/
Tags: методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе
ISBN: 978-5-8346-0097-8
Text
Р.В. Сагитов, В.Г. Шершнев
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Для подготовительных курсов
Издание восьмое, исправленное и дополненное
Москва • 2007
ББК 74.26
С23
Составители:
Сагитов Р.В., Шершнев В.Г.
С23 Сборник задач по математике. Для подготовительных
курсов. Издание восьмое, исправленное и дополненное.
- М.: Издательство «Менеджер», 2007 - 160 с.
ББК 74.26
Сборник содержит задания по математике, большинство из
которых в последние восемнадцать лет использовались на
вступительных экзаменах в РЭА им. Г.В. Плеханова и другие
ведущие экономические ВУЗы. Сборник составлен преподавателями
кафедры высшей математики РЭА им. Г.В. Плеханова, несколько
десятков лет участвовавших в приемных экзаменах. Сборник
ежегодно дополняется.
Сборник задач может быть использован на подготовительных
курсах и при самостоятельной подготовке к вступительным
экзаменам.
ISBN 978-5-8346-0097-8
©Сагитов Р.В., Шершнев В.Г.
2000-2007
Содержание
Предисловие..................................................... 5
Глава 1. Тождественные преобразования числовых и алгебраических
выражений......................................................... 6
Глава 2. Алгебраические уравнения и неравенства................... 10
§ 1. Рациональные уравнения................................... 10
§ 2. Рациональные неравенства................................. 12
§ 3. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля...... 15
§ 4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.... 16
§5. Иррациональные уравнения............................... 18
§6. Иррациональные неравенства............••••,............. 20
£1. Уравнения и неравенства с параметром............ . ....... 21
§ 8. Показательные и логарифмические тождественные преобразования 31
«А 9. Показательные уравнения................................. 33
1у10. Показательные неравенства....................*......... 35
§11. Логарифмические уравнения............................ 36
8§ 12. Логарифмические неравенства............................ 39
Глава 3. Тригонометрия........................................... 41
§ 1. Преобразование тригонометрических выражений............. 44
§ 2. Решение простейших тригонометрических уравнений......... 48
§ 3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратному урав-
нению 49
§ 4. Однородные тригонометрические уравнения................ 50
ф 5. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения
вспомогательного угла............................................ 50
§ 6. Решение тригонометрических уравнений с помощью понижения
степени 51
§ 7. Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения
на множители.................................................... 51
§ 8. Тригонометрические уравнения с выборкой решений ........ 52
§ 9. Системы тригонометрических уравнений.................... 55
Глава 4. Текстовые задачи........................................ 56
§ 1. Задачи на проценты................................... 5(?
§ 2. Задачи на сплавы, смеси, растворы..................... 61
§ 3. Задачи на движение.......................;............ 65
§ 4. Задачи на работу...................................... 73
§ 5. Задачи на прогрессии.................................. 78
§ 6. Задачи на числа...................................... 81
§ 7. Задачи на распределение и сравнение................... 83
Глава 5. Планиметрия............................................ 86
Основные формулы............................................ 86
§ 1. Треугольники.......................................... 87
§ 2. Четырехугольники..................................... 94
§ 3. Окружность.......................................... .97
Глава 6. Стереометрия........................................ 105
Основные формулы......................................... 105
§ 1. Параллелепипеды, призмы............................. 106
§ 2. Пирамиды......................................... 109
§ 3. Тела вращения....,..................................' 114
§ 4. Вписанные (описанные) тела.......................... 116
§ 5. Сечения........................................... 121
§ 6. Пересекающиеся плоскости............................ 126
Глава7. Векторы.............................................. 128
Глава 8. Производная функции................................. 132
§ 1. Производная функции................................. 132
§ 2. Касательная к графику функции....................... 134
§ 3. Исследование функций, построение графиков............136
§ 4. Наюцерыпее и наибольшее значения функции............ 138
§ 5. Применение производной для решения задач............ 140
Ответы...................................................... 143
Основные тригонометрические формулы........................... 159
Предисловие
Предлагаемый вниманию читателей сборник задач по математике пред-
назначен для поступающих в экономические ВУЗы. Содержит наиболее инте-
ресные задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в РЭА им. Г.В.
Плеханова, а также в другие экономические и финансовые ВУЗы, в период с
1990 по 2007 г.г.
Сборник задач может служить дополнительным учебным материалом при
изучении элементарной математики. Может быть использован как на занятиях
подготовительных курсов, так и при самостоятельной подготовке к вступи-
тельным экзаменам по математике. В нём содержатся задали и примеры по
всем ключевым разделам школьного курса математики. Отсутствие некоторых
разделов, например, начала интегрального исчисления, объясняется тем, что
эти разделы не включены в программы вступительных экзайенов ВУЗов.
В начале каждого раздела приводятся основные формулы-и соотношения,
позволяющие при определённом усердии справиться с каждым заданием. Ко
всем заданиям приводятся ответы. В сборнике не разбираются решения типо-
вых задач. Составители сборника считают, что школьные учебники являются
достаточным учебным материалом.
Составители надеются, что сборник задач будет полезен учителям школ и
подготовительных курсов, а также школьникам и абитуриентам в процессе изу-
чения математики при подготовке к вступительным экзаменам.
Глава 1. Тождественные преобразования числовых и алгебраических
выражений
Формулы сокращенного умножения 1. (a + b)2 =a2+2ab + b2. 2. (a-b)2 =а2-2ab + b2. 3 . a2 — b2 = (а- ft)-(a + fe), 4 .(а + й)3 = а2 + 3a2b + 3ab2 + Ь2. 5. (a-b)2 = a2 -3a2b + 3ab2 -1?. 6. (a + b)2 = a2+b2 +3ab(a + b). 7. (a-b)2 =а2-b2-3ab(a-b). 8. а2 + b2 =(а + b)'(a2 -ab + b2}. 9. a2 -b2 =(a-b)-[a2 +ab + 62). 10. а2 + Ь2 = (а + b)2 - 3ab(a + Ь). 11. а2 - b2 = (а - b)2 + 3ab(a - b). ' ; Некоторые свойства степеней 1.а° = 1. 2.а~п=—. З.ап-ат=ап+т.' 4.— = ап~т. а" аШ 5. рр=а’-'". 6. an/m = i^. 7. >/? = |а|. 8. V? = а.
Формула для извлечения корней у/А ± -/в = — ±, V 2 1 А-уГа2-В
2
1{(^)5 •160’5):(^4-^6.4-°’5). 2.(725 5~1/2):(($/25)2 • Ts):^2 -(^25)’2) .
3.((473 + V27)2 - 7^(73 - ^27)2 + 7). 4. (675 - T7')((V7 + - Тй)(77 + 71).
5.((^5-^25)2+9Х(^5 + ^25)2-9). 6. f(^3-^)2+«X(V3+^)2-3715).
7. J(^-2)2+^/7-5f 8.|7й-з)2+|7й-4)2.
9. 72 + 73^2 + 72 + 73 ^2 + ^2 + 72 + 73 д/г-д/г + л/г + Тз.
10. д/б-2л/5 -л/б + 2>/5 . 11. V3-2V2-л/3 + 2^.
12. 7- (1/(71 + 3) -1/(71- 3))- (V27-10V2 + 71 ).
(75+з)(75-з) ’ (7б+1)(7б-1) ‘ 72-7з +
16 712-б73~714 + б75 ! Cg (72 + 75^72 - 75) 475 - 276
>£-7з ‘ ‘ з(7^^-75) ' ‘(^+^Х^-47з)’
Вычислить:
”11 21.. 7-477 5-2Тб \ 11 + 677 4-2-75 +l |2^-472. 20. 129-6^.^ а у 4 + 2Тз /7 + 2710 6-275 гт V 3 + 272 Ъ-2Т2 Н^_|з±^.1+7 ^4-2^ М+2^ , .(72-^)
23. ,, * 2b. - 28. ( 30. 789 - 28710 -2 749 - 20^6-1 „ 7б8-4 7161-7275-75 75-728-1б7з 717-1 /193-13275 + 75 27 3(713 + 2) 4(719-2) 73+Т97-5673 t 719-4 713-3 J ^- + 6717^(717-4). .29. 2717-3 717-2 Л ’ 73 - 72 + 1 4- 27 з,7^-3>-^ + 4+7Л5 75-73 + 1 7-2715 1 715 + 3 717-4 872+72 272-72 •(2-Т1з) -5 6 ’ У (1+717)
32. Г + 2) +17 + 8717^1 • (л/19 + 3).
I 717-3 л/19-4 J
з (721 + 72) 26>/2 721 + 372 ' 721-272’ 35 7872+2730-7772-4г/5 _ /10 + 476 га 71275-1077+>/875-10г/3 Т10>/5-27105 11(723 + 73) 20V3 723+273 7^-7з нд 757з-б72 + 787з-б75 ' /7>/3-2>130 38 4уё 714>/б-24-757б-12 3>/2
39. 725-я2 + 715-а2, если ^25-а2 - 715-я2 = 2.
40. >/(8-я2)-(5 + я2), если 7в-я2 + ^5 + а2 = 5.
41. ^/(3-2р)-(1-2₽), если 3/3-2Р - ^1-2р = 5.
42. ^20-я2 -713-я2, если 713-я2 + yllO-a2 = 3.
43. 3-7(2 + я2)-(4-я2), если 74-я2 + sl2 + a2 = 3.
44. 7(3-₽) (4+Р), если ^З^Р + ^4 + р = 2.
л- ( 25 2b b3-25b2} (, _ 15*Л 1
\.b2-5b + 25 5 + b b3+125 J ' b + 5J b + 5
Вычислить:
56. (git 2VrT £ +1 _ f_g_)
l Да ) \2 a -Jl) \a + &)
-Jx + -Jl' ' '
Вычислить:
//2 1/213/2 A
64- [[4,
\\ a - b J
2
1
4a
-3
65.
а + мао цг-г
г- л1—-31аЬ -
Ja + Jab
a-b
.66.
67. [-рД
a - Jab + b\ 4jb
Ja-Jb ) a-b
68.
69.
5(a-6)
(Ja - VK)3 + 2a3/2 + bJb । з/,
aja + bJb a-b
-2
70.x3 +6х,гдех = д/2>/з + 2—3....71.x3 +9х,где x =
3
V3T+2
72.
a2 -bjab
75.
76.
77.
при a < 0.
1
a-Jab (a + b)
2(ai)~1/2
( a-Jab b + Jab] a-b
74. ---7= +--7= r_r='
\.a + y/ab b-\ab) -Jab
a2+3ajab+ 3ab+bjab a + Jab
ajb + 2bja + bJb
D
-1/2.1/2
a b
I ajab-3ab + 3bjab-о Jab-b
aja - 2a Jb + bja Ja
16^?+72^+81^ . 4^+9^/y
56^?+138^+27^ 28^+6^У
a'/2b-'/2
,78, z ^-y/
8x-78^x3/ +135^ ^&-45^
- чч-|3
1 \ + l5.
- z •
-1 '
+ 1
1/3
80.
-1
Глава 2. Алгебраические уравнения и неравенства
§ 1. Рациональные уравнения
Решить уравнения:
1. х3-х2-Зх + 2 = 0. 2. 2х3+5х2 +х-2 = 0. 3. 2х3-7х2+8х-4= 0.
4. Юх3-Зх2-2х + 1 = 0.
5. 2х4 + х3 -х2 + х-3 = 0.
6. Зх3 +11х2 + 9х + 1 = 0.
7. 4х4-16х3+3х2 + 4х -1 = 0.
8. Вычислить X] х4 + X4 х2, где X] и х2 - корни уравнения 2х2 + Зх - 4 = 0.
9. Вычислить х2 х2 + X]5 х2, где X] и х2 - корни уравнения 2х2 + 4х -1 = 0.
X2 X2
10. Вычислить — + —, где Х] и х2 - корни уравнения 2х2 + 6х +1 = 0.
Х2 X]
11. Найти отрицательное значение <у, если корни уравнения Зх2 -2qx-15 = 0
3 з 530
удовлетворяют условию х^-х^+х^-х^ = ——.
12. Найти целое значение р, если корни уравнения х2 + 5х+р = 0 удовлетворя-
х2 65
ют условию —Х- + —*- =---.
х2 х2 16
Решить уравнения:
13. (х2 +Зх-2)2 + (х2 +3х-з)2 = 5
15. Ю 12 _2
(х + 1Хх + 4) (х + 2Хх + 3)
17. х2 - х + 3 х2 -х + 4 _с х -х + 1 х -х + 2
19. 2х2+Зх + Д----13=0. X2 X
21. т 9 12 4х2+ — -8х + 17 = 0. X2 X
23. (х2 +2х)2-4(х + 1)2 +7 = 0.
25. х(х+2)(х+3)(х+5) = 7 2.
27. 17 10 15 42 1 1 = — . х-1 х + 5 х + 15 х-3
29. о II 1^ СП 1 1 * + 1 см 1 1 х + 'О + 1 X -1;
-----------1----------------
х(х + 4) (х + 1)(х + 3)
, 1 1
18. х2+ —у + х + —-4=0.
х2 х
20. 2х2+4- + 5х~ —-15 = 0.
х2 х
24. х(х+1)(х+2Хх+3) = 24.
26. (х-1Х*+1)(х+3)(х+5) = 105.
х—1 х + 2 х+3 х-4
30 х + 1 । х + 5 - х + 3 ! х+4
х-1 х-5 х-3 х-4
Решить уравнения:
(* + ')2 “ ')2 А X2 - 1
31. 1+ 5-i----------= 6—z------.
(х-2)2 (х + 2)2 х2-4
। 16х 5х _ 1
х2+7х-36 х2+х-36 2
20х
33. —-----------
х2 + Зх + 10
20х
х2 +2х + 10
+ 1 = 0.
35. 4(х + 5)-(х + б)-(х + 10)-(х + 12) = Зх2.36. (х+ б)-(х + 3)-(х-1)-(х- 2) = 12х2.
37. (х + 1)2 + (1-1)2 =2(|-х). 38. 2(2х + 1)2 -5(4х-1) = 3(2-1)2.
39. (х + 1)3 + (х + 2)3 -8х3-27 = 0.40. (х-2)3 +(х + 3)3 = 8х3 +1.
Решить системы уравнений:
2х + Зу + z = 4, '5х + 2у + 4z = 22, 2х + у - z = 6,
41. Зх + 4у + 2z = 5, 42. 3x + y + 3z = 14, 43. Зх - у + 2z = 5,
y-z = 2. х + у - z = 20. 4x+2y-5z = 9.
х + 2у - z = 8, 2х + у + z = 2, 2х- у + 3z = 5,
44. • 2х - у - 2z = 6, 45. х + 2у + z = 4, 46. х - 2 у + z = 4,
Зх + у + z = 2. 4х - у + z = -2. 4х + у + 7z = 0.
48. Найти Юх + Зу - 32z,
47. Найти 17x-4y-27z,
[7x + 2y-3z = 4,
если 1
|2x + 5y + 9z = 10.
[5x + 2y-3z = 10,
если (
[2х + у + 4z = 7.
49. |6(х2+/) = 13х1'>
50.
х2-лу + у2 = 79,
. х - у = 7.
х2 - Зд/ху + у2 = 395,
ху = 100.
х + у ~ 5.
2х2 - Ъху + 3х-2у = 2,
5ху - 2х2 + 7х - 8у = -22
2х2 + ху-2х-у = 5, Г(х-у)(9-х) = 10,
2х2 - Зху - 2х + Зу = 1. I(12 - у)(х - у) = 20.
f х-ху + у = -7, f х — ху-2у = 7,
[ х2у + ху2 = -12. [ х2у-2ху2 =-10.
57. Найти х +'у,
2 3 1
--------—— .. — — }
2х - у х - 2 у 2
если <
3! = А
2х-у х-2у 36
59. Вычислить д/х + 2у2, если х > у и
58. Найти х-у,
если •
5
Зх-у
2
х + у Зх-у
3
2*
13
10
Г^+^=ю,
х у
— + — = 13.
I У X
60. Вычислить yjx-у,
61. Вычислить ^/x-t-y,
если х > 2 и
х2 + ху + у2 = 7,
х2+ху + у =5.
если у > 30 и
2х + у = 32,
х2 + 3у =136.
62. Найти меньшее значение z = 2x+y
63. Найти меньшее значение z = Зх-Зу
на множестве решений системы
уравнений-
11х2 -у2-6х4-Зу-11 = 0,
22х2 -2у2 -9х4-5у-21 = 0.
на множестве решений системы
уравнений •
6х2 - 4у2 + 5х + бу - 7 = О,
Зх2-2у2 +4х + 2у-3 = 0.
64. Найти наименьшее значение
функции f(x,y) = х2 + у2, если
х2-4у2 = 0,
Зх2 + Зху + х - 20.
*4
66. Найти min(x + у ), если
х2 - бху + 5 у1 = 28,
х2 - 8ху 4- Зу2 = 4,
65. Найти наибольшее значение
функции /(х,у) = х2+у2, если
х2 -ху-6у2 = О,
х2-2у2 =8.
67. Найти шах(х +у), если
18х2 -ху-у2= 6,
Юх2 - Зху-у2 =-8.
§2. Рациональные неравенства
1./(х)>0<=> З.^Ь 0« С(Х) Основные 2./(х)<0 ./(х) = 0. ’ ВД«) -о. АЛ>< ' эквивалентное^ L/(x)=o. ,4.^)>0« С(Х) |Р(х)=0, Р(х) > Q Дб(х) * 0, Q(x)
Решить неравенства:
1. х4-5х2 4-4 < 0 . 2. х4-2х.?-63 < 0. 3. х3-2х2-5x4-6 > 0.
4. х3+4х2+Зх-2 $0. 5. (1-Эх)3(5-2х)2(4-х)2(2-х)х(х + 2)4(х + 3)3 > 0.
6. (х + 2)2(1-х)(х-2)3(х-3) <0.
7. (х + З)2 (х +1)3 х (х - 2)4 (х - 4)5 (х - 5)6 > 0.
8. (х + 6)4(х + 4)3 (х + 2)2(х + 1Хх-3)2(х-5)<0.
9. (х2-2х + 1)(х2-2х + з)<3. 1О.(х2+Зх + 2)(х2+Зх + 4)<48.
И х3 +х2 -8х-12 х3 -6х2 -t-9x-4 > х3 - Юх2 +25х < Q
х2-5х + 6 х2-7x4-12 х3-Зх2-5x4-15
.. х3 — 5х2 — 6х 4-30 Л х4-Зх3+2х2 х44-х24-1
14.---г----------£0. 15. —z---------- > О. 16. -------- < U.
х3-4х24-4х х -х-30 х -4х-5
17.
Решить неравенства:
9
У —1 0. 18.
19.
22.
х-3
2х2 -7х + 5
1 49
20.
х-3 х
2х-19
х2-2х-15
25
25.
2 12х + 6 Зх + 6
2х -1 _ 4х2 - 4х +1
23.
50
2х + 1
49
<
18х + 6
24. —
9 1
2х + 2 3‘
< х2-2* + 1
5х + 4.
27.
2х2-8
Зх-2
2 16
26.
Зх-4
9х2 -24х + 16
-2х-3
4
29.
------- *
х - 6х + 8
4
31. х(х + 5) -4,8 <
х2‘
Зх2-16х+20
(х-2)2(х-4)2
28.
30.
32.
1
х + 10
х2-2х + 3
_ . х2-11х + 30
3(х2-8х + 15)
х2 -Зх + 2
(х-3)2(х-5)2
0,
1
х + 2
4
Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений
системы неравенств:
33.
' х + Зу -3 > 0,
2х + Зу-12 < 0,
х>0, 0S у <2.
34. рх-Зу + 15 > О,
Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. Найти
площадь замкнутой части получившейся фигуры.
35.
х-2_у<0, х>0.
36.
(5х + 4 у + 7) • (5х - 2у -11) < 0,
5х + бу £ 7, у < 2.
37.
4х - у £ 0, х > 0.
хе f(2x->' + 3)-(4x + 3^-9)S0,
<3о.
х + у>0, у^-1.
39.
Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств.
(х + у-1) (х+у-3) < 0,
[ х - у S 0, х > 0. Найти площадь получившейся фигуры.
40. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств
г2 < х2 +у2 S 9г2,
у-Зх < 0,
Зу + х > 0.
z. Q4 При каком значении г площадь
'' получившейся фигуры 5 = 18л?
41. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств
(x-r) +(y-r) > г , rjpK каком значении г площадь
х-у > 0, у > 0, х < г. фигуры 5 = 8 (4-л)?
42. При каком положительном значении г площадь фигуры, задаваемой на
плоскости множеством решений системы неравенств
4г2 <х2 + у2 <-4г(х + у) + 17г2, „
равна 42л?
х-у>0,
43. При каком положительном значении г площадь фигуры, задаваемой на
плоскости множеством решений системы неравенств
2г(х-у) + 2г2 <х2 +у2 <25г2, 1ЛСО
1 . равна 10,5 л?
х + у > 0,
44. Фигура, заданная на плоскости системой неравенств, вращается вокруг оси
х2+у2>г2, При каком значении г объём полученно-
х + у < 2rt х > 0, у > 0, г > 0. г& тела вращения равен 128л?
45. Фигура, заданная на плоскости системой неравенств вращается вокруг оси
qx. х2 + у2 <4г2, При каком значении г объём полученного
х + 2у‘2 2г, х > 0, г > 0. тела вращения равен 126л?
46. Фигура,заданная на плоскости системой неравенств вращается вокруг оси
Ох.
При каком значении г объём полученного тела вра-
’ шения оавен 64л?
X2 + у2 < г2,
у-х£г, _у>0,г>0
47. Равнобедренная трапеция со сторонами АВ = ВС = CD = a, AD = 2а враща-
ется вокруг большего основания. При каком значении а площадь полной по-
верхности полученного тела вращения равна 2лл/3 ?
48. Равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной 2а вра-
щается вокруг прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно
основанию. При каком значении а площадь полной поверхности полученного
тела вращения равна 12л V15 ?
49. В прямоугольнике ABCD стороны АВ = CD = 6, ВС - AD = 2. Найти пол-
ную поверхность тела, образованного вращением прямоугольника ABCD во-
круг прямой, проходящей через вершину С параллельно биссектрисе угла ЛВС.
50. В равнобедренном треугольнике АВС АВ - ВС = 13, АС = 10. Найти пол-
ную поверхность тела, образованного вращением треугольника АВС вокруг
прямой, проходящей через вершину С параллельно высоте AD.
51. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС = 15, ВС = 8. Найти пол-
ную поверхность тела, образованного вращением вокруг прямой, проходя-
щей через вершину В параллельно биссектрисе прямого угла С.
§ 3. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
. , [х при х>( 1- X =< [- х при X < ( 3. |/(х)| = 0»/(х) = 5.V6 > 0 |/(х)| = ft 7- |/(х)| = g(x) <=> Основные эквивалентности 2.|/(х)| = 1 /(’)ПрИ/(Х>г0’ )• 11 1-/(х) при /(х)<0. 0. 4. V ft < 0 |/(х)| = ft <=> 0. 4/(Х) = *’ 6.|/(x)| = |g(x^[/(x)=g(X)’ L/(x) = -&. щ 71 л =-^х)- 'ff(x) > 0, Г/(х) < 0, _[/(х) = g(x), [/(х) = ~ё(х)- 1
Решить уравнения:
1. |5x + 3j = 2. 2. |Зх-4| = 1/2. 3. |2х-3| = Зх + 4. 4. | 4х + 5 | = 3.
5. |4х-3| = 5. 6. |х-2| = 2х + 3. 7. | 2-Зх | = | 5х + 4 |.
8. [ 5 — х [ + [ х — 1 [ = 10. 9. |3-х| + |б- х| = 3. 10. |2х-1| = 2|х-1|.
11. |х-3 | + 2|х + 1 | = 4. 12. |4-х| + |х-2| = 2. 13.|5-2х| + |х + 3 | = 2-Зх.
14. 7|х + 2 | + 7| 2-х | = 2х + 48. 15. 3| 1-х|-х-12 = | 2х + 3 |.
16. | Зх-8 | + | Зх-2 | = 6. 17. х2-х-5| = 1. 18.| 1+ х - х2| = 2х2 +х-4.
19. |х2-5х + 4| = |х2 -4|. 20. х2 + 4х-в] = 4. 21. |х2+х-4| = 2.
22. |х2— 6х + 7 | = |(5х-9). 23. 11-2х- х2 | = 2х. 24. |х2-8х + 5 | = |х2-5 |.
25. х2-5|х| + 6 = 0.
26. х2 + 3х + |х + 3 | = 0.
|х-2|
|х-1 |-1
28.
х2-х-14
х2 -5х + 6
= 1.
29. —------- = |х| + 2.
3-|х~1| 1 '
30. 5-|б-х|-|х-1| = 0
|х2 - 9х + 181
31. |х-2|+|3 + х|-5
|16 +11х - 5х21
32. |х4 - 6х3 +8х2 | = 54х-9х2 -72. 33. | х4 -9х3 +14х2 | = 9х3 -14х2 - х4.
р гл [|х + 2|-|у-3| = 3, [ 15х + 2у 1 = 1 Зх - у I,
Решить системы: 34. <{ 35. J 1 11 1
х = 2-|у-3|. [ 3у = 2х + 13.
Построить графики: 36. у = | 3- |х-1 11. 37. у = | 2-|х + 111.
38. У = ||х-1 |-|х-5 11. 39. у = ||х + 1 |-|х-211. 40. у = |з+2|х|-х2 .
41. у = |х2-5|х | + 6 |. 42. у = | б|х |-8-х2|. 43. у = |х2-4|х] + 3 .
44 1х~1Кх2-4х + 6) _(Х_1 )(1-х2) ,__(х2 -ЗхХх + 1)
х-2 ’ 'У |х + 1| ' 'У |xl
§ 4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
l.|/(x)| < g(x) <=> | 3.|/(х)| >g(x) <=> Основные эквивалентности f/(x) g(x), _ । z. . U)> «• 7(х) ^(х), [/(*) < gt*)’ [Л*) >-g(x). > g(x), _f(x) < -g(x).
Решить неравенства:
1. |2х-5| < 3. 2. |Зх-7|>2. 3.|Зх-8|<4. 4.|5х-9|>4.
5. | 2 - Зх | < х +1.
8. |7 + 2х| > 5-4х.
6. 11+ 2х | > 3-х.
9. |х+2 | + |х + 3 | < 5.
7. |3-2х| < 4х + 5.
10. |х—1 |-|х + 21 > 3.
11. 2|х + 1 |+|б-2х| < х + 8.
13. х2 +4х + 2р|2-х2|.
15. Зх-21-| 2х + 3 | > | 4-х|.
12. [ 4-х|-3|х-121 > 2х-20.
14. х2 -6х + з|^|х2 -з|.
16. 3-2х |-| 5х + 9 | < | 4-Зх |.
17.
19.
22.
25.
2х-3 |-| 6-х | < | 2-х | . 18. |5х-6 |-|х-3 | > 2| 5-х |.
x2 -2x-3 < 3x-3 20. x2-x-2 < |5x-3|. 21.|5-2|x + l||>l.
9-2|2-x |S3. 23. |7-2|3-x||^7. 24. |13-2|x + 3||<9.
x2-3x-l < 3. | x + 2 l-x 1 1 <7 17 x2 -5x + 4 < 1
X2 +X+1 X x2-4
28. > 1, 29.
х + 2
31. |х-1|-(х4-2х2-з)>0.
х2+6х-7
|х + 4|
33. (|х-3|2-4)(|х|-5) < 0.
< 0. 30. $-х+6 < 0.
|х| + 7
32. |х2-9|-(х4-2х2-8)<0.
34.(|х-5|-|х-1|)(|х|-3)>0.
35.
37.
3_|х-5|_|2-х|^
х-3| + |1-х|-2
х2-Зх + 2
-х2+2х-1
х-!|
<0.
(х-|3-2х| + 6)(х + 1)^о
(х-9)3
(2х -18 - Зх| - 2)(х - 2)2
(х-6)3
36.
|1-х| + |х + 2|-3^о
14-х| + |х + 1|-5
з8ч4—гЧ~+~~ -°-
х2 + х -х -2х-1
(х-4)2
42.
(х-З)3
№ |х-6|-|х-4|>|х-7| + |х-3| |х-6|-|х+3|> | х — 5 | + | х + 21
|х-7|-|х-3| | х + 21 |х-5|-|х + 2[ |х-5|
Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений
системы неравенств:
. Г|у-х| < 3,
’ |3 < X + у < 7.
|х + _у | < 5,
2 < у < 4.
-3 < х £ 1.
у - 5 + 2 | х |,
у > 3 + 4 | х |.
49. |х-2| + |у| < 2. 50. |х| + |2-у| < 3. 51. | 3-х| + |у| < 1.
52. |х + 11 + | 2у-х-11 < 6. 53. 1у-2х-1 (+2|х| < 3.
54. |2у + х + 1| + |х + 1| < 4.
55. 2| х | +1у+ 2х +1|
< 5.
Пх + у|<4,
30. 5
|4<у-х<8.
|у-х|<5,
,Ы^2
у < 6 - 2| х |,
у > 2 + 2| х
59.
'|х + у|<4,
х2-9<4у(х-у), ]у2-144<5х(2у-5х),
х2 -16<3_у(2х-3_у),
.ИФ1-
(х-1)2 <(у-1)2,
|у| <4.
64.
(х + 1)2 >(у + 1)2,
65. Фигура, заданная на плоскости системой неравенств
х2 + у2 < 4г2,
х вращается вокруг оси Оу.
I у I > г-, х > 0,г > О,
I1 1 2
При каком значении г объём полученного тела вращения равен 8л;?
66. Фигура, заданная на плоскости системой неравенств
х2+у2>г2,
вращается вокруг осн Оу.
|у|<г, 0<х<2г, г>0,
При каком значении г объём полученного тела вращения равен 180л?
67. Фигура, заданная на плоскости системой неравенств
х2+у2>г2, _
вращается вокруг оси Оу.
|у| <2г,0< х < г, г > О,
При каком значении г объём полученного тела вращения равен ^—-2
Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений
системы неравенств:
68 . | *2 + У2 " 4х + 2у +1,5 | < 0,5,
[4х-у-9<0, х + 4у + 2<0.
-то 1х2 + У2 - 2х + 4у +1 < О,
7°- 1|у + 2|<|х + 1|-2.
69.
| х2 + у2 +6х - 4у +10 | < 1,
2х - у + 8 > 0, х + 2у -1 < 0.
Гх2 +у2 +2х-3<0,
у х +11у-2|-2.
§ 5. Иррациональные уравнения
1-a/(/W)2 = |/(х)|. 3-7/(х) = g(x)<=>‘ | 5- f(x)yjg(x) = 0 о Основные эквивалентности 2. V(Z(x))3 = f ^) = (g(x))2, 4 77w= a/F c) > 0. |/(x) = 0, (g(x) = 0, [g(x) > 0, {/(x) имеет смысл (x). J7(x) = ^x), X) <=>A [g(x) > 0.
Решить уравнения:
1. д/(х2 — х —6)2 -х-2. 2. х2+7(х-1)2 =1. 3. X2-7(5х-3)2-х = 2.
4. а/х2 -4х + 4 + а/х2-6х + 9 = 2. 5. а/х2-х +0,25 - а/х2-2х + 1 = 0,25.
6. а/х2 -4х + 4 + а/х2 -6х + 9 = -2. 7. Vx2 + 4х + 3 - >/4х + 4 - Vx + 3 +2 = 0.
8. 2а/х2 +3x + 2•-Зл/х + 2-4л/х+Т + 6 = 0 9. a/x2-3x + 1 = V2x-5.
10. V2x2 -4х-1 = а/Г+х-х2. 11. V(2x2 -4х + 1)3 = х + 4. 12. Vx2-x = З/х+Т.
13. ^(х2 -2х-3)3 = х-1. 14. V10 + x-V3 + x = l.
15. V12-x + V14+x =2.
16. Vx + 34-Vx^3 = l. 17. ^/x-Vx-2 = 0.
18.
5
2
20. Vx-l-2x+8 = 0.
23. (x2-4)V7+T = 0.
26. a/2x2+9x + 10 = 2x + 7.
21.21 + V2x-7 = x. 22. л/бх-х2-5 = 2x-6.
24. ^J°~2xZ-2 = i. 25. д/б0-4х-х2 + 2x = 4.
x-3
27. a/2x2+9x-10 = x + 2.
28. x2 + 3x -18 + 4a/x2+3x-6 = 0.
30. (x + 4)(x + l) - За/x2 +5x + 2 = 6.
32. 2x2a/x2-3x + 3xa/x2-3x = 2a/x2-3x.
29. a/x2 +2x + 3 = x2 + 2x +1.
31. a/4x2-20x + 1 + 5x = x2 -1.
33. a/i-xa/x^-T = x -1.
34. Vx + 3 + >/3x-2 = 7. 35. а/ГЙ + ^Гз=-1. 36. 7x + 2+V3-x =3.
37. д/2х + 5 + йй = 8.
39. -Ух+ 2 + -Ух+ 5 = -?2х+11.
41. VSx-l - -УЗх-2 = -У7Й.
38. а/10-х2 + а/х2+3 = 5.
40. V5x-5 + -У10х-5 = -У15х-10 .
42. V2x + 5 + -У5х + 6 = -У12х + 25.
Решить уравнения:
43. Vx + 6 - л/х + 1 = V2x-5. _ 44. л/х + 1 + >/4х+13 = л/Зх + 12.
45. \/4х-7->/2х + 3 = л/9х-20-л/7х-10.
46. 3(-Ух + 5 ->/х +1) = 2(л/х + 17 ->!х + 2).
47. л/8х +1 + л/Зх-5 = л/7х + 4 + V2x-2.
49. х2 +10 = х(2>/Зх + 10 - 3).
51. х2 + 36 + Зх(з+2л/х+4) = 0.
53. 2л/2х + 3+^2х2+17х + 21 = Зл/х + 7.
55. </38-4х - ^4х2-46х+76 = 2^Гх.
57. Vx2 — х + л/2-х-х2 = 4х - 1.
59. |Vx-2- 3| + |Vx - 2- 4| = 1. 60. ]'.
61. \/6x+2V9x2-49+11 = х + 2д/Зх + 7 -
8. 2(>/х + 15 - V?) = 3( V7+3 - ТТЛ).
50. 2х(х + 2) = З(хл/4х-3 +1).
52. х2 + 48 = х(18 - л/Зх-8).
54. л/7+3 + 4л/2х2+х-15 = 5л/2х-5.
56. Vx + 2 + 2^2х2+Зх-2 = 33/2х-1.
58. |>/x + 8-l| + |Vx + 8-5| = 4.
х + 2л/х2 -25 + х = 7 + Vx + 5 + 2Vx-5.
л/Зх-7.
62. ;'х + 7 + 4л/х + 3 -7х+4-2л/х+3 = 3. 63.-Jx + 7 + 6л/х-2 + V^+lO-f+Jx + l = 5.
64. Vx + 6 + Vx-1 + 2л/х2 +5x-6 = 51 -2x.
65. 2Vx-3 + 73х + 4-7зх2 -5x-12 =3x-22.
66. Vx2 + 3x + 3 - Vx2 + x-2 = 2x + 5. 67. Vx2 +2x-3 - Vx2 +4x-6 = 3 - 2x.
68. Найти наименьшее значение выражения z = ху - 2у2 на множестве реше-
ний уравнения -Jx2 + 4ху + 3у2 -16 + ( х2 - 2ху - Зу2 )* = 0.
69. Найти Наибольшее значение выражения z = х2 + ху + у2 на множестве ре-
шений уравнения 7$х2 -16ху + 3у2 +1 2х2 - 7ху + у2 + 8 | = 0.
Найти вое пары целых чисел (х, у), являющихся решением уравнения
70. ^/10+ 2х-5у + ^4у - 4х - 5 = 2^4х + Зу + 4 .
2
Jl-x-y'
71 • 'I " + " г--------
у12х - у - 3 -J2y -х + 3
Решить системы уравнений:
72. • 3х + У = ^у'2 -х4 .
4х + 3у = 2^7у2 - х4 .
73.
74.
Vx2 +5 + -5 = 5,
х2+у2=13.
З74,5х2 -у4 = 7х~5у,
^4,5х2 — у4 = х + у.
(х2 +1) • у + (у2 +1) • х = 4ху.
§ 6. Иррациональные неравенства
Основные эквивалентности
1— 1-V7w<gW<=>v< [/< 3-7/w > «(*) ° s. 77w > Tiw 7. /(x)77(7)S0« x)>0, - °’ .x)S0, 2. 77(7) < g(x) <=> Mx) > 0, k> ‘ g(x) £ o, |g(x) > 0, '/W>(^))2, 4 l/(x) g(x) < o, fg(x) < 0, /(x) > 0. [V(x) > 0. f/(x) > g(x), r— r—- J/(x) > gfx), => S , . n 6. 7/(x) > Jg(x) <=> ( [g(x) 0- [gW 0- 7/(x)>0, f^x) = O, [g(x) >0, [/(x) существует
5.
Решить неравенства:
77^1 <2. 2. 77
3. ух + 2
7. 7х + 61
4. х-72-х > 0.
7х + 14.
9.
х —71 —х < 0, 10. х+72-х > 0.
11. х + 2 <
13. \l2x2 +x < 'l+2x. 14. Vx2 -4 < 10-x. 15. Vx2 +x • -x + 0,5 ' > 0.
16. \lx2-9 < : 5-x. 17. - six2 -2x > 1-x. 18. л/Зх-х2 < 4-x.
19. 3-x > Зд/1-х2 . 20. 77^2 > -x2 + x-2. 21. >/2x-x2 < 5-x.
22. V2x + 14 > x + 3. 23. x + 3 < Vx + 33. 24. 7х + 4-27б-х < I
25. -^=1= -Д=. 26. —!-= 1S 1 27 1 < 2
vx+3 76-x 1-77 277+1 277-3 4-77
И. г _ 2 ™ V1Q-3x- -x2 > VlO-Зх-х2
4~x >/2x2 -3x-2 x+3 2(x-4)
30. yl24-2x-x2 > x. 31. л/20 + х- 79^7 <з. 32.V18-x-7x + 2 > 2
33. 7x-5- 79-x £ 1. 34. 74-7Г1 X > 72-X. 35. 715 + x-75-xS2.
36. 7х + 7-74-2х > 0.
38. л/х2 -4х + 4 + 7х2 - 6х + 9 < 2.
40.
42.
7(х-3)(2-х
+ 12Х + 11.
44.
(х - 3)7(2 - хХх - 5) > 0.
(х-4)Т(1-х)(х-7) > 0.
37. 7х2+4х+4 + 7х2-8х+16 < 7.
39. J(x2-7)2 < х + 5.
41. 7(*2-3x + 5)2 S х + 1.
43, (х - 1)7(х + 1)(х - 2) > 0.
45. (х—2)7х2-х~12 > 0.
Решить неравенства:
44. < 0. 47. < 0. 48. s Л^-х-6 s
6-х 5-х 4-х 7-х
50. Vx2 + 5х + V—х2 -7х-10<л/20-х -5.51. л/х2 - Зх + >/з + 2х-х2 < л/Зх-3.
1 > 1
л/2-х х-1
г/2-2* <1.
х + 3
л/5-х + 4х-15 >
х-3
53. 1 1 л/х + 1 2-х 54. 1 ? 1 л/х +1 3-х
56. V2x + 5 _ _ 57. л/2х + 8 „
>2. <2.
2х-9 2-х
59. 6х +1 + V1 - 2х 60. л/3-х + 5х — J
х + 1 х-1
Q х2( 6)t9( 3>s
|х-15| |бх+19|
63. | Vx + 5 +х| S 7. 64. |V2-x-3x + 61>2. 65. |V9-x/2-x|>3.
66. I л/9 - X - 2х| < 3. 67. | л/3 - л? - 2х -12| S 3. 68. |- Зх |< 2•
69. л/2х + 3-х + 6 . _Л V5 - 2х + х -1 „ Vx + З- х + З _
-== >0. 70. -, < 0. 71. \ < о.
<2х + 3 + х- 6 V5-2x-x + l Vx + З +х-3
72. j5-2x +х-3 п V10x-5-x-2 Л д/5-2х - х-5 _
>0. 73. -7== > 0. 74. -^== < 0.
V2x + 7 + х - 4 V7x-3-x-l V- 6х - 2 + х -1 „ 6-2х-л/7-2х^,
75. ;х2 -9! х 1 +14 >1 —х. \ I 76.^х2 -7 х| +10 >х + 3
2-х
78. 2х+^х—>1. 79. |5-| 9-2V2-X ||^:2. 80. | 4 -19 - 2-Ух+- 2 || < 3.
Найти площадь фигуры, заданной системой неравенств:
8j Ь > -V4-X2, 82 [х>-J16-/,
^<-|х + 1| + 3. [|_и —2|<2 —х.
§ 7. Уравнения и неравенства с параметром
1. Найти множество значений р, для которых корень уравнения
р(р + 2х) = 7х + 2р + 5 больше либо равен -3.
2. Определить множество значений р, для которых корень уравнения
р(р + 2х) = Зх + 2 больше либо равен -2.
При каких значениях а все решения уравнения принадлежат заданному от-
резку:
5. При каких значениях п уравнение пх2 ~(4л + 3)х + 5л + 2 = 0 имеет два
различных действительных корня.
6. При каких значениях к уравнение (к - 1)х2 + (к + 4)х + к + 7 = 0 имеет
два совпадающих корня?
7. При каких значениях а уравнение (а + 1)х2 + ах-1 = 0 имеет единственное
решение. В ответе указать большее значение а.
8. При каких значениях т уравнение (/я-2)х2+(m + l)x + m + 6 = 0 не име-
ет действительных корней?
9. Найти все значения а, при которых корни X!, х2 уравнения
2 2
х + (а + 3)х +а+а+1=0 удовлетворяют условию х( = Зх2.
10. При каких значениях а корни х1эх2 уравнения х2 + (2а-1)х + а2+2 = 0
удовлетворяют условию X] = 2х2 ?
11. При каких значениях а разность между корнями уравнение
(а-2)х2 -(а-4)х-2 = 0 равна 3?
12. Найти положительное значение а, при котором сумма квадратов корне!
уравнения х2 -(2а + 1)х + а2 + а -12 = 0 равна 85.
13. Найти положительное значение а, при котором сумма квадратов корне!
уравнения х2 - (2а - 3)х + а2 - За - 4 = 0 равна 37.
Найти все значения а, при которых все корни уравнения являются целым!
числами:
14. (а + 3)х2‘-(4а-9)х - 2а+ 15 = 0. 15. (2-а)х2 +(а-11)х-За-3 = 0.
16. Найти множество значений а и Ъ, при которых корни xt, уравнения
+ (2а - 7)х + 62 -86 +За+ 18 = 0 удовлетворяют системе
4Х) - х2 = 5,
2Xj + Зх2 =13.
2Х] + х2 = 11,
X] + 2х2 =10.
17. Найти множество значений а и Ь, при которых корни х ,х уравнения
х2 + (а2 + а - 13)х + 4а+ 6 + 7 = 0 удовлетворяют системе
При каких значениях а уравнение имеет единственное решение?
18 х2+(а + 2> + 2,25 _0 J9 (а + 2)х2+(а +7)х + 5 _Q 2() (а-2)х2+4х + 1 Q
х-3' х—1 х+1
21. При каких значениях а неравенство ах2 + 2ах + 0,5 > 0 выполняете
при всех действительных х?
22. Найти все значения а, при которых 1 неравенств!
(2а - 6)х2 + (2а + 4)х + 13а - 34 > 0 выполняется при всех действительных х.
23. При каких значениях а уравнение х2 + 2ах + а2 - 6а + 8 = 0 имеет два раз
личных отрицательных корня?
24. При каких значениях а уравнение х2 + 2(а - 1)х + а2 - 8а + 9 = 0 имеет дв
различных корня, меньших 1?
25. При каких значениях а уравнение х2 - 2(а + 1)х + а2 - 2а + 4 = 0 имеет дв
различных корня, больших 1?
26. Найти все значения а, при которых неравенство х2 + 2(а + 1)х + За +13 > О
выполняется для любых х <-1.
27. При каких значениях р оба корня квадратного трехчлена
х2 +2(р-1)х + 9р-5 отрицательны.
28. Найти все значения а, при которых неравенство х2 -2ах -а2 + а + 6 > О
выполняется для любого х е [-1; 1].
29. При каких значениях а корни уравнения 4х2-(За+ 1)х-а-2 = О за-
ключены на интервале (-1; 2).
30. При каких значениях а каждое решение неравенства 2х2+5х +2<0
является решением неравенства х2+ах + а-7<0. В ответе указать наи-
большее целое значение а.
31. Найти множество значений параметра а, при которых число А = -1 нахо-
2 2
дится между корнями квадратного уравнения ах - (За - 8)х + 2а +2 = 0.
32. Найти множество значений параметра а, при которых число А = 3 находит-
ся между корнями квадратного уравнения Зах2 -2(7а + 3)х + За2 +30 = 0.
33. Найти множество значений р, при которых корни квадратного уравнения
х2 - 3(3р + 7)х + р2 + 34р + 60 = 0 лежат по разные стороны интервала (3; 4).
34. Найти множество значений р, при которых корни квадратного уравнения
х2 - (2р + 7)х + р2+7р + 6= 0 лежат по разные стороны интервала (2; 3).
Найти значения а, при которых уравнения имеют общий корень:
35. х2 ~(а + 3)х + 2а + 2 = 0, х2 + (а + 3)х + 4а-4 = 0.
36. х2 -(а + 5)х + а + 4 = 0, х2 +(а-2)х + За-15 = 0.
37. х2 +(а — 2)х-2 = 0, х2 +(5-а)х + 3= 0.
38. х2 +(а-10)х-5 = 0, х2+(3-а)х-10 = 0.
39. 2х2+4х-2 + а = 0, х2-12х + 7-а = 0. 40.x2+2х + 5-а = 0, 5х2-х + 4-а = 0.
При каком положительном к система имеет единственное решение:
41 |4х+Лу=26,
' |х2 +у2 =13.
Ах-2_у = 20,
х2+у2=20.
Найти все значения а, при которых система имеет хотя бы одно решение:
43 /х2-2ху+3у2 =6, 44 /Юх-У >6,
[х-2у=£ '[у = 2ах2
Найти все значения а, при которых системане имеет решений:
4. (ay + 5х< 1,5а, ) (а + 4)х + 5у = 3,
45-р=5х_4. 4б- U2x + (a + 15)/=a + ll.
47. При каком значении а система
а 1)х у 2, имеет бесконечно мно-
(а - 7)у = а -1
го решений?
48. При каких значениях р и q система уравнений
ет бесконечно много решений?
49. При каких значениях а и Ь система уравнений
px + qy = 3p + 5,
име-
qx + 4py = 6q-5p
b2x + ay = 2b2 + 8а,
ах + а2 у = 2,25 - 5а
имеет бесконечно много решений?
Найти значения а и Ь, при которых данное равенство выполняется для лю-
бых х:
50. (х + За)(х - 2Ь) = х2 + 4х - 6аЬ.
16 — b
51. (х + 7)(2х-8) = 2х2 + (4a + Z>)x + 2a-Z>-53.
52. Найти все значения а, при которых любое решение системы * £ = {
удовлетворяет неравенству у2 < 2х + 3.
53. Найти все значения а, при которых любое решение системы
Ьх + у = 1,
Вх - у = а
удовлетворяет неравенству х < у.
При каких значениях а система неравенств не имеет решений? В отвеп
указать сумму всех целых значений а:
54 |х2-(2а + 1)х + а2 + а<0, 55 |х2-Зх + 2<0,
|х2 -Зх-4>0. [х2 -(2а + 3)х + а1 + За >0.
Найти множество значений а, при которых существует хотя бы одно реше
ние системы:
5б /х2 -2(а + 2)х-3а2 +3<0, 57 /2х2 +(а-4)х-а2 -а + 2<0,
' |х + За-3 = 0. ’|х-2а + 2 = 0.
Найти множество значений а, при которых уравнение имеет единственно^
решение:
_ х2-(За-2)х + 2а2-5а-3 х2 - (За - 4)х + 2а2 - 5а + 3
Эо» 1 1 . -п , — (J t ---------= 0.
Vx + 6 Vx + 1
При каких значениях а уравнение имеет ровно два решения?
60. (зх2-2(4а-3)х+5а2-10й)л/х + 7 = 0.61.(3х2 -(5а + 6)х + 2а2 + 4ар2^ = 0<
Найти множество значений а, при которых уравнение имеет ровно 3 корня,
62. (2х2 - (5а + 4)х + За2 + 6а) >1х2 -7х+10 = 0.
63. (зх2 -2(2а-3)х + а2 -2а)V2 + x-x2 = 0.
64. При каких значениях п область определения функции
/(х) = л/2их-х2 - 5 + V1-X состоит из одной точки?
65. При каком значении т область определения функции
у(х)= л/4 + 2/nx-x2 -д/х2-Зх-10 состоит из одной точки?
Найти множество значений а, при которых область определения функции
состоит из одной точки:
66. у = з/зх-2-х2 + ^/х2 - (а +1) х - 2а2 + 2а.
67. у = 7(5а + 6)х-2а2 -4а-3х2 - Vx2 -х-6.
68. у = у/х+2- х2 + ^4х2 + 4(а - 2) х - За2 + 4а .
69. При каких значениях а уравнение х2 -(4а-6)|х| + 3а2 -6а = 0 имеет че-
тыре различных решения?
70. При каких значениях а уравнение х2 -(5а -9)|х| + 4а2 -9а = 0 имеет два
различных решения.
71. При каких значениях а уравнение (4-х)-|б-х| + а = 0 имеет единственное
решение?
72. При каких значениях а уравнение | х + 3| -(х - 3) + а = 0 имеет 3 решения?
73. Найти все значения Ъ, при которых уравнение |х-1|-|х-2| = х + 6 имеет 2
решения.
74. Найти все значения Ъ, при которых уравнение |х-1| - |х + 2| = -х + b имеет
не менее двух решений.
75. Найти все значения к, при которых уравнение |х-1| -|х- 2| = кх имеетЪдно
решение.
76. Найти все значения к, при которых уравнение |х-1|-|х + 2| = кх имеет 3
решения.
Найти все значения к, при которых уравнение имеет единственное решение:
77. |х| + |х-1| = Л(х + 3)-1. 78. |х + 1| + |х-1| = £(х-3)+4.
Найти все значения а, при которых уравнение имеет 2 решения:
1*1 |х + 1|
79. ax + L-l = 2a + l. 80.)----1—2 = -ах+а.
х х + 1
2|х-1| ] 2 I
81. Найти все значения а, для которых уравнение ——+ х|х - 27| = а
имеет два решения.
82. Найти все значения а, для которых уравнение ,Х + + |х|(х2 - 48) = а
|х + 2|
имеет три решения.
Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение:
83 JIXI + M"1 = 0’ ед (1*-11+Ь-1|-1 = 0> 85Д1Х|-М = 1’
[ох — у — За + 1 = 0. [х — 2у + 2Ъ = 0. = 2х + а.
86 . Найти все значения а, при которых система имеет два решения
3|х-2|+|у|-3 = 0,
ах-у +2а+ 2 = 0.
Найти все значения а, при которых система имеет хотя бы одно решение:
87 (|х + 2| + 2|у|-2 = 0, «в. /1х + 11 + М = 1’
ах-у-2а + 3 = 0. у = а(х + 4)+ 2.
89. При каком значении b радиус окружности, вписанной в фигуру, заданную
уравнением 31х-2^ = й- |у|,равен л/10?
90. При каком значении Ъ радиус окружности, вписанной в фигуру, заданную
уравнением xl+2|y -\ =Ь, равен 2^5 ?
