Text
                    МГУ-ШКОЛЕ
Алгебра и начала математического анализа
11 КЛАСС
УЧЕБНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ
Базовый и профильный уровни
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
8-е издание
Москва « Просвещение » 2009
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я72
А45
Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году
Авторы:	С. М. Никольский, М. К. Потапов,
Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин
На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/15 от 31.10.07) и Российской академии образования (№ 01-208/5/7д от 11.10.07)
Условные обозначения:
Й — начало материала, необязательного для базового уровня
ф — окончание материала, необязательного для базового уровня
1.7* — пункт для профильного уровня
— факты, свойства, определения, формулы, которые нужно помнить
1.2 — задания для базового уровня
2.5 — задания для профильного уровня
4.9° — задания для устной работы
5.4* — задания повышенной трудности
111 — задания для повторения
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : А45 учеб, для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 8-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 464 с. : ил. — (МГУ — школе). — ISBN 978-5-09-021970-9.
Дополненное издание соответствует федеральным компонентам Государственного стандарта общего образования по математике и содержит материал как для базового, так и для профильного уровня. По нему можно работать независимо от того, по каким учебникам учились школьники в предыдущие годы.
Учебник нацелен на подготовку учащихся к поступлению в вузы.
УДК 373.167.1:[512+517] ББК 22.14я72+22.161я72
ISBN 978-5-09-021970-9
© Издательство «Просвещение», 2002
© Издательство «Просвещение», 2008, с изменениями
© Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2008 Все права защищены
Глава I м!ШО Ж4ВЯЯ	-- в ГчЛЖ «  - «
Функции. Произг вдные. Интегралы ,f(x) = хг
Г(х) = 2х , .
( Дх) dx - + С
§ 1. Функции и их графики
1.1. Элементарные функции
Напомним определение функции. Пусть каждому числу х из множества чисел X в силу некоторого (вполне определенного) закона поставлено в соответствие единственное число у. Тогда говорят, что у есть функция от х, определенная на множестве X; при этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией от х, множество X — областью определения функции.
Таким образом, чтобы задать функцию, нужно указать способ (закон, правило), с помощью которого для каждого значения аргумента х е X можно найти соответствующее значение у. Обычно этот закон обозначают одной буквой, например /, и тогда пишут
у = /(X), X е X.	(1)
Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что у зависит от х, вместо у пишут i/(x), а для сокращения записи (1) пишут у = /(х) или /(х).
Закон f также называют функцией f и говорят: задана функция f на множестве чисел X или, коротко, задана функция Л
Отметим, что вместо пары букв х и у в определении функции могут участвовать любые другие пары букв. Например, функцию Д определенную на множестве чисел X, можно записать как в виде (1), так и в виде и = и е X, или даже в виде х = f(y), у е X. Все эти записи характеризуют одну и ту же функцию f.
Число, соответствующее х0 е X для данной функции z/(x), называют значением функции в точке х0 и обозначают у (х0). Если функция записана в виде (1), то это число обозначают 7(х0).
Пусть функция у = F(u) определена на множестве G, а функция и = <р (х) определена на множестве X и множество всех ее значений содержится в множестве G. Тогда любому х е X функция <р ставит
:_________________________________________________
в соответствие число и е G, а этому числу и функция F ставит в соответствие число у, т. е. у является функцией от х на множестве X.
Другими словами, получена функция у = F((p(x)), определенная на множестве X. Эту функцию называют функцией от функции или сложной функцией. Сложную функцию называют также суперпозицией двух функций (р и F.
Например, если у = 2й и и = х3, то для любого действительного х определена сложная функция у = 2х3 .
Можно указать сложную функцию, в образовании которой участвует более двух функций. Сложными будут, например, функции у = е4х + х2, у = cos(2x 4- 3х), у = (х - I)3 + tgx, у = log2(3x + 4), у = log3(sinx + 2), у = sin(3 + log2x).
Ранее уже изучались функции
у = хп (п е 7V), у = х~п (п е 2V), у = Vx, (и е N, n'Z 2), у = ха (а е Я+), у = х"а (а е /?+), у = sinx, у = cosx, у - tgx, у = ctgx,
у - ах (а > 0, а Ф 1), у = logax (а > 0, а Ф 1).
Все эти функции называют основными элементарными функциями.
Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и применения конечного числа суперпозиций, принято называть элементарными функциями. Элементарными функциями, например, являются функции у = sinx + cosx, у — -sin2(x - 5).
1.1° а) Сформулируйте определение функции.
б)	Какую функцию называют сложной?
в)	Перечислите основные элементарные функции.
г)	Какие функции называют элементарными?
1.2	Выпишите основные элементарные функции f(x) и g(x), с помощью которых задана сложная функция:
а) №(Х)) = Tigx; б) №(*)) = 1пх4.
1.3	Выпишите основные элементарные функции /(х), g(x) и (р(х), с помощью которых задана сложная функция:
a) f(g((p(x))) = sinVx3; б) f(g((p(x))) = (Vsinx)3.
1.4	Даны элементарные функции: f(x) = 7x, <p(x) = x2, g(x) = log6x. Запишите сложную функцию:
а) Лф(х));	б) <p(g(x));	в) f(g(x))-,	г) g(g(x));
Д) ^(<P(f(x)));	е) <p(g(f(x)));	ж) f(g(<p(x))); з) f(g(f(x))).
Функции и их графики
1.2. Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции
Из определения функции следует, что функция у - f(x) должна задаваться вместе с ее областью определения, которая дальше будет обозначаться X или D(f). При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями.
Однако часто, задавая функцию аналитически, т. е. формулой, не указывают явно ее область определения. В таких случаях принято рассматривать функцию на ее полной области определения.
Полной областью определения функции у — f(x), заданной аналитически, называют множество всех действительных значений независимой переменной х, для каждого из которых функция принимает действительные значения. Иногда полную область определения называют областью существования функции.
В тех случаях, когда функция задана формулой и не указана ее область определения, областью определения функции считают область ее существования.
Областью изменения (областью значений) функции f(x) называют множество всех чисел /(х), соответствующих каждому х из области определения функции; область изменения функции f(x) обозначают E(f) или У.
ПРИМЕР 1. Пусть дана функция у = yjiog2/s^nx- Так как log2 sinx 0 лишь при условии sinx = 1 (в этом случае log2 sinx — 0), то область определения (существования) данной функции — мно-
жество всех чисел xk =	+ 2тг&, k е Z, т. е. X =
— + 2л£, k е Z !. 2
Область изменения функции состоит из одного числа нуль, т. е. У={0}.
ПРИМЕР 2. Пусть дана функция у = >11- х2. Область определения (существования) этой функции — отрезок X = [-1; 1] — находится из условия 1 — х2 0. Область изменения — отрезок У = [0; 1]- находится следующим образом: так как -1 х 1, то 0 х2 1, -1 -х2 0, 0 1 - х2 1, значит, 0 V1 - х2 1. При этом у принимает все значения из промежутка [0; 1].
ПРИМЕР 3. Пусть дана функция у =	Область определе-
ния (существования) этой функции — интервал X = (-1; 1) — находится из условия 1 — х2 > 0. Область изменения функции — проме-
6
жуток У = [1; +оо) — находится так: если -1 < х< 1, то 0 < ^1- х2 1, поэтому 1	1. При этом у принимает все значения из проме-
Jl _ -v-2
жутка [1; +оо).
ПРИМЕР 4. Пусть дана функция у =	 1 с областью опреде-
7Г^?
л/з
ления X = 0; — . Ее область изменения есть отрезок У = [1; 2].
F3
2
Функцию у = f(x), определенную на множестве X, называют ограниченной снизу на множестве X, если существует число А, такое, что А f(x) для любого х g X.
Например, функция у = х2 ограничена снизу на всей области существования R, так как х2 0 для любого действительного х.
Функцию у = f(x), определенную на множестве X, называют ограниченной сверху на множестве X, если существует число В, такое, что /(х) В для любого х е X.
Например, функция у = 71 - х2 ограничена сверху на всей области существования [-1; 1], так как 71 - х2 1 для любого х с [-1; 1].
Функцию у = f(x), определенную на множестве X, называют ограниченной на множестве X, если существует число М > 0, такое, что | /(х) | М для любого х g X.
Например, функция z/ = sinx ограничена на всей области существования 7?, так как |sinx|^ 1 для любого действительного х.
Про функцию у — f(x) говорят, что она принимает на множестве X наименьшее значение в точке х0, если х0 g X и f(xa) /(х) для всех х g X.
Говорят также, что функция у = f(x) принимает на множестве X наибольшее значение в точке х0, если х0 g X и /(х0) /(х) для всех х g X.
ПРИМЕР 5. Функция у = 71 - х2 на промежутке [-1; 1] принимает наибольшее значение у = 1 при х = 0 и наименьшее значение у = 0 при х = -1 и при х = 1.
ПРИМЕР 6. Функция у = х2 на промежутке (-оо; +оо) принимает наименьшее значение у = 0 при х = 0, не принимает наибольшего значения и не ограничена сверху.
ПРИМЕР 7. Функция у = 2х на множестве (-оо; 0] принимает наибольшее значение у = 1 при х = 0, не принимает наименьшего значения, но ограничена снизу числом 0.
ПРИМЕР 8. Функция у = log2 х на множестве (0; +оо) не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
7
Функции и их графики
ПРИМЕР 9. Функция у - [х] — целая часть числа х (наибольшее целое число, не превосходящее х) не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
ПРИМЕР 10. Функция у = {х} — дробная часть числа х ({х} = = х - [х]) принимает наименьшее значение у = 0 при любом х g Z, не принимает наибольшего значения, но ограничена сверху числом 1. •
1.5	° Что такое: а) область существования функции; б) область определения функции; в) область изменения функции?
1.6	° Пусть функция у = f (х) определена на множестве X. В каком случае говорят, что на этом множестве она ограничена сверху; ограничена снизу; ограничена? Приведите примеры.
1.7	Докажите, что функция у = 1 - х ограничена на множестве х = [-1; Л-
Найдите область определения функции:
1.8	а) у = у/х- 1;	б)	у -	+ 1;	в)	У = ух2 - 1;
	.	х2 - 9		1		Jx2 + X
	г) и =	; ’ J х2- 4	д)	У = г-.	; V*2 - X	е)	у = 		• х + 4
1.9	а) у = log21 х |;	б)	у = 1 log2 х 1;	в)	у = log2 tg х;
	г) у = 2Л;	д)	у = Тг7;	е)	у = ^х2 - 1 4- -х/1 - х2.
1.10
Найдите область изменения функции:
а)	у = V1 - х2;	б) у = V1 — х2, X = 0;
1.11	* Какая из функций в предыдущем задании на области ее определения является: а) ограниченной снизу; б) ограниченной сверху; в) ограниченной?
8
1.12	Покажите, что на полной области определения функция: а) у = х2 не является ограниченной сверху;
б)	у = —=- не является ограниченной снизу;
в)	у = log2 х не является ограниченной.
1.13 Докажите, что если функция у = f(x), определенная на множестве X, ограничена и сверху, и снизу на этом множестве, то она ограничена на этом множестве.
1.14 Имеет ли наибольшее (наименьшее) значение функция:
а) у = >!х - 1;	б) у = ^х2 - 1;	в) у = х3 *;
Г) у = 2'slnx;	д) у =	1	;	е) у = ^sinx?
V1- х2
Если имеет, то укажите точку (точки), в которой оно достигается.
1.3. Четность, нечетность, периодичность функций
Функцию у = f (х) с областью определения X называют четной, если для любого х е X число (-х) е X и справедливо равенство
/•(-х) = f (х).
Приведем примеры четных функций:
у - cosx, у = х2, у = V1 - х2, у =
График любой четной функции у = f(x) с областью определения X симметричен относительно оси ординат, так как для любого х е X точки плоскости (х; /(х)) и (-х; f(x)) симметричны относительно оси Оу.
Функцию у = f(x) с областью определения X называют нечетной, если для любого х е X число (-х) е X и справедливо равенство /(-х) = -/(х).
Приведем примеры нечетных функций:
з 1 У = X, у = S1I1X, у = X*5, у = -, у = tgx.
График любой нечетной функции у = f(x) с областью определения X симметричен относительно начала координат, так как для любого х е X точки плоскости (х; f(x)) и (-х; -f(x)) симметричны относительно начала координат.
Наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными.
Например, функции z/ = 2х + 3, у = х2 + 2х + 3, у = Vx, у = 1g х, у = 2х не являются ни четными, ни нечетными.
9
Функции и их графики
Кроме того, есть функции, которые являются одновременно и четными, и нечетными. Например, функция /(х) = 0 является и четной, и нечетной, так как для любого действительного числа х справедливы равенства:
/(-х) = 0 = f(x) и /(—х) = 0 = -0 = -/(х).
Функцию у = /(х) с областью определения X называют периодической, если существует число Т * 0, такое, что для любого х g X число (х 4- Т) е X, число (х - Т) е X и справедливо равенство
f(x + T) = f(x).
Число Т называют периодом функции /(х).
Заметим, что для периодической функции имеет место равенство
f(x - Г) = f (х).
Действительно, функция у = /(х) определена в точке х - Т и справедливо равенство f(x) = /((х - Т) + Т) = f(x - Т).
Если функция /, рассматриваемая на множестве X, принимает действительные значения и имеет период Т Ф 0, то очевидно, что она имеет также период -Т, поэтому достаточно рассматривать положительные периоды.
ПРИМЕР 1. а) Функция t/ = sinx определена на множестве X - (-оо; +оо) и имеет периодом число Т = 2л, так как для любого х е X числа х 4- 2л и х - 2л принадлежат множеству X и sin (х 4- 2л) = sin х.
б)	Функция у = tgx определена на множестве X всех х, кроме чисел xk =	4- /гл, k g Z, и имеет периодом число Т = л, так как для
любого х g X числа х 4- л и х - л принадлежат множеству X и tg(x 4- л) = tgx.
в)	Функция у = {х} (дробная часть числа х) имеет период Т = 1, так как она определена для любых х g R и {х 4- 1} = {х}.
г)	Функция у = sinVx не является периодической, так как ее область определения X = [0; +оо) и, например, для числа х = 0 число х - Т (если Т > 0) не принадлежит X — области определения этой функции.
д)	Функция у — С (константа) имеет периодом любое число
 Число Т называют главным периодом функции, если оно является наименьшим среди всех ее положительных периодов.
ПРИМЕР 2.
а)	Функция у = sinx имеет главный период Т — 2л.
б)	Функция у = tgx имеет главный период Т = л.
в)	Функция у = {х} имеет главный период Т - 1.
10
г) Функция Дирихле, определенная следующим образом:
{1, если х — любое рациональное число
0, если х — любое иррациональное число,
имеет периодом любое рациональное число Т & 0. Она не имеет главного периода.
д) Функция у - С (см. пример 1д)) не имеет главного периода.
Пусть дана функция у = /(х) с областью определения X. Пусть дано число а, такое, что а Ф 0. Тогда функция у = f(ax) имеет область определения Xi, которая характеризуется свойством: для лю-
X
бого хеХх число ахеХ, а для любого х е X число — е Хх. При этом если функция у = /(х) имеет период Т, то функция у = /(ах) Т
имеет период —. Действительно, для любого х g Хх справедливо ра
венство
/|а|х + — || = / (ах + Т) = / (ах), I а J/
откуда следует, Т чит, и число —
Т
что число — есть период функции у = /(ах), а зна-есть период функции у = /(ах).
ПРИМЕР 3.
а)	Функция у = sin х имеет область определения X = (-оо; +оо) и период 2л. Для любого числа а (а 0) функция у = sin ах имеет область определения Хх = X = (-оо; +оо) и период
б)	Функция у = tg х имеет область определения X (X — это все х g jR, кроме xk = + /гл, k g Z) и период л. Для любого числа а (а Ф 0) функция у = tg ах имеет область определения Хх (Хх — это п	п	л
все х, кроме х„ = — + — n, п g Z) и период ?—г.
2а а	|а|
Сумма, разность, произведение и частное двух функций, каждая из которых имеет область определения X и период Т, также есть функция с областью определения X и с периодом Т, (Предполагается, что функция-делитель отлична от нуля на множестве X.)
Поэтому, например, функция у - sin х + sin 2х - sin Зх, определенная на множестве (-оо; +оо), имеет период 2л, так как каждое слагаемое имеет область определения (—оо; +оо) и период 2л.
Функция у = sinx + tgx, определенная на множестве X всех х, кроме чисел xk =	+ /гл, k е Z, имеет период Т = 2л, так как каждое
слагаемое имеет область определения X и период 2л.
Функции и их графики
Однако нельзя утверждать, что если каждая из двух функций имеет главный период Т, то их сумма, разность, произведение и частное имеют всегда главный период Т.
Например, каждая из функций у = sin х и у = cos х имеет глав-
ный период 2л, но их произведение, т. е. функция у = sin х cos х = = — sin 2х, имеет главный период я, а их сумма, т. е. функция
у = sinx + cosх = д/2 sin ( х + — I, имеет главный период 2л. О I 4)
1.15° а) Какую функцию называют: четной; нечетной?
1.16	Докажите четность функции: а) у - х4 - 5х2 + 8 cos х;	б) у = 7х6 + 6х4 - 5.
1.17	Докажите нечетность функции: а) у = х5 - 5х - 4 sin х;	б) у = 4х7 - 5х3 - 5х. Определите, является ли четной или нечетной функция (1.18—1.20):
1.18	ч	х4 + 4	х3 - Зх а)у=2х3;	б)^=^+8; ч	х4 - cos х	.	5х3 + sin х B)j'=5^3x;	Г)У= Зх*-х •
1.19	а)	</ = |х-4| + |х + 4|; б)	у = |х-8| + |х + 8 |;	 в)	у = ^х2 + 2х + 1 + yjx2 - 2х +1; г)	у = ^х2 + 6х + 9 + д/х2 - 6х + 9; Д) У = J(x- 3)(х + 2) + у1(х + 3)(х - 2); е) у =	-	1)(х	- 7) + V(x + 1)(х + 7).
1.20	_ х2 - 2х + 4 х2 + 2х + 4.	_ х2 + 5х + 1 х2 - 5х + 1 а V х2 - Зх + 8 * х2 + Зх + 8’	V х2-7х+1 х2+7х + 1*
1.21	На рисунке 1, а—г изображена часть графика функции У = f М. Постройте весь график, если известно, что эта функция четная.
1.22 Решите задачу 1.21, если функция у = f(x) нечетная.
12
1.23	Докажите, что если функция у — f(x) определена на множестве X и для любого х g X число (-х) е X, то функция:
ч , х	+ f(-x)
а)	<р (х) =--------четная;
б)	\|/ (х) =-------- нечетная.
1.24	Докажите, что если функция у = f(x) определена на множестве X и для любого X G X число (—X) G X, то эту функцию можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых четная, а другая нечетная.
1.25	Представьте функцию у = 2х, определенную на всей числовой оси, в виде суммы четной и нечетной функций.
1.26	Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух четных функций есть четная функция на общей части (пересечении) областей определения этих функций.
1.27	а) Выясните, четной или нечетной функцией является сум-ма, разность, произведение и частное двух нечетных функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций.
Функции и их графики
б)	Выясните, является ли четной или нечетной функцией сумма, разность, произведение и частное четной и нечетной функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций.
1.28	° а) Какую функцию называют периодической?
б)	Какое число называют главным периодом периодической функции?
в)	Всякая ли периодическая функция имеет главный период?
1.29	Приведите пример периодической функции:
а)	имеющей главный период я; 2л; 1;
б)	не имеющей главного периода.
1.30	Докажите, что если число Т есть период функции /, то число mТ, где m g N, также будет периодом этой функции.
1.31	На рисунке 2, а—г изображена часть графика функции у = /(х). Продолжите построение графика функции, если известно, что период данной функции Т = 2.
» Рис. 2
a 14
Определите, является ли функция периодической. Если да, то укажите ее период (1.32—1.35):
1.32 а) у =	sin2x;		б) у = cos2 x;		в) у = sin2 x - ।		cos2	x;
г) У =	1 + tg	x;	д) y =	1 + ctgx;	e) у =	sin Vx;		
ж) У =	cos V	-x;	з) у =	tg Vx;	и) у =	ctg V-x.		
1.33 а) у =	sinx	1;	6) p = l	cos x |;	в) у = I	tgx|;		
г) У = \	ctgx	1;	Д) у = sin|x|;		е) у = cos |х|;			
ж) у =	tg|x	1;	3) Z/ = (	:tg|x|.				
1.34 а) у — \	W;		б) у = {*};		в) у =	|OJ 1 '-V*	5	
г) у =	Ml	i 2	; д) у =	bo M| (- 1	; е) у =	4{H	- 2	•
1.35 а) у = |	[sinx];		б) у = {sinx};		в) у = [cosx];			
г) у - {cosx};			д) г/ = 1	[sinx] |;	е) у = |{sinx} |;			
Ж) У =	1 [cosx] 1;		3) У = 1	{cosx} |.				
1.36 Определите период функции:
а) у = sin Зх + cos 8х;	б) у = sin 7х cos 5х + sin 5х cos 7х;
в) у = sin 4х + cos 10х; г) у = sin 7х cos 5х - sin 5х cos 7х.
1.4.	Промежутки возрастания» убывания, зпакопостоянства и нули функций
Функцию у = /(х), определенную на промежутке X, называют возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел хх и х2 из этого промежутка из неравенства хт < х2 следует неравенство
/(хО < /(х2).
ПРИМЕР 1.
а)	Функция у = х возрастает на промежутке (-оо; +оо).
б)	Функция у = х2 возрастает на промежутке [0; +оо).
ч	.	Г л л'
в)	Функция у = sm х возрастает на промежутке —; — .
£
Функцию у = f (х), определенную на промежутке X, называют убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел хг и х2 из этого промежутка из неравенства Xj < х2 следует неравенство
7 (*i) > f (х2).
Функции и их графики
ПРИМЕР 2.
а)	Функция у = х2 убывает на промежутке (-оо; 0].
(1
б)	Функция у = 1 — 1 убывает на промежутке (-оо; +оо).
I 2 J
. _	.	Г л Зя
в)	Функция у = sin х убывает на промежутке —; — .
Возрастающие функции и убывающие функции называют строго монотонными функциями.
Сумма возрастающих на промежутке X функций, очевидно, является функцией, также возрастающей на X, а сумма убывающих на промежутке X функций является функцией, убывающей на X,
ПРИМЕР 3.
а)	Функции у = у]х и у = vx — возрастающие на полуинтервале [0; +оо). Функция у = 4х + л/х также возрастающая на этом полуинтервале.
б)	Функции у — log2 х и у = 2х — возрастающие на интервале (0; +оо). Функция у = log2 х + 2х также возрастающая на этом интервале.
в)	Функции у = -х и у = 4-х — убывающие на полуинтервале (-оо; 0]. Функция у - -х + 4-х также убывающая на этом полуинтервале.
г)	Функции у = log0>5x и у = 0,5х — убывающие на интервале (0; +оо). Функция у = log0 5x + 0,5х также убывающая на этом интервале.
Функцию у = /(х), определенную па промежутке X, называют неубывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел хг и х2 из этого промежутка из неравенства Xj < х2 следует неравенство f(Xj) f(x2).
ПРИМЕР 4.
а) Функция у = жутке (-оо; +оо).
х2 при х 0
0 при х < 0 является неубывающей на проме-
б)	Функция у = 4х + |х| является неубывающей на промежутке (—оо; +оо).
Функцию у = /(х), определенную на промежутке X, называют невозрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел хг и х2 из этого промежутка из неравенства хх < х2 следует неравенство /(*1) > f(x2).
ПРИМЕР 5.
а)	Функция у = межутке (-со; +оо).
х2 при х < 0
0 при х > 0
является невозрастающей на про-

б)	Функция у = д/|х| - х является невозрастающей на промежутке (—оо; +оо).
Возрастающие функции, а также убывающие, невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными функциями. •
Число х0, принадлежащее области существования функции у = /(х), называют нулем этой функции, если f(x0) = 0. Для того чтобы найти все нули функции у = f(x), надо найти все корни уравнения f(x) = 0.
Говорят, что функция у = /(х) в точке х имеет знак «+», если в этой точке /(х) > 0, и знак «-», если в этой точке /(х) < 0.
Если для всех х из промежутка, принадлежащего области определения функции у = f(x), соответствующие значения этой функции имеют один и тот же знак, то этот промежуток называют промежутком знакопостоянства этой функции.
Промежутки знакопостоянства функции у = f (х) — это, во-первых, промежутки, на которых
f (х) > 0,
а во-вторых, промежутки, на которых
/(X) < 0.
(1)
(2)
Поэтому для того, чтобы найти все промежутки знакопостоянства функции у = /"(х), надо найти все решения неравенств (1) и (2).
Если найдены все промежутки знакопостоянства функции у = /(х), то говорят, что определено распределение знаков этой функции.
Далее на рисунках цветными сплошными точками изображены нули функции, а кружками («выколотыми» точками) — точки, в которых функция не определена.
ПРИМЕР 6.
а)	Функция у = ех определена и положительна на промежутке (-оо; +оо), т. е. она имеет знак «+» в каждой точке этого промежутка. Нулей у этой функции нет.
б)	Функция у = In х определена на промежутке (0; +оо), имеет единственный нуль (х0 =1), распределение знаков этой функции изображено на рисунке 3.
в)	Функция у = 4х определена на промежутке [0; +оо), имеет единственный нуль (х0 = 0), имеет знак «+» в каждой точке промежутка (0; +оо).
жутков (-оо; -2) U (-2; 4) U (4; +оо), имеет два нуля (хх = -1 и х2 — 3).
Распределение знаков этой функции изображено на рисунке 4.
-2 -1
 Рис. 4
0	1
 Рис. 3
3 4
Функции и их графики
ч л	(х- 1)(х-2)2(х- 5)	-	У
д) Функция^---------—-------- -------ШС-------X-------
определена на объединении проме- g рИСе 5
жутков (-оо; 3) U (3; +оо), имеет три
нуля (хх = 1, Х2 = 2 и х3 = 5). Распределение знаков этой функции изображено на рисунке 5.
1.37	° Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. В каком случае ее называют: возрастающей, убывающей, строго монотонной на промежутке X?
1.38	* Пусть функция у = /(х) определена на промежутке X. В каком случае ее называют: неубывающей, невозрастающей, монотонной на промежутке X?
1.39	а) Докажите, что сумма возрастающих на промежутке X функций является функцией, также возрастающей на X.
б) Докажите, что сумма убывающих на промежутке X функций является функцией, также убывающей на X.
1.40* а) Докажите, что если функция у = f(x) определена на промежутке X и возрастает на нем, то для любой пары чисел хг и х2 из промежутка X из справедливости неравенства f (xj > /(х2) следует справедливость неравенства хг > х2.
б) Докажите, что если функция у = f(x) определена на промежутке X и убывает на нем, то для любой пары чисел хх и х2 из промежутка X из справедливости неравенства f (хх) > f (х2) следует справедливость неравенства хх < х2.
в) Докажите, что если функция у = f (х) определена и строго монотонна на промежутке X, то для любой пары чисел хх и х2 из X из справедливости равенства /(хг) = f (х2) следует справедливость равенства хх = х2.
1.41	Докажите, что функция у = |х| на промежутке: а) [0; +оо) возрастает; б) (—оо; 0] убывает.
1.42	Докажите, что функция у = х2 - 2х на промежутке:
а)	[1; ч-оо) возрастает; б) (—оо; 1] убывает.
1,43	Докажите, что функция у = -х2 + 4х на промежутке: а) [2; +оо) убывает; б) (-оо; 2] возрастает.
1.44	При каких значениях k функция у = kx + Ъ является: а) возрастающей; б) убывающей?
1.45	При каких значениях а функция у = а(х — х0)2 + yQ является: а) возрастающей на промежутке [х0; +оо);
б)	убывающей на промежутке [х0; +оо);
в)	возрастающей на промежутке (-оо; х0];
г)	убывающей на промежутке (-оо; х0]?
18
1.46	Докажите, что функция:	я
а) у = logiX; б) у - тгх; в) у - 4х; г) у = х * 1 2 2
строго монотонна на полной области определения.
1.47	Укажите промежутки строгой монотонности функции:
а)	у =	б) у - %/х2;	в) у = ^5- 4х;
г)	у = Igcosx;	д) у = yjctgx;	е) у =------ + 1;
-----	х - Z
ж)	у = | х2 - Зх + 2 |; з) у = у]х2 - 1.
1.48	Укажите промежутки монотонности функции:
а)	у = х - [х];	б) у = [х] + х;
в)	у = | х-4| + |х + 4 |; г) у = |х - 8 | - | х + 8 |;
д)	у = д/х2 + 2х +1 + д/х2 - 2х + 1;
е)	у = ^х2 + 6х + 9 - д/х2 - 6х + 9.
1.49 Укажите промежутки знакопостоянства функции:
а) у = х2 - 4;	б) у = х2 - 4х;	в)	у = х2 - 5х + 4;
г) у = 9 - х2;	д) У = -х2 + 2х;	е)	у = -2х2 - Зх + 5;
X	4 Ж)г/=х + 3+1;	з) у = —2-- 1; * х - 2	и)	z/ = -|x-2| + 2.
1.50 Функция z/ = sgnx (читается «сигнум икс» —знак числа х) определяется так: если х > 0, то у = 1; если х = 0, то у = 0; если х<0, то у — —1. Определите промежутки монотонности, промежутки знакопостоянства функции: a) z/ = sgnx;	б) у = sgn (х2 - 4);
в) у = sgn(1gх);	г) у = sgn-.
1.51 При каких значениях Ь и с функция у = х2 + Ьх + с принимает отрицательные значения только при х е (-4; -2)?
1.5. Исследование функций и построение их графиков элементарными методами
Если для данной функции у = /(х) изучены перечисленные в пп. 1.2—1.4 свойства, то говорят, что проведено исследование функции у = f (х).
Таким образом, при исследовании функции необходимо ответить на следующие вопросы:
1) Какова область определения функции?
2) Какова область изменения функции?
Функции и их графики
3)	Ограниченная ли эта функция?
4)	Принимает ли функция наибольшее и наименьшее значения?
5)	Является ли эта функция четной (нечетной)?
6)	Периодическая ли эта функция?
7)	Есть ли у функции промежутки, где она возрастает (убывает)?
8)	Есть ли у нее промежутки знакопостоянства?
Именно по такой схеме ранее исследовались, по мере их введения, основные элементарные функции.
Исходя из свойств функции можно построить ее график, для построения которого полезно также знать точки его пересечения с осями координат.
Напомним, что графиком функции у = f(x) называют множество тех и только тех точек А (х; у) координатной плоскости хОу, координаты х и у которых удовлетворяют условию у = /(х).
Например, графиком функции у — х является прямая — биссектриса первого и третьего координатных углов.
Отметим, что существуют функции, график которых изобразить невозможно. Такой, например, является функция Дирихле.
Если график функции у = /(х), заданной на промежутке, есть непрерывная линия, полученная непрерывным движением карандаша без отрыва его острия от бумаги, то эту функцию называют непрерывной на этом промежутке.
Можно сказать и так: функцию называют непрерывной на промежутке, если в каждой точке этого промежутка она определена и малому изменению аргумента х соответствует малое изменение функции у.
На	пример, функция у = х2 непрерывна на промежутке (-оо; +оо);
функция у = непрерывна на промежутке (0; +оо), кроме того, она непрерывна на промежутке (-оо; 0).
 Формальное определение непрерывности функции будет дано в § 2. Согласно этому определению каждая из функций у = х2 и у = непрерывна на любом промежутке из области ее существования. •
ПРИМЕР. Исследуем функцию =	6
х2 + 2
(1)
и построим ее график.
Из формулы (1) можно вывести основные свойства функции
f(X)=^T2'
1)	Функция (1) определена для любых действительных чисел, т. е. область ее определения D(f) = (-оо; +оо).
Ч 20
6	6
2)	Эта функция четная, так как ---= —---- для любых
(-хг +2	+ 2
xeP(f).
3)	Функция (1) всюду положительна, ограничена снизу числом 0, а сверху числом 3, так как /(х) < 3 для любых х е D(f).
4)	Наибольшее значение 3 функция /(х) достигает в точке 0, наименьшего значения функция не имеет.
5)	Область изменения функции у = f(x) есть промежуток Е (/) = (0; 3], так как у принимает все значения из промежутка (0; 3].
6)	Функция f (х) на промежутке [0; +оо) убывающая. Действительно, пусть 0 Xj < х2, тогда 0 < xf + 2 < х2 + 2. И поскольку функция у = - убывающая для и > 0, то справедливо неравенство 6	6
Т2—2 > 7Т1 о> Т- е- f(x^ > f(X^-т & Jug '
7)	У этой функции нет нулей, но есть точка (0; 3) пересечения с осью Оу.
Для построения графика функции вычислим координаты нескольких точек графика для х 0:
X	0	1	2	3	4
У	3	2	1	6 11	1 3
Учитывая перечисленные свойства функции (1), построим ее график сначала для х 0, а потом симметрично отразим его (так как функция четная) относительно оси Оу (рис. 6).
График иллюстрирует все свойства функции у =
1.52	° На какие вопросы надо ответить при исследовании функции?
1.53	° Что называют графиком функции?
1.54	На рисунке 7, а, б изображен график функции у = f(x).
Укажите: область определения, нули, промежутки возрастания (убывания), промежутки знакопостоянства этой функции.
Исследуйте функцию и постройте ее график (1.55—1.57):
1.55	а) у = | х |; б) у =	в) у =	г) у =
21
Функции и их графики
 Рис. 7
!.56* а) у =
2х1 2-
4 + х2
Д) у = Vcosx; е) у = Jtgx;
з) у = 71о^2 х-
1.57* а) у = sin2 х;
б) у = ctg2 х;
в)
г) У = logiX .
\	2	7
ж) у = TiF;
1.6. Основные способы преобразования графиков
1. Симметрия относительно осей координат. Функции у = /(х)
и у = -f(x) имеют одну и ту же область определения. Их графики симметричны относительно оси Ох (рис. 8), так как точки (х; /(х))
 Рис. 8
 Рис. 9
и (х; —/ (х)) симметричны относительно оси Ох, Поэтому график функции у = -f(x) получается из графика функции у = /(х) симметричным отражением последнего относительно оси Ох. Построим этим способом графики функций у — -х2 (рис. 9) и у = —log2* (рис. 10).
Функции у = /(х) и у — f(—x) имеют области определения, симметричные относительно точки О. Графики этих функций симметричны относительно оси Оу (рис. 11), поэтому график функции у = f(-x) получается из графика функции у = /(х) симметричным отражением последнего относительно оси Оу.
Построим этим способом графики функций у = 2~х (рис. 12) и У = log2(-x) (рис- 13).
2. Сдвиг вдоль осей координат (параллельный перенос). Функция у = f(x - а), где а Ф 0, определена для всех х, таких, что (х — а) принадлежит области определения функции у = /(х), график функции у = /(х - а) получается сдвигом вдоль оси Ох на величину |а | графика функции у = /(х) вправо, если а > 0, и влево, если а < 0.
23
Функции и их графики
Действительно, пусть некоторая точка Мо (х0; у0) принадлежит графику функции у = f(x), т. е. пусть у0 = /(х0). Возьмем точку Мл (х0 + а; уо). Так как ее координаты удовлетворяют условию У о -	+ а) - а), то точка Мх принадлежит графику функции
у = f (х - а). Следовательно, каждая точка Мх графика функции у = f(x - а) получается из соответствующей точки Мо графика функции у = f(x) сдвигом этой точки вдоль оси Ох на величину а. При этом если а > 0, то сдвиг производится вправо на величину а; если а < 0, то влево на величину | а |. Ф
Построим этим способом графики функций у = (х - 2)2 (рис. 14), У = log2 (* + 3) (рис. 15) и у = cos (х + 1 (рис. 16).
 Рис. 15
Функции у = /(х) + В, где В Ф 0, и у = /(х) имеют одну и ту же область определения. График функции у = /(х) + В получается сдвигом графика функции у = f (х) вдоль оси Оу на величину |В | вверх, если В > 0, и вниз, если В < 0.
 Действительно, пусть некоторая точка Мо (х0; z/0) принадлежит графику функции у = f (х), т. е. пусть yQ = /(х0). Возьмем точку Mi (х0; yQ + В). Ее координаты удовлетворяют условию z/0 + В = = f(x0) + В. Следовательно, чтобы получить точку Mi9 надо точ-
24
ку Мо сдвинуть вдоль оси Оу на величину В. При этом если В > 0, то сдвиг производится вверх на величину В; если В < 0, то вниз на величину |В |. •
Построим этим способом графики функций у = х2 — 4 (рис. 17), у = log2 х - 3 (рис. 18) и у = sin х + 2 (рис. 19).
3. Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат. Функции у = f(x) и у = Bf(x), где В > 0, имеют одну и ту же область определения. График функции у = Bf(x) получается растяжением в В раз, если В > 1, и сжатием в * раз, если 0 < В < 1, вдоль оси Оу графика В
функции у = /(х).
25
Функции и их графики
Действительно, пусть некоторая точка Мо (х0; yG) принадлежит графику функции у = /(х), т. е. пусть yG = f(xG). Возьмем точку Мх(х0; ByG), Ее координаты удовлетворяют условию ByG = Bf(xG), поэтому точка принадлежит графику функции у = Bf(x). Рассмотрим возможные случаи в зависимости от числа В.
а) В > 1. Точка Мх (х0; ByG) получается из точки MG (х0; у0) увеличением модуля ординаты точки MG (х0; yG) в В раз, и график функции у = Bf(х) получается из графика функции у = /(х) увеличением модулей ординат всех точек в В раз, т. е. растяжением в В раз вдоль оси Оу графика функции у = /(х).
б) 0 < В < 1. Точка (х0; ByG) получается из точки Мо (х0; yG) уменьшением модуля ординаты точки Мо (х0; yG) в — раз, и график функции у = Bf (х) по-В
лучается из графика функции у = f(x) уменьшением модулей ординат всех то-
чек
1	1
в — раз, т. е. сжатием в — раз вдоль В	в
оси Оу графика функции у = f (х). •
Если В < 0, то В = -|Bi, и построение графика функции у = Bf(x) разбивается на два этапа: 1) построение графика функции ^ = |В|/(х) по графику функции у = f(x); 2) построение графика функции y = -\B\f(x) по графику функции у = |В|/(х).
Построим этим способом графики функций у = -2х2 (рис. 20), у = 2sinx (рис. 21) и у = -cosx (рис. 22).
Ук
Я Рис. 21
26
Функция у = f(kx), где k > 0, определена для всех х, таких, что число kx принадлежит области определения функции у = /(х). График функции у = f(kx) получается сжатием в k раз к оси Оу, если k > 1, и растяжением в — раз от оси Оу, если 0 < k < 1, графика к функции у = f(x).
Я| Действительно, пусть некоторая жит графику функции у = f (х),
М.
[ точка Мо (х0; yQ) принадле-/(х), т. е. пусть y0 = f(x0). Точка принадлежит графику функции у = f (kx), так как . (, х0 А ее координаты удовлетворяют условию у0 = / « —М.
V ™ J
Рассмотрим возможные случаи в зависимости от числа k.
a)	k > 1. Точка Мх
получается из точки Мо (х0; г/0)
получается из точки Мо увеличе-
1 в —
k
уменьшением модуля абсциссы точки Мо в k раз, и график функции у = f (kx) получается из графика функции у = f (х) уменьшением модулей абсцисс всех точек в k раз, т. е. сжатием в k раз к оси Оу графика функции у = f(x).
б)	0 < k < 1. Точка Мл f —; yQ 1 k )
нием модуля абсциссы точки Мо в раз, и график функции k
у - f(kx) получается из графика функции у = f (х) увеличением мо-
дулей абсцисс всех точек в — раз, т. е. растяжением в — раз от оси Оу k	k
графика функции у = f(x). О
Если k < 0, то k = -| k |, и построение графика функции у = f(kx) разбивается на два этапа: 1) построение графика функции у = ftfkfx) по графику функции у = f(x); 2) построение графика функции у = f (-| k | х) по графику функции у = f (| k | х).
27
Функции и их графики
Построим этим способом гра
фики
у = cos
функций i/ = sin2x (рис. 23), (1*1 (Рис- 24) и у = log2(-|x 1
(рис. 25).
4. Построение графика функции у = Af (k (х - а)) + В по графику функции у = f (х). График функции у = Af (k (х - а)) + В строится по графику функции у = f (х) последова-
тельным применением рассмотренных выше преобразований графиков. Например, так:
У = /(х) — у = f(kx) у = Af (kx) -*
—► у = Af (k (х - а)) —► у - Af (k (х - а)) + В.
Покажем применение этого способа на нескольких примерах.
 Рис. 25
ПРИМЕР 1. Построим график функции у = 4х + 3.
Наметим этапы построения этого графика:
У = -Jx -> у = Vx + 3 ->
— У = | Vx+З
Рис-26	- у =
и построим его (рис. 26).
ПРИМЕР 2. Построим график функции у = sinl 2х -	1 + 1.
Наметим этапы построения этого графика:
у = sin х —> у = sin 2х —> у = sin I 21 х - — I —> у = sin I 2х - I + 1, \\	6 J )	\	3 J
и построим его (рис. 27).
5. Симметрия относительно прямой у = х.
Любые точки А (х0; у0) и В (у0; х0) координатной плоскости симметричны относительно прямой у = х.
 Действительно, если yQ — х0, то точки А и В совпадают и принадлежат прямой у = х, так как имеют одинаковые координаты. В этом случае они симметричны относительно прямой у = х. Пусть теперь yQ Ф х0, тогда точки А (х0; у0) и В (г/0; х0) различны (на рисунке 28 показан случай, когда у0 > х0 > 0). Рассмотрим треугольник ОАВ, где О (0; 0) — начало координат. Этот треугольник равнобедренный (ОА = ОБ), так как
о А = 7(х0 - О)2 + (</0 - О)2 = 7х0 + Уо: OB =	- f/0)2 + (0 - x0)z = yfxfi + ~yl.
Координаты середины С отрезка АВ равны, так как каждая из них вычисляется по формуле *п *	. Это означает,
что отрезок ОС, принадлежащий прямой у = х, является медианой равнобедренного треугольника ОАВ, проведенной к его основанию, тогда ОС является высотой треугольника ОАВ и точки А и В симметричны относительно прямой У = х. ф
29
Функции и их графики
 Рис. 27
Пусть дана функция у = f(x) и пусть точка Мо (х0; у0) — произвольная точка графика функции у = f(x), тогда у0 = f(xGj. Рассмотрим точку Мj (jq; г/i), координаты которой отличаются от координат точки MG лишь порядком (т. е. хг = yG, уг = xG), По доказанному выше точка симметрична точке Мо относительно прямой у = х. Для координат точки справедливо равенство xr- f (у Так как MG — произвольная точка графика функции у = /(х), то каждой такой точке Mq соответствует точка Mlf симметричная точке MG относительно прямой у = х. Это означает, что график функции x = f(y) симметричен относительно прямой у = х графику функции у = f (х) (рис. 29).
ПРИМЕР 3. В системе координат хОу построим графики функций у - х2 и х = у2.
Сначала построим график функции у = х2, затем отразим его симметрично относительно прямой у = х. Получится график функции х = у2 (рис. 30).
Замечание. Подчеркнем, что у рассмотренных выше функций х — f(y) и х = у2 независимой переменной является г/, а зависимой переменной х.
В системе координат (1.58—1.64):
1.58 а) у = х3 и у = -х3;
в) у = 3х и у = -3х;
д) у = sin х и у — -sin х;
хОу постройте графики функций
б) у = х4 и у = -х4;
г) у = logiX и у = -logjx; з	з
е) у = tg х и у = -tg х.
31
Функции и их графики
1.59
1.60
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
а) у = х3 и у = (-х)3;
в) у = 3х и у = 3-х;
д) у = sin х и у = sin (-х);
а) у = х3 и у = (х + I)3;
в) у — 3х и у — 3х " 2;
д) у = sin х и у - sin (х - 1);
а) у = х3 и у = х3 4- 1;
в) у = 3х и у = 3х - 2;
д) у = sin х и у = sin х - 2;
а) у = х3 и у - 2х3;
в) у = 3х и у = -2 • 3х;
д) у = sin х и у = 3 sin х;
а) у = х3 и у = (2х)3;
в) у = 3х и у = 32х;
д) у = sin х и у = sin Зх;
а) у = х3 и х = уа;
в) у = 3х и х - 3-';
д) у = sin х и х = sin у, Постройте график функции: а) у = х2 + 2х + 3;
в) у = 2 • Зх + 1-6;
д) у = sinf 2x4- I - 1;
б) у = х4 и у = (—х)4;
г) у = logi х и у = logi (-х);
е) у = tg х и у = tg (—х).
б) у = х4 и у = (х - I)4;
Г) у = logi X и у = log! (х 4- 2)
3	3
е) у = tg х и у = tg (х + 2).
б) у = х4 и у = х4 - 1;
г) у = logiX и у = log! х + 2; з	з
е) У = tg х и у = tg х 4- 2.
б) у = х4 и у = -2х4;
г) у = logjx и у = 21ogj х;
3	3
е) у = tg х и у = -2 tg х.
б) у = х4 и у = (-2х)4;
г) у = logiX и у = log!(-2x);
з	з
е) у - tg х и у = tg (-2х).
б) у = х4 и х = у4;
г) У = logiX и у = logi г/;
3	3
е) у = tg х и х = tg у.
б) у = 2 (х - I)3 - 3;
г) у = 2log! (~2х 4- 3) - 4;
3/	\
е) у = -2 tg х - - I 4- 3.
Дан график функции у — f(x) (рис. 31, а, б).
 Рис. 31
a; 32
Постройте график функции:
а) №-/(«); б) y = f(-x); ъ) у = f (х - 2)-, Д) У = f (х + 1) - 2;	е) у = f (х - 2) + 1;
з) у = | /(х);	и) у = f (2х);
1.67 Постройте график функции:
а) У =	б) у =
4	4
г)</ = ^;	д^ = 7Т2-2;
-4	6
ж)г/ = Т^~2;	3)i/ = 7TI + 1:
Г) у = f (X + 3); ж) </ = 2/(х);
ч /Г1 1 к) У = / -хх .
V £ J
В) у = * + 2;
и) У = —г - 3.
X + 1
1.68	* Уравнение окружности с центром О (0; 0) радиуса R имеет вид х2 + у2 = R2, поэтому графиком функции у = -Jr2 — х2 является верхняя полуокружность (рис. 32).
Постройте график функции:
а)	у = ^4- х2;
б)	у = -74 - х2;
в)	у = 79 ~ (х - I)2;
г)	у = - 79 - (х + I)2;
Д) у = У16-(х + 2)2 - 2;
е)	у = - д/25 - (х - З)2 + 1.
1.69	Постройте график функции: а) У = 3 - ^9- х2 + 8х;
в) у = 12 - 7125 - х2 - 20х;
 Рис. 32
б) у = 4 - ^9- х2 - 8х;
г) у = -5 + 7б9 - х2 + 20х.
Укажите область определения, нули, промежутки знакопосто-янства, промежутки возрастания (убывания) этой функции.
1.70	Постройте график функции:
а) х = 2у; б) х - у2, у > 0; в) х = 2^; г) х =
д) X = sin у, —5S у «	е) х = $. - I/2.
1.71	Дан график функции у = f(x) (рис. 33, а—г). Постройте график функции х = f(y).
1.72	Придумайте пример функции у = f(x), график которой совпадает с графиком функции х = f(y) при изображении этих графиков в одной системе координат хОу.
33
Функции и их графики
 Рис. 34
1.73	На рисунке 34, а—е изображена полуокружность. Является ли эта полуокружность графиком функции у = f(x) или х = <р («/)? Если да, то задайте эту функцию формулой.
1.74	На рисунке 35, а—е изображена парабола. Является ли эта парабола графиком функции у = f(x) или х — (p(z/)? Если да, то задайте эту функцию формулой.
 Рис. 35
1.7*. Графики функций, содержащих модули
Пусть дан график функции у = f(x). Требуется с его помощью построить график функции у = | /(х) |.
Если для всех х из некоторого множества X функция у = f(x) принимает неотрицательные значения (/(х) 0), то на всем этом множестве график функции у = | /(х) | совпадает с графиком функции у = /(х), так как для каждого х из этого множества справедливо равенство | /(х) | = /(х).
Функции и их графики
35  ->д
Если же для всех х из некоторого множества Хг функция у = /(х) принимает отрицательные значения (/(х) < 0), то на этом множестве график функции у = | /(х) | получается симметричным отражением графика функции у — /(х) относительно оси Ох, так как для каждого х из этого множества справедливо равенство | /(х) | = -/(х).
Таким образом, для построения графика функции у - | /(х) | надо сохранить ту часть графика функции у = f(x), точки которой находятся на оси Ох или выше этой оси, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции у = /(х), которая расположена ниже оси Ох (рис. 36).
Заметим, что график функции у = | /(х) | не имеет точек, лежащих ниже оси Ох.
Построим этим способом графики функций у = |х2 - 11 (рис. 37), У = I log2^ I (рис. 38), у = | sinx | (рис. 39).
Пусть теперь дан график функции у = f(x), определенной на множестве X, и с его помощью требуется построить график функции У = /(I X I).
Заметим, что если точка х принадлежит области определения функции у = /(| х |), то и точка -х также ей принадлежит, так как | — х | = | х |. Тогда для любого х из области определения функции У = /(I х |) справедливо равенство / (| -х |) = /(| х |), т. е. функция I/ = f(l я I) четная.
88 Рис. 38	И Рис. 39
2*
36
Для всех х 0, х е X график функции у = /(| х |) совпадает с графиком функции у = /(х), так как для каждого х О, х е X справедливо равенство ?(|x|) = f(x). Это правая часть графика функции у - /(I х |), а левая его часть симметрична правой относительно оси Оу, так как функция у = f(\ х |) четная.
Таким образом, для построения графика функции i/ = /(|x|) надо сохранить только ту часть графика функции у — /(х), точки которой находятся на оси Оу или справа от нее, и симметрично отразить эту часть относительно оси Оу (рис. 40).
Построим этим способом графики функций i/ = 2l*l (рис. 41), у = log2 | х | (рис. 42), у = sin | х | (рис. 43).
а Рис. 43
2
х - 2
Теперь построим более сложные графики функций, содержащих модули.
ПРИМЕР 1. Построим график функции у =
2
Сначала построим график функции <р(х) =--+ 1. Это гипербо-
2 х ~ 2
ла, полученная сдвигом гиперболы у = — на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх (рис. 44).
37
Функции и их графики
 Рис. 44
Для построения графика функции у =
сохраним ту
часть графика функции у = <р(х), точки которой находятся на оси Ох или выше ее, и симметрично отразим относительно оси Ох ту часть графика функции у = ср (х), которая расположена ниже оси Ох (рис. 45).
ПРИМЕР 2. Построим график функции у = :—=----+1.
|х| — 2
2
Сначала построим график функции ф(х) =---- + 1 (см. рис. 44).
X &
Для построения графика функции у = (р (| х I) сохраним ту часть графика функции у = (р (х), точки которой находятся на оси Оу или справа от нее (рис. 46). Затем симметрично отразим эту часть относительно оси Оу (рис. 47).
 Рис. 46
 Рис. 47
Д- + 2 .
ПРИМЕР 3. Построим график функции у =
Сначала построим график функ-
-4
ции <р(х) =--- + 2. Это гипербола, по-
х + 1	_
лученная сдвигом гиперболы у = —
на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх (рис. 48).
Затем описанным выше способом с помощью графика функции г/ = ср(х) построим сначала график функции у = ф(х), х > О, потом график функции у = ф(| х |) (рис. 49), а с помощью этого графика построим график функции у = |ф(|х|) | (рис. 50). Это и будет график функции у =
Д- + 2 .
1.75	° Как построить график функции у = | /(х) |, если дан график функции у = /(х)?
1.76	Дан график функции у = /(х) (рис. 51, а, б). Постройте график функции у = | / (х) |.
1.77	° Как построить график функции у = /(|х|), если дан график функции у = f(x)?
1.78	Дан график функции у = f(x) (см. рис. 51). Постройте график функции у = /(| х |).
39
Функции и их графики
1.79
Постройте график функции а) у = | х2 - 4 |; б) у =	- 1
(1.79—1.83):
; в) j/ = |log2x|;
г) y = |2* - 2|.
1.80	а)1/ = 1-г^т; б) г/ = г^-г + 2; в) у = З'Ч г) у = З’Ч IхI	1^1
1.81	а) у = х1 2 - 5 | х - 11 + 1;	б) у = | х2 - Зх + 2 | + 2х - 3;
в) у = (х + 1) (| х | - 2);	г) у = | х2 + Зх - 2 | - | 5х - 2 |;
	ч	2х - 6		2| х| + 1	
	Д) У= |3-х|;	е)	у = о ; 2-х	
	ж) у = sin | х |;	з)	у = | cos | х 11.	
1.82	а) у = [sin х];	б)	у = {sin х};	в) у - [cos х];
	г) у = {cos х};	д)	у = | [sin х] |;	е) у = | {sin х] |;
	ж) у = | [cos х] |;	з)	у = | {cos х} |.	
	.	sin х		cosx	ч	sin х cos х
1.83	а) у =	—р	б)	У =	;;	г в)	У । • । ' ।	। ’
	|smx|		|cos х|	|smx| |cosx|
	г) у = sin х + | sin х |		д) у = COS X + I COS XI.	
1.8*. Графики сложных функций
1. График суперпозиции функций. Рассмотрим примеры, показывающие, как построить график сложной функции у = /(<р(х)), если дан график функции и = ф(х) и известны свойства функции У = f(u).
ПРИМЕР 1. Построим график функции у = 2sinx.
Область определения функции у = 2sin х — множество всех действительных чисел. Поскольку функция у = sin х периодическая
40
2 smx также периодическая с перио-2sin х на про-
с периодом 2л, то функция у = дом 2л. Поэтому построим сначала график функции у =
межутке
л Зл
—; — , затем продолжим его периодически.
тх	Л Л
На промежутке —; —
I	&
значит, функция у = 2s,n х
71
2 значит, функция у = 2slnx
На промежутке
функция у = sinx возрастает от —1 до 1, возрастает на этом промежутке от i до 2.
функция у = sinx убывает от 1 до -1, убывает на этом промежутке от 2 до i
Перечисленные свойства позволяют построить схематический
затем продолжить его перио-
график у = 2sin х на отрезке
л. Зл
2’ ~2
ПРИМЕР 2. Построим график функции у = log2 sinx.
Область определения функции у = log2 sin х — множество всех действительных чисел х, для каждого из которых sin х > 0. Поскольку функция у = sin х периодическая с периодом 2л, то функция у = log2 sin х также периодическая с периодом 2л. Поэтому сначала построим график функции у = log2 sinx на промежутке (О; 2л], затем продолжим его периодически.
На промежутке
функция у = sin х возрастает от 0 до
1,
значит, функция у = log2 sin х возрастает на этом промежутке от —оо до 0.
На промежутке
л 1	.
—; л функция z/ = sinx убывает от 1 до о J
0,
значит, функция у = log2 sin х убывает на этом промежутке от О до —оо.
j41
Функции и их графики
На промежутке [я; 2л] функция у = sinx неположительна, поэтому функция у = log2 sin х на этом промежутке не определена.
Перечисленные свойства позволяют построить график функции у = log2sinx на промежутке (0; 2л], затем продолжить его периодически (рис. 53).
2.	График суммы функций. Пусть даны функции у = f (х) и у = £(х). Тогда функция у = /(х) + £(х) имеет область существования X, которая есть общая часть (пересечение) областей существова
ния функций у = f(x) и у = g(x). Пусть х0 g X и точка (х0; ух) принадлежит графику функции у = /(х), а точка М2 (х0; у2) принадлежит графику функции у = g(x). То-
гда точка Мо (х0; уг + у2) принадлежит графику функции у - f(x) + g(x). Значит, для построения графика функции у = / (х) + g(x) следует:
а)	оставить только те точки графиков у = f(x) и у = g(x), у которых х е X;
б)	произвести сложение ординат точек графиков у = f (х) и у — g (х) для каждого х е X.
Построим таким способом графики двух функций у = л/х + л/1 - х (рис. 54)
и у = х + sin х (рис. 55).
3.	График произведения функций. Пусть даны функции у = f(x) и у = g(x). Тогда функция у = f (х) • g(x) имеет область существования X, которая есть общая часть (пересечение) областей существования функций у - f(x) и у = g(x). Пусть х0 е X и точка Мг (х0; уг) принадлежит графику функции у = f(x), а точка М2 (х0; у2) принадлежит графику функции у = g(x). Тогда точка Мо (х0; уг • у2)
42
принадлежит графику функции у = f(x) • g(x). Значит, для построения графика функции у - f(x) • g(x) следует:
а)	оставить только те точки графиков у = f(x) и у = g(x)y у которых хеХ;
б)	произвести умножение ординат точек графиков у = f(x) и у = g(x) для каждого хеХ.
Построим таким способом гра-фики двух функций у = 4х • V1 - х (рис. 56) и у - xsinx (рис. 57).
4. График кусочно-заданной функции. Простейшим примером кусочно-заданной функции является функция у = |х|, которая определяется так:
х, если х > О
-х, если х < 0.
43
Функции и их графики
Еще один пример кусочно-заданной функции — это функция у = sgnx («сигнум» х — знак х), которая определяется так:
sgnx =
1,
если х > О если х = О если х < 0.
Графики этих функций изображены на рисунках 58 и 59.
 Рис. 58
 Рис. 59
44
Графики более сложных кусочно-заданных функций строятся на каждом промежутке по той формуле, которой задается функция на этом промежутке (см. рис. 60 и 61).
4, если -2 х < — 1
{log5 х, если 0 < х < 5
2х “ 5, если х > 5
-4х, если -1 х < 0
2х, если 0 х < 3
 Рис. 60
Постройте график функции (1.84—1.89): 1.84	а)	у = 1g cos х;	б) у = ^ctg х +1; в)	у = 2tg х;	г) у = (log2Vx - I)3. 1.85	а)	у = у[х + >12 - х;	б)	у = 2х + sin х; в)	у = tg х - log3 х;	г)	у = ctgx + уГх2. 1.86	а)	у = yfx • ^2 - х;	б)	у = 2х • sin х; в)	у = tg х • log3 х;	г)	у = ctgx • ЗдЛ 1.87	а)	у = ^х2 + 2х +	1	+ ^х2 - 6х + 9; б)	у = ^х2 - 2х +	1	- ^х2 + 6х + 9;	
в) У = А	/х2 - 4х + 4 + д/х2 + 4х + 4;
Г) У = А	/х2 + 4х + 4 - у]х2 - 4х + 4.
1.88 а) у = а 1.89 а) у = 	/х + 4-Vx;	б) у = у/х --у/х + 9. '	Зл . л	-1, если х^ —— 2х, если х -1	2 1	Зл	_ если -1 < х < 0	б) у = cosx, если —— < х 0 х	' v	2 х2, если х 0;	х2 +1, если 0 < х < 1 log2(x + 3), если х > 1;
45
Предел функции и непрерывность
	х2, если	х 2	cosx, если	л	Я х^ -
	1			6	4
	—у, если	-2 < х < 0	ч		л
в) у = 	X2	г) у = •	tgx, если	— < х < л
	Vx, если	0^ х^ 4		4 Зя
	log2 если х > 4;		sinx, если	л х < —. 2
§ 2. Предел функции и непрерывность
2.1. Понятие предела функции
Рассмотрим функцию у = -Д. Она определена для всех х, кроме х = 0.	х
Посмотрим, как изменяются значения этой функции при неограниченном возрастании х.
X	1	2	4	8	10	102	10s	1010
1	1	1 8	1 64	1 512	1 1000	1 10°	1 10,г>	1 1030
Очевидно, что значения функции у = -Д стремятся (приближа-х
ются) к нулю, когда независимая переменная х неограниченно возрастает, оставаясь положительной, т. е. Д- -> 0 при х -* +оо. Это за-1 х 1
писывают так: lim — = 0, и говорят, что пределом функции у = — X —* +оо X	X
при х, стремящемся к +оо (х —► +оо), является число нуль.
Аналогично рассуждая, получим, что -Д —> 0 при х —► — оо. Это 1 х записывают так: lim — = 0.
ooX,j
Рассмотрим теперь функцию у = х3. Она определена для всех х.
Посмотрим, как изменяются значения этой функции при неограниченном возрастании х.
X	1	2	4	8	10	102	10®	1010
У = X3	1	8	64	512	103	10®	1015	103°
Очевидно, что значения этой функции неограниченно возрастают, т. е. стремятся к +оо, когда независимая переменная х неограни
46
ченно возрастает, т. е. х3 —> +оо при х —> +оо. Это записывают так: lim х3 = +оо, и говорят, что пределом функции у = х3 при х —> +оо X —> +СО является +оо.
Аналогично рассуждая, получим, что х3 -> -оо при х -оо. Это записывается так: lim х3 = -оо.
х—>• -оо
Рассмотрим теперь функцию у = f(x), определенную для всех х > М, где М — некоторое неотрицательное число.
Говорят, что пределом функции у = f(x) при х —> +оо является А, если из того, что х неограниченно возрастает, следует, что соответствующие значения функции f(x) стремятся к А, т. е. если f (х) —► А при х -> +оо. Это записывают так: lim /(х) = А.
X —► + ЭО
Аналогично определяется lim f (х) = А.
X —> —ОО
В этих определениях А может быть или любым числом, или +оо, или — оо.
ПРИМЕР 1. Функция у = i определена для всех х > 0 и для всех
х < 0. Нетрудно видеть, что lim — = 0 и lim — = 0.
X —* +оо X	x^.—qqX
ПРИМЕР 2. Функция у = —---------1- 2 определена для всех х Ф 1.
х - 1
Нетрудно видеть, что lim [ —+ 2 ] = 2 и lim |	+ 2 | = 2.
х —> +оо\ X— 1	}	х->—oolx— 1	)
ПРИМЕР 3. Функция у = х5 определена для всех х. Нетрудно видеть, что lim х° = + оо и lim х5 = -оо.
X —+ 4-00	х —* -ОО
Рассмотрим функцию у = х°. Она определена для всех х, кроме х = 0, так как запись 0° не имеет смысла.
Так как для всех х Ф 0 соответствующие значения этой функции равны 1, то очевидно, что когда х стремится к нулю (х —> О), то соответствующие значения этой функции, равные 1, стремятся к 1, т. е. х° —► 1 при х —► 0. Это записывают так: lim х° = 1, и гово-х—>0
рят, что пределом функции у = х° при х, стремящемся к 0, является число 1.
Рассмотрим теперь функцию у = ?---г. Она определена для всех
I х — 21
х, кроме х = 2. Для всех х 2 соответствующие значения этой функции положительны, и при х —> 2 они неограниченно возрастают, т. е. т---г —► +оо при х —► 2. Это записывают так: lim т — = +оо, и го-
|х-2|	н	х->г|х-2|
47
Предел функции и непрерывность
ворят, что пределом функции у = г-—-т при х, стремящемся к 2, | х — 2|
является +оо.
Аналогично рассуждая, получаем, что :--i—r —> -оо при х 2.
-1 ।х ~
Это записывают так: lim т-— = -оо, и говорят, что пределом функ-
_1	х--*2|х —2|
ции у = ।. при х, стремящемся к 2, является -оо.
| х — 2|
Рассмотрим теперь функцию у = /(х). Пусть она определена в некоторой окрестности точки х = а за исключением, быть может, самой точки а, т. е. пусть она определена для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а-8<х<а+8 при некотором 8 > О, за исключением, быть может, самой точки а. Говорят, что пределом функции у = f(x) в точке а является А, если из того, что х —► а, оставаясь в окрестности точки а, следует, что соответствующие значения функции /(х) стремятся к А, т. е. если f(x) А при х —► а. Это записывают так: lim /(х) = А.
х —► а
В этом определении А может быть или любым числом, или +оо, или -оо.
ПРИМЕР 4. Функция у - х2 определена для всех х; в частности, она определена в любой окрестности точки 2 (включая саму точку 2). Нетрудно видеть, что если х -> 2, то соответствующие значения функции у = х2 стремятся к 4. Следовательно, пределом функции у = х2 при х -> 2 является число 4: limx2 = 4.
х-> 2
ПРИМЕР 5. Функция у = -i- определена для всех х, кроме х = О, поэтому, в частности, она определена в любой окрестности точки О, за исключением самой точки 0. Ясно, что если х —► 0, то соответст-1
вующие значения функции у = — остаются положительными и не-
Х 1 ограниченно возрастают. Следовательно, пределом функции у = —
1 Х при х —► 0 является +оо: lim — = + оо.
х — о х2
Замечание. Часто вместо слов «пределом функции является А» говорят «функция имеет предел А» или «предел функции равен А». В частности, говорят «функция у = ।———т при х —► 2 имеет пре-| х — 2|
дел -оо» или «предел функции у = .-----г при х —> 2 равен -оо».
|х- 2|
Так как +оо и -оо не являются действительными числами, то слово
48
«равен» применительно к ним употребляется лишь для упрощения речи.
Пишут, что х —> оо (не ставя знак «+» или «—» перед символом оо), если известно, что |х|-* +оо. Поэтому можно написать: lim -i = 0, lim I—-— + 2 I = 2. Пишут также, что lim/‘(x)=oo, х -+ оо х	х —► со X 1 J	х—► а
если известно, что lim|f(x)| = +оо. X —* о
Поэтому можно написать:
lim х5 = оо,	lim х5 =	оо, lim х5	= оо, lim —	= оо, lim ?--г = оо.
х—>+оо	х->-оо	х-*оо	х-»Ол	х->2|Х-	2
ПРИМЕР 6. Так как lim — = +оо, то lim — = оо. х —» О х	х —» О х
2.1	Дана функция f(x) = 5 + —. Заполните таблицу и определите,
к какому значению стремятся значения функции при х а, если: а) а = +оо; б) а = -оо; в) а = 1.
а)	X	1	10	100	1000	10 000	100 000
	У = /(»)						
							
б)	X	-1	-10	-100	-1000	-10 000	-100 000
	У =						
							
в)	X	1,1	0,9	1,01	0,99	1,001	0,999
	У = f(x)						
Чему равны пределы: lim 15 + — I, lim X —» +ОО 1	х J х —♦ - ОО						fs + -\ lim (5 + -I? \ х ) х~*1 \ х )	
2.2	Объясните, что означает запись:
a) lim f2 + —1 = 2;	б) lim х2 = 9;
X—+оо^ х J	х-*-3
X 1-	1	Ч V	1
в) hm ।-----г = +оо; г) lim---------- = оо.
х—>5|х - 5|	х—5 х - 5
49
Предел функции и непрерывность
2,3 Объясните, почему верно равенство:
X V	1
a) lim ]-----т = +оо;
х->1 |х - 1|
в) lim -—Ц-- = оо; х—>2(х — 2)3
_ 1- -1
б) lim -——g = -оо; х — -1 (X 4- 1Г
ч V -3 г) lim ------- - оо.
х—>-2X4- 2
Определите, чему равен предел (2.4—2.5):
2.4 а)	lim х3; б) lim sinx; х->2	x-f		в) lim cosx; г) х —> п
2.5* а)	lim (-l)Ixl • х3; у	> -4-m	б)	lim (-1)1*1 • х3; Y 	» — rtrt
г)	г (-ukl lim 5—; х—>0 х2	д)	lim (-2)lxJ; х—> +ОО
1- 2 lim —.
IX
2
(-1)и
В) lim	;
х — О X
е) lim (-tc)I*1.
X * г DO
2.2. Односторонние пределы
__	sin х _	Л
Рассмотрим функцию у —-----. Она определена для всех х О,
ее график изображен на рисунке 62.
Посмотрим, как изменяются значения функции при х —► 0.
X	0,50	0,10	0,05
sin х У = X	0,9589	0,9983	0,9996
Как видно из таблицы, значения функции у — ---- стремятся
X
к 1, когда независимая переменная х стремится к нулю, оставаясь положительной.
50
Этот факт можно получить из геометрических соображений. На рисунке 63 изображена окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат хОу.
Пусть угол АОС равен а радиан, где О < а < —. Тогда длина дуги АС равна а (уАС = а). Из точки А проведем к окружности касательную. Пусть она пересечет ось Ох в точке D. Опустим из точки А перпендикуляр на ось Ох. Пусть он пересекает ось Ох в точке В, а окружность в точке Е. Из треугольников ОАВ и OAD следует, что В А = sin a, AD = tg а.
Так как длина дуги окружности больше стягиваемой ею хорды и меньше
объемлющей ее ломаной, то 2АВ < 2 (^АС) < 2AD. Поэтому 2 sin а < 2а < 2 tg а. Так как sin а > 0, то отсюда получаем, что . а 1 1 <----<-----.
sin а	cos а
Так как все члены в этом двойном неравенстве положительны, то
cos а <
sing а
< 1.
Если теперь а устремлять (приближать) к нулю, то cos а будет л тт	sin а
стремиться к 1. Но числа —-— находятся все время между числами
1 п	sin а	-
cos а и 1. Это показывает, что ——— стремится к 1, когда а стремится
к нулю, оставаясь положительным.
Тот факт, что функция у = ——— стремится к 1, когда х стремит-
ся к О, оставаясь положительным, записывают так:
1- sinx л	/п
1пп——-=1,	(1)
х — О х х > О *	sin х
и говорят, что предел функции у — * , когда х стремится к нулю, принимая положительные значения, равен 1.
Но если х —► 0, принимая отрицательные значения, то указанный предел все равно существует и равен 1. Это получается из равенства (1) посредством замены переменной х = — и, в силу которой если х -> 0, х < 0, то и —► 0, и > 0 и
sinx lim
-+о
lim х —♦ о
sin (- х) (-х)
lim и —» О
sin^x и
= 1.
(2)
х < О
х < о
и > О
51
Предел функции и нс11рерывность
Равенство (2) означает, что предел функции у = —равен 1,
когда х стремится к нулю, оставаясь отрицательным.
Рассмотрим функцию z/ = (l + x)x для таких значений х, что О < | х | < 1. Можно показать, что
1
lim (1 + х)х — е и х — о
х > О
1_
lim (1 + х)х — е, х-> о
х<0
где е — иррациональное число, приближенно равное 2,71828... .
Рассмотрим теперь функцию у = /(х). Пусть она определена в некоторой правой окрестности точки а, т. е. пусть она определена для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а < х < а + 8, при некотором 8 > 0. Говорят, что эта функция имеет правый предел в точке а, равный А, если из того, что х стремится к а, оставаясь в правой окрестности точки а, следует, что соответствующие значения /(х) стремятся к А. Это записывают так:
lim f(x) = А. х -* а х > а
Пусть функция у = f(x) определена в некоторой левой окрестности точки а, т. е. пусть она определена для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а - 8 < х < а при некотором 8 > 0. Говорят, что эта функция имеет левый предел в точке а, равный В, если из того, что х стремится к а, оставаясь в левой окрестности а, следует, что соответствующие значения /(х) стремятся к В. Это записывают так:
lim /(х) = В. х —► а х < а
В этих определениях А и В могут быть или любыми числами, или +оо, или -оо.
Выше найдены правый и левый пределы функции у = —-— в точке нуль, оба равные 1, и указаны правый и левый пределы 1
функции у - (1 + х)х в точке нуль, оба равные числу е.
Легко проверить, что существуют правый и левый пределы 1
функции у = — в точке нуль, оба равные +оо, и что существуют пра-
х 1
выи и левый пределы функции у = —г в точке нуль, оба рав-|х|
ные -оо.
Отметим еще, что правый и левый пределы функции в точке а могут и не совпадать.
gg52
ПРИМЕР 1. У функции у =
1, если х > О - О, если х = О
-1, если х < О
правый предел в точке 0 есть 1, а левый предел есть -1.
ПРИМЕР 2. У функции у = ± правый предел в точке О равен Ч-оо, а левый предел равен -оо.
ПРИМЕР 3. У функции у = tg х левый предел в точке Ч-оо, а правый предел равен -оо.
— равен
Наряду с определением предела функции в точке, приведенным в п. 2.1, можно дать и такое определение:
Если существуют левый и правый пределы функции у = f(x) в точке а и оба они равны А, то говорят, что эта функция имеет предел в точке а, равный А, и пишут:
lim f (х) - А, х-» а
В этом случае само собой разумеется, что функция у - f(x) определена в некоторой (полной) окрестности a-S<x<a + S точки а за исключением, быть может, самой точки а.
ПРИМЕР 4. Функция у = определена для всех значений х л	sinx .
за исключением х = 0. Выше показано, что lim ------------= 1 и
х-> О х
sin х	х > о
lim ---= 1, следовательно, эта функция при х —> 0 имеет предел,
х -► о х
х < о
равный 1:
Этот предел называют первым замечательным пределом. £
ПРИМЕР 5. Функция у = (1 4- х)х определена для таких х, что
О < | х | < 1.	£	1
Выше указано, что Ит(1+х)х = е и lim(l+x)x = е. Таким х — О	х-> О
х > 0	х < О
образом, эта функция имеет предел при х —► 0, равный е: £ lim (1 4- х)х = е.
х —* о
Этот предел называют вторым замечательным пределом.
53
Предел функции и непрерывность
ПРИМЕР (>. Функция у = 2х определена для всех х.
Можно доказать, что для любого х0 lim 2х = 2Х° и lim 2х = 2Х°.
х — х0	х — х0
X > х0	X < х0
Таким образом, для любого х0 эта функция имеет предел при х —> х0 и он равен 2Х°:
lim 2х = 2Х°.
X — х0
Отметим, что выше (см. пп. 2.1, 2.2) приведено определение предела функции на интуитивном уровне. Ниже приведены два формальных (принятых в математическом анализе) определения предела в случае, когда А — число (определение «на языке £ - 5» и определение «на языке последовательностей»).
К Говорят, что функция у = f(x) имеет предел при х —► а, равный И числу А, если она определена в некоторой окрестности точки а, исключая, быть может, саму точку а, и если для любого положительного числа е найдется такое положительное число 5, что для любого х, такого, что 0 < | х - а | < 6, выполняется неравенство | f (х) - А | < £. При этом пишут: lim /(х) = А.
х —- а
Используя только что приведенное определение предела «на языке £ — 8», докажем, что lim 2х = 2.
х —* 1
Так как функция у -2х определена для всех х, то она определена и в любой окрестности точки а = 1. Возьмем произвольное по-(	£ А
ложительное число е и выберем число 5 = log2 1 + — • Очевидно, что
8 > 0. Возьмем теперь любое х, такое, что 0 < | х - 11 < 8, т. е. любое х £ 1 из промежутка 1-8<х<1 + 8. Ясно, что
log2
2х < 2l + s = 2 • 26 * = 2 • 2
= 2 + Е,
-log2
2х > 21 “8 = 2  2-5 = 2 • 2
2	4	4-е2 * *
£	2 + е > 2 + е ” Е’
2
Эти неравенства означают, что | 2х - 2 | < е. Итак, для любого £ > 0 нашлось 5 > 0, такое, что | 2х - 2 | < £ для любого х, такого, что 0 < | х - 11 < 8. По определению это и означает, что lim 2х — 2.
Х-» 1
Замечание. В только что рассмотренном примере не объяснено, как было найдено 8 = log2
. Задача нахождения 6 по заданно-
му £, вообще говоря, довольно трудная.
Говорят, что функция у = f(x) имеет предел при х —> а, равный числу А, если она определена в некоторой окрестности точки а, ис-
& 54
ключая, быть может, саму точку а, и если для любой последовательности {х„}, имеющей предел, равный а, и такой, что хп Ф а для всех и, соответствующая последовательность {f(xn)} имеет предел, равный А.
Используя только что введенное определение, докажем, что функция у = sin-^ не имеет предела при х —► 0. На рисунке 64 изо-бражен график функции у = sin—, которая определена для всех значений х * 0. Она определена, таким образом, в любой окрестности точки х = 0 за исключением самой точки х = 0. Эта функция не имеет предела при х —► 0, потому что последовательность отличных от 2
нуля значений xk = ——----— (k = 1, 2, ...) стремится к нулю, а соот-
Л (2л? - 1)
„ .1 ветствующая им последовательность значении функции yk = sm — xk
(1, -1, 1, -1, ...) не стремится при k —> оо ни к какому пределу. Ф
Замечание. Наряду с определением предела функции в точке, приведенным в п. 2.1, в этом пункте приведены еще три определения предела функции в точке. Очевидно, что пределы функции в точке, найденные по любому из этих определений, совпадают.
Найдите левый и правый пределы функции y = f(x} при х—► а, если (2.6—2.8):
2.6 а) /(х) = х3, а = 1;	б) /(х) = х-2, а = i;
LA
в) /(х) = sin х, а = л; г) f(x) = cos х, а =
Li
21 а) /(х) = 772’ “ = "2; б) /(ж) = а = 2;
о	1
в) /(Ж) = fx IV ’ а = 1:	Г) /(Ж) = r~~L' “ = °-
2.8	а) /(х)=—-—, а = 0; б) /(х) = tg х, а =	;
sm х	2
в) f (х) = ctg х, а = 2л; г) /(х) = ——, а =
cos х 2
Найдите предел функции у = f(x) при х —> а, используя понятия левого и правого пределов, если (2.9—2.10):
2.9	a) f(x) - -х5, а - 0;	б) /(х) = х4, а = 1;
в) /(х) = sinfx + -^-1, а =	г) /(х) = cos (х - -^-1, а — \
Предел функции и непрерывность
55 —----
У
 Рис. 64
56
2.10	a) f(x)=- 1 a = 2;	6) f(x) = =--a = 1;
(X — Z)	I x — 11
в) f(x) = I tg x I, a = Ь r) f(x) = I ctg x I, a = n. A
2.11	Найдите левый и правый пределы функции у = f(x) при х -> а, если:
х	х^ — 4
a) f(x) =^,0 = 0; б) f(x) = а = -2;
| х |	х + 2
2	3
в) /(х) = т^-р а = 0; г) f(x) = ^-у, а = 0. х	х
Существует ли предел функции у = f(x) при х —> а? Если существует, то чему он равен?
2.12 Вычислите:
а)
lim
х —> О
sin2x
2х ’
3sin —
б) lim -------
х-»0 х
в)
,. sin лх 11П1 -------.
х-* О ЛХ
2.13* Докажите, используя определение предела «на языке Е - 6» или «на языке последовательностей», что:
a) lim(3x-7)=5;
х —> 4
б) lim(5x-9)=l;
х —► 2
в) lim (-х + 2) = 4;
х — - 2
д) lim (Зх + 10)= -2;
X —> —4
г) lim(-2x + 7) = 1; х— з
е) lim (2х-1)=-11.
х —* 5
2.14* Определите, чему равен предел функции у = f(x) при х —> а, если:
a) f(x) = х2, а = 1;	б)	f(x) — х2, а = 2;
в) /(х) = х"1, а = 2;	г)	f(x) = х-2, а = 3;
д) /(х) = 3* х, а - 1;	е)	/(х) = log3 х, а =	2.
Докажите правильность своего ответа с помощью определения предела «на языке е - 8» или «на языке последовательностей».
2.3. Свойства пределов функций
Если lim f(x) и lim ср(х) — действительные числа, то справед-
х —> а	х—* а
ливы следующие свойства пределов:
lim (/(х) + ф (х)) = lim f (х) + lim ф (х);	(1)
х—* а	х —* а	х —> а
lim (f(x) - ф (х)) = lim /(х) - lim ф (х);	(2)
х—» а	х -» а	х—* а
Ш1 57	Предел функции и непрерывность
. -  - -	-- -	.	--J—J
lim (/(х) • (р (х)) == lim f (х)  lim ф (х);	(3)
х —* а	х-* а	х — Г, V . hm /(х) 1. f (х)	х— а 11П1	L — _—if	 х^а<р(х) Нт<р(х)’ х~» а	* а и ж ч а в а в ». е ж « л « я $ * я ® « ъ г \ « VK а м в ее.а а *•* э» ч a sа к <- ъ (4) s ss с й и эая а к « <,
если lim<p(x)#O. х-> а
Отметим, что если /(х) = С (постоянная), то lim С=С.	(5)
х а
Замечание. В приведенных равенствах а может быть или числом, или +оо, или -оо, или оо.
Из свойства (3) следует, что (\
Ит/Чх)! (6) х -► а	)
И lim (Сф (х)) = С lim ф (х),	(7)
х — а	х -> а
где С — постоянная.
Для функции f(x), такой, что f(x) Ф 0 в окрестности точки а, справедливы свойства:
1 если lim f(x) = оо, то lim - О; х—* а	х—* a f(x)
1 если lim f (х) = 0, то lim —— = оо. х—>а	х-*а/(х)
ПРИМЕР 1. Если х0 е R то, применяя свойства (1), (5), (6) и (7), имеем
lim (ах2 + bx + c) = lim (ах2) + lim (bx) + lim с -
х—х0	X -* х0	Х->Х0	х->х0
,	V 2
= a lim х + b lim х + с = ах% + Ьх0 + с.
^х->х0 )	х-*х0
ПРИМЕР 2. Применяя свойства (4), (1) и (7), имеем
2 , л	lim (х2 + 4)	lim х2 + lim 4	А , .
lim * + 4 = *-2	= J 2	= 4+ 4 = 2
х — 2 х + 2	lim (х + 2)	lim х + lim 2	2+2
х-2	х—»2	х—»2
В этих примерах, чтобы вычислить предел функции при х —► а, где а — число, достаточно подставить в нее а вместо х. В частности, в примере 2 это можно сделать, потому что как числитель, так и знаменатель стремятся к конечным пределам и при этом предел знаменателя не равен нулю.
58
Приведем примеры вычисления пределов функций, когда отмеченные выше свойства пределов нельзя применить.
ПРИМЕР 3. Найдем lim * +
х — 3 X - 3
Здесь нельзя применить свойство (4), выражающее, что предел частного равен частному пределов, потому что предел знаменателя равен нулю. С другой стороны, можно доказать, что если числитель дроби стремится к конечному числу, не равному нулю, а знаменатель стремится к нулю, то дробь стремится к бесконечности. Поэто-х + 2 му lim ----- = оо.
з х - 3
— 4
ПРИМЕР 4. Найдем lim ------.
2 X - 2
В данном случае числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю и соображения, приведенные в примере 3, тоже неприменимы.
— 4
Но вот как можно поступить. Для любого х * 2 имеем----= х + 2,
х - 2
а так как при определении предела при х —► 2 не принимается во х% — 4
внимание значение функции в точке х = 2, то lim--= lim(x + 2).
х —* 2 х - 2	х —♦ 2
Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более сложной х2 — 4
функции-----—, достаточно вычислить предел более простой функ-
X
ции х + 2. Последний при х -> 2, очевидно, равен 4, так как lim (х + 2) = lim х + lim 2 = 2 + 2 = 4. х—2	х —► 2	х —► 2
Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно записывают следующим образом:
х2 — 4 lim----— = lim (х + 2) = lim х + 2 = 4.
х—*2 х - 2 х —> 2	х->2
х2 — 4
Подчеркнем, что функции /(х) =----- и <р (х) = х + 2 являются
х - 2
разными функциями. Первая из них определена для всех х 2, в то время как вторая определена для всех х без исключений. Графики этих функций изображены на рисунках 65 и 66 соответственно. Однако при вычислении предела функции при х —> 2 нас совершенно не интересует, определена или не определена эта функция в самой точке х = 2, и так как /(х) = ф (х) для всех х Ф 2, то lim /*(х) = = lim ф (х) = (р (2).	2
х —* 2
59
Предел функции и непрерывность
2.15
2.16
2.17
2.18
Вычислите: а)
в)
Д)
ж)
lim (sin x + cos x);
x-> 2L
X 2
X3 - 1 lim—2; x —»1 X - 1 ..	1 - cos 2x
hm---------;
x-+0 x2
2
lim
г-0
Докажите, что: а) Щп Ш = 1; х—>0 X
б)
г)
е)
з)
б)
Вычислите (2.17—2.19): a) lim^;
X—о 7х ч .. sinx г) hm ——; х^о 5х ж) lim ;
х — о sin х
б)
Д)
з)
X V Н 1 a) lim 1 + —
Зх
оо
б)
2х
в) lim
г)
lim (x4 - 2x2 + x x-> 1
.. sin(x + 2)
bin ----——
x— -2 x + 2
Ит(1 + Зх)*; х—* О
lim с—о
£
2+ xV
2 J
к 1&х -I
lim------= 1.
х — о sin х
V tg7x hm-------;
x —► О X
.. 5x lim ------
x-» о sin 5x
lim
x — o sin x
lim 1 + — с —♦ со \	Зх
1 I •
3x J ’
, \2x
+ 1);
в)
е)
и)
lim
X —0 10x
.. sin3x
hm-------
x-> о 2x
x —* 0 sin 5x
geo
2.19 a)
в)
Д)
lim
X —* ОО
Зх + 7
2х + 1 ’
.. 2х - 2 lim -----
соо 5х + 6
Зх3 - 5х2 + 7
2™оо 5х2 + 7х - 5
.. Зх4 + 5х - 1 lim	7—Z------7’
—» —оо 2х3 + Зх2 + 9х + 1
lim х-> 2
х3 - 8. х - 2 ’
2.4. Понятие непрерывности функции
На рисунке 67 изображен график функции у — f(x). Его естественно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть нарисован одним непрерывным движением карандаша без отрыва от бумаги.
Зададим произвольную точку (число) х0, принадлежащую интервалу (а; Ъ). Близкая к ней другая точка х может быть записана в виде х = х0 + Дх, где Дх есть число положительное или отрицательное, называемое приращением аргумента в точке х0. При этом имеется в виду, что Дх такое, что х0 + Дх е (а; Ь).
Разность Д/ = Дг/ = f (х0 + Дх) - /(х0) называют приращением функции f в точке х0, соответствующим приращению Дх. На рисунке 67 Дх > 0 и равно длине отрезка ВС.
Будем устремлять Дх непрерывно к нулю, тогда для рассматриваемой функции, очевидно, и Дг/ будет стремиться к нулю:
Д г/ —► О при Дх -> 0.	(1)
Рассмотрим теперь график функции у - f (х), изображенный на рисунке 68. Он состоит из двух непрерывных кусков РА и QR. Однако эти куски не соединены непрерывно, и поэтому график естественно назвать разрывным. В точке х0 нам надо как-то определить нашу функцию; условимся, что значение /(х0) равно длине отрезка, со
 Рис. 67
 Рис. 68
61
Предел функции и непрерывность
единяющего точку А и точку х0 на оси Ох, точка А принадлежит графику, она изображена на рисунке 68 жирной точкой. Точка Q не принадлежит графику, она обведена кружком. Если бы точка Q принадлежала графику, то функция у = /(х) принимала бы два значения в точке х0, что противоречит определению функции, приведенному в п. 1.1.
Придадим теперь аргументу х0 приращение Дх и определим соответствующее приращение функции:
&f=f(x0 + Ax)-f(x0).
Если мы будем Дх устремлять непрерывно к нулю, то теперь уже нельзя сказать, что Д/ будет стремиться к нулю. Для отрицательных Дх, стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не так: из рисунка видно, что если Дх, оставаясь положительным, стремится к нулю, то соответствующее приращение Д/ при этом стремится к положительному числу, равному длине отрезка AQ.
После рассмотрения этих примеров естественно ввести следующее определение. Функцию у = f(x), определенную на интервале (а; &), называют непрерывной в точке х0 этого интервала, если приращение функции в этой точке, соответствующее приращению аргумента Дх, стремится к нулю при любом способе стремления Дх к нулю (здесь имеется в виду Дх, такое, что (х0 + Дх) е (а; Ъ)). Это свойство (непрерывности в точке х0) записывается в виде (1) или в виде
lim Лу = 0.	(2)
Дх —о
Запись (2) читается так: предел Дг/ равен нулю, когда Дх стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение «по любому закону» обычно опускают, подразумевая его. В частности, Дх может пробегать любую стремящуюся к нулю последовательность, члены которой могут быть как положительными, так и отрицательными числами.
Если определенная на интервале (а; Ь) функция у = /(х) не является непрерывной в точке х0 этого интервала, т. е. в этой точке для нее не выполняется свойство (2) хотя бы при одном способе стремления Дх к нулю, то она называется разрывной в точке х0. Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерывна в любой точке х интервала (а; Ь), функция же, график которой изображен на рисунке 68, непрерывна в любой точке интервала (а; Ь), за исключением точки х0, потому что для последней равенство (2) не выполняется, когда Дх —► 0, оставаясь положительным.
Из равенства (2) следует, что
lim f (х) = lim (/(х0) +	- /(х0))) =
X — х0	X — х0
= lim f(xo) + lim (/(х) - f(x0)) = f(x0) + 0 = f(x0),
X — xo	X — Xq
62
т. е. получилось равенство
lim f (х) = /(х0),
* — х0
(3)
которое может служить другим эквивалентным определением непрерывности функции у = /(х) в точке х0:

Функцию у = f (х) называют непрерывной в точке х0, если она определена в окрестности этой точки, в том числе и в самой точке х0, существует предел функции у — /(х) в точке х0 и выполняется равенство (3).
Равенство (3) можно записать в виде
lim f(x0 + Дх) = f(x0).
Ах — 0
Функцию, непрерывную в любой точке интервала (а; Ь), называют непрерывной на этом интервале.
Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерывна на интервале (а; Ъ). Функция, график которой изображен на рисунке 68, непрерывна на интервале (а; х0) и на интервале (х0; &).
 Равенство (3) можно записать еще и так:
lim f (х) = /(lim х).	(4)
х—х0	х— х0
Приведем пример на применение равенства (4).
Докажем, что
lim 1п(— -х) = 1.	(5)
х— 0 х
Сначала преобразуем дробь: 1п(1+х)	1 , ~
—-------= — • In (1 + х) = In (1 + х)х.
х х _i
Так как lim (1 + х)х = е и функция у = In и непрерывна в точке х — о
uQ = е, то lim In и = In lim и = Ine = 1. Поэтому и — е	и — е
1пП + xl	1	1
lim--------= lim In(1 + х)х = In lim (1 + x)x = Ine = 1.
x->0 X x —0	x —о
В качестве следствия равенства (5) докажем, что к е*~ 1	1
lim-----= 1.
х — о х
63
Предел функции и непрерывность
Обозначим ех - 1 = t, тогда ех = 1 + t, t > -1, х = In (1 + t) и t -> 0 при х —* 0. Применяя равенство (5), имеем
ех - 1	.. t	1	1	.
lim-----= lim--------=----;——-----= - = 1.
х-*о х <->oln(l + O .. ln(l+0 1 lim-----------------------------—
t - о t
Приведем теперь определение непрерывности функции в точке «на языке е — 5».
Говорят, что функция у = /(х) непрерывна в точке х0, если эта функция определена в окрестности этой точки и в самой точке х0 и для любого положительного числа е найдется такое положительное число 5, что для каждого х, такого, что | х - х01 < 5, выполняется неравенство | / (х) - f(x0) | < е.
Введем понятие непрерывности справа и слева функции в точке.
Говорят, что функция у = /(х) непрерывна справа в точке х0, если она определена в правой окрестности этой точки х0, в том числе и в самой точке х0, и lim f (х) = / (х0).
X — х0 х >х0
Говорят, что функция у = /(х) непрерывна слева в точке х0, если она определена в левой окрестности этой точки х0, в том числе и в самой точке х0, и lim /(х) = /(х0).
х — х0
X <х0
Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерывна слева в точке Ъ и непрерывна справа в точке а. Функция, график которой изображен на рисунке 68, непрерывна слева в точках х0 и Ъ, непрерывна справа в точке а (в точке х0 она не является непрерывной справа).
Функцию называют непрерывной на отрезке [а; Ь], если она непрерывна в любой точке интервала (а; &), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ъ. Аналогично определяются функции, непрерывные на полуинтервалах [а; Ь) и (а; д].
Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерывна на отрезке [а; Ь]. Функция, график которой изображен на рисунке 68, непрерывна на отрезке [а; х0] и на полуинтервале (х0; д]. •
График функции, непрерывной на промежутке, есть непрерывная линия. Поэтому определение непрерывности функции на промежутке, которое использовалось нами ранее, не противоречит приведенному в п. 2.4 определению.
2.20° Какую функцию называют непрерывной на промежутке?
2.21 Что называют: а) приращением аргумента; б) приращением функции?
64
	Вычислите приращение Д/ функции у = /(х) в заданной точке х0 и при заданном приращении аргумента Дх (2.22—2.24), если:
2.22	f (х) - 2х. а) х0 = 3, Дх = 0,1;	б) х0 = 4, Дх =-0,1; в) х0 = 0, Дх = 0,1;	г) х0 = 1, Дх = 0,01.
2.23	/ (х) = -2х + 1. а) х0 = 0, Дх = 0,1;	б) х0=1, Дх = 0,1; в) х0 = 1, Дх = —0,1;	г) х0 =-1, Дх = 0,01.
2.24	/ (х) = X2. а) х0 = 0, Дх = 0,1;	б) х0 = 1, Дх = 0,1; в) х0 = 1, Дх =-0,1;	г) х0 = 2, Дх = 0,1.
2.25	Найдите приращение Д/ функции у = /(х), соответствующее приращению аргумента Дх, в точке х0: а) /(х) = 2х; б) f(x) = -2x+l; в) f(x) = х2. К чему стремится Д/ при Дх —► 0? Зависит ли ответ на этот вопрос от выбора точки х0?
2.26	Является ли непрерывной на интервале (-оо; +оо) функция: а) /(х) = С; б) /(х) = kx + Ъ;	в) f(х) = ах2 + Ьх + с? Ответ обоснуйте.
2.27	Докажите, что в любой точке х0 g R непрерывна функция: а) у = х2;	б) у = х3;	в) у = 2х3 - х2 + х.
2.28	Докажите, что в любой точке х0 е (0; +оо) непрерывна функция: а) У = log2 х; б) у = х~г.
2.29	Докажите, что функция f(x) = апхп + ап_ гхп ~ 1 + ... + агх + а0 непрерывна в любой точке х0 е R.
2.30	Докажите, что если функции у = f(x) и у = (р (х) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывна также функция: а) у = /(х) + (р (х);	б) </ = /(х)-<р(х); в) у = /(х) • ф (х);	г) у =	' при условии <р (х0) Ф 0. (р (X)
2.31	Докажите непрерывность функции у = f(x) в произвольной точке х0 е R: a) f (х) = sin х; б) f (х) = cos х.
2.32	Укажите промежутки непрерывности функции: |sinx|	|cosx|	х2 - 4 а) у = Ч	.	б) у = 	L;	в) у = ——; sin х	cos х	х + 2 	 g г) у =	_ ;	д) у = tg х;	е) у = ctg х. X — о
Предел функции и непрерывность
65

2.5. Непрерывность элементарных функций
Каждая из рассмотренных ранее основных элементарных функций непрерывна в каждой точке области существования этой функции. Данное свойство означает, в частности, справедливость следующих равенств:
1)	lim хп = xg X— х0	(n g 2V, х0 g R);
2)	lim х~п = х0 X — х0	п (п g N, х0 * 0);
3)	lim х“ = х^ Х-* х0	(а >0, х0 0);
4)	lim х"а = х~	а (а >0, х0 > 0);
X— х0
5)	lim ах = ах° (а > 0, а * 1, xQ g jR); х — х0
6)	lim logax = logax0 (а > 0, а Ф 1, х0 > 0); Х-* х0
7)	lim sinx= sinx0 (х0 g Л);
8)	lim cosx= cosx0 (x0 g R); x-> x0
9)	lim tgx= tgx0 (x0 *	+ nk, k g Z);
10)	lim ctgx= ctgx0 (x0 Ф лп, n g Z).
X-* x0
Из приведенного выше утверждения следует также, что каждая из основных элементарных функций непрерывна на каждом промежутке, содержащемся в области существования этой функции. Так, в частности:
а)	каждая из функций у = хп (n g ЛГ), у = ах (а > 0, а* 1), у = sin х, у = cos х непрерывна на промежутке (—оо; +оо);
б)	каждая из функций у = х~^ (а > 0), у = logfl х (а > 0, а * 1) непрерывна на промежутке (0; +оо);
в)	функция у = ха (а > 0) непрерывна на промежутке [0; +оо);
г)	функция у = х~п (п g N) непрерывна на каждом из промежутков (-оо; 0) и (0; +оо);
д)	функция у = tg х непрерывна на каждом из промежутков + л/г < х <	+ л (k + 1), k g Z;
e)	функция у = ctg x непрерывна на каждом из промежутков лп < х < л (n + 1), п g Z.
З-Никольский, 11 кл.
66
При вычислении пределов функции надо учитывать, что если функция х = ф (и) непрерывна в точке и0, а функция у = f(x) непрерывна в точке xQ = ф (и0), то суперпозиция этих функций, т. е. функция F(u) = /(ф (zz)), непрерывна в точке и0. Ведь, применяя равенство (4) из п. 2.4, можно записать:
lim F (u) = lim /(ф (и)) - f (lim ф (и)) = и —» ио	и —> UQ	и—* Uq
= /(<p(limu))= /'(<p(u0))= F(u0).
и —и0
ПРИМЕР 1. Функцию у - sin х3 можно записать как суперпозицию двух непрерывных на R функций у = sin и, и = х3, поэтому она тоже непрерывна для всех х е (-оо; +оо).
ПРИМЕР 2. Функцию у = 71 - х2 можно записать как суперпозицию функций у = Ju, и = 1 - v, и = х2. Первая из этих трех функций непрерывна для и 0, вторая непрерывна для всех и, третья непрерывна для всех х. Это показывает, что исходная функция непрерывна для всех тех х, для которых 1 - х2 0, т. е. для всех х, удовлетворяющих неравенствам -1 х 1. •
Сформулируем теорему о промежуточных значениях непрерывной функции.
ТЕОРЕМА. Пусть функция у =f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и пусть f (а) = A, f(b) = B, А* В. Тогда для любого числа С, находящегося между числами А и В, найдется по крайней мере одна точка х0 е (а; Ь), для которой /(х0) = С (рис. 69, а, б).
Эту теорему можно сформулировать и так:
Непрерывная на отрезке [а; 6] функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка [а; 6].
б)
 Рис. 69
67
Предел функции и непрерывность
Доказательство этой теоремы основывается на свойстве непрерывности действительных чисел (см. п. 1.2 учебника 10 класса). Оно выходит за рамки школьной программы и поэтому опускается.
2.33 Определите какой-либо промежуток, на котором непрерывна функция:	_з
а)	у = sin 2х; б) у = tg-^; в) у = х~*; г) у = logj (х + 1).
2
2.34	Определите_все промежутки, на которых непрерывна функция: а) у = 2^sinx; б) у = logt tgx; в) у = log2 (х + 1).
2
2.35	° а) Сформулируйте теорему о промежуточном значении непрерывной функции.
б)	Пусть функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и f(a) > 0, f(b) < 0. На каком основании утверждают, что на интервале (а; Ъ) найдется точка с, такая, что f(c) = 0?
2.36 Объясните, почему у функции у = / (х) на указанном отрезке имеется нуль, если:
a) f(x) = 5х + 2, [-1; 2]; б) /(х) = х* 1 2 + 6х - 1, [0; 1];
в)	f(x) = х3 * + 6х2 - 4х - 1, [0; 1].
2.37* Докажите, что уравнение х5 - 55 = 0 имеет корень на отрезке [2; 4].
2.38* Докажите, что уравнение х3 + 5х2 - 7х - 1 = 0 имеет корень на отрезке [1; 2].
2.6*. Разрывные функции
Пусть дана функция у = f (х), определенная во всех точках интервала J. Напомним, что эта функция:
1) непрерывна в точке х0 е J, если в этой точке lim / (х) = f (х0);	(1)
х-> х0
2) непрерывна на интервале J, если эта функция непрерывна в каждой точке интервала J;
3) разрывна в точке х0 е J, если для нее не выполняется условие (1).
ПРИМЕР 1. Функция у =
1, если х > 0
- 0, если х = 0
-1, если х < 0
определена в каждой
точке интервала J = (—оо; +оо). Она разрывна в точке х = 0 g J, так
4 68
У>	1
1<	
о	X
-1	
 Рис. 70
как в этой точке не выполнено условие (1). График ее приведен на рисунке 70. На нем очевиден разрыв функции в точке х0 = 0.
Разрывные функции описывают скачкообразные процессы, встречающиеся в природе. Например, при ударе скорость тела меняется скачкообразно. Многие качественные переходы сопровождаются скачками.
ПРИМЕР 2. Упругий шарик двигался прямолинейно и равномерно со скоростью р0. В момент времени t0 он ударился о стенку и после этого стал двигаться в противоположном направлении с той же скоростью v0. Можно считать, что скорость в момент t0 изменилась мгновенно: в момент времени t0 она еще равнялась vQ, а при t > t0 стала равной -v0. Итак, имеем функцию, определяемую следующим образом: z.x f если 0 < t ta у = v(t) =5	Л Л
(-и0, если t > t0.
>
 Рис. 71
ч-
*0
о—
Эта функция определена в каждой точке интервала J = (0; +оо). Она разрывна в точке t = t0.
График этой функции приведен на рисунке 71. На нем очевиден разрыв функции в точке t = t0.
ПРИМЕР 3. Функция у =
-----, если х 1
х - 1	определена в каж-
3, если х = 1
— 1
дой точке интервала (-оо; +оо). Так как lim ------= 2, а г/(1) = 3,
х —* 1 х - 1
то очевидно, что эта функция разрывна в точке xQ = 1. График ее приведен на рисунке 72.
Отметим, что если видоизменить функцию из примера 3 только в одной точке х = 1, положив ее равной числу 2 в этой точке, то получим новую функцию, непрерывную на интервале (—оо; +оо):
х2 - 1
У = х - 1 ’
если х Ф 1
2, если х = 1.
69
Предел функции и непрерывность
Рассмотрим теперь функцию, определенную для всех х, за исключением одной точки х0, т. е. определенную на объединении двух интервалов (-оо; х0) и (х0; +оо). Вместо этой функции можно рассмотреть новую функцию, определенную уже в каждой точке интервала (—оо; +оо); для этого надо доопределить эту функцию в точке х0 любым способом.
ПРИМЕР 4. Функция у = х° опреде-	у
лена для всех х, кроме х = О (рис. 73).	1
Если доопределить эту функцию в точке	‘
х = 0 следующим образом:
= ( х°, если х Ф 0	(Л	'х
(1, если х = О,
 Рис. 73 то полученная функция будет непрерыв-
ной на интервале (—оо; +оо). Если ее доопределить в точке х = О другим образом: у — с (с 1) при х = О, то новая функция будет разрывна в точке х = 0.
ПРИМЕР 5. Функция у = определена для всех х, кроме х0 = 0.
Как бы ее ни доопределили в точке х0 = 0, полученная функция
1
У = х*
а,
если х Ф 0 если х = 0,
где а — любое данное число, будет иметь разрыв в точке х0 = 0 (рис. 74).
Рассмотрим функцию, определенную на некотором интервале J, за исключением отдельных точек х1? х2, ..., хп этого интервала. Вместо этой функции можно рассмотреть новую функцию, определенную в каждой точке интервала J, для этого надо доопределить эту функцию в точках х1? х2, ..., хп любым способом.
 Рис. 74
ПРИМЕР 6.
Функция у= ------------
у	у (X + 3)(х - 2)
определена для всех х,
кроме хг = -3 и х2 = 2. Как бы ее ни доопределяли в точках хг = —3 и х2 = 2, новая функция, определенная в каждой точке интервала (-оо; +оо), будет иметь в этих точках разрывы.
ПРИМЕР 7. Зависимость Q = /(х) между температурой t одного грамма воды (льда) и количеством Q калорий находящегося в ней
3S 70
Q=f(t) =
тепла, когда t изменяется между -10° и 10°, выражается следующей формулой:
0,5£ 4- 5, если -10 < t < 0 t + 85, если 0 < t < 10.
При t = 0 эта функция оказывается неопределенной. Можно для удобства условиться, что при t = 0 она принимает вполне определенное значение, например /(0) = 45. Функция
0,5t 4- 5, если -10 < t < 0
Q = f (0 = 4 45, если t = 0
t + 85, если 0 < t < 10
определена в каждой точке интервала (-10; 10), она разрывна в точке t = 0. График ее приведен на рисунке 75, на нем очевиден разрыв в точке = 0. Как бы мы ни доопределяли функцию в этой точке, новая функция будет иметь в этой точке разрыв.
Замечание. Если функция у = f(x) имеет в точке х0 разрыв и при стремлении х к х0 справа и слева для функции у = f(x) существует один и тот же предел — число А, то говорят, что разрыв функции в этой точке устраним. Для этого достаточно переопределить эту функцию в точке х0, положив /(х0) = А, Новая функция будет непрерывной в точке х0. Такой разрыв называют устранимым. В примерах 3 и 4 разрывы устранимы.
Если при стремлении х к х0 справа и слева для функции у = f(x) не существует одного и того же предела — числа А, то говорят, что в этой точке у функции неустранимый разрыв (она будет иметь разрыв, как бы ее ни доопределяли в этой точке). Функции в примерах 1, 2, 5, 6 и 7 имеют неустранимые разрывы.
 Рис. 76
й Рис. 77
71
Предел функции и непрерывность
В заключение приведем примеры функций, имеющих бесконечно много разрывов.
ПРИМЕР 8. Функция у = [х] определена для всех х е R. В каждой точке х = п g Z она имеет разрыв (рис. 76).
ПРИМЕР 9. Функция у = {х} определена для всех х g R. В каждой точке х = п g Z она имеет разрыв (рис. 77).
2.39	° Какая функция является:
а)	непрерывной в точке х0 интервала J;
б)	непрерывной на интервале J;
в)	разрывной в точке х0 интервала J?
2.40	Имеет ли точки разрыва функция:
а) У = 1	X	Л i—г, если х 0 |х| 0, если х = 0;	б)	У = 4	sin X 	» ес X 1, если	;ли х Ф 0 х = 0;
в) У =	Г . 1 1 sin —, если х Ф 0 1	х	г)	У = <	f • 1 х • sin-, X	если х 0
д) У = 	[а, если х = 0 (а е R); х • sin —, если х 0 X	е)	У = <	0, если [	4-	1 arctg-,	х = 0; если х 0
	1, если х = 0;			а, если	х = 0 (а g JR);
X	1 1	1
ж) у = {х} - - ;
&
У =
----, если х Tin (n g Z) sin X
0, если х = Tin (и g Z)?
2.41	Можно ли доопределить функцию f(x) в точке х0 (в точках хЛ) так, чтобы новая функция стала непрерывной на интервале (-оо; +оо)? Если да, то как это сделать?
— 5х + 4	— 4
а) /(х) =  ----х0 = 1; б) f (х) =	f, х0 = -2;
X 1.	X । zj
, ,, ч 12 - х _	х2 — 1	„
в) f (х) =-----, х0 = 0; г) f(x) =--------------х0 = 2;
X	х — л
д)	f(x) = cos х tg х, xk =	+ Tik, keZ;
e)	/(x) = sin x etg x, xk = Tik, k e Z;
ж)	f(x) = tg x, xk =	+ Tik, k g Z\
з)	/(X) = etg X, Xk = Tik, k & Z,
72
§ 3. Обратные функции
3.1. Понятие обратной функции
Пусть тело падает с высоты Н м. Тогда, как известно из физики, путь s м, пройденный телом за t с, равен — Z2, где g ~ 9,8 м/с2. Так
2	[2Н
как в момент t0 падения на землю s = Н, то tQ = поэтому закон изменения s задается формулой

