/
Author: Мордкович А.Г. Денищева Л.О.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа анализ алгебра математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 978-5-346-01205-4, 978-5-346-01203-0
Year: 2009
Similar
Text
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
:=- __ ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Ялтяря
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
1 1 класс
В двух частях
Часть 2
Задачник
для учащихся общеобразовательных
учреждений (профильный уровень)
Под редакцией А. Г. Мордковича
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
3-е издание, стереотипное
«ХТЕЛЬс^
Москва 2009
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я721+22.161я721.6
А45
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 2-10106-5215/1419 от 25.10.2006)
и Российской академии образования (№ 01-179/5/7д от 19.07.2006)
Авторы:
А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Л. И. Звавич, Т. А. Корешкова,
Т. Н. Мишустина, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов
Алгебра и начала математического анализа. 11 клас
А45 В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательнь
учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др.
под ред. А. Г. Мордковича. — 3-е изд., стер. — М. : Мнем
зина, 2009. — 264 с. : ил.
18ВК 978-5-346-01205-4
Задачник является второй частью комплекта из двух книг, предназв
ченных для изучения курса алгебры и начал математического анализа в 11
классе с профильной подготовкой по математике (первая часть — учебник]
УДК 373.167.1:1512+51
ББК 22.14я721+22.161я721
Учебное издание
Мордкович Александр Григорьевич, Денищева Лариса Олеговна
Звавич Леонид Исаакович и др.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
11 класс
В двух частях
Часть 2
ЗАДАЧНИК
для учащихся общеобразовательных учреждений
(профильный уровень)
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.001625.02.08 от 29.02.2008.
Формат бОхЭО1/^. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,5. Тираж 30 000 экз. Заказ №0901220.
Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6.
Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218.
Е-та11: юс@тпетогта.ги угогог.тпетогта.ги
Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг).
105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел.: 8 (495) 783 8284, 783 8285, 783 8281
Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг).
Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный). Е-таП: 16@тпето21па.ги
Отпечатано в полном соответствии с качеством
ф предоставленного электронного оригинал-макета
< ЯП|\ в ОАО «Ярославский полиграфкомбинат»
а7*аю" 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97
18ВК 978-5-346-01203-0 (общ.)
18ВК 978-5-346-01205-4 (ч. 2)
«Мнемозина», 2007
«Мнемозина», 2009
Оформление. «Мнемозина», 20
Все права защищены
©
©
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя ...................................... 3
Задачи на повторение.......................................... 4
глава 1. многочлены
§ 1. Многочлены от одной переменной ................. 10
§ 2. Многочлены от нескольких переменных............. 18
§ 3. Уравнения высших степеней....................... 24
глава 2. Степени и корни. Степенные функции
§ 4. Понятие корня п-й степени из действительного числа . . 29
§ 5. Функции у = ^х, их свойства и графики .......... 31
§ 6. Свойства корня п-й степени ..................... 36
§ 7. Преобразование выражений, содержащих радикалы... 39
§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. 16
§ 9. Степенные функции, их свойства и графики ....... 50
§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел................ 57
глава з. Показательная и логарифмическая функции
§ 11. Показательная функция, ее свойства и график .......... 62
§ 12. Показательные уравнения .............................. 73
§ 13. Показательные неравенства............................. 80
§ 14. Понятие логарифма .................................... 86
§ 15. Логарифмическая функция, ее свойства и график ........ 89
§ 16. Свойства логарифмов .................................. 96
§17. Логарифмические уравнения............................ 105
§ 18. Логарифмические неравенства ......................... 111
§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций 118
ГЛАВА 4. первообразная и интеграл
§ 20. Первообразная и неопределенный интеграл ............. 124
§ 21. Определенный интеграл................................ 132
глава 5. Элементы теории вероятностей
и математической статистики
§ 22. Вероятность и геометрия ............................. 149
§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами .... 153
§ 24. Статистические методы обработки информации........... 157
§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел................. 162
глава 6. Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств
§ 26. Равносильность уравнений ............................ 166
§27. Общие методы решения уравнений ...................... 168
§ 28. Равносильность неравенств ........................... 174
§ 29. Уравнения и неравенства с модулями .................. 180
§ 30. Уравнения и неравенства со знаком радикала .......... 189
§ 31. Доказательство неравенств ........................... 198
§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными ......... 202
§ 33. Системы уравнений ................................... 208
§ 34. Задачи с параметрами ................................ 215
Дополнительные задачи...................................... 220
Ответы .................................................... 223
Приложение ................................................ 263
Издательство «Мнемозина» подготовило учебный комплект для
изучения в 11-м классе профильной старшей школы курса алгебры
и начал математического анализа, состоящий из двух книг:
А. Г. Мордкович. Алгебра и начала математического анализа.
Часть 1. Учебник.
А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического
анализа. Часть 2. Задачник.
В. И. Глизбург. Алгебра и начала математического анализа.
Контрольные работы / Под ред. А. Г. Мордковича.
У вас в руках вторая книга комплекта — задачник.
Наличие отдельного задачника позволило авторам выстроить
в нем полноценную как по объему, так и по содержанию систе-
му упражнений, достаточную для работы в классе, дома, а так-
же для организации повторения (без привлечения других источ-
ников). В каждом параграфе представлены упражнения трех
уровней сложности: простые, средние (слева от номера такого уп-
ражнения помещен значок о) и трудные (слева от номера такого
упражнения помещен значок •). Нумерация упражнений своя в
каждом параграфе. Ко всем средним и трудным заданиям в кон-
це книги приведены ответы.
Число заданий в каждом номере — одно, два (а) и б)) или четы-
ре (а)—г)). Все они в пределах конкретного номера однотипны, по-
этому советуем вам разбирать в классе пункт а) (или пункты а) и б)),
а на дом задавать пункт б) (или, соответственно, пункты в) и г)).
Количество упражнений в данном задачнике таково, что его
должно хватить при работе с учащимися профильных классов раз-
личной математической направленности: при четырех, пяти или
шести часах в неделю на изучение курса алгебры и начал анализа.
В конце задачника появился новый (по сравнению с предыду-
щим изданием) сравнительно небольшой раздел «Дополнитель-
ные задачи». В него мы включили задания с нестандартными
формулировками, идеи которых навеяны материалами Единого
государственного экзамена по математике. Распределение их по
параграфам задачника потребовало бы переверстки всей книги,
что неудобно ни нам, ни вам. Нумерация заданий в этом допол-
нительном разделе двойная: первые цифры указывают, к како-
му параграфу относится задание, а вторые — продолжают нуме-
рацию упомянутого параграфа. Так что при желании (и при воз-
можности) дополните материалы того или иного параграфа
заданиями из нового раздела.
Авторы
ПЛ. Определите знак выражения:
ч . л 2л 7л . 8л
а) вш — сов — сов — вш —;
7 5 4 5
27л . 32л 50л . 22л
6) сов--вш------сов----81П----;
5 11 9 7
х . л 4л Зл . 9л
в) вш — сов— сов— вш—;
6 7 5 5
ч . 35л 21л . 18л . 17л
г) 81П СОВ 81П 81П ——.
3 8 5 7
П.2.
Запишите числа в порядке возрастания:
к_ 7л. 2л . .6л.
а) вш—; вш—; вш—; вш—;
' 3 5 5 7
л 5л 9л Зл
б) сов—; сов—; сов—; сов—;
’ 4 7 5 8
в) сов—сов—; сов—сов—
9 8 5 9
г)
• 2л. 13л.
вш—; вш----;
5 8
. 4л
81П---
7
. 12л
вш-----
11
П.З.
Найдите значения сов I, если:
а) вш* = I е л^;
. . 7 . ( л л А
б) зш! =----, I е —; — ;
25 2 2 )
х . , 9 . (л Зл
в) 8Ш{ = —, I е —; — ;
41 2 2 )
г) 8Ш* = , г е (п; — \
37 2 }
4
П.4. Найдите значения 8Ш^, СО8^, если:
а) |^;2тЛ
б> ** = -!• (ф^):
г) * = —у, * е (0; л).
П.5. Вычислите:
а) 8Ш* + соз^, если вш* соз* = 0,22;
б) 8Ш^ • СО8^, если 8Ш^ + СО8^ = 0,4.
П.6. Упростите выражение:
а)
СОЗ (я + I)
б)
соз(90° + а) 1^(270° + а) .
соз(180° - а) 8Ш(90° - а)’
в)
8^1(180” + а) 8Л1(270° - а)
006(90” + а)
• с!&(270° + а);
г)
• / ( л ,
81П(Л + О СО8----------?
\ 2
П.7. Найдите значение выражения:
а) (соз35° + со885°Хсо8275° + со8325°) +
+ (сов5° + со8125°Хсо8 355° - со8415°);
б) 8ш6° + со8б° - 4е42°;
в) *е23° • ^293° + 81п52° • 8т128° - 81п322° • 81п142°;
(1-2 8Ш213°) СО8 64°
г> 2СО8219° -1
+ $ 11#(л - О
П.8.
Упростите выражение ----
2зш
7Г ]
— - ОС I
---- + 72а.
П.9.
Докажите тождество 1 + 008 а
8ша
(1 - созос)2
81п2 а
2
зша
П.10.
Преобразуйте выражение зш— соз — - зшЗа
соз— -
3
1
4
о • *
в произведение и найдите его значение при а = —.
П.11. Вычислите:
а) зш агссоз0 - агс1#Тз - агсзш! —|-
б) соз агссоз (-1) + агсзш
в) агсс1&(-1) - агссоз
. 73
+ агсзш— ;
2
2
г) зш (агссоз (-1) - агсзш 1 + агсс1&0).
Решите уравнение:
П.12, а) 2зшх созх - 2зшх - созх + 1 = 0;
б) 2зшх - 731§х - 2л/3созх +3 = 0;
в) 2созх - с1$х - 2зшх + 1 = 0;
г) 2зшх созх + 72 созх - ТЗзшх -1 = 0.
ПЛЗ. а) 2соз2 х - Зсозх + 1 = 0;
б) 4зш2 — + 8 соз — -7 = 0;
2 2
в) 4зш2 х - 2соз2 х - зшх = 0;
г) 2зш2 Зх - 7зшЗх -4 = 0.
Решите уравнение:
П.14, а) Зсоз2 х - 2з1п2х + зхп2 х = 0;
б) 1 + 7 соз2 х = Ззш2х;
в) 5зхп2х + бзшхсозх = 3;
Г) —-— + 81П х - 7 созх.
СО8Х
I % I _ СОЧ X -« «л
П.15, а) ----- = 1 - соз2х; б) = 1 - зш2х.
ЗШХ |СО8Х|
П.16, а) Найдите корни уравнения соз2х + (зшх + созх)21^х =
7л. л
4 ’ 4
Зл. Зл
2 ’ 2
= 1&х(1#х + 1), принадлежащие отрезку
б) Найдите корни уравнения 8П1 — - 4х соз — - х +
к 4 ) V 4 )
+ вш2 — = 0, принадлежащие отрезку Г-л; л].
2 *- -1
П.17. Найдите наименьший положительный корень уравнения
созх соз 2х = созЗх.
П.18. Постройте график функции и перечислите ее свойства:
а) у = 2зш2 х; в) у = —8-. • х2, хе
|созх|
2 81П |х| 1
б) у =---51 + х; г) у = —соз2 2х.
81ПХ 2
П.19. Найдите производную функции:
а) у = 2х3 - Зл/х + 2х;
б) у = 2зш3 х - 31$4х - 4;
в) у = Зсоз2 х - с1&— + 5;
2
г) у = —х4 - 5х2 4- 2>/2х + 5.
4
П.20. Найдите значение производной функции у = /(х) в точке
х0, если:
а) /(х) = х2 ~^ - ^х3, хо = -1;
х - 2 3
б) /(х) = 4соз2х - Хр =
в) /(х) = 2з1п-^- + созЗх, х0 =
Г) /(х) = ЗхЦ1 + 1х4> = -2 .
х + 1 4
П.21. Известно, что значение производной функции у = /3(х) в
точке х = 2 равно 27, а значение производной функции
у = —— в точке х = 2 равно -1. Найдите /'(2).
/М
П.22. Решите уравнение Г(х) + /(х) = 0, если /(х) = 2х2 + Зх +
+ 2.
П.23. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства
/(х) - ?'(х) < 0, если /(х) = Зх2 + 18х + 8.
П.24. Докажите, что любая касательная к графику функции
3 4“ 2
у -----------------12 образует тупой угол с осью абсцисс.
Зх — 2
П.25. Определите абсциссы точек, в которых касательная к гра-
фику функции у = х3 + 4х2 - Зх - 1 образует тупой угол
с положительным направлением оси х.
П.26. В какой точке графика функции у = х3 + 5х2 + 6х + 8
касательная образует с осью х угол, равный 135°?
П.27. Составьте уравнение касательной к графику функции
У = /(*) в точке х0, если:
а) /(х) = Зх2 - 5х + 12, х0 = 1;
б) /(х) = =2;
X2 - 1
\ \ у]2х2 + 1 о
в) /(х) = -------, х0 = -2;
х3
2 г~
г) /(х) = 3--81ПЛХ - у/Х9 х0 = 1.
л
2^__ ~|
П.28. На графике функции у = ------ найдите точки, касатель-
2х + 1
ные в которых параллельны прямой у = 4х + 5.
П.29. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = 2х2, которая параллельна секущей, проходящей через
точки графика с абсциссами х = -1 и х = 2.
П.30. При каком значении а прямая у = ах - 7 касается пара-
болы у = 2х* - 5х + 1?
х2 — 3
П.31. Докажите, что функция у =- возрастает на любом
х - 1
промежутке области определения.
П.32. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функ-
ции у = х3 + 5х2 - 8х + 4.
П.ЗЗ. Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у - 2-~б) у = (х + 1)2(х + 2).
х2 - Зх + 4
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
§ 1. Многочлены от одной переменной
1.1. По данному стандартному виду многочлена /(х) опреде-
лите его степень, выпишите набор всех его коэффициентов
и найдите значение многочлена в данных точках:
а)/(х) = Зх4 - 2х2 + х - 10 в точках -2; -1; 0;
б)/(х) = -х5 + Зх4 - х3 + х в точках -1; 1; 2.
1.2. Запишите в стандартном виде произвольный многочлен
степени п, если:
а) п = 0; в) п = 1;
б) п = 3; г) п = 4.
1.3. Запишите в стандартном виде произвольный приведенный
многочлен степени и, если:
а) п = 0; в) п = 1;
б) п = 2; г) п = 3.
Запишите многочлен в стандартном виде:
1.4. а) (х + 1)(х - 1)(х - 2);
б) (х + 1)2(х - 2) - (х + 1)(х - 2)*,
в) (2х + 1)(2х - I)2;
г) (2х + 1)(2х - I)2 + (1 - 2х)3.
01.5. а) (х2 - Зх + 2)2 - (х2 - х)2;
б) (х + 1)(х7 - х6 + ... - х2 + х - 1);
в) (2 - х)3 + (х - I)3;
г) (х5 - X4 + х3 - X2 + х - 1)(х5 + X4 + X3 + X2 + X + 1).
Запишите многочлен в стандартном виде:
1.6. а) (х2 - Зх + 1)(х2 - Зх - 3);
б) (х3 + 2х - 3)(х3 - 2х + 3);
в) (х3 - Зх - 7)(х2 + 7х - 1);
г) (х4 - Зх2 - Зх + 3)(х3 + х2 - х).
01.7. а) (1 + х + х2 + х3)2; б) (1 - х + х2 - х3 + х4)2.
1.8. Какие из следующих утверждений верны:
а) сумма многочленов степени п есть многочлен степени
не выше п;
б) разность многочленов степени п есть многочлен степени и;
в) произведение многочленов степени п есть многочлен сте-
пени не выше п;
г) произведение многочленов степени п есть многочлен сте-
пени 2 и?
01.9. Пусть /(х) = х2 - х + 1 и ф(х) = 2х + 1; найдите:
а)/2(х); б)/3(х); в)/(х) - <р3(х); г)(2/(х) - х<р(х))2.
01.10. При каких значениях параметра а:
а) коэффициент при х2 в стандартном виде многочлена
(х2 - Зх + а)(х2 - ах + 2) равен 0;
б) коэффициент при х3 в стандартном виде многочлена
(х2 - (а - 1)х + а)(х2 + а2х + 2а) равен 7?
01.11. В многочлене р(х) выполнили замену переменной х = у + а
и получили многочлен рг(у) = р(у + а). При каких зна-
чениях параметра а многочлен рг(у) не содержит члена
степени п, если:
а) р(х) = 2х2 + Зх - 6, п = 1;
б) р(х) = 2х3 + Зх2 - х + 1, п = 2;
в) р(х) = (7 - 4х)(3х - 5), п = 1;
г) р(х) = (2х2 + Зх)(х - 1), п = 2?
01.12. а) Докажите, что свободный член многочлена р(х) равен
значению этого многочлена в точке х = 0.
б) Докажите, что сумма всех коэффициентов стандартного
вида многочлена р(х) равна р(1).
•1.13. Определите степень, старший коэффициент и свободный
член многочлена р(х):
а) р(х) = (Зх2 - х + I)17 + (х3 + 5х + 1)п;
б) р(х) = (х6 - 2х + 64)3 - (х9 + х8 - 512)2;
в) р(х) = (81х4 - 36х2 + 4)5 - (9х2 - 2)10 + (х - I)13;
г) р(х) = (х2 - X + 1)(х2 + х + 1)(х4 - X2 -I- 1)(х8 - х4 - 1) +
+ (х - I)16.
01.14. Заполните таблицу, считая, что /(х) и &(х) многочлены:
Степень Л*) Степень ё(х) Степень /(х) + §(х) Степень /(х) • ё(х) Степень А*)
5 3
7 21
4 7
2 9
4 14
01.15. Докажите, что:
а) сумма всех коэффициентов при четных степенях
многочлена /(х), записанного в стандартном виде, равна
0,5(/(1) + /(-1));
б) сумма всех коэффициентов при нечетных степенях
многочлена /(х), записанного в стандартном виде, равна
0,5(/(1) - /(-1)).
01.16. Для многочлена р(х) найдите степень, свободный член,
старший коэффициент, сумму всех коэффициентов, сумму
всех коэффициентов при четных степенях переменной,
сумму всех коэффициентов при нечетных степенях пере-
менной:
а) р(х) = (х + I)17 - (х - I)17;
б) р(х) = (х2 + х - 2)35(х2- Зх - 4)15 - (х - 1)2(х3 + х + 2)65.
01.17. При каких значениях параметра а многочлен
(а2 - 4)х4 - 2х3 + (2а - 1)х - 4 будет:
а) приведенным многочленом;
б) многочленом четвертой степени;
в) многочленом третьей степени;
г) принимать одинаковые значения в точках х = 1 и х = -1?
-1.18. Найдите все значения параметров а и Ъ, при которых мно-
гочлены р(х) и д(х) тождественно равны:
а) р(х) = 2ах - (а + Ь), д(х) = 4х + (За - Ъ - 8);
б) р(х) = 2х2 + х - (а + Ь)х + 2Ъ - а, д(х) = -ах +
+ 2(х2 - Ь) + (1 - Ь)(х2 + 2х).
21.19. Найдите все значения параметра а, при которых много-
член (а2 - 1)х4 - 2Х3 + (2а - 1)х - 7 будет:
а) тождественно равен многочлену 8х4 - 2х3 - (а - 8)х -
- 4 - а;
б) тождественно равен многочлену -2х3 - (2 - За)х - а2 - 6.
• 1.20. Пусть р(х) — многочлен степени к и при всех значениях х
справедливо равенство р(-х) = р(х). Докажите, что:
а) к — четное натуральное число или нуль;
б) коэффициенты многочлена р(х) при нечетных степенях х
равны нулю.
• 1.21. Пусть р(х) — многочлен степени к и при всех значениях х
справедливо равенство р(-х) = -р(х). Докажите, что:
а) к — нечетное натуральное число;
б) коэффициенты многочлена р(х) при четных степенях х
равны нулю.
1.22. Выполните деление «уголком»:
а) х3 - 2х2 + Зх - 5 на х2 - Зх - 1;
б) 2х5 - Зх3 - х + 2 на х - 2;
в) х3 + 2х2 + х + 3 на 2х2 - Зх - 4;
г) 6х4 - 2х + 3 на 2х + 3.
1.23. а) Выпишите все приведенные многочлены, являющиеся
делителями многочлена 3(х - 1)2(х + 5).
б) Выпишите все приведенные многочлены третьей степени,
являющиеся делителями многочлена х2(2х + 3)(х + 5)3.
1.24. а) Докажите, что многочлен р(х) = х3 + 5х2 + Зх - 1 де-
лится без остатка на многочлен д(х) = 2х2 + 8х - 2 .
б) Докажите, что многочлен 1(х) = -5х2 + 4х - 4 являет-
ся делителем многочлена 1(х) = 5х4 - 9х3 - 2х2 + 4х - 8.
01.25. При каких значениях параметров а и Ь:
а) многочлен р(х) = х4 - Зх3 + Зх2 + ах + Ь делится
без остатка на многочлен г(х) = х2 - Зх + 2;
б) многочлен р(х) = х4 - 2х3 + ах + 2 делится без ос-
татка на многочлен г(х) = х2 + х + Ь?
1.26. Для многочленов /(х) и р(х) найдите многочлены #(х) и
г(х) такие, что /(х) = р(х) • #(х) + г(х) и либо степень
г(х) меньше степени р(х), либо г(х) является нуль-много-
членом:
/(X) Р(х)
Зх4 - 2х3 + 7х - 3 х2 - Зх - 2
х2 - Зх - 2 Зх4 - 2х3 + 7х - 3
12х7 - Зх5 + 6х4 - 9х2 + 33 4х7 - х5 + 2х4 - Зх2 + 11
4х7 - X5 + 2х4 - Зх2 4- 11 12х7 - Зх5 + 6х4 - 9х2 + 33
х4 - 7х3 + 6х2 - 5х - 19 х - 1
х4 - 7х3 + 6х2 - 5х - 19 X + 1
х4 - 7х3 4- 6х2 - 5х - 19 7х - 7
х3 - 5х 4- 3 Зх - 1
Зх5 - 2х4 + Зх3 - 7х2 + 2х - 1 Зх - 1
01.27. а) Пусть многочлен ах3 + Ъх2 + сх 4- й тождественно ра-
вен многочлену а(х - х±)(х - х2)(х - х3). Выразите ко-
эффициенты а, Ь, с и (I через числа х19 х2, х3.
б) Пусть многочлен х4 4- ах3 + Ъх2 + сх + (1 тождественно
равен многочлену (х - хг)(х - х2)(х - х3)(х - х4). Выразите
коэффициенты а, Ь, с и (I через числа хр х2, х3, х4.
1.28. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена
/(х) на двучлен х - а и заполните таблицу:
/(х) а Частное Остаток (/(^))
х5 - 2х4 + Зх3 - 7х2 4- 2х - 1 2
2х4 + 7х2 - 21х - 30 -1
х7 - 2х4 + 27х + 3 -2
Зх5 + 5х4 + Их2 + 2х 1
1.29. Найдите остаток от деления многочлена /(х) на двучлен
(х - а) и значение /(х) в точке х = а:
а) /(х) = х3 - 4х2 + Зх + 11, а = -3;
б) /(х) - х7 + Зх6 - х3 - 12х2 + 1, а = -2;
в) /(х) = Зх4 - х2 + х - 31, а = 2;
г) /(х) = 2х6 - Зх5 + 2х3 - 4х2 - 2х + 100, а = -1.
01.30. Докажите, что остаток от деления многочлена /(х) на
двучлен (кх - р), к * О, равен значению этого многочле-
р
на в точке х = —.
к
1.31. Используя схему Горнера, найдите все такие значения
параметра а, при которых для многочлена р(х) = х7 -
- 2х6 + Зх5 - х3+х2-5х + а выполняется условие:
а) р(1) = 0; б) р(-1) = 0; в) р(2) = 0; г) р(-3) = 5.
1.32. Используя схему Горнера, докажите, что число а являет-
ся корнем многочлена р(х):
а) р(х) = 2х4 - Зх3 + х - 10, а = 2;
б) р(х) = 2х3 4- х2 - 7х - 6, а = -1,5.
1.33. Используя схему Горнера, найдите все такие значения па-
раметра а, при которых число х0 является корнем много-
члена р(х) = х4 - Зх3 + х2 + ах - 1:
а) х0 = 1; б) х0 = -3; в) х0 = 2; г) х0 = 0,5.
01.34. Докажите утверждение: при любом натуральном значении
п многочлен р(х) = 2хп 4- 4хп-1 - 2п + 2 делится на (х-2)
без остатка. Используя это утверждение, докажите, что:
а) (2 • 5" + 4 • 5"’1 - 2Л + 2) ! 3;
б) (2 9" + 4 • 9П1 - 2Л + 2) ; 7;
в) (2 • 7100 + 28 • 798 - 2102) : 5;
г) (2(п + 3)" + 4(п + 3)п1 - 2Л + 2) : (п + 1).
•1.35. Найдите значения параметра а, при которых многочлен
имеет ровно три различных корня:
а) 3(х + 5)(х - 7)(х + 1)(х - а);
б) (ах2 + 5х + 1)(х2 - х - 2);
в) (х2 - (а + 1)х + а)(х2 - х - а);
г) (Зх2 + х - а)(2х + а).
•1.36. При каких значениях параметра а заданный многочлен
имеет кратные корни:
а) (2х + 5)(3х - 1)(х - а)(х - 2а);
б) (х2 - (За - 2)х - 6а)(х2 - (5а + 3)х + а)(х - 2)?
01.37. Найдите действительные корни многочлена:
а) Зх4 - 5х2 4- 2; б) х5 4- Зх4 - Зх3 - х2 - Зх 4- 3.
01.38. Докажите, что многочлен не имеет действительных кор-
ней:
а) х6 - 5х3 +7; б) х4 - х + 2.
01.39. В данное предложение вместо многоточия вставьте один из
пропущенных оборотов: «необходимо», «достаточно» или
«необходимо и достаточно»; докажите полученное утвер-
ждение:
а) для того чтобы многочлен /(х) с целыми коэффициентами
делился без остатка на двучлен х - х0, х0 е 2, х0 * 0, ... ,
чтобы его свободный член делился без остатка на х0;
б) для того чтобы свободный член многочлена /(х) с це-
лыми коэффициентами делился без остатка на целое чис-
ло х0 Ф 0, ... , чтобы х0 был корнем многочлена /(х).
01.40. Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите мно-
жество целых корней многочлена и кратность всех его це-
лых корней, если эти кратности больше 1:
а)х3 - 4х2 4- х 4- 6;
б) х4 4- 5х2 - 6;
в) х4 - 2х3 - 6х2 4- 5х 4- 2;
г)х6 4- х5 - Юх4 - 12х3 4- 19х2 + 35х 4- 14.
01.41. Для некоторого приведенного многочлена р(х) указаны его
степень и все его корни с учетом их кратностей. Требуется
записать в таблице разложение р(х) на множители:
Степень много- члена Корни крат- ности 1 Корни крат- ности 2 Корни крат- ности 3 Корни крат- ности 4 Разложение многочлена
а) 7 1; -3; 5 2
б) 12 0; 00 0<Г 1 7з 0,7
в) 8 9 тс; -0,3
г) 5 2 -3
01.42. Разложите многочлен на линейные множители:
а) х5 - 4Х4 + 14х2 - 17х + 6;
б) х5 - х4 - 5х3 + х2 + 8х + 4;
в) х4 - 6х3 + 13х2 - 12х + 4;
г) х8 - х7 - 5х6 + Зх5 + 9х4 - Зх3 - 7х2 4- х 4- 2.
01.43. а) Найдите многочлен р(х) второй степени, если р(0) = -1,
р(1) = 2, р(2) = 3.
б) Найдите приведенный многочлен р(х) второй степени,
если р(-2) = 3, р(-2,5) = 8.
01.44. а) Найдите приведенный многочлен р(х) третьей степени,
если р(0) = 1, р(1) = 2, р(2) = 3.
б) Найдите приведенный многочлен р(х) третьей степени,
если р(0) = р(1) = р(4) = 0.
01.45. Пусть р(х) — многочлен третьей степени; р(1) = р(2) =
= р(3) = 0. Докажите, что:
а) р(4) * 0; в) р(1,5) + р(2,5) = 0;
б) р(7) * р(-3); г) р(5) = 4р(4).
01.46. Докажите, что у данного многочлена р(х) нет рациональ-
ных корней:
а) р(х) = 7х15 - 13; б) р(х) = Зх7 + 1.
•1.47. При каких значениях Ь и с многочлен /(х) = х4 4- 8х3 4-
4- Ъх2 4- сх 4- 1 имеет два корня, каждый из которых вто-
рой кратности? Для каждой пары таких значений Ь и с
найдите корни многочлена.
•1.48. При каких целых значениях а, Ъ и с многочлен Дх) = х4 +
+ ах3 + Ъх2 4- сх 4- 2 имеет целый корень кратности 3?
Для каждой тройки таких значений а, Ъ и с найдите кор-
ни многочлена /(х).
•1.49. Докажите, что все корни многочлена §(х) являются кор
нями многочлена Дх):
ё(х) Кх)
а) х2 - 7х - 1 х5 - 7х4 - 5х2 - 15х - 2
б) х3 - 5х2 + 2х - 3 х5 - 12х4 + 36х3 - 12х2 + 19х + 3
§ 2. многочлены от нескольких переменных
Разложите многочлен на множители:
2.1. а) х2 - ху3 4- у2 - х3у;
б) х(х - 2у) + у(х - 2у);
в) х(х - у) + Зхг/ - Зг/2;
г) х2 + бхг/ + 5г/(6г/ 4- х).
02.2. а) х2 - Зхг/ + 2у2\
б) 7х2 + 5хг/ - 12г/2;
в) 5х2 - 8хг/ 4- Зг/2;
г) 7х2 + 18хг/ 4- 8г/2.
02.3. а) х2 4- (1 4- г/)х 4- г/;
б)2х2 - 7ху + 5г/2 - Зх 4- Зг/;
в) 4х2 - у2 - 8х 4- 4г/;
г) Зх2 - ху - 24г/2 + 5х - 15г/.
02.4. а) (х7 + х) - (г/7 + г/); в) (х5 - х) - (г/5 - г/);
б) х4 4- 4г/4; г) 16х4 4- г/4.
•2.5. а) (х 4- у 4- г)3 - х3 - г/3 - г3;
б) (х 4- у 4- г)(хг/ + ух + гх) - хг/г;
в) х(г/ 4- г)2 4- у(х 4- х)2 + г(х 4- г/)2 - 4хг/г;
г) (х 4- у + г)4 - (г/ 4- г)4 - (г + х)4 - (х 4- г/)4 +
4-х4 4- г/4 4- 24.
•2.6. а) Докажите, что многочлен (у2 - г2)х + (г2 - х2)у +
4- (х2 - у2)г не обращается в нуль ни при каких попарно
различных значениях переменных х, у, 2.
б) Многочлен х3 + рх + у обращается в нуль при х = а,
при х = р и при х = у. Докажите, что а + р + у = 0.
02.7. а) Докажите, что сумма 1711 4- 511 делится без остатка
на 22.
б) Докажите, что разность 139 - 79 делится без остатка на 6.
02.8. Докажите, что многочлен:
а) х7 - Зх3г/4 + бхг/6 - 4у7 делится без остатка на много-
член х - у;
б) х13 4- 7х10г/3 - Их3#10 - 17г/13 делится без остатка на
многочлен х + у.
02.9. Пусть х 4- у = -3, а ху = -5. Найдите значение выраже-
ния:
а) х2 4- у2; в) х4 4- у4;
б) х3 4- #3; г) х2у7 4- х7у2.
•2.10. Пусть х 4- у = -7, а ху = -1. Найдите значение выраже-
ния:
Iх-у|
7/2 I
ху2 + х2у
+ 2 •
X У
ху3 + х3у
Запишите многочлен в стандартном виде:
2.11. а) (2х - г/- З)2 + (х - Зг/-1)2;
б) (х - у - 2г - I)2 + (2х + у + 2 - З)2;
в) (5х - у - 2)2 + 2(3х - у - I)2;
г) (х - Зу + г - 2)2 - 3(2х + у - 2 + 1).
02.12. а) (х + у + 2)3 + х(2х + у - I)2;
б) (2х - у - г)3 - Зху(2х + Зу - г).
2.13. Найдите отношение кУ1 если:
/(х; у)
а) /(х; у) = 2х2 + 5ху - 7у2;
б) /(х; у) = х4 + 12х3г/ - 7х2у2 + 2ху3 - 2у4;
в) /(*; У) = (Зх - 5г/)3 + 2х(х + у)2 - 7у2 (2х - у);
г) /(х; у) = (х + у)6 + (5х2 - 4г/2)3 - 7(х3 - у3)2 + х3у3.
2.14. Пусть у = Зх. Упростите выражение:
\ У2 ~ §ХУ ~ Зх2 . х2у3 + 2у2х3
2у2 + ху + 2х2 ’ х5 + у5
2.15. Найдите все пары /(х; у) действительных чисел х и у, для
которых верно заданное равенство; изобразите множество
всех найденных пар на координатной плоскости:
а) 2^ . 6. „ + . 2;
4г/ + 5х х + у
х2 + х(2 + у) + 2у х3 + х2у - Зх - Зг/ .
б) ------------ = х2; г) ---------------------- - 1.
х + у у + X
Решите уравнение относительно х:
2.16. а) х2 - 5ху + 4г/2 = 0;
б) 5х2 + 27ху + Юг/2 = 0.
02.17. а) 4х3 + 5х2г/ + ху2 = 0;
б) х3 + 6х2у + 11хг/2 + бу3 = 0.
Постройте график уравнения:
02.18. а) х2 - 9у2 = 0; в) 5х2 - ху - 4г/2 = 0;
б) х2 + ху = 0; г) х2у + Зху2 + 2у3 = 0.
02.19. а) (2х + у - 5)2 - (х + у - З)2 = 0;
б) (2х + у - 5)2 + (х + у - З)2 =0.
02.20. а) х2 + у2 = 16;
б) х2 + у2 - 6х + 4у = 12;
в) х2 + у2 + 4х + 2у = 4;
г) 4(х2 + у2) + 12х + 20у + 34 = 0.
Постройте график уравнения:
02.21. а) ху = 2; в) х(у + 3) = 2;
б) (х - 2)у = 2; г) (х + 2)(у + 1) = 2.
•2.22. а) (х - 2)2 + (у - З)2 = 9; в) (|х| - 2)2 + (у - З)2 = 9;
б) (х - 2)2 + (|у\ - З)2 = 9; г) (|х| - 2)2 + (\у\ - З)2 = 9.
•2.23. а) (х - 3)(у - 2) = 1; в) (х - 3)(|</| - 2) = 1;
б) (|х| - 3)(у - 2) = 1; г) (|х| - 3)(|у| - 2) = 1.
02.24. Найдите целочисленные решения системы уравнений
2Х2 + ху + 9г/2 = 12,
|х + 2г/| + 2х = 5.
Решите систему уравнений:
02.25. а)
х2 - ху - 2у2 = О,
х2 + у2 = 20;
|х2 + Зху + 9у2 = 12,
[х2 + Зху + 2у2 = 0.
02.26. а)
х2 + Зху + 2у2 = О,
<
2х2 + ху = 25;
2х2 + ху - Зу2 = О,
х2 - у2 + ху = 4;
б)
х2 + ху - Зу2 = -23,
х2 - у2 - 2ху = -14;
г) |х2 + Зху = 7,
[у2 + ху = 6.
Сх2
•2.27. а)
х2
+ 4|х|у - Зу2 = 2,
- |х|у + 5у2 = 5;
Зх2 - у2 = 11,
х2 + 2|х| • |у| - у2 = 7.
•2.28. а)
(х2
[х2
+ х(у - 1) - 2(у - I)2 - О,
+ ху + у = 1;
Гх2 + х(у - 1) + (у - I)2 = 3,
[х2 + у2 = 2у + 1.
Решите систему уравнений:
5 _ 4 = 13
02.29. а) х2 - ху + у2 - ху 6 ’
8 1
2 2 — = 1;
[х - ху у — ху
б)
1 3 = 25
2х2 + бху 4у2 - 4ху 14 ’
3_____________1 = 4
4х2 + 12хг/ 2у2 - 2ху 7
02.30.
х2у - 4у3 = О,
х + 2у2 = 12;
х3
+ Зх2у = ху2 + Зу3,
+ ху = 50.
02.31. а)
х3 + ху2 = 5,
у3 + х2у = 10;
х3 - у3 = 7,
х3 - у3 = 9 - х2у + ху2.
Решите симметрическую систему уравнений:
02.32. а)
х + у = 5,
х2 + у2 = 13;
в) <
х + у + ху = 5,
ху(х + у) = 6;
02.33.
а)
(ху - Зх - Зу = -9,
[х2 + у2 - 5х - 5у = -10;
(ху - 7х - 7у = -9,
Г) [х2 + у2 + 11(х + у) = 16.
б)
х2 + ху + у2 = 3,
<
ху(х2 + у2) = 2;
в)
( X2 + у2
х4 + у4
5,
13;
1 1 к
- + - = 5,
х У
А+Л =1з;
х2 у2
г)
1 1
х + у + — + — = 4,
ху(х + у) = 2.
а) <
х у
•2.34. Решите систему уравнений:
а)
|х - у| + ху = X + у,
х2 + у2 - х - у = 2;
б)
|х — у| + х + у = Зху,
х2 + у2 - ху = 3.
•2.35. При каких значениях параметра а система имеет нечетное
число решений:
|х2 + ху + у2 = За2, б) (ху - Зх - Зу = -5,
[хг/(х + у) = 2; [х2 + у2 - 5х - 5у = а?
Решите уравнение:
02.36. а) (х2 + Зу2 - 7)2 + ^3 - ху - у2 = 0;
б) (5х + у - 6)2 + (Зх - у - 2)4 = 0.
•2.37. а) 9х2 + 12ху + 5у2 - бу + 9 = 0;
б) 26х2 + Юу2 - ЗОху + 6х + Юу + 34 = 0.
•2.38. а) (х + 2у)2 + 2|х-у + 3| = у-х-3;
б) (5х - 2у - 7)2 + 4|3х - 2у - 5| = Зх - 2у - 5.
•2.39. Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению:
а) (х - у + I)2 + (х + 2у - г)2 + 5у2 = 0;
б) х2 + у2 + х2 - ху - ух - хх = 0.
•2.40. Найдите наименьшее значение выражения:
а) х2 + 4 г/2 - 4x1/ + 3; б) х2 + 4.x у + 5у2 + 2у + 7.
•2.41. Найдите наибольшее значение выражения:
а) -х2 - 40г/2'+ Юхг/ + 3;
б) -х2 - 4x1/ - Юу2 + 14г/ + 12.
02.42. Найдите наименьшее значение выражения /(х; г/) при за-
данном дополнительном условии:
а) /(х; у) = х2 + 4г/2 - 4ху + Зх - у + 6, х + у = 1;
б) /(х; у) = 2х2 + у2 - 4ху + Зх - у + 6, х - 2у = 4.
•2.43. Докажите, что многочлен принимает положительные зна-
чения при любых действительных значениях переменных:
а) Зх2 - 11X1/ + 47г/2 + 2;
б) (2х + Зг/ + 5)2 + (х + 2у + З)2 + (Зх - 7у + I)4;
в) Зх2 - 2ху + у2 - 6х - 2у + 11;
г) х2 + у2 + х2 + 2ху + 2ух + 2хх + 3.
§ 3. Уравнения высших степеней
Решите уравнение:
03.1. а) х3 - Зх2 - 4х = 0;
б) х4 + Их3 - х2 =0;
в) Зх3 - 8х2 + 14х = 0;
г) (2х - З)3 - (2х - З)2 = 12х - 18.
03.2. а) (2х - I)4 - х2 = 0;
б) х4 - 4х3 + 4х2 = (7х + I)2;
в) (8х + З)2 - х4 = 8х2 + 16;
г) х4 - х2 + 2х = 1.
03.3. а) х3 - Зх2 - х + 3 = 0;
б) х8 + Их5 - З2х3 - 352 = 0;
в) 5х3 - 15х2 - х + 3 = 0;
г) х3 - 2х2 + х = (х2 - 2х + I)2.
03.4. Найдите все значения параметра а, при каждом из кото-
рых данное число р является корнем данного уравнения;
для каждого найденного значения а решите данное урав-
нение:
а) х3 + Зх2 - 7х + а = 0, р = 2;
б) х3 - ах2 - 5х + 4 = 0, р = 1;
в) 2х3 - 5х2 + ах - 4 = 0, р = -1;
г) ах3 - Зх2 - 5х - а2 = 0, р = -1.
03.5. Найдите целые корни уравнения:
а) х3 + Зх2 - 5х - 4 = 0;
б) х4 - Зх3 + 4х2 - 9х + 3 = 0;
в) х4 + 2х3 - 5х2 - 4х -1- 6 - 0;
г) х5 - х4 - бх3 + бх2 + 4х - 4 = 0.
03.6. Найдите рациональные корни уравнения:
а) 2х3 + 7х2 + 5х + 1 = 0;
б) 2х4 + 7х3 - Зх2 - 5х - 1 = 0;
в) 18х3 + 9х2 - 5х - 2 = 0;
г) 16х4 + Тбх3 - 48Х2 + 28х -5 = 0.
Решите уравнение:
03.7. а) г3 - 4х2 + х + 6 = 0;
б) х4 + 5х3 + 4х2 - 24х - 24 = 0;
в) х3 + 9х2 + 23х + 15 = 0;
г) (х + 1)(х2 + 2) + (х + 2)(х2 + 1) = 2.
03.8. а) Юх3 - Зх2 - 2х + 1 = 0;
б) 4х3 - Зх - 1 = 0;
в) 4х3 + 6х2 + 4х + 1 = 0;
г) 38Х3 + 7Х2 - 8х - 1 = 0.
03.9. а) 16х3 - 28х2 + 4х + 3 = 0;
б) 6х3 - 13х2 + 9х - 2 = 0;
в) ЮОх3 - 120х2 + 47х + 66 = 0;
г) 4л3 + 2Х2 - 8х + 3 = 0.
03.10. а) На основании того, что число ^2 является корнем
уравнения х2 - 2 = О, докажите, что ^2 — иррацио-
нальное число.
б) Проверив, что >/3 - д/2 является корнем уравнения
х4 - Юх2 +1 = 0, докажите, что \/3 - \[2 — иррацио-
нальное число.
03.11. Найдите все целые значения параметра а, при каждом из
которых многочлен р(х) имеет хотя бы один целый корень;
для каждого найденного значения а определите число раз-
личных целых корней многочлена р(х):
а) р(х) = х3 - Зх2 + ах - 1;
б) р(х) = х4 + ах2 - (2а + 3)х - 7.
03.12. Найдите все значения параметра а, при каждом из кото-
рых многочлен р(х) имеет два целых корня:
а) р(х) = ах2 + Зх + 2а2 - 3;
б) р(х) = ах2 - 5х + 4а2 - 10.
•3.13. Найдите все значения параметров а и Ъ, при каждом из
которых многочлен р(х) имеет три различных целых корня:
а) р(х) = Xя + ах2 + Ьх + 2;
б) р(х) = Ьх3 + ах2 + х + 2.
Решите уравнение:
3.14. а) х4 - Зх2 + 2 = 0; в) х4 - 7х2 + 3 = 0;
б) х4 - 9х2 - 10 = 0; г) х4 - 12, Зх2 + 45 = 0.
03.15. а) х6 - 4Х8 + 3 = 0;
б) (2 - х)6 + 9(2 - х)8 + 8 = 0;
в) х6 - 7х3 - 8 = 0;
г) (2 - х - х2)6 - 14,7(2 - х - х2)3 + 57 = 0.
2 1
03.16. Найдите значение выражения х + если:
а) х + — = 3; в) х + — = I;
' х ’х
б) х - = 5; г) х - = I.
03.17. Найдите значение выражения 9х2 + если:
а) Зх + | = -5;
в) Зх + - = I;
7 X ’
б) Зх- - = -5;
7 X
г) Зх - — = I.
' X
03.18. Найдите значение выражения х3 + если:
а) х + | = -3; б) х + | = I.
03.19. Решите уравнение:
/ х2
а) 2 х + — + х + — - 10 = 0;
х х
/ \2
б) 2 х - - + х + - - 2 = 0;
X X
в) 2х2 + 4- + х + - - 6 = 0;
X2 X
г) 2х4 + х3 - бх2 + х + 2 = 0.
Решите уравнение:
03.20. а) | 2х + - I + 2х + - - 12 = 0;
X X
б) ^2х - -^1 + 2х + - - 4 = 0.
\ X ) X
( 2 V 2
03.21. а) Зх - — + Зх - - - 2 = 0;
I х ) х
б) 9х2 + Л + Зх - - - 14 = 0;
X2 X
в) 9х4 + Зх3 - 14х2 - 2х + 4 = 0;
г) 9х4 - Зх3 - 14Х2 + 2х + 4 = 0.
•3.22. а) х4 - х3 - 4х2 - х + 1 = 0;
б) 9х4 - 9х3 + Юх2 - Зх + 1 = 0;
в) 2х4 - 7х3 + Юх2 - 7х + 2 = 0;
г)25х4 - 50Х3 + 14Х2 + Юх + 1 = 0.
03.23. а) Пусть х2 + 5х + 4 = 17.
Вычислите (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4).
б) Решите уравнение (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 360.
Решите уравнение:
03.24. а) 4(х2 - х)2 + 9х2 = 9х - 2;
б) (2х2 - х + I)2 - 4х2 = 1 - 2х.
•3.25. а) (х2 - 7х + 13)2 - (х - 3)(х - 4) = 1;
б) (х2 - 2х - I)2 + 3(х - I)2 = 16;
в) (х - 2)(х + 1)(х + 4)(х + 7) = 63;
г) (х2 - 2х - 8)(х2 - 8х + 7) = 63.
•3.26. а) (2х + З)2 - 3(2х + 3)(7х - 5) + 2(7х - 5)2 - 0;
б) (Зх - 2)2 - 3(3х - 2)(7 - 5х) + 2(5х - 7)2 = 0;
в) (х2 - х + З)2 - 3(х2 - х + 3)(Юх - 1) + 2(10х - I)2 = 0;
г) (2х2 - х - 6)2 - 3(2х2 - х - 6)(х2 + Юх - 6) +
+ 2(х2 + Юх - 6)2 = 0.
Решите уравнение:
•3.27. а) 2у4 - у2(у - 2) - 3(у - 2)2 = 0;
б) (х2 + 6х - 9)2 + х(х2 + 4х - 9) = 0;
в) (*2 + 21)2 - (I + 2)(2*2 - 0 = 6(2* - I)2;
г) (г2 - з)(г2 - 5г + 6) = 15г2 - 45г + 90.
•3.28. а) (х + 2)4 + х4 = 82;
б) (5х - З)4 + (5х - I)4 = 82;
в) (х + З)4 + (х - I)4 = 32;
г) (5х + З)4 + (5х - I)4 = 32.
03.29. а) Зх4 - 5х2 + 2 = 0;
б) 7х8 + Зх4 - 10 = 0;
в) х5 + Зх4 - Зх3 - х2 - Зх + 3 = 0;
г) (2х2 - Зх + I)2 - 5(2х2 - Зх + 1)(х2 + х + 3) +
+ 4(х2 + х + З)2 =0.
03.30. Докажите, что уравнение не имеет действительных корней:
а) х6 - х5 + 2 = 0; б) х14 - х + 3 = 0.
•3.31. Найдите, если это возможно, такие целые числа а, Ь, с
и <*, что для всех значений х выполняется равенство:
а) х4 + х3 - 4х2 - х + 1 = (х2 + ах + б)(х2 + сх + <*);
б) х4 + х2 - 4х - 3 = (х2 + ах + Ь)(х2 + сх + <*);
в) х4 - 5х2 - 6х - 5 = (х2 + ах + Ь)(х2 + сх + <*);
г) х4 - 5х - 6 = (х2 + ах + 6)(х2 + сх + <*).
•3.32. Используя результаты номера 3.31, решите уравнение:
а) х4 + х3 - 4х2 - х + 1 = 0;
б) х4 + х2 - 4х - 3 = 0;
в) х4 - 5х2 - 6х - 5 = 0;
г) х4 - 5х - 6 = 0.
03.33. Используя свойство монотонности функции, докажите, что
уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень:
а) х3 = 10 - х; б) х8 + Зх3 = 11-72 - х.
•3.34. Докажите, что если функция у = /(х) выпукла вверх (вниз)
на Я, то уравнение /(х) = ах + Ь имеет не более двух кор-
ней, и решите уравнение:
а) х4 = 15х - 14; б) х10 = 1023х - 1022.
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
г Степени и корни.
р Степенные функции -
п 1111111111111111111111
гггггггггггггггггггггггг
§ 4. понятие корня п-й степени
из действительного числи
4.1. Докажите, что верно равенство:
а) л/361 = 19;
в) 7343 = 7;
Г) V 243 3‘
4.2. Имеет ли смысл выражение:
а) Ьу/ЙУ-, б) в) г) 77^7?
4.3. Объясните, почему неверно равенство:
а) ^25 = -5;
б) ^64 = -2;
в) -7=8 = -2;
г) 7625 = -25.
4.4. Найдите ошибку в рассуждениях:
а) 2 = 716 = 7(27 = 7(~2)4 = "2;
б) 5 = 715 625 = 7(57 = 7(-5)6 = -5.
04.5. Верно ли равенство:
а) ^7 - 473 = 2 - 73;
б) 714 - бТб =75-3;
в) 77 - 473 = 7з - 2;
Г) 715 - бТб = з - Тб?
4.6. Вычислите:
а) ^16; б) ^32; в) ^81; г) ^64.
Вычислите:
4.7. а) ^512; б) в) </1331; г)
4.8. а) </0,125; б) </0,0081; в) </0,0625; г) </0,027.
04.9. а) Й б) з[з^; в) г) а/тЗ.
V 16 \ 8 \ 81 V 32
4.10. а) </=128; б) в) </=64; г)
4.11. а) -2</81; б) -3<Гб4; в) -5</16; г) -4 <=32.
4.12. а) </32 + О;
б) 3</16 - 4 </27;
в) </б25 - </-125;
г) 12 - 6</бД25.
4.13. Найдите такое число а, чтобы выполнялось равенство:
а) \[а = -4; б) \/-а = в) у/^а =2; г) \[а = 1^.
о 4
04.14. Подберите показатель корня п так, чтобы выполнялось
равенство:
а) </117 649 = 7;
в) </46 656 = 6;
б) п-12^- = -1-;
\ 243 3
г)
04.15. Определите знак разности:
а) у/15 - </90;
в) </40 - </50;
б) 3 - </150;
г) </300 - 5.
04.16. Между какими соседними целыми числами расположено
число:
а) Тб;
б) </=19;
в) у/52;
г) </-670 ?
4.17. Решите уравнение:
а) х3 = 125; б) х7 = в) х5 = 32; г) х9 = 1.
1^0
Решите уравнение:
4.18. а) х4 = 17; б) х4 = -16; в) х6 = 11; г) х8 = -3.
4.19. а) х3 + 8 = 0; б) Зх8 - 9 = 0; в) х4 - 19 = 0; г) 5х10 +6 = 0.
4.20. а) </х - 5 = -3; б) </4 - 5х = -2; в) </2х + 8 = -1; г) </7 - 4х = 4.
04.21. а) </х2 - 9х - 19 = -3; б) </х2 - Юх + 25 = 2; в) </2х2 + 6х - 57 = -1; г) </х2 + 7х + 13 =1.
04.22. а) 0,02х6 - 1,28 = 0; б) -^х8 + 18| = 0; ' 4 4 в) 0,Зх9 - 2,4 = 0; г) |х4 -2 = 0. О
04.23. Расположите числа в порядке возрастания:
а) 2, </5, </17; б) </75, 4, </1000; в) 3, </40, </7; г) 2, </б0, </20.
04.24. Расположите числа в порядке убывания:
а) -1, </=5, </0Д; б) 0, </-0,25, </-29; в) -2, </-1,5, </-9; г) 1, </2, </=2.
04.25. Расположите числа в порядке возрастания:
а) -, </-12, 2, </70; ’ 2 б) —» </й, 1, </-л; 7 л в) х/2л, -, </-2, 2,5; 3 г) 2л, </-0,5, 0, </200.
§ 5. Функции у = <Цх, их свойства и графики
Постройте график функции:
5.1. а) у = </х; б) у = </х; в) у = </х; г) у = </х.
5.2. а) у = 2</х; в) У = -|</*; &
б) у = -{</^; о г) У = 3</х.
Постройте график функции:
05.3. а) у = Р-х; в) у = 2-Рх;
б) у = -4^х; г) у = -РРх. &
05.4. а) у - л/-2х; в) у = у1-6х;
б) У = г) 42 II 1 н
05.5. а) у = ^х + 1; в) у = 1]х - 3;
б) у = у[х - 4; г) г/ = ^х + |.
05.6. а) у = ^х + 2 - 3; в) у = ^/х + 1 + 3;
б) у = </х - 1 + 2; г) у - %/х - 4 - 4.
05.7. а) у = 2 - 5 у/х - 5; в) у = 4 - 2 л/9 - х;
б) у = 4 • ^2х + 4-1; г) у = 3 • </Зх - 6 + 1.
05.8. _ /х2 - х - 2. „ _ ./х2 + 7х + 12.
а) У ~ х-2 ’ в) У ~ V х + 3 ’
б) = + - 5x4 4 V х - 4 ' 42 II к 1 1 н СО | о
•5.9. а) а — /Зх2 - 8х - 3 о
У х - 3
б) __ _ А/Зх2 - 2х - 1 4х2 - 6х - 4
У - V 1-х ' 2- - X
Найдите область определения функции:
5.10. а) у = *]2х - 4; в) у = ^/Зх - 9;
б) у = у/2 - Зх; г) у = - 5х.
5.11. а) у = х2 + 5; в) у = ^6х - 7;
б) у = Цх3 - 1; г) у = ^2х + 1.
Найдите область определения функции:
05.12. а) у = >/5х + 8 + Ц2х - 4; в) у = ^Зх - 12 - $]2х - 1;
б) у = $'2х + 1 - - Юх; г) у = 78 - 16х + 1^10х + 20.
05.13. а) у = V*2 + 4х - 12; в) у = ^х2 - 8х + 12;
б) у = \/15 - х2 - 2х; г) у = д/4 - х2 - Зх.
О5-14- а) у = в) » =
,ч „ .11 + 9х. . „ к/3 - 7х
б) у = и----; г) у = ?-----.
’ у у4 + Зх ’ У 2х + 9
05.15. а) у = 725 - х2 + Цх2 - 1;
б) у = 7х2 - 6х + 5 - 7х2 - Зх;
в) у = МУх2 - 9 - л/16 - х2;
г) у = ^15 - 2х - х2 + ^х2 + 6х + 8.
05.16. а) у = 11^-^ + +2х 3
V 4х + 8 х - 3
•5.17. а) у = ДО»' - 21х- 4
«о.к. л) у V а? - 4! - 21
б) у = ^4х2 + 11,5х - 1,5 - у/х3 - х2 - Юх - 8;
в)
|х3 - 12х + 16.
х2 - 2х - 15 ’
7~х3 + 5х2 - 8х + 4
у]х2 - 9|х| + 18
•5.18. Найдите область определения функции:
а) у = ^/х3 - бх2 + Их - 6 + >/6х3 + 17х2 + бх - 8;
- = ,/ 2х3 - Зх2 - Зх + 2 .