91. При каком значении q площадь фигуры, заданной на координатной плос
кости неравенством |х-у + 2| + |х + 2у-1|<^, будет равна 96?
92. При каком значении р площадь фигуры, заданной на координатной плос-
кости неравенством |х + у + 2|н-|2х-у-2|<р, будет равна 6?
При каком значении а система имеет единственное решение?
93. j*2 +у2 +2х-1’
х - у + a <. 0.
94. [х2 + У2+2У^
х + у-а>0.
Найти множество значений а, при которых существует хотя бы одно реше
ние системы:
95.
2 , 2
f(2x - а + 2)(х - а + 1) < 0,
96.
х2 -а-1 = 0.
97.
При каких значениях а система неравенств имеет единственное решение?
|х2-2х-4|>4, log1/3(2o-x)<-l,
|2х-о|<1. [|х-о|<2.
При каких значениях а системы неравенств не имеют решения?
99.4
log]/2(x + 2а)к-1,
100.
101.
4х -9-2х+2 + 128^0,
5
102.
log6(x-a)<l,
| х + 2а|>12.
-U-i,
9Х+1 -28-Зх+3>0.
При каком значении а система неравенств имеет единственное решение?
103.
Л.2а~х+4'
4
log2(a-x)<l.
104.
25'-^.5х-а+25"а
log1/3(o-x)>0.
105. При каких значениях а уравнение
решение ?
106. При каких значениях а уравнение
решение ?
При каких значениях а уравнение
сумму целых значений а.
107. 4х -2Х+2 + 4а-а2 = 0.
х2-5х + 6 п
—------------- 0 имеет единственное
43х-а_42а-х
—---------— = 0 имеет единственное
2^х-а _ 2а+^х
имеет два решения? В ответе указать
109. При каких значениях а корни уравнения 16х - 3 • 4х+1/2 + 6а - а2 = 0 раз-
личны и положительны? В ответе указать сумму целых значений а.
110. При каких значениях а корни X] и х2 уравнения
9х -(2а +4)-3х + а2 +4а = 0 удовлетворяют условию X] <3<х2? В ответе ука-
зать сумму целых значений а.
111. При каких значениях а уравнение 25х + (За-1)-5х +2а2-2 = 0 имеет
единственное решение?
112. При каких значениях а уравнение 4х + 2(а-2)-2х -За2 +8а-5 = 0 име-
ет два различных корня?
Найти значение а, при которых совместна система уравнений.
,2
113.
,2
114. 1
115.
cos2 х - 2 = 4а - 31+^у,
32+^ - 6 = 5а + 4cos2 х.
116.
З1'^ +\ = 5a-2ig*y,
4tg1y+2 = 3a+3~^x.
г2
6-2 + 2 = 4а - sin у,
5 sin у +10 = а + 23+х .
Найти все значения а, для которых уравнение имеет решение:
3х2+1_32-Л 2 С , 2
117.----------=3Х +2-3^ 118. 22"^ =1+а(2'^ -3).
а
При каких значениях а уравнение имеет хотя бы одно решение? В ответе
указать сумму целых значений а.
119. 2cos2x + 4sinx + a2 -2a-2 = 0. 120. cos2x + sin4x-a2 + 2a-1 = 0.
При каких значениях а уравнение не имеет решений?
121. cos2x-2cosx-2a2 + 2a + l = 0. 122. 8sinx + 2cos2x + a2 -4a-2 = 0.
При каких значениях a уравнение имеет единственное решение на отрезке?
123. 2sin2x + Va = 2cosx + 2Va -sinx;x е [0; тг/2].
124. 2sin2x-Va = 2-Ja cosx-2sinx;x e [тг/2; л].
Найти значение параметра а, при котором сумма действительных корней
уравнения принимает наибольшее значение.
125.x2 + 2(<?-За)х-ба3 +14?-4 = 0. 126. 4х2 +4(2а2-9ta)x-36a3+133а2-144=0.
Найти значение параметра а, при котором произведение действительных
корней уравнения принимает наименьшее значение-
127. х2+2(а-5)х + 2а2-11а + 23= 0. 128. 2х2+4(а + 8)х + 3а2+28а+131= 0.
129. Найти наибольшее значение а, при котором х = 6 является точкой экс-
тремума функции у = (х - а)3 - Зх + а.
130. Найти значение а, при котором х = - 4 является точкой экстремума
функции у = 2(х + а')4-8х + 5а.
131. При каком значении а х=1 является точкой экстремума функции
у = х4 + ах3 +2ах2 +3х + 5о?
132. Пр и каком значении а максимум функции/(х) = ах2 +2ах+2а2+1 равен 2?
133. При каком значении а минимум функции/(х)= (1/3) х3-х2-3х+о равен -3?
134. При каком значении а максимум функции f (х)=3ох-12ах +о 2 -11 равен 2?
135. При каком значении а минимум функции /(х)=За-15х+9х2-х3 равен 2?
136. Найти о, при котором касательная к параболе у = а + 9х-2х2 в точке
хо = 2 является касательной к параболе у = 4х2-7х + 5.
137. Найти значение а, при котором касательная к параболеу = х2 + 5х + 6 в
точке х о = - 3 является касательной к параболе у = - х2 + 5х + а.
138. Найти значение параметра р, при котором касательная к параболе
у = х + рх + 27 в точке х0 = 6 является также касательной к параболе
у = х2 +2х-8.
139. Найти значение параметра р, при котором касательная к параболе
у = х2 - 5х + 6 в точке х0 = 2 является также касательной к параболе
у = х2 + рх + 3.
140. При каком' значении а касательная к кривой у = (ах2 -1) / х, проведенная в
точке х0 = -1/2, является касательной к параболе у = ах2 + ах - 4?
141. При каком значении а касательная к кривой у = (ах3 +1) х-2, проведен-
ная в точке х0= 1, является касательной к параболе у = ах2 + ах-4?
142. Для каких значений к точка минимума функции
/(х) = х3/3 + кх2 + (к2 +к-2)х + 2 лежит на отрезке [0; 4]?
143. Для каких значений к точка максимума функции
/(х)= 2х3 +3(£ + 1)х2 +12(£-1)х-11 лежит на отрезке [-5; -3]?
144. При каких значениях а точка минимума функции
1 7 7
f(x) = x + (3a + 3)x + (3a + 6a)x - 5a + 2 лежит на интервале (a + 2, a + 8)?
145. При каких значениях а точка максимума функции
/(х) = х3 /3-(а-2)х2 + (а2 -4а)х + 6а-1 лежит на интервале (-а, 7 - а)?
7 2
146. Найти наименьшее значение выражения х +у при условии
-у = а-5,
+у = 2а+3.
147. Найти наибольшее значение выражения х -у при условии
'х - у = За + 2,
•х + у = а - 4.
148. При каких значениях а уравнениеЗх -12 - |2х2 - 8| = а имеет два решения?
149. При каких значениях а уравнение а - х2 + 6х = 8 имеет четыре корня?
При каких значениях а уравнение имеет единственное решение?
150. Vx + 2 = х-а. 151. 4х-а = х + 2.
152. При каких значениях а уравнение а + 36х - Зх2 - 4х3 = 0 имеет один
корень?
153. При каких значениях а уравнение х3 +6х2 -15х + а = 0 имеет три раз-
личных корня?
154. При каком значении Ъ наименьшее значение функции у = -х3 + 27х + ЗЪ
на отрезке [2; 5] равно 1?
155. При каком значении а наибольшее значение функции у = 5х3 - 60х - а
на отрезке [1; 3] равно -50?
156. Найти все значения а, при которых
10ё7_а(х2 +9)=1оё7_в(2^- 4х) имеет два различных решения.
157. Найти все значения Ь, при ' которых
logft+g(2bx+10x)=logft g(x2+б) не имеет решений.
уравнение
уравнение
158. Найти множество значений а, при которых уравнение
16х -(За + 8)-4х + 2а2 + 13а + 15 = 0
имеет одно решение, которое меньше единицы.
159. Найти множество значений а, при которых уравнение
4х - 3(а - 5) • 2х + 2а2 - 22а + 56 = 0 имеет одно решение, принадлежащее от-
резку [1; 2].
160. Найти множество значений а, при которых уравнение
9х-(За-10)-Зх +2а2-16а + 24 = 0
имеет одно решение, которое больше единицы.
161. Найти значение а, при котором уравнение
log? 2х + log? | х - 31 - log? Iog2 а - 0 имеет два решения.
162. Найти все значения а, при которых уравнение
~log? 9х2 + log2 (6 - х) - log? За = 0 имеет три решения.
163. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенст-
во д/9-(х-а)2 >| х | имеет хотя бы одно положительное решение.
164. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
cos х > | х - а | имеет хотя бы одно решение на интервале (0; я{2).
165. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
5 - (х - а)2 >| х | имеет хотя бы одно положительное решение.
При каких значениях параметра а система имеет ровно 2 решения?
166. | Ч’*’ 2 167.1 / =
[(х - ау + у2, = 4. [х2 + (у - а)2 = 4.
Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение:
168.
ах2 + 2(а + 3)х + а + 9 < 0,
v ’ 169.
(а - l)i2 + 2(а - 2)х + а - 7 > 0.
(а + 1)х2 - 2(а + 2)х + а +2 > 0,
ах2 - 2(а + 1)х + а + 5 < 0.
При каком значении а прямая является касательной к графику функции?
х2 +1 2-х2
17О._у = 4ох-3а + 1; у =—-—. 171. у = 2ах-3а- 1; у = -—-—.
х2 х2
Найти множество значений а при которых система имеет хотя бы одно ре-
шение:
172 J
2х2 + (5а-8)х+2а2 -10а + 8<0,
| 2х-2а-1|<3.
Зх2 + (4а- 6) х + а2 - 4а + 3 < 0,
174 П11-2|1-х||^3,
’ [log2(x-a + l)<l.
ns. Л9-13-211Л4;
[ log3(x-а +1) < 1.
Найти все значения к, при которых система имеет единственное решение:
176. (
(х2+х + у-6)(х-у + 3)>0, 177
кх - у - Зк +10 = 0, у > 0.
(х2 + Зх + у - 4)(х - у + 4) > 0,
fcc-_y-2£ + 3 = 0, х < 0.
2 2
178. Найти наименьшее значение выражения 2х + Зху + 4у при условии, что
х2 -ху + 2у2 =3.
179. Найти наибольшее значение выражения 2х2 - Зху + у2 при условии, что
х2 -2лу + 3у2 =2.
Найти все значения параметра, при которых уравнение имеет: 1) единст-
венное решение; 2) два различных решения; 3) три различных решения.
180. Vx + a-5 • ^/х2 - (За - 2)х + 2а2 - а - 3 = 0.
181. Vx-Z>-2 • 7*2 -(2Z> + 7)x-3Z>2 +5Й + 12 = 0.
182. л/х-За + 1 • 7х2 -(2-а)х-2а2 -а + 1 = 0.
1.6*, если a* =81, 6C=2, ac =3.
3. (0,5)logi/49+21°82(1/3\
5 2l°gV22’5 _7log343(7,25)3 + 341og92,5
7 5 • 2 21 log5 2+1 - 2log2 5+2 • 5log5 2+1
9 3IogJ53’5 _ 4log64(13,25)3 + 741og493,5
§8. Показательные и логарифмические тождественные
преобразования
Свойства степеней положительных чисел {а > О, b > 0)
I. (ab)x = ах Ьх. 2.(|)Х=^. 3. ах ау = ах+у. 4. = ах~у. 5. (ах)у=аху.
Основные свойства логарифмов
(х > 0, у > 0, а > 0, а * 1, b > 0, с > 0, с * 1).
l.alog°* = 6. 2. logoa = l. 3. logal = 0. 4. loga(6c) = loga b + \oga c.
5-loga| = loga^->°gac- 6.\ogabn =n\ogab. 7. log 6=|logfl6.
8. log . bn = jlog b. 9.log 6"= log b. 10. log b = ,-~-c .
к °a ban °a ba logc a
11. loga6 = r-J—(6* 1). 12. alogA c = clogA °. 13. aio^b=blo^b.
ou log^a v z
Вычислить:
2. ca, если bc = 25, cc = 36, ba = 5.
4 30083 12+log4 12)/(log3 121og4 12)
6. 3-6(2/log36)+1 - 2-610g63+1 -3log3 6+1.
8 51°gV51.5_2log8(3,25)3 +341og91,5
10 21О84Л 4 -31Og27173 -8
741og494 _5
„ и1чвЭМЙИИ,
441ogi65 _6 ' 0 10 )
14- log^_j(17 -12Л). 15. log^_^(49 + 20V6). 16. log^+2 7161-72л/5 .
/ 7 \x/(x+y) , ---------------------\(x2-y2)0,25
17. I (7{^x~y)){x-y lx} j . 18. f^251/(x+3,) (O.tM)1^? ]
19. (521Og^3-3log’25+5):6l°8^3. 20.(121Og2^6-331og«i625+9):71Og^4.
2 j log630 log6180 22 log3 60 log3180
log30 6 log5 6 l°g60 3 log203
23- l°gaicx. если logax = 2, log6x = 3, logcx = 6.
24. logcx, если logax = l/2, log6x = l/4, logafccx = l.
2S- l°gai>cx> если logax=12, logfcx = 4, logcx = 5.
Вычислить:
1 ГТ 1 °
а + loga -Jab, если log 2^ —
2
4’
26.
log^W+log^
Mb
28. log + 31og -..--Jab,
bb/lfZ 4^ ’
a 2
если log, /- —= —
a 2
если Ioga^K=?
29- log^;+log^w если 10ga2/6^2)=7-
30. 26,если 6 = -51og1/32 3 + 0,51og225. 31. 6*,если 6 = -log1/369-(31ogg6)-1.
32. 811/10g53 + 271/10g63 +9,/10g23. 33. 2-log45-(log54/log48 + 21ogg4/log45)
34 log214 + (log214) • (log2 7) - 2 • logj 7
log214+2-log2 7
35. (log3 2 + log2 81+4) (log3 2 - 2 • loglg,2) • log2 3 - log3 2.
36. (V5)1/(10g’5) +6-log9(24 + 6V15)-logVi(8 + 2>/15)3/2.
37. 3-i°gi/36+log—?53 (----1 A
(42+4tf 4 M9 + 2Vi4j
38. f41o82<5-^) _7*°g^(5+V3) A 5log2 *’5 .
J jlog2 5V2 '
39.
__7^_ + 310g^(2-1/V2) + log,/^
$log3 7+log5 2
40. —?---(fog 4b • (log b2 - 4)+ log д1 если a = 3/4; b = 6; c= 1/8.
logac v a c r
41. (1оёа//>с + 1оВаг>с)(1оёс6_1о^а)+(1о8/>^)~1’еслиа= °’15; b =1’2; c = 4’
log. a - log„ b
42 _sb--------ecjffl a = 0,68. b = 2 72. c = 050
logaC + log^e
43. (logc 4b + logc a log 4 b6 + 2) loga ca, если a = 3; b = 45; c = ^/16,2.
44 loga+Zl(?2-b2}'2 +Ioga_fi(a2-b2]'2 - 21oga+fi7a2 -62 logfl_d 7a2-62 .
45. Y4 • log2 10 - 12^og2 5 +7 - ^4 • log210 - 4>/iog2 5-3 .
-Jlog3 6 - 2A/log3 2 + 3^1og3 2 1
7^3 48 + 4^3 2
§ 9. Показательные уравнения
1. а^х^ = ag^x> •£> /(х) = g(x).
Некоторые эквивалентности
2. af(x} = 1 «/(х)= 0, (а > 0).
3. а^х^ = bgM <s> /(х) = g(x)loga b, (а > 0, b > 0, а * 1, b * 1).
4. F(a/(x))=0<»
/V)=o,
у = а^х\у> 0.
Z \2/(x) Z ч/(х)
5. ca2^(x)+dc/(xW(x)+g62^(x) = 0oc[-] + t/[-| + g = 0.
\b) \bJ
6./(x)«(x) = 1«
/(x)=l,
g(x) имеет смысл;
/(x)>0,
,gO)=0.
Решить уравнения:
1.
9 V <125V 1
257 1277
3
5’
2. 0Д25-42х-3 =f—1 . 3. f-1
I 8 ) <97
27<
8 7
lg4
lg8'
4. (0,3)*-(|)X 1 =(^) 5. 8x-7x-4 = 24+2x. 6. 7x~2+38-3x=7x+1.
7. л/зх~56 - 7д/зх-60 = 162. 8.72х-40 + З-Уг*-48 = 76. 9.^5х+2& + 2л/5х+3° = 275.
10. д/зб2-3х = б/>/б. 11. (3/4)х~1у[4/3 = К^З)3"4.
12 0 25 -128^х+17^х“3) = З2^х+3^^х-7^
>3.(2)2’.^ = V^.14.(|)”.(^y=W25.
15. 81х-1 -52х~2 -4-92х“3 = 4-52х~3
^х+2______________^х+4__^х+3
19. 9-2х -2х -3X+1 -144 + 16-Зх+1 =0.
21. л/3^(2<2х2-9х+9)/2-4>/2) = 0.
qX_^х+1/2__^х+7/2__З^х-1
18. 7-Зх+1-5х+2 =3Х+4-5Х+3.
20. 2х -Зх+1 -6-Зх -81-2х +162 = 0.
22. л/5^х(Зх2-7’2х+3’9-9>/3) = 0.
23. 3х =5-15^х. 24. 8-2х=3(х+3)/3. 25. 9-Зх =5Х+2. 26. 2х-3(х-2)/х =4.
27. 5х • 4(х+,)/х = 80. 28. 9 • 3х = 5<х+2)/х. 29. 5х-1 • 7<2х“3)/х = 175.
30. 3Х-(73)Х+,=73-(73)Х. 31. 32-Х+8 = 3Х. 32. 9^+9 = 4-Зл/х+1/2.
33. 4-х +8 = 5-21/2-х. 34. 251/х+1 = 6-51/х"1/2. 35. 4х-5-2х-1/2+2 = 0.
36. 24х+6Х =10-Зх. 37. 27х -Зх+3 = 6• 9х. 38. 9^+3 = 10-З^-172.
39. 25^+125 = 26-51/2+л/х. 40. 4^+1 = 3-2^-1/2.
41. 16-4“12х+31 +31-2-12х+31 -2 = 0. 42. З2^ - 6-з1х+4* - 27 = 0.
43. 26х-5^ +52^+2 +25 = x-52^+1 +5х + 26-5^+1.
44. Зх-22^+| +6х + 26-2^ =3-22^+2 +12+13х-2^.
45 з^*2^4-^ — 7 • _ & — Q
47 з^^х-ь! )/(2х—1) _ 2. -^2х/(2х-1) _9 _ q
49. 244 • 3х2 +3 - З2*2 “4х+8 = 27 34х.
51. +р2 + ^)Х =4.
53. 3х +(Зл/71О-1)Л =2-(л/Лб + 1)\
55. 2Х+2+з/2х+6-5х = 9-5x+i.
57. 4-Зх+3\/бх-27-2х-1 =0.
59. 3-25х+1 +98-15х = 5-9х+1.
61. 125х-1 + 3-45хЧ = 4-27х-1.
46. 5(х+1)/(х-3) - 23 5(*-’)/(*-3) _ 250 = 0.
48. 2(|-2х)/(2х+1) -20-2~2х/(2х+1) +32 = 0.
50. 9.2х* +б - 22х2 -5х+13 = 4 • 25х.
52. ^2-^ +^2 + Л)Х = 4.
54.6-91/х -13-61/х +6-4|/х =0.
56. 8х +2-50х =3-125х.
58. 64-9х -8412х +27-16х =0.
60. 3х + л/зх+2 -7х = 3 • 7х + VlF
62. 27х+2 +3-8Х+2 =4-12х+2.
Найти решение уравнений, удовлетворяющих приведенным условиям:
63. Зх2-3х = 1.81х-2, log05log13^y<0.
64. 2х2-х-1 = 0,5-82х"4, log0 з logi т < 0.
’ ’ х +1
Решить уравнения:
65. |2Х -4| = 4Х +2Х+1 -6. 66.|зх-12| = 9х-2-Зх+1-24 . 67.|sx-14|-|sx -2б| = 10
68. 12х-з| + | 2х - 7| = 6. 69. |х + 2|х2+3х-1° =1. 70. |х-3|х2+1°х+21 = 1.
71.|х2-4р=|х2-4|Х’2.
73. 2х2 -9х -64-(21о8з8)х =0.
75. 4-2х2 -25х .(210g52)x =0.
77. 3-4Х-7-2х +3-2-х(9-2~х +7)
I 9 IX2 -Зл/З I 9 |х(д/3-3)
72. |3-х2| =|3-х2|
74. 64 2х2+6 - 27х • (210g316 )х = 0.
76. 343-7х2+3 -27х -(7log349)x =0.
= 16.
78. 2-25х-13-5х +4-5-х(8-5~х-13)+31 = О.
Найти произведение корней уравнения: ,
79. 25х - 5х + 2,/2(1 + 5^) + 55л/2 = 0. 80.16х - 4х+,/з (1 + 4^) + 43^ = 0.
Решить системы уравнений:
81 Гх2.23-х+16-23'=27-х+х2 •г3',
[у = Vx-1.
X2 -2У +22-х = 2у+2 +х2 -2~х,
y = Jx.
83 Ьх2+Зх-2^=12,
' 1зх~4 • 2У = 27х+1.
84.
52* .з?2-з =27)
25 х-1 • З1-3' = 0,12.
х + Зх =2у + 93',
х2 + Злу - Зу = 1.
86. \ ’
[2yz +3лу-12х = 9.
2х •З3'+2 =12
1 з
88.
ЗхЧ -5У =15,
5х -4У =100.
§ 10. Показательные неравенства
Некоторые эквивалентности
1. а^х^ < ag^ С> f{x)< g(x) при а > 1.
2. а^х^ < ag^ <S> /(х) > g(x) при 0 < а < 1.
3. а^х^ < bgMof(x')< g(x)-loga b приа>1.
4. а^х^ < bgM <Х> /(x)> g(x)-loga b при 0< a <1.
Решить неравенства:
j -3x+8)/(x+l) < 9
4. Зх-2>лх. 5. 5*2~x+3
8. >02
2. (l/7)-9x2-8x+3 <T1x2 . 3. 23x~3 >32x.
x3-2x+5 6-x
<;(1/5)5x. 6. (l/3)~7з~^9. 7. (l/2)x <(1/2)7^.
><«4
11. 4l-x (5x2-2x~3 - 3125) > 0. 12. V6-x (5*2-7>2*+3>9 _ 25-Л) > 0.
13 (2x-3)((l/2)x-4) < Q H 2x(2x-l)(3x-3) >0 B 3,_! < 5-3x-27
(2х+1) (x + 3) ' х + 2 ’ ’ 3х-3 ’
16. 6х >373-2х+32-22-3х-647108. 17.15x-7243-5x-2575-3x+225T15<0.
18. 212X+V48 < Т12-4х+4-Зх. 19. 5 + 2-10x-10-2x-5х >0.
20.15х -625-Зх -73-5х +2571875 < 0. 21. 9-6x -16• Зх+2 -2х +16<0.
22. Зх + П-З77 >4x-3Vx+9. 23. 5x2-5x2 +12<3x2+20-5x2.
24. x-5-,/x +10>2x + 51-,/x. 25. x-21-,/x +18>3x + 12-2-,/x.
26. x2-3~x2 + 8>2x2 +4-3"x2. 27. 2x2-2^ +4<x2 + %-2'fx.
28. 2х-1+8>2X+1. 29. 9,/x-4-3,/x+3<0. 30. 4-3х+2-9х > 243.
31. 3-16x +2-81x <5-36x. 32.2-41/x -5-21/x +2 < 0. 33.2-41/x-17-2,/x+8>0.
34.7-(7)2x -9-(14)x +2-(2)2x <0. 35.36х - 2-52x +30x >0. 36. 4х - 2-52x +10x >0.
37. 6-9x-13-6X +6-4x <0. 38. 27-41/x-30-6,/x+8-91/x < 0.
39. 64-91/x +12 12,/x -2746,/x £0 . 40. 125-22/x - 70-101/x + 8-52/x >0.
41. 8-491/x -126-141/x +343-41/x >0.
42.
3l+V4^+243
32+V4^7 _ 243
<1.
3l+Vx+5 _9
3_32-Vx+5
<27.
r 1
44. 3х +—5—>8.
3х-10
45. 7x2+x-6^5x + 54-x - 130j < 0.
47. s(x+1>2 +625S5x2+2 +52x+3.
46. т/8-2х-х2 (4х + 44-x -68)>0.
48. 3<x+2)2 + l>3x2-t +3-81x+1.
i ' бх~3 (R. i12*+1 i \6~x / ,
49. 4-(-JS +1) TT . 50. (л/3 - V2) ~ <(V3 + V2)-\
51.
5-3*
3X-4X+1
3.22x-1
. 52.--------
4х-7х
1
53. 2х >24-32-*.
4-x / г \4x2-19x+21 / « \26+9x-2x2
54. 5х >100-2^3. 55. —-4 <1.56.5-— >1.
12 J I 3 J
57. 2^-15-2—3<(±)1^x2^x-l8. 58. (l)"_4.5-x-l>(l)3-^-4—2.
59. (3 - x)<3-5>^> < 1. 60. (зх2 - x +1 )2?+3X < (зх2 - x +1) 3“2X.
X X 1
61. (V3-l)x-‘ >(4-2л/3)\ 62. (Л-1)х-4 >(3-2Л)2х(х’4).
§ 11. Логарифмические уравнения
Основные свойства логарифмов и эквивалентности
1. /(x) = logaa/(x). 2. logy(j)/(х) = 3- !oga(/(x))2 =21ogfl|/(x) |.
4' %(х))2 /(Х) = 1 ’%(х)| /(Х)’ 5’ = 310g* /(х)'
log k /(x) = уloga /(x). 7. nloga f(x) = g(x)
a к
. loga(/(x))n =g(x),
/(x)>0.
в 1 Vvl A I./ . poga(/(x)-g(x))=/j(x),
8. loga/(x) + logag(x)=A(x)<=>^ v
^g(x)>0.
9. loga /(х)- loga g(x) = й(х)<X>•
10ga^7 = A(x),
g(x).
g(x) > 0.
[f{x)=g(x),
[/(x) > 0, (p(x) > 0, (p(x) 1.
Решить уравнения:
1- log2(4-x) + log2(l-2x) = 2. 2. log5(4x + 17) = log5(4x-3) + l.
3- 1°ёг(х ~ 1) - log2(2x - 7) = 1 + log1/2(x - 4). 4. lg(x-3) + lg(x + 6) = lg2 + lg5.
5.1og2(4x)-log2(2x) + log2x = 9. 6.1og5_x(x2 -8x + 15j = l. 7. log2x_^x2+3x-lj = 2
8. 31og2(x + 3) + 6 = 21og2^3>/2 — x) + 21og2^x + 3>/2j .
9. 2 log3 (x2 — 3) = log3 (x + 3)2 + log3 (x +1)2.
10. logl/3(x+4)2 = 21og1/3(x2 -24)-logl/3(x + 6)2.
11. log3x+1 (x + 3) - logx+З(3х2 + Юх + з) +1 = 0.
12. log1_2x(3-x) + log3_x>/2x2 -7x + 3 = 2.
u H 108,(1 lx+23)
log3(x-2) log5(x + 3) log53
IS. log2(x + l)-log4(5-x) = 0.
16. (x -1) • log2 (x + 2)'- (x - 5) • log4 (x +14) = log2 (x2 + 16x + 2в).
17. (x - 2) • log4 (x + 34) - (x - 4) • log2 (x + 4) = j log2 (x2 + 38x +1 Зб).
18. log12 =3-61og122. 19. log15 V5x(x+^ = 4-21og15 9.
20. logx+5(2x2+15x + 29) = 2.
22. 31ogg(x -2) = log2y/2x-l.
24. logx(2xx~3 -l) + 6 = 2x.
26. log3 л/х + 2 = ^log3(x + 2) -1.
21. logx_2(2x2-12x+19) = 2.
23. 3/log2 x - log2 Vx = 0,5.
25. logx(2-xx-2 -l) = 2x-4.
27. log2(x +1)-log2(6x-26) = log1/2(x-5).
28. log2(x-l)-log2(2x-7) = l + log1/2(x-4). 29. log3^9x2j-log^-^- + 16 = 0.
30. 8x2-log2X =1. 31. log2x-log3108 log3x + log364 = 0.
32. log2 x - log2 40 • log2 x + log2125 = 0.
33. log 2 +-----------2--------------5----------
4x +iix log3(4x2+llx) log6(2xJ-9x2+4x)
34. logx 3(x3 -9x2 +14x) log5(x-3) = log5(3x2 -13x).
35. log(]_x/2)(4x2+2x + l) = 2. 36. log*(2-Xх 3-l)+6 = 2x.
37. 14 \7J 40 2_ f2y°M5/7) ’ 2x 3s. —=f—Y°gl 25 З,^.^^'4'” 40 3x <4/ 41 A f2Voe-4 „ X f3Yogx9 41. 6x= - 42. — = - <37 21 \7J
43.31og52 + 2-x = log5(3x-52'x). 44. log^(32x-2-3X+1 + 7x) = 2x.
45. log2(22x + 2-2x —6) = x. 46. log]/3(32x +3X-l) = -x.
47. log^(22x-2 + 2X~' -12+5х -2x) = 2x.
48. (a10g*x)2-5x10g*a +6 = 0, a>0, b>0, a*l, 6*1.
49.2-х10854 - 3-21/10g5x5 =8. 50. 5lo84x2+1 = 5-4,8-(4x)log45. 51. Xlog3(90/x) = Ю0.
52. ?g(100x/3) =9 . 53. x1085 x’51°85 x = 51O84^(,/5)
54. x10g^-310g3X = log2^ 27.
2
= log5y*
= 3-log3|- 56. fa2 -5х 4-s)-log51
55. fax2 -12x4-13
57. Найти сумму целых решений уравнения log|x_7|(8-|x4-l|) = 1.
58. Найти наименьшее целое решение уравнения log|x_5|(|x-2|-3) = 1.
Найти сумму корней уравнения:
59. |log2x|4-|log2x-4| = 6. 60. j log4 х — 21 12 - log4 х 11 = 4.
Найти произведение корней уравнения:
61. log2 х3 -91og3 x-4 = 0. 62. 1g2 x2 -121gx4-5 = 0.
Решить уравнения:
63. 2 log4 x = log2 x logj(a/2x 4-1 -1). 64. log2 x = log4 x • log^ (V8 - 2x 4- 4
65. ll-410g4(x 1)-3(x-l)log4(x-,)2
= -4. 66. log/ 2 J 21 = —-------------4--------------.
6(,2x ~9) log7 3x log3 X 4-1
67. 1 1___________1
logi/nfcx2 -32) logi/3 4x l-log1/4X
68.
Решить системы уравнений:
log ^(x-y)-i-2y = 10,
69.
log 25
°x-y
41og|/3(x-2)-3y = 5,70
2 log ^(x-2) + y = l
6 log3 Цх + у - 2x = 13,
31og27(x4-y)4-x = -3.
3lg(2? x) = 1> 2^x+^3’=512, 73 |91og3 V5 - У + Зх = 6,
2(х->’)/2 _2(ж->’)/4 =2. |lg7xy = 14-lg2. 41og9(5- y)4-7x = 5.
[log. (б-4ху)=2, [log, (xy4-7) = 2, [ log , (5-2xy)=2,
74 J b2x+y' 7 ’ 75 J 62y-xv z ' ’ 76. J °x+2y'' z 7
’ [ 2x - у - 2xy -1. I x 4- 2y = 2xy 4-1. [ 2y - x = 2xy -1.
Решить системы уравнений, считая х и у целыми числами:
77.
10g(x-2)2^' + 1^10g4^ + 2)+I10g/[/
6 = 0,
9х+>) - 242-З^ -243 = 0.
78.
iog9(V7-i)-iog^
д/у-13 4-л/х = ^д/ху-13x 4-100.
§12. Логарифмические неравенства
Элементарные эквивалентности
a > 1 0 < a < 1
•oga f(x)>b <=> f(x)>ab loga f(x) < b<^> 0 < /(x) < ab f f (x) < g(x), loga /(x) < loga g(x)<=> > o b ± l°ga /(*) < с о ab < /(x) < ac k A ’<=>loga6</(x)<logac [о, c > 0 loga /(x) > b <=> 0 < /(x) < ab l°ga f(x)<b<z> f(x)>ab \f(x)> g(x), loga /(x)<loga gW^|g(x)>0 b < loga /(x) < c <=> ac < /(x) < ab [b < < c " n ^logac<f(x)<logab [/>, c > 0
L log(i>(x) fM<b 2- 1оёр(х) f(*)<b 3- tog^x) f(x^b 4- log<Kx) f(x)>b s- •og^x) /W^10 6 10g(P(x)/(X)<10 7 <«,<=> ’ |a>0 Основные эквивалентности Г|>(х)>1, fo<^(x)<l, До < /(x) < (<p(x))b, [/(x) > {<p(x))b, ’ Грз(х)>1, fo<^(x)<l, (0</(x)<(^(x))*,|/(x)>(^(x))*, ’ fa(x)>l, JO<«?(x)<l, [_ Vo) > (<p(x))b, io < /(x) < (<p(X))b ГДз(х)>1, fo<<p(x)<l, Ll/(*)>> |0</(x) <(сЧх))*,J fp(x)>l, [0<p(x)<l, |_[/(x)>0, [g(x)>0 fp(x)>l, (0<9>(x)<l, g^gW^ р(*)<£(хШ (*)>£(*)> • |_[/(x)>0, |g(x)>0 |/’(x)=0,f 0</(x)<l, (f(x) = l,f/(x)>l, |g(x) > 0,[g(x) > log/(x) a,(a > 1, |g(x) < logf{x) a
Решить неравенства:
L log2(x-3)<3. 2. log]/2(7 — Зх)>0. 3. lg(4x -1) < 1. 4. log5 (3 - 8х) > 0.
5. log]/3(3-x) >-1. 6. log5/2(x + l-2x2)<l. 7. log1/2(x2-5х + 6)>-1.
8. log3log^_(x-2)<2.9. log^ log(1/2)(5-x)-2<0.
10 1оё(1/7б)1оёЛ(х-3) + 2-0- 1L 1°ёо,7^Г>1- 12-1оё97й>|-
13- log3 2^4-°' 14- log3(x + l)-log1/3x-21og3(x-l)>l.
15. log9x (27x) + log^ (9x2) > 7 / 2. 16. log^ (4x2) - log4x (2x) < 3 / 2.
17. log 2(216x) + log 2(36x2)<7/2
3ox ox
18. log^(x-2)> log5(8-x).
20. log1/2^y <log1/2(x-5).
22. log2 x — 21ogx 2 + 1 > 0.
24. log2(x + 11)- log2(x2 - 5x + 4) > 2.
26. log2(x-3)-61og5(x-3) + 9<0.
28. logo,3((2-x)-3^')<log032=£.
30. log| x + log1/2 x2 -3 > V5 (log4 ;
31. 7 6 + log2 x - log2/2 x < log1/2 —
19- bgi/4 — > log4(x +1).
7-3x
21. 21ogx0,2 + log5x<l.
23. log1/3 x> log* 3 -5/2.
25. log2(5-x)-61og2(5-x) + 9<0.
27. log23(4-x)+101og1/3(4-x) + 25<0.
, \*+2
29.1og3((x-l)-(l)2x-7)>log3^.
2-з).
J llx - 2x2 - 5
32. 1------------<0.
1 - log4 2x
33 fogr^x 34. 4_l.ig(x-3)2 + 81og .2Ш-°-
log4(x-l) 2 (Х-ЗГЦО7
35. 9-log^_3)416<6-log4(x-3)2. 36. log3 x -1 log3 x I < 2.
37. logo>5x-3>2| log05x|. 38. log4(x + 24)-log4(6 + x-x2j>l.
39. log7((x + 5) (x - 4)) + log]/7(x - 4) < -log)/49144.
40. log2 (3 - x) + log2(5 - x) > log2 (x + 7).
41 • 11% (2x + 3) -1 < log, /4 +1 log411.
0 3
42. log4 (x2 + 8x +15) + log, 7 4 (x + 3) > - + log, z 4 (4 - x).
43. log*(9 - 2x) • log9 2* (2x2 ) > log*_, (4 - x) • log4_* (1 lx -14).
44. log7_x (2x + 3) • log2x+3 (3x2 ) < log7_x (3x + 4) • log3x+4 (lOx + 25).
45. log^x2 - 6x+1б) - log4(x - 2) > 1. 46. logx+, (5 - x) > 1.47. logx ^2x2 + 8) < 4.
48. log2x+3(5-2x)<l. 49. log^(6-x)<4. 50. log12_x x2 < 1.
51. logx+8(x2 -4) < 1. 52. log2(log]/3(log5x)) > 0. 53. log1/2(log2(logx_19)) > 0.
54. (log2x-2|2-9)(ilog2x|-l)<0. 55.1og5(-|)^ 2
10ёх+5
56- 1°So,25(x + 15)
; 1
•ogx+3 0,5
57. (3 - x) (x +1)2 log3 (x + 2) Si 0.
log,(x + 2)-l Зх2+14х-5
58. (x + 3) (5 - x) log2 (x + 3) > 0. 59. -r— > 0. 60. ---------— < 0.
V M V 7 3 + 2x-x2 log0j(x + 2)
61. (x2-9]log1/3(x + 4)2:0. 62. x2x2~5x+2 > 1. 63. (x + 'l'f ~x~X1 > 1.
64. x'08^"1 <1. 65. x21g3x-<3/2),gx ^Tio. 66. x410g2X-7 <4. 67. х*2~3х+2 £1.
68. Xx2-5x+6<l. 69. log5(5-2x)<3x + l. 70. logi/3(3+x) < 3x-l.
71. log1/3(3 + x/2)>x-l. 72. log3x>(log34 1og3x-log26)-logx/93.
10g3(x-l)3 -log4(x~l)4
73. (log212,8 1og2x-9) logx/52>log2x. 74. ±------—--------<0.
x - 4x + 3
75 loSs(x2 -6x-6)2 - logn(x2 -6x-6)3
4 + x-3x2
76- logx+8(^2 - 3x - 4) < 2- log 2 Iх " 4|.
\*Т Л)
77. 1ogx+4(x2-8x + 12)<|log|x_2|(2-x)2. 78. x-log1/2Q-x) >|x|.
79. (x-3)-log4(x + l/2)>|x-3|. 80. x-log1/3(3/2-x)<|x|.
81. log3log1/8((3/2)x-l/2)<-l. 82. log5 log89/24((2 / 3)x + 1/з)<0.
83. log2(5-x)- logx+l | >-6. 84. log2 —— logx_3 32>-10. 85. logx_i < 1.
86. iogx+2 g£_~^>L 87. 4lo833x+I°843-2lo«81x>40 + 2lo«x.
x-6
88 25Iog3(x^-5,o83X <7+2-5loa3x-5Ioax2. 89. lg x-31gx + 3 <
lgx-1
90. Og2l+-- < 2. 91. 5• 410g2(4x) -9- (4x)10g2(4x) -2 <0.
log2 x - 2 ,
92. 2-(x-l)Mx-02 -5-310SM -3^0.93. 14-510^(x-2) +5 < 3-(х-2)Мх~2)2.
94. 3 • (x + l)10g2(x+1)2 - 48 • 2log2<1+1) > 2 • (x + l)log2<x+I) _ 32.
95. 4 • 3*°8з(х-2) _ 9 > 4.32 iog^<x-2) _ц. _ 2)'°g3(x-2)
96. log,,— + log ,-— V27x <3. 97. log , J^ + log,^ (4^х2”) + 3<0.
^/57 » 3 ^3x2 6(x2/2)»2 (</7/2)V
logo(3 + 2x-x2) log,(6-x- x2) log?(6 + x-x2)
98. -^------——99.----------------------_L<i. 100.—
log2(4-x2) logj(3 + 2x-x2) log5(4-3x-x2)
Глава 3. Тригонометрия
Значения тригонометрических функций некоторых углов
\ a 0 n 6 n 4 n 3 ft 2 2 it 3 3it 4 5 it 6 л 7it 6 4it 3 3it 2 5it 3 ил 6 2л
sina 0 1 2 У2 2 Уз 2 1 Уз 2 У2 2 1 2 0 2 -2^. 2 -1 2 2 0
cosa 1 Уз 2 У2 2 1 2 0 2 _У2 2 _ Уз 2 -1 2 2 0 1 2 Уз 2 1
tga 0 1 Уз 1 7з — -7з -1 1_ Уз 0 1 Уз 7з — -V3 1 Уз 0
ctga - 7з 1 i Уз 0 L Уз -1 -7з — 7з 1 Уз 0 1_ Уз -V3 —
Основные тригонометрические формулы
Формулы приведения
sin(-a) = -sina, sin (л-a) =sina, sin(n+a) = -sina,
. (л 'I (я 'l . (Зтс 'I • (Зя 'l
sin —a = cosa, sin — +a = cosa, sin-----a = -cosa, sin — + a =-cosa,
\2 ) \2 J \2 J \2 )
cos(-a) = cosa, cos (л-a) =-cosa, cos (л+a) = -cosa,
(л A (it A . (3л 'l . (3л A .
cos —a H sina, cos —+ a = -sina, cos---------a = -sina, cos — + a = sina,
V2 J \2 J \2 J \2 J
tg(-a) = -tga, tg(n-a) = - tga, tg(rc+a) = tga,
do к» | я I P (л А ГЗл^ (Зл A = ctga, tg|^~ + aj = -ctga, tg^~-aj = ctga, tg^~ + aJ = -ctga, ctg (- a) = - ctga, ctg (л - a) = - ctga, ctg (л+a) = ctga,
t (Tt 'l ctg^—-a (л f Зл А (3л 'l = tga, ctg^—+ aj =-tga, ctg^—-aj =tga, ctg^— + aj = -tga.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента
sin2a + cos2a = 1, | sina| = 71-cos2a, | cosa| = 71-sin2a,
sin a cosa , 1 1
tga =-----, ctga =-, tga-ctga = l, seca =--, coseca =----,
cosa sina cosa sina
2 1 -2 1 2,1 2,1
cos a-----=—, sin a =----r—, tg a + l = —-—, ctg a + l = —-—,
1 + tg a 1 + ctg a cos2 a sin2 a
i • i l‘g»l i-i i I I i I I l^g»!
sina = , sina = , .=, cosa = , cosa = .
7i+tg2a 7i+ctg2a 7i+tg2« 7i+ctg2a
Теоремы сложения
sin (а + р) = sina-cosp + cosa sinP, sin (a - P) = sina-cosp-cosa-snip,
cos (a + p) = cosa-cosp-sina-sinP, cos (a - P) = cosa-cosP +sina-sinP,
7 7 1-tgatgP 7 1 + tga-tgP
ctg(a + p)= 1-1^a , ctg(a-P)=li®^.
H7 tga + tgP 6V 7 tga-tgP
Тригонометрические функции двойного и тройного угла
sin2a = 2sina-cosa, cos2a = cos a-sin a,
2 2 ZtgCt
cos2a = l-2sin a, cos2a.= 2cos a-1, tg2a =—
l-tg2a
2 1 3 2
sin3a = 3sina-cos a-sin a, cos3a = cos a-3sin acosa,
sin3a = 3sina -4sin3 a, cos3a = 4cos3 a - 3cosa.
Соотношения между тригонометрическими функциями половинного
- и целого угла
, „ . 2 a • 2 « 1-cosa . a /1 - cos a
l-cosa = 2sin —, sin — = sin—
2 2 2 ’ 2 V 2
, 2 a 2 “ 1 + cosa a 11 + cosa
1 + cosa = 2cos —, COS — = cos— — I — ———
2 2 2 ’ 2 N 2
a sina a 1-cosa
tg- = , tg -
2 1 + cosa 2 sina
Формулы универсальной подстановки
2tgf l-tg2f 2#f
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и
суммы (разности) в произведение
sina cosP = ^(sin(a + Р) + sin(a - Р)), cosa cosp = ^(cos(a + P) + cos(a - p)j,
sina sinP = -|(cos a-p)-cos(a + P)),
O.a+P a-P sin a + sin p = 2 sin cos , 2 2 . n » . a-P a + P sina-sinB = 2sin cos 2 2
„ o a+p a-P cosa + cosp = 2cos cos 2 2 „ . a+P . a-p cosa - cosp = -2sin sin 2 2
„ sin(a + P) tga + tgP = — n sin(a-P) tga-tgP = —i
cos a cos P’ cosa cos P
Преобразование суммы вида a sin а + Acos а с помощью введения
вспомогательного угла
asinx+bay&x = 4^+А2sin(x+(p), где cosip = . ° — , sinip = -==£=.
yla2+b2 yla2+b2
§ 1. Преобразование тригонометрических выражений
Найти:
1. cosa, tga, ctga,если sma = —, — <ас.л.
. 3 3
2. cosa и sina, если tga =- — и — л<а<2л.
, . 12 3
3. sina и tga,если cosa = —; -л<а<2л.
6 13 2
4. cosa и sina, если tga = -2; у < а < л.
2 2 3 3
5. tg a + ctg а и tg a + ctg а, если tga + ctga = т.
. cos3 X t .
6. ----—.—_ 9 если tgx = -3.
3sinx-cosx
т.п. I sin(a + B)=0,5, о ( o\ \ tga + ctg₽ = 3,
7. tgp • ctga, если 4 < ’ ’ 8. cosla-p), если 5 „ n
6 [ sin(₽ - a) = 0,h v [ sinp • cosa = 0,2
5 f 3 3 ( 3 A
9. cos(a + p), если sina =-, ae — л; 2л LcosP =— ,pe i;-x .
7 13 <2 ) 5 I 2 )
10. sin(a+ P), если sina =-0,6; a gI л; —л I; cosp = 0,6; PgI—л; 2л I.
11. cos(a - p), если
12.
tg(a~P),ecnH
13.
ctg(a + P), если
(3 \ ( л A
cosa = 0,8; a g -л; 2л ; sinP = 0,6; P g —; л .
<2 ; '27
f jc A f 3 A
sina = 0,8; a g —; л ; cosP = 0,6; P g -л; 2л .
\2 J \2 )
( 3
cosa = -0,6; а ел; - л ; cosp = 0,8; P g 0; — .
I 2 ) V 2)
sin 25° - cos 125° sin50° + cosl30° , „„ 2 __0 «
14.---------------. 15.---------------. 16.cos47°cos73° + cos2 77° + 2.
cos175° cos265°
17. sin 229° cos 259° + sin 219° +1. 18. cos2a, если sin(n / 2 - a) = 0,8.
19.cos2a,если cosf—-a) = 0,8. 20. sin2a, если cosa = -0,8 , л <a<- л.
\2 J 2
21. tga, если sin2a = -0,8, — < a < —. 22. ctga, если sin2a = - —, — < a < л.
Найти:
23. sin2a + cos2a, если sin a = -0,6 , л < a < 3л / 2.
24.
25.
cos 2a + 6tga, если sin a = -0,8 , 3л / 2 < a < 2л.
tga + 7tg2a, если sin a = -0,6,3л / 2 < a < 2л.
26.
sin2a, если sin
28. 4 sin 10° sin 30°-sin 50° sin 70°.
27. sin2a, если cosya + .
29. 50cosl0°cos40°cosl60°ctg80°.
30. sin 18° sin54°-sin60°.
V3
„„ . . л . 7л . 5л
32. 4 sin — sm---sin —.
18 18 18
л 2л 17л
9 cos—cos—cos-------
44 15 15 30
sin ~
31.
33.
35.
6 cos 20° • cos 40° • cos 70°
sin 80°
16 4л 2л л л
—p= cos---cos----cos— • cos—.
. л ] . 4(5 )
sm — +sin — л .
18 J
36. sin2a , если sin —+ cos—= i
2 2 5
. . Зл/5 л
37. sm4a,если sina+cosa =------, —
5 4
л
— < a
2
л
a < —
2
38.
3cos2a-2 l-2sin2a
------5—, если tga = -4. 39. , если tga = -5.
2-9cos2a l + sin2a
40. 14tg2a,если tgj =-3. 41. ctga-tga-2tg2a,если tg4a = --j.
Упростить выражения до числа:
.„ sin 2a + sin a
42. --------------tga. 43.
1 + cos 2a + cosa
44. . 45.
sin2 2a(ctg2a-tg a)
Найти:
l-2cos2 a
sina - cosa
cos 2a
- tga + ctga.
cos4 a + sin4 a
cos4 a-sin4 a l-|sin22a
46. sin6 x + cos6 x, если sin x + cosx = 0,4.
3 3
47. sin x + cos x, если sinx + cosx =-0,2.
48. sin4 x + cos4 x, если cosx - sinx = ^/0,72.
49. sin4 x - cos4 x, если -45° < x < 45° и cosx - sinx = \/0,72.
50. sin3 x - cos3 x, если sinx-cosx = 0,2. 51. sinl8°.
52. -^________'______У J. 53/ U 4> . U 4>J___________________________2~.
I л ) 21 л 1 2sinx
COS----X -cos —+ x
13 J 16 J
3 9
9 9 6
Найти:
sin5x+sin
56.
sin
2sinx
58 tg34°(l-tg1 2 * * *17°) 59 1-sin2 38°
4tgl7° ’ ' 2(sinl4°+sin2 38°)
a . a 13
60. cos—, sin—,если cosa = — л<а<2л.
2 2 5 2
61. tg—, если sina = --, л <a <-л. 62. cos2a + 3cos4a, если tga = --.
2 5 2 6 2
63. ctg(a + 2p) • sin 2a, если tga = 2, tgP = 3.
64. cos2a, еслиctg[ a- —| = 8 + 5-Уз. 65. sina, если tgf — - — | = —zJ—.
I 37 13 2> s/3-8
,66. tg—,если 87sinx + 116cosx =-100. 67. tg—, если 52sinx + 39cosx = 25.
2 2
sin4acos2a
68. --------г;------r, если ctga = -0,8.
(1 + cos2a)(l + cos4a)
a 1
69. sin —,если cosa = —, 0<a<90°. 70.
2 2
71. tg—, если cos2a = 0,28, л < a <—л.
2 2
a 12
72. 6tga +5ctg—, если cosa =-, л < a «
2 13
a 4
tgy, если tga = -, 180°< a < 270°.
3
2
a it
73. tg—4tga, если cosa = -0,8, — < a < л.
2 2
1 a x a 3 3
74. -;=cos—+ tg—, если tga =—, л <a <—л.
ЛО 2 62 6 4 2
75. V5^2cos j + 3sin , если sin a = -0,8, л < a < | л.
76. 2sin4a-cos4a,если tga = 3. 77. 81sin24a,если tga = l/V5.
78. 2sina-3cosa,ecnH ctgy = -2. 79. 5tg2a + 13cos2a,если tga=^.
80. tg(2a - P) cos2p, если tga = 3, tgP = 2.
81. sin(a - 2p), если tga = ^,tgp = < a, p<^.
96tg2(a - В)
82.-----, если tga = 2, tgP = 3.
cos2p
84. sin 54°+ sin 126°+ 2cos 144°.
86. sin 445°sin 755° + sin 545° sin 775°.
2
7sin 2a + cos4a-l .
83.----------------r—, если tga = 4.
sin2a(l + cos2a)
85. cos 245° cos 415° + cos 685° cos 745°.
87. sin 265° sin 295° - sin 185° sin 205°.
88. 4-cos2x + 3-sin2x,ecnH 2 + 4-tgx = cosx + 2-sinx.
89. 9(2cos2x-3cos2x), если 4cosx + 9sinx = 3(sin2x + 2).
90. 10-(cos2x-sin2x), если 2-ctgx-3sinx = 6-cosx.
91. 9-(cos2x-sin2 x), если 3-(sin2x-3-cosx) + 2-sinx = 3.
3cos2x-2 .