(1)
Отсюда следует, что если известно время движения t, то однозначно находится путь s, пройденный телом за это время.
Если же известен путь s, то однозначно находится и время движения t:	.—
[0; Я].	(2)
Таким образом, если s есть функция от t, заданная формулой (1), то t есть функция от s, заданная формулой (2).
Функцию (2) принято называть функцией, обратной к функции (1).
Рассмотрим функцию у от х, заданную формулой
у = х2, х е [0; 2].	(3)
Когда х непрерывно возрастает от 0 до 2, то у непрерывно возрастает от 0 до 4, пробегая все значения из отрезка [0; 4] (рис. 78).
Следовательно, областью изменения
функции (1) является отрезок [0; 4].
Функция (3) каждому х е [0; 2] ставит в соответствие единственное у е [0; 4], причем разным х — разные у, и для каждого у е [0; 4] существует единственное х е [0; 2], для которого у = х2. Это означает, что х есть функция от у.
Выразив из формулы (3) х через у для х е [0; 2] и у е [0; 4], найдем эту функцию:
х = 4у- у с [°; 4].	(4)
Функцию (4) называют функцией, обратной к функции (3). Ясно, что графики функций (3) и (4) совпадают (см. рис. 78).
73
Обратные функпии
Теперь рассмотрим функцию
у = f(x), xeJ,	(5)
которая строго монотонна (т. е. возрастает или убывает) и непрерывна на промежутке J и имеет область изменения промежуток J1. Проведя рассуждения, аналогичные проведенным выше, получим, что у функции (5) есть обратная к ней функция. Для нахождения этой обратной функции надо из формулы (5) выразить х через у при xg J, у е J1. Полученная формула
X = <Р (у), у е Jj	(6)
и будет задавать функцию, обратную к функции (5).
Ясно, что графики функций (5) и (6) совпадают.
ПРИМЕР. Найдем функцию, обратную к функции у = х3, х е Я.	(7)
Так как функция (7) непрерывна и возрастает на промежутке R и имеет своей областью изменения промежуток R, то она имеет
обратную функцию.
Выразив из формулы (7) х через у для х е JR, у е R, получим
функцию
х = %у, у е R,
(8)
обратную к функции (7).
Графики функций (7) и (8) совпадают (рис. 79).
У функций, заданных формулами (4), (6), (8), независимой переменной является у, а зависимой х. Поскольку более привычно записывать функции с независимой переменной х и зависимой у, то в формулах (4), (6), (8) можно заменить х на у, у на х. Получится более привычная запись тех же функций:
у = 4х, х е [О; 4],	(4')
t/ = (p(x), XGJh	(6')
у = ^х, х е R.	(83
Естественно, что функции, заданные формулами (4'), (6'), (83, также называют функциями, обратными к функциям (3), (5), (7) соответственно. Часто только их и называют функциями, обратными к функциям (3), (5), (7) соответственно.
Функцию, обратную к данной и записанную в привычном виде, можно найти и другим образом.
74
Пусть функция
у = /(х), х е J	(9)
строго монотонна и непрерывна на промежутке J и имеет область изменения промежуток Запишем формулу
х = f(y), у е J, х е (10) которая получится, если в формуле (9) заменить х на у, а у на х, Выразим теперь из формулы (10) у через х. Полученная формула
У = ф(х), X & у Е J (11) и будет задавать функцию, обратную к функции (9) и записанную
в привычном виде. Найденная таким способом функция 1/ = ф(х), обратная к функции у = /(х), естественно, будет такой же, как и функция z/ = (p(x), найденная первым способом. Но второй способ нахождения функции у = ф(х), обратной к функции y-f{x)y дает способ построения графика функции у = ф(х). Так как очевидно, что графики функций (10) и (11) совпадают, то для построения графика функции (11) надо построить график функции (10).
Графики функций (4') и (8'), построенные таким образом, изображены соответственно на рисунках 80 и 81.
ж
3.1 В декартовой системе координат хОу постройте график функции: а) у = 2х + 1; б) у = 2х + 1, х е [-3; 3]; в) у = х2;
г) у ~ х2; х е (0; 1]; д) у = х3; е) у = х3, х е (-1; 2).
3.2 Выполнив построение графиков, убедитесь, что в декартовой системе координат хОу совпадают графики функций:
а) у = х+1их = (/-1; б) у = 2х и х = — у;
£
в)	у = х2, х е [0; +оо) и х = Jy, у е [0; +оо);
SS75
Обратные функции
г)	у = х2, х g (-оо; 0] и х = - Jy, У е [0; +оо);
д)	у = х3 и х = ^[у; е) у = 2* * * * * * * * * х и х = log2 У> У Е (0; +°°).
3.3	В данной формуле замените х на у, у на х, затем выразите из полученной формулы у через х:
а)	у	= Зх + 1;	б)	у	=	2х - 8;
в)	у	= х2, х	g [0; 3];	г)	у - -х2, х g [0; 3];
д)	у	= 8х3;	е)	у	=	0,5>/х, х е [0; 25];
ж)	у = 3х;	з)	у	=	log5 х, х е (0; 25).
3.4	Найдите функцию х = <р (z/), обратную к данной функции у = /(х), и постройте графики обеих функций в одной системе координат: а) у = х2, х е [-1; 0];	б) у = х3, х g [0; 2];
в) У = 77—, х G [0; +оо);	г) у = —, х g (-00; -2);
А । X	JL + X
д) у = 6х + 5, х G (-оо; +оо); е) у = -х + 1, х g (-00; 4-00).
3.5 В задании 3.4 найдите функцию у = (р(х), обратную к данной функции г/ = /(х), постройте графики обеих функций в одной системе координат.
3.2*. Взаимно обратные функции
Пусть дана функция
у = /(х), х е [а; Ь],	(1)
непрерывная и возрастающая на отрезке [а; 6]. Когда х непрерыв-
но возрастает от а до Ь, то у непрерывно возрастает от с до d, пробегая
все значения из отрезка [с; d], где с = f (a), d = f(b) (рис. 82). Следова-
тельно, областью изменения функции (1) является отрезок [с; d].
Функция (1) каждому х g [а; 6] ставит в соответствие единствен-
ное у g [с; d], причем разным х соответствуют разные у и для каждо-
го у g [с; d] существует единственное х g [а; Ь], для которого у = f(x). Это означает, что х есть функция от у. Выразив из формулы (1)
х через у для х е [а; &] и у g [с; d], найдем эту функцию:
X = ф (у), у е [с; d].	(2)
Функцию (2) называют функцией, обратной к функции (1).
Если задать сначала функцию (2) и провести для нее рассуждения, аналогичные только что проведенным, то получим, что функция (1) является функцией, обратной к функции (2). Поэтому функции (1) и (2), т. е. функции f и ф, называют взаимно обратными функциями.
Щ76
Из равенств (1) и (2) следуют свойства взаимно обратных функций f и ср:
= х, х е[а; Ь],	(3)
/(<₽ (</)) = У> У е [с; d]-	(4)
Отметим, что функция ф есть закон, по которому значения зависимой переменной определяются по значениям независимой переменной; при этом совершенно неважно, какими буквами обозначены эти переменные. Поэтому функцию ф, обратную к функции /, можно задать как формулой
х = <9(у), у е\с-, d\,	(5)
так и формулой
у = ф(х), х е [с; d].	(6)
Поскольку более привычно функцию записывать так, чтобы независимая переменная обозначалась буквой х, а зависимая — буквой у, то часто функцию ф, обратную к функции /, задают именно формулой (6).
Однако здесь есть некоторая тонкость. Графики функций определяются геометрическим соглашением: х выражает абсциссу, а у — ординату точки графика. В соответствии с этим соглашением функция ф, записанная в виде (5), имеет график — линию y = f(x), а записанная в виде (6) — другой график — линию У = ф(х) (рис. 83).
Очевидно, что формула (6) получа-ется из формулы (5) заменой х на у и у на х, поэтому линия у = ф (х) симметрична линии х = ф (у) относительно прямой у = х. Так как линия х = ф (</) совпадает с линией у = /(х), то графики взаимно обратных функций, заданных в привычном виде {у — функция аргумента х), т. е. в виде (1) и (6), симметричны относительно прямой у = х. В этом выражается свойство графиков взаимно обратных функций.
Так как линии х = ф (у) и у = /(х)
совпадают, то функция ф также является непрерывной и возрастающей на отрезке [с; d], а областью ее изменения является отрезок [а; Ь].
Отметим, что если функция непрерывна и строго монотонна на промежутке J и имеет область изменения промежуток J19 то, проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что эта функция имеет обратную функцию с областью определения и областью изменения J.
77
Обратные функции
Таким образом, если дана непрерывная функция, то достаточным условием существования обратной к ней функции является строгая монотонность данной функции. При этом обратная функция также непрерывна.
ПРИМЕР. Найдем функцию, обратную к функции з
у = х2, х g [О; +оо).	(7)
Так как функция (7) непрерывна и возрастает на полуинтервале [0; +оо), то она имеет своей областью изменения полуинтервал [0; +оо) (рис. 84, а), на котором определена обратная к ней непрерывная функция.
Выразив из формулы (7) х через у для у е [0; +оо), х е [0; +оо), получим функцию, обратную к функции (7):
2
х = у3, у е [0; +оо).	(8)
Заменив в формуле (8) х на у, а у на х, получим привычную запись функции, обратной к функции (7):
2
у = х3, х е [0; +оо].	(9)
Чтобы построить график функции (9) в декартовой системе координат хОу, можно воспользоваться свойством графиков взаимно обратных функций: сначала построить график функции (7), а затем отразить его относительно прямой у = х — получится график функции (9) (рис. 84, б).
 Рис. 84
78
3	2
Функции у = х2, х g [0; +оо) и у = х3, х е [0; +оо) — взаимно обратные функции. Приведем еще примеры взаимно обратных функций.
1)	у = х2, х е [0; +оо) и у - 4х, х G [0; +оо);
2)	у - х2, х G (-оо; 0] и у = -Vx, х е [0; 4-оо);
3)	у = 3х, х е R и у = log3 х, х G (0; +оо).
3.6 а) Какие функции называют взаимно обратными? Какими свойствами обладают взаимно обратные функции?
б)	Каким свойством обладают графики взаимно обратных функций у = /(х) и у = ф(х)?
в)	В чем заключается достаточное условие существования функции, обратной к данной непрерывной функции?
3.7 Найдите функцию х = (р (г/), обратную к функции: а)	у = х4, х G [0; +оо);
б)	у = х4; х е (-оо; 0];
в)	у = х2т, х е (0; +оо), т е	N;
г)	у = х2т, х G (-оо; 0], т g 7V;
д)	у — х2т + \ х е (-оо; +оо),	/71 g	АГ;
е)	у = ах, х е (-оо; +оо), а >	0, а	*	1.
Постройте график данной функции у = f(x). Найдите функцию г/ = <р(х), обратную к данной функции, и постройте ее график (3.8—3.9):
4	— 4
3.8 а) у =-------, х е (2; +оо); б) у =-----------х е (-оо; 2);
X £	X £
в) у = 1 - х е (”2» +°°); г) у = 1 + х Е <-оо;
д)	У = х х2 > X е [0; +оо);	е)	у = ^^~2 ’ х G <-оо; °Ь
3.9	а)	у = л/4 - х2, х е [-2; 0];	б)	у = V4 - х2, х е [0; 2];
в)	у = -^21- х2 + 4х, х е [-3; 2];	г)	у = 4+ -J16- х2 + 6х, х е [3;	8];
д)	у = 8х3;	е) у = 0,5л/х;	ж) у = 3х- х;
(1\х-1
з)	у = -	; и) у = log5 (х + 2); к) у = log0,2 (х ~ 1)-
\ о /
129
Обратные функции
3.10	Докажите, что угловые коэффициенты взаимно обратных линейных функций у = krx + lr и у = k2x + Z2 (&i * 0, ^2 О) связаны соотношением 1^= —.
ky
3.11	Приведите пример функции, обратной самой себе.
3.12	Функция у — f(x) задана на отрезке [а; &]. На каком отрезке задана обратная к ней функция у = ф (х), если функция у = f (х): а) возрастает на отрезке [а; Ь];
б) убывает на отрезке [а; &]?
3.13	Функция у = f(x) задана на интервале (а; Ь). На каком интервале задана обратная к ней функция у = ф (х), если функция у = fM:
а)	возрастает на интервале (а; Ь);
б)	убывает на интервале (а; Ь)?
3.14	На рисунке 85, а—г дан грасЬик функции у — f(x). Постройте в той же системе координат график функции у = ф(х), обратной к функции у = /(х).
 Рис. 85
80
3.3Л. Обратные тригонометрические функции
1.	Функция у = arcsin х. Если каждому числу х из отрезка [-1; 1] поставлено в соответствие число arcsin х, то говорят, что этим определена функция
у = arcsin х.	(1)
Областью существования функции (1) является отрезок [-1; 1], Г л л
а областью изменения — отрезок	.
Перечислим свойства функции (1):
1)	функция ограничена;	л
2)	функция принимает наименьшее значение у = при
of	Z?	"1
х — -1 и наибольшее значение у = — при х = 1;
&
3)	функция нечетная;
4)	точка (0; 0) — единственная точка пересечения графика функции с осями координат;
5)	функция возрастает на всей области существования, т. е. на отрезке [-1; 1];
6)	функция непрерывна на отрезке [-1; 1].
Покажем справедливость этих свойств.
Свойства 1—2 вытекают из определения арксинуса числа.
Свойство 3 вытекает из следующего свойства арксинуса числа:
arcsin (-а) = -arcsin а.
Для того чтобы показать справедливость свойств 4—6, рассмотрим функцию
у - sin х, х е
л. л
2’ 2
(2)
которая непрерывна и возрастает на отрезке
Л I XT « .
—; — . У этой функ-2 2 |
ции есть обратная к ней функция. Выразив из формулы (2) х через у, получим функцию х от у:
х = arcsin у, у е [-1; 1].	(3)
Эта функция непрерывна и возрастает на [—1; 1], значение х = 0 она принимает при у = 0.
Заменив в формуле (3) у на х, а х на у, получим функцию у = arcsin х, х g [-1; 1],	(4)
которая и есть функция, обратная к функции (2), и записанная в привычном виде. Функция (4) непрерывна и возрастает на отрезке [-1; 1). Значение у = 0 она принимает лишь при х = 0.
81
Обратные функции
Для построения графика функции (1) построим в системе коор-
динат хОу график функции х = sin у, у е
л. Р
, он и будет графи-
ком функции (1). График функции (1) изображен на рисунке 86.
2.	Функция у = arccos х. Если каждому числу х из отрезка [-1; 1] поставлено в соответствие число arccos х, то говорят, что этим определена функция
у = arccos х.	(5)
Областью существования функции (5) является отрезок [—1; 1], а областью изменения — отрезок [0; л].
Перечислим свойства функции (5):
1)	функция ограничена;
2)	принимает наибольшее значение у = л при х = -1 и наименьшее значение у = 0 при х = 1;
3)	функция не является ни четной, ни нечетной;
4)	точки
ка функции с осями координат;
и (1; 0) являются точками пересечения графи-
5)	функция убывает на отрезке [-1; 1];
6)	функция непрерывна на отрезке [-1; 1].
Справедливость этих свойств показывается так же, как и для функции у = arcsin х. График функции (5) изображен на рисунке 87.
1 х  Рис» 87
a 82
( тс тс А
2 J*
3. Функция у = arctg х. Если каждому числу х из интервала (-оо; +оо) поставлено в соответствие число arctg х, то говорят, что этим определена функция
у = arctg х.	(6)
Областью существования функции (6) является множество всех действительных чисел R, а областью изменения — интервал
Перечислим свойства функции (6):
1)	функция ограничена;
2)	функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего зна-чении;
3)	функция нечетная;
4)	точка (О; 0) — единственная точка пересечения графина функции с осями координат;
5)	функция возрастает на интервале (—оо; +оо);
6	функция непрерывна на интервале (-оо; +оо).
Эб SMB	Ж SI Н Й Ж И Ш и • ЖпК W 39 W Ш ВТ * Ш** Э ш W «БЛ • w Ж WWW SI М w ВМВ wWЖИпВИЯ ШИВИПВЯфжЖ SB Ж1
Справедливость этих свойств доказывается аналогично доказательству свойств функции у = arcsin х. Для построения графика функции (6) построим в системе координат хОу график функции С тс тс А
х = tg с/, с/ е —; — , он и будет графиком функции (6).
\ J
График функции (6) изображен на рисунке 88.
4.	Функция у = arcctg х. Если каждому числу х из интервала (-оо; +оо) поставлено в соответствие число arcctg х, то говорят, что этим определена функция
у — arcctg х.	(7)
Областью существования функции (7) является множество всех действительных чисел R, а областью изменения — интервал (0; л).
&83
Обратные функции
Перечислим свойства функции (7):
1)	функция ограничена;
2)	функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
3)	функция не является ни четной, ни нечетной;
4)	точка I О; — единственная точка пересечения графика функции с осями координат;
5)	функция убывает на интервале (-оо; +оо);
6)	функция непрерывна на интервале (-оо; +оо).
Справедливость этих свойств доказывается аналогично доказательству свойств функции у = arcsin х. J\jir построения графика функции (7) построим в системе координат хОу график функции х = ctg у, у <= (0; л), он и будет графиком функции (7).
График функции (7) изображен на рисунке 89.
Каждый из графиков обратных тригонометрических функций можно было построить, пользуясь свойством графиков взаимно обратных функций. Например, для функции у = arcsin х, область
значений которой
Л. Л Р ¥
, надо рассмот-
реть обратную к ней функцию
у = sin х, х G
л, л
Р ~2
построить график этой обратной функции и симметрично отразить его относительно прямой у ~ х (рис. 90).
 Рис. 90
84
Аналогично с помощью графиков основных тригонометрических функций строятся и графики остальных обратных тригонометрических функций.
Функции у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х называют основными обратными тригонометрическими функциями. Эти функции также относят к основным элементарным функциям.
Кроме основных обратных тригонометрических функций, можно изучать другие (неосновные) обратные функции.
ПРИМЕР. Рассмотрим функцию
у = sin X, X G
л. Зл
2 ’ Т
(8)
Эта функция непрерывна и убывает на отрезке
л Зл
~2 ’ ~2
ласть изменения — отрезок [-1; 1], следовательно, она имеет ную к ней функцию.
ее об-
обрат-
л	л	л^,	л
X - л , то — Л - X С —.
2	2	2	2
Так как sin х = sin (л - х), то функцию (8) можно задать формулой
л л
2^’ 2_ ’
Тогда по определению арксинуса имеем: л - х = arcsin у, у е [-1; 1]. Выразив из последнего равенства х через у, получим функцию, обратную к данной:
х = л - arcsin у, у е [-1; 1].
Заменив в формуле (9) х на у, х, получим функцию у от х:
у = л - arcsin х, х е [-1; 1],
у = sin (л - х), (л - х) е
(9)
У на
(Ю) которая и есть функция, обратная к функции (8) и записанная в привычном виде.
График функции (10) изображен на рисунке 91.
а
3.15 Дайте определение функции:
а) у = arcsin х;	б) у = arccos х;
в)	у = arctg х;	г) у = arcctg х.
Сформулируйте ее свойства, постройте ее график.

Обратные функции
3.16 Найдите функцию у = <р(х), обратную к функции:
б) у = cos х, х е [л; 2л]
а) у = sin х, х е
Зя я V’ ~~2 и постройте ее график.
3.17 Найдите функцию у = (р(х), обратную к функции: а) у - arcsin х;	б) у = arccos х;
в) у = arctg х;	г) у = arcctg х,
и постройте их графики в одной системе координат.
3.4*. Примеры использования обратных тригонометрических функций
1. Для любого х g [-1; 1] справедливо равенство л arcsin х + arccos х = —.
2
Действительно, так как	О	С	arccos х С	л, то
я	я	я
С	—	-	arccosх С	—.
2	2	2
Найдем синус числа (	— arccos х 1, пользуясь свойствами синуса:
\ ]
. | Я	I	/	ч
sm I — - arccos х I = cos (arccos х) = х.
Итак, число
я
2
п
2
и
я	।
---arccos х принадлежит отрезку
2	J
синус равен х, поэтому по определению арксинуса я — - arccos х = arcsin х,
2 я
откуда arcsin х + arccos х = —, что и требовалось доказать.
2. а) Для любого хе[-1; 1] справедливы равенства sin (arcsin х) = х,
cos (arcsin х) = V1 - х* 2.
б) Для любого хе (-1; 1) справедливо равенство tg (arcsin х) = ,
ТТЛ?
его
(1)
(2)
(3)
(4)
в) Для любого х е [-1; 0) U (0; 1] справедливо равенство
ctg (arcsin х) =
71- х2
Действительно, по определению арксинуса числа х (| х | С 1), Г"	“1
если а = arcsin х, то а е равенство (1).
Пусть а = arcsin х. Так как а е
П' л 2 ; ~2_
и sin а = х. Поэтому справедливо
л л
2’ 2
, то cos а > 0, поэтому cos а = Vl - sin2 а. Применяя равенство (1), получаем равенство (2).
Из равенств (1) и (2) следует равенство (3) для |х| < 1 и равенство (4) для 0 < | х |	1.
3.	Построим графики функций:
у = sin (arcsin х),	(5)
у - cos (arcsin х),	(6)
у = tg (arcsin х),	(7)
у = ctg (arcsin х).	(8)
Прежде всего найдем область определения каждой из этих функций. Так как arcsin х определен лишь для |х|1, то область определения каждой из функций (5) и (6) есть отрезок [-1; 1], область определения функции (7) есть интервал (-1; 1), область определения функции (8) есть объединение двух промежутков [-1; 0) U (0; 1]. Применяя равенства (1) — (4), функции (5) — (8) можно переписать соответственно в виде
у = х, |х|С1,	(5')
у = 71 - X2, |х| < 1,	(6')
У =—f==, |х| < 1,	(7')
71- х2
0<|х|С1.	(8')
Поэтому графики этих функций будут иметь вид, как на рисунке 92, а—г.
Приведем пример вычислений с использованием обратных тригонометрических функций.
ПРИМЕР. Вычислим cos arcsin- + arcsin — + arcsin — t 5	13	65
_	• 4 q	-	5	16
Обозначим a = arcsin —, p — arcsin —, у = arcsin —.
5	13 '	65
Обратные функции
87
—1_
' f 4Л 3	. п 5	о 12
1-Ы =7’ sln₽ = T^ cosp=—, I 5 )	5	Id	Id
Каждое из чисел а, р и у принадлежит промежутку | 0; — |, и по-
4 этому sma = cos а =
5 16	63
sin Y = тт, cos Y = тт-65	65
Тогда
cos (а + р + у)	= cos а cos (р + у)	- sin а sin (р + у)	=
= cos а (cos р cos у -	sin р sin у) - sin а	(sin	Р cos у + cos р sin у) -
3 /12 63	5 16А 4f 5	63	12 16Л Л
= ----------------------------+-------=0.
5\13 65	13 65 J 5ЦЗ	65	13 65 J
a 88__________________________________________________________
3.18	Докажите, что для любого х е R справедливо равенство п arctg х + arcctg х = —.
3.19	Докажите, что:
а)	для любого х е [-1; 1] справедливы равенства cos (arccos х) = х, sin (arccos х) = 71 - х2;
б)	для любого х е (-1; 1) справедливо равенство ctg (arccos х) -	Х—:
71 - х2
в)	для любого х е [-1; 0) U (0; 1] справедливо равенство
71 - х2
tg (arccos х) - -——-;
г)	для любого х е R справедливы равенства
х	1
tg (arctg х) = х, sin (arctg х) =	 cos (arctg x) =	:
7i+ x2	7i+ *2
д)	для любого x Ф 0 справедливо равенство ctg (arctg х) =
е)	для любого х е R справедливы равенства
1	х
ctg (arcctg х) = х, sin (arcctg х) =	—, cos (arcctg x) =	;
y/l+X2	Jl+X2
ж)	для любого x 0 справедливо равенство tg (arcctg х) =
Постройте график функции (3.20—3.21):
3.20	* а) у = cos (arccos х); в) У = tg (arccos х); Д) У = tg (arctg х); ж) у = sin (arctg х); и) у = ctg (arcctg х); л) у = sin (arcctg х);
3.21	* а) у = arcsin (sin х); в) у = arcsin (tg х); д) у = arccos (cos х); ж) у = arccos (tg х); и) у = arctg (tg х);
б) у = sin (arccos х); г) у = ctg (arccos х): е) у = ctg (arctg х); з) у = cos (arctg х); к) У = tg (arcctg х); м) у = cos (arcctg х) б) у = arcsin (cos х); г) у = arcsin (ctg х); е) у = arccos (sin х); з) у = arccos (ctg х): к) у = arctg (ctg х);
89
Производная
л) у = arctg (sin х);
и) у = arcctg (etg х);
п) у = arcctg (sin х);
м) у = arctg (cos х); о) у = arcctg (tg х); р) у = arcctg (cos х).
3.22	Вычислите:
.	(	4
a)	cos — \	5
.	(	.3	.5	.4
б)	sin arcsin — + arcsin — + arcsin -^5	13	5
в)	etg arctg - + arctg - + arctg - . 13	4	9 j
12	ЗА
arccos — + arccos — + arccos - ; 5	13	о j
§ 4. Производная
4.1. Понятие производной
Рассмотрим три задачи.
ЗАДАЧА 1. Пусть материальная точка движется по прямой по закону
s(t) = 4t* 1 2 * * s,	(1)
где s — путь, пройденный точкой за время t (t 0). Путь, время и скорость измеряются соответственно в метрах, секундах и в метрах в секунду.
Вычислим сначала среднюю скорость этой точки за промежуток времени от tr = 2 до t2 = 5. Путь, пройденный точкой за время tl = 2, равен $(2) = 4 • 22 = 16, а путь, пройденный ею за время t2 = 5, равен s(5) = 4 • 52 = 100. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени от = 2 до t2 = 5, равен s(5) — s(2) = 100 - 16 = 84.
Средняя скорость точки за промежуток времени от t, = 2 до , г	s(5)-$(2)	84	__
t2 = 5 равна н = ——-— = — = 28.
1 о — z 3
Вычислим теперь среднюю скорость иср этой точки за промежу-
ток времени от t до t + At. Путь, пройденный точкой за время t, ра-
вен s(t) = 4t2, а путь, пройденный ею за время t + At, равен
s (t + At) = 4 (t + At)2. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени от t до t + At, равен As = s(t + At) - s(t) = 4(t + At)2 — 4t2 = = (8t + 4At)At. Средняя скорость точки за промежуток времени от t л a	As (8i + 4At) At	. .
до t + At равна = — =-----------= St + 4At.
и At	At
Итак, средняя скорость ucp есть сумма двух слагаемых. Первое не зависит от At, а второе зависит от At, и при этом оно мало для малых At.
; 90
Таким образом, можно считать, что при малых At средняя скорость рср приближенно равна числу 8t, т. е. рср ~ 8t.
Число v = 8t есть, очевидно, предел, к которому стремится иср при At —> 0. Его называют мгновенной скоростью точки, движущейся по закону (1), в момент времени t.
В общем случае если точка движется по прямой по закону s(t) = /(t), то ее мгновенной скоростью v в момент времени t называют предел (если он существует), к которому стремится ее средняя скорость на промежутке времени [t; t + At] при At —► 0:
/(t+ At) - f(t) At
v =
lim vrT. = lim az — о p az — о
Величину At называют приращением времени, а величину А/ = f(t + At) - f(t) — приращением пути. Другими словами, мгновенной скоростью движущейся точки в момент времени t называют предел (если он существует) отношения приращения пути к приращению времени, когда последнее стремится к нулю:
As v = lim —. az — о At
ЗАДАЧА 2. Пусть кривая Г есть график непрерывной на интервале (а; Ь) функции у = f(x) (рис. 93 или 94). Зададим на кривой Г точку А, имеющую абсциссу х и ординату у, и точку С, имеющую абсциссу х + Ах (Ах £ 0) и соответствующую ординату у + Аг/ = = /(х) + АД где А/ = f(x + Ах) - /(х).
Секущая S, проходящая через точки А и С, образует с положительным направлением оси Ох угол Р (здесь и далее угол между положительным направлением оси Ох и прямой откладывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).
На рисунках 93и 94 0<Р<^-и^<Р<л соответственно.
Из рисунков 93 и 94 следует, что
. n = Ay = f(x + Ах) - f(x) g Р Ах	Дх
Будем устремлять Ах к нулю; тогда вследствие непрерывности функции у = /(х) также будет стремиться к нулю Ау и точка С, двигаясь по кривой Г, будет стремиться к точке А. Если окажется (а этого может и не быть!), что при этом при любом способе стремле-Аг/
ния Ах к нулю отношение — стремится к одному и тому же пределу Дх
(числу) k:
k(bx~* 0),
Дх
то тогда и угол Р будет стремиться к некоторому, отличному от — углу а. Вместе с Р и секущая S, вращаясь около точки А, будет стре-
*91
Производная
Дх=АВ, Ау = ВС
 Рис» 93
Ах=АВ,Ау=-ВС
 Рис. 94
миться занять в пределе положение прямой Г, проходящей через точку А под углом а к положительному направлению оси Ох. Но тогда прямая Т есть касательная к кривой Г в точке А и
lim — = lim tg В = tg а.
дх — о Дх Дх — о
На рисунках 93 и 94 0 < а < — и < а < л: соответственно.
2	2	д у
Мы установили, что если при Дх —► 0 отношение — стремится
Дх
к конечному пределу, то кривая Г имеет в точке А касательную, тангенс угла которой с положительным направлением оси Ох равен
этому пределу.
ЗАДАЧА 3. Пусть известна функция Q = f(t), выражающая количество электричества, прошедшее через фиксированное сечение провода за время t. За период t + At через сечение протекает количество электричества AQ = f(t + At) - f(t). Средняя сила тока при этом
Д£ = /(< + Др - /(О де де
равна 1ср
Предел этого отношения при At —► 0 дает силу тока в момент +	т I- Д^
времени t, равную I - lim —.
д* -> о At
Теперь рассмотрим функцию у = /(х), определенную в некоторой окрестности точки х. Выберем в этой окрестности произвольную точку (число), отличающуюся от х на Дх, т. е. точку х + Дх. Напомним, что число Дх называют приращением аргумента, а разность значений функции в точках х + Дх и х называют приращением функции. Приращение функции у = /(х) в точке х обозначают Af или Ау:
Ьу = kf = f(x + Дх) - f(x).
92
ПРИМЕ!* 1. Приращение функции f(x) = Зх + 2 в любой точке х, соответствующее приращению Дх аргумента, равно
Д/ = f(x + Дх) - / (х) = (3(х + Дх) + 2) - (Зх + 2) = ЗДх.
ПРИМЕР 2. Приращение функции /(х) = х2 в любой точке х, соответствующее приращению Дх аргумента, равно
Д/ = f (х + Дх) - /(х) = (х + Дх)2 - х2 = (2х + Дх)Дх.
Выше были рассмотрены три задачи (вычисление мгновенной скорости, тангенса угла наклона касательной к графику функции и силы тока). Несмотря на то что все они относятся к различным областям знания — механике, геометрии, теории электричества, их решение привело нас к одной и той же математической операции, которую нужно произвести над функцией: надо найти предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Число задач, решение которых приводит к той же операции, можно увеличить. К ним относятся, например, задачи о скорости химической реакции, о плотности неравномерно распределенной массы и др.
Эта операция получила в математике специальное название — дифференцирование функции. Результат ее выполнения называют производной.
Производной функции у = f (х), заданной на некотором интервале (а; Ь), в точке х этого интервала, называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производная функции /(х) при данном х из интервала (а; Ь) (если она в этой точке х существует) есть число. Если производная функции f (х) существует при каждом значении х из интервала (a; ft), то производная есть функция от х, определенная на интервале (а; д).
Производную функции f(x) обозначают f'(x) и говорят: «эф штрих от икс». Следовательно,
Г(х)= lim
Дх —о Дх
Широко употребляются и другие обозначения производной:
,	, dy df(x) d .
у, ух, dx dx dx
Я Предел lim — (если он существует) в точке х, когда рассматри-Дх—о Дх
Y * вается только Дх > 0 или Дх < 0, называют соответственно правой производной и левой производной функции f в точке х. Про функцию /(х), заданную на отрезке [а; Ь], принято говорить,
Производная
что она имеет производную на этом отрезке, если она имеет производную в любой точке интервала (а; Ъ) и, кроме того, правую производную в точке а и левую — в точке Ъ. •
Найдем производные для некоторых функций f(x), определенных на интервале (—оо; +оо).
1.	/(х) = х. Для любой точки х приращение функции f равно
А/ = f(x + Ах) - /(х) = (х + Ах) - х = Ах.
Поэтому — = — = 1. Следовательно, производная функции Ах Ах
/(х) = х в любой точке х равна 1, т. е. х' = 1.
2.	/(х) = С, Постоянную можно рассматривать как такую функцию от х, которая равна одному и тому же числу С для любого х из интервала (-оо; +оо). Тогда для этой функции приращение функции f равно
А/ = f(x + Ах) - f(x) = С - С = 0.
Поэтому — = — = 0. Следовательно, производная функции Ах Ах
f(x) = С в любой точке х равна 0, т. е. С' = 0.
3.	f(x) = kx + Ь, где k и Ъ — данные числа. Для любой точки х приращение функции f равно
А/* = (k (х 4- Ах) + b) - (kx + b) = /?Ах.
Поэтому — =------= k. Следовательно, производная функции
Ах Ах
/(х) = kx + Ъ в любой точке х равна /г, т. е. (kx + by = k. Это означает, что если точка движется по линейному закону s = kt + b, то ее мгновенная скорость в любой момент времени t постоянна и равна k: v = (kt + b)' = /г. В данном случае говорят, что тело движется равномерно со скоростью k, при этом скорость точки и ее мгновенная скорость в любой момент времени t есть одно и то же число k.
4.	f(x) = х2. Для любой точки х приращение функции f равно А/ = (х + Ах)2 - х2 = (2х + Ах) Ах.
„	А/ (2х+Дх)Дх _ л _	„
Поэтому — =------------= 2х + Дх. Поскольку 2х + Ах стре-
Дх	Дх
мится к 2х при Ах -* 0, то f'(x) = 2х, т. е. в любой точке х (х2У - 2х.
5.	/(х) = ах2 + Ъх + с. Для любой точки х приращение функции f равно
А/ = (а(х + Ах)2 + Ъ(х + Ах) + с) - (ах2 + Ъх + с) = (2ах + Ъ + аАх) Ах.
Поэтому — = 2ах + b + аДх. Поскольку 2ах + b + аЛх стремится Дх
к 2ах + b при Дх —* 0, то f'(x) = 2ах + Ь, т. е. в любой точке х
(ах2 + Ъх + с)' = 2ах + Ь.	(2)
Как следует из рассмотренных в начале данного пункта задач, справедливы следующие утверждения:
1. Если при прямолинейном движении путь s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т. е. s = /(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т. е. v(t) =
Этот факт выражает механический смысл производной.
2. Если в точке х0 к графику функции у = /(х) проведена касательная, то число Л(х0) есть тангенс угла а между этой касательной и положительным направлением оси Ох, т. е. f'(xQ) = = tga. Этот угол называют углом наклона касательной.
Данный факт выражает геометрический смысл производной.
ПРИМЕР 3. Найдем тангенс угла наклона касательной к графику функции у = 0,5х2 - 2х + 4 в точке с абсциссой х = 0.
Найдем производную функции f (х) = 0,5х2 - 2х + 4 в любой точке х, используя равенство (2):
(0,5х2 - 2х + 4)' =
= 0,5 • 2 • х - 2 = х - 2.
Вычислим значение этой производной в точке х = 0:
f (0) = 0 - 2 = -2.
Следовательно, tga = -2. График функции у = /(х) и касательная к ее графику в точке с абсциссой х = 0 изображены на рисунке 95.
4.1 Пусть точка движется прямолинейно по закону s = t2. Найдите: а) приращение времени At на промежутке времени от t1 = 1 до ^2 = 2;
б)	приращение пути As на промежутке времени от tY = 1 до t2 = 2; в) среднюю скорость на промежутке времени от t± = 1 до t2 = 2.
4.2	В задании 4.1 найдите:
а)	приращение пути As на промежутке времени от t до t + At;
б)	среднюю скорость на промежутке времени от t до t + At;
в)	мгновенную скорость в момент времени t;
г)	мгновенную скорость в момент времени t = 1.
4.3	Пусть точка движется прямолинейно по закону:
1)	s = 3t + 5; 2) s = t2 - 6t.
Найдите:
а)	приращение пути As на промежутке времени от t до t + At;
95
11рои.шодная
б)	среднюю скорость на промежутке времени от t до t + Д£; в) мгновенную скорость в момент времени t.
Для какого из указанных законов мгновенная скорость не зависит от времени и для какого зависит?
4.4	Дана функция f(x) = х2. Проведите секущую через точки графика этой функции с абсциссами хг = 0, х2 = 2. Найдите: а) приращение аргумента Дх;
б)	приращение функции Д/= /(х2) - /(xj;
в)	тангенс угла наклона секущей tgP = —.
4.5 Дана функция /(х) = х2. Проведите секущую через точки графика этой функции с абсциссами х и х + Дх. Найдите: а) приращение функции Д/ = /(х + Дх) - /(х);
б)	тангенс угла наклона секущей;
в)	тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой х;
г)	тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой: х = 0; х = 1; х = -1; х = 2; х = -2.
4.6° а) Что называют приращением аргумента; приращением функции; производной функции?
б)	Как вычисляют производную функции в точке х?
4.7	Дана функция /(х) = х2.
а)	Найдите производную в любой точке х g R.
б)	Вычислите значение производной в точке х = 0; х = 1;
х = -1; х = 2; х = -2; х = 3; х = -3.
в)	При каком значении х производная равна: 0; 1; 3?
4.8	Выполните задание	4.7 для	функции:
a) f(x) = Зх + 8;	б)	f(x) = 8х - 11;
в)	f(x) = kx + b;	г)	f(x) = х2 - х +	5;
д)	f(x) = х2 + Зх -	1;	е)	f (x) = ах2 + bx	+ с.
4.9	° а) В чем заключается механический смысл производной?
б)	В чем заключается геометрический смысл производной?
4.10	Точка движется прямолинейно по закону s = t2 - 4t.
а)	Выразите скорость точки как функцию времени.
б)	Вычислите скорость точки в момент времени t = 5.
в)	В какой момент времени скорость была равна нулю?
4.11	Дана функция /“(х) = х2 - 6х + 11.
а)	Найдите производную функции.
б)	Вычислите тангенс угла наклона касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой: х = -1; х = 0; х = 2.
в)	При каком значении х тангенс угла наклона касательной к графику функции у- f(x) равен: 0; 1; 3?
4.12	Найдите производную функции у = х3.
96
4.13	На рисунке 96 изображен график непрерывной функции у = f(x), х е (-6; 7). Определите знак тангенса угла наклона касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой:
а) -4;	б) -3;	в) 0;
г)	1;	д) 3;	е) 6.
 Рис. 96
4.14	В предыдущем задании найдите значения х, при которых:
a) f'(x) = O; б) Г(х)>0; в) Г(х) < 0.
4.2.	Производная суммы. Производная разности * 1
ТЕОРЕМА 1. Если функции и (х) и v (х) имеют в точке х производные, то их сумма [ (х) = и (х) + v (х) также имеет в этой точке производную, равную
Г(х) = и'(х) + иЛ(х).	(1)
Коротко равенство (1) записывают так:
(п + v)' = u' + v\
и говорят: производная суммы равна сумме производных.
Доказательство. Придадим данному х приращение Дх 0. Ему соответствует приращение функции / в точке х:
Ц - f (х + Дх) - /(х) = (и(х + Дх) + и(х + Дх)) - (и(х) + о(х)) = = (и (х + Дх) - и (х)) + (у (х + Дх) - v (х)) = Ди + Ди.
Поэтому
Д/" _ Ди + Ди _ Ди Ди
---— -------—-----Ь--.	(И) Дх Дх Дх Дх
Учитывая, что по условию функции и и v имеют в точке х про-
1-	//XI-	// х тт
изводную, имеем lim — = и (х), lim — = и (х). Переходя в равен-дх—оДх	Дх —о Дх
стве	(2)	к пределу при Дх	-* 0, получаем
Д/	.. f Ди	Ди А .. Ди	Ди	...	, .	.
f (х) =	lim —	= hm —	+ — = lim — + lim	— = и (x) + v (x).
дх—оДх	дх—0уДх	Дх у дх—о Дх	дх—оДх
Равенство (1) доказано.
ПРИМЕР 1. (х2 + 3)' = (х2)' + (3)' = 2х + 0 = 2х.
97
Производная
ТЕОРЕМА 2. Если функция и (х) имеет в точке х производную и А — данное число, то функция f (х) = А • и (х) также имеет в этой точке производную, равную
Г(х) = Л.и'(х).	(3)
Коротко равенство (3) записывают так:
(А • и)' = А • и'9
и говорят, что постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Доказательство. Придадим данному х приращение Дх 0. Ему соответствует приращение функции f в точке х:
Д^ = /(х + Дх) - f (х) = Аи (х + Дх) - Аи (х) = = А {и (х + Дх) - и (х)) = АДи.
__	А/ . Ди ... . z л /	1-	1-	( л
Поэтому	—А—	и f(x) = (Аи (х))	= lim—=	lim | А—	=
Ах Ах	Лх->оАх Лх —oV Ах)
Л 1. Ди Л // X
= A lim — = Аи (х).
дх—>о Дх
Равенство (3) доказано.
ПРИМЕР 2. (5х2)' = 5(х2)' = 5(2х) = 10х.
Из теорем 1 и 2 следует справедливость следующего утверждения. Если функции и(х) и и(х) имеют в точке х производные, то их разность /(х) = и(х) - v(x) также имеет в этой точке производную, равную
f (х) = и'(х)-и'(х).	(4)
Коротко равенство (4) записывают так:
(и — v)' — и' - v't
и говорят: производная разности равна разности производных.
В самом деле,
f'(x) = (и - v)' = (и + (-1) • vY = и' + ((-1) • vY = и' + (-1) - и’ — и' - и'.
ПРИМЕР 3. (5х2 - Зх)' = (5х2)' - (Зх)' = 5(х2)' - 3(х)' = 10х - 3.
ТЕОРЕМА 3. Если каждая из функций иг (х), и2 (х), ип (х) имеет в точке х производную и А1? А2, ...» Ап — данные числа, то справедливо равенство
(А^ + А2и2 + ... + AnunY = Ajuf + A2u2 + ... + Anun'.
4-Никольский, 11 КЛ.
Для п — 1 и п = 2 теорема 3 является следствием теорем 1 и 2, для любого п она доказывается методом математической индукции.
ПРИМЕР 4.
(2х2 4- Зх - 4)' = 2 (х2)' + 3 (х)' - 4' = 2 • 2х + 3 - 0 = 4х + 3.
Обычно эти вычисления записывают короче: (2х2 4- Зх - 4)' = 4x4-3.
4.15	Сформулируйте теорему о производной:
а)	суммы двух функций;
б)	функции /(х) = Аи(х), где А — данное число.
4.16	* Докажите теорему 3.
4.17	Найдите производную функции в любой точке х е Л:
а)	у = х2 4- х; б) у = х2 - х;	в) у = х2 + 14;
г)	у = х2- 15; д) у = 5х2;	е) у = -х2;
ж)	у = 5х2 + Зх; з) у — Зх2 - Зх + 1; и) у = ах2 + Ьх + с
Найдите производную функции в любой точке х е Л, исполь зуя задание 4.12 (4.18—4.19):
4.18	а) у = х3 + х2 + х;
в)	у = 5х3;
д)	у = 2х3 - Зх2 + х;
ж)	у = -х3 + 5х2 - 8х + 13;
4.19	а) у = (х + З)2;
в) у = (Зх + I)2;
д) у = (х - 2)3;
б) у = х3 - х2 - х;
г) у = -х3;
е) у = Зх3 - 4х + 2;
з) у = ах3 + bx2 + сх + d.
б) z/= (х - 4)2;
г) у = (х + I)3;
е) у = (2х + З)3.
4.20	Вычислите значение производной функции /(х) в точке х0, если:
a)	f(x) = 4х3 - Зх2 - 2х, х0 = 0;
б)	f{x) = -5х3 4- 7х2 4-х, х0 = 1;
в)	f(x) = -х3 4- 4х 4- 5,	х0 =	-1;
г)	f(x) = 4х3 4- х2 - Зх	4- 3,	х0 = -2.
4.21	Определите, при каких значениях х производная функции:
а)	у = х2 + 6х ч- 5;	б)	у =	х3	4-	Зх2	-	17;
в)	у = ix3 - Зх2 4- 9х - 15;	г)	у -	х3	4-	5х2	-	13х 4- 7
равна нулю; положительна; отрицательна.
4.22	* Найдите функцию у = /(х), для которой:
а) Г(х) = 6х;	б) //(х) = х2-1;
в) Г(х) = Зх2 4- 2х - 5;	г) f'(x) = 6х2 - 4х + 7.
^99
Производная
4.3*. Непрерывность функции, имеющей производную.
Дифференциал
ТЕОРЕМА. Если функция имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Если функция у = /(х) имеет производную
Л	Ьу
в точке х, то для нее при Дх —► О отношение — стремится к конечно-Дх
му числу f'(x):
- f'(x) (Дх 0).
Ах
Поэтому
— = ГМ + а(Дх),
где сс(Дх) стремится к нулю при Дх —► 0.
Но тогда приращение функции Дг/ можно записать в виде суммы
&у - ГМ&Х + а(Дх)Дх
(1)
двух слагаемых, каждое из которых стремится к нулю при Дх —► 0. Следовательно, lim Дг/ = 0, т. е. функция f непрерывна в точке х.
Дх—о
Теорема доказана.
Обратное утверждение не всегда верно. Если функция непрерывна в точке х, то она может не иметь производной в этой точке. Например, функция i/ = |x| (рис. 97) непрерывна для всех х, но в точке х = 0 она не имеет производной.
В самом деле, в этой точке имеем lim — = 1, если Дх > 0, и lim — = Дх —о Дх	Дх—оДх
= —1, если Дх < 0. Это означает, что в точке х = 0 не существует lim — при любом стремлении Дх к нулю, т. е. в точке х = 0 функ-Дх — 0 Дх
ция не имеет производной.
Первое слагаемое в правой части равенства (1) называют дифференциалом функции f(x) в точке х, соответствующим приращению Дх аргумента х. Дифференциал функции /“(х) обозначают df или dy.
df = dy - //(х)Дх.
Так как dx = х' • Дх = Дх, то обычно обозначение приращения аргумента Дх заменяют на dx (Дх = dx), называемый дифференциалом аргумента, и пишут:
dy = f'(x)dx или df = f'(x)dx.
4*
100
Следовательно, производную функции можно записать как отношение дифференциалов:
Если f'(x) Ф 0, то говорят, что dy и dx имеют один и тот же порядок.
Другое дело — второе слагаемое в правой части равенства (1). При dx —> 0 оно стремится к нулю быстрее dx, потому что a (dx), в свою очередь, стремится к нулю при dx —► 0. Поэтому величину a(dx)dx называют бесконечно малой высшего порядка, чем dx, при dx = Дх —► 0.
Итак, если функция f(x) имеет в точке х производную, то ее приращение в этой точке равно сумме дифференциала этой функции и величины, представляющей собой бесконечно малую высшего порядка, чем dx:
Лу = dy + a(dx)dx.
Это дает основание считать, что при малых Дх приращение Дг/ приближенно равно дифференциалу dy:
by ~ dy, т. е. Дг/ ~ f’(x)dx.
ПРИМЕР. Вычислим приближенно приращение функции у = х2 в точке х — 10, соответствующее приращению аргумента Дх = 0,1. В любой точке х имеем
Az/ ~ dy = у' • Дх = (х2)' • Дх = 2хДх.
Тогда в точке х — 10 получим Ау ~ 2 • 10 • 0,1 = 2.
4.23е а) Сформулируйте теорему о непрерывности функции, имеющей производную в точке х.
б)	Верно ли обратное утверждение?
4.24	Постройте график функции:
а) у = д/х2 + 6х + 9;	б) у = у)4х2 - 4х + 1;
в) у = ,]-х2 + х + 6;	г) у = -J-x2 + 2х + 8.
4.25	Для каждой функции в задании 4.24 ответьте на вопрос:
а)	Является ли данная функция непрерывной в каждой точке полной области определения?
б)	В каждой ли точке функция имеет производную?
в)	Если нет, то в какой точке производная не существует?
г)	При каких значениях х производная равна нулю; положительна; отрицательна?
4.26	Найдите дифференциал функции:
а) у = Зх + 5; б) у = х2 + 2х + 4; в) у = х3 - 5х + 11.
1101	Производная
4.27	Вычислите приближенно приращение Az/ функции
у = х3 - 4х2 + 2х - 10 в точке х, если:
а) х = 1, Ах = 0,1;	б) х = 1, Ах = -0,1;
в)	х = 0, Ах = 0,01;	г) х = 0, Ах = -0,01.
4.4. Производная произведения. Производная частного
ТЕОРЕМА 1. Если функции и(х) и v(x) имеют производные в точке х, то их произведение f (х) = и (х) • v (х) также имеет в этой точке производную, равную f'(x) = и'(х) • и(х) + н(х) • v'(x).	(1)
Коротко равенство (1) записывают так:
(ии)' = u'v + uv’.
 Доказательство. В точке х зададим приращение аргумента Ах 0 и вычислим приращения функций Ди и Ар:
Ди = и (х + Ах) - и (х), Аи = и (х + Ах) - и (х), откуда
и (х + Ах) = и (х) + Аи, и (х + Ах) = и (х) + Аи.
Теперь вычислим приращение функции А/:
А/ = и (х + Дх) • и (х + Дх) - и (х) • v (х) = = (и(х) + Ди) • (и(х) + Ди) - и(х) • и(х) = = Аи • и(х) + и(х) • Ди + Ди • Аи.
_ А/ Аи . .	. . Аи Ди
Тогда	и(х) + и (х) • — + — • Ди.
Дх Дх	Дх Дх
При Дх —► 0 имеем — -* u'(x), — -> u'(x), Аи -* 0, так как функ-Дх	Дх
ция и(х) в точке х имеет производную, поэтому она в этой точке не-
прерывна (см. п. 4.3). Тогда — -> (и'(*) • u(x) + и(х) • и'(х) + и'(х) • 0), Дх
следовательно, в точке х f(x) = u'(x) • u(x) + u(x) • u'(x).
Теорема 1 доказана. Ф
ПРИМЕР 1.
(х • (х3- 1))' = х' • (х3 — 1) + х • (х3 — 1)' = 1 • (х3 — 1) + х- Зх2 = 4х3 — 1.
ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и и(х) имеют производные и (х)
в точке х и и (х) Ф О, то их частное f (х) =-- также имеет в этой
точке производную, равную
_ и* (*) • р (*)-»(*)• у* (»)
f (Х)	р2(х)
102
Коротко это равенство записывают так:
u,'v — uv'
— __________
.,2
Доказательство. В точке х зададим приращение аргумента Дх Ф 0 и вычислим приращение функции Д/:
_ и(х + Дх) u(x) _ и(х) + Ди и(х) _
и(х + Дх) и(х) и(х)+Ди и(х)
Ди . .	. ч Ди
/Ч/ЧА / Ч / Ч / Ч /ЧА ~7-------------------U(x)-U(x)*-----
_ и(х) • и(х) + Ди • щх) - и(х) • и(х) - и(х) • Ди _ Дх	Дх
(и(х) + Ди) • и(х)	(и(х) + Ди) • и(х)
Ди z .	. . Ди
Nf Т~ ' и(х) ~ и(х) • -7—
m Д/ Дх	Дх
Тогда — =--------------------.
Дх (и(х) + Ди) • и(х)
При Дх -> 0 имеем — -► и’ (х), — -» v' (х), Ди —> 0, так как функ-Дх	Дх
ция и (х) в точке х имеет производную, следовательно, она в этой точ-и'(х) • и(х) - и(х) • и'(х)
, поэто-
ке непрерывна (см. п. 4.3). Тогда---►	2
му в точке х	&х	v (х)
f'(x)=	u<x>‘v'<x)
v2(x)
Теорема 2 доказана, ф
ПРИМЕР 2.
X-1Y- (х-1)'(х +1)-(х-1)(х+1)' _ х + 1 - (х - 1) _	2
х+1J ~	(х+ I)2	~ (х + I)2	” (х + I)2 ’
4.28	° Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.
4.29	Из теоремы о производной произведения выведите правило вычисления производной функции у = С/(х), где С — константа. В любой точке х g R найдите производную функции (4.30—4.31):
4.30	а)	у = (х2 + Зх)(х - 1);	б)	у =	(х2 - 8х) (х - 2);
в)	у = (5х2 - Зх + 2)(3х + 2);	г)	у =	(5х2 + Зх + 2)(3х - 2);
д)	у = (-х2 + 2)(3х2 + 2х);	е)	у =	(4х2 + 6х - 1)(х2 - 3).
4.31 а) у = х4; б) у - х5; в) у - х6; г) у - х7.
Указание. Представьте данную функцию в виде произведения двух функций.
Например, (х4)' = (х3 • х\ = (х3)' • х + х3 • (х)' = Зх2 • х + х3 • 1 = 4х3.
|g 103
Производная
4.32° Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.
4.33 Найдите производную функции в любой точке х ее области оп-
ределения:				О \	7/ 		1
11 —	А	б* 1! и —			
<*) У	X ’	У —	х2 * * * * * * * *	У —	х + 1’
	X + 1		X		4 - х2 .
г) У =		д) У =		е) у =	9
	X - 1’		+ 1		X
	х2 + Зх		х2 + X - 7 .		- х2 4- 7х - 8
ж) у =	X + 1	з) у =	х2 + 1	и) у =	х2 - 7х + 5
4.34 Вычислите значение производной функции f(x) в указанной точке х0, если:
О y
а) f(x} = х° = 0: б) /(х) = х° = 1:
х2 — 1	х2 — 4
в) /(Х) = ^7 ч’ Х° = “1; Г) f (Х) = тН’ *о = -2. X -г О	X т Яс
4х
4.35* Дана функция f (х) = —---. Найдите все значения аргумента,
xz + 1
при которых:
а) Нх) = 0; б) f'(x)>0* в) f'(x) < 0.
4.36* Вычислите значение производной функции у = (х + I)10 в точке х0 = 0.
4.5. Производные элементарных функций
ТЕОРЕМА 1. Для любого х g R и любого натурального п 2 справедлива формула (vn\>	„--n l	/1 х
Iх ) —•	Н)
 Доказательство. Для п = 2 формула (1) уже доказана (см.
п. 4.1): (х2)' = 2х.
Предположим, что формула (1) верна для натурального п = k:
(xkY = kxk-\	(2)
Тогда, применяя формулу для производной произведения двух
функций (см. п. 4.4), имеем (xk + 1)/ = (хь • х)' = (xky • х + xk - (х)' = = (kxk ~	• х + хк • 1 = kxk + xk = (k + l)x\ откуда на основании прин-
ципа математической индукции заключаем, что формула (1) спра-
ведлива для любого натурального п 2.
Теорема 1 доказана, •
Ш 104
ПРИМЕР 1. (х20)' = 20х19.
ТЕОРЕМА 2. Для любого х е R, кроме х = О, и любого натурального п справедлива формула
(v~nY — —п п ~1
кь-хч-«г	esirrta» м- »	.•«е«я»«вив.«лалй>.;у*-С1
Доказательство. Воспользуемся формулой производной частного функций и теоремой 1:
z _„v fl У Г-х" —1-(х")'	0 — nx"" 1 -п	_п_г
V х" )	хЛп	х^п хп + 1
Теорема 2 доказана. Ф
ПРИМЕР 2. (х-20)' = -20 • X 21.
ТЕОРЕМА 3. Пусть а > 0 и а Ф 1, тогда для любого х е R справедлива формула
(ахУ = ах In а.
В частности, (ехУ = ех.
Доказательство. В точке х зададим приращение аргумента Ах ^0 и вычислим приращение функции f(х) = ах*.
А/ = ах + Дх - ах = ах(а&х - 1) = ах(еДх ‘1па - 1) =  In а _ I	— 1
= ах -----------Ах • Ina = ах------Ах • Ina,
Ах • In а	а
еа - 1 где a = Ina • Ах. Тогда — = ах------Ina.
Дх	a
Очевидно, что a —> 0 при Дх -> 0 и, как показано в п. 2.4, е« - 1 -------> 1. Поэтому для любого х имеем a
(ах)'= lim — = ах Ina. Дх о Дх
Теорема 3 доказана. Ф
ПРИМЕР 3. (20х)'= 20х In 20.
ТЕОРЕМА 4. Пусть а > 0 и a 1, тогда для любого х > 0 справедлива формула
(lOga ХУ = —1-.
xlna
В частности, (1пх)'= —.
105
Производная
Доказательство. В точке х > 0 зададим приращение аргумента Дх 0 (х + Дх > 0) и вычислим приращение функции /(х) = logu х:
х	. А X 1	1 х + Дх
Д/ = loga (х + Дх) - loga х = loga------
Пусть t = —, тогда — = — • log» (1 + t)1 — —~-ln(l + ty.
x	Дх *	xlna
Очевидно, что t -> 0 при Дх —> О и In (1 + £)'—► 1 (см. п. 2.4).
Поэтому для любого х > О имеем
п v v Д/ 1 (loga х) = hm — = ——. Лх->оДх xlna
Теорема 4 доказана. •
Формулу (logax)' = —— иногда записывают так: xlna
(logox)' = ^.
ПРИМЕР 4. (1g х)' = (log10 х)' =
ТЕОРЕМА 5. Для любого х е R справедливы формулы (sin х)' = cos х,	(3)
(cos х)' = -sin х.	(4)
;• v ж а а а	- »> ** п :« т * а с. > ~ г .в л »• :	е, < .. •	»кз$*ма1ММ
Доказательство. Докажем формулу (3). В точке х зададим приращение аргумента Дх Ф 0 и вычислим приращение функции ™ /(x) = sinx:
. х + Дх - х х + Дх+х Д/ = sm (х + Дх) - sin х = 2 sin---cos-------=
. Дх
Дх ( Дх A Sm 2	( Дх А л
= 2 sin —— cos х + — = —------------cos х + —— Дх.
2 I, 2 )	2 )
2
и 106
cosx. Тогда — —► cosx. Дх
. Дх sm — 2 При Дх —> 0 имеем ——-----> 1 (см. п. 2.2), и так как cosx —
~2 z ( Дх непрерывная функция, то cos х + —
Поэтому (sinx)'= lim — = cosx.
Дх—>0 Дх
Формула (3) доказана. Формула (4) доказывается аналогично.
Теорема 5 доказана. •
ТЕОРЕМА 6. Для любого х Ф — + nk, keZ, справедлива формула J .
UK х)----з—.	(О)
COSZ X
Для любого х Ф nk, keZ, справедлива формула
JClg X) —---Г 2	•
sin* X
Доказательство. Докажем формулу (5), пользуясь теоремой о производной частного и формулами (3) и (4):
( sin х Г (sin х)' • cos х - sin х • (cos х)' (tgx) ~ ----- = ----------------------------=
COS X )	COSZ X
cos2 x - sin x • (-sin x) _	1
cos2 x	cos2 X ’
Формула (5) доказана. Формула (6) доказывается аналогично.
Теорема 6 доказана. •
Таблица производных элементарных функций приведена в приложении 1.
4.37	Запишите формулу для нахождения производной функции: а) у = хпу neN; б) у = x-n, п g N.
При каких значениях х справедлива эта формула?
Для любого х g R найдите производную функции (4.38—4.39):
4.38	a)	i/ = xn; б) у = х101;	в)	у = х1001.
4.39	а)	у = 7х4 - 5х3 - х + 25;	б)	у = -х4 + 8х2 + 2х - 19;
в)	у = х12 - 5х8 + 6х4 - 1;	г)	у = 12х5 - 20х3 - ЗОх2.
Для любого х * 0 найдите производную функции (4.40—4.41):
4.40	а) у = х-21; б) у = х-201; в) у = х-2001.
ijs* 107	Производная
A Л1 \	1	2	5
441 а) у = ^г; б> У = 725-: в) у = -po •
4.42	Запишите формулу для нахождения производной функции: a) i/ = ax; б) у = ех; в) r/ = logax; г) i/ = lnx.
При каких значениях х справедлива каждая из формул?
Укажите, при каких значениях х функция f (х) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.43—4.45):
4.43	a) f(x) = 11х;	б) f (х) = 10х;
в) f(x) = 4х + 8х - 16х; г) f (х) = 3х + 9х - 27х.
4.44	а)	/(х)=^;	б)/(х)=^-;	в)	/(х) =
. .. .	3'	....	2*- 4х ....	3*-9*
г)	д) /(х) =	е)	f(x} =
Ж)	f(х) =	3) /(X) =	и)	f(x)	=
lg е	InlO	1g 2
4.45	a) /(x) = log2x; б) /(x) = lgx;
в)	fix) = 41og2x + 31nx - 21gx;
г)	?(х) - 5log3x - 6Inx + 71gx.
4.46	Запишите формулу для нахождения производной функции:
а) у = sinx; б) i/ = cosx; в) i/ = tgx; г) у = ctgx.
При каких значениях х справедлива каждая из формул?
4.47	* Докажите формулы для нахождения производных функций у = cosx и у = ctgx.
Укажите, при каких значениях х функция /(х) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.48—4.49):
4.48	а)	/(х) = х12 + 12х;	б)	/(х) =	х20 - 3sinx;
в)	/(х) = Inx - cosx;	г)	/(х) =	log4 х + х-2;
Д)	f(x) = х12 • 12х;	е)	/(х) =	х25 • 4cosx.
4.49	* a) f(x) = cos2002xcos 2001х + sin 2001xsin 2002х;
б) /(х) - sin2002xcos2001x - sin 2001xcos 2002х;
в) f(x} = tg2002x ~ te2001*
’ 74 ’	1+ tg2002x tg2001x *
4.50 Найдите значения x, при которых производная функции In х
у = —:
а) равна нулю; б) положительна; в) отрицательна.
4.51* Докажите справедливость равенства:
a) (sin 2х)'- 2 cos 2х;	б) (52х)'= 52х • In 25;
в) (cos 2х)'=-2sin 2х;	г) (In 17х)' = х > 0.
7 108
4.6.	Производная сложной функции
ТЕОРЕМА 1 Пусть ^ложная функция у = f (х) = ф (ф (х)) такова, что функция у — ф (и) определена на промежутке <7, а функция и — V (х) определена на промежутке X и множество всех ее
значений входит в промежуток U. Пусть функция и = ф (х) имеет производную в каждой точке внутри промежутка X, а функция у — ф (и) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция у = f (х) имеет производную в каждой точке внутри промежутка X, вычисляемую по формуле

Ух = 2/u • <
(1)
Формулу (1) читают так: производная у по х равна производной у по и, умноженной на производную и по х.
Формулу (1) записывают еще так:
Г (х) = Ф' (и) • V' (х), где и = ф (х).
I Доказательство. В точке х g X зададим приращение аргумента Дх 0, (х + Дх) е X. Тогда функция и = ф(х) получит приращение Ди, а функция у = <р(и) получит приращение Ау. Надо учесть, что так как функция и = ф (х) в точке х имеет производную, то она непрерывна в этой точке и Ди —> 0 при Дх —> 0. При условии, что Ди Ф 0, имеем
=	(2)
Дх Ди Дх
Перейдя в равенстве (2) к пределу при Дх —> 0, получим
lim — = lim — • lim — = у fu • и дх—оДх	ди—о Ди дх—оДх
т. е. формулу (1).
Теорема 1 доказана.
Замечание. При доказательстве теоремы 1 предполагалось, что каждому достаточно малому Дх Ф 0 соответствует Ди Ф 0. Если случится, что Ди = 0 при некотором Дх, то уже делить и умножать на Ди нельзя и надо доказывать формулу (1) другим способом. Это можно сделать, но соответствующее доказательство здесь не приводится. •
ПРИМЕР 1. Для любого х е R найдем производную функции у = е2х. Полагаем у = еи, и - 2х, поэтому
г/; = (еиК-(2х)'х=е“ -2= 2е2*.
109
Производная
ПРИМЕР 2. Для любого х е R найдем производную функции у = ех2. Полагаем у = еи, и = х2, поэтому
Ух = (е“Уи • (*2)i = е" • 2х = 2хе*2.
ПРИМЕР 3. Для любого х g R найдем производную функции у = sin(£x + b). Полагаем у = sin и, и = kx + Ъ, поэтому
у’х = (sin и)'и • (kx + Ъ\х = cos и • k = kcos (kx + b).
ТЕОРЕМА 2. Для любого х > 0 и любого а Ф 0 справедлива формула
(ха)' = аха ’х.
 Доказательство. Так как ха = |п х для х > 0 и а / 0, то, полагая (р(и) - е“, и — \|/(х) = alnx, получаем, что у = ха = <р(у(х)). Применяя теорему 1, имеем
у'х = (е" К * (а 1пх)* = е“ • а •	= аха •	= аха _ Ч
Теорема 2 доказана. •
ПРИМЕР 4. Найдем производную функции у = 4х для любого х > 0. Применяя теорему 2, имеем
у' = (Jx)' = (х*)' = |х'2= — 2	2у!х
ПРИМЕР 5. Найдем производную функции у = для любого
х > 0. Применяя теорему 2, имеем
ПРИМЕР 6. Для каждого х 0 найдем производную функции з/ 2~
у = Vxz.	2
Если х > 0, то функцию можно записать в виде у — х5, тогда
,	2	2	2
Ух = ^х	~ = W
5х5
Если х < 0, то функцию можно записать в виде у = ^/(-х)2, а так
2
как -х > 0, то в виде у = (-х) 5. Теперь имеем
^110
2	--	2
J/i = 5 (“)
5u5
2	2	2
,___(-хУ = ——-(-!)= —
5^(-х)л	-5‘уГхЗ
где и(х) - -х.
2
Итак, у'(х) = —— для каждого х * 0.
5^
ПРИМЕР 7. Найдем производную функции у = sin3x2. Полагаем у = и3, и = sinz, z = х2,
поэтому
у'х = (и3)'и • (sinz)2 • (х2)х = Зи2 • cos z • 2х = = 3 sin2 х2 • cos х2 • 2х = 6х sin2 х2 cos х2. •
Укажите, при каких значениях х функция /(х) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.52—4.60):
4.52	а) в)	f(x) =	+ ех\ f(x) = кх + хЕ;	6) r)	-4» II II 4 * г 1 1 H . я •
4.53	а) г) ж)	+ ' Г" ” со 1 * * п 11 11 д ss^	6) Д) з)	f(x) = e~4x;	в)	f(x) = e2x + *; f (x) = 2Sx;	e)	f(x) = 6“3x; f(x) = 5^x + 1;	и)	f(x) = 2-°-5x - 2
4.54* а)		f(x) = ех?;	6)	f(x)=e-x4;	в)/(х)=Зх3;
	г)	f(x)= 5-Л	д)	/(x) = esinx;	e) f(x) = 9cosx.
4.55	а) в)	f(x) = log4(12x)~ /(x) = ln(2x);	log2 x;	6) f(x) = log4 (-X) + log2 (-*); r) f(x) = ln(5x - 10).	
4.56* а) в)		f (x) = (cos x)4 - (sin x)4;	6) f(x) = 4 cos 17x cos 13x; fix) = 5 sin lOx cos 8x;	r) fix) = 6 sin 7x sin 3x.		
4.57	а) в)	f(x) = sin 2x; f(x) = tg (2x - 3);		6) f{x) = cos (3x +1); r) f(x) = ctg(-5x).
4.58* а) в) д) ж)		f(x) = sin (x2); f(*) = tg (Xs); /(x) = (sin x)2; /(x) = (tg x)3;		6) f (x) = cos (x4); r) /(x) = etg (x5); e) f ix) = (cos x)4; з) /(x) = (etg x)5.
4.59	а) в)	f(x) - In (3x); /(x) = log5 (-3х “	I);	6) f(x) = In (5 - 2x); r) f(x) = lg(2x + 4).
4.60	а) в)	f(x) = (2x + I)3; f(x) = (4x - 3)10;		6) f(x) = (-2x - 3)9; r) f(x) = (3x + 4)25.
4.61 Запишите формулу для вычисления производной функции у = ха, а — нецелое число. При каких значениях х справедлива эта формула?
Ill
Производная
Укажите, при каких значениях х функция f(x) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.62—4.65):
4.62 а)	/(х) = х«-5; б) Цх) =	X-0’5' 13 ’	в) / (x) - X4’2; r)	/(x) = X °’2 16
д)	f(x)=X’>; е) f(x) =	х'з’;	ж) f(x) = x-3’5; з)	f(x)= xT.
4.63 а)	f(x)=Vx; б) f(x) =	3/~ vx;	в) / (x) — ^x2; r)	7(x)=
д)	f(x)=^=; e) f(x) = ylX	1	ж) f (x) = x2Vx; з)	д/ X x^ y[x
4.64* а)	f(x) — ^x2 — 3x + 10;	6)	fix) = 73х2 + 5x + 4;	
в)	f (x) = д/х2 — 3x + 2;	r)	f{x) = -i]4x2 — 5x + 1;	
д)	f (x) = ^/x2 - 6x + 9;	e)	f(x) = ^x2 + 4x + 4;	
ж)	f(x) = fix2 - 6x + 5;	з)	f(x) - ^]x2 + 4x + 3.	
4.65* а)	f (x) = 4 sin x cos x;	64	f(x) = cos2 3x - sin2	3x;
в)	f(x}= 2tgl000x .	r)	f(x) = 1Vsin2 7x + cos	i2 7x.
	l-t^lOOOx’			
4.66	* Докажите, что если в каждой точке интервала X функция у — f(x) положительна и имеет производную, то на этом интервале совпадают промежутки знакопостоянства производных функций у = f (х) и у = y/f(x).
4.67	* Вычислите значение производной функции в указанных точках Xj и х2:
а)	У = (х - 2)20, хг = 1, х2 = 3;
б)	у - (х + 5)21, Xj = -6, х2 = -4;
в)	у = (2х - II)100, хг = 5, х2 = 6;
г)	у = (2х - З)1001, х1 = 1, х2 = 2.
4.68	* Для любого х > 0 найдите производную функции: а) у = хх; б) у = xsin х; в) у - xcos х.
4.69	Докажите, что графики функций f(x) = ех и <р(х) = хе (х > О) в точке с абсциссой х = е имеют общую касательную.
4.7*. Производная обратной функции
Пусть функция
у = f(x), X е [а; &],	(1)
является обратной к непрерывной и возрастающей на отрезке [с; d] функции
х = у е [с; d]
(2)
112
где с = /(a), d = f(b). Как показано в п. 3.2, функция (1) непрерывна и возрастает на отрезке [а; &].
Если функция ф имеет в точке у интервала (с; d) отличную от нуля производную, то функция f имеет в точке х = <р (г/) интервала (а; Ь) производную
Покажем это. Зададим в фиксированной точке х = ф (у) интервала (а; Ь) приращение аргумента Дх 0: (х + Дх) е [а; Ь], тогда функция (1) получит приращение Дг/. Так как обе функции (1) и (2) непрерывны на соответствующих отрезках, то из того, что Дх 0, следует, что Ау —► 0, а из того, что Дг/ 0, следует, что Дх -* О. Поэтому, учитывая еще, что ф' (у) * 0, имеем
f' (х) = lim — = lim = лх^оДх ду->о Дх
1 _ 1
Ит " Ф'О/)’
Лу — 0 Д У
ДА/
что и требовалось показать.
Из изложенного выше следует, что если функция ф имеет отличную от нуля производную в каждой точке интервала (с; d), то функция f имеет в каждой точке интервала (а; Ь) производную, вычисляемую по формуле
ф'О/)	Ф'(/Чх))*
Отметим, что аналогичные утверждения справедливы и для функций, непрерывных и строго монотонных на любом промежутке J.
ПРИМЕР 1. Найдем производную функции у = arcsin х, -1 < х < 1.	(3)
Функция (3) является обратной к функции x = smy, уе	.	(4)
Поэтому для каждого хе (-1; 1) ,	V	\	1	1	1
(arcsin х) = у (х) = —- = ——- =------.
х (у) (sin у)' cosy
Так как < у < —, то cosy > 0, и, применив равенство (4), 2	2
имеем cos у = ф. - sin2 у = V1 - х2. Следовательно, (arcsin х)' =	1	.	(5)
/1 - х2
Производная
113
Jili____
ПРИМЕР 2. Найдем производную функции у = arccos х, -1 < х < 1.
Для вычисления производной функции у = arccos х можно провести рассуждения, аналогичные рассуждениям, проведенным при выводе формулы (5). Но можно воспользоваться равенством arcsin х + + arccos х = —, из которого следует, что arccos х = — - arcsin х. Тогда di
1 _ 1
71 - х2 71 ~ х2
= о
(arccos х) = I — - arcsin х
ПРИМЕР 3. Найдем производную функции у = arctg х, х g R.
Функция (6) является обратной к функции ( Л Л А
x = tgi/, 1/G	.
\ Zu di J
Поэтому для любого X G R
/ 4 V	X	1	1	1
(arctg х) — у (х) =----—-------= —z—
Х'(У)	(1ёУУ	1
cos2 у
1
1 + tg2^'
(6)
(7)
m	Я	Я
Так как---< у < —,
2 v 2
то, применив равенство
(7),
получаем, что
1
1 + х2 ’
tg2i/ = x2. Следовательно, (arctgх)'=
ПРИМЕР 4. Найдем а) у = arcsin Зх, х е
производную функции: < 1 1Л . з’зг
б) у — arccos х2,
х е (-1; 1);
в) у - (arctgх)3, х g R.
Применяя формулы из примеров 1—3 и формулу производной сложной функции, имеем:
1	3
a)	(arcsin Зх)'х = (arcsin Зх)'3х - (Зх)' =	— • (Зх)' = -..- —
71 - (Зх)2	71 -9x2
1	— 2х
б)	(arccos х2)^. = (arccosх2)' 2 • (х2)' = — -	• 2х =	:
71 - (х2)2	71 “ *4
\ х чЧчл о/ х	z . w 3(arctgx)2
в)	((arctg х)3)' = 3 (arctg х)2 • (arctg х) = —--
1 + х2
114
4.70
4.71
По какой формуле находят производную данной функции, используя производную обратной к ней функции?
Вычислите производную функции у — /(х), используя производную обратной к ней функции х = ф (у):
и и и
х = у2, у G (0; +оо); х = у2, у g (-оо; 0); х - еу, у g R.
4.72
4.73
б)	у = -Vx, x e (0; -boo)
в)	у = Inx, x e (0; +oo)
Найдите производную функции у = arcctg х, х g R. Найдите производную данной функции:
а)
у - arccos 71Х, XG
у = arctgх3, х g R;
b)
у = arcsin 5x, xg
Д)
у = arccos (-2x), xg
г)	у = (arcctgЗх)5, х g R;
5 5)
= (arcs^n^x)5’ XG
1 1
4’4
§ 5. Применение производной
5.1. Максимум и минимум функции В
В п. 1.2 было дано определение наибольшего и наименьшего значения функции у = f(x) на множестве. Наибольшее значение функции на отрезке [а; &] называют еще максимумом функции на отрезке [а; д] и обозначают max f (х). Наименьшее значение функции
[а; Ь]
на отрезке [а; Ь] называют еще минимумом функции на отрезке [a; ft] и обозначают min/(x).
[а; &]
Можно доказать, что если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; &], то существуют точки этого отрезка, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения.
Мы будем считать это важное утверждение очевидным. Например, на рисунке 98 изображен график непрерывной на отрезке [2; 6] функции у — f (х), для которой max /(х) = f (3) = 4, min f(x) = /(2) = 1.
[2; 6]	[2; 6]
Точку отрезка [а; д], в которой функция достигает максимума на этом отрезке, называют точкой максимума. Значение функции в этой точке и есть максимум функции на отрезке. Точку отрезка [а; Ь], в которой функция достигает минимума на этом отрезке, называют точкой минимума. Значение функции в этой точке и есть минимум функции на отрезке. В приведенном выше примере х = 3 — точка максимума, а х = 2 — точка минимума.
Щ15
Применение производной
У
4
।—j----------1--------1—*-
1 2 3 4 5 6 х
D Рис. 98
О a х1 х2 х3 х4 b х
Ы Рис. 99
Названия и обозначения максимума и минимума происходят от латинских слов maximum (наибольшее) и minimum (наименьшее).
На рисунке 99 изображен график непрерывной на отрезке [а; Ь] функции у = /(х). Точка х2 есть точка максимума этой функции на отрезке [а; д]. Кроме точки х2, на рисунке отмечены еще три точки хх, х3, х4. Точка х4 не является точкой максимума на отрезке [а; 6]. Однако можно указать отрезок [х4 - 5; х4 + 8] (8 > 0), целиком принадлежащий отрезку [а; д], настолько маленький, что на нем точка х4 есть точка максимума этой функции. Такую точку называют точкой локального максимума (от латинского слова lokalis — местный, свойственный данному месту).
Итак, точку х0 отрезка [а; Ь] называют точкой локального максимума функции у = f(x), если существует отрезок [х0 - 8; х0 + 8] (8 > 0), целиком принадлежащий отрезку [а; Ь], на котором х0 является точкой максимума.
Аналогично точку х0 отрезка [а; Ь] называют точкой локального минимума функции у = f(x), если существует отрезок [х0 - 8; х0 + 8] (8 > 0), целиком принадлежащий отрезку [а; Ь]. на котором х0 является точкой минимума.
На рисунке 99 хг и х3 — точки локального минимума функции у = f (х), а х2 и х4 — точки локального максимума функции у = /(х). При этом х2, кроме того, есть точка максимума этой функции на всем отрезке [а; Ь].
Точки локального максимума и локального минимума функции у = f(x) называют точками локального экстремума этой функции. Подчеркнем, что точки локального экстремума есть внутренние точки отрезка [а; Ь], т. е. они принадлежат интервалу (а; Ь). Иногда слово «локальный» в словосочетании «локальный экстремум» опускают, но подразумевают его.
Очевидно, что в точках локального экстремума функции у = / (х), график которой изображен на рисунке 99, производная этой функции равна нулю: f'ix^ = 0, f' (х2) = 0, Г(х3) = 0, f (х4) = 0 (так как касательные в этих точках параллельны оси Ох и равны нулю тангенсы углов их наклона к оси Ох).
116
Однако надо иметь в виду, что обратное утверждение не всегда верно. Если производная функции у = f (х) равна нулю в некоторой точке х0, то эта точка может не быть точкой локального экстремума функции /(х).
Например, производная функции у = х3 в точке х = 0 равна нулю, но функция у = х3 в этой точке не имеет локального экстремума (рис. 100).
 Дадим формальное доказательство того факта, что если функция
У -f (х) имеет производную в точке х0, являющейся точкой ее локального экстремума, то производная в этой точке равна нулю.
В самом деле, пусть для определенности функция у = f(x) имеет в точке х0 локальный максимум. Тогда выполняется неравенство /(х) < /(х0) для
всех х, достаточно близких к х0, независимо от того, будет ли х больше или меньше х0. Следовательно, для точек х, достаточно близких к х0, выполняются неравенства
С 0, если х - х0 > 0,	(1)
х- х„
Г(Х) - Л*о) 0 если х _ х 0	(2)
X - Х„
По условию функция у = f(x) имеет производную
в точке х0,
и поэтому существует предел
/•(х) - /(х0) X - х0
lirn х-х() —0
Г(х0)’
Из неравенств (1) следует, что /'(xq) 0, а из неравенств (2) следует, что /'(х0) 0. Но это возможно, лишь если f'(x0) = 0. •
Пусть надо найти наибольшее и наименьшее значения функции у = /(х), непрерывной на отрезке [а; &] и имеющей производную на интервале (а; Ь). Для этого надо найти производную Г(х), приравнять ее к нулю и найти все корни xt, х2, ..., хп уравнения f'(x0) = 0, принадлежащие интервалу (а; Ь) (мы считаем, что число корней конечное). Далее надо вычислить значения функции
f(a), /(XJ, /(х2), ..., /(х„), /(&).	(3)
Наибольшее из чисел (3) есть максимум функции у = /(х) на отрезке [а; &], а соответствующее ему значение х — точка максимума на отрезке [а; Ь], наименьшее из чисел (3) есть минимум функции
^117
Применение производной
у = f (х) на отрезке [а; &], а соответствующее ему значение х — точка минимума на отрезке [а; Ь].
Объясним, почему так можно отыскивать наибольшее и наименьшее значения, на примере отыскания максимума. Так как по условию функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь], то существует точка х0 е [а; Ь], в которой функция достигает максимума на отрезке [а; 6]. Возможны два случая: 1) х0 является одним из концов отрезка [а; д], т. е. х0 = а или х0 = Ь; 2) х0 — внутренняя точка отрезка [а; д], т. е. х0 е (а; &). Во втором случае, как показано выше, производная функции в точке х0 равна нулю.
ПРИМЕР 1. Вычислим максимум и минимум функции /(х) = х3 - Зх2 на отрезке [-1; 4].
1)	Найдем производную f'(x):
f'(x) = (х3 - Зх2)' = Зх2 - 6х = Зх(х - 2).
2)	Приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:
Зх(х — 2) = 0.
Точки X! = 0 и х2 = 2 есть точки, в которых /'(х) = О. Точки ху и х2 — критические точки функции, так как обе они принадлежат интервалу (—1; 4).
3)	Вычислим значения функции в точках -1, 0, 2, 4:
/(-1) = -4, /(0) = 0, /(2) = -4, /(4) = 16.	(4)
4)	Найдем наибольшее и наименьшее из чисел (4):
max f (х) = /(4) - 16, min /(х) = /(-1) = f (2) = -4. [-1; 4]	[-1; 4]
Таким образом, функция /(х) на отрезке [-1; 4] достигает максимума (у - 16) в точке х = 4, минимума (у = -4) в двух точках: х = -1 и х = 2.
ПРИМЕР 2. Найдем максимум и минимум функции f(x) = |х - 2| на отрезке [0; 6].
График этой функции на отрезке [0; 6] изображен на рисун-
ке 101. Как видно из графика,
max f (х)= /(6) = 4, [0;6]
min/(x)=f(2) = 0.
[0;6]
Чтобы найти максимум и минимум функции f(x) на отрезке [0; 6] без опоры на график, надо разбить отрезок [0; 6] на два отрезка [0; 2] и [2; 6], во внутренних точках этих отрезков производная функции не обращается в нуль (а в точке 2 она не
118
существует). Следовательно, для отыскания максимума и минимума на каждом из отрезков [О; 2] и [2; 6] надо сравнить значения функции на концах этих отрезков, а для отыскания максимума и минимума на всем отрезке [0; 6] надо сравнить значения функции в точках 0, 2, 6.
Итак, для нахождения максимума и минимума функции у = f(x) на отрезке [а; Ь] надо знать значения функции в точках интервала (а; Ь), в которых у нее нет производной.
Внутренние точки отрезка, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует, называют критическими точками функции f(x) на этом отрезке.
Из изложенного выше следует, что при отыскании максимума и минимума функции на отрезке надо найти критические точки, лежащие внутри этого отрезка, и сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках.
Аналогично определяются максимум и минимум функции на интервале или полуинтервале. Однако здесь имеется существенная разница. Максимум или минимум функции на интервале или полуинтервале может не достигаться. Например, если считать, что на рисунке 98 изображен график непрерывной функции у = f(x), но заданной на полуинтервале (2; 6], то она достигает на этом полуинтервале своего максимума 4 в точке 3, но не достигает минимума ни в одной точке этого полуинтервала, так как точка 2 исключена из рассмотрения. В любой точке х19 близкой к точке 2, минимум не достигается, так как есть другие значения х2 G (2; 6], для которых
fM < /(xj.
ПРИМЕР 3. Найдем максимум и минимум функции f(x) = |х — 2| на интервале (0; 6).
Минимум функции f(x) на интервале (0; 6) достигается в точке х = 2:
min/(х) = f(2) = 0.
(0; 6)
Максимум функции f (х) на интервале (0; 6) не существует, так как в точке х = 6 функция /(х) не определена, и поэтому для точек х, лежащих на оси Ох левее точки 6, но сколь угодно близких к ней, среди всех значений /(х) не существует наибольшего.
5.1° а) Что называют максимумом функции у = /(х) на отрезке [а; Ь], как его обозначают?
б)	Что называют минимумом функции z/ = /(v) на отрезке [а; &], как его обозначают?
в)	Верно ли, что если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь], то существуют точки этого отрезка, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения?
^119
Применение производной
г)	Какую точку отрезка [а; Ь] называют точкой максимума функции у = f (х); точкой минимума функции у = /(х)? Как называют значения функции в этих точках?
д)	Какую точку отрезка [а; д] называют точкой локального максимума; локального минимума функции у = /(х)? Как называют значения функции в этих точках?
е)	Что называют точками локального экстремума функции У = /(х)?
ж) Верно ли, что если производная функции у = f (х) равна нулю в некоторой точке х0, то эта точка может не быть точкой локального экстремума функции у = f(x)? Приведите пример, з) Какие точки отрезка [а; Ь] называют критическими точками функции? Как найти эти точки?
и) Объясните порядок отыскания максимума и минимума функции на отрезке.
к)* Объясните порядок отыскания максимума и минимума функции на интервале; полуинтервале.
5.2	Функция у = f (х) определена на отрезке [-4; 4], ее график изображен на рисунке 102, а, б. Найдите критические точки функции на отрезке [-4; 4]. В каких из них производная функции равна нулю; в каких не существует?
 Рис. 102
5.3	В задании 5.2 укажите:
а)	точки максимума и минимума;
б)	точки локального экстремума;
в)	максимум и минимум;
г)	локальные экстремумы.
5.4	* Выполните задание 5.3, если функция определена: а) на интервале (-4; 4);
б)	на полуинтервале [-4; 4);
в)	на полуинтервале (-4; 4].
120
5.5*
Укажите наибольшее и наименьшее значения функции у = f(x) на отрезке [—2; 2], если:
-х, если х < — 1
-х + 2, если х < -1
а)
у = х + 2, если — 1 х < 1
б)
-Зх + 6, если х 1;
* -Зх, если -1 х < 1 х - 4, если х 1;
в) у = | х - 11 + 12х + 11;
г) у = |х - 11 - |2х + 1|.
Найдите критические точки промежутке, если (5.6—5.9): 5.6 а) у = 2х3 - Зх2, [-3; 3];
в) у = Зх4 + х3 + 7, [-3; 2];
5.7	а) у =	[-1; 1];
в) у = 4л/х - х, (0; 5];
5.8	а) у = ех - х, [-3; 2];
в) у = sin 2х - х, [-л, л];
5.9	* а) у = е*2 - ех2, [е; е];
ч In X zr. ,
В) У = —, (0; л];
функции у = f(x) на указанном
б) у = 5х3 - 15х, [-2; 2];
г) у = х4 - 4х2, [-4; 4].
б) у =	[—2; 2];
г) у = 2>/х - х, (0; 2].
б) у = е - хе, [-2; 2];
г) у = cos2x + х, [-л, л].
б) у = ех2~2х, [-л, л];
ех
г) у = т—, (-1; л].
1 + X
У =
Найдите максимум и минимум функции у = /(х) на указанном отрезке, если (5.10—5.11):
5.10	а)	у =	х3 - Зх2, [-1;	3];	б)	у = х3 +	Зх,	[-1;	2];
в)	у =	2х3 - 6х2 + 9,	[-2;	2];	г)	у = х3 -	Зх,	[-2;	3].
5.11	а)	у =	2х3 - х2, [-1;	1];	б)	у =	2х3 + х,	[-1;	1];
в)	у =	2х3 + 6х2 + 8,	[-3;	2];	г)	у = х3 +	6х,	[-2;	1].
5.12	Найдите критические точки функции: д/з	* г~
a) t/ = cosx + —х; б) у = 2sinx + V2x.
5.13	Определите наибольшее и наименьшее значения функции: а) у - х + In (—х) на отрезке [-4; -0,5];
б)	у — х + е~х на отрезке [-In 4; In 2].
Можно считать, что In 2 » 0,7.
х4
5.14* Найдите максимум и минимум функции у =------2х2 на:
4
а)	отрезке [-2; 2];	б)	интервале (-2;	2);
в)	полуинтервале (—2;	2];	г)	полуинтервале	[—2;	2).
5.15	* Найдите максимум и минимум функции у = д/|х | на:
а)	отрезке [-1; 1];	б)	интервале (-1;	1);
в)	полуинтервале [-1;	1);	г)	полуинтервале	(-1;	1].
121
Применение производной
5.16	При каком значении а наибольшее значение функции у - |х - а| на отрезке [-2; 3]:
а) равно 4,5; б) равно 3,5; в) достигается в двух точках?
5.17	Последовательность задана формулой общего члена:
а) хп - п2 - 30,5п + 205; б) хп - п2 - 40,5л + 305.
Найдите наименьший член последовательности.
5.2.	Уравнение касательной
ТЕОРЕМА, Пусть функция y = f (х) непрерывна на интервале (а; Ь) и имеет в точке Xq g (а; b) производную. Тогда график этой функции имеет в точке (х0; f (х0)) касательную, уравнение кото-рой у - у0 = k (х - х0), где у о = f (х0), k = f' (х0).
Доказательство. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции у = f(x) в точке х0 есть тангенс угла наклона касательной Z, проведенной к графику функции f в точке с абсциссой х0, т. е. k = tga = f'(x0) — угловой коэффициент прямой I (рис. 103).
Поэтому уравнение касательной имеет вид
y = kx + b,	(1)
где b — некоторое число, которое надо определить.
Если (х0; z/0) — точка касания, то выполняется равенство
z/0 = kxG + Ь,	(2)
выражающее, что точка (х0; t/0) принадлежит прямой I.
Найдя b из равенства (2) и подставив его в уравнение (1), получим уравнение прямой с угловым коэффициен
том /г, проходящей через точку с координатами (х0; у0):
У - Уо~ k(x - х$), где k = tga = Л(х0), Уь = /(х0).
Теорема доказана.
ПРИМЕР 1. Напишем уравнение касательной к графику функции f(x) = х2, проходящей через точку графика с абсциссой х0 = -2.
Функция f(x) = х2 имеет производную f{x) = 2х. Отсюда
Уо = / (ХО) = (*о)2 = (-2)2 = 4>
Л = Г(х0) = 2х0 = 2(-2) = -4.
122
Согласно теореме уравнение касательной имеет вид у - 4 = = -4 (х + 2), т. е. у = -4х - 4.
Касательная к графику функции /(х) = х2 в точке графика с абсциссой -2 изображена на рисунке 104.
ПРИМЕР 2. Напишем уравнение касательной к графику функции /(х) = -х2 + 6х - 7, параллельной прямой у = 4х + 5.
Вычислим угловой коэффициент k = f'(x0) касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0.
Так как f'(x) = (-х2 + 6х - 7)1 = -2х + 6, то k = Л(*о) - ~2х0 + 6.
По условию касательная должна быть параллельна прямой у = 4х + 5, следовательно, ее угловой коэффициент должен быть равен 4, т. е. -2х0 + 6 = 4, откуда х0 = 1.
Вычислим значение функции у = f(x) в точке х0 = 1:
Уо = f(xo) = /(1) = -I2 + 6  1 - 7 = -2, тогда согласно теореме уравнение касательной имеет вид у + 2 = 4 (х - 1), т. е. у = 4х - 6.
^123
Применение производной
I ПРИМЕР 3. Напишем уравнение касательной к графику функции /(х) = х2, проходящей через точку М (-1; -3).
Так как /(-1) = (-1)2 = 1 -3, то точка М не принадлежит графику функции /(х) = х2.
Пусть х0 — абсцисса точки касания, тогда z/0 = f(xo) = хо* и так как f'(x) = (х2У = 2х, то k = /*'(*0) = 2х0.
Поэтому уравнение касательной имеет вид у - х2 = 2х0 (х - х0), т. е. вид
z/ = 2x0x-Xq.	(3)
Точка М (— 1;-3) принадлежит касательной, заданной уравнением (3), поэтому, чтобы найти х0, подставим координаты точки М в уравнение (3). Получим верное равенство
-3 = 2х0(-1) - х2.	(4)
Решив уравнение х2 + 2х - 3 = О, получим, что условию (4) удовлетворяют числа х0 = 1 и х0 = -3. Это означает, что существуют две касательные к графику функции f(x) = х2, проходящие через точку М(-1; -3):
z/ = 2x-1hz/ = -6х - 9.
Эти прямые касаются графика функции /(х) = х2 в точках 4(1; 1) и В(-3; 9) (рис. 105). •
5.18 Какими свойствами должна обладать функция у = /(х), заданная на интервале (а; Ь), чтобы в точке с абсциссой х0 е (а; Ь) ее график имел касательную? Каково уравнение этой касательной?
Напишите уравнение касательной к графику функции у = /*(х) в точке с абсциссой х0, если (5.19—5.30):
5.19 /(х) = х2.
	а) х0 = 0;	б)	х0= 1;	в)	х0 — 2;	г)	Х0 = -1.
5.20	f (х) = х2 + 2х а) х0 = 0;	- 3. б)	х0 = 1;	в)	х0 = -1;	г)	х0 = -2.
5.21	f(x) = х3 - Зх2 + х а) х0 = 0;	б)		- 1. х0 = 1;	в)	х0 --1;	г)	Хо = —2.
5.22	/(х) = sinx. а) х0 = 0;	б)	71 Х° “ 2’	в)	Л *о=-р	г)	х0 = л.
5.23	/(х) = cosx. а) х0 = 0;	б)	п ха = —; 0	2	в)	1 к |сч 1 II	г)	х0 = -л.
124
5.24	fix) = tgx. a) xq = 0;	6) ХО =	в)	п х° =	г)	л х°~ 6'
5.25	/(х) = etg X.					
	а) *о =	б) *о=-£;	в)	7С хо= -j;	г)	тс х° (Г
5.26	f(x) = Inx. а) х0 = 1;	б) ХО = 2;	в)	х0 = 3;	г)	х0 = е.
5.27	f(x) = log2 X. а) х0 = 1;	б) х0 = 2;	в)	х0 = 4;	г)	х0 = 8.
5.28	f(x) = 2х. а) х0 =-1;	б) х0 = 0;	в)	х0 = 2;	г)	Xq = 3.
5.29	f(x) = ex. а) х0 = -2;	б) х0 = -1;	в)	хо = О;	г)	Xq = 2.
5.30	а) /(х)= VX	х0 = 4; б) /(х)	— —	1 х -2* X		
в) f(x) = sin— + ln(2 - x), x0 - 1; £
r) /(x) ~ cosnx - e1-x, x0 = 1.
5.31	В каких точках касательная к графику функции у = f(x) параллельна оси Ох, если:
a) f(x) = х2 + 4х - 12;	б) f (х) = Зх2 - 12х + 11;
в) fW = х3 - 12х2 + 36х - 1; г) /(х) = 2х3 + 6х2 - 7?
5.32	* Углом пересечения графика функции у = /(х) и прямой I называют угол между прямой I и касательной к графику функции, проведенной в точке пересечения. Под каким углом пересекает ось Ох график функции у = /(х) в каждой из точек пересечения, если:
а) у = х2 + х - 2;	б) у - 5х2 + 4х - 9;
в) у = 2х3 - 12х2 + х - 6; г) у = х3 + 6х2 + 5х?
5.33	* Под каким углом пересекает ось Оу график функции в предыдущем задании?
5.34	Напишите уравнение касательной к графику функции /(х) в точке с абсциссой х0 = е, если: а) /(х) = хг; б) /(х) = ех.
5.35	Напишите уравнение общей касательной к графикам функций /(х) = х2 - 2х + 1 и (р(х) =-х2 + 4х - 8. Найдите два способа решения задачи.
125
Применение производной
5.36	а) При каком значении а прямая у = 7х + а является касательной к графику функции у = х4 + Зх?
б) При каком значении а прямая у = -10х + а является касательной к графику функции у = х6 - 4х?
5.3. Приближенные вычисления
Пусть функция /(х) имеет производную в точке х0 и требуется найти приближенно значение этой функции в близкой к точке х0 точке х = х0 + Ах.
Так как функция /(х) имеет производную в точке х0, то справед-
ливо равенство
lim 7(х0+Дх)- 7(х0) Дх

При Ах, близких к нулю, справедливо приближенное равенство /(х0+ Дх) - /(х0)
Дх
которое выполняется тем точнее, чем ближе значение Ах к нулю.
Из приближенного равенства (1) получаем приближенное равенство
f(x0 + Дх) ~ 7(х0) +Л(х0)Дх.	(2)
Приведем примеры использования равенства (2) для прибли-женных вычислений.
ПРИМЕР 1. Вычислим приближенно значение функции /(х) = х10 в точке х = 1,01.
Имеем х = 1 + 0,01. Примем х0 = 1, Ах = 0,01. Тогда так как Л(х) = 10х9, то /(х0) = /(1) = I10 = 1, f'(*o) = Г(1) = Ю • I9 = 10.
Используя равенство (2), имеем
/(1,01) = f(l + 0,01) ~ /(1) + Л(1) • 0,01 = 1 + 10 • 0,01 = 1,1.
ПРИМЕР 2. Вычислим приближенно 73,96.
Рассмотрим функцию /(х) = 4х для х > 0. Примем х0 = 4, Ах =
- 1 -- 1
= -0,04. Тогда так как f'(x) = (х2)' = х 2 = ——, то
2 2Vx
f(x0) = 7(4) = V4 = 2, f'(x0) = г (4) = -2=. = 1
2^4	4
Используя равенство (2), имеем
7(4 - 0,04) = /(4) + 7'(4) • (-0,04) = 2 + i  (-0,04) = 1,99.
Итак, ^3,96 = 1,99.
^126
ПРИМЕР 3. Вычислим приближенно tg46°.
Рассмотрим функцию f(x) = tgx. Так как 46°= — +(ради-4	180
ан), то положим х0 = ^-, Дх = Тогда так как f'(x) = (tgx)' = 4	180
1
= --7—, ТО
COSZ X
/Uo)= tg^ = l, f(xo)=rf^ = -i- = 2.
UJ 4	UJ COS2-
4
Используя равенство (2), имеем
Гл л 1 ( л 1	71
^7 + 180	180
== 1+ 2--^- ~ 1,035.
Итак, tg46° ~ 1,035. ф
5.37	Напишите формулу для приближенного вычисления значения функции f (х) в точке х0 + Дх.
5.38	Вычислите приближенно /(х0 + Дх), если:
а)	/*(х) = х2, х0 = 5, Дх = 0,01;
б)	fix) = х3, х0 = 3, Дх = -0,01;
в)	f(x) = V*, хо = 16, Дх = 0,02;
г)	f(x) = Inx, х0 = е, Дх = 0,01;
д)	f(x) = 2х, х0 = 2, Дх = -0,02.
5.39 Вычислите приближенно:
а) 5,012;	б)	7,982;	в) 2,993;	г) 724-1;
д) 735,98;	е)	7124;	ж) 7215;	з) 1пЗ;
и) 1,О120;	к)	О,9820;	л) 2,О110;	м) 1,9910.
5.40 Покажите,	как из формулы		(2) следует	формула для при
ближенного вычисления квадратного корня из числа, близко-го к 1:	----- i
VI + Дх ~ 1 + - Дх.
Вычислите приближенно с помощью этой формулы:
a) -Jlfii; б) 7^02; В) д/0,99; г) 7°, 98.
5.41 Покажите, как из формулы (2) следует формула для приближенного вычисления n-й степени числа, близкого к 1:
(1 + Дх)" « 1 + пДх.
127
Применение производном
Вычислите приближенно с помощью этой формулы:
а) (1,001)1<ю;	б) (О,998)100;	в) (1,003)25;	г)	(0.9997)25;
. (1000 А10 Д) [1001) =	ч fioooA10 е) 1 998 J ;	z	х 20 ч (юооЛ ж [ 1003 J ’	з)	(10 000 V5 t 9997 J
5.42* Вычислите приближенно: a) sinl°;	б) sin 2°; д) cos 91°;	е) cos 61°;		в) sin 31°; ж) cos 59°;	г) з)	sin 29°; cos 89°.
5.43* a) tg47°;	б) tg2°;	в) etg 46°;	г)	etg 88°.
5.4*. Теоремы и среднем
Ниже доказаны теоремы, имеющие большое значение в математическом анализе, — теорема Ролля и теорема Лагранжа. Их называют теоремами о среднем.
ТЕОРЕМА 1 (Ролля). Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь], имеет производную на интервале (и; Ь) и принимает равные значения на концах отрезка [а; Ь], т. е.	(а). То-
гда на интервале (а; Ь) найдется хотя бы одна такая точка с, в которой производная этой функции равна нулю: f' (с) - О, а < с < Ъ.
На рисунках 106 и 107 изображены графики функций, удовлетворяющих условию теоремы Ролля. У первой функции имеется только одна точка с интервала (а; &), в которой ее производная равна нулю (Г (с) = 0), у второй функции имеются две такие точки и с2 (mww^o).
Доказательство. Пусть хг и х2 — точки, в которых функция f достигает на отрезке [а; д] соответственно минимума и максимума.
В Рис. 106
Рис. 107
128
Если /(Xj) < f (а), то тогда /(xx) < f(b)9 так как f(a) = f(b). Это означает, что точка Xj принадлежит интервалу (а; Ь) и в ней функция f достигает локального минимума. Но тогда, как мы знаем, /'(х1) = 0 и можно считать, что с = хР
Если /(х2) > f(a), то тогда /(х2) > /(b), так как f(a) = f(b). Это означает, что точка х2 принадлежит интервалу (а; Ь) и в ней функция f достигает локального максимума. Но тогда, как мы знаем, /'(х2) = 0 и можно считать, что с = х2.
Остается еще один случай, когда /(хх) = /(х2). Но тогда так как f(a) = f(b), то для всех х из отрезка [а; Ь] значения функции f(x) равны одной и той же константе А = f(aj. В этом случае в качестве с можно взять любую точку интервала (а; Ь) — в ней f'(c) = 0.
Теорема 1 доказана.
ТЕОРЕМА 2. (Лагр<р1>ка). Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь], имеет производную на интервале (а; Ъ). Тогда на интервале (а; Ь) найдется хотя бы одна такая точка с, в которой производная этой функции удовлетворяет равенству
Ъ - а
- f' (с) (а<с<Ъ)9
или, что то же самое, равенству
(1)
•**%S£«квЗОММЛ9

