.23) его приоритет также равен 0 (w;=0), что
фактически исключает объект х;- из рассмотрения. Для
предотвращения этого диагональные элементы матрицы А при-
равниваются единице: flf/=l, i=l,...,N, что равносильно внесе-
нию в формулу (6.23) постоянной составляющей.
Следует подчеркнуть, что при подсчете числа циклов в гра-
фе предпочтений диагональные элементы матрицы А исклю-
чаются из рассмотрения.
Пример 6.4. Найти приоритеты шести объектов по результа-
там попарных сравнений в шкале строгого порядка (см. матри-
цу парных сравнений без задания величины предпочтений).
188
Нормируя суммой 21, получаем и’=(0,285; 0,238; 0,19; 0,143;
0,095; 0,047).
Закономерно, что рассчитанный вектор приоритетов совпал
с вектором, полученным в примере 6.2.								
	А	В	с	D	Е	F	а	W
А	1	1	1	1	1	1	6	0,28
В	0	1	1	1	1	1	5	0,24
- i	0 0	0 0	1 0	1 1	1 1	1 1	4 3	0,19 0,14
Е	0	0	0	0	1	1	2	0,10
F	0	0	0	0	0	1	1	0,05
21
Нестрогое предпочтение. Для случая нестрогих предпочте-
ний вектор приоритетов н> находится на основе матрицы,
не учитывающей величину предпочтений, по тем же форму-
лам, что и для случая строгого порядка. Особенностью мат-
рицы парных сравнений, отражающей нестрогий порядок
в предпочтениях, является наличие в ней дробных чисел.
Это не соответствует матрице смежности смешанного графа,
элементы которой принимают значения 0 и 1, причем ребро
характеризуется значением 1 по обе стороны от ее главной
диагонали: ау=а^=\. Поэтому при анализе нетранзитивности
предпочтений для нахождения циклов элементы а у матрицы А,
i=j=\,...,N, анализируются на значения агу=0 и а^>0.
Пример 6.5. Найти приоритеты шести объектов по резуль-
татам попарных сравнений для случая пяти равноценных пар
объектов.
	А	В	С	D	Е	F	а	W
А	1	0,5	1	1	1	1	5,5	0,26
В	0,5	1	0,5	1	1	1	5	0,24
С	0	0,5	1	0,5	1	1	4	0,19
D	0	0	0,5	1	0,5	1	3	0,14
Е	0	0	0	0,5	1	0,5	2	0,10
F	0	0	0	0	0,5	1	1,5	0,07
21
189
Нормируя суммой 21, получаем и»=(0,26; 0,24; 0,19; 0,14; 0,10;
0,07). По сравнению с аналогичным вектором из примера 6.5,
можно сделать вывод о том, что при N-1 ничьих изменились
приоритеты только крайних объектов.
Кратность предпочтения
В [87] была показана возможность нахождения вектора при-
оритета объектов на основе положительного собственного
вектора матрицы А, соответствующего ее максимальному соб-
ственному числу kmax. Для того случая, когда kmax является
вещественным корнем характеристического уравнения матри-
цы, хорошее приближение к ее собственному вектору дает гео-
метрическое среднее строк матрицы А:
pv
а' =	’ i = I’ "’ К-	(6.24)
U=i
Нормируя компоненты собственного вектора их суммой,
получаем вектор нормированных приоритетов и». Его компо-
ненты используются в функции полезности в качестве весовых
коэффициентов.
Эксперту бывает затруднительно избежать неоднородности
предпочтений при заполнении матрицы парных сравнений.
Поэтому после вычисления вектора w необходимо проверить
однородность заполнения МПС на предмет нарушения орди-
нальной (порядковой) и кардинальной (численной) согласован-
ности предпочтений. Степень ординальной согласованности,
выражаемая числом циклов в графе предпочтений, рассмотре-
на выше. Кардинальная несогласованность предпочтений мо-
жет наблюдаться даже в отсутствие циклов. Ее появление обус-
лавливается выбором несогласованных между собой коэффи-
циентов кратности предпочтений:	Матрица парных
сравнений, для каждой тройки элементов которой имеет место
aijKajk=aik’ называется сверхтранзитивной [69]. Она характери-
зует идеальную кардинальную согласованность предпочтений.
Кардинальная согласованность парных оценок в МПС проверя-
ется с применением индекса согласованности ИС=(ктах-Лг)/(Лг-1).
Приближенное значение максимального собственного числа
k QV МПС вычисляется в два этапа:
Шал
190
1) суммируются элементы каждого столбца матрицы:
N
а, =^ау, i = l,...,N.	(6.25)
£4
2) суммируются элементы а(, взвешенные соответствующи-
ми компонентами вектора весов:
N
^тах ” ai' wi-	(6.26)
£4
Для обратносимметричной матрицы всегда Хтаха.У. Следо-
вательно, ИСаО.
Величина индекса согласованности ИС сама по себе не дает
представления о степени согласованности кратности предпоч-
тений. Поэтому вычисляется относительная величина согласо-
ванности. В качестве выравнивающего коэффициента использу-
ется мера максимальной несогласованности оценок. Она вы-
числяется как случайная согласованность (СС) предпочтений
в матрице того же порядка. Средние значения величины СС
для случайных матриц порядка от 1 до 10 вычислены в [87]:
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49
Если отношение согласованности ОС=ИС/СС не превышает
10—20%, МПС согласована, иначе необходимо скорректиро-
вать экспертные оценки предпочтений.
Пример 6.6. Вычислить значимость научной работы докто-
ра, кандидата наук, магистра и бакалавра с использованием
МПС с кратностью предпочтений. В матрице А (табл. 6.8) до-
полнительно к первой строке из примера 1 задаются еще три
кратности предпочтений: {(к.н, Маг.); (к.н, Бак.); (Маг., Бак.)}.
Таблица 6.8
	Д.н	К.н	Маг.	Бак.	И’м	Н’в
Д.Н	1	3	6	9	0,589	0,620
К.н	1/3	1	3	6	0,259	0,210
Маг.	1/6	1/3	1	3	0,106	0,100
Студ.	1/9	1/6	1/3	1	0,046	0,070
ис/сс					0,028	
191
Отношение согласованности ИО, рассчитанное на основе
максимального собственного числа kmax=4,075 (см. формулы
(6.25) и (6.26)), 7V=4 и СС=0,9, составляет всего 2,8%.
Сопоставление вектора приоритетов и^, полученного
на основе МПС с кратностью предпочтений, и вектора и’в, по-
лученного в примере 6.3 на основе вектора, совпадающего
с первой строкой этой матрицы, показывает различие их абсо-
лютных значений (до 30%) и сходство в соотношении значе-
ний. Различие абсолютных значений весов является следстви-
ем введения дополнительных предпочтений и использования
другой методики расчета весовых коэффициентов. Различие
значений приоритетов в векторах и»в и и»м объясняется учетом
дополнительных предпочтений в МПС. На этом основании вектор
приоритетов и»м следует считать более информативным (в ча-
стности, более точным), чем вектор и>в, при условии ординаль-
ной и кардинальной согласованности предпочтений в МПС.
Турнирное предпочтение. Для случая турнирных предпочте-
ний вектор приоритетов w находится таким же образом, как и
для матрицы, не учитывающей величину предпочтений, т.е. по
формуле (6.23). Однако полученные таким образом приорите-
ты не отражают полной картины взаимозависимости значимо-
стей объектов. Для иллюстрации этого утверждения приведем
следующий пример.
Пример 6.7. Определить приоритет участников турнира,
проведенного между пятую командами А, В, С, D, Е, по ре-
зультатам, приведенным в левой части табл. 6.9.
Таблица 6.9
	А	В	с	D	Е	а\	нч	Г|	Н»5	Г5
А	1	2	0	0	0	3	0,12	5	0,159	4
В	0	1	2	2	2	7	0,28	1	0,294	1
С	2	0	1	1	2	6	0,24	2	0,224	2
D	2	0	1	1	0	4	0,16	4	0,151	5
Е	2	0	0	2	1	5	0,20	3	0,172	3
С учетом диагональных элементов матрицы1 сумма очков,
полученная каждым участником турнира, представляется век-
тором а! = (3, 7, 6, 4, 5). Нормируя вектор суммой 25,
1 Учет диагональных элементов, не изменяя соотношения значимости объектов, по-
зволяет сопоставлять наименее значимому объекту ненулевой весовой коэффициент.
192
получим вектор и’1=(0,12; 0,28; 0,24; 0,16; 0,2). Ранжируя объекты
в порядке убывания приоритетов, получаем рейтинг объектов
r1=(5, 1, 2, 4, 3). Векторы и,] и rj представлены в соответству-
ющих столбцах табл. 6.9.
Согласно полученному рейтингу победителем турнира ока-
зался участник В, а последнее место занял единственный побе-
дивший его участник А. Возникает вопрос: «А нельзя ли отра-
зить преимущество А над В в рейтинге участников?».
Поставленная задача решается с использованием положи-
тельной неразложимой на подмножества матрицы парных срав-
нений, аккумулирующей все взаимосвязи между объектами.
Вектор а, используемый для расчета приоритетов, назовем
«силой объектов». Подвергнем его последовательной коррек-
тировке с использованием матрицы А. Эта процедура пред-
ставляется итерационным процессом умножения матрицы А
на вектор—столбец а\
at=Axati.	(6.27)
Для обеспечения сходимости процесса будем нормировать
компоненты вектора at с применением формулы (6.23). Получа-
емый вектор приоритетов wt включим в итерационный процесс:
аг=Ахи’/1.	(6.28)
В [26] показано, что в этом случае процесс сходится к поло-
жительному собственному вектору w матрицы А, отвечающему
наибольшему собственному числу матрицы х = Пт
тах *оо
Итерационный процесс может завершаться либо по задан-
ному числу итераций s, либо по достижению условия измене-
ния приоритетов: | и’,-и’г+1| <е относительно заданной величи-
ны е. Первый способ более прост. Поскольку на результаты
итерационного процесса влияет размер матрицы А, в качестве
наименьшего числа итераций следует принимать s=N.
Расчет выполняется по следующему алгоритму.
1.	Устанавливается значение начального шага /=0.
2.	Рассчитывается вектор предпочтений at=<at,..., aN>
по строкам матрицы А.
3.	Компоненты вектора wt рассчитываются по формуле (6.23).
4.	t: =t+\.
lAxVi •
193
5.	Рассчитываются новые значения вектора af по итератив-
ной формуле (6.28).
6.	Если s<2V+l, идти к 3.
7.	Конец.
Для примера 6.6 с помощью этого алгоритма получаем сле-
дующие результаты:
1.	Примем за начальный вектор «0=(1, 1, 1, 1, 1).
2.	По формуле (6.23) получим одинаковые значения при-
оритетов:
и>0 =(0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2).
3.	После выполнения первый итерации получаем:
flt=(3; 7; 6; 4; 5) и ^=(0,12; 0,28; 0,24; 0,16; 0,2).
4.	На последующих итерациях получаем следующие векто-
ры приоритетов:
и’2=(0,148; 0,322; 0,226; 0,139; 0,165);
»р3=(0,173; 0,303; 0,217; 0,145; 0,162);
и’4=(0,167; 0,289; 0,221; 0,152; 0,171);
и’5=(0,159; 0,294; 0,224; 0,151; 0,172).
Сопоставляя первую и четвертую компоненты вектора wt
на каждой итерации, делаем вывод о том, что уже начиная
со второй итерации w1(2)>w4(2) в то время как w1(l)<w4(l).
В последних двух столбцах табл. 6.8 приведены векторы н>5 и г5.
Согласно новому рейтингу участники турнира А и D поменя-
лись местами.
Особенность расчета приоритетов на основе матрицы тур-
нирных предпочтений, заключающаяся в учете результатов
личных встреч между участниками турнира, используется,
в частности, для определения компетентности экспертов
при организации групповой экспертизы.
6.7. Определение приоритета признаков
в иерархическом пространстве
В главе 3 была обоснована целесообразность структури-
рования пространства признаков для облегчения оценки
и анализа объектов. Приведенная аргументация действительна
и по отношению к нахождению приоритетов признаков, иг-
рающих роль весовых коэффициентов в функции полезности.
194
Действительно, нетрудно себе представить сложность задания
предпочтений в векторной и, тем более, матричной форме
в пространстве, размерность которого составляет, например,
50 признаков. Количество всех попарных сравнений в этом слу-
чае равно 1225. Прежде всего, такое количество сравнений тре-
бует больших затрат времени. Если каждое предпочтение опре-
делять и фиксировать за 5 секунд, потребуется 1 час и 42 ми-
нуты на непрерывное заполнение матрицы парных сравнений.
А ведь определение каждого предпочтения — процесс твор-
ческий, требующий умственного напряжения, если не превра-
тить его в «гадание на кофейной гуще». Умозрительный ана-
лиз такого массива данных также не представляется возмож-
ным в силу ограничений человеческой психики.
Представить себе прямое задание весов для пятидесяти при-
знаков также затруднительно. При равной их значимости ве-
личина веса каждого признака равна 0,02. Перераспределение
этих весов требует одновременного анализа пятидесяти пере-
менных, причем эта процедура в отличие от нахождения рав-
ноценных весов требует участия человека. Отсюда следует, что
неприемлемо также назначение весов на нижнем уровне иерар-
хии признаков, ибо в его состав входят все 50 признаков.
Структурирование признаков в виде иерархии таблиц по-
зволяет снизить размерность задачи до десяти, а в большин-
стве случаев до пяти. Но при этом возникает задача учета
неоднородности структуры. Неоднородность структуры порож-
дается различным числом признаков в таблицах и различной
глубиной иерархии, т.е. различным расстоянием первичных
признаков от корня дерева.
Таким образом, при большой размерности задачи много-
критериалного оценивания объектов следует применять иерар-
хический подход к построению пространства признаков. По-
скольку при таком решении размерность каждого кластера,
размещаемого в таблице признаков, не превышает десяти, за-
дание и анализ предпочтений в его пределах не представляет
затруднений и может выполняться любым из рассмотренных
ранее способов.
195
Спуск на каждый последующий уровень иерархии сопровож-
дается измельчением весов признаков по отношению к глобаль-
ному признаку (критерию), находящемуся на нулевом уровне
иерархии. Это объясняется тем, что число ветвей пг на г-м
уровне увеличивается по сравнению с г-1 уровнем, r=O,l,...,Z,
а сумма отнесенных к ветвям каждого уровня весов должна ос-
таваться равной 1. В предположении независимости признаков
на каждом уровне иерархии, вес j-го признака, находящегося
на r-м уровне, г>1, вычисляется как произведение весов всех
предыдущих признаков, принадлежащих этой ветви дерева:
Wr.rW\J^--^Wr-\,y	<6-29)
Согласно формуле (6.29) степень измельчения веса wrjj-ro при-
знака является функцией числа предшествующих ему уровней иерар-
хии. С другой стороны, вес иуцу-го признака определяется внут-
ри кластера (таблицы) r-го уровня. Отсюда следует, что вес у-го
признака, принадлежащего r-му уровню иерархии, г>1:
•	определяется как по отношению к локальному признаку
г-1 уровня (у/-1^), так и по отношению к глобальному при-
знаку (w°ry);
•	зависит от уровня иерархии г, на котором находится
признак, и от числа признаков пг к в к-й таблице r-го уровня:
wrr_ij=f(r, пгк).
Исходя из этих условий, веса первичных признаков, соответ-
ствующих листьям дерева, равноценны (w/ =,...,=w/n) только при
условии его однородности, т.е. ранг последнего яруса одинаков
для всех листьев дерева (r=/=const) и степени всех вершин, при-
надлежащих каждому ярусу, одинаковы. Естественно, что такое
дерево можно рассматривать только как частный случай иерар-
хии. В общем случае распределение весов признаков по отно-
шению к глобальному признаку определяется структурой дере-
ва иерархии. Если не учитывать этот фактор при назначении
весов в таблицах, т.е. в вершинах дерева, расположенных на
промежуточных ярусах, то соотношение весов первичных при-
знаков может оказаться не тем, которое ожидалось.
Рассмотрим два принципа выравнивания весов: обеспече-
ние равноценности признаков в таблицах и обеспечение рав-
ноценности первичных признаков.
196
6.7.1.	Обеспечение равноценности признаков в таблицах
Эта задача выполняется в том случае, когда в каждой таб-
лице иерархии вес вычисляется по формуле: wrkj=\lnr к,
к=\,...,пг,	Проиллюстрируем этот принцип на при-
мере дерева иерархии, представленном на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Иерархия с равными весами локальных признаков
Справа от дерева показаны номера уровней (ярусов) его вер-
шин. Веса, задаваемые в таблицах, сопоставляются ребрам дерева.
В табл. 1 и 2 уровня веса первичных и локальных признаков рав-
ны 0,5. В табл. 3 уровня веса первичных признаков составля-
ют 0,33. Веса первичных признаков, вычисленные по отношению
к глобальному признаку по формуле (6.29), помещены у листовых
вершин дерева. В силу неоднородности дерева веса первичных
признаков, принадлежащих разным таблицам, различаются меж-
ду собой. Выравнивание весов в таблице отвечает принципу «Зна-
чимость признака обратно пропорциональна степени его детали-
зации», т.е. чем более измельчен признак, тем меньше его вес.
6.7.2.	Обеспечение равноценности первичных признаков
Выравнивание весов первичных признаков по отношению
к глобальному признаку выполняется «снизу—вверх» по иерар-
хии следующим образом.
1.	Рассчитываются иерархические веса щ первичных призна-
ков, исходя из условия их равноценности:
2.	Рассчитываются иерархические веса w° , 0<г<1, локаль-
ных признаков «снизу—вверх» путем суммирования весов со-
ставляющих их признаков нижнего уровня.
197
0,2 (0,33) 0,2 (0,33) 0,2 (0,33)
Рис. 6.4. Иерархия с равными весами
первичных признаков
3.	Для обеспечения суммы весов признаков, равной 1, иерар-
хические веса в таблицах с локальными признаками преобра-
зуются в локальные веса относительно иерархического веса при-
знака старшего уровня:
^r_XJ=^r_xJ^rJ.	(6.30)
Проиллюстрируем процедуру выравнивания весов первич-
ных признаков на примере предыдущего дерева (см. рис. 6.3).
Пример 6.8. Рассчитать
иерархические и локальные
веса в таблицах иерархии из
условия равенства весов всех
первичных признаков.
На рис. 6.4 иерархичес-
кие веса признаков приве-
дены без скобок, а локаль-
ные веса, рассчитанные по
формуле (6.30), заключены
в скобки. Например, локаль-
ный вес левого признака
в промежуточной таблице иерархии, согласно формуле (6.30)
равен: 0,6/0,8=0,75. В корневой таблице иерархии локальные
веса совпадают с иерархическими и, следовательно, не подле-
жат пересчету, так как их сумма и так равна 1.
Из рассмотренного примера следует, что условие равноцен-
ности первичных признаков влечет неравенство весов локаль-
ных признаков в таблицах неоднородной иерархии. Как и
следовало ожидать, левая ветвь дерева оказалась вчетверо
весомее, чем правая ветвь, поскольку она имеет в качестве
потомков четыре первичных признака из пяти.
Выравнивание весов первичных признаков отвечает принципу
«Значимость признака не зависит от степени его детализации».
6.7.3.	Экспертная оценка значимости признаков
Оба рассмотренных принципа вычисления весовых коэффици-
ентов являются структурными, так как они учитывают лишь вза-
имосвязь признаков в иерархии. В реальных задачах необходимо,
чтобы весовые коэффициенты отражали не только особеннос-
ти структуры, но и предпочтения экспертов.
198
Решим задачу определения экспертных значений весовых
коэффициентов в таблицах иерархии на основе принципа рав-
ноценности первичных признаков. Обозначим весовой коэф-
фициент j-ro признака, назначаемый экспертом без учета струк-
туры, через w3y, а его локальный вес, отражающий равноцен-
ность первичных признаков в иерархии, — через wcj,j=
На основе известных весовых коэффициентов w3j и wcj j-ro
признака можно рассчитать весовой коэффициент w3Cy, одно-
временно учитывающий как его место в иерархии, так и
предпочтение эксперта:
Отношение k3nj=w3JwCj характеризует предпочтение экспер-
та в отношении признаков, принадлежащиху-й ветви иерархи-
ческого дерева. Иными словами, коэффициент k3nj показыва-
ет, во сколько раз экспертная оценка завышает или занижает
вес первичного признака, принадлежащего у-й ветви дерева.
Эта информация дает возможность корректировать экспертные
оценки с учетом их влияния на веса первичных признаков.
Изменение коэффициента k3nj согласно формуле (6.31) влияет
на значения весовых коэффициентов w3Cy, у=1,...,л. В свою оче-
редь, значения весовых коэффициентов w3Cy,y=l,...,«, можно ис-
пользовать для получения нового значения экспертной оценки
и,3у. Оно вычисляется по формуле:
(6.32)
Из выражения (6.32) следует, что при равенстве компонент
одного из векторов w3cy или wCj результирующий вектор w3j
совпадает с другим из этих векторов. Из этого следует,
что в таких случаях применение формулы (6.32) не требуется.
199
Проиллюстрируем применение формул (6.31) и (6.32) при-
мерами.
Пример 6,9. Пусть эксперт задал весовые коэффициенты
и’э1=(0,7; 0,3) для признаков корневой таблицы дерева, изоб-
раженного на рис.6.4. Вектор структурных весовых коэффици-
ентов этих признаков равен: и»с=(0,8; 0,2).
Разделив покомпонентно вектор и>э на вектор н>с, получим
вектор А'эп1=(0,875; 1,5). Анализ его компонент показывает, что
наибольшее предпочтение (на 50%) эксперт отдает первично-
му признаку 2, представляющему правую ветвь дерева: Лгэп2>1,
тогда, как значимость левой ветви занижена на 12,5%. Пользу-
ясь формулой (6.31), рассчитаем вектор ^^(ОЗ?; 0,63).
Пример 6,10. Пусть эксперт хочет перераспределить свои
предпочтения к первичным признакам соответствующих вет-
вей дерева с ЛЭП[=(0,875; 1,5) на Лэп2=(0,9; 1,3). Пользуясь
формулой (6.31) вычислим новый вариант вектора и’эс:
w3C2=(0,41; 0,59). По формуле (6.32) вычислим новые значения
экспертных оценок: и’э2=(0,735; 0,265). Полученный результат
иллюстрирует возможность изменения экспертных оценок на
основе информации о структуре признаков.
6.7.4.	Перераспределение весов в иерархии
Решая проблему размерности, расчет весовых коэффициентов
в таблицах не решает проблему связанного задания предпочтений.
На значимость признака, заданную на верхнем уровне иерархии,
не может существенно повлиять перераспределение значимости
в таблицах нижнего уровня иерархии. Поэтому после получения
весовых коэффициентов в таблицах нередко возникает потреб-
ность в перераспределении весов некоторых признаков. Здесь могут
встретиться 2 типичных случая: вес Wj j-ro признака требуется
изменить в рамках таблицы или в рамках иерархии.
Условием правильного изменения веса является сохранение
единичных сумм весов, как в пределах таблицы, так и в преде-
лах ярусов дерева. Это означает, что в обоих случаях изме-
нение веса Wj на величину ±Awy должно быть компенсирова-
но изменением одного или более признаков на величину Ли^
с обратным знаком.
200
Рассмотрим изменение веса w- в пределах одной таблицы.
Наиболее простым случаем является изменение веса j-ro
признака за счет к-го признака, j*k, на величину ±Awy-.
В более сложном случае изменение веса j-ro признака до-
стигается за счет изменения весов остальных признаков дан-
ной таблицы при сохранении пропорции между их величинами.
При этом величина ±Awy перераспределяется между всеми п-1
признаками пропорционально их величине. Новая величина
к-го признака, k*j, к=\,...,п-\, рассчитывается умножением веса
признака на коэффициент s, рассчитываемый по формуле:
Пример 6.11. В векторе весов w=(0,6; 0,3; 0,1) решено
уменьшить вес первого признака на величину Awy=0,l. Как
при этом изменятся веса остальных признаков, чтобы сумма
весов осталась равной 1? Умножая вторую и третью компо-
ненты вектора на коэффициент 5=1,25, рассчитанный по форму-
ле (6.33), получаем новый вектор весов w=(0,5; 0,375; 0,125),
отвечающий поставленному требованию.
Рассмотрим перераспределение весов двух признаков, при-
надлежащих разным таблицам иерархии. Пусть в результате
анализа признано, что вес j-ro первичного признака следует
увеличить на величину Aw, за счет веса к-го первичного при-
знака, который, следовательно, должен быть уменьшен на эту
же величину. Поскольку для сопоставления двух первичных
признаков, принадлежащих разным таблицам иерархии, имеет
смысл использовать только веса wor l . и w0^ к, приведенные
к глобальному признаку, величина Aw определяется относи-
тельно веса w0^! j. По этой же причине на величину Aw могут
изменяться значения весов локальных признаков, расположен-
ных на путях от у-й и fc-й листовых вершин дерева до первой
общей вершины, причем при восхождении оту-й вершины веса
признаков увеличиваются на величину Aw, а при спуске к к-й
вершине уменьшаются на эту же величину. Это позволяет со-
хранить суммы весов, равными единице на всех ярусах дерева.
201
Пример 6.12, Пусть в иерархической структуре, изображенной
на рис. 6.4, необходимо увеличить вес четвертого признака w4
на 0,1 за счет веса w5 пятого признака. Новый иерархический вес
четвертого признака будет равен 0,3. Для восстановления суммы
весов 0,8 в общей вершине 1 вес третьего признака уменьшается
на 0,1, т.е. w3=0,5. Вес w5, также уменьшенный на 1, будет равен 0,1.
Таким образом, меняются только соотношения весов в ярусах
дерева, а соответствие весов между ярусами сохраняется. В дан-
ном примере вектор признаков и>3 4=(0,75; 0,25) изменится
на w'3 4=(0,625; 0,375), а вектор признаков и>5 6 7=(0,33; 0,33; 0,33)
изменится на и>'5 67=(0,2; 0,4; 0,4). При этом соотношение весов
в корневой таблице останется неизменным 2=(0,8; 0,2).
6.8. Определение приоритета объектов
методом анализа иерархий
В пункте 6.6 рассматривались методы расчета приоритета
сущностей для различных способов задания предпочтений. Рас-
смотрим задачу с неоднородными сущностями, часть из которых
представляют собой объекты, а другая часть — критерии, приме-
няемые для оценивания этих объектов. Метод решения этой за-
дачи с применением матриц парных сравнений получил название
метода анализа иерархий (МАИ) [87]. Так же, как и методы, из-
ложенные в главе 5, этот метод используется для решения зада-
чи упорядочения объектов в многокритериальном пространстве.
Сущность метода анализа иерархий заключается в следующем.
1.	Приоритет объектов вычисляется поочередно относитель-
но каждого критерия, входящего в анализируемую группу
G. В качестве исходных данных используются сравнительные
оценки объектов, представляемые матрицей парных сравне-
ний с кратностью предпочтений.
2.	Приоритеты, полученные на основе вычисления и нор-
мирования собственных векторов МПС для каждого критерия,
принадлежащего группе G, образуют матрицу приоритета объек-
тов А.
3.	На основе сопоставления критериев группы G с приме-
нением МПС (или любым другим способом) вычисляется
вектор приоритетов wG самих критериев.
202
4.	Приоритет объектов по всем критериям группы G вы-
числяется по формуле:
aG=AxwG.	(6.34)
В многоуровневой системе критериев процесс вычисления
их приоритета выполняется сверху вниз по иерархии. Приори-
тет объектов вычисляется относительно критериев нижнего
уровня иерархии с применением предыдущих 4 пунктов. В отли-
чие от иерархии типа «дерево», применяемой в пункте 5.9, мо-
дель, создаваемая для МАИ, представляет собой сеть. Только
1 уровень ее иерархии совпадает с моделью дерева.
Согласно формуле умножения матрицы на вектор (6.34) при-
оритет а- /-го объекта, i=\,...,N, вычисляется как аддитивная
свертка п критериев:
а. =	-w. ,i =1,..„N,	(6.35)
Формула (6.35) отличается от формулы аддитивной функ-
ции полезности (5.4) природой сомножителей (сравнитель-
ная оценка) и yj (значение критерия) и отсутствием нормиру-
ющего коэффициента Sj. Это позволяет сравнить методы упо-
рядочения объектов методами главы 5 и МАИ.
Рассмотрим следующий пример. Пусть оцениваются 4 кафедры
университета (условно A,B,C,D) по группе критериев «Методи-
ческая работа». Она предполагает издание: учебных пособий
(УП), методических указаний (МУ), учебников (У) и электрон-
ных методических указаний (ЭМУ). Нормированные значения
этих критериев для реальных кафедр приведены в табл. 6.10.
Таблица 6.10
Исходные данные
	УП	МУ	У	ЭМУ
А	0,73	0,30	2,30	0,91
В	1,19	0,46	1,62	0,31
С	0,13	о,н	4,05	0,23
D	2,14	0,14	0,65	0,21
Используем данные табл. 6.10 для составления матриц
парных сравнений (МПС) по каждому из признаков УП,
203
МУ, У, ЭМУ. В качестве примера приведем МПС для при-
знака УП со значениями предпочтений Е(х(- уп)/Е(х. ),
/=1,...,и-1, j=i+\,...,n-\, вычисленных на основе 1 столб-
ца табл. 6.10.
		А	В	С	D
	А	1	0,61	5,60	0,34
Ауп-	В С	1,60 0,18	1 0,11	9,20 1	0,56 0,10
	D	2,90	1,80	10,00	1
Вектор приоритетов ауп, вычисленный путем нормирова-
ния собственного вектора МПС(УП), равен: ауп=(0,185; 0,301;
0,037; 0,478). После вычисления приоритета кафедр по всем
4 критериям получаем матрицу приоритетов объектов А для
группы критериев «Методическая работа»:
	УП	МУ	У	ЭМУ
А	0,185	0,297	0,267	0,548
А= В А С	0,301 0,037	0,455 0,109	0,188 0,470	0,187 0,139
D	0,478	0,139	0,075	0,127
Для вычисления приоритета объектов по всем критериям
группы используется вектор приоритета критериев, оцениваю-
щих методическую работу. Он определен экспертами как:
и’мр=(0,3; 0,15; 0,4; 0,15). Вектор приоритетов кафедр по группе
критериев «Методическая работа» амр получаем как результат
умножения матрицы А на вектор и^р: амр=(0,289; 0,262;
0,236; 0,212). Вектор значений аддитивной функции полезно-
сти «мрФП> полученный для тех же исходных данных
(см.табл.6.10), равен: амрФП=(0,516; 0,443; 0,404; 0,311). Между
компонентами векторов «мр и амрФП существует линейная
зависимость (см. формулы (6.35) и (5.4)), а коэффициент кор-
реляции этих векторов составляет 0,999, что свидетельствует
о практическом совпадении результатов упорядочения ка-
федр двумя разными методами.
204
Обсуждение
Для многих задач недостаточно упорядочить рассматрива-
емые сущности по предпочтению, а требуется сопоставить
каждой сущности число, которое интерпретируется как ее при-
оритет. Более того, во многих случаях приоритет должен зада-
ваться не в порядковой, а в интервальной шкале, что сопряже-
но с проблемой точности.
Наиболее очевидным выглядит задание приоритета сущнос-
тей в долях от 1. Например, приоритеты объектов А, В, и С
зададим числами 0,48; 0,34; 0,18. В этом случае одновременно
решаются две задачи: определение величины приоритетов и их
нормализация, причем обе задачи решаются умозрительным
способом. Трудность определения величины приоритетов воз-
растает с усилением требований к точности их задания (от де-
сятых долей к сотым и т.д.). К недостатку этого способа следует
отнести необходимость получения сразу конечного результата.
Преодоление отмеченного недостатка лежит на пути пост-
роения модели предпочтений. В качестве таковой можно ис-
пользовать частичную или полную модель бинарного отноше-
ния Rp на множестве сущностей X: R QXxX. Для наглядности
оно представляется моделью графа. В качестве частичной мо-
дели используется отношение предпочтения «Базовая сущность/
Остальные сущности», представляемое звездным графом. Полное
или универсальное бинарное отношение «Каждый с каждым»
представляется полным графом. Эти модели отражают в яв-
ном виде структуру предпочтений. Первая модель описыва-
ется вектором, а вторая — матрицей предпочтений. В отли-
чие от прямого задания величины приоритетов процесс их
определения на основе модели бинарного отношения делит-
ся на два этапа: задание предпочтений на парах из Rp и
расчет приоритетов по полученной модели предпочтений.
Наиболее простым способом задания предпочтений является
установление истинности предикатов Лучше(х;, Xj), i,j=\,...,n, в
шкале строгого порядка и дополнительного предиката
Равнозначны^, Xj) — в шкале нестрогого порядка. Этот способ
сводится к заданию лишь факта предпочтения, не отражая его
205
величины. При вычислении приоритетов нормированием зна-
чимости строк матрицы характерным для этого способа зада-
ния предпочтений является близость приоритетов объектов при
равномерном убывании их величины. Количество вариантов
предпочтений ограничено и определяется только размерностью
матрицы. В случае полного отсутствия предпочтений (все пары
равнозначны) приоритеты всех объектов становятся равными.
Другим способом задания предпочтений, близким к преды-
дущему, является задание предпочтений по результатам турни-
ра. Его отличие заключается в задании количественного эквива-
лента в баллах предикатам Лучше(х(-, Xj) и Ничья(х(, Xj), i,j=\,...,n,
соответственно 2 и 1 очко. Балльные оценки сохраняют линей-
ную зависимость приоритетов от числа предикатов Лучше(х-, х])
в строке матрицы, незначительно увеличивая различие соседних
приоритетов. Оба способа задания предпочтений характеризу-
ются фиксированной величиной предпочтения, а элементы их
матриц обладают свойством взаимного дополнения относительно
главной диагонали до модуля 1 и 2 соответственно.
Большую возможность для управления величиной приори-
тетов дает предложенный Саати способ задания величины
(интенсивности) предпочтений в разах: Лучше в N раз(х(-, Xj),
7V=1...,9. Здесь число вариантов пропорционально не только
размерности матрицы, но и числу значений кратности пред-
почтения. Однако использование кратности предпочтений со-
пряжено с трудностями психометрического измерения. Дей-
ствительно, что означает выражение: «А лучше В в 5 раз?».
Ведь пять — субъективная, а не измеренная величина. Облегчить
восприятие количественной оценки предпочтения может дублиро-
вание кратности вычисленным через нее соотношением приорите-
тов объектов в долях от 1, например, 0,83:0,17 для кратности 5.
К попыткам облегчить решение проблемы психометрическо-
го измерения относится использование шкалы «относительной
важности» (см. табл. 6.3), которая сопоставляет кратности пред-
почтения словесную меру превосходства. К недостатку этого под-
хода следует отнести то обстоятельство, что эксперт может пола-
гать словесную (вербальную) шкалу предпочтений линейной, в
то время как моделируемое ею соотношение приоритетов, вы-
численных на основе кратности предпочтения, нелинейно.
206
Более простым оказывается определение величины пред-
почтений через задание весов вершинам графа предпочте-
ний. В качестве таковых могут использоваться такие объек-
тивно измеряемые величины, как количество признаков, де-
тализирующих рассматриваемый.
В тех случаях, когда все же отсутствуют объективно изме-
ряемые величины, бывает удобно задавать приоритеты вер-
шин графа в процентах. При этом одна из сущностей прини-
мается за базовую, а остальные выражаются по отношению
к ней в процентах. Частным случаем базовой сущности явля-
ется важнейший объект. Далее осуществляется пересчет про-
центов в кратности предпочтений.
При задании предпочтений непосредственно в разах и через
веса вершин возможно построение как полной (МПС), так и
частичной (вектор) модели предпочтений. Вторая модель бо-
лее проста, но не учитывает отношения между всеми сущно-
стями и может использоваться как упрощенная.
Оборотной стороной обеспечения полноты предпочтений
с привлечением МПС является потенциальная несогласованность
предпочтений. Для МПС, учитывающей величину предпочте-
ний, она имеет как ординальную, так и кардинальную составля-
ющую. Первая выражается возможностью возникновения цик-
лов в графе предпочтений, а вторая — несогласованностью
кратностей предпочтений в парах с общими элементами. По-
скольку во многих случаях абсолютная согласованность недо-
стижима, возможность количественной оценки согласованности
позволяет принимать или отклонять заданные предпочтения.
Выводы
1.	В отсутствие объективно измеренной информации для
выражения предпочтений между сущностями используются
субъективные измерения предпочтений, осуществляемые экс-
пертным путем.
2.	Конечной целью выявления предпочтений между объекта-
ми является определение их приоритета, как количественной
характеристики значимости объектов. Существуют различные
способы определения приоритетов объектов — от их прямого
задания до вычисления на основе выявления предпочтений.
207
3.	Предпочтения, определяемые на множестве объектов, раз-
личаются полнотой и информативностью. Частичное задание пред-
почтений заключается в сопоставлении N-1 объектов с одним,
принятым за базовый (в частных случаях наиболее или наименее
важный), а полное задание предпочтений — в сопоставлении всех
пар объектов, результаты которого фиксируются в матрице пар-
ных сравнений. Минимальной информативностью обладает факт
предпочтения одного объекта над другим. Повышение информа-
тивности предпочтения связано с заданием его величины.
4.	Величина предпочтения одного объекта над другим выража-
ется через кратность (в разах) или через начисляемые очки. При
задании кратности предпочтений эксперт сталкивается с пробле-
мой ее численного оценивания. Оценивание кратности упрощает-
ся путем перехода к оцениванию сопоставляемых сущностей. Для
этого могут использоваться различные виды оценок, количествен-
но характеризующие сущности, а именно: нормативные, частот-
ные, балльные, доли от 1, проценты и пр. Величина кратности
рассчитывается делением оценок сопоставляемых сущностей.
5.	Расчет приоритета сущности осуществляется либо на
основе информации, содержащейся в соответствующей ей строке
матрицы, либо на основе содержимого всей матрицы. 1-й спо-
соб реализует отношение «Один к остальным», а 2-й способ —
отношение «Каждый с каждым». Решением 2-го способа рас-
чета является положительный собственный вектор матрицы,
соответствующий ее вещественному собственному числу. Хо-
рошее приближение к собственному вектору обратносиммет-
ричной матрицы, отражающей кратность предпочтений, дает
расчет средних геометрических значений ее строк, а для мат-
рицы с взаимнодополнительными оценками — итеративный
алгоритм умножения МПС на вектор-столбец «сил объектов».
6.	Оборотной стороной полноты задания предпочтений
в МПС является возможность несогласованности оценок.
Для МПС любого типа она проявляется через наличие цик-
лов, обуславливающих нетранзитивность отношения (орди-
нальная несогласованность). Для МПС с кратностью пред-
почтений несогласованность является также следствием непра-
вильного подбора кратности предпочтений (кардинальная не-
согласованность). Степень ординальной согласованности пред-
почтений выражается коэффициентом совместности пред-
208
почтении, а кардинальной несогласованности — отношени-
ем согласованности. Ухудшение кардинальной согласован-
ности влечет уменьшение точности аппроксимации приорите-
та сущностей собственным вектором МПС.
7.	Задание приоритета признаков «сверху-вниз» по иерар-
хии ставит первичные признаки в неоднородном иерархичес-
ком пространстве в неравное положение. Величина весовых
коэффициентов первичных признаков обратно пропорциональна
расстоянию от корневой вершины и количеству признаков в
таблице. Для задания одинаковых исходных условий осуще-
ствляется выравнивание весов путем вычисления доли каждого
первичного признака в зависимости от их числа. Экспертные
предпочтения локальным признакам задаются в таблицах иерар-
хии. Значимость первичных признаков может управляться че-
рез коэффициент экспертного предпочтения первичных призна-
ков. Веса локальных признаков могут пересчитываться в про-
цессе задания экспертных оценок весов в таблицах иерархии.
Учитывая связное распределение весов первичных признаков
через таблицы иерархии, может возникнуть необходимость пе-
рераспределения весов между первичными признаками, при-
надлежащими разным таблицам. Оно осуществляется заим-
ствованием части веса одним признаком у другого. При этом
выполняется пересчет весов локальных признаков. Это дает
возможность подгонять весовые коэффициенты первичных при-
знаков до нужных значений, сопоставляя их между собой.
8.	Метод анализа иерархий, используемый для оценки при-
оритета объектов, сопоставим по получаемым результатам с
многокритериальным оцениванием объектов с применением
функций полезности. Это подтверждает правильность аксиом,
положенных в основу обоих подходов. Методы многокрите-
риального оценивания с применением функций полезности и
МАИ различаются структурой иерархических моделей и тех-
нологией расчета приоритетов. Различие имеется и в абсолют-
ных значениях приоритетов. Оба подхода могут использовать
как объективные, так и субъективные исходные данные об объек-
тах. На область применения МАИ влияют ограничения на раз-
мерность матриц парных сравнений и кратность предпочтений
(оба параметра, как правило, ограничиваются числом 9).
209
Глава 7. ГРУППОВОЙ ВЫБОР
В конце концов, не все восхищаются одним
и тем же и не все любят одно и то же
Гораций
7.1.	Объективизация выбора
Поскольку человеческая оценка имеет субъективную приро-
ду, одной из главных задач принятия решений является повы-
шение объективности оценок. Очевидным условием повыше-
ния объективности является принятие коллективных решений
(«один ум хорошо, а два лучше»). Недаром, при принятии
важного решения человек нуждается в советах других людей.
Таковыми оказываются родственники, друзья, коллеги по ра-
боте, а бывает, и просто незнакомые люди.
Тем более очевидна неизбежность использования коллек-
тивного подхода при решении задач, затрагивающих интересы
многих людей. К таким задачам относится, прежде всего, вы-
бор органов власти, от которой зависит повседневная жизнь
граждан. Далее следует решение производственных задач, су-
действо спортивных соревнований, а также решение многих
других задач, оказывающих влияние на все стороны жизни
людей. Указанные задачи различаются ценой решения и коли-
чеством людей, заинтересованных в его результате. Оно, кста-
ти, не всегда совпадает с количеством людей, принявших уча-
стие в принятии решения.
К наиболее массовым задачам принятия решений относят-
ся выборы органов власти. Их особенность состоит в том,
что к избирателям не предъявляются требование компетентно-
сти. Конечно, не всякий избиратель может быть в достаточной
мере осведомлен об избираемых кандидатах. Тем не менее ценз
на компетентность к нему не предъявляется. Для решения про-
блемы компетентности применяют, например, двухступенча-
тый выбор — граждане выбирают своих представителей, а те,
в свою очередь, выбирают орган власти.
210
Другим образом обстоит дело в решении производствен-
ных, спортивных, культурных и иных задач, где требования
к компетентности участников увеличиваются в силу специа-
лизации этих задач. Для таких задач объективность зависит
не столько от количества людей, принимающих участие в при-
нятии решения, сколько от их профессионализма. В противо-
положность предыдущим задачам здесь можно говорить о при-
нятии решений малой группой.
Безусловен тот факт, что участники принятия решения могут
придерживаться различных точек зрения на рассматриваемую
проблему. Поэтому важным фактором группового выбора яв-
ляется поиск согласованных оценок. В соответствии с этим под
групповым выбором обычно понимается выработка согласован-
ного решения о порядке предпочтения рассматриваемых объек-
тов на основе индивидуальных мнений членов группы [69].
Основным принципом группового альтернативного выбо-
ра является принцип большинства (можаритарный принцип).
Несмотря на очевидность этого принципа, его применение со-
пряжено с решением ряда проблем, которые будут рассмотре-
ны ниже. При групповом оценивании величин используется
принцип усреднения индивидуальных оценок.
7.2.	Принятие решения малой группой
Людей, способных квалифицировано решать профессиональ-
ные задачи, принято называть экспертами. В зависимости от
особенности решаемой задачи предъявляются различные тре-
бования к количеству и квалификации экспертов. Здесь играет
роль также финансовый фактор, поскольку любая профессио-
нальная деятельность, в том числе и оценочная, должна быть
оплачиваемой, а стоимость оценочных услуг пропорциональ-
на квалификации экспертов.
Рассмотрим задачи экспертного оценивания малой груп-
пой (МГ). Как было отмечено выше, задачи, решаемые ма-
лыми группами, характеризуются специализацией предмет-
ной области. Чем более специальный характер имеет анали-
зируемая ПО, тем уже круг участников МГ. В связи с этим
очевидными являются требования к их профессионализму.
211
И чем более ответственным должно быть принятое решение, тем
они выше. Например, решение об ответственной операции часто
принимаются консилиумом врачей. Помимо состава МГ важным
является вопрос о ее численности. Малое число участников МГ
(2—3 человека) не способствует значительному повышению объек-
тивности оценки. Возрастание численности влечет усложнение
коммуникаций участников на этапе обсуждения проблемы, ус-
ложняет организацию экспертизы и обработку ее результатов.
К определению численности группы так же, как и для многих
других задач умозрительного анализа, во многих случаях может
быть применена известная оценка размерности 7±2.
Предметом группового решения может быть любая задача
рационального выбора как конечная, так и подготовительная.
К подготовительным относятся задачи отбора признаков, пред-
назначенных для оценивания объектов, структурирования при-
знаков и определения их значимости. К конечным относятся
все три группы задач — отбора, ранжирования и выбора наи-
лучшего варианта. При упорядочении объектов по важности
величина предпочтения выражается либо в порядковой шкале
(ранг при ординальном упорядочении), либо в шкале отноше-
ний (вес при кардинальном упорядочении).
Получение групповой величины предпочтения осуществля-
ется двумя способами:
1)	вычисляется средневзвешенное значение величин, рассчи-
танных по результатам индивидуальных оценок;
2)	величина предпочтения вычисляется на основе сгруппи-
рованных индивидуальных оценок.
7.3.	Организация экспертизы
Организация экспертизы зависит от специфики решаемой
задачи. Тем не менее имеются этапы, имеющие достаточную
степень общности при решении многих задач.
1.	Постановка задачи. На этом этапе обычно участвуют лицо,
принимающее решение (ЛПР), системный аналитик и возмож-
ный исполнитель. Они знакомятся с проблемой, изучают раз-
личные источники информации и ставят задачу оценки.
212
2.	Формирование экспертной группы. Определяется количество
и подбирается состав участников группы в соответствии со специ-
фикой решаемой задачи. Например, если решается задача оценки
деятельности кафедр университета, группа формируется из пред-
ставителей различных факультетов. Этим реализуется принцип
справедливости, поскольку делегируются представители всех за-
интересованных групп. Немаловажное значение при подборе кон-
кретных лиц имеет психологический фактор, в частности психоло-
гическая совместимость участников с тем, чтобы при коллектив-
ных оценках одно лицо не подавляло оценки других.
3.	Оценка компетентности экспертов. В качестве количествен-
ной оценки используются весовые коэффициенты экспертов. Их
может назначать ЛПР, другие эксперты (метаэкспертиза), либо
участники оценивают друг друга. Примером исходной инфор-
мации для определения весовых коэффициентов экспертов яв-
ляется таблица розыгрыша турнира. В ней победы могут интер-
претироваться предпочтением одного эксперта другому.
4.	Определение способа оценивания. Они различаются между
собой степенью анонимности (оценка доступная или недоступ-
ная для других), регламентом оценивания (очная или заочная
оценка), способом предъявления информации для оценивания.
5.	Предъявление информации для оценивания. Желательным
является предварительное ознакомление экспертов с инфор-
мацией, подлежащей оцениванию. Подготовка экспертов к со-
вместной работе способствует улучшению взаимопонимания
и экономит время.
6.	Выполнение оценивания. В зависимости от принятой про-
цедуры оценивания эксперты выставляют индивидуальные
оценки либо вырабатывают коллективные в процессе обсуж-
дения предъявленной информации. На основе индивидуальных
оценок вычисляются групповые.
7.	Оценка согласованности мнений экспертов. Оценивается
разброс индивидуальных оценок и степень близости их к груп-
повой оценке. Если разброс оценок превышает заданный пре-
дел (свыше 20%), делается попытка согласования оценок. Если
участники группы оказываются не готовы к компромиссным
решениям, группа может быть расформирована и осуществля-
ется возврат к п. 2 процедуры.
213
8.	Регистрация оценок. Результаты работы экспертов ре-
гистрируются на электронном или бумажном носителе и про-
токолируются с указанием времени выполнения оценки.
Это необходимо для того, чтобы эксперт имел возможность
впоследствии вспомнить или подтвердить данные им оценки.
9.	Экспериментальное исследование. Выполняется проверка
принятых решений на модели или на практике. При положи-
тельном результате проверки принятое групповое решение прини-
мается. В противном случае организуется повторная групповая
экспертиза с учетом полученной дополнительной информации.
7.4.	Парадоксы систем голосования
Когда в товарищах согласья нет,
На лад их дело не пойдет,
И выйдет из него не дело, только мука
И.А. Крылов «Лебедь, рак и щука»
Содержание этого раздела посвящено ответу на вопрос:
«А существуют ли принципы согласования индивидуальных
предпочтений экспертов?» Иными словами, существуют ли воз-
можность построить групповое отношение RQX*X, удовлет-
воряющее определенным требованиям? Здесь X — множество
объектов, на которых формируется предпочтение R.
Система правил, описывающая способ построения груп-
пового отношения, называется принципом согласования от-
ношений. Он представляется функцией F(RX,..., Rk,...,R^=R.
Ее аргументами являются индивидуальные предпочтения п эк-
спертов на множестве X.
Возникает вопрос, для каких F групповое отношение
7?=F(7?1,...,7?^,...,7?n) также будет предпочтением на X,
т.е. транзитивным бинарным отношением? Для этого рассмотрим
различные виды мажоритарного отношения R , реализующего пра-
вило большинства: xtR Xj истинно тогда и только тогда, когда не
менее половины экспертов (n/2+l) считают xz- предпочтительнее,
чем Xj. Отношение R* естественным образом реализуется
в ситуациях, когда групповое решение принимается голосованием.
214
1.	Подсчет парных предпочтений (принцип де Кондорсе).
Выбирается объект, набирающий наибольшее число голосов
в сопоставлении с другими объектами, т.е. по большинству
парных предпочтений. Этот принцип применяется к неболь-
шому числу объектов.
Рассмотрим этот принцип на примере выборов на некото-
рую должность. Пусть в выборах участвуют три кандидата А,
В и С (N=3). В голосовании участвуют 50 человек (и=50), иг-
рающих роль экспертов. В бюллетени для голосования зано-
сятся списки кандидатов, различающиеся порядком их следо-
вания. Фактически избиратель выстраивает кандидатов по
степени предпочтений. Поэтому в бюллетени должны быть
включены все расстановки кандидатов, т.е. 7V! Для N=3 число
списков кандидатов равно шести, что может отвечать требо-
ваниям размерности. Пример распределения голосов избира-
телей по спискам приведен в табл. 7.1.
Таблица 7.1
№ п/п	Списки кандидатов	Голоса «за»	Голоса, поданные за пары		
			(А, В)	(ВС)	(СА)
1	(А, В, С)	19	19	19	
2	(А, С, В)	2	2		
3	(В, С, А)	13		13	13
4	(В, А, С)	3		3	
5	(С, А, В)	7	7		7
6	(С, В, А)	6			6
	Сумма голосов	50	28	35	26
Списки кандидатов представлены в фор-
ме векторов. В трех столбцах правой части
таблицы выделены голоса, поданные за пары
из этих векторов. Из 6 пар приведены толь-
ко те, за которые подано больше половины
голосов (50/2<26). В последней строке таб-
лицы приведены суммы голосов, поданных
за списки и парные предпочтения. Взвешен-
ный граф предпочтений, построенный для
этих пар, изображен на рис. 7.1.
Рис. 7.1. Граф пред-
почтений, набрав-
ших более половины
голосов
215
Граф на рис. 7.1 содержит цикл (А, В, С, А), что наглядно
демонстрирует нетранзитивность групповых предпочтений.
В силу этого представляется затруднительным выявить побе-
дителя выборов. С одной стороны предпочтение (В, С) полу-
чило наибольшее число голосов, а с другой — за первое место
в списках за кандидата В в сумме проголосовало только 16
избирателей в то время, как за кандидата А — 21. Ни тот,
ни другой не набрал более половины голосов. Эта ситуация
была названа по имени автора принципа голосования пара-
доксом Кондорсе.
Парадокс Кондорсе может возникать и в отсутствие нетран-
зитивности предпочтений. Он продемонстрирован в табл. 7.2
и рис. 7.2. на парах (С, А), (С, В) и (В, А), набравших наибольшее
количество голосов. Несмотря на то, что кандидат С в парах пред-
почтителен перед А кВ, за его первое место в списках проголосо-
вало в сумме 18 человек в то время, как за кандидата А — 19.
При этом ни тот ни другой не набрал более половины голосов.
Таблица 7.2
№ п/п	Списки кандидатов	Голоса «за»	Голоса, поданные за пары		
			(С, А)	(С, В)	(В, А)
1	(А, С, В)	19		19	
2	(В. С, А)	13	13		13
3	(С, В. А)	16	16	16	16
4	(С, А, В)	2	2	2	
	Сумма голосов	50	31	37	29
Заметим, что перечень списков кандидатов в табл. 7.2 не полон
(четыре списка из шести возможных). Отсутствие двух списков
не дает возможности избирателям выявить отношение к соот-
ветствующим предпочтениям, что оказыва-
А	ет влияние на результаты голосования.
2.	Балльная оценка мест (принцип Борда).
'у	Каждому голосу, поданному за р-е место,
/_______\ присуждаются баллы. Число баллов вычисля-
С 37 В ется по формуле N-p+1. Подсчитывается сум-
Рис. 7.2. Транзитивный ма баллов по всем спискам с учетом места,
граф предпочтений занятого кандидатом в каждом списке.
216
Для рассматриваемых примеров (табл. 4.1 и 4.2) за первое
место присуждается 3 балла, за второе — 2 балла и за третье —
1 балл. Например, число баллов кандидата А (см. табл. 7.2),
подсчитывается, исходя из 19 человек, проголосовавших за его
первое место (см. строку 1), 13 и 16 человек поставили на его
третье место (строки 2, 3), а два человека поставили на третье
место (строка 4):
А: 19-3 + 131 + 16-1+2-2=90.
Аналогичным образом подсчитываются очки кандидатов Ви С:
В: 19 1 + 13-3+16-2+2-1 = 102;
С: 19-2+13-2+16-3+2-3=118.
Как и для случая парных предпочтений, на первом месте по
баллам оказался кандидат С. Однако в списках за его первое
место проголосовало в сумме 18 человек, в то время как
за кандидата А — 19, причем оба не набрали половины голо-
сов. Таким образом, балльная оценка не устраняет парадокса
голосования по большинству голосов. Не устраняет его и си-
туация, представленная в табл. 7.3, когда за первое место кан-
дидата А в списках высказалось больше половины избирате-
лей (26), а по баллам первое место занял кандидат С (114).
Таблица 7.3
№ п/п	Списки кандидатов	Г олоса «за»	Оценка мест в баллах		
			А	В	С
1	(А, С, В)	26	26-3	26- 1	26-2
2	(В, С, А)	10	10- 1	10-3	10-2
3	(С, В, А)	12	12-1	12-2	12-3
4	(С, А, В)	2	2-2	2 • 1	2-3
		50	104	82	114
Таким образом, изменение принципа подсчета голосов
не гарантирует от возникновения парадокса Кондорсе.
3.	Тотально-мажоритарное отношение. Оно реализует прин-
цип подавляющего большинства: отношение xiR**Xj истинно тогда
и только тогда, когда х(- предпочтительнее, чем х^ для всех
экспертов кроме может быть, одного.
217
Проиллюстрируем использование этого отношения на при-
мере системы, которая может находиться в одном из состоя-
ний {хр..., хр х/+1,...,х }. Каждое состояние характеризуется
набором показателей	Предпочтения экспертов на
множестве состояний X определяется следующим образом:
х?+1Л *xz истинно тогда и только тогда, когда yz+1 k^.yt к,
т.е. к-й эксперт предпочитает новое состояние при условии улуч-
шения своего показателя ук. Последовательность состояний Хр...,
xt,...,xp, для которой выполняется х(7?**х/+1, называется тоталь-
но-мажоритарным путем из Xj в хр. При многошаговом при-
менении тотально-мажоритарного отношения на этом пути также
возникают парадоксы. Рассмотрим один из них.
Пусть состояние системы xt выражается через некоторую
совокупность ресурсов х/=(у1, у2, у$, Уд), выделяемых каждому
эксперту, причем J'i+J'2+J'3+J'4=‘s(-X/)- Пусть их начальные зна-
чения составляют хо=(1О, 10, 10, 10). Рассмотрим следующий
путь (х0, Хр х2, х3, х4):
хо=(1О, 10, 10, 10) 5(х0)=40;
Xj=(1 1, 11,11, 5) s(xj)=38;
х2=(12, 12, 5, 6) л(х2)=35;
х3=(13, 5, 6, 7) л(х3)=31;
х4=(5, 6, 7, 8) л(х4)=26.
Каждый переход в следующее состояние одобряется боль-
шинством экспертов (тремя из четырех), поскольку их ресурс
возрастает в то время, как у одного из них значительно умень-
шается. Тем не менее в результате снизился как их индивиду-
альный ресурс, так и общий ресурс системы (на 14 единиц).
Отсюда видно, как абсолютно демократическим путем, мани-
пулируя правилами выбора, можно ухудшить жизнь самих
избирателей. Рассмотренный способ голосования с одной сто-
роны отражает эгоистическую психологию людей — «лишь бы
меня не трогали», хотя «волна» неизбежно настигнет каждого,
а с другой стороны — хитроумную организацию переходов
с экономией на каждом возрастающей доли ресурса.
218
7.5.	Аксиомы системы голосования
Парадоксы систем голосования, использующих правило
большинства, привели к необходимости сформулировать
предъявляемые к ним требования в явном виде. Это сделал
К. Эрроу, предложивший следующие шесть аксиом [37].
1.	Аксиома универсальности. Система голосования должна
учитывать все возможные распределения голосов избирателей
(экспертов). Это означает, что необходимо учесть все потенци-
альные предпочтения избирателей на этапе подготовки к голосо-
ванию. Этому требованию отвечает, например, табл. 7.1, содер-
жащая все списки потенциальных предпочтений избирателей.
Не отвечают ему табл. 7.2 и 7.3, не обладающие этим свойством.
2.	Аксиома полноты. Система голосования должна учиты-
вать все пары предпочтений (х(-, х) из возможных распределе-
ний голосов избирателей (экспертов). В табл. 7.1—7.3 приве-
дены только по три пары предпочтений, получившие больше
половины голосов. Однако подсчету должны подлежать
все пары предпочтений.
3.	Аксиома ненавязанности группового решения. Это условие
требует, чтобы групповое решение принималось на основе
рассмотрения всех индивидуальных предпочтений. Не долж-
но быть пар (х-, Ху), которые априорно принадлежат, либо
не принадлежат групповому отношению R независимо от ин-
дивидуальных предпочтений. Эта аксиома фактически усили-
вает предыдущие: недостаточно учесть все пары предпочтений
из всех возможных распределений, нужно, чтобы их оценки
делались избирателями, а не привносились извне.
4.	Аксиома независимости. Это условие означает, что груп-
повое решение о предпочтении объектов в паре (х? ху) прини-
мается без учета того, как эти объекты соотносятся с другими
объектами. Заметим, что на практике это условие часто нару-
шается. Обычно эти «третьи» объекты держатся в голове,
что оказывает влияние на выбор предпочтений. Это явление
нетрудно проиллюстрировать на примере судейства соревно-
ваний по фигурному катанию, когда очки «приберегаются»
для еще не выступавших, но, по мнению комиссии, более силь-
ных кандидатов.
219
5.	Аксиома транзитивности. Содержание этой аксиомы оче-
видно и рассматривалось ранее. Цикл в предпочтениях
не позволяет выявить сильнейшего кандидата и является од-
ной из причин возникновения парадоксов при применении
правил большинства.
6.	Аксиома отсутствия диктатора. Это означает, что груп-
повое отношение R=F(R^,..., /?к,...,/? )и/?к, т.е. не должно
совпадать с индивидуальным предпочтением k-го эксперта.
В противном случае к-й эксперт называется диктатором, по-
скольку его воля навязывается всем остальным экспертам, мнение
которых не учитывается.
