АКАДЕМИЯ НАУК
СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК
ТРУДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
имени В.А.СТЕКЛОВА
LIV
П. С. АЛЕКСАНДРОВ
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Часть вторая
НЕЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА 1959

Ответственный редактор
академик И. Г. Петровский
Зам. ответственного редактора
профессор С. М. Н и к о л ь с к и п

ВВЕДЕНИЕ*
Когда в докладе на Московской международной топологической
конференции в 1935 г. мною были сформулированы основные проблемы
комбинаторной (гомологической) теории незамкнутых множеств, то было совсем не
очевидно, что такая теория вообще существует, т. е. что столь обширный
класс математических объектов, как всевозможные точечные множества
эвклидовых пространств, допускает исследование методами комбинаторной
топологии. Напомню соответствующее место своего доклада**.
„Значение и перспективы гомологической теории компактов основаны на
том конкретном геометрическом познании, к которому нас привело понятие
гомологии.
... Комбинаторной топологии некомпактных пространств в этом смысле
ке с^щсстгуст, и псргый вопрос, который в связи с этим
возникает,—следующий:
Допускают ли вообще некомпактные пространства
алгебраически-комбинаторное исследование в смысле теории гомологии?
Положительный ответ на этот вопрос кажется мне хотя и вероятным,
но отнюдь не несомненным. Гипотетический положительный ответ означал
бы прежде всего построение гомологической теории конечномерных
пространств, т. е., практически говоря, точечных множеств эвклидовых
пространств, а именно
1. Теорию размерности этих множеств —в том*** направлении, как она
построена сейчас для компактов.
2. Теоремы двойственности, или по крайней мере теоремы существовани
для зацепляющих циклов.
3. Теорию непрерывных (по-видимому, замкнутых) отображений.
Особенно теоремы двойственности являются решающими для
плодотворности теории: гомологическая теория без законов двойственности едва ли
* Введение представляет ссбой воспроизведение— с небольшими изменениями —
вводных замечаний доклада, сделанного мною на съезде польских математиков (1952) и
напечатанного в журнале Fundamcnta Mathematicae, 41 (1954); в введении дается краткий
исторический очерк развития комбинаторной топологии незамкнутых множеств;
дальнейшее изложение на него не опирается.
** Матем. сборник, т. 1 (43), 1936, стр. 630.
*** Т. е. гомологическом.

4
Введение
повела бы к важным новым познаниям. Существуют ли для любого
множества MciRn между М и Rn\M соотношения двойственности
гомологического характера? Вот вопрос, имеющий решающее значение для всего
дальнейшего развития теоретико-множественной топологии. Я воздерживаюсь
пока от всяких предположений на этот счет. Может быть, было бы
целесообразно ставить этот вопрос сначала не в полной общности... Уже
перенесение закона двойственности на случай Fa- и Gs-множеств, или
установление невозможности такого перенесения было бы чрезвычайно важным".
Таким образом, в моем докладе 1935 г. была намечена вполне
определенная программа. Сейчас можно сказать, что первые два пункта этой
программы в их основных чертах выполнены, причем в существенном это
произошло за последнее десятилетие. Сомнения, высказывавшиеся в 1935 г.,
к счастью, не оправдались: комбинаторная топология незамкнутых множеств
является в настоящее время сложившейся новой частью топологии; как
всегда бывает при плодотворном развитии нового направления научной
активности, решение первых, основных для данного направления задач,
естественно вызвало к жизни новые вопросы, открывающие увлекательную
перспективу дальнейших исследований.
Такое положение вещей достигнуто в несколько этапов. Прежде всего
следует вспомнить о том, что основная теорема о нерве покрытия была
освобождена от предположения компактности пространства Куратовским
в 1933 г. [1] и доказана методом, оказавшимся чрезвычайно плодотворным.
Приблизительно в то же время Э. Чех (Е. Cech) [2] все на той же основе,
данной понятием нерва покрытия, положил начало гомологической теории
любых (а не только компактных) топологических пространств. Правда,
гомологическая теория Чеха, основанная всецело на конечных покрытиях,
не оказалась плодотворной при изучении некомпактных пространств, и в
первую очередь незамкнутых множеств эвклидовых пространств, которыми
мы только и будем заниматься в этой работе.
Далее, Чогошвили [3] дал в 1945 г. обобщение закона двойственности
Понтрягина для, правда, очень специального, класса незамкнутых множеств,
содержащего, в частности, все ретракты, затем он далеко продвинул [4]
систематическое исследование различных типов гомологических групп
топологических пространств и развил при этом весьма полезный алгебраический
аппарат (прямые спектры бикомпактных групп, о чем мы будем говорить
дальше). Для формулировки и доказательства установленной мною первой
общей теоремы двойственности Чогошвили не доставало лишь теорем
инвариантности.
Приблизительно в то же время (1946—1947 гг.) теорема об
эквивалентности урысоновского (при помощи покрытий) и гомологического определения
размерности была доказана мною [5] для всех нормальных топологических
пространств (аналог теоремы об е-сдвигах и теорема о существенных
отображениях были доказаны мною [6] еще в 194Э г.). В то же время Даукер
(С. Н. Dowker)[7]распространил на незамкнутые множестваклассификационную

Введение
теорему Хопфа и вывел из нее новые следствия для теории размерности, а
в 1948 г. дал [8] полный анализ возможных обобщений моей теоремы об
е-сдЕИгах. Даукер [7] и Хеммингсен (Hemmingsen) [9] показали законность
привлечения бесконечных покрытий к теории размерности незамкнутых
множеств.
В 1947 г. мною была доказана в работе [10] первая общая теорема
двойственности для любых множеств эвклидовых пространств и при
доказательстве этой теоремы были применены алгебраические построения Чого-
швили. В той же работе мною были исследованы широкие классы множеств,
для которых закон двойственности сохраняет сбою первоначальную форму,
данную Л. С. Понтрягиным для замкнутых множеств*. Эти исследования
были продолжены Е. Ф. Мищенко [13], но никак не могут считаться
законченными.
Дальнейший фундаментальный сдвиг во всей комбинаторной топологии
незамкнутых множеств произошел в 1951 г., когда К. Ситников [14а]
доказал свой закон двойственности, столь же общий, но более сильный, чем
доказанная мною теорема.
Одновременно Ситников решает [15] и основную проблему теории
размерности незамкнутых множеств, даЕая характеристику размерности
незамкнутого множества через локально-гомологические свойства дополнительного
множества, т. е. доказывая для незамкнутых множеств „теорему о
препятствиях".
Но эти последние исследования, как и вообще теория размерности,
остаются за пределами настоящей работы. Она посвящена исключительно
теоремам двойственности для незамкнутых множеств, доказанным мною в
работах [10], [16] и Ситниковым в его работах [14], [17].
Лишь в последней, шестой главе я выхожу за пределы собственно
теорем двойственности и доказываю установленную мною теорему о
гомеоморфизме точечных множеств [18], [19] в окончательной форме, приданной ей
И. Шведовым [20].
Распределение содержания по отдельным главам ясно из оглавления.
В заключение я хочу выразить глубокую благодарность Н. А. Берикаш-
вили за весьма существенную помощь при редактировании этой работы и
чтении корректур, а также моим ученикам А. Архангельскому, Б. Пасынкову
и В. Пономареву, помогавшим мне при окончательном оформлении текста
книги и А. П. Леоновой и Е. В. Шуровой за большую работу,
проделанную в связи с выходом в свет обеих частей этой книги.
* В связи с мсей работой [10] следует еще упомянуть о работе Каплана [11], в
которой доказываются некоторые интересные результаты, касающиеся гомологических
свойств незамкнутых множеств; однако в отношении двойственности доказывается лишь
равенство чисел Бетти надлежащих размерностей для взаимно дополнительных множеств,
т. е. делается то, что для замкнутых множеств было сделано еще в 1927 г. (см.,
например, [12]). Никакой тес ремы двсйстЕеннести в современном смысле слова, т. е. теоремы,
касающейся групп Бетти, а не -их рангов, Каплан не доказывает.

6
Введение
ОБОЗНАЧЕНИЯ
В этой работе под пространством понимается метризуемое пространство
со счетной базой, а под точечным множеством понимается всегда
множество, лежащее в любом я-мерном сферическом пространстве Sn\ часто
вместо „точечное множество" говорим просто „множество".
Если одновременно рассматриваются два множества Л и В, лежащие в
одном и том же Sn, то всегда предполагается, что они взаимно
дополнительны : В = Sn \ А.
Через Л обозначается пустое множество. Через п, ру q обозначаются
целые неотрицательные числа, причем п всегда обэзначает размерность того
сферического пространства, в котором рассматриваются данные точечные
множества. Если я, р, q рассматриваются одновременно, то предполагается,
что
p + q = n—l.
Все рассматриваемые группы коммутативны; через 31 обозначается
произвольная дискретная группа, через 23 — произвольная бикомпактная группа;
если 31 и 93 рассматриваются одновременно, то предполагается, что между
ними имеет место двойственность в смысле Понтрягина, что записывается
так
2Г | 25.
Под покрытием пространства (точечного множества) понимается всегда
открытое покрытие (о дальнейшем в связи с этим см. гл. I, § 1).
Замыкание произвольного множества А обозначается через [А].
Во всем последующем изложении предполагается, что читатель владеет
всеми основными понятиями и фактами, изложенными в первой части этой
книги*. Ссылки на нее обозначены римской цифрой I.
*П. С. Александров. Топологические теоремы двойственности, Ч. I.
Замкнутые множества, Тр. Математ. ин-та им. В. А. Стеклова, т. XLVIII, 1955.

Глава первая
ГРУППЫ БЕТТИ НЕЗАМКНУТЫХ
МНОЖЕСТВ
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Под «группами Бетти» в дальнейшем будут пониматься как А-, так и
V-группы, т. е. гомологические и когомологические группы. Существуют
два осиозных подхода к определению этих групп для любого пространства.
Первый заключается в определении этих групп посредством предельного
перехода, примененного к соответствующим группам нервов покрытий
данного пространства; этот подход является перенесением на случай любых
пространств того определения групп Бетти компактов, который был дан в
первой части этой книги, гл. 3, § 4. Второй подход заключается в том, что
рассматривается направленное (в смысле обыкновенного включения)
множество всех компактов Ф, лежащих в данном пространстве X. Этому
направленному множеству (как мы подробно разберем в дальнейшем)
соответствуют прямой и обратный спектры, соответственно, у- ;и А-групп этих
компактов; группы Бетти самого пространства X (называемые «группами с
компактными носителями») определяются как предельные группы этих
спектров. Оба подхода существенны: они приводят к различным
результатам; теоремы двойственности возникают из сопоставления групп,
определенных двумя этими способами: одним для множества Лс5", другим-—для
его дополнения В.
В этой главе мы подробно рассмотрим оба способа определения групп
Бетти произвольных пространств.
§ 1. ГРУППЫ БЕТТИ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСРЕДСТВОМ
ПОКРЫТИЙ («ПРОЕКЦИОННЫЕ ГРУППЫ»)
1. Предварительные определения. Каковы бы ни были два покрытия
а и р пространства X, мы говорим, что покрытие р следует за покрытием
а (или Р>а), если покрытие Р вписано в а, т. е. если каждый элемент
покрытия р содержится по крайней мере в одном элементе покрытия а.
Этим устанавливается порядок во множестве всех покрытий данного
множества X.

8
Глава первая
Мы будем рассматривать лишь направленные подмножества во множестве
всех покрытий данного множества X.
Прежде всего заметим: звездно-конечные* покрытия данного
пространства X образуют кснфинальную часть в направленном множестве всех
покрытий этого множества**.
Это позволяет нам огргничиться в дальнейшем лишь звездно-конечными
покрытиями. Для каждого такого покрытия определен его нерв совершенно
так же, как для конечных покрытий; нерв покрытия будем обозначать той
же буквой, что и само покрытие.
Если покрытие р следует за покрытием а, то, ставя в соответствие
каждому элементу покрытия (3 какой-либо содержащий его элемент
покрытия а, получим симплициальное отображение («проекцию») ©2 нерва р в нерв
а. Любые две проекции нерЕа р в нерв а являются комбинаторно близкими
отображениями (см. I, стр. 46). Кроме того, если ?>Р>а, то, каковы бы
ни были проекции &} и ©£, отображение ©£©J = ©I также есть проекция
(условие транзитивности).
Предположим теперь, что для всех покрытий а множества X, входящих
в данное направленное семейстЕО Е, определены группы ®а, которые при
в проекциях ©а нерва Р в нерв а связываются удовлетворяющими условию
транзитивности гомоморфизмами ©£ группы @р в @а (гомоморфизмами тг£
группы @а в ©^); при этом предполагается, что тождественное
отображение ©« порождает тождественный гомоморфизм и что выполнено условие
корректности: комбинаторно близким отображениям соответствует один и
* Легко видеть, что всякое звездно-конечное (даже всякое локально-конечное)
покрытие пространства со счетной базой не более чем счетно.
**Это предложение доказано в работе [10] для всех точечных множеств.
Одновременно Каплан в работе [И] доказывает ^то же предложение для всех метрических
пространств со счетной ба^ой. .Приводим доказательстЕО Каплана.
Пусть X — метризуекхе пространство со счетной базой, о> = {о{\ — произвольное-
покрытие пространства X. По теореме Урысона можем считать пространство X
множеством, лежащим в гильбертовом кирпиче Я. Берем систему & открытых в Н множеств
О/ под условием о/ =
XНедостаточно найти зьездно-конечное покрытие Q.' = {о'} множества Г= (J^, вписан-
нее в пскрьпке Q. зтего ш:сжестЕа. Так как Г открыто в компакте Я, следовательно
локально компактно, то существует представление Г = Urv, где 1\, —открыты и ком-
v
пакт [1\] содержится в Гу+1; при зтом ^ = 0,1,2. ...,Г0 = Л. Выбираем конечное
число элементов О,-, покрывающих [Гу]; пусть это будут
ovl,.... ovV
Полагаем
Множества 0[j, где v = 1,2,3, ... и / = 1, 2, . . ., sv образуют искомое
ЗЕездно-конечное покрытие множества Г, вписанное в покрытие Q.

Группы Бетти незамкнутых множеств
9
тот же гомоморфизм ©£ (соответственно тг£). В этом случае говорят, что
группы ©а суть 'группы А-типа (у-типа). В силу этих условий группы
Д-типа образуют обратный, а группы у-типа — прямой спектр. Предельная
группа этого спектра и называется «©-группой» множества X,
соответственно Д- или у-типа. Эта группа, очевидно, определена
совокупностью следующих данных:
1. Заданием направленного семейства Е покрытий
множества X.
2. Заданием групп @а для каждого абЕ (вместе с их
гомоморфизмами ©«» соответственно itp).
2. Группы Д/ЛГ; Tj/X\ группы ЬГХ и jjrX. Приведем важнейшие частные
случаи только что данного общего определения.
1°. Направленное семейство покрытий I есть семейство Еу всех
конечных покрытий а, причем ©а = Дга, соответственно @а = уга. Это группы
Д-типа, соответственно у-типа. Условие корректности выполнено
(доказательство—!, гл. 3, § 3).
Соответствующие предельные группы называются группами Бетти
множества X, основанными на конечных покрытиях (или группами Чеха); они
обозначаются через Д/Х и у/Х. Мы увидим, что для построения теории
двойственности они непригодны, так как недуализируемы (двум гомеоморф-
ным множествам Л, Л' в Sn могут соответствовать дополнения В, В' с
неизоморфными группами Чеха).
2°. Важнейшим ^случаем явл"я'егтся следующий. Рассматри-
ваем направленное семейство Е всех звездно-конечных покрытий а
множества X. За область коэффициентов принимаем произвольную группу 91 (без
топологии). В качестве групп Д-типа берем группы Дг(а, 21) нерва а,
основанные на рассмотрении одних лишь конечных [цепей*.
В качестве групп у-типа берутся группы уг (а, 21), основанные на
бесконечных цепях**. Проекция £:£ нерва (3 в нерв а определяет по
известному (еще из I, гл. 3, § 1) правилу гомоморфизм ъ% группы уга в группу угр:
сначала определяем гомоморфизм щ группы Z/a всех бесконечных цепей
* Это значит, что псд цепью (бесконечного) комплекса а мы понимаем лишь
конечные линейные фермы хг = 1с//£ (где ir£ суть ориентированные симплексы данного
комплекса а), т. е. функции xr (1Г£) со значениями из группы $(, удовлетворяющие условию
четнссти~хг (trt) = — хг (— tr£) и могущие принимать отличные [от нуля значения лишь
на [конечном числе симплексов данного комплекса. Граница &хг, циклы, группы Ага
определяются пссле этего в точности как в I, гл. 1, § 2, проекции ®£ — как в I, гл. 3,-
§ 1, пп. 1, 2, если х\ = Icitfo, то 8£д£ = 2с$[* £,, и т. д.
** Это значит, что под цепью гскимгется любая линейнгя форма хГ = Гс^£, без-
требования кенечнести ее; у-граница \/хг определяется в течнсаи как в I, гл. 1, § 2.

10
Глава первая
комплекса а в группу Lrp, полагая* для каждого хга 6 Lra и каждого
ориентированного симплекса t\ комплекса р
Условие корректности выполнено в обоих случаях (доказательство см. I,
гл. 3, § 3, оно не зависит от предположения [конечности комплексов а, (3).
Соответствующие предельные группы обозначаем через
ЬГ(Х9 :эд = Нт{Дг(*, 21),] ©2},
уг(Х, Ш)==Пт{уГ(*> Щ, 4)-
3. Проекционные циклы и у-пучки. Так же как и в случае
компактов (I, стр. 50), можно и для любого пространства *Х дать определение
групп ЬГХ и угХ в несколько другой форме, непосредственно
эквивалентной предыдущей, но не пользующейся явно понятием спектра. Во многих
случаях эта форма оказывается удобной. Кроме того, она обладает большей
наглядностью. Для удобства читателя приводим ее здесь (не боясь
повторить изложенное на стр. 50 первой части).
Проекционным [циклом на множестве X по области коэффициентов 21
называется система циклов
по одному конечному циклу zra на каждом нерве ** а, удовлетворяющая
условию: если Р > а, то***
(1) z« ~ ©£гр на а.
Проекционные циклы складываются почленно: если
z' = [га)9 г" = {z"a}, то z' + z" = {z* + *«}•
При этом сложении они, очевидно, образуют группу, которую обозначим
через Zr(X, 21).
Проекционный цикл zr {= zra) называется ограничивающим или
гомологичным нулю в X, если Za~0 в а для каждого а (т. е. цикл za
ограничивает в а конечную цепь). Ограничивающие проекционные циклы образуют
подгруппу ЯГ(Х, 21) группы Zr(X, 21). Фактор-группа Zr(X, Щ — Н\ХУ 21)
находится, как легко видеть, в состоянии естественного изоморфизма с груп-
* Напомним, что скалярное произведение цепи на ориентированный симплекс есть
значение этой цепи на этом симплексе (I, гл. 1, § 2, п. 5).
** Помним, что ос пробегает направленное множество всех звездно-конечных
покрытий множества.
*** Гомология (1) означает существование конечной цепи на нерве а, ограниченной
циклом *£ — figzg.

Группы Бетти незамкнутых множеств
11
пой ог(Х, 21) и может быть отождествлена с этой последней, что и
позволяет нам рассматривать равенство
ЬГХ = ZrX - НГХ
как определение [группы ЬГХ. Иногда группа ЬГХ называется
проекционной А-группой (по дискретной области коэффициентов) множества X.
Для того чтобы получить аналогичное определение группы угХ, назовем
у-циклом множества X всякий (вообще говоря бесконечный) v-цикл zra
«ерва произвольного звездно-конечного покрытия а множества X. Два
V-Цикла zra и z\ множества X называются гомологичными между собою
в X, если существует такое т> следующее как за ос, так и за р, что
А^ — Ач в y»
т. е. если в нерзе y сущестзуег та:^ая, вообще гозоря, бесконечная цепь
Х-1 , ЧТО у^Т — T^Za TC-jZp.
Эго определите гомологии призодит к разбиению множества всех
/"-мерных у-ия.шэз млэж^етза X на классы (или «пучки») гомологичных между
собою цн:<лэз. Эги пучхи и язляются элементами группы vr(^> Щ* Если
даны два пучка Сг и С г, то^для определения их суммы находим сначала
такое покрытие а, что на нерзе а лежит некоторый у-Дикл z* £ С'г и
некоторый уЦикл za £^Г (легко видеть, чго такое а всегда существует). После
этого Cr = C'r + Cr определяется как пучок, содержащий у-цикл Za + z^.
Легло прэзеригь, что это определение сложения пучков не зависит от
входящих в него элеменгоз пээлззэла. Олэ зазерлает определение группы
Замечание 1. Не случайно в оснэзу определения группы огХ были
пэлэкены кэнечяые цепл на нерзах а, а в оснэзу определения группы
угХ — любые. Еслл бы мы пэлыталиеь определить группу 3ГХ так, как это
было ["сделано выше, нэ на оснэзе бесконечных цепей, то ничего бы не
вышлэ, так как оператор $£ для бесконечных цепей не определен: на один
•и тот же симплекс t[ нерза может отобразиться посредством 8а
бесконечно много силтехсоз нерза р, входящих в данную цепь х} с отличными от
нуля кээ$)|) плен гам; чгобы определить значение цепи 8&t<S на симплексе
К, нам пришлось бы взять (бесконечную!) сумму этих коэффициентов, но
такая сумма не определена.
С другой стэрэлы, за оснэзу олределенля групп \jrX нельзя было бы
взять конечные цепи на нерзах а, так как при отображении тс* конечная
цепь (и даже один ориентирэзанлыл силплекс) нерза р может перейти в
бесконечную цепь нерва а.

12
Глава первая
4. Недуализируемость групп, основанных на конечных
покрытиях. Построим два множества А и Л' в S2, у которых дополнения В и В'
гомеоморфны и в то же время yf А' = О, а yf Л ^ 0 (даже состоит из
бесконечного числа элементов). Аналогичные примеры могут быть, конечно,
построены и в любом Sn.
Сферу представляем себе как обыкновенную плоскость i?2, пополненную
одной бесконечно удаленной точкой. Через А обозначаем замкнутый круг в
этой плоскости, из окружности которого удалена одна точка. Через А'
обозначим какой-нибудь полусегмент в плоскости R2. Легко иидеть, что дополт
нительные множества В и В' гомеоморфны. Очевидно, двумерные группы
Чеха у множества А' суть нуль-группы. Докажем, что двумерная группа
Чеха множества А отлична от нуля. Проще всего доказать это для
двумерной у-группы (по целым коэффициентам), воспользовавшись теоремой
Даукера [7], утверждающей, что эта группа всегда отлична от нуля, если
имеется существенное (в смысле равномерной гомотспии) отображение
множества А на двумерную сферу. Такое отображение / можно построить
следующим образом. Представим себе множество А как полуплоскость у > О
(без бесконечно удаленной точки). Отсбразим все прямые у = п (где /г !> О —
целое) на одну точку («полюс») Р сферы S2, а каждую полосу п < у < п + 1
отобразим топологически на есю сферу S2 без полюса Р так, чтобы в
результате получилось непрерывное отображение / всей полуплоскости у>0
на S2. Легко проверить, что полученное отсбргжение / существенно в смысле
равномерной гомотопии.
§ 2. ГРУППЫ БЕТТИ С КОМПАКТНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ
1. Группы АГСХ. Рассматриваем направленное по включению множество
всех компактов ср» лежащих в данном прсстргнстЕе X. Для каждого
компакта ср£Х берем группу Д£ср (спределение см. I, гл. 3, § 7), т. е. так
называемую виеторисовскую группу этого компакта. Если ср Сер', то
тождественное отображение компакта ср в компакт ср' порождает гомоморфное
отображение Е^ — так называемый гомоморфизм вложения — группы Д£ср в
группу Д£ср'. В самом деле, группа Д£ср есть группа классов гомологичных
между собою Дс-циклов (или «виеторисовских» циклов) компакта ср. Но
каждый Дс-цикл компакта ср есть в то же время и Д6-цикл компакта
ср' Э ср, и два цикла, гомологичные между собою в ср, будут и подавно
гомологичны между собою в ср'. Поэтому каждый гомологический класс
компакта ср лежит в некотором (и, разумеется, единственном) гомологическом
классе компакта <р', чем и определен гомоморфизм Е$. Группы &гсу вместе
со связывающими их между собою гомоморфизмами Е\ образуют прямой спектр-
{Дс?, ££},

Группы Бетти незамкнутых множеств
13
прздельная группа которого называется группой Д^Х (или виеторисовской
группой пространства X). Группа коэффициентов при этом произвольна и она
берется без всякой топологии.
Можно перзфразирэзать это опрзделзниз так, чтобы в него не входило
явно понятиз группового спектра. Назовем виеторисовским или Ас-циклом
множества X всякий Дс-цикл какого-либо компакта у^Х. Если даны два
Дс-цикла zr, z'r, лежащие соответственно на компактах ср с X и ср' с X, то
оба они лежат на компакте ср и ср' с X и имеют там сумму zr -f- z'\
являющуюся, следовательно, также Дг-циклом множества X. Поэтому все г-мер-
ные Д,-циклы множества X образуют группу ZrcX. В этой группе
содержится подгруппа Н[Х, состоящая из всех Дс-циклов, гомологичных нулю
в X. При этом Д^-цикл zr, лежащий на каком-либо срсХ, называется
ограничивающим (или гомологичным нулю) в X, если существует такой компакт
ср', на котором zr гомологичен нулю. Очевидно, группа Д£Х есть
факторгруппа группы Z[X по подгруппе НГСХ
ArcX = ZrcX-HrcX.
Группа АГСХ есть исторически первая «группа с компактными носителями»,
определенная для произвольного пространства X. Но в настоящее время
известна и другая группа с компактными носителями, именно ситниковская
группа ДГХ. Она является более богатой, чем группа Д£Х, и, по-видимому,
должна считаться основной Д-группол с компактными носителями. Группа
ДГХ получается, если видоизменить, как это сделал К. Ситников, понятие
истинного цикла и гомологии.
2. Ситниковские циклы. Группы Дгср. Назовем Д-циклом или ситни-
ковским циклом компакта ср двустрэчную матрицу (с бесконечным числом
столбцов):
0) ^=(1х ti""ti '" ).* = !. 2, а....
\ XL , Х2 , . . . , Xk , . . . )
состоящую из е^-циклов zrk и е^-цепей xrk+1 компакта ср, sk -> 0, связанных
между собою соотношзниями Ахг^1 =zrk+1 — zrk, k = 1, 2, 3,...
Ситниковские циклы данной размерности г, лежащиз на компакте ср, при почленном
сложении образуют группу Zrcp.
Скажем, что цикл (1) ограничивает или гомологичен нулю на компакте
ср, если существуют такие е^-цепи xrk*2 и угк+\ что e'ft -* 0 и Ayrk+1 = zrky
Дх£+2 = yr+i — уг+1 __ x£+i. Ограничивающие циклы образуют подгруппу
Ягср группы Zrcp. Фактор-группа Дгср = Zrcp — //гср и называется ситников-
<ской группой компакта ср.

14
Глава первая
Замечание 1. Беря в матрице (1) лишь первую строку, полу чаем;
виеторисовский цикл, однозначно определенный данным ситниковеким, причем
два ситниковских цикла, очевидно, тогда и только тогда определяют один »
тот же виеторисовский, когда их первые строки совпадают.
Очевидно также, что ограничивающий ситниковский цикл определяет ш
ограничивающий виеторисовский. С другой стороны, так как для каждого-
виеторисовского цикла z£ по самому его определению существует
последовательность е'^-цепей Гх*+1, е* -> 0, для которых Axrk+1 = zrh+1 — z*, то
каждый виеторисовский цикл может быть присоединением к нему надлежаще
выбранной второй строки дополнен до ситниковского. Таким образом,
существует естественный гомоморфизм группы Zry всех ситниковских циклов
на группу Zrcy виеторисовских. При этом гомоморфизме всякий
ограничивающий цикл переходит в ограничивающий, так что мы имеем
естественный гомоморфизм ситниковской группы Дгср на виетэрисовскую группу-
3. Ситниковские группы АГХ Если компакт ср содержится в
компакте <р', то снова имеем естественный гомоморфизм вложения El> группы Дгср
в группу AV, поэтому направленное по включению множество всех
компактов, лежащих в данном пространстве X, порождает прямой спектр
предельная группа которого и есть, по определению, сткнкогскгя группа
агх:
Она может быть определена и следующим образом. Назовем
ситниковеким или Д-циклом множества X всякий ситниковский цикл, лежащий нэ
каком-либо компакте срСХ. Скажем, что этот цикл ограничивает в X,
если он ограничивает на некотором компакте ф'сХ. Группа ДГХ может
быть определена как фактор-группа группы ZrX всех /--мерных ситниковских
циклов множества X по подгруппе ИГХ всех ограничивающих циклов.
Группа коэффициентов снова произвольна и рассматривается без топологии.
Замечание 2. Ситниковский цикл
(г[> 22' • ••' zk> • • • \
хГ+\ х'+\ ...,*£+*...J
называется слабо гомологичным нулю, если гомологичен нулю
виеторисовский цикл (z[9 2£, . ..,z£, ...)> составляющий его пэрвую строку. Слабо
гомологичные нулю ситниковские циклы определяют в ДГ(Х, 91) подгруппу
#с(Х,"20. Она*является ядром того естественного гомоморфизма группы
ДГ(Х, 21) на группу ДСГ(Х, 21), который получаем, ставя в соответствие

Группы Бетти незамкнутых множеств
1*
каждому ситкиковскому циклу его первую строку. Поэтому имеем
изоморфизм
АГС(Х, 31) = ДГ(Х, Щ-Нге(Х, 8).
Замечание 3. Группы ДГХ и АГСХ могут быть неизоморфными
между собою, даже если X — компакт, а группа коэффициентов есть группа
всех целых чисел. В самом деле, пусть X—одномерный континуум, известный
под названием соленоида*. Возьмем в соленоиде X две точки а и Ь, которые
не могут быть соединены в X никакой простой дугой. Эта пара точек
образует нульмерный цикл, гомологичный нулю в X в смысле Виеториса (так как
X — континуум), но не гомологичный нулю в смысле Ситникова. Последнее
следует из того, что е-цепочки, связывающие в X точки а и Ь при е -^ О,,
обегают соленоид все большее число раз, что и не дает возможности
построить цепи х[у входящие в определение ситниковской гомологии. Итак,
в случае соленоида А°СХ = 0, а Д°Х Ф 0. Есл.с X есть топологическое
произведение соленоида на окружность, то А]Х = 0, АгХ Ф 0. В связи с этим
следует обратить внимание на то, что ядро НГС(Х, 21) естественного
гомоморфизма группы" ДГХ на группу АГСХ очень мало изучено. В частности,,
совершенно не изучена лежащая^ в этом ядре группа NrXf порожденная
«нуль-циклами», т. [е. такими /*-мерными ситнаковскими циклами, первая:
строчка которых состоит из одних нулей, а вторая, следовательно, из
(г-Номерных циклов. Нуль-циклы образуют подгруппу группы ZrX ситниковских
циклов, являющуюся ядром естественного гомоморфизма этой группы на
группу ZrcX.
4. Имеет место
Теорема**. Если группа коэффициентов допускает бикомпактную
топологию, то группы А[Х и ДГХ по этой группе коэффициентов
изоморфны между собою (т. е. НГС(Х, 25) = 0).
* Мы ограничиваемся здесь простейшими, так называемыми диадическими
соленоидами, которые определяются следующим образом. Возьмем последовательность
Qi 3 С?213 .. • Z) Qv Z) •. • убывающих кольцевидных тел, каждое из которых гомео-
морфно «полкоторию» (равно тору вместе с внутренней к нему областью), причем каждое
из этих тел есть след при движении в трехмерном пространстве некоторого круга
плоскость которого перемещается, оставаясь все время вертикальной, так что центра
описывает простую замкнутую линию и два любых {положения круга не имеют общих
точек. Радиус движущегося круга называется «толщиной» кольцевидного тела. Мы
предполагаем, что кольцевидные тела Qv выбраны так, что их толщина стремится к нулю при
v-» оо и что траектория центра круга, [описывающего тело Qv+r дважды обегает тело
Qv. Пересечение всех Qv, v'= 1, 2, 3,... и есть диадический соленоид. Соленоиды суть
неразложимые континуумы; на каждом соленоиде имеется пара ^точек, которые [не могут
быть в нем соединены никакой простой дугой (таких пар точек имеется [даже несчетное
множество).
** Эта теорема содержится в моей работе Zur Homologie-Theorie der Kompakten,
Compositio Mathematica, 4, 1937, 256—271 (по поводу подробностей см. работу Ситнико-

16
Глава первая
Доказательство. Мы можем предположить, что группа
коэффициентов снабжена бикомпактной топологией и, следовательно, есть бикомпактная
группа 25.
Теорема, очевидно, вытекает из следующей леммы:
Если
(1) (2i, 22, ..., г/г, ...)
есть виеторисозский цикл, гомологичный нулю в компакте Ф по
бикомпактной группе коэффициентов 25, то, дополняя его произвольно до сит-
никозского цикла
(2) (2;'+] \х ■•■'/kr¥; -А,
получим цикл (2), также гомологичный нулю в Ф, но уже, разумеется
в ситникозском смысле.
Так как виеторисовский цикл (1) ограничивает в компакте Ф, то
существуют е^-цепи yrk+1 этого компакта, sk ->- 0, удовлетворяющие условиям
(3) Ayrk^ = zl
Наша задача заключается в том, чтобы найти е^-цепи xrh+2 под условием
(a) М+2=^}-С1-Ч+1-
Сначала несколько обработаем наши данные так, чтобы, ничего не меняя
по существу, придать им более удобную форму.
Для этого возьмем последовательность конечных покрытий
alf a2, ..., a^, ...
компакта Ф, причем диаметры элементов ak стремятся к нулю при k -> ос
и диаметр каждой звезды* покрытия ал+1 меньше лебегова числа покрытия ал.
Без ограничения общности (ср. I, гл. 3, § 7, п. 1) можем предположить,
что zrk и yrk+1 суть цепи геометрически реализованного нерва ал.
Назовем проекционной цепью послздозательность цепей данной
размерности, лежащих соответственно на^нервах <xk. Построим прежде всего
некоторую специальную последовательность
7,г+1 у.г + 1 -г+1 ■'
'1| » "г » " • • » "у » • • •
(г + 1)-мерных проекционных цепей, а именно
71г + 1 = (Ur + l f/+1 Ur + 1 Ur'Vl Ur + 1 )
«v Vi/Vt i » i/v, 2 ' ' ' ' » #v, v-l» "v, v • * ' ' » J/v, Л » * " •/'
ва [17а], подстрочное примечание на стр. 40). Для того чтобы не излагать здесь
излишние для наших целей вспомогательные понятия, введенные в цитированной моей работе,
я привожу ниже доказательство Ситникова.
* Звездой покрытия со называется сумма всех элементов этого покрытия,
пересекающихся с каким-нибудь одним элементом того же покрытия.

Группы Бетти незамкнутых множеств
17
где у'**- = yrk+1 при всех k > v, а \f+}_v..., f/^Y определяются шаг за
шагом следующим образом.
Обозначим через cpvl определенный «канонический сдвиг» цепей yr^+1 =
= */v+v1 и *vtJ в неРв av-i» заключающийся в том, что в вершинах этих
цепей, являющихся вершинами нерва av, сдвиг ^_г определяется как
некоторая проекция 8Р+1, а в тех вершинах jeJ+J, которые являются вершинами
av_i» СДВИГ ?v-i определяется как тождественное отображение.
Полагаем теперь
1/г-Н =ср f/r+1 — ф хГ+1.
^v, V —1 » v —l"v, v Tv — lv—]
Тогда
Atf+v1-! = Д?,-^1 - Acpv_^iJ = 9v_lZr - A?w^+i.
Но
так что
"*/v, v-1 *v-r
Аналогично получаем шаг за шагом ^+VL2, ..., 1/J+1 по формуле
(5) У:П = ?^.V+1 - V£+1. при А ^ v _ 1.
При этом для всех k
(6) Д^+1==2:£» при любом v.
Так как область коэффициентов 25 бикомпактна, то группа Lr+1at,k всех
(/* + 1)-мерных цепей нерва <xk тоже бикомпактна (это — группа 25,
возведенная в степень, равную числу (г+ 1)-мерных симплексов нерва cnk).
Поэтому бикомпактно и произведение всех групп ££*\ k=\, 2, ...,
элементами которого и являются, очевидно, все (г + 1)-мерные проекционные цепи.
Значит, существует проекционная цепь
1Г"=(К1+\ П+1 П+1,...).
являющаяся предельной для последовательности
71! > ^2 > • • ' > 7IV » • • •
Рассмотрим эту проекционную цепь Tjr+1. Так как формула (6) верна — при
любом данном k — для всех v, то, переходя к пределу по v, имеем
(7) ДУ£+1 = zrk, для любого k.
Далее, из формулы (5) получаем (переходя к пределу по v) при любом k
(8) Yrh+1 = fkYrkVi-%xrk+\

18
Глава первая
Искомые цепи xrk+2f удовлетворяющие условию
(9) д4+'-п:1-п+1-/*+1,
строятся теперь по формуле
(10) 4+2 = п*П+1-п^+\
где life означает призму, построенную над соответствующей цепью при
сдвиге cpfe в нерв afe.
Условие (9) действительно выполнено, так как при сдвиге cpft цикл zrk
остается на месте и, следовательно,
ДП/гКЛ+1 = Yk+i — ykYk+1 — YlkZk+ъ
Вычитая из предпоследнего равенства последнее, получаем, имея в виду
(Ю), (8),
Аф* = П%\ - (9fenti - <?&+*) -х^ =
— У k + i — У k — Xk ,
что и требовалось доказать.
5. Взаимоотношения групп АГСХ, АГХ и группы ЬГХ. Если Ас- или
Д-цикл zr пространства X лежит на компакте ФсХ, то посредством
канонического сдвига он может быть переведен в проекционный цикл {zrJ,
определенный, правда, неоднозначно, но с точностью до «проекционной»
гомологии — это подробно показано в I, гл. 3, § 7, п. 1 для Дс-циклов. Так
как каждому Д-циклу однозначно соответствует некоторый Дг-цикл (первая
строка ситниковской матрицы), то то же справедливо и для Д-циклов. При
этом ограничивающему Дс-циклу (Д-циклу) соответствует ограничивающий
проекционный цикл, так что мы имеем вполне определенный „естественный"
гомоморфизм И группы АГСХ и группы ДГХ в группу огХ.
Иногда удобно самое группу АГСХ (по любой области коэффициентов %
или 95) заменить изоморфной ей группой огсХу для которой гомоморфизм А
делается особенно наглядным. Это делается следующим образом. В
каждом (звездно-конечном) покрытии а имеется лишь конечное число элементов,
пересекающихся с данным компактом ФсХ. Пусть 0ai, .. ., Оа эти
элементы. Положим Оа. = Ф П Оа . Без ограничения общности можно
предположить нумерацию множеств Оа , . .., Оа выбранной так, что 0'а непусты
для всех i^s'a и только для них. Получаем покрытие Фа = {Оа , .. ., Оа ,}
компакта. Элементы 0'а. и Оа. покрытия Фа будем считать при / ф j
различными даже если они Геометрически совпадают. Нерв покрытия Фа есть

Группы Бетти незамкнутых мш/жеств
19
конечный подкомплекс нерва а. Заметим сразу, если Ф'зФ, то нерв Фа
есть подкомплекс нерва Фа. Мы скажем теперь, что проекционный цикл
zr = {zra} лежит на компакте Ф^Х, если цикл z* при любом а лежит на
подкомплексе Фа нерва а, и если при любых Р>а имеем гомологию
S>aZp — zra на Фа. Мы скажем, далее, что проекционный цикл zr = fz£},
лежащий на компакте Ф, ограничивает на компакте Ф'сХ, если zra — 0 на
Фа при любом а.
Назовем, наконец, проекционный цикл множества X компактным, если
он лежит на некотором компакте Ф, и компактно ограничивающим (или
компактно гомологичным нулю), если он гомологичен нулю на некотором
компакте Ф' с: X. Фактор-группу всех r-мерных компактных циклов
множества X по подгруппе компактно ограничивающих циклов мы и называем
группой ЬГСХ. Легко доказываем (повторяя в существенном рассуждения I,
гл. 3, § 7), что имеется изоморфизм, осуществляемый каноническим сдвигом,
между группами АГСХ и ЬГСХ. Так как все компактные циклы суть
проекционные, и всякий компактно ограничивающий цикл есть ограничивающий
проекционный цикл, то естественный гомоморфизм h группы огсХ в группу
ЬГХ определяется сам собою.
6. у-группы с компактными носителями: группы ^ГС{Х, Щ. Для
того чтобы их определить, надо прежде всего определить гомоморфизм
высечения «/£> для групп угср, где ср — компакт*.
Пусть ср' czy, где ср и ср'— компакты. у-циклом компакта ср называется,
как мы знаем, любой цикл zra нерва а какого-либо (конечного) покрытия
этого компакта. Два у-цикла zra и z\ компакта ср называются гомологичныг
ми между собою в ср> если существует покрытие ?, следующее как за а,
так и за р, и такое, что ъ*гГа— t$z^ в т- Для того чтобы определить
гомоморфизм Jl> группы vV в ГРУППУ УГ(Р» называемый гомоморфизмом
высечения, надо для каждого у-цикла zra компакта ср определить у-цикл
J ]9-г
<fca' —'— ** io'^d.
компакта ср' и доказать, что при этом гомологичным у-циклам компакта ср
соответствуют гомологичные в ср' у-циклы этого компакта.'
Рассмотрим покрытие компакта 9
a={0lf....,0,},
на нерве которого лежит у-цикл z\ Покрытие а высекает из компакта срг
покрытие
■а'={0;, ..., о;,},
элементами которого являются непустые множества среди множеств yf\Oi\
* Определение групп угф для компактов ф дано в 1> гл. 3, § 4.