/(b)-/(«) = /'(с)(Ь-а) (а<с<Ъ).	(2)
..-г л» веж ле» к.	ит«а>ан»« <	ж w. 71 -	* v

b X
О а
а ₽ис.
Теорема Лагранжа имеет следующий геометрический смысл (рис. 108). Левая часть равенства (1) есть тангенс угла наклона к оси Ох хорды, стягивающей точки (а; /(а)) и (b; /(b)) графика функции у = /(х), а правая есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой точке с абсциссой с, принадлежащей интервалу (а; Ь). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график функции, непрерывной на отрезке
[а; Ь] и имеющей производную на интервале (а; Ь), то на этой кривой существует точка, имеющая абс-
циссу с (а < с < Ь), такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а; /(а)) и (b; /(b)). Доказательство. Рассмотрим функцию
F(x) = (/(b) - /(а))х - (Ь - а)/(х).
Она непрерывна на отрезке [а; Ь] и имеет производную на интервале (а; Ь), равную
F'{x) = (f(b) - f(a)) - (b - a)f(x).
129
Применение производной
Кроме того, F(b) = -f(a)b + af(b), F(a) = f(b) a - bf(a), и, следовательно, F (a) = F(b). Но тогда по теореме Ролля на интервале (a; b) существует точка с, для которой F' (с) = О, т. е.
(/(&) - /(a)) - (5 - a) f (с) = О (а < с < 5),
откуда следует равенство (2).
ПРИМЕР. Функция f(x) = 4х непрерывна на отрезке [О; 1] и имеет производную по крайней мере на интервале (0; 1). К ней применима теорема Лагранжа. Это означает, что существует точка с е (0; 1), такая, что
f(c)= -* 1-Zp(0) = <£-75 = 1.	(3)
Так как f (х) = ——, то —— = 1, откуда следует, что с - —. Зна-2Vx 24с	4
чит, в точке с = — справедливо равенство (3). 4
5.44	° Сформулируйте теорему Ролля.
5.45	Не вычисляя производной, объясните, почему внутри указанного отрезка функция f(x) имеет точку, в которой производная этой функции равна нулю, если:
а) /(х) = -х3 + Зх, [-1; 2]; б) /(х) = х3 + Зх2, [-3; 0].
5.46	Сформулируйте теорему Лагранжа.
5.47	Дана функция /(х). Внутри отрезка [а; 5] найдите точку с, для которой справедливо равенство f (с) =	—£fa), если:
а) /(х) = х3, а - -1, 5 = 2;	б) /(х) = х3, а = -2, 5=1;
в) /(х) = 4х, а- 0, 5 = 27;	г) f(x) = 4х, а = -27, 5=0.
5.48 Через две точки А и В графика функции у = х2, имеющие соответственно абсциссы а и 5, проведена секущая АВ. Существует ли точка С графика функции с абсциссой с е (а; 5), через которую можно провести касательную к графику этой функции, параллельную секущей АВ2
5.5. Возрастание и убывание функции
Пусть функция /(х) непрерывна на промежутке I и имеет внутри промежутка производную f’(x). Тогда:
1) если Г(х) > 0 внутри промежутка 7, то функция f возрастает на промежутке 7;
2) если Г(х) < 0 внутри промежутка 7, то функция f убывает
на промежутке 7.
130
В самом деле, /'(*) = tga, где a — угол между касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой х и положительным направлением оси Ох, Но если f'(x) > 0 внутри промежутка I, то всюду внутри него угол а острый, что может быть, только если функция возрастает на промежутке I (рис. 109, а).
Подчеркнем, что при этом на концах промежутка I производная может быть равна нулю или не существовать.
Если же Л (х) < 0 внутри промежутка /, то всюду внутри него угол а тупой, что может быть, только если функция убывает на промежутке I (рис. 109, б).
Приведенные здесь рассуждения не являются доказательством утверждений 1 и 2, они лишь дают представление о связи знака производной функции внутри промежутка I и поведения самой функции (возрастания, убывания) на промежутке I.
 Утверждения 1 и 2 являются следствиями следующей теоремы:
ТЕОРЕМА. Пусть функция f (х) непрерывна на промежутке I ’ и имеет производную f'(x) в каждой точке внутри промежутка I. Тогда:
а)	если f (х) > 0 для каждого х внутри промежутка Z, то функция /(х) возрастает на промежутке Z;
б)	если f (х) < О для каждого х внутри промежутка 1, то функция f(x) убывает на промежутке /;
в)	если f' (х) = О для каждого х внутри промежутка /, то функция f (х) постоянная (константа) на промежутке I.
Доказательство. Пусть Xj и х2 — любые точки промежутка 7, такие, что Xj < х2. Рассмотрим отрезок [х^ х2]. Так как [xj; х2] с: I, то функция /(х) непрерывна на отрезке [хг; х2] и внутри его имеет производную. Применяя теорему Лагранжа, получаем, что на интервале (хх; х2) найдется такая точка с, что
f(x2)-f(x1) = r(cHx2-x1).	(1)
i3i
Применение производной
а)	Если f'(x) > О для всех х внутри промежутка I, то f'(c) > О, и тогда из равенства (1) следует, что
f (х2) > /(xj.	(2)
Так как хг и х2 — любые точки промежутка 7, то неравенство (2) означает, что функция f возрастает на промежутке 7.
б)	Если f'(x) < 0 для всех х внутри промежутка 7, то Г (с) < О, и тогда из равенства (1) следует, что
/(х2) <	(3)
Так как хг и х2 — любые точки промежутка 7, то неравенство (3) означает, что функция f убывает на промежутке 7.
в)	Если же f'(x) = 0 для всех х промежутка 7, то f’(c) = 0, и тогда из равенства (1) следует, что
f(x2) = f(xj.	(4)
Так как хг и х2 — любые точки промежутка 7, то равенство (4) означает, что функция /(х) = С для всех х промежутка 7, где
ПРИМЕР 1. Найдем промежутки возрастания функции
f (х) = Xs.	(5)
Функция (5) непрерывна и имеет производную для всех х е R. Так как f'(x) = (х3)' = Зх2, то /(х) = 0 при х = 0 и f'(x) > 0 при х Ф 0.
По утверждению 1 функция (5) возрастает на каждом из промежутков (-оо; 0] и [0; 4 оо). Но тогда функция (5) возрастает и на всем интервале (-оо; 4-оо).
В самом деле, пусть Xi < х2, тогда если х2 е (-оо; 0] или хх е [0; 4-оо), то уже доказано, что /(хг) < f(x2). Остается случай Xj < 0 < х2. В этом случае из возрастания функции на промежутках (-оо; 0] и [0; 4-оо) следует, что f (xj < f (0) и /(0) < f (х2), но тогда /(xj < f(x2). Таким образом, функция (5) является возрастающей на всем интервале (-оо; 4-оо).
ПРИМЕР 2. Найдем промежутки возрастания (убывания) функции f(x) = 1п(х2 - 3).	(6)
Функция (6) определена при х2 - 3 > 0, т. е. на объединении интервалов (—оо; -л/З) и (л/З; 4-оо). На каждом из этих интервалов функция (6) имеет производную. Так как
' v '	(х-7з)(х + 7з)’
то ни в одной из точек этих интервалов производная функции (6) не обращается в нуль.
132
Так как f'(x) > 0 для любых х > >/3 и f'(x)<0 для любых х < --Уз, то по утверждениям 1 и 2 функция (6) возрастает на промежутке (>/3; +оо) и убывает на промежутке (-оо; -л/З). Она не определена на отрезке [-4$; >/3].
Утверждения 1 и 2 позволяют определять, является ли критическая точка, в которой производная равна нулю, точкой локального максимума или точкой локального минимума.
Пусть функция f(x) имеет производную внутри промежутка I и критическая точка х0 лежит внутри I, тогда:
а)	если в точке х0 производная меняет знак с «+» на *-», то х0 — точка локального максимума;
б)	если в точке х0 производная меняет знак с «-» на «+», то х0 — точка локального минимума.
Рассмотрим случай «а». Действительно, так как производная слева от точки х0 (в левой ее полуокрестности, т. е. в интервале (х0 - 6; х0), где 8 > 0) положительна, то функция возрастает на промежутке (х0 - 8; х0]. Так как производная справа от точки х0 (в правой ее полуокрестности, т. е. в интервале (х0; х0 + 8), где 8 > 0) отрицательна, то функция убывает на промежутке [х0; х0 + 8). Значит, в точке х0 она принимает наибольшее значение среди всех значений в ее окрестности, т. е. точка х0 — точка локального максимума.
Если обозначить возрастание функции знаком Z, а убывание — знаком \, то схематически проведенное рассуждение можно изобразить так, как на рисунке 110.
Рассуждая аналогично, получим, что в случае «б» точка х0 — точка локального минимума (рис. 111).
Г(х)
Кх)
—I— хо max
ГМ
—I—
*0 min
 Рис, 'ПО
Я Рис. Ilf
ПРИМЕР 3 Найдем промежутки возрастания (убывания) и точки локального экстремума функции
f (х) = х3 - 6х2 + 9х - 1.
Функция f(x) имеет производную для всех хе Й. Так как ГМ = (*3 - 6х2 + 9х - 1)' = Зх2 - 12х + 9 = 3(х - 1)(х - 3), то:
ГМ = 0 при х = 1 и при х = 3;
ГМ > 0 при х е (-оо; 1) и при х G (3; +оо);
Л(х) < 0 при х g (1; 3).
133
Применение производной
По утверждениям 1 и 2 функция f(x) возрастает на каждом из промежутков (-оо; 1] и [3; +оо), убывает на промежутке [1; 3] (рис. 112).
Следовательно, в точке х = 1
функция f (х) имеет локальный максимум, а в точке х = 3 — локальный минимум.
------------1--------1--------►
f(x) 1 \ 3	х
max min
 Рис. 112
5.49 Функция f(x) непрерывна на промежутке I и имеет внутри промежутка производную f'(x). Объясните, как по знаку производной можно заключить, возрастает или убывает она на промежутке I.
5.50
Докажите, что функция f(x) жутке, если:
a) f(x) = Зх + 4, х е R;
в) f (х) = х2, х g [0; +оо);
д) f(x) = sinx, хе	;
ж) f (х) = 2х, х g R;
возрастает на указанном проме-
б) f(x) = kx + Z, k > 0, x e R;
г) /(x) = -x2, x e (-oo; 0];
e) f(x) = cosx, x g [л; 2л];
з) f(x) = log2x, x g (0; +oo).
5.51 Докажите, что функция f (x) убывает на указанном промежутке, если:
a) f (х) = -Зх + 8, х е й;	б) /(х) = kx + Z, k < 0, х е й;
в) f (х) = -х2, х g [0; +оо);	г) f (х) = х2, х G (-оо; 0];
Д) f(x) = sinx, х е Г^-;	;	е) f (х) — cosx, х s [0; л);
ж) f (х) = (0,5)х, х g R;	з) f(x) = log0t5 х, х g (0; +оо).
5.52	Докажите, что функция:
a) f(x) = 2х + cosx; б) /(x) = x + sinx возрастает на промежутке R.
5.53	Докажите, что функция:
a) f(x) = -2х + cosx; б) f(x) =-х + sinx убывает на промежутке R.
5.54	Докажите, что функция f (х) = — убывает на каждом из промежутков (—оо; 0) и (0; +оо).
5.55	Докажите, что функция f (х) = х3 - 6х2 + 9х - 1 возрастает на каждом из промежутков (-оо; 1] и [3; +оо).
134
5.56	а) Докажите, что функция у = In (4 - 2х) убывает на полной области определения.
б)	Докажите, что функция у = 1п(2х — 6) возрастает на полной области определения.
5.57	Найдите критические точки, промежутки возрастания и убывания функции:
а) у = 2х3 - Зх2 - 12х + 6; б) у = х3 - 6х2 + 9х + 3;
в) i/ = 5x2-lnx;	г) у — \пх-2х2,
5.58	Для функции f(x) найдите промежутки непрерывности, промежутки возрастания (убывания), если:
ч . х - 2,5	_ х . х - 5
a) f(x)=——б) f(x)=--------------
х£ - 4	9 - х*
в)	f(x) = 2х2 - 1пх; г) /(х) = 1пх - 4,5х2.
5.59	* Докажите, что функция /(х) = ^х3 - х2 - 8х + 1 на отрезке
3
[-1; 3] имеет единственный нуль. Сколько нулей на промежутке (-оо; +оо) имеет функция /(х)? Определите точки локального экстремума функции / (х).
5.60	* Определите точки локального экстремума функции:
а) fw = б) fw = ~Ч •
Хг 4- 5	Xz 4- 1
Достигает ли функция f(x) в точках локального экстремума своего наибольшего (наименьшего) значения?
5.61	* Докажите, что функция f(x) = х4 * 4- 4х3 4- 28 принимает положительные значения для каждого х е R.
5.6. Производные высших порядков
Пусть функция /(х) имеет производную f'(x) в каждой точке интервала I. Тогда f’(x) есть функция, также определенная на интервале I. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке интервала 7, то ее называют второй производной функции /(х) и обозначают так: f"(x). Тогда f"(x) также есть функция, определенная на интервале I. Аналогично определяются производные высших порядков j*n}(x) (n g 2V, п 3) функции f(x).
Отметим, что f'(x) — производную функции /(х) — называют иногда первой производной функции f(x).
ПРИМЕР 1. Найдем вторую производную функции
7(х) = х4 4- х3 4- х2 4- х 4- 1.
135
Применение производной
Так как функция f(x) определена и имеет производную в каждой точке интервала (-оо; +оо), то функция
f'(x) = (х4 + х3 + х2 + х + 1)' = 4х3 + Зх2 + 2х + 1
также определена в каждой точке интервала (-оо; +оо). Она имеет в каждой точке этого интервала производную
f"(x) = (4х3 + Зх9 + 2х + 1/ = 12х2 + 6х + 2.
ПРИМЕР 2. Найдем четвертую производную функции f(x) = sinx.
В каждой точке интервала (-оо; +оо) имеем f' (х) = (sin х)' = cos х, f"(*) = (cos х)' = -sin х, (х) = (-sin х)' — -cos х, /(4) (х) = (-cos х)' = sin х.
Отметим, что в механике движение называют равномерным, если его скорость постоянна, и движение называют равноускоренным, если его ускорение постоянно.
Пусть точка движется по прямой по закону
s = f(ty	(1)
Первая производная функции (1) есть скорость точки:
S' = f'(t).
Вторая же производная функции (1) есть скорость изменения скорости, т. е. ускорение точки:
Таким образом, если точка движется по закону (1), то механический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная определяет ускорение этой точки.
Если точка движется по прямой по линейному закону
s = at + Ь,
где а и Ъ — данные числа и а * 0, то это движение равномерное, потому что его скорость s' = а постоянна.
Если точка движется по прямой по квадратичному закону s = at2 + bt + с,
где а, b и с — данные числа и а * 0, то это движение равноускоренное, так как его скорость s' = 2at + b зависит от времени, а ускорение s" = 2а постоянно.
Подчеркнем, что если точка движется по прямой по закону s = f (t), то s' и s" есть функции времени. Только в случае если точка движется по прямой по линейному закону, s' есть постоянная, т. е.
И136
движение равномерное, и только если точка движется по прямой по квадратичному закону, s" есть постоянная, не равная нулю, т. е. движение равноускоренное.
5.62 а) Что называют второй производной функции /(х)? Как ее обозначают?
б) Как находят производные высших порядков?
5.63° а) Какое движение в механике называют равномерным; равноускоренным?
б)	В чем заключается механический смысл второй производной? at?
в)	Точка движется по прямой по закону s (t) = —- + uot + s0.
Какой механический смысл имеют числа a, vG, s0?
5.64	Точка движется по прямой по закону s(t). Выразите скорость v точки и ее ускорение а как функцию времени t. Определите и и а в момент времени £, если:
a)	s(t) = 5t2 - 10t + 1, t = 0, t = 2, t = 4;
6)	s(t) = 2t2 - 8t + 1, t = 0, t = 1, t = 5;
в)	s(t) = t3 - 2t2 + t + 1, t = 0, t = 2, t = 3.
Определите в каждом случае момент времени, когда скорость точки равна нулю.
5.65	* Пусть при прямолинейном движении тела его координата х (в метрах) меняется по закону:
a) x(t) = 5t + sin3i - 2cos-^;	6) x(t) = 3t — cos2t + 3sin^,
где t — время (в секундах), t 0. Найдите начальную скорость и начальное ускорение тела.
5.66	Найдите f"(x), если:
а) /(х) = |х3 - х2;	б) /(х) = |х3 + |х2;
в) f(x) = 5х3 - 4х2 + 7х - 13; г) /(х) = -13х5 + 4х3 - х.
5.67	* Найдите производные порядков 1, 2, 3 функции f(x) = апхп + ап_ гхп~ 1 + ... + агх + а0, где п 2.
Запишите полученный результат для п = 2, п = 3, п = 4.
5.68	Найдите производную порядка 200 функции: a) /(x) = sinx; б) f(x) = cosx; в) /(х) = ех.
5.69	* Найдите производные порядков п и (п - 1) функции
f (х) = апхп + ап _ гхп- 1 + ... + aYx + а0, где п > 2.
137
Применение производной
5.70	* Найдите производную порядка п функции:
а) /(х) = (х + 2)п; б) f (х) = е* * * * * * * * * х;
в) /(х) = 3х;	г) f (х) = (х - 2)л.
Докажите полученные формулы с помощью метода математической индукции.
5.71	* Найдите производную порядка п функции f (х) = (х + а)т, где т е ?V, т > zi.
5.7*. Выпуклость графика функции
Рассмотрим функцию у = f(х), имеющую на интервале (а; Ь) вторую
производную f"(x).
Вторая производная функции
/(х) есть первая производная функ-
ции /Л(х), поэтому:
1) если /"(х) > 0 на интервале (а; Ъ), то первая производная f'(x) на этом интервале возрастает;
2) если /"(х) < 0 на интервале (а; Ь), то первая производная f'(x) на этом интервале убывает.
На рисунках 113—115 изображены графики функций, соответствующие случаю 1.
Объясним это. Для каждого из этих трех графиков при возрастании
х от а до Ъ тангенс угла между касательной к графику функции и осью Ох возрастает. На рисунке 113 угол а острый для всех значений х из интервала (а; Ъ)\ с возрастанием х угол а увеличивается и его тангенс (положительный) увеличивается. На рисунке 114 угол а тупой; с возрастанием х угол а увеличивается и его тангенс (отрицательный) увеличивается. Наконец, на рисунке 115 тангенс сначала растет, принимая отрицательные значения на интервале (а; с), обращается в нуль в точке х = с, а затем растет, принимая положительные значения на интервале (с; Ь).
Так как в любой точке х 6 (а; Ь) имеем tgoc = /'(x), то рост тангенса
 Рис. 115
138
угла а означает, что на интервале (а; Ь) функция у = f'(x) возрастает. Возрастание же первой производной, т. е. возрастание tg а, вызвано тем, что вторая производная функции f положительна на интервале (а; Ъ).
Во всех трех рассмотренных случаях график расположен выше касательной, проведенной в любой его точке.
График функции называют выпуклым вниз на интервале (а; Ь), если он расположен выше касательной, проведенной в любой его точке интервала (а; Ъ). На рисунках 113—115 изображены графики функций, выпуклые вниз.
График функции называют выпуклым вверх на интервале (а; Ь), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой его точке интервала (а; Ъ). На рисунках 116— 118 изображены примеры графиков функций, выпуклых вверх.
Справедливо утверждение 1, выражающее геометрический смысл второй производной: если функция f (х) на интервале (а; Ь) имеет положительную вторую производную /"(х), то на этом интервале график функции у = f(x) имеет выпуклость вниз; если же функция f(x) на интервале (а; Ь) имеет отрицательную вторую производную f”(x), то на этом интервале график функции У -f М имеет выпуклость вверх.
В случае 1 это утверждение уже разъяснено, а в случае 2 его разъяснение следует из рассмотрения графиков на рисунках 116—118.
Справедливо утверждение 2. Пусть функция /(х) имеет в окрестности точки х0 непрерывную вторую производную f"(x). Если Г(хе) = О, f”(xo)<O9 то функция f(x) имеет в точке х0 локальный максимум. Если же Г (х0) = О, f" (х0) > О, то функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум.
Справедливость утверждения 2 следует из доказанной ниже теоремы, если учесть, что из того, что вторая производная отрицательна в точке х0, в силу предположения о ее непрерывности следует, что она отрица
139
Применение производной
тельна в некоторой окрестности этой точки. Из того что вторая производная положительна в точке х0, в силу ее непрерывности также следует, что она положительна в некоторой окрестности этой точки.
ТЕОРЕМА. Пусть функция f(x) имеет вторую производную f"(x) на интервале (х0 - 8; х0 + 5) (8 > О) и пусть первая производная этой функции в точке х0 равна нулю: f (х0) = О. Тогда:
а)	если f" (х) > О на интервале (х0 - 8; х0 + 8), то функция f (х) в точке х0 имеет локальный минимум;
б)	если f"(x) < О на интервале (х0 - 8; х0 + 8), то функция f (х) в точке х0 имеет локальный максимум.
Доказательство.
а)	Пусть f"(x) > 0 на интервале (х0 - 8; х0 + 8) и f'(x0) = О. Так как вторая производная есть первая производная от первой производной: f"(x) = (/'(х))', то на основании теоремы (п. 5.5) функция f'(x) на интервале (х0 - 8; х0 + 8) возрастает, но = 0» поэтому Л(х) < 0 на интервале (х0 - 8; х0) и f'(x) > 0 на интервале (х0; х0 + 8), т. е. первая производная при переходе через точку х0 меняет знак с «-» на «+». Но это означает, что функция f в точке х0 имеет локальный минимум.
б)	Подобным образом доказывается теорема и в случае f”(x) < О, приводящем к локальному максимуму в точке х0.
Говорят, что точка х0 есть точка перегиба кривой — графика функции у = f(x), если существует достаточно малое 8 > 0, такое, что для всех х е (х0 - 8; х0) кривая находится по одну сторону касательной к кривой в точке с абсциссой х0, а для всех х е (х0; х0 + 8) — по другую. Иными словами, если при переходе х через х0 точка кривой переходит с одной стороны касательной на другую.
Если функция /(х) в каждой точке окрестности точки х0 (включая и точку х0) имеет вторую производную f "(х), а в точке х0 вторая производная меняет знак с «+» на «-» или с «—» на «+», то точка х0 является точкой перегиба ее графика.
Чтобы найти точки перегиба графика функции у = f (х) на интервале (а; Ь), надо найти вторую производную f”(x) и решить уравнение
/"(х) = 0.	(1)
Те корни уравнения (1), которые принадлежат интервалу (а; Ь) и в которых вторая производная меняет знак с «+» на «-» или с «-» на «+», и являются точками перегиба графика функции у = f(x).
ПРИМЕР. Найдем промежутки выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба графика функции
/(х)=|х3-х2.	(2)
О
140
Функция (2) определена для всех х е R, Вычислим вторую производную функции (2). Так как f'(x) = |^х3-х2| = х2 - 2х, у <_>	J
то f"(x) = (х2 - 2х)' = 2х - 2 = 2 (х - 1).
Очевидно, что вторая производная функции (2) обращается в нуль в единственной точке х = 1, отрицательна на интервале (-оо; 1), положительна на интервале (1; +оо). Следовательно, точка х = 1 — точка перегиба графика функции (2).
На интервале (—оо; 1) график функции (2) имеет выпуклость вверх, а на ин
тервале (1; +оо) — выпуклость вниз.
На рисунке 119 изображены график функции (2) в окрестности
точки х = 1 и касательная, проведенная к графику в точке с абсциссой х = 1.
5.72	J В каком случае график функции у = /(х) на интервале (а; Ь) называют: а) выпуклым вниз; б) выпуклым вверх?
5.73	Объясните, как по знаку второй производной функции у = f(x) на интервале (а; Ъ) определить выпуклость вверх (вниз) графика этой функции на интервале (а; &).
5.74	° Объясните, как по знаку второй производной функции у = /(х) в точке х0, в которой Г(хо) — О, определить вид локального экстремума этой функции в точке х0.
5.75	° Какую точку называют точкой перегиба кривой — графика функции у = /(х)? Как найти точку перегиба графика функции у = f(x)?
5.76 Определите промежутки выпуклости вверх (вниз), точки перегиба (если они есть) графика функции у — f(x), если:
а) /(х) = х3 + Зх2;	б) /(х) = х3 - Зх2 + 5х - 4;
в) f(x) = -2х3 + Зх2;	г) f(x) — -4х3 - 6х2 + 7х;
Д) /(х) = 5х;	е) /(х) = (0,5)х;
ж) / (х) = log2x;	з) /(х) = log07x;	и) /(x) = sinx;
к) /(x) = cosx;	л) f(x) = tgx;	м) f(x) = ctgx.
5.77	Верно ли, что если в некоторой точке вторая производная функции у = /(х) равна нулю, то эта точка является точкой перегиба графика функции у = /(х)?
141
Применение производной
5.78	Определите промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции у — f(x), если:
a) f(x) = \x2- 1|; б) /(*) = |sinx|; в) f(x) = |tgx|.
Есть ли у графика этой функции точки перегиба?
5.8*. Экстремум функции
с единственной критической точкой
Пусть на промежутке I с концами а и b определена функция /(х). Требуется найти ее локальные экстремумы на промежутке I. Промежуток I может быть отрезком, интервалом или полуинтервалом. При этом подразумевается, что а либо действительное число, либо -оо; Ь либо действительное число, либо +оо.
Мы знаем, что внутреннюю точку х0 промежутка Z, т. е. точку, принадлежащую интервалу (а; Ь), называют критической точкой функции f(x), если производная f'(x) в этой точке равна нулю или не существует. С другой стороны, если в точке х0 е (а; &) функция достигает экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует, т. е. точка х0 критическая.
Пусть функция /(х) непрерывна на промежутке I вместе со своей производной Г(х). Рассмотрим случай, когда внутри промежутка I нет критических точек. Тогда производная f'(x) на интервале (а; Ь) должна иметь один и тот же знак, так как если бы в двух разных точках хг и х2 интервала (а; Ь) производная f'(x) имела бы разные знаки, то вследствие ее непрерывности между точками хг и х2 нашлась бы точка с, в которой Г (с) = 0 (см. п. 2.5), что невозможно, так как на интервале (а; &) нет критических точек.
Но если производная на всем интервале сохраняет один и тот же знак, то функция f (х) возрастает на промежутке I, если f'(x) > О, или убывает на промежутке I, если Г(х) < 0, т. е. функция /(х) строго монотонна на промежутке I.
Пусть теперь на промежутке I с концами а иЬ функция f (х) непрерывна вместе со своей производной Г(х) и на интервале (а; Ь) имеется единственная ее критическая точка х0. В этом случае промежуток I делится на два промежутка — один с концами а и х0, другой с концами х0 и b (рис. 120).
Внутри этих промежутков критических точек нет, поэтому к ним применимы только что приведенные рассуждения.
Поскольку точка х0 — критическая, то в ней производная равна нулю. Это возможно только в четырех случаях, они изображены на рисунках 121—124.
На рисунке 121 изображен график функции /(х), имеющий единственную критическую точку х0 на промежутке с концами а и b и в этой
----1	|--------1—► а	х0-------b х
 Рис. 120
142 ate.
точке достигается минимум на промежутке с концами а и Ь. При этом /'(*) < 0 слева от точки х0, т. е. на интервале (а; х0), и f'(x) > О справа от точки х0, т. е. на интервале (х0; Ь).
На рисунке 122 изображен график функции /(х), которая в точке х0 достигает максимума на всем промежутке с концами а и Ь, при этом f'(x) > 0 слева от точки х0 и f'(x) < 0 справа от нее.
На рисунках 123 и 124 изображены графики функций, у которых в точке х0 нет ни максимума, ни минимума.
Приведенные выше рассуждения говорят о справедливости следующего утверждения 1:
Пусть на промежутке I с концами а и Ъ функция f (х) непрерывна вместе со своей производной f' (х) и х0 — единственная точка на интервале (а; Ъ), в которой f' (х) = О. Тогда если на интервале (а; Ь) найдутся точки хг и х2, такие, что хх < х0 < х2 и:
а)	f(xi) > О, f (х2) < О, то в точке х0 функция f (х) достигает своего максимума на промежутке I;
б)	f' (хх) < О, f' (х2) >0, то в точке х0 функция f (х) достигает своего минимума на промежутке I.
Подчеркнем, что этот экстремум единственный.
143
Применение производной
ПРИМЕР 1. Найдем максимум функции f(x) = х + -i — на интервале (-оо; 0).
Функция f определена для всех х из этого интервала. Найдем первую
г(х)=1 - 4=- -1)(*+ц
X2	X2
-----------1------1—
/(х)	-1	о
шах
Ж Рис. 125
производную функции f:
На интервале (-оо; 0) функция / имеет единственную критическую точку х = -1, в которой производная /'(*) обращается в нуль. В этой точке производная f'{x} меняет знак с «+» на «-» (рис. 125), следовательно, в точке х = -1 функция имеет максимум на интервале (-оо; 0).
Таким образом, max f(x) - /(-1) = -2.
(-оо; 0)
Справедливо утверждение 2:
Пусть на промежутке I с концами а и Ъ функция f (х) непрерывна вместе со своими первой и второй производными и х0 — единственная точка на интервале (а; Ъ), в которой /' (х) = 0. Тогда:
а)	если f" (х0) > 0, то точка х0 есть точка минимума функции /(х) на промежутке I;
б)	если f" (х0) < 0, то точка х0 есть точка максимума функции /(х) на промежутке Г.
Доказательство утверждения 2 основано на утверждении 2 из п. 5.7, из которого следует, что при данных условиях в точке х0 функция f(x) имеет локальный минимум в случае «а» и локальный максимум в случае «б». Но так как х0 — единственная критическая точка на промежутке /, то в точке х0 функция f (х) имеет минимум в случае «а» и максимум в случае «б» на всем промежутке I.
ПРИМЕР 2. Найдем минимум функции f(x) = 4х2 + на интервале (0; +оо).
Функция /(х) определена для всех х > 0. Вычислим первую производную функции /(х):
z ч о 1	8х3 - 1
f (х) = 8х - — = g—.
xz xz
На интервале (0; +оо) функция f имеет единственную критическую точку х= i в которой производная f'(x) обращается в нуль. а
Вычислим вторую производную функции f:
/ "(х) = 8 + —.
X'1
Ж 144 ____________________________________________________________
Очевидно, что на интервале (0; +оо) вторая производная положительна, т. е. f"(x) > 0, следовательно, х - i — точка минимума.
Таким образом, min f(x) = f | — | = 3. (0; +оо)	2 у
Выше были рассмотрены случаи, когда в критической точке внутри промежутка производная равна нулю.
Если же в критической точке производная не существует, то аналогичными рассуждениями можно доказать, что справедливо утверждение 3:
Пусть на промежутке I с концами а и Ь функция f (х) непрерывна, а ее производная f'(x) существует, непрерывна и отлична от нуля во всех точках интервала (а; 5), кроме точки х0, в которой производная не существует. Тогда если на интервале (а; Ь) найдутся точки хА и х2, такие, что хг < х0 < х2 и:
a)	f'(xi) > 0, f' (х2) < 0, то в точке х0 функция f (х) достигает своего максимума на промежутке I;
б)	f(x1)<0, Г(х2) > 0, то в точке х0 функция f (х) достигает своего минимума на промежутке I.
Подчеркнем, что этот экстремум единственный.
5.79	° Если на промежутке I с концами а и b функция /(х) непрерывна вместе со своей производной Г{х) и х0 — единственная ее критическая точка на интервале (а; Ь), то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке?
5.80	Если на промежутке I с концами а и Ъ функция /(х) непрерывна, а ее производная Г(х) существует, непрерывна и отлична от нуля во всех точках интервала (а; д), кроме точки х0, в которой производная не существует, то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке?
5.81	Как с помощью второй производной определить, является ли данная критическая точка точкой максимума (минимума) на промежутке?
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /(х) на указанном промежутке (5.82—5.85), если:
4	4
5.82	а) /(х) = х +(0;+оо); б) /(х) = х +	(-оо; 0);
в)	f(x) = 8х2 —, (-оо; 0); г) /(х) = 8х2 + —, (0; +оо).
® 145	Применение производной
j?.._______ . , .. ..-________иямшмшвмммммммм1
5.83	а)	/(*) =	1 - X + sin X, [(	); к];	6)	f(x) =	i x + sin x, [л; 2л];	
	в)	7(х) =	1 — X + cosx, 2	К | К | 1 I	l	; r)	f(x) =	1 — X + cosx, 2	i	1 £ 1 03 CO | К I (N
5.84	а)	f(x) =	x2 - x + 4 r „ x2+4 > [0;+°°);		6)	f(x) =	x2 - x + 4 x2 + 4	-oo; 0].
5.85	а)	f(x) =	x2 — 5x + 6 X2 + 1	’ L	0; +oo);	6)	f(x) =	x2 - 5x + 6 x2 + 1	-oo; 0].
5.86	Для каждого значения а найдите наименьшее значение функции f(x) = |х - а| на отрезке [-1; 1].
5.87	Для каждого значения а найдите наибольшее значение функции f(x) = |х - а| на отрезке [-1; 1].
5.88	а) Для каждого значения Ъ найдите наименьшее значение функции /(х) = (х - Ь)2 на отрезке [-1; 1].
б) Для каждого значения b найдите наибольшее значение функции /(х) = (х - Ь)2 на отрезке [-1; 1].
5.89* Для каждого положительного значения Ъ найдите наибольшее значение функции /(х) = * + на отрезке [1; 2].
7*2+1
5.90* Для каждого отрицательного значения Ъ найдите наименьшее b — х значение функции f(x) =----------на отрезке [1; 2].
7х2+1
5.9. Задачи на максимум и минимум
з
ЗАДАЧА 1. Из чисел отрезка —; 2 найдем такое, для которо-го разность утроенного числа и его куба наименьшая.
Пусть х — любое число из отрезка
утроенного числа х и его куба: Зх — х3. Требуется найти такое число для которого выражение Зх — х3 достигает наименьше-
3 о п
2 . Составим разность
3
2
л»е[4; 4
го значения.	о
Рассмотрим функцию /(х) = Зх - х3 на отрезке ; 2 . Так как
/'(х) — (Зх - х3)' = -3(х - 1)(х + 1), то f'(x) = 0 в двух точках -1 и 1,
(3	\	Г 3
—; 2 . Функция f(x) на отрезке ; 2
2	)	2
3
”	2 J "
имеет две критические точки: х = —1, х = 1.
146
Сравним числа: f
3)_ Q ( ЗА Г ЗЛ 2J I 2 J I 2 J
Q
/(-1) = 3 • (-1) -
О
- (-1)3 = -2; f (1) = 3 • 1 - I3 = 2; f (2) = 3 • 2 - 23 = -2.
Функция /(x) достигает своего наименьшего значения на отрез-3	1
ке —; 2 в двух точках х = —1 и х = 2 (см. п. 5.1).
z£
Следовательно, на отрезке
 з
; 2 имеется два числа -1 z2
и 2
для каждого из которых разность утроенного числа и его куба наи-
меньшая.
Ответ. -1 и 2.
ЗАДАЧА 2. Дан квадратный лист жести со стороной а см. В его углах вырезают одинаковые квадраты (рис. 126) и, загибая края по пунктирным линиям, делают коробку. Выясним, при каких размерах квадратов объем коробки будет наибольшим, и найдем этот объем.
Длину стороны каждого из вырезаемых квадратов обозначим через х см. Тогда объем коробки равен
V - х(а - 2х)2 (см3).
Рассмотрим функцию
Р(х) = х(а - 2х)2, 0 < х < ^.
Zj
Найдем точки локального экстремума функции V(х) на интервале I 0; ? I. Имеем
Р'(х) = (а - 2х)2 - 4х(а - 2х) = (а - 2х)(а - 6х).
Приравняв У'(х) к нулю, получим два корня уравнения: хг = —
Л Т/Г	(п
и х2 = —. Из них только х2 принадлежит интервалу О; — .
6	\	2)
Очевидно, что при переходе через точку х2 = - производная
6
Их) у t	-
V(x)	а.
6 max
+ а 2
функции V(x) меняет знак с «+» на «-» (рис. 127), следовательно, в точке х2 функция достигает локального ( Л а А
 Рис. 127
максимума на интервале
147
Применение производной
а
Критическая точка на интервале I 0; 6	\	2
вательно, по утверждению 1 из п. 5.8 она является точкой максимума на всем интервале f 0; j j.
'	- а
Итак, надо вырезать квадраты со стороной - см.
= ^а3 (см3).
а
единственная, следо-
’ 2
а
* х2 6 2-а 2
а 6
Объем коробки равен V
С1	2 о о
Ответ. - см, —а*5 см*5. 6	27
ЗАДАЧА 3. Из всех прямоугольных параллелепипедов заданного объема И, в основании которых квадрат, выберем параллелепипед, имеющий наименьшую полную поверхность.
Пусть длина стороны основания прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, равна х (х > 0). Тогда вы-V
сота такого параллелепипеда равна —7, а полная поверхность равна х2
S = 2х2 + 4х •	= 2х2 + —.
хг	х
4V
Рассмотрим функцию S(x) = 2х2 + —, х е (0; +оо). Найдем точки локального экстремума функции S(x) на интервале (0; +оо). Имеем ч a 4V л xS-v х2	хг
Приравняв S'(x) к нулю, получим единственный корень уравнения: х0 = y[vt т. е. интервалу (0; +оо) принадлежит единственная 3/77 критическая точка xn = v V.
[4V ' 8V
4х - — 1=4 + —. Так
как S"(*o) > 0 для всех х из интервала (0; +оо), то х0 = есть точка локального минимума, она единственная на интервале (0; +оо), следовательно, по утверждению 2 из п. 5.8 в ней функция S(x) достигает минимума на всем интервале (0; +оо).
Это означает, что прямоугольный параллелепипед заданного объема V, в основании которого квадрат, имеет наименьшую полную поверхность, если сторона его основания равна Jv. Так как высота 3/77 прямоугольного параллелепипеда в этом случае равна У И, то указанным свойством обладает куб с ребром >/v.
Ответ. Указанным свойством обладает куб с ребром Jv. •
118
В
5.91	Найдите два положительных числа, сумма которых равна 1, а произведение наибольшее.
5.92	а) Число 54 представлено в виде суммы трех положительных слагаемых. Первое в два раза больше второго. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим? б) Число 48 представлено в виде суммы трех положительных слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим?
5.93	Парабола задана уравнением у = 3 - х2. В нее вписан прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна его сторона лежала на оси Ох, а две вершины — на параболе (рис. 128). Определите стороны этого прямоугольника.
5.94	а) Среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой с найдите тот, площадь которого наибольшая.
б)	Докажите, что прямоугольник с данной диагональю d имеет наибольшую площадь, если он квадрат.
5.95	Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием а и высотой h (рис. 129). При каких значениях а и Л площадь сечения балки будет наибольшей?
5.96	Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием а и высотой h (см. рис. 129). При каких значениях а и /г прочность балки будет наибольшей, если известно, что прочность балки пропорциональна ah2?
5.97	Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна Зд/З, а высота принимает значения, принадлежащие отрезку [1,5; 3,5]. Найдите параллелепипед, имеющий наибольший объем.
5.98	* Корабль К стоит в 9 км от ближайшей точки В прямолинейного берега (рис. 130). С корабля нужно послать курьера в лагерь L, находящийся на берегу и расположенный в 15 км (счи-
 Рж. 128
 Рис. 129
149
Применение производной
тая по берегу) от точки В. В каком пункте Р берега курьер должен пристать, чтобы попасть в лагерь за кратчайшее время, если он идет пешком со скоростью 5 км/ч, а на веслах — 4 км/ч?
5.99	На изготовление открытого бака заданного объема V в форме прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, хотят затратить наименьшее количество металла. Какова должна быть ширина и высота бака? Решите задачу в общем виде. Получите ответ в случае, если: а) 7=4; б) 7=32.
5.1.0	0 В некотором царстве, в некотором государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом 7 с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки.
5.101	* Статуя высотой а м возвышается на постаменте высотой b м (рис. 131). На каком расстоянии от основания статуи должен встать наблюдатель, рост которого до уровня глаз см, с < &, чтобы видеть статую под наибольшим углом? Шириной постамента пренебречь. Решите задачу в общем виде, получите ответ в случае, если:
а) а = 3, Ъ = 2,5, с = 1,5; б) а = 6, Ъ = 3,7, с = 1,7.
5.10*. Асимптоты. Дробно-л инейная функция
Нам уже встречались функции, точки графика которых при удалении в бесконечность неограниченно приближаются к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами графика функции (от греческого слова «асимптотос» — несовпадающий). Например, при х +оо и при х —> -оо точки графика функции у = —
150
которое число. Если при х
неограниченно приближаются к прямой у = 0, а при х —► 0 — к прямой х = 0, т. е. прямые у = 0 и х = О являются асимптотами графика функции У = (рис. 132).
Далее приводятся определения наклонной, горизонтальной и вертикальной асимптот.
Пусть дана функция у — /(х), имеющая график — кривую Г, и пусть прямая L задана уравнением
у = kx + Ъ,
где k и Ъ — некоторые числа.
Пусть функция у = /(х) непрерывна на интервале (М; ч-оо), где М — не-—► ч-оо расстояние от точки А(х; /(х))
кривой Г до точки В (х; kx ч- b) прямой L стремится к нулю, то прямую L называют асимптотой кривой Г (при х -* ч-оо).
Расстояние между точками А(х;/(х)) и В(х;£гх + д) равно |/(х) - {kx ч- Ь)|, поэтому если для функции у - f{x) выполняется
условие
lim (f (х) - {kx ч- 5)) = 0, X —* +ОО
(1)
то прямая у = kx ч- b является асимптотой графика функции у = f{x) при х —> -f-оо.
Приведем способ вычисления коэффициентов k и b асимптоты.
Если выполнено условие (1), то
lim	+	= lim {f{x) - {kx ч- 5))- lim — = 0.
X +оо	X	X —* +оо	X —* +ООх
С другой стороны,
V f{x)-{kx + b) .. f{x)	..	1	..	/(х)
lim	-— -------- - hm -3— - k - b lim — ~ hm - k.
X-»+oo	X	x-*+oo X	x-^+oo^ x—*+eo X
С ледовател ьно,
fe= lim ' — x — +oo X
Из равенства (1) также следует, что
b = Um (f (х) - kx).
Х-* +оо
(2)
(3)
151
J {рименгние производной
Из сказанного ясно, как найти асимптоту кривой — графика функции у = /(х) при х —► +оо — или доказать, что данная кривая не имеет асимптоты при х —> +оо. Надо вычислить предел (2). Полученное число k и будет угловым коэффициентом асимптоты. Затем для найденного числа k надо вычислить предел (3), дающий число Ь. Найденные числа k и Ъ и определяют асимптоту у - kx 4- b данной кривой при х —► +оо.
Но не всегда эти пределы существуют. Если не существует хотя бы один из пределов (2) и (3), то у графика функции у = f(x) нет асимптоты (при х 4-оо).
Аналогично определяется асимптота при х —оо для кривой — графика функции у = /(х), непрерывной на интервале (-оо; N), где N — некоторое число. Если выполнено условие
lim (f(x) - (kx 4- b)) = О, х—> —оо
то прямую у = kx 4- Ъ называют асимптотой графика функции у = f(x) при х -оо. Коэффициенты k и Ъ можно вычислить следующим образом:
fe= lim	(2')
Х-* -оо X
h= lim (f(x)- kx),	(3')
x-* -co —	- - i
.» эе. t-ы	мгм* ss rt *«* n л1.* ~ ->
Если не существует хотя бы один из пределов (2') и (3')» то у графика функции у - f(x) нет асимптоты (при х —> -оо).
Если k * О, то асимптоту у = kx 4- Ъ называют наклонной. Если k = 0, то асимптоту у = kx 4- b называют горизонтальной.
Отметим, что если существует предел
lim f(x)=b,	(4)
х —f +ОО
где b — конечное число, то тогда
lim = lim f(x) • lim — = b • 0 = 0. X —*+oo X	X —> +oo	x —* +<X> %
Следовательно, при выполнении условия (4) у графика функции У - f(x) есть горизонтальная асимптота у = b при х —► 4-оо.
Аналогично если существует предел
lim f(x) = b,
Х-* -оо
где b — конечное число, то тогда у графика функции у = f(x) есть горизонтальная асимптота у = b при х —► —оо.
ПРИМЕР 1. Выясним, есть ли наклонные и горизонтальные асимптоты у графика функции у = е~х.
152
 Рис. 133
 Рис. 134
Для этого вычислим пределы:
1- е х т	1	Л
hm ----— lim ------= О,
Х-.+оо X х-*+оовх*Х
lim (е~х- 0- х) = lim е~х = lim — = О,
X —» +оо	X—»+оо	Х-*+оовХ
р~ х	рХ	„X
lim ----= lim — = - lim — = -оо,
X—» — СО X	х —»+оо — X	X—>+ооХ
т. е. при х —> +оо имеем k = О, Ъ = 0 и уравнение асимптоты имеет вид у = 0 (это горизонтальная асимптота при х —> 4-оо). Наклонных асимптот у графика этой функции нет, так же как нет и горизонтальной асимптоты при х—>-оо (рис. 133).
ПРИМЕР 2. Выясним, есть ли наклонные или горизонтальные асимптоты у графика функции у = х6.
Так как lim — = +оо, lim — = -оо, X—«-+ОО X	х—-~ооХ
то у графика этой функции нет ни горизонтальной, ни наклонной асимптот (рис. 134).
Если функция у = /(х) непрерывна на интервале (а; Ь) и если
lim f(x) = +оо или lim /(х) = -оо, х —♦ а	х-* а
х > а	х > а
то говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = /(х).
Если функция у = /(х) непрерывна на интервале (с; d) и если
lim /(х) = ч-оо или lim /(х) = -оо, х —> d	х -► d
х < d	х < d
то говорят, что прямая х = d является вертикальной асимптотой графика функции у — f(x).
ПРИМЕР 3. Найдем вертикальные асимптоты графика функции у = log2 (х 4- 3).
График этой функции имеет вертикальную асимптоту х = -3, так как эта функция непрерывна на интервале (-3; +со) и
lim log2(x + 3) - -оо.
х-* -3
х> -3
Щ53
11 ри менепие п рои .люд пой
Других вертикальных (рис. 135).
асимптот у графика этой функции нет
ПРИМЕР 4. Выясним, есть ли асимптоты у графика функции 4	1
у —	+ - х + 2.
у х 3
Для этого сначала вычислим пределы:
4	1
.. х + 3Х+	..	(4	12)	1
lim ---------= hm —5- + - + — =
х +оо X	х —> +оо\ Х^ 3 X j 3
= 2.
л	v	х 3	1	..(4 11)
Аналогично lim ----------=— и lim —I-— х + 2-----х = 2.
X—>—со	X	3	X— ►— ОО\ х 3	3 J
Таким образом,	b = 2 и у = ix + 2 — уравнение наклон-
3	3
ной асимптоты (при х —► +оо и при х —* —оо).
Так как lim — + — х + 2 = +оо и lim I — + - х + 2 | — -оо, то пря-х—>0\<Х	3	)	X > oV X 3 J
х > О	х < О
мая х = О является вертикальной асимптотой графика этой функции и других вертикальных асимптот нет (рис. 136).
ПРИМЕР 5. Найдем асимптоты графика функции
У =
Я 154
Так как
то график этой функции имеет горизонтальную асимптоту у = О (при х —► +оо и при х —► —оо) и вертикаль
ную асимптоту х = -1 и других асимптот не имеет (рис. 137).
Замечание. Определение вертикальной асимптоты отличается
от определений наклонной и горизонтальной асимптот. Однако если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на интервале (а; Ь), то тогда зависимость у = /(х) можно задать в виде х = <р (г/), где (р — функция, обратная к f. Прямая х = а будет асимптотой графика функции х = (р (у) в смысле определения горизонтальной асимптоты (только с заменой х на у и у на х).
В качестве еще одного примера функций, графики которых имеют асимптоты, рассмотрим дробно-линейные функции. Каждая из
них задается формулой
ах + Ъ сх + d’
(5)
где а, Ь, с, d — данные числа, причем с * 0 и ad - be 0. Эти условия существенны, так как если с = 0 и ad - be * 0, то ,	a b
функция (5) линейная: у = — х + —. a d
Если ad - be = 0 и с = 0, то функция постоянная: у = —. d
Если же ad - be = 0 и с 0, то функция (5) определена для d	ad
всех х, кроме х = —, но она постоянная: у = — для всех х Ф —. с	с	с
В случае с £ Ои ad - be 0 функцию (5) можно задать формулой
У=~—— + У0’	(5)
х — х0
, be - ad	d	а —
где k =--5—, х0 = —, yQ = —. Тогда, используя описанные выше
(г	с	с
приемы, найдем, что график функции (5') имеет горизонтальную асимптоту у = yQ и вертикальную асимптоту х = х0 и других асимптот не имеет. Тот же результат можно получить переносом гиперболы у = — на х0 вдоль оси Ох и на у$ вдоль оси Оу.
155
Применение производной
ПРИМЕР 6. Найдем асимптоты и _	,	2х 4- 5
построим график функции у = —^з~* m 2х+5	1
Так как-----=------- + 2, то гра-
X 4- 3	X 4-3
фик этой функции можно получить переносом гиперболы у = — на 3 еди-ницы влево и на 2 единицы вверх. Тогда новый график будет иметь асимптоты у = 2 и х = -3. Найти эти асимптоты можно и вычислениями.
2x4-5	2x4-5
lim ----— = lim ----—
х—♦ +оо X 4- 3	х—> -оо X 4- 3
горизонтальная асимптота у = 2
у графика функции
Так как
= 2, то
У = /(X) есть х -> +оо).
Так как
(при х —> -оо и при
„2x4-5	2х 4- 5
hm -----= -оо, hm -----= 4-оо, то у графика функ-
— -3 X 4- 3	х — -3X4-3
: > -3	х < -3
ции у = f (х) есть вертикальная асимптота х = -3. Других асимптот график функции у = f(x) не имеет (рис. 138).
5.102°
5.103°
5.104
Что называют асимптотой кривой?
Объясните, как найти асимптоты графика функции у = /(х).
Найдите асимптоты графика функции:
ч 2х2 +1	2х2 - 1
а) у =------; б) у =-----------; в)
X	X
ч Зх2 4- 2х - 1 ч х2 - 2х 4- 1
г) У =	х+1 Д) У = ~Зх + 1~’ е)
5.105°
5.106
5.107
2х2 - 5х 4- 5
У = 	х-2
X2 4- 2х 4- 1
У ~ 2х — 1	‘
Какую функцию называют дробно-линейной функцией?
Является ли дробно-линейной функция:
ч 2х 4- 5	2 х 2х 4- 5 ч 2х 4- 5
а)!/ = ^о-; б)г/=4ГИо: в}у = ^Г’ r)y = ^Tw'
Найдите асимптоты графика функции и постройте этот гра-
фик (5.107—5.109):
а) у = ——г
б)
5.108
ч х + 2
а) у =--------
у х - 2
б)
2х 4- 3
х-2
У ~ х 4- 2*
156
~ mo а 4х + 2	Зх - 2
э.109 а)</ = —;	б) у = —.
5.110	Постройте график функции: 1	* 1	АА	1
a)jz=7^:	б)г/ = |7ГГ
5.111	Постройте график функции: .	-2х+12	_
а) у = х_ 4 ; б) У
—2х + 12 х- 4	’
-2|х| + 12 |х| - 4
5.112	Дана функция /(х) = ———-. Постройте график функции: х + 1
a)i/ = f(x); б) у = |/(х)|; в) у = /(|х|); г) у = |/'(|х|)|.
5.11. Построение графиков функций с применением производных
В простых случаях, как, например, при исследовании квадратичной функции или дробно-линейной функции и построении их графиков, можно обойтись без применения производной, так как свойства и графики этих функций легко получаются из свойств и графиков функций у = ax2 * (а*0) и у = (k *0).
В более сложных случаях исследование функции элементарными средствами можно дополнить нахождением промежутков монотонности (возрастания и убывания), экстремумов, промежутков выпуклости графика вверх (вниз), точек перегиба и асимптот графика.
Рассмотрим примеры исследования функций и построения их графиков с применением производных.
ПРИМЕР 1. Исследуем функцию
у - ±х4 * - 4х2 + 1
£
(1)
и построим ее график.
Функция f(x) = -х4 - 4х2 + 1 определена и непрерывна для
всех х.
Так как /(-х) = ^(-х)4 - 4(-х)2 + 1 = ^х4 - 4х2 + 1 = f (х), то функция (1) четная, следовательно, ее график симметричен относительно
157
Применение нрипзволной
III wIlin irr.TWiHWT
оси Оу. На интервале (-оо; +оо) функция имеет производную
f'(x) = 2x3 -8х = 2х(х + 2)(х - 2).
Ясно, что /,(х) = 0 в точках х = 0, х = -2, х = 2, т. е. у функции (1) имеется три критические точки. Причем f'(x) > 0 на интервалах (-2; О) и (2; +оо) и f'(x) < 0 на интервалах (-оо; -2) и (О; 2), следовательно, функция (1) возрастает на промежутках [-2; 0] и [2; +оо) и убывает на промежутках (-оо; -2] и [0; 2]. Функция (1) достигает своего локального максимума в точке х = 0 и локального минимума в двух точках х = -2 и х = 2 (рис. 139).
Вычислим координаты нескольких точек графика:
\-2 Z О \ 2
min max min
X	0	1	2	3
f(x)	1	-2,5	-7	5,5
Построим график функции (1), учитывая проведенное выше исследование: сначала для х 0, затем симметрично отразим его относительно оси Оу (рис. 140).
 ПРИМЕР 2. Исследуем функцию
(2)
и построим ее график.
Функция f (х) = 2* - определе
 Pug 139
 Рис. 140
на для всех х, кроме х = 1 и х = -1, она непрерывна на каждом из интервалов
(-оо; -1), (-1; 1) и (1; +оо).	(3)
Так как /(-х) =
-х (-х)2-1
= то функция (2) нечетная, следо-
вательно, ее график симметричен относительно начала координат.
Так как lim /(х) = lim f (х) = 0, то график функции (2) имеет Х->+оо	Х-»-СО
горизонтальную асимптоту у = 0 (при х -* +оо и при х -оо).
158
У графика функции (2) при х 0 есть вертикальная асимптота х = 1, так как функция (2) непрерывна на интервалах (0; 1) и (1; +оо) и limf(x) = -оо и lim/(x) = +оо. Других асимптот на промежутке X — 1	X —» 1
X < 1	X > 1
[0; +оо) у графика функции (2) нет.
На интервалах (3) функция (2) имеет производную
х2 + 1
(х2 - I)2 *
/'(*) =
X х2- 1
Ясно, что f'(x) < 0 при любом значении х из интервалов (3), следовательно, функция (2) убывает на каждом из этих интервалов, поэтому она не имеет точек локального экстремума.
Вычислим вторую производную функции (2) на каждом из интервалов (3):
х2 + 1 у_ 2х(х2 + 3) (х2 - I)2 )	(х2 - I)3
Г(х) =
Вторая производная f"(x) обращается в нуль в единственной точке х = 0. Определим знак f"(x) на интервалах (-оо; -1), (—1; 0), (0; 1), (1; +оо):
X	(-00; -1)	(“1; 0)	(0; 1)	(1; +оо)
Знак f”(x)	—	+	—	+
Вторая производная меняет знак с «+» на «—» только в одной точке х = 0, принадлежащей области определения функции, следовательно, график функции (2) имеет только одну точку перегиба х0. На каждом из интервалов (-оо; -1) и (0; 1) график функции (2) име-
ет выпуклость вверх, а на каждом из интервалов (-1; 0) и (1; +оо) — выпуклость вниз.
Вычислим координаты нескольких точек графика:
X	0	1 2	2	3
f(x)	0	2 3	2 3	3 8
Построим график функции (2), учитывая проведенное выше исследование: сначала для х 0, затем симметрично отразим его относительно точки 0(0; 0) (рис. 141).
159
Примеисиие производной
ПРИМЕР 3, Исследуем функцию 4
У=(ТТЦ2+^-3
и построим ее график.
Функция f (х) —
(х - I)2
4- х - 3 определена для всех х, кроме
х = 1, она непрерывна на каждом из интервалов
(-оо; 1) И (1; +оо).
(4)
(5)
Так как f(-x) Ф f(x) и f(-x) -f(x), то функция (4) не является ни четной, ни нечетной. Выясним, есть ли у графика функции (4) наклонные и горизонтальные асимптоты. Так как
V	V (	4	1 ЗА
Inn = lim —------------—у + 1---=1,
х->+оо х х — +СС\ х(х - I)2	X)
(	4 Л
lim (f(x) - kx) = lim -----—5- - 3 I = -3,
х —* +00	х —* +оо^ (X — 1) J
и аналогично
lim = 1, lim (f (х) - kx) = -3, X—»-оо X	х-»-оо
то график функции (4) имеет наклонную асимптоту у = х - 3 (при х —» +оо и при х	—оо).
У графика функции (4) есть вертикальная асимптота х = 1, так как функция (4) непрерывна на интервалах (0; 1) и (1; +оо) и
lim f(x) = lim f(x) =4-00.
X — 1	X — 1
X < 1	X > 1
Других асимптот у графика функции (4) нет.
Вычислим производную функции (4) на интервалах (5):
Г(*)=[, 4,Ч2 +Х-31'=
V(x-l)2	)	(х-1)3
( 2 А3
Приравняв производную к нулю, получим уравнение -------- = 1,
х - 1)
имеющее единственный корень х = 3. Так как производная f’(x) существует в каждой точке интервалов (5), то функция (4) имеет единственную критическую точку х = 3.
„	о, Ч ,	( 2 Is (*-3)(х2+5)	.	„
Ясно, что f (х) = 1 - I-- =--------X----> О при X > 3 и при
х - 1J (х - 1)-*
х < 1, a f'(x) < 0 при 1 < х < 3.
160
Следовательно, функция (4) возрастает на промежутках (—оо; 1) и [3; +оо) и убывает на промежутке (1; 3], в точке х = 3 она имеет локальный минимум.
X	(-оо; 1)	(1; 3)	3	(3; +оо)
Знак f'(x)	+	—	0	+
fM	/		1	7
			min	
Вычислим вторую производную функции (4) на каждом из интервалов (5):
ч ( -8 Y 24 f (х) - [(X - I)3 + 1J “ (х - I)4 •
Очевидно, что на каждом из этих интервалов f"(x) > 0, следовательно, на каждом из них график функции (4) имеет выпуклость вниз.
 Рис. 142
161
Применение производной
Вычислим координаты нескольких точек графика:
X	-1	0	2	3	4
/(х)	-3	1	3	1	13 9_
и построим график функции (4), учитывая проведенное выше исследование (рис. 142). Ф
5.113
5.114
5.115
Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции и постройте ее график:
а) г/ = — х2 (х - 4)2; б) у = 4х2(х - 2)2. 4
Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию и постройте ее график:
а) у	= х3 - Зх2 - 1;	б)	у = х4 - 2х2 + 3;
в) у	= —х3 + Зх + 1;	г)	у = х3 - Зх2 + 1;
д) у	- ^х3 - Зх2 + 5х +	1;	е)	у = -^х3 + Зх2 - 7х -	2.
3	3
Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции, постройте ее график. Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на указанном отрезке: а) у = -2х4 + 4х2 + 3, [-2; 0,5];
б)	у = х3 - Зх + 3, [-0,5; 3];
в)	у = (х - 1)2(2х + 4), [-2,5; 1,5];
г)	у = (2х - 4)(х + I)2, [-1,5; 2,5];
д)	j/ = |(x + 3)(x-3)2, [-2; 1];
е)	i/ = i(x-3)(x + 3)2, [-4;-1].
4
5.116* а) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, точки перегиба, промежутки выпуклости вверх или вниз графика функции у = -^(4 + х)3. Постройте график этой функции.
б) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, асимптоты графика функции у = — — 2х и постройте ее график.
5.117* Исследуйте функцию и постройте ее график: а) у = -х2(0,5х2 - 4); б) у = (х2 - I)2;
4	1
в) у = —х + ------2; г) у = х +------------ - 3;
О — X	X — JL
^162
x2 -
У = ~2—7» X2 + 1
X2 -
e) У =
з) У =
x2 - 4, xz + 4’ x2 + 1 x2- Г
5.118* Найдите множество значений функции и постройте ее график:
ч	х2 - Зх + 1 &)у=	х2+1	:	_	х2 - 2х + 1 б)У= х^З ;
. х2 + Зх + 1	. х2 + 2х + 1
В) У =	-ж2+1	’ Г> У = Х2 + 3	•
5.119* Найдите точки перегиба графика функции у = — х4 - х3 + 2.
5.120 Исследуйте функцию у = 1— и постройте ее график. Сравните числа: a) З71 и л3; б) е3 и 3е; в) ек и пе.
Исследуйте функцию y=f(x) и постройте ее график, если (5.121—5.122):
5 191	я 1	f(x\ —			-f (— fi	•
		Т —	1 + х *	°)	/ у**- J — \J л а
	в)	/U) =	V1 - х2 - 1;	г)	1 |CM + 1 II s
5.122*	а)	Г(Х) =	j—т + 2|х| + е1 1 X 1	б)	f(x) = ~ + 2x + e1 I*';
	в)	f(x) =	— +2х + е1~х; х	Г)	у = x + yjx2 - x + 1.
5.12*. Формула и ряд Тейлора
Пусть функция /(х) имеет производную в некоторой окрестности точки х = 0. Пусть отрезок [0; а], где а > 0, принадлежит этой окрестности. Тогда, применяя теорему Лагранжа (см. п. 5.4), получим, что для любого х е [0; а] справедливо равенство f(x) - /(0) = xf'(c), где с — некоторое число из промежутка 0 < с < х. Это равенство можно переписать так:
/(х) = /(0) + хГ(с).	(1)
Пусть теперь функция f(x) имеет не только первую, но и вторую производную в некоторой окрестности точки х = 0. Пусть отрезок [0; а], где а > 0, принадлежит этой окрестности. Тогда для любого х е [0; а] справедливо равенство, которое называют формулой Тейлора:
f(x) = f(0) + ^-x+^x2,	(2)
где с — некоторое число из промежутка 0 < с < х.
Применение ироизжодиоЙ
Выведем формулу (2). Зададим х из отрезка [0; а]. Найдем такое число Р, чтобы выполнялось равенство
/(х) = /(0) + Л(0)х + Рх2.	(3)
Можно было бы решить это уравнение относительно Р. Но нас интересует другое — мы хотим неизвестное Р выразить через вторую производную от функции f(x). Для этого будем рассуждать следующим образом.
Заданное значение х определяет при помощи равенства (3) число Р. Введем функцию от переменной и, заданную на отрезке [0; х]:
F(u) = f(u) + f'(u)(x - и) + Р(х - и)2.	(4)
Будем помнить, что здесь х и Р фиксированы и это выражение есть функция от переменной и. Функция F(u) имеет на отрезке [0; х] производную, потому что по условию /(и) имеет вторую производную, и, следовательно, можно найти производную не только функции /(и), но и функции Г (и). Кроме того, функция F(u) имеет равные значения на концах отрезка [0; х]. Ведь F(0) = f(0) + х + 4- Рх2 = f(x) (см. равенство (3)) и F(x) = f(x). Поэтому согласно теореме Ролля (см. п. 5.4) существует точка с, удовлетворяющая неравенствам 0 < с < х, в которой производная функции F равна нулю: 7?'(с) = 0.
Нам остается лишь, пользуясь формулой (4), вычислить производную -Р'(ы), равную
F'(u) = Г (и) - Г(и) + f"(uMx - и) - 2(х - п)Р, и положить в ней и = с:
F'(c) = f"(c)(x -с)- 2(х - с)Р.
f” (с)
Так как F'(c) = 0 и х - с Ф 0, то f"(c) = 2РУ откуда Р = ——.
Подставляя найденное значение для Р в равенство (3), получим искомую формулу Тейлора (2).
Рассуждая аналогично, можно доказать более общее утверждение. Пусть функция /(х) имеет производные до порядка п включительно в некоторой окрестности точки х = 0 и пусть отрезок [0; а], где а > 0, принадлежит этой окрестности. Тогда для любого х g [0; а] выполняется равенство
. + я„ <5, 11	ZI	(7t — JL):
.44 г- а Ж'С-ч*.	.гпы»"»' *ч.	>	♦*
f(n)(c)
где Rn =-------хп (0 < с < х) и с — некоторое число, зависящее от
и-!
X и п G N.
Это равенство называют формулой Тейлора. Величину Rn называют остаточным членом формулы Тейлора.
164
Заметим, что, рассуждая аналогично для функции, заданной на отрезке [а; 0], где а < 0, принадлежащем окрестности точки х = 0, получим, что формулы (1), (2), (5) остаются верными при х е [а; 0], где с — некоторое число из промежутка х < с < 0.
Мы не знаем точно, чему равен остаток, потому что про число с известно лишь, что оно находится где-то между 0 и х. Но и этой информации бывает достаточно, чтобы формула Тейлора имела практическое значение. Практический смысл формулы Тейлора заключается в том, что в ряде случаев удается заключить, что ее остаток мал настолько, что им можно пренебречь, и тогда получим приближенное равенство
/(х)=Л0) + ^х + ^х* + ... + ^^х"-\
которое дает возможность вычислить f(x), если можно вычислить f(0), Л(0), Г(0), ..., /г(п-1)(0).
ПРИМЕР 1. Рассмотрим функцию f(x) — sinx. Напишем для нее формулу Тейлора для п = 5. Имеем
/(х) = sinx, f'(x) = cosx, f"(x) = -sinx, f'"{x) = -cosx, f(4)(x) = sinx, f^(x) - cosx;
jf(O) = 0, f'(0) = 1, Г(0) = 0, f"(0) = -1, /(4)(0) = 0, /(5)(с) = cose.
тт	•	ХЛ 1-» z \	z \ COSC 5 COSC 5
Поэтому sinx = х - — + /?5(х), где В5(х) = —— хэ = ----х°
3!	5!	120
(0<с<х).	п
Для значений х, удовлетворяющих неравенству 0 х , . , 4
Следовательно, имеет место приближенное равенство
sinx~x- — I 0 sS х « - )	(6)
1
С ТОЧНОСТЬЮ ДО -^0*
Если в разложении sin х по формуле Тейлора взять больше членов, то получим многочлен более высокой степени, приближающий sinx еще точнее.
ПРИМЕР 2. Напишем формулу Тейлора для функции /(х) = cosx для п = 6. Имеем
/(х) = cosx, f'(x) = -sinx, f"(x) = -cosx, f"'(x) = sinx, /(4)(x) - cosx, f(3)(x) = -sinx, f(6)(x) = -cos x;
/(0) = 1, f'(0) = 0, /"(0) = -1, Л"(0) = 0, f<4)(0) = 1, Л5)(0) = 0,
/(6) (с) = -cos с.
165
При veiK’ii иг npoii.i водной
Поэтому cos Х=1“"|г + ‘^Г + ^б(х)» гДе ^б(х) - х6 (0 < с < х).
Для 0 х имеем | Rq(x) |	1 • f—1 < А .
4	1	1	720 V4 J 2500
Таким образом, COSXK1_|t + £_	(7)
1
С ТОЧНОСТЬЮ ДО —77~--
ПРИМЕР 3. Напишем формулу Тейлора функции f(x) = ех для п = 5. Имеем
f(х) = ех, f’(x) = ех, f"(x) = ех, f"'(x) = ех, fw(x) = ех, f'b}(x) = ех; f(0) = 1, Г(0) = 1, f"(0) = 1, Г'(0) = 1, Г4,(0) = 1, Л5’(с) = ес.
Поэтому ejr = l + ^ + |y + -|i- + ^y + Ra(*)> W R»(*) = jy*5 (0<с<х).
Для х е [0; 1] имеем | /?5(х)|	.
Таким образом, X Х% Х^ х^ ?X=:1 + i!+2! + 3!+^ (0«х«1)	<8)
1 с точностью до — 40
ПРИМЕР 4. Вычислим приближенно числа:
ч . 1	1
a) sin—; б) cos-; в) е. 10	5
а) По формуле (6) имеем
Г4 . 1 _ 1	_ j____1 _ j_
sinio 10	3! ” 10 6000	10
1 с точностью до ——. 400 б) По формуле (7) имеем
fif (1Y 1 1 l5J	„	1	1	49
5	2!	4!	50	6000	50
1
С точностью до
2500*
J 66
в) По формуле (8) имеем
е
1 1 1 1
1! + 2! + 3! + 4!
111
2 + 6 + 24 ~ ’
1 с точностью до —.
40
Если функция f (х) имеет в некоторой окрестности точки а производные сколь угодно высокого порядка, то для нее формально можно написать ряд
f(a)+^(x-a) + ^(x-a)2 + ...,	(9)
11	а I
который называют рядом Тейлора функции f (х) по степеням (х - а).
Для данных значений а и х он может сходиться или расходиться. Особенно важен случай, когда ряд Тейлора функции f (х) сходится к самой функции, т. е. имеет суммой f(x). Это имеет место тогда и только тогда, когда стремится к нулю при п —> +оо остаточный член Вл(х) в формуле Тейлора
/(x) = S„(x) + Rn(x),	(10)
где S„(x) = f(a) + ^^(x-a)+^-^(x-a)2 + ... + ^—^(x-a)’!-1.
Действительно, если lim 2?л (х) = 0 для некоторого значения х, п —- оо
то из равенства (10) следует, что для этого значения х lim S„(x) = п —* оо
=/(х), и так как 8л(х) есть сумма первых п членов ряда (9), то ряд (9) сходится и имеет своей суммой /(х):
f(x)= f(a) + ^(x-a) + ^(x-a)2 + ....	(11)
Обратно, если известно, что для некоторого значения х имеет место равенство (11), т. е. известно, что ряд (9) при этом значении х сходится и имеет своей суммой /(х), то это означает, что для указанного значения lim 8л(х) = /(х).
П ОО
Но тогда из равенства (10) следует, что /?л(х) —> 0 при п —► оо.
Можно показать, что для любых х е (-оо; +оо) имеют место следующие разложения в ряд Тейлора:
3!
х5 sinx - х- — + — - .
X2 X4
cosx=1__+__.
v „ X	X2	X3	X4
рх = 1 Ч-к--1--1--
1!	2!	3!	4!
3!
^167
Первообразная и интеграл
5.123
Напишите формулу Тейлора для функции:
а)	у = sinx для п = 7;
в) у = tgx для и = 5;
д) у = 1п(1 + х) для п = 5;
б)	у = cosx для п = 7;
г) у — ех для п = 8;
ч	1
е) у = ---- для п = 5.
1 + х
5.124
Вычислите с точностью до 10 4 с помощью формулы Тейлора: a) sin0,2; б) cosO,l; в) tgO,l; г) е; д) е) 1п2.
§ 6. Первообразная и интеграл
6.1. Понятие первообразной
Мы знаем, что постоянное число С, рассматриваемое как функция от х, имеет производную, равную нулю для всех х. Обратное утверждение также верно: если про функцию известно, что ее производная равна нулю для всех х, то она есть постоянная.
С точки зрения механики это утверждение совершенно очевидно. В самом деле, пусть функция s = f(t) выражает закон движения точки по прямой, причем ее скорость равна нулю: v = f'(t) = 0. Тогда точка стоит на месте и расстояние s от нее до начальной точки равно постоянной при любом £. Впрочем, это утверждение следует из теоремы Лагранжа (см. п. 5.4). Тот факт, что в этом рассуждении мы х заменили на t, не имеет значения: время тоже можно обозначать через х.
Рассмотрим функцию /(х), непрерывную на интервале (а; Ь). Функцию F(x) называют первообразной для функции /(х) на интервале (а; Ь), если на нем производная функции F равна /:
F'(x) = f(x).
 Аналогично определяется первообразная для функции /(х) на отрезке [а; Ь]. Нужно только под производной в точке а понимать правую производную, а в точке Ъ — левую производную:
F'(a) = limr(a + ft) ~f(a), F'(b) = lim f (& + ft) ~ Г(&). • л o	h	л -* о	h
Л >0	л<о
Очевидно, что если функция F (х) есть первообразная для функции f(x) на интервале (a; b), а С — фиксированная постоянная, то функция F(x) + C также есть первообразная для функции /(х) на том же интервале, потому что
(F(x) + СУ = F'(x) + С' = F'(x) = f (х).
Обратно, если F и Fx — первообразные для функции /(х) на интервале (а; Ь), то они отличаются друг от друга на всем интервале (а; Ь) на некоторую постоянную С:
F1(x) = F(x) + C.	(1)
168
В самом деле, (Fr (х) - F(x))' - F/(x) - F'(x) - /(х) - /(х) = О. Но тогда, как отмечалось выше, существует такая постоянная С, что Fi (х) - Г(х) — С на интервале (а; Ь), откуда следует равенство (1).
Итак, мы установили важный факт: если функция F (х) есть какая-либо первообразная для функции f (х) на интервале (а; Ь), то и функция F (х) + С, где С — некоторая постоянная, также есть первообразная для функции f(x) на этом интервале.
ПРИМЕР I. Из равенств
С = 0; (х + СУ = 1; (х2 + С)’ = 2х; (sin х + С)' = cos х следует, что функции С; х + С; х2 4- С; sin х + С, где С — некоторая постоянная, являются первообразными соответственно для функций 0; 1; 2х; cosx на интервале (-оо; +оо).
Дадим теперь следующее определение.
Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (а; Ь) функции /(х) называют некоторую ее первообразную. Неопределенный интеграл от функции f(x) обозначают так:
j f(x)dx.
В этой записи функцию /(х) называют подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx — подынтегральным выражением.
Из сказанного следует, что если функция F (х) есть какая-то первообразная для функции f (х) на интервале (а; Ь), то
$f(x)dx = F (х) + С,	(2)
где С — некоторая постоянная.
ПРИМЕР 2. Для любых х е (-оо; +оо) справедливы равенства:
г	г	хп
jldx = x + C, jxn~1dx-— + С (п = 2, 3, ...),
[cosaxdx =	+ С (а 0), [sinaxdx = _cosgx + С (а 0), (3)
J	a	J	а
где С — некоторая постоянная.
В самом деле, так как
х'= 1, 1—1 = -(*")'= х"-1, к П 7 П
sin ах У 1, .	1 z .
—---- = -(smax) = - (a cos ах) = cosax,
a J а	а
1, v h
= —(cosax) = —(-a sin ах) = smax, а	а
то функции, находящиеся в правых частях этих равенств, есть первообразные для подынтегральных функций и поэтому справедливы равенства (3).
169
Первообразная и интеграл
Если функция F(x) есть первообразная для функции /(х) на интервале (—со; +оо), то для k 0 справедливо равенство
f f(kx + b)dx = i F (kx + b) + C,
J	k
где C — некоторая постоянная.
В самом деле,
+	= -(F(kx + b)Y = — f(kx + b)  (kx + b)' = f (kx + b).
k	I k	k
Если f\(x) и f2(x) — непрерывные на интервале (a; b) функции и Аг и А2 — постоянные, то имеет место равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:
J (АЛ(*) + A2f2(x))dx = Ay J fi(x)dx + А2 j f2(x)dx + С,	(4)
где С — некоторая постоянная.
В самом деле, по определению неопределенного интеграла слева в равенстве (4) стоит какая-то одна из первообразных для функции ^1Л(Х) + ^2/2 (х)« С другой стороны, имеет место равенство
(	Y
A J fi(x)dx + A2j f2(x)dx =
= aJ j fj(x)dx + A2 f f2(x)dx =
Axfx(x)+ A2f2(x)y
потому что интегралы j fxdx и J f2dx обозначают соответственно некоторые первообразные для функций и f2. Поэтому правая часть равенства (4) есть также первообразная для функции
A1f1(x) + A2f2(x),
но тогда она отличается от левой части равенства (4) на некоторую постоянную С.
Свойство (4) по индукции распространяется на любое конечное число непрерывных на интервале (а; Ь) функций f19 f2, ..., fn и постоянных Alf А2, ..., Ап:
J(AA(*) + A2f2(x) + ... + A„fn(x)) dx =
= A1\f1(x)dx + A2jf2(x)dx + ... + A„ jf„(x)dx + C,
где C — некоторая постоянная.
170
Как следствие при Aj = 1, А2 = ±1, п = 2 получаем равенства (/1 +	= J fidx + J f2dx + С’
. (fi - fz)dx = j /jdx - | f^dx + C,
а при = А и A2 = 0, j\ = f — равенство
J Af dx = A j fdx + C.
где C — некоторая постоянная. •
В дальнейшем при рассмотрении неопределенных интегралов будет подразумеваться, что подынтегральная функция непрерывна на некотором интервале (а; 6), но писать это мы не будем.
Таблица основных неопределенных интегралов, составленная непосредственно из формул производных элементарных функций, приведена в приложении 2.
6.1	° Какую функцию называют первообразной для функции f (х) на интервале (а; 6)?
Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции
	/(х), если (6.2—6.3):
6.2	a) fM = 0, F(x) = С;	б) /(х) = 1, F(x) = х; х^ в) /(х) = С, F(x) = Сх;	г) f(x) = х, F(x) = —; д) /(х) = X2, F(x) =	е) f (х) = х", F(x) =	(п е N). 3	п + 1
6.3	а) /(х) = sinx, F(x) = -cosx; б) f{x) = cosx, F(x) = sinx; B) f (X) = —> F(x) = ts*;	r) fto - —• F(x) = cts X-, COSZ X	suiz X д) f(x) = ex, F(x) = ex.
6.4	° Верно ли, что если функция F(x) является первообразной для функции /(х), то и функция F(x) + С есть первообразная для функции /(х)?
Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции /(х), если (6.5—6.6):
6.5	a) f (х) = (Зх + 7)1°, F (х) = 1 • <3х + 722 + С; О	11
171
Иеркооиралклп и интеграл
б) f(x) = cos(2x - 1),	
в)	f(x) = sin f 7х - —1,
6.6 а)	f(x\ = 	-	
	cos2 (Зх + 11)* f (тЛ = 	-	
б)	
	П }	sin2(-4x+7)’
в)	fix) = е5х~ 2 + е2х~ 5,
F (x) = i sin (2x - 1) + C;
F (x) = —“Cos f lx - -1 + C. 7	4 J
F(x) = i tg(3x +11) + C;
F (x) = i ctg (-4x + 7) + C;
4
F(x)= ^е5х-2 + ^е2х-5+С.
6.7 Для функции fix) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку Az
a) fix) = х, А (2; 0);	б) fix) = х2, А(3; 6);
В) /(х) = х3, А(-2; 3);	г) fix) = sinx, А 2^.
Найдите первообразную для функции /(х), если (6.8—6.10):
6.8	a)	f(x) = (5х - 2)20;	б)	/(х)= 7х- 5;	в)	/(х)=2х;
г)	f(x)=23x-\	д)	f(x)=3x;	е)	/(x)=32l + 7;
ж)	f (х) =	;	з)	/(х) =	1	;	и)	f(x) =
4х - 2	-5х + 2	х - 4
-у* 3 / -у*	_/ «у» 5	“V* “V*
6.9	а)	/(х)=---f-;	б)	f(x) =	\	;	в)	/(х)=^;
X	X	-yj х
г) f(x)=^--, д) f(x)= 7(7х-9)2; е) f (х) = ^(5х + I)3. VX
6.10	*а) f(x)=	1	; б)	в) Г(х)=	1 —;
71-х2	1+ X	- (2х)2
r)№) = TTW= д)/(х)=7гй^; е)/(х)=ттЪ-
6.11	° а) Что называют неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (а; Ь) функции f(x)7
б)	Как обозначают неопределенный интеграл?
в)	Как проверить правильность нахождения неопределенного интеграла?
г)	В чем заключается основное свойство неопределенного интеграла?
i 172
Найдите неопределенный интеграл (6.12—6.17):
6.12 a)	J xdx;	6’.	[ x2dx;	в) jx3dx;	r)	j sin xdx;
д)	j cos xdx;	e)	1 COSZ X	ж) J sinz X	3)	J exdx;
и)	j*8xdx;	к)	f . •1 X	r 2 л) J xi dx;	m)	j Vxdx.
6.13 а) |(х + sinx)dx;	б) j(x2 - cosx)dx; в) jfVx ^i-^1dx;
6.14	a) (5x4 - 4x3 + Зх2 - 2x + l)dx;
6)	(10x4 + 5x3 - 2x2 + 3x - 7) dx;
в)	j(3 sinx + 4cosx - &Jx)dx; r) j I —----5ex + 3 • 2х | dx.
6.15	* a) J^5sin2x - 3cos-^ jdx; 6)	- e5x “ 1J dx;
4 ff 3	7 Ъ
в)	—л----------1----5------- dx;
J (<sin2(x + 1) cos2(x - 1) )
r) j (y]x3 + 3x2 + 3x + l - ^x2 - 6x + 9)dx.
6.16* а) Г-----; 6) |; в) | (cos2 x - sin2 x) dx;
J 1 + cos 2x •» 1 - cos 2x J
r) jsinxcosxdx; д) j(sin 5x cos4x + sin4x cos 5x)dx;
e) j (cos 2x cos 3x - sin 2x sin 3x) dx.
r)	J •> 1,^-
Ж) ^M~~4	3) f ; W-
74x - 4xz	T
6.18* Докажите справедливость равенства:
a)	f— = In lx | + С (x Ф 0); J x
6)	|		= - arccos x + C (-1 < x < 1).
J /1 -xz
173
Первообразная и интеграл
6.2*. Замена переменной. Интегрирование по частям
При нахождении неопределенных интегралов нередко пользуются методом подстановки или замены переменной.
Пусть функция ф(х) имеет непрерывную производную, а функция f(u) — непрерывная функция, тогда
j/(ф(х))ф'(х) dx = ^f(u)du + С, где и = ф(х).	(1)
Эту формулу надо понимать так. Если подынтегральное выражение в неопределенном интеграле удалось представить в виде
/(ф(х))(р'(х)с?х,
то в этом интеграле можно произвести замену переменной и=ф(х), du = ф'(х)с?х, найти первообразную F{u) для функции f(u), а затем заменить и на ф(х).
Поясним формулу (1) на примере:
J k cos {kx) dx = j cos и du = sin и + C = sin kx + C.
Мы сделали подстановку u = kx, тогда du — {kx)'dx = k dx, и наш интеграл превратился в табличный.
Чтобы доказать формулу (1), найдем производную по х от ее левой части, а затем производную по х от j f{u)du, где и = ф(х):
(J f (ф (*)) ф' (х) dx) * = f (ф (х)) Ф' (х),
(Jf(u)du)* = (Jf(«)du)uu;= /(и)ф'(х)= f(fp{x))<f>’(x).
Так как производные равны, то первообразные отличаются на постоянную, что и записано в равенстве (1).
Приведем несколько примеров на применение метода подстановки.
ПРИМЕР 1. [f>te<ix= [e' — dt = -fe'dt= -е‘ + С= — + С
J	J k kJ k	k
(подстановка kx = t, откуда kdx = dt и dx = — dt).
k
ПРИМЕР 2. f . =	= -[dt = -t + C = - Ja2 - x2 + C
y]d~ - x2
z	Г~9	7	,	xdx
(подстановка t = Ja2 - x2, откуда dt = —	• ).
7?^
174
ПРИМЕР 3. f cos {kx) dx = i j cos {kx) kdx = — J cos и du =
1	1	k k
= — sin и + C = — sin(fcx) + С (подстановка и = kx, откуда du = k dx). k	k
ПРИМЕР 4.	+ x2dx = ijV1 +	’ 2xdx = ±fJu-du =
3	3
If L 1 U2 (1+ X2)2	2
= - u2du = — — + C =------+ С (подстановка и = 1 + x, откуда
2	J	2 о	3
2 du = 2xdx).
~ f x	.	1 f 2x .	1 г du l,ii
ПРИМЕР 5. ------?dx = - ----7dx = - — = -In u + C =
J 1 + x2 2 J 1 + x2 2 J и	2 11
= — ln|l + x2 | + С (подстановка и = 1 + x2, откуда du = 2xdx).
Пусть функции u{x) и v{x) имеют производные, тогда справедливо равенство
j udv + J vdu = uv + C,	(2)
где C — некоторая постоянная.
Действительно, так как dv - v’dx, du = u’dx, то равенство (2) можно записать так:
j uv' dx + j vu’ dx - uv + C.	(3)
Чтобы доказать формулу (3), найдем производные:
(J uv* dx + j vu’ dx) = (j uv’ dx) ’ + (j vu’ dx) = uv’ + vu’*, {uv)’ = u’v + uv’.
Так как производные равны, то первообразные отличаются на постоянную, что и записано в равенстве (3).
Из равенства (3) получим
judv = uv - j vdu + C,	(4)
где C — некоторая постоянная.
Нахождение интеграла с помощью равенства (4) называют интегрированием по частям.
Приведем два примера применения метода интегрирования по частям:
ПРИМЕР 6. jхsinхdx = х • (-cosx) - j(-cosx)dx + C = -xcosx + + sinx + С (здесь и = x, du = dx; dv = sinxdx, v = -cosx).
ПРИМЕР 7. j xexdx = x ex - j exdx + С = xex - ex +C (здесь и = x, du~ dx; dv = exdx, v = ex).
J75
Первообразная и интеграл
6.19
6.20
6.21
6.22
Найдите неопределенный интеграл, менной (6.19—6.23):
а)
г)
а)
а)
в)
а)
используя замену пере-
е3х dx;
cos 4xdx;
xdx
б)
6) J92*dx;
д) j -JTx - 2 dx;
Sxdx	ч f
,	; в) I
725 - X2
6) 5x 71 + 4x2 dx;
r) x 79 + x2 dx.
2xdx	. г
B) j
в) j sin 7xdx;
e) J7(2x + l)2dx.
2xdx ^9 - 4x2
5 xdx ^4 — 9x2
x \1 + x2dx;
x V4 + x2 dx;
г 4xdx
6)
xdx
1 + 9x2 ’
xdx
L _L -V-2 *
6.23	* а) j 71 - х2 dx;	б) j 74- r2dx;
в) 171_ 4х2 dx;	г) 171_ 9x2dx.
Найдите неопределенный интеграл, используя интегрирование по частям (6.24—6.25):
~ Л . г	,	Г xdx	. г xdx	. г /----— ,
6.24	a) xcosxdx; б) —-—;	в) —5; г) xVx-7dx.
J	J cos2 x	J sin2 x	J
6.25	* a) jx2exdx; 6) jx2 sinxdx;	в) Jx2 cosxdx.
6.3. Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция у = f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а; Ь]. График ее изображен на рисунке 143. Поставим задачу определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой — графиком функции у = /(х), осью Ох, прямыми х = а, х = Ъ, и вычислить площадь этой фигуры, называемой криволинейной трапецией.
Поставленную задачу естественно решать так. Произведем разбиение отрезка [a; на п частей точками:
а = х0 < хх < ... < хп - b,	(1)
выберем на каждом из частичных отрезков [х;-; ху+1] (7 = 0, 1, ... ..., п - 1) по произвольной точке и составим сумму
sn = /(с0)Ах0 + /?(с1)Дх1 + ... + f(cn_ x)Ax„_ ь
где Дху = х}+1- Xj.
Эта сумма, очевидно, равна сумме площадей закрашенных прямоугольников (см. рис. 143).
176
Устремим теперь все Дху к нулю, неограниченно увеличивая п (п —> +оо), и притом так, чтобы длина самого большого частичного отрезка разбиения стремилась к нулю. Если при этом величина Sn стремится к определенному пределу S, не зависящему от способа разбиения (1) и выбора точек су на частичных отрезках, то величину S называют площадью данной криволинейной трапеции. Итак,
S= lim (/(с0)Дх0+ /(€]) Axj+ ... + /(<?„_ J Дх„_ О-max Дх; —> О
Пусть теперь функция у = /(х) неположительна и непрерывна на отрезке [а; Ь] (рис. 144).
Рассмотрим функцию у = -/(х). Она непрерывна и неотрицательна на отрезке [а; д]. Криволинейные трапеции A1BCD1 и ABCD, ограниченные соответственно кривыми у — —/(х) и у = f(х), а также осью Ох и прямыми х = а и х = Ь, симметричны относительно оси Ох. Поэтому естественно считать, что трапеция ABCD имеет площадь Sx, равную площади S2 трапеции АХВСОГ, т. е.
S1 = S2= lim (-f(c0)bx0 +	+ ... +	1))Ax„_1) =
irmx Лху -> 0
= - lim (/(c0) Ax0 + f(c1)^x1 + ... + f(cn _ г)Лхп _ x). max Ддгу- >0
Сумму
Sn = fic^Ax^ + /(с1)Дх1 + ... + f(cn_ !)Дхл _ J	(2)
называют интегральной суммой.
Таким образом, площадь криволинейной трапеции, расположенной: а) над отрезком [а; &] оси Ох, есть предел интегральной суммы когда max Дху 0;
б) под отрезком [а; Ь] оси Ох, есть взятый со знаком «минус» предел интегральной суммы Sfl, когда max Дху- —> 0.
о 177
Первообразная и интеграл
6.26 а) Что называют криволинейной трапецией?
б)	Что такое интегральная сумма?
в)	Как вычисляют площадь криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм?
6.27	Рассмотрим функцию у = х на отрезке [О; 1]. Разделим отрезок [О; 1] на п равных частей и в качестве интегральной суммы о г/гчч 1	1	Л2} 1	1
возьмем S„ = / (0) • — + /—• — + f — • — + ... + Z - • — =
п \пI п {п ) п	{ п ) п
2	3
- + -п п
1.
* п
п слагаемых
а)	Вычислите интегральную сумму: Sx; S2; S3; S4 (рис. 145).
б)	Упростите формулу для вычисления Sn.
в)	Имеет ли последовательность интегральных сумм S2, S3,..., Sn ... предел при п -> +оо? Если имеет, то чему он равен? г) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми у = х, у = 0, х = 1?
6.28	Рассмотрим функцию у = -х. Разделим отрезок [0; 1] на п равных частей и в качестве интегральной суммы возьмем
а) Чем отличаются интегральные суммы в заданиях 6.27 и 6.28?
178
б) Чему равен предел интегральной суммы в задании 6.28?
в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми у = -х, z/ = О, х = 1 (рис. 146)?
6.29	* а) По плану задания 6.27 вычислите интегральные суммы S19 S2, S3, S4 для функции у = х + 1, х е [О; 1]. б) Существует ли предел интегральной суммы Sn при п —► +оо? Если да, то чему он равен?
в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми у = х 4- 1, z/= 0, х = 1?
6.30	* Рассмотрим функцию у = х2 на отрезке [0; 1]. Разделим отрезок [0; 1]
на п равных частей и в качестве интегральной суммы возьмем
5л = /,(0)--+Я-]-- + /г п	\п) п
-	П	1_
п J	п
I2 4-	22	4- ...	4- (п	- I)2
723
а)	Упростите формулу для вычисления Sn, пользуясь ранее до-- о п9	9 п(п + 1)(2п 4- 1)
казанным равенством lz 4- 2Z 4- ... 4- п —------.
б)	Существует ли предел интегральной суммы Sn при п 4-со? Если да, то чему он равен?
в)	Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, z/ = 0, х= 1?
6.4. Определенный интеграл
Рассмотрим функцию у = /(х), непрерывную на отрезке [а; Ь]. Она может быть положительной, отрицательной или может менять знак на нем.
Рассмотрим предел интегральной суммы Sn (см. формулу (2) из п. 6.3), т. е. выражение
1= lim (/(CqIAxo + f(Cj)Axi+ ... + /(£„_ !)Дхл_1). max Дх,- -» О
Отвлекаясь от задачи нахождения площади, можно смотреть на него как на некоторую операцию, при помощи которой по данной
3 79
Первообразная и интеграл
ъ
^f(x)dx = S а а)
 Рис. 147
функции у = /(х), заданной на отрезке [а; 6], определяется число I. Эту операцию называют интегрированием функции f(x) на отрезке [а; 6], а результат этой операции называют определенным интегралом от функции /(х) на отрезке [а; 6] и записывают так:
ь
1= lim (Нсо)Дхо + f(ci)4*i + ••• +/(сп-1)Дхп-1)= max Дх.- —» О	J
J	а
Итак, определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; Ь] называют предел интегральной суммы, когда длина максимального частичного отрезка разбиения стремится к нулю. Число а называют ъ
нижним пределом (число Ъ — верхним пределом) интеграла J f(x)dx. а
В теории определенного интеграла доказывается, что всякая непрерывная на отрезке [a; ft] функция интегрируема на нем.
Геометрический смысл определенного интеграла заключается
в том, что:
ъ а) если /(х) О на отрезке [a; ft], то определенный интеграл J f(x)dx равен площади криволинейной трапеции, ограниченной ли-fl
ниями у = f(x), у = 0, х - а, х = b (рис. 147, а);
ь б) если /(х) =? О на отрезке [а; 6], то определенный интеграл J f(x)dx равен взятой со знаком «минус» площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = f(x), у = О, х = а, х = Ъ (рис. 147, б).
ПРИМЕР 1 Вычислим определенный интеграл jxdx, пользуясь
-2
геометрическим смыслом определенного интеграла.
180 ______
Рассмотрим функцию у = х на отрезке [-2; 0]. На этом отрезке она неположительна (рис. 148). Очевидно, что о
определенный интеграл Jxdx равен
-2 взятой со знаком «минус» площади треугольника АВО, т. е.
f , о	АВ-АО 2-2	.
J xdx = -SABO=--------= —— = -2.
® ПРИМЕР 2. Вычислим определенный интеграл J 74 - x2dx, пользу--2
ясь геометрическим смыслом определенного интеграла.
Рассмотрим функцию
у = 74- х2.	(1)
Функция (1) определена на отрезке [-2; 2] и принимает неотрицательные значения. Она имеет график — верхнюю половину окружности х2 + у2 = 4,
а определенный интеграл J 74 - x2dx равен площади половины кру--2
га радиуса 2 (рис. 149), которую вычислим по известной из геометрии формуле S = - 71 • 22 = 2л.
И
2
Итак, j74 - x2dx = S = 2л.
-2
6.31° а) Что называют интегрированием функции /(х) на отрезке [а; 6]?
б)	Как называют результат интегрирования функции /(х) на отрезке [а; 6]? Как его обозначают?
в)	Что называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а; Ь]?
г)	В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
^181		Первообразная и интеграл
Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислите (6.32—6.36): 2	2	0 6.32	a)	fxdx;	б)	f(-x)dx;	в)	fxdx; 0	0-4 4	3	1 г)	fxdx;	д)	j(l-x)dx;	е)	f (2х + 2)dx. 0	1-1 4	3	3 6.33	a)	j(l-x)dx;	б)	j(2x + l)dx;	в)	J(3x-l)dx. 2	0	2 1	1 			
6.34* а)	J Vl - x2dx; L о 		6) J (-71- x2)dx; -1 4		
в) 6.35* а) 6.36* а)	JV9-x2dx;	г) J(-V16- x2)dx. -3	0 п	Зе 0	П	~2	~2~ Jsinxdx+ Jsinxdx;	б) j cosxdx + jcosxdx. -n	0	_2L	ZL 2	2 2	3	4 J|x|dx;	6)	j|x-2|dx;	в)	J||x - 21- l|dx. -2	0	0	
6.5*. Приближенное вычисление
определенного интеграла
Пусть функция f(x) непрерывна, неотрицательна и возрастает на отрезке [а; Ь]. Вычислим приближенно интеграл
&
I =f f(x)dx.
а
Разобьем отрезок [а; &] на п равных частей точками:
а = х0 < Xj < ... < хп = Ъ.
Так как функция /(х) возрастает на каждом из частичных отрезков [ху; ху + J, то на каждом из них в точке ху она принимает наименьшее, а в точке ху+ j наибольшее значение на этом частичном отрезке.
182
JEBS—
Составим две интегральные суммы, для первой из них в качестве точки Cj возьмем точку ху, а для второй — точку ху + х:
Sn = (f (х0) + / (хх) + ... + f(xn _ х))Ах,	(1)
«Г =	+ №j)Ax,	(2)
a b - a где Ax =-.
n
Суммы (1) и (2) называют соответственно нижней и верхней интегральными суммами.
Так как функция /(х) возрастает и неотрицательна на отрезке [а; Ь], то на каждом частичном отрезке [ху; ху + х] истинное значение площади Sj под графиком функции у = /(х) заключено между f(xz)Ax и f(xj+ х)Дх и его можно считать приближенно равным среднему арифметическому этих чисел:
s ~ fix^Axi^^YAx =	(3)
^2	2
Поэтому площадь криволинейной трапеции S, ограниченной графиком функции у = /(х), осью Ох и прямыми х = аих = &, и равный ей интеграл I заключены между нижней и верхней интегральными суммами Sn и Sn и их можно считать приближенно равными среднему арифметическому этих сумм:
S = I ~ —+2Sn >	(О
или
s = I = (f (х,) + ... + f(xn . О + r(Xo)^ A*^)Ax.	(5)
При вычислении площади криволинейной трапеции на каждом частичном отрезке [ху; ху + х] по формуле (3) мы фактически заменяем площадь криволинейной трапеции площадью трапеции ABCD (рис. 150), поэтому описанный здесь метод приближенного вычисления интеграла называют методом трапеций.
Мы рассмотрели приближенное вычисление интеграла I для неотрицательной и возрастающей функции. Те же рассуждения можно провести для любой другой непрерывной на отрезке [а; 6] функции /(х). Только следует учесть, что на каждом частичном отрез-
И 183
Первсобразп&я и интеграл
ке надо брать наименьшее значение функции при вычислении нижней интегральной суммы и наибольшее значение при вычислении верхней интегральной суммы.	__
Во всех случаях будет справедливо двойное неравенство Sn< I< Sn и определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле (4).
Следует учесть также, что если функция f(x) на отрезке [а; &] непрерывна и неположительна, то нижняя и верхняя интегральные суммы отрицательны, но все приведенные выше рассуждения, связанные с приближенным вычислением интеграла I, сохраняют силу. Только если в этом случае мы захотим вычислить приближенно площадь криволинейной трапеции описанным методом, то надо учесть, что она равна интегралу, взятому со знаком «минус»:
S=-I~
2
1
ПРИМЕР 1. Вычислим приближенно интеграл Jx2dx.
о
Для этого разобьем отрезок [0; 1] на 10 равных частей точками: 0 < 0,1 < 0,2 < ... < 0,9 < 1 и, учитывая, что функция у = х2 на отрезке [0; 1] непрерывна, неотрицательна и возрастает, составим нижнюю и верхнюю интегральные суммы:
= (О2 + 0,12 + 0,22 + ... + 0,92) • 0,1 = 0,285,
= (0,12 + 0,22 + ... + 0,92 + I2) • 0,1 = 0,385.
Вычислим интеграл I по формуле (4):
jS„ + S„
I ~ —--   = 0,335.
2
Полученный результат отличается от точного, равного i
3 больше чем на 0,5%.
не
2
ПРИМЕР 2. Вычислим приближенно интеграл J sinxdx. о

Для этого разобьем отрезок
на 10 равных частей точ-
_ 7С 271	971	-
ками 0 < — < — < ... < — и вычислим приближенно интеграл
2
I = jsinxdx по формуле (5), воспользовавшись таблицами значений о
синуса:
184
. л . 2л sin — + sin -— +
20	20
9л
.. + sm —— + 20
• л • л ) sm 0 + sin — ____________2
2
~ 0,998.
Полученный результат отличается от точного, равного 1, не больше чем на 0,2%.
6.37	Что называют:
а)	нижней интегральной суммой;
б)	верхней интегральной суммой?
6.38	В чем заключается метод приближенного вычисления определенного интеграла?
6.39	Вычислите приближенно определенный интеграл: 2	4
a) f2xdx; б) f3xdx, 1	з
6.40	а) В предыдущем задании вычислите определенный интеграл как площадь треугольника и сравните результаты вычислений, б) Объясните, почему для линейной функции приближенный метод вычисления определенного интеграла дает точный результат.
6.41	Вычислите приближенно определенный интеграл:
2	2
a) jx2dx; б) j(-x2)dx. 1	1
6.42	В предыдущем задании сравните результаты вычислений для функций у = х2 и у = -х2. Объясните, почему они отличаются только знаком. Чему равна площадь криволинейной трапеции на отрезке [1; 2] в случае «а»; в случае «б»?
6.43	Вычислите приближенно определенный интеграл при заданном Ах:
1	1
a) jxdx, Дх = 0,2; б) jx3dx, Дх = 0,2;
-1	-1
л
2
в) jsinxdx, Дх =
Я

6.44	Почему в предыдущем задании все определенные интегралы равны нулю?
• 185
Первообразная и интеграл
6,6. Формула Ньютона—Лейбница
ТЕОРЕМА Ньютона—Лейбница. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и пусть F (х) есть какая-либо ее первообразная. Тогда справедливо равенство ь
]f(x)dx = F(b)-F(a).	(1)
а
Это равенство называют формулой Ньютона—Лейбница.
Обычно пишут: J f(x}dx = F(x)| = F(b) - F(a}.
2 a 3 2
ПРИМЕР 1. fx2dx =
J0	3 0
03 _ 8
3-3-
ПРИМЕР 2. J sinxdx = (-cosx) 0
I = -cos л - (cosO) = -(-l)+ 1 = 2.
Io
ПРИМЕР 3. j sin х dx = (-cos x)
= -cos 0 - (-cos (-л)) = -1 - 1 = -2.
-n
-л
Результаты вычисления интегралов в примерах 2 и 3 отличаются знаком. На интервале (0; л) функция у = sinx принимает положи-к
тельные значения и j sinxdx есть площадь криволинейной трапе-о
ции, ограниченной графиком функции t/ = sinx, прямыми у = 0, х = 0, х = л (рис. 151).
На интервале^ (—л; 0) функция у = sin х принимает отрицательные значения и J sinxdx есть взятая со знаком «минус» площадь л
Я Рис. 151
186
 Рис. 152
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = sinx и прямыми у = О, х = О, х = -л.
ПРИМЕР 4. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = 2, у = 0.
Искомая фигура на рисунке 152 закрашена, ее площадь равна
?	ГГ3
S = fx2dx = — о
2 23 О3 8 .	.
0= Т-Т=з (кв-ед-)-
О
решив уравнение xz
ПРИМЕР 5. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2иу = х + 2.
Сначала определим абсциссы точек пересечения графиков функций у = х2 и у = х + 2, = х + 2.
Корни этого уравнения хг = -1, х2 = 2. Искомая фигура на рисунке 153 закрашена. Ее площадь вычислим как разность площадей
трапеции ABCD и криволинейной трапеции ABOCD, где В(—1; 1), С (2; 4). Так как
АВ + CD	5 о	.
Sabcd =-----5----AD = - • 3 = 7,5 (кв. ед.),
Z5	Л
&ABOCD ~
2 _ 23	(-1)3
_1~ з 3
8	1 о /
= - 4- - = 3 (кв. ед.), О о
то S — SABCD — Sabocd — 7,5 - 3 — 4,5 (кв. ед.).
 Рис. 1 S3
Я 154
187
Первообразная н интеграл
ПРИМЕР 6. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3 и у = х.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций у — х3 и у = х, решив уравнение х3 = х. Его корни хг = -1, х2 = 0, х3 = 1.
Данная фигура на рисунке 154 закрашена. Так как обе функции у = х3 и у = х нечетные и их графики симметричны относительно начала координат, то и фигура симметрична относительно начала координат, а площади симметричных частей фигуры равны. Поэтому
искомая площадь равна
= 2
11
2
ОВ • АВ
S - 2 SOAB
I4
4
О4
4
JL 2
1 /
= - (кв. ед.)
= 2
1
4
 Докажем формулу Ньютона—Лейбница. Пусть /(х) есть непрерывная положительная функция на отрезке [а; д] и пусть и есть произвольная точка интервала (а; Ь) (рис. 155). Определенный интеграл
и ф(и)= J f(x)dx а
от функции /(х) на отрезке [а; и] есть площадь фигуры, закрашенной сиреневым цветом. Если верхний предел интеграла

 Рис. 155
есть переменная величина и, то интеграл Ф (и) есть функция верхне-
го предела.
В частности, Ф(а) = О, Ф(&) = S, где S — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = /(х) и прямыми у = 0, х = а, х = Ь.
Приращение функции Ф в точке и, соответствующее приращению h (Л > О) аргумента и, есть площадь фигуры, закрашенной серым цветом:	и + h
Ф(и + h) - Ф(и) = j f(x)dx.
и
Обозначим через т наименьшую ординату, а через М наибольшую ординату точек графика функции у = /(х) на отрезке [и; и + Л]. Очевидно, mh Ф(и + h) - Ф(и) МЛ, или
т * А) - ф.<“) < м.
h
188
Если h устремить к нулю, то тп —► /(u), М -» f(u), следовательно, существует производная
Ф(и + h) - Ф(и)	.
hm —i-----------— = Ф' (u) = f(u).
Л-*0 h
Мы доказали, что производная интеграла (как функции верхнего предела) равна подынтегральной функции:
(и
j f(x)dx
j
= /(и)-
Подчеркнем, что это равенство верно в предположении, что подынтегральная функция /(х) непрерывна.
Таким образом, Ф(х) есть первообразная для функции /(х).
Любая другая первообразная отличается от нее на постоянную С.
Возьмем какую-либо первообразную F(x), тогда Р(х) = Ф(х) + С, откуда
Ф(х) = Г(х) - С.
Так как Ф (а) = F(a) - С и Ф (а) = 0, то получим, что С = F(а). Но ь
тогда J f(x)dx = Ф(Ь) = F(b) - С = F(b) - Г (а), и мы доказали форму-
лу Ньютона—Лейбница: ь
J f (x)dx = F(b) - F(a). a
Доказательство формулы Ньютона—Лейбница для неположительных функций проводится аналогично.
Дадим толкование формулы Ньютона—Лейбница с физической точки зрения. Будем считать, что х есть время, а функция у = F(х) выражает закон движения точки по прямой, т. е. у есть координата точки в момент времени х. Тогда F' (х) = /(х) — скорость этой точки.
Путь, пройденный точкой за промежуток времени от х = а до х = Ь, очевидно, равен
S = F(b)-F(a).	(2)
Термин «путь, пройденный точкой» не совсем точно выражает данное явление. Если, например, закон движения таков, что точка сначала продвинулась вправо, пройдя путь а затем влево, пройдя путь S2, то S = Sj - S2.
Но этот путь можно вычислить иначе. Разделим промежуток времени [а; Ь] на части точками: а = х0 < хг < ... < хп = Ь. В силу непрерывности функции /(х) скорость точки на отрезке времени [Ху, Ху + х] можно считать приближенно постоянной, равной числу
189
Первообразная и интеграл
Тогда путь, пройденный точкой на этом отрезке времени, будет приближенно равен /(ху)Дх7, а весь путь будет приближенно равен сумме /(х0) Дх0 + f (xj) Д*! + ... + f(xn 0 Дх„ _ г.
Если шах Дху- —► 0, то эта сумма стремится к числу, равному истинной величине пути, пройденного точкой за промежуток времени [а; &]. В то же время это число есть, очевидно, определенный интеграл от функции f(x) в пределах от а до Ь:
ь
S= lim (f(x0)Ax0 + f(Xi)^xx + ... + f(xn_ 1)ДХ„_1) = [ f(x)dx.
max Ax, — 0	J
1	a
Но тогда из последнего равенства и равенства (2) следует равенство (1). 9
6.45° Сформулируйте теорему Ньютона—Лейбница.
Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите опреде-						
	ленный интеграл (6.46—6.51): 1	4					7
6.46	а)	J xdx; 0 1	6)	j xdx; 2 i	B)	j xdx. 3 2
6.47	а)	j x2dx; 0 1	6)	j x2dx; -i i	b)	j x2dx. i 3
6.48	а)	jx3dx; 0 я	6)	J x3dx; i n ~2	b)	j x3dx. 2 2n
6.49	а)	J sinxdx; 0 3 T	6)	j sin xdx; Л ’ 2 n	b)	| sin xdx. 0 к ~2
6.50	а)	J cos xdx; 0 rdx	6)	J cos x dx 0 rdx	b)	J cos xdx; я ~~2
6.51	а)	J—; i x	6)	J—; 2 X	b)	1 x
Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (6.52—6.58):
6.52 а) у = х2, х = 0, х = 2, у = 0; б) у = sinx, х = 0, х = л, у = 0;
л
в) у = cosx, X = 0, х = —, t/ = 0.
4U
190
6.53	а) у = x2, x = 3, x = 5, у = 0; б) у = х3, х = 1, х - 2, у = 0; в) у = х = 1, х = 4, у = 0.
6.54	а)	у	= х2 - 4х + 6 и у = 6;	б)	у = -х2-4х + 5 и у = 5;
в)	у	= х2 +1 и у = 3-х;	г)	у = 4-х2иу = х + 2.
6.55	а)	у	- х2-2х + 3 и у = 3 + 2х;	б)	у = х2 + 2х + 5иу = 5- 2х;
в)	у	= х2 + 2х + 4 и у = 4-2х;	г)	у = х2 - 2х + 6 и у = 2х + 6.
6.56	а)	у	= sinx, х = -л, х - л, у = 0;
б)	у	= sinx, х = 0, х = 2л, у = 0;
в)	у	= cosx, х = -, х = —, у = 0;
г)	у	= cosx, х = 0, х = 2л, у = 0.
6.57	а)	у	= х3, х = 1, у = 0;	б)	у = х3, х = -1, у = 0;
в)	у	= х3, х = -1, х = 1, у = 0.
6.58	* а)	у	- х2 = 0 и у2 - х = 0;	б)	у - х2 = 0 и у2 + х = О;
в)	у = (1 - х)(х - 5), у = 4 и х = 1;
г)	у = (х + 1)(3 - х), у = 4 и х = 3.
6.59	* а) Найдите ту первообразную для функции /(х) = 2х + 4, график которой касается прямой i/ = 6x + 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми г/ = 6х + Зиг/ = 0.
б)	Найдите ту первообразную для функции f(x) = 2х - 2, график которой касается прямой у = -4х. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у = —4х и у = 0.
6.60	* Точка движется по прямой. Зависимость ее скорости от времени задана формулой v = f(t). График функции v изображен на рисунке 156, а—в.
а)	Какой физический смысл имеет площадь S фигуры, закрашенной на рисунке?
_1»1
Первообразная и интеграл
б)	Определите по рисунку путь, пройденный точкой за промежуток времени: [0; /г]; [0; £2]; [G? *2]» считая, что 1 единица на оси Ot соответствует 1 с, 1 единица на оси Ov соответствует 1 м/с.
6.61	* В задании 6.60 определите путь S, пройденный точкой за промежуток времени [0; £]. Верно ли, что в каждом случае площадь закрашенной фигуры равна S (t2) - S (tj)?
6.62	* На рисунке 157 изображен график функции v = /(О» выражающий зависимость скорости точки, движущейся прямолинейно, от времени движения.
а) Определите приближенно путь, пройденный точкой за промежуток времени от 1 до 6.
б) Каким способом в задании «а» можно получить ответ, если функция v = f (t) задана формулой?
6.7. Свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла выражаются формулами
О	Ct	о
Jf(x)dx = J/'(x)dx + Jf(x)dx,	(1)
а	а	с
j Af(x)dx = A I f(x)dxy где A — данная постоянная, (2) a	a
b	b	b
r	r	t
J(f(X) + <p(X))dx = j f(x)dx + J<p(x)dx.	(3)
Ct	О	CL
Свойство (1) (для случая а < с < b) означает, что площадь криволинейной трапеции над отрезком [а; д] равна площади трапеции над отрезком [а; с] плюс площадь трапеции над отрезком [с; д] (рис. 158).
Свойство (2) означает, что площадь криволинейной трапеции, определяемой функцией /(х), увеличивается в А раз (А > 0) для функции Af(x).
Свойство (3) означает, что площадь криволинейной трапеции, опреде-
У =
 I5S
Ш 192
ляемой суммой f(x) + ф(х), равна сумме площадей, соответствующих слагаемым f(x) и ф(х).
Конечно, в этих пояснениях мы неявно предполагали, что функции f(x) и ф(х), так же как и число А, неотрицательные. Ведь если, ь
например, f(x) < О на [а; д], то интеграл j f(x)dx равен площади со-а ответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком «минус*. Но и в этом, и вообще в других случаях свойства (1) — (3) верны.
Из равенства (2) следует, что ь	ь
j (~f(x))dx = - j f (x)dx, a	a
а из равенств (2) и (3) следует, что ь	ъ	ь	ь	ъ
j (А/(х) + Вф (x))dx = j Af(x)dx + j Вф (x)dx = A J f(x)dx 4- в|ф (x)dx, a	a	a	a	a
где А и В — данные постоянные.
Равенство (3) по индукции можно распространить на любое конечное число слагаемых.
1	ill
ПРИМЕР 1. J(х2 - 2х + l)dx = Jx2dx - 2fxdx + jldx =
п	ЯП
~2	2	~2
ПРИМЕР 2. J (2 cos х + 3 sin х) dx = 2 J cos x dx + 3 J sin x dx = о	oo
2
ПРИМЕР 3. J (х2 о
2
- 3x + 5) dx - j (x2 - 5x + 4) dx — о
2	2	2
= J(x2 - 3x + 5 - x2 + 5x - 4)dx = j(2x + l)dx = (x2 + x) | = о	о
= (22 + 2) - (02 + 0) = 6.
Рассмотрим пример вычисления площади фигуры, которую пересекает ось Ох.
193
Первообразная и интеграл
ПРИМЕР 4. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = -х2 + 2 и у - х2 - 2х - 2.
I способ. Графики данных функций пересекаются в точках с абсциссами -1 и 2, которые найдены как решения уравнения -х2 + 2 = х2 - 2х - 2.
Графики данных функций изображены на рисунке 159, и, очевидно, сложно вычислить площадь фигуры S обычным способом. Выполним параллельный перенос графиков на 4 единицы вверх, чтобы на отрезке [-1; 2] обе функции принимали положительные значения, т. е. найдем площадь равной фигуры, но ограниченной уже графиками функций у — -х2 + 6 и у = х2 - 2х + 2 (рис. 160).
Так как
2
= j (—х2 + 6) с/х =
-1
2
S2 = j(х2 - 2х + 2)dx =
|_4 + 4-(_l-l-2
= 6 (кв. ед.), то S = Si - S2 = 15 - 6 = 9 (кв. ед.).
II способ. Как видно из первого способа вычисления площади фигуры, эта площадь равна
2	2
S= j(—х2 + 6) с/х - j*(х2 — 2х + 2)dx.
 Рис. 159
 Рис. 160