} У \ х3 - 9х2 + 20х - 12 ’
в) у = ^2х3 - Их2 + 18х - 9 - 4/ 1
\ 4х3 - Их2 -I- 6,5х - 1
х / бх3 + Их2 - 19х + бГ
Г) У \х3 - 8,25х2 + 14х - 3*
5.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = $[х:
а) на отрезке [0; 1]; в) на отрезке [5; 16];
б) на полуинтервале [1; 3); г) на луче [16; +оо).
5.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = у[х:
а) на отрезке [-1; 1]; в) на отрезке [-32; 32];
б) на луче (-°°; 1]; г) на луче [2; +оо).
05.21. Найдите наименьшее значение функции:
а) у = л/х2 - бх + 8; б) у = %1х2 + бх + 13. функции:
Найдите область значений (]
05.22. а) у = + 1; в) у = \1х + 3;
б) у = ^х - 2; г) у = ^х - 4.
05.23. а) У = 2 + ^х; в) у = - 3;
б) у - - 3; г) у = 2 + $х.
05.24. а) у = л/х2 - 8; б) у = ^32 - 2х2.
05.25. а) у = л/35 + 2х - х2; в) у = л/12 - 4х - х2;
б) у = ^2х2 - 4х - 1; г) у = д/х2 + 2х + 3.
•5.26. Найдите, если это возможно, наименьшее и (или) наибольшее
целое число, принадлежащее области значений функции:
а) у = ^16 + 4х - 4х2; в) у = ^Зх2 - бх - 4;
б) у = ^/х2 - 4х + 35; г) у = VI - х2 + бх.
Решите графически уравнение:
06.27. а) у[х = -х; в) $[х = 2 - х;
б) %х = 7 - 6х;
05.28. а) >/2х = —+ 1;
х - 1
б) $х + 2х + 3 = 0;
Ф5.29. Решите неравенство:
а) 7х + 9 > х - 5;
б) 2^/Г > 5 - Зх;
г) у]Х = -х2.
а) х/х = 3 — 2х3;
г) х/Зх - 2 = .
х - 1
в) 7-х < х + 6;
г) 7х - 7 < Зх + 1.
Определите число решений системы уравнений:
05.30.
б)
05.31.
а) <
б)
у = 7х,
2х - Зу = 6;
У =
Зу - 4х = 0;
у = 7х - 1,
у = х2 - 2х - 8;
У = >[х,
у = 2х4 - 5;
в)
У = 7х,
6 - 2х - Зу = 0;
у/Х
5 4- х - 2у = 0.
= 2у[х,
= Юх -16-х2;
[У
а) '
У
05.32. Постройте и прочитайте график функции:
2х2, если х < 1,
а)
б)
в)
У =
У- =
У =
л/х + 1, если х > 1;
у!х + 1, если х < О,
2х2 + 1, если х > 0;
—, если х < О,
х
2у/х9 если х > 0;
2соз х, если х < О,
г)
2 - \[х, если х
0.
У =
05.33. Постройте и прочитайте график функции:
\[х9 если х < -1,
а) у = < -х2, если - 1 < х < 1,
х - 2, если х > 1;
3(х + I)2, если - 2 < х < -1,
б) у = 5 -2х - 2, если -1 < х < О,
\/х, если х > 0.
•5.34. Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у = >/4х2 + 4х - 3; в) у = л/2х2 - х - 3;
б) у = л/2 + Зх - 2х2; г) у = л/4 - Их - Зх2.
§ 6. свойства корня и-й степени
Найдите значение числового выражения:
6.1. а) 4/16 0,0001; в) ^0,00032 243;
б) /243 & г) Д|-
6.2. а) 8'48 162; 6) /3^; а) </54-24; г)
6.4. а) 4/з2~3 • 4/8~27; б) %]25 72 • .
Упростите выражение, считая, что все переменные прини-
мают только положительные значения:
6.5. а) '/а2Ь4; б) %а3Ьв; в) $а4Ь3;
6.6. а)
149а4 .
169&2 ’
, 16а4& .
б)
. о/27°6 .
В) V 6463 ’
г) у/а5Ь15.
ч ,132а?Ы°
V 243с15
Упростите выражение, считая, что все переменные прини-
мают только положительные значения:
6.7. а) ^/1024х101/5?15 ; в) ^0,0081а12с20 ;
/З43тп12 . . /16г16812
)^64п3р15’ \ 81р24д4 ’
Возведите в степень:
6.9. а) (Тзй) ; в) (ба • Та) ;
б) (-5 • Та2")2; г) (гТ-За2 /.
Вычислите:
06.10. а) 7б + 2л/5 • 7б - 2^5; в) 7в - 737 78 + 737;
б) 7б - 2717 • 7б + 2717; г) 7717 + 3 • 7717 - 3.
06.11. а) 7з О 727 79 -
72
б) 7^ • 78 725 • 732 + ^~129
7з
06.12. а) 733 • 42 • 746 • З5; в) 7^ • Т212 • 52;
б) 772 • 2 • 774 • г2; г) 7б2 • З7 • 7б3 • з3.
•6.13. а) ^/100 + 5173 - ^4 - 273;
б) - 475 - 716 + 875;
в) 737 + ЗОТЗ + 7б1 - 2873;
г) 717 - 1272 + 799 + 7072.
•6.14. а) 726 - 1573 + 726 + 1573;
б) 72972 - 45 - 745 + 2972;
в) 738 - 1775 + 71775 + 38;
г) 7170 + 7873 - 77873 - 170.
Приведите радикалп=»-1 к одинаковому показателю корня:
6.15. а) ^/2и^3; в) 47 и 4/8;
б) 3/5 и 3/9; г) 4з и 42.
6.16. а) 73; 3/4 и 3/7; в) 4в; 417 и 3/40;
б) ч/2; 3/3 и 3/4; г) 43; 42 и 1^100.
06.17. Сравните числа:
а) 3/26 и л/5; в) 47 и 447;
б) 3/5иТЗ; г) -44 и-4з.
Преобразуйте задаыешюе выражение к виду у[А :
6.18. а) >/2 • 3/2; б) 7^ 3 3/3; в) 3/3 43; г) 42 • 3/3.
06.19. а) 4%& >/3&; в) 4а 4&;
б) 42а 44а3; г) 4у 4&-
06.20. а) 4аЬ 44аЬ; в) 3/5О&2 3/5а3Ь4;
б) 4алЪ3 14аЧР; Г) 46X2 4х23 .
06.21. а) : л/а; в) 4а^ : 4а;
б) г4а2Ь3 : 4аЬ*; г) 4а3Ь3 : 4аЬ‘
06.22. а) %]ху2?3 х^Х3у22 ; в) 3/а2&с® • 4а3Ь3с2;
б) ^84рЧ5 : ; г) 4кЧ3т6 : 4^т-
6.23. а) 77б; б) 44*4 ’ ; в) 7^2; г) >[44.
6.24. а) 44% ; б) -3 ; в) 4>1а10; г) 44^ •
06.25. Внесите переменные под знак корня:
а) ай23/-ай2;
в) -тп3 4~тп;
б) -р3д%[р2д;
г) ху^х2у3.
06.26. Вынесите переменвЕ^ ые из-под знака корня:
а) 3/а6&9 _ 4/_о?г,5 — б) ЗР7т12 + 4~1*т13.
Решите уравнение:
06.27. а) |7б7 + 13 + -ф- = 2Т5х;
2 5
б) 72х + Т32х + 7162х = 6.
06.28. а) - 2^с = 0; в) + 2^ - 1 = 0;
б) 4х - бТх + 6 = 0; г) + 2^ - 3 = 0.
06.29. Докажите, что 2/(х) = /(128х), если /(х) = л/х.
06.30. Докажите, что 2/(х) = /(32х), если /(х) = 2^х.
06.31. Докажите, что 24йх) = #(64х),
если /(х) = 4х, §(х) = д/х.
06.32. Постройте график функции:
а) у = 7(х - 2)4 ; в) у = 7(х + I)3;
б) у = 7(2 - х)3; г) у = 7(3 - х)6.
17. преобразование выражений, содержащих радикалы
Вынесите множитель из-под знака корня:
7.1. а) 720; б) 7147; в) 7108; г) 7245,
7.2. а) 724; б) 754; в) 7256; г) 7375
7.3. а) д/80; б) 7160; в) 7405; г) 7486
Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что пе
ременные принимают только неотрицательные значения:
7.4. а) Тх3; б) Та4; 7.5. а) 725а3; б) 7405а5; 7.6. а) 775*4г3 ; б) 7256а9Ь13; в) ; г) \]п13. в) 724х3 ; г) 7160т10 . в) 7250х4/ ; г) 7320тпп15 .
07.7. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что пе-
ременные принимают только неотрицательные значения:
а) -7-л/72а3Ь;
ой
х2 „/72 а4#3 ,
б) Йз® ’
. 3 |а8х2 .
В) ж У 18 ’
г) Зтп
80 х3
243т8 п9
Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что пе-
ременные могут принимать как положительные, так и от-
рицательные значения:
7.8. а) у]а2Ь; б) %/а8Ь; в) ^аАЬ; г) \1а5Ъ.
7.9. а) >/50а3; б) ^256с8; в) /Жх2г) ^162а8.
7.10. а) ^/-162<4г5; в) л/128а6&9 ;
б ) ^/б25х5ув; г) ^/-64 т6 а16 .
07.11. а) -^256а7#>; б)
7 4а2 с 1о о2о
Внесите множитель под з-нак корня:
7.12. а) 2>/5; б) 5^2; в) 5л/3;
7.13. а) 2-^3; б) 6• з|1|; в) 3-^2;
7.14. а)|.^3; б)|^2; в) 1% -Д
о 4 О У (
г>7-#
Г)3Ж
7.15. Внесите множитель под знак корня, считая, что перемен-
ные принимают только неотрицательные значения:
а) 7а2 • у/аЬ-9 б) 5аЬ2 • \/а2&; в) 5х • >/2х; г) 2ти • л/Зти2
07.16. Преобразуйте заданное выражение к виду >[А :
а) ^2т4п8; в)
б) у1у^9х4у2; г) ^д^2р3д.
Преобразуйте заданное выражение к виду \[А:
07.17. а) ^2^242 • в) ^3^33/3.
б) 4|4з/з /4. з V 4 V з ’ г) з/лз/з. \3\2\3’
07.18. а) ^/-Т-а25 ; в) ^-2а2Ь • Тба2”;
б) т - и 1т + и . У т + п\ /п - п’ г) 5 (X - и} 3 . У 'уу - X
07.19. а) 2Та“~; [ в) ^х^х^ху/х : 1\[х^-
б) /* ^зЁ Л- \|у\х^у Ух г) . 2тя-^~2.р- : ^пт у V 4тп V т
Упростите выражение:
07.20. а) Т24 - ТЗ; в) 2764 + 7486;
б) 273 + 7384; г) Тб12 - 72.
07.21. а) л/50 - ^/3 - 6>/2 + ^24 + 78;
б) 6 7* + \[ху - \19ху - ^[х2 + —\1х3у.
X
Выполните действия:
7.22. а) - 2у/п)(у/т + 2^/й);
б) (Тб - х/з)(7з + Тб);
в) (а - \/ь)(а + >/&);
г) (Т4 + 2л/2)(2>/2 - Т4).
7.23. а) (Тх + 4у)[х - </ху + у);
б) (3 + Та)(9 - зТа + Та);
в) (2^/р + ТТ)(4р - 2у[ру + <?);
г) (Та + Таб + $ь)(у/а - Тб).
Выполните действия:
7.24. а) - 2^п) ;
б) (Тб-М
7.25. а) (а - Ь) : (Та - у/ь);
б) (к + 0 : (Т* + &);
в) (а2 - Та) ;
г) (Т4 + 2Т2) .
в) (т - п) : (у/т - у[п);
г) (х - 4у) : (>/х + 2у/у).
Разложите на множители:
07.26. а) >/2х - у/Зу + у[2у - л/Зх;
б) ^4х2 + у/2 у/х3 - у/^^у3 - у]2у3;
в) у[а^ + Та4>3 - Та3& - Т^"",
г) Ьу/а - аЪ + у/аЬ - аЪу/ь.
07.27. а) - 6;
б) у[т + 5у[т + 6;
в) Та + 7хТа + 12;
г) 2у[х - у/х - 1.
Сократите дроби, считая, что переменные принимают
неотрицательные значения:
7.28. а)
- у[а4
у/За. -
7.31. Сократите дроби, считая, что переменные принимают
неотрицательные значения:
Расположите числа в порядке возрастания:
07.33. а) 73; 74 и 718;
в) ^/3; ^2и 1Т30;
б) ^4; и Т40;
г) 74; Т5иТ12.
07.34. а) Тз74; ч/бТЗ и 7166;
в) ^зТб; 7з И ТзТз;
б) 74; ^ЗТЗ и Ш;
г) 1Тб4; 47тТ7и^27Х25.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
7.35. а) 1 2^9 ’ в) 8 г) 12
зТГ 71б’ 77243 ‘
7.36. а) 7 б) 2 • в) 17 г) 9
Тб + 2>/з’ 0) 1—9 6 - Зх/2 зТ2 + 1’ 77-2’
©7.37. а) 10 б) П • в) 4 г) 3
Т12 - Т!’ б) Тб + Тб’ Тз + Тэ’ 715 - Тб
©7.38. а) 1 б) 1
\1а + л/б + \ гс’ 72 - 7з + ’ ?5‘
^©7.39. а) 2 в) -10
Т25 - Т15 + Тэ’ 74 + 7й + 749’
б) 9 г) 5
Т16 + Тв + ТГ Тзб - 724 » 1б’
07.40. а) 3 б) 6
715 + 716 - Тб - 2 715 - Те + 5 - 71б’
•7.41. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
•7.42. Вычислите:
б) 7з + 1 + 75 + л/з + 77 + 75 + "‘+723 + 7Й + Т25 + Угз'
•7.43. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
_________________________________1______________
\[а + у/ь + \[с +
а Ъ с
если известно, что — = — = —.
а. Ь. с.
Найдите значение выражения:
. 4 - зУ2 ч (У24 + Уб/
07.44. а) ---------г; в) —т=-----------
(у/2 - Ув) 4Уз + 3У$
(Уэ + Уз/ 1 - 2-Уб + Уб
Уз + гУз + 1; г) _ у^)2 '
•7.45. а) ^/17 + 7288; б) ^28 - 1бУЗ.
07.46. Выполните действия:
а) (1 + Уа)(1 + Уа)(1 - Уа);
б) (У9а2х - 2УЗа&х + Уь2х) : (УЗа - У&);
в) (Ут + 4п)(у1т - у/п)(у1т + Ул);
г) (У16х2 - У25у2 ) : (У4х - Убу).
07.47.
Упростите выражение:
2(тп - п)
1
Зл/тпп.
07.48. Упростите выражение:
б) ау]а\13аЬ - 2ау[аЬ у]а8ь(7 + 4л/з).
07.49. Решите уравнение:
ч х^с - 1 № - 1 . х + 8 - 25
а) -т=------2-т=----- = 4; б) -т=--------+ —т=------- =
Чх* -1 х/х + 1 у/х + 2 у/х + 5
Проверьте равенство:
,/-------7=/ г-\ 2^2 ^20 + 12л/з
•7.50. а) ^/26 + 15л/3 (2 - >/3) = 1; б) --------у= = -------у-—
Т + 'уЗ 2 + у] 3
•7.51. а) ^5^2 + 7 - ^5^2 - 7 = 2;
<7.52.
Вычислите:
а)
.2
при X =
б)
1 + 2х
1 - 2х
1 + х/1 + 2х 1 - х/1 - 2х
л/3
при X = —
X
3
97.53. Докажите тождество:
а) ^6а(б + 2>/б) у/3у/2а - 2у[3а = 4ба;
§ 8. Понятие степени с любым рациональным
показателем
8.1. Имеет ли смысл выражение:
4 2 _з _1
а) 5~3; б) (-16)3; в) 232; г) (-25) 2?
Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
2 8.2. а) 53; 3 8.3. а) с4; з! б) 3 2; б) Р~2; 3 в) 68; 3 В) х4; г) 434. \ 2-з Г) у 3.
8.4. а) О,20,5; б) г03; в) Ь1,5; г) 8,5016.
1 2 1 3
8.5. а) (2а)3; б) 3(х-у)3; В) (2&)4; г) 3(а + Ь)4
Представьте заданное выражение в виде степени с рацио-
нальным показателем:
8.6. а) \[ъ*; б) в) л/?; г) %/а.
8.7. а) у/ь^-,
в)
г)
Вычислите:
1 2.
8.8. а) 492; б) 10003;
г! 11
8.9. а) 9 2; б) 0,16 2;
8.10. а) (27 3“4)2; в) 16 -(2“3)2;
6-4 . 6-9 7-Т . 7-8
б) 6-12 ’ Г) 7-13 '
8.11. а)
54 49~3.
7“’ • 253 ’
8112 10 7
Ю~5 • 2717 ‘
-1 _1
8.12. а) 4’2; б) 8~3;
1 .1
в) 32 5; г) 16 4.
Вычислите:
2 1_
08.13. а) 108 102 1001;
б) 40,7 2“0,6 • 80,4;
08.14. а) 40Л И’0 4 : 2^6;
б) 3 • 90,4 : ^3^;
08.15. а) (27 64)3;
б) Г— • 81-1 "I 4 ;
к16 ,1
_4 3
в) 7~3 • 712 • 7’4;
г) 250,3 51,4 • 6250’25.
1 ,2 -1
в) 43 • 2 3 : 43;
-1 1
г) 8 3 • 163 : $2.
в) | — • 0,04
36
г) 5"3
08.16. а)
б)
в)
г)
08.17. а)
-1
49 2;
2
—Т3
64 )
8 3 • 25 2 - 2~‘
64; • 22
08.18. Найдите значение выражения:
5 1
уб 1 -уЗ
а) —-----г при х = 1,44;
X® -
2
- 2,25 _
б) —1------- при тп = 8.
+ 1,5
08.19. Найдите значение выражения:
1
а) — при I = 9;
1 ~ I2 -2
б)------------------------— при у = 100.
у* + 3 у4 - 3
Упростите выражение:
_1 1 —
8.20. а) Ь'з • б) у 6 : у3;
1 2
8.21. а) (&2 )3 . бДв-к’^)3;
2 1 1 _1
в) а3 • а 6; г) г5 : г 2.
В) (д2 )3 ; г) (81х-4) 4.
8.22. а) х2
б)
з Г-
в) г4 у/г;
г)
1
с4.
08.23. а) (а0,4)2 • а08;
б) (с10)’1 : (с’1’2)4;
в) (х4) • х1,4;
_з ( -1V1’8
г) (&°’8)'4 -Льч
8.24. а)
5
х 3 • х3
г)
X5
б)
з \20
а2 • Ь5
р’1?4 1У7 • </14
2
Представьте выражение в виде суммы:
/ 1 1 \ 11 11/2 3 \
8.26. а) ^х2 - у2) • х2у2-, в) Ь3с4\Ь3 + сЧ;
2 2 / _1 _1 \ 11/1 3 \
б) а3Ъ3 \а3 + Ъ3); г) х2у2 \х2 - у2 /.
8.27. а)
(т2 + «О ;
б) (1 + с8) ;
в) (1 - Ъ2) ;
г) Ц + 2&з,
8.28. Выполните умножение:
б) (а2 + Ь2 )(а - а2Ь2 + &);
в) - 1О + 1);
/ 1 IV- - -
г) \Р3 ~ 73/\Р3 + (РЯ)3 + <73Л
Сократите дробь:
8.29.
, 4 • З2
а) 1-------
З2 - 3
б)
_2 ь.2
а —о
а - Ъ
1
г)
? - 5
р - 2б‘
8.30.
Упростите выражение:
08.31. а) (1 + Д) - 2с2;
б) (тД - т2] + 2ти12;
,, т + п
б) —-----------ГТ
^3 ™3^3 I «3
гп — т п + п
08.32. а) (оз + 6з ) _ (оз _ Ьз) . б) (а2 + 5а2) - 10а2
08.33. а) («4 + 1)(Х4 _ 1)(Х2 + х).
б) + ^)(*8 - 1^).
3 3 _
Он.34. а) ТА- - б> -Дт + -Дт-
а2 - Ъ2 х2 + у2 х2 - у2
Упростите выражение:
08.35. а) -------------+ 2а2д2;
а2 + Ъ2 а + а2Ь2 + Ь
б)
1
д2
р - р2д2
1 \
р2
д - р2д2 ,
рд2 + р2д
р-д
08.36. а)
а2 + Ъ2
а2 Ь
I Г + 1 1 ’
а2 - Ъ2 а - а2Ъ2
2
а3 а + 1
а3 - За 3
| I а2 - 4а + 3
а6 - а6
•8.37. а) Упростите выражение и найдите его значение при
хз 2 х2^! + х2)’1 - л/1 + х2
1 + х2 1 + х2
5 1_
X2 - X 2
(х + 1)(х2 + 1)
б) Упростите выражение и найдите его значение при
а = ЛО,027, х = —;
27
Л 2 4 111 А 2 4
х3 - а3 х3 - 4а3 а3 - 2х о х3 - а3
2 2 4 1 + 4 2 41 2
кх + 2х3а3 + а3х3 а3 - х3 х - а3х3 ) ба3 - 2
§ 9. Степенные функции, их свойства и графики
9.1. Постройте график функции:
1 _1
а) у = х10; б) у = х4; в) у = х 2; г) у = х"4.
9.2. Постройте и сравните графики функций:
а) у = \[х и у = х3;
б) У = у/х
_1_
и у = X4.
9.3. Вычислите:
5
х2;
а)
/(4),
если
/(х) =
б)
/(1),
если
/(х) =
4
х 3;
в)
/(0),
если
/(х) =
г)
/(8),
если
Лх) =
6
х7;
2
X 3 .
9.4. Исследуйте степенную функцию на четность:
а) у = х10; б) у = х 3; в) у = х-15; г) у = х3.
9.5. Исследуйте степенную функцию на ограниченность:
_3 2
а) г/ = х8; б) у = х 4; в) у = х-5; г) у = х5.
9.6. Исследуйте степенную функцию на монотонность:
_1 1
а) у = х12; б) у = х 6 ; в) у = х-11; г) у = х7.
9.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
У = х4 :
а) на отрезке [0; 1]; в) на интервале (2; 3);
б) на луче [1; +°°); г) на полуинтервале (5; 16].
9.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
5
У = х2:
а) на луче [0; +°°); в) на отрезке [1; 2];
б) на полуинтервале [1; 3); г) на полуинтервале (6; 8].
9.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
2
г/ = х 3:
а) на отрезке [1; 8]; в) на луче [1; +°°);
б) на интервале: (3; 5); г) на полуинтервале (0; 1].
9.10. Постройте график функции:
1 -2.
а) у = (х + 2)2; в) у = (х - 1) 3;
7 __1
б) у = х2 - 3; г) у = х 3 + 4.
Постройте график функции:
1 1
09.11. а) у = (х + З)6 - 1; в) у = (х + 6)4 + 2;
-1 1
б) У = (х - 2) 9 + 5; г) у = (х - З)2 - 1.
1 -3 1 3 1
09.12. а) у = 2х3; б) у = -х 5; в) у = —х2; г) у = -2х4.
2
2 3
09.13. а) у = 2(х - I)3 - 2; в) у = -(х + 2)2 + 1;
09.14. Решите графически уравнение:
1 3 1 1 2
а) х2 = 6 - х; б) х2 = —т; в) х4 = х3; г) х3 = х - 4.
х
09.15. Решите графически систему уравнений:
а)
У = х2,
.У = 1;
б)
У = X 3,
У = л/х;
09.16. Определите число решений системы уравнений:
09.17. Постройте и прочитайте график функции:
х, если х < О,
|х|, если х < 1,
а)
5
X3
если х > 0;
б)
1
х3, если х > 1.
У
У =
Постройте и прочитайте график функции:
1
—, если х < 0,
09.18. а) у = - X 1 х 2, если х > 0; х2 - 2х, если -1 < х < 2,
б) У = 2(х - 2)0,75, если 2 < х < 3 х2, если х < 0, 2
09.19. а) у = « х3, если 0 < х < 1; 1 л —, если х > 1; <х 2, если х < -1,
б) У = < 2х2, если -1 < х < 0; 3 х2, если х > 0.
09.20. Решите графически неравенство:
1 3 12
а) х2 < 6 - х; б) х2 > х-2; в) х 4 < х3; г) х3 > х - 4.
1
09.21. Известно, что /(х) = х4. Найдите:
а) /(16х); б) /(81х4); в) г) /(х’8).
I о-*- )
2
09.22. Известно, что /(х) = X 3. Найдите:
а) /(8х3); б) Ах"6); в) г) /(х12).
09.23. а) Известно, что /(х) = х4,
/(16х8) = 2(^(хГ1).
2
б) Известно, что /(х) = х3,
/(27х9) = 9(^(х)Г2.
§(х) = х2. Докажите, что
§(х) - х"3. Докажите, что
9.24. Найдите производную заданной функции:
7
а) у = х8; б) у = л/х8; в) у = х’4; г) у = X2.
Найдите производную заданной функции:
9.25. . 1 1 1 1 а) У = -п=; б) у = —; в) у = г) у = —. УХ 7 л/х о X5 X3
9.26. а) у = х4х; б) у = в) у = —; г) у = х2 • \/х. УХ х
9.27. а) у = 2х4 + Хл/х; в) у = х5 — л/Х б) у = + Зх6 - 1; г) у = х3 - 7х\/х. Чх
9.28. (2 А а) у = - - 1 (х - х’1); \х ) б) у = (Зх3 - 7х + 5)(л/х + з); в) у = (7</х + б)(х5 - 7х3 + 1); г) у = (зх9 + х з)(5 - Зх).
9.29. . х3 - 5 3>/х - 7 а) * й +1: = «• +1
9.30. , Зх3 - Зх2 + 15х - 7 а) у = г ; хух б) у = - 2х)(2 81п 2х + соз х);
7х8 - 5х4 + 12х -
л/х - 2
(Зх - 5).
9.31. а)
х + 1
X3 - X3 + 1
09.32. а) з/1§2х; в) ----------------
(2 8Ш X + 3 СОЗ х) *
б) (л/Зх - 1 + с!§2х) ; г) у = ат (х5 + 2^/х - б).
09.33. Найдите значение производной функции у = §(х) в задан-
ной точке х0:
а) 5*(х) = х3 - З7х, х0 = 1;
б) ё(х) = \/Зх - 1, х0 =
3
в) ё(х) = х'1 + х“2, х0 = 1;
г) ё(х) = —(5 - 2х)Л х0 = 2.
3
09.34. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = /(х) в точке с абсциссой х0:
3
а) /(х) = 4 - х 4 *, х0 = 1;
б) Т(х) = 12х 2 - х, х^ = 9;
2
в) /(х) = 2х3 - 1, х0 = 8;
г) /(х) = Х“3 + бд/х, хо = 1.
09.35. Найдите скорость изменения функции у = Л(х) в точке с
абсциссой х0:
7
а) Л(х) = х3 - (1 - Зх)-1, Хо = 0;
б) Л(х) = $2 зш 2х, х0 = ——;
12
в) й(х) = (3 - х’1)2, х0 = -1;
ч ч сс^х18 - З^х? + 0,25л + лх)
л
09.36. Решите уравнение #'(х) = 0, если:
а) §(х) = 2л/х - х;
2 - 12 -
б) #(х) = -х2-----х4 4- 2х;
3 5
2 -
в) ^(х) = -х3 - 2х;
4
ч . ч 3 1 6 5 о
г) ё(х) = -х3-----х6 - 2х.
4 7
09.37. Решите неравенство /'(х) > 0, если:
о 5 о 4 5 о з
а) Дх) - —х3 + -х3; б) Дх) = 0,4х4 - —х4.
09.38. Найдите угол, образованный касательной к графику функ-
ции у = в точке с абсциссой х0 с положительным на-
правлением оси абсцисс:
а) #(х) = |>/4 - Зх, х0 =
б) §(х) = -3(72 + хр, х0 = 1 - 72.
09.39. Напишите уравнение касательной к графику функции
У = Дх) в точке с абсциссой х = а:
а) у = \/Зх - 1, а = 3; в) у = (2х + 5) 2, а = 2;
б) у = ^2 вш х, а = г) у = . 1 • - , а = -.
6 ^2 соз х 3
09.40. Проведите касательную к графику функции у = Дх), па-
раллельную заданной прямой у = кх + т:
а) Дх) = 4х/х, у = х - 2; б) Дх) = у - 5 - Зх.
х
•9.41. Проведите касательную к графику функции у = Дх) из
данной точки М\
з
а) Дх) = ч/х, М(0; 1); б) Дх) = х2 + 4, М(0; 0).
•9.42. а) Составьте уравнение той касательной к графику функ-
- 2
о , Л о
ции у = Xй + —, которая отсекает от осей координат тре-
угольник площадью 0,75.
б) Составьте уравнение той касательной к графику функ-
ции у = х^х, которая отсекает от осей координат тре-
1
угольник площадью —.
09.43. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
2 г-
а) у = —хл/х - 2х;
ч -
б) у = —X3
2
X.
•9.44. Исследуйте функцию у = /(х) на монотонность и экстре-
мум и постройте ее график:
а) у = х/х - х;
б) у =
X
\ 1 Г
в) у = -= + х/х;
х/х
г) у = Хх/х+2.
•9.45. Постройте график уравнения:
а) (Зг/ + х)3 = 27х; б) (х + г/)3 = х2.
•9.46. Используя свойство монотонности функции, решите урав-
нение:
а) 2х5 + х3 + 5х - 80 = 3/14 - Зх;
б) З/Ю + Зх = 74 - х5 - Зх3 - 8х.
09.47. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной
функции на заданном промежутке:
2 ,_ 9 Г~
а) у = -хх/х - 2х, [1; 9]; в) у = —хх/х - 2х, (1; 9);
3 3
з - Ч -
б) у = -X3 - х, (0; 8); г) у = -х3 - х, [0; 8].
2 2
-- 1
•9.48. На графике функции у = х 3-----х выбирают произволь-
3
ную точку М и соединяют с началом координат О. Строят
прямоугольник, диагональю которого является отрезок ОМ9
а две стороны расположены на осях координат. Найдите
наименьшее значение периметра такого прямоугольника.
§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел
* 010.1. Вычислите:
.3 + 7/ -/(3 + 0 . (2 + 3/)(4 - /) . /5 + /4 +
а) “5---б) в> —п ............. ’ г) □. .V
3 — I 7 I г(1 — 7г) (3 + г)
010.2. Решите уравнение относительно п (и е ^):
а) /7 + 1п = 0; в) I 12 + / 13 + /9 + 1п = 2;
б) /9 + 1п = 1 + г) г2005 + 1п = 1 - I.
010.3. Найдите наименьшее натуральное значение и, при кото-
ром:
а) число (4 + 3/)л лежит вне круга радиуса 100 с центром
в начале координат;
б) число (1 - 21)п лежит вне круга радиуса 1000 с центром
в начале координат;
в) число (I - 2)п лежит вне круга радиуса Юи с центром
в начале координат;
г) число (1 + 3/)л лежит вне круга радиуса 5п2 с центром
в начале координат.
Расположите комплексные числа гп г2, г3, г4 в порядке
возрастания их аргументов:
010.4. а) г1 = /, г2 = I2, 23 = I3, 24 = I4;
б) = Г1, 22 = Г2, г3 = Г3, 24 - Г4.
•10.5. а) = л/З - 2 + Цл - 4),
г2 = >/5 - 2 + Цл2 - 9),
г3 = ^17 - ^/31 + 1(1- 20,2),
г4 = ^1обб - Шю + - 4^);
б) 2^ = 81П 200° + I СОЗ 170°,
22 = 81п 250° + I соз 70°,
г3 = соз 440° + I соз 460°,
г4 = 185° + I агссоз 0,9.
010.6. Изобразите на комплексной плоскости множество всех
комплексных чисел г, для которых выполняется заданное
неравенство:
а) Вег > 3; б) 1тг > 5; в) Вег > 1тг; г) Вег < 1тг.
010.7. Пусть г = соз 8° + I 81п 8°. Найдите наименьшее нату-
ральное значение п, для которого:
а) гп принадлежит третьей координатной четверти комп-
лексной плоскости;
б) (г)п принадлежит третьей координатной четверти;
в) гп принадлежит четвертой координатной четверти;
г) (г)п принадлежит первой координатной четверти.
010.8. Решите уравнение:
а) г2 - Юг + 29 = 0; в) г2 + 30г + 241 = 0;
б) 122 - Юг - 29/ = 0; г) г2 + 30/г + 31 = 0.
010.9. Вычислите:
а) (соз 20° + I мп 20°)9; в) (соз 3° - I зт З0)-40;
б) (соз 20° + I 51П 20°)’3; г) (соз 5° - I зш 50)24.
010.10. Пусть {г, г2, г3, ..., г", гп + 1, ...} — геометрическая про-
грессия со знаменателем г = соз 0,1л - / з1п0,1л.
а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при ко-
тором 2п лежит в третьей координатной четверти комп-
лексной плоскости (не на координатных осях).
б) Укажите наименьшее натуральное значение п, при ко-
тором 2п лежит во второй координатной четверти (не на
координатных осях).
в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
г) Найдите сумму этих различных чисел.
Вычислите корни (в алгебраической форме), изобразите
их на комплексной плоскости; найдите сумму и произве-
дение вычисленных корней:
010.11. а) 41; б) х/ч; в) 41 - I; г) 41 - Ю.
010.12. а) 48;
г) х/-64Л
010.13. а) 41;
010.14. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости:
а) 41; б) 4^; В) (V!)2; г) (^1)3.
010.15. Запишите в тригонометрической форме тот из корней
б/- °
л/з, который принадлежит:
а) первой четверти; г = Ч;
б) второй четверти; 2 - 0,5(/ - л/з);
в) второй четверти; 2 = 81;
г) третьей четверти; 2 = -13,5(/ + л/з).
•10.16. а) Запишите в тригонометрической форме и изобразите на
комплексной плоскости все значения у/1.
б) Докажите тождество г5 - 1 = (г - 1)(г4 + г3 + г2 +
+ 2 + 1); подберите действительные числа А < В так,
чтобы выполнялось тождество г4 + г3 + г2 + г -I- 1 = (г2 +
+ А2 + 1)(г2 + В2 + 1).
в) Используя результаты пунктов а) и б), вычислите соз 72е
и з1п 72°.
г) Найдите сторону а5 правильного пятиугольника, впи-
санного в единичную окружность, и сторону а10 правиль-
ного десятиугольника, вписанного в единичную окруж-
ность.
010.17. Составьте (если возможно) многочлен третьей степени
с действительными коэффициентами, корнями которого
являются числа:
а) 2Х = 1, 22 = 2 - I, г3 = 2 + /;
б) 2Г = 0, г2 = 3 + 21, г3 = 3 - 2ц
в) 2Х = 1, 22 = 2 - I, 23 = 2 + 2/;
г) 21 = /, 22 = 2/, 23 = 31.
010.18. а) Составьте многочлен третьей степени с действительны-
ми коэффициентами, корнями которого являются числа
2Х - -5, г2 3 = 4 ± Зи
б) Найдите числа 2Х + 22 + г3, г1(г2 + г2г3 + 23гх, 2Х2223 и
сравните их с коэффициентами многочлена из пункта а).
•10.19. а) Для многочлена з3 4- аг2 4- Ъ2 4- с и его корней г1, г2, г3
докажите, что выполняются следующие соотношения
(теорема Виета):
21 + 22 + 23 = -а, 2х22 + г2г3 + 232х = &, 2Х2223 = —С.
б) Сформулируйте и докажите теорему Виета для приве-
денного многочлена четвертой степени.
Составьте (если возможно) многочлен четвертой степени
с действительными коэффициентами, корнями которого
являются числа:
а) 2Х = г, г2 = I - 1, = -I, 24 = -(1 + г);
б) 2^ = 2 + I, г2 = I - 2, г3 = 2 - I, 24 = -(2 + 0;
в) 2г = 4 + 3/, 22 = 4 - 3/, 23 = 24 = 2;
г) 2г = -1 - 81, 22 = 8/, 23 = 24 = -10.
Решите уравнение и изобразите его корни на комплекс-
ной плоскости:
а) г3 - 2г2 + 2 - 2 = 0; в) г3 + Зг2 + 2 - 5 = 0;
б) г3 + Зг2 4- 5г 4- 15 = 0; г) г3 4- 4г2 - 50г + 100 = 0.
а) г4 - 1 = 0;
б) г4 - Зг3 + 6г2 - 12г 4- 8 = 0;
в) г4 - 5г2 - 36 = 0;
г) г4 - 5г3 + 7г2 - 5г 4- 6 = 0.
Г Показательная II-
р и логарифмическая
г функции :г“
Г. । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । I
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГП—
§11. показательная функция, ее свойства и график
Найдите значение выражения:
11.1. а) 25’3 • 2~0,3;
б) 7’2 83,5;
11.2. а) • (М“
в) №)" • Ш"-.
в) З®’8 • З"5’8;
в) (М0,2 • (М"
г) (^Зр • (</з)*
11.3. а) 43,5 :43;
2
<-2,3
в) 8^ : 82;
11.4. а) (^б)2’7 ; (^/о^б)07;
б) (да)4’2:(Тм)°’2;
11.5.
Г 1 V
а) 2з
б)
11.6. а) (2‘3)2 • 25;
в) (З27)3 : З5’1;
11.7. а) ^8 • 20,5 : 21’25;
б) ^10000 л/100 : 103;
в) х/81 • З2’6: З1,6;
г) ^/16 з/128 : 23.
Среди заданных функций укажите те, которые являются
показательными:
11.8. а) у = 3х; б) у = х3; в) у = хз; г) у = (7з)*.
11.9. а) у = пх; б) у = хп;
в) У = (л/х)5; г) у =
11.10. Найдите значение показательной функции у = ах при за-
данных значениях х:
а) у = 7х, хх = 3, х2 = -1, х3 =
( 1 V о |
б) у = I ~ 9 = —, х2 = 1> х3 = — —•;
I Л I Л Л
в) у = (7з) , Х1 = 0, х2 = 4, х3 = 5;
11.11. Найдите значение аргумента х, при котором функция
у = 2х принимает заданное значение:
а) 16; б) 8>/2; в) -^5 г) —
72 3272
11.12. Найдите значение аргумента х, при котором функция
Г1 т
У - т принимает заданное значение:
I О 1
а) б) в) 125; г) 625>/5.
25 25-75
Схематично изобразите график показательной функции:
11.13. а) V = В) у = (V?)
( Л X
б) у = | - I ; г) у = 1 -
.Л.
11.14. а) у = лх; в) у = (Л)' с
б) у = (4 - л)х; г) у = ( 1 — 1
4 - л )
011.15. а) - -ЛУ; в) (л/5 -М
б) у = (<Й4 - </4)"; г) У = (</32 ,1 - 7з)"
11.16. В одной системе координат схематично изобразите графи-
ки функций:
а) у = 3х, у = 8х;
б) у = М, у = Г—
у ^4 ) у 2 )
в) У = (V?) , У = 5х, у = (>/8) ;
11.17. Сравните значения З*1 и З*2, если:
а) х-\ — , х2 ~ \ в) Х-1 — —, х2 ~ “5
1 3 2 3 1 5 2 5
б) , х2 = — г) х1 = 1, х2 = — ~.
11.18. Определите, какое из чисел, 5*1 или 5*2, больше, если:
ч 2 4 ч 3 4
а) •*! — , х2 - ; в) Х1 - —, х2 —
об 5 7
б) X, = -1, х2 = г) Х1 = х2 = -Н.
11.19. Сравните значения (л/з)
а) а = 0,3, Р = -;
4
и (л/з)\ если:
в) а = 1,9, Р = 2,1;
б) а = --, Р = -0,4;
3
г) а = 3,1, Р = 710.
11.20. Сравните значения (0,6)Хг и (0,6)*2, если:
а) хх = 0,2, х2 =
б) %! = Тб, х2 = 2,5;
в) хх = -4,1, х2 = -5;
г) хх = -6,5, х2 =0,1.
11.21.
ГзТ1
Определите, какое из чисел — I ~ I
Г 3 Г А
или — — больше,
если:
ч 2 3
а) = -, х2 =
о о
6) х, - х2 - -*»;
1 7 2 11
11.22. Сравните числа:
а) 1,334 и 1,340;
ч 5 3
в) Х1 = —, х2 = —;
; 1 7> 2
г) хх = -1,6, х2 = -3.
в) 12,1^ и 12, Г^;
г) (0,65)и (0,65)2.
Расположите числа в порядке возрастания:
011.23. а) 2®; 2’?; 2^; 2^; 214; 1;
б) 0,39; 1; 0,3-^; 0,3"; 0,3-9; 0,3*.
011.24. а) (7з)^; (л/з) 75; (7з),г; 1: (Тз)75; (Тз)75;
Исследуйте функцию на монотонность:
11.26. а) у = (7з)Х;
б) у = 0,3х;
в) у = 21х;
11.27. а) у = 2“х; б) у =
011.28. а) у = (712 _ 7з )х;
б) у = (775 - Тб)1;
11.29. а) у = -3 12х;
б) у = -—;
(0,5) + 1
011.30. а) у = 2 Х+1;
б) у = 5"2х + 4;
з) У = 17“х; г) у =
в) у = (^27 - 7з)*;
г) У = (798 - Т64)1-
ч 1
в) У =
г) у = 1(Г3х - 2.
(з V
11.31. Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:
а) у = 4х - 1; в) у = -Зх2 + 8;
б) у = 18х; Г) у = .
11.32. Укажите, какие из данных функций не ограничены сверху:
а) у = -Зх2 +1; в) у = (7,2)х;
б) у = (0,6)х; г) у = соз х.
11.33. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной
функции на заданном промежутке:
а) у = 2х, [1; 4]; в) у = Г|Т, [0; 4];
б) У = |ЧТ’ Н; ЛЬ г) У = 2х, [-4; 2].
I О )
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной
функции на заданном промежутке:
11.34.
а)
У = (ч/2)Х , 4];
( V
В) у = (</б)Х , [0; +оо);
( V
1
Гз
б)
г) У =
У =
1
011.35.
а)
у = 3х1 + 8,
011.36.
11.37.
11.38.
б)
в)
У = 7х’2
г) У = 4 •
а)
б)
в)
г)
- I
5 )
+ 9,
у = 32 • 2х'6
+ 4, [-1; 2];
[0; 2];
+ 13, [-2; 3].
- 5, [-1; 2];
у = 27 • З’х-2 + 4, [1; 3];
у = 125 5~х~4 - 12, [-2; 0].
На каком отрезке функция у = 2х принимает:
а) наибольшее значение, равное 32, и наименьшее,
ное
1
б) наибольшее значение, равное ”, и наименьшее,
о
1 9
НОС ТТ77-
128
На каком отрезке функция у = — | принимает:
13)
а) наибольшее значение, равное 81, и наименьшее,
НОе 27 5
б) наибольшее значение, равное и наибольшее,
7з
рав-
рав-
рав-
рав-
У = 5 •
У = 8 •
х
2
ное -т=?
^9
011.39. Докажите, что для функции!/ = /(х), где/(х) = 2х, вы
полняется равенство:
а) /(хг) /(х2) = /(х± + х2);
б) /(х + 1) /(2х) = 2/3(х);
в) /(-2х) =
г) /(соз2 х) = у2/(соз 2х).
011.40. Докажите, что для функции у = /(х), где /(х) =
выполняется равенство:
а) /(Хх) • /(х2) = /(Хх + х2);
б) /(х - 1) /(Зх) = 3/4(х);
в) «-5«> =
г) /(31П2 X) = гАьгг.
^/(СОЗ 2х)
11.41. Найдите область определения функции: х \-х2 + 2 а) У = 4х2’1; в) У = | 1 о 1
б) У = 7х; г) У = 9,1х-1.
11.42. У = 1 , в) 7/ — X
а) 2х - 1’ у - 3х - 9’
х + 2 . 2х + 1
б) У - 0,5х - 2’ г) у - Г1Т - 27 I3)
11.43. а) 7/ — X 4- 1 . В) 7/ = 3х -ь 3.
у - Уз7 - 27? У 32х - 9 ’
б) 2х + 4 г) л/б7 - 5
у - 7о,6х - 0,36 ’ У = 5х - 25 *
Найдите область значений функции:
Ь11.44. а) У = 3 2х; в) У = - • 7х; 2
б) У = НИ г) У = НИ
©11.45. а) У = 3х + 1; в) У = 17х - 2;
б) У = Н+° г) У = И-8-
011.46. а) У = 0,52х - 16. 0,5х- 4 в) У = г.б2" - 25. 2,5х + 5
б) 231 - 27 г) 431 + 125
У 2^ + 3 -2х + 9 ’ У 42х - 5 • 4х + 25
011.47. а) У 0,5х - 9 в) 7/ 1,21х - 4
7о,5х + 3* У 71,21х - 2*
б) 11 216х - 8 г) 64х + 1
У 36х + 2 • 6х + 4 ’ У 16х - 4х + 1 ’
Постройте график функции:
11.48. а) У - 2х + 1; в) У = 4х - 1;
б) У = г) У = (0,1)х + 2.
11.49. а) У = 5Х+1; в) У = 3х’2;
< ч У’2 / о У+0,5
б) У = г) У = и
011.50. а) У = 2х’1 + 3; в) У = Зх+1 - 2;
<1 \Х+2
б) У = 1 г) У = 7^ -3-
011.51. Дана функция у = /(х), где /(х) = <
2х, если х > О,
Зх + 1, если х <
0.
а) Вычислите /(-3); /(-2,5); /(0); /(2); /(3,5).
б) Постройте и прочитайте график функции у = /(х).
011.52. Дана функция у = /(х), где /(х) = <
4х, если х < 1,
-х2 + 1, если х > 1.
а) Вычислите /(-3); /(-2,5); /(0); /(1); /(2).
б) Постройте и прочитайте график функции у = {(х).
011.53.
Дана функция у = /(х), где /(х) = *
если х < О,
\[х + 1, если х > 0.
а) Вычислите /(-5); /(-2,5); /(0); /(4); /(1,69).
б) Постройте и прочитайте график функции у = /(х).
011.54.
Дана функция у = /(х), где /(х) = *
если х < О,
соз х, если х > 0.
а) Вычислите /(-3); /(-2); ЛО); /Ш;
б) Постройте и прочитайте график функции у = /(х).
011.55. Постройте график функции:
а) У =
4х, если х < О,
соз х, если 0 < х < л,
х - л - 1, если х > л;
/ 71
зш х, если х < —,
2
л л
х +----1, если — < х < 0.
2 2
если х > 0.
Постройте график функции:
011.56. а) у = 2|х|; б) У =| - ; в) у = 4|х|; г) у = 0,2|х+г|.
V3;
.011.57. а) у = |2Х - 4|; б) у = |9 - 3х |.
•11.58. а) у = |2Х + 1| + |1 - 2х|; б) У = |О,5Х + 1| - |1 - 0,5х |.
Решите уравнение:
11.59. а) 23х = 128; б) 63х = 216; в) 32х = —; г) М = —
27 ^7) 343
011.60. а) (>/2Г+2 = в) = ^/5;
2
6) = 4=; Г) (йГ = «.
7з
011.61. а) 3х = 4 - х;
в) = X + 3;
в) 5х = 6 - х;
011.62. а) 2х = -2х + 8; в) 3х = -х + 1;
< 1 V
б) - = х + 11; г) (0,2)х = х + 6.
I о I
011.63. а) 2х = -; б) в) 5х = -; г) Г1Т = -3.
х х х ^8 х
011.64. а) 3х + 1 = -;
X
б) 3х + 3 = —
X
011.65. а) 5х"1 = -;
X
б) Зх+2 = —;
х
011.66. Решите уравнение:
а) 2х - 1 = х/х;
<1V г-
б) - = ух + 1;
( 4
Решите неравенство:
11.67 . а) 4х < 64; б) || | >
в) 3х - 1 = -4х;
011.69. а) (3%/3)* > х/3;
б) (4^/4 Г < х/4;
. (2 V . 343
в) — С-------5
I7 7 8
г) 2х > —.
256
в) (9^/ёГ < Зх/З;
г) (8х/4Г > ^32.
При каких значениях аргумента график заданной пока-
зательной функции расположен выше графика заданной
линейной функции:
011.70. а) у = 3х, у = -х + 1;
б) у = 0,5х, у = 2х + 1;
011.71. а) у = 2х, у = х - 2;
<2 V
б) У = - , у = х+1;
I б )
в) у = 5х, у = -2х + 1;
(1V
г) У = - , у = х + 1?
I о ]
в) у = (х/2)1, у = х - 4;
/ о \х
Г) У = - , У = -X - 2?
011.72. При каких значениях х график заданной показательной
функции расположен ниже графика заданной линейной
функции:
о
а) у = 2х, у = --х - 1;
/и
б) У = Ш , У = -X - 2;
{ Л I
у = Зх + 1;
г) у = 3х, у = -2х + 5?
Решите неравенство:
И 1.73. а) 3х > 4 - х;
(1 у
б) - < х + 3;
I2;
2 <1V
>11.74. а) 2х > —; б) - I <
' х к4/
•11.75. а) 2х + 1 > соз х;
б) 2'х' + 1 > 2 соз х;
• 11.76. а) |х - 1| > 2,5х;
б) |2х - 1| < 3,1х;
•11.77. а) 2х - 1 > 7х;
<1Т , Г- 1
б) - < <х + 1;
Г1Т 1
в) - + 1 < ат х;
Цз;
г) з'х' < соз 2х.
в) 2х < |х - 3|;
г) > |х + 4| .
I о I
в) 3х - 1 > -4х-,
(1 У . Г 1
г) - > у1х + 1.
I О )
•11.78. а) Найдите наибольшее целочисленное значение функции
_ -I ля1п 2х соз Зх + соз 2х з!п Зх + 0,5
I/ IV .
б) Сколько целых чисел принадлежит области значений
функции у = 30 • 3СО32'5Х зт3.5г-2?
§ 12. Показательные уравнения
12.1. Решите уравнение:
б) 7х = —;
343
г) 0,2х = 0,00032.
а) 4* = ±;
12.2. а) 10х = ^Тббб;
б) 5х
12.3. а) 0,3х = —;
27
в) 0,3х = Ж0081;
г) = 25^/5.
. л „х 1000
в) 0,7 =-----;
12.4. а) 2х + 1 = 4;
в) 0,44-5х = ОДбТбД
б) 53х-1 = 0,2;
012.5. а) 3 ^х
б) 62х-8 = 216х;
в)
012.6. а) 3х2'4’8 • 7з = —;
27
б) 0,5х2"8’8 • 7д?5 = 32;
128’
г) 0,1х2’08 • л/0Д = 0,001.
в) 5х • 2х = О,Г3;
г) 0,3х 3х = ^'081.
012.8. а) (л/12)Ж • (л/зГ = -;
6
в) (МХ • = 243;
б)
= 0,8Г2х;
г)
= 20,25х+1
Решите уравнение:
012.9. а) л/б25 л/б141’9 = 7125 •5вх’12;
б) да ^0,22х^ = ^0,04~3х + 6.
ох2 7*2
012.10. а) — = 27; в) —= 77;
9х 493
012.11. а) Зх + 1 5х = 675; б) 4Х + 2 Зх+1 = 576; 012.12. а) 27^ = 7эх+1; б) 2^3~х2 = >/2 >/32; 012.13. а) 2х = 3х; б) 25х = 72х; 012.14. а) 3х • 7х'2 = 49 • 4х; б) 62х+4 = 28 + х • З3х; 012.15. а) 24х+2 • 5-3х-1 = 6,25 • 2х 012.16. а) 4(75 - 2)*’12 = ( ^л/5 + 2 б) 9(з - 7в)2х+1 = (—Ц= в) 5 23х 3х = 2880; г) 22х + 1 5х = 16 000. в) 3' • = 243; г) (о,1^ = в) 2Х+1 • 5Х+3 = 250 • 9х; г) 354х+2 = 53х + 4 • 7&. + 1; б) З51’1 • Т21’2 = 3! \х-12 > ) \2х+1
012.17. а) 3х - Зх+3 = -78;
б) 521'1 - 52х"3 = 4,8;
012.18. а) 72х + 1 + 72х + 2 + 72х + 3 = 57;
б) 24х-1 + 24х'2 - 24х’3 = 160;
в) 100 0,34х+2 - 0,092х + 5 0,0081х = 13;
012.19. а) 23х - 6 • 22х + 12 • 2х - 8 = 0;
в) 5х + 6 • (\/2б)Х + 12 • (^/б)Х + 8 = 343;
г) 2х + 3 • (^4)Х + 3 • (^2)Х + 1 = 27.
012.20. а) (32х - 1) • (34х + 32х + 1) = 26;
б) (52х + 1) • (54х - 52х + 1) = 126;
в) ((^7)Х - 1) • (7х + (>/7)Х + 1) = 342;
г) ((«!)’ + 1) • ((</121)' - (Й1)‘ + 1) = 122.
012.21. а) 22х - 6 • 2х + 8 = 0;
б) 32х - 6 • 3х - 27 = 0;
012.22. а) 2 • 4х - 5 2х + 2 = 0;
б) 3 9х - 10 3х + 3 = 0;
В,4Ш'+15Ш’4=О;
г) (0,25)х + 1,5(0,5)х -1 = 0.
012.23. а) 4 • - 17 • +4 = 0;
б) 0,0Г + 9,9 • (0,1)х -1 = 0;
6 = 0;
10 = 0.
012.24. а) 22х + 1 - 5 • 2х - 88 = 0;
в) 52х + 1 - 26 • 5х + 5 = 0;
012.25. а) (Т7)2Х + 2 - 50 • У/?У + 7 = 0;
б) Ш2Х + 2 - 37 • (л/б)" + 6 = 0.
012.26. а) 3х’1 - Г-") = .М— + 207;
^3) у94"х
б) ^/16х + 1 + 188 = 8 • 2х - 0,53-х.
012.27. а) 2х2+2х’6 - 27~2х’х2 = 3,5;
б) 32х2+х = 26 + З3’х’2х2
Решите уравнение:
•12.28. а) (19 - 6>/10)Х + 6 • (710 - з)* - 1 = 0;
б) (710 - з)41 - 6 (19 - бЛоГ -1 = 0.
•12.29. а) (2 - ТзГ + (2 + 7з)* -4 = 0;
б) (3 - 2л/2)Х + (3 + 2>/2)Х -6 = 0.
•12.30. а) З3х + 1 - 4 9х = 17 3х - 6;
б) 32 8х’1 + 3 (4х + 2х) = 1.
012.31. а) 32х + 4Х + 1 = 5 • 2~х;
б) 5 • 125х - 26 5х + 51-х = 0.
012.32. а) в)
5 = 5
б ) 12х + 143 “ 12х*2’ Г)
2х + 1
012.33. а) —------- = 1; в)
2 2 - 2
1 = 1
5х + 4 5х*1’
8 = 8
11х + 120 11х + 2
3х + 4
012.34. а) 18х - 8 • 6х - 9 • 2х = 0;
б) 12х - 6Х+1 + 8 3х = 0.
012.35. а) 24 З2х2-3х~2 _ 2 • 32х2’3х + З2х2'3х^ = 9;
б) 5 • 2х2*5х+7 + 2х2*5х*9 - 2х2+5хх1° = 2.
•12.36. а) 52х2~] - 3 • 5<х + 1)(х + 2) = 2 • 56<х + 1);
б) д2х2-1 _ д(х-1Хх + 5) _ 2 . д8(х-1)
012.37. а) 3 • 2х + 6х - 2 • 32х =0;
б) 2 22х - 3 10х - 5 • 52х = 0;
в) 32х + 1 -4 • 21х-7 • 72х =0;
г) 5 • 32х + 7 • 15х - 6 • 25х = 0.