20
Глава первая
при этом предполагаем, что нумерация множеств 0lt ..., Os выбрана так,
что среди множеств ср' р| Оъ ..., ср' П Os непустыми являются первые s' и
только они. Тогда множества 0\ = ср' П О/, / = 1, 2,..., s' (среди которых
могут быть геометрически совпадающие) считаются различными элементами
покрытия а'.
Ставя в соответствие каждому 0\ [соответствующее (т. е. снабженное
тем же индексом /) множество О/, получим изоморфное симплициальное
отображение Е% нерва а' на некоторый подкомплекс нерва а, так что
каждому симплексу t'a* нерва а' соответствует симплекс ta (того же числа
измерений) нерва а. В силу этого изоморфизма, каждой цепи хга нерва а
соответствует цепь х'а> = Jl'Xra нерва а' по формуле
причем оператор J^ коммутирует с оператором у, так что у-циклу К
соответствует у-цикл К' (см- *> гл* 3» § 1). При этом двум у-циклам zra и z^
гомологичным между собою в ср, соответствуют у-циклы z^f и z'f'„
гомологичные между собою в ср', так как если
г—1 а г 3 г
V*T = 7CTZa — icfo,
ТО
Итак, определен гомоморфизм J%> группы угср в ГРУППУ vV
(гомоморфизм высечения); следовательно, рассматривая направленное по включению
множество всех компактов 9» лежащих в данном пространстве X, имеем
обратный спектр дискретных групп:
{V(b Ч Я),
предельная группа которого и называется r-мерной ^/-группой с
компактными носителями множества X или группой у£(Х, 21). Эта группа
определяется по любой дискретной области коэффициентов 21 и сама есть
дискретная группа.
Возникает естественный вопрос: имеют ли группы характеров введенных
до сих пор групп 8Г(Х, 31), у''(X, 21); АГ(Х, 21), Д£(Х, 21); у£(Х, 21)
самостоятельный геометрический смысл? К сожалению, для всех
перечисленных групп, кроме первой и последней, этот вопрос остается открытым. Что
же касается групп §Г(Х, 21) и у£(Х, 21), то их группами характеров
являются — для первой особая бикомпактная у-группа по бикомпактной области
коэффициентов 2? | 21, а для второй (естественно, тоже бикомпактная) А-груп-
па особого рода. Обе эти группы определяются посредством некоторой
алгебраической конструкции, принадлежащей Чогошвили, к изложению
которой мы сейчас и перейдем.

Группы Бетти незамкнутых множеств
21
§ 3. ТЕОРЕМА ЧОГОШВИЛИ.
ГРУППЫ Ar(X, $), NrA (X, S3) и V (X, 25)
1. Бикомпактный предел прямого спектра бикомпактных групп.
Теорема Чогошвили. Мы начнем с того, что поставим в соответствие
каждому прямому спектру бикомпактных топологических групп
(1) {Ya, 1$,
в котором все проекции к* являются непрерывными гомоморфизмами,
некоторую однозначно определенную, бикомпактную группу У, которую назовем
бикомпактным пределом прямого спектра (1). Эгот предел, конечно, вооб -
ще говоря, отличен от обычного, «алгебраического» предела, который
является дискретной группой и получается, если рассматривать группы Y а
без топологии (см. I, гл. 2, п. 3). Теорема Чогошвили, которая будет вслед
за тем сформулирована и доказана, поможет нам ближе уяснить
соотношения, существующие между группами Уа, составляющими спектр (1), и
бикомпактным пределом У этого спектра.
Итак, пусть дан спектр (1). Обозначим через Ха дискретную группу
характеров бикомпактной группы Уа, а через S« — гомоморфизм группы Хр
в группу Ха, сопряженный непрерывному гомоморфизму т:^ группы Уа в
группу Ур (см. I, гл. 2). Получаем обратный спектр
{Хсс, ©£}
дискретных групп, предельная группа которого (см. I, гл. 2, п. 4) есть
дискретная группа X.
Определение. Бикомпактная группа характеров группы X
называется бикомпактным пределом прямого спектра (1) бикомпактных групп
и обозначается через У:
(2) У = /6 (У«, 4).
Обозначим через У алгебраический предел прямого спектра (1). Теорема
Чогошвили устанавливает [связь между группами У и У: в ней
доказывается, что некоторая фактор-группа У группы У является подгруппой, и притом
всюду плотной подгруппой ;группы У. Для того, чтобы определить ту
подгруппу Y0aY, по которой группа У является фактор-группой, заметим, что
между любыми двумя элементами
хеХ = Ит{Ха, ®а)
и
y£Y = llm{Ya, 4}
естественно определяется удовлетворяющее обычным требованиям скалярное

22
Глава первая
умножение. В самом деле, вспомним, что у есть некоторый пучок элементов
уа из различных групп У а, тогда как х есть нить
х={ха},
проходящая через все группы X и содержащая по одному элементу из
каждой группы Ха и удовлетворяющая условию ха = &аХ$ при р > а.
Выберем какое-нибудь уа€у, y&Y и возьмем для этого а единственный элемент
%€*. Так как Х<*|Уа, то определено скалярное произведение (ха-Уа). Мы
положим
. (Х-у) = (Х*-уа).
Покажем, что это определение не зависит от единственного содержащегося
в нем элемента произвола: от выбора уа € у. В самом деле, пусть у$ 6 у.
Тогда существует такое т> следующее как за а, так и за р, что
«%Уа = к*Уе=*У1£у
и
(*Т. У\) = (*Т • ^Уа) = № ' У«) = (Ха ' Уа).
Точно так же
(ХчшУд = (х*'У&
так что
(Ха-Уа) = (Хц-уе).
Обозначим теперь через У0 подгруппу группы У, которая состоит из
всех тех элементов у 6 У, которые имеют нулевое скалярное произведение
с каждым элементом х 6 X; определим группу У как фактор-группу по
подгруппе У0:
Y' = Y-Yt.
Очевидно, что скалярное произведение, определенное для любых у 6 У и
х € X,- автоматически порождает скалярное произведение для любых у' 6 Y'
и х€Х> так что каждый элемент у' G У является характером группы X.
Понятно также, что два различных элемента у[ и у2 группы У являются
различными характерами группы X (так как в противном случае их
разность у[ — у2 имела бы нулевое скалярное произведение со всеми
элементами группы X, т. е. было бы нулевым элементом У0 группы У).
Итак, группа Y' является подгруппой группы У.
Теперь может быть сформулирована и доказана.
Теорема Чогошвили. Группа Y' является всюду плотной
подгруппой бикомпактной группы У.
Доказательство. Предположим, что подгруппа У группы У|Х не
является всюду плотной в У\ Тогда замыкание [У] с У группы У в У не
совпадает с У, следовательно, аннулятор в X группы [У] есть отличная

Группы Бетти незамкнутых множеств
23
от нуля подгруппа ЯсХ. Возьмем отличный от нуля элемент х= {ха} €#.
Тогда (х-у) = 0 для всех у 6У\ Но, взяв в нити х Ф 0 элемент ха Ф О, мы
можем подобрать к нему такой элемент уа£ Ya, что ха-уафО, а взяв пучок
*/€У, содержащий элемент t/a, и классу' 6 У, содержащий г/, получим
по:лэдэзатгльно (х• у') = (х-у) = хх-уа ФО, что прэтиворзчит тому, что
Теорема Чогошвили этим противоречием доказана.
2. Группа АГ(Х, 25). Первая группа незацепляемости #I(JC 58).
Пусть X — произвольное пространство. Рассматриваем направленное по
включению множество всех лежащих в X компактов Ф. Для каждого компакта
ФеХ берем группу 8Г(Ф, $8) = Д£(Ф, 23) = ДГ(Ф, 95) с топологией,
определенной в I, гл. 6, § 1*. Получаем прямой спектр бикомпактных групп
(1) {8Г(Ф, 25), £|'}, Ф'сФ
бикомпактный предел которого и есть, по определению, группа
АГ(Х, 25) = /6{8гФ, Еф).
Для того чтобы понять ее геометрический смысл, вспомним прежде
всего, что группы 8Г(Ф, 25) и уИф> Щ двойственны между собою (см. I,
гл. 6, § 1), и что двойственность эта дается скалярным умножением,
определенным на нервах** а и затем—для хао € х € уг (*» 91); У*, б {ул} G у б §Г(Ф, 25)
о формуле
(Х-у) = (ха,-Уа0).
Заметим теперь, что при Ф'сФ гомоморфизм Е%' группы 8ГФ' в группу 8ГФ
и гомоморфизм j|/ группы угФ в группу угФ' являются сопряженными
между собою. В самом деле, надо доказать, что для любых л;£угФ
х/'(: §ГФ' имеем
{х-Ефу') = (J%>x-y).
* В указанном месте первой части группы огФ ошибочно обозначены через ДГФ
Однако описка эта, как мы сейчас видим, несущественна: в главе 6 первой части
рассматриваются лишь группы ДГФ по бикомпактной области коэффициентов 35, а в этом
случае Д' (Ф, 35) = Ьг (Ф, 35). Кроме того, для любой области коэффициентов ЬГФ = Д£Ф«
так что в нашем случае ДГФ = ЪГФ = Д£ф.
** В самом деле, на каждом конечном комплексе а имеем двойственность
Z/(a, 5();Lr(a, 35) групп цепей, даваемую скалярным произведением. Эта
двойственность (как доказано в I, гл. 6, § 1, подстрочное примечание на стр. 92 — 93) порождает
двойственность vr(a» 2l)|Ar(a, 35), откуда, в частности, следует, что, взяв произвольно
х 6 5r G Vr (a» 51) и У б т1г € Дг (a» %)> получим всегда одно и то же (х-у) = (5«rj).
Пусть теперь Уд.£ {уа} 6 ^Г^» *а € *€ УГф- Для того' чтобы доказать правомерность
определения (х-у) = (*a-*/a), т- е* независимость этого произведения от выбора ха £ угФ,
достаточно, как всегда в таких случаях, показать, что при х^ ■-= ЪрХа имеем (х^-у^) —
= (*« • уа). Но (*р • //3) = (п%ха • уэ) = (*в • ®%ур) - (ха • уа).

24
Глава первая
Для этого берем x*dx и у'а 6 {y'J 6 у'6 &ГФ'. Тогда (пользуясь
обозначениями из § 2, п. 6) имеем: (х-££'#') ==(*«• y0L) = (x'a>-y<i') =(Л>х-у), откуда
утверждение и следует.
Теперь мы видим, что обратный спектр, сопряженный спектру (1), есть
не что иное как спектр
(2) {уг(Ф, Я)> Jl),
предельная группа которого есть группа угс(Х, 31). Поэтому бикомпактный
предел спектра (1), т. е. группа ДГ(Х, 93) есть группа характеров группы
Ус(Х, 21), так что имеем двойственность
Vc(X, 2l)|Ar(X, 58).
Чтобы глубже вникнуть в смысл этой двойственности, применим теорему
Чогошвили. Алгебраический предел спектра (1) есть, очевидно, группа
АГС(Х, 58) = ДГ(Х, 95).
Обозначим через N[(X, 95) подгруппу этой группы, состоящую из тех
элементов, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми
элементами группы у£(Х, й). Это скалярное произведение имеет весьма простой
смысл: произвольный элемент у группы Д£Х определяется некоторым
элементом уф группы 8ГФ для некоторого ФсХ, тогда как элемент xdyrcX
есть нить х={хф}, хф£угФ. Тогда, как мы видели, (х-у) = (хф-уф).
Группа NrA(Xt 93) имеет очень большое значение в комбинаторной
топологии незамкнутых множеств; по причинам, которые выяснятся в этом же
параграфе, она называется первой группой (r-мерной) незацепляемости
множества.
В силу теоремы Чогошвлли фактор-группа
(3) Д"(Х, 58) = К(Х, 58) - NrA (X, 95)
есть всюду плотная подгруппа группы Аг (X, 58). Как известно, если данная
топологическая группа G является всюду плотной подгруппой бикомпактной
группы G, то группа G есть пополнение группы G и потому определена
однозначно. Таким образом, с точностью до изоморфизма, может
существовать не более одной бикомпактной группы, имеющей данную
топологическую группу G своей всюду плотной подгруппой.
Итак, бикомпактная группа Аг (X, 95) может быть определена как
пополнение группы (3); при этом группа (3) берется с той топологией, которая
вытекает из того, что все ее элементы являются (в силу скалярного
произведения) характерами группы у£ (Х,Ш).

Группы Бетти незамкнутых множеств
2Ь
Группа Ar(X, 25) может быть определена также как единственная (с
точностью до изоморфизма) бикомпактная группа, содержащая группу Д'Г(Х, 85)
в качестве всюду плотной подгруппы.
Для того чтобы вполне уяснить геометрический смысл группы ДГ(Х, 25),..
остается сделать это в применении к группе Л/д (X, 25). К этому мы и
переходим.
3. Геометрический смысл группы незацепляемости NrA(X,25)#
Скользящие циклы. До сих пор мы рассматривали произвольное
пространство X. Теперь будем предполагать, что размерность этого пространства
конечна, а это равносильно предположению, что X есть множество, лежащее
в каком-либо 5".
Итак, пусть дано А с Sn, В = Sn\A. Произвольный компакт, лежащий
в Л, теперь будем обозначать через ср, через \i обозначаем дополнение к <р
(Л = Sn\<p.
Очевидно, если 9 пробегает множество Есех компактов, лежащих в А, то р
пробегает множество всех окрестностей множества В. Тогда по закону
двойственности Понтрягина
(1) A?(<p,») = 8"(?,»)|A?(pi.ai),
причем эта двойственность есть двойственность зацепления: для *<р С А? (9» 25),
i/p. б А? ([а, 21) и произвольных циклов z%£x99 z^dy^ имеем
(Г) (х<р -y,t)=o«4).
где d есть коэффициент зацепления (см. I, гл. 6, § 5). Если <р' с: 9> то
|х' zd [х и гомоморфизмы вложения Е$ группы Ас у' в Д£ 9 и Е$ группы
Д?|1 в группу Д?[х' являются сопряженными. Поэтому обратный спектр
(2) {Д?1х, Е».}9
где {л > ц/, если р с ц' есть спектр, сопряженный к прямому спектру
(3) {Д?9, Е%
где 9 > <р', если 9 з ?'. Поэтому, полагая (для области коэффициентов 21)
(4) £'Я = Пт(Д?[*, ££,)
имеем по самому определению группы ДР(Л, 25) двойственность
(5) £«(Й,21)|ДР(Л,25),
а значит и изоморфизм
(6) &{В9Щ = чРс(А9Щ.

26
Глава первая
Но вернемся к поставленной нами цели: выяснению геометрического
смысла группы Л;д(Л, 95). Группа эта определена как подгруппа группы
Д?(Л,20=Нт(Д?ср, <),
состоящая из тех элементов, скалярное произведение которых со всяким
элементом группы Dq (В, 21) равно нулю. Это скалярное произведение имеет в
данном случае особенно простой смысл. В самом деле, назовем «скользящим
циклом» множества В всякую систему («нить») конечных, полиэдральных
циклов г£, взятых по одному в каждой окрестности [х множества В и
удовлетворяющих условию: если [aCja', то г^ — г^/ в |х\ При почленном
сложении
{£»)+ {£*)-{#» + #*}
скользящие циклы образуют группу ZqCKB. В этой группе содержится
подгруппа HqCKB, состоящая из ограничивающих скользящих циклов {zl)
(удовлетворяющих условию: z$.~0 в ц при любом (л).
Группа DqB есть (с точностью до естественного изоморфизма) не что
иное, как фактор-группа
ZCKB — НСКВ.
Для любого скользящего цикла zqCK = {zl) множества В и любого
А,- цикла zp множества Л следующим образом определен коэффициент
зацепления d(zp, Zck): Цикл zp лежит на некотором компакте ср0; тогда для всех
И- > ^о (т. е. [х с: (х0) определен коэффициент зацепления t> (zp, zl) и имеет
(в силу гомологии гр ~ г£0 в \i0) одно и то же значение, равное о (zp, г£0).
Это общее значение и принимается за коэффициент зацепления о (zp, z?K).
С другой стороны, если zqK = {zl) б т) 6 Dq (Я, 31) и zp0 6 £ 6 А? (Л, 25), то по
определению групп А? Л, D^B и скалярного произведения их элементов имеем
(£ . т)) = (л;^ . yj = t> (z£o, zl) = о (zp, z?K).
Другими словами: скалярное произведение двух элементов 5 6 А? (Л, 25) и
-ц 6 D?K(B, 21) равяо коэффициенту зацепления любого Ас-цикла zp 6 £ с
любым скользящим циклом zqK € 7].
Поэтому гру/ша незацепляемости NPA(A, 25) ecm& подгруппа группы
А? (Л, 25), элементы которых определяются А ^циклами множества Л,
имеющими нулевой коэффициент зацепления со всяким скользящим циклом
множества 5. Это предложение, оправдывающее название группы
незацепляемости, может быть принято за ее определение. Полученное второе
определение групп незацепляемости очень наглядно, но неинвариантно по форме. То,

Группы Бетти незамкнутых множеств
27
что оно в действительности выражает топологический инвариант,
представляется замечательным геометрическим фактом; он вытекает из
эквивалентности второго определения групп А^д(Л, 25) первому. В дальнейшем мы
увидим, что группы незацепляемости N± (Л, 25) не только инвариантны, но и
дуализируемы (т. е. выражаются через топологические инварианты
множества В).
Замечание 1. Назовем Дс-цикл множества Л (по группе
коэффициентов 25) незацепляемым, если его коэффициент зацепления со всяким
скользящим циклом множества В (по группе коэффициентов Я) равен нулю,
Незацепляемые циклы (данной размерности р) образуют группу Zp (Л, 25),
содержащую подгруппу Я? (Л, 25) всех ограничивающих циклов. Из общей
теоремы Э. Нётер (Noether) «об изоморфизмах» следует, что группа
Npa(A, 25) изоморфна фактор-группе Z%(A, 25)- Нр (Л, 25):
NPA(A, 25) = Zp(At 25)- Я?(Л, 25).
Замечание 2. В силу закона двойственности Понтрягина, всякий цикл
(по области коэффициентов 25), лежащий на компакте Л с: Sn и не
гомологичный нулю на Л, зацеплен с некоторым циклом открытого множества В,
так что, в случае компактов Л, имеем ZP(A, 25) = Я? (Л, 25),
NPA(A, 25) = 0.
В то же время для незамкнутых точечных множеств явление
незацепляемости наблюдается очень часто. Возьмем, например, множество Л (на
плоскости, пополненной бесконечно удаленной точкой), состоящее из графика кри-
1 1
вой y = s'm — для 0<|л;|<— и из всех рациональных точек интервала
X 1Z
— 1 <С у < 1 оси ординат. Любая пара этих последних точек определяет в Л
нульмерный цикл, не гомологичный нулю в Л и в то же время не
зацепляемый; точно так же, любая пара иррациональных точек интервала — \<у<\
оси ординат образует незацепляемый цикл множества В. Следует заметить,
что обе группы DM и D1 В в нашем случае суть нуль-группы; таким
образом, нульмерные Дс-группы обоих множеств Л, В совпадают с группами
незацепляемости (и не только отличны от нуля, но являются даже несчетными
группами). Наличие групп незацепляемости представляет собою одно из самых
замечательных явлений в комбинаторной топологии незамкнутых множеств.
Оно не имеет аналога в топологии компактов.
4, Формулировка теоремы инвариантности и первого общего
закона двойственности. Во второй главе мы докажем, что группы DP(A, 21)
it ор(Л, 91) изоморфны между собою. Из этой „теоремы
инвариантности" вытекает —в силу уже доказанных нами в пп. 2, 3 изоморфизма
у« (В, 21) = Dp (Л, 2Г) и двойственности у? (#> 21) | Aq (В, 25) - следующий

28
Глава первая
Первый общий закон двойственности
f в у-форме: изоморфизм 8Р(Л, 21) = y?(fi, Щ*
[ в Д-форме: двойственность ор (Л, 31) \Ад(В> 25).
Читатель может сразу же приступить к доказательству теоремы
инвариантности во второй главе, отложив чтение следующего пункта этого
параграфа (о группах 8Г(Х, 25)) до того момента, когда эти группы будут
применяться (в гл. 4).
5. Бикомпактная проекционная группа ЬГ(Х, 25) определена К.
Ситниковым; она позволила ему установить дуализируемость групп Д? и ряда
других групп точечных множеств. Группа 8Г (X, 25) определяется следующим
образом. Для нерва произвольного звездно-конечного покрытия а множества
X определяем группу Дг(а, 25), основанную на конечных цепях]
рассматриваем ее без топологии. В группе уг(а, Щ* основанной на бесконечных цепях,
рассматриваем подгруппу Nr (а, 31), состоящую из всех элементов, имеющих
нулевое скалярное произведение со всяким элементом группы Аг(а, 25).
Аналогичным образом берем в группе Дг(а, 25) подгруппу Л/д (а, 25), состоящую
из всех элементов, имеющих нулевое скалярное произведение со всяким
элементом группы уг(ос, 21). Каждый элемент группы Д'г(а, 25) = Дг(а, 25) —
— Лтд(а, 25) есть характер группы у'г(а, 21) = уг(а, 21) —Л/у (а, 21), причем
различные элементы являются различными характерами. Поэтому группа
Д'г(а, 25) является подгруппой бикомпактной группы характеров ^г(а, 25)
группы у'г(а, 21) и получает из нее свою топологию. Докажем, что Д'г(а> 25)
есть всюду плотная подгруппа группы ог (а, 25). Для этого достаточно
доказать, что аннулятор в у'г(а, 25) замыкания группы Д'г(а, 25) в 8Г (а, 25) есть
нулевая группа. Но мы докажем даже больше, а именно, что для любого
отличного от нуля элемента ?€ у'г(а, 21) имеется элемент т) 6 Д'^а, 25), для
которого ($-у\)фО. Это последнее утверждение вытекает из того, что раз £ ф О,
то для каждого элемента х класса смежности £ найдется такой элемент
у б Дг (а, 25), что (х-у)ф 0. Обозначая через т\ б Д'г(а, 25) класс смежности
элемента у, получим (? • г\) ф 0, что и требовалось доказать.
Рассмотрим прямой спектр
(1) (V'(*. Я).*?}-
Легко убеждаемся в том, что
(Г) *W(*«)cA^(p,«).
В самом деле, если х$ € к* Nrv (а, 21), то при любом у? € Дг (р, 25) имеем (взяв
хл б Nrv (а, 21) так, чтобы было х$ = те£ ха):
(Ц' У& >= (*?*<* * №) = (*а ' Я&Ур) = 0,

Группы Бетти незамкнутых множеств
29
откуда и следует, что xp€iVy(p, 91).
Из (Г) следует, что спектр (1) определяет прямой спектр
(2) {ЛГу(«,«), *S}f
предельную группу которого обозначим через
(3) iYrv (А, 20 = Hm {Л/; (а, 91), 4} •
Можно говорить и о спектре, образованном фактор-группами
с проекциями, естественно определяемыми проекциями из (1) и потому
обозначаемыми также через 4- Легко видеть, что (с точностью до естественно
определяемого изоморфизма) предельная группа спектра
(4) {у>, «), 4}
есть
(4') Vr(A, Щ = уг(Д 21)- Л/^(Д »).
Покажем теперь, что группы оr (а, 25) объединяются в обратный спектр.
В самом деле, при р > а проекция ©а порождает одноименный гомоморфизм
труппы Аг(р, ») в группу Ar(a, 25), причем ©£#д(р, 25)с=УУд (а, 25) [что
доказывается совершенно аналогично тому, как было доказано включение
{I')]. Поэтому определен и непрерывный гомоморфизм группы
А/Г(р, 25) в Д'>, 25),
обозначаемый, естественно, также через ©£. Этот гомоморфизм,
распространенный по непрерывности на всю группу 8 г((3, 25), дает нам искомую
проекцию &а группы 8Г(Р, 25) в 8г(а, 25), так что мы имеем обратный спектр
<б) {7 (a, »)fBg!,
предельная группа которого и называется группой 8Г (X, 25)
Y(X, 25) = lim{"8>, 25), g£}#
Из двойственностей
V'r(oc,30|"8r(a, 58)
и из того, что гомоморфизмы 4 и ®а в спектрах (4) и (5) являются
сопряженными, следует, что и предельные группы этих спектров двойственны между
собою. Другими словами, имеет место двойственность
(6) V'r(X,f&)\Jr(X,%).

30
Глава первая
6. Заключительные замечания. Формулировка центрального
закона двойственности Ситникова и его же теоремы двойственности
для групп Д£. Мы привыкли к тому, что группой, двойственной к
некоторой группе Д-типа, является некоторая у-группа и обратно. Так, например,,
мы видели, что
уНх.*)|Дг(х,»).
Теперь мы видим, что у-группой, двойственной группе ог(Х, 25), является не
вся группа уг(Х, 21), а лишь ее фактор-группа yv(X, Щ- Это заставляет нас
считать группу ог(Х, 58) менее богатой, чем группа уг(Х, 21). Следует,
однако, отметить, что только что высказанное положение «ко всякой у-группе
двойственна некоторая А-группа и наоборот» пока не находит себе
подтверждения в двух самых важных случаях: нам неизвестен геометрический смысл
ни группы, двойственной группе уг(Х, 2(), ни группы, двойственной группе
ДГ(Х, 21). По ряду причин, которые выяснятся в дальнейшем изложении, мы
склонны считать группы угХ и ДГХ самыми богатыми, соответственно, среди
групп у-и Д-типа. Центральный закон двойственности
Ситникова, доказательство которого составляет один из осноеных предметов этой
книги, утверждает, что для взаимно дополнительных множеств А и В в S*1
имеет место изоморфизм
ур(Л,«) = Д«(В,«).
Однако никакие связи между группами угХ и АГХ для одного и того же
множества X нам пока неизвестны. Неизвестен ответ и на следующий
естественно возникающий вопрос. Определяют ли группы ДГ(Х, 21), взятые по
всем размерностям г и, если нужно, по всем областям коэффициентов 21,
группы угХ?
Заметим в заключение, что, как будет доказано в главе 4, группы
А?(Л, 21) и о7(В, 25) двойственны между собою, откуда и следует дуали-
зируемость каждой из этих групп.

Глава вторая
ПЕРВЫЙ ОБЩИЙ ЗАКОН ДВОЙСТВЕННОСТИ
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В гл. 1, § 3, п. 4 первый общий закон двойственности был
сформулирован в двух эквивалентных формах: в виде двойственности (Д-форма) и в*
виде изоморфизма (у-форма)
Д-форма: ?/(А,Щ\Ад(В, 23),
V-форма: ЪР(А, Ш) = удс(В,Щ,
причем доказательство теоремы в этих обеих ее формах было сведено к
доказательству «теоремы инвариантности», выражающейся в виде изоморфизма
(1) ЬР(А, %) = DP(A, 21).
Доказательство теоремы инвариантности составляет содержание первого
параграфа этой главы. Второй и третий параграфы посвящены частным случаям
закона двойственности (в частности, доказательству дуализируемости числа
компонент произвольного точечного множества, а также так называемому
второму закону двойственности для замкнутых множеств в 5") и различным
связанным с ним замечаниям.
§ 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ИНВАРИАНТНОСТИ
1. Триангуляции и сопряженные им покрытия. В первой части мы
рассматривали исключительно конечные комплексы, в частности триангуляции.
Теперь мы будем предполагать, что рассматриваемые нами комплексы (т. е.
множества открытых симплексов, лежащих в данном Sn) удовлетворяют
значительно более слабому требованию, именно:
Условие локальной конечности*. Каждая точка,
содержащаяся в каком-либо симплексе данного комплекса К (лежащего в Sn), имеет
окрестность (относительно всего S"), пересекающуюся лишь с конечным-
числом симплексов комплекса К.
* Понятие локальной конечности (системы множеств) стало одним из важнейших
понятий топологии; оно впервые было введено мною в 1924 г. в работе «Les ensembles
de la premiere classe et les espuces abstraits»; C. R. de l'Academie des Sciences, Paris,.
1924, t. 178,.p. 185—187 («couverture dispersee»)»

32
Глава вторая
Триангуляцией называется комплекс х, состоящий из попарно не пере-
секающихся открытых симплексов различных размерностей, лежащих в
данном Sn и удовлетворяющих, кроме условия локальной конечности, еще
и условию полноты: всякая грань симплекса, являющегося элементом
триангуляции х, есть элемент этой триангуляции.
Из этих условий сразу следует, что всякая триангуляция состоит не
более чем из счетного числа симплексов. Как мы знаем из первой части,
теоретико-множественная сумма всех симплексов, являющихся элементами
данного комплекса К, называется телом этого комплекса и обозначается
через /С.
Всякое множество X, являющееся телом некоторой триангуляции х,
называется полиэдром, тогда триангуляция х называется триангуляцией
полиэдра х = X. Образуя частный случай точечных множеств, полиэдры,
разумеется, получают свою топологию из объемлющего их пространства Sn.
Очевидным следствием локальной конечности данного комплекса К является
.его звездная конечность: звезда Оке любой вершины е комплекса /С, а
следовательно, и звезда ОкТ каждого симплекса* Т комплекса К является
конечным подкомплексом комплекса /С. Как и в конечном случае,
определяются открытые и замкнутые подкомплексы триангуляции (см. I, гл. 1, § 1,
41. 3), причем замкнутые подкомплексы триангуляции совпадают с полными
подкомплексами. Отсюда и из условия локальной конечности легко следует,
что тело Ко подкомплекса Ко триангуляции х тогда и только тогда
является замкнутым подмножеством полиэдра х, когда подкомплекс К0
,есть замкнутый (т. е. полный) подкомплекс триангуляции х, другими
словами, когда он сам является триангуляцией. Переходом к дополнениям
получаем аналогичное условие для открытых подкомплексов В частности,
тела звезд данной триангуляции х суть множества, открытые в поли-
эдре 'т.
Как и в конечном случае, нам главным образом понадобятся не сами
звезды симплексов Т 6 х, а их тела; их мы будем называть открытыми
звездами', открытая звезда симплекса Т G х будет обозначаться через от7\
Особенно важны открытые звезды oze вершин триангуляции х; мы будем их
называть главными звездами триангуляции х. Система всех главных звезд
триангуляции х образует покрытие полиэдра х, нервом которого является
триангуляция х.
Рассмотрим какую-нибудь последовательность
^1» ^2» • • • » ^ » • • •
триангуляции полиэдра К, делающихся сколь угодно мелкими в том смыслеf
что последовательность
©1» S2, . . . , Svt • . • »
* Под звездой симплекса Т комплекса К понимается множество всех симплексов этого
^комплекса, имеющих симплекс Т своей собственной или несобственной гранью.

Первый общий закон двойственности
33
где ev есть верхняя грань диаметров симплексов Г€т:у, сходится к нулю.
Нетрудно убедиться, что, беря главные звезды всех триангуляции tv, мы
получим базу полиэдра X, рассматриваемого как топологическое
пространство *.
Этот результат может быть усилен следующим образом.
Во всякое покрытие о> полиэдра X можно вписать покрытие,
образованное глазными звездами некоторой триангуляции этого полиэдра.
Приведем доказательство эгого прэдлэжения **. Пусть а — какая-нибудь
триангуляция полиэдра X. Если она конечна, т. е. полиэдр X является
компактом, то предложение доказано: достаточно взять подразделение т
триангуляции а, мелкость которого (т. е. верхняя грань диаметров его главных
звезд) является лебеговским числом покрытия о>. Итак, пусть а —
бесконечная триангуляция. Тогда она может быть легко представлена как сумма
конечных триангуляции
оо
О «= (J 0Vf
v = 0
причем а0 состоит, например, из одного симплекса и всех его граней, a av
может иметь общие и притом неглавные элементы лишь с ау_! и ov+1. Бе-
ре \* столь мелкое подразделение т0 триангуляции о0, что его главные звезды
вписаны в со. Предположим, что мы имеем триангуляцию т., являющуюся
подразделением триангуляции (J av и такую, что ее главные звезды впи-
0<v</
саны в о. Подразделим триангуляцию а/+1 так, чтобы ее звезды оказались
вписанными в о> и произвел эм соответствующее центральное подразделение
триангуляции т.. Эго подразделение затронет лишь те симплексы ti9 которые
лежат на некоторых симплексах о.. В результате получим триангуляцию
*/+!, являющуюся подразделением комплекса U av, причем главные звез-
0<v</ + l
ды этой триангуляции вписаны в о>. При нашем процессе симплексы,
входившие в а19 после (/ -(- 1)-го подразделения уже остаются неизменными,
оо
поэтому в результате мы получаем триангуляцию х = [} х. всего полиэдра
/=о
X, главные звезды которой вписаны в со.
Заметим, что аналогичным образом доказывается и так называемая
теорема Рунге.
Всякое открытое в Sn множество Г есть полиэдр.
* Отсюда сразу следует, что все полиэдры суть локально-компактные пространства;
при это*! компактно :ть пол одра равнозначна конечности какой-нибудь (и тогда всякой) его
триангуляции.
** В моей работе [10] оно доказано для того единственно нужного нам в дальнейшем
случая, когда полиэдр X является открытым множеством в Sn. Общая формулировка и
приводимое ниже доказательство принадлежат С. Каплану. Оба доказательства этой по
существу совершенно элементарной теоремы мало чем отличаются друг от друга и
появились приблизительно одновременно.

34
Глава вторая
Для доказательства берется последовательность неограниченно
измельчающихся триангуляции xv сферы Sn, v = 0, 1,2,..., каждая из которых есть
подразделение предыдущей, причем уже начальная триангуляция т0 берется
настолько мелкой, что ее подкомплекс о0, состоящий из всех симплексов,
замыкания которых лежат в Г, непуст. После этого по индукции
определяется триангуляция cv, состоящая из всех симплексов триангуляции ту, не
содержащихся в *av-i. но лежащих вместе со всеми своими гранями в Г.
Очевидно ио,аГ, Подразделяя, далее, «слои» av как при доказательстве
предыдущей теоремы, получим искомую триангуляцию т Есего множества Г.
Подробно проведенное доказательство читатель может найти в [10J
гл. 1, § 3.
Из доказанного следует
Лемма 1 (основная элементарная лемма)*. Пусть в Sn дана
произвольная система © открытых множеств Ga. Существует такая триан-
гуляция т множества Г= \J Ga, что покрытие, состоящее из главных
звезд гтой триангуляции, вписано в систему ®.
Нам понадобятся некоторые дальнейшие предложения.
Основное определение. Мы говорим, что триангуляция %'
следует за триангуляцией т, если каждый симплекс T'Gx' лежит на
некотором (очевидно, единственном) симплексе Т 6 т (своем носителе в z).
Замечание. Нам понадобится и некоторое усиление понятия
следования: мы скажем, что триангуляция т' строго следует за триангуляцией
х, если т' следует за двукратным барицентрическим подразделением
триангуляции т.
Лемма 2. Пусть Р,Р\Р" полиэдры в Sn, причем P'CPf] Я'. При
любом выборе триангуляции т, %' полиэдров Р и Р' можно найти
триангуляцию ч." полиэдра Р'\ следующую как за т, так и за т\
Для доказательства введем определение обобщенной триангуляции,
отличающееся от определения триангуляции лишь тем, что элементами
обобщенной триангуляции могут быть любые выпуклые многогранники (а не только
комплексы). При этом, как и раньше, многогранники берутся открытые (т. е.
их грани к ним не причисляются). Пусть теперь о произвольная
триангуляция полиэдра Р". Так как замыкание любого симплекса Го 6 о есть компакт*
лежащий в полиэдре Я, то оно —и тем более сам симплекс Т*0 —
пересекается лишь с конечным числом симплексов** триангуляции т. По той же
причине симплекс Т0 пересекается лишь с конечным числом симплексов
* Эта лемма доказана в моей работе [10] под названием „усиленной теоремы Рунге".
** Из локальной конечности всякой триангуляции следует, что любой компакт,
лежащий в данном полиэдре, пересекается лишь с конечным числом элементов произвольной
триангуляции этого полиэдра.

Первый общий закон двойственности
35
триангуляции т'. Поэтому существует лишь конечное число выпуклых
многогранников, могущих быть представленными в виде
То П Т Л г,
где Т0 — фиксированный симплекс триангуляции о, а Т и V — произвольные
симплексы, принадлежащие соответственно триангуляциям т и т'. Эти
многогранники, гостроенные для Есех То, являются элементами обобщен к ой
триангуляции полиэдра Р"> любое симплициальное подразделение которой может
быть принято за искомую триангуляцию т".
2. Триангуляции покрывающие и канонические относительно
данного множества. До конца этого параграфа пусть X— данное множество,
лежащее в данном Sn. Мы говорим, что триангуляция т покрывает множество
Xt если XСтС Sn; если при этом каждый главный симплекс триангуляции
т содержит хотя бы одну точку множества X, то говорим, что
триангуляция т строго покрывает множество X. Всякая триангуляция т,
покрывающая множество X, содержит единственную триангуляцию т', строго
покрывающую это множество: триангуляция т' состоит из исех симплексов Г€т,
содержащий точки множества X, и из всех граней этих симплексов.
Единственную триангуляцию т', содержащуюся (как подкомплекс) в триангуляции
т и строго покрывающую множество X, назовем производной от
триангуляции т (относительно множества X).
Назовем теперь триангуляцию каноническойу если она является
производной от некоторой триангуляции некоторой окрестности множества
X. Канонические триангуляции образуют направленное множество (в силу
данного выше определения следования триангуляции). В самом деле, пусть
xi и т2 две канонические триангуляции, соответствующие триангуляциям т4
и та открытых множеств. Возьмем какую-нибудь триангуляцию т открытого
множества тх П ^2» следующую за обеими триангуляциями тх и т2 (такая
триангуляция существует на основании леммы 2). ПроизЕодная триангуляция
т' от триангуляции т есть искомая каноническая триангуляция, следующая
за т'х и за т'2.
3. Группа drX. План доказательства теоремы инвариантности.
Если триангуляция 6 следует за триангуляцией т, то, ставя в соответствие
каждой вершине ев триангуляции 6 какую-нибудь вершину носителя точки
еь в т, получим, как известно, симплициальное отображение — «канонический
сдвиг» о\ триангуляции 6 в триангуляцию т; канонических сдеигов
триангуляции б в триангуляцию т может быть много, но любые два из них
являются комбинаторно близкими симплициальными отображениями, так что все
канонические сдвиги порождают один и тот же гомоморфизм о\ группы Дг0
в группу Дгт — гомоморфизм канонического сдвига (см. I, гл. 3, §§ 1 и 3).