194
Применив свойства (2) и (3) определенного интеграла, имеем 2	2
S= J(—х2 + 6)dx - J(х2 - 2х + 2)dx = -1	-1
2	2
= j ((-x2 + 6) - (x2 - 2x + 2))dx - j ((-x2 + 2) — (x2 - 2x - 2))dx. -i	-i
Таким образом, для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций у = -х2 + 2 и у = хг - 2х - 2, можно вычислить определенный интеграл:
2	2
S = J((-х2 + 2) - (х2 - 2х - 2))dx = J(-2х2 + 2х + 4))dx =
16 л „
----+ 4 + 8
3
-1
f| + 1 - 4) = 9 (кв. ед.).
Аналогичное рассуждение можно провести для функций у = /(х) и у = ф (х), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < Ь), если эти функции непрерывны на отрезке [а; Ь] и f(x) > (р(х) на всем интервале (а; &). В этом случае площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = /(х) и у = ф(х) (рис. 161), вычисляется по формуле
ь
s = J (/ (х) - <р (x))dx.
а
Рассмотрим еще одно свойство определенных интегралов. Пусть функция ф(х) имеет непрерывную производную на отрезке [а; &], а функция /(и) непрерывна на отрезке [с; d], где с = ф(а), d = ф(&), тогда справедлива формула
b	d
S = J 7(ф(х))ф'(*Мх = J f(u)du, где и = ф(х).
а	с
b а
Действительно, если функция F(u) — первообразная для функции f(u), то СР(ф(х)))'х = /Чф(х)) ф'(*), поэтому
d	d
J f(u)du = F(u)|c = F(d) - F(c) = F(<f(b)) - Лф(а)) = ^(<P(x))|
c	'	f
= J /Чф(х))4>'(x)dx.
j 195
Первообразная и интеграл
ПРИМЕР 5. f sin 2х dx = if sin и du = | (-cos и) I = i (1 + 1) = 1 о	0
(подстановка и = 2x, откуда если x = 0, то и = 0, если х = —, то и = л).
6.63 Каковы основные свойства определенных интегралов?
Примените основные свойства интегралов при вычислении интегралов (6.64—6.66):
6.64
6.65
6.66
13	л	2п
a) j xdx + f xdx;	б) j sinxdx + J sinxdx;
0	1	On
2 ,	e	1	2
в) J —+ |—;	r) fexdx + fexdx +
1 X	2 x	0	1	2
12л
д) j sinxdx + j sinxdx + J sinxdx, 0	12
j ex dx;
3	2	e н
a)	|3xdx;	6)	J(-2x4)dx;	в)	J—.
2	-i	i 2x
2
a) J (3x - l)dx;
i
2
в) J (2x2 + 5x - 6)dx; о
з
6)	j(x2-2x)dx;
-2
1
Г) J(“ 2x2 - x + 8) dx.
-2
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (6.67—6.71):
v-	I
6.67	а) у -	х=1, x = 3hz/ = 0; б) у = ^2х, х = 1 и у = 0.
6.68	а) г/ = — и г/ = 3- б) у = х2 - 6х + 10 и у = 6х - х2. 4	2
6.69	а) у = х2-5пу = -0,5х2 + 1;
б) у = х2 - 4х -I- 1 и у = -2х2 + 8х + 1.
6.70* а) у = х2 - лх и у = sinx;
~	л 5л
б) у = sinx, у = cosx, х = — и х = —.
4	4
6.71	а) у = 4 - 0,5х3 и у = 4 - 2х; б) у = 0,5х3 + 8 и у = 2х + 8.
g 196________________________________________________________
6.72	а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией у — = 4 + 0,5х2, касательной к ней у — 2х + 2 и прямыми х = 0 и х = 3. б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией у = = 8 - 0,5х2, касательной к ней у = 2х + 10 и прямыми х = 0 и х = -3.
6.73	Вычислите определенный интеграл, используя замену переменной: л 2	П
cos2xdx;	б) Jsin^dx;	в)
о	о
2 ______________ 7
г) [ 74- x2dx;	д) [ * * * х 2;	е)
Jo	А х
” 2
6.74* Вычислите определенный интеграл: п	7
a) j| sin2002x|dx; б) j||||x|-4|-2|-l|dx. о	-7
1
J 71 - x2dx;
-1
a) J
п_ д/Э - X2 2
6.8*. Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах
ПРИМЕР 1. Площадь круга. Уравнение
окружности радиуса R с центром в начале
системы координат хОу (рис. 162) имеет вид
х2 + у2 = R2. Следовательно, ее часть, расположенная выше оси Ох, есть график функции у = 7-R2 - х2 (-R « х < R).
Но тогда площадь круга радиуса R равна г?___________
S=2- х2 dx. Заменим переменную в этом
-R
интеграле: х = ^RsinG, G < Тогда при
- л	71 Я	о
возрастании переменной 6 от до — переменная х возрастает от -R ли	Zj
до R. При этом cosG 0 и dx = TicosGdG. Поэтому получим к ~2
S = 2 17д2 - д2 sin2 0 К cos 0 de = 2RZ J п ~~2
2
cos2 0 dG =
я
т
197
Первообразная и интеграл
2
= 2R2 j i + cos2ed9 = 2дгНе + lsin2ej
2
= nR2.
2
Итак, S = nR2.
ПРИМЕР 2 Объем тела вращения. Пусть Г есть график непрерывной положительной функции у = f(x) (а х Ь) в прямоугольной системе координат хОу. Вычислим объем V тела вращения, ограниченного поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х и плоскостями, проходящими через точки х = а, х = b перпендикулярно оси х (рис. 163). Произведем разбиение отрезка [а; д] на части
точками: а = xG < хх < ... < хп = Ъ — и будем считать, что элемент объема AV* тела вращения, ограниченный плоскостями, проходящими через точки xk и xk + j перпендикулярно оси х, приближенно равен объему цилиндра высоты Дхл = xk + г - xk и радиуса основания Ук =
ДГЛ = пу2кЛхк = n(f(xk))2Axk.
Но тогда объем V может быть записан при помощи приближен-п - 1
ного равенства V ~ л (xk))2&xk. Чтобы получить точное равенст-k= о
во, надо взять предел
п - 1	Ъ
V = lim л У (f(xk))2&xk = n((f(x))2dx, пшхдх^^о k = 0	J
и мы получим формулу для объема тела вращения ь
V = nj(/(x))2dx.	(1)
gg 198_____________________________________
В качестве примера применения формулы (1) докажем, что объем V шара радиуса R равен
V = - я R3.
3
В самом деле, окружность радиуса R в плоскости хОу имеет уравнение х2 + у2 = R2. Тогда функция у = ^R2 - х2 (-R х R) имеет графиком верхнюю полуокружность Г.
Если вращать полуокружность Г вокруг оси Ох, то получим поверхность шара. Но тогда согласно формуле (1) объем шара
R _______ R	z	3 х R
V = п J(y/R2 - x2)2dx = л J(R2 - x2)dx = п R2x - J = - п R3.
Приведем другие примеры практических задач, решение которых сводится к вычислению определенных интегралов.
ПРИМЕР 3. Работа. Пусть к движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой переменная сила F = f(x), где f (х) есть непрерывная функция от х — координаты движущейся точки. Работа силы F при передвижении точки от а до b равна п -1	ь
W = lim У f(x.)Ax, = f/(x)dx, max Дху —► 0 у _ 0	’
где а = х0 < хг < ... < хп = b, &Xj = Xj+ 1 - Xj. В самом деле, в силу непрерывности функции f(x) произведение f(xj)&Xj близко к истинной работе на отрезке [ху; ху + 1], а сумма таких произведений близка к истинной работе на отрезке [а; д], и притом тем ближе, чем меньше наибольший из всех Дху.
ПРИМЕР 4. Масса стержня переменной плотности. Будем считать, что отрезок [а; д] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью р (х) 0, где р (х) — непрерывная на отрезке [а; Ь] функция. Общая масса этого отрезка п - 1	ь
М = lim У р (х ) Дх = I р (x)dx, max Дх, -*0 - л	1 J
J	j - О	а
где а = х0 < Xj < ... < хп = д, Дху = ху + х - ху-.
ПРИМЕР 5. Работа электрического заряда. Пусть с и q — два заряда, находящиеся на прямой на расстоянии г друг от друга. Сила взаимодействия F между ними направлена вдоль этой прямой и равна F = (а = kcc^ где k — постоянная). Работу W этой силы, когда заряд с неподвижен, а заряд передвигается по отрезку [Яг; _R2],
199
Первообразнаяи интеграл
можно подсчитать, разбивая отрезок [7^; /?2] на части длины Дгу-. На каждой из них приближенно считаем силу постоянной, тогда работа на таком участке равна -^-Дг.. Делая части разбиения все более ко-
роткими, убеждаемся, что работа
П - 1	Я2
W= lim £-“-Лг,= \ -^dr (0 < Rx < R2).
Этот интеграл вычисляем, принимая во внимание, что
*2
= а
«1
откуда W = — г
_1____1_
R2
В частности, работа, выполненная силой F при передвижении заряда съ находившегося сначала на расстоянии Rr от заряда с, на бесконечность равна
W = lim а
Я2-*0
а
Ж’
ПРИМЕР 6. Давление жидкости на стенку. Бассейн высоты Н наполнен водой. Вычислить давление воды на прямоугольную стенку бассейна с основанием а.
Делим высоту Н на п равных малых частей ДА. Стенка разделится на «элементы» (один из них закрашен на рисунке 164). Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жидко-
(О < Ях).
сти высоты м на площадку, имеющую площадь 1 м2, равно ht тоннам.
Давление же воды на элемент, находящийся на глубине равно произведению Af на площадь элемента:	Величина давления
на стенку приближенно равна
п - 1	л - 1
Р ~ ^ahj&h = a i = l	i =1
где сумма распространена на все ДА. Точное же ее выражение равно
п - 1	н	^2
Р = lim а У h.&h = a f hdh = а —
’ I	2
н
= аН^_
2 о
200
ПРИМЕР 7. Центр тяжести. Центр тяжести системы материальных точек (Xp уг), (х2; i/2), •••> (хк> Ух) с массами т19 т2, ...» mN соответственно имеет координаты
N	N
Е т xt	X m
j = 1	j = 1
хо ~ n » У о ~ n • Ё т,	£ т,
j = 1	/ - 1
Эти формулы распространяются на непрерывно распределенные по площади массы. Роль конечных сумм играют тогда интегралы.
Найдем центр тяжести сегмента параболы у = 1 - х2 с равномерно распределенной по нему массой, ограниченного снизу осью х (рис. 165). Для этого отрезок [-1; 1] оси х разделим на п равных частей длины Дх. Одна такая часть более ярко закрашена на рисунке 165. Ввиду малости Дх можно считать, что масса закрашенного элемента сегмента равна р/‘(х|) Дх = рг/Дх и она сконцентрирована в точке
. Здесь р — плотность распределения массы.
2
Ввиду симметрии сегмента абсцисса его центра тяжести равна х0 = 0. Ординату же можно приближенно записать в виде
п - 1 и	п - 1
р Ё j Ё^.2Д*
у о ~
п - 1	2 п - I
р	х&д*
где сумма распространена на все частичные отрезки деления [—1; 1].
Точное выражение для ординаты центра тяжести фигуры получим, перейдя к пределу при Дх —> 0:
п - 1
i = 1
1
2
ь JiA/x а
Ъ \ydx а
(2)
 Рис. 166
201
Первообразная и интеграл
— J (1 - xz)2dx 2 1
Уо = —i------------
J (1 - x2)dx
где в данном случае а = -1, b = 1. Таким образом
8
15 _ 2
1 ~ 5
3
Выражение (2) можно рассматривать как общую формулу для ординаты центра тяжести фигуры, изображенной на рисунке 166, с равномерно распределенной по ней массой. Соответствующая формула для х0 имеет вид
1 ь
-^[xydx
г _ £.2____
х0 - ь ]ydx а
6.75	Множество точек координатной плоскости хОу, удовлетворяю-х2 У2	ч
щих уравнению — +	= 1 {а о), называют эллипсом.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной эллипсом:
а) х2 + 9г/2 = 9 (рис. 167); б) 4х2 + у2 = 4 (рис. 168).
6.76	Какова формула для вычисления объема тела вращения?
6.77	Используя формулу объема тела вращения, получите формулы для вычисления объемов цилиндра и конуса.
6.78	Вычислите объем тела, полученного вращением кривой — графика функции у = sin х, 0 х л, вокруг оси Ох,
6.79	Вычислите объем тела, полученного вращением кривой — графика функции у = х2, -2 х 2, вокруг оси Оу,
6.80	К движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой сила F - /(х), где х — координата движу
щейся точки. Вычислите работу силы F по перемещению точки от точки х = а до точки х = &, если:
a) f(x) = 2х - 1, а = О, b = 3; б) /(х) = -х2 + 4, а = О, b = 2.
6.81	Плотность стержня на отрезке [а; &] есть функция р(х) координаты х (а х Ь). Вычислите массу стержня, если:
а) р(х) = х + 1, а = О, Ъ = 2; б) р(х) = 0,Зх2, а = О, Ъ = 3.
6.9*. Понятие дифференциального уравнения
При решении многих задач, прежде всего физических, встречаются уравнения, в которых неизвестной является некоторая функция.
Уравнения, в которые входят производные искомой функции, называют дифференциальными уравнениями. Например, уравнения у + 16</' - х5 = 0,	(1)
Зх2 = //"-//'	(2)
являются дифференциальными уравнениями, так как в них надо найти функцию у = у (х) и в этих уравнениях содержатся производные этой функции.
Если в дифференциальное уравнение входит производная только первого порядка, то такое уравнение называют дифференциальным уравнением первого порядка. Если в дифференциальное уравнение входит производная второго порядка и не входят производные порядка выше второго, то такое уравнение называют дифференциальным уравнением второго порядка и т. д. Поэтому дифференциальное уравнение (1) — первого порядка, а дифференциальное уравнение (2) — второго порядка.
Решением дифференциального уравнения называют любую функцию у = у (х), при подстановке которой в дифференциальное уравнение получается тождество.
Например, функция у = х2 есть решение дифференциального уравнения
У' = 2х.	(3)
Действительно,
у'(х) = (х2)' = 2х.
Отметим, что любая функция вида
у = х2 + С,	(4)
где С — некоторая постоянная, также является решением дифференциального уравнения (3), так как у'(х) = (х2 + С)' = 2х. Никакая другая функция не является решением уравнения (3).
Функцию (4) называют общим решением дифференциального уравнения (3). Давая С какие-либо значения, будем получать частные решения дифференциального уравнения (3).
203
Первообразная и интеграл
Так, функции у = х2, у = х2 + 14, у = х2 - 200 (при С = 0, С = 14 и С = -200 соответственно) являются частными решениями дифференциального уравнения (3).
Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
У' = <Р(х),	(5)
где <р(х) — непрерывная на всей оси элементарная функция.
Ясно, что решением уравнения (5) будет любая первообразная для функции ср (х):
у = J (р (х) dx = F (х) + С,	(6)
где F(x) — некоторая первообразная для функции <р, а С — некоторая постоянная, и никакая другая функция не является решением уравнения (5).
В рассмотренном выше примере (р (х) = 2х, и поэтому по формуле (6) общее решение дифференциального уравнения (3) действительно выражается формулой (4).
Формула (6) выражает общее решение дифференциального уравнения (5), отдельные частные решения уравнения (5) получаются, если постоянной С придавать различные значения.
Если дано дифференциальное уравнение у" = <р(х), то его общее решение всегда можно найти так, как показано в следующем примере.
ПРИМЕР 1. Найдем общее решение уравнения
Г=6х.	(7)
Обозначим у’ = z, тогда уравнение (7) можно переписать в виде г’ = 6х. Его решение есть функция z = J 6х dx = Зх2 + С19 где С1 — некоторая постоянная.
Так как функция z - у', то получаем уравнение у' = Зх2 + СР Его решение, а значит и решение уравнения (7), есть функция
у = J (Зх2 + Cx)dx = х3 + Сгх + С2,	(8)
где С2 — некоторая постоянная.
Итак, общее решение уравнения (7) есть функция у = х3 + Сгх + С2,
где Cj и С2 — некоторые постоянные, которые можно задавать независимо друг от друга.
Давая Cj и С2 какие-либо значения, будем получать частные решения уравнения (7). Например, функции у = х3, у = х3 — 100, у = х3 — 8х, у = х3 + 10х +15 являются частными решениями уравнения (7).
Как видно из рассмотренных примеров, дифференциальное уравнение имеет бесконечно много частных решений. Для нахожде
204
ния какого-либо конкретного частного решения надо задать дополнительные условия.
Например, найдем частное решение уравнения (3), т. е. функцию у = у (х), такую, чтобы точка О (0; 0) принадлежала графику этой функции. Подставляя в равенство (4) координаты точки О, получим, что С = 0, т. е. искомое частное решение есть функция У = х2.
Найдем частное решение уравнения (7), т. е. функцию у = у(х), такую, что у (0) = 0, у (1) = 2.
Из равенства (8) следуют равенства z/(0) = 0 = 0 + Сх • 0 + С2; у (1) = 2 = 1 + Cj • 1 + С2, откуда С2 = 0, Сг = 1. Следовательно, искомое частное решение есть функция у = х3 + х.
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
У' * ф(*/) = f(x),	(9)
которое является частным случаем дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Покажем, как можно найти общее решение уравнения (9). Учитывая, что у = у(х) есть функция от х, перепишем уравнение (9) в виде
4>(у(х))у'(х) = /(х).
Если равны функции, то неопределенные интегралы от них отличаются лишь на некоторую постоянную, т. е.
J(p (z/(x))z/z (x)dx = J f (x)dx + С,	(10)
где С — некоторая постоянная.
Применяя метод замены переменной (т. е. заменяя y'(x)dx на dy), перепишем равенство (10) в виде
|<p(i/)dy = j f(x)dx + C.	(11)
Если функции /(х) и ф(^) — элементарные функции, непрерывные на всей оси, то и интегралы в обеих частях равенства (11) находятся в явном виде, т. е. равенство (11) перепишется в виде
Ф (у) = F(x) + С,	(12)
где Ф (у) — первообразная для функции (р (z/), a F (х) — первообразная для функции /(х). Теперь из равенства (12) выразим у через х. Полученная функция у(х) и будет общим решением уравнения (9).
ПРИМЕР 2. Найдем общее решение дифференциального уравнения
у'у2 = х(1 + х2),	(13)
а затем частное решение дифференциального уравнения (13), удовлетворяющее условию 1/(0) = 2.
205
Первообразная и интеграл
Применив формулу (11), получим:
j y2dy = Jx(l + x2)dx + Q.
(14)
Так как
Г	1 fl	С
jy2dy = з +c2> a jx(l + x2)dx=— + — + C3, то из
//3	д.2
равенства (14) следует равенство ^-= — + — + С, откуда находим о с» 4
общее решение уравнения (13):
з[зх2 Зх*1 ~~ У =	+----+ ЗС,
у V 2	4
(15)
где С — некоторая постоянная.
Для нахождения частного решения уравнения (13), удовлетворяющего условию z/(0) = 2, подставим в равенство (15) х = 0, z/ = 2, з/—	8
получим 2 = у]ЗС, откуда С = —. Следовательно, искомое частное _____________________________о
з/Зх2 Зх* решение есть у = Я—— + ——
Отметим, что выше рассмотрено лишь несколько простейших дифференциальных уравнений. Естественно, что, кроме них, существует много других дифференциальных уравнений.
Например, уравнение
у' = ау,	(16)
где а — данное число, имеет решение у = Се°*, где С — некоторая постоянная.
В самом деле, у' = аСе0^ = со/, т. е. функция у — Сеах есть решение уравнения (16).
Рассмотрим еще одно дифференциальное уравнение y"+k2y = 0,	(17)
где k > 0 — данное число.
Уравнение (17) имеет решение у = A sin kt + В cos kt, где An В — некоторые постоянные. Действительно, у1 = Ak cos kt - Bk sin kt, y" = -Ati2 sin kt - Bk2 cos kt.
Подставляя выражения для у и у" в уравнение (17), убеждаемся, что функция у - Asinkt + В сов kt есть решение уравнения (17).
6.82	а) Какое уравнение называют дифференциальным уравнением? б) Какое дифференциальное уравнение называют дифференциальным уравнением первого порядка; второго порядка? в) Что называют решением дифференциального уравнения? г) Что называют общим решением дифференциального уравнения; частным решением дифференциального уравнения?
206
Покажите, что функция у = у (х) является решением дифференциального уравнения, если (6.83—6.84):
6.83	а) у' = х3, у — — х4 + 5; б) у' = sinx, у = -cosx - 1;
4
в)	у’ = cos х - 7, у = sin х - 7х + 2;
г)	у' = 3 sinх + 4cos х + 7, у = -3 cos х + 4 sin х + 7х - 3.
Укажите общее решение дифференциального уравнения.
6.84	a) z/' = 5у, у = е5х;	б) у" = 25у,	у = е5х;
в) у" = 1 бу, у = е~4х;	г) у" = -9у,	у = sin (Зх + 5).
6.85	Покажите, что функция	у = Cj cos сох	+ C2sinwx является	ре-
шением дифференциального уравнения у" = -со1 2*/.
6.86	Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию:
а) у’ = 4х3, г/(0) = 1; б) у' = 5sinx, у(0) = 0;
в) у’ = 6cosx, у (л) = 5; г) у' = 7sinx - 8cosx, у j = 0;
д) у"=66х, z/(0)=l, i/'(0) = 3; е) у" = -36х, i/(0) = 0; i/'(0) = 2.
6.87 Для дифференциального уравнения у" + 4у = 0 найдите решение, удовлетворяющее условиям:
а) у(0) = 2, г/'(0) = 3; б) у(0) = 2, у'(0) = 0;
в) */(0) = 0, /(0) = 3.
6.10*. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
1. Нахождение закона движения тела по его скорости. Пусть точка движется по оси х. Ее скорость — заданная функция времени v = fit), и надо найти закон движения точки, т. е. зависимость ее координаты х от t (t 0), или, как говорят, зависимость пути от времени.
Пусть искомый закон движения определяется формулой x = F(t). Производная от х по t равна v = /(О» где f(t) — непрерывная функция, т. е.
F'{t) = f(t).	(1)
Мы получили дифференциальное уравнение относительно искомой функции F(t). Решить уравнение (1) нетрудно: F(t) есть первообразная от f(t). Следовательно,
F(t)=\f(t)dt + C,
207
Первообразная и интеграл
где С — некоторая постоянная. Чтобы найти С для конкретного закона, надо знать дополнительно, где находилась точка в некоторый момент времени, например при t = 0.
ПРИМЕР 1. Пусть точка движется по оси х. Ее скорость равна v = 3t2 - 2t (м/с). Найдем закон движения точки х — x(t), если х(0) = 2.
Пусть искомый закон движения определяется формулой х = F (t). Тогда F'(t) = 3t2 - 2t и
x = F(t) = \(2t2-2t)dt = t3-t2 + C.	(2)
Подставив t = 0, х = 2 в равенство (2), получим О3 - О2 + С = 2, откуда С = 2.
Итак, х = t3 - t2 + 2 (м).
2. Нахождение закона движения тела по его ускорению. Пусть точка движется по оси х равноускоренно с ускорением, равным данному числу п, и надо найти закон ее движения.
Пусть искомый закон движение определяется функцией х = F (t).
По условию ее вторая производная равна а:
F"(t) = а.
Но первая производная есть первообразная для второй производной, поэтому
F'(t) = jadt = at + by
где b — некоторая постоянная. Искомая же функция F(t) есть первообразная для F’(t), поэтому
F(t) = \(at + b)dt=^ + bt + C, где С — некоторая постоянная.
Итак, общий закон движения выражается формулой
х= F(t)= — + bt + C,	(3)
где b и С — некоторые постоянные. Таким образом, имеется бесконечно много законов движения, служащих решениями поставленной задачи — каждой паре b и С соответствует свой конкретный закон. Чтобы его найти, надо, например, знать дополнительно, где находилась точка в некоторый момент времени t0 и какова была ее скорость в этот момент.
ПРИМЕР 2. Из винтовки выстрелили вверх. Напишем закон движения пули, считая, что ускорение земного притяжения приближенно равно 10 м/с2, а скорость вылета пули из винтовки 800 м/с (сопротивлением воздуха пренебрегаем).
Ось х направим вертикально вверх, пусть ее начальная точка совпадает с точкой вылета пули, за единицу длины примем метр.
%* 208
Ускорение силы тяжести и сила тяжести направлены вниз, поэтому в наших расчетах ускорение силы тяжести считаем отрицательным и равным приближенно -10.
На основании формулы (3) закон движения выражается функцией х = -5#2 + at + С. Так как пуля в момент t — 0 имела координату х = 0, то 0 = 0 + 0 + С, откуда С = 0. Поэтому х = —5t2 + at.
Чтобы определить а, возьмем производную от х по t:
— = -10t + a. clt
При t = 0 производная равна скорости вылета пули 800 м/с. Поэтому а = 800 и закон движения имеет вид
х — -5#2 + 800#.
3. Охлаждение тела. Тело, имеющее температуру То, помещено в среду с температурой 7\ (TG > 7\). Найдем закон Т = T(t) зависимости его температуры от времени t.
dT
Из курса физики известно, что скорость охлаждения тела — dt пропорциональна разности Т - 7\ температур тела и окружающей среды. Учитывая, что функция T(t) убывающая, получим
dT
^ = -k(T-T\),	(4)
где k — коэффициент пропорциональности.
Так как dT = d(T - Тг), то, обозначив Q = Т - Т19 перепишем уравнение (4) в виде
= -ж	(5)
dt
Мы получили дифференциальное уравнение относительно функции 0 = Т - 7\ от t.
Уравнению (5) удовлетворяет функция
0 = Ae~kt,	(6)
где А — некоторая постоянная.
Можно доказать, что формула (6) исчерпывает все решения уравнения (5).
Формула (6) дает бесконечно много решений поставленной задачи, соответствующих разным значениям постоянной А:
6 = Т - Tj = Ae~kt, откуда Т = Ту + Ae~ht. Для нашей задачи Т = То при t = 0, поэтому А = TQ - и решение данной задачи имеет вид
T=T1-h(T0-T1)e-fcz.
Из полученной формулы видно, что Т = То при t — 0, затем с увеличением t температура Т тела весьма быстро уменьшается. При t +оо она стремится к (Т -> Тг при t —► +оо).
Л 209
Первообразная и интеграл
ПРИМЕР 3. Кипящий электрический самовар вынесли на воздух, и за 10 мин он остыл до 60°. Температура воздуха 20°. За сколько минут самовар остынет до 25°?
Здесь То = 100,	= 20, поэтому для функции Т = Г (О верно ра-
венство — = -k(T - 20), или
d(r ~2o) = -k(T - 20).	(7)
clt
Уравнению (7) удовлетворяет функция Т = 20 + Aekt, где А — некоторая постоянная.
Из условия задачи следует, что
Т(0) = 20 + Ае~Ок = 100 и Т(10) = 20 + Ae“10* = 60.
Из первого условия имеем А = 80, тогда из второго условия гп0,1
е k = -	. Теперь для ответа на вопрос задачи надо решить уравне-
V 2 /	/ X 0.1
ние 25 = 20 + Ae~kt относительно t. Так как e~k = -	, то получаем
т0-1'	127
5 ~ 80 -I - I , откуда находим t = 40.
Итак, самовар остынет до 25° через 40 мин.
4. Радиоактивный распад. Радиоактивное вещество в момент времени t = 0 имеет массу т0. Требуется найти закон пг = m (i) изменения массы этого вещества от времени t.
Из курса физики известно, что скорость радиоактивного распа-dm
да — пропорциональна имеющейся в данный момент массе вещест-dt
ва. Учитывая, что функция m(t) убывающая, получим равенство dm	П	L.	, .
— = -km, где k — коэффициент, зависящий от свойств взятого ра-dt
диоактивного вещества.
Дифференциальное уравнение такого вида мы уже рассматривали (см. уравнение (5)). Этому уравнению удовлетворяет функция m — Ae~kt, где А — некоторая постоянная. Значения А и k находят из условия задачи.
5. Гармонические колебания. К висящей пружине снизу прикреплен груз массой пг. Ось х направлена вниз (рис. 169). В неподвижном положении груз находится в начальной точке оси х. Выведем пружину из равновесия, сжав или растянув ее, и отпустим ее в момент времени t = 0. Груз будет колебаться в вертикальном направлении. Требуется найти закон х = х(0 изменения координаты груза от времени t.
По закону Ньютона в любой момент произведение массы пг на ускорение х" равно силе, действующей на груз в этот момент. Это
И210
 Рис. 169
сила упругости, равная по закону Гука произведению некоторого постоянного коэффициента а на величину отклонения груза от положения равновесия. Силы эти противоположно направлены, поэтому справедливо равенство тх" - -ах. Обозначив k2 = —, получим дифференциаль-тп
ное уравнение
х" + k2x = 0.	(8)
Это дифференциальное уравнение второго порядка. Функция
х (t) = A sin kt + В cos kt,	(9)
где А и В — некоторые постоянные, является решением дифференциального уравнения (8).
Мы видим, что дифференциальное уравнение (8) имеет бесконечно много решений, соответствующих произвольным парам чисел А и В. Каждая конкретная
функция x(t) находится заданием двух условий. Обычно в качестве этих условий задают х0 — отклонение
груза в момент времени t = 0 и xj — скорость, сообщенную грузу в момент времени t = 0.
Например, пусть х0^ 0 и xj = 0 при t = 0, тогда из формулы (9)
следует, что х0 = В и x'(t) = kAcoskt - x0£sinkt, 0 = kA, A = 0.
Поэтому груз колеблется по закону
x(t) = xQcoskt.
Формулу (9) (для А2 + В2 > 0) можно записать в виде
(Ю)
x(t) = Ccos(kt - а) (С > 0).
Число С = ^А2 + В2 называют амплитудой колебаний. Отклонение груза x(t) удовлетворяет неравенствам —С < x(t) С, и при этом существуют значения t, для которых х = С и х = —С. Число k назы-2 л вают частотой колебаний. Функция (10) имеет период, равный —.
2 л k	&
За единицу времени происходит 1: — = — колебаний. Наконец, k 2п
число а называют фазой колебаний.
Замечание. Формула (10) моделирует процесс колебания пружины неточно. Она пригодна только для достаточно маленького промежутка времени [0; t0], при ее выводе не учтены силы трения, возникающие при колебании пружины, и сопротивление воздуха. Выше
211
Первообразная и интеграл
установлено, что функция (9) является решением дифференциального уравнения (8), но не показано, как найти такое решение. Нахождение решения уравнения (8) требует знания комплексных чисел.
6.88 Точка движется по оси х со скоростью:
a) v = 3; б) и = а; в) v = 2t; г) v = at; д) v = cost; e) v = el. Найдите возможные законы движения точки. Определите среди этих законов тот, для которого х = 0 при t = 0, а также тот, для которого х = 1 при t = 1.
6.89 Нарисуйте график функции х = -5t2 + 8001, задающей закон движения пули, выпущенной вверх, и определите: а) наибольшую высоту, на которую поднимется пуля;
б)	момент времени, когда пуля достигнет наибольшей высоты;
в)	момент падения пули на землю;
г)	скорость пули в момент ее падения на землю.
6.90	Материальная точка падает с высоты 1000 м. Через сколько секунд она упадет на землю и с какой скоростью? Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести приближенно равным 10 м/с2.
6.91	На высоте 2000 м от земли выстрелили из винтовки вверх. Скорость вылета пули 800 м/с.
а)	Напишите закон движения пули, нарисуйте его график.
б)	Какой наибольшей высоты достигнет пуля?
в)	Через какое время пуля достигнет наибольшей высоты?
г)	Через какое время пуля упадет на землю?
д)	С какой скоростью пуля упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести приближенно равным 10 м/с2.
6.92	В задаче 6.91 считать, что выстрел направлен вниз и ускорение земного притяжения равно 10 м/с2, а скорость вылета пули из винтовки 800 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
а)	Через какое время пуля достигнет земли?
б)	С какой скоростью пуля упадет на землю?
6.93	Кипящий электрический самовар отключили от сети и вынесли на воздух. За 12 мин он остыл до 52°. Температура воздуха 28°. Какой будет температура самовара через 24 мин?
6.94	Кипящий электрический самовар вынесли на воздух, и за 10 мин он остыл до 60°. Температура воздуха 20°. За сколько минут самовар остынет до 30°?
6.95	* Первоначально в баке было 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно вливается 5 л чистой воды в минуту, и столько же раствора выливается из бака. Весь процесс происходит при тщательном перемешивании раствора. Сколько килограммов соли останется в баке через 1ч?
212
Исторические сведения
Развивая идеи
В своем сочинении «Квадратура параболы» Архимед пользовался методом исчерпывания для вычисления площади сектора параболы, этот же метод или его варианты он применял для определения площадей и объемов других фигур. Он вычислял площадь сегмента параболы, вписывая в нее подходящие многоугольники с неограниченным возрастанием числа их сторон. Вершины этих многоугольников он выбирал так, чтобы иметь возможность вычисления пределов.
предшественников, Архимед определил длину
окружности и площадь круга, объем и поверхность шара. В работах «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах» он показал, что определение объемов шара, эллипсоида, гиперболоида
и параболоида вращения сводится к определению объема конуса (значит, и объема цилиндра). Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в XVII в. интегральное исчисление.
Фактически Архимед ввел понятие интегральных сумм (верхних и нижних) и объем полуэллипсоида как общий предел этих сумм при п -* оо. Используя современный язык, Архимед определил
следующие интегралы:
f , а2	г 2 l \ >	a3 a2f}
J xdx = у, J (х2 + bx)dx = — + — , о	о
1	п	а
-Jsin<pd(p = l, J sin (рdtp =-cos а + 1.
2	о	о
Конечно, у Архимеда не было еще общих понятий предела и интеграла, общего алгоритма интегрального исчисления. Его выкладки связаны только с решением конкретных геометрических задач без указания на то, что в основе их решения лежит общий прием арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигур.
Символы J, dx и название «интеграл» были введены Лейбницем. В то время знак суммирования X писали обычно в виде S, и символ J представляет собой просто стилизацию буквы S.
В XVII в. математики уже умели вычислять площади многих фигур с кривыми границами и объемы многих тел. Они умели также вычислять мгновенную скорость и наклон касательной к кривой в разных частных случаях. Эти работы составили основу для создания общего математического анализа, но сначала они представляли собой разрозненные результаты, не объединенные общей теорией.
J 213
Исторические сведения
А общая теория была создана во второй половине XVII в. в трудах английского математика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого математика Готфрида Лейбница (1646—1716). Ньютон и Лейбниц являются основателями дифференциального и интегрального исчислений.
Они открыли важную формулу (Ньютона — Лейбница):
ь
jf(x)dx = F(b)-F(a), а
где f(x) — функция, интегрируемая на отрезке [а; &], F(x) — одна из ее первообразных (неопределенный интеграл).
Сделанное Ньютоном и Лейбницем открытие органической связи между понятиями интеграла и производной установило связь между дифференциальным и интегральным исчислениями, способствовало небывалому развитию математической науки.
В XVIII в. крупнейшим представителем математического анализа был Леонард Эйлер (1707—1783) — академик Российской академии наук.
Рассуждения, которые приводили Ньютон и Лейбниц, несовершенны с точки зрения современного математического анализа. Четкого определения понятия предела и понятия функции тогда еще не существовало. Эти понятия совершенствовались в XVIII в., в частности, в трудах Эйлера.
Только в начале XIX в. были окончательно созданы понятия предела последовательности чисел, предела функции, непрерывности функции, на которых основывается современный классический математический анализ. Обычно при этом отмечаются заслуги французского математика Огюстена Коши (1789—1857), которому принадлежат четкие формулировки указанных понятий.
Отметим, что наряду с производной и интегралом (определенным и неопределенным) очень важными понятиями в математическом анализе являются формула и ряд Тейлора, названные так в честь английского математика Брука Тейлора (1685—1731).
Например, значения элементарных функций ех, Inx, sinx и др. на практике вычисляют именно при помощи формулы Тейлора (см. п. 5.12).
Глава II
................ - . _ ....— -------
Уравнения. Неравенства. Системы у/ 2х+5~= х+2 lx+2 > О
Ранее рассматривались рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства, а также системы рациональных уравнений и неравенств.
В этой главе будут сформулированы утверждения, с помощью которых решают более сложные уравнения, неравенства и системы. Доказательства многих из этих утверждений аналогичны, поэтому далее приводятся доказательства лишь некоторых из них.
§ 7.	Равносильность уравнений и неравенств
7.1.	Равносильные преобразования уравнений
Пусть даны два уравнения f(x) = £(х) и ф(х) = ф(х). Если любой корень первого уравнения является корнем второго, а любой корень второго уравнения является корнем первого, то такие два уравнения называют равносильными. Другими словами, два уравнения равносильны, если совпадают множества всех корней1 этих уравнений. В частности, два уравнения равносильны, если каждое из них не имеет корней.
Например, уравнения х3 - 1 = 0 и х5 - 1 = 0 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень 1. Уравнения х2 + 1 = 0 и х4 + 1 = 0 равносильны, так как каждое из них не имеет корней. Уравнения х3 - 1 = 0 и х2 - 1 = 0 не равносильны, так как первое из них имеет единственный корень 1, а второе — два корня: 1 и -1, т. е. так как не совпадают множества корней этих двух уравнений.
Замену одного уравнения другим равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения.
1 В дальнейшем слово «всех» во фразе «множество всех корней» для крат-
кости опускаем, но подразумеваем его.
215
Равносильность уравнений и неравенств
Если при решении уравнения совершено равносильное преобразование уравнения, то множество корней преобразованного уравнения совпадает с множеством корней исходного уравнения.
Перечислим основные равносильные преобразования уравнений. Начнем с преобразований, которые уже применялись ранее.
1.	Перенос члена уравнения (с противоположным знаком) из одной части уравнения в другую.
2.	Умножение (деление) обеих частей уравнения на отличное от нуля число.
3.	Применение тождеств, т. е. равенств, справедливых для каждого X G В.
Отметим, что при применении преобразований 1—3 часто даже не пишут, что получилось уравнение, равносильное исходному, а пишут: «перепишем исходное уравнение в виде...».
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
3 cos 2х = 1 - 2 cos2 х.	(1)
Применив тождество cos 2х = 2 cos2 х - 1, перепишем уравнение (1) в виде
3 cos 2х = -cos 2х,	(2)
Перенеся все члены уравнения (2) в левую часть, а затем разделив обе части полученного уравнения на 4, перепишем уравнение (2) в виде
cos 2х - 0.	(3)
Все корни уравнения (3), а значит, и равносильного ему уравне-ния (1) составляют серию решении xk = — + —, k g Z.
ГХ	Я	7 ГТ
Ответ. —।---, h g Z.
4	2
Замену уравнения f (x) = g(x) уравнением fn(x) = gn (x), где n g N и n 2, называют возведением уравнения в степень п.
Замену уравнения /(х) = g(x) уравнением ^//(х) = ^/g(x), где п g N и п 2, называют извлечением корня степени п из обеих частей уравнения.
Замену уравнения аЛ** = ag(x\ где а>0 и а*1, уравнением f(х) = g(x) называют логарифмированием показательного уравнения.
Перечислим еще несколько равносильных преобразований уравнений.
4.	Возведение уравнения в нечетную степень.
5.	Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
6.	Логарифмирование показательного уравнения.
216
. » . _
Равносильность преобразований 4—6 следует из утверждений:
1.	Пусть 2т + 1 (т е N) — фиксированное нечетное число, тогда равносильны уравнения
f(x) = g(x)	(4)
и
f2m+1(x) = gZm + 1(x).	(5)
2.	Пусть 2т + 1 (тп е N) — фиксированное нечетное число, тогда равносильны уравнения
f(x) = g(x) и +
3.	Пусть фиксированное число а таково, что а > 0 и а Ф 1, тогда равносильны уравнения
а/(х) _ ав(х) и
Так как доказательства всех этих утверждений аналогичны, то приведем только доказательство утверждения 1.
Я Пусть число х0 — любой корень уравнения (4), т. е. пусть существуют числа f(x0) и £(х0), для которых справедливо числовое равенство f (х0) = £(х0). Но если равны числа, то равны и их любые нечетные натуральные степени, т. е. справедливо числовое равенство
f2т + 1 (х0) = Я2/” + 1 (х0).
Полученное равенство означает, что любой корень уравнения (4) является корнем уравнения (5).
Докажем обратное.
Пусть число х1 — любой корень уравнения (5), т. е. пусть существуют числа /(xj) и ^(xj), для которых справедливо числовое равенство
fZm + 1(x1) = g2m + 1(x1).
Из равенства чисел следует равенство корней любой нечетной натуральной степени, т. е. справедливость числового равенства ftx^ -= g(Xi), Полученное равенство означает, что любой корень уравнения (5) является корнем уравнения (4).
Из доказанного выше следует, что если хотя бы одно из уравнений (4) и (5) имеет корень, то эти уравнения равносильны.
Покажем, что если уравнение (4) не имеет корней, то и уравнение (5) не имеет корней.
Предположим противное, т. е. предположим, что уравнение (5) имеет хотя бы один корень х2. Тогда по доказанному выше число х2 является корнем уравнения (4), что противоречит условию: уравнение (4) не имеет корней. Следовательно, наше предположение неверно, т. е. уравнение (5) не имеет корней.
Аналогично показывается, что если уравнение (5) не имеет корней, то и уравнение (4) не имеет корней.
Равносильность уравнений и неравенств
 217  
Следовательно, если хотя бы одно из уравнений (4) и (5) не имеет корней, то эти уравнения равносильны.
Итак, утверждение 1 полностью доказано. •
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
^12х2 - 28х + 8 = 2-х.	(6)
Возведя уравнение (6) в третью степень, получим уравнение 12х2 - 28х + 8 = (2 - х)3,	(7)
равносильное уравнению (6). Уравнение (7) имеет три корня: -8; 0; 2. Следовательно, равносильное ему уравнение (6) имеет те же корни.
Ответ. -8; 0; 2.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение (х - 5)11 = (2х + 4)11.	(8)
Извлекая корень 11-й степени из обеих частей уравнения (8), получим уравнение
х - 5 = 2х + 4,	(9)
равносильное уравнению (8). Уравнение (9), а значит, и равносильное ему уравнение (8) имеют единственный корень —9.
Ответ. -9.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение 5х2-2х=5х-2	(Ю)
Логарифмируя показательное уравнение (10), получим, что оно равносильно уравнению
х2 - 2х = х — 2,	(11)
имеющему два корня: 1 и 2. Следовательно, и равносильное уравнению (11) уравнение (10) имеет те же корни.
Ответ. 1; 2.
При решении уравнений часто приходится применять несколько равносильных преобразований.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение (х2 - 8х + 2х - I)7 = (х2 - 2х - I)7.	(12)
Извлекая корень 7-й степени из обеих частей уравнения (12), получим уравнение
х2 - 8х + 2х - 1 = х2 - 2х - 1,	(13)
равносильное уравнению (12). Перенеся все члены уравнения в левую часть и приведя подобные члены многочлена, перепишем уравнение (13)в виде
2 • 2х — 8х = 0.
(14)
218
Так как справедливы тождества 2 • 2х = 2х + 1 и 8х = 23х, то уравнение (14) можно переписать в виде
2х+1 = 23х.	(15)
Логарифмируя показательное уравнение (15), получим равносильное ему уравнение
х + 1 = Зх,	(16)
имеющее единственный корень —. Следовательно, и равносильное уравнению (16) уравнение (12) имеет тот же корень.
л 1
Ответ.
Л
 ПРИМЕР 6. Решим уравнение
5Х+1 = 2Х + 2.	(17)
Перепишем уравнение (17) в виде
5X + 1 = 5(* + 2)log52.	(18)
Логарифмируя показательное уравнение (18), получим равносильное ему уравнение
х + 1 = (х + 2) log5 2.	(19)
Уравнение (19), а следовательно, и равносильное ему уравнение (17) имеют единственный корень log2 50,8.
Ответ. log250,8. •
7.1	° а) Какие два уравнения называют равносильными?
б)	Какие преобразования уравнения называют равносильными? Приведите примеры равносильных преобразований уравнения.
7.2	* Докажите утверждения:
а)	об извлечении корня нечетной степени из обеих частей уравнения;
б)	о логарифмировании показательного уравнения.
7.3	Объясните, почему равносильны уравнения:
а)	х+5 = 2х-Зих-2х + 5 = -3;
б)	i х2 + 1 - х3 - х и х2 + 2 - 2х3 - 2х;
в)	(х + I)2 = 2х2 и х2 + 2х + 1 = 2х2;
г) х2 + х + 2-х3-х+1 = 0их2-х3 + 3 = 0;
д) х = 1 и х3 = 1; е) х5 = 2 и х = V2;
ж) 2х + 2 = 2 и х +2= 1; з) sin3x = — и sinx = —. о	2
219
Равносильность уравнений и неравенств
Решите уравнение (7.4—7.12):
7.4	a) cos 2х - cos2 х - sin х = 0;
в) cos 2х + cos2 х — 0,5 = 0;
7.5	а) ^х3 + Зх-15 = х;
в) ^х3 - Зх - 1 = х - 1;
7.6	а) ^х = х;
в) 4 ^/х + 2 = х + 2;
7.7	а) (2х - З)7 = (х + I)7;
в) (Зх2 - 4х)9 = (х2 - 8х)9;
7.8	a) (5sin2x - 4)11 = (sin2x - I)11;
в) (4х - 5)" = (3 • 2х - I)99;
б)	cos 2х - cos2 х + sin х = 0;
г) cos2x - sin2x + 0,5 = 0.
б) ух3 - Зх - 4 = х;
г) ^х3 - Зх + 1 = х + 1.
б) З34х = х- 2;
г) 3^/х - 2 = х.
б) (Зх + I)5 = (х + 9)5;
г) (5х2 + 4х)3 = (х2 + 2х)3.
б) (5cos2x-1)7 = (cos2x + I)7;
г) (9х - I)95 = (3х + 5)95.
7.9 а) 22х = 2х-9;
г)	З3х " 1 = 37х ~ 2;
б) 42х-7 = 4х-1.
д)	25х + 1 = 5х2 + Зх;
в) 93х " 4 = 9х + 2;
е)	16х'1 =4^" х.
2х	о С о,:
7.10	а) ----= 0,5 • 21,2 + 2х;	б) 0,2 • 5°’2х + 3 = —
8	U
ql + Зх	о	03 - 2х
в) ^—= 27 • З1 " 2х;	г) — • 4х ~ 2 =
9	3	12
7.11	а) 2х"1 = 3х; б)2х = Зх+1; в)2х 2 = Зх-3; г)2х-3=Зх’2.
7.12	а) 5x + sinx= 5sinx + 2;	б) = 6^2х ’1;
в) (х2 - sinx)101 = (х2 + I)101; г) (х7 + cosx)103 = (х7 - I)103;
д) ^/sin2 х + 4х - 6 = Vsin2 х - 2х;
е) >/sin2 х + 9х = ^/-cos2 х + 3х + 7.
7.13* При каком значении параметра а уравнение 3х2 2х + а = 9х имеет единственный корень?
7.2.	Равносильные преобразования неравенств
Пусть даны два неравенства f(x)>g(x) и <р(х) > (лс). Если любое решение первого неравенства является решением второго, а любое решение второго неравенства является решением первого, то такие два неравенства называют равносильными. Иными слова
Д220
-2 -1	2
 Рис. 179
ми, два неравенства равносильны, если совпадают множества всех решений1 этих неравенств. В частности, два неравенства равносильны, если каждое из них не имеет решений.
Например, неравенства х > 1 и х3 > 1 равносильны, так как множество решений каждого из них одно и то же: (1; +оо), а неравенства х2+1<0их4+1<0 равносильны, так как каждое из них не имеет решений.
Замену одного неравенства другим равносильным ему неравенством называют равносильным преобразованием неравенства.
Если при решении неравенства совершено равносильное его преобразование, то множество решений преобразованного неравенства совпадает с множеством решений исходного неравенства.
Перечислим основные равносильные преобразования неравенств. Начнем с преобразований, которые уже применялись ранее.
1.	Перенос члена неравенства (с противоположным знаком) из одной части неравенства в другую.
2.	Умножение (деление) обеих частей неравенства на положительное число.
3.	Применение тождеств.
Отметим, что применение к неравенству преобразований 1—3 приводит к неравенству с тем же знаком. При этом часто даже не пишут, что получилось неравенство, равносильное исходному, а пишут: «перепишем исходное неравенство в виде...».
ПРИМЕР 1. Решим неравенство х3 - 4 > 4х - х2.	(1)
Перенеся все члены неравенства в левую часть (1), перепишем его в виде х3 + х2 - 4х - 4 > 0.	(2)
Разложим на множители левую часть неравенства (2): х3 + х2 - 4х - 4 = х2(х + 1) - 4(х + 1) = (х + 1)(х - 2)(х + 2). Применяя это тождество, перепишем неравенство (2) в виде: (х+ 1)(х — 2)(х + 2) > 0.	(3)
Применяя метод интервалов (рис. 170), получим, что множество решений неравенства (3), а значит, и равносильного ему неравенства (1) есть объединение двух промежутков: (-2; -1) U (2; +оо).
Ответ. (—2; -1) U (2; +оо).
Замену неравенства f(x)>g(x) неравенством fn (х) > gn (х), где п е N и п 2, называют возведением неравенства в степень тг.
1 В дальнейшем слово «всех» во фразе «множество всех решений» для крат-
кости опускаем, но подразумеваем его.
221
Равносильность уравнений и неравенств
Замену неравенства f(x) > g(x) неравенством r\/f(x) > f\]g (х), где п е N и п > 2, называют извлечением корня степени п из обеих частей неравенства.
Замену неравенства afM>asM неравенством f(x)>g(x) (при а > 1) или неравенством f(x) < g(x) (при 0 < а < 1) называют логарифмированием показательного неравенства.
Перечислим еще несколько равносильных преобразований неравенств.
4.	Возведение неравенства в нечетную степень.
5.	Извлечение корня нечетной степени из обеих частей неравенства.
6.	Логарифмирование показательного неравенства.
Отметим, что применение к неравенству преобразований 4 и 5 приводит к неравенству с тем же знаком; применение преобразования 6 при а > 1 приводит к неравенству с тем же знаком, а при О < а < 1 — к неравенству с противоположным знаком.
Равносильность преобразований 4—6 следует из утверждений:
1. Пусть 2ти +1 {т е N) — фиксированное нечетное число, тогда равносильны неравенства /(х) > £(х) и f2m + 1 (х) > g2m + 1 (х).
2. Пусть 2т + 1 (т е N) — фиксированное нечетное число, тогда равносильны неравенства f(x) > g(x) и 2т+У/(х) >	'\jg(x)-
Зг Пусть а — фиксированное число. Тогда если а > 1, то равносильны неравенства > ag^ и /(х) > Я(х); если же 0<а< 1, то равносильны неравенства > agM и f(x) < g(x).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
х - 1 > *]х3 - 2х2 + 4х - 7.
(4)
Возведя неравенство (4) в третью степень, получим неравенство (х - I)3 > х3 - 2х2 + 4х - 7,	(5)
равносильное неравенству (4).
Применив формулу куба разности, перенеся все члены неравенства в правую часть и приведя подобные члены многочлена, получим неравенство
х2 + х - 6 < 0,	(6)
равносильное неравенству (5), а значит, и неравенству (4). Решив квадратное неравенство (6), найдем множество его решений — интервал (-3; 2). Так как неравенство (6) равносильно неравенству (4), то множество решений неравенства (4) составляет тот же интервал. Ответ. (-3; 2).
222
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
(2х2 - Зх + I)7 < (х2 + х + I)7.	(7)
Извлекая корень 7-й степени из обеих частей неравенства (7), получим неравенство
2х2 - Зх + 1 < х2 + х + 1,	(8)
равносильное неравенству (7). Неравенство (8), а значит, и равносильное ему неравенство (7) имеют одно и то же множество решений — интервал (0; 4).
Ответ. (0; 4).
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
ЗХ2 - X < 91 - X	(9)
Неравенство (9) можно переписать в виде
3х2-х<32(1-х)	(Ю)
Логарифмируя показательное неравенство (10), получим, что оно равносильно неравенству
х2 - х < 2(1 - х),
множество решений которого есть интервал (-2; 1). Следовательно, этот интервал есть множество решений и неравенства (10), а также равносильного ему неравенства (9).
Ответ. (-2; 1).
При решении неравенств часто приходится применять несколько равносильных преобразований.
ПРИМЕР 5* Решим неравенство
- 3х + 52х > 1 ^9Х - 3х + 53х.	(11)
Возведя неравенство (11) в 11-ю степень, получим равносильное ему неравенство
9х - 3х + 52х > 9х - 3х + 53х.	(12)
Перенеся члены 9х и -3х неравенства (12) в левую часть и пользуясь тождествами 9х - 9х = 0 и 3х - 3х = 0, получим равносильное ему неравенство
52х > 53х.	(13)
Логарифмируя показательное неравенство (13), получим, что оно равносильно неравенству 2х > Зх, множество решений которого, а значит, и равносильного ему неравенства (11) есть интервал (-оо; 0).
Ответ, (-оо; 0).
223
Равносильность уравнений и неравенств
Наряду со строгими неравенствами часто встречаются нестрогие неравенства.
Для решения нестрогого неравенства
f(x) > g(x)	(14)
надо: 1) решить уравнение
f(x) = ^(x);	(15)
2) решить неравенство
f(r)>g(x),	(16)
и тогда множество решений неравенства (14) есть объединение всех решений уравнения (15) и всех решений неравенства (16).
1 2х
ПРИМЕР 6. Решим неравенство
3
4
3
4
Сначала решим уравнение з? ~2х 4;
(17)
(18)
3
4
Логарифмируя показательное уравнение (18), получим, что оно равносильно уравнению
1 - 2х - -х I 5,
имеющему единственное решение х0 = -4. Теперь решим неравенство
2х
>
3
4
(19)
Логарифмируя показательное неравенство (19), получим, что оно равносильно неравенству
1 - 2х < -х + 5, множество решений которого составляют все х > -4.
Объединяя решения уравнения (18) и неравенства (19), находим все решения неравенства (17) — они образуют промежуток [-4; +оо).
Ответ. [-4; +оо).
7.14	° а) Какие два неравенства называют равносильными?
б)	Какие преобразования неравенства называют равносильными? Приведите примеры равносильных преобразований неравенств.
224
7.15	* Докажите утверждения:
а)	о возведении неравенства в нечетную степень;
б)	об извлечении корня нечетной степени из обеих частей неравенства;
в)	о логарифмировании показательного неравенства.
7.16	* Докажите, что если число а > 0, то неравенства f(x)>g(x) и af(x) > ag(x) равносильны.
7.17	* Докажите, что если число а < 0, то неравенства f(x) > g(x) и af(x) < ag(x) равносильны.
7.18	° Объясните, почему равносильны неравенства:
а)	х2 - 2х > - 1 и х2 - 2х + 1 > 0;	б) Зх > 6	и х >	2;
в)	х2 < 2х + 1 и -х2 > -2х - 1; г)	х2 - 4х + 4 > 0 и	(х -	2)2 > 0;
д)	х2 — 4х + 5 + 2х < 0 и х2 - 2х+5 < 0; е) ^[х	> 2 и	х >	8;
ж)	х7 > 3 и х > l/З; з) 0,1х2 ' 2х >	0,1х и х2 -	2х < х;
и)	5sin х < 5COS х и sin х < cos х.
Решите неравенство (7.19—7.32):
7.19	а) х3 - 5х2 + 4х > (х - I)3;
б)	х3 - 6х2 + 9х > (х - З)3;
в)	х3 + 5х2 - 6х - 2 < Зх2 - Зх + 4;
г)	2х3 + Зх2 - 4х - 6 > х3 - 2х.
7.20	* a) cos2x + 3sin2x + 2sinx < 4; б) cos2х - cos2x - 2cosx < -2.
7.21	а) 4х + 2х + x2 < x2 + 6; б) 27х + 9х > 3х + 6 + 27х.
7.22	а) '^Зх3 - Зх2 - х + 5 > '^2х3 - 4х2 + х + 5;
б)	^5х3 - 6х2 + Зх +1 < ^/4х3 - х2 - Зх +1.
7.23	а)	х +1 > ^/х3 + 2х2 - Зх - 4;	б)	х + 2 < ^/х3 + 5х2 + 7х + 2.
7.24	а)	(5х - 2)9 < (Зх - 14)9;	б)	(Зх - 7)7 > (5х - II)7;
в)	(х2 - 5х)и > (2х2 - 7х)п;	г)	(Зх2 + х)33 < (х2 + Зх)33.
7.25	a) (6sin2x - 5)13 < (2sin2x - 2)18;
б)	(6cos2x - З)3 > (2cos2x - I)3;
в)	(2х + 7)9 > (3  2х + I)9; г) (2 • 3х - I)51 < (3х + 8)51.
7.26	а)	2Х + 1 > 2х2 5;	б)	(0,3)2х + 5 > (0,3)х2 +	2;
в)	52х - 9 < 5х2 -12;	г)	(0,5)4х " 7 < (0,5)х2 “	4.
7.27	а)	42х-7>2Зх+1;	б)	53х’1<25х+1;
в)	75х + 1 < 49х -2;	г)	8Х+ ’ > 64х.
225
У рн вн ей ия - следств ия
7.29	а) 5Х-1>4Х; б) 4Х<5Х+1; в) 15х~4>Зх~3; г) 6х + 5 * *<Зх+6.
7.30	а) 5х*"2х > 2х-2;	б) 3х*“ х < 21 "х;
в) 3х " х > 5х “	г) 7х - 5х < 65 - х.
7.31	* а) 34х + sin х > 3sin х + 2;	б) 50 < 16*V2x + 20;
в) (х2 - sinx)17 > (х2 + 0,5)17; г) (х8 * * * * + cosx)13 < (х8 - 0,5)13;
д)	^3 sin2 х + 4х - 3 > ^/-3cos2 х + 2х;
е)	^/sin2 х + 12 • 3х - 28 < ^/-cos2 х + 9х.
7.33* При каких значениях параметра а все решения неравенства 2 х2 4 2х “2< 4х содержатся в интервале (-1; 1)?
§ 8. Уравнения-следствия
8.1.	Понятие уравнения-следствия
Пусть даны два уравнения /*(х) = g(x) и р(х) = ф(х). Если любой
корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то
второе уравнение называют следствием первого.
В частности, если первое уравнение не имеет корней, то любое
второе уравнение является его следствием.
Например, рассмотрим уравнения Vx = 1 и х2 = 1. Первое урав-
нение имеет только один корень — число 1, которое является кор-
нем второго уравнения, поэтому уравнение х2 = 1 есть следствие уравнения Jx = 1. Но уравнение х2 = 1 имеет еще один корень — число -1, которое не является корнем уравнения 4х = 1. Поэтому уравнения 4х = 1 и х2 = 1 не являются равносильными.
Замену уравнения другим уравнением, которое является его следствием, называют переходом к уравнению-следствию. При переходе к уравнению-следствию возможно появление корней, не являющихся корнями исходного уравнения, т. е. возможно появление корней, посторонних для данного уравнения.
226
В то же время при переходе к уравнению-следствию невозможно потерять корни исходного уравнения (это следует из определения уравнения-следствия).
Таким образом, если при решении данного уравнения совершен переход к уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли корни уравнения-следствия являются корнями исходного уравнения. Иными словами, при таком способе решения уравнения проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.
Замену уравнения logaf(x) = logflg(x) (а Ф 1 — фиксированное положительное число) уравнением /*(х) = g(x) называют потенцированием логарифмического уравнения.
/ (х)
Замену уравнения----= 0 уравнением /(х) = 0 называют осво-
£(х)
вождением уравнения от знаменателя.
Замену разности /(х) - /(х) нулем называют приведением подобных членов.
Перечислим некоторые преобразования, которые приводят к уравнению-следствию, а значит, могут привести к появлению посторонних корней.
1.	Возведение уравнения в четную степень.
Например, при возведении уравнения 4х — 1 в четвертую степень получается уравнение-следствие х2 = 1, имеющее корень -1, посторонний для исходного уравнения.
2.	Потенцирование логарифмического уравнения loga/(x) = = bgag (х) (a > О, а 1).
Например, потенцирование логарифмического уравнения 1g (х2 - 4) = 1g (4х - 7)
приводит к уравнению-следствию
х2 - 4 = 4х - 7, имеющему корень 1, посторонний для исходного уравнения.
3.	Освобождение уравнения от знаменателя.
Например, освобождение уравнения
х2 - 5х + 4 _
х - 1
от знаменателя приводит к уравнению-следствию х2 — 5х + 4 = О, имеющему корень 1, посторонний для исходного уравнения.
4.	Приведение подобных членов.
Например, после приведения подобных членов уравнения
Jx + х + (1 - Vx) = О
получается уравнение х + 1 = 0, имеющее корень -1, посторонний для исходного уравнения.
®227
Уравнения-следствия
Замечание. Отметим, что применение формул (логарифмических, тригонометрических и др.) также может привести к уравнению-следствию .
Например, если к уравнению
'/xjх + 3 — 2
применить формулу 4а Jb = <Jab, то получим уравнение д/х(х + 3) = 2,
(1)
(2)
которое является следствием уравнения (1). Оно имеет корень —4, посторонний для уравнения (1).
Если к уравнению
log2(x - 1) + log2 (х + 1) = 3
(3)
применить формулу log2 а + log2 b = log2 abt то получим уравнение
log2((x - 1)(х + 1)) = 3,
(4)
которое является следствием уравнения (3). Оно имеет корень -3, посторонний для уравнения (3).
Отметим, что если применить те же формулы, но в обратном порядке, к уравнениям (2) и (4), то при таких преобразованиях получаются уравнения, не являющиеся следствиями уравнений (2) и (4), и при этом даже произойдет потеря корней. Так при переходе от уравнения (2) к уравнению (1) происходит потеря корня -4, а при переходе от уравнения (4) к уравнению (3) происходит потеря корня -3.
Существуют и другие преобразования уравнений, которые могут привести к потере корней исходного уравнения (см. упражнение 8.5). Ясно, что при решении уравнений нельзя применять преобразования, приводящие к потере корней исходного уравнения.
8.1° а) Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?
б)	Являются ли все корни исходного уравнения корнями его уравнения-следствия?
в)	Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения?
г)	Какие преобразования приводят к уравнениям-следствиям? д) Является ли проверка полученных корней обязательной частью решения уравнения, если в процессе решения был совершен переход от уравнения к уравнению-следствию?
j 228
Объясните, в результате какого преобразования переход от первого уравнения ко второму приводит к появлению посторонних корней. Подберите корень второго уравнения, посторонний для первого уравнения (8.2—8.4):
8.2	а) х = 2, х2 = 4;
б)	log3 х2 = log3 х, х2 = х;
в)	(* ~ 4)2~ <2х - 3) = 0, (х - 4) - (2х - 3) = 0; х - 1
г)	X2 + Зх + 4х = 7х + 4, х2	+ Зх - 4 = 0.
8.3	* а)	7х- 2 7х- 3 = 0, J(x-	2)(х- 3) = 0;
^2х2 - 9х + 3	/------ 12х2 - 9х + 3	/----
б)-----—------= Vx + 3, J------------ = Vx + 3;
7^2	V х~2
в)	21og4x = 1, log4 х2 = 1;
г)	31о£з х = х2, X = х2.
д)	log2 х + log2(x + 2) = 3, log2 (х (х + 2)) = 3;
е)	log2x - log2(x + 2) = log2(2x + 10), log2 X = log2(2x + 10).
X 4* 2
8.4	* a) 2tg* = 0, sin 2x = 0;	6) 1- tg^x = -1, cos 2x = -1.
1+ tg2*	’ 1+ tg2*
8.5	* Объясните, почему преобразование уравнения с применением данной формулы слева направо может привести к появлению посторонних корней (а > 0, а Ф 0):
a) 4f(x)4g(x) = 4fMg(xy, б)
в) а,ое“ f(x) = f(x);	г) 2 loga f(x) = loga f2(x);
Д) logaf(x) + logag(x) = loga(/(x)g(x));
e) loga/(x)-logag(x) = loga-^;
1 B^X' 1
Ж) -------= loga/(x);	з) -— = ctgx;
log/(x)a “	tgx
v 1	,	2 tgx .
и) ----= tgx;	к) ----5— = sin2x;
ctgx &	1+ tgfx
4l-tg2x	2 tg x
л) -——= cos2x;	m) -—= tg2x.
1 + tg2 x	1 - tg2 x
Может ли применение той же формулы справа налево привести к потере корней?
229
Ура пнем и я-сле дстпия
8.2. Возведение уравнения в четную степень
Пусть 2m (т е N) — фиксированное четное натуральное число. Тогда следствием уравнения
f(x) = g(x)
является уравнение
(/(х))2"1 = (g(x))2m.
Очень часто это утверждение применяется при решении иррациональных уравнений, т. е. уравнений, содержащих неизвестное х под знаком корня.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
х + 1 = ^3* + 7.	(1)
Возведя уравнение (1) в квадрат, получим уравнение
(х + I)2 = Зх + 7,	(2)
являющееся следствием уравнения (1). Уравнение (2) имеет два корня: Xj = 3 и х2 = -2. Проверка показывает, что число Xj является корнем уравнения (1), а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень хР
Ответ. 3.
| ПРИМЕР 2. Решим уравнение
Vl - sinx = cosx.	(3)
Возведя уравнение (3) в квадрат, получим уравнение
1 - sinx = cos2х,	(4)
являющееся следствием уравнения (3). Так как cos2 х = 1 - sin2 х, то уравнение (4) можно переписать в виде
sinx(sinx - 1) = О.	(5)
Уравнение (5) имеет две серии решений:
xk — nk, k е Z\ хп = — + 2лп, п е Z.
&
Так как -J1 - sin xk = 1, cosxfc = (-l)fe; у]1 - sin хп = 0, cosxrt = О, то все числа хп являются решениями уравнения (3), а из чисел xh решениями уравнения (3) являются только те, для которых k = 2m, т е Z.
Ответ. — + 2лп, n g Z; 2лт, т е Z.
2
; 230
Возведение в четную степень можно применять и при решении уравнений, содержащих модуль.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
|х2- Зх - 1| = х2- 2х- 2.	(6)
Возведя уравнение (6) в квадрат, получаем уравнение
(х2 - Зх - I)2 = (х2 - 2х - 2)2,	(7)
являющееся следствием уравнения (6). Перепишем уравнение (7) в виде
(х2 - Зх - I)2 - (х2 - 2х - 2)2 = О или в виде
(х2 - Зх - 1 - х2 + 2х + 2) (х2 - Зх - 1 + х2 - 2х - 2) - О и найдем его корни хг — 3, х2 = 1, х3 = —0,5.
Проверка показывает, что число Xj является корнем уравнения (6), а числа х2 и х3 — нет.
Ответ. 3. •
8.6° а) Объясните, почему возведение уравнения в четную степень может привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения.
б)* Докажите утверждение о возведении уравнения в четную степень.
в) Какое уравнение называют иррациональным? Как можно решать иррациональное уравнение?
8.7 Возведите уравнение во вторую степень, решите полученное уравнение, проверьте, являются ли корни уравнения-следствия корнями исходного уравнения:
a) Vx = х - 2; б) у/Зх = 2х - 3; в) у]2х - 1 = х; г) д/Зх - 2 = х.
Решите уравнение (8.8—8.11):
8.8 а) у)х2 - 4х +1 = у]3х + 1; в) д/х2 - Зх = у]4х- 10;
8.9 a) <jbx + 2 = хТЗ;
в) ^2х + 5 = х +1;
д) ^2х2 - 4х + 1 = х + 1;
б) 72*2 - 4х + 5 = у/Зх2 - х + 1;
г) у]х2 - Зх - 3 = у]2х2 - 2х - 9.
б) у]3х + 2 = Хл/2;
г) у)3х + 7 = 2х + 3;
е) у}3х2 - 4х + 1 = х - 1.
Уравнен ия-следствия
J31
л
8.10* а)	д/log2 х + 3 = log2 х - 1;	б)	х + 5 = 1 - log3 х;
в)	_ 2* + 1 - 3 = 2х +1; г)	д/3-4х-2х + 2 = 2х + 1;
д)	Vl - cosx = sinx;	е)	71 + sinx = cosx.
8.11* а)	| х2 - 4х + 21 = х2 - 6х + 10;	б) | х2 - 2х - 21 = х2 - 4х + 6;
в)	|21gx-3 | = 31gx-2;	г) |31gx - 4| = 21gx - 1;
д)	1 II 1 гч + к	е) |2х+1-7| = 2х + 1.
8.12* При каких значениях параметра а уравнение ух2 + бх — 2а = = х + 2 имеет единственный корень?
8.3. Потенцирование логарифмических уравнений
Пусть а — данное число (а > 0, а 1). Тогда следствием уравнения
loga/(x) = logog(x)	(1)
является уравнение
/(х) = ^(х).	(2).
I Доказательство. Пусть число х0 — некоторый корень уравнения (1), т. е. пусть существуют числа loga/(x0) и logag(x0), для которых справедливо числовое равенство loga/(х0) = loga g(x0). Но если логарифмы двух чисел по одному основанию равны, то равны и сами числа, т. е. справедливо числовое равенство f(x0) - g(x0). Следовательно, число х0 является корнем уравнения (2). Такое рассуждение можно провести для любого корня уравнения (1), следовательно, любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), т. е. уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Если же уравнение (1) не имеет корней, то тогда, как отмечено в п. 8.1, уравнение (2) есть следствие уравнения (1). Утверждение доказано полностью, w
ПРИМЕР 1 Решим уравнение
log2 (х5 + х2 - 4) = log2 (х5 + 4х - 7).	(3)
Потенцируя логарифмическое уравнение (3), получаем уравнение х5 + х2 - 4 = х5 + 4х - 7,	(4)
являющееся следствием уравнения (3). Перенося все члены уравнения (4) в левую часть и приводя подобные члены многочлена, перепишем уравнение (4) в виде
х2 - 4х + 3 = 0.	(5)
232
Уравнение (5), а следовательно, и уравнение (4) имеют ио два корня jq = 1 и х2 = 3. Проверка показывает, что число х2 является корнем уравнения (3), а число хх — нет.
Ответ. 3.
 ПРИМЕР 2. Решим уравнение log3 cos 2х = log3 sin х.	(6)
После потенцирования логарифмического уравнения (6) и применения формулы косинуса двойного угла получаем уравнение 1 - 2sin2x = sinx,	(7)
являющееся следствием уравнения (6).
Только корни двух уравнений sinx = - и sinx = -l являются
корнями уравнения (7). Все решения этих простейших тригонометрических уравнений задаются тремя сериями решений:
хт = — + 2пт, т е Z; хп = — + 2лп, п е Z; xh =	+ 2л/?, k е Z.
т 6	"6	2
Проверка показывает, что все числа серий хт и хп являются решениями уравнения (6), а числа серии xh — нет. Следовательно, все решения уравнения (6) задаются сериями хт и хп.
Ответ. — + 2лдп, т е Z; — + 2лп, п е Z. Ф 6	6
8.13° Объясните, почему переход от уравнения loga/*(x) = logag(x), где а > 0, а * 1, к уравнению /(х) = g(x) может привести к появлению корней, посторонних для первого уравнения.
Решите уравнение (8.14—8.19):
8.14 a) log2 (х2 - Зх) = log2 (х - 3);	б) log4 (х2 - 5х) = log4 (х - 9);
в) log5 (х2 + 13х) = log5 (9х + 5); г) log6 (х2 - х) = log6 (бх - 10).
8.15 a) log3(x2 - 2х) = 1;
в) log7(x2 + 1,5х) = 0;
О 4 1 (х + 2о) log241 8.16* a) logn -------- =	2	;
к х ) log2ll .	(х + 10 logn21
в) log5 ------- =	11	;
V х ) logn 5
б) log2 (х2 + 2х) = 3;
г) log5fx2 + 2|х] = 0.
log313;
г)
log7
l°gi3 21 logi:i 7 ’
233
У р а вне 11 и f j -1 • л едет в и я
8.17* a) log3(2 • 3х - 5) = log3(3x + 4);
б)	log7(2 • 4х - 3) = log7(4x + 1);
в)	log5(4x - 3 • 2х) = log5(3 • 2х - 8);
г)	log4(9x - 5 • 3х) = log, (7 • 3х - 27).
8.18	* a) log2 (4х - 2х + 1 + 2) = х;
б)	log3(9x - Зх+1 + 3) = х;
в)	log2(4x + 2Х+ 1 - 8) = х + 2;
г)	log5(25x + 5х - 5) = х + 1.
8.19	* a) log2cos2x = log2cosx;
б)	log! cos 2х = log i (cos x + sin x); 2	2
в)	logi cos2x= logj(cosx - sinx); з	з
r)	log0>2cos2x = log0 2(sinx - cosx).
8.20	* При каких значениях параметра а уравнение 1g (х2 + Зх + а) = = lg(x + I)2 не имеет корней?
8.4. Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию
1. Приведение подобных членов уравнения.
Следствием уравнения /(х) + (р(х) — <р(х) = 0 является уравнение /(х) = 0.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
х2 + log2(x3 + х-1) = х + 6 + log2(x3 + X - 1).	(1)
Перенося все члены уравнения (1) в левую часть и приводя подобные члены, получим уравнение
X2 - х - б = 0,	(2)
являющееся следствием уравнения (1). Уравнение (2) имеет два корня: Xj = 3 и х2 = -2. Проверка показывает, что число Xj является корнем уравнения (1), а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень 3.
Ответ. 3.
2. Освобождение уравнения от знаменателя.
Следствием уравнения
fM
= 0 является уравнение f (х) = 0.
- 234 _____
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
х2 + 2х 6 + х	Q
-------7 — -------г-	(*>) COS TLX - 1 cos их - 1
Перенеся все члены уравнения в одну часть, перепишем уравнение (3)в виде
** + Х ~ 6 = 0.	(4)
COS Ttx — 1
Освобождаясь от знаменателя в уравнении (4), получаем уравнение
х2 + х - 6 = 0,	(5)
являющееся следствием уравнения (3). Уравнение (5) имеет два корня: хг - -3 и х2 = 2. Так как cosTtXj = cos (-Зл) = -1, a cosпх2 = cos 2л = 0, то число xt является корнем уравнения (3), а число х2 — нет, так как делить на нуль нельзя.
Ответ. -3.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
sin2x sin 4х
---=-------T"	(6)
cos 2х	cos 4х
Перенося все члены уравнения в левую часть, приводя дроби к общему знаменателю и освобождаясь от знаменателя, получаем уравнение
sin6x = 0,	(7)
являющееся следствием уравнения (6). Уравнение (7) имеет только „ л/г ,	_
одну серию решении xk = —, k е Z. Проверка показывает, что все 6
числа xk являются решениями уравнения (6).
-	1 гж
Ответ. —, k g Z.
6
Подчеркнем, что хотя проверка и не обнаружила посторонних корней, но она является обязательной частью решения уравнения (6).
ЯЗ. Применение формул.
Пусть дана некоторая формула (логарифмическая, тригонометрическая и т. п.), у которой левая часть определена в каждой точке множества Мъ а правая часть — в каждой точке множества М2, причем Mf с М2. Тогда если при решении уравнения применить эту формулу так, что ее левую часть заменить правой, то получится уравнение-следствие исходного.
Запись Mi cz М2 (множество Мх является подмножеством множества М2) означает, что каждый элемент множества Мг является элементом множества М2.
235
Уравнения-следствия
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
3log3(x2- 4х+3) = 2х_ 5	(8)
Применив формулу з'083**2 “ 4х + = хг — 4х + 3, правая часть которой определена для каждого х е Л, а левая часть — не для каждого х е Я, получим уравнение
х2 - 4х + 3 = 2х - 5,	(9)
являющееся следствием уравнения (8). Уравнение (9) имеет два корня: хг = 4 и х2 = 2. Проверка показывает, что число хг является корнем уравнения (8), а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (8) имеет единственный корень хх.
Ответ. 4.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
(i^-21°g2X=a
(Ю)
Применяя формулу -—-— = log2 х, правая часть которой опреде-logx2
лена для всех х > 0, а левая часть — не для всех х > 0, получаем уравнение
(log2x)2 - 21og2x = 0,
(И)
являющееся следствием уравнения (10). Уравнение (11) имеет два корня: хг = 1 и х2 = 4. Проверка показывает, что число хг не является корнем уравнения (10), а число х2 является корнем уравнения (10). Следовательно, уравнение (10) имеет единственный корень х2.
Ответ. 4.
ПРИМЕР 6. Решим
уравнение 2 tgx
1 + tg2 х
sin2 2х.
(12)
Применив формулу
2 tgx
1 + tg2 х
sin 2х, правая часть которой опре-
делена для каждого х е R, а левая часть — не для каждого х е Я, получим уравнение
sin 2х = sin2 2х,	(13)
являющееся следствием уравнения (12). Уравнение (13) имеет две «	я	__	пт — _
серии решении: хп =	— + лп,	п е Z	и хт = —т е Z. Проверка	по-
Q	&
называет, что все числа хп являются решениями уравнения (12), а числа хт лишь для т = 2k будут являться решениями уравнения (12). Следовательно, уравнение (12) имеет две серии решений: хп и хЛ = л/г, k g Z.
Ответ. — + ллг, и е Z; л/г, /г е Z. •
4
236
8.21	° а) Объясните, почему могут привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения, преобразования: 1) приведение подобных членов; 2) освобождение от знаменателя; 3)* применение формул.
б)* Докажите утверждения: 1) о приведении подобных членов; 2) об освобождении от знаменателя; 3) о применении формул.
Решите уравнение (8.22—8.30):
8.22 а)	5(7 - 3-Ух) - 3(2х - бУх) = 41; 2(3 - 5Ух) - 5(х - 2-Ух) = х.	
б)		
8.23 а)	(х + 2>/х)2 - 4xVx = -3;	6) (x 4- Vx)2 - 2xjx = 6;
в)	(х - 2у[х)2 4- 4xVx = 5;	r) (x - Vx)2 4- 2x4x - 30.
8.24 а)	ЛХ	,	_	А ЛХ tg—+ х2- 7х = tg—- Zj	£	-6;
б)	.	2 п	. ЛХ Ctg — + х2 - 2х = ctg — О	о	-4- 24;
в)	х2 4- 13 + log2(x3 - 9) =	8x 4- log2(2x3 - 18);
г)	х2 + 2х 4- log3 (х3 4- 4) = х — 1	.	23 + log3(3x3 4- 12). 3x 4- 21
8.25 а)	_ _g. X2 4- X - 2 4х - 8 _	6> x2+5x—14=1’ 4 5x 4- 15
в)	х2 - х - 2 sin 2х _ sin х .	Г) x2-9 =-E sin 2x	sin x
8.26 а) в)	cos 2х cos х ’ sin х _ sin 4x e cos x cos 4x ’	6) 	=	’ cos 2x	cos x . sin x	sin 4x r)	=	л • cos x	cos 4x
8.27 а)	tg 3x = tg 5x; cos X	6) ctg 3x = ctg 5x; .	sin x
в)	sinx = 	; sin x	r) cos x - 	. cos X
8.28* а)	1) = 3x + 2;	6) 10's(x2- 3x + 1» = x - 2;
в)	21og2 (2X2 + 5x - 1) _ x2 _ 7.	r) 5log5 (Зх2 + 4x - i) _ 2x2 - 4.
8.29* а)	2 log5 x = 0; (logx 5)2	6) (logx3)*+1Og3X=0:
в)	4- log4 x = 0; (logx 4)2	Г) (2^"1Оев1=°-
237
Уравнения-следствия
о ол-s- ч 1 - tg2 х	. 2	1 - tg2 х 2
8.30	* а) ----— = cos х - siir х; б) ------------— = cosz х + sin х;
1 + tg2 х	1 + tg2 х
2 tgX o 9 fa	2tgX fa	n 9
в) ------т— = 2cosz x - V2 cosx; r) --------— = V2 cosx - 2cosz x.
1+ tg2 X	' l+tg2x
8.31	* При каких значениях параметра а уравнение: а) х - а + д/х - а = 2х + 1 + Vx - а;
б)£^ = 1; в)й^-2а1°^ + 1 = 0
имеет единственный корень?
8.5.	Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию
При решении уравнений часто приходится применять несколько преобразований, приводящих к уравнению-следствию.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
>/х + 1 + у/х- 4 = у/Зх + 1.	(1)
Возводя уравнение (1) в квадрат, получим уравнение
х + 1 + 2>1х + 1у1х - 4 + х - 4 = Зх + 1,	(2)
являющееся следствием уравнения (1). Перенося в правую часть уравнения все слагаемые, кроме корней, и приводя подобные члены многочлена, перепишем уравнение (2) в виде
2-Jx + iVx - 4 = х + 4.	(3)
Возводя уравнение (3) в квадрат, получим уравнение
4(х + 1)(х - 4) = х2 + 8х + 16,	(4)
являющееся следствием уравнения (3), а значит, и уравнения (1). Уравнение (4) имеет два корня: х± = и х2 = 8. Проверка показывает, что число х2 является корнем уравнения (1), а число х^ — нет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень х2.
Ответ. 8.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
2х - 2	/х - 1	~	/сг.
—— 4 ctg X =	—— + ctg X.	(5)
Л j zx	у Л» I и
eJ238
Возводя уравнение (5) в квадрат, получим уравнение 2х - 2	х - 1	,
-----+ etg х ~---- 4- etg х,	(6)
х + 4	х + 2
являющееся следствием уравнения (5). Перенося все члены уравнения в его левую часть и приводя подобные члены, получим уравнение
являющееся следствием уравнения (6), а значит, и уравнения (5). Приводя дроби к общему знаменателю и освобождаясь от знаменателя в уравнении (7), получим уравнение
(2х - 2)(х 4- 2) - (х - 1)(х 4- 4) = 0,	(8)
являющееся следствием уравнения (7), а значит, и уравнения (5). Уравнение (8) имеет два корня: хг — 1 и х2 = 0. Проверка показывает, что число X! является корнем уравнения (5), а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (5) имеет единственный корень х1.
Ответ. 1.
R ПРИМЕР 3. Решим уравнение
log2 (Зх 4- 1) 4- log2 (х - 1) = 2 log2 (х 4- 3).	(9)
Применяя формулы log2(3x4- l)4-log2(x- l) = log2(3x4- 1)(х- 1) и 21og2(x 4- 3) = log2(x + З)2, получим уравнение
log2(3x 4-1)(х - 1) = log2(x 4-З)2,	(10)
являющееся следствием уравнения (9). Потенцируя уравнение (10), получим уравнение
(Зх 4- 1)(х - 1) = (X + З)2,	(11)
являющееся следствием уравнения (10), а значит, и уравнения (9).
Уравнение (11) имеет два корня: хх = 5 и х2 = -1. Проверка показывает, что число X! является корнем уравнения (9), а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (9) имеет единственный корень хх.
Ответ. 5. Ф
Решите уравнение (8.32—8.41): 8.32 а) у/2х- 3 4- ^4х + 1 = 4;
в) ^4х 4- 8 - ^/Зх - 2 = 2;
8.33	а) у/х 4- 2 4- д/2х — 3 = -^Зх 4- 3;
в) у]бх 4-1 - >/х - 3 = ^Зх 4- 4;
б) д/2х + 6 = 2 + 7х 4-1;
г) д/Зх - 2 4- д/2х + 5 = 5.
б) Vx + 1 4- Vx + 6 = ^2x 4-19;
г) д/9- 5х - Vx - 1 = 2д/2 - х.
239
У ра вн е п и я-<• л ел стви я
8.34	а) 7*2 4-3 4- log2 х = 2 + log2 х;
12
б)	log2 —----= log2 (1 - х);
—о — X
в)	logx(x4 - 17х2 + log2 х) = log! (19х2 4- log2 х);
з ____________ з
г)	log3 (х2 ~ Vх2 “ 4 + 1) = 1°£з (х3 ~ л/*2 - 4 - 6х + 1).
8.35 а)
в)
г)
2х - 2 г ---z- + Vx; б)
х - 6	)
I х + 4	~лх
j37Ti + 3tgT
X - 3
х - 1 Г----- + Vx = j х-2-V
X + 1	~ , ЛХ
X - 3 t их I X - 3 ЛХ -----tg— = J--------tg — х+ 2-4	¥2x4-3-6 4
X 4- 3	/—
---- + Vx =
х- 3
2х-6 х- 4
х;
8.36	* а) 2 log4 (х 4- 1) = log4 (4х + 9);
б)	2 log5 (х - 1) = log5 (7 - ХУ
в)	log7(x - 2) + log7(x + 3) = log7(2x2 - 4х);
г)	log6(x + 2) + log6(x - 3) = log6(2x2 - 5x - 6);
д)	lg(x - 2) - lg(x + 3) = lg—;
5x + 3
e)	1g (x 4-2) — 1g (x — 3) = 1g —————.
x
8.37	a) 7x - 57x - 6 = 7x - 2;	6) 7x - 37x - 7 = 7x 4- 3;
4 J7x - 21 Лх - 17	4 J3x - 7 r- —
в) N ---- = У-—-------; r)	= 73 - 4x.
7x4-2	7х + s
8.38	* a) lg2x - lg(x4-4) = lg0,4;
6)	lg(x - 4) 4-lg(x - 6) = lg8;
в)	1g(x 4- 5) + 1g(x - 4) = lg(x 4- 16);
r) lg(x - 3) 4- lg(x + 4) = lg(7x - 20).
8.39	* a)	log3 7x 4- log3 7x4-8 = 1;	6)	log2 7x 4- 3 4- log2 7x4-6	=	1;
в)	log3 7x 4- 4 4- log3 7x - 4 = 1;	r)	log4 7x4-3 4- log4 7х ~ 3	=	1.
8.40	* a)	log2(x 4- 1) = log4(5x 4- 1);	6)	log3(x - 2) = log9(3x -	6).
8.41	* а)	71о&2 (x + 2) 4- log2 (x 4-1) = 7lo&2 (x - 2) 4- log2 (2x - 1);
6) ^log3 (2x - 1) 4- log3 (x - 4) = ^loggCx- 2);
в) y]log2 sinx 4- 2 = 71 “ log2 cosx;
r) ^log2 (-cosx) 4- 3 = ^2- log2 (-sinx).
240
8.42* Докажите, что при любом значении параметра а уравнение 1g х + 1g (х - 2а) = 1g 4 имеет единственный корень.
§ 9. Равносильность уравнений и неравенств системам
9.1. Основные понятия
Пусть дано несколько уравнений и несколько неравенств с неизвестным х и пусть требуется найти все числа х, каждое из которых удовлетворяет каждому их этих уравнений и неравенств. Тогда говорят, что дана система уравнений и неравенств, или, коротко, дана система. Чтобы записать систему, обычно записывают друг под другом все входящие в нее уравнения и неравенства и объединяют их слева фигурной скобкой.
Ниже записаны примеры систем:
sinx Ф О х + 2 х + 4 х - 3 х - 5 log 1 (2х - 3) = О, з
tg = 2 cos х > О ,log5(x2-l)> 1,
| х - 51 = 1g (sin x)
- Vx - 3 < 1
1 2х 2.
Отметим, что иногда система может состоять только из неравенств или только из уравнений.
Иногда вместо какого-либо уравнения или неравенства в системе записывают множество его решений. Так, например, вместо неравенства sinx Ф О можно записать х л/г, k 6 Z, а вместо уравнения tgx = 2 записать х = arctg2 + л/г, k 6 Z и т. п.
Приведем примеры таких систем:
х Ф л/г, /г g Z х + 2 х + 4 < 	>		х = arctg 2 + л/г, /г 6 Z cos х > 0	|х - 5|= 1g(sinx) Jx - 3 < 1
х — 3 х - 5 2х - 3 = 1,	log5(x2-l)> 1,	X е [0; 1].
Иногда решение уравнения или неравенства в системе записывают в виде условий, указывающих, какому числовому множеству принадлежат значения некоторой функции от х.
Ниже приведены примеры таких систем:
ctgx>3	flg(sinx)>0
log5 (*2 - 1) е [0; 1], |2х2 - х +1 - Vx- 3 е (-1; 1).
Равносильность уравнений и неравенств системам
241
j______
Число х0 называют решением системы, если это число удовлетворяет каждому из уравнений, неравенств и других условий системы.
Например, число х0 = О является решением системы
х Ф — + п/г, k 6 Z
2
< sin х = О
х - 2
Решить систему — значит найти все ее решения или показать, что их нет.
Замечание. Так как при решении уравнений, неравенств и систем рассматриваются только случаи, когда решение — действительное число, то обычно условие х е R в системах опускают.
Две системы называют равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы, а каждое решение второй системы является решением первой системы.
Например, равносильны следующие системы:
sinх = 0	fх = nky ke Z
и <
x-2^0	1x^2.
Говорят, что уравнение (неравенство) равносильно системе, если каждое решение уравнения (неравенства) является решением системы, а каждое решение системы является решением уравнения (неравенства).
тт	х - 2 х + 5
Например, уравнение-------— =------- равносильно системе
(х - 2)(х - 4) - (х + 5)(х - 3) < х - 3 * О
х - 4 * О,
а неравенство iog2(3x - 1) < 1 равносильно системе
(Зх - 1 > О
[Зх-1^ 2.
К Пусть дано несколько систем с неизвестным х и пусть требуется найти все числа х, каждое из которых является решением хотя бы одной из этих систем. Тогда говорят, что дана совокупность систем, а любое такое число х называют решением совокупности систем. Решить совокупность систем — значит найти все ее решения или показать, что их нет.
Отметим, что множество решений совокупности систем есть объединение множеств решений этих систем.
Говорят, что уравнение (неравенство) равносильно совокупности нескольких систем, если любое решение уравнения (неравенства) является решением совокупности систем, а любое решение совокуп
242
ности систем является решением уравнения (неравенства), т. е. если совпадают множества решений уравнения (неравенства) и совокупности систем.
ПРИМЕР 1. Уравнение |х + 11 = 2х - 3 равносильно совокупности систем
(х + 1 О	f х + 1 < О
(х + 1=2х-3 И j-x-l=2x-3.
ПРИМЕР 2. Неравенство (х - 1)(х - 2) > 0 равносильно совокуп-
ности систем
х- 1 > О
х - 2 > О
х - 1 < О
х - 2 < 0.
(2)
Иногда для записи совокупности систем их записывают друг под другом и объединяют квадратной скобкой.
Так, например, совокупность систем (1) записывают так:
(х + 1	0
(х + 1 = 2х- 3
| х + 1 < 0 1-х-1= 2х - 3,
а совокупность систем (2) записывают так:
Гх - 1 > 0
[х - 2 > 0
|х - 1 < 0
I х - 2 < 0.
Иногда для записи равносильности уравнения (неравенства) совокупности систем применяют знак равносильности <=>.
Так, например, равносильность уравнения и совокупности систем в примере 1 записывают так:
х + 1 0
х + 1 = 2х - 3
х + 1 < 0
-х - 1 = 2х - 3,
а равносильность неравенства и совокупности систем в примере 2 записывают так:
(х- 1)(х-2)>0<=>
х- 1 > 0
х - 2 > 0
х - 1 < 0
х - 2 < 0.
243
Равносильность уравнений и неравенств системам
Замечание. Понятие совокупности используют не только для
систем, но и для уравнений (неравенств). Так, например, говорят, что уравнение | х | = 2 равносильно совокупности уравнений х = 2
х = -2, т. е.
| х | = 2 «
неравенство | х | > 2 равносильно совокупности неравенств
х > 2
и х < -2, т. е.
х > 2
х < -2. •
|х| > 2 <=>
9.1° а) В каком случае говорят, что дана система уравнений и неравенств?
б)	Как записывают систему уравнений и неравенств?
в)	Какое число называют решением системы?
г)	Что значит решить систему?
9.2	а) В каком случае говорят, что две системы равносильны?
б)	В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равносильно системе?
9.3	Запишите систему неравенств, равносильную неравенству: а) | х | < 5; б) | х | 4.
9.4	Q а) В каком случае говорят, что дана совокупность нескольких систем?
б)	В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равносильно совокупности нескольких систем?
в)	Как записывают равносильность уравнения (неравенства) системе?
9.5	Запишите совокупность уравнений, равносильную уравнению: а) | х| = 5; б) | х | = 4.
9.6	Запишите совокупность неравенств, равносильную неравенству: а) | х | > 5; б) | х | > 4.
9.7	Равносильно ли уравнение |х + 2|= 2х + 3 совокупности систем х + 2^ О
х + 2 = 2х + 3
х + 2 < О
-х - 2 = 2х + 3?
9.2 Решение уравнений с помощью систем
.---
1.	Для любого четного числа 2т (т е N) уравнение (х) = g (х) ,7(x)=(g(x))a"
#(х)> 0.
равносильно системе
тление я я» л is являя» ж?!
£ Ж	₽ вй* я s 5к S в? S S Л
М*-« w » kt t J ..0 M •e.  » w »:» » *•
244
ПРИМЕР 1. Решим уравнение т]2х + 29 = 3 - х.
Уравнение (1) равносильно системе (2х + 29 = (3 - х)2 I 3 - х О.
(1)
(2)
Решив квадратное уравнение, найдем два его корня: хг = -2 и х2 = 10. Очевидно, что первый из них удовлетворяет неравенству 3 - х 0, а второй — нет. Следовательно, система (2) имеет единственное решение хп которое является единственным решением уравнения (1), равносильного системе (2).
Ответ. -2.
2.	Для любого четного числа 2/п, т g N уравнение = ^7(Х) равносильно системе
f(x)= g(x)
g(x) > 0 f(x) > 0.
Замечание. В этой системе любое из неравенств можно опустить.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
^х2 - 2х - 7 = ’^2х2 - 9х - 15.
Уравнение (3) равносильно системе
х2 - 2х - 7 = 2х2 - 9х - 15
х2 - 2х - 7	0.
(3)
(4)
Система (4) имеет единственное решение Xj = 8. Следовательно, уравнение (3), равносильное системе (4), имеет единственное решение хР
Ответ. 8.
3.	Пусть число а таково, что а > 0, а 1. Тогда уравнение loga/(x) = logag(x) равносильно системе
7(х) = Я(х)
g(x)>0	(5)
/(х) > 0.
Замечание. В системе (5) любое из неравенств можно опустить.
215
Равносильность уравнений и неравенств системам
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
1g (х2 - 4) = 1g (6х + 4).	(6)
Уравнение (6) равносильно системе х2 - 4 = 6х + 4 6х + 4 > О.	1 '
Уравнение системы (7) имеет два корня: Xj = 3 + V17 и х2 = = 3 - \/17. Так как 6xj + 4 = 22 + бТ17 > 0, 6х2 + 4 = 22 - б717 < О, то система (7), а значит, и равносильное ей уравнение (6) имеют по единственному решению хР
Ответ. 3 + >/17.
I
ПРИМЕР 4. Решим уравнение .	( л^ .	1 + cos2x-sin2x
log! cos lx + — = log! -------—------
з к 4) з	2V2
(8)
Уравнение (8) равносильно системе
cos
cos
1 + cos 2x - sin 2x 2V2
>0.
(9)
Поскольку для любого а справедливы формулы 1 + cos 2a =
= 2 cos2 a, sin 2a = 2 sin a cos a, cos a - sin a = V2 cos a + — , то систе-k 4)
ма (9) равносильна системе
cos x 4- — (1 - cos x) = 0
)	4	(10)
I л I Л
cos x + — > 0.
\	4 /
Система (10) равносильна системе
cos x = 1
( И n	(n)
cos I x + — I > 0.
Решения уравнения системы (11) задаются серией хп — 2пп, _ „	( л )	(л _	л >/2 Л
п е Z. Так как cos х„ + — = cos — + 2пп = cos — = — > 0, то все k 4J 4	)	42
числа хп являются решениями системы (11) и, следовательно, равносильного ей уравнения (8).
Ответ. 2пп, и е Z. •
г 246
4.	Уравнение f (х) + ф(х) - Ф(х) = О равносильно системе ' / (~л _ п
/ w — и
J* - V
n tv яе	и шми*
(re D(ф) где В(<р) — область существования функции ф(х).
В*вч«вжкя«»»»«|*ияжв»1Л1В1||»ижаив**жв«и»«я«вВИ««.»яви«м»1Яжк».вяяа
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
1g (х2 + 2х - 4) + 4х + 8 = 6 • 2х + 1g (х2 + 2х - 4).
Уравнение (15) равносильно системе
4х-6-2х+8 = О х2 + 2х - 4 > 0.
(12)
(13)
Уравнение системы (13) имеет два корня: хг = 2 и х2 = 1. Первый из них удовлетворяет неравенству системы (13), а второй — нет. Следовательно, система (13), а значит, и равносильное ей уравнение (12) имеют по единственному решению хР
Ответ. 2.
9.8* Докажите справедливость утверждений 1—4.
Решите уравнение (9.9—9.14): 9.9	а)	у]2х +1 = х - 1;	б)	-j2x - 1 = х - 2; в)	д/147 - 2х = х - 2;	г)	J-Sx +108 = х - 3. 9.10	а)	х2 - 1 = yl~2x;	б)	^х2 + Зх = Vx + 1; в)	т]х2 - 7 = 7~2х -	6;	г)	tJx2 + х = V1 - х.		
9.11 а) у)	lx3 - 5x2 + lx - 17 = ^x3 - 4x2 - 3x + 4;	
б) yj	lx3 - 8x2	1 - 7x + 2 = V«3 - 7x2 - 18x + 20.
9.12 a) ^/log3 х + 1 = д/logl х - 5; б) 72log4 х = ^/log^ х - 8; в) ll-41og1x= fe-log2x; г) l2-logtx- /log2x-4. V	2	V	2	V	з	V з 9.13	a) lg(x2 - 17) = lg(llx - 45); 6) lg(x2 - 7x + 14) = lg(3x - 16); в) lg(25 - x2) = lg(2x - 10); r) lg(x2 - 5x - 24) = lg(8 - x). 9.14	a) lg(x2 - x - 6) + 4х + 16 = 17» 2х +lg(x2 - x - 6); 6)	y/x2 - 9 + 1g (x2 + 3x) = 1 + yjx2 - 9; в)	yl-x2 + 4x - 3,5 + 9х + 243 = 36 • 3х + yj-x2 + 4x - 3,5; r) lg(x2 + 21x)+ tg— = 2+ tg—.		
247
Равносильность уравнений и неравенств системам
9.3.	Решение уравнений с помощью систем (продолжение)

5.	Множество решений уравнения А (х) • f,(x} = 0	(1)
-
есть объединение множеств решении двух систем 'f2(x) = 0
• £ ' '	sn\
(2)
А (х) = о xeD(f2) и
MIMI." YtiVCBVWKatWJ
в > *• »U‘ Л “ № 5 ‘.Е ^ажаяйвла и? ?»»»»*»»
xeDlf.),

где DC/i) — область существования функции /\(х), a D(f2) — область существования функции f2(x).
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
4х (х +1) = О.	(3)
Множество решений уравнения (3) есть объединение множеств решений двух систем
(Vx = 0 (х + 1 = 0
[х е R (х 0.
Первая из этих систем имеет единственное решение хх — 0, а вторая не имеет решений.
Следовательно, уравнение (3) имеет единственное решение хг.
Ответ. 0.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
(sinx - 1)(tgx - 1) = 0.	(4)
Множество решений уравнения (4) есть объединение множеств решений двух систем
sinx - 1=0
х Ф — + л/г, k е Z
2
Уравнение системы (5) имеет серию решений xk =	+ 2л/г,
k е Z. Ни одно из чисел xk не удовлетворяет второму условию этой системы, значит, система (5) не имеет решений.
Уравнение системы (6) имеет серию решений хп = у + лп, гг е Z,
каждое из которых удовлетворяет второму условию этой системы. Значит, только числа хп являются решениями системы (6). Следовательно, только числа хп являются решениями и уравнения (4).
Ответ. — + лп, п е Z.
4
248
Отметим, что если использовать понятие совокупности систем, то утверждение 5 можно сформулировать так:
Уравнение (1) равносильно совокупности систем (2).
Доказательство. Пусть число х0 — любое решение уравнения (1). Это означает, что имеют смысл оба числовых выражения f\ (х0) и /2(х0) и хотя бы одно из них равно нулю. Иными словами, число х0 есть либо решение уравнения fy (х) = 0, входящее в область существования функции f2 (х), либо решение уравнения f2 (х) = О, входящее в область существования функции fi(x). Следовательно, число х0 есть решение хотя бы одной из систем (2).
Итак, любое решение уравнения (1) является решением совокупности систем (2).
Если же число хх есть любое решение совокупности систем (2), то либо Л (Xj) = 0 и выражение /2(х1) имеет смысл, либо /2(х1) = 0 и выражение filx^) имеет смысл. Это означает, что число хг является решением уравнения (1).
Итак, любое решение совокупности систем (2) является решением уравнения (1).
Можно показать (методом от противного), что если уравнение (1) не имеет решений, то и совокупность систем (2) не имеет решений, а если не имеет решений совокупность систем (2), то не имеет решений и уравнение (1).
Следовательно, во всех рассматриваемых случаях множество решений уравнения (1) совпадает с множеством решений совокупности систем (2).
Утверждение 5 доказано полностью.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
log2(3 + 2х - x2)sinVx = 0.	(7)
Уравнение (7) равносильно совокупности систем
flog2 (3 + 2х—х2) = 0	,g.
[х 0
и
sinVx = 0	,д)
3 + 2х - х2 > 0.
Система (8) равносильна системе
3 + 2х - х2 = 1
х > 0, которая имеет единственное решение хх = 1 + л/з. Поэтому система (8) имеет единственное решение хР
249
Равносильность уравнений и неравенств системам
Система (9) равносильна системе 4х = Tin, пе Z -1 < х < 3.
Для п < 0 ни одно из уравнений 4х = тт не имеет корней. Для п 0 каждое из уравнений 4х = Tin имеет единственное решение хп = (тт)2, п = О; 1; 2; ... . Из этих чисел хп неравенству системы (10) удовлетворяет лишь одно число х0 = 0. Поэтому система (10), а значит, и равносильная ей система (9) имеют единственное решение х2.
Следовательно, совокупность систем (8) и (9), а значит, и уравнение (7) имеют по два решения хх и х0.
Ответ. 1 4- д/З; 0. >
fM
6.	Уравнение---- = 0 равносильно системе
е(Х) 7(х)=0
g(x} Ф 0.
 .‘X '
ПРИМЕР 4. Решим уравнение sin 4х _ cos 4х sin х cos х
Перенося все члены уравнения в левую часть и применяя формулы синуса разности двух углов и синуса двойного угла, перепишем уравнение (11) в виде sin3x _ sin 2х
Уравнение (12) равносильно системе J sin Зх = 0 [ sin 2х Ф 0.
Все решения уравнения системы (13) k е Z. Так как
(И)
(12)
(13) nk задаются серией хк = —, О
sin2xft = sin2Tm = 0 при k = 3n, sin 2х/г = sin I 2nn 4- — | Ф 0 при k = 3n 4- 1, V	7
sin 2xk = sin
Ф 0 при k = 3n — 1,
то неравенство системы (13) выполняется лишь при условии k Ф Зп, п g Z. Следовательно, система (13), а значит, и равносильное ей уравнение (11) имеют две серии решений: хп — —I- тт, п е Z и О
250
TC	~
xn =-----l- тип, n g Z, которые можно объединить в одну серию:
о
хп = ± — + ЯП, П G Z.
Ответ. ± —н тш, п g Z.
3
Отметим, что под записью g(x) * 0 понимают множество всех таких чисел х, каждое из которых удовлетворяет условиям: 1) выражение g(x) определено; 2) число g(x) Ф 0.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение х2 - 4х + 3 _ у/х - 2 Уравнение (14) равносильно системе х2 - 4х + 3 = 0 Vz - 2 * 0.
(14)
(15)
Уравнение системы (15) имеет два корня:	и х2 = 1. Так
как число X! - 2 = 1 > 0, то определено выражение Л/х1 — 2 и у/xy - 2 = 1^0, поэтому число хх является решением системы (15). Так как число х2 - 2 = -1 < 0, то не определено выражение Jx2 - 2, и поэтому число х2 не является решением системы (15).
Следовательно, система (15), а значит, и равносильное ей уравнение (14) имеют по единственному решению хР
Ответ. 3.
Н Иногда при решении уравнения приходится применять несколько преобразований, приводящих к системе, равносильной исходному уравнению. Рассмотрим примеры применения нескольких преобразований, приводящих к системам. Решение запишем с помощью знака равносильности (<=>) и знаков совокупности ([) и системы ({).
ПРИМЕР 6. Решим уравнение
хл + 5
= х + 1.
Решение.
хя + 5
х - 1
= (х +1)2
х + 1 0
х2 - х - 6 = 0
х + 1
х3 + 5 = (х + 1)2(х - 1)
х - 1 + 0
х + 1 0
х е {-2; 3}
х + 1	<=> х = 3.
Ответ. 3.
251
Равносильность уравнений и неравенств системам
ПРИМЕР 7 Решим уравнение
(cos2x - 2 cosx + l)A/log3 (х + 5) - 2 = 0. Решен не.
(cos 2х - 2 cos х + 1)71og3 (х + 5) - 2 = 0 <= {cos 2х - 2cosх + 1 = 0
log3 (х + 5) - 2 > 0
flog3 (х + 5) - 2 = 0 I х g R
{2 cos2 х-2 cos х = О
х + 5^ 9
х + 5 9
{COS X = О х 4
{COS X = 1 х 4
х = 4
х - — + л/г, /г е Z
2
{х = 2лп, п е Z
х 4
х = 4
х = — + л/г, k g N &
х = 2лп, n g N
х = 4.
Ответ. 4; — + л/г, keN; 2лп, п е N. • 2
9.15* Докажите справедливость утверждения 6.
Решите уравнение (9.16—9.23): 9.16 а) (7збх2 + 7 - д/35х2 +16)72- х = 0;
б) (д/26х2 +1 - д/25х2+17)73-х = 0.
9.17
9.18
9.19
а) б) а) в) а)
б)
в)
(х2 - 7х + 12) log31 (х + 5) = 0;
(х2 + Зх - 4) log32(3x + 7) = 0.
sinx logn (4 - х2) = 0;	б) cosx log12(9 - х2) = 0;
tgx log13 (x2 - x - 6) = 0;	r) ctg x log14 (x2 + x - 12) — 0.
(cos2x - 3cosx- 1) /logi(x- 2) + 2 = 0;
V з
(cos 2x + 7 cos x + 4) /log j (x - 3) + 1 = 0;
V 2
(44-r _ 2X-I)log2x = 0; r) (45“x-2x"1)log3x = 0.
9.20	a) sinx(tgx - 1) = 0; в) (tgx + 1)cosx = 0;
9.21	a) 5x-+ 6 = 0;
72x - 5
. x2 - x + 72
в) --,	= 0;
75 - x
6) tgx(sinx - 1) = 0;
r) (ctgx - 1)sinx = 0
6) x2 + 5x — 6 = 0;
7x + 2
x x2 - x + 72 Л
r) —.	— = 0.
V2-x
252
9.22 a) 2x2 + x 15- = 0; V4x2 - 2x 4- 25 4 2x2 4- 9x - 18	6) 3x2-10x-8 = 0; V9x2 4- 12x 4- 4 4 3x2 - 19x4 20
B) ,	= 0; V4x2 - 12x 4- 9	Г) ,	- = 0. y/9x2 - 24x 4 16
9.23 a)	= 0;	sin2x cos2x _ 6) 	4-	 = 0. sin x cos x
a) loga f(x) + logng(x) = loga(f (x) • g(x)) и
9.24	* Докажите, что равносильны уравнение^ и система:
' f (х) > О где а > 0, а ^1. g (х) > О,
б) logg (х) f (х) = logg (х) <р (х) и «
/ (х) = <р (х) Дх)>0 (р (х) > О g(x)> О g(x) Ф 1.
9.25	* Докажите, что равносильны уравнение и совокупность двух
систем:
«>|/«>|=№>; !'Й'ЛИ ” I г> v*/ v
f(x) = - g (х) £(х) > 0;
б) ТДх) + Jg(x) = yjf(x) + g(x); <
fM=0 g(x)^0
g(x)= 0 /(x) > 0.
Решите уравнение (9.26—9.32):
9.26	* a) log2(x - 2) 4- log2(x - 3) = log2(x2 - 5х + 6);
б) log3(x - 3) + log3(4 - х) = log3(-x2 + 7х - 12);
в) 1g(х2- 5х + 6) + 1g(5х- х2 - 4) = 1g((х2 - 5х + 6)(5х - х2 - 4)).
9.27* a) logx(2x2 - 2х - 3) = 2; б) в) logx(x+2) = 2;	г)
9.28* а)	|х2 - 4х + 2| = -х2 + 6х	-	6;	б)
в)	|х2 - 2х - 8| = х2 + 2х -	10;	г)
9.29* а)	д/х + 2 + 7х - 2 = у[2х;	б)
в)	Vx + 3 + Vx - 3 = -J2x;	г)
logr(x3 - эх 4- 7) = 3;
logx(x + 6) = 2.
| х2 - 2х - 11 = -х2 4- 4х - 1;
| х2 — 3х — 1| = х24-Зх —7.
Vx 4- 3 4- Vx - 2 = yj2x 4-1;
Vx + 2 4- Vx - 3 = y}2x — 1.
9.30* а) 72х-4 + 72х-8 = 72х 41 - 12;
б)	\‘3~ 9 + 73х- 3 = 72-3х - 12;
253
Ракиосилынк-ть уравнений и неравенств системам
в)	д/logg х - 1 + д/2х - 2 = д/logg х + 2х - 3;
г)	71og6 х - 1 + д/зх - 9 = д/1о£б* + зх-10-
9.31	* a) log1_x(7x1 2 + 2)-log1_x30; б) log2 _ Х(3х2 - 1) = log2 _ х 74; в) l°g3_x(4x2-5) = log3_x59; г) log4 _Х(2х2 + 3) = log4_ х75.
9.32	* a) logx _ х (х2 + 2х) = logx_ т (2х2 - 8х + 16);
б)	logx _2(2х2 - 9х + 21) = logx_2(x2 + х).
9.33	Сколько корней имеет уравнение:
a)	sin (1g (х + 5) 4- 1g (400 - х)) = 0;
л (х - 3) f х-Vonn) п
б)	cos ——-- — - 1 200 — = 0;
V	/ \	)
в)	sin^(lg(x 4- 3) 4- 1g (300 - х)) = 0; 4___________________________
.	л(х-2) (х -V-.™ 2х )
г)	cos————- — 4-1 150- —- = 0?
4 у у о	3 у
X	1
9.34	* При каких значениях параметра а уравнение -— 4- -	=
=	—т имеет единственный корень?
х2 - а2
9.4*. Уравнения вида
1. Пусть область существования функции f(u) есть промежуток М и пусть эта функция строго монотонна (т. е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение
/(a(x)) = f(P(x))	(1)
равносильно системе
а(х)= Р(х)
- ос(х) е М	(2)
Р(х)е М.
Замечание. В системе (2) любое из условий a(x) g М или Р (х) g М можно опустить.
Доказательство. Если число х0 — решение уравнения (1), то для него имеют смысл числовые выражения их = а(х0) и и2 = р(х0), каждое из которых принадлежит области существования функции /(и), т. е. промежутку М, и = f(u2). Покажем, что отсюда следует равенство а(х0) = Р(х0). Пусть функция f(u) возрастает на промежутке М. Тогда если < u2, то /(«j) < f (u2); если иг > u2, то f(uA) > /(u2),
и 254
что противоречит условию /(их) = /(и2). Следовательно, действительно uj = u2, т. е. а(х0) = Р(х0).
Аналогично показывается, что а(х0) = Р(х0), если функция f(u) убывает на промежутке М. Сказанное выше означает, что любое решение уравнения (1) является решением системы (2).
Пусть теперь число хг является решением системы (2). Это означает, что имеют смысл числовые выражения Uj = a(xj) и и2 = Р (лгх), причем их = и2 g М. Тогда так как функция определена на промежутке М, то справедливо равенство f(ul) = /(u2). Справедливость равенства f(CL(xx)) = /(Р^)) означает, что число хг есть решение уравнения (1). Сказанное выше означает, что любое решение системы (2) является решением уравнения (1).
Таким образом, показано, что уравнение (1) и система (2) равносильны в случае, если известно, что либо уравнение, либо система имеют решения.
Покажем, что если уравнение (1) не имеет решений, то и система (2) не имеет решений. Предположим противное, т. е. что система (2) имеет решения, но тогда, по доказанному выше, и уравнение (1) имеет решение, а это противоречит условию, что уравнение (1) не имеет решений. Аналогичными рассуждениями показывается, что если не имеет решений система (2), то и уравнение (1) не имеет решений. Следовательно, и в этом случае уравнение (1) равносильно системе (2).
Утверждение полностью доказано.
В качестве следствий этого утверждения получим утверждения 2 и 3 из п. 9.2.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
arccos (х2 - 15) = arccos(х + 5).
(3)
Область существования функции f(u) = arccos и есть промежуток 1-1; И- Так как функция на этом промежутке убывает, то уравнение (3) равносильно системе
х2 - 15 = х + 5
-1 х + 5^ 1.
Уравнение системы имеет два решения: xY = -4 и х2 = 5. Число X] удовлетворяет неравенству системы, а число х2 — нет. Следовательно, система, а значит, и равносильное ей уравнение (3) имеют по единственному решению хР
Ответ. -4.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
x/sinx + x^sinx + x/sinx - у/cosx + х/cosx + х/cosx.	(4)
255
Равносильность уравнений и неравенств системам
Область существования функции f(u) = 4й + Vu + 4и есть промежуток [0; +оо). Так как эта функция возрастает на этом промежутке, то уравнение (4) равносильно системе
[sinx = cosx
|sinx>0.	(5)
Уравнение системы (5) имеет серию решений
Я	гэ-
хп = — + лп, и е Z.
Так как sinx„ = sin^ +	= (-1)" -у , то при любом п = 2k,
k е Z, число хл удовлетворяет неравенству системы (5), а при любом п = 2k 4- 1, k g Z, число x„ не удовлетворяет этому неравенству. Это означает, что система (5), а значит, и равносильное ей уравнение (4) имеют серию решений xk =	+ 2nk, k е Z.
Ответ. — + 2nk, k g Z.
4
Отметим частный случай утверждения 1.
2. Пусть R — область существования функции f(u) и пусть эта функция строго монотонна на R, тогда равносильны уравнения f (а (х)) = f (р (х)) и а (х) = р (х).
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
х2 - 2х + 5
х2 - 2х + 5 =
1
2
2х2 - Зх - 1
- ^2х2 - Зх - 1.	(6)
и
Область существования функции f(u) =
1
2
как эта функция убывает на R, то уравнение (6) равносильно уравнению
х2 - 2х + 5 = 2х2 - Зх - 1.	(7)
Уравнение (7) имеет два корня: хх = -2 и х2 = 3, тогда и равносильное ему уравнение (6) имеет те же корни.
Ответ. -2; 3.
9.35 Докажите, что каждое из уравнений arcsin /(х) = arcsin g(x) и arccos f(x) = arccos g (x) равносильно системе
f(x)= g (x)
 -1 f (X) C 1
-1^ g(x)C 1.
256
9.36° Какое из неравенств в системе (задание 9.35) можно опустить? Почему?
9.37
9.38
9.39
9.40
9.41
9.42
a) log0.5tgx +
Докажите, что каждое из уравнений arctg f(х) = arctgg(x) и arcctg/(х) = arcctgg(x) равносильно уравнению /(х) = g(x).
Решите уравнение (9.38—9.42):
a)	arcsin (х1 2 * * - 80,5) = arcsin (х - 8,5);
б)	arccos (х2 - 9) - arccos (7х + 21);
в)	arctg (х2 - 1) = arctg (5х - 5);
г)	arcctg (х2 - 1) = arcctg (6х - 6).
___	/ 1 \ ctg X
- Vtgx = log0.5ctgx + - -^ctgx;
у о J
б) log0>2 sinx - 5sin * - >/sinx = log0 2(-cos x) - 5-cos x - cosx.
а)	д/х2 - 5 + Д2 - 3 = Vx +1 + ^!x + 3;
6)	Д2 - x - 3 + y]x2 - x + 5 = ^2x + 1 + ^/2x + 9;
в)	^/sinx - 0,1 + sinx + 0,9 = y/cosx + 0,9 + ^/cosx + 1,9;
r) ^/tgx + д/tgx + 1 = ^2 - ctgx + y/S- ctgx.
a)	+ 4 + ilx2 + 5 + ^x2 + 6 = Дх + */4x + l + ®/4x + 2;
6)	y/x + 1 + ^2x + 3 + ^Зх + 7 = Дх + ^4x + 1 + ®/6x + 4.
a)	ex2~ 4x + 5 * + Д2 - 4x + 5 = e2^ ~ 3x + 7 + Дх2 - 3x + 7;
6)	n +1000 + ^x2 + 1000 = л 2002x ’ 1001 + 3/2002x - 1001;
9.5. Решение неравенств с помощью систем
1. Для любого четного числа 2т (т g N) неравенство
^/(х) < g(x)
равносильно системе
Я-L	_.Т Г	i'-П
iHVesMMweeMattiravBawsw
Ml
wf : i\НГК
f(x) < (g(x))^
/(X) > о
g(x) > 0.