На основании анализа предложенных аксиом Эрроу при-
шел к выводу об их несовместности, т.е. невозможности од-
новременного выполнения всех изложенных в них условий.
Этот вывод постулируется следующей теоремой.
Теорема Эрроу (невозможности). Для иг2 и N&3 не суще-
ствует принципа согласования, удовлетворяющего аксиомам
1—6.
Доказательство этой теоремы фактически получено демон-
страцией парадоксов голосования в рассмотренных ранее раз-
личных принципах согласования отношений.
7.6.	Преодоление теоремы невозможности Эрроу
Несмотря на пессимистический смысл теоремы Эрроу, тем
не менее решения в жизни все равно принимаются. Рассмотрим
различные способы преодоления теоремы невозможности Эрроу.
1.	Наиболее простым способом является несоблюдение пос-
ледней аксиомы. Оно заключается в приравнивании группо-
вого отношения R к предпочтениям одного из экспертов
F(RX,..., Rk,...,Rn)=Rk. Если группа не структурирована,
т.е. отсутствует лидер, его выбирают, таким образом принимая
его предпочтения. В противном случае принимаются предпочте-
ния руководителя группы (первого лица): F(R\,..., Rk,...,R )=Rl.
Несмотря на «диктаторский способ» принятия решения,
он бывает не так уж плох в зависимости от личности руково-
дителя, а в чрезвычайных ситуациях — просто неизбежен.
220
В оперативной обстановке это объясняется отсутствием време-
ни, а зачастую не существует условий для обсуждения вариан-
тов принятия решения.
2.	В ряде случаев для согласования предпочтений оказыва-
ется достаточным использование более информативной шкалы.
Например, при допустимом диапазоне значений в 1% двум
объектам с приоритетами 0,7 и 0,695 поставлен в соответствие
одинаковый ранг г. Если вернуться к интервальной шкале,
перейдя к точечным оценкам, ранги этих объектов можно сде-
лать различимыми. Более точный учет предпочтений экспер-
тов в интервальной шкале часто дает возможность согласо-
вать индивидуальные предпочтения.
3.	Как разновидность перехода к интервальной шкале мож-
но считать учет компетентности экспертов, т.е. замену равной
компетентности на неравную. Это позволяет согласовывать
предпочтения в пользу более компетентных экспертов, что ил-
люстрируется примером 6.7 в главе 6. Фактически это означает
«мягкую» реализацию диктаторского принципа.
4.	Достижение большинства возможно в ряде случаев пу-
тем сочетания мажоритарных правил с коалиционным подхо-
дом. Последний способ заключается в отказе от индивидуаль-
ных предпочтений в пользу предпочтения коалиции. Решение
принимается по соотношению голосов в коалиции. Этот спо-
соб популярен в политике, когда депутаты для достижения своих
целей разбиваются на фракции, к которым применяются ма-
жоритарные правила.
5.	Принятие решение по результатам тестирования. Этот
способ основан на проведении эксперимента, по результатам
которого принимается согласованное решение. Предметом
согласования является тест и критерии оценки его результата.
После получения результата решение принимается «автомати-
чески» на основе предыдущей договоренности. Иллюстрацией
этого подхода является принятие решения одним из парламен-
тов по поводу приговора преступникам, совершившим убий-
ство, к смертной казни. Была достигнута договоренность
о сроке, в течение которого смертная казнь заменялась на менее
строгую меру наказания. Если в течение этого срока количество
убийств не увеличивалось, то следовало перейти к этой мере.
221
По прошествии означенного срока было принято решение об
отмене смертной казни, поскольку за это время количество
убийств в стране не увеличилось.
6.	Поиск компромисса (консенсуса). В ряде случаев этот способ
согласования индивидуальных оценок оказывается единствен-
но возможным. Он основан на согласовании интересов сторон
Рис. 7.3. Графическая модель гар-
монизации интересов сторон
интересов в пользу стороны
в пользу стороны I, при этом
за счет взаимных уступок.
Графически эта ситуация ил-
люстрируется на рис. 7.3.
Сферы I и II отражают об-
ласти интересов двух сторон,
образовавшихся в группе эк-
спертов. Их пересечение яв-
ляется зоной общих интере-
сов. Линии 1, 2, 3 иллюстри-
руют правила согласования
интересов.
Пунктирная линия 1 сви-
детельствует о согласовании
II, а пунктирная линия 3 —
значительно ущемляя интере-
сы стороны II. Реальный компромисс характеризуется ли-
нией 2, в равной мере обеспечивающей интересы противо-
положных сторон.
Нередко люди приравнивают уступку поражению. Отказ
от уступок порождает конфронтацию и фактический отказ
от конструктивного подхода к согласованию предпочтений. На-
родная мудрость гласит: «Худой мир лучше доброй ссоры».
Конечно, поиск компромисса непрост, но безусловно продук-
тивен, и это искусство необходимо осваивать.
7.	Замена группы экспертов. Этот подход является крайней
мерой, к которой приходить прибегать, если все предыдущие
не дают результатов. Ситуацию «лебедь, рак и щука», харак-
теризующую неспособность к выработке общего решения, можно
исключить только подбором экспертов, нацеленных на конст-
руктивное решение поставленной задачи даже с определенным
ущемлением их личных интересов.
222
7.7.	Групповая оценка величин
Групповая оценка величин имеет целью объективизацию
субъективных оценок и применяется по отношению к каждой
анализируемой величине. В процедуре оценивания принимают
участие нескольких экспертов. Поскольку индивидуальные
оценки экспертов, как правило, различаются, возникает зада-
ча их усреднения, которая рассматривается ниже.
В качестве оцениваемой величины может выступать либо сам
объект, подлежащий оцениванию, либо значение некоторого ха-
рактеризующего его признака. Обозначим объективное значение
измеряемой величины через а, а его индивидуальную (субъектив-
ную) оценку, выполненную к-м экспертом — через а*к (рис. 7.4).
Э1
Э2
ЭЗ
Группа
«з
Рис. 7.4. Определение групповой оценки измеряемой величины
Групповая оценка величины а, выполненная п экспертами,
находится по формуле средневзвешенного среднего:
п
а*-^Ркак>	С7-1)
где pk — компетентность (вес) &-го эксперта,
причем
п
(7.2)
223
Мерой согласованности мнений экспертов служит величина:
(7.3)
Относительная величина согласованности выражается ко-
эффициентом вариации случайной величины:
v=s/a*.	(7.4)
К величине у предъявляется требование v^0,2.
Для нахождения доверительного интервала [а - Да, а + Да]
величины а предполагается, что групповая оценка а* являет-
ся нормально распределенной величиной с параметрами а
и а2, оцененными величинами a*, s2, заменяющими выбороч-
ные среднее и дисперсию. Предполагается также, что величина
(7.5)
S
имеет распределение Стъюдента с п-1 степенью свободы.
Если в качестве доверительной вероятности а выбрать
вероятность попадания величины (7.5) в интервал [-/а, га],
то с этой же вероятностью величина а считается заключенной
в интервале:
» s
а Г
у/П - 1
(7.6)
Величина t находится по таблице квантилей распределе-
ния Стъюдента с п-1 степенью свободы.
Пример 7.1. Пяти независимым экспертам предложено оце-
нить (в годах) длительность периода выхода некоторой эконо-
мической системы из кризиса. Результаты опроса приведены
в табл. 7.4. Требуется определить, в каких пределах, согласно
мнению экспертной группы, заключена указанная величина,
если в качестве доверительной вероятности взять а=0,9.
Таблица 7.4
а*к	5	3	7	5	10
	В		0,2	0,2	0,4	0,1	0,1
224
Решение. По формулам (7.1) и (7.3) вычисляем а*=5,9; $2=5,65;
5=2,36. Поскольку п-1 =4, то по таблице квантилей распреде-
ления Стъюдента с четырьмя степенями свободы находим
/а=2,132. Из (7.6) определяем соответствующий доверительный
интервал Да=(3,4; 8,4). Итак, согласно мнению экспертной группы,
с вероятности взять а=0,9 период выхода некоторой экономи-
ческой системы из кризиса продлится от 3,4 до 8,4 лет.
7.8.	Усреднение результатов парных сравнений
Этот подход характеризуется формированием индивидуаль-
ной матрицы парных сравнений каждым экспертом. На основе
индивидуальных МПС вычисляются значения весовых коэф-
фициентов и коэффициентов совместности оценок т]. Затем
выполняется усреднение вычисленных экспертных оценок
с использованием формулы (7.1) и определяется степень согла-
сованности мнений экспертов по формуле (7.4).
Поскольку при применении этого подхода усреднению под-
лежат результаты индивидуальных предпочтений, групповая
оценка не зависит от вида используемой МПС (значности
ее элементов) и принципа расчета весовых коэффициентов. Рас-
смотрим эту задачу на примере матрицы строгих предпочте-
ний с единичной диагональю.
Пример 7.2. Найти групповую оценку четырех объектов, оце-
ненных четырьмя экспертами с применением строгих предпочте-
ний. Справа от индивидуальных МПС приведены рассчитанные
на их основе векторы приоритетов ак и весов wk, &= 1,2,3,4.
Э1	А	В	с	D	а,	w,
А	1	1	1	1	4	0,4
В	0	1	1	1	3	0,3
С	0	0	1	1	2	0,2
D	0	0	0	1	1	0,1
32	А	в	с	D	а	
А	1	1	1	1	4	0,4
В	0	1	0	1	2	0,2
С	0	1	1	0	2	0,2
D	0	0	1	1	2	0,2
225
эз	А	в	с	D	а.	И’,-
А	1	1	0	1	3	0,3
В	0	1	0	0	1	0,1
с	1	1	1	0	3	0,3
D	0	1	1	1	3	0,3
Э4	А	В	с	D	а,	W;
А	1	0	0	1	2	0,2
В	1	1	0	0	2	0,2
С	1	1	1	0	3	о,з
D	0	1	1	1	3	0,3
Значения групповых весовых коэффициентов для объектов
А, В, С, D, рассчитанные по формуле (7.1) при условии равной
компетентности экспертов />^=0,25, к=1, 2, 3, 4, равны соответ-
ственно: 0,325; 0,2; 0,25; 0,225.
В табл. 7.5 приведены оценки s2, s и значения коэффициента
вариации у весовых коэффициентов для объектов А, В, С, D.
Таблица 7.5
	А	В	С	D
W	0,3250	0,200	0,2500	0,2250
S2	0,0068	0,005	0,0025	0,0068
S	0,0824	0,071	0,0500	0,0820
V	0,2500	0,355	0,2000	0,3660
Как следует из табл. 7.5, для всех объектов значения коэффици-
ента вариации v превышают 20%, достигая 36%, что свидетельству-
ет о неудовлетворительной согласованности мнений экспертов.
Рассмотрим индивидуальные коэффициенты совместности
оценок г]. Графы предпочтений, построенные по матрицам пар-
ных сравнений, изображены на рис. 7.5, а, б, в, г.
Рис. 7.5. Графы предпочтений четырех экспертов
226
Из изображенных графов только первый не имеет циклов.
Второй и третий графы имеют циклы В DC В и A DC А соответ-
ственно, а четвертый граф имеет два цикла: ADCA и ADBA.
Учитывая, что в орграфе с четырьмя вершинами Jmax 0=2, ин-
дивидуальные коэффициенты совместности оценок ц равны
соответственно: 1; 0,5; 0,5; 0. Для определения группового
коэффициента совместности парных оценок необходимо ана-
лизировать групповой граф предпочтений, построение кото-
рого требует построения групповой МПС, что не выполняется
в рамках рассмотренного подхода. Эта задача решается в рам-
ках другого подхода, который излагается в следующей главе.
7.9.	Групповые парные сравнения
7.9.1.	Расчет групповых приоритетов
Этот метод групповой оценки объектов основан на предва-
рительном совмещении индивидуальных матриц парных срав-
нений. По полученной в результате групповой матрице пар-
ных сравнений рассчитываются весовые коэффициенты.
Способ совмещения индивидуальных оценок зависит от вида
МПС. Рассмотрим случай строгих предпочтений. Для них зна-
чение afy=l элемента матрицы парных сравнений отражает факт
предпочтения вида x>Xj, а значение (0^=1) — факт пред-
почтения вида Xj>Xj. Такая интерпретация элементов матриц
позволяет подсчитывать число фактов предпочтения вида х>х-
и x>xt для каждой пары объектов (xz, Ху), i, j=l,..., N.
Это свойство матрицы строгих предпочтений дает возмож-
ность получать групповую оценку объектов путем суммирова-
ния матриц Ар..., А^,...,АП, построенных п экспертами. Элемент
результирующей матрицы характеризует число строгих пред-
почтений вида x >Xj, а элемент а„ — число предпочтений вида
x>Xj. Таким образом, для пары (х;-, Ху), i,	сумма пред-
почтений совпадает с числом экспертов: а^+а-=п.
Расчет весовых коэффициентов объектов при групповой эк-
спертизе для случая накопления фактов предпочтения выпол-
няется путем суммирования элементов групповой МПС по той
же формуле, что и для индивидуальных МПС с последующей
нормализацией сумм.
227
Пример 7.3. Определить приоритеты объектов A,B,C,D
по групповой матрице строгих предпочтений, полученной путем
суммирования индивидуальных МПС из примера 7.2.
	А	В	С	D	а	
А	4	3	2	4	13	0,325
В	1	4	1	2	8	0,200
С	2	3	4	1	10	0,250
D	0	2	3	4	9	0,225
Матрица корректна, поскольку для всех пар (xz, ху) ау+а^=4.
Значение ее диагональных элементов равно числу экспертов:
аи=п, i=l,...,4, поскольку исходные матрицы имеют единич-
ную диагональ. Вектор групповых приоритетов w рассчитан
на основе суммарных предпочтений at в каждой строке мат-
рице, нормированных величиной 40. Их значения совпадают
с результатами, полученными методом усреднения индивиду-
альных оценок в примере 7.2.
В том случае, когда индивидуальные МПС имеют нулевую
диагональ, различие весовых коэффициентов, рассчитанных по
групповой матрице, более заметно, поскольку исключается
постоянная составляющая п. При этом вес наименее значимо-
го объекта не обязательно равен нулю.
7.9.2.	Определение совместности попарных сравнений
В отличие от предыдущего рассматриваемый подход позво-
ляет выполнять анализ групповых предпочтений на нетранзи-
тивность, влекущую появление циклов в графе предпочтений.
Для выполнения анализа необходимо преобразовать матрицу
групповых парных сравнений в матрицу смежности графа.
С этой целью элементы групповой МПС интерпретируются бу-
левыми значениями матрицы предпочтений следующим образом:
если а.. : У	> а.. — дуга	(х.,х.);
если а.. У	< а.. — дуга	(х.,х.);
и а..=1,	если а.. = а ...	
I .. “ 1. VVJAX1 I* .. — 14 .. .
JI	У J1
(7.7)
228
Поскольку свойство рефлексии при анализе циклов в графе
не используется, все диагональные элементы групповой мат-
рицы смежности обращаются в ноль: <2^=0, i=l,...,N.
Третья строка правила означает возможность появления
нестрогих предпочтений, когда число голосов, поданных «За»
и «Против» предпочтения (х;., хр совпадают: а^= а~. С появле-
нием хотя бы одного ребра орграф обращается в смешанный
граф. Его анализ выполняется с применением принципов, раз-
работанных для случая индивидуальных предпочтений.
Пример 7.4. Определить коэффициент совместности оценок
т| для групповой МПС, приведенной в примере 7.3. По сфор-
мулированным выше правилам для групповой МПС построим
матрицу смежности.				
	А	В	С	D
А	0	1	1	1
В	0	0	0	1
С	1	1	0	0
D	0	1	1	0
Граф групповых предпочтений для групповой матрицы смеж-
ности представлен на рис. 7.6.
Граф является смешанным, поскольку содержит два ребра
(АС) и (BD). Они порождают два цикла: ADCA и BDCB. Чис-
ло фактических d и базисных Jmax н циклов в смешанном гра-
фе определяется с использованием алгоритма пошагового ана-
лиза нетранзитивностей, приведенного в пункте 6.5.3.
Для рассматриваемого полного графа с числом вершин 2V=4
число базисных циклов Jmax н=2. Отсюда коэффициент совме-
стности равен т] = 1—<У/б/тах н= 1—2/2=0, что сви-
детельствует о полной несовместности пар-
ных сравнений в групповой МПС.
Этот пример показывает слабую корреляцию (сход-
ство) групповой и индивидуальных матриц парных
сравнений. Таким образом, даже полное отсутствие
циклов в части индивидуальных экспертных оценок
не гарантирует их отсутствие в групповой оценке.
Рис. 7.6. Граф
групповых
предпочтений
229

7.9.3.	Оценка меры согласия между экспертами
Использование в рассматриваемом подходе матрицы груп-
повых парных сравнений позволяет дополнительно к коэффи-
циенту совместности парных оценок находить коэффициент
согласия и между экспертами. Он определяется как отношение
фактической согласованности оценок к максимальной: u=s!S.
Максимальная согласованность 5 соответствует случаю
полного единодушия экспертов. В МПС оно проявляется сле-
дующим образом: половина клеток групповой матрицы стро-
гих предпочтений за исключением диагональных содержит
по п единиц, а остальные клетки — нули. Число таких клеток
равно числу клеток треугольной матрицы: fy =
Отсюда величина S представляется произведением:
S^n-cl^n'N^N~l\	(7.8)
2
Отсутствие согласованности экспертных оценок имеет мес-
то в том случае, когда голоса «За» и «Против» предпочтения
(х^ распределяются поровну для всех пар МПС. Этому случаю
соответствует равенство клеток, симметричных относитель-
но главной диагонали: a^aj^ Такое равенство возможно
при четном количестве экспертов.
Таким образом, коэффициент согласия и измеряется в абсо-
лютной шкале [0,1], где значение 0 соответствует отсутствию
согласия, а 1 — полному единодушию экспертов. Исходя из
этого, степень согласия экспертных оценок при формировании
группового предпочтения для пары (х(, Ху) выражается величи-
ной неравенства |а-—Од|>0. Общая степень согласия эксперт-
ных оценок s рассчитывается как сумма неравенств, сформи-
рованная для верхней треугольной матрицы в МПС:
У-1 N
'*7-	(7.9)
(=1 у=< + 1
После подстановки значения 5 в формулу и получим:
N(N-\)n
230
Рассмотрим максимальную согласованность индивидуаль-
ных предпочтений на следующем примере.
Пример 7.5. Рассчитать коэффициент согласия и между че-
тырьмя экспертами (н=4), вынесшими согласованные оценки
по предпочтениям для четырех объектов (У=4).
Суммируя разности \а- - а^\ по формуле (7.9), получаем
величину 24. Такую же величину имеет максимальная согла-
сованность индивидуальных предпочтений S, рассчитанная
по формуле (7.8). Значение м=1 подтверждает очевидное со-
гласие между индивидуальными предпочтениями экспертов.
	А	А	В 4	С 4	D 4	j	aij	a ji 12
Ag=	В С	0 0	0	4	4 4		8 4
	D S	0	0	0	—		0 24
Другое крайнее значение, равное нулю, коэффициент согла-
сия и примет в том случае, когда всем недиагональным эле-
ментам групповой МПС присвоить значение 2: ац=а^=п/1=2.
Промежуточное значение 0<м<1 получим на следующем
примере.
Пример 7.6. Рассчитать коэффициент согласия и для групповой
матрицы строгих предпочтений, представленной в примере 7.3.
Значения разности для клеток верхней треугольной
матрицы равны: 2; 0; 4; 2; 0; 2. Их сумма равна 10. Учитывая,
что для этого примера 5=24, коэффициент согласия равен:
и=10/24=0,42.
Таким образом, несмотря на полную порядковую несогла-
сованность групповых парных сравнений (т]=0 в примере 7.4)
численное согласие между экспертами оценивается в 42%.
Применение обоих показателей позволяет получить более пол-
ную картину согласованности индивидуальных оценок.
Необходимо подчеркнуть корректность вычисления ко-
эффициента согласия и в случае использования равноцен-
ности объектов путем означивания единицей симметричных
относительно главной диагонали элементов МПС: а^=а^.
231
Это не оказывает влияния на значение нормирующего коэффи-
циента S и на разность	поскольку на 1 увеличиваются
оба члена разности.
Необходимость дополнительного анализа возникает при исполь-
зовании значения а(у=2 при x>Xj в матрице результатов турнира.
7.10.	Расчет групповых рейтингов
Пусть имеется множество объектов (признаков) Х={х^,
Xj,...,xN}, значимость которых оценивается в порядковой шкале.
Поставим в соответствие объекту Xj ранг ру, j = 1, TV, харак-
теризующий его место среди других объектов, причем ранг
ру= 1 примем за наивысший. Вектор рангов будем называть ран-
жировкой или рейтингом объектов. Очевидно, что число раз-
личных вариантов рейтинга объектов равно TV!.
Если для выявления рейтинга объектов привлекается п экс-
пертов, то на основе присвоенных ими у-му объекту индивиду-
альных рангов pjk, к=\,..,п, вычисляется групповой суммарный
ранг у-го объекта:
п
(7.11)
Групповой ранг у-го объекта вычисляется с привлечением
коэффициента компетентности экспертов рк, к=1,...,п,
по формуле
PkPjk-	(7.12)
В отличие от суммарного группового ранга групповой ранг при
неравной компетентности экспертов, как правило, представляет собой
нецелочисленную величину. При равной компетентности экспертов
рк=\!п он сводится к средневзвешенному рангуу-го объекта:
Групповые ранги не обязательно сохраняют порядок сле-
дования объектов, установленный отдельными экспертами.
232
Ввиду этого не гарантируется также групповая транзитивность
предпочтений, имеющая место при индивидуальной оценке ран-
гов. Рассмотрим это свойство групповой оценки на примере.
Пример 7,7. Пусть тремя экспертами установлены следую-
щие отношения между тремя объектами:
В столбцах рассчитан суммарный ранг у-го объекта, у=1, 2, 3,
по оценкам трех экспертов. Для всех объектов он равен шести.
	Х1	Х2	х3
Эксперт 1:	Х1>Х2>^3	1	2	3
	+ +	+	
Эксперт 2:	x3>xJ>x2	2	3	1
	+ +	+	
Эксперт 3:	х2>хз>х1	3	1	2
	') 6	6	6
Средневзвешенный ранг объектов, рассчитанный с учетом рав-
ной компетентности экспертов (р1=р2=/’з=0,333), равен г .'=2,
у=1, 2, 3. Граф группового предпочтения, построенный на
основе суммарных или средневзвешенных рангов, имеет цикл.
Таким образом, несмотря на отсутствие нетранзитивности в
индивидуальных предпочтениях, она может возникать в груп-
повом предпочтении.
При неравной компетентности экспертов в групповом пред-
почтении транзитивность сохраняется в пользу эксперта с боль-
шей компетентностью.
Пример 7,8. Вычислим средневзвешенный ранг объектов
для предыдущего примера при следующей компетентности эк-
спертов: Р]=0,5, /?1=0,3, pj=0,2.
В этом случае групповой ранг объектов зависит от компе-
тентности экспертов. Поскольку компетентность первого экс-
перта оказывается наиболее высокой, групповой ранг р* сов-
падает с рангами, присвоенными объектам первым экспертом.
Это позволяет сохранить транзитивность графа предпочтений
первого эксперта.
233
	*1	х2	*3
1. Эксперт 1	Р[-0,5 xl>x2>x-i	0,5-1	0,5-2	0,5-3
	+	+	+
2. Эксперт 2	р2=0,3	х3>х1>х2	0,3-2	0,3-3	0,3-1
	+	+	+
3. Эксперт 3	/?3=0,2	х2>х3>х[	0,2-3	0,2-1	0,2-2
rj	1,7	2,1	2,2
Р/	1	2	3
7.11.	Согласованность рейтингов
Мера согласованности индивидуальных предпочтений экс-
пертов, измеренных в шкале строгого порядка, вычисляется
относительно среднего суммарного ранга f. Он является функци-
ей числа объектов N и экспертов п и определяется по формуле:
п N
г, = -=1-°1— = — n(N +1)	(7.14)
J п 2
Как следует из формулы (7.14), средний суммарный ранг г
не зависит от содержимого матрицы экспертных оценок, а опре-
деляется только ее размерностью и х N. Нахождение меры со-
гласованности и рейтингов можно рассматривать как обобщение
задачи корреляции двух рейтингов. Источниками и рейтингов мо-
гут являться как группа независимых экспертов, так и независимые
группы показателей, характеризующих анализируемые объекты.
Индивидуальное отклонение суммарного ранга j-ro объек-
та от среднего определяется как:
(7.15)
Мера согласованности п рейтингов определяется как сумма
квадратов индивидуальных отклонений суммарного ранга объек-
тов от среднего:
N ->
s(d2) = ^(rj-r) .	(7-16)
j-1
234
Пример 7.9. Пусть определены следующие четыре рейтинга
для шести объектов.
		А	В	С	D	Е	F	5(rf2)
Pl	—	5	4	1	6	3	2	
Р2	—	2	3	1	5	6	4	
Рз	—	4	1	6	3	2	5	
Р4	=	4	3	2	5	1	6	
Г;	—	15	11	10	19	12	17	
d.		1	-3	—4	5	-2	3	
£	=	1	9	16	25	4	9	64
Р/	=	4	2	1	6	3	5	
В последней строке приведен групповой рейтинг ру*, рас-
считанный на основе средних суммарных рангов.
Согласно формуле (7.14) rj =4-7/2=14, а мера согласованно-
сти s(<72), вычисленная по формуле (7.16), равна: 5(J2)=64.
Для определения относительного отклонения определим
максимальное значение 5. Оно имеет место при совпадении всех
п экспертных оценок. Проиллюстрируем это на следующем
примере 7.10.
Пример 7.10.
		А	В	С	D	Е		F	
Pi	=	1	2	3	4	5		6	
Р2	=	1	2	3	4	5		6	
Рз	==	1	2	3	4	5		6	
Р4	=:	1	2	3	4	5		6	
П	=	4	8	12	16	20		24	
di	=:	-10	-6	-2	2	6		10	
	=:	100	36	4	4	36		100	
S ~ 5тли(^)	=	100	+ 36	+	4	+	4	+ 36	+	100	= 280
В общем виде отклонения dj определяются как
Подставляя их в формулу (7.16), получаем:
S = -L„2(tV3_7v)	(7.17)
235
Отношение фактического квадратичного отклонения s(d2)
к максимальному называется коэффициентом конкордации
(согласия) экспертов W:
I2s(d2)
n2(N3-N)
(7.18)
W=l в случае полной согласованности рейтингов и W=0 —
в случае их полного рассогласования. Величина W, вычислен-
ная по формуле (7.18) для примера 7.9, равна PF=0,228.
Эта величина свидетельствует о неудовлетворительной согла-
сованности индивидуальных предпочтений экспертов при оценке
объектов в порядковой шкале («лебедь, рак и щука»). В таком
случае надо сближать предпочтения экспертов либо формиро-
вать другую группу экспертов.
Следует подчеркнуть, что коэффициент конкордации W имеет
нелинейную шкалу. В табл. 7.6 приводятся его значения при
оценке разным числом экспертов (от четырех до семи) четырех
объектов (.У=4) с взамнообратными рейтингами.
Таблица 7.6
№ п/п	п	Соотношение взаимно- обратных рейтингов (1,2, 3,4) и (4, 3, 2, 1)	Средний суммарный ранг	W
1	4	2:2	10,0	0
2	4	3:1	10,0	0,250
3	5	3:2	12,5	0,040
4	6	4:2	15,0	0,125
5	6	5:1	15,0	0,420
6	7	4:3	17,5	0,020
Согласно первой строке табл. 7.6, при равенстве противо-
положных оценок PF=0 (случай равновесия). При малом раз-
личии в противоположных оценках (строки 3 и 6) PF близок
к 0. При увеличении соотношения (до 5:1) он увеличивает-
ся и равен 1 при полном совпадении всех рейтингов.
Рассмотрим оценку согласованности индивидуальных пред-
почтений, измеренных в шкале нестрогого порядка. Этому
случаю присуще наличие неразличимых относительно порядка
объектов, характеризуемых связанными рангами.
236
Пример 7.11. Пусть объекты А, В, С, D, Е, F упорядочены
следующим образом: A>B=C=D>E-F. Им ставится в соот-
ветствие рейтинг r=( 1, 2, 2, 2, 3, 3), содержащий две группы
связанных (одинаковых) рангов.
Для оценки уменьшения различимости объектов использу-
ется средний по j-й группе ранг, вычисляемый по формуле:
=7“ 2^-1 +,‘)
* i •• i
J <=1
(7.19)
Индекс i соответствует порядковому номеру объекта, пред-
шествующего группе связанных рангов, a tj — числу одинако-
вых рангов в у-й группе.
Согласно формуле (7.19) средние ранги первой и второй групп
в примере 7.9 равны соответственно:
П = (2 + 3 + 4)/3 = 3 и г2 = (5 + б)/2 = 5,5.
Сумма квадратов отклонений рангов от среднего в одной
группе рангов по отношению к шкале строгого порядка умень-
шается на величину:
(7.20)
Второй член формулы (7.20) преобразуется к следующему виду:
После подстановки его в формулу (7.20) и последующего
преобразования формула (7.20) приобретает вид:
(7.21)
Если в ранжировке, предложенной к-м экспертом, к = 1, п, имеется
1к групп связанных рангов, и tj — объему-й группы, j = \,1к, то умень-
шение суммы квадратов отклонений рангов от среднего составит:
(7.22)
237
Общая сумма квадратов отклонений рангов от среднего
для всей группы экспертов составит:
(’-23)
С учетом поправок на отклонения рангов от среднего коэффи-
циент конкордации при нестрогом ранжировании объектов равен:
(7.24)
7.12.	Значимость коэффициента конкордации
Она определяется на основе модели полного рассогласования
мнений экспертов. Полное разногласие отвечает случайному вы-
бору системы, состоящей из п ранжировок, которую можно выб-
рать из совокупности всех nN! равновероятных систем ранжиро-
вок. В этом предположении W оказывается случайной величиной.
Для небольших п и N ее распределение затабулировано. При п -* <ю
распределение величины «(A-l)^ сходится к х2-распределению
с (N-1) степенями свободы. Апроксимация предельным распреде-
лением приемлема для многих задач уже при иг7.
Величину «(TV-l)^ естественно использовать в качестве те-
стовой статистики для проверки соответствия анализируемой
системы ранжировок модели случайного выбора, т.е. гипоте-
зы Н. Пусть доверительная вероятность истинности гипотезы
Н равна а. Она связывается с тестовой статистикой следую-
щим условием:
p(n(^-l)PF>Za)=a,	(7.25)
где ta — квантиль распределения %2(У-1).
На основе значения а вычисляется значение доверительной
вероятности ложности гипотезы Н: 1-а. Оно характеризует зна-
чимость (неслучайность) анализируемой системы ранжировок.
238
Рассмотрим значимость групповой ранжировки из примера 7.9.
Для него величина п(ЛМ)И/=20-И/=4,57. Примем малую веро-
ятность случайности анализируемой системы ранжировок а=0,01.
По таблице квантилей распределения х2 с пятй степенями
свободы найдем квантиль za= 15,086, соответствующий а=0,01.
При этом условие р(х2(5)>/а)=0,01 не выполняется, поскольку
неравенство 4,57> 15,086 ложно и значение вероятности а=0,01
слишком мало. Найдем в этой же строке таблицы значение
квантиля, удовлетворяющее условию (7.25). Оно равно ta-4,351.
Этому значению ta соответствует значение а=0,5. Таким обра-
зом, доверительные вероятности истинности и ложности гипо-
тезы Н в примере 7.9 равны, что свидетельствует о слабой зна-
чимости найденного коэффициента конкордации 1F=O,228. Это
лишний раз подтверждает плохую согласованность индивиду-
альных предпочтений экспертов, указанную выше. Очевидно,
что причинами такой неопределенности доверительной вероят-
ности являются малые значения п и W.
Обсуждение
При нахождении групповых экспертных оценок приорите-
тов и рейтингов объектов существует проблема согласован-
ности индивидуальных экспертных оценок. Она проявляет-
ся в нарушении транзитивности группового предпочтения и
в несогласованности индивидуальных предпочтений. Для изме-
рения степени несогласованности используются коэффициенты:
•	вариации v — при нахождении значения произвольной
величины;
•	конкордации (согласия экспертов) W — при определе-
нии рейтингов;
•	согласия и — при групповых парных сравнениях объектов.
При решении этих задач были получены ответы на следую-
щие вопросы:
•	Как найти групповую оценку на основе п индивидуаль-
ных оценок?
•	Как измерить степени согласия индивидуальных оценок?
•	Как определить, является ли измеренная степень согла-
сия значимой?
239
При применении в групповой оценке матриц парных срав-
нений используется также коэффициент совместности парных
сравнений т], учитывающий нетранзитивность предпочтений.
Коэффициент вариации v используется при вычислении груп-
повых весовых коэффициентов Wj на основе индивидуальных.
Коэффициент конкордации W применяется в том случае, когда
при задании предпочтений используется порядковая шкала,
т.е. при назначении экспертами рейтинга объектов. В принци-
пе можно оценивать меру согласия экспертов W путем перехо-
да от шкалы отношений к порядковой шкале. Однако этого не
следует делать по той причине, что индивидуальные оценки
весов различаются лишь абсолютными величинами, а их соот-
ношение, как правило, сохраняется у большинства экспертов.
Групповое экспертное оценивание может применяться
не только для нахождения приоритетов и рейтингов объектов.
В [77] оно используется для упорядочения объектов по харак-
теризующим их признакам с применением аппарата мульти-
множеств. Признаки сопоставляются не по объективно изме-
ренным значениям, а по числу голосов экспертов, поданных
за каждое значение. Это позволяет перейти от словесных фор-
мулировок значений, например, «низкое», «среднее», «высо-
кое» к их численным эквивалентам, например 2, 3 и 4 соответ-
ственно. По большинству поданных голосов принимается одно
из значений признака, например, «высокое».
Для упорядочения объектов относительно некоторой цели
формируются «идеальное» и «антиидеальное» решения. В пер-
вом из них всем критериям эксперты дают наивысшие оценки,
а во втором — ни один из экспертов не дает наивысшей оцен-
ки. Идеальное решение является частным случаем образца
(см. главу 5.7). Так же, как и при упорядочении объектов от-
носительно образца, осуществляется переход от векторной
оценки объектов к скалярной, для чего используется аддитив-
ная функция полезности по приращениям.
Групповое экспертное оценивание может применяться как
при построении модели выбора, так и при анализе получен-
ных результатов выбора. При первом подходе индивидуаль-
ные оценки согласуются на каждом этапе построения модели:
определении перечня признаков, их структуры и значимости.
240
Во втором подходе [77] эксперты используют индивидуальные
модели выбора. Второй подход обеспечивает большую само-
стоятельность (независимость) экспертов, но при этом резуль-
таты экспертных оценок могут значительно различаться меж-
ду собой. Таким образом, существуют различные подходы
к групповой оценке приоритета сущностей. Для их реали-
зации разработаны соответствующие формальные модели.
Тем не менее выбор того или иного подхода является своего
рода искусством, на которое, в частности, влияет привержен-
ность автора к той или иной парадигме.
Выводы
1.	Проблема группового выбора состоит в агрегировании
индивидуальных предпочтений экспертов в единое групповое
предпочтение. Для агрегирования используются два подхода:
мажоритарный и усредняющий.
2.	Мажоритарный подход реализует ординальный (поряд-
ковый) принцип предпочтений, при котором оцениваемые
объекты упорядочиваются по большинству поданных за них
голосов. Он широко используется в различных системах выбо-
ра наилучшего объекта, в том числе и при формировании граж-
данских институтов.
3.	Мажоритарное групповое предпочтение может оказать-
ся нетранзитивным, даже если все индивидуальные предпочте-
ния являются линейными квазипорядками. Согласно теореме
о невозможности Эрроу, не существует принципа согласова-
ния индивидуальных предпочтений, не нарушающего аксиомы
систем голосования, использующих правило большинства. Это
касается рассмотренных принципов Кондорсе (подсчет парных
предпочтений), Борда (балльное оценивание мест) и подавля-
ющего большинства (тотально-мажоритарное отношение).
4.	Для преодоления теоремы о невозможности приходится
либо нарушать отдельные аксиомы правила большинства (прин-
цип диктатора), либо увеличивать информативность эксперт-
ного оценивания (использование более информативных шкал,
учет компетенции экспертов), либо вводить дополнительные
соглашения (предварительное тестирование, поиск компромисса).
241
5.	Принцип усреднения индивидуальных оценок используется
как при определении групповой оценки величин, так и индиви-
дуальных предпочтений (в матрицах парных сравнений) незави-
симо от применяемой шкалы (интервальной или порядковой).
При большом числе экспертов принцип усреднения может
быть реализован в матрице парных сравнений с использовани-
ем вероятностной меры, интерпретируемой предпочтениями в
долях от 1 (см. пункт 6.3).
6.	Как и мажоритарный, усредняющий принцип не свобо-
ден от возникновения нетранзитивности в групповом предпоч-
тении. Мера согласия экспертов выражается одноименным
коэффициентом в матричной модели предпочтений и коэф-
фициентом конкордации (английский эквивалент согласия) —
при экспертном групповом оценивании рейтинга объектов.
7.	Групповое экспертное оценивание может использоваться
не только для выявления мнения большинства или усреднения
индивидуальных оценок, но и для упорядочения сущностей
в многокритериальном пространстве с применением подходов,
изложенных в главе 5. Принципиальное отличие лежит лишь
в способе получения значений критериев (объективный или
субъективный).
Глава 8. ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ВЫБОР
В ГРУППЕ
Имея в виду какое-либо предприятие,
помысли, точно ли оно тебе удастся
Козьма Прутков
8.1.	Противодействие и содействие индивидуумов
Рассмотрим проблему индивидуального выбора при реше-
нии своих задач группой лиц. Принципиальное отличие такой
постановки задачи от коллективного выбора заключается в том,
что здесь не требуется выявление общего предпочтения
«=£(/?!,..., Rk,...,Rn) на множестве альтернатив Х= {хр..., ., Хд,}.
Каждый член группы должен делать свой самостоятельный
выбор в пределах выделенных ему прав или функциональных
обязанностей на некотором множестве альтернатив X'QX.
Разумность (рациональность) поведения индивидуумов
в экономической системе анализировалась в [71], где в пол-
ном соответствии с экономическим взглядом на вещи приня-
тие решений рассматривалось в терминах дележа (распределе-
ния) ресурсов или их денежных эквивалентов. Здесь же была
сформулирована функция полезности как экономического вы-
игрыша от выбора того или иного исхода.
Само понятие дележа в экономической системе предполага-
ет конфликтное поведение экономических субъектов, нацелен-
ное на наибольший выигрыш в условиях общего для них ре-
сурса. Этот взгляд на поведение лиц стимулировал развитие
игрового подхода к принятию решений, где субъекты интер-
претируются игроками со своими стратегиями поведения. Ха-
рактерной чертой взаимодействия игроков является их проти-
водействие. Между тем существует противоположный ему тип
взаимодействия субъектов, а именно содействие. В теории игр
оно может рассматриваться в рамках коалиции игроков и имеет
второстепенное значение.
243
Содействие субъектов наравне с их противодействием получило
развитие в многоагентных системах (МАС). Приоритет одного вида
взаимодействия над другим определяется назначением соответству-
ющей МАС. В разрушительной деятельности (например, борьба
в компьютерных играх) предпочтение отдается противодействию
субъектов, а в созидательной деятельности главенствующую роль
играет их содействие. Содействие характеризуется решением общей
задачи группой субъектов, где каждому из них назначается своя
роль. При этом не исключается противодействие субъектов, кото-
рое здесь приобретает второстепенное значение. Таким образом,
в рамках многоагентных систем на равных правах обобщаются оба
вида взаимодействия индивидуумов. Их поведение в МАС не ис-
черпывается только экономическим взглядом на вещи.
В соответствии с обобщенным подходом к взаимодействию
субъектов и решаемым ими задачам в теории многоагентных
систем получила развитие новая терминология. Здесь субъект
действия называется агентом. Этот термин подчеркивает
не только универсальность поведения субъекта и его отстра-
ненность от экономической теории, но и определенную обез-
личенность, ибо действует не сам заинтересованный в реше-
нии задачи субъект, а его представитель, называемый агентом.
Такая трактовка обязана использованию идей искусственного
интеллекта, где действующими лицами являются не реальные,
а искусственные объекты, как представители реальных ЛПР.
Принципиальной особенностью поведения индивидуума
в группе является его зависимость от поведения других ее чле-
нов при любом виде взаимодействия. Это является источни-
ком неопределенности при выполнении индивидуального вы-
бора. Рассмотрим рациональность (разумность) выбора при-
менительно к каждому виду взаимодействия индивидуумов.
8.2.	Рациональный выбор в условиях противоборства
Не во всякой игре тузы выигрывают
Козьма Прутков
Как известно, формальные модели противоборства рассмат-
риваются в теории игр [9]. Задачи теории игр относятся к классу
244
оптимизационных задач, для решения которых привлекаются
критерии оптимальности. С позиции рационального выбора
будем рассматривать их как разновидности многокритериаль-
ной функции полезности (МФП). Учитывая многообразие форм
противоборства, мы не намерены анализировать все возмож-
ные варианты функций полезности, поскольку нас больше
интересует принцип построения МФП, а не все возможные
ее варианты. Поэтому ограничимся рассмотрением двухсторон-
ней формы противоборства. Его участниками являются два лица,
называемые игроками.
Рассмотрим некоторые функции полезности, употребляемые
в теории игр.
8.2.1.	Антагонистическая игра с чистыми стратегиями
Множество альтернатив в двусторонней игре делится на два
множества: X={xl,...,xi,...,xm} и ¥={у1,...,у^,...,уп}. Их эле-
менты называются ходами одного и второго игроков соответ-
ственно. Относительно хода одного игрока ходы другого игра-
ют роль исходов. Неоднозначность соответствия между ходом и
его исходами выражает неопределенность выбора. Это означа-
ет, что при выборе первым игроком хода xz второй игрок мо-
жет выбрать любой из п имеющихся в его распоряжении ходов
{У{,-.-,Уу--.,Уп}. Таким образом, для выбора оптимального хода
игрока I необходимо рассматривать все пары ходов (xz, yj).
Количественно взаимодействие игрока I с игроком II оценивает-
ся функцией двух аргументов и(х, _у). В зависимости от полезности
для игрока I она может интерпретироваться либо функцией выигры-
шей, либо функцией потерь (платежей). Паре ходов (xz, уд функция
выигрышей ставит в соответствие число и-, а паре (xz, yj) — число
Отношение и^и^ означает, что игроку I, выбравшему ход xz,
выгоднее, чтобы противник сделал ход у? Следовательно, для вы-
бора оптимального хода игроку I необходимо анализировать все
пары ходов (xz, yj, i=\,...,m,j=\,...,n, при том что существует пол-
ная неизвестность, какой ход выберет игрок II.
Для случая дискретных и конечных значений i=\,...,m,
j=\,...,n, функция выигрышей и(х? yj) представляется матрицей
выигрышей U, которая отражает все варианты выбора игрока I.
245
Ее содержимое представляет собой значения выигрышей игро-
ка I для всех пар ходов (х^ yj),	j=l,...,n.
В табл. 8.1 приведен пример матрицы выигрышей U игрока I,
имеющей размерность 4x4 (ти=л=4). Множества ходов игроков I
и II равны соответственно: Х={х^, х2, х3} и y={yj, у2, У^, У 4}-
Таблица 8.1
Y X	У\	У2	Уз	Л
х1	“п	“12	“13	“14
Х2	“21	“22	“23	“24
Х3	«31	“32	“33	“34
Функция выигрышей игрока II v(y, х) в дискретной форме
описывается матрицей выигрышей V, которая отражает все
варианты выбора игрока II. Для данного примера она получа-
ется транспонированием матрицы U, а ее содержимое опреде-
ляется функцией выигрышей v(y, х).
Используя принцип дополнительности значений функций вы-
игрышей и потерь, элементы матрицы выигрышей U могут быть
вычислены на основе элементов матрицы потерь А по формуле:
и • = max I max- а-- •	(8.1)
Isysn
Справедлив и обратный переход от выигрышей к потерям.
Игра Г называется одношаговой, если игроки I и II делают
поочередно по одному ходу. Ходы считаются независимыми,
если одному игроку ничего неизвестно о выборе другого.
При выборе хода они руководствуются только лишь значени-
ями своей функции выигрышей (или платежей).
Нормальная форма игры двух игроков задается выражением
Г=< X, Y, и, v >. Различие между функциями и и v определяет
степень противоречия интересов игроков. Если и(х, y)+v(x, у)=
=const, то игра Г называется игрой с нулевой суммой или анта-
гонистической. Нормальная форма антагонистической игры зада-
ется выражением Г=< X, Y, и >, поскольку без учета кон-
станты u(x, y)=-v(x, у). Это означает, что выигрыш и(х, у)
игрока I в точности соответствует проигрышу игрока II.
246
Отсюда целью игрока I в антагонистической игре является мак-
симизация выигрыша и(х, у), а целью игрока II — минимизация
проигрыша v(x, ^).
Рациональность поведения игрока в игре выражается
исчерпывающим планом, указывающим на то, какой выбор
он будет совершать в любой возможной ситуации. Этот план
называется стратегией [9]. Формально стратегия представля-
ется оптимизационной функцией f(x, у), определенной на мно-
жествах ходов X и Y игроков I и II. Несмотря на то, что выбор
хода осуществляется на основе выбранной стратегии, часто ход
отождествляют со стратегией.
Для антагонистической игры игрок I может пытаться максими-
зировать минимальный выигрыш, чтобы величина его была не меньше:
v. = maxmin(w(x, у)).	(8.2)
1 хЕХ >сг
Эта величина называется нижней ценой игры, а применяе-
мая для ее нахождения стратегия называется максиминной стра-
тегией игрока I. При ее применении игрок I получает не менее
единиц выигрыша.
Игрок II, в свою очередь, пытается минимизировать макси-
мальный проигрыш с тем, чтобы величина его была не больше:
г. = minmax(v(x,y)).	(8.3)
Эта величина называется верхней ценой игры, а применяе-
мая для ее нахождения стратегия называется минимаксной стра-
тегией игрока II. При ее применении он проигрывает не более
v2 условных единиц.
Очевидно, что для любых хЕХ и yEY величина нижней цены
игры не более величины верхней цены: Vj^v2.
Пример 8.1. Найти нижнюю и верхнюю цену игры, пред-
ставленной матрицей выигрышей в табл. 8.2.
Таблица 8.2
Y X	У1	У1	Уз	У min
	7	2	9	2
х2	2	9	0	0
х3	9	0	11	0
^"тах	9	9	11	
247
В правом столбце табл. 8.2 найдены минимальные значения
выигрыша для каждого хода игрока I, а в нижней строке —
максимальные значения проигрыша для каждого хода игрока II.
Отсюда в соответствии со стратегиями игроков находим
нижнюю и верхнюю цену игры: Vj=max{2, 0, 0} = 2, v2=
= min {9, 9, 11}=9. Пример подтверждает истинность отноше-
ния Vj£V2.
В соответствии со своими стратегиями игрок I предпочтет
выбор хода Хр а игрок II — ходов или у2. Эти ходы игроков
нельзя назвать оптимальными, поскольку не соблюдается ус-
ловие нулевой суммы — выигрыш игрока I не равен проигры-
шу игрока II.
Ходы игроков называются оптимальными, если vj=v2=v. Число v
называется ценой игры. Если цена игры существует, ей соот-
ветствуют оптимальные ходы игроков I и II: х*GX и y*GY.
Цена игры представляется в матрице U элементом u-j на пере-
сечении строки х* и столбца у*. Его значение одновременно
минимально для строки х* и максимально для столбца у*. Эле-
мент называется седловой точкой игры.
Пример 8.2. Найти седловую точку и цену игры в матрице
3x4 (табл. 8.3):
Таблица 8.3
г X	Уз	У2	Уз	У<	У min
X,	9	7	8	7	7
х2	11	3	0	2	0
х3	14	5	2	6	2
*тах	14	7	8	7	
В примере 8.2 Vj=max{7, 2, 0}=v2= min{14, 7, 8, 7}=7=v
для двух седловых точек: (хр у2) и (хр у4).
Седловая точка характеризует равновесие интересов игро-
ков, так как при отходе от нее уменьшается выигрыш игрока I
и увеличивается проигрыш игрока II. Поэтому в игре с седло-
вой точкой игроки выбирают только ходы, соответствующие
седловой точке, называемые чистыми стратегиями.
248
Формулы (8.2) и (8.3) представляют собой двухкритериаль-
ные функции полезности игроков I и II. Число критериев со-
ответствует размерности массива чисел. Задача оценивания ходов
игроками I и II сводится к поиску элементов матрицы, имею-
щих экстремальные значения относительно двух критериев.
Использование направлений оптимизации (min и max)
при сопоставлении ходов игрока позволяет использовать от-
ношение доминирования для минимизации числа ходов.
Ход хк игрока I доминируется другим его ходом xi (х^хк),
если все элементы вектора-строки xk=(yki,...,ykj,...,ykn)
не превосходят соответствующих элементов вектора-строки
Следовательно, они не могут относиться к
элементам матрицы с экстремальными значениями. На этом
основании ход хк может быть исключен из множества X. Ана-
логичным образом из множества ходов Y игрока II исключа-
ется ход yk=(xik,...,xik,...,xmk), доминируемый минимальными
значениями вектора-столбца yj=(xlj,...,xij,...,xmj). Поиск и
исключение из матрицы выигрышей доминируемых строк и столб-
цов соответствует нахождению множеств Парето по строкам и стол-
бцам матрицы. Эта процедура может использоваться для предва-
рительного уменьшения размерности матрицы выигрышей.
В примере 8.2 имеет место доминирование следующих хо-
дов игроков I и II: х3>х2, У2>У1> Уз>У1’ У^Уу У2>У4- Следова-
тельно, из матрицы могут быть исключены иторая строка,
первый и четвертый столбцы. Ее размерность сократится
до 2x2 (табл. 8.4):
Таблица 8.4
у X	Уг	Уз
*1	1	8
*3	5	2
Этот пример показывает, насколько эффективным может
оказаться отсеивание доминируемых строк и столбцов
для последующего решения задачи. В матрице осталась одна
седловая точка (х1; у2), которой соответствуют чистые страте-
гии Xj игрока I и у2 — игрока II.
249
Воспользуемся простотой матрицы выигрышей (2x2) для
иллюстрации перевода ее в матрицу потерь с помощью форму-
лы (8.1). Максимальный выигрыш в матрице равен: и13=8.
Согласно формуле (8.1) ему соответствует минимальный проиг-
рыш «1з=0. Вычислив остальные элементы, получим табл. 8.5:
Таблица 8.5
г X	У2	У3
	1	0
	3	6
8.2.2.	Антагонистическая игра со смешанными стратегиями
Поскольку наличие седловой точки зависит от содержимо-
го матрицы выигрышей, не каждая игра может быть решена
с применением чистых стратегий. В этом случае применение
максиминной и минимаксной стратегией игроков не оптими-
зирует их поведение. Однако, если игровая ситуация повторя-
ется многократно, игроки могут перейти на случайный выбор
ходов, рассчитывая на максимизацию среднего выигрыша
(минимизацию среднего проигрыша). Такое поведение игроков
можно назвать рациональным, если частоты применения
выбираемых ходов обладают статистической устойчивостью,
т.е. стремятся при неограниченном увеличении длины игр
к определенным пределам — вероятностям выбора ходов.
Случайный выбор хода описывается векторами вероятнос-
тей p=(p{,...,pi,...,pm) для игрока I и q=(ql,...,qj,...,q„) —
для игрока II. Компонента вектора pi ставится в соответствие
ходу игрока I, а компонента qj — ходу у. игрока II.
т	п
При этом: р^О и Jfpj =1, г0 и ^qt =1.
/“1	Ув1
Вероятностные распределения на множествах X и Y называ-
ются смешанными стратегиями игроков I и II. Для их реализа-
ции в практических ситуациях игрокам следует использовать
датчики случайных чисел, выдающие случайные номера ходов
с Pj^O (q^O). Очевидно, что смешанная стратегия вырождается
в чистую, когда игрок I выбирает ход xi с вероятностью /?(.=1
или игрок II выбирает ход yj с вероятностью q j=-\.
250
Геометрически множества Р и Q, соответствующие векто-
рам р и q, представляются поверхностью выпуклых многогран-
ников в m-мерном и «-мерном пространствах соответственно.
Для матрицы выигрышей, содержащейся в табл. 8.4, много-
гранники изображены в виде двух треугольников на плоско-
сти (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Множества смешанных стратегий игроков I и II
Вершины многогранников, помеченные единичными орта-
ми (е^, е3) и (е2, е^), соответствуют чистым стратегиям игро-
ков. Отрезки на координатах и /?3, q2 и <?3, являющиеся про-
екциями промежуточных точек, расположенных на наклонных
линиях, задают вероятности смешанных стратегий.
Игра Г =< P,Q,u> 6 называется смешанным расширением игры Г.
Выигрыш игрока I в игре со смешанными стратегиями опреде-
ляется средним значением:
т п
?)= 2 2 Pi4iu^i, уД	(8.4)
/“1 У“1
Функция и(р, q) является продолжением функции и(х, у)
с множества XxY на множество P*Q. Максиминная стратегия
игрока I в игре Г определяет ее нижнюю цену:
Vi = max min (u(p,q)\	(8.5)
pEPqGQ
а минимаксная стратегия игрока II — ее верхнюю цену:
у. = min max («(ft?))	(8.6)
± i&P aGO
251
Так как чистые стратегии являются предельным случаем сме-
шанных, то нижние и верхние цены игр Г и Г связаны следу-
ющим отношением:
V|^vi^v2^v2.	(8-7)
Из неравенств (8.7) следует, что если исходная игра имеет
цену vj=v2=v, то она будет также и ценой игры Г, в которой
игроки пользуются смешанными стратегиями, т.е. применение
смешанных стратегий непродуктивно. Их применение имеет
смысл при Vj<V2.
Теорема фон Неймана. Игра Г имеет цену v1 = v2=v,
а максиминная смешанная стратегия игрока I и минимаксная
смешанная стратегия игрока II являются оптимальными в игре Г,
т.е. задают седловую точку и [71].
Американский кибернетик Дж. Данциг предложил решение
задачи нахождения смешанных стратегий на основе модели ли-
нейного программирования (ЛИ). Целевая функция игрока I
реализует его максиминную стратегию:
min (п(р, е ))-*тах.	(8.8)
Is j&n	J
Обозначая целевую функцию через t, получаем следующую
модель ЛП:
t -* max,	(8.9)
т , ч
^[x^yjj pj zt, J =
/-1
т
/“1
р^О, z = l,..., m.
Аналогичным образом формируется целевая функция игро-
ка II, реализующая минимаксную стратегию:
max |«(e,?)]-»min.	(8.10)
Isism 1
252
Обозначая целевую функцию через s, получаем модель ЛП,
двойственную предыдущей модели (8.9):
s min,	(8.11)
от .	.
^uix^yjj qj ss,
/“1
т
/“1
о,у=1,..., п.
Ограничения в моделях ЛП (8.9) и (8.11) формируют непус-
тые допустимые множества, что гарантирует решение задач ЛП.
Учитывая двойственность моделей (8.9) и (8.11), их решения
(р*, t*) и (q*, s*) должны содержать одинаковые значения целе-
вых функций: t*-s*. Следовательно, /*=5* — цена игры Г,
которой соответствует седловая точка (р , q ).
Пример 8.3. Предположим, что банк имеет два варианта
выдачи кредита предприятию (под разные проценты), а пред-
приятие, неоднократно заимствующее деньги у банка, имеет
четыре варианта взятия ссуды. Банк желает максимизировать
свою прибыль от выдачи кредита, а предприятие хочет мини-
мизировать убытки от платы по процентам. Относительно из-
ложенной постановки модель задачи может рассматриваться
как антагонистическая игра двух лиц с матрицей выигрышей,
представленной в табл. 8.6.
Таблица 8.6
Y X	Л	У1	Уз	у.
Х1	5	6	7	2
Х2	6	3	0	8
Поскольку нижняя и верхняя границы игры Г не равны:
V!=max{2, 0}=2, a v2=min{6, 6, 7, 8} =6, т.е. Vy<v2, игра Г не имеет
решения в чистых стратегиях. Для ее решения в смешанных
стратегиях построим модель ЛП для банка. Согласно модели
ЛП (8.9) примем его целевую функцию Z-*max.
253
С учетом всего двух ходов у банка (xt и х2) и их независи-
мости друг от друга поставим им в соответствие вероятности
р и 1-р. На основе четырех ходов предприятия составим четы-
ре ограничения по столбцам табл. 8.6:
5/74-6(1 - р) г t;
6/74-3(1 - р) г Z;
1р г t',
2/74-8(1 -р) г t;
р г 0.
Для решения задачи вручную выполним графический анализ
допустимого множества [46]. С этой целью представим все четыре
ограничения в координатах (р, t). На рис. 8.2 они изображены пря-
мыми линиями, построенными на раздвоенной оси t. Одна из них
берет начало в точке /7=0 на оси р, а другая на ее конце — в точке
/7=1. На левой оси t откладываются коэффициенты при переменной
1-/7, а на правой оси — коэффициенты при переменной р.
Рис. 8.2. Графическое решение задачи ЛП
Согласно неравенствам допустимое множество решений нахо-
дится на линиях ограничений и ниже их. Его верхние границы
образуются двумя последними ограничениями (сплошные линии
на рис. 8.2). Линии, соответствующие двум первым ограничени-
ям (пунктирные линии на рис. 8.2), проходят выше границ допу-
стимого множества и, следовательно, являются избыточными.
254
Графическое решение задачи представляет собой точку, лежа-
щую на пересечении двух сплошных линий, соответствующих
двум последним ограничениям. Она является седловой.
Ее проекция на ось t дает значение t* целевой функции, кото-
рое соответствует цене игры, а проекция на ось р дает значе-
ние вероятности р* для хода Вероятности хода х2 соответ-
ствует правый отрезок оси р.
Аналитически задача решается вручную после исключения
двух избыточных ограничений:
7/> г t;
2/7+8(1 - р) г t.
Для получения решения на границе области неравенства об-
ращаются в равенства, на основе которых составляется уравне-
ние 7/>=2/>4-8(1-р). Его решением является />*=8/13=0,615. Цена
игры t =56/13=4,31. Вероятность хода х2 вычисляется как 1- -
0,615=0,385. Таким образом, смешанная стратегия банка вы-
ражается вектором вероятностей />=(0,615; 0,385).
В силу избыточности столбцов и у2 в табл. 8.6 для на-
хождения смешанной стратегии предприятия достаточно ис-
пользовать ходы у3 и у^. Вероятность хода у у обозначим через q,
а хода уц — через \-q. Тогда значение q находится из следую-
щих равенств:
7</4-2(1-</)=5;
8(1-9)=5.
Решая уравнения, получаем ^>=6/13=0,46, а 1-</=0,54. Таким
образом, смешанная стратегия предприятия выражается век-
тором вероятностей:
?=(0; 0; 0,46; 0,54).
8.3.	Рациональный выбор в отсутствие
противоборства
Отсутствие противоборства не исключает для индивидуума
(ЛПР) необходимости в рациональном поведении, поскольку
для удовлетворения своих потребностей он взаимодействует
с окружающей средой. В этом случае зависимость от других лиц
(членов группы) замещается зависимостью от состояния среды.
255
В отличие от людей окружающая среда не имеет своих интере-
сов и, следовательно, не ведет себя антагонистично по отно-
шению к индивидууму. Она существует по своим законам
и меняет свое состояние под воздействием внешних и внутрен-
них факторов.
Разумность поведения индивидуума в этих условиях прояв-
ляется в учете влияния состояния среды на его выбор. Задача
в такой постановке изучается в рамках игры с природой. Здесь
природа выступает в роли второго игрока с нейтральным пове-
дением. Согласно этой интерпретации так же, как и в антаго-
нистической игре, взаимодействие игрока с природой оцени-
вается функцией полезности и(х, у). В [46] предлагается рас-
сматривать ее как функцию потерь. Однако будем, по-прежне-
му, использовать для анализа функцию выигрышей, посколь-
ку, учитывая взаимную дополнительность этих функций, при-
менение любой из них ведет к одинаковому результату.