36
Глава вторая
Рассмотрим теперь направленное множество всех канонических
триангуляции х' с соответствующими каноническими сдвигами; получаем обратный
спектр
(1) {AV, о%
предельную группу которого обозначаем через drX. Теорема инвариантности
будет доказана, если мы покажем, что каждая из групп 8ГХ и DrX
изоморфна группе drX.
4. Доказательство изоморфизма ЪГХ = drX. Если триангуляция х
покрывает множество X, то пересечения X Г\ ое главных звезд ое этой
триангуляции с множеством X образуют покрытие а>х этого множества, которое
назовем сопряженным данной триангуляции х. Считая элементы X f] ое и
X П ов, различными, если различны ое и ое, (т. е. вершины е и ё)> видим
что нерв покрытия a)t множества X, сопряженного данной триангуляции х
покрывающей это множество), есть (собственный или несобственный)
подкомплекс триангуляции х. Для дальнейшего основным фактом является
следующий. Если триангуляция х строго покрывает множество X, то нерв
сопряженного ей покрытия wx есть вся триангуляция х.
Для доказательства надо убедиться в том, что если главные звезды
о 9 ...уое триангуляции т имеют непустое пересечение, то множество
(2) ' (X Л ое) П ... П (X П ое)=[Х П оео п ... П о,г
также не пусто; но
где Т = | е0... ег |, а звезда оГ как всякая звезда триангуляции, содержит
хотя бы один главный симплекс этой триангуляции, следовательно (так как
каждый главный симплекс триангуляции х содержит точки множества X)
содержит и точки множества X; поэтому множество (2) совпадает с
непустым множеством X Г) от, чем наше утверждение доказано.
Будем теперь рассматривать лишь канонические триангуляции х.
Сопряженные им покрытия множества X будем называть каноническими
покрытиями. Мы только что убедились в том, что каждая каноническая
триангуляция является нервом сопряженного ей канонического покрытия
множества X.
Докажем теперь, что за каждым покрытием а множества X следует
(в направленном множестве всех покрытий X) некоторое каноническое
покрытие. В самом деле, пусть а = {Г,} —данное покрытие множества X,
Для каждого Г. 6 а возьмем открытое в Sn множество Git высекающее из
X множество Г,
хпо, = г..
На основании леммы 1 из п. 1 мы можем найти такую триангуляцию х
открытого в Sn множества G = U G/, что множество всех главных извезд

Первый общий закон двойственности
37
триангуляции т, а следовательно, и подаЕно сопряженное этой триангуляции
покрытие o)t, вписано в покрытие а. Тем более это справедливо для
канонического покрытия шт/, сопряженного производной г# триангуляции т. Этим
наше утверждение и доказано.
Итак, оставляя в спектре
(3) {Д'ос, В*}
с предельной группой ЬГХ одни лишь канонические покрытия, мы получим
спектр
(4) {Дга', £#},
где а' суть канонические покрытия. Но нерв каждого такого покрытия есть
каноническая триангуляция т', для которой данное покрытие является
сопряженным. Таких триангуляции может быть много, но все они (будучи нервами
одного и того же покрытия а') изоморфны между собою. Поэтому мы можем
в спектре (4) каждое ос' заменить (интересующий нас в данном случае лишь
с точностью до изоморфизма) канонической триангуляцией т' (порождающей
покрытие а'); в полученном таким образом спектре
(5) {AV, В?}
и порядок и проекция — те же, что в (4) (и в (3)). Мы получим
мультипликацию спектра (5)*, если будем считать все канонические триангуляции т',
порождающие одно и то же каноническое покрытие, геометрически данными
(следовательно, совпадающими между собою лишь если они геометрически
совпадают). Порядок и проекции оставляем при этом теми же, что и раньше
[т. е. считаем б' > т' всякий раз, когда покрытие Р', сопряженное
триангуляции 6', вписано в покрытие а, сопряженное триангуляции т', с проекциями
определенными в (3)]. Это новое соглашение не меняет предельной группы
* Понятие мультипликации направленного множества (в частности спектра) легко
сводится к понятию конфинальной части. Оно состоит в следующем.
Мы пслучаем мультипликацию данного направленного множества (соответственно,
данного обратного или прямого спектра 2), если заменяем каждый элемент a g 2
совокупностью аа новых элементов, которые будем обозначать через <хХ, ajx,... и т. д., причем любые
два элемента аХ и ajx (а также аХ и (fyt.) считаем при X ф ja, соответственно при а Ф
различными. Во множестве 2* полученных таким образом элементов вводим порядок,
полагая Pfx > aX в 2* тогда и только тогда, когда р > а в 2. Если Е — спектр, то мы пред
полагаем, что группы аХ и а не только изоморфны между собою, но связаны раз навсегда
выбранным естественным изоморфизмом (вследствие которого аХ и ajx также находятся в
отношении естественного изоморфизма). В силу этого изоморфизма при Pfx > aX можно
проекцию ©2 (соответственно tcJ[) естественно перенести на группы Р(х и аХ, так что
получится проекция g^x (соответственно тс**) при любых Хи fx. Спектр Z* = {aX, В^хЬ
соответственно X* = {аХ, тс"*} и называется мультипликацией спектра Г.
Отождествляя элемент a £ 2 с некоторым огределеннь.м элементом аХ £ 2* , можем
считать направленное множество (спектр) 1 конфинальной частью направленного множества
(спектра) I* §

38
Глава вторая
спектра (5), которая остается группой 8ГХ. Делаем, наконец, последний шаг:
в полученной мультипликации спектра (5), в которой х' пробегает уже все
канонические триангуляции (как геометрически данные), мы ослабляем
порядок*, устанавливая тот порядок, который был ранее определен для
триангуляции. При этом гомоморфизм ©J' Для групп AV есть не что иное, как
гомоморфизм канонического сдвига. Это последнее преобразование превращает
спектр (5), не меняя его предельной группы ЬГХ, в спектр (1), предельная
группа которого есть группа drX. Таким образом, изоморфизм ^ГХ = drX
доказан.
5. Доказательство изоморфизма drX=DrX. Считая каждую
каноническую триангуляцию х' столько раз, сколько имеется таких триангуляции
х всевозможных окрестностей х множества X, что х' является производной
от т, получим спектр**
(6) {AVf о%
являющийся мультипликацией спектра
(1) {AV, <£}
и имеющий, следовательно, ту же предельную группу
drX = lim{AV,o9t}.
Теперь поставим в соответствие каждой триангуляции х какой-либо
окрестности х множества X вполне определенную окрестность Хт множества X—
«каноническую окрестность» (соответствующую триангуляции х) таким
образом, что выполнены условия:
(а) Полиэдр Xх (т. е. тело производной х' от триангуляции х) содержится
в Хх и является ретрактом множества Хх'.
(б) Если 0>х, то xJcXT'.
(в) Канонические окрестности образуют по включению (независимо от
определяющих их триангуляции х) направленное множество.
* Мы говорим, что направленное множество 2' получилось из направленного множества
2 ослаблением порядка, если оба множества состоят из одних и тех же элементов, причем
из р > а в 2' следует р>а в 2 (но, вообще говоря, не обратно). Из этого определения
следует (см. I, гл. 2, п. 1), что направленное множество 2' есть конфинальная часть
направленного множества 2.
Замечание. Существенно, что множество 2', полученное из 2 ослаблением
порядка, остается (при «ослабленном» порядке) направленным множеством. Без этого ни о какой
конфинальности, конечно, не может быть речи.
** Очевидно, что при всяком каноническом сдвиге oj производная 6' переходит в т'
(так что сдвиг от однозначно порождает и сдвиг ах',).

Первый общий закон двойственности
39
(г) Направлэнное множество всех канонических окрестностей множества
X образует конфинальную часть в направленном множестве всех вообще
окрестностей множества X.
Прежде чем переходить к построению канонических окрестностей, заметим,
что из их существования уже следует изоморфизм drX — DrX. В самом деле:
1) Если триангуляция б следует за триангуляцией т, то «гомоморфизм
канонического сдвига» о\ группы Дг0 в Дгт совпадает с гомоморфизмом
вложения Е~ группы Дг0 = Дг6 в группу Дгт = Дгт, определяемым
тождественным отображением полиэдра 0 в т.*
2) Так как, в силу свойства (а) канонических окрестностей, полиэдр Т
есть ретракт полиэдра Хх, то тождественное отображение z в \'х определяет
изоморфизм £*'/ группы AV на группу ДгХх. Из этих двух замечаний сле-
дует, имея в виду свойство (б), что
е
drX = lim {ДХ Е4,).
Но в силу свойства (в) мы можем рассматривать и спектр
(7) {ДХ £#},
где канонические окрестности X', р/,..., рассматриваемые независимо от
триангуляции т, 0,..., которым они соответствуют, упорядочены по включению. Так
х'
как спектр {ДГХХ, £х/} есть, очевидно, мультипликация спектра (7), то
х
drX=lim{ArX',£x''}.
Но в силу свойства (г) канонические окрестности образуют конфинальную
часть во множестве всех окрестностей множества X, так что предельная
группа спектра (7) совпадает с группой DrX9 откуда изоморфизм drX = DrX
и следует.
Итак, дело сводится к построению канонических окрестностей,
удовлетворяющих условиям (а)—(г). Пусть дана триангуляция т, телом которой
является открытое множество, содержащее множество X. Производную
триангуляцию обозначаем, как всегда, через т'. Для построения множества Хт
назовем временно симплекс V б т' обнаженным, если звезда этого симплекса
в т не содержится в т'. Обозначим через О'Т сумму всех симплексов
двукратного барицентрического подразделения триангуляции т, примыкающих
к обнаженному симплексу Т (т. е. имеющих грань, лежащую в 7").
Множество Хт получается из полиэдра т' присоединением к нему множеств О'Т'
для всех обнаженных симплексов 7"€т\
Легко проверяется, что Хх' открыто в £ следовательно, и в Sn, что
полиэдр т' есть ретракт множества Хт' и что при 0>т всегда ХеСХт.

40
Глава вторая
Теперь докажем свойство (в). Пусть даны две канонические окрестности
Х^ и Хх,. Возьмем триангуляцию т открытого множества X'Tl п Х^,
следующую за тх и за т2 (она существует на основании леммы 2 из п. 1). Но
в силу свойства (б) имеем XT'cx'Tt f] Хт„ чем свойство (в) и доказано. Для
доказательства свойства (г) достаточно взять какую-нибудь окрестность X
множества X и произвольную ее триангуляцию т. Так как Х,Ст=Х, то все
доказано.
Итак, изоморфизм drX = DrX, а вместе с ним теорема инвариантности и
первый закон двойственности полностью доказаны.
§ 2. ВТОРОЙ ЗАКОН ДВОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ КОМПАКТОВ
В качестве частного случая доказанного вь:ше общего закона
двойственности рассмотрим случай, когда А есть компакт*, лежащий в &п. Закон
двойственности Понтрягина утверждает в зтсм случае ДЕОйстЕевнссть
ър(а,%)\апв;м
в которой существенно, что группа компакта А берется по биокомпактной
области коэффициентов 25 и надлежащим образом топологизируется. Самый
вопрос о дуализируемости групп &Г(А 31) = Д£(Л, 91) компактов Л, взятых
по дискретной области коэффициентов (даже, например, по группе целых
чисел), оставался открытым до доказательства общего закона двойственности.
Теперь мы видим, что
(1) tf(A9V)\&(B, 55).
При этом для компакта А группа ор(Д'ЭД) может быть определена — как в
первой части этой работы — при помощи одних лгшь конечных покрытий
(образующих в этом случае когфкнальг>ю чгсть множества Есех покрытий),
поэтому она изоморфна группе А? (А, 21) (см. I, гл. 3, § 7), так что
двойственность (1) может быть переписана и в виде
(2) Д?(Л,21)|Д«(Б,Ж).
Эти соотношения и могут рассматриваться как «второй закон
двойственности» для компактов Л с: Sn и дискретных областей коэф4ициентов на них.
Из него вытекает дуализируем есть групп АГС(А, 91) для замкнутого A cz Sr\
В главе 4 мы увидим, что группы АГСА дуализируемы и для любых
множеств.
§ 3. НУЛЬМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ — КОМПОНЕНТЫ И КВАЗИКОМПОНЕНТЫ
ТОЧЕЧНОГО МНОЖЕСТВА
1. Мы теперь рассмотрим нульмерный случай общего закона
двойственности, позволяющий, в частности, доказать дуализируемость числа компонент
* Мы выделили этот частный случай в отдельный параграф, т. к. он относится к кругу
вопросов, ставшему уже давно классическим.

Первый общий закон двойственности
41
точечного множества (теорема Эйлекберга). При этом в качестве
единственной группы коэффициентов мы возьмем группу второго порядка, что сводит
все алгебраические рассмотрения к простершим понятиям элементарной
теории множеств. Нам удобно будет пользоваться следующими обозначениями.
Пусть С — произвольное („абстрактное") множество. Обозначим через С0 и
назовем большой группой множества С группу, элементами которой
являются всевозможные конечные подмножества С, а сложение определено как
сложение по модулю 2 (суммой двух подмножеств мнсжестЕа С называется
их симметрическая разкссть, т. е. месжсстео тех элементов С, которые
принадлежат лишь какому-нибудь одному из двух данных подмножеств). В
группе С° содержится подгруппа С00, элементами которой являются те и только
те конечные подмножества множества С, которые состоят из четного числа
элементов. Группу С00 назовем малой группой множества С.
Назовем числом элементов какого-нибудь множества мощность этого
множества, если оно конечно, и символ оо, если наше множество бесконечно»
При этом мы полагаем для любого конечного числа а
а < оо,
оо + а=±а-|--оо = оо.
Если множество С содержит р элементов
(1) аъ...,ар
и может быть, содержит еще и другие элементы), то (1) дает нам скстему
линейно независимых (по модулю 2) элементов* группы С0, а
(неупорядоченные) пары
(2) (аиа2), (ai9as)9. . . ,{аъар)
являются линейно независимыми элементами группы С00. Если (1)
исчерпывает все множество С, то, как нетрудно Еидеть, соответствующие элементы
группы С0 образуют базу этой группы, а (2) образуют базу группы С00.
Отсюда следует:
I. Если С —конечное множество, состоящее из р элементов, то ранг
группы С0 равен р, а ранг группы С00 равен р — /; если же множество'
С бесконечно, то ранг обеих групп С0 и С00 равен оо.
* Когда мы говорим, что (1) есть система элементов группы С0, то рассматриваем
каждое а£ как множество, состоящее из элемента а£. Элементы clf -.., cs группы С°
называются линейно независимыми, если, каково бы ни было непустое подмножества
{/lt...,/г} множества чисел 1, 2,..., s, имеем ct + ... + cf ^0(n.cd 2); очевидно, это
определение сводится к обычному, если брать линейные комбинации с коэффициентами из /2.
Определение линейной независимости естественно приводит и к определению ранга группы
(по модулю 2).
Заметим, что все группы С0 и С00 являются (дискретными) прямыми суммами
некоторого множества групп второго порядка. Число прямых слагаемых и является рангом
группы. Группы характеров наших групп являются уже топологическими
(бикомпактными) прямыми суммами групп второго горядка. Число этих слагаемых снова может
быть определено как ранг соответствующих групп.

^2
Глава вторая
Другими словами, во всех случаях ранг группы С0 равен числу
элементов множества С, а ранг группы С00 равен числу элементов множества С
без единицы.
Пусть теперь дана частично упорядоченная система множеств {Са}; пусть,
кроме того, для каждой пары (*>а дано отображение („проекция") ©«
множества Ср во множество Са, причем выполнено условие транзитивности: если
4>(3>а, то ©а==©а©р. Определенному таким образом спектру {Са, ©£}
множеств Са соответствует предельное множество С = Нт(Са,@£),
элементами которого являются „нити" (ха], где ха есть элемент множества Са
{по одному из каждого Са), и при р> а имеем ©а*р = *а. Отображение ©£
множества Ср в Са порождает одноименное отображение каждого конечного
подмножества срССр на некоторое конечное подмножество сасСв, причем
отображение это определяется также по модулю 2: образом [множества
£рС^Ср считается множество тех элементов множества Са, в каждый из
которых отобразилось нечетное число элементов множества Ср. При этом
очевидно, что множество £р, состоящее из четного числа элементов,
отобразится на множество са, состоящее также из четного числа элементов. Ясно,
что отображение ©«* множества Ср во множество Са порождает таким
образом гомоморфное отображение (которое будем обозначать также через э£)
группы Ср в группу С2, при котором группа Cf отобразится в группу Со0.
Итак, получаем обратные спектры
{са,©2}, {С ©2},
предельные группы которых будем обозначать через (С0) и (С00). Элементами
группы (С0) являются „нити" {са} конечных подмножеств сл с С« по] одному
подмножеству са из каждого Са, причем требуется, чтобы при Р>а было
©2ср = Са.
Среди нитей {са} те, которые являются элементами группы (С00),
выделены условием, чтобы все входящие в их состав множества сл состояли из
четного числа элементов.
Наряду с предельными группами (С0) и (С00) можно рассматривать
большую и малую группу предельного множества С нашего спектра. Эти группы
обозначаем соответственно через С0 и С00.
Ставя в соответствие каждой нити х = {ха} б С ее координату ха, т. е.
содержащийся в ней элемент множества Са, и понимая это отображение
снова по модулю 2, видим, что каждому конечному множеству элементов
множества С соответствует в каждом множестве Са некоторое конечное
подмножество са, причем подмножества эти (рассматриваемые как элементы
•соответствующих групп С«) образуют снова нить, т. е. элемент группы (С0).
Таким образом, устанавливается отображение f9 как легко видеть, изоморф-

Первый общий закон двойственности
43
ное *, группы С0 в группу (С0), в силу которого группу С° можно
рассматривать как подгруппу группы (С0), а группу С00 —как подгруппу группы (С00).
Однако даже в простейших случаях группа С0 не совпадает с группой (С0),
а группа С00 не совпадает с группой (С00).
2. Пример. Замечание. Рассмотрим счетную последовательность
множеств СЛ, k =» 1, 2, 3,..., причем Ck по определению состоит из k элементов
xki, х\,..., xi Отображения ©*+1 определяются так: ©*+1x;J+1 = ©*+1л;2+1=л£ >
^л+1*з+1 = x\, ..., s£+1Jt*+l = .4- Легко видеть, что множество С счетно.
Следовательно, группы С0 и С00 также счетны. Между тем, группы (С0) и (С00)
имеют каждая мощность континуума, как видно из следующей таблицы
J0)
/
(0)
(0)
(xfxj)
Ух?*!)
/IV
m ^ •tf3*t№$t4wteH&)
(с!)
Щ)
И)
/V
/'ч
в ^строках которой указаны для k = 1, 2, 3, 4 все подмножества**
соответственно множеств Сл, а 'стрелки показывают, как эти подмножества
отображаются при проекциях ©*+1. Оставляя в этой таблице лишь множества,
состоящие из четного числа элементов, видим, что группа (С00) также имеет
мощность континуума*^
Укажем один существенный, хотя и тривиальный случай, в котором группы
С0, С00 соответственно изоморфны группам (С0), (С00).
II. Пусть дана частично упорядоченная система (любой мощности)
множестз Са, состоящих из одного и того же конечного числа элементов,
которое обозначим через р. Пусть, кроме того, проекции s£ являются
взаимно однозначными отображениями множества С$ (следующего за Са)
на Са- Тогда каждая из групп С«, С0, (С0) есть прямая сумма р групп
второго порядка, а каждая из групп С™, С00, (С00) — прямая сумма р — 1
групп второго порядка.
* В самом деле, пусть с= {х1 Xs} непустое конечное подмножество множества
С (т. е. отличный от нуля элемент группы С0). Если х1 = {л£}, i = 1,..., s, суть элвхменты
множества с, то для каждой пары х*, х^ ^этих элементов можно найти такое а|;-, что
xi ф^„ . Беря а, следуюдэе за всеми эгими а,,-, видим, что х\ ...,*£ все различны
*(/ ij
между собой, так что са не пусто и значит / (с) Ф 0.
** Например, (дф означает множество, состоящее из одного элемента х*\ через
(*J, дф обозначено множество, состоящее из двух элементов х\ и х\ и т. п. Через (0)
обозначено пустое множество.

44
Глава вторая
3. Группы 8°Л и 800Л. Если К — комплекс, а Г—открытое в Sn
множество, то группы Д°/С и Дов/С (соответственно 8°Г, 800Г) являются большой к
малой группой множества С всех компонент комплекса К (соответственно
открытого множества Г).
Далее, группы 8°Л, 800Л для любого Л, будучи изоморфны группам D°Ar
D00A, могут быть определены следующим образом. Пусть, как всегда, X —
произвольное открытое в Sn множество, содержащее множество А.
Обозначим через Сх множество всех компонент множества X. Если Х'>Х, т. е.
если X' с: X, то каждая компонента множества X' содержится в определенной
компоненте множества X, так что определена проекция ©х' множества Сх> в
Сх и спектр {Сх, ©х'}; группа (С0), соответственно (С00), и есть группа
D°A = 8М, соответственно D°M = 8«M.
Замечание. Беря вместо компонент множеств X компоненты нервов аг
получим инвариантное определение групп 8° Л = D°A и 800Л ==■ D00A.
Для счетного компакта Л, состоящего из сходящейся последовательности
точек аь k= 1, 2,. . . , и из предельной точки а= lima*, группы 8°А и 800Л
имеют мощность континуума. В самом деле, для такого компакта в системе
всех X можно найти конфинальную последовательность Хл, k = 1, 2, 3,. . . ,
причем Хл состоит из попарно непересекающихся интервалов х\%. . . , л& из которых
первый содержит точку а и все точки ah при h = £, & -[- 1,. . . , тогда как
интервалы х\у х%,. . . ,.4 (длины < — каждый) содержат соответственно точки
ak~ij. . . ,fli. Отсюда сразу видно, что группы DM, D°M суть в нашем случае
не что иное, как группы мощности континуума, рассмотренные в примере,
приведенном в предыдущем пункте. Отсюда легко выводим, что для всякого
нульмерного множества Л, содержащего хотя бы одну неизолированную точку,
группы 8°Л и 800Л имеют мощность континуума. Из общего закона
двойственности следует далее, что два множества Л и Л', имеющие гомеоморф-
ные дополнения, обладают изоморфными группами 800Л = 800Л'. Для
замкнутых Л это утверждение следует, конечно, из закона двойственности Алексан-
дера — Понтрягина даже в усиленной форме топологического изоморфизма
групп Д00Л и А00Л/ (получающих естественную [понтрягинскую топологию);
отсюда, в частности, легко следует, что все бесконечные нульмерные компакты
Л имеют группу Д00Л, топологически изоморфную „канторовой группе" (т. е.
бикомпактно-топологизированной прямой сумме счетного множества групп
второго порядка); для [доказательства достаточно заметить, что всякий
нульмерный компакт, состоящий из бесконечного множества точек, может быть
рассматриваем как множество в S1, дополнение к которому есть сумма
счетного множества интервалов. Легко получить и прямое доказательство
этого факта (см. пример в п. 2).
4. Компоненты и квазикомпоненты (действительные и идеальные)
множества Л. Сохраняем обозначения, введенные в п. 3; в этих обозначе-

Первый общий закон двойственности
45
ниях, как мы видели, группы (С0) и (С00) соответственно изоморфны группам
•8° Л и 8°М.
Наряду с этими группами естественно рассматривать большую и малую
группы С0 и С00 предельного множества С спектра {Сх, Э*'}. Элементами
этого предельного множества являются „нити" вида {Гх}, где Гх есть
некоторая компонента открытого множества X, причем при X' с X имеем Гх/ с Гх.
Такие нити мы будем называть (по причинам, которые сейчас выяснятся)
идеальными квазикомпонентами множества А. Большую и малую группу
множества всех идеальных квазикомпонент множества Л будем обозначать
•соответственно через С°А и С°°А.
Замечание. Можно доказать, что идеальные квазикомпоненты
множества Л находятся во взаимно однозначном соответствии с нитями вида {Qa},
где каждое Qa есть компонента нерва покрытия а множества Л и при
проекции ©2 нерва Рва компонента Qp отображается в Qa (доказательство этого
утверждения легко получить, переходя от частично упорядоченной системы
всех покрытий а к конфинальной подсистеме, состоящей из канонических
покрытий). Отсюда следует, что группы С0А и С00А являются
топологическими инвариантами множества Л.
Вспомним теперь введенное Хаусдорфом (см. [21] стр. 248) понятие
{действительной) квазикомпоненты Ах точки х в (топологическом
пространстве) Л: квазикомпонента Ах определяется как пересечение всех „открыто-
замкнутых" (т. е. одновременно открытых и замкнутых) в Л множеств,
содержащих точку х. Квазикомпоненты Ах замкнуты в Л, компонента
точки х в Л содержится в квазикомпоненте Ах этой точки и
совпадает с ней тогда и только тогда, когда эта квазикомпонента связна.
Квазикомпоненты двух различных точек либо совпадают, либо не пересекаются^
так что можно говорить о разбиении множества Л на квазикомпоненты, и
это разбиение, вообще говоря, более крупно, чем разбиение на компоненты.
Если Л — компакт, то все квазикомпоненты связны и, следовательно,
являются компонентами.
Вернемся к общему случаю (не непременно компактного) Л с Sn. Мы
будем говорить, что данная действительная квазикомпонента Ах множества
Л лежит (или содержится) в идеальной квазикомпоненте {Г\,} если Ах
содержится в любом из множеств Гх, составляющих эту идеальную
квазикомпоненту.
III. Каждая действительная квазикомпонента Ах множества А лежит
•в одной единственной идеальной квазикомпоненте {Гх} и является Пересе-
чением всех множеств Гх, составляющих эту ид зальную квазикомпоненту.
В каждой идеальной квазикомпоненте лежит не более одной действительной
квазикомпоненты, а если не лежит ни одной, то пересечение всех Гх,
составляющих данную идеальную квазикомпоненту, пусто.
Доказательство почти очевидно. Возьмем в Ах какую-нибудь точку
л: и в каждом X возьмем ту компоненту Гх, которая содержит эту точку х.

46
Глава вторая
Так как Гх открыто в Sn и замкнуто в X, то Гх Г) Л открыто-замкнуто в А
и поэтому, содержа точку х, содержит и всю квазикомпоненту Ах этой точки.
Таким образом, в каждом X имеется вполне определенная компонента Гх,
содержащая данную квазикомпоненту Ах. Эти Гх и образуют идеальную
квазикомпоненту {Гх}, в которой лежит Ах. Докажем, что ни одна точка уг
не принадлежащая множеству Ах, не может содержаться во всех
элементах Гх идеальной квазикомпоненты {Гх}. Так как пересечение всех Гх
содержится* в Л, то достаточно [рассмотреть точки у 6 А. Так как у
не-содержится в Ах, то существует открыто-замкнутое в \А множество Я,
содержащее Ах, но не содержащее точку у. ■ Множество А\Н открыто-замкнуто
в Л и содержит точку у. Поэтому в Sn существуют непересекающиеся
открытые множества Г' и Г", из которых первое содержит //, а второе А\Н
и, значит, точку у. Множество Г' (J Г" = X содержит Л; соответствующее Гх,
будучи подмножеством Г', не содержит точку у. Из доказанного уже
следует, что ни в какой идеальной квазикомпсненте не мсжет лежать более
одной действительной квазикомпоненты. Если же какая-нибудь точка х 6 А
содержится во всех элементах данной идеальной квазикомпоненты {Гх}, та
очевидно, что квазикомпонента Лх точки *лежитв{Гх}, чем все части
утверждения III доказаны.
5. Нульмерный случай закона двойственности. Теорема Эйлен-
берга. Обозначим теперь число компонент множества Л (в смысле,
установленном в п. 1) через рс, число действительных квазикомпонент — через pQr
число идеальных квазикомпонент — через р/ (это же число есть ранг
группы С°А9 так что ранг группы С00А равен р,— 1); наконец, ранг группы
8° Л = (С0) обозначим через р°, а ранг группы о00 Л = (С00) — через р00. Докажем:
прежде всего, что для любого Л имеют место равенства
/оч (Рс = Ро = Pi = Р°>
к } 1р00 = р°—1.
Число р00 будем называть нульмерным числом Бетти множества Л.
Доказательство формул (3). Прежде всего, очевидно, имеем
Докажем: [если р0 конечно, то каждая квазикомпонента множества Л
является компонентой и, следовательно, рс = р0. В самом деле, пусты
Аъ..., Ар суть все квазикопоненты множества Л, причем их число конечно.
Надо доказать, что каждая из них, например Ль является связным множе-
ством. Но если бы А± было несвязным, то имели бы разбиение
А1^А\\}А[
* Это следует из П* = А.

Первый общий закон двойственности
AT
на два непустых непересекающихся множества А[ и А[9 каждое гиз которых
открыто-замкнуто в Аг. Однако Аг как квазикомпонента замкнуто в А\ с
другой стороны, Аг как дополнение к замкнутому в А множеству Аг [}... U Ар.
открыто в А, следовательно, множества А[ и А'ъ будучи открыто-
замкнутыми в Аъ открыто-замкнуты и в Л. Отсюда следует, что
квазикомпонента в А какой-нибудь точки х G А[ должна содержаться в А[, тогда как.
она совпадает с Д. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Заметим: если рс конечно, то тем более конечно р0 и, следовательно,.
по доказанному, рс = р0. В случае конечного рс имеем [по доказанному
Pc = Po^Pi^P°, Р00^Р°.
Пусть
Ах,..., Apt р = Рс = р0,
— все компоненты множества Л. Тогда множества Аъ. . .,ЛР можно заклн>
чить в попарно непересекающиеся открытые в Sn множества
Gl9..., Gp\
для этого достаточно для каждой пары АЦА\ взять 'непересекающиеся
открытые в Sn множества //{, Н\ и определить [G/ [как пересечение всех ft{,
j=£i. Получим, очевидно, конфинальную , часть частично упорядоченного
множества всех X, если ограничимся лишь теми кХ, которые содержатся
в Х0 = GiU... UGp. Обозначая через X, компоненту множества Ai вХс Х0>.
получим Аг _с \г cz Glt..., Ар S.^pEL Gp. Положим
Х' = Х1 и... UV
Очевидно, множества [X', построенные [таким образом для каждого X£XCh
также образуют конфинальную часть множества всех X. Но множества С
компонент множеств X' находятся [в условиях [теоремы II, откуда следует,
что в нашем случае р° = р, р00 = р — 1, что и доказывает формулу (3)
в случае конечного р.
Пусть теперь рс = оо. Тогда по доказанному и р0 = оо, следовательно, и
подавно pi = оо, р° = оо. Так как р° = оо, то множество С (предельное для
спектра {Са, ©£}) бесконечно, а потому его малая группа С00 имеет
бесконечный ранг. Тем более группа (С00), содержащая группу С00 в
качестве подгруппы, имеет бесконечный ранг, т. е. р00 = оо.]
Формула (3) доказана во всех ее частях.
"" По общему закону двойственности группы (С00) = 800Л и is!1"1 В
двойственны между собою, откуда следует, что р00 равно рангу группы Ап'1В.
Итак, нульмерный случай закона двойственности может быть
сформулирован так:

48
Глава вторая
Основная теорема. Нульмзрное число Бетти любого множестза
A S.Snt т- е- число компонент этого млэжестт (равное как числу его
действительных, так и числу его идеальных квазикомпонент), на единицу
больше ранга группы Д"""1^.
Отсюда следует
Теорема Эйленберга. Если В и В' суть гомзомэрфные
множества, лежащие в Sn, то дополнительные множестза А и А' состоят из
одного и того же числа компонент.
Замечание. Мэжду тем ни мощность множества компонент
множества А, ни мощность множества действительных квазикомпонент, ни
мощность множества идеальных компонент множества А не остаются, вообще
говоря, неизменными, если перейти от множества А к множеству А\
дополнение которого В'= Sn\A' гомеомэр})нэ дополнению В = Sn\A
множества А: достаточно взять в качестве А с S1 нульмерный несчетный, а в
качестве А' с: S1 счетный компакт. Множества В и В' гомеоморфны, тогда
как А состоит из нзсчзтного, а А' — из счзтного множества компонент
(действительных квазикомпонент), взаимно однозначно соответствующих в
каждом случае и идеальным компонентам.

Глава третья
СИТНИКОВСКИЙ ИЗОМОРФИЗМ И ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ЗАКОН
ДВОЙСТВЕННОСТИ *
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ГРУППЫ д£нЛ и угвнА.
ПОСТРОЕНИЕ СИТНИКОВСКОГО ИЗОМОРФИЗМА М И ПЛАН ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
1. Построение ситниковского изоморфизма М между группами
уМ и №В требует определения вспомогательных, так называемых
внешних групп ДвНЛ и увнД До известной степени аналогичных группам DrA
предыдущей главы. Только, в отличие от группы DrA> не только группа
\7внД но и группа ДВГНЛ будет основываться на бесконечных цепях.
Приступаем к определению этих групп. Во всем этом параграфе будем
под триангуляциями понимать триангуляции открытых в Sn множеств.
Пусть триангуляция т' следует за триангуляцией т и пусть дана
произвольная (вообще говоря, бесконечная) цепь хг триангуляции т. Определим
цепь sl>xr триангуляции т', называемую ^-продолжением цепи хг в
триангуляцию *с\ Для этого возьмем произвольный r-мерный ориентированный
симплекс f триангуляции i' и его носитель / вт, Если размерность
симплекса t больше г, то полагаем (s?>xr • t') = 0; если же размерность симплекса t
равна г, то полагаем (sxxtxr-tf) = (xr-t). Покажем, что определенный таким
образом оператор sl> перестановочен с оператором А:
(1) AsW = s\,Axr.
В силу линейности обоих операторов достаточно доказать формулу (1) для
цепи хГ = /г, состоящей из одного ориентированного симплекса. На
каждом симплексе t г~~х 6 т', лежащем внутри tr, цепь As\dr принимает нулевое
значение, так как к каждому такому симплексу примыкает ровно два
/--мерных симплекса из i\ лежащих в tr: ведь тело триангуляции х' [есть
открытое множество. Так как на рассматриваемом симплексе t'r~x очевидно, и
sl>Atr принимает нулевое значение, то для лежащих внутри f симплексов
tr~l равенство (1) при xr = f доказано. Пусть теперь ir~x лежит на
границе симплекса t\ Тогда к t''—* примыкает единственный r-мерный симплекс
* При изложении результатов Ситнмкова мы буквально следуем его оригинальным
статьям [17] (сравни (введение к статье [17а]).

50
Глава третья
из s\dr и ориентирован он так же как и tr. Поэтому tr_1 входит в As]4r с тем
же коэффициентом, что и в sl>Atr. Формула (1) доказана.
Из нее следует, что продолжение s^z любого Д-цикла z триангуляции х
есть Д-цикл триангуляции х и что если z — О в т, то s]>z~0 в х', так что
Sx' порождает гомоморфизм группы * Агх в группу*Дгт\ Поэтому,
рассматривая направленное множество Есех триангуляции х всевозможных
окрестностей множества Л, получим прямой спектр
{ДЧ &},
предельная группа которого и называется группой [ДвнЛ. Это определение
можно [переписать и [так. Назовем внешним циклом [множества Л любой
(вообще говоря, бесконечный) Д-цикл какой-либо триангуляции х
произвольной окрестности х = \ множества Л. Два внешних цикла zx и z2, лежащих
соответственно на триангуляциях хг и х2 ,назовем {гомологичными между
собою вокруг множества Л, если существует такая триангуляция т,
следующая как за хъ так и за т2, что]
s^Zi — sl% на т.
Легко проверить, что это определение, очевидно [удовлетворяющее условиям
рефлексивности и симметрии, удовлетворяет также и условию транзитивности
и, следовательно, порождает разбиение множества всех r-мерных внешних
Д-циклов множества Л на классы циклов, гомологичных [между собою
вокруг Л. Эти классы и объявляются элементами группы ДвнЛ. Сложение
в группе ДвнЛ определяется так. Если С 6 ДВГНЛ и С" 6 ДвнЛ и г! € С, zr2 б С"
суть циклы, лежащие соответственно на триангуляциях тх и т2, то, беря
триангуляцию т, следующую как за хъ так и за т2, получим циклы sl'zl =
= z'€C и sl% = z"£C", лежащие уже на одной и той же триангуляции т.
Класс С, содержащий цикл z' + z", и называется суммой классов С и С".
Легко проверяется, что это определение корректно, т. е. не зависит от
входящих в него элементов произвола.
Итак, группа ДвНЛ определена.
Переходим к определению группы УвнЛ. Пусть снова х и х —
триангуляции окрестностей X и X' множества Л, причем х следует за т. Тогда
определен (неоднозначно!) канонический сдвиг аХ триангуляции х в х как
симплициальное отображение, при котором каждой вершине триангуляции х
ставится в соответствие какая-нибудь вершина ее носителя в х. Каждый
канонический сдвиг определяет, как известно (см. гл. 1, § 1, п. 3), для
каждой цепи хг триангуляции х ее у-продолжение ol*xr по формуле
* Основанной на бесконечных цепях.

Ситникввский изоморфизм и закон двойственности 51*
для любого ориентированного симплекса ir € х'. Гомоморфизм <v перемести-
телен с оператором у:
что проверяется непосредственным вычислением (см. I, стр. 41, п. 4); он
переводит, следовательно, у-циклы триангуляции х в у-циклы триангуляции i\
причем ограничивающие в т циклы переходят в циклы, ограничивающие в т'.
Два различных канонических сдвига триангуляции %' в т, будучи
комбинаторно близкими симплиииальными отображениями, переводят любой
у-цикл триангуляции т в гомологичные между собою у-циклы
триангуляции т' (см. I, стр. 48, п. 4). Таким образом, все канонические сдвиги <£
порождают один и тот же гомоморфизм <v группы угт в группу yV.
Поэтому если рассматривать направленное множество всевозможных
триангуляции т открытых множеств, покрывающих множество Л, то
получается прямой спектр
{y4<v},
предельная группа которого и определяется как группа у£нА Как и в случае
группы ДвнЛ удобно называть внешним у-циклом множества А любой
у-цикл любой триангуляции какой-нибудь окрестности множества А и
говорить,- что два у-цикла z[ и ^, лежащие соответственно на триангуляциях
тх и т2? гомологичны между собою вокруг А, если имеется такая
триангуляция т, следующая за т1% и за т2, что а^г[ — al% в т. Тогда элементы
группы уГнЛ суть классы гомологичных между собою г-мерных внешних
у-циклов и для определения суммы двух таких классов $ и %' надо взять
у-циклы z€j и z'di', лежащие на одной и той же триангуляции т: сумма
Ъ -f- j' есть класс, содержащий у-цикл z-\-z\
В дальнейших параграфах этой главы мы последовательно построим вполне
определенные, „естественные*' изоморфизмы, а именно:
изоморфизм / группы увНЛ на группу урЛ;
изоморфизм D группы увНЛ на группу Д^н РЛ;
изоморфизм Г группы Дв7РЛ на группу Дг/В.
Из этих изоморфизмов и составится ситнкксеский изоморфизм М группы
урЛ йа группу AqB по формуле
М = TDJ~\
§ 2. ИЗОМОРФИЗМ У ГРУППЫ VbV1 на группу уРА
1. Оператор У, который окажется изоморфизмом группы у£нЛ на группу
уМ, определяется так. Пусть т — триангуляция какой-нибудь окрестности
множества А. Ставим в соответствие триангуляции т покрытие шх' мнбже-

52
Глава третья
ства А, сопряженное этой триангуляции*. Нерв шт есть подкомплекс
триангуляции т, и каждой цепи и комплекса % соответствует на этом
подкомплексе цепь Ju, принимающая на каждом симплексе нерва шт то самое
значение, которое на этом симплексе принимает цепь и. Определенный таким
образом хорошо известный (см. [4]) „оператор высечения J" коммутирует
с оператором у, в чем убеждаемся непосредственной проверкой; поэтому
если и есть у-цикл триангуляции т, то Ju есть ' у-цикл ^нерва шт и, значит
(согласно определению, данному в гл. 1, § 1, п. 3), у-цикл множества А.
Докажем, что если внешние у-циклы ир и ир гомологичны между собою
вокруг Л, то соответствующие им у-циклы Jul и Jup множества А
гомологичны между собою в А — этим будет доказано, что оператор J
определяет гомоморфизм J группы увн^ в группу урА
Итак, пусть у-циклы иъ и2, лежащие ^соответственно на триангуляциях
тх и т2, гомологичны между собою вокруг А. Это значит, что существует
такая триангуляция т, следующая за тх и за т2, что
(1) ах1и1~ат2и2 в х,
где ol1 и о? порождены произвольными каноническими сдвигами aXl и oXf
триангуляции i соответственно в тх и в т2. Покрытие сох вписано в u>Tl и
в шТ2 и нерв шх перейдет при сдвигах aXi, и aXl в подкомплексы нервов u>Xl
и o)t2. Поэтому сдвиги оХ1 и а\ определяют проекции SXl и ©Х2 нерва о>х
в нерв o)Tl и в нерв о>Т2. Для соответствующих проекциям ©Xl и SXl
„сопряженных" гомоморфизмов тг? и тгх* групп Ьро)ч и LpcoT8 в Lpa>x имеем, как
легко прозерить,
ъ\Чиг = J<*Vul9 kx2Ju2 = Jol'uz.
Но правые части этих равенств гомологичны между собою в и>х (в силу (1)
и перестановочности оператора J с оператором у); значит, и левые части
гомологичны между собою в а)х, чем доказано, что Jux~Ju2 в Л.
Следовательно, J является гомоморфизмом группы у£нЛ в группу урА
2. Докажем теперь, что J есть гомоморфизм на всю группу уМ.
Доказательство опирается на одну лемму, полезную и во [многих других
случаях.
Пусть a) = [ok] покрытие множества A c^S*. Пусть Оь..., 0*,...
открытые в Sn множества, высекающие множества оъ..., о*,... (т. е. о* = Л Л О*)»
и пусть при этом выполнено условие: если какие-нибудь 0^,...,0*s имеют
непустое пересечение, то соответствующие о^,...,% также имеют непустое
пересечение. В этих условиях покрытие [Q = {Ok), имеющее, очевидно, тот
же нерв, что и покрытие о>, называется продолжением покрытия о> на
окрестность X = |J Ok множества А.
„ k
* В смысле гл. 2, § 1, п. 4.