Равносильность уравнении и неравенств системам
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
л/б-х2 < х - 1.	(1)
Неравенство (1) равносильно системе 5-х2 < (х- I)2 < 5 - х2 О
х - 1 > О,
которая равносильна системе
х2 - х - 2 > О 1 < х Тб.
(2)
Все решения системы (2) составляют промежуток (2; Тб].
Следовательно, все решения неравенства (1), равносильного сис-
теме (2), составляют тот же промежуток. Ответ. (2; Тб].
2.	Для любого четного числа 2т (т е N) множество решений неравенства	____
2mV7w>g(x)	(3)
есть объединение множеств решений систем
J/(x)>(g(x))2m	(/(*)> О
(g(x) 0	|g(x) <о.	1 '
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
4Тх+ 6 > х + 1.
(5)
Множество решений неравенства (5) есть объединение множеств (16 (х + 6) > (х +1)2 f х + 6 0
решении двух систем	И | х + 1 < 0
Все решения первой системы составляют промежуток [—1; 19), а все решения второй системы составляют промежуток [-6; -1).
Следовательно, все решения неравенства (5) составляют множество [-6; -1) U [-1; 19) = [-6; 19).
Ответ. [-6; 19).
Используя понятие совокупности систем, утверждение 2 можно переформулировать так:
Для любого четного числа 2т (т е N) неравенство (3) равносильно совокупности систем (4).
, 258
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
Решение.	^5х + 1 > 2х - 2.
^5х + 1 > 2х - 2 <=>	[ 5х +1 > (2х - 2)2	Г(4х2 - 13х + 3 < 0 [2х— 2^0	[х > 1 (5x4-1 >0	(х>—0,2 [2х - 2 < 0	[х < 1
<=>	1 X < 3	о -0,2 х < 1 ~ "°’2 * х < 3‘
Ответ. [-0,2; 3). •
3.	Для любого четного числа 2т (т е N) неравенство aV7(^<2nVg(x)
равносильно двойному неравенству аваймййяввййвмвявяяаяаВяажяйввеаятааео
и т (х) <
«««ВвяякжввввежвввявввввмвмЙВяввйвйОвм
B.aet«r ввл*л*)л •»> ввввжввшвйм«&| •вяв*вамя«в»ян жякввишввввйн айваЕйвввмияяявваг
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
х 4- 3
х + 2
< ^/х 4- 5.
(6)
Неравенство (6) равносильно двойному неравенству
х + 3
х + 2
0^
< х 4- 5,
которое равносильно системе
х2 + 6х + 7
х + 2	>0
о.
х + 2
Множество решений системы есть объединение двух промежутков: (-3-V2; -3] и (-3 + V2; +оо). Следовательно, множество всех решений неравенства (6), равносильного системе, есть множество (-3 - -х/2; -3] и (-3 + V2; +оо).
Ответ. (-3 - д/2; —3] U (-3 4- V2; +оо).
259
Ранносильность уравнений и неравенств системам
4.	Неравенство
logajf(*) > logog(x)
при а > 1 равносильно двойному неравенству
f(x)>g(x}> О,
а при 0 < а < 1 равносильно двойному неравенству
О < /*(х) < g(x).
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
logo,5 (*3 “ х2 - 2х) > log0>5(x3 - 3).	(7)
Неравенство (7) равносильно двойному неравенству
О < х3 - х2 - 2х < х3 - 3, которое равносильно системе
(х2 + 2х - 3 > О
[х(х2 - х - 2) > 0.
Множество решений первого неравенства системы есть объединение двух промежутков: (-оо; -3) и (1; +оо), множество решений второго неравенства системы также является объединением двух промежутков: (-1; 0) и (2; +оо). Поэтому множество решений системы составляет промежуток (2; +оо). Следовательно, множество решений неравенства (5), равносильного системе, составляет тот же промежуток.
Ответ. (2; +оо).
5.	Неравенство
/(х) + <р(х) - ф(х)> 0 равносильно системе
f/(x)>0
[х е Р(ф),
где П(ф) — область существования функции ф(х).
ПРИМЕР 6. Решим неравенство
х2 + 2л/х - 1 < (4х +1)2.	(8)
Применяя формулу квадрата суммы, перенося все члены неравенства в левую часть и приводя подобные члены, получим, что Q	(х2 —х-2<0
неравенство (8) равносильно системе ) х > q
Множество решений системы, а значит, и равносильного ей неравенства (8) есть промежуток [0; 2).
Ответ. [0; 2).
260
9.43* Докажите справедливость утверждений 1—5.
	Решите неравенство (9.44—		9.50):
9.44	а)	д/2х - 1 < х - 2;	б) у/2х + 1 < х - 1.
9.45	а)	^2х - 1 > х - 2;	б) ^2х + 1 > х - 1.
9.46	а) в)	^/х2 - Их + 31 > у/х - 4; Vx2 - 36 > ^5х;	б) *°/х2 - 9 > ^9х +1; г) д/х + 19 > л/49 - х2.
9.47* а) в) 9.48 а)		^х2 + 4х ^5х - 4 + >/х; б) ^х2 + 4х ^Зх - 2 + 7х; ^х2 - 4х J^5x - 4 - Vx; г) х^/х2 - 4х х^3х - 2 - 4х log2(x2 - 5х - 34) > log2(x + 6);	
б)	log0.5(x2 - 16) > log0-5(3jc + 38);
в)	log3(x2 - 4) < log3 (44 “ 2x);
г)	log0,s(x2	- 22) < log0	5 (Зх + 18).
9.49	a)	log2 (x -	2) + V3 - x <	3 + -J3 - x;
6)	log2 (x -	2) + V3 - x <	log2 (x - 2) + 2.
9.50	а)	9х + 1 +	ctg^ < 10 •	3х' 1 + ctg^;
6)	4X +2 + tg^< 9 • 2х-1 + tg^.
9.6» Решение неравенств с помощью систем (продолжение)
6. Множество решений каждого из неравенств /(X). я(г)>ОиЖо	(1)
Я(х) есть объединение множеств решений двух систем j№)>0 м Jf(x)<0 [Я(х) > 0	|я(х) <0.	1 f
7. Множество решений каждого из неравенств /(x)-g(x)<0 и^|<0	(3)
есть объединение множеств решений двух систем
J f (х) >0 Г f (х) <0 [g(x)<0	^g(x)>0.	k '
261
Равносильность уравнений и неравенств системам
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
cosx • lg(x + 1) < 0.	(5)
Множество решений неравенства (5) есть объединение множеств
решений двух систем
cos х > 0
lg (х + 1) < 0
cos х < 0 lg (х + 1) > 0.
и
Множество решений первой системы есть интервал (—1; 0), а все решения второй системы составляют серию промежутков
Зл „ л „ А	м_
---+ 2лп; — + 2лп , п е N.
2	2	)
Следовательно, все решения неравенства (5) составляют объединение найденных промежутков.
Ответ. (-1; 0); |	+ 2лп; -— + 2лп |, п е N.
V Ct	Ct	J
Используя понятие совокупности систем, утверждения 6 и 7 можно переформулировать так:
6'. Каждое из неравенств (1) равносильно совокупности систем (2).
7'. Каждое из неравенств (3) равносильно совокупности систем (4).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
lg(4x + 7) - lg8 > 0 4 + Зх - х2
Решение.
f lg(4x + 7) — lg8 > 0
lg(4x + 7)- lg8 Q _ [4 + Зх- х2 > 0
4+Зх-х2	> hg(4x + 7) - 1g8 < 0
1 4 + Зх - х2 < 0
(6)
lg(4x+7)>lg8
х2 - Зх - 4 < 0
lg(4x+7)<lg8 ~
х2 - Зх - 4 > 0
Ответ.
ь -1] и fl; 4]. *
4	J^4 J
И 262
9.51	* Докажите справедливость утверждений 6 и 7.
9.52	* Докажите справедливость утверждений:
а)	Неравенство | f (х) | < g(х) равносильно двойному неравенству -g(x) < /(х) < g(x).
б)	Неравенство | /(х) | > g(х) равносильно совокупности двух неравенств /(х) > g (х) и /(х) < -g(x).
в)	Неравенство log^(x)f(x) < logff (х)<р(х) равносильно совокупности систем
0< / (х) < <р (х) g(x) > 1
/(х) > <р(х) > О О < g (х) < 1.
и
9.53
Решите неравенство (9.53—9.64): а) в)
9.54
а) в)
(1 - х) 1g (х + 2) < 0;
(х - 3)log5(5 - х) < 0;
(3- V10-х)(Ух - 2) < 0;
(V3- х - l)lgx < 0;
б)
Г)
б) г)
(2 - х) log0j5(х + 3) > 0; (4 + x)log0>2(3 - х) > 0. (2 - л/'9-х)(7х - 1) > 0; (VJ-l)lg(3-x)<0.
9.55	a) -	5^ > 0; 6) x - 1	2 - x	J—x — 2 < 0; в) 	 -2 - x	>0;	4 \p-X- 3 r) 		 x + 2
9.56	a) 	fiV	fi v - - 3	- —4 ^L<0; 5) W— <0; b)^£ 3х-3	’ 2х-16	? Igx		>0;	N) H 1 N) | b-*
					7 lg(3-x)
9.57	a) i	.^(X-3) > 0;	6) logo,5(* + 2)	l°go,3(* ~ 3) > lg(x + 4)		
	B) '	log°'2(* + 2) > 0;	r) log5(3-x)	logp.25 <2 - *) < 0 log4(x - 4)		
	B)				
9.58* a) |		x + 11 < x2 - 2x + 1;	6) |x+l|	> X2	+ 4x + 1;
	в) 1 3>/x - 5| > Vx - 1;		r) |2Vx-	7|>	Jx - 2.
<0.
9.59* а) в)
9.60* а)
в)
|21og8x - 3| < log8х + 1;
12 log2 х - 31 > log2 x + 3;
9x - 20 Зх - 7 ’ Юх- 11, 5x - 4
1
3x — 7
3
5x — 4
б) г)
б)
г)
|21og3x - 5| < log3x - 1;
|21gx - 5| < Igx + 2.
6x + 17, 2x + 5 ’
8x - 14
4x - 5
2
2x + 5
4
4x — 5
263
Равносильность уравнений и неравенств системам
9.61* * а) | х | + -т—< 1 1 х2 + 2х - 8
Зх2 + 6х - 23 х2 + 2х - 8
б)
	2	< 4х2 - 12х - 38
Х1 + х2 - Зх - 10 " х2 - Зх - 10 ’
9.62* a) logx(9x + 1) < logx| 10х - 11;
б)	logx(12x + 1) < logx* 13х - 11;
в)	logx(6x + 1) < logx| 7х - 11;
г)	logx(17x + 1) < logx118х - 1|.
9.63* a) log21 х । (х2 - 10х + 21) log21 х | б;
б)	log2|x|(x2-13x + 36K log2lx|6;
в)	log,х। (х2 + 25)	2 + log|х। 226;
г)	log|x|(x2 + 361K 2 + log|x|362.
9.64* а)	logx	8х - 7 8х + 13	> log,	14х - 9 8х + 13’	б)	logx	9х - 8 9х ч- 14	> log,	17х - 10ф 9х 4- 14
в)	l°gx	10х-9 6x4-11	> !°gx	20х-11 6х + 11 ’	г)	10gx	Их-10 5x4-12	> log,	17х-12 5x4-12 ’
9.65* При каких значениях параметра а все решения неравенства yfx~- 2а > 74 - х содержатся в интервале (0; 5)?
9.7* Неравенства вида /*(<>: (х)) >	(х))
Пусть область существования функции f(u) есть промежуток М. Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Если функция f(u) возрастает на промежутке М, то неравенство /(а(х)) > /(Р(х)) равносильно системе
а (х) > Р (х)
< а (х) g М р (х) 6 М.
* 2. Если функция f(u) убывает на промежутке М, то неравенство /(а(х)) > /(р(х)) равносильно системе
а (х) < 0 (х)
< а (х) g М р (х) g М.
264
В качестве следствий этого утверждения получим утверждения 3 и 4 из п. 9.5.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
arccos (х + 2) > arccos (Зх + 6).	(1)
Так как область существования функции f(u) = arccos и есть промежуток [-1; 1] и на этом промежутке функция /(и) убывает, то неравенство (1) равносильно системе
х + 2 < Зх + 6
- -1^ х + 2^ 1
-1^ Зх + 6^ 1.
(	5
Множество решений этой системы есть промежуток -2;	.
Следовательно, множество решений неравенства (1), равносильного системе, есть тот же промежуток.
( б"
Ответ. -2; -- .
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
х + 2	—2.г + 3
ух + 2 + logH7(x + 2) + 31 2 > ^/-2х + 3 + log1I7(-2x + 3) + 31 2 . (2)
Область существования функции f (и) = + log117 и + 312 есть промежуток (О; +оо). Так как на этом промежутке функция /(и) возрастает, то неравенство (2) равносильно системе
х + 2 > -2х + 3
х + 2 > О
—2х + 3 > 0.
Множество решений этой системы есть промежуток
1 3>1 3; 2)
. Сле-
довательно, множество решений неравенства (2), равносильного системе, есть тот же промежуток.
о Г1 3>|
Ответ. —; — .
I3 2 7
Отметим частный случай утверждений 1 и 2.
Пусть R — область существования функции /(и), тогда:
3. Если функция f(u) возрастает на Я, то равносильны неравенства /(а(х)) > /(Р(х)) и а(х) > р(х).
4. Если функция /(и) убывает на Я, то равносильны неравенства /(а(х)) > /(Р(х)) и а(х) < Р(х).
265
Равносильность уравнений и неравенств системам
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
+ех~' < 7х + 2 + ех + 2. у х - 1
Область существования функции f(u) = Tzz + еи есть R. На этом множестве функция f(u) возрастает, поэтому неравенство (3) равно-х
сильно неравенству-----< х + 2, которое можно переписать в виде
х - 1
(х + Т2)(х - 72) > о
(3)
(4)
х - 1
Множество всех решений неравенства (4), а значит, и равносильного ему неравенства (3) составляют два промежутка: (—72; 1) и (72; +оо).
Ответ. (-72; 1) U (72; +оо).
9.66
9.67
9.68
9.69
9.70
Докажите справедливость утверждений 1—4.
Докажите, что равносильны неравенство и система: 7(х) > g(x)
a)	arcsin/(х) > arcsin g (х) и -1	/(х) 1
-1^ g(x)^l;
7(х) < g(x)
б)	arccos f(x) > arccos g(x) и < -1 f(x) 1
-1^ g(x)^l.
Какие из неравенств в системах (задание 9.67) можно опустить? Почему?
Докажите, что равносильны неравенства:
a)	arctg/(х) > arctg g(x) и f(x) > g(x);
б)	arcctg f(x) > arcctgg(x) и f (x)< g(x).
Решите неравенство (9.70—9.73): a) 6)
в) г)
9.71
а)
б)
arcsin (x2 - 2x) < arcsin (x2 + x - 1);
arccos —-— < arccos (xz - 4x + 3);
arctg (2x2 + 1) > arctg (2x2 - x);
x- 2	. 4-x
arcctg—-— > arcctg—-—.
& &
71og2(x- 3) + 10log2(x - 3) < 71og2(x2 - 3x) + lO10^ <*2 - 3x);
71og3(x + l) + 3log5 <* +') < Jlog51 + 3log5 i V л

266
9.72 a)
б)
в)
9.73 а)
б)
I X - 1	, ( , X - 1 |	/,	1.1(1	1 I
log2 —— + 1g log2 —— < Jlog2 - + 1g log2 - ;
V	1	Л I V	wV	I	I
fi	i rr 1	3 f 5 - 2x ,	- ,	5 - 2x
log3 v + l°g3 7 • log? тг > тМ°£з	Z	+ logs 7 • log? ~ ;
1F	«Az	Az	V	*A>	-A
3x-2	_______ -2x+3
4&x - 2 + log7 (3x - 2) + 3 4 > ^/-2x + 3 + log7 (-2x + 3) + 3 4 .
7x + 2 + n x + 2 > У 1 + ft 2x ;
V 2x
x- 9
(n - 3)x “ 5 - ^x- 5 > (л - 3)
§ 10. Равносильность уравнений на множествах
10.1.	Основные понятия
Пусть даны два уравнения: f(x) = g(x) и р(х) = <р(х) — и пусть дано некоторое множество чисел М. Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем первого уравнения, то такие два уравнения называют равносильными на множестве М. При этом, в частности, подразумевается, что если каждое из этих уравнений не имеет корней на множестве М, то такие два уравнения равносильны на множестве М.
Замену одного уравнения другим уравнением, равносильным ему на множестве М, называют равносильным переходом на множестве М от одного уравнения к другому или равносильным на множестве М преобразованием уравнения.
Например, рассмотрим уравнения ух = 1 и х2 = 1. Как отмечалось в п. 8.1, эти уравнения не являются равносильными на множестве всех действительных чисел. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных действительных чисел, так как на этом множестве каждое из них имеет только один корень — число 1.
Рассмотрим уравнения 21og2x = 1 и log2x2 = 1. Первое уравнение имеет единственный корень хх = V2, а второе имеет два корня: хх = д/2 и х2 = -42. Следовательно, эти уравнения не равносильны на множестве всех действительных чисел. Но эти уравнения равносильны на множестве всех положительных чисел, так как на этом множестве каждое из данных уравнений имеет только один корень хх = 42.
Если два уравнения равносильны на множестве всех действительных чисел, то в таких случаях говорят, что уравнения равносильны, опуская слова «на множестве всех действительных чисел».
Равносильные преобразования уравнений уже были рассмотрены в § 7.
Д267
Равносильность уравнений на множествах
Перечислим основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел.
1.	Возведение уравнения f(x) = g(x) в четную степень 2т (т е N) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором обе функции f и g неотрицательны.
2.	Умножение (или деление) обеих частей уравнения на функцию ф приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором функция ф определена и отлична от нуля.
3.	Потенцирование логарифмического уравнения
loga/Чх) = loga^(x) (а > 0, а ф 1) приводит к уравнению ^(х) - g(x), равносильному исходному на том множестве М, на котором положительны обе функции f и g.
4.	Приведение подобных членов (ф (х) - ф (х) = 0) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве Л (ср), на котором определена функция ф(х), т. е. на области существования функции ф(х).
5.	Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве Му на котором определены обе части применяемой формулы.
10.1 а) Какие уравнения называют равносильными на множестве М? б) Что называют равносильным на множестве М переходом от одного уравнения к другому?
в)	Какие преобразования приводят к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве М?
г)	В каком случае говорят, что уравнения равносильны?
10.2	Определите множество М, на котором равносильны уравнения:
а)	х + х—? = о и х2 + х - 2 = 0; б) 7х = 1 и х2 = 1;
х + 2
в)	х3 + 2х2 - 1 = 0 и Vx(x3 + 2х2 - 1) = 0;
г)	х2 + 5х + 4х = 4х - 4 и х2 + 5х + 4 = 0;
д)	1g (х2 - 1) = Igx и х2 - 1 = х;
е)	log2x + log2(x + 2) = 3 и log2x(x + 2) = 3;
ж) log2х - log2(x - 3) = 2 и log2 —= 2;
----- ,----------- X — о
10.3	Какими условиями задается множество М, на котором равносильны {а > 0, а 1) уравнения:
а) 77т = <Р (х) и/(х) = g(x) <р(х); б) 7/(х) = <Р (х) и f(x) = <р2(х);
268
в)	J7(x)4g(x) = <р (х) и JfWgW = <р (х);
г)	л/7(х) = <р(х) и J-ф^ = <р(х);
Vg<x)
Д) /(х) + 7я(х) = <р (х) + и f(x) = <р(х);
е)	7<Лх))2 = ф (х) и f (х) = ф(х);
ж)	logaf(x) = logag(x) и f(x) = g(x);
з)	log„/(x) + logag(x) = ф(х) и loga(f(x)g(x)) = ф(х);
и)	loga/(x) - logag(x) = <р(х) и logo = ф(х);
I	g(X)
К) 5-------= Ф(х) и logo/(x) = ф(х);
л) loga(/(x))2 = ф(х) и 21ogJ/(x)| = <р(х);
м) 21ogaf(x) = <р(х) и loga(f(x))2 = ф(х);
н) alog° = ф (х) и f (х) = ф(х);
1 — tg^ х
о) ------z— = ф (х) и cos 2х = ф(х);
1 + tg* х
п) , 2» = ф(х) и tg2x = ф(х)?
1 - tg^ X
10.2. Возведение уравнении в четную степень * т.
Пусть 2т — четное натуральное число (тп е N) и пусть в каждой точке множества М обе функции /(х) и g(x) неотрицательны, тогда на этом множестве равносильны уравнения f(x) — g(x) и (f(x))2m = (я(х))2™.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
^/1- 2х = V1- х.	(1)
Все корни уравнения (1) содержатся во множестве М, состоящем из чисел, удовлетворяющих неравенствам 1-х^0и 1-2х^0,
т. е. содержатся во множестве М = I -оо; i . В каждой точке множе-ства М обе функции /(х) = ^/1 - 2х и g (х) = V1 — х неотрицательны. Поэтому уравнение (1) равносильно на множестве М уравнению (3/1 - 2х)6 = (V1 - х)6.	(2)
Уравнение (2) можно переписать в виде х3 + х2 - х = 0.	(3)
|| 269
Равпосилыюсть уравнений на множествах
Уравнение (3) имеет три корня: Xj = 0, х2 = —-— и х3 = —-—.
Из них хг и х2 принадлежат множеству М, а х3 — нет. Следовательно, на множестве М уравнение (2) имеет два корня хг и х2. Поэтому и равносильное ему на множестве М уравнение (1) имеет те же два корня.
Ответ. 0;------.
2
«Возведение в четную степень можно применять и при решении уравнений, содержащих модуль.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
1 + sinx = |cosx|.	(4)
Обе части уравнения (4) определены и неотрицательны на множестве всех действительных х. Поэтому после возведения уравнения (4) в квадрат получаем равносильное ему уравнение (1 + sinx)2 = cos2х, которое можно переписать в виде
2sinx(l + sinx) = 0.	(5)
Уравнение (5) имеет две серии решений:
xh = nk, k е Z; хп =	+ 2пп, п е Z.
Все эти числа, и только они, являются решениями уравнения (4), равносильного уравнению (5).
Ответ. ~ + 2пп, п е Z; Tik, k е Z. •
2
10.4* Докажите утверждение о возведении уравнения в степень.
четную
Решите уравнение (10.5—10.13):
10.5	а) в)	Их + 1 = ^2х- 5; ^2х + 11 = у]4х + 1;	б) г)	Vx - 1 = ^2х + 5; ^2х - 9 = у]4х + 3.
10.6	а)	5]х2 - 5 = ^5х + 9;	б)	(N 1 н со II 1 1 см К _с^
	в)	^Зх2 - 13 =	- 1;	г)	V4x2-11 = -ДЗх + 31
10.7	а)	Vx + 1 = х - 2;	б)	Vx - 1 = х - 4;
	в)	Vx + 3 = х + 2;	Г)	Vx = х - 1.
10.8	а)	д/-2х = |х + 11;	б)	^4х = |х — 2 |;
	в)	V2 - х = | х - 3 |;	г)	V5 - х = |х - 2 |.
270
10.9	* a)
10.10	* a) в)
10.11	a) в)
10.12	a) в)
10.13	* a)
в)
J2 - 2 sin — = 1;
V	2
1 + cosx = | sinx|; д/1 - cos x = | sin x |; д/х - 4 д/х + 4 = д/б; д/х - 5 д/х + 5 = д/2; д/х = д/х — 4;
д/х + 3 = д/х - 1; з/З- 2х = д/2-х; д/х +1 = д/х - 3;
б) у/2 cos Зх + 2 = 1.
б) 1 - sin х = | cos х |;
г) д/1 + sinx = |cosx|.
б) д/х - 3 д/х + 3 = д/б;
г) д/х - 2 д/х + 2 - д/8.
б) д/х = д/2 - х;
г) д/х + 2 = д/~X.
б) ^/б - 2х = д/3 - х;
г) ^2х + 3 = д/х + 2.
10.3*. У множешуе уравнения на функцию
Пусть в каждой точке множества М функция ф(х) определена и отлична от нуля. Тогда на множестве М равносильны уравнения
/(х) — £"(х)	(1)
/(x)q>(x) = g(x)<p(x).	(2)
Доказательство. Пусть х0 — любой корень уравнения (1), принадлежащий множеству М, тогда существуют числа f(x0) и g(x0) и справедливо числовое равенство
/Ч*о) = ё (*о)-	(3)
Так как в каждой точке множества М функция <р (х) определена и отлична от нуля, то существует число <р (х0) О, поэтому, умножив числовое равенство (3) на число <р (х0), получим, что справедливо числовое равенство
f («о) <Р (*о) = § («о) <Р (*<>)•	(4)
Равенство (4) означает, что число х0 является корнем уравнения (2). Следовательно, любой корень уравнения (1), принадлежащий множеству М, является корнем уравнения (2).
Покажем обратное. Пусть Xi — любой корень уравнения (2), принадлежащий множеству М, тогда существуют числа /(х^), ё(хг) и (pfXi) (причем <р (хх) Ф 0) и справедливо числовое равенство
/(х1)ф(х1) = ^(х1)<р(х1).	(5)
Так как число фСх^ отлично от нуля, то, разделив числовое равенство (5) на число ф(Х|), получим, что справедливо числовое равенство f{xy) = gCxj), означающее, что число хг является корнем
271
Равносильность уравнений на множествах
уравнения (1). Следовательно, любой корень уравнения (2), принадлежащий множеству М, является корнем уравнения (1).
Из доказанного выше следует, что если хотя бы одно из уравнений (1) и (2) имеет корень, принадлежащий множеству М, то эти уравнения равносильны на множестве М.
Методом от противного можно показать, что если хотя бы одно из уравнений (1) и (2) не имеет корней, принадлежащих множеству М, то эти уравнения равносильны на множестве М.
Итак, утверждение доказано полностью.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение 2 sinx	1
,	- = ,	- •	(6)
74 - Зх - х2	Зх - *2
Все корни уравнения (6) содержатся во множестве М всех тех х, для каждого из которых 4 - Зх - х2 > 0, т. е. содержатся во множестве М = (-4; 1). В каждой точке множества М функция <р (х)= д/4- Зх- х2 определена и отлична от нуля, поэтому, умножив уравнение (6) на эту функцию, получим, что на множестве М уравнение (6) равносильно уравнению
(7)
1 sinx = -.
А
Уравнение (7) имеет две серии решений: х= —I- 2тш, п е Z 5л	6
и xk = — + 2л/г, k е Z. Из чисел хп множеству М принадлежит лишь
одно число (при п = 0), а из чисел xk множеству М принадлежит 6
лишь одно число —— (при k = -1). Следовательно, уравнение (7) на °	л 7л
множестве М имеет лишь два корня: — и-----. Поэтому равносиль-
6	6
ное ему на множестве М уравнение (6) имеет те же корни.
„ л 7л
Ответ. —;---.
6	6
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
|зс - 2| - |лг| = |2х — 1|-|х| |2х- 1| + |х|	|х-2| + |х|*
(8)
Так как функция <р (х) = (| 2х - 11 + | х |) (| х - 21 + | х |) определена и не равна нулю при каждом х е R, то, умножая уравнение (8) на функцию ф(х), получим уравнение
(х - 2)2 - х2 = (2х - I)2 - х2,	(9)
равносильное уравнению (8). Уравнение (9) имеет два корня: Xj - -1 и х2 = 1. Тогда и равносильное ему уравнение (8) имеет те же корни. Ответ. -1; 1.
IJ272
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
16cosxcos2xcos4xcos8x = 1.	(10)
Обе части уравнения (10) имеют смысл на множестве всех х. Функция ср (х) = sin х также определена на этом множестве и отлична от нуля для всех х Ф xk, где xk = nk, k е Z. Так как
16cosxAcos2xAcos4xfecos8xfe = 16 • (-1)Л #= 1,
то числа xk не являются решениями уравнения (10). Следовательно, все решения уравнения (10) содержатся во множестве М всех чисел x^xk. В каждой точке множества функция 9(x)-sinx определена и отлична от нуля, поэтому, умножив уравнение (10) на функцию ф(х), получим уравнение
16 sin х cos х cos 2х cos 4х cos 8х = sin х,	(И)
равносильное уравнению (10) на множестве М.
Применяя 4 раза формулу синуса двойного угла, перепишем уравнение (11) в виде
sin 16х = sinx.	(12)
Перенося члены уравнения (12) в левую часть и применяя формулу разности синусов, перепишем уравнение (12) в виде
о • 15	17	п
2 sin — х cos — х = 0
2	2
(13)
Это уравнение имеет две серии решении: хл = — n, neZuxm = „	15
п 2л	_ __	__
= — + — m, m е Z. Из этих чисел во множестве М содержатся те х„, для которых п 15Z, I g Z, и те хт, для которых т 17р + 8, р g Z.
Поэтому уравнение (13) на множестве М имеет две серии ре-2л	„	-.^7	7	~	Л 2л	„
шении: х =-—n, neZ, п Ф 15Z, Z е Z; хт =------h—тп, т е Z,
"15	т 17	17
т * 17р + 8, р е Z.
Следовательно, и равносильное ему на множестве М уравнение (10) имеет те же самые решения.
Ответ. — и, п g Z, п Ф 15Z, leZ’,—+ — пг, meZ, mt 17р + &, ре Z. 15	17 17	Г г
Решите уравнение (10.14—10.22):
ч 3	5	1
7 (2х + 6)(х - 1) (Зх + 5)(х - 1) х - 1
1	7	1
(Зх + 5)(х - 1) (х + 7)(х - 1) х - 1
273
Равносильность уравнений на множествах
,Л,„	,	2J0.5-X JO,5-x	4jx - 10 Зд/х - 10
10 1 о а । ____~ v	* о I Y	— ___v
7 (х-4)(х+1)	(х-2)(х + 2)’	7 (х — 4)(х + 3)	(х-3)(х-2)’
v16 I г2 _ к„ , О
10.16 а) (х + 1)(х2 + 1)(х4 + 1)(х8 + 1) = -	----
х - 1
. 1XZ9 -.xzd Z Я .	х16 + X2 + 5х + 3
б) (х - 1)(х2 + 1)(х4 + 1)(х8 + 1) =----------------
10.17
10.18
10.19
10.20
а) (х - 1)(х2 + 1)(х4 + 1) = х7;
а)
в)
а)
в)
а)
в)
Д)
к~2|-|х| = |2х- 11-1х |. |2х-1| + |х|	|х-2| + |х| ’
д/3х + 5 - Vx _ 7*2 + 1 ”	.
Jx2 + 1 + Vx у/Зх + 5 + 4х
2 sin х _	1
7~х2 + 4х-3	у1~х2 + 4х-3
2 cos х _	72
^л2 - 4х2 у/п2 - 4х2
27 • 7х 43 = 147х;
5х + 1 - 4 • 6х = 6х " 1 - 5х;
2х + х + 2- 3х _ 3- 2х + 3х 4 1.
2х "	3 х
б) (х+1)(х2+1)(х4+1) = х7.
|2х —3| —|х| = |Зх-2| - |х| . 7 |Зх-2| + |х|	|2х-3| + |х| ’
. ,/2х + 4 - 7х yjx2 + 3 - 4х г) - —....... —	=	---—.
7х2 + 3 + 7х у]2х+ 4 + ух
2 sin х	_ V2
73-2х- х2	73 - 2х - х2
2cosx _	-1
7л2 - X2 у]п2 - X2
б) 6 х • 5х"2 = 9 • 2х;
г) 52х “1 + 22х = 25х - 4Х + 1;
х 2Х + 2+ 4 - 6х 2х + 6х
10.21 a) Scosx + 4sinx = 0; б) 2sinx - cosx = 0;
в) 2 sin2 х - 3 sin x cos x + cos2 x = 0;
r) 3 sin2 x - 5 sin x cos x + 2 cos2 x = 0.
10.22 a) 4cosx cos 2x = 1;	6)	4cosx cos2x = -1;
в) 8cosx cos2x cos4x = 1; r) 8cosx cos2x cos4x = — 1.
10 4”. Другие преобразования уравнений
1. Потенцирование и логарифмирование уравнений.
Пусть фиксированное число а таково, что а>0иа^1,и пусть в каждой точке множества М обе функции f(x) и g(x) положительны. Тогда на множестве М равносильны уравнения
logaf(x) = logag(x)	(1)
и
f (х) = g(x).	(2)
Переход от уравнения (1) к уравнению (2) называют потенцированием логарифмического уравнения (1), а переход от уравнения (2) к уравнению (1) — логарифмированием уравнения (2).
274
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
lg(l -x2) = lg2x.	(3)
Все решения уравнения (3) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых 1 - х2 > 0 и 2х > 0, т. е. во множестве М - (0; 1). В каждой точке множества М положительны обе функции /(х) = (1 - х2) и g(x) = 2х. Поэтому уравнение (3) равносильно на множестве М уравнению
1 - х2 = 2х,	(4)
имеющему два корня: Xj = -72 - 1 и х2 = 72-1.
Число х2 принадлежит множеству М, а число Xj нет. Поэтому уравнение (4) на множестве М имеет только один корень х2. Следовательно, и равносильное ему на множестве М уравнение (3) имеет тот же корень.
Ответ. 72 - 1.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
—---- = (X- l)sinx.
х - 1
(5)
Все корни уравнения (5) содержатся среди тех х, для каждого из которых справедливо неравенство х - 1 > 0, т. е. содержатся во множестве М = (1; +оо). В каждой точке этого множества определены и положительны обе функции /(х) = - и g(x) = (х- l)slnx. По-у/х- 1
этому, логарифмируя уравнение (5), получим, что оно равносильно на множестве М уравнению
lg|-=^=| = lg(x-l)sinx.	(6)
\7х-1 /
1
2
Применяя свойства логарифмов, получим, что уравнение (6) равносильно на множестве М уравнению 1g(х - 1)[ i + sinx | = 0, все ре-шения которого, принадлежащие множеству М: х0 = 2; xk =	4- 2л/г,
5л	6
ke N\xn = —— + 2тш, п g N. Следовательно, и равносильное на множестве М уравнение (5) имеет те же решения.
Ответ. 2;	+ 2л/г, k е N; + 2яп, п g N.
6	6
2. Приведение подобных членов.
Пусть в каждой точке множества М определена функция <р (х). Тогда на множестве М равносильны уравнения
/(х) + <р(х) - ф(х) - 0 и f(x) = 0.
г. Пг	г., -.j w 	и
275
Равносильность уравнений на множ*«<*твах
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
х2 - 2х + log2x = 3 + log2x.	(7)
Очевидно, что если уравнение (7) имеет корни, то эти корни удовлетворяют неравенству х > 0, т. е. принадлежат множеству М = (0; +оо).
Так как в каждой точке множества М определена функция ср (х) = = log2x, то уравнение (7) равносильно на множестве М уравнению х2 - 2х - 3 = 0.	(8)
Уравнение (8) имеет два корня: хх = -1 и х2 = 3. Число х2 принадлежит множеству М, а число хг нет. Следовательно, уравнение (8) на рассматриваемом множестве имеет единственный корень х2. Так как уравнения (7) и (8) равносильны на множестве 7И, то уравнение (7) имеет только тот же корень.
Ответ. 3.
3. Применение формул.
Пусть в каждой точке множества М определены обе части некоторой формулы (логарифмической, тригонометрической и т. п.). Тогда, применив эту формулу при решении уравнения, получим уравнение, равносильное на множестве М исходному уравнению.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
3iog3(2r-5) = x2_4x+1>	(9)
Все решения уравнения (9) принадлежат множеству тех х, для каждого из которых 2х - 5 > 0, т. е. принадлежат множеству М =	+00^. В каждой точке множества М определены обе части
формулы 3log3 (2х _ 5) = 2х - 5. Поэтому на множестве М уравнение (9) равносильно уравнению
2х - 5 = х2 - 4х + 1,	(10)
имеющему два корня: хх = 3 - -Уз и х2 = 3 + -Уз. Число х2 принадлежит множеству М, а число хх нет. Поэтому уравнение (10) на рассматриваемом множестве имеет единственный корень х2. Следовательно, и равносильное ему на множестве М уравнение (9) имеет только этот корень.
Ответ. 3 + л/З.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
2ctgx=—(11) COSZ X
Все решения уравнения (11) содержатся во множестве М всех х Ф —, k е Z. Так как в каждой точке множества М определены обе
*276
части формул ctgx =--, —5— = 1 + tg2x, то уравнение (11) равно-
tg х cos^ х
сильно на множестве М уравнению
2
----= 1 + tg2x.	(12) tgx
2
Так как уравнение - = 1 + t2 имеет только один действительный корень t = 1, то уравнение (12) равносильно уравнению tgx = 1.
Множество решений последнего уравнения составляет серию хп = — + лп, п е Z. Так как все эти числа принадлежат множеству М, то все они и будут решениями уравнения (12) на множестве М. Поэтому уравнение (11), равносильное уравнению (12) на множестве М, имеет те же решения.
Ответ. — + лл, п g Z.
4
ПРИМЕР 6. Решим уравнение
log2x = 1 + 21ogx2.	(13)
Все корни уравнения (13) принадлежат множеству М = (О; 1) U U (1; +оо). В каждой точке множества М определены обе части формулы logx 2 = ----, поэтому уравнение (13) равносильно на
log2 х
множестве М уравнению
2 log^-l^-1=0-	(14>
2
Так как уравнение t - — - 1 = 0 имеет только два корня: -1 и 2, то только корни двух уравнений log2 х = -1 и log2 х = 2 являются корнями уравнения (14). Следовательно, уравнение (14) имеет два корня: Xj = - и х2 = 4. Числа Xj и х2 принадлежат множеству М. Поэтому уравнение (14) на множестве М имеет два корня хг и х2, но тогда и равносильное ему на множестве М уравнение (13) имеет те же корни.
Ответ. 4.
2
10.23	* Докажите справедливость утверждений о потенцировании и логарифмировании уравнений, о приведении подобных членов и о применении формул.
Решите уравнение (10.24—10.30):
10.24	a) 1g (х2 - 4) = 1g (х - 1);	б) log2(x2 - 9) = log2(2 - х) + 1;
в) 1g Зх2 = lg (2х + 1);	г) log2(16 - х2) = log2(l + х) + 1.
277
Равносильность уравнений на множествах
10.25	a)	log2 х = log4(x + 2);	б)	log9 (х + 8) = log3(x + 2);
в)	log25(9x + 7) = log5(3 + х);	г)	log4(x + 9) = log2(x - 3);
д)	log2 (х + 3) - log! (х + 3) = 4;	е)	log3 (х + 2) - log^x + 2) = 2.
1 * 2 * * * * * В * 2
10.26 а) .	= (х - 2)cosx; б) (х2 + 2)slnx = (х2 + 2)cosx;
Vx-2
В) х‘0ЕЛ2х = 4;	Г) х2- lg*x- Igx* _ 1 = 0
10.27 а) х2 + 2х + log2(x + 1) = 15 + log2(x + 1);
б)	х2 - 6х - log3(l - х) = 7 - log3(1 - х);
в)	х2 + log4x = 7х + log4x;
г)	х2 - log5 (“*) = -6х - log5 (-*)•
10.28 a) 410g<(2х +11 = х2 + Зх - 5;	б) 510^ <* - 2> = х2 + 4х - 30;
в) 61ов<> <1 - х> = х2 + Зх - 20; г) 7,og‘ <2 - х> = х2 - Зх - 13.
10.29	а)	log3x= 4- 31ogx 3;	6)	log4 x + 2= 31ogx 4;
	в)	log3 х- 2 = 31ogx 3;	Г)	log2 x + 61ogx 2=5.
10.30	а)	1 - tg2 X 		5— = sinx;	6)	1 - tg2 X 	т— = cos x - 1;
		1+ tg2x		1+ tg*x
		2 tgx		2 tgx
			1Л	
	о )	,,	— LUb Л«	1)	o — о Lil Л •
		1 + tg2 X		1+ tg2 X
10.5*. Применение нескольких преобразований
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
41og4(x + 2) = log2(2x + 1) + log2x.	(1)
Все корни уравнения (1) принадлежат множеству М = (0; +оо).
В каждой точке множества М определены обе части формул
41og4(x + 2) = log2(x + 2)2 и log2(2x + 1) + log2x = log2(2x2 + х).
Поэтому уравнение (1) равносильно на множестве М уравнению
log2(x + 2)2 = log2(2x2 + х).	(2)
В каждой точке множества М положительны обе функции /(х) = (х + 2)2 и g(x) = 2х2 + х. Поэтому уравнение (2) равносильно на множестве М уравнению
(х + 2)2 = 2х2 + х,	(3)
имеющему два корня: хх = 4 и х2 = -1. Число хх принадлежит множеству М, а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (3) на множестве М имеет единственный корень х19 поэтому и равносильное ему на множестве М уравнение (1) имеет тот же корень.
Ответ. 4.
278
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
4>/х = 5 + д/45 - 4х.	(4)
Все корни уравнения (4) содержатся во множестве М — [0; 11,25].
Так как в каждой точке множества М обе части уравнения (4) неотрицательны, то возведя уравнение (4) в квадрат, получим уравнение
16х = 25 +10745 - 4х + 45 - 4х,	(5)
равносильное уравнению (4) на множестве М, Перепишем уравнение (5)в виде
2х - 7 = 745 - 4х.	(6)
На множестве М правая часть уравнения (6) неотрицательна, поэтому корни уравнения (6), принадлежащие множеству М, надо искать среди тех х, для которых справедливо неравенство 2х - 7	0.
Поэтому корни уравнения (6), а значит, и уравнения (4) принадлежат множеству Мх = [3,5; 11,25], причем Mj с М. Следовательно, уравнение (6) равносильно на множестве Мх уравнению (4).
Возведя уравнение (6) в квадрат, получаем уравнение
4х2 - 28х + 49 = 45 - х,	(7)
равносильное уравнению (6) на множестве Мг. Уравнение (7) имеет два корня: хг = 3 + 2^2 и х2 = 3- 272.
Так как Xj е Ми ах2 е М19 то число Xi является корнем уравнения (6), а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (6) имеет на множестве Мх единственный корень х1э поэтому и равносильное ему на множестве Мх уравнение (4) имеет единственный корень хт.
Ответ. 3 + 2л/2.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение += / —-	•
V * - 1	» х у[х(х - 1)
Все корни уравнения (8) принадлежат множеству тех х, для каждого из которых х(х-1)>0, т. е. принадлежат множеству М = (-оо; 0) U (1; +оо).	_______
В каждой точке множества М функция <р (х) = д/х(х - 1) определена и отлична от нуля. Поэтому, умножив уравнение (8) на эту функцию и применив формулы
J—Jx(x- 1) = ylx2 и Jx(x- 1) = у1(х - I)2, у х - 1	V х
обе части каждой из которых определены на множестве М, получим уравнение	.—	------
7х2 + 7(х - I)2 = з,	(9)
равносильное уравнению (8) на множестве М.
ГД 279	Рапноспльностг^рав^етпл^ш^шо^кестиах
Применяя формулу у[а? = |а|, получим, что на промежутке (—оо; 0) уравнение (9) равносильно уравнению -х - (х - 1) = 3, имеющему единственный корень хх = -1, принадлежащий этому промежутку.
Применяя формулу л[а^= |а|, получим, что на промежутке (1;+оо) уравнение (9) равносильно уравнению х + (х - 1) = 3, имеющему единственный корень х2 = 2, принадлежащий этому промежутку.
Следовательно, уравнение (9) имеет на множестве М два корня: хг = -1 и х2 = 2. Так как уравнения (8) и (9) равносильны на множестве М, то уравнение (8) имеет те же два корня.
Ответ. -1; 2.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
logx + з (8 - х) = 2 logx + 3 (х + 4).	(10)
Все корни уравнения (10) содержатся во множестве всех тех х, для каждого из которых х + 3 > 0, х + 3^1, 8-х>0, х + 4 > 0, т. е. содержатся во множестве М = (-3; -2) U (-2; 8).
В каждой точке множества М определены обе части формул
3 (8 - X) =	= g и 2 log, + 3 (х + 4) =	.
Поэтому уравнение (10) равносильно на множестве М уравнению Ig(8 - х) _ lg(x + 4)2 lg(x + 3) lg(x + 3) ‘	1 ’
В каждой точке множества М функция <р(х) = 1g (х + 3) определена и отлична от нуля. Поэтому уравнение (11) равносильно на множестве М уравнению
1g (8 - х) = 1g (х + 4)2.	(12)
В каждой точке множества М функции /(х) = 8 - х и g(x) = = (х + 4)2 положительны. Поэтому уравнение (12) равносильно на множестве М уравнению
8 - х = (х + 4)2,	(13)
имеющему два корня: Xi = -1 и х2 = -8. Так как Xi g М, ах2 е М, то уравнение (13) имеет на множестве М единственный корень xv Следовательно, и равносильное ему на этом множестве уравнение (10) имеет тот же корень.
Ответ. -1.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
Vx - 1 + х2+ lo«2 = Vx _ 1 + 8.	(14)
Все корни уравнения (14) принадлежат множеству М = [1; +оо). В каждой точке множества М определена функция ср (х) = >1х - 1, определены обе части формулы х - 2log2 х. Поэтому уравнение (14) равносильно на множестве М уравнению
21og| х + 2 log2 х _ 23.	Ц5)
280
Логарифмируя показательное уравнение (15), получим, что уравнение (15) равносильно уравнению log2 х + 21og2 х= 3, имеющему два корня: Xj = 2 и х2 = ^. Так как число хх принадлежит множе-8
ству М, а число х2 нет, то уравнение (15) на множестве М имеет единственный корень хР Поэтому и равносильное ему на множестве М уравнение (14) имеет тот же корень.
Ответ. 2.
Решите уравнение (10.31—10.47):
10.31 а) ^х2 + х4х + 7х + 27у[х + 24 = 4х + 3;
б)	д/х2 + xVx + 27^х - 37 = -Jx - 3.
10.32 а) ^2х +1 = 2Vx- 1 +1;	б) 2^/Зх + 7 = 3^2х + 2 + 2;
в)	-J&X - 3 - 2мх = 1;	г) -J2x - 1 - 4х - 1.
ч |х - 3 , 1х + 2	7
10.63 а) ,------- + I---- =	--:
V х + 2	\х-3	+ 2)(Х - 3)
/х - 5 lx + 1	10
ух + 1 ух - 5	+ i)(x _ 5)
10.34 a) log2(x + 2) + log2(3x + 2) = log2(5x + 22);
б) log3 (х - 5) + log3 (x + 1) = log3(3x + 3);
в) log5(x - 6) + log5(2x + 11) = iog5(3x + 4);
r)	log4(2x + 6) + log4(3x - 14) =	log4(3x + 1).
10.35	a)	log5(x - 5)2 - 21og5Vx;	6)	log3(x	- 3)2	= 21og3Vx;
B)	lg(x - 2)2 = 21g73- x;	r)	lg(x -	I)2 =	21g ^2 -	x.
10.36	a)	lg (8x + 11) + 4x = lg (x2	+ 2) +	Vx;
6)	lg (x + 8) + V^x = lg (x2 + 2) +
10.37	a) lg (x - 1) + Vo - x2 = lg (x - 1) + Vx + 5;
6) lg (1 - x) + л/25 - x2 = lg (1 - x) + 7x + 16.
10.38 a) log2x - 2log2(x - 3) + 2;	6) log5x = 2log5(6 - x) + 1;
в) log3(x-2)-31ogx 29= 1; r) log2(x-3) + 31ogx_34 = 5.
10.39 a) lOg3x- 2 27 = _^—;
б) 1ое2Х-1Т^7 = ГйЬ^-
281
Равносильность уравнений на множествах
10.40	a) log2(8x2 - х) • log4x(8x - 1) = 2;
б)	log5(x-2)-logvx;10 5= 1; в) log3(x-l)log 3= 1.
10.41	a) log3(5x2 - х) • log3x(5x - 1) = 1;
б)	log4(20x2 - х) • logiex(20x - 1) = 2.
10.42	a)xlos^2x=4; б) х2'х"1 = 0.
10.43	* а) (х2 + l)V8*-*2-i5= (2х + 9)<8х "	’ 15;
б) (х2 - 8)',24х“ 4x2 “ 85 = (7х - 20)',24х " 4x2 “ 85
10.44
а)
log 1 (8 + 2х - х2 )
------- = (X - 1)
б)
10.45
а)
в)
у12х- 1 1
/1 - X2
1
log j (1 + 7x - 2x2)
= (2x - 1) *
sin2
= (1- X2) sinx
б)
- 9
Sill* X
= (2-X2) sinx + * 1;
-5/2 - x2
г)
1
^4 - x2
1
= (4-х2)
cos2
9 eos
= (2—x2) cosx + 1
72-х2
1
10.46 a) logj 1 (1 + x) = log, x 1 (x2 - 5); 6) log|A. । (9 + x) = log x , (x2 + 7).
10.47
x2 — a2
При каких значениях параметра а уравнение ---------= 0
имеет единственный корень?	х - 4
10.6*. Уравнения с дополнительными условиями
Довольно часто требуется решить уравнение при некоторых условиях. Дополнительные условия обычно означают, что надо решить уравнение на том или ином множестве. Иногда эти условия облегчают решение уравнения.
ПРИМЕР 1. Найдем все корни уравнения
|х2 + х - 11 - 2х - 1, 7з удовлетворяющие неравенству х < —. 3
Прежде всего заметим, что левая часть уравнения (1) неотрицательна при любом действительном х. Это означает, что корни урав-
(1)
И 282
v3
нения (1) удовлетворяют условиям 2х - 1 О и х < т. е. при-3
. Так как в каждой точке этого
2	3
надлежат множеству М =
множества квадратный трехчлен х2 + х - 1 принимает только отрицательные значения, то на множестве М уравнение (1) равносильно
/2	ч \ г» 1	—3 — V17
уравнению -(х* + х - 1) = 2х - 1, имеющему два корня: =-------
4U
и х2 = -------. Из этих чисел только х2 принадлежит множеству М,
следовательно, только х2 удовлетворяет условию задачи.
_	-3 + V17
Ответ.--------.
£
Часто дополнительное условие не облегчает решение уравнения. В таких случаях обычно сначала решают уравнение, а потом отбирают из найденных решений те, которые удовлетворяют условию.
ПРИМЕР 2« Найдем все корни уравнения ^cos 2х _|_ 4 cos2 х _ g
7 л	2 л
(2)
принадлежащие отрезку
6	3 _
Применив формулу квадрата косинуса угла, перепишем уравнение (2)в виде 4
(2COS 2х)2 + 2 • 2COS 2х - 3 = О.	(3)
Так как уравнение у2 + 2t/ - 3 = 0 имеет два корня: уг = 1 и у2 = -3, то множество всех решений уравнения (3), а значит, и уравнения (2) есть объединение множеств решений двух уравнений
2COS 2х = Т и 2cos 2х =
(4)
Первое из уравнений (4) имеет серию решений xk = — + — k, keZ, 4 2
а второе не имеет решений, так как 2COS 2х > 0 для любого х. Таким образом, уравнение (2) имеет единственную серию решений xk. Теперь из этих чисел надо отобрать те, которые принадлежат отрезку
7л.	2л"1
-”б"; “”з
m	«	7л л л 2л
1 ак как двойному неравенству-----< — + — k —— удовлетво-
6	4	2	3
ряет единственное целое число k = -2, то условию задачи удовлетво-л л . Зл
ряет лишь одно число х_2 = — + —  (-2) - —
Ответ.
4
283
Равносильность неравенств на мнижестмах
Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку (10.48—10.53):
10.48 a) sin2x 4- 2sinx - V3cosx = 7з, (0; л);
б)	sin 2х - 2 sin х + 7з cos х = 7з,
л. Зл 2; ~2~
10.49
а)
б)
sin2 х - sin 2х - 3 cos2 х = 0,
5 sin2 х - 2 sin 2х - cos2 х = 0,
10.50
10.51
10.52
10.53
а)	|х2- Зх + 21 = 2х- 2, [3;	5]; б) |х2 -	2х	-	8|	= х	+	2,	[0;	4].
а)	х4 + х3 + х2-Зх = 0, [-2;	0]; б) х4 +	х3 +	х2 -	14х	= 0,	[3;	7].
а)	(х - log3 75) (х - log2 22)	= 0, [3; 4];
б)	(х - log2 17)(х - log2 71)	= 0, [4; 5].
§ 11.	Равносильность неравенств на множествах
11,1.	Основные понятия
Пусть даны два неравенства: /(х) > g(x) и р(х)><р(х) и пусть дано некоторое множество чисел М. Если любое решение первого неравенства, принадлежащее множеству М, является решением второго неравенства, а любое решение второго неравенства, принадлежащее множеству М, является решением первого неравенства, то такие два неравенства называют равносильными на множестве М. При этом, в частности, подразумевается, что если каждое из этих неравенств не имеет решений на множестве М, то такие два неравенства равносильны на множестве М.
Замену одного неравенства другим неравенством, равносильным ему на множестве М, называют равносильным переходом на множестве М от одного неравенства к другому, или равносильным на множестве М преобразованием неравенства. Например, неравенства 4х >1 и х2 > 1 не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, но они равносильны на множестве всех положительных чисел, а неравенства х > 1 и х3 > 1 являются равносильными на множестве всех действительных чисел.
Если два неравенства равносильны на множестве всех действительных чисел, то в таких случаях говорят, что неравенства равносильны, опуская слова «на множестве всех действительных чисел».
284
Равносильные преобразования неравенств уже были рассмотрены в § 7.
Перечислим основные преобразования неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству, равносильному ему на некотором множестве чисел.
1.	Возведение неравенства в четную степень, т. е. замена неравенства f(x) > g(x) неравенством (f(x))2m > (g(x))2m, т е 2V, приводит к неравенству, равносильному исходному на том множестве М, на котором обе функции /(х) и g(x) неотрицательны.
2.	Умножение обеих частей неравенства на функцию (р(х), т. е. замена неравенства f(x) > g(x) неравенством f(x)(p(x) > g(x)(p(x), приводит к неравенству, равносильному исходному на том множестве М, на котором функция <р(х) положительна.
3.	Потенцирование логарифмического неравенства
logo Дх) > logog(x),
т. е. замена этого неравенства при а > 1 неравенством f (х) > g(x), а при 0<а< 1 неравенством /(x)<g(x), приводит к неравенству, равносильному исходному на том множестве М, на котором обе функции /(х) и g(x) положительны.
4.	Приведение подобных членов, т. е. замена разности /(х) — /(х) нулем, приводит к неравенству, равносильному исходному на том множестве М, на котором определена функция Дх).
5.	Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) приводит к неравенству, равносильному исходному на том множестве М, на котором определены обе части применяемой формулы.
11.1° Какие неравенства называют равносильными на множестве М?
11.2° а) Что называют равносильным переходом на множестве М от одного неравенства к другому?
б)	В каком случае говорят, что неравенства равносильны?
11.	3° Приведите пример неравенств, равносильных:
а)	на множестве положительных чисел;
б)	на множестве отрицательных чисел;
в)	на множестве всех действительных чисел.
11.	4° Перечислите основные преобразования неравенств, приводящие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на некотором множестве чисел.
11.	5 Объясните, в результате какого преобразования из первого неравенства получено второе:
a) sinx > cosx, sin2x > cos2x; б) x4 > 5, x > Уб;
в)	log3 tg x > log3 Уз, tg x > УЗ;
г)	log0 2 (x2 + 3) > log0 24x, x2 + 3 < 4x;
, 285
Равносильность неравенств иа множествах
д)	sin х + Vx > sin 2х + Vx, sin x > sin 2x;
. x2-5x	-6	2 e „
e)	—------> -—, x - 5x > -6;
1g X	ig X
ч X2 - 5x -6	2 r «
ж)	—----->  ---, x - 5x < -6;
Igx Igx
3)	log2x + log2(x + 1) > 1, log2(x2 + x) > 1;
В каждом случае выясните, на каком множестве равносильны первое и второе неравенства.
11.2. Возведение неравенства в четную степей г.
Пусть 2т - четное натуральное число (т с N) и пусть в каждой точке множества М обе функции ((х) и g(x) неотрицательны, тогда на этом множестве равносильны неравенства
/ (х) > жх)	(1)
и
(/(x))2m > (g(x))2m.	(2)
 Доказательство. Пусть число хх принадлежит множеству М и является решением неравенства (1), т. е. пусть существуют не-V- отрицательные числа f(xr) и g(xx), для которых справедливо числовое неравенство
№i) > £(*i).
Но если одно неотрицательное число больше другого, то п-я степень первого числа больше n-й степени другого, т. е. справедливо числовое неравенство (/(xx))2m > (g(Xi))2rn. Это означает, что число хх является решением неравенства (2).
Такое рассуждение можно провести для любого решения хх g М неравенства (1), следовательно, любое решение неравенства (1), принадлежащее множеству М, является решением неравенства (2).
Покажем теперь обратное. Пусть теперь число х2 принадлежит множеству М и является решением неравенства (2), т. е. пусть существуют неотрицательные числа /(х2) и g*(x2), для которых справедливо числовое неравенство (/ (х2))2л1 > (g(x2))2m.
Но если одно неотрицательное число больше другого, то корень четной степени 2т из первого числа больше корня той же степени из другого, т. е. справедливо числовое неравенство f (х2) > g(x2). Это означает, что число х2 является решением неравенства (1).
Такое рассуждение можно провести для любого решения х2 g М неравенства (2), следовательно, любое решение неравенства (2), принадлежащее множеству М, является решением неравенства (1).
286
Таким образом, если хотя бы одно из неравенств (1) или (2) имеет решения, принадлежащие множеству М, то они равносильны на множестве М.
Если же число Xj принадлежит множеству М и не является решением неравенства (1), и числа f (xj) и ^(хг) неотрицательны, то это означает, что выполняется либо равенство /(x1) = g(x1), либо неравенство f (Xi) < ^(xj). Но тогда по доказанному ранее выполняется либо равенство (/(xj)2"’ = (g(x1))2mi либо неравенство (f(xi))2m<(g(x1))2m, т. е. X! не удовлетворяет неравенству (2). Это означает, что если неравенство (1) не имеет решений на множестве Af, то и неравенство (2) не имеет решений на этом множестве.
Если же неравенство (2) не имеет решений на множестве Af, то аналогично показывается, что и неравенство (1) не имеет решений на этом множестве.
Таким образом, если одно из неравенств (1) или (2) не имеет решений на множестве М, то и второе неравенство не имеет решений на множестве М,
Итак, неравенства (1) и (2) равносильны на множестве М и утверждение полностью доказано, •
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
Vx < t/x + 6.	(1)
Все решения неравенства (1) содержатся во множестве М = [0; +оо). в каждой точке множества М обе функции /(х) = л/х и g(x) = л/х + 6 неотрицательны. Поэтому неравенство (1) равносильно на множестве М неравенству
(л/х)4 < $х + 6)4,
которое можно переписать в виде
х2 - х - 6 < 0.	(2)
Все решения неравенства (2) составляют промежуток (-2; 3), из них множеству М принадлежат все х из промежутка [0; 3). Следовательно, все решения неравенства (2) на множестве М составляют промежуток [0; 3). Поэтому и равносильное ему на множестве Af неравенство (1) имеет те же решения.
Ответ. [0; 3).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
73х + 1.	(3)
(3) содержатся во множестве
Все решения неравенства М = [-1; +оо).
1) Очевидно, что все х е М,
являются решениями неравенства (3).
для которых Зх + 1 < 0, т. е. все
х е
Sg 287
Равносильность неравенств на множествах
1
3
2) В каждой точке множества М1 =
обе функции f(x) = Vx +1 и g (х) = ^/Зх + 1 неотрицательны. Поэтому неравенство (3) равносильно на множестве неравенству
(Vx +1)6 > $Зх + 1)6,
которое можно переписать в виде
х(х2 - 6х - 3) > 0.	(4)
Все решения неравенства (4) составляют два промежутка: (3 - 712; 0) и (3 + V12; +оо). Из них множеству принадлежат все х
-i; 0 I и (3 + 712; +оо). Следовательно, все ре-3 J
шения неравенства (4) на множестве составляют два промежутка
из двух промежутков
0 j и (3 + л/12; +оо). Поэтому и равносильное ему на мно-О /
жестве неравенство (3) имеет на этом множестве те же решения.
Объединяя решения, найденные в пп. 1) и 2), получим, что множество решений неравенства (3) составляет два промежутка: [-1; 0)
Возведение в четную степень можно применять при решении не-Л равенств с модулями.
™ ПРИМЕР 3. Решим неравенство
|х - 41 > |х + б|.	(5)
Обе части неравенства (5) неотрицательны для любых х, поэтому, возведя неравенство (5) в квадрат, получим неравенство
(х - 4)2 > (х + 6)2,	(6)
равносильное неравенству (5). Множество всех решений неравенства (6), а значит, и равносильного ему неравенства (5) есть множество (-оо; -1).
Ответ, (-оо; -1). ф
Решите неравенство (11.6—11.16):
11.6 а) д/Зх- 2 <х; б) ^4х- 3 <х; в) -^5х- 4 < х; г) -^/бх— 5 <х.
11.7 а) д/2х - 1 <х; б) 2^/х - 1 <х; в) ^бх- 9 <х; г) 2^2х- 4 <х.
288
11.8	a) Vx + 1 < х — 1;		6) Vx + 4 < x + 2; r) x/x + 4 < x - 2.
	в)	Vx + 1 < х + 1;	
11.9	а)	>1х + 1 > х - 1;	6) Vx + 4 > x - 2;
	в)	^2х -1-1 > х - 1;	г) у/Зх + 4 > x - 2.
11.10	а)	\/3 - х > х - 1;	6) V6 - x > Зх - 4;
	в)	V5 - х > х - 3;	г) V4 - x > 2x - 5.
11.11	а)	7бх +7 > х + 2;	6) y/5x + 6 > x + 2;
	в)	у/6х - 2 > х + 1;	r) y/5x - 1 > x + 1.
11.12	а)	7~х2 - 5х > V-x -	3;	6) y/x2 - 6x > V-x - :
	в)	у]х2 - х > ^Зх - 1;	r) yfx2 - 7x > y/-x- :
11.13	а)	Зх + 2 >|2х + 3 ;	6) |3x- 4| < |x - 41;
	в)	-х-2 > 2х - -4	4	;	r) 15x- 3| > |x- 3|.
11.14	а)	^бх - 3 < | х +11;	6) y]6+3x > |2x + l|;
	в)	7бх-1 >|Зх-1|;	r) V^	> 1 X 4- 21.
11.15	а)	Vx < Vx + 3;	6) x/х > Vx + 4;
	в)	Vx +1 > ^2х + 1;	r) x/х < V^x - 2.
11.16	а)	1 + sinx > |cosx|;	6) 1 - cosx > |sinx|;
	в)	1 - sinх < |cosx|;	г) 1 + cosx < |sinx|.
11.3*. Умножение неравенства на функцию
Пусть в каждой точке множества М функция ф (х) определена и положительна. Тогда на этом множестве равносильны неравен-ства f(x) > g(x) и /’(х)ф(х) > я(х)ф(х).
ПРИМЕР 1. Решим неравенство < 2х + 3 . (1) у]4 - х2	V4 “ х2
Все решения неравенства (1) принадлежат множеству тех х, для каждого из которых 4 - х2 > 0, т. е. принадлежат множеству М = (-2; 2), В каждой точке множества М функция ф (х) = V4 - х2 определена и положительна, поэтому, умножив неравенство (1) на
289
Равносильность неравенств па множествах
эту функцию, получим, что на множестве М неравенство (1) равносильно неравенству
х2 < 2х + 3.	(2)
Все решения неравенства (2) составляют интервал (-1; 3). Из них множеству М принадлежат лишь х из интервала (-1; 2). Следовательно, все решения неравенства (2) на множестве М составляют интервал (-1; 2). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (1) имеет те же решения.
Ответ. (-1; 2).
ПРИМЕР 2 Решим неравенство
7х2+ 4 - 2| х | >	>/2х - | х |
V2^ + |x|	7х2+ 4+ 2|х|*
(3)
Все решения неравенства (3) содержатся во множестве М = (0; +оо). В каждой точке множества М функция ф (х) = (^2х +1 х |) (yjx2 + 4 + 21 х |) определена и положительна. Поэтому, умножив неравенство (3) на эту функцию, получим, что на множестве М неравенство (3) равносильно неравенству
х2 + 4 - 4х2 > 2х - х2.	(4)
Множество решений неравенства (4) составляет интервал (—2; 1), из них множеству М принадлежит лишь х из интервала (0; 1). Следовательно, все решения неравенства (4) на множестве М составляют интервал (0; 1). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (3) имеет те же решения.
Ответ. (0; 1).
11.17	Докажите утверждение об умножении неравенства на функцию. Решите неравенство (11.18—11.22):
11.18	.	х2	5х - 5	_	х2	7х-3 а) 		 > .	;	б) 	 > 	; у/х2-16	Jx2-16	^5х- х2 jSx- х2 .	х2	3 - 6х	х2	11 - 4х в)	•• — < ——	—: г)		<	-  	. <]Зх-х2-2	-j3x-x2-2	^5-4х-х2 -Jb-Ax-x2
11.19	8-3|х|	9-2|х| Й) 4 + |х| >Х’	б) 5 + |х| <Х> 15+4|х| > г	5 + 3|х| < Е 5 + 6| х |	*	3 + 5|х|
10- Никольский, 11 кл.
290
11.20 a)
в)
11.21 a)
в)
11.22 a)
x2 x + 2
------— <---------;
1	- cos x 1 - COS X
x2 2x + 3
1	- sin x 1 — sin x ’
2|x-3|	|x-5|.
|x-5|	ix-3|’
2| x + 2 | |x + 3|.
|x + 3| < |x + 21’
2	> x2 - x .
Vsin x	Vsin x
x* 1 2 -x + 2
6) ------->----------;
cos x - 1 cos x - 1
4 x2	x + 2
r) ------->----------.
sin x — 1 sin x — 1
61	2I* + 1l <- I* + 3| - |x - 1|.
|x + 31 + |x - 1| I x + 11
4	2|x + 5|	|x + 3|-|x+7|
Г) |x+3|+|x+7| < |x + 5|	‘
6)	6	> X2 + X
Vcos x Vcos X
11 А*. Другие преобразования неравенств
1. Потенцирование логарифмических неравенств.
Пусть в каждой точке множества М обе функции f(x) и g(x) положительны, тогда на множестве М равносильны неравенства:
1) loga f (х) > logag(x) и f(x) > g(x), если а > 1;
2) logof(x) > lc>gog(x) и f(x) < g(x), если 0 < a < 1.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
1g 4х < 1g (1 - х2).	(1)
Все решения уравнения (1) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых 4х > 0 и 1 - х2 > 0, т. е. во множестве М = (0; 1). В каждой точке множества М обе функции /(х) = 4х и g(x) = (1 - х2) положительны. Поэтому неравенство (1) равносильно на множестве М неравенству
4х < 1 - х2.	(2)
Множество решений неравенства (2) составляет интервал (-2 - д/б; -2 4- Тб). Из них множеству М принадлежат лишь х из промежутка (0; -2 + Тб). Следовательно, и равносильное ему на множестве М неравенство (1) имеет те же решения.
Ответ (0; — 2 +Тб).
2. Приведение подобных членов.
Пусть в каждой точке множества М определена функция <р(х). Тогда на множестве М равносильны неравенства
fix) + ф(х) - <р(х) > 0 и /(х)>0.
Равносильность неравенств на множествах
.......................................
291
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(Vx +1)2 > 5х2 - Зх + 2Vx.
Все решения неравенства (3) содержатся во множестве М = [0; +оо). Применяя формулу квадрата суммы и учитывая, что в каждой точке множества М определена функция <р (х) = Vx, получим, что неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству 5х2 - 4х - 1 < 0.	(4)
Множество всех решений неравенства (4) есть интервал (-0,2; 1). Из этих чисел множеству М принадлежат лишь х из промежутка [0; 1). Так как неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству (4), то все решения неравенств (3) и (4) на множестве М совпадают. Следовательно, все решения неравенства (3) составляют промежуток [0; 1).
Ответ. [0; 1).
3. Применение формул.
Пусть в каждой точке множества М определены обе части некоторой формулы (логарифмической, тригонометрической и т. п.). Тогда, применив эту формулу при решении неравенства, получим неравенство того же знака, равносильное на множестве М исходному неравенству.
(3)
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
logs X2 + 2log3 > (5 - x)log5~x2.	(5)
Все решения неравенства (5) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых х>0, 5-х>0и5-х^1, т. е. содержатся во множестве М — (0; 4) U (4; 5). В каждой точке множества М определены обе части формул log9 х2 = log3 х, 21og3 Vx = log3 х, (5- x)log5-2 = 2. Поэтому неравенство (5) равносильно на множестве М неравенству
21og3x > 2,
множество решений которого составляет интервал (3; +оо). Из них множеству М принадлежат лишь х из двух промежутков: (3; 4) и (4; 5). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (5) имеет только те же решения.
Ответ. (3; 4) U (4; 5).
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
ю*
cos х ctgx
+ sin х > 0.
(6)
Д 292
Все решения неравенства (6) содержатся во множестве М —
It/? у	Тк Г
всех х Ф —, k е Z. В каждой точке множества М определены обе
cosx .	_	__
части формулы ------= sinx. Поэтому на множестве М неравенство
ctgx
(6) равносильно неравенству
2sinx > 0.
(7)
Множество решений неравенства (7) составляет серию промежутков (2л/г; л + 2л/г), k е Z. Из них множеству М принадлежат лишь х из двух серий промежутков: I 2лЛ; + 2л/? L k е Z и к	у
— + 2л/г; л + 2л/? , k е Z. Следовательно, множество решений нера-I 2	j
венства (7) на множестве М составляют эти две серии промежутков. Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (6) имеет те же решения.
Ответ. 2л&; — + 2л/? ; — + 2л/?; л + 2л/г , k е Z. 12	11 2	J
(8)
ПРИМЕР 5. Решим неравенство logx3 > 2 - logg х.
Все решения неравенства (8) содержатся во множестве М - (0; 1) U (1; +оо). В каждой точке множества М определены обе части формулы logx 3 = ----, поэтому неравенство (8) равносильно
logg х на множестве М неравенству
7—!— > 2 - log3 х, logs X
которое можно переписать в виде
(log3x- I)2 > 0 loga х
(9)
Множество решений неравенства (9) составляет два промежутка: (1; 3) и (3; +оо). Оба эти промежутка принадлежат множеству М, следовательно, являются решениями неравенства (8) на множестве М. Так как неравенства (8) и (9) равносильны на множестве М, то решения неравенства (8) составляют те же промежутки (1; 3) и (3; +оо).
Ответ. (1; 3) U (3; +оо).
: 293
Равносильность неравенств на множествах
11.23 Докажите утверждение: 1) о потенцировании логарифмического неравенства; 2) о приведении подобных слагаемых; 3) о применении формул.
Решите неравенство (11.24—11.33):
11.24 a) log25(x2 - 7) > log25 (х - 1);
б)	log7(x2 - 4) > log7(3x + 6);
в)	log i (х2 - Зх) > log! (2х - 4); 7	7
г)	log ! (х2 - 4х) > log j (2х - 5). 25	25
11.25	a) log^(l - Зх) < 2;	б) log^(2x - 1) > 2;
в) bg0^5(x2 - 1) > -2;	г) log0*5 (х2 + 1) < -1.
11.26	a) log3243 • log0>8(3x - 5) > О; б)	< 0;
logg^i 0.064
logo 2 (2 - 5х)
в) -7	> °’ г) logo,6 0,216 • l°g5(5 - 2х) < 0.
log5 625
11.27
11.28
a)	log31(8x - 9)2 > log31(9x - II)2;
б)	log j (4х - б)2 > log ! (5х - 7)2. 31	31
ч 1	1 к	2	2
а) --	+ х <	- + 5; б) ——= + х < —	+ 4;
-jx + 2 у)х + 2	у/х + 3 у/х + 3
X 3	3	О	х 4	4
в)	+ х > —------------+ 3; г)	+ х > —-------и 2.
у]х + 4	у]х + 4	у/х + 5	у]х + 5
11.29	a) tgx + х2 < tgx + 2х + 3; в) etgx + х2 < etgx + х + 6;
11.30	а) (2г/х +1)2 > 5х2 + 4-Л? - 63; в) (З4х + 2)2 > 6х2 + 12-Ух - 2;
1 1 Q1	х COS X	_
11.31	а) -----+ sinx < О;
etgx
в) tgx etgx > 2sinx;
11.32	a) 2log2(3’2jf) < 4;
11.33	a) 41ogx3 > log3x — 3;
б) tgx + х2 + 2х > tgx + 3;
г) etg х + х2 + х > etg х + 6.
б) (24х -1)2 < 2х2 - 4,/х - 125
г) (37х-2)2<4х2-12л/х-5.
sin X	Л
б)------h cos x > 0;
tgx
r) tgxetgx < 2cosx.
6) 3log3(7- 4x) > 27.
6) 21ogx5 > logg x - 1.
294
11.5». Применение иееколышх преобразований
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
log2 2х + log4 (х + I)2 + Vx - 1 > 2 log2 (х + 1) + Vx - 1.	(1)
Все решения неравенства (1) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых справедливы неравенства 2х > О, х + 1 > О и х - 1	0, т. е. содержатся во множестве М = [1; +оо). В каждой
точке множества М определена функция ф (х) = Vx - 1 и определены обе части формул
log4 (х + I)2 = log2(x + 1) и 21og2(x + 1) = log2(x + I)2.
Поэтому неравенство (1) равносильно на множестве М неравенству log22x + log2(x + 1) > log2(x + I)2.	(2)
В каждой точке множества М определены обе части формулы log2 2х + log2 (х + 1) = log2 2х (х + 1).
Поэтому неравенство (2) равносильно на множестве М неравенству log22x(x + 1) > log2(x + l)2.	(3)
В каждой точке множества М положительны обе функции f(x) = 2х(х + 1) и g(x) = (х + I)2. Поэтому неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству
2х(х+ 1)>(х+ I)2.	(4)
Множество решений неравенства (4) составляет интервал (1 - V5; 1 + V5), из них множеству М принадлежит лишь х из промежутка [1; 1 + V5). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (1) имеет те же решения.
Ответ. [1; 1 + V5).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
Vx - 1 > ^/х2 + xVx - 2х + Зл/х - 7.	(5)
Возведя неравенство (5) в куб, получим неравенство
(Vx - I)3 > х2 + xVx - 2х + 3Vx - 7,	(6)
равносильное неравенству (5). Обе части неравенства (6) определены для всех х О, т. е. на множестве М = [0; +оо). Следовательно, все решения неравенства (6) принадлежат множеству М. Применяя формулу куба разности, перенося все члены неравенства (6) в правую часть и приводя подобные члены, получим неравенство
х2 + х - 6 < 0,	(7)
которое на множестве М равносильно неравенству (6).
295
Равносильность неравенств на множествах
Множество всех решений неравенства (7) есть интервал (—3; 2). Из этого интервала множеству М принадлежат лишь х из промежутка [0; 2). Следовательно, эти х и есть все решения неравенства (5).
Ответ. [0; 2).
ПРИМЕР 3. Решим неравенство ,ЕН»<---------------------------------I------.
ух - 3	\х- 2	- 2)(х - 3)
(8)
Все решения неравенства (8) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых справедливо условие (х - 2)(х - 3) > 0, т. е. принадлежат множеству М = (-оо; 2) U (3; +оо). В каждой точке множества М функция (р (х) = ^{х - 2) (х - 3) положительна, поэтому, умножив неравенство (8) на эту функцию и применив формулы
7(х-2)(х-3) = 7(х-2)2 и КЦ л/(*-2)(х-3) = д/(^ - З)2,
V X — о	уХ — Z
обе части которых определены на множестве М, получим неравенство 2д/(х- 2)2 - 7(х - З)2 < 7,	(9)
равносильное неравенству (8) на множестве М.
а)	Если х принадлежит множеству М1 = (-оо; 2), то применяя формулу 4а? =\а\, получим, что неравенство (9) равносильно на множестве неравенству
2(2-х)-(3-х) <7,	(10)
решения которого составляют промежуток (—6; +оо). Из этих чисел множеству Мх принадлежат лишь х из промежутка (-6; 2). Следовательно, неравенство (10) имеет на множестве Мг решения, составляющие промежуток (-6; 2). Поэтому и равносильное ему на множестве Mi неравенство (8) имеет те же решения на множестве МР
б)	Если х принадлежит множеству М2 = (3; +оо), то применяя формулу 7о^ = |а|, получим, что неравенство (9) равносильно на множестве М1 неравенству
2 (х - 2) — (х - 3) < 7,	(11)
решения которого составляют промежуток (—оо; 8). Из этих чисел множеству М2 принадлежат лишь х из промежутка (3; 8). Следовательно, неравенство (11) имеет на множестве М2 решения, составляющие промежуток (3; 8). Поэтому и равносильное ему на множестве М2 неравенство (8) имеет те же решения на множестве М2.
Объединяя решения, найденные в случаях а) и б), получаем, что множество решений неравенства (8) есть объединение промежутков (-6; 2) и (3; 8).
Ответ. (-6; 2) U (3; 8).
В 296
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
log*-2 (9 - х) > logx_2(x + 1).	(12)
Все решения неравенства (12) содержатся во множестве тех х, для каждого из которых справедливы неравенства х-2>0, х-2^1, 9 — х > 0, х + 1 > О, т. е. содержатся во множестве М — (2; 3) U (3; 9). В каждой точке множества М определены обе части формул
1	ч 1g(9 - х) . z чч lg(x + 1)
logx- 2(9 - X) - lg(x_2) и logx_ 2(x +1) - lg(x_2)-
Поэтому неравенство (12) равносильно на множестве М неравенству
lg(9 - х)	lg(x + 1)
lg(x — 2)	lg(x-2)'
а)	В каждой точке множества Мг = (2; 3) функция /(х) = 1g (х — 2) определена и отрицательна, поэтому неравенство (13) равносильно на множестве неравенству
lg(9-x)<lg(x+ 1).	(14)
В каждой точке множества обе функции <р(х) = 9 —х и g(x) = x+ 1 положительны. Поэтому неравенство (14) равносильно на множестве Мт неравенству
9 - х < х + 1.	(15)
Множество решений неравенства (15) составляет интервал (4; +оо). Ни одно из чисел этого интервала не принадлежит множеству Мг. Поэтому неравенство (15) не имеет решений на множестве М±. Следовательно, и неравенство (12), равносильное неравенству (15) на множестве М19 не имеет решений на множестве М1.
б)	В каждой точке множества М2 = (3; 9) функция /(х) = = 1g (х - 2) определена и положительна, поэтому неравенство (13) равносильно на множестве М2 неравенству
lg(9-x)>lg(x+ 1).	(16)
В каждой точке множества М2 обе функции ср(х) = 9 - х и g(x) = x+ 1 положительны. Поэтому неравенство (16) равносильно на множестве М2 неравенству
9 - х > х + 1.	(17)
Множество решений неравенства (17) составляет промежуток (-со; 4), из которых множеству М2 принадлежат лишь х из промежутка (3; 4). Следовательно, неравенство (13) имеет на множестве М2 решения, составляющие промежуток (3; 4). Поэтому и равносильное ему на множестве М2 неравенство (12) имеет те же решения.
J 297
Рачносизьпостъ неравенств на множествах
Так как в случае а) неравенство (12) решений не имеет, то все решения, найденные в случае б), составляют множество решений неравенства (12).
Ответ. (3; 4).
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
х4>2Мх+3	(18)
Все решения неравенства (18) содержатся во множестве М = (0; +оо). В каждой точке множества М определены обе части формул х4 = 2log2 *4 и 2log2 *4 = 241og2 х, поэтому неравенство (18) равносильно неравенству
24iog2x > 2М*+з.	(1Q)
Логарифмируя показательное неравенство (19), получаем, что оно равносильно неравенству
41og2x > log2 х + 3,	(20)
решения которого составляют промежуток (1; 3). Все эти числа принадлежат множеству М. Следовательно, неравенство (20) имеет на множестве М решения, составляющие промежуток (1; 3). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (18) имеет те же решения.
Ответ. (1; 3).
11.34
11.35
1U36
11.37
11.38
Решите неравенство (11.34—11.46):
а)	4х - 2 > ^/х2 + xVx - 2х + 12д/х - 13;
б)	Vx + 1 > д]х2 + xjx + х + 3>/х - 7.
ч о lx — 1 lx - 4	5
а)	Зл-------J------<	----;
V* ~ 4 У х~ 1 V(x - 4)(х - 1)
. 1х + 2 /х + 3	9
б)	4 1----+ ,------ > ,
У X + з у х + 2	+ 2)(х + 3)
Г 1 V 3 fi5!v'5*2“ 41х + 36
[зё)	дё)
^9х + 45	7?х +15
| х 4- 21 < | х + 21
| X2 - 10х + 91
1----------7-1 > I-
/	/ чл/бх2- 31Х + 25
а) —	> -	; б)
7 125J
ч J13x + 25 Jllx + 23
61
«I е ,
gg298
11.39 a) Vx + 3 Vx + 8 > 2x + 4;	6) Vx + 3 Vx + 6 < x + 4;
в) yj2x + 3 -у/Зх + 7 > 2x + 4;	г) ^2x - 1 д/Зх - 2 < 4x — 3.
11.40 a) lg(x + 1) + lg(x - 8) > lg(2x - 8);
6) log2(x + 1) + log2(3x - 1) > log2(9x + 5);
в) logi (3x + 1) + logi (2x - 1) < logi (5x - 1); 2	2	2
r) log! (4x + 1) + log i (2x - 1) < log! (lOx + 7). 3	3	3
1141	a)	10gl 7^11 > 1Og± 7^20 =	6)	1Og4 4^7 > 1Og“
в)	lo^ 47317 > 10gi BT140;	r)	log13 3^22 > log13 ZCT'
11.42	a)	21g(x- l)<lg(x+ 1);	6)	2lg(x + 3) < lg(x + 5).
11 43 a) Vх2 + 1 ~ lcosxl > ^x~lcosxl .
V2x + |cosx| y/x2 + 1 + |cosx|
Jx2 - 4 - I sin x| V3x-|sinx|
б) y __________L < —-----!------—.
V3x + I sin x I y/x2 - 4 + I sin x |
.. .. хт 7x-2	_	. 3x-l _
11.44 a) logx——— < 0;	6) logx——— > 0;
ju “ JC	АтжЛ o
4 . 6x - 1	_	16x - 11 л
B)	log*T5737 < 0; r) log*773T- > °’
11.45	* a) 2 + log^2 —	> logx2 _ 2X_ 3(X^ - 2x - 2)Ъ
_____1___
11.46	* a) (4 - x)*2 - 9- sin2 10° < (4 - x)10*00810’	;
_____1___
6)	(5- x)x2“ 4- cos2 2002°< (5- x)'oe“"2W>2’'^77.
11.47	При каких значениях параметра а все решения неравенства loga(x - 2) > loga(8 - х) содержатся в интервале (1; 5)?
11.6*. Неравенства с дополнительными условиями
Довольно часто требуется решить неравенство при некоторых условиях. Дополнительные условия обычно означают, что надо решить неравенство на том или ином множестве. Иногда эти условия облегчают решение неравенства.
299
Равносильность неравенств на множествах
ПРИМЕР 1. Найдем все решения неравенства
г~	У %
sin2x - cosx + V2 sinx > — 2
(1)
принадлежащие отрезку
2л 2л 1
Т; ТТ
Перенося все члены неравенства в левую часть и применяя формулу синуса двойного угла, перепишем неравенство (1) в виде /—	^/2
2sinx cosx - cosx + v2 sinx —— > 0, или в виде
21 sin х - — I 2
V2 I cos x + — > 0.
2 J
(2)
2л 2л ’
справедливо неравенство
3	3
Так как для всех х g М =
V2 cosx + — > 0, то на множестве М неравенство (2) равносильно нера-
венству
1 sinx >
2
(3)
л
6
ставляют промежуток
Все решения неравенства (3), принадлежащие множеству М, со-. Так как на множестве М неравенство (1) равносильно неравенству (3), то искомые решения неравен
ства (1) составляют тот же промежуток.
f л 2л’
Ответ. —; —- .
I6 3
Часто дополнительное условие не облегчает решение неравенства. В таких случаях обычно сначала решают неравенство, а потом отбирают из найденных решений те, которые удовлетворяют условию.
ПРИМЕР 2. Найдем все решения неравенства
(tg х - 1) I tg х + -Lr I < 0, I V3)
Г 9л Зл' принадлежащие отрезку ——; —— .
Перепишем неравенство (4) в виде
—— < tgx < 1.
7з
(4)
(5)
|$300
Все решения неравенства (5) составляют серию промежутков
— + пк < х < —ь л/г, k е Z, 6	4
Зл 1
принадлежат те, для которых
Из них отрезку
9л
1Г’ 2
л , 9л л , Зл
---+ Tlk^-----И------h Hk <----
6	2	4	2
Следовательно, надо найти целые k, которые удовлетворяют 13	7
двойному неравенству-----k . Это k = -2, k = -3, k = -4.
3	4
Итак, условию задачи удовлетворяют лишь х из промежутков
_	( 25л	15л )	( 19л	11л V.f 13л 7л
Ответ. ——; —— U ——; —— U ——; —— \	6	4 J 6	4 J о 4
11.48
Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку (11.48—11.54):
а)
б)
i	V .	42}
sin х---sin х ч----
2	Д 2 J
1V д/з^
COS X + - cos х ——
2Л 2 )
> О, (О; л);
11.49	а)	(х -	log375)(x - log222) > О, [3;	4];
б)	(х -	log2 17) (х - log2 71) < О, [4;	5].
11.50	а)	х4 +	х3 + х2 - Зх > 0, [-2; 2];
б)	х4 +	х3 + х2 - 14х < 0, [1; 3].
42	г~ [*2л 4
11.51	a) sin2х + — > cosx + V2 sinx, —; -L * л/з г
б) sin 2х —— < 43 sin х - cos х, [О; л]. Л
ч	. лх	лх	. лх V3 zx	г 1	-1
11.52“ a)	sin —	+ v3 cos —	+ sin —- + — > О,	[-1; о];
ТЕ	Q	£
_	. ЛХ	пг	пх	гп . лх V6	_ г„ ч __
б)	sm —	+ 42 cos	—	+ 43 sin — + — <	О, [5; 13].
3	6	6	2
301
Равносильность неравенств на множествах
11.53 а)
б)
11.54 а)
7sin2 x + sin 2x - 3cos2 x > cos x - sin x,
7sin2 x - 2sin2x + 3cos2 x > sinx - cosx,
cos3x > |cosx|,
5 л 5л' “в"’ v
л 5л |
Т ~ТJ’
[“Г* ~Т J*
Зл
2
б) sin3x > |sinx|,
Зл
2
11.7- Нестрога е иеракепстпа
В п. 7.2 уже рассмотрено утверждение о решении нестрогих неравенств. Используя понятие совокупности, его можно переформу-
лировать так:
/(х)> g(x) «.
/(«)= g(x) f(x) > g(x).
ПРИМЕР I. Решим неравенство
(х — 2)Vx-l > 0.
(1)
Неравенство (1) равносильно совокупности
(х- 2)Vx- 1 = 0	(2)
(х-2)7х-1 >0.	(3)
Уравнение (2) имеет два корня: Xj = 2 и х2 = 1. Так как число 1 не является решением неравенства (3), то все решения неравенства (3) содержатся во множестве М = (1; +оо). В каждой точке множества М функция <р (х) = Vx - 1 определена и положительна. Поэтому, умножив неравенство (3) на функцию ——, получим, что Ф(х)
неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству
х - 2 > 0,	(4)
множество всех решений которого составляет промежуток (2; +оо). Все эти х принадлежат множеству М. Следовательно, неравенство (4) имеет на множестве М решения, составляющие промежуток (2; +оо). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (3) имеет те же решения.
Объединяя все решения уравнения (2) и неравенства (3), получаем, что все решения совокупности (2) и (3), а значит, и равносильного ей неравенства (1) составляют множество {1} U [2; +оо).
Ответ. {1} U [2; +оо).
302
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
	logx(2 - х - х2)	-1. 2	(5)
Неравенство (5) раь	шосильно совокупности logi (2 - х - х2) = -1	(6)
	log! (2 - х - х2) < -1. 2	(7)
Потенцируя логарифмическое уравнение (6), получим уравнение
2 - х - х2 = 2,	(8)
являющееся следствием уравнения (6). Уравнение (8) имеет два корня: х1 = 0 и х2 = -1. Проверка показывает, что эти числа удовлетворяют уравнению (6). Итак, уравнение (6) имеет корни хг и х2.
Неравенство (7) равносильно неравенству
2 - х - х2 > 2.	(9)
Множество всех решений неравенства (9), а значит, и равносильного ему неравенства (7) составляет промежуток (-1; 0).
Объединяя все решения уравнения (6) и неравенства (7), получаем, что все решения неравенства (5) составляют промежуток [—1; 0].
Ответ. [-1; 0].
Решите неравенство (11.55—11.64):
11.55 а) (х2 - 4х + 3) Ух - 2	0; в) (х2 - 2х - 15) Ух + 4	0;	б) (х2 - Зх- 10) УЗ- х > 0; г) (х2 + х - 6) Ух + 5	0.
11.56 а) 7*2 - 9(х + 8) > 0;	б) (х — 4)Vx2-4g 0;
в) у]х2 - 16 (х - 5) 0;	г) (х + 7)у]х2 - 25	0.
11.57 а) V12 - *	< У12-*-*2; 2х + 7	х - 5 У18-Зх-х2 < У18-Зх-х2 . В	х - 2	" 2х + 3 11.58 а) (2х + 3)7х-2^55/х-2; х - 6,6	х - 5 (2х — 7)Ух- 1 9Ух - 1 х - 3	5-х	Ув - 2х - х2 > У8 - 2х - х2 ф 2х + 9	х - 5 Уб + х - х2 > Уб + X - X2 2х + 5	х + 4 б) —Зх + 1	«	1	; (2х+1)У2-х	(х+1)У2-х 1	4-х г)	1	с	1	• (х+1)У9-х	(8-х)У9- х
303
Метод промежутков для уравнений и неравенств
11.59
11.60
11.61
11.62
11.63
11.64
а) 0,0625 • 4х64х;
1 1
a) V27-3"6х2^ 94х;
a) Igx + 1g (х + 3) 1;
в) log2 х + log2(x - 2) 3;
Vllx + 5 > JlOx + 13 .
|x-20| " |x-20| 5
^9x + 19 < Vllx+ 31
B) |x + 2| |x + 2| ;
a) 1gx - 24	9- Igx;
в) y]4Agx- 16	7 - 1gx;
a)	log6x(x2 - 17x + 60) 1;
в) 1°И12г(х2 _ 19x + 84)	1;
i
2	j
r) 7 < [—Iх. f—V ^49 J ^343 J
б)	л/зг-г-4*2^ 83x;
6)	log! (x + 8) + log! x > -1; 9	9
r) logA(X + 6) + log 1 X -3.
3	3
V10x+ 17 > д/Зх + 11
} lx~H " lx-H ;
J8x + 21 < J10x+ 41
Г | x + 11	| x + 11
6) V^lgx - 3 1 - 41g x;
r) V121gx- 8	1 - 31gx.
6) log6x(x2- 15x + 54)> 1; r) log7x(x2 - 16x + 60)	1.
§ 12. Метод промежутков
для уравнений и неравенств
При решении некоторых задач удобно применять метод промежутков, заключающийся в том, что по тем или иным соображениям координатная ось разбивается на некоторое количество промежутков, а затем на каждом из них исследуется рассматриваемая задача.
В этом параграфе метод промежутков применяется для решения уравнений и неравенств.
12.1. Уравнения с модулями
Пусть дано уравнение
Лх) = 0,	(1)
такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций 1Л(х)|. IM*)!. —. l/n(*)l-
304
Для решения таких уравнений обычно применяют метод промежутков, суть которого заключается в следующем.
Пусть дано уравнение (1). Сначала решают каждое из уравнений
Л(х) = 0, Л>(х) = 0, Л(х) = 0, затем отмечают на координатной оси все найденные корни.
Таким образом, вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков (каждый из концов промежутка включают в один из двух соседних промежутков). Будем считать, что на каждом промежутке все функции ft (х) непрерывны, тогда на каждом интервале между точками деления все функции Д (х) знакопостоянны. Поэтому для них на этом промежутке или |/}(х)|= /Дх), или I ft (х) | = — fi (х). В результате на каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному уравнению на этом промежутке, затем отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается. Наконец, отбираются те из них, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке. Все корни уравнения (1) получают, объединяя все его корни, найденные на всех промежутках.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
|х - 11 + |х - 2| + |х - 3| = 6.	(2)
_г	.	, Сначала решим уравнения х — 1 = 0, 1_______________2_3 х х - 2 - 0 и х - 3 = 0 и отметим на коор-
 Рис. 171	динатной оси полученные корни: хх = 1,
х2 = 2 и х3 = 3 (рис. 171). Получим четыре числовых промежутка: (-оо; 1), [1; 2), [2; 3) и [3; +оо).
Решим уравнение (2) на каждом из этих промежутков.
1)	На промежутке (-оо; 1) по определению абсолютной величины |х - 11 = —(х - 1), |х - 2| = —(х - 2), |х - 3| =-(х - 3), следовательно, на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению —(х - 1) - (х - 2) - (х - 3) = 6, имеющему единственный корень хх = 0. Это число принадлежит промежутку (—оо; 1), следовательно, уравнение (2) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень 0.
2)	На промежутке [1; 2) по определению абсолютной величины | х - 11 = х - 1, | х - 21 = -(х - 2), | х - 31 = -(х - 3), следовательно, на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению х — 1 - (х — 2) - (х - 3) = 6, имеющему единственный корень х2 = —2. Это число не принадлежит промежутку [1; 2), следовательно, уравнение (2) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.
3)	На промежутке [2; 3) по определению абсолютной величины |х—1| = х—1, |х-2| = х-2, |х - 3| = —(х - 3), следовательно, на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению х-1+х-2-(х-3) = 6, имеющему единственный корень х3 = 6. Это число не принадлежит промежутку [2; 3), следовательно, уравнение (2) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.
305
Метод промежутков для уравнений и неравенств
4)	На промежутке [3; +оо) по определению абсолютной величины |х-1| = х-1, |х-2| = х-2, |х-3| = х3, поэтому на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению х - 1 4- х — 2 + + х - 3 = 6, имеющему единственный корень х4 = 4. Это число принадлежит промежутку [3; 4-оо), следовательно, уравнение (2) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень 4.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: Xj = 0 и х2 = 4.
Ответ. 0; 4.
И ПРИМЕР 2. Решим уравнение
(х + 2) • 22-1	21 — х = (х + 1)12х- 1| + 2х + 1.	(3)
Сначала решим уравнения 2х-1 = 0их-2 = 0и отметим на координатной оси полученные корни хг = 0, х2 = 2 (рис. 172). Получим три числовых промежутка: ____________в______*_________
(-со; 0), [0; 2] и (2; +со).	0	2	х
Решим уравнение (3) на каждом из ри этих промежутков.
1)	На промежутке (-оо; 0) по определению абсолютной величины | х - 21 = 2 - х, 12х - 11 = 1 - 2х. Поэтому на промежутке (—оо; 0) уравнение (3) равносильно уравнению (х 4- 2) • 2х - х = (х + 1) (1 — 2х) + + 2х + 1, которое можно переписать в виде 2(2х - 1)(х + 1) = 0.
Это уравнение имеет два корня: х} = — 1, х2 = 0, из которых только X] принадлежит промежутку (-оо; 0). Следовательно, на промежутке (-оо; 0) уравнение (3) имеет единственный корень хг= — 1.
2)	На промежутке [0; 2] имеем: |х - 2| = 2 - х, |2Х - 1| = 2х - 1. Поэтому на промежутке [0; 2] уравнение (3) равносильно уравнению (х + 2) • 2х - х = (х + 1)(2Х - 1) 4- 2х + 1, решением которого является любое х. Следовательно, любое х из рассматриваемого промежутка является решением уравнения (3).
3)	На промежутке (2; 4-оо) имеем: |х - 21 = х - 2, 12х - 11 = 2х - 1. Поэтому на промежутке (2; 4-оо) уравнение (3) равносильно уравнению (х + 2) • 24-х - х = (х 4- 1)(2Х - 1) + 2х + 1, которое можно переписать в виде (24 х - 2х) (х 4- 2) = 0.
Это уравнение имеет два корня: х3 = 2, х4 = -2, не принадлежащие рассматриваемому промежутку. Следовательно, на промежутке (2; 4-оо) уравнение (3) не имеет корней.
Итак, решением уравнения (3) является х± = -1 и любое х из промежутка [0; 2].
Ответ, {-1} U [0; 2].
Заметим, что иногда особенности решаемого уравнения могут подсказать более короткий способ решения.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
|х-1| = 2|х|-4.	(4)
306
Заметим, что левая часть уравнения (4) неотрицательна для любого корня уравнения (4), поэтому все корни уравнения (4) должны удовлетворять условию 2|х| - 4 0, т. е. условию |х| 2. Это означает, что все корни уравнения (4) принадлежат множеству Л/, являющемуся объединением двух промежутков: (-оо; -2] и [2; +оо). Решим уравнение (4) на каждом из этих промежутков.
1) На промежутке (-оо; -2] имеем |х - 1| =-(х - 1), |х| — -х, следовательно, на этом промежутке уравнение (4) равносильно уравнению —(х - 1) = -2х - 4, имеющему единственный корень хг = -5. Это число принадлежит промежутку (-оо; -2], поэтому уравнение (2) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень -5.
2) На промежутке [2; +оо) имеем |х - 1| = х - 1, |х| = х, следовательно, на этом промежутке уравнение (4) равносильно уравнению х - 1 = 2х - 4, имеющему единственный корень х2 = 3. Это число принадлежит промежутку [2; +оо), следовательно, уравнение (4) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень 3.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: Xj = -5 и х2 = 3.
Ответ. —5; 3.
Отметим еще специального типа уравнения с модулями. Их решают с помощью следующего утверждения.
Уравнение |/(х)| + |#(х)| = /(х) + g(x) равносильно системе f f(x) О
U(x)^0.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
|2х-4| + |Зх- 15| = 2Х-Зх + 11.	(5)
Если обозначить /(х) = 2х - 4, g(x) = -Зх +15, то /(х) + g(x) = = 2х- Зх + 11, т. е. к уравнению (5) можно применить сформулированное утверждение. Поэтому уравнение (5) равносильно системе |2х-4>0	(6)
[-Зх + 15^0.
Решения системы (6) составляют промежуток [2; 5]. Следовательно, и уравнение (5), равносильное системе (6), имеет те же решения.
Отвгг. [2; 5].
Решите уравнение (12.1—12.9): 12.1 а) |х - 11 = 2х + 4;	б)
в) |х - 11 + |х + 11 = 4;	г)
д) |х-1| + |х-2| + |х-3| = 2; е)
|х-2| = 2х+ 1;
|х - 3| + |х + 3| = 8;
|х+1| + |х-3| + |х-5| = 7.
307
Метод промежутков для уравнений и неравенств
12.2 а) |х - 11 = х2 - 5х + 4; в) | х - 31 = х2 - 6х + 3;
12.3 а) | х2 + 4х + 21 = х + 2; в) | х2 - 2х - 21 = -х + 4;
12.4	а) в)	|х2 - х - 11 = х2 + 2х + 1; | х2 - 2х - 41 = х2 - 4х + 4;
12.5	а)	|2х- 4| + |х - 51 = v х - 1| + х - 1
	в)	|2х-5| + |х + 2| _ |х-3|+х-3
б) | х - 21 = х2 - 4х - 2;
г) | х - 41 = х2 - 2х - 2.
б) |х2 + 6х + 7| = -х-3;
г) | х2 - 4х + 11 = х + 1.
б) | х2 - 2х - 21 = х2 - 4х + 6;
г) | х2 - 4х + 21 = х2 - 6х + 10
|2х-1|-|х-5| _
'	|х+1|—х—1
|2х — 3| — |х + 3| =
| х - 4| - х + 4
12.6 а)	|*+И X + 1	1* + з| х + 3	= 0;	б)	|х-1| | х - 1	|ж+ 41 = -2; х + 4
	|х-3|-|	X - 2|			|х-3|-	|х-2| Л
в)			= 0;	г)	-	1	J	7Г = °*
	|х + 1| +	X + 1			х - 4 - I	х - 4|
12.7 а) |9 - Зх| + |х — 6| = 3х - х + 9;
б) 127 - Зх| + |х - 5| = 3х - х + 14.
12.8
Докажите, что уравнение |/(х)| + |g(x)| = f(x) + g(x) равно-
сильно системе <
/(х) О
£(*)> 0.
12.9 Решите уравнение:
ч I	1 •	1		л/з	1+ Уз
а)|	sin X	 1	2	+	COS X	 2	= sin x + cos x		—; 2
	1 1		v3	_ Уз - 1.
б)	sinx		+	sin x ——	
	2 1		2	2 ’
в) | 2х - 4| + 14 - Vx | = 2х - л/х;
г) |log3x - 2| + |х2 - Их + 181 = log3x - х2 + Их - 20.
12.2. Неравенства с модулями
Пусть дано неравенство
/(х) > 0,	(1)
такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций 1Л(*)|, 1Л(х)1. •••> 1Л(*)1-
Для решения таких неравенств обычно применяют метод промежутков, суть которого заключается в следующем.
308
Пусть дано неравенство (1). Сначала решают каждое из уравнений = 0, f2(x) = 0, ...» fn(x) = 0, затем отмечают на координатной оси все найденные корни.
Таким образом, вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков (каждый из концов промежутка включают в один из двух соседних промежутков). Будем считать, что на каждом промежутке все функции Д. (х) непрерывны, тогда на каждом интервале между точками деления все функции fi(x) знакопостоянны. Поэтому для них на этом промежутке или |/;(х)| = Й(х), или | /< (х)! =	(х). В результате на каждом таком промежутке неравенст-
во заменяется на другое неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному неравенству на этом промежутке, затем отыскиваются все решения того неравенства, которое на этом промежутке получается. Наконец, отбираются из них те, которые попадают в данный промежуток. Они и составляют множество всех решений исходного неравенства на рассматриваемом промежутке. Для того чтобы выписать множество всех решений исходного неравенства, объединяют все его решения, найденные на всех промежутках.
ПРИМЕР 1 Решим неравенство
|х2 - 4| + |х + 11 - 3 > 0.	(2)
----Zo-Zi-------о----Сначала решим уравнения х2 — 4 = 0
и х + 1 = 0 и отметим на координатной  Рис. 173	оси полученные корни: х1 - -2, х2 = -1
и х3 = 2 (рис. 173).
Получим четыре числовых промежутка: (-оо; -2], (-2; -1), [-1; 2), [2; +оо).
Решим неравенство (2) на каждом из этих промежутков.
1) На промежутке (-оо; —2] по определению абсолютной величины |х2 - 4 | = х2 - 4, |х + 1| = —х — 1. Следовательно, на этом промежутке неравенство (2) равносильно неравенству
х2-4-х-1-3>0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество его
решений есть множество -оо;
Из этого множества в
промежутке (-оо; -2] содержится
лишь интервал
1- V33
—оо; ------
’	2
неравенства (2) на промежутке (—оо; —2] составляет интервал (	1- л/зз")
—оо; ------- .
2
. Следовательно, множество решений
Я 309
Метод промежутков для уравнений и неравенств
2) На промежутке (—2;-1) имеем |х2 - 41 = -х2 + 4, |х 4- 11 = = —х — 1. Поэтому на этом промежутке неравенство (2) равносильно неравенству -х2 + 4- х-1-3>0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество всех его решений составляет интервал (-1; 0). Ни одного числа из этого интервала не содержится в промежутке (-2; -1). Следовательно, на промежутке (-2; -1) неравенство (2) не имеет решений.
3) На промежутке [-1; 2) имеем |х2 - 4| - -х2 + 4, |лг-ь 11 = = х + 1. Поэтому на этом промежутке неравенство (2) равносильно неравенству -х2 + 4 + х+1-3>0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество всех его решений составляет интервал (-1; 2). Все это множество содержится в промежутке [-1; 2). Следовательно, множество всех решений неравенства (2) на промежутке [-1; 2) составляет интервал (-1; 2).
4) На промежутке [2;+оо) имеем |х2-4| = х2-4, |х + 11 = = х + 1. Поэтому на этом промежутке неравенство (2) равносильно неравенству х2-4 + х+1-3>0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество всех его решений есть множество (-оо; -3) U (2; +оо). Из этого множества в промежутке [2; +оо) содержится лишь интервал (2; +оо). Следовательно, множество всех решений неравенства (3) на промежутке [2; +оо) составляет интервал (2; +оо).
Объединяя множества решений, найденные на рассмотренных промежутках, получаем, что все решения неравенства (2) составля-(	1 — д/зз
ют множество -оо; ------- U (-1; 2) U (2; +оо).
Ответ, -оо; i—1 U (-1; 2) U (2; +оо).
I 2	7
I ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(х + 4) • З1 -1 х - 11 - х < (х + 1) • 13х - 11 + 3х + 1 + 1.	(3)
Сначала решим уравнения х - 1 - 0 и ------*------*-----------------*-
3 х - 1 = 0 и отметим на координатной	0	1*
оси полученные корни: хх = 1 и х2 = 0	 Рис. 174
(рис. 174).
Получим три числовых промежутка: (-оо; 0), [0; 1], (1; +оо). Решим неравенство (3) на каждом из этих промежутков.
1)	На промежутке (-оо; 0) по определению абсолютной величины | х - 11 = 1 - х, 13х - 11 = 1 - 3х. Поэтому на этом промежутке неравенство (3) равносильно неравенству
(х + 4) • 3х - х < (х + 1)(1 - 3х) + Зх+ 1 + 1,
*31310
которое можно переписать в виде
2(х + 1)(3Х- 1) < 0.	(4)
Так как для любого х из рассматриваемого промежутка 3х - 1 < 0, то все решения неравенства (4) есть решения неравенства х + 1 > 0, т. е. все х е (-1; +оо). Из них рассматриваемому промежутку принадлежат только х из интервала (-1; 0). Следовательно, множество всех решений неравенства (3) на промежутке (—оо; 0) составляет интервал (-1; 0).
2)	На промежутке [0; 1] имеем | х - 11 = 1 - х, 13х - 11 = 3х - 1. Тогда на этом промежутке неравенство (3) равносильно неравенству (х + 4) • 3х - х < (х + 1) • (3х - 1) + 3х + 1 + 1, которое можно переписать в виде
(х + 4) • 3х < (х + 4) • 3х.	(5)
Очевидно, что нет ни одного х, удовлетворяющего неравенству (5). Следовательно, на рассматриваемом промежутке неравенство (3) не имеет решений.
3)	На промежутке (1; +оо) имеем |х- 1| = х - 1, |3Х - 1| = 3х - 1. Тогда на этом промежутке неравенство (3) равносильно неравенству
(х + 4)  З2 “ х - х < (х + 1) • (3х - 1) + 3х + 1 + 1, которое можно переписать в виде
(х + 4) • (З2 " х - 3х) < 0.	(6)
Так как для любого х из рассматриваемого промежутка х + 4 > 0, то все решения неравенства (6) есть решения неравенства З2 _ х < 3х, которое равносильно неравенству
2 - х < х.	(7)
Множество решений неравенства (7) есть интервал (1; +оо). Все эти х принадлежат рассматриваемому промежутку. Следовательно, множество всех решений неравенства (3) на промежутке (1; +оо) есть весь этот промежуток.
Объединяя решения, найденные выше, получаем, что множество всех решений неравенства (3) есть объединение двух интервалов: (-1; 0) и (1; +оо).
Ответ. (-1; 0) U (1; +оо). ф
Решите неравенство (12.10—12.16):
12.10 а) |3х - 6| > х + 2;	б)	12х -	51 <	х - 1;
в) |3х - 7| > 2х - 3;	г)	|2х -	7| <	0,5х +	2.
~j 311
Метод промежутков для уравнений и неравенств
12.11	а)	|ж - 11 + 10 ,	б)	|х-2| + 8 .	।	о,
		4|х - 1| + 3		3|х - 2| + 1
		|х-3| + 6		|х-2| + 7
	в)	тг	—г < 4;	г)	-Ц	Ц— > 1-
		2|х - 3| + 1		3|х-2| + 2
12.12	а)	|х + 11 + |х + 31 < 8;	б)	|х + 2| + |х + 4| < 6;
	в)	| х + 31 + | х — 21 > 5;	г)	|х + 7| + |х + 1| > 9.
12.13*	а)	|х2 - 9| + |х + 4| 7;	б)	|х2 - 161 + |х - 5| 9;
	в)	|х2-4| + |х-3|^5;	Г)	|х2 — 1| + |х - 2| С 3.
12.14	а)	1—+ ।х ~ 2J > 0;	б)	|х-5| + |х-6|>2;
		х - 1 х - 2		х - 5 х - 6
		|х —5:-|х —3| Л		|х-7|-|х-3| Л
	в)	II _	_	Ij	J 	 1	ф	г)	।	।	1	Л
		|х - 2| + х - 2		х - 8 - |х - 8|
12.15	а) 21 х | (х2 - 4х + 3) + х | х2 - 4х + 31 > 0;
б)	21 х - 11 (х2 - 4х + 3) + (х - 1) | х2 - 4х + 31 < 0;
в)	21 х | (х2 - 5х + 6) + х | х2 - 5х + 61 0;
г)	21 х - 11 (х2 - 5х + 6) + (х - 1) | х2 - 5х + 61 0.
12.16	* а) (х + 2) • 22 'х-21-х<(х + 1) ♦ |2Х- 1| + 2х + 1;
б) (х + 2) • 41" । - 11 — х < (х + 1) • |4Х— 1| + 4х + 1.
12.3. Метод интервалов для непрерывных функций
Пусть надо решить неравенство /(х) > 0 (или /(х) < 0). Пусть М — область существования функции f (х) — состоит из объединения конечного числа промежутков Xki k = 1, 2, и, занумерованных в порядке следования слева направо. При этом если п > 1, то промежутки и Хп могут быть бесконечными: (-оо; а) или (-оо; а] и (д; +оо) или [&; +оо), а промежутки Х2, ...» Хп _ х соответственно могут быть отрезками [с; d], полуинтервалами [с; d), (с; d] и интервалами (с; d), где а, &, с, d — данные числа и с < d.
В случае же п = 1 множество Хг может быть любым из перечисленных промежутков, а также промежутком (-оо; +оо).
Рассмотрим случай, когда на каждом из промежутков Xk функция f(x) непрерывна и имеет конечное число нулей.
Сначала проверим справедливость неравенства в каждой точке — конце отрезка или полуинтервала Xk, k=l, 2, ..., п. Затем, исключив из множества М все эти концы отрезков и полуинтервалов и все нули функции f (х), получим множество Мг, состоящее только из интервалов (при этом некоторые из промежутков Xk могут разбиться на конечное число интервалов). На каждом из полученных интервалов функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль. Зна-
312
чит, на каждом из них она сохраняет постоянный знак, т. е. для каждого х из этого интервала она принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения. Выбирая в каждом из них некоторую точку х0 и определяя знак f (х0), этот знак ставят над каждым интервалом. Тогда решения неравенства /(х) > 0 на множестве составляют объединение тех интервалов, над которыми поставлен знак «+», а решения неравенства f(x) < 0 на множестве составляют объединение тех интервалов, над которыми поставлен знак «-». Объединяя решения, найденные на множестве М± и в точках — концах отрезков и полуинтервалов, получим множество всех решений данного неравенства.
-3 -2 -11	4 х
 Рис. 175
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
2^2 - 1 (4 - x)log3(3 + х) > 0.	(1)
Область существования функции
f (X) = 2'^ - 1 (4 - X) log3(3 + х),	(2)
множество М, состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям х2 - 1	0 и 3 + х > 0, т. е. множество М есть объедине-
ние промежутков (-3;-1] и [1; +оо). Так как /(-1) = 5 log3 2 > 0, /(1) = 31og34 > 0, то точки хх = -1, х2 = 1 — концы полуинтервалов — удовлетворяют неравенству (1).
Нули функции (2) есть х3 = 4, х4 = -2. Исключив их и концы полуинтервалов из множества М, получим множество Mj, состоящее только из интервалов (—3; -2), (-2; — 1), (1; 4), (4; +оо) (рис. 175). Функция
/(х) непрерывна на каждом из этих интервалов. Определим знак функции (2) на каждом из этих интервалов.
Поскольку -2,5 е (-3;-2) и /(-2,5) < 0, -1,5е(-2;-1) и /(-1,5) > 0, 2 g (1; 4) и /(2) > 0, 5 е (4; +оо) и /(5) < 0, то на интервалах (-3; -2) и (4; +оо) функция принимает отрицательные значения, а на интервалах (-2; -1) и (1; 4) — положительные значения.
Следовательно, множество всех решений неравенства (1) есть объединение интервалов (-2; —1) и (1; 4) и точек хх = —1, х2 = 1.
Ответ. (-2; -1] U [1; 4).
Если надо решить нестрогое неравенство /(х) > 0 (или /(х) 0), то к полученному описанным выше способом множеству всех решений неравенства /(х) > 0 (или /(х) < 0) надо добавить все нули функции.
(2х + 5)
ПРИМЕР 2. Решим неравенство £ 16* - 2
(4'-32)£с + 5
(3)
313	Метод промежутков для уравнений и неравенств
Область существования функции fl А (2х + 5)1 16*- 2
f (х) = -----
(4х- 32)/гн- 5
состоит из всех х, которые одновременно удовлетворяют условиям х > -5, 4х =£ 32 и х Ф 0, т. е. множество М есть объединение трех интервалов: (-5; 0), (0; 2,5) и (2,5; +оо).
Нули функции /(х) есть х1 = -2,5, х2 = 4. Исключив их из множества М, получим множество Л4\, состоящее из интервалов (-5; -2,5), (-2,5; 0), (0; 2,5), (2,5; 4) и (4; +оо). Функция f (х) непрерывна ~	----п---
на каждом из этих интервалов. Опре- &	и	4
делим знак функции /(х) на каждом ц рИс. 176 из них (рис. 176).
Поскольку -3 е (-5; -2,5) и /(-3) < 0, -1 е (-2,5; 0) и /(-1) > 0, 1 е (0; 2,5) и /(1) < 0, 3 е (2,5; 4) и /(3) > 0, 5 е (4; +оо) и /(5) < 0, то на интервалах (-5; -2,5), (0; 2,5) и (4; +оо) функция принимает отрицательные значения, а на интервалах (-2,5; 0) и (2,5; 4) — положительные значения.
Следовательно, множество всех решений неравенства (3) есть объединение интервалов (-2,5; 0), (2,5; 4) и чисел хх = -2,5 и х2 = 4 — нулей функции /(х).
Ответ. [-2,5; 0) U (2,5; 4]. •
12.17° Объясните на примере, в чем заключается метод интервалов для непрерывных функций.
Решите неравенство (12.18—12.23):
12.18	а)	(х — 2)(х2 — 2х +11) > 0< х - 7	б)	(X - 3)(х2- 5х + 8) < X + 1
	в)	(х - 3)(х2 — лх + 5) > 0> х - 4	г)	(х + 1)(х2 ех + 4) < 0 х + 5
12.19	а)	(2x-8)(lgx- 1) _ > 0> (log 1 х + 1)712 - х	б)	(3х - 81)(log2 х — 2) <0. (log, х + 1)75- х
	в)	2К*2<^- l>-(lOg„ 2Z+ 1)	г)	1О'«'*-3 .(log02.x4-l)
		| X - 417б - х		(log2 х - 3) 78 - х
12.20	а)	(х2 - 4х)79 - х2 0;	б)	(х2 — х — 30) 7х2 - 4 « 0;
	в)	(х2-6х + 8)7х2-9 3=0;	Г)	(х2 - х - 12) 7*2 “ 4 > 0.
314
12.21
а)
(х - 2)4 (1 + log0>5 х)
в)
2х - 7
(х - 4)2(2 + log j х)
3
0;
б)
г)
12.22
а)
12.23
а)
б)
2х-1+6*4х+1
3- 4х- 10- 2х-1— 28 ""
2'/*2 ~ 9 (х - 5) log6 (9 - х) < 0;
3'/х2 - 16 (6 - x)log2 (12 + х) > 0.
б)
(Зх - 1)2(х-3) <
2х- 4	’
(х2- Их + 10)(lgx - 1) (2х-2)2
5-2х-'-2- 4х-26
3- 4х — 7 - 2х-1- 34
§ 13*. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
Имеется довольно много уравнений и неравенств, которые можно (и нужно) решать не описанными выше методами, а с использованием свойств функций, входящих в это уравнение или неравенство. Часто оказывается, что такой метод дает возможность решить уравнение или неравенство проще, чем с помощью описанных выше методов, а иногда решить их в тех случаях, когда эти методы не дают такой возможности.
В данном параграфе приведено несколько методов решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций.
13.1*. Использование областей существования функций
Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения (неравенства), достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
З'м' = lg(l + д/х2 - 4) + Зх - х2 - 1.	(1)
Обе части уравнения (1) определены лишь для таких х, которые удовлетворяют системе неравенств
{4 - х2 0
4-х2^0.	(2)
М 315 Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
Все решения системы (2) состоят из двух чисел: х± = 2 и х2 = -2. Поэтому если уравнение (1) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число хг удовлетворяет уравнению (1), а число х2 ему не удовлетворяет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень хР
Ответ. 2.
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(7х2 - 6х + 5 +1) logs f + 7	- 2х2 - 10 +1) > 0.	(3)
Обе части неравенства (3) определены лишь для таких х, которые удовлетворяют системе неравенств
х > 0
< х2 - 6х + 5 0	(4)
12х-2х2-10^ 0.
Системе неравенств (4) удовлетворяют лишь два числа: хх = 1 и х2 = 5. Поэтому если неравенство (3) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число х2 удовлетворяет неравенству (3), а число хх — нет. Следовательно, неравенство (3) имеет единственное решение х2.
Ответ. 5.
Если множество М, на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то ответ в таком случае ясен — уравнение (неравенство) не имеет решений.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
71 - х2 > 1g (х - 2).	(5)
Обе части неравенства (5) определены лишь для таких х, которые удовлетворяют системе неравенств
1 - х2 0
х - 2 > 0.
Эта система неравенств не имеет решений. Поэтому множество, на котором определены обе части неравенства (5), — пустое множество. Следовательно, неравенство (5) не имеет решений.
Ответ. Нет решений.
Иногда знание множества М, на котором определены обе части уравнения (неравенства), помогает его решать даже в случае, когда множество М — бесконечное множество чисел.
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
2Vcosx-l + log2(x2 + 1) > sinx -|_ 1.	(6)
j 316
Обе части неравенства (6) определены лишь для таких х, для которых cosx 1. Учитывая, что cosx 1 для любого х, получаем, что обе части неравенства (6) определены лишь для таких х, для которых cosx = 1, т. е. для xk = 2л/г, k е Z. Поэтому если неравенство (6) имеет решения, то они могут быть только среди этих чисел xk. Так как
2'COS*A -1 + log2(x^ + 1) = 1 + log2 (4/г2л2 + 1), а sinx,, + 1 = 1, то остается выяснить, для каких k справедливо неравенство
Iog2(4/?2K2 + 1)>0.	(7)
Очевидно, что для k = 0 неравенство (7) не выполняется, а для любого k Ф О выполняется. Следовательно, все решения неравенства (6) составляют числа хк = 2л£, k g Z, k + 0.
Ответ. 2лА?, k g Z, k 0.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
Vx3 + 2 + 7х3- 2 = 1.	(8)
Обе части уравнения (8) определены лишь для таких х, которые удовлетворяют системе неравенств
х3 + 2 0
х3 - 2 > О,
т. е. на множестве М = [V2; +оо). Поэтому если уравнение (8) имеет решения, то они принадлежат множеству М.
Для каждого х g М имеем ^х2 + 2 + д/х3 - 2 д/х3 + 2 ^2, т. е. любое х g М не удовлетворяет уравнению (8). Следовательно, уравнение (8) не имеет решений.
Ответ. Нет решений.
Решите уравнение (13.1—13.2):
13.1 а) бд/-*2 + 9х - 14 - 2^/х2 - 5х - 14 - 1 = sin^;
б)	З^-х2 + 11х - 30 - 4^/х2 - 7х + 6 = sin лх;
в)	2001^х2 - 9 + 2002-79 - х2 = cos-^;
г)	2003Vx2 - 4 + 2004 74 - х2 = tg^-.
&
13.2 a) + 3 = 1g (1 + 7*2 - 16) + х;
б)	9'1-	- 2 = lg (1 + 7х2 - 1) + х;
в)	7*3 + 8 + Ух3-8 = 2; г) - 32 + ^х5 + 32 = 2.
317 Использование свойств функций при решении уравш’ннй и неравенств
Решите неравенство (13.3—13.5):
13.3 а) *2 + у]х2 - 7х- 8 > -6; б) л *2 4- ^х2 - х - 6^6; в) ^х2 - 4х - 5 4- lg (1 + ^8х - 2х2 4-10) < 6;
г)	д/х2 - х - 6 +	+ 51g (12 + X) « 6.
13.4	а) (^х2 - 81 + 2)log3|x | + ^(V81- х2 + 1) > 4;
б)	(7х2 - 16 + l)log3(x2 - 7) - f (V16-X2 + 3) < 0;
в)	^\х2 - 7х 4-10 > lg(7?x - х2 - 10 4- 2);
г)	-J*2 4- 7х 4-10 < 1g (-5х 4- у]-х2 - 5х - 6).
13.5	а) 3^31П х “1 4- log3 (х2 4- 3) > cos х 4- 2;
б)	4^cosx“ 1 4-log3 — > cosx 4-1.
13.2". Использование неотрицательности функций
Пусть функция F(x) есть сумма нескольких функций
Г(х) = Л(х)4-... + Гп(х),
каждая из которых неотрицательна для любого х из области ее существования. Тогда справедливы следующие утверждения:
а)	Уравнение F(x) - 0 равносильно системе уравнений
А(х)=О
7,М.»	(11
/п<*)=0.
б)	Неравенство F (х) 0 равносильно системе уравнений (1).
Например, уравнение /2(х) 4- /|(х) 4-... + f2 (х) — 0 и неравенство
1Л(х)| + 1/г(х)1 + ••• + |/л (х)| 0 равносильны системе уравнений (1).
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
х4 + 5 • 4х + 4х2  2х - 2 • 2х 4- 1 = 0.	(2)
Перепишем уравнение (2) в виде
(х2 4- 2 • 2х)2 + (2х - I)2 = 0.	(3)
1318
Каждая из функций (х2 + 2 • 2х)2 и (2х - I)2 неотрицательна для любого х е R, поэтому уравнение (3) равносильно системе уравнений 2Х"1 = 0	(4)
х2 + 2-2х = 0.	'
Первое уравнение системы (4) имеет единственное решение Xj = 0, которое не удовлетворяет второму уравнению системы (4). Следовательно, система (4), а значит, и равносильное ей уравнение (2) не имеют решений.
Ответ. Нет решений.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
1 - ^1- х2 - х4 + log2(l + х2) = 0.	(5)
Каждая из функций 1 -	- х2 - х4 и log2 (1 + х2) неотрицатель-
на для любого х из области ее существования.
Поэтому уравнение (5) равносильно системе уравнений < X2 ~ X4 = 1	(6)
log2 (1 + х2) = 0, имеющей единственное решение X] = 0.
Следовательно, уравнение (5), равносильное системе (6), имеет единственное решение хР
Ответ. 0.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство д/х2 - 7х + 12 + 1g2 (х2 - 4х + 1) < 0.	(7)
Каждая из функций у = д/х2 - 7х +12 и у = 1g2 (х2 - 4х + 1) неот-рицательна для любого х из области ее существования. Поэтому неравенство (7) равносильно системе уравнений х2 - 7х + 12 = 0 1g2 (х2 - 4х + 1) = 0.
Первое уравнение системы (8) имеет два решения: xt = 3 и х2 = 4. Из этих чисел только число х2 удовлетворяет второму уравнению системы (8). Следовательно, система (8), а значит, и равносильное ей уравнение (7) имеют единственное решение х2.
Ответ. 4.
Решите уравнение (13.6—13.9):
13.6	a) (log2(x - 5) - sin7tx)22+ (х - 6)2 = 0; б) | log3 (х-2) - sin ** 1 + (х - 5)2 = 0.