Поскольку игра с природой рассматривается как двусторонняя,
ходы игрока представляются множеством X={xi,...,xi,...,xm},
а ходы (состояния) природы — множеством ¥={у1,...,у^,...,уп}.
При конечном числе ходов т и п функция выигрышей так же,
как и в антагонистической игре, представляется матрицей
выигрышей (см. табл. 8.1).
Учитывая неоднозначность соответствия между ходом
игроках^Хи его исходами (состояниями природы)уу£У,7=1,..., п,
в игре с природой также имеет место неопределенность вы-
бора. В зависимости от имеющейся информации о меха-
низме выбора природой своих состояний различают случаи пол-
ной и статистической неопределенности. В первом случае
механизм выбора природой своих состояний игроку неизвес-
тен, а во втором случае считается, что механизм выбора случа-
ен и имеется информация о вероятностях состояний природы.
Случай статистической неопределенности был рассмотрен
в главе 1 при изложении функции полезности, где игра с при-
родой интерпретировалась лотереей с известными вероятнос-
тями исходов. Рассмотрим функции полезности, которыми может
руководствоваться игрок в игре с природой в условиях полной
неопределенности.
256
Поиск седловой точки для выбора оптимального хода игро-
ка в игре с природой не имеет смысла, поскольку выше было
отмечено, что природа не имеет своих интересов и, следова-
тельно, не будет стремиться к выбору хода, соответствующего
седловой точке. Игрок в игре с природой руководствуется прин-
ципом максимизации выигрыша, либо минимизации потерь.
При многократных повторениях игры игрок может приме-
нять смешанные стратегии, используя смешанное расширение игры
Г: Г =< Р, Y, и >,
где Р — множество смешанных стратегий игрока;
и — среднее значение его выигрыша в случае применения смешан-
ной стратегии P=(pl,...,pj,...,pm) при состоянии природы УубК:
“(р’У))=^Р1и(хьУ;)	(8.12)
Оптимальное решение при использовании игроком смешан-
ных стратегий следует искать на границах множества выигры-
шей (или платежного множества в случае матрицы потерь),
т.е. на выпуклой оболочке По, многогранника П. Она пред-
ставляет собой крайние точки выпуклого многогранника, ха-
рактеризуемые множеством векторов-строк матрицы выигрышей:
П0={л'=(и/1,...,и/л)| i=\,m }•
Для случая полной неопределенности состояния природы
наибольшую известность получили следующие функции полез-
ности, названные по имени их авторов критериями Вальда,
Гурвица и Сэвиджа [9]. Рассмотрим их применение на примере
матрицы выигрышей размерностью 3x2, размещенной в левой
части табл. 8.7.
Таблица 8.7
X Y X\	У1	Уг	ui	/в	Рв	fr, 1	4,2	Рг
	5,0	1,0	3,0	1	0	3,0	4,00	1
Х1	4,0	2,0	3,0	2	0,33	3,0	3,50	0
	2,0	3,0	2,4	2	0,67	2,5	2,25	0
Р	0,5	0,5						
257
В четвертом столбце табл. 8.7 приведены оценки среднего
выигрыша Uj, полученные по формуле (1.8) для случая ста-
тистической неопределенности в предположении равных ве-
роятностей состояний природы р=(0,5; 0,5), что фактически
соответствует случаю полной неопределенности. Согласно мак-
симальным оценкам max(uj=3, выделенным жирным шриф-
i
том, наилучшими признаются ходы и х2. Этот результат
выбора примем в качестве базового для сопоставления с ре-
зультатами выбора по перечисленным критериям.
Для наглядного представления поставленной задачи и воз-
можности ее геометрического решения представим три вектор-
строки матрицы выигрышей в виде треугольника с вершинами
Яр л2, на плоскости с координатами их и и2, которые соот-
ветствуют выигрышам игрока при состояниях природы у1
и у2 (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Оптимизация выбора игрока для разных критериев
258
8.3.1.	Критерий Вальда
На матрице выигрышей этот критерий задается функцией
/в(х,)= min (иу).
Is jsn
Выбирается стратегия, максимизирующая критерий /в(х():
/в(*,)= ,min ->тах-	(8.13)
15 /5И
Для рассматриваемого примера значения критерия Вальда
для всех ходов игрока представлены в пятом столбце табл. 8.7.
В этом столбце максимальное значение (/в(х/)=2) функция
принимает для ходов х2 и ху Следовательно, они являются
оптимальными по Вальду.
Критерий Вальда часто называют критерием крайнего пес-
симизма, поскольку максиминная стратегия игрока ориентиро-
вана на худший случай, под которым понимается активное
противодействие второй стороны. Но, как было сказано выше,
природа не имеет собственного интереса и не может прини-
маться за злонамеренного противника.
При многократном повторении игры с природой находится
рандомизированное оптимальное относительно максиминной
стратегии решение на границах выпуклого многогранника.
С этой целью формируются целевая функция и ограничения
оптимизационной задачи:
min{uj, u3) -» max;
(t/j, и3)еп0.
Уравнение линий уровня целевой функции minjiq, w2} пред-
ставляет собой геометрическое место точек, равноудаленных
от осей координат и{ и и2. На рис. 8.3 оно изображено биссек-
триссой прямого угла. Оптимальному рандомизированному
решению соответствует точка лв , которая лежит на пересече-
нии множества выигрышей П и линии уровня minft/j, i/2}=const
с наибольшим значением константы.
Отрезки [л3, лв*] и [лв*, л2], на которые делит точка лв* сторо-
ну [л3, л2] треугольника выигрышей, пропорциональны вероятно-
стям выбора ходов л2 и л3. Вычислим их величину на основе урав-
нения радиуса-вектора точки лв*, находящегося на отрезке [л3, л2]:
7гв*=/?л3+(1-р)-л2.
259
Так как точка лв* лежит на биссектрисе, то, приравнивая
координаты wj=w2, получим:
р-2+(1-р)-4=р-3+(1-р)-2.
Решая уравнение, получим вероятность р хода х3, равную 0,67,
а вероятность \-р хода х2, равную 1-р=0,33. Таким образом,
вектор вероятностей выбора ходов х2, и равен 0; 0,33; 0,67
(см. столбец 6 в табл. 8.7).
По формуле (8.12) находится среднее значение выигрыша
игрока при применении смешанной стратегии рв=(0; 0,33; 0,67):
и(р,у) =0,67-2+0,33-4=0,67-3+0,33-2=2,67.
Этому значению соответствуют проекции точки лв* на оси
координат W], и2 (см. рис. 8.3).
8.3.2.	Критерий Гурвица
В основу этого критерия положен показатель оптимизма
игрока а Е [0,1], входящий в функцию:
/г(х;) = max(wy) • а + min (пу)(1 - а) -» max. (8.14)
I Isysn Isysn	I
При а=0 fY(Xj)= min (uy) -»max, т.е. критерий/г(х;) преоб-
разуется в критерий Вальда /в(х;) с максиминной стратегией,
соответствующий крайнему пессимизму игрока.
При а=1 /г(х( ) = max (иц) -» шах, критерий /г(х;) соответству-
Isjsn
ет крайнему оптимизму игрока.
Столбцы 7 и 8 матрицы выигрышей (см. табл. 8.7) соответ-
ствуют значениям а=0,5 и а=0,75. Интересно отметить, что
результаты оптимизации по критериям Байеса для случая рав-
новероятных состояний природы и критерия Гурвица с равны-
ми долями оптимизма и пессимизма совпали.
Рандомизированное оптимальное по Гурвицу решение находит-
ся путем формулирования оптимизационной задачи. Для случая
а=0,75 ее целевая функция и ограничения имеют следующий вид:
0,75-max{ui,M2} +0,25-min{wi,w2} -* max;
(wp w2)en0.
260
Линии уровня целевой функции Гурвица состоят из двух
участков I и II (см. рис. 8.3). Их уравнения формируются для
двух условий и1;>И2 и Uj < и2:
0,75и1+0,25и2=соп81;
0,25M1+0,75i/2=const.
Оптимальному рандомизированному решению соответству-
ет точка Лр , которая лежит на пересечении границы множе-
ства выигрышей и линии уровня целевой функции Гурвица
с максимальным значением константы. Найдем решение этой
задачи, определяя значения констант для уровней целевой
функции Гурвица в вершинах треугольника (лр л2, л3).
Для удобства вычислений и графического анализа умножим
уравнения линий I и II на коэффициент 8:
6M1+2M2=const;
2wj+6w2=const.
Подставим в них значения координат вершин треугольника
(яр л2, л3): (5,1), (4,2) и (2,3) соответственно.
лр	6-54-2 1=32;
2-54-6-1 = 16.
л2:	6-4+2-2=28;
2-4+6-2=20.
л3:	6-2+2-3=18;
2-2+6-3=22.
Вычислим также значение констант для точки лв* с коорди-
натами и1=и2=2,67, соответствующей среднему рандомизиро-
ванному выигрышу по Вальду:
лв*:	6-2,67+2-2,67=21,36;
2-2,67+6-2,67=21,36.
Из сопоставления всех значений const(n;) следует, что наиболь-
шим из них является значение правой части линии уровня I
в точке Лр Следовательно, она и соответствует решению лг*.
Иными словами, рандомизированное решение по Гурвицу при
а=0,75 сводится к чистой стратегии (рг=(1;	0) в столбце 9
табл. 8.7) и совпадает с решением, полученным в чистых
стратегиях.
261
8.3.3.	Критерий Сэвиджа
Для оценки выбранного игроком хода предлагается вели-
чина сожаления Sy, которое будет испытывать игрок, выбрав-
ший ход х{, не угадав при этом, что природа находилась
в состоянии уу. Величина Sy вычисляется по столбцам матрицы
выигрышей как разность между максимальным выигрышем
в столбце и выигрышем в ситуации (хр у): st= max (и у) - иу.
В качестве критерия для оценки хода применяется максималь-
ная величина сожаления /с(х,), которая согласно его смыслу
подлежит минимизации:
тах т*п- ($ 1
Is ysn
В табл. 8.8 приведена матрица сожалений, рассчитанная
на основе матрицы выигрышей из табл. 8.7.
Таблица 8.8
Y X	У1	У2	/с	Рс
Х!	0	2	2	0
Х2	1	1	1	1
хз	3	0	3	0
В столбце/c(xf) приведены значения этого критерия для всех
ходов игрока. Наименьшему значению сожаления соответствует
ход х2, который и является оптимальным по Сэвиджу.
Рандомизированное оптимальное по Сэвиджу решение нахо-
дится на основе следующей модели оптимизационной задачи:
max {51 >52} -* min;
(Jl> 52) G По.
Модель задачи подобна оптимизационной модели, по-
строенной для критерия Вальда. Различие между ними зак-
лючается в использовании в качестве переменных значе-
ний сожаления из соответствующей матрицы. Следователь-
но, оптимальное решение при использовании игроком сме-
шанных стратегий следует искать на границах множества
сожалений, т.е. на выпуклой оболочке По, многогранника П.
262
Она представляет собой вершины выпуклого многогранника,
характеризуемые множеством_векторов-строк матрицы сожа-
лений: П0={л'=(м11,..., wZn)| i-l,m }•
Оптимальному рандомизированному решению соответству-
ет точка лс , которая лежит на пересечении границы множе-
ства сожалений и линии уровня целевой функции Сэвиджа
с минимальным значением константы.
Для рассматриваемого примера границы По множества со-
жалений П строятся на основе векторов-строк матрицы сожале-
ний из табл. 8.8. Множество сожалений представлено на рис. 8.3
треугольником (л^, л2', л3'), изображенным пунктирными лини-
ями в координатах и $2, совмещенных с координатами и^ и w2.
Подобно критерию Вальда уравнение линий уровня целе-
вой функции тах{^р s2} представляет собой геометрическое
место точек, равноудаленных от осей координат и s2.
На рис. 8.3 оно изображено биссектриссой прямого угла. Ре-
шением задачи является вершина л2' треугольника, находяща-
яся в наибольшей близости от начала координат. Таким обра-
зом, рандомизированное решение по Сэвиджу сводится к чис-
той стратегии х2 (рс=(0; 1; 0) в столбце 5 табл. 8.8) и совпадает
с решением, полученным в чистых стратегиях.
8.3.4.	Критерий Байеса
Критерий Байеса был рекомендован ранее для рациональ-
ного выбора в условиях статистической неопределенности.
Он основан на поиске хода, дающего максимальный средний
выигрыш при известных вероятностях состояний природы
(см. формулу 1.8).
Рандомизированное оптимальное по Байесу решение нахо-
дится на основе модели оптимизационной задачи. Для приме-
ра, приведенного в табл. 8.7, она имеет следующий вид:
Pi'ui + P2u2-*ma^
(wp м2)еп0.
Одна из линий уровня целевой функции совпадает со стороной
[лр л2] треугольника выигрышей на рис. 8.3, что соответствует
бесконечному множеству смешанных стратегий на ходах Х) и х2,
либо одной из чистых стратегий: />j=(l, 0, 0) или р2=(0, 1, 0).
263
Особенность критерия Байеса по сравнению с предыдущи-
ми заключается в том, что смешанное расширение игры с при-
родой можно интерпретировать как антагонистическую игру
Г =< Р, Q, и >двух игроков. В этом смысле максиминную
стратегию игрока I можно рассматривать как рандомизиро-
ванное оптимальное по максиминному критерию решение ЛПР,
а минимаксную смешанную стратегию игрока II как наименее
благоприятное для ЛПР априорное распределение состояний
природы. Отсюда следует вывод: максиминное рандомизирован-
ное решение ЛПР является байесовским при наименее благопри-
ятном априорном распределении состояний природы.
Следует отметить также тот факт, что рациональный выбор,
выполненный по любому из рассмотренных критериев, может быть
получен и по байесовскому критерию в зависимости от априорно-
го распределения состояний природы, поскольку при изменении
соотношения вероятностей уровни целевой функции пробегают
по всей внешней границе множества выигрышей (см. рис. 8.3).
8.4.	Выбор на основе эксперимента
Существуют ситуации, когда имеется возможность опреде-
лить состояние природы с помощью некоторого эксперимен-
та. В одноходовой игре он называется единичным или однора-
зовым. Его целью является либо полное устранение неопреде-
ленности, либо уточнение вероятностей состояний природы.
Первый вид эксперимента называется идеальным. Он применя-
ется в игре с чистой стратегией. При известном состоянии
природы выбор хода превращается в тривиальную процедуру
нахождения максимального выигрыша. Второй случай приме-
няется при многократном повторении игры, т.е. при использо-
вании смешанных стратегий. В обоих случаях возникает зада-
ча определения целесообразности проведения эксперимента.
Решим эту задачу для случая идеального эксперимента.
Она решается на основе нахождения среднего риска для ходов
игрока х-, z=l,...,m:
п	/	\ п
7(<xi>2qi'\maKUij~uijr'2qi'rij- <8Л6)
у_1	(Iszsm	) у_1
264
Проведение эксперимента считается целесообразным, если
его стоимость С меньше, чем минимальный выигрыш, получа-
емый от устранения неопределенности:
п
С < min \q >гц.	(8.17)
1 Г*'	' -j J J
Isiszn "
7=1
Пример 8.4. Найти цену эксперимента для модели игры, пред-
ставленной в табл. 8.7 с вероятностями состояний природы
(0,6; 0,4). Элементы матрицы рисков, приведенные в табл. 8.9,
рассчитаны на основе матрицы выигрышей из табл. 8.7
по формуле r(y= (max м(у - мгу)- В правом столбце табл. 8.9 при-
fsism
ведены значения средних рисков, рассчитанные по формуле (8.9).
Наименьшее значение имеет риск выбора хода Следователь-
но, максимальная цена эксперимента не может быть более 0,8.
Если стоимость его выше, следует выбрать ход, обеспечиваю-
щий максимальный средний выигрыш.
Таблица 8.9
XX.	У1
xi	0
X2	l,o
S	3,0
P	0,6
У2	r. 1
2,0	0,8
1,0	1,0
0	1,8
0,4	
В более сложном случае единичный эксперимент не по-
зволяет полностью устранить неопределенность, в силу чего
он называется неидеальным. Его результаты заключаются
в нахождении апостериорных вероятностей возможных состо-
яний природы на основе известных условных вероятностей ис-
ходов эксперимента. Решением задачи является условно-опти-
мальный ход, который находится с помощью байесовского
решающего правила, максимизирующего условный средний
выигрыш игрока [46]: xz* = arg max (а,у)
I Isysm
265
8.5.	Выбор в условиях содействия
Он характеризуется решением общей задачи группой инди-
видуумов (агентов). Под решением задачи в теории многоагент-
ных систем (МАС) понимается некоторое воздействие агентов
на среду или, по крайней мере, учет состояния среды в их
действиях [15].
Под средой в МАС понимается некоторая совокупность
пассивных объектов, состояние которых меняется под воздей-
ствием агентов. Отношение «активность—пассивность» позво-
ляет провести параллель между моделями «агенты—среда»
и «игрок—природа».
На способ решения задачи в МАС оказывают влияние сле-
дующие факторы:
•	характеристика среды;
•	характеристика агентов;
•	степень самостоятельности агентов.
8.5.1.	Характеристика среды
Среду, с которой могут взаимодействовать агенты, можно
охарактеризовать следующей группой свойств.
1.	Относительно состояния во времени среда может быть
статической или динамической. Это означает, что составляю-
щие среду пассивные объекты могут находиться как в стати-
ческом, так и в динамическом состоянии.
Примером статической среды является группа фишек, кото-
рую поручено собрать роботам с некоторой поверхности [1],
а примером динамической среды — совокупность транспорт-
ных средств, движением которых необходимо управлять в пре-
делах заданной области [99].
2.	Динамическая среда может изменяться как по детермини-
рованным, так и по случайным законам. Вероятностная дина-
мическая среда делится на стационарную и нестационарную.
3.	Относительно состава объектов, образующих среду, она
может быть замкнутой, либо открытой. Замкнутая среда со-
храняет состав объектов в процессе функционирования систе-
мы. Примером замкнутой среды является совокупность транс-
портных средств, не выходящих за пределы заданной области.
266
В открытой среде осуществляется обмен ее объектов с внеш-
ней по отношению к ней средой, например, переход поездов
метрополитена с одной линии в другую.
4.	Относительно сохранения своих свойств под воздействи-
ем агентов среды делятся на неизменяемые (неизменные) и изме-
няемые. Объекты неизменяемой среды не изменяют своего со-
стояния, например, транспортные средства в парке в процессе
их пересчета агентами. Объекты изменяемой среды изменяют
свое состояние, например, транспортные средства, переупоря-
дочиваемые в процессе их движения.
8.5.2.	Характеристика агента
Базовыми свойствами агента, характеризующими его актив-
ность, являются целенаправленность и автономность. Целе-
направленность обеспечивает возможность реализации аген-
том поставленной ему цели посредством воздействия на сре-
ду на основе получаемой о ней информации. Автономность
понимается как способность самостоятельного функциониро-
вания агента в отсутствие прямых управляющих воздействий.
Помимо базовых агенты характеризуются и другими свойствами.
1.	Агенты так же, как и среда, могут иметь статическую
и динамическую природу. Примером статических агентов явля-
ются станции метрополитена, управляющие движением поез-
дов, а динамических — программные объекты, занятые поис-
ком нужной информации в локальной сети.
2.	Функции, реализуемые агентами, делятся на два класса:
воздействующие на среду и обеспечивающие взаимодействие
агентов между собой.
3.	В зависимости от перечня реализуемых функций агенты
делятся на однородные и разнородные. Разнородность агентов
характеризует их специализацию в рамках МАС. Агенты
с одинаковой специализацией образуют группы однородных
агентов. Например, станции метрополитена как агенты, уп-
равляющие движением поездов, делятся на линейные, оборот-
ные и конечные. В пределах каждого класса они являются
однородными агентами. Наряду с функциями, воздействующими
на среду, специализируются также функции, реализующие вза-
имодействие между агентами.
267
4.	Относительно реакции на состояние окружающей среды
агенты делятся на реактивные и когнитивные. Реактивный агент
вырабатывает непосредственную реакцию на поступающую
информацию о среде, реализуя модель конечного автомата,
в частном случае комбинационного (без памяти). Реакция ког-
нитивного агента на состояние среды опосредуется базой зна-
ний. Как те, так и другие агенты, реагируют на среду по типу
«условие—действие». Различие заключается в степени сложно-
сти выбора действия из совокупности условий. Развитость базы
знаний и процедур вывода (рассуждений) определяет степень
интеллектуальности агента.
Принципиальной отличием рационального выбора от «ус-
ловно-рефлекторного» поведения агента является использова-
ние им функции полезности при анализе альтернатив.
8.5.3.	Степень самостоятельности агентов
Степень самостоятельности агентов определяется сочетани-
ем двух способов управления: по вертикали (субординация)
и по горизонтали (координация). Противоположностями в этом
смысле являются полностью централизованное управление
агентами и их полная самостоятельность.
Централизованное управление агентами фактически сводит-
ся к распределенным вычислениям. С точки зрения МАС
это диктаторский способ управления агентами, когда лидер при-
нимает все решения, а поведение агентов сводится к реактивному
типу. Этот способ управления полностью исключает необходи-
мость в горизонтальном взаимодействии агентов (координации).
Полная самостоятельность агентов соответствует индивиду-
алистическому типу поведения. Этот тип поведения не требует
ни вертикальных, ни горизонтальных связей по управлению.
Примером может служить сбор грибов в лесу, где каждый
грибник определяет свои действия наличием грибных мест
(как цели) и наличием поблизости других грибников (как по-
мех к достижению цели).
В противоположность индивидуалистическому коллективный
тип поведения основан на согласовании (координации) дей-
ствий агентов, которое достигается применением горизонтальных
управляющих связей.
268
Наиболее распространенным типом управления является
промежуточный тип, основанный на сочетании вертикальных
и горизонтальных управляющих связей.
8.5.4.	Задачи выбора в условиях содействия
Основной проблемой взаимодействия агентов при реше-
нии общей задачи является распределение ресурсов. Ее реше-
ние зависит от ответа на вопросы: «Кому что делать?» и «Кому
за что браться?» или «Кому что достанется?».
Если первый вопрос решается путем специализации каждо-
го агента, то соперничество за конечные объекты отсутствует.
Однако оно может иметь место, если совпадают средства до-
стижения целей. Это можно проиллюстрировать следующим
примером. Пусть одному агенту в сети Интернет поставлена
цель — найти в сети прогноз погоды на завтрашний день,
а другому — расписание самолетов. Несмотря на то, что ко-
нечные цели у агентов разные, для их достижения они могут
пользоваться одинаковыми ресурсами сети: поисковыми сис-
темами, серверами, каналами передачи информации, что мо-
жет породить соперничество за ресурсы. Оно тем более неиз-
бежно, если цели агентов одинаковы. Эта задача решается
поиском ответа на следующие два заданных вопроса.
Пусть соперничающие за ресурсы агенты составляют мно-
жество X={xl,...,xj,...,xm}, а объекты, представляющие ресур-
сы, составляют множество y={yp...,yy,...,yn}, причем т>1,
и>1 и в общем случае т*п. Если каждой паре (х;-, уу) из мно-
жества всех пар Е поставить в соответствие число с^, то таб-
лица XxY представляет собой матрицу весов С двудольного
графа G=(X, Y, Е, Q.
Типовой задачей распределения ресурсов, решаемой на
взвешенном двудольном графе G, является задача о назначе-
ниях. В классической постановке она состоит в нахождении
таких пар «Исполнитель—Работа», которые обеспечивают
минимум суммарных затрат на выполнение всех работ, при-
чем каждый исполнитель выполняет только одну работу.
В терминологии теории графов задача заключается в нахож-
дении минимального паросочетания Emin двудольного графа.
269
Долю X двудольного графа G составляет список исполните-
лей, а долю Y — список работ. С позиции теории игр таблица
XxY трактуется как матрица потерь, поскольку ее элементы
подлежат минимизации.
Задача о назначениях в теории графов решается на основе
алгоритма нахождения кратчайшей сети Крускала [31]. В тео-
рии игр ему соответствует использование критерия минималь-
ности. Применительно к двудольному графу алгоритм реше-
ния задачи для случая т^п (число исполнителей меньше или
равно числу работ) имеет следующий вид.
1.	В каждой строке матрицы С находится элемент c(ymin j=
= mn(u(xj)),
2.	Если все элементы Су min j принадлежат разным столб-
цам матрицы, решением задачи являются пары (х(-, ур, соот-
ветствующие элементам c(ymin Р
3.	Для j-ro столбца матрицы j=l,...,n, выполняется анализ:
3.1.	Если элементы с у min j и c^min j принадлежат одному
(/-му) столбцу матрицы, в z-й и к-и строках находятся следую-
щие по величине элементы c(ymin2 и с^т;п>2-
_ 3.2. Вычисляются разности Ac17,min=c(/,min,2-c(/,min,l и A%,min=
— cA7,miik2—cfc/,min,l’
3.3.	Если bckjmin-bCyminzO, то вместо Су,minд принимается
cv,min,2’ иначе вместо 6>j,min,l принимается C^min>2.
Пример 8.5. Найти минимальное паросочетание «Агенты—
Ресурсы» по содержимому табл. 8.10.
Таблица 8.10
Y X	Ух	У2	Уз	Ул	с min,l	С . . min, 2	Дс . пип
	5	6	7	8	5	6	1
Х2	4	7	6	10	4	6	2
хз	4	9	8	2	2		
Решение задачи приведено в трех последних столбцах табл. 8.10.
Жирным шрифтом выделены результаты решения задачи.
Им соответствуют пары: (%р у2), (х2, yj), (х3, у4) с минимальной
суммой затрат 12. Объект у3 остался невостребованным.
270
В случае т>п при более, чем двух одинаковых претендентах
на объект, для решения задачи требуется дополнительная ин-
формация.
В работе [37] задача о назначениях получила развитие
на случай многих критериев. В этой постановке каждый ис-
полнитель xfEX характеризуется некоторой совокупностью
критериев Y={yl,...,yj,...,yn}. С другой стороны, каждая ра-
бота z^EZ, k=l,...,N, характеризуется перечнем требований
С={ср...,с.,
J
,сп}- По сути дела эта задача
к исполнителю
отличается от классической задачи о назначениях персонали-
зацией как исполнителей (агентов), так и работ (ресурсов).
Ее можно решать как со стороны исполнителей — подобрать
каждому из них «свою» работу, так и со стороны работ — для
каждой работы подобрать «своего» исполнителя. Одна из со-
держательных постановок такой задачи была дана в [95].
В ней рукописи, поступившие в издательство, распределялись
между сотрудниками. Каждая рукопись характеризовалась те-
матикой, важностью, срочностью исполнения работы. Каждый
сотрудник, в свою очередь, характеризовался специализацией
(предпочитаемой тематикой), качеством работы, производи-
тельностью труда.
Если пространства критериев и предъявляемых к ним тре-
бований совпадают, под решением сформулированной задачи
понимается совокупность пар (z^, х ), обладающих максималь-
ной степенью соответствия между требованиями (ср..., Cj,..., сп),
предъявляемыми к исполнителю и значениями характеризую-
щих его критериев (ур...,у,...,уп). В [37] она названа многокри-
териальной задачей о назначениях (МЗН). Относительно целе-
вой функции ее можно назвать также задачей многокритери-
ального соответствия между возможным и желаемым (ЗМС).
В идеальном случае для каждой пары (х-, z^, z=l,..., т, k=
- 1,..., N, имеет место полное соответствие векторов J(=(y,p---,
yzy,..., yin) и с^=(с^р...,с^.,...,с^п), т.е. их компоненты попарно равны:
yj=Cp..., yj=Cj,..., уп=сп. Это означает, что для декартова произведе-
ния ZxX можно подобрать функциональное (взаимнооднозначное)
соответствие между всеми элементами из множеств Z и X. Однако
на практике такая ситуация встречается не часто. Следовательно,
271
приходится искать максимальное количество наилучших воз-
можных назначений. Под наилучшим понимается такое назна-
чение (zk, х^, для которого имеет место максимальное совпаде-
ние векторов yi и ск. В пределе должны совпасть все компонен-
ты этих векторов. Этот случай в [37] индицируется нулевым век-
тором различия ^^.©с^СО,...^,...^).
Для покомпонентного сопоставления векторов у(- и ск доста-
точной является номинальная шкала. Она применима для сопо-
ставления не только числовых, но и словесных (вербальных) зна-
чений переменных, которые применяются при экспертном оцени-
вании исполнителей и работ. В [37] для сопоставления векторов
у. и ск используется порядковая шкала. Ее применение преследу-
ет цель ранжирования всех претендентов х^Х на назначение
z^GZ относительно степени соответствия векторов j. и ск. Ран-
жирование выполняется на основе суммирования несовпадающих
компонент векторов для каждой пары (х-, zk),	и упоря-
дочения претендентов в направлении увеличения сумм.
Рассматривается также возможность решения задачи обрат-
ного назначения (х., zk), которая предусматривает ранжирова-
ние предложений относительно каждого работника на основе
степени их соответствия возможностям работника.
К недостаткам метода, предложенного в [37], относятся:
•	• использование для упорядочения претендентов грубой
порядковой шкалы;
•	однородность оценок несовпадения;
•	неинформативность обратного назначения (xz, zk~);
•	предположение о равной значимости критериев в векто-
рах yt и ск;
•	ориентация только на совпадение предложений с требо-
ваниями.
На практике критерии могут иметь численные значения
и измеряться в интервальной шкале. В этом случае нас интере-
сует не только число совпадений (несовпадений) значений,
но и величина несовпадения.
Однородность оценок несовпадения следует рассматривать
как частный случай оценивания степени соответствия желае-
мого и возможного. В общем случае характеризующие их кри-
терии разнородны и нуждаются в нормализации.
272
Неинформативность обратного назначения (zk, *) объясня-
ется независимостью вектора различия dik=y<S)ck от перемены
мест аргументов.
На практике критерии, характеризующие возможности ра-
ботника и требования со стороны работы, являются, как пра-
вило, неравноценными. По этой причине при сопоставлении
следует учитывать значимость критериев.
Ориентация только на совпадение предложений с требова-
ниями правомерна не во всех случаях. Действительно, если два
работника по всем критериям соответствуют предъявляемым к
ним требованиям, то, очевидно, тому из них, который имеет
преимущество хотя бы по одному критерию, следует отдать
предпочтение перед другим. Например, стрелок, имеющий
точность стрельбы, превышающую заданную величину, дол-
жен цениться выше, чем стрелок, в точности соответствующий
данному требованию. А это означает, что задание требований
в форме полуинтервалов более информативно, чем задание
точечных значений.
К методам, не обладающим перечисленными недостатками,
относится метод мягких притязаний, изложенный в главе 5.7.
Кратность его применения в многокритериальной задаче о на-
значениях соответствует числу имеющихся работ (ресурсов).
Для каждой из них определяется рейтинг претендентов с исполь-
зованием функции соответствия. На основе полученных рейтин-
гов устанавливаются назначения (zk, х(),
При равенстве рейтингов для решения задачи требуется допол-
нительная информация. С этой целью вычисляется вклад призна-
ков в многокритериальную оценку соответствия (см. пункт 5.6).
К другим подходам к решению задачи о назначениях относятся:
• согласование интересов между агентами путем переговоров;
• конкурс предложений с использованием аукционов.
Обсуждение
Принцип оптимальности не является нормативным. Он зависит
как от особенностей оцениваемых объектов или ситуации, так и от
предпочтений ЛПР. По этой причине для того, чтобы он был при-
нят другими людьми, необходимо доказывать его обоснованность.
273
Критерии, принимаемые на основе матрицы выигрышей, под-
лежат максимизации. Однако вопрос о том, какой именно
критерий следует принять, остается открытым. В теории ан-
тагонистических игр наиболее естественным является прин-
цип максимина — минимального гарантированного выиг-
рыша игрока [9].
Весьма важно, с нашей точки зрения, сопоставить матрицу
выигрышей, представляющую собой основную модель теории
игр, и таблицу признаков (атрибутов), характеризующую свой-
ства объектов в задаче многокритериального оценивания.
Очевидно, что матрицу выигрышей можно рассматривать
как частную реализацию таблицы признаков. Множеству объек-
тов X в таблице признаков соответствует множество ходов X
игрока I в матрице выигрышей, а множеству признаков Y —
множество ходов Y игрока II в антагонистической игре
или множество состояний природы в игре с природой. Такая ин-
терпретация объектов и признаков правомерна не только по при-
чине внешнего сходства таблиц. Более важным является то обсто-
ятельство, что при выборе хода игроком I ходы игрока II рассмат-
риваются не только по отдельности — при использовании игро-
ком I максиминной стратегии, но и в совокупности — при исполь-
зовании им критерия Байеса, что аналогично аддитивной свертке
критериев при многокритериальном оценивании.
Отличительной особенностью матрицы выигрышей являет-
ся однородность ее содержимого. В экономической теории
значениям элементов матрицы сопоставляются денежные еди-
ницы, а в других приложениях они могут интерпретироваться
расстояниями, весами и т.п. Свойство однородности исключа-
ет необходимость нормирования значений столбцов матрицы
с целью перехода к относительным единицам. Это позволяет
упростить функции полезности, используемые для оценивания
вариантов в задачах с разнородными признаками, путем све-
дения нормирующих коэффициентов к 1.
Нахождению множества Парето в задаче многокритери-
ального выбора соответствует минимизация матрицы выиг-
рышей как предварительная стадия нахождения оптималь-
ного хода.
274
С точки зрения многокритериального выбора использо-
вание игроком I максиминной стратегии можно рассматри-
вать как сведение многокритериального выбора к однокри-
териальному путем исключения несущественных критериев.
Выбору оптимального хода соответствует нахождение макси-
мального значения существенного критерия.
Рассмотренный здесь класс задач не допускает возможность
текущей проверки результатов оценивания, поскольку оценка
последствий выбора отдалена по времени. Можно только ут-
верждать, что наилучшим вариант является на данный момент
времени в условиях имеющейся информации. Отсутствие ин-
формации о будущей ситуации не может гарантировать,
что выбранный вариант окажется наилучшим в последующем.
Для повышения достоверности выбора в систему оценивания
следует вводить прогнозные признаки.
Выводы
1.	В отличие от коллективного выбора, основанного
на мажоритарном принципе, рациональный выбор индивиду-
ума в группе определяется поставленной им (ему) целью и видом
взаимодействия с другими индивидуумами и окружающей сре-
дой. Различают два противоположных вида взаимодействия
индивидуумов: противодействие и содействие. Взаимодействие
индивидуума с окружающей средой характеризуется ее нейт-
ральностью по отношению к индивидууму.
2.	Исходная информация, используемая для решения зада-
чи рационального выбора в условиях противодействия, пред-
ставляется функцией выигрышей (потерь). Для случая диск-
ретного множества альтернатив ей соответствует матрица
выигрышей (потерь). Эта модель не отражает реакции проти-
воположной стороны или окружающей среды на выбор инди-
видуума, что предопределяет наличие неопределенности
при решении этого класса задач.
3.	В качестве функции полезности в антагонистической
игре двух сторон используются максиминная (минимакс-
ная) стратегия. При наличии в игре седловой точки (точ-
ки Нэша) она задает оптимальные ходы (стратегии) игроков.
275
В отсутствие седловой точки при многократном повторе-
нии ситуаций используются смешанные стратегии игроков.
Они реализуются через распределение вероятностей на множе-
стве ходов каждого игрока. Вероятности выбора каждого хода
вычисляются с использованием модели линейного программи-
рования на основе содержимого матрицы выигрышей.
4.	Функция полезности, применяемая игроком при взаимо-
действии с окружающей средой в отсутствие информации о ее
состоянии, характеризует его индивидуальность — от крайнего
пессимизма (критерий Вальда) до крайнего оптимизма (коэф-
фициент оптимизма, равный 1, в критерии Гурвица). Это об-
стоятельство предопределяет разнообразие результатов выбо-
ра как функцию оптимизма индивидуума. При известной веро-
ятности состояния окружающей среды (случай статистической
неопределенности) в качестве функции полезности использует-
ся критерий Байеса. Эта же функция применяется для определе-
ния цены эксперимента с целью уточнения состояния природы.
5.	Рациональный выбор индивидуума в условиях содействия
определяется интересами других членов группы. Эта задача
интерпретируется распределением (дележом) ресурсов. Посколь-
ку индивидуум в текущий момент времени может потреблять
только один ресурс, она сводится к задаче о назначениях.
Эта задача решается на матрице весов двудольного графа, иден-
тичной матрице выигрышей.
6.	Специальной разновидностью задачи о назначениях яв-
ляется многокритериальная задача о назначениях. Она заклю-
чается в нахождении максимального соответствия между свой-
ствами претендента и потребностями ресурсов (работ). Она
решается методом мягких притязаний, предложенным автором.
Оценка, получаемая с применением этого метода, учитывает
разнородность критериев оценки, их различную значимость,
возможность превышения предъявляемого к критерию требо-
вания и реализуется в интервальной шкале. Эти свойства ме-
тода расширяют сферу его применения. Он может применять-
ся, например, для выбора агентом цели деятельности в зависи-
мости от своего состояния, когда цель и состояние характери-
зуются одинаковым набором сопоставимых свойств.
276
Глава 9. ВЫБОР В УСЛОВИЯХ
НЕЧЕТКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Из десяти девять не знают отличия
тьмы от света, истины от лжи, чес-
ти от бесчестия, свободы от рабства.
Так же не знают и пользы своей
Трефилий, раскольник
9.1.	Природа неопределенности
Залогом успешного решения любой задачи является правиль-
ное понимание ее сути, на основе которого выбирается адекватная
математическая модель. Это особенно актуально для плохо фор-
мализуемых задач, к которым относится рациональный выбор
в условиях неопределенности. Свойства используемых для их ре-
шения математических моделей в значительной степени зависят
от природы неопределенности, которую обычно подразделяют
на статистическую и нечеткую. Для отнесения задачи к тому
или иному виду неопределенности рассмотрим их особенности.
Существует три взгляда на природу статистической неопре-
деленности: частотный, объективистский и субъективистский
[101]. Первый взгляд основывается на способе измерения нео-
пределенности, как частоте события, наблюдаемого по резуль-
татам некоторого эксперимента. Например, по результатам об-
следования 100 пациентов зубной врач у десяти из них нашел
кариес, из чего сделал вывод о том, что вероятность наличия
кариеса у его пациентов приблизительно равна 0,1.
Объективистский взгляд основывается на случайной приро-
де вещей, а результаты эксперимента трактует как проявление
этого свойства природы. Различие с первым взглядом видится
как различие курицы и яйца: что из них первично?
Субъективистский взгляд фактически затушевывает роль
эксперимента, подменяя его опытом субъекта. Например,
зубной врач, не проводя специальных подсчетов, высказы-
вает свою точку зрения: «По моему мнению, вероятность
наличия кариеса у моих пациентов приблизительно равна 0,1».
277
В отсутствие эксперимента эта цифру нельзя считать точной
так же, впрочем, как и точечную оценку вероятности по резуль-
татам эксперимента. Но если неточность точечной оценки веро-
ятности трактуется с позиции неполноты выборки и она оцени-
вается путем построения доверительного интервала, то неточ-
ность экспертной оценки основывается на отсутствии специаль-
ных вычислений, а не на отсутствии исходной информации.
Действительно, не проводя обследования пациентов, врач
не имеет основания для провозглашения количественных оце-
нок. Иначе эта оценка считается необоснованной. Не случай-
но слова «опыт» и «эксперимент» в английском языке име-
ют одинаковые корни: «experience» и «experiment». Принци-
пиальное различие между ними заключается в неявном и явном
оценивании результатов эксперимента. Отсюда следует и раз-
личие понятий «эксперт» и «экспериментатор». В искусствен-
ном интеллекте под экспертом понимается практик, знания
которого основываются на неформализованном опыте. В отли-
чие от него экспериментатор специально изучает явление с це-
лью получения его количественной оценки.
Подытоживая сказанное, можно сделать вывод о том, что
все три взгляда на статистическую неопределенность имеют
общее частотное происхождение. Одно из различий заключа-
ется в точности оценивания случайной величины. Она, прежде
всего, зависит от содержания и объема выборки, представля-
ющей генеральную совокупность. Действительно, выборки
пациентов городского и сельского зубного врача могут суще-
ственно различаться по доле кариеса в болезнях пациентов,
что позволяет считать оценки пациентов врачами по различ-
ным доступным для них выборкам субъективными.
Между тем количественная оценка явления не обязательно
имеет частотное происхождение как в приведенном примере.
Например, два человека, встречаясь в 11 часов до полудня,
приветствуют друг друга словами: «Добрый день» и «Доброе
утро». Это означает, что первый из них воспринимает утро
как отрезок времени, скажем, от шести до десяти часов, а для
второго утренним является время от девяти до одинадцати часов.
278
Очевидно, что различие в оценках одного и того же времени
суток двумя людьми имеет не частотную природу, а связано
с особенностями их характера или темперамента, — «жаво-
ронка» и «совы» соответственно. Отметим то обстоятельство,
что оценки времени суток являются неявными и лингвистичес-
кими (словесными), поскольку выражены на естественном языке.
К подобным оценкам, характеризующим восприятие чело-
веком внешней среды, можно отнести оценку погоды, — хо-
лодная для южанина погода северным человеком воспринима-
ется как теплая. Если же люди прогнозируют погоду на следу-
ющий день, они руководствуются предшествующим опытом,
который, как было отмечено ранее, имеет частотное проис-
хождение. Таким образом, следует разделять оценивание объек-
тов и явлений, основанное на предшествующем опыте, и субъек-
тивное отношение к окружающей среде. Это означает,
что субъективизм бывает двух видов. Один из них связан
с ограниченным опытом человека, а другой — его отношени-
ем к окружающей среде на основе особенностей личности.
Различия в способах оценивания явлений и объектов влекут
различия в его результатах. Оценивая явления, имеющие ста-
тистическую природу, выборочной средней величиной, невоз-
можно ответить определенно, случится рассматриваемое явле-
ние в указанный момент или нет. Например, если месяц оце-
нен как дождливый с вероятностью 0,8, то это не означает,
что на следующее утро обязательно будет дождь. В то же вре-
мя, если дождливая погода отнесена к плохой погоде, то вряд
ли отношение к ней изменится на следующее или другое утро.
Если первый вид субъективизма можно оценивать субъектив-
ной вероятностью, то для оценки другого вида субъективизма она
неприменима в силу его нестатистической природы. Для оценки
обоих видов субъективизма американским ученым Лотфи Заде была
предложена нечеткая логика [102], которая будет рассмотрена ниже.
В последних работах [103, 104] Лотфи Заде указывает
на ряд ограничений классической теории вероятности, ко-
торые не позволяют в должной мере отразить присущее
человеку частичное восприятие мира: частичную опреде-
ленность, точность, истину, знание, понимание, веру и т.п.
279
Из перечисленных видов она моделирует лишь частичную
определенность. Однако существуют полностью определенные
ситуации, характеризуемые частичной истиной, точностью и т.п.
В качестве примера приводится Роберт, имеющий на три чет-
верти немецкую и на одну четверть французскую кровь и счи-
тающий себя немцем [104]. Это утверждение можно оценить
как истинное величиной 0,75 по проценту немецкой крови.
Но эта величина не имеет никакого отношения к вероятности.
Теория вероятности ограничивается следующими противо-
положностями: изучаемый процесс может быть либо случай-
ным, либо неслучайным, стационарным, либо нестационарным
во времени, события являются либо зависимы, либо независи-
мы. Уменьшение интервала случайной величины не дает воз-
можности улучшить ее оценку средствами теории вероятнос-
ти. Так, например, сужение интервала от [0,10] до [2,4] не по-
зволяет уточнить вероятности случайной величины. В обоих
случаях она находится в диапазоне [0,1].
Решение задач рационального выбора в условиях статистичес-
кой неопределенности было показано на примере игры с природой
(см. пункты 1.7 и 8.3.4). Ниже рассмотрим решение задач рацио-
нального выбора в условиях нечеткой неопределенности.
9.2.	Нечеткое множество
Область нечеткой неопределенности представляется диск-
ретным или непрерывным (континуальным) множеством А.
Принадлежащие ему элементы не обязательно являются сто-
процентными обладателями некоторого свойства РА, относи-
тельно которого они объединены в множество А. Каждому из
них ставится в соответствие мера обладания свойством РА.
Например, человека, имеющего рост 178 см, нельзя на 100%
отнести к высоким людям. Про такого могут сказать, что его
рост «выше среднего». Вместе с тем вряд ли кто-то может
усомниться в том, что двухметровый человек является высо-
ким. Такие качественные оценки, выраженные на естествен-
ном языке (вербально или словесно) принимаются за лингви-
стические переменные.
280
Для количественного представления меры неопределеннос-
ти Л. Заде предложил использовать функцию принадлежности
цл(х) элемента хЕХ нечеткому множеству А, где X — универ-
сальное множество [102]. Функция цл(х) ставит в соответствие
каждому элементу хЕХ меру обладания им свойством, порож-
дающим множество А из универсального множества. В приме-
ре универсальным множеством X является множество всех лю-
дей, а множеством А — множество высоких людей.
Процентная шкала для измерения функции цл(х) заменяется
на абсолютную — ц^(х): X -» [0, 1]. Множество SA, SAEX, для
элементов которого ц^(х)>0, называется носителем нечеткого
множества А. Элементы множества X, характеризуемые значе-
нием цл(х)=0, не относятся к множеству А, а элементы со значе-
нием цл(х)=1 стопроцентно обладают свойством Р множества А.
Таким образом, мера принадлежности нечеткой части множе-
ства А не включает границы интервала [0, 1]: цл(х): X -* (0, 1).
Это означает, что множество А может включать как нечеткую
(0<ц^(х)<1), так и четкую (цл(х)=1) части.
Нечеткое дискретное множество А, определенное на уни-
версальном множестве X, представляется совокупностью упо-
рядоченных пар вида:
J = {(x, р(х)) |х€=Х} или J = {p(x)/x IxGy}.
Нечеткое множество А нормально, если ЗхЕХ (sup ц(х) -1),
X
или, иначе говоря, найдется хотя бы один элемент xESA, пол-
ностью обладающий свойством РА, и субнормально в против-
ном случае.
Очевидно, что вид функции принадлежности рл(х) опреде-
ляется свойством РА. Например, функция принадлежности цл(х)
множеству высоких людей А меняется монотонно в облас-
ти неопределенности от значения цл(хв mjn)>0 до значения
Нл(хбв min)=l на границе с областью определенности х & хбв,
где хв min — минимальный рост человека, относимого к высоким людям;
ХБВ min — минимальный рост безусловно высоких людей.
Если отсутствует информация о промежуточных значениях
функции цл(х) в интервале неопределенности, то наиболее просто
положить ее линейной (рис. 9.1).
281
Рис. 9.1. Функция принадлежности
множества высоких людей
В примере на рис. 9.1
линейное значение фун-
кции цл(х) определено
в интервале [175, 190].
Случаю нелинейной
закономерности в облас-
ти неопределенности со-
ответствует нелинейная
функция ц^/х). На рис. 9.2 закономерность «Число х очень
отличается от числа а» моделируется в полуинтервале хга
нелинейной функцией [30]:

0,5
12	3	4	5	6
Рис. 9.3. Функция принадлежности суждения
«Купить несколько яиц»
цл(х) = 1-е"^-а)2.	(9.1)
Согласно этой функции, с увеличением разности между
числами а и х элементы множества А в большей степени соот-
ветствуют моделируемому суждению. Носитель нечеткого мно-
жества А на рис. 9.1 и 9.2
является непрерывным.
В тех случаях, когда
свойство РА нечеткого
множества А изменяется
относительно некоторой
центральной группы эле-
Рис. 9.2. Число х очень отличается	ментов, функция ц^(х)
от числа а	имеет как монотонно уве-
личивающуюся, так и мо-
нотонно убывающую составляющие. Представим суждение «Ку-
пить несколько яиц» нечетким множеством А, определенным на
целочисленном носителе
Sa={2, 3, 4, 5}. Пусть оно
имеет следующий вид:
Я = {0,5/2; 1/3; 1/4; 0,5/5}.
Соответствующая этому
множеству дискретная
функция ця(х) пред-
ставляется трапецией
(рис. 9.3).
282
В отличие от предыдущих примеров здесь функция ця(х)
построена по точкам. Отметим условный характер трапеце-
идальной функции для данного примера, обусловленный це-
лочисленностью носителя SA. В интервалах между точками
она не имеет смысла, поэтому не подлежит интерполяции.
При построении по точкам функции ця(х) в области дей-
ствительных чисел ее интерполяция подчиняется линейному
закону, поскольку выполняется на основе принципа равноделе-
ния: ця(хр=(ця(х1)-ця(х/))/2. Здесь точка xkE.SA находится по-
средине интервала [х(, x], XjElSa.
Если существует всего один элемент, удовлетворяющий ус-
ловию supp(x)=l, то трапеция преобразуется в треугольник.
X
Нелинейное нечеткое множество, соответствующее этому слу-
чаю, имеет колоколообразный вид. Например, суждение «Чис-
ло х очень близко числу й» также описывается функцией (9.1)
с учетом обратного характера моделируемой зависимости
и охватом интервалов [0, а] и [а, ?/] по обе стороны от числа а.
Границей правого интервала является очень большое число N
(рис. 9.4). Поскольку в этом примере рассматриваются дей-
ствительные числа, функция ця(х) является непрерывной.
Рассмотренные способы задания функции принадлежности
ц^(х) могут быть разделены на две группы: теоретическое или
аксиоматическое задание, основанное на подборе известной за-
кономерности, или эмпирическое задание функции по точкам
на основе субъективных оценок эксперта.
При рассмотрении единственного нечеткого множества А
функция принадлежности цл(х) обладает свойством дополнитель-
ности (комплиментарнос-
ти) по отношению к уни- версальному множеству X. Если элемент х принадле- жит с мерой ц^(х) мно- жеству А, то его принад- лежность множеству Х\А определяется величиной	М*) 1 	 а	г х Рис. 9.4. Число х очень близко числу а
283
Несмотря на формальное сходство функции принадлежнос-
ти ц^(х) с функцией плотности вероятности р(х) случайного
события л, они имеют разную природу, что подчеркивается
принадлежностью их к разным теориям. В отличие от теории
вероятности (probability theory) функция принадлежности изу-
чается в рамках теории возможностей (possibility theory) и имеет
другое обозначение Poss^(x), интерпретируемое как возмож-
ность принадлежности элемента х нечеткому множеству А.
9.3.	Нечеткое отношение и выбор
по приоритету
Нечеткое бинарное отношение R на универсуме ХхХ опи-
сывается функцией принадлежности цЛ(х,-, ху), где х(-, xjEX. Пусть,
например, отношение «Много больше» (х>>х) моделируется
функцией (l+^-Ay)-2)-1. Тогда мера принадлежности этому от-
ношению пары чисел (х(, xj) описывается функцией:
Ил(хр х7)={°1 xFxj> (Ж*,-*/)-2)-1! xt>>xj}-
Носителем SR нечеткого отношения R называется множе-
ство упорядоченных пар (х(-, xj), для которых функция принад-
лежности тЛ(х(, xj) положительна:
5"я= {(%,., xj) | м.я(х,, ху)>0}.
Приведенный выше пример касается непрерывного (контину-
ального) множества чисел X. Нечеткое бинарное отношение R,
определенное на дискретном множестве X, удобно представлять
в матричной форме. Элементами матрицы R являются значения
функции принадлежности цЛ(х;, xj), задаваемые для каждой пары
(х,-, x)E.R. Здесь принципиальным является вопрос задания значе-
ния функции принадлежности цЛ(ху, х() для обратных пар (ху, х(),
х^ Xj&X, что характеризует соотношение элементов и а - мат-
рицы R, симметричных относительно главной диагонали. Если
нечеткое бинарное отношение R описывает предпочтения экс-
перта для каждой пары (х(, xj)^R, то часто бывает приемлемым
использовать принцип дополнительности при формировании зна-
чения элемента относительно значения элемента а;у. Это означа-
ет, что если задано значение «Быть предпочтительнее» цЛ(х(, xj)
для пары (Xj, xj), то значение функции для обратной пары (xj, xt)
должно быть равно: ця(ху, x^l-p^x,-, xj).
284
Пусть, например, ЛПР имеет три цели Х={х{, х2, *3}, и
ему необходимо определить их приоритеты. Представим предпоч-
тения следующей матрицей нечеткого бинарного отношения R:
Х1
R = х2
Хз
•Ч
0
0,33
0,25
*2
0,67
0
0,67
0,75
0,33
0
Рис. 9.5. Нечеткий граф предпочтений
Если интерпретировать матрицу R матрицей весов взвешен-
ного графа [50], то она может быть представлена нечетким
графом предпочтений (рис. 9.5).
Граф является пол-
ным, поскольку суще-
ствуют связи между все-
ми его вершинами. Каж-
дой дуге графа сопос-
тавлено значение функ-
ции принадлежности
xj).
Учитывая свойство до-
полнительности элемен-
тов а у и матрицы R,
будем интерпретировать
значения функции при-
надлежности цл(х(, Ху) и цл(ху, х() долями единицы. А от них,
согласно табл. 6.4, осуществим однозначный переход от превосход-
ства в долях к превосходству в разах. Заменив отношения в долях
на отношения в разах, а значения диагональных элементов с 0 на 1,
получим на основе матрицы R матрицу парных сравнений А:
1
0,5
0,33
2
1
3
3
0,33
1
На основе матрицы сравнений по правилам, изложенным
в пункте 6.6.2, рассчитаем нормированный вектор приорите-
тов н>=(0,54; 0,16; 0,30). Таким образом, наивысшим приорите-
том обладает цель хг
285
Заметим, что в общем случае матрица парных сравнений А
может содержать нецелочисленные кратности предпочтений, что
не оказывает влияния на алгоритм вычисления максимального соб-
ственного вектора матрицы методом геометрического среднего.
При решении задачи выбора по приоритету роль функции
принадлежности цЛ(х(, ху) заключалась не в описании границ
нечеткого множества, а в иллюстрации возможности задания
предпочтений на языке нечетких множеств. Преобразование
нечеткого множества было ограничено единственной унарной
операцией дополнения над функцией принадлежности цЛ(х(, Ху).
Решение же самой задачи было получено с привлечением ап-
парата линейной алгебры. Использование н-арных операций
над функцией принадлежности рассмотрим в разделе, посвя-
щенном операциям над нечеткими множествами.
9.4.	Операции над нечеткими множествами
Операции над нечеткими множествами используются для полу-
чения результирующего нечеткого множества, отвечающего неко-
торым заданным требованиям. Пусть имеются два нечетких мно-
жества А и В, имеющих общую нечеткую границу (рис. 9.6, а).
Рис. 9.6. Графическое представление двух множеств с нечеткой границей
286
Нечеткая граница между множествами А и В находится
в области их пересечения АОВ. Элемент х частично принадле-
жит каждому из множеств. Мера его принадлежности определя-
ется с учетом топологии множеств. В простейшем случае функ-
ции принадлежности ц^(х() и ц5(х;) принимаются линейными
(см. рис. 9.6, б). Более того, на рис. 9.6, б эти функции обла-
дают свойством взаимной дополнительности: цл(х1)=1-цв(х1),
поскольку из рассмотрения исключаются точ-
ки, принадлежащие универсуму АЛ(ЛиВ).
Операции над обычными четкими множествами Ап В опреде-
ляются, исходя из 100-процентной принадлежности элементов
только одному из них, т.е. если хЕА, то ця(х)=1, а цв(х)=0
и наоборот. Если нужно выделить множество С, элементы ко-
торого одновременно принадлежат обоим множествам А и В,
используется операция пересечения С=ЛГ)В. Она реализуется
с использованием операции «логическое умножение» (конъюнк-
ция) обычной двоичной логики (булевой алгебры) над каждой
парой элементов, принадлежащих множествам Л и В. В терми-
нах функции принадлежности эта операция записывается как:
V(x,, ху), х<=А, XjEB цс(х,, ху)=ця(х.)лцд(ху).
Аналогичным образом, если нужно выделить множество С,
элементы которого принадлежат и множеству А, и множеству В,
и обоим вместе, то применяется операция объединения множеств
А и В: C=AUB. Она реализуется с использованием операции
«логическое сложение» (дизъюнкция) булевой алгебры над каж-
дой парой элементов, принадлежащих множествам А и В:
V(x;, х), xt(=A, хЕВ \kc(Xi, ху)=ця(х1)уцд(ху).
Множества А и В, изображенные на рис. 9.6, имеют четкую
и нечеткую составляющие. Для операций над нечеткими со-
ставляющими в соответствии с непрерывностью значений функ-
ций принадлежности ця(х) и цв(х) в области АГ\В должна
использоваться бесконечнозначная, а в дискретном случае —
многозначная логика. Поскольку операции совершаются над
всеми элементами множеств А и В, для четких составляющих
они должны сводиться к функциям обычной двоичной логики.
Естественно, что функции бесконечнозначной логики го-
раздо более разнообразны, чем в двоичной логике. Рассмот-
рим основные бинарные операции над нечеткими множества-
ми А и В, определенными на носителе S=SAUSB, SA, SBGX.
287
Они выполняются с применением следующих функций беско-
нечнозначной логики:
1.	Равенство множеств А и В (А=В)\ >jxES ц^(х)=цв(х).
2.	Включение (ЛСВ):	p^(x)spB(x).
3.	Пересечение (С=ЛПВ): \jxES pc(x)=min{p^(x), цв(х)}.
4.	Объединение (С=ЛиВ): \jxES цс(х)=тах{ц^(х), цв(х)}.
5.	Разность (С=А\В)\ \fxES цс(х)=пйп{ця(х), 1-цв(х)}.
6.	Симметрическая разность {С=А®В): \fxES цс(х)=
= шах(пйп{ця(х), 1-цв(х)}, min{l-p^(x), цв(х)}).
7.	Алгебраическое произведение (С=А В): VxGzS (цс(х)=
= Ц^(х)рв(х)).
8.	Алгебраическая сумма (С=Л+В):	(P(^x)=P^(x)+Pb(x)_
-ЦлООнвСО).
В дальнейшем, согласно области применения, будем назы-
вать их функциями нечеткой логики. Первые шесть функций
нечеткой логики представляют собой обобщение булевых фун-
кций на случай бесконечнозначной логики. Базовыми здесь яв-
ляются функции min и шах, используемые для реализации пе-
ресечения и объединения нечетких множеств. Они обобщают
булевы конъюнкцию и дизъюнкцию.
Проиллюстрируем выполнение бинарных операций 3—6 над
множествами, приведенными на рис. 9.6, а. Они реализуются
путем преобразования функций принадлежности, изображен-
ных на рис. 9.6, б (рис. 9.7, а—г).
Алгебраические произведение и сумма характеризуют-
ся использованием арифметических операций — суммы и
произведения. Эти операции отличаются от близких им
операций пересечения и объединения учетом зависимости
признаков. Это влечет получение результатов не на гра-
ницах нечетких множеств (рис. 9.8, а—б), что видно из
сравнения рис. 9.7, а и б с рис. 9.8, а и б. По сравнению
с функцией пип{ця(х), цв(х)} функция ця(х) цв(х) занижа-
ет результат (см. рис. 9.8, а), а по сравнению с функцией
min{p^(x), цв(х)} функция ця(х)+цв(х)-ця(х) цв(х)) завы-
шает результат (см. рис. 9.8, б).
288
289
Рис. 9.8. Графическое решение операций «Алгебраическое произведение»
и «Алгебраическая сумма»
Для сравнения результатов двух пар операций над нечетки-
ми множествами А и В — пересечения и алгебраического про-
изведения, объединения и алгебраической суммы — составим
табл. 9.1 в предположении взаимной дополнительности гра-
ниц этих множеств. В качестве исходных данных используют-
ся значения функций принадлежности ц^(х) и ц5(х) объекта х
для пяти точек, находящихся на границе множеств А и В.
Таблица 9.1
Нл(*)	Нв(*)	АПВ	А-В	A UB	А+В
0,5	0,5	0,5	0,25	0,5	0,75
0,6	0,4	0,4	0,24	0,6	0,76
0,7	0,3	0,3	0,21	0,7	0,79
0,8	0,2	0,2	0,16	0,8	0,84
0,9	0,1	0,1	0,09	0,9	0,91
Из табл. 9.1 следует, что результирующие функции принад-
лежности монотонны — для первой пары операций они убы-
вают, а для второй — возрастают, причем с увеличением раз-
ницы в принадлежности объекта х множествам А и В значения
функций в парах сближаются.