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
53
Лемма. Каждое покрытие со множества А может быть продолжено
на некоторую окрестность этого множества.
Лемма эта доказана в весьма общих предположениях Э. Чехом;
приводимое здесь элементарное доказательство (пригодное для множеств,
лежащих в метрических пространствах) принадлежит Ю. М. Смирнову. Око
заключается в следующем. Каждой точке * 6 Л поставим в соответствие открытое
в А множество Ux, являющееся пересечением всех содержащих точку х
множеств Ok С w (их — конечное число). Положим вх = —р (х> A\Ux).
Обозначим через Ох сферическую окрестность радиуса ех точки х во всем Sn и
положим Ok = U Ох. Докажем, что 2 = {Ok} — искомое продолжение по-
xeok
крытия <о. Легко видеть, что А Л Ok = о^ В самом деле, если у € A\pk, то
для всякого х£ ok будет y£A\Ux, значит, р(х,у) > 2e.v, так что у не
войдет в 0^
Остается доказать, что если некоторые О k — пусть для простоты Оъ..., Ог
— имеют непустое пересечение, то непусто пересечение и соотвествую-
щих Ok. Возьмем точку у в 0г{\... Л Ог. Тогда для k = 1,... / существуют
такие точки x*Go*, что у£Охь т. е. что р (у, Xk) < вХк = ek. Предположим,
что нумерация элементов покрытия со выбрана так, что ех ^ е2 ^... ^ бг, и
докажем, что хг € о2 Л... Л Ok — этим лемма и будет доказана. По
определению, имеем хх 6 ог. Возмем какое-нибудь k, 1 < k ^ г. Тогда
Р (хк, х^ ^ р (хк, у) + р (у, *i) < £ft + si ^ 2е*-
Но 2sk = р (*ь A\Uxm) ^ р (*ь Л\оД а потому л^ б о*, что и требовалось
доказать.
Итак, доказываем, что гомоморфизм J отображает группу у£нЛ на всю
группу урА. Пусть г — произвольный у-цикл множества Л; он лежит на
нерве некоторого покрытия со = {о,-} множества А. Согласно лемме, берем
покрытие 2= {О/}, продолжающее покрытие со на окрестность л = U О/.
Берем такую триангуляцию т окрестности X, что каждая звезда
триангуляции т содержится в некотором элементе О/ 6 2 (такую триангуляцию будем
называть вписанной в покрытие 2). Для триангуляции т определен
канонический сдвиг (см. I, стр. 60) al в нерв 2 (совпадающий с нервом со), т. е
симплициальное отображение, определенное тем, что каждой вершине е
триангуляции т ставится в соответствие множество О/ 6 2, содержащее звезду
вершины еЛ Симплициальное отображение о* порождает, как обычно,
сопряженный гомоморфизм Ох группы Z/o> в группу L\ в силу которого у-циклу
z соответствует у-цикл и = ох z триангуляции т, т. е. внешний у-цикл
множества А. Наша цель будет достигнута, если мы покажем, что Ju — г в А.
Для этого рассмотрим покрытие о>т; его нерв есть подкомплекс
триангуляции -с. Канонический сдвиг о*, рассматриваемый на сот, есть канонический

54
Глава Третья
сдвиг ё£х нерёа* шх в нерв ш. Из самого определения гомоморфизма
^сопряженного сдвигу S^x, следует, что на каждом симплексе /р6ш, имеем
«*.*>) = (г.8ГЧр) = (*•<#') = (и -t").
Но и {Ju'tp) — (u*tp). Итак, тСхг — Ju, значит, и подавно г — J и в А
Утверждение доказано. :»':..
3. Докажем, наконец, что гомоморфизм J группы ylttA на группу -^РА
есть изоморфизм. Другими словами, докажем, что из Ju — 0 в Л следует,
что и~ 0 вокруг Л. Пусть т — триангуляция, на которой лежит цикл й.
По определению оператора / цикл J а лежит на нерве покрытия со-,
высевного из множества А главными звездами триангуляции т. Так как J и — 0 в Л,
то существует такое покрытие <о = {о/}, вписанное, в ох^, что t:^t/w~0 ъ\у>.
Строим (по лемме) к покрытию (о высекающее его покрытие 2 = {О/}
окрестности \= U О/, множества Л, так что Л ПО/— ;р/.для всех i и что покрытие
2 имеет тот же нерв, что и со. Кроме того, требуем,1 чтобы каждый
элемент О/ покрытия 2 содержался в некоторой звезде триангуляции т (это
требование выполнимо, так как со вписано в <от). Поставим в соответствие
каждому множеству 0/6 2 какую-нибудь содержащую его главную звезду, tie.
звезду некоторой вершины триангуляции т. Этим определен канонический
сдвиг S3 = S3? нерва 2 в комплекс т и притом, очевидно, в подкомплекс1 :<от
этого комплекса, так что можем написать ©^ = &2, — S5. Естественный
изоморфизм между 2 и со позволяет рассматривать канонический сдвиг S3 как
канонический сдвиг покрытия со в сот, так что S3 = SCx# Так как S3, рассмотри-
ваемое как отображение нерва 2 = со в т, является в действительности
отображением в сот, то на каждом симплексе нерва 2 = со цепи тг^и и t№Ju имеют
одно и то же значение. Но, по предположению, тг^У«~0 в со, поэтому и
(2) 7гЬи~0в2.
Берем триангуляцию т' окрестности Х= (J0/ множества Л, вписанную в по-
i
крыпгие 2 (в том смысле, что каждая звезда триангуляции %' содержится
хотя бы в одном О/ 6 2). Тогда существует канонический сдвиг S3^
триангуляции т' в нерв 2 = со, а симплициальное отображение ©?©^=0) представляет
собою канонический сдвиг S3,' триангуляции.%' в т. Поэтому определен у'Дикл
* Действительно, сдвиг а* определяется тем, что для. каждой главной звезды
комплекса т выбирается содержащий ее элемент Ot покрытия .Q; пересечение же этой
звезды с Л есть элемент покрытия сот, которому таким образом поставлен в соответствие
элемент о^= АПодпокрытия со. ■_.. . ■'> м : Л'< ; -.. .♦

Сит никое ский изоморфизм и закон двойственности
55
являющийся у-продолжением у-цикла и в триангуляцию х. Так как в силу
(2) имеем izqju— 0 в 2, то
ъ\,и = т^'Ъф — 0 вт',
т* е. и— 0 вокруг Л, что и требовалось доказать.
§ 3. ИЗОМОРФИЗМ D ГРУППЫ у£„Д НА ГРУППУ А"~рА
1. Построение изоморфизма D. Редукция к основной лемме.
Каждому внешнему р-мерному у~ЦиклУ ^ множества Л, лежащему на
некоторой триангуляции т какой-нибудь окрестности X множества Л,
соответствует (п — р)-мерный звездный цикл D * zp размерности п — /?, принимающий
на ориентированной барицентрической звезде * t"~~p, сопряженной [данному
произвольному ориентированному симплексу tp триангуляции т, то самое
значение, которое цикл zp принимает на tp (см. I, гл. 4, § 2; проведенные там
рассуждения не меняются от того, : что т — бесконечный комплекс,
являющийся триангуляцией открытого многообразия X).]
Рассматривая звездный цикл D* zp как цикл барицентрического
подразделения т(1) триангуляции х и подвергая комплекс т(1) каноническому сдвигу
в триангуляцию т, мы переводим цикл D*zp в некоторый цикл Dzp
триангуляции т, гомологический класс которого в т не зависит [от выбора того
или иного канонического сдвига комплекса т(1) в т. 'Легко видеть (см.
цитированное место в I), что из 2Р~0 в т следует Dzp~0 в т. Мы докажем,
что из
(1) zpL~zp вокруг Л
следует
(Id) Dzp~ Dzp вокруг Л,
откуда вытекает, что мы имеем гомоморфизм D группы \/рнА в Д£ГРЛ.
Для того чтобы доказать, что из (1) действительно вытекает [(Id), нам надо
будет доказать следующее предположение:
Основная лемма. Если т' следует за т, то [для любого у-цикла z
триангуляции т имеем
Dsz ~ sDz в т',
где s обозначает: 'слева оператор у-продолжения, а справа — оператор
А-продэлжения из т в т\
Предположим, что основная лемма доказана, и пусть
(1) zp~zl вокруг Л.
Обозначим триангуляции, на которых лежат уЦиклы zi и 22 соответственно
через т2 и т2. Гомология (1) означает, что существует триангуляция t неко-

.56
Глава третья
торой окрестности множества Л, следующая за тх и за т2, на которой
^х1?! — sl%. Тогда Ds? zx ~ Dsl2z2 в т. Но в силу основной леммы Ds]1 zx ~
~ sl1Dz1 и Ds?z2 ~ s?Dz2 в т, так что sxxlDz1 ~ s]*Dz2 в т, т. е. имеет место
ГОМОЛОГИЯ (1/)).
Из основной леммы следует далее, что гомоморфизм D есть изоморфизм
группы у?нЛ в группу Д?нрЛ. Для того чтобы убедиться в этом, надо
доказать, что из
(2d) Dz~0 вокруг А
следует
(2) z — О вокруг А.
Но гомология (2d) означает, что при надлежащем выборе триангуляции т',
следующей за т, имеем sl>Dz — О в т'. Но тогда в силу основной леммы
будет Dsx*z ~ О в т', следовательно, иО* Sx^ ~ О в звездном комплексе т',.
сопряженном триангуляции т'. Но тогда sl>z— О в ?' и, значит, имеет
место (2).
Легко, наконец, убедиться в том, что изоморфизм D есть отображение
на всю группу А1йрА. В самом деле, взяв произвольно -r\^Al^p А и цикл
t/€ifi, лежащий на триангуляции т, можем найти для него звездный цикл у*г
ему гомологичный в т(1) (см. I, гл. 4, конец § 1). Для у-Циклаz = (D*)'1 у*
имеем D * z = у *, так что, обозначая через С G Vbh^ гомологический класс
у-цикла z, получим DC = т\.
Итак, все свелось к доказательству основной леммы. Это доказательство
и займет всю оставшуюся часть этого параграфа.
2. Вспомогательная часть и план доказательства основной леммы.
Рассмотрим сначала случай, когда триангуляция т' есть подразделение
триангуляции т, т. е. когда z следует за z и имеет то же тело, что и
триангуляция т. В этом случае имеет место доказанная в I, гл. 5, §§ 2 и 3.
Комбинаторная лемма. Пусть z есть подразделение
триангуляции т; обозначим через т(1) и т'(1) барицентрические подразделения,
соответственно, триангуляции z и т. Пусть а—какой-либоканонический сдвиг
триангуляции z в триангуляцию т. Обозначим через о(1) симплициальное
отображение комплекса т'(1) на т(1), состоящее в том, что любой вершине
комплекса т'(1) (т. е. центру тяжести некоторого симплекса t'dz)
ставится в соответствие центр тяжести симплекса at' = t€ т. Тогда
(3) a(1)D*s]>z = D*z
(где звездные циклы рассматриваются как циклы триангуляции т(1),
соответственно т(1)). Из этой формулы (доказанной, как уже упомянуто в I,
гл. 5, § 3) следует, что Д-цикл D* sz (рассматриваемый как цикл комплекса

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
57
т'(1)) переходит в D* z (рассматриваемый как цикл комплекса т(1)) посредством
сдвига аг и, значит, гомологичен циклу D*z в полиэдре'г'; следовательно,
Dsz — Dz в т', а потому Dsz — sDz в т'.
Итак, основная лемма для подразделений является следствием
комбинаторной леммы (3). Эта последняя формула совершенно элементарна, и
остается верной, если считать z любой цепью, а не непременно у-циклом.
Следует отметить, что в общем случае (когда т' следует за триангуляцией т
не будучи ее подразделением) никакого тождества, аналогичного тождеству
(3), не существует и потому доказательство основной леммы оказывается
сложным. Оно осуществляется по следующему плану.
Мы заменяем в формулировке основной леммы триангуляцию т'
некоторым ее подразделением т" и прежде всего убеждаемся в том, что из леммы
доказанной для т и т", следует лемма в ее первоначальной формулировке,
т. е. для т и т\ Это — первый шаг доказательства.
Второй шаг заключается в том, что мы доказываем лемму для т и
подразделения т" триангуляции т', удовлетворяющего некоторым специальным
условиям, сформулированным ниже в „геометрической лемме". После этого,,
наконец, доказывается, что подразделение т" триангуляции т',
удовлетворяющее этим специальным условиям, \действительно существует, т. е.
доказывается „геометрическая лемма" (третий шаг доказательства). Этим основная»
лемма будет полностью доказана.
3. Первый шаг доказательства основной леммы. Итак, пусть «с"—
подразделение триангуляции т'. Если s\» есть оператор продолжения от т к т'г
a & — оператор продолжения (в данном случае даже просто подразделения)
от т' к т", то St»St' есть оператор продолжения от т к т". Мы предполагаем
доказанной гомологию
(4) (sUl,)Dz~D(sxz»sl,)z в т"
и должны вывести из нее гомологию
(5) s\.Dz~Ds\.z в т\
Основная лемма для подразделений только что доказана, поэтому
sl»DslrZ — Ds^s\'Z в т".
Кроме того, в силу (4),
Ds^sl>z — Sx»sl'Dz в т".
Значит,
s*«s\>Dz— s^Ds^z в т".
Но раз гомологичны в т" подразделения sl> (sl*Dz) и s^ (Ds^z) циклов sl> Dz
и Dsl'Z комплекса т', то гомологичны и'и сами эти циклы, т. е. имеет
место гомология (5).

-58
Глава третья
4. Второй шаг доказательства основной леммы: вспомогательная
часть. Начнем с формулировки „геометрической леммы".
Геометрическая лемма. Пусть дана триангуляция t открытого
множества X и следующая за ней триангуляция т' открытого множества
-X'. Тогда существует подразделение т" триангуляции т', удовлетворяющее
следующему условию: триангуляция т" может быть предоставлена как сум-
ма возрастающей последовательности своих конечных замкнутых
подкомплексов Кт, причем комплекс Кт содержится в открытом ядре комплекса*
/Ст+1 и сам является замыканием своего открытого ядра**, и все Кт9
т = 0,1,2... суть соответственно подкомплексы триангуляции тт, из
которых каждая, начиная с т=\, есть подразделение предыдущей и т0 = т.
Как было сказано, доказательство этой леммы составит заключительную
часть этого параграфа, а сейчас, предполагая геометрическую лемму
доказанной, докажем основную лемму для т и удовлетворяющего условиям
геометрической леммы подразделения т" триангуляции т'. Вместо х" будем снова
писать %'.
Итак, наряду с триангуляцией % и следующей за ней триангуляции т' нам
дана последовательность триангуляции
из которых каждая последующая является подразделением предыдущей. В
каждой триангуляции тт выделен конечный замкнутый подкомплекс Кт, так что
Ко с Кх с Кг с... с Кт с...
и триангуляция У является их суммой: т' = U Кт> Отсюда следует, что каж-
дый симплекс t б т', сделавшись при некотором т симплексом триангуляции чт
(и именно, ее конечного замкнутого подкомплекса Кт), уже не подвергается
дальнейшему подразделению при переходе от хт к тт+1 и т. д., а в
неизменном виде входит во все эти триангуляции.
Обозначим через от (т = 1,2,3,...) какой-либо канонический сдвиг
триангуляции тт в триангуляцию тм_х (таким образом, мы пишем от вместо о*т_ ).
Пусть t какой-нибудь симплекс триангуляции т'. Существует такое
наименьшее т, что t G Km и, следовательно, не подвергается дальнейшему
подразделению. Вершины симплекса t, принадлежа комплексу tm9 при всех сдвигах
om+1, ат+2,... остаются на месте; остается на месте и сам симплекс t. Что же
касается сдвигов ат, о™""1,..., о1, то при сдвиге ат симплекс t переходит
в некоторый симплекс amt € тт_1э который при сдвиге ат~1 переходит в не-
* Открытое ядро триангуляции К (в данном случае конечной) есть наибольший
подкомплекс этой триангуляции, тело которого открыто в Sn.
** Под замыканием (незамкнутого) подкомплекса данной триангуляции понимается
«комбинаторное замыкание.

Ситниковский изоморфизм^и закон двойственности 59
который симплекс om'~1amt G*m_2 и т. д. В конце концов в результате
последовательных сдвигов om,om~1,..., а1 симплекс t перейдет в некоторый
симплекс ага2.. .от_1ат/б'с. Таким образом, последовательность сдвигов ат
однозначно определяет некоторый канонический сдвиг а = а\ триангуляции т'
в т. Этот сдвиг а определяет и сопряженный' гомоморфизм s = s*' группы Li
в группу Ьъ и, следовательно, некоторое определенное у-продолжение sz
цикла z триангуляции т.
С другой стороны, канонические сдвиги о1, а2 ст„.. определяют
последовательно у-циклы, принадлежащие соответственно триангуляциям
%, Ъ •.., *«,..., а именно
SxZ = S* Z, S2Z = S^Sjl*,. . ., SmZ = S^^Sm-i 2, . . .
На каждом симплексе t<n.' все у-циклы smz, начиная с некоторого,
принимают одно и то же значение, и это значение, как легко видеть, совпадает
со значением на этом симплексе у-цикла sz. Таким образом, рассматривая
у-циклы, как функции, определенные на множестве ориентированных
симплексов данного комплекса, имеем право написать
.(6) sz = \\msmz.
m- оо
К каждому smz берем в тш звездный цикл D*smz, а в т' берем звездный
цикл D*sz. Для каждого симплекса ^бт' найдется такое т, что вся звезда
симплекса tp в т' принадлежит в неизмененном виде триангуляциям тт, тт+1,..
Следовательно, и барицентрическая звезда, сопряженная симплексу #\ в
триангуляции т' является барицентрической звездой, сопряженной этому
симплексу во всех триангуляциях тт, тт+1,..., и на ней циклы D*smz,D*sm+1z,...
принимают одно и то же значение, равное значению цикла D*sz. Другими
слэзами, в полной аналогии с (6) мы можем написать
(7*) D*sz = Un\D*smz.
т-*со
Нашей, задачей является доказательство основной леммы
Dsz — sDz в т',
где s справа —есть Д-продолжение (однозначно определенное) из «с в т',
а слева—у-продолжение из т в т', определенное лишь с точностью до
гомологии в т'. Смысл принятого нами плана доказательства основной леммы,
т. 'е. : пользование триангуляцией т\ удовлетворяющей условиям
геометрической леммы, заключается в том, что мы можем в качестве у-продолжения sz
брать не какое-нибудь у-продолжение цикла z, а именно построенное нами
специальное у-продолжение.
Эги предварительные рассуждения закончим следующим важным
предложением о циклах smz. В силу комбинаторной леммы цикл D*smz переходат

60
Глава третья
в цикл D*sm-1z посредством сдвига a™}, являющегося каноническим сдвигом'
барицентрического подразделения триангуляции тт в барицентрическое
подразделение триангуляции тт_1# При этом на комплексе Km-г (который, как
мы помним, состоит из симплексов, не подвергающихся дальнейшему
подразделению а целиком входящих в т') сдвиг а(™ является тождественным
отображением, и циклы D*smz и D*sm-1z совпадают. Поэтому их разность лежит
на *гп\Кт-1 и гомология, осуществляемая сдвигом о£о, есть
гомология в xm\/Cm_i. Итак, D*smz~D*sm-1z в Tm\/Cw-i. Это и есть та
вспомогательная формула, которую мы имели в виду.
5. Второй шаг доказательства основной леммы: завершающее
построение. Итак, нам надо построить цепь х комплекса т', для которой.
(8) Ал: == sDz — Dsz.
Эта цепь будет построена как сумма бесконечного ряда цепей, х = 2*™» Р^У"
т
меется, таким образом, чтобы эта сумма имела смысл, что будет достигнуто
таким выбором ее слагаемых, при котором на каждом симплексе t € *с' лишь
конечное число слагаемых хт может быть отлично от нуля.
Приступаем к построению цепи х.
Канонический сдвиг барицентрического подразделения т(1) триангуляции т
в самую эту триангуляцию переводит цикл D*z в определенный цикл Dz.
Точно так же канонический сдвиг барицентрического подразделения
комплекса т' в этот комплекс переводит цикл D*sxz в цикл Dsxz. При этом,
в силу комбинаторной леммы, имеет место гомология s\Dz — Ds1z в хх.
Подвергая обе ее части продолжению из тх в т', получаем гомологик>
sDz — sDsyZ в т'. Следовательно, имеется цепь хг в т', для которой
(9i) Ах± = sDz — sDs^.
Это — первый момент нашего построения. Переходим ко второму.
Произведем такой канонический сдеиг барицентрического подразделения
триангуляции т2 в триангуляцию т2, чтобы на барицентрическом
подразделении комплекса Кг этот сдвиг совпадал со сдвигом, только что определенным
(при первом моменте). При этом цикл D*s2z перейдет в определенный цикл
Ds2z триангуляции т2, совпадающий на Кг с циклом Dsxz. В силу
комбинаторной леммы существует цепь у2, лежащая (согласно вспомогательной фор*
муле в конце п. 4) вне открытого ядра комплекса Кг, для которой
Ау2 = StJDsxZ — Ds2z.
Действуя на обе части этого равенства оператором продолжения из т2 в т\
получим цепь х2 триангуляции т' и равенство
(92)
Д*2 = sDstf — sDs2zt

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
61
шри этом х2 лежит вне открытого ядра полиэдра /Ci- Продолжая этот
процесс, получим для любого m цепь хт триангуляции т', которая лежит вне
открытого ядра полиэдра Km-i и удовлетворяет равенству
(9т) ЬХщ = sDSm-i Z — sDsmZ.
Последовательность согласованных сдвигов барицентрических подразделений
триангуляции тт в самые тт определяет и некоторый сдвиг барицентрического
подразделения т(1) триангуляции т' в триангуляцию т', а значит, и
определенный цикл
(7) Dsz = lim Dsmz.
m->oo
Так как каждый симплекс триангуляции т' попадает в открытое ядро
некоторого Кт и соответствующая цепь xm+1 лежит вне этого открытого ядра,
то на каждом симплексе триангуляции т' лишь конечное число цепей хт
может быть отлично от нуля; поэтому определена сумма всех цепей
оо
х = 2л Хт'
m=i
Докажем, что цепь х осуществляет искомую гомологию
(10) &x = sDz — Dsz.
Берем произвольный (п — р)-мерный симплекс td^'. Возьмем столь
большое /л, что t входит в открытое ядро Km- Складывая равенства (9х),
*(92),..., (9т), получим
(11) Д (х1 +... + хт) = sDz — sDsmz.
Но на t значение цепей Да: и Д (хх +... -j- хт) — одно и то же: ведь при
/>т+1 все цепи xi лежат вне открытого ядра Кт, значит, вне открытого
ядра Кт лежат и границы этих цепей.
Поэтому, сравнивая (10) и (11), видим, что надо только доказать
равенство
(sDsmz-t) = (Dsz-t).
Но (sDsmZ-t) = (DsmZ-t), так как симплекс / при переходе от хт к х' не
подразделяется, а по формуле (7) имеем
(Dsmz-t) = (Dsz-t).
Формула (10), таким образом, доказана.
Переходим к доказательству геометрической леммы, чем будет закончено
и доказательство основной леммы, а значит, и изоморфизма V^H = ^Vp^*
Дана триангуляция %', следующая за триангуляцией z.
Представим х' в виде суммы последовательности конечных замкнутых
подкомплексов Qm, причем каждый комплекс Qm содержится в открытом
ядре комплекса Qm+i"» кроме того, предполагается, что каждый комплекс Qm

62
Глава третья
состоит из /г-мерных симплексов и их граней (это и означает, что, Qm есть
замыкание своего открытого ядра, и позволяет, в частности, говорить о гра*
нице комплекса Q,n). Возьмем какое-нибудь Qm; через все (п—1)-мерные
элементы комплекса Qm проводим несущие их плоскости. Эти плоскости
разбивают симплексы комплексов i и %' на выпуклые многогранники; получаемг
таким образом, звездно-конечные комплексы выпуклых многогранников,
являющиеся подразделениями триангуляции т и т'; подразделяя эти комплексы
выпуклых многогранников симплициально, получаем триангуляции дт и 0^>
являющиеся подразделениями триангуляции т и т'. При этом комплекс Qm,
подразделенный триангуляцией 0'т, оказывается подкомплексом не только
этой триангуляции, но и триангуляции вт (комплекс Qm одинаково
подразделяется триангуляциями дт и 0^). Берем комплекс Qx; для нас важно, что
его граница одинаково подразделена в б2 и в 0^. Берем ка^ое-нибудь
подразделение комплекса Ql9 совпадающее на его границе * с подразделением,
этой границы в б2 (в 02). Так подразделенный комплекс Q± обозначаем через
/Ci, триангуляцию *т полагаем на Qx совпадающей с Къ подразделение
же zx триангуляции т полагаем равным Кг на Qx и равным 02 вне Q^
Переходим к «кольцу» Q2\Qi. Его внешняя граница (т. е. граница
комплекса Q2) одинаковым образом подразделена триангуляциями 03 и 0^ ..
И мы строим такое подразделение кольца Q2\Qi, уже подразделенного-
триангуляцией тх, которое совпадает на внешней границе кольца Q2\Qi с
подразделением этой границы в триангуляции Ь'г и которое не подразделяет
вовсе внутренней границы рассматриваемого кольца (т. е. [подразделенной в-
в ^ границы комплекса Qx). Полученное подразделение кольца Q2 \ Q± мы
объявляем на этом кольце совпадающим с триангуляцией т", которая, таким:
образом, оказывается определенной на всем комплексе Q2; этот комплекс,,
подразделенный в триангуляции -:", мы обозначаем через /С2. Подразделение
т2 триангуляции т мы полагаем равным /С2 на Q2 и 03 вне Q2.
Переходя таким же способом от кольца к кольцу, мы опр»еделим
постепенно триангуляцию т" (как сумму надлежаще подразделенных колец,
Qm+i\Qm), а также соответствующую триангуляцию тт.
Геометрическая лемма доказана.
§ 4. ИЗОМОРФИЗМ Г ГРУППЫ A*|M НА ГРУППУ MB
1. Построение изоморфизма Г заключается в том, что каждому
внешнему Д-циклу uq+1 множества Л, лежащему на триангуляции т окрест-
ности X множества Л, ставится в соответствие некоторый А -цикл** zq = IV+1
* За это подразделение можно было бы брать, конечно, подразделение в Og ,
однако для аналогии с дальнейшим берем просто центральное подразделение симплексов,
примыкающих к границе.
** Под Д-циклом и Д-гомолсгией понимаем всегда цикл и гемологню в смысле
Ситиикова.

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности 63
множества В\ при этом цикл Ги?+1 зависит не только от цикла tfi+\ но и
от некоторого представления триангуляции х, на которой он лежит, в виде
суммы возрастающей последовательности ее замкнутых конечных
подкомплексов, а также от некоторых применяемых при построении цикла IV+1
сдвигов. Однако оказывается, что гомологический класс цикла Tuq+\ т. е.
определяемый им элемент группы А^В, от этих элементов произвола не
зависит; более того, гомологичным между собой вокруг А внешним циклам
t/i+1 и uq2+1 соответствуют циклы Tul+1 и Ги1*\ гомологичные между
собою в В9 т. е. соответствует один и тот же элемент группы AqBy так что»
оператор Г оказывается гомоморфизмом группы Дм М в группу AqB9 о
котором далее будет доказано, что он является изоморфизмом и притом на
всю группу AqB. Этим и будет завершено как построение ситниковского-
изоморфизма М между группами уМ и AqB9 так и доказательство
осуществляемого им закона двойственности.
Приступаем к осуществлению этого плана.
Итак, дана триангуляция х окрестности X множества Л и на этой
триангуляции дан (вообще говоря, бесконечный) Д-цикл uq+1. Представляем
триангуляцию х в виде суммы растущих конечных замкнутых подкомплексов
Qk, причем Qk содержится в открытом ядре комплекса Qk+i-
Обозначаем через ul+1 лежащий на Qk кусок цикла uq+1 и положим
4 = Д4+1,
Xk — W/г-Ы — Uk •
Тогда AxVл = 4+i — 4, так что zq = {4>-4+1}> или, подробнее
Z \ vq+l V<7+1 v«7-l-l /
есть Д-цикл (всего пространства Sn). Циклы 4 и цепи xl+1 лежат в X, но*
расстояния их вершин от компакта ф = Sn \ X стремятся к нулю при
возрастании k. Поэтому, ставя в соответствие каждой вершине цикла uq+1
ближайшую к ней точку компакта ф^£, получим бесконечно малый сдвиг
цикла zq = {4, xl+1} в Д-цикл компакта ф, который мы снова обозначим через.
zq = {4, xl*1}. Этот Д-цикл и есть по определению цикл Tuq+i-
Tu^ = {zlxl+1}.
Определенный циклом Tuq+1 гомологический класс — элемент группы
&qB не зависит от выбора последовательности комплексов Qk*
Доказательство этого утверждения начнем с вспомогательного
определения. Назовем конфинальной частью Д-цикла z = [zk, Xk) всякий Д-цикл
вида
/Zfa Zks ...»Zkh, .. а
\£l* <*2 » • . • i ч/г,. . . /

•64
Глава третья
где Zkh образуют подпоследовательность последовательности {z*} и
£л = xkh + xkfl+i + .. . -г **/ь+1-1-
Из определения А-цикла и Д-гомологии без труда вытекает, что каждый
Д-цикл, лежащий на компакте фс#, на этом же компакте ф гомологичен
всякой своей конфинальной части. Поэтому для доказательства нашего
утверждения достаточно убедиться в том, что для всяких двух последовательностей
комплексов
Qi, Q2»• • • у Qk, • • •
и
Qi» Q2» • • •»Q*»• • •»
удовлетворяющих поставленным в начале этого параграфа условиям, можно
найти третью последовательность
Ч1> Q.2* • • • > v^> • • • >
также удовлетворяющую этим условиям и содержащую в качестве своих
подпоследовательностей некоторую подпоследовательность последовательности
Qk и некоторую подпоследовательность последовательности Qk. Построить
такую последовательность Qk легко: положим Qx = Q[. Обозначим далее
через Q2 первый среди комплексов Ql второй последовательности, открытое
ядро которого содержит комплекс Q2 (существование такого Qk легко
следует из того, что тело конечной триангуляции Q± есть компакт,
содержащийся в сумме (растущих) открытых ядер всех Q?). Затем обозначим через
Q3 первый среди комплексов Q'k, открытое ядро которого содержит Q2,' и
так далее, выбирая все время комплексы Qk по очереди среди комплексов
Qk и Ql
Итак, гомологический класс цикла IV+* однозначно определен самим
циклом ifi+K
2. Доказательство того, что оператор Г порождает вполне
определенный гомоморфизм группы Д£н гА в группу А9В содержится в
доказательстве следующих двух утверждений.
а) Если триангуляция т' следует за т, то всегда
Гы*+1~Г$х'И*+1 в В.
б) Если внешний цикл и**1 множества А гомологичен нулю вокруг Л,
то IV+i~0 в В.
Доказательство утверждения (а). Берем последовательность
растущих конечных триангуляции Q* с т и Qlcx', ^=1,2,3,..., так,
чтобы тело Qk комплекса Qk содержалось в открытом ядре"(Фл) тела Qk
комплекса Qk. Эти тела являются конечными полиэдрами, [поэтому разность

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
65
Q*\(Q/k) тоже конечный полиэдр; беря такое подразделение комплекса
Qk, которое на Q* было бы подразделением комплекса Qk, легко убеждаем-
ся в том, что лежащий на^таким образом подразделенном «кольце» Qk\(Qk)
кусок vl*1 (бесконечного) цикла * uq+l есть конечная цепь, имеющая своей
границей разность подразделенных
конечных циклов zqk — z'£ схематически это
показано на рис. 1. Беря призмы сдвигов
4+1 и тс'*"1"1 подразделенных циклов z\ и
z'qk в неподразделе иные, получаем
/\(Vk —ък -+- тс k ) = zk — z k-
Итак, конечные цепи
£+1 = vl+1-
_L -r'*+1
V/4//7
4'
^'/Ч-,
Рис. 1.
(«пленки» между циклами z* и zqk)
построены; при достаточно большом k они
лежат в сколь угодно тесной окрестности границы открытого множества X' =~
и поэтому их совокупность посредством бесконечно малого сдвига
переходит в^истинную цепь компакта
<|> = S"\X'C5,
Для завершения доказательства предложения (а) надо еще построить
конечные цепи xl+2t ограниченные (конечными) циклами
ЙЙ-Й+1-Ч+1 + ^+1
и лежащие в сжимающихся при возрастании k окрестностях границы X.
Возьмем триангуляцию К конечного полиэдра Qjh-i\(Q*) и столь мелкое
подразделение циклаTt/*+i — yk — Xk + x'k чтобы его можно было
канонически сдвинуть в комплекс /С. Так как при достаточно большом k комплекс К
лежит в произвольно тесной окрестности границы X, то наша цель будет
достигнута, если мы покажем, что при этом сдвиге подразделенный цикл
%+1 —■ Уь. ~~ Xk + x'k пеРеВДет в нуль. При нашем сдвиге подразделенная цепь
vlXi -\-xV~1 перейдет в лежащий на К и подразделенный этим комплексом
кусок цикла uq+1 (см. схематический рис. 2). Так как каждая из подразде-
(как всякая (q-\- 1)-мерная цепь, лежащая на
ленных призм izqk+1 и k'V1
* Мы обозначаем через jzj£, *j£+1} цикл IV7"1"1, построенный посредством после
довательности {Q*}, а через гц = \г\% *'2+1} цикл Tsl,uq+1, построенный посредством
последовательности J Q'k} .

Глава третья
q-мерпом полиэдре —в данном случае на теле цикла zj, соответственно z\\
перейдет при этом сдвиге в нуль, то и цепь
r/H-i
,'<7+1
перейдет при нашем сдвиге в лежащий на К кусок цикла w?+1. Но в этот
же кусок перейдет при нашем сдвиге и цепь
Uk -f- xk
vl+1 + x%
.Q + l
Уг
откуда следует, что цепь yltl — yV"1 —
— xl+1-\~ xl*1 перейдет в нуль, чем
все и доказано.
Доказательство
утверждения (б). Пусть бесконечный цикл и***1
(триангуляции т) ограничивает в %
бесконечную цепь v*,+2:
Д^+2 _. uq+l%
Докажем, что тогда и ситниковский
цикл Г^+1 гомологичен нулю в
компакте ф = Sn \х с В. Кусок цепи
v<?+2, лежащий на конечной
триангуляции Qk, обозначим через vqk+2. Полагая
имеем
Рис. 2.
шГа =
4+2 =
к
«Г1-
= v%+* -
= Ды«+]
д*Г2
- v&l
= *
= Kti-^+1)-("Ui-4+1),
т. е.
Д*Г2 = <
■в4+1-
Цепи a$+1 и х1+2 при достаточно большом k лежат в сколь угодно
тесной окрестности границы множества х и, следовательно, посредством
бесконечно малого сдвига дают нам истинные цепи компакта ф = 5"\ХС#
которые обозначаем снова через [wl+1\, [xl+2] . Эти цепи осуществляют сит-
никовскую гомологию
IV+i~o в фс£,
чем утверждение (б) доказано.

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
67
Итак, действительно имеем гомоморфизм Г группы Alt1 А в группу AqB,
3. Гомоморфизм Г есть изоморфизм. Пусть ситниковский цикл
Ги*+1 гомологичен нулю в В. Докажем, что бесконечный цикл uq+1,
лежащий на триангуляции т некоторой окрестности X множества А, гомологичен
нулю вокруг А, т. е. что его продолжение sl>uqJrl в некоторую
триангуляцию т', следующую за т, гомологично нулю в т'.
В силу самого построения цикла Tuq+1 = {zJL xl+1] мы имеем растущую
последовательность конечных триангуляции Qk cz т, причем конечные цепи
xl+1 и циклы zl получены в результате сдвига на компакт ф = 5л\Х
кусков x'l+1 цикла uq+1, лежащих на конечных комплексах («кольцах»)
Q*+i\Qb соответственно границ zqk кусков, лежащих на Q*. Нам дано,
что Ти — 0 в В, т. е. А-цикл IV+1 компакта ф ограничивает в ситников-
ском смысле на некотором компакте ф', фсф'с:В. Другими словами,
существуют е^-цепи yl+1 на ф', ограниченные циклами г\ и е^-цепи xl+2 на
ф\ £k~>0, ограниченные циклами yl+l — yl+1— **+1. Можно предположить
что при достаточно большом k все цепи xqk+1, xl*2, yl*\ zl, равно как и
призмы упомянутых Быше сдвигов, состоят из невырожденных сферических
симплексов *.
Откидывая в последовательности Ql9 Q2,... конечное число начальных
членов, можем предполагать, что поставленные условия малости выполнены,
начиная с k = 1. Как всегда, обозначаем через и1+1 кусок цикла uq+l,
лежащий на Q*.
Через гс£+1 при любом k обозначаем призму сдвига, переводящего z\ в
zj; тогда цикл
,/7+1 ,/7+1 <7+1
ограничивает в Sn некоторую цепь Xq+2. Обозначим через rcqk+2 призму
сдвига цепи xl*1 в xV"1 и рассмотрим бесконечную цепь
(1) ^+2 = 4*2-2(4+2-4+2).
Симплексы этой цепи мы также можем считать невырождающимися
симплексами в Sn; среди них лишь конечное число может иметь диаметры,
превосходящие любое наперед заданное е > 0 и лишь конечное число может
отстоять от компакта ф' = 5л\Х/ на расстояние большее е. При этом цепь
х*+2, не будучи, вообще говоря, цепью какой-либо триангуляции, обладает
основным для всего дальнейшего свойством локальной конечности по отно-
* Для этого, принимая радиус Sn за единицу, достаточно потребовать, чтобы осто
■ы Есех этих симплекссв имели диаметры меньшие -«-; но при достаточно большом k
>ти остовы имеют диаметры, меньшие любого наперед заданного е > 0.

68
Глава третья
шению к открытому множеству X' = 5"\ф'з А. Свойство это, сближающее
цепь х?+2 с цепями, составленными из симплексов какой-либо триангуляции,
заключается в том, что каждая точка а б X' имеет окрестность,
пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов цепи х*+2. Из этого
свойства локальной конечности следует, что каждый симплекс любой
триангуляции т' множества X' может пересекаться лишь с конечным числом
симплексов цепи х?+2, а отсюда, в свою очередь, вытекает, что каждая
триангуляция т' множества X' имеет подразделение 6', обладающее тем
свойством, что всякий симплекс /'€0', пересекающийся с каким-либо
симплексом цепи х?+2, целиком лежит на нем: для получения такого
подразделения 6' достаточно взять всевозможные пересечения симплексов
комплекса т' с симплексами цепи х«+2 и их гранями, что дает комплекс выпуклых
многогранников, произвольное симплициальное подразделение которого и
может быть взято за искомую триангуляцию.
Докажем теперь, что
Дд;<7+2 = uq+lt
В самом деле, имеем:
Дл£+2 = и\+* — У1+1 — тс?*1,
^+a = mi-#+1-*J+1.
д4+2 = - 4+1+хТ1 + -Г - 4X1
Внося эти выражения в формулу (1), получаем, после очевидных
упрощений:
оо
k=l
Возьмем какую-либо следующую за т триангуляцию т' окрестности X' =
= Sn \ty' множества А. Как мы видели, существует такое подразделение
б' триангуляции %', что каждый симплекс *'€6', пересекающийся с каким-
либо симплексом /?+2 цепи х?+2, целиком лежит на этом симплексе Р*+2\
очевидно, в' следует за т.
Определим теперь операцию урезания цепи хг пространства
Sn (в нашем случае цепи Jt?+2) триангуляцией 6', обладающей тем
свойством, что каждый симплекс t'r триангуляции б', пересекающийся с
каким-либо симплексом tr цепи хг, целиком лежит на tr- Урезанную цепь,
которую обозначим через Jxr, определим, давая ей на произвольном
симплексе f'r€8\ лежащем на ориентированных так же как t'r симплексах t[t. ,.,trs
цепи хг, значение, равное сумме значений цепи хг на симплексах
trv..., trs (их — конечное число *).
* Если г < п и цепь хг приведена в общее положение (так что пересечение двух ее
симплексов имеет размерность меньше г), то каждый симплекс t'r £ 0' может лежать лишь
на одном симплексе f цепи хт и тогда {Jxr»t'r) = (xr-ir). Этот случай может
рассматриваться как общий.
Замечание. Оператор урезания цепи хг является обобщением оператора Д-про-
должения и переходит в этот последний, если хг — цепь некоторой триангуляции т и
«урезающая» триангуляция 6' следует за т.