Использование свойств функций при решении уравнений и в г равенств
13.7	а)	9х - 2 • 6х + 2 • 4х - 2 • 2х + 1 = 0;
б)	25х	- 5 • 10х + 29 • 4х" 1 - 4 • 2х + 4 =	0.
13.8	а)	д/*2	- 5х - 14 + |log06(x2 - 14х + 50) |	= 0;
б)	у]х2	- 8х 4-15 4- |log07(x2 - 10х + 26)|	= 0.
13.9 a) log2(x2 + 2х + 2) + log3(x6 + 2х5 4- х4 + 1) = 0;
б)	log4(x2 + 4х + 5) + log5(x6 + 4х5 + 4х4 + 1) = 0;
в)	log6(x2 + 6х+ 10) 4- log2 (л/х 4- 2 4- 2) = 0;
г)	log8(x2 + 8х + 17) + log| (у/х - 28 + 3) = 0.
Решите неравенство (13.10—13.11):
13.10	а) (х2 + 4х - 21)2 4- 1g (х2 - 6х 4- 10) 0;
б)	(х2 - Зх - 4)2 + 1g (х2 - 8х + 17) 0.
13,11	а) ^х2-8x4-15 + 1g(х2 - 10х 4- 26) 0;
б)	у)х2 - 6х + 8 4- 1g (х2 - 8х + 17) 0.
13.12	Докажите, что не имеет корней уравнение:
а)	х6 4- 2х5 4- 2х4 4- 2х3 4- 2х2 4- 2х + 2 = 0;
б)	х6 4- 2х5 4- 2х4 4- 2х3 4- 2х2 4- 4х 4- 4 = 0.
13.3*. Использование ограииценности функций
Пусть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функций /(х) и g(x) и пусть для любого х е М справедливы неравенства /(х) А и g(x) А, где А - некоторое число. Тогда справедливы следующие утверждения:
а)	Уравнение /(х) = g(x) равносильно системе уравнений
f (х) = А <	111
I & (уЧ = Л	' '
б)	Неравенство f(x) g(x) равносильно системе уравнений (1).
 •	- -	...	5 •	-у.х:> и ‘
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
4х2 + 4х+17 = -jr^—?•	(2)
Обе части уравнения (2) определены для всех х. Перепишем уравнение (2) в виде
320
Очевидно, что для любого х справедливы неравенства
Следовательно, уравнение (3) равносильно системе уравнений
Эта система не имеет решений. Следовательно, и равносильное ей уравнение (2) не имеет решений.
Ответ. Нет решений.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
cos2 (х sinx) = 1 + |log5(x2 - х + 1)|.	(4)
Пусть множество М есть общая часть областей существования функций cos2(хsinx) и 1 + ’logsCx2 - х + 1)|, тогда для любого х g М имеем
cos2(хsinx) 1; 1 + |log5(x2 - х + 1)|	1.
Следовательно, уравнение (4) равносильно системе уравнений {cos2 (х sin х) = 1
I logs (х2 - JC +1)1 = 0.	°
Второе уравнение системы (5) имеет два корня: xY = 0 и х2 = 1. Из этих чисел только число хг удовлетворяет первому уравнению системы (5). Следовательно, система (5), а значит, и равносильное ей уравнение (4) имеют единственное решение хг.
Ответ. 0.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
1g (х2 + 2х + 2) + 5 4 - 2х - х2.	(6)
Обе части неравенства (6) определены для всех действительных чисел х. Для любого х имеем 1g (х2 + 2х + 2) = lg ((х + I)2 + 1) 0, поэтому 1g(х2 + 2х + 2) + 5 5* 5; 4 - 2х - х2 = 5 - (х + I)2 5. Следовательно, неравенство (6) равносильно системе уравнений
| lg (х2 + 2х + 2) + 5 = 5
|4- 2х- х2 - 5,
321 Использование свойств функции нри решении уравнений и неравенств
которая, в свою очередь, равносильна системе уравнений flg(x2 + 2х + 2) = 0	_
[(х + 1)2=0.	Ш
Единственное решение второго уравнения системы (7) есть xr = -1. Это число удовлетворяет первому уравнению этой же системы. Следовательно, система (7), а значит, и равносильное ей неравенство (6) имеют единственное решение хх.
Ответ. -1.
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
|lg(x - 2)| + 1 -cosrcx.	(8)
Обе части неравенства (8) определены на множестве М = (2; +оо). Для любого х е М имеем
|lg(x - 2)| + 1	1, —cos тех 1.
Поэтому неравенство (8) равносильно системе уравнений [lg(x-2)=0 [COS7CX = -1.
Первое уравнение системы (9) имеет единственное решение х0 = 3, которое удовлетворяет второму уравнению этой системы. Следовательно, система (9), а значит, и равносильное ей неравенство (8) имеют единственное решение х0.
Ответ. 3.
При решении уравнений (или неравенств) часто применяют различные числовые неравенства. Например, неравенство
а + | > 2,	(10)
справедливое для любого положительного числа а.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
2х + 2-* = 2 cos	(11)
Обе части уравнения (11) определены для всех х. Для любого х, применяя неравенство (10), получаем, что справедливо неравенство
2х + 2~х 2.	(12)
Для любого х справедливо неравенство
2cos^p^2.	(13)
11-Никольский, 11 кл.
^322
Из справедливости неравенств (12) и (13) следует, что уравнение (11) равносильно системе уравнений
2х + 2~х = 2
Решим ее. Первое уравнение системы (14) имеет единственное решение хг = 0, которое удовлетворяет и второму уравнению этой же системы. Поэтому система (14), а значит, и равносильное ей уравнение (11) имеют единственное решение хг.
Ответ. 0.
ПРИМЕР 6. Решим неравенство
Сг
tg2x + ctg2x 2cos2 J— - х2.	(15)
V 16
Пусть М — общая часть областей существования функций tg2 х, О
ctg2 х и cos2,/—-х2. Тогда для любого хеМ, применяя неравен-
V 16
ство (10), имеем
tg2x + ctg2x > 2.
Очевидно, что для любого х g М
2 cos2,/---х2 2.
V 16
Следовательно, неравенство (15) равносильно системе уравнений [ tg2 х + ctg2 х = 2
Из последнего уравнения системы (16) находим его решения л	л _
Xj = — и х2 = ——. Подставляя эти числа в первое уравнение систе-
мы (16), получаем, что они являются его решениями. Поэтому числа Xi и х2 являются решениями системы (16). Следовательно, неравенство (15), равносильное системе (16), имеет те же решения.
Ответ. —; - —.
4	4
Ограниченность функций на том или ином множестве — части области существования функции — также может использоваться при решении уравнения или неравенства.
ПРИМЕР 7. Решим неравенство
log2(x + 2)> —(17) jC I V/ у О
323 Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
Обе части неравенства (17) определены для всех х, удовлетворяю-
щих системе неравенств
х+2>0	п ,,
, л е т. е. на множестве М = (-2; -0,5) U х^-0,5,
U (-0,5; +оо). Следовательно, все решения неравенства (17) содержатся во множестве М.
Рассмотрим неравенство (17) сначала на множестве
Mi = (-2; -0,5). Для любого х е имеем
О	Г	1
log2(x +2) < log2 - < 1;	=
Следовательно, среди этих х нет решений неравенства (17).
Теперь рассмотрим неравенство (17) на множестве М2 = (-0,5; 0).
Для любого х g М2 имеем
log2 (х + 2) > log2 | > 0;	*	< 0.
Zj	X < U,О
Следовательно, любое х из множества М2 является решением неравенства (17).
Наконец, рассмотрим неравенство (17) на множестве М2 = [0; +оо). Для любого х G М3 имеем
log2(x + 2)>l;
х + 0,5 2х + 1 < 1
Следовательно, любое х из множества М3 является решением неравенства (17).
Объединяя все полученные выше решения, получаем, что все решения неравенства (17) составляют промежуток (-0,5; +оо).
Ответ. (-0,5; +оо).
Решите уравнение (13.13—13.17):
13.13	a) 1g (х2 + 1) + 1 = cos7ix;
б)	lg (1 + |х - 2|) + 2 = 11 + cos тех |;
в)	3 - lg(x2 - 10х + 26) = 7*2 - Юх + 34;
г)	2 - lg (1 + | х - 61) = 7*2 ~ 12х + 40. 2
13.14	а) х2 - лх +— = sinx-l; б) х2 - 4лх + 4л2 = cosx - 1; 4
в) х2 + 2лх + л2 = sinx - 1; г) х2 - 2лх + л2 = cosx — 1.
13,15
а)
б)
2 cos2 (х sin лх) = 2 + log2 (х2 - 4х + 5);
3sin2
лх . лх ----sin	 2---2
3 + log3 (х2 - 6х + 10).
11*
324
-______
13.16	a) |lg(x - 3) | 4-2 = | costix 4-11;
6)	| lg (x - 2) | + 1 = -cos лх;
в)	|lg(x- 5)1 + 2 = 74-(x-6)2;
r)	|lg(x- 4)| + 3 = V9-(x-5)2.
13.17	a) 2cos2(xsinx) = 2 + |log2(x2 - 4x 4- 1)|;
6)	3 sin2 I — • sin — | = 3 + log3 (x2 - 6x 4- 10).
I 2	2 J
Решите неравенство (13.18—13.20):
7Г2
13.18	a) x2 - ях + — ^3sinx-3;
4
6)	-x2 + 2nx - я2 > 2 cos x + 2;
в)	log2(x2 4- 4x 4- 5) -4 - 4x - x2;
r)	log0 6(x2 ~ 6x + 10) x2 - 6x + 9.
13.19	a) log2(x 4-2) > 1 - x;	6) log2(x + 4) <-1 - x;
в) log0j5(x - 2) > x - 3;	r) log0t5(x 4- 2) < x - 1.
13.20	a) log0>2(-x2 4- 6x - 8) -9 4- 6x - x2;
6)	3cos2x 3 + |log5(x2 - 4x + 1)|.
Решите уравнение (13.21—13.23):

13.21
a)
2 - sin2
2001x.
2002 ’
6)	(log23)x + (log32)x = 2 - cos2 Г4Г-1
в)	-	+ -	= 1 + cos 2лх;
I 3 J I 4 J
13.22
x Jsin2 X 4- 5 4- Jcos2 X + 4	4/ . 9 ITT 9	~
a)		= y(sin2 x 4- 5) (cos2 x 4- 4);
Jsin2 x4- sin x 4- 5 4- Jsin x 4- 6	4/. . 9	: —;_4Z .	~
6)------	---------------= у (sin2 x 4- sin x 4- 5) (sin X 4- 6);
2
в)	^31og2 x 4- 5 4- ^log2 x 4-1 = 2 ^/(31og2 x 4- 5)(log24-1);
r) J2- |lg2 X 4- Jig4 X 4- I = 24/(2- |lg2 xVlg4 X4-|L V"	V	V \	J \	J
325 Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
,5Л2	2
-----X* •
16______
= 2 cos2 J— - x2
V 4
13.23*
a)	tg2 х + ctg2 х = 2 sin2
cos2 2х + sin8 х sin8 x cos2 2x
Решите неравенство (13.24—13.26):
13.2	4* а) д/х2 + x + 1 +	1 —	2 - In2 (x2 + x + 1);
д/х2 + x + 1
б)	д/х2 - 3,5x + 3,5 +	1	2 - sin2 лх.
д/х2 - 3,5x + 3,5
о or	ч	Jsin x + 2	+ Jcos x +	2	tr.---------7----7
13.2	5	a)	-—----—---------v sin x cos x + 2 sin x + 2 cos x + 4;
Jsin x + 2	+ Jcos x +	3	4Г7-—:-----------—
6)	-------—=--------Vsm x cos x + 3 sm x + 2 cos x + 6.
1	7Г2
13.26* a) | sin x | + :-r 2 - x2 - лх-;
| sin x |	4
6) | cos x | + :—-—r 2 - x2 + 2лх - я 2; |cos x |
X I X I 1^0 о 7ГХ 7C2
B) ltgxl+i^2-x +1--16;
Г) |ctgx| + raC2"X -2 "16-
13.4*. Использование монотонности
и экстремумов функций
При решении уравнения или неравенства часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих. При этом часто пользуются следующим утверждением.
Пусть функция /(х) возрастает, а функция g(x) убывает на промежутке М — общей части (пересечении) областей существования этих функций. Если число х0 е М и справедливо равенство /(х0) = 8(хоЪ то х0 — единственный корень уравнения
/(x) = g(x).	(1)
*	’ "> <П В U •
Доказательство. Пусть число хг е М. Тогда:
если X! < х0, то /(xj) < /(х0) = g(x0) < gix^ т. е. /(хг) < g(xj;
если Х!>х0, то f(x1)>/(x0) = g(x0)>g(x1), т. е. f{xx) > g(xY).
W326
saSi—__ ______________________________________________________
Это означает, что ни одно из чисел х * х0 из промежутка М не может быть корнем уравнения (1), а так как справедливо равенство /(х0) = £(*о)> то хо — единственный корень уравнения (1). Тем самым утверждение доказано.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
^/2х + 7 = V19-X.	(2)
Функция /(х) = ^2х + 7 возрастает, а функция g(x) = V19 - х убывает на промежутке М = (-оо; 19] — общей части областей существования этих функций. Проверка показывает, что число 10 е М и является корнем уравнения (2). Тогда в силу доказанного утверждения этот корень единственный.
Ответ. 10.
Для доказательства возрастания (убывания) на некотором промежутке функции, входящей в уравнение (неравенство), часто используют производную этой функции.
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
20х7 + 28х5 + 210х - 35 sin 2х > 0.	(3)
Перепишем неравенство (3) в виде
20х7 + 28х5 > 35 sin 2х - 210х.	(4)
Рассмотрим функции /(х) = 20х7 + 28х5 и g(x) = 35sin2x - 21 Ох на R — области существования этих функций. Функция /(х) возрастает на R как сумма функций, возрастающих на R. Функция g(x) убывает на R, так как ее производная g'(x) = 70 cos 2х - 210 отрицательна на R. Следовательно, уравнение
20х7 + 28х5 = 35 sin 2х - 210х	(5)
имеет не более одного корня. Число Xj = 0 удовлетворяет уравнению (5), следовательно, это уравнение имеет единственный корень хА.
Поскольку функция f (х) возрастает на R, а функция g(x) убывает на R, то для каждого х > 0 справедливы неравенства /(х) > /(0) = 0, g(x) < я(0) = 0, откуда следует, что f(x)>g(x) для каждого х > 0.
Аналогично показывается, что / (х) < g(x) для каждого х < 0. Следовательно, решения неравенства (4), а значит, и равносильного ему неравенства (3) составляют промежуток (0; +оо).
Ответ. (0; +оо).
ПРИМЕР 3. Выясним, сколько действительных корней имеет уравнение
х3 - х2 - х + 0,1 = 0.	(6)
Рассмотрим функцию /(х) = х3 - х2 - х + 0,1. Она на интервале (-оо; +оо) имеет производную f'(x) = Зх2 - 2х - 1.
М 327 Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
Производная обращается в нуль в двух точках: хг = и х2 = 1.
3
Это точки локального экстремума функции f (х). Так как f'(x) > О
и (1; +оо), то на каждом из
—оо:--
3
и [1, !-оо) функция f(x) возрастает. Так как
1 J
—; 1 , то на промежутке
3	/
для любого х из интервалов ( 1 промежутков -оо; —
f'(x) < 0 для любого х из интервала
-i; 1 функция f(x) убывает.
3
Так как lim f(x) = lim х311-----
Х-*-оо	X—>—ОО
; -i I функция f (х) возрастает от -оо до по-3 j
ложительного числа /I ~ |. Поскольку функция /(х) еще и непре-
рывна на интервале Ц, то каждое свое значение она принимает только в одной точке. Следовательно, на интервале 1г есть единственная точка, в которой эта функция обращается в нуль.
Аналогично показывается, что функция f (х) обращается в нуль
то на интервале =
—оо:
1	1	0,1
х	х2	х3
— —оо и Г — > О
I 3 J
в единственной точке на интервале
11 и в единственной точке
на интервале (1; +оо). Следовательно, функция /(х) имеет три нуля, а это означает, что уравнение (6) имеет три корня.
Ответ. Уравнение имеет три корня.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
ех - 1 - х = 0.
(7)
Функция /(х) = ех - 1 - х имеет производную f(x) = ех — 1 на интервале R. Причем f'(x) = 0 только для хг = 0, f'(x) < 0 для каждого х < 0 и f’(x) > 0 для каждого х > 0. Следовательно, функция убывает на промежутке (-оо; 0], возрастает на промежутке [0; +оо) и точка Xj = 0 — единственная точка минимума этой функции на R. Поэтому /(х) > /(xj = 0 для каждого х Ф хг и /(хх) — 0 только для х = хР Следовательно, уравнение (7) имеет единственный корень хг.
Ответ. 0.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
л/х — 2 + л/4— х -2=0.	(8)
Рассмотрим функцию /(х) = >/х - 2 + >/4 - х - 2. Область су-ществования этой функции есть отрезок [2; 4]. Найдем максимум
328
и минимум этой функции на отрезке [2; 4]. Функция /(х) = = у/х- 2 + t/4 - х - 2 на интервале (2; 4) имеет производную
Т (х) = —==-------- которая обращается в нуль в единст-
4^(х - 2)3	4^(4- х)3
венной точке х0 = 3. Так как функция непрерывна на отрезке [2; 4], то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Они находятся среди чисел /(2) = у/2 - 2, /(3) = 0, f(4) = V2 - 2. Так как /(3) > f (2) = /(4), то наибольшее значение 0 на отрезке [2; 4] функция принимает в точке х0 = 3, а наименьшее значение ^2 — 2 на отрезке [2; 4] функция принимает в двух точках: Xj = 2 и х2 = 4. Следовательно, функция обращается в нуль в единственной точке х0. Поэтому уравнение (8) имеет единственный корень х0.
Ответ. 3.
Решите уравнение (13.27—13.31):
13.27	a) log2 х = 1 - х;	б)
в) log05x = x-3;	г)
13.28	а)	^/Зх- 1	- t/19- х	=	0;	б)
13.29	a)	^х3- 7	+ Ух4 - 8	=	3;	б)
в)	д/х3 + 8	+ д/8 - х3	=	4;	г)
13.30	а)	х5 + х3	+ 1 - VlO-x = 0; б)
3
log3 х = 4 - х; 1о£о,з* = *- 1-^/9х + 5 - ^25-Зх = 0.
Vx3 + 5 + д/х4 - 17 = 6; д/х — 1 + д/З-х = 2. х5 + х3 - 37 - д/25 - 8х = 0.
13.31	а) х2 - 1 = 2 In х; б) х2 (1 - х) = — J-; в) х —— = In (х + 1). 25 у 5	2
Решите неравенство (13.32—13.33):
13.32	а) 12х5 + 10х3 + 35х - 17sin2x > 0;
б)	10х5 + 25х3 + 39х +11-11 cos 2х > 0.
13.33	а) Зх5 + 10х3 + 15х + Igx - 28 > 0;
б)	х5 + х3 + 10х + log2x - 61 > 0.
13.34	Сколько действительных корней имеет уравнение:
а) 2х4 - 4х2 + 1 = 0;	б) 2х4 - 8х + 1 = 0?
13.5* Использование свойств синуса и косинуса
Достаточно много уравнений (и неравенств) можно решить, если
использовать ограниченность тригонометрических функций sin ах и cospx. Для решения таких уравнений (и неравенств) часто применя-
ют способ «рассуждения с числовыми значениями».
329 Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
sinxcos4x=l.	(1)
Если число х0 - решение уравнения (1), то либо sinx0 = 1, либо sinx0 = -1. Действительно, если бы было справедливо числовое неравенство |Sinx0| < 1, то из числового равенства sinx0 • cos4x0 = 1 следовало бы, что |cos4x0|>l, что, естественно, невозможно. Но если sinx0= 1, то cos4x0 = 1; если же sinx0 = -1, то cos4x0 = -1. Следовательно, любое решение уравнения (1) является решением совокупности двух систем уравнений
ЬПГ\	(2)
cos 4х = 1	'
sin х = -1
cos4x = -1.
(3)
Легко видеть, что любое решение системы (2) и любое решение системы (3) есть решение уравнения (1).
Следовательно, уравнение (1) равносильно совокупности систем (2) и (3). Решим эти системы.
Первое уравнение системы (2) имеет серию решений xk =	+ 2nk, k е Z. Все они удовлетворяют второму уравнению сис-
темы (2), т. е. являются решениями системы (2).
Первое уравнение системы (3) имеет серию решений хт -	+ 2л7тг, т е Z. Ни одно из этих чисел не удовлетворяет вто-
рому уравнению системы (3). Поэтому система (3) не имеет решений.
Итак, все решения уравнения (1) совпадают со всеми решениями системы (2).
Ответ. + 2л/г, k g N.
2
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
3^cos4х - 2^sinx = 5.	(4)
Если число Xq — решение уравнения (4), то справедливо числовое равенство
2^sinx0 = 3 ^cos 4х0 - 5.	(5)
Так как cos4x0^ 1, то из числового равенства (5) следует, что ^sin Xq -1. Так как sinx0 -1, то из этих двух неравенств следует, что sinx0 = -1, но тогда cos4x0 = 1. Поэтому любое решение уравнения (4) является решением системы
sinx=-l
cos4x=l.	W
330
----
Легко видеть, что любое решение системы (6) есть решение уравнения (4). Следовательно, уравнение (4) равносильно системе (6). Решим эту систему.
Первое уравнение системы (6) имеет серию решений xfe= + 2л/г, k g Z. Все они удовлетворяют второму уравнению системы (6), т. е. составляют множество решений системы (6), а значит, и равносильного ей уравнения (4).
Ответ. ~ + 2л/?, k g Z,
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, могут применяться и при решении неравенств.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
sin4 2х + 4 cos 8х > 5.	(7)
Если число х0 — решение неравенства (7), то cos8x0 = 1, так как в противном случае было бы справедливо неравенство Isin2xo| > 1, что невозможно. Но тогда |sin2x0| = 1. Поэтому любое решение неравенства (7) является решением системы уравнений | sin 2х | = 1 cos8x = 1.
(8)
Легко видеть, что любое решение системы (8) есть решение неравенства (7). Следовательно, неравенство (7) равносильно системе (8). Решим эту систему.
т-г	„ л nk
Первое уравнение системы (8) имеет серию решении xk = — + —,
k g Z. Очевидно, что все эти xk удовлетворяют второму уравнению
системы (8), так как cos 8
Итак, всеми решениями системы (8), а значит, и равносильного ей неравенства (7) являются числа xk.
„ Л 7СЙ _	_
Ответ. — + —, k g Z.
4	2
Решите уравнение (13.35—13.36):
13.35	a) sinxcos8x=l;	б) sin6x cos4x = -1;
в) sin3x cos 12х = 1;	г) sin4x cos 16х = -1.
13.36	а) 2 sin8 2х - 5 cos7 4х - 7;
в) 3sin3 2х - 7cos44x = —10;
б) 5sin73x + 2cos42x = 7;
г) 7sin43x + 4cos82x = 11.
331
Системы уравнений с несколькими неизвестными
Решите неравенство (13.37—13.38):
13.37	a) 3sin82x - 8cos74x 11;	б) 11 sin73x - 2 cos4 2х -13;
в) 5sin72x - 9cos44x -14; г) 13sin43x + 2cos82x 15.
13.38 a) 7sin32x - 10cos54x + 13cos78x 30;
б)	3 sin4 — + 11 cos6 2х + 16 cos3 4х 30.
2
§ 14.	Системы уравнений
с несколькими неизвестными
В этом параграфе рассматриваются системы уравнений с несколькими неизвестными. Ранее рассматривались лишь системы рациональных уравнений, теперь к ним добавятся системы, содержащие корни, степени, логарифмы, тригонометрические функции. Для простоты изложения будем рассматривать в основном системы двух уравнений с двумя неизвестными.
14.1.	Равносильность систем
Основные понятия. Напомним основные понятия, необходимые при решении систем уравнений с несколькими неизвестными.
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными
А (х; у) = gi (х; у) f2(x^ У> = У)
называют такую упорядоченную пару чисел (х0; i/0), при подстановке которой (х0 вместо х, а у0 вместо у) в каждое из уравнений системы справедливы числовые равенства
Л (*о> У о) = £1 (*о> Уо)> А>(*о> Уо) = ё2(хо> УоУ
Отметим, что справедливость рассматриваемых числовых равенств предполагает, что обе их части определены для указанных значений неизвестных.
Аналогично определяется решение системы п уравнений с п неизвестными (n g N, п 3).
Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений. Заметим, что это множество может быть и пустым. В этом случае говорят, что система не имеет решений или что система несовместна.
Две системы уравнений называют равносильными, если совпадают множества всех их решений. Равносильность систем обозначают знаком <=>.
332
___________________________________________________________
Утверждений о равносильности систем много. Поэтому приведем здесь лишь несколько простейших утверждений о равносильности систем, которыми особенно часто приходится пользоваться.
1.	Если уравнения системы поменять местами, то получится система, равносильная исходной.
2.	Если в одном из уравнений системы перенести члены уравнения (с противоположными знаками) из одной части уравнения в другую, то получится система, равносильная исходной.
3.	Если обе части одного из уравнений системы умножить на не равное нулю число, то получится система, равносильная исходной.
4.	Если одно из уравнений системы заменить суммой этого уравнения и какого-либо другого уравнения системы, то получится система, равносильная исходной.
5.	Система, равносильная исходной системе, получается также, если в одном из уравнений:
а)	привести подобные члены многочлена;
б)	применить формулы сокращенного умножения многочленов;
в)	применить формулы
V/2 = |/|, /2 = И2, af + g = afag, af-g= (а'У = a'g (а > 0, а Ф 1).
В дальнейшем при применении этих преобразований часто не будем писать о равносильности систем, а будем писать: «перепишем систему в виде».
Метод подстановки — основной для решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Для систем двух уравнений с двумя неизвестными этот метод основывается на утверждении:
6.	Если в одном из уравнений системы выразить одно неизвестное через другое и подставить полученное выражение вместо первого неизвестного во второе уравнение, то получится система, равносильная исходной.
При решении систем этим методом с помощью утверждений 1—5 система приводится к виду, где одно из уравнений есть, например, у = F(x) (т. е. в одном из уравнений у выражен через х), после чего применяется утверждение 6 и задача сводится к решению уравнения /(х, F(x)) = g (х, F(x)) с одним неизвестным х. Решив это уравнение, т. е. найдя его корни xf (их может быть и бесконечно много), подставим их в уравнение у — F (х). Тем самым для каждого найдем соответствующее ему значение у^ Все пары чисел (х,; yt) и составят все решения исходной системы уравнений.
Аналогично метод подстановки применяется для решения систем п уравнений с п неизвестными (n g N, п > 3).
Отметим, что ранее этим способом уже решались системы рациональных уравнений.
333
('истомы уравнений с несколькими неизвестными
(1)
ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений х + у = 1 < 2У — = 200. 15х
Выразив х через у из первого уравнения, перепишем систему (1) в виде
(2)
(3)
х = 1- у
* 2У (г = 200. к &
Применяя утверждение 6, получаем систему уравнений
х = 1 - у
* 2у
-т— = 200,
равносильную системе (2). Систему (3) можно переписать так: fx = 1 - у [ 10^ = 1000.
Из второго уравнения этой системы находим, что у = 3. Подставляя 3 в первое уравнение вместо у, находим, что х = — 2. Следовательно, система (1) имеет единственное решение (-2; 3).
Ответ. (-2; 3).
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений (х + у = 1 }log3x = log3(l- у).
Выразив у через х из первого уравнения системы и подставляя 1-х вместо у во второе уравнение, получаем уравнение log3 х = = log3 х. Решениями этого уравнения являются все положительные числа. Каждому такому значению х = а (а > 0) соответствует значение у = 1 - а. Следовательно, решениями исходной системы являются все пары чисел (а; 1 - а), где а — любое положительное число.
Ответ, (а; 1 - а), а > 0.
ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений tgxtgz/ =5 - 2-Уб к [Х + ^= 4‘ Л
Выразим у через х из второго уравнения системы: у = — - х. „г	л	4
Подставляя----х вместо у в первое уравнение, получаем уравнение
4	,	х
(4)
tgxtg -
(5)
334
то уравнение (5) перепишется в виде
Уравнение
= 5- 2-Уб.
2
= 5 - 2л/б имеет единственный корень z =
следовательно, уравнение (6) равносильно уравнению
Это уравнение имеет две серии решений: л л	__ л л	_
х„ = — + — + лп, n е Z; х_ = —   + пт, т е Z. п 8 12	т 8 12
Теперь находим соответствующие значения yz л л	_	л л	_
уп = —----- - ли, п е Z; уп. = — ч-пт, т g Z.
8	12	т 8	12
Следовательно, все решения системы (4) составляют пары (Лп> !/«)>	Ifni)'
[5л л А „ ( п 5л	_
— + пп;-----пп\, п е Z; — + пт;------пт , т е Z.
24	24 J	V24	24	)
Линейные преобразования систем. При решении систем уравнений часто помогает метод линейных преобразований систем. Он основан на утверждениях 3 и 4 и заключен в следующем. Одно из уравнений системы заменяют суммой этого уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число, и какого-либо другого уравнения системы, умноженного на отличное от нуля число.
Применение этого утверждения иногда позволяет привести систему к такой системе, равносильной исходной, решение которой уже не представляет трудностей.
1335
Системы уравнений с несколькими неизвестными
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений 1х2 - 3|г/| + |х| = 12 \у2 + 3|х| + |</| = 9.	10
Заменяя второе уравнение системы (7) суммой этого уравнения и первого уравнения, умноженного на -1, т. е. вычитая из второго уравнения первое, получаем систему
(хг - 3|г/| + |х| = 12
(t/2 - х2 + 3(|х| + |i/|) + |i/| - |х| =-3,	1 '
равносильную системе (7). Так как у2 - х2 = (| у\ - |х|)(| z/| + |х|), то можно переписать второе уравнение системы в виде
(Ы-И + з)(Ы + |х|+1) = о.
Поскольку |х| + 11/1 + 1	0 для любой пары чисел (х; у), то сис-
тема (8) равносильна системе уравнений
(х2 - 3|г/| + |х| = 12 llyl - |хI + 3= 0.
Умножая второе уравнение на 3 и складывая его с первым, получим систему, равносильную исходной системе:
(х2 - 2|х| - 3=0 ||j/| - |х| + 3 = О.
Корни первого уравнения последней системы: Хц = 3 и х2 = -3. Подставляя их во второе уравнение последней системы, находим У1 = 0, у2 = 0. Следовательно, решениями исходной системы являются две пары чисел: (3; 0) и (-3; 0).
Ответ. (3; 0), (-3; 0).
14.1° а) Что называют решением системы уравнений?
б) Какие системы уравнений называют равносильными?
в) Какие преобразования уравнений системы приводят к системе, равносильной исходной? Приведите примеры.
14.2 Является ли пара чисел (1; 2) решением системы:
ч [ х - у - -1	f ху + х2 = б
Й |х2 - ху = 1;	б)12х + г/ = 4?
14.3
Среди трех пар чисел (1; 1), (1; 5) и (5; 1) найдите решения
системы:
а)
^2- х + -J2- у = х + у
Vx - 1 + у/у -1 + х - у - 0;
б)
д/х2 +у2 -1 = 5
ху + х + у = 11.
336
14.4
Докажите, что система уравнений не имеет действительных решений (14.4—14.5):
a)|V2V! П	б) |ХГ 32 А
[х2 + у2 + 1 = 0;	[х2 + у2 = 4.
л/2 - х 4- 7 = х 4- у log2 (х - 2) 4- Jy -1 = 0;
cos х + cos2 у = 1 sin2 х + sin г/ = 2.
14.6 Равносильны ли системы:			
а) •	sin х = cos у tgx = tg 1/	и	(tgx = tgy 1 sinx = cosy;
б) j	[2х 4- Зу = 1 |^х - 4г/ = 5	и	2x + Зу - 1 x = 4г/ 4- 5;
в) <	2Х~ 3 4- у - i Jx - sin у = 1	и	[2х +8г/ = 1 [л/х = sin у 4-1;
г) 1	1 sin2 х - у ^cos2 х = у2 4-1	и <	1 sin2 х = у (г/2 + у = 0?
14.7
14.8
Решите систему уравнений методом подстановки: я
х - у = —
у 2
1
sin х sin у = -.
4
Решите систему уравнений, используя сложение уравнений:
а)
x=y + 2 2x + 3i/ = l; ?
|3x-y = l 2x + 3j/=2; ’
x + 2y = 1 2х = 24 • 3y; r>
а)
sin2 х 4- Jy - 2 = 2 cos2 х + Jy - 2 = 3;
sin x cos x + cos у = 1 sin x cos x - cos у = 0;
sin2 (2 cos x) + y2 = 5 cos2 (2 cos x) 4- 2y = 4.
г) <
log3 (x - 2) + 7i/ + l = -2 [log3(x - 2) - д/у+Т = —2;
sinxcosx- -Jy = 1
sin у cos x + Jy = 0;
Решите систему уравнений (14.9—14.17):
lx2 - 4х - 2у - 1 = 0	(х2 - 4х + 4у + 27 = 0
У а) \у2 _ 2х + бу + 14 = 0;	} [у2 + 2х + 8у + 10 = 0;
f х2 - 6х - Зу - 1 = 0	(х2 4-7х-1/4-11=0
[у2 + 2х 4- 9у 4- 14 = 0;	[у2 4- Зх - у 4-15 = 0.
337
Системы уравнений с несколькими неизвестными
14.10
f 3^ + х = 10
\у - log3 х = 2;
2х + у =
X - log2 у =
I 2х = 12
В) [log2 у - х = 2.
14.11 а)
б)
14.12 а)
14.13 а)
14.14 а)
14.15* а)
х + 2у = 13
2 log4 х - log4 (2у - 1) = 0,5;
2х- у = 19
log9 (2х - 1) - log9 у = -0,5.
у + х2 = 3
1 + 21og3 (х +1) = log3z/;
х2 + ху + у2 = 13
х + у = 4;
2х2 + у2 - 4х + 2у = 1
Зх2 - 2у2 - бх - 4г/ = 5;
Зх2 + 2ху - 9х - 4у = -6 5х2 + 2ху - 12х - 4у = -4;
(х + 2у2 = 3
[2 log2 (у +1) = 2 + log2 х.
(х2 - ху + у2 = 7 |х- у = 1.
(х2 + 2х - 5у = -5
[х2 + у2 + 2х - 10у = -9.
|Зх2 + 2г/2-Зх+5^= 3 [4,5х2 + Зу2 - Зх + 8у = 7.
5л
14.16* а)
х - у = — у 3
sinx = 2sinz/;
1 tgxtgy = --о
л х-у = -;
в) 
• 2	*2	3
sinz X + sinz у - -4
5л
X + у = —
*	12
14.17*
X + log2 у = у log2 3 + log2 X xlog2 72 + log2 X = 2y + log2 y.
14.2. Система-следствие
Основные понятия. Систему уравнений f<px(x; z/)= h^xx у) 1<P2(X; У)= h2(x\y) называют следствием системы уравнений 7i(x;y)= gx(x-,y) ' f2<x-,y)= g2(x;y).
(1)
(2)
если каждое решение системы (2) является решением системы (1).
^ЗЭ8
Справедливо следующее утверждение:
7.	К системе-следствию приводят следующие преобразования:
а)	замена в уравнении системы разности f (х; у) - /(х; у) нулем (т. е. приведение подобных членов);
б)	возведение одного из уравнений в четную степень;
в)	освобождение от знаменателя в одном из уравнений системы;
г)	потенцирование хотя бы одного уравнения системы.
Замечание. Отметим, что применение некоторых формул также может привести к системе-следствию. Например, к следствиям приводят замены:
77 • 4g на 4П, на J? 4П на 7Г7Т • 7Й• Д на Jg vs	** 7Й
(2n4f)2n на f, \ogaf + log„g на loga(/g), 21ogu/ на log,,/2, aloga f на д где a > 0, a 1. ф
Если в процессе решения системы уравнений выполнялись только указанные выше преобразования, то все решения исходной системы уравнений содержатся среди решений последней в цепочке преобразований системы. Чтобы отобрать решения исходной системы, нужно определить, какие из найденных пар чисел удовлетворяют ей. Поэтому проверка полученных решений обязательна при таком методе решения систем уравнений.
Приведение подобных.
ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений
х + у = 1
2х2 + 2у[х - х = I/2-1 + 2(1 + Vx).
(3)
Эта система на основании утверждений 2 и 6 равносильна системе
У = 1 - х
2х2 + 2д/х - х = (1 - х)2 - 1 + 2(1 + Vx).
Перенеся во втором уравнении все члены в левую часть и приведя подобные члены, получим систему
I/ = 1 - х х2 + х - 2 = О,
являющуюся по утверждению 7а следствием системы (3).
Решением последней системы являются две пары чисел: (1; 0) и (-2; 3). Проверка показывает, что пара (1; 0) является решением системы (3), а пара (-2; 3) не является решением системы (3).
Ответ. (1; 0).
^339
Системы уравнений с несколькими неизвестными
(4)
(5)
Возведение в четную степень.
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений у/х + у - 1 = 1 у]у - х + 2 = 2х - 2.
Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим систему fx + у - 1 = 1 [у - х + 2 = 4х2 - 8х + 4, являющуюся на основании утверждения 76 следствием исходной системы (4).	/3
Решениями системы (5) являются пары чисел (0; 2) и —; — . Про-
3 1
2 2)	‘
f3 И верка показывает, что системе (4) удовлетворяет только пара —; — .
•2 д. „2
(6)
(7)
Освобождение от знаменателей.
ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений x2-+JL = 2 , ху хл - у2 = х ху
Перейдем от системы (6) к системе {х2 + у2 = 2ху х3 - у2= ху, которая является по утверждению 7в следствием исходной системы. Поскольку х2 + у2 - 2ху = (х - у)2, то система (7) равносильна системе [* = У [х3 - у2 = ху.
Решениями системы (8) являются пары чисел (0; 0) и (2; 2). Проверка показывает, что из них системе (6) удовлетворяет только пара (2; 2).
Ответ. (2; 2).
Потенцирование.
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений 1 1х log3 ху = log3 -
(8)
х3у2 +у4 = 2.
(9)
№ 340
Потенцируя первое уравнение системы (9), получим систему уравнений
(10)
х
,х3у2 + у4 = 2, являющуюся следствием системы (9) по утверждению 7г. Система уравнений
J xz/2 = X [x3z/2 + у4 = 2 является по утверждению 7в следствием системы (10). Множество всех решений системы (11) есть объединение всех решений двух систем:
(И)
fx = 0 [x3z/2 + у4 = 2	(12)
fl/2 = 1 [x3i/2 + у4 = 2.	(13)
и
Решениями системы (12) являются пары чисел (0; V2) и (0; -V2).
Решениями системы (13) являются пары чисел (1; 1) и (1; -1). Проверка показывает, что исходной системе удовлетворяет только пара (1; 1).
Ответ. (1; 1).
Применение формул.
И! ПРИМЕР 5. Решим систему уравнений Г 2log2 ху = х2у _ 2 [ Зх2у2 = х2у + 2.
Применяя формулу 2,og2 а = а, получим систему f ху = х2у - 2 [Зх2у2 = х2у + 2,
являющуюся (см. замечание) следствием системы (14). Вычитая из второго уравнения системы первое, получаем систему
(ху = х2у - 2 (3x2z/2 - ху - 4 = 0,
которая равносильна системе (15). Поскольку Зх2у2 — ху - 4 = = (3xi/ - 4)(xz/ + 1), то множество всех решений системы (16) есть объединение множеств всех решений двух систем:
f 3xi/ -4=0
[ху = х2у - 2
(14)
(15)
(16)
(17)
341
Системы уравнений с несколькими неизвестными
И
ху + 1 = О
ху = х2у - 2.
(18)
f5 8'К
. Решением
I2 15)
Решением системы (17) является пара чисел системы (18) является пара чисел (—1; 1). Проверка показывает Ё. А 2* 15
что пара
(-1; 1) — нет.
Ответ.
является решением исходной системы,
пара
5. 8 |
2* 15 Г
ПРИМЕР 6. Решим систему уравнений
д/х2 - у2 = (х - 5) / + у \ х - у
у2 + х2 - 1 = 2x1/.
(19)
Используя формулы
V*2 - г/2 = Vl*-J/I • Vl* + i/l и = j +—’
перейдем от системы (19) к системе
Vl* + yl VI*-id -
* 5
VI*-^1 J
(20)
(х - у)2 = 1,
являющейся следствием системы (19). Перепишем систему
в виде
		