•12.38. Решите уравнение:
а) 9х + 6х = 22х + 1;
б) 252х + 6 + 16 42х+4 = 20 102х + 5.
012.39. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни:
а) 2х = а; в) ^/з* = -а;
(1
б) 83х + 1 = а + 3; г) | = а2?
012.40. При каких значениях параметра а уравнение не имеет
корней:
а) 48 • 4х + 27 = а + а 4Х + 2;
б) 9х + 2а Зх + 1 + 9 = О?
•12.41. а) При каких значениях параметра а уравнение
9х + 3х + а2 - 14а = 0 имеет единственный корень?
б) При каких значениях параметра а уравнение
4х - 3 2х + а2 - 4а = 0 имеет два корня?
•12.42. При каких значениях параметра т уравнение
х2 _ (2™ - 1)х - 3(4ГП~1 - 2т~2) = 0 имеет единственный
корень?
•12.43. При каких значениях параметра а уравнение
|Зх-а| + |Зх+а| = 2 имеет бесконечно много корней?
Решите систему уравнений:
лл ч [2Х + У = 16,
.44. а)
[З* = 27х
в)
52х’* = 125,
4х ~у = 4;
б)
0,53х 0,5* = 0,5,
23х • 2“* = 32;
10,6х + * 0,6х = 0,6,
Г [10х 10* = (0.01)’1.
012.45. а)
ЦЗГ2У = 73 >/27,
0,1х 103* = 10;
27* 3х = 1,
= л
/1V
- • 5* = 125;
Л5 )
5* 25х = 625,
г)
27
012.47. а)
012.46. а) <
22х + 2х • у = 10,
у2 + у • 2х = 15;
б)
72х - 7х • у = 28,
у2 - у -7х = -12.
§ 13. Показательные неравенства
Решите неравенство:
13.1. а) 2х > 4; б) 2х <
2
13.2. а) 3х < 81;
13.3. а) 32х'4 < 27;
13.4. а) 72х-9 > 73х’6;
б) 0,54х+3 > 0,56х-1;
013.5. а) 45х-1 > 163х + 2;
в) 2х < 8; г) 2х > —.
16
в) 5х > 125;
г) (0,2)х <0,04.
в) 54х+2 > 125;
г) (0,1)5х-9 < 0,001.
в) 9х*1 > 9~2х*8;
в) 1Г7х + 1 < 12Г2х'10;
г) 0,096х-1 < 0,3х + 7 .
2>/2 • 2х*3 >
2
013.7. а)
013.9. а) х/г*2-7’8 > 2“7;
б) 0,9х2-4х < ;
013.10. а) 2х 3х > 36х >/б;
013.11. а) 4х • < 2,25;
” 9- • > 0,25;
013.12. а) г/з • ^2 > —;
36
б) </0Д • </0Л > 0,0016;
013.13. а) 5х-1 • 2Х+2 > вю^-3^2;
2х - 3
013.14. а) 19х + 2 >1;
7x4-1
б) 0,362~х < 1;
013.15. а) 5х7* < 5;
2х -1
5х - 9
в) 37х+6 < 1;
г)
9х-18
( 29^6-*
1^30 )
в) 17х-8
> 17;
Зх + 4
г) (0,21) х“8 < 0,21.
013.16. а) 3 х < —;
27
013.17. а) 37х2’8х+6 > 1;
0,4,/4х2-13х+3 1;
013.18. а) 2х-31 > </2;
б) 5!х+9‘ < </25;
013.19. а)
б) (0,2) х| > (0,04)!Х-91;
в) (Тз)2|х| < 3|-х+91;
г) > б-19"-11.
013.20. Сколько натуральных чисел являются решениями нера-
венства:
а) 8"2х + 8 > 512; в) 25х~7 < 16;
71 \8х~23 1
б) - г) о,14*-5 > 0,001?
013.21. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства
(если оно существует):
а) 2,52х + 3 С 6,25; в) 1,15*-3 < 1,21;
т7х-8 я
б) - > —; г) 0,79х + 4 > 0,49.
125
013.22. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
а) 5х2'2х < 125; х 1 \2х2-3х . б) - ; ' ^749’ Решите неравенство: 013.23. а) 3х < 5х; б) 6х > 2х; 013.24. а) 2х + 2Х+2 < 20; б) 32х-1 - З2х-3 < -; 3 013.25. а) 72х+1 + 72х+2 + 72х+3 б) 24х-1 + 24х’2 - 24х‘3 в) 2-х2+8х > 128; г) (0,3)х2’х >0,09? в) < 12х; I13 г) 0,6х > 3х. ( 1 \3х + 4 / \3х + 5 в) - ] + - | >6; г) 0,36х-1 - 0,36х > 0,7. > 57; < 160;
в) 100 0,34х+2 - 0,092х + 5 0,0081х < 13:
, \х+0,25 / \2х + 1 / \4х1-3 ч | 1 I | 1 ] | 1 ] 5 Г[16+ [4] " [24' 013.26. а) 22х+1 - 32х+1 < 32х - 7 • 22х; б) Зх+1 + 3х'2 + 2 • 3х > 2 • 72х+1. 013.27. а) 32х - 4 • 3х + 3 < 0; в) 0,22х ( 1А2х б) 52х + 4 • 5х - 5 > 0; г) - - 1,2-0,2х + 0,2 > 0; /1У + 6 • ± - 7 < 0. I7
013.28. а)
5 > 5 .
12х + 143 12х*2 ’
В) 11х + 120
б)
16х + 42
16х
< 22;
ч 5х + 15
г)-^~
013.29. а) 3"' - 3“'‘ + З”1 - 1 » 0;
б) (1[-^Г+27Ш-27<0;
в) 23х + 15 • 22х + 75 • 2х + 125 < 0;
г) 0,13х - 3 • 0,01х + 3 • 0,1х - 1 > 0.
013.30. а) (3х - 1)(32х + 3х + 1) < 0;
б) (7х + 1)(72х - 7х + 1) > 0;
в) (0,2х - 0,2)(0,04х + 0,2х+1 + 0,04) < 0;
013.31. а) 22х+1 - 5 • 2х + 2 > 0;
б) 32х+1 - 10-3х + 3 < 0;
г) (0,5)2х1 + 3 (0,5)х - 2 > 0.
013.32. а) 26х-10 - 9 • 23х‘5 + 8 =С 0;
б) 52х+1 - 5Х+2 < 5х - 5;
в) 38ххб - 10 • З4х+3 + 9 > 0;
г) 32х+2 - Зхт4 < 3х - 9.
013.33. а) 5х - 30 (75)* + 125 > 0;
б) 0,2х - 1,2 • (А2)Х + 0,2 < 0;
в) Зх+1 - 28 • (ТзГ + 9 < 0;
г) 7Х+1 - 50 • (л/7)х + 7 > 0.
013.34. а) 5х < -х + 6;
б) > Зх + 1;
013.35. а) 22 х > 2х - 3;
013.36. а) > х2;
013.37. а) | < (4,5)х-1;
•13.38. а) х -2х < 8;
•13.39. а) 2х + 2 - х2 > Зх2"2х+2
в) < 0,5х + 5;
г) 3х > —х + 4.
б) З3"2х < 2х + 1.
б) х2 + 6х + 9 > (0,1)х+2.
б) - > 3х’1 + 4.
' х
б) х • (0,5)х > -8.
б) 2х2-4х+5 > 4х - 2 - х2.
Решите систему неравенств:
013.40.
а)
|73х"10 < 49;
0,4 х + 3 < 0,16,
0,1х2'1 > 0,01;
013.41.
а)
32х + 1
0,5х"1 < 2;
б)
(0,3)"4х + 1 < —
9
102х + 4 > 1;
Л\ ю о 1 н см ю [1О
г) < 0,2®"9х < 125.
в) < > А.
(0,2)3х+1 < 5х’1;
г) < Ш’*"1 < 24г,
> 0,16.
013.42. Решите неравенство:
ч х2 4- 4х + 4 . п
а) > 0;
3х - 27
б) °’2Х - °-’-008- < 0;
х2 - Юх + 25
„ 25 - 0,2х
в) 1------------7
4х2 - 4х + 1
ч х2 + 6х + 9
Г) 2х - 4
Решите неравенство:
•13.43. а) (х - 6)(5х6 - 25) < 0; б) (2х + 1)(33х - 9) > 0.
у2 _ О _ 5
•13.44. а) ------ < 0; б) —---— > 0.
2х - 8 5х - 125
•13.45. а) (2х - 8)(3Х - 81) < 0;
б) ^Зх+2 - -^(53’2х - 0,2) > 0.
•13.46. а) При каких значениях параметра а неравенство
9х - 4(а - 1) • 3х + а > 1 выполняется для любого зна-
чения х?
б) При каких значениях параметра а неравенство
4х - (а - 3) 2х + 1 + 2а + 2 < 0 не имеет решений?
§ 14. понятие логарифма
Докажите, что верно равенство:
14.1. а) 1о&2 8 = 3;
б) 1ое3 ± = -2;
9
14.2. а) 1о§2 2 = 1;
б) 1о& 472 = 2,5;
А 1 1 л
в) 108'1 77 = 4;
2
г) 1о§! 625 = -4.
5
в) 1оеод0,1 = 1;
г) 1^100710 = 2,2.
в) 1е 0,0001;
г) 1ое$ 81.
в) 1оё 1 225 715;
Вычислите:
Vб) 7
14.3. а) 1ое2 24; б) 1оё1| ± | ; в) 8’3; г) 1о80д (0,1)5.
14.4. а) 1оё3
б) 1ое0>1 0,0001;
14.5. а) 49;
>/<
б) 10^(278);
72 -2 729
Вычислите:
14.6. а) 1о^ 1; б) 1о&05 в) 1о?л 8173; г)
14.7. а) 1об1—; б) 1о&-7^; в) 1о^02-^; г) 1о^011071000.
7 49 76 >/5
З7 • 3"
014.8. а) 1о§3 ——
С 6,5 0-0,7
б)
г) 1о&5
0>/2 - 1 . 0>/2 + 1
(б^-3)2
014.9. а) 1о§2 (7з - 1)(7з + 1);
б) 1ое5 (Тб - 1)(736 + Тб + 1);
в) 1оёо,2 (732 + 77X732 - 77);
г) 1о§7 (Тб + Т2)(Т25 - 710 + 74).
014.10.
а) 1о&65
218 + 1
212 - 2е 4
б) 10^5
3° - 8
З6 + 2 З3 + 4
014.11.
а) 1оё’21ое5
юТб
7Тб - 7125 ’
б) 10^6 1О§2
2«,4 ' 9~0,2
(2е’1)2
14.12. а) 31оез8; б) 4106423; в) 121ой21-3; г) .
014.13. а) 23т 10629; б) 71 + 10|М; в) Г1Т"10®*20. г) (77)4+1°ел°’5.
014.14. а) 1310®1з4-2. б) О)5‘»еоЛ4-1. в) 2,2106ад5'2; г) 1О165’0’8.
Вычислите:
014.15. а) 8210®83; б) 6’310862; в) З410832; г) 5-21О8“3.
014.16. а) 4 • 125ь 108125 8; б) 3 • 43~108424; в) 7 • 0,52'10805 35; г) 100 • 0,33'1О8ад27.
014.17. а) (Ж^ + 2108-’23; б) (Ж*312 - 12*оез9; в) (Ж*516 - ^2; Г) (Т7)1О8т2 + 161о8э3.
14.18. Решите уравнение: а) 1&х = 1; в) 1&х = -4;
_ 1 2 б) 1ог0>027 х = -; О ч 1 3 г) 1ое025 х = -.
14.19. . 1 1 а) 1о^4 х = X , 4 в) 1ое32х = -т; 0
б) 1о$0Д25х = о \ 1 3 г) 1оёо,01Х = &
14.20. а) 1оёх4 = 2; в) 1о&х125 = 3;
б) 1оёх — = -3; 27 ч , 1 Г °ёг16 = ~4'
14.21. а) 1оёх3 = |; в) 1°ёх7 = |; О
б) 1оёх4 = г) 1о§х8 = 3
14.22. а) 2х = 9; б) 12х = 7; В) |^=4; г) 0,2х = 6.
014.23. а) 3х"1 = 14;
б) 45х’4 = 10; Г) = 6.
' Решите уравнение:
014.24. а) 2х2*1 = 7; в) 0,1х2’2 = 3;
б) 9°’5х2 = 2; Г) 1 Г = 0,1.
014.25. а) 4х - 5 • 2х = -6; в) 9х - 7 3х = -12;
б) 16х = 6 • 4х - 5; г) -9 • 7х + 14 = -49х.
014.26. а) 9Х + 1 + 6 = 189 • 3х'2; в) 4Х + 1 + 5 = 24 • 2х1;
/ . \Х + 1 / 1 \X - 1
б) 25х + ! + 3 = 100 5х”1; г) - +3= - .
I4; I2;
Решите неравенство:
(1 V
014.27. а) 2х > 9; б) 12х < 7; в) - < 4; г) (0,2)х > 5.
13 1
( 9 \3~ 'х
014.28. а) Зх+1 <14; в) - > 11;
I7)
б) 55х”4 > 10; г) (Тб)8"’* < 6.
014.29. а) 4х - 5 • 2х > -6;
б) 16х < 6 • 4х - 5;
в) 9х - 7 • 3х < -12;
г) 9 • 7х + 14 > -49х.
•14.30. Решите уравнение с параметром а:
а) 4х - 2х + а = а • 2х;
б) 9х - (2а + 1) • 3х + а2 + а - 2 = 0.
•14.31. Постройте график функции:
а) у = 1оехх2; б) у = 2*°е2Х; в) у = х106*2; г) У = 1о^~-
§ 15. Логарифмическая функция,
ее свойства и график
15.1. Какие из указанных функций являются логарифмическими:
а) у = 1о& 4 + х; в) у = 1о§05 х - 1о§4 2;
б) у = 1о§3л - Зх; г) у = 1о§02 л + 9х?
15.2. Найдите значение логарифмической функции у = 1о&3 х
в указанных точках:
а) З7; б) З'3; в) З13; г) З’117.
Найдите значение логарифмической функции у = 1о&2 х
в указанных точках:
15.Я. а) = 4, х2 = 8, х3 = 16;
^11 1
б) х, = -, х9 = ;
1 2 2 4 3 16
в) хл = 32, х9 = 128, х~ = 2;
111
г) X. = -, Х9 = -, X, = --.
1 8 2 32 3 128
15.4. а) хг = л/2, х2 = ^8; в) х2 = </32, х2 = 16^128;
2 4 ч 4 2
1 у/8 2 & 732 7128
15.5. Постройте (схематично) график функции:
а) у = 1ое2 х; б) у = 1О& х; в) у = 1е х; г) у = 10^ х.
п 2
15.6. В одной системе координат изобразите графики функций:
а) у = 1ое2 X, у = 1ое9 х; в) у = 1ое5 X, у = 1ое3 х;
б) У = 1о& х, у = 1о§! х; г) у = 1о§2 х, у = 1о^ х.
2 5 5 5
Найдите область определения функции:
15.7. а) у = 1о&6 (4х - 1); в) у = 1о$9 (8х + 9);
б) у = 1о§! (7 - 2х); г) у = 1ое0>3 (2 - Зх).
9
015.8. а) у = 1о§5 (х2 - 5х + 6);
б) у = 1о§2 (-х2 - 5х + 14);
з
в) у = 1ое9 (х2 - 13х + 12);
г) у = 10^.2 (-х2 + 8х + 9).
015.9. Найдите область определения функции:
а) У = 1088., (2х2-5х + 7 - 2);
б) у = 1082 (1о80>1 х)-,
2^2- 5х + 7 _ 2
В) У = 1о8о,6--------------------
’ -V
г) у = 108о,2 (1°ёз х).
015.10. Дано: /(х) = 1о^2х. Докажите, что выполняется следую-
щее соотношение:
а) /(2х) = х; б) /(4х) + /(8х) = 5х.
015.11. Дано: /(х) = 10^ х. Докажите, что выполняется следую-
з
щее соотношение:
2х + 1;
Сравните числа:
15.12. а) 1о&47 и 1о^423;
б) 1о820,8 и 1о82 1;
3 3
в) 1о89 а/15 и 1о89 13;
1 2
Г) 10814 и 1оё±-.
12 * 12 о
15.13. а) 1о82 2 6 2 и 1о82(4а/2);
(2 )
б) 1оёо,1^2^^и1о80,1(ют
Сравните с единицей число:
15.14. а) 1о§341; б) 1о§2 30,1; в) 10^2,6; г) 1о§^0,4.
7
15.15. а) 1о86(\/9 - ^з)(^81 + ^27 + </э);
б) 18 (^/9 + 1)(</81 - ^/9 + 1).
15.16. Исследуйте функцию на монотонность:
а) у = 1ое2'6х; в) у = 1о$^х;
б) у = 1о$зХ; г) у = 1ое03х.
4
015.17. Расположите числа в порядке возрастания:
а)1оз20,7, 1о^2 2,6, 1о§2 0,1, 1о&2 1о&23,7;
1 2
б)1оё0,317, 1ое0,з2>б) 7> 1ое0,з7’ !оео,з3> 1оёо,з7-
л о
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
заданном отрезке:
15.18. а) у = 1о§3 х,
9 ;
в) у = 1§х, [1; 1000];
б) у = 1061 X, 2 16 .8 9 Г) у = \оё2х, 3 '_8_. .27’ 81 16. •
15.19. а) у = 1О65 X, 1 .125’ 25 ; в) у = 1О66 X, 1 .216’ 36
б) у = Ь^Х, 5 '16. .25’ 25' 16. ; г) у = 1ое3х, 7 8 _343’ 343 8 -
15.20. а) На каком промежутке функция у = 1о§3 х принимает
наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное
-2?
б) На каком промежутке функция у = 1о&0 5 х принимает
наибольшее значение, равное -1, и наименьшее, рав-
ное -3?
015.21. Найдите наибольшее значение функции:
а) у = 1ой1 (х2 + л); в) у = 1о^01 (*2 + 1);
п
б) У = 1о§0 3 (х2 - 4х + 5); г) У = 1оё1 (х2 - 18х + 90).
3
Найдите наименьшее значение функции:
а) у = 1ое2(х2 + 128); в) у = 1о23(х2 - 4х + 13);
б) у = 10^1(32 - х2); г) у = 1о202 (5^125 - х2).
2
Найдите наибольшее значение функции на заданном про-
межутке:
а) У = 1о22 77ТТ’ 4];
б) У = 1О60.5-2—, (2; 3];
& — о
в) у = 1о^тЛ-7’ П; 7ь
о + о
г) У = 1ое0,2 * ол ’ [25 3]-
О — ^4
Найдите область значений функции:
а) у = 1ое3 (х + 1);
б) У = 1ое0,1 (2х + 4);
а) у = 1ое22х;
б) у = З‘°6зх;
а) у = 51Об5Х+2;
б) у = 0,11о8адх2;
а) у = 10^1 (х2 + л);
Л
б) у = 1о20.з (х2 — 4х + 5);
а) у = 1ое2(х2 + 128);
б) у = 1021 (22 - х2);
в) у = 1о22 х - 4;
г) У = 1о2о>5 (-*) + 90.
1 Г ХТ
в) у = 1о& к ;
I Л I
г) у = О,^9*.
в) у = З1-1063*;
г) у = 121ОЙ2<
в) У = 1о20,1 (х2 + 1);
г) у = 1021 (х2 - 18х + 90).
з
в) у = 1о23(х2 - 4х + 13);
г) у = 1о2о,2(5^/125 - х2).
Решите графически уравнение:
015.29. а) 1о^2х = -х + 1;
б) 10^ х = 2х - 2;
з
015.30. а) 1о§зх = 4 - х;
1 1
б) 10^ х = х + —;
2 2
015.31. а) х + 2 = 1о&8х;
б) 10^ х = -2х - 5;
3
в) 1о29 х = -х + 1;
г) 1оё3 х = 4х - 4.
7
в) 1о§5 х = 6 - х;
Ч ! 2
г) 10^ X = X + —.
3 3
в) Зх + 7 = 1о&7 х;
г) 1о§2 х = -5х - 6.
5
Решите неравенство:
15.32. а) 1о$6 х > 2;
б) 1о20,] х > 3;
15.33. а) 1о29х < -1;
б) 10^ х < -4;
з
4 1 1
в) 1о$9X <
г) 1о§4 X < 3.
в) 1ое5х > -2;
г) 1оё0,2* > -3-
Постройте график функции:
15.34. а) У = 2 + 1оёзх; в) У = -3 + 1о^4 х;
б) у = ~1 + 1о§1 х; 3 г) У = 0.5 + 1о§01 х.
15.35. а) у - 31о§4х; в) У = 5 1ое8 х;
б) У = 21о§1 х; 3 г) У = 11ог0,5 х.
15.36. а) У = -2 1ой7 х; в) у = -0,5 1о^2х;
б) У = -41о^1 х; 6 г) у = -10^2 X. 3
15.37. а) у = 1ое2 (х + 4); в) у = 1оё5 (х - 1);
б) у = 1о^! (х - 3); г) У = 1О&0.3 (х + 5).
5
Постройте график функции:
5.38. а) у = 1о§3(х + 1) - 3;
б) у = 1ое0,2 (х - 2) + 1;
5.39. а) у = 1&(5 - х);
б) у = 1О&! (2х - 4);
в) у = 1оё5 (х - 1) + 2;
г) У = 1оё0,5(х + 2) - 1.
в) у = 1о§0-5 (1 - х);
г) У = 1о&з (Зх + 6).
-Зх + 3, если х < 1,
10^! х, если х > 1.
5.40. Дана функция у = Дх), где Дх) =
а) Вычислите /(-8), Д-6), ДО), ДЗ), Д9).
б) Постройте и прочитайте график функции.
5.41. Постройте и прочитайте график функции:
а)
Г-4х + 4, если х < 1,
[1о§2х, если х > 1;
—(х - 4)2, если х < 5,
1о§0 2 х, если х > 5;
1ое2х, если 0 < х < 2,
если х > 2;
г)
если х < О,
1ое^ х, если х > 0.
Постройте график функции:
5.42. а) у = 1оё2 |х|;
б) у = 11оё1(1 + х)|;
5.43. а) у = |1 - 1о§2|х - 1||;
в) у = 1О&Д1 + |х|);
3
г) у = |1оё3(-х)|.
б) У = 110^1,512 - х| - 2
5.44.
а)
б)
У = 1о& X - 1 + 1о& X + 1 ;
У = 1о§3 х + 1 - 1о^3 х - 1.
015.45. При каких значениях х график заданной логарифмиче
ской функции расположен выше графика заданной ли
нейной функции:
а) у = 1об2 х, у = -х + 1; в) у = 1о& х, у = 7х;
7
б) У = 1ое0,5*’ у = X -1; г) у = 1об3х, у = -Зх?
015.46. При каких значениях х график заданной логарифмиче
ской функции расположен ниже графика заданной линей
ной функции:
а) у = 1об4 (х - 1), у = —х + 2;
б) у = 1о$1(х + 4), у = -Зх - 2?
2
Решите неравенство:
015.47. а) 1о^2х > -х + 1;
б) 1о§3 х > 4х - 4;
7
015.48. а) 1о&3 х < 4 - х;
! 1
б) 10^1 х < х +
2- 2
2
015.49. а) 1о&2 х >
б) 1ои3х <
015.50. а) 10^ | х - - | > х2;
2 V 2 )
б) х + 1 < -х2 + 2;
в) 1о29х < -х + 1;
г) 1о21 х < 2х - 2.
3
в) 1о&5 х > 6 - х;
ч 1 2
г) 1о^т х > х + -.
з $
в) 1ое2(-х) < —;
г) 1ое3(-х) >
в) 1о§013 х < х2 - 1;
г) 1ё(-х) + 1 > -х2 + 1.
§16. Свойства логарифмов
Вычислите:
16.1. а) 1о(*62 + 1ое63;
б) 1е 25 + 1е 4;
16.2. а) 10^144 3 +
б) 1обА 4 + 1061 2;
8 8
в) 1об26 2 + 1об2613;
Г) 10612 4 + 1О&12 36.
в) 1об216 2 + 1об216 3;
г) 1об1 4 + 1об1 36.
12 12
Вычислите:
16.3. а) 1ое37 - 1о23-;
б) 1о&1 28 - 1о^1 7;
2 2
16.4. а) 10^ 6 - 2>/3;
б) 1оё^7л/2 - 1с»ё^14;
16.5. а) 1оё^2; б) 1021 Д=;
72 2 4<2
в) 1оё21б - 1оё230;
г) 1оё0,240 - 1оё028-
в) 1о§2 32 - 1о§2 243;
3 3
г) 1оё0.10,003 - 1оё0,]0,03.
в) 1оёз7218; г)
юоЛо
16.6. а) (312 2 - 1$ 24) : (1^3 + 1$ 27);
б) (1оё32 + Зк>ё30,25) : (1о2328 - 1о8з7).
016.7. а) 1о2! 4 • 1оё39 : 1о24 —;
2 4
б) 102^3 зТз : 1021 >/49 • 1о25>/5;
7
в) 1О23 81 : 1о20,5 2 • 1о25 1 25;
г) 102^ 5>/5 • 1о2о,3>/0?3 : ^Ю^/бД.
016.8.
а)
б)
в)
г)
102! 16- 1оё5^| : 31оез2;
1О23 2 7 : 1022 4 • 1о27^49;
2
з/о
1оё! 9 : 721ое?2;
з 8
1О8*ЙИ 10&-бЬ '1е,о/оЛ'
016.9. а)
1ое725.
1о275 ’
б)
1о^19
102127’
2
1о§ 36 х 1оё0,332
в) -------; г) -----------•
1ое46 к>20364
016.10. а)
75(10^3 36 - 1оё34 + 510й8)°'51е5;
О
б) -(1о&123 + 1О212 4 + 7“*74)210й11.
Вычислите:
016.11. а)
з^811оеэ6 _ 71О^9.
б)
^361огб5 - б10*5®.
016.12. а)
22 + 10^2 5 .
б)
^1ое51б
в)
01 + 1о23 8 ь
г)
010^3-2
016.13.
а)
23 1о&2 4,
б)
2 1021 7
I 2
в)
^2 1о^5 3,
г)
(О З)31ое°’36
.102113
До21 5
016.14.
а)
010^2 3.
б)
в)
251О$>3;
г)
016.15.
а)
365106618
б)
64|106825
в)
— 1оец 35
1212
Л 1065 9
г) 254 .
016.16.
а)
1 + 0,5 102114
I 2
016.17.
б)
г)
401-0,5 102714
а)
к>8364 - 21о§32
1ое32
в)
21о&),52 + 1ое0 ,У10
1О&0.510 - + 1^0,5 4 ’
б)
1ое612 + 2к>862
г)
-1ое627 + 41о$62
О
1о8031б
1о&),з15 - к>8озЗО’
251 ” 0,51о$511 •
9
016.18. а)
1ое815 - 1о^3 + 2108,15 + 2108,3.
108,15 + 108,3
б) 3(108,15X108,9) - 2108*15 - 10^9.
1о&59 - 1о&515
в) 210^12 - 41о^2 + 1о^12 + 41оё3 2.
В 31О2312 + 61О23 2
51о2431о2412 - 21о^3 - 31о^412
21о24 3 - 31о2412
Вычислите:
016.19. а)
1о^
+ 10^2 2 соз I ;
о
К . Я ] , Я Л I
б) 1021 С08 - + 81П - 4- 102] с°8 ~ - 8Н1 - ;
2 к 6 бу 2 к б 6
в)
1 Л • Я , Я
1021 2 81п — + Ю21 соз — ;
Н 12) Ц 12;
г) соз - 81п-^ + 108^ соз А + з1пЛ
Т I 12 12 ) Т к 12 12
016.20. а)
1о83 Г218^ - 1о83 Г1 - 182
к о) О
б) 108^3 + 108^3
/ \ / х-1
ч 1 | Л . Я | 1 | 12 I
в) 1081 218 - + 1081 1 - 18 - ;
з \ б/ з\. б )
г)
1081
2
. 71 1 1 Г. 5
18- + 1081 л
/ 2 к 1^
Сравните числа:
016.21. а) 1о834 и ^/9;
б) 1о80,53 и 8шЗ;
•16.22. а) 1о834 и ^2;
в) 1о825 и \/7;
г) 18 0,2 и соз0,2.
б) 1о823 и ^7.
016.23. а) Известно, что
б) Известно, что
в) Известно, что
г) Известно, что
1о8о,53 = а- Найдите 1о80Л81
1о864 = т. Найдите 1о8624.
1о8642 = Ь. Найдите 1о867,
к>81 7 = Л. Найдите 1о8х —.
з з 49
016.24. Известно, что 1о&5 3 = т и 1о&5 2 = и. Выразите через т
и п:
а) 1о^5 6; б) 1о^518; в) 1о&524; г) 1о$572.
016.25. Известно, что 10^ 7 = с и 1о^2 3 = а. Выразите через с и а\
2 2
а) 10^21; б) 1о21—; в) 1оё1147; г) 1об1-^.
2 2 42 2 2 ^3
Найдите число х по данному его логарифму:
16.26. а) 1о&2* = 1о&272 - 1о&2 9;
б) 1об^ X = 24 - 2 + 1оя^ 5;
ч , ,1,1
в) 1ё х = 1е- + 1е—;
8 125
7
г) 10^! X = 10^! - + 1061 21-2 1061 7.
8 8 9 8 8
16.27. а) 16X = 167 - 163 + 168;
б) 16х = 2163 + 166 - -1б9;
2
в) 1б х = — 1б 3 + — 1б 5 - —16 4;
2 3 3
г) 1бх = —“16$ + 1б"^5 + -^16 25.
16.28. а) 1обо,з х = 1о&о,з 0-2 1оё0,з ь>
б) 1об5 х = 1об5 с - 2 1об5 Ь + 1об5 а;
в) 1об2;3 х = 4 1об2,3 с “ 3 1ое2>3 Ь;
г) к>б1 х = 3 к>б1 а - 41обх с + к>б1 Ъ.
7 7 7 7
16.29. Выразите 1о^пх через логарифмы по основанию п чисел
а, Ь, с, если известно, что положительные числа х, а, Ь,
с связаны соотношением:
а)
аЪ2 ,
с
^.2 3
а С
б) X = -=-
X =
016 30. Прологарифмируйте по основанию 5:
а) 125а4 : Ь4;
ч 25л/5а6Ь7
в) ------з----’
С3
62б(л/ад)3
б) ------Т------;
С2
г)
>16 31. Положительное число Ъ записано в стандартном виде
Ъ = Ьо • 10п, где 1 < Ьо < 10 и п — целое число. Найдите
десятичный логарифм числа Ъ:
а) Ъ = 9 • 102; б) Ъ = 9 • 10"3; в) Ъ = 9 • 104; г) Ъ = 9 • 10"5.
(Для справки: 9 » 0,95.)
016.32. Найдите десятичный логарифм числа:
а) 1^50; 6)1^0,005; в) 1$ 5000; г) 1^ 0,00005. (Для
справки: 1^5 ~ 0,7.)
Решите уравнение:
516.33. а) 1ое4х = 1ое42 + 1ое47;
б) 1ое4 х - 1о^17 = 1о214;
в) 1ое9х = 1оё95 + 1оё96;
г) 1оё1 х ~ 1о21 9 = 1021 5.
2 2 2
4 4 4
□16.34. а) 1оё612 + 1о26х - 1о26 24;
б) 1о2015 3 + 1оё0,5х = 1ое0,512;
в) 1оё513 + 1о25х = 1о25 39;
г) 1о21 8 + 1021х = 1°&1 4-
3 3 3
016.35. а) 1оё23х = 1о224 + 1о226;
б) = ^б + 102^2;
в) 1о24 5х = 1О24 35 - 1О247;
г) = !ое^15 - 102^6.
О
016.36. а) 1О2Х8 - 102х2 = 2;
б) 1о2х2 + 1о2х8 = 4;
в) 1о2х3 -I- 1о2х9 = 3;
г) 1о2х7б + 1о2х25>/5 = 3.
Постройте график функции:
16.37. а) у = 1ое28х; в) у = 1ое3-^; и ( г) У = 106! 3 у
б) у = 1об14х; 2
16.38. а) у = 1об2х8; Ч ! 1 В) у = 1ое3-; X
б) у = 1об1 3 х г) у = 1061 X8. 2
016.39. а) у = 1о$2 X В) У = 10^3 9х3;
б)’=1о®4; г) у = 10^! -. 2 Х
016.40. Докажите, что при заданных условиях выполняется тре
буемое равенство:
а) 1% а-+ - = -(1&а + 1&д), если а2 + Ь2 = 7аЪ\
3 2
б) 1б ——— = — (1^0 + 1б&), если а2 + 4б2 - 12аЬ.
4 2
Вычислите:
016.41. а) 1ое2- + 1ое49;
3
б) + 1ое3-;
2
в) 1об25 9 - 1ое8 3;
г) 10^164 _ 1°е48-
016.42. а) 91о8э4 4- 106^ 3 • 1ое3 36;
б) 1о&8- 10&27- З108®25;
в) З41083 2 + 10^72 • 1о&25;
г) 10о,51в1б + 141о&72 • 1об481.
016.43. а) 51о&9 • 1о&64 + З108®8 • 2108®8;
б) 2й 10823-1 + 1О&3 + 1о&64 • 1ое43.
I Вычислите:
16.44. а) 16(1ое9 45 - 1) • 1о8п 9 • 1ое5121;
б) 1о§15 3 • 1о§5 3 • 10^75 5 • (1 + 102а 5).
16.45. а) 31о§54 1о865 1о876 • 1о887;
б) 1о&2ю 1ое32 • 1ое4з • 1ое5 4 •... • 1ое100о999.
16.46. а) 6) - -ДА .
1ое28 2 1ое224 2 1о§45 з 1ое1215 з
16.47. а) (1ое46 + 1ое64 + 2)(1ое46 - 1ое246)1ое64 - 1о84 96;
б) 1о§6 4 + 1о86 9 + 1о§4 6 • 1о^ 2 - 1о§5 2 • 1о§2 5.
1 4
016.48. а) 8110^з + 271°й36 + Зюв79.
б) 4л/3 + О,21-10653 - 15°'5+1°616'^.
016.49. а) б) 310^5-10^77
Сравните числа:
16.50. а) 1о§2 7 и 1о874;
б) 1ое69 и 1о898;
16.51. а) 1ое26 и 1ое4 5;
б) 1о^3 и 10^31,5;
2 4
в) 1ое3 5 и 1ое5 4;
г) 1оец 14 и 1ое14 13.
в) 1ое96 и 1ое37;
г) 1о^4 и 10^7.
3 9
Расположите числа в порядке возрастания:
016.52. а) 1ое27, 1о^43 и 1е 1;
б) 1ое0.50,1, 1ое30,5 и 1$ 1;
в) 1ое7 9, 1ое31 И 1ое5 4;
г) 1ое02о,з, 1ое7о,б и 1ое21.
016.53. а) 1ое40,9, 1ое21, 1ое73, 1ое910;
б) 10&0.51’ 1ое0,95> 1°е5о,'Л 1о§0 д Ю;
в) 210^5, 10ё127, 1О8157, 18 0,3;
/1 \1о&2 4
Г) 9106315, | , 10811, 1О867.
\ , 1
г) 1ое2—.
625
г) 1оё854.
016.54. Известно, что 1о$52 = Ъ. Найдите:
а) 1ое225; б) 1оё2—; в)к>е2125;
25
016.55. Известно, что 1о^2 3 = а. Найдите:
а) 1ое49; б) 1ое8 18; в) 1ое481;
016.56. Известно, что 1& 2 = а, 3 = Ь. Найдите:
а) 1ое412; б) 1о§618; в) 1оё0,53; г) 10^24.
3
016.57. Известно, что 1о^25 = а, 1о^23 = Ъ. Найдите:
а) 1о$,15; б) 1о&875; в) 1о&1645; г)1о&1512.
016.58. а) Найдите 1о^10040, если известно, что 1о^25 = а.
б) Найдите 1о^63147, если известно, что 1о^37 = Ъ.
•16.59. а) Найдите 1о&3 5, если известно, что 1о&6 2 = а, 1о&6 5 = Ь.
б) Найдите 1о&35 28, если известно, что 1о$4 7 = а,
1о$4 5 = Ь.
•16.60. а) Найдите 1о&2 360, если известно, что 1о&3 20 = а,
1о$315 = Ь.
б) Найдите 1о^27560, если известно, что 1о$25 = а,
1о$211 = Ь.
Упростите выражение:
016.61. а) (10$, 6 + 1о$,а + 2)(1о$,Ь - \оёаЬЬ)1оёьа ~
б) 1~1о^д
(1оеаЬ + к>ёьа. + 1) к>ё0|
016.62. а) 0,2 • (2а10826 +
б) фоёаЬ + 1о&,а + 2 • 1о^а • фо^аЬ.
•16.63. Докажите тождество:
а) Ъ[оёаС = с°ёаЬ, если а, Ь, с — положительные числа,
отличные от 1;
б) (т ) р = Я > если т, р, я, к — положительные
числа, отличные от 1.
16.64. Докажите тождество:
а) 1о8^аЛ = 7 7 ;
1 + 1оеь к
1 1 1 1 1
' \оёак 1оеа2* 1оё^к 1оеа4й 108^ к
16.65. Найдите координаты центра симметрии графика функции
У = х + 12
х2 + 2х
я? + Юх + 24'
§17. Логарифмические уравнения
Решите уравнение:
17.1. а) 1о&2 х - 3; в) 1°ёо,зх = 2;
б) 1о§7х = -1; г) !ое16х = -.
17.2. а) 1оех 16 = 2; в) 1О2ХТЗ = -1;
б) 1ог ± = -3; г) 1о2х9 = -.
8 2
017.3. а) 102^ (2х + 1) = 6; в) 1оё27216х = 4’’
б) 1о2^ + 1(3х + 2х/з) = 2; г) 102^/Зх- 2х/5) = 2.
017.4. а) 1о&озх-^- = 1; в) ! 1 7
б) 10&С08Х | = 2; г) 10&1ПХ7 = 2. 4
017.5. а) 1°20,1 (х2 + 4х - 20) = 0;
б) 1О&! (х2 + х - 5) = -1; 7
в) 1о27 (х2 - 12х + 36) = 0;
г) 1о&! (х2 + Зх - 1) = -2. 3
17.6. а) 1о22(Зх - 6) = 1о22(2х - 3);
б) 1о26 (14 + 4х) = 1о26 (2х + 2);
в) 1021 (7х - 9) = 1021 6 6
г) 1ое02(12х + 8) = 1ое0.2(11х + 7).
Решите уравнение:
017.7. а) 1оех (7х2 - 200) = 50х;
б) 1ое0.з (-х2 + бх + 7) = 1о$03(10х - 7);
в) 1е(х2 - 8) = 1е(2 - 9х);
г) 1о§0 2 (—х2 + 4х + 5) = 1о$) 2 (~х ~ 31).
017.8. а) 2‘ог2(х2’4) = 21; в) Я1069*"2’5’ = 31;
/ \1оЕ!(х2- 9х+ 21)
б) 1 ’2 =1; г) (0,3)1О6°',(х2+х ** = 2.
I2 )
/ 1 >1020,5 (9х - 10)
017.9. а) 31ог4<’5х) = 1о&125; в) - = 1о&729;
б) 2!о6з(2х + 8) = 10^9; г) (0,2)1ое°'7ЬЗх+1) = 1о&0,5.
017.10. а) 1ое7 (1ое3 (1ое2 х)) = 0;
б) 1о§18 (1о& (1о& 4х)) = 0;
В) 1ое25 (1ое3 (1оё2 х)) = 0;
г) к>ё12 (1ое< (1ое3 (х + 1))) = о.
017.11. а) Известно, что /(х) = 1о^3(5х - 2). Решите уравнение
Дх) = /(Зх - 1).
б) Известно, что /(х) = 1о^2(8х - 1). Решите уравнение
/(*) = /|^ + б!
I Л I
в) Известно, что ?(х) = 1о^0 2(3х - 6). Решите уравнение
/[|х - 1) = /(х2 - 1).
г) Известно, что /(х) = 1о&1}4(4х + 1). Решите уравнение
/[-X - зК /(х2 - 3).
^4 )
•17.12. Решите уравнение:
а) 1ое2 (2х3 - х2 - 2х) = 1ое2 (х3 + 2х2 + 2х);
б) 1ое3 (Зх3 - 2х2 + 4х) = 1ое3 (2х3 + 2х2 + Зх - 6);
в) 1ое0,2 (х3 + 5х2 + бх + 1) = 1ое0,2 (~х3 + 2х2 + Зх);
г) 1ое0,4 (2х3 + х2 - 5х - 7) = 1ое0,4 (х3 ~ 2х2 - 2х + 7).
Решите уравнение:
017.13. а) 1обх(х + 3) = 1обх(2х + 9);
б) 1оех (х2 - 2х) = 1оех (Зх - 4);
в) 1оех (х - 1) = 1оех (2х - 8);
г) 1оех (х2 - 6) = 1оех (-х).
017.14. а) 1оех(2х2 + х - 2) = 3; б) 1обх_1(12х - х2 - 19) = 3.
17.15. а) 1ое2х = 1об2 3 + 1ое2 5; в) 1ой\ 4 + к>б1 х - 1об1 18;
3 3 3
б) 1ое74 = 1ое7х - 1ое79; г) 1ое049 - 1ое0,4х = к>б0,4з.
17.16. а) 2 1ое8х = 1об82,5 + 1об8Ю;
б) З1ое2| - 1об2^ = 1оё2*;
в) 31о^1 X = 1о^1 9 + 1о§1 3;
г) 41ое0д х = 1ое0112 + 1ое0,18 *-
017.17. а) к>ё3(х - 2) + 1об3(х + 2) = к>б3(2х - 1);
б) 1об11 (х + 4) + 1оеп (х - 7) = 1об11 (б) 7 - х);
в) 1обо,6 (х + 3) + 1обо,6 (х - 3) = 1обо,6 (2х ~ !):
г) 1обо,4 (х + 2) + 1об0,4 (х + 3) = 1об0,4 (1 - 2х).
017.18. а) 1об23(2х - 1) - 1об23х = 0;
б) 1обо,5 (4х “ Ц “ 1ое0,5 (7х - 3) = 1;
в) 1об3,4 С-^2 - 5х + 8) - 1об3>4 х = 0;
г) 1об] (х + 9) - 1об1 ($ _ Зх) = 2.
2 2
017.19. а) 1об2(х - 3)(х + 5) + 1об2^^ = 2;
х + 5
б) 1об3 (х + 3)(х + 5) + 1об3 *-+ 3 = 4.
х + 5
017.20. а) 16 (х - I)3 - 3 16 (х - 3) = 16 8;
б) 16 (х + I)5 - 5 1б(х - 1) = 16 32.
Решите уравнение:
017.21. а) 1о22(х3 - 1) - 1о22(х2 + х + 1) = 4;
б) 1о20,5(х6 - 6х4 + 12х2 - 8) = -3;
в) 1ое0.з(х3 + 27) - 1оё0,з(х2 - Зх + 9) = -1;
г) 1ое5 (х6 + 9х4 + 27х2 + 27) = 3.
017.22. а) 1о22 х - 4 к>22 х + 3 = 0;
б) 1о22 х - 1ое4 х - 2 = 0;
в) 1ое^ х + 3 1о2^ х + 2 = 0;
г) 1о^,2 х + 1о§0 2 х - 6 = 0.
017.23. а) 2 10^5 х + 5 1о25 х + 2 = 0;
б) 3 1ое4 х - 7 1ое4 х + 2 = 0;
в) 210^ 3 х - 71ойо.з х - 4 = 0;
г) 3 1оёц 5 х + 5 1ое0Л х - 2 = 0.
017.24. а) 1ё2 х - 1ех + 1 = ——;
Юх
37
б) 1о22 х + 3 к>23 х + 9 = ------;
1ое3 —
3 27
д
в) 1е2х - 2 12 х + 4 =-------;
ЮОх
. , 2 „, -218
г) 1оег х + 7 1оё2 х + 49 = -----.
1ое2 —
2128
017.25. а) 1е ЮОх • 12Х = -1;
б) 122Юх + 12 Юх = 6 - 312-;
X
в) 2 12 х2 - 122 (-х) = 4;
г) 122х3 + 12 х2 = 40.
017.26. а) 1оё2 х + 5 + 1 = 0; 1о22 х - 1 71°8,х-15 + 1а0. 51о&3 х + 3 В) 91О&,5Х + 14 _ 1 = О" 3-21°ёо,&х -191ВХ -> 20 7 4 - 51%х
017.27. а)
б)
в)
г)
017.28. а)
Решите уравнение:
1 + 4 = _________4________.
1о^2 х - 3 1о^2 х + 1 1о&2 х - 2 1о&2 х - 3 ’
1ое3* + 9 = 8 .
2 1о^3 х - 6 9 - 1о$| х 2 1ое3 х + 6 ’
--------+ —-— = 3;
5-4 1$х 1 + 1&х
-4 2 = 2-
2 1$х - 1&2х 2 - 1$х 2*
1об4х + 10616 X + 1оё2х = 7;
б) 1об3 х + 1о§7з х + 1о^1х = 6-
3
017.29. а) 1об3х + 1 = 2 1обх 3; в) 1об7х - 1 = 61обх7;
б) 2 1обх5 - 3 = -1об5х; г) к>б2х + 9 1обх2 = 10.
017.30. а) 1оёж2 • 1об2х2 = к>б4х 2; б) 1об4(х + 2) к>бх2 = 1.
017.31. а) 1оео>54х + 1об2— = 8;
8
б) 1ое3х + 106д X + 1ОёэтХ = у.
017.32. а) 1 + 1обх —- = (16 х2 - 1)1обхЮ;
10
б) 1 + 2 1обх2 • 1об4(Ю - х) = .
1оё4х
017.33. а) х106зХ = 81; в) х1о82Х = 16;
б) Х1о^>»х = 2_. ю ’ г) 1ое 1х 1 х 3 . 81
017.34. а) X161’2 = 1000; в) Д.5 + 1О&2Х _ 1 . 16 ’
б) Х10гадХ’2 = 0Д25; г) 10^1 X - 4 х =27.
017.35. а) 10х1вх + х’1ех = 11; б) х1082Х + 32х’10в2Х д2 + 1ое32
017.36.
017.37.
017.38.
•17.39.
017.40.
017.41.
Решите уравнение:
а) 61ое"бХ + х1086* = 12; б) Ю1?х + 9х'ех = 1000.
а) 1о§5(6 - 5х) = 1 - х; б) к>е3(4 • 3х’1 - 1) = 2х - 1.
а) (3х + 2х - 20) = х - х 1о&9 3;
б) = 6,25’2’18х2.
а) х2 10^36 (бх2 - 2х - 3) - х 1о^п л/бх2 - 2х - 3 = х2 + х;
6
2 т 3 + X о , 2 а пт Зх + 11Х + 6
б) х 1о$2-—-----хг 1о^1 (2 + Зх) = лг-4 + 21о^------—------.
Решите систему уравнений:
а) |1о82(*2 + Зх - 2) - 1ое2у = 1,
[Зх - у = 2;
[2х + у = 7,
б) ( ,
[1ое3(х + 4х - з) - 1ое3у = 1.
Г1ое5(х + у) = 1,
[108е х + 1ое6 у = 1;
б)
г)
1о&0,5 (х + 2у) = 1о8о>5 (Зх + у),
1о§7 (х2 - у) = 1о&7 х-,
, , ч 1
1о§9(х - у) =
, , 1
1ое64х - 1О&64 г/ =
О
102$ (Зх - у) = 1ое^ (х + 4),
1о&9(х2 + х - у) = 1ое9х2.
17.42. Решите систему уравнений:
2х • 2У = 16,
1о§3 х + 1ое3 у = 1;
Г 9х Зу = 81,
[1О82 х + 1о§2 у = 1;
б)
И'
1о§2 2х - 1о&2 у = 2;
1ое4у - 1о&4х = 1.
•17.43. Решите уравнение
1ог (Зх - л/18) + 1о§ 2 (б + Хл/?2 + Зх2) = 1827,2.
х 1§х2
§18. Логарифмические неравенства
Решите неравенство:
18.1. а) 1ое2х > 4;
б) 1О&! х > -3;
2
18.2. а) 1о&5 (Зх + 1) < 2;
б) 1оёо,5| > -2;
О
X 1 1
в) 1о^2х <
2
г) 1о&01х <
в) 1ое2 7 > 1;
3 5
г) 1о^(2х - 3) < 4.
18.3. а) 1о^3 х > 1о§'3 72 - 1о§3 8;
б) 31о§г х < 1о$! 9 + 1о§! 3;
7 7 7
В) 1ое5х - 1оё535 < 1ое5|;
г) 4 1ое0,6 х > 1ое0в8 + 1оео,в 2.
018.4. а) 1о&5 х > 1о&5 (Зх - 4);
б) 1о§0 6 (2х - 1) < 1ое0 в х;
В) 1о^1 (5х - 9) > 1о§1 4х;
3 3
г) 1о$3 (8 - 6х) С 1о&3 2х.
Решите неравенство:
018.5. а) 1о^2 (&х - 9) < 1о^2 (Зх + 1);
б) 1ое0 4 (12х + 2) > 1о§04 (Юх + 16);
в) 1о§2 (-*) > 1о^2 (4 - 2х);
г) 1ое2 5(6 - х) < 1ое2 5(4 - Зх).
018.6. а) 1о^ Д7х - 21) < 1^ х (21 - Зх);
б) к^+ДЗх + 7) > 1о^ + 1(19 - бх);
в) 1о&л(5х - 15) > 1о§л(15 - Зх);
г) 1о§2_7з(4х + 17) < 1о$2 ^(25 - 5х).
018.7. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
а) 1о&7 (бх - 9) < 1о&7 (2х + 3);
б) 1о§1 (2 - х) > 1о$1 (2х + 4);
5 5
в) (8х - 16) < 12 (Зх + 1);
г) 1о&0 4 (7 - х) > 1ОЕ0Д (Зх + 6).
Решите неравенство:
018.8. а) 1о&3(х2 + 6) < 1о&35х;
б) 1о2о,6(6х - х2) > 1о206(-8 - х);
в) 1е (х2 - 8) < 12 (2 - 9х);
г) 102^ (х2 + Юх) > 1о2^ (х - 14).
018.9. а) 1о2л_3(6 - х) > 1о2я_3х2;
б) 102я_2(х2 + 22) < 1о2л_213х;
в) 1о23 _ о,5я (~х - 6) < 1о2з-о;8я(6 - х2);
г) 1о2з,2-л(х2 - 27) > 1о232_.л6х.
О18.Ю. а) 1о22———< 1ое2-^;
х - 2 х - 2
018.11. а) 1о28(х2 - 7х) > 1; в) 1о22(х2 - бх + 24) < 4;
б) 1021 (х2 + 0,5х) < 1; Г) 102^-х2 + —х | > 2.
2 3 \ 9 )
018.12. Решите неравенство:
„ , Зх - 2
а) 1о&1-------- > -1;
| 2х - 3
б) 1о§5(2л/х^ - 3\/х) < 1;
7х - 4
В) 108е -^-4 < 0;
х + 2
г) 1о§01(7х2 - х4) > -1.
018.13. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
а) 1о§12 (х2 - х) < 1;
б) 1о^! (х2 - Юх + 9) > 0;
2
в) 1о&9 (х2 - 8х) < 1;
г) 1ое03(-х2 + 7х-5)<0?
Решите неравенство:
018.14. а) 10^! х + 1о§! (4 - х) > -1;
3 8
б) 1о&2 (7 - х) + 1о§2 х > 1 + 1о§2 3;
в) !§ (7 - х) + 1&х > 1;
г) 1о§1 х + 1о§! (10 - х) > -1 + 1о^1 4,5.
2 2 2
018.15. а) 1е (х + 3) + 1е (2х - 8) < 2 1$х;
б) 1оё0,5<3* - 1) - Ь&Дх - 1) < 1оё05(х + 18) - 1ое0>5(х + 2);
в) 1о§3(2х - 7) > 2 1ое3(х + 1) - 1о§3 (х - 19);
г) 1о^! (2х + 3) + 10^! (х - 2) > —10^ х2 + 1о§1 (4х - 9).
3 8 3 3 3
018.16. а) 1о$2(х2 + 2х + 4) + 1о§2(х - 2) < 1о$2(х3 - х2 + 4х - 3);
б) 1$ (х3 - х2 - х + 20) > 1^ (х + 2) + (х2 - 2х + 4).
018.17. а) 1о&2 х > 4 1о$2х - 3; в) 1о§2х - 1ое4х < 2;
б) 1о§1 х + 3 1021 х < “2; г) 1°&о,2 X > 6 - 1о20,2 X.
2 2
Решите неравенство:
018.18. а) 21о2§з (х + 1) - 71о203 (х + 1) - 4 < 0;
б) 3 к>24х - 7 1о§416х + 30 < 0;
в) 3 1о&21 (2х + 1) + 5 1ое4 (2х + 1) - 2 > 0;
з з
г) 1о23 х + 3 1о23 9х - 24 < 0.
018.19. а) 1о&2х2 - 151о&22х + 11 < 0;
б) 10^1 (х2 - 2х + 1) - 7 1о21 (х - 1) + 3 < 0;
3 3
в) 2 1о2б х2 + 5 1о25 25х - 8 > 0;
г) 1ое2 (х2 + 2х + 1) - 311о21 + 15 < 0.
5 5 5
018.20. а) 1ое2 (5 - х) - 2 1о22 (5 - х)3 + 9 < 0;
б ) 1021 (4 - х) + 5 1о21 (4 - х)2 + 25 < 0;
2 2
В) 1021 (X - 1) + з > -- 1021 (X - I)5;
з 5 з
г) 1о2^(х +• 5) < 0,5 1о23(х + 5)4 + 3.
018.21. а)
1 - 1о24х
1 + 21о24х
1.
2’
б)
З1ое0,5х
2 - 10&,.5х
21о20^х + 1;
Г V
1о^г х + 2 2 - х
< Л 2
х3
< 1о21 —;
~2 64
1о20,2х + 3
’ 1°20,2х - 3
018.22. а) ---------- > —;
1о^2 х - 4 1о^2 х
б) ---— < 21ё* ~ 5;
1 - 1^х 1 + 1^х
1$ Юх ЮОх
1ое^х
1 + 1о22 х
> 1о22х.
Решите неравенство:
018.23. а) 21о^2 + То^^2'1 - ^ < 1о^31;
б) 1о§! [з*2-4 - - |+ 21ое±з > 1ое^80.
М ®) И 7з
018.24. а) 1об1 (13 + х) < 21о^ (>/х + 1 + 2);
3 3
б) 2 1о§12 (л/х + 5 + 1) < 1о$12(х + 10).
018.25. а) -11о§ ! (7х + 5) > 1о§49(3х - 1);
4 77
б) 31о§8 (2х - 1) - 21о§0 25 (х + 2) < 0,5 1о^ 3;
в) 1оё^ >/10 + х + 1оёо,2(2х - 4) > 0;
г) - 1о&7^(4х + 17) - 1о§7(25 - 5х) < 1о§1 0,5.
2 7
018.26. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
а) 1ое2—< 1о§05х2;
6-х
б) 0,25 1о§^(х + 6) < 1ое3(6 - х2);
в) 0,5 1ое^(х2 - бх + 24) < 1о&8(2х + 9)3;
г) 1®ёз [_х2 + + 1о^1 9 > О?
\ $ ) з
018.27. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
а) 2 1ое5(>/12 - х + 1) > 10^1 —-—;
в 15 ~ х х
б) 21оеп 5 72х + 1 - 1о&0 5 (4 - х) < 1о&2 з2 1064 2.