290
Проиллюстрируем выполнение операций 3 + 8 на дискрет-
ных нечетких множествах А и В, определенных на носителе
S'={x1, х2, Ху, х4}. Пусть
А = {0,2; 0,7; 1; 0}, и В={0,5; 0,3; 1; О,!}1 .
3.	С=ЯПВ={0,2; 0,3; 1; 0}.
4.	C=^UB={0,5; 0,7; 1; 0,1}.
5.	С=Л\В={0,2; 0,7; 0; 0}, С=В\Л = {0,5; 0,3; 0; 0,1}.
6.	С=Л©5={0,5; 0,7; 0; 0,1}.
7.	С=ЯВ={0,1; 0,21; 1; 0}.
8.	С=Я+В={0,6; 0,79; 1; 0,1}.
Рассмотренные операции применимы не только по отноше-
нию к одномерным, но и к двумерным множествам, т.е. к би-
нарным отношениям между нечеткими множествами [30].
Как было отмечено ранее, дискретное бинарное отношение пред-
ставляется двумерным массивом нечетких переменных. В пунк-
те 9.3 использовался однородный универсум ХхХ. В целях
большей общности в качестве составляющих универсума возьмем
два различных нечетких множества X и Y (XxY). Представля-
ющая его таблица может интерпретироваться матрицей весов
полного двудольного графа.
Пусть Х={х^, х2, х3}, а К={у1, у2, Уу, jp4}. На этих носителях
зададим два нечетких бинарных отношения R (табл. 9.2) и L
(табл. 9.3) и выполним над ними операции 3—8.
Таблица 9.2
R	У1	У2	Уз	Ул
xi	0,3	0,2	1	0
Х2	0,8	1	0	0,2
Х3	0,5	0	0,4	0
Таблица 9.3
L	.F1	У2	Уз	
xi	о,3	0	0,7	0
х2	0,1	0,8	1,0	1,0
хз	0,6	0,9	о,з	0,2
1С учетом одинакового носителя его элементы в множествах А и В опущены.
291
Нечеткое отношение RDL представлено в табл. 9.4:
Таблица 9.4
	У|	Уг	Уз	Уа
*1	0,3	0	0,7	0
Х2	0,1	0,8	0	0,2
Х3	0,5	0	0,3	0
Нечеткое отношение RUL представлено в табл. 9.5 Таблица 9.5					
	лил	Л	У2	Уз	Уа
	Х1	0,3	0,2	1,0	0
	х2	0,8	1	1,0	1,0
	хз	0,6	0,9	0,4	0,2
Нечеткое отношение R\L представлено в табл. 9.6:
Таблица 9.6
R\L	.У1	У1	Уз	Уа
xi	о,3	0,2	0,3	0
Х2	0,8	0,2	0	0,2
Х3	0,4	0,1	0,4	0
Нечеткое отношение R©L представлено в табл. 9.7 Таблица 9.7					
	R®L	Л	У2	Уз	Уа
	xi	0,3	0,2	0,3	0
	Х2	0,8	0,2	1,0	0,8
	Х3	0,5	0,9	0,4	0,2
Нечеткое отношение R L представлено в табл. 9.8:
Таблица 9.8				
RL	Т|	У2	Тз	Уа
xi	0,09	0	0,70	0
Х2	0,08	0,8	0	0,2
Х3	0,30	0	0,12	0
Нечеткое отношение R+L представлено в табл. 9.9:
Таблица 9.9
R+L	Л	У2	Уз	УА
XI	0,51	0,2	1,00	0
Х2	0,82	1	1	1,0
ХЗ	0,80	0,9	0,58	0,2
292
Дополнительно к операциям над двумерными нечеткими
множествами по сравнению с одномерными применяются опе-
рации проекции и композиции.
Проекция нечеткого бинарного отношения R на множество X
определяется функцией принадлежности у)~ тах(цЛ(х,у)),
а на множество Y — функцией цЛ/г(х, у)= тах(цЛ(х,у)). Так
например, проекции последнего отношения R+L на множества
X и Y представляют собой следующие нечеткие множества:
(/?+£)/X={0,51/xj; 1/х2; 0,9/х3} (Л+£)/У={0,82/у,; 1/ у2; 1/ у3,
1/ у4}. Поскольку в обоих проекциях есть элементы с ц(х, у)=1,
нечеткое отношение R+L считается нормальным [30]. В противном
случае оно считалось бы субнормальным.
Композиция двух бинарных нечетких отношений R*L опре-
деляется выражением:
у)=тах
min(p/?(x,y),HL(x,y)) ••
Нетрудно заключить, что это выражение является обобще-
нием выражения произведения четких отношений [30]:
У)= v (Рл(х,у) л ц£(х,у)).
Композиция нечетких отношений R*R может использовать-
ся для нахождения пути в нечетком графе [30].
Переход от нечеткого отношения к четкому {дефазификация)
основывается на принципе округления чисел: если цДх,) s 0,5,
то Яу:=0, иначе а~=\, где а^ — элемент четкого отношения R.
9.5.	Модель нечеткого выбора в пространстве
признаков
Будем интерпретировать нечеткое бинарное отношение
RQX-X.Y таблицей «Объекты-Признаки». Роль объектов будут
играть элементы множества X, а роль признаков (свойств объек-
та) — элементы множества Y. Каждому объекту х-ЕХ ставится
в соответствие вектор свойств у(х1)=(ц1(х1),..., цДх^),..., ц(хя)),
где |a (x,) — мера обладания у-м свойством /-го объекта.
293
Поскольку каждый из У объектов может в определенной мере
обладать любым из п свойств, к компонентам вектора у(х;)
неприменимо свойство дополнительности, т.е. их сумма может
быть больше 1.
Предложенная интерпретация нечеткого бинарного отно-
шения RQXxY позволяет рассматривать его как модель не-
четкого выбора объектов в и-мерном пространстве призна-
ков. Пример модели нечеткого выбора объектов из множе-
ства y={Xj, х2, Х3, х4, х5, х6} в четырехмерном пространстве
признаков приведен в табл. 9.10:
Таблица 9.10
X	У1	Уг	Уз	У4
X,	0	0,1	0,3	0
х2	од	0,6	0,6	0,1
Xi	0,4	1,о	0,9	0,4
*4	0,7	0,9	1,0	0,7
*5	1,0	0,8	0,8	0,8
х6	0,7	0,6	0,7	0,6
Столбец уу в табл. 9.10 моделируету-е свойство объектов
нечетким множеством. Содержимое клетки, находящейся на
пересечении z-й строки и у-го столбца таблицы, представляет
собой значение функции принадлежности Цу(х() нечеткому свой-
ству уу для Z-го объекта.
На основе содержимого табл.9.10 нетрудно установить фор-
мальную аналогию модели нечеткого выбора с промежуточной
таблицей в иерархической системе признаков (см. пример 5.9).
Значения переменных в обеих таблицах меняются в интервале [0,1].
Различие заключается в природе этого интервала. В не-
четком бинарном отношении он задается аксиоматически,
а в промежуточной таблице иерархии получается за счет нор-
мирования признаков нижних уровней иерархии. Это свой-
ство таблиц позволяет использовать для выполнения нечет-
кого выбора объектов не только функции нечеткой логики,
но и функции полезности, применяемые в задачах много-
критериальной оптимизации.
294
Как видно из табл. 9.10, каждый объект из множества X
характеризуется своим вектором функции принадлежности ц^х,),
j=!,...,«. В связи с этим актуально установление меры сход-
ства/различия между двумя объектами х(-, XjEJC в «-мерном
нечетком пространстве признаков. Для этой цели использует-
ся такой параметр как расстояние между объектами z/(x(, Ху).
Оно подчиняется следующим аксиомам метрики:
1.	d(x(, х)г0, причем <7(х;, х()=0 — (неотрицательность).
2.	<1(Х}, xj)=d(Xj, Xj) — (симметричность).
3.	d(xt, Xj)+d(xj, x^zdfXj, xk) — (транзитивность).
Этим аксиомам удовлетворяют линейное (хэммингово)
и квадратичное (Евклидово) расстояние в «-мерном простран-
стве. В «-мерном нечетком пространстве признаков расстояние
Хэмминга между объектами х;- и хк вычисляется по формуле:
dH (xi> xk) =	|м j (xi) - My (xk )|-	(9.1)
7=1
Евклидово расстояние между объектами х{ и хк в «-мерном
нечетком пространстве вычисляется по формуле:
dE(xi>xk) =	(ну О,) - Цу (х*))2 •	(9.2)
V/-1
Эти формулы являются обобщением понятия расстояния
на нечеткие множества. Так, например, расстояние Хэмминга
между объектами Xj и х2 для дефазифицированного отношения
в табл. 9.10 равно х2)=2, так как j(xj)=(0, 0, 0, 0),
ay(x2)=(0, 1, 1, 0). Для нечеткого случая это расстояние рав-
но: df^x^ хр=0,1 +0,5+0,3+0,1 = 1. Из примеров следует, что
dH4(xl’ x2>dn(xl’ х2>-
Евклидово расстояние для четкого и нечеткого отношений
равно соответственно: dE4{x(, хк)= 41 =1,41 и ^(х,, хк) =
= 70,01 + 0,25 + 0,09 + 0,01 =0,6. Для евклидова расстояния также
имеет место: dE4(xt, xk)^dE(xt, хк).
На практике часто возникает потребность сопоставить пары
объектов, характеризуемые различным количеством свойств.
295
В этом случае следует использовать относительные расстоя-
ния, вычисляемые путем нормирования абсолютных расстоя-
ний. В соответствии с этим относительные Хэммингово и Ев-
клидово расстояния вычисляются по формулам:
(9-3)
6£<Xi’ *Р= dE^xi’ х014п.	(9.4)
Естественно, что величина хк) и б£(х;, хк) меняется
в интервале [0,1]. Для случая четких множеств с ц^х,), ц(хЛ)Е{0,1},
используя формулы (9.1)—(9.2), нетрудно убедиться, что:
^£2(х,-, xfc)=rf//(xl., хк\,
хк>-
9.6.	Задачи нечеткого выбора в пространстве
признаков
Исходя из существа нечетких свойств рассмотренной модели
(см. пример в табл. 9.10), при решении задач выбора их значе-
ния подлежат максимизации. Иными словами, нас интересует
максимальная принадлежность z-го объекта у-му свойству. По-
скольку каждый объект характеризуется п свойствами, возника-
ет проблема многокритериального оценивания объектов.
Выше было отмечено сходство между нечетким бинарным
отношением и промежуточной таблицей в иерархической си-
стеме признаков относительно интервала изменения чисел.
Теперь к нему прибавилась необходимость максимизации всех
входящих в табличную модель признаков. А это означает,
что все рассмотренные ранее задачи рационального выбора
могут решаться в терминах нечетких множеств. Рассмотрим их
на примере модели нечеткого выбора, приведенной в табл. 9.10.
9.6.1.	Отбор недоминируемых объектов
Отношение доминирования векторов было рассмотрено
в главе 4.2. На практике получило распространение отноше-
ние нестрого доминирования, основанное на использовании
при сопоставлении компонент двух векторов предиката «г».
Строгое доминирование с использованием предиката «>» можно
рассматривать как частный случай нестрого доминирования.
296
В табл. 9.10 к недоминируемым объектам относятся
А’п={х3, х4< х5^- Они характеризуются следующими векторами
принадлежности нечетким свойствам (ур у2, у3, у4):
у(х3)=(0,4; 1,0; 0,9; 0,4);
У(х4)=ф,1-, 0,9; 1,0; 0,7);
у(х5)=(1,0; 0,8; 0,8; 0,8).
Поскольку объектам х3, х4, х5 в наибольшей степени прису-
щи нечеткие свойства {ур у2, у3, у4}, именно они и оказывают-
ся претендентами на наилучший объект в заданном простран-
стве признаков (свойств).
9.6.2.	Отбор объектов на основе ограничений
Поставим задачу выделения объектов, обладающих всеми
свойствами из табл. 9.10, не менее, чем на 50%. Этому требо-
ванию соответствует вектор граничных значений свойств
с=(0,5; 0,5; 0,5; 0,5) и тип ограничения «г». Заданным требованиям
соответствуют объекты Ус={х4, х5, х6}. В случае дефазификации
они обладают вектором четких свойств j(x)=(l; 1; 1; 1).
Как частный случай нечеткого отбора объектов на основе
ограничений рассматривается нечеткий поиск объекта по цели.
Он характеризуется типом ограничения «=» для всех нечетких
свойств объекта.
9.6.3.	Выбор наилучшего объекта
Наиболее просто эта задача решается на основе принципа
«Лучший объект по наихудшему свойству». В теории игр это-
му принципу отвечает максиминный критерий, применяемый
к матрице выигрышей. В терминах нечеткой логики он форму-
лируется в виде следующего выражения:
|1*(х) = тахтш(цу (х,)).	(9.5)
i j 1
Минимальная принадлежность объектов любому из четы-
рех нечетких свойств в табл. 9.10 описывается вектором наи-
худших значений свойств: (0, 0,1; 0,4; 0,7; 0,8; 0,6). Наивысшее
значение Цу(х()=0,8 функция принадлежности принимает для
объекта x5=arg(y*(x)). Выбранный объект принадлежит най-
денному ранее множеству Парето.
297
Следует отметить, что для решения задачи использовались
две базовые функции многозначной логики (min и max) в силу
их н-арности.
К недостатку изложенного метода выбора наилучшего объек-
та относится отсутствие учета значимости свойств объекта.
В реальности они часто оказываются неравнозначными.
9.6.4.	Упорядочение объектов
Наиболее просто упорядочение объектов выполняется с при-
менением метода приоритета критериев. Он позволяет учи-
тывать значимость свойств объекта, но, согласно пункту 5.3,
оценка значимости является достаточно грубой в силу исполь-
зования порядковой шкалы. Поэтому рассмотрим решение
задачи с применением функции полезности. Выбор функции
полезности осуществляется, исходя из соображений, изложен-
ных в пункте 5.5. В отличие от максиминного критерия любая
из рассмотренных в этом разделе функций полезности реали-
зует арифметические преобразования над вектором свойств
объекта. Поскольку значения функции принадлежности ц.(х(),
i=l,...,n, j=l,...,N, однородны и изменяются в интервале [0,1],
в функциях полезности они не подлежат нормализации. Отсю-
да формулы 5.10 и 5.11 имеют упрощенный вид:
п
У = f(y) = 2 WJ^J (х‘ )•	(9  6)
7=1
(9-7)
Результат упорядочения объектов из табл. 9.10, выполненный
с использованием аддитивной функции полезности с диапазоном
изменения признаков от 0 до максимального значения, представ-
лен следующим двухмерным массивом: R={(x[, 6); (х2> 5); (х3, 3);
(х4, 2); (х5, 1); (х6, 4)}. В круглых скобках указаны места, занятые
объектами. Как и при применении максиминного критерия наи-
лучшим оказался объект х5. На этот результат не оказало влияние
изменение весовых коэффициентов в функции полезности.
298
9.6.5.	Условная оптимизация
В задаче условной оптимизации множество признаков раз-
деляется на два подмножества: критериев (целей) и ограниче-
ний. Применительно к нечетким множествам нечеткие свой-
ства, принятые за критерии, подлежат максимизации, а зна-
чения остальных нечетких свойств ограничиваются снизу.
При максимизации более, чем одного свойства, задача сводит-
ся к многокритериальной условной оптимизации.
Рассмотрим простейшую задачу условной оптимизации от-
носительно нечеткого критерия G={pc(x)/x|xGS'} и нечеткого
свойства в роли ограничения C={pc(x)/x|xGS}. Оба нечетких
свойства определены на общем носителе SCX. Нечеткое реше-
ние D задачи находится как пересечение нечетких цели и огра-
ничения: D=GHC, выражаемое через функции принадлежнос-
ти следующим образом:
цд(л-)=тш{цс(х), цс(х)}.	(9.8)
Нечеткий выбор наилучшей альтернативы осуществляется
по максимальному значению функции цп(х):
x*=arg(max(pn(x))).	(9.9)
Графическое решение задачи для непрерывных нечетких
множеств G и С показано на рис. 9.9.
Рис. 9.9. Графическое решение задачи условной оптимизации
Функция принадлежности нечеткому решению цп(х) на рис. 9.9
выделена жирной линией, а по ее максимальной величине най-
дена наилучшая альтернатива х*.
299
Естественно, что в общем случае и, тем более, при количе-
стве нечетких свойств более двух рассмотренная задача реша-
ется аналитическим способом на основе расширенной форму-
лы (9.8). Решением задачи является точка пересечения всех
кривых, отвечающая условию (9.9).
Решение задачи условной оптимизации на дискретной мо-
дели продемонстрируем на примере табл. 9.10. Зададим следу-
ющее ограничение на нечеткое свойство у2: ц2(х()г0’9. В ре-
зультате предварительного отбора будет выделено подмноже-
ство Ars={%3, х4}. Вошедшие в него элементы упорядочиваются
следующим образом: /?s={(x3,2); (х4,1)}.
9.6.6.	Метод мягких притязаний
Наиболее естественным требованием к объектам при реше-
нии задачи нечеткого выбора методом мягких притязаний явля-
ется задание четкого значения «1» функциям принадлежности
ц (х() для всех п нечетких свойств, характеризующих объект.
Для рассматриваемого примера — это вектор с=(1; 1; 1; 1) и
тип ограничения «=». Как и в предыдущих случаях, первое
место по приближению к единицам занимает объект х5. Сум-
марное отклонение от 1 по всем свойствам составляет для него
0,6 и является минимальным по сравнению с суммарными от-
клонениями других объектов (см. формулу (9.1)).
9.7.	Нечеткая классификация объектов
Задачи классификации традиционно решаются в рамках
научного направления распознавания образов. Под распозна-
ванием образа понимается отнесение неизвестного (в смысле
принадлежности классу) объекта к одному из известных клас-
сов. Этой задаче присуща неопределенность границ между
соседними классами, обычно трактуемая как статистическая,
что характерно для опытного (или экстенсионального) подхо-
да к изучению явлений [23].
Между тем весьма распространены задачи, связанные
с субъективным подходом к классификации. Хорошей ил-
люстрацией этого утверждения является проблема установле-
ния границ между родственными научными дисциплинами.
300
Нечеткость этих границ обуславливается рядом различных фак-
торов. Например, методы оптимизации, изучаемые в исследо-
вании операций, получили дальнейшее развитие в теории при-
нятия решений. Особенность их применения определяется на-
личием человеческого фактора и связанной с ним субъектив-
ной неопределенностью. Изучение роли субъективного факто-
ра роднит теорию принятия решений с искусственным интел-
лектом. Границы между этими областями устанавливаются
экспертным способом специалистами.
Весьма показателен субъективный подход к классификации
в задачах оценки качества. Например, покупатель технического
изделия (компьютера, автомобиля, мобильного телефона и пр.)
хочет знать к какому из классов принадлежит интересующее
его изделие. При этом классы формируются, исходя из оценки
качества изделий. В отличие от распознавания реальных объек-
тов формирование классов представляет здесь субъективный
процесс. Действительно, в задаче распознавания букв русского
алфавита число классов строго регламентировано числом букв (33).
Количество же градаций качества обычно исчисляется единица-
ми и задается экспертным способом. Минимальное количество
градаций равно двум (качественное или некачественное изде-
лие). Верхняя граница числа градаций качества, очевидно,
не должна превышать психологического
Характер границ между классами в
рассматриваемых примерах также мо-
жет быть различным. Например, ру- /
кописное написание букв «и, к, н, п» I
может плохо различаться, что соответ- )
ствует размытости границ между со- I
ответствующими классами (рис. 9.10). \
Количество областей, образуемых
пересечением классов, определяет-
ся булеаном с числом вариантов 2".
Для рассматриваемого примера оно
составляет: 24-1 = 15. Уменьшению бу-
леана на 1 соответствует обязательная принадлежность объек-
та либо одному из классов, либо их пересечению.
максимума
И
Рис. 9.10. Графическое
представление классов
для букв «к, и, н, п»
301
Проблема установления степени принадлежности объекта
каждому из классов решается путем определения расстояний
от распознаваемого объекта до границ классов [23].
В отличие от этого примера, где области подчиняются час-
тичному порядку, классы, характеризующие качество изделий,
располагаются в линейном порядке. Учитывая то обстоятельство,
что для оценки качества используются несколько признаков
(свойств объекта), задача классификации объекта решается в про-
странстве признаков. Рассмотрим решение задач этого класса.
9.8.	Нечеткая классификация объектов
по качеству
Объектом классификация по качеству может служить явле-
ние или сущность как естественного, так и искусственного
происхождения. Каждая градация качества описывается зна-
чениями лингвистической переменной, обозначающей качество
изделия или продукта, например, низкое, среднее и высокое.
Эти значения применимы ко всем признакам (свойствам),
характеризующим объект.
Примером естественного явления, классифицируемого по ка-
честву, является погода. Для каждого времени года она определя-
ется как холодная, умеренная и теплая. Каждая из градаций по-
годы описывается своим вектором признаков (температура, дав-
ление, влажность, скорость ветра). На рис. 9.11 в качестве при-
мера приведены трапецеидальные функции принадлежности по-
годы каждой из трех градаций качества по признаку «Темпера-
тура» области нечеткой неопределенности представлены наклон-
ными сторонами трапеций с указанием их начала и конца.
Рис. 9.11. Разбиение шкалы признака «Температура» на три градации качества
302
Примером технического изделия, классифицируемого
по качеству, является компьютер. Эта лингвистическая пере-
менная имеет следующие градации качества: маломощный, сред-
немощный, мощный. Возьмем за показатели, определяющие про-
изводительность компьютера, тактовую частоту f, объем опе-
ративной памяти Иоп, объем постоянной памяти Кп п, объем
видеопамяти Ивп.
Общим для приведенных примеров является нечеткость гра-
ниц между градациями качества по каждому из выбранных
признаков. Различие заключается в том, что параметры, ха-
рактеризующие погоду, имеют непрерывный диапазон значе-
ний, а параметры, характеризующие компьютер, — дискрет-
ный диапазон. Значимость признаков в оценке принадлежно-
сти объекта классу в обоих примерах может быть различной.
Приведенные примеры иллюстрируют результаты первого
и четвертого шагов, предпринимаемых для построения модели
классификации [78]:
1.	Определение перечня признаков	ха-
рактеризующих объект.
2.	Определение диапазона значений каждого признака.
3.	Задание значимости Wj каждого признака в общей оцен-
ке объекта.
4.	Определение перечня значений лингвистической перемен-
ной, применяемых для оценки качества и в дальнейшем обо-
значаемые как классы K=(Ki,...,Ki,...,Km).
Пятый шаг имеет особую значимость в подготовке проце-
дуры классификации объекта.
5.	Задание функции принадлежности каждому классу. Выбирает-
ся форма функции принадлежности, характеризующая нечеткую нео-
пределенность границ между соседними классами. Диапазон значе-
ний каждого признака делится на т частей — по числу классов1.
' Заметим, что для двоичных признаков задача вырождается в четкую класси-
фикацию в силу принадлежности их значений крайним классам.
303
При задании классов необходимо учитывать направление из-
менения качества. Например, увеличение ресурсного парамет-
ра совпадает с направлением улучшения качества (см. рис. 9.11).
Для стоимостных показателей наоборот, — лучший класс раз-
мещается в начале шкалы.
Для выполнения классификации выполняются следующие
действия:
1.	Предъявляется набор значений признаков j(x)=tv1(x),...,
характеризующих классифицируемый объект х.
2.	Значение jy(x) подставляется в функции принадлежности
каждому классу, сформированному для j-ro признака, у-1,...,п.
В результате получается s векторов принадлежности объекта
всем классам.
3.	На основании вектора принадлежности объекта всем клас-
сам рассчитывается мера принадлежности P(KS) классифициру-
емого объекта s-му классу,	Она должна отражать как
принадлежность ц5у(х) объекта х s-му классу по j-му признаку,
7=1,так и вклад каждого признака в эту оценку. Этим
требованиям отвечает функция:
p(Ks) =	(9.10)
j-1
4.	После расчета функции принадлежности P(KS) клас-
сифицируемого объекта х каждому классу, s=l,..., т, опре-
деляется класс, которому объект х принадлежит в наиболь-
шей степени:
r=arg(max{P(^1),..„ P{KS),..., Р{Кт)}).	(9.11)
5.	Если задан порог классификации U [78], то в случае
P{Kj) < U значение функции принадлежности P(KS) признается
недостаточным для отнесения к классу К*.
Покажем, как рассчитывается значение функции принадлеж-
ности ц5у(х) s-му классу по j-му признаку для наиболее рас-
пространенной — трапецеидальной функции принадлежности,
исходя из известного значения у^х). На рис. 9.12, а, б приве-
дены восходящая и нисходящая стороны трапеции:
304
Рис. 9.12. Передний и задний фронты трапеции
Пересчет значения у{х) в диапазон [цн, цк] оси ординат
осуществляется с помощью коэффициента (У]~У] K~yj н) для
рис. 9.12, а и \-(yj-yj H)/ty K-yj н) — для рис. 9.12, б. Общая
формула расчета значения функции Ц5у(х) по значению у^х)
для любой части трапецеидальной формы имеет вид:
=	—-(Нк-Рн)+Рн-	(9.12)
В формуле (9.12) yj н, yj к — значения j-ro признака в на-
чальной и конечной точках передней и задней сторон трапе-
ции. Значениям j-ro признака на границах области неопреде-
ленности поставлены в соответствие значения цн и цк функции
принадлежности s-му классу ц5у(х). На границах интервала
функция ц5у(х) принимает значения либо 0, либо 1. Отсюда
разность цк-цн принимает следующие значения:
О — для горизонтальной части трапеции;
цк - цн = J +1 — для левой стороны трапеции;
-1 — для правой стороны трапеции.
Пример 9,1. Определить качество лазерных принтеров от-
носительно их весогабаритной характеристики (табл. 9.11).
На рис. 9.13 приведена модель классификации лазерных
принтеров для четырех признаков, характеризующих их габа-
риты и вес (см. функции p.j(x)—ц4(х)). Учитывая необходимость
минимизации габаритов и веса, три принятых градации каче-
ства упорядочены от начала шкалы в сторону ухудшения.
305
Таблица 9.11
№	6/4	Высота H	Ширина В	Глубина D	Масса M
1	Canon	56	300	157	1,4
2	Compaq	180	424	203	2,9
3	Epson	203	660	508	11,6
4	HP	437	201	406	5,3
5	Lexmark	152	432	203	2,9
6	Xerox	432	203	152	4,1
Hi(x) 1	5	23	64
50	100	150	200	250	300	350	400	450	500 Н
Рис. 9.13. Модель классификации лазерных принтеров
306
Шкала j-го признака, j=l,..., 4, отградуирована в диапазоне
bj,min(x)’ ^/.rnaxWb
Значения признаков для принтеров из табл. 9.11 помечены
их номерами (см. верхние ряды цифр на шкале каждого признака).
В качестве примера рассчитаем принадлежность градациям каче-
ства принтера HP (№ 4 в табл. 9.11), обозначив его через х4.
Признаки положим равноценными: w1=w2=h’3=w4=0,25.
1.	Определим меру принадлежности принтера HP классу
(лучшее качество) по каждому признаку.
1(х4)=°.
HU(X4)=1-
И1>3(х4)=0.
Hl\i(x4)=0-
2.	Определим принадлежность принтера HP классу (луч-
шее качество) по всем признакам.
Р(Х'1)=0,25 1=0,25.
3.	Определим меру принадлежности принтера HP классу К2
(среднее качество) по каждому признаку.
Н2,1(х4)-°-
Н2,2(х4)=0’
3<*4)=	<0-‘)+ ‘ =-°’5 ‘+ ‘ "°’4’'
Н2,4(х4)=1-
4.	Определим принадлежность принтера HP классу К2 (сред-
нее качество) по всем признакам.
Р( К2)=0,25-0,49+0,25-1 =0,3725.
5.	Определим меру принадлежности принтера HP классу К2
(низшее качество) по каждому признаку.
Н3)1й4)=1.
Н3:2(Х4)=О-
ц3 з(х4)=^^^ (1-0)+0=0,51.
^3’3V 47 450-361 v 7
Н3,4(х4)=0-
6.	Определим принадлежность принтера HP классу К2 (низ-
шее качество) по всем признакам:
Р(£3)=0,25-1+0,25-0,51=0,3775.
307
7.	В силу дополнительности функций Ц[(х)—ц4(х) Р(К[)+
+P(K2)+P(K3)=i.
8.	Определим класс, которому объект х4 принадлежит
в наибольшей степени:
tf*=arg(max{0,25, 0,3725, 0,3775})=^.
Формально принтер HP по весогабаритной характеристике
обладает худшим качеством, а фактически, учитывая близость оценок
Р(К2) и Р(А'з), в равной степени относится к классам К2 и Ку
Аналогичным образом классифицируются остальные принтеры.
Если первичные признаки объектов объединены более, чем
в одну группу, классификация выполняется внутри каждой
группы. Затем векторы принадлежности классам Kf={Ki 1;...,
Kt s,- -,Kt ), It, из всех t групп текущего уровня иерар-
хии передаются в таблицу следующего уровня. Там выполня-
ется расчет принадлежности объекта классам по формуле 9.10.
Поскольку аргументами этой функции являются значения функ-
ций принадлежности нижнего уровня иерархии, локальные таб-
лицы не требуют задания модели классификации.
9.	9. Ранжирование объектов на основе
нечеткой классификации
Основанием для ранжирования объектов является величина
функции принадлежности заданному классу. Это дает возмож-
ность ранжировать объекты внутри класса. При этом не игра-
ет роли, какому фронту трапеции принадлежит объект. Ины-
ми словами, если объект х, со значением pB(xz) принадлежит
левой нечеткой границе промежуточного класса В, а объект хк
со значением цв(х^) принадлежит его правой границе, то при
^(х^ЦдСхр объекты получают следующие ранги: (хр г); (хк,
г+1). Естественно, что объекты, полностью принадлежащие
классу В, имеют ранг меньший (лучший), чем г.
При классификации объектов по качеству появляется воз-
можность их сквозного ранжирования, используя порядок
классов и значения функции принадлежности классам. Од-
нако, упорядочение объектов по значениям функции принад-
лежности не может быть выполнено однозначным способом.
308
Это объясняется тем, что при классификации по нескольким
признакам обычна ситуация, когда P(X'1)>0,..., Р(Х'Д>0,...,
Р(Х"^)>0, т.е. объект имеет ненулевую принадлежность более,
чем двум соседним классам. А это означает нарушение свой-
ства дополнительности функций принадлежности двум смеж-
ным классам, справедливого для одного признака. В качестве
примера сошлемся на ненулевую принадлежность принтера HP
в примере 9.1 всем трем классам: (0,25, 0,3725, 0,3775). Отсюда
видно, что сопоставление функций принадлежности смежных
классов теряет смысл. Действительно, как можно себе пред-
ставить принадлежность объекта сразу трем трапециям на шкале
общей оценки? Ведь между ними нет общей границы.
Указанную проблему можно решить следующим образом.
Во-первых, трапеции (как частный случай функций принад-
лежности) строятся только на шкалах первичных признаков,
измеряемых физическими единицами. Их построение на шкале
общей оценки не имеет смысла. Во-вторых, и это главное, следует
воспринимать нечеткую классификацию объекта как вектор его
свойств, каждое из которых показывает степень соответствия
объекта соответствующему классу. Такая интерпретация позво-
ляет использовать для ранжирования объектов по результатам
нечеткой классификации известные методы (см. главу 5). Из них
наибольший интерес для данной задачи представляют методы
приоритетов и аддитивной свертки критериев.
Для упорядочения объектов методом приоритетов в рассмат-
риваемой задаче классам назначается роль критериев. Затем
они нумеруются в порядковой шкале, начиная с лучшего
по качеству класса, которому присваивается наивысший при-
оритет (1). Далее реализуется метод приоритетов, подробно
изложенный в пункте 5.3. При этом следует иметь в виду одно
важное обстоятельство. Лучшим по следующему классу явля-
ется объект, обладающий меньшей принадлежностью к нему.
А это означает, что следует либо минимизировать его функ-
цию принадлежности, либо максимизировать ее дополнение
до 1. Это можно назвать принципом «подтягивания к лучше-
му». Поясним это на следующем примере. Пусть объект х( харак-
теризуется следующим вектором принадлежности трем классам:
309
(0,7; 0,5; 0,3), а объект xk — вектором принадлежности (0,7; 0,3;
0,4). Судя по этим оценкам, объект хк оказывается предпочти-
тельнее объекта х(-, поскольку при равной принадлежности луч-
шему классу К\ он в меньшей степени принадлежит классу К2.
Универсальным подходом к упорядочению объектов
по результатам нечеткой классификации является использова-
ние аддитивной функции полезности. Она позволяет как уста-
навливать приоритеты классов в интервальной шкале, так и
назначать направления оптимизации. Наиболее простым яв-
ляется установление важности классов в соотношении 3:2:1
(для трех классов). Ему соответствуют доли от 1: 0,5; 0,33
и 0,17 в порядке убывания классов.
Пример 9.2. Упорядочить семь объектов, классифицирован-
ных на три класса (см. табл. 9.12).
Таблица 9.12
X	Кл	Кг	Кз	Ранг
XI	0,7	0,5	0,3	1
Х2	0,7	0,3	0,5	2
хз	0,5	0,7	0,3	4
Х4	0,5	0,3	0,4	3
Х5	0,2	0,5	0,3	5
Х6	0	0,6	0,4	6
Х7	0	0,5	0,5	7
Применение принципа «подтягивания к лучшему» здесь
выражается через максимизацию критерия и минимиза-
цию критериев К2 и К2 с назначением им весов 0,5; 0,33; 0,17
соответственно (в соотношении 3:2:1). Результаты ранжиро-
вания приведены в столбце «Ранг».
Обсуждение
В ряде работ, посвященных нечеткой неопределенности,
она фактически отождествляется со статистической неопре-
деленностью. Этому способствуют сходство некоторых фун-
кций принадлежности и плотности вероятности, изменение
их значений в диапазоне [0,1], а по большому счету — неуме-
ние или нежелание различать эти виды неопределенности.
310
Между тем они имеют не только различную природу проис-
хождения, но и различные свойства, порождаемые их особен-
ностями. Например, в отличие от вероятности случайного со-
бытия функция принадлежности нечеткому множеству не все-
гда обладает свойством дополнительности. А это означает не-
правомерность применения соответствующих формул теории ве-
роятности для вычисления значений функции принадлежности.
Большую роль этому различию придает в своих после-
дних работах Л. Заде. Он подчеркивает полярность ряда свойств
теории вероятности: изучаемый процесс может быть либо слу-
чайным, либо неслучайным, стационарным, либо нестационар-
ным во времени, события являются либо зависимы, либо неза-
висимы. В отличие от этих полярных свойств в основу теории
возможности изначально заложен принцип частичности-, «ча-
стичной определенности, частичной истины, частичной точно-
сти, частичного знания, частичного понимания и т.п.» [104].
В этом смысле нечеткие множества показывают пример совме-
щения четкости и нечеткости в одной и той же функции при-
надлежности. Четкое множество, по существу, является част-
ным случаем нечеткого множества как результат полного уст-
ранения частичности.
В качестве другого аргумента различия теорий вероятности
и возможности Л. Заде указывает на субъективный характер вто-
рой из них, связанный с неопределенностью естественного язы-
ка, лежащего в основе теории возможности. Более того, тесно
увязывая количественную меру неопределенности с порождаю-
щим ее суждением на естественном языке, он трансформирует
теорию возможности в теорию восприятия (perception theory). Про-
блему точности соответствия между высказыванием на естественном
языке и значениями функции принадлежности он пытается ре-
шить применением точного естественного языка, что аналогично
использованию формализованных языков в программировании.
Точный естественный язык, основанный на ограничениях, дол-
жен быть, по Заде, богаче языка исчисления предикатов. Между
тем проблема соответствия между словами и числами остается.
В пункте 6.2 нами была показана нелинейность численных оценок
качества, которую сложно отобразить словесно (см. табл. 6.4).
311
В качестве меры по достижению линейной зависимости можно
предложить принцип повторения слов. Например, по числу
повторения слова «Лучше» можно линейно отградуировать
числовую шкалу качества.
Необходимо отметить двоякую природу функции принадлеж-
ности. С одной стороны она призвана решать логическую зада-
чу отнесения объекта к одному из классов. С другой стороны,
она показывает не только факт, но и меру принадлежности
определенному классу. Это позволяет рассматривать значения
функции принадлежности как нормированные величины и вы-
полнять над ними арифметические действия. Если рассматри-
вать эту особенность функции принадлежности с позиции задач
рационального выбора, то следует подчеркнуть, что в этих за-
дачах нас интересует не столько абсолютные значения функций
принадлежности, сколько их различие для разных объектов.
Именно оно лежит в основе методов рационального выбора.
Конечно, величина различия бывает небезразлична для получе-
ния результата выбора. В этом случае надлежит выбирать адек-
ватный способ обработки функций принадлежности.
Работоспособной моделью для решения задач нечеткого
выбора является бинарное нечеткое отношение, интерпретиру-
емое таблицей «Объекты/Признаки». Эта модель позволяет
использовать хорошо исследованные методы оптимизации
в пространстве признаков для решения задач нечеткого выбо-
ра. Наряду с арифметическими операциями здесь используются
также функции бесконечнозначной логики. Их применение здесь
аналогично нахождению оптимального хода игрока в теории игр.
Продуктивным может оказаться применение понятия нечет-
кой неопределенности при задании предпочтений в задаче
определения приоритета объектов. Использование свойства до-
полнительности функций принадлежности двум сопоставляе-
мым объектам при попарных сравнениях дает возможность
свести их значения к долям от 1. Преобразуя матрицу не-
четких предпочтений в матрицу кратности предпочте-
ний, мы получаем возможность решения задачи определения
приоритета объектов на основе нахождения максимального соб-
ственного вектора матрицы.
312
Несмотря на разнообразие рассмотренных в этой главе
методов нечеткого выбора, не следует забывать о том, что трудно
рассчитывать на получение достоверного результата, исполь-
зуя субъективные исходные данные. Однако это не мешает
человеку находить приемлемые решения задач, формулируе-
мых на естественном языке в условиях неполной исходной
информации. А это означает, что формальные модели нечет-
кой неопределенности дают возможность автоматизировать
решение таких задач и получать решения не худшие, чем при-
нимаемые человеком. Конечно, достоверность получаемых
результатов нас не может не волновать. При выборе в услови-
ях статистической неопределенности для этой цели использу-
ется доверительная вероятность. Но она применима в услови-
ях частотного подхода при известном распределении вероят-
ности случайных событий. Достоверность результата нечетко-
го выбора определяется мерой субъективности восприятия
человеком окружающей среды. Уменьшения влияния фактора
субъективности на результат нечеткого выбора можно добиться
увеличением числа и компетентности экспертов, как это дела-
ется при групповом выборе.
Выводы
1.	В отличие от статистической нечеткая неопределенность
основывается не на частотном, а на частичном принципе. Она
отражает, с одной стороны, субъективное, а с другой стороны,
частичное (неполное) восприятие человеком окружающей среды.
2.	Математической моделью нечеткой неопределенности
является нечеткое множество. Его можно рассматривать как
расширение четкого (канторовского) множества на случай
нечеткой неопределенности. В силу этого нечеткое множество
имеет две составляющих: четкую и нечеткую, первая из них
отражает полную принадлежность объекта множеству в смыс-
ле обладания присущим ему свойством, а вторая составляю-
щая отражает частичное обладание этим свойством.
3.	Наиболее сложной проблемой при построении модели
нечеткого выбора является задание функции принадлежнос-
ти нечеткому множеству. Она решается двумя способами:
313
аксиоматическим и эмпирическим, первый из них основан
на выявлении закономерности частичного соответствия свой-
ству, которым обладает нечеткое множество. Эмпирический
подход основан на сборе и обработке субъективной инфор-
мации от экспертов. Достоверность информации зависит от
числа и компетентности экспертов.
4.	Понятие нечеткости применимо как к одномерным (обыч-
ным), так и к двумерным множествам, т.е. к бинарным отно-
шениям. Поскольку нечеткое бинарное отношение представле-
но нечетким графом, задачи нечеткого выбора можно решать
на нечетких графах.
5.	Для преобразования нечетких множеств используются
функции бесконечно-значной логики и арифметические опера-
ции над функциями принадлежности; соответствующими мно-
жествам. Результирующие функции принадлежности монотон-
ны. В случае пересечения и алгебраического произведения двух
множеств они убывают, а в случае объединения и алгебраи-
ческой суммы — возрастают, причем с увеличением разницы
в принадлежности объекта х множествам А и В значения функ-
ций в этих парах сближаются. Все функции применимы не толь-
ко по отношению к одномерным, но и к двумерным множествам,
т.е. к бинарным отношениям между нечеткими множествами.
6.	Использование свойства дополнительности функций при-
надлежности двум сопоставляемым объектам при попарных
сравнениях дает возможность свести их значения к долям от 1.
Они интерпретируются как нечеткие предпочтения. Преобра-
зуя матрицу нечетких предпочтений в матрицу кратности пред-
почтений, мы получаем возможность решения задачи опреде-
ления приоритета объектов.
7.	Интерпретация бинарного нечеткого отношения табли-
цей «Объекты/Признаки» позволяет применять хорошо иссле-
дованные методы оптимизации в пространстве признаков для
решения задач нечеткого выбора.
314
10.	АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
ОЦЕНИВАНИЯ
Отыщи всему начало,
И ты многое поймешь
Козьма Прутков
10.1.	Задачи анализа
Задачи рационального выбора относятся к классу плохо или
слабо формализуемых проблем. Это означает, что существует
гораздо большая возможность произвола при построении мо-
дели рационального выбора, чем в задачах моделирования
технических систем. Субъективный подход к построению мо-
дели предметной области может проявляться на всех его ста-
диях — от формирования пространства признаков до выбора
параметров функции полезности. И поэтому, несмотря на обо-
снование разработчиками модели правомерности принятых
решений и привлечения экспертов для улучшения их качества,
скептическое отношение к построенной модели ПО остается.
Оно особенно присуще людям, которых результаты оценива-
ния касаются непосредственно, что характерно для задачи
ранжирования объектов. Наряду с субъективизмом, присущим
построению модели ПО, она может содержать неточности
и ошибки в силу своей размерности.
Решение проблемы доверия к модели многокритериаль-
ного оценивания объектов возможно на пути проведения серии
экспериментов. Их суть заключается в варьировании раз-
личных параметров модели. К ним относятся: включение
в систему оценивания дополнительного признака или исклю-
чение существующего, изменение места последнего в иерар-
хии, изменение весового коэффициента признака или нор-
мирующего коэффициента в функции полезности. Все эти
изменения влияют на получаемый рейтинг объектов в зада-
че ранжирования. Помимо места, занятого конкретным объек-
том, представляют интерес все объекты, изменившие свои
места на лучшие и на худшие, либо не изменившие вообще.
315
Интегральную оценку общего изменения порядка мест в оценива-
емом рейтинге по сравнению с базовым следует характеризовать
специальной величиной, по которой можно было бы судить, на-
сколько существенны изменения, выполняемые над моделью.
Наряду с проблемой различия рейтингов представляет интерес
проблема их сходства. Она имеет место при исследовании незави-
симости признаков, а также при сопоставлении рейтингов, полу-
ченных по разным локальным критериям. Поскольку для рейтин-
говой оценки объектов в качестве исходной информации исполь-
зуются значения функции полезности, более точно сходство
и различие оценок объектов определяется в интервальной шкале.
Важным для анализа результатов многокритериального
оценивания является выявление доли каждого признака в об-
щей оценке конкретного объекта. Это дает полезную инфор-
мацию для совершенствования объекта.
В получении окончательных результатов многокритериаль-
ного оценивания немаловажную роль играют средства анали-
за полученной информации. Учитывая ее большой объем, очень
важно выделять ту часть анализируемой информации, кото-
рая, прежде всего, интересует пользователя и позволяет ему
выполнить правильные и быстрые заключения. Эту задачу пред-
лагается решать с применением когнитивной графики.
Изложение перечисленных задач и является содержанием
данного раздела.
10.2.	Различение двух рейтингов в шкале
строгого порядка
10.2.1.	Первичные показатели различия рейтингов
Предположим, что для совокупности X, состоящей из N
объектов, исходя из различных условий оценивания или для
разных периодов времени, получено два рейтинга: г1=(г11,...,
г1у-,..., ri;v) и r2=(r21’"-’	r2N)- Компоненты этих векторов
являются натуральными числами и измеряются в порядковой
шкале. Они характеризуют приоритет соответствующих объектов
в виде ранга или места, занимаемого каждым объектом по
отношению к остальным.
316
Для количественного сопоставления векторов гt и г2 введем
следующие первичные показатели различия рейтингов:
1.	Число различающихся вг[Иг2 компонент (рангов объек-
тов) nD.
2.	Покомпонентную разность рангов dj=r^~ r2j,j=(..., N.
3.	Удельную разность рангов d-=d^{N - 1).
N
4.	Суммарную разность рангов Д = А+ +А“ = ^dj,
где Д+ и Д’ — суммы положительных и отрицательных разностей рангов.
Рассмотрим два предельных случая разности рангов для
восьми объектов.
1)П =	А+ А“ A nD
И	=	(1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8)
r2	=	(1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8)
dj	=	(0,	0	0	0	0	0	0	0) О О О О
2г,у	=	2,	4,	6,	8,	10,	12,	14,	16)
Для случая равных рейтингов (г1=г2) покомпонентные раз-
ности их компонент равны 0, а суммы рангов равны удвоенно-
му рангу:
V XjEX (dj(rt, r2)=0) & (fry (rp r2)=2ry).
2) и = -ч-j	A+ A A nD
П	=	(1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8)
-П	=	(8,	7,	6,	5,	4,	3,	2,	1)
dj	=	-7,	-5,	-3,	-1,	1,	3,	5,	7) 16 -16 0	8
=	9,	9,	9,	9,	9,	9,	9,	9
Для случая взаимообратных рейтингов (г1=-<г1) покомпо-
нентные разности их компонент не равны 0, а все суммы на 1
больше числа объектов:
y/XjEX(d.(ri, ^)>0) & Ол/гр -ч-1)=У+1).
Для шкалы строгого порядка имеет место баланс рассогла-
сований рейтингов:
А=А++А~=0.	(10.1)
317
10.2.2. Различение порядка следования рангов в двух
рейтингах
Различие в порядке следования рангов рейтинга г2 по отно-
шению к гj определяется числом несоответствий порядка следо-
вания рангов, т.е. числом пар рангов, в которых первый ранг
старше второго. Оно называется инверсией 1{г^, г2) и определяет
число транспозиций (обмена соседними позициями), которое
необходимо выполнить над рейтингом г2, чтобы привести его
к рейтингу i-р Будем рассматривать пару рейтингов (гр г2)
как перестановку. Для определения величины 1(г{, г2) выпол-
няется нормализация перестановки (гр г2), заключающаяся
в связанном переупорядочении пар рангов (г1у, г2у) и соот-
ветствующих им объектов с целью установления лексикогра-
фического порядка в рейтинге Гр Затем вычисляется число
л=7(гр г2) по формуле [26]:
ЛМ
s-Q-^Qj.	(10.2)
7-1
Числа Qj характеризуют нарушение прямой последовательно-
сти рангов в г2 в направлении их возрастания. Они определяются
относительно j-ro ранга, j=l,...,N-l, рейтинга г2 как количество
рангов меньшей величины, находящихся от него справа.
Сохранение прямой последовательности рангов в г2 харак-
теризуется поразрядно числом Р-. Числа Pj,	опреде-
ляются относительно j-ro ранга как количество рангов боль-
шей величины, находящихся от него справа.
Общая сумма, характеризующая нарушение и сохранение
прямой последовательности рангов в рейтинге г2 равна:
5 =
(Ю.З)
Пример 10.1. Определить различие в порядке следования
рангов рейтинга г2 по отношению к г j для совокупности объектов
{А, В, С, D, Е, F, G, Н}. Рейтинг Г] примем за базовый,
а рейтинг г2 — за оцениваемый.
318
В,	Н,	С,	G,	F,	D,	Е,	А
rt =	(2,	8,	3,	7,	6,	4,	5,	1)
г2 =	(2,	7,	3,	4,	6,	5,	8,	1)
d, =	О,	1,	О,	3,	О,	-1,	-3,	О
dj =	О,	1,	0,	9,	О,	1	9,	О
Помимо покомпонентной разности векторов
в последней строке приведен квадрат их разности d?,j=l,..., N.
Выполним нормализацию перестановки (i-р г2) и определим
компоненты векторов нарушения Q и сохранения Р прямой
последовательности рангов в г2.
А	В	С	D	Е	F	G	Н	Q Р
П = (1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8)	
гг = (1,	2,	3,	5,	8,	6,	4,	7)	
Q = (0,	0,	о,	-1,	-3,	-1,	0)		-5
Р = (7,	6,	5,	3,	0,	1,	1)		23
Например, значение 04=-1 в векторе Q найдено, исходя из
того, что рангом, меньшим пяти, справа от объекта D в векторе гг
обладает единственный объект G. Аналогичным образом, г4=3
означает, что большими рангами, чем объект D, справа от
него в векторе г2 обладают объекты Е, F, Н. По формуле
(10.3) находим 5=5+23=28.
Найдем число инверсий 1(гх, -Т0, требующееся для перехо-
да от рейтинга Г] к обратному порядку рангов Т] для случая
восьми объектов.
Q Р
И	=	(1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8)
~»у*1	=	(8,	7,	6,	5,	4,	3,	2,	1)
Q = (-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1)	-28
Р	=	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0)	0
Согласно формуле (10.3) 5=28+0=28.
Таким образом, 5=/(r1, Tj) характеризует максимальное
число инверсий в совокупности, состоящей из N объектов.
Назовем его собственным числом инверсий совокупности в шкале
строгого порядка.
319
Оно определяется по простой формуле, выводимой из фор-
мулы (10.3):
N-\
7-1
Величина 5 может быть определена также через число дуг
полного графа, состоящего из N вершин:
s = jV(2V-l)	(Ю.5)
Формула (10.5) задает количество сравнений, которое необ-
ходимо выполнить между каждым из N объектов с остальны-
ми 2V-1 объектами для выявления всех предпочтений в сово-
купности X.
Число 5 используется для нормирования различия поряд-
ков в сопоставляемых рейтингах:
£)=/(Г|, r2)/Z(r1, -ч-^s/S.	(10.6)
Для примера 10.1 £>=5/28=0,18.
Коэффициент D различия порядка рангов в рейтингах гt
и г2 изменяется от 0 (порядки совпадают) до 1 (порядки вза-
имно обратные). Порядки достаточно близки при £)s0,l (раз-
личие до 10%). Допустимо в ряде случаев различие до 20%
(D s 0,2). При D->0,5 порядки следует считать независимыми.
10.3. Различение двух рейтингов в шкале
нестрогого порядка
10.3.1. Варианты соотношения двух шкал
Напомним, что под шкалой нестрогого порядка понимает-
ся порядковая шкала, в которой допускается повторение чисел
(рангов объектов в рейтинге). Повторяющиеся в рейтинге ран-
ги называются связанными. Таким образом, появление связан-
ных рангов в рейтинге будем связывать с измерением его
в шкале нестрогого порядка. Количество объектов, имеющих
связанный ранг г, обозначим через пг (иг>1).
320
Примем в качестве условия присвоения ранга объекту,
следующему за объектами со связанными рангами, следую-
щий по порядку номер. Пусть, например, два из пяти объек-
тов заняли третье место: (1, 2, 3, 3, 4), т.е. и3=2. Из этого
примера видно, что старший ранг объекта уменьшается на число
повторений рангов. Отсюда в качестве признака шкалы не-
строгого порядка примем следующее соотношение между
максимальным рангом объекта и числом объектов N: rmax< N.
Используем это обозначение для перечисления всех вариантов
соотношения шкал двух рейтингов:
О rmax, rmax,2<^’
2) rmax, 1—rmax,2<-^>
3) rmax,l<^’ rmax,2<'^’ rmax, l^max, 2’
Первый вариант соответствует сопоставлению рейтингов,
один из которых измерен в шкале строгого порядка, а второй —
в шкале нестрогого порядка. Во втором варианте оба рейтин-
га измерены в одинаковой шкале нестрогого порядка. Третий
вариант учитывает возможность использования двух разных
шкал нестрогого порядка. Если два рейтинга измерены в раз-
ных шкалах (rmax i^rmax 2)’ то в рейтинге, измеренном в шкале
с rmax 2<rmax 1 имеет место ослабление порядка по отношению
к рейтингу, измеренному в шкале с rmax Р В обратном случае
наблюдается усиление порядка.
10.3.2.	Ослабление (усиление) порядка
Максимальное ослабление порядка наблюдается в рейтин-
ге, измеренном в шкале с rmax 2=1. В нем все ранги связаны:
n^-N. Шкала с rm 2=1 характеризуется отсутствием порядка
рангов. Обозначим измеренный в ней рейтинг г2 через 1: r2= 1.
Сопоставим рейтинг гр измеренный в шкале строгого поряд-
ка с rmax {=N, с рейтингом г2, измеренным в шкале с rmaX2=l:
Д+ Д' Д nD
И	=	(1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8)
г2	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	1)
dj	=	0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7	28 0 28	7
321
Назовем суммарную разность рангов Д*(ЛГ)=Д(гр 1) соб-
ственной суммарной разностью рангов совокупности в шкале
строгого порядка.
Приведем следующие легко доказуемые на примерах утверж-
дения.
Утверждение 10.1. Собственное число инверсий рейтинга,
измеренного в шкале строгого порядка, равно его собствен-
ной суммарной разности рангов: 5’=Д*(У).
Утверждение 10.2. Собственная суммарная разность рангов
рейтинга Гр
1)	максимальна для строгого порядка Д*(У)=Д(У=гтах).
2)	минимальна при отсутствии порядка Д*(У)=Д(гтах=1).
3)	пропорциональна номеру связанных рангов г и обратно
пропорционально их числу Д*(У)=Дг, пг).
Утверждение 10.3. Величина собственной разности рангов
рейтинга г( не зависит от порядка следования рангов.
Относительное ослабление (усиление) порядка шкалы с rmax 2
по отношению к шкале с rmax । определяется соотношением
собственных суммарных разностей рангов этих шкал:
Н=(д;-д2*)/д‘тах,	(10.7)
где Д тах=тах{Д!*, Д2*} — нормирующий множитель.
Пример 10,2. Оценить ослабление порядка в рейтинге г2
по сравнению с рейтингом Гр измеренным в шкале строгого
порядка для восьми объектов.
Д+ Д' Д nD
И	=	(7,	2,	5,	1,	4,	6,	3,	8)
г2	=	(2,	5,	4,	7,	4,	3,	6,	1)
dj	=	5,	-3,	1,	-6,	0,	3,	-3,	7	16 -12 4	7
Для шкалы нестрогого порядка баланс рассогласований
рейтингов отсутствует, т.е. не выполняется формула (10.1):
д=д++д->0.	(10.8)
В рассматриваемом примере Д=16-12=4.
Сопоставим собственные разности рангов совокупности
в шкалах с rmax ,=8=У и г 2=KN.
В шкале с гтях ,=8=Л' Д. =28.
IIldA) 1	1
322
Определим собственную суммарную разность рангов рей-
тинга г2 совокупности X в шкале rmax 2=7<А.
Д+ Д" Д nD
г2	=	(2,	5,	4,	7,	4,	3,	6,	1)
1	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	1)
dj	=	1,	4,	3,	6,	3,	2,	5,	0	24	0	24	7
Для шкалы с г „„ ,=7 < N Д,*=24.
Утверждение 10.4. Сумма собственной суммарной разности
рангов совокупности X в шкале rmax 2<У и рассогласования
рангов со шкалой строгого порядка равна собственной сум-
марной разности рангов совокупности в шкале строгого по-
рядка: дн*+д=дс*.
Для примера 10.2 Дс*=24+4=28.
С учетом rmax 2< rmax j и Д*тах=тах{28, 24} =28 максималь-
ное ослабление порядка шкалы, используемой для измерения
рейтинга г2, составляет -»14%:
Н=(28-24)/28=0,14.
10.3.3.	Изменение числа инверсий
Ослабление порядка связано с увеличением числа связан-
ных рангов. А это влечет уменьшение числа инверсий в шкале
нестрого порядка. То есть требуется меньшее число транспо-
зиций для нормализации порядка.
Рассмотрим рейтинг г2 в примере 10.2. Он характеризуется
rmax=7, r1=4, п(г1)=2. Расчет собственного числа инверсий вы-
полняется относительно следующего представления шкалы для
примера 10.2:
г2	= (1,	2,	3,	4,	4,	5,	6,	7)
^г2	= (7,	6,	5,	4,	4,	3,	2,	1)
Qj = 7653	321
Собственное число инверсий для этой шкалы Sn=27.
323
Относительное изменение собственного числа инверсий в
двух разных шкалах определяется соотношением собственных
чисел инверсий этих шкал:
С=($! - 52*)/5тах,	(10.9)
где Smax=max{S[, S2) — нормирующий множитель.
Для рассматриваемого примера С=(28-27)/28=0,035.
Утверждение 10.5. Ослабление порядка шкалы при сопос-
тавлении рейтингов, измеренных в разных шкалах, определя-
ется относительным изменением собственного числа инверсий.
Оно зависит от числа утерянных инверсий в более слабой
шкале.
Рассмотрим количественную оценку ослабления порядка,
выраженную через число утерянных инверсий.
Найдем различие порядков в примере 10.2.
И	=	(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,	8)	5] =28
г2	=	(7, 5, 6, 4, 4, 3, 2,	1)	S2 = 27
Q	=	7553321	s = 26
Различие порядков равно: s=Z(rj, г2) =26.
По отношению к шкале [1,7] (для рейтинга г2) коэффициент
различия порядков £>2=s/52=26/27=0,963.
По отношению к базовой шкале коэффициент различия
порядков £>1=s/51=26/28=0,929. Различие порядка между шка-
лами оценивается как £>2 i=52/51=27/28=0,964, поскольку уте-
ряна одна инверсия (27 вместо 28).
Разность £>2 [-£>1 =0,964-0,929=0,035 равна относительному
уменьшению порядка С, вычисляемому по формуле (10.9):
С=0,035.
10.4. Определение меры сходства
двух рейтингов
Взаимозависимость двух рейтингов, определенных на мно-
жестве оцениваемых объектов, отражает как их различие, так
и сходство. Поэтому для их измерения используется полярная
шкала, охватывающая как положительную, так и отрицатель-
ную полуоси действительных чисел в диапазоне от -1 до +1.
324
Положительная полуось отражает степень сходства порядка сле-
дования рангов в сопоставляемых рейтингах, а отрицательная
полуось — степень их различия. Нулевая отметка полярной шка-
лы отражает полную независимость сопоставляемых рейтингов.
Графически его шкала имеет следующий вид:
Обратный	Независимость	Совпадение
порядок	рейтингов	порядков
Рис. 10.1. Полярная шкала коэффициента корреляции
Количественно взаимозависимость двух рейтингов (сходство
или различие) выражается коэффициентом линейной зависи-
мости (корреляции) т, который определяется по следующей
формуле:
x=l-2s/S=l-2£>.	(10.10)
Таким образом, коэффициент линейной зависимости т вы-
ражается через коэффициент различия рейтингов.
Для рассматриваемого примера т=1-20,18=1-0,36=+0,64, что
соответствует 0=0,18 в шкале различия порядков.
Коэффициент т можно рассматривать как частный случай
обобщенного коэффициента корреляции Г [26]:
cov(a,b)
7var(a)x var(Z>) ’
(10.11)
где ау — оценка пары объектов х;, Xj& X относительно свойства 1. Она
ставится в соответствие паре значений (*, х^. Оценка ai} взаимнообратна
относительно объектов х(- и Xj. а^-а^. То же касается оценки Ь^, опреде-
ляемой относительно свойства 2.
Если в качестве свойств объектов рассматривать их рейтинги
и г2> то паре рангов (r1(-, поставим в соответствие оценки:
п..=+1,еслиг1(.<г1?