J\x + y\	н” 1 1 * 1	। о <		= 0
|х-у| = 1.
(20)
(21)
а
Подставляя 1 вместо |х - г/1 в первое уравнение системы (21), получим систему
JVlx + !/|(х - 6) = 0
342
равносильную системе (21). Множество всех решений системы (22) есть объединение множеств решений двух систем
. 71* + у1 = °	(23)
х-у\ = 1
х - 6 = О
' I*-у| = 1>
(24)
так как все функции в системах (23) и (24) определены при всех хну. Решая каждую из этих систем, получаем решения системы (20):
(6; 5), (6; 7), (1; -jU-j;
Проверка показывает, что из этих пар
чисел системе (19) удовлетворяют только пары (6; 5)
гч m f1	1If 1 11 Л
Ответ. (6; 5),	-- ,	- . •
v ' 1^2	2) V 2 2J
1.
2;
П(_1; А1-2J4 2 2)
14.18 а) Объясните, какие преобразования уравнений системы приводят к системе-следствию.
б) Почему после перехода к системе-следствию необходима проверка всех решений, полученных при решении системы-следствия?
14.19 Является ли вторая система следствием первой системы: х2 + 2у + Igx = 5 + Igx (х2 + 2у = 5
х + у = 1	И|х + 1/ = 1;
{х + 1 = у2 - 2ху + х2 2ху - у2= 55;
f log2 (х + 2у) = log2 (2х + у) (х + 2у = 2х + у \х2 - у - 2 = Q	[х2 - у - 2=0;
log7 (X + у) + logy (X - у) = 1
д)*
X у _ 7
у х 12
log7((x+z/)(x- i/)) = 1 ’	£= _L?
у х 12’
343
Системы уравнений с несколькими неизвестными
14.20
Решите систему уравнений (14.20—14.26):
(x+i/ = 2
[2х2 - 4л/х + х = у2 + 13 + (2 - >/х)2;
б) 1х + ^ = 3
(Зх2 - бТх + х = у2 + 2 + (3 - >/х)2;
fx + z/ = 4
7 (lg(3x + У) + 2x2 + 7 = (У “ 2)2 + lg(3x + у);
х + у = 5
у/х + Зу + х2 - 40 = (2у + I)2 + у]х + Зу.
г)
14.21	а) •	7х - у + 3 = 2 у/у - х + 10 = у + 1;	б) •	^2х - Зу = 1 ^2у - Зх + 10 = у - 2;
	в) •	7х + у + 4 = х - у	г) •	у!х + у + 4 = у - X
		д/2х + у = ^Зх - Зу;		yjx + у = д/2х- Зу.
14.22*	а) •	<у]у + 7х + у]у + 2х = 5 ^у + 2х - у + х = 1;	б) 	у/7х + у + yly + х = 6 у/у + х - у + х = 2;
	в) •	у/2у - х + х + у = 3 т]5у - х + х = 3;	г) 	^Зу - х+ х + у = 2 y/Sy - х + х = 2.
14.23	а) •	log3 ху = log3 х2 - Зху = у2 - 1;	б) 	log4 ху = log4 х2 - Зу - у2 - Зх;
	в) •	logs *2У = logs х2 + ху = у2 - 19;	г) 	log6 хУг = 1°£б 4х2 - 1 = 2ху + у2.
14.24*	a) -j	Г gioga (х - у) _ j [log3(2x- z/) + log3 у = 1;	б) <	f2]°S2(x- у) — 1 [log2 (2х - у) + log2 у = 1;
	в) <	21+ !<>g2(x- 2у) _ х Зх2-6г/ = ду.	г) j	[ 2х2 + ху = 1 [21og2 у = log2(x + 6).
14.25*	а) <	Г21 + iog2 (х + у) _ 24 (2 logo,5 У - bg0,5 х = -1;	б) <	[o,21 + log°’2(!,~x) = 0,8 [log2z/- 21og2x= -1.
1 344
14.26* a)
6)
31 + Jog3(x- 2y) _ 9
log3(x- 2z/) + log3(x + 2y) = 1 + 21og3 5;
{gl + log5(2x+0 _ 25
logs (2x - У) + log5(2x + y) = 1 + 2 logs 3.
14.3. Метод замены неизвестных
В некоторых случаях с введением новых неизвестных система сводится к системе, которую можно решить изложенными выше методами. Метод замены неизвестных основан на следующем утверждении, которое мы приведем только для систем двух уравнений с двумя неизвестными.
8. Пусть дана система уравнений
у), Р(х; у)) — О
[у(а(х; у), р(х; у)) = 0	' '
и пусть система
f (zz; l>) = О
и) = О
имеет k различных решений: (z^; Uj), (zz2; и2), (иЛ; и*). Тогда множество решений системы (1) есть объединение всех решений каждой из k систем:
a(x;z/)=zz]	fa(x;z/)=u2 f а (х; у) - uk
\Р(х; у)= vlt [Р (х; у) = и2, ..., [Р(х; у) = vk.
ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений
З^х + z/ = log3 9х - о4/--- .	27	(2)
2^х + у = log3 — .
Сделаем замену неизвестных: и = ^]х + у, u = log3x. Так как 27 log39x = 2 + log3x, log3 — = 3 - log3x, то получим систему 3u = 2 + v 2и = 3 - и.
Эта система имеет единственное решение и — 1, v = 1. Поэтому на основании утверждения 8 система (2) равносильна системе
345
Системы уравнений с несколькими неизвестными
Система (3), а значит, и система (2) имеют по единственному решению (3; -2).
Ответ. (3; -2).
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений 3х - г»2 = 77
- £	£	(4)
З2 - 2 2 =7.
- у2
Сделав замену неизвестных: и = З2, v = 2 2 , получим систему уравнений
Ju2-у2 =77	((и - и)(и + у) = 77 Ju + d=11 Ju = 9
\и-и=7	u-v=7	\и-и=7	\и=2.
По утверждению 8 система (4) равносильна системе
у	' '
2 2 =2.
Система (5), а значит, и система (4) имеют по два решения: (4; V2) и (4; -V2).
Ответ. (4; V2); (4; —V2).
ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений
х4 - 2х3 + х = у2 - у
у4 - 2у3 + у = х2 - х.
Сделав замену неизвестных: и = у2 - г/, v = х2 — х, получим систему уравнений
u2-u=u	(7)
uz - и = V.
Вычтя из второго уравнения первое, получим систему
V2 - v = и и2 — и2 = О,
равносильную системе (7). Из второго уравнения следует, что либо v = и, либо v = -и. Следовательно, множество всех решений системы (7) есть объединение множеств решений двух систем:
v2 - и = и I v2 - v = -и
s	и <
v = и	и = -и.
Первая система имеет два решения: иг = 0,	= 0 и и2 = 2,
и2 = 2, а вторая — одно решение: и3 = О, и3 = 0. Это означает, что
346
система (7) имеет два решения: иг = 0,	= О и и2 = 2, v2 = 2. Для
отыскания всех решений системы (6) надо объединить все решения двух систем
Ь2-1/ = 0 и \у2-у = 2 [х2 - X = 0	[х2 - х = 2.
Это будут пары (-1; -1), (-1; 2), (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), (2; -1), (2; 2).
Ответ. (-1; -1), (-1; 2), (0; 0), (О; 1), (1; О), (1; 1), (2; -1), (2; 2).
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений
4 sin у - 6л/2 cos х = 5 + 4 cos2 у cos 2х = 0.
(8)
Обозначим cosx через u, a sin у через и. Тогда
cos2x = 2cos2x - 1 = 2и2 - 1, cos2 у = 1 - sin2i/ = 1 - и2,
и систему (8) можно переписать в виде
4v2 + 4v - 6a/2iz -9=0 2и2 - 1 = 0.
1
являются ре-
Из второго уравнения этой системы находим их =	и2= —
42	42
Подставляя их = — в первое уравнение системы (9), получаем 42
уравнение 4и2 + 4и - 15 = 0. Это уравнение имеет два корня: и2 = —,
5
и2 = Это значит, что пары чисел
шениями системы (9).
Подставляя и2 =----в первое уравнение, получаем уравнение
42
1	3
4р2 + 4v - 3 = 0. Это уравнение имеет два корня: и3 = -, и4 =	.
£
/2; 2j*
Множество решений системы (8) есть объединение множеств решений следующих четырех систем уравнений:
1 COS X =---
42 1 smy =
1 1
Значит, система (9) имеет еще два решения:
1 cos х = —
42 3 sinj/ =
COS X — --
42
5 smz/ =
1
COS х =-----
42 3 sin у =----.
*	2
347
Системы уравнений с несколькими иеизвестными
m	3	5	3	.
Хак как числа —, —, не принадлежат области значении функции sinz/, то первая, вторая и четвертая из этих систем уравнений не имеют решений. Следовательно, множество решений системы уравнений (8) совпадает с множеством решений третьей систе-Зтс мы, откуда следует, что система (8) имеет решения х = ±— + 2лп, 4
п е Z; у = (-l)m — + ш, meZ. f3 6	ч
± — + 2пп; (-1)т^- + пт , п е Z; т е Z. 4	6 j
Решите систему уравнений (14.27—14.37):
14.27	а) •	| X + 11 + |</ + 11 = 5 | х + 11 = 4у + 4;	б) <	[|x-l| + |z/-5|=l [у = 5 + |х + 11.
14.28	а) <	ху + х - у = 13 ху - х + у = 7;	б) <	|х2- у = 23 [х2у - 50;
	в) <	ху2 = 12 x + t/2 = 7;	г) j	\ху(х + у) = 30 [х3 + у3 = 35.
		5 । 4 - !		2	3	1 	1	— 	
14.29	а) <	Зх - 2у 7х - Зу 4	*_ = _7-	б) <	2х - у х - 2у 2 2	1	_ 1
		Зх - 2у 7 х - Зу		2х - у х - 2у 18 *
14.30	а) 	у]2х -1 + 7*/ + з = з 2ху - у + 6х — 3 = 4;	б) <	[ 7бх - 6 + у/у + 6= 5 (5xz/ - бу + ЗОх = 72.
		15	2	10		12	10 _____ _|— 	 — 5
14.31	а) •	•Jx + 8 ^5у +1	3 _22_+ 6 =3;	б) -	Vx - 1 -j4y + 1 + =3.
		7х + 8 у]5у + 1		7* -1 Jiy +1 л
14.32	a) j	[42« + 32х=82	| ЗУ + 52х = 26	J 32х — 22 = [3х-4» = 8;	J (5х - 30>5« = 4;	[32х - 2® =		
14.33	а) <	72 у + 712 ctg х = 4 Тву - 727 ctgx = 1;	б) •	73х + 712 tgy = 9 Т27х	tgy = 8. д/З
348
14.34*
a)
ху х - 2у _ 14
х + 2у	ху	15
ху х + 2у _ 14.
х - 2у	ху	3 ’
б)
14.35*
a)
x-y = 2
6)
XI/ | х + 2z/ = 2 х + 2у	ху
ху | х - 2у 4 х - 2у	ху
^(x + i/)3(x- i/)* * 2 * * = 8
14.36*
a)
x2z/ + y2x = 20;
6)
14.37*
х3 + хгу - ху2 -у3 = 12.
V-
14.4*. Рассуждения с числовыми значениями
при решении систем уравнений
При решении систем уравнений с несколькими неизвестными часто бывает трудно следить за равносильностью преобразований уравнений системы. В таких случаях помогают рассуждения с числовыми значениями. При этом иногда используют такие же свойства (неотрицательность, ограниченность и т. п.), как и при решении уравнений с одним неизвестным методами с использованием свойств функций.
ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений
(х2у2 - 2х + у2 = 0 \2х2 - 4х + 3 + у3 = 0.
Пусть пара чисел (х0; z/0) есть решение системы (1), т. е. пусть справедливы числовые равенства
*о Уо - 2х0 + Уо = 0
2х% - 4х0 + 3 + у3 = 0.
Запишем равенство (2) в виде 2	2х0
= ТТ4 
Из справедливости неравенства (1 — х0)2 0 следует справедли-2х0	, .
вость неравенства---1. Учитывая это неравенство, из равенст-
1+ х§
ва (4) заключаем, что у$ 1, т. е. что |z/0|	1.
(1)
(2)
и
(3)
(4)
349
Системы уравнений с несколькими неизвестными
Запишем теперь равенство (3) в виде
2(х0 - I)2 + 1 + t/д = О.	(5)
Так как |i/0| 1, то 1 + у$ 1 - | z/013 > 0. Теперь очевидно, что левая часть равенства (5) есть сумма двух неотрицательных чисел 2(х0 - I)2 и 1 + z/о» но их сумма равна нулю лишь тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, т. е. для х0 = 1 и у0 = -1.
Итак, показано, что если система (1) имеет решения, то это может быть только пара чисел (1; -1). Проверкой легко установить, что эта пара чисел обращает каждое из уравнений системы (1) в верное равенство. Следовательно, система (1) имеет единственное решение (1; -1).
Ответ. (1; —1).
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений
у3 - 9х2 + 27х - 27 = 0
<z3-9i/2 + 27i/-27=0	(6)
х3 - 9z2 + 27z - 27 = 0.
Пусть тройка чисел (х0; у0' z0) есть решение системы (6), т. е. пусть справедливы числовые равенства
Уо = 9х^ - 27х0 + 27,
г® = 9j/3 - 271/0 + 27,	(7)
х^ = 9го - 27го + 27‘
(	3 V 3
Поскольку £2-3£ + 3=t-— + - > 0 для любого числа t, то из 1	Z
равенств (7) следует, что у $ > 0, Zq > 0, xj, > 0, т. е. что у0 > 0, zQ> 0, х0 > 0. Складывая равенства (7), получим, что справедливо равенство (х0 - З)3 + (1/0 - З)3 + (г0 - З)3 = 0.	(8)
Сначала рассмотрим случай, когда х0 3. Тогда из последнего равенства (7) получим, что Zq — 3z0 0, откуда, учитывая, что z0 > 0, получим, что Zq 3. Теперь из второго равенства (7), рассуждая аналогично, получим, что у0 3.
Итак, в рассматриваемом случае х0 3, у0 3, zQ 3.
Таким образом, левая часть равенства (8) есть сумма трех неотрицательных чисел, поэтому равенство (8) возможно лишь тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, т. е. лишь для х0 = у0 = z0 = 3.
Если же х0 < 3, то, рассуждая, как выше, получим, что с/0 < 3 и г0 < 3. Но тогда в равенстве (8) слева сумма трех отрицательных чисел, а справа нуль, что невозможно.
Итак, если система (6) имеет решение (х0; z/0; z0), то это может быть только в случае х0 = У о = Zq = 3. Проверка показывает, что эта
ЭД 350
тройка чисел обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Следовательно, система (6) имеет единственное решение (3; 3; 3).
Ответ. (3; 3; 3).
ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений
у + z = (3 - х)3
< (2z-i/)(j/ + 2)= 9 + 4i/	(9)
х2 + (Vz)4 = 4х.
Пусть тройка чисел (х0; г/0; z0) есть решение системы (9), т. е. пусть справедливы числовые равенства
Уо + 2о = (3 - *о)3> (2z0 - Уо)(.Уо + 2) = 9 + 4t/0. *о + (7*0)4 = 4х0. (10)
Перепишем третье из равенств (10) в виде
(x0-2)2 = 4-(AR)4.	(И)
откуда следует, что
z0 0 и 4 -	0.	(12)
Перепишем второе из равенств (10) в виде
(1/о-2о + 3)2=22-2z0,	(13)
откуда следует, что
22 - 2z0 > о.	(14)
Неравенствам (12) и (14) удовлетворяют только два числа: z0 = 0 и z0 = 2. Если z0 = 2, то из равенств (11) и (13) найдем, что х0 = 2 и yQ = -1. Если z0 = 0, то из равенства (13) найдем, что у0 = -3, а из равенства (11), что х0 = 0 или х0 = 4.
Итак, если система (9) имеет решения, то они содержатся только среди трех троек чисел: (2; -1; 2), (4; -3; 0), (0; -3; 0). Проверка показывает, что первая и вторая тройки чисел обращают каждое уравнение системы (9) в верное равенство, а последняя тройка чисел не удовлетворяет уже первому уравнению системы (9). Следовательно, система (9) имеет два решения: (2; -1; 2), (4; -3; 0).
Ответ. (2; -1; 2), (4; -3; 0).
Отметим, что рассуждения с числовыми значениями позволяют перейти от данной системы к более простой, являющейся ее следствием.
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений
[ (1 + 2 log 2)  logx + уху = 1 (х- у = 1.
(15)
351
Системы уравнений с несколькими неизвестными
Пусть пара чисел (х0; у0) есть решение системы (15), т. е. пусть справедливы числовые равенства
(1 + 21°gx0W 2) • log*o + УО хоУо = 1.	(16)
*O-J/O=1-	(I7)
Из справедливости равенства (16) следует, что имеют смысл выражения logX0^0 2 и log Хо + yQ xoyQ, но тогда числа х0 и у0 удовлетворяют условиям хоуо > 0, хоуо 1, х0 + у0 > 0, х0 + у0 Ф 1.
Для таких чисел х0 и у§ справедливо равенство
l°gx0 + и Wo = logxo!;o(Xo+%)>
и поэтому равенство (16) можно переписать в виде
1о^х0й) 4 Wo = logX0(/0 («о + J/0)>
откуда следует, что
4x0i/0 = х0 + i/0.	(18)
Из равенств (17) и (18) следует, что каждое решение системы уравнений (15) является решением системы уравнений
Uxy = x + y	(19)
[х- у = 1,
т. е. система (19) является следствием системы (15).
Система (19) имеет два решения (хх; г/х), (х2; yz)t где
З+л/5	-1+V5	3 — >/5	-1 - Vi
*1 = У1 = Х2 = Уг =
Следовательно, все решения системы (15), если они есть, содер-1 — V5
жатся среди этих пар чисел. Так как х2 + у % = —5— < 0, то пара чи-сел (х2; i/2) не удовлетворяет первому уравнению системы (15). Проверка показывает, что пара чисел (хх; i/x) удовлетворяет каждому уравнению системы (15). Следовательно, система (15) имеет единственное решение (хх; i/x).
_ Гз + Vs -l + Vsl
Ответ. ------; ----- .
( 4 ’	4 J
ПРИМЕР 5. Решим систему уравнений
1 + | logx У T(logx !/)2+1
У	= хя
1 + logх I —х + j = logx2.
(20)
I 352
Пусть пара чисел (х0; у0) есть решение системы (20), т. е. пусть справедливы числовые равенства
1 + |'°ВХо«0 |«ogX0 У0)2 + 1
Уо	~ хо	>
1 + logX0 I “хо + V2 I = togxo 2-\ xo )
(21)
(22)
Так как мы предположили, что имеют смысл выражения
1	1	(	^Уо
Уо и log^ -х0 + —- , то это означает, что
Л I) v	=* () I v v I
к хо J
х0 > 0» !/о > °’ хо * 1, Зуо > хо-
(23)
Но при условиях (23) для чисел х0 и у0 равенства (21) и (22) можно записать в виде
logxo Уо <! + |1овх0 «о» jkioe у0)2 + 1
х0	= х0 °	.	(24)
logXo (-*о + Зу0) = logXo 2.	(25)
Так как число х0 > 0 и х0 & 1, то из равенств (24) и (25) следует справедливость равенств
logxo Уо = 1>	(26)
-xg + 3i/0 = 2.	(27)
(29)
Из справедливости равенства (26) следует справедливость равенства х0 = у0.	(28)
Из равенств (28) и (27) следует, что каждое решение системы уравнений (20) является решением системы уравнений (х = у [-х2 + Зу = 2,
т. е. система (29) является следствием системы (20). Система (29) имеет два решения (хь уг), (х2; z/2), гДе Х1 = У1 = 2 и х2 = у2 = 1.
Следовательно, все решения системы (20), если они есть, содержатся среди этих пар чисел. Так как х2 = 1, то пара чисел (1; 1) не удовлетворяет ни одному из уравнений системы (20). Проверка показывает, что пара чисел (2; 2) удовлетворяет каждому уравнению системы (20). Следовательно, система (20) имеет единственное решение (2; 2).
Ответ. (2; 2).
Иногда бывают системы, в которых число уравнений меньше числа неизвестных. В таких случаях обычно структура уравнения скрывает какие-либо дополнительные ограничения на неизвестные, которые и позволяют решить эту систему уравнений.
„ 353
Системы уравнений с несколькими неизвестными
ПРИМЕР 6. Решим систему уравнений
8 cos х cos у cos (х - у) + 1 - О z = х + у.
(30)
Пусть тройка чисел (х0; i/0; г0) есть решение системы (30), т. е. пусть справедливы равенства
8 cos х0 cos у0 cos (х0 - уо) + 1 = 0, z0 = х0 + Уо- (31)
Применяя формулу 2 cos a cos Р = cos (а + Р) + cos (а - р), получим, что тогда справедливы и равенства
8 cos х0 cos у о cos (х0 - у о) + 1 =
= 4 cos2 (х0 - у о) + 4 cos (х0 - у0) cos (х0 + z/0) + 1 =
= (2cos(x0 - Уо) + cos (х0 + Уо))2 + (1 - cos2 (х0 + Уо)) =
= (2cos(x0 - у о) + cos (х0 + Уо))2 + sin2(x0 + у0).
Поэтому равенства (31) можно переписать в виде
(2cos(x0 - у0) + cos(x0 + 1/о))2 + sin2(x0 + Уо) = 0, z0 = х0 + у0, откуда следует, что рассматриваемая тройка чисел (х0; у0; z0) одновременно удовлетворяет равенствам
2 cos (х0 - у о) + cos (х0 + уо) = 0,	(32)
sin2(x0 + Уо) = О,	(33)
2о = хо + Уо-	(34)
Из равенства (33) получаем, что числа х0 и у0 удовлетворяют условию х0 + у о = к/?, k g Z. Но тогда, подставляя
Уо = itk - х0, k g Z	(35)
в левую часть равенства (32), получим, что она равна
2cos(2x0 - kit) + cos kn = (-l)fc(2cos2x0 + 1).
Поэтому равенство (32) означает, что cos2x0=-—, т. е. что
Подставляя эти значения х0 в равенство (35), а затем в равенство (34), получим, что любое решение системы уравнений (30) содержится среди троек чисел
х0 =	+ ял, уо =	+ я (k - n), z0 = n е Z, k е Z;
О	о
или
хо =	+ Я7П, Уо =	+ Я (k - тп), 20 = я/?, Ш G Z, k G Z.
о	о
12 -Никольский, 11 кл.
354
Проверка показывает, что все эти тройки чисел удовлетворяют системе уравнений (30). Следовательно, все они являются ее решениями.
Ответ.
ft	ft	V > I
— + nn; — + ft (k - n); nk , 3	3	)
ft	Л ..	\	» I
— 4- кт; —F ft (k — m); nk , 3	3	j
п е Z, т е Z, k е Z.
14.38
Решите систему уравнений (14.38—14.45):
ч \2х2 + 1 = у - I sinxI	21*1 + lx I = у 4- х2
а) L 2	2	1	б) 1 2	2	1
(tg2 х + у2 = 1;	[х2 +у- 1;
I х2 + у2 = 1
В) U8 + J/5 = 1.
14.39
а)
у3 - 6х2 + 12х -8 = 0 z3-6y2+12y-8 = 0 х3 - 6г2 + 122 -8 = 0;
(х + З)3 = 3 - 2у
б) < (V2)4 + 4у2 = 8у
(22- х)(х + 3)= 5х + 16.
(х2 + ху + у2)у[х2 4- у2 = 185
(х2 - ху 4- у2)т]х2 + у2 = 65;
(х2 4- ху 4- 2у2)у]х2 4- у2 = 145 (2х2 - ху + y2)yjx2 4- у2 = 230;
(Зх2 4- 2ху + у2) -у]х2 + у2 - 6д/2 (х2 - 2ху 4- 8у2)у]х2 4- у2 = 2л/2;
(х 4- у) у]х2 4- у2 =221 (x-y)ylx2 + у2 = 91.
х - у 4- ^х2 - 4у2 = 2 х5 • yjx2 - 4у2 = 0.
1442	1 f2l°g1-x(-x«/-2x4- у 4-2)4- log2+y(x2 - 2x4-1)= 6
а) [1оё1_х(у + 5)-1о&2+^(х + 4)=1;
Jlogi+xG/2- 4-1) 4- logj _ у (х2 + 2х 4-1) = 4
} [logi+ х (2у + 1) + log!- у(2х + 1) = 2;
(21og3+x(xz/4-х + Зу 4-3)4-log1 + i/(x2 + 6x4-9)= 6
В [log3+x(°*5-i/) + logi + i/(3x + 8)= !•
355
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
14.43
1 + logx 11 - — ] = logx 4. I x )
14.44 a)
tg2x + ctg2x = 2 sin2# sin2# + cos2z = 1;
3 + 2cos(x-#) _ г	2	2 x - #	2 x - #
— л/ О г — x соъ —~	г ъш ——
2	v	2	2
zz + 2x2-2z-l = 4(х-1).
§ 15*. Уравнения, неравенства и системы
с параметрами
Задачи с параметрами нередки в школьном курсе математики. Так, например, задача решить (относительно х) квадратное уравнение общего вида ах2 + Ьх + с = 0 является примером задачи с тремя параметрами а, Ъ и с. В этом случае говорят, что надо решить уравнение с параметрами а,Ьис.
Задача решить (относительно х) линейное неравенство общего вида ах + b > 0 является примером задачи с двумя параметрами а и Ь. В этом случае говорят, что надо решить неравенство с параметрами а и Ъ.
Задача решить (относительно хи#) систему уравнений х2 + #2 = 1 х + # = а
является примером задачи с одним параметром а. В этом случае говорят, что надо решить систему уравнений с параметром а.
В данном параграфе рассматриваются уравнения, неравенства и системы с одним параметром.
15.1*. Уравнения с параметром
Решить уравнение с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения (это множество может быть и пустым).
Основной принцип решения уравнения с параметром можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на участки, такие, что при изменении параметра на каждом
356
из них получающиеся уравнения можно решить одним и тем же методом. Отдельно для каждого участка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые для этого приемы в точности таковы, как и при решении уравнений с числовыми коэффициентами. Поскольку каждый из методов представляет собой последовательность определенных действий, которые могут выполняться по-разному в зависимости от значений параметра, то выбранные первоначально участки его изменения в процессе решения могут дробиться, с тем чтобы на каждом из них рассуждения проводились единообразно. Ответ задачи состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого участка всех корней уравнения. Сложность задач с параметром заключается в том, что, как правило, вместе с изменением параметра меняются не только коэффициенты, но и ряд других характеристик, связанных с параметром. Обычно это приводит к тому, что при разных значениях параметра приходится использовать различные методы решения.
ПРИМЕР 1. Для каждого значения параметра а решим уравнение
(а + 1)х = а2 - 1.	(1)
Рассмотрим два случая: а = -1 и а -1.
Пусть а = -1, тогда уравнение (1) имеет вид 0 • х = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое действительное число.
Пусть а #-1, тогда уравнение (1) является уравнением первой степени и его единственное решение, так как а + 1 Ф 0, есть х0 = а - 1.
Ответ. Для а — -1 любое число есть корень; для каждого а Ф -1 единственный корень: х0 = а - 1.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение с параметром а
Многочлен х2 + 1 положителен при любом х. Поэтому для каждого значения параметра а уравнение (2) равносильно уравнению х 4- 1 = а(х2 4-1), или уравнению
ах2 - х 4- а - 1 = 0.	(3)
Если а = 0, то уравнение (3) становится линейным: —х — 1 = 0 — и имеет единственный корень х0 = -1.
При а Ф 0 уравнение (3) есть квадратное уравнение, и в зависимости от знака дискриминанта D = 1 4- 4а - 4а2 оно имеет решения или не имеет их. Для всех значений а, удовлетворяющих неравенству
D = 1 + 4а - 4а2 < 0,	(4)
j357
У равней н я, неравенства и системы с пара м етра ми
уравнение (3) решений не имеет. Множество чисел а, удовлетворяющих неравенству (4), состоит из двух промежутков:
1- V2
—оо; -----
2
И
2
Если а =-----или а = —-—, то дискриминант D равен нулю и
2	2	х
уравнение (3) имеет единственный корень х0 = —. dCl
Для каждого значения а из промежутков
и
; О
2
0;
2
справедливо неравенство D > 0, и уравнение (3) имеет два
1 - y/D	1 + л/
корня: х‘ = и Х2=
Ответ. Для каждого а е
—оо;
1- V2
2
——; +оо корней нет;
1-V2	1+V2	„	1
для а - —-— или а = —-— единственный корень х0 = —; для а = 0 d	d	dQ
единственный корень х0 = -1; для каждого а е
—; 0 U 0;
2	) I
2
1 — V-D	1 + V-D ГЛ л	. 2
два корня: хх = —-----и х2 = ———, где D = 1 + 4а - 4а .
ПРИМЕР 3. Решим уравнение с параметром а
2ах + 3
Перепишем уравнение (5) в виде
2ах + 4 - а _ о
2ах + 3
(5)
(6)
0 • х + 4
Пусть а = 0, тогда уравнение (6) принимает вид  -—— = 0 и не
имеет решений.
Пусть а & 0. Сначала решим уравнение 2ах + 4 - а = 0.
Оно имеет единственный корень х0 = ~—. Выясним, при каких значениях а число х0 обращает в нуль знаменатель дроби в уравнении (6), т. е. найдем, для каких а справедливо равенство 2ах0 + 3 = 0.
(7)
a 358
Равенство (7) справедливо только для а = 1. Следовательно, при а = 1 число Xq не является корнем уравнения (6).
При а Ф 0 и а Ф 1 уравнение (6) имеет единственный корень х0.
Ответ. Для а = 0 и а = 1 корней нет; для каждого а Ф О и а Ф 1 а - 4 единственный корень х0 = ——.
ПРИМЕР 4. Для каждого значения параметра а решим уравнение
Vx - а = у]2х - 1 + а.	(8)
При каждом значении параметра а уравнение х - а = 2х - 1 + а	(9)
будет следствием уравнения (8). Осталось выяснить, при каких условиях для параметра а единственное решение х0 — 1 - 2а уравнения (9) будет решением уравнения (8).
Подставляя х0 = 1 - 2а в обе части уравнения (8), находим, что его левая часть равна ^/(1 - 2а) - а = 71 - За, правая часть равна д/2(1 - 2а) - 1 + а = ^/1 - За. Конечно же, было бы неправильным заключить в этот момент, что х0 = 1 - 2а будет решением уравнения (8) при каждом значении параметра а. Ведь при а > выраже-О
ние 1 - За, стоящее под корнем, будет отрицательным. Это значит, что при каждом а > i найденный корень х0 = 1 - 2а уравнения (9) О
не является корнем уравнения (8). При каждом а - выражение 3
- За имеет смысл, поэтому число х0 = 1 - 2а будет корнем уравнения (8) при каждом таком значении параметра а.
Ответ. Для каждого а - единственное решение х0 - 1 - 2а; для 1 „ 3 каждого а > - решении нет. О
ПРИМЕР 5. Выясним, сколько действительных корней для каждого значения параметра а имеет уравнение
2х3 - Зх2 - 12х = а.	(10)
Рассмотрим функцию f(x) = 2х3 - Зх2 - 12х. Она непрерывна и имеет производную на интервале (-оо; ч-оо). Найдем точки локального максимума и локального минимума этой функции, для этого сначала найдем производную функции f(x):
f’(x) = 6х2 - 6х - 12
Щ59
У равно пня, неравенства и системы с параметрами
•и приравняем ее к нулю: 6х2 - 6х - 12 = 0.
Уравнение (11) имеет два корня: Xj = -1 и х2 = 2. Так как функция f (х) непрерывна на интервале (—оо; +оо) и
(11)	Я*) / -1 \ 2 / х
max min
 Рис. 177
Л(х) > 0 на интервалах (-оо; -1) и (2; +оо), f’(x) < 0 на интервале (-1; 2) (рис. 177), то точка Xj = -1 есть точка локального максимума, а х2 = 2 — точка локального минимума функции /“(х).
Найдем/(-1) = 7,/(2) =-20, lim/(x)= lim х3| 2- — -	| = +оо
X —» +оо	X —- +оо	X	J
и lim f(х) = -оо.
Используя все написанное выше, получим, что схематический график функции у = /(х) будет таким, как на рисунке 178.
Функция у = f (х) на промежутке (-оо; -1] возрастает, принимая все значения от -оо до 7 только один раз, на промежутке [-1; 2] убывает, принимая все значения от 7 до -20 только один раз, а на промежутке [2; +оо) возрастает, принимая все значения от -20 до +оо только один раз. Поэтому:
1)	если а < -20 или а > 7, то прямая у = а пересекает график функции у - fM только в одной точке;
2)	если а = 7 или а = -20, то прямая у = а пересекает график функции у = f (х) только в двух точках;
3)	если -20 < а < 7, то прямая у = а пересекает график функции у = f (х) только в трех точках.
Следовательно, уравнение (10) имеет единственный действительный корень при а е (-оо; -20) U (7; +оо); только два действительных корня при а = 7 и при а = -20; только три действительных корня при а е (-20; 7).
Ответ. Для каждого а е (—оо; -20) U (7; +оо) единственный действительный корень; для а = 7 и для а = -20 два действительных корня; для каждого а е (—20; 7) три действительных корня.
Для каждого значения параметра а решите уравнение (15.1—15.8):
15.1 а) (а-2)х = а2-4;	б) (а + 2)х - а2 - 4;
в) (а + 3)х = а2 - 9;	г) (а - 4)х = а2 - 16.
360
15.2	а)	х2 - 1 л = °’ х - 1		б)	х2 - 1 л = а> X 4- 1
	в)	х2 - 4	. 	= а 4- 1; х + 2		г)	х2 - 4 	= а - 1. х - 2
15.3	а)	х - 1 2 X2 - 1		б)	X 4- 1 хг- 1 " а’
	в)	х + 2 2 л = а 11 х2 - 4		г)	4Ц = а + 1-х- - 4
15.4	а)	а + Ю _ о. ах + 5		б)	^1 = 2; ах - 4
	в)	а + 1 ах + 4		г)	д ~ 2 = 1. ах - 3
15.5	а)	|х - 11 - а\х 4-	1| = 2;	б)	|х - 2| - а\х ч- 11 = 3;
	в)	| х + 31 - а | х- -	1| = 4;	г)	|х 4- 2| - а\х - 3| = 5.
15.6	а)	а - 5	1 4ах + 1		б)	-^-=2; Зах 4- 1
	в)	а - 3 _ 2ах 4- 1		г)	^£ = 4. ах 4- 1
15.7	а)	а	х	17	б)	х	1	7 		। 	 — п
			 _|_ 	 — X - 3 X 4- 3	X2 - 9’		х - а х + а х* -
15.8	а)	д/х2 - 6х - а -	х-3;	б)	у/х2 4- 2х 4- а = х 4-1.
15.9 Для каждого значения параметра а определите, сколько корней имеет уравнение:
а) х3 - Зх2 + а = 0; б) х4 - 2х2 + а = 0.
15.2*. Неравенства с параметром
Решить неравенство с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данного неравенства (это множество может быть и пустым).
При решении неравенств с параметром используются те же соображения, что и при решении уравнений с параметром.
ПРИМЕР 1. Для каждого значения параметра а решим неравенство
ах2 < 1.	(1)
Рассмотрим три случая: а = 0, а > 0 и а < 0.
При а - 0 неравенство (1) превращается в неравенство 0 • х2 < 1, верное при любом действительном х.
361
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
При а > О неравенство (1) равносильно неравенству х2 < —, все
Г 1 1 1 решения которого составляют промежуток--------; — .
\ 4а 4а ,
При а < О неравенство (1) равносильно неравенству х2 > i, спра
ведливому при любом действительном х.
Ответ. Для каждого а О любое х g R; для каждого а > О любое
ПРИМЕР 2. Для каждого значения параметра а найдем все решения неравенства
х2 4- ах + 1 > 0.	(2)
Дискриминант квадратного неравенства (2) D = а2 - 4.
Рассмотрим три случая: D < 0, D = 0, D > 0.
При каждом а е (-2; 2) дискриминант D < 0, поэтому решением неравенства (2) является любое действительное число.
При а — 2 и при а = -2 дискриминант D = 0, поэтому решением неравенства (2) является любое действительное число.
При каждом а е (-оо; -2) U (2; +оо) дискриминант D > 0, поэтому множество решений неравенства (2) имеет вид (-оо; хх] U [х2; +оо), -а - л/а2 - 4 -а + da? - 4 где X! = --, х2 = --------.
Ответ. Для каждого а е [-2; 2] любое xeR; для каждого
а е (-оо; -2) U (2; +оо) любое х е
(	-a-da2 - 4
-оо; ------------
I 2
ПРИМЕР 3. Решим неравенство с параметром а loga(7-x)>21oga(x- 1).	(3)
По определению логарифма при а = 1 и каждом а < 0 не имеют смысла обе части неравенства (3), поэтому при каждом из этих значений а неравенство (3) не имеет решений. Остается рассмотреть все возможные значения параметра а из двух промежутков: 0 < а < 1 и а > 1.
При каждом значении а из этих промежутков обе части неравенства (3) имеют смысл только на интервале (1; 7) и на этом интервале неравенство (3) равносильно неравенству
loga (7 - х) > loga (х - I)2.	(4)
Если 0 < а < 1, то функция у — loga t убывает на своей области определения и на интервале (1; 7) неравенство (4) равносильно неравенству 7 - х < (х - I)2, т. е. неравенству х2 - х - 6 > 0. Множест
362
во всех решений последнего неравенства есть множество (—со; -2) U U (3; +оо). Из этих чисел интервалу (1; 7) принадлежат лишь числа из интервала (3; 7). Эти числа и составляют множество решений неравенства (4) при 0 < а < 1.
Если а > 1, то функция у = loga t возрастает на своей области определения. Поэтому неравенство (4) равносильно на интервале (1; 7) неравенству 7 - х > (х - I)2, т. е. неравенству х2 - х - 6 < 0. Множество всех решений последнего неравенства есть интервал (-2; 3). Из этих чисел интервалу (1; 7) принадлежат лишь числа из интервала (1; 3). Эти числа и составляют множество решений неравенства (4) при а > 1.
Ответ. Для а = 1 и для каждого а 0 нет решений; для каждого 0 < а < 1 любое х е (3; 7); для каждого а > 1 любое х е (1; 3).
Для каждого значения параметра а решите неравенство
(15.10—15.23):
15.10	а) в)	(а - 1)х > а2 - 1; (а + 3)х а2 - 9;	б) г)	(а + 2) х > а2 - 4; (а - 4)х а2 - 16.	
15.11	а) в)	а а н и м м /Л Л 1 4^ СО** •	б) г)	ах2 > -4; ах2 16.	
15.12	а) в)	а(х2 - х) > 0; а (х2 + х) 0;	б) г)	а(х2 - х) 0; а (х2 + х) < 0.	
15,13	а) в)	ах2 - х < 0; ах2 + х 0;	б) г)	ах2 - х > 0; ах2 + х 0.	
15.14	а) в)	х2 + ах + 4 0; х2 - ах + 4 > 0;	б) Г)	х2 + ах + 9 < 0; х2 - ах + 9 0.	a
15.15	а) в)	х2 + (а + 1)х + а 0; х2 + (а - 3) х - За > 0;		б) х2 + (а + 2)х + г) х2 + (а - 4) х -	2а ^0; 4а < 0.
15.16	а)	х - 1	„	х - а 	> 0; б) 		 > х - а	х + 2		0; в)	> 0; г) х + а	0. х - 4
15.17	а)	х2 - а2 „	х2 - а2 Л . х - 3 > 0; б)	< 0; в) 2	2 > 0; г) х-1	х + 2	х2 - аг			_L±±< л
					х2 - а2 ""
15.18	а) в)	(х - а) Vx — 1	0; (х - 3)Ух - а > 0;	б) г)	(х - а) Jx — 2 0; (х - 4) Jx - а 0.	
15.19	а) в)	> 0;	б) х-1 >0;	г) Jx - а	2^—- 0; х + 2 Jx - а		
363
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
15.20	а) в)	>1х- а > Уз - х;	б) 7x4- а > 713-х; 7х - а 723 - х;	г) Vx - а 733 - х.
15.21	а) в)	log2(x - а) > log2(13 - х);	б) log3(x - а) > log3(ll - х); log4 (х - а) < log4 (9 - х);	г) log5 (х - а) log5 (7-х).
15.22	а) в)	loga (х - 2) logfl (13 - х); б) loga (х - 3) loga (15 - 2х); logfl (4 - х) loga (Зх - 15); г) loga (5 - х) > loga (4х - 35).
15.23	а) в)	loga (х - 1) 2 loga (3 - х);	б) loga (х - 3)	2 loga (5 - х); (7 - х) 2 loga (х - 5);	г) logfl (13 - х)	2 loga (х - 1).
15.3*. Системы уравнении с. параметром
Решить систему уравнений с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данной системы (это множество может быть и пустым).
ПРИМЕР 1. Для каждого значения параметра а решим систему уравнений
{ах + 2и = а + 2	_.
(1)
2ах + (а 4- 1) у = 2а + 4.
т,	.	а 4- 2 - ах
Из первого уравнения системы (1) находим, что у =---------.
„	а + 2 - ах
Подставляя у = --------вместо у во второе уравнение системы, по-
лучаем, что для каждого значения параметра а система (1) равносильна системе
_ а + 2 - ах
У 2	(2)
а (а - 3)х = (а + 2)(а - 3).
Если а = 0, то система (2) несовместна, так как второе уравнение этой системы запишется в виде 0 • х = -6. Если а = 3, то система (2) имеет бесконечно много решений вида х = d, у = —-—, где d — любое число.
Если а Ф 0 и а Ф 3, то система (2) имеет единственное решение
Ответ. Для каждого а Ф 0 и а Ф 3 единственное решение (а + 2	f 5 - 3d
I----; 01, для а = 3 бесконечно много решении вида I а; —-— I, где
d g jR; для а = 0 нет решений.
а 364
(3)
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений с параметром а |х2 + у2 = а2 [х + у = 1.
Из второго уравнения системы (3) находим, что у = 1 - х. Подставляя 1 — х вместо у в первое уравнение, получаем квадратное уравнение 2х2 - 2х + 1 - а2 = 0, которое:
а)	не имеет корней, если его дискриминант D = 8а2 - 4 < 0, т. е.
I	I ^2
если а < —;
2	1	^2
б)	имеет один корень хх = —, если D = 0, т. е. если \ а | = —
2	_ ___________ 2
ч	2-4d	2+4d
в)	имеет два корня: хх = —-—, х2 = —-—, если D > О, т. е.
I	।	&
если I а [ > —.
д/2
Следовательно, если |а | < —, то система (3) не имеет решений;
Хи л/2
если |а| = —, то система (3) имеет одно решение 2
если
I I <2
|а | > —, то система имеет два решения: 25
"1+ 72а2- 1 1 - 72а2 -11
2	*	2	‘
1
2’ 2/
1- 72а2- 1. 1 + 72а2~ 1
2	’	2
и
у/2
Ответ. Для каждого | а | < — нет
1. 1 2* 2
одно решение
(1 - ^2а2 - 1 ф 1 + ^2а2 - 1
2	’
2
и
I I V2 решении; для | а | = —-
। ।
| а | > — два решения: it
- 72а2 - 1
для каждого
1+ 72а2 - 1 . 1 2	*	2
ПРИМЕР 3. Для каждого значения параметра а решим систему уравнений
{sinxcos2«/ = а2 + 1
sin 2у cosx = а.
Так как а2 + 1	1 для любого значения a, a sinx cos 2#	1 для
любых хи у, то система (4) имеет решения только в случае а = 0.
При а = 0 система (4) перепишется в виде
sinx cos 2у = 1	(5)
sin 2у cos х = 0.
365
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
Складывая и вычитая уравнения системы (5), получим, что она равносильна системе
j sin(x + 2у) - 1 [sin(x - 2у) - 1.
Система (6) имеет решения х = — + к (k + zi); у — — (k - n), k e Z, z.
n e Z. Следовательно, все эти решения являются решениями системы (4).
Ответ. Для а - 0 решения
(6)
7Г	1
— (k - п) I, k g Z, п е Z;
для каждого а Ф О нет решений.
ПРИМЕР 4. Для каждого значения параметра а решим систему уравнений 
I у/х2 + у2 = х + у [(2х +1)2^ + 1 = а.
Возведя первое уравнение системы (7) в квадрат, получим, что для каждого значения а система
X2 + у2 = (х + у)2 ' (2х +1)2« + 1 = а
является следствием системы (7). Множество решений системы (8) для каждого значения а есть объединение всех решений двух систем .я - 0 [(2х +l)2-v+1 = а
(7)
(8)
(9)
а.
(Ю)
(И)
и
1*/ = 0 [(2х +1)2^+1 =
Система (9) равносильна системе fx = 0 [2-" + 2 = а.
Система (11) при каждом а 0 не имеет решений, а при каждом а > 0 имеет единственное решение: х = 0, у = log2a - 2. Система (10) равносильна системе
h = о (2Х + 1 = а-2.
Система (12) при каждом а 2 не имеет решений, а при каждом а > 2 имеет единственное решение: х — log2(a - 2) — 1, у = 0.
Итак, система (8) при каждом а 0 не имеет решений; при каждом а 6 (0; 2] имеет единственное решение (0; log2a - 2); при каж
(12)
Ж 366
дом а> 2 имеет два решения: (О; log2a - 2) и (log2(a - 2) - 1; О). Так как система (8) есть следствие системы (7), то теперь надо проверить, какие из найденных решений системы (8) являются решениями системы (7).
Подставляя пару чисел (0; log2a - 2) в первое уравнение системы (7), получаем, что равенство ^/(log2a - 2)2 = log2a - 2 справедливо лишь если log2a - 2 > 0, т. е. если а 4.
Подставляя пару чисел (log2 (а - 2) - 1; 0) в первое уравнение системы (7), получаем, что равенство ^(log2(a - 2) - I)2 = log2(a - 2) - 1 справедливо лишь в том случае, если log2 (а - 2) - 1	0, т. е. если
а 4.
Проверка показывает, что обе пары чисел при любом а 4 удовлетворяют второму уравнению системы (7), причем при а = 4 эти пары чисел совпадают. Следовательно, система (7) при каждом а < 4 не имеет решений, при а = 4 имеет единственное решение (0; 0), а при каждом а > 4 имеет два решения.
Ответ. Для каждого а < 4 нет решений; для а = 4 единствен-
ное решение (0; 0), для каждого а > 4 два решения:
( а - 2 А 1оё2—; о .
0; log2~ 1 и
	Для каждого значения параметра а решите систему уравне-			
	НИЙ	[ (15.24—15.29):		
15.24	a) j	|(a- l)i/ = а + 1 [х + у = а;	б) <	| (а 4-1) у = а + 2 [х 4- у = а;
	в)	[(а - 1)у - а 4- 3 [х-у = а;	г) j	[ (а 4-1) у = а 4- 4 [х — у — а.
15.25	a) j	\(а-1)у = а2 -1 [х + у = а;	б) <	[(а 4- l)i/ = а2 - 1 [х 4- у = а;
	в)	[(а - l)z/ = а2 - 1 [х-у = а;	г) j	[(а 4- l)i/ = а2 -1 [х-у = а.
15.26	а) -!	\х2 + у2 = а [х + у = 1;	б) ]	(х2 +у2 = а [х- у = 1.
15.27	а)	[х2 + у2 = а (х + у = -1;	б)	[х2 4- у2 = а [х- у = -1.
15.28	а)	| sin 2х cos у = -а2 - 1 [sini/cos2x = а;	б)	1 sin Sxcos 2у = -а2 - 1 [ sin 2у cos Зх = а 4-1.
367
Уравнения. нераиеиства и системы е параметрами
15.29 а)
б)
(а* 2 3 * - a) sin ~ + 2 cos у = а + 5 Ci
3 sin — + cos у = 4;
(а2 + a) sin + 2cosх = За +1
3 sin — + cos х — -4.
2
15Л*\Задачи с условиями
выполнено
каждом из уравнения
В этом пункте рассматриваются задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых некоторое условие.
ПРИМЕР 1. Найдем все значения параметра а, при которых любое действительное число является корнем logx2 + а + 1 ^ах2 + 2) = 21о&7 + 2а (5 - V6- 2“)‘
Пусть число а удовлетворяет условию задачи. Тогда решениями заданного уравнения будут все действительные числа. В частности, и число х = 1 является решением этого уравнения.
Значит, верно равенство loga + 2 (a + 2) = 2 log7 + 2а (б -	— 2a),
т. е. равенство ^7 + 2a = 5 - ^/б - 2a. Рассматривая это равенство как уравнение относительно а, находим его корни ах = 1 и а2 = Таким образом, все возможные значения а, удовлетворяющие условию задачи, содержатся среди этих чисел. Проверим, какие из них действительно являются решениями задачи.
Подставляя a = 1 в исходное уравнение, получаем уравнение 1°£х2 + 2 (*2 + 2) = 21og93, которому удовлетворяют все действительные числа, так что a = 1 является решением задачи.
3
При a = — исходное уравнение имеет вид log о 2	хг -
if2-?*2 г1-2 V Z /
Этому уравнению, в частности, не удовлетворяет число х = О, так 3
что а = -- не является решением задачи.
Ответ, а = 1.
ПРИМЕР 2. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
(1)
-^^<0
х - 8а
выполняется для всех х, принадлежащих отрезку [2; 4].
^368
Задача заключается в нахождении таких значений а, при каждом из которых множество решений неравенства (1) содержит отрезок [2; 4]. Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого надо нанести на ось Ох точки х = а и х = 8а. В зависимости от того, каким может быть число а, эти точки будут по-разному располагаться на оси Ох, а в зависимости от этого будут по-разному записываться и решения неравенства (1) (рис. 179, а, б).
Если а = 0, то неравенство (1) перепишется в виде | <0и оно не имеет решений.
Если а > 0, то множество решений неравенства (1) есть интервал а < х < 8а (см. рис. 179, а).
Если а < 0, то множество решений неравенства (1) есть интервал 8а < х < а (см. рис. 179, б).
а - О
а < О
8а а
 Рис. 179
В случае а < 0 неравенству (1) удовлетворяют только отрицатель-
ные числа. Поэтому ни одно из этих а не удовлетворяет условию задачи. В случае а > 0 множество решений содержит отрезок 2 С х 4
только тогда, когда одновременно а < 2 и 8а > 4, т. е. если 0,5 < а < 2.
Ответ. Любое а е (0,5; 2).
ПРИМЕР 3. Найдем все значения параметра а, при каждом из
которых система уравнений
х2 ч- у2 = 1
х + у = а
имеет единственное решение.
Пусть а — некоторое число, удовлетворяющее условию задачи, и (* * * * * * * * * х(и *7о) — решение данной системы уравнений при этом а. Очевидно, пара чисел (i/0; х0) также будет решением системы. Так как решение единственное, то yQ = х0, и из первого уравнения получаем, что либо х0 = у0 = — и тогда ах = —— = 42, либо х0 = у0 = —— и то-72	42	42
гда а2 — -42. Таким образом, все возможные значения а, удовлетворяющие условию задачи, содержатся среди чисел а1 = 42 и а2 = -42. Решая систему уравнений при а{ = 42 и а2 = -42, убеждаемся, что и в том и в другом случае она не имеет решений, отличных от уже указанных.
Ответ, а - 42, а = —42.
И»
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
ПРИМЕР 4. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых равносильны уравнения
sin2x = |	(2)
И
28 sin2 х = 2а + 9 + (2а - 5)cos4x.	(3)
Применяя формулу косинуса двойного угла, получаем:
cos 4х = 2 cos2 2х - 1 = 2(1 - 2 sin2 х)2 -1 = 8 sin4 х - 8 sin2 х + 1.
Учитывая это равенство, уравнение (3) можно переписать в виде
2 (2а - 5)sin4x - (4а - 3)sin2x + (а + 1) = О.	(4)
т»	5	5
Рассмотрим два случая: а = - и а -. 5	<	7
1) Если а = —, то уравнение (4) перепишется в виде -7 sin2 х + — = О, т. е. уравнения (2) и (3) совпадают.
2) Если а Ф то рассмотрим квадратное уравнение
2(2а - 5) у2 - (4а - 3)у + (а + 1) = О,
1	а + 1
которое имеет два корня: ух = — и у2 =-Следовательно, уравне-
Z	— о
ние (4) равносильно совокупности двух уравнений
. О	1	-9	Л + 1
sinzx=- и sinzx=---------.
2	2а - 5
Легко видеть, что не существует значения а, при котором
- =	. Отсюда следует, что, для того чтобы уравнения (2) и (3)
2 2а - 5	а + х
были равносильны, надо, чтобы уравнение sin2 х =-----
2а — 5
решений. А это возможно в двух случаях:
не имело
или
или
2а - 5
а + 1
2^>Е
(5)
(6)
5
2 ’ Н Ые"
Неравенству (5) удовлетворяют все а, такие, что -1 < а 5
равенству (6) — все а, такие, что — < а < 6. Следовательно, уравне-
(	5 ।	। 5 I
ния (2) и (3) равносильны для каждого а е -1; — U —; 6 .
&370
Объединяя случаи 1 и 2, получаем решение рассматриваемой задачи: (-1; 6).
Ответ. Любое а е (-1; 6).
ПРИМЕР 5. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
х2 + 2хг/-7г/2^
3x2+10xz/-5i/2^ -2 имеет хотя бы одно решение.
Пусть а0 есть то значение параметра, при котором система имеет решение, и пусть (х0; у0) — это ее решение. Тогда справедливы неравенства
-х20 - 2х0у0 + 7у^1-
3xg + 1Охог/о - 5t/§ =? -2.
Умножим первое неравенство на 2 и прибавим ко второму. Получим, что справедливо неравенство х§ + 6x0i/0 + 9yG	, т. е.
ао + 1
— 4	-4
неравенство (х0 + 3z/0)2 -----. Отсюда следует, что --------	0, т. е.
Oq + 1	CLq + 1
что aG < -1.
Итак, все искомые значения параметра лежат в области а < -1.
Докажем теперь, что для каждого а, удовлетворяющего неравенству а < -1, система имеет решение. Так как при каждом а < -1 л л 2
выполнено неравенство -1 > -1 ч----, то достаточно доказать, что
1 + а система уравнений
(х2 + 2ху - 7г/2 = -1
[Зх2 + 1Охг/ - 5г/2 = -2
имеет решение, поскольку каждое решение системы уравнений (7) будет также и решением исходной системы неравенств.
Решим теперь систему (7). Умножив первое уравнение на -2 и прибавив ко второму, получим уравнение (х + Зу)2 = 0, откуда х = -Зу. Подставляя —Зу вместо х в любое из уравнений системы (7), получаем одно и то же уравнение 4z/2 = 1, которое имеет два корня:
1	1 и	3	3 ___	„ й
уг = — и у2 = —. Но тогда хг = — и х2 = —. Проверкой убеждаемся, 2	2	2	2
_	( з 1А (з П
что обе пары чисел —; — и —; — являются решениями систе-мы (7), а значит, и исходной системы неравенств (при а < -1).
Ответ. Любое а < -1.
37i
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
ПРИМЕР 6. Найдем все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
4х — а • 2Х+1 - За2 4 4а = О
имеет единственный корень.
Так как множество значений функции у = 2х есть все у > О и каждое из этих значений принимается только в единственной точке х, то задача эквивалентна следующей: найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение у2 — 2ау — За2 + 4а = О имеет единственный положительный корень. Квадратный трехчлен f(y) = У2 ~ %аУ ~ За2 + 4а имеет дискриминант D = 16а (а - 1).
При а = 0 соответствующее квадратное уравнение имеет единственный корень у = 0, не принадлежащий множеству положительных чисел. Следовательно, а = 0 не удовлетворяет условию задачи.
При а = 1 дискриминант D также равен 0 и соответствующее квадратное уравнение имеет единственный корень у = 1, являющийся положительным числом. Так что значение а = 1 удовлетворяет
условию задачи.
Если выполнено условие D < 0, то квадратный трехчлен f(y) вообще не имеет действительных корней, так что среди таких значений параметра искомые значения не содержатся.
Если параметр а удовлетворяет условию D > 0, т. е. неравенству а2 - а > 0, то квадратный трехчлен f(y) имеет два различных действительных корня. Обозначим эти корни через уг и у2. Рассмотрим отдельно случай, когда среди этих корней есть равные нулю. Это возможно лишь в случае -За2 + 4а = 0. Значение а = 0 уже рассмотрено 4
нами. В случае а = — квадратное уравнение f(y) = 0 имеет единствен-О
8	4
ныи положительный корень у = -, так что значение а = - удовлетво-3	3
ряет условию задачи.
Наконец, если квадратный трехчлен f (у) имеет ненулевые корни уг и у2, то он будет иметь единственный положительный корень тогда и только тогда, когда произведение уг • у2, равное, согласно теореме Виета, -За2 + 4а, отрицательно. Итак, в этом случае все искомые значения параметра а есть решения системы неравенств а2 - а > 0
-За2 + 4а < 0,
множество решений которой состоит из двух промежутков: а < 0 и 4
а>з-
Присоединяя к этим значениям найденные ранее а = 1 и а = —,
3 получаем решение задачи.
4
Ответ. Любое а < 0, а = 1, любое а ^ —.
3
372
15.30	При каких значениях параметра: а)	а Ф -3 уравнение 2 sin 2х = ——- не имеет корней; а + 3 б)	а Ф 2 уравнение 3cosx = ° + не имеет корней? (L d
15.31	При каких значениях параметра а уравнение: а) х + 2 = а|х-1|; б) а|х-3| = х+1 имеет единственное решение? Найдите это решение.
15.32	Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение: а) |х + 2| = ах+1; б) |х-4| = ах+2?
15.33	При каких значениях параметра а уравнение: а)	х2 - (За - 1) | х | + 2а2 - а — 0 имеет четыре различных корня; б)	х2 - (4а - 2) | х | + За2 - 2а = 0 имеет ровно два различных корня?
15.34	При каких значениях параметра а число:	 а)	0 является корнем уравнения ^acos2x- 3sin2x = cosx; б)	является корнем уравнения ^2 sin 2х - a cos 2х = —sinx? di каждого такого значения а решите уравнение.
15.35	При каких значениях параметра а уравнение: а) 7х + 1 = х + а; б) Vx + a = x + 3 имеет единственный корень?
15.36	При каких значениях параметра а уравнение: а) 4х - (5а - 3) 2х + 4а2 - За = 0 имеет единственный корень; б) 9х - 2 (За - 2) 3х + 5а2 - 4а = 0 имеет два различных корня?
15.37	При каких значениях параметра b уравнение: a) log2x + j (Зх2 - Ъх - 0,25&) = 2 имеет два различных корня; б) logx _ ь (0,75х2 - х + Ь2 - Ь) = 2 имеет единственный корень?
15.38	При каких значениях параметра а: о.) все х > 3 являются решениями неравенства (а - 2)х2 - 2х - а > 0; б) все х > 1,5 являются решениями неравенства (а - 2)х2 - 2х - За + 10 > 0?
п 373
Ураннения, неравенства и системы с параметрами
15.39
15.40
15.41
15.42
15.43
15.44
a) V*2 - 10х + 26 >
При каких значениях параметра а неравенство: 2а2 - 4а -3
—т— ---— выполняется для всех х;
а2 - 2а - 8
2а2 - 4а -3
б) Jx2 + 8х + 20 —5— ----— не имеет решении?
v	а2 - 2а - 8
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство:
а)	а2 + а — sin2x - 2аcosx > 1;
б)	13 sin2 х + 2а sin х cos х + cos2 х + а | 3 выполняется для любого значения х.
Найдите все значения параметра р, при каждом из которых множество всех решений неравенства (р - х)2 (р + х - 2) < О не содержит ни одного решения неравенства х2 С 1.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых 7а2 - а - 2	_	„
неравенство х 4-------— < -7а не имеет решении х, боль-
ших 1.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства 2х2 -Зх + а+12С0не пусто и содержится среди решений неравенства х2 + 10х + а < 0.
При каких значениях параметра а система уравнений: а)
х + Jy - а - 2 = 0
<	v	имеет два различных решения;
у2 - х2 = а(2х + а)
1 Ы
у + In — = х
<	У	имеет единственное решение;
у + 2(х + а)2 = х + 2а + 4
б)
в)
г)
у = iog2i i + 5r I
(х - а)2 + (у - а)2 = 1
2 + logo у = logo (х + За)
2 имеет два различных решения?
у — X 4" Ло, — 4 + 2 (х а)
При каких значениях параметра а система уравнений:
2л/3х2
у = z : i„i
имеет единственное решение;
15.45
а)
_	2х2
У ~ х + |х|	б) <
(х- 2 (а + 2))2 + (г/- а)2 = 8;
имеет хотя бы одно решение?
2а + 1
х----——
V3
2
+ (у - а)2 = 4
374
Исторические сведения
Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений. Есть в ней такая задача:
«Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96».
Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой и которое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + х и 10-х (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100 - х2 = 96, для которого указывал лишь положительный корень 2.
Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э.
Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорез-ми (787 — ок. 850). В нем рассмотрены и решены (в геометрической форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. При этом рассматривались только положительные корни уравнений.
В работах европейских математиков XIII—XVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Михаэль Штифель (1487—1567), который рассматривал уже и отрицательные корни.
В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669—1739) имелось немало задач на квадратные уравнения. Вот одна из них:
«Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колико оная баталия будет иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставить по фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в 2 раза больше числа солдат, расположенных им в затылок?
В древневавилонских текстах (3000—2000 лет до н. э.) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих и уравнения второй степени. Приведем одну из них:
«Площади двух своих квадратов я сложил: 25—. Сторона второ-2 к 12 го квадрата равна - стороны первого и еще 5».
Соответствующая система в современной записи имеет вид:
х2 + у2 = 25-^-*	12
2 у - -х 4- 5. Г 3
И 375
Исторические сведения
Эту задачу вавилонский автор решает пра-вильно методом, который мы теперь называем методом подстановки, но он еще не пользовал-	Ji
ся алгебраической символикой.
В XVI в. французский математик Франсуа
Виет (1540—1603), служивший шифровалыци- лИК t ком при дворе французского короля, впервые	JtU
ввел буквенные обозначения не только для не-	'
известных величин, но и для данных, т. е. ко-	' -Ж €►
эффициентов уравнений. Ф. Виет для обозначения нерасшифрованных букв в донесениях
противника использовал редкие буквы латинского алфавита х, у и 2, что и положило начало традиции обозначать неизвестные в уравнениях буквами х, у и г. Особенно ценил Виет открытые им формулы, которые теперь называются формулами Виета. Однако сам Виет признавал только положительные корни.
Лишь в XVII в. после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид.
Вернемся в начало XVI в. Тогда профессор математики болонского университета Сципион дель Ферро (1465—1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида
х3 + рх = q,	(1)
где р и q — числа положительные.
Это открытие, по обычаям того времени, профессор держал в строгом секрете. О нем знали лишь два его ученика, в том числе некий Фиоре. Утаивание математических открытий тогда было обычным явлением, так как в Италии практиковались математические диспуты-поединки. На многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения на месте или в определенный срок. Чаще всего это были задачи по алгебре, которую называли тогда великим искусством. Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. Вот почему участнику диспута было важно обладать неизвестным другим алгоритмом решения некоторых задач.
После смерти профессора дель Ферро его ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, вызвал на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тар-талья (1499 —1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений в радикалах, так как предполагал, что Фиоре уже обладал этой формулой. Позднее Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благо-
376
о > q О
I»
л
даря благословенной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока».
Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Фиоре не смог решить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, но продолжал держать открытую формулу в секрете.
Другой итальянский математик Джероламо Кардано (1501— 1576) узнал от Тартальи правило решения кубического уравнения (1) и дал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны. Правда, Тарталья лишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано, познакомившись с рукописями покойного профессора дель Ферро, получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраических вещах, в одной книге», где впервые опубликовал формулу для решения уравнения (1), а кубическое уравнение общего вида предлагал свести к уравнению (1).
После выхода в свет этой книги Кардано был обвинен Тартальей в нарушении клятвы, но формула, открытая дель Ферро и Тартальей, и по сей день называется формулой Кардано.
Такова полная драматизма история открытия формулы корней кубического уравнения (1).
В той же книге Кардано привел алгебраическое решение уравнения четвертой степени. Это открытие сделал один из его учеников Лудовико Феррари (1522—1565). После этого начались настойчивые поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трех столетий, и лишь в начале XIX в. норвежский ученый Нильс Хенрик Абель (1802—1829) и французский ученый Эварист Галуа (1811—1832) доказали, что уравнения степеней выше четвертой в общем случае в радикалах не решаются.
Выше речь шла об алгебраических уравнениях, т. е. уравнениях /(х) = 0, где /(х) — многочлен относительно х.
377
Историческим* । именин
Кроме алгебраических уравнений, есть еще и трансцендентные уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенств существенно опирается на свойства функций, которые изучаются в математике относительно недавно.
Особое место среди алгебраических уравнений занимают так называемые диофантовы уравнения, т. е. уравнения, в которых неизвестные предполагаются целыми числами.
Наиболее известными из них являются линейные диофантовы уравнения. Примеры задач, приводящих к линейным диофантовым уравнениям, находим в сборнике задач монаха Алькуина, приглашенного в 795 г. Карлом Великим преподавать в первую из известных школ в г. Аахен. Вот эта задача:
«100 шеффелей (денежных единиц) разделили между мужчинами, женщинами и детьми (число персон 100) и дали при этом мужчинам по 3 шеффеля, женщинам по 2 и детям по - шеффеля. Сколь-ко было мужчин, женщин и детей?»
Обозначив количество мужчин за х, количество женщин за z/, мы придем к уравнению 3x + 2z/ + -(100-x-i/) = 100.
Общего решения линейных диофантовых уравнений в те времена еще не знали и довольствовались лишь несколькими решениями, удовлетворяющими условию задачи. У самого Алькуина было приведено лишь одно решение этой задачи: мужчин, женщин и детей было 11, 15 и 74, а задача имеет 784 решения в натуральных числах.
Задачи, приводящие к линейным диофантовым уравнениям, имелись у Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1180—1240), в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.
Диофантовы уравнения играют важную роль в математике. Л. Эйлер писал: «Диофантовых уравнений анализ немало служит изощрению разума начинающих и большое проворство в искусстве приносит».
Известное диофантово уравнение Пифагора (VI в. до н. э.) х2 + у2 = z2 решают в натуральных числах. Его решениями служат тройки чисел (х; у\ z):
х = (m2 - n2)Z, у = 2mnl, z = (zn2 + n2)Z,
где m, n, I — любые натуральные числа (m > n). Эти формулы помогают находить прямоугольные треугольники, длины сторон которых являются натуральными числами.
Пифагор
378
П. Дирихле
В 1630 г. французский математик Пьер Ферма (1601—1665) сформулировал гипотезу, которую называют великой (или большой) теоремой Ферма: «Уравнение хп + уп = zn для натурального и > 3 не имеет решений в натуральных числах». Ферма не доказал свою теорему в общем случае, но известна его запись на полях «Арифметики» Диофанта: «...невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четвертую степень — в виде суммы таких же степеней, или вообще любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Позднее в бумагах Ферма было найдено доказательство его теоремы для п = 4. С тех пор более 300 лет математики пытались доказать великую теорему Ферма. В 1770 г. Л. Эйлер доказал теорему Ферма для и = 3, в 1825 г. Адриен Лежандр (1752—1833) и Петер Густав Лежен Дирихле (1805—1859) — для п = 5. Доказательство великой теоремы Ферма в общем случае не удавалось долгие годы. И только в 1993 г. Эндрю Вайле доказал эту теорему.
Глава III
Комплексные число
i2=-l i3 = -i
е1к - -1
При рассмотрении действительных чисел отмечалось, что во множестве действительных чисел нельзя, например, найти число, квадрат которого равен (-1). При рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами также отмечалось, что такие уравнения не имеют корней, которые были бы действительными числами. Чтобы подобные задачи были разрешимы, вводят новые числа — комплексные числа.
§ 16*. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел
16.1*. Алгебраическая форма комплексного числа
Приведем формальное определение комплексных чисел.
Пусть а и Ъ — действительные числа, i — некоторый специальный знак. Множеством комплексных чисел называют множество выражений вида а + Ы, если они подчинены правилам:
а)	выражения а + Ы и с + di считают равными тогда и только тогда, когда а = с и b = d, при этом пишут:
а + Ы = с + di;
б)	суммой выражений а + Ы и с + di называют выражение (а + с) + (b + d) i, при этом пишут:
(а + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d) i;
в)	произведением выражений а + Ы и с + di называют выражение (ас - bd) + (ad + be) i, при этом пишут:
(а + bi) • (с + di) = (ас - bd) + (ad + bc)i;
г)	каждое выражение вида а + 0Z отождествляют с действительным числом а, т. е. выражение вида а + Oi и число а не различают,
380
при этом пишут: а + Of = а; в частности, выражение 0 + 0/ и число О не различают и пишут: 0 + Oi = 0;
д)	каждое выражение вида 0 + bi отождествляют с выражением Ы и пишут: 0 + bi = bi; в частности, выражение 0 + И отождествляют с выражением i и пишут: 0 + If = i.
ПРИМЕР 1.
а)	(3 + 2f) + (-1 + 3f) = (3 - 1) + (2 + 3)i = 2 + 5f;
б)	(-1 + 5f) + (-1 + (-5)f) = (-1 - 1) + (5 - 5)i = -2 + Oi = -2;
в)	(7 + 2i) + (-7 + If) = (7 - 7) + (2 + 1) f = 0 + 3f = 3f;
r) (4 + (-3)f) + (-4 + 3f) = (4 - 4) + (-3 + 3)f = 0 + Of = 0.
ПРИМЕР 2.
a)	(3 + 2f)(-l + 3f) = (-3 - 6) + (9 - 2)f = -9 + 7f;
6)	(-1 + 5f)(—1 + (-5) f) = (1 + 25) + (5 - 5)f = 26 + Oi = 26.
Каждый элемент множества комплексных чисел называют комплексным числом. Комплексное число f называют мнимой единицей. Покажем, что мнимая единица обладает свойством f2=-l.
Действительно, на основании правил «а» — «д» имеем
f2 = (0 + If)2 - (0 + If)(0 + If) = (0 • 0 - 1 • 1) + (0 • 1 + 1 • 0)i = = -1 + 0 • f = -l.
Комплексные числа вида bi называют мнимыми числами. Покажем, что bi есть произведение действительного числа Ъ и мнимой единицы f. На основании правил «а» — «д» имеем
b • f = (b + Of)(0 + If) = (Ъ • 0 - 0 • 1) + (b • 1 + 0 • 0)f = 0 + bi = bi.
Любое комплексное число а + bi есть сумма действительного числа а и мнимого числа bi. Действительно,
(а + Of) + (0 + bi) = (а + 0) + (0 + b) i = а + bi.
Комплексное число а + bi часто обозначают одной буквой z и пишут:
z = а + bi.
Правую часть этого равенства называют алгебраической формой комплексного числа z. Число а называют действительной частью числа z = а + bi и обозначают Re z = а, а число b называют мнимой частью числа z и обозначают Imz = b (от франц, reel — реальный, действительный, imaginaire — мнимый, воображаемый).
Пусть даны комплексные числа zx = аг + &jf, z2 = а2 + b2i, z3 = а3 + b3i, ..., zn = an + bni. Чтобы найти сумму комплексных чисел z2, z3, ..., zn, надо найти сумму первых двух чисел, к полученной сумме прибавить третье число, к полученной сумме прибавить четвертое число и т. д., пока не переберем все слагаемые.
Аналогично определяется и произведение нескольких комплексных чисел.
381
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
Если комплексное число г взято множителем п раз (п 2), то произведение z • z •... • z называют n-й степенью числа z и обознача-
п раз
ют zrt, т. е. по определению z • z •... • z = zn . Кроме того, по определе-
п раз нию z1 = z, а если z Ф 0, то z° = 1.
Для операций сложения и умножения существуют обратные операции.
Разностью комплексных чисел zx и z2 называют такое комплексное число z3 = х + yi, которое в сумме с z2 дает zx.
Покажем, что для любых комплексных чисел zx = ах + bxi и z2 = а2 + b2i их разность z3 - zx - z2 существует, единственна и вычисляется по правилу
2з = («1 - а2) + (bi - b2)i.
По определению суммы комплексных чисел z2 + z3 = (а2 + х) + + (b2 + y)i. По определению равенства комплексных чисел числа z2 + z3 и Zj равны тогда и только тогда, когда одновременно справедливы равенства а2 + х = alf b2 + у = Ьг.
Из этих равенств действительные числа х и у определяются, и притом единственным образом: х =	— а2, у = Ь^ — Ь2, т. е. су-
ществует, и притом единственное, комплексное число
z3 = (aj - а2) + (bj - b2)i, которое и является разностью комплексных чисел zx и z2.
ПРИМЕР 3.
а)	(3 + 2i) - (-1 + 3i) = (3 + 1) + (2 - 3)i = 4 + (-l)i = 4 - i;
б)	(-1 + 5i) - (-1 + (-5)z) = (-1 + 1) + (5 + 5)i = 0 + 10/ = lOi;
в)	(4 + (-3)0 - (-4 + 30 = (4 + 4) + (-3 - 3)i = 8 + (-6)i = 8 - 6z.
Частным от деления комплексного числа zx на комплексное число z2 (z2 * 0) называют такое комплексное число z3 = х + yiy которое при умножении на z2 дает zP
Можно показать, что для любых комплексных чисел zx = at + bxi и z2 = а2 + b2i (z2 Ф 0) их частное существует, единственно и вычисляется по правилу
сц + bxi	(cq + bxi){a2 - b2i)	aLa2 + bxb2 bxa2 - avb2
3 z2 a2+b2i	(a2+ b2i)(a2- b2i) a2 + b2 a2 + b2
1 4- 9i
ПРИМЕР 4.
3 + 4i
1- 3+2-4	2-3-1-4.11	2.
32+ 42	+ 32 + 42 1 ~ 25 + 25 *
Каждое комплексное число z = a + bi имеет единственное противоположное ему число, обозначаемое -z, которое в сумме с числом z дает 0. Число -z есть -а - bi. В самом деле,
z + (-z) = (а + bi) + (-а - bi) = (а - а) + (b - b)i = 0.
И 382
Разность комплексных чисел zx и z2 равна сумме чисел zx и (—z2). В самом деле, пусть zx = а + bi и z2 = с + di, тогда
- z2 = (а - с) + (b - d)i = (а + (-с)) + (Ь + (-</)) i = zx + (-z2).
В частности, а - Ы = (а + Ог) - (0 + bi) = (а - 0) + (0 - b) i = а + (~b) i.
Каждое отличное от нуля комплексное число z = а + Ы имеет единственное обратное ему число, обозначаемое i, которое при умножении на число z дает 1.
По правилу деления комплексных чисел если z = а + bi (z Ф 0) есть любое комплексное число, то
1 _	1	_ а — Ы _ а	Ъ
2 а + Ы (а + Ы)(а - Ы) а2 + Ь2 а2 + Ь2
ПРИМЕР 5.
1_3	4.3
3 + 4i ~ 32 + 42	32+ 42 1 " 25
4 .
25*’
Таким образом, сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел (делить на нуль нельзя) являются комплексными числами. Множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.
Для комплексных чисел справедливы основные законы арифметических действий (проверьте самостоятельно).
Из изложенного выше вытекает, что все равенства, связанные с арифметическими действиями, приведенные в п. 1.2 учебника для 10 класса для действительных чисел, а также все тождества, доказанные ранее для действительных чисел, остаются справедливыми и для комплексных чисел. Поэтому арифметические действия с комплексными числами можно проводить так же, как они проводятся с алгебраическими выражениями, заменяя i2 на -1 и объединяя затем члены, содержащие и не содержащие i.
ПРИМЕР 6. (2 + Зг)2 = 4 + 12г + 9г2 = 4 - 9 + 12г = -5 + 12г; (5 + Зг) (5 - Зг) = 25 - 9г2 = 25 + 9 = 34.
Если числа Zj и z2 различные, то пишут:	z2.
16.1	° В каком случае выражения а + bi и с + di считаются: а) равными; б) различными?
16.2	° Что называют множеством комплексных чисел; комплексным числом?
16.3	° При каком условии комплексное число а + bi отождествляется с действительным числом а?
16.4	° Какое комплексное число называют мнимым числом?
16.5	° Какое комплексное число называют мнимой единицей?
383
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
16.6	Что называют действительной частью, мнимой частью числа z = а + bi? Как обозначают действительную часть, мнимую часть числа z = а + bi?
16.7	Что называют суммой комплексных чисел а + Ы и с + di?
16.8	Что называют произведением комплексных чисел а + Ы и с + di?
16.9	° Как вычисляют сумму, произведение нескольких комплексных чисел?
16.10	Что называют n-й степенью (n е N) комплексного числа z?
16.11	Запишите основные законы сложения и умножения комплексных чисел, сформулируйте их.
16.12	Докажите справедливость основных законов сложения и умножения комплексных чисел.
16.13	Что называют разностью комплексных чисел z± = аг + bxi и г2 = а2 + b2i? Докажите, что для любых комплексных чисел и z2 их разность существует, единственна и вычисляется по правилу z3 = (aj - а2) + (dx - b2)i.
16.14	Что называют частным от деления комплексного числа 2i = ai + b)i на комплексное число z2 = а2 + b2i (z2 * 0 + Oi)? Докажите, что для любых комплексных чисел zx и г2 их частное — существует и единственно.
Z2
Вычислите (16.15—16.20):
16.15	а) в) д)	(3 + 21) + (1 + 5i); (-5 + i) + (1 - 4i); (-5 + 7i) + (5 - i);	6) r) e)	(3 - Hi) + (4 + 15i); (8 — i) + (-8 + i); (8 - i) + (4 + 0.
16.16	а)	(3 + 21) - (1 + Si);	6)	(3 - Hi) - (4 + 15i);
	в)	(_5 + i) - (1 - 4i);	r)	(8 + 0 - (-8 + i);
	д)	(5 + 71) - (5 - i);	e)	(8 - i) - (8 - i).
16.17	а)	(3 + 2i)  (1 + 5i);	6)	(3 - i) • (4 + 5i);
	в)	(-5 + i) • (1 - 4i);	r)	(8 + i) • (-8 + i);
	д)	(5 + 2i) • (5 - t);	e)	(8 - i)  (8 + i).
16.18	а)	(3 + 21) : (1 + 5i);	6)	(3 - lli) : (4 + 15i);
	в)	(-5 + i) : (1 - 4i);	r)	(8 + i) z (-8 + i);
	д)	(5 + 7i) : (5 - 0;	e)	(8 - i) : (8 - i).
16.19	а)	(5 + 2i)2;	6) (3 -	202;	в) (4 + i)2;
	г)	(3 - 3i)2;	Д) (4 +	4i)2;	e) (5 — 5i)2;
	ж)	(1 + o3;	3) (1 -	203;	и) (2 + i)3.
16.20	а)	(3 + i)2 + (3 - o2;	6)	(3 - 2i)2 - (3 + 2i)2;
	в)	(-5 + i)2 - (5 - i)2;	r)	(6 + i)2 - (-6 + i)2;
	д)	(3 + o3 + (3 - o8;	e)	(1 - 2i)3 - (1 + 2i)3.
384
16.21 Упростите выражение: а) (х + z)(x - z); в) (Зх 4- yi) (Зх - yi); д) (-5х + 4y2i)(5x - 4(/20;	б) (х + yi)(x - yi); г) (х - 2yi)(x + 2yi); е) (6х3 + yi) (-6х3 + yi).	
16.22 Разложите на множители: а) х2 + 1;	б) х2 + у2; г) 25х2 + 9z/2;	д) 25х4‘+ 16г/2;		в) 16х2 + уг; е) Збх6 + 16г/8-
16.23	Пусть дано комплексное число z = а + Ы. Какое комплексное число называют:
а) противоположным числу z; б) обратным числу z (z 0)?
16.24	Пусть дано комплексное число z = 12 + 5z. Укажите число: а) противоположное числу z; б) обратное числу z.
16.25	Пусть а и Ъ — действительные числа. Приведите к виду а + Ы выражение:
. 1 1 . 1 ч 1 .1 1
а) б) -7; в) ——; г) -—7; д) 7—7 + -—?;
I	I 1 + z 1 - z 1 +1	1-1
e) z3 - 2iz + i - 1; ж) z80 + i22 + i7 + i5 + i.
16.26	Для какого действительного числа х выражение (3 + xi)z -- (4х + 2)1 является: а) действительным числом; б) мнимым числом?
16.27	Для какого действительного числа х выражение (х + 2i)2 + + (5 + x)i является: а) действительным числом; б) мнимым числом?
16.28	Определите все действительные числа а, при каждом из которых является действительным числом выражение:
х	а + ЮОг	(а + 4z)2
а) (1 + 4i)3 +	;	б) (2 - 5i)3 -	,3	
1 + I	1Л
16.2$) Определите все пары (х; у) действительных чисел х и у, для каждой из которых выполняется равенство:
а) (2 + xz)3 = -46 + yi;	б) (у + 5i)(2y + 3z) = х - xz.
16.30 Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие двум условиям:
a) z2 = -15 + 8z и Imz > 0; б) z2 = 5 + 12z и Rez < 0.
16.2*. Сопряженные комплексные числа
Если z = а + Ы есть комплексное число, то комплексное число а - Ы обозначают z и называют сопряженным с числом z и пишут: z = a - bi. Легко видеть, что число, сопряженное числу z, есть z, т. е. z = z, и поэтому числа z и z называют взаимно сопряженными.
385
Алгебраическая форма н геометрическая интерпретация
Если z = а — действительное число, то z = а, т. е. если z — действительное число, то z = z. Верно и обратное утверждение: если z = z, то z — действительное число. Действительно, если z — а + bi, то z = а - bi. Условие z = z означает, что а + bi = а - bi, откуда следует, что b = 0, т. е. z — действительное число.
Можно доказать следующие свойства, связанные с сопряженными числами:
1)	Сумма и произведение взаимно сопряженных чисел есть действительное число.
2)	Число, сопряженное с суммой двух любых комплексных чисел, равно сумме сопряженных чисел.
3)	Число, сопряженное с разностью двух комплексных чисел, равно разности сопряженных чисел.
4)	Число, сопряженное с произведением двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных чисел.
5)	Число, сопряженное с частным двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел.
6)	Число, сопряженное с п-й степенью (n g TV) комплексного числа z, равно n-й степени сопряженного числа.
В качестве следствия этих свойств имеем следующее утверждение:
Если число z выражено через комплексное число а при помощи произведения, суммы и разности натуральных степеней этого числа, то, заменяя в этом выражении число а на сопряженное ему число а, получим число z, сопряженное с числом z.
ж
16.31	Пусть дано комплексное число z = а + Ы. Какое комплексное число называют сопряженным с числом z? Для каких чисел равны само число и число, ему сопряженное?
16.32	Укажите число, сопряженное комплексному числу:
a) z = 12 + 5Z; б) z = -1 - 2г; в) z — 2 - i.
16.33	Докажите, что сумма и произведение взаимно сопряженных чисел — действительные числа.
16.34	Пусть и и v — произвольные комплексные числа. Докажите, что:
а) и + у = и + у; б) и - у = й - у; в) ~й -~и = й - у;
г) (—] = =, если у 0; д) (ип) = (iz)n, п g N.
\и) и
16.35	Выполните деление комплексных чисел:
а) (1 + 2i) : (2 + i); б) (1 - 2i) : (2 - i); в) (3 + 2i) : (1 - г); г) (3 - 5i): (3 + 4г); Д) (10 + i): (3 + 5i); e) (10 - /): (13 - 5г).
13-11 UKO.'II1 1 K.’l.
..'386
16.36	Упростите выражение:
ч 1 + 2i	1 — 21	3 + 21	3 — 21
3+4/ 3-4i	’ 12- 5/ 12 + 5/
16.37	Найдите пару комплексных чисел г и и, для которой выполняются соотношения:
a) 2z + и - 11/ и 2г- Зй/ - 17; б) 3z - 2й - 1 и z - iu - -Qi.
16.38	Укажите число, сопряженное с комплексным числом z:
a) z = (3 + 2i) + (l-i); б) z = (3 + 2/) - (1 - /); в) z = (l + 3i)2;
г) z = (1 - 2/)3; д) z = (3 + /)3 + (1 - f)2 - (1 + f).
Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие условию (16.39—16.40):
16.39	a) z2 + 2z + 1 = 0;	б) z2 - 2(z + z) + 4 = 0.
—	z 2z
16.40 a) zRez + zlmz = 3 - 2i;	6)----------= z(l + 2i).
Re z Im z
16.3*. Геометрическая интерпретация комплексного числа
Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат хОу. Каждому комплексному числу z — а + Ы поставим в соответствие точку Л (а; Ь) (рис. 180). Тем самым между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости установлено взаимно однозначное соответствие, при котором каждому комплексному числу соответствует единственная точка, различным числам соответствуют различные точки и нет такой точки, которая бы не соответствовала какому-нибудь комплексному числу. Поэтому можно считать, что комплексное число z = а + Ы есть точка (точка z) на координатной плоскости. В силу этого соответствия между точками плоскости и комплексными числами координатную плоскость называют комплексной плоскостью.
Модулем комплексного числа z = а + Ы называют неотрицательное число yja2 + Ь2, равное расстоянию от точки z до начала координат. Таким образом, каждое комплексное число z = а + Ы имеет свой модуль, обозначаемый | z |:
| z | = у)а2 + Ь2.
Z/A
ь А(а;Ь)
1-
О 1	ах
И Рис. 180
В частности, если z есть действительное число, то модуль z есть абсолютная величина действительного числа а:
| z | = у]а2 + О2 = | а |.
Для чисел z и z справедливы следующие свойства:
1)	|z| = |z|; 2) |z|2 = z-z.
387
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
^a2 + (-b)2 = yja2 + b2, t. e.
Действительно, | z | = yja2 + b2, | z | = |z| = |z|; z • z = (a + bi) (a - bi) = a2 + b2 = \ zf.
ПРИМЕР 1. Найдем множество точек z комплексной плоскости, таких, что: а) | z | = 1; б) 2 |z| < 3.
Согласно геометрическому смыслу модуля комплексного числа это будут точки:
а)	удаленные от начала координат на расстояние 1, т. е. точки окружности радиуса 1 с центром 0(0; 0) (рис. 181, а);
б)	находящиеся внутри кольца, образованного окружностями с радиусами 2 и 3 и с центром 0(0; 0), включая окружность радиуса 2 (рис. 181, б).
Комплексное отличное ривать также как вектор
от нуля число z = а + Ы можно рассмат-(вектор z), начало которого находится
в начале координат, а конец — в точке Л (а; Ь), изображающей это число. На рисунке 182 вектор О А изображает комплексное отличное от нуля число z = а + bi.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию сложения и вычитания двух комплексных чисел гг = а + bi и z2 = с + di в том случае, когда точки О (0; 0), Aj (a; b) и А2(с; d) не лежат на одной прямой.
13*
388
Сумма чисел zx — а + bi, z2 = с + di есть число z3 = (а + с) + (b + d) i. Рассмотрим векторы zn конец которого находится в точке Аг(а; b}, z2, конец которого находится в точке А2 (с; d), и z3, конец которого находится в точке А3 {а + с; b + d). Вектор z3 является диагональю параллелограмма ОАХА3А2 (рис. 183).
Таким образом, сложение комплексных чисел Zj и z2 можно интер
претировать как сложение по правилу параллелограмма соответствующих им векторов zx и z2.
Векторы, изображающие противоположные комплексные числа z = а + Ы и — z = -а — Ы, симметричны относительно начала координат, поскольку концы этих векторов — точки М(а; Ь) и N(-а; -Ь) — симметричны относительно начала координат (рис. 184).
Пусть даны числа zx = а + Ы и z2 = с + di. Так как zx - z2 = zx + + (-22)» то вычитание из числа zT числа z2 можно заменить прибавле
нием к числу Z] числа, противоположного числу z2.
Рассмотрим векторы zL, конец которого находится в точке Aita; b), z2, конец которого находится в точке А2(с; d), и z3, конец которого находится в точке А3(-с; -d).
Построим параллелограмм А]ОА3А4 (рис. 185). Тогда ОА4 = = zx + (-z2), т. е. вектор ОА4 изображает разность комплексных чисел zx - z2. Так как четырехугольник А]А2ОА4 также является параллелограммом, то АХА2 = ОА4 = Izj - z2|. Это означает, что длина отрезка АгА2, соединяющего точки, соответствующие комплексным числам Zj и z2, равна \гг - z2 \ и модуль разности двух комплексных чисел Zj и z2 представляет собой расстояние между точками Aj и А2, изображающими эти числа.
0 Рис. 184
 Рис. 185
389
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
Такое геометрическое толкование суммы и модуля разности двух комплексных чисел часто применяется при решении задач.
ПРИМЕР 2. Найдем множество точек комплексной плоскости, соответствующих комплексным числам z, таким, что |z-i| = |z + 2|.
Расстояния от каждой искомой точки z до точек i и -2 равны. Значит, искомое множество точек есть серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках (0; 1) и (-2; 0) (рис. 186). Его уравнение у = —2х — 1,5.
ПРИМЕР 3. Найдем точки z комплексной плоскости, удовлетворяющие условию
|z- l| = |z-2| = |z-i|.
Точки, соответствующие числам 1, 2 и i, образуют треугольник с вершинами (1; 0), (2; 0) и (0; 1) (рис. 187). Условию задачи удовлетворяет единственная точка — центр окружности, описанной около этого треугольника. Так как она равноудалена от точек (1; 0) и (2; 0), то ее абсцисса х = 1,5. Так как она равноудалена от то-
чек (1; 0) и (0; 1), то ее абсцисса равна ординате: х = у. Условию задачи удовлетворяет единственная точка комплексной плоскости
3. 3 А
2* 2 J
3	3
, т. е. точка (комплексное число) - + -i (рис. 187).
и
Отметим, что справедливы следующие свойства модулей комплексных чисел:
|Z1 + z2| < |zj + |z2|,	(1)
Izi-Zjjl^lzJ + lzal.	(2)
Если zA Ф az2, то неравенство (1) следует из того, что длина диагонали параллелограмма, построенного на векторах zx и z2, не превышает суммы длин этих векторов. Доказательство неравенства (1) для случая Zj = az и неравенства (2) проведите самостоятельно.
 Рис. 186
 Рис. 187
390
16.41	е Каким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и комплексными числами?
16.42	° Что называют комплексной плоскостью?
16.43	г Что называют модулем комплексного числа?
16.44	Найдите на комплексной плоскости точку, соответствующую комплексному числу:
а) 2;	б) -2;	в) /;	г)
д) 2 + i;	е) 2 - i;	ж) -2 + i; з) -2 — i.
16.45	Какому комплексному числу соответствует точка комплексной плоскости:
а) (1; 0);	б) (0; 1);	в) (-1; 0);	г) (0; -1);
д) (-2; 4);	е) (4; -2);	ж) (1; 1);	з) (-1; -1)?
16.46	Какое геометрическое истолкование можно дать сумме и модулю разности комплексных чисел?
Найдите множество точек г комплексной плоскости, удовлетворяющих условию (16.47—16.50):
16.47	a)	|z| = 4;	б)	|z|<4;	в)	|z|>4.
16.48	a)	|z-3| =	2;	б)	| z - 31 С 2;	в)	| z - 31	2;
г)	|z-i| =	2;	д)	|z-i|<2;	e)|z-i|>2;
ж)	1 | z +	11 2$ 3; з)	l^|z-i|C4; и)	l^|z—l-i|^2.
16.49	a) | z - 41 = | z + 4i I;	6) | z + 21 = | z + 2i |.
16.50	a) > 0,5;	б)	> 2.
|z-2|	\z-i\
Найдите комплексное число z, удовлетворяющее следующему условию, и соответствующую ему точку комплексной плоскости (16.51—16.52):
16.51	a) zi - 5 - 21;	б) -3 + i = z(l + i).
16.52	a) z(-3 + 2i) = 5 - 55i;	6) -7 + 1,5/ = z(5 - 4i).
§ 17*. Тригонометрическая форма комплексных чисел
17.1*. Тригонометрическая форма комплексного числа
В системе координат хОу вектор О А изображает комплексное отличное от нуля число z = а 4- Ы (рис. 188, а — г). Главным аргументом этого комплексного числа z называют угол из промежутка 0 <р0 < 2л, образуемый вектором О А с единичным вектором оси Ох, отсчитываемый в положительном направлении (против часовой
ч* 391
Тригонометрическая форма комплексных чисел
 Рис. 188
стрелки). На рисунке 188 показан главный аргумент числа z. Главный аргумент числа г обозначают <р0 = argz.
Если угол <р0 есть главный аргумент числа z, то угол <р0 + 2лп, где п — любое целое число, называют аргументом числа z, аргумент для любого комплексного числа z Ф 0 определяется неоднозначно: любой аргумент <р числа z Ф 0 вычисляется по формуле
<р = фо + 2л&, где k — некоторое целое число, ф0 = argz.
Аргумент ф комплексного числа z = а + bi (z Ф 0) можно найти как угол, одновременно удовлетворяющий двум равенствам: а	.	b
cos ф =	и sin ф = -—	(1)
7а2 + Ь2	у]а2 + Ь2
ПРИМЕР 1. Найдем аргумент комплексного числа z иг	3	.	4
Напишем равенства соэф = — и вшф = Ясно, 4	5	5
Фо = arcsin — им удовлетворяет, и так как 0 ф0 < 2л, то
ный аргумент числа z. Следовательно, аргументом числа любой из углов
4
Ф = arcsin - + 2nk, k е Z.
м
= 3 + 4i.
что угол
ф0 — глав-
z является
Н 392
Пусть z = а + Ы — некоторое отличное от нуля комплексное число. Обозначим через г его модуль, а через <р один из его аргументов. Тогда, как следует из равенств (1), число z можно записать в виде
z — r(cos<p + isintp).
(2)
Правую часть равенства (2) называют тригонометрической формой комплексного числа z.
Тригонометрическая форма отличного от нуля комплексного числа есть запись комплексного числа z в виде (2), где г — положительное число, равное модулю числа z, косинус и синус берутся от
одного и того же угла <р, равного одному из аргументов числа z, при этом между costp и isintp стоит знак «плюс».
Например, число zx =
ol к • •
3 cos — + i sin
I 6
записано в тригонометри-
ческой форме, а следующие комплексные числа не записаны в три-
О	Л . . Л
тонометрической форме: z2 = -2 cos — + i sm — \	3	3
Л . . Л
Za = COS--I sin—.
4	4
. Л .	71
Z i = sin — + I cos —
3	6	6
Запишем те же числа в тригонометрической форме:
п( 4л , . 4лЛ	л . . л	7л . . 7л
z2 = 21 cos — + i sin — I, z3 - cos — + isin—, z4 = cos — + г sin—.
Действия умножения, деления и возведения в целую степень над любыми комплексными числами удобнее производить, если они записаны в тригонометрической форме.
В следующих теоремах под аргументом числа z (z 0) понимается любой из его аргументов.
ТЕОРЕМА 1. Если zx Ф 0, 22*0 и zx = Tj (cos <pf + i sin tpj), z2 = r2 (cos Ф2 + * sin Ф2)» TO:
a)	ztz2 = rxr2 (cos (<px + cp2) + i sin (<pj + <p2));
Zj Fj
6)	— = — (cos (<Pi - (p2) + i sin (<p! - <p2)).
Z2 r2
Доказательство, а) Пусть даны комплексные числа
2i = ^(costpi + isintp!), z2 = r2(cos<p2 + isin<p2).
Рассмотрим число zTz2. Применяя правила действия над комплексными числами и формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, имеем
2i^2 = (^1 (^sq^ + i sin(p1))(r2(cos(p2 + isincp2)) = = г4г2 ((cos <p j cos <p2 - sin <p! sin <p2) + (sin <p j cos <p2 4- sin <p2 cos Ф1) 0 =
= ^(COSty! + Ф2) + isin(<P! + (p2)),
что и доказывает пункт «а» теоремы.
Я 393
Тригонометрическая форма комплексных чисел
Доказательство пункта «б» теоремы проводится аналогично доказательству пункта «а», только предварительно надо умножить 2i числитель и знаменатель дроби — на (cos<p2 ~ isin<p2).
22
ТЕОРЕМА 2 (формула Муавра). Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, rt — любое целое число. Тогда
= (г (cos <р + i sin <р))ге = rn (cos n<p + i sin идр).	(3)
Доказательство. 1) Для любого натурального п докажем эту формулу методом математической индукции.
Для п = 1 формула верна. Предположим, что формула верна для п = kf т. е. предположим, что справедливо равенство
z,{ = (г (cos <р + i sin ф))/? = rfl (cos k<p + i sin £<p).	(4)
Докажем, что из справедливости равенства (4) следует, что формула (3) справедлива для п = k + 1. Применяя равенство (4), правила действий над комплексными числами и формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, имеем
zh + 1 = zkz - (rk (cos /?ф + i sin £ф)) (r(cos <p + i sin <p)) = = rfl + 1 ((cos /?(p cos ф - sin /?ф sin ф) + i (sin kty cos ф + cos /гф sin ф)) = = гк * 1(cos(/e + 1)ф + isin(/e + 1)ф),
т. e. формула (3) доказана для п - k + 1. Следовательно, по принципу полной индукции формула (3) справедлива для любого натурального п.
2)	Если п = 0 и z^O, то по определению z° = 1, поэтому z° = 1 - (cos Оф + i sin Оф), т. е. формула (3) верна для п = 0.
3)	Пусть n = -1 и z Ф 0. Применяя определение степени с целым показателем и теорему 16, имеем
,	1 cosO + isinO 1.	.	.	. . z ..
z 1 = - = -------------- — (cos(—ф) + ism(—ф)),
z r(cos<p + isiinp) г
т. e. для n = -1 формула (2) верна.
4)	Пусть п — любое целое отрицательное число и z Ф 0. Тогда и =-;п, где т = | п | — натуральное число. Применяя определение степени с целым показателем, формулу (3) сначала для п = -1, а затем для любого натурального ш, имеем
т
1 V fl г(совф + i sin(p))
(соз(-ф) + i sin(—ф))
(cos (-?пф) + i sin (-шф)) = r’1 (cos пф + i sin пф).
Итак, формула (3) верна для любого целого п. Теорема доказана.
g394
ПРИМЕР 2. Вычислим (1 + /)7.
Сначала запишем число z = 1 + i в тригонометрической форме:
г = у]12 + I2 = V2, z = V2
Теперь возведем его в степень 7 по формуле Муавра:
2 7 = (V2)7 fcos — + isin— 1 = 8V2f	= 8-8/.
I 4	4 J	2	2
ПРИМЕР 3. Выразим sin3x и cos3x через sinx и cosx соответственно.
По формуле Муавра (cosx + i sinx)3 = cos Зх + i sin Зх. В то же время по формуле куба суммы получим
(cos х + i sin х)3 = cos3 х + 3 cos2 х (i sin x) + 3 cos x (i sin x)2 +
+ (i sin x)3 = (cos3 x - 3 cos x sin2 x) + i (3 cos2 x sin x - sin3 x).
По правилу равенства комплексных чисел имеем
sin Зх = 3 cos2 х sin х - sin3 х, cos Зх = cos3 х - 3 cos х sin2 х.
Применяя основное тригонометрическое тождество, эти формулы можно записать так:
sin Зх = 3 sin х - 4 sin3 х, cos Зх = 4 cos3 х - 3 cos х.
Используя формулы Муавра и бинома Ньютона, можно получить формулы для sinnx и cosnx для любого натурального п.
17.1° а) Что называют аргументом отличного от нуля комплексного числа 2?
б) Как можно найти аргумент комплексного числа 2 (z Ф 0)?
17.2 Приведите пример комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.
Запишите в тригонометрической форме комплексное число 2, укажите его главный аргумент (17.3—17.6):
17.3	а)	2	=	( л А cos 1	1 + 1 sin	(т	];	б)	„(	л	. . л 2 = -31 COS	F 1 sin — \	4	4	j;
				. л . л			л . . л	
	в)	2	—	sm — + г cos —; 6	6		Г)	2 = cos	1 sm—-. 3	3	
17.4	а)	2	—	1;	б) 2 =	-2;	В)	2 = Ц	Г) 2 =	-3i;
	д)	2	=	1 + i; е) 2 =	1 -	i;	ж)	2 = -1 + Ц	3) 2 =	-1 -
17.5	а)	2	=	7з -ь ц	б)	2 =	л/З- i;	в) 2 = -7з + /;	
	г)	2	=	-л/3-i;	д)	2 -	1 +V3i;	е) 2 = 1- 7з/.	
17.6	а)	2	=	3 + 4i;	б)	2 =	3 — 4i;	в) z = 4-3i;	
	г)	2	—	5 - 4/;	д)	2 =	1 + 2ц	е) 2 = -3 - 2i.	
395
Тригонометрическая форма комплексных чисел
17.7
Выполните умножение комплексных чисел:
ч (	5п . . 5л Д	л . . л А
a) cos — + i sm — cos — + i sm — ;
V	3	3 Д	3	3/
(5л . . 5л А 7л . . 7л^ cos — + I sm — -2 cos — + i sm — ;
4	4 ) V 4	4 J
. 2л . . 2л .( 5л . . 5л
в)	2 cos — + i sm — • 4 cos — + i sm — ;
3	3/^4	4 J
.	•	•	7л „( 7л . . 7лА
г)	3 cos — + i sm —- -7 cos —— + i sin —- .
' V 6	6 )	12	12 J
17.8	Докажите теорему 16 о частном комплексных чисел.
Найдите arg 2, если (17.9—17.10):
17.9	а) 2 = 1; б) 2 = -1; в) z = i;	г) z = — i;
д) z = 1 + i; e) z = 1 - /; ж) z = -1 + i; з) z = — 1 - i.
17.10	a) 2 = >/з + i;	6) z = л/з - i;	в) 2 = -7з + i;
г) 2 = -7з - i;	д) 2 = 1 + л/З Z;	е) 2 = 1- V3i.
17.11	Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
a)0^arg2^—; б) —<arg2<—; B)arg2^rc; r)arg2>—. 4	4	di
17.12	Запишите формулу Муавра для возведения любого отличного от нуля комплексного числа z = r(cos<p + isintp) в степень с целым показателем п.
17.13	Возведите в степень 3 комплексное число:
ч 5л . . 5л	п( 5л . . 5л)
a) cos — + i sm —;	6)2 cos-----ь i sm — ;
3	3	V 4	4 )
2л ..гл"!	. . ( 7л ..7л
— + i sm — ; г) 4 cos — + i sm —-
3	3 J	{	6	6
в) 3 cos
17.14	Возведите в степень с показателем п = 1, 2, 3, 4, 5 данное комплексное число z и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам:
а) 2 = 1; б) 2 = -1; в) z — i;	г) 2 = —/;
д) 2 = 1 + i; е) 2 = 1 - i; ж) z = -1 + i; з) 2 = -1 - i.
17.15	Возведите в степень с показателем п = 1, 2, 3, 4, 5, б, 7 комплексное число z и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам:
396
17.16	Докажите, что для любых комплексных чисел zx и z2 справедливо неравенство:
a) |zj + z2| < |zj + |z2|;	6) |zj - z2| < |z,| + |z2|;
в) llzil - |z2|| « |zt + z2|;	r) ||zj| - |z2|| «S |z, - z2|.
17.17	Выразите через sinx и cosx:
a) sin4x и cos4x; 6) sin5x и cos5x; в) sin6x и cos6x.
17.18	Вычислите:
a)	(1 + j-Уз)7 + (1 - b/З)7; б) (л/З + i)7 + (л/З - i)7.
17.19
Вычислите:
(x* 2
. к . л ] sin--zcos —
3 .
ь/з + о«
6)
[\2
. Л . 7t j
sin — + zcos —
6	6	J
(zV3 - z)‘
17.20
а)	Пусть z — комплексное число: |z| = 2, argz -модуль и один из аргументов числа z3 - 8i.
л
3’
Найдите
б)	Пусть z — комплексное число:
i, arg z - —. Найдите
модуль и один из аргументов числа 32z4 + 2л/3ь
17.21
а) Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию z-z = (2+j)2 +-------• Среди этих то-
14- 41
чек найдите такие, для которых выполняется равенство | z | = | z - 21 |, и запишите числа, соответствующие этим точ-
кам, в тригонометрической форме.
б)	Найдите множество точек z комплексной плоскости, удов-—	. .	..о 6Э —
летворяющих условию z • z = (4- i) +--7. Среди этих то-
1 — о/
чек найдите такие, для которых выполняется равенство | z | = | z + 41, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.
17.2*. Корни из комплексных чисел и их свойства
ТЕОРЕМА. Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое натуральное число, п > 2. Существует п различных комплексных чисел а2, а3, ..., ап, таких, что а ? = z, где / = 1,
2, п.	'	'
Эти числа называют корнями степени п из комплексного чис-
ла г. Для обозначения этих корней нет специальных символов, подобных символу, которым обозначается арифметический корень.
Тригонометрическая форма комплектных. чисел
Доказательство. Пусть z — г(costp + isincp), z 0. Будем искать комплексное число а = p(cos\p + isinip), а Ф 0, такое, что а" = -г, где п — любое натуральное число, л > 2. Покажем, что такое число а существует. Более того, покажем, что таких различных между собой чисел только п.
По формуле Муавра z = а" = pn(cosn\p + isinny).
По определению модуля комплексного числа |з| = р", т. е. г = р", П Г~ г откуда р = (по определению модуля комплексного числа для z 0 числа риг положительны, поэтому символ арифметического корня здесь употреблен правильно).
Применяя определение равенства двух комплексных чисел, получаем, что одновременно справедливы равенства
cos zap = costp sin zap = sin tp.
Эти равенства одновременно выполнены тогда и только тогда, когда /ар = ф + 2л/г, где k — любое целое число, т. е. только для
Ф + 2л/г ,	Л	о
ip =-------, где k — любое целое число. Значит, числа а, такие, что
п
каждое из них удовлетворяет равенству ап — г(совф + isin<p), существуют и могут быть записаны в виде
пг( <Р + 2 л/г . . ф + 2л/г^ _	_
а = Vr cos --------+ i sin ---- , k e Z.	(1)
V n	n J
Обозначая через ap корень, вычисляемый по формуле (1) для k = р, получаем:
пг( Ф . • • Ф1 ап = Vr cos—+ ism— , и	In	п I
пг( ф + 2л . . ф + 2л । а 1 = v г cos----+ i sm 2-- ,
V П	п )
пг( Ф + 2л • 2	. . ф + 2л • 2
а о = V г cos 2----+ i sm -------
(	п	п
ni~( Ф + 2л (п - 1)	. . ф + 2л (п - 1) А
ап . ! - yjr \ cos ----1-i sm--------- ,
п	nJ
пг( Ф + 2пп . . ф + 2лп^ а„ = Vr I cos-----+ / sin --I = а0,
n I ( ф + 2л (/г +1)	. . ф + 2л (/2 + 1) A
схл +1 = Vr cos 2------+ i sin 2------ = (Xi
V	n	nJ
+ 2 = a2> •••» ^2л = а0»
OC-i — (Xn j,	- 2> •••> ^-л —	••• •
^398
Отсюда легко видеть, что для любого целого р справедливы равенства a0 = арп, cq = арп + ь а2 = арп + 2, ..., ап_1=арп + п_ х.
Итак, различных корней ровно л: а0, ах, а2, •••»	1* Они могут
быть вычислены по формуле
Ф + 2л/?	. . ф + 2л/?
cos --------Ь i sin --
л	л
п
«А = А
, где k = 0, 1, 2, ..., л - 1. (2)
ПРИМЕР 1. Найдем корни третьей степени из числа z = V3 + i.
Поскольку для числа z имеем г = 2, а <р = ^-, то
6

~ + 2л/?
о ...
cos------------1-1 sm
+ 2nk
6
3
, где k = О, 1, 2,
3, т. е. а0 = v
а2 =
13л	. . 13л)
cos—+lsln—I
отыскание корней степени л,
л . . л I cos —+ tsin— , а1 = 1О	1О /
25л	. . 25л )
cos----+ i sin-- .
18	18 J
Рассмотрим частный случай: п > 2, из единицы, т. е. найдем все числа aft, такие, что a J = 1. Рассмотрим число z = 1 + 0i. Поскольку для него г = 1 и ф = 0, то 2л/? . . 2л/?	> n 1 n	1
а«, = cos-4- ism-----, где k = 0, 1, 2, ..., п - 1.
к п	п
Если п = 2 т (четное число), то среди этих корней существуют только два действительных корня: а0 = 1 и ост = -1. Если же п = 2т + 1 (нечетное число), то существует только один действительный корень а0 = 1.
Приведем еще геометрическую интерпретацию корней степени п (л 3) из единицы:
.	2л . . 2л	4л . . 4л
а0 = 1, а, = cos— + I sm —, а? = cos — + i sm —, u 1 n	n * n	n
6л . . 6л	2 л (л-2) . . 2л(л-2)
d n	n	n ~г	n	n
2л (л - 1)	. . 2л (л - 1)
a.. _ i - cos —--- + i sm-----.
" 1	л	л
Очевидно, что точки о.0, аь ос2, аз> •••» ап-2» ап- 1 являются вершинами правильного л-угольника, вписанного в единичную окружность, одна из вершин которого — точка Ао(1; 0).
1 399
Тригонометрическая форма комплексных чисел
2л . . 2л
тогда а0 = 1, а, = cos — + i sin — =
3	3
Точки Ао(1; 0),
ПРИМЕР 2. Пусть п = 3,
1
2
угольника AgAjAg, вписанного
вершинами правильного тре
в единичную окружность (рис. 189).
 Рис. 189
ПРИМЕР 3. Пусть п = 4, тогда а0 = 1, о^ = i, а2 = -1, а3 = -i. Точки Ао(1; 0), Aj(O; 1), А2(-1; 0), А3(0; -1) являются вершинами квадрата А0А1А2А3, вписанного в единичную окружность (рис. 190).
Приведем теперь формулу для корня степени п (и 2) из -1. Рассмотрим число z = -1 + 0i. Так как для него г = 1 и <р = л, то л + 2л/?	. . л + 2л/г > л «	i
ak - cos------+ i sin-------, где k = 0, 1, 2, ..., n - 1.	(3)
n	n
Отсюда видно, что если п = 2т (четное число), то среди ал нет ни одного действительного корня. Если же п = 2т + 1 (нечетное число), то существует только один действительный корень ат = -1.
Отметим, что при п 3 точки а0,	а2, ...»	_ 2, ал_ п вычис-
ленные по формуле (3), также являются вершинами правильного
л
л-угольника, вписанного в единичную окружность.
ПРИМЕР 4. Пусть п = 3, тогда а0 = cos ~ + i sin = i + i 3	3	2	2
-	5л . . 5л 1	. 7з	.
cq = -1, а2 = cos—- + i sin— = - - г—. Точки Ао О	о Л	Ct
3 т!’
1-2’	2
являются вершинами правильного треугольника AqAjA^j,
А2
вписанного в единичную окружность (рис. 191).
□ 400 -----
ПРИМЕР 5. Пусть п = 4, тогда а0 =
V2 V2 V2 v2
а2-—-—i—, (Xo= ——i—-. Точки 2	2	2	3	2	2
являются вершинами квадрата
AqA1A2A3, вписанного в единичную окружность (рис. 192).
Вообще для любого положительного числа а и любого четного натурального числа п существует только два действительных числа bY и Ь2, таких, что Ь” = Ь2 = а.
Действительно, поскольку для любого положительного числа а = |a|(cosO + isinO), то все корни степени п из этого числа вычис-, п Г\ Г ( 2nk . . 2nk	о
ляются по формуле =д/!а| I cos-^—+ i sm-^—I. Если п = 2m, то среди этих корней только два действительных корня: Ьо = I и Ът ~ _/Vlfl!> что и требовалось доказать.
Аналогично можно доказать справедливость следующих утверждений:
1)	Для любого положительного числа а и любого нечетного натурального числа п существует только одно действительное число Ъ = г\[а, такое, что Ьп = а.
2)	Для любого отрицательного числа а и любого нечетного натурального числа п существует только одно действительное число Ъ =	такое, что Ьп = а.
3)	Для любого отрицательного числа а и любого четного натурального числа п не существует ни одного действительного числа Ь, такого, что Ъп = а.
| 401	Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел
4тс . . 4тс cos — 4-1 sm —-5	5
17.22	Сколько существует различных корней степени л (л > 2) из комплексного числа z = r(cos<p + isincp) (z Ф 0)? Напишите формулу для вычисления этих корней.
17.23	Найдите корни степени 2 из комплексного числа:
. А( 4л . . 4тс^ _ 2тс . . 2п а) 4 cos —- + i sm ; б) cos — + rsm—;
V 3	3 J	3	3
\ г».' I	. Зтс i	_ _
в) 25 cos— 4-isin—I;	r) 36
k 4	4 J
17.24	Найдите корни степени 2 из комплексного числа и найдите на комплексной плоскости точки, их изображающие:
а) 1;	б) -1; в) 4i;	г) -4i;
д) 1 + i;	е) 1 - i; ж) 1 + iV3;	з) 1 - i>/3.
17.25	Найдите корни степени 3 из комплексного числа и найдите на комплексной плоскости точки, их изображающие:
а) 1;	б) -1; в) 8i;	г) —8ц
д) 1 + ц	е) 1 - ц ж) 1 + дл/З;	з) 1 - г>/3.
17.26	Пусть ak — корни степени л (л > 2) из 1 (k = 0, 1, ..., л - 1).
Докажите, что:
а) II — б) otfcOtm = ot^ + m; в) — — =	г) ос™ =
17.27	Вычислите корни степени 4 из комплексного числа: а) -8 + 85/81; б)-2-2>/Зг.
§ 18*. Корни многочленов.
Показательная форма комплексных чисел
18.1*. Корни многочленов
Ранее уже рассматривались многочлены Рп (х) степени л (л g TV, л 1) относительно х:
Р„(х) = апхп 4- ап_1хп~ 1 4- ... 4- агх 4- а0,	(1)
коэффициенты а„, ап . х, ..., ах, л0 которого — данные действительные числа, причем ап Ф 0. При этом корнем многочлена (1) называли действительное число а, такое, что Рп (а) = 0.
Теперь обобщим понятие корня многочлена (1).
Действительное или комплексное число а называют корнем многочлена (1), если Р„(а) = 0, при этом иногда если а — действительное число, то корень называют действительным корнем, если а — комплексное число, то корень называют комплексным корнем.
14-Никольский, 11 кл.
И402
Например, многочлен х - 1 имеет действительный корень 1, многочлен х2 + 1 имеет два комплексных корня i и — i, многочлен х3 + х имеет три корня — один действительный корень 0 и два комплексных корня i и -i.
ТЕОРЕМА 1. Любой многочлен (1) степени п (n g N, п 1) имеет хотя бы один корень.
В теореме 1 имеется в виду любой (действительный или комплексный) корень. Доказательство теоремы 1 выходит за рамки школьного курса математики и поэтому опускается.
Теорему 1 называют основной теоремой алгебры. Эта теорема справедлива и тогда, когда коэффициенты а„, ... а0 (ап Ф 0) многочлена (1) — данные комплексные числа.
Если многочлен (1) можно переписать в виде
Р„(х) = а„(х-aj)A,(x- a2)*2 •...  (х- aOT)*m, где kx + k2 + ... + km — n и среди чисел a1? a2, ... нет равных, то говорят, что каждое из чисел ау, является корнем кратности kj многочлена Рп (х).
Следствием теоремы 1 является следующая теорема:
ТЕОРЕМА 2. Любой многочлен (1) степени п (п е N, п 1) имеет п корней, если каждый из его корней считать столько раз, какова его кратность.
Например, многочлен х4 + х2 имеет четыре корня: 0 кратности 2, i и -I — каждый кратности 1.
Рассмотрим квадратный трехчлен х2 + рх + Q, где р и q — данные действительные числа.
Покажем, как найти корни этого многочлена. Преобразуем квадратный трехчлен, выделяя полный квадрат:
2
(2)
х2 + рх +
z	г	P2
q = х + рх + — + \q — — 4	1	4
.2
р2
4-4
Если — = 4
-----2
-
4 J
2	2	D ( I— А
— q - —— Q^O, то — = J— , если — < 0, то
4	4 V 4 )	4
----2
, где знак арифметического корня употреб-
(3)
правильно: под знаком корня стоит неотрицательное действи-
4
D
лен
тельное число.
Итак, равенство (3) можно переписать так:
если —	0, то х2 + рх + q =
4

D л 2
если — <0, то х + рх + q = 4
403
Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел
Из этих равенств следует, что многочлен (2) всегда имеет два корня. Возможны три случая:
D	Р	[d	р	[d
1)	если — > 0, то х1 =	, х2 =	- J— и оба корня деист-
4	2 V 4	2 V 4
вительные и разные;
2)	если < О, то хг =	+ i , х2 =	и °ба корня
комплексные и различные (сопряженные числа);
3)	если = 0, то хх = х2 = и оба корня действительные
Р
и совпавшие, поэтому корень xi “ _ g и называют корнем кратности 2.
ТЕОРЕМА 3. Если многочлен
Рп (х) = апхп + ап _ !ХЛ - 1 + ап _ 2хп " 2 + ... + ахх + а0 («п * О)
с действительными коэффициентами ап, ап_19 ..., а0 имеет комплексный корень а + Ы (Ь* 0), то он обязательно имеет и корень а - Ы.
Доказательство. Пусть число г0 = а + Ы (Ь 0) — корень многочлена Рп (х). Тогда Рп (z0) = 0, т. е. справедливо равенство “п^о + ап- iZo-1 + — + “i2o + а0 = 0.
Возьмем теперь сопряженные числа от левой и правой частей равенства, получим, что /^(z0)=0. Теперь учтем, что сопряженное число к сумме равно сумме сопряженных чисел к слагаемым, а также тот факт, что для действительных чисел справедливы равенства = ajZJ0 = ау(20)Л
Поэтому получим равенство
р„ (2о) = ап (2о)" + ап - i(2о)” 1 +  • • + fli(z0) + а0 = РП (2о) = 0.
Мы получили, что число г0, сопряженное к z0, есть корень многочлена Рп(х). Теорема 3 доказана.
ПРИМЕР 1. Найдем все корни многочлена Р2 (х) = х2 + х + 1. 2)	1	з
Так как - =	то многочлен Р2(х) имеет два комплекс-
ных корня:
Эти корни являются сопряженными числами.
14*
404
ПРИМЕР 2. Найдем все корни многочлена
Р3(х) = х3 + х2 + 2х - 4.
Из теоремы 3 следует, что многочлен Р3(х) имеет хотя бы один действительный корень. Если этот корень рациональный, то он целый и является делителем числа -4. Проверкой убеждаемся, что xr = 1 является корнем многочлена Р3 (х). Разложим многочлен Р3(х) на множители: Р3(х) = (х - 1)(х2 + 2х + 4).
Найдем корни многочлена х2 + 2х + 4:
х2 = -1 + р/З, х3 = -1 - Лл/з.
Таким образом, многочлен Р3 (х) имеет три корня:
хх = 1, х2 = -1 + Za/з, х3 = -1 - л/З.
Рассмотрим уравнение
Рп(х) = 0,	(4)
левая часть которого многочлен (1) степени п (п е ЛГ, п 1), а все коэффициенты — действительные числа. Ясно, что любой корень многочлена (1) является корнем уравнения (4).
Если п — четное число, то уравнение (4) либо не имеет действительных корней, либо имеет только четное число действительных корней (с учетом их кратности).
Если п — нечетное число, то уравнение (4) обязательно имеет хотя бы один действительный корень (число действительных корней может быть только нечетным).
Эти утверждения следуют из теоремы 3.
18.1
Убедитесь в том, что числа:
а)	1 + i и 1 - i являются корнями многочлена х2 — 2х + 2;
1 7з . 1 7з .	2-i
б)	— + — i и-— I являются корнями многочлена х - х + 1.
2	2	2	2
Найдите все корни уравнения (18.2—18.4):				
18.2	а) в) д)	х2 - 5х + 2 = 0; х2 + Зх + 6,25 = 0; х2 + Зх + 3 = 0;	б) Г) е)	х2 + х + 1 = 0; х2 — 2х + 5 = 0; х2 + 2х + 2 = 0.
18.3	а) в) д)	Sf to to * ьо ьз + + + Г3 to СЛ « н н + + + w Hi to 11 II II ®оо 44 • 44 В	б) г) е)	Зх2 - х + 2 = 0; 2х2 - 2х + 1 = 0; 6х2 — 2х + 1 = 0.
18.4	а) в) д)	х3 - 5х2 + 8х - 4 = 0; х3 - 1 = 0; х4 + 2х2 + 3 = 0;	б) г) е)	х3 - Зх2 + 4 = 0; х3 + 1 = 0; х3 + 5х2 + 17х + 13 = 0.
405
Корни мпо! очленов. Показательная форма комплексных чисел
18.2». Показательная форма комплексного чпела
Ранее уже было дано определение действительной степени положительного числа. Теперь определим комплексную степень только одного числа е = 2,7182818284590... .
Пусть а + 0i — данное комплексное число, где а и f — некоторые действительные числа, тогда под числом еа + понимают число ea(cosP + isinP), т. е.
еа + pi _ еа (cos р _|_ I sjn Р)	Ц)
Пусть г = а + Ы — некоторое комплексное число, такое, что а2 + Ь2 = 1. Это число можно записать в тригонометрической форме
z = cos ф 4- i sin ф.	(2)
Согласно определению (1) правую часть в формуле (2) можно записать в виде е/(р и тем самым получить формулу
е'ф — cos ф + i sin ф,	(3)
Формулу (3) называют формулой Эйлера, который впервые записал ее в XVII в.
Возникает вопрос: почему в левой части формулы (3) написано число е'ф? Ответить на этот вопрос можно следующим образом.
Разложим в ряд Тейлора каждую из функций у = cos х, у = sin х, у = exz ~2 г4 „6
cosx=1-2T + T-^+- + (-1)fc у 5	у7
SinX= X- - + —	+(-1)
„	X2 X3 X4
ех = 1 + х + _ + _ + _+...
Л-1
х2*
(2Л)! + ‘
X2*-1
(2/г — 1)!
хп
пТ + ”“
(4)
(5)
(6)
Если в формуле (6) вместо х формально поставим ix, то получим
eix
= 1
+ ix
(7)
Если теперь в правой части формулы (7) написать отдельно действительную и мнимую части, то окажется, что правая часть равенства (7) равна сумме правой части равенства (4) и правой части равенства (5), умноженной на число I. Но тогда такое же равенство должно выполняться и для левых частей равенств (4), (5), (7), а это и дает формальный повод записать формулу Эйлера
е/ф = соэф + 18Шф.
Отметим частный случай формулы Эйлера: eiK = -1.
Действительно, elK = cost: + isinrc = -1 4- 0 • i = -1.
406
Отметим важные свойства величины е‘ф:
| е,ф | = | cos <р + i sin ф | = д/cos2 ф + бш2ф = 1 при любом ф.
Это показывает, что точка z — е1(р комплексной плоскости находится на единичной окружности, т. е. на окружности радиуса 1 с центром в начале координат.
На рисунке 193 единичная окружность разделена на 12 равных частей. При этом точка, соответствующая ф0 = 0, входит в число точек деления.
Ниже приведена таблица комплексных чисел, соответствующих этим точкам.
ф	0	п 6	со | я	л 2	2л Т	...	11л 6
е/ф	1	л/З 1 . 2 + 21	1 г 'З . 2 + 2 1	1	1 СО| h- Ч «51 г*.	...	ГН |ОЗ
уЗ	1	1	v3	1	v3	v3	1
Числа 1, — + -i, - + —i, i, — + —i, ,--------i, записанные
2	2	2	2	2	2	2	2
во второй строке таблицы, есть корни степени 12 из 1.
Если ф непрерывно возрастает от 0 до 2л, то в комплексной плоскости точка е,ф описывает единичную окружность, а при дальнейшем возрастании ф точка будет продолжать движение по окружности.
Докажем для любых ф! и ф2 формулу
еН<Р1+ Ф2 ) = е'Ф1е'Ф2.
Действительно,
е»Ф1е*Ф2 = (совф! + i sin ф!) (cos ф2 + t sin ф2) = = cos (ф1 + ф2) + i sin (фх + ф2) =е/(ф1 + ф2).
что и требовалось доказать.
Аналогично показывается, что
е'Ф1
РНФ1- Фг) = -_
е^2 *
Пусть теперь z - а + Ы — некоторое отличное от нуля комплексное число. Запишем его в тригонометрической форме
г = а + Ы = г(совф + /вшф).
407
Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел
Используя формулу Эйлера, число z можно записать в более компактной форме
2 = г-е<ф.	(8)
Правую часть равенства (8) называют показательной формой комплексного числа z.
ПРИМЕР. Запишем комплексное число z = 3 + 4i в показательной форме.	г-------
Сначала найдем модуль числа z: \z \ = у]32 + 42 = 5.
Теперь запишем его в показательной форме:
(3	4 А
— + — i = 5 (cos а + i sin а) = 5е*а, 5	5 /
где а — угол, для которого
3	.	4
cos а = —, sin а = -5	5
Будем искать а среди углов, удовлетворяющих двойному неравенству 0 а < 2л. Так как в данном случае cos а > 0, sin а > 0, то а находится в первой четверти. Из равенств (9) следует, что 3 а = arccos-.
5	3
Ответ, z = 5е'а, где а = arccos-.
5
Рассмотрим теперь отличные от нуля комплексные числа, записанные в показательной форме:
Z = г - е£ф, zx =	• е/ф1, z2 = г2 • с'ф2.
(9)
Тогда, учитывая написанное ранее, получаем формулы:
21 • z2 = Г1 • г2 • еНФ1 + <Р2\
21 : 22 = Г1 : г2 • eih9i~ Фг),
2Л = г" • е^п (и е Z).
Показательная форма комплексного числа позволяет записать комплексное число очень компактно, формулы умножения, деления, возведения в целую степень для такой формы записи очень просты. Поэтому показательная форма записи комплексного числа употребляется в различных приложениях, в особенности в физике.
Замечание. Определение (1) означает, что на самом деле введена функция
f(z) = ег	(10)
комплексного аргумента z следующим образом: каждому комплексному числу 2 = х + yi поставлено в соответствие комплексное число f(z) = ex(cost/ + isiny).
408
Укажем некоторые свойства функции (10):
1) При у = 0 функция (10) является показательной функцией f(x) = ех, изученной ранее.
2) Функция (10) является периодической с периодом 2ni.
Действительно, для комплексного числа х + yi имеем:
f(z + 2ni) = ег + 2ni = ex+i^ + 2п) =
= ex(cos(j/ + 2л) + Zsin(i/ 4- 2л)) = ex(cosy 4- isiny) = ex + yi = f(z).
	Представьте в показательной форме комплексное (18.5—18.6):	число
18.5	а) 3 - 4Z;	б) 1 4- i;	в) 1 - i;	г) 1 4- 2i; д) 5;	е) -3;	ж) 5i;	з) -3i.	
18.6	а) 3 (cos а 4- i sin а);	б) -4 (cos а 4- i sin а); в) 5 (cos а - isina);	г) -6 (cos а - isina).	
18.7 Запишите в алгебраической форме комплексное число:
in a) е 4 ;	In б) 2е 3 ;	in в) 4е 2 ;	г) 5е‘я;
3in	21 п	З/п	
д) 6е~;	е) 7е~*~;	ж) 8е 2 ;	з) Эе2"1.
Для комплексных чисел	и z2 = г2е/ф2 докажите ра-
венство:
18.8
18.9
a) zrz2 = г1г2ен’’> + ф2); б) — = — ei(v> ~ 22 Г2
Вычислите:
in 4/л а) е 5 • 2е 5 ;
1Л 1 л
б) Зе 4 • 4е 3 ;
1П	1Л
в) Зе14 • 4е 7 ;
i л
г) бе 2
/ л / in е) 12е 2 : 8е 6
Исторические сведения
До введения отрицательных чисел можно было говорить, что уравнение х 4- 3 = 2 не имеет корней, так как не существовало неотрицательного числа, которое обращало бы это уравнение в верное числовое равенство. Однако после введения отрицательных чисел это уравнение стало разрешимым.
Точно так же уравнение х2 = -9, не имеющее корней среди действительных чисел, становится разрешимым после введения новых чисел — комплексных чисел.
Эти числа были впервые введены итальянским математиком Кардано в середине XVI в. в связи с решением кубического уравнения, он назвал их «софистическими» (т. е. «мудреными»). Назва-
409
Исторические сведения
К, Гаусс
ние «мнимые» (imaginaires) в 1637 г. ввел французский математик и философ Рене Декарт (1596—1650).
Еще в древности математики в процессе решения задач сталкивались с извлечением корня квадратного из отрицательного числа; в этом случае задача считалась неразрешимой. Однако постепенно выяснялось, что решение многих задач, задаваемых в действительных числах, получает простое объяснение при помощи выражений а + Ы, где i2 = -1, которые в конце концов тоже стали называть числами, но уже комплексными (см. § 16). Первое обоснование простейших действий над комплексными числами дал итальянский математик Раффаэле Бомбелли (ок. 1530—1572) в 1572 г., хотя еще долгое время к комплексным числам относились как к чему-то сверхъестественному.
Академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707—1783) внес существенный вклад в вопросы теории комплексных чисел. После его работ комплексные числа получили окончательное признание как предмет и средство изучения. Само название «комплексное число» было предложено в 1831 г. немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855), первое открытие которого — способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника — было связано с извлечением корней 17-й степени из единицы. Слово «комплексный» означает «сложный», «составной», «совокупный».
Рене Декарт впервые сформулировал в своей книге «Геометрия» основную теорему алгебры о числе корней уравнения n-й степени (см. п. 18.1). При этом Декарт допускал существование не только истинных (положительных) и ложных (меньших, чем ничего, т. е. меньших нуля — отрицательных) корней, но и воображаемых, мнимых, т. е. комплексных корней.
Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно было бы выполнять действия, подчиненные тем же правилам, что и действия над комплексными числами, в частности правилу i2 = — 1. Отсюда названия «мнимая единица», «мнимое число». В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа применяются не только в математике, но также в физике и технике (теория упругости, электротехника, аэродинамика и т. д.).
Задания для повторения
'ё?
Данный раздел предназначен для повторения изученного в одиннадцатилетней школе. В разделе использованы задачи школьных выпускных экзаменов и конкурсных экзаменов в вузы страны. Список принятых сокращений приведен в конце раздела.
Число
Вычислите (1—3):
1 (МГУЭСИ). а) -----3 + 4,2 :	---
(1:0,3 — 2— | • 0,3125
I 3J
ч Алп ( 2	13 А ( 4	21 А
В> 7 U0 + 990 J ‘ 110 + 990 Г
б)
0,134 + 0,05
6	14	7 15
(11- 1,25): 2,5 ‘
2
3
4
5
6
7
8
в) ^2-^2 + /2 + 4з ^2+^2 + у12 + ^ ^2 + у/2	• ^2 + л/З.
а)	Делится ли число 679679 на число 2001? Ответ обоснуйте.
б)	Делится ли на 679 число 20014 - 13224?
а)	Натуральные числа с 1 по 2001 записали подряд без запятых: 123456789101112131415161718...20002001.
Делится ли полученное число на 3; на 9?
б)	Натуральные числа, начиная с 1, выписали подряд без запятых: 123456789101112131415161718192021... .
Какая цифра стоит на 2001-м месте?
Сколько натуральных чисел от 1 до 2001 не делятся ни на 2, ни на 7?
Докажите, что sin 10° — иррациональное число.
(СПбГПУ). Найдите натуральные числа п, для каждого из которых (НОД(п; 4))2 = п, где НОД (п; 4) — наибольший общий делитель чисел п и 4.
9 Докажите, что число:	_____
а) л/7- 4л/з + 74-2-УЗ; б) л/э-4^ + 714-6^5 является целым, и найдите это число.
411
Задания для повторения
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Вычислите без таблиц и калькулятора (10—15):
a)	arccos (sin 5) + arcsin (cos 5); 6) arctg (etg 4) + arcctg (-tg 4).
(МГУ, геол. ф-т), a) tg8x, если tg2x = i; 6) tg4x, если tgx = i.
2
. Зл
- sm——
2
cos
(МГИЭТ).
(МПГУ). a) tg 20° + tg 25° + etg 70° etg 245°;
б)	2 + log2 sin 7°30' + log2 sin 82°30' - log0>5 sin 75°;
в)	sin (arccos i - arctg 2 |. у	о	J
(	( Зл
2
_ . л J л ,	.	. л ’
2sm-tg— 4- cos (-л) - sm— 6	4	4
a)	101og3(5 + 2-Уб) + log3(V2 + д/З) + 211og3(V3 - V2);
6)	12 log2 (8 + 2V15) + log2 (V5 + V3) + 25 log2 (V5 - V3).
(СПбГПУ). а) з'оегэ. 5-1ов2з.	6) (log^ 9)(log8 З)”1.
(МГУ, почв. ф-т). Определите, что больше:
43л , of 8л А
или sin —— • tg*5 —— • ct£
6 I 3 )
a) arccos
х	1
б) arcctg ——
I 7з
о
2 31л х 29л х 11п или cos* — • tg — • tg —.
о о 3
(МГУ, геогр. ф-т). Сравните два числа:
. Зл	4	2л	3
а) — и arccos—; б) — и arccos — .
10	5	10	10
Известно, что:	____________
г~	( I -	3^
a) etg а = V3. Сравните arccos -J-Ssina - —
3
19л
И 24 ’
6) tga = -Уз. Сравните arccos(-V-3 sin a - 1) и
4
(МГУ, мехмат). Известно, что для некоторой тройки чисел х, у, z (х Ф у) выражения:
/ з I 2~ \	( I \
х 1	Vх У I ,	I л/ХУ
a)	log(x5^,	и log(i2/z)
б)	l°g<	и logi A3 I
равны одному и тому же числу. Найдите это число.
- 412
_____
20 (МГУ, ФНМ). Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1; при делении на 19 дает остаток 3, делится нацело на 7.
Алгебраические выражения
21
22
Упростите выражение (21—24): fa+b^a-b ( а - b а + b
5а2 - 5Ь2 а2+Ь2
(МГУЭСИ). а)
б)
4(а + Ь)2 аЪ
а2 + Ь2
а2 - Ь2
(х - а)(х - Ь) , (х - с)(х - Ъ) + (х - с)(х - а) (а - с)(а - Ь) (Ъ — с)(Ь - а) ’
а3 - д3 44(а - д) А
Над ab Г
(с - а)(с - Ь)
) (а + Ъ)2 - ab
6---------Тъ-----
в)
а b + с Ьс
1^ _ 1 (а + b + с)2 а b + с
Ь2 + с2 - а2 2Ьс
г)
д)
2( о'1__________Ь1
^а-1-д-1	а-1 + <
а~2 + Ь~2 ( а2 + Ь2
ст1 + b1 I ab
1 - &-‘)(а-2 + ь-2г* • —;
ab
-1
- (а + ft)-1.
оо ((а + 2)2 - а2 3 Л а-3	„	1
23		з-------5--- :	; найдите его значение при а = —.
4а - 4 а-а) а-1	3
24	(МГУ, ИСАиА).
. 3ab-b4ab + ajab-3b2 „ .	„	_
а)	—	 	—----2аЪ - ба2Ь2, где а > Ъ > 0;
д/2" 2 (ад1 + а1 д) - 0,5
__ 3
4/~/ г .	(х-Та)2 + а>/ад-3д2	34/~ -	л л
б)	хуа (уа + vx)z - ------------г - ха Ча - 1, где а > 0, х > 0;
(ах-1 + 4>/а + 4х) 2
ч 1	+ (3 - у-^у/ху-1	|
в)	1 - у +  ---—-----—=------------ y6x 6, где x > 0, у > 0.
Уу-34у^
25	(МИСиС). Сократите дробь и вычислите значение полученного выражения при указанном значении х:
ч х3 + 4х2 - 9х - 36 о	х3 + 7х2 + 16х + 12	_
х3 + 2х2 - Их - 12 ’ Х ’	х3+5х2+8х+4 ,Х
26	(СПбГПУ). Упростите выражение:
2	1	1	а - а-1	а - а-1
а - 2л/а	д/а + 2 Та	1 + а1	1 - а 1
413
Зала it ик для повторения
27	(МЭИ). Упростите выражение:
/	\ -1	1
1	1	(2а2+а4	1 Л
jl2 - yjx + а4 а2 + -Jx + a4 J V х + а 1 + а х )
28	(РЭА). Вычислите:
а)	725 - а2 + 713- а2, если 725 -а2 - 713 - а2 = 2;
б)	734 + а2 - 7? + а2, если 734 + а2 + 7? + а2 = 6;
в)	^/(2 + Ь)2(21 + д) - ^/(2 + д)(21 + Ь)2, если ^21 + Ь- 1/2 + Ь = 4;
г)	^/(3- 2b)2(2b - 1) - ^/(3 - 2d) (1 - 2d)2, если ^3-26- ^/1-26 = 2.
29	(РЭА). Вычислите:
ч (а - &)3 (Та + 7d)"3 + 2аТа + bjb	. 2 о u i 2 л
а)	 ---—-----—-——-----------, если а - logg 8, Ъ = logj 4;
а4а + Ьу/Ъ	з
б)	~ + d • ( Iе ~ cd + Iе2 ) если с = 171og23, d = 21og0 581; 27с3 VVc + d ]c-d)
в)	((Vp~ л/д)~2 + (л/р + ^)'2) :	если p=log|3, q = logf 9.
Р 4	2
Последовательности
30	а) В геометрической прогрессии первый член равен ТЗ, а пятый 7243. Найдите шестой член прогрессии.
б) В геометрической прогрессии первый член равен 72, а седьмой 7128. Найдите восьмой член прогрессии.
31 (МГУ, социол. ф-т), а) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых пяти членов с нечетными номерами на единицу больше суммы первых пяти членов с четными номерами и равна квадрату первого члена.
б) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых четырех членов с нечетными номерами на единицу меньше суммы первых четырех членов с четными номерами и равна взятому с отрицательным знаком квадрату первого члена.
32 (МГУ, ФНМ). а) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии отрицателен. Найдите все целые числа т, для каждого из которых сумма ее членов с нечетными номерами больше суммы ее членов с четными номерами на величину, равную произведению ее второго члена и числа вида т2 + 10тп + 20. б) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии положителен. Найдите все целые числа п, для каждого из
414
которых сумма ее членов с нечетными номерами больше суммы ее членов с четными номерами на величину, равную произведению ее второго члена и числа вида 6п - п2 - 7,5.
33 (МГУ, мехмат), а) О первых шести членах возрастающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвертых степеней равна 49. Найдите первый член этой прогрессии.
б) О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвертых степеней равна 51. Найдите седьмой член этой прогрессии.
34 (МГУ, почв. ф-т), а) Первый, второй и четвертый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.
б) Первый, четвертый и пятый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.
35 (МГУ, почв. ф-т), а) Найдите арифметическую прогрессию, в которой сумма членов, сколько бы, начиная с первого, их ни взять, всегда равна утроенному квадрату числа этих же членов.
б) Найдите сумму п первых членов ряда 7+77 + 777 + ... .
36 (МГУ, хим. ф-т), а) Последовательность чисел ах, а2» аз ••• устроена следующим образом: = 1, каждое последующее число равно удвоенной сумме предыдущих чисел, т. е. а2 = 2alt а3 = 2 (аг + а2) и т. д. Найдите произведение всех чисел от до a2ooi-
б) Последовательность чисел alt а2, а3, ... устроена следующим образом: аг = 1, каждое последующее число равно утроенной сумме предыдущих чисел, т. е. а2 = За19 а3 = 3(aj + а2) и т. д. Найдите произведение всех чисел от а± до а2001.
Постройте график функции (37—46):
37	a)	1/= 11 - 2х| + 12х + 3|;	б)	у = 12х - 31 + 11 - х|.
38	а)	t/	= 2-x-|x-2| + 2|x|;	б)	у = 2 + х-3|2-х| + 2|х|;
в)	i/	= 5 + 2x-|x-2|-|x+l|;	г)	i/ = |x + 2|-2|x-l|-x.
39	а)	у	= V(x - З)2 + V(5-x)2;	б) у = V(x-1)2 + 7(3-X)2.
40 у = 7(х + 2)2 + 7(х- 2)2.
41 а) у = sinx + |sinх|; б) у = -cosx|cosx|.
Й 415
Задания для повторения
42
43
41
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
а) у = sinx — Vsin2x; б) у = cosx - д/соз2х.
у = sinх | sin x | - cos x | cos x |.
У = COS X д/сО82Х — sin x ^/sin2x.
у = д/1 - 4 sin2 x cos2 x - cos2x + sin2x.
у = д/sin2 2x + 2 sin x cos x.
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) (у - 1)(х2 - Зх - 18) = 0; б) (у + 1)(х2 + Зх - 10) = 0.
Укажите область определения функции (48—55):
х - 2 . х2 - 4’
а)
У -
б)
х + 3
У ~ х2- 9
а) у = Vcosx - 1;	б) у = Vsinx - 1.
V17 - 15х - 2х2	1-4х2 + 4х + 3
------;	б) У = J-7-...	-•
х + 3	Уу/2х2- 7х + 3
ч	о 9	6/---7	д/ЗЗ + 8х - х2
а)	у = д/20 + 8х - х2 + Vx - 4; б) у = --------------.
Vx—~5
(ВШЭ), а) у = 7(х4-4х2 + 3)-12х-31;
б)	у = 7(х4 - Их2 +18)• |2х - 51.
а)	У lg(2x-5):	б) У lg(2x + 3)’
в)У = ^-7х + ^_;	+
(ВШЭ), а) у = д/1оё2 (х2 - 2х - 2); б) у = Jlog4(x2 - 4х - 4).
(МГУ, геогр. ф-т), а) у = д/х2 - х-2 + log3 + х(9 - х2); б) у = д/12- х- х2 • log3 _ х (л2 - х2).
Найдите координаты общих точек графиков функции: а) у = Vx + 7 и прямой у - х - 1 = 0;
б)	у = Vx - 4 и прямой у - 2х + 9 = 0.
(МГИЭТ). а) Найдите наименьшее значение функции
_ х4 - 2х3 + Зх2 - 2х + 2
У	х2 - х + 1
416
б) Найдите наибольшее значение функции х4 - 2х3 + 5х2 - 4х + 5
58 (МГУ, хим. ф-т). Функция f(x) удовлетворяет следующему условию: для любых чисел а и b выполняется равенство .(а + 2b A f(a)+2f(b) w	//щпт
/ ------ =-----------. Найдите значение функции /(1999), если:
\ 3 / з
а) /(1) = 1 и /(4) = 7; б) /(1) = 2 и /(4) = 8.
59	Докажите, что:
а)	р2 > 4q, если известно, что 1 + р + q < 0;
б)	Ъ2 > 4ас, если известно, что (а + Ъ + с) (а - b + с) < 0.
60	(МГУ, почв. ф-т), а) Пусть /(х) — периодическая функция с периодом 8, такая, что f(x) = 8х - х2 при х е [0; 8). Решите уравнение f(2x + 16) + 23 = 5/(х).
б) Пусть /(х) — периодическая функция с периодом 1, такая, что /(х) = х2 при х е [0; 1). Решите уравнение /(2х + 5) + 2/(х) = 1.
61	(МГУ, хим. ф-т). Найдите /(2001), если функция /(х) для всех х удовлетворяет уравнению:
а)	/(х + 1) = /(х) + 2х + 1, и известно, что /(0) = 0;
б)	/(х + 1) = /(х) + 2х + 3, и известно, что /(0) = 1.
Линейные и квадратные уравнения
Решите уравнение (62—65):
62	8х~3 - Зх + 1 = 2.
7	10
63 (2 - Зх)2 + (1 + 4х)2 = (5х + 1)(5х - 1).
64 (МИРЭА). а) (21х + 44)2 - 25(21х + 44) + 46 = 0;
б)	(19х + 40)2 - 23(19х + 40) + 42 = 0;
в)	(17х + 36)2 - 21 (17х + 36) + 38 = 0;
г)	(15х + 32)2 - 19(15х + 32) + 34 = 0.
65 (МИРЭА). а) (х + 97)2 + 34 (х + 97) + 120 = 0;
б)	(х + 79)2 + 43 (х + 79) + 120 = 0;
в)	(х + 93)2 + 35 (х + 93) + 150 = 0;
г)	(х + 86)2 + 44 (х + 86) + 160 = 0.
66 Докажите, что при нечетных р и q уравнение х2 + рх + q = 0 не имеет рациональных корней.
67 При каких целых значениях k являются рациональными числами корни уравнения kx2 - (1 - 2k) х + k — 2 = 0?
68 Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее корень: а) х = 4 - л/З; б) х = 2 + л/з.
417
Задания для повторения
Рациональные уравнения^
Решите уравнение (69—76): 17	7	х - 1	jc+1
69 а) — = 2 -	б) -—- - 3 •	+ 2=0;
5х	х	х+1	х - 1
ч Зх - 6 4х е Л ч 3	2х-1	2х+1
gl _____ ______ _ Q —	pl -	__	_ —	•
2х х-2	’	х + 2	х+1 х1 2+Зх + 2’
™ <гаА>- 4 *
6___________________1	1
7х - 21	х2-6х + 9 + х2-9
1	2 х- 3
В 4х - 1 + 1 - 16х2 + 12х + 3
4	1______1	=
Г х2 - 10х + 25 + 25 - х2 х + 5
71 ГМИРАА! я! 1 -1		3	_ 1	1 4-	6	_	1
х* -	- 9х +	18	х-6’		х2 - 8х + 7 х - 7 ’
X ч	10	5			6 _ 3
			1 -L -	
*3 1 А	rt	—			11 -Li	
х2 - 8х + 15	х - 5 ’			х2 - бх + 8 х - 4
72 JMMPAAl я! *	-		11	б) 	1	- 13
1 хи	<_7хх 1. ci)	—			и )	
х - 5	х2 -	20х + 75’	X -	6 х2 - 20х + 84*
ч 1	19			ч 1	- 17
	л		рЛ	-	
х - 7 X2 - 20х +	91’		х —	8 — х2 - 20х + 96 ’
_	30	13	18х + 7		
/3 (МИСиС).	»			
х2 - 1 х	 + X +	1	х3 - 1		
_,	. х - 1	х-2 х-	- 10	X	_	Х+1 X	-1 х + 5 х- 7
74 а) 		+	- = —	+	—б)		+ —	—	Г	.
X	х - 1	X	- 9	х + 1	X	X	-2 х -t- 1	х-6
1	7	1
75 (МИРЭА). а)-----------------+--------------= ——
V	f 7 (Зх + 5)(х - 1) (х + 7)(х - 1) х - 1
_	4	17	3
7 (4х + 3)(х - 1)	(2х + 5)(х - 1) х - 1
ч	3	2	1
(2х + 7)(х - 1)	(4х - 1)(х - 1) х - 1
г	3	5	_	2
(4х + 5)(х - 1) + (х + 2)(х - 1) х - 1'
418
76 (ИКСИ АФСБ). а) (10х - 5)2(10х - 4)(10х - 6) = 72;
б) (Зх + 5)[|х + 1| (Зх + 7) =
Иррационольные уравнения
Решите уравнение (77—91):
77 (МИРЭА). а) х = ^/Зх + 40;
в) х = д/5х + 36;
78 а) 710 - х = 4 - х;
в) 71 + х = 2х - 4;
д) х + 37х - 5 = 5;
ж) 7х4 - Зх - 1 = х2- 1;
и) у/х(х - 2)(х + 3) = 3 - х;
2 з*
б) х = ^10х + 24;
г) х = 73х + 28.
б) 7х - 1 = х - 3;
г) 7х + 7 = 4х - 5;
е) х + 27х - 6 = 6;
з) tJx4 + х - 9 = х2- 1;
к) у]х(х + 4)(х - 3) = 6 - х.
79 (МГУ, геогр. ф-т), а) -у]3х + 3 = 2х - 3; б) ^Зх + 2 = 2х - 4.
80 а) х + 1 = 2 - 7х-1;	б) 1 - 7х-2 = х - 1.
81 (МИРЭА).
а) х2 - 13х + 30 = (73х- 18)2; б) х2 - 9х + 13 = (75х- 35)2;
в) х2 - 8х + 10 = (77х - 40)2;	г)	х2 - 15х +	55	=	(7х - 8)2.
82 (МИРЭА). а) ^Зх - 5 = 3 - 2х;	б)	у/4х2 +	4х	+ 1	=	х2 + х -	1;
в) у/х2 + х + 4 + yjx2 + х + 1 = у]2х2 + 2х + 9;
г) 7б29 - х + 777 + х = 8.
83 (МИРЭА). а) д/х3 — 5х2 + 7х - 17 = Jx2 - 4х2 - Зх + 4;
б)	yjx2-8x2- 7х + 2 = yjx2- 7х2- 18х + 20;
в)	yjx2 - 4х2 + 20х - 81 = ^х2 - Зх2 + 6х - 41;
г)	д/х3 - 5х2 + 15х - 77 = yjx2 - 4х2 + 2х - 37.
84 (МГУ, социол. ф-т), a) Jy -1 = 6 - у; б) 7х + 1 = 4 - х.
85 (МГУ, геогр. ф-т), а) ^2х2 - 8х + 5 = х- 2; б) J2x2 - 8х + 6 = х - 2.
86 а) 57х- 2 + 37х + 1 + 2х = 17; б) j3x-2 + 27х-1 + 5х = 14.
87 а) 73х- 15 - 720- 4х + 7х= 35; б) 7з* +6 - 7"Ю-5х - 0,5х = 1; в) д/2х- 12 + 730- 5х +1,5х= 10.
419
Задания для повторения
88 (МИРЭА). а) ^297 - Зх + д/х-18 = 9; б) ^200+ 2х + ^ЗОО-х = 20; в) ^64-х 4-д/35-х = 6; г) ^/192 + 4х + 7-32-х = 4.
89 (МИРЭА). а) ^/Зх + 20 + ^5х + 4 = ^/2х +19 + ^6х + 5;
б)	Ух + 6 + д/7х +10 = ^/2х +15 + д/бх +1;
в)	^/2х + 5 + %5х +16 = Ух + 8 + д/бх4-13;
г)	^/4x4-6 + з/бх + 12 = ^/Зх 4-10 4- д/бх4-8.
90 а) 7х- 2 4- ^х+5 = ^30- х; б) 7х-1 4- ^/2x4-4 = ^/31 - 2х.
91 а) (МГУ, почв. ф-т). 7б — х2 = 1 — х;
б) (МГУ, псих. ф-т). 7x4-2 4- 78-х = 715;
в) (МГУ, хим. ф-т). д/4х - х2 4- д/4х - х2 - 3 = 3 4- -J2x - х2.
Покозотельные и логарифмические уравнения
Решите уравнение (92—100):
92 а) 39х + 10 = Звх “ 2;	б)
в) 53х+1 = 25х-1;	г)
д) 32х = 27х+в;	е)
Ж) 4-х + 1 = 8х;	з)
дЗ - 0.2х
93 а) —-— = 0,5 • 20,4 * Зх;	б)
в) 4Х +1 4- 4Х + 2 = 40;	г)
д) 9х + 1 4-32х + 4 = 30;	е)
94 а) 22х +1 • 3х = 2 • 124-х;	б)
«’(зГ'18®"*9’0-
7 х2 - Зх + 1 _ 2. • 7 9 42х = 162х + 5; g9x + 1 _ дЗх - 1. 64х + 1 =847х.
0.2-50.3x-4 = _J^_;
3х-1 - 3х-2 = 18;
4х + 1 - 22х - 2 = 60.
22х - 1 • 3х = 0,5 • 124'х;
95 а) 7 • Зх +1 - Зх + 4 = 5Х + 2 - 5Х + 3;
б) 2х- 2Х + 2 4- 2х'1 = (Зх + 1 - Зх + 2 4- 3х)  -.
о
96 a) log3 log 9 (х2 - 4х + 3) = 0; б) log27 log5(x2 - 2х - 3) = О; 16	тт
в) logs log6(x2 - 2х - 3) = 0; г) logs logi(х2 - х - 5) = О. 7	3	2
97 (МИРЭА). a) 41og9(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0;
б) log2182- 41og4 V5 - х = log2(ll - х) + 1;
в) log^Ts - log3 73 = log327 - logx(3x).
~ 420
98 а) 5‘« х = 50 - (101* 5)1£ х; б) 31г х = 54 - (10lg 3)te *
99 а) (МГУ, физ. ф-т). 18х - 9х +1 - 2х + 2 + 36 = 0;
б)	(МГУ, хим. ф-т)
loS(V2+ 7з + 75)^ +	+ л/з - V5) = | + logx(2V6).
100 a) log3x4 - log3x2 = 1; б) log2x9 + log2x3 = 3.
Три тонометрические уравнения
101
102
Решите уравнение (101—107): a) sin 2х =-Уз cosx; б) sin2x =
V2 cosx.
a)	sin 2х + V2 sinx = 0. Укажите
все корни уравнения, принад-
Зл Зл
лежащие отрезку ——; — .
б)	sin 2х + >/з cos х = 0. Укажите
лежащие отрезку [-л; 2л].
103
104
105
a) sin (0,5л + х) + sin2x = 0;
a) sin 4х + -Уз sin Зх + sin 2х = 0;
(МИРЭА). a) sin2x + tgx = 2; в) ctg2x + tg2x = 16cos2x.
все корни уравнения, принад-
б) cos (0,5л + х) + sin2x = 0.
б) cos Зх + sin 5х = sin х.
б) sin х + sin Зх = 4 cos3 х;
106 (МГУ, почв. ф-т), a) sin 2х = cos х; б) cos 2х = sin х.
107 a) V3sin2x + 0,5sin(n + 2х) = 0;
б)	V3cos2x-0,5cos^ + 2x^ = 0.
108 а) Найдите все решения уравнения cos 2х = 2 tg2x - cos2x, удовлетворяющие неравенству cos х < -.
б)	Найдите все решения уравнения 4sin4x + sin22x = 2ctg2x, удовлетворяющие неравенству cosx <	.
109 (МИРЭА). Найдите все решения уравнения:
a)	cosx + cos5x - cos2x = 0, принадлежащие отрезку [-л; л];
б)	ctg2x + ctgx + 2 _ q, принадлежащие отрезку [0; 2л].
ctgx ctg2x
Решите уравнение (110—118):
110 (МГУ, филол. ф-т). 3cos2x + 4sinx = 1.
Ill (МГУ, геол. ф-т), cosx - cos2x - sin2x = 1,xg л/з	1
112 (МГУ, физ. ф-т). cos3x = - cosx - — sinx.
421
Задания дли повторения
113 (МГУ, ИСАиА). 5(sin2x)2 + 8(cosx)3 = 8cosx, х g
37t. 9тт
—,2e .
114 (МГУ, хим. ф-т), tgx + tg2x + tgx tg2x tg3x = tg3x + tg4x.
115
(МГУ, биол. ф-т), cos
1
- Sin X - -
116 (МГУ, почв. ф-т). sinx = 2etgx.
117 (МГУ, псих. ф-т). 3sin2x - 3cosx - 6sinx + 2sin2x + 3 = 0.
118 (МГУ, экон. ф-т), cosx + cos3x = V3cos2x.
Уравнения с модулями
Решите уравнение (119—129):
119 a) \x-~ =-; 6) x-- =-. I <	<	о □
120 (МИРЭА). a) 114 - x| = x2 -в) 119 - x| = x2 - 361;
121 (МГУ, хим. ф-т)
a) x2+1 + |x-1| = 2|x|;
122 a) x2 — 6 x | — 2 = 0;
в) I x2 - 2x - 11 - x + I = 0;
д) 1^7 + X = x2 + 1;
1*1
123 (МГУ, экон. ф-т). |x2 - 8x
124 (МГУ, почв. ф-т). 12х + 31 =
125 (МГУ, хим. ф-т).
б) 116 - х| = х2 - 256;
г) 117 - х| = х2 - 289.
б) х2 + 1 + |х+1| = 2|х|.
б) х2 + 4|х|- 1 = 0;
г) | х2 - 2х - 11 + х - 4 = 0;
е) — + 2х = х2 + 1.
х
15| = |15-х2|.
с2.
+ 11
+ 2|‘
126 (MJ а)	'У, почв, ф-т) 1	1	_	. 1 cos х = sm х - -;	б) sm х  2	2	’	2	1 = cosx- -. 2
127 а) 7|2х + 1| = 1-2|х|;	б) 7|1-Зх| 128 (МГУ, мехмат). | cos sin | + sin cos		= 1-3|х|. . 5л - smY7-
129
1.
422
Распадающиеся уравнения
Решите уравнение (130—134):
130 а) (2х- 7)УЗх2 - 5х - 2 = 0;	б) (2х - 3) 74х2 - 5х - 9 = 0;
в)	(Зх2 - 8х - 11)73х- 5 = 0;	г) (4х2 + Зх - 22)73х-15 = 0.
131 (МГУ, ФНМ). a) (7 sinx - 4ТЗ)(7 sinx - 5л/2)= 0;
б)	(5 cos х - ЗТЗ) (5 cos х - 2д/б) = 0.
132 (МГУ, хим. ф-т), a) (sin х + cos х - Т2)д/-11х - х2 - 30 = 0;
б) (cos х + sin х + л/2) у]-х2 - 7х - 12 = 0.
133 (МГУ, мехмат), а) (2 sin2 х - 3 sin х + l)7tgx = 0;
б) (2cos2x - cosx - l)7ctgx = 0.
134 д/4х - х2 - 3 (л/2 cos х - д/1 + cos 2х) = 0.
Разные уравнения
Решите уравнение (135—158):
135 а) V21 + х + т/21 ~ х = б) 2 4/40х + 1 - 3 4/ х ~	= 5.
721 + х - 721- х х у х - 1 у 40х + 1
136 (МФТИ), a)	- 3 = 0; б)	~ Vx + 4 = 0.
137 (МИРЭА). а) |Х|:_1-----= б) - Дх|~? =
717х2 + 8 —5	°	77х2+2-3	2
в)	1---=1; г) |х' ~ 1-----= i.
710х2 + 6 - 4 3	7Э*2 + б) 7 - 4 2
138 а) 73х + 5 -	1	= 7бх- 3 - —1	:
д/Зх + 5	д/5х - 3
б) 77х +1002 - 78х - 1000 =--------------------;
77 х + 1002 -JSx - 1000
в) ^2х + 3	72х “ °’5 _ Vх + 2
д/х + 2 Vx V2x + 3 V2x _ 0,5
г) т]х2 + 3 +	1 — = у]х2 + х + 2 + — 1
д/х2 + 3	-Jx2 + х + 2
423
Задания дли hoi?горения
д) у/х2 +1 - ^2х2 - 4х + 5 =	1 --------1	:
^2х2 - 4х + 5 yjx2 + 1
е) yjx2 + 1 - ^2х2 - 9х + 21 =	1--------------i—.
^2x2- 9х + 21	у)х2+ 1
(МГУ, почв. ф-т),
а) 2х “ 3 + 23 “ x =-x2 + 6x - 7;
(МГУ, псих, ф-т) а) х10«’4 + 5-2los’x - 4 = 0;
(МГУ, хим. ф-т)
a) log2—— + log2 - = 1; D	X
(МГУ, геогр. ф-т)
a) log4l_8(x2-2х-3)= 1;
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
1 1 I 2 - у2 |
б) 2х-2 + 22-х = —х2 + 4х-2.
б) х1о&5 э + 7.3iog5 х _ п = 0
б) 10g2— + log2 — = 1.
б) log5 _ 2х(х2 - 6х + 8) = 1.
(МГУ, почв. ф-т), logjx2- 11 = logy^ | х |.
a) log^(x - 3) + ^6- 2x + x = 5; 6) log0 3(10 - 5x) + д/Зх- 6 - x = 2.
(МГУ, мехмат)____________
ч Jl + cos4х J, ( 9л	_ Jl-cos8x
а)	?------+ ? tg-----2х = 0; б) f-------
yl —cos4x	у V 2 J yl + cos8x
(МГТУ), а) |5-х| + |х+1| = 6sinх;
б)	|х - 2| 4- |х - 8| = 6sinx; в) |х + 5| + |х - 11 = 6sinx.
(МГУ, геогр. ф-т), а) ^\х2 + 14х + 471 - 1 = |х + 7| - 1;
б)	д/|х2 - 12х + 341 - 1 = |х - 61 — 1.
(МГУ, ВМиК). cos (л (х + Зл/х))соб(л (2х - Vx)) = -1. л х 1о£з(-х)	.
(МГУ, геол. ф-т).------------= 1.
1°&)(~5х “ 4)
(МГУ, геол. ф-т).
5 V 2 ГтЛ* - i= 125
7 ) V 5 J “ 343’
(МГУ, физ. ф-т). 2 sin 2х cos(5x2) - sin(5x2 + 2х) = 0.
(МГУ, экон, ф-т)
424
154
155
156
157
158
(МГУ, мехмат). 4х - 3|х - 1| = 4-^бх + 14 - 3^5х - 14 - 1.
6х - 7
(МГУ, хим. ф-т), arcsin------= 2л — их.
2х — 3
(МГУ, биол. ф-т), х2 - cos 2х2 +1 = 0.
(МГУ, геогр. ф-т). 4 arcsin (2х - 7) - arccos (5х - 124) =
a) logsinx(3sinx - cosx) = 0; б) 3/2 * Х - 3/2 ~ 6х = 1.
159
(РЭА). Найдите больший корень уравнения:
а)
б)
V3 + 2V2
^з- 2V2
в)
г)
= 8;
= 2;
(2л/з - 2)х + 2Х + 1 = 2(ТЗ + 1)х;
Зх+ ЗлА/10-1
Рациональные неравенства
160
161
162
163
161
Решите неравенство (160—169): 2х + 5 6х — 1 —о-------\х +
3	4
а) Зх2 + 2х + 1 > 0;
а) х3 - Зх - 2 < 0;
(МИРЭА). (х + 1)(х + 2)(х + 3)
х2 - 5х + 6
а х2 + 5х + 6
б) -х2 + 2х - 3 > 0.
б) х3 - Зх2 + 4 > 0.
(х + 4)(3 - х)(2х + 1) <0;
165
166
(МФТИ), а)
в)^
7 3- х
б) х
5
2-х
1- 3
167