018.28. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
а) 1о^4(Тх - 1) + 1о§1 (>/х + 1) < 1о&1 (>/х + 2);
4 4
б) 1о&Д\/х - б) + 1о&1 (Ух + 1) < 1о§1 - 1оея(^х + 1).
я- ; 3
Решите неравенство:
018.29. а) < 0; в) 1о$2_3х5 > г) 1о&5_х0,3 0; < 0.
б) 1оёзх + 4°>2 > 0;
018.30. а) 1оезх -116 < 2; б) 1оёх_227 • 1 о < 3.
018.31. а) 1о^х\/21 - 4х > 1; 1 X т О б) 1оех х - 1 > 1.
018.32. а) 1о&х_2(2х - 3) > 1о§х_2(24 - 6х);
б) 1ое2х_!(3х - 5) < 1ог2х_1(1б - 7х).
•18.33. а) Ю&?05Х— 1;
б) 10^1 < 2;
о . ч . , Г 1 2 81ПХ А
•18.34. а) 10^1 10^1 — +---- <
| Н27 27 )
б) 1о&31о&4(96 + 64 соз х) >
•18.35. а) 1о$х2_3729 > 3;
_ ] Г 16 9^1
б) 1о&п 2 —< 1;
7 °10 -хг I $ I
018.36. а) 1ое2 X + 1 > 2 1оех 2;
•18.37. а) кис, (Х + 12) • 1оет 2 < 1;
в) > 1;
Г) 1О&СО8Х ~ < 2-
-1;
1.
в) {ое^О.З > 0;
х + 5
г) 1ое4_х(х2 - 10) < 2.
б) 21о§х5 - 3 < -1о§5х.
б) 1 + 1оех 5 • 1о§7 х > 1о&5 35 1о§х 5.
•18.38. а) 1о§9х2 + 1о^з(-х) < 2; б) 1о&4х2 + 1ое2(-х) > 6.
•18.39. а) 1о§х 2 • 1о$2х 2 • 1о§2 4х > 1;
б) 1оех5 • 1ое5х5 • 1о&3625х < 1.
Решите систему неравенств:
018.40. а) |1оёо’2(2х + 3) < 1о§0'2 (х ~ 2)’
[1о26 (Зх - 1) < 1о&в (9х + 4);
|1ое7(6х - 1) < к>27(9х + 11),
[1°Ео,5 (3 - X) < 1о§0 5 (4х - 1).
018.41. а)
10&Х2 > 1о§3125 - 1о§з 5,
1ог0,2 (х - 1) < 0;
б)
1о§1 х2 > 102128 - 10217,
2 2 2
1о23(4х - 1) > 0.
018.42. а)
1о&о.1 “ 12) < 1о2пд(-х),
2х’1 >
8
Решите неравенство:
018.43. а) (4х - 1) 1оё2 х > 0;
б) (х + 2) 1о215 (4 - х) > 0.
018.44. а)
(4х2 - 16х + 7) 1о22 (х - 3) > 0; б) -^з(х 1} о.
>/5х - х2
018.45. а)
10ёо,5 1о& 1021-
ч х
к к 3
б)
. I. I Зх - 1
1оё2 10ё1 ттт
I 3 I Л Т 1
в)
1 Н (, 1
Ч,2| 1О&0.3 1О&0.4 —
г) 102! 10&8
х2 - 2х
х - 3
•18.46. а) ^ё5х_4х2(^х) > 0;
б) 1оё-5х2-6х(6х) > 0.
•18.47. Решите неравенство:
а) 1оё5(2х - 3) - 1ё(2х - 3) > 1о^2
1ёх - 1оё20 X
6) 1ое,(2 - ») - 1ое,(2 - х) 4
1оёб х - к>ё9 х
§19. Дифференцирование показательной
и логарифмической функций
19.1. Постройте график функции: а) у = ех + 4; б) у = ех + 1; в) г) У = ех У = ех -3. 9 -2 _ 3.
19.2. Найдите производную функции: а) /(х) = 4 - ех; в) б) /(х) = 13ех; г) Лх) = Лх) = ех - -8ех 19;
19.3. а) б) /(х) = х3ех; Лх) = —; X в) г) /(х) = Лх) = х2ех ех х? '
19.4. а) /(X) = е5Шх; в) /(X) = е^-,
б) /(х) = хех2-2х*3; г) /(х) = № + X.
Найдите значение производной заданной функции в ука- занной точке х0:
19.5. а) у = ех + х2, х0 = 0; в) у = ех - х, х0 = 1;
б) у = ех(х + 1), х0 = -1; г) ех У = , х0 = 0. X + 1
19.6. а) У = е3хЛ х0 = О в) | О II о н X ст> 1 II
б) у = Зе6 + Х, х0 = -5; г) у = е°-5х-3, х0 = 4.
019.7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = /(х) в точке с абсциссой х0:
а) /(х) = 4ех +3, х0 = -2;
б) /(х) = у/х - ех, х0 = 1;
в) /(х) = 0,1ех - Юх, х0 = 0;
г) /(х) = х0 = 1.
019.8. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику
функции у = 1г(х) в точке с абсциссой х0:
( 1 у
а) й(х) = - , х0 = 0;
)
б) &(х) = е-х + 2, х0 = 2;
в) й(х) = + х5, х0 = -1;
е
г) &(х) = х + е2х“3, х0 = 1,5.
019.9. Найдите угол, образованный касательной к графику функ-
ции у = 1г(х) в точке с абсциссой х0 с положительным
направлением оси абсцисс:
а) 1г(х) = -е')Х \ х0 = 0,2;
5
б) й(х) = е’х+^, х0 = -л/З;
в) й(х) = |е1’3х, х0 =
Г
г) й(х) = е3 , х0 = 73.
019.10. Решите уравнение /'(х) - а, если:
а) Дх) = Зех + 4, а =
е
б) Дх) = 2 + —е“6х“13, а = -2;
в) Кх) = 2е~7х + 9, а = -14;
г) Дх) = 42 - е°'1хЛ а = 0,1.
019.11. Решите неравенство ё(х) < а, если:
а) ё(х) = 6 - -<?2х'3, а = -4;
2 е
б) §(х) = х + е4х-3, а = 5;
в) ё(х) = -е3х + 5, а = -;
3 е
г) §(х) = е9х + 21 - х, а = 8.
019.12. Напишите уравнение касательной к графику функции
У = в точке с абсциссой х = а:
а) у = ех, а = 1; в) у = ех, а = 0;
б) у = ех9 а = 2; г) у = ех, а = -1.
019.13. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = /(х) в точке с абсциссой х = а:
а) у = е3*"1, а = в) у = —, а = 0;
3 е
рх
б) у = хе~2х + 1, а = 0,5; г) у = -----, а = 0.
х + 1
019.14. Является ли заданная прямая касательной к графику за
данной функции в указанной точке:
а) у = Зе2х - Зе2; у = е3*"1 - е2; х = 1;
б) у = х + е; у = хех; х = О?
019.15. Напишите уравнение касательной к графику функции
У = /№ в точке с абсциссой х = а:
а) у = хе2х~\ а = б) у = (2х + 1)е1-2х, а =
2 2
019.16. а) Напишите уравнение той касательной к графику функ-
ции у = е2х, которая параллельна прямой у = 2ех - 5.
б) Докажите, что касательная к графику функции у = ех ”Л
в точке х = 1 параллельна прямой у = 2х + 3.
019.17. Проведите касательную к графику заданной функции
так, чтобы она проходила через начало координат:
а) у - е2; б) у = е\
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
019.18. а) у = х2ех; б) у = хе2х"4; в) у = х3ех; г) у = —.
х
019.19. а) у = е2х - Зех + х + 4; б) у = 1 - Зх + бех - е2х.
019.20. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
О -у
у = х е на заданном отрезке:
а) [-1; 1]; б) [-3; 1]; в) [-3; -1]; г) [1; 3].
•19.21. При каких значениях параметра а функция у - хбе~х на
интервале (а; а + 7):
а) имеет одну точку экстремума; б) имеет две точки экст-
ремума; в) убывает; г) возрастает?
019.22. Постройте график функции:
а) у = 1п (х - 4); в) у = 1п (х 4- 3);
б) у = 1пех; г) у = 1п—.
19.23. Найдите производную функции:
ч 21 Ч Х
а) у = х 1пх; в) у = ---;
1пх
1пх ,
б) у =----г) у = (х - 5)1пх.
X + 1
19.24. Найдите производную функции:
а) у = ех1пх; в) у = ^?1пх;
б) у = 31пх + з!п2х; г) у = 2 соз — - 51пх.
Найдите значение производной заданной функции в ука-
занной точке:
19.25. а) у = 1пх + х, х0 = у; в) у = х2 - 1пх, х0 = 0,5;
б) у = X 1пх, х0 = е; г) у = ---, х0 = 1.
X
19.26. а) у = 1п(2х + 2), х0 = —;
4
б) у = 1п(5 - 2х), х0 = 2;
в) у = 1п(9 - 5х), х0 - -2;
г) у = -31п(-х + 4), х0 = -5.
Найдите производную функции:
19.27. а) у = 2х - 1о23 (х - 1);
б) у = З’х + 21о§1 х;
2
19.28. а) у = 7х 1п (2х + 3);
б) у =
019.29. а) у = 1оях (х + 1);
019.30. а) у = 1п| 2Х3 - - |;
к х)
б) у = 1п2(3х - 4);
в) у = 5х - 710^1 (х + !)>
3
(1
Г) у = - + 1о& (х + 4).
в) у = х21021 (Зх “ !);
1п(2х - 1)
г) У =-----5;-•
б) у = 1О&.1 X2.
в) у = 1п(212х + х);
ч 1
г) У = .-----
Щп2х
019.31. а) Докажите, что функция у = л/1пх удовлетворяет урав
нению 2хуу' = 1. г
б) Докажите, что функция у = ех удовлетворяет уравне
нию у + х2у' = 0.
019.32. Составьте уравнение касательной к графику функции
У = /(*) в точке с абсциссой х = а:
а) /(х) = х5 - 1пх, а = 1; в) /(х) = -2х1пх, а = е;
б) /(х) = а = 1; г) /(х) = ^1пх, а = 1.
х
019.33. Напишите уравнение той касательной к графику функции
У = /(*)> которая параллельна прямой у = кх + т:
а) /(х) = 1п(3х + 2), у = х + 7;
б) /(х) = 1п(х2 + х), у = 1,5х + 4.
019.34. Проведите касательную к графику заданной функции
так, чтобы она проходила через начало координат:
а) у = 1пх; б) у = 1пх3.
•19.35. При каком значении параметра а:
а) прямая у = Зх - 4 + а является касательной к гра-
фику функции у = 1п (Зх - 4);
б) прямая у = 2х + 3 + а является касательной к гра-
фику функции у = 1п(2х + 3)?
019.36. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) у = х + 1п —; б) у = х4 - 41пх.
х
019.37. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = х - 1пх на заданном отрезке:
а)
б) [е; е2].
019.38. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
2 1
а) у = 21пх3 - 5х + —; б) У = 1п— + х2 + х + 3.
Найдите наименьшее и наибольшее значение заданной
функции на заданном промежутке:
019.39. а) у = х + 1п(-х), [-4; -0,5];
б) у = х + е~х, [~1п4; 1п2].
019.40. а) у = 4 • 23х - 27 • 22х + 3 2Х + 3, [-2; 0];
б) у = З3х - 2 32х + 9 • 3х’2, [-1; 1].
019.41. Найдите, если возможно, наименьшее и (или) наиболь-
шее значение заданной функции на указанном промежутке:
ех
а) у = 1пх + х; (0; 1]; б) у = —; (0; 2).
х
Постройте график функции:
• 19.42. а) у = ех2’2х+1; б) у =
• 19.43. а) у = х2ех; б) у = х3ех.
• 19.44. а) у = 1п(х2 - 2х - 3); б) у = 1п(3 + 2х - х2).
•19.45. На графике функции у = х - 1п (2х - 5) выбирают произ-
вольную точку М и соединяют с началом координат О.
Строят прямоугольник, диагональю которого является
отрезок ОМ, а две стороны расположены на осях коорди-
нат. Найдите наименьшее значение периметра такого
прямоугольника.
•19.46. Расположите комплексные числа в порядке возрастания
их аргументов:
2Х = 1о&20,7 + 11о&0 5 7, г2 = 1п10 +
23 = 1пл + Ип(л - 3), г4 = 1о§30,3 + йо§030,9.
(Указание, -л < аг§ 2 < л.)
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ1--
г первообразная -|—
р и интеграл
г 111111111111111111111111
ггггггггггггггггггггггггг
§ 20. первообразная и неопределенный интеграл
Докажите, что функция у = Р(х) является первообраз-
ной для функции у = /(х):
20.1. а) Р(х) = х2 + х3 + Ззтх + 1,
Дх) = 2х + Зх2 + Зсозх;
б) Е(х) = х11 + х4 - 3 - 4созх,
Дх) = Их10 + 4х3 + 4з1пх;
Г— 9 - 1
в) ад = 7</х + -==, Г(Х) = г ;
у/х Ху/X
г) ад = ех2~3х, /(х) = (2х - 3)ех23х.
20.2. а) ад = Дх) = — + х2;
х 3 х2
. 4х5 - Зх4 + х3 - 1
б) Р(х) = ------------------,
2х
/(х) = 8х3 - 4,5х2 + х + —;
2х2
5 г5 5
в) ад = - - Дх) = -4 - X4;
х 5 х2
ч 5х’ - 4х5 + 2х . „ 2
г) Е(х) = ------------, Дх) = 25х4 - 12х2----------.
X2 X2
г- 2 1
20.3. а) Р(х) = 4у/х + 1&х, /(х) = -==• +--------;
у/х СОЗ2 X
б) Р(х) = ЗсЬ^х - у/х, /(х) =--------------
З1п2 х 2>/х
1 4х
в) ад = 1п(2х - 1) - —, /(X) = —;
2х - 1 (2х - I)2
\ л/ \ 5/ • ч л/ \ СОЗ X
г) Р(х) = - ^81П3Х, /(х) = г. .
3 ^81П2 X
Докажите, что функция у = Р(х) является первообраз-
ной для функции у =
I тт \ I 7Г
020.4. а) Р(х) = соз 4х-+26, /(х) = -4з1п 4х-
19) 19
б) Р(х) = 81п3 х - 3, /(х) = 3 зш2 х соз х;
\ \ Г~2--------б .. ч 2х + 3 6
в) Р(х) = л/х2 + Зх---------, /(х) = —. + —;
х 2л/х2 + Зх X2
X п, ч ---7ГТ Г ч 10x3 + 9х 1
г) Р(х) = л/бх4 + 9х2 + л/х, /(х) = -г- = + —т=г.
у5х4 + 9х2 2л/х
020.5. а) Р(х) = | х2 - 1| - Зх, /(х) = 2х- 3, хе (1; +оо);
б) Р(х) = |х2 - 1| + 8х, /(х) = -2х + 8, х е (-1; 1);
в) Р(х) = |х2 + 1| + |х - 3|, /(х) = 2х + 1, х е (3; +оо);
г) Р(х) = |х4 + Зх2 + 1| + |х|,
/(х) = 4х3 + 6х2 - 1, х е (-°о; 0).
•20.6. а) Е(Х) =
Х Х А 16 I I О
— +------4х + —, если х > 2,
3 2 3
х3 х2 16 I I о
-----+ — + 4х , если х < 2,
.32 3
/(х) = |х2 - 4| + х;
б) Лх) =
-— Зх2 - Эх, если |х| > 3,
3
-----Зх2 + 9х - 36, если |х| < 3,
3
/(х) = |х2 - 9| - 6х.
Установите, является ли функция у = Р(х) первообраз
ной для функции у = /(х) на промежутке X:
20.7. а) Р(х) = Зсозх - х6, /(х) = -Ззхпх - бх5, X = К;
б) Р(х) = -4зтх + —, /(х) = 4созх - —, X = (0; +оо);
X3 х2
в) - 2Л - (5771Г
Лх) = 7Г(57ИР х = (а+”);
г) Г(х) = — - 2 81п (4х + 5),
X2
/(х) = — - 2соз(4х + 5), X = (-оо; 0).
X
020.8. а) Р(х) = |х[(х3 - 4), Дх) = -4х3 - 4, X = (-оо; 0);
б) ад = |3х - 7| + |х + 2| - х2, /(х) = -2х + 4,
X = (3; +оо).
•20.9. Установите, является ли функция у = Р(х) первообраз
ной для функции у = /(х):
а) Р(х) = • х5 2 3 1—х , если х > 0, 5 3 Дх) = |х| (х3 + 2х); х5 2 з х , если х < 0, 1 5 3
б) Р(х) = < х3 X2 1 — + 25х + 83—, если х < - 5, х > 5, 3 2 3 + — + 25х - 83—, если |х| < 5, 3 2 3
/(х) = |х2 - 25| + х.
20.10. Для функции у = /(х) найдите первообразную:
а) Лх) =
х2
б) Дх) =
2ух
7
в) /(х) = — ;
х2
г) /(х) = ~^=.
л/х
Для функции у = Дх) найдите первообразную:
20.11. а) Дх) = х2 + х16;
в) Д*) = я13 + я18;
г) Дх) = А
\!х
2
х4х
20.12. а) /(х) = -Ззтх + 2созх;
4 9
б) /(х) = —-----------
811г X СО8^ X
2
в) /(х) = -4 соз х 4-------;
81П2 X
Г) /(X) = -13 81ПХ + ---------.
СО82 X
20.13. а) /(х) = зт| Зх + — |; в) /(х) = соз(4х - 3);
3 - —
б) Дх) = 1п(2 - 5х); г) Дх) = 2 2.
20.14. а) Дх) = -1—; в) Дх) = —;
(бх + I)2 (7х - З)2
б) = /о 1 042; г) № = ~77а~ Бг
(8х - З)2 (Юх + 2)‘
20.15. а) Дх) = . 1 ; б) Дх) = - - -.
у/7х - 9 V42 - Зх
>20.16. а) /(х) = зт2х + соз2х;
б) /(х) = 1 + 1$2х;
в) /(х) = зтх созх;
г) /(х) = 2 + с1&2 2х.
>20.17. а) /(х) = зтхсозбх + созхзтбх;
б) /(х) = зт25х;
в) /(х) = соз бх соз х + зт бх зт х;
г) /(х) = зт 5х соз х.
>20.18. Найдите функцию у = /(х), удовлетворяющую заданно-
му условию (дифференциальному уравнению):
а) г/ = х4 - Зх2;
б) у' = зтх + 1;
в) у = х12 - 8х7;
г) у = созх - 9.
020.19. Найдите функцию у = /(х), удовлетворяющую заданно
му условию (дифференциальному уравнению):
а) у' = Ц + х; в) у' = 4- - 4х;
X2 X2
/9 5
б) у = —- + зтх; г) у = —- - созх.
X2 X2
Для данной функции найдите ту первообразную, графи!
которой проходит через данную точку М:
020.20. а) у = Зх2 - 4х, М(2; 19);
б) у = + 1» ЛГ(-0,5; -3);
в) у = 4х3 + Зх2, М(1; -12);
г) 9 = 2х - А, мГА; 71
Г) у = -1-, О
8Ш2 - '
3
020.22. а) у = 8з1п-соз-,
2 2
б) у = 2соз2^ - 1,
16
2
м
в) у = соз2 — - ат2-, М(0; 7);
2 2
Для данной функции найдите ту первообразную, график
которой проходит через данную точку М:
а) у = 1 + 1&2х, б\
I о у
б) у = 2 + 2с1#2х, м(~; -з\
\ У
в) у = 3 + 1%2х, м(--; 4^
6 )
г) у = с1&2х - 9, мГ--; -211
13 I
а) у = 81п - соз — + соз - з1п —, М\ —; 21 |;
6 6 6 6 4 )
б) у = соз соз - 81П * з1п^, м(-э);
7 У 5 5 5 5 ^6 )
в) у = 81п — соз - - зш - соз —, м{-—; 10 \
’ 6 6 6 6 4 )
г) у = соз —соз — + яп^яп-, м(—; -б\
7 11 11 11 11 3 I
Для функции у = Дх) найдите первообразную у = Р(х),
которая принимает данное значение в указанной точке:
а) Дх) = х5 + Зх2, Р(0) = -16;
б) Дх) = 14з1пх, Р — = 23;
I 2 )
в) /(х) = Юе5**4, ^(0,8) = 5;
а) Лх) = -2з1п^соз^,
& и
1.
-15;
г) ДХ) = —-—,
’ 4 ’ 2 - Зх
Р
б) Дх) =
в) /(х) =
г) Л*) =
зшх соз Зх, Г| — I = —;
12
з1п2--соз2-, р(-) = 4,5;
2 2 1^2^
4соз —соз—, р(^} = 42 + 1.
2 2 147
020.27. Для функции у = /(х) найдите первообразную у = Е(х}
которая принимает данное значение в указанной точке:
а) /(х) = . 12 + 1, Р&) = 4;
л/Зх - 6
б) /(х) = - 8, Р(1) = -12.
Решите уравнение Р(х) = 0, где у = Р(х) — первообраз
ная для функции у = /(х), если известно, что Р(х0) = О
020.28. а) /(х) = Зх2 - 2х - 25, х0 = 1;
б) /(х) = Зх2 + 4х - 1, х0 = -2.
020.29. а) /(х) = 281п2х, х0 =
б) /(х) = 2соз0,5х, х0 = \
020.30. Найдите ту первообразную для функции у = /(х), обла
стью значений которой является луч (-оо; 4]:
а) /(х) = 7 - 6х; б) /(х) = 3 - 2х.
020.31. Пусть Сх(х) и (?2(х) — две различные первообразные для
функции у = &(х), причем Сг(2) = 3, С2(3) = 4, 6^(3) = 3.
Найдите С2(2).
020.32. Найдите ту первообразную для заданной функции у = /(х),
график которой касается оси х:
а) /(х) = 2х + 3; б) ?(х) = 12(3х - I)3.
020.33. Найдите ту первообразную для заданной функции у = /(х),
график которой касается заданной прямой у = кх + гп:
а) /(х) = 2х, у = х + 2; б) /(х) = Зх3, у = Зх + 5.
020.34. Некоторая первообразная функции у = 3 соз Зх + 6 з1п 6л
принимает в точке х = значение 6. Какое значение*
принимает та же первообразная в точке х =
020.35. Точка движется по координатной прямой, ее скорость вы-
ражается формулой V = 1 + 2Л Найдите закон движения,
если известно, что в момент времени 1=2 координата
точки равнялась числу 5.
020.36. Скорость движения точки по координатной прямой выра
жается формулой у = -4з1пЗ^. Найдите закон движе
ния, если известно, что в момент времени I = 0 коорди
ната точки равнялась числу 2.
Скорость движения точки по координатной прямой зада-
ется формулой V = —, 6 . Найдите закон движения,
>/2^ + 1
если 8(0) = 3.
Ускорение движения точки по координатной прямой за-
дается формулой а(1) = 2(1 + I)2. Найдите закон измене-
ния скорости движения и закон движения, если р(0) = 1,
8(0) = 1.
Найдите угловой коэффициент касательной к графи-
ку функции у = Р(х) в точке х = а, если известно, что
у = Р(х) — первообразная для функции у = /(х):
а) /(х) = Х81пх + х2созх + 5, а = 0;
б) /(х) = 1о&2 х + 1о&3 (х + 1), а = 8;
в) Дх) = д/х2 - Зх + 3, а = 20;
г) /(х) = х$ - (2х)з, а = 32.
Сравните числа Р(а) и Р(Ъ), если известно, что у = Р(х) —
первообразная для функции у = ?(х):
а) /(х) = х21пх, а = 2, Ь = 3;
б) Г(х) = а = 0, Ь = 1;
в) Дх) = 81П3 X, а = -у, Ь =
г) Дх) = \/х3 + 2х2 - 5х - 6, а = 1001, Ъ = 1о§2 7.
Исследуйте функцию у = Р(х) на монотонность и экстре-
мумы, если известно, что она является первообразной для
функции у = /(х):
а) ?(х) = 2х2 + 5х - 7;
б) /(х) = - 24 • (х2 - бх + 6);
в) Дх) - 2*2-^ + 1;
г) Дх) = (х2 - 5х - 14) 1о&2 (5 - 2х).
Найдите неопределенный интеграл:
а) /
+ 2ех - -^х;
б) Г(Ч- + х2 + зЪх;
Л * )
в) [ Зх3-----+ х5 с1х;
Д %Х
г) П 6х - Д + X5 |йх.
Д х2 I
Найдите неопределенный интеграл:
20.43. а) |(2 - 9х)Мх; в) У (7 + 5х)13с/х;
б) Г (1х . г) Уе°’5х+2с/х.
•1 3 - 5х ’
020.44. а) |(4&2х + 1)йх; в) У(с1$2х + 1)с/х;
б) |(соз2х - 31П2х)с/х; г) У 81п х соз х с/х.
020.45. а) У 81п 2х 81п бхс/х; в) У соз Зх соз 5х с/х;
б) У 8ш 4х соз Зхс/х; г) У 81п 2х соз 8хс/х.
•20.46. а) Уз1п2хс/х; в) У соз2 х с/х;
б) Узхп4хс/х; г) У соз4 х с/х.
•20.47. а) г с/х г соз 2х с/х
' 31П2 X СОЗ2 X ’ б) Л 8Ш2 X СОЗ2 X ’
§ 21. Определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл:
1 3 2 9 ,
21.1. а) | хЧх; б) в) | хМх; г)
2 1Х -1 4 У/X
3
2 / ~ \ -1 /
021.2. а) + х2 + 2рх; в) | \ 8/ б) ( —т <**; Г) [ Ц>/х + 1 (х + 1) 021.3. а) [ 8x3 + 36x2 + 54х + 27 с1х-, Д 2х + 3 - 18»- + 81 Л ' х2 - 6х + 9 1 5 3 021.4. а) [ г-а-х-— ; б) 2--:г. 1 у]2х - 1 У2 л/10 - Зх —— + х4 - Зх |с/х; х2 У 2 1_ЪУ (х-2)- ^-4] ах. 7 { х2 + Зх + 9 Г х»-64... ах ' { х2 + 4х + 16
Вычислите определенный интеграл:
с 1 Г4х5 - Зх4 + х3 - 1 ,
021.5. а) ---------;-------ах;
' х2
г 5х7 - 4х6 + 2х .
------------------ах;
х3
в)
6х4 - 4х3 + 7х2 - 1
Лх;
г Зх6 - 4х5 - 7х4 + Зх2
°г (х2 - 2х)(3 - 2х)
021.6. а) |--------\--------Лх;
х - 2
Зг(х2 - Зх + 2)(2 + х)
--------------—--------с/х;
I х -1
б)
х2 + х - 2
г)
(9 - х2)(х2 - 16)^
х2 - 7х + 12
я
021.7. а) |зтхс/х;
Я
2
я
4
б) I
_я
4
&Х
СО82 X ’
я я
2 2
в) [ соз х с/х; г) [ ах .
2 4
я
2
021.8. а) | соз 2х с/х;
я
4
я
Я
в) [2зт—Лх;
{ з
2
Я
г 7
г) [—
3 соз23х
Я
021.9. Вычислите интеграл:
я
2
а) |з1п 2х соз Зхс/х;
о
я
Г 2 Х
соз —ах;
{ 2
4
я
3
в) усоз 7х соз 5хс/х;
о
я
г) У 51П2 Зхс/х.
-я
Вычислите интеграл:
Зл
4
021.10. а) |
О
0
б) У ( 2 зш2 — - 1 1 йх;
-п \ /
л
4
021.11. а) |(1 + \&2х)с1х',
О
л
4
б) |(3 - Зс1§2х)</х;
Л
3
_л
8
в) | (зш2 2х - соз2 2х)йх;
О
Зл
4 х ч
г) [ | 1 - 2соз2— </х.
Ц 3)
л
3
в) |(с1&2 х + 1)с/х;
л
4
л
4
г) |(1 + 21%2 х)(1х.
л
6
бзгп —соз — к/х;
3 3
021.12. а)
зш х соз — + х с/х;
3
8Ш2 X----— ! СО8 (2я - X)
021.13. а) |—------------------с/х;
-3 ^Гх-^с^Г^ + х]
б) I-------------к у ----------------ах-,
сое2 (я - х) + 8Ш2 - х + соз (я + х) соз (2я - х)
| с1е|^-х>|
в) Г зш (л - х) ) СОЗ (2л - х)
I - х) Г я > 81П (—х)
4 — + X
г)
- х 4&(л - х)
соз2
соз (л + х)
с1х.
Вычислите интеграл:
4
в)
о
б)
о
| л/1 - 2х с/х;
-1
г)
И
15 ^Зх - 1 с/х;
2
3
3Г -2
|(5х - 7) зс/х.
2
21.15. а)
|ехс/х;
о
б)
1
| Зехс/х;
О
В) ]~еХ<1х;
г)
| -2ехс/х.
-2
21.16. а)
б)
4
|е°’5х-1с/х;
о
1
| е2х+1с/х;
в)
г)
4
-4
О
| е~2х+2<1х.
-0,5
2 _
021.17. а)
2 /
в)
г <М л
—2—с/х;
ох + 1
2 /
с/х.
6 О
021.18. а) [ ах ; б) [-------;
{ 2х - 1 •> -5х + 6
021.19. Вычислите:
6
а) | /(х)с/х,
-3
где /(х) = <
X2,
если -3 < х < 2,
6-х, если х > 2;
2
б) |/(х)с/х, где /(х) = <
1
4
если 0 < х <
х3, если х > 1.
1,
л
3
а) | Кх}<1х, где /(х)
_гс
6
—5------1, если х < О,
соз^ 2х
ат—, если х > 0;
2
з
б) | /(х) с1х, где /(х)
_я
2
— 81ПI х - — , если х < О,
2
-т---, если х > 0.
ух + 1
2
021.21. Вычислите |/(х)с/х, если:
о
\[х, 0 < х < 1,
а) /(х) =
4х, х < 1,
4х3, х > 1;
б) /(х) =
X > 1.
Вычислите:
з
021.22. а) |(|х2 - 4| + 2х)</х;
2
1
б) |(|х2 + 2| + |х - 5|)с/х;
о
2
в) |(I*2 - 4| + 2х)с/х;
-2
-1
г) у (|х4 + 2х2 + 3| + |х + 1|)с/х.
-2
1
•21.23. а) у(|х - 1| + |х + 1|)с/х;
-1
о
б) (|х - 2| - |х + 3|)с/х;
-4
2
в) У(|х - 1| + |х + 1|)с/х;
1
4
г) У (|х - 2| - |х + З|)б/Х.
-4
3
021.24. Вычислите | /(х)с/х, если график функции у = /(х) изоб-
-2
ражен на заданном рисунке:
з
021.25. Вычислите | /(х)с/х, если график функции у = /(х) изоб-
-2
ражен на заданном рисунке:
а) рис. 3; б) рис. 4.
021.26. Вычислите интеграл:
а) | ?(х)<1х, если график функции у = /(х) (парабола!
-2
изображен на рис. 5;
2
б) |/(х)с/х, если график функции у = /(х) (парабола)
-1
изображен на рис. 6.
Рис. 5
Рис. 6
6
>21 .27. Зная, что р(х)<2х = 12, найдите:
з
2 -1
а) |/(Зх)</х; б) / /(1- 2х)с/х.
1 -2,5
Решите уравнение:
X
>21.28. а) = х;
1 у/1
в) [ 1 аг = 4;
5 <2Т - 1
б) [ . 1 аг = 2;
I + 4
Г) I . 1 аг = 2.
2 у/1 + 2
021.29. а) ]со82«Й =
I
б) |соз2^б^ + |з1п2гЛ = 0;
I О тс
4
в) 2|з1пЧс/г = х;
о
г) |(2соз2^ + 6соз6г)с// = 0.
о
•21.30. а) }(18е2 - 221 - 4) Л = 5;
1
б) ](4г3 + з*2 - 4г - 4)аг = 6.
-1
•21.31. Сколько корней имеет уравнение:
а)
Г 1
соз 1(И = — х;
I 4
б) |зш 1(11 = 0,2х?
о
021.32. При каком значении параметра а уравнение имеет толь
ко один корень:
X
а) | з1п I (11 = а - х2;
к
2
х / \2
б) Гсозрей = х - 4 + а?
I I 2)
Решите неравенство: 021.33. а) < 0,5; 0 б) /(3*2 -8* + 3)с^ > 0; 0 021.34. а) ; о 2 б) Гсоз 22 (/2 > —— ; 1 2л/2 2 •21.35. Решите уравнение: 1 а) |(ех - Зх2 - 2х)с1х = е1 0 б) [Г—— + 2х - зЪх = и*-2 ) •21.36. Решите неравенство: 1 1 а) [з2х-1йх < ——, г > { 3 1п 3 б) [Гзх - 5 —^х > М х + 5 1 -4 \ 7 в) < 0,25; 0 г) ](21 + 5)<24 > 6. 0 Г х/З в) | соз 1 сП < ; о 2 г) ^1п — сП > Л - 3; 1п (< - 2) - I3 + 6, 1 > 3. 0; -30 - 1п(< + 5), 1 > -4.
Используя геометрические соображения, вычислите инте-
грал:
021.37. а) 1716 - х2<1х-,
О
О
в) | ^25 - х2д,х\
-5
72
б) | 74 - х2с?х;
о
4
г) | 7б4 - х2(1х.
•21.38. а) ^74х - х2<1х-,
о
3
•21.39. а) рх|<2х;
-2
3
б) |(|х - 2| + 4х)йх;
-2
о
б) | \!-х2 - 2х с1х.
-1
5
в) ||х - 1|йх;
о
2
г) |(|х + 1| - 2х)с1х.
-з
021.40. Материальная точка движется по прямой со скоростью,
определяемой формулой V = у(1) (время измеряется в се-
кундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой
путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала дви-
жения (г = 0), если:
а) = 322 - 41 + 1; в) и(1) = 423 - б22;
б) р(4) = , 1 ; Г) р(0 = -у—--?
7б4 + 1 774 + 4
021.41. Материальная точка движется прямолинейно со скоро-
стью, изменяющейся по закону V = (время I измеряет-
ся в минутах, а скорость — в метрах в минуту). За какое
время, считая от начала движения, точка пройдет расстоя-
ние з метров, если:
а) и(4) = 24 - 3, а = 4; б) и(4) = 8 = 2?
лм + 1
021.42. Дан прямолинейный неоднородный стержень [0; /], его
плотность в точке х определяется по формуле р = р(х).
Найдите массу стержня, если:
а) р(х) = х2 + х + 1, I = 6;
б) = йЬг 1 = 3;
в) р(х) = -х2 + 6х, I = 2;
г) р(х) = ’ 1 = к
Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными
линиями:
021.43. а) у = х2, у = 0, х = 4;
б) у = х3, у = 0, х = -3, х = 1;
в) у = х2, у = 0, х = -3;
г) у = х4, у = 0, х = -1, х = 2.
021.44. а) у = х3 + 2, у = 0, х = 0, х = 2;
б) у = -х2 + 4х, у = 0;
в) у = 4 - х2, у = 0;
г) у = -х3 + 1, у = 0, х = 0, х = -2.
021.45. а) у = -V» У = °> х = 1, х = 2;
X2
б) у = —у = 0, х = 1, х = 9;
л/х
в) у = —V’ у = °> х = -1’ х = “3’
X2
г) у = У = 0, х = 1, х = 4.
л/х
021.46. а) у = зшх, у = 0, х = —;
2
б) У = соз2х, у = 0, х = х =
' 6 6
в) у = созх, у = О, X = х
г) у = 81П —, У = О, X = —, X = 71.
2 2
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
021.47. а) у = 1 + —созх, у = 0, х = х =
7 2 2 2
б) у = 1 - ат 2х, у = 0, х = 0, х = л;
в) у = 1 + 2зтх, у = 0, х = 0, х = — ;
2
г) у = 2соз—, у = 0, х = 0, х = —.
’ У 2 У 3
021.48. а) у = х, у = -0,5х + 5, х = -1, х - 3;
б) у - 2х, у = х - 2, х = 4;
в) у = -х, у = 3 - —, х = -2, х = 1;
4
г) у = 1 - х, у - 3 - 2х, х = 0.
021.49. а) у = 1 - х2, у = -х - 1;
б) у = х2 - Зх + 2, у = х - 1;
в) у = х2 - 1, у = 2х + 2;
г) у - -х2 + 2х + 3, у = 3 - х.
021.50. а) у = х2 - 4х, у = -(х - 4)2;
б) у = х2 + 2х - 3, у = -х2 + 2х + 5;
в) у = х2 - 6х + 9, у = (х + 1)(3 - х);
г) у = х2 - 4х + 3, у = -х2 + 6х - 5.
021.51. а) у = созх, у = -х, х = 0, х = ^;
б) У - 81п2х, у = х - —, х = 0;
2
в) у = зтх, у = -х, х = 0, х =
Г) У = СОЗ —, у = X - 71, X = О, X = Л.
2
021.52. а) У = 2созЗх - Зз1п2х + 6, у = 0, х = 0, х = —;
6
. Г* • Г* Г* ГТ Л Л
б) у = 2зш4х + Зсоз2х + 7, у = 0, х = —, х = —.
4 4
021.53. а) у = 0, х = 4, у = >/х;
б) у = 1, х - 0, у - у/х;
в) у = 0, х = 1, х = 3, у =
г) у = 2, х = 0, у = >/х.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
021.54.
•21.55.
021.56.
021.57.
021.58.
021.59.
021.60.
а) у = у[х, у = -2>/х, х = 4;
б) у = 2>/х, у = -4х, х = 9.
а) у = 2 - >/х, у = </х, Зх + 5у = 22;
б) у = у/х, у = 3 - 2у/х, 4х - 5у - 21 = 0.
а) у = 0, х = 0, х = 3, у = ех;
б) у = 0, х = 0, х = 4, у = е~х;
в) у = 0, х = -1, х = 1, у = ех;
г) у = 0, х = -2, х = 0, у = егх.
а) х = 1, у = ех, у = е~х;
б) у - —, у = 1, х = -1;
ех
в) у = ех, х - 2, х + 2у = 2;
г) у = ех, х = 2, х = 0, у - -ех.
а) У = 0, х = 1, х = е, у =
х
б) у = О, X = 3, X = -1, у = 1
2х + 3
о
в) у = 0, х = е, х = е2, у = —;
х
г) у = о, х = 2, х = 5, у = 1 .
Зх - 5
а) у = ех, у = —, х = 2, х = 3;
х
1
б) у = —, у = 1, х = 5;
X
в) У = л/х, у = х = 4;
X
г) У = , У = -1, X = е.
X
а) у = 2х, у = 3 - х, у = 0, х = 0;
б) У = 3х, у = 5 - 2х, у = 0, х = 0.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
021.61. а) у = у = 2х - 1, х = 2;
б) у = у = 2х'1, х = 4.
ух
021.62. а) у = ех, у = —, х = е, х = 0, у = 0;
х
б) У = , у = х2 + 1, х = 2.
•21.63. а) у = х3, у = 10 - х, х = 0;
б) у = х3, у = 10 - х, у = 0;
в) у = -х3, у = 5 + 4х, х = 0;
г) у - -х3, у - 5 + 4х, у = 0.
•21.64. а) у = |х|, у = —|х| + 2;
б) у = |х + 1|, у = —(х - I)2 + 2;
в) у = |х| - 2, у =
г) у = (х - I)2, у = —|х + 1| + 2.
•21.65. а) у = 3 - х2, у = 1 + |х|;
б) у = х2, у = 2 - |х|.
•21.66. а) у = |х2 - 4|, х = 3, х = -3, у = 0;
б) У = |х2 - 2|х||, х = 3, х = -3, у = 0.
•21.67. а) у = 31п2х, у =
7Г2
б) у = х2 - 1, у = соз
(2х У
в) у = созх, у =------1 I;
I 71 /
г) У = X2 - 2х, у =
021.68 Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и
прямой, изображенной на заданном рисунке:
а) рис. 7; б) рис. 8.
021.69. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у = 2х - 5 и графиком ее первообразной, проходя-
щей через точку М(1; -3).
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у = 4х + 1 и графиком ее первообразной, проходя-
щей через точку М(2; 6).
•21.70. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
у - 2х - х2, касательной к ней в точке х = 1 и осью у,
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = 2х2 - 6х, касательной к ней в точке х = 1,5 и
осью у.
•21.71. а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком
4
функции у = х3, касательной к графику этой функции,
проведенной в точке х0 = 8, и осью абсцисс.
б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = Ху/х, касательной к графику этой функ-
ции, проведенной в точке х0 = 1, и осью ординат.
•21.72. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у = х3, касательной к нему в точке х = 1 и осью у.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = х3 и касательными к нему в точках х = О
и х = 1
•21.73. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции У = 3 - ±х1 2 и двумя касательными, проведен-
ными к нему из точки на оси у так, что угол между ка-
сательными равен 90°.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = 0,5(х2 + 5) и двумя касательными, прове-
денными к нему из точки на оси у так, что угол между
касательными равен 90°.
•21.74. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
,к *2>/3
функции у = —-— и двумя касательными, проведенными
к нему из точки на оси у так, что угол между касательны-
ми равен 60°.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
х2
функции у =-----— и двумя касательными, проведенны-
2 л/3
ми к нему из точки на оси у так, что угол между каса-
тельными равен 120°.
•21.75. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у = х3 - 6х2 + 9х + 1 и касательной к нему в точке
х = 3.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у = х3 - Зх и касательной к нему в точке х = -1.
•21.76. а) При каком положительном значении параметра
щадь фигуры, ограниченной линиями у = —,
X2
а
У
1 7 ?
х = 1, х = а, равна —
о
б) При каком отрицательном значении параметра
- 1
щадь фигуры, ограниченной линиями у = —,
X2
пло-
= 0,
пло-
= 0,
а
У
1 10 ?
х = -1, х = а, равна — •
•21.77. Докажите, что площадь 3 криволинейной трапеции, ог-
раниченной параболой у = ах2 + Ьх + с и прямыми х = ос,
х = р(а<р),г/ = О можно найти по формуле
а 1 со. II со /X /ПХ А 1 ОС + Р 1 у(а) + у(р) + 4у 2 н 1 \ /
(формула Симпсона).
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Г Элементы теории
Г вероятностей
Г и математической
Г статистики
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
гггггггггггггггггггггггг
§ 22. Вероятность и геометрия
022.1. Случайным образом выбирают одно из решений неравен-
ства х2 < 9. Найдите вероятность того, что оно являет-
ся решением неравенства:
а) х2 < 10; в) х2 > 10;
б) 2х - 3 < 17; г) х3 4- 2х > 0.
022.2. Случайным образом выбирают одно из решений неравен-
ства 1 < |х - 3| < 5. Найдите вероятность того, что оно
является решением неравенства:
а) |х| < 2; в) |х| < 1;
б) |х - 6| < 2; г) 1 < |х - 6| < 2.
•22.3. Случайным образом выбирают одно из решений неравен-
ства < 10. Найдите вероятность того, что оно:
а) является решением неравенства >/х < 1;
б) принадлежит области определения функции
у = 1п(40х - 39 - х2);
в) является решением неравенства >/х - 10 < 5;
г) принадлежит области значений функции
у = 0,5 81пГ 2х 4- — 4- 1.
I 2)
022.4. Случайным образом выбирают одно из решений неравен-
2х2 + 15х + 18 . п тт г
ства -д - Что более вероятно:
а) то, что оно положительно, или то, что оно отрица-
тельно;
б) то, что оно меньше -3, или то, что оно больше -3;
в) то, что оно целое, или то, что оно не целое;
г) то, что оно больше -5, или то, что оно меньше -2?
022.5. Случайным образом выбирают одно из положительных
решений неравенства 3х < 6 - Зх. Найдите вероятности
того, что:
а) оно меньше 0,1;
б) оно больше 0,999;
в) оно ближе к 0,4, чем к 0,3;
г) оно дальше от 0,7, чем от 0,8.
022.6. В прямоугольнике АВСВ со сторонами АВ = 2, ВС =
случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, чт<>
она расположена:
а) ближе к прямой АВ, чем к прямой СВ*,
б) ближе к вершине А, чем к вершине С;
в) ближе к прямой АВ, чем к прямой ВС;
г) ближе к вершине А, чем к точке пересечения диагоналеи
•22.7. В прямоугольнике АВСВ со сторонами АВ = 5, ВС = Ю
случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что
она расположена:
а) ближе к прямой АВ, чем к прямой АВ;
б) ближе к прямой АВ, чем к каждой из прямых АВ, СВ;
в) ближе к вершине А, чем к вершинам В и С;
г) ближе к прямой АВ, чем к прямой АС.
022.8. Внутри окружности, описанной около прямоугольного тре
угольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите веро
ятность того, что она:
а) лежит внутри треугольника;
б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;
в) лежит вне треугольника;
г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в
него окружности.
022.9. На оси абсциссе случайным образом выбирают точку
В(х; 0), -2 < х < 6, и соединяют ее с фиксированной точ
кой А(4; 4). Какова вероятность того, что угол наклона
отрезка АВ к положительному направлению оси абсцисс:
а) тупой; б) меньше 45°; в) острый; г) больше 60°?
022.10. На оси ординат случайным образом выбирают точку С(0; у),
О < у < 8, и соединяют ее с фиксированной точкой А(4; 4).
Какова вероятность того, что угол наклона отрезка АС к
положительному направлению оси ординат:
а) тупой; б) меньше 45°; в) острый; г) больше 60°?
•22.11. Коэффициенты а и Ъ в уравнении прямой у = ах + Ь
случайным образом выбираются из множества {-5, -4, ...,
-1, 0, 1, ..., 4, 5}. Найдите вероятность того, что эта
прямая:
а) пересекает ось ординат;
б) пересекает только две координатные четверти;
в) не пересекает ось абсцисс;
г) не пересекает вторую координатную четверть.
Указание. Считать, что точки осей координат не принад-
лежат ни одной четверти.
022.12. Из отрезка [-1; 1] произвольно выбирают два числа — х
и у — и на координатной плоскости отмечают точку (х; у).
Какова вероятность того, что:
а) эта точка лежит в первой координатной четверти;
б) х + у < 0;
в) эта точка лежит или во второй, или в четвертой коор-
динатной четверти;
* г) х + у > 0, а ху < 0?
•22.13. Случайным образом выбирают два решения — х1 и х2 —
неравенства |х -- 2| < 2 и точку (хг; х2) отмечают на ко-
ординатной плоскости. Найдите вероятность того, что:
а) оба решения не больше 2;
б) хотя бы одно из решений не больше 2;
в) сумма этих решений больше 3;
г) хг и х2 отличаются друг от друга (по модулю) не бо-
лее, чем на 1.
•22.14. На координатной плоскости даны точки А(0; 3), В(4; 6),
С(6; 0). В треугольнике АВС случайным образом выбирают
точку. Найдите вероятность того, что она расположена:
а) ниже прямой у = 3;
б) правее прямой х = 4;
в) ближе к прямой АС, чем к прямой АВ;
г) ближе к прямой АС, чем к прямой ВС.
022.15. Точку случайным образом выбирают из фигуры, ограни-
ченной параболой у = х2, осью абсцисс и прямой х = 3.
Найдите вероятность того, что она лежит:
а) левее прямой х = 1; в) правее прямой х = 2;
б) выше прямой у = 4; г) ниже прямой у = 1.
022.16. Точка случайным образом выбирается из фигуры, ограни-
ченной графиком функции у = ех, осью ординат и пря
мой у = е. Найдите вероятность того, что она лежит:
а) в первой координатной четверти;
б) правее прямой х = 1;
в) правее прямой х = 0,5;
г) ниже прямой у = Те.
022.17. Под аркой синусоиды у = ыпх, 0 < х < л, случайным
образом выбирают точку выше оси абсцисс. Найдите ве-
роятность того, что она лежит:
х/з
а) выше прямой у = 72; в) ниже прямой у - ——;
б) левее прямой х =
тс,
3’
х м 3 тс
г) правее прямой х = —
4
•22.18. Найдите значение параметра а, если известно, что веро-
ятность указанного события равна 0,5:
а) точка фигуры, ограниченной параболой у = х2, осью
абсцисс и прямой х - 1, лежит левее прямой х = а;
б) точка фигуры, ограниченной графиком функции у =
осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2, лежит ниже пря-
мой у = а;
в) точка фигуры, ограниченной гиперболой у - осью
абсцисс и прямыми х = 1, х = 2, лежит левее прямой х = а;
г) точка фигуры, ограниченной осью ординат, прямой у = 2
и графиком функции у = |х - 1|, лежит правее прямой х = а.
022.19. Случайным образом на координатной плоскости хОу вы-
бирают точку Р(х; у), 0 < х < 4, О С у < 2. Отрезок ОР
является диагональю прямоугольника со сторонами, па-
раллельными осям координат. Какова вероятность того,
что периметр этого прямоугольника:
а) больше 20; в) меньше 4;
б) не больше 12; г) больше 10?
•22.20. Случайным образом на координатной плоскости хОу
выбирают точку Р(х; у), 0 < х < 4, 0 < у < 2. Отрезок
ОР является диагональю прямоугольника со сторонами,
параллельными осям координат. Какова вероятность того,
что площадь этого прямоугольника:
а) больше 9; в) меньше 2;
б) меньше 10; г) больше 4?
022.21. Числа ри д произвольно выбирают из отрезка [0; 1]. Ка-
кова вероятность того, что у приведенного квадратного
уравнения х2 + рх + д = 0:
а) есть хотя бы один корень (действительный или ком-
плексный);
б) нет действительных корней;
в) есть два различных действительных корня;
г) есть хотя бы один положительный корень?
•22.22. Отрезок единичной длины наудачу разбили на три отрезка.
Какова вероятность того, что длина каждого отрезка бу-
дет:
а) больше 0,34;
б) больше 0,25;
в) меньше 0,32;
г) меньше 0,5?
§ 23. Независимые повторения испытаний
с двумя исходами
023.1. Найдите вероятность «успеха» в каждом из следующих
испытаний:
а) вытаскивание одной кости домино; появление дубля —
«неудача»;
б) вытаскивание одной кости домино; появление кости с
суммой очков меньше 4 — «неудача»;
в) вытаскивание одной карты из колоды в 36 карт, появ-
ление «пики» — «неудача»;
г) вытаскивание одной карты из колоды в 36 карт, появ-
ление туза, короля или дамы — «неудача».
023.2. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили дважды.
Найдите вероятность двукратного появления «успеха» в
каждом из случаев а), б), в), г).
•23.3. Найдите вероятность появления хотя бы одного «успеха»
в каждом из случаев а), б), в), г) задачи 23.2.
023.4. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили трижды. Что
более вероятно в каждом из случаев а), б), в), г): то, что
наступит хотя бы один «успех», или то, что наступит
хотя бы одна «неудача»?
023.5. Какова вероятность того, что при восьми бросаниях монеты:
а) орел выпадет ровно пять раз;
б) орлов и решек выпадет поровну;
в) решка выпадет ровно пять раз;
г) решка выпадет чаще орла?
023.6. Какова вероятность того, что при п бросаниях двух раз
личных игральных костей хотя бы один раз выпадет пара
шестерок, если:
а) п = 1; б) п = 2; в) п = 3; г) п = 10?
023.7. Шахматисты А и Б играют несколько партий. Шансы на
победу каждого из них в отдельной партии считаются
равными. Какой результат А : Б оценивается как более
вероятный:
а) 2 : 2 или 3 : 13 : 1 в четырех партиях;
б) 2 : 2 в четырех партиях или 3 : 3 в шести партиях;
в) 3 : 1 в четырех партиях или 4 : 2 в шести партиях;
г) 2 : 3 в пяти партиях или 3 : 3 в шести партиях?
•23.8. Хоккейные команды А и Б играют в финальной стадии
«р1ау-оГГ». Шансы на победу команды А в отдельной
встрече оцениваются в 40%. Какова вероятность того,
что после четырех встреч результат А : Б будет:
а) 0 : 4; б) 2 : 2; в) 3 : 1; г) в пользу команды А?
023.9. Вероятность успеха в одном испытании равна 0,2. Распо-
ложите следующие события в порядке возрастания веро-
ятностей их наступления, предварительно вычислив эти
вероятности:
Ах — при двух повторениях испытания успех наступает
ровно в одном случае;
А2 — при трех повторениях испытания успех наступает
ровно в одном случае;
А3 — при трех повторениях испытания успех наступает
ровно в двух случаях;
А4 — при трех повторениях испытания успех не наступа-
ет ни разу.
023.10. Стрелок не очень меток: вероятность поражения мишени
при одном выстреле оценивается в 40 %. Оцените (в про-
центах) вероятности наступления следующих событий
при пяти выстрелах этого стрелка:
а) в мишень попадут ровно три пули;
б) в мишень не попадет ровно одна пуля;
в) мишень останется нетронутой;
г) мишень будет поражена хотя бы раз.
023.11. а) Используя результаты задачи 23.10, составьте табли-
цу из двух строк: в первой строке запишите варианты ко-
личества возможных попаданий стрелка в мишень, во
второй — их вероятности. Вычислите и запишите недо-
стающие значения вероятностей.
б) Изобразите многоугольник распределения, откладывая
по оси абсцисс число попаданий к = О, 1, 2, 3,4, 5 в ми-
шень, а по оси ординат — вероятности Р5(к).
023.12. При восьми бросаниях монеты орел может выпасть к = О,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 раз.
а) Найдите соответствующие вероятности Р8(к) (в процен-
тах).
б) Составьте таблицу распределения вероятностей.
в) Составьте многоугольник распределения вероятностей,
г) Найдите наивероятнейшее число выпадений орла.
023.13. Вершины квадрата лежат на сторонах правильного тре-
угольника. В треугольнике независимым образом пооче-
редно выбирают четыре точки. Найдите вероятность того,
что:
а) все точки окажутся в квадрате;
б) в квадрате и вне квадрата точек окажется поровну;
в) ни одна из точек не окажется в квадрате;
г) хотя бы одна точка окажется в квадрате.
•23.14. Плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, вы-
ходящих из одной вершины, отсекает от куба треуголь-
ную пирамиду. В кубе независимым образом поочередно
выбирают три точки. Найдите вероятность того, что:
а) все точки окажутся вне пирамиды;
б) в пирамиде окажется ровно одна точка;
в) ровно одна точка окажется вне пирамиды;
г) хотя бы одна точка окажется вне пирамиды.
023.15. Даны два концентрических шара радиусов 1 и 2 соответ
ственно. В большем шаре независимым образом поочеред
но выбирают 3 точки. Найдите вероятность того, что:
а) все точки окажутся в меньшем шаре;
б) вне меньшего шара окажется ровно одна точка;
в) ни одна из точек не окажется в меньшем шаре;
г) хотя бы одна точка окажется в меньшем шаре.
•23.16. Даны две концентрические окружности с радиусами 1 и 2
соответственно. На меньшей окружности отмечена точка
Р. В кольце между окружностями наудачу выбраны точ
ки А и В. Найдите вероятность того, что:
а) отрезок АР имеет с меньшей окружностью только одну
общую точку Р;
б) отрезки АР и ВР пересекают меньшую окружность в
точках, отличных от точки Р;
в) хотя бы один из отрезков АР и ВР пересекает мень-
шую окружность в точке, отличной от точки Р;
г) оба отрезка АР и ВР имеют с меньшей окружностью
только одну общую точку Р.
023.17. В соответствии с техническими нормативами вероятность
выпуска стандартной детали без дефектов оценивается в
95%. Найдите наивероятнейшее число бракованных дета-
лей среди п выпущенных деталей, если:
а) п = 1119;
б) п = 1120;
в) п = 20т + 19;
г) п = 20(т + 1).