п..=-1, если rb.>rv
325
Аналогично определим оценки объектов by для рейтинга г2-
При подстановке этих значений в числитель формулы (10.11)
он будет равен 2s, так как каждая пара суммируется дважды:
для (Xj, Xj) и для (xj, Xj). Каждая сумма под знаком корня будет
равна числу слагаемых, т.е. N(N-l). После их подстановки в
(10.11) получим формулу (10.10).
Если учитывать не только значение предиката Гц<Гу, но и ве-
личину разности рангов rXj-ru, то сформулируем оценку а у как:
airrirrn-
Аналогично определим оценки объектов by для рейтинга г2:
bij=r2f~r2i'
Так как оценки а у и by принимают значения от 1 до А-1,
N N .	, N N .	,
выражения ЕЖ ~ги) = ЕЖ, ~ r2t) равны между собой,
i-l у-1	1-1 J-1
что определяет знаменатель формулы (10.11) после подстанов-
ки в нее всех оценок:
(10.12)
После преобразования выражения (10.12) с учетом подста-
новок:
N
1)
2)	для первых N членов натурального ряда:
-А(А + 1)(2А + 1)/6,
3)	j? (г1у - Гу } - N2 (N2 - 1)/б получаем:
г
n3-n’
(10.13)
326
где S(J2) — сумма квадратов разностей рангов двух рейтингов. Для
примера S(rf2)= 1+9+9+1 —20, а Г= 1 —0,238=0,762.
Здесь Г=р — квадратичный коэффициент зависимости (корреляции) рей-
тингов. Он измеряется в той же шкале, что и коэффициент линейной за-
висимости т, превышая его по величине.
10.5.	Вклад признака в общую оценку объекта
Общая оценка объекта, вычисляемая на основе функции
полезности, скрывает вклад в нее каждого оцениваемого при-
знака, что представляет собой плату за возможность упоря-
дочения объектов в многомерном пространстве признаков.
Утерянная информация может восполняться расчетом вкла-
да j-ro признака, у=1,...,и, в общую оценку (-го объекта,
г = 1,...,У, с целью выявления его преимуществ и недостат-
ков. Для l-й группы (таблицы) к-го уровня иерархии вклад
j-ro признака в общую оценку определяется по отношению
к остальным пк1-Л признакам. Рассмотрим вычисление вкла-
да признака в общую оценку для функций полезности, изло-
женных в главе 5. Применительно к аддитивной и мульти-
пликативной функциям полезности признаки объекта исполь-
зуются в роли критериев оптимизации.
10.5.1.	Аддитивная функция полезности
Разнонаправленное влияние различных критериев на зна-
чение аддитивной функции создает предпосылки для явления
компенсации [17]. Например, в общей оценке телевизора не-
высокое качество изображения может компенсироваться вы-
соким качеством звука. Если по первому признаку он отстает
от других марок телевизоров, а по второму признаку опере-
жает, то по общей оценке он займет место в середине списка.
Отсюда нетрудно сделать вывод о том, что в наибольшей
степени явление компенсации присутствует в объектах, зани-
мающих среднюю часть списка, упорядоченного на основе
аддитивной свертки.
Помимо значения j-ro критерия на его вклад в общую оцен-
ку влияет весовой коэффициент Wj. С учетом этого для расчета
327
вклада j-ro признака в общую оценку г-го объекта будем ис-
пользовать формулу, аналогичную байесовскому критерию
оценки хода игрока в игре с природой:
wjy'u
У(Уу) = ----—	(10.14)
ZWjyy
7=1
Значимость Wj у-го критерия в группе должна удовлетво-
рять соотношению:
пм
Jwy=l.	(10.15)
7=1
Она играет роль вероятности состояния природы в крите-
рии Байеса. Как и в этой задаче, сумма вкладов всех критери-
ев в общую оценку должна быть равна 1:
2W1-
7-1
(10.16)
Значение критерия у ’у берется непосредственно из таблицы,
характеризующей объекты, если все критерии однородны,
т.е. измеряются в одной шкале. В противном случае их необ-
ходимо нормировать, приводя к абсолютной шкале [0,1]. Фор-
мула нормирования исходного значения у у j-ro критерия зави-
сит от направления его оптимизации. В случае максимизации
оно нормируется по формуле:
, Уу У],min
Уу
У j,max	У J,min
(10.17)
а при минимизации — по формуле:
,	У J,max Уу
Уу-------------------
У J,max У у,min
(10.18)
Нормированное значение критерия у’у достигает границ 0 и 1
при следующих условиях:
328
если y,y=y7;min И У,7= 1, если у,7=у,7 тах при максимиза-
ции у у,
у'(7=0, если у,7=У7лпах и /7=1, если y,7=y,7;min при минимиза-
ции У у.
Пример 10.3. Найти вклад в оценку объекта каждого из двух
максимизируемых критериев, если первый из них имеет значе-
ние 2 в целочисленной шкале [1,3], а второй — значение 400
в шкале [200, 600], а значимость их одинакова.
Поскольку критерии измерены в разных шкалах, они под-
лежат нормализации. Нормированные значения критериев у^
и у'2, вычисленные по формуле (4), одинаковы: у'1=у'2=0,5.
С учетом и'|=и'2=0,5 значения их вкладов в оценку объекта,
вычисленные по формуле (1), также одинаковы: И(у1)=Р'(у2)=
=0,25/0,5=0,5.
Полученный результат очевиден, поскольку значения обо-
их критериев находятся в середине их шкал, а их значимости
также одинаковы. Этот пример подтверждает также тот факт,
что цена деления выше у той шкалы, у которой число их мень-
ше. В этом частном случае начальная точка отсчета не влияет
на величину вклада. Если принять min=y2 min=®’ то:
r/z ч r/z ,	0,5 0,67
И( Vi) = 7 (у 2)  ---------------= 0,5.
vzu	0,5-0,67 + 0,5-0,67
Однако в общем случае величина вклада зависит от точки
начала отсчета. Пусть критерии измеряются в шкалах [1, 3]
и [200, 600]. Для значения yl=yl ^=1 У i=0, что влечет ИУ^О. При
этом величина вклада второго критерия становится равной 1:
.	0,5-0,5	.
7(у 2 ) =------------= 1.
0,5-0 + 0,5-0,5
Если же перейти к шкалам [0, 3] и [0, 600], то вклады крите-
риев yj = l и у2=400 в общую оценку равны соответственно:
V(y0---------°’5 0,33----0,33,
0,5-0,33 + 0,5-0,67
.	0,5-0,67
У(У2) =------------------= 0,67.
0,5-0,33 + 0,5-0,67
329
Полученные результаты согласуются с выводами, сделан-
ными в пункте 5.4 при анализе влияния диапазона значений
критерия на упорядочение объектов.
Немаловажной для анализа является возможность сопостав-
ления вклада рассматриваемого критерия /-го объекта со сред-
ним вкладом этого критерия в совокупности объектов. С этой
целью по формуле (10.14) вычисляется средневзвешенный вклад
И(yj) у-го критерия в оценку объектов из заданной совокупности.
В случае неоднородных критериев нормированное среднее значе-
ние y'j J-ro критерия вычисляется по формулам (10.17) и (10.18).
10.5.2.	Мультипликативная функция полезности
Как следует из анализа, проведенного в пункте 5.4, макси-
мизация мультипликативной функции полезности/м (см. формулу
(5.19)) задает предпочтение объектам с наиболее равномерными
значениями показателей, что согласуется с принципом макси-
мума энтропии или информационной неопределенности. Согласно
этому принципу мультипликативная функция принимает мак-
симальное значение при равных значениях сомножителей.
И, наоборот, при минимизации функции/м предпочтение отда-
ется объектам с наименее равномерными значениями.
Исходя из особенности мультипликативной функции, пред-
метом анализа влияния j-ro критерия на общую оценку /-го
объекта является степень отклонения его значения от равных
значений сомножителей. Ее можно назвать вкладом в нерав-
номерность Инр(у(у). Равное (equal) значение сомножителей yej
для i-ro объекта определяется на основе значения функции /м:
гдеу'М(у—у-й сомножитель мультипликативной функции, вычисляемой
для i-ro объекта, представленный в формуле (10.20) как дополнение по
отношению к слагаемому у в аддитивной свертке критериев:
У~У- 
Уиц =1-^7 =1-И7/--------------•	<10-20)
Mv V	J у — V
zy,max zy,min
330
Учитывая тот факт, что yei и y'Mij измеряются в абсолютной
шкале [0, 1], их сопоставление не требует нормализации значе-
ний. Это позволяет рассматривать вклад в неравномерность
Унр(у(у) как разность этих величин, отнесенную к величине /м:
Уе,-У'м..
•'м
Положительный знак свидетельствует об отклонения сомно-
жителя у'Mjj от равных значений в сторону его увеличения,
а отрицательный знак — в сторону его уменьшения.
Пример 10.4. Найти вклады Унр(У1) и Унр(У2) в оценку объекта
каждого из двух максимизируемых критериев из примера 10.3.
Подставляя значения критериев у^ и у2 в формулу (10.20)
с учетом Wj=^2=0,5, получим у'м1=у'м2=0,75. Отсюда /м(у), У2)=
=0,5625, а уе,=0,75.
Как и следовало ожидать, вклады в неравномерность ^рО^)
и Инр(у2), вычисленные по формуле (10.21), равны 0.
Проследим, как изменяются вклады ^нр(Т1) и Инр(у2) при пос-
ледовательном удалении значений сомножителей от равных ве-
личин. С этой целью рассмотрим различные соотношения равно-
значимых критериев у{ и у2 в шкале [0, 10] (табл. 10.1):
Таблица 10.1
У1	Уг	У1	Уг	Ум 1	Ум 2	/м(Уь У1)	vH(yi)	v„(y2)
5	5	0,25	0,25	0,75	0,75	0,5625	0	0
4	6	0,20	0,30	0,80	0,70	0,5600	-0,089	0,089
3	7	0,15	0,35	0,85	0,65	0,5525	-0,181	0,181
2	8	0,10	0,40	0,90	0,60	0,5400	-0,277	0,277
1	9	0,05	0,45	0,95	0,55	0,5225	-0,382	0,382
0	10	0	0,50	1,00	0,50	0,5000	-0,500	0,500
Помимо исходных значений критериев у1 иу2 в табл. 10.1 при-
ведены все расчетные значения. Ввиду симметричных отклонений
критериев yt и у2 от равных значений критериев, их вклады
в неравномерность И (yj) и Инр(у2) одинаковы. Знак вклада пока-
зывает направление отклонения критериев от их равных величин.
В то время как значение мультипликативной функции изменяется
незначительно от своей максимальной величины, максимальное
значение вклада критериев в неравномерность составляет 50%.
331
Средневзвешенный вклад Кнр (yj) j-ro критерия в оценку объек-
тов для мультипликативной функции полезности вычисляется таким
же способом, как и для аддитивной функции на основе подсчета
средних значений критериев из заданной совокупности.
10.5.3.	Функция соответствия требованиям
Она применяется в методе мягких притязаний и характери-
зуется полярной шкалой. Положительный полюс шкалы соот-
ветствует максимальной величине штрафа за отклонение при-
знаков от заданных значений, а отрицательному полюсу ста-
вится в соответствие максимальное превышение над постав-
ленными требованиями. Возможность превышения требо-
ваний существует только при использовании полуинтервалов
yj^Cj и y^Cj в качестве ограничений j-ro признака.
Полярная шкала функции соответствия требованиям
/ сводится к однополярной интервальной шкале при использо-
вании только двух типов ограничений: точечного (у =с )
и интервального ([cHj, cej])- В этом случае значения функции fCT
располагаются только на положительной оси координат. Каж-
дое значение соответствует суммарному отклонению призна-
ков от заданных значений.
Как в полярной, так и в однонаправленной шкале полное
соответствие значений признаков предъявляемым к ним тре-
бованиям фиксируется нулевым значением функции /ст. Это не
позволяет говорить о вкладе признаков в достижение соответ-
ствия. Однако подобно вкладу в неравномерность Инр(у(у) для
мультипликативной функции полезности сформулируем вклад
в несоответствие требованиям Кнс(у(у).
В векторной форме вклад в несоответствие представляет-
ся вектором различия dik=yrck-(\yik{,...,\yikj,...,\yikn). Знак
«-» представляет собой операцию выявления различия компо-
нент вектора признаков j(=(y(1,...,у„,...,у(П) и вектора требова-
ний ck=(cki,...,ckj,...,ckf). При интерпретации разности +&yikj
штрафом, a -&yikj — поощрением, вектор различия dik играет
роль вектора штрафов. В случае полного соответствия компо-
нент векторов у(- и ск dt- к=(0,...,0,...,0).
332
При применении алгебраического суммирования отклоне-
ний Дуikj, п, в формуле (5.31) соответствие в полярной
шкале может являться результатом компенсации штрафов
и поощрений по разным признакам. Следовательно, можно го-
ворить о двух вкладах в несоответствие', положительного,
характеризуемого отклонениями значений признаков в зону
нарушения, и отрицательного, характеризуемого отклонения-
ми значений признаков в зону превышения. Таким образом,
в случае полярной шкалы формула (10.14) разделяется на две
формулы — штрафов и поощрений. Числитель первой из них
представляет разность Ду^у>0, полученную для анализируемо-
го j-ro признака, а знаменатель — сумму всех положительных
разностей, полученных для других признаков. Аналогичным
образом конструируется формула поощрений для отрицатель-
ных разностей.
Величина нормированного j-ro критерия у у для формулы (10.14)
вычисляется как нормированное отклонение Ду^. по форму-
лам (5.25)—(5.30).
Пример 10.5. Найти вклады ^НС(У1) и Инс(у2) в оценку
двух телевизоров двумя признаками: «качество изображения»
(у^ и «качество звука» (у2), измеренными в балльной шкале [0, 10].
Каждый признак должен быть равен пяти баллам. Значения
признаков и результаты вычислений приведены в табл. 10.2:
Таблица 10.2
	yi	У2	cj	Ayi	Д>'2	Ду	^нс(У1)	Гнс(У2)
ТВ1	7	3	5	+2	+2	+4	0,5	0,5
ТВ2	3	7	5	+2	+2	+4	0,5	0,5
Учитывая нейтральность балльных единиц измерения,
отклонение значения признака у(- от порогового значения Cj
в примере не нормируется.
Из содержимого таблицы следует, что признаки у1 и у2
не позволяют отдать предпочтение какому-либо из телеви-
зоров ТВ1 или ТВ2. В шкале штрафов они не различимы:
Ду(ТВ1)=Ду(ТВ2)=4. Вклад каждого признака в несоответствие
требованиям одинаков и равен 50%.
Пример 10,6. Найти вклады ^(yj) и Инс(у2) в оценку двух теле-
визоров с теми же данными, что и в примере 10.5, но при условии
ограничения снизу на заданное число баллов: у^5, у2^5.
333
Значения признаков и результаты вычислений приведены
в табл. 10.3:
Таблица 10.3
	У1	У2	«7	Api	Д}’2	Ду		Кс0’2)
ТВ1	7	3	5	-2	+2	0	-1,0	+1,0
ТВ2	3	7	5	+2	-2	0	+ 1,0	-1,0
Результаты этого примера также иллюстрируют неразличи-
мость телевизоров ТВ1 или ТВ2 относительно признаков у1 и у2.
Однако при использовании полярной шкалы наблюдается
мнимое соответствие требованиям и с2. Ду(ТВ1)=Ду(ТВ2)=0,
что является результатом компенсации штрафов и поощрений
в этой шкале. Учитывая тот факт, что в формуле (10.14) чис-
литель и знаменатель при определении вклада признаков у{
и у2 совпадают, каждый из них вносит 100-процентный вклад
в вектор штрафов, только с разным знаком.
Следует отметить, что примеры 10.5 и 10.6 имеют упрощен-
ный характер, поскольку используют ненормированную шкалу
в силу однородности признаков и не используют их значимость.
Применение этих факторов позволяет отдать предпочтение од-
ному из телевизоров в данных примерах, если, например, задать
следующие весовые коэффициенты и1] =0,4 и w2=0,6 (табл. 10.4):
Таблица 10.4
	и'1= 0,4	H>2=0,6						
	У1	У2	«7	y'i	/2	Ду	Инс(у1)	Инс (у2)
ТВ1	7	3	5	-2	+2	+0,4	-1,0	+ 1,0
ТВ2	3	7	5	+2	-2	-0,4	+ 1,0	-1,0
Несмотря на то, что вклад признаков в вектор штрафов
остался прежним, согласно Ду2<Ду) предпочтение отдается
телевизору ТВ2.
Резюмируя результаты рассмотренных примеров, можно сде-
лать вывод о том, что показатель вклада признака в функцию
соответствия восстанавливает информацию, утерянную при свертке
компонент вектора различия djk в скаляр &yjk. Эта информация
востребована при анализе объектов с сопоставимыми оценками.
Средневзвешенный вклад у-го признака в оценку объектов
рассчитывается аналогично предыдущим функциям полезности.
334
10.5.4.	Вклад признака в иерархической структуре
В иерархической структуре критериев представляет интерес
вклад у-го критерия в оценку объекта не только в своей группе
показателей (/-я таблица r-го уровня), но и в общую оценку
объекта, соответствующую 0-му уровню иерархии. При усло-
вии независимости признаков в каждой группе относительный (нор-
мированный) вклад у-го критерия r-го уровня иерархии в общую
оценку объекта рассчитывается по правилу произведения:
оу)= у(Уг-1,^ • • • ?<У iy)-	(10-22)
Расчет величины	ведется аналогично расчету гло-
бальной оценки объекта по уровням дерева снизу вверх.
Помимо вклада у-го критерия в общую оценку представляет
интерес также его относительная значимость, как среди при-
знаков своей группы, так и группы признаков верхнего уров-
ня. Подобно оценке вклада значимость у-го критерия относи-
тельно признаков верхнего уровня вычисляется по правилу
произведения весов показателей:
wr,j=wr-\,jx’--’x W1J-	(10.23)
Информативным показателем является отношение норми-
рованного вклада у-го критерия к значимости последнего:
И'(у7)=К(у7)/^.	(10.24)
Значение И’(у7)>1 характеризует относительное превышение
вклада у-го критерия над его значимостью, что свидетельствует
о «перевыполнении ожиданий» относительно у-го свойства объек-
та. Соответственно У (у,) < 1 указывает на «недовыполнение ожи-
даний». В предельных случаях ожидания могут либо не выпол-
няться совсем: К(ул)=0 при К(у7)=0, либо значительно перевыпол-
няться: И’(у )>>1. Однако V(yj)=cx> не может иметь места, посколь-
ку при Wj=6 j-й признак исключается из рассмотрения.
10.6.	Когнитивная графика
Грамм видимости всегда полезнее
килограмма сути
Плацебо Питера
При визуализации результатов оценки важную роль играет
учет психологических особенностей восприятия информации
человеком. К ним относятся:
335
•	напряжение от размерности;
•	стремление к обобщениям (поиск закономерностей);
•	прагматичный подход: «Что можно использовать?»;
•	оценка качества информации (выделение позитива и не-
гатива);
•	эмоциональное восприятие цветов.
С этих позиций табличная форма представления данных не-
эффективна для человеческого восприятия. Пользователя инте-
ресует, в первую очередь, соотношение анализируемых данных
и лишь во вторую очередь - их численные значения. Отсюда
точечное представление значений признаков целесообразно за-
менить интервальным, реализуемым средствами компьютерной
графики. Известно, что графика стимулирует образное мышле-
ние человека. Важными свойствами графического представле-
ния объектов являются взаимное расположение объектов и рас-
стояние между ними. Вместе с использованием цветовой гаммы
эти средства образуют когнитивную (познавательную) компью-
терную графику [24], которая находит широкое применение
при проектировании интерфейса программных систем [21, 60].
10.6.1.	Диаграммы
Для графического представления результатов оценки применя-
ются диаграммы следующего вида.
1.	Функциональная зависимость (функция одного аргумента
у=Дх)) представляется графиком функции. Горизонтальная ось
используется для представления аргумента, а вертикальная —
для представления функции. Оси оцифровываются. Для удоб-
ства интерполяции на график наносится сетка. График функ-
ции используется для отображения соотношения значений
критериев и представления рассогласования рейтингов объек-
тов для различных условий их оценки.
2.	Соответствие требованию представляется линейчатой
диаграммой. Линия представляет диапазон изменения параметра
[Min, Мах]. На линии фиксируются среднее и фактическое
значения признака, а также притязание (точечное, интерваль-
ное или полуинтервальное) для метода мягких притязаний.
При этом фактическое значение признака соотносится с его
средним значением либо заданным притязанием.
336
3.	Доля признака представляется круговой диаграммой.
В окружности цветом выделяется доля, соответствующая про-
центному вкладу признака в общую оценку.
10.6.2.	Цветовой стандарт качества
Оценка N объектов предполагает разбиение их по группам.
Количество групп определяется количеством значений оценки.
Например, при двоичной оценке (удовлетворительно, неудов-
летворительно) множество объектов разбивается на две груп-
пы. При использовании широко распространенной пятибалль-
ной оценки разбиение осуществляется на пять групп и т.д.
Независимо от числа градаций шкала оценок является моно-
тонной, характеризуя объект от самой худшей оценки до са-
мой лучшей.
Оценке может подвергаться любой признак, характеризую-
щий объекты. При этом его значения могут быть представле-
ны как в интервальной, так и в порядковой (точечной) шкале.
Диапазон значений признака yj разбивается на к интервалов
(k<N), по числу значений оценки: [y71jnin, ^i+Aj71], Lamin’
уу2+Ауу2],..., [УЛ>тах-АуЛ,	В общем случае интервалы
могут быть не равны: Ауу1*Ауу2#...*Ауд. Интервальная оценка
сводится к точечной, если значение признака совпадает со
значением оценочной функции (k=N), что характерно для стро-
гой порядковой шкалы.
Результаты оценивания объектов представляют собой раз-
биение исходной таблицы на к подтаблиц. При этом меняется
их взаимное месторасположение и нарушается целостность
исходной таблицы. Между тем часто необходимо лишь знать,
как оценивается j-й объект по j-му параметру, не меняя его
расположения относительно других объектов. При черно-бе-
лом представлении значений параметра их оценку можно раз-
личать применением различного начертания символов (обыч-
ный, жирный, курсив, подчеркнутый). Другим способом раз-
личения оценок является использование цветности символов.
К его преимуществам относятся большее число значений (>4)
и воздействие на эмоциональную сферу пользователя.
337
Учитывая огромное разнообразие вариантов установления со-
ответствия между интервальными оценками и сопоставляе-
мыми им цветами, необходимо руководствоваться неким об-
щим принципом. За основу его определения примем общепри-
нятую транспортную цветовую символику: красный, желтый
зеленый. С точки зрения возможности движения транспортных
средств ее можно оценивать следующим образом: красный цвет —
это плохо (нет движения), желтый цвет — это удовлетвори-
тельно (подготовка к движению), зеленый цвет — это хорошо
или отлично (есть движение). Трехзначную оценку цветов можно
расширить на большее количество значений, пользуясь совпа-
дением этой шкалы с частотной шкалой цветности. Вспомним
базовый частотный диапазон: «каждый (красный) охотник (оран-
жевый) желает (желтый) знать (зеленый), где (голубой) сидят
(синий) фазаны (фиолетовый)». Вспомним также выражение
«голубая мечта», характеризующее меру лучшего. Эта частот-
ная шкала задает нам направленность оценок от худшей (крас-
ной) до лучшей (голубой, «а лучше — фиолетовой») по града-
циям качества. Из семизначной базовой шкалы для пятизнач-
ной оценки можно выбрать любой ее поддиапазон, например
от красного цвета до голубого, от желтого до фиолетового
или выборочно в заданном порядке цветов. При необходимо-
сти современная компьютерная техника позволяет реализовать
цветовую палитру до 65536 цветов, т.е. практически непрерыв-
ную цветовую гамму. Таким образом, направленность оценок
в заданном диапазоне цветов будем выбирать относительно
направленности их частотного диапазона [64].
Во всех диаграммах и таблицах системы СВИРЬ, использу-
емых для анализа результатов оценивания, применяется еди-
ный цветовой стандарт качества, основанный на использова-
нии естественной частотной шкалы: красный, оранжевый, жел-
тый, зеленый, голубой. В порядке перечисления они характери-
зуют оценку качества объекта от худшего (красный цвет)
к лучшему (голубой цвет). В системе СВИРЬ цветовое кодиро-
вание значений критерия, представляемого в полярной шкале,
осуществляется относительно его среднеарифметического зна-
чения У; в двух диапазонах: bymin, У7] и [Уу, _У;тах]. Каждый
из диапазонов принимается за 100%.
338
Принимая за точку начала отсчета в полярной шкале yj min, при
оценке качества максимизируемого критерия она разбивается на
следующие цветовые диапазоны:
1.	Красный цвет: у^ т]П*У^ min+20% (в нижнем диапазоне).
2.	Оранжевый цвет: у 7;min+20°/o<r7<y j min+80°/o (в ниж"
нем диапазоне).
3.	Желтый цвет: у7-20% (в нижнем диапазоне) sjysy7+20%
(в верхнем диапазоне).
4.	Зеленый цвет: yj + 20%<у •< yj +80% (в верхнем диапазо-
не).
5.	Голубой цвет: т,-тах - 20% tzy yjm&x (в верхнем диапазоне).
Цветовая гамма минимизируемого критерия имеет обратную
направленность. В однополярной шкале используется такая же
градация, но в одном диапазоне. Приведенные диапазоны при-
няты за базовые. При необходимости они могут изменяться.
Выводы
1.	Высокая доля субъективизма, присутствующая при раз-
работке моделей рационального выбора, требует отладки этих
моделей на экспериментальных данных. Для сопоставительно-
го анализа получаемых результатов следует предусматривать
специальные средства.
2.	Одной из наиболее спорных с точки зрения оппонентов
является модель упорядочения объектов в многокритериаль-
ном пространстве. На результаты оценки объектов функцией
полезности оказывают влияние нормирующие и весовые коэф-
фициенты, назначаемые экспертным путем. Для оценки степе-
ни изменения рейтинга объектов под влиянием этих факторов
предлагается использовать коэффициенты различия рангов
и порядка следования рангов. Для оценки ослабления (усиле-
ния) шкалы при сопоставлении двух рейтингов объектов пред-
лагается использовать соответствующий показатель.
3.	Для определения взаимосвязи между результатами оцени-
вания, полученными в разных условиях, а также для сопостав-
ления локальных критериев с глобальным и между собой полез-
но использовать коэффициенты парной корреляции как ранго-
вой, так и интервальной. Последний следует считать более точ-
ным в силу большей информативности интервальной шкалы.
339
Учитывая, что коэффициент парной ранговой корреляции показы-
вает не только меру различия, но и сходства между сопоставля-
емыми рейтингами, коэффициент различия порядка следования рангов
можно принимать как его частный случай, относящийся к поло-
жительной полуоси.
4.	Для сопоставления влияния отдельного критерия на фун-
кцию полезности конкретного объекта полезной является оценка
вклада этого критерия в значение функции. Она представляет-
ся долей от 1. Функция вклада определяется видом функции
полезности (аддитивная по оптимальным и требуемым значе-
ниям и мультипликативная). Вклад в глобальный критерий
определяется как произведение вкладов вдоль ветви дерева,
соединяющей анализируемый критерий с глобальным.
5.	Высокая размерность получаемых при оценивании объектов
данных предъявляет высокие требования к их представлению.
С этой целью разумно использовать когнитивную графику
с привлечением цветности изображений. Предлагаемый стан-
дарт цветности основан на частотной шкале цветности. Он при-
меняется не только в когнитивной графике, но и для выделе-
ния нужных данных в таблицах. Выбор формы представления
данных определяется особенностью задачи. Так, например,
для сопоставления оценок объектов используются графики функ-
ции, а для представления вклада критерия в общую оценку
применяются круговые диаграммы.
340
Глава 11. АВТОМАТИЗАЦИЯ
РАЦИОНАЛЬНОГО ВЫБОРА
Кто желает съесть ядро,
должен разбить орех
Плавт
11.1. Обоснование автоматизации
Решению задачи рационального выбора согласно пункту 1.2
предшествуют четыре подготовительных этапа. После выбора
наилучшей альтернативы выполняется оценка ее качества и по-
следствия применения. В настоящем разделе рассматриваются
вопросы автоматизации этих этапов, имеющие целью снизить
трудоемкость их выполнения. Успех автоматизации напрямую
зависит от возможности их формализации. Формулирование
проблемы и задание цели относятся к трудно формализуемым
задачам и решаются путем умозрительного анализа и обсуж-
дения специалистами. Следующие два этапа разработки моде-
ли выбора сводятся к формированию множества альтернатив
(вариантов) и построению пространства оценивающих их при-
знаков. Формализация и автоматизация отражающей эти свой-
ства реляционной модели данных хорошо отработаны в рам-
ках технологии создания баз данных.
Построенная в процессе выполнения подготовительных эта-
пов модель многокритериального выбора представляет собой
иерархическую систему таблиц, заполненных исходными дан-
ными. В частном случае это может быть единственная таблица.
По аналогии с понятиями фрейма-прототипа и фрейма-экземп-
ляра, используемыми во фреймовой модели представления зна-
ний [52], будем разделять модель выбора на модель-прототип
и модель-экземпляр. Первая из них играет роль оболочки по
отношению ко второй. После заполнения исходными данными
она преобразуется в модель-экземпляр. В качестве примера моде-
ли-экземпляра можно привести модель оценивания деятельности
кафедр университета за конкретный год. Очевидно, что совокуп-
ность таких моделей-экземпляров пополняется каждый год.
341
Исходные данные, обуславливающие различие моделей, оп-
ределяют и различие в их создании. Создание модели-прототи-
па предметной области требует участия квалифицированных
специалистов. При многократном применении модель-прототип,
как правило, не претерпевает значительных изменений. Незна-
чительные изменения осуществляются с целью доработки моде-
ли, либо изменения состава вариантов. Сбор исходных данных,
напротив, представляет собой простой и хорошо формализуе-
мый процесс, не требующий высокой квалификации исполните-
лей. В силу изменчивости исходных данных разные модели-
экземпляры могут значительно различаться между собой,
т.е. обладают высокой степенью изменчивости.
На этапе подготовки модели-экземпляра ПО к решению задач
выбора необходимо подготовить данные к операциям, используе-
мым в этих задачах. С этой целью выполняется кодирование сим-
вольных значений признаков и вычисление первичных критериев
на основе первичных признаков. В подготовку модели-экземпляра
к решению задач входят также анализ информативности и незави-
симости признаков, выбираемых для оценивания вариантов.
Подготовка к решению конкретной задачи выбора требует
соответствующей настройки модели на эту задачу. К ней отно-
сятся: выбор признаков, подлежащих оцениванию, задание им
роли критерия, либо ограничения вместе с направлением оп-
тимизации и типом ограничений, задание и настройка функ-
ции полезности.
Перечисленные подготовительные работы требуют участия
квалифицированных специалистов, поскольку от качества под-
готовки модели выбора в значительной степени зависит каче-
ство решения задачи.
К трудоемкому этапу рационального выбора относится также
оценка его качества. С этой целью проводится анализ полу-
ченных результатов, а также выполняются эксперименты с целью
отладки модели.
Учитывая изложенное, причинами, обуславливающими не-
обходимость автоматизации решения задач выбора, являются:
•	сложность практических моделей выбора, определяемая
высокой размерностью пространства признаков, большим объе-
мом и разнородностью исходных данных;
342
•	большая трудоемкость подготовки исходных данных
к оцениванию;
•	большой объем расчетов, в том числе экспериментальных;
•	большой объем анализа полученных результатов;
•	необходимость компактного и наглядного представления
информации.
Разработка систем автоматизации принятия решений нача-
лась в 70-х гг. XX века в рамках создания автоматизирован-
ных систем управления предприятиями. Первоначально систе-
мы, включавшие выработку рекомендаций для ЛПР по
выбору наилучшего варианта решения, назывались информа-
ционно-советующими. В настоящее время они получили на-
звание систем поддержки принятия решений (СППР).
Для специальных применений СППР разрабатываются
в качестве блоков специализированных информационных сис-
тем. В этих системах они отражают специфику предметной об-
ласти. Есть также примеры построения СППР в рамках уни-
версальных инструментальных систем типа G2 фирмы Gensym
Corporation [81]. Общей чертой этих СППР является ориента-
ция на конкретную предметную область с тесной увязкой с ее
понятийным аппаратом и методами обработки информации.
Другим направлением развития СППР является разработ-
ка их как надстройки над хранилищами данных с использо-
ванием технологии извлечения знаний (knowledge discovery)
или обогащения данных (data mining) [23]. В число задач по
обнаружению закономерностей в массивах данных входят и задачи
рационального выбора. В этих системах СППР тесно увязаны
с технологией обработки информации в базах данных.
К третьему направлению можно отнести разработку автоном-
ных систем автоматизации решения задач выбора, которые, строго
говоря, не являются системами поддержки принятия решений,
поскольку не связаны с какой-либо конкретной предметной облас-
тью [3]. Эти системы обладают различной степенью универсально-
сти от узко специализированных на метод решения, например,
метод анализа иерархий Саати [22] до систем, реализующих наряду
с экспертными оценками методы многокритериальной оптимиза-
ции [85]. Различаются такие системы и средой разработки. Существу-
ют системы, использующие средства табличного пакета Excel [34].
343
Но в наибольшей степени отвечает современным информацион-
ным технологиям использование средств ОС Windows [54, 85].
На основе анализа существующих систем, решающих задачи ра-
ционального выбора, автором были сформулированы требования
к системе, которая реализовала бы идеи, излагаемые в этой книге.
11.2.	Требования к системе автоматизации
11.2.1.	Универсальность системы
Это требование обуславливается необходимостью комплексно-
го подхода к решению задач рационального выбора. В главах 4
и 5 обсуждались недостатки отдельных методов решения задач.
В качестве средства устранения этих недостатков было предложе-
но сочетать различные методы для решения поставленной задачи.
Поэтому необходимо, чтобы система могла не только реализовать
любой из методов выбора в отдельности, но и в любом сочетании.
11.2.2.	Сочетание объективных и субъективных оценок
Под объективными здесь понимаются оценки свойств объектов,
получаемые в процессе их измерения. Эти данные размещаются
в таблицах «Объекты/Признаки». Объекты, подвергаемые оценке,
могут характеризоваться как количественными, так и качественны-
ми значениями признаков. Под субъективными здесь понимаются
оценки приоритета признаков или объектов, получаемые экспер-
тным способом. Эти оценки используются, например, в качестве
весовых коэффициентов критериев в функции полезности, что и
показывает сочетание объективных и субъективных оценок в мето-
дах выбора. Для объективизации экспертных оценок необходимо
наряду с индивидуальными реализовать групповые оценки.
11.2.3.	Реальная размерность задач
Это требование подразумевает возможность решения практи-
чески значимых задач. Пространство признаков таких задач может
включать сотню и более признаков, а количество уровней иерар-
хии должно быть не менее десяти. Количество оцениваемых объек-
тов для большинства задач выбора обычно не превышает сотни.
Оно может быть большим лишь в задачах отбора объектов.
344
11.2.4.	Автономность
Система должна реализовать все трудоемкие этапы приня-
тия решений, такие, как формирование иерархического про-
странства признаков и списка объектов, задание значений
признаков, задание экспертных оценок, решение задач выбо-
ра, выполнение всех видов первичного анализа полученных
результатов. Вся исходная информация должна вводиться
с клавиатуры. С нее же должна выполняться настройка систе-
мы на выполнение задач и их решение. Вся информация о пред-
метной области должна сохраняться в файлах.
11.2.5.	Эргономичность
Это требование обуславливается большим объемом обраба-
тываемой информации. Для оперативной отладки модели вы-
бора необходимо осуществлять эффективное редактирование
любых ее составляющих. Выполнение многочисленных опера-
ций на всех этапах построения модели и решения задачи тре-
бует унификации, как самих операций, так и интерфейса сис-
темы. Интерфейс должен быть прост для понимания, обеспе-
чивая простоту общения с системой. Необходимо минимизи-
ровать объем анализируемой пользователем информации
и облегчать анализ результатов с использованием когнитив-
ной графики. Эффективная эргономичность системы является
залогом успеха у пользователей.
11.2.6.	Комплексирование с другими системами
Для организации СППР и автоматизированных рабочих мест
(АРМ) система должна взаимодействовать с другими система-
ми и прежде всего с популярным пакетом общего назначения
Microsoft Office. Особую роль в нем играет табличный процес-
сор MS Excel, который может использоваться для сбора пер-
вичной информации, вторичного анализа результатов выбора
и оформления отчетов. Такое комплексирование позволяет ис-
ключить дублирование стандартных функций информационных
систем общего назначения. Для сбора первичной информации
из хранилищ данных система должна взаимодействовать с СУБД
различного типа, такими, как Foxpro, Oracle и другие.
345
11.3.	Функциональный базис задач рационального выбора
Для обеспечения универсальности системы и возможности
ее дальнейшего развития была принята парадигма «функцио-
нального» проектирования системы [66, 68]. Ее идея заключа-
ется в построении такого функционального базиса, который
позволял бы реализовать любую задачу рационального выбо-
ра объектов в дискретном множестве. Для конструирования
базиса потребовался анализ сходства и различия задач выбо-
ра, решаемых в различных научных областях. Каждая из них
характеризуется своим набором свойств.
Задачи рационального выбора характеризуются большим
разнообразием, поскольку они решаются на всех этапах чело-
веческой деятельности: планировании действий, их исполне-
нии, подведении итогов. На этапе планирования выбирается
наилучший план из подготовленных вариантов. На этапе ис-
полнения выбирается наилучший вариант действия в условиях
неопределенности состояния окружающей среды и действий
других лиц. При подведении итогов определяется рейтинг субъек-
тов или объектов деятельности.
При перспективном планировании решаются классические
задачи распределения (ресурсов) и назначения (работников).
Областью определения в этих задачах является декартово произ-
ведение «Субъект»х«Объект» и «Работник»х«Работа» соответствен-
но. Выбор наилучшего варианта плана (объекта) на основе сфор-
мулированных требований выполняется в «Объект»х «Признак».
При оперативном управлении обычно делается выбор между
несколькими возможными исходами в условиях неопределенно-
сти состояния окружающей среды и поведения других лиц, уча-
ствующих в рассматриваемом процессе. В этой задаче находит
применение модель матрицы выигрышей (платежей), использу-
емая в теории игр. Антагонистическая игра двух игроков опи-
сывается в пространстве «Ход1 игрока I х Ход игрока II»,
а игра с природой — в пространстве «Ход игрока» х «Состоя-
ние природы». В многоагентных технологиях им соответствуют
пространства «Агент» х «Агент» и «Агент» х «Ресурс».
1 В теории игр ход игрока часто ассоциируется с его стратегией, хотя, по мне-
нию автора, выбранный ход является результатом применения принятой стра-
тегии (максиминной, минимаксной и пр.).
346
При подведении итогов деятельности типовой задачей яв-
ляется расчет рейтинга объектов (субъектов) в пространстве
«Объект» х «Критерий».
Общими чертами перечисленных задач рационального
выбора является дискретный характер пространства вы-
бора и возможность представления его двумерным массивом
(матрицей или таблицей) данных. Все перечисленные простран-
ства являются различными интерпретациями двухмерной таб-
лицы данных, в силу чего она может играть роль универсаль-
ной модели рационального выбора. За базовую модель раци-
онального выбора была принята таблица «Объект» х «При-
знак», характеризующая объекты в пространстве признаков.
Несмотря на большое разнообразие задач выбора их можно
разделить по назначению на следующие классы:
•	выделение подмножества объектов, отвечающих предъяв-
ляемым к ним требованиям (selection);
•	упорядочение объектов в соответствии с заданным прин-
ципом (ranking);
•	выбор объекта, обладающего заданными свойствами
(choice).
Выбор объекта может выполняться как напрямую, так и на
основе результатов решения первых двух задач. Это может быть
наилучший, наихудший или усредненный объект в смысле
предъявленных к нему требований.
Реализация рассмотренных классов задач в рамках одной
программной системы требует обеспечения ее функциональной
полноты. Для выполнения этого требования был принят акси-
оматический подход к систематизации задач рационального
выбора. Каждая из них идентифицируется некоторым набором
базисных свойств, играющих роль аксиом системы. Полнота
базиса свойств задач обеспечивает универсальность системы
не только по отношению к перечисленным задачам, но и к тем
задачам, которые могут быть реализованы в этом базисе свойств.
На основе анализа сходства и различия задач рационально-
го выбора был сформулирован следующий функциональный
базис их свойств:
F={T,U,N,R,D,C,P,S}.	(11.1)
347
Каждый из символов выражения (11.1) обозначает множество,
элементы которого представляют собой группу однородных базис-
ных свойств, характеризующих задачу рационального выбора. Сим-
волом Т(task) обозначаются основные классы задач T={TS, Tr, Тс],
где Ts — задачи отбора;
Тг — задачи упорядочения;
Тс — задачи выбора.
Символом U (utility) обозначены функции полезности, наи-
более часто используемые в задачах рационального выбора
t/={Z, П, Ord, Max (Min)}:
где 2 — аддитивная свертка аргументов;
П — мультипликативная свертка;
Ord — упорядочение аргументов;
Max (Min) — поиск аргумента с максимальным (минимальным) значением.
В качестве аргументов этих функций используются абсолют-
ные yj и относительные у- значения признаков, 7=1,..., п, от-
клонение значения j-ro признака yj от заданного значения Cj,
а также значения функции принадлежности Цу(хг) в задачах
нечеткой классификации.
Символ N (normalization) характеризует потребность в нор-
мализации признаков при вычислении значения функции по-
лезности: N={0, Min, 0},
где 0 — нормирование j-ro признака от начала шкалы [0, jy max];
Min — нормирование j-ro признака в диапазоне [уу min, jy max];
0 — отсутствие нормирования.
Символ R (role) означает роль признака в оценке объекта.
Он используется либо в качестве критерия, либо в качестве огра-
ничения R={Criterion, Constraint}. При использовании в каче-
стве критерия ему задается любое направление оптимизации D,
(DirOpt) для первичных критериев и одно из них (Мах или Min) —
для оптимизации глобального и локальных критериев.
Символом С обозначаются значения ограничений, а симво-
лом t — их тип, соответствующий предикату р£{«=»; «г»; «s»}.
В пространстве признаков они представляются векторами:
С=(С1,...,С7,...,СИ) и
где Cj — вещественная, целочисленная или символьная переменная;
tj — значение предиката р.
348
Символ Р (precision) характеризует способы задания точно-
сти исходных данных и получаемых результатов. Изменение
точности задания исходных данных используется в задачах от-
бора, а «размытость» общей оценки — в задачах упорядоче-
ния объектов.
Символ 5 (scale) характеризует шкалу, в которой измеряет-
ся функция полезности. Минимальный набор шкал включает:
абсолютную шкалу А, в которой вычисляется функция полез-
ности, балльную шкалу В, в которую могут пересчитываться
ее значения, и вещественную шкалу L, в которой вычисляется
функция полезности без нормирования: 5= {А, В, L}.
Совокупность фиксированных значений свойств из базиса F,
присущих решаемой задаче выбора, назовем моделью задачи
выбора.
11.4.	Представление задач в базисе свойств
Покажем, как реализуются рассмотренные выше задачи
в предлагаемом базисе свойств. В соответствии с приведен-
ной выше классификацией они разделены на три группы
(см. табл. 11.1, 11.2 и 11.3). В табл. 11.1 приведены базисные
свойства задач отбора объектов:
Таблица 11.1
№	Задача	N			Р		DirOpt	t(Cons)	
		0	0	Min	Crit	Ctr		2 £	=[.l
1	Отбор недом- мых объектов	V			V		Max, Min		
2	Отбор по ог- раничениям	V				V		V	V
3	Поиск по цели	V				V			V
Учитывая векторный способ решения этих задач, в них
не используется функция полезности, а следовательно, не тре-
буется и нормализация признаков. Задачи отбора недомини-
руемых объектов (множества Парето) и отбора их по огра-
ничениям значений признаков различаются ролью признаков
в оценке объектов. В задачах первой группы признаки используют-
ся в роли критериев (Crit в табл. 11.1), которым задается направ-
ление оптимизации значений (максимизация или минимизация).
349
При отборе по ограничениям каждому признаку сопоставля-
ется ограничение (Ctr в табл. 11.1) на допустимое значение.
Поиск по цели отличается от отбора объектов по ограниче-
ниям требованием полного совпадения вектора ограничений
с=(ср...,Cj,...,си) с вектором значений признаков у(=(уг1,... ,у^,...,yin),
характеризующим отобранный /-й объект.
Поскольку вероятность нахождения /-го объекта по сово-
купности значений c=(cv...,cj,...,cn) убывает с ростом размер-
ности признакового пространства, для получения непустого
результата отбора точечное значение Cj,	может заме-
няться на интервальное (z(Cons): «=»—*«[,]»), что соответствует
переходу к поиску приближенной цели. Величина интервала под-
бирается, исходя из важности каждого показателя, — чем она
больше, тем интервал значений меньше.
Разложение по свойствам задач упорядочения приведено
в табл. 11.2:
Таблица 11.2
№	Задача	и	N			р		Dir Opt	z(Cons)	
			0	0	Min	Crit	Ctr		2 £	=(,]
1	Приоритет критериев	Ord	V			V		Max		
2	Учет мини- мальных достижений	S		V		V		Max, Min		
3	Максимум достижений	2			V	V		Max, Min		
4	Равномер- ность значе- ний	П		V		V		Max, Min		
5	Соответст- вие цели	2			V		V	Min (=0)		V
6	Соответст- вие ограни- чениям	2			V		V	Min (S0)	V	V
Относительно роли признаков в упорядочении объектов эти
задачи делятся на две группы. В первых четырех задачах упо-
рядочение объектов выполняется на основе значений их при-
знаков, которые рассматриваются в роли критериев оптимиза-
350
ции. Первая из этих задач отличается от остальных отсутствием
свертки критериев, что исключает необходимость в их норми-
ровании. Функция полезности задачи сводится к функции уста-
новления порядка критериев Ord(j^) относительно их важности.
Сама задача сводится к многомерной сортировке массива объектов.
Ее последовательность определяется приоритетом критериев.
Остальные три задачи этой группы различаются между собой
требованиями к наилучшему объекту. Для учета минимальных
достижений нормирование критериев осуществляется во всем
диапазоне шкалы [0, j. тах]. При упорядочении объектов относи-
тельно приближения значений признаков к их экстремальным
значениям для нормирования критериев используется диапазон
шкалы [yy min, уу тах]. При этом признаки, для которых y7=bmin,
фактически исключаются из многокритериальной оценки объек-
тов. Использование мультипликативной свертки критериев по-
зволяет упорядочивать объекты в направлении убывания равно-
мерности значений признаков [63]. Функция полезности задач 2,
3 и 4 может измеряться в любой из шкал множества 5.
Последние две задачи рассматриваемой группы упорядо-
чивают объекты относительно степени соответствия значе-
ний признаков требуемым значениям. В пятой задаче им
соответствует вектор целевых значений, а в шестой задаче —
набор ограничений. Аргументами аддитивной свертки явля-
ются не значения признаков, а их отклонения от требуемых
значений. Полное соответствие цели в последней задаче до-
стигается при jI-©c=0. В отличие от аналогичной задачи отбора
объектов в этой задаче объекты, не удовлетворяющие этому
выражению, не исключаются из исходного множества, а упо-
рядочиваются по убыванию степени соответствия с цели. Для
ранжирования z-ro объекта относительно цели, z=l,...,A, ис-
пользуется скалярная оценка Ду(- г 0, характеризующая сум-
марное отклонение по всем признакам от предъявляемых к
ним требованиям. Поскольку ранг z-ro объекта пропорцио-
нален ее величине, Ду(- можно интерпретировать штрафом за
суммарное несоответствие цели. Для поиска приближенной
цели, наряду с точечным значением Cj, j=l,...,n, использует-
351
ся интервальное задание требования [су- min, су>тах]. В этом
случае величина штрафа \yj по у-му признаку определяется
относительно границ интервала при ^Сут;п или y^CjmSLK.
При разнородных признаках оценки соответствия подлежат
нормированию.
В отличие от задачи упорядочения по цели упорядоче-
ние по ограничениям предусматривает возможность по-
ощрения за их превышение. Оно имеет место при исполь-
зовании в качестве ограничений полуинтервалов y&Cj (ог-
раничение снизу) и y^Cj (ограничение сверху). Количе-
ственно величина поощрения выражается отрицательной раз-
ностью by^Cj-yj при ограничении снизу и by^yj-Cj при ог-
раничении сверху. Примером поощрения может являться пре-
вышение размера экрана телевизора, имеющего 17 дюймов
по диагонали, по отношению к требованию в 15 дюймов.
Совершенно очевидно, что алгебраическое сложение штрафов
и поощрений в этой задаче может создать эффект соответ-
ствия цели, т.е. jz©c=0, поскольку упорядочение объектов
осуществляется в полярной шкале, отрицательная ось
которой характеризует суммарное превышение поощре-
ний над штрафами за нарушение ограничений. В этом случае
роль каждого признака определяется через его вклад в
общую оценку соответствия объекта ограничениям. Таким
образом, совмещение всех четырех типов ограничений в
этой задаче создает необходимые предпосылки для много-
численных приложений.
В табл. 11.3 представлено разложение в базисе свойств
задач выбора, которые характеризуются прямым нахожде-
нием наилучшего варианта. Из них наиболее простой явля-
ется задача поиска объекта, удовлетворяющего заданной со-
вокупности свойств. В отличие от задач ранжирования объек-
тов по степени приближения к заданным требованиям здесь
рассматривается только факт обладания перечнем заданных
свойств. Это означает, что свойства объектов представляются
двоичными переменными.
352
Таблица 11.3
№	Задача	и	N			р		DirOpt	z(Cons) = [J
			0	0	Min	Crit	Ctr		
1	Поиск по свойствам		V				V		V
2	Нечеткая классифика- ция	2ц			V	V		Max	
3	Выбор по Байесу	2	V			V		Max	
4	Максиминая стратегия	Мах Min	V			V		Max Min	
Например, если j-й признак интерпретировать реакцией
испытуемого объекта на j-e воздействие (правильная или не-
правильная реакция), то эта задача решает проблему диагно-
стирования неисправности объекта.
Если в качестве функции полезности использовать обоб-
щенную оценку принадлежности объекта fc-му классу
то его отнесение к одному из классов можно интерпретиро-
вать как выбор в задаче нечеткой классификации объектов [78].
Такой выбор осуществляется в задачах классификации с не-
четкими границами между классами. К ним относятся, напри-
мер, оценка экологии окружающей среды, классификация ком-
пьютеров по интегральным характеристикам и пр.
Последние две задачи, вошедшие в табл. 11.3, относятся
к теории игр [71]. Они характеризуются однородностью со-
держимого матрицы выигрышей (потерь). Функция полез-
ности, выражаемая критерием Байеса, используется в игре
с природой. Учитывая тот факт, что пространство «Ход
игрока»х«Состояние природы» органично ассоциируется
с пространством «Объект»х«Признак», а сумма вероятнос-
тей независимых событий равна 1 так же, как и сумма весо-
вых коэффициентов независимых признаков, нетрудно уста-
новить связь между аддитивными функциями полезности обеих
задач. Ввиду однородности содержимого матрицы выигры-
шей задача выбора оптимального хода не требует нормиро-
вания состояний природы.
353
Выбор на основе максиминной стратегии отличается
от выбора по критерию Байеса функцией полезности. Сверт-
ка переменных заменяется поиском минимальных значений
выигрыша в строках таблицы, а затем в полученном и+1 столбце
находится строка с максимальным значением выигрыша.
Для вариации максиминной стратегии используется критерий
Гурвица с коэффициентом оптимизма.
Как следует из вышеизложенного, перечень базисных свойств
является необходимым и достаточным для представления за-
дач рационального выбора. Он позволяет также объединить
все основные задачи рационального выбора, решаемые в рам-
ках различных теорий.
Перечень задач, синтезируемых в функциональном базисе F,
не ограничивается задачами, приведенными в табл. 11.1—11.3.
Он расширяется за счет:
•	усложнения отношения «Объекты/Признаки»;
•	применения композиции задач;
•	расширения функционального базиса.
Усложнение отношения «Объекты/Признаки» поясним
на примере частного отношения «Объекты/Требования». В за-
дачах 5 и 6 соответствия требованиям (см. табл. 11.2) исполь-
зуется тип отношения «Многие к одному», поскольку ко мно-
гим объектам предъявляется одно требование. Эта модель опи-
сывается двудольным графом G=(X, С, Е),
где X — множество объектов;
С — множество требований;
Е — множество связей между элементами этих множеств.
Элементы множеств X и С представляются векторами зна-
чений Уг(Уи,---,Укк,--.,У,>п) и ск^скл,...,ск],...,ск п), опреде-
ленными в пространстве признаков Y. В этих терминах за-
дачам 5 и 6 из табл. 11.2 соответствуют мощности мно-
жеств:	и |С|=1. Естественным расширениям этого
варианта являются отношения «Один ко многим» (|АГ|=1,
|C|=Z>) и «Многие ко многим»	|C|=Z>). Наглядно все
варианты отношений представляются следующими двудоль-
ными графами (рис. 11.1).
354
Многие к одному
У С
Один ко многим
Многие ко многим
X	С
Xffi	OCD	ХщО	ocD
Рис. 11.1. Задачи иа соответствие объектов требованиям
Модель «Один ко многим» можно интерпретировать за-
дачей постановки диагноза. Объекту Xj, находящемуся в со-
стоянии j], ставится диагноз ск, как наиболее близкий по
обобщенному расстоянию. Модель «Многие ко многим» ин-
терпретируется многокритериальной задачей о назначениях
(см. пункт 8.5.4). Например, работе, характеризуемой век-
тором признаков <j=(C] ],...,С]у,...,С[ и), наиболее близко (по
обобщенному расстоянию) подходит работник хг-, характе-
ризуемый вектором признаков jz= (у( ],...,угу,...,уг-и).
Примером композиции задач является упорядочение объек-
тов на основе предварительного отбора или нечеткой класси-
фикации. Для предварительного отбора объектов может ис-
пользоваться любая из трех задач, представленных в табл. 11.1.
Свойства комбинированных задач синтезируются по табл. 11.1
и 11.2.
Функциональный базис задач может дополняться частными
свойствами для реализации дополнительных функций. В каче-
стве дополнительного свойства может быть принято множе-
ство операций О, применяемых для обработки данных моде-
ли-экземпляра. К ним, например, можно отнести оптимизацию
покрытия неисправностей единицами при минимизации теста
или формирование вектора свойств по результатам опроса
пользователя в задаче идентификации объекта по свойствам
в экспертной системе и т.д.
355
11.5.	Способы экспертного оценивания
предпочтений
Система многокритериального оценивания объектов не может
быть полной без системы определения приоритетов, которые
используются в функциях полезности. В главе 6 была приведе-
на классификация методов определения приоритетов. Однако
она носит скорее классический характер, в то время как авто-
матизация экспертных оценок требует утилитарного подхода.
Он заключается, прежде всего, в максимальной формализации
всех операций и создания простого и понятного интерфейса
для задания всех видов предпочтений.
Выше утверждалось, что наиболее трудным для эксперта
является задание численной оценки предпочтения. В классичес-
кой работе на эту тему [87] предлагается задание предпочтений
в разах. Целочисленная кратность предпочтения ограничивает
использование объективной информации, которую можно при-
влечь для вычисления приоритетов. В качестве таковой могут
использоваться различные виды оценок сопоставляемых сущ-
ностей, такие как: нормативные (плановые), часточные (итого-
вые) балльные, доли от 1, проценты и пр. При этом кратность
предпочтений становится не задаваемой величиной, а вычисля-
емой через отношение оценок сопоставляемых сущностей.
Исходя из анализа способов задания предпочтений, для их раз-
личения на верхнем уровне достаточно двух оснований деления:
1. Полнота оценивания.
2. Использование величины предпочтений.
Полнота оценивания определяется сопоставлением части или
всех пар сущностей. Первый способ требует выделения базо-
вой сущности, с которой сравниваются остальные. Результа-
том сопоставлений является вектор предпочтений. Второй способ
заключается в сопоставлении «каждого с каждым» и заверша-
ется построением матрицы парных сравнений.
Относительно второго основания деления способы задания
предпочтений делятся на две группы: нечисловые и числовые
предпочтения. К первой группе относятся ординальное (стро-
гие и нестрогие предпочтения) и турнирное предпочтения.
356
Оба способа используют фиксированную величину предпоч-
тения (соответственно 1 и 2). Равноценность характеризуется
величинами 0,5 и 1.
Вторая группа задания предпочтений более многочисленна.
Ее представители различаются способом задания соотношения
значимости сущностей:
1.	Пропорции (Делимое/Делитель).
2.	В долях от 1.
3.	В процентах.
4.	Непосредственная кратность предпочтения.
В первых трех случаях кратность предпочтения является
расчетной величиной. Предпочтения в долях от 1 также рас-
считываются при любом способе задания предпочтений. Па-
раллельное рассмотрение различных форм предпочтения обес-
печивает всесторонний анализ экспертных оценок.
Каждый из этих способов характеризуется степенью полно-
ты оценивания (все или не все пары). Для матрицы парных
сравнений предусматривается вычисление ординальной и кар-
динальной оценок совместности предпочтений.
Изложенная классификация позволила создать простой
и универсальный интерфейс для задания предпочтений лю-
бым из известных способов. Ввод предпочтений сопровожда-
ется построением матрицы (вектора) и графа предпочтений.
При возникновении циклов соответствующие элементы матрицы
и дуги графа предпочтений окрашиваются в оранжевый цвет. Дуга,
через которое проходит наибольшее количество циклов, окраши-
вается в красный цвет. Это позволяет быстро находить и редакти-
ровать источники нетранзитивности предпочтений. По заверше-
нию ввода и редактирования предпочтений выполняется расчет
приоритетов одним из способов, изложенных в пункте 6.6.
11	.6. Назначение и функции системы
автоматизации выбора
Система, отвечающая требованиям, сформулированным
в пункте 11.2, и построенная в базисе свойств, изложенным
в пункте 11.3, разрабатывалась в течение нескольких лет
коллективом студентов ПГУПС под руководством автора.
357
Было разработано несколько версий системы [54, 57] с общим
названием «Система выбора и ранжирования» (сокращенно
СВИРЬ). Система предназначалась для проведения лаборатор-
ного практикума и курсового проектирования по курсу «Тео-
рия принятия решений». В процессе проведения лабораторных
работ устранялись ошибки, и намечалось дальнейшее развитие
системы СВИРЬ.
В дальнейшем на развитие системы повлияло ее использование
для решения производственных задач и задачи оценивания дея-
тельности кафедр университета за год [28] в системе управления
вузом. Для различных областей применения потребовалась разра-
ботка различных конфигураций системы. Таким образом, появи-
лось семейство систем СВИРЬ. В частности, в качестве самосто-
ятельной выделена система вычисления приоритетов (СВП), кото-
рая предназначена для задания предпочтений и расчета приорите-
тов на множестве признаков или объектов в автономном режиме,
либо по заданию системы СВИРЬ. Специально для расчета рейтин-
га объектов спроектирована конфигурация СВИРЬ-Р.
В настоящее время на универсальной версии системы СВИРЬ,
функционирующей в среде ОС Windows-98 и выше, решаются
следующие задачи рационального выбора объектов любой приро-
ды в иерархическом признаковом пространстве:
1.	Отбор объектов, удовлетворяющих следующим требовани-
ям к признакам:
1.1.	Оптимальность значения (нахождение области Парето);
1.2.	Интервалы и полуинтервалы значений (нахождение допус-
тимого множества);
1.3.	Точечное значение (поиск по цели);
2.	Упорядочение и ранжирование:
2.1.	Всех объектов по оптимальным значениям признаков.
2.2.	Всех объектов относительно требований к значениям при-
знаков.
2.3.	Граничных объектов (из области Парето).
2.4.	Объектов, отобранных по значениям признаков.
2.4.1.	Без задания признакам направления оптимизации.
2.4.2.	С заданием части признаков направления оптимизации.
3.	Классификация объектов.