92. —, если sinx-8 = 2tgx-4cosx.
2-9cos2 x
, 2
93. ~—2sin. x y если 10cosx-2sinx = V5sin2x-2V5.
6-2cos2x
n. 3sina-4cosa , , o • 2 , . n
94. , если l + 8sin a-3sin2a = 0.
cosa + 3sina
95. 3V2sin2a,если cos2a>-|, tga + V2<0.
96. V5/g2a, если sin 2a > tga - V5 > 0. 97. 14cos80° -
7л/3
2cos50'
cos 8° 1-cos 86°
98. —f=--------------1--------.
V3 sin 68°+cos 68° l + cos94°
, 4(V3 - l)-cos!5°
>/3 - sin 15°+ cosl5°
•|sin 20° sinl0° - cos310'
100. -2-----------------------
|sinlO° -2sin310°
2sin3 20° -3cos20° sin 40°
2 cos3 20° -3 sin 40° sin 20°
102. если sin a = -L, 0 < a < у.
yftga -y/ctga
103. ^l + siny - - sin у, если sin-y = 0<a<180°.
104. 9l°g3=osto-log2sin^
105. 6251°83C‘8j+kW4COSl
Найти множества значений функций:
106.у = 4sinх + 3cosx. 107. у= 12cos 2х-5sin 2х . 108. у = 4sin Зх + 5cos Зх.
Найти область определения функций:
109. у = ^/(х2 - Зх + 2)(rgx - л/З) , если х е [0; 5].
ПО. у = 7(4х2 - 8х + 3)(ctgx - л/З), если х е [0; 4].
111. у = д/(4х2 - 8х - 5)( fgx -1), если х е [—2; 3].
Вычислить: 112.2 arcsin 1 + 6 arccos(--y) + 3arctg(—7з).
113.3 arcsin(- -у) - 4 arccos(- -у-) - 3arctg &.
§ 2. Решение простейших тригонометрических уравнений
sin х = а.
1. Если |а| > 1, то sinx = а<=> х е0.
2. Если |а| < 1, то sinx = a<=>
х = arcsin а + 2лк, к е Z,
х — л-arcsina + 2лк, к gZ
или sin х = а <=> х = (-1)* arcsin а + л к, к е Z.
— < arcsin а < —, sin (arcsin а) = a, arcsin (-а) = - arcsin а.
Частные случаи уравнения sin х = а:
a) sin х = 0 <=> х = л к, к е Z;
. тс
sinx= 1<=> х= — +2лк, ке Z;
2
в)
ТС
sin х = -1 <=> х = — + 2л£, £g Z.
2
II. cos х = а.
1. Если |а| > 1, то cosx = а о х е0.
2.Е сли |а|< 1,тоcosx = а<=>х = + arccosa +2л£, к g Z.
О < arccos а < л, cos(arccos а) = a, arccos (-а) = л- arccos а.
Частные случаи уравнения cos х = а:
a) cos х = 0 <=> х = л/2 + лк, к g Z;
б) cosx=l <=> х = 2л&, к g Z;
в) cosx = -1 <=> х = л + 2лЛ, к g Z.
III. tg х = а.
tg х = а <=> х = arctg а + лк, к е. Z.
л л
— < arctg а < —,
2 6 2
tg (arctg а) = а,
arctg (-а) = -arctg а.
Частные случаи уравнения tg х = а:
a) tg х = 0 <=> х = лк, к е Z;
б) tg х = 1 <=> х = —+ лк, к g Z;
4
в) tgx = -1 <=> х = + лк, к g Z-
IY. ctg х = а.
Если а ~ 0, то ctg х = а <=> х = — + лк, к е Z.
2
Если а *0, то ctgx = ао tgx = х = arctgj+ лк, к gZ.
Решить уравнения:
1. sin (2х - л/6) = >/з/2.
2. sin2 Зх = 3/4. 3. sin (sinx) = л/2/2.
4. (2х2- 16х + 27)|sin х| = 3sin х.
, (X л
5. cos —------
<2 10.
л/3
2 ’
6. cos2 Зх =
4
7. cos(cosx)= —.
8. tg(3x--)= Л.
4
9. tg24x = 1.
10. ctg 3x = V3.
И.(х2-12х + 23)
X
ctg-
= 12ctg|.
12. sin25x = —. 13.
4
• 2^-> лА 1
sin 3x— =-.
I 2
14. (sin 2x - 1)(2 sin 5x - V3) = 0.
15. sin (sin x) = —.
16. (x2- 13x + 31) sin = 9 sin^
f Л xA 1 _ A 1
17. cos------=—. 18. cos---------7x =-.
16 2J 2 <3 J 2
19. (cos 3x + 1) cos 5x = 0. 20. cos (sinx) =—. 21. sin(cosx) =
22. (x2-5x+ 5) |cos x| = cosx. 23. tg^ + y^ 24. tg2^3x-^ =3.
25. (tg 3x - 1) tg 4x = 0. 26. tg (tg x) = 0.27. tg (sin x) = 1/V3. 28. tg (cos x) = -Уз.
29. sin(tgx) = 0. 30. (x2-7x + 9) | tgx| = 3-tgx. 31. ctg^2x-y^ =l/>/3.
32. ctg25x = 1. 33. (ctg22x-3) ctg3x = 0. 34. (2x2 - 12x + 13) ctgx = 3 |ctgx|.
§ 3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратному уравнению
Решить уравнения:
1. 2 cos2 х+5 cosx-3 = 0. 2. 2 cos22x- 7 cos 2х + 5 = 0. 3. 2 cos2х = 3sinх.
4. cos х + tg х = 0. 5. 8 - cos 4x - 15 sin 2x = 0. 6. cos 2x + cos x = 0.
7. cos 2x - 2sin2x = -3. 8.2cos2 x = sin x. 9.1 - ^sin2 2x = 4 sin 2x.
2 4
10. 3sin[ —-2x| = 7 sin (4 л+ x). 11.2 cos2| — +sinf— -2x) =0.
\2 J \2 2J {2 J
12. 6cos2x + 5 sinx = 7. 13.5 cosx + 3 + cos 2x = 0. 14. tg2x - 2 tgx-3 = 0.
15. tg (x - n)-3 ctgf—-xj = 2.16,tgx = 5tgf—-xj- 4. 17. 2+—-4 tgx=0.
V2 / \ 2 ) cos2x
18. cos 2x - 5 sin x-3 =0. 19. 2 - cos 2x + 2^2 cos(n/2 + x) = 0.
20. 2 sin2x -(л/З + 2) sinx +л/3= 0. 21. 2cos 8(x- л) = 3 + 4 sin 4(х+л).
22. 2 - 6 sinxcosx +cos (5л-4х) = 0. 23.3 + 2 sin (Зл-2х) = tgx + tg(3n/2-x).
24. 2cos2f2x + —'l +3cos2fx + —) =5. 25. cos2fx + —'l +4 sinfx +—= —.
v 37 <67 I 37 l з7 2
26. cos4x + 3sinx-sin4x-2 =0.
§ 4. Однородные тригонометрические уравнения
Решить уравнения:
1. sinx-cosx = 0. 2.sin2x-5sinxcosx + 6cos2x = 0. 3.cos2x-Visinxcosx = 0.
4. sin23x-4sin3xcos3x + 3cos23x = 0. 5. 3sin2 x+ 2sinxcosx = 2.
6. 2sin2 x + 3cos2 x +5sinxcosx = 0. 7. sin2 x-(l + Vi)sinxcosx + Vicos2 x = 0.
8. 3 cos 2x = 2 sin 2x - cos2| - x
I 2
9. Vi sin 2 2x + (Vi -1) sin 2x cos 2x -cos22x = 0.
10. 4cos2x + 0,5sin2x+3sin2x = 3.
12. l+2cos| — -4x I + 3cos2 2x = 0.
U )
14. >/3cos2 x + cosxsinx = 0.
16. 4cos2 x -3sinxcosx + sin2x = 1.
11. 2cos2x + 4cos(7t/2-x)cos(x-4jt) + l = 0.
13. 3sin2x-4sinxcosx + 5cos2 x = 2.
15. cos2x-3sinxcos = l.
17. Vicos2 x- 0,5sin2x = 0.
19. sin^ + xj= (sinx + cosx)sin2x.
20. sin3 3x-4sin23xcos3x +3sin3xcos2 3x - 0.
§ 5. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения
Решить уравнения:
1. 3sinx + 4cosx = 5/2.
вспомогательного угла
7. sin х —cosx = V2.
10. Visin3x-cos3x = 2.
2. sin x + cos x = V2. 3. 2 sin x - 3 cos x = 6.
5. sin3x +—sin2x = — cos2x. 6. cos2x + Visin2x = Vi.
2 2
8. 2cosx + 3sinx = 4. 9. 1+ cos2x = Visin2x.
12. cosx = Visinx + 2cos3x.
14. sin 7x +cos 7x = Visinllx.
16. 2cos2 x + 2Vicosxsinx + 1 = 0.
11. sin(7t-6x)+Visin(7t/2 + 6x)= Vi.
13. sin 2x - cos2x = Vicos5x.
15. Visin3x-cos3x = 2cos7x.
17. 2cos22x + Visin4x = 2.
18. sin2x-3sinx-3cosx + 3 = 0.
19. sin2x + cosx-sinx + l = 0.
20. Visin 2x + 2sin2 x - 4Visin x - 4cosx + 4 = 0.
21. 43 sin 2x - 2cos2 x + 4Vicosx - 4sinx - 4 = 0.
22. Visin2x-2cos2x + cosx(2cosx -1)- Visinx +1 = 0.
23. Vi sin 2x + 2cos2x + Visin x - cos x(2cosx +1) +1 = 0.
24. 2cos2x +Visin2x-(l + Vi)(Vicosx + sinx-l) + 2sin2 x = 0.
§ 6. Решение тригонометрических уравнений с помощью
понижения степени
Решить уравнения:
1. 4sin2xd-7cos2x = l. 2. 8cos4x = llcos2x-l. 3. sin22х + sin2Зх = 1.
4. sin4x = cos4x-sin4x. 5. sin4 —+ cos4 —= 1. 6. sin4xd-cos4x = sinxcosx.
2 2
7. cosx-2sin2 - = 0. 8. 3sin2x-4cos2x = 3. 9, 2cos2-x-cos( —-3x | -1 = 0
2 2 \ 2 7
10. 6sin2 3x + cosl2x = 4.
,. . 4 X у *
12. sin — + cos x = 2.
2
14. sin4 x + cos4 x = cos2x.
16. sin6xd-cos6x = sin2xcos2x.
18. 2cos2 2x + V3sin4x = 2.
11. 2sin2xd-2sin22xd-2sin23x = 3.
13. 4sin2 2x - 2cos2 2x = cos8x.
. _ . 4 X . 4/X 7n\ . 5л
15. sin —+ sm — + — = sin—.
2 <2 2J 6
17. cos2 3x + cos2 4x + cos2 5x = 3/2.
§ 7. Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на
множители
Решить уравнения:
1. sin5x = sin6x. 2. cos3x = sin7x.
4. cos3x-cos7x =-V3sin2x.
6. sin2x = sin9x. 7. cos3x = sin5x.
9. sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
11. sin4x + 3cos3x-sin2x = 0.
13. V2sin4x-sinx-sin7x = 0.
15. sin —d-sin—d-cos—= 0
2 2 2
(7C i
4 J
3. sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x = 0
5. cos5x = cos7x.
8. sin3x-T3cos2x-sinx = 0.
10. sin3x-sin7x = V3sin2x.
12. cosx-2cos3x + cos5x = 0.
19. sin7x + cos22x = sin22x + sinx.
21. l + 2cos3xcosx + cos2x = 0.
23. cos3x sin7x = cos2x sin8x.
25. cos3x cos 6x = cos 4x cos7x.
27. cos 5x - sin 5x = sin 7x - cos 7x.
, . . x r- . 3x . 5x
14. sin — = V2 sin-sin —.
2 2 2
I fl
16. cos4x + sin 8x = 4sin — + 2x
V4
18. cos3x-sin5x = 3cos| — + x
U 7
20. cos2 x + cos2 2x - cos2 3x - cos2 4x = 0.
22. sin5x cos3x = sin6x cos2x.
24. sin2x sin6x = cosx cos3x.
26. 2sin5x cos6x + sinx = sin7x cos4x.
28. cos9x-cos7x + cos3x-cosx = 0.
29. cos2x + cos4x + cos6x + cos8x = 0.
| Л I — 1 I- It | 1
30. sin 6x d— + sin3x = —= . 31. COS 2x d-d-cosx =--.
k 4/ 72 I 3j 2
32. 7cos2 x-8cos6 x= 2sin2 2x. 33. 7cos3 x = cosxd-8cos7 x.
34. 2 cos(2y + x) cos(2y - x) + 3 = cos 2x + 2 sin 2 x.
35. tg2x - 2 tgx (sin j/ + cosy) + 2 = cos 2y - sin 2y.
§ 8. Тригонометрические уравнения с выборкой решений
1. Найти все решения уравнения (l-cos2x)sin2x = V3sin2x на[-л;л/3].
2. Найти корни уравнения sin2x+2sinx = l+cosx, принадлежащие отрезку [—4;—3].
Решить уравнения и найти корни, расположенные на заданных отрезках:
3. sinx(2sin2x-l) + cos22x = 0, хе[-1,6; 0,8].
4. 2sin2x + sin22х = 2, хе[-я/2; л].
5. 2-cos2x + 2>/2cos(x + k/2) = 0, xe[it/2; 2л].
6. sinx-3cos3x + sin7x = 0, хе[2; 5]. 7. cos5x + cos3x = 3cos4x, хе[0;л].
8. sin3x-cos3x = ->/2, хе[7л/4; 9л/4]. 9. 3cosx + 4sinx = 5sin3x, хе[0;л/2].
10. sin х + >/3 cosх + 2sin3x = 0, [Зл/4; 5л/4].
11. -\/3sinx + cosx + 2cos3x = 0, [л; Зл/2].
12. 2 sin Юх • cos 8х + сов(3л / 2 - 2х) = cos9x, [л/2; Зл/4].
13. 2cosxcos3x + sin3x = 2cosxsin3x+cos3x, [л/2; 7л/6].
14. sin 2х + sin 4х + (cos х-д/З-sinx)-sin Зх = 0, [л/2; Зл/2].
15. cos5x-cos3x-(sin2x->/3cos2x)sin4x = 0, [5л/4; 2л].
16. tg3x = tgx, [0; Зл/2]. 17. cos3x tg5x = sin3x, [-л/4; 9л/4].
18. (l--V3)sin2x-(-V3 + l)sinxcosx = 1, [Зл/4;л].
19. (l + 4->/3)cos2x-(4-->/3)sinxcosx = l, [л/3;2л/3].
3 7 1
20.------— = sin2 х + -, f-л; 2л].
1 + ctg2x 2
__2sin2x + l „ . .
22. ---------= 2ctgx, (-л/2; л).
tg*
24. —0082х— = sin2x -1, I—л/2; л].
2(1 +sin 2х)
26. Sin* = 2(1 +cosx), [л/2; Зл/2].
1-cosx
27. Решить уравнение sin(|n(6x + l)
2 ? 3
21. —= cos2 х + -, [0; 5л/2].
1 + tg2x 4
23. - tg3x - = cos3x -1, [-л/2; 5л/6].
1 + cos3x
25. 2(cosx + ^) = Л tgx, [-л; 0].
ctgr
= cos(|n(3x + 2)). Найти сумму корней
уравнения, принадлежащих интервалу (0; 1/2).
28. Решить уравнение cos(j(15x-4))-sin(^(6x-l)j = 0. Найти сумму корней
уравнения, принадлежащих интервалу (1; 3/2).
Решить уравнения. В ответе указать корень, принадлежащий заданному
отрезку:
29. Л- cos х= sinx, [л74;7л/4[
31. д/sinx = д/cos2х, [-.л/2;л].
30. д/cosx = д/со52х, [Зл/4; 5л/2|
32. д/1 - cos 2х = д/2 cosx, [—Зтг/2;0].
Найти корни уравнений, принадлежащие заданным отрезкам:
sin 2х cosx sin Зх
—---------------= sin х,
cos2x
л 5л
2’Т
cosxcos3x-cos4x . „ л 5л
----------------= - sin Зх, —; —
sinx 2 3
cos 2х sin Зх-sinx _ Г л Зл
35.------------------= - cos Зх, —; —
sin 2х [32
36. sinx + cosxctg^ =-д/З, [5л/2;5л]. 37. tg3xsin2x + cos2x= 1, [л/5;7л/2].
38. ctg2xcos3x + sin3x= -L, [-л/2;л]. 39. (х2 -4x + 3psinx + cbsx = 0, [0; л].
40. (х2 -х-2j-7cosx-sinx = 0,[-л/2; л]. 41. (х2 -Зх + 2(д/cosx-sinx = ОДО; л].
42. (2х2 - Зх + l)Vcosx - \/3sinx = 0, [0; Зл/2].
43. (х2 - 7х + 10)Л/3cosх +sinx = 0, [л/2; Зл/2].
Решить уравнения:
.. cos2x + 7sinx + 3 „ cos2x-3cosx-l .
Vl-3cosx V2sinx-1
46. д/9х - 8 - х2 •(cos2x + 3->/3sinx-4) = 0.
47. л19х-20-х2 (cos2х - 5д/3 sinх - 7j = 0.
48. д/15 + 4х- 4х2 (2sin2х- 2д/3cosx- 2sinх + д/3) = 0.
49. (sin Зх - д/3 cos 2х - sin х)д/л2 - 2лх - Зх2 = 0.
50. (cos х - д/3 cos 2х + совЗх^д/лх-Зх2 = 0.
Найти корни уравнений, принадлежащие заданным отрезкам:
51. (2sin2x-3sinx + l)A/tgx = 0, [2л; 7л/2].
52. (2cos2 х - cosx - l)^/ctgx = 0, [Зл; 9л/2].
53. y/tgx-l • (3cosx + cos2x + 2) = 0, [л/2; Зл/2].
54. (cos2x + 3sin x - 2) • д/cosx - sin x = 0, [0; л].
55. д/sinx-cosx (cosx +cos2x) = 0, [-л/2; л/2].
56. ^logj/3(x-2) + 2 • (cos lx - 3 cos x -1) = 0.
57. ^log]/2(x -3) + l • (cos2x -P 7cosx + 4) = 0.
Решить уравнения. Найти корни, принадлежащие заданным отрезкам:
58.12 -rgx-5|-| 2-/gx-1| = 2, [-л/2; л/2].
59. 2-cos2x+2V2 = 5-2sin2jr-3/4, [л/2; 2л].
2
60. 2“s2x+Зл/2 = 2“s *+7/4, [л/2; 3л/2].
... • ( Л | f Л 1 1 г А 1
61. log. cos — + х + log. cos — x = —, [л; 2л].
\4 J 4 \4 / 2
„ . . ( 5л , . ( л") , Г л
62. log2sin^x + —J +log2sm^x + —| = -1, xe -л; — •
63. | sin 2x| +cosx = 0. 64. 2cos3x-cosx = |cos2x|.
65. sinx + sin3x + |sin2x| = 0, [л/2; 2л]. 66. cosx-cos3x + 73|sinx| = 0,xe [О; л].
67. sinx + cosx + cos2x = ^-sin4x,
68. cosx + cos2x +ysin4x = sinx, [yiyB.
69. Решить уравнение |3x - 5|• cosx + (х -1)|cosх| = 0. В ответе указать цело*
решение.
70. Решить уравнение |2x + 7|-sinx-(x + 2)|sinx| = 0. В ответе указать наи
меньшее целое решение.
71. Решить уравнение 4sinх+3/4 -(2 + V2)• 2sin* +1 = 0. В ответе указать в гра
дусах корень, ближайший к 100°.
72. Решить уравнение 4COSX+I/2-(1+ 2T2)-2COSX+V2 = 0. В ответе указать
градусах корень, ближайший к 400°.
Решить уравнения:
73- ^tg(xxl3)(2^2 cos2 ф + (Л - 2)cosф)= 0.
74- logcos(jrx/3)^in(^) + cos 1)= 0.
75. + 5 = 21(25^^ + 5°"*'**).
76. 27arCSin*+3 + 37-3arcsinx =31.9^»* +9.
77.
79.
Решить системы.
2л . л ,
cos— + 3cos— = 1,
-”->1.
[4х-1
2л , л .
cos----5 cos— = 2,
. . л 2л ,
3sin—cos— = 1,
X
2х + 1 .
---->1.
,2-х
7
6х-2
80.
2л . л . .
cos----hsin — + 2 = 0,
х х
1 + ——
5х + 1
<0.
81.
. 3л „ 5л .7л
sin--3cos— = sin—,
83.
logJ+2^2 -Зх + 5) < 1.
5л . Зл л
cos— + sm— = cos—,
82. <!
84.
logx + 3
85. Решить систему
4л . 8л . . (л 2л A
cos— +sin— = 4sm — + — ,
x x \4 x /
10gx+j(- X2-:
. Зл 5л
sin — + cos---
I°g8-8x(*2 - 6х - 7) <
sin2 x- 31 sin 2x| + 5 cos2 x = 0,
I rgx I < 4.
В ответе указать в градусах сумму решений на отрезке [-Зл/2; л].
86. Решить систему
6sin2 х-Зд/з |sin 2x| + 4cos2 х = 0,
Jrgx|<l.
В ответе указать в градусах сумму решений на отрезке [л; Зл].
§ 9. Системы тригонометрических уравнений
1. Решить систему уравнений •
. . 3
sinx-Sin у = 7,
4 В ответе записать (в градусах)
Zgx-lgy = 3.
большее значение х, принадлежащее отрезку [0°; 180°].
2. Решить систему уравнений •
cosx-cosy =
4 В ответе записать (в граду-
ctgx dgy = 3 + 2л/2.
сах) большее значение х, принадлежащее отрезку [0°; 180°].
3. Решить систему уравнений
sin х • sin у =
cosx • cosy =
4 ’
В ответе записать (в градусах)
4’
меньшее значение у, принадлежащее отрезку [0°; 180°].
fsinx+.cosy = 1,
4. Решить систему уравнений ] В ответе записать (в граду-
[cos2x-cos2y = 1.
сах) большее значение х, принадлежащее отрезку [0°; 180°].
Решить системы:
5.
sinx-sin у = 7,
л 4
3tgx = ctgy.
6. -
sin x • cos У = 2 ’
sin у • cos x = ±.
. 2
sin x = cosx cosy,
2
cos x = sinx-siny.
8.
cosx + cosy = у,
♦2 «2 7
Sin x + sin V = 7.
J 4
„ fsiny = 3sinx,
9 J z
|2cosx + cosy =
1.
10.
2sinx —3cosy = V2.
7J
Глава 4. Текстовые задачи
§ 1. Задачи на проценты
Основные формулы
1. Число b составляет р процентов от a: h = а .
2. Число а увеличивается нар процентов: b = а (1 + .
3. Число а уменьшается нар процентов: b = а (1 - .
4. На сколько процентов b больше а (Ь > а): -100%.
5. На сколько процентов а меньше b (а < &): ^уМ00%.
6. Число а увеличилось сначала на р\ % (Р1 = ^), а затем на р2 % (Р2=^У-
а-(1 + р])-(1 + р2)=а-(1 + р] +р2+Р\-р-2).
7. Число а уменьшилось сначала на /?1%(^1 =^), а затем на р2% (Р2=^У
а-(1-Р])-(1-р2) = «-(1-Р1 ~Р2 + Р\ -Р1У
1. Цена товара а руб. была повышена на 25%. На сколько процентов надо
теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цецу товара?
2. Цена товара а руб. сначала повысилась на 20%, затем новую цену снизили на
20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?
3. Число а составляет 80% числа Ь, а число с составляет 140% числа Ь. Найдите
числа а, b и с, если известно, что с больше а на 72.
4. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем
в первом и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, ес-
ли в первом на 80 орехов больше, чем в третьем.
5. Урожайность на втором поле на 10% больше, чем на первом, а на третьем на
35% больше, чем на первом. Какова урожайность на втором поле, если средняя
урожайность на трех полях составляет 46 ц/га?
6. Вторая бригада выпустила на 40% изделий больше, чем первая, а третья - на
20% меньше, чем вторая. Сколько изделий выпустила вторая бригада, если
всего выпущено 528 изделий?
7. Количество участников в футбольном турнире было на 35% больше, чем в
баскетбольном, а в баскетбольном на 25% больше, чем в волейбольном. Сколь-
ко футболистов участвовало в турнире, если всего в играх участвовало 315
спортсменов?
8. Цена на некоторый товар была снижена дважды - сначала на 15%, а затем
еще на 20%. Каков общий процент снижения цены?
9. В поселке в настоящее время 48400 жителей. Известно, что население этой
поселка увеличивалось ежегодно на 10%. Сколько жителей было в поселке 2
года назад?
10. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5т целлюлозной массь
содержащей 85% воды, чтобы получить массу, содержащую 75% воды?
11. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько килограммов пресной
воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы она содержала 1,5% соли по
массе?
12. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько килограм-
мов сухих грибов получится из 33 килограмм свежих?
13. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие - 20%. Сколько надо
собрать свежих грибов, чтобы из них получить 4,5 кг сухих грибов?
14. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда их подсу-
шили, то влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после то-
го, как их подсушили?
15. Из 10 кг свежих фруктов получают 3,5 сушеных фруктов, содержащих 20%
воды. Каково процентное содержание роды в свежих фруктах?
16. Собрали 42 кг свежих грибов, содержащих по массе 95% воды. Когда их
подсушили, они стали весить 3 кг. Каков процент содержания воды по массе в
сухих грибах ?
17. В результате очистки сырья количество примесей в нем уменьшается с 20%
в исходном сырье до 4% в очищенном. Сколько надо взять исходного сырья
для получения 100 кг очищенного сырья ?
18. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухне-
дельного пребывания на воздухе он содержит 20% воды. На сколько кг увели-
чилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели полежал на
воздухе?
19. Двое рабочих вместе за смену изготавливали 72 детали. После того, как
первый рабочий повысил производительность на 15%, а второй на 25%, вместе
они стали изготавливать за смену 86 деталей. Определить сколько деталей стал
изготавливать за смену каждый рабочий после повышения производительности
труда? В ответе записать большее количество деталей.
20. Фабрика за первую неделю выполнила 20% месячного плана, за вторую не-
делю 120% продукции, выработанной за первую неделю, а за третью 60% про-
дукции, выполненной за первые две недели вместе. Каков месячный план вы-
пуска продукции, если известно, что для его выполнения необходимо за по-
следнюю неделю месяца изготовить 1480 единиц продукции?
21. За первую поездку автомобиль израсходовал 20% бензина, имевшегося в
баке, затем, за вторую поездку 25%, оставшегося в баке бензина. После этого в
баке осталось на 11 литров больше, чем было израсходовано за обе поездки.
Сколько литров бензина было первоначально в баке?
22. Цена первого товара поднялась на 40%, а потом еще на 25%. Цена второго
товара поднялась на 30%, после чего оказалось, что цена первого товара на
40% выше второго. На сколько процентов первоначальная цена первого товара
была больше первоначальной цены второго товара?
23. Цена товара А на 20% ниже цены товара В. Товар В поднялся в цене вначале
на 25%, а потом еще на 20%. На сколько процентов требуется поднять цену то-
вара А, чтобы его новая цена равнялась новой цене товара В?
24. Цена первого товара поднялась вначале на 35%, а потом еще на 20% и стала
равной 32,4 т. руб. Цена второго товара поднялась на 25% и стала равной пер-
воначальной цене первого товара. Какова первоначальная цена второго товара?
25. Цена первого товара на 10% больше цены второго товара. На второй товар
цена вначале поднялась на 21%, а потом еще раз поднялась на 25%. На сколько
процентов требуется поднять цену первого товара, чтобы цены обоих товаров
стали одинаковыми?
26. Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой то-
вар поднялся в цене на 30% и стал по цене равным первому товару. Какова пер-
воначальная цена первого товара, если второй до повышения цены стоил 12,5 т.
руб.?
27. В банк положен вклад под определенный процент годовых. Через год
вкладчик снял 1/4 часть получившейся суммы. Банк увеличил процент годовых
в 2 раза по сравнению с предыдущим годом, и еще через год получившаяся
сумма превысила первоначальный вклад на 164%. Каков новый процент годо-
вых у банка?
28. Вкладчик внес в Сбербанк под определенный процент 12 т. руб. Через год
он снял со счета половину процентной прибавки, а основной вклад и остав-
шуюся прибавку оставил в банке. Еще через год у вкладчика на счету оказалось
36 т. руб. Каков процент годовых по вкладу в Сбербанке?
29. В банке взят кредит в сумме 50 т. руб. под определенный процент годовых.'
Через год в счет погашения кредита было внесено 70 т. руб., а еще через год
для полного погашения кредита потребовалось еще 88 т. руб. Каков процент
годовых по кредиту в данном банке?
30. Фермер взял кредит в банке под 150% годовых. Через год он вынужден был
взять в кредит дополнительно еще половину первоначального кредита, но при
этом процент по кредиту вырос до 180% годовых. Еще через год для погаше-
ния всего кредита фермер вернул в банк 84 т. руб. Сколько тысяч рублей соста-
вил первоначальный кредит?
31. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через
год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, кото-
рую он был должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного по-
гашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полу-
ченного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
32. /Товар стоил 3150 руб. После двух последовательных снижений цены товар
"Стал стоить 1512 руб. Сколько стоил товар после первого снижения, если вто-
рое снижение было на 20% больше, чем первое? //’У 2й)
33. Товар стоил 4000 руб. После двух последовательных повышений цены он
’сГал стоить 4830 руб. Какова была цена товара после первого повышения, если
процент повышения во второй раз был на 10% больший, чем в первый раз?
34. Товар после двух последовательных снижений цены стоит 2400 руб. Какрвг
первоначальная цена товара, если после первого снижения его цена была 3200
руб., а процент второго снижения был на 5% больший, чем первого?
35. Товар стоил 5000 руб. Вначале его цену подняли нах%, а затем снизили це-
ну, но процент снижения был на 10% меньший, чем процент повышения. Товар
стал стоить 5200 руб. Какова была цена товара после повышения цены? с
36. Товар В был на 50% дороже товара А. Цена товара А увеличилась на 40%, а
общая стоимость двух товаров увеличилась на 4%. На сколько процентов была
снижена цена товара В1 Д О
37. Производительность первого рабочего была на 40% меньше производи-
тельности второго. Производительность второго рабочего увеличилась на 20%,
а их суммарная производительность увеличилась на 5%. На сколько процентов
снизилась производительность первого рабочего?
38. Цена на фрукты возросла на 15%, за счет чего на сумму в 230 руб. было
приобретено фруктов на 3 кг меньше. На сколько рублей возросла цена 1 кг
фруктов?
39. После ремонта путей скорость движения поездов на участке длиной 120 км
возросла на 20%, за счет чего время прохождения участка сократилось на 24
мин. За какое время поезда стали проходить данный участок?
40. Вкладчик положил в банк на счёт несколько тысяч рублей. Через год банк
начислил на'Эту сумму проценты в количестве 800 руб. Добавив 5 тыс. руб.,
вкладчик оставил деньги в банке и ещё через год получил 17 тыс. 64 руб. Найти
первоначальную сумму вклада.
41. Мастер изготовил за день некоторое количество изделий. В дальнейшем он
ежедневно увеличивал число производимых изделий на р процентов (р < 50%).
Во второй день он изготовил изделий на 5 больше, чем в первый день. В третий
день он сделал 36 изделий. Сколько изделий мастер изготовил за три дня ?
42. Банк начисляет на вклады р процентов (р < 25%) один раз за год. Вкладчик
положил некоторую сумму на счёт в банк. Через год вкладчик добавил к полу-
чившейся сумме столько, что сумма вклада стала в два раза больше первона-
чальной. Ещё через два года его вклад увеличился до 43 тыс. 200 руб. Сколько
процентов начисляет банк по вкладам за год, если за первый год процентные
деньги составляли 3 тыс. руб.
43. Школьник при подготовке к экзамену прочёл в первый день несколько де-
сятков страниц учебника. В дальнейшем он ежедневно увеличивал число про-
читываемых страниц на р процентов. Во второй день он прочитал на 20 стра-
ниц больше, чем в первый день. В третий день, прочитав 125 страниц, он за-
кончил чтение учебника. Сколько страниц в учебнике?
44. Предприниматель взял в банке кредит. Банк увеличивает долг предприни-
мателя ежегодно на р процентов (р < 40%). Через год его долг увеличился на
ЗОтыс. руб. Предприниматель вернул часть долга так, что остался должен банку
половину первоначального долга, а ещё через два года его долг составил 108
тыс. руб. Найти годовую процентную ставку, по которой банк ежегодно увели-
чивал долг.
45(. Группа школьников три дня работала на озеленении города. Первый день
высаживали липы, второй - клёны, третий - тополя. Клёнов было посажено на
р процентов больше, чем лип, тополей на р процентов больше, чем клёнов.
Найти сколько всего деревьев посадили школьники, если клёнов посадили на
80 шт. больше, чем лип, а тополей 392 шт.; причём лип было посажено больше
50 шт. '
46. Риэлтерская фирма вложила 50% своего капитала в покупку квартир, 60%
от остатка в покупку дачных участков, а средства, оставшиеся после сделок с
недвижимостью, внесла в банк под 5% годовых. Через год, реализовав недви-
жимость и сняв деньги со счета в банке, фирма получила 22% прибыли. Какой
процент прибыли принесли сделки с квартирами, если прибыль от продажи
дачных участков составила 20%?
47. Предприниматель вложил % своего капитала в покупку товара А, 70% ос-
тавшегося капитала в покупку товара Б, а все средства, оставшиеся после при-
обретения товаров А и Б, вложила в покупку товара В. При реализации товара
А предприниматель потерпел убыток в 20%, а при реализации товара Б получил
прибыль в размере 10%. Какой процент прибыли получил предприниматель от
реализации товара В, если общая прибыль от реализации всех трех товаров со-
ставила 1%.
48. Магазин получил партию товара и продал 30% этого товара с прибылью
20%, а 50% оставшегося товара - с прибылью 40%. Какую прибыль получил
магазин от реализации товара, оставшегося после двух распродаж, если общая
прибыль от продажи всей партии товара составила 27%.
49. Предприниматель вложил 20% своего капитала в акции компании А, 609^
оставшегося капитала в акции компании В, остальной капитал был вложен д
акции компании С. Акции компании А принесли прибыль 10%, а акции ком-
пании В - 5%. Общая прибыль от покупки акций всех трех компаний состави-
ла 1,2%. Какой процент убытка принесли акции компании С?
50. Банк выделил определенную сумму денег на кредиты трем организациям
сроком на 1 год. Организация А получила кредит в размере 40% от выделенной
суммы под 30% годовых, организация В - 40% от оставшейся суммы под 15%
годовых. Последнюю часть выделенной суммы получила организация С. Через
год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль 1
размере 21%. Под какой процент был выдан кредит организации С?
51. Из первого бака перелили 30% имевшейся в нем воды во второй бак, а за!
тем из второго перелили 40% имеющейся в нем воды в третий бак. В итоге ко(
личество воды в третьем баке увеличилось на 32%. Сколько воды отлили и?
первого бака, если известно, что первоначально в первом и третьем баках вода
было поровну, а во втором баке было 60 л.?
52. Из цистерны в бассейн перелили вначале 40% имевшейся в ней воды, затеь
25% остатка, и, наконец, еще 80 л.. В итоге количество воды в бассейне увели
чилось на 20%. Сколько воды стало в бассейне, если в цистерне первоначальн<
было 600 л.?
§ 2. Задачи на сплавы, смеси, растворы
Концентрация по массе ст- процентное отношение массы компонента
i| тк к общей массе смеси т0: ст= — -100%.
L______________________________-й- -I
1. Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве
был на 25% выше, чем во втором. Когда сплавили их вместе, то получили
сплав, содержащий 30% серебра. Определить веса сплавов, если известно, что
серебра в первом сплаве было 4 кг, а во втором 8 кг.
2. В первом сосуде растворили 0,36 л, а во втором 0,42 л чистого спирта. Про-
центное содержание спирта в первом сосуде оказалось на 6% больше, чем во
втором. Каково процентное содержание спирта во втором и первом сосудах,
если известно, что раствора в первом сосуде на 4 л меньше?
3. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько кг олова надо
добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве
стало равным 70%?
4. К 40% раствору серной кислоты добавили 50 г чистой серной кислоты, после
чего концентрация раствора стала равной 60%. Найти первоначальный вес рас-
твора.
К раствору, содержащему 30 г соли, добавили 400 г воды, после чего кон-
центрация соли уменьшилась на 10%. Найти первоначальную концентрацию
соли в растворе.
6. В 5 кг сплава олова и цинка содержится 80% цинка. Сколько кг олова над
добавить к сплаву, чтобы процентное содержание цинка стало вдвое меньше?
7. К 5 кг сплава олова и цинка добавили 4 кг олова. Найти первоначальное про-
центное содержание цинка в первоначальном сплаве, если в новом сплаве цин-
ка стало в 2 раза меньше, чем олова.
8. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы на-
ходятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили
новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограммов
нового сплава получилось?
9. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а
другой -65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 200 г
сплава, содержащего 30% меди?
10. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько
нужно взять каждого сплава, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием
никеля в 30%?
11. Имеется два разных сплава меди, процент содержания меди в первом спла-
ве на 40% меньше, чем во втором. Когда оба сплава сплавили вместе, то новый
сплав стал содержать 36% меди. Известно, что в первом сплаве было 6 кг меди,
а во втором вдвое больше. Каково процентное содержание меди в обоих спла-
вах?
12. Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов
находится в отношении 1 ; 9, а в другом -2:3. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро отно-
сились бы как 1:4?
13. На завод поступило 20 тонн меди и 10 тонн свинца. Из них были приготов-
лены три сплава: в первый сплав медь и свинец входят как 3 : 2, во второй - как
3 : 1 и в третий как 5:1. Найти веса изготовленных сплавов, если известно, что
первого и второго сплава вместе было приготовлено в 4 раза больше, чем
третьего.
14. К 5 кг сплава меди и свинца добавили 1 кг меди. В новом сплаве меди ока-
залось в 2 раза больше, чем свинца. Определить процентное содержание меди в
первоначальном сплаве.
15. Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20 г и
сплавить с 2 г олова, то во вновь получившемся сплаве масса меди будет равна'
массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г
цинка, то в этом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить в
процентах состав первоначального сплава.
16. Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором соляной
кислоты и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора
было взято?
17. В какой пропорции нужно смешать 10% и 35% растворы аммиачной селит-
ры, чтобы приготовить 15%-ный раствор?
18. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего кон-
центрация уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была
концентрация ?
1^/Из бака, наполненного полностью кислотой, вылили несколько литров и
долили водой, потом опять вылили столько же литров смеси; тогда в баке оста-
лось 24 литра чистой кислоты. Емкость бака 54 литра. Сколько кислоты выли-
ли в первый раз?
20. Из бутыли, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 литр и долили
1 литр воды. В бутыли оказался 3%-ный раствор соли. Какова вместимость бу-
тыли?
21. Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометр
рическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весо-
вом отношении 2 : 3 : 4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если
же смешать их в весовом отношении 3:2:1, то получится раствор, содержа-
щий 22% спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?
22. Если к сплаву меди и цинка добавить 20 г меди, то содержание меди в спла-
ве станет равным 70%„ Если же к первоначальному сплаву добавить 70 г спла-
ва, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найти
первоначальный вес сплава.
23. Если к раствору спирта добавить 10 г спирта, то его концентрация станет
равной 37,5%. Если же к первоначальному раствору добавить 50г 30%-го рас-
твора спирта, то его концентрация станет равной 32,5%. Найти первоначальное
количество спирта в растворе.
24. Если к раствору кислоты добавить 50г воды, то его концентрация станет
равной 15%. Если же к первоначальному раствору добавить 50г кислоты, то его
концентрация станет равной 40%. Найти первоначальную концентрацию рас-
твора.
25. Если к раствору соли добавить 200 г 30%-го раствора, то его концентрация
станет равной 25%. Если же к первоначальному раствору добавить 300 г 40%-
го раствора, то его концентрация станет равной 32%. Найти первоначальную
концентрацию раствора.
26. В сосуде содержится 20 мл спирта и 120 мл воды. Из сосуда отлили поло-
вину содержимого сосуда, после чего в оставшуюся часть долили некоторое
количество воды и вдвое меньшее количество спирта. Сколько миллилитров
спирта было добавлено в раствор, если процентное содержание спирта в рас-
творе стало равным 20%?
27. Из сосуда, содержащего 18%-ый раствор спирта, отлили 0,5 л раствора, а в
оставшуюся часть долили 0,7 л воды. Каков был первоначальный объём рас-
твора в литрах, если процентное содержание спирта в новом растворе стало
равным 12%?
28j^ сосуде содержится 10 мл спирта и 90 мл воды. Из сосуда отлили 1/4 часть
содержимого сосуда, а в оставшуюся часть долили некоторое количество спир-
та и 30,5 мл воды. Сколько миллилитров спирта добавили в раствор, если в но-
вом растворе процентное содержание спирта удвоилось? /
29. В сосуде находится 10%-ый раствор соли. Из сосуда отлили 1/3 содержимо-
го сосуда и долили водой так, что сосуд оказался заполненным на 5/6 первона-
чального объёма. Каково процентное содержание соли оказалось в сосуде?
30. Первый слиток содержит 20% цинка, а второй - 31,5%. Если их сплавить,
получится слиток, содержащий 25% цинка. На сколько процентов вес первого
слитка больше веса второго?
31. Первый раствор содержит 13,5% соли, а второй - 5%. Если их слить вместе,
получится 10%-ый раствор. На сколько процентов вес второго раствора меньше
веса первого?
32. Если два раствора кислоты смешать в отношении 1 : 4, то получится рас-
твор, содержащий 38% кислоты. Если же эти растворы смешать в отношении
4 : 1, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Найти процентное со-
держание кислоты во втором растворе.
33. Имеется два слитка меди и цинка, второй из которых содержит 70% меди.
Первый сплав, содержащий 45% цинка, получили из 5 кг первого слитка и не-
которого количества второго, а второй сплав, содержащий 50% меди, получили
из 10 кг первого слитка и прежнего количества второго. Каково процентное со-
держание меди в первом слитке?
34. Из двух слитков, содержащих 10% и 40% меди, изготовили два сплава. Пер-
вый сплав получили из некоторого количества первого слитка и 10 кг второго,
а в торой сплав - из того же количества первого слитка и 2,5 кг второго.
Сколько кг первого слитка использовали для приготовления каждого сплава,
если содержание меди в первом сплаве на 10% больше, чем во втором?
35. Имеется два раствора кислоты в воде: 30 % и 50 %. Второго имеется 3 л. Ес-
ли смешать растворы, добавив некоторое количество 90% раствора, получится
75 % раствор. Если же к первому раствору добавить 3 л 90% раствора, то полу-
чится тоже 75 % раствор. Сколько литров 90 % раствора добавили в первый
раз?
36. Имеется два раствора спирта в воде. Если смешать по 5 л каждого раствора,
добавив к ним 5 л воды, то получится 20% раствор. Если взять 4 л первого рас-
твора и 2 л второго, добавив к ним 4 л 60 % раствора, то получится 40 % рас-
твор спирта. Каково процентное содержание спирта в первом растворе?
37. Если к раствору серной кислоты добавить 100 г воды, то его концентрация
уменьшится на 40 %. Если же к первоначальному раствору добавить 100 г сер-
ной кислоты, то его концентрация увеличится на 10%. Найти первоначальную
концентрацию раствора.
38. Если к сплаву олова и меди добавить 10 г олова, то его содержание в сплаве
увеличится на 10%. Если же к первоначальному сплаву добавить 30 г меди, то
содержание олова в сплаве уменьшится на 15%. Найти первоначальный вес
сплава.
39. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 60% меди и 40% свинца, вто-
рой - 40% меди и 60% олова, третий - 40% меди, 20% свинца и 40% олова
Сплавив их, получили сплав, содержащий 10% свинца. Какое наибольшее в
наименьшее процентное содержание меди может быть в этом сплаве?
40. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 10% золота, 40% серебра к
50% меди, второй - 20% серебра и 80% меди, третий - 20% золота, 30% сереб-
ра и 50% меди. Сплавив их, получили сплав, содержащий 5% золота. Како<
наибольшее и наименьшее процентное содержание серебра может быть в этом
сплаве?
41. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 60% стали и 40% титана, вто-
рой - 80% стали, 10% титана и 10% никеля, третий - 40% стали, 40% титана i
20% никеля. Сплавив их, получили сплав, содержащий 5% никеля. Какое наи
меньшее и наибольшее процентное содержание титана может быть в это»
сплаве?
§ 3. Задачи на движение
1. S = v-t, где S “’Путь, v - скорость, t - время.
Sn
2. Время встречи г =-у—, где Sn- расстояние между первым и вто-
v2 + vl
рым в начальный момент, v(-скорость первого, v2-скорость второго.
f _ 50 l = v2+V1 v2 , vl о 1 ! 1
1>2 + Vj t Sq t Sq Sq t S0/v2 Sq / V] t2 f] t
$
3. Время, за которое второй догоняет первого / =-2—.
V2-V1
t = £о 1 _ V2 - V1 а 1 _1 =1
v2-vl Г 50 f2 Ч f
1. Из городов А тл В, расстояние между которыми 270 км, одновременно на-
встречу друг другу вышли два автобуса. Через 3 часа они встретились. Про-
должая путь без остановок, 1-ый автобус приходит в В на 1 час 21 мин позже,
чем 2-ой автобус приходит в Я. Найти скорость каждого автобуса.
2. Два велосипедиста выезжают навстречу друг другу из пунктов А и В, рас-
стояние между которыми 28 км. Они встречаются через час и не останавлива-
ясь едут дальше. Определить скорость каждого из них, если первый прибыл в
пункт назначения на 35 мин раньше второго. В ответе записать большее значе-
ние скорости.
3. Из двух городов, расстояние между которыми 140 км, "одновременно на-
встречу друг другу выехали две автомашины. Через час они встретились и, не
останавливаясь, продолжали путь. Определить скорость машины, которая про-
шла весь путь на 35 мин быстрее.
4. Два пешехода А и В вышли одновременно друг другу навстречу из городов С
и Д. Когда они встретились, то оказалось, что А прошел на 6 км больше, чем В.
Если каждый из них будет продолжать путь с той же скоростью, то А придет в
Д через 4,5 часа, а В в С через 8 часов после встречи. Определить расстояние
между С и Д.
5. Из двух пунктов А и В.навстречу друг другу вышли два пешехода. Когда они
встретились, то оказалось, что первый прошел на 6 км больше второго. После
встречи каждый из них продолжал свой путь и первый пришел в В через 2 часа,
а второй в А через 4,5 часа. Найти расстояние между пунктами Л и В.
6. Из пункта А по одному шоссе выезжают два автомобиля, а через час вслед за
ними выезжает третий. Еще через час расстояние между третьим и первым ав-
томобилями уменьшилось в полтора раза, а между третьим и вторым в два раза.
Во сколько раз скорость первого автомобиля выше скорости второго? (Извест-
но, что третий автомобиль не обгонял первых двух).
7. Две автомашины вышли одновременно из одного пункта и едут в одном на-
правлении. Первая автомашина проходит 40 км/час, а скорость второй состав-
ляет 125% скорости первой. Через 30 минут из этого же пункта и в том же на-
правлении вышла третья автомашина, которая догнала вторую на 1,5 часа поз-
же, чем первую. Определить скорость третьей автомашины, если движение
всех автомашин равномерное.
8. На круговой дорожке стадиона длиной 400 м тренируются два спортсмена.
Найти скорость движения каждого из них, если известно, что при движении в
одну сторону они встречаются каждые 20/3 минуты, а при движении в проти-
воположные стороны они встречаются каждые 4/3 минуты.
9. Товарный поезд был задержан в пути на 12 минут, а затем на расстоянии 60
км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/час. Найти перво-
начальную скорость поезда.
10. Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 минуты. Увеличив после этого
скорость на 10 км/час, он наверстал опоздание на перегоне в 80 км. Сколько
километров проезжал мотоциклист за 1 час до задержки?
11. Двигаясь из пункта А в пункт В мотоциклист остановился для заправки на
20 мин. После этого, он увеличил скорость на 12 км/час и скомпенсировал по-
терянное время на расстоянии 80 км. С какой скоростью двигался мотоциклист
после остановки.
12. Поезд должен был пройти 60 км за определенное время. Через 2 часа после
начала движения он был задержан на 20 минут и чтобы прийти вовремя в пункт
назначения, он увеличил скорость на 10 км/час. Найти первоначальную ско-
рость поезда.
13. Расстояние между двумя городами 210 км. Выехавший из одного города в
другой автобус через 2 часа после начала движения был задержан на 30 минут.
После остановки водитель увеличил скорость на 5 км/час и прибыл в город во
время. Определить первоначальную скорость автобуса.
14. Автомашина должна была проехать 240 км. На середине пути она задержа-
лась на 30 мин. Увеличив скорость на 20 км/час, автомашина прибыла в назна-
ченный пункт вовремя. Какова была первоначальная скорость автомашины?
15. Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоцик-
лист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает времени на 2 часа больше, чем
мотоциклист. Вычислить скорость каждого из них.
16. Два мотоциклиста выезжают одновременно из двух городов, расстояние
между которыми 81 км, и встречаются через час. Найти скорости мотоцикли-
стов, если один из них проезжает каждый километр на 20 секунд быстрее дру-
гого.
17. Мотоциклист проезжает один км на 4 мин быстрее, чем велосипедист.
Сколько км проезжает каждый из них за 5 часов, если за это время мотоцик-
лист проезжает на 100 км больше велосипедиста? В ответе записать большее
значение.
18. Расстояние между двумя посёлками 12 км первый пешеход проходит на 20
мин дольше второго пешехода и на 36 мин дольше третьего. Скорость третьего
пешехода на 0,5 км/ч больше скорости второго пешехода. Найти скорость пер-
вого пешехода.
19. Расстояние между двумя пунктами велосипедист проезжает на 3 часа доль-
ше мотоциклиста и на 4 часа дольше автомобилиста. Скорость мотоциклиста
составляет 2/3 скорости автомобилиста и на 20 км/ч больше скорости велоси-
педиста. Найти скорость велосипедиста.
20. Расстояние между двумя пунктами 60 км первый велосипедист проезжает
на 12 мин дольше второго велосипедиста и на 1 час быстрее третьего. Скорость
третьего велосипедиста на 2,5 км/ч меньше скорости второго. Найти скорость
первого велосипедиста.
21. Первый бегун пробегает дистанцию на 1 секунду дольше второго бегуна и 2
л. 10
секунды дольше третьего. Скорость второго бегуна составляет - скорости
25
третьего и на — м/сек больше скорости первого бегуна. Найти скорость, с ко-
торой пробегает дистанцию третий бегун.
22. Расстояние между станциями А и 8 120 км. Из В в А вышел поезд. Через 30
мин навстречу ему из А в В вышел другой пое^д сохкоростью на 6 км/час
больше первого. Найти скорости каждого из них, если они встретились на се-
редине пути. В ответе записать меньшую скорость.
23. Пешеход шел из деревни на станцию. Пройдя 3 км за час, он рассчитал, что
опаздывает на 40 мин на поезд, если будет двигаться с той же скоростью. По-
этому он увеличил скорость до 4 км/час и пришел на станцию за 40 мин до от-
хода поезда. Найти расстояние между станцией и деревней.
24. Катер прошел против течения реки 72 км, затем повернул и прошел по те-
чению реки еще 44 км, затратив на весь путь 3 часа. Найти скорость течения
реки, если скорость катера в стоячей воде 40 км/час.