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
69
Теперь докажем, что оператор урезания и граничный оператор Д пере-
местительны между собой. Ввиду линейности обоих этих операторов,
достаточно их переместительность доказать для цепи хг9 состоящей из
единственного симплекса tr. Прежде всего, граница урезанной цепи Jtr, состоящей,
вообще говоря, уже из бесконечного множества симплексов, лежит на
границе симплекса tr. Это следует из того, что всякий (г—1)-мерный
симплекс цепи Лг, лежащий внутри симплекса tr, имеет шаровую окрестность
в открытом множестве б' = Х') и, значит, является гранью двух прилежащих
к нему и одинаково ориентированных г-мерных симплексов из Jtr.
Каждый (г — 1)-мерный симплекс, входящий в AJtr и по доказанному
лежащий на границе симплекса *г, является гранью лишь одного
прилежащего к нему r-мерного симплекса из Jtr и поэтому входит в JAf с тем же
коэффициентом (равным 1 или — 1), что и в ДЛГ.
Итак, урезая цепь xq+2 триангуляцией 6', получим цепь Jxq+2 этой
триангуляции, причем
ДУ^7+2 = УДд^+2 = juq+l%
Но 0' следует за х и операция урезания триангуляцией 6' лежащего на
т цикла uq+1 тождественна с операцией sb продолжения этого цикла.
Поэтому цикл sl'tii*1 s= Jut*1, ограничивая в 0' цепь Jxi+2, гомологичен нулю
в б', а потому цикл и^1 гомологичен нулю вокруг А, и утверждение о том,
что оператор Г есть изоморфизм группы АЦгА в группу AqB, является
доказанным.
4. Замечание. Из рассуждений, аналогичных только что проведенным,
вытекает, что всякий конечный Д-цикл uq+\ лежащий на некоторой триангуляции
т (открытого множества X), гомологичен нулю* в т (отсюда следует, что
конечные циклы и?*1 вокруг А определяют нулевой элемент группы Двн М).
В самом деле, так как Sn ациклично в размерности q -f- 1, то существует
конечная цепь xfi+2, ограниченная циклом и**1. Существует триангуляция
х'9 являющаяся подразделением триангуляции т и обладающая тем свойством,
что каждый симплекс t'qJt2 этой триангуляции, пересекающийся с каким-
либо симплексом цепи х*+2, целиком лежит на этом симплексе. Производя
операцию урезания цепи х*+2 триангуляцией т', получим (вообще говоря,
бесконечную) цепь x'i+2 = У*?+2 триангуляции %\ ограниченную циклом Sx/w*+1;
итак, s\>u«+1—0 в %', но тогда и и!+1 — 0 в т.
Аналогичное рассуждение для бесконечных циклов не проходит потому,
что бесконечная цепь х?+2, ограниченная циклом uq+1 в пространстве S",
хотя и существует (например, конус, построенный над и***1), но не
удовлетворяет условию локальной конечности относительно множества X (см. стр. 67).
• Т. е. ограничивает некоторую, вообще говоря, бесконечную irnb
триангуляции т.

70
Глава третья
5. Оператор Г отображает группу Двн гА на всю группу А'В.
Пусть z? = {z?,*/^1} произвольный Д-цикл, лежащий на некотором
компакте фсВ. Мы построим такой бесконечный Д-цикл н?+1, лежащий на
некоторой триангуляции т окрестности X = S"\<J> множества Л, что
Гич+1~гд в В.
Без всяких оговорок мы будем рассматривать циклы г\ и цепи дс/+1
как симплициальные циклы и цепи в Snt симплексы которых суть невырож-
дающиеся сферические симплексы. Ввиду ацикличности сферы Sn в
размерности q существует конечная цепь Xq+1, ограниченная циклом г\.
оо
Рассмотрим бесконечный цикл xq+1 = 2 *?+1« Каково бы ни было е > 0,
/-о
все цепи х/+\ начиная с некоторой, содержатся в е-окрестности компакта ф
откуда (так как все 4+1 — конечные цепи) сразу следует, что цепь х^+1
удовлетворяет условию локальной конечности относительно X, и каждый
симплекс любой триангуляции т множества X пересекается лишь с конечным
числом симплексов цикла xq+\ Поэтому мы снова можем построить такое
подразделение ъ триангуляции т, что каждый симплекс триангуляции т',
пересекающийся с каким-нибудь симплексом цикла х*+\ целиком лежит на
нем. Следовательно, мы можем применить к циклу х^*1 оператор урезания
триангуляцией т', что дает нам цикл uq+1 = Jx**1 триангуляции т\ Докажем,
что IV+1 ~ zq в ф — этим наша цель будет достигнута и доказательство
закона двойственности будет доведено до конца*
Положим в основу построения цикла Ги**1 такую последовательность
комплексов Q*, которая, кроме обычных требований, удовлетворяет еще и
следующему: все цепи х]+1 при i^>k лежат вне Q*. Так как jc?+1 цикл,
то при любом k имеем
4 = д 2 ХГ1 = ~ д 2 4+\
а так как все xj+1, / > kf лежат вне Q*, то z% также лежит вне комплекса
Qk. Берем такую триангуляцию полиэдра, являющегося суммой тел х/+1
цепей я^+1, К£— 1, которая на Qk была бы подразделением комплекса Q*.
k-i
Подразделенная в этой триангуляции цепь 2j х1}*1 может быть представле-
/-0
на в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть кусок, лежащий
на Qk и совпадающий, как нетрудно видеть, с подразделенным куском up1
цепи и***1, а второе есть кусок, лежащий вне Qk; его мы обозначим через ур1.
k-i
Так как границей всей цепи 2j xf+1 является z\> то
подр. z\ = подр. Аир-1 + Аур\

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
71
т. е.
Л^+! = подр. z?k — подр. Auqk+1.
Но элементы z'£, x'qk+1 цикла Ти = \z\, х'р-1} суть как раз z'qk = Ди£+1, *'£+1=
= "2+1 ~ w£+1> так чт0 цепи #*+1"" 9Т0 пленки между подразделенным z£ и
z'qk. Обозначая через тс?*1 и тс'?+1 призмы сдвигов подразделенных циклов
z\, z'qk в первоначальные, имеем
Остается только построить цепи x£+1, ограниченные циклами
^+I = (У1Х\ - ЧХ1 + *№) ~ (у1+1 ~ «Г1 + -У1) - Ч+1+*Г
и лежащие в окрестностях множества ф, сколь угодно тесных при доста -
точно большом k (цепи ур-\ а также wqk+1 последнему условию, очевидно,
удовлетворяют).
k
Носителем цикла xsfj^1 является полиэдр U x?+1\(Qk)\ обозначим через
К какую-нибудь триангуляцию этого полиэдра и возьмем столь мелкое
подразделение цикла wqk+\ чтобы его можно было канонически сдвинуть в
комплекс К. Наша цель будет достигнута, если мы покажем, что при этом
-сдвиге подразделенный цикл wqk+1 перейдет в нуль. Мы сделаем это,
повторяя рассуждения п. 2 этого параграфа (стр. 65) следующим образом:
При нашем сдвиге подразделенная цепь */£+:[+ *'£+1 перейдет в лежащий
k
на К и подразделенный этим комплексом кусок цепи 2j xq+1\ но в этот же
1=0
кусок перейдет и цепь yqk+1 + xqk+1, входящая в цикл wqk+1 со знаком минус;
так как призмы, входящие [в этот цикл (будучи (q + 1)-мерными цепями,
лежащими на ^-мерных симплексах), при каноническом сдвиге перейдут в
нуль, то наше утверждение доказано. Вместе с тем завершено и
доказательство закона двойственности,
§ 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДВОЙСТВЕННОСТИ
1. Группы угХ и ДГХ являются предельными группами прямых спектров:
угХ a lim {vra, *£}
ДОС = Нт{Д'<р,£*,}'
которые мы в этом параграфе будем соответственно называть г-мерным
у-спектром и r-мерным А-спектром пространства X (по данной раз навсегда
области коэффициентов 31). Ситниковский закон двойственности, доказатель-
<1)

72
Глава третья
ство которого составляло содержание предшествующих параграфов этой
главы, может быть усилен следующим образом:
Спектральный закон двойственности. Пусть, как всегда, А
и В —два взаимно-дополнительных множества в Sn и q = п—р— 1. Тогда
р-мерный у-спектр множества А и q-мерный А-спектр множества В
после надлежащей мультипликации содержат изоморфные конфинальные
части.
Эта теорема (впервые доказанная Ситниковым в [17а]*) является
действительно усилением его закона двойственности, так как из возможности
преобразовать один спектр в другой посредством мультипликаций и перехода
к конфинальным частям, очевидно, следует изоморфизм предельных групп
обоих спектров. Естественно вообще назвать два спектра
эквивалентными, если один из них можно получить из другого посредством
конечного числа переходов, каждый из которых есть или переход к спектру,
являющемуся конфинальной частью данного или, наоборот, переход к спектру,
содержащему данный в качестве конфинальной части («конфинальное
дополнение одного спектра до другого»). Так как мультипликация составляет
частный случай конфинального дополнения, то наиболее существенная часть
спектрального закона двойственности может быть сформулирована так:
р-мерный у-спектр множества А и q-мерный ^-спектр множества В
эквивалентны между собою.
Доказательство спектрального закона двойственности
основывается на понятиях канонического покрытия и канонической
триангуляции, а также на понятии канонической окрестности множества. Это те
самые понятия, на которых основывалось и доказательство изоморфизма
ЬРА = DPA в § 1 гл. 2. Сформулируем в виде особой леммы основные,
доказанные в гл. 2, § 1, пп. 4 и 5 свойства канонических покрытий
триангуляции и окрестностей:
Лемма 1. Для каждого покрытия а и каждой окрестности X множества
А можно найти такую каноническую триангуляцию т, что высеченное ею
каноническое покрытие а' следует за а и некоторая соответствующая ей
каноническая окрестность X' содержится в X.
Переходим к самому доказательству. Группа урнА есть предельная
группа прямого спектра
(1вн) {у"*, si],
где т — всевозможные триангуляции всевозможных окрестностей множества А*
Все группы у*ч, где т — всевозможные триангуляции одной и той же
окрестности X, изоморфны между собою. Поэтому можно, отождествляя
между собою все эти группы, получить одну группу ур(К). Проще всего
сделать это так. Циклом множества X называем цикл, лежащий на какой-
либо триангуляции множества X. Два у-цикла г\ и z£, лежащие на триан-
* См., впрочем, главу 6, являющуюся в известном смысле доведением до конца
идей, лежащих в основе еще первого закона двойственности гл. 2.

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
73
гуляциях %г и т2 множества X, называются'гомологичными между* ссбсю вХ,
если существует такая триангуляция т множества X, следующая за zx и за
*2> что
s^z[ ~ s^»z^ в т.
Так определенные классы гомологичных между собою у-ииклов и
являются элементами группы урМ-
Если X и X' — две окрестности множества Л, то гомоморфизм s\,
определяется так. Берется какая-нибудь триангуляция «с окрестности X и следующая
за т триангуляция т' окрестности X'; в каждом гомологическом классе
Ср б \jp (X) берется какой-либо у-цикл zp, лежащий * на т. Тогда stCp
определяется как класс С'р6ур00> содержащий у-цжл sx'£p. Доказательство
корректности этих определений может быть предоставлено читателю. Эти
определения позволяют говорить о спектре
(2) {V^ 4}.
Так как спектры (1вн) и (2) эквивалентны, то предельная группа этого
последнего есть группа v^* Теперь оставим в спектре (2) одни лишь
канонические окрестности. Так как одна и та же каноническая окрестность
может ретрагироваться на несколько канонических полиэдров, то мы
произведем мультипликацию частично упорядоченного множества всех
канонических окрестностей, считая каждую из них столько раз, сколько имеется
канонических триангуляции, на тела которых данная окрестность ретрагируется.
После этого мы считаем каждую каноническую окрестность отнесенной к
одной определенной канонической триангуляции, на тело которой она
ретрагируется. Произведенная таким образом над спектром (2) операция (т. е,
оставление в нем одних лишь канонических окрестностей и описанная только
что мультипликация) превращает спектр (2) в новый спектр, который по-
прежнему будем называть спектром (2). В полученном спектре делаем еще
ослабление порядка, заключающееся в том, что мы считаем каноническую
окрестность X', следующей за канонической окрестностью X, если X' с X иг
кроме того, каноническая триангуляция а', соответствующая окрестности X',.
следует за канонической триангуляцией ** X, соответствующей окрестности X:
ведь мы согласились считать каждую каноническую окрестность
соответствующей одной определенной канонической триангуляции. Полученный в результате
спектр будем обозначать через
(2*ан) {у/>Х, sb\;
* Можно было бы доказать, что в каждом из только что определенных
гомологических классов £р лежит один и только один гомологический класс произвольной
триангуляции т открытого множества X: этим и устанавливается «естественный изоморфизм»
между группами vp(M и урт, а также естественный изоморфизм между группами двух
различных триангуляции множества X; аналогично строится и изоморфизм между урт »
Vp X, так что vpt — VpX «= vp М-
** Легко проверить, что это ослабление порядка законно, т. е. не нарушает
направленности данного частично упорядоченного множества, и потому приводит к era
конфинальной части.

74
Глава третья
мы всегда будем иметь в виду, что он получился из первоначального
спектра (2) мультипликацией и переходом к конфинальной части (сделанное нами
еще ослабление порядка может быть, очевидно, поглощено при переходе к
конфинальной части).
Теперь мы переходим в спектре (1) к конфинальной части, оставляя в
этом спектре лишь канонические покрытия. Затем производим мультипликацию,
считая каждое каноническое покрытие столько раз, сколько имеется
канонических окрестностей, соответствующих каноническим триангуляциям,
высекающим данное каноническое покрытие. Это дает нам спектр, элементы
которого находятся уже во взаимно однозначном соответствии с элементами
спектра (2кан). Перенося в только что полученный спектр порядок из спектра
(2кан), что означает ослабление первоначального порядка *, получаем спектр,
который будем обозначать через
Таким образом, спектр (1кан) получается из первоначального спектра (1)
мультипликацией и переходом к конфинальной части.
2. Основной шаг в доказательстве спектрального закона двойственности
образует
Лемма 2. Спектры (1кан) и (2кан) изоморфны между собою**.
Так как между элементами обоих спектров уже установлено взаимно
однозначное соответствие, сохраняющее порядок, то лемма 2 вытекает из
следующих двух предложений, из которых первое утверждает изоморфизм
соответствующих групп обоих спектров, а второе — что этот изоморфизм
сохраняет проекции.
Лемма 3. Ретрагирующее отображение канонической окрестности X
(соответствующей канонической триангуляции а) на канонический полиэдр а
порождает изоморфное отображение g группы уЛх на ГРУППУ V^-
Лемма 4. Пусть Х'> X две канонические окрестности,
соответствующие каноническим триангуляциям ос' > а. Пусть g и g' - установленные
леммой 3 изоморфные отображения группы уЛх на у^Х, соответственно уЛх'
на у^Х'. Тогда для каждого элемента С группы уЛх имеем
Доказательство леммы 3. Возьмем какую-либо триангуляцию х
окрестности X. Заменяя, если надо, эту триангуляцию надлежащим ее
подразделением, можем с самого начала предположить, что каждый симплекс
t € т, пересекающийся с каким-либо симплексом канонической триангуляции л9
целиком лежит на нем. Тогда триангуляции х определяет некоторое подраз-
* См. предыдущую сноску.
** Так как нижеследующее доказательство леммы 2 независимо от гл. 1, то оно
дает новое доказательстве изоморфизма урА = у%нА.

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
75
деление о канонической триангуляции а. Обозначим через gB, 0 ^ 0 ^ 1
иретрагирующую деформацию полиэдра тна полиэдр оГ Аппроксимируем
конечный результат этой деформации, т. е. отображение g"lf симплициальным
отображением g, определенным на некотором подразделении т' комплекса т.
Подразделение х' и соответствующая ему симплициальная аппроксимация
£ отображения gx строятся обычным образом: рассматриваются главные
звезды oei триангуляции а; через Ot обозначается полный прообраз
множества oei при отображении gx\ получаем покрытие со = {О/} полиэдра т.
Подразделение т' берем столь мелким, чтобы каждая звезда ог' этого
подразделения содержалась хотя бы в одном множестве 0L\ ставя в соответствие
вершине е' триангуляции х' вершину е( триангуляции т, получим симплици-
альное отображение g комплекса т' в а, являющееся искомой
аппроксимацией отображения gL. Триангуляция х' порождает подразделение о'
триангуляции а и отображение g на а' есть канонический сдвиг о' в а.
С^лпцптупг огэзргкзлдз g пэрэ.кдаэт гомоморфизм g группы уЛз
(и, следовательно, группы у^а) в группу yV (и, следовательно, в у^Х).
Докажем, что g и есть искомое изоморфное отображение группы уЛз на
группу у^Х.
(а). Отображение g есть изоморфизм. Пусть z есть у-цикл
комплекса о и пусть gz~0 в х'. Докажем, что z—0 в о. Так как
оператор высечения J (при переходе от данного комплекса к замкнутому
подкомплексу) перестановочен с оператором у, то цикл Jgz, т. е. кусок цикла gzf
лежащий на а', гомэлэгичен нулю на а'. Нэ отображение g на а' является
каноническим сдвигом о' в а, поэтому цикл Jgz есть у-прэдолжение у-цикла
г в комплекс а и, если это продолжение ограничивает в о', то и z — 0 в о.
(б). Изоморфизм g есть отображение на всю группу
Д^Х. Возьмем произвольный элемент С € у^Х и у-цикл w? б С, лежащий на
триангуляции т; достаточно доказать, что gJw — s}w вт\ Цикл sl>w
является образом цикла w при отображении, сопряженном каноническому сдвигу f
{триангуляции т' в т), [a gJw — образом того же у-цикла w при
отображении g9 сопряженном отображению g. Но / и g гомотопны тождественному
отображению, а потому гомотопны межцу собою. Поэтому для
доказательства гомологии gJw ~ s\fw в х\ т. е. для завершения доказательства лем -
мы 3 достаточно доказать следующее известное предложение:
Лемма 5. Пусть даны два гомотопных между собою симплициальных
отображения /0 и fx комплекса К' в комплекс К"- Тогда для любого у-цикла
гр комплекса К" имеем
/oZ~7i* в К'.
Доказательство леммы 5. Берем цилиндр Q высоты
^построенный на /С', т. е. произведение К на отрезок 0^9^ 1. Заданная деформа-

76
Глава третья
ция отображения /0 в f± определяет отображение F' цилиндра Q в ЛЛ Для
л
удобства можно считать, что в слоях О^й^ — отображение F' совпадает
10
g
с /о» а в слоях — ^ б ^ 1 — с /i. Это дает возможность аппроксимировать
отображение F' таким симплициальным отображением, которое на нижнем и
на верхнем основаниях цилиндра Q совпадает соответственно с /0 и \г. Берем
покрытие Q цилиндра Q прообразами при отображении F' главных звезд
комплекса /С". Слои Q0 и Qj толщиной в 1/10, прилегающие к основаниям
цилиндра, протриангулируем как призмы. Вследствие условия, которому
удовлетворяет отображение F' в этих слоях, звезды только что упомянутых
их триангуляции оказываются вписанными в покрытие 2. Вне этих слоев
берем триангуляцию цилиндра столь мелкой, чтобы ее звезды были вписаны
в 2; кроме того, требуется, чтобы эта триангуляция индуцировала подразде-
(1 9 \
6 = — и 6 = — ] слоев Q0 и Qx.
Симплексы упомянутых триангуляции слоев Q0 и Q1 подразделяем центрально по
отношению к уже подразделенным их границам. Симплексы оснований при
этом дальше не подразделяются. В результате получается новая
триангуляция К цилиндра Q со звездами, Еписанными в Q так, что можно построить
симплициальное отображение F триангуляции К в /С", являющееся симпли-
циальным приближением отображения [F'. При этом отображение F будет
на основаниях цилиндра Q совпадать соответственно с отображениями /0H/i»
Кроме того, можно предположить, что триангуляция является
подразделением естественного клеточного разбиения Q* цилиндра Q на клетки,
являющиеся призмами высоты 1 над симплексами комплекса /С'.
Возьмем у-цикл Fz комплекса К, т. е. образ у-пикла z комплекса К"
при отображении F, сопряженном симплициалькому отображению F. Этот
у-цикл Fz высекает на основаниях цилиндра Q циклы f0z и \xz. Цикл Fz
гомологичен в К у-подразделению (продолжению) некоторого цикла Z
призматического комплекса Q*. Следовательно, и Еысеченные основаниями
у-циклы f0z и /х2 гомологичны на этих основаниях соответствующим высечениям
подразделенного цикла Z, т. е. (так как основания не подразделились)
высечениям JQZ и JXZ самого цикла Z. Но эти высечения,
рассматриваемые как циклы комплекса К', гомологичны между собою в этом
комплексе*, значит, и f0z ~ fxz в /С' чем лемма 5, а следовательно, и лемма 3
доказаны.
Доказательство леммы 4. Аппроксимируем отображения gx и
g[ (окрестностей X и V на а и а') симплициальными отображениями
некоторых триангуляции т и т' окрестностей X и V. При этом предполагаем, что
* Цегь, осуществляющая эту гомологию, принимает на каждом /р~х ЭК' значение,
равное значению цикла Z на призме tp £ Q*, псстроенкой над /р_1(ср, с I, гл. 3, § 3„
тр. 48—49).

Ситниковский изоморфизм и закон двойственности
11
х' следует за т. Возьмем какой-либо лежащий на а удикл z6C. Нам надо
доказать, что sl'gz ~ g's%z в х'. Для этого возьмем канонический сдвиг fa
комплекса а' в а и канонический сдвиг ft' комплекса х' в х. Отображения
gfl' и fag' полиэдра х' в а гомотопны в ~ тождественному отображению
и, следовательно, гомотопны между собою в а. Поэтому, в силу леммы 5,
V-циклы szx>gz и gs*>z как образы у-цжла z при отображениях,
сопряженных гомотопным между собою отображениям gfl* и /«g\ будут
гомологичны между собой в х', чем лемма 4 и, значит, лемма 2 доказаны.
3. Спектральный закон двэйстззннозти доказывается теперь в несколько
слов. В самом деле, изоморфизм D (гл. 3, § 3) в соединении с
перестановочностью операторов s\> и D осуществляет изоморфизм между спектрами
{v^» s\,} и {Д7+1Х, s\,}, а изоморфизм Г (гл. 3, § 4), если иметь в виду
соотношение
IV+1 ~ Vsluq+1 в ф' = Srt\x',
осуществляет изоморфизм между спектрами {Д7+1Х, sb) и {А^ф, Ер]. Во
всех этих спектрах делаются мультипликации и переход к конфинальным
частям, вызванные аналогичными операциями, произведенными в исходном
спектре {^К s>>}.

Глава четвертая
ДАЛЬНЕЙШИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГРУППАМИ,
ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ДЛЯ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ
И ДЛЯ ДВУХ ВЗАИМНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ТОЧЕЧНЫХ
МНОЖЕСТВ.
ПОЛНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ
§ 1. ОСНОВНОЕ свойство ситниковского
ИЗОМОРФИЗМА М
1. Гомоморфизм / группы уТ в угХ, сопряженный
непрерывному отображению / пространства X в пространство V, применяется,
в современных топологических ксследсьтишг постоянно; мы имели с ним
дело в случае симплициальных отображений f полиэдров, а также в том
частном случае, когда ХсУ и / есть тождественное отображение, тогда
сопряженный гомоморфизм f есть так называемый гомоморфизм высечения У,
впервые ЕЕеденный и подробно изученный для бикомпактных пространств »
моей работе [22]. Сейчас гомоморфизм f понадобится нам для любого
непрерывного отображения / пространства X в престранно У; даем
определение этого гомоморфизма.
Пусть fX — У0^ У\ пусть z G s 6 угУ. Цикл z есть у-цикл, лежащий на
некотором покрытии р пространства У. Это покрытие высекает покрытие {3^
пространства У0, элементами р0 являются пересечения с У0 элементов
покрытия р. Оператор [высечения Jp0 переводит у-цикл г в у-цикл г0 нерва ро>.
принимающий на каждом симплексе /0 ^ Ро значение, принимаемое циклом г
на том же симплексе t0.
Обозначим через а = /_1р0 покрытие пространства X, элементами
которого являются прообразы при отображении элементов покрытия р0; так ка1С
f есть отображение на всё У0, то нервы а и ро находятся в отношении
естественного изоморфизма, перекосящего цикл z0 с ро на а0.
Полученный у-цикл покрытия а0 и обозначается через \г\ его
гомологический класс в группе угХ есть по определению fj. Легко проверить, что-
данное только что определение отображения f группы угУ в группу угХ

Дальнейшие соотношения между группами
1Ъ
корректцо (т. е. не зависит от входящих в него элементов произвола) и что
f является гомоморфизмом группы угУ в угХ.
2. Скалярное произведение любой бесконечной цепи ига и
конечной цепи хга, лежащих на нерве а какого-нибудь покрытия пространства
X, определяется, как обычно, в предположении, что одна из двух цепей
ига, хга (безразлично, какая именно) взята по дискретной группе 21, а другая—
по бикомпактной группе 25|2(.
Это определение скалярного произведения между цепями, как обычно,.
переносится на элементы групп уг(а> 20 [и ^г(а> 58) (см- гл. 1, § 3, п. 5), в
том числе —по непрерывности — и на „идеальные" элементы последней
группы, и далее автоматически приводит к определению скалярного
произведения (j-C) между элементами j, С соответственно групп уг(Х, Щ и
t'(X, 25).
Точно так же (и вследствие отсутствия идеальных элементов даже
несколько [проще) определяется и скалярное [произведение элементов групп
V'(X, 58) и 8Г(Х, 21).
Теперь мы можем сформулировать и доказать
3. Основное свойство изоморфизма М. Пусть % —[произвольный
элемент группы \7Р(А, 21), соответственно группы ур (Л, 25), а
С—произвольный элемент группы Ьр (Л, 25), соответственно группы 8Р (Л, 21). Тогда,
(1) (Ю = »(Ма, С),
где, как всегда, через о обозначается коэффициент зацепления Д-циклов и
их гомологических классов.
Прежде чем переходить к доказательству, поясним эту [формулу. Взяв-
произвольный у-цикл- иР б j и проекционный (скользящий) цикл zp G С, мы
обозначаем через d(Mj, С) коэффициент зацепления r>(Mup, zp) циклов
z* = МиР и zP\ если же С есть идеальный элемент группы Ьр (Л, 25), то
коэффициент зацепления справа (так же как и скалярное произведение слева)*
определяется по непрерывности.
Итак, формулу (1) можно заменить через
(Г) (up-zp) = v(Mup9 zp),
где и левая и правая части не меняются, когда соответствующие циклы;
пробегают содержащие их гомологические классы.
Доказательство формулы (Г). От [циклов up и zp переходим
к внешнему циклу J~luP и скользящему циклу J"xzp = {г?} — (см. гл. 3,.
§ 1). При этом у*Дикл J~luP лежит на триангуляции т некоторой
окрестности X множества Л. Скалярное произведение (7~V'• J"lzp) определено на*
триангуляции т, причем
(2) (J^uP-r^^iuP-zP).

80
Глава четвертая
В самом деле, мы всегда можем взять в качестве а, служащего для
определения скалярного произведения (up-zp), некоторое каноническое покрытие*,
а в качестве т — триангуляцию канонической окрестности, ретрагирующейся
{посредством непрерывного отображения /) на нерв а. Тогда один и тот же
цикл zp может рассматриваться и как элемент г£ проекционного цикла zp
и как элемент гр скользящего цикла J~xzP. Что касается уиикла «^~V\
то можно написать J~xup = jup, понимая под/ оператор, сопряженный
.оператору непрерывного отображения /. Но тогда
(up-zP) = (up.fzp)=(fuP.zp),
что и означает равенство (2).
у-циклу ]~гиР соответствует звездный Д-цикл DV"1^, лежащий на
комплексе барицентрических звезд триангуляции т и имеющий с циклом zp
пересечение, равное скалярному произведению (./^V^z?).
Цикл TDJ~lup = {4, xV1} получается из цикла D*J~lup следующим
образом: берется возрастающая последовательность конечных подкомплексов
тл, триангуляции х и z\ определяются как границы кусков wh цикла
D0J~xupt лежащих на комплексах т^. Поэтому для достаточно больших k
имеем
D W X гР = ^Xz? = o (4, гр)
и, следовательно,
(up.zp) = t>(zqkf zpk\
^что и требовалось доказать.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ГОМОМОРФИЗМЫ h И Ъ.
ГРУППЫ .НЕЗАЦЕПЛЯЕМОСТИ
1. Основной гомоморфизм h группы ДР(Л, 21) (соответственно
группы ДР(Л, 21)) в группу ор(Л, 21) был определен в главе 1, § 2, п. 5.
Определим ядро Nic(A, Щ гомоморфизма h группы ДР(Л, 21) в ЪР(А, 21).
Группа ДР(Л, 31) отображается на Д?(Л, 21) посредством естественного
гомоморфизма, заключающегося в том, что каждый ситниковскии цикл заменяется
его первой строкой. Поэтому вопрос сводится к определению ядра
гомоморфного отображения h группы Д?(Л, 21) в 8Р(Л, 21). С другой стороны,
группа 8Р(Л, 21) естественно изоморфна группе Dp (Л, 21), так что гомоморфизм
h заключается просто в том, что мы каждый истинный цикл множества А
рассматриваем как скользящий цикл. Следовательно, ядро гомоморфизма А
группы Д?(Л, 21) (соответственно группы ДР(Л, 21)) в группу 8Р(Л, 21) =
* Определение канонического покрытия и канонической окрестности можно найти
я гл. 2, § 1; см. также гл. 3, § 5.

Дальнейшие соотношения между группами
81
= Dp (Л, 91) состоит из тех гомологических классов (в виеторисовском или
соответственно в ситниковском смысле), элементами которых являются циклы,
гомологичные нулю в любой окрестности X множества Л (в случае ситни-
ковского цикла последнему условию должна естественно удовлетворять
первая строка цикла). Но по закону двойственности Александера — Понтрягина
цикл гомологичен нулю в данном открытом множестве X тогда и только
тогда, когда он имеет нулевой коэффициент зацепления со всяким виетори-
совским циклом, лежащим на дополнительном замкнутом множестве ф=5гг\Х
Поэтому искомое ядро гомоморфизма h есть подгруппа группы АР(А, 21),
соответственно группы Ар (А, 21), состоящая из всех элементов этой
группы, имеющих нулевой коэффициент зацепления со всяким элементом
группы Ас (В, 25). Поэтому группа NPC(A, 21) называется также второй
(или увеличенной) группой незацепляемости множества А (по области
коэффициентов 21). Название „увеличенная" группа незацепляемости будет
объяснено в следующем параграфе.
2. Гомоморфизм Л группы А? (Л, 25) = А* (А, 25) в группу Ьр [А, 25)
строится совершенно аналогично гомоморфизму h.
Если группа А? (Л, 25) уже отождествлена с изоморфной ей группой
оР(А, 25) —(см. гл. 1, § 2, п. 5), то каждый элемент группы А? (Л, 25) =
= 8? (Л, 25) просто является элементом группы Ър (А, 25), притом
„собственным", а не „идеальным"; определяемый этим отождествлением гомоморфизм
вложения и есть искомый гомоморфизм /г. Ядро гомоморфизма h группы
А? (Л, 25) = ДР(Л, 25) в группу ~ЬР (Л, 25) обозначается черезЛ^с(Л, 25).
Мы сейчас докажем следующее предложение.
I. Группа NPC(A, 25) может быть определена как подгруппа группы
А? (Л, 25), состоящая из всех тех ее элементов, которые имеют нулевой
коэффициент зацепления со всяким элементом группы Ас (В, 21).
Это новое определение группы NPC(A, 25) позволяет назвать эту группу
второй (или увеличенной) группой незацепляемости множества Л (по области
коэффициентов 25).
Доказательство предложения I основывается на следующей лемме:
Лемма. Группа ЪР(А, 25) находится в отношении естественного
изоморфизма с предельной группой Dp(А, 25) обратного спектра
{ДР(Х, 25), El'},
где X суть упорядоченные по включению окрестности множества А и Е\
(при X'cXj есть, как всегда, обычный гомоморфизм вложения.
Доказательство изоморфизма ЪР(А, 25) = Dp (А, 25) протекает параллельно
доказательству изoмopфизмaJ ор (Л, %) = Dp (А, 21), составляющему
содержание теоремы инвариантности гл. 2. Оно основывается на рассмотрении кано-

82
Глава четвертая
нических 'покрытий и канонических окрестностей. Единственный момент в
доказательстве, требующий некоторого специального внимания, заключается
в установлении того, что — при канонических а и соответствующих X —
факторизация по незацепляемым циклам (при переходе от Д?(Х, 95) к ДР(Х, 95))
и факторизация по циклам нерва а, имеющим нулевое скалярное
произведение со всяким у-ииклом этого нерва (при переходе от Ар (а, 35) к о'' (а, 95))»
соответствую г друг другу; но это следует из основного свойства
изоморфизма М, доказанного в предыдущем параграфе.
Из доказанной леммы вытекает, что гомоморфизм h может
рассматриваться как гомоморфизм вложения группы А? (Л, 95) в группу DP(A, 95) =
с=~Ър(А, 95) в том смысле, что каждый истинный цикл 2^(rCpt А? (Л, 25)
есть цикл, лежащий в любой скрестнссти X шсжестЕа Л, тгк что каждый
элемент СР€Д?(Л, 25) определяет кстиккый элемент групгы Сх6Ар(Х, 25)
причем эти И сбразуют, счсеидко, нить, т.е. элемент групгы DP(A, 25).
В этой интерпретации ядро гомоморфизма h группы ДР(Л, 25) = Д£(Л, 25)
в группу ор(Л, 25) состоит из тех элементов, которые являются классами
истинных циклов, гомологичных нулю во всякой окрестности множества Л,
т. е. имеющих нулевой коэффициент зацепления со всяким истинным циклом
множества В (со всяким элементом группы А? (В, 21)).
Предложение I доказано.
Оно объясняет термин „увеличенная группа незацепляемости" в
применении к группе Nic{A, 25). В самом деле, группа Ад (Л, 25) („первая группа
незацепляемости") была определена (в гл. I, § 3, п. 2) как подгруппа группы
ДР(Л, 25) = А? (Л, 25), состоящая из всех элементов, имеющих нулевой
коэффициент зацепления со всяким элементом группы oQ(B, 2() = D<7(B, 21), т. е.
со всяким скользящим (значит, и подавно со всяким истинным) циклом
множества В, тогда как при определении группы Адг(Л, 25) требуется лишь»
чтобы коэффициент зацепления со всяким истинным циклом множества jB
равнялся нулю. Поэтому
NpAc(At 25)3 At (Л, 25).
Остается еще рассмотреть группу Агд(Л, 21), состоящую из всех
элементов группы АР(А, 91), имеющих нулевой коэффициент зацепления со всяким
(собственным, и далее — по непрерывности — и со всяким вообще) элементом
группы о7 (В, 25). Группу Ад (Л, 21) естественно назвать (первой) группой
незацепляемости по дискретной области коэффициентов.
Толкуя гомоморфизм h группы A?(fi, 25) в группу о*(В, 25) как
гомоморфизм вложения, мы сразу убеждаемся в том, что требование, чтобы
коэффициент зацепления данного элемента группы ДР(Л, 81) со всяким
элементом группы bq(B, 25) был равен нулю, является более жестким, чем

Дальнейшие соотношения между группами 83
требование, чтобы равнялся нулю коэффициент зацепления со всяким элемен -
том группы Д?(£, 25). Поэтому.
КЛА, 21)2^ (Л, 21),
отсюда и название „узелшгнная гругпа незацепляемости", которую мы дали
группе Nh(A, 21).
3. Сводка определений групп незацепляемости. Мы имеем две
„простые" группы незацепляемости: N£(A, 21) и Л/д(Л, 25) и две
увеличенные N%.(A, 31) и NZe(A, 25). Группы Nlc(A% 2Г) и Nb(A, 25) состоят из-
тех элементов групп ДР(Л, 31), соответственно ДР(Л, 25), которые имеют
нулевой коэффициент зацепления со всеми элементами групп А? (В, 25),
соответственно Д?(В, 21). Группы Мдс(А, 31) и Л/РС(Л, 25) являются
топологическими инвариантами множества Л, так как они сугь соответственно ядра
гомоморфизмов:
h группы ДР(Л, 21) в группу 5Р(Л, 31),
Л группы ДР(Л, 25) в группу^ (Л, 25).
Группа Ад(Л, 25) есть подгруппа группы ДР(Л, 25) = ДР(Л, 25),
состоящая из всех элементов этой группы, когорлэ имеюг нулевой коэффициент
зацепления со всяким элементом группы bQ {В, Э() — Dq (В, 21).
Группа Ад (Л, 25) также язлязтся топологическим инвариантом
множества Л, так как состоит из всех элементов группы Др (Л, 25), имеющих
нулевое скалярное произзэдэние со взяким элементом группы ур(Л, 21).
Наконец, группа АА(Л, 21) состоит из вззх элэмэягоз группы ДР(Л, . 21)"
имеющих "нулевой коэффициент зацепления со всяким элементом группы
1q(B, 25).
Эга группа является топологическим инвариантом множества Л: мы
докажем (в § 3 этой главы), что она совпадает с группой НРС(А, 21) (см. гл. 1,
§ 2, п. 3), т. е. с ядром естгстзенного гомоморфизма группы АР(АУ 31) на
группу Д?(Л, 21).
4. Группы у"незаЦепляем0СТИ- Мы уже познакомились с одной из
них в гл. 1, § 3, п. 5; это группа Л/£(Л, 21), которая была определена как
предельная группа
Л/Р(Л, 21) = 1пт1{Ар(а, 31), *"},
где Nv(a, 21) есть подгруппа группы гуР (а, 21), состоящая из всех
элементов, имеющих нулевое скалярное произзедение со всяким элементом группы
Др(а, 25). Лзгко видеть, что группа Л^(Л, 21) может быть
непосредственно определена как подгруппа группы sjp(Ay%)r состоящая из всех элемен-

84
Глава четвертая
тов9 имеющих нулевое скалярное произведение со всяким элементом группы
~ЪР(А, 25).
Группа NPV(A, 25) определяется как подгруппа группы ур (Л, 25),
состоящая из всех элементов, имеющих нулевое скалярное произведение со всяким
элементом группы ор(Л, 21).
Группы Npv(Ay 21) и А^(Л, 25) естественно назвать (простыми) группами
V-незацепляемости. Наряду с ними определяются „увеличенные" группы
у-незацепляемости, а именно:
Группа NуС (Л, 21) состоит из всех элементов группы ур(Л, 21), имеющих
нулевое скалярное произведение со всяким элементом группы Ар (Л, 25) =
= А£(Л, 25); последняя группа мыслится вложенной посредством оператора
h в группу Ьр (А, 25), поэтому
Кс(А, 31)2 <М, 21).
Группа N^c{Aj 25) состоит из всех элементов группы х;р(Л, 25),
имеющих нулевое скалярное произведение со всяким элементом группы ДР(Л,21)
или, что то же, со всяким элементом группы АР(А, 21)); элементы эти
мыслятся вложенными, посредством оператора Л, в группу 8Р (Л, 21), что
позволяет убедиться в справедливости включения
NPvc{A, 25)ЗЛ^(Л, 23).
Все группы у-незацепляемости определены в инвариантных терминах
и потому являются топологическими инвариантами множества А.
Мы увидим, что как группы незацепляемости, так и группы
^-незацепляемости множества А являются дуализируемыми инвариантами этого
множества.
§ 3. ПОЛНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ;
СИТНИКОВСКАЯ ДИАГРАММА
Теорема 1. При изоморфизме М между группами ур(А, 21) и А^(В, Щ
группа NP7(A9 21) отображается на группу Hqc(B, 21).
Прежде чем переходить к доказательству этого предложения, выведем
из нее ряд следствий: они сделают ясным фундаментальный характер
теоремы.
Из теоремы 1 прежде всего вытекает, что при изоморфизме М
факторгруппа \/р(А, 9J) — Л^(Л, 21) отображается на фактор-группу Aq(B, 21) —
— Я? (В, 2t), т. е. на группу Д?(В, 21), так что, пользуясь введенным в гл. 1,

Дальнейшие соотношения между группами
85
§ 3, п. 5 обозначением у'р(Л, 9f) = vP(^, 21) — Л/£ (Л, 21), имеем
изоморфизм
(1) v"M, 3t)-A?(B, 91),
содержащим в себе дуализируемоспгь групп Д£. Но там же в гл. I, § 3, п. 5
была установлена двойственность
~8Р(Л, 25)|у'/?(Л 21),
позволяющая переписать изоморфизм (1) в виде двойственности
(2) ■ "8Р(Л, »)|A*(B, 31).
Совокупность теоремы 1 и формул (1) и (2) иногда объединяется под
названием второго закона двойственности Ситникова (при этом под первым
законом двойственности Ситникова понимается сам изоморфизм урЛ == Д*В).
Наконец, легким следствием теоремы 1 и основного свойства
изоморфизма М (см. § 1 этой главы) является и изоморфизм
(3) NpA(A, 9) = Н!{А, 21).
В самом деле, по теореме 1 группа N$ (Л, 21) при изоморфизме М
переходит в группу //?(В, 21). Но группа Л^(Л, 21) состоит из тех элементов и
группы ур(Л, 21), для которых (и-£) = 0 при любом Сб8р(Л, 25); по
основному свойству изоморфизма М
(£l-C) = »(Af£ltC).
Следовательно, группа Hqc(B, 21), будучи образом группы А^(Л, 21) при этом
изоморфизме, состоит из всех тех элементов j группы Д*(В, 21), для
которых o(j, С) = 0 при любом С6 8Р(Л, 25). А это и значит, что Я?(В, 21) =
= Л/д(В, 21). Изоморфизм (3) этим доказан.
Переходим к доказательству теоремы 1. Начнем с частного случая, когда
множество Л открыто и, следовательно, В = S"\ Л есть компакт. Пусть т—
какая-нибудь триангуляция открытого множества Л. Применим к этому
частному случаю построения §§ 1 и 2 гл. 3, касающиеся групп урЛ и у^А.
Так как триангуляция т', следующая за т, в этом случае превращается просто
в подразделение триангуляции т и оператор s^ есть изоморфное
отображение группы у^т на группу у*ч', то группа у£нЛ в нашем случае
оказывается изоморфной группе у?т, а изоморфизм J превращается в изоморфное
отображение группы у^т на группу урЛ, так что М делается изоморфным
отображением группы у^ на группу Д*В. Из основного свойства изомор-

36
Глава четвертая
физма М вытекает—теперь дли любых £ б vp (т» 21) и т] € Др (т, 23) —
равенство*
(И)=о(Л«, ц),
тз которого следует, что при этсм кзсмср(|изме подгруппа Лр (т, 2J) груп-
•пы v^K ^0 переходит в подгруппу Лдс(В, 21) группы Aq (В, 21), состоящую
из всех элементов С, имеющих нулевой коэффициент зацепления с любым
tj6Ap(t, 25) = Ap(i4, 25). Дскажем, что в нашем случае эта подгруппа и
есть группа Н% (В, а). Де?хтЕительно, если цккл** ztCC Д*7 (В, 21) имеет
нулевой ксз4^кцкент згнеплегкя со ессми элементами груггы Др(т, 25),то для
любой конечной триангуляции тлс:т этот цикл, имея нулеЕсй коэффициент
зацепления со всеми г/Ст](:Др(тл, 23), будет, по классической теореме
Александера—Понтрягина, гемолегичен нулю в ^ = 5"\тл и, значит, будет
гомологичен нулю в любой окрестности компакта В. Но тогда цикл z будет
гомологичен нулю и в самом В в смысле слабой, т. е. виеторисовской
гомологии, т. е. будет z€ С 6//?(£, 21). Обратно, если гб С С/:/?(£, 21), то z
ограничивает в любой окрестности компгкта В и, значит, имеет нулевой
коэффициент зацепления с любым (конечным) циклом триангуляции т, т. е.
z €£€Л&(Д, И).
Итак, для случая открытого А теорема 1 доказана.
Переходим к общему случаю любого А с 5". Пусть а — каноническое
покрытие множества Л, а , X = т — каноническая окрестность, ретрагирую-
щаяся на нерв а. Полагаем ф = 5П\ X. Как уже говорилось в § 1 этой
главы, при естественных изоморфизмах
у"(а, Щ = уР(х, 21),
Др(а, 23) = Др(т, 25)
скалярное произведение сохраняется. Отсюда следует, что при естественном
изоморфизме между группами у*7 (X, Щ и у*7 (а, 21) группы N% (X, 21) и А'£ (а, 21)
соответствуют друг другу. Но группа jV£(X, 21) переходит в силу
доказанного частного случая теоремы 1 в группу Hqc (ф, 21). Поэтому мы можем
сказать, что
При естественном изоморфизме М между группами vp(a> 90 и Д*(Ф» 20
осуществляется изоморфизм между группами А^(х, 2() и Hqc(ty, Щ.
* Мы отождествляем элемент [у\ группы Др (т, 55) = Д^(Л, 55) с соответствующим
ему в силу гомоморфизма h элементом группы Ьр (А, 55).
** Мы отождествляем ситниковский цикл г с его первой строкой, т. е. рассматриваем
соответствующий ему виеторисовский цикл.