358
Система может использоваться для изучения методов оце-
нивания объектов в пространстве признаков, а также при ре-
шении задач планирования, оперативного управления, оце-
нивания вариантов решений и итогов деятельности в науч-
ной, организационной, производственной и бытовой сфере.
Система реализует следующие функции:
11.6.1.	Проектирование модели-прототипа ПО
•	иерархическая организация признаков в виде дерева таблиц;
•	сегментирование и редактирование объектов;
•	сегментирование и редактирование признаков.
11.6.2.	Создание модели-экземпляра ПО
(Подготовка исходных данных)
•	ввод объектов и характеризующих их признаков с клави-
атуры, из табличного процессора MS Excel или из фирменных
баз данных;
•	кодирование символьных значений признаков;
•	вычисление производных признаков.
11.6.3.	Постановка задачи выбора
Задание общих требований
•	Выбор класса задачи (отбор, упорядочение, классифика-
ция, специальный)
•	задание условий отбора (п.п. 1.1—1.3);
•	задание условий упорядочения;
•	задание нормирования значений признаков (да, нет);
•	выбор шкалы значимости признаков (порядковая, интер-
вальная);
•	выбор функции полезности (аддитивная, мультипликатив-
ная, произвольная);
•	выбор шкалы многокритериальной оценки (абсолютная [0,1],
балльная);
•	установка допуска значений оценки (в процентах).
Допускается комбинирование ряда задач на разных уров-
нях иерархии:
•	задание условий нечеткой классификации;
359
•	выбор числа классов (2—9);
•	задание имен классов;
•	задание формы функции принадлежности (от треугольной
до прямоугольной);
•	выбор цвета каждого класса.
Задание требований к признакам:
•	выбор признаков, подлежащих оценке;
•	задание диапазона значений (по выборке объектов, про-
извольный);
•	задание допуска отклонения от точечного значения
(в процентах);
•	задание роли признака (критерий, ограничение);
•	задание направления оптимизации критерия (мин., макс);
•	задание значения и типа ограничения (точно, снизу, сверху,
интервал);
•	задание формы и параметров функции принадлежности;
•	прямое задание приоритета признаков через весовые
коэффициенты;
•	совмещение экспертной оценки приоритета признаков
с условием равноценности всех первичных признаков в иерархии;
•	перераспределение приоритета признаков в иерархии.
11.6.4.	Определение приоритета признаков на основе
предпочтений
{Система вычисления приоритетов СВГГ)'.
>	индивидуальное экспертное оценивание:
•	частичное оценивание (относительно базовой сущности);
•	полное оценивание (всех пар сущностей);
•	с фиксированной величиной предпочтения:
•	ординальное предпочтение (строгое, нестрогое);
•	присуждение очков (за победу и ничью);
• с произвольной величиной предпочтения:
•	пропорцией (Делимое/Делитель);
•	в долях от 1;
•	в процентах;
•	непосредственной кратностью предпочтения;
360
•	на множестве признаков;
•	на множестве признаков и объектов (метод МАИ);
> групповое экспертное оценивание с разными способами оп-
ределения компетенции экспертов и использованием любого из
методов индивидуального экспертного оценивания.
11.6.5.	Сохранение модели ПО
•	структура и значения первичных признаков — в файле
предметной области (ПО);
•	условия задачи выбора — в файле настройки. Число
файлов настройки определяется числом задач, решаемых
в анализируемой ПО.
11.6.6.	Решение задачи
•	нахождение решения для отдельной таблицы (в иерархии
таблиц снизу вверх);
•	нахождение решения для всей иерархии таблиц.
11.6.7.	Представление результатов
•	отобранное подмножество объектов;
•	оценка объектов в интервальной и порядковой шкале;
•	функция принадлежности объекта классу;
•	цветной график оценки объектов по глобальному (ло-
кальному) критерию.
11.6.8.	Анализ результатов
•	упорядочение объектов относительно рангов;
•	цветная диаграмма вклада признака в общую оценку
объекта (по таблицам);
•	цветные таблица и график сопоставления оцениваемого
рейтинга с базовым для любых пар таблиц;
•	показатели различия и сходства рейтингов;
•	сопоставление оценок объектов, выполненных в разных
пространствах признаков.
11.6.9.	Редактирование и вывод результатов
В пакетах информационной системы общего назначения MS Office:
•	MS WinWord;
361
•	MS Excel;
•	специальный вывод в MS Excel.
Функции системы СВИРЬ и способы их реализации приве-
дены в гипертекстовой справочной системе.
11.7. Типовые задачи, решаемые системой
Система СВИРЬ позволяет решать следующие типовые задачи.
1.	Выбор наилучшего варианта (на основе упорядочения
объектов).
1.1.	По оптимальности значений признаков.
Каждому из признаков, характеризующих варианты выбора,
задается свое направление оптимизации и значимость. Все ва-
рианты упорядочиваются относительно приближения значений
признаков к их максимальным или минимальным величинам.
Эта задача решается при подведении итогов, а также при пла-
нировании, когда для каждого признака субъект может ответить
на вопрос: «Какое значение лучше — большее или меньшее?»
(принцип максимализма).
В зависимости от выбранного критерия варианты упорядо-
чиваются:
•	с учетом «минимальных достижений» (учитываются не-
нулевые значения признаков);
•	с наибольшим числом приближений значений признаков
к экстремальным значениям (с учетом «максимальных дости-
жений»);
•	от равномерных к неравномерным значениям показателей.
Примерами такого рода задач являются:
•	выбор наилучшего варианта плана, приобретения товара;
•	выбор варианта, усредненного по всем показателям;
•	установление рейтинга специалистов и товаров — по их
характеристикам, организаций и подразделений — по резуль-
татам их деятельности и т.д.
1.2.	По требованиям к значениям признаков.
Задание значений признаков позволяет упорядочить все объекты
по степени соответствия к ним. На первом месте оказывается
объект с наименьшим суммарным отклонением от заданных зна-
чений. Эта задача решается, когда субъект может ответить
362
на вопрос: «Какое значение признака ему необходимо или како-
ва не устраивающая его граница?» (условие информированнос-
ти). В соответствии с этим допускается два варианта требований:
•	на точное или приближенное (интервальное) соответствие;
•	на попадание в заданный полуинтервал значений (ур^Ср
с учетом и без учета превышения граничного значения Cj.
Примерами задач этого класса являются:
•	выбор объекта по наилучшему соответствию требовани-
ям, например, покупка или обмен жилья, если известны точ-
ные или граничные требования к признакам, характеризую-
щим квартиру;
•	выбор объекта с учетом превышения граничных значений
показателей (сочетание условия информированности и прин-
ципа максимализма);
•	выбор объекта относительно нарушений заданных значе-
ний признаков, например, постановка диагноза (медицинского
или технического);
•	выбор цели по состоянию объекта;
•	распределение работников по работам на основе наилуч-
шего соответствия между желаемым и возможным.
2.	Отбор объектов.
2.1.	Отбор несравнимых объектов.
Имеет целью выделение (селекцию) подмножества объектов,
несравнимых по значениям признаков относительно их экст-
ремальных значений (множество Парето).
Примерами такого рода задач являются:
•	селекция товаров, имеющих лучшие значения по всей сово-
купности показателей',
•	область значений признаков, характеризующих границу
между симптомами двух болезней;
*	отбор лучших по успеваемости студентов в группе.
2.2.	Отбор по значениям признаков.
Выделяется подмножество объектов, отвечающих заданным
ограничениям на значения признаков. Возможны различные
типы ограничений: точечное, интервальное и полуинтерваль-
ное (больше или равно, меньше или равно).
В частных случаях используется только один из видов ог-
раничений. Например, при использовании ограничений на интер-
363
вал значений параметров решается задача отбраковки изде-
лий, предназначенных для использования в системах специально-
го назначения.
Отбор по точечным значениям параметров (отбор по цели) вы-
полняется в том случае, когда известны требуемые значения, напри-
мер поиск товара в каталоге по значениям его параметров.
3.	Отбор объектов с последующим упорядочением.
Задачи смешанного типа совмещают отбор и упорядочение
объектов, т.е. ранжированию подлежат только предваритель-
но отобранные объекты. Это сокращает размерность задачи
за счет исключения объектов, не представляющих интереса
для дальнейшего выбора. При этом используются различные
способы отбора объектов:
•	с недоминируемыми значениями признаков (область Парето);
•	объектов, отобранных по значениям признаков;
•	без задания признакам направления оптимизации;
•	с заданием части признаков направления оптимизации.
4.	Отбор объектов с последующим упорядочением.
Задачи смешанного типа совмещают отбор и упорядочение
объектов, т.е. ранжированию подлежат только предваритель-
но отобранные объекты. Это сокращает размерность задачи
за счет исключения объектов, не представляющих интереса
для дальнейшего выбора. При этом используются различные
способы отбора объектов:
•	с недоминируемыми значениями признаков (область Парето);
•	объектов, отобранных по значениям признаков;
•	без задания признакам направления оптимизации;
•	с заданием части признаков направления оптимизации.
5.	Специальные задачи выбора.
Эти задачи характеризуются однородностью значений при-
знаков, что позволяет исключить их нормирование. Примером
таких значений являются балльные оценки по изучаемым пред-
метам, стоимость выигрыша в игровых задачах. Это позволяет:
•	выполнять выбор объекта по средней оценке;
*	выбирать оптимальный ход в игре с противником или природой.
В случае двоичных значений решаются различные задачи
поиска и минимизации.
364
К ним относятся:
•	поиск неисправности по результатам тестирования;
•	поиск объекта по присутствию у него заданных свойств;
•	минимизация теста.
6.	Классификация объектов.
Определяется принадлежность объектов к заданным клас-
сам на основе задания функций принадлежности для каждого
параметра, характеризующего объект. Форма функции принад-
лежности может меняться от прямоугольной до треугольной,
задавая нечеткость границы от нулевой до максимальной.
На основе нечеткой классификации объекты могут упорядочи-
ваться относительно заданного порядка классов.
К задачам этого класса относятся задачи с нечеткой нео-
пределенностью, например, оценка экологии окружающей сре-
ды, классификация компьютеров по интегральным характерис-
тикам и пр.
В силу универсальности применения система СВИРЬ инва-
риантна по отношению к предметной области. За время ее
использования для выполнения лабораторных работ по курсу
«Теория принятия решений» студенты выбирали самые разно-
образные предметные области для изучения задач и методов
рационального выбора. Они относятся:
•	к профессиональной деятельности (ж.-д. депо, дистанции
пути, товарные вагоны; радиосвязь, САПР, оружие, компью-
теры и т.д.);
•	сфере быта (квартира, автомашина, дача, детский сад);
•	бытовой технике (телевизор, компьютер, принтер, сти-
ральная машина и т.д.);
•	предметам дамского обихода (женские сапоги, губная по-
мада, нитки и т.д.);
•	домашним животным (кошки, собаки);
•	сфере услуг (предприятия питания, салоны красоты, ноч-
ные клубы и т.д.);
•	туризму, спорту и лечению;
•	ремонтно-строительным работам (покрытия для стен и т.д.);
•	поиску работы;
•	покупке игроков в клубы (футбол, баскетбол, автогонки
и т.д.);
365
•	рейтингу артистов;
•	политике (политические партии);
•	взаимоотношениям по характеру и интересам (партнеры) и пр.
Несмотря на такое разнообразие предметных областей, проек-
тирование модели-прототипа для них является стандартным. Об-
щим для перечисленных областей является наличие единственной
модели-экземпляра, что объясняется неизменностью свойств кон-
кретных объектов. Технология решения задач выбора на системе
СВИРЬ рассматривается в следующем разделе на примере веч-
ной проблемы решения «квартирного вопроса».
Обсуждение
Построенная даже группой квалифицированных экспертов модель
выбора не может в полной мере отражать реальное соотношение
анализируемых объектов. Какие-то признаки оказываются неуч-
тенными, какие-то из учтенных не в полной мере отражают свой-
ства объекта, структура и соотношение значимости признаков также
подвергается сомнению. В этих условиях наиболее продуктивным
подходом является экспериментирование с моделью. Оцененные
объекты сопоставляются с их гештальтами (целостным восприя-
тием). Если удается показать, что рациональная оценка противо-
речит реальному соотношению качества объектов, анализируются
причины расхождения и вносятся согласованные изменения в мо-
дель. После этого снова выполняются расчеты с последующим ана-
лизом. Этот процесс аналогичен процессу обучения при распозна-
вании образов с той разницей, что в качестве обучающей выборки
используются сами оцениваемые объекты.
Большой объем экспериментирования требует обеспечения
оперативного редактирования модели в СППР, что характе-
ризует качество системы. Система СВИРЬ спроектирована
именно таким образом, чтобы максимально облегчить все
манипуляции с моделью и данными в процессе эксперименти-
рования и подготовки модели к работе. Хорошая возможность
редактирования модели и данных в совокупности с удобным
контекстным интерфейсом обеспечивает такое свойство систе-
мы как эргономичность.
366
Экспериментальный подход имеет повод для критики. Кри-
тик укажет на тот факт, что таким образом модель подгоняется
под вкусы ЛПР. Но такую подгонку можно сделать лишь под
один объект, а остальные объекты будут увязаны с ним единой
моделью, и не могут быть упорядочены произвольным обра-
зом. С полученным распределением под один объект могут
не согласиться эксперты и такая модель не получит одобре-
ния. Это позволяет утверждать, что влияние ЛПР на распре-
деление мест имеет ограниченный характер.
Зачастую на начальном этапе оценивания объектов ЛПР и
эксперты не имеют достаточной информации для построения
адекватной модели. В процессе экспериментирования они полу-
чают дополнительную информацию и могут изменять не толь-
ко модель, но саму постановку задачи, например, перейти от
задачи упорядочения объектов на основе оптимизации призна-
ков к упорядочению на основе соответствия значений заданным
требованиям. Это требует универсальности системы по отноше-
нию к задачам выбора. В системе СВИРЬ она обеспечивается за
счет различного сочетания базисных свойств задач выбора. Ба-
зисные свойства были определены также для подсистемы вычис-
ления приоритета сущностей по экспертным предпочтениям, что
также способствовало расширению универсальности этой под-
системы. Численное выражение предпочтений целыми числами
по Саати является частным случаем в совокупности различных
вариантов задания количественных оценок.
Выводы
1.	Многие современные информационные системы оснаща-
ются подсистемами поддержки принятия решений. Во многих
системах СППР включается в состав базовой системы. В зада-
чу СППР входит автоматизация подготовки исходных данных
для выбора наилучших вариантов. Включение СППР в состав
базовой системы влечет семантическую связь между ними, вы-
ражаемую в применении общей предметной терминологии.
Другой особенностью таких СППР является специализация,
отражающая особенности базовой системы.
367
2.	В условиях неизвестной области применения система вы-
бора и ранжирования сущностей должна обладать универсально-
стью, которую следует рассматривать как по отношению
к построению модели рационального выбора, так и по отно-
шению к решаемым задачам. К универсальной системе предъяв-
ляются такие требования, как возможность отражения в моде-
ли выбора объективных и субъективных факторов, автоном-
ность, эргономичность, возможность комплексирования с дру-
гими системами, высокая размерность решаемых задач.
3.	Универсальность системы по отношению к модели вы-
бора предполагает: возможность работы с разнородными дан-
ными как численными, так и символьными (лингвистическими
переменными), изменение списков объектов и признаков, по-
рядка следования в списках, группирование объектов внутри
списка, структурирование признаков путем создания и редак-
тирования иерархии таблиц, задание значимости признаков,
предварительную обработку исходных данных (кодирование
символьных переменных и вычисление критериев), сохранение
модели в файлах и вывод ее на бумажные носители, защиту
модели от несанкционированных изменений.
4.	Универсальность системы по отношению к решаемым на ней
задачам выбора обеспечивается за счет разработки базиса свойств
системы. В него включаются: класс решаемых задач, вид функции
полезности, нормализующие коэффициенты, роль признака в оценке
объекта, направление оптимизации и тип ограничений, точность
решения. Комбинирование элементами базиса свойств позволяет
формулировать разнообразные задачи выбора.
Перечисленными свойствами обладает система выбора и ран-
жирования СВИРЬ, разработанная в среде ОС Windows и вза-
имодействующая с информационными системами общего на-
значения, входящими в состав MS Office, а также с фирменны-
ми базами данных. Система предназначена для решения как
типовых, так и экспериментальных задач выбора в любой пред-
метной области. Система СВИРЬ может применяться в двух
конфигурациях: специализированной, предназначенной для рас-
чета рейтинга объектов, и универсальной, предназначенной для
решения произвольных задач выбора.
368
Глава 12. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВЫБОРА
НА СИСТЕМЕ СВИРЬ
Прорезав длиннейшую очередь, начинающуюся
уже внизу в швейцарской, можно было видеть
надпись на двери, в которую ежесекундно ло-
мился народ: «Квартирный вопрос»
М. Булгаков «Мастер и Маргарита»
12.1.	Проектирование модели-прототипа
Практически каждому человеку в течение жизни приходится
решать проблему жилья. Решение «квартирного вопроса»
многообразно. Здесь может быть и обмен жилья, и пост-
ройка нового дома, и покупка квартиры и пр. Остановимся
на третьем варианте, в предположении, что у заинтересован-
ного лица (далее субъекта) есть возможность купить новую
квартиру. Таким образом, цель субъекта сформулирована.
Это покупка новой квартиры. Далее необходимо решить две
взаимосвязанных задачи: найти варианты строящихся квартир
и характеризующие каждую квартиру свойства.
В начале второго полугодия 2002 г. в г. Санкт-Петербурге
предлагались для покупки квартиры в следующих жилых мас-
сивах1 (далее для экономии места они именуются порядковы-
ми именами):
1.	Волна.
2.	Северное сияние.
3.	Супердом.
4.	Город солнца.
5.	Ланской квартал.
6.	Муромская усадьба.
7.	Новоколомяжский.
8.	Дом у залива.
9.	Живой родник.
' Информацию собрали студентки ПГУПСа О.Самонина и Е.Ссорина
369
10.	Новая гражданка.
11.	Морской фасад.
12.	Александрино.
13.	Приморская симфония.
14.	Рождественский.
15.	Южный замок.
В табл. 12.1 приведена характеристика домов в этих жилых
массивах. В столбце «Тип дома» использованы следующие
сокращения: К — кирпич, К, М — кирпич-монолит, С — серия
дома. Отопление в этих домах делается либо автономным (А),
либо центральным (Ц). Для субъекта представляет также инте-
рес этажность дома и наличие гаража. Информация о сроке
сдачи дома в эксплуатацию хотя и не относится к его свой-
ствам, но весьма важна для принятия многих решений (подго-
товка к оплате, переезду и т.п.).
Таблица 12.1
Характеристика дома
№	Тип дома	Отопление	Этажность	Гараж	Срок сдачи
1	С. 600.11У	ц	10	Нет	3 кв. 2003 г.
2	К	ц	12	Есть	2 кв. 2004 г
3	К	А	16	Нет	Сдан
4	к	А	7	Есть	4 кв. 2002 г
5	к, м	А	25	Есть	3 кв. 2003
6	к, м	А	8	Есть	Сдан
7	к	А	10	Есть	2 кв. 2003 г
8	к	А	17	Нет	Сдан
9	к, м	А	25	Есть	4 кв. 2003 г
10	к,м	Ц	23	Нет	4 кв. 2003 г
11	к, м	А	25	Есть	4 кв. 2003 г
12	С. 600.11	Ц	10	Нет	4 кв. 2002 г
13	к	Ц	16	Нет	Сдан
14	к, м	А	6	Есть	2 кв. 2003 г
15	к,м	Ц	15	Есть	4 кв. 2003 г.
Заметим, что из пяти признаков, характеризующих дом,
четыре имеют символьные и символьно-числовые значения,
что не позволяет использовать эти признаки напрямую в мно-
гокритериальном оценивании квартир. Вопрос подготовки
их к оцениванию будет рассмотрен позже.
370
В табл. 12.2 охарактеризованы районы новостроек:
Таблица 12.2
Характеристика района
№	Район	Метро	Расстояние	Зелень	Воздух	Шум
1	Веселый поселок	Ломоносовская	2,0	2,0	4	1
2	Московский	Электросила	0,5	1,0	4	3
3	Приморский	Старая деревня	4,0	2,0	5	2
4	Выборгский	Пр. Просвещения	1,0	0,3	5	2
5	Приморский	Черная речка	1,0	4,0	4	2
6	Калининский	Гражд. проспект	0,3	4,0	4	3
7	Приморский	Удельная	2,0	3,0	5	2
8	Приморский	Старая деревня	3,0	2,0	6	1
9	Выборгский	Удельная	1,5	1,0	6	3
10	Калининский	Академическая	0,2	2,0	3	2
11	ВО.	Приморская	1,5	3,0	4	1
12	Кировский	Пр. Ветеранов	0,8	2,0	5	2
13	Приморский	Старая деревня	2,0	3,0	5	2
14	Центральный	Пл. Восстания	1,5	1,0	4	4
15	Московский	Звездная	1,0	0,5	4	2
В третьем столбце таблицы указаны станции метро, бли-
жайшие к каждому жилому массиву, а в четвертом столбце —
расстояния до них в км. Следующие три признака характери-
зуют экологическую обстановку вблизи дома: расстояние
до ближайшего зеленого массива (в км), чистоту воздуха
и уровень шума (в баллах). Значения в баллах определены эк-
спертным путем.
В табл. 12.3 приведено три показателя, характеризующих
саму квартиру, а в табл. 12.4 — показатели, относящиеся к ее
покупке.
При необходимости число показателей, характеризующих
квартиру (табл. 12.3), может быть увеличено, например, за счет
описания свойств комнат, кухни, ванны, санузла и т.п.
371
Таблица 12.3
Характеристика квартиры
№	Количество комнат	Общая площадь, кв. м	Высота потолка	Лоджия
1	2	60,8	2,50	Есть
2	2	77,3	3,00	Есть
3	3	98,4	2,50	Есть
4	1	48,0	3,00	Есть
5	2	79,3	3,00	Есть
6	3	91,8	2,50	Есть
7	3	101,8	3,00	Есть
8	2	99,2	2,80	Есть
9	2	69,2	2,80	Есть
10	2	58,6	2,82	Есть
11	2	66,1	2,80	Нет
12	1	43,5	2,50	Есть
13	3	97,0	2,80	Есть
14	3	111,6	3,00	Нет
15	2	66,3	2,80	Есть
В табл. 12.4 приведены важные для оплаты квартиры при-
знаки: стоимость одного кв.м, общей площади в $, скидка за
единовременную оплату квартиры, рассрочка на период после
строительства дома (РПС) и на время его строительства (РВС).
Последние два признака существенны для покупателя, не об-
ладающего необходимой суммой денег на покупку квартиры.
Информация, собранная в пяти таблицах, делится на оце-
ниваемую, оценивающую и справочную. К оцениваемой инфор-
мации (объектам оценивания) относится список, состоящий
из пятнадцати жилых массивов, повторяемый в каждой таб-
лице. К справочной информации можно отнести район ново-
стройки и ближайшую станцию метро (табл. 12.2).
Остальные признаки (5+4+4+4=17) определяют макси-
мальную размерность пространства признаков, в котором
надлежит оценивать объекты. Таким образом, максималь-
ная размерность решаемой задачи составляет 15x17=255.
372
Оплата квартиры
Таблица 12.4
№	Стоимость кв.м	Скидка	РПС	РВС
1	360	Да	Да	Да
2	450	Да	Да	Нет
3	450	Нет	Да	Нет
4	460	Да	Да	Да
5	460	Да	Нет	Да
6	460	Да	Да	Нет
7	440	Да	Да	Да
8	430	Нет	Нет	Нет
9	405	Нет	Нет	Да
10	460	Да	Да	Да
11	460	Да	Нет	Да
12	470	Нет	Нет	Да
13	450	Нет	Нет	Нет
14	650	Нет	Нет	Да
15	430		Да		Да	Да
Следует отметить, что граница между оценивающей и справоч-
ной информацией условна. Справочные признаки могут быть
переведены в ранг оценивающих и наоборот, что изменяет раз-
мерность задачи.
В рассматриваемой задаче пространство признаков структу-
рировано за счет распределения их в четырех таблицах на осно-
ве принципа семантической (смысловой) близости, а признаки,
составляющие таблицы, интенсионально (по назначению) неза-
висимы между собой. Предоставляем читателю убедиться в этом,
внимательно проанализировав таблицы 12.1—12.4. Эти табли-
цы образуют однородную по уровням и неоднородную по при-
знакам трехуровневую структуру (рис. 12.1).
Ее нулевой уровень представляется глобальным признаком
«Покупка квартиры», значение которого вычисляется на осно-
ве признаков нижних уровней. Первый уровень дерева состав-
ляют локальные признаки, представленные именами таблиц.
373
Покупка квартиры
Нижний (второй) уровень образуют пер-
вичные признаки, размещенные в табли-
цах 12.1—12.4. Однородность по уровням
определяется одинаковым расстоянием
каждого первичного признака до гло-
бального. В этой задаче оно равно двум
(на единицу меньше числа уровней). Не-
однородность по признакам определяет-
ся разным числом признаков в таблицах.
;.ЕН1 Район
; ЕШ Дом
; ЕЯ Квартира
- ЕЯ Оплата
Рис. 12.1. Дерево таблиц
ПО «Покупка квартиры»
Создание иерархической структуры признаков в системе
СВИРЬ осуществляется с помощью специальных функций.
Они позволяют создавать и редактировать таблицы по стро-
кам и столбцам (добавление, удаление, переименование, пере-
мена мест), осуществлять связи между таблицами, переносить
признаки из одной таблицы в другую, таблицу с одного уров-
ня иерархии на другой, распределять объекты по группам. На-
пример, все жилые массивы можно сгруппировать по строя-
щим их фирмам для оценивания их внутри групп.
Проектирование модели-прототипа в системе СВИРЬ полу-
чило название «Создание предметной области». Спроектиро-
ванная модель сохраняется в файле с соответствующим назва-
нием и расширением *.svpo.
12.2.	Создание модели-экземпляра
Создание модели-экземпляра начинается с заполнения таб-
лиц модели-прототипа исходными данными. Источниками ис-
ходных данных для системы СВИРЬ служат табличный процес-
сор MS Excel, фирменные базы данных объектов и само заинте-
ресованное лицо, пользующееся для ввода данных клавиатурой.
Для экономии места и лучшего понимания смысла операция
ввода данных в таблицы была выполнена в предыдущем разде-
ле. Иными словами, таблицы 12.1—12.4 приведены в этом раз-
деле вместе с содержимым. После ввода данных содержимое
таблиц просматривается в разделе «Характеристика объектов».
Следующим этапом создания модели-экземпляра является
кодирование символьных значений признаков. Замена символь-
ных значений переменных на числовые выполняется для упро-
щения модели и для перехода от номинальной шкалы к поряд-
ковой и выше, с целью выполнения операций над данными.
374
При переходе от номинальной к более информативным шка-
лам задается отношение строгого (>), либо нестрогого (ь) пред-
почтения между значениями переменной. Оно увязано с назначе-
нием начала шкалы и заданием направления предпочтения. Пред-
почтения можно разделить на естественные и искусственные. Первые
используют смысл символьных значений переменной, фиксирую-
щий явное улучшение или ухудшение качества. Искусственное
предпочтение требует привлечения дополнительных соображений
для упорядочения значений символьной переменной.
Закодируем символьные переменные, содержащиеся в таб-
лицах 12.1—12.4. Начнем с простейших двоичных признаков
с естественными предпочтениями по качеству. К таковым от-
носятся все признаки со значениями «Есть» («Да») и «Нет».
Поскольку значение «Есть» («Да») означает наличие некото-
рого позитивного свойства объекта, а «Нет» — его отсутствие,
то резонно поставить им в соответствие числа 1 и 0. Напри-
мер, для владельца автомашины наличие гаража в доме яв-
ляется преимуществом, которое и отражается значением 1
по сравнению с нулем в его отсутствии.
К двоичным признакам с искусственным предпочтением отно-
сится «Вид отопления» (автономное или центральное). Действи-
тельно, у того и другого из них есть свои преимущества и субъект
должен обосновать их для выбора метода кодирования. Если,
например, субъект хочет иметь горячую воду летом во время ре-
монта тепловых сетей, то он предпочтет автономное отопление,
закодировав его более высоким баллом. В силу экономического
фактора предпочтение может быть отдано центральному отопле-
нию. Поскольку двоичный характер переменной здесь не связан
с наличием или отсутствием свойства (отопления), то менее пред-
почтительное значение переменной здесь нецелесообразно совме-
щать с началом шкалы признака. Для случая предпочтения авто-
номного отопления ему следует сопоставить число 2, а централь-
ному — число 1, начиная отсчет шкалы от 0.
Остальные символьные переменные в таблицах 12.1—12.4
не относятся к двоичным. Но для них также вводятся искусствен-
ные предпочтения. Наиболее очевидны они для признака «Тип дома».
Для упорядочения его значений можно привлечь такую объек-
тивную характеристику, как звуко- и теплонепроницаемость стен.
375
По этому свойству значения располагаются в следующем по-
рядке убывания качества: кирпич-монолит (1), кирпич (2),
Серия 600.ПУ (3), Серия 600.11 (4).
Более субъективны предпочтения при выборе района. Если
субъект решил жить в центральных районах, то может быть
выбран следующий нестрогий порядок районов г. Санкт-Пе-
тербурга: Центральный (1), Василеостровский (2), Московский
и Приморский (3), Калининский, Выборгский и Кировский (4),
Веселый поселок (5). Разумеется, другой субъект может отне-
сти к центру города и Василеостровский район, присвоив ему
код «1». Отсюда напрашивается мысль о произволе в задании
предпочтений. Но это кажущийся произвол. На самом деле
субъект реализует свои личные убеждения, имея на это полное
право. Было бы, наоборот, странно, если бы предпочтения всех
людей совпадали.
На этом закончим кодирование символьных переменных,
отнеся сведения о ближайшей станции метрополитена к спра-
вочной информации. Но это не означает, что они не могут
участвовать в выборе. Кому-то, например, может оказаться
небезразличной ближайшая станция метрополитена, у которой
живут его родственники. В этом случае выполняется задание
предпочтений на значениях соответствующих признаков.
Изложенное выше свидетельствует о том, что модель выбора
отражает индивидуальность своего создателя. В тех случаях, когда
она строится в интересах группы людей, этап кодирования сим-
вольных переменных так же, как и другие этапы разработки
модели, выполняются группой экспертов (см. главу 7).
Признак «Срок сдачи» в табл. 12.1 тоже, на первый взгляд,
относится к символьным и подлежит кодированию. На самом
деле, на основе содержащейся в нем информации может быть
рассчитан срок ожидания завершения строительства дома Т
(в месяцах). Исходя из пессимистической оценки сдачи дома
в конце планируемого квартала и начала ожидания с начала
3-го квартала 2002 г., срок ожидания рассчитывается по следу-
ющим формулам:
При сдаче дома в 2002 г.: Т=(#кв-2)-3;
При сдаче дома после 2002 г.: T=6+(Nr-3)-].2+NKB-3.
Здесь NKB — номер квартала в год сдачи дома;
376
Nv — последняя цифра года сдачи дома. Например, срок ожида-
ния жилого массива «Город солнца», сдаваемого в 4 квартале 2002 г.,
составляет 7'=(4-2)-3 = 6 месяцев, а срок ожидания жилого массива
«Северное сияние», сдаваемого во 2 квартале 2004 г., составляет
Г=6+(4-3)-12+2 3=6+12+6=24 месяца (табл. 12.5).
Таблица 12.5
Характеристика дома
№	Тип дома	Отопление	Этажность	Гараж	Срок сдачи
1	3	1	10	0	15
2	2	1	12	1	24
3	2	2	16	0	0
4	2	2	7	1	6
5	1	2	25	1	15
6	1	2	8	1	0
7	2	2	10	1	12
8	2	2	17	0	0
9	1	2	25	1	18
10	1	1	23	0	18
И	1	2	25	1	18
12	4	1	10	0	6
13	2	1	16	0	0
14	1	2	6	1	12
15	1	1	15	1	18
Таким образом, «Срок сдачи» является не кодируемым, а
вычисляемым признаком. Помимо него на основе признаков,
содержащихся в таблицах, могут быть вычислены производ-
ные признаки, удобные для оценивания объектов. К таковым
в данной задаче относится признак «Стоимость квартиры».
Он вычисляется на основе общей площади квартиры в кв. м
(табл. 12.3) и стоимости одного кв.м, площади (табл. 12.5).
Создание модели-экземпляра в системе СВИРЬ осуществляет-
ся с помощью специальных функций. Для ввода данных из вне-
шних баз данных используются функции «Импорт из MS Excel»
и «Импорт из баз данных». Для преобразования символьных
значений признаков в числовые применяется функция «Закоди-
ровать», а для вычисления значений нового признака, вычисля-
емого на базе существующих, используется генератор формул.
Для удобства представления числовых значений предусмотрена
возможность изменения разрядности чисел индивидуально для
каждого признака. Это позволяет различать целые числа от дей-
ствительных и изменять точность представления последних.
377
12.3.	Постановка задачи выбора
Мелочи не играют решающей роли,
они решают все
X. Маккей
Постановка задачи выбора наряду с построением модели вы-
бора является важнейшим этапом, определяющим качество реше-
ния задачи. Здесь нет мелочей и от того, насколько субъект про-
ник в суть задачи, зависит успех ее решения. Модель-экземпляр
ПО применима для постановки любой задачи из рассмотренных
в главах 4, 5, 8 и 9. Поэтому постановка конкретной задачи озна-
чает ее выделение из множества возможных задач выбора. В тер-
минологии пункта 11.3 постановке задачи выбора соответствует
построение модели задачи в функциональном базисе свойств.
Не следует забывать, что выбор осуществляет человек,
и потому на постановку задачи выбора влияют, прежде всего,
такие факторы, как:
•	информированность субъекта о предметной области;
•	черты характера такие, как максимализм, рискованность,
познавательность и др.
Один человек, даже имея реальные требования к объекту,
захочет получить больше. Другой удовольствуется меньшим.
Третий захочет разобраться в проблеме как можно глубже, ставя
не одну задачу выбора, а несколько. Одного устроит компен-
сация недостатков по одному критерию преимуществами
по другим, а другого — нет. Один будет стоять до конца
в своих ограничениях «Первый этаж — ни за что!». Другой
найдет такие преимущества первого этажа, как отсутствие
соседей снизу и возможность устроить сад под окнами. Одно-
го больше всего волнует безопасность жилища, другого —
близость к метро, третьего — чистый воздух и т.д.
Сказанное свидетельствует о многообразии запросов людей.
Недаром все квартиры в городе заселены и найдется немного
квартиросъемщиков, которые не могли бы обосновать преиму-
щества своей квартиры. Система СВИРЬ позволяет каждому
378
пользователю поставить и решить интересующую лично его
задачу. Естественно, что при реализации групповых интересов
в постановке задачи должны принимать участие все члены
группы или их представители.
В системе СВИРЬ постановка задачи выбора реализуется
посредством задания значений параметров на панели настрой-
ки. Все управляющие параметры разделены на две группы:
задающие условия задачи выбора и определяющие требования
к каждому признаку в оценивании. На рис. 12.2 они размеще-
ны соответственно в левой и правой части панели.
:: ЙЙ'е лоаыя
| г Отбор (1)
i & Упорядочение (2)
: С Классификация [3]
~	Требование к признакам (2Г
Г Преоваригельшй | (i Соответствие значениям
отбор	С Оптимизация
Отклонения ............
> & Любые
:	Недопустимые
-фуысция полезности’--^ > Г : Превышающие
НуидИйВВИ
I Г Мультипликативная
’ Г Проневошшв
[||о ~
— ; Требования к признаку—
I Зелёный массив, км Г |
’ н? Участие признака
 '	Г	Снизу	>.	>		Г Отобранные объекты
С	Сверху	<•	,	Задание диапазона - •
'	Г	Интервал	[j	Минимум: |,
.1 ,* {:::: |Л5	I|.р :При^1> Титанически
Рис. 12.2. Панель настройки системы СВИРЬ для задачи упорядочения
объектов относительно заданных требований к значениям признаков
Содержимое панели настройки является контекстно-за-
висимым от класса решаемых задач (см. левое верхнее меню
на рис. 12.2). На этом рисунке выбрана задача упорядочения
объектов относительно заданных требований, решаемая мето-
дом мягких притязаний. Левая часть панели настройки посто-
янна для всех таблиц иерархии. В правой части панели пред-
ставлены настройки признака «Зеленый массив» из табл. 12.2
(Характеристика района). Значения параметров настройки
задаются индивидуально для каждого первичного признака
во всех таблицах нижнего уровня иерархии. Настройка локаль-
ных признаков (имен таблиц) выполняется по умолчанию.
Неопытному пользователю менять ее не рекомендуется.
379
Общим для решения любой задачи является выбор оценива-
ющего пространства признаков. Он выполняется поочередно
в каждой таблице, и не обязательно должен охватывать все
признаки, включенные в модель-экземпляр ПО. На перечень
включаемых в оценивающее пространство признаков оказыва-
ет влияние принимаемая к постановке задача. Нужный для оцен-
ки признак помечается «птичкой» в правой части панели на-
стройки (см. рис. 12.2).
12.4.	Отбор недоминируемых объектов
Эта задача ставится, когда субъект желает отобрать объек-
ты, у которых найдется показатель, превышающий такой же
показатель других объектов, а по другим показателям эти
объекты оказываются не хуже других. Иными словами исклю-
чаются из рассмотрения заведомо худшие объекты.
Выполним отбор по Парето относительно признаков, характе-
ризующих район новостройки. Для этого четырем из шести содер-
жащихся в табл. 12.2 признакам зададим направление оптимиза-
ции. Естественным является желание субъекта минимизировать рас-
стояние до ближайшей станции метрополитена и зеленого масси-
ва. В соответствии с предпочтениями, заданными при кодирова-
нии двух других признаков, следует максимизировать признак
«Воздух» и минимизировать признак «Уровень шума» (рис. 12.3).
Признак	Минзн.	Макс.зн.	Направление
Район	1.00	4.00	
Ближайшее метро	1.00	2.00	
Расстояние до метро, км	0.20	4.00	Минимизация
Зелёный массив, км	0.3	4.0	Минимизация
Воздчх Гв баллах!	3	6	Максимизация
Вровень шчма	1	4	Минимизация
Рис. 12.3. Условия получения множества недоминируемых объектов в табл. 12.2
380
В отобранное по этим условиям множество новостроек вой-
дут девять объектов из пятнадцати: «Волна», «Северное сия-
ние», «Город солнца», «Муромская усадьба», «Дом у залива»,
«Живой родник», «Новая гражданка», «Морской фасад», «Алек-
сандрино» (рис. 12.4).
9S4	Расстояние д	Зелёный мас]Воздух (в ба л (Уровень шум		
Волна	2.00	2.00	4.00	1.00
Северное chi	0.50	1.00	4.00	3.00
Город солнщ	1.00	0.30	5.00	2.00
Муромская у	0.30	4.00	4.00	3.00
Дом у за.пив<	3.00	2.00	6.00	1.00
Живой родни	1.50	1.00	6.00	3.00
Новая гражд	0.20	2.00	3.00	2.00
Морской Фас	1.50	3.00	4.00	1.00
Александрин	0.80	2.00	5.00	2.00
Рис. 12.4. Множество недоминируемых объектов
в таблице «Характеристика района»
Мощность множества Парето существенно зависит от набо-
ра оценивающих критериев. Покажем это на примере таблицы
«Характеристика дома» с кодированными значениями призна-
ков (см. табл. 12.5) Если минимизировать признаки «Срок сда-
чи» и «Тип дома» (в соответствии с предпочтениями, заданны-
ми при кодировании этого признака), то в множество Парето
войдет лишь один объект «Муромская усадьба». Этот резуль-
тат останется неизменным, если с учетом предпочтения значе-
ний максимизировать признаки «Отопление» и «Гараж». И только
при желании жить на высоком этаже (максимизируя этажность)
список увеличивается на три объекта: «Ланской квартал», «Но-
воколомяжский» и «Дом у залива». На рис. 12.5 приведены
заключительные условия нахождения множества недоминируе-
мых объектов, а на рис. 12.6 — полученный результат.
381
П ризнак	Мин.зн.	Макс.зн.	Направление
Т ип дома	1	Illlllllg	Минимизация
Отопление			Максимизация
Этажность	lllllll		Максимизация
	llllli	lllllll	Максимизация
Срок сдачи дома	0		Минимизация
Рис. 12.5. Условия получения множества недоминируемых объектов
в табл. 12.5
Таким образом, изменение состава признаков при критери-
альном оценивании объектов может существенно влиять на по-
лучаемые результаты. Требованиям табл. 12.3 и 12.4 соответствуют
квартиры в новостройках «Муромская усадьба» и «Дом у зали-
ва», как результат пересечения объектов из табл. 12.4 и 12.5.
Аналогичным образом находятся множества Парето в таб-
лицах «Характеристика квартиры» и «Оплата квартиры».
Множество Парето, вычисляемое на основе нескольких таб-
лиц, может оказаться пустым, что означает несовместимость
требований в таблицах. Непустой результат можно получить
подбором требований в таблицах. При желании элементы
множества Парето могут быть упорядочены с использованием
функции полезности.
4 \ 5 Тип дома | Отопление I Этажность | Гараж ] Срок сдачи дома
Ланской ква	1:	2	25	1 j	15[
Муромская у	1	2	8	1	0
Новоколомя	2	2	ю	1	12
Дом у залив	2	2	17;	0;	0
Рис. 12.6. Множество недоминируемых объектов
в таблице «Характеристика дома»
382
12.5.	Упорядочение объектов на основе
оптимизации признаков
Постановку этой задачи субъект делает в том случае, когда
ему неизвестны требования к значениям признаков, либо он
по характеру является максималистом. Он хочет выбрать один
объект, но заведомо лучший по всем признакам. Для этого по
всем признакам задаются направления оптимизации. В каче-
стве исходных данных можно использовать либо первоначаль-
ное множество объектов, либо множество Парето.
Признаки, выбранные в качестве критериев оптимизации
для таблиц «Район», Дом», «Квартира», «Оплата», приведены
на рис. 12.7—12.10.
Направления оптимизации принятых критериев уже обосновы-
вались при формировании условий нахождения множества Парето.
Признак	Минзн.	Макс.зн,	Вес | Направление 1 Мин. граница 1 Макс. граница
	43.50	11160	
Iliff iMjS^^-^^ifffiff	360 00	650.00	
Расстояние до метро, км	0 20		
Зеявный массив, км	03		0.50 Минимизация	0.0	4.0
Воэд<р< (в баллах)	siiiis		
||||	iiisii-i	fJllllfl	0.50 Минимизация	0	4
Рис. 12.7. Критериальное пространство таблицы «Район»
Признак	Минзн.	Макс.зн	Bee	| Направление	Мин. граница 1 Макс, граница	
	3fif|j|iil	lf||i||i	0 30 Минимизация	1	4
Отопление		iiiill?	0.20 Максимизация	0	2
Этажность	iiiii				
flffllO		:j-lllf|iffi:	0.30 Максимизация	0	1
Срок сдачи дома		•IlifZiCQO	0.20 Минимизация	0.00	2400
Рис. 12.8. Критериальное пространство таблицы «Дом»
383
Признак	Мин зн.	Макс.зн.		Направление	Мин граница	Макс, граница
Количество комнат	ЙЙЙЙЙИ		о.зо!	Максимизация|	1|	3
Общая, кв.м	ЙЙЙ 43.50	ш.ео	0.30	Максимизация	0.00	111.60
Высота потолков.м	IllliSi	ЙЙЙ|ЙМ:	0.20	Максимизация	0.00	3.00
Лоджии	lillit	IlJIillt	0.20	Максимизация	0	1
Рис. 12.9. Критериальное пространство таблицы «Квартира»
Признак	Мин. эн.	Макс, эн	Вес | Направление I Мин. граница Макс, граница		
Общая, кв.м	43.50	111.60			
Стоимостькв. м. общей площади в	360 00	650 00			
2киока при единовременной оплат	0	1			
Рассрочка после сдачи	0	1	0.20 Максимизация	0	1
Рассрочка на время строительства	0	1			
Стоимость квартиры	10000 00	72540 00	0.80 Минимизация	0.00	72540.00
Рис. 12.10. Критериальное пространство таблицы «Оплата»
По сравнению с ними в задаче упорядочения дополнительно
задаются приоритеты (веса) критериев. В локальных таблицах
они заданы прямым назначением. Для глобального критерия
«Покупка квартиры» воспользуемся вычислением приоритетов по
матрице парных сравнений с кратностью предпочтений (рис. 12.11).
При этом наибольшие предпочтения отдадим показателю «Оп-
лата квартиры».
। Матрица парных сравнении
	Район		Квартира	Оплата
Район	1	2	1	0.333
Дом	0.500	1	0.500	0.500
Квартира	1	2	1	0.500
Оплата	3	2	2	И
Рис. 12.11. Матрица парных сравнений для локальных критериев
384
Приоритеты локальных критериев, вычисленные на основе
предпочтений, заданных в МПС на рис. 12.11, имеют следую-
щие значения: район — 0,21, дом — 0,14, квартира — 0,23,
оплата — 0,42.
Помимо весовых коэффициентов критериев на результат упо-
рядочения объектов оказывает влияние используемая функция
полезности.
Из различных вариантов упорядочения объектов на осно-
ве оптимизации их признаков рассмотрим задачу упорядоче-
ния с учетом минимальных достижений. Она характеризуется
нормированием критериев во всем диапазоне шкалы [0, Уутах].
Результат упорядочения квартир для заданных весовых и нор-
мативных коэффициентов приведен на рис. 12.12.
15 Ч 4	Район	Дсдьм	Квартйра	’CWera	Общая оценка	Ранг
Северное снв	3.00	2.20	1.97	2.67	3.86	1
Город солнц;	3.85	3.20	1.68	3.23	3.72	2
Южный замо	3.75	2.80	2.14	2.94	3.67	3
Ноеокаломя:	2.50	3.00	2.31	2.22	3.59	4
Рождественс	2.50	3.40	3.00	1.80	3.32	5
Дом у зале.	3.50	4.80	1.79	3.12	3.28	6
Супердом	3.00	4.60	2.48	2.25	3.26	7
Волна	3.50	3.30	2.28	3.23	3.15	8
Новая гражд	3.00	4.00	2.22	3.01	3.02	9
Муромская у	1.50	3.80	2.55	2.34	2.79	10
Ланской ква	2.00	3.30	1.95	3.39	2.73	11:
Живой родни	3.00	3.20	2.11	3.76	2.73	12^
Александрин	3.00	3.20	1.87	4.10	2.66	13
Приморская	2.50	4.20	2.41	3.07	2.61	14
Морской Фас	3.00	3.20	2.94	3.66	2.22	15
Рис. 12.12. Рейтинг квартир, упорядоченных на основе оптимизации
их признаков
385
Представление значений функции полезности в баллах (стол-
бец «Общая оценка») позволяет оценить квартиры в привычной
пятибалльной системе. Учитывая тот факт, что число баллов в
этой шкале меньше числа оцениваемых объектов, для различе-
ния последних используются нецелочисленные значения баллов,
измеряемые в более информативной интервальной шкале. Более
удобным для человеческого восприятия является представление
результатов оценивания в графической форме. Точечный график
значений функции полезности из рис. 12.12 приведен на рис. 12.13.
Светлая (а на экране желтая) горизонтальная линия на от-
метке 3,11 отражает среднее арифметическое значение функ-
ции полезности. По вертикали график разделен на пять диапа-
зонов. Попавшие в них точки окрашены в цвета диапазонов,
согласно правилам пункта 10.6.1.
График наглядно иллюстрирует нелинейность функции по-
лезности, значениям которой сопоставлены ранги в линей-
ной порядковой шкале. Из графика видно, насколько близки
оценки квартир, занявших соответственно шестое и седьмое,
одиннадцатое и двенадцатое места. Если принять различия между
ними несущественными, то можно сопоставить этим парам квар-
386
тир одинаковые места — шестое и десятое соответственно. Такой
переход к шкале нестрогого порядка реализуется в системе СВИРЬ
заданием размытости значений функции полезности в 1%.
Сопоставим результаты упорядочения, полученные на ос-
нове принципа «минимальных достижений», с результатами,
полученные на основе принципа «максимума достижений»
(см. пункт 11.4). Общее изменение порядка составило 15,24%,
причем из пятнадцати квартир семь улучшили свое место
(рис. 12.14), а шесть квартир его ухудшили (рис. 12.15).
Объекты, улучшившие свое место:
	0 бьекты	Базовое место	Сравниваемое место	Прирост
1	Н овоколомяжскиС	4		3
2	Л анской квартал	11	8	3
3	Живой родник		9	3
4	Рождественский	5	4	1
5	Дом у залива	6	5	1
6	П риморская симч	14	13	1
7	Морской Фасад	15	14	1
Рис. 12.14. Квартиры с улучшившимся рейтингом
Объекты, ухудшившие свое место:
	0 бьекты	Базовое место	Сравниваемое место	Падение
1	Волна	8		4
2	Южный замок	3	6	3
3	Северное сияние	1	3	2
4	Александрино	13	15	2
5	Н овая гражданка	9	10	1
6	Муромская усадьб	10	11	1
Рис. 12.15. Квартиры с ухудшившимся рейтингом
Таким образом, выбор принципа сопоставления квартир
существенно отражается на результатах.
387
12.6.	Отбор объектов по ограничениям
Эта задача решается, когда субъект не определился с точ-
ными значениями показателей и решил воспользоваться для
задания ограничений их интервальными и полуинтервальны-
ми значениями. Такой подход применяется как подготовитель-
ный этап выбора нужного объекта с целью отбрасывания не-
нужных вариантов. При этом можно воспользоваться вообще
одним признаком. Например, отобрать квартиры, имеющие не
менее двух комнат или ограничить приемлемую стоимость
квартиры суммой $30000 {не более).
Первому ограничению удовлетворяют квартиры в новострой-
ках «Волна», «Город солнца», «Живой родник», «Новая граж-
данка», «Александрино», «Южный замок». Второму ограниче-
нию удовлетворяют 13 новостроек из 16. Совместному примене-
нию обоих ограничений удовлетворяют 4 квартиры из 6 двух
комнатных квартир в массивах: «Волна», «Живой родник», «Но-
вая гражданка», «Южный замок». Очевидно, что, увеличивая число
ограничений можно дойти до единственного варианта. Таким
образом, подготовительный этап превращается в окончательный.
Если заданным требованиям не удовлетворяет ни один вари-
ант квартиры (пустое решение), необходимо ослабить ограни-
чения или уменьшить их число.
12.7.	Поиск по цели
Эта задача ставится, когда субъект точно знает, чего хочет.
Для этого он должен задать значения интересующих его призна-
ков. Пусть, например, он хочет в течение полутора лет купить
двухкомнатную квартиру в кирпичном доме с минимальным уров-
нем внешнего шума, с центральным отоплением и гаражом. Дом
должен находиться в полукилометре от парка. Квартира должна
удовлетворять следующим дополнительным требованиям: общая
площадь квартиры 70 кв. м, стоимость $30000, наличие рассрочки
после сдачи (1), наличие лоджии (1), высота потолка 3 м. В эти
требования включены не все признаки. Например, субъект имею-
щий автомобиль, интересуется гаражом у дома, а расстояние до
ближайшей станции метрополитена ему мало интересно.
388
Поставленная цель является недостижимой, поскольку
не существует решения ни в одной из таблиц «Характеристика
района», «Характеристика дома», «Характеристика квартиры»,
«Оплата квартиры». Отрицательный результат поиска по цели
вполне объясним. Ограничения по равенству относятся к жест-
кому типу ограничений. Вероятность получения непустого
результата при ограниченном числе векторов признаков быст-
ро убывает с увеличением числа требуемых равенств.
Для получения непустого результата в системе СВИРЬ предус-
мотрено достижение приближенной цели. Оно осуществляется за-
данием допустимого диапазона его значений в процентах относи-
тельно интервала [Уут;п, Jjmax]- Проиллюстрируем это на примере
признака «Срок сдачи дома» из табл. 12.6. Цель сд=(2, 1, 1, 18) в
пространстве признаков («Тип дома», «Отопление», «Гараж», «Срок
сдачи дома») является недостижимой. Допустим изменение точно-
го значения 18 месяцев на 25%, т.е. согласимся ждать квартиру 2
года вместо полутора. Для срока сдачи дома в 24 месяца суще-
ствует единственный вариант квартиры в новостройке «Северное
сияние» со значениями признаков jcc=(2, 1, 1, 24).
Разумеется, «точность попадания в цель» при таком подходе
уменьшается, но достигается результат, который может оказаться
приемлемым. Заметим, что не все признаки могут быть использо-
ваны для приближения к цели. Это касается признаков с двоичны-
ми значениями. Не всегда субъект согласится на переход к проти-
воположному свойству, т.е. на изменение в 100%, например, по-
жертвовать гаражом во имя получения непустого результата.
В табл. 12.3 «Характеристика квартиры» поставленная выше
цель также не достигается. Для приближенного решения в этой
таблице могут быть использованы недвоичные признаки «Об-
щая площадь» и «Высота потолка». При уменьшении точнос-
ти задания признака «Общая площадь» на 20% требованиям
скв i=(2,70±20%, 3,1) соответствуют квартиры в новостройках
«Северное сияние» и «Ланской квартал».
Значения признака «Высота потолка» в табл. 12.3 изменя-
ются в диапазоне от 2,5 м до 3 м. Если точность задания при-
знака уменьшить на 36%, т.е. уменьшить требование к высоте
потолка на 0,18 м, то для высоты 3-0,18=2,82 м найдется еще
1 вариант: «Новая гражданка». Если точность задания призна-
389
ка уменьшить еще на 4%, то для высоты 3-0,2=2,8 м список
квартир дополнится вариантом «Южный замок». Список квар-
тир, удовлетворяющих приближенной цели скв 2=(2,70± 20%,
3±40%, 1) показан на рис. 12.16.
5\4	Количество к	Общая, кв.м	Высота потог	Лоджии
Северное си>	2.00	77.30	3.00	1.00
Ланской ква|	2.00	79.30	3.00	1.00
Живой рот	2.00	69.20	2.80	1.00
Новая гражд	2.00	58.60	2.82	1.00
Южный замо	2.00	66.30	2.80	1.00
Рис. 12.16. Поиск приближенной цели в табл. 12.3
Требованиям таблиц «Дом» и «Квартира» соответствуют двух-
комнатные квартиры новостройки «Северное сияние». Анало-
гичным образом подбираются приближенные цели в таб-
лицах «Характеристика района» и «Оплата квартиры».
Помимо перехода к приближенной цели непустой результат
может быть получен переходом к отбору по ограничениям заме-
ной точечных значений признаков на интервальные и полуин-
тервальные. Фактически это является другим способом достиже-
ния приближенной цели. Но и эти меры не гарантируют получе-
ния непустого результата во всем пространстве признаков.
Рассмотренные задачи отбора объектов требуют много-
численных манипуляций с управляющими параметрами. Этой
проблеме в системе СВИРЬ уделено значительное внимание.
Интерфейс, используемый для постановки задачи выбора
и ее отладки, прост, понятен и эргономичен.
12.8.	Условная оптимизация
Эта задача совмещает отбор и упорядочение объектов. Зада-
ние условий в ней более естественно, чем при упорядочении объек-
тов на основе оптимизации их признаков. Действительно, опти-
мизация по двоичным критериям имеет вырожденный характер.
390
Гораздо проще назначить таким признакам точные значения.
Например, если в таблице «Оплата квартиры» задать признаку
«Рассрочка после сдачи дома» значение 1, оставив минимизацию
стоимости квартиры, упорядочатся 8 из 15 квартир (рис. 12.17).
е\2	Рассрочка после сдачи|Стоимость квартиры |0бщая оценка			Ранг |
Волна	1.00	21888.00	3.79	1
Г ород солнц<	1.00	22080.00	3.78	2
Новая граад	1.00	26956.00	3.51	3
Южный замо	1.00	28509.00	3.43	4
Северное ст	1.00	34785.00	3.08	5
Муромская у	1.00	42228.00	2.67	6
Супердом	1.00	44280.00	2.56	7
Новоколомя;	1.00	44792.00	2.53	8
Рис. 12.17. Упорядочение квартир по стоимости с рассрочкой оплаты
Заменив на ограничения количество комнат (2) и наличие
лоджии (1) в таблице «Характеристика квартиры», получим
следующие результаты (рис. 12.18).
7\4	Ко/мчество комнат	Общая, кв.м |	высота потолко|лщжии		Общая оценка |Р*г |	
Волна	2.00	60.80	2.50	1.00	2.24	1
Новая гражд	2.00	58.60	2.82	1.00	2.07	2
Южный замо	2.00	66.30	2.80	1.00	1.95	з
Живой рсдн-	2.00	69.20	2.80	1.00	1.89	4
Северное си<	2.00	77.30	3.00	1.00	1.61	5
Ланской ква	2.00	79.30	3.00	1.00	1.58	si
Дом у залив.	2.00	99.20:	2.80	1.00	1.36	7j
Рис. 12.18. Упорядочение квартир в таблице «Характеристика квартиры»
391
Минимизируя срок сдачи дома при выбранном типе дома (2)
и наличии гаража (1) в таблице «Характеристика дома», полу-
чим следующие результаты (рис. 12.19).
3\3	Тип дома Гараж		Срок сдачи дома	Общая оценка	Ранг
Г ород СОЛНЦс	2.00	1.00	6.00	4.00	1
Нов око ломя:	2.00	1.00	12.00	3.00	2
Северное си<	2.00	1.00	24.00	1.00	3
Рис. 12.19. Упорядочение квартир в таблице «Характеристика дома»
Если оставить два минимизируемых признака в таблице «Ха-
рактеристика района», квартиры упорядочатся без отбраковки.
Результатом решения задачи упорядочения с предварительным
отбором по всем таблицам является единственный вариант квар-
тиры в новостройке «Северное сияние». При более сильных ог-
раничениях результат решения задачи может оказаться пустым.
12.9.	Упорядочение объектов относительно
требований к значениям признаков
Решение этой задачи является принципиальным шагом
на пути получения непустого результата многокритериально-
го оценивания. По существу, она совмещает задачи отбора
и упорядочения объектов. Субъект стремится упорядочить объек-
ты относительно поставленной им цели. Поскольку при поис-
ке цели не существует неявного направления оптимизации при-
знаков, эту задачу нельзя дополнить оценкой отобранных объек-
тов (см. пункт 5.8). Поэтому упорядочение осуществляется ме-
тодом мягких притязаний.
Состояние панели настройки для решения задачи упорядо-
чения объектов относительно заданных требований показано
на рис. 12.2. Результаты упорядочения квартир относительно
требований, сформулированных для отбора объектов по цели
в пункте 12.7, и весовых коэффициентов, заданных в пункте
12.5, приведены на рис. 12.20 (график) и рис. 12.21 (таблица).
392
Рис. 12.20. График оценки квартир относительно поставленной цели
В отличие от рис. 12.13 график функции полезности моно-
тонно возрастает по мере отдаления характеристик квартир
от поставленной цели. В наибольшей степени поставленной
цели покупки соответствуют квартиры в жилых массивах
«Южный замок» и «Северное сияние».
Сопоставляя результаты, приведенные на рис. 12.21, с рейтин-
гом квартир, полученным их упорядочением на основе оптималь-
ных значений признаков (см. рис. 12.12 в главе 12.5) при тех же
весовых коэффициентах, можно сделать вывод о существенном
влиянии способа упорядочения на получаемые результаты. Рас-
согласование порядка квартир в этих задачах составило 36%.
На рис. 12.22 приведены 7 квартир с улучшившимся рейтингом.
На рис. 12.23 приведены 7 квартир с ухудшившимся рей-
тингом.
Результаты задачи упорядочения объектов относительно требо-
ваний можно рассматривать как более точные, поскольку субъект,
задав цель, внес существенную информацию о своих предпочтениях.
Но при этом нужно иметь в виду, что задание цели в форме сис-
темы равенств относится к жесткой постановке задачи выбора.