25. Пароход, отчалив от пристани А, спустился вниз по течению реки на 60 км
до устья впадающего в реку притока и поднялся вверх по притоку (против те-
чения) на 20 км до пристани В. Весь путь от Я до В пароход прошел за 7 часов.
Скорость течения реки и скорость течения притока равны 1 км/час. Найти соб-
ственную скорость парохода.
26. Пароход отчалив от пристани А, спустился вниз по течению притока до впа-
дения в реку на 60 км и поднялся вверх по реке (против течения) на 28 км до
пристани В. Весь путь от Я до В пароход прошел за 10 часов. Скорость течения
реки 1 км/час, скорость течения притока 2 км/час. Найти собственную скорость
парохода.
27. Из пункта О одновременно отплыли вниз по течению реки катер и плот.
Пройдя 40/3 км, катер повернул обратно и, пройдя 28/3 км, встретился с пло-
том. Требуется найти собственную скорость катера, если известно, что ско-
рость течения - 4 км/час.
28. Моторная лодка, обладающая скоростью движения 20 км/час, прошла рас-
стояние между двумя пунктами по реке туда й обратно не останавливаясь за 6
часов 15 мин. Расстояние между пунктами 60 км. Определить скорость течения
реки.
29. Катер расстояние по реке от А до В проходит за 2 часа, а обратно за 3 часа,
За сколько часов пройдет расстояние от А до В плот?
30. Моторная лодка проходит 5 км по течению реки за 20 минут, а 2 км против
течения за 12 минут. Найти в км/час скорость лодки в стоячей воде.
31. Скорость лодки по течению реки в 1,5 раза больше, чем против течения.
Найдите в км/час скорость течения реки, если расстояние 2 км по течению реки
лодка проходит на 50 мин быстрее, чем плот.
32. Моторная лодка отошла от пристани по течению реки. Одновременно, от
этой же пристани по берегу в том же направлении отправился пешеход. Пройдя
24 км, лодка повернула обратно и встретилась с пешеходом в 8 км от пристани.
Определить скорость лодки в стоячей воде, если скорость пешехода и течения
реки одинаковы и равны 4 км/час.
33. Скорость лодки по течению реки в 4 раза больше, чем против течения.
Пройдя 4 км против течения и сделав получасовую остановку, лодка вернулась
обратно, затратив на весь путь 3 часа. Найти скорость течения реки.
34. Моторная лодка спустилась вниз по реке, а потом поднялась вверх по при-
току. Путь по реке был на 10% меньше, чем по притоку, а скорость движения
по притоку была на 20% меньше, чем по реке. На сколько процентов время
движения по реке меньше, чем по притоку?
35. Моторная лодка проплыла по озеру, а потом спустилась вниз по реке, выте-
кающей из озера. Путь по озеру на 15% меньше пути по реке. Время движения
лодки по озеру на 2% больше, чем по реке. На сколько процентов скорость
движения лодки вниз по реке больше скорости движения по озеру?
36. Моторная лодка проплыла по озеру, а потом поднялась вверх по реке, впа-
дающей в озеро. Скорость движения лодки по озеру на 4% больше, чем ско-
рость движения лодки вверх по реке, а время движения по озеру оказалось на
15% больше времени движения лодки по реке. На сколько процентов путь по
озеру больше 'пути по реке?
37. Дорога от Я к В длиной 11,5 км идет сначала в гору, затем по равнине и по-
том под гору. Пешеход, идя из Я в В, прошел всю дорогу за 2 часа 54 мин, а на
обратную дорогу затратил 3 часа 6 мин. Скорость ходьбы в гору 3 км/час, по
равнине 4 км/час, под гору 5 км/час. На каком протяжении дорога идет по рав-
нине?
38. Некоторое расстояние велосипедист проехал со скоростью 12 км/час. После
этого расстояние на 8 км большее он проехал со скоростью 10 км/час, а осталь-
ное расстояние на 14 км меньшее пройденного - со скоростью 8 км/час. Как
велик весь путь, если на все путешествие затрачено 5 часов 15 минут?
39. Шофер должен был отвезти старую мебель на дачу. Туда он ехал со скоро-
стью 40 км/час, а обратно со скоростью 60 км/час. Найти среднюю скорость, с
которой он проехал путь туда и обратно.
40. Треть пути велосипедист проехал со скоростью 20 км/час, а оставшуюся
часть с другой скоростью. Когда он закончил путешествие, то оказалось, что
его средняя скорость на всем пути составляла 12 км/час. С какой скоростью ве-
лосипедист проехал остаток пути ?
41. Первые 150 км автомобиль проехал с некоторой скоростью, а затем остав-
шееся расстояние в 1,6 раза большее того, что проехал, преодолел со скоро-
стью на 4% меньшей. С какой скоростью он ехал сначала, если средняя ско-
рость автомобиля на всем пути составила 48,75 км/час?
42. Первую часть пути мотоциклист ехал со скоростью 40 км/час. Затем путь на
20 км больший он проехал за 1 чае 15 мин, а последний участок пути, по длине
равный первому, он проехал со скоростью 32 км/час. Каков весь путь, если
средняя скорость мотоциклиста на всем пути составила 40 км/час?
43. Учебный самолет летел со скоростью 800 км/час. Когда ему осталось про-
лететь на 90 км больше, чем он пролетел, пилот увеличил скорость до 900
км/час. Средняя скорость на всем пути оказалась равной 850 км/час. Какое рас-
стояние пролетел самолет?
44. Половина пути из города А в город В идёт в гору, а другая половина - под
гору. Машина перевозила груз из А в В и обратно вернулась порожней. Ско-
рость машины с грузом равнялась в гору 20 км/час, под гору - 30 км/час. Ско-
рость порожней машины равнялась в гору 40 км/час, под гору - 60 км/час. Най-
ти среднюю скорость машины, с которой она проделала путь туда и обратно.
45. Пешеход прошёл из пункта А через пункты В и С в пункт D. Путь АВ мень-
ше ВС на J- часть ВС, a CD на 25% больше ВС. Найти среднюю скорость, с ко-
торой пешеход прошёл весь путь, если его скорость на отрезках пути АВ, ВС и
CD равнялась соответственно 5 км/час, 3 км/час и 7,5 км/час.
46. Путь велосипедиста состоял из трёх отрезков. Второй отрезок пути на |
больше первого, а третий йа 6,25% меньше второго. Скорость велосипедиста на
1-ом, 2-ом и 3-ем отрезках пути равнялась соответственно 20 км/час, 40 км/час
и 25 км/час. Найти среднюю скорость велосипедиста, с которой он проехал
весь путь.
47. Поезд отправился от станции А, проследовал через станции В а С, прибыл
на станцию D. Путь ВС больше АВ на ~ часть АВ, a CD на 60% меньше ВС.
Найти среднюю скорость поезда на пути AD, если его скорость на АВ, ВС и CD
равнялась соответственно 80 км/час,' 100 км/час и 150 км/час.
48. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 120км, в полночь от-
правился поезд. Через 3 часа в том же направлении отправился другой поезд,
который делает на 10 км/час больше, чем первый, и прибывает в В на 2 часа
позже первого. В котором часу прибыл в В второй поезд?
49. Из М в N со скоростью 80 км/час выезжает автомобиль. Одновременно из W
в М со скоростью 60 км/час выезжает второй автомобиль. Через 1 час вслед за
первым выезжает третий автомобиль, который сначала догоняет первый авто-
мобиль, а еще через час после этого встречается со вторым. Найти скорость
третьего автомобиля, зная, что она меньше 200 км/час, а расстояние между
пунктами MhNравно 860 км.
50. Из Л в В выехали две автомашины с одинаковыми скоростями - 60 км/час.
Через час вслед за ними выехала третья автомашина, а вторая в этот момент
увеличила скорость на 10 км/час. Третья машина догнала первую, а еще через 3
часа - вторую автомашину. Найти скорость третьей автомашины.
51. Три велосипедиста из одного поселка в одном направлении выезжают с ин-
тервалом в 1 час. Первый двигался со скоростью 12 км/час, второй - 10 км/час.
Третий велосипедист, имея большую скорость, догнал второго, а еще через два
часа догнал первого. Найти скорость третьего велосипедиста.
52. Из Я в В, расстояние между которыми 320 км, выехали две автомашины со
скоростями 80 км/час и 60 км/час. Одновременно из В в А выехала третья авто-
машина, которая встретила первую, а затем еще через 32 минуты - вторую ав-
томашину. Найти скорость третьей автомашины.
53. Одновременно выехали два мотоциклиста: один со скоростью 80 км/час,
другой со скоростью 60 км/час. Через полчаса вслед за ними из того же пункта
отправился третий гонщик. Найти скорость третьего гонщика, если известно,
что он догнал второго гонщика на 1 час 15 мин раньше, чем первого.
54. Мотоциклист и велосипедист встретились на полпути между пунктами А и
В. При встрече выяснилось, что велосипедист выехал из А на 1 час 20 мин
раньше, чем мотоциклист из В. Через сколько часов они встретятся, если вы-
едут одновременно и если известно, что скорость мотоциклиста в три раза
больше скорости велосипедиста?
55. Из пунктов MhN, расстояние между которыми 60 км, выехали одновре-
менно навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист. Они встретились
через час, а в момент прибытия'мотоциклиста в N велосипедист находился на
расстоянии 40 км от М. Какова скорость велосипедиста?
56. Поезд должен был пройти расстояние от А до В, равное 20 км. Пройдя по-
ловину пути, он был задержан на 3 минуты у светофора. Чтобы прийти вовре-
мя, он увеличил скорость на 10 км в час. На обратном пути поезд был задер-
жан у того же светофора на 5 минут. На сколько км/ч он должен увеличить ско-
рость, чтобы прийти из В в А вовремя?
57. Из пункта А в пункт В расстояние между которыми 84 км выехал велосипе-
дист. Через 2 часа навстречу ему из В в Я выехал мотоциклист, скорость кото-
рого на 48 км/час больше скорости велосипедиста. Определить скорость мото-
циклиста, если известно, что к моменту встречи велосипедист проехал на 16 км
меньше, чем мотоциклист.
58. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Когда он проехал 1/6 часть
всего пути, вслед за ним выехал второй велосипедист и через 2 часа«догнал его.
Найти время, за которое проехал весь путь первый велосипедист, если второй
затратил на этот путь на 2 часа меньше.
59. Из М в N вышел грибник, через час из М в N вышел турист, скорость кото-
рого на 25% больше скорости грибника, а еще через час после этого из М в N
вышел спортсмен, скорость которого на 60% больше скорости туриста. Гриб-
ник и турист прибыли в У одновременно. На сколько минут раньше прибыл в N
спортсмен?
60. Из пункта А в В выехал велосипедист. Спустя 3 часа вслед за велосипеди-
стом выехал турист на мопеде, скорость которого была на 20% больше скоро-
сти велосипедиста. Спустя некоторое время из города А в В выехал вдогонку
мотоциклист, скорость которого была на 50% больше скорости мопеда. Через
сколько часов после выезда велосипедиста выехал мотоциклист из А в В, если
все трое прибыли в В одновременно?
61. Из С в Д выехал первый курьер, через 2 часа вслед за ним выехал второй
курьер, скорость которого на 20% больше, чем у первого курьера, а еще через 2
часа после этого выехал третий курьер, скорость которого на 25% больше ско-
рости второго. Первый и второй курьеры прибыли в Д одновременно. Раньше
или позже них прибыл в Дтретий курьер?
62. Из пункта А в пункт В выезжает автомобилист. Через 1 час из пункта В на-
встречу ему выезжает мотоциклист, а ещё через 1 час расстояние между ними
составило | частей расстояния от А до В (встреча состоялась позже). За какое
время проедет расстояние от А до В мотоциклист, если автомобилисту на это
требуется на 3 час меньше?
63. Из пункта А в пункт В одновременно выезжают два велосипедиста. Через 4
часа первый велосипедист отстал от второго на -| части расстояния от А до В.
За какое время проедет расстояние от А до В первый велосипедист, если второ-
му на это требуется на 1 час 40 мин меньше?
64. Вторая машина догоняет первую, которая в начальный момент находится
на некотором расстоянии S. Время, за которое вторая машина догонит первую
на 1,5 часа больше времени, за которое первая машина может пройти путь S, и
на 2 часа больше времени, за которое вторая машина может пройти этот путь.
Найти время, за которое вторая машина догонит первую.
65. Если два пешехода выйдут одновременно навстречу друг другу из пунктов
А и В, то они встретятся на 1 час раньше, чем пройдёт этот путь первый пеше-
ход и на 4 часа раньше, чем пройдёт это! путь второй. Найти время, за которое
может пройти этот путь второй пешеход.
66. Второй велосипедист догоняет первого, находящегося в начальный момент
от него на некотором расстоянии L. Время, за которое второй велосипедист до-
гонит первого, на одну минуту больше, чем время затрачиваемое вторым на
прохождение пути L и на 8 минут меньше, чем время, за которое первый может
проехать этот путь. Сколько минут требуется второму на прохождение пути А?
67. Два мотоциклиста выехали из пункта М в пункт N. Второй выехал из М на
полчаса позже первого и догнал его в 60 км от N. Достигнув N, второй сразу же
повернул обратно и встретил первого в 12 км от N. Определить, за сколько ча-
сов второй мотоциклист догнал первого.
68/ Автомобиль прошел половину пути со скоростью 60 км/час. Оставшуюся
часть он половину времени шел со скоростью 80 км/час, а последний участок
со скоростью 50 км/час. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути.
69. Два пешехода вышли одновременно из пунктов А иВ навстречу друг другу
и через некоторое время встретились. После встречи каждый из них продолжал
свой путь и первый пришел в В через 1 час 48 мин, а второй в А через 4 часа 3
мин. Найти время, через которое они встретились.
70. Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А в пункты В и С и
прибыли одновременно первый в В, а второй в С. Известно, что первый вело-
сипедист проезжает из Л в С за 1 час 40 мин, а второй из Л в В за 3 часа 45 мин.
Сколько времени требуется первому велосипедисту, чтобы проехать из В через
А в С?
71. Из пункта А вниз по течению реки вышел катер № 1. Одновременно из
пункта В против течения реки навстречу вышел катер № 2. Когда они встрети-
лись, то оказалось, что катер № 1 прошел на 40 км больше, чем катер № 2. По-
сле встречи катер № 1 вернулся в А через 2 часа 48 мин, а катер № 2 вернулся в
В через 1 час 12 мин. Найти время, через которое они встретились, если ско-
рость течения реки 5 км/час.
72. Пристани А, В, С расположены последовательно вниз по течению реки. Рас-
стояние АВ на 15 км меньше ВС. Из Л и С одновременно навстречу друг другу
отправились два теплохода и прибыли в В одновременно. Первый теплоход,
оправившийся из Л, путь из В в Л проходит за 7 часов, а второй на обратный
путь из В в С затрачивает 4 часа. Найти скорость течения реки, если скорость
первого теплохода в стоячей воде равна 18 км/час.
73. Из пункта М вниз по течению реки вышел катер. Одновременно из пункта У
против течения реки навстречу ему вышла моторная лодка. Когда они встрети-
лись, то оказалось, что катер прошел на 36 км больше, чем лодка. После встре-
чи катер вернулся в М через 3 часа, а лодка вернулась в N через 6/7 часа. Найти
время, за которое катер может пройти из М в N, если скорость течения реки 4
км/час.
74. От пристани М вниз по течению реки отправился катер Л. Одновременно
с ним от пристани N навстречу ему отправился катер В. После того как они
встретились, катер Л вернулся в М через 4 часа, а катер В вернулся в N через
2 часа 30 мин. Найти скорость течения реки, если расстояние от места встречи
до N на 12 км больше, чем до М, а скорость катера Л в стоячей воде равна 14
км/час.
§ 4. Задачи на работу
Л • /7
Время выполнения работы при совместной работе t = ———, где
время выполнения работы первым, Z2 ~ время выполнения работы вторым.
/l+/2 /1 /2 t
1. Один трактор засевает поле за 4 часа, другой - за 6 часов. За сколько време-
ни они засеют поле, работая вместе?
2. Хозяйство должно было засеять поле за 4 дня. Перевыполняя ежедневную
норму сева на 12 га, рабочие закончили сев за один день до срока. Сколько гек-
таров засевало хозяйство ежедневно?
3. Хозяйство должно было закончить сев за 5 дней. Рабочие засевали в день на
60 га больше, чем предполагалось по плану, и поэтому за 2 дня до срока им ос-
талось засеять только 36 га. Сколько гектаров должно было засеять хозяйство?
4. Два комбайна, работая вместе, за десять часов могут убрать картофель с
площади 6,5 га. Если первый комбайн будет работать 8 часов, а потом второй
12 часов, то они уберут картофель с площади 6,4 га. С какой площади в гекта-
рах убирает картофель за 1 час второй комбайн?
5. Две бригады лесорубов, работая вместе, могут выполнить задание за 3 часа.
Сколько времени в часах потребуется для выполнения задания первой бригаде,
если она может выполнить все задание на 8 часов быстрее второй?
6. Два самосвала перевозили по 600 т грунта. Первый самосвал перевозил еже-
дневно на 5 т больше второго и приступил к работе на 4 дня позже. Сколько
тонн грунта перевозил второй самосвал ежедневно, если оба самосвала закон-
чили работу одновременно.
7. Две молотилки вместе обмолачивают хлеб за 12 дней. Если бы первая моло-
тилка обмолотила половину хлеба, а затем вторая оставшуюся часть, то они
проработали бы 25 дней. За сколько дней может обмолотить весь хлеб каждая
молотилка в отдельности. В ответе записать большее значение.
8. Тракторист должен был вспахать участок 120 га. Так как он вспахивал в день
на 10 га больше предусмотренного планом, то он закончил работу на день
раньше. Сколько гектаров вспахивал тракторист в день?
9. Бригада лесорубов должна была заготовить 600 м3 дров. Первые 8 дней она
работала по плану, а затем перевыполняла план на 10 м3 ежедневно, поэтому
за два дня до срока бригада заготовила 640 м3. Какова была ежедневная норма
по плану?
10. Па изготовление одной детали первый рабочий затрачивает на 6 мин мень-
ше, чем второй, а за 7 часов первый рабочий делает на 8 деталей больше второ-
го. Сколько деталей за 7 часов изготавливает второй рабочий ?
11. Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать за день 4,5 км пути.
Каждая из них отремонтировала 10 км пути, но при этом вторая бригада затра-
тила на ремонт на один день меньше, чем первая. Сколько километров пути
ремонтировала в день первая бригада?
12. Две бригады, рабртая вместе, могут выполнить некоторую работу за 12 ча-
сов. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту работу на 10 часов
быстрее, чем вторая. Сколько часов требуется первой бригаде для выполнения
этой работы ?
13. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 часов. Одна первая труба заполня-
ет его на 5 часов скорее, чем одна вторая труба. За сколько часов, действуя от-
дельно, заполнит бассейн первая труба?
14. Двое рабочих, работая одновременно, выполняют некоторую работу за 20
дней. Первый из них, работая отдельно, затрачивает на эту работу на 30 дней
меньше второго. Сколько дней требуется первому рабочему для выполнения
одному всей работы?
15. Бак наполняется водой двумя трубами за 216 мин. Первая труба может на-
полнить бак на 3 часа скорее, чем вторая. За сколько минут может наполнить
бак каждая из труб? В ответе записать большее значение.'
16. Первый насос производительностью 70 л/час заполнил 35% объема резер-
вуара, а остальное заполнил второй насос, производительность которого равна
130 л/час. Таким образом резервуар был заполнен за 12 часов. За сколько часов
заполнят резервуар оба насоса, работая одновременно?
17. Емкость объемом 1600 л заполняется двумя насосами. Если первый насос
проработает 1 ч 36 мин, а второй насос проработает 3 ч 45 мин, то емкость бу-
дет заполнена. За сколько часов заполнит емкость второй насос, работая от-
дельно, если первому для этого требуется 6 ч 24мин?
18. Первый насос производительностью 150 л/ч заполнил некоторую часть объ-
ема бака, а оставшуюся часть на 1000 л большую заполнил второй насос за 5 ч
12 мин. За сколько часов заполнят бак два насоса, работая одновременно, если
объем бака равен 1600 л?
19. Первый насос, работая отдельно, может заполнить бак объемом 2400 л за 9
ч 36 мин, а второй - за 6 часов. Первый насос проработал 1 час 12 мин и оста-
новился. Сколько часов потребуется второму насосу, чтобы заполнить бак?
20. Два насоса, работая одновременно, заполняют бак за 3 часа 12 минут. Пер-
вый насос заполнил часть объема бака, проработав 2 часа, а затем оставшуюся
часть на 800 л большую заполнил второй насос, проработав 4 часа. Каков объ-
ем бака?
21. Два станка одновременно начали штамповать детали с производительно-
стью 70 деталей в минуту каждый. Через час пустили в работу третий станок. В
этот момент первый станок снизил свою производительность на 10 деталей в
минуту. Через некоторое время на третьем станке было сделано столько дета-
лей, сколько было к этому моменту на первом, а еще через 3,5 часа он сравнял-
ся по числу сделанных деталей со вторым Найти производительность работы
третьего станка.
22. Одновременно начато бурение двух скважин со скоростями 2 м/час и 1
м/час, а через час приступили к бурению третьей скважины. Через некоторое
74
время глубина третьей скважины оказалась равной гдубине второй, а еще через
1,5 часа она сравнялась по глубине с первой скважиной. Найти скорость буре-
ния третьей скважины.
23. Две машинистки одновременно начали печатать рукопись. Первая со ско-
ростью 5 страниц в час, а вторая со скоростью 6 страниц в час. Через час к ним
присоединилась третья, которая догнала первую по числу напечатанных стра-
ниц, а спустя еще полчаса и вторую. Найти скорость печатания третьей маши-
нистки.
24. Экскаватор роет котлован. После того, как было вынуто 20 м грунта, про-
О
изводительность экскаватора снизилась на 5 м /час. Найти первоначальную
производительность, если через 8 часов после начала работы было вынуто 50
м2 грунта.
25/ Две машинистки, начав одновременно, отпечатали рукопись. Оказалось,
что вторая машинистка отпечатала 80 страниц. За то время, за которое первая
машинистка отпечатала бы 80 страниц, вторая отпечатает на 36 страниц мень-
ше, чем отпечатала первая из законченной рукописи. Сколько страниц содер-
жит рукопись?
26. При испытании двух двигателей установлено, что первый израсходовал 120
кг бензина, а второй 80 кг, причем второй двигатель работал на два часа мень-
ше, чем первый. Определить какое количество бензина в час расходует первый
двигатель, если он расходует на 2 кг/час больше, чем второй.
27. Две бригады, работая одновременно, могут выполнить некоторую работу за
8 дней. Если бы работало 2/3 рабочих первой бригады и 4/5 рабочих второй
бригады, то работа была бы выполнена за 11,25 дней. За сколько дней могла
бы выполнить всю работу вторая бригада?
28. Два трактора, работая вместе, вспахивают поле за 2 часа. Если бы произво-
дительность первого трактора была на 25% выше, а производительность второ-
го - на 25% ниже, то второй трактор мог бы вспахать поле за на 48 минут бы-
стрее первого. За какое время вспахивает поле первый трактор?
29. Вторая бригада выполняет заказ на 1 час быстрее первой. Если бы произво-
дительность первой бригады была на 25% меньше, а второй - на 40% больше,
то вместе они выполнили бы заказ за 2 часа. За какое время выполняет заказ
одна вторая бригада?
30. Первая труба наполняет бассейн на 50 минут быстрее, чем вторая. Если бы
пропускная способность первой трубы была на 25% меньше, а второй трубы -
на 50% больше, то двумя трубами бассейн наполнился бы за 1 час 20 мин. За
сколько часов наполняет бассейн одна первая труба?
31. Двумя трубами бассейн наполняется за 2,5 часа. Если бы пропускная спо-
собность первой трубы была на 25% больше, а второй - на 25% меньше, то
первая труба наполнила бы бассейн на 2 часа 40 мин. быстрее второй. За какое
время наполняет бассейн одна первая труба?
32. Два каменщика выполняют некоторую работу. Если всю работу будет де-
лать первый каменщик, то он затратит на 9 дней больше, чем оба каменщика,
работая вместе. Если эту работу будет делать второй каменщик, то он затратит
на 4 дня больше, чем оба каменщика, работая вместе. За сколько дней выпол-
нит эту работу второй каменщик?
33. Две машинистки, работая вместе, наберут рукопись на 1 день быстрее, чем
одна первая машинистка, и на 4 дня быстрее, чем одна вторая машинистка. За
сколько дней выполнят эту работу две машинисткй, работая вместе?
34. Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за определен-
ное время. Если будет работать один первый рабочий, то он затратит на эту ра-
боту на 2,5 часа больше; если же будет работать один второй, то он затратит на
3,6 часа больше. Найти время, за которое выполнит всю работу рабочий, обла-
дающий большей производительностью.
35. Один маляр выполнит некоторую работу на 1 час 10 мин быстрее другого и
на'1,5 часа дольше того времени, за которое они выполнили бы эту работу, ра-
ботая вместе. Найти время, которое малярам требуется при совместном выпол-
нении работы.
36. Средняя производительность рабочего в смену была на 10% выше, чем пре-
дусматривалось нормативом. На сколько процентов уменьшится время выпол-
нения работы, на 12% меньшей по объёму от предусмотренной по нормативу?
37. Производительность первого станка на 25% больше производительности
второго станка. Второй станок сделал деталей на 4% больше, чем первый. На
сколько процентов время, затраченное вторым станком на выполнение своей
работы, больше, чем время, затраченное первым станком на выполнение
своей работы?
38. Первый насос заполнил 40% резервуара и остановился. Второй насос, про-
изводительность которого на 25% больше, чем у первого, заполнил оставшую-
ся часть резервуара. На сколько процентов продолжительность работы вто-
рого насоса больше, чем у первого?
39. Три трубы проведены в три бака одинакового объема. Производительность
второй трубы на 20% меньше производительности первой и на 25% больше
производительности третьей. После того, как третья труба проработала 5 часов,
начала работать вторая труба и они одновременно заполнили свои баки. Через
сколько часов после начала работы третьей трубы начала заполнять свой бак
первая труба, если она его заполнила спустя час после того, как закончила ра-
ботать третья и вторая трубы?
40. Трем рабочим поручили изготовить одинаковые партии деталей. Произво-
дительность первого рабочего была на 10% меньше, чем у второго, и на 20%
больше, чем у третьего. Первым приступил к работе третий рабочий, спустя 6
минут начал свою работу первый рабочий и они закончили свои задания одно-
временно. На сколько минут позже третьего рабочего начал работать второй,
если он свое задание выполнил на 2 минуты раньше, чем первый и третий ра-
бочий?
41. В бригаде работало несколько человек. Если бы их было на двое больше, то
они выполнили бы задание на один день раньше, а если бы их было на одного
76
человека меньше, то они проработали бы над этим же заданием на один день
дольше. Сколько человек было в бригаде, если они работали с одинаковой про-
изводительностью?
42. Бассейн может быть наполнен насосами типа А и типа В. Один насос типа А
будет наполнять бассейн на 1 час дольше, а типа В - на 4 часа дольше, чем оба
насоса при совместной работе. Найти время наполнения бассейна при совмест-
ной работе насосов.
43. Через первую трубу вода наливается в бассейн, а через вторую выливается.
Если открыть только первую трубу, то бассейн будет наполнен на 30 минут бы-
стрее, чем при одновременно открытых трубах. Если при полном бассейне от-
крыть только вторую трубу, то для опорожнения бассейна потребуется на 1 час
30 мин. больше, чем для заполнения при одновременно открытых трубах. За
сколько часов наполняет бассейн одна первая труба?
44. Два экскаватора должны вырыть траншею. Если только один из них будет
выполнять эту работу, то первый затратит на 2 дня больше, а второй - на 8
дней больше, чем при совместной работе. За сколько дней может вырыть
траншею второй экскаватор, работая один?
45. К резервуару подключено два подающих насоса и третий откачивающий
насос, имеющие различную производительность. Если включить первый насос
на 50 мин, второй - на 2 часа, а третий - на 1 час, то будет заполнена половина
резервуара. Если же включить первый насос на 55 мин, второй - на 1,5 часа, а
третий - на полчаса, то заполненным окажется 2/3 резервуара. За сколько часов
заполнят резервуар два первых насоса, работая вместе?
46. Бригада состоит из трех рабочих различной квалификации. Если первый
рабочий проработает полчаса, второй - полтора часа, а третий - 3,5 часа, то
будет выполнена половина всей работы. Если же первый рабочий проработает
1,5 часа, второй - 2 часа, а третий - 3 часа, то будет выполнено 75% всей рабо-
ты. За какое время будет выполнена вся работа бригадой, работающей в пол-
ном составе?
47. Бочку можно заполнить тремя типами ведер, различающихся объемом. Ес-
ли бочку заполнять ведром второго типа, то их в бочку вместится на 1 ведро
меньше, чем ведер первого типа и на 2 ведра больше, чем ведер третьего типа.
Каков объем ведра второго типа, если он составляет 3/4 от объема ведра
третьего типа и вмещает на 1 литр больше, чем ведро первого типа?
48. Два насоса, работая вместе, наполнили цистерну водой. При этом первый
насос перекачал v м3. Если бы сначала один второй насос перекачал бы в цис-
з
терну v м , то для завершения наполнения цистерны первому насосу потре-
бовалось бы 1 час 30 мин. Найти время, за которое насосы, работая вместе, на-
полнят цистерну, если для перекачивания v м3 второму насосу требуется 2 ча-
минут.
«ИЕДва насоса наполняют водой два одинаковых бака. Через некоторое время
они вместе перекачали объем воды, равный объему одного бака. После этого,
продолжая работу, первый насос наполнил свой бак через 1 час, а второй - че-
рез 4 часа. Найти сколько времени требуется этим насосам для наполнения од
ного бака при совместной работе.
§ 5. Задачи на прогрессии
Основные формулы
Арифметическая прогрессия: а}, а} + d, +2d, . . . , + (n-ljd,
где Я] - первый член, d - разность прогрессии.
Если d > 0, то прогрессия возрастающая; если d < 0 - ^бывающая.
Общий (n-ый) член прогрессии : а„ = а} +d(n-1).
Характеристическое свойство:
_ _ ал-1 °и+1 _ п
ап ~ j а”+' а" — °" '
Сумма п первьк членов прогрессии:
„ а}+а„ „ 2al+d(n-l)
S„ =—------п или S„ =—1------------п.
п 2 2
Геометрическая прогрессия: b^, q, -q2 3 4 5,.. . . , Ь[ -qn~\
где Ь] - первый член, q - знаменатель прогрессии.
Если 0 < q < 1, то прогрессия убывающая, если q > 1 - возрастающая.
Общий (и-ый) член прогрессии: b„ = b\-qn~l.
Характеристическое свойство:
= 'Jbn-i -bn+y <=> Ьп = 6И_] • 5л+1 =7 •
ьп °п-\
„ _ b-(qn-\)
Сумма п первых членов прогрессии: Sn - ——------.
9-1
Сумма членов бесконечной убывающей прогрессии: .
1-9
„ ас с-а
Свойство пропорции: — = — = ——-.
1. Четвертый член арифметической прогрессии равен 9, а восьмой равен -7.
Найти сумму пяти членов прогрессии.
2. Восемнадцатый член арифметической прогрессии равен 11, а двадцать чет-
вертый 29. Найти сумму сорока членов прогрессии.
3. Сумма семи членов арифметической прогрессии равна 49, а десяти 10. Найти
сумму четырех членов этой прогрессии.
4. Сумма тринадцати членов арифметической прогрессии равна 78, а шестна-
дцати 144. Найти сумму 40 членов этой прогрессии.
5. Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 18. Най-
ти сумму тринадцати членов этой прогрессии.
6. Сумма шестого и десятого членов арифметической прогрессии равна 26.
Найти сумму пятнадцати членов этой прогрессии.
7. Найти число членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен
33, разность равна -7, а сумма 45.
8. Найти число членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен
53, разность -8, а сумма 14.
9. Определить первый член арифметической прогрессии, у которой сумма
третьего и четвертого равна сумме первых четырех членов, сложенных с седь-
мым и равна 0,1.
10. Сумма третьего, пятого и седьмого членов арифметической прогрессии рав-
на 60, а произведение пятого и шестого членов этой прогрессии равно 300.
Найти сумму пятнадцати первых членов этой прогрессии.
11. Арифметическая прогрессия содержит 10 членов. Сумма членов, стоящих
на четных местах, равна 50, а нечетных равна 35. Определить первый член про-
грессии.
12. Найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если сумма
первых трех членов равна нулю, а сумма четырех первых - единице.
13. Сумма первого и третьего членов арифметической прогрессии равна 3, а
сумма ее второго и четвертого членов равна 4. Сколько членов имеет эта про-
грессия, если сумма всех ее членов равна 17,5?
14. Произведение первого и третьего членов арифметической Прогрессии с по-
ложительными членами равно 12,5, а разность ее четвертого и второго членов
равна 2,5. Сколько членов содержит прогрессия, если ее последний член равен
11,25?
15. Если разделить шестой член арифметической прогрессии на первый, то в
частном получится 4, а в остатке 1. Разность пятого и второго ее членов равна
4,2. Сколько членов содержит прогрессия, если сумма ее первого и последнего
членов равна 11?
16. Сумма второго и третьего членов возрастающей арифметической прогрес-
сии равна 22, а произведение первого и четвертого членов равно 40. Найти
шестой член арифметической прогрессии.
17. Сумма второго и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии
равна 22, а произведение третьего и четвертого 112. Найти разность прогрес-
сии.
18. Сумма первых четырех членов возрастающей арифметической прогрессии
равна 42, а произведение первого и четвертого равно 90. Найти сумму семи
первых членов прогрессии.
19. Сумма второго и третьего членов возрастающей арифметической прогрес-
сии равна 22, а произведение первого и четвертого членов равно 85. Найти сум-
му шести членов.
20. Четыре числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию.
Сумма крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72. Найти чет-
вертый член прогрессии.
21. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии рав-
на 20, а разность между пятым и четвертым членами равна 160. Определить
первый член прогрессии.
22. Разность пятого и первого членов геометрической прогрессии с положи-
тельными членами равна 3, а сумма ее второго и четвертого членов - равна
Зл/2. Сколько членов содержит прогрессия, если ее последний член равен 8?
23. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 28, а сумма
следующих трех ее членов равна 7/2. Определить восьмой член прогрессии.
24. Произведение первого и второго членов возрастающей геометрической
прогрессии равно 4-Уз, а третий член этой прогрессии равен 6. Найти число
членов прогрессии, если сумма всех ее членов равна 8 + 8>/з.
25. Сумма первого и третьего членов возрастающей геометрической прогрес-
сии равна 51, а второй член равен 12. Сколько членов содержит прогрессия, ес-
ли ее последний член равен 192?
26. Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии с поло-
жительными членами равно 12. Частное от деления второго члена на четвертый
равно 3. Сколько членов содержит прогрессия, если сумма ее членов равна
8(73 + 1)?
27. Сумма бесконечной убывающей прогрессии, члены которой положительны,
равна 2. Сумма ее первых двух членов составляет 75% от данной суммы. Найти
эту прогрессию.
28. Разность первого и второго членов бесконечной убывающей геометриче-
ской прогрессии равна 0,75, а сумма ее членов равна 4/3. Найти эту прогрес-
сию.
29. Дана бесконечная убывающая знакопостоянная геометрическая прогрессия.
Ее третий член в 3 раза меньше произведения первого и пятого членов, а сумма
первого и третьего членов равна 30. Найти сумму этой прогрессии.
30. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 4. Найти
шестой член прогрессии, если сумма кубов ее членов равна 64/7.
31. Каждый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии в 5 раз
больше суммы всех ее следующих за ним членов, а второй ее член на 5 единиц
больше третьего. Найти сумму членов прогрессии.
32. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую убывающую прогрес-
сию, равна 30. Если от первого числа отнять 5, от второго отнять 4, а третье
число оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую
прогрессию. Найти эти числа.
33. Сумма трех чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрес-
сию, равняется 24. Если к первому числу прибавить 10, от второго отнять 3, а
третье оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую
прогрессию. Найти эти числа.
34. Три числа, сумма которых равна 21, составляют возрастающую геометриче-
скую прогрессию. Если из первого числа вычесть 1, ко второму прибавить 1, а
третье оставить без измерения, то получатся числа, составляющие арифметиче-
скую прогрессию. Найти эти числа.
35. Три числа, сумма которых равна 26, составляют возрастающую геометриче-
скую прогрессию. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 6, и 3, то
получатся три числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найти эти
числа.
36. Четыре числа составляют арифметическую прогрессию. Если из них вы-
честь соответственно 2, 5, 7 и 7, то получатся числа составляющие геометриче-
скую прогрессию. Найти эти числа.
37. Четыре числа составляют арифметическую прогрессию. Если из второго
вычесть 1, к четвёртому прибавить 5, то получатся числа составляющие гео-
метрическую прогрессию. Наити эти числа.
38. Если третий член возрастающей геометрической прогрессии разделить на
сумму первого и второго членов, то получится в частном 2, а в остатке 4. Най-
ти четвёртый член прогрессии, если её второй член равен 12.
39. Если сумму первого и второго членов убывающей геометрической прогрес-
сии разделить на её третий член, то получится в частном 8, а в остатке 6. Найти
знаменатель прогрессии, если второй её член на 12 больше третьего.
40. Произведение первых пяти членов геометрической прогрессии равно 32, а
произведение её второго! и третьего членов равно 2. Найти шестой член про-
грессии.
41. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии в три раза
больше суммы её первого и второго членов. Найти первый член прогрессии,
если сумма первых восьми её членов равна 51.
42. Из четырех целых чисел, первые три образуют арифметическую прогрес-
сию, а последние три - геометрическую. Найти последнее из этих чисел, если
сумма крайних чисел равна 12, а сумма средних чисел равна 9.
§ 6. Задачи иа числа
Двузначное целое число можно представить в виде
« ху » = 1 Ох + у, где х - число десятков, у - число единиц.
1. Сумма квадратов двух чисел равна 208. Найти'болыпее из этих чисел, если
сумма этих чисел равна 20.
2. Сумма квадратов двух положительных чисел равна 520, а разность квадратов
этих же чисел равна 128. Найти большее из них.
3. Разность квадратов двух положительных чисел равна 180. Найти произведе-
ние этих чисел, если их сумма равна 30.
4. Два положительных числа относятся как 3 : 5. Найти сумму этих чисел, если
разность этих чисел равна 12.
5. Найти двузначное число, если оно втрое больше суммы своих цифр, а квад-
рат этой суммы втрое больше искомого числа.
6. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном
бив остатке 2. Если же это число разделить на произведение его цифр, то по-
лучится в частном 5 и в остатке 2. Найти это число.
7. Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если
к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же циф-
рами, но в обратном порядке. Найти это число.
8. Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы и в 3 раза больше про-
изведения своих цифр. Найти это число.
9. Найти двузначное число, зная, что число его единиц двумя меньше числа де-
сятков и произведение искомого числа на сумму его цифр равно 252. Найти это
число.
10. Если некоторое двузначное число умножить на сумму его цифр, то полу-
чится 90. Если число, напцсанное теми же цифрами в обратном порядке, умно-
жить на сумму его цифр, то получится 306. Найдите это число.
11. Произведение данного двузначного числа на сумму его цифр равно 648. Ес-
ли число, написанное теми же цифрами в обратном порядке, умножить на сум-
му его цифр, то получится 243. Найти данное число.
12. Произведение цифр двузначного числа в два раза меньше самого числа.
Найти это число, если сумма цифр искомого числа в два раза меньше произве-
дения цифр этого числа.
13. Найти двузначное число, частное от деления которого на произведение его
цифр равно 2^, а кроме того, частное от деления числа, написанного теми же
цифрами в обратном порядке, на произведение его цифр равно l1^.
14. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном
получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вы-
честь произведение его цифр, то получится данное число. Найти это число.
15. Найдите двузначное число, частное от деления которого на произведение
цифр равно 8/3, а разность между искомым числом и числом, написанным теми
же цифрами, но в обратном порядке, равна 18.
16. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры этого числа переста-
вить, то получится число, составляющее 5/6 первоначального. Найти это число.
17. Найти двузначное число по следующим условиям: частное от деления ис-
комого числа на сумму его «цифр равно 8, частное от деления произведения
цифр на сумму цифр равно 14/9.
18. Найти два целых числа, сумма которых равна 234. Если к первому числу
приписать справа цифру 3, а во втором числе отбросить последнюю цифру 2,
то полученные числа будут равны.
19. Цифры некоторого трехзначного числа составляют геометрическую про-
грессию. Если в этом числе переставить местами цифры сотен и единиц, то но-
вое трехзначное число будет на 594 меньше искомого. Если же в искомом чис-
ле зачеркнуть цифру сотен и в полученном двузначном числе переставить его
цифры, то новое двузначное число будет на 18 меньше числа, выраженного
двумя последними цифрами искомого числа. Найти это число.
20. Произведение двузначного числа и суммы его цифр равно 576. Если к нему
прибавить 36, то получится двузначное число, записанное теми же цифрами в
обратном порядке. Найти это число.
21. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получит-
ся 5, а в остатке 3. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в
частном получится 1, а в остатке 22. Найти это число.
22. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получит-
ся 3, а в остатке 7. Найти остаток от деления этого числа на произведение его
цифр:
23. Остаток от деления натурального числа п на 5 равен 4; остаток от деления п
на 4 равен 3. Чему равен остаток от деления наименьшего из возможных п на
17?
24. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получит-
ся 6, а в остатке 5. Найти остаток от деления этого числа на произведение его
цифр.
25. Остаток от деления натурального числа п на 17 равен 8; остаток от деления
и на 13 равен 7. Чему равен остаток от деления наименьшего из возможных п
на25?
§ 7. Задачи на распределение и сравнение
1. В двух канистрах имеется 16 литров бензина. Из каждой канистры взяли по 1
литру, и тогда 25% бензина, оставшегося в первой канистре, составляет 1/3
бензина, оставшегося во второй канистре. Сколько литров бензина было в каж-
дой канистре?
2. Группа экскурсантов должна была заплатить за экскурсию 72 руб. Если бы
их было меньше на 3 человека, им пришлось бы заплатить каждому на 4 рубля
больше. Сколько было экскурсантов?
3. Завод за некоторый плановый срок (в днях) должен был выпустить 400 изде-
лий. Однако, увеличив дневную выработку на 2 изделия, завод за 2 дня до сро-
ка перевыполнил задание на 3,5%. Определить плановый срок.
4. Первая колхозная бригада собрала со своего поля 3360 т картофеля. Вторая
бригада с поля, которое меньше первого на 10 га, собрала 3600 т картофеля.
Сколько тонн картофеля собрала с одного гектара каждая бригада, если вторая
бригада собрала с одного гектара на 3 т больше первой.
5. Сумма двух чисел равна 186. Найти эти числа, если известно, что 2/25 перво-
го числа равны 3/40 второго числа.
6. Студенческая бригада за летнюю работу должна получить некоторую сумму.
Если бы в бригаде было на 3 человека больше, то каждый получил бы на 30
руб. меньше, а если бы сумму денег увеличили на 360 руб., то каждый студент
получил бы по 180 руб. Определить сумму денег и число студентов в бригаде.
7. Двое рабочих получили задание сделать 72 детали. Первый рабочий сделал
за 3 часа часть задания, а затем второй рабочий сделал за 4 часа оставшуюся
часть задания. Сколько деталей делает за час первый рабочий, если 18 деталей
он сделает на 1/2 часа быстрее, чем второй рабочий?
8. Длина Дуная относится к длине Днепра как 6%: 5, а длина Дона к длине
Дуная, как 6^: 9^. Найти протяжённость каждой из рек, если Днепр длиннее
Дона на 300 км.
9. В каждом вагоне находится одинаковое число пассажиров. Количество пас-
сажиров в одном вагоне превосходит число вагонов на 9. Когда на станции во
второй вагон вошли 10 человек, а из остальных вагонов вышло по 10 человек,
то число пассажиров во втором вагоне оказалось равным числу пассажиров,
оставшихся во всех остальных вагонах. Сколько пассажиров было первона-
чально в каждом вагоне?
10. Овощи в магазин были доставлены двумя машинами по 60 мешков в каж-
дый. При этом в 21 мешке была свёкла, а в остальных - капуста. Сколько меш-
ков со свёклой было в каждой машине, если в первой на один мешок со свёк-
лой приходилось в три раза больше мешков с капустой, чем во второй ?
11. Две машинистки вместе напечатали 65 страниц, причём первая работала на
один час больше второй. Однако вторая машинистка печатает в час на две стра-
ницы больше первой, и поэтому она напечатала на 5 страниц больше. Сколько
страниц в час печатает каждая машинистка?
12. При испытании двух двигателей установлено, что первый израсходовал 120
кг бензина, а второй 80 кг, причем второй двигатель работал на два часа мень-
ше, чем первый. Определить какое количество бензина в час расходует первый
двигатель, если он расходует на 2 кг/час больше, чем второй.
13. Продают три куска ткани. Из первого куска продали 2/3, а из второго поло-
вину, а третий кусок, в котором было 1/3 всей ткани, продали весь. Сколько
процентов ткани продано, если всего осталось её вдвое меньше, чем было в
первом куске?
14. Товар для реализации распределили по трём магазинам. Первый магазин
продал половину выданного ему товара, второй - 2/3, а третий магазин, кото-
рому выдали четвёртую часть всего товара, продал весь товар. Сколько про-
центов товара было реализовано, если всего осталось 2/3 от того товара, что
выдали второму магазину?
15. Две работницы изготовили по 100 изделий каждая. Из общего числа изго-
товленных изделий 150 оказалось I-го сорта, а остальные - П-го. Сколько изде-
лий I-го сорта изготовила каждая работница, если известно, что у первой ра-
ботницы на каждое изделие первого сорта приходилось в 6 раз больше изделий
второго сорта, чем у второй работницы ?
16. Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый, при этом всего оказалось 44
попадания. Найти сколько раз попал в цель каждый, если известно, что у пер-
вого на каждый промах приходилось вдвое больше попаданий, чем у второго?
17. На первой полке было на 3 книги меньше, чем на второй. Сначала с первой
полки переставили на вторую 2 книги, а затем со второй полки переставили на
первую 45% книг. После этого количество книг на первой полке стало в два
р^за больше, чем на второй. Найти первоначальное количество книг на второй
полке.
18. Количество деталей в первом ящике было на 25% меньше, чем во втором.
Сначала из второго ящика переложили в первый 25% деталей, а затем из первое
го ящика переложили во второй 65 деталей. После этого количество деталей во
втором ящике стало в четыре раза больше, чем в первом. Сколько деталей было
первоначально в первом ящике?
19. В классе 27 человек занимаются иностранным языком. 20 человек - анг-
лийским, 17 человек - немецким, 6 человек - французским. Всеми тремя язы-
ками занимаются 3 человека, английским и немецким 7 человек, английским и
французским 2 человека, французским и немецким 1 человек. Сколько человек
занимаются только одним языком и каким?
20. В классе все 32 человека пользуются транспортом: 20 человек пользуются
метро, 15 - автобусом и 17 - троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта
пользуются 2 человека, троллейбусом и автобусом - 7 человек, метро и автобу-
сом - 3 и метро и троллейбусом - 6. Сколько человек пользуются только одним
видом транспорта и каким?
21. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров по-
ели бы ее за 24 дня, а 30 коров за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за
96 дней?
22. Если турист пройдёт пешком 3 часа, проедет на велосипеде 4 часа, а затем
на автобусе - 6 часов, то весь маршрут путешествия составит 342 км. Если же
он, сохраняя прежние скорости, пройдёт пешком 1 час, а на велосипеде и авто-
бусе проедет соответственно 3 часа и 2 часа, то путь, который он проделает,
составит 134 км. Какова скорость движения туриста на велосипеде?
23. Партия товара упакована в коробки двух типов. Вес содержимого коробки
первого типа составляет 12 кг, второго типа - 21 кг, а стоимость товара, упако-
ванного в коробки, равна 2250 руб. и 1250 руб. соответственно. Суммарная
стоимость товара равна 19500 руб. Определить наибольший возможный общий
вес товара.
24. В контейнер упакованы изделия двух типов. Стоимость изделия первого
типа равна 500 руб., второго типа - 350 руб. Вес одного изделия первого типа
равен 14 кг, второго - 17 кг. Общий вес изделий равен 331 кг. Определить наи-
большую возможную суммарную стоимость изделий, находящихся в контей-
нере.
25. Для каждого ученика класса купили тетрадь и альбом для рисования. Если
бы купили тетрадей на 5 меньше, а альбомов на 3 меньше, то затратили бы на
покупку тетрадей 378 руб., а альбомов - 460 руб. Если бы купили на 5 альбо-
мов меньше, а тетрадей на 3 меньше, то затратили бы на покупку альбомов на 6
руб. больше, чем на покупку тетрадей. Сколько рублей затратили на покупку
тетрадей и альбомов вместе?
26. Два экскаватора № 1 и № 2 копали траншеи одинаковое число часов. Если
бы экскаватор № 1 работал на 3 часа меньше, а № 2 на 5 часов меньше, то № 1
прокопал бы 105 м, а № 2 - 57 м. Если бы экскаватор № 1 работал на 5 часов
меньше, а № 2 на 3 часа меньше, то № 1 прокопал бы на 32 м больше, чем
№ 2. Сколько метров траншеи прокопал каждый экскаватор?
Глава 5. Планиметрия
Основные формулы
Треугольник
S = S = ya-6-sina; S = yjp(p-a)(р-Ь)(р-с)-,
S = p-r; S----;
__________ 4R_______________________
ma=±-J 2b2 + 2c2 -a2 ; a = |^2wj + 2m2 - m2 ;
c ci , П---------z— i 2bccos(a/2)
7 = 7-; la = A ~M =----------7—-----’
b by b + c
где S - площадь; ha - высота; a, b, с - длины сторон; p = ^(a + b + c) - полупе-
риметр; r, R - радиусы вписанной и описанной окружностей; та,ть,тс- дли-
ны медиан;. I - длина биссектрисы к стороне а; а - угол, противолежащий
стороне а; Су, by - отрезки, отсекаемые биссектрисой на стороне а.
Теорема синусов: -а = = —— = 2R;
sina sinp sin у
теорема косинусов: с2 = а2 + b2 - 2a6cosy,
где a, Р, у - углы противолежащие сторонам треугольника а, Ь, с.
Прямоугольный треугольник
2 2.2 а + Ь'-с „ с
с=а1+Ь\ г =------; R = —
2 2
„2
.2 . _ а , _Ь
пс=а -Ь , а =— Ьс-------
й_=-
с
с
с
где hc - высота, опущенная на гипотенузу с, ас и Ьс - величины проекций
катетов а и b на гипотенузу с.
Равносторонний треугольник
„ а2д/3 , дд/З дд/З дд/З д-Уз
5 =----; п =--------; к =--; г =-------; га =----.
4 2 3 6 8 2
Параллелограмм
S = a-6-sina; S = |dy-d2-sinp; d2 + d2 =2 (a2 +b2).
Здесь dy, d2 - длины диагоналей, p - угол между диагоналями.
Четырёхугольники
Площадь трапеции: s = |(a + b)-h.
Для четырехугольников, в которые можно вписать окружность, суммы
длин противолежащих сторон равны а + с = b + d.
Для четырехугольников, около которых можно описать окружность, про-
изведение длин диагоналей равняется сумме произведений длин противолежа-
щих сторон dyd2= a-c + b-d.
Окружность, круг
L = 2tcR; S=nR2; I =Ra; S = -R2a;S = tiR2^—;12 =1 I .
’ ’ сек сек 2 сек 360° кас с вн с
Здесь L - длина окружности, R- радиус окружности, I ~ длина дуги
сектора, a - угол сектора, SceK - площадь-сектора, I - длина касательной,
I - длина секущей, I - длина внешней части секущей.