Дальнейшие соотношения между группами
87
Обратимся теперь к спектральному закону двойственности (гл. 3, § 5).
В нем мы имеем изоморфизм М спектра {ур(ас, 90> 'Ч] —при канонических
покрытиях а множества А—и спектра {Д^ф, 90, Е\>)—при компактах ф
дополнительных к каноническим окрэстностям множества А. В этих спектрах
выделяются группы iV£(a, 21) и //?(ф, 91), находящиеся в силу только что
доказанного в состоянии естественного изоморфизма. Эги группы, при тех же
проекциях т$ и E'l'f образуют, как легко видеть, два изоморфных спектра,
предельными группами которых и являются как раз группы N% (Л, Щ и Я?(В, 91),
оказывающиеся таким образом изоморфными в силу основного изоморфизма М.
Теорема 1 доказана.:
2. Дуализируемость остальных групп незацепляемости. Основная
теорема об изоморфизме двойственности („ситниковская
диаграмма"). Из основного свойства изоморфизма М вытекает, что при
изоморфизме М между группами ур(А, 25) и Д<7(б, 25) группа Npv (Л, 25)
переходит в группу Л/д(В, 25). С другой стороны, помня, что каждый виеторисов-
ский цикл (а слэдовательно, и каждый сигниковский цикл) в силу
гомоморфизма А, соотвгтственно Л, может рассматриваться и как проекционный цикл
zdt(:op(A, 21), соответственно 2бС(гйр(Л, 25), выводим из того же
свойства изоморфизма Му что он переводит группу N^C{A, 25) в группу N%c (В, 25),
а группу Л'ус И, Щ в группу Лдс(В, Щ.
Теорема 2. Все группы незацепляемости и у-незацепляемости —
простые и увеличенные — оказываются дуализируемыми топологическими
инвариантами.
Итогом всего этого исследования ярляется полная теорема об
изоморфизме двойственности, выражающаяся следующей диаграммой,
которую будем называть ситниковской диаграммой
двойственности. В ней наряду с обычным символом [P\Q, выражающим двойствен-
Р
ность групп Р и Q, употребляется еще символ 1| , выражающий изоморфизм
Q
групп Р и Q, и символ : Р, обозначающий, что группа Р гомоморфно
R
с ядром Q отображается в R]
Ситниковская диаграмма
~&{А, 25) I Ъ"(В, 21)
I 4
К (В, 23) с N%e (В, 25) с v* (В, 25) Д" (В,Щ э NL (5,01) 2 ЩВ, Щ = Н%В,Ж)
I! I! II !1 II II
Nl{A, %)CNic(A, S3)с А"(Л, S3) у"(A, %)^N*C(A, Щ^.К(А, Щ
Sh
Ь"(А, 25) | А"с(В, 31)

88
Глава четвертая
§ 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМА h НА ГРУППУ А*
И ЕГО СОПРЯЖЕННОСТЬ ГОМОМОРФИЗМУ Л;
ПРИМЕР Е. Ф. МИЩЕНКО
В § 2 мы определили гомоморфизм h как естественный гомоморфизм
„вложения" группы Ад(В, 58) = А? (В, 23) в группу о7 (В, 58), причем ядром
этого гомоморфизма оказалась увеличенная группа незацепляемости NAc (В, 25).
Так как NqA(B, 58)сЛ/дс(б, 58), то по теореме Э. Нётер гомоморфизм h
естественно определяет и одноименный непрерывный гомоморфизм топологи-
зированной фактор-группы А"7 (В, 58) = А? (В, 25) — Л/д (В, 58), который
переносится по непрерывности и в бикомпактное пополнение А* (В, 58) группы
Д/<7(В, 58). Итак, мы имеем гомоморфизм h группы А*7 (В, 58) в группу
Ъд(В, 58) и гомоморфизм h группы АР(А, 31) в группу ЬР(А, 21), причем
ЬР(АУ 91)[А*(В, 58) и Д?(Л, ЩЪЯ {В, 25). Так как двойственности эти суть
двойственности зацепления, а гомоморфизмы huh — гомоморфизмы
вложения, то гомоморфизмы эти оказываются сопряженными: для любых
£ 6 А? (А, 21), ^ € Aq (В, 25) имеем (С- - Ат[) = (А5 • ч) = » (5, ч). Обозначая через
Х?(В, 25) образ группы А*7 (В, 25) при гомоморфизме Л, через УхСЛ, 21) —
образ группы Д?(Л, 21) при гомоморфизме й и замечая, что ядрами этих
гомоморфизмов являются соответственно группы [Л/Дс(В, 25)] (замыкание в
А*7 (В, 25)) и Np\cc(At 31)*, можем начертить диаграмму
h
А?(Л, 21)з^Лгс(Л, 21) ± Х?(Я, 25)с^(В, 58)
1 t =
ЪР(А, Щ^УР{А, 31) j_ [Л1с(В,58)]е^(В, 25)
К
являющуюся применением к данному частному случаю диаграммы,
выражающей основную лемму о сопряженных гомоморфизмах**, впервые доказанную
мною в работе [16].
* Через NpAcc(A, ЭДС Д£(Д «) обозначаем образ группы NpAc(A, 5()С ДР (Д §|)
при естественном гомоморфизме группы Ар (Л, ЭД на группу Д£ (Л, $1), т. е. Л^СС(Л, 31)=
-Л&<* «)-Я? И-«О-
** Вот эта лемма: Пусть а гомоморфизм группы X в группу У, а с гомоморфизм
группы У \У в группу X | X, сопряженный гомоморфизму а (т. е. (ох-у) — (х-оу) для
любых х £ X, (/ £ К). Пусть Х0 есть ядро, а У\ есть образ группы X при
гомоморфизме а; пусть У0 — ядро, а Хх — образ группы У при гомоморфизме а.
Мы записываем это положение вещей в виде диаграммы:
(1)
1 I =
Y^Yx Y0.£.Y

Дальнейшие соотношения между группами
89*
Из сопряженности гомоморфизмов huh вытекает, что всякое свойство
множества А, которое может быть выражено через свойства
гомоморфизма Л, является дуализируемым; дуализируемым является, разумеется, и
всякое свойство гомоморфизма h. Отсюда, в частности, следует не только
дуализируемость ядер NpAcc(A, *&) = Nic{A, 91) — Нр (А, 21) и [Nlc(B, 23)];
гомоморфизмов А и /г, но и дуализируемость фактор-группы
ШР(А9 Щ = ЪР(А, 8)-У?(Д 31),
называемой „скользящим наростом" (в размерности р по области
коэффициентов 31) множества Л; из теоремы об аннуляторах (см. предыдущую сноску)
следует, что
9ГОР(А 3t)|[Mc(S, 95)].
Этот скользящий нарост может быть нетривиальным (т. е. может быть
ненулевой группой). Другими словами, гомоморфизм h может не быть
гомоморфизмом на всю группу Ър(А, 31). Пример множества А, осуществляющего-
эту возможность, был впервые построен Е. Ф. Мкщенко [136]. Приводим!
этот пример.
Ввиду изоморфизма между группами ор(А, 31) и Dp(Af Ш) речь идет о>
построении множества Л, для которого в группе Dp(At 21) существует
элемент, являющийся классом скользящих циклов, ни один из котсрых не
является циклом с компактным носителем. Мы построим в трехмерном эвкли-
Лемма утверждает, что в этом случае имеют место: аннуляции Х0 ±ХХ и Уг±У0
и двойственность X^Yi. Кроме того, в силу известной из элементов теории характеров-
теоремы об аннуляторах, имеют еще место двойственности Х0\{Х— Хг) и (Y—^i)|^o-
Другими словами, диаграмма (1) всегда может быть дополнена до диаграммы
° j / t = °"
(где jl означает аннуляцию; а диагональная черта — двойственность). Для
доказательства достаточно убедиться в любой из упомянутых аннуляций, например в том, что-
Х0±Хг. Для этого берем произвольно х £ Х0, у £ Y. Тогда (х-ау) = {ах-у) = 0 (так
как х £ Х0). С другой стороны, если х £ Х0, т. е. сх Ф 0, то существует такое у £Y>
что (ох-у) ^Ои, следовательно, (х-ау) Ф 0. Аннуляция Х0 ± Ai этим доказана.
Доказана и вся лемма.
Замечание. Если мы не ошибаемся, то приведенная только что диаграмма (взятая
из нашей работы [22]) является первым случаем формулировки теорем в виде диаграмм
этого рода — способ, получивший, как известно, чрезвычайное развитие в современной,
алгебраической топологии.

<Ю
Глава четвертая
довом пространстве R3 (пополненном единственной бесконечно удаленной
точкой) множество Л, у которого группа А]А есть нуль-группа, тогда как
группа DM отлична от нуля (т. е. в Л существует не гомологичный нулю
одномерный скользящий цикл). Область коэффициентов — группа целых чисел.
Предположим, что в R3 дана система координат х, г/, z. Обозначим через
/Со ломаную линию, состоящую из отрезков, лежащих в плоскости z = 0 и
заданных в ней условиями:
Далее, для всех / = 1, 2, 3,... обозначим через П/ отрезок, лежащий в
плоскости z = 0 и заданный условиями
1 1 ^ _ 1
i 2*2
Положим
К = Ко и U П/в
/-1
Множество /С изображено на черт. 3. Обозначим теперь через Q/ замкнутый
квадрат (т. е. внутренность квадрата вместе с его границей), лежащий в пло-
1
скости z = — и ограниченный в ней прямыми
\
x = 0,y = j, х=\, у=--— — .
Наконец, определяем множество Л как сумму:
A = KU U Q/.
/-1
Легко видеть, что Д£Л = 0. Докажем, что в Л существует одномерный
скользящий цикл, не гомологичный нулю. Пусть {X} — система всех
окрестностей множества Л. [Берем произвольно одну из них—Ха. Если е есть мини-

Дальнейшие соотношения между группами
91
мум расстояний точек (0, —, 0) и (0, , 0) от границы Ха, то концы
отрезка П/(а) при /(а)>— могут быть соответственно соединены в Ха с точ-
Е
ками (о, —, о] и /Ь, — —, о] отрез- /'"""""^"-^--^
'ос
/КУ
^оС
ками са и с'а. Полиэдральный
одномерный цикл, тело которого есть тесрети-
ко-множественная сумма множеств К0,
П/(а), са и с'а обозначим через г'л. Он
лежит в Ха (см. рис. 3). Нетрудно
убедиться, что система {?][} не является
в '/( скользящим циклом; однако сна
является таковым в Л. В самом деле,
пусть Хр cz Ха и 2*, z\ циклы системы
{г^}, лежащие соответственно в^ив
Ха. Обозначим через 8 минимум
расстояний от г* и г\ до границы Ха.
Тсгда гомслсгия z* ~ z\ в Ха осуществляется при помощи любого квадрата
Q/, если тслько j > —.
о
Заметим, что, пользуясь приведенной конструкцией, можно построить
скользящие (прэгкционньи) циклы произвольных размерностей, не
гомологичные компактным циклам.
Рис.'З
Приложение к главе четвертой
Ь этом приложении дается новое доказательство теоремы с дуализируемости групп
А^(Х, SI), найденное Н. А. Еерикашвшш [23] (независимо от К. Ситникова)
1. Пусть К — прсизвсльный симплициальный комплекс и 23—
бикомпактная группа; тсгда бкксмпгкткые групгы Ал(/Са, 93), где Ка — всевозможные
конечные псгксмглексы ксуглекса К, образуют прямей спектр: можно счи-
тат ь, что Ка < Кр, когда /Са есть подкомплекс комплекса Кр9 а в качестве
проекции Да -> Ар брать естественный гомоморфизм вложения. Предельную
группу (см. стр. 21) такого прямого спектра бикомпактных групп обозначим
через ЁР[К, »).
Второй закон двойственности для замкнутых множеств
<i)
Д"(С, 23)|Д?(Л 31), G=S\F,
можно записать теперь в виде
(2)
Ер(К, S3)| A?(F, St),

92
Глава четвертая
где К — произвольная триангуляция открытого множества G. Это
утверждение с очевидностью следует из известных нам следующих фактов:
а) предельная группа спектра групп изоморфна предельной группе
каждого конфинального подспектра; Ь) каждое компактное подмножество
тела любой триангуляции содержится в теле некоторого ее конечного
подкомплекса, и тело каждого конечного замкнутого подкомплекса — компактно; с) если
К — конечная триангуляция, то Ар (К) = А? (К) (см. I, стр. 63).
Скалярное произведение двойственности (2), можно описать следующим
образом: пусть zp — конечный цикл триангуляции К по области
коэффициентов 25, az?= {4}—истинный цикл компакта F по области
коэффициентов 91; тогда определен коэффициент зацепления о (гр, zq) = r> (zp, z%) (п
достаточно большое); будем считать (^-С7) = r>(zp,zq) при 2PGSP, z^GC7; по
непрерывности это умножение распространяется на все элементы.
Нам далее понадобится следующий факт. Пусть К и L две триангуляции,
лежащие в Sn; пусть, далее, каждая главная звезда триангуляции L лежит
в некоторой главной звезде триангуляции К\ по этой вписанности, как
обычно, определяется симплициальное отображение L в К (т. е. вершине а 6 L
сопоставляем одну из таких вершин Ъ d К, что 0\а а Оф). Если zp
произвольная конечная цепь триангуляции L и zp обозначает ее образ в К при
упомянутом симплициальном отображении, то
zp-zp~0 в К,
т. е. существует (р -\- 1)-мерная цепь хр+1 пространства Sn (возможно с
вырожденными симплексами), с телом в К, такая, что Axp+1 = zp — zp.
Это утверждение легко доказывается построением призмы с учетом
следующего факта: если а—замкнутый симплекс комплекса L, то минимальнее
выпуклое замкн}тое множество, содержащее оба множества о и тго, лежит в /С.
Это последнее утверждение доказывается таким образом: множество о
находится в объединении замкнутых симплексов из /С, имеющих тсо в качестве
своей грани; если х'£ъо и xd с,— прсизЕсльные течки, то они находятся в
некотором замкнутом симплексе из /С; следовательно, сферический отрезок,
соединяющий х и х', целиком лежит в некотором замкнутом симплексе из
/С; объединение всевозможных таких отрезков и есть минимальное замкнутое
выпуклое множество, содержащее а и ^а; оно содержится в К.
2. Определенная выше группа Ер (К, 95) является группой А-типа в
смысле гл. 1, § 1, что показывается нижеследующим рассуждением.
Если ср есть симплициальное отображение абстрактного симплициального
комплекса К в абстрактный симплициальный комплекс I, то непрерывный
гомоморфизм ср* группы Ер (К, 95) в группу EP(L, 95) определим следующим
образом. Пусть {Др(/(«), /£} и {AP(L9), i*} — прямые спектры, через которые

Дальнейшие соотношения между группами
&3
определили соответственно группы ЕР(К, 25) и EP(L, 95). Объединим эти два
спектра в один спектр, считая, что Ka<L9, если cp(Ka)c:Lp, а в качестве
соответствующей проекции беря непрерывный гомоморфизм Др(/Са) -> AP(L9),
порожденный ср. Так получаем прямой спектр бикомпактных групп, в
котором первый спектр является подспектром, а второй конфинален.
Следовательно, предельная группа этого прямого спектра с одной стороны находится
в естественном изоморфизме с группой Ер (L, 95), а с другой стороны в нее
естественным образом отображается группа ЕР(К, 95). Это и определяет ф*.
Пусть zp 6 К конечный цикл. Тогда легко видеть, что при zp 6 6 6 Ер (К, 95)
имеем <pzp 6 ф*с, следовательно, гомоморфизм ф* можно определить и таким
образом: если элемент ь(:Ер(К, 95) содержит цикл zp, то ф*£ есть элемент
из EP(L, 95), содержащий угр\ для остальных idEp(K, 95) ф*£
определяется по непрерывности.
Из второго определения гомоморфизма ф* непосредственно видно, что: 1) если
ф — тождественное отображение комплекса в себя, то ф* также тождественный
гомоморфизм; 2) если ф — симплициальное отображение К в L, а фх — симплици-
альное отображение L в Р, то (cpxcp)* = ф*ф*; 3) предполагая, что ф и ср2
комбинаторно-близкие симплициальные отображения комплекса К в комплекс
L, имеем равенство ф* = ф* (так как для каждого конечного цикла zp из К цикл
сргр — cpxzp комплекса L ограничивает конечную цепь, а это значит, что yzp
и фх2р принадлежат одному и тому же элементу группы Ер (L, 25)).
Таким образом группа Ер {К, 95) действительно является группой Д-типа.
3. Возьмем произвольное пространство А\ для нерва а его открытого
покрытия рассмотрим группу Ер (а, 25); при а < [3 возьмем гомоморфизм группы
£р((3, 95) в £р(а, 25), соответствующий проекции S«. Получаем обратный
спектр бикомпактных групп, предельная группа которого является
топологическим инвариантом пространства А. Обозначим ее через ЕР(А, 25).
Наша цель — доказательство следующей теоремы двойственности.
Теорема 1. Если А и В взаимодополнительные множества пространства
Зп, то имеет место двойственность
(3) Ёр(Л, 25)| Ы(В,Щ.
Сначала мы докажем двойственность
(4) Й„(Д25)| Д?(Я,Я),
где ЕРН(А9 25) — некоторая «внешняя» группа множества Л, к определению
которой мы и переходим.
Рассмотрим всевозможные триангуляции /С, лежащие в Sn, с телами,
открытыми в Sn и содержащими множество Л. Буем считать, что К <К\ если

94
Глава четвертая
покрытие множества К' главными звездами /С' вписано в аналогичное
покрытие множества /С. Как обычно, вообще эта вписанность не определяет
однозначно проекции (симплициального отображения) нерва системы главных
звезд полиэдра К в нерв системы главных звезд полиэдра К (т. е. комплекса
К' в комплекс /С), но все они комбинаторно близки.
Группы Ер (/С, 25) и непрерывные гомоморфизмы при К < К\
соответствующие упомянутым проекциям, образуют обратный спектр бикомпактных
групп, если только множество триангуляции направлено. Но это имеет место.
Действительно, при произвольном К и К множество К П К открыто в Sn
и содержит А Пусть L — его триангуляция. Множества вида Оке П О^е'
определяют открытое покрытие пространства L; существует такое
подразделение I! (см. стр. 34) полиэдра L, что покрытие, образованное ее
главными звездами, вписано в это покрытие. Следовательно, I! вписано как в К
так и в /('.
Предельная группа описанного выше спектра и является группой ££н (А25)*
Перейдем к доказательству двойственности ЕРЪН(А, 25) | A?(fi, 21). Если
/С — триангуляция открытого множества, содержащего Л, то FK = Sn \ К
является компактным подмножеством в В. Произведем мультипликацию в
спектре, определяющем Д?(5, 31), следующим образом: группу Д?(/7, 91) этого
спектра будем считать столько раз повторенной, сколько разных
триангуляции допускает множество Sn\F. Предельной группой полученного спектра
остается группа Д?(В, 21), а сам спектр оказывается сопряженным к спектру,
определяющему группу ££Н(Л,25).
Чтобы показать эту сопряженность и вместе с тем и двойственность (4),
нужно показать, что: 1) £Р(/С,25) | A?(F,2I) при R = Sn\F; 2)
гомоморфизмы спектров сопряжены. Первое есть закон двойственности для
замкнутых множеств, а второе, принимая во внимание замечание в конце пункта 1,
выводим так: пусть К < L и ср — соответствующая проекция; пусть далее
Fk = Sn\K и Fl = Sn\L\ если zp — конечный цикл из L, a z** = \zqn\ —
цикл из Fk> то в силу того, что zp и <pzp гомологичны в К, имеем равенство
t> (zp9 z?) = v(yzP,zq).
Это значит, что
где zp € ? б ED (L, 25), z* б С б A? (FK, 30, а ср* и ф* — соответствующие паре
К < L гомоморфизмы} из рассматриваемых спектров; в силу непрерывности
это равенство имеет место для всех ; б EP(L, 25) и С б Д? (FK, 21). Этим
двойственность (4) доказана. Для доказательства двойственности (3) осталось
показать изоморфизм
£Р(Л,25) = ££„(Л,25).

Дальнейшие соотношения между группами
95
Это и делается ниже.
4. В этом пункте под спектром комплексов будем понимать
направленное множество комплексов а вместе с симплициальными отображениями
(проекциями) ©2, определенными при а < р и отображающими Рва.
Проекции подчиняются следующим условиям: 1) проекции, соответствующие одной
и той же nape а < р, комбинаторно близки; 2) тождественное отображение
комплекса а в себя является проекцией; 3) если ©£ и Щ проекции, то и
©2 = &1Щ проекция.
Будем говорить, что спектр S является конфинальным подспектром в
спектре Г, если выполнены условия: 1) каждый комплекс из S является
комплексом в Т; 2) если а<Р в S, то а<р и в Г, и соответствующая
проекция из 5 является проекцией в Г; 3) за каждым комплексом из Т
следует некоторый комплекс из 5.
Далее, два спектра 5 и Т будем называть эквивалентными, если существует
конечная последовательность спектров 5 = 5lf 52,..., Sk = Г, такая, что для
каждого i или 5/ есть конфинальный подспектр в S/+b или наоборот S/+1
есть конфинальный подспектр в S/.
Для топологического пространства X нервы его открытых покрытий и их
проекции, определенные, как обычно, по вписанности, очевидно, образуют
спектр комплексов. Спектр комплексов образуют также триангуляции
открытых множеств из S", содержащих фиксированное множество Л; здесь
упорядочение К < К' и проекции определяем как в предыдущем пункте (при
определении группы ££Н(Л,55)). Эгот спектр будем называть полиэдральным
спектром множества А.
Имеет место (ср. гл. 2, § 1 и гл. 3, §§ 2, 5):
Теорема 2. Спектр нервов и полиэдральный спектр множества,
лежащего в Sn, эквивалентны.
Доказательство. Пусть A a Sn. Обозначим через 7\ спектр его
нервов, а через Ть — его полиэдральный спектр. Спектры Г2, Г3, Г4,
связывающие эти спектры, описываются следующим образом.
Т4 есть спектр внешних нервов множества Л, т. е. рассматривается
система т= \и)у открытых в Sn множеств, такая, что \Juzd А. Нерв
(относительно Sn) этой системы является комплексом спектра Г4. Далее, считается, что
T<Ti> если Yi вписано в f» т- е. для t/iEfi существует и 6т с условием
ис uL. Симплициальные отображения, определенные по вписанности, берутся
в качестве проекций. Эгим описание спектра Г4 закончено. Легко видеть,
что Г б является конфинальным подспектром в Г4. Действительно, каждая
триангуляция есть нерв покрытия его тела главными звездами, а проекции
и упорядочения в Т5 мы определяли по вписанности; далее, для т = {и}
существует триангуляция К множества \Ju (см. стр. 34) такая, что ее
покрытие главными звездами вписано в т-
Спектр Т3 определим как подспектр спектра 74, соответствующий тем
внешним покрытиям т={и}, которые высекают в Л подобные себе покрытия,.

•96
Глава четвертая
т. е. когда нерв -у в Sn и нерв покрытия {и Г) Л) можно отождествить.
Спектр Т3 конфинален в Г4: для внешнего покрытия ^ = {щ} рассматриваем
высеченное им внутреннее покрытие j^.J, и'. = А П ОД считая, что т — звездно-
конечное покрытие, рассматриваем внешнее покрытие {О/}, подобное
покрытию \и!\ (оно существует, как это доказано на стр. 53); внешнее покрытие
{Oi П ш) следует за {щ} и принадлежит 73.
Комплексами спектра Т2 будем считать нервы покрытий ? = {и}
пространства А внутренних или внешних, но высекающих в А себе подобное
покрытие; «j < ?', если для каждого и 6 *( существует v € ? с условием
w П ^ с ti. Соответствие
w -^ у, и G ?'» у б iff «П ^су
определяет проекцию спектра Т2. Так определенный спектр Т2, очевидно,
содержит спектры 7\ и Г3 в качестве конфинальных подспектров. Этим
доказательство теоремы закончено.
Заметим, что как видно из приведенного доказательства, верна следующая
теорема.
Теорема 3. Пусть Y — метрическое пространство и X — его
подпространство. Тогда спектр нервов покрытий пространства X и спектр
нервов его внешних (относительно Y) покрытий эквивалентны.
Из теоремы 2 следует искомый изоморфизм
£Р(Л,95) = ^Н(Д23).
Действительно, пусть {а, ©а} — спектр комплексов, тогда система
{Ер(ск,, 23), ©2*} образует обратный спектр бикомпактных групп и
эквивалентным спектрам комплексов соответствуют эквивалентные же спектры групп.

Глава пятая
СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ МНОЖЕСТВ.
ОБЛАСТИ ДВОЙСТВЕННОСТИ
§ 1. УСЛОВИЯ (гр) И (ар)
1. Условие (гр). Скажем, что множество А удовлетворяет условию
(гр) или является (гр)-множеством (по данной произвольной области
коэффициентов *), если каждый р-мерный истинный цикл этого множества по
данной области коэффициентов, гомологичный нулю во всякой окрестности
множества Л, (компактно) гомологичен нулю в самом множестве А.
Это условие, очевидно, эквивалентно условию, чтобы основной
гомоморфизм h группы Ас А в группу ЬРА = DPA был изоморфизмом. Поэтому
класс (гР)-множеств является, во-первых, топологически инвариантным, а во-
вторых, дуализируемым (в силу общего утверждения гл. 4, § 4 о
сопряженности гомоморфизмов h и /г).
2. Условие (ар). Множество А удовлетворяет условию (а?) или является
(арУмножеством, если для любой окрестности X множества А можно найти
такую окрестность X' того же множества, что всякий р-мерный цикл,
лежащий в X', гомологичен в X некоторому истинному циклу множества А. Мы
сейчас докажем топологическую инвариантность этого условия. Для этого
докажем, что условию (ар) эквивалентно следующее, инвариантно
сформулированное
Условие (Ар). Каково бы ни было покрытие со множества А
существует такое покрытие со' множества Л, что для любого цикла z£/ нерва ш#
можно найти компактный проекционный цикл** zp = [z%a\,
удовлетворяющий гомологии
(1) ас -Л* —* 2^о) В (О.
* Топология в группе коэффициентов, если и имеется, в расчет не принимается,
так что область коэффициентов можно считать дискретной группой.
** Обозначая этот компактный цикл через гР мы понимаем под <р какой-нибудь его
носитель (причем, конечно, разным со' соответствуют, вообще говоря, разные zp, лежа*
щие на разных <р).

98
Глава пятая
Замечание 1. Если (Ар) выполнено, причем покрытие со дано, а
покрытие со' подобрано согласно этому условию, то для любого покрытия со"
следующего за со', и любого цикла z%« можно подобрать z£ = {z£a} так, что
Sou" р р
со 2\»« Zcpo, В (О.
В самом деле, достаточно положить z£/ = EC"z£. и подобрать к этому z^>
компактный проекционный цикл zp согласно (1), тогда будет
to Zto" = &ш <дш'2ш" = ©со 2о>' — 2<рШ В О)..
Пусть теперь условие (Ар) выполнено; докажем, что выполнено и условие
(ар). Пусть дано X. Берем какую-нибудь триангуляцию т множества X;
канонический комплекс т' является, как мы знаем (гл. 2, § 1, п. 2), нервом
сопряженного канонического покрытия со. К этсму гокрьпкю со подбираем со'
согласно условию (Ар). Возьмем триангуляцию 0, строго следующую за т, и
такую, что каноническое покрытие сое„ сопряженное к 6', следует за со'.
Утверждаем, что каноническая окрестность * Хе/ = >/ удовлетворяет по
отношению к уже заданному X условию (ар). В самом деле, пусть zf, — цикл,
лежащий в >/. Он гомологичен в X', следовательно, и подавно в X некоторому
циклу канонического комплекса б'.
Поэтому достаточно доказать, что каждый цикл zp комплекса б'
гомологичен в X некоторому истинному циклу множества А. Однако, так как
покрытие сое/ следует за со', то, в силу замечания к условию (Лр), существует
компактный проекционный цикл zp такой, что для данного zp имеем
(2) S2,'z#~z£« в со.
Так как в'Ст' и проекция ©J цикла 2$ осуществляется путем сдвига в
полиэдре т', то из (2) следует
z£ ~ z^co в т' с т = X.
Будем рассматривать лишь канонические комплексы 7» следующие за нервом
со = т'; тогда покрытия т выделят в нити {z£a} = z£ никлы z£7» которые
определят истинный цикл (компакта <р ^ Л)
все звенья zpk которого гомологичны в т' циклу z%a — zf, следовательно, и
подавно z*— z£ в X, чем наше утверждение доказано.
Пусть теперь выполнено условие (ар); докажем, что выполнено и условие
(Ар). Возьмем произвольное покрытие со. Нам надо подобрать покрытие со'
* Если 0' — канонический комплекс, то через Х0, обозначается всегда
соответствующая каноническая окрестность множества А (см. гл. 2, § 1, п. 5).

Специальные классы множеств
99
так, чтобы пара покрытий о>, со' удовлетворяла условию (Ар) в том смысле,
чтобы для каждого цикла 2^> существовал компактный проекционный цикл
2? = {z£<x}, такой, что 8Cfz£' ~ г%ш на со. Достаточно подобрать такое со' для
каждого канонического со. В самом деле, в предположении, что для
канонического со мы эту задачу решать умеем, рассмотрим какое-нибудь покрытие
сох и возьмем каноническое со, следующее за со1# Подобрав к со покрытие о/
так, чтобы пара покрытий со, со' удовлетворяла условию (Ля), имеем для
любого цикла z,o' компактный цикл z% такой, что
Но тогда
8Кгр ~ zp в со.
<о ш' <рц>
©«H^V ©«.©со 2щ/ ~ ©а,.2£0) В COj
т. е. пара и>и со' также удовлетворяет условию (Ар). Итак, пусть заданное со
есть каноническое покрытие, нерв т'ш которого есть производная триангуляции
тш некоторой окрестности Хш множества А. К соответствующей канонической
окрестности \[, = X подбираем X' согласно условию (ар). Берем триангуляцию
тх/ множества X', следующую за тш, и ее производную т^,. Утверждаем, что
соответствующее каноническое покрытие со' == ovx, есть искомое. В самом
деле, всякий цикл 2£„ будучи циклом открытого множества X',
удовлетворяет гомологии вида
(3) Z£,~2£ В X,
где zv истинный цикл (некоторого компакта ср^гЛ). Вспомним, что X ретра-
гируется на полиэдр т1. Так как циклы zp, zp* лежат соответственно на
срсЛСхш и на т1/££тш, значит, при упомянутой ретракции остаются на
месте, то ретракция эта переводит гомологию (3) в гомологию
(4) гЪ~7% В т1.
Так как z„> переходит в ©D'zS' посредством сдвига в 'г!» то из (4) следует
(5) ©а/2',,~2р в т\
\ / ш а/ ср (О
Берем проекционный цикл [z^\, гомологичный истинному циклу zp в том
смысле, что для любого покрытия f гомологический класс $£т цикла 2^т есть
гомологический класс истинного цикла zp в нерЕе у (см. I, стр. 60). При
всяком достаточно мелком каноническом нерве ^, следующем за нервом со,
циклы 2^т суть сколь угодно мелкие циклы полиэдра ~1, причем проекции
©I осуществляются сдвигами в пределах этого же полиэдра, так что все
такие 2^т — 2^0, на хш* Так как, в силу (5), цикл 8£'z£' гомологичен на т^
всякому 2^т при достаточно мелком «у, то ©ю'г£/— г£со в ~„, значит, и в' т«, что
и требовалось доказать.

100
Глава пятая
Замечание 2. Естественным усилением условия (ар) является
следующее условие:
Условие (иар). В множестве А содержится такой компакт ср, что для
каждой окрестности Х:эЛ можно подобрать окрестность Х'зЛ так, что
всякий цикл, лежащий в X', гомологичен в X некоторому истинному циклу
компакта ср.
Топологическая инвариантность условия (иар) доказывается посредством
установления эквивалентности этого условия следующему условию:
{UАр). В множестве А содержится такой компакт ср, что ко всякому
покрытию (о множества А можно подобрать покрытие о/ так, что каждый цикл
z£, удовлетворяет гомологии
где zp = {zpa) есть некоторый, лежащий на ср, проекционный цикл.
Доказательство эквивалентности условий (иар) и (UАр) проходит так же,
как доказательство эквивалентности условий (ар) и (Ар).
3. (г^а^)-множества. Множества, удовлетворяющие одновременно условиям
(гр), (ар), называются (/-^^-множествами (по области коэффициентов 30.
Теорема 1. Пусть А есть (грар)-множество по области
коэффициентов 31. Берем в А циклы и гомологии по группе % а в В — по группе 23;
тогда каждый р-мерный истинный цикл множества А, не
ограничивающий в А, зацеплен с некоторым q-мерным истинным циклом в В, а
каждый q-мерный истинный цикл множества В, не ограничивающий в В,
зацеплен с некоторым р-мерным истинным циклом в А, так что группы
Лтас (А, 31) и NAc (В, 23) суть нуль-группы, и группа Дq (В, 23) совпадает с
бикомпактным расширением А? (В, 95) группы А? (В, 95).
В самом деле, из условия (гр) следует, что каждый не ограничивающий в
А истинный цикл 2л зацеплен с некоторым истинным циклам в В. Пусть
истинный цикл zqB множества В не ограничивает в В. Пусть ф —носитель
цикла гв. Тогда Х = 5А1\ф2^- Выбираем //сА так, чтобы всякий цикл
гР,9 лежащий в А', был в X гомологичен некоторому истинному циклу
множества А. Тогда ф с ф' = Sn \ X' и z% не ограничивает в ф'. Поэтому в //
имеется цикл z[„ зацепленный с zqB\ этот цикл, в силу условия (ар\
гомологичен в л некоторому истинному циклу множества Л, который зацеплен с
zqB, что и требовалось доказать.
Теорема 2 *. Для любого (грар)-множества естественный
гомоморфизм h группы Ас А в группу ЬРА = DpА является изоморфизмом на всю
группу ЬРА.
* Эта теорема и приведенное здесь ее доказательство принадлежат Е. Ф. Мищенко
[13а], аналогичная теорема в частном случае гомологических ретрактов (см. следующий
параграф) была ранее доказана мною в [101.

Специальные классы множеств
101
Замечание 1. Из этой теоремы и из предыдущей следует, что для
(г^а^-множества А первый закон двойственности принимает вид
АРс(ЛЛ)\ А? (В, 25).
Замечание 2. Из нижеследующего доказательства теоремы 2 будет
видно, что для (др)-множества гомоморфизм h является гомоморфизмом на всю
группу ЬРА.
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим обратный спектр
(!) |ДсР(ЛД), Е\'),
где ДР(Л,Х) есть фактор-группа группы всех истинных циклов множества А
по подгруппе циклов, ограничивающих в X, а Е\ есть естественный
гомоморфизм вложения группы Д£(А X') в группу Д£(Л,Х) при X' с X. Легко видеть,
что если А есть (У^-мнсжестЕО, то предельная группа спектра (1) есть группа АРА
(2) Ь2А = Пт[Ьрс(А, X), ££'}.
Назовем скользящим истинным циклом множества А систему
(«нить») zp = {za}, элементами которой являются истинные циклы zp\
множества А у поставленные в соответствие скрестнсстям X этого множества,
причем при X' с X имеем zpCtv ~ zptx в X. Скользящий истинный цикл назовем
ограничивающим, если zptX — 0 в X при любом X. Группу (2) можно
рассматривать как фактор-группу группы всех скользящих истинных циклов по
подгруппе ограничивающих циклов.
Далее, по определению группы DPA имеем
(3) 8M==DM = lim{A?X,^|-
Покажем, что естественный гомоморфизм группы (2) в группу (3) есть
изоморфизм на всю эту группу — этим и будет доказана теорема 2.
Пусть {?£} произвольный скользящий цикл множества А. По определению»
имеем при X' с X
(4) *£, ~ z{ в X.
Возьмем X. Так как А удовлетворяет условию (аР\ то к выбранному X
можно подобрать такое X', что любой цикл, лежащий в X', гомологичен в X
некоторому истинному циклу множества А. Выберем таксе X'. Тогда, в частности,
цикл zv, гомологичен в X некоторому истинному циклу множества Л, который
обозначим через Z? v Имеем гомологию
(5) zp, ~2?двХ;
из нее и из гомологии (4) следует гомология
(6) z£,~z;bX.

102
Глава пятая
Сделав это построение для любой окрестности X множества Л, получим
систему \zp -л); докажем, что эта система является скользящим истинным
циклом. В самом деле, пусть X' с X. Тогда
?р ?р
что вместе с (6) и (4) дает
По самому построению цикл {z£x} гомологичен циклу {г£}, что и требовалось
доказать.
§ 2. ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕТРАКТЫ
1. Условие (игр). Определение. Говорим, что множество А
{удовлетворяет условию (игр) или есть (игр)-множество, если существует такая
окрестность X множества А, что всякий р-мерный истинный цикл
множества А, ограничивающий в X, ограничивает и в А (условие (игР)
является, таким образом, условием равномерного выполнения условия гр). Область
коэффициентов — любая группа 3(.
Замечание 1. Пусть область коэффициентов есть конечная
циклическая группа Пш. Тогда всякий компакт А есть (аг)-множество (т. е.
одновременно (аР)-множество и (г^)-множество при любом р); при этом условию (игр)
удовлетворяют все конечно-связные по модулю т компакты * и только они.
Так как всякий ретракт есть (иг)- и даже (иг) (а)-множество, а всякое откры-
тое в Sn множество есть ретракт, то из сказанного вытекает, что дополнение
к (иг)- и даже к (иг) (а)-множеству может не быть (щ-)-множеством.
Докажем топологическую инвариантность условия (игр). Для этого
докажем, что ему эквивалентно следующее
Условие (URp). Существует такое покрытие со множества Л, что
всякий компактный проекционный цикл zpA = {z£j, удовлетворяющий
гомологии z£~0 в о, компактно гомологичен нулю в Л.
Докажем прежде всего, что из (URP) следует (игр).
Берем покрытие ш, указанное в (URP), и какое-нибудь следующее за ним
каноническое покрытие со', сопряженное триангуляции т', производной от
триангуляции т окрестности Х0 множества А.
Мы утверждаем, что каноническая окрестность X = \'х, может быть принята
за окрестность X, упомянутую в формулировке условия (шр). Пусть zv
какой-нибудь истинный цикл множества А (с носителем 9), гомологичный нулю в X; надо
доказать, что zp — 0 в А. Берем компактный проекционный цикл {гра},
гомологичный в А истинному циклу г*.
Так как v ^
zp~Q в Х = Х'„
* Т. е. имеющие конечную группу ДР(ДИОТ).