393
’< 1544	Район	Дом"	Квартира	Оплата	Общая оценка	Ранг- 		
Южный замо	017	0.10	0.10	0.02	0.13	1
Северное си-	0 40	0.05	0.03	0.06	0.19	2
Новая гра»д	0 37	0.40	0.12	0.04	0.29	3
Город солнц».	019	0.30	0.25	0.10	0.31	4
Волна 	0 20	0.43	0.24	0.10	0.34	5
Живой родни	0 40	0.30	0.08	0.23	0.37	6
	0 34	0.30	0.30	0.21	0.44	7
	0 50	0.25	0.29	0.19	0.47	8
Л ансжой ква	0 64	0.33	0.04	0.28	0.47	9
	0 20	0.65	0.21	0.36	0.52	10
Супёрдом' тййки»**#-	0 37	0.65	0.48	0.18	0.60	11
	0 50	0.45	0.35	0.37	0.65	12
	0 37	0.60	0.47	0.32	0.66	13
уромская у	0 81	0.45	0.45	0.16	0.67	14
Рождественс	0 57	0.35	0.53	0.74	0.94	15
Рис. 12.21. Ранжирование квартир относительно поставленной цели
Она требует не только точной информации о предпочтениях,
но и уверенности субъекта в ее правильности. Более «мягкая»
постановка задачи предполагает использование приближенной
цели в виде полуинтервалов и интервалов. Очевидно, что «смяг-
чение» цели влечет изменение результатов упорядочения. Так,
например, переходя только от одного равенства (оплата квар-
тиры=30000 $) на ограничение сверху, получаем рассогласова-
ние рейтингов в 3,8%.
Существенное различие задач упорядочения объектов от-
носительно цели и ограничений заключается и в исполь-
зовании разных шкал для измерения функции полезности.
394
Объекты, улучшившие свое место: ‘	.
	Объекты	Е азовое место	Сравниваемое место | Прирост |	
i;	Морской Фасад,	15	7	8
	Новая гражданка	9	3	6
	'Живой РОДНИК	12	6	6
4	Волна' 	8	5	3
Л;	Южный самок	3	1	2
	.Ланской квартал	11	9	2
	Пр^^сКаячйХм4	14	12	2
Рис. 12.22. Квартиры с улучшившимся рейтингом
Объекты, ухудшившие свое место._____________
	Объекты	Базовое место	Сравниваемое место	Падение
	.Рождественский	5	15	10
'2-	 - * . .. , П ОВОКОЛОМЯЖСКИ1	4	8	4
	Дом у залива	6	10	4
	Супердом7' ?  '	7	11	4
	Муромская усады	10	14	4
	Т6род:солнца ‘ -	2	4	2
	Северное сияние	1	2	1
Рис. 12.23. Квартиры с ухудшившимся рейтингом
Если для решения первой задачи достаточной является обыч-
ная интервальная шкала, то для решения второй задачи со-
гласно пункту 5.8 используется полярная (а точнее биполяр-
ная) шкала. Это объясняется тем, что если в первом слу-
чае все отклонения от заданных значений признаков трак-
туются как штрафы на положительной полуоси полярной
шкалы, то во втором случае кроме штрафов при отклоне-
395
нии в запретную зону фиксируются поощрения на отрица-
тельной полуоси при отклонении значения признака в зону
превышения ограничения. Учитывая различие знаков, при
алгебраическом суммировании отклонений второй случай ха-
рактеризуется наличием компенсации свойств объектов.
В системе СВИРЬ предусмотрена цветовая индикация от-
клонений с использованием цветового стандарта качества,
включаемая по вкладке «Вид». При этом возможны как од-
новременная цветовая индикация штрафов и поощрений,
так и раздельная их индикация на одной из полуосей шка-
лы. Это позволяет быстро оценить как величину, так и на-
правленность отклонений. Цветовая гамма в таблице «Ре-
шение» позволяет оценить жесткость требований, предъяв-
ляемых к объектам. Они жесткие, если в клетках таблицы
преобладают желто-оранжево-красные цвета, и мягкие —
при преобладании зелено-голубых цветов.
12.10.	Классификация объектов
Человеку свойственно классифицировать по качеству букваль-
но все, начиная от предметов потребления и кончая уровнем
жизни. Для этого используется либо один опосредованный по-
казатель, либо совокупность различных показателей. Например,
косвенно качество жизни (высокое, среднее, низкое) можно
оценить через показатель «Продолжительность жизни». Однако
для всестороннего отражения качества жизни необходимо при-
влечь совокупность соответствующих показателей и оценивать
качество по каждому из них. Затем для каждой градации каче-
ства рассчитывается обобщенный показатель, учитывающий
вклад каждого первичного показателя. В нормированном виде
он представляет собой функцию принадлежности каждому классу.
По ее значению и находится наиболее близкий класс.
Применим этот принцип к рассматриваемому квартирному
вопросу. Пусть субъекта интересует, к какой из трех градаций
качества принадлежат предлагаемые его вниманию квартиры.
Для решения этой задачи, прежде всего, необходимо опреде-
лить, какие показатели следует использовать для классифика-
ции квартир по качеству. По количеству значений они разбива-
396
ются на две группы: превышающие и не превышающие число
классов. Вторая группа показателей участвует только в четкой
классификации. Действительно, значение двоичного признака
свидетельствует либо о наличии j-ro свойства у рассматривае-
мого объекта, либо о его отсутствии. Если это свойство желан-
ное, то по нему объект на 100% относится к лучшему классу.
В противном случае он относится к худшему классу. Аналогич-
ная ситуация имеет место для троичных признаков. Объект, об-
ладающий средним значением троичного признака, правомер-
но отнести к среднему классу. Например, в выборке одно-, двух-
и трехкомнатных квартир по показателю числа комнат двух-
комнатные квартиры следует относить к среднему классу.
Сведение нечеткой классификации к четкой по отдельным
показателям вполне естественно, ибо четкая классификация мо-
жет иметь место и по признакам с числом значений, большим
числа классов. Более того, ее следует воспринимать как частный
случай нечеткой классификации, когда значения всех признаков
соответствуют стопроцентной принадлежности к одному из классов.
Следует только иметь в виду потенциально большее влияние этих
признаков на результаты классификации, что обуславливается
их стопроцентным вкладом в функцию принадлежности объекта
к соответствующим классам. Действительно, стопроцентная при-
надлежность г-го объекта 5-му классу по j-му показателю означа-
ет сведение его вклада в общую функцию принадлежности к его
весовому коэффициенту:	1=^- в то время как вклад
j-го показателя с	иур^уСх^сиу
В качестве примера выполним классификацию квартир
на основе признаков, содержащихся в таблице «Оплата квар-
тиры». Из них выберем два недвоичных признака «Общая пло-
щадь» и «Стоимость квартиры». Функции принадлежности
классам значений этих признаков, построенные на основе на-
ших субъективных представлений, изображены в настроечных
окнах системы СВИРЬ на рис. 12.24 и 12.25.
В правой части окон приводятся значения признаков для
особых точек классов. Для обоих признаков классы упорядо-
чиваются в направлении максимизации их величины, считая,
что чем квартиры больше и дороже, тем выше их качество.
На рис. 12.26 приведены результаты классификации квартир.
397
Настройка классов для «.Общая, кв.н'-
х|.
Число классов: 3
Выберите класс:
|Низкий
OBI^CRSHNNNNNK
Наклон левой стороны:
Высокий
Наклон правой стороны:
Левая граница класса:
Правая граница класса:
Пересечение с левым классом:
Пересечение с правым классом:
В трех столбцах таблицы, изображенной на рис. 12.26, при-
ведены значения функций принадлежности квартир каждому
из трех классов, рассчитанные по формулам 9.12 и 9.10
при весовых коэффициентах (0,5; 0,5). Класс, определенный
по формуле 9.11, которому принадлежит квартира, приводит-
ся в столбце «Общая оценка». В столбце «Ранг» указывается
место, занятое квартирой по результатам классификации. Места
квартир определены по значениям функции полезности (фор-
мула 9.10) с весовыми коэффициентами классов 0,5; 0,33 и 0,17
(в направлении убывания их качества).
Для сравнения влияния двоичного признака на результа-
ты классификации на рис. 12.27 изображена таблица с до-
полнительным признаком «Скидка при единовременной оп-
398

Настройка классов для -. Стоимость
XJ
Число классов: 3 Выберите класс:		
[Низкий	Наклон левой стороны:	62.73
Высокий	Наклон правой стороны:	60.02
	Левая граница класса:	25048.00
	Правая граница класса:	60000.00
	Пересечение с левым классом:	ж."38.ео
	Пересечение с правым классом:	54216.00
лате квартиры». Настройка классов для этого признака без-
различна, поскольку его значения находятся на границах
крайних классов. Весовые коэффициенты всех трех призна-
ков приняты равными (0,33).
Как следует из сравнения таблиц, они различаются как
по результатам классификации, так и по результатам упорядо-
чения квартир. Общее различие порядка мест является суще-
ственным, составляя 20,19%.
Влияние нечетких признаков «Общая площадь» и «Стоимость
квартиры» на результаты классификации и упорядочения яв-
ляется менее существенным, изменяя порядок мест на 12,5
и 15,38% соответственно, что объясняется участием зон нео-
пределенности в вычислении значений функции полезности.
399
15X2 ' •	Общая, кв м	Стоимость к^НиэКкй			высокий	Общая сцен	Р"
Рождесгвенс	111.60	72540.00	0.00	0.00	1.00	Высокий	1
Нсеа'оломя	101.80	44792.00	0.00	0.50	0.50	Высокий;	2	
Лом у залив	99.20	42656.00	0.00	0.52	0.48	Средний	3
Супераом	98.40	44280.00	0.00	0.54	0.46	Средний	4
Приморская	97.00	43650.00	0.00	0.57	0.43	Средний	5
Мурамсьаяу	91.80	42228.00	0.00	0.70	0.30	Средний	6
Ланской ква	79.30	36478.00	0.00	1.00	0.00	Средний	7
Северное си	77.30	34785.00	0.04	0.96	0.00	Средний	8
Морской Фа	66.10	30406.00	0.35	0.65	0.00	Средний	9
Жиаойрощ*	69.20	28026.00	0.38	0.62	0.00	Средний	10
Юян&дою «. >!!» :*<	66.30	28509.00	0.43	0.57	0.00	Средний	11
Новаяграад	58.60	26956.00	0.70	0.30	0.00	Низкий	12
	60.80	21888.00	0.73	0.27	0.00	Низкий	13
Горов солш -F	48.00	22080.00	1.00	0.00	0.00	Низкий	14
	43.50	20445.00	1.00	0.00	0.00	Низкий	14
Рис. 12.26. Классификация квартир по общей площади и стоимости
Небезынтересно сравнить результаты ранжирования квар-
тир, выполненного на основе нечеткой классификации, с ре-
зультатами, полученными упорядочением по оптимальным
значениям критериев с использованием аддитивной функции
полезности с нормированием критериев от 0 (с учетом мини-
мальных достижений). Для двух равноважных максимизируе-
мых признаков «Общая площадь» и «Стоимость квартиры»
различие в порядке следования мест составило всего лишь 1,9%.
Поскольку на величину различия влияют только функции при-
надлежности классам для каждого признака и приоритет клас-
сов, существует возможность отладки задачи нечеткой класси-
фикации относительно задачи упорядочения объектов по оп-
тимальным значениям критериев.
400
Рис. 12.27. Классификация квартир с участием двоичного признака
401
Обсуждение
Даже из сравнительно небольшого количества рассмотрен-
ных примеров выбора квартир становится ясно, насколько раз-
нообразна постановка задач выбора. Их результаты в большой
мере зависят от того, насколько субъект знает, чего он хочет.
И в этом смысле возможности системы СВИРЬ могут реализо-
вать любые его желания. При этом следует отметить, что наи-
лучшие результаты могут совпадать при постановке различ-
ных задач, как это имеет место, например, для жилых масси-
вов «Южный замок», «Северное сияние», «Город солнца»,
являющихся наилучшими в большинстве решенных задач.
Это отчасти объясняется усреднением локальных оценок, ко-
торое имеет место в задачах упорядочения квартир.
Среди первичных критериев, используемых для оценивания
квартир, существенную долю составляют лингвистические при-
знаки. Кодированные в двоичные значения, они характеризуют
качество квартиры через наличие (отсутствие) желаемого свой-
ства. Например, важным для выбора квартиры может оказаться
наличие лоджии или расположение квартиры на первом этаже
дома. С такими признаками можно поступать двояко, исполь-
зуя их для «жесткого» или «мягкого» оценивания квартир.
К жесткому способу оценивания относится предваритель-
ный отбор квартир относительно требований, выдвигаемых по
отношению к признакам (и не только двоичным). Это соответ-
ствует решению задачи условной оптимизации. Полученные
при ее решении варианты не обязательно принадлежат множе-
ству Парето. Это объясняется тем, что предварительно ото-
бранное допустимое множество может не совпадать с множе-
ством Парето, в котором находятся лучшие варианты, поскольку
они не удовлетворяют предъявленным требованиям. Недостат-
ком этого способа является возможность получения пустого
множества вариантов, ибо в оцениваемой совокупности квар-
тир может не оказаться ни одной, отвечающей заданному дво-
ичному вектору свойств. Между тем выбор зачастую прихо-
дится делать из существующего множества вариантов.
Для выбора объекта, приемлемого в наибольшей степени,
можно использовать «мягкий» способ оценивания. Он заключа-
ется во включении двоичных признаков в функцию полезности
402
наравне с недвоичными признаками. При использовании нор-
мирующего диапазона [0, yj max] это фактически означает сме-
шение принципов минимальных и максимальных достиже-
ний. Для переменной со значением yj=yj ^„*0 вклад в оцен-
ку будет ненулевым и пропорциональным величине 7y mjn.
Для двоичной переменной, характеризующей отсутствие у-го
свойства, вклад по этому критерию будет нулевым, поскольку
что соответствует принципу учета только макси-
мальных достижений. В свою очередь, при наличии у-го свой-
ства (Уутах=1) вкладу-го двоичного признака в функцию по-
лезности будет максимальным и равным j-му весовому ко-
эффициенту Wj. Таким образом, весовой коэффициент Wj может
использоваться для регулирования влияния двоичного при-
знака на функцию полезности.
Изложенные особенности двоичных признаков относятся
также к лингвистическим признакам с большим числом значе-
ний при условии использования нуля для описания отсутствия
у-го свойства. Меньшее влияние на общую оценку оказывают
промежуточные значения такого признака.
Если субъект способен сформулировать требования к значе-
ниям всех признаков и готов смириться с неизбежным эффек-
том компенсации от применения функции полезности, то воз-
можно решение задачи выбора на основе поиска объекта
с минимальной суммарной близостью отклонений от заданных
значений признаков. Если субъект не хочет смириться с эффек-
том компенсации, наиболее сильно проявляющимся при боль-
шом количестве двоичных признаков, он может выполнить упо-
рядочение объектов раздельно относительно штрафов (положи-
тельная полуось значений функции отклонений) и поощрений
(отрицательная полуось значений функции отклонений). Дру-
гим способом избежать явления компенсации свойств является
упорядочение объектов относительно цели, требующее более
точной информации о предпочтительных значениях признаков.
Таким образом, у субъекта существует много путей дос-
тижения поставленной цели, и точность результата зависит
от точности задания цели.
403
Выводы
1.	Разработка модели рационального выбора заключается
в построении модели-прототипа и модели-экземпляра. Первая
из них отражает состав и структуру пространства признаков,
а вторая — характеристики реальных объектов.
2.	Решение разнообразных задач выбора на примере насущ-
ной проблемы жилья показывает многогранность рассматри-
ваемых аспектов. Она проявляется в структуре и разнородно-
сти исходных данных, учете этапа деятельности (планирова-
ние действий, их исполнение, подведение итогов), глубине
проникновения в предметную область, а также в личностных
качествах ЛПР. Перечисленные аспекты влияют на формули-
рование задачи выбора.
3.	Влияние структуры пространства признаков следует учи-
тывать в задачах отбора объектов. Несовпадение множеств
объектов, полученных в разных таблицах, дает пустой итого-
вый результат в то время, как, например, множество Парето,
определяемое в одной таблице независимо от ее размерности,
не может быть пустым.
4.	Разнородность исходных данных проявляется в исполь-
зовании различных шкал: интервальной для численных при-
знаков, двоичной для признаков, характеризующих наличие/
отсутствие свойств, лингвистических для качественных и иных
словесно представленных признаков. Символьные значения
признаков ограничивают использование модели выбора толь-
ко задачами отбора. Для решения задачи упорядочения все
признаки, включаемые в функцию полезности, должны быть
представлены числами. Если большинство признаков, участву-
ющих в функциях полезности, имеют двоичную природу
(Да, Нет), то результаты решения задачи упорядочения оказы-
ваются достаточно грубыми. Это объясняется тем, что упоря-
дочение объектов выполняется фактически путем подсчета числа
свойств объектов (а не их оценок) с учетом их значимости.
5.	Очевидное влияние на формулирование задачи выбора
оказывают этапы деятельности ЛПР. Например, на этапе пла-
нирования может оказаться предпочтительным последователь-
ный отбор вариантов, либо упорядочение объектов относи-
404
тельно цели или ограничений. На этапе оперативного управ-
ления при взаимодействии с внешней средой востребованны-
ми оказываются игровые задачи выбора. При подведении ито-
гов деятельности решается задача упорядочения объектов
по оптимальным значениям признаков.
6.	Глубина проникновения в предметную область проявля-
ется, в том числе, в конкретности требований, предъявляемых
субъектом к предпочтительным объектам. При решении зада-
чи упорядочения объектов они влияют на выбор функции
полезности. Например, минимальный объем знаний о пред-
метной области дает возможность выбрать только направле-
ние оптимизации критериев оценки, а более глубокое знание
ПО предполагает задание точных значений признаков, харак-
теризующих предпочтительный объект. В первом случае реша-
ется задача упорядочения по оптимальным значениям призна-
ков, а во втором случае — задача упорядочения относительно
предъявленных требований.
Глава 13. ОЦЕНКА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
КАФЕДР УНИВЕРСИТЕТА
Справедливость проявляется в воздаянии
каждому по его заслугам
Цицерон
13.1.	Постановка задачи
Ежегодное определение рейтинга кафедр университета ре-
шает сразу несколько управленческих задач:
•	руководство университета получает достаточно полную
информацию о состоянии кафедр университета, что позволяет
своевременно выявлять сильные и слабые стороны их деятель-
ности, влиять на них в нужном направлении, при необходимо-
сти решая кадровые проблемы;
•	заведующий и сотрудники кафедры имеют возможность
оценить место своей кафедры среди остальных и принять меры
для улучшения положения;
•	в базе данных накапливается статистическая информа-
ция, которую можно использовать для определения законо-
мерностей в функционировании кафедр, таких, например,
как динамика активности сотрудников.
С точки зрения этапов производственной деятельности за-
дача определения рейтинга кафедр университета относится
к заключительному этапу — подведению итогов. В соответ-
ствии с цикличностью учебно-производственного процесса
он предшествует этапу планирования деятельности на следую-
щий период, что придает рейтингу кафедр не только оценоч-
ную, но и конструктивную направленность.
Учет всех направлений деятельности десятков учебно-науч-
ных коллективов сопряжен со сбором большого объема ин-
формации. Ее анализ и обработка в приемлемые сроки с це-
лью определения рейтинга кафедр требует адекватных средств
автоматизации.
406
При работе с большими объемами данных весьма существен-
ной является технологичность процесса оценивания. Она реали-
зуется посредством ориентации форм отчетности на первичные
источники исходных данных, минимального участия оператора
в процессе сбора, контроля и обработки данных, использования
общедоступных средств сбора и первичной обработки данных,
а также специализированной системы расчета рейтинга.
Важнейшим требованием к системе оценки деятельности
кафедр университета является объективность оценки. Она до-
стигается участием оцениваемой стороны в проектировании
системы оценивания. Оцениваемую сторону представляет ко-
миссия, состоящая из представителей всех факультетов. Дру-
гой формой участия являются отзывы заведующих кафедрами
на результаты оценивания. Но поскольку система оценки дея-
тельности кафедр должна служить интересам всего универси-
тета, требования к системе критериев со стороны ректората
должны быть определяющими.
13.2.	Требования к системе оценки
деятельности кафедр
Первостепенное влияние на качество модели оценивания
оказывает четкость формулировки поставленной цели. Ключе-
вым словосочетанием в рассматриваемой области является
деятельность кафедры. Исходя из этого, кафедру можно ин-
терпретировать как некую производственную единицу, произ-
водительной силой которой выступают преподаватели и науч-
ные сотрудники, а выпускаемой продукцией — дипломирован-
ные специалисты и научные проекты.
По решению руководства университета и комиссии экспер-
тов к системе оценки деятельности кафедр были предъявлены
следующие требования [28]:
•	включаемые в состав системы показатели должны в мак-
симальной степени охватывать все стороны деятельности ка-
федр с учетом их значимости;
•	система должна давать возможность анализировать дея-
тельность кафедр с различной степенью детализации — от об-
щих направлений до первичных показателей;
407
•	система показателей должна обеспечить сопоставимость
кафедр, имеющих различное назначение в учебном процес-
се, различную тематическую направленность и различную
численность.
В соответствии с первым требованием для оценки дея-
тельности кафедр было привлечено около 70 первичных по-
казателей. На их основе было сформировано около 50 пер-
вичных критериев. Поскольку такая размерность критери-
ального пространства неприемлема для умозрительного ана-
лиза, критерии, используемые для оценки деятельности ка-
федр, были разбиты по группам, а сами группы были упоря-
дочены на основе отношения «Общее-частное», что отвеча-
ет второму требованию к системе.
Проблема сопоставимости кафедр решалась в двух аспек-
тах. Для учета различия численного состава кафедр оценка
их деятельности была сведена к оценке удельной нагрузки
каждого сотрудника по всем направлениям работы. Относи-
тельно назначения в учебном процессе все кафедры универ-
ситета разделены на три группы: выпускающие, естественно-
научные и общепрофессиональные (далее ЕН и ОП), и гума-
нитарные. Для каждой из них были определены свои системы
критериев. За базовую была принята система критериев, раз-
работанная для оценки деятельности выпускающих кафедр,
как наиболее полная.
Центральной задачей при создании системы оценки деятель-
ности кафедр является выбор критериев. К ним предъявляют-
ся следующие требования:
1.	Охват любых аспектов деятельности кафедры.
2.	Возможность простой количественной оценки любого
аспекта деятельности кафедры.
3.	Сопоставимость различных кафедр.
4.	Различимость кафедр по анализируемому аспекту дея-
тельности.
5.	Неизбыточность (отсутствие повторений).
6.	Непротиворечивость.
Последние два требования предъявляются к элементам лю-
бой системы.
408
13.3.	Система оценки деятельности кафедр
университета
Наличие большого количества показателей, характеризую-
щих деятельность кафедры, потребовало разработки иерархи-
ческой структуры критериев. Подобно дереву целей при пост-
роении дерева критериев используется принцип «от общего
к частному». Вершинам дерева иерархии ставятся в соответ-
ствие следующие критерии: корневой вершине — глобальный
критерий, вершинам промежуточных ярусов дерева — локаль-
ные критерии, а нижнему ярусу — первичные критерии. Гло-
бальный и локальные критерии вычисляются на основе пер-
вичных, а первичные, в свою очередь, — на основе показате-
лей, характеризующих все стороны деятельности кафедр.
Принадлежность критериев одному уровню иерархии озна-
чает их сопоставимость, а не равную значимость. Значимость
критерия определяется его местом в иерархии и весовым коэф-
фициентом в своей группе.
В качестве локальных критериев первого уровня иерархии
были приняты следующие основные направления деятельнос-
ти кафедры:
1.	Учебно-методическая работа (УМР).
2.	Научно-исследовательская работа (НИР).
3.	Воспитательная работа (ВР).
4.	Внешняя деятельность (ВД).
5.	Экономическая деятельность (ЭД).
Наиболее профильной для образовательного учреждения
является Учебно-методическая работа. В силу этого этот раз-
дел системы оценки подвержен детализации в большей степе-
ни, чем другие. Он состоит из трех подразделов:
1.	Учебная работа.
2.	Методические материалы.
3.	Лабораторная база.
Первый и третий подразделы характеризует процессы при-
обретения студентами знаний и умений, а второй — методи-
ческую компоненту познавательного процесса.
409
Учебная работа оценивается тремя группами критериев:
1.	Интенсивность.
2.	Характеристика профессорско-преподавательского состава.
3.	Качество выпускников (для выпускающих кафедр).
Научно-исследовательская работа оценивается тремя груп-
пами критериев:
1.	Научная работа.
2.	Научные труды.
3.	Подготовка научных кадров.
Раздел «Воспитательная работа» характеризует кураторскую
деятельность преподавателей, оцениваемую четырьмя первич-
ными критериями.
Раздел «Внешняя деятельность» кафедры делится на два
подраздела: «Научно-организационная деятельность» и «Меж-
дународная деятельность». Они характеризуются тремя и че-
тырьмя первичными критериями соответственно.
В раздел «Экономическая деятельность» включены ис-
точники получения внебюджетных средств. Их количество
□цен к а о б ш е п р и Ф е с с и о н а и ь н ь i к а Ф ед р
Й |НЙ Учебно-методич. работа
Е liilil Учебная работа
-ИИ1 Интенсивность
|ЛЛ1 Характеристика ППС
' 1ИТИ Метадич. материалы
:	Лабораторная база
Й ЩЦ Научно-исслед. работа
Н И Научная работа
> 1ш!1 Научная работа ППС
Научная работа студентов
 1ПН1 Научные труды
В ЯВИ Подготовка соискателей уч. степеней
Ц Эффективность подготовки
|ЛЛ| Участие в подготовке
; в Воспитат. работа
ЙЦЦ Внешняя деят-ть
r-BHI Между нар. деят-ть
' 1И Научно-организ. деят-ть
 О Экономическая деят-ть
Рис. 13.1. Система оценки деятельности ЕН
и ОП кафедр
для выпускающих ка-
федр равно пяти, а для
остальных групп ка-
федр — трем.
Количество локаль-
ных критериев соот-
ветствует числу таблиц
всех уровней иерархии.
Система оценки вы-
пускающих кафедр со-
держит 22 локальных
критерия, а система
оценки естественно-
научных и общепрофес-
сиональных кафедр —
19 локальных критери-
ев. Один из вариантов
системы оценки ЕН
и ОП кафедр приведен
на рис. 13.1.
410
Если принять уровень глобального критерия за нулевой,
максимальный уровень первичных критериев, входящих в таб-
лицы нижнего уровня, равен 4. К ним относятся, например,
критерии, характеризующие профессорско-преподавательский
состав (ППС) кафедры. Минимальный (второй) уровень зани-
мают первичные критерии, характеризующие воспитательную
и экономическую работу кафедры. Таким образом, иерархия
критериев неоднородна как по числу уровней, так и по коли-
честву критериев в таблицах.
Охват любых аспектов деятельности кафедры проявляется,
например, в отражении современных методов обучения с ис-
пользованием таких критериев, как «Электронные методичес-
кие указания» и «Обучающие системы». Они отражают усилия
кафедры по внедрению и разработке новых средств обучения.
Простая количественная оценка любого аспекта деятельно-
сти кафедры основана на использовании численных показате-
лей деятельности кафедры таких, как «Число дисциплин
на кафедре», «Количество научных трудов» и т.п.
Сопоставимость кафедр различной численности обеспе-
чивается путем нормирования одних первичных показате-
лей другими. В качестве нормирующего коэффициента для
оценки деятельности условно-среднего сотрудника кафед-
ры используются различные варианты показателя «Число
профессорско-преподавательского состава (ППС) кафедры».
К ним относятся «Число ППС в штатных единицах», «Чис-
ло ППС, чел.» (с учетом совместителей), а также «Число
ППС» с учеными степенями разного достоинства. Приме-
рами критериев, вычисляемых с участием перечисленных
показателей, являются: критерий «Руководство дипломни-
ками», вычисляемый как отношение числа дипломников
к числу ППС (шт. ед.) или критерий «Защита докторских
диссертаций», вычисляемый как отношение числа защит
докторских диссертаций к числу ППС, имеющих ученую
степень кандидата наук. Поскольку величина критерия за-
висит от его знаменателя, к подбору нормирующих коэф-
фициентов следует подходить весьма тщательно.
411
Оценка деятельности кафедры не ограничивается оценкой
ее условно-среднего сотрудника. Критерии, оценивающие дру-
гие аспекты деятельности кафедры, нормируются другими пер-
вичными показателями. Так, например, критерии, характери-
зующие качество подготовки выпускников, нормируются ко-
личеством выпускников данного года, а критерий «Модерни-
зация лабораторий» вычисляется как отношение стоимости
оборудования, приобретенного кафедрой за 5 лет, к балансо-
вой стоимости оборудования кафедры.
Существенным с точки зрения различимости кафедр
по анализируемому свойству является отрезок времени, оцени-
ваемый показателями. Например, качество подготовки выпус-
кников оценивается за текущий год, подготовка научных кад-
ров (кандидатов и докторов наук) привязывается к трехлетне-
му циклу обучения в аспирантуре, а издание монографий учи-
тывается за пятилетний период. Последние два показателя
назовем накопительными.
Очевидно, что использование накопительных показателей
увеличивает инерционность общей оценки. При выборе от-
резка времени, оцениваемого показателем, следует руковод-
ствоваться как абсолютной величиной показателя, получен-
ного для большинства кафедр, так и степенью различия этих
величин. Например, если оценивать количество защит док-
торских диссертаций или издание монографий за 1 год,
то для большинства кафедр этот показатель может оказаться
равным нулю, поскольку названные события достаточно ред-
ки. Малые значения (1 и в редких случаях более 1) обуслав-
ливает резкое различие в оценке кафедр по этому показате-
лю, что существенно может повлиять на общую оценку ка-
федр. Вместе с тем необходимо ограничить инерционность
накопительных показателей с тем, чтобы обеспечить конку-
рентоспособность прогрессирующих кафедр по сравнению
с «почивающими на лаврах». Поэтому можно рекомендовать
выбор такого отрезка времени Т, контролируемого накопи-
тельным показателем, чтобы годовое изменение значения
показателя составляло не менее чем 100/Т%. Для пятилетнего
срока, например, эта величина составляет 20%.
412
13.4.	Выбор функции полезности
Функция полезности, используемая для упорядочения ка-
федр университета по итогам их деятельности, должна обла-
дать свойством накопления достижений. Этим свойством об-
ладает аддитивная свертка критериев. Другим ее свойством
является эффект компенсации достижений. Уравнивая дости-
жения и отставания по различным показателям, она дает ус-
редняющий эффект.
Другим способом усреднения оценки деятельности кафедр
является учет минимальных достижений по различным пока-
зателям. Он реализуется приравниванием минимального зна-
чения j-ro критерия в перечне кафедр к минимальному значе-
нию шкалы. В абсолютной шкале уу=0, а в пятибалльной шка-
ле [1,5] Jy=l. Возможны два варианта нормирования критери-
ев от начала шкалы: либо он распространяется только на пер-
вичные критерии, либо на все, включая локальные.
Рассмотрим различие в рейтингах кафедр при использова-
нии этих вариантов. В качестве базового варианта примем
смешанный вариант нормирования: все первичные критерии
нормируются от начала шкалы, а локальные — от минималь-
ного значения критерия в выборке. В оцениваемом варианте
нормируются от начала шкалы все критерии. Следует заме-
тить, что при использовании балльной оценки началом шкалы
является ее минимальная граница. Так, например, если грани-
цы балльных оценок определены в диапазоне [1, 5], то нача-
лом шкалы следует считать 1.
Различие между рейтингами кафедр, полученное в результате
изменения нормирующих коэффициентов, показано на рис. 13.2
и 13.3, причем общее изменение порядка мест составило 6,43%.
Оно существенно больше, чем при изменении начала отсчета
шкалы только для первичных критериев (1,75%).
Таким образом, учет минимальных достижений по локаль-
ным критериям оказывает большее влияние на рейтинг кафедр,
чем по первичным. Поэтому при желании получить более ров-
ную картину по итогам деятельности кафедр следует нормиро-
вать значения всех критериев относительно начала шкалы.
413
Объекты, улучшившие свое место.
	Объекты	Базовое мест*	Сравниваемое мест	Прирост
1	0 храня труда и ок	13	11	2
2	Основания и Фунд		13	2
3	Электротехника	19	17	2
4	ТОЭ	5	4	1
ill	ИИТТ	10	9	1
Рис. 13.2. Кафедры с улучшившимся рейтингом
Объекты, ухудшившие свое место:
	Объекты	Базовое месте	Сравниваемое мест	Падение
1	Прочность матер.	11		4
1111	Инженерная геод*	17	19	2
11	Г идравлике и гиад	4	5	1
1111	В ысшая магемати	9	10	1
Рис. 13.3. Кафедры с ухудшившимся рейтингом
13.5.	Задание значимости критериев
Назначение весовых коэффициентов для первичных крите-
риев в системе оценки деятельности кафедр напрямую пред-
ставляется невозможным в силу высокой размерности задачи.
Для уменьшения размерности задачи была разработана иерар-
хическая структура критериев. Она позволяет задавать веса
внутри каждой группы критериев по всем уровням иерархии.
Проиллюстрируем технологию определения весовых коэффи-
циентов критериев в таблицах иерархии на примере корневой
таблицы, в которой представлены пять основных направлений
деятельности кафедр: УМР, НИР, ВР, ВД, ЭД.
414
Первичным при определении весовых коэффициентов являет-
ся установление соотношения значимости критериев. Естествен-
ным для вуза является наивысший приоритет учебно-методичес-
кой работы. Несколько менее значима, но соизмерима с ней на-
учно-исследовательская деятельность. На третье место эксперты
поставили экономическую деятельность, которая приобрела боль-
шое значение в рыночной экономике. Четвертое место по значи-
мости заняли воспитательная работа и внешняя деятельность.
Зададим количественные предпочтения критериев с помо-
щью матрицы парных сравнений, отражающей соотношение
значимости критериев в процентах. Ее диагональ характери-
зует значимость критериев, расположенных в строках матри-
цы, а содержимое верхней треугольной матрицы — относи-
тельную значимость критериев, расположенных в ее столбцах:
	УМР	НИР	ВР	ВД	эд
УМР	100	67	30	30	50
НИР		100	30	30	50
А% = ВР			100	100	150
ВД				100	150
эд					100
Преобразуем матрицу А% в МПС, выраженную кратностью
предпочтений. Элементы ее верхней треугольной подматрицы
вычисляются по формуле: ai}= 100/а(у%,
где — значение элементов матрицы А.% (рис. 13.4).
Элементы, симметричные относительно главной диагонали,
вычисляются по формуле:
aji= llaij-
	УМР	|НИР		ВД	эд
УМР	1.0	|1.5	3.3	3.3	2.0
НИР	0667	Чо	3.3	3.3	2.0
ВР	0.303	0.303	1.0	1.0	0.670
ВД	0.303	0.303	1.0	1.0	0.670
	0.500	0.500	1.5	1.5	1.0
Рис. 13.4. Матрица парных сравнений, выраженная кратностью
предпочтений
415
Рис. 13.5. Граф кратности
предпочтений
МПС с кратностью пред-
почтений можно построить
напрямую, если экспертам
удобнее оценивать величину
предпочтений пар критериев
кратностью (в разах), а не
отношением к 100%. Нагляд-
ной моделью матрицы пар-
ных сравнений с кратностью
предпочтений является граф,
изображенный на рис. 13.5.
Его дуги характеризуют на-
правленность, а веса — крат-
ность предпочтений.
На основе МПС с кратностью предпочтений по формулам
(6.24) и (6.23) находятся весовые коэффициенты рассматрива-
емых критериев (рис. 13.6).
Результат
Имя оцениваемого объекта	Приоритет »!
Учеб^ю-метоци'^скаяработа; ;	0.35
Нау чно-исследовагв/ъская работа	0.298
Воспитательная работа	0.099
Внешняя деятельность	0.099
Экономическая деятельность	0.154	т!
Показатели качества щенки
Имя	Значение
Максимальное количество циклов	А
Фактическое количество циклов	0
Совместность оценок	1
Отношение согласованности	0 00653
	
Рис. 13.6. Весовые коэффициенты и показатели согласованности
предпочтений
В правой части рис. 13.6 приведены показатели согласован-
ности предпочтений. Они характеризуют высокую степень
ординальной (100%) и кардинальной (99,35%) согласованнос-
ти предпочтений. С точностью до двух знаков после запятой
весовые коэффициенты определяются вектором: и’эв=(0,35; 0,3;
0,1; 0,1; 0,15). Он и был принят для выпускающих кафедр вуза.
416
Найдем весовые коэффициенты локальных критериев первого
уровня иерархии (УМР, НИР, ВР, ВД, ЭД) обеспечивающие равно-
ценность первичных критериев. В пункте 6.7.2 эта задача реша-
лась «снизу—вверх», начиная с вычисления весов первичных
критериев. Покажем, как она решается «сверху—вниз», начиная с
локальных критериев первого уровня. В качестве модели будем
использовать матрицу парных сравнений с кратностью предпочте-
ний. Исходной информацией для вычисления приоритета локаль-
ных критериев является число детализирующих их первичных
критериев. Оно находится подсчетом листовых вершин дерева
критериев для каждой категории кафедр. Для выпускающих ка-
федр университета вектор числа первичных критериев равен: «в=(23,
12, 4, 7, 5). На основе вектора «в			построим матрицу весов ло-			
кальных критериев С	в‘					
	УМР	НИР	ВР	ВД	эд	
УМР	23	12	4	7	5	
НИР		12	4	7	5	
Св = ВР			4	7	5	
ВД				7	5	
ЭД					5	
Преобразуем матрицу весов Св в матрицу парных сравне-
ний с кратностью предпочтений Ав путем деления по строкам
элементов главной диагонали матрицы Св на элементы ее верх-
ней треугольной матрицы: а^=си1сц, г = 1,..., n,j=i,..., п. В ре-
зультате получим следующую матрицу Ав:
	УМР	НИР	ВР	ВД	эд
УМР	1	1,92	5,75	3,29	4,6
НИР		1	3,00	1,71	2,4
Ав = ВР			1	0,57	0,8
ВД				1	1,4
эд					1
Элементы нижней треугольной матрицы для обратносим-
метричной матрицы вычисляются по формуле ац=\1а^. На
основе собственного вектора этой матрицы найдем структур-
ные веса, обеспечивающие равноценность первичных критери-
ев для группы выпускающих кафедр:
и»св=(0,451; 0,235; 0,078; 0,137; 0,098).
417
Вычислим вектор коэффициентов экспертной оценки первич-
ных критериев для корневой таблицы иерархии: Лэпв=(0,776; 1,27;
1,27; 0,72; 1,59). Его компоненты, превышающие 1, свидетель-
ствуют о том, что наибольшие предпочтения эксперты отдают
первичным критериям направлений НИР, ВР и ЭД. Пользуясь
формулой (6.31), вычислим вектор экспертных оценок локальных
критериев одновременно учитывающий как их место в иерархии,
так и предпочтение эксперта: h»3Cb=(0, 138; 0,226; 0,226; 0,128; 0,28).
Вычислим векторы и»с0 и и»эс0 для ЕН и ОП кафедр. В качестве
исходных данных будем использовать вектор числа первичных кри-
териев: ло=(14, 12, 4, 7, 3). Он отличается от вектора лв первым
и пятым компонентами. На его основе получим следующую МПС
с кратностью предпочтений:
	УМР	НИР	ВР	ВД	эд
УМР	1	1,2	3,51	2,00	4,70
НИР		1	3,00	1,71	4,00
Ао = ВР			1	0,57	1,33
ВД				1	2,33
эд					1
На основе матрицы Ао вычислим структурные веса локаль-
ных критериев, обеспечивающие равноценность первичных
критериев:
и>со=(0,35; 0,3; 0,1; 0,175; 0,075).
Вектор и»с0, вычисленный для ЕН и ОП кафедр, заметно отли-
чается от вектора и»св, вычисленного для выпускающих кафедр,
что следует учитывать при формировании вектора экспертных оценок
и»эо. По отношению к вектору и»эв он имеет следующие экспертные
оценки первичных критериев:
Лэпо=(1,0; 1,0; 1,0; 0,57; 2,0).
Оценки первых трех критериев полностью согласуются со зна-
чимостью первичных критериев. Вместе с тем, почти вдвое
оказалась заниженной значимость первичных критериев, дета-
лизирующих локальный критерий ВД, и вдвое завышена зна-
чимость первичных критериев, детализирующих локальный кри-
терий ЭД. Вычисленный на основе вектора &эп0 вектор и»эс0=
= (0,18; 0,18; 0,18; 0,1; 0,36) подтверждает сделанные выводы.
418
Различие векторов Лэпв и кэп0 служит сигналом для измене-
ния значений весовых коэффициентов критериев для ЕН и ОП
кафедр по сравнению с вектором и»эв=(0,35; 0,3; 0,1; 0,1; 0,15),
принятым для выпускающих кафедр. Учитывая почти вдвое мень-
шее количество первичных критериев, детализирующих УМР в
системе оценки ЕН и ОП кафедр по сравнению с выпускными
кафедрами, следует перераспределить избыточную значимость
на критерии НИР, ВР и ВД. Это не касается критерия ЭД, по-
скольку количество детализирующих его критериев снизилось
с пяти до трех.
Существует два пути изменения весовых коэффициентов
первичных критериев: косвенный — через изменение весов
вышестоящих локальных критериев, и прямой — через не-
посредственное перераспределение значений весов первич-
ных критериев. Достоинством косвенного способа является
малое число критериев в таблицах, что облегчает манипули-
рование с весовыми коэффициентами. Оно может быть эф-
фективным для таблиц нижнего уровня. Но по отношению к
нижележащим таблицам при этом происходит связанное пе-
рераспределение весов. Это не позволяет регулировать раз-
ницу между весами в разы. В этом отношении прямое пере-
распределение весов первичных критериев представляет со-
бой универсальный подход к «доводке» весовых до приемле-
мой величины. Оно может применяться по отношению к пер-
вичным критериям, принадлежащим разным группам.
В системе СВИРЬ предусмотрена процедура «заимствова-
ния» веса критерия. Одному из первичных критериев, вес ко-
торого надлежит уменьшить, назначается роль донора, а кри-
терию, вес которого нуждается в повышении, назначается роль
акцептора. При выполнении процедуры передачи приращения
веса от донора к акцептору изменяются веса всех связанных
с этими первичными критериями локальных критериев. При-
меняя указанный способ в системе оценки ЕН и ОП кафедр,
для ее корневой таблицы был получен вектор и»эсо=(0,35; 0,33;
0,08; 0,13; 0,11).
419
13.6.	Технология оценивания деятельности кафедр
Процесс оценивания деятельности кафедр можно разделить на
ряд этапов. Приведем их в порядке следования.
1.	Определение перечня основных направлений деятельности.
2.	Определение перечня первичных показателей, использу-
емых для оценки деятельности кафедр.
3.	Объединение первичных показателей в группы на основе
их сходства и независимости.
4.	Определение формул для расчета первичных критериев
на основе первичных показателей.
5.	Определение значимости критериев в группах.
6.	Выбор функции полезности для расчета рейтинга кафедр.
7.	Определение источников первичной информации и раз-
работка входных форм.
8.	Сбор исходных данных.
9.	Анализ исходных данных.
10.	Расчет значений функции полезности и рейтинга объектов.
11.	Анализ результатов оценивания.
Первые семь этапов выполняются экспертной комиссией.
Несмотря на разработку начальной версии системы оценива-
ния, потребность в ее ежегодном уточнении и обновлении вле-
чет повторение этапов 1—7.
Выбор функции полезности для расчета рейтинга кафедр
определяется задачей выбора. Она сформулирована как упо-
рядочение кафедр на основе оптимизации характеризующих
их показателей. Этой цели соответствует аддитивная функция
полезности для каждой таблицы иерархии. Все критерии, во-
шедшие в систему оценки, подлежат максимизации кроме од-
ного первичного критерия; «Посещаемость занятий». С целью
учета результатов деятельности кафедр, совпадающих с мини-
мальной границей выборки, в качестве нормирующего
для первичных критериев принят диапазон [0, yj тах].
В качестве удобной формы восприятия глобального и ло-
кальных критериев принята пятибалльная шкала оценок, при-
вычная для работников образования. В нее пересчитываются
значения каждой функции полезности. Для повышения разли-
чимости пятибалльных оценок они представляются не цело-
численными, а действительными переменными.
420
Этапы 8 и 9 выполняются Учебным управлением университета
совместно с функциональными подразделениями и кафедрами. Эта-
пы 10 и 11 выполняются Учебным управлением университета. Полу-
ченные результаты передаются в ректорат и деканаты университета.
На основе анализа результатов ректорат принимает управляющие
решения, а кафедры дают свои предложения и замечания по совер-
шенствованию системы оценивания.
Одним из важнейших требований, соблюдение которых
повышает объективность оценки деятельности кафедр, являет-
ся требование к достоверности исходных данных. Рассмотрим
подробнее этапы сбора и анализа исходных данных.
13.7.	Сбор и анализ исходных данных
Для сбора исходных данных разработано 13 входных форм
для каждой группы кафедр, т.е. всего 39 форм. Они размеща-
ются в трех книгах Excel. Формы 1—12 заполняются в функци-
ональных подразделениях университета для всех кафедр каж-
дой группы. Пример входной формы, заполняемой в редакци-
онно-издательском отделе (РИО) для группы естественно-на-
учных и общепрофессиональных кафедр, приведен в табл. 13.1.
Данные в каждой форме подвергаются анализу на предмет
их правильности и достоверности. Помимо субъективных фак-
торов, одной из причин искажения информации является раз-
нородность источников сбора данных. Сложность задачи оценки
достоверности данных определяется их объемом. Только для
выпускающих кафедр необходимо проверить 1782 значения
показателей (66x27). Проконтролировать такой объем инфор-
мации вручную не представляется возможным.
В основу автоматизации оценки достоверности исходных
данных положен следующий сокращенный анализ:
•	выявление показателей, значение которых значительно
превышает среднее арифметическое по группе кафедр, что
позволяет осуществлять выборочную оценку показателей;
•	проверка соотношения данных, используемых для фор-
мирования критериев.
Для анализа исходных данных разработана специальная программа
(макрос книги Excel), отвечающая следующим требованиям:
421
Таблица 13.1
NN п/п	Наименование кафедры	Кол-во учебных пособий, изданных по дисципли- нам кафедры за 5 лет, шт.	Общий объем учебных пособий, изданных по дисципли- нам кафед- ры за 5 лет, п.л.	Кол-во методических указаний, изданных за 5 лет, шт.
1	Высшая математика	19	64,125	9
2	Гидравлика и гидрология	2	6,850	8
3	Инженерная геодезия	. 0	0	4
4	Инж. химия и защита окружающей среды	7	42,175	10
5	иитт	1	3,800	2
6	Начертательная геометрия и графика	2	25,250	16
7	Основания и фундаменты	2	7,000	2
8	Охрана труда и окружающей среды	1	5,000	11
9	Прикладная математика	2	11,975	4
10	Прочность материалов и констр.	1	13,250	17
11	Строительные материалы и технологии	2	7,120	3
12	Строительное производство	2	4,500	1
13	Теоретическая механика	4	24,900	2
14	Теория механики и робот, системы	4	15,925	9
15	Технология металлов	2	16,000	7
16	ТОЭ	4	25,800	13
17	Физика	14	63,875	13
18	Электрические машины	4	27,250	5
19	Электротехника	0	0	10
422
1.	Возможность настройки параметров, в соответствии
с которыми проводится анализ отклонений от среднего.
2.	Отображение результатов анализа отклонений от сред-
него арифметического в листах (таблицах) рабочей книги.
3.	Выполнение анализа контрольных соотношений с отобра-
жением результатов в виде раскрашенных цифр, не соответству-
ющих условиям, и выдачей диагностических сообщений.
4.	Возможность настройки анализа контрольных соотношений.
5.	Возможность очистки рабочей книги от результатов ана-
лиза, т.е. возврат к предыдущему состоянию, до проведения
анализа.
Раскраска цифр позволяет совместить анализируемую
и диагностическую информацию, что экономит как общий объем
данных, так и время для их анализа. Для раскраски использу-
ются следующие цвета:
Зеленый — для представления значений, отличающихся
от среднего арифметического более, чем в заданное число раз.
Синий — для представления максимального значения, отли-
чающегося от среднего арифметического более, чем в задан-
ное число раз.
Красный — для представления значений показателей,
не отвечающих заданным условиям.
Программа анализа формирует вспомогательную таблицу
со средним и максимальным значением каждого показателя,
а также нижней границей его контроля и заданной кратнос-
тью превышения среднего значения. Эти значения фиксируют-
ся во вспомогательной таблице. Она состоит из двух частей:
оценивающей и контрольной. Ее содержимое для примера, рас-
смотренного в табл. 13.1, приведен в табл. 13.2:
Таблица 13.2
Среднее значение	3,84	19,2	7,68
Максимальное значение	19	64,125	17
Кратность отклонения	2	2	2
Нижняя граница контроля	10	10	10
423
Настройка парагичрон анаяила:
Наименование таблицы
РИО	~~ 3
Наименование колонки
Кол-во учебных пособий, изданны •e j
‘ Нижняя граница	Г“Т	.
' контроля	I 1
; Кратность отклонения [“£	-
от среднего	’
Настройка... I По умолчанию
Настроить проверку соотношений...
Столбец
 значений N
2	
II» 0	» ®Й!
JI I	IIhIiII
2
2	_
2
1	i h
2
< j
Максимум
t
ок	..-т-.:
Отмена
Рис. 13.7. Окно настройки параметров анализа данных
На рис. 13.7 приведено окно программы анализа, используемое для
настройки параметров контроля содержимого входной формы.
Помимо выявления кафедр, чьи показатели значительно пре-
вышают среднее значение по группе, программа анализа вы-
полняет проверку нормируемых показателей сопоставлением
их числителя и знаменателя, а также проверяет контрольные
соотношения для суммируемых показателей. Это позволяет сво-
евременно устранить многие ошибки, которые допускаются на
этапе формирования исходных данных.
На основе информации, собранной в функциональных под-
разделениях, в Учебном управлении готовятся сводные таблицы
показателей для каждой кафедры из всех трех групп. Каждая
кафедра заносит данные в свой раздел сводной таблицы и сверя-
ет данные, представленные функциональными подразделениями,
со своими. В случае расхождения данных они уточняются с соот-
ветствующим функциональным подразделением. На основе свод-
ных таблиц, поступивших со всех кафедр университета, в Учеб-
ном управлении заполняется форма 13 для всех кафедр группы,
после чего исходные данные считаются готовыми для определе-
ния рейтинга кафедр. Для исключения возможности несанкцио-
нированного изменения или удаления введенных данных предус-
мотрено блокирование всех данных книги Excel.
424
13.8.	Анализ результатов оценки
Что делать? Это зло военной службы,
По дружбе, по запискам производство...
Не так, как ранее, когда второй за первым
Шел по порядку
В. Шекспир «Отелло»
Естественно, что не все кафедры соглашаются с полученными
оценками. Их реакция на оценки колеблется в широком диапазо-
не. Наиболее радикальным является сомнение в правомерности
свертки критериев, что отрицает теорию полезности, предложен-
ную в [71], и следующую из нее правомерность практического
применения рационального выбора. Менее категоричным выгля-
дит сомнение в достоверности структуры критериев и правиль-
ности назначенных им весовых коэффициентов. Наряду с этим
задаются следующие вопросы: «Почему результирующий рейтинг
оказывается хуже рейтинга, полученного по отдельным критери-
ям?», «Почему порядок мест, занятых кафедрами в масштабе
университета не совпадает с их порядком в масштабе факульте-
та?» и т.п. Все отмеченные эффекты рассматриваются как пара-
доксы системы многокритериального оценивания.
Отмеченные парадоксы нетрудно отнести к издержкам мяг-
ких вычислений. Действительно, наряду с объективными данны-
ми, используемыми для оценки деятельности кафедр, на результат
вычисления рейтинга влияют такие субъективные факторы, как
структурирование показателей, формирование критериев и зада-
ние их значимости.
К типичным замечаниям относятся:
1)	в систему оценки не включен ряд показателей, характе-
ризующих деятельность кафедр;
2)	показатель входит не в свою группу;
3)	не все показатели в группах однородны;
4)	некоторые показатели практически не влияют на расста-
новку мест;
5)	ряд весовых коэффициентов не отражают действительно-
го соотношения значимости критериев.
425
Однако причины парадоксов не ограничиваются человеческим
фактором. На результаты оценивания оказывает также влияние способ
вычисления рейтинга кафедр. Рассмотрим некоторые отмеченные
выше «парадоксы».
13.8.1	. Взаимосвязь критериев
Принцип семантической близости критериев, используемый при
структурировании предметной области [55, 56], не является един-
ственным требованием, предъявляемым для группирования крите-
риев. К другим требованиям относится независимость объединяе-
мых критериев. В пространственном представлении она интерпре-
тируется ортогональностью соответствующих им координат.
Теоретическое знание, привлекаемое для объединения призна-
ков и критериев в группы, не гарантирует выполнения указан-
ных требований. Поэтому оно должно дополняться эмпиричес-
ким знанием. В качестве такового будем использовать значения
первичных показателей и результаты оценивания объектов. И те
и другие представляются векторами своих значений. Известным
способом определения взаимосвязи двух векторов v- и Vy является
нахождение коэффициента парной корреляции IV [26].
В системе СВИРЬ, используемой для определения рейтинга
кафедр, имеется возможность вычислять коэффициенты кор-
реляции критериев, измеренных как в порядковой (грубой), так
и в интервальной (реальной) шкале. Их значения в процентах
для пяти локальных критериев, оценивающих деятельность 27
выпускающих кафедр, приведены в табл. 13.3 и 13.4 соответ-
ственно. В качестве локальных критериев используются такие
основные направления деятельности кафедр, как Учебно-мето-
дическая (УМР), Научно-исследовательская (НИР), Воспитатель-
ная (ВР), Внешняя (ВД) и Экономическая (ЭД).
Значения коэффициентов парной корреляции, приведенные
в верхних треугольных матрицах, показывают характер взаимо-
связи локальных критериев «по горизонтали». Значения коэф-
фициентов, приведенные в последних столбцах табл. 13.3 и 13.4
(выделены жирным шрифтом), характеризуют зависимость оце-
нок «по вертикали», так как они выявляют взаимосвязь каждо-
го из направлений деятельности с итоговой оценкой кафедр.
Итоговые оценки рассчитываются на основе значений локаль-
ных критериев, представленных в интервальной шкале.
426
Таблица 13.3
Гу (пор)	УМР	НИР	ВР	ВД	эд	Итог
УМР	100	5,62	-8,45	-29,73	-3,85	80,77
НИР		100	-19,34	13,00	-31,56	43,10
ВР			100	-14,88	-1,22	-5,21
ВД				100	1,10	-0,37
эд					100	2,69
Таблица 13.4
Гу (инт)	УМР	НИР	ВР	ВД	эд	Итог
УМР	100	14,73	-4,08	-30,90	-4,48	79,20
НИР		100	-26,00	-2,36	-29,22	53,39
ВР			100	-5,38	-2,37	9,53
ВД				100	29,61	1,83
эд					100	11,26
Анализ содержимого табл. 13.3 и 13.4 позволяет сделать сле-
дующие важные выводы:
1.	Оценки взаимосвязи критериев, вычисленные в порядко-
вой и интервальной шкале, различаются несущественно. Тем не
менее для двух пар локальных критериев (НИР, ВД) и (ВД, ЭД)
различие коэффициентов парной корреляции в табл. 13.3 и 13.4
превышает 15%, причем для второй пары оно составляет 28,5%:
Гпор(ВД, ЭД)=1,1, а ГИНТ(ВД, ЭД)=29,6. Это подтверждает приблизи-
тельность оценок в порядковой шкале, которая является платой за
удобство ее использования. Учитывая это, последующие выводы
делаются на основе анализа табл. 13.4.
2.	Из десяти пар локальных критериев 6 можно считать практи-
чески независимыми, а четыре — слабозависимыми (около 30%).
Например, между УМР и ВД существует слабая обратная зависи-
мость, оцениваемая в 30,9%. Она побуждает искать показатели,
оказывающие противоположное влияние друг на друга.
3.	На зависимость итоговых оценок от локальных критериев влия-
ют не только значения весовых коэффициентов, но и связи между ло-
кальными критериями. Зависимость итоговых оценок от весовых коэф-
фициентов критериев иллюстрируется в табл. 13.3 на примере пары
(УМР, Итог) с коэффициентом корреляции Г(УМР, Итог)=79,2%. Вы-
427
сокая степень зависимости объясняется наибольшим зна-
чением весового коэффициента для УМР в векторе весов и>=(0,35;
0,3; 0,1; 0,1; 0,15). С другой стороны, на итоговые оценки прак-
тически не влияет критерий ВД: Г(ВД, Итог) =1,83%. Этот факт
объясняется не столько малой значимостью ВД (и>Вд=0,1), сколь-
ко обратной зависимостью этого критерия от критерия УМР:
Г=(УМР, ВД)=-30,9. Таким образом, прямая зависимость ито-
говых оценок от критерия ВД компенсируется обратной зави-
симостью, оказываемой им на итоговую оценку через крите-
рий УМР с максимальным весовым коэффициентом.
Заметим, что корреляционные оценки имеют статистичес-
кую природу и не дают информации о взаимосвязи критери-
ев для конкретного объекта.
13.8.2	. Вклад критериев в совмещенную оценку
Вклад в итоговую оценку кафедры позволяет сопоставить де-
ятельность кафедры как по каждому критерию, так и с его
средним значением по данной категории кафедры. Он рассчи-
тывается по формуле:
z J п L. I	\1	•17
7=1
Для облегчения анализа используется графическое представле-
ние критериев и цветное обозначение их значений в соответствии с
цветовым стандартом, предложенным в пункте 10.6.1. На рис. 13.8
показан пример графического представления критериев, входя-
щих в группу «Характеристика ППС» для кафедры «Высшая
математика».
Для каждого из критериев желтым цветом помечено среднее
значение в данной категории кафедр и цветным эллипсом — кон-
кретное значение для рассматриваемой кафедры. Из диаграммы
следует, например, превосходство кафедры «Высшая математика»
перед другими ЕН и ОП кафедрами по критериям «Высшая квали-
фикация ППС» и «Защита докторских диссертаций» и отставание ее
по другим критериям, что позволяет планировать улучшение дея-
тельности кафедры.
428
Балльная опенка
Перечень показателей
Квалификация ППС (МмсжощмЧ
Высшая квалиф-ция ППС (Маслин
Защита докт. диссертаций (Мае
Защита канд. диссертаций (Маса
1
Средний возраст ППС (Масоне»!
Место в таблице: 9
Г........... О ....... I
..................................Д-.Ч-Ч ......................  »
о 0,0711...............................озтап
,н....fl................  J-М..	»
О 0,404 •’ ‘ ч.' • • - ' " “. ’А * ',-  ' 2
а^Н,.—,|..,.-B.l_.;.,Br».i щЫУЙ.Йёшрй  Г. j»
0««3	0,971	11£Б7
'  .....—	.д  ...[Q1	..фи; iiwhin in. .аш.. I
Рис. 13.8. Диаграмма значений группы критериев «Характеристика ППС»
На рис. 13.9 приводится вклад критерия «Высшая квалификация
ППС» в критерий «Характеристика ППС» для кафедры «Высшая
математика», представленный сектором круговой диаграммы.
Рис. 13.9. Круговая диаграмма вклада критерия «Высшая квалификация ППС»
Фактический вклад 29,7%, помеченный зеленым цветом, зна-
чительно превышает средний вклад этого критерия (18,4%) в
категории ЕН и ОП кафедр, что делает его выгодным для
оценки деятельности кафедры «Высшая математика».
13.8.3	. Взаимосвязь общего и локальных рейтингов
Эта взаимосвязь имеет многоаспектный характер и определяет-
ся как видом функции, используемой для расчета многокритери-
альной оценки объекта, так и от ее аргументов. Представление
о факторах, оказывающих влияние на общую оценку объектов, дает
формула широко употребляемой функции аддитивной свертки:
У]~Уj,min
y = Lwj------—— •	(13.2)
j=l	7/,max л j,min
429
Из формулы (2) следует, что оценка г-го объекта у( зависит
как от весовых коэффициентов Wj, j=l,...,n, и значений крите-
риев у у, так и от диапазона [yyjinjn, yj max], определяющего нор-
мирующий коэффициент. Подробно влияние вида функции
свертки и нормирующих коэффициентов на результат оцени-
вания исследовано в работе [63]. Помимо этого на соотноше-
ние оценок объектов влияет распределение значений критери-
ев уу как по у=1,..., п, так и по
где N— число объектов.