§ 1. Треугольники
1. Стороны треугольника АВС АВ, ВС и АС соответственно равны 2, 3 и 4.
Найти углы этого треугольника.
2. Найти площадь треугольника АВС, стороны которого равны 2, 3 и 4.
3. В треугольнике АВС стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 3, 4 и 6.
Найти длину медианы АМ?
4. В треугольнике АВС стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 2, 3 и 4.
Найти длину биссектрисы AD.
5. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найти пло-
щадь треугольника АВС, если АМ = 2, BN = 3.
6. Найти площадь треугольника АВС, если стороны АВ и ВС равны соответст-
венно 3 и 4, а длина медианы ВМ равна 2,5.
7. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 27 см и 29
см, а медиана третьей стороны равна 26 см.
8. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 9 см, ВС = 10 см, АС = 11см, про-
ведена медиана AD. Определить длину медианы AD. В ответе записать квадрат
длины медианы AD.
9. В треугольнике АВС сторона АВ = 6, ВС = 8, медианы треугольника АМ и CN
пересекаются под углом 90°. Найти длину стороны АС.
10. Найти площадь треугольника АВС, если длины его сторон АВ и АС равны
соответственно 4 и 6, а длина биссектрисы АК =3,2.
11. Найти площадь треугольника АВС, если длины его сторон АВ и АС равны
соответственно 5 и 15, а длина биссектрисы АК - 6.
12. Дан треугольник АВС со сторонами АВ = 15 см, ВС = 12 см, АС = 18 см. В
каких отношениях, считая от вершин С я В, делятся биссектрисы СМ я BN точ-
кой О пересечения биссектрис треугольника?
13. Чему равен угол В треугольника АВС, если известно, что высоты, исходя-
щие из вершин А я С, пересекаются внутри треугольника и делятся точкой пе-
ресечения в отношении 5 : 2 и 4 : 5, считая от вершин? Ответ дать в градусах.
14. Точка пересечения высот остроугольного треугольника делит их в отноше-
нии 3 : 1 и 2 : 3, считая от вершин. Найти в градусах тупой угол между этими
высотами.
15. На сторонах параллелограмма ABCD взяты соответственно точки К, L, М, N
таким образом, что АК: КВ = 3 : 2, BL : LC =1:3, СМ: MD = 2:1, AN: ND=
= 1:4. Найти отношения площадей треугольников DKN и DLM.
16. На сторонах АВ, ВС и АС остроугольного треугольника АВС взяты соот-
ветственно точки К, L, М таким образом, что АК: КВ = 2:3, BL: LC =1:4,
АМ: МС =3:7. Найти отношение площадей треугольников ВМК и ALM.
17. На основании треугольника взята точка, через которую проведены две пря-
мые, параллельные боковым сторонам, разбивающие треугольник на два тре-
угольника и параллелограмм. Найти площадь параллелограмма, если площади
малых треугольников равны 16 и 25.
18. Через точку М, лежащую внутри треугольника ЛВС, проведены три прямые,
параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника, площади
которых равны 4, 9 и 16. Найти площадь треугольника АВС.
19. В треугольнике АВС точка М делит сторону АВ в отношении 7:1. Точка О
делит МС в отношении 3 : 2. Определить в каком отношении делит прямая АО
сторону треугольника ВС.
20. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки MhN
так, что АМ: МВ = 2:3, BN: NC =2:1. Отрезки AN и СМ пересекаются в точ-
ке О. Найти отношение СО : ОМ. '
21. В треугольнике ЛВС прямая АМ (М еВС) пересекает ВС в отношении
СМ: МВ = 3:2. Прямая GV (N еАВ) пересекает АМ в точке О и делит ее в от-
ношении АО : ОМ= 5:1. Найти площадь треугольника АВС, если площадь че-
тырехугольника NBMO равна 6.
22. В треугольнике ЛВС прямые АМ(М еВС) и CN (N еАВ) пересекаются в
точке О и делят стороны АВ и ВС в отношении AN: NB = 2:3, СМ: МВ = 2:1.
Найти площадь четырехугольника NBMO, если площадь треугольника АОС
равна 5.
23. В треугольнике ЛВС прямая Л М (Me ВС) пересекает ВС в отношении
СМ: МВ = 2:1. Прямая CN (N еАВ) пересекает АМ в точке О и делит ее в от-
ношении АО: ОМ= 2:1. Найти площадь треугольника АВС, если площадь тре-
угольника ANO равна 8.
24. В треугольнике ЛВС прямые АМ(МеВС) и CN (NeAB) пересекаются в точ-
ке О. Найти отношение СМ: МВ, если площади треугольников АОС и ANО и
четырехугольника NBMO равны соответственно 10,2 и 3.
25. В треугольнике ЛВС прямые АМ(МеВС) и CN (NeAB) пересекаются в точ- >
ке О. Найти отношение СМ: МВ, если площади четырехугольника NBMO и
треугольников СОМ и АОС равны соответственно 6,4 и 20.
26. Точки М, N, К делят стороны треугольника ЛВС так, что ВМ -. МА =3:1,
BN: NC =1:2, СК: КА = 1 : 1. В каком отношении прямая MN делит отрезок
ВК?
27. Точки М, N, К делят стороны треугольника ЛВС так, что АМ: МВ = 2:3,
AN: NC = 2:1, АК : КС = 1 : 2. В каком отношении прямая MN делит отрезок
ВК?
28. В треугольнике ЛВС биссектриса угла ЛВС пересекает сторону АС в точке
К. Найти площадь треугольника АВС, если ВС = 4, КС = 2, ВК = 3.
29. В треугольнике ЛВС биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС в точке
К. Найти периметр треугольника АВС, если АВ = 6, АК = 5, площадь треуголь-
ника АВК равна 41.
30. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС =10, АС =4,
AN = 14?>3 (N е ВС). Найти площадь треугольника A CN.
31. В равнобедренном треугольнике АВС АВ - ВС = 9, АС = 2. Найти длину
отрезка АМ (М е ВС), если площадь треугольника АМС равна | 4$ .
32. Из вершины треугольника на противоположную сторону, длина которой
равна 81 см, опущен перпендикуляр. Найти длину большего из отрезков, на ко-
торые разделилась эта сторона, если длины двух других сторон треугольника
равны 45 см и 54 см.
33. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза ВС ж 20, а катет АВ = 16.
Найти квадрат расстояния от вершины А до биссектрисы угла С.
34. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 12, а гипотенуза ВС = 20.
Найти квадрат расстояния от вершины В до биссектрисы угла С.
35. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ = 3, АС = 4, проведена
биссектриса BD. Найти расстояние от точки D до гипотенузы.
36. 3 равнобедренном треугольнике АВС длина основания АС равна 15 см, а
9
длина высоты АЕ равна 12 см. Найти площадь треугольника в см .
37. В равнобедренном треугольнике сторона основания равна Зл/З, а высота,
проведенная к боковой стороне, образует с основанием угол в 60°. Найти дли-
ну боковой стороны.
38. Площадь равнобедренного треугольника с острым углом при вершине рав-
на 48, а боковая сторона равна 10. Найти высоту, опущенную на основание.
39. В равнобедренном треугольнике АВС основание АС = 30, а высота, опу-
щенная на основание, равна 20. Найти площадь треугольника ACD, где CD -
высота, опущенная на боковую сторону.
40. Площадь равнобедренного треугольника с тупым углом при вершине равна
2
48 см , а боковая сторона этого треугольника равна 10 см. Найти длину осно-
вания треугольника.
41. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 25 см, высота, опущенная
на боковую сторону, равна 24 см. Вычислить длину основания АС. Угол АВС -
острый.
42. В треугольнике АВС стороны АВ = 15 см, ВС = 14 см, АС= 13 см. Точ-
ка D делит сторону АВ в отношении AD: DB = 2:1. Определить площадь тре-
угольника BCD.
43. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 6 см, АС = 7 см, ВС = 5 см найти
длину отрезка А£>, если CD - высота треугольника АВС.
44. Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, площадь которого
равна 48 см, а длина боковой стороны относится к длине основания как 5 : 8.
45. В треугольнике АВС угол А относится к углу С как 3 : 2, АВ = 28 см,
ВС =33 см. Найти cos(C72).
46. В равнобедренном треугольнике АВС медиана боковой стороны равна 3^2
см и образует с основанием АС угол а такой, что sina = V14 / 8. Найти длину
основания А С.
47. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна
4 а/3 и вдвое больше своей проекции на боковую сторону. Найти площадь тре-
угольника.
48. Сторона, вписанного в треугольник квадрата равна 6 см и лежит на его ос-
новании. Высота треугольника равна 8 см. Найти основание треугольника.
49. Сторона вписанного в треугольник квадрата равна 4,8 см и лежит на осно-
вании треугольника, равном 12 см. Найти высоту треугольника.
50. В треугольник с основанием 48 см и высотой 16 см вписан прямоугольник,
длины сторон которого относятся как 5 : 9. Большая сторона прямоугольника
лежит на основании треугольника. Найти периметр прямоугольника.
51. В треугольник, у которого длина основания равна 30 см, а длина высоты
равна 10 см, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его
гипотенуза параллельна основанию треугольника, а вершина прямого угла ле-
жит на этом основании. Найти длину гипотенузы в см.
52. В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что один из его углов
совпадает с прямым углом треугольника. Средняя линия треугольника (парал-
лельная катету) равна 6. Гипотенуза 6^5. Найти площадь квадрата.
53. В прямоугольный треугольник вписан квадрат, одна из вершин которого
совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Найти длину большего кате-
та треугольника, если разность длин его катетов равна 1, а периметр квадрата
равен 48/7.
54. В равносторонний треугольник АВС, стороны которого равны 6 д/з вписан
другой равносторонний треугольник, так что вершины его лежат на сторонах
первого и делят их в отношении 1 : 2. Определить площадь меньшего тре-
угольника.
55. В треугольнике основание равно 60 см, высота 12 см, а медиана, проведен-
ная к основанию 13 см. Определить большую из боковых сторон треугольника.
56. Из вершины тупого угла В треугольника АВС, площадь которого равна 18,
проведена высота BF и медиана BD. Найти длину высоты BF, если длина BD
равна Зл/2,а угол CBD - прямой.
57. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена
медиана BD, длина которой равна 3. Найти сторону А С, если угол ABD - пря-
мой.
58. В правильном треугольнике АВС некоторая точка М удалена от сторон на 1,
2 и 3 см. Найти высоту треугольника.
59. В равнобедренном треугольнике АВС длина боковых сторон АВ и ВС отно-
сится к длине основания АС как 5 : 6. Найти длину высоты AD, если расстоя-
ния от некоторой точи М треугольника ACD до его сторон AC, AD и CD соот-
ветственно равны 9, 9 и 3.
60. В прямоугольном треугольнике АВС длины катетов АВ и АС относятся как
3 : 4. Найти длину высоты AD, если расстояния от некоторой точки М тре-
угольника ACD до его сторон AD, CD и АС соответственно равны , % и 2.
61. Основание треугольника делится высотой на части длиной 36 см и 14 см.
Перпендикулярно к основанию проведена прямая, делящая площадь треуголь-
ника пополам. Определить части, на которые прямая разбила основание. В от-
вете указать большую из них.
62. Высота треугольника равна 4 и делит основание на части в отношении 1:8.
Найти длину отрезка прямой параллельной высоте, и делящей треугольник на
две равновеликие части.
63. В остроугольном треугольнике АВС'. АС = 8, ВС = 5л/2. Высоты BD и АЕ
пересекаются в точке О так, что АО: ОЕ = 3:1 и ВО: OD = 2:3. Найти АВ.
64. В остроугольном треугольнике АВС высоты АЕ и CD равны 16,32 и 24 со-
ответственно, AD: DB = 10:7. Найти длину стороны ВС.
65. Вершины В и С основания равнобедренного треугольника АВС соединены в
точке М с серединой высоты, опущенной из вершины А на основание ВС. Про-
должение отрезка ВМ пересекает сторону АС в точке D, а продолжение отрезка
СМ пересекает сторону АВ в точке Е. Найти площадь треугольника В МА, если
площадь четырехугольника AEMD равна 16.
66. Вершины В и С основания равнобедренного треугольника АВС соединены в
точке М с серединой' высоты, опущенной из вершины А иа основание ВС. Про-
должение отрезка СМ пересекает сторону АВ в точке Е. Найти площадь тре-
угольника ЕМВ, если площадь треугольника АВС равна 60.
67. В треугольнике АВС из вершины А проведена прямая АЕ, пересекающая
сторону ВС. Полученный треугольник АЕС равнобедренный с основанием АС и
углом ЕАС при основании равным 15°. Найти площадь треугольника АВС,
если АЕ = 4 см и BE = 2 см.
68. В треугольнике АВС проведена прямая BD так, что угол DBC равен углу
ВАС (D е АС). Сторона ВС = 2, отрезок AD = 3. Найти площадь треугольника
BCD, если площадь треугольника АВС равна 3.
69. В треугольнике МНР со сторонами МН = 8,1 и НР^З проведена прямая НО
так, что угол НМР равен углу ОНР. Найти длину НО, если длина МО = 8.
70. В равнобедренном треугольнике АВС основание АС= 12, а высота BE = 8.
Через вершину А проведена прямая АМтак, что угол МАС равен углу АВС. Точ-
ка М лежит на прямой, содержащей сторону ВС, и точка В находится внутри
отрезка МС. Найти площадь треугольника АМВ.
71. В треугольнике МНР проведена прямая НО так, что угол МН О равен углу
НРМ(О е МР). Известно, что МН = 6, ОР = 9. Найти длину HP, если НО = 5.
72. В треугольнике АВС : АВ = 4д/7; АС = $41; ВС = 6-41 . Найти расстояние
от вершины В до точки пересечения высот треугольника АВС.
73. В равностороннем треугольнике АВС параллельно стороне АС проведена
средняя линия MN. Через вершину А и середину MN проведена прямая до пере-
сечения с ВС в точке D. Найти сторону треугольника, если AD = 4~1.
74. В треугольнике АВС АВ = ВС = 15 см, АС - 24 см. Найти расстояние от
точки В до точки пересечения высот треугольника.
75. В треугольнике АВС АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см. Найти расстояние от
вершины А до точки пересечения высот треугольника.
76. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 15 см, а основание
24 см. Найти расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересече-
ния высот этого треугольника.
77. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 30 см, а основание
равно 36 см. Найти расстояние между точкой пересечения высот и точкой пе-
ресечения биссектрис этого треугольника.
78. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 30 см, а основание
равно 36 см. Вычислить расстояние между точкой пересечения медиан и точ-
кой пересечения биссектрис этого треугольника.
79. В равностороннем треугольнике АВС со стороной 3-/7 параллельно сторо-
не Л С проведена средняя линия MN. Через А и середину MN проведена прямая
до пересечения с ВС в точке D. Найти длину AD.
80. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной равной 15 см проведе-
ны биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересе-
чения биссектрис с боковыми сторонами равен 5 см. Определить длину осно-
вания треугольника.
81. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см, а боковые
стороны по 18 см. Из. вершин при основании проведены высоты. Через точки
пересечения высот с боковыми сторонами проведена прямая параллельная ос-
нованию. Определить стороны треугольника, отсекаемого от исходного этой
прямой. В ответе записать значение боковой стороны треугольника.
82. В равнобедренном остроугольном треугольнике АВС АВ = ВС = 10, а рас-
стояние от вершины В до точки пересечения высот равно 3,5. Найти площадь
треугольника.
83. В равнобедренном остроугольном треугольнике АВС АВ = ВС = 60, а рас-
стояние от вершины А до точки пересечения высот равно 45. Найти площадь
треугольника.
84. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 30, а расстояние от верши-
ны В до точки пересечения биссектрис равно 15. Найти периметр треугольника.
85. Основание равнобедренного треугольника равно 12, а расстояние от вер-
шины треугольника, лежащей на основании, до точки пересечения биссектрис
равно Зд/5. Найти периметр треугольника.
86. В треугольник АВС вписан квадрат MNPQ, вершины М и Q которого лежат
на AC, a N и Р - соответственно на АВ и ВС. Найти отношение площади
квадрата к площади треугольника, если АВ = 5, АС = 12, ВС = -797.
87. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС = 10, АС = 12) вписана пря-
моугольная трапеция MCPQ, основание МС которой совпадает с высотой, про-
веденной к боковой стороне АВ. Вершина Р лежит на стороне А С, a Q - на АВ.
Найти отношение площади трапеции к площади треугольника, если АР.РС=3:2.
88. В равнобедренный треугольник MNP (MN = NP = 7136) вписан прямо-
угольник ABCD с диагональю АС = 7б1. Вершины А и D лежат на основании
МР, а вершины В и С - соответственно на сторонах MN и NP. Найти площадь
треугольника MNP, если MD : DP = 3:1.
89. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС = 15) вписан прямоугольник
MNPQ площадью 48. Вершины MviN лежат на стороне ВС, вершина Р-на АС,
а вершина Q - на АВ так, что BQ : QA = 2 : 1. Найти площадь треугольника
АВС.
90. Медианы РА и NB треугольника MNP пересекаются в точке О. Найти пло-
щадь четырёхугольника МАОВ, если площадь треугольника NOP равна 12.
91. Медианы BN и СМ треугольника АВС пересекаются в точке К. Найти пло-
щадь треугольника CNK, если площадь треугольника АВС равна 24.
92. Периметр прямоугольного треугольника равен 12-71, а радиус вписанной
окружности - 41. Найти проекцию большего катета на биссектрису прямого
угла.
93. Площадь прямоугольного треугольника равна 2-Тз, а гипотенуза - 4. Найти
проекцию большего катета на медиану прямого угла.
94. В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные из прямого
угла, относятся как 240 : 289. Найти отношение радиусов описанной и
вписанной окружностей.
95. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла,
относится к гипотенузе как 12 : 25 . Найти отношение радиусов вписанной и
описанной окружностей.
96. В треугольнике АВС медиана АМ делит биссектрису СК в отношении 5:3,
считая от вершины С. Найти отношение длин сторон треугольника АС и ВС
(большей к меньшей).
97. В треугольнике АВС длина стороны Л С в три раза больше длины стороны АВ.
В каком отношении биссектриса АК делит медиану СМ, считая от вершины С?
98. Внутри остроугольного равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) взята
точка D, так что ZDCB-12°, ZBDC = 150°, ZBAD = 24°. Найти угол ADB.
99. В четырехугольнике ABCD стороны 'АВ и ВС равны и угол между ними
равен 80°. Угол между стороной АВ и диагональю BD равен 20°. Угол С
вдвое больше угла А. Найти угол А четырехугольника ABCD.
100. Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) взята точка D, так
что ZBAD = 28°, ZABD = 76°, ZDCB = 14°. Найти угол DBC.
101. В четырехугольнике ABCD угол А равен 16°, угол В равен 88°, а угол С
равен 32°. Стороны АВ и ВС равны между собой. Найти угол между сторо-
ной АВ и диагональю BD.
102. Найти площадь треугольника, если его высоты равны 12, 15, и 20.
103. Стороны треугольника АВС равны: АВ = 39, ВС = 24, АС - 45. Найти тан-
гене угла MON между биссектрисами АМ и CN {О - точка пересечения биссек-
трис).
104. Стороны треугольника АВС равны: АВ = 10, ВС = 17, АС = 21. Найти тан-
генс угла МОК между медианой СМ и биссектрисой АК (О - точка пересе-
чения СМ и АК).
105. Стороны треугольника АВС равны: АВ = 17, ВС = 25, АС = 28. Найти тан-
генс угла M0N между медианами AN и CN (О - точка пересечения AN и' CN ).
106. Стороны треугольника АВС равны: АВ = 9^5, ВС = 30, АС = 33. Найти
тангенс угла M0N между высотами АМ и CN (О - точка пересечения АМ и
CN).
107. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит
его на два треугольника, площади которых равны 4 и 16. найти гипотенузу тре-
угольника.
108. В прямоугольном треугольнике длины катетов относятся как 5 : 2. В ка-
ком отношении делится площадь треугольника высотой, опущенной из верши-
ны прямого угла?
§ 2. Четырехугольники
1. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей и <^2> а величина угла
между ними а. Найти площадь четырехугольника.
2. Площадь параллелограмма со сторонами 5 и 8 равна 32. Найти косинус наи-
большего угла параллелограмма.
3. Диагонали ромба относятся как 3 : 4. Найти синус острого угла ромба.
4. Периметр параллелограмма равен 40, а высоты соответственно 6 и 9. Найти
синус острого угла параллелограмма.
5. Длины сторон параллелограмма относятся как 2 : 1, а синус его большего уг-
ла равен 0,32. Найти площадь параллелограмма, если его периметр равен 75.
6. В параллелограмме меньшая диагональ перпендикулярна боковой стороне.
Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большую сторону на от-
резки 64 см и 25 см. Определить площадь треугольника заключенного между
большей стороной и диагоналями параллелограмма.
7. Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найти квад-
рат меньшей дйагонали параллелограмма.
8. В параллелограмме ABCD высота, опущенная из вершины тупого угла В де-
лит сторону AD на отрезки АК - 64 см, KD = 225 см. Определить длину диаго-
нали BD, если она перпендикулярна к боковой стороне.
9. ABCD - квадрат, длины сторон которого равны 6 см. Точка К - середина сто-
роны ВС, точка Р - точка пересечения прямых АК и BD. Найдите площадь тре-
угольника ВКР в см 2.
10. ABCD - квадрат, длина его стороны равна 6 см. Точка М делит сторону CD
в отношении 2:1, считая от вершины С. Точка Е - точка пересечения прямых
АМ и BD. Найти площадь треугольника DEM в см 2.
11. Найти площадь трапеции, зная длины ее диагоналей , d2 и длину высоты h.
94
12. Диагональ равнобокой трапеции делит тупой угол пополам. Меньшее осно-
вание трапеции равно 3, а ее периметр равен 42. Найти площадь трапеции.
13. В трапеции основания равны 16 и 44 см, а боковые стороны - 17 и 25 см.
Найти площадь трапеции.
14. Диагональ равнобокой трапеции равна 5 см, а средняя линия равна 4 см.
2
Найдите площадь трапеции в см .
15. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 26 см, а диагонали пер-
2
пендикулярны к боковым сторонам. Найдите площадь трапеции в см .
16. В равнобокой трапеции длины оснований равны 12 см и 20 см, а диагонали
2
взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции в см .
17. В равнобокой трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Высота тра-
пеции равна 10 см. Вычислите площадь трапеции.
18. Длина средней линии трапеции равна 5 см, а длина отрезка, соединяющего
середины оснований, равна 3 см. Найдите длину большего основания, если уг-
лы при нем равны 30° и 60°.
19. В трапеции ABCD длина основания AD равна 11 см, а длина основания ВС
равна 5 см. Диагонали трапеции являются биссектрисами углов BAD и ADC.
у
Найдите площадь трапеции в см .
20. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10, а большее основание -
15,6. Найти диагональ трапеции, если она является биссектрисой угла при ос-
новании.
21. Диагональ равнобокой трапеции, равная 8, перпендикулярна боковой сторо-
не. Найти меньшее основание трапеции, если ее большее основание равно 10.
22. Диагональ равнобокой трапеции делит пополам угол при ее основании.
Найти нижнее основание трапеции, если ее верхнее основание равно 5, а
высота - 4,8.
23. Нижнее основание равнобокой трапеции равно 50, а верхнее - 14. Найти
диагональ трапеции, если она перпендикулярна боковой стороне.
24. Определить площадь трапеции, если ее диагонали равны 20 см и 15 см, а
высота - 12 см.
25. В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона рав-
на 5, а диагональ 4л/5. Найти площадь трапеции.
26. Диагональ равнобокой трапеции составляет с основанием угол 45°. Найти
длину диагонали, если площадь трапеции равна 72.
27. В равнобокой трапеции ABCD точка О - середина меньшего основания ВС;
04-биссектриса угла А. Найти площадь трапеции, если AD = 16, а ее высота 6.
28. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12, а большая
диагональ делит угол при большем основании пополам и равна 20. Найти
меньшее основание трапеции.
29. В равнобокой трапеции ABCD точка О - середина меньшего основания ВС;
ОА - биссектриса угла А. Найти ВС, если ОА = 20, а высота трапеции равна 12.
30. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12,5, а большая диаго-
наль является биссектрисой угла при большем основании и равна 20. Найти
площадь трапеции.
31. В'трапеции большее основание равно 36, а величина отрезка средней ли-
нии, заключенного между диагоналями трапеции, равна 6. Найти меньшее ос-
нование трапеции.
32. Диагональ равнобокой трапеции делит трапецию на треугольники, площади
2 7
которых - 6 см и 14 см . Найти квадрат высоты трапеции, если боковая сто-
рона трапеции равна 4 см.
33. Основания трапеции равны 6 см и 18 см. Через точку пересечения диагона-
лей проведена прямая, параллельная основаниям, до пересечения с боковыми
сторонами. Определить длину отрезка этой прямой.
34. В трапеции с основаниями 8 см и 2 см проведены диагонали. Определить
площадь треугольника, сторонами которого являются отрезки диагоналей и
большее основание трапеции, если высота трапеции равна 7 см.
35. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали перпендикулярны и пере-
секаются в точке О так, что ВО : OD = 3:2. Через вершину С параллельно АВ
проведен отрезок СК (Ke AD). Найти площадь треугольника АВС, если пло-
щадь четырёхугольника BKDC равна 20.
36. Диагонали трапеции MNPQ (MQ NP) пересекаются в точке О так, что
МО : ОР = 3:2. Найти площадь треугольника NPQ, если площадь трапеции
равна 8.
37. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты точки Ей F такие, что
АЕ : ВЕ = 3 :2 и AF: DF =2: 1. В каком отношении отрезок DE делит отрезок
CF?
38. На сторонах PQ и MQ параллелограмма MNPQ взяты точки А и В. Отрезки
АМ и ВР пересекаются в точке О, МВ : BQ = 5 : 3 и ВО : ОР = 2:1. Найти от-
ношение AQ: АР.
39. На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD взяты точки EmF такие, что
АЕ = BE, a BF: CF = 3 : 1. В каком отношении отрезок AF делит отрезок DEP
40. На сторонах MN и NP параллелограмма MNPQ взяты точки А и В такие, что
АМ: AN = 3 : 1 и МО : ВО = 24 : 23, где точка О - точка пересечения отрезков
AQ и ВМ. В каком отношении точка В делит сторону NP?
41. На сторонах АВ и AD прямоугольника ABCD взяты точки Ей F соответст-
венно так, что АЕ: BE = 3 : 1 и AF: DF =1:2. Отрезки DE и CF пересекаются
в точке О. Найти площадь треугольника FOD, если площадь прямоугольника
равна 36.
42. На сторонах NP и PQ прямоугольника MNPQ взяты точки А и В соответст-
венно так, что AN: АР = 2:3 и BQ: ВР= 1 : 2. Отрезки МА и NB пересекаются
в точке О. Найти площадь четырехугольника АОВР, если площадь прямоуголь-
ника равна 285.
43. На сторонах АВ и AD прямоугольника ABCD взяты точки Ей F соответст-
венно так, что АЕ=ВЕ и AF: DF= 3:2. Отрезки DE и BF пересекаются в точке О.
Найти площадь треугольника DOF, если площадь треугольника ВОЕ равна 15.
44. На сторонах MN и NP прямоугольника MNPQ взяты точки А и В соответ-
ственно так, что АМ: NA= 2 : 3 и BN: ВР=\ : 3. Отрезки ВМи AQ пересекают-
ся в точке О. Найти площадь прямоугольника, если площадь четырехугольника
ANBO равна 47.
45. В равнобедренной трапеции ABCD длины оснований равны ВС = 3, AD = 5.
Угол AOD между диагоналями АС и BD равен 60° (О - точка пересечения диа-
гоналей). Найти длину отрезка ММ, если Ми N делят А О и CD пополам.
46. В равнобедренной трапеции ABCD большее основание AD - 15. Угол AOD
между диагоналями А С и BD равен 60° (О - точка пересечения диагоналей).
Найти длину основания ВС, если длина отрезка ММ, соединяющего середины
АО и CD, равна 10,5.
47. В равнобедренной трапеции ABCD длины оснований равны ВС=18, AD= 30.
Угол AOD между диагоналями АС и BD равен 60° (О - точка пересечения диа-
гоналей). Точки К, М, Уделят пополам отрезки АО, ВО и CD. Найти периметр
треугольника KMN.
48. В трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 2. Отрезок MN, параллель-
ный основаниям, делит высоту трапеции в отношении 1 : 2, считая от основа-
ния ВС. Найти длину основания AD, если MN равно 5.
49. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно'4 и 1. Отрезок
MN параллелен основаниям. Площади трапеций MBCN и AMND относятся
как 2:3. Найти квадрат длины отрезка MN.
§ 3. Окружность
1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равна г = 1.
Найти площадь этого треугольника, если длина гипотенузы равна с = 5.
2. В треугольник АВС площади 5=15 л/2/2 вписана окружность, которая ка-
сается стороны АС и ВС соответственно в точках М и N. Найти АС, если
АМ: МС= 2 : 3, BN: NC = 5 : 6.
3. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВС, находит-
ся на расстоянии V5 и -710 от вершин А и В. Найти катеты треугольника (ZC -
прямой).
4. Основания трапеции равняются 4 и 16. В нее можно вписать окружность и
описать окружность вокруг нее. Найти площадь трапеции.
5. Площадь равнобокой трапеции равна 20. Радиус вписанной в трапецию ок-
ружности равен 2. Найти длины сторон трапеции.
6. В прямоугольную трапецию вписана окружность, радиус которой г = 2 см.
2
Найти в см периметр трапеции, если ее площадь равна 32 см .
7. Около окружности с диаметром 20 см описана равнобокая трапеция, длина
2
боковой стороны которой равна25 см. Найти в см площадь трапеции.
8. Площадь равнобокой трапеции, описанной около круга, равна 162, а высота
трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанно-
го круга.
9. Около окружности описана равнобокая трапеция с основаниями 8 и 18. Най-
ти радиус окружности.
10. Около окружности описана трапеция, площадь которой равна 20, а синусы
углов при основании равны 0,8. Найти длину средней линии трапеции.
11. Равнобокая трапеция описана около круга. Боковая сторона трапеции де-
лится точкой касания на отрезки 12 и 48. Найти площадь трапеции.
12. В окружность радиуса 15 вписана трапеция. Длины диагонали и высоты
трапеции соответственно равны 20 и 6. Найти длину боковой стороны
трапеции.
13. Радиус окружности, описанной около трапеции, равен 25; косинус ту-
пого угла трапеции равен - 0,28; диагональ трапеции образует с основанием
угол 30°. Найти высоту трапеции.
14. В окружность радиуса 10 вписана трапеция. Длины диагонали й средней
линии трапеции соответственно равны 15 и 12. Найти длину боковой
стороны трапеции.
15. Длина средней линии трапеции, вписанной в окружность, равна бЛ;
диагональ трапеции образует с боковой стороной и большим основанием
соответственно углы 15° и 30°. Найти радиус окружности.
16. Трапеция вписана в окружность. Длины оснований трапеции равны
Ло и ЗЛО; высота трапеции равна 2Ло. Найти радиус окружности.
17. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 4. Определить
длину большего основания, если меньшее равно 6.
18. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от кон-
цов ее боковой стороны на расстояния 2Ло и бЛо. Найти радиус окружно-
сти.
19. Равнобокая трапеция с углом при основании 30° такова, что в нее можно
вписать две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается
оснований трапеции и одной из ее боковых сторон. Боковая сторона трапеции
равна 4 см. Найти в см периметр трапеции.
20. В окружность радиуса R = 5 вписан равнобедренный треугольник, у которо-
го сумма длин основания и высоты равна диаметру окружности. Найти высоту
треугольника.
21. В равнобедренный треугольник площадью 27Л см2 вписана окружность.
Высота, проведенная к основанию, делится окружностью в отношении 1 : 2,
считая от вершины. Найти радиус этой окружности.
22. В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковой стороной 80
см вписана окружность. Найти длину отрезка, соединяющего точки касания
окружности с боковыми сторонами треугольника.
23. В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса 5 см. Длины основа-
ний трапеции равны 5 см и 20 см. Найти расстояние между точками касания
окружности боковых сторон трапеции.
24. Окружность касается большего катета треугольника, проходит через вер-
шину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе. Найдите ее
диаметр, если длины катетов треугольника равны Зсм и 4 см.
25. В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а боковая сторона
равна 10 см. Определить радиус вписанной в треугольник окружности.
26. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция дру-
гого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в
этот треугольник.
27. Радиус вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника
соответственно равны 2 и 5 см. Найти периметр этого треугольника.
28. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит
гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты треугольника. В ответе
записать длину большего катета.
29. Определить катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза рав-
на 20, а радиус вписанной окружности равен 4. В ответе записать длину боль-
шего катета.
30. Окружность радиуса 2 см касается прямой в некоторой точке М. На этой
прямой по разные стороны от М взяты точки Л и В на расстоянии 3 см от М.
Найти радиус окружности, проходящей через точки Л и В и касающейся дан-
ной окружности.
31. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2.
Найти радиус описанной окружности, если синус одного из углов данного тре-
угольника равен 0,6.
32. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом а при основании,
если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 10, a cosa = 0,8.
33. Вычислить в см радиус окружности, описанной около треугольника. Сто-
рона треугольника, лежащая против угла В равна 4 см, а углы А, В и С относят-
ся как 1:3:14.
34. Из центра окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14, 15,
проведена новая окружность радиуса 5. Найти длины хорд, отсекаемых этой
новой окружностью на сторонах треугольника.
35. В прямоугольном треугольнике длины катетов 75 и 100. Основание высоты,
проведенной из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка. На
большем из отрезков, как на диаметре, построена полуокружность по одну сто-
рону с данным треугольником. Определить длину отрезка катета, заключенного
внутри этого полукруга.
36. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза 125 см и меньший ка-
тет 75 см. Основание высоты, проведенной из вершины прямого угла, делит
гипотенузу на два отрезка. На меньшем из отрезков, как на диаметре, построе-
на полуокружность по одну сторону с данным треугольником. Определить
длину отрезка катета, заключенного внутри этого полукруга.
37. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а основание 4.
Чему равен радиус окружности, проходящей через вершину, середину боковой
стороны и середину основания треугольника?
38. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 7109, а основание
6. Чему равен радиус окружности, проходящей через середину высоты к осно-
ванию и вершины углов при основании треугольника?
39. В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны АВ и ВС равны 5, а
основание АС = 720. Найти радиус окружности, проходящей через вершины В
и С, центр которой находится на прямой, совпадающей с высотой CD.
40. В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны АВ = ВС = 10 см
и основание АС = 7§0. Найти радиус окружности, проходящей через вершины
В и С, центр которой находится на прямой, совпадающей с высотой CD.
41. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС = 12, ВС = 5 проведена
окружность через вершины А и С. Найти радиус окружности, если ее центр ле-
жит на прямой, совпадающей с высотой, опущенной из вершины прямого угла.
42. В прямоугольном треугольнике с катетами равными 15 и 20, проведена ок-
ружность, касающаяся гипотенузы и меньшего катета. Найти радиус окружно-
сти, если известно, что ее центр находится на высоте, опущенной из вершины
прямого угла. ,
43. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 24 вписана ок-
ружность радиуса 6 с центром в точке О. Точка Л/ - середина боковой стороны
АВ. Найти расстояние ОМ. В бланке ответов выпишите квадрат этого расстоя-
ния.
44. В прямоугольный треугольник АВС (угол С прямой) вписана окружность.
Точка М - точка касания катета ВС и окружности. Точка D - середина гипоте-
нузы. Найти квадрат расстояния MD, если катеты СВ = 16, АС = 30.
45. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность радиуса
3. Точка М - точка касания боковой стороны ВС и окружности, такая, что
ВМ = 4. Найти расстояние от вершины А до точки М. В бланке ответов выпи-
шете величину квадрата этого расстояния.
46. В прямоугольный треугольник АВС (угол С прямой) вписана окружность,
касающаяся в точке N катета АС. Точка D - основание высоты, проведенной из
вершины прямого угла. Найти расстояние DN, если катет ВС = 21, а гипотенуза
АВ = 35. В бланке ответов укажите квадрат этого расстояния.
47. В круге радиуса 9 см проведена хорда. Расстояние от одного конца хорды
до касательной к окружности, проведенной через другой конец хорды, равно
12,5 см. Определить длину хорды.
48. К окружности радиуса 12 см проведены две касательные, образующие пря-
мой угол. Прямая, проведенная через центр окружности, отсекает на одной сто-
роне угла отрезок 28 см. Найти длину отрезка, который отсекает эта прямая на
другой стороне угла.
49. В прямой угол с вершиной в точке В вписана окружность. Через центр ок-
ружности проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках А и С.
Найти радиус окружности, если АВ - 56 см, а ВС — 42 см.
50. В острый угол, равный 60°, вписано две окружности, касающиеся друг дру-
га. Радиус меньшей окружности равен 2 см. Найти радиус большей окружно-
сти.
51. В угол вписаны три окружности: малая, средняя и большая. Средняя прохо-
дит через центр малой, большая проходит через центр средней. Найти радиус
большей окружности, если радиус малой равен 2, а расстояние ее центра от
вершины угла равно 7.
52. В прямоугольном треугольнике АВС из прямого угла на гипотенузу опуще-
на высота, которая делит его на два треугольника. Определить радиус вписан-
ной окружности треугольника АВС, если радиусы вписанных окружностей, по-
лученных треугольников, равны 5 см и V11 см.
53. В меньшую часть круга, отсекаемую хордой, равной 6 см, вписан квадрат со
стороной 2 см. Найти радиус круга. В ответе записать значение квадрата ра-
диуса круга.
54. Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности в точках МкР.
Радиус окружности равен 3 дм, а расстояние от точки А до центра окружности
равно 5 дм. Найти длину хорды МР в дм.
55. Из одной точки проведены к окружности радиуса 9 см две касательные дли-
ной 12 см. Найти расстояние между точками касания.
56. Общая хорда АВ двух пересекающихся окружностей равна 48 см. Радиусы
двух окружностей, проведенные в точку А взаимно перпендикулярны. Радиус
большей окружности равен 40 см. Определить радиус меньшей окружности.
57. Окружности одинаковых радиусов с центрами в точках О и О у пересекают-
ся в точках А и В. Площадь ромба ОАО] В равна 8-Уз см 2. Радиус окружности
равен 4 см. Определите величину острого угла ромба.
58. Две окружности радиусов 6 см и 8 см пересекаются в точках А и В так, что
центры окружностей находятся по разные стороны от хорды АВ. Найдите рас-
стояние между центрами окружностей в см, если известно, что хорда АВ равна
9,6 см.
59. Две окружности радиусов 15 см и 13 см пересекаются в точках А и В, таким
образом, что их центры лежат по одну сторону от хорды АВ. Найти длину хор-
ды АВ, если расстояние между центрами окружностей равно 4 см.
60. Найти радиус сектора с углом d = п/6, если его площадь равна Зл.
61. В сектор радиуса В = 6 с центральным углом л/3 вписан круг. Определить
его радиус.
62. В сектор радиуса R = 3/л вписан круг радиуса г = R/3. Найти длину дуги сек-
тора.
63. Площадь сектора равна 49 см2, а длина дуги сектора равна 14 см. Опреде-
лить радиус сектора.
64. Периметр кругового сектора равен 44, а его площадь 121. Определить дли-
ну дуги сектора.
65. Периметр сегмента равен (2л + Зл/з)Д/тс, а его дуга содержит 120°. Найти
площадь кругового сектора, содержащего данный сегмент.
66. Длина дуги сегмента, содержащего 90°, равна 5л/-Ул - 2 . Найти площадь
сегмента.
67. Круг радиуса R = б/>/4л-Зл/з разделен на два сегмента хордой, равной
стороне вписанного в этот круг правильного треугольника. Определите пло-
щадь меньшего из этих сегментов.
68. Диаметр круга равен 15 см. Определить площадь вписанного в него прямо-
угольника, стороны которого относятся как 4 ? 3.
69. Концы диаметра круга удалены от его касательной на 1,6 и 0,6. Найти дли-
ну диаметра.
70. Из точки А вне окружности проведёна касательная АВ и секущая, проходя-
щая через центр окружности. Найти отношение радиуса окружности к длине
касательной, если известно, что касательная в 2 раза короче секущей.
71. В окружности радиуса R = -Уз из одного конца диаметра проведена каса-
тельная, а из другого - хорда, стягивающая дугу в 120°. Хорда продолжена до
пересечения с касательной. Найти внешний отрезок секущей.
72. В окружности радиуса 16 проведена хорда длиной, равной 8. Через один
конец хорды проведена касательная, а через другой - секущая, параллельная
касательной. Найти расстояние между касательной и секущей.
73. В параллелограмме ABCD длины сторон АВ = 16, AD = 20. Окружность, ка-
сающаяся сторон АВ и AD, проходит через вершину С и пересекает сто-
роны ВС и CD соответственно в точках MuN. Известно, что ВМ: МС= 1: 8.
Найти отношение DN: NC.
14. В параллелограмме ABCD длина стороны АВ = 8. Окружность, касающаяся
сторон AD и CD, проходит через вершину В и пересекает стороны АВ и ВС
соответственно в точках М и N. Известно, что АМ: МВ = 4 : 5 и BN: NC = 8 :
1. Найти длину стороны AD.
75. Через точку пересечения диагоналей вписанной в окружность трапеции
проведён диаметр. Части этого диаметра, расположенные вне трапеции, со-
ставляют и | его длины. В каком отношении этот диаметр делится точкой
пересечения диагоналей трапеции? В ответе указать отношение меньшей части
к большей.
76. В окружности, в которую вписана трапеция с основаниями 4 и 2 -Уб, прове-
дён диаметр, перпендикулярный к основаниям трапеции. Найти большую из
частей этого диаметра, лежащих вне трапеции, если высота трапеции равна 1.
77. В окружность радиуса R = 1 вписан тупоугольный треугольник АВС со сто-
ронами АВ = -Уз, АС = л/2 . Найти углы треугольника. В ответе записать боль-
ший угол в градусах.
78. В окружности даны две пересекающиеся хорды АВ и CD. Точка М - точка
102
пересечения хорд. Угол ABD равен 40°, а угол СМВ - 120°. Найти угол CDA,
если дуга А СВ содержит 200°.
79. В угол, составляющий 120°, вписана окружность с радиусом, равным
7+4-Уз. Найти радиус меньшей окружности, также вписанной в этот угол и ка-
сающейся данной окружности.
80. В угол, составляющий 60°, вписана окружность с радиусом, равным 1. Най-
ти радиус большей окружности, также вписанной в этот угол и касающейся
данной окружности.
81. Две окружности радиусами г и R касаются внутренним образом в точке А.
Через точку В, лежащую на большей окружности, проведена прямая, касаю-
щаяся меньшей окружности в точке С. Найти радиус малой окружности,
если R = 25, Л5 = 35, ВС =28.
82. Две окружности радиусов г и R имеют внешнее касание в точке А. Через
точку В, взятую на большей окружности, проведена прямая, касающаяся мень-
шей окружности в точке С. Найти радиус большей окружности R, если г = 7,
Л5=12, ВС =16.
83. Окружность, проходящая через вершину В треугольника АВС, касается сто-
роны АС в точке Р и пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках Ми
N, не совпадающих с вершиной В. Найти отношение СР . АР, если
ВМ: АМ = 3:1, BN: NC = 5:4 и NC в четыре раза больше АМ.
84. Через точку А, лежащую вне окружности на расстоянии 6 от ее центра, про-
ведена прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найти радиус окруж-
ности, если известно, что АВ = 4, АС = 5.
85. В окружность радиуса 6>/2 с центром в точке О вписан треугольник MNL.
Точка А лежит на стороне NL так, что AN = AL. Окружность, проходящая че-
рез точки A, N и О, пересекает сторону MN в точке В. Найти сторону ML,
если NB = Зл/2, a Z.ONL = 45°.
14э/3
86. В окружность радиуса —-— с центром в точке О вписан треугольник
АВС. Точка К лежит на стороне ВС так, что ВК = СК. Окружность, прохо-
дящая через точки С, К и О, пересекает сторону А С в точке L. Найти сторо-
ну АВ, если Z.OCB = 30°, a CL = 8.
87. Две окружности с радиусами 3 и 9 касаются внешним образом в точке А.
Общая касательная, проведенная в точке А, пересекается с другой их общей
касательной в точке В. Найти расстояние от центра меньшей окружности до
точки В.
88. Две окружности с радиусами 2 и 7 касаются внутренним образом в точке
N. Через центр большей окружности проведена касательная к меньшей окруж-
ности, которая пересекается в точке Р с общей касательной к обеим окружно-
стям, проходящей через точку N. Найти расстояние от центра большей ок-
ружности до точки Р.
89. На окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, взята
произвольная точка D, принадлежащая дуге ВС. Расстояние от точки D до вер-
шины А равно 6. Площадь треугольника АВС равна 7>/з. Найти расстояния от
точки D до ближайших вершин.
90. На окружности, описанной около равностороннего треугольника, взята
произвольная точка D. Расстояние от точки D до наиболее удаленной вершины
треугольника равно 5. Найти сумму расстояний от точки D до ближайших вер-
шин.
91. Медиана, биссектриса и высота треугольника АВС, выходящие из вершины
В, делят ZABC на 4 равные части. Найти углы треугольника АВС.
92. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС = 4, ВС = 3. Проведены две
окружности, каждая из которых касается одного из этих катетов и продолже-
ний двух других сторон. Найти расстояние между центрами этих окружностей.
93. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС =5, гипотенуза АВ = 13.
Проведены две окружности, одна из которых касается катета ВС и продолже-
ний двух других сторон, другая окружность касается гипотенузы АВ и продол-
жений катетов. Найти расстояние между центрами этих окружностей.
94. На дуге АВ окружности, описанной около правильного треугольника АВС,
взята точка D так, что AD = 2, DB = 3. Найти площадь треугольника BCD.
95. В окружность радиуса 5 вписан квадрат KLMN. На дуге KL окружности
выбрана точка Е так, что ЕК = 6. Найти площадь треугольника KEN.
96. В треугольнике KLM биссектрисы углов при вершинах КиМ пересекаются
в точке N. Через точки К, N и.М проведена окружность с центром в точке О.
Найти радиус окружности, описанной около треугольника KLM, если площадь
треугольника КМО равна 27 >/з, а угол KLM = 120°.
97. В окружность с центром в точке О вписан треугольник АВС, у которого
угол В тупой. Вне окружности взята точка D так, что Z.DCB = Z.BCA и
Z.DA В = Z.BAC. Найти радиус окружности, описанной около треугольника
ADC, если ZADC = 120°, а площадь треугольника Л СО равна >/з.
98. Окружности радиусом г и Зг касаются внешним образом. Найти площадь
замкнутой фигуры, заключенной между окружностями и их общей касатель-
ной, не проходящей через точку касания окружностей.
99. Расстояние между центрами двух кругов одинакового радиуса равно радиу-
су г. Найти площадь общей части кругов.
Глава 6. Стереометрия
Основные формулы
Прямоугольный параллелепипед
V -a-b-c, Sg= Р-Н,
где И- объем, а, Ь, с - длины ребер, 5б- боковая поверхность, Н- высота,
Р - периметр прямоугольника, лежащего в основании.
Призма
И = 5„-Я; K=SC-/; S6=Pc-l,
где V т- объем, So - площадь основания, Н - высота, / - длина бокового ребра,
Sc пР с- площадь и периметр сечения, перпендикулярного боковому ребру,
S6 - боковая поверхность.
Пирамида |
y-L, so«- r=F; ^-<w.
I
где И -объем, So -площадь основания, Н - высота пирамиды, г- радиус впи-
санного шара,S6,Sn - площади боковой и полной поверхности,^ - объем усе-
ченной пирамиды, /i-высота усеченной пирамиды, Sj ,S2 -площади большего и
меньшего оснований усеченной пирамиды, ^-двугранный угол при основании.
Цилиндр
V = S0-H; И = лЯ2Я; 5б=2лЛЯ; Sn = 2л/?Я + 2лЯ2,
где V- объем цилиндра, So- площадь основания, S6- боковая поверхность,
S„- полная поверхность, R - радиус основания, Н- высота.
Конус
K = --S Н; V = --nR2H; S,=itRl; S =nRl + nR2; r = — ,
3 0 3 6 n s„
где V - объем, S0 - площадь основания, R - радиус основания, H - высота,
/ - длина образующей, S6- боковая поверхность, Sn- полная поверхность,
г - радиус вписанного шара.
Усеченный конус
Vy = nh^R2 + Rr + r2), S6 y = nly^R + r), Sny = nr2 +nR2 + itly (R + r),
где Vу - объем, г - радиус верхнего основания, R - радиус нижнего основания,
h - высота, 1у— длина образующей, S6 у- боковая поверхность, Sny- полная
поверхность.
Шар
V = -тс/?3; 5 = 4тг7?2; Vc = л/г2| R--|; Ис = -тгл(зг2 +/г2) Sc = InRh,
з с V з; с 6 ' ?
где R - радиус шара, S - поверхность сферы, Vc, Sc, h и г - объем, поверх-
ность, высота и радиус основания шарового сегмента.
Расстояние между точками М}(х},у}, z}), М2(х2,у2, z2):
d = ^x2~X^2+('y2~y^2 +(-Z2~Zl>)2
§ 1. Параллелепипеды. Призмы
1. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 6 см и 8 см, угол меж-
о
ду ними 30°. Площадь поверхности равна 188 см . Определить объем паралле-
лепипеда.
2. В прямом параллелепипеде ABC DAB'С ТУ стороны основания ЛВ = Зсм,
AD = 8 см, а угол между ними равен 60°. Площадь диагонального сечения
ВВ DT) равна 70 см2. Определите боковую поверхность параллелепипеда.
3. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями длиной 6
см и 8 см, диагональ боковой грани равна 13 см. Определить боковую поверх-
ность этого параллелепипеда.
4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 2л/3см и 4 см. Диаго-
наль параллелепипеда составляет с меньшей боковой гранью угол 30°. Найти
высоту параллелепипеда.
5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 2л/2 и составляет углы
30° и 45° с двумя смежными боковыми гранями. Найти объем параллелепипе-
да.
6. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб. Площади диагональных
сечений равны 300 и 400. Найти боковую поверхность параллелепипеда.
7. Грани параллелепипеда - равные ромбы со стороной а и острым углом в 60°.
Найти объем параллелепипеда.
8. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 7 : 24, а
площадь диагонального сечения равна 50 дм2. Определить боковую поверх-
ность.
9. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, стороны основания рав-
ны 6 м и 8 м и одна из диагоналей основания равна 12 м. Определить меньшую
из диагоналей параллелепипеда.
10. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 см и 5 см; расстоя-
ние между меньшими из них 4 см; боковое ребро равно 2^2 см. Определить
сумму диагоналей параллелепипеда.
11. Найти длину большей диагонали прямого параллелепипеда, у которого ка-
ждое ребро равно 5 см, а острый угол основания равен 60°.
12. Ребро куба равно Тб см. Определить расстояние от вершины куба до его
диагонали.
13. Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом 60°, угол между
меньшей диагональю призмы и плоскостью основания равен 30°. Найти объем
призмы, если сторона основания равна 2.
14. Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом 60°. Определите
объем призмы в см3, если ее большая диагональ имеет длину 2-Уб см и обра-
зуют с плоскостью основания угол 45°.
15. В наклонной четырехугольной призме боковое ребро имеет длину 5 см. Се-
чение, перпендикулярное данному ребру, является четырехугольником со вза-
имно перпендикулярными диагоналями, имеющими длины 6см и 12см. Найти
объем призмы.