•23.18. Вероятность опечатки на одной странице оценивается в
1 %. Оцените общее количество п напечатанных в типог-
рафии страниц, если число страниц с опечатками оказа-
лось равным:
а) 5; б) 10; в) 20; г) 100.
023.19. В п испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом ус-
пехов оказались числа к и к 4- 1. Найдите вероятность
успеха в одном из этих испытаний Бернулли, если изве-
стно, что:
а) п = 9, к = 7;
б) п = 99, к = 70;
в) п = 999, к = 699;
г) п = 999, к - 7.
023.20. В п испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом ус-
пехов оказалось единственное число к. Оцените, в каких
пределах может находиться вероятность неудачи в одном
из этих испытаний Бернулли, если известно, что:
а) п = 9, к = 3; в) п = 99, к = 30;
б) п = 999, к = 300; г) п = 99, к = 3.
§ 24. Статистические методы обработки
информации
В задачах 24.1—24.5 рассматриваются результаты одно-
го и того же измерения I отметок, которые получили сту-
денты одной группы на экзамене по истории. Отметки эти
таковы:
4342345334
3454524452
024.1. а) Сколько получено двоек, т. е. какова кратность вари-
анты 2?
б) Какова кратность варианты 4?
в) Перечислите все варианты измерения /.
г) Выпишите сгруппированный ряд данных измерения I.
024.2 а) Составьте таблицу распределения кратностей вариант
для измерения I.
б) Нарисуйте многоугольник распределения кратностей.
в) Составьте таблицу распределения частот и нарисуйте
многоугольник распределения частот.
г) Для процентных частот нарисуйте гистограмму распре-
деления с шириной столбцов, равной 1.
024.3. Вычислите: а) размах; б) моду; в) медиану; г) среднее ре-
зультатов измерения I.
•24.4. а) Найдите отклонения вариант измерения I от среднего
результатов измерения.
б) Проверьте, что сумма всех отклонений равна нулю.
в) Найдите квадраты отклонений и сумму квадратов от-
клонений от среднего.
г) Вычислите дисперсию и среднее квадратическое откло-
нение.
•24.5. Отметки «2» и «3» не позволяют получать стипендию,
будем считать их «нулевыми» (для получения стипен-
дии). Отметки «4» и «5» будем считать «единичными».
Для распределения отметок по категориям «нулевые» и
«единичные»:
а) составьте таблицы распределения кратностей и частот;
б) постройте гистограмму распределения с шириной столб-
цов, равной 1;
в) вычислите моду и среднее значение;
г) вычислите дисперсию и среднее квадратическое откло-
нение.
024.6. В специализированном спортивном магазине продается 50
видов велосипедов.
Они распределены по цене так (граничную цену относят
к более дорогой категории):
Цена (тыс. руб.) ДО 3 3—6 6—9 9—12 12—15 > 15
Кол-во видов 3 8 19 ? 11 2
а) Сколько видов велосипедов стоят от 9 до 12 тыс. р.?
б) Какова частота очень дорогих (> 15 тыс. р.) видов ве-
лосипедов?
в) Какова процентная частота относительно дешевых
(< 6 тыс. р.) видов велосипедов?
г) Какова процентная частота моды проведенного измере-
ния?
024.7. В сводной таблице распределения данных некоторого
измерения остались пустые места:
Варианта № 1 № 2 № 3 №4 Всего: 4 варианты
Кратность 5 Сумма =
Частота 0,45 0,1 Сумма =
Частота, % 25 20 Сумма = %
а) Какой столбец можно сразу заполнить, исходя из этих
данных?
б) Какую строку можно заполнить после выполнения
пункта а)?
в) Заполните всю таблицу.
г) Укажите моду распределения.
024.8. В сводной таблице распределения данных некоторого из-
мерения остались пустые места. Заполните их.
Варианта № 1 № 2 №3 №4 № 5 № 6 Всего: 6 вариант
Кратность 291 113 Сумма =
Частота 0,122 0,193 Сумма =
Частота, % 29,1 20,2 7,9 Сумма = %
•24.9. Требуется восстановить сводную таблицу распределения
данных некоторого измерения по следующей информации:
Варианта № 1 № 2 № 3 № 4 Всего: 4 варианты
Кратность к 2к Сумма = 100
Частота Сумма =
Частота, % Зк к2 - 1к - 33 Сумма = %
а) С какого столбца следует начать восстановление дан-
ных?
б) Составьте уравнение, связывающее данные, выбран-
ные в пункте а).
в) Решите это уравнение и найдите значение к.
г) Заполните всю таблицу.
•24.10. Дана сводная таблица распределения результатов некото-
рого измерения:
Варианта № 1 № 2 № 3 № 4 Всего: 4 варианты
Кратность X У X + у Сумма = 50
Частота Сумма =
Частота, % 23х - 105 у2 - у - 70 Сумма = %
а) Найдите х.
б) Найдите у.
в) Восстановите всю таблицу.
г) Найдите моду этого распределения.
В задачах 24.11—24.16 рассматриваются результаты одно
го и того же измерения: речь идет об оценках, которые
получили выпускники одной из школ за сочинение. Выс
тавлялись две отметки: первая — по литературе, вторая
по русскому языку. Оценки таковы:
5/4 4/5 3/1 4/3 2/3 3/3 4/3 5/3 3/3 1/2 4/4 4/2 2, 1
3/5 3/4 4/3 5/5 4/4 5/4 2/2 2/3 4/3 5/4 2/3 3/3
024.11. Для оценок по литературе:
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных
частот;
г) найдите среднее.
024.12. Для оценок по русскому языку:
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных
частот;
г) найдите среднее.
024.13. Для суммы оценок по литературе и русскому языку:
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных
частот;
г) найдите среднее.
024.14. Найдите размах, моду и медиану:
а) оценок по литературе;
б) оценок по русскому языку;
в) суммы оценок по литературе и русскому языку;
г) модуля разности оценок по литературе и русскому языку.
024.15. а) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оце-
нок по литературе.
б) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оце-
нок по русскому языку.
в) По какому предмету оценки, в среднем, выше?
г) По какому предмету оценки имеют более устойчивый
характер?
024.16. Итоговая оценка за сочинение (см. с. 160) была выстав-
лена по инструкции: «2», если сумма оценок меньше 5;
«3», если сумма оценок равна 5 или 6; «4», если сумма
оценок равна 7 или 8, и «5» — в остальных случаях,
а) Определите число итоговых двоек.
б) Определите число итоговых пятерок.
в) Составьте таблицу распределения итоговых оценок.
г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых оценок.
024.17. После урока по теме «Статистика» на доске остался от-
вет «Среднее значение — 12» и таблица:
Варианта 3 8
Кратность 26 13 11
а) Какое число должно быть записано в пустой клетке?
б) Укажите размах, моду и медиану распределения.
в) Допустим, что среднее значение равно М. Что тогда
должно стоять в пустой клетке?
г) Может ли в ответе для среднего значения стоять 15,
если все варианты — целые числа?
•24.18. После урока по теме «Статистика» на доске остался от-
вет «Среднее значение равно 10» и таблица:
Варианта 4 7 11
Кратность 5 2
а) Какое число должно быть записано в пустой клетке?
б) Найдите размах и моду распределения.
в) Вычислите среднее квадратическое отклонение.
г) Может ли среднее значение равняться пяти при каком-
нибудь заполнении пустой клетки?
•24.19. Таблица распределения кратностей имеет вид:
Варианта 0 1 3 5 6
Кратность 19 2 Зх - 1 5 4х - 7
а) Выразите среднее значение через х.
б) Как выглядит график зависимости среднего значения
от х?
в) Каким может быть целое число х, если модой является О?
г) Может ли мода распределения равняться трем?
•24.20. Таблица распределения кратностей имеет вид:
Варианта 0 1 3 5 6
Кратность 10 2х Зх - 1 5 х + 5
а) Выразите через х среднее значение.
б) Как выглядит график зависимости среднего значения
от х?
в) Каким может быть х, если модой является О?
г) Может ли мода распределения равняться единице?
§ 25. Гауссова кривая, закон больших чисел
В пунктах а)—г) задач 25.1—25.2 найдите значения п
к, р, ди выпишите (без вычислений) формулы для Рп(к)'.
025.1. а) Вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 броса
ниях монеты;
б) вероятность появления ровно 3 «решек» при 10 броса-
ниях монеты;
в) вероятность появления ровно 57 нечетных цифр при
100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9;
г) вероятность появления ровно 75 цифр, кратных трем,
при 100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9.
025.2. а) Каждый из 50 человек независимо называет один из
дней недели. «Неудачным» днем считается понедельник.
Какова вероятность того, что «удач» будет ровно поло
вина?
б) Каждый из 100 человек независимо называет один
из дней недели. «Удачными» днями считаются суббота и
воскресенье. Какова вероятность того, что «неудач» бу-
дет 33?
в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 оч-
ков. Какова вероятность того, что ровно 175 бросаний
из 293 будут «удачными»?
г) Одновременно бросают три различные монеты; «неуда-
ча»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность
того, что будет ровно три «удачи» в тысяче бросаний?
В пунктах а)—г) задач 25.3—25.5 следует заполнить
пропуски в приведенных формулах для подсчета вероят-
ностей по теореме Бернулли, если известно, что веро-
ятность р «успеха» не меньше вероятности д «неудачи»:
025.3. а) Р10(3) = С1 • 0,6? ??; в) Р20(5) = С?? • 0,3? • ??;
б) Р100(99) = С7 • 0,1? ?7; г) Р1000(0) = 0,2?.
025.4. а) Р?(5) = (%, • О,77 • ?7; в) Р100(?) = С3 • 0,57;
б) Р7(?) = С7 • 0,67 ?23; г) Р40(?) = 0,7’.
025.5. а) Р,(?) = ? • 0,32 • 0,78; в) Р?(?) = ? • 0,65 • ?25;
б) Р,(?) = ? • 0,019 • 0,99; г) Р?(?) = 0,1100.
025.6. Объясните, какие ошибки допущены в формуле:
а) Р10(3) = 120 • 0,63 • 0,7е;
б) Р100(99) = 100 • 0,9" • 0,01;
в) Р20(2) = 180 • 0,82 • 0,218;
г) Р1000(1) = О,21000?
025.7. По таблице значений функции (р найдите:
а) ф(1), ф(2), ф(3); в) ф(0,1), ф(1,1), ф(2,1);
б) ф(0,5), ф(1,5), ф(2,5); г) ф(0,9), ф(0,99), ф(1,99).
025.8. Используя таблицу значений функции ф, найдите при-
ближенное значение х, если известно, что:
а) ф(х) = 0,1781; в) ф(х) = 0,3988;
б) ф(х) = 0,1006; г) ф(х) = 0,0116.
025.9. Найдите х > 0, для которого значение ф(х) ближе всего
к заданному числу:
а) 0,33; б) 0,333; в) 0,1; г) 0,01.
•25.10. Вероятность рождения мальчика примем равной 50%.
Найдите вероятность того, что среди 400 новорожденных
будет ровно:
а) 220 мальчиков; в) 210 мальчиков;
б) 180 девочек; г) 300 девочек.
•25.11. При входе на выставку аттракционов стоит урна с че-
тырьмя черными и одним белым шаром. Входящий вы-
таскивает шар и потом возвращает его обратно. Если шар
окажется белым, то посетитель проходит на выставку
бесплатно, а если черным, то покупает билет. С помощью
таблицы значений функции ср найдите приближенно (с точ
ностью до четвертого знака после запятой) вероятное ! ь
того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут ровно
а) 1000; б) 500; в) 450; г) 510 человек.
•25.12. Один из этапов отбора участников для игры «Ну и счас!
ливчик!» организован так. Ведущий записывает проил
вольную цифру от 0 до 9. После этого очередной участ
ник вслух произвольно называет свою цифру от 0 до 9
Если цифры совпали, то участник проходит на следую
щий этап. С помощью таблицы значений функции ср най
дите приближенно (с точностью до четвертого знака по
еле запятой) вероятность того, что из 10 000 игроков н<1
следующий этап пройдут ровно:
а) 2000; б) 1000; в) 970; г) 900 человек.
025.13. По таблице значений функции ф найдите:
а) Ф(1), Ф(2), Ф(3); в) Ф(0,1), Ф(1,1), Ф(2,1);
б) Ф(0,5), Ф(1,5), Ф(2,5); г) Ф(0,9), Ф(0,99), Ф(1,99).
025.14. Используя таблицу значений функции Ф, найдите при
ближенное значение х, если известно, что:
а) Ф(х) = 0,3461; в) Ф(х) = 0,004;
б) Ф(х) = 0,4441; г) Ф(-х) = 0,4904.
025.15. Найдите х, для которого значение Ф(х) ближе всего к
заданному числу:
а) 0,33; б) 0,46; в) 0,1; г) 0,49.
025.16. Вероятность рождения мальчика примем равной 50%.
Найдите вероятность того, что среди 900 новорожденных
будет:
а) от 400 до 450 мальчиков;
б) не менее 440 мальчиков;
в) от 430 до 470 девочек;
г) не более 460 девочек.
•25.17. (Продолжение задачи 25.11.) Какова вероятность того,
что из 2500 посетителей бесплатно пройдут:
а) от 500 до 1000; в) от 500 до 520;
б) от 400 до 600; г) от 490 до 510?
•25.18. (Продолжение задачи 25.12.) Какова вероятность того,
что из 10 000 участников на следующий этап пройдут:
а) от 500 до 1000;
б) не более 970;
в) от 800 до 1200;
г) не менее 2000?
025.19. Известно, что из всех поступавших в университет абиту-
риентов в среднем 60% набрали на экзаменах более
20 баллов. Какова вероятность того, что из 100 случай-
но выбранных абитуриентов более 20 баллов набрали:
а) от 50 до 70 человек; в) не более 60 человек;
б) не менее 20 человек; г) более 69 человек?
•25.20. В большом десятиэтажном доме на каждом этаже живет
одинаковое количество жильцов. Какова вероятность
того, что из 150 случайным образом опрошенных жильцов
этого дома:
а) на первом этаже проживают не менее 15 человек;
б) на последних двух этажах проживают не более 30 че-
ловек;
в) на четных этажах живут от 70 до 80 человек;
г) выше четвертого этажа живут более 99 человек?
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Г Уравнения и неравенства. 1
р Системы уравнений
Г и неравенств 2
г. । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । ।
гггггггггггггггггггггггг
§ 26. Равносильность уравнений
26.1. Равносильно ли уравнение 2х = 256 уравнению:
а) 1о§2 х = 3; в) Зх2 - 24х = 0;
б) х2 - 9х + 8 = 0; г) у = 2?
26.2. Равносильно ли уравнение зтх = 0 уравнению:
а) соз х = 1; в) соз 2х = 1;
б) 1^х = 0; г) \/х - 1 зтх = 0?
26.3. Придумайте три уравнения, равносильных уравнению:
а) л/2х - 1 = 3; в) х2 = 4;
з
б) созх = 3; г) х5 = -1.
26.4. Укажите уравнение-следствие для уравнения:
а) л/7х 4- 3 = х; в) зт(л - х) • с1& х = -0,5;
б) 1о&2 (х - 1) - 1о&2 х = 0; г) зт - х • х = 0.
26.5. Объясните, почему равносильны уравнения:
а) х37 - 12х2 + 1 = 0 и х37 + = х2
б) </х2 - 2х - 3 = 2 и х2 — х —2 =332
26.6. Равносильны ли уравнения:
а) л/2х2 + 2 = 7х4 + 3 и 2х2 + 2 = х4 + 3;
б) л/зш2х + 1 = 1 И 81П2Х = 0?
Равносильны ли уравнения:
26.7. а) + * = 1 и 4х + 4 - х = 0;
б) л/0^57 • 2*2х/2 = 4 и х2 — — + — = 2?
' 2 2
26.8. а) ~ 1 = 3 и х2 + х - = Э:2 + 1
б) + о = 0,5 и 3^пг +1= 0,5 зшх + 1?
’ зшх + 2
Докажите, что уравнение не имеет корней:
026.9. а) х/Зх - 5 = х/9 - 7х; б) ^х2 - 4 + х/1 - х2 = 4.
026.10. а) 1е(х2 - 9) + 1^(4 - х2) = 1;
б) 1§(х2 - Зх) - (2х - х2) = 0,5.
Решите уравнение:
026.11. а) х/7х - 6 = х; в) х/бх - 11 = х - 1;
б) х + 3 = х/2х + 9; г) -х - 5 = 77х + 23.
026.12. а) х/х4 - Зх - 1 = х2 - 1; в) х/х4 + х - 9 = 1 - х2;
б) х/х4 - Зх - 1 = 1 - х2; г) х/х4 + х - 9 = х2 - 1.
026.13. а) ^х* - 5х2 - 2,5х = 5 - х2;
б) х/х4 “ &х2 ~ 2,5х - х2 - 5;
в) х/х4 - Зх2 - 1,5х = х2 - 3;
г) х/х4 - Зх2 - 1,5х = 3-х2,
026.14. а) (х2 - 9)(х/3 - 2х - х) = 0;
б) (х2 - 16)(х/4 - Зх - х) = 0.
026.15. а) 81П 2х • х/4 - х2 = 0;
б) (соз 2х - 1) • х/9 - х2 = 0;
в) (соз2 х - зш2 х) • 71 - х2 = 0;
г) 12 х • л/16 - х2 = 0.
•26.16. Найдите целочисленный корень уравнения:
. 1<Ж2(7 + 6х - х2) - 1о§2(х - 2) _ „
а) Юх -24-х2
1ое12(6 + 5х - х2) _
б) х2 - 9х + 20
•26.17. а) Найдите сумму натуральных значений параметра и
при которых уравнение (л/х - 4 - 2)(х - а) = 0 имееч
единственный корень.
б) Сколько имеется натуральных значений параметра а,
при которых уравнение (1о^3(2х - 11) - 1)(х2 - а2) = О
имеет единственный корень?
§ 27. Общие методы решения уравнений
Будет ли уравнение вида й(/(х)) = й(#(х)) равносильно
уравнению вида /(х) = ^(х)?
27.1. а) 32~х = 3х2-4*; в) 1/7 - х = %5х + 1;
б) (Зх2 - 2)4 = (х - З)4; г) 1§- = 1ё(2х - 7).
X
27.2. а) (2х4 + I)5 = (1 - х3)5;
б) 1о^02(2з1пх - 1) = 1о&02(3 - З1п2х);
в) ^2Х - 1 = Ш - 3 - 2х;
г) соз (3х - 1) = соз(3 - 9х).
Решите уравнение:
027.3. а) 2^ = |л/32; б) 101о82(х-3> 0,00001 = 0,11ое2<х"7'.
027.4. а) о,5йпх-совх = 1; б) (ТзГ^’1 • Зл/З = ^729.
027.5. а) 1ое3 (х2 - Юх + 40) = 1о§3 (4х - 8);
б) 1ое0.8(Эх - 4х2) = 1ое0 8(х3 + 4х2);
в) = 1О^Ш;
г) 1ое01 >/5х - 6 = 1ое01>/х2 - 2.
Решите уравнение:
027.6. а) (х2 - бх)5 = (2х - 7)5;
б) (7бх - 1 + 1)9 = (>/бх + 8)9;
в) (22х + 16)20 = (10 • 2х)20;
г) (1о2оДх - 2)3 = (21ое01х + I)3.
027.7. а) 81п Зх + — ] = зш I х - — ;
I 3 / I в)
б) - х) = ^7 + 2х\
I о I I О I
в) соз х - — = соз 2х + 4 ;
\ 4) \ 4)
г) с12 2х = с12 Зх.
027.8. а) 2х2+3 - 8Х+1 = 0; б) 275~х2 - 3х2"1 = 0.
027.9. а) _ (2л/2 + 1/ - 9;
б) 3СО5Х • Зу[з =
73
027.10. а) (Ж = в) (М“ .
027.11. а) 1о§г (7х + 9) - 1о2г (8 - х) = 1;
3 3
б) 10^1,2 (Зх - 1) + 1021,2 (Зх + 1) = 1°ё1,28-
Решите уравнение методом разложения на множители:
027.12. а) х3 - 9х2 + 20х = 0; в) х5 + 8Х4 + 12х® = 0;
б) х3 - Зх2 - 4х + 12 = О, г) х3 + х2 - 9х - 9 = 0.
027.13. а) л/х5" - Зл/х3" - 18у/х = 0;
б) - г^х5 - 15^/х = 0.
027.14. а) 2х х - 4х - 4 + 2х = 0;
б) 3х • х - 3х*1 + 27 = 9х.
Решите уравнение:
027.15. а) 2х2з1пх - 8зшх + 4 = х2;
б) 2х2созх + 9 = 18созх + х2.
027.16. а) з1п2х = зшх;
б) соз2 (л - х) + 81п 2х = 0;
в) л/ЗсозЗх = зшбх;
(X 1 1
Я + —-ЗШХ = О
2 ) 2
г)
Решите уравнение методом введения новой переменной:
027.17. а) 8Х6 + 7Х3 - 1 = 0; б) х8 + Зх4 - 4 = 0.
027.18. а) 2х + 21-х =3; в) 5х + 4 = 52х+1; б) 25'х - 50 = 5~х + 1; г) Зх + 1 - 29 = -18 • 3 х.
027.19. 027.20. а) 72х + 1 - 50 • 7х = -7; в) 4з1п2х + 4 = 17з1п х; б) 1о§|х + 12 = 71о§2х; г) у[х - \/х - 2 = 0. а) 1&2 х2 + Юх -6 = 0; б) 3х + З’х+1 = 4; в) 2 соз2 х - 7 соз х - 4 = 0; г) 52Л + 125 = 6 • 5Л + 1.
Решите уравнение, используя функционально-графиче-
ские методы:
027.21. а) х = ^1х;
027.22. а) 2х = 6 - х;
027.23. а) (х - I)2 = 1о^2х;
027.24. а) 1 - у/х = 1пх;
027.25. Сколько корней имеет уравнение:
а) 1о$ях = зшх; в) 1о^3лх = созх;
б) х2 + 1 = созх; г) 81ПХ = ^х?
027.26. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном
промежутке:
а) 2х = зш х, [0; 4-эо); в) 7х = соз х, [0; 4-оо);
/ д V
б) — = соз х, (-ос; 0]; г) 10^3 х = зшх, (0; 3]?
I о у
Решите уравнение:
027.27. а) х3 - 6х2 + Их - 6 = 0; в) х3 + 2х2 + Зх + 6 = 0;
б) х3 + 7х2 - 6 = 0; г) х3 + 4х2 - 24 = 0.
027.28. а) (х - I)4 + 36 = 13(х2 - 2х + 1);
б) (2х + З)4 - 9 = 8(4х2 + 12х + 9).
027.29. а) (х2 - 5х + 7)2 - (х - 2)(х - 3) = 1;
б) ((х - 2)(х - 4))2 + 2(х - З)2 - 2 = 0.
027.30. а) х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 15;
б) (х - 1)х(х + 1)(х + 2) = 24.
027.31. а) ----------г = 3 - х - х2;
1 + X + X2
х2 ~ х _ х2 - х + 2 _ ..
' х2 - х + 1 х2 - х - 2
027.32. а) 51П2 х + соз2 2х = 1;
б) соз2 Зх - зш2 Зх - соз 4х = 0.
027.33. а) соз 5х + соз 7х - соз 6х = 0;
б) З1п9х - зш5х + зш4х = 0.
027.34. а) соз 6х - соз 2х + соз 8х - соз 4х = 0;
б) 51П ЗХ - 51П х + соз Зх - соз х = 0.
027.35. а) 3 ^2 х - 8 = 4 соз2 х; б) 4 з1п2 х = 4 - 9х.
027.36. а) зш3 х - зш2 х соз х + 3 соз3 х = 3 зт х соз2 х;
б) ЗШ3 X + 5 51П2 X СОЗ X = 6 СОЗ3 X.
•27.37. а) зш х соз х - 6 зт х 4- 6 соз х 4- 6 = 0;
б) 5 зт 2х - 11 ЗШ х = 11 соз х - 7.
027.38. а) 8Л - 3 • 4Л - 3 2Л+1 +8 = 0;
б) 4'°а>* _ б . 21о85ж + 21ой125 = 0.
Решите уравнение:
•27.39. а) 2х 5^ = 50;
з
б) 3х • 2х = 24;
х- 2
в) 3х1 • 625х1 = 225;
2 + х
г) 5х 2“ = 40.
027.40. а) 10^0,2 ^5х - 4 = 1ое02х;
б) 1о^7 73х2 - 7х + 9 = 1о§7 (х + 2);
в) 1о^3 (х - 1) = 1о^3 7бх - 11;
г) 1о&0 4 х = 1ое0>4 7х2 + х.
027.41. а) 1о&2 5х + 12 = 71о&2х;
б) 1о^о5х ~ 61оех>/х + 8 = 0;
72
в) 91о^|х = 111о&2х + 12;
г) 710^2 х + 11 = 310^8 х - 1.
027.42. а) 1оёх+1(х2 - Зх + 1) = 1; б) 1о&х(2х2 - Зх - 4) = 2.
027.43. а) 1п(0,2х - 7) = 1п(9 - 3 0,2х);
б) 91о8з* _ 12.3108з* + 3108327 = 0;
В) е1в(*-2) . 1 = (е-1уе(х+1).
е
г) 1о&5 (2 + 3 5 х) = х 4- 1.
027.44. а) ю1п2(3х“е)“51п(2х + е) = (0,1)1п(2х + е)5-1;
б) 1е(9х + Зх+1 - 1) - (3х - 2 • 9х) = 0.
027.45. а) 1о&10 (1е(х + 1) - I)-1 = 1о§0 7(31е(х + 1) - 1) -
- 1о&0>7(1&(х + 1) + 3);
б) 1о^(3х - 27 Зх - 1) = 21о^3 (273х - 1 + 1).
027.46. а) 1§2 х - 5|1&х| = 0; б) 1п2х - = 0.
Решите уравнение:
027.47. а) 1о§25х - 3|1ое0,5 х| + 1о§05х = 0;
б) 1&2 х - 9|1&х| - 1&х = 0.
027.48. а) 1о&1 (2 з1п х - 1) = 1о^х (2 - вш2 х);
5 ё
б) 1о^5(2сО82Х - 1) = 10^5 (- 11СО8 X + 5).
027.49. а) 1о&2зтх = 1о^2(-созх);
б) 1о^з С08 X = 10ё3(-81ПХ).
027.50. а) ч/хзтх1о$2х = 0;
б) \/Зх + 1 соз 2х 1§х = 0.
027.51. а) 25х'1^з1пх - |1о^05(х + 4) = 0;
б) (зш 2х + соз 2х)(х - 8л/2х - 15) = 0.
027.52. а) 1 + х2 = ; б) 3 - х2 = Йх|.
027.53. а) 2 - х - ^х = 0; б) 1о^5х - 1 + (х - 5)3 = 0.
•27.54. а) зт —х = х2 - 4х + 5; б) -соз 7лх = х2 - бх + 10.
4
•27.55. а) л/х2 - 2х + 2 + 1о&3 7х2 - 2х + 10 = 2;
б) (х - 7)6 + 1о$5 7х2 - 14х + 74 = 1.
•27.56. а) 1ое2 (х2 - 4х + 8) = зт - соз
б) 1ое3 (х2 + 4х + 13) = СОЗ ЛХ - 81П^.
•27.57. а) 1п2 (х2 - Зх - 9) + у/х3 - 8х - 8 = 0;
б) агс^е4(х3 + 2х2 - х - 2) + ^x^ + х3 + 2х2 - х - 3 = 0.
§ 28. Равносильность неравенств
28.1. Придумайте три неравенства, равносильных неравенству:
а) х2 - 9 < 0; б) 1 < |.
х 3
28.2. Придумайте три неравенства-следствия данного нера
венства:
а) 1о^02х < 0; б) 10х 3 < 1.
28.3. Являются ли равносильными неравенства:
а) 81п х + 21о^з х > 20 и зт х > 20 - 21о^3 х;
б) ;8- --- > 1 и зт х > \!х2 + 1;
в) 13 - 13х2’4 > 10х и 13 > 10х + 13х2’4;
г) 104*-1 • 1е(х2 - 4) < 0 и 1&(х2 - 4) < 0?
28.4. Данное неравенство замените более простым равносиль
ним неравенством:
а) !§ (х2 + 9) > (2х2 + 4);
б) 1,47х-9 < 1,4х2-6;
в) ^4х - 9 > ^7х + 9;
г) 1о$0 2 (16х2 + 8) < 10^0,2 (х2 + 1).
Решите систему неравенств:
_ ГЗх - 11 > 2х + 13, „ Гбх + 2 < 4х + 24,
028.5. а) •[ бЯ
[17х + 9 < 9х + 99; [2х - 1 > х + 7.
028.6. а) + - (* - * 12’
[(х + 4)(х - 4) - (х + 2)2 < 9;
Г (х - 2)(х2 + 2х + 4) - х3 < 8х,
6 [Зх - 16 < х.
7 + Зх < 5х + 3,
29 + 25х > 2(13х + 9),
028.7. а) 7х - 15 < 4х - 3,
б) 2х > 5,
11х - 32 > 13х - 42;
3(5х + 3) < 4(4х + 3).
Решите систему неравенств:
028.8. а)
Зх + 5 , 10 - Зх 2х + 7 й
7 5 3
7х _ 11(х + 1) Зх - 1 _ 13-х.
3 6 3 2 ’
2*-П + < 2х,
4 2
2х + 15 > ±(х - 1) + -.
9 5к ' 3
028.9. а)
х3 < х,
Зх2 - х
> 5 - 15х;
х^5 < х
х - 7
Зх + 4
,4х - 2
028.10. а) х + 2
24
(х + 2)2
< О,
-Зх < 9;
х2 - 1,5х - 7
б) (х - 4)2
> О,
х2 < 25.
Решите совокупность неравенств:
028.11. а)
б)
х2 - 4 > О,
х - 6 < 0;
'(х + З)3 > 27,
4х - 1 < 12х;
х(х + 1) < О,
Зх - 9 > 0;
(х + 3)(х2 - Зх + 9) < 54,
х2 - 9 > 0.
028.12. а)
2* ~ 3 > О,
х + 3
^±1 < о;
,4х - 2
(х + 3)(х - 1) > О,
2-х2 < 0;
х + 3 х
-3-< 2;
_х - 2 х
х2 < 25,
х - 1
_х + 3
< 0.
Решите неравенство, применяя теоремы о равносильно
сти неравенств:
028.13. а) 1о&14 (х - 1) < 1о$14(2х + 3);
б) 1О&0.3 (2* + 1) < 1оЕо,з (х - 3).
028.14. а) 10^1 (2*2 - бх) > 1о2х (2х - 3);
Я л
б) 12 (бх2 - 15х) < 12 (2х - 6).
028.15. а) 2^ > ->/128;
2
Л
б) О.б8”**'^ < 1.
Решите неравенство:
028.16. а) 1о29(х2 - Юх + 40) < 1о29(4х - 8);
б) 1о20,7 (9х - 4х2) > 1о2о,7(х3 + 4х2);
в) < 1о^тЯ;
г) 1о21 (бх - 4) < 1021 х2-
3 3
028.17. а) (х2 - бх)5 > (2х - 7)5;
б) (х2 - 2х)9 < (2х - х2 - 2)9;
в) (х2 - Ю)11 < (5 - 2х)и;
г) (бх2 - 4х - 2)7 > (х2 + Зх + 10)7.
028.18. а) (2х+] + I)6 > (2х + 17)6;
б) (2 • 0,1х + З)10 < (0,1х + ЮЗ)10;
в) (3 - З1о20 2х)13 < (1о2о,2 х + 7)13;
г) (31о2т х - 24)5 > (2 1о2т х ~ 22)5.
028.19. а) 2х2*3 - 8Х + 1 > 0; б) 275 *2 - З^1 < 0.
028.20. а) (^)- < б)
Решите неравенство методом введения новой перемен
ной:
028.21. а) 32х - 2 • 3х - 3 > 0; б) 2 • 52х - 5х - 1 < 0.
028.22. а) 31 + х • 21 х + 3х • 2 х < 10,5;
б) 2х 51-х + 2Х+1 5"х > 2,8.
028.23. а) л/х - ^х - 2 > 0; б) Ух - 6'^х + 8 < 0.
028.24. а) 3х + 3 х'1 < 4; б) 25 х - 50 > 5’х+1.
028.25. а) 1о$2х - 71о$2х + 12 < 0;
б) 31о^ х - 1010^ х + 3 > 0.
3 3
028.26. а) 1о^| (х - 1) + 31о^2(х - 1) + 2 > 0;
б) д^од* _ 4 . 31060.1* + ОД10^-13 < 0.
028.27. а) 2 з1п2 х - 3 зт х + 1 < 0;
б) соз2 х - 5 соз х + 4 < 0.
Решите неравенство, применяя функционально-графиче-
ские методы:
028.28. а) 3х > 12 - 1,5х; б) 3х > 7х; в) 3х < 12 - 1,5х; г) 2х < 4х.
028.29. а) 1о§2х < 6 - х; б) 1од3х > х3; в) 1о&2 х > 6 - х; г) 1о§з X < X3.
028.30. а) 1§х < — - 1; X б) 1ое16х > - 1.
028.31. Найдите область определения функции:
ч _ 79 - х2
а ) У “ 1о&7(2 - х);
б ) У = Vх2 "А .
7 У 1о§8 (х - 3)-
Решите неравенство:
028.32. а) х2 + 1 > созх; / \2 б) 8ШХ < - X + - к ^7
028.33. а) З*”2* > созх; б) л/х2 + 1 < созх;
в) х2 + 1 < созх;
< А2
г) 81ПХ > - X + - 1.
\ ^7
в) 3*п2х < созх;
г) >/х2 + 1 > 81ПХ.
Решите неравенство:
028.34. а) 9Х+2 + 4 • 32х+2 > 4-|; б) 8х’2 + 3 • 23х“2
028.35. а) 4Л - 9 • 2Л + 8 < 0; б) 9Л - 10 Зл +
028.36. а) х4 — 8х — 6х3 + 12х2 > 0;
б) х4 + 12х < 13х2.
028.37. а) (х - 2) 1о&4 (х + 2) > 0;
б) (3 - х)71о&3(х + 5) < 0.
028.38. а) (х - 3,1) 1п(х2 - Юх + 22) > 0;
б) (х - 7,3)1п(х2 - 8х + 8) < 0.
028.39. а) (2х - 3)(3х - 4) < 0; б) (31оё3 х - 1)(3х
028.40. а) (х + 3) х < 0; в) -----—к > 0;
у X + о
б) (х - 5)>/х + 1 < 0; г) хл/х + 7 < 0.
028.41. а) >/Ио&(х2 - 8) > 0;
б) З^-19^ - 4 < 0;
в) 7=х 1оёх (100 - х2) < 0;
8
г) (2х2-5 - 0,5) 1о^6 (4х + 1) > 0.
24—.
2
< 0.
4) > 0.
028.42. а) —3)(3* 4 + °>3) > 0;
х + 2
(х + б)^ + 0,г)
б) ------------------ 0.
х - 2
•28.43. а) (х2 - 2х)(1е2х + 2Х+1) < 0;
б) (х2 + 4х)(с1^2х + 3х-1) < 0.
Решите неравенство:
О2Я АЛ. ^2х + 4 > У2* + 4 . л/7 + бх < >/7 + бх
028.44. а) 3 _3 , б) 0 2х + 1 0 ^ + 1 •
028.45. а) (з!п2 х + 1)(1е (2х - 3) - 2) < 0;
б) (7бх - 1 + 5)(5х2-1 - 0,2) > 0;
в) созх(2х + 3 + 3х-7) > 0;
г) (2 - 73х + 1)(1о§2 5(Зх - б) + 2) < 0.
028.46. а) ) > 7“2'+11; в) (3-1 )*»*-«*2* < зсоз2х-о,5.
б) 0,3^~2 < X* г) Ю1п(х-2) • 0,1 > (10'1)1п(х+2).
028.47. а) 1§(0,2х - 5) < 1оё0>1 (95 - 3 0,2х)1;
б) 1оё0,1(з>/3х + 1 - 2) > 0,25 • 1ое01 л/Зх + 1 1е(0,Г8).
028.48. а) </32 х - 13 < + 11;
б) %/21п2х - 31пх + 5 > ^/б - 41пх.
028.49. а) 1о$х (21 - 4х) > 2;
б) 1о^2х-з(х2 “ Юх + 9) < 2.
• 28.50. 1о^х + 2(х2 - 4х + 1) > 1о&3х_51.
х-6
• 28.51. (12х3 - 16х2 - 7х + 6)(1о$1 (4 - 2х) + 1о$3 (х + 2)) > 0.
з
• 28.52. 1о&81о&91о^7х + 6 ((7х + 6)9 + х2 - х - 56) > 0.
• 28.53. (х2 - х + 1)^ < (х2 - х + I)3.
• 28.54. а) у/апх - 1 < 4 - х2; б) у/созх - 1 > х2 - 49.
• 28.55. а) 61о^3|х - 1| < 14 + 2х - х2;
б) 1о^2 (х2 + х - 10) > 25 - 2х - 2х2.
Решите неравенство:
•28.56. а) ^4 - 1о§0 5 х < ^10^ х - 1 + ^6 - 1о& х3;
б) 71о§ 5 7х < 71°&3 243х - /1о§1 —.
V з х
•28.57. а) 1 * Ц*" х? + х) - Зх2 *
7 Юх2 - 17х - 6
(х2 - х - I)2 - 2(х3 - х2 - х) - Зх2 < о
б) Юх4 - 43х* - Эх2 '
•28.58. а) (х2 + 8х + 15) 1о§0 5 (1 + со82^ > 1;
б) (Юх - х2 - 24) 1о^й Г 4 зт2 + 1) > 1.
к 2 )
§ 29. Уравнения и неравенства с модулями
Решите уравнение:
29.1. а) |х| = 7;
б) |х - 8| = 7;
29.2. а) |х + 2| = -7;
б) |х + 5| = -2 + 77;
в) |х + 5| = 7;
г) |5х - 2| = 1.
в) |х + 8| = 2 - 77;
г) |х + 5| = 3,14 - л.
29.3. а) X + 1 = 1; в) 2х + 5 = 2;
х - 3 2-х
б) 4х - 5 4х + 1 = 4; г) 2 - Зх 3 + х = 3.
029.4. Решите уравнение для каждого значения параметра р:
а) |2х + 1| = р; в) |2х + 1| = -1 - 5р;
б) |х2 - 1| = (р - 1)р; г) |х2 - 1| = 4(р - 1) - р2.
•29.5. Для каждого значения параметра р определите число кор-
ней уравнения:
а) |х + 1| = 2 - р; в) |2 - х| = 1 - 2 зшр;
б) |2х - х2| = 1о$5р; г) |х2 - 1| =
•29.6. а) Найдите все значения параметра р, при каждом из кото-
рых существует только один корень уравнения |х - 1| = р,
удовлетворяющий неравенству х2 > 4.
б) Найдите все значения параметра р, при каждом из
которых существует корень уравнения |х - 1| = р, удов-
летворяющий неравенству х2 > 4.
в) Найдите все значения параметра р, при каждом из ко-
торых ни один корень уравнения |х - 1| = р не удовлет-
воряет неравенству х2 > 4.
г) Найдите все значения параметра р, при каждом из
которых уравнение |х - 1| = р имеет корни и все они
удовлетворяют неравенству х2 > 4.
029.7. Докажите, что уравнение
7(х) = Л(х),
теме /(х) =
|/(х)| = Н(х) равносильно сис-
/г(х) > 0.
Решите уравнение:
029.8. а) |2х - 3| = х; в) |2х - 2| = 5х + 1;
б) |3х - 1| = х + 9; г) |4х + 3| = -6х - 7.
029.9. а) |х2 - х| = 4х; в) |х2 - 6х + 10| = х;
б) |2х - х2 + 3| = х + 7; г) |-х2 + 4х - 5| = -х.
•29.10. а) |1о&2х| = 1о^2 (2х - 3);
б) |1о$з(3х - 2) + 1о$з (2х - 1)| = 1о$з (2х - 1);
в) |1о^5(х + 3)| = 1о&5 (4х + 1);
г) |1о^7(2х - 7) - 1о&7 (х - 11)| = 1о$7 (х - 11).
•29.11. а) |созх| = 81ПХ;
в) |з1п 2х| = соз х;
б) |соз Зх| = -соз х;
г) |з1п5х| = -81ПХ.
029.12. Докажите, что уравнение |/(х)| = |Л(х)| равносильно со-
вокупности уравнений
Дх) = Л(х);
/(х) = -Л(х).
Решите уравнение:
029.13. а) |х2 - 5х| = 4|х|;
б) |2х - х2 + 3| = |х + 3|;
в) |х2 - бх + 10| = |х + 10|;
г) |—х2 + 4х - 8| = 2|-х| .
029.14. а) |х - 5| + 4|х| = 17; в) |х + 10| - 2|х - 10| = 11;
б) 2|х - 5| - |х + 6| = 7; г) 3|4х - 5| = 2|-х| + 1.
029.15. Докажите, что уравнение |/(х)| + |Л(х)| = 0 равносильно
„ //(*) = О,
системе уравнении <
[Л(х) = 0.
Решите уравнение:
029.16. а) |х2 - 4х + 3| + |х2 - 5х + 4| = 0;
6) ' п - + 1*! + * - 2| = 0;
х2(х + 1) х + 2
в) |х2 - 2х| + |2х2 - 5х + 2| = 0;
г) + Iх2 - бх - 7| = 0.
2х + 1 х3(х +6)
029.17. а) |1 + 1ое2х| + |1 - д/2х| = 0;
х - 1
б)
|1оё5(2х3 - х) + 1оё2х| +
= 0.
•29.18. а) |81ПХ| + 1сО8 —
2
= 0;
б) |зшЗх + созЗх| + |созбх| = 0;
в) |соз2х| + |з1п4х| = 0;
г) |л/3я.п3х - созЗх|
+ 1 - соз бх -
I О
= 0.
•29.19. Докажите, что уравнение |/(х)| + |Л(х)| = /(х) равносильно
|й(х) = О,
системе <
1/(х) > о.
•29.20. Решите уравнение:
в)
+ |8Н12лХ + 8Ш7Сх| = —-—
х - 1
г)
+ |3зтх - ат Зх| = .
81ПХ 8ШХ
•29.21. Докажите, что уравнение |/(х)| + |й(х)| = /(х) + Н(х) равно-
//(*) > О,
сильно системе 5
[й(х) > 0.
•29.22.
Решите уравнение:
а) |х2 + 2х - 3| + |-х2 + 2х + 8| = 4х + 5;
х
X - 1
б)
X2
х - 1
х2
х - 1
—--------х - 2;
х - 1
в) |х3 - 4х| + |5х2 - х3| = 5х2 - 4х;
г)
4-х
х
- Зх = 4 - Зх + -.
X
•29.23. Докажите, что уравнение |/(х)| + |Л(х)| = |/(х) + /г(х)| равно-
сильно неравенству /(х) • к(х) > 0.
•29.24. Решите уравнение:
а) |х2 + 4х| + |—х2 + 9| = |4х + 9|;
б)
(х + I)2 + X + 1
X X
в) |х3 + Зх2 - х - 3| + |2х2 - х3 + 7х + 4| = |5х2 + 6х + 1|;
г)
3-х
х + 1
— Зх - 3
1 - Зх +
+ 4 +
X + 1
5
х + 1
•29.25. Решите уравнение:
а) |2з1пх + 1| + |-1 + 2созх| = 2|з1пх + созх|;
б)
4
1ех - з
2
У* + 1е* - з
4 2
в) |2зш 2х - л/з| + |7з + 2соз х| = 2|зш 2х + соз х|;
г) 12 -1&х| + |1о&5 (х2 - 7х + 7) - 2| = |к>е5 (х2 - 7х + 7) - 1^х|.
Решите неравенство:
29.26. а) |х| < 7;
б) |х + 5| > 7;
29.27. а) |х + 2| < -7;
б) |х + 8| > 2 - л/7;
029.28. а) |3х - 9| > 6;
б) |4 - 2х| < 16;
в) |х - 8| < 7;
г) |5х - 1| > 1.
в) |х + 5| < -2 + 77;
г) |х + 5| > 3,14 - л.
в) |5х + 10| < 7;
г) |9 + Зх| > 12.
029.29. а) Докажите, что при а < 0 множество решений неравен-
ства |/(х)| > а совпадает с множеством — областью
определения выражения /(х).
б) Докажите, что множество решений неравенства |/(х)| >
> §(х) совпадает с множеством решений совокупности
7(х) > ё(х);
_/(х) < -ё(х).
Решите неравенство:
029.30. а)
б)
------- 7х2 - 2х - 8
712х - х2
> 72 + - 710.
029.31. а) |2х - 1| > х;
б) |4х - 12| + |5х - 15| > 9х - 9;
в) |3х - 4| > х + 1;
г) |12х + 4| + |9х + 3| > -7х.
2
х + 2
х -
а)
> 3;
б) |х - 3|
в)
г)
Зх
х2 + 2
х - 1
> 2;
> 5.
• |х2 + х - 2| > 1.
х + 2
х + 2
X + X
х + 2 х - 1
029.33. Докажите, что множество решений неравенства |/(х)| <
< #(х) совпадает с множеством решений системы
17(х) < ^(х),
1/(х) > -#(х).
Решите неравенство:
029.34. а) |х + 1| < 2х;
б) |2х - 1| + |6х - 3| < 12;
в) |16 - 8х| < 4х + 2;
г) |12х + 4| + |9х + 3| < 28.
х
4
029.35. а)
< 3;
б) х
4
х - 2
х _ х + 2 < 1_.
х + 2 х - 1 2’
X
х + 2
г)
х + 2 х - 1 < 1
х - 1 5х + 4 10
029.36. Докажите, что множество решений неравенства |/(х)| <
< |Л(х)| совпадает с множеством решений каждого из
неравенств:
а) /2(х) < Л2(х); б) (/(х) - й(х))(/(х) + Л(х)) < 0.
Решите неравенство:
029.37. а) |5х + 3| < |2х - 1|; в) |3 - 7х| < |х + 5|;
б) |9х + 1| > |5 - 9х|; г) |х - 3| > |2х + 3|.
029.38. а) |х2 - 7х + 3| < |2х2 + 5х - 10|;
б) |х2 + Их - 6| < 10|х|;
в) |х2 + Зх - 5| > |х2 - 7х 4- 5|;
г) |5х2 - х| > |х - 5| • |х 4- 2|.
029.39. а)
б)
1-х
1 + Зх
> |1 + х|;
х - х2
1 + х - Зх2
> |1 - х|;
в) 1--
X
г) х - —
X
2 + — ;
х
2х2 - -
х
029.40. а) Докажите, что неравенство |Дх)| > Дх) выполняется
для любого х из области определения выражения Дх).
б) Докажите, что неравенство |Дх)| > Дх) равносильно
неравенству Дх) < 0.
Решите неравенство:
029.41 а) |х2 - х| > х2 - х;
б) Х+ |х_ 2| 3|Х2 _ 4|
__________1__________.
|х - 2| - [х2 - 4|’
в)
г)
___________1__________
|х3 - 2х2| - |х - 2|
|х3 - 2х21 - |х - 2|’
029.42. а) |х2 + Зх - 1| > х2 + Зх - 1;
б)
X
х2 - 1
X
в) |5х2 4- х| > 5х2 4- х;
г) |х| • |х - 7| > 7х - х2.
029.43. а) Докажите, что неравенство |/(х)| < /(х) не выполня-
ется ни при каких значениях х из области существова-
ния Дх).
б) Докажите, что каждое из неравенств |/(х)| С /(х) и
|-/(х)| < /(*) равносильно неравенству /(х) > 0.
Решите неравенство:
029.44.
а)
|х2 + 4х - 5| С х2 + 4х - 5;
029.45.
029.46.
029.47.
б)
в)
г)
а)
б)
а)
б)
а)
х-2--
:2 - 2х - 3.
8х2 + —
|5х + 7| < 8х - 11;
|5 - 4х| < 8х + 17;
5х - — < 4х;
17х - 39.
20х - 205
|х2 + 7х - 7| < 2х +
7;
в)
г)
в)
г)
|5х + 7| < 14х2 - 2;
|5 - 4х| < 11 - Юх2.
32 - 14х
8х2 + —;
х + 2
х - 1
х - 2
х + 2
х - 2
в)
|5 - 4х - х21 < 7 - 6х - х2;
г)
|х3 - х2 - 4х - 2|
2 - Зх - 2.
029.48. а) |7х - 11| > Зх + 5;
б) |5х + 7| > Зх2 + 11х - 2;
в) |4 - х| > -Зх - 2;
г) |5 - 4х| > 5 - 7х - Зх2.
Решите неравенство:
029.49. а)
5х - —
х
> 4х;
в)
32 - 14х.
X 4- 2 ’
6)
х - 1 17х - 39,
х + 2 20х - 20 ’
г)
х - 2
х - 2
х + 2
029.50. а) |х2 - 2х - 5| > -2х - 5;
б) |-2х2 + 5х + 7| > 2х2 - бх + 7;
в) |5 - 4х - х21 > 2 - х - х2;
г) |х3 - х2 - 4х| > -х3 - 5х - 4.
029.51. Докажите, что множество решений неравенства |/(х)| 4-
4- |#(х)| > |/(х) 4- #(х)| совпадает с пересечением множеств
Л(Л и ад.
•29.52. Решите неравенство:
а) |х - >/Зх 4- 7| 4- |2х - >/Зх 4- 7| > |х|;
б) |х2 4- 2х| < х2 4- х - — —
>/1 - х
X
029.53. а) Докажите, что неравенство |/(х)| 4- |#(х)| > |/(х) 4- #(х)|
равносильно неравенству /(х) #(х) < 0.
б) Докажите, что неравенство |/(х)| 4- |#(х)| < |/(х) 4- #(х)|
равносильно неравенству /(х) • #(х) > 0.
Решите неравенство:
•29.54. а) |3х + 5| + |х2 - 7| > |х2 + Зх - 2|;
в) |3х 4- 5| 4- |х2 - 7| < |х2 4- Зх - 2|;
029.55. а) х2 - 4|х| + 3 > 0;
б) (х2 - Зх)2+ |3х - х2| - 20 < 0;
в) (х - 2)2 - 4|х - 2| - 96 < 0;
г) (х2 - 5х)2 - 5|5х - х2| - 6 > 0.
а) х2 + - 4
х2
- 16 < 0;
- 3 < 0;
в)
г) х2 + 4 - 4 х - -
х2 X
2 < 0.
•29.57. Найдите все значения параметра а, при которых уравне-
ние имеет единственный корень:
а) |х + 1| + 2|х - 1| = 1 - а;
б) 2|х - 5| - |х + б| = 2а - 1.
•29.58. Найдите все значения параметра I, при которых неравен-
ство |х + 2| + |х - 7| > I выполняется:
а) для любых значений х;
б) хотя бы для одного значения х;
в) для любых значений х > 10;
г) для любых значений х < 1.
•29.59. а) Найдите все значения параметра I, при которых нера-
венство |х + 2| + |х - 7| + |х + 4| > I выполняется:
а) для любых значений х;
б) хотя бы для одного значения х;
в) для любых значений х < -7;
г) для любых значений х > -1.
•29.60. Найдите наименьшее значение функции у = Дх):
а) /(х) = |х - 1| + |х - 2| + ... + |х - 10|;
б) /(х) = |х - 1| + |х - 2| + ... + |х - 9|.
§ 30. Уравнения и неравенства со знаком радикала
30.1. Решите уравнение:
а) л/х = 7;
б) V* + 1 = -1;
в) 7б - х = 8;
г) ^х + 1 = -2.
Решите уравнение:
30.2. а) 7х2 - 4х - 3 = 3;
в) 736 - х - 12х2 = 5;
б) ^х3 - 2х2 + 1 = 1;
г) VI - х2 - X3 = 1.
030.3. а) >/х + 2 73х - 2 = 4;
б) 7(х + 2)(3х - 2) = 4;
в) л/х — 2 • л/Зх + 7 = 4;
г) 7(х - 2ХЗх + 7) = 4.
30.4. а) ^2зтх = 1;
б) ^1- 2соз4х = л/2 - >/3;
в) (4^4 =2;
V 4
г) ^2япЗх + 1 = -1.
030.5. а) ^(1 - х) = 1;
б) 1ое0,2 ^6х2 - 25 = -1;
в) ф.оё2(х2 + Зх - 24) = 2;
г) 1о§0 25 ^х2 - 6х - 11 = -0,5.
030.6. Найдите все действительные значения а, при каждом из
которых уравнение имеет хотя бы один действительный
корень:
а) 7х - 4 = 2 - а; в) л/16 - х2 = а + 1;
б) ^х2 - 2х - 7 = 1 - а; г) VI - 4х - х2 = а.
030.7. Докажите, что уравнение д//(х) = ^/Л(х) равносильно каж-
„ |7(х) = Л(х), (7(х) = Л(х),
дои из систем: 4 1,, , „
|/(х) > 0, |й(х) > 0.
030.8. Решите уравнение:
а) л/х - 2 = л/4 - х;
б) х/х3 - 2х2 + 1 = а/х3 + х2 - 8х - 2;
в) >/25 - х2 = 75х - 11;
г) >/х3 - х2 = \/2 - х - х2.
Решите уравнение:
030.9. а) 7з1пх = 7созх;
б) у]2 - 1%х = ^(Лёх;
в) у]2 - х/ЗзшЗх = х/соз2х;
г) = у]с1§х.
030.10. а) 71§(1 - х) = у^х-,
б) ^1ое0>2>/х -"1 = ^10^0,273 - х;
в) 71оео,з С1 " х) = фоёо.зх;
г) ^1ое0,2 л/х -”Т = >/1060,2 >/9 - X.
•30.11. Решите уравнение с параметром а:
а) 7х + 2 = 72а - х;
б) 7х - 2а = 74 + 2а - 5х;
в) 75а - 2х + 1 = 7бх - а - 7;
г) 74 - х2 = 74х + а.
030.12. Докажите, что уравнение 7/(х) = й(х) равносильно си-
/Дх) = Л2(х),
стеме 4 ч Л
[Л(я) > 0.
Решите уравнение:
030.13. а) 7х + 12 = х;
б) л/х3 + х2 + 1 = х;
в) х/5 + 12х - х2 = х - 7;
г) 7х3 + X2 - 1 = X.
030.14. а) х/х4 - Зх2 + 4 = х2 - 5;
б) х/х4 - Зх - 1 = х2 - 1;
в) х/х4 - Зх2 + 4 = 5-х2;
г) х/х4 - Зх - 1 = 1 - х2.
Решите уравнение:
•30.15. а) \/созх = зшх;
б) 4- ЗШХ + созх = созх;
в) х/соз2х = зтх;
г) д/зшх + зт Зх = -созх.
030.16. а) у/х + 3 + >/5 - х = 4;
б) у/Зх + 16 - 2-х/х - 2 = 3;
в) у/2х + 6 + у/8- х = 5;
г) 5-х/З - х - 2у/х + 10 = 4.
030.17. а) у/х+ 1 - у/9 - х = у/2х - 12;
б) у/х - у/х + 1 + -х/х + 9 - у/х + 4 = 0;
в) у/2х + 5 + у/5х + 6 = у/12х + 25;
г) 7б + \/х + - у/х = у/х.
030.18. а) у/Зх2 - 2х + 15 + 73х2 - 2х + 8 = 7;
б) у/х2 + х + 4 + у/х2 + х + 1 = у/2х2 + 2х + 9;
в) -х/х2 - Зх + 3 + у/х2 - Зх + 6 = 3;
г) у/х2 + х + 7 + у/х2 + х + 2 = у/Зх2 + Зх + 19.