В табл. 13.5 приведен простейший пример, показывающий
влияние распределения рейтингов объектов А, В, С, D, Е
по трем показателям на итоговый рейтинг1.
Таблица 13.5
	г\	Г2	п		Г
А	1	1	2	4	1
В	2	3	5	10	3
С	3	5	3	11	4
D	4	4	4	12	5
Е	5	2	1	8	2
Итоговый рейтинг rD=5 объекта D оказывается хуже рейтингов,
полученных по отдельным показателям: г1=г2=Гз=4, что дает непос-
редственный ответ на один из вопросов, заданных во введении.
На распределение итоговых рейтингов объектов, вычис-
ляемых в системе СВИРЬ, влияет также тот факт, что их
расчет выполняется на основе значений показателей, полу-
ченных в интервальной шкале, а не в порядковой, как в
рассмотренном примере. Это означает, что для расчета оценки
кафедр на следующем уровне иерархии в формулу функции
полезности подставляются значения локальных критериев,
измеренные в интервальной, а не в порядковой шкале. Сле-
довательно, значения функции у\х?) определяются не мес-
тами, занятыми кафедрой по критериям предыдущего уров-
ня иерархии, а соотношением оценок, используемых для оп-
1 Пример предложен М.И. Сорокиной
430
ределения этих мест. Здесь играют роль как величина разно-
стей между значениями критериев, так и их весовые коэффи-
циенты. В силу этого, могут иметь место случаи, когда общий
рейтинг кафедры, определенный относительно группы кри-
териев, может оказаться ниже, чем места, занятые по боль-
шинству из них. Это оказывается возможным, когда крите-
рии с худшими местами имеют большую значимость и боль-
шую разницу значений для близких по общей оценке объек-
тов, чем другие критерии.
13.8.4	. Рейтинг объекта в группе и подгруппе
На первый взгляд, странным является изменение порядка
мест объектов при выделении их в подгруппу. Приведем кон-
кретный пример из практики оценивания деятельности кафедр.
4 кафедры (назовем их А, В, С, D), занявшие по воспитатель-
ной работе в составе 27 выпускающих кафедр места 13, 15, 16
и 20 соответственно, на уровне факультета заняли места 3, 2,
1 и 4. То есть, кафедры А и С поменялись местами.
Указанный парадокс наблюдается в том случае, когда из-
меняется диапазон значений [yymjn, >у max] показателей у? j=\,...,n
при переходе от группы объектов к подгруппе. В качестве усло-
вия перераспределения мест выступает отношение y'j min>> Уу mjn,
или Уущах^/тах ХОТЯ бы для одного показателя,
где [у y min, у y>max] — диапазон значенийу-го показателя в подгруппе.
Рассмотрим простейший вариант улучшения ранга r(. z-ro объекта
по сравнению с рангом к-го объекта при выделении их в под-
группу G'aG, если в группе G г>гк. Пусть при выделении этих
объектов в подгруппу изменяется диапазон значений только j-ro
критерия: [Уу>пйп, к-тах] -> [Уу>т;п> У у,тах1 Так> что	и
У у тях=Уу,тях~^Уу Если значение j-ro критерия для z-ro объекта у^
лучше, чем для к-го объекта ykj {у^у^, то при переходе от пер-
вого ко второму диапазону общая оценка z-го объекта улучшится
на величину:
. дУу(у.у-УЛу)
Ду у = —.-----------J-----
(У у,шах — ДУj ) ‘ ДУу,max
(13.3)
431
Формула (13.3) выводится на основе формулы (13.2) как
разность между оценками (у’^-у,) и (у’^-у^). За счет уменьшения
знаменателя в формуле (13.2) при уменьшении диапазона крите-
рия yt имеют место отношения: y’fyj и у’^у^- Поэтому при задан-
ном условии У^Уц приращение оценки г-го объекта является
положительной величиной. Если приращение оценки г-го объекта
по у-му критерию превышает ее отставание от оценки к-го
объекта по другим критериям, то суммарная оценка i-ro объекта
превзойдет суммарную оценку к-го объекта, что и требовалось
доказать.
Пусть, например, _Уу тах=4, Д_уу=1, Уу=3, Ук]=^-- Подставляя
эти величины в формулу (13.3), получим Дуу=0,083.
В более сложном случае улучшение места i-ro объекта
в подгруппе G’ по отношению к Л-му объекту может произой-
ти при изменении диапазона min, у у тах] за счет перераспре-
деления оценок, подобного рассмотренному в табл. 13.5.
13.9.	Изменение системы критериев
Разрабатывая первоначальный вариант системы оценки дея-
тельности кафедр для Петербургского государственного универ-
ситета путей сообщения, его авторы рассчитывали на ее нео-
дноразовое использование. Однако, как следует из предыдуще-
го пункта (13.8), практика опровергла эти ожидания. Система
критериев после каждого применения, начиная с 2000 г., при-
знавалась несовершенной, и подвергалась изменению, причем
в качестве инициатора изменений выступала как оцениваемая
сторона (кафедры), так и оценивающая сторона (ректорат). При
этом обе стороны придерживались общей цели — улучшить объек-
тивность системы оценки, выдвигая свои предложения. Осно-
ваниями для внесения изменений являлись как недостатки,
выявленные по результатам очередного оценивания, так и стрем-
ление руководства по дальнейшему стимулированию деятельно-
сти кафедр.
Изменение системы критериев достигается двумя спосо-
бами: изменением состава критериев и связей между ними,
т.е. структуры системы. И тот и другой способ применяются
как в отдельности, так и в совокупности. При этом измене-
432
ние состава критериев оказывает влияние не только на систему
критериев, но и на состав исходных данных. Приведем причины и
результаты изменения системы критериев на примере совершен-
ствования направления «Научно-исследовательская работа», под-
вергшегося наибольшим изменениям. В пункте 3.4 уже рассмат-
ривались изменения в этом направлении деятельности кафедр в
качестве иллюстрации реструктурирования пространства призна-
ков. Но на этом изменения системы критериев оценки НИР не
завершились. Здесь мы покажем не только дальнейшее совершен-
ствование системы критериев оценки НИР, но и влияние измене-
ния системы критериев на рейтинг кафедр.
Однородность системы критериев, усовершенствованной в
пункте 3.4, также была подвергнута сомнению, поскольку научная
работа студентов слабо связана с подготовкой научных кадров. К
ней напрямую относится соискание ученых степеней. На этом
основании было решено перенести раздел «Научная работа сту-
дентов» в качестве подраздела в раздел «Научная работа», а кри-
терии, характеризующие работу ППС, объединить в подраздел
«Научная работа ППС». В результате этих изменений состав пер-
вичных критериев не изменился, а структура локальных критери-
ев приобрела следующий вид:
Научная работа
Научная работа ППС
Научная работа студентов
Подготовка соискателей ученых степеней
Эффективность подготовки
Участие в подготовке
Покажем, как повлияло реструктурирование системы критери-
ев, предложенной в пункте 3.4, на рейтинг ЕН и ОП кафедр ПГУПС.
На рис. 13.10 и 13.11 приведены списки кафедр, улучшивших
и ухудшивших рейтинг при последнем реструктурировании систе-
мы критериев НИР, причем общее изменение порядка мест соста-
вило 5,26%.
Полученное изменение рейтинга кафедр обуславливается изме-
нением уровня локальных критериев в иерархии, что меняет их
значимость даже без изменения весовых коэффициентов.
433
О бьекты, улучшившие свое место.
	Объекты	Базовое мест] Сравниваемое мест		Прирост
1	Охрана труда и ок|	16	I 14	2
2	Г идраелика и гидр	5	4	1
3	Прикладная метет	7	6	1
4	Прочность матер.	12	11	1
5	Основания и Фунд	13	12	1
6	Физика	14	13	1
7	Электрические ма	19	18	1
Рис. 13.10. Кафедры с улучшившимся рейтингом
Объекты, ухудшившие свое место:
	0 бьекты	Базовое мест	Сравниваемое мест	Падение
1	Т еория мех. и роб	11	16	5
2	ТОЭ	4	5	1
3	Т ехнология метал	6	7	1
ill	Э лектротехника	18	19	1
Рис. 13.11. Кафедры с ухудшившимся рейтингом
Покажем, какую роль играет дублирование первичных кри-
териев. Оно было допущено в разделах «Характеристика ППС»
и «Эффективность подготовки соискателей ученых степеней»
системы оценки деятельности кафедр (см. рис. 13.2) включе-
нием в них числа защит кандидатских и докторских диссерта-
ций. Это обосновывалось необходимостью характеризовать с
одной стороны рост квалификации ППС, а с другой — эффек-
тивность работы аспирантуры. В конечном счете, такая точка
зрения была признана неприемлемой, поскольку оцениванию
434
подвергаются кафедры, а не аспирантура. При определении
места этих критериев в системе оценки деятельности кафедр
было показано, что повышение квалификации ППС, заверша-
емое защитой ученых степеней, осуществляется в рамках
научных исследований, а в разделе «Характеристика ППС»
отражаются его результаты. Исключение критериев «Защита
докторских (кандидатских) диссертаций» из раздела «Харак-
теристика ППС» с заданием весовых коэффициентов (0,35;
0,5; 0,15) оставшимся критериям «Квалификация ППС», «Выс-
шая квалификация ППС» и «Средний возраст» дало следую-
щие результаты (рис. 13.12 и 13.13).
Объекты, улучшившие свое место:
	0 бьекты	Базовое нес	г| Сравниваемое мест	Прирост
1	0 снования и Фунд	13	! 8	5
2	0 храпа труда и ок	16	13	3
3	3 лектрические ма	19	16	3
4	Прикладная матег	7	5	2
5	Физика	14	12	2
6	Т еоретическая ме	3	2	1
7	ТОЭ -	4	3	1
8	Гидраеликаи гидр	5	4	1
9	ИИТТ	10	9	1
Рис. 13.12. Кафедры с улучшившимся рейтингом
Общее изменение порядка мест составило 14%, что показывает
существенное влияние дублирования критериев на расстановку мест
кафедр, причем различие рейтингов достигает девяти позиций. По-
скольку в системе критериев дублировались критерии, отражающие
защиту ученых степеней, ухудшился рейтинг кафедр, обладающих
лучшими показателями в этой области.
435
Объекты, ухудшившие свое место:
	Объекты	Базовое мест)	Сравниваемое мест	Падение
1	Н ачерт. геометри;	8	j		9
2	И нж. химия и защ.	2	в	4
3	Прочность матер.	12	14	2
4	Т ехнология метал	6	7	1
5	В ысшая математи	9	10	1
6	Инженерная геоде	17	18	1
7	Электротехника	18	19	1
Рис. 13.13. Кафедры с ухудшившимся рейтингом
С целью дальнейшего совершенствования системы критериев
по разделу НИР к системе критериев были предъявлены следую-
щие претензии:
1.	Не отражает научного вклада кафедр в развитие отрасли.
2.	Не отражает выгоды для университета от научной работы.
Для устранения этих недостатков в раздел «Научная рабо-
та» были включены новые критерии: «Научный вклад в разви-
тие отрасли» и «Реинвестирование науки в университет»,
сгруппированные в подраздел «Эффективность научной ра-
боты», а подраздел «Научная работа ППС» был преобразован
в подраздел «Научная активность». После переноса критериев
«Защита докторских (кандидатских) диссертаций» из раздела
«Характеристика ППС» в подраздел «Эффективность подго-
товки научных кадров» и уточнения подраздела «Участие
в подготовке научных кадров» 2 из 3 разделов НИР приобре-
ли следующую структуру:
Научная работа
Научная активность
Российские гранты и программы
Участие в изобретательской деятельности
Доклады на Неделе науки и конференциях
436
Эффективность научной работы
Научный вклад в развитие отрасли
Реинвестирование науки в университет
Подготовка научных кадров
Эффективность подготовки
Защита докторских диссертаций
Защита кандидатских диссертаций
Участие в подготовке
Объем подготовки научных кадров
Участие в Советах по защите диссертаций
Несмотря на то, что рассмотрению подверглись не все из-
менения и не во всей системе критериев, изложенное позволя-
ет оценить причины и следствия изменения системы критери-
ев. Углубление знания о предметной области, четкое понима-
ние целей оценивания объектов и соблюдение принципов сис-
темного анализа являются эффективными средствами совер-
шенствования системы критериев.
13.10.	Расчет рейтинга факультетов
По отношению к кафедрам факультеты университета являются
сложными объектами. Структурная модель сложного объекта была
рассмотрена в пункте 5.9. Там же был предложен способ упорядо-
чения сложных объектов на основе оценок входящих в них про-
стых объектов. Под простыми объектами здесь понимаются ка-
федры, отнесенные к факультету. Они, как правило, принадлежат
разным категориям кафедр. Во все факультеты Петербургского
государственного университета путей сообщения входят кафедры,
принадлежащие двум разным категориям.
Для ранжирования факультетов как сложных объектов бу-
дем использовать средние оценки деятельности входящих в них
кафедр. Учитывая их принадлежность к двум разным катего-
риям, оценку Ек к-го факультета, k=\,...,N, будем выполнять
на основе средних оценок, полученных в каждой категории
Ек1 > Ек2 ПО формуле:
Ек = (Ekl+ Ekl)/2-
437
Перед использованием этой формулы средние оценки, по-
лученные для каждой категории кафедр, необходимо привес-
ти к общей шкале. Для выбора общей шкалы одну из кате-
горий кафедр принимают за базовую. В качестве таковой це-
лесообразно принимать категорию, входящую во все или боль-
шинство факультетов. В случае ПГУПС этому условию отве-
чает категория «Выпускающие кафедры». Для приведения
средних оценок кафедр, принадлежащих другой категории, к
базовой используются формулы (5.34) и (5.35) из пункта 5.9.
В качестве примера вычислим оценку Ек для строительно-
го факультета ПГУПСа на основе оценок, полученных для вхо-
дящих в него двенадцати кафедр. Первые шесть из них отно-
сятся к категории выпускающих, а вторые шесть — к катего-
рии ЕН и ОП кафедр (табл. 13.6). В первом столбце указаны
места, занятые кафедрами в своей категории, тип которых
помечается буквами В и О.
Таблица 13.6
Место	Наименование кафедры	Оценки вып. кафедр	Оценки общ. кафедр
В2	Водоснабжение и водоотведение	3,80	
В11	Железнодорожный путь	2,88	
В27	Изыскания и проектирование железных дорог.	2,06	
В1	Инж.химия и защита окр.среды	3,83	
В21	Пром.и городской транспорт	2,45	
В6	ЭОС	3,13	
05	Гидравлика и гидрология		3,31
018	Инженерная геодезия		1,80
02	Инж. химия и защита .окр.среды		3,79
07	Начерт. геометрия и графика		2,82
01	Строит, материалы и технологии		4,00
015	Строительное производство		2,05
В табл. 13.7 приведены граничные и средние оценки для
каждой группы кафедр.
Вычисленный на основе средних баллов выпускающих и
ЕН и ОП кафедр средний балл строительного факультета со-
ставил 3,01. Аналогичным образом были рассчитаны средние
баллы других факультетов ПГУПСа, результаты ранжирова-
ния которых за 2002 год приведены в табл. 13.8.
438
Таблица 13.7
Граничные и средние оценки групп кафедр
1	Мин. общая оценка выпускающих кафедр	2,060	
2	Макс, общая оценка выпускающих кафедр	3,830	
3	Мин. общая оценка ЕН и ОП кафедр		1,800
4	Макс, общая оценка ЕН и ОП кафедр		4,000
5	Средний балл выпускающих кафедр	3,025	
6	Средний балл ЕН и ОП кафедр		2,962
7	Средний приведенный балл ЕН и ОП кафедр		2,995
8	Средний балл факультета	3,010	
Таблица 13.8
Факультет	Средний балл	Место
СТ	3,010	1
М и Т	2,929	2
ЭТ	2,876	3
ЭМ	2,790	4
MX	2,673	5
Эи СУ	2,466	6
УПП	2,452	7
Очевидно, что рассмотренный способ ранжирования фа-
культетов может выполняться не только по результатам об-
щей оценки деятельности кафедр, но и по различным направ-
лениям деятельности.
Обсуждение
Важнейшим этапом оценки деятельности кафедр универси-
тета является проектирование системы критериев. Несмотря
на привлечение к проектированию обеих сторон — как оцени-
вающей, так и оцениваемой, решающая роль принадлежит
первой, так как оценивание выполняется, прежде всего, в ин-
тересах всего университета, а не отдельных его кафедр. Более
того, кафедры, являясь заинтересованной стороной, не могут
быть полностью объективными.
Уместным для обсуждения содержимого этого раздела яв-
ляется следующий вопрос: «Почему многие очевидные ре-
шения по системе критериев не принимались с самого на-
чала?». Ответы на этот вопрос также очевидны. Во-первых,
сказывалось отсутствие опыта, особенно на первых порах.
439
Во-вторых, решения по проектируемой системе критериев принимались
коллективно, и следовало идти на компромисс, даже в ущерб принци-
пам системного анализа. Этому способствовали и требования со сторо-
ны руководства, также не всегда согласующиеся с положениями сис-
темного анализа. В-третьих, полученный опыт оценки побуждал к кри-
тическому анализу существующей системы критериев, что способство-
вало выдвижению новых предложений. В этом смысле практика в бук-
вальном смысле играла роль катализатора в развитии теоретических
идей. Сказанное свидетельствует о большом влиянии субъективного
фактора на разрабатываемую систему критериев, особенно на ее перво-
начальный вариант. Далее на объективизацию системы критериев боль-
шое влияние оказывает практика ее применения.
Существенное влияние на результаты оценивания кафедр ока-
зывают весовые коэффициенты критериев. Их значения также
постоянно уточняются под влиянием приобретенного опыта.
Система СВИРЬ предоставляет широкие возможности для зада-
ния весовых коэффициентов различными способами и их пере-
распределения, как в масштабе таблиц, так и всей иерархии.
Таким образом, одним из основных выводов этого раздела явля-
ется заключение о том, что система оценки кафедр не является не-
зыблемой. На изменение состава и структуры критериев влияют такие
факторы, как неадекватное отражение деятельности кафедр приня-
тыми критериями, внедрение новых образовательных технологий,
изменение требований в сфере образования, изменение требований
руководства университета к результатам деятельности кафедр, при-
обретенный опыт оценивания, более строгое соблюдение принципов
системного анализа и т.д. Наряду с изменением системы критериев
подвергаются пересмотру и значения весовых коэффициентов.
Несмотря на существенные изменения в системе оценки следует
признать устойчивость получаемых с ее помощью результатов.
Действительно, в процессе улучшения системы общее изменение
порядка не превышало 15%. Как правило, изменение мест затра-
гивало в основном кафедры со средним рейтингом. Общая устой-
чивость оценок обеспечивается с одной стороны, большим коли-
чеством признаков, участвующих в оценивании кафедр, а с дру-
гой стороны — некардинальными изменениями системы оценки.
В то же время к изменению условий оценивания наиболее чувстви-
тельными оказываются «средние» кафедры.
440
Необходимо отметить, что задача оценивания итогов дея-
тельности допускает возможность текущей (а не отсрочен-
ной) проверки результатов. Проверка заключается в примене-
нии других способов оценивания. Наиболее очевидна экс-
пертная оценка результатов «в целом» (оценка гештальтов).
Она основывается на том, что всегда можно выразить суж-
дение о правомерности места, занятого кафедрой, на основе
применения некоторой неформализованной системы ценнос-
тей.
Рассмотренная на примере кафедр университета система
оценивания обладает высокой степенью общности и примени-
ма, по существу, к любым организационным системам. Конеч-
но, у каждой организационной системы есть свои особеннос-
ти, но общим для всех систем является потребность в установ-
лении рейтинга входящих в них сопоставимых единиц.
Выводы
Обобщим результаты, полученные в этом разделе на любые
организационные системы.
1.	Первоочередной задачей при подведении итогов деятель-
ности организационных единиц (ОЕ) любого профиля являет-
ся определение состава показателей, всесторонне характеризу-
ющих эти объекты.
2.	Состав показателей, характеризующих ОЕ, используется
в качестве исходной информации для вычисления критериев,
основными требованиями к которым являются сопоставимость
и различимость оцениваемых ОЕ. Для обеспечения сопоста-
вимости часть исходных показателей может использоваться
в качестве нормирующих коэффициентов.
3.	Важнейшим условием обеспечения достоверности оценок
является грамотное проектирование системы критериев. Учи-
тывая тот факт, что реальные ОЕ оцениваются десятками кри-
териев, особое внимание уделяется структурированию крите-
риев, т.е. объединению их в группы и установлению связей
между группами. Здесь важную роль играет использование
методов системного анализа.
441
4.	Существенную роль в обеспечении достоверности оценок
играет правильное задание значимости критериев. С этой целью
для каждой группы критериев задаются весовые коэффициенты.
Они могут назначаться как напрямую в долях 1, так и на основе
выявления экспертных предпочтений с последующим вычислени-
ем весовых коэффициентов.
5.	Распределение весовых коэффициентов для первичных
критериев определяется технологией назначения весов. В слу-
чае неоднородной иерархии критериев рекомендуется учитывать
структурные веса первичных критериев. Далее осуществляется
пересчет полученных весов с участием экспертных оценок.
6.	Результаты оценки ОЕ зависят от выбранной функции
полезности. Для оценки деятельности кафедр на основе прин-
ципа «минимальных достижений» используется аддитивная
свертка с нормированием всех критериев диапазоном значе-
ний от начала шкалы.
- 7. Большую роль в решении задачи определения рейтинга
объектов играет технология сбора и контроля исходных дан-
ных. В виду большого объема исходных данных существенной
особенностью технологии является автоматизация сбора, под-
готовки и контроля исходной информации.
8. Результаты оценивания кафедр могут использоваться для
сопоставления деятельности факультетов. В качестве исходных
данных берутся средние оценки по категориям кафедр. После
их пересчета к шкале категории, принятой за базовую, вычис-
ляется общая средняя оценка факультета.
Заключение
Высшее совершенство человека не толь-
ко в том, что он действует свободно,
но и в том, что действует разумно
Г. Лейбниц
Рациональность выбора заключается в аналитическом под-
ходе к оценке сущности или явления в отличие от синтетичес-
кой оценки, характеризуемой взглядом на явление в целом.
Можно говорить о явной (эксплицитной) и неявной (импли-
цитной) оценке свойств сущности.
Автор не разделяет «критического перехлеста» по поводу
кризиса рационального способа мышления [16, 93] и считает
его необходимым и целесообразным для принятия правиль-
ных решений. Не случайно западная цивилизация и особен-
но американская, основанные на рациональном способе мыш-
ления, добились столь высоких технологических достижений.
И оспорить оное невозможно. Впрочем, указанные авторы и
не отрицают его необходимости. По существу их критика
направлена на обоснование собственных предложений —
многоагентных систем [93] или когнитивной машинной гра-
фики [16]. Это все равно, что отрицать полезность левопо-
лушарного (знакового) способа мышления для того, чтобы
обосновать полезность правополушарного (образного) мыш-
ления, отвечающего, в частности, за интуицию. На наш взгляд,
не требует особых доказательств тот очевидный факт, что
эффективность познавательного процесса зависит от правиль-
ного использования знакового и образного способов мыш-
ления. Например, восприятие математической функции об-
легчается, если ее аналитическая форма сочетается с графи-
ческой. И для доказательства этого не обязательно рьяно
ругать рациональный способ мышления, чтобы обосновать
такое «умное» иностранное слово как когнитивная графика.
443
Говорить о кризисе рационального способа мышления,
по мнению автора, можно и нужно в другом аспекте, а именно,
в моральном. И он не нов. Наиболее активно он обсуждался
в связи с изобретением ядерного оружия. Его создатели ужасну-
лись от той мысли, что оно может попасть в руки безответствен-
ных, а по сути, аморальных людей. И скольких усилий полити-
ков потребовалось и еще потребуется для того, чтобы предотв-
ратить его применение. Рациональный способ мышления нельзя
отождествлять с узкоэгоистическим мышлением, в основе кото-
рого лежит двойная мораль: «для себя» и «для других».
Именно моральный аспект может дискредитировать широ-
кое использование рационального выбора. Он может прояв-
ляться в недобросовестном сборе данных, подлежащих оцени-
ванию, подборе «нужных» критериев оценки («корыстной»
функции полезности), манипуляции с весовыми коэффициен-
тами и другими факторами, влияющими на результат оценива-
ния. Но здесь наука бессильна и не стоит ее за это ругать.
«Кесареву кесарево». Противоядием этому и должна служить
демократия, которая дает возможность узнать об аморальных
решениях и публично осудить их. А гарантией «морального»
выбора должно служить максимальное вовлечение в его под-
готовку всех зависящих от него лиц. И последнее. Возмож-
ность аморальных решений не должна препятствовать приме-
нению рационального выбора на практике, ибо опыт показы-
вает, что одной интуиции для принятия решений явно недо-
статочно. Гораздо продуктивнее использовать рациональный
выбор для отбора личностей, соблюдающих нормы морали при
принятии решений или, по крайней мере, для создания обста-
новки, принуждающей к принятию «моральных» решений.
В процессе практического применения методов рационально-
го выбора, и в частности при внедрении системы оценки деятель-
ности кафедр университета, автору не раз приходилось выслуши-
вать критику рационального выбора, которая сводилась к той
мысли, что его результаты не отражают истиной картины.
Но тогда возникает вопрос: «А кому она известна?». Любая че-
ловеческая оценка обладает определенной долей субъективизма
и никогда не может претендовать на абсолютную истинность.
444
Совершенно очевидно, что среди оцениваемых лиц недовольны-
ми оказываются те, кто, по их мнению, получил незаслуженную
оценку. Безусловно, оцениваемое лицо имеет право считать по-
лученную оценку несправедливой. Можно на этом зациклиться,
переключив свое недовольство на рациональный выбор вообще.
А можно выбрать конструктивный путь — пытаться улучшить
систему оценивания и улучшать в рамках ее свои показатели.
В любом случае следует признать, перефразируя извест-
ную формулу, что с позиции критериальной составляющей
выбора «Оценщик всегда прав». Действительно, у каждого
покупателя свои вкусы и он всегда прав, предъявляя свои
запросы к товару. Не менее прав и ректорат, который создал
систему оценивания кафедр, и настаивает на ее обоснованно-
сти. Правила игры могут не всем нравиться. Но лучше иметь
и совершенствовать их, чем жить по наитию. Если «правила
игры» известны, ничто не мешает оцениваемым лицам, «иг-
рая по ним», добиваться лучших результатов. Вместе с тем,
отдавая должное системе оценивания, не следует абсолюти-
зировать ее результаты, поскольку сама система обладает
относительной истинностью.
Читателя не должны смущать парадоксы, обсуждавшиеся
при рассмотрении группового выбора и определении рейтинга
кафедр университета. Их следует рассматривать как поверхно-
стное восприятие результатов, не учитывающее ряда скрытых
факторов. Анализ этих факторов позволяет дать объяснение
подмеченным парадоксам.
Подчеркнем еще раз «всеохватность» задач рационального
выбора. Они применяются на всех этапах человеческой деятельно-
сти: планировании, оперативном управлении и подведении ито-
гов. Наука о принятии решений развивалась, исходя из запросов
промышленности, транспорта и военных нужд. В настоящее время
спектр применения ее результатов значительно расширился —
от новых информационных технологий (проектирование искусст-
венной жизни и агентов, действующих в информационной среде)
до создания роботов. В информационном обществе задачи раци-
онального выбора могут успешно решаться не только в экономи-
ке и политике, но и отдельными гражданами в обыденной жизни,
например, при приобретении товаров, в том числе через Интернет.
445
Говоря о дальнейших перспективах исследований, пред-
ставляется плодотворным рассматривать две взаимосвязан-
ных группы задач: дискретной оптимизации и идентифика-
ции (отождествления), что позволяет применить единый
подход к разработке моделей выбора альтернатив и экспер-
тных систем различного назначения. Еще много нерешен-
ных проблем остается в области экспертного оценивания сущ-
ностей в пространстве признаков, где могут быть использо-
ваны достижения психологии.
Важное направление образуют задачи принятия решений
при управлении сложными динамическими системами. В этой
области к настоящему времени получено много интересных
научно-практических результатов в рамках теорий коалици-
онных, бескоалиционных, кооперативных, иерархических, реф-
лексивных дифференциальных игр, теории управления само-
организующимися системами. Большой интерес представля-
ют также задачи принятия решений в распределенных дина-
мических системах, функционирующих в реальном масшта-
бе времени.
Наряду с решенными проблемами впереди еще много нехо-
женых «теоретических троп», но автору хотелось бы, чтобы
пройденные тропы стали столбовыми дорогами для практи-
ков. С этой надеждой и писалась эта книга, и автор будет
весьма удовлетворен, если она хоть в малой степени будет спо-
собствовать осуществлению этой мечты.
446
Список использованной литературы
1.	Адамацкий А.И., Холланд О. Роящийся интеллект: пред-
ставления и алгоритмы // Информационные технологии и вы-
числительные системы. 1998, №1, с.45—53.
2.	Альтшуллер Г.С. Алгоритм изобретения. — М.: Москов-
ский рабочий, 1973.
3.	Аметов Р.В., Гедике А.Е., Янковская А.Е. Инструменталь-
ное средство ИМСЛОГ-2002//Труды VIII конф, по искусственно-
му интеллекту КИИ’2002, том 2. — М.: Физматлит, с.683—691.
4.	Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Компьютерная под-
держка изобрета-тельства. — М.: Машиностроение, 1998.
5.	Асанов А.А., Кочин Д.Ю. Выявление подсознательных
экспертных решающих правил в задачах многокритериальной
классификации И Труды VIII конф, по искусственному интел-
лекту, КИИ’2002, том 2. — М.: Физматлит, с.534—544.
6.	Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериаль-
ные модели формирования и выбора вариантов систем. — М.:
Наука, 1986.
7.	Белкин А.Р., Левин М.Ш. Принятие решений: комбина-
торные модели аппроксимации информации. — М.: Наука, 1990.
8.	Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принци-
пы, методология. — М.: Наука, 1980.
9.	Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. —
М.: Наука, 1984.
10.	Гаврилова ТА., Червинская К.Р. Извлечение и структуриро-
вание знаний для экспертных систем. — М.: Радио и связь, 1992.
11.	Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях. —
М.: Знание, 1979.
12.	Гафт М.Г, Подиновский В.В. О построении решающих
правил в задачах принятия решений И Автоматика и телемеха-
ника, № 6, 1981.
13.	Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в эконо-
мике и финансах. — СПб.: BHV—Санкт-Петербург, 1999.
14.	Гарнаев А.Ю. VBA — Технология создания пользова-
тельских приложений. — СПб.: BHV—Санкт-Петербург, 1999.
15.	Городецкий В.И. Многоагентные системы: современное
состояние исследований и перспективы применения // Новости
искусственного интеллекта. 1996, № 4, с. 44—59.
447
16.	Горохов В.Л. Проблемы развития естествознания и нео-
пределенность научного эксперимента И Сборник докладов
Международной конференции по мягким вычислениям и изме-
рениям SCM’2002. — СПб.: Гидрометеоиздат, 2002.
17.	Горский П. http://www/cfm.ru/management/decision_science.shtml3http://www.gorskiy.ru.
18.	Дейвисон Д. Многомерное шкалирование. Методы на-
глядного представления данных. — М.: Финансы и статисти-
ка, 1988.
19.	Дюк В.А. Контекстно-зависимые локальные метрики
и геометрический подход к задачам формирования знаний //
Теория и системы управления. — М: Наука, 1996, № 5.
20.	Емельянов С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные ме-
тоды принятия решений. — М.: Знание, 1985.
21.	Еремеев А.П. Когнитивная компьютерная графика
в интеллектуальных системах поддержки принятия решений //
Виртуальная реальность в психологии и искусственном интел-
лекте. — М.: Российская ассоциация искусственного интеллек-
та, 1998.
22.	Железко Б.А., Морозевич А.Н. Теория и практика постро-
ения информационно-аналитических систем поддержки приня-
тия решений. —Армита — Маркетинг, Менеджмент, Минск, 1999.
23.	Загоруйко Н.Г Прикладные методы анализа данных
и знаний. —Новосибирск: Изд-во института математики, 1999.
24.	Зенкин А.А. Когнитивная Компьютерная Графика. — М.:
Наука, 1991.
25.	Калинин В.Н., Резников Б.А. Теория систем и управления
(структурно-математический подход). —Л.: ВИКА им. А.С. Мо-
жайского, 1978.
26.	Кенделл М. Ранговые корреляции. — М.: Статистика, 1975.
27.	Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих кри-
териях: предпочтения и замещения. — М.: Радио и связь, 1981.
28.	Ковалев В.И., Ледяев А.П., Микони С.В., Якубчик П.П.
Система оценки деятельности кафедр университета // Вестник
высшей школы, 2002, №1, с. 17—22.
29.	Кожухаров А.Н., Ларичев О.И. Многокритериальная за-
дача о назначениях И Автоматика и телемеханика, 1977, № 7.
448
30.	Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.:
Радио и связь, 1982.
31.	Кристофидис Н. Теория графов. Алгоритмический под-
ход. — М.: Наука, 1978.
32.	Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная ма-
тематика для инженера. — М.: Энергоатомиздат, 1988.
33.	КурейчикВ.М. Генетические алгоритмы и их применение. —
Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002.
34.	Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами
Excel 7.0. СПб.: BHV. — Санкт-Петербург, 1997.
35.	Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. — М.:
Наука, 1979.
36.	Ларичев О.И., Мошкович Е.М. Качественные методы
принятия решений. — М.: Физматлит, 1996.
37.	Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также
Хроника событий в волшебных странах. — М.: Логос, 2000.
38.	Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получе-
ния и анализа. — М.: Радио и связь, 1981.
39.	Макаров И.М., Виноградская Т.М., Рубчинский А.А.,
Соколов В.Б.. Теория выбора и принятия решений. — М.: На-
ука, 1982.
40.	Методы классической и современной теории автомати-
ческого управления // Учебник в 3-х книгах. Том 3. Методы
современной теории автоматического управления. Под ред.
Егупова Н.Д. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000.
41.	Микони С.В., Чахирева А.А. Формализованный язык для
определения понятий И Научно-техническая информация.
Журнал АН СССР. Сер. 2, 1987, с. 23—27.
42.	Микони С. В. Общие диагностические базы знаний вы-
числительных систем. — СПб.: СПИИРАН, 1992, 236 с.
43.	Микони С. В. Система выбора метода диагностирования вы-
числительной сети// Кибернетика и вуз. —Томск: ТПУ, № 28, 1994.
44.	Микони С.В., Методы и алгоритмы принятия решений.
Учебное пособие. Часть 1. — СПб.: ПГУПС, 1995, 55 с.
45.	Микони С.В. Проектирование и использование интеллек-
туальных справочников/ЛГруды Междунар. конф, по информа-
ционным сетям и системам, ICINAS-96. — СПб.: ЛОНИИС, 1996.
449
46.	Микони С.В., Баушев А.Н. Методы^ алгоритмы принятия
решений. Учебное пособие. Часть 2. — СПб.: ПГУПС, 1996, 53 с.
47.	Микони С.В., Баушев А.Н. Методы и алгоритмы принятия
решений. Учебное пособие. Часть 3. — СПб.: ПГУПС, 1997, 65 с.
48.	Микони С. В. Системы выбора с автоматическим порож-
дением альтернатив// Информационные технологии на ж.-д.
транспорте, — СПб.: Наука, 1998, с. 200—205.
49.	Микони С.В., Козченко Р.В., Созоновский П.Г. Выбор
наилучших вариантов из баз данных И Сборник докладов
Междунар. конф, по мягким вычислениям и измерениям
SCM’1999, том 2. — СПб.: СПбГЭТУ, 1999, с. 222—225.
50.	Микони С.В. Элементы дискретной математики. Учеб-
ное пособие. — СПб.: ПГУПС, 1999, 124 с.
51.	Микони С.В., Козченко Р.В., Созоновский П.Г. Выбор
и упорядочение объектов с иерархической системой показателей/
/Сборник докладов Международной конференции по мягким
вычислениям и измерениям SCM’2000, том 1, — СПб.: СПГЭТУ,
2000, с. 54—57.
52.	Микони С.В. Модели и базы знаний. Учебное пособие. —
СПб.: ПГУПС, 2000, 155 с.
53.	Микони С.В. Методы мягкого выбора // Труды конф. КИИ-
2000, том 2. — М.: Изд-физ.-мат. лит-ры, 2000, с. 472—479.
54.	Микони С.В., Козченко Р.В., Созоновский П.Г. Система
выбора и ранжирования объектов//Труды VII СПб. междунар.
конф. РИ’2000 «Региональная информатика-2000», — СПб.:
СПОИСУ, 2001, с. 274—277.
55.	Микони С.В. Структурирование предметной области
на основе логико-лингвистического анализа и метрики поня-
тий И Сборник научных трудов междунар. научно-практичес-
кого семинара «Интегрированные модели и мягкие вычисле-
ния в искусственном интеллекте», Коломна, 17—18 мая 2001. —
М.: Наука. Физматлит, 2001, с. 162—167.
56.	Микони С. В. Структуризация предметной области в за-
даче ранжирования объектов // Сборник докладов междунар.
конф, по мягким вычислениям и измерениям SCM’2001, том 1. —
СПб.: СПбГЭТУ, с. 54—57.
57.	Микони С.В. Система выбора и ранжирования СВИРЬ//
Труды междунар. конгресса «Искусственный интеллект в XXI
веке», том 1. — М.: Физматгиз, 2001.
450
58.	Микони С.В., Авраменко К.А., Капарис.А.О. Анализ не-
транзитивности в строгих и нестрогих парных предпочтениях //
Сборник научных трудов «Научная сессия МИФИ-2002», том 3. —
М.: Изд-во МИФИ, 2002, с. 165—166.
59.	Микони С.В., Бураков Д.П. Анализ влияния объектно-
ориентированного подхода на модернизацию системы СВИРЬ //
Сборник научных трудов «Научная сессия МИФИ-2002», том 3. —
М.: Изд-во МИФИ, 2002, с. 145—146.
60.	Микони С.В., Гарина М.И. Графический интерфейс сис-
темы выбора и ранжирования СВИРЬ // Сборник научных трудов
«Научная сессия МИФИ-2002», том 3. — М.: Изд-во МИФИ,
2002, с. 174—175.
61.	Микони С.В., Авраменко К.А., Капарис.А.О. Диагностика
нетранзитивности парных предпочтений в системе СВИРЬ И
Сборник докладов междунар. конф, по мягким вычислениям и
измерениям SCM’2002, том 1. — СПб.: СПбГЭТУ, с. 201—205.
62.	Микони С.В., Сорокина М.И. Ранжирование объектов
с иерархической системой признаков на основе нечеткой класси-
фикации // Сборник докладов междунар. конф, по мягким вычис-
лениям и измерениям SCM’2002, — СПб.: 25—27 июня 2002,
СПбГЭТУ, том 1, с. 206—209.
63.	Микони С.В. Многокритериальная оценка объектов
в системе СВИРЬ// Труды конф. IEEE AIS’02 и CAD-2002. —
М.: Наука. Физматлит, 2002, с. 382—388.
64.	Микони С.В., Бураков Д.П., Сорокина М.И. Реализация прин-
ципов эргономичности и интеллектуальности в системе СВИРЬ И
Программные продукты и системы, 2002, № 3, с. 28—32.
65.	Микони С.В. Оценка деятельности кафедр университета
как задача рационального выбора// Вестник ПГУПС, — СПб.:
ПГУПС, 2003, Вып.1, с. 124—130.
66.	Микони С.В., Сорокина М.И. Конструирование методов
выбора и ранжирования на основе функционального базиса//
Сборник докладов междунар. конф, по мягким вычислениям и
измерениям SCM’2003, том 1, — СПб.: СПбГЭТУ, с. 119—122.
67.	Микони С.В., Бураков Д.П. Парадоксы многокритери-
ального ранжирования объектов // Сборник докладов между-
нар. конф, по мягким вычислениям и измерениям SCM’2003,
том 1. — СПб.: СПбГЭТУ, с. 123—126.
451
68.	Микони С.В. Систематизация задач рационального выбо-
ра И Труды конф. IEEE AIS’03 и CAD-2003, том 1. — М: Наука,
Физматлит, 2003, с. 428—433.
69.	Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. — М.: На-
ука, 1974.
70.	Науман 3. Принять решение — но как? — М.: Мир, 1987.
71.	Нейман Д., Моргенштерн О. Теория игр и экономичес-
кое поведение. — М.: Наука, 1970.
72.	Нечеткие множества в моделях управления и искусст-
венного интеллекта. Под редакцией Д.А.Поспелова. — М.:
Наука, 1986.
73.	Орловский С.А. Проблемы принятия решения при нечет-
кой исходной информации. — М.: Наука, 1981.
74.	Осипов Г.С. Приобретение знаний интеллектуальными
системами. — М.: Наука. Физматгиз, 1997.
75.	Павловский Ю.Н. Имитационные модели и системы. —
М.: Изд-во ФАЗИС, ВЦ РАН, 2000, 131с.
76.	Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный
анализ. — М.: Высшая школа, 1989.
77.	Петровский А.Б. Упорядочение и классификация объек-
тов с противоре-чивыми признаками//Новости искусственного
интеллекта, 2003, №4, с. 34—43.
78.	Петрушин В.А. В.В. Яценков, С.Т. Андрианов. TRAPEZIUM —
инструментальная экспертная система для диагностики в усло-
виях нечеткости и неопределенности И Управляющие системы и
машины, 1994, № 1/2.
79.	Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с упоря-
доченными по важности критериями И Автоматика и телеме-
ханика, 1976, №11.
80.	Положение о внутривузовской системе оценки деятель-
ности кафедр университета. — СПб.: ПГУПС, 22.10.2001.
81.	Попов Э.В., Фоминых И.Б., Кисель Е.Б., Шапот М.Д.
Статические и динамические экспертные системы. — М.: Фи-
нансы и статистика, 1996.
82.	Поспелов Д.А. Ситуационное управление. Теория и прак-
тика. — М.: Наука, Физматгиз, 1986.
452
83.	Поспелов Д.А. Многоагентные системы — настоящее и
будущее И Информационные технологии и вычислительные си-
стемы. 1998, № 1.
84.	Прикладные нечеткие системы. Под редакцией Тэрано Т.,
Асаи К., Сугэно М. — М.: Мир, 1993.
85.	Рахманова И.О. Методы и модели интеллектуальной
поддержки группового принятия решений в сложных органи-
зационно-технических системах // Информационные техноло-
гии и интеллектуальные методы. — СПб.: СПИИРАН, 1996.
86.	Рубашкин В.Ш. Представление и анализ смысла в ин-
теллектуальных информационных системах. — М.: Наука, 1989.
87.	Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Орга-
низация систем. — М.: Радио и связь, 1991.
88.	Саймон Г. Наука об искусственном. — М.: Мир, 1972.
89.	Скурихин В.Н., Забродский В.А., Копейченко Ю.В. Адап-
тивные системы управления машиностроением. — М.: Маши-
ностроение, 1989.
90.	Справочник по искусственному интеллекту. Под редак-
цией Попова Э.Д., Поспелова Д.А.. — М.: Радио и связь, 1990.
91.	Стернин М.Ю., Шепелев Г.И. Метод представления зна-
ний в интеллектуальных системах поддержки экспертных ре-
шений//Новости искусственного интеллекта, 2003, № 4.
92.	Степин В.С. Идеалы и нормы в динамике научного
поиска//Идеалы и нормы научного исследования. — Минск:
Изд-во БГУ, 1981, с. 10-64.
93.	Тарасов В.Б. От многоагентных систем к интеллектуаль-
ным организациям: философия, психология, информатика. —
М.: Изд-во УРСС, 2002.
94.	Торгашев В.А., Плюснин В.У., Пономарев В.М. Мульти-
процессоры с динамической архитектурой// Электронно-вычис-
лительная техника. — М.: Радио и связь, 1988. — С. 172—182.
95.	Черняк Л., Сердечкина Н., Кожухаров А., Патрикеева Т.
Модель процесса подготовки рукописи в издательстве И Алго-
ритмы и модели управления в технических и организационных
системах, — М., 1976.
96.	Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели. — М.:
Радио и связь, 1982.
453
97.	Эйрес Р. Научно-техническое прогнозирование и долго-
срочное планирование. — М.: Мир, 1971.
98.	Braspenning P.J. Plant-like, Animal-like and Humanoid
Agents and Corresponding Multi-Agent Systems // Proc. Int.
Workshop on Distributed Artificial Intelligence and Multi-Agent
Systems DAIMAS’97, St. Petersburg, 1997, pp.64—77.
99.	Mikoni S. V. Multi-Agent Model for Metro Scheduling //
Proceedings of the 1-st International Workshop of Central and
Eastern Europe on Multi-Agent Systems. CEEMAS’99, St.Petersburg,
1999, pp.163—172.
100.	Mikoni S. Method of choice by approximation to a pattern
// Proceedings of Conf. NITE’2000, —Minsk: Belarus State Edonomic
University, 2000, pp. 156—159.
101.	Russel S.J., Norvig P. Artificial Intelligence: a Modern
Approach. — Englewood Cliffs NJ: Prentice Hall, 1995.
102.	Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control. Vol.8,
338-353, June 1965.
103.	Zadeh L.A, Nikravesh M., Aminzadeh F. Computing with words
and the BISC Decision Support System// Сборник докладов Между-
нар. конф, по мягким вычислениям и измерениям SCM’2002. —
СПб.: Гидрометеоиздат, 25—27 июня 2002, стр. 18—22.
104.	Zadeh L.A. Toward perseption-based theory of probabilistic
reasoning with imprecise probabilities//C6opHHK докладов Между-
нар. конф, по мягким вычислениям и измерениям SCM’2003. —
СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 25-27 июня 2003, стр. 69—75.
105.	Zhuravlev Yu.1. An algebraic approach to recognition or classification
problems // Pattern Recognition and Image Analysis/ — M. 1998, N8
(10). P.59—100.
106.	Zwicky F. Discovery invention, research through the
morphological approach. New York: McMillan&Co,. 1969.
107.	Yordan E. Modern Structured Analysis. —N.Y.: Prentice
Hall, Ent. Ed., 1989.
454
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ.........................................3
ВВЕДЕНИЕ............................................8
Глава 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ............................14
1.1.	Основные понятия..............................14
1.2.	Этапы принятия решений........................17
1.3.	Формулирование проблемы.......................19
1.4.	Выявление целей...............................22
1.5.	Измерение и шкалы.............................24
1.5.1.	Шкала наименований.....................25
1.5.2.	Порядковая шкала.......................26
1.5.3.	Интервальная шкала.....................28
1.5.4.	Шкала отношений........................29
1.5.5.	Полярная шкала.........................30
1.6.	Формирование критериев........................31
1.7.	Функция полезности............................34
1.8.	Сбор информации...............................37
1.8.1.	Содержимое информации..................37
1.8.2.	Источники информации...................40
1.9.	Классификация задач выбора....................43
Выводы.............................................46
Глава 2. ПОРОЖДЕНИЕ АЛЬТЕРНАТИВ....................49
2.1.	Способы порождения............................49
2.2.	Морфологический анализ предметной области.....51
2.3.	Морфологический синтез вариантов..............54
2.4.	Множество альтернатив.........................58
2.5.	Интеллектуальные справочники..................60
2.6.	ИС «Методы диагностирования вычислительной сети».63
2.6.1.	Разработка модели диагностирования ВС..63
2.6.2.	Диагностика состояния вычислительных модулей... 65
2.6.3.	Порождение методов диагностирования ВС.69
455
2.7.	Составление учебных расписаний....................75
2.7.1.	Постановка задачи..........................75
2.7.2.	Планирование преподавания дисциплин........78
2.7.3.	Порождение учебных расписаний..............81
Обсуждение.............................................84
Выводы.................................................86
Глава 3. СТРУКТУРИРОВАНИЕ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ .. 88
3.1.	Иерархическое пространство признаков..............88
3.2.	Оценивание объектов в иерархическом пространстве..89
3.3.	Построение дерева признаков.......................91
3.4.	Реструктурирование пространства признаков.........94
3.5.	Семантическое сопоставление признаков.............96
3.6.	Логико-лингвистический анализ признаков..........100
3.7.	Методика структурирования пространства признаков.103
3.8.	Практический пример............................. 105
Обсуждение..............................................Ш
Выводы.................................................ИЗ
Глава 4. ОТБОР ОБЪЕКТОВ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРИЗНАКОВ... 115
4.1.	Задачи отбора объектов...........................115
4.2.	Отбор недоминируемых объектов....................118
4.3.	Отбор объектов на основе ограничений............ 123
4.4.	Поиск объекта по цели........................... 126
4.5.	Отбор объектов в иерархическом пространстве признаков ... 128
Обсуждение........................................... 129
Выводы................................................131
Глава 5. УПОРЯДОЧЕНИЕ ОБЪЕКТОВ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПРИЗНАКОВ.........................................133
5.1.	Задачи упорядочения объектов.................... 133
5.2.	Одномерное упорядочение объектов.................134
5.3.	Упорядочение по приоритету критериев............ 135
5.4.	Упорядочение объектов по функции полезности......140
5.5.	Анализ свойств функций полезности................144
5.6.	Балльная оценка объектов........................ 149
5.7.	Упорядочение отобранных объектов.................151
5.7.1.	Упорядочение граничных объектов...........151
456
5.7.2.	Упорядочение объектов, отобранных по ограничениям.. 152
5.7.3.	Условная оптимизация...................... 153
5.8.	Упорядочение объектов относительно требований.......153
5.9.	Упорядочение объектов в иерархическом пространстве
признаков.......................................... 158
5.10.	Упорядочение сложных объектов....................160
Обсуждение............................................ 163
Выводы................................................ 166
Глава 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ...................... 168
6.1.	Методы определения приоритетов................... 168
6.2.	Измерение предпочтений........................... 170
6.3.	Задание предпочтений............................. 174
6.4.	Нетранзитивность предпочтений.................... 177
6.5.	Диагностика нетранзитивных предпочтений.......... 179
6.5.1.	Циклы в графе предпочтений................ 179
6.5.2.	Условия возникновения циклов в орграфе....... 180
6.5.3.	Нетранзитивность при нестрогих предпочтениях .. 182
6.6.	Определение нормированных приоритетов............ 186
6.6.1.	Расчет приоритетов на основе вектора предпочтений. 186
6.6.2.	Расчет приоритетов на основе МПС............... 188
6.7.	Определение приоритета признаков в иерархическом
пространстве....................................... 194
6.7.1.	Обеспечение равноценности признаков в таблицах. 197
6.7.2.	Обеспечение равноценности первичных признаков...197
6.7.3.	Экспертная оценка значимости признаков......... 198
6.7.4.	Перераспределение весов в иерархии..............200
6.8.	Определение приоритета объектов методом анализа
иерархий............................................202
Обсуждение.............................................204
Выводы.................................................207
Глава 7. ГРУППОВОЙ ВЫБОР...............................210
7.1.	Объективизация выбора.............................210
7.2.	Принятие решения малой группой....................211
7.3.	Организация экспертизы............................212
7.4.	Парадоксы систем голосования......................214
7.5.	Аксиомы системы голосования.......................219
457
7.6.	Преодоление теоремы невозможности Эрроу........220
7.7.	Групповая оценка величин.......................223
7.8.	Усреднение результатов парных сравнений........225
7.9.	Групповые парные сравнения.....................227
7.9.1.	Расчет групповых приоритетов............227
7.9.2.	Определение совместности попарных сравнений... 228
7.9.3.	Оценка меры согласия между экспертами...230
7.10.	Расчет грузовых рейтингов.....................232
7.11.	Согласованность рейтингов.....................234
7.12.	Значимость коэффициента конкордации...........238
Обсуждение..........................................239
Выводы..............................................241
8. ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ВЫБОР В ГРУППЕ....................243
8.1.	Противодействие и содействие индивидуумов......243
8.2.	Рациональный выбор в условиях противоборства...244
8.2.1.	Антагонистическая игра с чистыми стратегиями .... 245
8.2.2.	Антагонистическая игра со смешанными стратегиями.... 250
8.3.	Рациональный выбор в отсутствие противоборства.255
8.3.1.	Критерий Вальда.........................259
8.3.2.	Критерий Гурвица........................260
8.3.3.	Критерий Сэвиджа........................262
8.3.4.	Критерий Байеса.........................263
8.4.	Выбор на основе эксперимента...................264
8.5.	Выбор в условиях содействия....................266
8.5.1.	Характеристика среды....................266
8.5.2.	Характеристика агента...................267
8.5.3.	Степень самостоятельности агентов.......268
8.5.4.	Задачи выбора в условиях содействия.....269
Обсуждение..........................................273
Выводы..............................................275
Глава 9. ВЫБОР В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКОЙ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ...................................277
9.1.	Природа неопределенности.......................277
9.2.	Нечеткое множество.............................280
9.3.	Нечеткое отношение и выбор по приоритету.......284
9.4.	Операции над нечеткими множествами.............286
458
9.5.	Модель нечеткого выбора в пространстве признаков.293
9.6.	Задачи нечеткого выбора в пространстве признаков....296
9.6.1.	Отбор недоминируемых объектов................296
9.6.2.	Отбор объектов на основе ограничений.........297
9.6.3.	Выбор наилучшего объекта.....................297
9.6.4.	Упорядочение объектов........................298
9.6.5.	Условная оптимизация.........................299
9.6.6.	Метод мягких притязаний......................300
9.7.	Нечеткая классификация объектов.....................300
9.8.	Нечеткая классификация объектов по качеству.........302
9.9.	Ранжирование объектов на основе нечеткой классификации ... 308
Обсуждение...............................................310
Выводы...................................................313
Глава 10. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНИВАНИЯ..................315
10.1.	Задачи анализа.....................................315
10.2.	Различение двух рейтингов в шкале строгого порядка.316
10.2.1.	Первичные показатели различия рейтингов.....316
10.2.2.	Различение порядка следования рангов
в двух рейтингах..............................318
10.3.	Различение двух рейтингов в шкале нестрогого порядка... 320
10.3.1.	Варианты соотношения двух шкал..............320
10.3.2.	Ослабление (усиление) порядка...............321
10.3.3.	Изменение числа инверсий....................323
10.4.	Определение меры сходства двух рейтингов........324
10.5.	Вклад признака в общую оценку объекта..............327
10.5.1.	Аддитивная функция полезности...............327
10.5.2.	Мультипликативная функция полезности........330
10.5.3.	Функция соответствия требованиям............332
10.5.4.	Вклад признака в иерархической структуре.335
10.6.	Когнитивная графика.............................335
10.6.1.	Диаграммы...................................336
10.6.2.	Цветовой стандарт качества..................337
Выводы...................................................339
Глава 11. АВТОМАТИЗАЦИЯ РАЦИОНАЛЬНОГО
ВЫБОРА..............................................341
11.1.	Обоснование автоматизации..........................341
11.2.	Требования к системе автоматизации.................344
459
11.2.1.	Универсальность системы.................344
11.2.2.	Сочетание объективных и субъективных оценок.. 344
11.2.3.	Реальная размерность задач..............344
11.2.4.	Автономность............................345
11.2.5.	Эргономичность..........................345
11.2.6.	Комплексирование с другими системами....345
11.3.	Функциональный базис задач рационального выбора.346
11.4.	Представление задач в базисе свойств...........349
11.5.	Способы экспертного оценивания предпочтений.....356
11.6.	Назначение и функции системы автоматизации выбора... 357
11.6.1.	Проектирование модели-прототипа ПО.......359
11.6.2.	Создание модели-экземпляра ПО (подготовка
исходных данных)...............................359
11.6.3.	Постановка задачи выбора................359
11.6.4.	Определение приоритета признаков на основе
предпочтений...................................360
11.6.5.	Сохранение модели ПО....................361
11.6.6.	Решение задачи..........................361
11.6.7.	Представление результатов...............361
11.6.8.	Анализ результатов......................361
11.6.9.	Редактирование и вывод результатов......361
11.7.	Типовые задачи, решаемые системой..............362
Обсуждение...........................................366
Выводы...............................................367
Глава 12. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВЫБОРА НА СИСТЕМЕ
СВИРЬ................................................369
12.1.	Проектирование модели-прототипа................369
12.2.	Создание модели-экземпляра.....................374
12.3.	Постановка задачи выбора.......................378
12.4.	Отбор недоминируемых объектов..................380
12.5.	Упорядочение объектов на основе оптимизации признаков.. 383
12.6.	Отбор объектов по ограничениям.................388
12.7.	Поиск по цели..................................389
12.8.	Условная оптимизация...........................391
12.9.	Упорядочение объектов относительно требований
к значениям признаков...............................393
460
12.10.	Классификация объектов.......................397
Обсуждение..........................................401
Выводы..............................................403
Глава 13. ОЦЕНКА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КАФЕДР
УНИВЕРСИТЕТА.........................................406
13.1.	Постановка задачи.............................406
13.2.	Требования к системе оценки деятельности кафедр.407
13.3.	Система оценки деятельности кафедр университета.409
13.4.	Выбор функции полезности......................413
13.5.	Задание значимости критериев..................414
13.6.	Технология оценивания деятельности кафедр.....420
13.7.	Сбор и анализ исходных данных.................421
13.8.	Анализ результатов оценки.....................425
13.8.1.	Взаимосвязь критериев..................426
13.8.2.	Вклад критериев в совмещенную оценку.....428
13.8.3.	Взаимосвязь общего и локальных	рейтингов.430
13.8.4.	Рейтинг объекта в группе и	подгруппе...431
13.9.	Изменение системы критериев...................432
13.10.	Расчет рейтинга факультетов..................437
Выводы..............................................441
Заключение..........................................443
Литература..........................................447
Об авторе
Микони Станислав Витальевич, доктор технических наук,
профессор кафедры «Высшая математика» Петербургского
государственного университета путей сообщения, член-коррес-
пондент Международной академии информатизации, член
Российской ассоциации искусственного интеллекта. Специалист
в области информатики, технической диагностики и искусст-
венного интеллекта. Автор монографии по диагностированию
вычислительных систем, учебных пособий по дискретной ма-
тематике, теории принятия решений и искусственному интел-
лекту. Автор программной системы выбора и ранжирования
СВИРЬ. Опубликовал свыше 150 научных работ.
462
Станислав Витальевич Микони
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
РАЦИОНАЛЬНОГО ВЫБОРА
Монография
Корректор Н.А. Каменская
Компьютерная верстка Г.А. Демиденко
Подписано в печать 16.06.2004 г. Формат 60x84 1/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная № 1.
Усл. печ. л. 29,0. Тираж 2000 экз. Зак. 8809.
Издательство «Маршрут», 107078, Москва, Басманный переулок, 6
Учебно-методический центр МПС России
Отпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ»,
140010. г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403.
Тел. 554-21-86.
п
г
и
F
Е
Е
I
?
J
t
ISBN 5-89035-141-9
Учебно-методический центр
по образованию
на железнодорожном
транспорте
Министерства путей
сообщения
Российской Федерации
предлагает
Учебники и учебные пособия для высших
учебных заведений
Сапожников В.В. Теория дискретных устройств желез-
нодорожной автоматики, телемеханики и связи. 2001. -
312 с.
Трубочкина Н.К. Интернет для начинающих. 1999. - 187 с.
Яковлев В.В. и др. Информационная безопасность и за-
щита информации в корпоративных сетях железнодо-
рожного транспорта. 2002. - 336 с.
Учебники и учебные пособия для средних
специальных учебных заведений
Дайлидко А. А. и др. Стандартизация, метрология и серти-
фикация на железнодорожном транспорте. 2002. - 262 с.
Кудряшов В.А. и др. Системы передачи дискретной ин-
формации. 2002. - 384 с.
Трубочкина Н.К. Интернет для начинающих. 1999. - 187 с.
Шмытинский В.В. и др. Многоканальные системы пере-
дачи. 2002. - 558 с.
Для приобретения учебно-методической литературы
направляйте заявки с указанием своего почтового
адреса в УМЦ МПС России:
107078, г. Москва, Басманный пер., д. 6
тел./факс 262-12-47, факс 262-74-85
E-mail: marketing@umkmps.ru
http: www.umkmps.ru