16. В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник, стороны
которого равны 4-Уз см. Плоскость, проходящая через сторону нижнего осно-
вания и противолежащую вершину верхнего основания наклонена к плоскости
нижнего основания под углом 30°. Найти объем призмы.
17. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендику-
лярны, их общее ребро равно 24 см и находится от двух других боковых ребер
на расстоянии 12 см и 35 см. Определите площадь боковой поверхности приз-
мы в см2.
18. В наклонной треугольной призме боковые ребра содержат по 8 см, стороны
перпендикулярного сечения относятся как 9 : 10 : 17, а его площадь равна 144
2 2
см . Определите боковую поверхность этой призмы в см .
19. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а
площадь сечения, проведенного через них, равна 75 см2. Определить объем
О
призмы. Ответ дать в см .
20. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального
у
сечения 4 см , а расстояние между двумя противоположными боковыми гра-
нями 2 см. Найти объем призмы.
21. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с острым углом
60° -и противолежащим катетом 2 см. Площадь большей боковой грани равна
4см2. Найти объем призмы.
22. Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ
образует с плоскостью боковой грани угол, тангенс которого равен 0,6, а сто-
рона основания равна 3.
23. В кубе ABCDA В 'СТУ: М ё [А,С], АМ = (1/4) AC'; N е [£>, ЕУ],
DN = (3/4) DD1. Найти MN, если ребро куба равно 756.
24.В кубе АВСйАВ'СТУ: Me [А,В‘], АМ = (1/6)ЛВ'; Ne [С,ZX],
CN = (2/3)С2Х. Найти MN, если ребро куба равно Зл/46.
25. В правильной треугольной призме АВСА В С'сторона основания равна 8, а
боковое ребро - 15. Точка У 6 [С®'], а точка М 6 [A'У]. Найти длину отрезка
СМ, если CN -. NB' = 1 : 2, А'М: MN = 3 : 5.
26. В правильной треугольной призме АВСА В'С'сторона основания равна 5, а
боковое ребро - 5 л/б. Точка М е [СВ'], а точка У е [АС]. Найти длину отрезка
MN, если СМ: МВ' = 2:3, AN: NC =1:4.
27. Диагональ основания прямого параллелепипеда имеет длину 7 см и образу-
ет со сторонами основания углы аир. Найти объём параллелепипеда, если
sina = 3/7, sinp = 2/7, а площадь боковой поверхности параллелепипеда равна
25 см2.
28. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА}В] С|, в основа-
нии которой лежит треугольник АВС, равна -/б. Угол между диагоналями АВ ]
и ВС] боковых граней равен 90°. Найти объём призмы.
29. В прямом параллелепипеде площади диагональных сечений равны 108 и 84.
Найти диагональ параллелепипеда, если стороны основания равны 4 и 7.
30. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33, а длины рёбер отно-
сятся как 2:6: 9. Найти большее из рёбер.
31. В прямой треугольной призме АВСА}В}С] на рёбрах АА\ и СС} взяты
точки М и У соответственно так, что АМ: МА] =1:3, CN: NC] = 5:3. Через
точки М, N и В । проведена плоскость. Найти отношение объёмов тел, на кото-
рые делит призму секущая плоскость (меньшего к большему).
32. В прямой треугольной призме АВСА\В]С] на рёбрах ВВ} и СС, взяты
точки М и N соответственно так, что ВМ: МВ] =5:4, CN: NC] = 2 : 7. Через
точки М, N и А проведена плоскость. Найти отношение объёмов тел, на кото-
рые делит призму секущая плоскость (меньшего к большему).
33. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA]B]C]D] АВ = 6, ВС = 8. Через
середины сторон AD и CD и вершину В\ проведена плоскость, составляющая с
плоскостью основания угол 45°. Найти полную поверхность параллелепипеда.
34. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ АВ = 3, ВС = 4. Через
диагональ параллелепипеда B]D параллельно диагонали АС проведена плос-
кость. Найти угол, образуемый этой плоскостью с плоскостью основания, если
объём параллелепипеда равен 19,2-Тз.
35. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA]B]C]D] АВ = 3, AD = 10,
АА\ = 6. Точки М, N, К делят боковые ребра так, что АМ: MD =1:4,
Л] У : УО] = 2 : 3, В] К : КС] =1:1. Найти площадь сечения параллелепипеда
плоскостью, которая проходит через точки М, N, К.
36. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B]C]D] АВ = 6, AD = 3,
АА] = 4. Точки М, N, К делят боковые ребра так, что АМ: МВ =1:1,
Л] У: УВ] = 5 : 1, D}K: КС] =1:2. Найти площадь сечения параллелепипеда
плоскостью, которая проходит через точки М, N, К.
37. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' точки М, N и Р лежат
на ребрах так, что АМ : MD = 1:1, A'N: B'N =2:1 и СР:С'Р = 4:1. Найти рас-
стояние от точки Р до отрезка MN, если АВ = 3, ВС = 4, АА' = 5.
38. В прямоугольном параллелепипеде MNPQMN'P'Q' точки А, В и С лежат
на ребрах так, что AN: АР=4:3 , BP': BQ' = 2:3 и СМ:СМ'=1:2. Найти расстоя-
ние от точки В до отрезка СА, если NP = 7, PQ= 5, NN' = 6.
§ 2. Пирамиды
1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен
30°, сторона основания равна 4 см. Найти боковую поверхность пирамиды.
2. В правильной .четырехугольной пирамиде боковое ребро равняется 4 см и
образует с плоскостью основания угол 30°. Найти объем пирамиды.
3. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен
45°, а сторона основания равна 3 см. Найти объем пирамиды.
4. В правильной четырехугольной пирамиде противоположные боковые ребра
образуют между собой 90°. Сторона основания пирамиды равна ^3 см. Найти
боковую поверхность пирамиды.
5. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна Зу[2, а пло-
ский угол при вершине равен 60°. Найти объем пирамиды.
2
6. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды равна 6,75 см .
Найти плоский угол при вершине (в градусах), если известно, что сторона ос-
нования пирамиды равна 3 см.
7. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого рав-
ные стороны содержат по 3 см, а третья сторона 4 см. Боковые ребра равны
между собой и каждое содержит 4,5 см. Определить объем пирамиды.
8. В правильной треугольной пирамиде тангенс плоского угла при вершине
равен -715. Найти в градусах угол между боковым ребром и плоскостью осно-
вания.
9. В правильной четырехугольной пирамиде косинус угла между боковым реб-
ром и смежной стороной основания равен 1/л/з. Найти в градусах угол между
апофемами смежных боковых граней.
10. В правильной четырехугольной пирамиде тангенс угла между апофемами
противоположных боковых граней равен 2^2 . Найти в градусах плоский угол
при вершине пирамиды.
И. В правильной треугольной пирамиде косинус угла между боковым ребром
и плоскостью основания равен д/2/3. Найти в градусах плоский угол при вер-
шине пирамиды.
12. В правильной треугольной пирамиде тангенс угла между боковым ребром и
смежной стороной основания равен ^5/3. Найти в градусах угол между боко-
вым ребром и высотой пирамиды.
13. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 6 см. Двугранный
угол при основании равен 30°. Найти боковую поверхность пирамиды.
14. В правильной четырехугольной пирамиде тангенс угла между боковым реб-
ром и смежной стороной основания равен >/7 . Найти в градусах угол между
боковым ребром и плоскостью основания.
15. В правильной треугольной пирамиде тангенс угла между боковой гранью и
плоскостью основания равен ^2 . Найти в градусах угол между боковым реб-
ром и смежной стороной основания.
16. Высота правильной треугольной пирамиды равна высоте основания. Найти
объем пирамиды, если ее апофема равна >/30.
17. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а пло-
щадь основания относится к площади боковой грани как 3 : 7. Найти высоту
пирамиды.
18. Найти сторону основания правильной треугольной пирамиды, если ее боко-
2
вая поверхность равна 72 см , а высота - 2 см.
19. В правильной треугольной пирамиде апофема равна 4 см, а полная поверх-
ность пирамиды относится к боковой поверхности как 3 : 2. Найти объем пи-
рамиды.
20.. В правильной треугольной пирамиде высота в два раза больше стороны ос-
нования, а апофема равна 7 см. Найти объем пирамиды.
21. Ребро куба ABCDA В'СТ)'равна 6 см. Найти объем пирамиды АВВТ)Т).
22. Ребро куба ABCDA В'С ТУ равна 3 см-. Найти объем пирамиды С С МВ, где
М- точка пересечения диагоналей А С и BD.
23. Ребро куба ABCDA В С ТУ равна 12 см. Найти объем пирамиды B'AMCN, где
М- середина ВС, aN- середина AD.
24. Все рёбра правильной треугольной призмы АВС А В 'С'равны 4>/з. Точка F-
середина ребра АА', а точка К - середина ребра СС'. Плоскость, проходящая
через прямую CF параллельно прямой В ТС, пересекает ребро В В в точке L.
Найти объём пирамиды CAFLB.
25. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна >/48, боковая
грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти полную поверх-
ность пирамиды.
26. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 5. Тангенс двух-
гранного угла при основании равен 4/3. Найти площадь полной поверхности
пирамиды.
27. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2 см, а пло-
щадь боковой поверхности равна л/30 см2. Найти объем пирамиды.
28. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4 см, а высота >/12
см. Найти объем пирамиды.
29. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна 36
2
см . Две боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие образуют
ПО
с плоскостью основания углы 30° и 60°. Найти объем пирамиды.
30. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6 см, 5 см и 5
см. Все боковые грани образуют с основанием углы по 45°. Определить объем
пирамиды.
31. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с основанием
6см и высотой 9см. Каждое боковое ребро равно 13см. Найти объем пирамиды.
32. Высота правильного тетраэдра равна ^48. Найти площадь его поверхности.
33. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании
равен 30°, а боковое ребро равно 41 см. Найти объем пирамиды.
34. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с основанием
угол 30°, сторона основания равна 41 см. Найти площадь боковой поверхно-
сти пирамиды.
35. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и каждое
из них равно 6 см. Найти объем пирамиды.
36. Дана правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 3-72 см.
Найдите объем пирамиды.
37. Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна -7з,
а все плоские углы при вершине пирамиды равны 90°.
38. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 18 см и 24 см.
Каждое из боковых ребер равно 25 см. Найти объем пирамиды.
39. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна
54, а угол наклона боковой грани к основанию равен 30°. Найти объем пирами-
ды.
40. В правильной четырехугольной пирамиде площадь основания равновелика
площади боковой грани. Найти высоту пирамиды, если ее боковое ребро равно
-7255 .
41. Объем правильной треугольной пирамиды равен ->/351, а площадь основа-
ния 9-Тз. Найти апофему боковой грани пирамиды.
42. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, равные сто-
роны которого имеют длину 6; соответствующие им боковые грани перпенди-
кулярны основанию и образуют между собой угол 120°. Угол между третьей бо-
ковой гранью и основанием равен 30°. Найти объем пирамиды.
43. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной 4. Две боковые
грани пирамиды перпендикулярны основанию и образуют между собой угол
60°. Самое большое боковое ребро равно 5-Тз. Найти объем пирамиды.
44. Основанием пирамиды служит параллелограмм со сторонами 3 и 5. Две бо-
ковые грани перпендикулярны основанию и образуют между собой угол 120°.
Самое большее боковое ребро равно 2-713. Найти объем пирамиды.
45. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований
равны -72 и 3-72, а высота равна 3. Найти диагональ усеченной пирамиды.
46. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде ABCDA 'В'СТУ сторо-
ны оснований 2 и 4, а высота равна л/б. Найти расстояние от середины ребра
нижнего основания AD до вершины С.
47. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований 4
и 6, а высота л/10. Найти диагональ боковой грани.
48. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде ABCDA В С ТУ сторо-
ны оснований 4 и 8, а высота зД/з . Найти расстояние от вершины А' верхне-
го основания до плоскости боковой грани DD'C'C.
49. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде ABCDA В 'С D' сторо-
ны оснований 2-У2 и 7з,а высота 1/л/З. Найти расстояние от вершины А до
прямой С'С.
50. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде ABCDA В 'С ТУ сторо-
ны оснований равны 4 и 2, а высота - 4. Найти расстояние от вершины А 'до
ребра CD.
51. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований
равны 8 и 2, а ее высота 4. Определить площадь полной поверхности усечен-
ной пирамиды.
52. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде высота равна 63, дли-
ны сторон оснований относятся как 7 : 3. Найти площадь верхнего основания,
если длина апофемы равна 65.
53. Основаниями усеченной пирамиды служат прямоугольные треугольники с
острым углом 30°. Гипотенузы треугольников соответственно равны 6 и 4. Оп-
ределить объем усеченной пирамиды, если ее высота равна л/З.
54. Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 3 см. Объ-
ем ее равен 38 см , а площади оснований относятся как 9 : 4. Определить бо-
ковую поверхность усеченной пирамиды.
55. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 6
см и 12 см, высота равна 1 см. Определить боковую поверхность пирамиды. '
56. Стороны оснований правильной усеченной шестиугольной пирамиды соот-
ветственно равны 4 и 2. Высота усеченной пирамиды равна 1/л/З. Найти объем
усеченной пирамиды.
57. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если ее
диагональ равна 18, а длины сторон оснований равны 10 и 14.
58. В правильной треугольной пирамиде АВСМ через сторону основания ВС
под углом 45° к плоскости основания АВС проведено сечение ВСК. Точка К
делит боковое ребро АМ пополам. Найти объём пирамиды АВСК, если боковое
ребро АМ= 2л/15.
59. В правильной треугольной пирамиде ABCD через сторону основания ВС
под углом 30° к плоскости основания АВС проведено сечение ВСК. Точка К
делит ребро AD так, что DK : АК =2:1. Найти объём пирамиды АВСК, если
сторона основания АВ = (>Л.
60. Угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен а.
112
Найти плоский угол при вершине пирамиды, если cos (а/2) = ^/2/3. Ответ запи-
сать в градусах.
61. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен а.
Найти косинус угла между боковыми гранями пирамиды, если cos а =1/3.
62. Синус угла между апофемами смежных боковых граней правильной
четырехугольной пирамиды равен д/5/З. Найти угол между боковым ребром и
стороной основания.
63. Синус угла между апофемами правильной треугольной пирамиды равен
ЛТ/б. Найти угол между боковым ребром и стороной основания.
64. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 11-Уз
и 60-Уз. Найти объем пирамиды, если все боковые грани ее образуют с плос-
костью основания угол 60°.
65. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой сто-
роной 10 и основанием 12. Боковые ребра образуют с плоскостью основания
угол а, косинус которого равен 25/(4л/б1). Найти площадь боковой поверх-
ности пирамиды.
66. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 8-Уз
и 15-Уз . Найти объем пирамиды, если все ее боковые ребра равны гипотенузе
основания.
67. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием
14 и боковой стороной 25. Все боковые грани пирамиды наклонены под одним
углом к плоскости основания. Найти площадь боковой поверхности пирамиды,
если ее высота равна 5.
68. Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной,
равной 4. Высота пирамиды равна 2. Найти площадь боковой поверхности пи-,
рамиды, если точка пересечения высоты с плоскостью основания равноудалена
от одной из сторон основания и продолжений двух других сторон основания.
69. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, длины катетов
которого равны 12 и 16. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 312.
Вершина пирамиды равноудалена от большего катета и продолжений меньше-
го катета и гипотенузы. Найти высоту пирамиды.
70. Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник. Высота пира-
миды в два раза меньше стороны основания. Площадь боковой поверхности
пирамиды равна 54. Найти длину стороны основания, если точка пересечения
высоты пирамиды с плоскостью основания равноудалена от одной из сторон и
продолжения двух других сторон основания.
71. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с меньшим ка-
тетом равным 6 и гипотенузой равной 10. Высота пирамиды равна 3. Найти
площадь боковой поверхности пирамиды, если проекция вершины пирамиды
на плоскость основания равноудалена от меньшего катета и продолжений двух
других сторон основания.
72. Основанием пирамиды ABCS служит прямоугольный треугольник АВС, у
которого катет ВС = 6, гипотенуза А С = 10. Найти площадь поверхности пира-
миды, если точка О пересечения высоты с плоскостью основания лежит на
продолжении биссектрисы АК на расстоянии А О = 4 л/10 (угол SKA тупой), а
высота пирамиды SO = 3.
73. Основанием пирамиды ABCS служит правильный треугольник АВС, сторо-
на которого равна 20. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если
точка О пересечения высоты с плоскостью основания лежит на продолжении
биссектрисы АК на расстоянии АО = 10>/з (угол SAK тупой), а высота пирами-
ды SO = 20.
74. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 17 и 10 и углом
между ними, равным а. Боковые грани пирамиды одинаково наклонены к
плоскости основания под углом р. Найти объем пирамиды, если cosa = -13/85
a sinp
75. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 8 и 9 и острым
углом между ними, равным а. Боковые ребра пирамиды равны между собой и
образуют с плоскостью основания угол р. Найти объем пирамиды, если
sina = 7231/16, acosP = 5/13.
76. В правильной треугольной пирамиде ABCS АК - медиана боковой грани
SAB, точка М делит сторону основания АС в отношении АМ : МС= 1:3. Найти
длину отрезка МК, если длина стороны основания пирамиды равна 4, а боково-
го ребра - 8.
77. В правильной треугольной пирамиде ABCS точка К делит апофему SD
(DeAC) пополам, а точка М делит сторону основания ВС пополам. Найти
длину отрезка МК, если длина стороны основания пирамиды равна 6, а боко-
вое ребро равно 5.
§ 3. Тела вращения
1. Высота цилиндра больше, чем радиус на 10 см. Полная поверхность цилинд-
2
ра равна 144л см . Найти радиус цилиндра.
2. Найти диагональ осевого сечения цилиндра, если объем цилиндра равен
240л дм , а боковая поверхность 120л дм .
3. Развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной равной
л/л. Найти объем цилиндра.
4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания. Най-
ти высоту цилиндра, если его объем равен объему шара с радиусом л/3.
5. Площадь основания цилиндра в 3 раза меньше площади его полной поверх-
ности. Найти высоту цилиндра, если его объем равен объему шара с радиусом
6. Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности этого конуса явля-
ется сектор с центральным углом 120°. Вычислить объем конуса.
7. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник, площадь
2 3
которого равна 9 см . Найдите объем конуса в см . Принять 7t = 3,14.
8. Длина высоты и длина образующей конуса относятся как 4:5. Найдите от-
ношение площади полной поверхности конуса к площади его боковой поверх-
ности.
9. Площадь основания конуса равна 257С м . Образующая длиннее высоты на
1 м. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади ос-
нования .
10. Радиусы оснований усеченного конуса 7 и 12 см, образующая наклонена к
плоскости основания под углом 45°. Найти площадь осевого сечения конуса.
11. Площадь боковой поверхности конуса в 3 раза больше площади его основа-
ния. Найти высоту конуса, если его объем равен объему шара с радиусом V2.
12. Площадь полной поверхности конуса относится к площади его боковой по-
верхности как 4:3. Найти высоту конуса, если его объем равен объему шара с
радиусом 3/54.
13. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найти угол (в градусах) ме-
жду образующей и осью конуса.
14. Радиус основания конуса равен у 72/л , а угол при вершине в развертке
его боковой поверхности равен 120°. Найти объем конуса.
15. Длина высоты конуса равна 12, а объем конуса равен 100л. Найти отноше-
ние площади боковой поверхности конуса к площади основания.
16. Площадь основания конуса 36/л, а площадь егб осевого сечения 21. Найти
объем конуса.
17. Объем конуса равен 96л см3, а площадь его основания равна 36л см2. Най-
ти длину образующей конуса.
18. Высота конуса равна з/3/л, а расстояние от центра основания до образую-
щей равно 2/3/л . Найти объем конуса.
2
19. Площадь основания конуса равна 64л см . Образующая конуса длиннее его
высоты на 2 см. Найти отношение площади боковой поверхности конуса к пло-
щади его основания.
20. Площадь боковой поверхности конуса в 5/3 раза больше площади основа-
ния. Найти объем конуса, если радиус его основания равен б/3/л .
21. Длины высоты и образующей конуса относятся как 3:5. Найти отношение
площадей полной поверхности конуса к площади его основания.
2
22. Площадь осевого сечения конуса равна 60/ у л . Найти объем конуса, если
известно, что высота конуса больше радиуса его основания на 7/3/л .
23. Объем конуса равен 1024л см3, а площадь осевого сечения конуса равна
192 см . Найти длину образующей конуса.
2
24. Полная поверхность усеченного конуса равна 572л м , а длины радиусов ос-
нований равны 6 м и 14 м. Определить длину высоты усеченного конуса.
25. Образующая усеченного конуса равна 18 см и наклонена к основанию под
углом 60°. Найти в см радиус большего основания, если он в два раза больше
радиуса меньшего основания.
26. Дан усеченный конус с радиусами оснований 4 и 22. Найти радиус цилинд-
ра, объем и высота которого совпадают с объемом и высотой усеченного кону-
са.
27. В усеченном конусе высота равна 63 дм, образующая - 65 дм, боковая по-
верхность - 2600л дм . Определить в дм радиус нижнего основания.
28. В усеченном конусе радиусы оснований и образующая относятся как
3:11:17, аобъем равен 815л. Найти полную поверхность усеченного конуса.
29. Длины радиусов оснований усеченного конуса и длина его образующей от-
носятся как 1 : 4 : 5; длина высоты равна 8 см. Найдите площадь боковой по-
верхности усеченного конуса. Принять л = 3,14.
30. Диагональ осевого сечения усеченного конуса перпендикулярна к обра-
зующей. Высота усеченного конуса равна 4,8, а образующая - 6. Найти пло-
щадь полной поверхности усеченного конуса.
31. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно-перпендикулярны.
Угол между образующей и плоскостью основания равен 75°. Найти площадь
полной поверхности усеченного конуса, если его образующая равна 4.
§ 4. Вписанные (описанные) тела
1. В цилиндр с радиусом основания R = 6 см и высотой h = 4-Уз см вписана
правильная треугольная призма. Определить объем призмы.
2. В цилиндр с радиусом основания 5 см и высотой 3-Уз см вписана правильная
треугольная призма. Определить боковую поверхность призмы.
3. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан ци-
линдр. Найти отношение объемов цилиндров.
4. В шар вписан цилиндр, высота которого равна 4/3 радиуса шара. Найдите
отношение объема шара к объему цилиндра.
5. В сферу радиуса R вписан прямой круговой цилиндр, площадь основания ко-
торого в 4 раза меньше площади большого круга. Найти объем цилиндра через
радиус сферы.
6. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой де-
лится центром шара на две части 4 см и 5 см, считая от основания. Найти объем
пирамиды.
7. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды вдвое меньше ее
высоты и равна 4. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.
8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2-Уз, а
угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найти радиус
шара, описанного около пирамиды.
9. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, ра-
вен 9. Найти высоту пирамиды, если она вдвое больше стороны основания.
10. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды,
равен л/3. Найти сторону основания пирамиды, если угол между ее боковой
гранью и плоскостью основания равен 60°.
11. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна диагонали основа-
ния. Найти сторону основания пирамиды, если радиус описанного около нее
шара равен 5л/2.
12. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна стороне основания и
равна 1 + д/5. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.
13. Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды равна 2л/3. Бо-
ковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти радиус опи-
санного около пирамиды шара.
14. Правильная треугольная пирамида вписана в шар так, что ее основание про-
ходит через центр шара. Радиус шара равен 2л/3 см. Найти объем пирамиды.
15. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5л/з, а
угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найти радиус
шара, вписанного в пирамиду.
16. Апофема правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше стороны
основания и равна 2-715. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.
17. В правильную четырехугольную пирамиду со сторонами основания 2-75
вписан полушар, центр которого лежит в основании пирамиды. Найти боковое
ребро пирамиды, если объем полушара равен 5л-Т15/4.
18. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб, нижнее основание
которого лежит в основании пирамиды, а вершины верхнего основания на бо-
ковых ребрах пирамиды. Сторона основания пирамиды 3, а ребро куба 1. Най-
ти квадрат длины бокового ребра пирамиды.
19. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб с ребром 12 так, что
его нижнее основание лежит в. плоскости основания пирамиды, а вершины
верхнего основания лежат на апофемах. Найти объем пирамиды, если сторона
ее основания равна 16д/2.
20. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб, основание которого
лежит в основании пирамиды, а диагональ куба перпендикулярна к боковому
ребру пирамиды. Найти ребро куба, если объем пирамиды равен 64/3.
21. В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Найти объем ко-
нуса, если объем пирамиды равен 288/тс.
22. Найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, у которого
радиус основания 2/Vn , а высота 1Д/я.
23. В конус, в осевом сечении которого правильный треугольник, вписан ци-
линдр, высота которого в -Тз раз меньше радиуса основания конуса. Определи-
те отношение объема конуса к объему цилиндра.
24. В конус с радиусом основания 5 вписан цилиндр. Диагональ осевого сече-
ния цилиндра параллельна образующей конуса и равна 26/3. Найти длину обра-
зующей конуса, если высота цилиндра равна 8.
25. В конусе радиус основания 1/2, а высота 2л/3. Найти объем треугольной
призмы, вписанной в конус, у которой все ребра равны.
26. В конусе радиус основания 5, а высота 10. Найти объем треугольной приз-
мы, вписанной в конус, если известно, что в основании ее лежит прямоуголь-
ный треугольник с катетом 4, а его гипотенуза равна высоте призмы.
27. В конусе радиус основания &J1, а высота 12. Найти объем куба, вписанно-
го в этот конус.
28. В конус с радиусом основания г вписан шар радиуса R. Определить объем
конуса.
29. В конус вписан шар. Поверхность шара относится к площади основания как
4 : 3. Найти угол при вершине конуса.
30. Высота конуса 20, образующая 25. Найти радиус вписанного полушара, ос-
нование которого лежит на основании конуса.
31. Высота конуса равна 3, угол между высотой и образующей 45°. В этот ко-
нус вписан другой конус так, что его вершина совпадает с центром основания
первого конуса, а соответствующие образующие взаимно перпендикулярны.
Найти объем вписанного конуса, полагая 7С = 3,14.
32. В конус, в осевом сечении которого правильный треугольник вписан шар.
Определите отношение объема конуса к объему шара.
33. Площадь поверхности сферы, вписанной в конус , равна 100л, а длина ок-
ружности, по которой сфера касается конуса, равна 6л. Найти радиус основа-
ния конуса.
34. Тангенс угла наклона образующей к основанию конуса равен 4/3. Найти от-
ношение площади основания конуса к площади поверхности вписанного в него
шара.
35. Радиус основания конуса в три раза больше радиуса вписанной в него сфе-
ры. Найти образующую конуса, если длина окружности, по которой сфера ка-
сается конуса; равна 12 л.
36. Тангенс угла наклона образующей к основанию конуса равен 0,75. Найти
отношение площади основания конуса к площади поверхности вписанной в не-
го сферы.
37. Образующая конуса равна 37,5, а тангенс угла между образующей и высо-
той равен 4/3. Найти радиус шара, вписанного в конус.
38. Площадь основания конуса относится к площади поверхности вписанного в
него шара как 9 : 4. Найти тангенс угла наклона образующей конуса к основа-
нию.
39. Радиус шара, вписайного в конус, в два раза меньше радиуса его основания.
Найти образующую конуса, если длина окружности, по которой шар касается
конуса, равна 24л.
40. Образующая конуса равна 50,,а тангенс угла между образующей и высотой
равен 0,75. Найти радиус вписанного в конус шара.
41. Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него
шара. Найти тангенс угла между образующей и высотой конуса.
42. Высота цилиндра уменьшилась на 20%, а радиус основания увеличился на
20%. На сколько процентов увеличился или уменьшился объём цилиндра?
43. Высота конуса увеличилась на 40%, а радиус основания уменьшился на
30%. На сколько процентов увеличился или уменьшился объём конуса?
44. Угол между высотой и апофемой правильной треугольной пирамиды равен
30°. Найти радиус вписанного в неё шара, если радиус описанного шара равен 35.
45. Площадь основания правильной треугольной пирамиды в 2 раза меньше
площади её боковой поверхности. Найти радиус описанного около неё шара,
если радиус вписанного шара равен 2.
46. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а радиус описан-
ного около нее шара равен 5. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.
47. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 -Уз, а ра-
диус вписанного в нее шара равен 2. Найти радиус описанного около нее шара.
48. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 24, а высота -
12. Найти расстояние между центрами вписанного и описанного шаров.
49. Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды
равен 60°, а боковое ребро равно 2-715. Найти расстояние между центрами
вписанного и описанного шаров.
50. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3. Сфера радиуса 2
касается плоскости каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне осно-
вания пирамиды. Найти объём пирамиды.
51. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4-Уз. Сфера
радиуса 4/-73 касается плоскости каждой боковой грани в точке, лежащей на
стороне основания пирамиды. Найти объём пирамиды.
52. Конус вписан в шар. Найти отношение площади поверхности шара к пло-
щади боковой поверхности конуса, если образующая конуса в три раза больше
радиуса его основания.
53. Радиус шара, вписанного в конус, относится к его высоте как 12 : 25. Найти
отношение площади поверхности шара к площади основания конуса.
54. Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а сторо-
ны основания равны -710, -77 и -715 . Найти радиус шара, описанного около
пирамиды.
55. Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны. Радиус
шара, описанного около пирамиды, равен 2,5, а две стороны основания пира-
миды равны 2-75 и -721. Найти третью сторону основания пирамиды.
56. Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна 300-Тз, а ра-
диус вписанного в неё шара равен 6. Найти высоту пирамиды.
57. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 -Уз, а пло-
щадь её боковой поверхности равна 135 -Уз. Найти радиус шара, вписанного в
пирамиду.
58. Боковая поверхность конуса равна 45л, а образующая - 7,5. Найти радиус
шара, вписанного в конус.
59. Площадь основания конуса равна 100л, а радиус шара, вписанного в него
равен 6. Найти высоту конуса.
60. Синус угла между апофемами противоположил боковых граней правильной
четырехугольной пирамиды равен 7/9, а высота равна 41- Найти радиус
вписанного шара.
61. Тангенс угла между боковым ребром и стороной основания правильной
треугольной пирамиды равен 5/л/З, а высота равна 41. Найти радиус
вписанного шара.
62. Шар касается боковой поверхности прямого кругового конуса по окружно-
сти его основания. Площадь боковой поверхности шара равна 48л, а образую-
щая конуса равна 6. Найти радиус основания конуса.
63. Шар касается боковой поверхности прямого кругового конуса по окружно-
сти его основания. Угол между образующей конуса и его высотой равен 30°.
Площадь боковой поверхности конуса равна 54л. Найти радиус шара.
64. Шар касается боковой поверхности прямого кругового конуса по окружно-
сти его основания. Объем шара равен 1372л/3, а образующая конуса равна 24.
Найти высоту конуса.
65. Отношение бокового ребра правильной треугольной пирамиды к высоте
равно 710 / 2. Найти отношение радиуса описанного около пирамиды шара к
апофеме боковой грани пирамиды.
66. В правильной четырехугольной пирамиде отношение апофемы боковой
грани к высоте равно 2. Найти отношение радиуса вписанного в пирамиду ша-
ра к боковому ребру пирамиды.
67. В правильную треугольную пирамиду вписан шар радиусом 14з. Двугран-
ный угол при основании пирамиды равен а. К шару проведена касательная
плоскость параллельная основанию пирамиды. Найти площадь боковой по-
верхности отсеченной пирамиды, если tga = 15/8.
68. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от вер-
шины пирамиды до центра шара равно 4, а двугранный угол при основании пи-
рамиды равен а. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если
cosa =2/3.
69. В шар радиусом 4 вписана четырехугольная пирамида с квадратным осно-
ванием. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости осно-
вания. Найти площадь большей боковой грани, если большее боковое ребро
образует угол а с плоскостью основания и a=arcsin(V7 / 4).
70. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Одно из боковых ребер
перпендикулярно к плоскости основания, а другие образует с плоскостью ос-
нования угол a=arcsin(V3/7). Найти радиус шара, если высота пирамиды рав-
на 6.
71. Точки А и В лежат на окружности верхнего основания цилиндра, а точка
С - на окружности нижнего основания цилиндра. Треугольник АВС равносто-
ронний со стороной 2$/з. Плоскость треугольника АВС составляет с образую-
щей цилиндра угол 60°. Найти боковую поверхность цилиндра.
72. Отрезок прямой, соединяющий точку окружности верхнего основания ци-
линдра с точкой окружности нижнего основания, равен 4-J1 и составляет с
плоскостью основания угол 60°. Найти расстояние от этой прямой до оси ци-
линдра, если осевое сечение цилиндра есть квадрат.
§ 5. Сечения
1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 7 и 17 см. Оп-
ределить площадь диагонального сечения, если диагонали параллелепипеда
образуют с плоскостью нижнего основания угол равный 45°.
2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 см и 24 см, высота
8 см. Определить в см площадь диагонального сечения.
3. В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро равно 5 см, площадь диа-
1 1
тонального сечения равна 205 см , площадь основания 360 см . Определить
большую из сторон основания в см.
4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ®'С ©'через вершину А' и диаго-
наль BD основания проведено сечение. Найти высоту сечения, опущенную из
вершины А', если стороны основания равны 15см и 20см, а боковое ребро-5 см.
5. В кубе ABCDA В'С ТУ с ребром а построено сечение плоскостью, которая
проходит через середины А В', А ТУ и вершину А. Найти площадь сечения.
6. В кубе ABCDA В'С ТУ построено сечение плоскостью, которая проходит че-
рез середины отрезков ВС', С ТУ и вершину А. Найти площадь полученного
сечения, если ребро куба равно а.
7. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а
2
площадь сечения, проведенного через них, равна 75 см . Определить объем
призмы.
8. В правильной треугольной призме со стороной основания равной 30 см и
высотой 50 см проведено через сторону основания сечение под углом 30° к ос-
нованию. Определить площадь сечения.
9. В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна 6л/2
м . Найти площадь диагонального сечения.
10. Через диагональ нижнего основания правильной четырехугольной призмы
и противоположную вершину ее верхнего основания проведена секущая плос-
кость, образующая с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем образо-
вавшейся треугольной пирамиды, если высота призмы равна 6 см.
11. В правильной треугольной призме через сторону основания под углом 60° к
нему проведено сечение плоскостью, делящей боковое ребро пополам. Найдите
объем образовавшейся пирамиды, если высота призмы равна 12-Уз.
12. В основании прямого параллелепипеда ABCDA BCD' лежит прямоуголь-
ник со сторонами АВ - 3 и AD = 4. Через меньшие стороны верхнего и нижнего
основания проведено сечение, плоскость которого с основанием образует угол,
синус которого равен 0,6. Найти объем пирамиды ABCDA.
13. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро длиной а образует
с плоскостью основания угол 0. Через диагональ основания параллельно боко-
вому ребру проведена плоскость. Определить площадь полученного сечения.
14. Дана правильная четырехугольная пирамида с боковым ребром Ь. Плос-
кость сечения проходит через диагональ основания и середину бокового ребра
и составляет с плоскостью основания угол 0. Найти площадь сечения.
15. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, если сечение,
проведенное через диагональ основания и высоту пирамиды есть прямоуголь-
2
ный треугольник, площадь которого 36 см .
16. В пирамиде проведена секущая плоскость параллельная основанию и деля-
щая высоту пирамиды в отношении 3:1 (считая от вершины). Определить пло-
2
щадь сечения, если площадь основания пирамиды равна 400 см .
17. В пирамиде проведено сечение параллельное основанию и делящее высоту
в отношении 3 : 4, считая от вершины. Определить площадь основания пира-
2
миды, если площадь сечения на 200 см меньше площади основания.
18. Площади оснований правильной усеченной пирамиды соответственно рав-
2 2
ны 12 см и 27 см . Определить высоту полной пирамиды, если высота усе-
ченной равна 5 см.
19. В правильной четырехугольной пирамиде через середины двух боковых ре-
бер параллельно высоте пирамиды проведено сечение. Найти площадь этого
сечения, если боковое ребро пирамиды равно 18, а диагональ основания 16-/2.
20. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды ABCDE равна
6, а ее высота ЕМ = 8. Через середину ребра АВ и вершину D перпендикулярно
основанию проведено сечение. Найти объем образовавшейся треугольной пи-
рамиды.
21. В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник
АВС со стороной равной 8л/3 . Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна
основанию, а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под утлом
60°. Через ребро ВС перпендикулярно к ребру AD проведено сечение. Найти
объем пирамиды BCMD, где М - точка пересечения ребра AD и плоскости се-
чения.
22. В треугольной пирамиде МАВС ребро ВМ равно 10 см и перпендикулярно
основанию. ABC - прямоугольный треугольник с катетами ВА= 30 см, ВС = 40
см. Найти площадь сечения, проведенного через ребро ВМ перпендикулярно к
стороне основания АС.
23. Радиус основания цилиндра равен 26 см, образующая - 48 см. На каком
расстоянии от оси цилиндра нужно провести сечение параллельно оси, чтобы
это сечение имело форму квадрата.
24. Радиус цилиндра равен 12 см. Найти расстояние между осевым сечением
цилиндра и сечением в 3/5 раза меньшей площади.
25. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Радиус основания
конуса 10 см. Найти площадь сечения, проведенного через образующие, между
которыми угол 30°.
2 2
26. Площади оснований усеченцого конуса равны 81л см и 225л см , обра-
зующая относится к высоте как 5 : 4. Найти площадь осевого сечения.
27. Площадь поверхности шара 20 см 2. На расстоянии d = 3 / (2д/л ) см от цен-
тра шара проведена йлоскость. Найти площадь полученного сечения.
28. Площадь поверхности шара равна 5/л см2. На расстоянии d = 1/л от цен-
тра шара проведена плоскость. Найти длину полученной в сечении окружно-
сти.
29. Объем шара равен 256/(Зд/л) см3. Через конец радиуса шара проведена
плоскость под углом 60° к нему. Найти площадь сечения.
30. Площадь сечения шара плоскостью равна 4/9 см , радиус шара в 3 раза
больше радиуса сечения. Найти площадь поверхности шара.
31. В кубе ABCDA 7?'С 7)'через середины рёбер A D', DD и вершину Б'прове-
дено сечение. Найти площадь сечения, если ребро куба равно 4-^5.
32. В кубе ABCDAВ'С7)'через середины рёбер АВ', D'С'и вершину В прове-
дено сечение. Найти объём куба, если площадь сечения равна 9-75/2.
33. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 12, а сторона
основания - 8. Найти площадь сечения, проведенного через сторону основания
и середины противоположных боковых ребер пирамиды. .
34. Площадь сечения правильной треугольной пирамиды, проведенного через
сторону основания, и середину противоположного бокового ребра, равна 6.
Найти боковое ребро пирамиды, если сторона ее основания равна 2-Тз.
35. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды ABCDS (с
основанием ABCD) равна 6. Через вершину А и точку М, лежащую на стороне
CD, перпендикулярно к основанию проведено сечение, площадь которого рав-
на Найти объем пирамиды, если СМ: MD = 3:2.
36. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды ABCDS (с
основанием ABCD) равна -710, а ее высота - 6. Через вершину В и точку М,
лежащую на стороне CD, перпендикулярно к основанию проведено сечение.
Найти площадь сечения, если СМ: MD =1:2.
37. В правильной треугольной пирамиде ABCS точка М делит сторону основа-
ния ВС в отношении 3:1. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, ко-
торая проходит через вершину основания А и точку М перпендикулярно осно-
ванию АВС, если сторона основания.равняется л/13, высота пирамиды равняет-
ся 5.
38. В правильной треугольной пирамиде ABCS точка М делит сторону основа-
ния ВС в отношении 5 : 4. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, ко-
торая проходит через вершину основания А и точку М перпендикулярно осно-
ванию АВС, если сторона основания равняется -Уб1, высота пирамиды равняет-
ся 39.
39. Через середины смежных сторон основания правильной четырёхугольной
призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол <р и
пересекающая три боковые ребра призмы. Найти сторону основания призмы,
если площадь сечения равна 35 см2, a sinq> = V21/5.
40. Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого относятся
как 8 : 15, а сторона ромба относится к высоте призмы как 2:1. Найти площадь
большего диагонального сечения, если объём призмы равен 2040.
41. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды ABCDS равна
12, а высота - Зл/б/2. Точка Е лежит на боковом ребре SA и делит его в отно-
шении 1 : 2, считая от вершины S. Найти площадь сечения, проведенного через
точку Е и середины сторон АВ и AD.
42. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2л/2, а боковое ребро -
2л/б. Найти площадь сечения, проведенного через вершину основания и сере-
дины противоположных боковых рёбер.
43. Основанием пирамиды служит ромб, диагонали которого относятся как
24 : 7, а сторона основания относится к большему боковому ребру как 5 : 6.
Найти объём пирамиды, если известно, что её высота падает в центр основа-
ния, а площадь меньшего диагонального сечения равна 31,5.
44. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды ABCDS равна
2 V2, а боковое ребро равно 3. На сторонах основания ВС и AD взяты точки К
и L так, что ВК: КС = 3:1, AL : LD = 1:3. Найти площадь треугольника SKL.
45. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4-Уз, а
высота - 1. Найти площадь сечения, проведенного через середины двух
сторон основания и вершину пирамиды.
46. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2, а
высота - 1. Найти площадь сечения, проведенного через середины смежных
сторон основания и вершину пирамиды.
47. Сторона основания правильной треугольной пирамиды ABCS равна 6-Уз,
а высота - 3. Точка К делит боковое ребро SC в отношении 2:1, считая от
вершины S. Найти площадь треугольника АВК.
48. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD через середины сторон
основания АВ и AD параллельно боковому ребру АМ проведена плоскость.
Найти площадь сечения, если сторона основания равна 2, а боковое ребро рав-
но 4л/2.
49. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12, а боко-
вые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Через центр осно-
вания проведена плоскость, параллельная стороне основания и перпендикуляр-
ная грани, проходящей через эту сторону. Найти площадь сечения.
50. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 2д/з, а
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Через вершину
основания проведена плоскость, перпендикулярная противоположному боко-
вому ребру. Найти площадь сечения.
51. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD площадь сечения плос-
костью, проходящей через середины сторон основания АВ и AD параллельно
боковому ребру AS, равняется 20. Найти длину стороны основания, если боко-
вое ребро равно 8л/2.
52. Найти площадь сечения куба ABCDA 'BCD' с ребром >/з плоскостью, про-
ходящей через середину диагонали BD' перпендикулярно к ней.
53. В правильной четырехугольной призме ABCDA 'BCD' со стороной основа-
ния З/л/2 и высотой 4 через точку М, лежащую на диагонали АС, проведено
сечение перпендикулярно к диагонали. Найти площадь сечения, если
АМ: МС'= 1:9.
54. Найти площадь сечения единичного куба ABCDA'BCD' плоскостью, про-
ходящей перпендикулярно диагонали АС через точку М, лежащую на ней, та-
кую, что АМ: МС =1:3.
55. Дан прямой круговой конус объемом 12у/3я см3. Через его вершину S про-
ведено плоское сечение SCD. Точки С и D, лежащие на окружности основа-
ния конуса, стягивают дугу в 120°. Найти площадь сечения, если угол SCD ра-
вен arcsin (2/ V13).
56. Плоское сечение SMN, проходящее через вершину S прямого кругового
конуса, имеет площадь 36 см2. Точки Ми N, лежащие на окружности основа-
ния конуса, делят ее длину в отношении 1:5. Найти объем конуса, если угол
SMN равен arccos (1/л/37).
57. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^^Di АВ = 30, ВС =60,
ВВ} =57,6л/з. Точки М и N делят стороны основания AD и CD так, что
АМ: MD =14:1, CN: ND = 9:1. Найти площадь сечения параллелепипеда
плоскостью, проходящей через вершину В{ и точки М и N.
58. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiB}C}D} CD =36, AD=2A,
DD\ =28,8. Точки M и N делят стороны основания АВ и СВ так, что
ВМ: МА = 5:4, BN: NC =5:3. Найти площадь сечения параллелепипеда
плоскостью, которая проходит через вершину £>] и точки М и N.
59. В правильной треугольной пирамиде ABCS двугранный угол при основании
равен 60°, сторона основания равна 9>/з. Плоскость Р проходит через центр
основания параллельно боковому ребру BS и стороне основания АС. Найти
объём пирамиды с вершиной в точке S, основание которой совпадает с сечени-
ем пирамиды ABCS плоскостью Р.
60. В правильной треугольной пирамиде ABCS угол между боковым ребром и
основанием равен 60°, сторона основания равна 9л/з. Плоскость Р проходит
через точку М, принадлежащую боковому ребру BS, параллельно боковой гра-
ни ACS. Точка М делит ребро BS в отношении ВМ: MS =1:2. Найти объём пи-
рамиды с вершиной в точке А, основание которой совпадает с сечением пира-
миды ABCS плоскостью Р.
61. Высота SO правильной четырехугольной пирамиды ABCDS равна л/35/2,
косинус угла наклона боковых ребер к плоскости основания равен 0,6. Точка
О] делит высоту SO в отношении SO} : ОуО = 1:2. Найти площадь сечения пи-
рамиды плоскостью, проходящей через точку Ot перпендикулярно боковому
ребру SC.
62. В правильной четырехугольной пйрамиде ABCDS тангенс угла наклона бо-
ковых ребер к основанию равен 4/3, точка Е делит высоту SO в отношении
SE: ЕО = 1:3. Площадь-сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точ-
ку Е перпендикулярно боковому ребру SC равна 140. Найти длину стороны ос-
нования пирамиды.
63. Высота правильной треугольной пирамиды ABCS‘равна 3, сторона осно-
вания АВС равна 6, точка М делит боковое ребро SB в отношении
SM:MB = 1:2. Через точку М параллельно АС проходит плоскость Р, образую-
щая с основанием угол,60°. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью Р.
64. В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS точка N делит боковое
ребро SC отношении S N: NC =1:2. Через точку N параллельно стороне AD
основания ABCD проходит плоскость Р, образующая с основанием угол 60°.
Площадь сечения пирамиды плоскостью Р равняется 16-Уз. Найти длину сто-
роны основания, если высота пирамиды равна 6.
65. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна
8, а высота Тб. Точка Е лежит на боковом ребре SA и делит его на отрезки
SE: ЕА = 1:2. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей че-
рез точку Е и середины сторон основания АВ и AD.
66. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна 4, а боковое ребро
- 4-Тз. Через вершину А основания пирамиды и середины боковых ребер SB и
SC проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения пирамиды.
§ 6. Пересекающиеся плоскости
1. Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого угол С равен 90°, угол В
равен а. Через катет Я С проведена плоскость Р, образующая с плоскостью тре-
угольника угол р. Найти угол наклона гипотенузы АВ к плоскости Р.
2. Дан прямоугольник, длины сторон которого равны 1 см и 2 см. Меньшая сто-
рона прямоугольника в плоскости Р, а диагональ прямоугольника образует с
плоскостью Р угол, величина которого равна а. Найти величину угла между
плоскостью прямоугольника и плоскостью Р.
3. Плоскость прямоугольного треугольника, длины катетов которого равны 3
см и 4 см, образует с плоскостью Р угол а. Гипотенуза этого треугольника ле-
жит в плоскости Р. Найти величину угла, который образует меньший катет с
плоскостью Р.
4. Основание равностороннего треугольника лежит в плоскости Р, а боковая
сторона этого треугольника образует с плоскостью Р угол а. Найти величину
угла, который образует плоскость треугольника с плоскостью Р.
5. Дан прямоугольный треугольник АВС, площадь которого равна S, угол С ра-
вен 90°, угол В равен а. Через катет АС проведена плоскость Р, образующая с
плоскостью треугольника угол р. Найти расстояние от вершины В до плоско-
сти Р.
6. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ и Л С равны соответственно
2 и 1. Отрезок прямой AD перпендикулярен плоскости треугольника АВС. Най-
ти длину AD, если косинус двугранного угла медсду плоскостями ABD и BCD
равен 2/3. '
7. Из вершины прямого угла равнобедренного треугольника АВС восстановлен
перпендикуляр к плоскости треугольника. Точка М на этом перпендикуляре
отстоит от плоскости треугольника на расстоянии 2. Угол между плоскостями
АВМя ВСМ равен 60°. Найти гипотенузу ВС треугольника.
8. Из вершины прямого угла треугольника АВС с катете»! АВ = 2^2 восстано-
вили перпендикуляр к плоскости треугольника. На этом перпендикуляре взяли
точку М так, что АМ = АС - 4. Найти угол между плоскостями АВМ и ВСМ
(ответ дать в градусах).
9. Из вершины прямого угла А треугольника АВС с острым углом
Z3 = arctgjl восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника. На этом
перпендикуляре взята точка М на расстоянии 2 от плоскости АВС. Найти угол
между плоскостями АСМ и ВСМ, если А С = 2 (ответ дать в градусах).
10. В равнобочной трапеции высота равна меньшему основанию и втрое мень-
ше большего основания. Диагонали трапеции наклонены к плоскости Р под
углом а. Найти косинус двугранного угла, образованного плоскостью трапе-
ции и плоскостью Р, если cos а = л/0,818, а большее основание трапеции лежит
в плоскости Р.
11. В параллелограмме одна из сторон вдвое больше другой, а острый угол ра-
вен 60°. Одна из меньших сторон параллелограмма лежит в плоскости Р, а его
большая диагональ образует с этой плоскостью угол а. Найти косинус угла,
образованного меньшей диагональю параллелограмма и плоскостью Р, если
cos а = д/67/112.
12. К плоскости параллелограмма ABCD, у которого АВ = 4, ВС = 8, а угол
A = 60°, проведен перпендикуляр АМ. Точка М удалена от диагонали BD на
расстояние Тб5. Найти длину перпендикуляра АМ.
13. К плоскости равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС = 13, АС = 10)
проведен перпендикуляр ВМ = 2л/з. Найти расстояние от точки М до биссек-
трисы, проведенной в треугольнике АВС из вершины С.
14. Из вершины А прямого угла прямоугольного треугольника АВС с катетами
АВ = 4, АС = 2 восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника. На
этом перпендикуляре взята точка М так, что угол между плоскостями АВМ и
ВСМ равен arccos (2/3). Найти длину отрезка АМ.
15. Из вершины А прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольни-
ка АВС восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника. На расстоянии
1 от плоскости на этом перпендикуляре взята точка М. Найти угол между плос-
костями АВМ и ВСМ, если гипотенуза треугольника АВС равна 2 (ответ дать в
градусах).
16. Из вершины А прямого угла прямоугольного треугольника АВС восстанов-
лен перпендикуляр к плоскости треугольника и на нем выбрана точка М. Из-
вестно, что АВ = 2, /LABC - 60°, а угол между плоскостями АВМ и ВСМ равен
arccos(l/4). Найти длину отрезка АМ.
17. Из вершины А прямого угла прямоугольного треугольника АВС с катетами
АВ = л/2 и АС = 1 восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника. На
этом перпендикуляре выбрана точка М так, что АМ = 72.
Найти угол между плоскостями АВМ и ВСМ (ответ дать в градусах).
18. Из вершины А прямого угла прямоугольного треугольника АВС восстанов-
лен перпендикуляр к плоскости треугольника. На этом перпендикуляре взята
точка М так, что длина АМ равна длине катета АВ, а угол между плоскостями
АВМ и ВСМ равен 45°. Найти катет АВ, если катет А С = 2д/2.
Глава 7. Векторы
Векторы: а =(ах, а2, а2), Ь =(Ь|, Z>2, bj).
Умножение вектора а на число А.: X а = (ka\,'ka2,'k а2).
Сложение векторов а и b : а + b = (<3] + Ь], а2 +b2, а2 + bj).
Скалярное произведение векторов:
а • b = | а | • | Ъ | cos<p или a-b =a]bl+a2b2 + а2Ьу.