030.19. а) у/х = х - 6;
б) у/х2 + х = 2(х2 + х) - 3;
в) -х/б - х - х + 1;
г) х + 13 + -х/18х2 - х - 1 = 18х2.
030.20. а) .1^^ + 4 • = 4;
V 2х - 1 \2х + 3
\ к / х 4- 3 /5х — 1 г*
°>5 + \Ьгз = 6-
Решите уравнение:
030.21. а) (х + 1)(х + 4) - 3>/х2 + 5х + 2 = 6;
2 о к 9 4 34 28х
б) х2 - Зх + ^9х2 + X - - = - - —.
030.22. а) х • + (х + 5)./—= 12;
V х \ х + 5
б) (х - 5)./^-^ + (х + 2).1^4 = 14^2-
V х - 5 V х + 2
030.23. а) + 20 = 2х;
б) л/бТ 12 • 3х - 9х = 3х - 7;
в) л/7^0,5х = 0,5х - 1;
г) 5>У36Х - 2 = 4Х+1 9х - 14.
•30.24. а) Тк2Г + 42| = 2х; б) 7|б + 12 • 3х - 9х | = 3х - 7.
•30.25. а) л/х + 2у/х - 1 + л/х - 2>/х - 1 = х - 1;
б) 7* + 8 + 2>/х + 7 + ^х + 1 - 4х + 7 = 4.
•30.26. а) 1/х~+1 + ^/28 - х = 5;
б) + ^/2x^3 = ^12(х - 1);
в) ^х2^! + >/х2 + 18 = 5;
г) </х + Ух - 16 = Ух - 8.
•30.27. а) ^\%х + 2^\%х - 1 + ^ех - 2^1§х - 1 = 1&х - 1;
б) 8 + 2^5Х + 7 + л/бх + 1 - л/5х + 7 = 4.
•30.28. а) 4х + >/х + 5 = 9 - х;
б) Зл/т + 5-73х + 10 = 30 - 2х.
Решите уравнение:
•30.29. а) ^х + | + 78х + 3 + 2Тх = 6 - 16х;
б) 73х + 1 + бТх = 20 - х + 717 - х.
•30.30. а) 7х3 + х2 - 1 + 7х” + х2 + 2 = 3;
б) 7х3 - 4х2 + х + 15 + 7х3 - 4х2 - х + 13 = х + 1.
•30.31. а) 4(71 + х - 1)(71 - х + 1) = х;
б) х + 7х + 7х + 2 + 7х2 + 2х = 3.
•30.32. а) 72 - х + 7-Ю - х = 0;
б) 72х - 1 + 7х + 7 = 3.
Решите неравенство:
30.33. а) 7х < 7;
б) 7х + 1 > -1;
030.34. а) 7х2 - 4х - 3 < 3;
б) 7х3 - 2х2 + 1 > 1;
в) 76 - х < 8;
г) 7х + 1 > -2.
в) 736 - х - 12Х2 > 5;
г) 71 - х2 - X3 < 1.
030.35. а) 7х + 3 • 74х + 5 < 6; в) 7х - 2 • 72х + 3 > 3;
б) 7(х + ЗХ4х + 5) < 6; г) 7(х - 2)(2х + 3) > 3.
030.36. а) 4/2созх > 1;
б) ^1 + 2сс®4х > 72 - 73;
в) .«/в < 2;
V
г) 72зтЗх - 1 < -1.
030.37. Решите неравенство:
а) 71ё(1 - х) < 1;
б) 1ое0,2 л/бх2 - 25 > -1;
в) ^/10^2 (х2 + Зх - 24) < 2;
г) 1О&0.25 - 6х - 11 > -0,5.
030.38. Найдите все действительные значения а, при каждом из
которых неравенство имеет хотя бы одно решение:
а) у/х — 4 < 2 - а; б) >/16 - х2 < а + 1.
030.39. Найдите все действительные значения а, при каждом из
которых неравенство не имеет решений:
а) у/х - 4 > 2 - а; б) >/16 - х2 > а + 1.
030.40. Докажите, что неравенство у]/(х) < ,/й(х) равносильно
двойному неравенству 0 < /(х) < й(х).
Решите неравенство:
030.41. а) у/х - 2 > у/4 - х;
б) >/х3 - х2 > у/2 - х - х2;
в) >/25 - х2 < у/5х - 11;
г) у/х2 - 2х2 + 3 < у/х2 + х2 - 8х + 8.
030.42. а) >/зшх < у/созх; б) ^2 - у/3 зш2х > >/соз2х.
030.43. а) ^(10 - 5х) > у/УЦх;
б) 71оео,з(18 - 7х) < 71оео,з°>25х-
•30.44. Для каждого значения параметра а решите неравенство:
а) >/х + 2 > у/2а - х;
б) у/х - 2а > у/4 + 2а - 5х;
в) у/5а - 2х + 1 < >/бх - а - 7;
г) у/4 - х2 < у/4х + а.
030.45. а) Докажите, что неравенство ^/(х) < й(х) равносильно
системе •
7(х) < Л2(х),
Л(х) > О,
Дх) > 0.
б) Докажите, что неравенство д//(х) > й(х) равносильно
17(х) > 0, Г/(х) > Л2(х),
совокупности двух систем: < <
[Л(х) < 0, [Л(х) > 0.
Решите неравенство:
030.46. а) ТГ+'б < х; в) >?2х3 + х2 - 20 < х;
б) >/5 + 12х - х2 > х - 7; г) >/2х3 + х + 3 > хТб.
030.47. а) 7(х + 2)(х - 5) < 8 - х;
б) л/х2 - 4х > х - 3;
в) >/х2 - 5х + 6 С х + 4;
г) ^Зх2 - 22х > 2х - 7.
030.48. а) ^х4 - Зх2 + 4 < х2 - 5;
б) л/х4 - Зх2 + 4 > х2 - 5.
030.49. а) ^17 ~ 15х ~ > 0; в) х1° ~ 7х--+ > 0;
’ х + 3 ’ х -1
„ 714 - 11х - Зх2 п. . >/12 + 8х + х2 п
б) 0’ г) ---хТ5------ С
Л “г О Л “г О
•30.50. а) 73х + 1 + >/х - 4 - >/4х + 5 < 0;
б) 2>/х + 1 - >/х - 1 - 2у/х - 3 > 0;
в) 2^2х - 7 - 7х - 4 > 2>/х^З;
г) >/6 - х + >/Зх - 5 < >/4х + 1.
Решите неравенство:
030.51. а) 7х2 + х < 3(х2 + х) - 4;
б) х + 3 + 72х2 - х - 1 > 2х2.
030.52. а) + 4-/^1 > 4;
-ч к | х + 3 , /5х - 1 р.
61 5 '(ЕГП + = 6-
•30.53. а) 72-х - \/'Зх + 5 < 3; б) 72х - 1 + Их+7 > 3.
•30.54. а) х,1^-^ + (х + 1).М— < 2у/2;
\ X У X + 1
б) (х - 5)./^-^- + (х + 2).!^^- > 4у/2.
У х - 5 V х + 2
•30.55. а) зтх7созх + созх7зтх < 0;
б) (зтх + созх)7созх + созх7(зтх + созх) > 0.
•30.56. а) 7-Зх + 12 < 3х;
б) 7б + 12 • 5х - 25х > 5х - 7;
в) д/7 - 0,2х < 0,2х - 1;
г) 57100х - 2 > 4Х + 1 25х - 14.
•30.57. а) Исозх > з1пх;
б) 70,5 + зтх + созх < созх;
в) 7соз2х > зтх;
г) у]апх + зтЗх < созх.
•30.58. а) 7х + 7х + 5 < 9 - х;
б) З7х + 2 + 573х + 10 > 30 - 2х;
в) 4-х + 77-х < х + 16;
г) 72-х + 3710 - Зх < 2х + 18.
Решите неравенство:
•30.59. а) х + - + 78х + 3 + 2Тх < 6 - 16х;
V 8
б) 73х + 1 + бТх > 12 - х + 717 - х;
в) . х + — + 78х + 3 + 2^/х > 6 - 16х;
V 8
г) 73х + 1 + 5Тх < 12 - х + 717 - х.
•30.60.
_1_+2+3
7х + 1 - 1 72х + 3 - 7з 73х + 7 - 77
ю + 7з + 7?
X
•30.61. Для каждого значения параметра а решите неравенство:
а) у/х - а < 1 - х; б) у/х + 2 > х + 2а.
•30.62. Решите неравенство:
а) тт > *±3 в) 7ГТ4 <
б) 7х + 2 > г) 72х + 3 <
х - 1 1-х
§ 31. Доказательство неравенств
031.1. Сравните числа а и Ь, связанные заданным соотношением:
а) а + 6 = Ь - 5; в) Ь - — = а * 0;
а а
б) а3 - а2(Ъ + 1) + а = Ь; г) - 2--= -3————т
7 у 7 7 а2 + 1 а6 + (г + а + 1
Сравните числа а и Ъ:
031.2. а) а = 100!, Ъ = З100; б) а = 100!, Ь = Ю100.
•31.3. а) а = З369, Ъ = 5246; б) а = 5963, Ь = II642.
031.4. а) а = 51п1з1п2, Ь = соз 1 соз 2;
б) а = соз 1ЗП12, Ъ = зн11соз2.
•31.5. а) а = зш (соз 1), Ь = соз (соз 1);
б) а = соз(з1п1), Ь = соз (соз 1).
Сравните числа а и Ь:
031.6. а) а = 1о§312, Ь = 1о^32 2;
б) а = 1о&0237,2, Ь = 1о&0337,2;
в) а = 1о&5 40,3, Ь = 1о&5 30,3;
г) а = 1о^0220,7, Ь = 1ое0330,7.
031.7. а) а = 1о^38, Ь = 1о&2 7; в) а = 1^995, Ь = 1о&330;
б) а = 1о&22 4, Ъ = 1о&33 6; г) а = 1о&0 2 7, Ь = 1о&0317.
031.8. Докажите:
а) если а + Ь > О, а * О, & ^0, то -Д>- + Д > — +
№ а* а Ъ
б) если а + Ъ > 0, то аЬ(а + Ь) С а2 + Ъ2.
Докажите неравенство:
031.9. а) а2 + 2&2 + 2аЬ + Ъ + 10 > 0;
б) а2 + Ь2 + с2 + 3 > аЬ + Ьс + ас;
в) а2 + Ь2 + с2 + 3 > 2(а + Ъ + с);
г) 1 + 2а4 > а2 + 2а3.
031.10. а) х2 + ± > 2 (х # 0); б)
•31.11. а) (х2 + у2)(х2у2 + 1) > 4х2у2;
б) (а4 + &4)(а4&4 + 1)(а2&6 + а6&2) > 8а8&8.
•31.12. а2Ь2с2(а2 + Ь2 + с2) + а2Ъ2 + Ь2с2 + с2а2 > 8а2Ъ2с2.
031.13. а) X2 + > 5 (х * 0); в) х2у2 + > 2хг (у 0);
г2 + 10 > 2. 67с2 + 3 .
б) Ж9 ’ г) с2+ 12 С1’
031.14. Докажите, что заданное неравенство выполняется при ука-
занных условиях:
а) а + Ъ > 2у/аЬ, а > О, Ь > 0;
б) а + Ь + с > 4аЬ + у[Ъс + Тел, а > 0, & > 0, с > 0;
в) (с + а)(а + Ь)(Ь + с) > 8аЪс, а > О, Ъ > 0, с > 0;
г) (1 - а)(1 - &)(1 - с) > 8аЬс, а + Ь + с = 1, а > О,
Ь > 0, с > 0.
031.15. Докажите, что заданное неравенство выполняется при ука
занных условиях:
а) а + Ъ > аЪ + 1, а > О, Ъ > 0, аЪ = 1;
б) а + Ь + с > 3, а > О, Ъ > 0, с >0, аЪс = 1;
ъ)а + Ь + с + (1> 4, а > О, Ъ > 0, с >0, с? > О,
аЬсс1 = 1;
г) ах + а2 + а.л + а4 + а5 > 5, > 0, а2 > 0, а3 > О,
бх4 > 0, > О, Л2л4 — 1»
Докажите неравенство:
031.16. а) у/р + д < у[р + у[д; р > 0, д > 0;
/р + д л а
б) Л> 9 ; Р > 0, д > 0;
в) у/р + д + г < у[р + 4д + 4г“, р > 0, д > 0, г > 0;
г) № + Ч* + г2 р > о, д > О, г > 0.
V о о
•31.17. а) 12 + 2г + 32 + ••• + п2 < 1 + ! . 2 + 2 3 + + (п - 1)п’
12 92 Ч2 102
>31.18. Докажите, что для любого натурального числа п > 2
выполняется неравенство:
а) -\/1 + у/2 + л/з + ... + \[п >
б) п + 1 + ЙТ2 + п + 3 + + 2п > 2’
031.19. Докажите неравенство:
л, л
2’ 2
в) л/созх > созх > соз2х, х е
г) л/зтх > зшх > зш2 х, х е (0; л).
031.20. а) Докажите, что < 1, если А, В — острые углы
тупоугольного треугольника.
б) Докажите, что \%А\&В > 1, если А, В — углы остро-
угольного треугольника.
031.21.
Пусть х е 0; — , у е 0; — . Докажите, что:
I 2 / \ 2 у
а) +
\ — х + у \ созх + СОЗУ,
в) соз—2
< 1ё* + ЬёУ.
2
4-^Х + У
б) ^—2^
Г)
с1#х + с1ёУ
2
031.22. а) Пусть пик — некоторые натуральные числа, боль-
шие или равные 2. Докажите, что з1плх + соз^х < 1 при
всех действительных значениях х.
б) Пусть аир — некоторые положительные действитель-
ные числа, меньшие 1. Докажите, что зшах + соз₽ х > 1
при всех х е
0; -
2^
Докажите неравенство, воспользовавшись методом мате-
матической индукции:
•31.23. а) 2п > п2, где п > 5; б) 2п > п3, где п > 10.
•31.24.
б) 2у/п > 1 + где п > 2.
7 у[2 х/3 Л
031.25. С помощью производной докажите неравенство:
а) зшх - х < 0 при всех х е (0; +оо);
б) - х > 0 при всех х е (о;
031.26. Докажите неравенство:
а) 1 + 1пх < х при всех х е (0; +оо);
б) ех > 1 + х при всех х е Д.
•31.27. Докажите неравенство.
т2
а) 1п(1 + х) > х - при всех х е (0; +оо);
б) зтх > х - — при всех х е (0; +оо);
х2
в) ех > 1 + х + при всех х е Л;
х2
г) созх > 1—при всех х е (0; +оо).
§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Построите график уравнения:
32.1. а) х2 = 1;
б) у2 = 9;
32.2. а) х = у",
б) Зх - 4:/ = 12;
в) х2 - 2х + 1 - 0;
г) у2 - бу + 8 = 0.
в) х + у = 2;
г) 2у - х - 4 = 0.
Решите уравнение /(х; у) = 0 относительно х, т. е. пре
образуйте уравнение к виду х = х(у). Найдите все значе
ния у, при которых это решение единственно:
032.3. а) ху + у - х = 0;
б) ху2 + хуь - (1 + у*) = 0;
в) ху + у + 2х = 0;
г) ху - (х - 1)</3 -1 = 0.
032.4. а) ух + х + у + 1 = 0; в) ух + 4х + 2у + 8 = 0;
б) у2 + (х + 1)1/ + х = 0; г) у2 + 5x1/ + 4х2 = 0.
032.5. а) |х| - (х + у) = 0; в) |г/ + 1| - (х - у) = 0;
б) 5|х| - |х + у\ = 0; г) |г/| - |х| - 2х - Зу - 4 = 0.
Постройте график уравнения:
032.6. а) х2 - Зху = 0; в) ху + 2у2 = 0;
б) (х - 1)0/ + 5) = 0; г) ху - 5х + у = 5.
032.7. а) х2 - у2 = 0; в) х2 - Зху + 2у2 = 0;
б) х2 + 7ху - 18г/2 = 0; г) х2 + ху + у2 = 0.
Постройте график уравнения:
032.8. а) — = 1; в) ——= 0;
у х + у - 2
2х + Зу - 5 _ 0. > 2х2 - 4х - 2ху + Зу - 5
' х + у ~ ’ г) X - у
•32.9. а) |х| + |у| = х + у; в) |х| + |у| = х - у,
б) |х| + |у| = у - х; г) |х| + |у| = -х - у.
°32-10- (хЛу^Зу) = *
в) (х + Зг/ - I)2 + (х2 - Зхг/ - 4г/2)2 = 0;
г) |х2 - у - 2| + |х2 + г/2 - 2| = 0.
032.11. График уравнения /(х; у) = 0 изображен на рисунке 9.
Постройте график уравнения:
а) /(-х; у) = 0; в) /(-х; -у) = 0;
б) /(х; -у) = 0; г) ?(у, х) = 0.
•32.12. На рисунке 10 изображен график уравнения /(х; у) = О,
имеющий вид четырехугольника, вершины которого —
точки с целочисленными координатами. Постройте гра-
фик уравнения:
а) Л|х|; У) = 0; в) /(|х|; |у|) = 0;
б) ?(х; |у|) = 0; г) /(у; |х|) = 0.
•32.13. График уравнения /(х; у) = 0, изображенный на рисун
ке 11. имеет вид многоугольника, вершины которого
точки с целочисленными координатами. Постройте гра
фик уравнения:
а) /(х + 1; у - 1) = 0; в) /(2 - х; 1 + у) = 0;
•32.14. Постройте график уравнения и вычислите площадь фигу
ры, которая ограничена этим графиком:
а) 2|х| + 3|^| = 6;
б) ||х + 5| + 1| = 2;
в) 0,5|х| + = 2;
|х^о| + 1^ = 1 0 >0.
7 Р я
•32.15. Постройте на координатной плоскости множество точек
(х; у) таких, что |х| + 3|у\ = 6, и определите все значе
ния, которые на этом множестве принимает выражение:
а) х; б) у; в) х + Зу; г) х + у.
•32.16. Постройте на координатной плоскости множество точек
(х; у) таких, что |х - 3| + \у + 3| = 3, и определите все
значения, которые на этом множестве принимает выра
жение:
а) -Зх - 2у; б) х2 + у2; в) 5х + 7у; г) ху.
Постройте график уравнения:
032.17. а) у = 74-х2; в) у = -74 - х2;
б) |г/| = 74 - х; г) х = ^4- у2.
032.18. а) у = 71 - х2; в) у + 2 = -л/1 - х2;
б) у = —71 - (* -1)2; г) Ы = -VI - х2 + 3.
032.19. а) \у + 2| = 74 - х2; в) |г/| + 2 = 74 - х2;
б) |г/| = -74 - х2 + 2; г) \у + 2| = -^4 - (х - I)2.
•32.20. а) (х - I)2 + (у - 2)2 = 16;
б) (х- 1)2+(|г/| - 2)2= 16;
в) (|х|- I)2 + (г/- 2)2= 16;
г) (|х| - 1)2+ (|г/| - 2)2 = 16
Решите уравнение в целых числах:
032.21. а) х + 2у = 7; в) 5х + у = 17; г) 7х - 12г/ = 1.
б) 7х + 2г/ = 1;
•32.22. а) х + 2г/2 = 7; в) 5х2 + у = 17;
б) х2 + 2у = 1; г) 7х - Зг/2 = 1.
•32.23. а) х2 - 5хг/ 4- 6г/2 = 2;
б) х2 + ху - 6г/2 = 5 - 5г/;
в) х2 - ху + 12г/2 = 12;
г) х2 - 2ху + 8г/2 = 6 - 2х 4- 2г/.
Постройте на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству:
32.24. а) х < 5; б) х > -4; в) г/ > -3; г) у < 2.
32.25. а) х + 2г/ < 3;
в) Зх + 2г/ > -5;
б) х - у > -4;
г) х - Зг/ < 4.
32.26. Укажите на координатной плоскости все точки (х; у) та
кие, что выражение х + Зу - 4 принимает:
а) неположительные значения;
б) значения, меньшие числа -8.
32.27. Не производя построений, докажите, что точки А(-1; 2)
и В(2; 3) лежат по одну сторону от прямой 13х + 7у *
+ 6 = 0, а точки А и С(-13; -11) — по разные.
032.28. При каких значениях параметра с точки А(-1; 7) и В(2; 11}
лежат:
а) по одну сторону относительно прямой Зх + су = 5;
б) по разные стороны относительно прямой 5х - 4у = с?
032.29. Постройте на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
Гх + у > 3,
[2х - Зу < 1;
Гх - 2у > 3,
[х + Зу С -2;
б)
X - у > 1,
х - у > 2х,
X + у < 1,
г) х + у < Зу,
X < 2у;
5х < 2у - 7.
Постройте на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству:
032.30. а) ^Зх - у - 1 < >/2х + у - 1;
б) ф.-у > VI - 2х2;
в) ,]х + у - 1 > у/2х - у;
г) 7^2 _ ! > 72х _ 1.
032.31. а) у/у + 1 < х;
б) у]2ху + у2 > х + у;
в) у]-2х - у - 1 > -х;
г) у]2ху + х2 > х - у.
Постройте на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству:
•32.32. а) 2|х - 3| + 2х - Зг/ С 0;
б) |х - 3| + \у + 2| > 2х + 5.
•32.33. а) |х + у\ + 2х - у > 3;
\х + у\ I I . .
б) '---X + |х + у\ + у < 4.
’ X + у
032.34. а) ху < 2; б) у < в) |х| • у < 2; г) |х| < |
032.35. а) ху > -3; б) Л < х; в) у > г) — < |х|.
\У\ х У
•32.36. а) |х| + |у| С 4; в) 2|х| + 3|у| < 6;
б) \у - 3| + |х + 1| > 5; г) к=Л< 1.
о
•32.37. а)
-4 - > 0;
2х + Зу - 6 ’
б)
х2 + у2 - 4
И +\у\-%
<0.
032.38. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:
х < 2,
х + у < 12;
а) <
Зу - х < 4,
[У
-х;
б) < у - х < 12;
у > 0.
•32.39. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:
а) х2 + у2 < 2(|х| + |у|>/з);
б) 2СХ2 + у2) < |х|л/3 + |у| .
•32.40. Случайным образом выбирают одно из решений системы
неравенств <
|х - у\ < 2,
|х + у\
Найдите вероятность того, что
< 2.
выбранная точка расположена:
а) ниже прямой у = 1; в) правее прямой х = 1;
б) выше прямой у = 0,5; г) выше параболы у = х2.
§ 33. Системы уравнений
Решите систему уравнений методом подстановки:
(х + у = 3,
а ) [х2 + 2у2 - ху + 2х - Зу -• 3;
\у - 2 + х,
б ) Г
7 (х3 - у3 = -8;
1х + у = 5,
[х3 + у3 = 35;
:Х + 2у = 1,
г) 1
|2х2 + Зху - Зу2 = 6.
033.2. а)
х + У =
зшх эту = —^=;
2\2
г) <
^/7 - бх - у2 = у + 5,
У = х - 1.
033.3. Решите систему уравнений методом алгебраического сло-
жения:
а)
Зх + 2у = 1,
х - у = -3;
х + у2 = 2,
2у2 + х2 = 3;
б)
2л/х - З^у = 1,
Зл/х - 2у[у = 4;
у/х + ^у = 3,
_3л/х - = 1-
033.4. Решите систему уравнений методом алгебраического сло-
жения:
Г1о$2х - 1о$3 у = -5,
[21о^2 х + З1о^3 у = 0;
2х+2у - у]2х + у = 6,
3Л/2х + у - 2х+2у = -2;
в) <
[созх + соз 2у - -0,5,
б)
[Зсоз21/ - созх = 2,5;
Г2зш2х + Ъ^Зу = 2,
[6зш2х - 21%3у = 1.
033.5. Решите систему уравнений методом введения новых пере-
менных:
3 . 3
X + у х - у
X + у X - у
а)
. 3_ ... ,
Зх - у х - Зу
15 2
Зх - у х - Зу
= -2,
= 1:
= -1,
= -2.
Решите систему уравнений:
12х + Зу = 12,
033.6. а) Г „ 1 О1
ху + 1 - 210ё6 ху,
• /у = 10 - Зфсу,
2х - 5у = 6.
033.7.
а) <
31о^ х + 2У*1 = 5,
2
2У + 1о§2х = 5;
3-^/х 4- у = 1о&216х2,
1о^2х2 + 2%1х + у = 6;
(1&2х + зш у = 2,
[Ззшу + Ьё2 х = 0;
033.8. Применяя графический метод, определите, сколько реше-
ний имеет система уравнений:
. \у = X2, (у = 8ШХ,
*) 1 В) 1 О 1
= созх; [у = 0,1х;
[х2 + у2 = 4, [у + 2 = ч/х + 4,
б) 5 „ г) V
[у = 2 - х2; [у + х3 = 0.
Решите графически систему уравнений:
033.9.
033.10.
033.11.
33.12.
033.13.
033.14.
У + х = 3,
ху = 2
(у = х(х - 4),
[у + 8 = 2х.
а)
а) <
У-2Г' = 1,
%[х + 2 = у;
у - 1 - 8Ш X - —
у 2
у + х2 = 0;
б)
б)
У = 21-1,
|х - 3| = у + 1.
у = яп 2х,
'у-1 = 2х-%.
Докажите, что система уравнений не имеет решений:
12х + Зг/ = 1,
(4х + 6г/ = 5;
зтх = у;
Г СОВ (х + у) + 81П ху = 1,
[2зшхг/ + соз (х + у) = -1;
Решите систему уравнений:
/ у + 2х = 3,
^х2 + у2 = 2;
1х4 - у4 = 15,
[х4 + у4 = 17;
г)
б)
Г 2 81п (х + у) - 3 соз (х - у) = 5,
[7соз(х - у) + 5зш(х + у) = -2;
У = (1 ]
9 к3;
у = 1о§2 X.
\\1х + 1 - у - 2,
[1о§7 (4 - х) = у;
[у - X _ I X _ 2
V 2х \ х + у ~ 2’
16 СИ - 7./^р = 1;
у х + у у 2х
2У+Х - Зх-у = 1,
2х+у + Зх-У = 3.
г/ + х = 1,
2Х~У
2
83
2
Решите систему уравнений:
033.15. а) ' (2х + у)(х + Зу) 2х + у _ 3. х + Зг/ 4’ = 48, б) < * = 4 у + 2 (х - З)2 4- (у + 2)2 = 17.
033.16. а) х2 + у2 = 13, х4 - у4 = 65; б) 1 [2х4 = х2у2 + 1, |_3х4 = х2у2 + 2.
033.17. а) ' у + х3 = 4, Зу + у2 + 2х3 = 20; б) ['у4 + х = 3, |2х2 - 5х + Зу4 = 1.
033.18. а) ] х3у5 = 32, [х5у3 = 8; б) < [(х + 2у)3(х - 2у)2 = [(х - 2у)3(х + 2у)2 = 9, -27.
033.19. а) < — - ху = -9, 2ху - = 23; б) < х + у х_ _ _5 X - у у 6’ X2 + ху _ 1^ ху - у2 6
•33.20. а) < [2х2 + ху - у2 = [у2 - Зху = 16; 0, б) [Зх2 - ху = Юу2, [х2 - 2ху + у2 = 4.
•33.21. а) [х2 + Зху + у2 = [2х2 - Зху - Зу2 -1, = -4; б) ]хг + ху + 4у2 = 6, [Зх2 + 8у2 = 14.
•33.22. а)
х - 2ху + у = -17,
х2 + у2 = 25;
(х + у + х2 + у2 = 18,
[ху 4- X2 4- у2 = 19.
Гх2 и2 — + = 12, ху(х + у) = 20,
033.23. а) У X 111 б) •
- 4- - = [х у 4
х у 3
033.24. а)
б)
033.25. а)
033.26. а)
б)
033.27. а)
033.28. а)
б)
•33.29. а)
б)
л/х - у + + Зу = 4,
2х - у = 4;
бх + 2у = 10,
л/2х + у + 7бх - Зу = 2.
у/х + %[у = 5,
ху = 216;
х + Зу
У + 5
+ 2 = 3
I У + 5
х + Зу’
ху + 2х = 13 - 4у;
х2 + 4х - у2 - Зу = О,
Iх + У + 3 . Iх-У = 4.
\х - у А|Х + у
у/х + у/у +
х + 2у = 9;
Зх - у = 3,
б)
у/5х + у + у]5х -
1 = 10
+ Ту 3
1 = 65
'х + 2у/у 8
2^3у + х - у]бу - х = х,
у]3у + х + у/бу - х = Зу;
у/2х - Зу + у]4х + Зу = 2х,
2у]2х - Зу = у/4х + Зу - Зу.
= 4.
Решите систему уравнений:
033.31.
{2бх-2у _ ^х+у+Ю
3х = 311+»;
б)
343»
уХ~У
= 49,
-^ = 1
25х"»
5^ = 53-^»,
(0,25х)» =
= 4.
б)
Д6^»
033.32.
2х 0,25» = 512,
4х + 2у/у = 5;
б)
9х З»~3 = 729,
4х - Ту = 1.
а) ’
033.33.
(б2х + 6х • у = 12,
[у2 + У • 6х = -8;
72» - 7» • х = 28,
б) 1 ,
х2 - х • 7» = -12.
033.34. а)
10613 (*2 + У2) = 0,51оеял2,
1О23 х - 1 = 1о&3 2 - 1ое3 у;
[1оёт(х + У) = 41о$7(х - у),
' [1о§7 (х + у) = 51ое7 3 - 1о&7 (х - у).
033.35.
а) <
1обхУ + 1о&„ х = |,
Л
4л/х - З-Уу = 1;
б)
рое^х - 210§ху = 1,
|х2 + 2у2 = 3.
033.36. а)
1о&2 у + 1о§2 х 1о§2 у - 21ое2 х = О,
Эх2 у - ху2 = 1;
21ое| х + 1оё3 х 1ое3 у - 1оё| у = О,
б) 1 х2
ху + — = 28.
I у
•33.37.
а)
X2 + 1§х = у2 + 1§у,
^х - у + 4х + у/у = 4;
| х + 2Л = у + 2^»,
[х2 + х + у2 + у = 12.
Решите систему уравнений:
8ШХ81Пу = 0,25, X + у =
033.38. а) < Л. б) ' * 4
1 у 3’ 81П2 X + СО82 у = 0,5.
8ШХ + соз у = 0, [созх + соз у = 0,5,
033.39. а) < 1 б)
8ИГХ + соз2 у = 1 у 2 [з1п2х + зхп2у = 1,75.
•33.40. а) < 8ШХ8Шу = -|, 0) СОЗуСОЗХ -
1%х <Л%у = 1; Х&у = с1§х.
Решите систему трех уравнений с тремя переменными:
х + 2у - Зг - -3, Зх - 5у + 2 = -13,
033.41. а) 2х - Зу + г = 8, б) < х + Зу - 2г = 5,
-х + у - 5г = -8; 2х - 2у + 5г = -6.
х + у = -1, х + у + 2? = 0,
033.42. а) < X - 2 = 2, б) х + 2у + 2 = 1,
ху + хг + уг - -1; X2 + у2 + 2г = 5.
033.43. Составьте уравнение параболы у = ах2 + Ъх + с, есл-
известно, что она проходит через точки М, Р, <2:
а) М(1; -2), Р(-1; 8), 9(0; 1);
б) М(-1; 6), Р(2; 9), 9(1; 2).
033.44. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, >
сумма кубов ее членов равна 192. Найдите первый чле*«
и знаменатель прогрессии.
033.45. Сумма трех чисел равна 8, а сумма их квадратов — 2Ь
Найдите эти числа, если известно, что одно из них на
больше другого.
•33.46. Три целых числа образуют конечную возрастающую гес
метрическую прогрессию. Если второе число увеличить на
6, то получится конечная арифметическая прогрессия.
Если в этой арифметической прогрессии первое и треты
числа увеличить на 5, а второе — на 1, то получится гео
метрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.
•33.47. Три бригады, работая одновременно, выполняют норму
по изготовлению подшипников за некоторое время. Если
бы первые две бригады работали в два раза медленнее, а
третья бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то нор-
ма была бы выполнена за то же время. Известно, что
первая и вторая бригады при совместной работе выпол-
няют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совме-
стно с третьей. Во сколько раз первая бригада производит
подшипников за 1 ч больше, чем третья?
§ 34. Задачи с параметрами
034.1. При каких значениях параметра т уравнение тх - х +
+ 1 = т2:
а) имеет ровно один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет более одного корня?
034.2. При каких значениях параметра Ь уравнение Ь2х - х +
+ 2 = Ь2 + Ь:
а) имеет ровно один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет более одного корня?
Решите уравнение (относительно х):
034.3. а) а2х - 4х + 2 = а; б) — + х - 1 = а.
а
гчо 4 4 ч ах - 5 - х _ п. ах + 6 - 2х п
034.4. а) -х2-- 4~ = 0; б) —х2 _ 9 = 0.
Решите неравенство (относительно х):
034.5. а) тх - х + 1 > тп2; б) Ь2х - х + 1 > Ь.
034.6. а) Ь2х - Ьх > Ь2 + Ь - 2; б) - + х < а + 1.
а
034.7. При каких значениях параметра а уравнение ах2 + 4х-
- а + 5 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет ровно один корень;
в) не имеет действительных корней?
034.8. При каких значениях параметра а система уравнений
имеет решения:
Г у = 2х2 - 5х + 1, [ у = Зх2 - 4х - 2,
а) С б) Г
[у = Зх + а; [у = -Юх + а?
034.9. Найдите наименьшее целочисленное значение парамет-
ра 6, при котором уравнение имеет два корня:
а) х2 - 2Ьх + Ъ2 - 46 + 3 = 0;
б) х2 + 2(6 - 2)х + Ь2 - 106 + 12 = 0.
034.10. При каких значениях а;
а) корни уравнения х2 - 8ах 4- 27 = 0 относятся как
3 : 1;
б) корни уравнения х2 - Юах 4- 24 = 0 относятся как
2 : 3?
034.11. При каких значениях а:
а) уравнение (1о&3 а)х2 - (21о^3- 1)х 4- 1о^3а -2 = 0 име-
ет единственный корень;
б) уравнение (1о&4 а)х2 - (21о&4+ 1)х + 1о&4а 4-2 = 0 не
имеет действительных корней?
034.12. Решите уравнение с параметром а:
х2 - (а - 1)х - 2а(а 4- 1) = $
х — 3
х 2 _ 3 - а2
а(х 4- 1) х + 2 ~ а(х 4- 1)(х 4- 2)*
034.13. При каком значении а:
а) прямая у = 6х 4- а касается графика функции у = х2;
б) прямая у = 4х имеет только одну общую точку с гра-
фиком функции у = х2 4- а?
034.14, При каких значениях 6 графики функций имеют общие
точки:
а) у = х2 - 4х 4- 2 и у = -2х 4- 6;
б) у = х2 + 6х 4- 7 и у = 2х 4- 6?
034.15. При каких значениях а:
а) ось симметрии параболы у = 2х2 - Зах 4- 2 пересека-
ет ось абсцисс левее точки (-3; 0);
б) ось симметрии параболы у = 5х2 - 2ах 4- 2 пересека-
ет ось абсцисс правее точки (4; 0)?
034.16. При каких значениях а:
а) вершина параболы у = (За 4- 1)х2 4- 2х - 5 принадле
жит четвертой координатной четверти;
б) вершина параболы у = Зх2 4- (4а - 1)х 4- 3 принадле
жит первой координатной четверти?
034.17. Что можно сказать о знаках коэффициентов а, Ь, с, если
известно, что график функции у = ах2 + Ьх + с прохо-
дит через заданные точки:
а) (-4; 0), (0; -2), (-3; -2);
б) (0; л/з + 1), (-1,7; 0), (3,3; >/з + 1)?
034.18. При каких значениях а неравенство ах2 + 4х - 3 + а > 0:
а) выполняется при любых х;
б) не имеет решений?
034.19. При каких значениях а неравенство ах2 + 2ах + 2х +
+ 2а + 2 С 0:
а) выполняется при любых х;
б) не имеет решений?
034.20. а) При каких значениях параметра а неравенство
(х3 - 8)(а - х) > О имеет единственное решение?
б) При каких значениях параметра а в множестве реше-
ний неравенства (х - 1)(а - х) > 0 содержится пять це-
лых чисел?
034.21. Решите неравенство:
а) >/х - 2(х - а) > 0; б) (6 - х)>/х - а > 0.
•34.22. а) При каких значениях параметра а решением неравен-
ства (х - а)2 (х - 3)(х + 1) < 0 является сплошной промежу-
ток?
б) При каких значениях параметра а неравенство
х - 2а - 1 л
< 0 выполняется при всех значениях х из от-
х - а
резка [1; 2]?
•34.23. При каких значениях параметра а корни уравнения
(а - 2)х2 - 2ах + а + 3 = 0:
а) положительны; в) отрицательны;
б) меньше числа 3; г) заключены в интервале (1; 3)?
•34.24. Решите неравенство (относительно х): (а - 1)х2 + 2(2а +
+ 1)х + 4а + 3 < 0.
034.25. а) При каких значениях параметра а функция у = ах3 +
+ Зах2 + бх + 7 возрастает на всей числовой прямой?
б) При каких значениях параметра а функция у = 2х3 -
- 6а2х + 3 имеет минимум в точке х = 3?
034.26. Решите уравнение:
а) зшх = За - 2; б) соз2 х = 2а - 1.
034.27. Решите уравнение:
а) у/З зшх + созх = а; б) 3 зшх + 4 созх = 2а - 1.
•34.28. При каких значениях параметра а уравнение зш2х = а
имеет на отрезке [0; 2л] пять корней?
•34.29. При каких значениях а:
а) уравнение 52х - 3 5х + а - 1 = 0 имеет единственный
корень;
б) уравнение 0,01х - 2(а + 1) • 0,1х + 4 = 0 не имеет дей-
ствительных корней?
•34.30. При каких значениях а уравнение имеет хотя бы один
корень:
а) 9х + (а + 4) • 3х + 4а = 0;
б) 25х - (а - 2) • 5х - 2а = О?
•34.31. Решите уравнение:
а) соз 2х + 3 зш 2х = созх, если известно, что х = О
— корень уравнения;
б) у] 2зт2х - асоз 2х = -зшх, если известно, что х =
л
= — корень уравнения.
•34.32. При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня:
а) х(х + З)2 + а = 0; б) х3 - 12х + 1 = а?
•34.33. При каких значениях а:
а) уравнение х4 - 8х2 + 4 = а не имеет корней;
б) уравнение Зх4 + 4х3 - 12х2 = а имеет не менее трех
корней?
•34.34. Сколько корней при различных значениях а имеет урав-
нение:
а) л/х = х - а; б) у/4 - х2 = х + а?
•34.36. При каких значениях р уравнение | Зх + 6| = рх + 2 имеет:
а) один корень; б) два корня?
•34.36. При каких значениях а существуют два решения:
[г/ = |х - 2|,
а) системы <
[у = ах + 1;
б) уравнения |х + 4| = ах + 2?
•34 37. При каких значениях а уравнение |х2 - 4х - 5| = а:
а) имеет два корня;
б) имеет четыре корня?
•34.38. При каких значениях а:
а) в уравнении (х - а)2 - 12|х - а| + 35 = 0 число отри-
цательных корней равно числу положительных корней;
б) в уравнении (х + а)2 - 6|х + а\ + 8 = 0 число положи-
тельных корней больше числа отрицательных корней?
•34.39. а) Сколько корней имеет уравнение ||х| - 2| = а при раз-
личных значениях параметра а?
б) Решите уравнение |х - 1| + |х - 3| = а.
• 34.40. При каких значениях параметра а графики функций
у = а\х + 1| и у - х + а2|х| пересекаются в трех точках?
• 34.41. При каких значениях параметра а система уравнений
|х2 - 7х + б| + х2 + 5х + 6 - 12|х| = О,
V имеет два реше-
х2 - 2(а - 2)х + а(а - 4) = О
НИЯ?
• 34.42. При каких значениях параметра а система уравнений
ах2 -ь а - 1 = у - |атх|,
< . . . имеет единственное решение?
+ I у\ - 1
• 34.43. При каких положительных значениях параметра а нера-
венство 2х2 - а1пх < О имеет хотя бы одно решение?
•34.44. При каких значениях параметра а уравнение 4х + 2 =
= а 2х • 8ШЯХ имеет единственный корень?
• 34.45. Найдите все положительные значения параметра а, при
которых неравенство |2х + а|х| - 13| > 1 выполняется
для всех х из отрезка [-3; 3].
• 34.46. Найдите все значения параметра а, при которых области
определения функции у = (ах+0,э + а3>/х - х°’5+х1оега - а3,5)
принадлежит лишь одно целое число.
•34.47. Известно, что уравнение (2а + 3)х2 + ах + Зх + 1 = О
имеет хотя бы один корень. При каких значениях пара-
метра а число корней этого уравнения равно числу кор-
ней уравнения = 3 + >/х - 3 ?
дополнительные задачи
1.79. Решите уравнение:
а) 2=~7 ~ *3; б) (з1п 10 Г3 = ~ 2‘
1.80. Решите неравенство:
а) 5х + 6х > 11; б) 3х"4 + 2х"2 < 11.
1.81. При каких значениях х график функции у = /(х) распо-
лагается не ниже графика функции у = ё(х), если:
а) /(х) = 25 соз 2х - з1п4 х, = 25 • 5(л-х)2;
б) /(х) = 71-|бх-5|> = 8|п2 х _ 81п х + 7,25?
1.82. Найдите наименьшее и наибольшее целочисленные значе-
ния функции у = 20 581п4* + '/з™з4*-1е
3.47. а) Найдите количество всех целых решений неравенства
4х’1 - 9 2Х+ 32 < 0.
б) Найдите сумму всех целых положительных чисел, ко-
торые являются решениями неравенства 14х"1 < 5х +1.
в) Из всех целых чисел, которые не являются решениями
неравенства (104х-9 - 1)(35х 21 - 1) > 0 найдите число,
наименее удаленное от множества решений этого неравен-
ства.
г) Укажите наименьшее натуральное число х, при кото-
ром число 3 • 2х составляет менее 50% от числа 3х + 5.
6.66. Вычислите:
10^4 81П + 10^4 СОЗ + 10^4 (СОЗ - 81П
СОЗ — + 81П —
16 16
7.44. Решите уравнение:
а) 1021(2 - х) + 2,5 1о22 х2^1+4 =6-101о816 (Зх - 1);
б) 1о#з (6 - х) - 1о^! (х + 10)4 - 4 1о#з (х + 10)(х2 - 12х +
3
+ 36) = 9.
8.48. а) Найдите сумму всех целых чисел, которые являются
решениями неравенства 1о&2 (5 - х) > 1о&0,5 х - 6.
б) Найдите наименьшее натуральное число, которое явля-
41х - 4х2 - 100
ется решением неравенства —10$ (х - 3)—
•18.49. Сколько целых чисел содержится в решении неравенства
х/5 + 41о^2 х - х < У1о^232х4 - 1о^х ?
1о$2 32х2 4 - 1о^о>5 х3
•18.50. а) При каких значениях а сумма целочисленных решений
неравенства 1о22 (2 - х) - 8 < 1о2а (х - 2)2 равна нулю?
б) При каких значениях а хотя бы одно целое число из
интервала (-л/51; 1^0,1) является решением неравенства
1о^(1 - х) + 3 > 0,51оеа(х- I)4?
ЧП 1$(7х-х2-9) 12(9-2х) Л
•26.18. а) Решите уравнение --------------5--------- = 0.
б) Найдите сумму всех корней уравнения
12 (х2 - Юх + 25) • 10211 (Зх - 5) 10212 (х2 - 4х + 4) = 0.
1$(8х-х2-14)12(13-Зх) п
в) Решите уравнение -------------5----------- = 0.
х — о
г) Найдите сумму всех корней уравнения
1о24 (х2 - 12х + 36) 1о2о (Зх - 8) • 1о2б (х2 - 6х + 9) = 0.
•26.19. При каких значениях параметра а уравнение х2 - ах +
+ з1п а = 0 является следствием уравнения х + з1п х -
- з1п а = а?
•27.58. Решите уравнение:
а) 0,5х2 + 34 = 23^СОЗ(71Х) + 6х;
б) 20х - 100х2 =
в) |2х2 - Их + 5| + пх = 0;
г) 7 - |2х2 - 7х + 3| = Т •
7 1 1 СО8^ КХ
•27.60. Найдите нули функции:
а) у = 1п (Зх - 2х2) - ^х3 + х2 - 2;
б) у = |х3 + х2 - Юх + 8| + ч/1^(8^п71х + х2 - 15).
•28.59. а) При каких значениях параметра а неравенство 2х +
+ 1п 2 + 1п х - а2 < 2 1п а имеет решения и любое его ре-
шение удовлетворяет неравенству х2 - 4ах - 5а2 < 0;
б) при каких значениях параметра а ни одно решение не-
равенства х + 3х - 2а - 9а < 0 не является решением не-
х - За - 1
равенства 7^-3 < О?
•30.63. Решите уравнение:
а) 71 - ; б) 74 + с!^х —= 0.
созх у зшх
1 . 2 7
•30.64. Решите уравнение _ 4х + 5 + _ 4х + 29 " 5’
•30.65. При каких положительных значениях параметра а во мно-
жество решений неравенства 72ах - х2 > а - х можно
поместить два непересекающихся промежутка длиной
2 + каждый?
•31.28. Решите уравнение 2 соз2 г + ~ = 7х + • 72-х.
•32.41. Решите уравнение:
а) 7(х - 2у + I)2 + 1 + 7(3х - у - 2)2 + 25 = 6;
б) (1000 - 9х2 - 4у2 + 12ху) + агссоз ((х + у - 5)2 -
- 1) = 4.
•32.42. Решите неравенство 1о&2 (соз2 ху + соз-2 ху) < ^2 + 2у + 2‘
•32.43. Найдите целочисленные решения неравенства:
а) б73х - 2у - 4 + 372х + Зу - 7 < 2;
б) 472х + Зу + 373х + 4у < 3,5.
•33.48.
Решите систему уравнений <
2“| ЗсО82Х + 10 81ПХ + 10 | _
у3 = 8(2 зтх + I)3.
5\
•34.48. Найдите все значения параметра а, при которых уравне-
2х + 1 _ 3
ния х2 + 2х + 7 - 2а = 0 и а _ 2 " + 1п(х - 2)
одновременно не имеют корней.
•34.49. При каких значениях параметра а неравенство х + зхп х +
+ 2а + 51п 2а < 0 является следствием неравенства х2 -
- 4ах + а < 0?
ОТВЕТЫ
ПОВТОРЕНИЕ
тт -в \ «г \ । \ \ тт о \ 7я , 6я , Я 2тг
П.1, а) б) +; в) г) -. П.2, а) зш 8Ш -у-, зт $, зт
5я Зя я 9я
б) СОЗ -=г, соз СОЗ -Т, СОЗ
7 7 8 4 5
11я
в) СОЗ -д-> СОЗ
2я
16я я.
СОЗ 0 > СОЗ д>
. 13я . 12я . 2я . 4я
г) зт “д“'’ 81П ТУ"’ 81П “5"’ 81П ~7"‘ а) соз I -
15 4 4 8
17’ 18 * ~ 15’
24
. 15 . 24 . 7 . 4 24
с12 * = —б) соз * = 2$, 12* = ~24> с!$ * = —у,
24. 1
в) соз I =
40
41’
12* =
12
12
35
9
С12 * = —д-5 г) соз* = - ду, 12 * = У2’ с1^ 1 = 35*
40
7
ч . 5 12 , 12. . 12 35
П.4, а) зт I = соз I - с!^ I ~ б) зт I = ду, соз I = ~ ^7’
с12 * =
соз I =
35 ч . 9 40 40 ч . 24
в) зт I = соз I = с1и * = тр г) зт^ =
7 7
25’ = 24* а) или ~1»2; б) -0,42. П.6, а)
1;
б) -
соз а
; в) зт ос; г) соз I, П.7, а) 1; б) 1; в) 0; г)
1
2‘
П.8. 0.
П.10, зт
. 1
I П.11, а) б)
г)
0.
1
л/3. чп.
2 ’ В)
Я 7Г
П.12, а) (-1)" + яи, 2яи, и € И; б) ± $ + 2яи,
я
д + ЯП, И
€
7,
я я я я
в) (~1)п 6 + яп, + яи, п е 2; г) + тт, + 2ял, л е 2. П.13, а)
я
±3
2я д. 1 я 2
+ 2яи, 2яи, и € 2\ б) ±-д- + 4яи, и € 2\ в) (~1)л $ + яи, (-1)" агсзт $ +
+ яи, и € 2\ г) (-1)п + 1
лп п л .
+ -д-> п € 2. П.14, а)
я
+ яи, агс!& 3 + яп, п € 2;
б) агс!& 2 + яи, агс1& 4 + яи, и € 2; в) агс1&
яи, -агс!& 3 + яи, п е 2;
г) -агс!& 3 + яи, агс!& 2 + яи, п € 2. П.15, а)
я
4
ЯП,
п е 2; б) 2яи,
~ 7я 5я Зя я я,
п е 2. П.16, а) , 4 ’ 4’ 4’ $)
_я
2’
я
6’
5я
6 ‘
П.17.
я
2‘
3 12
П.19, а) 6х2 - —т= + 2; б) 6 зш2 х созх - ----в) -6з1пх созх +
’ 2-/х соз2 4х
+ -------; г) х3 - Юх + П.20, а) б) -4^3 + 2; в) + 3;
2зт2| 72х + 5 3 2
г) -19. П.21. +3. П.22. -2,5, -1. П.23. 0. П.25. [-3; -И П.26. ~2-|, -1.
к
П.27, а) у = х + 9; б) у = -±х + 3^; в) у = --^х - г) у - 1,5х + 0,5.
У У 4о О
П.28. (0; -1), (-1; 3). П.29, у = 2х - 0,5. П.30. -13, 3. П.32. Функция
возрастает на (~°°; -4] и
+оо , убывает на
-*3
точка мини-
2 Л.
мума минимум функции ±27’
точка максимума -4, максимум функ
ции 60.
ГЛАВА 1
§1
1.5. а) -4х3 + 12х2 - 12х + 4; б) х8 -1; в) Зх2 - 9х + 7; г) х10 + х8 +
+ х6 - х4 - х2 - 1. 1.7. а) х6 + 2х5 + Зх4 + 4х3 4- Зх2 4- 2х 4- 1; б) х8 - 2х7 +
+ Зх6 - 4х5 + 5х4 - 4х3 + Зх2 - 2х 4- 1. 1.9. а) х4 - 2х3 4- Зх2 - 2х + 1;
б) х6 - Зх5 + 6х4 - 7х3 + 6х2 - Зх + 1; в) -8х3 - Их2 - 7х; г) 9х2 - 12х +
+ 4. 1.10. а) а = -0,5; б) а = -2, а = 3. 1.11. а) а = -0,75; б) а = -0,5;
41 1
в) а = 24^г) а = 1.13. а) 34, З17, 2; б) 17, -2, 0; в) 13, 1, -1; г) 16,
2, 0. 1.16. а) Степень равна 16, свободный член равен 2, старший коэф-
фициент равен 34, сумма всех коэффициентов равна 217 = 131 072, сум-
ма всех коэффициентов многочлена при четных степенях переменной
равна 217 = 131 072, сумма всех коэффициентов при нечетных степенях
переменной равна 0; б) степень равна 197, свободный член равен 0, стар-
ший коэффициент равен (-1), сумма всех коэффициентов равна 0, сумма
коэффициентов при четных степенях переменной равна 0, сумма коэф-
фициентов при нечетных степенях переменной равна 0. 1.17. а) ±7б;
б) а Ф ±2; в) ±2; г) 1,5. 1.18. а) а = 2, Ъ — произвольное действительное
число; б) а = 4, Ъ - 1. 1.19. а) а = 3; б) а = 1. 1.25. а) При а = -3, Ъ = 2;
б) при а = -5, Ь = 2 и при а = -1, Ъ = 1. 1.27. а) а — любое число, не
равное 0, Ь = -(хг + х2 4- х3)а, с = (хгх2 + х2х3 + х3Х1)а, (1 = -(ххх2х3)а;
б) а = -(х! + х2 + х3 + х4), Ъ = хгх2 + Х1Х3 + ххх4 + х2х3 4- х2х4 + х3х4,
с = -(ХхХ2х3 4- хгх2х4 4- Х!Х3Х4 + х2х3х4), (1 = Х1Х2х3х4. 1.35. а) а - -5, а = -1,
а = 7; б) а = -2-?> а = 0, а = 4, а = 6^; в) а = а = 1, а = 2; г) ае
4 44 6
6 (~12’ °] ° (0; 2) ° (2; +ОО)‘ 1,36ф а) °’ з’ ~4’ ”2’ б; б) "И ’ "I’
9 9 4 Гр —Ч + ч/рТ
• 75 ’ °> "9 • Е37- а) б) *’ "V "• 1.40. а) -1, 2, 3; б) ±1;
У о о у о &
в) -2, 1; г) -1, 2, корень х = -1 имеет кратность 3. 1.41. а) р(х) =
= (х- 1)(х + 3)(х - 5)(х - 2)4; б)р(х) = х(х + 2)2(х - 3)2(х - 7з)3(х - 0,7)4;
в) р(х) = (х - 9)2(х + 0,3)3(х - я)3; г) р(х) = (х - 2)2(х + З)3.
1.42. а) (х + 2)(х - 1)3(х - 3); б) (х + 1)3(х - 2)2; в) (х - 1)2(х - 2)2;
г) (х + 1)4(х - 1)3(х -- 2). 1.43. а) р(х) = -х2 + 4х - 1; б) р(х) = х2 - 5,5х - 12.
1.44. а) р(х) = х3 - Зх2 + Зх + 1; б) р(х) = х3 - 5х2 + 4х. 1.47. Если Ь = 18,
с = 8, то -2 ± 73; если Ь = 14, с = -8, то -2 ± Тб. 1.48. Если а = -5, Ь = 9,
с = -7, то 1, 2; если а = 5, Ь = 9, с = 7, то -1, -2.
§ 2
2.2. а) (х - у)(х - 2у); б) (х - у)(7х + 12у); в) (х - у)(5х - Зу); г) (х +
+ 2у)(7х + 4у). 2.3. а) (х + у)(х + 1); б) (2х - 5у - 3)(х - у); в) (2х -у)(2х +
+ У - 4); г) (х - 3у)(3х + 8у + 5). 2.4. а) (х - у)(хв + х5у + х4у2 + х3у3 +
+ х2у4 + ху5 + уе + 1); б) (х2 - 2ху + 2у2)(х2 + 2ху + 2у2); в)(х - у)(х4 +
+ х3у + х2у2 + ху3 + у4 - 1); г) (4х2 - 2 72 ху + у2)(4х2 + 2^2 ху + у2).
2.5. а) 3(х + у)(х + г)(г + у); б)(х + у)(х + г)(з + у); в) (х + у)(х + г)(у + г);
г) 12хуг(х + у + г). 2.9. а) 19; б) -72; в) -36 075; г) -31 575.2.10. а) 14^ • 753;
б) ЗбОТбЗ. 2.12. а) 5х3 + у3 + 7х2у + 4ху2 + 2х2 + бу2 + Юху + 13х + 12у +
+ 8; б) 8х3 - у3 - г3 - 18х2у - 12х2г - Зху2 - Зу2г + бхг2 - Зуг2 + 15хуг.