2
X- 1’
3
х + 2 ’
; г)^-
х + 2 х + 5
3	1	х + 4
------; б) --- х-2 2-х+2
> 0.
х2 - 6х + 18
-х2 + 8х - 12
. х2 - 1
в) ---
х + 5
атЬ-
2
< ---+ -
х + 2	7
>0.
ч 2х - 1 г)
1
4-х’
х + 3.
425
Задания для повторения
1- -	14- -
168 а) ----< О; б) -------£ > 0;
1 + -	1 + -
X	X
169 (МГУ, филол. ф-т) . 1 1 а) --------------->-------------:
хг + 8х - 9 Зх2 - 5х 4- 2 ’
В) ----| < 0; г) -------| £ 0.
1 + - 1 - -X	X
б)		----------------------
Зх2 4- 11x4- 10	2-х- х2’
Иррациональные неравенства
Решите неравенство (170—175):
170 (МИРЭА). a) д/12х-11 < д/10х- 9; б) д/11х-9 < д/9х- 7;
в)	д/i Ох - 7 < д/9х - 5;	г) д/10х - 9 < д/8х - 7.
171 (МФТИ), а) д/х2 - 9 < 14 - 2х; б) д/х2 - 6х < 8 + 2х;_
в) 2 - Зх < д/4 + 9х - 9х2; г) 4 - 5х < д/16 + ЗОх - 25х2.
172 (МИРЭА). a) V3-X > х - 2; б) _______1	+	1	> 2.
^x + 2ylx-l yjx-2ylx-1
173 (МГУ, псих. ф-т), а) 5* ~ 3 < 1; б) —	< 1.
Jlx - 4	75х “ 2
174 a) yjx2 + 5х + <J-x2 - 7х - 10 < V20- х - 5;
б) у]х2 - 1 + J-x2 - х + 2	1 - Vx.
175 (МГУ, геол. ф-т), у]х2 -8x4-12 > х - 5.
Показательные и логарифмические неравенство
Решите неравенство (176— 176 a) log0>5(3 - 2х) > -log0,53; 177 a) 31og8(3x + 2) < 2;
в)	log^a - Зх) < 2;
3
д)	logo,5 (3 - 2х) > -logo,5 3; 178 a) logo,4 (3,5 “ бх) > 2 logo 4
б)	1 4- 21og20,3 > log2(l,5 -179 a) log0>5(2 - 7х) > -2;
180 a) log^ (5Х + 1 - 25х) 4;
в)	log± (6х + 1 - 36х) > —2;
&
184):
б)	log2(2x - 5) < -log23.
б) 41og16(4x4-3)<3;
г)	log^(2x-l)> 2;
е) 1о&2(2х - б) < -log23. 0,2 - 1;
- Зх).
б)	log2(0,5 — Зх) < —3.
б)	log^ (7х + 1 - 49х) 2;
г) log^(2x + 2-4x)^-2.
7з
426
181 log2x + log2(x + 1) < log2(2x + 6).
182 (МГУ, почв. ф-т). iloggx2> ilog3(-x3). 2	3
183 (МГУ, физ. ф-т). log3(x3 + х2 - 2х) - 21og9(x2 - х) < log35.
184 (МГУ, геогр. ф-т), log^, ^(х2 - 9) > 0.
Тригонометрические неравенства
Решите неравенство (185—189):
185 a) tg3x>0; б) tg(x + ^)<l;
(	4тс \	г~
г)	ctg2x^0; д) ctg 2х—— > V3;
\	& /
. . I п ) V3 в) tg х- - р —;
\	6 / о
е) ctg| х- -у |	-1.
186	а) 5 sin х - sin 2х > 0;	б) 5 cos х + sin 2х < 0.
187	(МГУ, ИСАиА). 2sinx-	1^7^ sin2* - 6 sinх - 12.
188	(МГУ, геол, ф-т) а) 16 sin2 х + ctg2 х 7;	б) 16 sin2х + 9ctg2x 15.
189 (МГУ, ВМиК). а) х/б- lOcosx- sinx < sinx - cosx, x 6 [-тс; тс];
6) V6cosx- sinx + 4 < sinx + cosx, x e [0; 2тс].
Неравенство с модулями
Решите неравенство (190—193):
190 а) 2х >|х| + 1; б) х2-6^|х|.
191 (МГУ, биол. ф-т), а)	> 3 - х; б) pj-jj > 2х + 5.
192 (МГУ, социол. ф-т)
а)	б) |1-x| + 7fer>0-
I Л | о
193 (МГУ, экон. ф-т). | х2 - 8х +15 р 115 - х2|.
Разные неравенства
Решите неравенство (194—220):
л* _ д	Ох__ 9	2 х _ 2
194 (МГТУ), а) +----- < 0; б) ---> 0; в) -------— < 0.
Л X	X — £	X + Л
427
Задания для повторения
195 а) в)	15 —|7х + 8| Зх2 - 14х +17	’ 18-|4х + 5| ; 4х2- 13х+11	б) 11-|6х + 71 > 0; 5х2 - Их 4- 7 17-Ц1Х + 61 ’ 6х2-15х+10
196 а) в)	(х2 - 9)7х + 6 > 0; yjx2 - 9 (х 4- 8) > 0;	б) (16- х2)78- х < 0; г) (х - 4) д/х2 - 4 < 0.
197 а) в)	(х — 2)(х- 3)7х- 1 < 0; (х — 4)(х + 3)77 > 0;	б) (х + 2)(х +3)Vx + 11 С 0; г) (х- 8)(х + 7)Тх 0.
198 (МГУ, почв. ф-т), tfy*-
199 (МГТУ)
а)	д/б 4- 5х - X2 х-2	б)	ч/з 4- 2х - х2 		z	< 0; х-2	в)	74 - Зх - х2 0_ X 4- 3
	1-х	Л		Зх + 2		х — 1
г)	—	<0; у]2 4- X - X2	д)	....	> 0; д/2 - х - х2	е)	- <0. д/3 4- 2х - х2
(2х - 5)(32х - 4)	>	(2х — 3)(27* - 9)	<
(3х-8)(х4+4х + 20)	, (2х- 5)(х4- 2х + 10) " '
201 (МГУ, геол. ф-т), а) ,|х 3|,+ 2	0; б) -—i> 0.
|2х —3| —5	1
х - 7
202 (МИФИ)
а) (9х2 - 9х + 2) • log2 Зх 0; б) (20х - 25х2 - 3) • log3 5х < 0.
203 а)
б)
204 а)
в)
(МГУ, ИСАиА). V2*2 5х 3
6 + зТЗх - 2х2
/wTixr г-	ч Jx2 4- 5х - 84 Л
(МГУ, биол. ф-т). -------------0.
|х-4|-7х-2 > Q
4д/Ю - х + х - 13
|х- 5|- 7х- 3	0;
2711- х + х- 12
х-11+5У7^Т<0 | X - 1| - ^х + 1 х + 2 - 7^6 - х с 0 |х - з| - 7* + з
205 (ВШЭ), а) 1х + 61 + У* * 5	0. б) Iх 31—2Jx + 4 + 1 0.
|х- 2| - 3-Jx + 5 + 3	|х + 5| — 2^2- X + 1
в) |х + 4|-#^-1	0.	г) | х - 5| - 27772 + 1	0
|х-4|-7х + 3-1	’	|х + 3|-274- х + 1 "
:428
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
а) 2х + 21х । > 2-J2; (МГУ, почв, ф-т)
б)
3х + 31	3.
б)
(ГУУ). а)
v	lg(x - 2)2
б)
lg(2x + 9) lg(2x + З)2
1g
в) —
lg I
г)
1g
2
2
(МГИЭМ). а) 'Зх+ —-
б)
|6х + 3|- 11 < о-
в) „-----< 11
2х - 3
д) -х2 +х + 8 > 2|х + 1|;
г)
е)
V2x - 1 х-2
-х2 -
2х + 33 > 3|х - 11.
б)
в) -^21ogg(3x2 - 4) > log373x2 - 4.
(МГУ, хим. ф-т)
а) ,	• 1------тт > 0; б)
[ /2 - х х + 1 |
Hl х 2х I
(МГУ, физ. ф-т), а)
2х+5х + 8
------о*»
х-2
1-х х + 2
х+1 2х + 2
1

1
а)	(МГУ, филол. ф-т). ----4—- > —-— + —;
logj (2хг - 1)	log j х logt х
2	4	3
б)	(МГУ, экон. ф-т), log2 (2х - 3) • log^ (4х + 2 -12 • 2х + 3 +144) < 32.
« 2.
(МГУ, ИСАиА). (l + log3x)Jlog3x3||
ч ч Ь^24_2х_^)(х + 6)	1
(МГУ, мехмат), а) ;---—------х—----=- <
7 logn_x,(24-2x-х2)	4’
б)	27х + 24 > 2(7 + V22)x +12(7 - л/22)х;
в)	х< log5(16 • 15х- 151 + 2х)- log3(16 • 5х- 31+х • 51 + 2х).
(МГУ, хим. ф-т). 2'^х2~1^ (х + 1)‘е2.
^29
Задания для повторения
216 (МГУ, биол. ф-т). ‘°g2* 3, < 2.
6 logx 2-1
217 (МГУ, почв. ф-т), a) log(x _ 2)х log(x _ 2)4;
б) 2 logK sin х • logn sin 2x - log2 sin 2x log2 sin x.
218
219
220
(МГУ, геогр. ф-т). |x- 61 + ^3x + 1	5.
(МГУ, псих. ф-т). log2 logi \X * о 0. 2 4x + 8
(МГУ, геогр. ф-т). ——- + Д > 0.
x + 1 x
Системы уравнений и неравенств
Решите систему уравнений (221—234):
221 (МИРЭА). а) Iх ® [х + 4z/2 = 15;
fx-7j/z=9
(х + 2у2 = 18;
(х - 5у2 = 10 }х + Зу2 = 18; (х- 2j/2= 12 [х + 7у2 = 21.
222 (МИРЭА). а) 2)2 + У2 “ 10 (х + г/ = 6;
f(x-6)2 +у2 = 10
1 |x + t/ = 10;
б1 [(х- б)2 +у2 = 5
’ [х + у = 8;
. |(х - 5)2 + у2 = 10 [х + у = 5.
223
(МИСиС).
х2 + ху + у2 + х + у = 57 ' (х + у)5 + (х - у)5 _ 1025
(х + у)5 - (х - г/)5	1023*
X
224
( х2 — ху _ (х - у)2 А . / у2_____1
^у2 + ху х2 + ху J \<х3-ху2	х + у
х2 - у2 - 3.
226 а)
42^ + 32х = 82 3х - 4^ = 8;
f ЗУ + 52х = 26 (5х - З0’5^ = 4.
З*2 - 2^у - j
21og3(у + 2) = log3 (5х - 2);
2^ - 3ху = 1
2 log2 (х +1) = log2 (Зу - 5).
228
229
230
231
232
233
234
235
236
\2У~3=&Х~2	_ \2у = 4х~3
а) [21og3(y - х) - log3x = 1; J (21og2 (х — z/) - log2 г/= 1.
(МГУ, ФНМ). а)
Зх
+log|i/ = 504
4х - 2х"1 log^ у + log| у = 84;
б)
_3г
[|1 2+1°ё2У=702
1 У *
9х - 3х-1 log3.-i/+ log2 I/= 117. V2
|x + i/1 +log|(>| - у + 5)- 12= 0
(х + у)2- 6(x + y)-log2(|x| - у + 5) + 41og2 (| х | - у + 5)= 0.
[log2-^ =-31-х ( 1.3х +log2i/ = 1;
I . I |cosx| sin у sin у = !---1
v 1 V \ cos X |cosx - 112 4-1 sinz/12 = 4.
xy	5
«---------= 5
2 2x + у - xy
n	10 A
2x + и ч--= 4 + xy,
xy
(МГУ, ВМиК). а)
(МГУ, физ. ф-т).
(МГУ, геол. ф-т). <
(МГУ, геогр. ф-т).
3 sin х + cos у = 0 6cos х-2 sin у = 7.
9- 2х • 5У - 5-Зу+х = 3х • 5У 2х-2. Зу-х + 1.51-у= 1.
Решите систему неравенств:
а) <
7х 11(х + 3) > Зх - 1
3	6^5
(1 - х)2 (х + 5)(х-1);
13-х
2
3 + ___-8J--------> -2
б) П 12-х V3 51-Зх l^x2-3x-10 2х + 4.
(МГУ, мехмат). Решите систему:
~ , о 49 9	.	— „ > 1	49 9	_
2х + 2=—х2 + 4	_ Зх + 1 = —х2 + 3
а)	4	б)	3
2Х + 2 - 4<S х2(14- 2Х + 2)-2х;	1зх + 1 - 3« х2(14- Зх + 1)-Зх.
J 431
Задания для повторения
237 (МГУ, псих. ф-т). Решите систему:
а)
•	9	о	О
smz х + cosz и = -у 4
cos х 5* О
Тб
cosx sin и = —; 4
б)
cos2 х + sin2 ц = —
v 2
sin х cos у =
3
4*
Задачи с параметрами
238 (МИФИ). При каких значениях с е R для действительных корней хх и х2 уравнения х2 + (4с - с2 - 1)х + 2с2 -1 = 0 выполняется равенство хг + х2 = 6?
239 а) Постройте график квадратного трехчлена у = х2 + Зх + а, если известно, что его корни связаны соотношением xf + х2 = 5. б) Постройте график квадратного трехчлена у = х2 - х - а, если известно, что его корни связаны соотношением х% + х® = 4.
240 (ВШЭ). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение:
а) 2|х+1|-2|х-2| + |х-6| = х + За имеет ровно один корень; б) 2|х + 3|-2|х-2| + |х — 4| = х + 2а имеет ровно два корня; в) |х2-8х-а| = 4х имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 11,5;
г)	| х2 - 4х + а | = х имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 4.
241 (ВШЭ ). Для каждого значения параметра Ъ найдите число корней уравнения:
а) 2х2 + 10х + 16х + 301 = Ь;	б) 6х2 + 18х + 112х + 361 = Ь;
в) 4х2 + 12х + 18х + 24 | = &;	г) 4х2 + 8х + |24х + 481 = Ь.
242 (МИФИ). Для каждого значения параметра с решите уравнение:
a)	l^~2 = c + J^3;
V 4_______ V 4
б)	Jx2 - 4х + 4 = с - ^х2 + 6х + 9;
г) (2~х + 4 + Зс)(5 - с - 2~х) = 0.
243 (МИФИ). При каких значениях параметра b уравнение 12cosx - 4Ь + 3| = |3cosx - b| имеет на промежутке II только одно решение?
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
(МИФИ). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х - 1 = -J(l — а)х — 1 4- За + 2а2 на промежутке (-оо; 5] имеет только одно решение.
(МГТУ). Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение 8 + 4р (х - 2) = (х - | х |) х имеет единственное решение. Найдите все решения при каждом р.
(ИКСИ АФСБ). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 144^ 2х~ 11 - 2 • 12“1 2х~ 11 + 12а = 0 имеет хотя бы один корень.
Для каждого значения параметра а решите неравенство (247—248):
(МГУ, ВМиК). |2х + а| х + 2.
(МГУ, физ. ф-т). 3(2х - а) + 5а ^2х - а - 2а2 > 0.
(МГУ, хим. ф-т). Для каждого значения параметра а решите уравнение sin2 х + sin2 2х + sin2 Зх - 2а (sin х + sin 2х + sin Зх) + + cos х - cos Зх + 2а2 = 0.
(МГУ, геол. ф-т). При каких значениях параметра а 1 уравне-( 4 Л
ние sin х tg х = 0 имеет ровно 6 различных корней на отрез-
ке [2ал; (а2 + 1)л]? Укажите эти корни.
При каких значениях параметра а имеет единственное решение уравнение 12х + 61 + 12х - 81 = ах + 12?
(МГУ, мехмат). Найдите все значения параметра а, при каждом [ах2 - 2(а + 1)х + а + 5^ О
из которых система неравенств <	'	_
[(а + 1)х2 - 2(а + 2)х + а + 2	0
имеет единственное решение.
(МГУ, хим. ф-т). Найдите все значения параметра а, при каждом
Г х3 - (а + 3) х2 + (За + 2) х - 2а 0
из которых система неравенств < Q	Л
(х3 - (а + 3)х2 + Зах^ 0
имеет единственное решение.
(МГУ, биол. ф-т). Найдите все значения параметра а, при каждом
из которых система уравнений
sin х = cos (д/б - 2а2х)
2а2х)
имеет ровно одно решение на отрезке [0; 2л].
433
Задании для повторения
Текстовые задачи
255 (МГУ, почв. ф-т), а) Сумма десяти чисел равна нулю, и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма кубов этих чисел?
б)	Сумма двенадцати чисел равна нулю, и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма четвертых степеней этих чисел?
256 Старинная задача. У торговца имеется два бочонка вина: емкостью 40 л, ценою 7 р. за литр, и емкостью 10 л, ценою 5 р. за литр. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась?
257 Решите предыдущую задачу, если известно, что цены вина за литр различны, но неизвестны.
258 У торговца имеется два бочонка вина разной цены за литр емкостью т л и п л. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась?
259 Имеются две бочки бензина разной цены. В одной бочке находится 220 л бензина, а в другой — 180 л. Из каждой бочки берут по одинаковому количеству литров бензина и переливают в другую, после чего цена литра бензина в бочках стала одинаковой. По скольку литров бензина перелили из каждой бочки?
260 Имеются два сосуда, содержащие растворы кислоты разной концентрации. В первом т л раствора, во втором п л раствора. Из каждого сосуда взяли по одинаковому количеству раствора и перелили в другой сосуд, после чего концентрация кислоты в растворах сравнялась. По скольку литров раствора перелили из каждого сосуда? Решите задачу в общем виде. Получите ответ, если: а) пг = 20, п - 30; б) пг — 10, п = 30.
261 (МГУ, почв. ф-т), а) Какое количество воды надо добавить в 1 литр 10%-ного водного раствора спирта, чтобы получить 6%-ный раствор?
б) Имеется 1 литр 6%-ного раствора спирта. Сколько литров 3%-ного раствора спирта нужно добавить в первый раствор, чтобы получить 5% -ный раствор?
262 а) Из пункта А выехал колесный трактор со скоростью 25 км/ч. Через час вслед за ним одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость грузовика постоянна и со-3	« и **
ставляет - скорости легкового автомобиля. Найдите скорость 4
грузовика, если известно, что он догнал трактор на 10 мин позже, чем легковой автомобиль.
15 Никольский, 11 кл.
a 434
б) От пристани по водохранилищу со скоростью 10 км/ч начала двигаться яхта. Спустя полтора часа от той же пристани за
яхтой последовали два катера с постоянными скоростями, при-4
чем скорость первого катера составляла — скорости второго.
Найдите скорость первого катера, если известно, что он догнал яхту на 15 мин раньше, чем второй.
263 а) Из пункта А в одном направлении одновременно отправились пешеход и велосипедист. Через 2 ч вслед за ними из того
же пункта выехал мотоциклист, скорость которого равна 30 км/ч. Найдите скорость пешехода, если она постоянна и со-2
ставляет - скорости велосипедиста и мотоциклист догнал пеше-5
хода на 1,5 ч раньше, чем велосипедиста.
б) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового z-	6
автомобиля постоянна и составляет — скорости грузовика. Че-5
рез 30 мин вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 ч раньше, чем легковой автомобиль.
264 а) В озеро впадают две реки. На первой реке, в 35 км от устья, расположен пункт А. На второй реке, в 60 км от устья, расположен пункт С. Расстояние между устьями рек 15 км. Моторная лодка прошла путь от А до С за 10 ч 25 мин, а обратно за 8 ч 45 мин. Какова скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения во второй реке в 1,5 раза больше скорости течения в первой реке?
б) Из порта вышли два корабля. Они двигаются с постоянной скоростью, причем первый в 2 раза быстрее второго. Через некоторое время от второго корабля отошел быстроходный катер, догнал первый корабль и возвратился обратно, затратив на путь в оба конца 5 ч. Затем он снова догнал первый корабль и возвратился, затратив всего 9 ч. Сколько времени догонял катер первый корабль в свой первый рейс?
265 В озеро впадают две реки. Теплоход выходит из порта М на первой реке, плывет вниз по течению до озера, затем через озеро (где нет течения) и по второй реке вверх (против течения) до порта N. Затем теплоход возвращается обратно. Скорость теплохода в озере равна и, скорость течения первой реки второй реки и2> время движения теплохода от М до N равно t, а длина пути от М до N равна s. Время обратного движения от N до М также равно t. Какое расстояние теплоход идет по озеру в одном направлении?
/ 435
Задания для повторения
266 (МГУ, биол. ф-т), а) Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки А, второй из точки В — и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их первых 15 встреч на трассе после старта только первая и пятнадцатая состоялись в точке В. Найдите отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не менее одного круга, б) Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки А, второй из точки В — и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их первых 13 встреч на трассе после старта только третья и тринадцатая состоялись в точке А. Найдите отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не менее одного круга.
267 а) Три гонщика А, В и С, стартовав одновременно, движутся
с постоянными скоростями в одном направлении по кольцевому шоссе. В момент старта гонщик В находился перед гонщиком А на расстоянии — длины шоссе, а гонщик С — перед гонщиком В О
на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал гонщика В в тот момент, когда гонщик В закончил свой первый круг, а еще через 10 мин гонщик А впервые догнал гонщика С. Гонщик В тратит на круг на 2,5 мин меньше, чем гонщик С. Сколько времени тратит на круг гонщик А?
б) Три гонщика стартуют одновременно из одной точки шоссе, имеющего форму окружности, и едут в одном направлении с постоянными скоростями. Первый гонщик впервые после старта догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной точке старта, а через полчаса после этого он вторично (не считая момента старта) обогнал третьего гонщика. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй гонщик проходит круг не менее чем за 20 мин?
268 (МГУ, ФНМ). а) Из города в деревню одновременно отправились бегун Б и пешеход П1Э а в тот же момент из деревни в город вышел пешеход П2. Скорости пешеходов были равны. Встретившись, Б и П2 некоторое время стояли на месте, а затем направились в деревню. При этом Б побежал с прежней скоростью, равной 12 км/ч, а П2 уменьшил свою скорость в полтора раза. В результате в деревню сначала прибежал Б, а затем через промежуток времени, в два раза больший длительности встречи Б и П2, одновременно пришли оба пешехода. Найдите скорость пешехода Пх. б) Из города в деревню одновременно выехали велосипедист В и мотоциклист М1Э а в тот же момент из деревни в город выехал второй мотоциклист М2. Скорости Мх и М2 были равны 30 км/ч.
15*
436
Встретившись, В и М2 некоторое время стояли на месте, а затем оба направились в деревню. При этом В поехал с прежней скоростью, а М2 уменьшил свою скорость в три раза. В результате Mi и М2 прибыли в деревню одновременно, а через промежуток времени, в десять раз больший длительности встречи Б и М2, в деревню приехал В. Найдите скорость велосипедиста В.
Список принятых сокращений
ВШЭ	— Высшая школа экономики
ГУУ	— Государственный университет управления
ИКСИ АФСБ — Институт криптографии, связи и информатики Академии ФСБ РФ
МГИЭМ — Московский государственный институт электроники и математики
МГИЭТ — Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
МГТУ — Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана
МГУ — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова: биол. ф-т — биологический факультет
ВМиК — факультет вычислительной математики и кибернетики геогр. ф-т — географический факультет геол, ф-т — геологический факультет ИСАиА — институт стран Азии и Африки мехмат — механико-математический факультет почв, ф-т — факультет почвоведения псих, ф-т — факультет психологии социол. ф-т — социологический факультет физ. ф-т — физический факультет филол. ф-т — филологический факультет хим. ф-т — химический факультет ФНМ — факультет наук о материалах экон, ф-т — экономический факультет
МГУЭСИ— Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
МИРЭА — Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)
МИСиС — Московский государственный институт стали и сплавов (технологический университет)
МИФИ — Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет)
МИГУ — Московский педагогический государственный университет МФТИ — Московский физико-технический институт (государственный университет)
МЭИ — Московский энергетический институт
РЭА — Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова СПбГПУ — Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Приложения
1.	Таблица производных
1.	(С)'= о.
2.	(х)' = 1 (х g R).
3.	(х'У = пхп - 1 (п = 2, 3, 4, 5, х е R),
4.	(х“•")' = -пх~п ~ 1 (п g N, х Ф 0).
5.	(ха)' = аха " 1 (а — нецелое число, х > 0)
6.	(ех)' = ех (хей).
7.	(ахУ = ах1па (а > 0, а Ф 1, х g R).
8.	(1пх)' = у (х > 0).
9.	(logax)' = —— (а > 0, а Ф 1, х > 0). xlna
10.	(sinx)' = cosx (х е jR).
11.	(cosx)' = -sinx (х g R),
12.	(tgx)'=——I x * — + nk, k g Z |.
cosz x V 2	)
13.	(ctgx)' =---— (x * nk, k g Z).
sirr x
M 14. (arcsin x)' =	1	(-1 < x < 1).
I
15.	(arccos x)' = —t	(-1 < x < 1).
7i- x2
16.	(arctg x)' = ——г (x g R).
1 + xz
17.	(arcctg x)' =-—- (x g jR). О
1	+ xz
После каждой формулы указаны параметры ее применения. Отметим, что формулы 2—5 часто объединяют в одну:
(хП)' = Рх₽ -1 (Р * 0), но применяется она для каждого конкретного случая для тех значений х, которые указаны в скобках после каждой из формул 2—5.
438
2	. Таблица интегралов
1.	Jodx = C.
2.	Idx = х + С (х е R).
3.	f xndx = —--+ С (п g N, хе R).
J	п + 1
г	х~п+1
4.	I x~ndx = ----- + С (п = 2, 3, 4, 5, х * 0).
J	—п + 1
г	ха +1
5.	ха dx =------ + С (а — нецелое число, х > 0).
J	а + 1
6.	j -i dx = In | x | + C (x & 0).
7.	f exdx = ex + C (x e R).
8.	axdx =	+ С (a > 0, а Ф 1, x e R).
J	Ina
9.	sinxdx = -cosx + C (x e R).
10.	J cos xdx = sinx + C (x e R).
Г dx	(	it	_ , __ A
11.	---5— = tgX + С X * — + 7l/?, /? G Z .
J COS2 X	\	2	)
12.	[ -dx - -ctgx + С (x Ф nn, n e Z). J sinz x
13.	[ - dx = arcsinx + C (-1 < x < 1).
Vi" x2
14.	[ —x .. = arctg x + C (x e R). * J 1 + xz
После каждой формулы указаны параметры ее применения.
Отметим, что формулы 2—5 часто объединяют в одну:
pdx=^ + C(P*-l), J	р + 1
но применяется она для каждого конкретного случая для тех значений х, которые указаны в скобках после каждой из формул 2—5.
3. Свойства логарифмов
Если а > 0, Ъ > 0, а 1, Ъ Ф 1, М > 0, N > 0, у е R, то:
1- loga(^ • N) = logaM + log^. 2. loga = logaM - logaN.
3. logaM^ = ylogaM.	4. logaM=1^^.
439
Приложения
4. Основные формулы тригонометрии
1. sin2 а + cos2 а 1.
2.	sin (-а) - -sin а.	3.	cos (-а) = cos а.
4.	tg(-a) - -tga.	5.	etg (-а) = -etg а.
6.	sin (а + 2л/г) - sin a, k е Z.	7.	cos (а + 2л/г) = cos a, k е Z.
8.	tg (а + л/г) = tg a, k е Z.	9.	etg (а + л/г) = etg a, k е Z.
10.	cos (а - р) = cos а cos р + sin а sin р.
11.	cos (а + Р) = cos а cos Р - sin а sin р.
12.	sin (а - р) = sin а cos р - cos а sin р.
13.	sin (а + Р) = since cos Р + cos а sin р.
14.	cos 2а = cos2 а - sin2 а.
15.	sin 2а = 2 sin а cos а.
- „	•	-о	о	.	а + р а - Р
lb. smа + sin р = 2sin----cos------.
н	2	2
. _	.	. о	о . а -Р а + Р
17. sm а	-	sm р	=	2 sin —-— cos —-—.
r	2	2
-.л	о о - « + Р • а - Р
19. cos а - cos Р = -2 sin-— sm ———.
н	2	2
5. Простейшие тригонометрические уравнения
1.	sinx - 1, х - — + 2лп, п е Z. 2
2.	sinx = -1, х = -— + 2лп, п е Z.
2
3.	sinx - 0, х = ли, п е Z.
4.	sinx = а, |а| < 1, а * 0,
Хх = arcsin а + 2пп, п е Z,
х2 = л — arcsin а + 2лп, п е Z.
5.	cosx = 1, х = 2лп, п е Z.
6.	cosx ~ -1, х = л + 2лп, п е Z.
7.	cos х = 0, х = — + лп, п е Z. 2
8.	cosх = а, |а| < 1, а 0,
Хх = arccos а + 2лп, п е Z,
х2 = -arccos а + 2лп, п е Z.
9.	tgx - а, а е R,
х = arctg а + ли, п е Z.
10.	etgx = а, а е R,
х = arcctg а + лп, п е Z.
Предметный указатель
Л
Амплитуда колебаний 210 аргумент 3 асимптота 149, 150 — вертикальная 152 — горизонтальная 151 — наклонная 151
В
Возведение неравенства
в степень 220
—	уравнения в степень 215
Г
Геометрический смысл второй производной 138
—	— определенного интеграла 179
—	— производной 94
график, выпуклый вверх 138
—	— вниз 138
график функции 19
—	— разрывный 60
д
Движение равномерное 135
—	равноускоренное 135 дифференциал аргумента 99
—	функции 99
дифференцирование функции 92
дифференциальное уравнение 202
—	— второго порядка 202
—	— первого порядка 202
—	— с разделяющимися переменными 204
И
Интегральная сумма 176
— — нижняя (верхняя) 182 исследование функции 18
К 
Комплексная плоскость 386 комплексного числа аргумент 391 — — главный аргумент 390 — — действительная часть 380 — — мнимая часть 380 — — модуль 386 — — п-я степень 381
Л
Логарифмирование показательного уравнения 215 — уравнения 273 — показательного неравенства 221
М
Максимум функции на отрезке 114 мгновенная скорость 90 метод подстановки 173 — промежутков 307 — трапеций 182
механический смысл производной 94 — — второй производной 135 минимум функции на отрезке 114 мнимая единица 380
И
Наибольшее значение функции 6 наименьшее значение функции 6 неопределенный интеграл 168
ffi441
Предметный указатель
неравенства равносильные 219
—	— на множестве 283
—	с параметрами 355
неравенство, равносильное
системе 242
—	— совокупности систем 242
О
Область изменения функции 5
—	определения функции 3
—	существования функции 5
определенный интеграл 179 освобождение уравнения от знаменателя 226
П
Параметр 357
первообразная 167
период функции 9
—	— главный 9
площадь криволинейной
трапеции 176
посторонние корни 225
потенцирование логарифмического
уравнения 226, 273
предел замечательный первый 52
—	— второй 52
предел функции 46, 47, 52, 53
приведение подобных членов 226
приращение аргумента 60, 91
—	функции 60, 91
производная 92
—	вторая 134
—	левая (правая) 92
—	обратной функции 111
—	сложной функции 108
промежуток знакопостоянства
функции 16
Р
Равносильное преобразование
неравенства 220
—	— уравнения 214 равносильный переход на множестве 266, 283
разрыв неустранимый 70 — устранимый 70 решение дифференциального уравнения 202
— — — общее 202
— — — частное 202
— системы 242, 331
ряд Тейлора 166
С
Свойство графиков взаимно обратных функций 76 система-следствие 337 системы равносильные 242 суперпозиция двух функций 4
Т
Теорема Лагранжа 127
— Ролля 127
точка критическая 118
—	локального максимума 115
—	— минимума 115
—	— экстремума 115 точка максимума 114 — минимума 114 — перегиба 139 трапеция криволинейная 175
У
Угол наклона касательной 94 уравнение иррациональное 229 — равносильное системе 242 — — совокупности систем 242 — с параметрами 355 уравнение-следствие 225 уравнения равносильные 214 — — на множестве 266
Ф
Фаза колебаний 210 форма комплексного числа алгебраическая 380 — — — показательная 407 — — — тригонометрическая 392
442
формула Муавра 393
— Ньютона—Лейбница 185
— Тейлора 162, 163
—	Эйлера 405
функции взаимно обратные 75
—	основные обратные тригонометрические 84
—	— элементарные 4
—	элементарные 4
функция 3
—	возрастающая 14
—	дробно-линейная 154
—	монотонная 16
—	невозрастающая 15
—	непрерывная в точке 61, 63
—	— на отрезке 63
—	— на промежутке 19
—	— справа (слева) в точке 63
—	неубывающая 15
—	нечетная 8
—	обратная 72, 75
—	ограниченная 6
—	— сверху (снизу) 6
—	периодическая 9
—	разрывная в точке 61
—	сложная 4
—	строго монотонная 15
—	убывающая 14
—	четная 8
Ч
Частота колебаний 210 числа комплексные взаимно сопряженные 384 — мнимые 380 число комплексное 380 — обратное комплексному 382 — противоположное комплексному 381 — сопряженное с комплексным числом 384
Ответы
1.2.	a) f(x) = Vx, £(x) = lgx. 1.3. a) f(x) = sinx, g(x) = Vx, ф(х) = х3. 1.4. а) /«р(х» = 7х2; б) <p(g(x)) = (log5x)2. 1.8. а) [1; +оо); б) К, в) (-оо; -1] U U [1; +оо); г) (-оо; -2) U (—2; 2) U (2; +оо); д) (—со; О) U (1; +оо); е) (-оо; -4) U U (-4; -11 U [0; +оо). 1.9. а) (-оо; 0) U (0; +оо); б) (0; +оо); в) I лл; + лп 1,
п е Z; г) [0; +оо); д) Я; е) {-1; 1}. 1.10. а) [0; 1]; б) [0,5; 1]; в) (0; 1]; г) [3; 5]; д) (1; V2); е) jR; ж) [1; 2]; з) (-оо; 0]. 1.18. а) Нечетная; б) нечетная. 1.19. а) Четная; б) четная. 1.20. а) Четная; б) нечетная. 1.29. a) sin 2х, cosx, sin2nx; б) функция Дирихле. 1.32. а) Да, Т = л; в) да, Т = л; г) да, Т = л, е) нет; ж) нет. 1.33. а) Да, Т = л; б) да, Т = л; в) да, Т = л; г) да, Т = л;
д) нет; е) да, Т = 2л; ж) нет; з) нет. 1.34. а) Нет; б) да, Т = 1; в) да, Т = 1; г) да, Т = 2; д) да, Т = 2; е) да, Т = 4. 1.35. а) Да, Т = 2л; б) да, Т = 2л. 1.36. а) 2л; б) —; в) л; г) л. 1.47. в) Функция убывает на промежутке 6	(л
(-оо; 1,25]; г) функция возрастает на промежутках —-+ 2л/?; 2л/г , k g Z,
Л . o_r. п-г. и _ г, 2	'
убывает на промежутках 2лАг; —+ 2лУ? , ktZ. 1.48. а) Функция возрастает 2	)
на промежутках [fe; + 1), /г g Z; б) функция возрастает на R; в) функция убывает на промежутке (-оо; -4], постоянная на промежутке [-4; 4], возрастает на промежутке [4; +оо). 1.49. а) у>0 при хе (-oo;-2)U (2; +оо); у < 0 при х € (-2; 2); б) у > 0 при х е (-оо; 0) U (4; +оо); у < 0 при х е (0; 4); в) у > 0 при х е (-оо; 1) U (4; +оо); у < 0 при х g (1; 4); ж) у > 0 при х g (-оо; -7) U (-3; +оо); у < 0 при х е (-7; -3); з) у > 0 при х g (0; 2); у < 0 при х е (-оо; 0) U (2; +оо); и) у > 0 при х g (0; 4); у < 0 при х g (-оо; 0) U U (4; +оо). 1.50. а) На промежутках (-оо; 0) и (0; +оо) функция монотонна (постоянна), у < 0 при х g (-оо; 0), у > 0 при х g (0; +оо); б) на промежутках (-оо; -2), (-2; 2) и (0; +оо) функция монотонна (постоянна), у < 0 при х g (-2; 2), у > 0 при х g (-оо; -2) U (2; +оо). 1.74. а) у - 2х2; б) у = -2х2; в) х = 2у2\ г) х = -2у2\ д) у = 2 (х - I)2 + 1; е) у = -2 (х - I)2 + 2.
§2
2.4. а) 8; б) 1; в) -1; г) 4. 2.5. а) оо; б) оо; в) оо; г) оо; д) оо; е) оо. 2.6. а) 1 и 1; б) 4 и 4; в) 0 и 0; г) 0 и 0. 2.7. а) -оо и +оо; б) +оо и +оо; в) -оо и -оо; г) -оо и +оо. 2.8. а) —оо и +оо; б) +оо и -оо; в) -оо и +оо; г) -оо и +оо. 2.12. а) 1; б) 1; в) 1. 2.15. а) 1; б) 1; в) 3; г) 1; д) 2; е) е3. 2.17. а) -; б) 7; в) -; г) -; д) 1;
7	2	5
Д444
q	2	-	?	q 2
e)ж) 1; з) 5; и)—. 2.18. а) ё»3; б) г3; в)еэ; г) е 2. 2.19. а) —; б)
2	5	2 о
4
в) +оо; г) -оо; д) 12; е) --. 2.22. а) 0,2; б) -0,4; в) 0,2; г) 0,02. 2.24. а) 0,01; 3
б) 0,21; в) -0,19; г) 0,41. 2.32. а) (пл; п + пл), п е Z; в) (-оо; -2) U (-2; +оо);
д) (--S- + лл’ ~ + лл)> л е Z. 2.34. а) [2лп; л + 2лп], п е Z; б) (
п е Z, в) (-1; +оо). 2.41. а) Да, f (х) = Iх ~ 4’ х_*1 б) да, f(x) = I I “О У XQ —
в) нет; г) нет.
пп; — + nn I, 2 J
x - 2, x Ф -2 -4, x() = -2;
§3
3.3.	а) у = - ~ 1; б) у = * + -; в) у = Vx, х с [0; 9]; г) у = урх, х е [-9; 0]; 3	2
з/т
п)у= —; е) у = 4х2, х 6 [0; 2,5]; ж) у = log3x; з) = 5х, х е (-со; 2).
3.7.	а) у = Vx, х g [0; +оо); в) у = 2т4хУ х с (0; +оо); е) у = logux, х е (0; +оо).
3.11.	у = 5 - х. 3.12. а) [/(а); /(6)]; б) [/(6); /(а)]- 3.22. а) -А; б) в) 1.
13	13
§4
4.1.	а) Д/ = 1; б) Да = 3; в) 1>,.р » 3. 4.2. a) (2t + Д«)Дг; б) 2« + Д(, в) 2t; г) 2. 4.3. 2) а) (2/ - 6 + At) At; б) 2t - 6 + At; в) 2t - 6, мгновенная скорость зависит от времени. 4.5. a) Af = (2х + Дх) Дх; б) 2х + Дх; в) 2х, г) 0; 2; -2; 4; -4. 4.7. а) 2х; б) 0; 2; -2; 4; -4; 6; -6; в) 0; 0,5; 1,5. 4.10. а) и = 21 - 4; б) 6; в) при t = 2. 4.14. а) -2; 4; б) (-6; -2) U (4; 7); в) (-2; 4). 4.17. а) 2х + 1; б) 2х - 1; в) 2х; г) 2х; д) 10х; е) -2х; ж) 10х + 3; з) 6х - 3; и) 2ах + Ь. 4.18. а) Зх2 + 2х + 1; б) Зх2 - 2х - 1; в) 15х; г) -Зх; д) 6х2 - 6х + 1; з) Зах2 + + 2Ьх + с. 4.19. а) 2х + 6; б) 2х - 8; в) 18х + 6. 4.20. а) -2; б) 0; в) 1; г) 41. 4.21. а) у' = 0 при х = -3; у' > 0 при х е (-3; +оо); у' < 0 при х е (-оо; -3); в) у' = 0 при х = 3; у’ > 0 при х е (-оо; 3) U (3; +оо). 4.26. a) dy = 3dx; б) dy = (2х + 2)dx; в) dy = (Зх2 - 5)dx. 4.27. а) -0,3; б) 0,3; в) 0,02; г) -0,02. 4.30. а) Зх2 + 4х - 3; в) 45х2 + 2х; д) -12х3 - 6х2 + 12х + 4. 4.31. а) 4х3; б) 5х'; в) 6х5; г) 7х6. 4.33. а) = б) в’ , г: г> ,	; д)	:
хг х3 (х+1)2 (х — I)2	(х2 + 1)2
ч-х2-4 х2 + 2х + 3	-х2+16х+1	6х-21	.
е)---7—; ж) —--——; з) —————; и) ——--------—; 4.34. а) О;
х2	(х+1)2	(х2+1)2	(х2-7х + о)2
2	11
б)-—;	в)-—;	г)— — .	4.35. а) -1; 1; б) (-1; 1); в) (-оо;-1) и (1;+оо).
9	2	2
4.36. 10. 4.39. а) 28х3 - 15х2 - 1; б) -4х3 + 16х + 2. 4.43. а) 11х • In 11; в) (2 • 4х + 3 • 8х - 4 • 16х) In 2. 4.45. а)—!—; б)—1—; в)^- + ---—;
xln2 xlnlO xln2 х xlnlO
445
Ответы
г) — -— + —-—. 4.48. а) 12хн + 12хIn 12, х е R, в) — + sinx, х g (О; +оо).
xln3 х xlnlO	х
4.50.	а) е; б) (0; е); в) (е; +оо). 4.52. а) лх - Inn + ех; б) ехе 1 - лхк“
в) пх • Inn + пхк~ *; г) ex'" 1 - ех. 4.54. а) х g R, Зх2^^3; д) х € К, esin х - cosx. —1	3
4.55. а) х е (0; +оо), -б)хе (-оо; 0), -. 4.56. а) х g jR, -2sin2x;
2xln2	2xln2
б)х€Й, -60sin30x - 8sin4x. 4.57. в) х Ф + 71 +	G % 2-
4	cos2(2x-3)
г) х * — , k g Z, -— . 4.62. а) х е (0; +оо), 0,5х 0 :); в) х g R, 4,2х3,2.
5	sin2 5х
112—1
4.63. а) —т= при х > О; б) —7= при х 0; в) —тт= при х Ф 0; г)-— при
2Vx	3:Vx2	3'Vx	2xVx
_2	__Q . i—
x g (0; +oo); e) - —.— при x Ф О; з) —- xVx2 при x g (0; +oo). Указание. 3xVx2	3
б) При x > 0 имеем: (Vx)' =
= (-V^X)' =---J x— = -4=. 4.64. a) X g R,	3 —г: в) x g (-oo; 1) U
3V(-x)2 3:Vx2	2Vx2-3x+10
U (2; +oo),	. 2x ~ 3	; д) x g (-oo; 3) U (3; +oo),	2	4.65. a) x g jR,
2yjx2~3x + 2	3Vx-3
4 cos 2x; 6) x g R, -6 sin 6x, в) x Ф —-— + —, k g Z,-; r) x g Rt 0.
4000 2000	cos22000x
4.67. a) Hl) = -20, f (3) = 20; 6) f(-6) = f (-4) = 21; в) f (5) = -200, f'(6) = 200.
4.68. а) Xх(In x 4 1); 6) xK,n x cos x In x +
S*n X 1; в) xcos x( -sin x In x + —cos x x J I	x
4.72.
1 . 4.73. a) -л ; б)	в) 5 —; r) -15frrcctg3x)<.
1+ X2	Vi - n2x2 1 + X6 V1-25X2	1 + 9x2
д) 3	20 (arcsin 4x)*
д/l- 4x2 ’ Vl- 16x2
§5
5.6. a) 0; 1; 6) -1; 1. 5.7. a) 0; 6) 0; в) 4; г) 1. 5.8. a) 0; 6) 1; в) -—,	-,
6	6 6
—; г)-—, - —, —, —. 5.9. a)-1; 0; 1; б) 1; в) е; г) 0. 5.10. а) 0 и -4;
6	12	12 12 12
б) 14 и -4. 5.11. а) 1 и -3; б) -3 и 3. 5.13. а) -1 и 21п2 - 4; б) 4 - 21п2 и 1.
5.14. а) 0 и -4; б) шах/‘(х) = О, минимум функции на интервале (-2; 2) (-2; 2)
не достигается; в) О и -4; г) 0 и -4. 5.15. а) 1 и 0; б) min f(x) = 0, максимум
446
функции на интервале (-1; 1) не достигается. 5.16. а) При а =—1,5 и а = 2,5; б) при а = -0,5 и а = 1,5; в) при а = 0,5. 5.17. а) х15 = -27,5 — наименьший член последовательности; б) х20 = -105 — наименьший член последовательности. 5.19. а) у = 0; б) у = 2х - 1; в) у = 4х — 4; г) у = —2х - 1. 5.20. а) у = 2х - 3; б) у = 4х - 4; в) у = -4; г) у = -2х - 7. 5.22. а) у = х;
б)	у = 1; в) у = -1; г) у = л - х. 5.24. а) у - х; б) у = 2х - — + 1; в) у = 2х + 2
+ — - 1; г) у =	— х —	— + —. 5.26. а)	у = х-\\ б) у = — х-1+1п2;	в) у = - х	-
2	3	9	3	2	3
-1 + 1пЗ; г) у = —. 5.27. а) у =	б)у	= ^^+1; в) у = £^ + 2;
е	’У	1п2 У 21п2	41п2
г) у = —- + 3. 5.28. а) у = <*+ х)1п2 + г. б) у = х1п2 + 1; в) у = 4(х - 2) х 81п 2	2
xln2 + 4; г) у = 8(х - 3)1п 2 + 8. 5.29. а) у = х * ; б) у = х + ; в) у = х; е2	е
г) у = е2(х - 1). 5.30. а) у = - — х + 6; б) у = — х - Зл/2; в) у = -х + 2; г) у = 2	2
= х - 3. 5.31. а) В точке х = -2; б) в точках х = 2 и х = 6. 5.32. а) В точках х=1 и х =-2, под углом arctg3; в) в точке х = 6, под углом arctg73. 5.33. a)-; 6)--arctg4; в)-; r)--arctg5. 5.34. а) у = е'(х - е + 1);
4	2	4	2
б) ее(х - е + 1). 5.35. а) у = -2х + 1; б) у = 4х - 8. 5.36. а) При а = -3; б) при а = -5. 5.38. а) 25,1; б) 26,73; в) 4,01; г) 1,00; д) 3,94. 5.39. а) 25,1; в) 26,7; д) 5,998; ж) 5,99; з) 1,1; и) 1,2; к) 0,6. 5.40. а) 1,005; в) 0,995. 5.41. а) 1,1; 6)0,8; д) 0,990; е) 1,03. 5.42. а) 0,0175; г) 0,4848; д)-0,0175; ж) 0,515. 5.43. а) 1,07. 5.47. а) 1; б) -1; в) 3>/3; г) -З7з. 5.57. в) Критическая точка х = 1; (0; 1] — промежуток убывания, [1; +оо) — промежуток возрастания. 5.58. а) (-оо; -2), (-2; 2), (2; +оо) — промежутки непрерывности функции, [-1; 1] — промежуток возрастания, (-оо; -2), (-2; -1], [1; 2), (2; +оо) — промежутки убывания; в) (0; +оо) — промежуток непрерывности функции, (0; 0,5] — промежуток убывания, [0,5; +оо) — промежуток возрастания. 5.60. а) —-Уб — точка локального минимума, в этой точке функция дости-л/б /Т
гает своего наименьшего значения -—,	— точка локального максиму-
Л	л/б
ма, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения —.
5.64. а) р(0= 10i - 10, a(t) = 10; у(0) = -10, а(0) = 10; v(t) = 0 при t = 1. 5.65. а) р(0) = 8 м/с, а(0) = 0,5 м/с2.	5.68. a) sinx; б) cosx; в) ех.
5.69. /{л)(х) = ап • п!; f{n ~ п(х) = ап • х • п\ + ап _ j • (п - 1)!. 5.70. а) п!; б) ех; в) 3х(In 3)п. 5.71. т,<х +	. 5.76. а) (-оо; -1) — промежуток выпукло-
п!
сти вверх, (-1; +оо) — промежуток выпуклости вниз графика функции,
, 1447
Ответы
x = -1 — точка перегиба; и) (2лп; л + 2тш), п g Z — промежутки выпуклости вверх, (л + 2лп; 2л: + 2лп), п е Z — промежутки выпуклости вниз графика функции, х = лп, п е Z — точки перегиба; л) | —— + лп; кп 1, п е Z —
V 2	)
промежутки выпуклости ввех, лп; —I- лп I, п е Z — промежутки выпук-
перегиба нет; в)
2
то £/min = 0; если а > 1, то = 1 - а; если а > 0, то z/max = 1 + а. если -1 < b 1, то z/min = 0; если если b > 0, то 0,5 0^1, то
лости вниз графика функции, х = лп, п g Z — точки перегиба. 5.77. Нет, например, для функции / (х) = х4 вторая производная равна нулю при х = 0, но х = 0 не является точкой перегиба графика функции. 5.78. а) (-1; 1) — промежуток выпуклости вверх, (—со; -1) и (1; +оо) — промежутки выпуклости вниз графика функции, точек перегиба нет; б) (ли; л + лп), п е Z — промежутки выпуклости вверх, промежутков выпуклости вниз и точек
— + — L п g Z — промежутки выпуклости вниз гра-2	2 )
фика функции, промежутков выпуклости вверх и точек перегиба нет.
5.82. a) у1тп = 4; б) Ута = -4; в)	г) j/mi„ =	5.83. а) ут!а =
Z	Z	о Л
Уппп ~ 0, б) утАК — л, t/min — —	—— • 5.84. a) ymax — 1, i/niin — б) утях — —>
Ушт = i. 5.85. а) г/,„ях = 6, ymi„ =	6) утю = 7+„5^, У,„,„ = 6. 5.86. Если
/и а < -1, то i/min = -1 - а; если -1 а !/min = -1 + а- 5.87. Если а < 0, то i/max 5.88. а) Если b < -1, то i/niin = (b + I)2;
Ь > 1, то £/niin = {b - I)2; б) если Ь < 0, то z/max = {b - I)2;
i/max = (Ь + I)2. 5.89. Если 0 < b < 0,5, то ц =	; если
VO
утях = фр + 1; если b > 1, то утях =	\ 5.90. Если b < -1,
у £
Ь- 1 то ymia =
У
если -1 ^Ь^-0,5, то i/min = -фр + 1; если -0,5<fc<0, то i/min =	. 5.91. 0,5
v5
и 0,5. 5.92. а) 24, 12, 18; б) 16, 16, 16. 5.93. Это квадрат со стороной 2.
5.94. а) 5.96. а = h =	5.97. Это куб с ребром 3. 5.98. На рассто-
янии 12 км от пункта В. 5.99. Ширина V2V, высота 31
2 и 1; б) 4 и 2.
5.100. Диаметр и высота цилиндра равны з.
\а + Ъ - с)(Ъ — с)
м;
1	7
а) 2 м; б) 4 м. 5.104. а) у = 2х, в)г/ = 2х-1; д) у = — х-. 5.119.0 и
3	9
4
3
5.120. а) 3я > л3; б) е3 > 3"; в) еп > л".
448
§6
6.7.a)—-2;	6)—-3;	в)—-1; r)-cosx + 2.	6.8. a) (°* ~ 2)2‘ + C;
2	3	4	105
3
б) —(x-5)2 +C; в) — + C; r) + ж) -ln|4x- 2| + С; з) --ln|5x- 2| + C. 3	In 2	3 In 2	4	5
6.10. a) arcsinx + C; 6) arctgx + С; в)—arcsin 2x + С; r)—arctgЗх + C; 2	3
1	1	x^
д) -arcsinЗх + C; e) -arctg 2x + C. 6.12. a) — + C;
3	2	2
r)-cosx + C; fl)sinx + C; e)tgx + C; ж)-ctgx + C;
~ r» ~ з
б) — + С; в) — + С;
3	4
з) ex + C; и)---+ C;
In 8
к) ln|x| + C; л) — x3 + С; м) — x2 + C. 6.15. a) — — cos2x - 6sin — + C; 6) 5 ln|x + 11 — 5	3	2	2
+C; в) -3ctg(x + 1) + 7tg(x- 1) + C; C 2
5	5
6.16. a)—tgx + C; 6)-—ctgx + C; B)isin2x + C;
2	2	2
в) -3ctg(x+ 1) + 7tg(x- 1) + C; r) -(x + I)2 - -(x- 3)3 + C. e	5
r) — — cos2x + C; 4
д) cos9x + C; e) - sin 5x + C. 6.17. в) -^=_ arcsin V2x + С; r) arctg д/Зх + C;
9	5	V2	V3
д) iarcsin(3x + 1) + C; e)-larctg(4x - 1) + С; ж) — arcsin (2x - 1) + C; 3	4	2
з) | arctg (2x + 3) + C. 6.19. a) + C; 6) 7^~^ + c- 6-20- a) -^4- x2 + C. з
6.21. a) — (1 + x2)2 + C. 6.22. a) 2 In (1 + x2) + C. 6.23. a) - arcsin x + - xJl- x2 + C.
3	2	2
Указание. Сделайте замену x = sintp, (p . 6.24. a) xsinx+ 2	2
2	-
+ cosx + C; 6) xtgx + In|cosx| + С; в) -xctgx + ln|sinx| + С; r) — x(x - 7)2 -3
—— (х-7)2 + С. 6.25. а) (х2 - 2х + 2)сх+ С; б) -x2cosx + 2xsinx + 2cosx + C; 15
в) x2sinx + 2xcosx - 2sinx + C.
®<-|’
•>s-
->!
6.27. a) S| = 0, S2=l, S3=l,
6.28. а) Только знаком; б) —
1 1 f-V 3n -- 1	3
—; 6)----------, lim S, = —;
8 2n	2
6.30. a) Sn = :S^n ; 6) lim S = в) A. 6.32. a) 2; 6)-2; 6n2	и »+oo 3	3
r) 8; д) -2; e) 4. 6.33. a) -4; 6) 12; в) 6,5. 6.34. a) -; 6) в) г) -4л. 2	2	4
6) ——в) lim Sn = — 6.29. a)S, = l, S2=^,
S.
r)2'
4
’ 3’
s.
в) -8;
449
Ответы
6.35. а) 0; б) 0. 6.36. а) 4; б) 2,5; в) 2. 6.39. а) 3; б) 10,5. 6.41. а) ~ 2,2; б) ~-2,2. 6.46. a) j; 6)6; в) 20. 6.47. а) |; б) |; в) 3. 6.48. a) i; 6)0; в) 16,25. 6.49. а) 2; 6)0; в) 0. 6.50. а) 1; 6)0; в) 2. 6.51. a) In 2; б) In 1,5; в) 1пЗ. 6.54. а) ю|; 6) ю|; в) 4,5; г) 4,5. 6.58. а) |; в) г|. 6.59. a) F(x) = х2 + 4х + 4; S = 2,25. 6.62. a) S ~ 25. 6.64. а) 4,5; б) 0; в) 1; г) е3 - 1; д) 2. 6.67. а) 4^; б) 6.68. а) 8; б) 21^. 6.70. а) 2 + б) 2^2. 6.72. а) 1,5; 6)1,5. 6.73. а) 0; 6)1,5; в)-; г) тс; д) arctg-; e)2arcsin-.
2	4	6
тг2
6.74. а) 0; б) 7. 6.75. а) Зя; б) 2л. 6.78. —. 6.79. 12,8л. 6.86. а) у = х4 + 1; 2
б) У = -5 cos х + 5; в) у = 6 sin х + 5; г) у - -7 cos х - 8 sin х + 8; д) у = 11х3 + + Зх + 1; е) у = -6х3 + 2х. 6.93. 36°. 6.94. За 30 мин. 6.95. 0,5 кг.
§ 7
7.4. а) л/г, /г g Z; -| + 2л/г, k g Z; в) + у, k g Z. 7.5. а) 5; б) -^; в) 0; 2;
г)-2; 0. 7.6. а)-1; 0; 1; б)-1;8; в)-10;-2; 6; г)-6; 3. 7.7. а) 4; 6)4;
в)-2; 0; г)0. 7.8. а) ±-+ л/т, п g Z; б)- + —, k g Z; в) 2; г) 1. 2	3	4	2
7.10. а) -0,2; 6) -2 — . 7.11. а)-i-; б)--------. 7.12. а) 2; б) 2; в) -- + 2л/?,
11	l-log23 log32—1	2
k g Z; г) л + 2л/г, k g Z; д) 1; e) 1. 7.13. При a = 4. 7.19. a) 1};
6) (—oo; -2) U (-V3; 73).
7.20. a) f-—+ 2лп;- + 2лп
I 2	2
n g Z; б) Нет
решений. 7.21. a) (-oo; 1);	6) (1; +oo).	7.23. a) (-oo; -5) U (-1; +oo).
7.29. a) |------; +oo 1; в) (4 + log53; +oo). 7.30. a) (-oo; log52) U (2; +oo).
U- log54 )
7.31. a)(|; +oo};6) (-oo; 70); в) |+ 2лп;	+ 2лп), n g Z; г)^+2лп;
—+ 2лп], hgZ; д) (0;+oo); e) (-oo; 1) U (2;+oo). 7.33. [-1; 0) U (0; 1].
3 J
§8
8.2. 6)	0;	в) -1;	r)	-4.	8.3. a) 2;	6) 1;	в) -2;	г)	0;	д)	-4; e) -4,	-2,5.
8.4. a)	—	+ 2л/г, k	g	Z;	в)	— + л/г, k	g Z;	д) — + л/г,	k g	Z;	e) — + л/г,	k g Z.
2	2	2	2
8.8. a)	0;	7; 6) -4;	1;	в)	5;	r) нет корней. 8.9. a) 2;	6)	2;	в) 2; r) -0,25; д) 0; 6;
J 450
e) 1. 8.10. а) Нет корней; 6) i; в) 1; г)-1; 0; д)^- + 2л/г, 2nk, k g Z. 8.11. a) 2; 3; 4; 6) 1; 2; 4; в) 10; г) 10; 1000; д) 1; 2; e) 1; 3. 8.12. При a 5* -4. 8.14. а) Нет корней; б) нет корней; в) 1; г) 2; 5. 8.15. а) -1; 3; б) -4; 2; в) -2; |; г) -3;	8.16. в) |. 8.17. а) 2; б) 1; в) 2; г) 2. 8.18. а) 0; 1;
б) 0; 1; в) 2; г) 1. 8.19. a) 2л/г, k g Z; б) 2лk, k g Z. 8.20. При a = 2. 8.22. а) Нет корней; б) 1. 8.23. а) Нет корней; б) 2; в) 1; г) 5. 8.24. а) 6; б) -4; в) 6; г) 4. 8.25. а) б) 5; в) -; г) -2. 8.28. а) 1; б) 3; в) -3; г) -3.
3	3
8.30.	а) 2л п, п g Z; б) тт, n g Z; в)— + 2тт, п g Z; + 2лтп, т g Z; 12	12
г) + 2тт, п g Z; + 2лтп, т g Z. 8.31. а) При а < б) при а * 0, а * 2; в) при а = 1, а = -1. 8.32. а) 2; б) -1; 15; в) 2; 34; г) 2. 8.33. а) 2; б) 3; в) 4; г) 1. 8.34. а) 1; б)-5; в) 6; г)-2; 3. 8.35. а) 1; б) 5; 6; в) 1; г) 3. 8.36. а) 4; б) 3; в) 3; г) 4; д) 3; е) 4. 8.37. а) 8; б) 9; в) 5; г) нет корней. 8.38. в) 6; г) 4. 8.39. а) 1; б) -2; в) 5; г) 5. 8.40. а) 0; 3; б) 5. 8.41. а) 8; б) 5; в) — + 2nk, п g Z; г) + 2л/г, k g Z.
4	4
§9
9.7.	Да. 9.9. а) 4; в) 13. 9.11. а) 7. 9.12. а) 27. 9.14. а) 4; б) -5; в) 2; г) 4.
9.16.	а) -3; 2. 9.17. а) -4; 3; 4; б) 1; -2. 9.18. a) -V3; 0; V3; в) 1 v ;
- -Tik, kGZ, k*0. 9.23. a)—, k g Z, k * 0; б)±-+л/г, k g Z.
2	2	3
9.26.	a) (3; +сю); 6) (3; 4). 9.27. a) 3; 6) 1,4. 9.28. a) 2; 4; 6) 1; 3; в) 3; г) 2.
9.29.	a) 2; 6) 2; в) 3; г) 3. 9.30. a) 3; б) 2; в) 5; г) 6. 9.31. а) -2; б) -5.
9.32.	а) 8. 9.33. а) 137. 9.34. При а = 1, а = -3. 9.38. а) 9; б) -3; в) 1; 4;
г) 1; 5. 9.39. а) + Tik, k g Z; б) + 2nk, k g Z. 9.40. a) 3; 6) 4; в) + 2nk,
k g Z; г) — + тт, n g Z. 9.42. а) Нет корней; б) 1; 2001; в)— л-Tik, k g Z;
4	4
г) Tik, — + Tik, k g Z. 9.44. a) (5; +oo); 6) (4; +oo). 9.45. a) [0,5; 5); 6) [-0,5; 4). 2
9.46.	a) [4; 5) U (7; +oo). 9.47. a)
16
_25
1 U [4; +oo); 6) —; 1 U [2; +oo); в) {1} U _ 9
U [4; +oo); r) {1} U [2; +oo). 9.48. a) (-6; -4) U (10; +oo); 6) (-6; -4) U (4; 9). 9.49. a) (2; 3]; 6) (2; 3]. 9.50. a) (-1; 0) U (0; 1); 6) (-1; 1) U (1; 2). 9.53. a) (-2; -1) U U (1; +oo);	6) (-3; -2) U (2; +oo); в) (-co; 3) U (4; 5); r) (-co; -4) U (2; 3).
9.54. в) (0; 1) U (2; 3]; r) [0; 1) U (2; 3). 9.55. a) [0; 1) U (4; +oo); 6) [0; 2) U U (9; +oo); в) (-co; -4) U (-2; 0]; r) (-co; -9)U(-2; 0]. 9.56. a) (-co; -1) U(l; +oo); 6) (-co; -2) U (4; +oo); в) (0; 1) U (3; +oo); r) (-co; -1) U (2; 3). 9.59. a) (4; 4096).
451
Ответы
9.60. а) -3
з)и (з; 3]‘ 9*61’ а) [-3; 2) и (2; 31’ 9‘62* а) (0; 0,1) и (0,1; и и (2; +оо). 9.63. а) (-0,5; 0) U (0; 0,5) U [2; 3) U (7; 8]; в) (-оо; -1) U
1
3
U
и^О;^ U(l;+oo). 9.64. а) (1; lj. 9.65. а) При ае[-2; 2). 9.70. а) [ j; 1 ; б) (1; 3]. 9.71. а) [4; +оо). 9.72. а) Нет решений; б) f 1; — в) (1; 1,5]. 9.73. а) I -1; J U (0; +оо).
§ ю
10.5. а) 6; б) нет корней; в) 5; г) нет корней. 10.6. а) 7; б) 1; в) 3;
г) -2; 5,25. 10.7. а) ; б) -+	; в) ~3 + ^; г) ю.8. а) -2 + 73;
2	2	2	2
б) 4- 2-УЗ; 4+ 2у/3; в) нет корней; г) -—; 3 +2^' Ю-9. а) ~ + 4л/г; + 4л/г, k е Z. 10.11. а) V22; б) V14. 10.12. а) 8; б) 1; в) 5; г) -1. 10.13. а) 1;
б) 2; в) 7; г) -1;	10.14. а) -2,5; б) 10.15. а) -4; 0,5;
б) 10; 12. 10.16. а) 4. 10.17. а) Нет корней. 10.18. а) -1; 1; в) 4. 10.19. а) —;
6
б) 4; В) ” 4; 4; Г) ^З ’ 10’2°‘ й) 3; б) 2; В) 2; Г) 1; Д) 1; в) 2'
10.21. a) -arctg 0,75 + л&, k g Z; б) arctg 0,5 + л/г, k g Z; в) — + л/г, arctg 0,5 +
4
+ л/г, k g Z; r) — + л/г, arctg-+ л/г, k g Z. 10.22. a) ±—+ 2л/г, ±—+ 2л/г, 4	3	3	5
±— + 2л/г, k g Z; б) ±- + 2л/г, ±- + 2л/г; ±— + 2л/г, k g Z. 10.24. a) 5	3	5	5
6) -1-Л4. 10.25. д) 1; e) 1. 10.26. a) 3;
2
—+ 2лл; — + 2лл, neZ, л>0. 3	3
г) -3. 10.29. а) 3; 27; б) —; 4; 64
— + 2лтп, т е Z; б) ±— + 2ллп, 6	3
пг е Z; в) — + 2лл, п е Z; — + 2лиг, т g Z; г) ±— + 2лиг; лт, пг е Z. 10.31. а) 3. 6	6	3
10.32. а) 4- 2^2; в) 4+ 2л/з. 10.33. а) -3; 4. 10.35. a) ii-LT 2
10.27. а) 3; б)-1. 10.28. а) 2; 6)4; в)-7;
в) —; 27; г) 4; 8. 10.30. а) - + 2лл, п g Z;
3	6
5л	_ -
2
б) '	Ю.36. а) 9; б) -2. 10.37. a) v- х; б)
2	2	2	2
10.38. а) 4; б) 5; в) 29; 2-. 10.39. а) 9. 10.43. а) 3; 4; 5; б) 3; 3,5. 10.44. а) 2; 3;
9
452
б) 1; Т.+.У?1. 10.45. а) 0;-—; б)-73; 0; >/3; в)-1; --; 1; г)-1;0;1. 4	6	6
10.46. а) 3; б) 2. 10.47. При а = 0, а = -4, а = 4. 10.48. а) ; б) О; 3 3	3
4тг
—. 10.51. а) 0; б) нет корней. 10.52. a) log375.
3
11.6. a)
§ 11
|; 1 j U (2;+оо); б) 1) и (3;+оо). ц.7. а) |
1) U (1; +оо); б) [1; 2) U
з) U (3; +оо). 11.8. а) (3; +оо); б) (0; +оо). 11.9. а) [-1; 3);
3
.2
б) [-4; 5). 11.10. а) (-оо; 2); б) (-оо; 2). 11.12. а) (-2 - V7; -3]; б) (-оо; -1].
11.13. а) (-оо; -l)UO£+oo); б) (0; 2KJ1.14. а) [0,5; 2) U (2; +оо); б) (-1,25; 1).
11.15. а)
U (2; +oo); в)
0;——————-j; б) р-2 ) I
11.18. а) (-оо; -4) U (4; +оо); б) (
—----; +оо I; в) [-1; 0) U
0;
oo
2 j	I з;
11.20. а) (-1; О) U (0; 2). 11.21. а) (1-78; 3)U(3;1+V8); б) (-1; 3);
11.22. а) (0; 2); б) Г-—; -1.
\ 2 2 /
(ф
Г) (-9; -5).
11.24. а) (3; +оо); в) (3; 4). 11.26. а)
20. 11
17’ 9
з); в) (-2; О) U (О; 3). 11.30. а) [0; 4). 11.31. а) ( + 2л/г; 2л/Д k е Z. 11.32. а) (-0,5; 1,5). 11.33. а)
-л + 2л/г;	+ гл/г)
2 J
U (1; 81);
б)	р; U (1; 25). 11.34. а) [0; 1); б) [0; 4). 11.35. а) (-3; 1); б) (-оо; -4) U U (-0,4; +оо). 11.38. а) (О; 1,6) U (2,5; +оо). 11.39. а) [-3; 1). 11.40. а) (9; +оо); б) (3; +оо); в) (1; +оо); г) (2; +оо). 11.42. а) (1; 3); б) (-3; -1). 11.44. а) (0,5; 1) U 11.47. При а е (0; 1). 11.48.
U(2;+oo). 11.45. а)(3; 1+V5)U +оо
б)	(-; -1 11.49. а) [3; log30,75). 11.50. а) [-2; 0) U (1; 2]. 11.51. а)
5л: 4л
9
л . 11.52. а) -1; 2-
J L з
5л
—; -л
4
.6	3 J
3ZL;
4	2)
. 11.55. а) {2} U [3; +со); б) (-оо; -2] U {3};
- arctg3j. 11.54. а) (-
U
U
U
и

2
U
U
453
I > гнеты
в) {-4} U [-3; 5]; г) {-5} U [-3; 2]. 11.56. а) [-8; -3] U [3; +оо); б) {-2} U [2; 4]; в) {-4; 4} U [5; +оо); г) (-оо; -7] U {-5; 5}. 11.57. а) [-4; -3,5) U {3}; в) [-4; 2]. 11.58. а) [2; 5) U (6,6; +оо); б) (-1;	U {0}. 11.61. а) (0; 2]; б) (0; 1];
в) (2; 4]; г) (0; 3]. 11.63. а) [107; +оо). 11.64. а) (0; -1 U [3; 5) U (12; 20].
§ 12
12.1. а) -1; в) -2; 2; д) 2. 12.2. а) 1; 5; б) -1; 5; в) 0; 6; г) -2; 3. 12.3. а) -1; 0;
б) -5; -4. 12.4. а) --; --; 0; в) 0; 3. 12.5. а) 3; 7; б) -2; в) 5; г) 2; д) 3; -; 3	2	5
е) ——;-2. 12.6. а) (-3;-1); б) (-оо;-4); в) 2,5. 12.7. а) 1; 12; б) 2; 23. 2
12.9. а)- + 2л/?, 6
k е Z;
б)
—+ 2л/г; — + 2л/г
6	3
в) [2; 4];
г) 9.
k G Z;
12.10. а) (-со; l)U(4;+oo); б) (0; 6); в) (-оо; 2)U(4;+oo); г) (2; 6). 12.11. а)
3. in
7 * 7 Л
б) (-0,5; 4,5). 12.12. а) (-6; 2); б) (-6; 0); в) (-со; -3) U (2; +оо); г) (-оо; -8,5) U U (0,5; +оо). 12.13. а) (-оо; -4]U[-2; +оо); б) (-оо; 3] U [5; +оо); в) {-2} U [1; 3]; г) {-1} U [0; 2]. 12.14. а) (1; 2) U (2; +оо); б) (6; +оо); в) (2; 4]; г) [5; 8). 12.15. а) (-оо; 0) U (0; 1) U (3;+оо); б) (1; 3); в) {0} U [2; 3]; г) {1} U [2; 3]. 12.16. а) (-1; 0) U (2; +оо); б) (-1; 0) U (1; +оо). 12.18. а) (-оо; 2) U (7; +оо); б) (-1; 3); в) (-оо; -3) U (4; +оо); г) (-5; -1). 12.19. а) (0; 2) U (3; 10); б) (3; 4) U U (4; 5); в) (1; 4) U (4; 5); г) (0; 3) U (3; 4); д) (-2; -1) U (0; 0,5); е) (0; 0,5) U U (0,5; 2). 12.20. а) {-3} U [0; 3]; б) [-5; -2] U [2; 6]; в) (-оо; -3] U {3} U [4; +оо); г) (—оо;-3] U (-2; 2} U [4;+оо). 12.22. а) (-оо; l]U(2;+oo). 12.23. б) (-11;-4] U [4; 6).
§ 13
13.1. а) 7; б) 6; в) -3; 3; г) -2; 2. 13.2. а) 4; б) -1; в) 2; г) 2. 13.3. а) -1; б) нет решений; в)-1; 5; г)-2. 13.4. а) 9; 6)4; в) нет решений; г)-2.
13.5. а) + 2л/г, k е Z; б) 2л/г, k е Z, k > 4. 13.6. а) 6; 6)5; в) 4; г) 3.
13.7. а) 0; б) 1. 13.8. а) 7; б) 5. 13.9. а) -1; б) -2. 13.10. а) 3; б) 4. 13.11. а) 5;
б) 4. 13.13. а) 0; б) 2; в) 5; г) 6. 13.14. а) —; б) 2л; в) нет решений; г) нет ре-2
шений. 13.15. а) 2; б) 3. 13.16. а) - + 2л/г, 2л/?, k с Z. 13.17. а) 0; б) 3.
2
13.18. а) -; б) л; в) -2; г) 3. 13.20. а) 3; б) 0. 13.21. а) 0; б) 0; в) 1; г) -1. 2
13.22. а) л/г, k g Z; 6)^-+л/г, k е Z; в) 4; А; г) 10; 0,1. 13.23. а)-^;
б)	13.24. а) -1; 0; б) 1. 13.25. а) - + лЛ, k е Z; б) - + 2nfe; л + 2л/?,
2 2	4	2
454
k g Z. 13.26. a) б) n; в) r) 13.27. a) 1; б) 3; в) 2; г) 1. 13.28. a) 3;
6) 3. 13.29. a) 2; 6) 3. 13.30. a) 1; 6) 2. 13.31. a) 1; 6) 0,6; в) 0. 13.32. a) (0; +oo);
6) (0; +oo). 13.33. a) (1; +oo); 6) (2; +oo). 13.34. a) 4; 6) 2. 13.35. а) -4-2л/г,
2
k g Z; 6) -- + л/г, ktZ. 13.36. a) - + —, k g Z; 6) -- + k e Z; 4	4	2	2
в) + nfe, /? g Z; r) - + л/г, k g Z. 13.37. a) - + —, k g Z; 6) - + 2л/?, k g Z.
4	2	4	2	2
13.38. a) + nk, k g Z; б) л + 2л/г, k g Z.
§14
14.2. а) Нет; б) да. 14.3. a) (1; 1); 6) (1; 5); (5; 1). 14.6. а) Да; 6) да;
4- л/г; — 4- л/г), 12	)
в) да;
/г g Z;
г) да. 14.7. a) (1,4; 0,6); 6) (A; в) (3; -1); г)
(	+ л/г; — + л/г
V 12	12
, k g Z. 14.8. а) (л/г, 6), k g Z; 6) (3; 3); в)
— + лп; ± —+ 2л/г
4	3
neZ, keZ; r) (^- + 2лп; о),
hgZ; д)
arccos-^+л/г; 2^, keZ. 14.9.a)(3; -2);
6) (1; -6); в) (2; -3); r) (-5; 1). 14.10. a) (1; 2); 6) (2; 1); в) (log212; 48). 14.11. a) (4; 4,5); б) нет решений. 14.12. aj_(O; 3); 6) (1; 1). 14.13. a) (1; 3); (3; 1); 6) (3; 2); (-2; -3). 14.14. a) (1 - Л; -1); (1 4- V2; -1); 6) (0; 1);
(-2; 1); (-5; 4); (3; 4). 14.15. a)	(2; t), t gR, 6)	(2; -1).
- arctg 4- лп; — arctg 4- лп j,
„	4( . 2V3-3
k e Z\ в) I arctg-----+ лп;
&
— - arctg"84- лп), n g Z; ( — 4- л/г; — - лА?), k g Z. 14.17. (log4 52; log4>54). 2	3 J 14	6)
14.16. a)(y
- arctgi + nfe; -arctg — + >tfc j
4- л/г; 4- л/г
6
keZ;
n g Z;
14.20. a) (3;	-1); 6) (2; 1);	в) (-1; 5); r) (7; -2). 14.21. a) (3; 2); 6) (5;	3);
в) (4; 1); r)	нет решений.	14.22. a) (1; 2); 6) (2; 2); в) (1; 1); r)	(-1;	1).
14.23. a) (3;	1); (-3; -1);	6) (1; 1); (^1; -1); (-2; -1); в) (1; 5);	(-1;	4);
г) (1; 1); (-1; -1). 14.24. а) (2; 1); б) (а/З; 7з - 1); в) (2; 0,5); г) (0; Тб);	(-2;	2).
14.25. а) (8; 4); б) (4; 8). 14.26. а) (14; 5,5); б) (3,5; -2). 14.27. а) (3; О); (-5; 0); б) (0,5; 5,5); (1,5; 5,5). 14.28. а) (-2; -5); (5; 2); б) (5; 2); (-5; 2); в) (4; 73); (4; ->/3); (3; 2); (3; -2); г) (2; 3); (3; 2). 14.29. а) (1; 2); б) (5; -2).
14.30. а) (1; 1); (2,5; -2); б) (3; 2); (2; 3). 14.31. а) (17; 7); б) (17; 6).
14.32. а) (2; О); б) (1; О); в) (1,5; 2). 14.33. а)
-4-л/г; V2 , AgZ;
3	)
£455
Ответы
keZ. 14.34. а) (3; 1); Г-;-); б) [ 2 - 2л/3;	11; | 2 + 2-ТЗ;	1 |.
(.3 9J Ц 7з )	7з )
14.35. а) (41; 40); б) (12; 4); (34; -30); (103-19V17; -77+25V17). 14.36. а) (1; 4);
(-4; -3). 14.41. а) (4; 2);
(4; 1); б) (1; 8); (8; 1). 14.37. (650; -646); (26; 10). 14.38. а) (О; 1); б) (О; 1). 14.39. а) (2; 2; 2); б) (-4; 2; 0); (-2; 1; 2). 14.40. а) (3; 4); (4; 3); (-3; -4); -; --|. 14.42. а) (-2; 1); б) (-0,4; 0,4); в) (-2,5; -0,5). 3	3 j
14.43. (16; 4). 14.44. а) - + —; - + rd; - + пт I, 14	2	2	2	)
k е Z, I е Z, т е Z;
б) (10; 1; 0). 14.45. а) 1; 1+ -+ ктп; 1 , т е Z. 12 J
§15
15.1. а) х е R при а = 2; х = а + 2 при а Ф 2. 15.2. а) Нет решений при а = 2; х = а - 1 при а 2. 15.3. а) Нет решений при а - О, а - 0,5; х = при а * 0, а 0,5. 15.4. а) х е R при а = О; нет решений при а = -10; х = 0,5 при а 0, а -10. 15.5. а) х = -1 при а < 1 или а > 1; хе (-оо; -1] при а - 1; х = -1, х = а + 3 при -1 < а < 1; х е [-1; 1] при а = -1. 15.6. а) Нет решений 1-а
при а = 0, а = 5; х = -—— при а Ф О, а Ф 5. 15.7. а) Нет решений при 4а 17	17
7 < а < 11; х =-2 при а - 7; х — -4 при а = 11; х =-при а = —;
---------- 6	6
-а-3± Ja2 - 18а+77	17 17	„	„	. го .
х =-------—---------при а < —, — <а<7, а>11. 15.8. а) х е [3; +оо)
при а = -9; нет решений при а Ф -9; б) х е [-1; +оо) при а = 1; нет решений при а Ф 1. 15.9. а) Единственный корень при а < О и а > 4; два корня при а = О, а = 4; три корня при 0 < а < 4. 15.10. а) Нет решений при а = 1; х > а + 1 -2	2
при а>1; х<а+1 при а < 1. 15.11. a) х е R при а 0; —j= < х < —<= при л/а	Va
—2	2
а > О; б) х с R при а > О; -т= < х < -т= при а < О; в) х О при а = 0; х < О, V-a	V-a
х > - при а>0;—^х^О при а < О. 15.12. а) Нет решений при а = 0; х < О,
а	а
х > 1 при а>0;0<х<1 при а < О. 15.13. а) х > О при а = 0; О < х < — при а > О; х < i при а < О; в) х > 0 при а = 0; х -^, х О при а > 0; 0 х при а < О. 15.14. а) х е R при |а| 4; х	, х а+ у]а
при |а| > 4. 15.15. а) х е R при а = 1; х С -а, х 5* -1 при а > 1; х -1, х> -а
ЦД456
при а < 1. 15.16. а) х е (-оо; 1) U (1; +оо) при а = 1; х > а, х < 1 при а > 1; х < а, х > 1 при а < 1. 15.17. a) -1 < х < 1 и х > 1 при а = ±1; -а < х < 1 и х> а при й>1;-а<х<оих>1 при 0 < а < 1; а <х<-а их > 1 при а < О; х > 1 при а = О. 15.18. а) х 5* а и х = 1 при а > 1; х = 1 при а < 1; х > 1 при а = 1. 15.19. а) х 5* а при а > 1; х > 1 при а 1. 15.20. а) Нет решений при а > 3; х = 3 при а = 3; а + х 3 при а < 3. 15.21. а) Нет решений при 2
а 5* 13; а * -— х < 13 при а < 13. 15.22. а) Нет решений при а О или а = 1; 2
7,5 < х < 13 при а > 1; 2 < х 7,5 при 0 < а < 1. 15.23. а) Нет решений при а < О или а = 1;2<х<3 при а > 1; 1 < х 2 при О < а < 1. 15.24. а) Нет решений при а — 1; х = —-——-, у = а + при а * 1. 15.25. а) х = 1 -
а - 1	а - 1
где t е R при а = 1; х = 1, z/ = а + 1 при а* 1. 15.26. а) Нет решений при д<1Г1-72а-1.1-1-У2а-11 Г 1 + >/2д - L. 1 - J2a - 11 д цд> 1. f 1. П а<2’[	2	’	2	2	’	2	]П₽Иа>2 V2*2j
при а = —. 15.29. а) (л + 4лп; 2л/г), п е Z, k g Z при а = -1, а = 3; нет решений 2
при а/Ч, а/3. 15.30. а) При а е (-7; -3) U f-З; --1 15.31. а) х = —— — к 3 J	а+1
единственное решение при -1 < а 1. 15.32. а) Нет решений при 0,5 < а 1; единственное решение при а -1, а = 0,5, а > 1; два решения при -1 < а < 0,5. 15.33. а) а е (0,5; 1) U (1; +оо); б) a g (о; |)	U {1}.	15.35. а) При	а	<	1,
а = 1,25; б) при а = 2,75, а > 3. 15.36. а) О < а	0,75,	а = 1; б) 0,8 <	а	<	1,
а > 1. 15.37. а) b < -4; б) (-оо; j U (-1; oj	U |;	+соJ. 15.38. а)	а	>	3.
15.39. а) а = -1; б) 1 < а < 2. 15.40. а) а g (-2; 2];	б) а с	(-у; 3 .
§16
16.15. а) 4 + 7/; б) 7 + 4/; в) -4 - 3/. 16.16. а) 2 - 3/, б) -1 - 26/; в) -6 + 5/.
16.17. а) —7 + 17/; б) 17 + Hi; в) -1 + 21/. 16.18. а) 0,5 - 0,5/; б) -—- —/; 241	241
Q 1Q
в) -Tjy- ур- 16.19. а) 21 + 20/; б) 5 - 12/; в) 15 + 8/; ж) -2 + 2/; з) -11 + 2/; и) 2 + 11/. 16.20. а) 16; б) -24/; д) 36; е) 4/. 16.21. а) х2 + 1; б) х2 + у2; д) -25х* + + 16г/2 + 40xz/2/. 16.22. в) (4х + z//)(4x - yi). 16.24. а) -12 - 5/; б)
16.26. а) 1; б) —3; 3. 16.28. а)-4; б)-9; 9. 16.29. а) х = 3,	у =	9;	х = -3,
г/= -9; б) х = 97,5, $/ = -7,5;	х = 13, у = 1. 16.30. а) 1 +	4/;	б)-3 - 2/.
16.44. а) (2; 0); б) (-2; 0); в) (О;	1); г) (0; -1); д) (2; 1). 16.45.	а) 1;	б)	/; в) -1;
г) -/. 16.51. a) z = -2 - 5Z; (-2;	-5); б) г = -1 + 2/; (-1; 2).
457
Ответы
5л , . . 5л ) cos — + i sin — ;
4
17.3. a) cos — + i sin — ; —;
4	4 4
г) z = cos — + / sin —; —. 17.4. a) cos 0 +
3	3
л . 7л . . 7л
—; г) cos-----4-isin —;
4	4	4
5л ч л . . л
— I, —; в) cos — + i sin —; —
4 J 4	3	3 3
3
\ л ... л в) cos — + isin —;
4	4
isinO; 0; 6) 2 (cos л+ i sin л);
17.6. a) 5 (cos (arccos 0,6) +
4
л;
л
+ i sin (arccos 0,6)), arg z = arccos 0,6; д)7б cos arccos
arccos ~r=	,
V5 J)
arccos -j=. 17.7. a) 1; 6) -6. 17.13. a) -1; б) 4^2 - 4Лi. 17.18. a) 128; 6) -128>/3.
17.20. а) 8л/2;	6)4;	17.23. a)-l+V3i; 6)|+^i. 17‘
-x . . 1(TOK A !	1 ^3 .	1 <3. _ 1 . Vi . л 1 у/з .
б) -i; i. 17.25. а) 1; — + —г,-г, б) — + —г, -1;-i.
222222	22
1;
§ 18
18.2. a) 5~^; 5+^; б)	18.4. a) 1; 2; 6) -1; 2; в) 1;
'2	2	2	2
~1 + '^. 18.5. a) 5?’,“i"'-oe’; 6) -J2e*. 18.6. a) 6)-V" ’
2	2
J?	J?	r-
18.7. a) — + i —; 6) 1+V3L 18.9. a) -2; 6) 12c 12 .
2	2
Задания для повторения
1. a) 144; б) 0,0115; в) 211; г) 395. 2. 679. 3. а) 180; б) 1,8; в) 1. 6. 858.
8. 1; 16. 9. а) 1; б) 1. 12. а) 1; б) -1; в)	14. а) 0; б) 25.
15
15. а) 1; б) 12. 16. а) Второе число больше; б) первое число больше. 21. 5.
22. а) 1; б) 1; в) 0,5; г) 2; д) 0. 23. 4-. 25. б) -1. 26. а) б) -2. 27. 0,5а2 3	а — 4
при х > -а'1, х Ф 0, а Ф 0. 28. а) 6; б) 4,5; в) 15; г) -2. 29. а) 1,8; б) 0,6; в) -6.
30. а) 27 и -27; б) 16 и -16. 32. а) -6; -5; -4; б) 3. 33. а) -5^^ б) ~3
34. а) 1; 2; б) 1; -. 35. а) а} = 3, d = 6; б) -(777...70 - 7п). 36. а) 22000 • З1999000; 3	9
б) З2000 • 41999000. 48. а) (-со; -2) U (-2; 2) U (2; +оо). 49. а) 2ли, п € Z.
50. а) (-3; 1].	51. а) [4; 10].	52. а) (-оо; -73) U [-1; 1] U [д/З; +оо) U {1,5}.
53. а) (2,5; 3) U (3; +оо); в) (-1,5; -1) U (-1; 0] U [3,5; +оо). 55. а) (-3; -2) U U (2; -1] U [2; 3). 56. а) (2; 3). 57. а) 2. 58. а) 3997; б) 3998. 60. а) 1 + 8п, п g Z; 7 + 8m, т g Z. 61. а) 4 004 001; б) 4 008 004. 62. 3. 63. 1,5. 64. а) -2; -1.
65. а) -127; -101. 67. При k = 0, k = п(п + 1), п е Z, п 1, п 0. 68. а) На-
458
пример, х2 - 8х + 13 = О. 69. а) 5,2; б) -0,5; в) 1. 71. а) 4; б) 2; в) 8; г) 5. 72. а) 26; б) 27; в) 32; г) 29. 73. -4; 9. 74. а) -3;	б) 3; 8 ± 2415.
75. а) б) ; в) -2; г) . 76. а) 0,2; 0,8; б)	77. а) 8; б) 12;
3	12	4	8	3	3
в) 9; г) 7. 78. а) 1; б) 5; в) 3; г) 2; д) 5; е) 6; ж) 2; з) -2,5; 2; и) Л; к) Лб.
79. а)	; б) Р ‘ . 80. а) 1; б) 2. 81. а) 12; б) 8. 82. а) Нет корней; б) -3; 2; в) -1; 0; г) 4; 548. 83. а) 7; б) 9. 84. а)	б) 9~^.
85. а) 2 + Л; б) 2 + Л. 86. а) 3; б) 2. 87. а) 5; б) -2; в) нет корней. 88. а) 27;
99; 342; б)-600; -100; 156. 89. а)-3; -1; 5; б)-3; -2; 3. 90. а) 3; б) 2.
91. а)-1; б) 6±5—; в) 2. 92. а)-4; 6)1; 2; в)-3; г)-10; д)-18; е)-1; 2
ж) 0,4; з) 1. 93. а) -—; б) -—; в) А; г) 4; д) --; е) 2; ж) ЛО; з) 9. 94. а) 2; 13	17	2	2
б) 2; в) О. 95. а) -1; б) 2. 96. а) 0,75; 3,25; б) -2; 4; в) 1± Лё; г) .
97. а)3+Л; б)-2; в) Л; Л. 99. a) log32; log29; б)(Л+Л+Л)2;
(Л+ Л+ Л)"0’5. 98. а) 100; 6) 1000. 100. а)-; б)-. 101. а) (-1)* - + л/г, 3	2	3
т лу 1 л	/у -а /чсъ \	1	। Зл , 5л ... , л Зл 2л тт 4л
k g Z; б) ± — + 2лп, п g Z. 102. а) О; ±л; ± —; ± —; б) ± —; —;-;-; —;
4	4	4	2 2	3	33
—. 103. a)(-l/’+1-+л/г, feeZ; б)±- + 2л/г, k е Z. 104. а) —, k g Z;
3	6	3	3
± — + 2лп, n g Z; 6)-+—, k g Z; (-1)* + ^ + ^, k g Z. 105. a) - + лп, 6	6	3	12	2	4
n g Z; б)^+лп, n g Z; ^-+ л/г, k g Z; b) ± arctgЛб + ltn, n g Z. 106. a)(—l)fc — + л/г, feGZ; -+лп, neZ; 6)- + ^, keZ. 108.a)arccos ± - | +
6	2	63	V 3 J
+ 2л/г, k g Z; б) ± — + 2лп, n g Z. 110. — + 2лп, n g Z; (-1)* + 1 arcsin ? + л/г, 4	2	3
k g Z. 111. - —; --; - - arccos -1.—;	+ arccos—i=. 112. — + л/г, k g Z;
2	2 4 2Л 4 2Л 12
_2L+^, m E z. 113. —; 2л, 2л- arccos?. 114. л/г, k g Z. 115. ± - - - + 2лп, 24	2	2	5	3	6
Л — 1	л
n g Z. 116. ±arccos------ + 2nn, n g Z. 117. 2лп, n g Z; —+ 2л/г, k g Z;
2	2
2arccos-Дг + 2л/, I g Z; 2arccos-i= - — + 2л/п, m g Z. 118. — + —; ± — + 2л/г, Л	Л	2	4	2	6
k g Z. 121. a) 1; 6) -1. 123. 0; —; 4. 124. -1; 3. 125. О; ± Л. 126. a) - + 2лп, 4	4
|| 459
Ответы
neZ; — + 2nk, k g Z; 6) - + 2лп, n g Z; 2nk, k g Z. 128. ± — 4- Зтсп, 2	4	34
—1	4л/з
n g Z. 129. ± arccos-f=-----+ 2rcn, n g Z. 131. a) (-1)* arcsin---+ Tik, Ze g Z;
V3 + 1	7
6) ±arccos — + 2nn, n g Z. 132. a) -—; -6; -5; 6) -4; —; -3. 133. a) - + 2tcZ?, 5	4	4	6
k g Z; Tin, n g Z. 136. a) 1; 6) -1. 138. a) 4; 6) 2002; в) 2; г) 1; д) 2; e) 4; 5.
139. ±1. 144. ±—. 145. а) Нет корней; б) нет корней. 146. — + —, k g Z; 2	4	2
-- + —, т g Z. 148. a) -9; -8; -6; -5; 6) 4; 5; 7; 8. 149. (2n - I)2, n g TV. 8	2
150.-4. 151.3±V5. 152. 1±^1+5кп n = 0 г 2	153. ^356-Jj
5	6
164 12. 154. 7. 155. 1,5. 156. 0. 157. 3. 159. a) 3; 6) 2,5; в) 1; г) О.
6
163. (-4; -3) U (-2; -1) U (-0,5; 3). 166. a) (-8; -2) U (0; 2); 6) (-oo; -4) U (0; 4) U U (6; +oo); B) (-3; -1) и (0; 3); r) (-oo; -5) U (0; 5) U (9; +oo). 168. a) (-oo; 0) U U (0; 3]; 6) (-oo; -3) U [-2; 0) U (О; +oo); в) (-3; 0) U (0; 4]; r) (-oo; 0) U (0; 2) U
U [5; +oo). 169. a) (-oo; -9) U
/
; 6) (—oo; —2) U ——; —1 U(l;+oo).
\ 3
U —; +oo
L 2

6)
171. a) (-oo; -3] II [3; 5); 6) (-2; 0] U [6; +oo);
0; -
3j
r) (0; 1,6]. 173. a)
4. 37 + V69
7 * 6 * * 9	50
;6)
2. 17 + V73
5*	18
. 174. а) Нет pe-
шений; 6) [-2; -1] U {1}. 175. (-oo; 2] U [6,5; +oo). 177. a)
в
178. a) (0,58; 0,6); 6) (0,44; 0,5). 183. (-oo; 0).
184. [-V10; -3) U (3; /10]. 186. (nZe; n + Tik), k g Z. 187. -- + 2nn,
2
n g Z. 189. a) 2 arctg + л
16
;	190. a) (3; +oo); 6) (-oo; -3] U [3; +oo).
191. a)
1-V41
2
; —2 j U (-2; -1] U [2; +oo); 6) (-oo; -2] U -I	2
4
192. a) (-oo; -4) U {0; 2} U (4; +oo); 6) (-oo; -3) U {0; 1} U (3; +oo). 193. [0: 3,75] U U [4; +oo). 194. 6) (-co; 0) U (1; 2). 195. a) (-y; 1). 196. 6) (-6; -3) U (3; +oo).
197. a) {1} U [2; 3]; 6) {-11} U [-3; -2]; в) (-co; -3] U [4; +oo) U {0}; r) (-oo; -7] U
U [8; +oo)
203. a) I -
J {0}. 198. [0; +oo). 199. a) (-1; 2). 201. a) (-1; 4); 6) (1; 2] U (7; 8).
—; U [3; 2>/3); 6) {-12} U (7; +oo). 204. a) [2; 3] U [6; 9); 6) (0; 3) U 2	2
4(50
U [6; 7); в) [4; 7]; г) (-3; 1) U [5; 6). 205. а) [-5; -3] U (-1; 1]. 207. а) (2 - log* 3; 2];
б) (3-log* 2; 3]. 210. а)
3	0 . 211. а) Г0; —) U Г-;11 U(1; 2]; б) f-l;--l U
2	I 5 7 \ 5 у	I 5 /
U (~5 ’ °) ° <0; 1]* 212’ а) (1; +О°); б) (1°g249; log2 7)‘ 213, (0; j) U (3; 3'13)’ 214. а) -6 < х < 4, х Ф -1, х Ф 3, х Ф -1 ± 2л/б; б) (-оо; log_ ^2] U
м
„ Q ( -	— л/145
п g Z. 218. о;---
2
и tlo^.<2212; +о°); в) -Л и [О; bg15i6 - i). 215. [2; +00). 216.
и
и (1; 16] и (64; +оо). 217. а) (3; 4]; б) [ 2лп; - +
\	2
219. (-оо; -8) U (12; +оо).
220. (-1; 0) U ( 0; ^2- I. 221. а) (11; 1); (11;-1).
222. а) (3; 3); (5; 1). 223. (-5^;	(5; 3>- 224- <"2; 1)> <2’» “D-
225. (5; 5). 229. f3; -У 231.a)f 1;- ; б)(arccos — + 2пп; л + arcsin — +2пп], (97 I 4j I 28	28 J
neZ; f-arccos — + 2лтп; -arcsin — + 2лтп\ meZ. 232. (± arccos (1 - >/3) + 2 лп; I 28	28 J
-— + 2ПШ
2
n g Z, m g Z. 233. (1; 5); (|; 2). 234. (2; 1). 236. a) 0; 6) 0.
237. а)(±^-+2лп, (-1)*^-+л/г);	+ 2лп; (—1)* + л/г), n g Z, k g Z.
238. При c = -1. 240. a) a g (o; U + oo
241. При b < -2 нет корней;
И X —
2
при а = 4; х
при а > 5. 246. ^0; —
при а < 4.
249. Нет
а * 0:
а + 2 о
------; 2 - а
3
а
а > 0.
при b = -2 один корень; при b > -2 два корня. 242. б) Нет корней при а < 5;
х е [-3; 2] при а - 5; х = -а% 4
247. Нет корней при а > 4; х = -2
248. х > 2d2 + — при а < 0; х > — +
2	18 2 ‘	*
лп, n g Z; , /г g Z при а = 0. 250. При а = 3, a g [V10; VT1). 251. (-оо; -4] U 3
и -I U [4; +оо). 252. При а = --, а = -. 253. a g [3; +оо). 254. а =
I 3 2 J	4	3	3
--, ±7з, ±1. 255. а) 0; б) 0. 256. По 8 л. 257. По 8 л. 258. По тП л.
3	т + п
259. По 99 л. 260. л; а) 12 л; б) 7,5 л. 261. а)-л; б)-л. 262. а) 75 км/ч; т + п	3	2
б) 40 км/ч. 263. а) 6 км/ч; б) 72 км/ч. 264. а) 12 км/ч. 266. а) 7 : 5; б) 7 : 3.
267. а) 15 мин; б) 3 круга. 268. а) 6 км/ч; б) 15 км/ч.
Оглавление
ГЛАВА I. ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ. ИНТЕГРАЛЫ
§ 1.	Функции и их графики.................................... 3
1.1.	Элементарные функции................................ 3
1.2.	Область определения и область изменения функции.
Ограниченность функции.............................. 5
1.3.	Четность, нечетность, периодичность функций......... 8
1.4.	Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства
и нули функции..................................... 14
1.5.	Исследование функций и построение их графиков
элементарными методами............................. 18
1.6.	Основные способы преобразования графиков........... 21
1.7*	.	Графики функций, содержащих модули............... 34
1.8*	.	Графики сложных функций.......................... 39
§ 2.	Предел функции и непрерывность......................... 45
2.1.	Понятие предела функции........................... 45
2.2.	Односторонние пределы............................. 49
2.3.	Свойства пределов функций......................... 56
2.4.	Понятие непрерывности функции..................... 60
2.5.	Непрерывность элементарных функций................ 65
2.6*	.	Разрывные функции............................. 67
§ 3.	Обратные функции....................................... 72
3.1	.	Понятие обратной функции ......................... 72
3.2	*.	Взаимно обратные функции......................... 75
3.3	*.	Обратные тригонометрические функции.............. 80
3.4	*. Примеры использования обратных тригонометрических функций................................................. 85
§ 4.	Производная............................................ 89
4.1.	Понятие производной............................... 89
4.2.	Производная суммы. Производная	разности........... 96
4.3*	. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал............................................ 99
4.4.	Производная произведения. Производная частного .... 101
4.5.	Производные элементарных функций..................103
4.6.	Производная сложной функции.......................108
4.7*	.	Производная обратной функции....................111
§5.	Применение производной.................................114
5.1.	Максимум и минимум функции.........................114
5.2.	Уравнение касательной..............................121
5.3.	Приближенные вычисления............................125
5.4*	.	Теоремы о среднем................................127
5.5.	Возрастание и убывание функции.....................129
5.6.	Производные высших порядков........................134
r j 462
5.7*	. Выпуклость графика функции...........................137
5.8*	. Экстремум функции с единственной критической точкой . 141
5.9.	Задачи на максимум и минимум...........................145
5.10*	. Асимптоты. Дробно-линейная функция...................149
5.11.	Построение графиков функций с применением производных 156
5.12*	. Формула и ряд Тейлора................................162
§ 6.	Первообразная и интеграл.....................................167
6.1	. Понятие первообразной..................................167
6.2	*.	Замена переменной. Интегрирование по частям.......173
6.3	.	Площадь криволинейной трапеции.....................175
6.4	.	Определенный интеграл..............................178
6.5	*.	Приближенное вычисление определенного интеграла .	.	.	181
6.6	.	Формула Ньютона — Лейбница.........................185
6.7	.	Свойства определенного интеграла...................191
6.8	*. Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах..................................196
6.9	*.	Понятие дифференциального уравнения...............202
6.10	*. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям	.	.	206
Исторические сведения.............................................212
ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ
§ 7.	Равносильность уравнений и неравенств........................214
7.1.	Равносильные преобразования уравнений..................214
7.2.	Равносильные преобразования неравенств.................219
§ 8.	Уравнения-следствия..........................................225
8.1.	Понятие уравнения-следствия............................225
8.2.	Возведение уравнения в четную степень..................229
8.3.	Потенцирование логарифмических уравнений...............231
8.4.	Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию 233
8.5.	Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию..............................237
§ 9.	Равносильность уравнений и неравенств системам...............240
9.1.	Основные понятия.......................................240
9.2.	Решение уравнений с помощью систем.....................243
9.3.	Решение уравнений с помощью систем (продолжение) . . 247
9.4*	. Уравнения вида /(а (х)) = /(0 (х))...................253
9.5.	Решение неравенств с помощью систем....................256
9.6.	Решение неравенств с помощью систем (продолжение) . . 260
9.7*	. Неравенства вида /(а (х)) > f(P (х)).................263
§ 10.	Равносильность уравнений на множествах......................266
10.1	. Основные понятия......................................266
10.2	. Возведение уравнения в четную степень.................268
10.3	*. Умножение уравнения на функцию.......................270
10.4	*. Другие преобразования уравнений......................273
10.5	*. Применение нескольких преобразований.................277
10.6	*. Уравнения с дополнительными условиями................281
463
Оглавление
§ 11.	Равносильность неравенств на множествах................283
11.1	. Основные понятия.................................283
11.2	. Возведение неравенства в четную степень..........285
11.3	*. Умножение неравенства на функцию................288
11.4	*. Другие преобразования неравенств................290
11.5	*. Применение нескольких преобразований............294
11.6	*. Неравенства с дополнительными условиями.........298
11.7	*. Нестрогие неравенства...........................301
§12.	Метод промежутков для уравнений и неравенств...........303
12.1.	Уравнения с модулями..............................303
12.2.	Неравенства с модулями............................307
12.3.	Метод интервалов для непрерывных функций..........311
§ 13*. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств...................................314
13.1	*. Использование областей существования функций .... 314
13.2	*. Использование неотрицательности функций.........317
13.3	*. Использование ограниченности функций............319
13.4	*. Использование монотонности и экстремумов функций . . 325
13.5	*. Использование свойств синуса и косинуса.........328
§ 14.	Системы уравнений с несколькими неизвестными...........331
14.1.	Равносильность систем.............................331
14.2.	Система-следствие.................................337
14.3.	Метод замены неизвестных..........................344
14.4*	. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений............................348
§ 15*. Уравнения, неравенства и системы с параметрами........355
15.	1*. Уравнения с параметром..........................355
15.	2*. Неравенства с параметром........................360
15.	3*. Системы уравнений с параметром..................363
15.	4*. Задачи с условиями .............................367
Исторические сведения........................................374
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§	16*. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел............................................379
16.	1*. Алгебраическая форма комплексного числа.........379
16.	2*. Сопряженные комплексные числа...................384
16.	3*. Геометрическая интерпретация комплексного числа . . . 386
§	17*. Тригонометрическая форма комплексных чисел...........390
17.	1*. Тригонометрическая форма комплексного числа .... 390
17.	2*. Корни из комплексных чисел и их свойства........396
§	18*. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел 401
18.	1*. Корни многочленов...............................401
18.	2*. Показательная форма комплексного числа..........405
Исторические сведения........................................408
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ.......................................410
464
Приложения..................................................437
1.	Таблица производных...................................437
2.	Таблица интегралов....................................438
3.	Свойства логарифмов...................................438
4.	Основные формулы тригонометрии........................439
5.	Простейшие тригонометрические уравнения...............439
Предметный указатель........................................440
Ответы......................................................443
Учебное издание
Серия «МГУ — школе»
Никольский Сергей Михайлович Потапов Михаил Константинович Решетников Николай Николаевич Шевкин Александр Владимирович
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
11 класс
Учебник для общеобразовательных учреждений Базовый и профильный уровни
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Кузнецова
Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, С. В. Дубова
Художники П.С.Барбаринский, О. П. Богомолова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика А. Г. Въюниковской, И. В. Губиной, К. В. Солоненко, О. Ю. Тупикиной
Технический редактор и верстальщик А. Г. Хуторовская Корректоры Л. С. Александрова, А. К. Райхчин
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапозитивов 21.05.09. Формат 70x90’/Ift. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 36,39 + 0,55 форз. Тираж 30 000 экз. Заказ № 22950 ш-гл.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Смоленский полиграфический комбинат». 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
Уравнение касательной
Дх)
<П+11
п+1
smx
cosx
Первообразная и интеграл
j f(x) dx = F(x) + C, F(x) - f(x)
, , { i _ | ’ j
J A dx = Ax + C, AeR
J xudx = тг. 1 + C, a g R , a -1 vA I 1
=ln|x| + c"~b#Wfe
•С A
4 j > । •	-*	।	- j + —k--|——j—j—4—।—|—»—|—i—!-
r
I exdx = ex + C
$axdx = j^+C, a>0, a/1
j sinx dx = - cos x + C
j cos x dx = sin x + C
f dx = t +c
J cos X
f dx _ ct + c
J sin X
( г-—-p - arcsin x + C
J У 1-x2
f dx .	,
-7- 2 = arctgx + C
J A I
Свойства определенного интеграла
b	ь
^Af(x)dx = A$f(x)dx Q	Q
b
ь
а
b	b	b
1 (f(x) + <p(x))dx = J f(x)dx + j (p(x)dx a	a	a
b	<p(b)
j f(<p(x)) • (p'(x)dx = j f(u)du a	<P(a)
Формула Ньютона — Лейбница
jf(x)dx =F(b~) - F(a) (F\x) = f(x)) a
Площадь криволинейной трапеции
b
S = J f(x)dx, f(x) > o a