Модуль вектора а: | а | = -Ja-a или | а | = д/af+ а2 + а2 .
,, а -Ь
Угол между векторами: costp = трт-рз-г •
Н’Н
,, Я] а2 а2 .
Условие коллинеарности векторов: — = — = -р = Л.
Условие перпендикулярности векторов: а • b = 0 или at bj + а2+ а2 Ь$ = 0.
1. В параллелограмме ABCD К- середина ВС, точка М лежит на стороне CD
так, что СМ = 2MD. Разложить вектор КМ по векторам Л В = а и AD = b .
2. В равнобочной трапеции ABCD АВ = CD; ВС = 1; AD = 3; АВ = а; ВС = b .
Выразить вектор CD через векторы а и b.
3. Дан ромб ABCD. Точка К - середина стороны АВ, точка Е лежит на диаго-
нали АС так, чгоАЕ=2ЕС. Разложить вектор ЕК по векторам СВ =аи CD = b .
4. В равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС) точка D - середина сто-
роны ВС, ВМ— высота треугольника. Разложить вектор AD по векторам ВМ = а
и ВА = Ь.
5. В треугольнике АВС точка Е - середина медианы AD, а точка К лежит на
стороне ВС, причем ВК = 2-КС. Разложить вектор ЕК по векторам АВ = а
и АС = Ь.
6. В параллелограмме ABCD на стороне AD взята точка К, удовлетворяющая
условию АК: KD = 1 : 6. На стороне ВС взята точка М так, что ВМ: МС=
= 4:3. Разложить вектор КМ по векторам АВ = а и АС = b .
I.JUpa куб ABCDA BCD. Разложить вектор О А' по векторам АВ' - а,
AD' =Ь ,АА' = с, если точка О является центром симметрии грани D 'С 'CD.
8. Дан куб ABCDA BCD. Разложить вектор О А’ по векторам АВ' = а,
AD'= Ь, А А' = с, если точка О является центром симметрии куба.
9. Дан куб ABCDABCD. Разложить по векторам ВА = а,ВВ' = Ь, ВС = с,
векторы CD' и EF, где Е - середина ребра AD, FeD'C, DF: FC =1:3.
10. Дан прямоугольный параллелепипед A BCDA 2? С ТУ. Разложить по векто-
рам CD' = а, СВ' - b, СС = с векторы А'В и EF, где Е - середина
ребраСС, F принадлежитА'В, AF = {3/4)-FB.
11. Дан тетраэдрABCD. Точка К принадлежит ВС; СК = КВ; AD=a,
AC=b, АВ = с. Выразить вектор DK через векторы а, Ь, с.
12. В параллелепипеде ABCDA BCD вектор АВ = (4, -4, 8), AD = (8,4, -12),
АА' = (12, -8,16). Найти наибольшую координату вектора PF, где
АР- {1/8)-АВ', BF = {3/4)ВС.
13. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А{-3, 2, 3),
В(3, 3, 4) и С(5, 6, -2). Найти его четвертую вершину D.
14. В параллелепипеде ABCDA В CD' известны вершины нижнего основания
А{3, -1, 2), В(-1, 2, 4), £>(4,-5, 6) и точка К (6, -7, 5) пересечения диагона-
лей верхнего основания. Найти остальные вершины параллелепипеда.
15. При каких т, п векторы а = (1, п, 2), b - (-2,3, т) коллинеарные?
16. При каком т векторы а =(1,3,-2) и b =(-!,»», 4) перпендикулярны?
17. Найти вектор х, коллинеарный вектору а= (8, 2, -3) и удовлетворяющий
условию (1/2)-(х -а) = 77.
18. Вычислить координаты единичного вектора ё, если известно, что он пер-
пендикулярен векторам £=(1,1,0) и с = (0, 1, 1) и образует тупой угол с
осью Ox.
19. Вычислить координаты единичного вектора е, если известно, что он пер-
пендикулярен векторам а =(1,1,0) и b =(7,4,-6).
20. Найти угол между векторами а = (-1, 1,0) и b = (1, -2, 2).
21. Найти угол между диагоналями, параллелограмма, построенного на векто-
рах а =(2,1,0) и й=(0,-2,1).
22. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: Л(1, 1,0), В (1,1,2),
С (3, 3, 1). Найти угол треугольника при вершине А, а также угол между медиа-
нами, проведенными из вершин А и В.
23. Найти углы треугольника вершинами Л(3,0, 4), В(2, 2, 2), С(0,0, 6).
24. Даны вершины четырехугольника 4(1,-2, 2), Д(1, 4, 0), С(-4, 1, 1) и
D(-5, -5, 3). Найти угол между диагоналями АС и BD и вычислить площадь че-
тырехугольника.
25. Треугольник задан координатами своих вершин: А(1, 0, 2), В (2, 1, 2),
С (1, 1, 3). Вычислить площадь треугольника и длину высоты, опущенной из
вершины В на сторону АС.
26. Разложить вектор с = (0, -7, -3) по векторам а = (2, -3,1), b = (3, -1, 3).
27. Разложить вектор с = (-5, 16, 18) по векторам а = (1,4, 2), b = (-2,1, 3).
28. При каком значении у вектор а =(1,2,3) разлагается по векторам
b =(2,у, 4) и с =(3,4, 5).
29. При каком значении х вектор а — (3, 7, 4) разлагается по векторам
Ь =(2,5,6) и с = (х,-1,-10).
30. В параллелограмме ABCD точки К и М соответственно середины сторон
ВС и CD. Найдите сумму коэффициентов разложения вектора А М по векторам
АК и AD.
31. В треугольнике АВС точка К - середина медианы АМ. Найдите сумму ко-
эффициентов в разложении вектора СК по векторам АВ и АС.
32. В треугольнике АВС: АВ = b , АС = а,АЕ = (2/3)-АВ, BD = 2ВС. Разло-
жить вектор ED по векторам b и а. В ответе укажите коэффициент при век-
торе а.
33. В параллелограмме ABCD точка К - середина ВС. Разложить вектор ЕМ по
векторам А К и A D, если АЕ = (3/2\АВ, АМ = (5/8)-Л£>. В ответе укажите ко-
эффициент при векторе AD.
34. Через вершину D квадрата ABCD проведена прямая, параллельная диагона-
ли АС и пересекающая прямую ВС в точке М. Точка О - центр квадрата. Раз-
ложите вектор О В по векторам А М и АВ. В ответе укажите коэффициент
при АМ.
35. Через вершину С квадрата ABCD проведена прямая, параллельная диагона-
ли BD и пересекающая прямую AD в точке Е. Точка О - центр квадрата. Раз-
ложите вектор ЕО по векторам АВ и АС . В ответе укажите коэффициент
разложения при АС .
36. В параллелепипеде ABCDA В'С ТУ точка К является серединой ребра DD, а
М - середина ребра DC. В разложении вектора АВ по векторам АА', А К,
АМ найти наибольший коэффициент разложения.
37. Дан параллелепипед ABCDA В С ТУ. Разложите по векторам DA , DD',
DB' вектор MN, где DM = (l/4)-OD', AN = (3/2)-АВ'. В ответе укажите
сумму коэффициентов разложения.
38. В кубе ABCDA В С ТУ точка Р - центр грани А В'С ТУ, точка Q - центр гра-
ни DCDC, a L - середина отрезка PQ. Разложить вектор AL по векторам
АВ, AD и АА'. Указать сумму коэффициентов разложения.
39. В кубе ABCDA В С ТУ точка Р - центр грани ABCD, точка Q - центр грани
DD’C'C, а точка L - середина отрезка PQ. Разложить вектор AL по векторам
АВ, AD, АА'. Указать сумму коэффициентов разложения.
40. В правильной треугольной пирамиде ABCD точка М - середина стороны
основания ВС; точка К лежит на ребре DB, причем КВ = 2DK. Разложите век-
тор МК по векторам А С, АВ, AD. В ответе запишите наименьший из ко-
эффициентов разложения.
41. В тетраэдре ABCD точка М лежит на ребре AD, точка К - на ребре СВ,
причем АМ = 3MD, КВ = ЗСК. Разложите вектор МК по векторам АВ,
А С, A D. В ответе запишите наименьший из коэффициентов разложения.
42. Найти | Ъ |, если |а|=6, |а + £|=11, |а-?|=7.
43. На координатной плоскости заданы точки Л(4;2), В(2;б), С(10;10),
0(12; б). Найти площадь пятиугольника ABCED, где точка Е - точка пересе-
чения прямых АС и BD.
44. На координатной плоскости заданы точки Л(13;-1), В(4;2), С(7;11),
0(7; 3,5). Найти площадь четырехугольника ADCB.
45. На координатной плоскости заданы точки Л/(2;2),У(1;10), Р(8;14),
<2(9; б). Найти площадь пятиугольника MNPRQ, где точка R — точка пересече-
ния прямых МР и NQ.
46. На координатной плоскости заданы точки А7 (12; 7), 0 (9; 1), Л/(3;4),
У (8; 4). Найти площадь четырехугольника KLMN. •
47. На координатной плоскости заданы точки А(3; 1),В(12; 4), С(14;-2),
D(5; — 5). Найти площадь пятиугольника EADCB, где точка Е - точка пересе-
чения прямых А С й BD.
48. На координатной плоскости заданы точки Л(1;3),В(13;-3), С(10;б),
0(9; 4). Найти площадь четырехугольника ADBC.
Глава 8. Производная
и ] _ и'-v-u-v'
v] v2
Правила дифференцирования
1. (w+v) =u' + v'. 2. (w-v) =u'v + uv'. З.(с-и) = c-u'. 4.
Производная сложной функции: (/(<р(х))) = /'(cp(x))-cp'(x)
Здесь и=и(х), v=v(x) ,f(x), ср (х)-дифференцируемые функции, с-постоянная.
Производные основных элементарных функций
-?-5-
= ах Ina.
6.= ех. 7.(logax) = —р—. 8. (inx) =—.9.(sinx) =cosx. 10.(cosx) =-sinx.
и ы =—V-
cos X
14. (arccosx) = —7=1
12. (ctgx) ------1—. 13. (arcsinx) = > 1 ... .
sin x V1 - x2
. 15. (arctgx) =—I—. 16. (arcctgx) =------------
§ 1. Производная функции
Найти производные функций:
1. У = *+7+~у. 2. у = х2+-Ц---Лг. 3. у - 4х + Vx +д/х .
х х2 Зх2 5х3
4. y--j= + ^ + -^~. 5. у-х2-sinx + ctgx. 6. у = х3 + cosx + tgx.
Vx ух
7. у = х2 + 2* +3* + ех. 8. у = х4 + 4Х + Iх -ех. 9. у = Inx + logjx + logjx.
з
10. у = 5х +log5x+lgx. и. у = х2cosx. 12. y = 7*ctgx. 13. У~~\—..
X -1
г+1 t£ X
19. >. = J4X-7. 2».y-^|x-3. 21. >. = ^/(Зх-9)2 . 22. y=y==.
23. _v = arcsin5x. 24. у - arecas . 25. y = arctg|x. 26. у = arcc tg у.
27. у = cos3 6x. 28. у = sin4 5x .29. у = Vcos4x . 30. у = ctg3 y. 31. у = б7 8*”1.
32. у = &^. 33. j> = 107i2~3. 34. у = esi”2x. 35. у = ln3(x2 +1).
36. у = log^G/x +1). 37. у = In (1 + tg x). 38. у = 1g (sin x + e1).
Найти производные функций:
39. У — In • 40. у = In + л/х2 +1 . 41. у = д/х + -Jx + Vx .
Найти производную функции у =f(x) в точке х0:
42. у = х6-6х5 + 3х2-2, х =2. 43. j = -L---L х0= 1.
0 Юх5 4х4
44. у = х-~—L-, х0=-1. 45. у = 3^[х2 + 2хЗ/х+Дг-, х0= 1.
х2 Зх3 х3
46. jv = (x2-4)3, х0=1. 47. у = х2(х-1)2, х0=2.
48. ^ = (2-Зх)2(2х + 1)3, х0=-2. 49. у = ^-±2,х0= 0. 50. у = ?^2, х0=-2.
х-1 х2-3
х2-Зх + 4 „ „ fx-lV п 12-Зх2 _
51. у -------, хп=2. 52.^= - ,хо=О. 53. _у =—т--------, х0-2.
х + 2 Vx + 17 х2+12
54. у = sin2x + 4sinxcosx + 5, х0~.
56. у = 2sin— + 3cos—, xg= л. 57.
2 1
55. ys,sittx--cos3x + -smx5 хо=9О°.
(, л^ . , , ч тг
_v = cos. 1 6х + —I-sin (л-бх), ХО=—
х 22 6
58. у »-\/3(sin2 х + cos2 2х), хо=ЗО°.
59. y₽ism3x-x/3cos3x, хо=6О°.
60. y = V2sin2xcos3x, х0=45°.
61.
sin5x
у »-—:—,
cos2x
62. cosx л ^1+йх’ Х0=2’
64. ^ = Vsin3xI хо=ЗО°
х0= 180°.
65. y*x/3tg2|, х0=12(Р.
66. >’ = 5tg^2x-^j, хо=р
61 У^е2х +е Зх -х, х0=0.
68. у = ех -^е х - 5х, хо=О.
(9. у=е5х+4ех/2, х0=0.
7О.у = 102х+10-3х+(3 + 1п10)х, х0=0.
2
71..№*ln x-2xlnx + x, х0=е.
§ 2. Касательная к графику функции
1. у-/(х0) = f'(x0)(x-x0) -уравнение касательной к графику функции
у = /(х) в точке с абсциссой х0.
2. у- у0 = к(х - х0) - уравнение прямой с угловым коэффициентом к,
проходящей через точку Мо (х0; у0).
у2 - У}
3. к =-----, если Af^xpyj), Л/2(х2,_у2)-точки прямой.
Х2 - X]
4. rg<p -------тангенс угла меду двумя прямыми,
1 + к]к2
где к] и к2- угловые коэффициенты первой и второй прямой соответственно.
5. к\ = к2 - условие параллельности прямых.
6. к2 = —— или к\ • к2 = -1 - условие перпендикулярности прямых.
к1
1.
4.
6.
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке:
х + 2 л _ х2 - 6х + 4
у =----, х0=4. 2. У = —----—
х - 2 Зх - 2
у = sin3x + cos5x-3sin7x, х0= л/2.
, *0= 1-
3. у = е2х~*2
х0= 0.
5.
у = tg2xsin х, х0= л / 2. 7. у = tg3x,
х0= л/4.
у = cos5xsin3x,
„ sin2x
8- У =----
cos5x
хо=О.
хо=О.
9.
х0= л / 4.
2
10. у = sin x-2cos2x, х0=л/4.
Найти угол наклона касательной к графику функции у =f(x) в точке х0:
11. ^ = (2х-1)2(2х-3)2,х0 = 1,5. 12. у = -^(2-Зх)2(2х + 1)3, хо=О.
13. у = —^—хо=О. 14. у = 3^? +—-—, х0 = 1.
х + 2 2х-1
15. _у = — + Зл72х + 4д/х, х0=4. 16. у = ?/(х2 - 4х + з) , х0 = 2.
х /
17. у = 2х2 -Зх + 4, хо=О. 18. у = ^л/х-2 + 4л/10-х), х0= 6.
у/3( . 2 1.^ л
19. у = — sinx + — cos3x + -sm5x , х =—.
2 < 3 5 ) 0 6
20. У = ~~tg2xsinх, х0 = 90°.
22. y = ^sin3x->/3cos3xj, хо=6О°.
21. у = Itg (2х + 60°), х0=0°.
8
23. у = >/sin3x, xq=30°.
24. у = |tg2|, х0 = 120°. ; 25. у = |(е2х + е~3х - х), х0 = 0.
Написать уравнение касательной к графику функции у = /(х) в точке х0:
26.у = х2 - 4х+ 3, х0= 0. 27. у = х3-2х2 +3, х0= 1. 28.у = ^х4 - 5х, х0= 2.
29. Найти точку, в которой касательная к графику функции
у = (х + 2)(х-2) образует с осью Ох угол 135°.
30. Найти точки, в которых касательные к кривой у = |х3 - -|х2 + 7х - 4 обра-
зуют с осью Ох угол 45°.
31. Найти абсциссы точек, в которых касательные к кривой
у - |х4 - |х3 + у х2 параллельны оси абсцисс.
Зх - 4
32. Найти координаты точек, принадлежащих графику функции у--------, в
2х -3
которых касательная к этому графику имеет угловой коэффициент к = -1.
33. На кривой у = х2 - х +1 найдите точку, в которой касательная парал-
лельна прямой у = Зх - 1.
34. На кривой у = 4х - 6х + 3 найдите точку, в которой касательная парал-
лельна прямой у = 2х.
Написать уравнение касательных к кривой, проходящей через точку М.
35. у = х2-7х + 3, Л/(3,-9). 36. у = х2-х-6, М(2, -5).
Написать уравнение касательной к кривой, проходящей через точку А\
Зг + 1 _i_ 1 О
37. у===—±, Л (1,2). 38. у = —— ,/4(0,4). 39. у = 2х2-5х +1, А (2; -3).
х х
40. Написать уравнение касательной к кривой у = 7в-х2 , проходящей через
точку А (3,1).
41. Через точку А (5, 1) проведена касательная к кривой у = 713-х2 . Найти
сумму координат точки касания.
Написать уравнение общей касательной к параболам. В ответе указать
угловой коэффициент касательной.
42. у = хг -2х + 2, у = х2 -4х + 6. 43. у = -х2 -4х-4, у = -х2 -2х-2.
Найти общую касательную к кривым
.. 1-2х 2 П л 2 4х-1
44. у ----- и у = х -2. 45. у = 4-х и у =------------.
X X
Написать уравнение прямой, которая касается графика функции в двух точках:
46. /(х) = х2 -)8х-12|-4. 47. /(х) = |5х-б|-х2 +3.
48. Найти тангенс большего угла между касательными, проведенными из точки
А(-2, -4) к параболе у = х2 + 2х - 3.
49. Найти тангенс меньшего угла между касательными, проведенными из точки
В(1,9) к параболе у = -х2 - 2х + 8.
К графику функции проведена касательная в точке xQ = 3. Найти расстояние
от начала координат до касательной:
50. /(х) = х3-6х2+—х, х = 2. 51./(х) = Д;--— + —, х = 1.
2 0 х2 4х 2 0
52. Найти площадь треугольника, образованного осью ординат и двумя каса-
тельными к графику функции /(х)=х2-6х+10, проведенными из точки (2;-2).
53. Найти площадь треугольника, образованного осью абсцисс и двумя каса-
тельными к графику функции /(х) = ^х2 - х + 5, проведенными из точки (1; 2).
4
54. График параболы, имеющей наибольшее значение 4 в точке х = 5, проходит
через точку В(1;-12). Найти площадь треугольника, образованного осями ко-
ординат и касательной к этой параболе в точке х0 = 3.
55. График квадратного трехчлена, наименьшее значение которого равно -9
при х = -1, проходит через точку А (2; О). Найти расстояние от начала коорди-
нат до касательной, проведенной к этой параболе в точке х0 = -2.
56. Две точки кривой х + 3 = у2 + 2у, ординаты которых равны соответственно
1 и 3, соединены отрезком прямой. Найти уравнение касательной к кривой па-
раллельной этому отрезку.
57. Хорда соединяет две точки кривой у = -5х2 +6х + 11, абсциссы которых
равны соответственно 1 и 3. Написать уравнение касательной к кривой, па-
раллельной хорде.
§ 3. Исследование функций, построение графиков
Найти критические точки функции:
1. /(x) = |sin3x-ycos2x-sinx. 2. /(x) = cos3x + sin3x.
3. Дх) = sin2x + cos2x. 4. f(x) = ^x-ex +е
6- /(х) = |х-5|. 7. /(х) = |х2+х-2 |.
9. /(х) = ^(х-1)2. 10. /(х) = х2 -З/х-6.
5. /(х)= 2х + 1п(1-х).
8. /(х)=|х2-2х|.
11. /(х) = х-3/х —2.
Определить число критических точек функции в заданном интервале:
12.у = sin(x-^j, [0; 2л]. 13. y = cos(x + ^), [-л; 2л].
14.у = cos2x-2sin2 х, [-л; л].
16. у = sin 2 2x + cos4x, [0; л).
18. у = cos2x + 2cosx, [-л;0].
15. y = cos22x, (0; л].
17.y = ^sin3 x + sin2 х, [л; 2л].
19.у = sinx + cos2 х, [0; л].
20. у = cosx + sin2 х, [-л/2; 2л). 21. у = sinx- tgx, (-2л; 2л].
22. Найти и выписать интервалы возрастания и убывания функции
1 - х + х2 _ _
у =---------у. В ответе записать длину отрезка оси Ох, концами которого яв-
1 + X + х2
ляются критические точки функции.
23. Найти и выписать интервалы возрастания и убывания функции
(х + 2)2 _ ,
у = iВ ответе записать среднее арифметическое значение х, при кото-
х2 +3
рых производная равна нулю.
Найти все значения а, при которых функция возрастает на всей оси Ох:
24. /(х)= а 5-х3 +(а-1)х2 + 2х + 1. 25. /(х) = 2х3+9ах2+6^а2+5^х-3.
26. Найти точки экстремумов функции у =
1(х-2)2(х + 4).В
ответе указать
квадрат расстояния между точками экстремумов.
Найдите точки экстремумов функции:
27. y = J^-. 28. 29./(х) = хе1/х. 30, /(х)= 1-V(*~4)2 .
9 + х2 х+1
31./(X) = 2L. 32./(х) = 32х-8-Зх+6х1пЗ. 33./(х)=21п(х-2)-х2+4х + 1.
1пх
34. /(х) = 4х3 -х-| х-2 |. 35. /(х) = х3 - 2х-| х-2 |.
Найти значение функции в точке максимума:
36. /(х) = (х-5)2-(2х +8). 37. Дх) = х3(2-х).
Найти значение функции'в точке минимума:
38. /(х) = х3 — Зх2 + 6. 39. /(х) = (х — 1)2 -(х + 2).
Исследовать на экстремум функцию. В ответе записать значение функции
в точке максимума.
40. у = -——х2+6х--. 41. у = х3 +3х2 +4.
3 2 3
Исследовать на экстремум функцию. В ответе записать значение функ-
ции в точке минимума.
42. у = |х3 +2х2-3. 43.у = х3 + Зх2-24х-8.
44. Исследовать на экстремум у = (1 / 2)2х+1 - 6 (1 / 2)х + 8х1п(1 / 2).
Исследовать функцию /(х) и построить ее трафик:
45. /(х)= |х4-2х2. 46./(х)=(х + 1)2(х-2)2. 47./(х) = (х-1)3(х + 3).
Исследовать функцию /(х) и построить ее график:
г 1 у-2
48./(х) . 49./(х)=-——. 5О./(х) = х2+ —. 51./(х) =----.
х +4 1-х х х+2
52./(х) =—у—. 53./(х)= + 54./(х) = хл/в-х2 .
х-З 1-х + х2
X + 1
55. Найти значение функции у = —----- в точке максимума.
х + 2х + 2
гт „ , х2 -10х + 25
56. Наити значение функции у = —------- в точке минимума.
х2 -8х + 17
§ 4. Наименьшее и наибольшее значения функции
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = (12-x)Vx
на отрезке [1; 9]. В ответе указать сумму наибольшего и наименьшего значе-
ний функции.
2. Найти наименьшее значение функции у = х2/2 + 1/х на отрезке [1/2; 2].
3. Найти наименьшее значение функции у = л/2х + 3 + -1 на отрезке [-1; 3].
4. Найдите наибольшее значение функции у = х--~=-2 на отрезке [-12; 3].
Найти наибольшее значение функции:
5. у = 4л/х-10 + Зл/35-х. 6. у = Зл/х-5 + 4л/30-х.
7. у = Vx-l + 2>/б-х .
8. у = 2>/х-2+ 4л/7-х.
Найти наибольшее и наименьшее значения у = /(х) при хе [а; b ]:
9. у = 5х2~2х, [-1; 2]. 10. у = (^2+2х, [0; 2]. 11. y = x2e-l2+1, [0; 8].
12.
1 у/з
у = cosx-|cos3x, [0; л/2]. 13.у = — sin2x + — cos2x, [0; л/2].
2 2
14. y = sin x-cos х,[0;л].
• 2
15. у = —cos x + 3sin х,
z 3
[-л; л/2].
16.у = 1-2cosx-2cos2x, х е[л/2;Зл/2]. 17.y = 7-2sin2x + 2smx, х е[0; л].
Найти наименьшее значение функции на заданном отрезке:
18. у = |х2 +х-2| + 2х,[2/5;2]. 19. у = |х2-2х| + х, [6/5; 3].
2О./(х) = 2д/х1-9л/х +12д/х + 3, [1; 81]. 21.f(x) = ~ —^= + -£=+1, [1/16; 16].
ух3 УХ у] X
Найти наименьшее значение функции на заданном отрезке:
23 . /(x) = 21og2x-151og2x + 361og2x, [4; 16].
24 у = 17-4x + 2j4Tx , у = 12-2х-2л/3-2х, ^3/2-у 1 ].
л/4-х л/3-2х
26/(х) = -|х3-12х2+45х-20|, [-1; 5].
Найти наибольшее значение функции на заданном отрезке:
27. /(х)=2-23х-9-22х +12-2*, [-1; 1].
28. /(х) = 21og2 х-91og2 x + 121og2 х, [1;4].
4 9 6
29. /(х) = -----х- +----+ 2, [10; 1000].
1g3 х 1g2 х Igx
30. /(х) = 4tg3x-9tg2x + 6tgx + 2, [л/6; л/4].
31. /(х) = ctg3x-^ctg2x + 3ctgx, [л/6; л/3].
32. /(х) = |21х2+15-60х-2х3|, [1; 5].
Найти разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
на заданном отрезке:
33. /(х) = |х2-5х + 4| + 2-х; [1; 5]. 34./(х) = х-4-|х2-8х + 15|; [3; 6].
35. /(x) = cos2 x + sinx-3; [0; я]. 36./(x) = cos3x-9cosx+4; [0; Зя/2].
37. у = |х2-Юх + 9|-|х-4|; [0; 10]. 38. _у = |х2- Юх + 21| -1 х - 41; [2; 8].
39. Найти наибольшее значение функцииу(х), если А~3-*) = + 22х-14
I Х + 1 ) (х + 1)2
40. Найти наименьшее значение функции ./(х), если /| —] = з. 3-4х-4х
U + хУ (х + 1)2
41. Найти функцию fix) и её наименьшее значение на отрезке [-1, 3], если
.( 1 ) л/Зх + 8 4х + 8 ,
f\----- = ~ г--- +------1
V х + 2 ) ~Jx + 2 Зх + 8
42. Найти функцию fix) и сумму её наименьшего и наибольшего значений на
отрезке [1,9], если А £ | .
V х ) хл/х
43. Найти наибольшее значение производной функции /(х) = 5 + 8х - 8>/х - х2
на отрезке х е[1/4; 4].
44. Найти наименьшее значение производной функции f (х) = х3 - 64^/х3 +15х - 2
на отрезке х е[1;9]-
Найти наибольшее значение функции на указанном отрезке:
45. /(х) = 15 sin х - 8cos х - 2; [л/2; я]. 46. /(х) = 1 - 4sin х - 3cos х; [-я; -я/2].
47. Найти наибольшее значение функции /(х) = sin 2х + (1 / 2) sin 2 х - 2х на от-
резке [0; л/2].
48. Найти наименьшее значение функции /(х) = sin 2х - 2 cos 2х - 4х на отрез-
ке [-л/2; л/4].
Найти область значений функции:
49. /(х) = sin2 х-cosx + 3. S0./(x) = 4 + sinx-cos2 х. Sl./(x) = sin2x + cosx-2.
§ 5. Применение производной для решения задач
1. К графику функции у = 2х-1/х3 +1/х проведена касательная в точке х0=1.
Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
2. К графику функции у = 8х +1 /х -1 /(4х3) проведена касательная в точке
х =1/2. Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями коор-
динат.
3. К графику функции у = х2 -7х+ 11 проведена касательная параллельно
прямой у = 3 - 5х. Найти площадь треугольника, образованного касательной
и осями координат.
4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Л/0(4,4) и образую-
щей с осями координат треугольник, площадь которого равна 4.
5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Л/0(3,2) и образующей
с осями координат треугольник, площадь которого равна 3/2.
6. В точке Л(1,-2) к графику функции у = 1/(2х2)-З/х + 1/2 проведена
касательная. Найти точку пересечения этой касательной с прямой у = 4х + 3.
7. В точке Л(5, 0) проведена касательная к графику функции у = 30/х-6х/5.
Найти длину отрезка касательной, заключенной между осями координат.
8. Написать уравнение касательной к кривой у = х2 - 4х + 5, проходящей через
точку А(1, 2). Найти длину отрезка касательной, заключенной между осями ко-
ординат.
9. Найти площадь треугольника, образованного осью Ох и касательными к
у
кривым у = х + 1 и у = 1 - 1 / х, проведенными в точке их пересечения.
10. Найти площадь треугольника, образованного осью Ох и касательными к
кривым у = х2/4 и у = 2/х, проведенными в точке их пересечения.
11. Найти площадь треугольника, образованного осью Ох и касательными к
кривым у = х4 / 4 +1 иу = 8/х + 1, проведенными в точке их пересечения.
12. К графику функции /(х) = 2х4-х3 -4х/3+ 1 в точке хо=О проведена
касательная. Найти расстояние от начала координат до этой касательной.
1 3 х
13. К графику функции /(х) = -у-------+ — в точке xq = 1 проведена каса-
х2 4х 2
тельная. Найти расстояние от начала координат до этой касательной.
14. К графику функции /(х) = х4 + х3/2 - 25х/6 в точке х = 1 проведена
140
касательная. Найти расстояние от начала координат до этой касательной.
15. Найти длину высоты BD треугольника АВС, образованного осью Оу
(АС 6 Оу) и касательными к кривой у = (1 - х)л/1-х - х2, проведенными в точ-
ках с абсциссами х = -3 и х = 1.
16. Найти длину высоты BD треугольника АВС, образованного осью Ох
(АС 6 Ох) и касательными к кривой у = Зх3 + 4х2 -х-2, проведенными в точ-
ках с абсциссами, х = -2 и х = 0.
17. Требуется огородить прямоугольный участок площадью 297 м2 и разде-
лить перегородкой, параллельной одной из сторон. Стоимость установки пере-
городки равна 16 руб. за метр, а внешней ограды - 25 руб. за метр. Определить
размеры прямоугольника, минимизирующие затраты на установку всех ограж-
дений.
18. Требуется огородить прямоугольную площадку и разделить ее перегород-
кой, параллельной одной из сторон. Стоимость установки перегородки и одной
из сторон ограды, перпендикулярной перегородке, равна 24 руб. за метр, а трех
других внешних сторон - 30 руб. за метр. Каковы размеры прямоугольника
наибольшей площади, если для установки всех ограждений имеется 1008 руб.?
Какова эта площадь?
19. Из квадратного листа картона ро сторонами равными 24 см вырезаются по
углам одинаковые квадраты, а из оставшейся части склеивается коробка. Како-
го размера нужно вырезать квадраты, чтобы объем коробки был наибольшим.
В ответе записать длину сторон этих квадратов.
20. В равнобедренный треугольник с основанием 8 см и высотой 6 см вписан
прямоугольник наибольшей площади. Определить площадь прямоугольника.
21. Определить размеры бассейна с квадратным дном и объемом 32 м таким
образом, чтобы сумма площади боковой поверхности и площади дна была ми-
нимальной. В ответе указать площадь боковой поверхности.
22. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны по 10 см. Опреде-
лить большее основание таким образом, чтобы площадь трапеции была наи-
большей.
23. Сумма трех сторон прямоугольника равна 120 м. Определить размеры пря-
моугольника так, чтобы его площадь была максимальной. В ответе указать ве-
личину площади.
24. В шар вписан цилиндр наибольшего объема. Найти отношение объема шара
к площади основания цилиндра, если радиус шара равен 5 см.
25. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 60° вписан
прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на ги-
потенузе. Определить большую из сторон прямоугольника.
26. В полукруг радиуса 4^3 см вписана трапеция наибольшей площади. Опре-
делить площадь трапеции, если её большее основание является диаметром по-
лукруга.
27. В конус с радиусом основания 4 см и высотой 6 см вписан цилиндр наи-
большего объема. Определить высоту цилиндра.
28. В полукруг радиуса 3 л/2 вписан прямоугольник наибольшей площади.
Определить большую сторону прямоугольника.
29. В шар вписан конус наибольшего объёма. Найти отношение объёма шара к
объёму конуса.
30. В шар радиуса Зл/2 вписан конус наибольшего объёма. Найти радиус осно-
вания конуса.
31. В шар радиуса -Уз вписан цилиндр наибольшего объёма. Найти высоту ци-
линдра.
32. В шар радиуса -Уб вписан цилиндр наибольшего объёма. Найти радиус ос-
нования цилиндра.
33. В арифметической прогрессии четвёртый член равен 10. При каком значе-
нии разности прогрессии сумма квадратов второго и пятого членов этой про-
грессии будет наименьшей?
34. Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрес-
сии равна 12. При каком значении разности прогрессии произведение третьего
и пятого членов прогрессии будет наименьшим?
Среди точек, лежащих на параболе, найти ближайшую к точке М:
35. у = 1-х2; ЛГ(1/4; 1/2). 36. у = х2-2-, М(16;-3/2).
Точка А лежит на прямой, а точка В - на параболе. Найти наименьшее
значение длины отрезка АВ:
37. Зх—4у-24 = 0; 4х2 -4^-29х+60=0. 38.4х+Зу-24 = 0; Зх2 +3_у + 22х + 30=0.
39. Найти наименьшее значение длины отрезка, середина которого лежит на
параболе у = (3 / 2)х2 - 3, а его концы - на осях координат.
40. Найти наименьшее значение длины отрезка, середина которого лежит на
параболе у = -4х2 +1, а его концы - на осях координат.
41. Трем экскаваторам необходимо вырыть котлован объемом 3200 м3. Пер-
вый экскаватор за один час вынимает 42 м3 грунта, второй - на q м3 /час
меньше первого, а третий - на 3g м3 / час больше первого. Определить, при
каком значении q работа будет выполнена за кратчайший срок, если вначале
800 м3 выкопают первый и второй экскаваторы, работая одновременно, а ос-
тавшуюся часть работы выполнят первый и третий экскаваторы, работая одно-
временно.
42. Автомобиль двигается из пункта А в пункт В. Путь от пункта А до проме-
жуточного пункта С он проезжает со скоростью 60 км /час, а в пункте С выну-
жден снизить скорость на 2 К км /час . Проехав с этой скоростью 2/5 пути от С
до В, оставшийся до В путь он преодолевает со скоростью на 3 V км /час больше
первоначальной. При каком значении V путь от пункта С до пункта В будет
преодолен за минимальное время?
ОТВЕТЫ
Глава 1. Тождественные преобразования числовых и алгебраических
выражений
1.4. 2.0,0016. 3.47. 4.-5. 5.179. 6.8. 7.3. 8.1. 9.1. 10.-2. 11.-2.
12.30. 13.-5. 14.0,4. 15.-5. 16.-4. 17.0,5. 18.-4. 19.-5. 20.3. 21.6.
22.-6. 23.1. 24.-1.25.-2.26.1,5. 27.-54. 28.20. 29.2. 30.3.31.-80.
32.10. 33.23. 34.20. 35.1. 36.1. 37.1. 38.1. 39.5. 40.6. 41.-8,2.
42.7/3. 43.4,5 . 44.1/6. 45.1. 46.1. 47.1. 48.1. 49.1. 50.1. 51.0,25.
52.1. 53.1. 54.-1. 55.3. 56.0,25. 57.1. 58.1. 59.0. 60.-1. 61.2.
62.3. 63.2. 64.0,25. 65.-2. 66.27. 67.0,5. 68.0,2. 69.1/9.70.4. 71.4.
72.-2. 73.2. 74.-4. 75.0. 76.0. 77.2. 78.5. 79.0. 80.1.
Глава 2. Алгебраические уравнения и неравенства
§ 1. Рациональные уравнения
1. {2, (-1±Л)/2}. 2. {-2,-1,1/2}. 3.2. 4.-1/2. 5. {-3/2,1}.
6. {-1, (~4±ЛЗ)/3}. 7. {±1/2, 2 + Л}. 8.24,75. 9.-2,75. 10.-45. 11.-2.
12.4. 13. {-4, 1, (-3±ЛЗ)/2}. 14. {-5, 1, 15. {-6, 1,
16.(~7±л/Г\ -8, 1|. 17. {0,1}. 18.|1,^у^|. 19.1-1, 2,
20. {-4, -1, А, 2}. 21 {-3/2, -1/2,1, 3}. 22.{-3,3}. 23. {-3,1, -1 ± Л }.
24. {-4,1}. 25.{-6,1}. 26. {-6, 2}. 27. { 0,-7,5}. 28.{6, 7±бЛ}.
29. {1,2, 2,4}. 30. {0, 7±2л/3}. 31. {0, 0,5, 4}. 32. {-12, 0, 1}. 33.{-5,-2}.
34. {-4,-3, 9,12}. 35. |-8,-^,~35±,^|. 36. 1-2,3, .
i ’ ’ ’ J 1’2 4 j ( 2 j
37. (-1 +Л; -1-Л}. 38.{^^;1, |}. 39. {-3/2; 1; 2}. 40. {-2;-1/2; 3}.
41. Г 42. Система несовместна. 43. (2; 3; 1). 44. (1; 2; -3). 45.f,“^t*’
46. Система несовместна. 47.-8. 48. 5. 49. {(2; 3), (3; 2)}. 50. {(10; 3), (-3;-10)}.
51. {(5; 20),(-5;-20),(20; 5),(-20;-5)}. 52.{(-1; 1), (-2; 0)}. 53.(-1; -1/2), (2; 1).
54.{(4; 2), (11; 16)}. 55.(-1;-3), (-3;-1). 56. (1; -2), (4; -1/2). 57.(5;-2); 3.
58. (3;-1); 4. 59. {(3/2; 9/4), (9/4; 3/2)}; 6. 60. {(-2; -1), (3; -1), (-3; 2), (1; 2)}; 2.
61. {(-4; 40), (10; 12)}; 6. 62. {(-3/2;-7/2), (3; 10)}; -6,5. 63.{(1; 2), (5/3; 3)}; -4.
64. {(-20/9; -10/9), (2; 1), (10/3; -5/3), (-4; 2)}; 5. 65.{(-4; 2), (4; -2),
(ЗЛ/7; Л77), (—ЗЛ77; Л77)}; 20. 66.(1;3),(-1;-3),(2/Л;16/Л),
(-2 / Л; -16 / Л); Ю. 67. (1; 3), (-1; - 3); 4.
§2. Рациональные неравенства
l.(-2;-l)u(l;2). 2.[-3; 3]. 3.[-2;1МЗ;+°°). 4. (-оо;-1 - ЛЦ-2;-1 + Л].
5. (-оо;-3)о(0Д/3)и(2;5/2) и(5/2;4)о(4;+ оо). 6. {-2}и[1;2]и{3;+ оо).
7. {-3}и[-1; 0] u{2}u[4; +oo). 8. (-oo; -4] d{-2}u[-l; 5]. 9. (0; 2). 10. (-4; 1).
11. {-2}u(2;3)o(3;+oo). 12. {l}u (3;4)u (4;+ oo). 13. (-V5;0]u(V5;3)u{5}.
14. (-оо;-л/б]и(0;2)и(2;7б]и[5;+оо). 15.(-°o;-5)u(l; 2)u(6;+oo). 16. (-1;5).
17. (-oc; -3)u{ l}u(2; +«). 18.(-2; 0) и (3; +=»). 19. (-oo;lp{2}u(5/2;+ oo).
20. (-oo;-3)u{2M5;+oo). 21.(-l;-±)u{2}. 22.(- 2;-l)u{3}. 23.(-1;-1Ц}.
24.{-2Ц-|;0)и[1;+оо). 25. (-оо;оЦ1;|)и{1}.26. (-|;0)u|f ;+oo). 27. {-2; 2}.
28. (-10; 0,25]. 29.(2; 4)u(4; 6]. 30. [-6; 3)u(3; 5). 31. [-4; -1]. 32.
33. 7,5.34. 5,125 . 35. 2,75. 36.10. 37. 6. 38. 7. 39. 2. 40. 3. 41. 8. 42. 2.
43.1. 44.4. 45.3. 46.4. 47.1. 48.2.49. 64^2я. 50.51. 460^2*.
§ 3. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
1. {-1,-1/5}. 2. {7/6,3/2}. 3.-1/5. 4. {-2,-1/2}. 5. {2,-1/2}. 6.-1/3.
7.{-3,-1/4}. 8.{-2,8}. 9. [3,6]. 10.3/4. 11.-1. 12. [2; 4]. 13.(-оо;-3].
14.{-3,Д}. 15.-3. 16. [2/3; 8/3]. 17. {-2, (1+ТГ7)/2,3}. 18. {-3,75?3 }.
19. {0, 8/5, 5/2}. 20. {-6, 2, -2±2Т2}. 21. {-3,-2,1, 2}. 22.{3, 6}. 23. {1-2+75}.
24. {0,5/4,4}. 25. {-3,-2, 2,3}. 26. {-3,-1}. 27. (2, + оо). 28. {-1,4,5}.
29. {3,-2+75}. 30. [1; 3)о(3; 6). 31. [-3;-1)о(-1; 2]. 32. {2; 3; 4}.
33. {0}и[2; 7]. 34. (3/2; 5/2), (3/2; 7/2). 35. (-13/4,13/6), (-1/2,4).
§ 4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
1. [1;4]. 2. (-оо; 5/3) о (3;+оо). 3. [4/3; 4]. 4. (-oo; 1) о (13/5; +оо).
5. (1/4; 3/2). 6. (-оо;-4] о [2/3;+оо). 7. (-1/3; +оо). 8. [-1/3; +оо).
9. [-5;0]. 10. 0. 11.(0; 4]. 12. [ 10; 13 ]. 13. (-оо;-2]и[-1;0]. 14. (-оо;0]и
[1;3]. 15. (-оо; -5/4]. 16. (-оо; +оо). 17. (-оо; 7/2]. 18. (-оо; -7/2) О (19/8; +оо).
19. (2; 5). 20. (-5; 3+272). 21. (-оо,-4]и[-3;1]и[2,+оо). 22. [-4;-1]о[5; 8].
23. (-оо;-4]и{3}и[10; +оо). 24. [-14;-5]о[-1; 8].25.(-оо;-2)о(-1;+оо).
26. (-оо; 0) о (1; +оо). 27. [ 0; 8/5 ] и[ 5/2; +оо). 28. (-5; -2) о (-1; +оо).
29. (-7; -4)оМ; 1). 30. (2; 3). 31. (-оо; -73]и{1}и[7з ;+оо). 32. {±3}о[-2; 2].
33. [-5; 1] о {5}. 34. (-оо; -3] о {3}. 35. (3; 5]. 36. (-оо; -1) о (4; +оо). 37. (-оо,
'/гМ1}и[3/2,+оо). 38. [-3/2,-1) и(-1,-1/2). 39.-1. 40. {1}и(4, +оо).
41. [2, 6)и(6, +оо). 42.5. 43. (18/5; 5)и(5; 22/3). 44. (-24/5;-2). 45.12. 46.60.
47. 16. 48.2. 49.8. 50.18. 51.2. 52. 36. 53.9. 54.16. 55. 25. 56.16.
57. 40. 58.4. 59.32. 60.6. 61.12. 62.4. 63.34. 64.20. 65.1. 66.3. 67.
2. 68. л/4. 69. я 12. 70. л. 71.3л.
§ 5. Иррациональные уравнения
1. {272, 1+75}. 2. {0,1}. 3. {-5,3±2Т2}. 4. {3/2, 7/2}. 5.0,875. 6.0.
7. {0;1}. 8. {5/4; 2}. 9.3. 10.-1/3. П.{-1/2;3}. 12. 1 ±72.
13. (3±Т17)/2. 14. {-11,-2}. 15. {-15; 13}. 16. {-61; 30}. 17. 256. 18.1/3.
19. 4/3. 20.5.21.28. 22. 3 + 2/V5. 23. {-1; 2}. 24.0. 25.-2.26.-3.27.2.
28. {-5; 2}. 29.-1±л/2. 30. {-7; 2}. 31. {-1; 6}. 32. {-2; 0; 3}. 33. 5/4. 34.6.
35.0. 36. {-1; 2}. 37.10. 38. {±1,±7б}. 39.-1. 40.1. 41.2. 42.2. 43.3.
44. -1. 45. {5; 2,6}. 46. -1. 47. 3. 48.1. 49. 5. 50. {1; 3}. 51. -3. 52. {4; 8}. 53. 4.
54. 8. 55. {1,5; 12}. 56.3. 57.1. 58. [-7; 17]. 59. [11; 8]. 60. 9. 61. 6.
62. [-2; со). 63.3. 64.10. 65.7. 66. {-2,5;-2}. 67. {-3/2; 7/6}. 68. 2/3. 69.52.
70. (-1; 1). 71. (2; 0). 72. (0; 0), (>/3; 2>/3). 73. (0; 0), (6; 3). 74. (±2; ±3).
75. (1; 1).
§ 6. Иррациональные неравенства
1. [1; 5). 2. [-1; +»). 3. [-2; 2). 4. (1; 2]. 5. (-2; 2]. 6. [20/9; 4) и (5; +=»).
7.(3;+оо). 8. [-7; 2). 9. (-ос; (-1 + Л)/2). 10. (-2; 2]. 11. [-14; 2).
12. [4;+оо). 13. [0;+оо). 14. (-оо;-2] и [2; 26/5). 15. (-оо;-1] и [0; +оо).
16. (-оо;-3] и [3; 3,4). 17. [2; +оо). 18. [0; 3]. 19. [-1; 0) и (3/5; 1]. 20.[2; +оо).
21. [0; 2]. 22. [-7; 1). 23. [-33; 3). 24. [-4; 4). 25. (-3;-6/5]. 26.{0} и (1; +оо).
27. [0; 9/4) о[4; 16). 28. (-оо; -2]и[5/2; 4). 29.{-5}и(-3; 2]. ЗО.[-6; 3).
31. [-20; 5]. 32. [-2; 2]. 33. [7 + 41 / 2; 9]. 34. ((-5+V13)/2; 1]. 35. [1; 5].
36. (-1; 2]. 37. [-5/2; 9/2]. 38. [3/2; 7/2]. 39. (-3;-2) и (1; 4). 40. [2; 3]. 41.2.
42. {2} и [ 3; 5]. 43. {-1} и [2; +оо). 44. {1} и [4; 7]. 45. {-3} и [4;+оо).
46.{-5; 5}и(6; +оо). 47.{-4,4}и(5;+оо). 48.{2,3}и(4; +оо). 49.{-2,3}и(7;+оо).
50.-5.51.3. 52.(-оо; 1)и[1±Д,2). 53.[-1;^Д)о(2; +оо). 54.(-1;Ь^Й)и(3;
I 2 J у 2 I I 2 1
+оо). 55. (-оо;-3)и[-1; 1]. 56. (9/2; 11/2]. 57. [-4; 1/2]о(2;+ оо). 58. (-оо;3)и(4;5].
59. (-оо;-1) и (0; 1/2]. 60. (-оо; 1) и (2; 3]. 61. [6; 15). 62. (-19/6; 5]. 63. [-5;4].
64. (-оо; 14/9]. 65. (-оо;0]и [11/2; 18]. 66. [0; 11/4]. 67. [-6;—13/4]. 68. [0; 11/9].
69. (3; 11]. 70. (-оо;-2] и (2; 5/2]. 71. [-3; 1) и [6; +оо). 72. [-7/2; 1) и{2}.
73. [1/2;1)и{3}и(4,+оо). 74. (- оо; - 3] и [- 2; -1). 75. (-13/11; 2] и[7; +оо).
76. (-оо; -5] и(-1; 1/13). 77. (-оо, 2)и{3}. 78. (-оо, 3)и{4}.
79. (-оо, -62]и[-34, -7]и[1,2]. 80. [-1,14]о[23,62]. 81. 2л+7. 82. 6л+4.
§ 7. Уравнения и неравенства с параметром
1. (-оо; 7/2) и {4}. 2. (-00; 3/2) о {2}. 3. [1/6; 7/3)и(7/3; 9/2].
4. [-5; 11/5)0 (11/5; 5/2]. 5. (-1/ 2; 0) о(0; 9/2). 6.{-22/3, 2}. 7.{ -2, -1}; -1.
8-(-°°;-7) о (7/3;+оо). 9. {-11/13,1}. 10.-4. 11. {3/2, 3}. 12.5. 13.5.
14. {-3;-0,9; 7,5}. 15. {-1; 2; 3}. 16. (1; 5), (1; 3). 17. (2;-3), (-3; 17).
18. {-5,75,-5,1}. 19. {-7,-2,3}. 20. {2, 5, 6}. 21. [0; 1/2). 22.(4;+оо).
23. (4/3; 2)о(4; оо). 24. (4/3; 2)о(4; оо). 25. (3/4; 1) о (3;оо). 26. (-12; 4).
27,((11+Т97)/2;+оо). 28. ((3-7з7)/2; (-1+V29)/2 ). 29.(-3/2; 12/7).
30. [-3; 27/2]. 31. (-оо, -3)о(0,1). 32. (-оо, 0)о(1,4). 33. [-2; -1]. 34. [-3; 1].
35. {-5,-1,0}. 36. {-7, 0,5,4}. 37. {-3/2,1}. 38. {6,49/6}. 39. {-92/9,-4}.
40. {8,73/16}. 41.6. 42.4. 43. [-3; 3]. 44. (-оо; 25/12). 45. (-8; 2). 46. -14. 47. 5.
48. (10; 20), (10/11, -20/11). 49. (-9/8; 1), (-9/8; -I), (1/4,1), (1/4; -1).
50. {5, 11/2}. 51. {1/2, />}. 52. (-1; 9). 53. (-оо; -3)о(-2; 1). 54.[-1; 3]; 5.
55.[-1; 1]; 0. 56. [0; 1]. 57. [1; 2]. 58. (-7/2; -3]. 59. (0; 1]и{2}.
60. (-5; -21/5]и{-3}. 61. {-6} и[0; 3). 62. [0; 4/3)и(3; 10/3] и{4}.
63. (—3;1] о{3}о[4; 6). 64.{-V5,3}. 65. {0; 2,1}. 66. 67. {-6;-3; 1}.
68. {- 2; 4}. 69. (2; 3) о (3; +»). 70. (0; 9/4) и {3}. 71. (-оо; 0)и(1; +оо).
72. (0; 9). 73.{-2, -1}. 74. [-2; 1]. 75. (-оо; 0] и (1/2;+оо). 76.(-3/2;0).
77. (-оо,-2)u{l/2}o[2,+oo). 78.(-оо, -2]и{1}и(2, +оо). 79.(-1; 0).
80. (-3/2; -1/2). 81. {-56; -2; 2; 56}и[[24; 28]. 82. (-89; -87)и{ -127; 1}.
83. {0, 2/3}. 84.{-1/2, 3/2}. 85. {-2; 2}. 86. (-5/4; 1/4). 87. [1/2; 3/2].
88. [-1; -1/3]. 89. 10. 90.10. 91.12. 92. 3 . 93. 3. 94. 1. 95. [-1; -2/5]и[1; 2].
96. {0}и[3; 8]. 97. {-3,-1, 5, 7}. 98. 1. 99. (-оо; -3] о (5; оо). 100. [-4; 2).
101. (-7; -5]. 102. (0; 1]. 103. 2. 104. 0. 1О5.{8/3; 4}. 106. {3/2; 5/2}.