2.16. а) х = у, х = 4у; б) х = -5у, х = -0,4у. 2.17. а) х = 0, х = -у, х =
б)х = -у,х = -2у, х = -Зу. 2.24. а) (1; 1). 2.25. а) (-716; 715), (716; -716),
(4; 2), (2; 4); 6) [+2^; +2^|]. [±4^; т2;’ |. 2.26. а) (5; -5), (-5; 5),
\ о о у у о о у
(-1; -2). 2.27. а) (-1; 1), (1; I), —4=1 —4=1
(7149 л/149 ) ( Л49 7149 )
б) (2; 1), (-2; -1), (-2; 1), (2; -1). 2.28. а) (-1; 0), (-1; 1,5), (0; 1); б) (1; 2),
(-1; 0). 2.29. а) (2; -1), (-2; 1); б) (0,5; 1), (1,75; -0,25), (-0,5; -1), (-1,75;
0,25). 2.30. а) (12; 0), (4; 2), (4; -2), (-6; 3), (-6; -3); б) (5; 5), (-5; -5);
^572; 1 ^-572; 2.31. а) (1; 2); б) (-1; -2), (2; 1). 2.32. а) (2; 3),
(3; 2); б) (1; 3), (3; 1), (3; 4), (4; 3); в) (1; 2), (2; 1); г) (2; -1), (-1; 2).
2.33. а) (1; 1), (-1; - 1); б) в) (72; 7з), (-72; -73),
(72; -&}, (-72; 7з), (73; 72), (-73; -72), (-73; 72), (73; -72);
.п .. (-4 + 372.-4- 372) (-4- 372.-4+ 372) _ _ . . п.
г) (1; 1), ---л--; ----з---1 ; ---2---} 2’34' а) (2; 0)’
(0; 2), (1; 2), (2; 1); б) (О, -7з), (-73; 0),
I 0 0 10 0 I
2.35. а) 1, -1; б) 0, -8. 2.36. а) (2; 1), (-2; -1), (0,5; 1,5), (-0,5; -1,5);
б) (1; 1); в) (-2; 1); г) (1; -1). 2.37. а) (-2; 3); б) (-3; -5). 2.38. а) (-2; 1);
б) (1; -1). 2.39. а) (-1; 0; -1); б) (I; V, I), где I € К, 2.40. а) 3; б) 6. 2.41. а) 3;
б) 20|. 2.42. а) ?|; б) -60^.
6 9 4
§3
3.1. а) -1, 0, 4; б) 0, ~П * 5Д в) 0; г) 0,5, 1,5, 3. 3.2. а) 0,25, 1;
б) - -—А-—-; В) -1, -7, 4 ± 715; г) > 3.3. а) +1, 3;
б) 2, - 7П; в) ± Д, 3; г) 1, -Ц Д•
□ &
3.4. а) При а = -6 Х1 = 2, х2.
-5 ± л/13.
б) при а = 0 Х1 = 1, х2 з
в) при а - -11 хг - -1, х2 = 4,
х3 = -0,5; г) при а = 1 хх = -1, х2,3 = 2 ± >/5, а при а = -2 X! = -1. 3.5. а) -4;
б) целых корней нет; в) -3, 1; г) 1, -1, -2, 2. 3.6. а) -0,5; б) 1, -0,5;
1
2’
3’
-$; г) 0,5, -2,5. 3.7. а) -1, 2, 3; б) -1, 2; в) -1, -3, -5; г) -1.
О
3.8. а) -0,5; б) -0,5, 1; в) -0,5; г) -0,5, 3 3.9. а) 1,5, 0,5, -0,25;
1У
_ , 1 2.
б) 2’ 3’
в) -0,5; г) 0,5,
-1 ± л/7
2
. 3.11. а) Один целый корень при а = -5
и при а = 3; б) один целый корень при а = 1 и при а = -9. 3.12. а) -0,5;
б) 1, 1. 3.13. а) а = -2, Ь = -1; б) а = -2, Ь = -1. 3.15. а) 1, 73; б) 3, 4;
в) -1, 2; г) корней нет. 3.16. а) 7; б) 27; в) I2 - 2; г) I2 + 2. 3.17. а) 13; б) 37;
в) I2 - 12; г) ? + 12. 3.18. а) -18; б) I3- 31. 3.19. а) -2, -0,5, 1; б) -2,
-0,5, 1; в) -2, -0,5; 1; г) -2, -0,5, 1. 3.20. а), б) 1,
-2 ± 72
2
3.21. а), б),
. , 2 -1±77. . , 2
в) х> ’з’ —3~’ г) -1’ 3’
1 ± У7
2
3.22. а) -1, 3 + ; б) корней нет;
в) 1; г) 1,
3 ± У14
5
3.23. а) 323; б) -7, 2. 3.24. а) 0,5; б) 0,5г 0.
3.25. а) 3, 4; б) -1, 3; в)
-5 ± 793 ч
----2----; Г)
8 13 9
3.26. а) 5» 12; б) 8>
16.
13’ в)
11 ± У105 21 ± У421.
2 2
г) 0, 11, у. 3.27. а) -2, 1; б) -9, 1,
5 в) 1, 3, -3 ± У11; г) -3, 6. 3.28. а) -3, 1; б) 0, 0,8; в) -1; г) -0,2.
3.29. а) ±1, ±^|;
б) -1, 1; в) 1,
-3 ± УИ.
2
г) 2 ± Уб. 3.31. а) а = -1,
Ъ = -1, с = 2, с? = -1; б) а = -1, Ъ = -1, с = 1, с? = 3; в) а = -1, Ь = 1, с = 1,
а = -5; г) а = 1, Ь = 3, с = -1, й = -2. 3.32. а) -1 ± У2, 1 ± б) 1 ±
Л л
—1 + ^/21 г-
В) ~ ; г) -1, 2. 3.33. а) 2; б) 72. 3.34. а) 1, 2; б) 1, 2.
ГЛАВА 2
§4
1 1 9 1
4.5. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 4.9. а) б) в) 1-^; г) 1-~.
4.14. а) 6; б) 5; в) 6; г) 4. 4.15. а) -; б) +; в) -; г) -. 4.16. а) 2 и 3; б) -3 и -2,
в) 2 и 3; г) -4 и -3. 4.21. а) 1, 8; б) 1, 9; в) 4, -7; г) -4, -3. 4.22. а) ±2;
б) ±Уб; в) У2; г) ±2. 4.23. а) Уб, 2, У17; б) У1000, 4, У75; в) У7, У40, 3;
г) УбО, У20, 2. 4.24. а) УОД, -1, У^5; б) О, У-0,25, У=ГЭ; в)
- 2, У-9; г) У2, 1, У^2. 4.25. а) У^12, 2, У70; б) У=л, 1, Ул;
В) у=2, 2,5, У2л; г) У^б, О, У200, 2л.
§5
5.12. а) [2; +°°); б) [-0,5; 0,5]; в) [4; +°°); г) [-2; 0,5]. 5.13. а) (-оо; -О] ч.
и [2; +оо); б) [-5; 3]; в) (-«>; 2] и [6; +°о); г) [-4; 1]. 5.14. а) -1| ]
и [8; +°°); б)
-Й; +оо
О
в) (-оо; 3,5) о (3,5; +^);
3
7 ‘
5.15. а) [-5; -1] и [1; 5]; б) (-оо; 0] о [5; +°°); в) [-4; -3] о
и [3; 4]; г) [-5; -4] и [-2; 3]. 5.16. а) (-°°; -3] и [2,5; 3) и (3; +°°);
б) (-оо; -1) и [5; +°°). 5.17. а) (-3; -0,4] о [0,5; 2] и [7; +оо); б) [4; +оо);
в) [-4; 3) и [5; +°о) и {2}; г) (-оо; -6) и (-3; 1] о {2}. 5.18. а) [0,15; 2] о
о [3; +°°); б) (—°°; -1] о [0,5; 1) и (6; +°о); в) [3; +°о); г) (-оо; -3] и
и (0,25; 0,5] и
и (6; +оо) 5.21. а) 0; б) </2. 5.22. а) [0; +°°);
б) (-о°; +°о); в) (—°о; +°о); г) [0; +оо). 5.23. а) [2; +°°); б) (-оо; +оо); в) [-3; +°°);
г) (—оо; +оо). 5.24. а) [-2; +оэ); б) (-оо; 2]. 5.25. а) [0; 6]; б) [0; +°о); в) [0; 2];
г) [^2; +оо). 5.26. а) 0, 2; б) 2; в) 0; г) 2. 5.27. а) 0; б) 1; в) 1; г) -1, 0.
5.28. а) 0, 2; б) -1; в) 1; г) 0, 3. 5.29. а) -9 < х < 7; б) х > 1; в) -4 < х < 0;
г) х > -1. 5.30. а) — в) Одно решение; г) нет решений. 5.31. а) 1; б) 2;
в) 2; г) 0.
§6
6.10. а) 2; б) -2; в) 3; г) 2. 6.11. а) -25; б) -83. 6.12. а) 144; б) 98;
в) 100; г) 54. 6.13. а) 5; б) -3; в) 8; г) 6. 6.14. а) 4; б) -6; в) 4;
г) 10. 6.17. а) ^26 > л/5; б) ^5 < >/3; в) ^7 > ^47; г) -^4 >
6.19. а) ^27^; б) Ш2а8; в) г) 6.20. а) ^4а3&3; б) ^а13&8;
в) ^125а7&10; г) ^216х7г23. 6.21. а) б) в) 1^а7; г)
6.22. а) ^х&уег7; б) ^р^23-, в) ^а22^33; г) ^4/~15т3. 6.25. а) -^-а8й10;
б) рхд9 при р > 0 и ^р26^9 при р < 0; в) ^-тп7П19; г) $х6у7 при х > 0 и
~^х6у7 при х < 0. 6.26. а) -аЬ2 Ца2Ь + аЬ \1-агЬ', б) -1т2 4-1 + 1т3 Ц-т3.
6.27. а) 200; б) 6.28. а) 0, 64; 6)16, 81; в) Л; г) 1.
Л От:
§ 7
гч гч \ Г4. ч 2 IО \ 2 бх _ . . 3 4/ Зг.3.
7.7. а) 4^; б) ? ; в) а г) 7.11. а) ^1а Ь ,
б) -р4с&. 7.16. а) ^2тп2-, б) фх4/; в) ^64/г2/5; г) ^2р3де.
5
7.17. а) 4/8; б) ^~2^’ в) ^9; г) ^243- 7-18- а) б) т+ п’
в) -^80ап&4; г) -^(х - у)2. 7.19. а) а; б) 1; в) #х; г) ^2. 7.20. а) ^3;
б) 4^3; в) 7^2; г) 3^2. 7.21. а) & + ^3; б) 5^х + 5^.
7.26. а) (72 - >/з)(>/х + б) (Т4 + Т2)(Т? - Ту1):
в) (а + &)(Та - Тб); г) Т^(1 - 7^б)(Тб + 1). 7.27. а) (Тй - з)(Тй + 2);
б) (Тт + 2)(Тйг + 3); в) (Ца + 4)(Т« + 3); г) (Тх - 1)(гТх + 1).
7.31. а) 3^-1; б) 7.32. а) -</2 ^16 < б) ТзП < Тб;
в) ТЗ > Тб?2; г) -Т2 • Тб > -Т5?2. 7.33. а) Т4, 718, ТЗ; б) 72, ^40,
74; в) Тз, ТЗО, 72; г) Тб, 712, 74. 7.34. а) ^бЖ 7100, л/зТ4;
б) ЖЖ 74, 1Т25; в) ТаТЗ, ЖЖ ТЗ; г) Ж/ГЖ Ш.
7.37. а) 2(2718 + Т§4 + 749); б) 725 - 730 + 736; в) 1(79 - 3 + 37з);
О
Г) 1(7225 + 790 + 73б). 7.38. а)
О
(у/а + у/ь - у/с)(а + Ь - с - 2у!оЬ) .
(а + Ъ - с)2 - 4аЬ
(Т2 + Тб + Тз)(Т1б - 2) _ . 75 + 7з . 9(74 - 72).
о) -< 0 • • а; л > о) 0 ,
в) 2(72 - Тг); г) + 7.40. а)ч/15-Т1б + Тб-2;б)5 + Т15 -
/10-/6 7 41 1 - Тз)(ТЗ + 2Т2)(9 + 1274 + 3272).
’ 229
б) (Тб - Тз)(7б + Тз)(Т25 + 715 + Тэ);
. (Тб - Т2)(>/2 + Т2б)(4 + 10Тб + 25Т25)
в>-------------------йт-------------------’
Г) № . + 2 + П\ 7Л2 а) 27; б) 4.
л
(\[а + у/Ь - у/с)(а + Ь - с - 2у/аЬ) • 7а(7^ - Та)
7‘4$* (а2 + Ь2 + с2 - 2аЬ - 2ас - 2Ьс)(а1 - а)
7.44. а) -1; б) 3; в) 1; г) 7.45. а) 1 + 72; б) ч/З - 1. 7.46. а) 1 - а;
б) 7Зах - Тбх; в) т - п; г) Т4х + Тбу. 7.47. а) д; б) (Ттп - >/п) .
7.48. а) 2; б) -а2Т&. 7.49. а) 8; б) 27. 7.52. а) -Т2 + 72; б) 1.
§8
8.13. а) 10; б) 4; в) 7'2; г) б3. 8.14. а) 2; б) 9; в) 8; г) 1. 8.15. а) 12;
б) 6; в) 30; г) 20. 8.16. а) 8-|; б) 7-1; в) 5; г) 6^. 8.17. а) 3^; б)
э о 4 4
8.18. а) 11; б) 0,5. 8.19. а) 0,2; б) -12. 8.23. а) а; б) с’91; в) х2; г) Ь | г.
2 6 3
8.24. а) х5; б) у; в) с2; г) аАЬ\ 8.25. а) ёу, б) р2с/ 2. 8.31. а) 1 + с;
12 11
б) т2 + т3; в) х + у\ г) -2^/Ьс. 8.32. а) 4а3&3; б) а3 + 25а. 8.33. а) х - ];
б) - V/. 8.34. а)
х + у
_ • 8.35. а) а + Ь; б)
л у
8.36. а) 0; б) 0. 8.37. а) 0,3; б) 0,3.
§9
9.14. а) 4; б) 1; в) 0, 1; г) 8. 9.15. а) (1; 1); б) (1; 1); в) (0; 0); (1; 1);
г) (1; 1). 9.16. а) 1; б) 0; в) 1; г) 0. 9.20. а) [0; 4); б) [1; +°°); в) [1; +оо);
1 1 1 _2
г) [0; 8). 9.21. а) 2х4; б) Зх; в) 1х4; г) х'2. 9.22. а) ^х’2; б) х4; в) 9х 3;
3 4
г) х-8. 9.32. а)
2
3^1&2 2х сое2 2х
б) 0,4(ТЗх^1 - с^2хГ’6
Г з
^2л/3х^1
2
зт22х
ч 3(2 СО8 X - 3 81П X) ч / 5 о3Г“ 4
в) г ; г) соз (х + 2%х - 5) 5х +
4^/281П х + 3 СО8 х
2
. 9.33. а) 1,5;
3 2 2 /ч
б) 1; в) -3; г) 2. 9.34. а) ^5 б) -1|; в) г) 0. 9.35. а) -3; б)
/2
в) 8; г) 9.36. а) 1; б) 1, 16; в) 8; г) 64. 9.37. а) х > 0; б) х > 16.
9.38. а) ^5 б) 9.39. а) у = -^х + б) у = ^-х + 1 -
в) У = ~^х + Ц’ г) У = ^-х + 1 “ 9.40. а) у = х + 3; б) у = 4 - Зх
1 2
и у = -4 - Зх. 9.41. а) у = -?х + 1; б) у = Зх. 9.42. а) у = -~х + 1;
4 о
4 1 4 1
б) у = ” о> У = ~ъх ~ 9.43. а) Убывает на [0; 4], возрастает на
о О ОО
2
[4; +°°); х = 4 — точка минимума, ут[п = -2—; б) возрастает на [0; 1],
о
убывает на [1; +°°); х = 1 — точка максимума, утйХ = 9.44. а) Возра-
стает на
Утах
1.
2’
убывает на
1
х ~ 4
точка максимума,
б) возрастает на [1; 2], убывает на [2; +°°); х = 2 — точка мак-
симума, утах
1.
2’
в) убывает на (0; 1], возрастает на [1; +°°); х = 1 —
точка минимума, утХл = 2; г) убывает на
-2;
возрастает на
4
3
4
3
4 4^6
—д — точка минимума, рт1п = ——. 9.46. а) 2; б) 2.
2
9.47. а) У найм "3? б) У наиб
8
= ~з> </МИб Не существует; г) унаим = -2,
1
2’ г/наим не существует; в) рнаим
Унаиб = 9.48. з|.
§ 10
10.1. а) 0,2 + 2,4/; б) 0,2 - 0,4/; в) 1,74 + 1,18/; г) 0,2 + 0,1/.
10.2. а) п = 4к + 1, к € б) п = 4/?, к € в) п = 4к, к € 1; г) нет корней.
10.3. а) п = 3; б) п = 9; в) и = 5; г) и = 4. 10.4. а) з3, з4, з2; б) з4, з3,
г2. 10.5. а) гп з3, г2, з4; б) 2П з3, г4, г2. 10.7. а) п = 23; б) п = 12;
в) п = 34; г) п = 34. 10.8. а) 5 ± 2/; б) ±2 - 5/; в) -15 ± 4/; г) = /,
22 = -311. 10.9. а) -1; б) 0,5(1 - 4>/з); в) 0,б(-1 + 17з); г) -0,б(1 + 17з).
10.10. а) п = 6; б) п = 11; в) 20; г) 0. 10.11. а) ±~(1 + 1); б) ±^-(1 - 1);
в) ±0,5(72 + 2л/2 - 17г72 - 2); г) ±(7о,57101 ^5 + 17о,5ч/1О1 + б).
10.12. а) 20 = 2, гх = -1 + /7з, г2 = -1 - /73; б) га = 1,5(1 + 17з), гх = -3,
г2 = 1,5(1 - 17з); в) г0 = 0,б(7з + 1), 21 = 0,5(-Тз + I), г2 = -V,
г) 20 = 2(75 - I), 2Х = -2(73 + 1), 2г = 41. 10.13. а) 20 = 1, гх = 1, 22 = -г0,
23 = -гх\ б) а0 = 0,5(72 + 172), 21 = 0,5(-Т2 + 172), г2 = -г0, 23 = -гх.
10.14. а) 20 = 1, 21 = 0,5(1 + 17з), 22 = 0,б(-1 + 17з), 23 = —20, 24 = -21,
2ь = -22; б) 2о = 0,б(73 + 0> 2Х = 1, 22 = 0,5(-73 + 1), 23 = -2о, 24 = ~2Х,
2$ = -г2; в) 20 = 1, 21 = 0,5(-1 + 17з), 23 = -0,5(1 + 17з); г) ±1.
10.15. а) сов 45° + 1 вш 45°; б) сов 145° + 1 в!п 145°; в) 72 (сов 135° +
+ 1 вт 135°); г) 73 (сов (-145°) + 1 вт (-145°)). 10.16. а) 20 = 1, 21 = сов 72° +
_ _ 1 — х/б
+ / зт 72°, х2 = соз 144° + / 81п 144°, з3 = г2, з4 = б) А = —-—,
„ 1 + 75. . _оо 75-1 . „оо 710 + 275 . 15 -75
В = —-—; в) сов 72° = ——, зш 72° = —; г) а5 = Л—,
_ 1
а10 = —5—• 10.17. а) г3 - 5а2 + 9г - 5; б) г3 - 6а2 + 13г; в), г) таких
многочленов нет, так как среди корней нет сопряженных чисел.
10.18. а) а3 - За2 - 15а + 125; б) аг + а2 + г3 = 3, 3132 + г2г3 + г3г1 = 15,
аха2аг = -125. 10.20. а) г4 + 2г3 + Зг2 + 2г + 2; б) г4 - 6г2 + 25; в) г4
- 12г3 + 61г2 - 132г + 100; г) таких многочленов нет, так как корни не
разбиты на пары сопряженных чисел. 10.21. а) ах - 2, г2>3 = ±/; б) ах - -3,
г2>3 = ±/л/5; в) 21 = 1, г2)3 = -2 ± /; г) ах = -10, г2)3 = 3 ± /. 10.22. а) г1>2 = ±1,
г3.4 = ±/; б) гх = 1, г2 = 2, г3<4 = ±21; в) г1<2 = ±3, г3<4 = ±21; г) г! = 2, г2 = 3,
г3,4 = ±/.
ГЛАВА 3
§11
1 1 11
11.23. а) 2’Л 2’2, 1, 25, 273, 2й; б) 0,39, 0,32, 0,33, 1, 0,3’Л 0,3 9
11.24. а) (Тз)’72, 1, (ТЮ3, (Тз)1’2, (х/з/2, (ТзУ3; б) (Тз - Т2)°'‘,
,-Г .Г? ХГ-Х-0-2 Г1) I 1Т Г1)5 ГИ6
(ТЗ-Т2), (ТЗ-Т2) . 11.25. а) ’
11.28. а) Возрастает; б) возрастает; в) убывает; г) возрастает. 11.29. а) Убы-
вает; б) возрастает; в) возрастает; г) возрастает. 11.30. а) Убывает; б) убы-
вает; в) возрастает; г) убывает. 11.35. а) 9, 8^-; б)
О1
121 5^; В) Ю,
О э
9-1; г) 29, 131 11.36. а) -3, -4^; б) 522, 26; в) 5, 4-1; г) -7, -11|.
49 2 4 9 5
11.44. а) (0; +оо); б) (0; +оо); В) (0; +°°); г) (0; +°о). 11.45. а) (1; +оо);
б) (6; +°°); в) (-2; +оо); г) (-8; +°о). 11.46. а) (4; 8) О (8; +°°); б) (-3; +°°);
в) (-5; +оо); Г) (5; +°°). 11.47. а) (-3; +оо); б) (-2; +оо); в) (2; 4) и
О (4; +оо); Г) (1; +оо). Ц.51. а) /(-3) - -8, /(-2,5) = -6,5, /(0) = 1, /(2) = 4,
/(3,5) = 8х/2. 11.52. а) /(-3) = /(-2,5) = /(0) = 1, /(1) = 0, /(2) = -3.
11.53. а) /(-5) = 32, /(-2,5) = 4^2, /(0) = 1, /(4) = 3, /(1,69) = 2,3.
11.54. а) /(-3) = 64, /(-2) = 16,
/[-|] = 8, /(0) = 1, /ф = 4’
/ о \ 1 23
/ = 0. 11.60. а) -4; б) 5; в) г) 11.61. а) 1; б) -1; в) 1; г) -1.
11.62. а) 2; б) -2; в) 0; г) -1. 11.63. а) 1; б) -1; в) 1; г) -1. 11.64. а) 1;
б) 2. 11.65. а) 1; б) 1; в) -4; г) 2. 11.66. а) 1; б) 0; в) 0; г) 1. 11.69. а) х >
1 9 25
б) х < в) х < Уб? г) х > 11.70. а) х > 0; б) х < 0; в) х > 0; г) х < 0.
11.71. а) (-ОО; 4-00); б) (0; ±ОО); в) (-ОО; 4-00); г) (-оо; +оо). Ц.72. а) X < -1;
б) таких значений нет; в) х > 0; г) х < 1. 11.73. а) х > 1; б) х > -1; в) х < 1;
г) х < -1. 11.74. а) х < 0, х > 1; б) -1 < х < 0; в) 0 < х < 1; г) х < -1,
х > 0. 11.75. а) < х < оо; б) х < 0, х > 0; в) нет решений; г) х = 0.
11.76. а) х < 0; б) х > 0; в) х < 1; г) х < -1. 11.77. а) х > 1; б) х > 0;
в) х > 0; г) х = 0. 11.78. а) 31; б) 9.
§12
12.5. а) -2; б) -8; в) 2; г) 0,2. 12.6. а) ±1; б) 0; в) ±1; г) ±>/3. 12.7. а) -2;
б) 1,5; в) 3; г) |. 12.8. а) -1; б) 3; в) 2,5; г) -6, -2. 12.9. а)
12.10. а) -1, 3; б) -2, 4; в) -1, 7; г) -1, 4. 12.11. а) 2; б) 1; в) 2;
г) 3. 12.12. а) 2, 5; б) ±2; в) 8; г) 3. 12.13. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 12.14. а) 0;
б) 4; в) 0; г) 2. 12.15. а) -1; б) 1. 12.16. а) 14; б) 0,5. 12.17. а) 1; б) 1;
в) -3; г) 0,4. 12.18. а) -0,5; б) 2; в) 0; г) -0,25. 12.19. а) 1; б) -2;
в) 3; г) 3. 12.20. а) 0,5; б) 0,5; в) 2; г) 2. 12.21. а) 1, 2; б) 2; в) -1; г) 0.
12.22. а) ±1; б) ±1; в) 1; г) 1. 12.23. а) ±1; б) 1; в) 1; г) 1. 12.24. а) 3;
б) -3; в) ±1; г) -2. 12.25. а) ±2; б) ±2. 12.26. а) 6; б) 5. 12.27. а) -4, 2;
б) -1,5, 1. 12.28. а) 1; б) -0,5. 12.29. а) ±1; б) ±1. 12.30. а) ±1; б) -2.
12.31. а) 0; б) ±0,5. 12.32. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 12.33. а) 0; б) 0,25; в) 2;
г) 0,5. 12.34. а) 2; б) 1, 2. 12.35. а) -0,5, 2; б) -3, -2. 12.36. а) 4, -1;
б) 1, 3. 12.37. а) 1; б) -1; в) -1; г) 1. 12.38. а) 0; б) -3. 12.39. а) а > 0;
б) а > -3; в) а < 0; г) а * 0. 12.40. а) а < 3, а > 27; б) а > -1. 12.41. а) а =
9
а = 2’ 0 < а < 4; б) -0,5 <а<0, 4<а< 4,5. 12.42. а) т = -2, т = 0.
12.43. а = ±1. 12.44. а) (1; 3); б) (1; -2); в) (2; 1); г) (-1; 3). 12.45. а) (2; 1);
б) (-0,6; 0,2); в) (-1; 2); г) (2,2; -0,4). 12.46. а) (5; 1); б) (0; 1). 12.47. а) (1; 3);
б) (1; 3).
§13
13.5. а) х < -5; б) х > -1; в) х > 7; г) х > 1. 13.6. а) х < -0,8; б) нет
решений; в) х > -5; г) -оо < х < +оо. 13.7. а) х > 0,5; б) х < 0,25; в) х > -0,5;
г) х > 13,5. 13.8. а) 2 < х < 3; б) -2 < х < 3; в) -2 < х < 0,5; г) 4 < х < 6.
13.9. а) -оо
х
х
4.
< +оо; б) х < 1, х > 3; в) -2 < х < 1; г) <
13.10. а) х < -0,5; б) х > 2; в) х > -0,5; г) х > -2. 13.11. а) х < 2; б) х < 2;
в) х < 2; г) х > 2. 13.12. а), б) 2, 3, 4, 5, ...; в) 2, 3, 4;
г) 8, 9, 10, 11, ... . 13.13. а) 1 < х < 3; б) -2 < х < 1. 13.14. а) х < -2, х > 1,5;
б) < х < 2; в) -6 < х < 1,8; г) х < 2, х > 6. 13.15. а) х > -3; б) х < -6,
.2 1
х > -1-$: в) х > 8; г) х < -6, х > 8. 13.16. а) 0 < х < 4; б) 0 < х <
о <
в) 0 < х < 2; г) х < х > 0. 13.17. а) х < 2, х > 3; б) х < 4, х > 3;
° Ч 1 9 4 1
в) -1 < х < 5; г) -2 < х < 3. 13.18. а) х < 2^, х > Зу, б) -9^ < х < -8у
4 4 3 3
в) х < 2; г) х < -2, х > 2. 13.19. а) -16 < х < -5-^; б) х < 6, х > 18;
3
2 2
в) х < 4,5; г) х < зр х > 13.20. а) 2; б) 3; в) 2; г) 1. 13.21. а) -1;
б) 1; в) 0; г) -1. 13.22. а) 5; б) 3; в) 5; г) 2. 13.23. а) х > 0; б) х > 0; в) х > 0;
9 1
г) х < 0. 13.24. а) х < 2; б) х < 1; в) х < -1-^; г) х < 13.25. а) х > -0,5;
б) х < 2; в) х > 0; г) х > -0,25. 13.26. а) х > 1: б) х < 0. 13.27. а) 0 < х < 1;
б) х > 0; в) х < 0, х > 1; г) х > 0. 13.28. а) х > 0; б) х > -^5 в) х < 0; г) х > 1.
13.29. а) х > 0; б) х > 1о§1 3; в) нет решений; г) х < 0. 13.30. а) х < 0;
2
б) -оо < х < +°о; в) х > 1; г) х < -2. 13.31. а) х < -1, х > 1; б) -1 < х < 1;
в) х > 1; г) х < 1. 13.32. а) 1-| < х < 2-|; б) -1 < х < 1; в) х < —т, х > ~4;
3 3 4 4
г) -2 < х < 2. 13.33. а) х < 2, х > 4; б) 0 < х < 2; в) -2 < х < 4; г) х < -2,
х > 2. 13.34. а) х < 1; б) х < 0; в) х > -2; г) х > 1. 13.35. а) х < 2; б) х > 1.
13.36. а) х < 1; б) х > -2. 13.37. а) х < 0, х > 1; б) 0 < х < 1. 13.38. а) х < 2;
б) х > -2. 13.39. а) х = 1; б) —ОО < X < +°О. 13.40. а) 1 < х < 4; б) х < -2;
1 3
в) -1 < х < 1; г) 0 < х < 1. 13.41. а) х > 2^ б) -2 < х < в) х > 0;
г) —| < х < 13.42. а) х = -2, х > 3; б) 3 < х < 5, х > 5; в) х < -2;
г) х > 2. 13.43. а) 6 < х < 8; б) < х < 1. 13.44. а) х < -72, 72 < х < 3;
б) -75 < х < 75, х > 3. 13.45. а) 3 < х < 4; б) -5 < х « 2.
13.46. а) 1 < а < Ц; б) -1 < а < 7.
§14
14.5. а) 4; б) 5; в) -2-1; г) -6. 14.6. а) 0; б) 2,5; в) 9; г) 14.7. а) 2;
О &
б) 1,5; в) -1,5; г) -2,5. 14.8. а) 5,5; б) 1 - 2>/3; в) 9,6; г) 6. 14.9. а) 1;
б) 1; в) -2; г) 1. 14.10. а) 1; б) 2. 14.11. а) 0; б) 1. 14.13. а) 72; б) 28;
5 4 , 4 710 1
в) д! г) 24,5. 14.14. а) у^д! б) 8; в) 1 5 г) 14.15. а) 9; б) д', в) 16;
г) ур 14.16. а) 62,5; б) 8; в) 0,05; г) 0,1. 14.17. а) б72 + 4; б) 273 - 144;
в) 4 - 72; г) 4 + 72. 14.23. а) 1о^з14 - 1; б) . в) 3 _ Ц;
5 7
Г) 8~1°е^6. 14.24. а) ±710^2 7-1; б) ±71оёз 2; в) ±72 - 1ё 3;
г) ±^31о&8 10 - 3. 14.25. а) 1, 1о&> 3; б) 0, 1о&4 5; в) 1, 1о&3 4; г) 1, 1о^7 2.
14.26. а) -1, 10^3 2; б) -1, 1о^5 3 - 1; в) -1, 1о^2 5 - 1; г) -1, -1о^2 6.
14.27. а) х > 1о&2 9; б) х < 1о^Х2 7; в) х > -1о&3 4; г) х < -1. 14.28. а) х >
> 1о&3 14 - 1; б) х > 1о^5 + 4; в) х > 3 - 1о&2 И; г) х > —| 1о^5 6 +
14.29. а) х < 1, х > 1о&2 3; б) 0 < х < 1о&4 5; в) 1 < х < 1о&3 4; г) -оо < х < +°о.
14.30. а) х = 0 при а < 0; х4 = 0, х2 = 1о&2 а при а > 0; б) при а < -2
решении нет; х = 1о&3 (а + 2) при -2 < а < 1; Х1 = 1о&3 (а + 2), х2 = 1о&3 (а - 1)
при а > 1.
§15
15.8. а) (-оо; 2) и (3; +оо); б) (-7; 2); в) (-оо; 1) и (12; +оо); г) (-1; 9).
15.9. а) (-оо; 2) и (3; +оо); б) (0; 1); в) (0; 2) и (3; +оо); г) (1; +оо).
15.17. а) 1о^2 0,1, 1о&2 1о^2 0,7, 1о&2 2,6, 1о&23,7; б) 1о&о,з 17, 1о^о,з 3,
2 1 Г1 “I
1о$0,3 2,7, 10^0,3 з> 1о^о,з 2’ 15 * * * *-20- а) II’ 81р б) [2; 81- I5-21- а> "1’
б) 0; в) 0; г) -2. 15.22. а) 7; б) -5; в) 2; г) -1^. 15.23. а) -2; б) 1о& 5; в) -2;
г) - 1о&0,2101. 15.26. а) у > 0; б) у > 0; в) у > 0; г) у > 0. 15.27. а) у < -1;
б) у < 0; в) у < 0; г) у < -2; 15.28. а) у > 7; б) у > -5; в) у > 2; г) у > -1-|.
15.29. а) 1; б) 1; в) 1; г) 1. 15.30. а) 3; б) в) 5; г) 15.31. а) — г) Нет
решений. 15.40. а) /(-8) = 27, /(-6) = 21, /(0) = 3, /(3) = -1, /(9) = -2.
15.45. а) х > 1; б) 0 < х < 1; в) 0 < х < 1; г) х > -н- 15.46. а) 0 < х < 2;
б) х > 0. 15.47. а) х > 1; б) 0 < х < 1; в) 0 < х < 1; г) х > 1.
15.48. а) 0 < х < 3; б) х > в) х > 5; г) 0 < х < 15.49. а) х > 2;
б) 0 < х < 3; в) -2 < х < 0; г) х < -3. 15.50. а) < х < 1; б) 0 < х < 1;
в) г > 1; г) х < -1.
§ 16
16.7. а) 4; б) -1,5; в) -12; г) 3. 16.8. а) з|; б) -1; в) Й; г) 2,5.
о о
16.10. а) 5; б) 22. 16.11. а) 3; б) 2. 16.12. а) 20; б) 3,2; в) 24; г) Д.
От
16.13. а) 64; б) 49; в) 9; г) 216. 16.14. а) 27; б) 169; в) 9; г) 625. 16.15. а) 18;
о
б) 5; в) 35; г) 3. 16.16. а) 3,5; б) 2уу; в) 2; г) 3,5. 16.17. а) 1; б) 1; в) 1; г) -4.
16.18. а) 3; б) 2; в) 1; г) 1. 16.19. а) -1; б) 1; в) 1; г) 1. 16.20. а) 0; б) 0;
в) -тр г) 0. 16.21. а) 1о&34 < ^9; б) 1о^0)5 3 < 81п 3; в) 1о&2 5 > $7;
г) 0,2 < соз 0,2. 16.22. а) 1о2з 4 > ^2; б) 1о^2 3 < ^7. 16.23. а) 4а; б) т + 1;
в) Ъ - 1; г) -2(1, 16.24. а) т + и; б) 2ги + и; в) т + Зи; г) 2ги + Зи.
16.25. а) с + а; б) 1 - с - а; в) 2с + а; г) 2с - 16.36. а) 2; б) 2; в) 3;
г) 5. 16.41. а) 0; б) 2; в) 0; г) -1. 16.42. а) 20; б) 4; в) 16,5; г) 18. 16.43. а) 68;
б) 44. 16.44. а) 32; б) 2. 16.45. а) 2; б) 16.46. а) 6; б) 6. 16.47. а) -1;
о
б) 2. 16.48. а) 890; б) 0,6. 16.49. а) 80; б) 1у. 16.52. а) 1, 1о& 3, 1о&> 7;
б) 1ойз 0,5,1ё 1, 1ой0,5 0,1; в) 1ое3 1,1О& 4,1о§7 9; г) 1о§7 0,6,1о§21,1ойо,2 0,3.
16.53. а) 1о&4 0,9,1О& 1.1ое? 3, 1О&, 10; б) 1о^0,э 5. 1ое0,1 Ю, 1ое6 0,7,1ое0,61.
2 23 4 1 + 2а 1 + За
16.54. а) &', б) —в) г) —$• 16.55. а) а; б) —$—5 в) 2а; г) —$—•
.с л 1х ка 2& + а. . Ь. . За + Ъ с_ . а + Ъ
16.56. а) 1+ от» б) ; в) --; г) т—. 16.57. а) —г—;
ла а + о а о о
2а+ Ь. . 1, 1 2 + Ь а + 3 1 + 2&
б) —з~; в) + г) 16.58. а) ^2’ б)
Ъ 2 - а За - Ъ + 5 а + 1
16.59. а) —а, б) 16.60. а) +Л > б) 16.61. а) 10&1 Ь;
б) 1ога&. 16.62. а) а1'®6; б) 1оеаб. 16.65. (-3; -3).
§17
17 .3. а) 3,5; б) 1^; в) 4; г) 2. 17.4. а) ±| + 2лп, п е 2-, б) + ^п,
п е 2; в) (-1)п + тт, п е 2; г) (-1)л + тт, п е 2. 17.5. а) -7, 3; б) -4, 3;
в) 5, 7; г) -5. 2. 17.7. а) 10; б) 2; в) -10; г) нет корней. 17.8. а) ±5; б) 4,
4
5; в) ±6; г) -3, 2. 17.9. а) -0,8; б) 0,5; в) г) нет корней. 17.10. а) 8;
б) 2±; в) 8; г) 80. 17.11. а) 0,5; б) 10; в) -4; г) нет корней. 17.12. а) 4;
4
б) 2, 3; в) г) 2. 17.13. а) Нет корней; б) 4; в) 7; г) нет корней.
17 .14. а) 2; б) 3. 17.17. а) 3; б) нет корней; в) 4; г) -1. 17.18. а) 1; б) нет
корней; в) 2, 4; г) -4. 17.19. а) 5; б) 6, -12. 17.20. а) 5; б) 3. 17.21. а) 17;
б) ±2; в) г) ±72. 17.22. а) 2, 8; б) 16; в) 2, 4; г) 0,04, 125.
17. 23. а) -7=, -X; б) 74, 16; в) 0,0081, г) 4. 17.24. а) 100;
75 о
б) 81; в) 10; г) 32. 17.25. а) 0,1; б) 0,01, 100; в) -100; г) 100, 10 9.
17.26. а) 0,25; б) 3; в) 2; г) 0,0001. 17.27. а) Нет корней; б) 9; в) 710, 10;
г) 0,0001. 17.28. а) 16; б) 27. 17.29. а) 3; б) 5, 25; в) 343, ^5
г) 2, 512. 17.30. а) 2^, 2~д-, б) 2. 17.31. а) 2, б) 9, 17.32. а) 2;
б) 2, 8. 17.33. а) $, 9; б) 4; в) 4; г) 9. 17.34. а) 0,1, 1000;
б) 0,125, 2; в) т>; г) 17.35. а) 1; б) 2, тр 4, 17.36. а) 6;
б) Ю72 17.37. а) 0, 1; б) 0, 1. 17.38. а) 10; б) 0,1, 105. 17.39. а) -1,
10"
О
-2^, 3; б) 1, 2. 17.40. а) (1; 1), (2; 4); б) (-12; 31), (2; 3). 17.41. а) (2; 3),
о
(3; 2); б) (3; 6); в) (4; 1); г) (4; 4). 17.42. а) (1; 3), (3; 1); б) (2; 1); в) (1; 2);
г) нет решений. 17.43. 2.
§ 18
18.4. а) 1| < х < 2; б) х > 1; в) 1,8 < х < 9; г) 1 < х < Й. 18.5. а) 1,8 <
О о
< х < 5; б) —< х < 7; в) х < 0; г) х < -1. 18.6. а) 4,2 < х < 7;
б) 1,5 < х < 3-1; в) з| < х < 5; г) | < х < 5. 18.7. а) 2; б) 1; в) 3; г) 6
6 4 у
18.8 . а) 2 < х < 3; б) нет решений; в) -10 < х < -2л/2; г) х > 14.
18.9 . а) х < -3, 2 < х < 6; б) 2 < х < 11; в) нет решений; г) ЗТЗ < х < 9.
3 1
18.10 . а) 3 < х < 4; б) х > 1-^. 18.11. а) х < -1, х > 8; б) х < -1, х >
в) 2 < х < 4; г) 0 < х < -5» 1 < х < 1~.
У У
2 1
18.12. а) х < х > 2-±; б) -1
о о
3 ^4 г- г- г-
< х < 0, 3— < х < 15-—; в) 7 < х < 1; г) -77 < х < -л/б, -72 < х < О,
о о *
0 <х<у/2, л/5 < X < х/7. 18.13. а) 6; б) 0; в) 2; г) 4. 18.14. а) 0 < х < 1,
3 < х < 4; б) 1 < х < 6; в) 2 < х < 5; г) 0 < х < 1, 9 < х < 10.
18.15. а) 4 < х < 6; б) 1 < х < 2, х > 4; в) х > 44; г) х > 3. 18.16. а) 2 < х < 5:
б) -2 < х < 3. 18.17. а) 0 < х < 2, х > 8; б) 2 < х < 4; в) < х < 16;
г) ° < х < х > 125. 18.18. а) -0,9919 < х < -1 + ^з|
б) нет решений;
в) < х < -^ + х > 4; г) < х <27. 18.19. а) < х < 16;
б) 1| < х < 1 + в) х > 0; г) 5'5’75 -1 < х < -0,96. 18.20. а) -3;
2 1л-
б) -28; в) 1 < х < 4, х > 28; г) -4-= < х < 22. 18.21. а) 0 < х < х > 72;
О
б) < х < х > 2; в) 0 < х < 2, х > 4; г) < х < 15 625.
18.22. а) 0 < х < 1, х > 16; б) 0 < х < х > 10; в) 0 < х < 0,01,
0,1 < х < 1000; г) 0 < х < ^, х > ^. 18.23. а) -2 < х < 2; б) -л/б < х < -^2,
л/2 < х < л/б. 18.24. а) -1 < х < 3; б) -5 < х < -1. 18.25. а) х > ^5 б) | <
1 5
< х < 1; в) 2 < х < 14; г) -4-± < х < 2-±. 18.26. а) 5; б) 2; в) 3;
г) 1. 18.27. а) 10; б) 3. 18.28. а) 2; б) 511. 18.29. а) | < х < б) -1$ <
1 12 2
< х < -1; в) х < г) х < 4. 18.30. а) $ < х < х > 1$; б) 2 < х < 3,
х > 5. 18.31. а) 1 < х < 3; б) 1 < х < 3. 18.32. а) 2 < х < 3, 3^ < х < 4;
о
9 Л Л
б) 1д < х < 2. 18.88. а) + 2тиг < х < 2яп, 2тт < х < $ + 2яп, п 6 2;
б) 2пп < х < + 2яп, + 2тт < х < я + 2яп, п е 2; в) + 2лп <
я я 5 „ ч я я
< х < 2 + 2яп, 2 + 2яи < х < $я + 2яп, п € 2; г) + 2тт < х < +
+ 2тт, + 2пп < х < + 2яп, п € 2, 18.34. а) —| + 2яп < х < + 2яп,
-н + 2пп < х < + 2яп, п € 2\ б) —+ 2яп < х < + 2яп, п е 2.
4 о о о
18.35. а) -л/12 < х < -2, 2 < х < 712; б) 0 < х < 3, 3-^ < х < >/10; в) х > 1;
о
г) х < ->/10, 3^ < х < 4. 18.36. а) < х < 1, х > 2; б) 0 < х < 1, 5 < х < 25.
18.37. а) 0 < х < 1, х > 4; б) 0 < х < 1, х > 7. 18.38. а) -3 < х <
б) х < -4, х > —$• 18.39. а) <х<^, 1<х< 2^; б) 0 < х <
| < х < 1, х > 25. 18.40. а) х > 2; б) 0,25 < х < 0,8. 18.41. а) х > 5; б) <
< х < 2. 18.42. а) Нет решений; б) 1 < х < 3. 18.43. а) 0 < х < х > 1;
б) -2 < х < 3. 18.44. а) 3 < х < 3^, х > 4; б) 2 < х < 5. 18.45. а) 3 < х < 9;
б) < х < тр в) 0 < х < 2,50,3 - 1; г) 3 < х < 4; х > 6. 18.46. а) 0 < х <
1 < х < 1^; б) -1-^ < х < -1, | < х < 0. 18.47. а) х > 3; б) 0 < х < 1;
1 < х < 2.
§19
4 4е 1
19.7. а) б) -у; в) -9,9; г) 19.8. а) -1; б) -1; в) 5 - е; з) 3.
я 3 3 я 13 9
19.9. а) б) я; в) -^я; г) 19.10. а) -5; б) —$; в) у*, г) нет решений.
19.11. а) (-оо; +ОО); б)
°°; -2); г)
19.12. а) у = ех;
О I
х 2
б) у = е2х - е2; в) у = х + 1; г) у = — + -• 19.13. а) у = Зх; б) у = 0,5;
в) у = -2х + 2; г) у = 1. 19.14. а) Да; б) нет. 19.15. а) у = 2х -
б) у = -2х + 3. 19.16. а) у = 2ех. 19.17. а) у = -|х; б) у = ^х.
19.18. а) Возрастает на (-оо; -2] и на [0; +°°), убывает на [-2; 0], х = 0 —
точка минимума, х = -2 — точка максимума; б) возрастает на [-0,5; +°°),
убывает на (-оо; -0,5], х = -0,5 — точка минимума; в) убывает на (-оо; -3],
возрастает на [-3; +°°), х = -3 — точка минимума; г) убывает на (-°°; 1],
возрастает на [1; +°°), х = 1 — точка минимума. 19.19. а) Возрастает на
и на [0; +°°), убывает на
х = 1п — точка макси-
мума, х = 0 — точка минимума; б) убывает на (-°°; 0] и на [1п 1,5; +°°),
возрастает на [0; 1п 1,5], х = 0 — точка минимума, х = 1п 1,5 — точка
1 4
максимума. 19.20. а) 0, е; б) 0, е; в) ; г) е, 9е3. 19.21. а) а € (-7; -1] и
и [0; 6); б) а € (-1; 0); в) а € (-оо; -7] и [6; +°°); г) нет таких а.
2(х - 1) 1п (х - 1) - 2х 1п х
х(х - 1) 1п2 (х - 1)
2 + СО82 X
81п2х + ХСО82х’ Г) 5х1п2
19.29. а)
х(1 + х)1п2х
_ „„ , бх4 + 3 „ 61п(3х- 4) .
1930 *> 57-^ «Я з«-4 ’> '
19.32. а) у = 4х - 3; б) у = х - 1; в) у = -4х + 2е; г) у = х - 1.
19.33. а) у = х + 1п 3 - -^5 б) у = 1,5х + 1п 2 - 1,5. 19.34. а) у = ^х;
3
б) у = —х. 19.35. а) -1; б) -1. 19.36. а) Убывает на (0; 1], возрастает на
[1; +оо), х - 1 — точка минимума; б) убывает на (0; 1], возрастает на
[1; +°°), х = 1 — точка минимума. 19.37. а) 1, е - 1; б) е - 1, е2 - 2.
19.38. а) Возрастает на (0; 2] и на [3; +оо), убывает на [2; 3], х = 2 —
точка максимума, х = 3 — точка минимума; б) возрастает на [1; +°°),
убывает на (0; 1], х = 1 — точка минимума. 19.39. а) -4 + 1п 4, -1; б) 1,
4 - 1п4. 19.40. а) 1, 5,75; б) 0, 12. 19.41. а) Нет, 1; б) е, нет.
19.45. 12. 19.46. гь г3, г2, г4.
ГЛАВА 4
§ 20
20.16. а) х; б) х; в) соз 2х; г) х - 2х. 20.17. а) ~ соз 7х;
11111 х5
б) т;Х - — зш Юх; в) - зт бх; г) соз бх - ъ соз 4х. 20.18. а) у = -з—
& 33 о 12 о о
х13
- х3 + С; б) у = х - соз х + С; в) у = -гз— х8 + С; г) у = зт х - 9х + С,
1 о
13 х2 9 -4
20.19. а) у = —- + ~х- + С; б) у = — - соз х + С; в) у = — - 2х2 + С;
Л- Л/ Л-
5 3
г) у = — - зхп х + С; 20.20. а) х3 - 2х2 + 19; б) + х - 8,5; в) х4 * +
5 15 3
+ х3 - 14; г) х2 + — - 20.21. а) -соз х + ^; б) 5х - 2; в) зхп х + 0,5;
г) -3 + 3. 20.22. а) -4 соз х + 3; б) зхп х + 15; в) зхп х + 7; г) зхп х +
+ 14. 20.23. а) х + 5 - >/3; б) -2 с1^ х - 1; в) 2х + х + 4 + +
+ г) -с!^х - Юх - 21 - 20.24. а) -созх + 21 -
о о о
./о х/з
б) зхп х - 9,5; в) -соз х + 10 - —; г) зхп х - 6 - -5-. 20.25. а) Е(х) =
л л
х6 *
= ~- + х3 - 16; б) ^(х) = -14 соз X + 23; в) /?(х) = 2е5х ’4 + 3; г) ^(х) =
= 1 - -|1п(2 - Зх). 20.26. а) Е(х) = созх - 14,5; б) Р(х) = —соз 4х +
1 23
+ соз 2х + 4$; в) Е(х) = —зхп х + 5,5; г) Р(х) - зхп 2х + 2 зхп х.
20.27. а) Р(х) = 8х/3х - 6 + х - 25; б) Р(х) = -^бх + 4 - 8х - |.
о о
л л
20.28. а) -5, 1, 5; б) -2, -1, 1. 20.29. а) % + пп, п € И; б) (-1)п $ + 2лл,
1 7
и € И. 20.30. а) -Зх2 + 7х - б) -х2 + Зх + 7. 20.31. 4. 20.32. а) х2 +
9 4 29
+ 3х + 2,25; б) (Зх - I)4. 20.33. а) х2 + ^5 б) ^х4 + 20.34. 8.
4 2 ______
20.35. 8 = I2 + I - 1. 20.36. 8 = $ соз 3* + 20.37. 8 = -6у]21 + 1 + 9.
20.38. 8 = |(1 + О'* + + |» V = |(1 + Г)8 + 20.39. а) 5; б) 5; в) 7;
г) -2. 20.40. а) Р(а) < Р(Ь)-, б) Р(а) > Р(Ь)-, в) Р(а) > Р(Ь)-, г) Р(а) > Р(Ъ).
20.41. а) х = -3,5 — точка максимума, х = 1 — точка минимума;
б) х = 5 — точка минимума; функция убывает на (4,8; 5] и воз-
растает на [5; +°о); в) экстремумов нет, функция возрастает на
[0, +°о); г) х = -2 — точка максимума, х = 2 — точка минимума;
функция возрастает на (-оо; -2) и на [2; 2,5), убывает на (-2; 2].
20.44. а) 1% х + С; б) зш 2х + С; в) -с!& х + С; г) —| соз 2х + С.
20.45. а) зш 4х - зш 8х + С; б) —| соз х - соз 7х + С; в) зш 2х +
+ зш 8х + С; г) —соз Юх + соз 6х + С. 20.46. а) -^х - зш 2х +
+ С; б) |х - зш 2х + зш 4х + С; в) -^х + зш 2х + С; г)
11 2
+ зш 2х + $2 з1п 4х + С. 20.47. а) -2 с!& 2х + С; б) ~ %х +
3
8
§21
21.2. а) б|; б) 4>/2 - 5,5; в) 8,2; г) -1|, 21.3. а) 2()|; б) 12-1;
О ООО
с.
в) -4;
1 к 1
г) -2,5. 21.4. а) 2; б) 1-=. 21.5. а) 9; б) 47; в) 34^; г) 7,5. 21.6. а)-2-±;
о О О
б) 1|; в) 2±; г) -24-|. 21.7. а) 1; б) 2; в) 2; г) 1. 21.8. а) б) ДД
в) з(7з - 1); г) 2-|. 21.9. а) -0,4; б) - Д; в) Д; г) п. 21.10. а) 4,5;
О о 4 о
б) -2; в) 0,25; г) 1,5. 21.11. а) 1; б) 3 - 0,5л - ч/З; в) -Д + 1; г) +
+ 2 - 21.12. а) Дл; б) - Д; г) -2. 21.13. а) Д -1;
б) л/3 - 1; в) -Д + г) л/3 - 1. 21.14. а) 18^; б) |(3х/3 - 1); в) 871;
Л Л Э о "
г) |(2 - $3). 21.17.а) 1п2; б) е2 - е + 1п 2; в) 0,11п 2; г) 4(е4 - е2) + 2 1п 2.
О *
1 1 11 1 9 4
21.18. а) 2 1л 2,2; б) $ 1п -у; в) 1п 3; г) 1п 4. 21.19. а) 19|; б) 4-|.
21.20. а) 2 - б) 3. 21.21. а) + 15; б) 1п 2 + 21.22. а) 7^; б) б|;
9 11
в) 10-=; г) 14-==. 21.23. а) 4; б) 11; в) 3; г) -5. 21.24. а) 9,5; б) 6,5.
о оС1
21.25. а) -3; б) 1,5. 21.26. а) 0; б) 0. 21.27. а) 4; б) 6. 21.28. а) 1; б) 6; в) 25;
г) 7. 21.29. а) ^П, п е 7; б) 5 п е 7; в) %п, п е 7\ г) п е 7.
21.30. а) 2; б) -2, 2. 21.31. а) 3; б) 5. 21.32. а) -1; б) 1.
21.33. а) -1 < х < 1; б) 0 < х < 1, х > 3; в) -1 < х < 1; г) х < -6, х > 1.
ТС ТС ТС ЗтС
21.34. а) “з + 2пп < х < $ + 2тслг, п € 2; б) $ + пп < х < + тсп,
п ч 2тс тс „ ч 5тс 7тс
п € в) —$- + 2тсп < х < —з + 2тсп, п € 7; г) у + 4тсп < х < -$- +
+ 4тсп, п €7. 21.35. а) I = 1; б) нет корней. 21.36. а) 0 < I < б) -4 < I < -1,
I > 6. 21.37. а) 4л; б) | + 1; в) г) + 16^3. 21.38. а) 2л;
ТС
б) 21.39. а) 6,5; б) 18,5; в) 8,5; г) 11,5. 21.40. а) 12; б) 1,2; в) 27;
г) 6. 21.41 а) 4; б) 3. 21.42. а) 96; б) в) э|; г)
21.43. а) 2Й; б) 20^; в) 9; г) б|. 21.44. а) 8; б) 10-|; в) 10-|; г) 6.
21.45. а) б) 4; в) |; г) 4. 21.46. а) 1; б) в) х/2; г) >/2. 21.47. а) л + 1;
б) л; в) + 2; г) 2х/3. 21.48. а) 14; б) 18; в) 7^; г) 2. 21.49. а) 4,5;
2 о
19 9 19 тт2
б) Ц; в) 10^; г) 4,5. 21.50. а) 2^; б) 21-±; в) 2-^; г) 9. 21.51. а) 1 +
3 3 ооо о
2 2 2 1
б) 1 + в) 1 + г) 2 + 21.52. а) тс - ун; б) 7тс. 21.53. а) 5±;
О О Л 0
12 9 9
б) -г; в) о; г) 2-=. 21.54. а) 16; б) 54. 21.55. а) 8,5; б) 12-=. 21.56. а) е3 - 1;
т: О 0 3
е4 — 1 р2 — 1 (р — II2
б) —^4—5 в) —-—; г) е2 - 1. 21.57. а) -—б) е - 2; в) е2 + 1; г) 2(е2 - 1).