Специальные классы множеств
103
то
ZP~0 В т'.
Возьмем последовательность канонических комплексов
таких, что *z'x следует за т', и т^+1 (при любом k > 1) следует за т'Л> и что
диаметры симплексов комплекса т^ стремятся к нулю, когда k—> оо. Тогда
для канонических покрытий а*, сопряженных триангуляциям т^, проекции
<о^ осуществляются путем сдвига в полиэдре т' и поэтому
zp ^7P;r7
С другой стороны, истинный цикл lzpa } гомологичен истинному циклу \zp}
в ср, так что все zPak ~ 0 в т', значит, и г%ю> -0 в х' и zp^-0 в т'.
Предположим условие (URP) выполненным, отсюда следует, что проекционный
цикл {z^} компактно гомологичен нулю в Л, а потому и гомологичный ему
в ср истинный цикл zp гомологичен нулю в Л, что и требовалось доказать.
Предположим теперь, что выполнено условие (игр), и докажем, что
условие (URP) также выполнено. Берем X, удовлетворяющее выставленному
в условии (игр) требованию. Выбираем каноническую окрестность X' = >/ ,
содержащуюся в X, и каноническое покрытие о> == а)т. Утверждаем, что покрытие о>
удовлетворяет условию (URP). В самом деле, пусть {zpa} есть компактный
проекционный цикл, удовлетворяющий гомологии
<1) z^-Obco.
Берем последовательность канонических комплексов
т1> т2> .. • > хь • • • >
диаметры симплексов которых стремятся к нулю при &->оо, причем тх
следует за т и каждое т^+1 следует за тл.
Получаем истинный цикл
2<р = \ZV > Z2 ' ' ' • » Zfc' • • V»
где гР=^гРа . Этот истинный цикл гомологичен проекционному циклу IzM.
Кроме того, все zpk гомологичны циклу г$ю в полиэдре z, а, в силу (1),
гомологичны нулю в этом полиэдре и тем более в X. Итак, z£ — 0 в X, а
потому, по условию (игр)
zp~0 в Л,
значит, и [zpaJ—0 в Л, что и требовалось доказать.

104
Глава пятая
Определение, (игр)(арУ множества, т. е. множества,
удовлетворяющие одновременно условиям (игр) и (ар), называются р-ретрактами (по
отношению к данной области коэффициентов 21); они образуют
топологически инвариантный класс множеств.
Множества, являющиеся р-ретрактами при любом р, называются
просто гомологическими ретрактами (по данной области коэффициентов
21) или (иг) (а)-множествами.
Замечание 2. Множества, являющиеся окрестностными ретрактами в
обычном смысле слова, очевидно, являются и гомологическими ретрактами по
отношению к любой области коэффициентов. Однако мы увидим, что
существуют множества, которые, не будучи окрестностными ретрактами, являются
тем не менее гомологическими ретрактами по отношению к любой области
коэффициентов: таковы, например, все ошкуренные полиэдры* и все их
топологические образы. С другой стороны, известно (см. [3]), что всякий даже
и бесконечный полиэдр является скрестнсстным ретрактом. Между тем, легко
построить бесконечные полиэдры, которые не удовлетворяют условию (иар)
(таким бесконечным полиэдром (размерности нуль) является, например, любсе
множество, состоящее из бесконечного числа изолированных точек).
2. Вторая форма определения /7-ретрактов; группы 8/,(Г:Г')и
А? (Ф': Ф). Определению р-ретракта может быть^придана другая форма,
которой мы скоро воспользуемся. Для этого рассмотрим ДЕа открытых
множества Г и Г' пространства 5",[причем Г с Г'. Назовем тсгда группой Д? (Г : Г')
фактор-группу группы всех лежащих в Г циклов размерности р по подгруппе
всех циклов, ограничивающих в Г'. Группа АР (Г: Г') может быть также
определена
а) как подгруппа Ар (Г': Г) группы АРТ', элементы [которой суть
гомологические классы, содержащие циклы, лежащие в Г;
б) как фактор-группа Ар (Г : Г') группы АрГ по подгруппе Нр (Г : Г') тех
элементов %р € Д?Г, которые суть гомологические классы циклов,
гомологичных нулю в Г'.
Замечание. Таким образом наши[сбозначения ** удовлетворяют условию
симметрии Ар (Г : Г') = Ар (Г : Г).
Пусть теперь Г', Г суть окрестности множества А. Так как каждый
истинный цикл множества А лежит в Г и два истинных цикла,
гомологичных между собою в А, тем более гомологичны между собою в Г', то имеет
* Ошкуренным полиэдром (лежащим в данном Sn) называется сумма конечного числа
попарно не пересекающихся симплексов (каких угодно размерностей), лежащих в этом
Sn. Легко видеть, что ошкуренные полиэдры (в данном Sn) образуют наименьший класс
множеств, замкнутый по отношению к операциям (конечного) сложения и вычитания и
содержащий все выпуклые многогранники, лежащие в данном Sn.
** Здесь всюду вместо Д£ можно было бы писать и Ър, так для открытого
множества Д£Г = ЬРТ.

Специальные классы множеств
105
место порождаемый тождественным отображением множества Л в Г££Г'
естественный гомоморфизм группы АРА в группу АР (Г: Г'). Докажем пред.
ложение:
Теорема 1. Для того чтобы множество А было р-ретрактом по
данной области коэффициентов 21, необходимо и достаточно, чтобы
существовало такое Х0^ Л, что ко всякому X С£Х0 можно подобрать Х'сгХ
так, чтобы естественный гомоморфизм группы АРА в группу АР (Х':Х)
являлся изоморфизмом группы АРСА на группу Д?(Х':Х).
Доказательство. В самсм деле, предпслсжим выполненными условия
(игр) и (ар). Берем таксе Х0, чтобы всякий истинный цикл zpA, гомологичный
нулю в Х0) был гомологичен нулю в Л и выбираем произвольнее X с: хп.
После этого берем такую окрестность X' множества Л, чтобы всякий р-мер-
ный цикл, лежащий в X', был в X гемслогичен истинному циклу множества
Л. Утверждаем, что естественный гомоморфизм группы АРА в группу Д£(Х':Х)
есть в этих условиях изоморфизм на группу Арс (X': X). В самом деле, в силу
самого выбора Х0 этот гомоморфизм есть изоморфизм, тогда как в силу еы-
бора X' каждый гомологический класс j£t-к б АР (X': X) содержит истинные-
циклы множества Л.
Обратно, если существует Х0, указанное в формулировке теоремы 1, то,,
полагая X = Х0 и подбирая X' так, чтебы тождественнее отображение
множества Л в X' порождало изоморфное отображение группы АР А на группу
А?(X': X), видим, что всякий истинный цикл множества Л, не гомологичный
нулю в Л, не гомологичен нулю и в Х0, так что условие (игр) выполнено.
Взяв затем любое X с:Х0 и подобрав X' так, чтобы иметь естественный
изоморфизм АРА на А? (X': X), видим, что всякий гомологический класс 5>лх£Д?(Х':Х).
содержит истинные циклы множества Л, т. е. что выполнено условие (ар)
для этих X и X'.
Совершенно так же, как группы Ар (Г: Г'), определяются группы Д?(Ф':Ф)
для замкнутых множеств Ф'£Ф£5": группа Д?(Ф':Ф) есть фактор-группа
группы всех (/-мерных истинных циклов компакта Ф' по подгруппе всех
циклов, гомологичных нулю в Ф. Как и в случае открытых множеств, группа.
Д?(Ф':Ф) может быть определена также:
а) как подгруппа Д?(Ф:Ф') группы Д?Ф, состоящая из всех
гомологических классов, содержащих в качестве элементов истинные циклы множества Ф">
б) как фактор-группа Д^(Ф':Ф) группы Д^Ф' по подгруппе НЯ(Ф':Ф),
состоящей из гомологических классов %& t Д^Ф', элементы которых суть
циклы, гомологичные нулю в Ф. Обозначения снова симметричны.
Наконец, при Ф cz Г, где Ф — замкнуто, а Г — открыто в 5", обозначим
через АР (Ф: Г) фактор-группу группы всех р-мерных истинных циклов
компакта Ф по подгруппе циклов, ограничивающих в Г; группа эта может быть

106
Глава пятая
определена как фактор-группа Д£ (Ф: Г) группы Д?Ф (по подгруппе,
определенной циклами, ограничивающими в Г) и как подгруппа Д£ (Г: Ф) группы
Д?Г (элементами которой являются гомологические классы множества Г,
•содержащие истинные циклы компакта Ф).
Без труда доказываются следующие теоремы:
Теорема 2. Пусть даны: ® с X' с X; p = Sn\% ф=5л\Х, y=Sn\\'9
где, как всегда, ср замкнуто, а X и X' открыты в Sn. Тогда
А?(Х':Х)| Д?(ф:ф'),
Д?(Х:ср)| Д?(ф:р)
область к оэффициентов: слева — 31, справа — 25).
Для доказательства, например, первой из этих двойственностей достаточно
заметить, что при двойственности Д?ф | Д?Х аннулятором подгруппы Н<> (ф: ф')
в группе Д?Х является как раз группа Д? (к : X'); следовательно, имеем
двойственность
Д? (X : X') I (Л?ф - Я" (ф :<!>'),
т. е.
Д?(Х:Х')| Д?(ф:ф')-
Условие (Jp). Говорим, что множество В удовлетворяет условию (У*7) (или
есть (У^)-множество) по данной области коэффициентов, если существует
такой компакт фо£=.£» что Для любого ф^.ф0 можно подобрать ф'^Ф так>
что естественный гомоморфизм группы Д? (ф: ф') в группу AqcB есть
изоморфизм * на всю группу AqcB.
Это условие эквивалентно совокупности двух следующих:
а) существует такое ф0, что всякий ^-мерный истинный цикл множества
В гомологичен в В некоторому циклу множества ф0;
б) для каждого ф^.ф0 можно подобрать такое ф'^ф, что если какой-
нибудь истинный цикл г** множества ф ограничивает в В, то он ограничивает
и в ф'.
Чтобы убедиться в этой эквивалентности, обозначим через Д?(ф:В)
фактор-группу группы всех ^-мерных истинных циклов множества ф по
подгруппе циклов, ограничивающих в В. Из того, что существует ф'^ф, такое, что
группа кд (ф: ф') естественно изоморфна группе Д?В, следует, что при любом
выборе ф" _з ф' имеем естественный изоморфизм группы Д? (ф : ф") на группу
Д?В, а также естественный изоморфизм группы Д?(ф:В) на группу Д?В,
откуда и следует, что всякий ^-мерный истинный цикл множества В
гомологичен в В некоторому циклу компакта ф.
* Речь идет об алгебраическом изоморфизме, так как в Ы*СВ никакой топологии
дюка нет.

Специальные классы множеств
107
Далее, каково бы ни было ф^ф0> подобрав к ф такое ф', что
естественный гомоморфизм группы Д*(ф:ф') в Д?В есть изоморфизм, видим, что
всякий цикл множества ф, гомологичный нулю в В, ограничивает и в ф'.
Обратно, если для данных ф, ф', ф'^.ф^.фо выполнены условия (а) и (б),
то, в силу условия (б), естественный гомоморфизм группы Д?(ф:ф') в Д?Б
есть изоморфизм, тогда как, в силу (а), этот изоморфизм является
отображением на всю группу &дсВ.
Замечание. Бросается в глаза аналогия между определением
(./^-множеств, с одной стороны, и р-ретрактов, с другой (особенно, если брать второе
определение р-ретрактов); множества, удовлетворяющие условию (Jq), можно
было бы назвать «внутренними g-ретрактами». Указанная аналогия
подчеркивается следующим предложением (соответствующим тому, что всякий ре-
тракт в обычном смысле слова есть р-ретракт при всех р):
Теорема 3. Если компакт ф0Sz.В можно выбрать так, что
существует ретрагирующая деформация * множества В в компакт ф0, то В
при любом q и любой области коэффициентов является (^-множеством.
В самом деле, естественный гомоморфизм группы Д?ф0 в группу Д?В есть
© нашем случае изоморфизм на группу Д?В, так как каждый цикл компакта
ф0, ограничивающий (некоторую «пленку») в В, ограничивает (образ этой
«пленки») в ф0 и в то же время каждый цикл множества В гомологичен (и
даже гомотопен) в В некоторому циклу компакта ф0. Пусть, далее, дан
компакт фЗФо- Обозначим через ф' компакт, являющийся следом компакта
ф при ретрагирующей деформации множества В в ф0. Любой цикл z^
компакта ф гомологичен в ф' своему образу z0 при ретракции В в ф0; если гф
ограничивает в В, то z0 ограничивает в ф0 и, значит, гф ограничивает в ф'.
3. Теорема двойственности для гомологических ретрактов. Начнем
со следующего предложения:
Теорема 4. Если А есть р-ретракт по области коэффициентов 21
то В удовлетворяет условию (Jq) по области коэффициентов 25.
В самом деле, возьмем Х0 так, что для любого ХсХ0 можно подобрать
л'сХ, удовлетворяющее условию
(2) Д£ (X': X) = Д£Л (естественный изоморфизм!).
Требуется доказать, что тогда естественный гомоморфизм группы Д? (ф: ф')
в группу Д?В есть изоморфизм на эту группу. Другими словами, требуется
доказать два утверждения:
а) всякий истинный цикл г\ множества ф, ограничивающий в В,
ограничивает и в ф';
* Ретрагирующей деформацией множества В в компакт ф0 называется, как известно,
такая деформация множества В в себя, которая переводит множество В в компакт ф0,
^оставляя все точки этого компакта неподвижными.

108
Глава пятая
б) всякий истинный цикл zqB множества В гомологичен в. В некоторому
циклу компакта ф.
Для доказательства первого утверждения заметим, что всякий истинный
цикл z? множества ф, не ограничивающий в ф', зацеплен с некоторым циклом:
zp, лежащим в X', и, вследствие самого определения X', гомологичным в ^
некоторому истинному циклу zpA множества А.
Таким образом, zq оказывается зацепленным с zpx и потому не может
ограничивать в В.
Для дальнейшего существенно следующее замечание. Обозначая через
2*ф группу всех ^-мерных истинных циклов компакта ф, а через Hq (ф: В)
подгруппу группы Zqty> состоящую из циклов, ограничивающих в В,
заключаем из только что доказанного, что фактор-группа
Д2(ф:Я) = 2'ф-//'(ф:Я)
тождественна группе Д? (ф: ф') (т. е. сбе группы состоят из тех же
элементов, с тою же операцией сложения), что позволяет нам считать топологию
из Д?(ф:ф') перенесенной в Д?(ф:В)и, основываясь на (2), написать
двойственность
(3) Д?(ф:В) I Д?Л
для любого ф^фо-
Переходя к доказательству утверждения (б), заменяем его более сильным1
утверждением.
б0). Всякий истинный цикл zqB гомологичен в В некоторому истинному
циклу zq компакта ф0.
Доказываем утверждение (б0). Пусть данный истинный цикл zqB лежит на
компакте ф, о котором всегда можно предположить, что он содержит ф0,
так что имеет место (3). Группы Д? (ф0: В) и Д? (ф: В) как бикомпактные
группы, двойственные одной и той же дискретной группе Д^М,
топологически изоморфны между собою. С другой стороны, естественный гомоморфизм
группы Ас (ф0 : В) в группу Д? (ф : В) является изоморфизмом в эту группу,
а так как этот изоморфизм сохраняет скалярные произведения (являющиеся
коэффициентами зацепления), то он является изоморфизмом на всю группу
Д? (ф: В). Отсюда следует, что гомологический класс j\в 6 А? (ф • В),
содержащий заданный цикл г%9 содержит некоторый гомологический класс.
$0в б Д? (ф0 : В), так что цикл zqB гомологичен в В некоторому циклу компакта фо.
Теорема 4 этим доказана.
Переходим к основному результату этого параграфа.
Теорема 5 (теорема двойственности). Вела Л есть р-ретракт
по области коэффициентов 21, то группа Д?(В, 25) совпадает с группой

Специальные классы множеств
109
Д/<7(В, 25) и, получая от нее свою топологию, оказывается бикомпактной
и двойственной группе Д£(Л, 21), так что:
Д?(Л, 21)| Д?(В, »)•
Доказательство. По теореме 2 предыдущего параграфа имеем
Д?(Л, 21) = 8Р(Л, 21). Кроме того то теореме 1 предыдущего параграфа
имеем Д<7(В, 25) = Д?(#, 25), так что имеем двойственность
<4) Д?(Д«) I Д?(£, 25).
Так как, по только что доказанному, В удовлетворяет условию (Jq)y то
компакты ф' С ф с Б можно выбрать так, что группа Д*7 (ф': ф) естественно
(алгебраически) изоморфна группе Д? (#, 25). Покажем, что, полагая X = S" \ ф,
X' == Sn \ ф', имеем естественный изоморфизм Д? (Л, 21) = Д? (X : X'). Наряду
с двойственностью (4) запишем двойственность
<5) Д?(Х:Х')| Д?(ф':ф).
Имеем естественные изоморфизмы: группы Д£ (Л, 21) = £Р(Л, 21) в группу
Д?(Х:Х') и группы Д'(ф:ф') на группу Д?(В, 25)СД*(В, 25). Так как эти
изоморфизмы сохраняют скалярное произведение, то все утверждения теоремы
вытекают из следующего элементарного предложения.
Лемма. Пусть даны две пары:
21' | 25' и 2Г | 25"
и алгебраические изоморфизмы: тс группы 21' в группу 2Г и S группы 25*
в группу 25'. £сла зяш изоморфизмы сохраняют скалярное произведение*
то оба они суть изоморфизмы «на», причем второй из них есть изоморфизм
топологический.
В самом деле, покажем сперва, что тс есть изоморфизм на всю группу 21".
Для этого рассмотрим произвольный элемент Ъ" аннулятора (в 25") группы
тс (31'). Элемент Ь' = &Ь" аннулирует группу 2Г. Поэтому Ь' = 0.
Следовательно, Ъ" = 0, откуда тг (21') = 21". Остается доказать, что изоморфизм © есть
топологический изоморфизм группы 25" на всю группу 25'. Но каждый
элемент V группы 25" есть характер группы 21", а именно характер
ЬГ(х?) = (У.хГ),
где х" пробегает всю группу 21". Если (помня, что тс есть изоморфизм
группы 21' на всю группу 21") положим
Ь'{х') = Ьп(х")=ф"-х")
яри тел:' = х" и х", пробегающем всю группу 21", то получим топологический
изоморфизм Ъп <*Ь группы 25" на 25'. Но по нашим предположениям
изоморфизм этот совпадает с изоморфизмом ©, откуда наше утверждение и следует.
Лемма и вместе с нею теорема 5 доказаны.

но
Глава пятая
§ 3. ДВУСТОРОННИЕ ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕТРАКТЫ.
МИЩЕНКОВСКАЯ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ОБЛАСТЬ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Определение 1. Множество А с: Sn, удовлетворяющее по всем:
областям коэффициентов и по всем размерностям р совокупности условий
(Jp), (иг?), (ар), называется (J) (иг) (а)-множеством или двусторонним
гомологическим ре трактом.
Из предыдущего следует, что класс двусторонних гомологических ретрак-
тов является топологически инвариантным классом множеств.
Теорема 1. Если множество A^Sn есть двусторонний
гомологический ретракт, то множество B = Sn\A также является двусторонним:
гомологическим ретрактом.
Прежде чем доказывать эту теорему, введем следующее
Определение 2. Совокупность @ множеств, лежащих в различных
пространствах Sn, называется областью двойственности, если она
удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Если множество Лс5" содержится в ©, то и В^= Sn\A
содержится в @.
2. Если множество Ac:Sn содержится в @, то и всякое множество
A' czSn', гомеоморфное множеству А, также содержится в @.
Другими словами, область двойственности есть всякая совокупность
множеств, содержащая вместе со всяким данным множеством Лс5" его-
дополнение В •■== Sn \ А и любой топологический образ множества А,
лежащий в любом пространстве Sn\
Область двойственности @ называется элементарной, если для любых.
2f | 25 и любой размерности р для всякого Лс5п, А.£ © справедлив
элементарный закон двойственности
Д? (Л, 2Г)| Д?(ВГВ)
— в предположении, что группа Д? (В, S3) взята в надлежащей топологии.
Из топологической инвариантности (J) (иг) (а)-множеств и из теоремы 1
вытекает, что класс всех двусторонних гомологических ретрактов есть область
двойственности; в силу теоремы 5 предыдущего параграфа оказывается, что
эта область двойственности является элементарной. Наконец,, она достаточно
обширна, так как имеет место следующая теорема:
Теорема 2. Все ошкуренные полиэдры являются двусторонними
гомологическими ретрактами.
Начнем с теоремы 2. Она вытекает из следующего элементарного
свойства ошкуренных полиэдров:
Теорема 3. Для каждого ошкуренного полиэдра AczSn можно
найти открытое в Sn множество Х0з А и конечный полиэдр <р0с:Л таким,
образом, что существует ретрагирующая деформация множества Х0 в по-

Специальные классы множеств
111
лиэдр ср0, которая, если ее рассматривать на Л, является деформацией
множества А в себе.
Выведем теорему 2 из теоремы 3.
Прежде всего, в силу теоремы 3 предыдущего параграфа из условия
последней теоремы 3 вытекает, что А есть (Ур)-множество (при любом р и
любой области коэффициентов). Докажем, что (опять-таки при любом р и
любой области коэффициентов) множество А удовлетворяет условиям (иг?) и (аР).
Для этого заметим прежде всего, что, каково бы ни было ХсХ0, для
каждой течки х t А можно найти окрестность Ох столь тесную, что в течение
всей ретрагирующей деформации она остается внутри X (существование такой
окрестности следует из того, что точка х описывает при нашей деформации
компакт (непрерывную кривую) ухсЛс^). Беря сумму окрестностей Ох по
всем лсбЛ, получим окрестность X' множества А, которая в течение всей
нашей деформации остается внутри (произвольно заданного) X. Отсюда следует,
что всякий цикл, лежащий в X', гомологичен (и даже гомотопен) в X
некоторому истинному циклу полиэдра ср0, т. е. что условие (ар) (даже условие
(иар)) выполнено. Остается доказать, что всякий истинный цикл множества Л,
ограничивающий в Х0, ограничивает и в Л, причем достаточно доказать это
утверждение для истинных циклов полиэдра ср0. Но для этих последних,
очевидно, верно даже более сильное утверждение: Всякий цикл полиэдра ср0,
ограничивающий в Х0, ограничивает в самом сро-
Пусть Л — ошкуренный полиэдр и К — такая триангуляция пространства
Sn9 что Л является телом некоторого подкомплекса Р этой триангуляции.
Комплекс К\Р обозначим через Q; его тело есть ошкуренный полиэдр В.
Обозначим через /<(1) барицентрическое подразделение комплекса /С. Каждая
вершина комплекса К а) либо есть центр тяжести некоторого симплекса
комплекса Р, либо есть центр тяжести некоторого симплекса комплекса Q. В
первом случае назовем эту вершину красной, во втором — синей. Среди
симплексов комплекса Кц) мы различаем:
а) красные — у которых все вершины красные;
о) синие — у которых все вершины синие;
в) пестрые — у которых есть, по крайней мере, одна красная и, по крайней
мере, одна синяя вершина.
Все красные симплексы содержатся в Л, все синие —в В, что же
касается пестрых, то каждый из них содержится в Л или в Б в зависимости от
цвета своей старшей вершины.
Каждая грань одноцветного (т. е. красного или синего) симплекса есть
симплекс того же цвета, поэтому все красные симплексы образуют
триангуляцию Рх некоторого полиэдра срСЛ, а все синие — триангуляцию Qx
некоторого полиэдра фсВ. В частности, все красные вершины содержатся в ср»
а все синие — в ф.
Каждый пестрый симплекс имеет некоторую красную и некоторую синюю*
грань, которые являются взаимно-противоположными гранями этого симплекса.

112
Глава пятая
Таким образом, каждый пестрый симплекс одной из своих граней («красной»)
примыкает к полиэдру ср, а противоположной синей гранью —к полиэдру ф.
Если прибавить к ср все пестрые симплексы, получим множество X == Sn \ ф,
являющееся (как дополнение к замкнутому множеству ф) окрестностью
множества А (точно так же, если прибавить к ф все пестрые симплексы, то
получим окрестность [х = Sn \ ср множества В). Разложим теперь каждый
лестрый симплекс на открытые прямолинейные отрезки, соединяющие
некоторую точку синей грани этого симплекса с некоторой точкой его красной
грани. Отрезки эти назовем пестрыми. Пестрые (открытые) отрезки не имеют
общих точек. Подвергнем теперь множество X следующей деформации в себя:
каждую точку JtGX, принадлежащую некоторому пестрому симплексу,
заставим равномерно скользить в течение единицы времени по содержащему точку
х пестрому отрезку в красный конец этого отрезка; если же точка х
принадлежит множеству ср, то оставляем ее неподвижной. Эта деформация и
является искомой ретрагирующей деформацией множества X; она переводит X в ср,
оставляет все точки ср неподвижными и перемещает точки множества А лишь
в пределах этого множества.
Переходим к доказательству теоремы 1.
Группа коэффициентов может предполагаться дискретной, так как в
условиях (Jp), (игР), (ар) топология, если ею снабжена группа коэффициентов,
никак не участвует.
Итак, предположим, что множество А удовлетворяет условиям (Jp), (игр),
(аР) по дискретной группе коэффициентов 21 для любого р^п. Требуется
доказать, что множество В удовлетворяет тем же условиям, по той же
группе коэффициентов 21, также для любого р.
Возьмем группу характеров 25 | 21. Группа 35 бикомпактна, но если ее
рассматривать без топологии, то, в силу наших предположений, множество А
удовлетворяет совокупности условий (Jp), (игр), (ар) по этой группе; это
позволяет нам в данном и в аналогичных случаях просто говорить, что
множество А удовлетворяет условиям (Jp)y (игр), (аР) по бикомпактной группе
коэффициентов 95. Отсюда следует, что теорема 1 будет доказана, как
скоро мы докажем предложение
1$. Если множество А удовлетворяет условиям (Jp), (игр), (ар) по
бикомпактной группе коэффициентов 95, то множество В удовлетворяет условиям
(JQ), (uri), (aq) по дискретной группе коэффициентов 31 | 95.
Доказательство этого предложения опирается на ряд лемм.
Лемма 1. Если А удовлетворяет условиям (ар) и (Jp) по группе 95, то
В удовлетворяет условию (urq) по группе 21.
Лемма 2. Если А удовлетворяет условиям (игР) и (Jp) по группе 95,
то В удовлетворяет условию (аР) по группе 21.
Доказательство леммы 1. В силу условия {J% которому
удовлетворяет множество Л, мы находим такой компакт ср0сЛ, что всякий р-мер-

Специальные классы множеств
113
ный истинный цикл 2^ множества А гомологичен в А некоторому циклу
компакта ср0. Далее, в силу условия (ар) мы можем выбрать такую
окрестность Х0 множества А9 что для любой более тесной окрестности ХсХ0
найдется такое Х'сХ, что всякий цикл, лежащий в X', гомологичен в X
некоторому истинному циклу множества А. Следовательно, всякий цикл, лежащий
в X', гомологичен в X некоторому истинному циклц компакта ср0 (область
коэффициентов 25).
Покажем, что всякий истинный цикл zqB множества В, ограничивающий
в |х0 = Sn \ ср0, ограничивает и в В (область коэффициентов 21).
Действительно, обозначим через фсВ компакт, являющийся носителем цикла zb* Всегда
можно предположить (заменив, если нужно, компакт ф большим компактом
Ф'СВ), что Х = 5п\фсХ0.
Поэтому можно к этому X подобрать Х'СХ как указано выше. Цикл
гв» будучи гомологичным нулю в |л0, имеет нулевой коэффициент зацепления
со всяким циклом, лежащим на ср0, следовательно, в силу выбора X', и со
всяким циклом множества X'.
По второму закону двойственности для замкнутых множеств (гл. 2, § 2)
имеем, полагая, как всегда, ф' = S"\X':
Гомологический класс Ср € А? (ф', 91), содержащий наш цикл zJb,
аннулирует всюду плотную подгруппу Д"7 (X', 85) группы Д* (X', 95). Поэтому Ср
аннулирует всю группу А* (X', 25), т. е. Ср = 0 и гРв ~ 0 в ф', значит и подавно
zpB ~ О в В.
Лемма 1 доказана.
Доказательство леммы 2.
Возьмем такую окрестность X множества Л, чтобы всякий р-мерный
истинный цикл множества Л, ограничивающий в X, ограничивал и в Л (такая
окрестность X существует ввиду условия {игр)> которому по предположению
удовлетворяет множество Л). Пусть теперь дана произвольная окрестность
[х0 множества В, достаточно тесная, чтобы ср = 5п\|х содержало компакт ср0
условия (Jp), выполненного для Л. Тогда существует в Л такой компакт
ср'Зср, что всякий р-мерный цикл компакта ср, гомологичный нулю в Л,
гомологичен нулю и в ср' (область коэффициентов 25).
При этом выборе ср, ср', X имеет место естественный изоморфизм (даже
тождество)
А?(ср:ср') = Д?(ср:Х).
Полагая ф = 5Л\Х, р' = Sn\y, [х = 5"\ср, имеем естественный изоморфизм
группы А?(|х:ф) на подгруппу группы Д?(|А:р/) и двойственности
Д?(^:^)|А?(ср:ср'),
Д?(ц:ф)|Д?(<р:Х).

М4
Глава пятая
Мы находимся в условиях леммы п. 3, § 2, позволяющей заключить о
наличии естественного изоморфизма между группами Д?([/:|х) и Д?(ц:ф). Но
этот изоморфизм означает, что любой ^-мерный цикл множества jx'
гомологичен в |х некоторому циклу компакта ф, т. е. что множество В
удовлетворяет условию (aq) по области коэффициентов 21.
Лемма 2 доказана.
Применяя леммы 1 и 2 в условиях теоремы 1, сразу устанавливаем, что
в этих условиях множество В удовлетворяет условиям (urq), (aq) по области
коэффициентов 31. Остается доказать, что множество В удовлетворяет и
условию (Jg).
Переходим к этому доказательству.
Выбираем окрестность Х0 множества А согласно условию (игр)\ через X
обозначаем произвольную окрестность множества Л, содержащуюся в Х0,
а Х'СХ выбираем так, чтобы каждый цикл, лежащий в X', был гомологичен
в X некоторому истинному циклу множества А. Наша цель будет достигнута,
если мы убедимся в том, что при таком выборе окрестностей Х0, X, X' и при
обычных обозначениях ф0 = 5П\Х0, ф = 5Л\Х, ф' = Sn\X' естественный
гомоморфизм группы Д?(ф:ф') в группу АдсВ будет изоморфизмом на эту
группу. Для этого в свою очередь надо доказать два утверждения:
1°. Всякий истинный цикл 4 множества ф, ограничивающий в В,
ограничивает и в ф'.
2°. Всякий истинный цикл множества В гомологичен в В некоторому
циклу компакта ф (область коэффициентов Щ.
Доказательство утверждения 1°. Пусть г| истинный цикл
множества ф, не ограничивающий в ф'; докажем, что он не ограничивает и в В,.
По второму закону двойственности для замкнутых множеств в группе
Др (X', 85) найдется такой элемент &, что о (г$, ££) Ф 0. Следовательно,
найдется и такой цикл Z&, лежащий в X', что
v (zl zb) Ф 0.
Но, по выбору X', цикл zf' гомологичен в X (т. е. вне носителя ф цикла г%)
некоторому истинному циклу 2а множества А, поэтому d (zq, zpa) Ф0 и цикл
z\ не ограничивает в В. Утверждение 1° доказано.
Доказательство утверждения 2° требует новых
вспомогательных предложений. Обозначим замыкание подгруппы Ар (X : X') с Ар X в группе
Ар (X, 25) = Ар (X, 25) через Ар (X: X').
Лемма 3. Имеет место двойственность
Д2(ф:ф')|А?(Х:Х')
(орласти коэффициентов слева — 21, справа — 25).

Специальные классы множеств
115
Доказываем ее. Представим группу А? (ф: ф') как фактор-группу Д^ф —
— /^(фгф'), где Я<7(ф:ф') есть подгруппа, состоящая из классов циклов,
ограничивающих в ф'.
Докажем, что группа Ня (ф: ф') является аннулятором в группе Д?ф
подгруппы ДР(Х:Х') группы А? (X, 95) | А? (ф, 31).
а) Пусть z\ 6 Hq (ф: ф'). Тогда для любого цикла z& множества X' имеем
v (z$, z{>) = 0. Если теперь z'{ есть цикл, входящий в произвольный класс,
являющийся элементом группы А? (X: X'), то z'\ гомологичен в X, т. е. вне ф
некоторому циклу множества X', а потому в (zj, z'{) = 0. Но это означает,
что 4 аннулирует всюду плотную подгруппу Д£(Х:Х') группы ДР(Х:Х').
-Следовательно, z% аннулирует и всю группу ДР(Х:Х').
б) Предположим теперь, что цикл z% 6 Сф б А? (ф, 21) не ограничивает вф\
По второму закону двойственности для замкнутых множеств в группе
Др (X', 23) найдется такой элемент С& ,для которого (Сф • С&) # 0. Так как
группа Д'?(Х', 25) всюду плотна в группе ДР(Х', 25), то в X' найдется такой
цикл 2&, для которого с(2ф, zf/) =£ 0. Ввиду ТОГО, ЧТО ЦИКЛ Zy входит в один
из классов, являющихся элементами группы Д£ (X: X') с Др (X: X'), цикл z% не
аннулирует группу Д?(Х:Х'). Итак, мы доказали, что группа #*(ф:ф')
действительно является аннулятором в группе Д?ф группы Д?(Х:Х'), т. е. что
Д2 (ф, 3t) 5 Я* (ф: ф')±Af (X: X') С Д * (X, 25).
Но в силу элементарной теоремы теории характеров («теоремы об аннуля-
торах») отсюда следует нужная нам двойственность
Д?(ф: ф') = (Д?(ф, 31) - #«(ф: ф')) | Д?(Х: X').
Лемма 3 доказана.
Возвращаемся к доказательству утверждения 2°, завершающему и все
доказательство теоремы 1.
Рассмотрим группу
Д?(ф:Я)=Д?(ф, *)-Я'(ф:ЯХ
где Ня (ф: В) обозначает как всегда подгруппу группы Д? (ф, 21), состоящую
из таких гомологических классов, элементы которых суть циклы,
ограничивающие в В. Из уже доказанного утверждения Г следует, что группа
Д? (ф: В) совпадает с группой Д? (ф: ф'), так что в силу леммы 3 мы можем
написать
(1) Д?(ф:Я)|Д?(Х':Х).
С другой стороны, так как А есть (шр) (ар)-множество по области
коэффициентов 25, то имеем естественный алгебраический изоморфизм
{2) ' ' Д£(Х':Х)=Д?(Л,25).

116
Глава пятая
Но группа Д£(Х':Х) как подгруппа топологической группы ДР(Х': X) снабжена
топологией. Перенеся в силу изоморфизма (2) эту топологию из Д? (X': X) в
Д?(Л, 25) и пополнив группу Д?(Л, 95) в этой топологии, мы получим
естественный топологический изоморфизм
Д?(Х':Х)=Д£(Л, 25).
Из него и из двойственности (1) следует, что
Д?(ф:В)|Д?(Л,25)
при любом ф^Фо.
Возьмем теперь произвольный цикл z% множества В по области
коэффициентов 21. Пусть ф —его носитель. Всегда можно предположить, что ф^Фо-
Тогда из двойственностей
Д?(ф:Я)|д?(Л,25),
Д?(ф0:Б)|Д?(Л,58)
и из того, что естественный изоморфизм группы Ag(ty0:B) в группу Д*(ф:В)
сохраняет скалярное произведение, следует, что этот изоморфизм является
изоморфизмом группы Д? (ф0: В) на всю группу Д*7 (ф: В), А это означает,
что элемент группы Д?(ф:5), являющийся классом, содержащим цикл z%,
содержит некоторый истинный цикл г\9 компакта ф0, т. е. что z%— 4о в В>
чем и доказано утверждение 2°, а вместе с ним и вся теорема 1.
Итак, совокупность всех двусторонних гомологических ретрактов
является элементарной областью двойственности, содержащей все
ошкуренные полиэдры. Эту область двойственности естественно назвать
мищенковской областью двойственности.
§ 4. МАКСИМАЛЬНАЯ СИТНИКОВСКАЯ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ОБЛАСТЬ
ДВОЙСТВЕННОСТИ
1. Понятие области двойственности настолько просто и естественно, что
задача изучения всей совокупности областей двойственности, и среди них,
в особенности, элементарных представляется одной из самых интересных в
топологии общих (т. е., вообще говоря, незамкнутых) точечных множеств.
Сделано в этом направлении очень мало. Ничего неизвестно даже о мощности
множества всех областей двойственности. Каждая данная совокупность
точечных множеств естественно определяет минимальную содержащую ее область
двойственности. Так, например, можно говорить о минимальной области
двойственности, содержащей все конечные множества, все замкнутые или, что
то же, все открытые множества, все полиэдры, все ошкуренные полиэдры
и т. д. Неизвестно, какие из получающихся таким образом областей
двойственности совпадают, какие различны между собою. Неизвестно также, сколько
имеется различных элементарных областей двойственности. Само собою разу-

Специальные классы множеств
117
меется, что всевозможные области двойственности образуют по включению
частично упорядоченное множество; однако о структуре этого частично
упорядоченного множества нам решительно ничего неизвестно.
При таком положении вещей особый интерес представляет данная
Ситниковым характеризация единственной максимальной элементарной области
двойственности (т. е. такой элементарной области двойственности @0> что всякая
элементарная область двойственности является 'подмножеством области
двойственности @о)*. Оказывается область двойственности @0 состоит из
множеств, которые — по терминологии Ситникова — являются
одновременно квазиоткрытыми и квазизамкнутыми. Переходим к определению этих
множеств.
2. Квазиоткрытые множества. Ситников называет множество A^Sn
квазиоткрытым, если для всех размерностей р и всех групп
коэффициентов 31 | 25 можно в группу ур(А, 25) ввести такую топологию, что имеет
место двойственность
Арс(АЛ)\урЛА>Ч
осуществляемая скалярным умножением (естественно определенным для
элементов £6Д?(Л,Э1) и т]6: ур (А 85) этих групп).
Теорема 1. Для того чтобы множество AczSn было квазиоткрытым,
необходимо и достаточно, чтобы для всякой размерности р и для любых
91 | 25 группа Л? (Л, 21) была двойственна в смысле зацепления с надлежащим,
образом топологизированной группой Д?(5, 25).
Доказательство этого предложения сразу следует из ^ситниковского
изоморфизма М между группой ур(А, 25) и группой Aq(B, 25), совпадающей в
случае группы коэффициентов 25 с группой Д?(В, 25). При этом в силу
свойства изоморфизма М скалярное умножение в двойственности
у'(Л,25)|Д?(Л,31)
переходит в коэффициент зацепления в двойственности
Д?(Я,$8)|д£(Л,21)
и обратно.
3. Квазизамкнутые множества. Множество А с 5" называется ква-
зизамкнутым, если для любой бикомпактной группы 25 естественный
гомоморфизм вложения группы Д?(Л, 25) в группу ЬР(А9 25) есть изоморфизм
на всю эту группу.
Теорема 2. Для того чтобы множество А с:Sn было квазизамкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы группа Д?(Л, 25) по любой бикомпактной группе
* После того как существование хотя бы одной элементарной области двойственности
доказано, существование (единственной) максимальной элементарной области
двойственности <50 очевидно: <50 есть просто теоретико-множественная сумма всех элементарных
областей двойственности.