107.(0; 2) и (2; 4); 4. 108.(0; 3/2) и (3/2; 3); 3. 109. (1; 3) и (3; 5); 6.
ПО. (23; 27); 75. 111. [-1; 1). 112.(1; 3/2] <ДЗ/2; 5/3). 113. [-1/2; 0]. 114. [1/2; 1].
115. [ 1/3; 1]. 116. [2; 3]. 117. [-2; 0)и(0;3). 118. [-3/2;1/3). 119. [-2; 4]; 7.
120. [0; 2]; 3.121.(-оо;-1)и(2;+оо). 122. (-оо;-2)и(6; +оо);. 123. {3}и (4; оо).
124. {3}и (4; оо). 125. {1,2}. 126.2. 127.2. 128.1. 129.7.130.5. 131.-1.
132.-0,5. 133.6. 134.-1.135. 3.136.-7. 137.-12. 138. {-12;-8}. 139. {-3; 1}.
140. -0,5.141. -1/7.142. [-2; 1]. 143. [4;6]. 144. (-4; -1). 145. (2; 11/2).
146.16,9. 147. 6,125. 148. (-оо, -169/8)и (-18,-6). 149. (8,17).
150. {-9/4}и (-2, +оо). 151. (-оо, -2)и{-1,75}. 152.(-оо; -33,75 )о (52; +оо).
153. (-100; 8). 154. -3. 155.5. 156. (-оо; -1) и (5; 6) о (6; 7).
157. (—оо;-8] и (-5 — л/б; — 5+ л/б). 158. (-5;-3/2]. 159. [5; 6]. 160. (7/2; 6].
161. 16л/2. 162. (-оо,3). 163.(-3; Зл/2). 164. (-1; л/2). 165.(-V5; 5,25).
166. (-2; 2)о{2л/5}. 167. (1; 5)о{3-2л/2}. 168. {з;|}. 169. (£;-{}. 170. -4.
171. -2. 172. [0; 2]. 173 [0; 3]. 174. [-7; - 2) и [4; 9). 175. (-оо; -4) и [-3; 5) и
[6; +оо).. 176. {1; 3}. 177. {-1;|}. 178. 57~30У2. 179. 2 + |Л. 180. 1) (-оо;
8/3); 2) {8/3; 4}; 3) (8/3; 4)о(4; оо). 181. 1) (-00; -1) и(1/2; оо); 2) {-1; -1/4; 1/2};
3) (-1; -1/4)и( -1/4; 1/2). 182.1) (2/5; оо); 2) {0; 2/5}; 3) (~оо; 0) о(0; 2/5).
§ 8. Показательные н логарифмические тождественные преобразования
1.16. 2.6. 3.27. 4.3. 5.5,25. 6.-486. 7.50. 8.1,25.9.11,25. 10.21.
11.31. 12.1323. 13.10/3. 14.4. 15.^4. 16.-2. 17.7. 18.5. 19.3.
20.-5. 21.1.22.1. 23.1. 24.-0,2. 25.15/8. 26.7. 27.2. 28.11,1.29.2,8.
30.15. 31.3/2.32.890. 33.0. 34.1.35.2. 36.6.37.4. 38.-4. 39.12,5.
40.1. 41.3. 42.2. 43.6. 44.0. 45.-2.46.4. '
§ 9. Показательные уравнения
1.2. 2.6. 3.2. 4.-3. 5.4. 6.2. 7.68. 8.52. 9.-24. 10.0,5. 11.2.
12.10. 13.-1/2. 14.0,75. 15.2. 16.1,5. 17.-2. 18.-1. 19. {1,4}. 20.{1,3}.
21. {1/2,3}. 22. {1/5,5}. 23. {-1, log315}. 24.-3. 25.-2. 26. {-log2 3, 2}.
27. {log54, 1}. 28.{-2, log35}. 29. {log5(l/7), 3}. 30.1. 31.2. 32. {9/4,1/4}.
33. {-5/2, -1/2}. 34. ±2. 35. {-1/2, 3/2}. 36.1. 37. 2. 38. 9/4. 39.{0,25, 6,25}.
40.0,25. 41. {1/2,-7/2}. 42. {-6,-2}. 43. {1,5}. 44. {log| |;2}. 45.5/2. 46.4.
47.1. 48. {-1/4, -3/8}. 49. {0,4}. 50. {1, 4}. 51.{-2, 2}. 52. ±4. 53.0. 54. ±1.
55.-2. 56.0. 57.2. 58. {1,2}. 59.-2. 60. 0. 61. 1. 62. {-2; -2+\og3/2^-}-
63.5. 64.4. 65.1. 66.2. 67.2. 68. {1,3}. 69. {-5,-3,-1, 2}. 70. {-7,-3, 2, 4}.
71.{±л/5,±л/3,3}. 72. {± VI, ±2,-3}. 73. {31og3 2;-21og2 3}.
74. {31og2 3;41og3 2}. 75. {21og2 5;log5 2}. 76. {31og7 3;21og3 7}.
77. {log2((l + Vi09)/6), log23}. 78. {0, log54}.79. 2^-зЛ = 12.
80. л/3-2-Уз=6. 81. {(2; 1), (4;л/3)}. 82.(0; 0), (2; VI). 83. M,(-2;31og23),
M2(-3;log23).84. Afj(-|log5 3;-3), Л/2( log53;2). 85. (1; Уг), (-2/5;-1/5).
86. (3; 3), (-3/5; -3/5). 87. (2; -1). 88. (2; 1).
§ 10. Показательные неравенства
1. (-»;-!) и [2; 3). 2. [-3/4; 1/4]. З.(.ч^ 4. (-»; ^). 5. [-3;-1].
6. [1; 3). 7. [-2; 2) и [3; оо). 8. (-оо; 2] и (4; оо). 9. (-оо; 3). 10. (-оо; 2).
И. (-оо;-2] и {2}. 12. (-оо; 1/5] и {6}. 13. (-3; -2]u[log23; +оо).
14. (-2; 0] и [1; +оо). 15.(-оо; 1) и {2}. 16.(—оо; 3/2] О [7;+оо). 17.{2, 5}.
18. {0,5}. 19. (-оо;-1] и [1; ОО). 20. [1/2; 4]. 21. [-2; 4]. 22. [0; 3]. 23. (-2; 2).
24. [0; 5). 25. [0; 6]. 26. [-2; 2]. 27. [0; 2). 28. (-оо; 4 - log2 3). 29. [0; 1].
30. (2; 3). 31. [0; 0,5]. 32.(-оо;-1] и[1;+ оо). 33.[-1;0)и(0;1/3]. 34. (-1; 0).
35. (0; +оо). 36. (-оо; 0). 37. (-1; 1). 38. [1/2; 1]. 39. (0; 1/2].
40. (-оо;0)и (0;1/2]и[1;+оо). 41.(-оо;0) о (0;1 А2]и[1;+ оо). 42. (-оо; -12)и(-5; 4].
43. [-5; -4) и (-4; 4). 44. {2}u(logjl0; +оо). 45.{-3}и[2; 3]. 46. [-4; 1] о{2}.
47. (-оо;-^2]и[1/2; VI]. 48. [-5/4;-1]и[1; оо). 49. [-5/2; 1] и(2> +оо).
50. (-оо;-3] о (0; 2]. 51. (log3/4 8; log3/44). 52. (log4/71; 0).
53. (2; 3]u[log212; +оо). 54. [2; 3)u[log5 250; +оо). 55. [8/5; 7/4р[2;3].
56. [-2; 6] о [13/2; 15/2). 57. (82/19; оо). 58.[-7; -V17/2). 59. (-оо; 5/3)и(2; 3).
60. [-3; 0]и[1/3; Уг]. 61. (0; 1)и(3/2; оо). 62. (-1; 0)о(1; 4).
§11 . Логарифмические уравнения
1. 0. 2.2. 3.6. 4.4. 5.4. 6.2. 7.2. 8. {-4, -1+V13}. 9.-2. 10.-5.
ll.{(-5+V19)/3, 1}. 12.-2. 13.6. 14.7. 15.1. 16. {7/3; 2}. 17. {10/3; 2}.
18. {1; 9}. 19. {-8; 1}. 20.-1. 21.5. 22.5. 23.2. 24.3.25.2. 26.79. 27.7.
28. 6. 29. {1/V243, 3}.3O. {1/2, 8}. 31. {4, 27}. 32. {5, 8}. 33.7. 34.9. 35.-0,8.
36. 3. 37.{4, 7/2}. 38.{25, 8/5}. 39.{5/4, 4/3}. 40. {7/5, 5/2}. 41. {1/4, 2/3}.
42. {7/3,9}. 43.2. 44.3. 45.1. 46.0. 47.3. 48. {2loga6,3logai). 49.25.
50. 0,25. 51. {9; 10}. 52. {1/100; 3}. 53.{1/5; 5; 1/25; 25}. 54.{1/9; 9}. 55.{2; 3; 5}.
56. {2; 5/2; 4}. 57.[-1; 6)о(6; 7); 14. 58. (5; 6)о(6; +оо); 7. 59.0,5+32=32,5.
60. 4+ 0,25 =4,25. 61. 3-1/3 -34/3 = 3 . 62.101/2 -105/2 =1000. 63. {1; 4}. 64. {1; 4}.
65. {1,25; 5}. 66. 3. 67. 4. 68. (9; 4). 69.(5;-3). 70. (-5; 14). 71. (9, 5).
72. {(16;25), (25;16)}. 73. (1; 2), 74. (1/2; 1), (-1/2; 5). 75. (1; 2), (-3/2; Уг).
76. (1; 1/2), (4; -1/2). 77. (0; 5). 78. (64; 49).
§12 . Логарифмические неравенства
1.(3; 11]. 2. [2; 7/3). 3. (1/4; 11/4]. 4. (-оо; 0,25). 5. (0; 3). 6. (-1/2; 1).
7. (1; 2) и (3; 4). 8. (3; 29]. 9. (4; 4,875]. 10.(4; И]. 11. (5/2; 6). 12. (-3; -1).
13. [-2; -1/3). 14. (1; 3). 15. о [J-; 1]. 16. (в; ±)о о [1; + оо).
,7'(о;йи[я5:йМ1;+’’)-
18. (4; 8). 19. (-1; 1]. 20. (5; 10]. 21. (0;1/5]
о(1; 25]. 22. [1/4; 1)о[2; +х). 23.(0; 1)о (л/З; 9). 24. (1/4; 1) и (4; 5).
25. -3. 26.128. 27. -239. 28. (-6; 2). 29. (1; 7/2)и (9; + оо). 30. (0; Уг]и (8; 16).
31. (>/2; 8]. 32. (2; 5]о{1/2}. 33. (2; 3]. 34. (2; 3)о(3; 4) о{-97; 103}. 35. (2;
3)0(3; 4)о{-5; И}. 36. (1/9; 9). 37. (0; 1/8)о(8; +х). 38. (-2; 0)о(3/4; 3). 39.
(4; 7). 40. (-7; 1). 41. (-3/2; */2]oj[4; 6). 42. (-3; 3]. 43. [7/2; 4). 44.(-4/3;-1)о
(-1; 0)о (0; 5]о(6; 7). 45. (2; 4) о (6; оо). 46. (0; 2]. 47. (0; 1) о [2; х).
48. (-3/2; -1) о [1/2; 5/2). 49. (0; 1) о [2; 6). 50. [-4; 0) о (0; 3] о (11; 12).
51. (-8; -7) о [—3;—2) о (2; 4]. 52. (1; V5). 53. (4; 10). 54. {1/2}о[2; 32].
55. (-5; -4)о(-4; -3]о[-2;0). 56.(-3; -2) о (-2; 1). 57. [-1; 3] о { -3/2}.
58.[-2; 5]. 59. (-2;-1) о [1; 3). 6О.(-2;-1) о [1/3; +х). 61.(-4;3].
62.(1/2; 1) о (2; +оо). 63. (-2; -1) о (4; +оо). 64. (0; 1/2]о[1; 2]. 65. [0,1; 10].
66. [1/V2; 4]. 67. [0; 2]. 68. [0; 1]о [2; 3]. 69. (0; 5/2). 70. (0; +»). 71. (-6; 0).
72. {6} о (9; -ко). 73. (0; 5) о {8}. 74. (1; 2]о(3; +х). 75. (-оо;-1)о( -1; З-л/15)
о [7; +оо). 76. (-8; -7) о (-2; -1) о (4; 5) о (5;6). 77. (-4; -3) о (1; 2) о (6; 8).
78. (-оо; —5/3]о[0; 1/3). 79. (-1/2; -1/4]о[3,5; +х)о{3}. 80. [-3/2; 7/6]. 81. [0; 1).
82. [-3; 1). 83. (-1,0)о[1,5). 84. (3,4)о[7,23). 85. (1,2)о(31/6,6) о (6; +оо).
86. (-1, 3)о (3, 6). 87. (З1ое2(8/3); + оо). 88. (0;3logs(7/3)5. 89. (0; 10) о{100}.
90. (0; 4) о{8}. 91. [1/8; У2]. 92. [4/3; 4]. 93. (2; 2,2] о [7; +оо ).
94. (-1;-2]о[3; + оо). 95. [|;5]. 96. (|;-^)о[3/3;3]. 97. [29/23;<У2)о[2;8).
98. (-1;1]о(л/3;2). 99. (-1; 1 - Л) о [1; 2). 100. [-1;^П).
Глава 3. Тригонометрия1*
§1 . Преобразование тригонометрических выражений
1. cosa = -|, tga = -|, ctga = -|. 2. cosa = |, sina = -|. 3. sina = -^,
tga = -~. 4.cosa = --j=, sina = -^. 5.tg2a + ctg2a = m2 -2;
tg3a + ctg3a = m(m2-3). 6.-0.01. 7.1,5. 8.0,6. 9. -Ц. 10.0,28. 11.-1.
12.0. 13.0. 14.-1. 15.-V2. 16.2,25. 17.1,25. 18.0,28. 19.-0,28. 20.0,96.
21.-2. 22.-4. 23.1,24. 24.-8,28. 25.-24,75. 26.0,25. 27.-0,25. 28.0,25.
29.-6,25. 30.0,875 . 31.1,5. 32.0,5 . 33.1. 34.-2,25. 35.0,75. 36.-0,96.
37.-0,96. 38.-3,16. 39.-1,5. 40.48. 41.-8. 42.0. 43.0. 44.2. 45.0.
46.0,4708. 47.-0,296. 48.0,9608. 49.-0,96. 50.‘{0,296}. 51. sinl8°=|(V5-l).
52.3. 53.0,25. 54.3.55.3. 56.1. 57.0,5. 58.0,5. 59.0,5 . 60.-л/37 5,
7175 . 61.-3. 62.-0,24. 63.1,6. 64.-0,6. 65.0,8 ' 66. {-1,125, 12}.
67. {-0,125, 1,75}. 68.-1,25. 69.0,5. 70.-2., 71.-3. 72.1,5. 73.6.
74.-3,1. 75.4. 76.-2,2. 77.80. 78.-3,4. 79.-17. 80.-3,3. 81.0.
82.35. 83.20. 84.0. 85. A 86. A 87. . 88.0. 89.-13.90.2. 91.-15.
92.-3,16. 93.0,75. 94.-1,5. 95.-4. 96.-2,5. 97.-7. 98.1,5. 99.2.
100. - 2-Уз. 101. - л/3. 102. --31. 103.0,4. 104.6,75. 105.0,2. 106. [-5; 5].
107. [-13; 13]. 108. [-a/41, a/41]. 109. [l;f]u(f ;2]и[|л;|лг).
110.(0;1]о(|;|]и(^;|я-].111.[-2;-|)и[-1;|]о(|;|]. 112.5л.
ИЗ.-4,5 л.
§ 2. Решение простейших тригонометрических уравнений
1. {£ + (-!)* W}- + 1 |(-1)” arcsin-| + лл|. 4. {2; 5} U {пк}.
5. |у±|л + 4л^|. 6. |±у| + уА:}. 7. |± arccos-|+лА:|. +
9. + ю. U+fil. 11. {1, 5)11 {л + 2лЛ}. 12. +
13. + 14. лА:|и|(-1)*15. (-1)*arcsin^ + ni|.
16. {2,8}Ц{2л*}. 17.{|±|л + 4л^}. 18. {Д + ^4 19. {^+|лл}и{^ + ^}.
20. 0. 21. {±arccos^ + 2л*}. 22. {1, 2, 3 }1|{|+л£}. 23.{-|л + 4л*|.
24. + 25. + 26. {arctg(n£)+ли}.
27. |(-1)* arcsin-| + л^|. 28.0. 29. {arctg(n£) + ли}. 30. {1, 3} U{ л£}.
В главе 3 к, т, п значения параметров из множества целых чисел.
31.{f+f4 32.{±i+fi). 33. ^tfi}u|f + fi} 34. {1,2} u^ + Kij
§ 3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратному уравнению
1. (±-2-+ 2лЛ). 2. (кА}. 3. |(-1)*^- + лА|. 4. |(-l)*arcsin -ЦД + яЙ.
5-{(-1)*12 + 2^}- 6 {л + 2^}и{±f + 2®t). 7. {i + Ki).
8. |(-l)*arcsin-~--4^ + ла). 9. |(-l)*^ + yi). 10. |(-1)* arcsinj+^i).
11. + лк}U{+ у + 2Ki). 12. {(-1)*£ + лЛ}и{(-1)*arcsin| + Ki).
13. |±|л + 2яА). 14. j-{} + ni|u{arctg3 +лА}. 15. |-^ + лА).
16. + ni) U{-arctg5 + ni}. 17. +Ki)lJ{arctg3 +Ki}. 18. |(—1)*+I + Ki).
19. {(-l)*|+Kij. 20. {^ + 2л£}и{(-1)*у + лА;). 21. |(-1)*+1 ^ + |i).
22. U+Ki}lj((-l)*£+|i). 23. [(-!)*£+ Ы 24. (-а + я4
25. {-1 + (-1)* j + xi). 26. + 2Ki) U{(-1)* |+Ki).
§ 4. Однородные тригонометрические уравнения
1. |^+Ki). 2. {arctg2 + Ki} U{arctg3 + Ki}. 3. + Ki) U|-| + Ki).
4 . + ji)lj||arctg 3 + ji). 5. |arctg(>/3-l) + ni)lj|-arctg(-73 + l) + ni).
6 .|-^ + Ki)u|-arctg| + ni). 7.|.j + Kfc)u|j'+Ki). 8.)-^ + Ki)U {arctg3 + 7dt}.
9-{n+FM~8 + 24 l°-{i+^)u{-|+Kfc).' 11. {-|+Ki)U{-arctg3+Ki}.
12 .|-|arctg2+-ji|. 13. l^ + nijUlarctgS + Ki}. 14. |y + ni)u|- j + Ki|.
15 . {Ki}U{-arctg3 + Ki}. 16. +Ki)u|j + Ki). 17. |y + Ki)u|j +Ki).
18. || + кп)или {-^ + arctg(2 + x/3) +Ki}. 19. |-^+ Ki)u|(-1)*| + ji).
2°. {£ + f i)u{|arctg3 + |i) U{f i).
§ 5. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения
вспомогательного угла
l.{±f + arcsin|+2Ki).2.{|+2Ki). 3.0. 4.{| + (-l)*+11-nij.5.{^ + |^t}u
&я + 2лк}. 6. U±A + ni). 7. Un+2Ki). 8.0. 9. fe+(-l)*£ + fil
1O.(|«+|4 11. |-jl+(-1)‘5+|4 “• (7+,rtM-B+i1}-
1з.(^+а«*)и{§4«4 i4s+F№+?4 15 ls+j‘)uh+2*|-
16. {- j + 7tfc|. 17-|-| + yfc}U 18. {л72 + 2ли}и{2ли}.
19. {л72 + 2ли}и{-;г + 2ли}. 20. {2л73 + 2ли}о{2ли}.
21. {яг/6 + 2ли}и{-2яг/3 + 2яп}. 22. {- у+ яи)и^ + 2ли)и{2ли}.
23. {2fln}u{t-~£ + 2ли|. 24. {-у+ 2да|о|у+2да}о|у + 2яи|и{2ли}.
§ 6. Решение тригонометрических уравнений с помощью
понижения степени
1. |±|(7t-arccos|) + л&). 2. |±^ + 7tfc|. 3- |ioU {у + л^) • 4- {j + '2'^)и
+ 5- М- 6 Й + 7- |±* + 2л4 8. U + rat). 9. (-Л + т4
V ' 12 2 / (4 J (3 J (2 J (12 3)
10. [±| + j4 и. {| + ^}и{±у + л*} 12.{л + 2л*}. 13-{±^ + f4 14-И)-
15. U + лН. 16. М + Ы 17. и + АЙи|±| + ^). 18. ((-1)*£-£ + Ы
(2 ) (4 2) (10 о ) ( 3 ) ( 24 Z4 4 )
§ 7. Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на
множители
1 .{2ли} и{^ + ^л*|. 2.{| + 2иМ^ + |*}- 3. |^л|и|| + лА:|и{л + 2л»г}.
4W->)'b*H s-M 4Hufn+M
8 . [| + ^}u[(-l)*y + ^). 9. {|*:)и{±|л+2®1}. Ю. {р}и[±| + |л*}.
U.{| + |jl]. 12.{та1}и{|+j*}. 13.{^ju[±^+| Wt). 14,{|^}U(±S+2Ц.
15. {л + 2л1}и{(-1)*+1| + л*}. 16. {-f + f*} 17. {|+л*}. 18. {| + л*}.
!9. [| + ^)U{(-1/+1 20. {^ + 7tfc}u{|*}u{f it). 21. {| + f*}u{* + 7tt}.
22. [p)u{±f+ 4 23. {^}U £ + f *}.24.|£ + f*}u{f+f4 25.{^4
26#№+H 27-{iHufe+i428-
29. }f + **)U{z + p}u{^ + f4 30. (дф(|| + 2|*}о^ + ^}
31.{j+7t^)o+ 2id}u{л+2л£}. 32. 33. +TtA:)u{|+-y)
34. {(у + ли;-£ + у&)}. 35. {(arcfg(-l)” +лп;лк')}.
§ 8. Тригонометрические уравнения с выборкой решений
!. О, г, |). 2.{-1«.-4 3- (* + ^}и{-3+ 2^)11
4- М*М?+*4Н’-Н'И}-
5. 1) ^+П^|;|’л). 6-{б + з4!бЛ> 671’ 2 Л}’ 7,{в + 4^}’{s’ 8Л’8 Я,8 Л}'
8 Ь12 + 3Я*}; Й4 9 ^агс8т| + лфЦагс5т|+^+^};
^arcsin j^-larcsin|J; 2. 10. + f }u j^ + ли}; fg(. 11. {| + м(; {^}.
12 |л. и. ля || 1I» . 2яп l| I tar, 2яп 1. hr 11я 13я 37я 29тг |
' 48 9 >и<54 9 Г-1 <54 9 >’ <2’ 18 ’ 18 ’ 54 ’ 54
13 . Ц + + 14. (=};
1S. ^+2и)и{-^ + 21и);^,1|!,^,а^,2«}. 16. {та); {0. к). 17. {та);
{0,я,2я}. 18. |-^ + ли} U |-{г + ли}; ^}. 19. {-arctg+ли)и{|+ли}
fe;7t-arctglk 20.}±т- + ли); 21.(±-^ + ли|;
{йНиШ+Ч Ыл! 23- ЫМ4
24. (tf + ^}u!f + ли} 2s- ^Т^ЧЬЧ
26. {л + 2ли}и{(-1/f + ли};{^, л}. 27. {^}u{^}; {£, lj; 0,25.
28. p^UpT1}; [j, I}; 2,5. 29.{2ял}и[| + 2ли}; |. 30.2л. 31.
32. -i. 33.{ли};{л,2л).34.к?+лл);^,^,-^|. 35. к+Д.лМ^,2я|. 36.И.
37. {л,2л,3л}. 38.^,^|.39.|1,^|. 4O.|-l,||. 41.|||. 42. {л/6+лл}и{1/2};
{1/2; л/6; 7л/6}. 43. {2л/3+лл}и{2}; {2; 2л/3}. 44. {^ + 2лл).45. {^ + 2лл}.
4» 5}-48.j-1,5; 2,5; ±|,^).49.{-л,-^,-^, |,|}.
50. |0, |, |,|j. 51.|2л;^;3л|. 52.{^;^;^|. 53.. 54 .{*,*}.
55.{i|}.56.{^,^,^,^, 11].57.{^;5|. 58.{* + ли}; {*}. 59.{±|+ли);
{Т’Т’1?)- 60.{±| + лИ); {^}. 61.{2^.62.^+2^)u{|f+2^
Ал| ‘ 63- {л/2+ли}и{5л/6+2лл}о {7л/6+2лл}. 64. {± л/8 + ли}.
65. + 2яи}и{-у+2да}; {^.л.^.гл.Д}5,-^}.
66. {ли}11 р | + ли|и р j + ли}; |о,л,^ ,^}. 67. {-*+яи}^ }(-1)" |1 + ли}; - -f; f.
68.{f + ^}-1)л+1 Д-Д+ли};^^;^. 69.{* + ли}и{2};2.
70. {ли}11{-3};-3. 71. {-| + 2ли}и {-^ + 2яи}11 {-| + 2ли}; 210°.
72. {л + 2яи)и -| + 2ли}; 420°. 73. {4 + би}. 74. {-1/2 + би}. 75. ctgl.
76. (0;-sinl ). 77.(^}u{jij); 78. &441-
82.xe(-2,-l]; ^{-1,6}. 83.(-3,2)Ц2;4];
(i)UfelUte5^3;2,4}. 84. [-5 -1);{^); {-1}. 85.-225. 86.1440.
§ 9. Системы тригонометрических уравнений
l .|±| + л(и + £); + | + л(£-л)|; 120°. 2.|±-^ + я(л + Л); ±^ + jt(n-£)}; 127,5°.
3.1±£ + л(и +£); + J + л(и-£)|; 150°. 4.f(-l)* y + itfc; ± + 2лл); 150°.
(о о ) (o' 3 1
5 . + n(n + k); + it(n- &)}U|- + л(л + к); - + л(и - £)|.
6 .{л(и+1+1); л(и-1+1)}. 7.|^ + |и;^ + |и + 2л*). 8.{л(2и±|); п(к+1)}U
{&(& +|);;т(2и +1)}. 9. (2ли; л(2& +1)}. 10. |(-1)*-^+лА:;у + лл|.
Глава 4. Текстовые задачи
§ 1. Задачи на проценты
1. 20. 2. 4. 3. 96,120, 168. 4.520,572,440. 5.44. 6. 210. 7.135. 8. 32.
9.40000. 10.200. 11.70. 12.3,75. 13.36. 14.50. 15.72. 16.30. 17.120.
18.225. 19.46. 20.5000. 21.55. 22.4. 23.87,5. 24.16. 25.37,5. 26.10.
27.120. 28.100. 29.120. 30.10. 31.120. 32.2520. ЗЗ.ДЗОО* 34.4000.
35.6500. 36.20. 37.20. 38.1,5. 39. 2. 40.10. 41. 91. 42.20. 43.305. 44.20.
45.872. 46.30. 47.32,5. 48.20. 49.10. 50.15. 51.36. 52.2460.
§ 2. Задачи на сплавы, смеси, растворы
1. 8; 32. 2.12; 6. 3. 4. 4.100. 5.15. 6.5. 7. 60. 8.9. 9.140, 60.10.40,100.
11.20,60. 12.10; 5. 13.20,4,6. 14.60.15.40,50,10.16.150,450, 17.4:1.
18.1 60,20. 19.18. 20.4/3. 21.12,24,48. 22.80. 23.50. 24.20. 25.20.
26.10 . 27.1,9. 28.17. 29.8. 30.30. 31.30. 32.40. 33.40. 34.5. 35.8.
36.20 . 37.80. 38.50. 39. 40; 45. 40. 22,5; 30. 41.25; 40.
§ 3. Задачи на движение
1. 40,50. 2.16. 3. 80. 4.42. 5. 30. 6. 9/8. 7.60. 8. 3; 2 м/сек. 9. 60.
10.40. 11.60. 12.20. 13.35. 14.60. 15.30,60. 16.36,45. 17.150.
18.4. 19.20. 20.12. 21.10. 22.24. 23.19. 24.4. 25.11. 26.8. 27.68/3.
28.4. 29.12. 30.12,5. 31.2. 32.20. 33.3. 34.28. 35.20. 36.19,6. 37.4.
38.50. 39.48. 40.10. 41.50. 42.140. 43.1530. 44.32. 45.4,625.
46.26,875. 47.82,5 48.6. 49.100. 50.80. 51.20. 52.40. 53.100.
54.1. 55.15. 56.20. 57.60. 58.6. 59.30. 60.8. 61. Одновременно.
62. 9. 63.5. 64.3. 65. 6. 66.3. 67.1. 68.62,4. 69. 2 часа 42 мин.
70. 4 час 10 мин. 71.2. 72.3. 73. 2 час 30 мин. 74.2 км/час.
§ 4. Задачи на работу
1.2, 4. 2.48. 3.540. 4.0,3. 5.4. 6.25. 7.30. 8.40. 9.30.
10.20 . 11.2. 12.20. 13.10. 14.30. 15.540. 16.6. 17.5. 18.4.
19.5. 25. 20.1600. 21. 80. 22. 3 . 23.10. 24.10. 25.180. 26.10. 27. 24.
28.6. 29.4. 30.2,5. 31.5. 32.10. 33.2. 34.5,5. 35.2. 36.20. 37.30.
38. 20. 39. 10. 40. 7. 41. 4. 42. 2. 43. 1. 44.12. 45. 1час 12мин. 46. 2,5. 47. 9.
48. 2. 49. 2.
§ 5. Задачи на прогрессии
1.65. 2.740. 3.52. 4.1320. 5.117. 6.195. 7.9. 8.14. 9.-0,7. 10.75.
11.-5. 12.85. 13.7. 14.8. 15.6. 16.32. 17.6. 18.105. 19.90. 20.24.
21.20. 22.7. 23.0,125. 24.4. 25.4. 26.4. 27.1,1/2,1/4.....
28.1,1/4,1/16,.... 29.40,5. 30.1/16. 31.216/5. 32.17,10,3.
33.15,8,1. 34.3,6,12. 35.2,6,18. 36.3,7,11,15. 37.2,5,8,11.
38.108. 39. 0,4. 40.16. 41.0,2. 42.12.
§ 6. Задачи на числа
1.12. 2.18. 3.216. 4.48. 5.27. 6.32. 7.24. 8.24.9.42. 10.15.11.72.
12.36. 13.64. 14.63. 15.64. 16.54. 17.72. 18.2; 232. 19.842.
20.48. 21.78. 22.16. 23.2. 24. 8. 25.9.
§ 7. Задачи на распределение н сравнение
1.9 и 7. 2.9. 3.25. 4. 21 и 24. 5. 90 и 96. 6. 180 и 3 или 1800 и 12.
7.12. 8.2850,2250,1950. 9.15. 10. 6 и 15. 11. 5 и 7.12. 10 и 8 или 12 и 10.
13.75. 14.70 15. 60 и 90. 16. 24 и 20. 17.18. 18.75. 19. 8 англ., 6 нем., 0 фр.
20.9 метро, Завт., 2 трол. 21. 20. 22.12. 23. 276. 24.11050. 25. 988.26. 120; 72.
Глава 5. Планиметрия
§ 1. Треугольники
1. cosa =11/16; cos0 = -1/4; cos у =7/8. 2. (3/4)715. 3. V37/2. 4. Тб. 5.4.
6.6. 7.270. 8.76. 9. 2л/5. 10. 16V5/3. 11.36. 12. 2: 1;3:2. 13.45°.
14. 135°. 15.1,92. 16.0,75. 17.40. 18.81. 19.12/7. 20.1,25. 21.40. 22.4.
23.63. 24.3. 25.1,5. 26.6:7. 27.3:1. 28.^715. 29.22,5. 30. 2,56-Уб. 31. |.
32. 46. 33. 28,8. 34. 80. 35.1,5. 36.75. 37. 3. 38. 8. 39. 216. 40.16.
41. 30. 42. 28. 43.5. 44.10. 45.0,875. 46.5. 47.48. 48. 24. 49. 8. 50. 56.
51. 12. 52.16. 53.4. 54.9. 55.37. 56.3. 57.10. 58.6. 59.30. 60.5.
61.30. 62.3. 63. 734 . 64.25. 65. 24. 66.10. 67.6. 68.0,75. 69.2,7.
70.21,12. 71.10. 72.9. 73.3. 74.7. 75.7,5. 76.13 . 77.4,5. 78.1.
79.7. 80.7,5. 81.14. 82.48. 83.1728. 84.96. 85.32. 86.0,375.
87.0,4608. 88.60. 89.108. 90.12. 91.4. 92.4. 93.3 . 94.17/6. 95.0,4.
96.1,5. 97. 6. 98.102°. 99.10°. 100.16°. 101.14°. 102.150. 103. -|-Л.
104. -11 105. -1£. 106. -Н. 107.10.108. 4 : 25.
10 167 2
§2. Четырехугольники
1. S = ±d}-d2- sin а. 2. -0,6. 3.0,96. 4.0,75. 5.100. 6.890. 7.145. 8.255.
9.3.10.1,5. 11. 5=|(7</]2 -й2 + ^22 -Л2)-й. 12.96. 13.450.14.12.15.
216. 16.256. 17.100. 18.8. 19.32. 20.16. 21.2,8. 22.7,8. 23.40.
24.150. 25. 32. 26.12. 27. 85,5. 28. 12,5. 29. 25. 30.171. 31. 24. 32. 8. 33. 9.
34.22,4. 35.30. 36.3,2. 37.5:1. 38.16:5. 39.8 :3.40.5 : 3.41.4. 42.83.
43.8.44.440, 45.3,5. 46.9. 47.63. 48.11. 49.7.
§ 3. Окружность
1.6. 2.5. 3.3; 4. 4.80. 5. 8; 2; 5. 6.32. 7.500. 8.4,5. 9.6. 10.5. 11.2880.
12.9. 13.24. 14.12. 15.12. 16.5. 17.12. 18.6. 19.20. 20.2. 21.3. 22.37,5.
23. 8. 24. 3,75. 25. 3. 26.5. 27. 24. 28.15. 29.16. 30.3,125. 31.5.. 32. 675.
33.4. 34.6. 35.64. 36.27. 37.12,5. 38.3,4. 39.3,125. 40.6,25. 41.15,6.
42.4,5. 43.40. 44.229. 45.93,6. 46.190,12. 47.15. 48.21. 49.24. 50.6.
51.3,92. 52.6. 53.10. 54?4,8. 55.14,4. 56.30. 57.60°. 58.10. 59.24.
60.6. 61.2. 62.1. 63.7. 64.22. 65.3. 66.25. 67.3. 68.108. 69.2,2.
70.0,75. 71.1. 72.2. 73.0,8. 74.10. 75.0,5. 76. 3. 77.120°. 78.20°. 79.1.
80.3. 81.9. 82.9. 83.3. 84.4. 85. 6(л/3 +1). 86. 10 или 6. 87.6.
88. |>/21. 89. {4; 2}, {2; 4}. 90. 5. 91. {л/8; Зл/8; л/2}. 92. 5^2. 93. б713.
94.15^1. 95.21. 96.6. 97.98. г2(4^-^л). 99. 2r2(f-jf).
Глава 6. Стереометрия
§ 1. Параллелепипеды. Призмы
1.120. 2.220. 3:240. 4.6. 5.4. 6.1000. Т.аЧЛ. 8.124. 9.9.
10.5+7=12. 11.10. 12.2. 13.4. 14.12. 15.180. ' 16.72. 17.2016.
18.576 . 19.375 . 20.6. 21.2. 22.36. 23.7. 24.23. 25.16. 26.6.
27.15. 28.4,5. 29. 15. 30. 27. 31. 0,6. 32. 0,35. 33. 297,6. 34. 30.
35. 6л/п. 36.18. 37.4^. 38.
§ 2. Пирамиды
1.8; 8/3. 2.16. 3.1,125. 4.3. 5.9. 6.90°. 7.6. 8.45°. 9.60°.
10.60°. 11.90°. 12.45°. 13.108. 14.60°. 15.45°. 16.27. 17.10. 18.12.
19.24.20.12. 21.72. 22.2,25. 23.288. 24.48. 25.9.26.96. 27.1.
28.6.29.72. 30.6. 31.108. 32.18. 33.4. 34.1,75. 35.36. 36.9.
37.4,5.38.2880. 39.27. 40.15. 41.4. 42.9. 43.24. 44.22,5. 45.5.
46.4.47.6 . 48.2. 49.2. 50.5. 51.168. 52.576. 53.9,5. 54. 1оТ19.
55.54. 56.14. 57. 872. 58.18. 59. 63. 60. 60. 61.0,25. 62.60. 63.60. 64. 4950.
65. 90. 66.1530. 67.232. 68. 24. 69. 5. 70. 6. 71. 60. 72. 84. 73.100(4+719).
74. 42. 75.144. 76. 721. 77. Д5.
§ 3. Тела вращения
1. 4. ’2.17. 3.0,25. 4.1. 5.3. 6. И = лЛ3/24. 7.28,26. 8.1,6. 9.2,6.
10.95. 11. 4. 12.12. 13.30°. 14.8. 15.2,6. 16.42.17.1'о. 18.7,2.
19 .2,125. 20.96. 21.2,25. 22.100. 23.20.24.15. 25.18. 26.14.
27. 28. 28. 368л. 29. 314. 30. 65,36л. 31. 4л(2 + 72 + Тб).
§ 4. Вписанные (описанные) тела
1. 324. 2.135. 3.4. 4.1,8. 5.-лй3Тз/4. 6.54. 7.4,5. 8.2,5. 9.16.
10 .2,4. 11.8. 12.1. 13.2. 14.18. 15.2,5. 16.1,5. 17.5. 18.6,75.
19.8192. 20.2. 21.72. 22.25. 23.2,25. 24.13. 25.0,144. 26.30. 27.216.
28. 29.60. 30.12. 31.3,53. 32. 2,25. 33.15. 34.1.35.37,5.
3 г2-А2
36. 2,25. 37. 10. 38. 0,75. 39. 50. 40.15. 41. 0,75. 42. 15,2. 43. 31,4. 44.10.
45. 7. 46. 2. 47.5. 48, 6. 49.1. 50.12. 51. 24. 52. 3,375. 53. 0,16. 54. 2.
55.3. 56.18,75. 57.2. 58.2. 59.18,75. 60.71/4. 61.72/6.62.3. 63.6.
64.23,04. 65.5/722 . 66. 721(2-7з)/7. 67.
71.3,25л. 72.2.
1377л/3
50
. 68. 69. 3723.70.5.
' § 5. Сечения
1.338. 2.200. 3.40. 4.13. 5.(3/8)а2. 6. /14. 7.375. 8.450.
9.12. 10.72. 11.72. 12.12. 13. ^-cos0. 14. ^-cos0. 15.144. 16.225.
17.245.18.15. 19.84. 20.16. 21.432. 22.120. 23.10. 24.9,6. 25.100.
26.192. 27. 2,75. 28.1. 29. 4. 30.16. 31. 90. 32. 27. 33. 48. 34. 6. 35. 42.
36.5.37.4,875. 38.122. 39.4. 40.255. 41.12. 42.9. 43.252. 44.571/2.
45. Тб. 46. Тз/2 . 47.1576 . 48.5. 49.25,5. 50.4. 51.4. 52. 9Тз/4.
53.125/144. 54. 9Тз/32. 55. 18. 56. 8л7198.57. 3588. 58.71472.59.81.
60. 40,5. 61. 2. 62. 35. 63. |73; |7з . 64.9. 65.16/3. 66.18.
§ 6. Пересекающиеся плоскости
1. arcsin(eosasin0). 2. arcsin((T5/2)-sina). 3. arcsin(0,8sina).
4. arcsin((2/73)-sina). 5. 6.1. 7.4. 8.60. 9.45. 10.0,3.
11.0,25. 12.7.. 13.8. 14.2. 15.60°. 16.1. 17.45°. 18.4.
Глава 7. Векторы
1. KM= -(2/3)- а + (1/2)- b. 2. CD = -а +2Ь. _ 3. ЕК= (2/3)- а + (1/6)-
4 . AD = а - (3/2)- b. 5. ЕК = (1/12)- а + (5/12)- b 6.КМ= (4/7)- а + (3/7)- Ъ.
7.0А' = -(1/2)- а - Ъ + 2-с . 8. ОА’ = -(1/2)- а - (1/2)- Ь +(3/2\_с.
9 .CD' = a + b;EF = -(1/4)-а +(3/4)- b +(1/2)- с . 10. EF = (4/7)- а + b -(1/14)- с.
11. DK= -а +(1/2)- * +(1/2)-с. 12. (11-3/2,0). 13. £)(-1,5,-3).
14. С(0, -2,8), А '(15/2, -13/2,2), В '(7/2, -7/2,4), С'(9/2, -15/2, 8),
£>'(17/2, -21/2,6). 15. и=-3/2; т=-4. 16.3. 17. х = (16,4,-6).
18. ё = (-1 / 7з, 1 / 7з, -1 / 7§). 19. ё = ±(2/3, -2/3,1/3). 20.135°.
21. 90°. 22. cosa = 1/3; cosP = -1/17. 23. cosa=—!=; cosp= -JL; C0SY=-2=.
Зл/з Зл/б ' V78
24. a =90°; 47115. 25. Д. 26. c = 3a-2fc. 27. c = 3a + 4fc. 28.3.
29.0. 30.1,25. 31.-0,5. 32.2. 33.1,375. 34.-0,25. 35.-1,5. 36.2.
37. 0,25. 38. 2. 39. 1,5. 40. -0,5. 41. -0,75. 42. 7. 43. 30. 44. 22,5.
45.45. 46.15. 47. 45. 48.15.
Глава 8. Производная
§ 1. Производная функции
1. 1-^-Х 2.2x-jx-34x-4.
4. -^х-3/2+|x2/3+|x-1/4. 5. 2x-cosx-y—.
2 3 4 sin2 X
6. 3x2 - sin x + —L—.
COS2 X
7. 2x + 2xln2 + 3xln3 + ex. 8. 4x3+4X In4 + 7X ln7-ex. 9. 1 + -X* + •
x xln2 xln3
10. 5х 1п5 + —;Ц+ ,* . 11. 2xcosx-x2sinx. 12.^^-^-—-
Y In S Y In 1П ")./». ‘ ... 2
13.
17.
22.
x2(x2-3) 2(x2-l) 2x-sinxcosx 2xln2(sinx+l)-2xcosx
(x2-!)2 ' ’ (x2+x+l)2 ' ’ 2x4xco^x ’ ‘ (sinx+1)2
-4—. 18 .|cos|. 19. -7=1=. 20. {(|х-зГ3/4. 21. f(3x-9)"3/5.
cos2 7x 2 2 ^7 5V5 I I 51 '
-](7x-8)-4/3.
23.
5
a/1-25x2
25-----l—.i.
l + (3x/4)2 4
26.--------—7- 7. 27.-18cos2 6x sin6x. 28. 20sin3 5x oos5x. 29.--^^.
l + (x/2)2 2 , vcos4x
30. -3 c‘82(.x/2)_ 31 5sinx in5.cosx. 32. e^-L. 33.107x2~3 lnl014x.
2 sin2(x/2) 2Vx
34>"2x-2sinx.cosx. 35.31п2(х2+1)--^.2х. +
37. .-J------L-. 38.--------!----(cosx + ex). 39. 40. -===.
1 + t8* cos2 x (sin x+ex )lnl0 4 2(3x+2X5x 1) 7x2+l
41. 1 f, . 1 A+ 1 Й. 42.-276. 43.0,5. 44.-2. 45.5/3.
- 2->/x + Vx + Vx 1 2л/х + л/х \ 24xJ)
46.54. 47.12. 48.4752. 49. -3. 50. -2. 51.0,125. 52. -4. 53. -0,75.
54.3. 55.-2. 56.-1,5. 57.12. 58.-1,5. 59.2,25. 60.-3. 61.-5.
62.-0,5. 63.24. 64. 0. 65. 12. 66.20.67.-2. 68.-2. 69.7. 70. 3. 71. 0.
§ 2. Касательная к графику функции
l.-l. 2.-1. 3. 2. 4.-3. 5. 3. 6. 2. 7. 6. 8.2. 9.-3. 10. 5. 11.0°.
12.135°. 13.0°. 14.45°. 15.45°. 16.0°. 17.135°. 18.135°. 19.120°. 20.35°.
21.45°. 22.45°. 23.0°. 24.60°. 25.135°. 26.у=-4х+3. 27.у-2=-(х-1).
28. у + 2 = -11(х - 2). 29. (-1/2; -15/4). 30. М} (2; 8/3), М (3; 7/2).*
31. {0; 3; 5}. 32. Mt(l; 1), Л/2(2;2). 33. М((2;3). 34. Л/((1; 1). З5.у = -х-6.
36.у=х-1, у = 5х -15. 37. у = -4х + 6.38. у = -Зх + 4. 39.у- -х -1,у = 7х -17.
4О.у = -х+4. 41.2 + 3 = 5. 42.1. 43.-1. 44.у = -4х-6. 45.у = 4х +8.
46. у = Зх-22,25. 47. у = -2,4х +10,69. 48. -4. 49.8. 50. у = ~(4/3)х +8; 4,8.
51.у = -(3/4)х+3/2; 1,2. 52.16. 53.3. 54.18. 55- 56. у = |х + |.
57. у = -14х + 31.
§ 3. Исследование функций, построение графиков
l.{y}u{(-l)”| + ли). 2.(у)d{| + ял). 3.{у}. 4. ±1п2. 5.х=1/2. 6.х=5.
7. {-2;-0,5; 1}. 8. {0;2}. 9. {1}. 10. {0; 36/7; 6}. 11. {3/2; 2}. 12.2.13.3.
14.5. 15.4. 16.4. 17.3. 18.3. 19.3. 20.5. 21.6. 22.2.
23.-0,25. 24. (-оо;-3)и[1; оо). 25. (-2; 2). 26. М,(-2; 8), Л/2(2; 0); 16.
27. 52. 28. 4. 29. min/(х) = е при х = 1. 30. max /(х) = 1 при х = 4.
31. min/(x) = е при х = е. 32. max/(х = 0) = -7, min/(х = 1) = 61пЗ -15.
33. тах/(х) = 4 при х = 3. 34. тах/(х = -1/2)= -7/4, min/(x = 1/3) = 19/27.
35. тах/(х =-2) =-8, min/(x = 2/3)'=-40/27. 36.216. 37.1,6875. 38. 2.
39.0. 40. 4. 41.8. 42.-3. 43.-36. 44. miny = 161п(2/е) прих =-2;
таху = 81п2-10 прих = -1. 55. тахХО) = 0,5. 56. minX5) = 0.
§ 4. Наименьшее и наибольшее значения функции
1.25. 2.1,5. 3.2. 4.-10. 5.25. 6.25. 7.5. 8.10. 9. М= 125, т = 0,2.
10. Л/ = 5, т= 4. 11. М = 1, т = 0. 12. Л/=^, т = 0. 13. М= 1, т=-Тз/2.
14. Л/= 1,т = -1. 15. Л/= 3, т =-4/3. 16.1,5. 17.7. 18./(1) = 2. 19./(2) = 2.
20.7. 21.2. 22.-1. 23.27. 24. у(15/4) = 6. 25. у(-3)=4. 26.-78. 27.5.
28.4. 29. 3,25. 30.3,25. 31.0,6875. 32.37. 33.4. 34. 2,25. 35.0,25. 36.16.
37.20,25. 38.6,25. 39.11. 40.2. 41.2. 42.25. 43.2. 44.-129. 45.15.
46. 6. 47. Уг - 2arctg(l/4). 48. -1 -4arctg(l/3). 49. [2; 4,25]. 50. [2,75; 5].
51. [-3;-0,75].
§ 5. Применение производной для решения задач
1.0,5. 2.0,5. 3.10. 4.у = 2х-4,у = -|х + 2. 5.у = |х + 1, у= -|х-2.
6. М-7/2, -11). 7.13. 8.3Т2. 9.3. 10.1,5. 11.7,8125. 12.0,6. 13.1,2.
14.2,4. 15. у, =Зх + 8;у2=-2х + 1;1,4. 16. у{ = 19х + 30;у2 =-х-2;0,4.
17.19,8x15. 18.56. 19.4. 20.12. 21.32. 22.20. 23.1800. 24.10.
25. 4. 26. 18. 27. 2. 28. 6. 29. 3,375. 30. 4. 31. 2. 32. 2. 33. 2.
34.-3,6. 35. (1/2; 3/4). 36. (2; 2). 37.4. 38.5,4.39.^.40.^.
41.28. 42.5.
Основные тригонометрические формулы
2 7
1. sin a + cos a = l.
2. jsina
. 2 . 1
4. tg a +1 = ——
cos2 a
5. | sin a | =
2
-cos a.
I tgal
3. |cosa|
sin*" a.
6. | cosa | = -==1
7. ctg2a +1 = —
sin2 a
8. | sin a | =
71 +ctg2 a
a I i
9. cosa = - J-. 1 --.
-Jl + ctg2a
10. sin(a +P) = sin a cos [J + cos a sin |3.
12. cos(a + p) = cosacosP-sinasinp.
11. sin(a-p) = sinacosp-cosasinp.
13. cos(a~p) = cosacosp + sinasinp.
,4.,g(a + P).-!El«-
' 1-lgatsP
17. sin2a = 2sinacosa.
15.,g(a-p) = -®^. Ig.tgla--2®-.
1 + tga-lgP 1 —tg2a
2 2 2 2
18. cos2a = cos a-sin a = 2cos a-l = l-2sin a.
2 3
19. sin 3a = 3 sin a cos a-sin a.
21. sin3a = 3sina-4sin a.
__ . 9 l-cos2a
23. sin a =-------
25. sin —
2
2___‘
1-cosa
-------. 26.
2
20. cos3a = cos3a-3sin2acosa.
22. cos3a = 4cos^a - 3cosa.
„, 2 l + cos2a
24. cos a =-------.
2
a
cos —
2
1 + cosa
2
a
27- tg-
1 - cosa
1 + cosa
28. sina =
, a
218 ?
l + tg2^
, 2 “
1-tg2-
29. cosa =-----—
, 2a
1 + tg -
„ a
2tg~
30. tga =-----
9 a
1-^ у
a sina
31. tg- =-------
2 1 + cosa
32.
a 1-cosa
tg^ =—:-----
2 sina
__ . „ „a+P a-P
33. sina+ sinP = 2sin---cos
2 2
D _ a + P a-P
34. cosa + cosP = 2cos--cos-.
2 2
_. . . n „ . a-P a+
34. sma-smp = 2sin-cos—
2 2
„ . a-P . a + P
-2 sin---sin----
35. cosa-cosp =
2
2
36. sin a • cosp = ^(sin (a - P) + sin (a + p)).
37. sina • sinP = ^(c°s (a - P) - cos (a + p)).
38. cosa-cosP = ^(cos(a~p)+cos(a + p)).
39. acosa + ftsina = va2 +b2 sin(a + <p), siny>- fl--—,cos<p = -------—
yja2 +b2 у/a2 + b2
Сагитов Риф Вагизович
Шершнев Владимир Григорьевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
Для подготовительных курсов
Издание восьмое, исправленное и дополненное
Издательство «Менеджер»
117330, Москва, ул. Мосфильмовская, д. 176'
Телефакс (499) 249-08-60, e-mail: manager-ltd@atom.ru
Сдано в набор 15.08.07. Подписано в печать 10.09.07
Формат 60x90 1/16. Гарнитура Times.
Печать офсетная. Печ.л. 10,0.
Тираж 2000 экз. Заказ № 2166
Отпечатано в ОАО «Типография «Новости»
105005, Москва, ул. Фр. Энгельса, 46