1 2
21.58. а) 1; б) 1п 3; в) 2; г) $ 1п 10. 21.59. а) е3 - е2 + 1п б) 4 - 1п 5;
14 12 9 2
в) -з - 1п 4; г) г - 2. 21.60. а) 2 + б) 21.61. а) - 1,5;
б) - 2. 21.62. а) 2е - 1; б) ^7 - 21.63. а) 14; б) 36; в) 2^;
1п 2 31 31п 3 4
г) 21.64. а) 2; б) 1; в) г) I- 21.65. а) 2±; б) 2± 21.66. а) 1б|;
о о 0 о 3 3 3
1 1 тс 4 1 тс 4 4
б) б| 21.67. а) 2 - б) л + в) 1 ’ 65 г) л + 3' 21'68' а) 4’5;
б) 4,5. 21.69. а) 20|; б) 14-^. 21.70. а) б) 2,25. 21.71. а) б|; б)
3 1 11 /я
21.72. а) б) у2« 21.73. а) б) 21.74. а) б)
21.75. а) 6,75; б) 6,75. 21.76. а) 8, ^5 б) -11,
ГЛАВА 5
§ 22
22.1. а) 1; б) 1; в) 0; г) 0,5. 22.2. а) 0,5;
б) 0,5; в) 0,25; г) 0,25
22.3. а) 0,01; б) 0,38; в) 0,25; г) 0,01. 22.4. а) То, что оно отрицательно
б) то, что оно больше -3; в) то, что оно не целое; г) то, что оно больше 5
22.5. а) 0,1; б) 0,001; в) 0,65; г) 0,25. 22.6. а) 0,5; б) 0,5; в) 0,2; г) 0,21
22.7. а) 0,25; б) 0,5; в) = 0,28125; г) = 0,1545. 22.8. а)
24 24 - 4л
« 0,3; б) 0,16; в) 1 - « 0,7; г) —« 0,145. 22.9. а) 0,25; б) 0,25,
./‘Э 4- 9
в) 0,75; г) « 0,539. 22.10. а) 0,5; б) 0; в) 0,5; г)
= 0,789.
20 10 36
22.11. а) 1; б) ^21 = 0,165; в) в 0,083; г) 121 " 0,297. 22Д2‘ а) °,25;
23 7
б) 0,5; в) 0,5; г) 0,25. 22.13. а) 0,25; б) 0,75; в) » 0,719; г) = 0,4375
22.14. а) 0,5; б) в) « 0,573; г) 3 г- = 0,515.
22.15. а) = 0,037; в) = 0,704; б), г) « 0,259. 22.16. а) 1; б) 0;
в) 4ё - 0,5е « 0,289; г) 1 - 0,5>/ё « 0,176. 22.17. а) 0; б) 0,25:
в) « 0,9534; г) 2 ~ « 0,146. 22.18. а) а = 2’Ъ б) а = 4;
в) а = л/2; г) а = 3 - 7^5. 22.19. а) 0; б) 1; в) 0,25; г) 0,0625. 22.20. а) 0;
б) 1; в) 0,25(1 + 1п 4); г) 0,5(1 - 1п 2). 22.21. а) 1; б) = 0,917; в) =
= 0,083; г) 0. 22.22. а) 0; б) 0,0625; в) 0; г) 0,25.
§ 23
23.1. а) 0,75; б) = 0,7857; в) 0,75; г) 23.2. а) 0,5625; б) 0,6173;
4 8
в) 0,5625; г) 23.3. а) 0,9375; б) 0,9541; в) 0,9375; г) 23.4. Так как
во всех случаях а) — г) вероятность р «успеха» больше вероятности д
«неудачи», то 1 - д3 > 1 - р3, т. е. более вероятно, что наступит хотя бы
7 35 93
один «успех». 23.5. а), в) $7, ~ 0,219; б) ~ 0,273; г) ~ 0,363.
23.6. а) 1 -
35
36
« 0,028; б) 1 -
(35>2
М
« 0,055; в) 1 -
« 0,081;
г)1-
<35
^36
410
/
= 0,246. 23.7. а) 2 : 2; б) 2 : 2; в) 3 : 1; г) события равнове-
роятны. 23.8. а) 0,1296; б) 0,3456; в) 0,1536; г) 0,1792. 23.9. Р(А3) =
= 0,096 < Р(А1) = 0,32 < Р(А2) = 0,384 < Р(А4) = 0,512. 23.10. а) 0,23;
б) 0,0772; в) 0,077; г) 0,923.
23.11.
к 0 1 2 3 4 5
0,078 0,259 0,346 0,23 0,077 0,01 Сумма = 1
23.12.
к 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Р&) 0,004 0,031 0,109 0,219 0,273 0,219 0,109 0,031 0,004
23.13. а) 0,0612; б) 0,375; в) 0,0638; г) 0,9362. 23.14. а)
0,5787;
б) 0,3472; в) 0,0694; г) 0,9953. 23.15. а) 0,002; б) 0,041; в) 0,67; г) 0,33.
23.16. а) -Ц------ = 0,2607; б) 0,5466; в) 0,932; г) 0,068. 23.17. а) 55 и 56;
о 71
б) 56; в) т и т + 1; г) т + 1. 23.18. а) от 499 до 599; б) от 999 до 1099;
в) от 1999 до 2099; г) от 9999 до 10 099. 23.19. а) р = 0,8; б) р = 0,7;
в)р = 0,71; г) р = 0,008. 23.20. а) 0,6 < д < 0,7; б) 0,69 <д< 0,7; в) 0,699 <
< д < 0,7; г) 0,96 < д < 0,97.
§ 24
24.1. а) 3; б) 8; в) 2, 3, 4, 5; г) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3,
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
8 4 '
24.2. а)
Варианта 2 3 4 5 Всего: 4
Кратность варианты 3 5 8 4 Сумма = 20
в)
Варианта 2 3 4 5 Всего: 4
Частота варианты 0,15 0,25 0,4 0,2 Сумма = 1
24.3. а) 3; б) 4; в) 4; г) 3,65.
24.4. а)
Варианта 2 3 4 5
Отклонение от среднего -1,65 -0,65 0,35 1,35
б) 3 (-1,65) + 5 (-0,65) + 8 • 0,35 + 4 1,35 = -8,2 + 8,2 = 0;
в)
Варианта 2 3 4 5
Квадрат отклонения 2,7225 0,4225 0,1225 1,8225
Сумма квадратов = 3 • 2,7225 + 5 • 0,4225 + 8 • 0,1225 + 4 • 1,8225 =
= 18,55; г) В = = 0,9275, о = ТВ « 0,9631.
24.5. а)
Варианта 0 1 Всего: 2
Кратность 8 12 Сумма = 20
Частота 0,4 0,6 Сумма =1
в) мода равна 1, среднее равно 0,6; г) В = 0,24, о = 0,4899.
24.6. а) 7; б) 0,04; в) 0,22; г) 38 %.
24.7. а)
Варианта №1 №2 №3 №4 Всего: 4
Кратность 9 5 2 4 Сумма= 20
Частота 0,45 0,25 0,1 0,2 Сумма =1
Частота, % 45 25 10 20 Сумма = 100 %
г) варианта № 1.
24.8.
Варианта №1 №2 №3 №4 №5 №6 Всего: 6
Кратность 291 122 113 202 79 193 Сумма = 1000
Частота 0,291 0,122 0,113 0,202 0,079 0,193 Сумма =1
Частота, % 29,1 12,2 11,3 20,2 7,9 19,3 Сумма = 100%
24.9. а) Столбец № 2; б) к2 - 7к - 33 =
к
100
100; в) кг = -3, к2 = 11,
так как к > 0, то к = 11; г)
Варианта №1 №2 №3 №4 Всего: 4
Кратность 33 11 34 22 Сумма = 100
Частота 0,33 0,11 0,34 0,22 Сумма = 1
Частота, % 33 11 34 22 Сумма = 100 %
24.10. в)
Варианта №1 №2 №3 №4 Всего:4
Кратность 20 х = 5 </=10 15 Сумма = 50
Частота 0,4 0,1 0,2 0,3 Сумма =1
Частота, % 40 10 20 30 Сумма = 100 %
г) варианта № 1.
24.11. а) 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,
' 5 (Г 7Г
5, 5, 5, 5, 5;
' § '
б)
Оценка по литературе 1 2 3 4 5 Всего: 5
Кратность 1 5 6 8 5 Сумма = 25
ч 1 • 1 + 2 • 5 + 3 • 6 + 4 • 8 + 5 • 5 „ ,,
г) М = -----------------25---------------- = 3,44.
24.12. а) 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, ..., 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5;
б)
Оценка по русскому языку 1 2 3 4 5 Всего: 5
Кратность 2 3 11 6 3 Сумма = 25
г) М = 1 2+ 2 3 + 3 11 + 4 6 + 5 3 ОЛ л^л ч 25 - 3,2. 24.13. а) 3, 3, 4, 4, 2 2
5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10; 4 5 4 4
б)
Сумма отметок 3 4 5 6 7 8 9 10 Всего: 5
Кратность 2 2 3 4 5 4 4 1 Сумма = 25
г) 6,64. 24.14. а) 4, 4, 4; б) 4, 3, 3; в) 7, 7. 7; г) 2. 1. 1.
24.15. а)
Кратность 1 5 6 8 5
Отклонение от среднего -2,44 -1,44 -0,44 0,56 1,56
Квадрат отклонения 5,9536 2,0736 0,1936 0,3136 2,4336
Сумма квадратов = 1 • 5,9536 +- 5 • 2,0736 + 6 0,1936 + 8 0,3136 +
32,16
+ 5 • 2,4336 = 32,16; 2) =
= 1,2864, о = л/В = 1,134;
б)
Кратность 2 3 11 6 3
Отклонение от среднего -2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8
Квадрат отклонения 4,84 1,44 0,04 0,64 3,24
Сумма квадратов = 2 • 4,84 + 3 1,44 + 11 • 0,04 4- 6 0,64 -I- 3 • 3,24 = 28;
28
В = 25 = 1Д2, о = « 1,0583; в) по литературе; г) по русскому языку.
24.16. а) 4; б) 5;
в)
Итоговая отметка 2 3 4 5 Всего:4
Кратность 4 7 9 5 Сумма = 25
24.17. а) 38; б) 35, 3, 3; в) -2; г) нет. 24.18. а) 36; б) 7, 11;
ЗЗх - 18
в) 2,333; г) нет. 24.19. а) М = 7^ _|_ 1% * б) часть одной из ветвей гипер-
болы; в) 3, 4, 5, 6; г) нет. 24.20. а) М =
17х + 52. _
~6х~+ 19~’ 6) последовательность
точек одной из ветвей гиперболы; в) 1, 2, 3; г) нет.
§ 25
25.1. а), б) С1’о • 0,510; в) С& • О,5100; г) С$о 0,475 • 0,6й.
/еЧ25 /1Ч25 ЛгЧвТ /„чЗЗ х .175 , .118
25.2. а) С$ • • (у) ; б) С& • ; в) С^з • ;
г) 0*000 • О,5100°. 25.3. а) Р10(3) = С& • 0,63 • 0,47; б)Р100(99) = С& • 0,1 • 0,9да;
в)Р20(5)= С^о 0,316 • 0.75; г) Р1000(0) = О,21000. 25.4. а)Р«>(5) = • 0,75 • 0,345;
б) Р30(7) = С& • О.67 • (М23; в) Р100(3) = Сроо • О,510°; г) Р4О(4О) = О,740.
25.5. а) Р10(8) = С?о • О,32 • О,78; б) Р10(8) = С}0 • 0,019 0,99; в) Р30(5) =
= • 0,65 • 0,425; г) Р1оо(О) = 0,110°. 25.6. а) 0,6 + 0,7 * 1; б) 0,9 + 0,01 * 1;
в) С& * 180; г) 1000 * 1 и 1000 * 1000 1. 25.7. а) 0,242, 0,054,
0,00443; б) 0,3521, 0,1295, 0,0175; в) 0,397, 0,2179, 0,044; г) 0,2661,
0,2444, 0,0551. 25.8. а) 1,27; б) 1,66; в) 0,03; г) 2,66. 25.9. а) 0,62;
б) 0,6; в) 1,66; г) 2,72. 25.10. а), б) 0,0054; в) 0,0242; г) 0,0004.
25.11. а) 0; б) 0,02; в) 0,0009; г) 0,0176. 25.12. а) 0; б) 0,0133; в) 0,0081;
г) 0. 25.13. а) 0,3413, 0,4772, 0,49865; б) 0,1915, 0,4332, 0,4938;
в) 0,0398, 0,3643, 0,4821; г) 0,3159, 0,3389; 0,4767. 25.14. а) 1,02; б) 1,59;
в) 0,01; г) -2,34. 25.15. а) 0,95; б) 1,75; в) 0,25; г) 2,32. 25.16. а) 0,4995;
б) и г) 0,7454; в) 0,8164. 25.17. а) 0,5; б) 1; в) 0,3413; г) 0,383. 25.18. а) 0,5;
б) 0,1587; в) 1; г) 0. 25.19. а) 0,9586; б) 1; в) 0,5; г) 0,0207. 25.20. а) 0,5;
б) 0,5; в) 0,5878; г) 0,0485.
ГЛАВА 6
§ 26
26.11 . а) 1, 6; б) 0; в) 2, 6; г) нет корней. 26.12. а) 2; б) -0,5; в) нет
корней; г) -2,5, 2. 26.13. а) -2; б) 2,5; в) 2; г) -1,5. 26.14. а) 1, -3; б) 1,
-4. 26.15. а) 0, ±|, ±2; б) 0, +3; в) +1, ±^; г) 0, ±л, ±4. 26.16. а) 5;
б) 3. 26.17. а) 14; б) 6.
§27
27.3 . а) 5,25; б) 11. 27.4. а) + лп; б) + лп. 27.5. а) 6, 8; б) 1;
К ТГ
в) 0: г) 4. 27.6. а) 1, 7; б) 2^; в) 1, 3; г) 10, 0,001. 27.7. а) + лп,
5л лп. ______л_ ли. 2лп
24 + 2 ’ б) 72 + 3 ’ в) 3 ’
Я
~2 + 2яп; г) нет корней. 27.8. а) 3, 0;
б) ±2. 27.9. а) 1; б) ±-^ + 2яп. 27.10. а) + ян; б) ±-^ + 2яп.
27.11. а) б) 1. 27.12. а) 0. 4. 5; б) -2, 2, 3; в) 0, -2, -6; г) -3, -1, 3.
27.13. а) 0, 6; б) 0, 5. 27.14. а) 2, -1; б) 2, 3. 27.15. а) ±2, ( 1)" | + лп;
б) ±3, ±— -I- 2яп. 27.16. а) яп, + 2яп; б) + яп, -агс1& + яп; в) +
+ (-1)" | г) 2лп, + 2лп. 27.17. а) -1, б) +1. 27.18. а) 1, 0;
б) -1о&5 Ю; в) 0; г) 2, 1о&3 2- 1. 27.19. а) ±1; б) 8, 16; в) (-1)п агсзш + ли;
г) 64. 27.20. а) 10, 10 4; б) 0, 1; в) ±-^- + 2лп; г) 1, 4. 27.21. а) 0, +1;
О
б) О, 1. 27.22. а) 2; б) -1. 27.23. а) 1, 2; б) 27.24. а) 1; б) 9. 27.25. а) 1;
б) 1; в) 3; г) 7. 27.26. а) 0; б) 1; в) 1; г) 1. 27.27. а) 1, 2, 3; б) -1, -3 ± л/15;
в) -2; г) 2. 27.28. а) 3, 4, -1, -2; б) 0, -3. 27.29. а) 2, 3; б) 2, 4.
27.30. а) 3±У^; б) 2, -3. 27.31. а) 0, +1, -2; б) 0, 1. 27.32. а)
А о
пп ч я ли , л л _ лп л 2лп л 2лп
б) 5 • 27.33. а) 12 + б > ±д + 2лп; б) 2 » 9 + 9’5 + 5 •
27.34. а) б) ли, 5 27.35. а) ±5 + лп; б) ±$ + яп.
27.36. а) + лп, + лп; б) + лп, агс1& (-3 ± Тз) + лп. 27.37. а) +
+ 2лп, л 4 2ли; б) ~+ (-1)п агсзш + лп. 27.38. а) 4, 0; б) 5, 25.
27.39. а) 1, 1о$2 5; б) 1, 3 1о$3 2; в) 3, 1о$3 0,12; г) 1, 1о$5 4. 27.40. а) 1, 4;
б) 5; в) 6, 2; г) нет корней. 27.41. а) 8, 16; б) ^5 в) 0,5, 4096;
2е
г) 32. 27.42. а) 4; б) 4. 27.43. а) Нет корней; б) 3, 9; в) 4; г) 0. 27.44. а) у.
^7^; б) -1. 27.45. а) 99; б) 27.46. а) 1. 100 000, 0,00001; б) е \
бе о о
1 л
27.47. а) 1. 16; б) 10'8, 1, Ю10. 27.48. а) 2 + 2лп; б) нет корней.
27.49. а) ~^ + 2лп; б) —+ 2яп. 27.50. а) 1, лп, п € .У; б) 1,
п = 0, 1, 2, 3, ... . 27.51. а) -3, (-1)" + лп, п = 0, 1, 2, 3. ...; б) 8, 120,
л лп
“8 + Т’ п = 6’ 7’ 8’ 9’ - • 27,52‘ а) 0; 1 * * * * б) ±Ь 27,53‘ а) 1; б) 5* 27,54‘ а) 2;
б) 3. 27.55. а) 1; б) 7. 27.56. а) 2; б) -2. 27.57. а) -2; б) ±1.
§28
28.5. а) Нет решений; б) 8 < х < 11. 28.6. а) х > 3; б) -1 < х < 8.
28.7. а) 2 < х < 4; б) 2,5 < х < 11. 28.8. а) х < 5; б) 2,7 < х < 6.
1 2 1
28.9. а) х < -5, з < х < 1; б) х < -у, < х < 7. 28.10. а) -3 < х < -2,
-2 < х 4; б) -5 < х < -2, 3,5 < х < 4, 4<х<5. 28.11. а) -оо < х < +°°;
б) х > —в) -1 < х < 0, х > 3; г) х < 3. х > 3. 28.12. а) х < -3, —| < х <
х > 1,5; б) х < -3, х > 0; в) х < -л/2, х > 1; г) -5 < х < 5. 28.13. а) х > 1;
я
б) х > 3. 28.14. а) 2,5 < х < 3; б) нет решений. 28.15. а) х > 2,25; б)—^ +
4л
+ 2лп < х < -3- + 2лп. 28.16. а) 6 < х < 8; б) 1 < х < 2,25; в) х < -2,
О < х < 2, х > 2; г) 1 < х < 4. 28.17. а) х < 1, х > 7; б) х = 1: в) -5 < х < 3;
г) х < -1, х > 2,4. 28.18. а) х , 4; б) х > -2; в) 0 < х < 5; г) х > 49.
к л
28.19. а) х < 0, х > 3; б) х < -2, х > 2. 28.20. а) ~+ лп < х < + лп;
2л 2л
б) —3- 4- 2лп < х < -3- + 2лп. 28.21. а) х > 1; б) х < 0. 28.22. а) х < 1;
б) х < 1. 28.23. а) х > 64; б) 210 < х < 2“ 28.24. а) 0 < х < 1; б) х < 1о& 0,1.
28.25. а) 8 < х < 16; б) 0 < х < х > 28.26. а) 1 < х < 1,25,
л 5л
х > 1,5; б) 0,1 < х < 1. 28.27. а) $ + 2лп < х < -$- + 2лп; б) х = 2лп.
28.28. а) х > 2; б) х 0; в) х < 2; г) нет решений. 28.29. а) 0 < х < 4; б) нет
решений; в) х > 4; г) х > 0. 28.30. а) 0 < х < 1; б) х > 1. 28.31. а) [-3; 1) и
о (1; 2); б) (3; 4) о (4; +<»). 28.32. а) -°° < х < 4-оо; б) х = в) х = 0;
г) -оо < х< +°о. 28.33. а) -оо < х < 4-°о; б) х = 0; в) х = 0; г) -оо < х < 4-оо.
28.34. а) х > -1,5; б) х < 28.35. а) 0 < х < 9; б) 0 < х < 4. 28.36. а) х < О,
х > 2; б) -4 < х < 0, 1 < х < 3. 28.37. а) -2 < х < -1, х > 2; б) х > 3, х = -4.
4
28.38. а) 3 < х < 3,1, х > 7; б) х < 1, 7 < х < 7,3. 28.39. а) 3 < х < 1о$2 3;
4 1
б) 0 < х < з> х > ^3. 28.40. а) х > 1; б) -1 < х < 5; в) х < -8, х > тр
г) -7 < х < 0. 28.41. а) х > 3; б) нет решений; в) -3>/11 < х < 0; г) —<
< х < 0, х > 2. 28.42. а) х < -2, 3 С х < 4, х > 4; б) -5 < х < -1, -1 < х < 2.
28.43. а) О < х < | < х < 2; б) -4 < х < -п, -п < х < 0. 28.44. а) х > 3,
х = -2; б) < х < -1. 28.45. а) 1,5 < х < 51,5; б) х >
я я к
в) “2 + 2лп < х < 2 + 2лп; г) х > 2. 28.46. а) х > 3; б) х > 1; в) $ + 2лп
5 л / л 5
< х < -0- + 2лп; г) х > >/4 + е. 28.47. а) -2 < х < 1; б) < х < 0, х > 1.
28.48. а) х > -1; б) О < х < х > 4ё. 28.49. а) 1 < х < 3; б) х > 9.
28.50. -1 < х < —| < х < 0, х > 6. 28.51. -2 < х < —|> < х <
| < х < 2. 28.52. х > 8. 28.53. х < 0, < х < 1, х > 4. 28.54. а) ^5 б) О,
±2л. 28.55. а) -2 < х < 1. 1 < х < 4; б) х < -4, х > 3. 28.56. а) 2 < х < 32;
б) 27 < х < 81. 28.57. а) х < -2 - Уз, -0,3 < х < -2 + Уз, х > 2; б» 1
< х < 2 - Уб, -0,2 < х < О, 0 < х < 1, 2 + Уб < х < 4,5. 28.58. а) х = -4;
б) х = 5.
§29
29.4. а) Если р < 0, то корней нет; если р = 0, то х = -0,5; если р > 0,
±р — 1
то х = —5—; б) если 0 < р < 1, то корней нет; если р = 0 или р = 1,
л
то х = ±1; если р =
———, то х = 0, х = +>/2; если 1 < р <
1 + Уб
2
ИЛИ
— < р < 0, то х = ±71 - р + р1 2, х = ±71 + р - р2; если р < ——
л л
1 ^7
или р > —±5—, то х = ±71 - р + р2;
л
в) если р > -0,2, то корней нет;
если р = -0,2, то х = -0,5; если р < -0,2, то х =
±(1 + 5р) - 1
2
; г) если
р Ф 2, то корней нет; если р = 2, то х = ±1. 29.5. а) Если р > 2, то корней
нет; если р = 2, то 1 корень; если р < 2, то 2 корня; б) если р < 1, то
корней нет; если р = 1 или р > 5. то 2 корня; если р = 5, то 3 корня; если
л
1 < р < 5, то 4 корня: в) если р = (-1)п $ -I- лп, п С то 1 корень; если
4^ + 2л& < р < + 2л&, 6€2, то2 корня; если — + 2л/ < р < — + 2л/,
6^6 6 6
10
/ € 2, то нет корней; г) если р < 1, то нет корней; если 1 < р < -д-> то
10 10
2 корня; если Р = "д"’ то 3 корня; если р > -д-> то 4 корня. 29.6. а) 1 < р < 3;
б)р > 1; в) р < 1; г) р > 3. 29.8. а) 3, 1; б) -2, 5; в) г ) -2. 29.9. а) 0. 5;
9 тг
б) -2, 5; в) 2, 5; г) нет корней. 29.10. а) 3; б) 1; в) =; г) 16. 29.11. а) (-1)п-г +
о 4
+ лп, п € 2; б) + лп, л(1 + 2п), г 4- 2лп, п € 2\ в) 5 + лп,
+ 2лп, п Е 2; г) + 2лп, лп, (-1)л^1 + лп, (-1)п + 1^ + лп,
(-1Г*1 рлп, п€2. 29.13. а) 0, 1, 9; б) 0, 1, 3 в) 0, 7; г) 2, 4.
29.14. а) -2,4, 4; б) -1, 23; в) 7, 19; г) 1, 1,6. 29.16. а) 1; б) 1; в) 2;
г) нет корней. 29.17. а) 0,5; б) 1; 29.18. а) л(1 + 2п), п € 2\ б)
п € 2\ в) — 2^ + 1), д е2: г) + 1), п € 2. 29.20. а) 4; б) 8; в) все целые
4 1о
2 2
числа кроме 1, ±$ + 2к, к € 2, к * 0; г) корней нет. 29.22. а) [1; 4];
б) (1; 2]; в) [-2; 0] и [2; 5]; г) Г-ос;
I о
и (0; 1]. 29.24. а) [-4; -3] и [0; 3];
б) [-1; 0) и (0; 1]; в) [ 3; -1] и [1; 4]; г)
и
-11 о (-1; 0].
□ ]
29.25. а) —+ 2л/? < х < + 2л/?, + 2л/? < х < + 2л/?, к е 2\
л л эл 4л
б) [0,01; 10] и [100; +оо); в) $ -н 2л/? < х < $ + 2л/?, + 2кк < х < -у +
+ 2л/?, к е 2\ г) [9; 100]. 29.28. а) (-оо; 1] и [5; +оо); б) (-6; 10);
в) [-3,4; -0,6]; г) (-оо; -7) и (1; +оо). 29.30. а) (-оо; 0) и (0; +оо); б) [4; 12).
29.31. а) Г -ос; 1
I О
и [1; +оо); б) (-оо; 2); в) (-оо; 0,75) и (2,5; +оо);
Г1 - л/ЧЗ I
г) (-оо; -о,5] и [-0,25; +оо). 29.32. а) (-оо; -4) и - -2 и
и (-2; -1] и [ 1+уЗЗ; +оо1; б) (-оо; -2) и Г-2; -11 и Г1; 11 о (4; +°о);
в) (-3,5; -2) о [-2; ~7 и Г-7+^241. г V (1. 2); г) (-оо; -2) и
\ 16 ) 10 )
и (-2; -1) о (0,5; 1) о (1; +оо). 29.34. а) [1; +°°); б) (-1; 2); в) 11; 4,5 к
г) 11 29.35. а) (-4; -1) и (1; 4); б) (-9; 0) и (0; 2) и (2; 5);
— 11 + </07 1
-1; - - и (Ю; +°°); г) (-оо; -12) и (8;
Г л 9> <9 Л Г 1 4~1
+оо). 29.37. а) -; б) +оо : в) г) [-6; 0].
29.38. а) (-оо; -13) и
1 + л/22.
3 ’
б) выполняется при всех действительных значениях х, кроме -3, -1, 2;
в) выполняется при всех действительных значениях х, кроме -2, 2;
г) выполняется при всех действительных значениях х, кроме -1, 1, 2.
29.42. а) 3 9 3; 3 у™ 1 б) (-оо; -1) о (0; 1); в) (-0,2; 0);
г) (-0°; 0) и (7; 4-оо). 29.44. а) (-оо; -5] и [1; +оо); б) [-1; 0) и [3; +°°);
в) (-оо; -0,5] и (0; +°о); Г) [1; +оо). 29.45. а) (6; +оо); б) [-1; +°о);
и [1; +оо); Г) [-0,6; 1]. 29.46. а)
Г1.
к3’
О »> (т?;
; в) (-2; 2]; г) [-1; 0) и [2; +оо). 29.47. а) [0; 2]; б) [0; +<*>);
в) (-6; 1); г) -1. 29.48. а) (-оо; 0,6) и (4; +оо); б) [-5; 1]; в) (-3; +оо);
г) (-оо; -1] и [0; +ОО). 29.49. а) (-оо; 0) и [ 0; | ] и (1; +оо); б) (-оо; -2) и
-2;
и
и (7; +°о); в) (-оо; -2) и [2; +°о); г) (-оо; -2) и
и (-2; -1] и (0; 2]. 29.50. а) Я; б) 10; -у I и [14; +°о); в) (-оо; 1) и (1; +оо);
г) -ос;
о [-1; +оо). 29.52. а)
_7.
3’
+оо ; б) (-оо; 0) о (0; 1].
29.54. а) (-ос; -Л)
в)
и [77;
+оо); г) (-73; 0) и [1; 7з). 29.55. а) (-оо; -3) и
и (-1; 1) и (3: +°о); б) [-1; 4]; в) (-10; 14); г) х < -1, 2 < х < 3, х > 6.
29.56. а) к5<Д ^21
_ Л и
5-721. 5 + 721
2’2.
б) (-2 - 72; -2 + 72) и (2 - 72; 2 + 72);
в) (-ос; -1 - 72] о [1 72; 0) и (0; -1 + 72] и [1 + 72; +оо); г) ±1,
±3. 29.57. а) а = -1; б) а = -5. 29.58. а) I < 9; б) при любых действитель-
ных I; в) I < 15; г) I < 9. 29.59. а) I < 11; б) при любых действительных 2;
в) г < 22; г) I < 12. 29.60. а) 25; б) 20.
§ 30
10 10
30.3. а) 2; б)—р 2; в) 3; г)—р 3. 30.5. а) -9; б) ±5; в) -8, 5;
г) -3, 9. 30.6. а) а < 2; б) а < 1 + Ш; в) -1 < а < 3; г) а < ^5. 30.8. а) 3;
б)“^> 3; в) 4; г) 1. 30.9. а)^ + 2/гл, к Е 2; б) -I- кл, к е 2; в)^ + кл,
л
к € 2\ г) к е 2, 30.10. а) Нет корней; б) 2; в) 0,5; г) нет корней.
30.11. а) При а > -1 х = а - 1; при а < -1 корней нет; б) при а < 0,5
2(а + 1) п - „ ч .2 За 2
х = при а > 0,5 корней нет; в) при а > у х = + 1, при а < у
корней нет; г) при -8 < а < 8 х = -78 - а - 2, при |а| > 8 корней нет.
30.13. а) 4; б) корней нет; в) 11; г) 1. 30.14. а) Корней нет; б) 2; в) ±>/3;
г) -0,5. 30.15. а) агссоз ^2~-- + 2кп, к е 2; б) + 2кп, к е 2;
. 1 л 1
в) (-1) агсзш + кл, к€2;г) -^ + кл, л - агсзш + 2кл, к €2. 30.16. а) 1;
б) 3; в) -1, г) -1. 30.17. а) 7, 8; б) 0; в) 2; г) 64. 30.18. а) 1;
б) -1, 0; в) 1, 2; г) -2, 1. 30.19. а) 9: б) 1 ±2^? в) 1; г) -Ц,
30.20. а) ^5 б) -3,8, 1. 30.21. а) -7, 2; б) ?1 30.22. а)
1.
4;
б) 12. 30.23. а) 2; б) 1о& И; в) 1оёол 3; г) 0,5. 30.24. а) 1о& 6; б) 1о& И,
3.
30.25. а) 5; б) 2. 30.26. а) 1, 20; б) 1, 3; в) ±3; г) 8, 8 ± 30.27. а) 105;
б) 10^5 2. 30.28. а) 4; б) 2. 30.29. а) 0,125; б) 8. 30.30. а) 1; б) 3, - —.
о
30.31. а) 0; б) 0,25. 30.32. а) -2; б) 1. 30.34. а) (-2; 2 - 7?] и [2 + 77: б);
б) {0} и [2; +оо); В)
|| |; г) [-1; +оо). 30.35. а)
5.
4’
21
4
-4; 1'1; в) [3; +°о); г) (-оо; -2,5] и [3; +°о).
4 I
30.36. а) (_| + 2йл: ^ + 2йл), к е 2; б)
( л 2 2
в) (2 агсс!& 0,5 + 2кл-, я + 2кл], к е 2; г) ~ + -^кл; ~^кл ,
I о о о I
к € г-,
к е г.
30.37. а) [-9; 0]; б)
-5; -Л
Тб
ф; 5 ; в) -8;
.76 Ь
-3-7169
2
-3 + 7109.
5 ; г) [-3; 3 - 275) и (3 + 275; 9]. 30.38. а) а < 2;
б) а > - 1. 30.39. а) Таких а не существует; б) а > 3. 30.41. а) (3; 4]; б) 1;
в)
(4; 5]; г) [-1; 1] и
+оо|. 30.42. а) 2кл; + 2кл |, к е 2;
4
б)
л. л
4’ 6
л. л
6’ 4
к е 2. 30.43. а)
б)
• 30.44. а) (а - 1; 2а] при а > -1; решений нет при а < -1;
б)
2а + 41 _ л к 1 лк
—=— при а < 0,5; х = 1 при а = 0,5; решении нет при
о _1
За. 5а + 1
4 ’ 2
2 2
при а > ^5 решений нет при а < у! г) [-2; 2]
2
5
3
при а > 8; [-2 + 78 - а; 2] при -8 < а < 8; 2 при а = -8; решений нет
при а < 8. 30.46. а) (3; +°°); б) [б - 4*1; 11); в) [2; ^16]; г) [-1: 1] и
74 \
13 /
и [1 + 72^5; +оо). 30.47. а) (-°°; -2] и
5;
б) (-°°; 0] о (4,5; +°°);
в)
~; 2 и [3; +°о); г) (-оо; 0]. 30.48. а) Нет решений; б) Я. 30.49. а) (-3; 1);
1о
б)
14.
3 ’
-3 и {1}; в) (1; 2) и (5; +°°);
г) (-оо; -6] и {-2}. 30.50. а) [4; 5);
б) [з;1+Ц®
10
в) х = 4; г)
30.51. а) (1; 5];
| 2] о [А5; б'
б)
-0,5 и 1;
4
4
/ 7
. 30.52. а) (-оо; -1,5) и 0,5;
I 0
<7 \ ( 1ОЛ
и 4; +°° ; б) -оц ~ и (1; +оо). 30.53. а) (-2; 2]; б) [1; 4-оо).
10 ) I о
30.54. а) (-оо; -1) и (0; 1]; б) [6; +оо). 30.55. а) -у, к С 2;
б) ~ + 2Ая. % + 2Ая , к е 2. 30.56. а) (1; 1о& 12]; б) (-оо; 1о& Ц); в) [1о&« 7;
4 л
10^0.2 3]; г) [1оеюо 2; кэ&оо 6]. 30.57. а) 2Ая - 2Ая + агссоз
|_ л л
, к
б) 2Ая - ^ + агссоз 2Ая - %
14 4 4
к е 2; в) 2кп - 4; 2Ал + агсзш -!=• и
4 ч/з
1
(2к + 1)71 - агсзтп 2кк +
ч/З 4.
4 > к е 2; г) 2Ая; 2Ая + агсзш-к
* 1 4
и + Аяк к 6 2. 30.58. а) [0; 4); б) (2; +°о); в) [-9; 0]; г) [-2; 2].
.1
30.59. а)
И б) (1; 17]; в) [0,125; +°о); г)
О о )
_1
3
1 . 30.60. [-1; 0) и
и (3: 4-оо). 30.61. а) Если а < 1, то
3 - 75 - 4а ,
а; ---------- ; если а > 1, то
2
9 9
решений нет; б) если а > то решений нет; если а = то х - -1,75;
то -2:
9
8’ то
; если а < 1,
. 30.62. а) [-3; -1) о [1; +оо); б) [-2; 1) и
и (2; +оо); В) (0,5; 1); г) {-4} и (-2; 0].
§ 31
31.1. а) а < Ъ; б) а > Ь\ в) а < Ь; г) а < Ь. 31.2. а) а > Ь; б) а > Ь.
31.3. а) а > Ь; б) а > Ь. 31.4. а) а > Ь; б) а > Ь. 31.5. а) а < 5; б) а < Ь.
31.6. а) а > Ъ', б) а > Ъ; в) а > Ь; г) а < Ь. 31.7. а) а < Ъ; б) а > Ь', в) а < Ь;
г) а > Ъ.
§ 32
32.14. а) 12; б) 120; в) 48; г) 2рд. 32.15. а) -6 < х < 6; б) -2 у < 2;
в) -6 < х + Зу < 6; г) -6 < х + у < 6. 32.16. а) -12 < -Зх - 2у < 6;
б) 4,5 < х2 + у2 < 45; в) -27 < 5х + 7у < 15; г) -20,25 < ху < 0.
32.21. а) х = 7 - 2к, у = к, где к е 2; б) х = 1 - 2к, у = 7к - 3, где к € 2;
в) х - к, у = 17 - 5к, где к е 2; г) х = 12к - 5, у = 7к - 3, где к е 2.
32.22. а) х = 7 - 2/?2, у = к, где к е 2; б) х = 1 - 2к, у = 2к - 2к2, где к е 2;
в) х = к, у = 17 - 5к2, где к € 2\ г) х = 4 - 18/? + 21/?2, у = 3 + 7к,
х = 7 - 24к + 21/?2, у = 4 + 7к, где к е 2. 32.23. а) (-4; -1), (-1; -1),
(1; 1), (4; 1); б) (-3; 1), (2; 1); в) (0; -1), (0; 1), (1; 1), (-1; -1); г) (-2; -1),
(0; 1). 32.28. а) с <
1 8
ГР с > -р б) -34 < с < -33. 32.38. а) 6; б) 144.
1 7 9 17
32.39. а) 8>/з + 8тс; 5) "2^ 32.40. а) б) ^2’ г) 24*
§ 33
33.1. а) (1; 2), (1,5; 1,5); б) (0; 2), (-2; 0); в) (2; 3), (3; 2); г) (3; -1),
(9; -4). 33.2. а)р^ + Тр б) (0; "1): в)(|; г) (-1; “2)-
33 .3. а) (-1; 2); б) (4; 1); в) (1; 1), (1; -1); г) (8; 1). 33.4. а) Г|;
б) Гя+ йй; ±4 + яЙ в) НЬ г) |"(-1)‘т5 + $; Т5 + Ш 33.5. а) (2; 1);
б)(1; -2). 33.6. а) (3; 2); б) (8; 2). 33.7. а) (2; 2); б) (2; 6), (-2; 10);
в) + я/г; ~ + 2пк ; г) (5; 3), (3; 1). 33.8. а) 2; б) 3; в) 7; г) 1.
I о л
33.9. а) (1; 2), (2; 1); б) (2; -4), (4; 0). 33.10. а) (-1; 1); б) (1; 1).
33.11. а) (0; 0); б)С^; 11 33.13. а) (1; 1), (1,4; 0,2); б) (2; 1), (-2; 1),
(2; -1), (-2; -1); в)
+ тс(п + А);
4 + я(п - к) ; г) (2; 1). 33.14. а) (3; 0);
б) (а; За), где а — любое число, кроме 0; в)
г) (2; -1). 33.15. а) (2; 2),
(-2; -2); б) (7; -1), (-1; -3). 33.16. а) (3; 2), (-3; 2), (3; -2), (-3, -2);
б) (1; 1), (-1; 1), (1; -1), (-1; -1). 33.17. а) (1; 3), (2; -4); б) (2; 1), (2; -1).
33.18. а) (1; 2), (-1; -2); б) (-1; 1). 33.19. а) (6; 2), (-6; -2); б) (х; -2х),
(х; -Зх), где х — любое число, кроме 0. 33.20. а) (2; -2), (-2; 2); б) (4; 2),
(-4; -2), 33-21’ а) (1; ”2)> (-1; 2); б)
ГЛб. 2716)
" 2 ’ 5 ’ 5
7 \ /
716. 27161
5 ’ 5
33.22. а) (3; 4), (4; 3),
-6 - 714. -6 + 714
б) (2; 3), (3; 2), (-2 + 77; -2 - 77), (-2 - 77; -2 + 71).
33.23. а) (6; 6),
-3+ 745'
б) (1; 4), (4; 1),
5 + 741'
33.24. а) (4; 4), (3; 2); б) (1; 2). 33.25. а) (8; 27), (27; 8); б) (16; 1).
33.26. а) (3; 1), (2; 1,5); б) (-4; 0), Г-^; -Ж 33.27. а) (2; 1), (1;2);
б) (1; 4). 33.28. а) (1; 4), (9; 0); б) (4; 9). 33.29. а) (0; 0),
(-3; 1), (6; 1), (3; 2); б) (0; 0), (1,5; 1), (1,5; -2), (3; -1). 33.30. а) (3; -2),
(-2; -7); б) (-1,6; -2). 33.31. а) (8; 1), (1; 8); б)
33.32. а) (1; 4),
49. 16 \
9’9’
б) (4; 1). 33.33. а) (1; -4); б) (3; 1). 33.34. а) (2; 3), (3; 2);
б) (42; 39). 33.35. а)
1. 1
9’ 81
б)
3; (3; 9). 33.37. а) (4; 4); б) (2; 2). 33.38. а)Г| + як, | - як\;
б) л/г; Д- - як
к 4 /
'~ + як; - пк}. 33.39. а)Г(-1)*5 + як, + 2як
33.40. а)
+ ^(2я + к}; + %(к - 2п)\
б) + ^(п + 2к); + ^(п - 2к)^ + + 2/?); - 2®
33.41. а) (2; -1; 1); б) (-1; 2; 0). 33.42. а) (1; -2; -1), (-3; 2; -5);
б) (2; 0; -1), Г33.43. а) у = 2х2 - 5х + 1; б) у = Зх2 - 2х + 1.
33.44. Ьг = 6, д = 33.45.1, 3, 4 или 4 ,4, Ж 33.46. 3, 9, 27. 33.47. 4.
& о о о
§ 34
34.1. а) т Ф 1; б) таких значений т нет; в) т = 1. 34.2. а) Ь ф ±1;
1
б)Ь = -1;в)6 = 1. 34.3. а) х - если а Ф ±2; х — любое действи-
тельное число, если а = 2; нет корней, если а = -2; б) х = а, если а Ф -1 и
а Ф 0; х — любое действительное число, если а = -1; нет корней, если
а = 0. 34.4. а) Если а = 1 или 3,5 или -1,5, то корней нет; в остальных
5
случаях х = д _ б) если а = 0 или 2 или 4, то корней нет; в осталь-
6
них случаях х = □—-• 34.5. а) х > т + 1, если т > 1; х < т + 1, если
& — (1
1 1
т < 1; -оо < х < +оо} если т = 1; б) X > если Ъ < -1, Ь > 1; X < & '+ у
если -1 < Ь < 1; -оо < х < +оо, если Ъ = -1; нет решений, если Ъ = 1.
34.6. а) х > , если Ъ > 1, Ь < 0; х < если 0 < Ь < 1;
х — любое действительное число, если Ь = О, Ь = 1; б) х < а, если а > О,
а < -1; х > а, если -1 < а < 0; -оо < х < +°о, если а = -1; нет решений,
если а = 0. 34.7. а) а < 0, 0 < а < 1, а > 4; б) а = 0, 1, 4;
в) 1 < а < 4. 34.8. а) а > -7; б) а > -5. 34.9. а) 1; б) 2. 34.10. а) ±1,5; б) ±1.
34.11. а) а = 1,
34.12. а) Если а = —то
х =
2.
3’
если а = 1,5, то х = -2,5; если а = -4, то х = -8; если а Ф
1
3’
1,5, -4, то Х1 = 2а, х2 = -а - 1; б) если а = -3, то х = -6; если а = -2, то
х = -5; если а = 0, то корней нет; если а = 1, то х = 2; если а = 2, то
х = 3; если а *-3, -2, 0, 1, 2, то х} = а + 1, х2 = а - 3. 34.13. а) -9; б) 4.
34.14. а) Ъ > 1; б) Ь > 3. 34.15. а) а < -4; б) а > 20. 34.16. а) а <
О
б)_А < а < 4. 34.17. а) а > 0, Ь > 0, с < 0; б) а < 0, Ь > 0, с > 0;
4 4
34.18. а) а > 4; б) а < -1. 34.19. а) а < -1; б) 0 < а < 1. 34.20. а) а = 2;
б) -4 < а < -3, 5 < а < 6. 34.21. а) х > 2, если а < 2; х > а, если а > 2;
б) а < х < 6, если а < 6; нет решений, если а > 6. 34.22. а) -1 < а С 3;
б) | < а < 1. 34.23. а) а < -3,
2 < а < 6; б) а < 2; з|
4
< а < 6; в) ни при
3 4
каких; г) а = 2, 3-^ < а < 6. 34.24. Если а < —? > то -оо < х < +оо; если
4
5
< а < 1, то х <
Х1,
х > х2; если а =
1,
ТО X < -
если а > 1, то
-(2а + 1) + 75а + 4 -(2а + 1) - л/5а + 4
Х2 Ч х ч хх; здесь хг = — -------—;-------, х2 = — -------—;--------.
а - 1 а - 1
1
34.25. а) 0 < а < 2; б) а = ±3. 34.26. а) Если к С а < 1, то
х = (-1)" агсзи! (За - 2) + лп; если а < й
или а > 1, то корней нет;
б) если 2 < а < 1, то х = ±2 агссоз (4а - 3) + лп; если а < или а > 1,
л а
то корней нет. 34.27. а) Если -2 =С а < 2, то х = $ ± агссоз + 2лп;
если а < -2 или а > 2, то корней нет; б) если -2 < а < 3, то х =
4 2а - 1
= агссоз $ ± агссоз —$— + 2лп; если а < -2 или а > 3, то корней нет.
34.28. а = 0. 34.29. а) а = а < 1; б) а < 1. 34.30. а) а < 0; б) а > 0.
тс 1
34.31. а) 2тсп, агсг§ 6 + 2тсп; б) + 2яп’ агс1^^ + тс(2и + 1). 34.32. а) 0 <
< а < 4; б) -15 < а < 17. 34.33. а) а < -12; б) -5 < а < 0. 34.34. а) Нет кор-
ней, если а < -4; один корень, если а = -4 или а > 0; два корня, если
4 4
—< а < 0; б) нет корней, если а < -2 или а > 2^2; один корень, если
-2 < а < 2 или а = 2\/2; два корня, если 2 < а < 2^2. 34.35. а) р < -3,
р>3, р = 1; б)-3<р<1. 34.36. а) ~ < а < 1; б) -1 < а <
А л
34.37. а) а = 0, а > 9; б) 0 < а < 9. 34.38. а) -5 < а < 5; б) а < -2. 34.39. а) Если
а < 0, то корней нет; если а = 0 или а > 2, то два корня; если а = 2, то три
корня; если 0 < а < 2, то четыре корня; б) если а < 2, то корней нет;
Л Л 75 + 1
если а = 2, то 1 < х < 3; если а > 2, то хЪ2 = —1 < а < —2—’
34.41. а) а = 1, а = 2, 5 < а < 6. 34.42. а = 2. 34.43. а > 4е. 34.44. а = 2ч/2.
34.45. 0 < а < 2. 34.46. 2 < а < 4. 34.47. а = -1,5, а = -1.
Дополнительные задачи
11.79. а) -2; б) 3. 11.80. а) х > 1; б) х < 5. 11.81. а) х = тс;
б) х = 11.82. 1; 100. 13.47. а) 4; б) 10; в) 4; г) 5. 16.66. -2,5.
17.44. а) 1Ц; б) б|- 18.48. а) 10; б) 7. 18.49. 3. 18.50. а) | < а <
^3 < а < >/2; б) 0 < а < 1; 1 < а < 2; а > 3. 26.18. а) 4; б) 4; в)13; г) 16.
26.19. а = пп, п ё 2. 27.58. а) 6; б) 0,1; в) 5; г) 3. 27.60. а) 1; б) -4.
28.59. а) 0 < а < 10; б) а > 2. 30.63. а) тс + 2тсп, + 2тсп; п е
б) агсс!е 4 + 2лп, 7 + 2лп; п ё 2. 30.64. 2. 30.65. а > 2. 31.28. 0.
32.41. а) (1; 1); б) (2; 3). 32.42. (лп; -1), п ё 2. 32.43. а) (2; 1); б) (0; 0),
(3; -2). 33.48. + 2лп; -2), п ё 2. 34.48. а < 2. 34.49. а < -2,25; а > 4.
Таблица значений функций ф и Ф
X <р(х) Ф(х) X <р(х) Ф(х) X <р(х) Ф(х)
0,00 0,3989 0,0000 0,40 0,3683 0,1554 0,80 0,2897 0,2881
01 3989 0040 41 3668 1591 81 2874 2910
02 3989 0080 42 3653 1628 82 2850 2939
03 3988 0120 43 3637 1664 83 2827 2967
04 3986 0160 44 3621 1700 84 2803 2995
05 3984 0199 45 3605 1736 85 2780 3023
06 3982 0239 46 3589 1772 86 2756 3051
07 3980 0279 47 3572 1808 87 2732 3078
08 3977 0319 48 3555 1844 88 2709 3106
09 3973 0359 49 3538 1879 89 2685 3133
0,10 0,3970 0,0398 0,50 0,3521 0,1915 0,90 0,2661 0,3159
11 3965 0438 51 3503 1950 91 2637 3186
12 3961 0478 52 3485 1985 92 2613 3212
13 3956 0517 53 3467 2019 93 2589 3238
14 3951 0557 54 3448 2054 94 2565 3264
15 3945 0596 55 3429 2088 95 2541 3289
16 3939 0636 56 3410 2123 96 2516 3315
17 3932 0675 57 3391 2157 97 2492 3340
18 3925 0714 58 3372 2190 98 2468 3365
19 3918 0753 59 3352 2224 99 2444 3389
0,20 0,3910 0,0793 0,60 0,3332 0,2257 1,00 0,2420 0,3413
21 3902 0832 61 3312 2291 01 2396 3438
22 3894 0871 62 3292 2324 02 2371 3461
23 3885 0910 63 3271 2357 03 2347 3485
24 3876 0948 64 3251 2389 04 2323 3508
25 3867 0987 65 3230 2422 05 2299 3531
26 3857 1026 66 3269 2454 06 2275 3554
27 3847 1064 67 3187 2486 07 2251 3577
28 3836 1103 68 3166 2517 08 2227 3599
29 3825 1141 69 3144 2549 09 2203 3621
0,30 0,3814 0,1179 0,70 0,3123 0,2580 1,10 0,2179 0,3643
31 3802 1217 71 3101 2611 11 2155 3665
32 3790 1255 72 3079 2642 12 2131 3686
33 3778 1293 73 3056 2673 13 2107 3708
34 3765 1331 74 3034 2703 14 2083 3729
35 3752 1368 75 ЗОН 2734 15 2059 3749
36 3739 1406 76 2989 2764 16 2036 3770
37 3726 1443 77 2966 2794 17 2012 3790
38 3712 1480 78 2943 2823 18 1989 3810
39 3697 1517 79 2920 2852 19 1965 3830
X ф(х) Ф(Х) X <Р(х) Ф(х) X <р(х) Ф(Х)
1,20 0,1942 0,3849 1,70 0,0940 0,4554 2,40 0,0224 0,4918
21 1919 3869 71 0925 4564 42 0213 4922
22 1895 3888 72 0909 4573 44 0203 4927
23 1872 3907 73 0893 4582 16 0194 4931
24 1849 3925 74 0878 4591 48 0184 4934
25 1826 3944 75 0863 4599 50 0175 4938
26 1804 3962 76 0848 4608 52 0167 4941
27 1781 3980 77 0833 4616 54 0158 4945
28 1758 3997 78 0818 4625 56 0151 4948
29 1736 4015 79 0804 4633 58 0143 4951
1,30 0,1714 0,4032 1,80 0,0790 0,4641 2,60 0,0136 0,4953
31 1691 4049 81 0775 4649 62 0129 4956
32 1669 4066 82 0761 4656 64 0122 4959
33 1647 4082 83 0748 4664 66 0116 4961
34 1626 4099 84 0734 4671 68 ОНО 1963
35 1604 4115 85 0721 4678 70 0104 1965
36 1582 4131 86 0707 4686 72 0099 4967
37 1561 4147 87 0694 4693 74 0093 4969
38 1539 4162 88 0681 4699 76 0088 4971
39 1518 4177 89 0669 4706 78 0084 4973
1,40 0,1497 0,4192 1,90 0,0656 0,4713 2,80 0,0079 0,4974
41 1476 4207 91 0644 4719 82 0075 4976
42 1456 4222 92 0632 4726 84 0071 4977
43 1435 4236 93 0620 4732 86 0067 4979
44 1415 4251 94 0608 4738 88 0063 4980
45 1394 4265 95 0596 4744 90 0060 4981
46 1374 4279 96 0584 4750 92 0056 4982
47 1354 4292 97 0573 4756 94 0053 4984
48 1334 4306 98 0562 4761 96 0050 4985
49 1315 4319 99 0551 4767 98 0047 4986
1,50 0,1295 0,4332 2,00 0,0540 0,4772 3,00 0,00443 0,49865
51 1276 4345 02 0519 4783
52 1257 1357 04 0498 4793 3,10 00327 49903
53 1238 4370 06 0478 4803 3,20 00238 49931
54 1219 4382 08 0459 4812
55 1200 4394 10 0440 4821 3,30 00172 49952
56 1182 1406 12 0422 4830 3,40 00123 49966
57 1163 4418 14 0404 4838
58 1145 4429 16 0387 4846 3,50 00087 49977
59 1127 4441 18 0371 4854
1,60 0,1109 0,4452 2,20 0,0355 0,4861 3,60 00061 49984
61 1092 4463 22 0339 4868 3,70 00042 49989
62 1074 4474 24 0325 4875 3,80 00029 49993
63 1057 4484 26 0310 4881
64 1040 4495 28 0297 4887 3,90 00020 49995
65 1023 4505 30 0283 4893 4,00 0,0001338 499968
66 1006 4515 32 0270 4898
67 0989 4525 34 0258 4904 4,50 0000160 499997
68 0973 4535 36 0246 4909 5,00 0000015 49999997
69 0957 4545 38 0235 4913
Предисловие для учителя ...................................... 3
Задачи на повторение.......................................... 4
глава 1. многочлены
§ 1. Многочлены от одной переменной ................. 10
§ 2. Многочлены от нескольких переменных............. 18
§ 3. Уравнения высших степеней....................... 24
глава 2. Степени и корни. Степенные функции
§ 4. Понятие корня п-й степени из действительного числа . . 29
§ 5. Функции у = ^х, их свойства и графики .......... 31
§ 6. Свойства корня п-й степени ..................... 36
§ 7. Преобразование выражений, содержащих радикалы... 39
§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. 16
§ 9. Степенные функции, их свойства и графики ....... 50
§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел................ 57
глава з. Показательная и логарифмическая функции
§ 11. Показательная функция, ее свойства и график .......... 62
§ 12. Показательные уравнения .............................. 73
§ 13. Показательные неравенства............................. 80
§ 14. Понятие логарифма .................................... 86
§ 15. Логарифмическая функция, ее свойства и график ........ 89
§ 16. Свойства логарифмов .................................. 96
§17. Логарифмические уравнения............................ 105
§ 18. Логарифмические неравенства ......................... 111
§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций 118
ГЛАВА 4. первообразная и интеграл
§ 20. Первообразная и неопределенный интеграл ............. 124
§ 21. Определенный интеграл................................ 132
глава 5. Элементы теории вероятностей
и математической статистики
§ 22. Вероятность и геометрия ............................. 149
§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами .... 153
§ 24. Статистические методы обработки информации........... 157
§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел................. 162
глава 6. Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств
§ 26. Равносильность уравнений ............................ 166
§27. Общие методы решения уравнений ...................... 168
§ 28. Равносильность неравенств ........................... 174
§ 29. Уравнения и неравенства с модулями .................. 180
§ 30. Уравнения и неравенства со знаком радикала .......... 189
§ 31. Доказательство неравенств ........................... 198
§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными ......... 202
§ 33. Системы уравнений ................................... 208
§ 34. Задачи с параметрами ................................ 215
Дополнительные задачи...................................... 220
Ответы .................................................... 223
Приложение ................................................ 263