118
Глава пятая
коэффициентов 25 и для любой размерности р, взятая в надлежащей
топологии, была двойственна в смысле зацепления с группой Д? (В, 21).
Доказательство, В силу результатов гл. 4, § 3, имеем
двойственность зацепления
^(Л,25)|Д?(Я,21).
Требование двойственности зацепления
Д?(Л,25)|Д?(Й,3()
эквивалентно требованию, состоящему в том, чтобы группы Д? (Л, 35) и
ЪР(А, 35) не только были изоморфны, но чтобы этот изоморфизм
осуществлялся именно при естественном вложении группы Д?(Л, 25) в группу ор (Л, 35).
4. Доказательство теоремы Ситникова. Легко видеть, что
дополнение к квазиоткрытому множеству квазизамкнуто и наоборот. Поэтому
множества, одновременно квазиоткрытые и квазизамкнутые, образуют область
двойственности — очевидно элементарную. С другой стороны, если для какого-
нибудь множества Лс5л для всех размерностей р и при всевозможных
группах коэффициентов 21 | 25 осуществляются двойственности зацепления
М(А,Щ\Ы(В,Щ
Д?(Л,25)|Д?(Я,91),
то, в силу теорем 1 и 2, множество Л является одновременно квазиоткрытым
и квазизамкнутым. Отсюда следует, что множества, одновременно
квазиоткрытые и квазизамкнутые, образуют максимальную элементарную область
двойственности, что и требовалось доказать.

Глава шестая
СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ И ТЕОРЕМА
О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ
§ 1. ЗАМЕЧАНИЕ К ТЕОРЕМАМ ИНВАРИАНТНОСТИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ
1. О теоремах инвариантности*. Если мы вернемся к доказательству
первой общей теоремы двойственности (гл. 2, § 1), то увидим, что
доказательство это слагается из двух существенно различных частей: из доказательства
изоморфизма DP(A, 21) = у?(#» Щ (или эквивалентной ему двойственности
Dp (А, Щ\Ад(В, 23)) и из доказательства так называемой теоремы
инвариантности ЬРА = DPA. Первая часть есть, по существу, не что иное, как спектра-
лизация теоремы двойственности Понтрягина, связывающая группы Бетти
взаимно дополнительных множеств, из которых одно открыто, а другое
замкнуто.
Вторая часть — теорема инвариантности — утверждает эквивалентность
„внешних групп", простейшей из которых и является группа DPA,
определенных как предел соответствующих гомологических групп окрестностей
множества Л, и проекционных, относящихся уже к самому множеству А и
определенных как предел групп нервов его покрытий. То же самое
расчленение, только в более сложной обстановке, имеет место и в центральном
законе двойственности Ситникова, где теоремой инвариантности является
утверждение изоморфизма \?%НА = уРА. Особенно ярко аналогичное
расчленение проходит через доказательство так называемого спектрального закона
двойственности (гл. 3, § 5).
Простой анализ доказательства изоморфизма hpA = DpA, данного в § I
главы второй, показывает, что в основе этого доказательства (так же как и в
основе существенной части доказательства спектрального закона
двойственности) лежит следующий простой, но замечательный геометрический факт.
В направленном множестве триангуляции**, лежащих в Sn и
покрывающих данное множество Лс5", существует конфинальная часть, состоящая
* Этот пункт помещен лишь для связи с предыдущим; дальнейшее изложение на
него не опирается, читатель может ознакомиться с теоремой о гомеоморфизме, начав
чтение со следующего пункта.
** Когда мы говорим о том или ином направленном множестве триангуляции, то
всегда, без всяких исключений, исходим из естественного порядка между триангуляциямй,

120
Глава шестая
из всех канонических триангуляции, которая является вместе с тем конфи-
нальной частью некоторой мультипликации направленного множества нервов
всех покрытий множества А. При этом, если каноническая триангуляция тр
следует за канонической триангуляцией та, то соответствующее каноническое
покрытие р вписано в каноническое покрытие а и канонический сдвиг* хд
в та порождает обычную проекцию нерва р в нерв а.
Тело каждой канонической триангуляции является ретрактом некоторой
окрестности множества Л, причем эти окрестности могут быть выбраны так,
что их совокупность будет составлять направленную по включению множества
всех окрестностей множества А
2. Обобщенные симплициальные отображения; геометрический
спектр. То фундаментальное место, которое не только в последнем
предложении, но и решительно во всех построениях, с которыми мы имели дело
в этой книге, занимают [направленные множества триангуляции, заставляет
нас подробнее заняться ими. Направленные множества триангуляции вместе
с надлежаще опрэделенными отображениями — проекциями триангуляции
*р- > та в триангуляцию та — и составляют то, что называется геометрическим
спектром. Мы сейчас дадим строгое определение этого понятия, и должны
для этого определить „обобщенные симплициальные отображение.
Пусть даны два, вообще говоря, абстрактных полных звездно-конечных
комплекса р и а и пусть каждому симплексу Гр 6 Р поставлен в соответствие
симплекс са,71р = Га так, что полученное отображение комплекса Р в
комплекс а удовлетворяет следующему условию, которое естественно назвать
условием симплициальности (или непрерывности):
Если симплексы Т$ъ..., Т$г комплекса р имеют в р „комбинаторную
сумму" (т. е. являются гранями некоторого симплекса ТрбР), то тем же
свойством обладают симплексы Таг = о^Т^ъ..., Таг = <*аТрг в комплексе а. При
этом, обозначая через Т$х +... -f- T$s комбинаторную сумму в р симплексов
Тръ..., Tfa (т. е. симплекс наименьшей [размерности в р, имеющий все
симплексы Грь..., Tas в числе своих граней), требуем выполнения условия
Отображение a£ комплекса p в комплекс а, удовлетворяющее этому
условию симплициальности, называется обобщенным симплициальным
отображением.
Очевидно, обобщенное симплициальное отображение полностью определено,
если известны образы вершин] комплекса р при этом отображении и если
известно, что [при этом (для вершин) выполнено условие симплициальности:
заключающегося в том, что триангуляция т' считается следующей за триангуляцией т,
т' > т, если каждый симплекс триангуляции т' содержится в одном (и разумеется только
одном) симплексе триангуляции т.
* Т. е. симплициальное отображение, ставящее в соответствие каждой вершине
триангуляции То некоторую вершину ее носителя в триангуляции та.

Симплициальные спектры и гомеоморфизм точечных множеств 121
если е^...,е^г образуют в р остов некоторого симплекса t$, то симплексы
£а£/зо,..., °а Чг имеют в а комбинаторную сумму; полагая тогда
для любого симплекса Т$ = (е$0,..., е$г) мы распространим отображение с£
(как отображение множества всех вершин комплекса р) в отображение
множества всех элементов этого комплекса. Очевидно, аналогия с обычными
симплициальными отображениями — полная: обобщенные симплициальные
отображения отличаются от обычных лишь тем, что образ вершины
комплекса Р, вообще говоря, является не вершиной (т. е. нульмерным симплексом),
а симплексом произвольной размерности комплекса а. Характерное же
условие симплициальности одно и то же в обоих случаях.
Одним из важнейших примеров обобщенных симплициальных отображений
может служить пример естественного отображения ©а в триангуляцию а
триангуляции р следующей за а: это отображение заключается в том, что
каждому симплексу Т б Р ставится в соответствие его носитель в
триангуляции а.
Пусть теперь дано произвольное направленное, как всегда, в силу
естественного порядка множество триангуляции т, лежащих в 5". Рассматривая
это множество вместе с естественными отображениями («проекциями») ££' для
любых т', т, т' > т, мы и получим произвольный геометрический спектр
2 = N &)
в Sn. Нижеследующие примеры показывают, насколько естественно это
понятие.
3. Примеры геометрических спектров.
а) Комбинаторный спектр триангуляции т0 (или
«полиэдра, данного в определенной триангуляции т0>>) определяется
как направленное множество всех триангуляции, являющихся подразделениями
данной триангуляции т0 как всегда с естественными проекциями. При этом
очевидно, что из двух триангуляции т и т', являющихся подразделениями
одной и той же триангуляции т0, триангуляция т' следует за т лишь тогда,
когда т' является подразделением триангуляции т.
Если триангуляция т0 конечна (т. е. если полиэдр т0 есть компакт), то
весь комбинаторный спектр этой триангуляции состоит из конечных комплексов
б) Полный геометрический спектр множества А определяется
как направленное множество всех триангуляции в Sn, покрывающих множество
А, с естественными проекциями. Оставляя в этом спектре лишь канонические
триангуляции, получим канонический спектр множества А в Sn.
в) Конечный геометрический спектр компакта Ac:Sn
определяется как направленное множество всех конечных триангуляции в 5",
покрывающих множество Л, с естественными проекциями.

122
Глава шестая
§ 2. АБСТРАКТНЫЙ СПЕКТР.
ПРОБЛЕМА ГОМЕОМОРФИЗМА
1. Определение абстрактного (или общего) спектра. Под
абстрактным спектром Е понимается любое напрарлекксе множество звездко-конечкых
полных симплициальных комплексов, в котором для любых комплексов р, ос,
из которых, положим, р следует за а, определено обобщеннее симплициаль-
ное отображение («проекция») ©£ комплекса Рва так, что выполнено
следующее условие ослабленной транзитивности: если
Т>Р><*
в направленном множестве £, то для любой вершины еЛ 6 у симплекс ©2©^т
является (собственной или несобственной) гранью симплекса ©ает, что
записывается так
(1) 8fififo< Ski-
Замечание. Отождествляя симплексы с их остовами, что в абстрактных
комплексах принято и весьма естественно, можем условие (1) записать в виде
простого включения
(Г) sfisfocskT.
Очевидно, тогда и для любого симплекса /76т будет
a6sJiTcsI/T.
2. Транзитивные спектры. Открытый спектр пространства
(точечного множества). Если для любых т > р > а из Е выполнено не только
1), но и условие полной транзитивности
(2) SfiB2eT = S2*T,
то спектр называется транзитивным» Легко видеть, что всякий геометрический
спектр является транзитивным. Важнейшим примером абстрактного спектра,
не удовлетворяющего условию полной транзитивности, является открытый
спектр точечного множества (пространства) А: он состоит из нервов
всевозможных звездно-конечных открытых покрытий множества Л, причем нерв р,
по определению, следует за нервом а, если покрытие р вписано в покрытие а.
Проекции определяются следующим образом: если р>а и ^ есть
произвольный элемент покрытия (вершина нерва) а, то определяем ©Sep как симплекс
аба, вершины которого соответствуют всем тем элементам покрытия ос,
каждый из которых содержит данный элемент е$ покрытия р. Без труда
проверяется, что условие ослабленной транзитивности при этом выполнено, тогда
как уже на простейших примерах можно убедиться в том, что сильная
транзитивность, вообще говоря, не имеет места.

Симплициальные спектры и гомеоморфизм точечных множеств 123
3. Конфинальность. Спектр Е' = {а, ©£'} называется частью спектра
Е={а, ©£}, если каждый комплекс, являющийся элементом спектра Е',
является и элементом спектра Е, причем из р' > а' в Е' следует Р' > а в Е
(вообще говоря, не обратно!) и при Р'>а' в Е' проекция ©£' в Е' совпадает
с проекцией S&' в Е.
Мы говорим, что спектр Е' = {а', ©£/} есть конфинальная часть спектра
Е = {а, ©£} или что он может быть конфиналько дополнен до спектра Е, если
Е' является частью спектра Е и если, кроме тсго, выполнено следующее
Условие конфинальности: ко Есякому aGE найдется в Е' такое
а', что а' следует за а в Е.
Примеры, а) Канонический спектр произвольного множества А является
геометрическим (и потому транзитивным) спектром, образующим конфинглькую
часть как полного геометрического спектра множества А> так и открытого
спектра этого множества.
б) Назовем конечным открытым спектром данного пространства А часть
открытого спектра этого множества, образованного нервами всех конечных
покрытий этого пространства (с сохранением порядка и проекций,
определенных во всем открытом спектре пространства А). Если пространство А есть
компакт, то его конечный открытый спектр составляет конфинальную часть
открытого спектра компакта А.
в) Если Ac:Sn есть компакт, то в полном геометрическом спектре
множества А конечный геометрический спектр образует конфинальную часть.
4. Проблема гомеоморфизма для полиэдров. Более полустолетия
тому назад Деном (М. Dehn) и Хегором (Heegaard) была высказана
следующая гипотеза, получившая название основной гипотезы комбинаторной
топологии:
Для того чтобы два конечных полиэдра т0 и Tq, данные в их триангуля-
циях т0 и то, были гомеоморфны, необходимо (и очевидно достаточно), чтобы
триангуляции т0 и т0 имели изоморфные подразделения т2 и т^. Эта гипотеза
доказана для конечных полиэдров размерности меньше или равной трем, в?
общем же случае полиэдров любой размерности вопрос о справедливости
основной гипотезы остается открытым до сих пер. Если подейти к этому
вспрссу с течки зрения спектров, то можно сказать, что — в случае
справедливости сснсвной гипотезы,— ксмбикатсркые спектры триангуляции т0 и т0
гомеомерфных полиэдров всегда имеют ебщую кскфикальную часть, и даже
очень «массивную», а именно составленную из Есех триангуляции, следующих
за ебщим в смысле изоморфизма подразделением tj = т[ триангуляции т0 и то.
В нгшем дальнейшем изложении окажется доказанной следующая:
Теорема о гомеоморфизме полиэдров. Для того чтобы
триангуляции т0 и \ были триангуляциями двух гомеоморфных
полиэдров т^ато, необходимо и достаточно, чтобы в комбинаторных спектрах
этих триангуляции существовали конфинальные части, которые могут
быть конфинально дополнены до одного и того же абстрактного спектра.

124
Глава шестая
Наконец, мы можем сформулировать и общую теорему о гомеоморфизме
любых точечных множеств, доказательство которой и составляет основное
содержание этой главы (доказательство теоремы о гомеоморфизме полиэдров
развивается совершенно параллельно доказательству общей теоремы и
получится при этом последнем само собою).
Общая теорема о гомеоморфизме произвольных
точечных множеств. Пусть даны два точечных множества: Ax(ZSni и
Л2 с Sn\ Для того, чтобы эти множества были между собою гомеоморфны,
необходимо и достаточно, чтобы их полные геометрические спектры Ej в
Snl~u Е2 в s*f содержали конфинальные части — сг соответственно с2, —
могущие быть конфинально дополненными до одного и того же
абстрактного спектра Е.
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, сделаем по
поводу 4' нее два замечания, из которых одно содержит возникающую в связи с этой
теоремой нерешенную проблему, а другое представляет собою историческую
справку.
Проблема з аключается в следующем. Можно ли в формулировке общей
теоремы о гомеоморфизме (или хотя бы в теореме о гомеоморфизме для
полиэдров) предположить, что объемлющий абстрактный спектр Е является
транзитивным? Другими словами, верна ли следующая
Гипотеза о гомеоморфизме полиэдров, представляющая собою
усиление теоремы. Если т0 и tq суть триангуляции гомеомсрфных полиэдров, то
комбинаторные спектры этих триангуляции содержат конфинальные части,
которые можно конфинально дополнить до одного и того же
транзитивного спектра, и аналогичная гипотеза о гомеоморфизме любых множеств.
Теперь — историческая справка. Общая теорема о гомеоморфизме была
высказана мною в той самой формулировке, в какой она только что
приведена, в работах [18] и [19] и в докладах, сделанных в Московском
математическом обществе И мая 1954 г. и на Международном математическом
конгрессе в Амстердаме в сентябре 1954 г. В работе [19] было дано и
полное доказательство теоремы. Но хотя формулировка теоремы в упомянутых
работах и докладах та же, что и сейчас — содержание теоремы было другим:
дело в том, что под конфинальной частью спектра я разумел тогда не ту,
само собой разумеющуюся конфинальность, которая определена выше, а
некоторую другую, «осложненную» конфинальность, подробно изложенную мнсю
в упомянутых работах и ставшую в настоящее время излишней. В
заключительном § 7 работы [19] я писал: «Теорема о гомеоморфизме точечных множеств,
составляющая основное содержание этой работы, очень отягчена лежащим в
ее основе понятием конфинальности. Было бы, конечно, чрезвычайно
желательным заменить участвующее в теореме о гомеоморфизме понятие
конфинальности более простым понятием, приводящим к аналогичным результатам»*
Далее шло обычное, сформулированное выше, понятие конфинальности и
ставилась задача доказать теорему о гомеоморфизме при этом обычном понима-

Симплициальные спектры и гомеоморфизм точечных множеств 125
нии конфинальности, т. е. доказать ту самую теорему, которая доказывается
на нижеследующих страницах. Эту задачу я не сумел решить — ее решил мой
ученик И. Шведов. Он следовал в своем доказательстве в точности тому
плану, по которому построено и мое доказательство первоначальной
«осложненной теоремы». Эгот план будет сейчас изложен. Но при этом теорему 1
следующего параграфа, которую я доказал при своем осложненном понимании
конфинальности, И. Шведов в нескольких словах доказал и при обычном,
элементарном понимании конфинальности, что мною было упущено. Во всем
остальном доказательство (если не считать нескольких мелочей) такое, как
у меня.
Сейчас мы вновь находимся в аналогичном затруднении: теорема о
гомеоморфизме доказана в предположении, что понятие абстрактного спектра взято
в виде «осложненном» тем, что условие транзитивности понимается в
ослабленном смысле. Вновь естественно поставить вопрос об исправлении этого
недостатка, т. е. о рассмотрении одних лишь транзитивных спектров, каковыми
являются все геометрические спектры. Но возникающая таким образом
задача — доказательство «гипотезы о гомеоморфизме» представляется
значительно более трудной: откуда взять спектр £, до которого должны быть
конфинально дополнены конфинальные части спектров Гх и Eg, как не в виде,
быть может, несколько видоизмененного открытого спектра, одинакового
у обоих гомеоморфных между собою множеств? Но открытые спектры упорно
сопротивляются требованию «полной транзитивности». Поэтому задача
доказательства гипотезы о гомеоморфизме хотя бы для одних полиэдров
представляется мне очень трудной. Но она, быть может, все-таки легче, чем
доказательство «основной гипотезы комбинаторной токологии».
§ 3. ПЛАН ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ О ГОМЕОМОРФИЗМЕ
И ПЕРВАЯ ЧАСТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА (НЕОБХОДИМОСТЬ)
1. Прежде всего доказывается (что в сущности нам уже известно), что
канонический спектр является конфинальнои частью некоторой мультипликации
открытого спектра множества Ac:Sn. Отсюда сразу следует необходимость
условия в теореме о гомеоморфизме. В самом деле, если множества Аг и Аг
гомеоморфны между собою, то у них один и тот же открытый спектр,
канонические же спектры ох и а2 множеств Аг и А2 являются конфинальными
частями полных геометрических спектров (в Sn\ соответственно в Sn*)
множеств Ai и Л2 и они конфинально дополняются до некоторой (как мы увидим,
одной и той же) мультипликации Е открытого спектра этих множеств.
Доказательство достаточности основывается на том, что для каждого
спектра вполне однозначно определяется его пространство. При этом
доказываются следующие предложения.
Теорема 1. Если спектр Е' образует конфинальную часть спектра Е, то
пространства обоих спектров гомеоморфны между собою (именно доказатель-

126
Глава шестая
ство этой теоремы при обычном, элементарном понимании конфинальности и
было впервые дано И. Шведовым).
Теорема 2. Пространство, определяемое полным геометрическим
спектром множества Л, гомеоморфно множеству Л.
Из этих двух теорем следует вторая часть — достаточность общей теоремы
о гомеоморфизме. В самом деле, если с^ и с2 суть кснфинальные части
полных геометрических спектров Ех и Е2 множеств Лх и Л2, конфинально
дополняемые до одного и того же спектра Е, то из теорем 1 и 2 следует, что
пространство спектра ог гомеомсрфно множеству Аъ а пространство спектра а2—
множеству Л2. С другой стороны, в силу теоремы 2, оба эти пространства
(т. е. множества Аг и Л2) гсмеомсрфны пространству спектра Е, откуда и
следует, что Аг и Л2 гсмеомсрфны между собой.
Приступаем к осуществлению этого плана. Прежде всего доказываем, что
канснический спектр множества Л, являющийся, очевидно, ксгфикальной
частью полного геометрического спектра этого множества, образует в то же
время и кскфинальную часть некоторой мультипликации открытого спектра
множества Л.. В самом деле, канонические комплексы являются нервами
соответствующих канонических покрытий. Считая каждое покрытие столько раз,
сколько имеется Еысекающих его канонических комплексов, и оставляя
остальные комплексы открытого спектра без изменения, мы и получаем искомую
мультипликацию открытого спектра; так как при переходе от канонических
триангуляции к каноническим покрытиям проекции сохраняются, то наше
утверждение доказано. Заметим еще, что если мы имеем две мультипликации
Е' и Е" одного и того же спектра Е, то, объединив для каждого а 6 Е в одну
совокупность все элементы спектра Е', ссстЕетстьующке элементу абЕ, и все
элементы спектра Е", соответствующие тому же а, получим новую мульти.
плккацию, содержащую как Е', так и Е" в качестЕе, очеЕидкс, кокфикглькых
•частей. Эгу мультипликацию назовем соединением двух данных
мультипликаций.
Пусть теперь A±c:Sni и Л2 с: S"2 гомеоморфны между собою. Тогда
канонический спектр ах множества Аъ будучи конфинальной частью полного
геометрического спектра Ej множества А± в Sn\ является, по только что
доказанному, конфинальной частью некоторой мультипликации Е' общего открытого
спектра Е0 обоих множеств Лх и Л2; точно так же канонический спектр а2
множества Л2 в Sn* является конфинальной частью мультипликации Е"
спектра Е0.
Обозначим через Е соединение двух мультипликаций Е' и Е". Тогда и ах
и о2 являются конфинальными частями спектра Е, чем первая часть теоремы
о гомеоморфизме (необходимость) доказана.
В случае полиэдров i4t и Л2, данных соответственно в триангуляциях тх и
т2, эти рассуждения упрощаются: легко видеть, что весь комбинаторный спектр
триангуляции xt (как и комбинаторный спектр триангуляции т2), являющийся
конфинальной частью соответствующего полного геометрического спектра,
образует и конфинальную часть открытого спектра Е0. Таким образом, мы

Симплициальные спектры и гомеоморфизм точечных множеств 12 7
можем даже сказать, что комбинаторные спектры Нх и Х^ гомеомсрфных
триангулированных полиэдров тх и т2 могут быть сами кснфинально
дополнены до одного и того же спектра, а именно до общего открытого спектра
обоих полиэдров.
§ 4. ПРОСТРАНСТВО АБСТРАКТНОГО СПЕКТРА.
ОКОНЧАНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ О ГОМЕОМОРФИЗМЕ
1. Вводные замечания. В этом параграфе мы все время отождествляем
каждый симплекс с его остовом, т. е. рассматриваем его как множество его
вершин. Через еа всегда обозначается какая-нибудь вершина комплекса а.
Наконец, предполагаем (что, очевидно, законно), что никакие два
различных комплекса спектра £ не имеют общих вершин (а следовательно, и всобще
о5щих элементов).
2. Нити. Назовем нитью спектра £ всякое множество с вершин
всевозможных комплексов этого спектра, удовлетворяющее следующим
условиям:
Г. Каков бы ни был комплекс абЕ, в £ найдется по крайней мере одна
вершина, принадлежащая комплексу а (т. е. S П а Ф /\ при любом а 6 Е).
2°. (Замкнутость относительно операции проектирования). Если р>а и
вершина е& комплекса р содержится в с, то в 6 содержится и &1е$ (мы
помним, что симплекс S&p рассматривается как множество его вершин).
3°. Каково бы ни было конечное множество вершин eai,..., еа .,
принадлежащих нити £, в спектре £ существует такой комплекс а0 = а0 (еа,,..., eas \
следующий за всеми а19..., аА, что для любой вершины еа, 6 ?, принадлежащей
комплексу <х0, имеем
еч € .fiS&i, для всех i = 1, 2,..., s.
Замечание. Пусть а > а0 и еа любая, принадлежащая нити £, вершина
комплекса а. Тсгда, при / =я l,2,...,s и произвольном £а0€£&£а имеем еао€с
(по условию 2°) и, далее,
так что
eaid &1£ при i — 1, 2,..., 5,
Итак, условие 3° влечет за собою более сильное условие.
Зо. Для любого конечного множества вершин еа1,...,еа , принадлежащих
нити ?, существует такой комплекс а0, следующий за всеми аь..., ал, что для
любого а > а0 и любой вершины еа 6 а, принадлежащей нити 5, имеем
еа/ б ®a^a для всех / = !? 2,..., s.

128
Глава шестая
Установим следующие два свойства нитей.
а) Множество всех элементов еа нити £, принадлежащих данному
комплексу а, конечно и образует симплекс комплекса а.
В самом деле, всзьмем какое-либо конечное множество вершин комплекса
а, принадлежащих нити ?. Пусть это будут
(1) еа1,...,еаг
По условию 3°, существует таксе а0>а, что для любсй Еершины еао
комплекса а0, принадлежащей нити 5, все вершины (1) являются вершинами
симплекса §)а°£а0. Отсюда и из звездной конечности комплекса а вытекает,
что в а имеется лишь кснечнсе число Еершин, принадлежащих нити £, и что
эти вершины, принадлежа симплексу &lneaj, сами образуют симплекс,
который естественно обозначается через ta = ta (с) = 5 П <*.
б) (Свойство минимальности — или максимальности — нитей). Не
существует двух нитей £ и £', из которых одна была бы собственным подмножеством
другой.
В самом деле, пусть
Полагая ta = ta (с), /'а = ta (£-') можем написать
5= U f«, 6'= U 4
а а
Наше предположение £' с: с означает, что для любого а € Е
причем хотя бы для одного аа 6 Е
Пусть ettl € f a,\f аж. Существует для нити g таксе а0, что при всяком etto 6 J
имеем eai 6 ©£^в.. Взяв еЛо £ с', видим, что еах € ©Sfca, с £', вопреки
предположению.
Свойство (б) доказано.
3. Пространство Е спектра Е. Точками пространства Е являются, по
определению, нити спектра Е.
Окрестность ОЛ произвольней течки \ = {еа} б Е задается любсй
вершиной е 6 £ и определяется как множество всех нитей, содержащих Еершину е.
Определеннее таким образем скрестнсстнсе пространство есть 7Улрсстран-
ство. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно доказать следующие два
утверждения.
Г. Пересечение двух окрестностей Ова и СЦ точки ? содержит третью
окрестность Ое этой точки.

Симплициальные спектры и гомеоморфизм точечных множеств 129
2°. Пересечение всех окрестностей прсизвсльнсй точки £ б Е содержит
лишь эту точку.
Для доказательства первого утверждения достаточно взять такую вершину
ел 6 £, if > а, р, чтобы было еа 6 ©JeT, е$ 6 ©jkT. Тогда 5 € СЦ с 0*а П Ое^
В самом деле, если i'dOe, то ет € $'; но тогда £а 6 ©2ет с 6', ер 6 £$ет с £' и,
значит, ?еое, гео, .т
Для доказательства 2° предположим, что точка £' содержится в
пересечении всех окрестностей 0^5 точки £. Тогда каждая вершина еа, являющаяся
элементом нити £, является и элементом нити с', т. е. сС£' и, значит, £ = 5'
(по условию минимальности).
4. Доказательство теоремы 1 предыдущего параграфа. Пусть
спектр Е'= {а', ©£'} является конфинальной частью спектра 2= {а, ©2};
Докажем, что пространства Е' и Е обеих спектров гомеомерфны между собою..
В основе доказательства лежат две леммы.
Лемма 1. Оставляя в нити 6 спектра Елишь вершины, принадлежащие
комплексам а' спектра Е', получим множество £', являющееся нитью спектра Е'.
Лемма 2. Пополняя нить (■' спектра Е' проекциями (в Е) всех ее
элементов, получим нить £ спектра Е.
Доказательство леммы 1. Множество £', очевидно, удовлетворяет услсЕИям
Г и 2° в определении нити. Дскажем, что выполнено услсЕие 3°. Пусть
еа'>->еа произвольное конечное подмножество множества £'. Согласно усло-
1 s
вию Зо, которому удсЕлетЕсряет нить ?, можно найти таксе а0€Е, что для
всякого а > а0, в частности, для любого о! ^ <х0, а' С Е' и любого е& € 5'
будет
ва' £К'е*' ПРИ ' = b...,S,
i i
что и требовалось доказать.
Доказательство леммы 2. В данном случае также лишь условие 3°
требует проверки.
Пусть eai,...,eas произвольные элементы множества ?. Выбираем в $'
вершины еа',..., еа* так, чтобы было а^ >- ах,..., а^ > а^ и
1 5
/
а
*«/ € &а*еа\ для / = 1,..., s
(при а[ = af считаем еа> = ЕМе^ = ea/). Согласно условию 3\ выполненному
в £', определяем <Xq так, чтобы при любом еа> G<j' было
о
ел> G 8а?е ' для всех / = 1,2...., s.
i а£ О
Тогда
' а/ а/ - ai а^ «0 — «, <у

130
Глава шестая
т. е.
еа/6 Sa°ea> для / = l,...,s, ^65 П «о-
* о о
Лемма 2, а с ней и теорема 1 доказаны. •
5. Доказательство теоремы 2 предыдущего параграфа.
Пространство £ полного геометрического спектра £ множества Лс5лго-
меомсрфно этому множеству*.
Теперь мы под симплексами понимаем геометрические симплексы,
лежащие в Sn и обозначаем их через t, остов симплекса t обозначается через t%
Установим взаимно-однозначнее соответствие между нитями спектра Е и
точками множества А.
Пусть х0 какая-нибудь точка множества А. В каждой триангуляции a 6 Е
(т. е. триангуляции, покрывающей множество А) возьмем носитель /а точки
х0; через ta обозначим остов симплекса ta и положим
1) £о= U ta.
Требование еа 6 ta эквивалентно требованию Га с Oa£a, т. е. требованию
х0&Оаея. Поэтому в ta входят те и тслько те вершины еа 6 а, звезды которых
Оаеа содержат точку х0. Итак, множество ?0 может быть определено как
множество всевозможных таких вершин еа 6 a 6 Е, что л:0 (: Oa^a.
Докажем, что с0 есть нить спектра Е. Условия Г и 2° в определении
нити, очевидно, выполнены.
Докажем, что оно удовлетворяет и условию 3°.
В самом деле, пусть даны произвольные элементы
множества 50. Тогда
Х0 € Oa^a, П ... П Oa/as,
что означает, что при /=1,...,s носитель fa/ точки л:0 в а, принадлежит
звезде Оа/еаг
Пусть а0 триангуляция, следующая за всеми триангуляциями <хь..., а/,
тогда носитель ta<t точки х0 в а0 лежит в каждом из симплексов tai9...,taSf
которые, таким образом, являются носителями симплекса tao соответственно
в триангуляциях <х1у..., ols.
В с среди всех вершин комплекса а0 содержатся лишь вершины еЛи0,..., еаоГ
носителя точки х0 в этом комплексе. Поэтому каждая вершина еар / = 1, 2,..., s,
будучи одной из Еершин носителя симплекса tao в триангуляции а,, является
* Здесь в основном воспроизводится доказательство этой теоремы, данное И. Шве
довым; оно несколько упрощает мое первоначальное доказательство.
Таким же точно образом доказывается, что полиэдр А гомеоморфен пространству
комбинаторного спектра любой его триангуляции.

Симплициальные спектры и гомеоморфизм точечных множеств 131
и вершиной носителя каждой из вершин еаоо> -»еа0г симплекса t^ т. е.
еа/€ ££ .'£<*<>, ПРИ * = 1. s, для любого £а0€?0. Итак, £0 действительно есть
нить. Полагая
получаем отображение множества А в пространство Е. Мы докажем, что
отображение ср есть топологическое отображение множества А с S" на
пространство Е, чем и будет доказана теорема 2.
Пусть со произвольная нить спектра Е. Звезды вершин, входящих в эту
нить, образуют, как легко видеть, центрированную систему множеств, лежащих
в Sn, и, так как среди них есть сколь угодно мелкие, то пересечение их
замыканий состоит из одной точки, которую обозначим
Эта точка лежит в теле каждой триангуляции, покрывающей множество А, и
потому содержится во множестве А. Покажем, что х0 содержится не только
в замыкании звезды [Оаеа] каждой вершины еа 6 5, но и в самой звезде Оаеа.
Выберем, согласно условию 3°, такую триангуляцию а0 > а, чтобы для любой
вершины £а,6со этой триангуляции имело место включение ea6 8£fl£aj. Если
точка х0 при этом не является вершиной триангуляции а0, то производим
центральное подразделение носителя tai течки х0 в а0 относительно точки х0
и соответствующее элементарное подразделение всех симплексов, примыкающих
к taj. В результате получаем подразделение триангуляции а0, которое снова
обозначаем через а0 и которое, удовлетворяя тему же условию еа€5)апеав
для всех £а0 6 ?о> содержит точку х0 в числе своих иершин.
Докажем, что
<2) *0е?0.
В самом деле, возьмем такую триангуляцию т > а0, чтобы звезда любой
вершины этой триангуляции, имеющая точку х0 своей точкой прикосновения,
целиком содержалась в звезде Оа,х0 (течки х0 в а0). Пусть ел какая-нибудь
вершина триангуляции *у, содержащаяся в ?0. Тогда, по предыдущему,
*о € [Отгт] cz Оаох0.
Следовательно, носителем течки ел в а0 является один из симплексов,
имеющих точку Л'о своей вершиной, так что
х0 6 ftlfii с $0.
Включение (2) доказано. Из него и из выбора триангуляции а0 следует,
ЧТО ^a6S>X Т. е. Х0бОа^а.
Итак, точка х0£А может быть определена как единственная точка, при»
надлежащая всем звездам Оаеа, где ва пробегает всю нить £0>

132
Глава шестая
Рассмотрим теперь нить t0 = ср*0, состоящую из всех таких еа € а € S, что
Из только что доказанного следует, что
Со <= ^0
и, значит, в силу свойства минимальности нитей
Со — Со»
Итак, мы построили отображение ср множества Л в Ъ и такое
отображение / множества Е в Л, что для каждого <г0 С 2 получается
?/с0 = 6о-
По определению / и ср очевидно также fсрлг0 = *0 Для любой точки х0 6 Л,
Отсюда следует, что 9й/ являются взаимно-однозначными и взаимно-обрат.
ными отображениями соответственно Л на Е и Е на Л. Каждсе из
отображений ср и / является топологическим, так как при этих отображениях, как
легко видеть, множества Оаел и OeoL, образующие базы соответственно в Л
и в Е, переходят друг в друга.
Теорема 2, а вместе с нею и теорема о гомоморфизме точечных множеств
полностью доказаны.

ЛИТЕРАТУРА
1. С. Kuratowski. Sur un theoreme fondamental concernant le nerf d'un systeme
d'ensembles, Fund. Math. 20 (1933), p. 191—196.
2. E. Cech. Theorie generate de l'Homologie, Fund. Math. 19 (1932), p. 149—183.
3. Г. С. Чогошвили. Закон двойственности для ретрактов, ДАН СССР, 51, № 2
(1946), стр. 90—97.
4. Г. С. Чогошвили. О гомологических аппроксимациях и законах двойственности
для произвольных множеств, Мат. сборник, 28, (70) (1951), стр. 89—118.
5. P. Alexandroff. On the dimension of normal, spaces, Proceed, of the Royal
Society of London, A., 189 (1947), p. 11—39.
6. П. С. Александров. О размерности бикомпактных пространств. ДАН СССР,
26 (1940), стр. 627—630.
7. С. Н. Dowker. Mapping theorems for поп compact spaces, Amer. Journ. of Math.
69 (1947), p. 200—242.
8. С. H. Dowker. An extension of Alexandroffs mapping theorem, Bull Amer. Math.
Soc. vol. 54, N 4 (1948), p. 386—391.
9. E. Hemmingsen. Some theorems in dimension theory for normal Hausdorff spaces,
Duke Math. Journ. 13 (1946), p. 495—504.
10. П. С. Александров. Основные теоремы двойственности для незамкнутых
множеств, Мат. сборн., 21, (63) (1947), стр. 161—232.
11. S. Kaplan. Homology properties of arbitrary subsets of euclidean spaces,
Transactions of the Amer. Math. Soc. 62 (1947), p. 248—271.
12. P. Alexandroff. Untersuchungen uber Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen
beliebiger Dimension, Annals of Math. (2), 30 (1928), S. 101—187.
13. Е.Ф.Мищенко. а) К гомологической теории незамкнутых множеств, Мат. сборн.,
29, (71) (1951), стр. 587—592.
б) О некоторых вопросах комбинаторной топологии незамкнутых множеств, Мат.
сборн., 32, (74) (1953), стр. 219—224.
14. К. А. Ситников, а) Закон двойственности для незамкнутых множеств, ДАН
СССР, 81, № 1 (1961), стр. 359—362.
б) Новые соотношения двойственности для незамкнутых множеств, ДАН СССР,
96, № 5 (1954), стр. 925—928.
15. К. А. Ситников, а) О непрерывных деформациях незамкнутых множеств, ДАН
СССР, 82, № 6 (1952), стр. 845—848.
б) О размерности незамкнутых множеств, ДАН СССР, 83, № 1 (1952), стр. 31—34.
16. П. С. Александров. О некоторых следствиях второго закона двойственности
Ситникова, ДАН СССР, 96, № 5 (1954), стр. 885—887.
17. К. А. Ситников, а) Комбинаторная топология незамкнутых множеств. I, Мат.
сборн., 34 (76) (1954), стр. 3—54.
б) Комбинаторная топология незамкнутых множеств. II, Мат. сборн., 37, (79)
(1955), стр. 385—434.

134
Литература
18. П. С. Александров. О гомеоморфизме точечных множеств, ДАН СССР, 96,
№ 5 (1954), стр. 757—760.
19. П. С. Александров. О гомеоморфизме точечных множеств, Труды Московского
Математического общества, № 4 (1955), стр. 405—420.
20. А. И. Шведов. Доказательство теоремы о гомеоморфизме полиэдров и точечных
множеств, ДАН СССР, 122, № 4 (1958), стр. 566—569
21. F. Hausdorff. Grundzuge der Mengenlehre, 1914.
22. П. С. Александров. О гомологических свойствах расположения комплексов и
замкнутых множеств. Изв. АН СССР, серия матем., № 6 (1942), стр. 227—282.
23. Н. А. Берикашвили. О теоремах двойственности для произвольных множеств».
Сообщ. Акад. наук Грузинской ССР, XV, № 7 (1954), стр. 407—414.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение * 3
Глава первая. Группы Бетти незамкнутых множеств 7
§ 1. Группы Бетти, определенные посредством покрытий («проекционные
группы») 7
§ 2. Группы Бетти с компактными носителями 12
§ 3. Теорема Чогошвили. Группы Дг (X, S3) NrA (X, $) и ~ЬГ (Х&) 21
Глава вторая. Первый общий закон двойственности 31
§ 1. Доказательство теоремы инвариантности 31
§ 2. Второй закон двойственности для компактов 40
§ 3. Нульмерный случай — компоненты и квазикомпоненты точечного множества 40
Глава третья. Ситниковский изоморфизм и центральный закон двойственности . . 49
§ 1. Вспомогательные группы Д£НЛ и VbpA Построение ситниковского
изоморфизма М и план доказательства 49
§ 2. Изоморфизм J группы Vbh^ на ГРУППУ VPA 51
§ 3. Изоморфизм D группы Vbh^ на ГРУППУ Двн^ 55
§ 4. Изоморфизм Г группы А^Л на группу AQB 62
§ 5. Спектральный закон двойственности 71
Глава четвертая. Дальнейшие ссотношения между группами, определенными для
одного и того же и для двух взаимно-дополнительных точечных множеств.
Полная теорема об изоморфизме двойственности 78
§ 1. Основное свойство ситниковского изоморфизма М 78
§ 2. Основные гомоморфизмы Л и Л. Группы незацепляемости 80
§ 3. Полная теорема об изоморфизме двойственности; ситниковская диаграмма 84
§ 4. Распространение гомоморфизма h на группу Ад и его сопряженность
гомоморфизму Л; пример Е. Ф. Мищенко 88
Приложение к главе четвертой 91
Глава пятая. Специальные классы множеств. Области двойственности 97
§ 1. Условия (гр) и (ар) 97
§ 2. Гомологические ретракты 102
§ 3. Двусторонние гомологические ретракты. Мищенковская элементарная
область двойственности 110
§ 4. Максимальная ситниковская элементарная область двойственности .... 116

136
Оглавление
Глава шестая. Симплициальные спектры и теорема о гомеоморфизме точечных
множеств 119
§ 1. Замечание к теоремам инвариантности. Геометрические спектры 119
§ 2. Абстрактный спектр. Проблема гомеоморфизма 122
§ 3. План доказательства теоремы о гомеоморфизме и первая часть
доказательства (необходимость) 125
§ 4. Пространство абстрактного спектра. Окончание доказательства теоремы
о гомеоморфизме 127
Литература 133
Труды Математического института им В. А, Стек лова, том L1V
П С. Александров
Топологические теоремы двойственности
Часть вторая
Незамкнутые множества
Утверждено к печати
Математическим институтом Академии наук СССР
Редактор Издательства В, Г. Беркгаут
Технический редактор Т. В. Полякова
•
РИСО № 37—12В Сдано в набор 10/Н 1959 г. Подписано к печати 30/V1 1959 г. Формат 70Xl08Vie»
Печ. л. 8,5 Усл. печ. л. 11,64 Уч.-издат. л. 8,6 Тираж 2200 экз. Т-06962 Изд. № 3776 Тип. зак. J41 3426.
Цена 6 руб.
Издательство Академии наук СССР. Москва, Б-64, Подсосенский пер., 21
2-я типография Издательства. Москва, Г-99, Шубинскир пер., 10